Текст
Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям
Graduate Texts in Mathematics
PETER J. OLVER
APPLICATIONS OF LIE GROUPS
TO DIFFERENTIAL EQUATIONS
Springer-Verlag
New York Berlin Heidelberg Tokyo
______________П.Олвер
Приложения групп Ли
к дифференциальным
уравнениям
Перевод с английского
И. Г. Щербак
под редакцией
А. Б. Шабата
Москва «Мир» 1989
ББК 22.161.6
053
УДК 517.91.1/.958 + 512.54
Олвер П.
053 Приложения групп Ли к дифференциальным уравне-
ниям: Пер. с англ. — М.: Мир, 1989.— 639 с., ил.
ISBN 5-03-001178-1
Книга известного американского математика, дающая обстоятель-
ный обзор одного из современных направлений на стыке геометрии н
дифференциальных уравнений. Цель автора — обучить читателя прак-
тически пользоваться аппаратом теории групп Ли. Примеры и содержа-
тельные приложения занимают в книге больше места, чем общая
теория; они взяты из классической механики, гидродинамики, теории
упругости и других прикладных областей. Для чтения книги достаточно
основ анализа и алгебры: все необходимые сведения из геометрии мно-
гообразий содержатся в самой книге.
Для математиков-прикладников, механиков, физиков, аспирантов
н студентов университетов.
1602070000—419
041(01)—89
15—89
ББК 22.161.6
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001178-1 (русск.)
ISBN 0-387-96250-6 (англ.)
© 1986 by Springer-Verlag New York Inc.
All Right Reserved
Authorized translation from English
language edition published by Sprin-
ger-Verlag Berlin Heidelberg New
York Tokio
© перевод на русский язык, с измене-
ниями и дополнениями, «Мир», 1989
От редактора перевода
Серия университетских учебников, выпускаемых издательством
«Шпрингер», пополнилась недавно книгой П. Олвера, перевод
которой предлагается читателю. По мнению специалистов, книга
вышла удачной. Следя за развитием сюжета, читатель шаг за
шагом продвигается к пониманию современного состояния и
проблематики «науки о симметриях». Много внимания уделяет-
ся мотивировкам определений и истории.
Книга ориентирована на приложения, и параллельно с раз-
витием общей теории разбирается большое число конкретных
примеров применений симметрий, включая такие, как интегри-
рование в квадратурах обыкновенных дифференциальных урав-
нений и построение автомодельных и инвариантных относитель-
но группы решений уравнений с частными производными.
Возрождение интереса к малоизвестным работам класси-
ков: Ж- Лиувилля, С. Ли, Э. Нётер и современное развитие тео-
рии поставили задачу тщательного сопоставления классической
и современной точек зрения на основные вопросы, связанные
с алгебраическим подходом к локальной теории уравнений с
частными производными. Решение этой трудной задачи яв-
ляется одним из основных достоинств книги. К сожалению, вне
рассмотрения остались классическая теория контактных пре-
образований и ряд современных приложений неклассических
симметрий.
В целом книга Олвера будет очень полезна и студентам, и
преподавателям.
В русское издание внесены исправления и добавления, лю-
безно присланные автором; в нем также несколько изменено
содержание § 5.1 и добавлены два приложения к гл. 5 и 6.
А. Б. Шабат
Предисловие к русскому изданию
Перевод моей книги о симметриях и дифференциальных уравне-
ниях на русский язык я рассматриваю как большую честь, тем
более что в советской математике имеются давние традиции в
этой важной области. Цитирования и исторические замечания,
сделанные в тексте, с очевидностью показывают, что советские
математики играли ключевую роль в развитии и приложениях
теории групп к дифференциальным уравнениям.
Эта книга явилась последней, принятой к переводу заведую-
щим математической редакцией профессором Б. В. Шабатом,
неожиданная смерть которого явилась огромной потерей для
всего математического сообщества. Мне хотелось бы выразить
благодарность его сыну профессору А. Б. Шабату, научное ре-
дактирование и ряд ценных предложений которого позволили
существенно улучшить книгу в русском издании.
Я надеюсь, что эта монография будет еще более способство-
вать развитию в Советском Союзе исследований по теории групп
Ли, дифференциальным уравнениям и их приложениям к физике,
инженерным наукам и т. д. и явится катализатором для еще бо-
лее тесного сотрудничества между советскими и западными ма-
тематиками в этой области.
Москва, май 1989 Питер Олвер
Предисловие
Эта книга посвящена широкой области приложений непрерыв-
ных групп симметрий к важным с точки зрения физики систе-
мам дифференциальных уравнений. Акценты делаются на су-
щественных приложениях теоретико-групповых методов. Изло-
жение построено так, что читатель-прикладник может быстро
изучить основные вычислительные средства, требующиеся для
реальных физических задач. В первой главе собраны те разде-
лы теории групп Ли, которые важны для дифференциальных
Предисловие
7
уравнений (доказательства результатов не приводятся). При-
ложения, охваченные книгой, включают вычисление групп сим-
метрий дифференциальных уравнений, интегрирование обыкно-
венных дифференциальных уравнений, в том числе специальную
технику для уравнений Эйлера — Лагранжа или гамильтоновых
систем, дифференциальные инварианты и построение уравнений
с предписанными группами симметрий, инвариантные относи-
тельно групп решения уравнений с частными производными,
теорию размерности, связь между законами сохранения и груп-
пами симметрий. Подробно рассматриваются обобщения основ-
ного понятия группы симметрий и их приложения к законам со-
хранения, условия интегрируемости, вполне интегрируемые систе-
мы, солитонные уравнения и бигамильтоновы системы. Изложе-
ние в разумных пределах замкнуто в себе и дополнено много-
численными примерами, представляющими непосредственный
физический интерес и взятыми из классической механики, ме-
ханики жидкости, теории упругости и других прикладных об-
ластей. Кроме основополагающей теории многообразий, групп
и алгебр Ли, групп преобразований и дифференциальных форм
в книге рассматриваются более специальные вопросы теории
продолжения и дифференциальных уравнений: теорема Коши —
Ковалевской, характеристики и интегрируемость дифференци-
альных уравнений, расширенные пространства струй на много-
образиях, фактормногообразия, присоединенное и коприсоеди-
ненное представления групп Ли, вариационное исчисление и об-
ратная задача характеризации систем, являющихся уравнениями
Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи, дифферен-
циальные операторы, операторы Эйлера высших порядков и
вариационные комплексы, общая теория пуассоновых структур
как для конечномерных гамильтоновых систем, так и для си-
стем эволюционных уравнений. Все это имеет непосредствен-
ное отношение к изучению симметрий дифференциальных урав-
нений. Предполагается, что, прочитав эту книгу, читатель будет
в состоянии с минимумом трудностей применить эти важные
теоретико-групповые методы к интересующим его системам диф-
ференциальных уравнений и сделать новые интересные выводы
об этих системах. В таком случае можно будет сказать, что
книга достигла своей цели.
Первоначальный вариант этой книги возник как записки
лекций, распространенные Математическим институтом Окс-
фордского университета для семинара, проводившегося в летнем
семестре 1979 г. Я рад поблагодарить сотрудников издательства
Springer-Verlag, которые помогли мне превратить эти записки
в книгу, за их терпение в процессе их переработки, которая ока-
залась гораздо более обширной, чем я предполагал вначале.
8
Предисловие
Благодарности
Прежде всего мне хотелось бы выразить благодарность Нацио-
нальному научному фонду за поддержку моих летних исследо-
ваний в период, когда писалась эта книга.
К сожалению, невозможно упомянуть всех коллег, так или
иначе повлиявших на мою математическую карьеру. Однако
следующие лица заслуживают особой благодарности за их не-
посредственное участие, помощь и содействие в подготовке этой
книги (нужно ли говорить, что полную ответственность за все,
что в ней содержится, несу я!).
Гаррет Биркгоф •—мой научный руководитель — впервые
ввел меня в удивительный мир групп Ли и искусно направлял
мои первые неуверенные шаги по стезе математических иссле-
дований.
Т. Броук Бенжамен и сотрудники Математического инсти-
тута Оксфордского университета содействовали появлению пер-
вого варианта этих материалов на семинаре в летнем семестре
1979 г. и выпуску их в виде записок лекций.
Уиллард Миллер-мл. поддержал меня при переезде в Мин-
несоту, оказал большую помощь в процессе подготовки этой
книги, включая чтение, критику и советы, улучшившие рукопись.
Дэвид Сэттингер первым включил в свои записи лекций по
теории бифуркаций материал, составляющий теперь § 2.2—2.3,
и оказал мне поддержку после моего переезда в Миннесоту.
Ян Андерсон внес заметный вклад в современное развитие
теории вариационного комплекса и операторов Эйлера высших
порядков, составивших предмет § 5.4, а также помог с истори-
ческим материалом, читал, критиковал и помогал улучшить ру-
копись в процессе подготовки книги.
Иветта Косм ан-Шварцбах нашла время и терпение, чтобы
прочитать всю рукопись, и сделала много полезных замечаний
и исправлений.
Даррил Холм, Генри Гермес и Юха Тохъянтелто значитель-
но улучшили рукопись своими многочисленными советами и за-
мечаниями.
Филлип Розено предложил много задач и интригующих во-
просов для размышлений.
Дебби Брадли, Катрин Раден и Кей Смит с самоотвержен-
ностью и искренностью взялись за трудную задачу перепечатки
рукописи и так прекрасно выполнили эту работу.
Неослабевающую поддержку и влияние моей матери Грас
Олвер и отца Фрэнка Олвера я ощущаю всю жизнь.
И конечно, мне были необходимы любовь, терпение и понима-
ние жены Чехрзад Шакибан и детей Паризад и Шихана!
Введение
Когда начинающие студенты впервые сталкиваются с теорией
обыкновенных дифференциальных уравнений, она чаще всего
представляется им как приводящее в недоумение многообразие
специальных методов, предназначенных для решения некоторых
частных, на первый взгляд не связанных между собой типов
уравнений (таких, как уравнения с разделяющимися переменны-
ми, однородные уравнения или уравнения в полных дифферен-
циалах). Действительно, примерно до середины девятнадцатого
века, когда Софус Ли сделал глубокое и имеющее далеко идущие
последствия открытие, состоящее в том, что все эти специаль-
ные методы на самом деле являются частными случаями общей
процедуры интегрирования, основанной на инвариантности диф-
ференциального уравнения относительно некоторой непрерыв-
ной группы симметрий, это был скорее вид искусства, чем
наука. Открытие Ли сразу унифицировало и значительно рас-
ширило имеющиеся методы интегрирования. Оно вдохновило
Ли посвятить все дальнейшие свои математические исследова-
ния развитию и приложениям его обладающей непреходящей
ценностью теории непрерывных групп. Эти группы, повсемест-
но известные теперь как группы Ли, оказали глубокое влияние
на все области математики, как теоретической, так и приклад-
ной, а также на физику, инженерные и другие базирующиеся на
математике науки. Приложения непрерывных групп Ли симмет-
рий включают такие разнообразные разделы, как алгебраиче-
ская топология, дифференциальная геометрия, теория инвариан-
тов, теория бифуркаций, специальные функции, численный ана-
лиз, теория управления, классическая механика, квантовая ме-
ханика, теория относительности, механика сплошной среды
и т. д. Важность вклада Ли в современную науку и математику
невозможно переоценить.
Тем не менее для того, кто знаком уже с одним из этих
современных проявлений теории групп Ли, может оказаться не-
ожиданностью, что исходным вдохновляющим источником была
теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Одна воз-
можная причина общего недостаточного знакомства с этим
10
Введение
важным аспектом теории групп Ли — тот факт, что (как бывает
с многими прикладными областями) группы Ли, возникающие
как группы симметрий истинно физических систем дифферен-
циальных уравнений, часто оказываются не слишком элегант-
ными с чисто математической точки зрения, не будучи ни полу-
простыми, ни разрешимыми, ни группами Ли каких-либо дру-
гих особых классов, так популярных среди математиков. Кроме
того, часто эти группы действуют на соответствующем простран-
стве нелинейно (выводя нас за пределы теории представлений)
и даже могут быть определены лишь локально, так что эти
преобразования имеют смысл только для элементов группы,
достаточно близких к единице. Поэтому соответствующие груп-
повые действия по своему духу ближе к изначальной формули-
ровке Ли этого предмета в терминах локальных групп Ли, дей-
ствующих на открытых подмножествах евклидова простран-
ства, а это идет вразрез с современной тенденцией к абстракт-
ности и глобализации, охватившей большую часть современной
теории групп Ли. Исторически приложения групп Ли к диффе-
ренциальным уравнениям, начатые Ли и Нётер, постепенно ухо-
дили во тьму, в то время как глобальная абстрактная перефор-
мулировка дифференциальной геометрии и теории групп Ли, за
которую боролся Э. Картан, занимала господствующее положе-
ние в математике. Они пребывали без движения почти полвека
до тех пор, пока Г. Биркгоф не привлек внимание к неисполь-
зуемым приложениям групп Ли к дифференциальным уравне-
ниям механики жидкости. Затем Л. В. Овсянников и его школа
приступили к успешному осуществлению систематической про-
граммы приложения методов Ли к широкому кругу физически
важных задач. Два последних десятилетия свидетельствуют о
подлинном взрыве исследовательской активности в этой области
как в приложениях к конкретным физическим системам, так и
в расширении рамок и углублении самой теории'). Тем не ме-
нее много вопросов еще остается нерешенными, и полную об-
ласть приложимости методов групп Ли к дифференциальным
уравнениям еще предстоит определить.
Грубо говоря, группа симметрий системы дифференциальных
уравнений — это группа, преобразующая решения этой системы
в другие ее решения. В классических рамках теории Ли эти
группы состоят из геометрических преобразований простран-
ства независимых и зависимых переменных системы и дей-
ствуют на решения, преобразуя их графики. Типичные приме-
ры — группы сдвигов и вращений, а также группы растяжений,
’) Солитонная тематика, имеющая многочисленные приложения, играет
здесь не последнюю роль. — Прим. ред.
Введение
11
но они, несомненно, пе исчерпывают весь круг возможностей.
Огромное преимущество рассмотрения непрерывных групп сим-
метрий (в противоположность дискретным симметриям, таким,
как отражения) состоит в том, что все их можно найти с по-
мощью точных вычислительных методов. Это говорит не о том,
что дискретные группы не важны в изучении дифференциальных
уравнений (см., например, Hejhal [1] и приведенные там ссыл-
ки), а скорее о том, что нужно применять совершенно иные ме-
тоды, чтобы их находить или использовать. Фундаментальное
открытие Ли состояло в том, что сложные нелинейные условия
инвариантности системы относительно преобразований из груп-
пы можно в случае непрерывных групп заменить эквивалент-
ными, но гораздо более простыми линейными условиями, отра-
жающими «инфинитезимальную инвариантность» этой системы
относительно образующих этой группы. Почти для каждой важ-
ной с точки зрения физики системы дифференциальных уравне-
ний эти условия инфинитезимальной симметрии — так называе-
мые определяющие уравнения полной группы симметрий систе-
мы — можно решить явно в замкнутом виде, и, таким образом,
наиболее общая группа непрерывных симметрий системы может
быть определена явно. Вся процедура состоит из совершенно
механических вычислений, и для этой задачи уже разработано
несколько компьютерных систем символьно-аналитических вы-
числений.
Когда найдена полная группа симметрий системы дифферен-
циальных уравнений, становится доступным ряд приложений.
Для начала можно действовать в соответствии с определением
группы симметрий, чтобы строить новые решения системы по
уже известным. Группа симметрий, таким образом, доставляет
средство классификации множества решений (два решения по-
лагаются эквивалентными, если одно можно перевести в дру-
гое некоторым элементом группы). Можно использовать груп-
пы симметрий по-другому — для классификации семейств диф-
ференциальных уравнений, зависящих от произвольных па-
раметров или функций; часто имеются серьезные физические
или математические причины предпочитать такие уравнения с
наиболее высокой степенью симметрии. Еще один подход —
определить, какие типы дифференциальных уравнений допу-
скают данную группу симметрий. Эта задача также решается
инфинитезимальными методами с помощью теории дифферен-
циальных инвариантов.
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений из ин-
вариантности относительно однопараметрической группы симме-
трий следует возможность понижения порядка уравнения на еди-
ницу, причем решения исходного уравнения восстанавливаются
12
Введение
по решению редуцированного посредством единственной ква-
дратуры. В случае одного уравнения первого порядка этот
метод доставляет явную формулу для общего решения. Много-
параметрические группы симметрий приводят к дальнейшему
понижению порядка, однако мы не всегда можем восстановить
решения исходного уравнения по решениям редуцированного
посредством одних лишь квадратур, за исключением случая,
когда сама группа удовлетворяет дополнительному требованию
«разрешимости». Если система обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений получена из некоторого вариационного принци-
па (либо как уравнения Эйлера — Лагранжа некоторого функ-
ционала, либо как гамильтонова система), то мощность метода
редукции с помощью группы симметрий в действительности
удваивается. Однопараметрическая группа «вариационных» сим-
метрий позволяет понизить порядок на две единицы; случай
многопараметрических групп тоньше ').
К сожалению, в случае систем уравнений с частными про-
изводными полная группа симметрий обычно не оказывает по-
мощи при отыскании общего решения (хотя в частных случаях
она может указывать, когда систему можно преобразовать в
легче поддающуюся решению, такую, как линейная). Однако
можно использовать группы симметрий, чтобы явно найти част-
ные типы решений, которые сами являются инвариантными от-
носительно некоторой подгруппы полной группы симметрий си-
стемы. Эти «инвариантные относительно группы» решения на-
ходятся решением редуцированной системы дифференциальных
уравнений, содержащей меньшее число независимых перемен-
ных, чем исходная система (в силу чего ее, как правило, легче
решить). Например, решения уравнения с частными производ-
ными от двух независимых переменных, инвариантные относи-
тельно заданной однопараметрической группы симметрий, все
находятся решением системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. Класс инвариантных относительно группы ре-
шений включает в себя классические автомодельные решения,
происходящие из групп симметрий растяжений, бегущие волны,
отражающие некоторую инвариантность системы относительно
сдвига, а также многие другие точные решения, имеющие не-
посредственное математическое или физическое значение. Для
многих нелинейных систем это единственные явные точные ре-
шения, имеющиеся в наличии, и в силу этого они играют важ-
ную роль и в математическом исследовании, и в физических
приложениях таких систем.
') Нельзя забывать здесь классическую работу Lionville [1**]. — Прим,
ред.
Введение
13
В 1918 г. Эмми Нётер доказала две замечательные теоремы,
связывающие группы симметрий вариационного интеграла со
свойствами соответствующих ему уравнений Эйлера — Лагран-
жа. В первой из этих теорем Нётер показала, каким образом
каждая однопараметрическая группа вариационных симметрий
приводит к закону сохранения для уравнений Эйлера — Лаг-
ранжа. Таким образом, например, сохранение энергии происхо-
дит из инвариантности вариационной задачи относительно
группы сдвигов по времени, а сохранение импульса и момента
количества движения отражает инвариантность этой системы
относительно сдвигов и вращений. Глава 4 посвящена так на-
зываемой классической форме этой теоремы Нётер, в которой
рассматриваются только геометрические типы групп симметрий.
Сама Нётер доказала гораздо более общий результат и уста-
новила взаимно однозначное соответствие между группами сим-
метрий и законами сохранения. Общий результат делает не-
обходимым введение «обобщенных симметрий». Это группы, ин-
финитезимальные образующие которых зависят не только от
независимых и зависимых переменных системы, но также и от
производных от зависимых переменных. Соответствующие груп-
повые преобразования не будут больше геометрически действо-
вать на пространстве независимых и зависимых переменных,
поточечно преобразуя график функции. Теперь это нелокальные
преобразования, которые находятся путем интегрирования эво-
люционной системы уравнений с частными производными. Каж-
дая однопараметрическая группа симметрий вариационной за-
дачи, либо геометрических, либо обобщенных, будет приводить
к закону сохранения и, обратно, каждый закон сохранения по-
лучается таким способом. Простейший пример сохраняемой ве-
личины, происходящей из истинно обобщенной симметрии,-— это
вектор Рунге — Ленца для задачи Кеплера. Новые дополни-
тельные приложения, включая солитонные уравнения и теорию
упругости, пробудили обновленный интерес к общему варианту
теоремы Нётер. В § 5.3 мы доказываем усиленную форму теоре-
мы Нётер, утверждающую, что для «нормальных» систем на
самом деле имеется взаимно однозначное соответствие между
группами нетривиальных вариационных симметрий и нетриви-
альными законами сохранения1). Условию нормальности удов-
летворяет большинство физически важных систем дифференци-
альных уравнений; анормальные системы — это в сущности си-
стемы с нетривиальными условиями интегрируемости. Важный
класс анормальных систем, возникающих в общей теории от-
носительности, — это класс систем, вариационные интегралы
’) См. также теорему 15 в приложении I. — Прим. ред.
14
Введение
которых допускают бесконечномерную группу симметрий, за-
висящую от произвольной функции. Вторая теорема Нётер пока-
зывает, что тогда имеется нетривиальное соотношение между
соответствующими уравнениями Эйлера—Лагранжа и, следова-
тельно, имеются нетривиальные симметрии, приводящие только к
тривиальным законам сохранения. Найденные законы сохране-
ния имеют много важных приложений, как физических, так и
математических, включая теоремы существования, ударные вол-
ны, теорию рассеяния, устойчивость, теорию относительности, ме-
ханику жидкости, теорию упругости и т. д. См. замечания в
конце гл. 4, где приведен более широкий список, а также имеют-
ся ссылки на литературу.
Недавно было обнаружено, что забытые в течение многих
лет, последовавших за провидческой работой Нётер, обобщенные
симметрии важны в изучении нелинейных уравнений с частными
производными, которые, как, например, уравнение Кортевега—
де Фриза, можно рассматривать как вполне интегрируемые
системы. Существование бесконечного множества обобщенных
симметрий (их можно находить, используя операторы ре-
курсии из § 5.2) оказывается тесно связанным с возможностью
линеаризации системы, либо непосредственно с помощью неко-
торой замены переменных, либо развитым в последние десяти-
летия методом обратной задачи рассеяния. Таким образом,
основанный на обобщенных симметриях подход, поддающийся
прямому вычислению, как и в случае обычных симметрий, до-
ставляет систематические средства распознавания этих заме-
чательных уравнений и, следовательно, построения бесконечного
набора законов сохранения для них *). (Построение соответствую-
щей задачи рассеяния требует других методов, таких, как мето-
ды продолжения из книги Wahlquist, Estabrook [1].)
Некоторые приложения методов групп симметрий к уравне-
ниям с частными производными наиболее естественным образом
осуществляются с помощью гамильтоновой структуры некото-
рого вида. Конечномерная формулировка гамильтоновых си-
стем обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо из-
вестна. Однако, имея в виду более современную теорию га-
мильтоновых систем эволюционных уравнений, нам следует при-
нять новый подход ко всему предмету гамильтоновой механики.
Мы не будем здесь придавать особое значение использованию
канонических координат (координаты р и q в классической ме-
ханике), а вместо этого сосредоточимся на понятии скобки Пу-
ассона как на краеугольном камне этого предмета. В резуль-
тате возникает более общее понятие пуассоновой структуры.
*) См. также: Михайлов, Шабат, Ямилов [1 **]. — Прим. ред.
Введение
15
Оно уже поддается распространению на бесконечномерную те-
орию гамильтоновых систем эволюционных уравнений. Важный
частный случай пуассоновой структуры — структура Ли — Пу-
ассона на алгебре, двойственной к алгебре Ли, изначально от-
крытая Ли и с большим эффектом использованная позднее в
геометрическом квантовании, теории представлений, механи-
ке жидкости и плазмы. При этом общем подходе к гамильтоно-
вой механике законы сохранения могут возникать не только из
свойств симметрии системы, но также из вырожденности самой
скобки Пуассона. В конечномерной ситуации каждая однопара-
метрическая гамильтонова группа симметрий позволяет нам
понизить порядок системы на две единицы. В современной
формулировке возможная степень редукции для многопара-
метрических групп симметрий дается общей теорией Марсдена
и Вейнстейна, основанной на понятии отображения момента в
алгебру, двойственную к алгебре Ли симметрий. В более совре-
менных работах проявляется большой интерес к системам диф-
ференциальных уравнений, обладающим не только одной, а дву-
мя различными (но согласованными) гамильтоновыми струк-
турами. Для таких «бигамильтоновых систем» имеются прямые
рекурсивные средства построения бесконечной иерархии взаимно
коммутирующих потоков (симметрий) и соответствующих за-
конов сохранения, указывающей на полную интегрируемость
такой системы. Большинство солитонных уравнений, а также
некоторые бесконечномерные вполне интегрируемые гамильто-
новы системы являются на самом деле бигамильтоновыми.
Предмет, лежащий в основе большей части теории обоб-
щенных симметрий, законов сохранения и гамильтоновых
структур для эволюционных уравнений, известен как «фор-
мальное вариационное исчисление» и представляет собой исчис-
ление, специально изобретенное для ответа на широкий круг
вопросов, относящихся к сложным алгебраическим тождествам
между такими объектами, как оператор Эйлера из вариацион-
ного исчисления, обобщенные симметрии, полные производные
и более общие дифференциальные операторы и различные обоб-
щения понятия дифференциальной формы. Основной результат
формального вариационного исчисления — локальная точность
некоторого комплекса, называемого вариационным комплексом
и являющегося в некотором смысле подходящим обобщением
(в вариационном контексте или в контексте пространства струй)
комплекса де Рама из алгебраической топологии. В последние
годы этот вариационный комплекс, как стало видно, играет
все более важную роль в развитии алгебраической и геометри-
ческой теории вариационного исчисления. В приложения ва-
риационного комплекса включаются:
16
Введение
(1) решение «обратной задачи вариационного исчисления»,
состоящей в характеризации тех систем дифференциальных
уравнений, которые являются уравнениями Эйлера — Лагранжа
некоторой вариационной задачи;
(2) характеризация «нулевых лагранжианов», т. е. тех ва-
риационных интегралов, выражения Эйлера — Лагранжа кото-
рых тождественно обращаются в нуль как полные диверген-
ции;
(3) характеризация тривиальных законов сохранения, кото-
рые также называют нулевыми дивергенциями.
Каждый из этих результатов жизненно важен для развития на-
ших приложений теории групп Ли к изучению законов сохране-
ния и гамильтоновых структур для эволюционных уравнений
и может рассматриваться как частный случай точности всего
вариационного комплекса. § 5.4 посвящен полному изложению
общего доказательства точности и приложению его к этим трем
интересующим нас частным случаям.
Хотя эта книга охватывает широкий круг различных прило-
жений теории групп Ли к дифференциальным уравнениям, не-
сколько важных тем мы все же вынуждены были опустить. Наи-
более значительный среди этих пробелов — связь между груп-
пами Ли и разделением переменных. Имеются две причины
опустить этот вопрос. Во-первых, существует прекрасное исчер-
пывающее изложение Miller [3], уже доступное; во-вторых,
кроме специальных классов уравнений с частными производ-
ными (таких, как уравнения Гамильтона — Якоби и уравнения
Гельмгольца) точные связи между симметриями и разделением
переменных к настоящему моменту не поняты как следует. Это
особенно справедливо для случая систем линейных уравнений
и для случая вполне нелинейного разделения переменных; ни
в одном из этих случаев нет даже хорошего определения того,
что же влечет за собой на самом деле разделение переменных,
не говоря уже о том, как использовать свойства симметрии
системы, чтобы указать те системы координат, в которых воз-
можно разделение переменных. Я не пытался также охватить
ни одну из обширных областей теории представлений и соответ-
ствующих приложений к теории специальных функций; см.
Miller [1] или Виленкин [1]. Теория бифуркаций — другая
плодородная почва для теоретико-групповых приложений; я от-
сылаю читателя к записям лекций Sattinger [1] и приведенной
там библиографии. Приложения групп симметрий к числен-
ному анализу широко представлены в работе Шокина [1]. Рас-
пространение настоящих методов на задачу С заданными гра-
ничными условиями для уравнений с частными производными
можно найти в книгах Bluman, Cole [1] и Seshadri, Na [1],
Введение 17
а для задач со свободной границей — в работе Benjamin, Olver
[1]. Хотя я широко представил обобщенные симметрии в гл. 5,
связанное с ними понятие контактных преобразований, введенное
Ли, осталось неохваченным, поскольку оно редко применяется
для уравнений, возникающих в приложениях, и по большей
части может быть включено в представленную здесь общую тео-
рию; см. Anderson, Ibragimov [1] и имеющиеся там ссылки1).
Наконец, нам следовало бы упомянуть об использовании мето-
дов теории групп Ли в изучении дифференциальных уравнений,
возникающих в геометрии, включая, например, движения на ри-
мановых многообразиях (ср. Ибрагимов [1]) или симметриче-
ские пространства и соответствующие им инвариантные диффе-
ренциальные операторы (см. Helgason [1], [2]).
') См. также: Михайлов, Шабат, Ямилов [1 **], [2 **].—Прим. ред.
Указания читателю
Основополагающий принцип в организации материала этой
книги — дать возможность читателю, главная цель которого —
применять методы теории групп Ли к конкретным задачам, изу-
чить основные вычислительные средства так быстро, как только
возможно, с минимумом теории. В то же время вычислительные
приложения базируются на прочном теоретическом фундаменте,
так что читатель, более склонный к математике, может легко
углубляться далее в этот предмет *). Каждая глава (кроме пер-
вой) устроена так, что приложения и примеры появляются так
быстро, как только возможно, а теоретические доказательства
и разъяснения откладываются на конец главы. Даже если чи-
татель преследует более теоретические цели, я все же настоя-
тельно рекомендовал бы ему изучить вычислительные средства
и примеры, прежде чем приступить к более теоретическим во-
просам. Давно известно, что гораздо легче абстрагировать об-
щую математическую теорию из одного удачно подобранного
примера, чем применить имеющуюся абстрактную теорию
к конкретному примеру. И здесь, я думаю, именно такой
случай.
Читателю, интересующемуся главным образом приложе-
ниями, я бы рекомендовал следующую стратегию чтения этой
книги. Главный вопрос состоит в том, какую часть вводной тео-
рии многообразий, векторных полей, групп Ли и алгебр Ли
(они для удобства собраны вместе в гл. 1 и § 2.1) действительно
нужно освоить, прежде чем оказаться в состоянии приступить
к приложениям к дифференциальным уравнениям, которые на-
чинаются с § 2.2. Ответ — на самом деле удивительно малую.
Многообразия можно, по большей части, представлять себе
локально как открытые подмножества евклидова пространства
R", в которых имеется соответствующая свобода в выборе коор-
динат. Группы геометрических симметрий будут просто совокуп-
ностями преобразований таких подмножеств, в которых выпол-
няются простые аксиомы группы, позволяющие нам брать по-
следовательные композиции симметрий, обратные и т. д. Клю-
чевое понятие на этом этапе — инфинитезимальная образую-
') Математически искушенному читателю я рекомендую обратить вни-
мание иа недавно опубликованную книгу Винберг, Онищик [1 **]. — Прим,
ред.
Указания читателю
19
щая группы симметрий. Это векторное поле (вида, уже извест-
ного из векторного исчисления или механики жидкости) на
соответствующем многообразии или подмножестве пространства
R", поток которого совпадает с однопараметрической группой,
им порожденной. Можно представлять себе, что вся группа
симметрий порождается таким же способом композициями ба-
зисных потоков ее инфинитезимальных образующих. Таким
образом, главное, что требуется усвоить из гл. 1, — это основ-
ные обозначения для векторных полей и потоков и соответствие
между ними. Другой ключевой результат — инфинитезимальный
критерий инвариантности системы алгебраических уравнений
относительно такой группы преобразования, выраженный в тео-
реме 2.8. С этими двумя инструментами можно прямо погру-
жаться в материал, относящийся к дифференциальным уравне-
ниям, начиная с § 2.2 и возвращаясь к дальнейшим результатам
по группам Ли или многообразиям по мере необходимости.
Обобщение критерия инфинитезимальной инвариантности на
системы дифференциальных уравнений основано на важной
технике продолжения групповых преобразований, необходимой,
чтобы включить не только независимые и зависимые перемен-
ные, присутствующие в системе, но и производные от зависи-
мых переменных. Легче всего это осуществляется геометриче-
ским путем посредством введения пространств, координаты ко-
торых представляют эти производные—пространства струй
§ 2.3. Ключевая формула для вычисления групп симметрий
дифференциальных уравнений — это формула продолжения для
инфинитезимальных образующих из теоремы 2.36. Вооружив-
шись этой формулой (или хотя бы ее частными случаями, имею-
щимися в следующем за теоремой примере) и соответствую-
щим критерием инфинитезимальной инвариантности, легко вы-
числить группы симметрий почти любой системы обыкновенных
дифференциальных уравнений или уравнений с частными про-
изводными, которая может возникнуть. Несколько примеров,
иллюстрирующих требуемые вычислительные средства, пред-
ставлено в § 2.4; советуем читателю приложить руки еще
к каким-нибудь дополнительным примерам — либо из упражне-
ний в конце гл. 2, либо к какой-нибудь системе дифференциаль-
ных уравнений по своему выбору.
В этом месте имеется несколько возможностей двигаться
дальше. Для тех, кто интересуется обыкновенными дифферен-
циальными уравнениями, в § 2.5 приведено подробное изложе-
ние основного метода Ли интегрирования этих уравнений с по-
мощью групп симметрий1). См. также § 4.2 и 6.3, где рассмат-
') См. прим. ред. иа стр. 12. — Прим. ред.
20
Указания читателю
ривается случай обыкновенных дифференциальных уравнений с
вариационной структурой некоторого вида либо в лагранжевой,
либо в гамильтоновой форме. Те, кого интересует нахожде-
ние точных инвариантных относительно группы решений урав-
нений с частными производными, могут прямо перейти к гл. 3.
В § 3.1 излагается основной метод вычисления этих решений
с помощью редукции, а в § 3.2 он иллюстрируется несколькими
примерами. Третий параграф этой главы относится к задаче
классификации таких решений и требует несколько более тон-
ких результатов по алгебрам Ли из § 1.4. Два последних пара-
графа гл. 3 посвящены теории, лежащей в основе метода ре-
дукции. Для приложений знакомства с ними не требуется;
впрочем, в § 3.4 проводится обсуждение важной Пи-теоремы из
теории размерности.
Читатель, главная цель которого — вывод законов сохране-
ния с помощью теоремы Нётер, может прямо перейти от § 2.4
к гл. 4, посвященной «классической» форме этого результата.
В § 4.1 представлен краткий обзор необходимых наиболее важ-
ных понятий из вариационного исчисления. Предмет § 4.2 — вве-
дение группы симметрий и основной критерий инфинитези-
мальной инвариантности для вариационного интеграла, а также
процедура редукции, пригодная для обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, являющихся уравнениями Эйлера — Ла-
гранжа некоторой вариационной задачи. В третьем параграфе
вводится общее понятие закона сохранения. Изложение здесь
более новое; ведущая идея — соответствие между законами со-
хранения и их характеристиками; впрочем, технически сложное
доказательство теоремы 4.26 при первом чтении благополучно
может быть опущено. Доказательство теоремы Нётер стано-
вится более или менее прямым, если научиться обращаться
с законами сохранения в характеристической форме.
Начиная с гл. 5, требуется несколько более высокий мате-
матический уровень, хотя к большей части материала по обоб-
щенным симметриям и законам сохранения все еще можно
подходить с чисто вычислительной точки зрения, обходясь
лишь минимумом техники теории групп Ли. Наибольшие ал-
гебраические трудности следует отнести к § 5.4, где в полном
своем великолепии для истинного любителя боя быков разви-
вается вариационный комплекс. Между прочим, § 5.4 и гл. 7
о гамильтоновых структурах для эволюционных уравнений —
единственные разделы книги, где в сколько-нибудь значительной
степени используется материал § 1.5 о дифференциальных фор-
мах. Несмотря на кажущуюся сложность, доказательства в
§ 5.4 — существенное улучшение по сравнению с вариантами,
имеющимися в литературе.
Указания читателю
21
Глава 6 о конечномерных гамильтоновых системах, вообще
говоря, независима от большей части предыдущего материала
книги. Вплоть до метода редукции для однопараметрических
групп симметрий нужно не слишком много материала по теории
групп Ли. Однако теория редукции Марсдена — Вейнстейна для
многопараметрических групп симметрий требует некоторых бо-
лее тонких результатов теории алгебр Ли из § 1.4 и 3.3. Усвое-
ние гл. 7 очень сильно зависит от понимания подхода к га-
мильтоновой механике, основанного на скобке Пуассона и при-
нятого в гл. 6, и отчасти методов формального вариационного
исчисления § 5.4. Тем не менее в соответствующих вычислитель-
ных приложениях не так уж трудно добиться достаточного
умения.
Приведенные в конце каждой главы упражнения значи-
тельно различаются по уровню трудности. Некоторые из них
представляют собой довольно рутинные вычисления, основан-
ные на материале книги, но существенное число упражнений
является значительным расширением основного материала. Бо-
лее трудные упражнения отмечены звездочкой; одно или два,
отмеченные двумя звездочками, лучше рассматривать как ми-
ниатюрные исследовательские проекты. Некоторые из пред-
ставленных в упражнениях результатов являются новыми; в
других случаях я старался дать наиболее подходящие ссылки.
Ссылки выбирались скорее на основе прямого соответствия
формулировке задачи, чем на основе исторического приоритета.
В конце каждой главы имеется небольшое число замечаний,
в основном относящихся к историческим подробностям, и биб-
лиографические ссылки по поводу обсуждавшихся результатов.
Хотя я не могу надеяться соблюсти полную историческую точ-
ность, эти замечания представляют итог значительных усилий в
исследовании исторических корней этого предмета. Я старался
найти источники и дальнейшую историю многих важных собы-
тий в этой области. Несомненно, мои замечания отражают во
многом личные пристрастия. Но я надеюсь, что они могут со-
ставить основу для более серьезного исследования пленитель-
ной и временами причудливой истории этого предмета. Безус-
ловно, эта тема заслуживает внимания настоящих историков
математики. Хотя я, по большей части, перечислил работы, ко-
торые считаю значительными в историческом развитии этого
предмета, я, очевидно, был не в состоянии дать исчерпывающий
список всех соответствующих ссылок по причине многократного
дублирования, достигнутого в течение десятилетий. Я искренне
прошу прощения у тех авторов, работы которых играют значи-
тельную роль в этом развитии, но были нечаянно пропущены
в этих замечаниях.
1. Введение в теорию групп Ли
Грубо говоря, группа Ли — это группа, являющаяся также
многообразием. Конечно, чтобы придать смысл этому опреде-
лению, мы должны разъяснить оба эти понятия и то, как они
должны быть связаны. Группы возникают как алгебраическая
абстракция понятия симметрии; важный пример — группа вра-
щений плоскости или трехмерного пространства. А1ногообра-
зия — фундаментальные объекты дифференциальной геомет-
рии — обобщают известные понятия кривой и поверхности в
трехмерном пространстве. Вообще говоря, многообразие — это
пространство, которое локально выглядит как евклидово про-
странство, но глобально может быть совершенно непохожим
на него. Сочетание этих двух по внешнему виду в корне раз-
личных математических понятий соединяет и значительно рас-
ширяет и алгебраические методы теории групп, и анализ многих
переменных, использующийся в аналитической геометрии. Полу-
чающуюся в результате теорию, в частности мощную инфините-
зимальную технику, можно применять к широкому кругу физи-
ческих и математических задач.
Цель этой главы — относительно быстро и безболезненно
ввести читателя в теорию многообразий и групп Ли в том виде,
который позволит применить ее к дифференциальным уравне-
ниям. Никаких предварительных знаний ни из теории групп, ни
из дифференциальной геометрии не требуется, однако предпо-
лагается хорошее знакомство с основами математического ана-
лиза, включая теоремы о неявной и об обратной функциях. По
необходимости доказательства большинства «трудных» теорем
теории групп Ли будут опускаться; ссылки на литературу можно
найти в замечаниях в конце главы.
В этой главе я старался найти «золотую середину» между
картиной в локальных координатах, где многообразие выгля-
дит в точности как открытое подмножество некоторого евкли-
дова пространства, и более современным глобальным изложе-
нием теории. Каждый из этих подходов имеет свои особые при-
менения и преимущества, и было бы ошибкой чересчур пере-
оценивать тот или другой. Читатель, ориентирующийся на при-
ложения, может усомниться в том, что сюда нужно включать
1.1. Многообразия
23
глобальную структуру, поскольку большинство представленных
в нашей книге приложений этой теории относится к открытым
подмножествам евклидова пространства. Но достаточно ска-
зать, что геометрическая интуиция и понимание, которые дает
общее понятие многообразия, с лихвой вознаграждают относи-
тельно небольшие усилия, требующиеся для усвоения этого
определения. Однако если нам все же не удалось убедить чи-
тателя, он может заменять слово «многообразие» там, где оно
встречается, на «открытое подмножество евклидова простран-
ства», не очень теряя аромат этой теории и не слишком сужая
пределы ее применимости. При таком подходе можно ограни-
читься параграфами, относящимися к локальным группам Ли
(на самом деле именно этим путем сам Ли пришел к группам
Ли), и использовать локальные группы Ли как основные объ-
екты изучения.
В первом параграфе дается основное описание общего поня-
тия многообразия, во втором делается то же самое для групп
Ли, и локальных, и глобальных. Практически группы Ли возни-
кают как группы симметрий некоторого объекта, или, более
точно, как локальные группы преобразований, действующих на
некотором многообразии; в § 2 дается краткий обзор этого под-
хода. Наиболее важное понятие всей теории — понятие вектор-
ного поля, которое выступает как инфинитезимальная образую-
щая некоторой однопараметрической группы Ли преобразова-
ний. Это понятие является фундаментальным и для развития
теории групп Ли, и для приложений к дифференциальным урав-
нениям. Оно играет решающую роль в замене сложных нелиней-
ных условий симметрии некоторого объекта относительно группы
преобразований легко проверяемыми линейными условиями,
отражающими его инфинитезимальную симметрию относи-
тельно соответствующих векторных полей. Эта техника будет
глубоко исследована для систем алгебраических и дифферен-
циальных уравнений во второй главе. Понятие векторного поля
приводит затем к понятию алгебры Ли, которую можно пред-
ставлять себе как инфинитезимальную образующую самой груп-
пы Ли. Соответствующая теория развита в § 1.4. Последний
параграф этой главы дает краткое введение в дифференциаль-
ные формы и интегрирование на многообразиях.
1.1. МНОГООБРАЗИЯ
Почти везде в этой книге нас будут в основном интересовать
объекты (такие, как дифференциальные уравнения, группы
симметрий и т. д.), заданные на открытых подмножествах
евклидова пространства Rm. Основные геометрические черты
этих объектов не будут зависеть от того, какая система координат
24
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
использовалась для их определения. Поэтому очень важно осво-
бодиться от зависимости от конкретных локальных координат,
так чтобы наши объекты стали по существу «бескоординат-
ными». Точнее, если —открытое множество и ф: t/—>
-+-V, где V’cRm открыто, — произвольный диффеоморфизм
(т. е. ip — бесконечно дифференцируемое отображение и обрат-
ное к нему отображение также бесконечно дифференцируемо),
то объектам, определенным на U, будут соответствовать экви-
валентные объекты на V. Хотя явные формулы для объекта
на U и соответствующего ему объекта на V будут, вообще го-
воря, разными, существенные основные свойства останутся теми
же. Расставшись с зависимостью от координат, мы должны
сделать лишь маленький шаг, чтобы прийти к общему понятию
гладкого многообразия. С этой точки зрения многообразия до-
ставляют естественную среду для изучения объектов, не завися-
щих от координат.
Определение 1.1. т-мерное многообразие — это множество М
вместе со счетным набором подмножеств Ua cz Af, называемых
координатными картами, и взаимно однозначных функций
Ua-^Va, где Va — открытые связные подмножества простран-
ства Rm, называемых локальными координатными отображе-
ниями (или локальными координатами)1), которые обладают сле-
дующими свойствами:
(а) Координатные карты покрывают М:
UUa = M.
а
(Ь) Для пересечения любой пары координатных карт Ua П
композиция отображений (функция перехода)
Хе хДО^Хе^аПЦ,)
является гладкой (бесконечно дифференцируемой) функцией.
(с) Если xeR'p — разные точки множества М, то
существуют открытое подмножество W в Va, содержащее точку
%а(х), и открытое подмножество W в Vp содержащее точку %₽(х),
такие, что
z~imnz₽-im=0.
Координатные карты %а: снабжают многообразие М
структурой топологического пространства. А именно: мы тре-
буем, чтобы для всякого открытого подмножества W cz Va
множество 1 (ЦТ) было открытым подмножеством множе-
’) Их автор часто также называет координатными картами.— Прим,
перев.
1.1. Многообразия 25
ства М. Эти множества образуют базис топологии на М, так что
множество U czM открыто, если и только если для любого хе U
найдется окрестность точки х указанного выше вида, содержа-
щаяся в [/; таким образом, х е 1 (№) cz U, где Ua-*~Va—
координатная карта, содержащая х, a W— открытое подмноже-
ство множества Va- В этой топологии требование (с) из опре-
деления многообразия — это в точности переформулировка ак-
сиомы отделимости Хаусдорфа: если х=#х — точки многообра-
зия М, то существуют открытое множество U, содержащее х,
Рис. 1. Координатные карты на многообразии.
и открытое множество О, содержащее х, такие, что U П О = 0.
В гл. 3 у нас будет случай опустить это свойство и рассмотреть
нехаусдорфовы многообразия. Многие результаты из других
глав остаются справедливыми в этом более общем контексте,
однако, поскольку это приводит к некоторым техническим
сложностям, мы будем работать исключительно с хаусдорфо-
выми многообразиями всюду, кроме соответствующих парагра-
фов гл. 3.
Степень дифференцируемости функций перехода
определяет степень гладкости многообразия М. Мы будем в
основном интересоваться гладкими многообразиями, для кото-
рых функции перехода Хр°Ха'1 являются гладкими, т. е. функ-
циями класса С°°, диффеоморфизмами открытых подмножеств
из Rm. Если мы требуем, чтобы ХрОХЙ1 были вещественными
аналитическими функциями, то М называется аналитическим
многообразием. Большинство классических примеров многооб-
разий являются на самом деле аналитическими Мы можем
26
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
поступить иначе, ослабив требования дифференцируемости, и
рассматривать (^-многообразия, для которых требуется, чтобы
функции перехода имели непрерывные производные только до
порядка k включительно. Многие наши результаты справедливы
и при этих ослабленных требованиях дифференцируемости, од-
нако, чтобы не следить на каждом шагу за тем, сколько именно
нам нужно непрерывных производных, мы просто придержи-
ваемся случая гладких или иногда аналитических многообразий.
Ослабить предположения о дифференцируемости мы предостав-
ляем заинтересованному читателю. Мы начнем с того, что про-
иллюстрируем общее определение многообразия несколькими
элементарными примерами.
Пример 1.2. Простейшее m-мерное многообразие — это само
евклидово пространство Rm. Единственной координатной картой
будет U = Rm, а локальным координатным отображением —
тождественное отображение % = 1: Rm -* Rm. Более общо, вся-
кое открытое подмножество 0 с Rm является m-мерным много-
образием с единственной координатной картой — самим множе-
ством U — и тождественным локальным координатным отобра-
жением. Обратно, если М — произвольное многообразие с един-
ственной глобальной координатной картой %: Л1—>VcRm, мы
можем отождествить М с его образом — открытым подмноже-
ством V cz Rm.
Пример 1.3. Единичная сфера
32 = {(х, у, z): х2 + y2 + z2=l}
— хороший пример нетривиального двумерного многообразия,
реализованного поверхностью в R3. Пусть
ц = х2\{(0, 0, 1)}, t/2=S2\{(0, О, -1)}
— подмножества, полученные удалением северного и южного
полюсов соответственно. Пусть
[/a->R2M(*, У, 0)}, а=1, 2,
— стереографические проекции из соответствующих полюсов,
так что
Xi(х, у, 2) = (j_г, 7^77)> Хг(х, у, г) = (т+7» 1^7)•
Легко можно проверить, что на пересечении U\ f] U2 отобра-
жение
R2 \ {0}-► R2 \ {0}
1.1. Многообразия
27
является гладким диффеоморфизмом, заданным инверсией
Xi ° ХГ1 (х, у) = ( + ) •
Свойство отделимости Хаусдорфа легко следует из того, что
этим свойством обладает R3; поэтому S2 является гладким (на
самом деле аналитическим) двумерным многообразием. Еди-
ничная сфера-—частный случай общего понятия поверхности
в R3, который исторически доставил главный мотивирующий
пример для развития общей теории многообразий.
Пример 1.4. Более легкий пример — единичная окружность
S’ = ((x, у): х2 + у2=1},
которая аналогично оказывается одномерным многообразием
с двумя координатными картами. Можно поступить иначе,
а именно отождествить точку из 51 с ее угловой координатой 0,
где (х, у) — (cos 0, sin 0), причем два угла отождествляются,
если они отличаются на целое кратное 2л.
Декартово произведение
7,2 = SI XS1
окружности S1 на себя является двумерным многообразием, на-
зываемым тором. Его можно представлять себе как поверхность
замкнутой трубки. (См. пример 1.6.) Точки на Т2 задаются
парами (0, р) угловых координат, причем две пары отожде-
ствляются, если они отличаются на целые кратные 2л. Иными
словами, (0, р) и (0, р) описывают одну и ту же точку на Т2,
если и только если
0 — 0 = 2йл, р — р = 2/л
для некоторых целых k, I. Таким образом, тор Т2 можно по-
крыть двумя координатными картами
Ц = {(0, р): 0 < 0 < 2л, 0 < р < 2л},
U2 ~ {(0, р): л < 0 < Зл, л < р < Зл}
с функцией перехода
г (0, Р). л < С 2л, л <Р- < 2л,
х^хгЧе, р)=« (0 — 2л, р), 2л < СО с С Зл, л < ср< Z 2л,
(0, р — 2л), л < ; 2л, 2л < :р< С Зл,
- (0 — 2л, р — 2л), 2л < С Зл, 2л < ср< : Зл
на пересечении П U2, которое является множеством всех
(0, р), таких, что ни 0 ни р не являются целыми кратными л.
28
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Более общо, m-мерный тор задается m-кратным декартовым
произведением Тт = S1 X • • • X S1 окружности S1 на себя.
Вообще говоря, если М и N — гладкие многообразия раз-
мерностей тип соответственно, то их декартово произведение
M%N, как легко видеть, будет гладким (m + n)-мерным мно-
гообразием. Если %а: Ua-^-Vac:^m и V₽ cz Rn — коор-
динатные карты на М и N соответственно, то их декартовы
произведения
ХаХйр: t/aXt/₽->VaXV₽<=RmXR"^Rm+n
доставляют координатные карты на М X N. Проверка требо-
ваний определения 1.1 для M\N предоставляется читателю.
Замена координат
К основным координатным картам х«: Ua Va из опреде-
ления многообразия М всегда можно добавить много дополни-
тельных координатных карт %: U^-V cRm, подчиняющихся
требованию согласованности с данными картами. Это означает,
что для любого а отображение х°Х„1 является гладким на под-
множестве ха(ИП Па). Таким образом, ограничение данного
множества локальных координат Ха из меньшую карту 0ас^
cz Ua также определяет подходящую координатную карту. До-
полнительная возможность состоит во взятии композиции дан-
ного локального координатного отображения %а: Ua~+Va с про-
извольным диффеоморфизмом ф: пространства Rm. Та-
кой диффеоморфизм дает нам замену координат. Поскольку
оба отображения %а и ф °‘Ха— одинаково подходящие локальные
координаты на карте Ua, никакое свойство многообразия М
или объекта, определенного на М, не должно зависеть от вы-
бора локальных координат. (Конечно, явные формулы для дан-
ного объекта могут меняться при переходе от одной карты
к другой, однако внутренняя характеристика объекта остается
бескоординатной.) Если мы предпочитаем определить некото-
рый объект на многообразии, задавая его формулами в данной
координатной карте, то должны проверить, что это определение
на самом деле не зависит от используемых координат. Это
требует исследования того, как ведет себя объект при заменах
координат. Поскольку легче всего проводить вычисления в
локальных координатах, часто выбор специальной координатной
карты, в которой интересующий нас объект принимает особенно
простой вид, позволяет нам значительно упростить многие из
таких вычислений. Полезность этой основной техники станет
яснее в дальнейшем.
1.1. Многообразия
29
Часто набор координатных карт расширяют так, чтобы
включить все карты, согласованные с данными. Полученный
набор, называемый максимальным набором карт или атласом
на М, по-прежнему обладает основными свойствами (а), (Ь),
(с) определения 1.1 (но, конечно, уже не будет счетным!). Лег-
кие детали доказательства того, что две карты, согласованные
с данными, согласованы между собой, мы оставляем читателю.
Обычно, говоря о локальных координатах на многообразии,
мы будем обходиться без точного указания отображения Ха,
определяющего локальную координатную карту, и говорить
так, как будто выражения локальных координат совпадают
с соответствующими точками на самом многообразии. Таким
образом, «пусть х = (х1, хт) — локальные координаты на
М» более точно означает существование локального коорди-
натного отображения Ха: где UaczM открыто, Vacz
cz Rm открыто, такого, что всякая точка р ей Ua имеет локаль-
ные координаты х = %а (р). Поскольку отображение взаимно
однозначно, мы, очевидно, можем отождествить точку р с ее
выражением в локальных координатах х. В силу условия со-
гласованности мы знаем, что у— (у1, , ут) — тоже локальные
координаты тогда и только тогда, когда на пересечении двух
координатных карт существует диффеоморфизм у = ф(х), опре-
деленный на некотором открытом подмножестве пространства
Rm, связывающий эти две координаты. Например, в случае
окружности S1 угол —л < 0 = arctg(y/x)< п является локаль-
ной координатой на S’\{(—1, 0)}. Отношение р = у/х является
локальной координатой на S1 П {х>0}. На пересечении замена
координат дается формулой р = tg 0. Это диффеоморфизм ин-
тервала (—л/2, л/2) на R.
Отображения многообразий
Пусть М и N — гладкие многообразия. Отображение F: М-+
-+N называется гладким, если его выражение в локальных ко-
ординатах является гладким отображением в каждой коорди-
натной карте. Иными словами, для каждой координатной кар-
ты Ua->Vac:Rm на М и каждой карты Хр= С^р-^ГрсК"
на N отображение
Хр^ох-*:
является гладким в своей области определения (т. е. на множе-
стве Ха [^аП F~l (^р)] )• Иными словами, гладкое отображение
имеет вид y = F(x), где F — гладкая функция на открытых
подмножествах, дающих локальные координаты х на М и у
на N.
30
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Пример 1.5. Простой пример — отображение f: R->S’,
f(f) = (cosf, sinf). В угловых координатах 0 на S1 функция f
является линейной: 0 = t mod 2л и поэтому, очевидно, будет
гладкой.
Пример 1.6. В качестве менее тривиального примера мы по-
кажем, как можно гладко отобразить тор Т2 в R3. Определим
отображение F: Т2—>R3 формулой
^(8. P) = ((V2 + cos р) cos 0, (д/2 + cos р) sin 0, sinp).
Тогда ясно, что отображение F является гладким по 0 и р и
взаимно однозначным. Его образ — вложенный тор в R3, задан-
ный единственным уравнением
х2 + у2 + z2 + 1 = 2 V2(x2 + y2).
Таким образом, тор Т2 может быть реализован как поверхность
в R3. Локальные координаты (0, р) на Т2 служат параметриза-
цией его образа в R3.
Условие максимальности ранга
Определение 1.7. Пусть F: M-+N— гладкое отображение
m-мерного многообразия М в п-мерное многообразие N. Ранг
отображения F в точке х^М— это ранг матрицы Якоби (раз-
мера п\т) (dFi/dxi) в точке х, где y=F(x)— запись отобра-
жения F в произвольных подходящих локальных координатах
вблизи точки х. Отображение F является отображением макси-
мального ранга на подмножестве S cz М, если для всякого
a eS ранг отображения F наибольший возможный (т. е. мини-
мум из т и п).
Читатель легко может проверить, что определение ранга
отображения F в точке х не зависит от выбора локальных ко-
ординат на М или на N. Например, ранг отображения Е(х, у) =
= ху на R2 равен 1 во всех точках, кроме начала координат
(0,0), поскольку матрица Якоби (Fx, Fy) = (у, х) ненулевая при
всех х, у, кроме х = у = 0. (Здесь и в других местах нижний
индекс означает производную, так что Fx = dF/dx и т. д.)
Теорема 1.8. Пусть отображение F: M-+N имеет максималь-
ный ранг в точке Хо е М. Тогда существуют локальные коор-
динаты х = (х1, ..., хт) вблизи точки х0 и у = (у1....уп)
вблизи точки уо = F (хо), такие, что в этих координатах отобра-
1.1. Многообразия
31
жение F имеет простой вид
у = (х1...............хт, 0.....0), если п>т,
или
у = (х1, .х"), если п^т.
Эта теорема легко следует из теоремы о неявной функции
см. Boothby [1, теорема II. 7.1] *), где приводится доказательство.
Это первая иллюстрация нашего утверждения, что удачным вы-
бором локальных координат можно значительно упрощать объ-
екты (в этом случае функции) на многообразии.
Подмногообразия
Приведенные примеры поверхностей в R3 — сфера и тор —
частные случаи общего понятия подмногообразия. Интуитив-
но, для данного гладкого многообразия М подмногообразие
NcM— это подмножество, само являющееся гладким много-
образием. Однако это предварительное определение можно ин-
терпретировать несколькими совершенно различными способами,
так что нам нужно быть аккуратнее. Имеется также несколько
способов описания подмногообразий: либо неявно — как множе-
ства нулей некоторых гладких функций (как это было в случае
сферы), либо параметрически — с помощью некоторой локаль-
ной параметризации (как это мы сначала делали с тором). Оба
метода чрезвычайно полезны; мы начинаем с последнего из них,
который приводит к более общему понятию подмногообразий.
Определение 1.9. Пусть М — гладкое многообразие. Подмно-
гообразие многообразия М — это подмножество NcM вместе
с гладким взаимно однозначным отображением <р: Н -> N cz М,
всюду удовлетворяющим условию максимальности ранга, где
пространство параметров R — некоторое другое многообразие
и N = —образ отображения <р. В частности, размерность
N совпадает с размерностью Я и не превышает размерности
многообразия М.
Отображение <р часто называют погружением или иммерсией.
Оно служит для определения параметризации подмногообра-
зия N. Такие подмногообразия часто называют иммерсирован-
ными подмногообразиями, чтобы подчеркнуть отличие этого
определения от других понятий подмногообразия. В этой книге
под подмногообразием без уточнений всегда понимается иммер-
сированное подмногообразие в смысле приведенного определе-
') А также, например, книгу У. Рудииа «Основы математического ана-
лиза» (М.: Мир, 1966). — Прим, перев
32
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
ния. Условие максимальности ранга нужно, чтобы гарантировать
отсутствие у многообразия А особенностей. Например, функ-
ция q>(t) = (t2, t3) является гладким отображением из R
в R2, но ее образ — это кривая у2 х3, имеющая точку возврата
в (0,0). Матрица Якобиф = 3t2) имеет немаксимальный
ранг в точке t = 0, что указывает на появление особенности
в образе функции <р.
Следующая серия примеров продемонстрирует, какими мо-
гут быть так определяемые подмногообразия. Как увидит чи-
татель, хотя условие максимальности ранга запрещает появле-
ние таких особенностей, как точки возврата, подмногообразия
общего вида могут все же проявлять довольно причудливые
свойства.
Пример 1.10. Во всех этих примерах подмногообразий
пространство параметров N = R — вещественная прямая, а
<р: R -* М — параметризация одномерного подмногообразия
А = <p(R) некоторого многообразия М.
(а) Пусть М = R3. Тогда
Ф (/) = (cos t, sin £, t)
определяет круговую спираль, закручивающуюся вокруг оси z.
Здесь, очевидно, отображение ф взаимно однозначно и ф =
— (—sin/, cos/, 1) никогда не обращается в нуль, так что
условие максимальности ранга выполняется.
(Ь) Пусть М = R2 и
Ф (/) — ((1 + cos /, (1 + е_/) sin /).
Тогда при /-э-оо подмногообразие N накручивается на еди-
ничную окружность х2 + у2 = 1. Аналогично, ф(/)==
= (e~fcos/, е~* sin /) определяет логарифмическую спираль, за-
кручивающуюся в начале координат.
(с) Пусть снова М — R2. Рассмотрим отображение
ф (/) = (sin /, 2 sin (2/)).
Тогда отображение ф параметризует «восьмерку», являющуюся
кривой с самопересечением, а именно ф(/) = (0, 0), если / есть
целое кратное л. Слегка модифицируя это отображение, напри-
мер, взяв
Ф (/) = (sin (2 arctg /), 2 sin (4 arctg /)),
мы можем устроить взаимно однозначную параметризацию, и
кривая пройдет через начало координат только однажды. Усло-
вие максимальности ранга выполняется всюду. Образ отобра-
жения ф — снова «восьмерка», так что мы получили парамет-
ризацию подмногообразия с «кажущимся» самопересечением,
1.1. Многообразия
33
хотя иммерсия <р взаимно однозначна. Заметим, что эту же фи-
гуру можно параметризовать другим, неэквивалентным, спо-
собом:
Ф (0 = (~ sin (2 arctg t), 2 sin (4 arctg t)).
Образ ф тот же, но композиция qpo<jH: R->R не является не-
прерывным отображением!
Рис. 2. Примеры подмногообразий.
Этот пример показывает, что, вообще говоря, мы должны
указать не только подмножество N с М, но и иммерсию
<р: 2У->Л4, чтобы однозначно определить подмногообразие.
(d) Пусть М = Т2— двумерный тор с угловыми координа-
тами (9, р). Пусть q>: R Т2 — кривая <р (/) = (/, ы/), где со —
некоторое фиксированное вещественное число, а координаты бе-
рутся по модулю целого кратного 2л, как и раньше. Заметим,
что ф=(1,(о), так что условие максимальности ранга выпол-
няется. Если со = p/q — рациональное число, то отображение <р
не является взаимно однозначным; в самом деле, ср(< + 2лд) =
= <р(£), так что образ отображения <р — замкнутая кривая на
торе. Она может быть реализована как одномерное подмного-
образие, если взять N = S1 в качестве параметризующего
2 П. Олвер
34
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
многообразия и положить ф(0) = (^0, со<?0), 6 eS1 (если р и q не
имеют общих делителей). Если ы — иррациональное число, то
само отображение <р взаимно однозначно и его образ — кривая
Af = <p(R), — как нетрудно показать, является всюду плотным
подмногообразием тора Т2, замыкание которого есть весь тор.
(См. Boothby [1; р. 86], где приведены детали.) Аналогичный
пример можно построить в R3, взяв композицию отображения <р
и отображения F: T^-^-R3 из примера 1.6. Для иррациональ-
ного (О
Ф (0 = ((V2 + cos со/) cos t, (-yj2 cos co/) sin /, sin co/)
параметризует одномерное подмногообразие в R3, замыкание
которого является двумерной тороидальной поверхностью
х2 + у1 + z2 + 1 = 2 V2(x24-^).
Регулярные подмногообразия
Примеры 1.10(c) и 1.10(d), возможно, более патологичны,
чем объекты, которые хотелось бы рассматривать как подмно-
гообразия. Хотя, как мы увидим, имеются веские причины для
того, чтобы выбрать определение 1.9 в качестве общего опре-
деления подмногообразия, полезно все же выделить класс при-
меров так называемых регулярных подмногообразий, которые,
возможно, более точно соответствуют интуитивному понятию
подмногообразия.
Определение 1.11. Регулярное подмногообразие N многооб-
разия М — это подмногообразие, параметризованное отображе-
нием <р: обладающим следующим свойством: для любой
точки х из N существует как угодно малая ее окрестность U
в М, такая, что <р_ 1 [17 П 7V]—связное открытое подмножество
в N.
В примере 1.10 в пп. (а) и (Ь) приведены регулярные под-
многообразия, а в пп. (с) и (d) (при иррациональных со) —
нерегулярные. В случае (с) всякая окрестность точки (0,0)
будет содержать и кусок кривой, проходящей через (0, 0), и два
«конца» кривой, входящие в начало координат. Иными словами,
Ф-1 [17] состоит по меньшей мере из трех непересекающихся от-
крытых интервалов (—сю, a), (b,c), (d, +°о), где а < Ь <
< 0 <с < d. Аналогично, в случае (d), если со иррационально,
a U — произвольное открытое подмножество тора Т2, то ср-1 [17]
состоит из бесконечного числа непересекающихся открытых ин-
тервалов.
1.1. Многообразия 35
В качестве следствия теоремы о неявной функции 1.8 мы
получаем характеризацию регулярности в локальных коорди-
натах.
Лемма 1.12. п-мерное подмногообразие NcM регулярно,
если и только если для любого х0 е N существуют локальные
координаты х=(х1, ..., хт), определенные в некоторой окрест-
ности U точки х0, такие, что
N Q U = {х: xn+l = ... =xm = 0}.
Такая координатная карта называется плоской координатной
картой на М. Заметим, что ввиду этой леммы если N cz М —
регулярное подмногообразие, то мы можем обойтись без пара-
метризующего многообразия R и обращаться с N просто как
с многообразием. А именно: плоские локальные координаты
х = (х1, ..., хт) на U cz М индуцируют локальные координаты
х = (х*, ..., хп) на U П N. Поэтому параметризация заменяется
естественным включением N с=М.
Неявные подмногообразия
Вместо того чтобы определять поверхность S в R3 парамет-
рически, можно поступить иначе — определить ее неявно как
множество нулей гладкой функции:
S = {F(x, у, z) = Q}.
Если мы предполагаем, что градиент VF = (Fx, Fy, Fz) не обра-
щается в нуль на S, то по теореме о неявной функции в ка-
ждой точке (х0, уо, z0) на S мы можем выразить одну из пере-
менных х, у, z через две другие. Таким образом, если
Рг(х0, Уо, z0)#= 0, то существует окрестность Ua точки (х0, у0, z0),
в которой поверхность S представляет собой график z = f(x,y)
некоторой гладкой функции f, определенной на открытом под-
множестве <= R2. Это приводит нас к определению локальной
координатной карты на S с помощью проектирования вдоль
оси z; иными словами, мы полагаем Оа = S (] Ua и %а: Ua~> Va,
%а(х, у, z) = (x, у). Аналогичные построения можно выполнить,
если Fy или Fx отличны от нуля. Если (Ja задано формулой
z = f(x,y), так что (х, у, г) = (х, у), a t7p задано формулой
y = h(x,z), так что %й (х, у, z) = (х, z), то на пересечении
СаП^р
VXa‘(*. = У’ £/)) = (*» У))'
2
36
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Это отображение, очевидно, является гладким вместе с обрат-
ным %а°Хр1(^> z) = (x, h(x, z)). Таким образом, S — двумерное
подмногообразие пространства R3. Этот пример мотивирует об-
щее понятие неявно определенного подмногообразия.
Теорема 1.13. Пусть М — гладкое пг-мерное многообразие и
F-. М-+ R”, п т, — гладкое отображение. Если F имеет мак-
симальный ранг на подмножестве N= {х: F (х) — 0}, то N— регу-
лярное (пг — п)-мерное подмногообразие многообразия М.
Доказательство этой теоремы легко получается из теоремы
о неявной функции с помощью рассуждений, аналогичных тем,
что мы проводили для случая поверхностей в R3. В самом
деле, из теоремы 1.8 следует, что мы можем выбрать локальные
координаты х = (х1, ..., хт) на М вблизи каждой точки х0 е Л'
так, что F(x) = (xx, ..., х"). Таким образом, в этих координа-
тах N ={х1 — ... =х" = 0}, и поэтому х1, ..., хт представ-
ляют собой плоские локальные координаты для N вблизи точ-
ки х0. Более того, последние т — п координат (х"+1, ..., хт)
представляют собой локальные координаты на самом N. В част-
ности, это доказывает, что N является регулярным подмногооб-
разием. Особенно отметим, что мы не требуем, чтобы ранг ото-
бражения F был максимален всюду на М — это условие должно
выполняться лишь на подмножестве N, где F обращается в нуль.
Если же отображение F имеет максимальный ранг везде, то
всякое множество уровня {х: Е(х)=с} является регулярным
(пг — п)-мерным подмногообразием многообразия М.
Например, отображение F(x, у, z) = х2 у2 + z2—
— 2 V2 (х2 + у2) имеет максимальный ранг на R3 везде, кроме
оси z (где оно даже не гладкое) и окружности {х2 + у2 = 2,
z = 0}. Множества уровня {(х^у, z): F(x,y,z)= с} — торы при
—2 < с < V2 — 2. При c^V2 — 2 они выглядят как сферы
с выколотыми точками пересечения с осью z. При с = —2 мно-
жество уровня — окружность {х2 + у2 — 2, z — 0}, на которой
градиент функции F обращается в нуль. Этот пример показы-
вает важность обоих условий — дифференцируемости и макси-
мальности ранга — для справедливости теоремы.
Кривые и связность
Кривая С на гладком многообразии М параметризуется
гладким отображением <р: где I — подынтервал в R. В ло-
кальных координатах кривая С определяется т функциями х —
= ф(£) = (<р>(t), ..., <pm(0)- Заметим, что мы не требуем
взаимной однозначности отображения <р (так что кривая может
1.2. Группы Ли
37
иметь самопересечения) и максимальности ранга (так что кри-
вая может иметь особенности вроде точек возврата). Следова-
тельно, кривые — более общие объекты, чем одномерные под-
многообразия. Особенно вырожденная кривая получается, ко-
гда <р(£)=х0 для всех t и некоторого фиксированного х0, так
что С состоит из одной точки. Замкнутая кривая — это кривая,
у которой совпадают начальная и конечная точки: <р(а)= <р(6),
где I = [а, Ь] —замкнутый интервал.
Топологическое пространство связно, если оно не может быть
представлено как объединение двух непересекающихся откры-
тых множеств. Поскольку всякое многообразие локально вы-
глядит как евклидово пространство, нетрудно доказать, что вся-
кое связное многообразие линейно связно (это означает, что
для любой пары точек найдется гладкая кривая, которая их
соединяет). Для наших целей будет весьма полезно с самого
начала потребовать, чтобы все многообразия, которые мы рас-
сматриваем, были связны.
Общее предположение. Если специально не оговорено про-
тивное, все многообразия (подмногообразия и т. д.) предпола-
гаются связными.
Тем самым в формулировках наших результатов мы избе-
жим постоянного упоминания условия связности.
Многообразие М односвязно, если всякая замкнутая кривая
С с М может быть непрерывно продеформирована в точку. Это
эквивалентно существованию непрерывного отображения
Н: [0, 1] X [О, 1]-М,
такого, что H(t, O) = xo для всех 0 t 1, a H(t, 1), 0 t 1,
параметризует С. Например, R"1 односвязно, a R2X{0} неодно-
связно, поскольку нельзя непрерывно стянуть единичную окруж-
ность в точку, не проходя через начало координат. (С другой
стороны, Rm\{0) является односвязным при m ^3.) Если М —
произвольное многообразие, то существует односвязное накры-
вающее многообразие л: М->Л1, где накрывающее отображе-
ние л является отображением «на» и локальным диффеоморфиз-
мом. Например, односвязное накрытие окружности S1 — веще-
ственная прямая R с накрывающим отображением n(t) =
= (cos t, sin t), /е R.
1.2. ГРУППЫ ЛИ
На первый взгляд группа Ли выглядит каким-то неестествен-
ным сочетанием алгебраического понятия группы, с одной сторо-
ны, и дифференциально-геометрического понятия многообразия,
38
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
с другой стороны. Однако, как мы вскоре увидим, комбина-
ция алгебры и анализа приводит к мощной технике для изу-
чения симметрии, непригодной, скажем, для конечных групп1).
Мы начинаем с напоминания определения абстрактной группы.
Определение 1.14. Группа — это множество G вместе с груп-
повой операцией, обычно называемой умножением, такой, что
для любых двух элементов g и h из G их произведение g-h—
снова элемент из G. Требуется, чтобы групповая операция удов-
летворяла следующим аксиомам:
(1) Ассоциативность. Если g, h и k — элементы из G, то
g . (Д . k) = (g • h) • k.
(2) Единичный элемент. Существует выделенный элемент е
в G, называемый единичным элементом, который обладает
свойством
е-g = g-e — g
для всех g из G.
(3) Обратные. Для всякого g из G существует обратный,
обозначаемый g~\ обладающий свойством
g- g~l = e = g~' g.
Прежде чем перейти к группам Ли, мы обсудим несколько
элементарных примеров групп. Это приведет к некоторой идее
о тех чертах, которые отличают группы Ли от более общих
видов групп.
Пример 1.15. (а) Пусть G = Z— множество целых чисел
с групповой операцией сложения. Очевидно, что условие ассо-
циативности выполняется, единичный элемент — это 0, а «об-
ратным» к целому числу х является —х.
(Ь) Аналогично, G = R — множество вещественных чи-
сел— также является группой со сложением в качестве груп-
повой операции. Снова 0 — единичный элемент, а —х — обрат-
ное к действительному числу х. В обоих этих случаях групповая
операция коммутативна: g-h = h-g для g, h^ G. Такие группы
называются абелевыми-, они составляют лишь небольшой под-
класс всевозможных групп.
(с) Пусть G = GL(n, Q)—множество обратимых матриц
размера пХ« с рациональными элементами. Групповая опе-
рация — умножение матриц. Единичный элемент — это, конечно,
*) Доказательство тому, например, — недавняя полная классификация
простых конечных групп (Gorenstein [1]); соответствующая задача для
групп Ли была решена еще в прошлом веке,
1.2. Группы Ли
39
единичная матрица I, а обратной к матрице А будет обычная
обратная матрица, элементы которой снова рациональны.
(d) Аналогично, GL(n, R)—множество обратимых матриц
размера п X п с вещественными элементами — является группой
с операцией умножения матриц и такими же единицей и обрат-
ными, как в предыдущем примере. Для краткости мы обычно
будем обозначать общую линейную группу GL(n, R) просто
GL(n).
Отличительная черта группы Ли состоит в том, что она об-
ладает также структурой гладкого многообразия, так что эле-
менты группы можно непрерывно изменять. Таким образом,
в каждой паре приведенных примеров групп во втором случае
мы имеем группу Ли, поскольку она является также гладким
многообразием. Структура многообразия на R очевидна. Что
касается общей линейной группы, ее можно отождествить с от-
крытым подмножеством
GL(n) = {X: detX#=0)
пространства МПхП матриц размера п X п- Но МПхп изоморфно
пространству R"2 с координатами — элементами хц матрицы X.
Таким образом, GL(n) также является и2-мерным многообра-
зием. В обоих случаях групповая операция является гладкой
(на самом деле аналитической). Это приводит к общему опреде-
лению группы Ли.
Определение 1.16. r-параметрическая группа Ли — это группа
G, обладающая также структурой г-мерного гладкого многооб-
разия, причем и групповая операция
m: G X G + G, m(g, h) = g • h, g, h<=G,
и взятие обратного
i: G^G, i(g) = g~l, g^G,
являются гладкими отображениями многообразий.
Пример 1.17. Здесь мы обсудим два примера групп Ли,
кроме тех двух, что уже приведены.
(а) Пусть G = Rr с очевидной структурой многообразия, и
пусть групповая операция — сложение векторов (х, у)*—>х + у.
Обратный к вектору х—вектор —х. Обе операции, очевидно,
гладкие, так что Rr доставляет пример r-параметрической абе-
левой группы Ли.
40 Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
(Ь) Пусть G = SO(2)—группа вращений плоскости. Иными
словами,
f/cos0 —sin0\ 'I
G = 1 • n n : о<0<2л>,
(\ sin 0 cos 0 / J
где 6 обозначает угол поворота. Заметим, что мы можем ото-
ждествить G с единичной окружностью
S1 = {(cos 0, sin 0): 0 0 < 2л)
в R2, что позволяет определить на SO (2) структуру многооб-
разия. Если мы включим отражения, то получим ортогональ-
группу
О (2) = {X е GL (2): ХТХ = /}.
Она обладает структурой многообразия двух экземпляров S1.
(с) Более общо, мы можем рассмотреть группу ортогональ-
ных матриц размера
о (п) =={х е GL (п): Хт X = /}.
Таким образом, О(п)—подмножество в R"’, определенное п2
уравнениями
ХтХ-1 = 0
относительно элементов хц матрицы X. Можно показать, что
в точности п(п + 1)/2 из этих уравнений, соответствующих эле-
ментам матрицы, стоящим на ее диагонали и выше нее, незави-
симы и удовлетворяют условию максимальности ранга всюду
на О(и). Таким образом, по теореме 1.13 О(и) — регулярное
подмногообразие многообразия GL(n) размерности п(и—1)/2.
Более того, умножение матриц и операция взятия обратной
матрицы остаются гладкими при ограничении на О (и), следо-
вательно, О(п) сама по себе является группой Ли. Специальная
ортогональная группа
SO (и) = {X е О (и): detX = +1},
будучи связной компонентой единицы ортогональной группы,
также является п(п— 1)/2-параметрической группой Ли по тем
же причинам. (Вскоре будет предложено более простое дока-
зательство этих фактов.)
(d) Группа Т(п) верхних треугольных матриц с единицами
на главной диагонали является п(п—1)/2-параметрической
группой Ли. Как многообразие Т (и) можно отождествить с ев-
1.2. Группы Ли
41
клидовым пространством R"<"-1,/2j поскольку каждая матрица
единственным образом определяется своими элементами, лежа-
щими выше диагонали. Например, в случае Т (3) мы отождеств-
ляем матрицу
1 X z\
О 1 у р(3)
0 0 1/
с вектором (х, у, z) в R3. Однако, кроме частного случая Т(2),
группа Т(п) не изоморфна абелевой группе Ли R"(n-1>/2. в СЛу.
чае 7(3), если пользоваться указанным отождествлением, груп-
повая операция задается формулой
(х, у, z) • (х', /, Z) = (x + x', у + у', z+z' + ху').
Это не то же самое, что обычное сложение векторов — в частно-
сти, эта операция не коммутативна. Таким образом, фиксиро-
ванное многообразие может быть снабжено структурой группы
Ли более чем одним способом.
Гомоморфизм групп Ли — это гладкое отображение ф : G ->
одной группы Ли в другую, согласованное с групповыми
операциями:
4>(g-g) = 4>(g)-4>(g). g. g^G.
Если гомоморфизм ф имеет гладкий обратный, он определяет
изоморфизм между G и И. Практически мы не будем различать
изоморфные группы Ли. Например, группа Ли R+, состоящая
из всех положительных действительных чисел с обычным умно-
жением в качестве групповой операции, изоморфна аддитивной
группе Ли R. Изоморфизм осуществляет экспоненциальное ото-
бражение ф: R-»-R+, ф(/) = е*. Для всех практических целей
R и R+ — одна и та же группа Ли. (Фактически, с точностью
до изоморфизма, имеются всего две связные однопараметриче-
ские группы Ли: R и SO(2).)
Если G и Н суть г- и s-параметрические группы Ли, то их
декартово произведение GXH будет (г + s)-параметрической
группой Ли с групповой операцией
(g. h)-(g, h) = (g-g, h-h), g, g(=G, h, h(=H,
являющейся, как легко видеть, гладким отображением в струк-
туре декартова произведения многообразий. Таким образом, на-
пример, торы Тг являются группами Ли, будучи r-кратными де-
картовыми произведениями группы Ли S1 ^SO(2) на себя.
42
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Групповой закон на Т2, например, задается в угловых коорди-
натах (6, р) сложением по модулю целого кратного 2л:
(6, р) (0', р') = (0 + 0', р + р') mod 2л.
Заметим, что каждый тор Тг является связной компактной абе-
левой r-параметрической группой Ли и на самом деле, с точ-
ностью до диффеоморфизма, это единственная такая группа Ли.
Наше общее предположение о связности многообразий отно-
сится также и к рассматриваемым в этой книге группам Ли.
Таким образом, если явно не оговорено противное, все группы
Ли предполагаются связными. Например, ортогональные груп-
пы О(п) несвязны, тогда как специальные ортогональные труп*
пы SO(n)—связные группы Ли. Ограничивая наше внимание
связными группами Ли, мы сознательно исключаем из рассмот-
рения дискретные симметрии, такие, как отражения, и сосредо-
точиваемся на симметриях вроде поворотов, которые можно не-
прерывно соединить с единичным элементом группы. Конечно,
имеются важные приложения дискретных групп к дифферен-
циальным уравнениям, но они лежат вне круга проблем, рас-
сматриваемых в этой книге. (Говоря техническим языком, если
отбросить предположение о связности, то оба примера 1.15(a)
и 1.15(c) окажутся группами Ли, будучи несвязными нульмер-
ными многообразиями. Однако никакая инфинитезимальная
техника, присущая теории групп Ли, в этих случаях не примени-
ма, что оправдывает исключение их из рассмотрения.) Общая
линейная группа GL(n), как можно показать, состоит из двух
связных компонент GL+(n) = {X: detX > 0}, которая сама по
себе является группой Ли, и GL~(«)= {X:detX<0}. Более
общо, если G — произвольная (не обязательно связная) группа
Ли, то ее связная компонента единицы G+ всегда будет группой
Ли той же размерности, и мы всегда будем сосредоточивать
внимание на этой части группы G. Другие связные компоненты
группы G получаются из G+ с помощью дискретной подгруппы
элементов.
Подгруппы Ли
Часто группы Ли появляются как подгруппы некоторых
больших групп Ли; например, ортогональные группы являются
подгруппами общих линейных групп всех обратимых матриц.
Вообще говоря, нас будут интересовать только такие подгруппы
групп Ли, которые можно рассматривать как группы Ли. Точ-
ное определение подгруппы Ли формулируется по образцу оп-
ределения (иммерсированного) подмногообразия.
1.2. Группы Ли
43
Определение 1.18. Подгруппа Ли Н группы Ли G задается
подмногообразием <р: где Н само является группой Ли,
Н = у(П)—образ ф, а ф — гомоморфизм групп Ли.
Например, если со — произвольное вещественное число, то
подмногообразие
= {(/, at) mod 2л: / G К} с Т2,
как легко видеть, будет однопараметрической подгруппой Ли
тороидальной группы Т2. Если со рационально, то Ны изоморфна
группе окружности SO (2) и представляет собой замкнутую ре-
гулярную подгруппу в Т2. Если же со иррационально, то Ны изо-
морфна группе Ли R и всюду плотна в Т2. Таким образом, под-
группы Ли групп Ли не обязаны быть регулярными подмного-
образиями. Однако для многих приложений имеется один очень
простой способ проверки, является ли подгруппа регулярной
подгруппой Ли.
Теорема 1.19. Предположим, что G — группа Ли. Если Н —
замкнутая подгруппа группы G, то она — регулярное подмного-
образие в G и, следовательно, сама является группой Ли. Об-
ратно, всякая регулярная подгруппа Ли группы G замкнута.
Для того чтобы заключить, что Н — регулярная подгруппа
Ли, нам нужно лишь проверить, что она является подгруппой
группы G и замкнута как подмножество в G. Таким образом об-
ходится задача непосредственного доказательства того, что Н —
подмногообразие. В частности, если Н — подгруппа, заданная
условием обращения в нуль некоторого числа (непрерывных)
вещественнозначных функций
H = {g: Fl(g) = O, Z=l, .... п},
то она автоматически является подгруппой Ли группы G; нам
не нужно проверять условие максимальности ранга на F,! (Ко-
нечно, чтобы найти размерность И, нам нужно выяснить, сколь-
ко из функций Ft независимы.) Таким образом, например, ор-
тогональная группа О(п) является группой Ли, поскольку
задается п2 уравнениями
АТА = /, Л е GL (и).
Другой важный пример — специальная линейная группа
SL («)== SL (я, Е) = {Л ее GL(n): det А = 1),
являющаяся (п2—1)-мерной подгруппой, заданной условием
обращения в нуль одной функции det Л — 1.
44
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Локальные группы Ли
Нас часто интересует не вся группа Ли, а только элементы,
достаточно близкие к единичному. В этом случае мы можем
обойтись без абстрактной теории многообразий и определить
локальную группу Ли, используя только выражение групповых
операций в локальных координатах.
Определение 1.20. r-параметрическая локальная группа Ли
состоит из связных открытых подмножеств Vo cz V cz Rr, содер-
жащих начало координат 0, гладкого отображения
m: V X V -> Rr,
определяющего групповую операцию, и гладкого отображения
I: V0->V,
определяющего взятие обратного, которые обладают следующи-
ми свойствами.
(а) Ассоциативность. Если х, у, z е V и, кроме того, т(х, у)
и т (у, z) лежат в V, то
т(х, т(у, z)) = m(m(x, у), z).
(b) Единичный элемент. Для всех х из V т (0, х) — х —
= т(х, 0).
(с) Обратные. Для каждого х из Vo т(х, t(x))=0 —
= m(i(x), х).
Если мы напишем х-у вместо т(х, у) и х-1 вместо t(x), то
эти аксиомы превратятся в обычные аксиомы группы, за исклю-
чением того, что эти операции не обязательно определены
всюду. Таким образом, х-у имеет смысл лишь для х и у, доста-
точно близких к 0. Ассоциативность означает, что x-(y-z) =
= (х-у) -z, если обе части этого равенства определены. Единич-
ный элемент группы — начало координат 0. Наконец, х-1 снова
определен только для х, достаточно близких к 0, и для таких
х имеем х-х-1 = 0 = х-1 -х.
Пример 1.21. Здесь мы приводим нетривиальный пример
локальной (но не глобальной) однопараметрической группы Ли.
Пусть V = {х : |х| < l)cz R с групповым умножением
т (х, у) = , х, у <= V.
Непосредственным вычислением проверяются ассоциативность
этой операции и условие (Ь) определения 1.20. Обратное ото-
бражение i(x) = xjQx — 1) определено для хе р'о= {х :|х| <
1.2. Группы Ли
45
< 1/2}. Таким образом, т определяет локальную однопарамет-
рическую группу Ли.
Один простой способ строить локальные группы Ли состоит
в том, чтобы взять глобальную группу Ли G и рассмотреть ко-
ординатную карту, содержащую единичный элемент. Менее три-
виален тот факт, что (локально) каждая локальная группа Ли
получается таким образом. Иными словами, каждая локальная
группа Ли локально изоморфна окрестности единицы некоторой
глобальной группы Ли G.
Теорема 1.22. Пусть Vo cz V cz Rf — локальная группа Ли с
умножением т(х,у) и обратным i(x). Тогда существуют гло-
бальная группа Ли G и координатная карта V*, где U*
содержит единичный элемент, такие, что V* cz Vo, % (е) = 0 и
%(g h) = m(x(g), %(h))
при g,h^U* и
X (£“') = * (x(g))
при g е U*. Более того, существует единственная связная одно-
связная группа Ли G*, обладающая указанными свойствами.
Если G — другая такая группа Ли, то существует накрывающее
отображение л: G*->G, являющееся групповым изоморфизмом,
осуществляющее локальный изоморфизм между G* и G (G* на-
зывается односвязной накрывающей группой группы G).
Пример 1.23. Единственной связной односвязной однопара-
метрической группой Ли является R; таким образом, приведен-
ная в примере 1.21 локальная группа Ли должна совпадать с
некоторой координатной картой в R, содержащей 0. В самом
деле, если мы положим /: G*-> V* cz R, где
= = {/<!},
то легко видеть, что
xa+s)=m(x(o,
х (“0=1 (X (0)= 2Х (<) — 1
в своей области определения, так что х удовлетворяет требова-
ниям теоремы.
Раз мы знаем, что такая глобальная группа Ли существует,
мы можем по существу построить ее, зная окрестность единицы,
определяющую локальную группу Ли.
46
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Предложение 1.24. Пусть G — связная группа Ли и U cz G —
окрестность единицы. Далее, пусть Uk^{gi-g2- ... -gk : gt е
е [/} - множество k-кратных произведений элементов из U.
Тогда
оо
G= U Uk.
k=.i
Иными словами, каждый элемент группы G можно записать как
произведение конечного числа элементов из U.
Как показано в упр. 1.26, это непосредственно следует из
связности группы G. Аналогичный результат справедлив также
для локальных групп Ли.
Локальные группы преобразований
Практически наиболее естественно группы возникают не как
абстрактные, самостоятельные сущности, а как группы преобра-
зований некоторого многообразия М. Например, группа SO (2)
появляется как группа вращений плоскости М = R2, а группа
GL(n) возникает как группа обратимых линейных преобразова-
ний пространства R". Вообще говоря, группа Ли G будет реали-
зована как группа преобразований некоторого многообразия М,
если каждому элементу g группы G будет поставлено в соответ-
ствие отображение многообразия М в себя. Важно не ограни-
чить внимание исключительно линейными преобразованиями.
Кроме того, группа может действовать только локально. Это
означает, что преобразования могут не быть определены для
всех элементов группы или всех точек многообразия.
Определение 1.25. Пусть М — гладкое многообразие. Локаль-
ная группа преобразований, действующая на М, задается
(локальной) группой Ли G, открытым подмножеством 01, та-
ким, что
{е} X М <= <U <= G X М,
являющимся областью определения действия группы, и гладким
отображением ЧЕ обладающими следующими свойст-
вами:
(а) Если (Л, х) ^<U, (g, ^¥(h, х)) е °U, а также (g-h, х) е
(=<2/, то
Wfe, V(/i, x)) = V(g • Л, х).
(b) Для всех х е М
W (е, х) — х.
1.2. Группы Ли
47
(с) Если (g, х) е °U, то (g-*, V (g, х)) е <U и
V(g-’, W(g, х)) = х.
(Заметим, что, за исключением предположения о виде области
<U, свойство (с) непосредственно вытекает из (а) и (Ь).)
Для краткости мы будем обозначать W(g, х) через g-x, и
условия этого определения примут более простой вид:
g-(h • x) = (g-h) • x, g, /igG, xeM, (1.1)
если обе части равенства имеют смысл,
е-х = х для всех хеМ (1.2)
и
g-1 (g • х) = х, geG, xgM, (1.3)
если g-x определено. Как следствие из равенства (1.3) мы по-
лучаем, что каждое преобразование из группы G является диф-
феоморфизмом там, где оно определено.
Рис. 3. Область определения для локальной группы преобразований.
Заметим, что для каждого х из М групповые элементы g,
такие, что g-x определено, образуют локальную группу Ли
Gx = {geG: (g> х)е^}.
Обратно, для любого g е G существует открытое подмногооб-
разие
Mg = {xG/M: (g, х) е <Щ
многообразия М, на котором определено преобразование, зада-
ваемое элементом g. В некоторых случаях единичный элемент
может быть единственным элементом группы, действующим на
всем многообразии М. Другая крайность — глобальная группа
преобразований, т. е. группа, для которой можно взять 4/ =
= С/М. В этом случае g-x определено для каждого g^G
и каждого хеА4. Таким образом, условия (1.1) — (1-3)
48
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
справедливы для всех g, h е G и всех х е М, и нет нужды беспо-
коиться о точных областях определения.
Группа преобразований G, действующая на М, называется
связной, если выполняются следующие требования:
(a) G — связная группа Ли, а М — связное многообразие;
(b) <U cz G X М — связное открытое множество и
(с) для любого х е М локальная группа Gx связна.
Как и для многообразий и групп Ли, мы делаем общее предпо-
ложение, что, если специально не оговорено противное, все ло-
кальные группы преобразований предполагаются связными в
указанном выше смысле. Эти предположения о связности помо-
гают нам избежать некоторых технических трудностей при об-
суждении инфинитезимальных методов и инвариантов. Они
всегда могут быть реализованы подходящим сужением области
определения °U действия группы.
Орбиты
Орбита локальной группы преобразований — это минималь-
ное непустое подмножество многообразия М, инвариантное от-
носительно действия группы. Иными словами, множество (У cz М
является орбитой, если оно удовлетворяет следующим условиям:
(а) Если xg(7, g^G и g-x определено, то g-х^СУ.
(b) Если дгб и б удовлетворяет условию (а), то либо
О = (У, либо (У пусто.
В случае глобальной группы преобразований для любого
х е М орбита, проходящая через точку х, определяется явно:
={g-x: g^G}. Для локальных групп преобразований мы
должны рассматривать произведения элементов группы, дей-
ствующих на х:
= {gi • gz • • • • • Sk • х: k > 1, gt ge G
и gi • gz •••• • gk • x определено).
Как мы увидим, орбиты группы Ли преобразований являются
на самом деле подмногообразиями многообразия М, однако они
могут иметь разные размерности и могут не быть регулярными.
Мы различаем два важных подкласса действий группы.
Определение 1.26. Пусть G — локальная группа преобразова-
ний, действующая на многообразии М.
(а) Группа G действует полурегулярно, если все ее орбиты
(У имеют одну и ту же размерность как подмногообразия мно-
гообразия М.
1.2. Группы Ли
49
(b) Группа G действует регулярно, если она действует полу-
регулярно и, кроме того, для каждой точки хеЛ4 существуют
произвольно малые окрестности U точки х, обладающие тем
свойством, что каждая орбита группы G пересекает U по ли-
нейно связному подмножеству.
Заметим, что, в частности, если группа G действует на мно-
гообразии М регулярно, то каждая ее орбита — регулярное под-
многообразие многообразия М. Однако условие регулярности
действия группы гораздо сильнее, чем это последнее утвержде-
ние,— упр. 1.8 подтвердит это. Действие группы называется
транзитивным, если у нее имеется всего лишь одна орбита,
а именно само многообразие М. Ясно, что всякая транзитивная
группа преобразований действует регулярно. В большинстве на-
ших приложений наиболее интересные группы будут действовать
не транзитивно.
Пример 1.27. Примеры групп преобразований.
(а) Группа сдвигов в Rm. Пусть а=£0— фиксированный век-
тор в Rm, и пусть G = R. Положим
V (в, х) = х + га, х е Rm, е g R.
Это, как легко видеть, дает глобальное действие группы. Орби-
тами являются прямые, параллельные вектору а, так что дей-
ствие регулярно и орбиты одномерны.
(Ь) Группы растяжений (масштабных преобразований).
Пусть G = R + — мультипликативная группа. Фиксируем веще-
ственные числа СС1, ..., ат, не все равные нулю. Тогда R+ дей-
ствует на R"1 масштабными преобразованиями (или растяже-
ниями)
^(Л, х) = (л“|х1, ..., катхт), Z<=R+, х = (х’, .... xn)eRm
Орбиты этого действия все являются одномерными регулярными
подмногообразиями в Rm, исключая особую орбиту, состоящую
в точности из начала координат {0}. Например, в частном слу-
чае R2 при ЧДЛ, (х, у)) — (}.х,}2у) орбитами являются половины
парабол у = kx2 (соответствующие либо х > 0, либо х<0),
положительная и отрицательная полуоси оси у и начало коор-
динат. Вообще говоря, действие этой группы растяжений регу-
лярно на открытом подмножестве Rm\{0}. Эти действия групп
появляются в теории размерностей для уравнений с частными
производными. Исторически они представляли собой главную
движущую силу в последующем развитии общей теории инва-
риантных относительно группы решений дифференциальных
уравнений.
50
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
(с) Действие, аналогичное этому, появляется при изучении
уравнения теплопроводности. Пусть М = R2, G = R. Рассмот-
рим отображение
Ж (в. (х, Я) ЦтЛё т^г).
определенное на
°U — |(е, (х, г/)): е < при х > О
или е > при х < о| cz R X R2.
Чтобы показать, что это на самом деле действие группы, нам
нужно проверить условие (а) определения 1.25:
’'<« Ч-»., (X, Я) = т(г>, 1^;-)) =
— ( х/(1—гх) у!(\ — ех)
V 1 — dx/(l — ex) ’ 1 — дх/(1 — ех) )
= ____________У_____) =
V 1 — (S + е) х ’ 1 — (д + е) х /
= Ч'(б + е, (х, у))
в области определения. Заметим, что это локальное действие
группы не имеет глобального аналога на R2; в самом деле,
| V(e,(x, у)) |-* оо при е->1/х для х=/=0. Орбиты этого дей-
ствия состоят из прямолинейных лучей, исходящих из начала
координат, а также самого начала координат. Действие является
регулярным на плоскости с выколотой точкой R^fO}.
(d) Обмотка тора. Пусть G = R и М — двумерный тор Т2.
Пусть со — фиксированное вещественное число. Пользуясь угло-
выми координатами (6, р) на Т2, мы определяем глобальное
действие группы
Т (в, (6, р)) = (6 + е, р + сое) mod 2л.
Как легко видеть, орбиты группы G — все одномерные подмно-
гообразия тора Т2, так что группа G во всех случаях действует
полурегулярно. Если со — рациональное число, орбиты — замк-
нутые кривые и действие регулярно. С другой стороны, если со
иррационально, то каждая орбита — всюду плотное подмногооб-
разие тора Т2. Это простейший пример полурегулярного дей-
ствия группы, не являющегося регулярным.
1.3. Векторные поля
51
1.3. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Главный инструмент в теории групп Ли и групп преобразо-
ваний— это «инфинитезимальное преобразование». Для того
чтобы ввести его, нам нужно сначала развить понятие вектор-
ного поля на многообразии. Мы начинаем с обсуждения каса-
тельных векторов. Пусть С—гладкая кривая на многообразии
М, параметризованная отображением <р: I -> М, где I — подын-
тервал R. В локальных координатах х = (х*, хт) кривая С
задается т гладкими функциями <р(е) = (<р1(е), <рт(е)) ве-
щественной переменной е. В каждой точке х = ф(е) кривой С
имеется касательный вектор, а именно производная ф(е) =
= б/ф/de =(ф1(е).....фте(е)). Для того чтобы различать вы-
ражения для касательных векторов и для локальных координат
точек на многообразии, мы принимаем обозначение
v 1х = Ф(е) = ф* + ... + фт(е)-^йг (1-4)
для касательного вектора к кривой С в точке х = ф(е). На пер-
вый взгляд это обозначение может показаться довольно стран-
ным, но на протяжении книги мы убедимся в том, что оно
полезно и естественно. Сейчас читатель может рассматривать
символы д/дх1 как «держатели мест» для компонент ф'(e) каса-
тельного вектора v|x или, что равносильно, как специальный
«базис» касательных векторов, соответствующих координатным
кривым, которые в локальных координатах выражаются в виде
х + ее,-, где е; есть t-й базисный вектор в Rm. Позже мы увидим,
каким образом каждый вектор д/дх‘ на самом деле соответ-
ствует оператору взятия частной производной.
Например, для винтовой линии
ф (е) = (cos е, sin е, е)
в R3 с координатами (х, у, z) касательный вектор в точке
(х, у, z) = ф (е) = (cos е, sin е, е) имеет вид
. , , . д . д . д д . д , д
Ф (е) = - sm е + cos е = -у + х + —.
Две кривые С = {ф(е)} и С = {.ф(6)}, проходящие через одну
и ту же точку
х = ф(е’) = ф(6’)
для некоторых е*, 6*, имеют в ней один и тот же касательный
вектор, если и только если их производные в этой точке совпа-
дают:
(1.5)
52
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Нетрудно видеть, что это понятие не зависит от локальных ко-
ординат, выбранных вблизи точки х. В самом деле, если х =
:=ф(е) = (ф1(е), ..., фт(е)) — выражение в локальных коорди-
натах х = (х1, хт) и у = ф(х)— произвольный диффеомор-
физм, то у = ф (ф (е))—формула для этой кривой в локальных
координатах у. Касательный вектор v|* = ф(е), имеющий вид
(1.4) в координатах х, примет вид
т тт,
v L-*(X)= У ~Я~ Ф^(ф (е)) —= У У (ф (е)) -------~Т (1.6)
/=1 и /=1 k=i у
в координатах у. Поскольку матрица Якоби д^/дхк обратима
в каждой точке, (1.5) справедливо, если и только если
Ф (Ф (е’)) = ф (ф (6*)),
что и доказывает наше утверждение. Заметим, что (1.6) ука-
зывает, как ведет себя касательный вектор (1.4) при данной
замене координат у = ф (х).
Набор всех касательных векторов ко всем возможным кри-
вым, проходящим через данную точку х многообразия М, на-
зывается касательным пространством к М в точке х и обозна-
чается ТМ|х. Если М есть /n-мерное многообразие, то ТТИ) х яв-
ляется /n-мерным векторным пространством, базис которого в
данных локальных координатах задается векторами {д/дх1, ...
..., д/дхт}. Набор всех касательных пространств, отвечающих
всем точкам х многообразия М, называется касательным расслое-
нием многообразия М и обозначается
ТМ= U ТМ\Х.
xt=M
Эти касательные пространства «склеены» между собой очевид-
ным гладким способом, так что если <р(е) — произвольная глад-
кая кривая, то касательные векторы ф(е)е ТТИ) <1(е) будут гладко
меняться от точки к точке. Это превращает касательное рас-
слоение ТМ в гладкое многообразие размерности 2/п.
Например, если М — Rm, то касательное пространство
7'Rm|x в любой точке хе Rm можно отождествить с самим
Rm. Это следует из того факта, что касательный вектор ф (е)
к гладкой кривой <р(е) можно реализовать как настоящий век-
тор в Rm, а именно (ф‘(е), ..., фт(е)). Другой способ получить
это отождествление состоит в том, чтобы отождествить базис-
ный вектор д/дх1 пространства 7'Rm|x со стандартным базисным
вектором et пространства Rm. Таким образом, касательное рас-
слоение пространства Rm является декартовым произведением:
1.3. Векторные поля
53
T’Rm~RmXRm- Если S — поверхность в R3, то касательное
пространство ESI* можно отождествить с обычной геометриче-
ской касательной плоскостью к S в каждой точке хе S. Здесь
снова используется отождествление 71R31х ~ R3, так что TSIxC
cz 7Т3|Х—плоскость в R3.
Векторное поле v на М задается касательными векторами
v|xe ТМ|Х в каждой точке хеЛ1, такими, что v|x гладко ме-
няется от точки к точке. В локальных координатах (х1, ..., хт)
векторное поле имеет вид
v|x = ^1(x)'^r + ^2(x)'^5'+ • • +£ (х)-д^т>
где каждая £‘(х) — гладкая функция от х. (Мы должны были
бы поставить символ |х у каждого д/дх1, чтобы указать, в каком
Рис. 4. Векторное поле и интегральная кривая на многообразии.
касательном пространстве TMfx лежит этот вектор, однако это
должно быть ясно из контекста.) Хороший физический пример
векторного поля — поле скоростей потока несжимаемой жид-
кости в некотором открытом подмножестве М cz R3. В каждой
точке (х, у, г) еЛ1 вектор ¥|(Х>гЛг)— это вектор скорости частиц
жидкости, проходящих через точку (х, у, z).
Интегральная кривая векторного поля v — это гладкая пара-
метризованная кривая х = ф(е), касательный вектор к которой
в каждой точке совпадает со значением векторного поля v в этой
точке:
Ф(е) = v 1ф(е)
для всех е. В локальных координатах х = <р(е) = (ср1 (е), ...
..., <рт (е)) должна быть решением автономной системы обык-
новенных дифференциальных уравнений
# = № /=1..............т, (1.7)
54
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
где £‘(х)—коэффициенты векторного поля v в точке х. Для
гладких g‘(x) стандартные теоремы существования и единствен-
ности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
гарантируют существование и единственность решения системы
(1.7) для любого множества начальных данных
<р(О) = хо. (1.8)
Отсюда в свою очередь следует существование единственной
максимальной интегральной кривой <р: I-+M, проходящей через
данную точку х0 = ср (0) е М, где «максимальность» означает,
что эта интегральная кривая не содержится ни в какой более
длинной интегральной кривой, т. е. если <р: 1 М — любая дру-
гая интегральная кривая с тем же начальным значением
<р(О) = хо, то 7е/ и ф(е)=ф(е) для ее/. Заметим, что если
v |Жо = 0, то интегральная кривая, проходящая через точку Хо,
есть сама эта точка <р(е) = х0 и эта интегральная кривая опре-
делена для всех е.
Отметим, что если v — произвольное гладкое векторное поле
на многообразии М и f(x)—произвольная гладкая вещественно-
значная функция, определенная при хеМ, то f-v — снова глад-
кое векторное поле, причем (f-v) |* = f(x)v|x- В локальных ко-
ординатах если v= El’(х)д/дх1, то f-v — Е f(x)l‘(x)d/dx‘.
Если функция f нигде не обращается в нуль, то интегральные
кривые векторного поля f-v совпадают с интегральными кри-
выми поля v, однако параметризации будут разными. Напри-
мер, интегральные кривые поля 2v будут проходиться в два раза
быстрее, чем интегральные кривые поля v, но, тем не менее, это
будут те же самые подмножества многообразия М.
Потоки
Пусть v — векторное поле. Обозначим параметризованную
максимальную интегральную кривую, проходящую через точку
х многообразия М, через 4J (е, х) и назовем W потоком, порож-
денным полем v. Таким образом, для каждого х е М и е из не-
которого интервала 1Х, содержащего 0, ЧЧе, х)—это точка на
интегральной кривой, проходящей через точку х на М. Поток
векторного поля обладает следующими основными свойствами:
^(б, ЧЧе, х)) = Чг(б + е, х), хеМ, (1.9)
для всех 6, ее ₽, таких, что обе части равенства имеют смысл,
W(0, х) = х (1.10)
и
i^(e, x) = v|4f(e>xJ (1.11)
1.3. Векторные поля
55
для всех е из области определения. Здесь формула (1.11) про-
сто означает, что v — касательный вектор к кривой W (е, х) при
фиксированном х, а (1.10) дает начальные условия для этой
интегральной кривой. Доказательство формулы (1.9) легко сле-
дует из единственности решения системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений; а именно, поскольку как функции от 6
обе части уравнения (1.9) удовлетворяют (1.7) и имеют те же
начальные условия при 6 = 0, они обязаны совпадать. Если v —
векторное поле скоростей некоторого потока несжимаемой жид-
кости, то интегральные кривые поля v — это линии тока, заме-
таемые частицами жидкости, а поток 4J (е, х) указывает поло-
жение частицы в момент времени е, если в момент времени
е = 0 она находилась в точке х.
Сравнивая первые два свойства (1.9), (1.10) с (1.1), (1.2),
мы видим, что поток, порожденный векторным полем, — то же
самое, что локальное действие группы Ли R на многообразии М.
Это действие часто называют однопараметрической группой пре-
образований. Векторное поле v называется инфинитезимальной
образующей этого действия, поскольку по теореме Тейлора в ло-
кальных координатах
Т(е, х) = х + eg (х) + О (в2),
где g=(g', ..., gm)—коэффициенты поля v. Орбиты действия
однопараметрической группы являются максимальными интег-
ральными кривыми векторного поля v. Обратно, если Ч'Хе, х) —
произвольная однопараметрическая группа преобразований, дей-
ствующая на многообразии М, то ее инфинитезимальная обра-
зующая получается как частный случай (1.11) при е = 0:
vl=4-I л(е’х)- <1Л2)
16=0
Единственность решения системы (1.7), (1.8) гарантирует, что
поток, порожденный полем v, совпадает с данным локальным
действием IR на М в общей области определения. Таким обра-
зом, имеется взаимно однозначное соответствие между локаль-
ными однопараметрическими группами преобразований и их ин-
финитезимальными образующими.
Вычисление потока или однопараметрической группы, порож-
денной данным векторным полем v (иными словами, решение
системы обыкновенных дифференциальных уравнений), часто
называют экспоненцированием этого векторного поля. В нашей
книге будет принято соответствующее обозначение
exp (ev) х s Ч; (е, х)
56
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
для этого потока. С помощью этого экспоненциального обозна-
чения три предыдущих свойства можно переформулировать сле-
дующим образом:
ехр [(б + е) v] х = exp (6v) exp (ev) x (1-13)
в области определения,
exp(0v)x = x (1-14)
и
-^-[exp(ev)x] = v|exp(ev)x (1.15)
для всех xeAf. (В частности, v | х получается вычислением (1.15)
при е = 0.) Эти свойства отражают свойства обычной экспо-
ненты, что и оправдывает выбранное обозначение.
Пример 1.28. Примеры векторных полей и потоков.
(а) Пусть М = R с координатой х. Рассмотрим векторное
поле v = д/дх = дх. (В дальнейшем мы часто будем для эко-
номии места употреблять обозначение дх вместо д/дх.) Тогда
глобально определена
exp (ev) х — ехр (едх) х = х + е.
Для векторного поля хдх мы получаем обычную экспоненту
ехр (ехдх) х = е®х,
поскольку это должно быть решение обыкновенного дифферен-
циального уравнения х = х с начальным значением х при е = 0.
(Ь) В случае Rm постоянное векторное поле va— S а1д!дх1,
а = (а1, ..., ат), экспоненцируется в группу сдвигов в направ-
лении а:
ехр (eva) х = х ф-еа, xgR"
Аналогично, линейное векторное поле
т f т \
i = l х Z-l '
где А —(ац) — постоянная матрица размера тУ^т, порождает
поток
ехр (еуд) х = еАх,
где
евЛ = / + еЛ + -1-е2А2+ ...
— обычная экспонента матрицы.
1.3. Векторные поля
57
(с) Рассмотрим группу вращений плоскости
W (е, (х, у)) — (х cos е — у sin е, к sin е + у cos е).
Ее инфинитезимальная образующая — векторное поле v =
= g(x, у)дх + т](х, у)ду, где, согласно (1.12),
£ (Xt У)=='Ь L C°S 6 — У Sin = ~У’
П (*, У) = |е=0(х sin е + У cos е) = х-
Таким образом, v = —удх + хду— инфинитезимальная образую-
щая, и на самом деле указанная группа преобразований совпа-
дает с решениями системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
dx/de = —у, dy/de, = х.
(d) Наконец, рассмотрим действие локальной группы
^(8, (X, 40) = (-г^Г. т^г).
введенное в примере 1.27(c). Дифференцируя, как выше, мы
получаем инфинитезимальную образующую v = х2дх 4- худу. Это
показывает, что гладкое векторное поле может, тем не менее,
порождать всего лишь локальное действие группы.
Действие замены координат «/ = ф(х) на векторное поле v
определяется ее действием на каждый отдельный касательный
вектор v | х, х е М, которое задается формулой (1.6). Поэтому
если v — векторное поле, которое в координатах х задается вы-
ражением
а у = ф (х) — замена координат, то поле v в координатах у вы-
ражается формулой
т т
v = Y (^))Т7- <L16>
Z—г z—r дх1 ду1
i=i »=1
Следующий результат служит иллюстрацией наших преды-
дущих замечаний о том, что подходящий выбор локальных ко-
ординат часто позволяет упростить выражения для объектов на
многообразиях, в этом случае для векторных полей.
58
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Предложение 1.29. Пусть v — векторное поле, не обращаю-
щееся в нуль в точке х0^М, v|Xo=H=0. Тогда существует ло-
кальная координатная карта у = (у1, ..., ут) в точке х0, такая,
что в этих координатах v = д/ду1.
Доказательство. Сделаем сначала линейную замену коорди-
нат, при которой х0 = 0 и v | — д/дх1. По непрерывности коэф-
фициент g*(x) при д/дх1 положителен в окрестности точки хо-
Поскольку g1 (х) > 0, интегральные кривые поля v пересекают
гиперплоскость {(0,х2, хт)} трансверсально.Следовательно,
в окрестности точки хо = 0 каждая точка х = (х1, ..., хт) един-
ственным образом представляется как поток некоторой точки
(О, у2, ..., ут) из этой гиперплоскости. Это означает, что
х = ехр(у'у)(0, у2, ..., ут)
для у1, близких к 0, дает диффеоморфизм между (х1, ..., хт)
и (у1, .... ут), определяющий координаты у. (Геометрически,
мы «выпрямляем» интегральные кривые, проходящие через ги-
перплоскость, перпендикулярную оси х1.) В координатах у для
малых е мы имеем в силу (113)
exp (8v) (у1, ..., ут) = (у1 + е, у2, ..., ут),
так что поток является в точности сдвигом в направлении у1.
Таким образом, всякое ненулевое векторное поле локально экви-
валентно инфинитезимальной образующей группы сдвигов. (Ко-
нечно, глобальная картина может быть очень сложна, как пока-
зывает пример обмотки тора.) □
Действие на функции
Пусть v — векторное поле на М и f: М -> R — гладкая функ-
ция. Мы хотим посмотреть, как меняется f под действием по-
тока, порожденного полем v; иными словами, мы рассматриваем
f(exp(ev)x), когда е меняется. В локальных координатах, если
v= & (х) д/дх1, пользуясь цепным правилом и (1.15), мы по-
лучаем
т
f (exp (ev) х) = £4' (exp (ev) х) -^- (exp (ev) х) =
1 = 1
sv(f)[exp(ev)x]. (1.17)
В частности, при е = О
т
I n f (exp (ev) х) = £ (х) (х) = v (f) (х).
UB (Е=0 f—1 Av
1.3. Векторные поля
59
Теперь становится очевидной причина, по которой мы так обо-
значаем векторные поля: векторное поле v действует на веще-
ственнозначные функции f(x) на многообразии М как опера-
тор взятия частных производных первого порядка. Далее, по
теореме Тейлора
f (ехр (ev) х) = f (х) + ev (f) (х) + О (е2),
так что v(f) дает инфинитезимальное изменение функции f под
действием потока, порожденного полем v. Можно продолжить
процесс дифференцирования и, подставляя в ряд Тейлора, по-
лучить
f(exp(ev)x) =
р2 г
= f (X) + ev (f) (х) + v2 (f) (х) + . .. + v* (f) (x) + О (e*+>),
где v2(f) = v(v(f)), v3(/j = v(v2(f)) и т. д. Предполагая схо-
димость ряда Тейлора по е, мы получаем ряд Ли
сю
f (ехр (ev) х) = £ vk (f) (х) (1.18)
*=о
для действия потока на f. Такой же результат справедлив для
векторнозначных функций F: F(x) = (Fl(x), .... Fn(x))
(мы предполагаем, что поле v действует на F покомпонентно:
v(F) — (v(Fl), .... v(F”))). В частности, если положить F рав-
ной координатным функциям х, мы получаем (снова в предпо-
ложении сходимости), что ряд Ли для самого потока дается
формулой
00 k
exp(ev)x = x + eg(x) + -^-v(g)(x)+... = £-|fVft(x), (1.19)
k-0
где g = (g‘, ..., gm), v(g) = (v(g‘), ..., v(gm)) и t. д., что дает
дальнейшее обоснование нашего обозначения.
В соответствии с нашей новой интерпретацией символов
д/дх1 каждый касательный вектор v]x в точке х определяет
дифференцирование на пространстве гладких вещественнознач-
ных функций f, определенных вблизи точки х многообразия М.
Это означает, что применение v|% к гладкой функции f дает ве-
щественное число v(f)=v(f)(x) и, кроме того, эта операция,
определенная полем v, обладает основными свойствами опера-
ции дифференцирования;
60
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
(а) линейность
v(f + £) = v(f) +v(g); (1.20)
(b) правило Лейбница
v(f g) = v(f)-g + f -v(g). (1.21)
(Здесь в обеих частях равенств (1.20) и (1.21) вычислены зна-
чения в точке х.) Обратно, нетрудно показать, что всякое диф-
ференцирование на пространстве гладких функций в точке х
является касательным вектором и, в частности, в локальных ко-
ординатах дается формулой £ ^д/дх*. (См. упр. 1.12.) Этот
подход часто используется для определения касательных век-
торов и касательного расслоения абстрактным бескоординат-
ным способом. Далее, если v — векторное поле на М, то v(f)—
гладкая функция для любой гладкой функции /: Таким
образом, мы можем также определить векторные поля как диф-
ференцирования, т. е. отображения на пространстве гладких
функций на М, обладающие свойствами (1.20) и (1.21). Эта
точка зрения особенно полезна для определения различных опе-
раций над векторными полями бескоординатным способом. (См.
Warner [1; гл. 1], где более подробно изложены эта конструк-
ция и связь между касательными векторами и дифференциро-
ваниями.)
Дифференциалы
Пусть М и N—гладкие многообразия, a F: M-+N— глад-
кое отображение. Всякая параметризованная кривая С =
= {ф(е): ее/} на М отображается посредством F в параметри-
зованную кривую C = F(C)= {(р(е) = F((p{e)): ее/} на N.
Таким образом, отображение F индуцирует отображение каса-
тельного вектора d<p/de к кривой С в точке х = <р(е) в соот-
ветствующий касательный вектор dtp/de к кривой С в образе
этой точки F(х) = F(<р(е)) = ф(е). Это индуцированное отобра-
жение называется дифференциалом отображения F и обозна-
чается
^(ф(е)) = ^-{/7(ф(е))}. (1.22)
Поскольку каждый касательный вектор касается
некоторой кривой, проходящей через точку х, дифференциал
отображает касательное пространство к М в точке х в касатель-
ное пространство к N в точке F(x):
dF: TM\x^TN]f{x}.
1.3. Векторные поля 61
Формула для дифференциала в локальных координатах полу-
чается с помощью цепного правила тем же способом, что и
формула замены переменных (1.6). Если
— касательный вектор в точке х е М, то
п / tn ч п
dF(vL) = £( = (L23)
pl \ Pl dx ' dy! 7=1 dyi
Заметим, что дифференциал dF\x является линейным отображе-
нием из ТЛ1|х в TN\f(x), выражение которого в матричном виде
в локальных координатах есть в точности матрица Якоби ото-
бражения F в точке х.
Если мы предпочитаем представлять себе касательные век-
торы как дифференцирования на пространстве гладких функ-
ций, определенных вблизи точки х, то дифференциал dF можно
определить по-другому:
dF (v\x)f(y) = v(f ° F)(x), y = F(x), (1.24)
для всех v| х е ТМ |х и всех гладких функций f: A^->R. Эквива-
лентность (1.22) и (1.24) легко проверяется с использованием
локальных координат.
Пример 1.30. Пусть М = R2 с координатами (х, у) и N= R
с координатой s. Пусть F: R2->R— произвольное отображение
s — F(x, у). Для данного поля
v\(X.y) = a^ + b~k
получаем по формуле (1.23)
dF(^,y))={ai^x’ А+ьт^х>
Например, если F(x, у) = ахfry— линейная проекция, то
dF(.vkXy^=(aa+b^-i-\
4 1 as ls=ax+P!/
Лемма 1.31. Если F: M-+N и Н; N^-P — гладкие отобра-
жения многообразий, то
d(H oF) = dH °dF, (1.25)
где dF-.TM\x-+TN\y=FW dH: TN \y^TP\z,H{y) и d(H°Fy.
ТМ |ж -> TP l2=H(F (X)).
62
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Доказательство непосредственно следует из двух предыду-
щих определений. В локальных координатах (1.25) означает в
точности, что матрица Якоби композиции двух функций явля-
ется произведением их матриц Якоби.
Важно отметить, что если v — векторное поле на М, то, во-
обще говоря, dF(v) не будет корректно определенным вектор-
ным полем на N. Во-первых, dF(y) может не быть определен-
ным на всем N; во-вторых, если две точки х и х на М отобра-
жаются в одну точку y = F(x) = F(x) на N, то нет гарантии,
что dF(v\x) и dF(v|~) (оба лежат в 7W]y) совпадают. Напри-
мер, если v = ydx~Fdy и s = F(x, y) = ax-Ff>y— проектирова-
ние из примера 1.30, то
При а=#0 это векторное поле не является корректно опреде-
ленным на R. Однако если F — диффеоморфизм на N, то dF(v)
всегда будет векторным полем на N. Более общим образом, два
векторных поля v на А! и w на jV называются F-связанными,
если dF(v|x) = w|F(X) для всех х<=М. Если v и w = dF(v) яв-
ляются F-связанными, то F отображает интегральные кривые
поля v в интегральные кривые поля w, причем
F (ехр (ev) х) = ехр (е dF (v)) F (х).
(1-26)
Скобки Ли
Наиболее важная операция над векторными полями — это
их скобка Ли, или коммутатор. Легче всего эту операцию опре-
делить в терминах их действия как дифференцирований функ-
ций. А именно, если v и w — векторные поля на М, то их скобка
Ли [v, w] — единственное векторное поле, удовлетворяющее
условию
[v, w] (f) = v (w (/)) — w (v (f))
(1-27)
для всех гладких функций f: Легко проверить, что
[v, w] на самом деле является векторным полем. В локальных
координатах, если
1.3. Векторные поля
63
ТО
[v, w] = £ {v (т/) — W (£')} ~ =
/=1
т т
= у уь/ д±_
1 дх! дх1) дх1
(1.28)
(Заметим, что в (1.27) сокращаются члены, содержащие про-
изводные второго порядка функции /.) Например, если
д 2 д . й
V = Z/—W = X2-5—\-ху-^~,
а дх’ дх'^ду
ТО
[ V, W] = V (х2) + V (ху) - w (у) = ху + г/2 .
Предложение 1.32. Скобка Ли обладает следующими свой-
ствами:
(а) Билинейность
[cv + c'v', w] = с [v, w] + c' [v', w],
[v, cw c'w'] = c [v, w] c' [v, w'],
где c, c' — константы.
(b) Кососимметричность
[v, w] — — [w, v].
(с) Тождество Якоби
[u, [v, w]] + [w, [u, v]] + [v, [w, u]] = 0.
(1-29)
(1.30)
(1.31)
Доказательство мы оставляем читателю. (Указание. Вос-
пользуйтесь формулой (1.27) как определением — попытки про-
верить тождество Якоби с помощью формулы (1.28) — ужасное
дело.)
Первое определение (1.27) скобки Ли говорит нам, что это
инвариантное понятие. (Это можно проверить также, пользуясь
выражением скобки Ли в локальных координатах (1.28), но
соответствующие вычисления довольно утомительны.) Более
общо, если F: M^-N — произвольное гладкое отображение, а
v и w — векторные поля на М, такие, что dF(v) и dF(w) суть
F-связанные корректно определенные векторные поля на N, то
их скобки Ли также F-связаны:
dF([v, w]) = [dF(v), dF(w)]. (1.32)
64 Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Чтобы доказать это, возьмем f: N-+- R. Если у = F(x)e N, то
в силу (1.24) получаем
dF([v, w])f(f/) = [v, w]{f(F(x))} = v(w{f(F(x))}) —
-w(v{f(F(x))}) =
= v { dF (w) f (F (x))} - w {dF (v) f (F (x))} =
= dF (v) dF (w) f (y) — dF (w) dF (v) f (y) =
= [dF(y), dF(w)]f(y),
что и требовалось.
Рис. 5. Коммутаторное построение скобки Ли.
Более геометрическая характеризация скобки Ли двух век-
торных полей —это интерпретация ее как «инфинитезимального
коммутатора» двух однопараметрических групп exp(ev) и
exp (ew).
Теорема 1.33. Пусть v и w — гладкие векторные поля на
многообразии М. Для каждого х<=М коммутатор
ф(е, х) = ехр(—Vе w)exp(—Vе v)exp(Ve w)exp(Ve v)x
определяет гладкую кривую для достаточно малых е 0. Скоб-
ка Ли [v, w] |x является касательным вектором к этой кривой
в точке ф(0, х) = х:
[V, w]|x = ^| п ш X). (1.33)
ио |£=0 +
1.3. Векторные поля
65
Доказательство. Пусть х = (х’, ..., хт)~ локальные коор-
динаты, так что
tn tn
v«£g'(x)-p
i=l i=l
Положим у = ехр (д/ё"v) х, z = ехр (Vе w) у, и== ехр (— Vе v) z,
так что ф (е, х) = ехр(—Vew)u- Теперь несколько раз вос-
пользуемся разложениями (1.18), (1.19) в ряды Тейлора дейст-
вия потока, порожденного векторным полем:
Ф (е, х) = и — Ve т] (и) + -у ew 01) («) + ° (fi3/2) =
= z — Ve {т] (z) + g (z)} + е w (?]) (z) + v (tj) (г) +
+4v©(z)}+°(e3/2)=
= у — Ve g (у) + в |v (rj) (y) — w (g) {y) + v (g) Q/)| + О (e3/2) =
= X + 8 {V (T|) (x) — W (g) (x)} + О (83/2).
Поэтому
-^-1 ф(8, x) = {v(n) —w(g)}(x)
aB le=0+
и формула (1.33) доказана. □
В качестве другой иллюстрации связи скобки Ли и комму-
татора мы покажем, что потоки, порожденные двумя вектор-
ными полями, коммутируют, если и только если их скобка Ли
всюду равна нулю.
Теорема 1.34. Пусть v, w — векторные поля на М. Тогда
ехр (ev) ехр (6w) х = ехр (6w) ехр (ev) х (1.34)
для всех е, 6еР, хеМ, таких, что определены обе части ра-
венства, если и только если
[v, w] = 0
всюду.
Доказательство. Из теоремы 1.33 непосредственно вытекает,
что если потоки коммутируют, т. е. если справедливо равенство
(1.34), то скобка Ли обращается в нуль. Обратно, предполо-
жим, что [v, w] = 0, и пусть х е М. Если оба поля v и w обра-
щаются в нуль в точке х, то потоки обоих векторных полей
3 П. Олвер
66
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
оставляют точку х на месте и, следовательно, они, очевидно,
коммутируют в точке х. Если же хотя бы одно векторное поле
не обращается в нуль в точке х, скажем v|x#=0, то в силу
предложения 1.29 мы можем выбрать локальные координаты
у = (у1..ут) вблизи точки х, так что в этих координатах
v=д/дуг всюду. Тогда если w = У, (у) д/ду1, то
т /
0 = 1’. wl = Z>ir
i=l а
Поэтому каждая функция г]' не зависит от у1. Поток, порожден-
ный полем v, в этих координатах есть в точности
exp (8v) (у1.У") = (у14- е, у2, ..., ут).
Поток, порожденный полем w, — решение системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений
#=nV.........Л ‘-=1
Рассмотрим функции
у (0, е) = exp (0w) exp (ev) у = exp (0w) (у1 4-е, у2.if1)
и
т.
у (в, е) = exp (ev) exp (0w) z/= exp (ev)«/(0, 0) =
= (у1(е, 0)4-8, у2 (6, 0)........ут(е, 0)).
Поскольку у1 отсутствует в правой части дифференциальных
уравнений для потока поля w, обе функции у и у как функции
от 0 являются решениями этой системы, причем их начальные
условия совпадают:
у(0, е) = (у14-е, у2, ..., ут) = у(0, е).
В силу единственности у (6, е) = у(6, е), что доказывает фор-
мулу (1.34) для достаточно малых 0, 8.
Чтобы полностью доказать формулу (1.34), рассмотрим сле-
дующие два подмножества плоскости (0, е):
Е = {(0, е): обе части (1.34) определены в точке (0, е)}
и
U — {(6, е): обе части (1.34) определены и равны в точке (0, е)}.
Заметим, что U cz V и что V — связное подмножество плоскости
(0, е). Только что мы показали, что множество U открыто.
С другой стороны, по непрерывности, если (1.34) справедливо в
точках (0г-, ei)^U и (0/, 8,)->(0*, 8*)s V, то (1.34) справед-
1.3. Векторные поля
67
либо и в точке (6* е*). Таким образом, множество U является
одновременно и открытым, и замкнутым подмножеством множе-
ства V. Поэтому в силу связности U — V. □
Касательные пространства и векторные поля
на подмногообразиях
Пусть AfcrAf — подмногообразие многообразия М, пара-
метризованное иммерсией <р: Касательное пространство
к N в N — это по определению образ касательного про-
странства к N в соответствующей точке у.
TN\y = d^{TN\B}, y=<$(y)^N.
Заметим, что TZVly является подпространством в TMjy той же
размерности, что и N. Имеется аналогичная характеризация ка-
сательного пространства к неявно определенному подмногооб-
разию:
Предложение 1.35. Пусть F: п^пг, является ото-
бражением максимального ранга на N = {х: К(х) = 0}, так что
NczM — неявно определенное регулярное (т — п)-мерное под-
многообразие. Для заданной точки у касательное простран-
ство к N в у совпадает с ядром дифференциала отображения
Fey.
TN\y = {v^TM\y-. dF(y) — G}.
Доказательство. Если ф(е) параметризует гладкую кривую
CczN, проходящую через у = ф(е0), то Г(ф(е)) = 0 для всех е.
Дифференцируя по е, мы видим, что
0 = -^P(4>^)) = dF(^),
следовательно, касательный вектор ф к С лежит в ядре dF.
Обратное вытекает из подсчета размерностей, если учесть тот
факт, что ранг dF в у равен п. П
Пример 1.36. Рассмотрим сферу S2= {x2 + y2-f-z2 = 1} в
R3. В каждой точке р = (х, у, z) на этой сфере касательное
пространство TS2|P задано как ядро дифференциала опреде-
ляющей функции Г(х, у, z) = x2+t/2 + z2—1 в р. Таким об-
разом,
= + ^ + 2Ьу + 2ег-0].
Отождествляя TR3^ с R3, так что v|₽ = адх + bdy + cdz стано-
вится вектором (а, Ь, с), мы видим, что TS2|P состоит из всех
з*
68
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
векторов v[p из R3, которые ортогональны радиусу-вектору
р = (х, у, z). Таким образом, касательное пространство TS2^
совпадает с обычной геометрической касательной плоскостью
к S2 в точке р. (Те же самые соображения обобщаются на слу-
чай любой неявно определенной поверхности S = {F(x, у, z) =
= 0} в R3, где dF соответствует нормальному вектору VF.)
Пусть М— подмногообразие в М. Если v — векторное поле
на М, то оно ограничивается до векторного поля на .V тогда и
только тогда, когда оно всюду касается многообразия /V, т. е.
v | у е TW^ для каждой точки у е N. В этом случае, используя
определение TW^, мы непосредственно устанавливаем сущест-
вование соответствующего векторного поля v на параметризую-
щем пространстве N, удовлетворяющего на М условию
dtp (v) = v.
Лемма 1.37. Если v и w всюду касаются подмногообразия N,
то и [v, w] всюду касается этого многообразия.
Доказательство. Пусть v и w — соответствующие векторные
поля на Я. Тогда по (1.32)
dtp [v, w] = [dtp (v), dtp (W)J = [v, w]
в каждой точке многообразия N. Но это означает, что [v, w] \у е
^TN\y==dtp(TN\g) для каждой точки у е N. □
Например, в случае сферы S2, так как zdx— хдг и zdv — ydz
оба всюду касаются S2, то [zdx — хд2, zdy — ydz] = удх — хду
также всюду касается S2.
Теорема Фробениуса
Мы уже видели, что каждое векторное поле v на многообра-
зии М определяет для любой точки многообразия М интеграль-
ную кривую, проходящую через эту точку и такую, что поле v
всюду касается этой кривой. Теорема Фробениуса относится к
более общей ситуации, когда система векторных полей опре-
деляет «интегральные подмногообразия», обладающие тем свой-
ством, что каждое векторное поле касается этого подмногообра-
зия в каждой точке.
Определение 1.38. Пусть Vi, ..., vr — векторные поля на
гладком многообразии М. Интегральное подмногообразие по-
лей {vi, ..., vr}—это подмногообразие NczM, касательное
1.3. Векторные поля
69
пространство TN\y к которому для каждого y^N порождается
векторами {vi|у, ..., vr[y}. Система векторных полей {vi, ...
..., vr} интегрируема, если через каждую точку хо s М прохо-
дит интегральное подмногообразие.
Заметим, что если N — интегральное подмногообразие систе-
мы {vi, ..., vr}, то размерность подпространства пространства
ТМ|;/, порожденного векторами {vi[y, ..., vr[y} (по определе-
нию это TN]y), равна размерности подмногообразия А в каж-
дой точке у N. Это не исключает возможности, что размер-
ность подпространства пространства ТЛЦХ, порожденного век-
торами {vi|x, ..., Vr|x}, меняется, когда точка х движется по
всему многообразию Af; это лишь означает, что данное множе-
ство векторных полей может иметь интегральные подмногооб-
разия различных размерностей.
Лемма 1.37 дает необходимые условия интегрируемости си-
стемы векторных полей. А именно, если N — интегральное под-
многообразие, то каждое векторное поле из этой системы долж-
но касаться N в каждой точке. Таким образом, скобка Ли
любой пары векторных полей из этой системы должна снова ка-
саться А и, следовательно, лежать в линейной оболочке этого
множества векторных полей в каждой точке.
Определение 1.39. Система векторных полей {vi, ..., vr} на
многообразии М находится в инволюции, если существуют глад-
кие вещественнозначные функции сц (х), х е М, i, j,k— 1,..., г,
такие, что для любых i, j = 1, .... г
Г
[vf, V,] = S ски vk.
Теорема Фробениуса, обобщенная Херманном на случай ин-
тегральных подмногообразий различных размерностей, утверж-
дает, что это необходимое условие является также доста-
точным:
Теорема 1.40. Пусть vi, ..., vr — гладкие векторные поля
на многообразии М. Тогда система {vi, ..., vr} интегрируема,
если и только если она находится в инволюции.
В случае, когда система порождается бесконечным числом
векторных полей, эта теорема неверна-, см. упр. 1.13. Однако
при дополнительных ограничениях на систему имеется следую-
щее полезное обобщение. Пусть Ж— система векторных полей,
образующая векторное пространство. Скажем, что система Ж
70
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
находится в инволюции, если [v, w] е Ж для любых v, w е Ж.
В конечномерном случае в качестве Ж можно взять множество
линейных комбинаций £ fl (*) Vi «базисных» векторных полей
V/, где fi — произвольные вещественнозначные гладкие функции
на М (в этом случае система Ж называется конечно порожден-
ной). Пусть Ж\х— подпространство пространства TM}*, по-
рожденное векторами v|x для всех ч^Ж. Интегральное под-
многообразие системы Ж — это подмногообразие N cr М, такое,
что ТИ\у = Ж\у для всех y^N. Мы говорим, что система Ж
инвариантна по рангу, если для любого векторного поля у^Ж
размерность подпространства <^lexp{ev)x вдоль потока, порож-
денного полем v, есть константа, не зависящая от а. (Она мо-
жет, конечно, зависеть от начальной точки х.) Заметим, что,
поскольку интегральная кривая exp(ev)x поля V, исходящая из
точки х, должна содержаться в интегральном подмногообразии
N, инвариантность по рангу, конечно, является необходимым
условием для полной интегрируемости. Если система Ж конечно
порождена или состоит из аналитических векторных полей на
аналитическом многообразии, то условие инвариантности по
рангу выполняется автоматически.
Теорема 1.41. Пусть Ж — система векторных полей на мно-
гообразии М. Тогда она интегрируема, если и только если она
находится в инволюции и инвариантна по рангу.
По сути доказательство проводится непосредственным по-
строением интегральных подмногообразий. Если х N, мы
можем реализовать интегральное подмногообразие, проходящее
через точку х, рассматривая последовательно интегральные
кривые, начинающиеся в точке х:
N = {ехр (vj ехр (v2) ... ехр (vfe) х: k > 1, v, е Ж}.
Инвариантность по рангу будет означать, что при любом
у N имеет правильную размерность. Детали доказательства
того, что N — подмногообразие, можно найти в работе Hermann
[2]. Заимствуя терминологию из более обычной ситуации по-
стоянного ранга, мы называем набор всех максимальных инте-
гральных подмногообразий интегрируемой системы векторных
полей слоением многообразия М; о самих интегральных подмно-
гообразиях мы говорим также как о слоях этого слоения.
Пример 1.42. Рассмотрим векторные поля
v=-y-^ + x-^, w = 2x2^-+2//2^ + (^+1-x2-//2)-^
1.3. Векторные поля
71
на R3. Легкое вычисление показывает, что [v, w] =0, так что
по теореме Фробениуса система {v, w) интегрируема. Для дан-
ной точки (х, у, г) подпространство пространства TR31 У1 zy,
порожденное vl^, y,Z) и w|(jc, у, Z), является двумерным, исклю-
чая точки оси z {х = у — 0} и окружности {х2 + у'2 = 1;
2 = 0}, где оно одномерно. Нетрудно проверить, что и окруж-
ность, и ось z являются одномерными интегральными подмного-
образиями системы {v, w}. Все другие интегральные подмного-
образия — двумерные торы
£ (х, у, г) = (х2 + у1)'42 (х2 + у1 + z2 + 1) = с,
определенные при с > 2. В самом деле,
d£(v) = v(Z;) = 0, ^(w) = w© = 0
всюду, так что в силу предложения 1.35 оба поля v и w ка-
саются каждого множества уровня функции £, где (См.
§2.1, где рассматривается некоторая общая техника построения
интегральных подмногообразий.)
Интегрируемая система векторных полей {vj, ..., vr) назы-
вается полурегулярной, если размерность подпространства про-
странства ТАЦх, порожденного векторами {vi|jc, ..., vr|*}. не
меняется от точки к точке. В этом случае все интегральные под-
многообразия имеют одну и ту же размерность. По аналогии с
понятием регулярного действия группы мы говорим, что инте-
грируемая система векторных полей регулярна, если она полу-
регулярна и к тому же каждая точка х многообразия М обла-
дает произвольно малой окрестностью U, такой, что каждое
максимальное интегральное подмногообразие пересекает U по
линейно связному подмножеству. Хотя полурегулярность яв-
ляется локальным свойством, которое можно вывести с по-
мощью координат, регулярность зависит от глобальной струк-
туры системы, и это свойство чрезвычайно трудно проверить
без явного отыскания интегральных подмногообразий. Однако
всякую полурегулярную систему можно сделать регулярной,
ограничивая ее на подходящее малое открытое подмножество
многообразия М. Например, система из примера 1.42 регулярна
на открытом подмножестве R3\({x = у — 0} U {х2 + у2 = 1,
z = 0)), полученном удалением из R3 оси z и единичной окруж-
ности.
Для полурегулярных систем векторных полей теорема Фро-
бениуса на самом деле дает средства «выпрямления» инте-
гральных подмногообразий с помощью подходящего выбора ло-
кальных координат, так же как это делается для интегральных
кривых одного векторного поля в предложении 1.29.
72
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Теорема 1.34. Пусть {vi, vr} — интегрируемая система
векторных полей, такая, что размерность линейной оболочки век-
торов {vi|x, vr|4 в TAf|x постоянна и равна s независимо
от х е М. Тогда для каждой точки хо М существуют плоские
локальные координаты у = (у1......ут) вблизи точки х0, такие,
что интегральные подмногообразия пересекают данную коорди-
натную карту по «слоям» {у : у1 = Щ, ..., ym~s = cm-s}, где
Ci, ..., cm- s — произвольные постоянные. Если к тому же си-
стема регулярна, то координатную карту можно выбрать так,
что каждое интегральное подмногообразие будет пересекать ее
не больше чем по одному такому слою.
Для системы примера 1.42 плоские локальные координаты
вблизи любой точки (х0> Цо, zo), не лежащей на оси z и такой,
что z0 =/= 0, задаются формулами х — х, у = у, z = £(х, у, z).
Касательное пространство к плоскости {z = const} порождается
векторными полями
д ___ д _ х (х2 + у2 — z2 — 1) д
дх дх 2z (х2 + у2) дг ’
у (^ + y2-z2-1) д
ду ду 2z (х2 + у2) дг
Заметим, что обе системы {д/дх, д/ду} и {v, w} порождают одно
и то же подпространство пространства TR3 в каждой точке
(х, у, z) при z(x2 + у2)=/= 0, так что на самом деле мы получаем
локально «выпрямленный» тор из примера 1.42. Более интерес-
ное с физической точки зрения множество плоских локальных
координат для системы {v, w) представляют собой тороидаль-
ные координаты (6, ф, л), которые задаются формулами
sh т) cos ф ______ sh т] sin ф ~__ sin 0
ch т] — cos 0 ’ U ch т] — cos 0 ’ ch т] — cos О
Такие координаты возникают в теории разделения переменных
для уравнения Лапласа, ср. Moon, Spencer [1]. Читатель может
проверить, что поверхности уровня {т] = с} в точности представ-
ляют собой интегральные торы системы {v, w}; на самом деле
при этой замене координат v = w = —2de!
1.4. АЛГЕБРЫ ЛИ
Если G — группа Ли, то существуют некоторые замечатель-
ные векторные поля на G, характеризующиеся своей инвариант-
ностью (в смысле, который вскоре будет определен) относи-
тельно группового умножения. Как мы увидим, эти инвариант-
1.4. Алгебры Ли
73
ные векторные поля образуют конечномерное векторное про-
странство, которое называется алгеброй Ли группы Ли бив
некотором смысле является «инфинитезимальной образующей»
группы б. Фактически почти вся информация о группе б со-
держится в ее алгебре Ли. Это фундаментальное наблюдение —
краеугольный камень теории групп Ли; например, оно позво-
ляет нам заменить сложные нелинейные условия инвариантности
относительно действия группы сравнительно простыми линей-
ными инфинитезимальными условиями. Мощь этого метода
нельзя переоценить — на самом деле весь круг приложений
групп Ли к дифференциальным уравнениям в конечном счете
покоится на этой единственной конструкции!
Мы начинаем с картины глобальной группы Ли, далее
обращаясь к аналогичной конструкции для локальных групп Ли.
Пусть б — группа Ли. Для любого элемента группы g е б
правое умножение
Rg. G->G,
определенное формулой
Re(h) = h-g,
является диффеоморфизмом, обратный к которому есть
Re-> = (Rs)~l-
Векторное поле v на б называется правоинвариантным, если
(v 1л) = v (А) = v |Ag
для всех g и h из группы б. Заметим, что если поля v и w пра-
воинвариантны, то любая их линейная комбинация av + &w, а,
&eR, также правоинвариантна; следовательно, множество
всех правоинвариантных векторных полей образует векторное
пространство.
Определение 1.44. Алгебра Ли группы Ли б (она по тради-
ции обозначается соответствующей малой готической буквой
0)—это векторное пространство всех правоинвариантных век-
торных полей на б.
Заметим, что всякое правоинвариантное векторное поле
однозначно определяется своим значением в единице, по-
скольку
V|g = dflg(v|e),
(1.35)
74
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
так как = g. Обратно, всякий касательный вектор к G в
единице е единственным образом определяет правоинвариант-
ное векторное поле на G по формуле (1.35). В самом деле,
dRg (v |л) = dRg (dRh (v |e)) = d (Re ° Rh) (v |e) = dRhg (v |e) = v \hg,
что доказывает правую инвариантность поля v. Поэтому мы
можем отождествить алгебру Ли 0 группы G с касательным
пространством к G в единичном элементе:
g^TG|e. (1.36)
В частности, g — конечномерное векторное пространство той же
размерности, что и соответствующая группа Ли.
Кроме структуры векторного пространства на такой алгебре
Ли далее вводится кососимметрическая билинейная операция,
а именно скобка Ли. В самом деле, если v и w — правоинва-
риантные векторные поля на G, то их скобка Ли [v, w] — тоже
правоинвариантное векторное поле, поскольку в силу (1.32)
dRg [v, w] = [dRg (v), dRg (w)] = [v, w].
Это обосновывает общее определение алгебры Ли.
Определение 1.45. Алгебра Ли — это векторное пространство
0 с билинейной операцией
[•, •]: 9X9^9,
называемой скобкой Ли алгебры g и удовлетворяющей следую-
щим аксиомам:
(а) Билинейность:
[cv + c'v', w] = с [v, w] + с' [v', w],
[v, CW + c'w'] = c [v, w] + c' [v, w'J,
где c, c' e R — постоянные.
(b) Кососимметричность:
[v, w] = — [w, v],
(с) Тождество Якоби:
[u, [v, w] ] + [w, [u, v] ] + [v, [w, u] ] = 0
для всех u, v, v', w, w' из 0.
В этой книге большинство алгебр Ли будут конечномерными
векторными пространствами. (Интересную бесконечномерную
алгебру Ли представляет собой пространство всех гладких век-
торных полей на многообразии М. Однако с бесконечномер-
ными алгебрами работать значительно труднее.) Мы начинаем
С некоторых простых примеров алгебр Ли.
1.4. Алгебры Ли
75
Пример 1.46. Если G = R, то с точностью до умножения на
константу существует единственное правоинвариантное вектор-
ное поле, а именно дх = д/дх. В самом деле, для данных
х, у GE R
следовательно,
(дх)==
Аналогично, если G = R+, то единственное независимое право-
инвариантное векторное поле — это хдх. Наконец, для группы
SO (2) векторное поле де — снова единственное независимое
правоинвариантное векторное поле. Заметим, что алгебры Ли
групп R, R+ и SO(2) совпадают, будучи одномерными вектор-
ными пространствами с тривиальной скобкой Ли ([v, w] = О
для всех V, w). Это и неудивительно: как может легко прове-
рить читатель, из общего определения следует, что существует
лишь одна одномерная алгебра Ли, а именно g = R, и ее скобка
Ли должна быть тривиальной.
Пример 1.47. Здесь мы вычисляем алгебру Ли общей линей-
ной группы GL(n). Заметим, что, поскольку группа GL(n)
п2-мерна, мы можем отождествить алгебру Ли gI(n)~R"
с пространством всех матриц размера пХ а В самом деле,
координаты на GL(n) представляют собой матричные элементы
хц, i, j = 1, ..., п, поэтому касательное пространство к GL(n)
в единице — это множество всех векторных полей
«, / 1 1
где А=(ау)—произвольная матрица размера п X п. Далее,
для данной матрицы У = (уц)^ GL(n) элементы матрицы
Ry(X) = XY равны
п
2^ ^ikUki •
fe=l
Поэтому в соответствии с (1.35) мы получаем
ул |у = dRv (уА |7) = У У ац (£ xtkykm) =
Z, т i. i 11 \ k J Im
= 12 a4yim~dZ~'
, , ttn
1.1, m
76
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
или (через X е GL (и))
д
дхц
(1.37)
Вычислим их скобку Ли:
^в1 f O-lpXpm (bik%kj) blpXpm
i.j.k 1 lm lm
I, tn, p
(.^il^lk ®iZ^Zfe)l xkj qx
i ./.kL I J '
д
дх.
д
— — V\A, В],
где [Д, В] = BA —AB — коммутатор матриц. Поэтому алгебра
Ли gl(n) общей линейной группы GL(n)—это пространство
всех матриц размера п%п со скобкой Ли — коммутатором
матриц.
Однопараметрические подгруппы
Пусть g — алгебра Ли группы Ли G. Следующий результат
показывает, что имеется взаимно однозначное соответствие меж-
ду одномерными подпространствами алгебры Ли g и (связными)
однопараметрическими подгруппами группы Ли G.
Предложение 1.48. Пусть v =И= О — правоинвариантное век-
торное поле на группе Ли G. Тогда поток, порожденный полем
V, проходящий через единицу, а именно
gE = exp(ev)e, (1.38)
определен для всех е е R и образует однопараметрическую под-
группу группы G, так что
ge+6 = ge-g& g0 = e, g;'=^g-^ (1-39)
причем эта подгруппа изоморфна либо самой группе R, либо
группе окружности SO (2). Обратно, всякая связная одномерная
подгруппа группы G порождается указанным способом таким
правоинвариантным векторным полем.
Доказательство. Для достаточно малых е, б формула (1.39)
вытекает из правой инвариантности поля v и (1.26):
= Яее Ы = Яве [ехР (6v) = ехР [6 • dR&t (v)] R&£ (е) =
= ехр (dv) g,, = ехр (dv) ехр (ev) е = ехр [(б + е) v] е = ge+e.
1.4. Алгебры Ли
Таким образом, ge — по меньшей мере локальная однопарамет-
рическая группа. В частности, go = е и gvX = g-z для малых е.
Далее, группа gt определена по крайней мере при —ео/2 е
ео/2 для некоторого ео > 0, так что мы можем по индукции
положить
^тпво+е SmEo ' £е» 2 2 8°’
для целого т. Предыдущее вычисление показывает, что ge —
гладкая кривая в G, удовлетворяющая условиям (1.39) при
всех е, б, если только поток глобально определен и является
подгруппой. Если ge = ge для некоторых е =/= б, то нетрудно
показать, что gEc —е для некоторого наименьшего положитель-
ного ео > 0 и что ge периодична с периодом ео, т. е. ge+eo = ge.
В этом случае {ge} изоморфна SO (2) (возьмем 6 = 2ле/ео) .
В противном случае gE=/=ge для всех е=/=6 и {ge} изоморфна R.
Обратно, если Н cz G — одномерная подгруппа, мы выби-
раем в качестве v|e произвольный ненулевой касательный век-
тор к Н в единице. С помощью изоморфизма (1.36) мы продол-
жаем v|e до правоинвариантного векторного поля v на всей
группе G. Поскольку Н — подгруппа, вектор у|й касается Н в
каждой точке h е Н, и поэтому Н — интегральная кривая поля
V, проходящая через е. Это завершает доказательство. □
Пример 1.49. Предположим, что G = GL(n). Алгебра Ли
01 (п) этой группы представляет собой пространство всех матриц
размера п X п с коммутатором в качестве скобки Ли. Если
Aegl(tt), то соответствующее правоинвариантное векторное
поле Vx на GL(n) выражается формулой (1.37). Однопара-
метрическая подгруппа exp(evx)e находится интегрированием
системы из п2 обыкновенных дифференциальных уравнений
dE Zu atkxkp Xil ty, i, j 1, • • •, п,
содержащих элементы матрицы А. Ее решение — в точности
матричная экспонента Х(е) = еЕЛ. Это однопараметрическая
подгруппа группы GL(n), порожденная матрицей А из 0l(n).
Пример 1.50. Рассмотрим тор Т2 с групповым умножением
(0, р) • (0',р') = (6 + O', d 4- р, mod 2л.
78
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Ясно, что алгебра Ли тора Т2 порождается правоинвариантны-
ми полями д/дВ, д/др с тривиальной скобкой Ли: [с?е, др] = 0.
Пусть
v« = дв + (одр
для некоторого we R. Тогда соответствующая однопараметри-
ческая группа — это
ехр (еуш) (0, 0) = (е, е<о) mod 2л, е е R,
которая представляет собой подгруппу обсуждавшуюся
непосредственно за определением 1.18. В частности, если со — ра-
циональное число, то подгруппа На — замкнутая однопарамет-
рическая подгруппа, изоморфная SO (2), а если со иррациональ-
но, то Ны—всюду плотная подгруппа, изоморфная группе R.
Это показывает, что, вообще говоря, довольно трудно точно
указать вид однопараметрической подгруппы, зная только ее
инфинитезимальную образующую.
Подалгебры
Вообще говоря, подалгебра I) алгебры Ли g— это векторное
подпространство, замкнутое относительно скобки Ли, так что
|v,w]ef), если только v, wel). Если Н — подгруппа Ли группы
Ли G, то всякое правоинвариантное векторное поле v на Н мо-
жет быть продолжено до правоинвариантного векторного поля
на G. (Нужно лишь положить v|g — dRg(v\e), g е G.) Таким
образом, алгебра Ли I) подгруппы Ли Н реализуется как подал-
гебра алгебры Ли g группы G. Соответствие между однопара-
метрическими подгруппами группы Ли G и одномерными под-
пространствами $ (подалгебрами) ее алгебры Ли g обобщается
и приводит к полному взаимно однозначному соответствию
между подгруппами Ли группы Ли G и подалгебрами ее ал-
гебры Ли g.
Теорема 1.51. Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли g. Если
HcG — ее подгруппа Ли, то соответствующая алгебра Ли —
подалгебра алгебры Ли g. Обратно, если Ь — произвольная
s-мерная подалгебра алгебры Ли g, то существует единственная
связная s-параметрическая подгруппа Ли Н группы Ли G, ал-
геброй Ли которой является I).
Основную идею доказательства этой теоремы можно изло-
жить следующим образом. Пусть vi, ..., vs — базис алгебры I),
определяющий систему векторных полей на G. Поскольку (> —
подалгебра, каждая скобка Ли [Vj, v;] — снова элемент из I) и,
1.4. Алгебры Ли
79
следовательно, лежит в линейной оболочке {vi, ..., vs}. Таким
образом, подалгебра Ь определяет систему векторных полей
на G, находящихся в инволюции. Далее, легко видеть, что в
каждой точке g^G касательные векторы {vi|g,..., vs|g} линей-
но независимы, так что эта система является полурегулярной.
По теореме Фробениуса у этой системы существует максималь-
ное s-мерное подмногообразие, проходящее через единицу е.
Это подмногообразие — подгруппа Ли Н, соответствующая К Не
очень трудно проверить, что Н —в самом деле подгруппа, а то,
что это — подмногообразие, мы знаем. Основная техническая
трудность в этом доказательстве состоит в том, чтобы устано-
вить гладкость групповых операций умножения и взятия обрат-
ного элемента (индуцированных из соответствующих операций
группы G) в структуре многообразия на Н. Заинтересованный
читатель может найти полное доказательство в книге Warner
[1; теорема 3.19].
Пример 1.52. Приведенная теорема значительно упрощает
вычисление алгебр Ли групп Ли, которые могут быть реали-
зованы как подгруппы Ли общей линейной группы GL(n).
А именно, если Zr<=GL(n) — подгруппа, то ее алгебра Ли I)
будет подалгеброй алгебры Ли gl(n) всех матриц размера
со скобкой Ли — коммутатором матриц. Кроме того, мы можем
найти \)~ТН\е, рассматривая только все однопараметрические
подгруппы группы GL(n), содержащиеся в Н:
1) = {А е gl (и): ееА ^Н, R).
Например, чтобы найти алгебру Ли ортогональной группы О (и),
нам нужно найти все матрицы А размера п X п, такие, что
(ееЛ)(ееЛ)г = /.
Дифференцируя по е и полагая е = 0, мы получаем
А +Аг = 0.
Поэтому so(n) = {A: А кососимметрична} — алгебра Ли и группы
О(п), и группы SO(n). Алгебры Ли других матричных групп
Ли ищутся аналогично.
Мы видели, что в общем случае имеется взаимно однознач-
ное соответствие между подалгебрами алгебры Ли данной груп-
пы Ли и связными подгруппами Ли той же группы Ли. В част-
ности, каждая подалгебра алгебры gl(n) приводит к матричной
группе Ли, т. е. к подгруппе Ли группы Ли GL(n). Более общо,
если g — произвольная конечномерная (абстрактная) алгебра
Ли, то возникает вопрос, существует ли группа Ли G, для
80
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
которой g— ее алгебра Ли. Ответ на этот вопрос утвердитель-
ный. Он сводится фактически к матричному случаю следующей
важной теоремой Адо.
Теорема 1.53. Пусть g — конечномерная алгебра Ли. Тогда
g изоморфна подалгебре алгебры Ли gl(n) для некоторого п.
В качестве непосредственного следствия теоремы Адо и вто-
рой половины теоремы 1.22 мы получаем основное соответствие
между группами Ли и алгебрами Ли.
Теорема 1.54. Пусть g — конечномерная алгебра Ли. Тогда
существует единственная связная односвязная группа Ли G*,
для которой g является ее алгеброй Л и. Кроме того, если G —
любая другая связная группа Ли с алгеброй Ли g, то л: G*->
G — односвязная накрывающая группа группы Ли G.
В самом деле, нам нужно лишь реализовать g как подалгебру
алгебры gl(n) для некоторого п и взять соответствующую под-
группу Ли G группы Ли GL(n). Тогда G* будет односвязной на-
крывающей группой группы Ли G, что гарантирует теорема 1.22.
Важно подчеркнуть, что неверно, будто каждая группа Ли
G изоморфна подгруппе группы GL(n) для некоторого п. В част-
ности, односвязная накрывающая группа группы SL(2, R) не
реализуется как матричная группа Ли!
Экспоненциальное отображение
Экспоненциальное отображение exp: д-> G получается под-
становкой значения е = 1 в однопараметрическую подгруппу,
порожденную полем v:
exp (v) = exp (v) e.
Без труда доказывается, что дифференциал
dexp: Tq |о ~ д->TG |е ~ д
экспоненциального отображения в нуле — тождественное ото-
бражение. (См. упр. 1.27.) Таким образом, по теореме об обрат-
ной функции отображение ехр определяет локальный диффео-
морфизм между алгеброй Ли д и окрестностью единицы груп-
пы G. Следовательно, каждый элемент g группы G, достаточно
близкий к единичному, можно записать как экспоненту: g =
= exp(v) для некоторого veg. Вообще говоря, глобально ото-
бражение ехр: д-э-G не является ни взаимно однозначным, ни
отображением на. (См. упр. 1.28.) Однако, пользуясь предло-
1.4. Алгебры Ли
81
жением 1.24, мы всегда можем записать любой элемент g груп-
пы G как конечное произведение экспонент:
g = exp (vj exp (v2) ... exp (vj
для некоторых Vi, ..., v* из g. Польза от этого наблюдения со-
стоит в том, что доказательство инвариантности некоторого объ-
екта относительно всей группы Ли сводится к доказательству его
инвариантности лишь относительно однопараметрических под-
групп группы G, которая, в свою очередь, вытекает из «инфини-
тезимальной инвариантности» относительно соответствующих ин-
финитезимальных образующих алгебры д. Потрудившись чуть
больше, мы можем на самом деле свести это к доказательству
«инвариантности» относительно базиса {vb ..., vj алгебры Ли д,
причем всякий элемент g группы Ли G выражается в виде
g = exp (e'vij exp (e2v,-2 ) ... exp (efcvtfe) (1.40)
при подходящих e,l e R, 1 i,г, / = 1, ..., k. (Cm. ynp. 1.27.)
Алгебры Ли локальных групп Ли
Возвращаясь к локальной ситуации, мы рассматриваем ло-
кальную группу Ли VcRrc умножением т(х,у). Соответ-
ствующий правый сдвиг /?и: R г задается формулой Ry (х) =
= т(х, у). Векторное поле v на V правоинвариантно, если и
только если
dRy (v Ь) v Up (х) V In (х. у)
при x, у и т(х, у), лежащих в V. Как и в случае глобальных
групп Ли, легко проверить, что всякое правоинвариантное век-
торное поле единственным образом определяется своим значе-
нием в начале координат (единице группы), v|x = d/?x(v|o), и,
следовательно, алгебра Ли g локальной группы V, определяемая
как пространство правоинвариантных векторных полей на V,
является r-мерным векторным пространством. Фактически мы
можем определить алгебру Ли g непосредственно по формуле
группового умножения.
Предложение 1.55. Пусть V с Rr— локальная группа Ли с
умножением т(х,у), х, у е V. Тогда алгебра Ли g правоинва-
риантных векторных полей на V порождается векторными по-
лями
Г
k=\,..., г,
»=i °*
82
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
где
W = ^V,x). (1-41)
Здесь т‘— компоненты отображения m, a d/dxk обозначают
производные по первому множеству г переменных от т(х,у),
в которые подставлены значения х = 0, у = х.
Доказательство. Поскольку ffy(x) = m(x, у), имеем
дХ / if дХ дХ*
Таким образом, достаточно доказать, что
т. е.
^-(0,0) =
дх
1,
О,
i = k,
i =/= k.
Но это тривиально следует из того
тождественное отображение. □
факта, что m (х, 0) = х —
Пример 1.56. Рассмотрим локальную группу Ли из приме-
ра 1.21. Ее алгебра Ли g одномерна и порождена векторным
полем Ъ,(х)дх, где в силу (1.41)
g(x) = ^-(°, ^) = (^-1)2.
Таким образом, v = (x—l)2dx— единственное независимое пра-
воинвариантное векторное поле на V. Заметим, что локальный
гомоморфизм групп %: R->V из примера 1.23 отображает ин-
вариантное векторное поле dt на R в поле —v = d%(dt).
Структурные константы
Пусть g—произвольная конечномерная алгебра Ли, так что
по теореме 1.54 g— алгебра Ли некоторой группы Ли G. Если
ввести в алгебре Ли g базис {vi, ..., vr}, то скобка Ли любых
двух базисных векторов снова должна лежать в д. Таким об-
разом, имеются некоторые постоянные сц, i, j, k = l, ..., r>
называемые структурными константами алгебры Ли д, такие, что
JvP vj = Е i, /=1,...,г. (1.42)
fy — I
1.4. Алгебры Ли
S3
Заметим, что поскольку векторы v(- составляют базис, то, зная
структурные константы, мы можем восстановить алгебру Ли g,
пользуясь формулой (1.42) и билинейностью скобки Ли. Усло-
вия кососимметричности и тождество Якоби накладывают даль-
нейшие ограничения на структурные константы:
(i) Кососимметричность
<% = -ф (1.43)
(ii) тождество Якоби
i + 4,-^- + <№) = 0. (1.44)
Обратно, нетрудно показать, что всякое множество констант с/у,
удовлетворяющее условиям (1.43), (1.44), является множеством
структурных констант некоторой алгебры Ли g.
Конечно, если выбрать новый базис в алгебре Ли g, то, вооб-
ще говоря, структурные константы изменятся. Еслиу,= У, ацУ],
i
то
С^= Е altaimbnkcnlm> (1.45)
l,m, п
где (ft,-,)—матрица, обратная к матрице (а,/). Таким образом,
два множества структурных констант определяют одну и ту же
алгебру Ли, если и только если они связаны соотношением
(1.45). Следовательно, в силу теоремы 1.54 имеется взаимно
однозначное соответствие между классами эквивалентности
структурных констант cq, удовлетворяющих условиям (1.43),
(1.44), и связными односвязными группами Ли G, алгебры Ли
которых имеют данные структурные константы относительно не-
которого базиса. Таким образом, в принципе вся теория групп
Ли сводится к изучению алгебраических уравнений (1.43), (1.44);
однако, это, быть может, слишком уж упрощенная точка зрения.
Таблицы коммутирования
Наиболее удобный способ описать структуру данной алгеб-
ры Ли состоит в том, чтобы записать ее в виде таблицы. Если
g есть r-мерная алгебра Ли и vi, ..., v,— базис в g, то таблица
коммутирования для g будет иметь размеры г X г и на (/, /) -м
месте будет стоять выражение для скобки Ли [v/, v;]. Отметим,
что эта таблица всегда кососимметрична, поскольку [v(-, V/] =
= — [vy, v»]; в частности, все диагональные элементы ее равны
нулю. Из таблицы коммутирования легко извлекаются струк-
84
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
турные константы — а именно, сц — это коэффициент при Vk
в (i, /) -м месте таблицы.
Например, если g = sl(2)—алгебра Ли специальной линей-
ной группы SL (2), состоящая из всех матриц размера 2 X 2 со
следом 0, и мы пользуемся базисом
/О 1\ °А /О 0\
Л' = (о 07’ Лг = 1 0 _ 1 )’ Лз = (1 07’
\ 2 /
то получается следующая таблица коммутирования:
Ai Аг Аз
А, 0 А, -2Аг
Аг -А, 0 Аз
А3 2А2 —Аз 0
Таким образом, например,
Мь Al — АА А А = 2А
и т. д. Структурные константы таковы:
z>l . рЗ _. _ 1__ ___ /-Л —— __рЗ /ч2 —— __ О - — __ /т2
Ь12-С23--- 1 --- С21 - Ь32’ ь13 с31»
а все остальные c}k равны нулю.
Инфинитезимальные действия групп
Пусть G — локальная группа преобразований, действующая
на многообразии М по формуле g • х = Т (g, х) при (g, х)е
е cz G ХМ. Тогда имеется соответствующее «инфинитези-
мальное действие» алгебры Ли g группы Ли G на М. А именно,
если veg, мы определяем ф(у) как векторное поле на М,
поток которого совпадает с действием однопараметрической
подгруппы exp (ev) из G на М. Это означает, что для х е М
* I*=4 L (ехр (ev)’х}=dWx (v le)’ (1 -46)
где Т(£, х). Заметим далее, что так как
4x°Rg(h) = W(h-g, x) = W(h, gx) = 4e.x(h)
в области определения, то
1.4. Алгебры Ли
85
для всякого Gx. Из свойства (1.32) скобки Ли следует, что
ф — гомоморфизм алгебр Ли из g в алгебру Ли векторных по-
лей на М:
[Ф (v), Ф (w)] = Ф ([v, w]), v, weg. (1-47)
Поэтому множество всех векторных полей ф (v), отвечающих по-
лям veg, образует алгебру Ли векторных полей на М, изо-
морфную алгебре Ли д; в частности, она имеет те же струк-
турные константы. Обратно, если задана конечномерная алгебра
Ли векторных полей на М, то всегда найдется локальная группа
преобразований, инфинитезимальное действие которой порож-
дается данной алгеброй Ли.
Теорема 1.57. Пусть wi, ..., w,— векторные поля на мно-
гообразии М, удовлетворяющие условиям
Г
К w/] = X, cowfe’ i, / = 1, • • •, г,
« = 1
для некоторых постоянных сц. Тогда существует группа Ли G,
алгебра Ли которой имеет данные структурные константы отно-
сительно некоторого базиса vi, ..., vr, а локальное действие
группы G на М таково, что i])(v,) = w(- при i = 1, ..., г, где ф
определено формулой (1.46).
Обычно мы будем опускать явное указание отображения ф
и будем отождествлять алгебру Ли g с ее образом ф(д), состав-
ляющим алгебру Ли векторных полей на М. На этом языке мы
восстанавливаем д по группе преобразований, пользуясь основ-
ной формулой
v L = |£=о ехр (ev) х, veg. (1.48)
Векторное поле v из алгебры Ли д называется инфинитезималь-
ной образующей действия группы G. Теорема 1.57 говорит, что
если нам известны инфинитезимальные образующие wi, ..
..., wr, которые составляют базис алгебры Ли, то мы всегда
можем экспоненцированием найти локальную группу преобра-
зований, алгебра Ли которой совпадает с данной.
Пример 1.58. Ли доказал, что с точностью до диффеомор-
физма на вещественной прямой М = R существуют три конеч-
номерные алгебры Ли векторных полей. Это
(а) Алгебра, порожденная полем дх: она порождает дей-
ствие R на М как однопараметрической группы сдвигов: хг—>
г—>х + е.
86
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
(Ь) Двумерная алгебра Ли, порожденная полями дх и хдх,
второе векторное поле порождает группу растяжений: х>—>Кх.
Заметим, что
[дх, хдх] = д_
так что эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли матриц размера
2X2, порожденной матрицами
/О 1\ /1 0\
кО о) И ко О/
Она порождает группу Ли
всех верхних треугольных матриц
вида
а > 0.
Соответствующее действие на R имеет вид х •—> ах + Р- Мы
оставляем читателю проверить, что оно в самом деле опреде-
ляет действие этой группы Ли, инфинитезимальные образующие
которой совпадают с данными.
(с) Трехмерная алгебра, порожденная векторными полями
V! = дх, v2 = хдх, v3 = х2дх,
третье векторное поле порождает локальную группу «инверсий»:
х . , 1
х <—> , е < —.
1 — ех 1 х
Приведем таблицу коммутирования для этой алгебры Ли:
V1 V2 Уз
V1 0 V1 2у2
V2 — V1 0 Уз
V3 — 2V2 — Уз
0
Если мы заменим v3 на —v3 = —х2дх, то получим такую же
таблицу коммутирования, что и для алгебры Ли si (2) с базисом
Таким образом, это локальное действие специальной линейной
группы SL(2) на вещественной прямой с инфинитезимальными
1.5. Дифференциальные формы
87
образующими дх, хдх и —х2дх. Нетрудно видеть, что это дей-
ствие группы есть в точности проективная группа
х ” А ) е SL (2)’
ух + б ’ к у б / v ’
которая является вещественным аналогом комплексной группы
дробно-линейных преобразований.
1.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Изначально возникшие как инструмент для многомерного
обобщения теоремы Стокса, дифференциальные формы играют
фундаментальную роль в топологических вопросах дифферен-
циальной геометрии. Хотя в этой книге я стремился не прида-
вать особого значения использованию дифференциальных форм,
имеется несколько ситуаций (наиболее заметных в § 5.4 о ва-
риационном комплексе), в которых язык дифференциальных
форм исключительно эффективен. Настоящий параграф дает
краткое введение в теорию дифференциальных форм для чита-
теля, интересующегося этими более теоретическими аспектами
данного предмета. Мы начинаем с основного определения.
Определение 1.59. Пусть М — гладкое многообразие и
TMfx — его касательное пространство в точке х. Пространство
дифференциальных k-форм в точке х— это множество
всех ^-линейных кососимметричных функций
«к ТМ\ХК ...
В частности, если мы обозначаем значение формы о на ка-
сательных векторах Vi, ..., vk^.TM\x через <со; V], ..., v*>,
то основные требования состоят в том, что для всех касательных
векторов в точке х
(to; v„ ..., cvt. + , vfe) = с (со; vp ..., v,..+
+ c'<®; vi...<......v*>
для c, c' e R, 1 i k, и
(co; v„„ ..., Ул*) = (—!)"(co; v„ ..., vft>
для каждой перестановки л чисел {1, ..., k}, причем (—1)"
обозначает знак этой перестановки. Фактически пространство
/\kT*M |х является векторным пространством относительно оче-
видных операций сложения и умножения на числа. 0-форма
88
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
в точке х — это по соглашению вещественное число, а простран-
ство Т*М\Х = /\tT*M\x 1-форм, называемое кокасательным про-
странством к М в точке х, является пространством линейных
функций на 7’М|Х, т. е. двойственным векторным пространством
к касательному пространству в точке х. Гладкая дифферен-
циальная k-форма о на М (или, короче, k-форма) — это набор
гладко меняющихся кососимметричных ^-линейных отображе-
ний о |х /\kT*M |х для каждой точки х^М, причем мы тре-
буем, чтобы для всех гладких векторных полей vi, ..., v*
(со; v,, ..., vfe>(x) (<о |x; v, k, ..., vk L>
была гладкой вещественнозначной функцией от х. В частности,
0-форма — это в точности гладкая вещественнозначная функция
f: M->R.
Если (х1, ..., хт)—локальные координаты, то {д/дх\ ...
..., д/дхт} — базис в 7’Л4|Х. Двойственное кокасательное про-
странство обладает двойственным базисом, традиционно обо-
значаемым {дх1, ..., dxm}\ таким образом, (dx‘; д/дх'} = б/ для
всех t, /, где б/ есть 1 при I = / и 0 в противном случае. По-
этому в локальных координатах дифференциальная 1-форма со
выражается следующим образом:
со = hi (х) dxl + ... + hm (х) dxm,
где каждая функция й/(х) гладкая. Заметим, что для любого
векторного поля v = У, (х) д/дх'
т
(со; v)= £ /z, (x)g‘(x)
1 = 1
— гладкая функция. Особенно важную роль играют 1-формы,
задаваемые дифференциалами вещественнозначных функций:
т
df = \dxl, причем (df; v) = v(f).
“ дх
< = 1
Чтобы построить дифференциальные формы высших поряд-
ков, заметим, что из данного набора дифференциальных 1-форм
<01, ..., со* мы можем составить дифференциальную й-форму
(ot л ... A (ofe, называемую внешним произведением, с помощью
формулы
<со( А ... А соь V,, ..., vfc> = det «(Of; v;)).
(1-49)
1.5. Дифференциальные формы
89
Справа стоит детерминант матрицы размера k X k с элемен-
тами (/, /), указанными выше. Заметим, что внешнее произве-
дение. является и полилинейным, и кососимметричным:
СО] Л ... Л (ССО] + Л • • • Л <0й = С (<0] Л ... Л СО. Л ... Л C0ft) +
+ с' (СО] Л ... л со', л ... Л coft),
С0л1 Л ... Л СОЯД, = (—1)Л СО] Л ... Acofe.
Нетрудно видеть, что в локальных координатах пространство
f\kT*M |х порождается базисными ^-формами
dx1 = dx1' Л ... Л dx\
где I пробегает все строго возрастающие мультииндексы
1 Л < 1’2 < ... < ik т. Таким образом, размерность про-
/ т\
странства /\kT*M\x равна I I; в частности, /\kT*M |х {0}
при k > т. Всякая гладкая дифференциальная /г-форма на М
в локальных координатах имеет вид
со = У, а{ (х) dx1,
1
где коэффициент а? для каждого строго возрастающего муль-
тииндекса I является гладкой вещественнозначной функцией.
Например, 2-форма в R3 имеет вид
(со = а (х, у, z)dy л dz + р (х, у, z)dz л dx + у (*, у, z) dx л dy (1.50)
в базисе dyf.dz, dz/\dx = —dx/\dz, dx/\dy, что напоминает
обозначения для интегралов по поверхности. Имеем
®; 1дх + rjdy + £дг, &х + f)dp + £дг) =
= а (т£ — f]g) + ₽ (Й — Й) + Y (^ — |т]).
Если
СО = СО] Л ... Л соА, 0 = 0] л ... л 0/,
— «разложенные» формы, то их внешнее произведение — это
форма
СО Л 0 = СО] л ... Л cofe л 0] Л ... Л 0/,
причем свойство билинейности позволяет распространить это
определение на формы более общего вида:
(ссо + с'со') л 0 = с (со л 0) + с' (со' л 0),
со Л (с0 + с'0') = с (со л 0) + с' (со л О'),
90
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
где с, с' е R. Внешнее произведение ассоциативно:
СО А (0 А £) = ((0 А 0) А £,
и антикоммутативно:
to а 0 = (—1)ы 0 А (о,
если и есть /г-форма, а 0 есть /-форма. Например, внешнее
произведение формы (1.50) и 1-формы 0 = 7.dx Ц- yd у -f- vdz—
это 3-форма
со А 0 = (аХ + Рр + Yv) dx A dy A dz.
Кодифференциал и замена координат
Если F: M-+N — гладкое отображение многообразий, то его
дифференциал dF отображает касательные векторы на М в ка-
сательные векторы на N. Таким образом, имеется индуциро-
ванное линейное отображение F*, называемое кодифференциа-
лом отображения F, переводящее дифференциальные £-формы
на N обратно в дифференциальные /г-формы на М:
F*: \krN\F{x^/\kTM\x.
Оно определяется так, что если a g A k^*N lF (x)> то
(F’(co); Vl ..., vfc) = (co; dF(yd.dF(vk)}
для любого множества касательных векторов vi, ..., v* е
еТ’Л1|А. В отличие от дифференциала кодифференциал пере-
водит гладкие дифференциальные формы на N в гладкие диф-
ференциальные формы на М. Если х =(%’, ..., хт)—локаль-
ные координаты на М, а у = (у1.....Уп)—координаты на N, то
т
F* (dy1) = У • dx‘, где у = F (х),
задает действие F* на базисные 1-формы. Мы заключаем, что
в общем случае
г (£ (у) dy^ = £ a, (F (х)) dxl, (1.51)
где дуЧдх! обозначает якобиан det (di/tx/cb/v), отвечающий
возрастающим мультииндексам I — (ii, ..., /*), J =(ji, /*).
В частности, если у = F(x) определяет замену координат на М,
то (1.51) доставляет соответствующую замену координат для
1.5. Дифференциальные формы
91
дифференциальных й-форм на М. Заметим также, что кодиф-
ференциал сохраняет алгебраическую операцию внешнего про-
изведения:
F*(coaO) = F*(co)aF*(0).
Внутренние произведения
Если со — дифференциальная й-форма, a v — гладкое век-
торное поле, то мы можем составить (k—1)-форму v Jco, на-
зываемую внутренним произведением v на о, определяя ее так,
чтобы
(v J о; Vi, ..., vft_1) = (a>; v, vb .... v^)
для каждого набора векторных полей vi, .... Vk-i- Внутреннее
произведение, очевидно, является билинейным по обоим своим
аргументам, так что достаточно знать его для базисных эле-
ментов:
J (dx/1 Л ... Л dxik) =
дх
( (—1)к-1 dx1' л ... л dx,K~' л dxf*+l л ... л dx'k, i =
(О, i Ф ]'к для всех х.
Например,
дх J dx л dy = dy, дх _]dz /\dx = ~ dz, dx J dy hdz = 0,
так что если форма о имеет вид (1.50), то
(&х + + Ш J со = ($р — т]у) dx 4- (£у — ga) dy + (ца — g₽) dz.
Отметим, что внутреннее произведение действует на формы как
антидифференцирование. Это означает, что
v J (со л 0) = (v J со) л 0(— l)ft«>A(v J 0), (1.52)
если со есть й-форма, а 0 есть /-форма.
Внешняя производная
Кроме чисто алгебраических операций внешнего и внутрен-
него произведений имеются еще две важные дифференциаль-
ные операции. Первая из них обобщает понятие дифферен-
циала гладкой функции (или 0-формы) на произвольную диф-
ференциальную й-форму. В локальных координатах, если
со = X ai (х) dx1 — гладкая дифференциальная й-форма на
92
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
многообразии М, то ее дифференциал или внешняя производ-
ная— это (& + 1)-форма
da = dat A dx1 — -у|- dx! Л dx1. (1.53)
I J. 1
Предложение 1.60. Дифференциал d, переводящий k-формы
в (/г + \)-формы, обладает следующими свойствами'.
(а) линейность:
d (со + с'со') = с da + с' da', где с, с'—• константы,
(Ь) свойство антидифференцирования:
d (со а 6) = (dco) д 6 + (-l)ft со д (40), (1.54)
если со есть k-форма, а 0 есть 1-форма\
(с) замкнутость:
d(dco) = O; (1.55)
(d) коммутирование с кодифференциалом:
F’(dco) = d(F*co)> (1-56)
где F: M^-N — гладкое отображение, а со есть k-форма на N.
Доказательства этих свойств довольно прямые. Линейность
очевидна, а свойство антидифференцирования легко следует из
правила Лейбница. Чтобы проверить замкнутость, нужно лишь
доказать, что d(df) = O для гладкой функции f (поскольку за-
тем мы можем воспользоваться свойствами (а) и (Ь), чтобы
распространить это свойство на общий случай). Однако
m
d(df)= £
i. i =
d2f
dx1 dx1
dx1 /dx1 = V (—dx1 a dx1
^ \дх1дх1 дх’dx1 J
в силу кососимметричности внешнего произведения, так что
замкнутость сводится к равенству смешанных частных произ-
водных. На самом деле свойства (а), (Ь) и (с) вместе с дей-
ствием d на функции служат однозначной характеризацией
дифференциала, и потому d фактически не зависит от выбора
локальных координат. Наконец, чтобы доказать (1.56), нужно
убедиться в справедливости этой формулы лишь в случае функ-
ций: F*(df) =dF*(f), где F*(f) =f°F, а дальнейшее сводится
к обычному цепному правилу. □
1.5. Дифференциальные формы
93
Если М = R3, то дифференциал 1-формы
d (К dx + р dy + v dz) — (уу — р,г) dy л dz +
+ Р-г — vx) dz/\dx-\- (p,x — Ку) dx л dy
можно отождествить с ротором ее коэффициентов: V/Х =
s V X (^, р, v). Аналогично, дифференциал 2-формы
d (a dy л dz + Р dz л dx + Y dx л dy) = (ах + + у2) dx !\dy л dz
можно отождествить с дивергенцией V-a^V-(a, р, у). Свой-
ство (1.55) замкнутости d поэтому превращается в известные
тождества векторного исчисления
VX(Vf) = 0, V(VX^) = O.
Возможно, читателю поучительно посмотреть, какие тождества
векторного исчисления содержатся в этом случае в свойстве
(1.54) антидифференцирования.
Комплекс де Рама
Для данного многообразия М обозначим через Лк — Лк(М)
пространство всех гладких дифференциальных й-форм на М.
Дифференциал d, отображающий й-формы в (k + 1)-формы,
служит для определения комплекса
d d d d d
0^r^a0-^a1-*A2-^... >Am^0,
называемого комплексом де Рама многообразия М. В общем
случае комплекс определяется как последовательность вектор-
ных пространств с линейными отображениями соседних прост-
ранств, обладающими тем свойством, что композиция любой
пары последовательных отображений — тождественный нуль.
В нашем случае последнее требование — это переформулировка
свойства замкнутости d°d — 0 (1.55) дифференциала. Началь-
ное отображение R Ло переводит константу се R в постоян-
ную функцию (0-форму) f(x) =с на М. Отметим, что dc = 0
для любой постоянной с.
Определение комплекса требует, чтобы ядро каждого из ли-
нейных отображений содержало образ предыдущего отображе-
ния. Комплекс является точным, если это включение на самом
деле является равенством. В случае комплекса де Рама точ-
ность означает, что замкнутая дифференциальная й-форма о
(это означает, что do 0) обязательно является точной диф-
ференциальной ^-формой (это означает, что найдется (k—1)-
форма 6, такая, что co = d6). (При k = 0 это означает, что
гладкая функция f замкнута, df — 0, если и только если она
94
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
постоянна.) Очевидно, что всякая точная форма замкнута, од-
нако обратное, вообще говоря, неверно. Простой пример достав-
ляет форма со = (х2 + у2)~1 {у dx — х dy) на многообразии М =
= R2\{0}. Легко видеть, что она замкнута, но не является диф-
ференциалом никакой гладкой однозначной функции, определен-
ной на всем многообразии М. Таким образом, комплекс де Рама,
вообще говоря, не является точным. Замечательно, что чисто то-
пологическая информация о многообразии М определяется тем,
насколько неточен этот комплекс. Этот результат — знаменитая
теорема де Рама — лежит за рамками настоящей книги, и мы
отсылаем заинтересованного читателя к книгам Warner [1],
Bott, Tu [1], в которых развивается эта прекрасная теория.
На локальном уровне для специальных типов областей ев-
клидова пространства Rm имеется лишь тривиальная топология,
и точность комплекса де Рама имеет место. Этот результат, из-
вестный как лемма Пуанкаре, будет справедлив для звездных
областей М cz Rm. «Звездность» означает, что с каждой точкой
х область М содержит отрезок, соединяющий х с началом коор-
динат : {Ах: 0 А 1} с: At.
Теорема 1.61. Пусть MczRm — звездная область. Тогда ком-
плекс де Рама, построенный на М, точен.
Пример 1.62. При М cz Rm всякая m-форма со единственным
образом определяется одной гладкой функцией f: о = f (х) л dxl л
... л dxm, где dx1 л ... Л dxm — стандартная форма объема.
(Это должно зависеть от нашего выбора координат.) Аналогич-
но, всякая (m—1)-форма £ определяется набором из m глад-
ких функций р = (pi, ..., pm), так что
/=i
где
dx? =dxl л ... Л dx/_1 л dx/+l л ... л dxm.
Дифференциал со = dg тогда определяется как обычная дивер-
генция р:
f (х) = div р (х) = S др]1дх!.
Заметим, что всякая m-форма на Rm всегда замкнута, dco = О,
поскольку не существует ненулевых (т-}-1)-форм. Точность
комплекса де Рама в члене Ли, таким образом, означает, что
всякая функция f, определенная на звездной подобласти про-
1.5. Дифференциальные формы
95
странства Rm, может быть записана как дивергенция: f = divp
для некоторого р. Аналогично, (т—1)-форма т] определяется
т(т— 1)/2 функциями qjk(x), j, k = 1, ..., т, где qjk = —qkj,
так что
т
П = £ (-lY+k~l qlk(X)dx^,
i, fe=i
i<k
где
dx& = dxx Л ... A dxi~l л dxi+l A ... A dxk~l л dxk+l л ... л dxm.
Заметим, что условие di} — g эквивалентно условию, что р —
«обобщенный ротор» для q-.
Pi (х) = £ dqjk]dxk, / = 1, ..., т.
Точность комплекса де Рама в этом члене означает тогда, что
каждое векторное поле р(х), определенное на звездной области
в Rm и являющееся бездивергентным (divp = 0), обязательно
будет обобщенным ротором для некоторого такого q.
Производные Ли
Пусть v — векторное поле на многообразии М. Мы часто ин-
тересуемся тем, как некоторые геометрические объекты на М
(такие, как функции, дифференциальные формы и другие век-
торные поля) изменяются под действием потока ехр (ev), порож-
денного полем v. Производная Ли такого объекта на самом
деле укажет нам его инфинитезимальное изменение под дейст-
вием этого потока. (А наши стандартные процедуры интегриро-
вания укажут нам, как восстановить изменение под действием
потока по этому инфинитезимальному изменению.) Например,
поведение функции под действием потока, индуцированного век-
торным полем v, было уже описано (ср. (1.17)), так что v(f)
будет «производной Ли» от функции f по v.
Более общо, пусть о — дифференциальная форма или век-
торное поле, определенное на М. Данная точка х^М через
«время» е перейдет в точку exp(ev)x. Наша цель — сравнить
значение о в точке exp(ev)x с ее исходным значением в точке х.
Однако o|exp(Ev)Jk. и о|х так, как они есть, строго говоря, несрав-
нимы, поскольку принадлежат разным векторным пространствам
(например, в случае векторных полей, ТМ1^^)* и 77И|Ж). Что-
бы осуществить сравнение, нам нужно «переместить» n|exp(evjx
обратно в точку х некоторым естественным способом, а затем
96
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
проводить сравнение. Для векторных полей такое естественное
перемещение — это обращение дифференциала
q>; = dexp(-ev): ТМ \еуМх^ТМ |х,
тогда как для дифференциальных форм мы пользуемся отобра-
жением кодифференциала
Фе = exp (ev)*: Л ъ™ |ехр (ev) х -> Л kT*M |х.
Это позволяет нам дать общее определение производной Ли.
Определение 1.63. Пусть v — векторное поле на М, а о — век-
торное поле или дифференциальная форма на М. Производная
Ли от о по v — это объект, значение которого в точке х^М
равно
V(„)|, _ lim_ 4(„U(,„,). (1.57)
(Отметим, что v(o)—объект того же типа, что и о.)
В случае, когда о — векторное поле, его производная Ли —
уже известный объект — это скобка Ли!
Предложение 1.64. Пусть v и w — гладкие векторные поля на
М. Производная Ли от w по v совпадает со скобкой Ли полей
v и w:
v(w) = [v, w], (1.58)
Доказательство. Пусть (х1, ..., хт)—локальные координа-
ты, в которых v = (х) dldx1, w = £ rf (х) д/дх1. Разлагая по
степеням 8, мы видим, что
т
W lexp (ev)X = £ W + £v W) + 0 (e2)] -£-,
i=l
следовательно, если воспользоваться (1.23) и (1.19),
dexp(-ev)[w|exp(Ev)J =
т
= У W + е [V (nf) - W (Г)] + О (е2)} -А-.
< дх1
i=«l
Подставляя это в определение (1.57), мы выводим (1.58) из
(1.28). □
1.5. Дифференциальные формы
97
Обращаясь к дифференциальным формам, мы видим, что
производную Ли легче всего найти, исходя из ее основных
свойств:
(а) линейности:
v (со + с'<о') = cv (о) + c'v (o'), с> с' ~ константы; (1.59)
(Ь) свойства дифференцирования:
v (о л 0) = v (<о) А 0 + <о A v (0); (1.60)
(с) коммутирования с внешним дифференцированием:
v(d<i>) = dv(a). (1.61)
Свойство коммутирования доказывается с помощью аналогич-
ного свойства кодифференциала (1.56). Свойство дифференци-
рования доказывается точно так же, как правило Лейбница. На
самом деле рассуждения такого типа распространяются на про-
изводные Ли более общих билинейных комбинаций геометриче-
ских объектов. Так, мы получаем полезную формулу
v(w J(i)) = [v, w] J (0 + w J V ((d) (1.62)
для векторных полей v и w и дифференциальной формы со. (См.
упр. 1.35.)
В локальных координатах производная Ли от дифференци-
альной формы определяется следующим образом. Если
то
v (dx‘) = dv (х‘) = d^‘ = У* dx1.
*—' дх1
/=
Поэтому мы получаем общую формулу
V at(x)dx^ =
= X (a^dx1 + X atdxtl A ... A d£K A ... A (1.63)
Заметим, что три свойства (1.59) — (1-61) вместе с действием
на гладкие функции однозначно определяют операцию взятия
производной Ли. Например, если М = R2 и
v = £(x, у)дх + т](х, у)ду,
4 П. Олвер
98
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
то производная Ли от 2-формы равна
v (Y (*> У) dx л dy) = v (у) dx A dy + у dS, a dy + у dx л di] =
= UYx + 4Y» + YL + Y^} dx A dy.
В частности, производная Ли от dxj\dy по v = —удх-\-хду, об-
разующей группы вращений, есть тождественный нуль. Это от-
ражает тот факт, что вращения в R2 сохраняют площадь. (См.
упр. 1.36.)
Предложение 1.65. Дифференциальная k-форма на М инва-
риантна относительно потока векторного поля v:
Up (W)x = еХР (~eV)‘ (“ U>
если и только если v (со) = 0 всюду. (Аналогичный результат
справедлив для векторных полей.)
Доказательство. Применяя 4>E = exp(ev)* к (1.57) и поль-
зуясь основными групповыми свойствами потока, убеждаемся,
что
ехр (ev)* (v (со) |ехр (Ev) х) = {ехр (ev)’ (® lexp (ст) х)} (1.64)
для всех е из области определения. Отсюда легко выводится
наше предложение. □
Наиболее важная для наших целей формула — это формула,
связывающая производную Ли и дифференциал.
Предложение 1.66. Пусть со — дифференциальная форма, а
v — векторное поле на М. Тогда
v(w) — d(v J о) + v J (das). (1-65)
Доказательство. Определим оператор S?v (co) правой частью
равенства (1.65). Поскольку производная Ли однозначно опре-
деляется своим действием на функции и свойствами (1.59) —
(1.61), достаточно проверить, что ЗД обладает теми же свой-
ствами. Прежде всего,
^v(f) = V Jdf = (dh v) = y(f),
так что действие на функции такое же. Линейность оператора
S’v очевидна, а свойство замкнутости d немедленно доказывает
свойство коммутирования:
S’v (das) = d (v J das) = dSv (as).
1.5. Дифференциальные формы
99
Наконец, если со есть й-форма, а 6 есть /-форма, мы, пользуясь
(1.52), (1.54), получаем, что
(со л 6) = d [(v J о) л 6 + (—l)ft со л (v J 0)] +
+ v J [(do) л 0 + (-l)fe<o A (d6)] =
= d(v J co) л 6 + (—l)ft-1 (v J co) л de +
+ (— l)fe (da>) л (v J 6) + (— I)2* co л d (v J 0) +
+ (v J do) л 6 + (-l)ft+1 (do) A (v J 6) +
+ (-1)* (v J co) л (de) + (-l)2ft co л (v J de) =
— 2? у (co) A 6 + CO A S'v (6).
Остальные члены сокращаются. □
Операторы гомотопии
Ключ к доказательству точности комплекса де Рама (или,
если на то пошло, любого другого комплекса) лежит в построе-
нии подходящих операторов гомотопии. По определению это ли-
нейные операторы Л: Л*—>-A*+i, переводящие дифференциаль-
ные й-формы в (k—1)-формы и удовлетворяющие основному
тождеству
со = dh (со) -j- h (do) (1.66)
для всех Jfe-форм со. (Случай k — 0, как разъясняется ниже, не-
много отличается от остальных.) Наличие таких операторов не-
медленно влечет за собой точность комплекса, потому что если
форма со замкнута, do = 0, то (1.66) приводит к равенству со =
= de, где 6 = Л (о), так что форма со точна. Таким образом, нам
нужно лишь сосредоточиться на отыскании этих операторов го-
мотопии.
Вернемся к формуле (1.65) для производной Ли. Если бы мы
могли обращаться с производной Ли как с обычной производ-
ной, то мы бы проинтегрировали обе части равенства (1.65) и
вывели бы формулу гомотопии (1.66). Точнее, мы можем про-
интегрировать формулу (1.64) для производной Ли по е; поль-
зуясь (1.65) и (1.56), находим
Е
ехр (ev)* [о |ехр (EV) J - <4 = $ ехР <«v)* [v М U (ev) J =
о
Е
= J {d [ехр (ev)* (v _] о |ехр (gv) х)] +
о
+ ехр (ev)* [v J do |exp (gv) J} ds.
4*
100
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Если мы определим оператор
Е
Av И L = J еХР <®V)‘ [V J “ Up (ev) x]
0
то получим формулу, похожую на формулу гомотопии,
exp(ev)* [о |ехр (EV) J - о |х = dh* (о) |х + №) |х, (1.67)
которая справедлива для любого многообразия М, любой диф-
ференциальной формы со, любого векторного поля v и всех е е
е R, таких, что определена exp(ev)x.
Сейчас мы в состоянии доказать лемму Пуанкаре (теоре-
ма 1.61) построением оператора гомотопии для звездной об-
ласти М cz Rm. Отметим, что векторное поле растяжения
v0= X xldfdxl имеет поток exp(ev)x = еех, который при х^М
остается в М при всех е 0. Если о = X al{x)dxI есть й-фор-
ма, определенная на всем М, то при е 0
exp (ev0)* [со |ехр (EvJ J = exp (ev0)* [ £ a, (eEx) dx1} =
= 22 a/ (еЕ%)eftE dx1,
поскольку exp(evo)*(rfx‘) = d(eex‘) — ^dx1. Мы можем записать
эту формулу в более простом виде, если обозначим о через о [х].
Тогда получим
exp (evo)*co [х] = о [еех] = 22 ay (еЕх) d (еЕхГ|) л ... л d (eExIfe)-
(Иными словами, мы подставляем еЕх‘ вместо каждого х1 там,
где х' встречается в о, включая дифференциалы dx1.) В этом
частном случае (1.67) при v = v0 принимает вид
о [еЕх] — <в [х] = d/io (и) + Ло (d<i>), (1-68)
где при е 0
в 1
/го (<о) = (v0 J <о) [еЕх] de = — (v0 J о) [Zx]
0 log е
(мы использовали замену переменной Z = loge). Пусть теперь
е—----со. Если о есть й-форма и k > 0, то со [еЕх] ->0 при е->
->—со. Таким образом, (1.68) приводит к формуле гомотопии
(1.66) с оператором гомотопии
1
Л(®)= J(v0J©)[Xx]-^. (1.69)
о
1.5. Дифференциальные формы
101
(Заметим, что в этой формуле мы сначала вычисляем внутрен-
нее произведение v0 J ы, а затем значение в точке Хх.) Если, од-
нако, Л = 0, так что со— гладкая функция f(x), то (1.68) приво-
дит к другой формуле
f (х) - f (0) = dh (f) + h (df) = h (df)
в пределе при е-э—oo, а это приводит к исходному вложению
R -> Ло в комплексе де Рама. Таким образом, доказательство
леммы Пуанкаре завершено.
Пример 1.67. Рассмотрим плоскую звездную область М cz R2.
Если
со = а (х, у) dx + Р (х, у) dy
— произвольная 1-форма, то
v0 J со = (xdx + z/dj,) Jco = xa(x, у) -ф у$ (х, у).
Поэтому функция h(со), полученная применением нашего опе-
ратора гомотопии (1.69) к со, имеет вид
1
h (со) ~ {Zxa (Zx, Ку) + Хт/Р (Хх, Ку)} -^- =
о
1
= (xa(Zx, Ку) + уР (Кх, Ху)} dK.
о
Аналогично, применение h к 2-форме дает 1-форму
1
h [У (х, у) dx Л dy] = (К2ху (Кх, Ку) dy — К2уу (Кх, Ку) dx) ~ =
о
= — s ( Куу (Кх, Ку) dK ? dx -ф s ( Кху (Кх, Ку) dK ? dy,
*0 ' * о '
интегрирование по К не влияет на дифференциалы dx и dy.
В частности, для указанной 1-формы
dco = (рж — ау) dx л dy,
так что формула гомотопии (1.66) приводит к двум формулам —
для а и для р, первая из которых имеет вид
1
а(х, у) = -^-^{ха(Кх, Ку)-\-у$(Кх, Ky)}dK —
о
1
— \ [Px ^у) — ау Лу)] dK.
о
102 Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
Читатель может получить удовольствие, непосредственно про-
верив это последнее утверждение. В частности, если daa = 0, то
со = df, где f — /с (со) такая же, как и выше. Результат того же
сорта справедлив и для 2-форм.
Интегрирование и теорема Стокса
Хотя это и не является центральным предметом темы нашей
книги, было бы несправедливо во введении в дифференциаль-
ные формы обойтись без краткого обсуждения интегрирования
и теоремы Стокса. В самом деле, дифференциальные формы
возникают как «объекты, которые можно интегрировать на мно-
гообразиях». Чтобы определить интегрирование, нам нужно сна-
чала ориентировать m-мерное многообразие Af посредством не
обращающейся в нуль m-формы со, определенной на всем М.
Другая не обращающаяся в нуль m-форма со определяет ту же
ориентацию, если она является положительным скалярным крат-
ным формы со в каждой точке. На таком многообразии М имеет-
ся в точности две ориентации. (Не каждое многообразие ориен-
тируемо. Пример — лист Мёбиуса.) В частности, мы можем
ориентировать Rm (и поэтому всякое его открытое подмноже-
ство), выбрав форму объема dxl л ... A dxm. Отображение F:
Й-^-М двух ориентированных m-мерных многообразий сохра-
няет ориентацию, если кодифференциал ориентирующей формы
на Af определяет ту же ориентацию на М, что и была там за-
дана. Если многообразие А1 ориентировано, то мы можем по-
крыть М сохраняющими ориентацию координатными картами
ТЭК ЧТО фуНКЦИИ перехода ХрОХц1 будут сохраняю-
щими ориентацию диффеоморфизмами на Rm.
Если М — ориентированное m-мерное многообразие, то мы
можем определить интеграл со от любой m-формы со по М.
м
В сущности, мы разрезаем Af на части, отвечающие ориентиро-
ванным координатным картам, и складываем отдельные инте-
гралы
5 ° = (^а’)* ° = f (ХМХ’ л • • • A dxm,
иа va Va
здесь последний интеграл — обычный кратный интеграл по
Vac Rm. Формула замены переменных в кратном интеграле га-
рантирует независимость этого определения от выбора коорди-
нат. Более общим образом, со == Е*со, если F: М-+ М сохра-
ни Л?
няет ориентацию.
Замечания
103
Теорема Стокса связывает интегралы от m-форм по ком-
пактному m-мерному многообразию М с интегралами от (т— 1)-
форм по границе дМ. Простейшее многообразие с границей —
верхнее полупространство Нт={(х1, ..., хт): хт ^0} про-
странства Rm, причем дЦт = {(х1, .... хт-1, 0)} — R"1-1. Вся-
кое другое многообразие с границей определяется с по-
мощью координатных карт где VaczHm открыто
(это означает, что Va — Ц”1 А где открыто). Гра-
ница карты — это дИа = [dVJ, dVa = Va А д!Н"\ а дМ — объ-
единение всех таких границ координатных карт. Таким образом,
дМ — гладкое (m—1)-мерное многообразие без границы.
Граница полупространства Цт получает «индуцированную»
ориентацию (—l)mdx'А ... л dx”1-1 из формы объема dx1 а ...
... A dxm, определяющей ориентацию на самом Цт- Если М —
ориентированное многообразие с границей, то дМ снабжается
индуцированной ориентацией, так что всякая ориентированная
координатная карта Ua-+Va на М сужается до ориентиро-
ванной координатной карты д%а: dUa-±-dVa на дМ. Имея эти
определения, мы можем сформулировать теорему Стокса в об-
щем виде.
Теорема 1.68. Пусть М — компактное ориентированное
m-мерное многообразие с границей дМ. Пусть — гладкая
(т— 1)-форма, определенная на М. Тогда J со = j dco.
ам м
Пользуясь отождествлением дифференциала d с обычными
операциями дифференцирования векторов в R3, читатель может
проверить, что теорема 1.68 приводит к обычной форме теоремы
Стокса и теореме о дивергенции из векторного исчисления. Бо-
лее общо, имеется тесная связь между комплексом де Рама,
теоремой Стокса и топологией многообразия М, но дальнейшее
обсуждение завело бы нас слишком далеко, и на этом мы за-
канчиваем краткое введение в этот предмет.
Замечания
В этой главе мы смогли дать лишь сокращенное введение
в обширные и важные теории групп Ли и дифференцируемых
многообразий. Имеется много прекрасных книг, которые с поль-
зой для себя может изучить читатель, заинтересованный в даль-
нейшем углублении в эти области. Среди них — книги Warner
[1], Boothby [1], Thirring [1; ch. 2] и Miller [2]. Книга Пон-
трягина [1] полезна как образец подхода к этому предмету,
основанного на понятии локальной группы Ли. Она содержит
104
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
много доказательств важных теорем, которые трудно найти где-
либо еще. Можно было бы упомянуть и много других работ.
Исторически эти две области — дифференцируемые многооб-
разия и группы Ли — тесно взаимодействовали в процессе их
развития, причем каждая стимулировала дальнейшую работу в
другой области. Тем не менее, сам Ли извлек исходную мотиви-
ровку из захватывающего успеха применения теории групп Га-
луа к решению полиномиальных уравнений и стремился соз-
дать аналогичную теорию для решения дифференциальных ура-
внений с помощью своей теории непрерывных групп. Хотя он не
достиг этой цели (более изящная теория Пикара—Вессио яв-
ляется правильной «теорией Галуа дифференциальных уравне-
ний»— см. Pommaret [2]), его плодотворное влияние на все ас-
пекты этого предмета продолжается по сей день.
Во времена Ли все группы Ли были локальными группами
и возникали конкретно как группы преобразований некоторого
евклидова пространства. Глобальный абстрактный подход созре-
вал довольно медленно. Первое современное определение мно-
гообразия с координатными картами появилось у Картана (Car-
tan [2]). (Сам Картан сыграл фундаментальную роль в исто-
рии групп Ли; его определение многообразия появилось под
влиянием книги Вейля Weyl [1] о римановых поверхностях, а
также близких идей Шрайера (см. Schreier [1]).) Переход от
локальной группы Ли к сегодняшнему определению, использую-
щему теорию многообразий, также был совершен Картаном
(Cartan [2]). Кроме того, Картан ввел понятие односвязной
накрывающей группы группы Ли и заметил, что односвязная на-
крывающая группа группы SL(2, R) не является подгруппой
никакой матричной группы GL(n) (Cartan [3]). (Интересно, что
имеется реализация этой глобальной группы как открытого под-
множества пространства R3 (Bargmann [1]).) Более доступный
пример группы Ли, которую нельзя реализовать как группу мат-
риц, можно найти в работе Birkhoff [1].
Фундаментальным инструментом Ли в его теории была ин-
финитезимальная форма группы Ли, называемая теперь алгеб-
рой Ли. В локальном варианте теорема о соответствии между
группой Ли и правоинвариантными или левоинвариантными век-
торными полями, образующими ее алгебру Ли, называется пер-
вой основной теоремой Ли. Восстановление локальной группы
Ли по ее алгебре Ли составляет вторую основную теорему Ли;
ее доказательство, не основанное на теореме Адо, можно найти
в книге Понтрягина [1; теорема 89]. Построение глобальной
группы Ли по ее алгебре Ли приведено у Картана (Cartan [3]);
см. также Понтрягин [1; теорема 96]. Доказательство основано
на современной теореме Адо из работы Адо [1] (см. также
Замечания
105
Jacobson [1; гл. 6]), приведенное здесь доказательство — более
новое. В третьей основной теореме Ли утверждается, что струк-
турные константы однозначно определяют алгебру Ли и, следо-
вательно, группу Ли. Полное доказательство существования
общего соответствия между подгруппами группы Ли и подалгеб-
рами ее алгебры Ли можно найти в книге Warner [1; теоре-
мы 3.19 и 3.28]. Теорема 1.19 о замкнутых подгруппах групп Ли
принадлежит Картану (Cartan [2]); доказательство см. Warner
[1; теорема 3.42]. Теорема 1.57 о восстановлении группы пре-
образований по ее инфинитезимальным образующим восходит к
Ли; доказательство см. у Понтрягина [1; теорема 98]. Исполь-
зованное здесь определение регулярной группы преобразований
основано на материале монографии Palais [1] и развивается
далее в гл. 3.
Тогда как векторные поля берут свое начало в изучении ма-
тематической физики, современная геометрическая формулиров-
ка во многом обязана работе Пуанкаре Poincare [1], влияние
которого, как и влияние Ли, прослеживается на всем предмете.
Обозначение для векторного поля, принятое здесь и вообще в
современной дифференциальной геометрии, однако, происходит
из обозначения Ли инфинитезимальных образующих группы пре-
образований. Потоки векторных полей достаточно естественно
возникают в механике жидкости; см. Wilczynski [1], где уста-
навливается связь между их физической и теоретико-групповой
интерпретациями.
Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема
о природе решений определенных систем однородных линейных
уравнений с частными производными первого порядка; см. Fro-
benius [1] и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в
теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в
важной книге Chevalley [1] по группам Ли. (В этой книге в
первый раз была собрана вместе большая часть современных
определений и теорем по этому предмету.) Доказательство полу-
регулярного варианта теоремы Фробениуса можно найти в книге
Warner [1; теорема 1.64], а доказательство, использующее со-
временный метод, принадлежащий Вейнстейну, — в книге Abra-
ham, Marsden [1; Р- 93]. Этот результат распространил на си-
стемы векторных полей переменного ранга Херманн (Hermann
[1], И). Впоследствии он был еще обобщен — см. Sussmann
[1], — однако осталось еще много работы, в частности, по вы-
яснению структуры особых множеств. В этих и других работах
термины «распределение» или «дифференциальная система»
применяются к тому, что мы просто называем системой вектор-
ных полей. (Такая терминология особенно сбивает с толку, ког-
да она появляется в совершенно ином контексте в функциональ-
106
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
ном анализе.) Далее, вместо нашего термина «интегрируемый»
чаще используют термин «вполне интегрируемый», но этот по-
следний имеет совсем другие значения при изучении гамильто-
новых систем, что и мотивирует наш выбор терминологии.
Дифференциальные формы берут свое начало в работе Грас-
смана и в попытках найти многомерное обобщение теоремы Сток-
са. В руках Пуанкаре и Кардана они стали мощным инструмен-
том в изучении дифференциальной геометрии, топологии и диф-
ференциальных уравнений. Уже у Пуанкаре (Poincare [1]) мы
находим основные понятия внешнего произведения, внутреннего
произведения, дифференциала и как многомерную форму теоре-
мы Стокса, так и лемму, носящую его имя. См. также Cartan [1],
где эта теория получает дальнейшее развитие и применяется к
дифференциальным уравнениям. Понятие производной Ли, одна-
ко, в сущности, созданное Пуанкаре (см. также Cartan [1]),
впервые было формально определено Схоутеном и его соавтора-
ми; см. Schouten, Struik [1;р. 142]. Эта последняя работа содер-
жит также первое доказательство леммы Пуанкаре, основанное
на основной формуле гомотопии. Наконец, связи с топологией,
происходящие из теоремы де Рама, можно найти в книгах War-
ner [1; гл. 5] и Bott, Tu [ 1].
Упражнения
1.1. Вещественное проективное m-мерное пространство определяется как
множество всех прямых, проходящих через начало координат в Rm+I. Точ-
нее, мы определяем отношение эквивалентности на Rm+1\{0}, полагая х ~ у,
если и только если х = Ку для некоторого ненулевого числа X. Тогда RPm —
соответствующее множество всех классов эквивалентности в Рт+’\{0}.
(а) Докажите, что RPm — многообразие размерности tn, предъявив
координатные карты.
(Ь) Докажите, что RP‘~S‘, и предъявите диффеоморфизм.
(с) Пусть Sm— единичная сфера в Rm+I. Докажите, что отображение
F: Sm -> RPm, ставящее в соответствие точке г eS” ее класс эквивалент-
ности в RPm, является гладким накрывающим отображением. Что будет про-
образом F-1{z} точки zeppm'j
*1.2. Грассмановы многообразия. Пусть 0 < т < п.
(а) Докажите, что пространство GL(m, и) всех матриц размера mXn
максимального ранга — аналитическое многообразие размерности т п.
(Ь) Пусть Grass (т, п) обозначает множество всех m-мерных подпро-
странств пространства R". Покажите, что на Grass (т, п) можно задать
структуру аналитического многообразия размерности т(п— т). (Указание.
Любому базису такого m-мерного подпространства соответствует матрица
из GL(m, п), строки которой составляют этот базис. Покажите, что базис
можно выбрать так, чтобы эта матрица имела т таких же столбцов, как
единичная матрица; оставшиеся элементы дадут локальные координаты для
Grass(т, п).)
(с) Пусть F: GL(m, п) -+ Grass(ш, п)—отображение, ставящее в соот-
ветствие матрице А подпространство пространства R", порожденное ее стро-
ками. Докажите, что F — аналитическое отображение многообразий.
Упражнения
107
(d) Докажите, что Grass (т, п) и Grass (п— т, п) —диффеоморфные
многообразия. В частности, Grass(l, п) Grass(п—1, n) ~ RP'’-1.
1.3. Пусть <P(/) = ((V2 + cos 21) cos 3/, (V2 + cos 2/) sin 3/, sin 2/) при
0 sg / < 2л. Докажите, что образ <р — регулярная замкнутая кривая в R3—
«трилистник».
1.4. Пусть
<р («, о) = ( 2 cos и + v sin
и « - , - « -
— cos и, 2 sin и + v sin — sin и, v cos
I)
при 0 и < 2л, 0 v 2л. Докажите, что <р — регулярное погружение,
образ которого — лист Мёбиуса в R3.
1.5. Докажите, что если N cz М — компактное подмногообразие, то Л; —
регулярное подмногообразие. (Boothby [1; р. 79].)
1.6. Докажите, что m-мерная сфера Sm односвязна при т 2. Что мож-
но сказать о вещественном проективном пространстве RPm? (См. упр. 1.1.)
1.7. Пусть М = R2\{0}. Докажите, что (х,у)>—>(excos i/, e*sin у) опре-
деляет накрывающее отображение из R2 на М и, следовательно, R2 одно-
связно накрывает R2\{0).
1.8. Пусть М — R2 \ {0}. Докажите, что Т (е, (г, 6)) = (ге~в + (1 — е~в)
6 4-е), ееР, в полярных координатах определяет однопараметрическую
группу преобразований. Найдите ее инфинитезимальную образующую.
Докажите, что каждая орбита — регулярное подмногообразие в Л4, однако
действие группы не является регулярным.
1.9. Рассмотрим систему векторных полей
V! = хду — удх 4- zdw — wdz, v2 = zdx — хдг 4- wdy — ydw
на единичной сфере S3 cz R4.
(а) Докажите, что {vi, v2] составляют интегрируемую систему. Что будет
интегральными подмногообразиями в S3?
(Ь) Пусть л: S3 \ {(0, 0, 0, 1)}R3 — стереографическая проекция (как
в примере 1.3). Какими будут векторные поля dn(vi) и dn(v2) на R3? Ка-
кими будут их интегральные подмногообразия?
1.10. Можно ли построить систему из трех векторных полей u, v, w на
R3, такую, что [и, v] = 0 = [и, w], но [v, w] = 0? Можно ли построить инте-
грируемую систему с такими соотношениями коммутирования? Если можно,
то как будут выглядеть интегральные подмногообразия такой системы?
1.11. Докажите, что векторное поле
v = (—У — 2z (х2 4- у2)) дх 4- хду 4- х (х2 4- у2 — z2 — 1) дг
не задает регулярную систему на R3. Докажите, что всякая интегральная
кривая поля v лежит в одном из торов, рассмотренных в примере 1.42. До-
кажите, что поток, порожденный полем v, будучи ограниченным на один
из этих торов, изоморфен либо рациональному, либо иррациональному потоку
на торе в зависимости от размера тора.
1.12. Предположим, что v— гладкое линейное отображение иа простран-
стве гладких функций, определенных вблизи точки х е М, которое удовлетво-
ряет условиям (1.20)—(1.21). Докажите, что v— касательный вектор к М
в точке х. (Warner [1; с. 21].)
*1.13. Пусть M=R2. Рассмотрим систему векторных полей Ж, поро-
жденную полем Vo = дх и всеми векторными полями вида f(х)ду, где
f: RR — произвольная гладкая функция, все производные которой в нуле
равны нулю: f(n) (0) = 0, п = 0, 1, 2...
(а) Докажите, что система Ж инволютивна.
(Ь) Докажите, что у Ж нет интегральных подмногообразий, проходящих
через какую-либо точку (0, у) на оси у.
los
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
(с) Как вы согласуете это с теоремой Фробениуса 1.40 или 1.41? (Na-
gano [1].)
1.14. Пусть {vi, ..., vr}—конечная инволютивная система векторных
полей на многообразии М. Докажите, что эта система всегда инвариантна
по рангу. (Таким образом, теорема 1.40 — частный случай теоремы 1.41.)
(Hermann [1].)
1.15. Докажите, что множество всех неособых верхних треугольных мат-
риц образует группу Ли Т(п). Какова ее алгебра Ли?
1.16. Рассмотрим матрицу размера 2мХ2п
( 0 /\
/ = (-/ о)’
где I — единичная матрица размера п X п. Симплектическая группа Sp(n)
определяется как множество всех матриц А размера 2n X 2п, таких, что
ATJA = J. Докажите, что Sp (п) является группой Ли, и вычислите ее раз-
мерность. Какова ее алгебра Ли?
1.17. Докажите, что если HaG—связная однопараметрическая под-
группа группы Ли G, то Н изоморфна либо SO(2), либо R.
1.18. Докажите, что если G и Н — группы Ли, то их декартово произ-
ведение G Н — также группа Ли.
1.19. Пусть G и Н — группы Ли. Пусть G действует (глобально) на Н
как группа преобразований:/г—> g-h, geG, h^H, причем gfht-hz) =
= (g'hi) (g-h2). Определим полупрямое произведение групп G и Н, кото-
рое будем обозначать через G£<//, как группу Ли, структура многообразия
у которой такая же, как у декартова произведения G X Н, а групповое
умножение задается формулой
(g, h) (g, h) = (g-g, h-(g- h)).
(а) Докажите, что G&ZH — группа Ли.
(b) Как алгебра Ли группы G(X Н связана с алгебрами Ли групп G
и Я?
(с) Докажите, что евклидова группа Е(т), состоящая из всех сдвигов
и вращений пространства R"', является полупрямым произведением группы
вращений S0(m) и векторной группы Rm, причем S0(m) действует на
R™ как группа вращений. (См. также упр. 1.29.)
1.20. Пусть V = {(х, у}-. |х| < 1} с. R2. Определим отображение
tn: V X V.-»- R2 формулой
т (х, у; z, w) = (xz + х + z, xw {- w + у (z + I)-1), (х, у), (z, w) е V.
Докажите, что т — мультипликативное отображение, превращающее V в ло-
кальную группу Ли, построив для этого отображение взятия обратного
г. Vo V на подходящей подобласти Vo. Какой будет алгебра Ли для V?
1.21. Докажите, что каждая двумерная алгебра Ли либо (а) абелева
(все скобки равны нулю), либо (Ь) изоморфна алгебре Ли с базисом {v, w},
удовлетворяющим соотношению [v, w] = w. Найдите матричное представле-
ние из матриц размера 2X2 для алгебры Ли п. (Ь). Найдите соответствую-
щую односвязную группу Ли. Постройте локальный изоморфизм групп из ло-
кальной группы Ли упр. 1.20 в эту глобальную группу Ли. (Jacobson [1; с. 20].)
1.22. Докажите, что R3 образует алгебру Ли со скобкой Ли, задаваемой
векторным произведением: [v, w] = v X w, v, weR3. Какими будут струк-
турные константы этой алгебры Ли в стандартном базисе пространства R3?
Докажите, что эта алгебра Ли изоморфна 00(3)—алгебре Ли трехмерной
группы вращений. Покажите, что изоморфизм можно устроить так, что дан-
ному вектору veR3 будет соответствовать инфинитезимальная образующая
однопараметрической группы правых поворотов вокруг оси в направлении v.
Упражнения
109
*1.23 . Докажите, что каждая комплексная группа Ли содержит двумер-
ную подгруппу. Справедливо ли это для вещественных групп Ли? (Cohen
[1; р. 50].)
*1.24 . Подгруппа Н группы G называется нормальной, если g~'hg s Н
для любого h е Н и любого g е G. Пусть G/Н обозначает множество клас-
сов эквивалентности на G, где g и @ эквивалентны, если и только если
g = Qh для некоторого йе Н.
(а) Докажите, что если Н cz G — нормальная подгруппа, то на G///
естественно можно ввести структуру группы.
(Ь) Докажите, что подгруппа Ли И группы Ли G нормальна, если и
только если ее алгебра Ли teg обладает тем свойством, что [v, w] е т,
если v eg и w е т.
(с) Докажите, что если Н с G — нормальная подгруппа Ли, то фактор-
группа G/Н является группой Ли с алгеброй Ли g/r. Объясните это.
(d) Найдите все нормальные подгруппы двумерных групп Ли из упр. 1.21.
(е) Есть ли нормальные подгруппы у группы SO(3)?
*1.25. Пусть G — группа Ли. Ее коммутант Н определяется как под-
группа, порожденная элементами ghg-'h"1, g, he G.
(а) Докажите, что H — подгруппа Ли группы G и что алгебра Ли груп-
пы Н — производная подалгебра алгебры g, определяемая равенством г =
= {[v,w]: v, weg}.
(b) Докажите, что коммутант группы SO(3)—сама группа SO(3).
Что можно сказать о группе S0(m)?
(с) Какие коммутанты у двумерных групп Ли, рассмотренных в
упр. 1.21?
1.26. Докажите предложение 1.24. (Указание. Докажите, что U Uk и
открыто, и замкнуто в G). (Warner [1; с. 111].)
1.27. Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли g.
(а) Докажите, что экспоиеициальное отображение ехр: g -> G является
локальным диффеоморфизмом окрестности точки 0 eg на окрестность еди-
ницы в G.
(Ь) Докажите формулу (1.40) для «нормальных координат». (Warner
[1; с. 122 и далее].)
*1.28. Пусть SL(2) обозначает группу Ли матриц размера 2X2 с опре-
делителем, равным +1, и пусть sl(2) —ее алгебра Ли.
(а) Пусть ЛеЯ(2). Докажите, что
ехр А =
(ch б) / + (б ’shfi) Л,
(cos б) / + (б~1 sin б) А,
б = V-- det Л,
6 = VdeFA,
det Л < 0,
det Л > 0.
Что будет в случае, когда det Л = 0?
( X О \
(Ь) Рассмотрим матрицу М = I ) eSL (2), где X =/= 0, Докажите,
\ 0 X z
что М лежит в точности в одной однопараметрической подгруппе группы
SL(2) при X > 0, в бесконечном числе однопараметрических подгрупп при
X — —1 и не лежит ни в какой однопараметрической подгруппе при —1
¥= X < 0. (Это показывает, что экспоненциальное отображение ехр: g G
не является, вообще говоря, ни взаимно однозначным, ни отображением на1)
(Helgason [1; с. 146].)
*1.29. Диффеоморфизм ф: Rm-»-Rm называется изометрией, если он со-
храняет расстояние, т. е. |йф(у) | — |v|) для всех ve7’Rm|Jt, xeR", где
| • | — обычная евклидова метрика £ (dxz)», т. е.
|v|»=£(V)2. v=£gzW-
но
Гл. 1. Введение в теорию групп Ли
(а) Докажите, что векторное поле v= 1,1д/дх1 на Rm порождает
однопараметрическую группу изометрий, если и только если его коэффициен-
ты удовлетворяют системе уравнений с частными производными
дУ
дх*
&У
дх1
дУ
дх1
О, /=1, ..т.
= 0, i=/=j.
(Ь) Докажите, что (связная) групна изометрий пространства Rm, на-
зываемая евклидовой группой Е(т), порождается сдвигами и поворотами и,
следовательно, является т(т + 1)/2-мерной группой Ли.
(с) Что получится, если заменить [• | некоторой неевклидовой метрикой?
Например, рассмотрите метку Лоренца (dx1)2 + (dx2)2+(dx3)2—(dx4)2
на R4. (Eisenhart [1; гл. 6].)
*1.30. Диффеоморфизм ф: называется конформным преобра-
зованием, если |dr|j(v) | = Z(x) | v| для всех ve7’Rm|x, xeR”, где X —
некоторая числовая функция от х, a |v| —как в упр. L29.
(а) Докажите, что векторное поле v = У, (х)д/дх‘ на Rm поро-
ждает однопараметрическую группу конформных преобразований, если и
только если оно удовлетворяет условиям
дУ дУ
dxj дх1
0, i=/=j.
—— = ц. (х), i = 1, ..., т,
дх1
(*)
для некоторой функции р(х).
(Ь) Докажите, что при т 3 конформная группа пространства Rm есть
(т + 1) (т ф- 2)/2-мерная группа Ли. Найдите ее инфинитезимальные обра-
зующие. (Указание. Докажите, что из (*) следует, что все производные треть-
его порядка от функций — тождественные нули.) Что можно сказать про
случай т = 2?
(с) Докажите, что инверсия 1(х) = х/|х|2, O^xeR™, является кон-
формным преобразованием на Rm\{0}.
(d) Докажите, что при т 3 группа конформных преобразований поро-
ждается группами сдвигов и поворотов, группой растяжений xi—» Zx, X > 0,
и инверсией п. (с).
(е) Обсудите случай конформной группы для метрики Лоренца в R4.
(См. упр. 1.29(c).) (Eisenhart [1; гл. 61)
*1.31. Пусть n:Sm\{(0.....0, l)}-»-Rm — стереографическая проекция
единичной сферы пространства Rm+1. Докажите, что если Ле50(т-|-1) —
произвольный поворот сферы Sm, то А индуцирует конформное преобразова-
ние л°Дс'П_| пространства Rm. Как должны соотноситься конформные пре-
образования, построенные в упр. 1.30, и повороты сферы Sm? Докажите, что
при щ^З конформная группа пространства Rm изоморфна группе S0(m+l),
и обсудите, какие у них алгебры Ли.
1.32. Пусть G — локальная группа преобразований, действующая на глад-
ком многообразии М. Для каждой точки х s М группа изотропии Gx опре-
деляется следующим образом: Gx = {g е G: g-x = х}. Докажите, что Gx—
(локальная) подгруппа группы G с алгеброй Ли gz={veg: v|x = 0). Най-
дите подгруппы и подалгебры изотропии группы вращений SO(0), действую-
щей на R3. Пусть y = g-x. Как связаны группы изотропии G« и G*?
1.33. В большинстве изложений теории групп Ли алгебра Ли определя-
ется как пространство левоинвариантных, а не прпвоиивариантных векторных
полей на группе Ли, как это принято у нас. В этом упражнении мы сравни-
ваем эти два подхода.
(а) Дайте определение левоинвариантного векторного поля на группе
Ли G. Докажите, что пространство всех левоинвариаитиых векторных полей
Упражнения
111
на G образует алгебру Ли, обозначаемую gz, которую мы можем отождест-
вить с TG[e.
(b) Пользуясь индексами L и R, чтобы различить эти две алгебры Ли,
докажите, что [v, w]z = —[v, w]R, где векторные поля v и w отождествля-
ются по своим значениям в е.
(с) Пусть группа G действует на многообразии М, как в определении
1.25. Если v лежит в gE или gR, мы можем определить соответствующую ин-
финитезимальную образующую ф(у) на М. Покажите, что равенство (1.47),
справедливое для правоинвариантных векторных полей, неверно для лево-
инвариантных векторных полей. Как меняется формула для скобки Ли (1.47)
в этом случае? С другой стороны, докажите, что если v — левоинвариантное
векторное поле и 'Fg(x) = 'V(g,x), то
d'Vg (ф (v) |х) = ф (v) |g.x,
т. е. инфинитезимальные образующие действия G на М естественно ведут
себя по отношению к преобразованиям из группы G. Покажите, что это не-
верно для правоинвариантных векторных полей.
(d) Какие произойдут изменения, если мы будем считать, что группа G
действует на М справа, т.е. положим x-g = '¥(x,g), x-(g-h) = (x-g)-h^
(Marsden, Ratiu, Weinstein [1].)
1.34. Пусть « = (a, p, у) —векторное поле на R3, причем V a = 0. Поль-
зуясь оператором гомотопии (1.69), постройте векторное поле 7, такое, что
V X 7 = «. Аналогично, если V X 7 = О, то найдите функцию f, такую, что
7 = Vf.
1.35. (а) Пусть v, w — векторные поля, а <о есть 1-форма. Докажите,
что
v(e>; w) = (v(w); w) + (e>; [v, w]).
(b) Более общо, если <o есть fe-форма, докажите, что
k
v<oj; wb wa>) = <v((d); wb w*) + £ (co; wb [v, wj, w*).
(с) Выведите, что
v (w | w) = w | v (w) 4- [v, w] | <a.
1.36. Пусть <£» = dx' A ... A dxm есть m-форма объема в Rm. Пусть
v = 52 V (х) д/дх1 — векторное поле.
(а) Докажите, что производная Ли от ы равна v(w) = divg-w, где
div g — 52 д^/дх1 — обычная дивергенция.
(Ь) Докажите, что поток <рЕ = ехр (ev), порожденный полем v, сохра-
няет объем (это означает, что Vol (<рЕ [S]) = Vol (S) для любого SczRm,
такого, что <рЕ (х) определено для всех xeS), если и только если divg = O
всюду.
1.37. Пусть di = djdx1, дх1, i= 1, ..., т, — стандартные базисы в 7’R’n
и 7*Rm соответственно. Пусть <о есть r-форма на Rm. Докажите следующие
формулы:
дь J (dx1 А <а) = — dx1 A (dk I <о), k=^l,
dk I (dxk A <a) = <o — dxk A (dk I <o),
m
52 dfc J (dxk = — r) <a.
k=i
2. Группы симметрий
дифференциальных уравнений
Полная группа симметрий системы дифференциальных уравне-
ний — это наибольшая локальная группа преобразований, дейст-
вующих на независимые и зависимые переменные системы и
обладающих свойством переводить решения системы в другие
ее решения. Главная цель этой главы — дать удобный система-
тический вычислительный метод, явно определяющий полную
группу симметрий произвольной заданной системы дифферен-
циальных уравнений. Чтобы полностью использовать преиму-
щества инфинитезимальной техники, развитой в предыдущей
главе, мы сосредоточиваем внимание на связных локальных
группах Ли симметрий, оставляя в стороне вопросы, относя-
щиеся к дискретным симметриям (таким, как отражения).
Прежде чем приступать к случаю дифференциальных уравне-
ний, жизненно необходимо решить соответствующую задачу в
более простой ситуации групп симметрий систем алгебраиче-
ских уравнений, что мы и делаем в первом параграфе. Во вто-
ром параграфе изучается точное определение группы симметрий
системы дифференциальных уравнений, что требует знания
того, как именно элементы группы преобразуют решения. Со-
ответствующий инфинитезимальный метод опирается на важ-
ное понятие «продолжения» действия группы на пространство
производных зависимых переменных системы. Ключевая «фор-
мула продолжения» для инфинитезимальной образующей груп-
пы преобразований, данная в теореме 2.36, доставляет основу
для систематического описания групп симметрий дифференци-
альных уравнений. Приложения к играющим важную роль в
физике уравнениям с частными производными, включая урав-
нение теплопроводности, уравнение Бюргерса, уравнение Корте-
вега — де Фриза и уравнения Эйлера течения идеальной жид-
кости, представлены в § 2.4.
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений Ли
показал, каким образом знание однопараметрической группы
симметрий позволяет понизить порядок уравнения на единицу.
В частности, уравнение первого порядка с известной однопара-
метрической группой симметрий может быть решено в квадра-
2.1. Симметрии алгебраических уравнений
113
турах. В случае групп симметрий высших размерностей ситуа-
ция более тонкая: вообще говоря, невозможно понизить порядок
уравнения, инвариантного относительно г-параметрической
группы симметрий, на г единиц, пользуясь только квадрату-
рами. Мы подробно обсудим, как работает эта теория в случае
многопараметрических групп симметрий уравнений высших по-
рядков и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
В последнем параграфе этой главы рассматриваются более
технические математические результаты, и читатель, ориенти-
рующийся на приложения, на первых порах благополучно мо-
жет его пропустить. Основная теорема, обратная к теореме о
существовании групп симметрий, позволяет узнать, каждая ли
(непрерывная) группа симметрий получается указанными ме-
тодами. Кроме алгебраического условия максимальности ранга
дополнительно требуется результат о существовании, известный
как «локальная разрешимость». В случае аналитических си-
стем эти вопросы связаны с проблемой существования у систе-
мы нехарактеристических направлений, что позволило бы при-
менить теорему существования Коши—Ковалевской. Такие
системы объявляются нормальными системами, однако сущест-
вуют и анормальные системы — несколько примеров таких си-
стем мы приводим. Правильное понимание этих вещей будет
решающим для формулирования и доказательства в гл. 5 тео-
рем Нётер, связывающих группы симметрий и законы сохра-
нения.
2.1. СИММЕТРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
Прежде чем рассматривать группы симметрий дифферен-
циальных уравнений, важно как следует разобрать принципи-
ально более простой случай групп симметрий систем алгебраи-
ческих уравнений. Под системой алгебраических уравнений мы
понимаем систему уравнений
Fv(x) = 0, v=l, ..., I,
где F\(x), ..., Fi(x) — гладкие вещественнозначные функции,
заданные на точках х некоторого многообразия М. (Заметим,
что прилагательное «алгебраические» используется лишь, что-
бы отличить этот случай от систем дифференциальных уравне-
ний; оно не означает, что должны быть многочленами — это
произвольные дифференцируемые функции.) Решение — это
точка х^М, такая, что Kv(x) = 0, v=l, .... I. Группой сим-
метрий системы будет локальная группа G преобразований,
действующая на М и обладающая тем свойством, что G пре-
образует решения этой системы в другие ее решения. Иными
114
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
словами, если х— решение, g— элемент группы и определено
действие g на х, то мы требуем, чтобы g-x также было реше-
нием. В этом параграфе мы, главным образом, сосредоточимся
на отыскании легко проверяемых условий того, что данная груп-
па преобразований будет группой симметрий такой системы.
Инвариантные подмножества
Более общо, мы можем рассматривать группы симметрий
произвольных подмножеств данного многообразия.
Определение 2.1. Пусть G — локальная группа преобразо-
ваний, действующая на многообразии М. Подмножество 9Р cz М
называется G-инвариантным, а группа G называется группой
симметрий подмножества д’, если для любых х е д и ge G,
таких, что определено действие g на х, g-x^SP.
Пример 2.2. Пусть М = R2.
(а) Если Gc — однопараметрическая группа сдвигов
(х, у) ь-> (х + се, у е), е е R,
где с — некоторая фиксированная постоянная, то, как легко
видеть, прямые х = су + d Gc-инвариантны, будучи в точности
орбитами группы Gc. Можно также без труда увидеть, что вся-
кое инвариантное подмножество в R2 является просто объеди-
нением некоторого набора таких прямых. Например, полоса
{(х, у)-, ki < х — су <Z k2} Gc-инвариантна.
(b) В качестве второго элементарного примера рассмотрим
однопараметрическую группу G“ растяжений (или группу мас-
штабных преобразований)
(х, у) н-> (Лх, Vz/), Z > О,
где а — константа. Начало координат (0, 0) есть Са-инвариант-
ное подмножество, как и положительные и отрицательные ко-
ординатные полуоси (например {(х, 0): х>0}). Сами оси как
объединения инвариантных подмножеств также инвариантны.
Таким образом, подмногообразие {(х, у): ху = 0), состоящее
из обеих координатных осей, инвариантно. Другие инвариант-
ные множества имеют вид у = & |х|“ при х > 0 или х < 0 либо
являются объединениями указанных орбит группы G“.
В большинстве наших приложений множество д будет мно-
жеством решений или подмногообразием, определяемым как
2.1. Симметрии алгебраических уравнений
115
множество общих нулей набора гладких функций F =
= (Fb •••> Fi)'.
ff> = g>p=z{x: /7v(x) = 0> v=l,
Если множества и ff’z G-инвариантны, то G-инвариантными
будут и множества 1)^2 и П-^2-
Инвариантные функции
Кроме симметрий множества решений системы алгебраиче-
ских уравнений мы можем рассматривать симметрии функции
Е(х), задающей эту систему.
Определение 2.3. Пусть G — локальная группа преобразова-
ний, действующая на многообразии М. Функция F: где
N — другое многообразие, называется G-инвариантной функ-
цией, если для всех хеЛ) и всех g е G, таких, что определено
действие g на х,
F(g x) = F(x).
Вещественнозначная G-инвариантная функция £: назы-
вается просто инвариантом группы G. Заметим, что отображе-
ние F: М —> Rz G-инвариантно, если и только если каждая его
компонента Fv (F = (Fi, Fi))—инвариант группы G.
Пример 2.4. (а) Пусть Gc — группа сдвигов на плоскости,
рассмотренная в примере 2.2(a). Тогда функция
У) = х — су
является инвариантом группы Gc, поскольку
С (х + се, у + е) = £ (х, у)
для всех е. На самом деле нетрудно видеть, что всякий инва-
риант этой группы сдвигов имеет вид £(х, y) = f(x — су), где
f — гладкая функция одной переменной х — су.
(Ь) Для группы растяжений
G1: (х, у) ь-(Лх, Ку), К > О,
функция
£(х, у) = х/у
является инвариантом, определенным на верхней и нижней по-
луплоскостях {у 5^=0}. Среди других инвариантов — угловая
116
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
координата 6 = Arctg (у/х), гладкая, скажем, на R2\{(x, у):
х^О}, но не являющаяся глобально однозначной, и функция
Цх, у) = ху/(х2 + у2),
гладкая всюду, кроме начала координат. В этом случае у груп-
пы G1 не существует отличного от постоянной гладкого гло-
бально определенного инварианта. Аналогичные замечания при-
менимы и к более общим группам растяжений Ga из примера
2.2 (Ь) с а > 0.
Если F: M->Rl есть G-инвариантная функция, то очевидно,
что каждое множество уровня функции F будет G-инвариант-
ным подмножеством многообразия Л1. Однако неверно, что если
множество нулей гладкой функции {х: Е(х) = 0}—инвариант-
ное подмножество многообразия М, то и сама функция инва-
риантна. Например, как мы видели в предыдущем примере,
{(х, у); ху = 0} — инвариантное подмножество группы растя-
жений G1. Но Е(х, у) = ху не является инвариантной функцией
этой группы, поскольку
F (Лх, Лу) = №ху F (х, у)
при % =5^=1. Однако если каждое множество уровня функции F
инвариантно, то F — инвариантная функция.
Предложение 2.5. Если группа G действует на многообразии
М и F: M->Rl — гладкая функция, то F будет G-инвариантной
функцией, если и только если каждое множество уровня
{F(x) = c}, с е Rz, будет G-инвариантным подмножеством мно-
гообразия М.
Доказательство этого результата мы оставляем читателю.
Таким образом, в примере 2.4(a) прямые x = cy-\-d — это про-
сто множества уровня Gc-инвариантной функции £(х, у) = х —
— су, и, следовательно, они автоматически являются Сс-инва-
риантными подмножествами. Обратно, Gc-инвариантность функ-
ции g следует из того факта, что каждое ее множество уровня
Сс-инвариантно (на самом деле это орбиты группы Gc)-
Другая точка зрения на предыдущие наблюдения состоит
в том, что полная группа симметрий множества решений =
= {f (х) = 0} некоторой системы алгебраических уравнений, во-
обще говоря, больше, чем группа симметрий функции F, за-
дающей это множество решений. Здесь «полная группа сим-
метрий» означает, в не совсем строгом смысле, наибольшую
группу преобразований, оставляющих многообразие или функ-
цию инвариантными. Для алгебраических уравнений такая
2.1. Симметрии алгебраических уравнений
117
группа обычно не конечномерна, но идея этого замечания долж-
на быть ясна. Важность расширения нашего понятия симметрии
на симметрии множества решений, а не определяющих их функ-
ций, станет очевидной, когда мы обратимся к группам сим-
метрий дифференциальных уравнений, и приведет нас к боль-
шему разнообразию групп симметрий.
Инфинитезимальная инвариантность
Мощь теории групп Ли заложена в решающем наблюдении,
что сложные нелинейные условия инвариантности подмножества
или функции относительно самих преобразований из группы
можно заменить эквивалентным линейным условием инфините-
зимальной инвариантности относительно соответствующих ин-
финитезимальных образующих действия группы. Этот инфини-
тезимальный критерий легко проверяется на практике и, таким
образом, дает ключ к явному отысканию групп симметрий си-
стем дифференциальных уравнений. Важность его нельзя пере-
оценить. Мы начинаем с более простого случая инвариантной
функции. Здесь инфинитезимальный критерий инвариантности
следует непосредственно из основной формулы, описывающей,
как меняется функция под действием потока, порожденного век-
торным полем.
Предложение 2.6. Пусть G—связная группа преобразова-
ний, действующая на многообразии М. Гладкая вещественно-
значная функция Л! —г< является инвариантной функцией
группы G, если и только если
v (С) = 0 для всех № М (2.1)
и каждой инфинитезимальной образующей v группы G.
Доказательство. В соответствии с (1.17), если х^М, то
С (exp (ev) х) = v (?) [exp (ev) х],
когда выражение exp(ev)x определено. Подстановка е = 0 до-
казывает необходимость условия (2.1). Обратно, если условие
(2.1) выполнено всюду, то
-^-£(exp(ev) х) = 0
в области определения, а следовательно, £(exp(ev)x)—кон-
станта для связной локальной однопараметрической подгруппы
exp(ev) группы Gx = {ge G: g-x определено}. Но в силу (1.40)
каждый элемент группы Gx можно записать в виде конечного
118
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
произведения экспонент инфинитезимальных образующих vi
группы G, и, значит, £(g-x) = g(x) для всех g^Gx. □
Если образующие vb ..., vr составляют базис алгебры Ли
инфинитезимальных образующих группы G (эту алгебру мы
обозначим д), то предложение 2.6 утверждает, что функция
£ (%)—инвариант, если и только если Vfe(£) = 0, k — 1, ..., г.
В локальных координатах
пг
t — l
так что функция £ должна быть решением однородной системы
линейных уравнений в частных производных первого порядка
т
v.(O = E?iWA- = 0, 4=1, ...,г. (2.2)
Пример 2.7, Для группы сдвигов Gc из примера 2.4(a) ин-
финитезимальная образующая — это векторное поле v = cd% +
+ ду. Имеем
v (х — су) = (сдх + ду)(х — су) = с — с = О,
так что условие инфинитезимального критерия выполнено. Ана-
логичное вычисление проверяет инфинитезимальный критерий
(2.1) для инвариантов группы растяжений Ga, инфинитезималь-
ной образующей которой является векторное поле хдх ф- ауду.
Для случая множества решений системы алгебраических
уравнений F(x)—0 инфинитезимальный критерий инвариантно-
сти требует выполнения дополнительных условий на определяю-
щие функции F, а именно условия максимальности ранга из
определения 1.7. (Если функция F случайно оказалась G-инва-
риантной, то в силу предложения 2.5 условие максимальности
ранга может быть опущено, однако в общем случае оно су-
щественно.)
Теорема 2.8. Пусть G — связная локальная группа Ли пре-
образований, действующая на m-мерном многообразии М. Пусть
отображение F: I пг, определяет систему алгебраи-
ческих уравнений
Fv(x) = 0, v = l,
Предположим, что это система максимального ранга, т. е. что
ее матрица Якоби (dFv/dxk) имеет ранг I в каждой точке х,
2.1. Симметрии алгебраических уравнений
119
являющейся решением системы. Тогда G — группа симметрий
этой системы, если и только если
v[Fv(x)] = O, v=l, когда F (х) = 0, (2.3)
для каждой инфинитезимальной образующей v группы G.
(Подчеркнем, что требование (2.3) накладывается лишь на р£-
шения х системы.)
Доказательство. Необходимость условия (2.3) получается
дифференцированием тождества
F (ехр (ev) х) = О,
в котором х — решение, a v — инфинитезимальная образующая
группы G, по е и подстановкой е = 0.
Для доказательства достаточности предположим, что х0 —
решение системы. Используя условие максимальности ранга,
мы можем выбрать локальные координаты у = (у1, ..., ут)
так, чтобы в них хо = 0, а отображение F имело простой вид
F(y) = (y1, •••> У1), ср. теорему 1.8. Пусть
— произвольная инфинитезимальная образующая группы G, вы-
раженная в новых координатах. Условие (2.3) означает, что
vGv) = r(!/) = 0, v=l, ...,/, (2.4)
если только ух=у2= =у1 = 0- Далее, поток <р(е) =
= ехр(ео)-х0 векторного поля v через точку хо = О удовлетво-
ряет системе обыкновенных дифференциальных уравнений
^ = ^(<р(е)), ф‘(0) = 0, /=1, ...,пг.
В силу (2.4) и единственности решения с данными начальными
условиями мы заключаем, что фЛ'(е) = 0 для v = l, ..., I и до-
статочно малого е. Таким образом, мы показали, что если хо —
решение системы F(x) — 0, v — произвольная инфинитезималь-
ная образующая группы G и е — достаточно малое число, то
exp(ev)-x0 снова будет решением системы. Поскольку множе-
ство решений TFf = {х: F(x) = 0} замкнуто, свойство (1.13) и
непрерывность exp(ev) позволяют сделать такое же заключение
для всех g = exp(ev) в связной однопараметрической подгруппе
группы Gx,, порожденной v. Применение формулы (1.40) ана-
120
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
логично тому, как это было сделано в доказательстве предло-
жения 2.6, завершает доказательство теоремы в общем слу-
чае, □
Пример 2.9. Пусть G = SO(2) — группа вращений плоскости
с инфинитезимальной образующей v = —удх-\-хду. Единичная
окружность S1 = {х2 ф- у2 = 1} — инвариантное подмножество
группы SO(2), поскольку это множество нулей инвариантной
функции g(x, у) = х2 + у2 — 1; действительно,
v (С) = —2xi/ + 2ху = 0
всюду, так что условие (2.3) справедливо на самой единичной
окружности. Выполнение условия максимальности ранга для £
следует из того, что градиент V£=(2x, 2у) не обращается в
нуль на S1; впрочем, как было замечено перед теоремой 2.8, нам
на самом деле не нужно проверять это условие, поскольку £ —
инвариантная функция.
В качестве менее тривиального примера рассмотрим функ-
цию
F (х, у) = х4 + х2у2 + у2 — 1.
Имеем
v (F) = — 4х3у — 2ху3 4- 2х3у 4- %ХУ = —2ху (х2 4- 1F (х, у),
следовательно, v(E) = 0 при F = 0. Кроме того,
y/F = (4х3 4- 2х«/2, 2х2у 4- 2у)
обращается в нуль лишь при х = у = 0, но эта точка не явля-
ется решением уравнения F(x, у) — 0; значит, условие макси-
мальности ранга выполняется. Мы заключаем, что множество
решений {(х, у): х4 4- х2У2 4- У2 = О — инвариантное относи-
тельно вращений подмножество пространства R2. Действи-
тельно, мы можем разложить F на множители:
x4 + xV+z/2-l=(x2+ 1)(х2 + у2~ 1),
следовательно, множество решений — это в точности единичная
окружность. Заметим, что функция F(x, у) не будет в этом слу-
чае 5О(2)-инвариантной; на самом деле большинство других
множеств уровня функции F не будут инвариантны относитель-
но вращений.
Наконец, чтобы подчеркнуть важность условия максималь-
ности ранга, рассмотрим функцию
Д(х, у) = у2 — 2у 4- 1.
2.1. Симметрии алгебраических уравнений
121
Множество решений {Н (х, у) — 0} — горизонтальная прямая
{у = 1}, не инвариантная, очевидно, относительно вращений.
Однако
v (Н) = 2х«/ — 2х = 2х (у — 1) = 0
при Н(х, у) = 0, так что инфинитезимальное условие (2.3) в
этом случае не выполняется. Дело в том, что УД = (0, 2у— 2)
обращается в нуль на всем множестве решений, так что усло-
вие максимальности ранга не выполняется.
Условие максимальности ранга необходимо для применения
нашего критерия инфинитезимальной симметрии, играющего
ключевую роль в развитии теории как алгебраических, так и
дифференциальных уравнений. В дальнейшем нам понадобится
несколько элементарных следствий этого условия, и мы сформу-
лируем их здесь для удобства ссылок. Доказательства наме-
чены в упр. 2.5.
Предложение 2.10. Пусть F: М -> R' — отображение макси-
мального ранга на подмногообразии <?е= {х: F(x) = 0}. Тогда
вещественнозначная функция f: Л1 -> R обращается в нуль на
Э’е, если и только если существуют такие гладкие функции
Qi(х), ..., Q/(x), что
f (х) = Q, (х) F, (х) + ... + Q/ (х) Fz (х) (2.5)
для всех хеЛ1
Здесь снова существенно условие максимальности ранга.
Например, пусть F(x, у) = у2 — 2у -J- 1. Тогда функция f (х, у) =
= у — 1 обращается в нуль на всех решениях уравнения
F(x,y)=0, а именно на множестве &’F={y=l}, однако не
существует такой гладкой функции Q(x, у), что f(x, у) =
= Q(x, y)F(x, у).
Согласно предложению 2.10, мы можем заменить инфините-
зимальный критерий (2.3) инвариантности эквивалентным усло-
вием
i
v(Fv)=S v=l.......Л xt=M, (2.6)
ц=1
для функций Qvp.: Af->R, р, v = 1, .... I, которые надо опре-
делить. На самом деле мы доказывали таким способом инва-
риантность во втором случае в примере 2.9, где Q(x, у) =
= —2ху/(х2 + 1). Оба условия (2.3) и (2.6) полезны для про-
верки инвариантности, и оба они будут использоваться в раз-
личных примерах.
122 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Функции Qv(*) из (2.5), вообще говоря, определены неодно-
значно. Например, пусть
Fi(x, у, z) = x, F2(x, у, z) = y,
так что множество решений = {Fi = F2 — 0} — ось z в R3.
Функция
f(x, у, z) = xz + y2
обращается в нуль на 5? и на самом деле может быть записана
как
f = zFi + yF2 или f = (z — у) Ft + (х + у) F2.
Вообще говоря, если
f (х) = £ Qv W Fv W = £ Qv (x) Fv (x),
V V
то разности Rv(x) = Qv(x) — Qv(x) удовлетворяют однородной
системе
£ Rv(x)Fv(x) = Q (2.7)
v— 1
для всех x M. Следующее предложение указывает некоторые
свойства таких функций.
Предложение 2.11. Пусть отображение F: Л1-> Rz имеет ма-
ксимальный ранг на ff’r = {F(x)= 0}. Пусть Ri(x), ..., Ri(x) —
вещественные функции, удовлетворяющие системе (2.7) для
всех х е М. Тогда Rv(x) =0 для всех х^&р и существуют
функции Sv(x), v, р = 1, ..., /, такие, что
i
/?vW=£ х^М. (2.8)
ц=1
Более того, функции SV можно выбрать кососимметричными по
индексам:
S?(x) = -S£(x),
и в этом случае условие (2.8) необходимо и достаточно для то-
го, чтобы условие (2.7) выполнялось всюду.
Локальная инвариантность
Полезно также ввести понятие локально инвариантной функ-
ции или подмножества относительно группы преобразований.
В этом случае мы требуем лишь инвариантности относительно
преобразований из группы, достаточно близких к тождествен-
ному.
2.1. Симметрии алгебраических уравнений
123
Определение 2.12. Пусть G — локальная группа преобразова-
ний, действующая на многообразии М. Подмножество cz М
называется локально G-инвариантным, если для любого хе ТР
существует окрестность Gx cz Gx единицы группы G, такая, что
g • х е & для всех g е Gx. Гладкая функция F: U-+N, где U —
некоторое открытое подмножество в М, называется локально
G-инвариантной, если для любого х е U существует окрестность
Gx единицы е в G, такая, что F(g-x)=F(x) для всех g^Gx.
Функция F называется глобально G-инвариантной (даже если
она определена лишь на открытом подмножестве многообразия
М), если F(g • х) = F(x) для всех х е U, g е G, таких, что
g х е U.
Пример 2.13. Пусть G — группа горизонтальных сдвигов
(х, г/)ь-»(х + е, у)
в R2. Тогда отрезок
{(*, У)' */ = 0, —1 <х < 1}
является локально G-инвариантным, но не G-инвариантным.
Аналогично, функция
{О, или у > 0 и х > О,
e~ily, у> О и х < О,
является гладкой и локально G-инвариантной на H=[R2\{(0, у)-,
у 0}, поскольку
£(х + е, у) = Цх, у)
для |е| < |х|; ясно, что £ не является глобально G-инвари-
антной.
Предложение 2.14. Пусть N cz М — подмногообразие много-
образия М. Тогда N локально G-инвариантно, если и только если
cz 7W|X для всякого x^N. Иными словами, N локально
G-инвариантно, если и только если инфинитезимальные обра-
зующие v группы G всюду касаются N.
Доказательство мы оставляем читателю; см. упр. 2.1.
Инварианты и функциональная зависимость
Часто возникает вопрос, «сколько» инвариантов имеет дан-
ная группа преобразований. Чтобы точно поставить задачу, за-
метим прежде всего, что если £‘(х), ..., tk(x) — инварианты
(локальные либо глобальные) группы преобразований и
F(zl, ..., zk) —произвольная гладкая функция, то £(х) —
124
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
= F(^‘(x), ..., t,k(x)) тоже будет инвариантом (того же типа).
Такой инвариант не добавляет никакой новой информации в
данной задаче и называется функционально зависимым от пре-
дыдущих инвариантов £', . .., £*. Практически нам нужно лишь
классифицировать функционально независимые инварианты дей-
ствия группы, все остальные инварианты получаются с по-
мощью соотношений указанного вида.
Определение 2.15. Пусть ЕДх), . .., £*(х)—гладкие веще-
ственные функции, определенные на многообразии М. Тогда
(а) функции £’, ..., t,k называются функционально зависи-
мыми, если для всякого хе Л! существуют окрестность U точ-
ки х и гладкая вещественная функция F(zl, . . ., zk), не равная
тождественно нулю ни на каком открытом подмножестве про-
странства Rfc, такая, что
F(^(x), ...,№) = О (2.9)
для всех хе U;
(Ь) функции £’, ..., называются функционально незави-
симыми, если они не являются функционально зависимыми ни
при каком ограничении на открытое подмножество U cz М;
иными словами, если функция F(zl, ..., zk) такова, что для
всех х из некоторого открытого подмножества U ст М выполне-
но (2.9), то F(z', ..., zk) see 0 для всех z из некоторого откры-
того подмножества пространства Rfc (которое содержится в об-
разе U).
Например, функции х/у и ху/(х2 + у2) функционально зави-
симы на {(х, у): у =/= 0}, поскольку там
ху ____ х/у f (х_\
х2 + у2 1 + (xjy)2 ' \ у )'
С другой стороны, х/у и х + у функционально независимы в их
области определения, так как если F (х + у, х/у) = 0 для (х, у)
из произвольного открытого подмножества в R2, то по теореме
об обратной функции образ содержит открытое подмножество
из R2, на котором F = 0.
Заметим, что функциональная зависимость и функциональ-
ная независимость не исчерпывают все возможности, кроме слу-
чая аналитических функций, в котором обращение в нуль (2.9)
в некотором открытом множестве влечет за собой обращение в
нуль всюду. Например, гладкие функции
т](х, z/) = x, Цх, у) =
х, «/<0,
х + е~[/у, у > 0,
2.1. Симметрии алгебраических уравнений
125
зависимы в нижней полуплоскости {у < 0}, независимы в верх-
ней полуплоскости {у > 0} и не являются ни зависимыми, ни
независимыми на всей плоскости (х, у). Наконец, заметим, что
функции £*, ..., Zk могут быть локально функционально зави-
симы, но может не существовать такой функции F(zl, ..., zk),
не являющейся тождественным нулем, что (2.9) выполняется
для всех хеМ. Например, образ {(£’(х), ..., X М}
может быть всюду плотным в некотором открытом подмноже-
стве из Rft, так что (2.9) будет справедливо лишь при F = 0.
Классическое необходимое и достаточное условие функцио-
нальной зависимости функций ^’(х), ..., £ft(x) состоит в том,
что их матрица Якоби (д^/дх1) размера k X m всюду имеет ранг
k — 1. (См. замечания в конце этой главы, относящиеся к
доказательству данного результата.)
Теорема 2.16. Пусть t, — (£*, • , £*)—гладкое отображение
из М в Rfe. Тогда Q(x), .... £*(х) функционально зависимы,
если и только если d£|x имеет ранг строго меньше k для всех
х<= М.
Основная теорема, касающаяся числа независимых инвари-
антов группы преобразований, состоит в следующем.
Теорема 2.17. Пусть группа G полурегулярно действует на
m-мерном многообразии М и ее орбиты s-мерны. Если хо е М,
то существует ровно пг — s функционально независимых локаль-
ных инвариантов £’(х), ..., £m~s(x), определенных в окрестно-
сти точки х0. Более того, всякий другой инвариант действия
группы, определенный вблизи точки хо, имеет вид
g(x) = FU‘(x).....Г”'(*)). (2.10)
где F — некоторая гладкая функция. Если действие группы G
регулярно, то эти инварианты можно выбрать так, чтобы они
были глобально инвариантны в окрестности точки х0.
Доказательство. Пользуясь теоремой Фробениуса 1.43, мы
можем выбрать плоские локальные координаты у = ф(х) вбли-
зи точки хо для системы векторных полей g, порожденной инфи-
нитезимальными образующими группы G, в которых орбиты
группы G будут слоями {у1 = 01, ..., ym~s = cm-s}. Тогда но-
вые координаты у1 = £*(х), . .., ym~s = t,m~s(x) сами будут ло-
кальными инвариантами для G, будучи постоянными на каждом
слое. Более того, всякий иной инвариант группы G тоже должен
быть постоянным на этих слоях и, следовательно может быть
126
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
только функцией от у1, .. , ym~s- Наконец, если группа G дей-
ствует регулярно, мы можем выбрать нашу плоскую коорди-
натную карту так, чтобы каждая орбита пересекала ее не более
чем по одному слою. В этом случае z/1, ..., ym~s на самом деле
будут глобальными инвариантами. □
В классической терминологии построенные в этой теореме
инварианты называются полной системой функционально неза-
висимых инвариантов. Мы показали, что если найдена такая
полная система, то любой другой инвариант группы G можно
выразить как функцию от этих инвариантов. Имеется аналогич-
ный результат и для инвариантных подмногообразий.
Предложение 2.18. Пусть группа G действует на многообра-
зие М полурегулярно, и пусть £* (х), ..., (х) — полная си-
стема функционально независимых инвариантов, определенных
на некотором открытом подмножестве W cz М. Если подмного-
образие — {х: F(x) = 0} G-инвариантно, то для каждого ре-
шения Хо е & f существует окрестность W cz W точки х0 и «экви-
валентная» G-инвариантная функция F (х) = F (х), ...
..., Zm~s (х)), множество решений которой совпадает с множе-
ством решений функции F в
^П^ = ^~ПГ = {хеГ: fU'(x), .... r~sW) = 0}.
Доказательство. Заметим прежде всего, что мы можем по-
полнить систему инвариантов у1 = £‘(х), ..., ym~s — t>m~s(x)
так, чтобы получить плоские локальные координаты у =
= (У1, • • , Ут) для G вблизи точки Хо. На самом деле недо-
стающие координаты у = (ym~s+i, ..., ут) можно выбрать сре-
ди данных координат (х1, ..., хт), так что у = х = (х‘1, ...
..., x‘s). Например, если д(£‘, ..., £m~s)/(d(x', ..., xm-s) =/= 0
в точке Хо, то мы можем положить х = (xm-s+l, ..., хт). Такая
замена координат имеет вид г/ = ф(х) = (£(х), х), где £(х)
обозначает инварианты, а компоненты х называются парамет-
рическими переменными. Мы пишем F(x)= F*(z/)= F*(£(x), х)
в этих координатах, так что F* = F ° ф-’. Положим
F^(x)) = K(t(x), х0),
где х0 — значение параметрических переменных х в точке х0.
Поскольку подмногообразие ff’p G-инвариантно и орбиты груп-
пы G в этих координатах — общие множества уровня (или
слои) {£(х) = с} инвариантов, мы получаем, что F*(£(x), х) =
= 0, если и только если F*(£(x), х0) = 0, так как обе точки ле-
жат в одном и том же слое. □
2.1. Симметрии алгебраических уравнений
127
Заметим, что если сама функция F не G-инвариантна, то со-
ответствующая функция F не будет с ней совпадать; совпадают
лишь их множества решений. Например, в случае, представлен-
ном в примере 2.9, функция F(x, у) = х4 -J- х2у2 + у2— 1 имеет
то же множество решений, что и SO (2)-инвариантная функция
F(x, у) = х2 + у2— 1, хотя они, очевидно, нигде не совпадают.
Методы построения инвариантов
Осталось показать, как найти инварианты данного действия
группы. Предположим сначала, что G — однопараметрическая
группа преобразований, действующая на М, с инфинитезималь-
ной образующей
V — (х) дх1 4- . . . 4- В"1 (х) дхт ,
выраженной в некоторых данных локальных координатах. Ло-
кальный инвариант С (х) группы G — это решение линейного
однородного уравнения с частными производными первого по-
рядка
v(g) = g1(x)^r+...+Г^г = 0. (2.11)
Теорема 2.17 утверждает, что если v|x=/=0, то существует т— 1
функционально независимых инвариантов; следовательно, урав-
нение (2.11) имеет в окрестности точки хо т—1 функциональ-
но независимых решений.
Классическая теория таких уравнений показывает, что об-
щее решение уравнения (2.11) можно найти интегрированием
соответствующей характеристической системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
dx1 dx2 dxm |Г1Ч
g‘(x) ~ |2(х) ~ ••• — lm(x) •
Решения системы (2.12) имеют вид
<.1 ( 1 m\ л т\
£ (х , . . ., X ) = сь ..., £ (х , . . ., X ) = cm_j,
где Ci, ..., Cm-i — постоянные интегрирования, а £'(х) —функ-
ции, не зависящие от С/. Теперь легко видеть, что функции
£’, ..., L,m~l — искомые функционально независимые решения
уравнения (2.11). Любой другой инвариант, т. е. любое другое
решение уравнения (2.11), обязан быть функцией от
.. ., £т_|. Проиллюстрируем эту технику двумя примерами.
128
Гл. 2. Группы симметрии дифференциальных уравнений
Пример 2.19. (а) Рассмотрим группу вращений SO (2),
имеющую инфинитезимальную образующую v = —удх + хду.
Соответствующая характеристическая система — это
dx dy
—У х '
т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение первого поряд-
ка, которое легко решается; его решения х2 + у2 = с, где с —
произвольная постоянная. Таким образом, £(х, у) = х2-\-у2
(или любая функция от £) — единственный независимый инвари-
ант группы вращений.
(Ь) Рассмотрим векторное поле
д । d г , d
v — —W-5—h x —h (1 +
dx 1 dy 1 ' 1 ' dz
определенное на R3. Заметим, что v никогда не обращается в
нуль, поэтому можно найти два независимых инварианта одно-
параметрической группы, порожденной векторным полем v, в
окрестности любой точки в R3. Характеристической системой в
этом случае является
dx _ dy __ dz
—у х 1 + z2
Первое из этих двух уравнений было решено в примере (а),
так что один из инвариантов — радиус г = х2 -J- у2. Чтобы най-
ти другой инвариант, заметим, что г постоянно для всех реше-
ний характеристической системы, поэтому мы можем, прежде
чем интегрировать, заменить х на Vf2 — У2- Это приводит к
уравнению
dy ____ dz
'jr' -y1 ~ 1 + z2 ’
которое имеет решение
arcsin у- = arctg z + k,
где k — произвольная постоянная. Таким образом,
arctg z — arcsin -у- = arctg z — arctg y-
— второй независимый инвариант для v. Немного более простое
выражение получится, если взять тангенс от этого инварианта,
который равен (xz — y)/(yz + х), так что
2.1. Симметрии алгебраических уравнений
129
доставляют полную систему функционально независимых инва-
риантов (при yz #= —х). Как обычно, всякая функция от г и £
также является инвариантом, так что, например,
г x + yz
VT+T УЛ7?
тоже инвариант, который вместе с г составляет еще одну пару
независимых инвариантов. (Эта итерационная техника, исполь-
зующая знание некоторых инвариантов для упрощения вычис-
ления оставшихся инвариантов, вообще очень полезна при ре-
шении характеристических систем.)
Вычисление независимых инвариантов г-параметрических
групп преобразований при г > 1 может оказаться очень слож-
ным. Если векторные поля vk = 1Л(х)д/дх\ k = I,
составляют базис инфинитезимальных образующих, то, чтобы
найти инварианты, нужно решить систему однородных линей-
ных дифференциальных уравнений с частными производными
первого порядка
т
vft© = y'Blw|^- = o, k = \,
Иными словами, каждый инвариант £ должен быть общим ин-
вариантом для всех векторных полей Vi, ..., Vk. Один способ
состоит в том, чтобы сначала вычислить инварианты одного век-
торного поля, скажем, vb Поскольку всякий общий инвариант £
должен быть, в частности, инвариантом поля Vi, мы можем
записать £ как некоторую функцию от вычисленных инвариан-
тов поля Vi. Таким образом, можно найти выражения для
оставшихся векторных полей v2, ..., vr, пользуясь инвариан-
тами поля Vi как координатами, а затем искать общие инвари-
анты этих «новых» г — 1 векторных полей. Индуктивное осу-
ществление этой процедуры приведет в конце концов к общим
инвариантам всех векторных полей, выраженным в терминах
общих инвариантов первых г— 1 из них. Этот процесс станет
яснее на примере.
Пример 2.20. Рассмотрим векторные поля
v = -y-^- + w = 2xz-^— -ф 2yz-^—-]- (z2 + 1 — x2 — y2)-^-
J dx 1 dy ’ dx 1 dy 1 ' 1 y ' dz
на R3. Они рассматривались в примере 1.42, где было показано,
что они порождают двухпараметрическую абелеву группу пре-
образований на R3, регулярную на М = R3\ ({х = у = 0} U
5 П. Олвер
130 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
U {х2 + У2 = 1, z = 0}). Инвариант £(х, у, г) — решение пары
уравнений v(£)=0 = w(£). Прежде всего заметим, что неза-
висимые инварианты поля v — это в точности r = V*2 + fl2 и 2.
Выразим теперь поле w через г и Z:
w = 2rz + (z2 + 1 — г2) -%—.
дг 1 ' 1 ' oz
Поскольку £ должна быть функцией от инвариантов г, z век-
торного поля v, она должна быть решением дифференциаль-
ного уравнения
w (£) = 2пг-g-+ (22 + 1 - г2)= 0.
Характеристической системой в этом случае будет
dr _______________________ dz
Irz z2 + 1 — г2
Гешая это обыкновенное дифференциальное уравнение, полу-
чаем, что
г2 + г2+1 x2+y2+z2+l
г V*2 + У2
является единственным независимым инвариантом этой группы.
(Этот результат был дан в примере 1.42 без подробных проме-
жуточных вычислений.)
2.2. ГРУППЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предположим, что мы рассматриваем систему & дифферен-
циальных уравнений, включающую р независимых переменных
х = (х1, ..., хр) и 9 зависимых переменных и — (и1, . .., и4).
Решения этой системы будут иметь вид и = f(x), или, покомпо-
нентно, иа = fa(xl, ..., хр), а = 1, ..., q *). Пусть X = R₽
с координатами х = (х1, ..., хр) — пространство, представляю-
щее независимые переменные, и пусть U = R" с координатами
и = (и1, ..., uq) представляет зависимые переменные. Группа
симметрий системы S — это локальная группа преобразований,
которую мы обозначаем через G, действующая на некотором
открытом подмножестве М с. X X G таким образом, что «G пе-
реводит решения системы S в другие решения системы S». От-
метим, что в нашем определении симметрии мы допускаем про-
') Мы систематически используем латинские буквы для верхних или ниж-
них индексов, когда речь идет о независимых переменных, и греческие буквы,
когда речь идет о зависимых переменных.
2.2. Группы и дифференциальные уравнения
131
извольные нелинейные преобразования и зависимых, и незави-
симых переменных.
Чтобы действовать строго, мы должны точно объяснить, как
данное преобразование g из группы Ли G преобразует функцию
w = f(x). Мы начинаем с отождествления функции и = f(x) и
ее графика
rf = {{х, f(x)): x^Q}czXXU,
где ЙсХ — область определения функции f. Заметим, что
Г/ — некоторое р-мерное подмногообразие в X X U. Если
Рис. 6. Действие группы преобразований на функцию.
Г/ с Mg, где Mg — область определения преобразования g, то
преобразование g переводит Tf в
g • Tf = {(х, й) = g • (х, и): (х, и) «= Tf}.
Множество g-Tf не обязано быть графиком какой-либо одно-
значной функции й = 1(х). Однако, поскольку группа G дей-
ствует гладко и единичный элемент группы G оставляет Tf не-
изменным, подходящим образом уменьшив область определе-
ния Q функции f, мы гарантируем, что для элемента g, близкого
к единичному, результат преобразования £-Гу = Гу является
графиком некоторой одозначной гладкой функции w=f(x). Мы
пишем f = g-f и называем функцию f образом функции f при
преобразовании g.
Пример 2.21. Пусть р = 1, q = 1, так что X = R с един-
ственной независимой переменной хи U = R с единственной
зависимой переменной и. (Таким образом, мы находимся в си-
туации, когда есть одно обыкновенное дифференциальное урав-
5*
132 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
нение, содержащее одну функцию u=f(x).) Пусть G = SO(2)—
группа вращений, действующая на X X U ~ R2. Преобразова-
ния из группы G задаются формулой
(х, П) = б(х, и) = (хcos6 — и sin 6, х sin 6 + «cos6). (2.13)
Предположим, что и = f(x)—функция, графиком которой яв-
ляется подмножество Fj czX\U. Группа SO (2) действует на f
вращением ее графика. Очевидно, что, если угол 6 достаточно
велик, повернутый график 6-Гг не будет графиком однозначной
функции. Однако если f(x) определена на конечном интервале
а^х^Ь и |б| не слишком велик, то б-Г^ будет графиком
корректно определенной функции й = f (х), = б • Tf.
В качестве характерного примера рассмотрим линейную
функцию
и = f (х) = ах + Ъ.
Ее график — прямая, так что, повернув его на угол 6, мы полу-
чим другую прямую, которая, если только она не оказалась
вертикальной, будет графиком другой линейной функции б-/ =
= f, образа функции f при вращении на угол 6. Чтобы получить
точную формулу для б-f, заметим, что по формуле (2.13) точка
(х, и) = (х, ах + Ь) на графике функции f перейдет в точку
(х, и) = (х cos 6 — (ах + b) sin б, х sin б + (ах + b) cos б).
Чтобы найти ii = f(x), мы должны исключить х из пары урав-
нений; это можно сделать, если ctg б 0 (в частности, если
угол б достаточно близок к б), т. е. если график не вертикален.
Получаем
х + b sin 0
X ~~----------гг
cos 0 — a sin 0
следовательно, Q-f = f задается формулой
„_____________г _____ sin 0 + д cos 0 „ ._b_____
U ' cos 0 — a sin 0 Х ‘ cos 0 — а sin 0
Это, как мы отметили ранее, снова линейная функция.
В общем случае процедура нахождения образа f=g-f функ-
ции f почти такая же, как в этом элементарном примере. Пред-
положим, что преобразование g задано в координатах форму-
лой
(х, й) = g • (х, u) = (Bg(x, и), <Dg(x, u)),
где Sg, Фе — гладкие функции. Тогда график = g • rf функ-
ции g-f параметрически задается уравнениями
x = Sg(x, f(x)) = Sgo(1XF)W,
й = Фв(х, f(x)) = <Dgo(1Xf)(x). •
2.2. Группы и дифференциальные уравнения
133
Здесь И обозначает функцию, тождественную на X, так что
1 (х) = х, а X — декартово произведение функций. Чтобы явно
найти f — g-f, мы должны исключить х из этих двух систем
уравнений. Поскольку при g = е Se ° (1 X f) = 1, мы знаем,
что для g, достаточно близкого к единичному элементу, матри-
ца Якоби отображения ЕЙ°(1Х/) невырожденна, и, следова-
тельно, по теореме об обратной функции мы можем локально
разрешить первую систему относительно х:
x = [SgO(HXf)]-,(x).
Подстановка во вторую систему дает требуемое уравнение для
g-f-
g f == [<Dg о (1X f)] ° [Sg о (1 X ЛГ, (2.14)
которое имеет место, если обратим второй сомножитель. Эта об-
щая формула довольно громоздкая, чего и следовало ожидать,
исходя из нашего опыта работы с линейными функциями и груп-
пой вращений.
Пример 2.22. Рассмотрим частный случай группы G преобра-
зований лишь независимых переменных х. Преобразования из
группы G имеют специальный вид
(х, H) = g- (х, и) = (Sg (х), и),
где Eg на самом деле — диффеоморфизм пространства X и
Sg =8 -i там, где они определены. Если Г/ = {х, f(x))}—
график гладкой функции, то его образ g-Ef = {g-(x, f(x))}
всегда будет графиком гладкой функции. Действительно,
(х, u) = g-(x, f(x)) = (Ee(x), f(x)).
Мы легко можем исключить х, обращая Eg:
« = F(x) = f(Hg-1(x)) = f(Sg-.(x)).
Например, если G — группа сдвигов
(х, и) ь-> (х + еа, и), е s R,
где а^Х фиксировано, то образ функции и= f(x) —сдвиг
й = f (х) = f (х — еа)
функции f.
Аналогичный результат справедлив в более общем случае
проектируемой группы преобразований, когда действие на неза-
висимые переменные не зависит от зависимых переменных:
g • (х, и) = (Ев (х), Фв (х, и)).
134
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Например, однопараметрическая группа
gE: (х, t, и)н->(х + 2е/, t, е~ЕХ~ЕЧи), е е R,
возникает как группа симметрий уравнения теплопроводности.
(См. пример 2.41.) Если и = f(х, t) — произвольная функция,
то ge преобразует ее в функцию
~ -ех—еЧ , -ех-е2/
и = е • и — е • f(x, г),
которую можно выразить через (х, t) = ge- (х, t) = (х + 2d, t).
Поэтому в данном частном случае преобразованная функция
имеет вид
й = е-Е (Х-2ЕЙ-ЕЧ . f (х — 2Et, t) = e-Bx+E?l f (х — 2eI, t).
(Отметим несоответствие с выражениями для самих преобразо-
ваний из группы. Советуем читателю разобрать несколько при-
меров, чтобы усвоить, как это практически делается.)
Мы можем теперь дать строгое определение понятия группы
симметрий системы дифференциальных уравнений.
Определение 2.23. Пусть — система дифференциальных
уравнений. Группа симметрий системы 9? — это любая локаль-
ная группа преобразований, которую мы обозначаем G, дей-
ствующая на открытом подмножестве М пространства незави-
симых и зависимых переменных системы, обладающая следую-
щим свойством. Если и = f(x)—решение системы и если для
ge G определено g-f, то и — g-f{x) —также решение систе-
мы. (Под решением мы понимаем любое гладкое решение и =
= f(x), определенное на любой области Q cz X.)
Например, в случае обыкновенного дифференциального
уравнения ихх = 0 группа вращений SO (2), рассмотренная в
примере 2.21, очевидно, является группой симметрий, поскольку
решения — это все линейные функции, а группа SO (2) перево-
дит любую линейную функцию в другую линейную функцию.
Другой простой пример — уравнение теплопроводности ut=uxx.
Здесь группа сдвигов
(х, t, и) t—> (х + efl, t + £Ь, w), е е R,
является группой симметрий, поскольку u=f(x — eu, t — еЬ)—
решение уравнения теплопроводности, если и = f(x, t)—ре-
шение. Читатель может доставить себе удовольствие убедиться,
что группа, выписанная в конце примера 2.22, также является
2.3. Операция продолжения
135
группой симметрий уравнения теплопроводности. Это означает,
что функция
W = e-EX+e2/fU-2ef, t)
является решением уравнения теплопроводности, если и =
— f(x, 0 —решение этого уравнения.
Одно из очевидных преимуществ знания группы симметрий
системы дифференциальных уравнений состоит в том, что мы по
известным решениям можем строить новые. А именно, если нам
известно решение u = f(x), то в соответствии с определением
й = g-f(x) —тоже решение для любого элемента g группы G,
так что у нас есть возможность построить целое семейство ре-
шений, подвергая известное решение действию всевозможных
элементов группы. Например, в рассмотренном выше случае
группы симметрий уравнения теплопроводности, исходя из три-
виального решения и = с, мы выводим существование двупара-
метрического семейства экспоненциальных решений
/ —ех+еЧ
u(x, t) = ce
Мы могли бы далее подвергнуть эти решения действию группы
сдвигов, но в этом случае новых решений не получится. Читатель
может попытаться увидеть, что происходит с другими изве-
стными решениями уравнения теплопроводности, например
с фундаментальным решением, под действием этой группы.
Основная цель этой главы — получить работоспособный кри-
терий, позволяющий легко проверять, является ли данная
группа преобразований группой симметрий данной системы
дифференциальных уравнений. По прямой аналогии с критерием
теоремы 2.8 для систем алгебраических уравнений этот крите-
рий будет инфинитезимальным. На самом деле, как только мы
разработаем соответствующие геометрические представления
для изучения систем дифференциальных уравнений, мы будем
готовы непосредственно обратиться к теореме 2.8, чтобы уста-
новить инфинитезимальный критерий инвариантности. А имея
этот критерий в руках, мы будем готовы не только упростить
проверку того, является ли данная группа группой симметрий
нашей системы; на самом деле мы будем в состоянии вычислить
наиболее общую группу симметрий системы посредством ряда
совершенно стандартных вычислений.
2.3. ОПЕРАЦИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ
Прежде чем осуществлять нашу программу отыскания сим-
метрий дифференциальных уравнений, пользуясь аналогией
с инфинитезимальными методами для алгебраических уравне-
136
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
ний, которые обсуждались в § 2.1, нам нужно заменить не-
сколько расплывчатое понятие системы дифференциальных
уравнений конкретным геометрическим объектом, который опре-
деляется обращением в нуль некоторых функций. Чтобы сде-
лать это, нам нужно «продолжить» основное пространство
X X U, представляющее независимые и зависимые переменные,
до пространства, представляющего также различные частные
производные, встречающиеся в системе. Эта конструкция пред-
ставляет собой сильно упрощенный вариант теории расслоения
струй, возникающей в дифференциально-геометрической теории
уравнений с частными производными. Чтобы избежать введения
слишком обширного постороннего аппарата, мы работаем здесь
исключительно в евклидовом пространстве. (Обобщения см.
в § 3.5.)
У данной гладкой вещественной функции f(x) = /(xI, ..., %₽)
от р независимых переменных имеется
( р + k — 1 \
k /
различных частных производных &-го порядка. Мы пользуемся
мультииндексным обозначением
djf (х) = ——?-----т—
дх 'дх 2 ... dxk
Pk =
dkf(x)
для этих производных. В таких обозначениях / = (/ь .... /*) —
неупорядоченный набор k целых чисел, таких, что 1 <5 / к <5 р,
указывающих, по каким переменным берутся производные.
Порядок такого мультииндекса, который мы обозначаем 41=/ =
= k, указывает, как много производных взято. Более общо,
если f: X-+U—гладкая функция из X с* R₽ в U ~ R9, так что
и = f(х) = (F1 W> •••> то требуется q-pk чисел и/ =
= djfa(x), чтобы представить все различные частные произ-
водные &-го порядка всех компонент функции f в точке х.
Пусть = —евклидово пространство этой размерности,
снабженное координатами и}, отвечающими а = 1, ..., q и
мультииндексам J = (/ь ..., jk) порядка k, предназначенное,
чтобы представить указанные производные. Далее, пусть
Д(п) = t/x X ••• X Пп — декартово произведение. Координа-
ты этого пространства представляют все производные функций
и = f(x) всех порядков от 0 до п. Отметим, что t/(n) — евкли-
дово пространство размерности
/ р + п \
q + qpi + • • • яРп = <7 п ) = qp(n)-
2.3. Операция продолжения 137
Типичная точка пространства t/(n) будет обозначаться через п(п>,
так что м(п) имеет q-p{n} различных компонент и}, где а= 1, ...
..., q, a J пробегает все неупорядоченные мультииндексы J =
= (/ь • • •, jk) с 1 /к р и 0 k п. (Мы принимаем, что
для k = 0 имеется только один такой мультииндекс, который
обозначается 0, а «о означают в точности компоненты иа самой
функции и.)
Пример 2.24. Рассмотрим случай р = 2, q=l. Тогда
— R2 имеет координаты (х1, х2) = (х, у), a t/~R имеет одну
координату и. Пространство Ui изоморфно пространству R2
с координатами (их,иу), поскольку они представляют все част-
ные производные первого порядка функции и по х и у. Анало-
гично, U2 — R3 имеет координаты (ихх, иху, иуу), соответствую-
щие частным производным второго порядка функции и, и в об-
щем случае Uk ~ Rfe+I, поскольку имеется k + 1 частных произ-
водных функции и порядка k, а именно dku/dxldyk~l, i = 0, ...
..., k. Наконец, пространство £/(2) = С/Х X П2—R6 с коор-
динатами w(2) = (п; их, иу; ихх, иху, иуу) представляет все произ-
водные функции и по х и у порядка не больше 2.
Для данной гладкой функции w=f(x), f: Х->С/, имеется
индуцированная функция uw = pr<n)f(x)> называемая n-м про-
должением функции f, которая определяется уравнениями
Таким образом, рг(">/ — это функция из Л в пространство
С/(п), и для каждого х из X pr(n)f(x) — это вектор, q-p^ компо-
нент которого представляют собой значения функции f и всех ее
производных вплоть до порядка п в точке х. Например, в рас-
смотренном выше случае р = 2, q = 1 для данной функции
и = f (х, у) второе продолжение w(2) = pr<2>f (х, у) задается фор-
мулой
, . , \-ft- df df d2f d2f d*f \
(U, Ux, Uy, Uxx, UXy, Uyy) — (J, дх , д{/, дхг, gx Qy , dytJ,
(2.15)
где все вычислено в точке (х, у). Другой способ рассматривать
n-е продолжение pr<">f(x) состоит в том, чтобы представлять
его многочленом Тейлора степени п функции f в точке х, по-
скольку производные порядка определяют многочлен Тей-
лора и наоборот.
Полное пространство XX^W. координаты которого пред-
ставляют независимые переменные, зависимые переменные и
138
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
производные от зависимых переменных вплоть до порядка п,
называется пространством струй п-го порядка (п-струй) про-
странства XX U. (п-е продолжение рг<"7(х) называют также
п-струей функции f, однако мы будем придерживаться более
осмысленного термина «продолжение».) Нас часто интересуют
дифференциальные уравнения, определенные не на всем про-
странстве XX U, а лишь на некотором открытом подмножестве
М с X X U. В этом случае мы определяем пространство п-струй
ЛМХ^Х XUn.
Еслип = Нх)— функция, график которой лежит в М, то ее
п-е продолжение pr<n>f(x)— функция, график которой лежит в
пространстве n-струй М(п).
Системы дифференциальных уравнений
Система 9? дифференциальных уравнений п-го порядка от р
независимых и q зависимых переменных задается как система
уравнений
Av (х, ы(п)) = 0, v = 1, ..., I,
содержащая х = (х1, ..., хр), и = (и1, и4) и производные от
функции и по х до порядка п. Функции Д(х, w(n)) =
= (Ai(х, u<n>), ..., Д((х, w(n))) будут предполагаться гладкими
по своим аргументам, так что Д можно рассматривать как
гладкое отображение из пространства струй ХХД(П) в некото-
рое /-мерное евклидово пространство:
Д:
Дифференциальные уравнения указывают, где данное отобра-
жение Д обращается в нуль на XX Д(п), и таким образом опре-
деляют подмногообразие
= {(х> uw)-. К(х, «(п)) = 0} сХХ Д(п)
полного пространства струй. Мы можем отождествить систему
дифференциальных уравнений с соответствующим подмногооб-
разием, реализуя таким образом «абстрактные» связи между
различными производными функции и, которые определяются
системой, как некоторое конкретное геометрическое подмноже-
ство ^д пространства струй ХХ^(П)- Мы будем употреблять
один и тот же символ «Д» как сокращение и для системы диф-
ференциальных уравнений Д(х, u(n)) = 0, и для отображения
Д: XXt/(n)-*RZ, которое эта система определяет. Это не при-
ведет к путанице.
2.3. Операция продолжения
139
С такой точки зрения гладкое решение данной системы диф-
ференциальных уравнений — это гладкая функция u — f(x),
такая, что
Av (х, рНп) f (х)) = 0, v = 1, ..., I,
если х лежит в области определения функции f. Это просто
переформулировка того факта, что производные djfa(x) функ-
ции f должны удовлетворять алгебраическим соотношениям, на-
лагаемым системой дифференциальных уравнений. Это условие
эквивалентно утверждению, что график продолжения рг( n)f(x)
целиком должен лежать внутри подмногообразия ^д, опреде-
ленного системой:
if* = {(х, pr(n) f (X))} <= <?д = U (х, ит) = 0}.
Таким образом, мы можем считать, что система дифференциаль-
ных уравнений n-го порядка — это подмногообразие в про-
странстве X\UW n-струй, а решение — это такая функция
u = f(x), что график ее n-го продолжения pr<")f содержится в
подмногообразии б^д. Пока что мы ничего не сделали, кроме
того, что переформулировали основную задачу отыскания ре-
шений систем дифференциальных уравнений в более геометри-
ческой форме, идеально подходящей к нашим исследованиям по
группам симметрий. Вероятно, в этом месте стоит сделать паузу,
чтобы рассмотреть простой пример.
Пример 2.25. Гассмотрим случай уравнения Лапласа на пло-
скости
ихх Н- Uyy = (2- 1 6)
Здесь р = 2, поскольку имеются две независимые переменные
х и у, a q = 1, поскольку имеется единственная зависимая пе-
ременная и. Далее, п = 2, поскольку уравнение имеет второй
порядок, так что мы находимся в ситуации, разобранной в при-
мере 2.24. В терминах координат (х, у, ы; их, иу, ихх, иху, иуу)
в пространстве ХХ^(2) уравнение (2.16) определяет линейное
подмногообразие («гиперплоскость») в этом пространстве, ко-
торое представляет собой множество <?д для уравнения Лап-
ласа. Решение и = f (х, у) должно удовлетворять условию
<>2f , . а
дх2 ду2
для всех (х, у). Очевидно, это эквивалентно требованию, чтобы
график второго продолжения pr(2)f лежал в ^д. Например, если
f(x, у) = х3 — Зху2,
140 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
то (используя (2.15))
рг(2) f (х, у) = (х3 — Зху2; Зх2 — Зу2, —бху; 6х, —бу, —6х),
а это множество лежит в ^д, поскольку сумма четвертой и ше-
стой компонент дает 0: 6х + (—6х) — 0.
Продолжение действия группы
Предположим теперь, что G — локальная группа преобразо-
ваний, действующая на открытом подмножестве М cz X X U
пространства независимых и зависимых переменных. Тогда
определено индуцированное локальное действие группы G на
пространство n-струй Л4(п), называемое n-м продолжением груп-
пы G (или, более строго, n-м продолжением действия группы G
на Л4) и обозначаемое рг(п)6. Это продолжение определяется
так, что оно преобразует производные функций и = f (х) в соот-
ветствующие производные преобразованных функций й — f (х).
Более строго, пусть (х0, «о")) — заданная точка в Л4<”>. Выберем
произвольную гладкую функцию u — f(x), определенную в
окрестности точки хо, график которой лежит в М и которая
имеет данные производные в точке Хо:
Uo — pr / (X0J.
Например, в качестве функции f можно взять многочлен Тей-
лора степени п в точке хо, соответствующий данным значениям
t/on):
Г(х)=У-^(х-х0/, а=1, (2.17)
j
(Здесь суммирование происходит по всем мультииндексам J =
= (/ь • • •, jk), 0 k п\ кроме того,
(х — х0/ = (хУ| — хо1) (х*2 — Хо2) ... (х'к — хок).
Далее, для данного мультииндекса J положим / = (/1.../р),
где h — число равных I. Например, если J = (1, 1,1, 2, 4,4),
р = 4, k = 6, то 7 = (3, 1, 0, 2). В этих обозначениях/1 = /Jja! ...
••• ГР!.)
Если g — элемент группы G, достаточно близкий к единич-
ному, преобразованная функция g-f, задаваемая формулой
(2.14), определена в окрестности соответствующей точки
(х0, й0) = g- (х0, и0), где uo = f(xo)—компонента и^ нулевого
2.3. Операция продолжения
141
порядка. Мы определяем теперь действие продолженного пре-
образования pr<">g на точку (х0, иоп>), вычисляя производные
преобразованной функции g-f в точке Хо; подробнее,
pr(n) g (х0, uin)) = (х0, й”’),
где
u^^pr^(g.f)(x0). (2.18)
Относительно нетрудное упражнение — пользуясь цепным пра-
вилом, проверить, что это определение pr(n)g • (х0, «о0) зависит
лишь от производных функции f в точке хо до порядка п, т. е.
от самой точки (х0, Uo0), и> следовательно, не зависит от вы-
бора функции f, представляющей точку (х0, и(оп))- Таким обра-
зом, продолженное действие группы корректно определено. Сно-
ва, чтобы определить действие pr(n)g на точку из Л4(п), выбираем
функцию, производные которой имеют данные значения; преоб-
разуем эту функцию в соответствии с (2.14) и пересчитываем
производные.
Пример 2.26. Пусть p — g—l, так что ХХ^ —R2. Рас-
смотрим действие группы вращений SO (2), которая обсужда-
лась в примере 2.21. Мы вычисляем здесь первое продолжение
pr(1)SO(2). Заметим прежде всего, что ХХ^(1) — R3 с коорди-
натами (х, и, их). Для данной функции и — f(x) первое про-
должение — это
prn,f(x) = (f(x). f'-(x)).
Теперь для данной точки (х°, и°, их) еХХ t/0 и вращения
из группы SO (2), характеризуемого углом 0, мы хотим найти
соответствующую преобразованную точку
(1) п / о о о\ /~о ~о ~о\
рг 0 • (х , и , их) ~ (х , и , их)
(если она существует). Выбрав линейный многочлен Тейлора
f (х) = и0 + их (х — х°) = и°х • х + — ы°х°)
в качестве представляющей функции, замечаем, что
f(x°) = u0, f'(X°) = U°x,
как и требовалось. В соответствии с вычислениями примера 2.21
под действием вращения на угол 0 функция f преобразуется
в линейную функцию
f(x) = 0.f(x)
sin 0 + их cos 0 и° — и®х°
-----ъ—-----------%—,
cos 0 — их sin 0 cos 0 — их sin 0
142
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
определенную при «^¥=ctg0. Тогда
х° = х° cos 0 — и° sin 0,
следовательно, как нам уже известно,
й° = f (х°) = х° sin 0 + и° cos 0.
Что касается производной первого порядка, то
sin 0 + и® cos 6
Поэтому (опуская верхний индекс 0) мы получаем, что продол-
женное действие pr(1)SO(2) на ХХИ11 задается формулой
рг(1) 0 • (х, и, их) =
= (xcos0— usin0, х sin 0 + и cos 0, .s—® + Ux cos ® "j (2.19)
\ ' cos 0 — ux sin 0 / ' '
которая определена при |0|< |arcctgw%|. Заметим, что, хотя
группа SO (2) — линейная глобально определенная группа пре-
образований, ее первое продолжение и нелинейно, и определено
лишь локально. По этому относительно простому примеру чи-
татель может судить о том, насколько сложной является опе-
рация продолжения группы преобразований!
Читатель заметит, что в рассмотренном примере первое про-
должение pr(l,G действует на исходные переменные (х, и) в точ-
ности так же, как сама группа G; лишь действие на производ-
ную их доставляет новую информацию. Это замечание справед-
ливо и в общем случае. А именно, если имеется n-е продолжение
pr<">G, действующее на переменные (х, п(п>), и если мы об-
ращаем внимание лишь на производные порядка k п, т. е.
рассматриваем лишь переменные (х, w(ft>), то действие pr<”>G
совпадает с действием продолжения pr<ft)G. В частности, при
k = 0 действие pr(0)G совпадает с действием самой группы G
на многообразии Л1<0' = М. Этот результат можно сформулиро-
вать более строго, определяя естественное проектирование л*:
где л£(х, u(n)) = (x, u(fe)), н<й) состоит в точности из
компонент и1}, самой н(п). Например, если р = 2, q = 1,
то
(х, У> Щ t^x, UXxi ^hey* Муу) (Х, У, U, Ux, Ну),
2.3. Операция продолжения
143
а
по (х, у', и; их, uv\ ихх, иху, иуу) = (х, у, и).
Таким образом, имеем
л" ° pr(n) g = pr(fe)g, n~^k, (2.20)
для любого элемента g группы G, Другой взгляд на это за-
мечание состоит в том, что если нам уже известно действие
/г-го продолжения группы pr(ft)G, то, чтобы вычислить ц-е про-
должение pr<n)G, нам нужно узнать лишь, как преобразуются
производные и“ порядка k < *7 п, поскольку действие на
производные порядка k и меньше уже определено.
Инвариантность дифференциальных уравнений
Пусть задана система дифференциальных уравнений по-
рядка п, или, что эквивалентно, подмногообразие ^д в про-
странстве струй М<п> cz X X G(n). Группу симметрий G этой си-
стемы мы определили как локальную группу преобразований,
действующую на М с: X X G и переводящую решения системы
в другие решения. Мы установим связь между условием сим-
метрии и геометрическим условием, что соответствующее
подмногообразие инвариантно относительно действия продол-
женной группы pr(n)G. Это наблюдение эффективно приведет
задачу определения групп симметрий дифференциальных уравне-
ний к легче поддающейся решению задаче выяснения, когда
некоторое подмногообразие (в этом случае ^д) инвариантно
относительно некоторой локальной группы преобразований
(в этом случае продолженной группы pr<”>G). Таким образом,
в нашем распоряжении оказываются все средства, развитые
в § 2.1 для симметрий алгебраических уравнений. Одно это
должно продемонстрировать эффективность нашей геометриче-
ской переформулировки понятия дифференциального уравнения,
сделанной в этом параграфе.
Теорема 2.27. Пусть М — открытое подмножество простран-
ства XX.U. Предположим, что Д(х, u(n)) = 0 — система диффе-
ренциальных уравнений порядка п, определенная на М, с соот-
ветствующим подмногообразием 9Рt, cz Min>. Предположим, что
G — локальная группа преобразований, действующая на М, про-
должение которой оставляет подмногообразие ^д инвариант-
ным, т. е. для любой точки (х, «(п)) е ^?д имеем pr(n)g- (х, u(n))e
е SPд для всех g^G, для которых это действие определено.
Тогда G — группа симметрий данной системы дифференциаль-
ных уравнений в смысле определения 2.23.
144
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Доказательство. Доказательство состоит в сопоставлении
разных определений. Предположим, что u — f(x)— локальное
решение системы Д(х, u(n)) = 0. Это означает, что график
Г("’={(х. pr“f (х))}
продолжения pr<”>f лежит целиком в SPд. Если gE G таково,
что определена преобразованная функция g-f, то график ее
продолжения, а именно — то же самое, что результат пре-
образования графика продолжения pr<">f под действием эле-
мента продолженной группы pr(n)g:
гй-pr1"’ г(гГ’).
(Это в точности переформулировка основной формулы (2.18),
определяющей продолжение действия группы.) Далее, посколь-
ку подмногообразие S? ь инвариантно относительно pr(">g, гра-
фик pr(n)(g-f) снова целиком лежит в ^д. Но это в точности
то же самое, что сказать, что преобразованная функция g-f
является решением системы Д. □
Позднее (теорема 2.71) мы получим обращение этого ре-
зультата, налагающее некоторые дополнительные предположе-
ния на систему.
Продолжение векторных полей
Наряду с продолжениями групп преобразований мы можем
также определить продолжение соответствующих инфинитези-
мальных образующих. На самом деле это будут в точности инфи-
нитезимальные образующие продолжения действия группы.
Определение 2.28. Пусть MczXy^U открыто. Пусть v —
векторное поле на М с соответствующей (локальной) однопара-
метрической группой exp(ev). Тогда п-е продолжение поля v,
которое мы обозначаем pr(n)v, будет векторным полем на про-
странстве ММ n-струй и по определению будет инфинитези-
мальной образующей соответствующей продолженной однопара-
метрической группы pr<”> [ехр (ev) ]. Другими словами,
рг(п) v 1(х, «(«)) = |е_0 texP <ev)l (*’ (2-21)
для любой точки (х, UM)eM(nK
Заметим, что, поскольку координаты (х, u(n)) на Л4(п) со-
стоят из независимых переменных (х1, ..., хр) и всех произ-
2.3. Операция продолжения
145
водных и} зависимых переменных до порядка п, векторное поле
на Л4(п) будет в общем случае иметь вид
р в
7=1 а=1 / 1
где последняя сумма берется по всем мультииндексам J по-
рядка 0 #J л; коэффициенты — это функции ф/, зави-
сящие от всех переменных (х, u(n)). Когда v*—продолжение
pr(,1>v векторного поля
р <?
V=y^(x, «)тт + ^фа(х. и)"Аг’
дх1 ди
7=1 а=1
коэффициенты tpJa для v* = pr<n,v будут определяться коэф-
фициентами фа самого поля V. В соответствии с (2.20) про-
долженное действие группы pr<n) [exp (ev) ], ограниченное на пе-
ременные нулевого порядка х, и многообразия М<0) = Af, сов-
падает с действием обычной группы exp(ev) на Л1. Поэтому
коэффициенты и ф° = фа поля v* = pr<n>v должны совпадать
с соответствующими коэффициентами £?, фа самого поля v. Та-
ким образом,
Р <7
p-wv=D'^-+£ (2-22)
7=1 а=1 I '
где фа = ф£ — коэффициенты поля v. Более того, если
= k, то коэффициент ф£ при dfdttf будет зависеть только
от производных функций и порядка k и ниже: <р' = ф£ (х, «<*>)
(поскольку, снова в силу (2.20), то, как соответствующие пре-
образования группы преобразуют производные порядка k, зави-
сит только от производных порядка не выше k). Формально
это можно записать в следующем виде, используя отображение
проектирования (2.20):
dnfe(pr(n,v) = pr(ft,v, n~^k, (2.23)
где pr(0,v = v при k = 0. Это означает возможность рекурсив-
ного построения различных продолжений данного векторного
поля. Главная задача, которая нам теперь остается, — получить
общие формулы для коэффициентов ф£ продолжения вектор-
ного поля. Прежде чем браться за эту задачу, мы рассмотрим
простой пример, а затем извлечем из него некоторые общие
146
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
заключения о вычислении групп симметрий дифференциальных
уравнений.
Пример 2.29. Рассмотрим группу вращений SO (2), дей-
ствующую на %Х^~^2, как описано в примерах 2.21 и 2.26.
Соответствующая инфинитезимальная образующая имеет вид
д . д
v = —и-з---р x~z~,
дх ди
и
ехр (ev) (х, и) — (х cos е — и sin е, х sin е + и cos е)
— поворот на угол е. Первое продолжение имеет вид
рг(1) [ехр (ev)] (х, и, их) =
(. . . sin е + их cos е \
х cos е — и sm е, х sm е -+- и cos е, ---.— ).
cos е — их sin е )
Согласно (2.21), первое продолжение поля v получается диф-
ференцированием этих выражений по е и подстановкой е = 0.
Легкое вычисление показывает, что
pr(1)v = — w-y—h х-^-+ (1 + tz2)-^—. (2.24)
н дх ди 1 ' 1 ' дих ' ’
Заметим, что в соответствии с (2.23) первые два слагаемых
в pr(1>v совпадают со слагаемыми самого поля v.
Инфинитезимальная инвариантность
Комбинируя теоремы 2.27 и 2.8, мы немедленно выводим
важное инфинитезимальное условие того, что группа G является
группой симметрий данной системы дифференциальных урав-
нений.
Определение 2.30. Пусть
Av (х, u(n)) = 0, v = 1, .. ., I,
— система дифференциальных уравнений. Говорят, что эта си-
стема имеет максимальный ранг, если матрица Якоби размера
/Х(р + <7Р(и)) системы Д по всем переменным
Зд (х, и(п}) =
/дДу
дх‘
имеет ранг I всюду, где А(х, u(n)) = 0.
Так, например, уравнение Лапласа
А == ^хх ~Ь ^уу 0
2.3. Операция продолжения
147
имеет максимальный ранг, поскольку матрица Якоби по
всем переменным (х, у, и; их, иу- ихх, иху, иуу) и XX £Д2) (ср. при-
мер 2.25) равна
Ja=(O, 0; 0; 0, 0; 1, 0, 1)
и, очевидно, всюду имеет ранг 1. Однако довольно неразумное
эквивалентное уравнение
Д = (ихх -]- Uyy)2 = 0
не является уравнением максимального ранга, поскольку
Лд=(°, °; °! °> °; 2 («** + иУу), 0, 2 (ихх + иуу))
обращается в нуль при (ихх + иуу)2 — 0.
Условие максимальности ранга не является большим огра-
ничением, поскольку в соответствии с леммой 1.12, если SP & =
= {Д (х, и(”>) = 0}— регулярное подмногообразие многообразия
то существует (алгебраически) эквивалентная система
дифференциальных уравнений Д(х, «(п)) = 0, такая, что
^д = ^ = {Д(х, Ы(«>) = 0}
и Д имеет максимальный ранг.
Теорема 2.31. Пусть
(х, u(n)) = 0, v = 1, ..., I,
— система дифференциальных уравнений максимального ранга,
определенная на Mcz XXL'. Если G —• локальная группа пре-
образований, действующая на М, и
pr(n)v[Av(x, u(n))] = 0, v=l, ...,/, при А(х, u<")) = 0 (2.25)
для каждой инфинитезимальной образующей v группы G, то
G — группа симметрий этой системы.
Доказательство, как отмечено выше, немедленно вытекает из
теорем 2.8 и 2.27. Снова, как и для теоремы 2.27, в § 2.6 мы
покажем, что, если система Д удовлетворяет определенным
дополнительным условиям «локальной разрешимости», условие
(2.25) будет на самом деле и необходимым, и достаточным
условием для того, чтобы группа G была группой симметрий.
В этом случае, как будет показано в многочисленных примерах
§ 2.4, все (связные) группы симметрий можно систематически
определить посредством анализа инфинитезимального критерия
(2.25). Как следствие условия максимальности ранга и пред-
ложения 2.10 мы получаем, что условие (2.25) можно заменить
148 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
эквивалентным условием существования функций Qvn(x> и(п))>
таких, что равенство
i
pr(n)v[Av(x, u<">)] = X QvM(x. и(п))Лц(х, u(n)) (2.26)
Ц=1
выполняется при всех (х, п(п)) е Л4(п). Оба условия (2.25) и
(2.26) полезны при анализе инфинитезимального критерия ин-
вариантности.
Пример 2.32. Пусть G = SO(2) действует на XXG=R2,
как в примерах 2.29, 2.26 и 2.21. Рассмотрим обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка
Д (х, и, их) = (и — х) их + и + х = 0. (2.27)
Заметим, что матрица Якоби из определения 2.30 имеет вид
। / ЗА ЗА ЗА \ .
Зд = I -7Г"’ • '75— ) = (1 ~ 1 + их, U — х)
к дх ди дих ) ' х 1 х '
и, значит, всюду имеет ранг 1. Применяя инфинитезимальную
образующую группы pr(1)SO(2), вычисленную в (2.24), к (2.27),
получаем
pr<‘)v(A) = — U-^~ + Х-;--h (1 + «2)-ч-=
г ’ дх 1 ди 1 V 1 х> дих
= — «(1 ~ «х) + х(1 +“х) + С1 +«х) (« — *) =
= их [(« — х) их + и + X] = их\.
Поэтому рг<*)у(Д) = 0 при Д = 0, и условие инфинитезималь-
ного критерия инвариантности (2.25) выполняется. Поэтому мы
заключаем, что группа вращений SO (2) переводит решения
уравнения (2.27) в другие решения. Геометричнее, если и ==
— f(x) — решение и мы поворачиваем график функции f на
произвольный угол 0, то полученная функция снова является
решением. В самом деле, в полярных координатах
x = rcos6, u = r sin 6
уравнение (2.27) принимает вид
Таким образом, решения — логарифмические спирали (точнее,
их куски) г = сев, где с — константа. Очевидно, поворот любой
из этих спиралей дает другую спираль того же вида, так что
SO(2)—на самом деле группа симметрий. (Выбор полярных
координат и тот факт, что данное уравнение легко решается в
этих координатах, как мы увидим, не случайны.)
2.3. Операция продолжения 149
Формула продолжения
В свете теоремы 2.31, связывающей группы симметрий си-
стем дифференциальных уравнений с инфинитезимальным кри-
терием инвариантности системы относительно продолженных
инфинитезимальных образующих группы, главной задачей для
нас остается отыскание явной формулы для продолжения век-
торного поля. Несмотря на обескураживающую сложность про-
долженного действия группы, определенного формулой (2.18),
продолженные векторные поля имеют относительно простой,
легко вычислимый вид.
Прежде чем браться за общий случай, полезно проиллю-
стрировать основной метод в двух простых ситуациях. Мы ис-
следуем сначала продолжение однопараметрической группы
преобразований, действующей исключительно на независимые
переменные нашей системы дифференциальных уравнений.
Иными словами, рассмотрим векторное поле
р
на пространстве AlcXXU. Преобразования ge = exp(ev)
имеют тогда вид
(х, й) = gB • (х, и) = (2е (х), и),
указанный в примере 2.22, причем компоненты х = 2г (х)
удовлетворяют условию
ср. (1.48). Для простоты рассмотрим случай одной зависимой
переменной ueR, хотя рассуждения легко обобщаются на не-
сколько зависимых переменных.
Первое пространство струй ЛИ1) имеет координаты (х, и<*)) =
= (х‘, и, Uj), где и^ди/дх!. Продолженное действие группы
находится следующим образом: если (х, tM>)— произвольная
точка из Л4(1>, а и = f (х)—произвольная функция с uj = df/dxl,
j = 1, ..., р, то pr(*)^e- (х, и(1>) = (х, й11)), где х = 2е(х), й — и
и й/ — производные преобразованной функции fB = gB-f, кото-
рая, в соответствии с (2.14), задается формулой
fi = fe(x) = f[Se'1(x)]=f[SE(x)].
150
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
(Здесь мы использовали тот факт, что g~l = g_E в области
определения.) Таким образом,
df „ Л df dBk _
й/ = -^ (%) = У —г (S_E х ) • (х). (2.29)
dx' dxK dx1
k = 1
Но H-e (х) = х, следовательно,
Д дЕ*
= У —— (SE (х)) uk
’ dx'
fe=i
дает явную формулу для продолженного действия группы на
производные первого порядка.
Чтобы найти инфинитезимальную образующую группы
prtOge, нам нужно продифференцировать формулы для продол-
женных преобразований по е и положить е = 0. Таким об-
разом,
р р
pro V = У (X) -£- + У <₽' (х, U(1)) - А (2.30)
Ь дх & ди1
где £‘(х) такие же, как раньше (поскольку pr(1)ge преобразует
х и и в точности так же, как g^), и в силу (2.21)
d А
и")=^ ..,Е
Р>
ч-/ (SE (х)) Wfe-
ft='l дХ'
Так как все эти функции гладкие, можно изменить порядок
дифференцирования. Поэтому получаем множители при iik Двух
типов. Множители первого типа имеют вид
— —(^(х)) =-т -F
дх* L de J е=о дх L de
(х)
d£k
-5-(х),
dx'
е^О
где мы использовали формулу (2.28) и тот факт, что при е = 0
Н0(х)= х — тождество. Множители второго типа содержат про-
изводные функции Е_е по х второго порядка:
d^k
dxi dx1
Е
I
dSl„
(S_E(x))—Цх)
de
= 0;
в=0
они обращаются в нуль, поскольку Е0(х)—тождественное ото-
бражение. Следовательно, при е = 0 все производные второго
2.3. Операция продолжения
151
порядка по х функции Ее обращаются в нуль. Поэтому
Ф7 (х, и, их) = -^ ^--ик (2.31)
fe = i (Х
доставляет основную формулу продолжения для pr^’v из (2.30).
Пример 2.33. Пусть р = 2, q — 1. Рассмотрим векторное поле
v = U*. + у)-^
на X~ К2 с координатами (х, у). В соответствии с (2.31) пер-
вое продолжение поля v — это векторное поле
РгС)у = у + ф^ + ф^, (2.32)
где
Например, в случае группы вращений
(х, у, и) > (х cos е — у sin е, х sin е + у cos е, и)
на X инфинитезимальная образующая — это поле
д . д
V — у -з---г х -=—.
J дх 1 ду
Здесь g = —у, т] = х и, следовательно, поле v имеет первое
продолжение
гл д . д д . д
pr(1,v = — w-5—Ь х —----Uy —----Ь их~.—.
r J дх 1 ду у дих х диу
(Первое продолжение группы вращений
(х, у, и, их, иу) (х cos е — у sin е, х sin е + у cos е, и,
их cos е — иу sin е, их sin е + иу cos е)
можно построить либо интегрированием pr^’v, как в (1.7), либо
непосредственно по определению.)
Полезно, прежде чем переходить к общей формуле продол-
жения, рассмотреть еще один частный случай. Мы по-прежнему
ограничиваемся одной зависимой переменной и, но теперь рас-
152
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
сматриваем группы, преобразующие лишь зависимую пере-
менную:
(х, u) = ge- (х, и) = (х, Фе (х, и)).
Инфинитезимальная образующая в данном случае — это v =
= <р(х, и)ди, где
ф(х, ы) = ^|е=оФе(х, и).
Если u = f(x) — функция, то преобразованная функция fe =
— ge-f в соответствии с (2.14) есть в точности
й = Ге(х) = Фе(х, Цх)). (2.33)
Чтобы найти продолженное действие группы, дифференцируем:
й/=А(х)=-^-{Фе(х, f (*))} =
дх1 дх1
= (х)) + -£ (X) (X, f (х)),
СУ Ди (УЛ (У W
следовательно, pr^ge- (х, iz<1)) = (х, й<*>), где
Инфинитезимальная образующая
pr(i) у = v + J Ф7 (*> «“О
/=1 '
группы pr(1)ge получена из (2.34) дифференцированием по е и
подстановкой е = 0, в точности как в предыдущих вычислениях.
Таким образом,
Ф7 (х, «<») = А й = + . (2.35)
de е==о дх1 ди
Это дает нам формулу продолжения в нашем частном случае.
Например, при р = 2, обозначая независимые переменные че-
рез х и у, получаем
рг<1,Н 4]=xu2~k++2хии^ Д+2хии«
Последующие продолжения либо для (2.31), либо для (2.35)
получаются дальнейшим дифференцированием соответствующей
формулы продолжения. Чтобы изложить это в общем виде и
подготовиться к доказательству общей теоремы о продолжении,
нам нужно ввести понятие полной производной.
2.3. Операция продолжения
153
Полные производные
Формулу (2.35) для продолжения векторного поля вида
ф(х, и)ди можно «упростить», сделав следующее наблюдение.
Если u — f(x)—произвольная функция, то значения q/(х, н(1)),
вычисленные на f и ее производных первого порядка, суть в
точности производные от ф(х, f(x)) по х:
tp/(x, pr<*>f (х)) =-^~[ [q>U, f (x))J.
dx'
(На самом деле существенно, как именно были получены у'.)
Другими словами, у'(х, и{,}) получается из ф(х, и) дифферен-
цированием по х', если обращаться с и как с функцией от х.
Полученная производная называется полной производной функ-
ции <р по х' и обозначается
<f' (х, «<•>) = Пуф (х, и) = щ .
Cz Л Cz W
(Термин «полная» производная используется, чтобы отличить
£);Ф от «частной» производной ду/дх'.) Определение полной про-
изводной естественно распространяется на функции, зависящие
от х = (х1, ..., хр), и = (и1, ..., и") и производных и}.
Определение 2.34. Пусть Р(х, uw)—гладкая функция от х,
и и производных от и до порядка п включительно, определенная
на открытом подмножестве ЛЕ"> с XX П<">. Полная производ-
ная функции Р по х' — это единственная гладкая функция
DiP(x, iz<"+1)), определенная на ЛЕ"+1), зависящая от производ-
ных и до порядка п + 1 включительно и обладающая следую-
щим свойством: если u = f(x)—произвольная гладкая функ-
ция, то
DtP(x, pr("+1>f(x)) = -^-{P(x, pr<">f(x))}.
дх
Другими словами, D,P получается из Р дифференцированием
по х‘, если со всеми иа и их производными обращаться как с
функциями от х.
Предложение 2.35. Для данной функции Р(х, uw) i-я пол-
ная производная имеет общий вид
q
DtP = ^i+y У (2-36)
1 дх1 dUj
<i = l I '
154 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
где J = (/j, ..., jk) и
dirt dk+lua
w“ f = —Т = ——/------------7~ (2.37)
’ дх дх дх' ... dx k
В формуле (2.36) суммирование производится по всем J поряд-
ка О =Н= / п, где п — наибольший порядок производной,
входящей в Р.
Доказательство состоит в непосредственном применении цеп-
ного правила. Например, в случае X = R2 с координатами
(х, у) и U = R имеются две полные производные Dx, Dy и
„ п дР . дР . дР . дР . дР .
DxP ~ дх +Ux ди + Uxx дих + Uxy dUg + Uxxx дихх + ’ ’ ’ ’
Г> О _ дР I дР | дР I дР | дР I
ду ди + иху дих + иУУ диу + ихху дихх "Г--”
Таким образом, если Р — хииху, то
DXP = ииху + хихиху + хиихху, DyP = хиииху + хиихуи.
Полные производные высших порядков определяются по
аналогии с частными производными высших порядков. Точнее,
если / = (/1, ..., jk) — мультииндекс порядка k и 1 /и р
для каждого х, то /-я полная производная обозначается
(Явные выражения для DjP в терминах частных производных от
Р по и} быстро становятся трудно проверяемыми.) Заметим,
что, как и для частных производных, порядок дифференцирова-
ния для полных производных гладких функций не играет роли.
Таким образом, в рассмотренном выше примере
DxDyP = DyDxP = UyUxy + UUxyy + X(Uxy + “x“xyy + “у“хху + ““xxyy)-
Общая формула продолжения
Теорема 2.36. Пусть
Р <7
У = £Г(Х, «)^г + £ Фа(*.
1=1 а=1
— векторное поле, заданное на открытом подмножестве
MczXXU. Тогда п-е продолжение поля v —это векторное
поле
Q
pr(n)v =v+ £ £фЦх, (2-38)
а=1 1
2.3. Операция продолжения
155
группа,
(2.40)
для за-
определенное на соответствующем пространстве струй Л1<"> сг
сЛ'Х П<п), второе суммирование ведется по всем мультииндек-
сам J = (/1, . . . , jk), 1 jx р, 1 k п. Функции ф« в
pr<«>v задаются следующей формулой:
Ч (х, и™) = Dj (фп — 2 + Е (2.39)
где и'.=дип1дх' и и^ i = duaJ/dxt, ср. (2.37).
Доказательство. Докажем сначала эту формулу для произ-
водных первого порядка, так что начинаем с п = 1. Пусть
ge = exp(ev)— соответствующая однопараметрическая
преобразования из которой задаются формулой
(х, й) = ge • (х, и) = (Зе (х, и), Фе (х, и))
там, где они определены. Заметим, что
Г(х, «) = 4|е_02в(х, и), Z= 1, .... р,
%(X, и) = 4-1 ф“(х, и), а=1..........q,
ак |е=0
где 3‘, Ф“ — компоненты отображений 8е, Фе. Пусть
данной точки (х, «<*>) е u — f(x)—произвольная представ-
ляющая функция, так что и<1> = рг<*7 (х) или, точнее,
u“ = f“(x), Ui = dfa(x)/dxl.
В соответствии с (2.14) для достаточно малых е преобразование
функции f групповым элементом ge определено (по меньшей ме-
ре, если область определения функции f — достаточно малая
окрестность точки х) и задано формулой
Й = fE (X) = (ge f) (х) = [Фе о (Ц х f)l ° [S£ о (Ц х лг‘ (х).
По цепному правилу матрица Якоби Jfe(x) = (df“/dx‘) тогда
имеет вид
Jfе (х) = J [фе о (И X D] (х) {J [Зео (И X D1 (X)}-1 (2.41)
(если обратная матрица определена), поскольку
х === [Зе ° (И X f)]—1 (х).
Таким образом, матричная запись Jfe(x) дает явную формулу
для первого продолжения pr(l)ge.
156 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Чтобы найти инфинитезимальную образующую pr(1)v, нам
нужно продифференцировать (2.41) по е и положить е = 0. На-
помним сначала, что если Л4(е)—произвольная обратимая
квадратная матрица, элементы которой — функции от в, то
[Л4 (в)'[ = - М (е)”1 М (в)-1.
Заметим также, что, поскольку е — 0 соответствует тождествен-
ному преобразованию,
S0(x, f(x)) = x, Ф0(х, /(x)) = f (х), (2.42)
так что, обозначая единичную матрицу размера рХр через /,
получаем
J [So (1 X D1 (х) = I, J [Фо ° (fl X f)l (x) = Jf (x).
Далее, дифференцируя (2.41) и полагая е = 0, приходим, поль-
зуясь правилом Лейбница, к равенствам
- 4 LJ 1Ф> ° <’х 01 w -Jf w 4 LJ |s- °x /)] w=
= J[q>°(fl X f)[(x)J — Jf (x) • J[€°(fl X f)](x).
Во втором равенстве £=(£*, .gp)r и <р = (<pi, ..., <рч)г —
вектор-столбцы, и мы использовали соотношения (2.40). Мат-
ричная запись последней формулы даст нам функции ф^, яв-
ляющейся коэффициентами при д)ди% в формуле для pr(*>v.
А именно, (а, &)-й элемент матрицы — это
р
ЧР« (X, pH1» f (х)) = -Д- [фа (х, f (Х))| — £ [£' (X, f (X))].
С/Л С/л (/Л
I =1
Таким образом, по определению полной производной
Ф* (х, «(>’) = Dk [фп (х, п)| — £ Dk [ё* (х, iz)J uf =
Г рдр
= D J фа - Z ё'ц? + Е (2.43)
L i=l J 1=1
где u'lkl = d2ualdxk дх1. Это доказывает формулу (2.39) в слу-
чае п = 1.
2.3. Операция продолжения
157
Чтобы доказать теорему в общем случае, мы воспользуемся
индукцией. Ключевое замечание состоит в том, что пространство
(и + 1)-струй Л1<"+1> можно рассматривать как подпространство
пространства 1-струй пространства (/И(п>)(1) n-струй, поскольку
каждую производную порядка п + 1 можно рассматривать
как производную первого порядка от производной порядка п.
(Это можно сделать, вообще говоря, несколькими способами.)
Поучительно рассмотреть иллюстрирующий это пример. При
р = 2, q — 1 пространство МЮ 1-струй имеет координаты
(х, у, и\ их, иу). Если рассмотреть (их, иу) как новые зависимые
переменные, скажем, их — v, иу = w, то пространство ока-
зывается открытым подмножеством пространства X X О, где
X по-прежнему двумерно, а О имеет теперь три зависимые пе-
ременные и, v и w. Таким образом, пространство 1-струй про-
странства Л4<’>, т. е. пространство (Л1<1>)<1), будет открытым под-
множеством пространства X X с координатами (х, у, ы; v,
w; их, иу, vx, Vy, wx, Wy). Далее, вспоминая, что v — ux и w = uy,
мы видим, что ЛИ2) с: (ЛП1))^) — подпространство, определенное
соотношениями
v = их, w = иу, Vy = wx
в пространстве XX и задаваемое лишними переменными
их, иу в (Л4(1>) <’> и условием независимости смешанной второй
производной функции и от порядка дифференцирования.
С этой точки зрения индуктивная процедура определения
pr(n)v через pr("-1)v состоит в следующем. Мы рассматриваем
ргСп-Оу как векторное поле (некоторого специального вида) на
Л4<"_1> и по нашей формуле для продолжения первого порядка
продолжаем его на (Л4(п-1))(1). Затем мы ограничиваем полу-
ченное векторное поле на подпространство Л1<">. Это и бу-
дет определять п-е продолжение pr(n)v. (Конечно, нужно еще
проверить, что ограничение возможно, но это будет следовать
из явной формулы.) Далее, новые координаты «n-го порядка»
на (Л4<"-’))<1) задаются формулами и1}k = du')/dxk, где / = (/ь ...
.... /п-i), 1 k р, 1 а q- В соответствии с (2.43) ко-
эффициент при dlduaj k в первом продолжении поля рг<”~*>v бу-
дет равен
р
^k = D^a-^D^-uf.r (2.44)
»=i
(Как мы увидим, формула (2.44) дает полезное рекуррентное
соотношение на коэффициенты поля pr(">v.) Теперь достаточно
проверить, что формула (2.39) представляет собой решение ре-
158
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
куррентного соотношения (2.44) в замкнутой форме. По индук-
ции получаем
{( р \ р 1 р
(фи - Е ) + Е £4 i г - Е Dkii и* t =
\ i = l z Z = 1 z i = l
(P \ P P
Ф« - E &$) + E t + „) - £ u-t =
= DkDJ (фа - E + E ik,
\ t-1 7 t-1
где u'lj ik ~д2и^1дх1 dxk. Таким образом, ф£6 имеет вид (2.39),
и шаг индукции завершен. □
Пример 2.37. Вернемся к случаю группы вращений SO (2),
действующей на XX = R X R с инфинитезимальной обра-
зующей
д . д
V = — --р х-ч—;
дх ' ди
см. примеры 2.26 и 2.29. В этом случае <р — х, — и, так что
первое продолжение
pr(Dv = v + q)JC-^?
задается формулой
ф* = Dx (ф — &х) + &хх = Dx (Х + Ы“х) — иихх = 1 + их-
Таким образом, мы снова получили результат (2.24). Коэффи-
циент qxx при d/dUxx в pr<2)v получается с помощью либо (2.39):
фХХ = Dx (ф — ^Цх) -}- ^Uxxx = Dx (х -|- Ш1Х) UUxxx = Зих11Хх,
либо рекуррентной формулы (2.44):
<рхх = D фх — и DI- = D (1 + о2) + и и = Зи и
Таким образом, инфинитезимальная образующая второго про-
должения pr<2>SO(2), действующего на X X t/<2), равна
рг(2> v = — и-^—h х-^— + (1 + —|- Зи и —.
к дх 1 ди 1 V 1 х> дих х хх дихх
(Не приходится и говорить, что вывод этой формулы непосред-
ственно из действия группы pr(2)SO(2) гораздо более сложен.)
Пользуясь инфинитезимальным критерием инвариантности
теоремы 2.31, мы немедленно получаем, что для обыкновенного
2.3. Операция продолжения
159
дифференциального уравнения ихх — 0 группа SO (2) будет
группой симметрий, поскольку
pr<2) v (ихх) = Зихихх = О
при ихх — 0. Это в точности переформулировка того геометриче-
ского факта, что вращения переводят прямые в прямые. Чтобы
получить другую геометрическую иллюстрацию, рассмотрим
функцию
к(х, и^) = ихх(\ +ы*)~3/2.
Легкое вычисление показывает, что
pr(2) v (х) = 0
для всех их, ихх. Следовательно, в силу предложения 2.6 х яв-
ляется инвариантом группы pr<2)SO(2):
х (рг<2) 0 • (х, iz<2>)) = х (х, iz<2))
для произвольного поворота 0. Но х — это кривизна кривой,
определяемой графиком функции u = f(x), так что мы в точ-
ности передоказали тот факт, что кривизна кривой инвариантна
относительно вращений. (Это частный случай теории дифферен-
циальных инвариантов — см. § 2.5, где имеются дальнейшие
результаты такого сорта.)
Пример 2.38. Рассмотрим частный случай, когда в формуле
продолжения р = 2, q = 1, так что мы рассматриваем диффе-
ренциальное уравнение с частными производными, содержащее
функцию u = f(x, t). Произвольное векторное поле на X X
х ~ R2 X R имеет вид
v = g(x, t, ц)-^ + т(х, t, ц)-^- + <р(х, t,
Первое продолжение поля v — это векторное поле
Pr(1,v = v + q/^-- + q/^-.
где в силу (2.39)
ЧР -—• Dx (ф хщ) -р S^xx “F ^хФ ^х^х^ ЩГ)хХ
= Фх + (ф« - М Ых - bUt - Ы - (2 45)
= Dt (<р — ых — xut) + ^uxt + = £>/Ф — uxDtt>—utDtT =
= Ф/ ~ £<ux + (Ф« “ 4) ut ~ ~ ruul
160 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
а индексы при <р, g, т обозначают частные производные. Ана-
логично,
рг(2) V = рг<» V + ’
где, например,
ЧР Dx (ЧР TUf) -|- £,ИХхх Н- ^^xxt==
= Dxq> — uxDxl — utDxi: — 2uxxD£ — 2iixtDxT =
= ЧРхх + (2ЧРхи - ux - rxxut + (<puu - 2gxu) «2 -
— 2т u u, — g iz3 — т iz2u, + fm — 2g \u —
XU X t *>UU X uu X t 1 \^U ~XJ XX
^‘^'X^'Xt ^^U^X^XX ^U^t^XX ^^U^X^Xt* (2.46)
Эти формулы будут использованы в следующем параграфе для
вычисления групп симметрий некоторых известных эволюцион-
ных уравнений.
Свойства продолженных векторных полей
Теорема 2.39. Предположим, что v и w — гладкие векторные
поля на Л1 с XX L!. Тогда их продолжения обладают свойствами
pr(«) (cv + с'V/) = с • pr<"> v + с' • pr("> w,
где с, с' — константы, и
рГ(«) [у, w] = [pr(n) v, pr<n) w]. (2.47)
Доказательство. Линейность мы оставляем читателю. Свой-
ство скобки Ли можно доказать непосредственным вычислением,
используя (2.38) и (2.39). Однако легче поступить следующим
образом. Заметим сначала, что если g, h — элементы некоторой
группы преобразований,то
pr<”> (g • h) = pr(n) g pr(n) h
и, поскольку M — подмножество некоторого евклидова про-
странства,
рГ(п) _|_ h) = pr(") g -|- pr(") h,
2.3. Операция продолжения 161
где (g + h) -х = g-x + h-x по определению. Пусть 1 обозна-
чает тождественное преобразование М, так что 1(п) = рг(п)1 —
тождественное преобразование ЛГ(П). Пользуясь свойством скоб-
ки «Пи из теоремы 1.33, получаем
[pr(n)v, pr(")w] =
__ |. рИп)[ехр(—д/е w)exp(—д/е у)ехр(д/е w)exp(Ve v)J —
Е->0+ Е
lim
Е-»0 +
[ехр (— д/е w) exp (— Ve у) exp (Vе w) exp (Ve~ v)J — H
e
= pr(n) [v, w], □
Следствие 2.40. Пусть A — система дифференциальных
уравнений максимального ранга, определенная на М cz XX U.
Множество всех инфинитезимальных симметрий этой системы
образует алгебру Ли векторных полей на М. Кроме того, если
эта алгебра Ли конечномерна, то полная группа симметрий этой
системы является локальной группой Ли преобразований, дей-
ствующей на М.
Характеристики симметрий
Наконец, мы отметим эквивалентный, вычислительно полез-
ный способ записи общей формулы продолжения (2.39). Для
заданного, как и раньше, векторного поля v положим
Qa (х, и^) = <ра (х, и) — £ %(х, и) uf, а = 1, ..., у, (2.48)
набор q функций Q(x, tz(1)) = (Q1, .... Q4) называется характе-
ристикой векторного поля v. По этому определению формула
(2.39) принимает вид
р
(2.49)
i = l
Подставляя в (2.38) и переставляя члены, получаем
Q
pr<">V = £
a=l J
6 П. Олвер
'62 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Мы видим, что стоящие в скобках члены — это в точности пол-
ные производные в соответствии с формулой (2.36); следова-
тельно,
р
рГ(п) v = рГ(«) Vq у ^lDh (2.50)
i=l
где по определению
я я
Vq = £ Qa (X, М(*>) -£7, prfn> Vq = £ £ DjQa (2.51)
“"V OU OU j
a=l a = l I 1
Bo всех этих формулах суммирование распространяется на все
мультииндексы J порядка 0 п. Конечно, оба слагаемых
в правой части (2.50)—это формальные алгебраические выра-
жения, поскольку каждое из них включает производные функ-
ций и порядка п + 1. И только когда в их линейной комбинации
члены, содержащие производные порядка «+ 1, взаимно унич-
тожаются, мы получаем настоящее векторное поле на простран-
стве струй Важность формулы (2.50) станет очевидной,
когда мы будем обсуждать обобщенные симметрии в гл. 5.
2.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП СИММЕТРИЙ
Теорема 2.31 в совокупности с формулами продолжения
(2.38), (2.39) доставляет эффективную вычислительную про-
цедуру, позволяющую отыскать наиболее общую (связную)
группу симметрий почти всякой системы уравнений с частными
производными, которая нас интересует. В этой процедуре коэф-
фициенты |‘(х, и), <ра(х, и) инфинитезимальной образующей v
гипотетической однопараметрической группы симметрий систе-
мы считаются неизвестными функциями от х и и. Коэффициен-
тами ф' продолженной инфинитезимальной образующей pr(n>v
будут некоторые явные выражения, содержащие частные произ-
водные коэффициентов и фа по х и и. Инфинитезимальный
критерий инвариантности (2.25) будет, таким образом, содер-
жать х, и и производные от и по х, а также S'(x, и), <ра(х,и)
и их частные производные по х и и. После исключения всех за-
висимостей между производными от и, вытекающих из самой
системы (поскольку (2.25) должно выполняться лишь на реше-
ниях системы), мы можем приравнять нулю коэффициенты при
оставшихся частных производных от и. Это приведет к большому
числу элементарных уравнений с частными производными для
определения функций фа, являющихся коэффициентами инфи-
нитезимальной образующей. Эти уравнения называются опреде-
ляющими уравнениями группы симметрий данной системы.
2.4. Вычисление групп симметрий
163
В большинстве примеров такие определяющие уравнения можно
решить элементарными методами, а общее решение будет опре-
делять наиболее общую инфинитезимальную симметрию систе-
мы. В следствии 2.40 утверждается, что полученная система ин-
финитезимальных образующих составляет алгебру Ли симмет-
рий; сама общая группа симметрий может быть получена из
данных векторных полей с помощью экспоненты. Эта процедура
станет яснее из следующих примеров.
Пример 2.41. Уравнение теплопроводности. Рассмотрим урав-
нение теплопроводности для одномерного стержня
Wt = uxx, (2.52)
коэффициент диффузии мы полагаем равным единице. Здесь
имеются две независимые переменные х и t и одна зависимая
переменная и, так что в наших обозначениях р = 2 и q—l.
Уравнение теплопроводности имеет второй порядок, и = 2, и его
можно отождествить с линейным подмногообразием в X X П(2),
задаваемым условием обращения в нуль выражения А(х, t, w(2>) =
= Ut Uxx.
Пусть
V = I(х, t, и)-^+т(х, t, ц)-^- + ф(х, t, и)~ (2.53)
— векторное поле на XXU- Мы хотим найти все возможные
коэффициенты g, т и <р, такие, что соответствующая однопара-
метрическая группа exp(ev) будет группой симметрий уравнения
теплопроводности. В соответствии с теоремой 2.31 нам нужно
знать второе продолжение
»* ’=v+ф* +ф' ^7+ф“ 4;++ф" ^7
XX XI II
поля v, коэффициенты которого были вычислены в примере 2.38.
Применяя pr(2)v к (2.52), мы получаем, что инфинитезимальный
критерий (2.25) принимает вид
<р* = <рхх, (2.54)
и это равенство должно выполняться при ut = ихх. Подставляя
общие формулы (2.45), (2.46) в (2.54), заменяя щ на ихх и при-
равнивая коэффициенты при различных одночленах в частных
производных первого и второго порядков от и, мы получаем
следующие определяющие уравнения для группы симметрий
6*
164
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
уравнения теплопроводности:
Одночлен Коэффициент
uxuxt ° = -2ru (a)
“xt ° = ~2xx (b)
ихх -^u = ~xu (C)
2 UrUxr G^~xuu (d)
UxUxx — 2txu 3g„ (e)
Uxx <Pu--rt = -Txx + (₽U-2^ (f)
“Зх o = -Lu (g)
U2X 0 ’ *₽UU 2&XU (h)
“x = 2<₽xu ^>xx (j)
1 Vt^Vxx (k)
(Как обычно, индекс означает производную.) Решение опреде-
ляющих уравнений элементарно. Во-первых, из (а) и (Ь) выте-
кает, что т — функция только от /. Далее, (е) показывает, что
£ не зависит от и, а из (f) следует, что xt = 2£х, так что |(х, t) =
= xtx/2 + o(t), где о — некоторая функция, зависящая только
от t. Затем в силу (h) функция <р линейна по и, так что
qp (х, t, и) = ₽ (х, t)u-\-a (х, О
для некоторых функций а и р. В соответствии с (j) £,=—2рх,
так что р — функция не более чем второго порядка по х:
Р = — 4 xttx2 — у ctx + Р (О-
Наконец, последнее уравнение (к) требует, чтобы и а, и р были
решениями уравнения теплопроводности:
Ctf == &ХХ> Pt == Рхх-
Пользуясь найденным видом функции р, получаем
T«t = 0. ° tt = °> Pt = — 4" т«-
Таким образом, х—квадратичная функция от /, о линейна по t,
и мы можем получить формулы для g и <р непосредственно из
формул для р, о и х. Поскольку все определяющие уравнения те-
перь удовлетворяются, мы заключаем, что коэффициенты наи-
2.4. Вычисление групп симметрий
165
более общей инфинитезимальной симметрии уравнения тепло-
проводности имеют вид
£ = Ci -|- С4Х -|- 2 с 5t -|- 4c^xt,
т = Сз + 2с4/ -|- 4c6t2,
<р = (с3 — с5х — 2c6t — с6х2) и + а (х, t),
где Ci, ..., с6 — произвольные постоянные, а а(х, t)— произволь-
ное решение уравнения теплопроводности. Таким образом, алге-
бра Ли инфинитезимальных симметрий уравнения теплопровод-
ности порождена шестью векторными полями
Vi = дх,
v2 = d<,
Vq = иди,
v.-^ + ад, <255>
v5 = 2tdx — хиди,
v6 = 4txdx + 4/2<9f — (x2 + 20 udu
и бесконечномерной подалгеброй
va = a(x, t)du,
где a — произвольное решение уравнения теплопроводности.
Коммутаторы этих векторных полей даются следующей табли-
цей, на пересечении i-й строки и /-го столбца которой стоит
[v;,v/]:
Vi V2 v3 v« v5 v6 va
V1 0 0 0 Vi — V3 2v5 vax
V2 0 0 0 2v2 2v, 4v< — 2v3 Va,
V3 0 0 0 0 0 0 — va
v4 ~V1 0 0 V5 2v6 va'
V5 V3 “2vl 0 ~ v5 0 0 va"
V 6 ~2v5 2v3 - 4v4 0 “2v6 0 0 va"'
V a “4 va -Va' - Va" “ va"' 0
а' — хах + 2tat, а" = 2tax 4~ ха,
а''' — 4/xax + 4t2at + (х2 + 20 и.
Заметим, что, поскольку следствие 2.40 говорит нам, что все ин-
финитезимальные симметрии должны составлять алгебру Ли, мы
166
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
можем заключить, что если а(х, t)—произвольное решение урав-
нения теплопроводности, то ах, at, а также выписанные выше
а', а" и а'" тоже являются решениями.
Однопараметрические группы G„ порожденные полями v(,
даются следующей таблицей. В таблице указаны образы точки
(х, t, и) при преобразовании ехр (ev,):
G,: (х + е, t, и),
G21 (X, -1“ 6, н),
G3: (х, /, ееи),
G4: (е£х, е2Ч, и), (2.56)
G5: (х + 2е/, t, и • ехр (— ех — е20),
G6: (—^г-т-, > и л/1 ~ 4е/ ехр I -j—^-т- П,
Ga: (x, t, u + ea (x, t)).
Поскольку каждая группа G, является группой симметрий, из
(2.14) следует, что если u—f(x,t)—решение уравнения тепло-
проводности, то функции
п(1, = / (х — е, t),
— f(x, t — е),
u<3) = eEf(x, О,
u(4> — f (е~ех, e~2et),
и(5) = e-ex-&tf _ 2е/,
1 ( — ех1 г / х t \
и(б) = — _ . еХр I-------Iff--------- ---------)
Vl + 4et ( 1 + 4et J k 1-f- 4et 1 + 4et J
uW = f (x, t) + ea (x, t),
где e — произвольное вещественное число, а а (х, t) — другое
произвольное решение уравнения теплопроводности, тоже явля-
ются решениями уравнения теплопроводности. (См. пример 2.22,
где подробно обсуждается, как эти выражения получаются из
групповых преобразований.)
Группы симметрий G3 и Ga отражают, таким образом, линей-
ность уравнения теплопроводности; мы можем складывать ре-
шения и умножать их на константы. Группы Gi и G2 демонстри-
руют временную и пространственную инвариантность уравнения,
отражая тот факт, что уравнение теплопроводности имеет по-
стоянные коэффициенты. Известная симметрия относительно ра-
стяжений проявляется в группе G4, а группа G& представляет
2.4. Вычисление групп симметрий
167
преобразования Галилея в движущейся системе координат. По-
следняя группа G6 является существенно локальной группой
преобразований. Ее появление вовсе не очевидно из основных
физических принципов, однако оно приводит к следующему за-
мечательному выводу. Если выбрать и = с в качестве исходного
решения, то мы немедленно заключаем, что функция
с f — ex2
— exp 1------
+ 4е/ I 1 + 4е/
тоже является решением. В частности, полагая с = л/ъ1л, мы
получаем фундаментальное решение уравнения теплопроводно-
сти в точке (х0, to) = (0, — 1/4е). Чтобы получить фундамен-
тальное решение
1 ( — х2 )
V 4л/ I 4/ J
нам нужно осуществить сдвиг по t, пользуясь группой G2 (с за-
меной е на —1/4е).
Наиболее общая однопараметрическая группа симметрий по-
лучается, если рассмотреть общую линейную комбинацию C1V1+
... + c6V6 + va данных векторных полей; явные формулы для
преобразований из этой группы очень сложны. Другой способ:
можно использовать (1.40) и представить произвольное преоб-
разование g как композицию преобразований из различных од-
нопараметрических подгрупп Gi, ..., Ge, Ga. В частности, если
g близко к тождественному преобразованию, оно единственным
образом может быть представлено в виде
g = exp (va) • ехр (ебУ6) • ... • exp (s^i).
Таким образом, наиболее общее решение, получающееся из дан-
ного решения u = f(x,t) преобразованиями из рассматриваемой
группы, имеет вид
1 f е5Х + 66Х2 - е|/ )
и = . ехр < е3-----------------------? X
1 -р 4вв/ (. 14" 4eg/ J
.. cfe~e*(x — 2е6/) е~2еЧ А . , .
Х Ч 1 + 4ев/ е>’ 1 + 4е6/ е2) + “ (Х>
где .......Ее — вещественные постоянные, a a — произвольное
решение уравнения теплопроводности.
Пример 2.42. Уравнение Бюргерса. Уравнение Бюргерса —
это нелинейное уравнение, тесно связанное с уравнением тепло-
проводности. Имея в виду группу симметрий, его удобно запи-
сать в виде уравнения для потенциала и:
Щ = “хх + “1 (2-57)
168
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Заметим, что если продифференцировать его по х и подставить
v — их, мы получим более обычный вид
vt = vxx + 2vvx (2.58)
уравнения Бюргерса; оно представляет собой простейшее волно-
вое уравнение, сочетающее диссипативные и нелинейные эффек-
ты, и появляется поэтому во многих физических приложениях.
Группа симметрий уравнения (2.57) снова будет порождена
векторными полями вида (2.53). Применяя второе продолжение
pr<2>v к (2.57), получаем, что £, т, <р должны удовлетворять усло-
виям симметрии
ф' = <рхх + 2uxq>x, (2.59)
где коэффициенты ф*, q7, qxx в pr<2>v были определены в при-
мере 2.38, причем мы подставляем ихх + и2х вместо ut всюду,
где ut встречается в (2.59). На этом этапе мы могли бы запи-
сать (2.59) во всех подробностях и приравнять коэффициенты
при разных производных первого и второго порядков от функ-
ции и, чтобы получить полностью определяющие уравнения, как
мы поступали в предыдущем примере. Практически, однако, го-
раздо более целесообразно браться за решение уравнений сим-
метрий поэтапно, получая сначала информацию из появляю-
щихся в них производных высших порядков и затем используя
эту информацию для упрощения формул продолжения на после-
дующих этапах. Такой путь «сверху вниз» наиболее эффекти-
вен. Более того, это почти единственный путь, пригодный для
систем уравнений высших порядков, для которых потребова-
лось бы много страниц, чтобы во всех подробностях записать
полную систему определяющих уравнений.
В нашем случае, используя (2.45), (2.46) и имея в виду, что
Ut заменено на ихх + их, мы получаем, что коэффициенты при
uxuxt и uxt накладывают условие ти = тх = 0, так что т — функ-
ция только от t. (Заметим, что это уже упрощает формулы для
ф* и фхх, хотя и совсем немного.) Коэффициент при ихихх пока-
зывает, что | не зависит от и, коэффициент при ихх — что =
==21х, так что ^(х,0 = т«х/2 + (т(0- Коэффициент при и2 есть
ЧРи ^t = Ч’ии + 2фи
следовательно,
<р = а(х, Ое-" + Р(х, О-
Коэффициент при их приводит к условию
It = —2<рхи — 2<рх = —20х.
2.4. Вычисление групп симметрий
169
Значит,
Р = — |т((х2 — у ctx + р (/).
Оставшиеся члены, не содержащие никаких производных от и, —
это в точности
ф/ --- фхх-
Отсюда вытекает, что
£ = Ci + с^х + 2c5Z + 4е6х/,
т = с2 + 2с4? + 4с6/2,
<р = ct (х, t) е~и + с3 — с5х — 2c6t — c$x2,
где Ci, ..., с6 — произвольные постоянные, а а(х, t)—произ-
вольное решение уравнения теплопроводности-, at — ахх- Алге-
бра симметрий, таким образом, порождается полями
Vi = дх,
и
У2 = дь
v3 = ди,
v4 = хдх + 2tdt,
v5 = 2tdx — хди,
v6 = Atxdx + 4/2d/ — (x2 + 2t) du,
va = a(x,-t)e~udu,
(2.60)
где a — произвольное решение уравнения теплопроводности.
Отметим замечательное сходство между алгеброй симметрий
уравнения Бюргерса и тем, что мы получили раньше для урав-
нения теплопроводности! В самом деле, если мы заменим и на
w = еи, то поля vi, ..., ve, va заменятся на соответствующие
векторные поля (2.55), где вместо и стоит w. Действительно, по-
лагая w — еи в уравнении Бюргерса, мы находим
ffi>f = w.eu, га = («„,+ и2) еи,
I I \ ЛЛ Л/
следовательно, w удовлетворяет уравнению теплопроводности
wt = аухх!
Мы переоткрыли известное преобразование Хопфа — Коула,
сводящее решения уравнения Бюргерса к положительным реше-
ниям уравнения теплопроводности. (Для уравнения Бюргерса
в обычном виде (2.58) оно имеет вид
и = (log йу)х = wxlw.
170
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Это преобразование гораздо труднее вывести из свойств сим-
метрии уравнения (2.58), которое, как может проверить чита-
тель, имеет лишь пятипараметрическую группу симметрий.) По-
скольку мы свели уравнение (2.57) к уравнению теплопровод-
ности, нет нужды продолжать здесь обсуждение свойств его
симметрий.
Пример 2.43. Волновое уравнение. Рассмотрим волновое
уравнение
i^tt ихх Муу 0, (2.61)
х, У — две пространственные координаты, t — время. Типичное
векторное поле на пространстве независимых и зависимых пе-
ременных имеет вид
t д . д . д . д
¥=^ + г1-^ + тЖ + (Р-йГ’
где т], т, ф зависят от х, у, t, и. В этом примере легче рабо-
тать с инфинитезимальным критерием инвариантности в виде
(2.26), который в нашем случае принимает вид
ф“ _ у** — [utt — ихх — иуу). (2.62)
Здесь Q (х, у, t, u<2>) может зависеть от производных функции и
до второго порядка включительно. Коэффициенты <р", ц>хх, qyy
в pr(2)v задаются выражениями, аналогичными (2.46), но с до-
полнительными членами, включающими производные по у, на-
пример,
Ф** = (ф tjUj, ты/) “Ь ^Uxtt “Ь ^ytt “Ь xuttt=
= О^ф — uxD$ — uyD2f^ - utD2x — 2uxtD£ — 2uytDtx\ — 2uttDtx
и т. д.
Чтобы решить (2.62), рассмотрим сначала члены, содержа-
щие смешанные частные производные функции и второго по-
рядка, а именно иху, uxt и uyt, каждая из которых входит ли-
нейно в левую часть. Отсюда получается, что g, rj и х не зави-
сят от и и, более того,
^ + Пх = 0, gt —тх = 0, nt — 4 = 0. (2.63)
Коэффициенты при оставшихся производных функции и второго
порядка дают соотношения
Фи 2rt = фи 2^х = фи 2т}у = Q,
следовательно,
Ч = ^ = V (2.64)
Уравнения (2.63), (2.64)—это уравнения инфинитезимального
конформного преобразования пространства R3 с метрикой Ло-
2.4. Вычисление групп симметрий
171
ренца dt2 — dx2 — dy2, ср. упр. 1.30. Нетрудно показать, что g,
т], т — квадратные многочлены от х, у, t вида
В = Ci + с4х — с5у + c6Z + с8 (х2 — у2 + Z2) + 2с$ху + 2c10xZ,
Л ~ с2 + С5Х + С'<У + с7^ + 2с8Х1/ + С9 ( X2 + у2 + t2) + 2c10«/Z,
т = С3 -|“ с^х 4- Суу 4- с 4- 2c&xt 4- 2c$yt 4~ с10 (х2 4- у2 4-t2),
где Ci....с10 — константы. Например, получаем
^ххх Чхху= *хуу ' Xyyi= 4ytt ' ЬхИ — Xxxt ~ ^>ххх>
следовательно, все эти производные третьего порядка обра-
щаются в нуль; аналогичные рассуждения показывают, что все
производные третьего порядка от g, т] и т нулевые, а строение
получающихся квадратных многочленов легко получается из
(2.63), (2.64).
Далее, коэффициент при и2 (или и2, или и2) в (2.62) по-
казывает, что (рии = 0, так что
<p(x, у, t, u) = p(x, y, Z)u4-a(x, y, t).
Наконец, коэффициенты при линейных членах в производных
функции и первого порядка и члены, не содержащие и вообще,
дают соотношения
2рх = Ъхх 4- Ъуу
= г]хх 4- 'Чуу
2р/ = Хц ххх хУу>
att ахх ауу = 0.
Таким образом, а — произвольное решение волнового уравне-
ния и
Р — Си Г8х СдУ C10Z.
Это задает наиболее общее решение определяющих уравнений
группы симметрий волнового уравнения. Итак, мы передока-
зали известный результат о том, что группа инфинитезималь-
ных симметрий волнового уравнения порождается десятью век-
торными полями
дх, ду, dt
гху = — Удх + хду, rxt = tdx + хдъ
ryi = tdy + ydt
d = хдх + уду + tdt
ix = (x2 — y2 + Z2) дх + Ъхуду 4- 2xtdt — xudu,
iy = 2xydx 4- (y2 — x2 4- Z2) dy 4- 2ytdt — yudu,
ц = 2xtdx 4- 2ytdv 4- (x2 4- У2 4- t2) dt — tudu
(сдвиги),
(гиперболические
вращения),
(дилатация)
(2.65)
(инверсии),
172 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
порождающими конформную алгебру для R3 с данной метри-
кой Лоренца, и дополнительными векторными полями
иди, va = a(x, у, t)du,
где а — произвольное решение волнового уравнения, отражаю-
щими линейность этого уравнения.
Легко найти групповые преобразования, соответствующие
сдвигам и дилатациям. Что касается вращений, то, поскольку
метрика dt2 — dx2 — dy2 не является ни положительно, ни от-
рицательно определенной, лишь вращения в плоскости (х, у)
оказываются настоящими вращениями, два других — это «ги-
перболические вращения». Например, rxt порождает группу
(х, у, 0 (х ch е + t sh е, у, х sh е + t ch е).
Для инверсий соответствующие группы можно построить, как
в упр. 1.30, исходя из инверсии
/(X, у, 0 = ( Z2 _ X2 _ у2 > Z2_/2_^2 . /2 _ X2 _ ^2 ) .
которая определена в точках (х, y,t), не лежащих на световом
конусе t2 = х2 -ф у2. Мы получили, что группа, порожденная,
скажем, L, сводится к композиции инверсии, сдвига по оси х
и затем снова инверсии:
ехр (eix) = I ° ехр (гдх) ° I.
Общая формула имеет вид
(Х и t\^(______х + е«2-х2-у2)____ ___________у__________
\ > У’ > k 1 — 2ех — е2 (/2 — х2 — у2) ’ 1 — 2ех — е2 (/2 — х2 — у2) ’
1 — 2ех — е2 (/2 — х2 — у2) J '
Эта формула имеет смысл даже для точек (х, у, t), лежащих
в световом конусе (который является инвариантным подмно-
гообразием). Под действием ехр(еь) переменная и преобра-
зуется следующим образом:
и t—> V1 — 2ех —- е2 (t2 — х2— у2) и.
Мы заключаем, что если u=f(x, у, t)—решение волнового
уравнения, то и
_ ______________1__________f ( x — e(t2 — x2 — у2)
U ~ + 2ех - е2 (t2 - х2 - у2) ' I 1 + 2ех - е2 (t2 - х2 - у2) ’
__________У___________ ___________I___________А
1 + 2ех - е2 (t2 -х2-у2) ’ 1 + 2ех - е2 (/2 - х2 - у2) )
будет его решением.
2.4. Вычисление групп симметрий
173
Пример 2.44. Уравнение Кортевега— де Фриза. В качестве
примера уравнения более высокого порядка рассмотрим урав-
нение Кортевега — де Фриза
Щ + иххх + иих = 0, (2.66)
возникающее в теории длинных волн в мелкой воде и в других
физических системах, в которых имеют место и нелинейные
эффекты, и дисперсия. Векторное поле v = + xdt + <pdu по-
рождает однопараметрическую группу симметрий, если и толь-
ко если
Ф* + 4>ххх + ифх + ихЧ> = 0 (2.67)
для всех и, удовлетворяющих (2.66). Здесь коэффициенты ср*
и ф* первого продолжения поля v определяются общей фор-
мулой продолжения (2.45); коэффициент при д/диххх в pr(3)v
равен
-
3uXXfDxX.
Подставляя это выражение в (2.67) и заменяя ut на
—иХхх — иих там, где ut встречается, мы получаем определяю-
щие уравнения для группы симметрий. Чтобы их проанализи-
ровать, мы стараемся понизить порядок появляющихся произ-
водных. Коэффициент при uXxt равен Dxx = 0, следовательно,
т зависит только от t. Коэффициент при и2хх показывает, что
gu — 0. Коэффициент при иххх дает xt = 3gx (члены, содержа-
щие сокращаются), следовательно, g = xtx/3 + o(t). Далее,
коэффициент при ихх показывает, что <рии = 0 — срхи, так что
Ф линейна по и, а коэффициент при и является функцией
только от t. Остальные члены в (2.67) — те, что содержат их\
это дает
— It — и (ф„ — ч) + и (фи — + ф = 0,
и те, что не содержат никаких производных от и:
<Pf + <Рххх + и(Рх = О-
Все эти уравнения имеют общее решение
В = Ci + c3t -|- ctx,
х — с% “I- Зс4/,
Ф = с3 — 2с4и,
174
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
где ci, с2, сз, с4 — произвольные постоянные. Поэтому алгебра
симметрий уравнения Кортевега — де Фриза порождается че-
тырьмя векторными полями
Vi = dx (сдвиг в пространстве),
v2 = dt (сдвиг во времени),
v3 = /<?* + <?„ (преобразование Галилея), (2.68)
v4 = хдх + 3tdt — 2иди (растяжение).
Коммутаторы этих полей сведены в таблицу:
Vi v2 Vs V4
V1 0 0 0 Vi
V2 0 0 Vi 3v2
Vs 0 — Vi 0 —2v3
V4 — Vi —3v2 2v3 0
Экспоненцирование показывает, что если u = f(x,t)— решение
уравнения Кортевега — де Фриза, то и
ы(1) = /(х — е, t),
и<2> = f(x> t — е),
р [Р
u<3) — f(x — et, t) -|- e, ’
u<4) = e~2Rf (e“8x, e~Set),
являются его решениями. Это легко можно проверить. (Чита-
телю, знакомому со многими замечательными «солитонными»
свойствами уравнения Кортевега — де Фриза, этот список сим-
метрий может показаться разочаровывающе малым. Дальней-
шие свойства симметрии, отражающие существование беско-
нечного числа законов сохранения, и, по-видимому, линеари-
зация метода обратной задачи рассеяния потребуют от нас
развития теории обобщенных симметрий в гл. 5 и 7.)
Пример 2.45. Уравнения Эйлера. В качестве последней ил-
люстрации основного метода вычисления групп симметрий мы
рассмотрим систему уравнений Эйлера движения невязкой не-
сжимаемой жидкости в трехмерной области. Здесь имеются че-
тыре независимые переменные: х = (х, у, z) — пространственные
координаты — и t — время, — а также четыре зависимые пере-
менные: поле скоростей u = (u, v, w) и давление р. (Плотность
2.4. Вычисление групп симметрий
р полагаем равной 1.) В векторных обозначениях система
имеет вид
+ и • VU = - Vp,
V • и = О,
(2.69)
где компоненты нелинейных членов u-Vu суть
(llUx + VUy + WUZ, UVX + VVy + WVZ, UWX + VWy + wwz).
Инфинитезимальной симметрией уравнений Эйлера будет век-
торное поле вида
V = £дх 4- Tjdj, 4- £дг 4- xdt 4- фди 4- фд0 4- 4- пдр,
где т], л — функции от х, u, t и р. Применяя первое про-
должение pr(1)v к уравнениям Эйлера (2.69), получаем сле-
дующую систему уравнений симметрии:
Ф* 4- шрх 4- иЧ>у 4- и>ф2 4- ихЧ> 4- иу^ 4- = — п*> (2.70а)
Ф* 4- «Ф* 4- ЦФУ 4- и’Ф2 4- адр 4- ^Ф 4- и2% — — (2.70Ь)
%/ 4- 4- v%v 4- ®xz 4- wxy 4- wyty 4- wz% = — nz, (2.70c)
Фх 4-Фу 4-xz = 0,
(2.70d)
которые должны выполняться при и и р, удовлетворяющих
(2.69). Здесь ф*, ф* и т. д. — коэффициенты при производных
первого порядка d/dut, d/dvx и т. д., появляющихся в pr(1)v;
типичный вид этих функций следует из формулы продолжения
(2.43), так что
ф* = Dtq> — uxDtl, — uyDtx] — uzDt£ — utDtx,
ф* = £)хф — vxDxl, — vyDxT] — vzD£ — vtDxx
и т. д.
Поскольку (2.70) должны выполняться лишь на решениях
(2.69), мы можем подставить в (2.70) вместо рх, ру, рг и wz
выражения для них, которые получаются из четырех уравне-
ний (2.69). Мы можем затем приравнять все коэффициенты
при оставшихся производных первого порядка от и, р в (2.70)
и решить полученную систему определяющих уравнений отно-
сительно g, Т], ..., л.
В качестве первого шага покажем, что эта симметрия долж-
на быть проектируема, т. е. что цД и т зависят только от х
и t. Коэффициент при р< в (2.70а) равен
Фр ВрКк ^IpUy ^>p^z ^рЩ DxX Хх ~t~Xutlx~{-X0Vx-l-XwWx 4“ ^рРх-
176
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Поэтому = tw = 0. Рассматривая тот же коэффициент в
(2.70b), получаем также т,,=0. Кроме того, делая в соответ-
ствии с (2.69) подстановку для рх, мы получаем
фР = тх, Фр = ту, хР = т2, (2.71)
£р = итр) Т]р = отр, £р = а>Тр, (2.72)
где уравнения для фр и %р получаются из аналогичных рассмот-
рений (2.70b, с). Далее, рассмотрим в (2.70а) квадратный од-
ночлен vtvx- Он может получиться также из одночленов
pyvx, pyvt и р2у. Все они входят только в лх. Полученный коэф-
фициент равен 0 = —т]0. Аналогично, коэффициент при vtwx
в (2.70а) показывает, что т]т — 0. Дальнейший анализ квадра-
тичных членов в (2.70а, Ь, с) показывает, что т], В не зависят
от и, v, w. Дифференцируя затем (2.72) по и, о и w, получаем,
что тр = 0, следовательно, |р = т]р — £Р = 0 и симметрия проек-
тируема.
Следующий шаг состоит в том, чтобы рассмотреть коэффи-
циенты при ut, vt и wt в (2.70d), учитывая, что они могут по-
явиться также из Vp при подстановке. Отсюда следует, что
<РР + тж - % + ту = хр + tz = 0.
Сравнение с (2.71) показывает, что т зависит лишь от t,
а ф, ф, % не зависят от давления. Рассмотрим далее коэффи-
циенты при vt и vx в (2.70а), которые суть
Фо== Фо== Лх Ко-
такам образом, По = 0, и в силу аналогичных рассмотрений л
не зависит ни от и, ни от w. Из коэффициентов при ut и wt
мы получаем также
фи = — Вх + пр> Фш = ~ Вх
и т. д. Из всего этого следует, что ф, ф, % имеют общий вид
ф = (Tf — 1Х + Яр) и —t]xv — lxw + ф,
Ф = — ZyU + (т< — Т]р + Пр) V — ZyW 4- ф,
Х= — — Пг» + (Tf — + Яр) W + X,
где ф, ф и % зависят только от х и t. Коэффициенты при про-
странственных производных от и в (2.70а, Ь, с) тогда дают
ф Bf, Ф = Т]f, X Bf, Вх = Лу == Bz == Tf -g- Яр,
Вр + ^ = В2 + Вх = ^ + Вг/ = О.
В частности, пространственная компонента + яд» + ВДг
поля v порождает (зависящую от времени) конформную группу
2.4. Вычисление групп симметрий
177
симметрий пространства R3 с евклидовой метрикой. Остальные
члены в (2.70) не содержат производных ни от и, ни от р. От-
сюда следует, что g, т], £ должны быть линейны по х, у, z и,
кроме того, что
^>yt == ^>zt == 'Qxt == 'Tzf £xt == £>yt ==
%>xt = ^yt = Zzt~ xtt>
Bff = 1}tt ny> ~ nz-
Поэтому
В = &tx 4- cty — c2z + a,
T] = - c,x + f»ty 4- c3z 4- 0,
£ = c2x — СзУ 4- &tz 4- Y,
T = 26 4“ 4- c5>
Ф = — (df 4- c4) u 4- ctv — c2w 4- Of,
ф == — C1« — (6f 4- c4) V 4- C3W + 0,,
% = c2u — c3v — (df 4- c4) w 4- Yt,
JT = —2 (df 4- C4) P — 4 6« (*2 + У2 + z2) — aHx — bttV — YffZ + 6.
где a, 0, у, б и 0 — функции от t, a cb c2, c3, cit c5 — постоянные.
Наконец, условие нулевой дивергенции (2.70d) накладывает
дальнейшие ограничения; = 0, так что д = c6t 4- с7.
Таким образом, мы показали, что группа симметрий урав-
нений Эйлера в трехмерном случае порождается векторными
полями
va = адх 4- atdu — attxdp,
v₽ = 0dy + 0А — 0ttP0p>
vv = Y0Z 4- Y/0w — Vttzdp
vo = 0f
di — хдх -f- уду 4" Z0z 4- ^dt,
d2 = tdt — ид u — vdv — wdw — 2рдр
(сдвиги по осям),
(сдвиг по времени),
(растяжения),
(2.73)
rXy = Удх — хду 4- vdu — udv, '
rzx — хдг — zdx 4- udw — wdu, >
ryz = zdy — ydz 4- wdv — vdw .
ve = 6dp
(вращения),
(изменения давления),
178
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
где а, 0, у и 6 — произвольные функции от t. Соответствующие
однопараметрические группы симметрий уравнений Эйлера то-
гда следующие.
(а) Переход к произвольной движущейся системе коор-
динат:
Ga: (х, t, и, р) н-> (х + еа (/), t, и ф- еаь р — ех att — е2а • ап,
где а = (а, 0, у), a Ga порождено линейной комбинацией vtt =
= Va + vp + vY первых трех векторных полей.
(Ь) Сдвиги по времени:
Go: (х, t, и, р)»->(х, t + е, и, р).
(с) Растяжения:
Gp (х, t, u, р)*-^(Ах, Kt, и, р),
G2: (х, t, u, р)*-^(х, Kt, A-Iu, А~2р),
где К — е® — мультипликативный параметр группы,
(d) Группа
SO(3): (х, t, и, р)н^(/?х, t, Ru, р)
одновременных вращений и пространства, и векторного поля
скорости и. Здесь R — произвольная ортогональная матрица
размера 3X3.
(е) Изменения давления:
Gp: (х, t, u, р) ь—> (х, t, и, р4-е8(0).
Соответствующее действие на решения уравнений Эйлера по-
казывает, что если u=f(x, t), р = g(x, t) — решения, то ре-
шениями являются
Ga: u = f (х — еа (t), t) + еаь р = g (х — еа (/), t) — ex att -|-
I 1 2
+ 2-eza • att,
Go: u = f (x, t — e),
Gp u = f (Ax, Kt),
G2: u = Af (x, Kt),
SO(3): u = /?f(₽-1x, /),
Gp: u == f (x, t),
p = g{x, t — E),
p = g(^x> М»
p = A2g(x, Kt),
p = g(R~lx, t)
p~g(n, 0 + e6(0.
(B Go и Gi мы заменили А на А-1.) Заметим, что при переходе
к движущейся системе координат Ga мы должны изменять дав-
ление в соответствии с тем, что ускорение движения равно
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
179
есщ. Последняя группа Gp отражает тот факт, что давление р
определено лишь с точностью до прибавления произвольной
функции от t. Это завершает список симметрий уравнений Эй-
лера.
2.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Одно из наиболее привлекательных приложений теории
групп Ли — это приложение к задаче об интегрировании обык-
новенных дифференциальных уравнений. Основное наблюдение
Ли состоит в том, что знание достаточно большой группы сим-
метрий системы обыкновенных дифференциальных уравнений
позволяет проинтегрировать эту систему в квадратурах и та-
ким образом получить общее решение. Этот подход унифици-
рует и значительно расширяет различные специальные методы
интегрирования определенных типов уравнений первого поряд-
ка, таких, как однородные уравнения, уравнения с разделяю-
щимися переменными, уравнения в полных дифференциалах
и т. д. Аналогичные результаты справедливы и для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом параграфе
представлен обзор этих методов.
Уравнения первого порядка
Мы начинаем с рассмотрения одного обыкновенного диф-
ференциального уравнения первого порядка
-^- = F(x, ц). (2.74)
Мы покажем, что если это уравнение инвариантно относительно
однопараметрической группы преобразований, то его можно
проинтегрировать квадратурой. Пусть G — однопараметриче-
ская группа преобразований открытого подмножества М cz
cz X X V R2, и пусть
У = В(х, и)-^ + ч>(х,
— ее инфинитезимальная образующая. Первое продолжение
поля v — это векторное поле
рг<1)¥ = ^ + (р^г+(рх^7- (2-75)
где
= Dxtp ~ uxDxl = Фх + (<pu - - IX-
180 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Таким образом, инфинитезимальное условие, что группа G яв-
ляется группой симметрий для (2.74), состоит в том, что
+ - ТГ'772 = £ТГ- + (Р^’ (2-76)
дх 1 \ ди дх ) ди дх v ди ' '
и всякое решение g(x, и), <р(х,и) уравнения с частными произ-
водными (2.76) порождает однопараметрическую группу сим-
метрий нашего обыкновенного дифференциального уравнения.
Конечно, практически отыскание решений уравнения (2.76)
оказывается обычно гораздо более трудной задачей, чем реше-
ние исходного обыкновенного дифференциального уравнения.
Однако, влекомые вдохновляющими догадками или геометриче-
скими соображениями, мы, возможно, сумеем найти решение
уравнения (2.76), которое приведет нас к интегрированию урав-
нения (2.74). В этом искусство метода Ли.
Найдя группу симметрий G, мы можем применить несколько
различных методов, чтобы проинтегрировать (2.74). Предпо-
ложим, что v — инфинитезимальная образующая группы сим-
метрий, и допустим, что v|(Xo Ыс)=/=0. (Если векторное поле v
обращается в нуль в точке (хо, «о), то вблизи этой точки у ре-
шений могут быть особенности. Поведение решений и = f(х)
вблизи таких особенностей может быть найдено экстраполя-
цией, поскольку уравнение будет проинтегрировано при близ-
ких значениях х.) В соответствии с предложением 1.29 мы мо-
жем ввести новые координаты
у — т] (х, и), w = t, (х, и) (2.77)
вблизи точки (хо, По), так что в координатах (у, w) векторное
поле будет сдвигом v = d/dw и его первое продолжение
pr(1)v = v = d/dw
— тоже сдвиг. Таким образом, в новой системе координат,
чтобы быть инвариантным, дифференциальное уравнение долж-
но не зависеть от w, так что (2.74) эквивалентно элементар-
ному уравнению
dw
для некоторой функции Н. Это уравнение тривиально интегри-
руется в квадратурах:
w = ^H (y)dy + c,
где с—некоторая постоянная. Подставляя сюда выражения
(2.77) для у и w, мы получаем решение и = f(x) нашего исход-
ного уравнения в явном виде.
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
181
Замена переменных (2.77) строится с помощью методов
нахождения групповых инвариантов, представленных в § 2.1.
Действительно, из (1.16) следует, что векторное поле v пре-
образовано к виду d/dw, если т) и £ удовлетворяют линейным
уравнениям с частными производными
vW-^+»^-O. (2.78а)
у(О = Е> + ф<=1. (2.78b)
Первое из этих уравнений в точности означает, что т](х, у) яв-
ляется инвариантом группы, порожденной полем v. Мы можем,
таким образом, отыскать т), решая соответствующее характери-
стическое обыкновенное дифференциальное уравнение
dx ______ du
£ (х, и) <р (х, и)
(2.79)
Часто соответствующее решение £ уравнения (2.78b) можно
найти подстановкой. Более систематически, можно ввести вспо-
могательную переменную v и заметить, что £(х, и) удовлетво-
ряет (2.78b), если и только если функция %(х, и, v)=v—£(х, ц)
является инвариантом векторного поля w = v -f- dv =
= &x + qpdu + dv. Таким образом, мы требуем, чтобы
Это уравнение мы снова можем решить методом характеристик:
1(х,и) ф(х,и) 1 '
Решение ищем в виде v — £(х, u)= k, где k — постоянная ин-
тегрирования.
Вообще говоря, решить уравнения (2.79) и (2.80) (это снова
обыкновенные дифференциальные уравнения) может быть так
же трудно, как проинтегрировать исходное дифференциальное
уравнение. В частности, если
ф(х, ы)/Ё,(х, u) = F(x, и), (2.81)
то мы автоматически имеем решение уравнения симметрии
(2.76), так что такое векторное поле v = £dx + q)du всегда яв-
ляется симметрией этого уравнения. В таком случае отыскание
инварианта группы, т. е. решение уравнения (2.79), — в точно-
сти та же задача, что и интегрирование исходного уравнения,
так что этот метод оказывается бесполезным. Мы можем
182 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
рассчитывать на успех в решении нашей задачи лишь тогда,
когда группа симметрий имеет достаточно простой вид, так что
можно явно решить уравнения (2.79) и (2.80).
Пример 2.46. Однородное уравнение — это уравнение вида
du г( и\
где F зависит только от отношения и к х. Группой симметрий
такого уравнения является группа растяжений
G: (х, и) н-> (Лх, Ли), Л > 0.
Это непосредственно следует из вида первого продолжения
группы G:
pr(1)G: (х, и, их)*-^(Лх, Ли, их),
которое, очевидно, оставляет уравнение инвариантным. Дей-
ствуя по-другому, можно рассмотреть инфинитезимальную об-
разующую
д д
v = x-^—\~ и -ч—,
дх ди
первым продолжением которой в соответствии с (2.75) является
pr<1>v = v, и воспользоваться инфинитезимальным критерием
инвариантности.
Новые координаты у, w, удовлетворяющие (2.78), задаются
формулами
У = -7-, = log х.
Пользуясь цепным правилом, получаем
du duldy х (1 + ywy) \+ywy
dx dy/dx xwy Wy
так что наше уравнение принимает вид
dw __ 1
dv — F(y) — y ‘
Оно имеет решение
которое в свою очередь определяет неявно и как функцию от х,
если подставить iw = logx, у — и/х. Например, если уравне-
ние имеет вид
du и3 + 2хи ____( и у ( о м
х3 — I х ) + 2 х ’
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
183
так что F(y) = у2 4- 2у, то в координатах у = и/х, iw = logx
имеем
dw __ 1
dy уя + у
Решение имеет вид
w = — log (I + у~1) + с,
или, в исходных координатах,
logx = —log(l +-£•) 4-с.
Теперь можно явно выразить и как функцию от х:
хя
и — -----,
с — X
где с = ес.
Хотя ответ хорошо известен, эта процедура не совсем ти-
пична для курса обыкновенных дифференциальных уравнений.
Здесь w и у меняются ролями, и w становится новой незави-
симой переменной. Такая стратегия часто оказывается целесо-
образной для многих уравнений первого порядка. В настоящем
случае мы можем опустить логарифм и рассматривать х и
у — и/х как новые переменные. Тогда
du dr . dy
-7- = -у— (ху)=х -г- 4- У,
dx dx ' dx 1
и мы получаем решение в виде
\т$=¥ = №-1,*х + с-
Эквивалентность этих методов ясна. Наконец, заметим, что, во-
обще говоря, начало координат и = х = 0 является особой
точкой, отвечающей точке, где векторное поле v обращается
в нуль.
Пример 2.47. Пусть G — группа вращений SO (2), инфини-
тезимальная образующая
prmv = _u^4.x^_4.(i+„2)_L_
которой была вычислена в примере 2.29. Непосредственными
вычислениями проверяется, что всякое уравнение вида
du __ и 4- хН (г)
dx х — иН (г) ’
(2.82)
184
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
где Н (г) = Н (Vх2 + У2} — произвольная функция от радиуса,
допускает SO (2) в качестве группы симметрий. Полярные ко-
ординаты г, 0, где х = г cos 0, и = г sin 0, — это новые коорди-
наты, удовлетворяющие (2.78), поскольку в этих координатах
v = д/дВ. Кроме того,
du du/dr sin 6 + г0г cos 6
dx dx/dr cos 0 — r0r sin 0
Подставляя в (2.82) и разрешая относительно dB/dr, мы полу-
чаем
^ = 1я(г)(
dr г ' "
следовательно,
о f ^(0 . ,
0 = \ —— dr с
является общим решением. Например, если H(r)= 1, мы полу-
чаем уравнение примера 2.32.
Другой метод решения уравнения первого порядка, инва-
риантного относительно однопараметрической группы, основан
на построении интегрирующего множителя. Перепишем (2.74)
как уравнение в полных дифференциалах
Р (х, u)dx~i~Q (х, и) du = 0, (2.83)
так что F = —Р/Q. Это уравнение представляет собой полный
дифференциал, если дР/ди = dQ/dx, и в этом случаем мы мо-
жем найти решение в неявной форме Т (х, и) = с, потребовав,
чтобы
= Q.
дх ’ ди
(Это предполагает, что область М односвязна.) Если (2.83) не
является полным дифференциалом, нам нужно искать интегри-
рующий множитель R(x, и), такой, что после умножения на
него мы получим полный дифференциал.
Теорема 2.48. Предположим, что уравнение Pdx + Qdu = О
имеет однопараметрическую группу симметрий с инфинитези-
мальной образующей v = + цди. Тогда функция
R (х, и) = g (х и) р (х м) + ф м) Q м) (2.84)
является интегрирующим множителем.
Доказательство. Пользуясь инфинитезимальным критерием
инвариантности (2.76), мы получаем, что векторное поле v
185
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
является симметрией уравнения (2.83), если и только если
+ ^Q2_(^_-p-')pQ_21p2 = 0. (2.85)
1 дх х \ ди дх) ди ' '
Условие, что /? — интегрирующий множитель, состоит в том, что
i-(RP) = ^(W).
Подстановка формулы для R приводит к условию
ф (<2-тг--/3-1гЧ --^р2~ -7TPQ } =
t'V du ди ) ди ди J
^R2U(p^-Q-?r)--7rpQ -
' 13 \ дх дх ) дх дх j
Сравнение с условием симметрии (2.85) доказывает теорему.
Например, в случае группы вращений уравнение принимает
общий вид
(и + хН (г)) dx + (иН (г) — х) du = 0.
Интегрирующий множитель тогда равен
__________1_________-1
— и (и + хН) + х (иН — х) х2 + и2
Например, пусть Н (г) = 1, так что
(и + х) dx + (и — х) du = 0.
Умножая на (х2 + и2)-1, получаем уравнение в полных диффе-
ренциалах
0 = -xi + u2 dx + х2 + и2 du = d [4log — arctg ~т] ’
следовательно, мы снова вывели формулу для логарифмиче-
ской спирали г = kee, найденную в примере 2.32.
Заметим, что если
gp + q)Q^O
для всех (х, и), то интегрирующего множителя не существует.
Это происходит как раз в случае (2.81), когда вычисление ин-
вариантов группы симметрий — та же задача, что и решение
самого обыкновенного дифференциального уравнения. В этом
случае ни метод инвариантов, ни метод интегрирующего мно-
жителя не позволяют получить решения.
На практике, возможно, легче осуществить метод интегри-
рующего множителя, поскольку при этом не нужно искать
186
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
решения вспомогательной пары уравнений с частными производ-
ными (2.78). Однако, если нужно рассмотреть большое число
уравнений, имеющих одну и ту же группу симметрий, это не-
большое преимущество теряется в силу относительной трудно-
сти отыскания потенциалов Т для каждого требуемого полного
дифференциала.
Уравнения высших порядков
Хотя метод интегрирующего множителя здесь уже непри-
меним, метод, использующий инварианты, непосредственно рас-
пространяется на интегрирование уравнений высших порядков.
Пусть
Д (х, ы(п>) = Д (х, и, их, ..., ы„) = 0, (2.86)
где ип = dnu/dxn — одно дифференциальное уравнение п-го по-
рядка, включающее одну зависимую переменную и. Основной
результат в этом случае состоит в том, что если нам известна
однопараметрическая группа симметрий этого уравнения, то
мы можем понизить порядок этого уравнения на единицу.
Чтобы увидеть это, выберем сначала координаты у =ч\(х,и),
w = t,(x,u), как в (2.78), так что группа преобразуется в груп-
пу сдвигов с инфинитезимальной образующей v = d/dw. Поль-
зуясь цепным правилом, мы можем выразить производные от и
по х через у, w и производные от w по у.
dku * ( dw dkw \
(</,», —.......
для некоторых функций б*. Подстановка этих выражений в
наше уравнение приводит к эквивалентному уравнению п-го по-
рядка
Д (у, w(n)) = Д (у, w, wy, ..., <ь'„) = 0, (2.87)
выраженному в новых координатах у и w. Кроме того, посколь-
ку исходное уравнение допускает группу симметрий G, это же
верно и для преобразованного уравнения. В координатах (у, w)
ее инфинитезимальная образующая имеет тривиальное продол-
жение
pr<n)v = v = d/dw.
Из инфинитезимального критерия инвариантности следует, что
pr(n)v (Д) = — 0, если Д (у, &,(п)) = 0.
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
187
Это означает, как в предложении 2.18, что имеется эквивалент-
ное уравнение
-? ( dw dnw \ „
Д I п, —г—, .. ., —г~п I =0,
V ’dy dy )
не зависящее от w, т. е. Д(«/, ш(п>) = 0 тогда и только тогда, ко-
гда Д(у, ww) = 0. Теперь мы достигли цели; полагая z=wy,
мы получаем уравнение (п — 1)-го порядка по z
Д(у, z, ..., dn~lzldyn~1} = Д(у, z(n~1)) = 0, (2.88)
решения которого доставляют общее решение нашего исходного
уравнения. А именно, если z = h(y)—решение (2.88), то
w = j h (у) dy -j- с — решение (2.87) и, следовательно, замена w
и у их выражениями через х и и неявно определяет решение
исходного уравнения.
Пример 2.49. В качестве элементарного примера рассмотрим
случай уравнения второго порядка, в котором х явно не со-
держится,
Д (и, их, ихх) = 0.
Это уравнение, очевидно, инвариантно относительно группы
сдвигов по оси х с инфинитезимальной образующей д/дх. Для
того чтобы перевести это векторное поле в поле d/dw, соответ-
ствующее сдвигам вдоль зависимой переменной, достаточно по-
менять ролями зависимую и независимую переменные, так что
мы полагаем у = и, w = х. Тогда
du 1 d2u — Wyy
dx Wy dx Wy
так что наше уравнение принимает вид
а это — уравнение первого порядка относительно z = wy:
Д(г/, z, zy) = &(y, z~l, —z~3Zy) = 0.
Например, чтобы решить уравнение
ихх — 2иих — 0,
Мы рассматриваем соответствующее уравнение первого порядка
— z~3zy — 2^?“' = 0,
188 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
где z = dw/dy — (du/dx)-1. Оно легко решается разделением
переменных. Его решение —
z = (y2 + c)~l.
Таким образом, если с = с'2 > 0, мы получаем
w = z dy = ~~r arctg-p- 4- с,
или, через х и и,
u — c'tg (с'х + d), d — — сс'.
(При с < 0 получаем гиперболический тангенс, при с — 0 по-
лучаем предельное решение и = — (х + d)~l.)
Пример 2.50. Рассмотрим однородное линейное уравнение
второго порядка
ихх +p(x)ux + q(x)u = 0. (2.89)
Оно, очевидно, инвариантно относительно группы растяжений
(х, и) I—> (х, Ки)
с инфинитезимальной образующей v = иди. Координаты (y,w),
выпрямляющие поле v, задаются формулами у = х, w = logu
(при и 0), и в этих координатах v = dw. Имеем
и = ew, ur — wrew, и = (wrr + ew,
так что наше уравнение принимает вид
Wxx + Wx + Р (Х) Wx + ? W = 0
и не зависит от w. Таким образом, мы построили известное
преобразование линейного уравнения второго порядка в урав-
нение Риккати первого порядка; а именно, замена z = wx =
= их/и превращает (2.89) в уравнение Риккати.
zx= — z2 — p(x)z — q(x).
Дифференциальные инварианты
Помимо попыток отыскать наиболее общую группу симмет-
рий данного дифференциального уравнения мы можем задаться
встречным вопросом: каков наиболее общий тип дифферен-
циального уравнения, допускающего данную группу в качестве
своей группы симметрий? Ответ на этот вопрос не только до-
ставит нам список больших классов обыкновенных дифферен*
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
189
циальных уравнений, которые можно проинтегрировать общими
методами, но знакомство с различными типами уравнений, воз-
никающими из известных групп, поможет в распознавании
групп симметрий других уравнений.
В соответствии с § 2.2 обыкновенное дифференциальное
уравнение n-го порядка Д (х, ы(п)) = 0 допускает группу G в ка-
честве своей группы симметрий, тогда и только тогда, когда
соответствующее подмногообразие с инвариантно отно-
сительно п-го продолжения pr(">G. Кроме того, в соответствии
с предложением 2.18 существует эквивалентное уравнение
А = О, описывающее подмногообразие £7д, где А зависит лишь
от инвариантов действия группы, которые в нашем случае со-
ставляют pr(n)G. Инварианты продолженного действия группы
играют важную роль в этой процедуре и известны как «диф-
ференциальные инварианты».
Определение 2.51. Пусть G — локальная группа преобразо-
ваний, действующая на М с: X X U. Дифференциальным инва-
риантом n-го порядка группы G называется гладкая функция
т): M<n>-»-R, зависящая от х, и и производных от ы, такая, что
т] —инвариант продолженного действия pr<n>G:
т) (pr'n)g • (х, ы(п))) = т) (х, «<">), (х, ы(п)) е Л1(п),
для всех geG, для которых определено pr(">g- (х, и(п>).
Хотя это определение имеет смысл для нескольких незави-
симых и нескольких зависимых переменных, мы преимуще-
ственно интересуемся случаем, когда р = q = 1.
Пример 2.52. Предположим, что G = SO (2) — группа вра-
щений, действующая на X X G ~ R2, с образующей v =
— —идх + хди. Дифференциальные инварианты первого поряд-
ка— это обычные инварианты первого продолжения pr<1)SO(2),
имеющего инфинитезимальную образующую
pr(1)v = — и + х + (1 + и2)-£—.
г дх 1 ди 1 К 1 дих
Если переобозначить переменные (х, и, их) через (х, у, z), то
мы окажемся в точности в ситуации примера 2.19(b). Переводя
полученный там результат в настоящий контекст, мы получаем,
что функции
= и = (2.90)
190
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
составляют полное множество дифференциальных инвариантов
первого порядка для группы SO (2). В инварианты второго по-
рядка мы включили бы также инвариант кривизны х, получен-
ный в примере 2.37. Всякий другой дифференциальный инва-
риант второго порядка должен быть функцией от этих трех не-
зависимых инвариантов.
Что касается дифференциальных инвариантов высших по-
рядков, то имеется легкий короткий путь, который приводит
нас к построению всех дифференциальных инвариантов, если
известны дифференциальные инварианты низших порядков.
Предложение 2.53. Пусть G — группа преобразований, дей-
ствующая на М cz XX U ~ R2. Предположим, что у =т\(х, «<">)
и w = t,(x,uw)—дифференциальные инварианты п-го порядка
группы G. Тогда производная
dw___dw/dx __ Dxt, ,л „ ..
dy dy/dx — DXT]
является дифференциальным инвариантом группы G порядка
п + 1.
Доказательство. Для доказательства нужна следующая
формула. Пусть £(х, и(п})—произвольная гладкая функция, а
у = %дх + фды — произвольное векторное поле. Тогда
pr<"+,’v (D£) = Dx [pr<«>v (□] - D£ • D£. (2.92)
Пользуясь другой формулировкой (2.50) формулы продолже-
ния, мы видим, что
prtn+Hv ад) = pr<"+% ад) + ад,
если
Dx [pr<n>v (□] = Dx [pr'n>v<2 О + Dx
Поэтому (2.92) сводится к более простой формуле
pr(n+1>v<2 (DXQ = Dx [pr(n,v<2 (£)].
Эта последняя формула — частный случай общего правила ком-
мутирования векторных полей и полных производных, которое
будет доказано в лемме 5.12. (Однако читателю не составит
труда доказать эту формулу сейчас.)
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
191
Перейдем к доказательству (2.91). Пусть v — произвольная
инфинитезимальная образующая группы G. Пользуясь (2.92),
получаем
prln+Ov = __L_ {pr(n+ DV {DxQ . Dx4 _ D£ . pr<n+»v (DXT\)} =
= ^Dx fpr<”)v ~ ' D^> ’ ~
- D£ • Dx [pr^v (n)] + D& D£ • ЗД = 0,
поскольку по предположению pr<n)v(£) = 0 = pr<">v(T]). Таким
образом, dw/dy— инфинитезимальный инвариант относительно
действия pr^+'iG и, следовательно, в силу предложения 2.6
является инвариантом. □
Следствие 2.54. Предположим, что G — однопараметриче-
ская группа преобразований, действующая на М cz X X U — R2.
Пусть у = ц(х, и) и w = Z(x, и, их)—полное множество функ-
ционально независимых инвариантов первого продолжения
pr<'>G. Тогда производные
у, w, dw/dy, ..., dn~lw/dyn~1
составляют полное множество функционально независимых ин-
вариантов для п-го продолжения pr<n>G, п 1.
Чтобы проверить независимость, достаточно заметить, что
A-я производная dkw/dyk зависит в точности от w*+i =
= dk+lu/dxk+l и, следовательно, не зависит от предыдущих ин-
вариантов у, w, ..., dk~lw/dyk~l, являющихся функциями лишь
ОТ X, U, . . . , Uk.
Пример 2.55. Вернемся к инвариантам второго порядка груп-
пы вращений SO(2), рассматривавшимся в предыдущем при-
мере 2.52. Из следствия вытекает, что у, w и производная
dw dw/dx Vx2 + и2 г/ 9 । /, । 9\ / м
-7- = = ----rg- [(х2 + w2) urr — (1 + w2) (хи — «
dy dy/dx (x + uuxp lv 1 'xx \ 1 xj \ x Ц
образуют полное множество функционально независимых инва-
риантов для второго продолжения pr<2)SO(2). Заметим, что это
означает, что любой другой дифференциальный инвариант вто-
рого порядка группы вращений может быть выражен через
у, w и dw/dy, например, инвариант кривизны, найденный ра-
нее, можно записать в виде
v = и*х_________w« ।_____________w
(1+«|)3/2 (1W)3/2 + (1W)1/2-i/’
как может проверить читатель.
192
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Зная дифференциальные инварианты для группы преобра-
зований, действующей на М cz X X U, мы можем определить
структуру всех дифференциальных уравнений, допускающих
данную группу в качестве своей группы симметрий. В случае
когда G — однопараметрическая группа, мы тем самым знаем
все уравнения, которые можно проинтегрировать при помощи G.
Предложение 2.56. Пусть G — локальная группа преобразо-
ваний, действующая на MczX\U. Пусть ^’(х, п(п))> ...
..., т]*(х, «<">)— полное множество функционально независимых
дифференциальных инвариантов п-го порядка для pr<">G. Диф-
ференциальное уравнение п-го порядка Д(х, u(n)) = 0 допускает
группу G в качестве своей группы симметрий, если и только
если существует эквивалентное уравнение
Д (я*(х, и<п), ..., t]k(х, н(п))) — О,
содержащее только дифференциальные инварианты группы G.
В частности, если G — однопараметрическая группа преобразо-
ваний, то любое дифференциальное уравнение п-го порядка, для
которого G является группой симметрий, эквивалентно уравне-
нию (п — 1) -го порядка
A(f/, w, dwjdy...dn~lwldyn~x) = 0, (2.93)
содержащему инварианты у = Ц{х, и), w = £(x, и, их) для
pr<*>G и их производные.
Доказательство непосредственно вытекает из предложения
2.18 и следствия 2.54. □
Пример 2.57. Например, мы можем полностью расклассифи-
цировать все дифференциальные уравнения первого и второго
порядков, допускающие группу вращений SO (2) в качестве
группы симметрий. Всякое уравнение первого порядка, инва-
риантное относительно группы SO (2), эквивалентно уравнению,
содержащему лишь инварианты (2.90). Разрешая относительно
w, мы получаем, что каждое такое уравнение имеет вид
хи*~_и. = н (Vx24-n2)
для некоторой функции Н. Но это в точности уравнение вида
(2.82), обсуждавшееся в примере 2.47 (разрешенное там отно-
сительно их). Таким образом, (2.82) — наиболее общее обыкно-
венное дифференциальное уравнение первого порядка, инва-
риантное относительно группы вращений SO (2).
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
193
Аналогично, всякое уравнение второго порядка, инвариант-
ное относительно группы SO(2), эквивалентно уравнению, со-
держащему у, w и кривизну и = ыЛА.(1-|-«2)-3/2, т. е.
где Н(у, w) — произвольная функция от инвариантов первого
порядка. Как в примере 2.47, оно может быть проинтегрировано
подстановкой r = Vx2 + «2, 6 = arctg (ы/х). Получаем
гвгг + г263 + 26Г
w = г0г, х = —--------9„ 9чч/9— ;
(1 + Г о2)3'2
последнее выражение — это выражение для кривизны кривой
6 = 6(г) в полярных координатах. Таким образом, наше урав-
нение превращается в уравнение первого порядка
г = (1 + r2z2)3/2 Н (г, rz) - + 2z),
содержащее только z — d^t/dr, откуда мы можем определить
0 (г) = z (г) dr + с.
Предыдущее предложение указывает также другой метод
понижения порядка дифференциального уравнения, инвариант-
ного относительно однопараметрической группы. Этот метод ис-
пользует дифференциальные инварианты группы. А именно,
дифференциальное уравнение А(х, и<">) = 0 должно быть экви-
валентно уравнению (2.93), содержащему лишь инварианты
у, w, ..., dn~xwldyn~x для n-го продолжения группы G. Но
(2.93) автоматически является уравнением (и—1)-го порядка
относительно w как функции от у, так что всего лишь перепи-
сыванием исходного уравнения в терминах данного списка диф-
ференциальных инвариантов мы автоматически понижаем его
порядок на единицу. Более того, зная решение w = h(y) полу-
ченного уравнения (2.93), мы можем найти решение исходного
уравнения, интегрируя вспомогательное уравнение первого по-
рядка
£(х, и, их) = h [т] (х, «)], (2.94)
полученное подстановкой вместо у и w их выражений через
исходные переменные х и и. Поскольку уравнение (2.94) зави-
сит лишь от инвариантов у и w группы pr<0G, ясно, что группа
G является его однопараметрической группой симметрий и
это уравнение, следовательно, может быть проинтегрировано
7 П. Олвер
194
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
обсуждавшимися методами интегрирования уравнений первого
порядка. Таким образом, совершенно другим способом мы сно-
ва установили основной факт о том, что порядок обыкновен-
ного дифференциального уравнения, инвариантного относитель-
но однопараметрической группы, можно понизить на единицу.
Пример 2.58. Рассмотрим уравнение второго порядка
х1 2ыхх + хи? = иих. (2.95)
Оно инвариантно относительно группы растяжений (х, и)>—>
I—>(%х, %н).
Попытаемся сначала проинтегрировать (2.95), пользуясь
методом дифференциальных инвариантов. Мы получаем, что
инвариантами действия второго продолжения группы являются
и
у = — , w = ux,
dw
dy
X2UXx
XUx — и
Поэтому новое уравнение, содержащее w и у, имеет вид
W2 — yw.
Оно имеет два семейства решений: либо w = у, либо dw/dy =
=—w; последнее уравнение интегрируется: w — се~у, где с —
некоторая константа. Возвращаясь к исходным переменным, по-
лучаем два однородных уравнения первого порядка, что гаран-
тируется видом уравнения (2.94):
du и g. du —и/х
— — либо -т- — се
dx х dx
Первое уравнение имеет решения и=kx\ второе интегрируется
в квадратурах
---= 1О£Х + Л, (2.96)
J се — у
где у = и/х. Здесь (2.96)—«общее» решение уравнения (2.95),
а линейные функции составляют однопараметрическое семей-
ство его особых решений.
Интегрирование уравнения (2.95) ранее развитым методом —
дело чуть более хитрое. Как и в примере 2.46, мы полагаем
у = и/х, ay = logx, так что через у и w инфинитезимальная об-
разующая записывается в виде d/dw. Далее,
1 + yw Wy — Wy
Ux =----. XUxx =........ .3 ,
wy wy
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений 195
так что наше уравнение принимает вид уравнения Риккати пер-
вого порядка
^ = (y+l)z2 + z, (2.97)
где z = dw/dy. Решение получается либо с помощью общих ме-
тодов интегрирования уравнений Риккати, либо, что более це-
лесообразно, из того, что оно допускает однопараметрическую
группу симметрий с образующей w = (z -f- yz2)дг. Поэтому в
силу теоремы 2.48 R— (z-j-yz2)~l— интегрирующий множи-
тель для (2.97). Находим, что
Т(У> г) = У + log(f/4-z_1) = c
— интеграл, следовательно, решения уравнения (2.97) задаются
формулой z = (ce~v — у)~х. Вспоминая определение z = wv, мы
видим, что последнее выражение можно проинтегрировать, что-
бы вернуться к общему решению (2.96) уравнения (2.95). Осо-
бые решения и = kx в этом случае не появляются, поскольку
они не соответствуют функциям вида w = h(y). Их можно
найти, выбрав другие координаты, например u> = logn вме-
сто w.
Интересный момент состоит в том, что группа симметрий
уравнения Риккати (2.97), порожденная полем w, не уклады-
вается в группу симметрий исходного уравнения. Таким обра-
зом, понижение порядка обыкновенного дифференциального
уравнения может привести к уравнению с новыми симметриями,
благодаря которым можно еще понизить порядок!
Многопараметрические группы симметрий
Если обыкновенное дифференциальное уравнение А (х, «<">) =
=0 инвариантно относительно /--параметрической группы, то ин-
туиция говорит нам, что мы должны быть в состоянии понизить
порядок уравнения на г. В некотором смысле это несколько
наивное предположение справедливо, однако проблема может
заключаться в том, что мы не сможем восстановить решения
исходного уравнения п-го порядка по решениям приведенного
уравнения (и — г)-го порядка посредством одних только ква-
дратур. Точнее, предположим, что G есть г-параметрическая
группа преобразований, действующая на М czXy^U. Предпо-
ложим для простоты, что r-е продолжение pr(r>G, действующее
на М^, имеет r-мерные орбиты. (Более вырожденные слу-
чаи можно рассмотреть аналогично, хотя при этом могут воз-
никнуть технические трудности.) Поскольку многообразие
Л4(г> (г + 2) -мерно, это означает, что локально существуют
7*
196 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
в точности два независимых дифференциальных инварианта
r-го порядка группы G, скажем,
у = т](х, u(r)), ®==С(х, и(И). (2.98)
Заметим, что каждое дальнейшее продолжение pr<">G тоже
имеет r-мерные орбиты. (Это так, поскольку они проектируются
на орбиты группы pr(r>G в Л4(г>, так что они по меньшей мере
r-мерны, но сама группа G r-мерна, так что орбиты не могут
иметь размерность, большую чем г; см. упр. 3.17.) Поэтому
n-е продолжение pr<n)G имеет п — г 4-2 независимых дифферен-
циальных инвариантов, в качестве которых мы в силу предло-
жения 2.53 можем взять
у, w, dw/dy, ..., dn~rwldyn~r.
Если уравнение Д(х, u(n)) = 0 инвариантно относительно пол-
ной группы симметрий G, то в силу предложения 2.18 сущест-
вует эквивалентное уравнение
А (г/, w, dw/dy, ..., dn~rwldyn~r) = Q, (2.99)
содержащее только инварианты группы pr<">G. В этом смысле
мы свели уравнение n-го порядка относительно и как функции
от х к уравнению порядка п — г относительно w как функции
от у.
Главная проблема в этот момент состоит в том, что неясно,
как мы найдем решение u = f(x) исходного уравнения по об-
щему решению w = h(y) редуцированного уравнения (2.99).
Пользуясь выражением (2.98) для инвариантов у, w, получаем,
что мы должны решить вспомогательное уравнение г-го порядка
£ (х, ы(г)) = h [г] (х, u(r))], (2.100)
чтобы найти и. Это вспомогательное уравнение, будучи выра-
женным через дифференциальные инварианты, сохраняет груп-
пу G в качестве своей г-параметрической группы симметрий.
Однако в отличие от однопараметрической ситуации у нас нет
никаких гарантий, что мы сможем проинтегрировать (2.100) в
квадратурах и таким образом явно получить решение исход-
ного уравнения. Эта трудность видна в следующем примере.
Пример 2.59. Вспоминая пример 1.58(c), рассмотрим дейст-
вие группы SL(2) как проективной группы
(х, ц)>-^((ах4-₽)/(ул:4-б), и)
2,5. Интегрирование дифференциальных уравнений
197
на прямой. Инфинитезимальные образующие — это
д д о д
v>=d7- V2=X^T- уз = х
откуда мы видим, что
у — и, w = 2ux иххх — Зих ихх
составляют полное множество функционально независимых ин-
вариантов для продолжения pr<3>SL(2).
Мы заключаем, что всякое дифференциальное уравнение
А(х, «<">) = О, инвариантное относительно полной проективной
группы, эквивалентно уравнению (и— 3)-го порядка
содержащему только инварианты продолжения pr<"'SL(2). На-
пример, поскольку
dw dw/dx 2u2rurrrr — I2ururrurrr + 12ы®
аУ их их
всякое уравнение четвертого порядка, допускающее группу
SL(2) в качестве своей группы симметрий, эквивалентно урав-
нению вида
2ихихххх 12ихиххиххх -|- 12uxx = ихН (и, их (2uxtixxx Зи**))-
Редуцированное уравнение (2.101) в этом случае — уравнение
первого порядка dw/dy = Н (у, w).
В результате решения указанного уравнения мы найдем за-
висимость w = h(y), но тут возникает задача найти соответ-
ствующие решения u = f(x), решая вспомогательное уравнение
2ихиххх ~^ихх~ uxh (и)> (2.102)
полученное подстановкой выражений для у и w. Это уравнение
остается инвариантным относительно группы SL(2), так что
мы можем воспользоваться знанием этого, чтобы попытаться
его проинтегрировать. В частности, оно инвариантно относи-
тельно подгруппы сдвигов, порожденной дх и имеющей инва-
рианты у = и, z = ux, в терминах которых (2.102) приводится
к виду
Это последнее уравнение инвариантно относительно группы ра-
стяжений (у, z)^-(y, Хг) (отражающей симметрию уравнения
198
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
(2.102) относительно группы растяжений (х, н)ь->(А,-1х,«)) и,
следовательно, может быть приведено к уравнению Риккати
первого порядка
2^ + u2 = Zl^ (2.103)
относительно и = (log z)y = zy/z. Однако на этом месте мы
застряли. Мы использовали уже сдвиги и растяжения, чтобы
привести (2.102) к уравнению первого порядка, но инверсий,
порожденных полем v3, которые можно использовать, чтобы
проинтегрировать стандартное уравнение Риккати (2.103), не
осталось. Таким образом, лучшее, что можно сказать, — это то,
что решение дифференциального уравнения п-го порядка, инва-
риантного относительно проективной группы, можно получить из
общего решения редуцированного уравнения (п — 3)-го порядка,
используя две квадратуры и решение вспомогательного уравне-
ния Риккати первого порядка.
Весь этот пример иллюстрирует важную деталь. Если мы
понизили порядок обыкновенного дифференциального уравне-
ния, используя только подгруппу всей группы симметрий, мы
вполне можем потерять любые дополнительные свойства сим-
метрии, имеющиеся во всей группе. Только подгруппы специаль-
ного вида, а именно нормальные подгруппы, описанные в
упр. 1.24, дадут нам возможность сохранить полностью свойства
симметрии при редукции. Прежде чем обсуждать этот случай,
полезно еще раз вернуться к симметриям алгебраических урав-
нений.
Пусть G есть r-параметрическая группа, действующая на
М cz Rm, и пусть Н cz G — подгруппа. Предположим, что т](х) =
= (Л1(*), •••, T]m_s(x)) составляют полное множество функцио-
нально независимых инвариантов группы Н. Если Н оказалась
нормальной подгруппой, т. е. ghg-1 е Н, когда g е G, h^H,
то имеется индуцированное действие группы G на подмножество
A?czRm-s, определяемое этими инвариантами у=(у1,.. ,ym~s) =
= Т](-Ф
g-y = g-T}(x) = i\(g-х), g^G, х^М. (2.104)
Заметим, что для любого h^H
g • т] (hx) — rj (g • hx) = т] {ft • gx) = т] (gx) = g • т] (x),
где h = ghg-1 e H; отсюда легко видеть, что это действие на
М определено корректно. (На самом деле Н действует на Л?
тривиально, так что (2.104) в действительности определяет
действие факторгруппы G/H-, см. упр. 3.11.)
2 5 Интегрирование дифференциальных уравнений
199
В соответствии с предложением 2.18 всякое Я-инвариантное
подмножество множества М можно записать как множество ну-
лей SFP={F(x) = 0} некоторой Я-инвариантной функции К(х) =
= /?(т](х)). Как нетрудно убедиться, в предположении, что Я —
нормальная подгруппа, множество ff’rCzM инвариантно относи-
тельно всей группы G тогда и только тогда, когда приведенное
подмногообразие = {z/: F(y) — 0}czM инвариантно относи-
тельно индуцированного действия G на 2Й.
Что касается инфинитезимального варианта, введем s до-
полнительных переменных х = (х1, ..., Xs), дополняющих у =
= л (*) до локальных координат (у, х) на М. Пользуясь инфи-
нитезимальным критерием нормальности из упр. 1.24(b), мы
видим, что каждая инфинитезимальная образующая группы G
должна иметь в этих координатах вид
m—s s
k=l......г- (2.105)
где каждая т]‘ не зависит от параметрических переменных х.
Таким образом, поле vs приводится к векторному полю
т~ s
чь= У.ъ(у)-£т. k=l, ...,r,
порождающему редуцированное действие G на 2Й. Эти поля мы
можем использовать для проверки инвариантности редуциро-
ванного подмногообразия ff’-p и, следовательно, Э’р.
Аналогичные результаты справедливы и для дифференци-
альных уравнений. Предположим, как и выше, что г-параметри-
ческая группа G действует на М czXX U ~ R2, и допустим, что
HczG есть s-параметрическая подгруппа, продолжение рг^Н
которой имеет s-мерные орбиты в (Как и раньше, вырож-
денные случаи тоже можно разобрать, если потребуется.) Пусть
У — лСч w(s))> w = t,(x, h(s))—полное множество функционально
независимых дифференциальных инвариантов для Я на Af(s> с
соответствующими инвариантами w(m) — £<m>(x, w<s+m)) на
2W<s+m>, т о Всякое обыкновенное дифференциальное урав-
нение n-го порядка, допускающее Я в качестве группы симмет-
рий, можно записать в виде
А(х, и(п)) =Д(Л(х, Z{n~s)(x, и™)) = Ь(у, w{n-s>) = V,
использующем только инварианты у, w, ..., dn~swldyn~s про-
должения рг<п>Я. Кроме того, поскольку Я — нормальная
200 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
подгруппа группы G, имеется индуцированное действие G на
АсУХ»'^ R2
g • (у, = (я (х, u(s)), С (х, h(s))) =
= (n (pr(s>£ • (х, u<s>)), £ (pr(s,g • (х, t/s)))), g g= G, (2.106)
ср. с (2.104). Аналогично, действие G на Л4<"> сводится к дейст-
вию группы G на пространство определяемое производ-
ными от w по у. Не очень трудно видеть, что это редуцирован-
ное действие совпадает с продолжением действия G на ЛТ, опре-
деленным формулой (2.106); другими словами,
prl"-’g.(>)U И1”), »”))-
= (ч(рг‘"«-(х, </’’)), t1"-’(pr“g (х, «<“>))).
(Чтобы проверить это, посмотрите, что происходит с представ-
ляющей гладкой Я-инвариантной функцией u = f(x).)
Переводя на язык дифференциальных уравнений наши пре-
дыдущие результаты об алгебраических уравнениях, мы полу-
чаем, что справедлив следующий результат о нормальных под-
группах групп симметрий обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Теорема 2.60. Пусть Н cz G есть s-параметрическая нор-
мальная подгруппа группы Ли преобразований, действующей
на М cz X X П ~ R2, такая, что рг^Н имеет s-мерные орбиты
в M(s\ Пусть А(х, «<">) = 0—обыкновенное дифференциальное
уравнение п-го порядка, допускающее Н в качестве своей груп-
пы симметрий, с соответствующим редуцированным уравнением
&.(у, w(n~s'>) = G относительно инвариантов у = ц(х, и1-^), w =
= £(х, u(s)) группы Н. Тогда имеется индуцированное действие
факторгруппы G/Н на Л! с УХ W', w А допускает всю группу G
в качестве своей группы симметрий, если и только если Н-реду-
цированное уравнение К допускает факторгруппу G/Н в качестве
своей группы симметрий.
Исключительно важный пример— случай двупараметриче-
ской группы симметрий. Здесь благодаря специальной струк-
туре двумерных групп Ли мы можем использовать предыдущую
теорему, чтобы понизить порядок на две единицы, пользуясь
только квадратурами.
Теорема 2.61. Пусть А(х, uw) = 0— обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение п-го порядка, инвариантное относитель-
но двупараметрической группы симметрий G. Тогда имеется
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
201
уравнение v(n~2'>)= 0 порядка п — 2, обладающее тем свой-
ством, что общее решение уравнения Д может быть получено
двумя квадратурами из общего решения уравнения Д.
Доказательство. В соответствии с упр. 1.21 мы можем найти
базис {v, w} любой двумерной алгебры Ли д, обладающий свой-
ством
[у, w] = fcv (2.107)
для некоторой константы k. (На самом деле k можно взять рав-
ной нулю, если g абелева, и единице во всех других случаях.)
Однопараметрическая подгруппа И, порожденная полем v, яв-
ляется тогда нормальной подгруппой группы G с однопара-
метрической факторгруппой G/Н. Чтобы понизить порядок
уравнения Д, мы начинаем с определения дифференциальных
инвариантов первого порядка у — т\(х, и), w = t(x, и, их) груп-
пы Н, пользуясь развитыми ранее методами. В силу предложе-
ния 2.56 наше уравнение п-го порядка эквивалентно уравнению
(п—1)-го порядка Д(</, w(n-*>) = 0. Кроме того, раз мы знаем
решение w = h(y) этого последнего уравнения, мы можем вос-
становить решение уравнения Д, решая соответствующее урав-
нение первого порядка (2.94) с помощью единственной квадра-
туры. Поскольку Н — нормальная подгруппа, приведенное урав-
нение Д инвариантно относительно действия факторгруппы
G/Н на переменные (у, w) и, следовательно, мы можем приме-
нить развитые ранее для однопараметрических групп симмет-
рий методы, чтобы понизить порядок еще на единицу. На инфи-
нитезимальном уровне предположим, что (х, у, w) = (x, т](х, и),
£(х, и, их)) образуют локальные координаты на некотором под-
множестве многообразия ММ. (Если х оказывается одним из
инвариантов, мы можем заменить его на и или на некоторую
комбинацию у(х, и).) Как в (2.105), из условия нормальности,
выраженного формулой (2.107), вытекает, что векторное поле
w имеет первое продолжение
pr(1)w = a(x, у, w)dx + p(r/, w) ду + ф (у, w}dw,
выраженное через эти координаты, и, следовательно, приводится
к векторному полю
w = ₽(t/, w)ду + ф(у, w)dw
на пространстве М, порождающему действие факторгруппы
G/Н. Теорема 2.60 утверждает, что поле w остается симметрией
предварительно приведенной системы Д, и, следовательно, мы
можем понизить порядок Д на единицу, пользуясь либо методом
202 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
дифференциальных инвариантов, либо методом замены коорди-
нат, выпрямляющей поле w и приводящей к дифференциальному
уравнению Д(х, ц(«-2>) = 0 порядка п — 2. Это завершает про-
цедуру редукции, а вместе с ней — и доказательство теоремы. □
Пример 2.62. Рассмотрим дифференциальное уравнение вто-
рого порядка вида
х2ихх = И (хих — и), (2.108)
где Н — данная функция. Это уравнение обладает двупараме-
трической группой симметрий
(х, и} V—> (Ъх, и -j- ex), е eR, X е R+,
с инфинитезимальными образующими v = xdu и w = хдх. За-
метим, что [v, w] = —v, так что образующие взяты в таком
виде, чтобы воспользоваться преимуществами теоремы 2.61.
В соответствии с основной процедурой нам нужно сначала опре-
делить инварианты поля v. Это х и w = хих — и, через которые
(2.108) выражается в виде уравнения первого порядка
Это уравнение с разделяющимися переменными. Его неявное
решение
Sdw . ।
г = log X + С
Н (w) 1
отражает тот факт, что это уравнение остается инвариантным
относительно редуцированной группы (х, w)k-»(Zx, w), задавае-
мой полем w = хдх, как гарантирует наш метод. Из этого ре-
шения, переписывая в явном виде w = h(x}, мы строим общее
решение уравнения (2.108), решая линейное уравнение
хих — u — h (х).
Интегрирующий множитель равен 1/х2—-это можно получить
непосредственно из вида группы симметрий, порожденной по-
лем V. Следовательно, получаем, что
и — х Q x~2h(x) dx + kj
— общее решение уравнения (2.108).
Поучительно посмотреть, что произошло бы, если бы, не при-
нимая во внимание общую процедуру, мы попытались проинте-
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
203
грировать уравнение (2.108), рассматривая эти две однопараме-
трические группы в обратном порядке. В таком случае инва-
риантами поля w будут у = и, z = ux-x, откуда гу = хи~}ихх +
+ 1, и уравнение приводится к виду
z(-^- (2.Ю9)
Однако на этом этапе у уравнения (2.109) отсутствует свойство
симметрии, отражающее симметрию уравнения (2.108) относи-
тельно группы, порожденной полем v. Это показывает, что нашу
процедуру редукции важно выполнять в правильном порядке,
иначе мы можем не окончить ее решением уравнения. Обращая
эту процедуру, мы получаем интригующую возможность суметь
проинтегрировать уравнение (п—1)-го порядка, заменив его
сначала уравнением п-го порядка с несколькими симметриями,
порядок которого может быть существенно понижен. Например,
мы можем решить уравнение (2.109), подставив сначала у —и,
z — хих, что приведет это уравнение к виду (2.108), а затем про-
интегрировав последнее уравнение. Этот момент будет исследо-
ван во всех подробностях в упражнениях в конце главы.
Разрешимые группы
Обращаясь к группам симметрий еще более высоких раз-
мерностей, мы обнаруживаем, как показывает пример проектив-
ной группы, что при г 3 инвариантность уравнения п-го по-
рядка относительно r-параметрической группы не влечет за со-
бой, вообще говоря, возможность найти общее решение по реше-
нию соответствующего редуцированного уравнения (п — г)-го
порядка с помощью квадратур. Проблема состоит в том, что,
вообще говоря, не существует запаса нормальных подгрупп, до-
статочного для того, чтобы обеспечить постоянную примени-
мость теоремы 2.60 и процедуру приведения для однопараметри-
ческих групп на каждом этапе. Это мотивирует следующее опре-
деление таких групп, которые можно использовать для полного
приведения или «разрешения» уравнения до степени, обещанной
их размерностью.
Определение 2.63. Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли д.
Тогда G разрешима, если существует цепочка подгрупп Ли
{е} == G(0) с= G(1) cz G(2) <= ... <= G(r-1) cz G(r) = G,
такая, что G(A) для каждого k = 1, ..., г является ^-мерной под-
группой группы G, a G(A-1> является нормальной подгруппой
204
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
группы G(*>. Равносильное определение: существует цепочка
подалгебр
{°} = 9(0) <= 9П) <= 9(2’ <=•••<= g^-1’ с= glr) = g, (2.110)
такая, что для каждого k dim g(*> = k и g(*-1) является нормаль-
ной подалгеброй в д<*>:
Л С9,Ь1).
Требование разрешимости эквивалентно существованию ба-
зиса {vi, ..., vr} алгебры g, такого, что
/-1
Ivp = ПРИ Z</-
Заметим, что всякая абелева алгебра Ли, т. е. алгебра Ли, скоб-
ка Ли которой всегда равна нулю, очевидно, является разреши-
мой. Всякая двумерная алгебра Ли разрешима, поскольку, ис-
пользуя базис (2.107), мы можем положить д<*> равной одномер-
ной подалгебре, порожденной полем v, и получить цепочку {0} =
= д(0) сд(|> сд<2> = д. Простейший пример неразрешимой ал-
гебры Ли — трехмерная алгебра 51(2).
Теорема 2.64. Пусть Д(х, ц('!>) = 0— обыкновенное дифферен-
циальное уравнение п-го порядка. Если Д обладает разрешимой
r-параметрической группой симметрий G, такой, что для 1
k г орбиты продолжений pr<ft>G<*> имеют размерность k, то
общее решение уравнения Д можно получить посредством квад-
ратур из общего решения дифференциального уравнения (п—
— г}-го порядка йДу, w(n~r'>) =0. В частности, если Д обладает
п-параметрической разрешимой группой симметрий, то (учиты-
вая упоминавшиеся технические ограничения) общее решение
уравнения Д может быть получено одними квадратурами.
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по
цепочке подалгебр (2.110), существующей в силу разрешимости
G. На &-м шаге мы пользуемся инвариантностью уравнения Д
относительно ^-мерной подалгебры g(fc), чтобы привести его к
уравнению (п — k)-ro порядка
Д(6)(г/, w(n-ft)) = 0,
где у, w, dw/dy, ..., dn~kw/dyn~k составляют полное множество
функционально независимых дифференциальных инвариантов
для п-го продолжения pr(n)G(fe); в частности, у = ц(х, «<*>), w =
= (х, uw) составляют полное множество инвариантов k-vo про-
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
205
должения группы G(fe). Мы можем также восстановить общее
решение u = f(x) по общему решению w = h{y) уравнения Д<*>
последовательностью квадратур.
Чтобы перейти к (&+1)-му шагу, рассмотрим образующую
Vfe+i алгебры д<*+1), не лежащую в д(Ч Поскольку д<*> — нормаль-
ная подалгебра в д(*+1), согласно (2.105), pr(*>Vfe+i имеет вид
pr<*>vft+i = prfft~2>vft+i + а (у, w) + ф (у, w)-^ =
= pr(ft-2>vft+1 + vft+1,
где pr<ft-2>Vfe+i зависит от неинвариантных координат х, и, ...
..., uk-2, которые нужно дополнить координатами у, w до си-
стемы координат в М<М.
Теорема 2.60 утверждает, что исходное уравнение Д инва-
риантно относительно всей алгебры g(ft+1), если и только если
редуцированное уравнение Д(*> инвариантно относительно реду-
цированного векторного поля vfe+i, что позволяет нам осущест-
вить процедуру редукции для уравнения используя вектор-
ное поле Vfe+i. А именно, полагаем, что
y = r\(y, w), w = t(y,w,wy)
— независимые инварианты первого продолжения pr^'v^+i. Тог-
да у, w, dw/dy, ..., dn~k~lw/dyn~k~x составляют полное множе-
ство инвариантов для (п — k)-ro продолжения pr<'‘-ft>Vfe+i. По-
скольку уравнение Д<*> определяет инвариантное подмногообра-
зие этой группы, имеется эквивалентное уравнение
д(6+1)(у,
зависящее лишь от инвариантов продолжения рг<"-*>у*+1. Более
того, чтобы восстановить решения уравнения Д<*> из решений
w = fi{y) уравнения Д(*+1), нам нужно только решить уравнение
первого порядка
t(y, w, wy) = h[i\(y, w)].
Оно инвариантно относительно однопараметрической группы, по-
рожденной полем Vft+i и, следовательно, может быть проинтегри-
ровано квадратурой. Это завершает шаг индукции и, таким об-
разом, доказательство теоремы. □
Пример 2.65. Рассмотрим уравнение третьего порядка
ихиххх = 3UxUxx + ихх- (2.111)
206 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Трехпараметрическая группа симметрий, порожденная вектор-
ными полями
V] = ди, v2 = дх, v3 = идх,
является разрешимой, поскольку
[vb v2] = 0, [vi, v3] = v2, [v2, v3] = 0.
Таким образом, уравнение (2.111) можно разрешить в квадра-
турах. Мы переходим к осуществлению процедуры редукции,
описанной в доказательстве теоремы 2.64. Сначала для алгебры
д(1>, порожденной полем vi, мы получаем инварианты х, v = их,
через которые уравнение (2.111) записывается в виде
v5vXJC = 3v4v2 + V®. (2.112)
Второе векторное поле v2 сохраняет свой вид v2 = дх, будучи за-
писанным через инварианты алгебры д(1); поэтому, чтобы реду-
цировать (2.112) для g(2) = Span{vi,v2}, нам нужны инварианты
y = v, w = vx, wv = vxx/vx
продолжения pr(2>v2. Выражая через них уравнение (2.112), мы
приводим его к уравнению первого порядка
y5wy — Stfw + w2. (2.113)
Это уравнение Риккати должно обладать еще одной симме-
трией, отвечающей векторному полю v3. В самом деле, в терми-
нах х, у = их, w = ихх,
pr<2>v3 = идх — У2ду — 3ywdw,
и редуцированное векторное поле
v3 = — у2ду — 3ywdw
является симметрией уравнения (2.113). Таким образом, мы мо-
жем проинтегрировать (2.113), подставляя t ==—\/у, z = w/y'i
(поле Уз принимает вид v3 = —dt), так что (2.113) принимает
вид
Таким образом, z — 1/(с — t) или, через инварианты поля v2,
yi
ay =----------------------------гт*
CZ/+ 1
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
207
Чтобы найти v, нам нужно решить автономное уравнение
do __________________________ о4
dx со + 1
(автономность гарантируется инвариантностью относительно
поля v2). Мы находим неявное решение
6 (х — с) vs + 3cv + 2 = 6 (х — с) и?х + Зсих 4-2 = 0.
После разрешения относительно их нам останется одна послед-
няя квадратура, чтобы получить общее решение исходного урав-
нения (2.111).
Следует отметить одну интересную вещь. Хотя уравнение
(2.113) инвариантно относительно редуцированного векторного
поля, соответствующего симметрии v3 уравнения (2.111), соот-
ветствующая симметрия у промежуточного уравнения (2.112)
отсутствует. В самом деле, в терминах инвариантов х, v = их
ПОЛЯ Vj
nr(3>v3 = и --v2 -%--3vvx ------(4vv + 3v2) ,
v 3 дх до х дох \ хх 1 xj дохх
однако это векторное поле нельзя редуцировать к полю, не за-
висящему от и. В качестве следствия этого наблюдения мы по-
лучаем, что в общей процедуре редукции важно дождаться,
пока мы получим инварианты для прежде чем пытаться реду-
цировать следующее векторное поле v^+i; нельзя рассчитывать,
что векторное поле v*+i естественным образом редуцируется от-
носительно подалгебры д(/), если j < k\
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Знание группы симметрий системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений первого порядка влечет за собой примерно
те же следствия, что и знание аналогичной группы симметрий
одного уравнения высшего порядка. Если нам известна одно-
параметрическая группа симметрий, то мы можем квадратурой
найти решение рассматриваемой системы по решению системы
первого порядка, имеющей на одно уравнение меньше. Анало-
гично, знание /--параметрической разрешимой группы симмет-
рий позволяет нам уменьшить число уравнений на г. Эти ре-
зультаты, очевидно, распространяются также на системы выс-
ших порядков, так что инвариантность системы п-го порядка
относительно, скажем, однопараметрической группы позволяет
понизить порядок одного из уравнений системы на единицу. Од-
нако систему уравнений высшего порядка всегда можно заме-
нить эквивалентной системой первого порядка, поэтому мы со-
средоточиваем свое внимание на этом последнем случае.
208
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Теорема 2.66. Пусть
= и), v = l, ...,q, (2.114)
— система из q обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка. Предположим, что G — однопараметрическая
группа симметрий системы. Тогда существует замена перемен-
ных (у, w) — ф(х, и), приводящая эту систему к виду
^ = nv(y,w\ v=l, ...,q. (2.115)
Tаким образом, эта система приводится к системе из q — 1 обык-
новенных дифференциальных уравнений от ау1, ..., wq~x и ква-
дратуре
(у) = 5 (У> w' (у)> • • • ’ w4~l (у)) dy + с-
Доказательство. Пусть v — инфинитезимальная образующая
группы G. Предполагая, что v |(Л. и)¥=0, мы можем локально
найти новые координаты у = тДх, и), w’v = t,v(x, и), v = l, ...,
..., q, такие, что в этих координатах векторное поле v примет
вид v = d/dwq. В самом деле,
т](х, и), ^(х, и), .... £б/~‘(х, и)
будет полным множеством функционально независимых инва-
риантов группы G, так что
v(n) = v(tv) = 0, v = 1, ..., q— 1,
а £«(х, и) удовлетворяет условию
v(g’)=l.
Теперь просто проверяется, что эквивалентная система первого
порядка от w1, . .., w* инвариантна относительно группы сдви-
гов, порожденной полем v = d/dwq, тогда и только тогда, когда
все правые части не зависят от wq, т. е. эта система имеет вид
(2.115). □
Пример 2.67. Рассмотрим автономную систему двух уравне-
ний
Ясно, что векторное поле у = д/дх порождает однопараметриче-
скую группу симметрий, так что мы можем свести эту систему
к одному уравнению первого порядка и квадратуре. В новых ко-
2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
209
ординатах у = и, w = v и z = х мы рассматриваем w и z как
функции от у. Тогда
du __ 1 dv ______ dw/dy
dx dz/dy * dx dz/dy ’
так что имеем эквивалентную систему
dw Н (у, w) dz 1
dy F (у, w) ' dy F (y, w)
Таким образом, у нас осталось одно уравнение первого порядка
от w = w(y); соответствующее значение z = z(y) определяется
интегралом:
z = -н-г-—г &У + с-
3 F (у, w) J '
Если мы обратимся к исходным переменным х, и, v, то увидим,
что у нас как раз получилось уравнение
dv Н (и, у)
du F (и, v)
для траекторий в фазовой плоскости системы, а точное движе-
ние вдоль этих траекторий определяется интегралом:
Sdu ,
и f г ГГ- 1“ С <
F (и, v (и)) 1
Теорема 2.68. Предположим, что du/dx = F(x, и) — система
из q обыкновенных дифференциальных уравнений первого по-
рядка и G есть r-параметрическая разрешимая группа симме-
трий, действующая регулярно и имеющая r-мерные орбиты. Тог-
да решения и = f (х) можно получить с помощью квадратур из
решений редуцированной системы dw/dy = Н(у, w) из q — г
уравнений первого порядка. В частности, если исходная система
инвариантна относительно q-параметрической разрешимой груп-
пы, ее общее решение может быть найдено в квадратурах.
Доказательство мы оставляем читателю.
Пример 2.69. Всякая линейная двумерная система
щ = а (0 и -J- ₽ (/) v,
vt = y(f)u-\- & (t) v
инвариантна относительно однопараметрической группы растя-
жений (t, и, v) —> (t, Ти, Tv) с инфинитезимальной образующей
v = иди + vdv и, следовательно, методом теоремы 2.66 может
210
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
быть сведена к одному уравнению первого порядка. Мы пола-
гаем w = log и, z = v/u и тем самым выпрямляем поле v = dw.
Эти новые переменные удовлетворяют преобразованной системе
^/ = a(0 + ₽(0z,
zt = у (t) + (6 (t) — a (0) z — p (/) z2,
так что если мы можем решить уравнение Риккати относитель-
но z, то мы можем найти w (и, следовательно, и и v) посред-
ством квадратуры.
Однако, если исходная система обладает некоторым допол-
нительным свойством симметрии, может быть, неразумно вы-
полнять эту преждевременную редукцию, поскольку полученное
уравнение Риккати может не быть больше инвариантным отно-
сительно некоторой «редуцированной» группы симметрий. На-
пример, система
== — и Ч- Н-1) v,
vt = и — tv
имеет дополнительную однопараметрическую группу симметрий
с образующей w = tdu + dv, как может проверить читатель, но
соответствующее уравнение Риккати
zt = 1 +(1 - t)z —(1 +t)z2
не имеет, очевидно, свойства симметрии. Проблема в том, что
векторные поля v и w порождают разрешимую двумерную груп-
пу Ли, но [v, w] =—w, так что нам следовало бы начинать с
редукции относительно векторного поля w. Чтобы осуществить
процедуру редукции из теоремы 2.68, нам нужно сначала выпря-
мить поле w = cU заменой координат
w = v, z = u — tv.
В этих переменных образующей группы растяжений остается
векторное поле v = wdw + zd?. Чтобы выпрямить его компоненту
z, мы полагаем далее z = log? = log (и — tv), и в этих перемен-
ных получаем
w = dw, v = wdw + дг.
Система теперь принимает вид
dt ~е ’ dt
2.6. Условия невырожденности
211
и, как гарантирует нам теорема 2.68, ее можно проинтегриро-
вать в квадратурах. Получаем
з(о=-4('+1)2+г>
w (I) = с erf [(/ + 1)/V2 ] + k,
где с — In (с V2/л) и
v
2 f
erf^=v^ г
* о
— стандартная функция ошибок. Таким образом, общее решение
исходной системы
и (t) = ce~(t+1,2/2 4- ct erf ( ) + kt,
v(t) = c erf (-^=r) + k,
где с и k — произвольные постоянные.
2.6. УСЛОВИЯ НЕВЫРОЖДЕННОСТИ для
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Часто бывает интересна классификация всех симметрий си-
стемы дифференциальных уравнений: поэтому важно знать, ког-
да можно инфинитезимальными методами, развитыми в § 2.3,
построить наиболее общую связную группу симметрий данной
системы. Чтобы это было так, необходимо наложить дополни-
тельное условие невырожденности, известное как «локальная
разрешимость», помимо условия максимальности ранга из опре-
деления 2.30. Это относительно непривычное и более техниче-
ское условие требует, чтобы система имела решения для «произ-
вольных начальных данных». В этом параграфе мы подробно
обсуждаем это понятие и некоторые его следствия.
Локальная разрешимость
Для того чтобы мотивировать определение локальной разре-
шимости, давайте посмотрим, почему, в отличие от случая си-
стем алгебраических уравнений, инфинитезимальный критерий
(2.25) не является, вообще говоря, необходимым условием для
того, чтобы группа Ли G была группой симметрий системы диф-
ференциальных уравнений максимального ранга. Для системы
алгебраических уравнений F(x) = 0 каждой точке х0 подмно-
гообразия 9}г={х\ F(x) = 0} соответствует (тавтологически)
212 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
решение системы, а именно сама точка х0! В отличие от этого,
если А(х, «?”>) = О— система дифференциальных уравнений и
(xo,u(on)) — точка соответствующего подмногообразия 5г’д={(х,
п(п)): А(х, п(п)) = 0}, то, вообще говоря, нет гарантии, что суще-
ствует решение u=f(x) системы, имеющее соответствующие
значения производных в точке х0, т. е. и<оп> = pr(n)f (х0). Поэтому,
если G, локальная группа преобразований, является группой
симметрий системы дифференциальных уравнений в том смысле,
что она решения преобразует в решения, нет никакой уверенно-
сти, что группа G оставит инвариантным целое подмногообра-
зие Мы можем лишь заключить, что те точки (х0, и}”*) из
^д, для которых существует такое решение, преобразуются под
действием этой группы преобразований в другие такие точки из
5^д. Поэтому, чтобы доказать необходимость инфинитезималь-
ного критерия инвариантности, нам нужно предположить, что
каждая точка из имеет соответствующее решение.
Определение 2.70. Система дифференциальных уравнений
n-го порядка А(х, п(п))=0 локально разрешима в точке
(х0, = {(х, и^): \ (х, «(">) = 0},
если существует ее гладкое решение u = f(x), определенное для
х из некоторой окрестности точки х0, имеющее предписанные
«начальные условия» = pr<n)f (х0). Система называется ло-
кально разрешимой, если она локально разрешима в каждой
точке многообразия <?д. Система дифференциальных уравнений
невырожденна, если в каждой точке (х0, н['г)) е SPона является
и локально разрешимой, и системой максимального ранга.
Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
условие локальной разрешимости совпадает с условием сущест-
вования решения с заданными начальными значениями. В этом
случае (х0, u(on)) соответствуют обычным начальным значениям.
Например, для одного уравнения второго порядка
ихх = Р и, их) (2.116)
начальные значения для локальной разрешимости составляют
четверку чисел (х°, и°, и°х, ихх~), подчиняющихся лишь условию,
что они удовлетворяют этому уравнению, т. е.
«° =F(x°, и°, и°х).
Требуется найти решение u = f(x), определенное вблизи точки
х°, такое, что
u° = f(x0), U°x = f'(X°), u°x = f"(x°).
2.6. Условия невырожденности
213
Ясно, что первые два из этих условий представляют собой обыч-
ную задачу с начальными условиями для уравнения (2.116) и,
таким образом, мы уверены в существовании решения u = f(x),
удовлетворяющего этим двум условиям. (На самом деле нам
нужно предположить лишь, что функция F непрерывна.) Третье
условие u°x = f" (х°) — «бесплатное приложение», поскольку f
является решением как раз в точке х°, так что
f"(x°) = F(x°, f(x°), f'(x°)) = F(.x°, и°, и°х) = и°хх.
Аналогичное рассуждение показывает, что неособые системы
обыкновенных дифференциальных уравнений всегда локально
разрешимы.
Что касается уравнений с частными производными, то здесь
проблема локальной разрешимости имеет совершенно другой ха-
рактер, чем более обычная проблема существования, т. е. за-
дача Коши или задача с граничными условиями. В случае ло-
кальной разрешимости начальные данные заданы только в од-
ной точке х0, тогда как обычно требуются условия на значения
вдоль целого подмногообразия пространства независимых пере-
менных. Например, в случае волнового уравнения
Ч-ХХ == О
вопрос о локальной разрешимости превращается в вопрос о том,
для любого ли набора начальных данных
(х°, /°; u°; и° и°л uG и° u°t ),
подчиненного лишь одному условию U°tt = и°хх, существует реше-
ние u=f(x, t) волнового уравнения в окрестности точки (х°, /°),
такое, что
= uPx = ^^t°), «?=^-(х°, Z°),
ио = fL (Х°, И, и°. = -Д. (х°, /°),
хх дх* ' ’ ' dxdt ' ’
= z°).
Ясно, что в этом случае ответ положительный, поскольку, раз
uxx = itft, мы можем взять в качестве f полиномиальное реше-
ние
f (х, t) = u° + и°х (х — х°) (t — /°) +
+I и*х к* - х°)2+(* -/0)2]+u°xt (х - *°) а - п,
214 Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
следовательно, волновое уравнение локально разрешимо. (За-
метим, что вопрос о единственности решения локальной задачи
не стоит — даже в этом простом примере такой результат неве-
рен.) Читатель может сравнить эту задачу с обычной задачей
Коши, в которой начальные данные задаются вдоль всей оси х:
u(x, 0) = g(x), -^(х, 0) = Л(х).
Имеются две главные причины, по которым система урав-
нений с частными производными может не быть локально раз-
решимой. Первая состоит в том, что система может иметь ус-
ловия интегрируемости, полученные дифференцированием раз-
ных уравнений по разным переменным. Например, переопреде-
ленная система
их = уи, иу — 0 (2.117)
не является локально разрешимой, поскольку ни в какой точке
(х0, у0) не существует решения и(х, у) с «начальными усло-
виями»
w° = и (х0, у^) = 1, и®х — их (х0, у^ = у0, и® — Uy (х0, г/0) = О,
значения которых алгебраически удовлетворяют обоим уравне-
ниям. В самом деле, дифференцирование первого уравнения по
у, а второго по х дает
О = иху = (уи)у = уиу + и,
следовательно, и(х, у) = 0— единственное решение.
Другой интересный пример, который на самом деле возни-
кает в вариационной задаче (ср. § 4.1), — система второго по-
рядка
UXX + ^ + Vx = 0, (2П8)
Ч-ху + vyy ~их — 0.
Оказывается, система (2.118) не является локально разреши-
мой, поскольку имеется дополнительное соотношение на произ-
водные второго порядка, а именно
Чхх Н” Vxy 0,
полученное дифференцированием первого уравнения по у, а вто-
рого по х и вычитанием. Это в свою очередь дает vx = 0 и ихх =
= 0, так что любой набор начальных значений
(Y® 11®' 11® 11® 11® 11® V®' и® и® и® V® V® V® 1
(Л , У , U , V , Ux, Uy, Vx, Vy, UXX, Uxy, Uyy, Vxx, Vxy, Vyy),
удовлетворяющий (2.118), но не удовлетворяющий условиям
о0 = о0 = v® — и® = о, не дает подходящего локального ре-
X XX Ху XX
шения.
2.6. Условия невырожденности
215
Второй источник систем, не обладающих свойством локаль-
ной разрешимости, — некоторые гладкие, но не аналитические
системы дифференциальных уравнений, не имеющие решений.
Первоначальный пример такой системы был открыт Леви (Le-
wy [1]), который показал, что существует гладкая функция
h(x, у, z), такая, что система первого порядка
их ~ vy + 2z/«z + 2xvz = h (x, у, z),
uy + vx — 2xuz + 2yvz = 0
не имеет гладких (и даже класса С1) решений ни на каком от-
крытом подмножестве из R3. Родственный пример был дан Ни-
ренбергом (Nirenberg [1, р. 8]), построившим функцию h(x, у),
такую, что однородная линейная система
ux — h(x, y)vy = 0,
vx + h (х, y)uy = 0
(2.119)
в окрестности начала координат имеет лишь постоянные реше-
ния.
Как мы увидим, для аналитических систем ключ к доказа-
тельству локальной разрешимости дает теорема Коши — Кова-
левской. Для систем класса С°° это вопрос гораздо более тон-
кий благодаря открытому Леви явлению, и здесь известно очень
немного общих результатов. Прежде чем более подробно изу-
чить аналитический случай, мы применим условие локальной
разрешимости к инфинитезимальному критерию инвариантности
системы дифференциальных уравнений относительно некоторой
группы.
Критерий инвариантности
Теорема 2.71. Пусть Д(х, и(п)) = 0— невырожденная система
дифференциальных уравнений. Связная локальная группа пре-
образований G, действующая на открытом подмножестве М с:
с X X U, является группой симметрий этой системы, если и
только если
pHn)v [Av (х, = 0, v = 1.....I, при Д (х, = 0 (2.120)
для каждой инфинитезимальной образующей v группы G.
Доказательство. Мы знаем уже, что условие (2.120) до-
статочно для того, чтобы группа G была группой симметрий,
216
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
поэтому нам нужно доказать только необходимость этого условия.
В свете алгебраического аналога этого результата, теоремы 2.8,
достаточно доказать, что подмногообразие <7^ = {Д(х, п(п)) = 0}
является инвариантным подмножеством действия продолженной
группы pr<n)G, если G преобразует решения системы в другие ее
решения. Пусть (х0, и}?1) е ^д. Воспользуемся локальной разре-
шимостью. Пусть u = f(x)— решение системы, определенное в
окрестности точки хо, такое, что u<on) = pr<n)f (х0). Если g— такой
элемент группы, что определено pr(,!)g • (х0, и^, то, сужая, если
нужно, область определения функции f, мы можем быть уверены,
что преобразованная функция f = g-f определена в окрестности
точки х0, где (хо, йо) — g (х0, и0). Поскольку G — группа сим-
метрий, u = f(x) также является решением системы. Более того,
по определению действия продолженной группы (2.18)
рг(и,£ • (*0> «о”’) = (*о« Pr(n) (S ‘ D (*о)) = (*о> <’)>
следовательно, преобразованная точка (х0, й^п)), должна снова
лежать в й^д. Это доказывает, что 'Т’д — инвариантное подмно-
жество группы G. Таким образом, теорема доказана. □
Чтобы оценить необходимость условия локальной разрешимо-
сти в теореме 2.71, мы обсудим два примера. Рассмотрим сна-
чала систему Ниренберга (2.119). Поскольку единственные ре-
шения вблизи нуля — константы, группа сдвигов (х, у, и, ц)ь->
•—>(х, г/ + е, и, v) является группой симметрий. Однако инфини-
тезимальный критерий (2.120) не выполняется; применяя
pr<Ov = ду к первому уравнению, мы получаем hyVy, а это выра-
жение отлично от нуля, не будучи алгебраическим следствием
системы. Эта группа также (по той же причине) является груп-
пой симметрий переопределенной системы (2.117). Однако
pr(1,v (их — уи) ~ — и,
что не является алгебраическим следствием системы (2.117), и
снова инфинитезимальный критерий (2.120) неприменим. Од-
нако условие (2.120) станет и необходимым, и достаточным
для того, чтобы группа G была группой симметрий, если только
мы потребуем, чтобы оно выполнялось в точках локальной раз-
решимости:
Теорема 2.72. Пусть L(x,u^) = G— система дифференциаль-
ных уравнений максимального ранга. Локальная группа преоб-
разований G является группой симметрий этой системы, если и
2.6. Условия невырожденности
217
только если для каждой точки (х0, u{j!)) е ^д, в которой система
локально разрешима,
pr(«)v (Av (х0, и^}) = 0, v = 1, ..., I,
для всех инфинитезимальных образующих v группы G.
Доказательство получается немедленно. □
Теорема Коши—Ковалевской
Для аналитических систем уравнений с частными производ-
ными теорема Коши — Ковалевской играет центральную роль в
теории существования. Помимо того что это основной общий ре-
зультат о существовании решений таких систем, эта теорема
также дает ключ к общей теории характеристик, лежащей в
основе всякого серьезного исследования поведения решений си-
стем уравнений с частными производными. Как мы увидим, тео-
рема Коши — Ковалевской дает также доказательство локаль-
ной разрешимости большинства аналитических систем диффе-
ренциальных уравнений.
В своем изначальном виде теорема Коши — Ковалевской от-
носится к задаче Коши на начальной гиперплоскости {I = to}
для системы в форме Ковалевской
u*t^^=Va(y,t,u^), а=1, ...,q. (2.121)
Здесь (у, t) = (yt, .... yp~l, t) — независимые переменные, a н(и)
означает все частные производные функции и по у и t до по-
рядка п включительно, кроме производных возникающих
в левой части (2.121). Данные Коши для этой системы задаются
следующим образом:
_!L-(yto)==hk(y), а=1, 6 = 0,...,n-l, (2.122)
dt
где — аналитические функции на гиперплоскости {t = /о} для
точек у из окрестности точки у о е Rp *.
Теорема 2.73. Предположим, что функции Га в системе Ко-
валевской (2.121) аналитичны по своим аргументам и что дан-
ные Коши hk{y)e (2.122) также являются аналитическими функ-
циями для у, близких к у0. Тогда существует аналитическое ре-
шение u = f(y,t) задачи Коши (2.121), (2.122), определенное
для (у, t) из некоторой окрестности точки (уо, to) на гиперпло-
скости {t = to}.
218
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Эта теорема немедленно устанавливает локальную разреши-
мость системы Ковалевской (2.121).
Следствие 2.74. Если Л — аналитическая система в форме Ко-
валевской (2.121), то она локально разрешима.
Доказательство. Заметим, что в задаче о локальной разре-
шимости системы (2.121) мы можем произвольным образом за-
дать производные наименьшего порядка по t Uon) в начальной
точке (уоДо)', остальные производные n-го порядка, а именно
«“t, о, тогда определяются требованием, что (у0, t0, — реше-
ние системы Д. Выберем для заданных (у0, tQ, w^)) аналитиче-
ские функции hk(у), k — 0, ..., п—1, а = 1, ..., q, такие, что
производные по у
djhk (у0) = дЧц (у^/ду1' ... ду’1, 0 <i <п — k,
совпадают с соответствующим предписанным значением u“f Л
где Ukt, j s Dj (им)- (Снова й'ьДу) могут быть подходящими мно-
гочленами Тейлора.) Соответствующее решение u = f(y,t) за-
дачи Коши (2.121), (2.122) из теоремы Коши — Ковалевской ре-
шает тогда задачу существования локального решения для си-
стемы Д. В самом деле, для О k п — 1, #7 п — k
djdt f (у0, t0) = djhak (у0) = ukt. jo>
тогда как производные n-го порядка dntfa (у0, /0) и uant 0 совпа-
дают, поскольку они удовлетворяют данному уравнению (2.121)
в точке (уо, to) с одним и тем же значением иоД О
Более общо, можно допустить, что в левых частях стоят про-
изводные по t разных порядков. При этом система будет иметь
общую форму Ковалевской, если
dn“ualdtna = Га (/, у, и{п}), (2.123)
где n = max{nI, •••, nq}, a и(и) обозначает все производные
всех функций ДО порядка включительно, кроме частных
производных d"pu₽/^"p, возникающих в левой части. Задача
Коши (2.122)—та же, только здесь k для каждого а меняется
от 0 до па— 1. Все результаты этого параграфа, включая след-
ствие 2.74, остаются справедливыми для этих более общих форм
Ковалевской; доказательства лишь немного усложняются, и мы
оставляем детали читателю.
2.6. Условия невырожденности 219
Характеристики
Круг применимости теоремы существования Коши — Ковалев-
ской, а следовательно, и теоремы о локальной разрешимости
(следствие 2.74) можно было бы значительно расширить, если
иметь возможность преобразовать данную систему аналитиче-
ских дифференциальных уравнений в систему в форме Ковалев-
ской (2.121) или (2.123) заменой независимых переменных.
Прежде всего, чтобы иметь шансы быть преобразованной к фор-
ме Ковалевской, система
Av (х, u(n)) = 0, v = 1...q,
должна иметь одинаковое число уравнений и неизвестных (зави-
симых переменных), поэтому мы сосредоточиваем внимание
здесь только на таких системах.
Оказывается, достаточно рассматривать замены переменных
простого вида
/ = ф(х), у = (у\ .... ^р->) = (х‘, .... х,_‘, xt+I..хр),
(2.124)
где ф— гладкая вещественнозначная функция с ненулевым гра-
диентом, \7ф(хо)=/=0 в исследуемой точке Хо, a i выбрано так,
что дф(х0)/дх‘=/=0, т. е. замена переменных (2.124) локально
обратима. Заметим, что начальная гиперплоскость {/ = /0} в ко-
ординатах (у, t) получается из множества уровня S = {х: ф (х) =
= М в исходных координатах, так что задача Коши в коорди-
натах х состоит в задании начальных данных на гиперповерхно-
сти S. После замены переменных (2.124) соответствующая си-
стема
Av(у, t, и™>) = 0, т=1, ..., q, (2.125)
содержит у, t и производные от и по у и t до порядка п включи-
тельно, полученные выражением производных от и по х через
производные по у и t. Мы можем применить теорему Коши —
Ковалевской к преобразованной системе (2.125), если только мы
можем разрешить ее относительно производных п-го порядка
по t, выразив их через у и t и остальные производные
По теореме о неявной функции это можно сделать в окрестно-
сти точки (у0, /0, ы(оп)), если только матрица М размера
с элементами
Mav = <?Av Go. to, u(o}}ldunt, a, v=l, ...,q,
невырожденна: det M =/=().
220
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнении
Посмотрим, что из себя представляет матрица М. Если и“ —
произвольная производная п-го порядка от и по х, то по цеп-
ному правилу
иа — d”“” дф . дф . _ дф . дпиа [ =
дх'1 ... дх'п дх'1 дх2 дх'п dtn
Здесь не выписаны члены, содержащие различные производные
порядка п и ниже от иа по у и t, кроме ключевой производной
Поэтому, если мы составим матрицу М (со) = Мд (<о; х0, u(f>)
размера q X q, элементы которой — однородные многочлены
М<«(“)= J уЖ a, v=l, (2.126)
степени п, зависящие от со = (соь ..., сор), где со/^соу • со/2 - ...
... • (£>jn, то предыдущая матрица получается вычислением М (со)
в точке со = \7ф (х0) .
Определение 2.75. Пусть Д — система дифференциальных
уравнений п-го порядка, имеющая одинаковое число уравнений
и неизвестных. Для данной точки (х0, u^n)) с: составим мат-
рицу многочленов (2.126) размера q X q. Ненулевой набор со =
— (coi, ..., (ор) определяет нехарактеристическое направление
(соответственно характеристическое направление) к системе Д
в точке (х0, п(0”>), если матрица М(со) невырожденна (соответ-
ственно вырожденна). Гиперповерхность S== {ф(х) == с}, Дф=/=0,
называется нехарактеристической в точке (х0, utf1>'), если со =
==\7ф(х0) определяет там нехарактеристическое направление.
В частности, если производные наибольшего порядка входят
в систему Д(х, «<">) =0 линейно с коэффициентами, зависящими
только от х, то матрица М (со), определяющая характеристиче-
ские направления, зависит только от х0, так что мы можем опус-
кать упоминание о частном решении и^ и (не опасаясь дву-
смысленности) говорить о характеристическом или нехарактери-
стическом направлении в самой точке Хо- Это случай, наиболее
часто встречающийся в физических системах.
Наши предыдущие рассмотрения показывают, что мы можем
применить теорему Коши — Ковалевской к задаче Коши, если
только начальные данные лежат на нехарактеристической ги-
перповерхности.
2.6. Условия невырожденности
221
Теорема 2.76. Если Д(х, и(л)) = 0— аналитическая система
дифференциальных уравнений и поверхность S — нехарактери-
стическая аналитическая гиперповерхность для Д в точке
(х0, u(on)), то существует локальное аналитическое решение за-
дачи Коши
Д(х, «<«)) = О,
-^-4- - hk (х), х е S, k = 0, .... п — 1,
дп
в окрестности точки хо. Здесь hk — аналитические функции на S,
а д/дп означает производную вдоль нормали к S.
Пример 2.77. (а) В случае одномерного волнового уравнения
utt ~ ихх = Н (х, /, и, их, щ)
направление <в(т, g) является характеристическим тогда и только
тогда, когда
r2-g2 = 0.
Таким образом, мы снова получаем известные характеристиче-
ские кривые
ф(х, t) = t ± x = k.
Любая кривая, не касающаяся этих прямых, может служить
для задания данных Коши.
(Ь) Уравнения линейной изотропной упругости (уравнения
Навье). Для двумерного случая они принимают вид
(2р + X) ихх + риуу + (р + X) vху = 0,
(р + л) иху + рг\х + (2р + X) Vyy = 0,
где ?. и р — константы, называемые коэффициентами Ламе. Мат-
рица М (£, ц) = М (<о) размера 2X2, определяющая характери-
стики, имеет вид
/ (2р + X) g2 + рт]2 (р + Щт] \
M(g,n) A (p + mn pg2 + (2p + X)n2/
Тогда направление w=(g, т]) характеристическое, если и только
если
det М (g, n) = (2р + К) И (S2 + П2)2 = 0.
Таким образом, за исключением случаев р = 0 или 2p + Z = 0,
когда каждое направление является характеристическим, у урав-
нений Навье нет вещественных характеристических направлений.
Заметим, что случай р = 0, X = 1 приводит к членам старшего
222
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
порядка системы (2.118), не являющейся локально разрешимой.
Значит, у последней системы каждое направление характеристи-
ческое.
Нормальные системы
Следствие 2.74 немедленно даст нам решение задачи о ло-
кальной разрешимости для аналитической системы, если только
мы сможем найти хотя бы одно нехарактеристическое направле-
ние к этой системе в рассматриваемой точке (х0, u^n)). Как разъ-
ясняется в примере 2. 77(b), не всякая система дифференциаль-
ных уравнений с частными производными удовлетворяет этому
основному требованию. Поэтому нам нужно отличать те систе-
мы, для которых это требование выполняется.
Определение 2.78. Система из q дифференциальных уравне-
ний А (х, и^)— 0 от q зависимых переменных w = (щ.....uq)
нормальна в точке (х0, ufg)) е ^д, если в этой точке сущест-
вует хотя бы одно нехарактеристическое направление <о для А.
Система нормальна, если она нормальна в каждой точке мно-
жества ^д.
Теорема 2.79. Система дифференциальных уравнений нор-
мальна в точке (х0, «<«>), если и только если существует замена
переменных (у, t) = %(x), переводящая ее в систему в форме
Ковалевской вблизи точки (уо, t0) = % (хо).
Следствие 2.80. Если система дифференциальных уравнений
является и аналитической, и нормальной в точке (х0, и^), то
она в этой точке локально разрешима.
Мы просто делаем замену переменных и применяем след-
ствие 2.74 к полученной системе Ковалевской. Далее мы уви-
дим, что следствие 2.80 можно обратить!
Продолжение дифференциальных уравнений
Определение 2.81. Пусть
Av (х, w(n)) = 0, т = 1, ..., I,
— система дифференциальных уравнений п-го порядка, задан-
ная обращением в нуль гладкой функции A: Mw—>RZ. Тогда
k-c продолжение этой системы — система дифференциальных
уравнений порядка п + k
д(*)(х, u(n+fe)) = 0,
2.6. Условия невырожденности
223
полученная дифференцированием уравнений системы Д всевоз-
можными способами до порядка k включительно. Иными сло-
вами, система Д<*> состоит из (Р+*-1) • I уравнений
£)7Av (х, и<п+/1>) = О,
где v = 1, ..., I, a J пробегает все мультииндексы порядка
С/г.
Например, первое продолжение уравнения теплопроводности
Wf = ихх
— это система трех уравнений
Uj = Uxx, Uxt Uxxx, Ujj Uxxf.
Второе продолжение получается добавлением уравнений чет-
вертого порядка
U-XXf Uxxxx, ихц Uxxxf, Uftt ^xxtt
И Т. Д.
Предложение 2.82. Если u = f(x)— гладкое решение систе-
мы Д(х, «(«)) = 0, то оно является решением каждого продолже-
ния этой системы Д(/г)(х, «<«+*>) = О, /г = 0, 1, 2, ... .
Определение 2.83. Система дифференциальных уравнений
называется вполне невырожденной, если она и все ее продолже-
ния имеют максимальный ранг и локально разрешимы.
Как мы сейчас покажем, всякая аналитическая система в
форме Ковалевской и, следовательно, всякая нормальная ана-
литическая система всегда вполне невырожденна. Неожидан-
ным является то, что в случае аналитических систем с одинако-
вым числом уравнений и неизвестных этим исчерпываются все
вполне невырожденные системы; если аналитическая система
не нормальна, то некоторое ее продолжение либо не имеет мак-
симального ранга, либо не является локально разрешимым.
Случай С°° сложнее, поскольку, как установил Леви, там может
не существовать решения.
Теорема 2.84. Аналитическая система дифференциальных
уравнений
(х, u(n)) = 0, v = 1, ..., q,
имеющая одинаковое число уравнений и зависимых переменных
и1, ..., и4, является вполне невырожденной, если и только если
она нормальна.
224
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Доказательство. Из теоремы Коши — Ковалевской немедлен-
но следует, что всякая нормальная система вполне невырожден-
на. В самом деле, выбрав нехарактеристическое направление,
мы можем считать, что это система в форме Ковалевской
(2.121). k-c продолжение такой системы имеет вид
«?„+Ог./ = ад{Га(г/. ^)}, (2.128)
где / = (/1, ..., ji) пробегает все мультииндексы с 1
у—1, I -1- i k, a Dj обозначает соответствующую полную
производную i-го порядка по у = (у1.....Ур~1) и и(^+/)г/ =
=Dj Правая часть (2.128) зависит от производных к,
где m < п -j- I. Мы можем поэтому выразить по индукции про-
изводные u^t к, п, через у, t и производные и)'^ L, где
/ < п. Таким образом, (2.128) эквивалентна системе вида
Щп+1) t. J = (у, t, (2.129)
где I + #/ k и u<n+k) обозначает все производные от и до по-
рядка п + k, кроме производных, включающих п или больше
производных по t. Условие максимальности ранга для A(ft) лег-
ко получается из того, что подматрица полной матрицы Якоби
системы (2.129), ср. определение 2.30, соответствующая всем
частным производным
--jr-- [цп+n t./ — Га *]> > п,
dumt. К
— единичная матрица.
Локальная разрешимость системы (2.129) следует из теоре-
мы Коши — Ковалевской. Мы можем произвольно задать про-
изводные tz(on+fe> в точке уо, to', значения остальных производных
в uf+*> будут тогда определяться самой продолженной систе-
мой. Пусть hm(y), т = 0, 1, . .., п — 1, а = 1..q,— анали-
тические функции, принимающие предписанные значения
djhm (Уо) — JO» ф* J tl 1 tz tn,
в точке (уо, to). Пусть u—f(y, t)—аналитическое решение по-
лученной задачи Коши из теоремы Коши — Ковалевской. Тогда
djdt f (уо, to) = Umt, jo»
где #/ m n + k\ для m < n это следует из определения
функций Am. а для т^п это получается из того, что и
рг<п+*7(у0, /0), и (г/0, /0, off’) удовлетворяют в этой точке &-му
2.6. Условия невырожденности
225
продолжению системы А. Таким образом, u = f(y,t) дает реше-
ние задачи локальной разрешимости для А в точке (г/0, t0, 1фп))'
Доказательство обратного утверждения в теореме 2.84
основано на прекрасном результате Финзи.
Лемма 2.85. Пусть
Av (х, и™) = О, v = 1, ..., q,
— система дифференциальных уравнений п-гс порядка. Тогда
система А не имеет нехарактеристических направлений в точке
(х0, ug2’) тогда и только тогда, когда существуют однородные
дифференциальные операторы k-го порядка
= S PiDJt v=l.........q,
# i=k
не все равные нулю в точке (х0, u(on)), такие, что в точке (х0, и(0">)
линейная комбинация
£ Ф-Л, -== Q (хо, *’) (2.130)
v=l
зависит только от производных от и порядка не больше чем
п + k — 1.
Более того, если у системы А не существует нехарактери-
стических направлений для всех точек (х, u(n)) из некоторого
относительно открытого подмножества ПУ, V открыто в
М(п\ то дифференциальные операторы £>v гладко зависят от
(х, u<n)). В этом случае (2.130) справедливо для всех точек
(х, «<«+*)) е проектирующихся в точку (х, и^) е
е=^дЛ К
Суть этой леммы состоит в следующем. Обычно если А —
система дифференциальных уравнений n-го порядка и S)\, ...
...,SD4 — дифференциальные операторы k-ro порядка, то сле-
дует ожидать, что линейная комбинация зависит от про-
изводных от и порядка п + k. Однако в случае, когда система
А имеет только характеристические направления, можно найти
некоторые нетривиальные дифференциальные операторы k-ro
порядка <Z)V, такие, что комбинация зависит только от
производных порядка п + k — 1 и ниже, и, следовательно, ус-
ловие X^\Av = 0, которое должно выполняться на всех реше-
ниях, дает дополнительное условие интегрируемости на произ-
водные от и порядка n-\-k—1, которое не выводится непо-
средственно из (k— 1)-го продолжения A<ft-1). Обратно, если
8 П. Олвер
226
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
система обладает некоторыми нетривиальными условиями инте-
грируемости, из леммы Финзи следует, что у этой системы не
может быть нехарактеристических направлений. Теперь мы мо-
жем понять, почему система (2.118) не имеет нехарактеристи-
ческих направлений: по той же самой причине, по которой она
не является локально разрешимой! Дальнейшие следствия это-
го результата будут исследованы после того, как мы обсудим его
доказательство.
Доказательство леммы 2.85. В соответствии с определением
2.75 система Д имеет только характеристические направления в
некоторой точке, если и только если соответствующая матрица
М (<о) размера g X <7 многочленов от <о =(®i, ..., ©р) степени
п является вырожденной для всех значений
detMM^O, <q€=Rp.
Относительно легкий результат из линейной алгебры (см.
упр. 2.31) состоит в том, что это верно, если и только если су-
ществует вектор-строка о((й) = (о1(й), ..., о’(со))^0 из одно-
родных многочленов от <о, такая, что
о («) • м (со) = 0 (2.131)
для всех и. В нашем случае полагаем
OV ((£>) = X
# I=k
Тогда коэффициенты в ov будут служить коэффициентами
операторов 3)ч в (2.130). В самом деле, легко видеть, что если
= k, то
ч
О,[\(х, /">)] = Х
а=1 # К=п °UK
где uj, к обозначает производную Dj (ик) порядка п + k, а все
опущенные слагаемые зависят от производных порядка не боль-
ше п + k — 1. Таким образом,
<7 Ч Ч
£ Е £ P^ + Q(x, U{n+k~l}) (2.132)
v= 1 v—1 а=1 #K=n К
для некоторой определенной функции Q, зависящей от произ-
водных от и порядка не больше n-\-k— 1. С другой стороны,
а в произведении
строки о на
£ £ Р-,^^0
# I=k # К=п К
2.6. Условия невырожденности 227
элемент с номером
равен в силу (2.126)
9
V=1
в точке (х0, «<«>). Поскольку и" к также полностью симметрич-
ны по индексам J, К, мы заключаем, что в точке (х0, w(on)) общая
сумма в правой части (2.132) обращается в нуль и, следова-
тельно, выполняется (2.130). Гладкая зависимость дифференци-
альных операторов £>v от (х, u(n)) в случае, когда нет нехарак-
теристических направлений ни на каком открытом подмноже-
стве множества ‘Т’д, следует из того, что если М (<о) = М (®; х, u(n))
гладко зависит от параметров (х, «<">), то многочлены о(<в) =
= о(и>; х, «<">) можно выбрать также гладко зависящими от
тех же параметров.
Чтобы доказать обратное, достаточно заметить, что (2.130)
никогда не может выполняться для системы в форме Ковалев-
ской. В самом деле, всякая комбинация операторов
k-ro порядка, не всех равных нулю, всегда будет зависеть
от производных порядка п + k, а именно от производных k-ro
порядка от u“r Таким образом, если система Д(х, «<">) = 0
имеет нехарактеристическое направление в точке (х0, гфп)), мы
можем выбрать координаты так, что система будет в форме
Ковалевской и, следовательно, (2.130) не будет выполняться. □
Пусть система дифференциальных уравнений Д удовлетво-
ряет предположениям леммы 2.85, так что она не является
нормальной в точке (х0, u(on)). Тогда имеются условия интегри-
руемости вида (2.130), где некоторая линейная комбинация
уравнений k-ro продолжения зависит от производных по-
рядка не больше п + k— 1. На этой стадии возникают две раз-
личные возможности.
(а) Условие интегрируемости = 0 в точке (х0, u(on)) —
следствие алгебраических соотношений между производными
порядка п + k— 1 и ниже, полученных уже из (k— 1)-го про-
должения
(Ь) Условие интегрируемости = 0—новое условие,
не являющееся алгебраическим следствием продолжения A<ft-1\
оно дает дополнительное соотношение на производные порядка
п + k — 1 и ниже.
Мы формализуем это различие в определении недоопреде-
ленной и переопределенной систем соответственно.
8*
228
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Определение 2.86. Пусть А — система дифференциальных
уравнений п-го порядка. Пусть (х0, «<">) — начальные значения,
удовлетворяющие системе.
(а) Система А переопределена в точке (х0, uf’), если для
некоторого k 0 существуют однородные дифференциальные
операторы k-ro порядка ££><,, не все равные нулю, такие,
что линейная комбинация X^\>AV = Q уравнений из A(ft) в
точке (х0, зависит лишь от производных от и порядка не
больше п + k — 1 и линейная комбинация Q не обращается в
нуль как алгебраическое следствие продолжения А(*-1).
(Ь)....Система А недоопределена в точке (х0, если (i) су-
ществует по крайней мере одно множество однородных опера-
торов k-ro порядка Di, Dq, не все из которых равны нулю,
таких, что X^vAv==Q зависит от производных не больше чем
(п + k—1)-го порядка в точке х0, и (и) каковы бы ни были
Di.....Dq, удовлетворяющие условию (i). Q обращается в нуль
как алгебраическое следствие предыдущего продолжения A**-1'.
Короче, переопределенная система — это система, в которой
имеются нетривиальные условия интегрируемости. В этом слу-
чае некоторое продолжение A(ft-I) не является локально разре-
шимым, поскольку мы можем найти точку (х0, о{)п+*~1)) е ^(*-1),
которая не удовлетворяет новому условию интегрируемости, по-
лучающемуся из A(ft). С другой стороны, недоопределенная
система — это система, в которой уравнения некоторого продол-
жения Д<*> алгебраически зависимы, так что не может выпол-
няться условие максимальности ранга. В любом случае систе-
ма не является полностью невырожденной. Системы третьего
типа — нормальные системы — являются тогда в определенном
смысле точно определенными и, следовательно, в аналитическом
случае составляют единственный класс вполне невырожденных
систем; все другие либо недоопределены, либо переопределены.
Это завершает доказательство теоремы 2.84. □
Пример 2.87. (а) Рассмотрим систему второго порядка
(2.118). Оказывается, это переопределенная система, поскольку
Dy (Цхх "I" vxy 4" vx) Dx (Цху + vyy Ux) — Vxy Uxx
зависит от производных второго порядка, но не обращается в
нуль как алгебраическое следствие (2.118). С другой стороны,
если опустить члены низшего порядка, то получим систему
Uxx 4“ vxy — 0> иху 4" vyy = О,
Замечания
229
соответствующую уравнениям Навье (2.127) при р, = О, А = 1.
Эта система недоопределена, поскольку комбинация
Dy (Чхх "Ь ®ху) (Цху 4~ Ууу) = О
обращается в нуль тождественно. В этом последнем случае
общее решение
и (х, у) = <рй (х, у) + ex, v (х, у) = — фх (х, у)
зависит от произвольной функции <р(х, у). В сущности, это
справедливо для всякой недоопределенной системы Д — в за-
писи общего решения присутствует по крайней мере одна про-
извольная функция, зависящая от всех независимых перемен-
ных. В этом случае задача Коши имеет неединственное решение,
тогда как в случае переопределенной системы, вообще говоря,
задача Коши не имеет решения вообще. Таким образом, для
аналитических систем (с точки зрения задачи Коши) снова
нормальные системы определены точно; переопределенные или
недоопределенные системы характеризуются несуществованием
или неединственностью решения соответственно.
Замечания
Система уравнений с частными производными для инва-
риантов локальной группы преобразований, предшествующая
работе Ли, возникла в задаче Пфаффа. Ее интегрирование
изучали Якоби, Майер, Дарбу, Ли и, наконец, Фробениус (Fro-
benius [1]), доказавший общий результат о существовании
функционально независимых решений. Обсуждение классиче-
ских подходов к этой задаче см. в книгах Forsyth [1; v. 1] или
Caratheodory [1]. Классической является также связь с соот-
ветствующей характеристической системой обыкновенных диф-
ференциальных уравнений; Камке (Kamke [1; v. 2, § D4] дает
наиболее близкое по духу к нашему изложение вместе с дру-
гими методами интегрирования — см. также Ince [1; § 2.7].
Понятия функциональной зависимости и независимости яв-
ляются классическими. Неожиданно, однако, что стандартные
доказательства основной теоремы 2.16 удивительно несовер-
шенны— обычно предполагается, что ранг дифференциала dt;
постоянен. Современное доказательство этого результата, не
требующее дополнительных предположений, может быть осно-
вано на теореме Брауна (Brown [1]) (см. также Milnor
{1; с. 191]), утверждающей, что множество {£ (х): х е М,
rank dt; | * < &} критических значений гладкого отображения
не содержит никакого открытого подмножества про-
странства R*, и теореме Уитни (см. Kahn [1; theorem 1.5]),
230
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
утверждающей, что всякое замкнутое подмножество ^cR'
можно задать как множество нулей K — {z\ F(z) = Q} некото-
рой гладкой функции F: R*->R. Чтобы доказать теорему 2.16,
мы, предполагая, что всюду rank dt, < k, полагаем тогда К =
= £ [£7], где U cz М — произвольное открытое множество с ком-
пактным замыканием, и выбираем функцию F, как в теореме
Уитни. Согласно теореме Брауна, функция F не обращается
в нуль ни на каком открытом подмножестве пространства R* и,
следовательно, удовлетворяет требованиям определения 2.15
функциональной независимости. (Это простое доказательство,
насколько мне известно, в литературе отсутствует!) Современ-
ное доказательство теоремы 2.16, основанное на теореме Сарда,
имеется в работе Narasimhan [1*; theorem 1.4.14].
В случае аналитических систем условие максимальности
ранга в теореме 2.8 можно ослабить, потребовав его выполнения
только «почти всюду» на подмногообразии SPF, допуская, таким
образом, наличие особенностей. Этот результат, который не-
трудно доказать, тем не менее, кажется, не обобщается на слу-
чай С“. Аналогичное обобщение теоремы 2.31 тоже может быть
доказано для аналитических систем дифференциальных уравне-
ний, допускающих особенности у подмногообразия ‘Т’д.
Первоначально Ли создал свою теорию непрерывных групп
специально для изучения дифференциальных уравнений. Но он
хорошо сознавал применимость своего мощного инфинитези-
мального метода к изучению инвариантов и алгебраических
уравнений. Об алгебраической и геометрической сторонах его
исследований см. Lie [4]. Историческое значение исследований
Ли и их влияние рассмотрены в работах Hawkins [1] и Wussing
[1; § Ш.З]. Большая часть работ Ли по обыкновенным диффе-
ренциальным уравнениям опубликована в собрании его статей;
книга Lie [5] на самом деле не отражает всей полноты его
открытий. Ключом к подходу Ли к интегрированию обыкновен-
ных дифференциальных уравнений высшего порядка была пред-
ложенная им полная классификация (с точностью до замены
переменной) всех групп преобразований плоскости R2. Поль-
зуясь ею, он смог исчерпывающим образом перечислить все воз-
можные понижения порядка для одного обыкновенного диффе-
ренциального уравнения; см. Lie [3], где приводятся эти
результаты вместе с большим количеством конкретных интерес-
ных примеров. Результаты этой статьи включают результаты
§ 2.5 о многопараметрических группах симметрий обыкновен-
ных дифференциальных уравнений высшего порядка; все дру-
гие изложения этих вопросов в литературе, включая работы
Cohen [1], Ince [1; ch. 3], Markus [1] и Овсянников [3; § 8],
относятся только к случаям однопараметрических и двупара-
Замечания
231
метрических групп. Тем не менее, теорема 2.68 о разрешимых
группах симметрий систем обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка принадлежит Бьянки (Bianchi [1;
§ 167]); см. также Eisenhart [2; § 36]. Этот результат, оче-
видно, включает в себя соответствующую теорему 2.64 об урав-
нениях высшего порядка, но я не смог найти явную формули-
ровку последнего результата в литературе. См. также Posluszny,
Rubel [1*] по поводу дальнейших исследований обыкновенных
дифференциальных уравнений, основанных на теории групп
«движений» дифференциального уравнения.
Большая часть исследований Ли о группах симметрий урав-
нений с частными производными относилась к линейным систе-
мам уравнений первого порядка, которые в силу метода харак-
теристик по существу эквивалентны системам обыкновенных
дифференциальных уравнений. Однако, в статьях Lie [2] и
Lie [6] Ли рассматривал симметрии уравнений с частными про-
изводными высших порядков. В работе Lie [2; part 1] Ли вы-
числяет группы симметрий нескольких уравнений с частными
производными второго порядка от двух независимых перемен-
ных, включая уравнение теплопроводности, группа симметрий
которого появляется в конце § 13. Эта группа была вычислена
позже также Аппелем (Appell [1]) и, в случае высших размер-
ностей, Гоффом (Goff [1]). Исследования Ли, связанные с
уравнениями с частными производными высших порядков, од-
нако, вообще не были развиты другими исследователями. Одна
из возможных причин состоит в том, что в отличие от случая
обыкновенных дифференциальных уравнений знание группы
симметрий системы уравнений с частными производными не
помогает найти общее решение системы. Впрочем, одна увле-
кательная возможность — это «метод разложения группы» из
работы Vessiot [1]; см. Овсянников [3, § 26], где имеется со-
временное изложение. Помимо этого я знаю лишь раннюю ра-
боту о симметриях уравнений с частными производными Bate-
man [1] и статьи Cunningham [1] и Carmichael [1] о симмет-
риях волнового уравнения и уравнений Максвелла. Если не
считать их, несмотря на наличие теоремы Нётер, после 1918 г.
исследования по теории и приложениям групп симметрий к
уравнениям с частными производными зашли в тупик; это про-
должалось до появления работы Биркгофа Birkhoff [2] по гид-
родинамике, с которой начали возрождаться групповые методы
в изучении важных уравнений с частными производными мате-
матической физики. В конце 50-х и в 60-х годах в изучении
групп симметрий многих таких систем большой прогресс был до-
стигнут советской школой под руководством Л. В. Овсянникова
[1], [2]. Интерес к этим методам на Западе возрос благодаря
232
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
работам Bliiman, Cole [1], [2] и книге Ames [1], вылившись в
большую волну исследований в этой области в последние 15 лет.
Основной метод вычисления групп симметрий, использую-
щий формулу продолжения для их инфинитезимальных обра-
зующих, восходит к Ли. Действительно, рекурсивный вид (2.44)
формулы продолжения появился в работах Lie [2; § 11], [3;
§ 1]; см. также Eisenhart [2; equation (28.12)]. Однако явная
формула (2.39) впервые появилась в работе Olver [2]. Другой
вид (2.50), использующий характеристику такого векторного
поля, более подробно будет обсуждаться в гл. 5; в книге
Seshadri, Na [1; § 3.2(e)] он применен как иной способ вы-
числения простых симметрий. В этой книге я предпочел вос-
пользоваться наиболее упрощенным вариантом теории струй,
обязанной своим современным видом Эресманну (Ehresmann
[1], [2]), которая позволяет яснее очертить геометрические
основания этой теории продолжения. Интересное изложение бо-
лее абстрактного дифференциально-геометрического подхода к
теории струй можно найти в книге Golubitsky, Guillemin fl];
см. также § 3.5. Излишне говорить, что все изложенные здесь
результаты допускают множество других переформулировок,
использующих все более и более техничный и абстрактный ма-
тематический аппарат — некоторые исследователи получают удо-
вольствие от бесцельных упражнений. Сам результат, конечно,
остается тем же, независимо от того, в какие одежды его ста-
раются вырядить; несчастный читатель этих вариантов оказы-
вается совершенно сбитым с толку, не узнав ничего о легкости
и эффективности приложений этой теории к конкретным зада-
чам. Я надеюсь, что настоящая книга в основном избежала та-
ких ловушек и что использование локальных координат и ил-
люстративных примеров действительно позволит читателю, ин-
тересующемуся приложениями, многому научиться.
К настоящему времени литература с примерами явного вы-
числения групп симметрий отдельных систем дифференциальных
уравнений стала слишком обширной, чтобы пытаться приве-
сти ее здесь. Читатель может найти ссылки в книге Овсянни-
кова [3], а также обширную (это еще не означает, что пол-
ную) библиографию в работе Steinberg [2]. Вычисление группы
симметрий уравнений Эйлера приводится в работе Бучнева [1].
Вывод преобразования Коула — Хопфа, изначально на самом
деле полученного Форсайтом (Forsyth [1; v. 6, р. 102]), — см.
также книгу Whitham [2; гл. 4], в которой используются ме-
тоды теории групп,— можно найти в работе Kumei, Bluman [1]
вместе с обобщениями'). Непосредственные вычисления для на-
*) В работах Свинолупов [1*) **], Соколов [1**] рассмотрены системы урав-
нений типа уравнеивя Бюргерса. — Прим. ред.
Замечания
233
хождения группы симметрий данной системы дифференциаль-
ных уравнений достаточно механические и поэтому поддаются
выполнению на компьютере с помощью программ символьных
вычислений. Разработано несколько вариантов таких программ,
в том числе содержащиеся в работах Rosenau, Schwarzmeier
[I], Steinberg [1], Rosencrans [2] и Champagne, Winternitz [1]
(в системе MACSYMA) и Schwarz [1] (с системе REDUCE).
В русской литературе также имеются ссылки на такие програм-
мы; см. Овсянников [3; с. 89], где приведен список работ.
Имеется несколько других заслуживающих упоминания под-
ходов к теории групп симметрий дифференциальных уравнений.
Для линейных уравнений Калнинс, Миллер, Бойер и др. (см.
Miller [2], [3]) предпочли для определения симметрий исполь-
зовать дифференциальные операторы, а не векторные поля.
Связь их метода с методом Ли разъясняется в § 5.2. В книге
Ames [1] предложен метод, основанный на самих группах пре-
образований, без введения инфинитезимальных образующих, но,
кажется, такой подход имеет ограниченную применимость. Се-
шадри и На (Seshadri, Na [1]) заметили, что можно значи-
тельно упростить вычисления симметрий, если a priori наложить
ограничения на вид группы, например, предположить, что это
группа проектируемых преобразований или масштабная группа.
См. Rubel, Taylor [1*] и Rubel [1*] в связи с другим методом,
основанным на понятии «движений» в теории дифференциальных
уравнений. Подход, основанный на дифференциальных формах,
предложен в работе Harrison, Estabrook [1] и развит в книге
Edelen [1], где описаны также программы символьных вычис-
лений, основанные на этом методе; см., кроме того, Gragert,
Kersten, Martini [1]. Результаты здесь такие же, как и при
нашем подходе, однако их метод обладает недостатком — пре-
жде чем приступать к вычислению симметрий, нужно сначала
выразить систему уравнений с частными производными как
условия интегрируемости семейства дифференциальных форм.
Тем не менее, этот метод может быть полезен, особенно для по-
строения преобразования Бэклунда. Распространение нашего ин-
финитезимального метода на задачи со свободными границами
можно найти в работе Benjamin, Olver [1].
Лишь недавно стало ясно, что более технические вопросы,
поставленные в последнем параграфе этой главы, важны для
симметрийного подхода. Связь между существованием решений
и теорией характеристик восходит к работе Ковалевской [1].
(Наше изложение этой теории наиболее близко соответствует из-
ложению Петровского [1].) Бурле (Bourlet [1]) первым указал
на существование систем, к которым неприменима теорема Ко-
ши — Ковалевской, независимо от выбора направления, но не
234
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
придал этому значения. Впоследствии ряд исследователей прош-
лого века, включая Делассю (Delassus [1]) и Рикье (Riquier [1]),
получили довольно сложные теоремы существования для систем
уравнений с частными производными, обобщающие теорему Ко-
ши—Ковалевской. Однако до появления работы Финзи Finzi [1],
доказавшего важную лемму 2.85 (см. также Hadamard [1;
§ 25а]), не были очевидными истинные связи между условиями
разрешимости и интегрируемости. Последующие определения
переопределенных и недоопределеннных систем, предложенные
здесь, являются новыми; см. также Olver [11]. Нормальность —
более классическое понятие; см. также Виноградов [4], где при-
водится более технический вариант этого определения. Хотя
имеются определенные связи между нашими определениями и
теорией Спенсера, Голдшмидта и др. переопределенных систем
уравнений с частными производными, настоящая терминология
более точна. Сравнивая с определениями Поммаре из Pommaret
[1; § V. 6.6] (которые даются только для линейных систем), мы
получаем, что недоопределенные системы Поммаре всегда
имеют меньше уравнений, чем неизвестных, тогда как его пере-
определенные системы включают и недоопределенные, и пере-
определенные системы определения 2.86. Эти спорные вопросы
тесно связаны также с вопросами о «степени определенности»
систем уравнений с частными производными, возникающих в
теории относительности. Они обсуждались, но не были пол-
ностью разрешены Картаном и Эйнштейном (Cartan, Einstein
[1]). Вопрос о локальной разрешимости систем уравнений с
частными производными тесно связан с общей теорией суще-
ствования Рикье, см. Ritt [1; ch. 8], где это обсуждается. Ни-
ренберг (Nirenberg [1; р. 15]) доказал локальную разреши-
мость довольно общих типов эллиптических систем. Неразре-
шимость, обусловленная условиями интегрируемости, была
осознана в прошлом веке; гораздо более новой является неразре-
шимость типа Леви О-систем. См. Lewy [1] и Nirenberg [1;
р. 8], где приводятся примеры. Приложения этих результатов
к теории групп симметрий появились ранее в работах Олвера
(Olver [2], [7], [11]) и Виноградова [5].
Упражнения
2.1. Пусть G — локальная группа преобразований, действующая на много-
образии М.
(а) Докажите, что подмножество SP с: М является G-инвариантным, если
и только если Р’ = U О является объединением орбит группы G.
(Ь) Докажите предложение 2.14.
(с) Докажите, что функция Г: М —> является G-пнвариантнои, если и
только если F постоянна на орбитах группы G.
Упражнения
235
(d) Докажите, что единственными инвариантами иррационального по-
тока на торе являются постоянные функции.
2.2. Пусть G— однопараметрическая группа преобразований R3, порож-
денная векторным полем v из упр. 1.11. Докажите, что G обладает только
одним независимым глобальным инвариантом.
2.3. Пусть группа G действует на многообразии М, и пусть Hr^G—ее
подгруппа. Докажите, что если У cz М—(локально) W-инвариантное под-
множество и преобразование ge.G определено на всем У, то g-S? = {g-x:
х е У} (локально) ннварнантно относительно сопряженной подгруппы
gHg-' = {ghg~h е Н}.
2.4. Система подмногообразий многообразия М называется G-инвариант-
ной, если групповые элементы отображают любое подмногообразие этой
системы в другое подмногообразие этой системы. Например, множество парал-
лельных прямых {у = kx + 6}, где k фиксировано, инвариантно относительно
любой группы сдвигов R2. Докажите, что множества уровня функции
F: М -> инвариантны относительно группы преобразований G, если и толь-
ко если v(F) = H(F) для любой инфинитезимальной образующей v группы G,
где Н — некоторая функция, зависящая от v, определенная на множестве
значений функции F. (Eisenhart [2; р. 82]).
2.5. (а) Докажите локальный вариант предложения 2.10.
(Ь) Докажите глобальный вариант, используя разбиение единицы,—
см. Kahn [1; theorem 1.4].
(с) Докажите предложение 2.11. (Указание. Используйте теорему 1.8.)
(d) Докажите, что если Ri(x), i= 1, ..., р,•—гладкие функции, то
р . р
£ Дг (х) (х‘ - Ci) = £ а1Х‘ + Ь
1 = 1 1 = 1
— аффинная функция от х, если и только если 7?/(х) = at- + Si(x), где
р
^st (х) (х‘— cf) = 0,
i = I
или, что эквивалентно,
Р
si М = £ 5,7 (*) - с}),
1=1
где 5f/=
2.6. Пусть X = R, U = R. Рассмотрим однопараметрпческую группу
gE: (х, и) ।—> (х cos (re) — и sin (re), х sin (re) + и cos (re)),
где г2 = x2 -J- у2. Пусть и = f (х) — функция, определенная для всех х е R.
Докажите, что для любого е =/= 0 преобразованная функция й = g£ • f (х) не
является глобально определенной функцией для х е R. Как это взаимосвя-
зано с нашей конструкцией продолжения действия группы?
2.7. Найдите определяющие уравнения группы симметрий нелинейного
волнового уравнения и, = иих и отыщите некоторые частные группы сим-
метрий. Изменятся ли ваши результаты, если коэффициент при их заменить
на f(u), где f — некоторая гладкая функция? (См. также пример 5.7.)
2.8. Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
и, = «гг + (хиК = ихх + хих + “•
I ЛЛ Л ЛЛ Л
236
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
Найдите его группу симметрий и интерпретируйте ее геометрически. Восполь-
зуйтесь преобразованиями из этой группы, чтобы найти некоторые частные
решения этого уравнения. (Blutnan, Cole [2; § 2.10}.)
2.9. Найдите группу симметрий телеграфного уравнения Utt = ихх + и.
Сравните эту группу с группой симметрий эквивалентной системы первого
порядка Ut + их = v, vt — vx = и.
2.10. Группы уравнений высших порядков и эквивалентных им систем
первого порядка не всегда сравнимы. Например, вычислите группу симмет-
рий двумерного волнового уравнения Utt = ихх и сравните ее с группой сим-
метрий эквивалентной системы ut = v, их = w, vt = wx, vx = wt. Как об-
стоит дело с двумерным уравнением Лапласа? (Olver [2], Ибрагимов [1;
§ 17.1].)
*2.11 . Докажите, что группа симметрий (2.65) двумерного волнового
уравнения (опуская тривиальные линейные симметрии ш—'/м + а(х, t)) ло-
кально изоморфна группе SO (3,2) линейных изометрий z!—» Rz пространства
R5 с метрикой (dz1)2 4- (dz2)2 + (dz3)2—(dz4)2—(dz5)2. (См. упр. 1.29.)
(Miller [3; p. 223].)
2.12. Найдите группу симметрий zn-мерного уравнения теплопроводности
Ut = Ли, ХЕрт. Как она соотносится с одномерным случаем? (Goff [1].)
2.13. Обсудите группу симметрий уравнения Гельмгольца Ли + Хп = 0,
где X — фиксированная постоянная, хе R3. (Miller [3; § 3.1].)
2.14. Обсудите группу симметрий бигармонического уравнения Д2п =
= Л(Ли) =0, хе R™. Как она связана с группой симметрий уравнения
Лапласа?
2.15. Докажите, что группа симметрий уравнений Навье—Стокса
+ и • Vu = — Vp + v Ди, V-u = 0,
где и е R2 или R3, a v — вязкость, такая же, как и группа симметрий соот-
ветствующей системы уравнений Эйлера (v = 0). (Бучнев [1], Lloyd [1].)
*2.16. (а) Уравнения Максвелла для электрического поля £е ₽3 и маг-
нитного поля В е R3 имеют векторный вид
£f = VX£. B/ = -VX£'. V-£- = 0, V-B = 0.
Обсудите симметрии этой системы.
(Ь) Эквивалентная формулировка получается введением векторного по-
тенциала А, где В = V X А. Заметим, что V X + £) = 0, следовательно,
существует скалярный потенциал <р, удовлетворяющий условию At + Е = V<p.
В результате получаем систему
^_ + ?Х(7ХД) = 7^, Г-^ = ДФ.
Как группа симметрий этой последней системы соотносится с предыдущей
формой уравнений Максвелла? (Овсянников [3; с. 394], Фущич и Ники-
тин [1], [2*].
*2.17. Проанализируйте симметрии уравнений Навье (2.127) линейной
изотропной упругости. Обсудите различие между двумерным и трехмерным
случаями. Зависят ли ваши результаты от значений коэффициентов Ламе X и
ц? (Olver [9].)
2.18. Групповая классификация. Часто система дифференциальных урав-
нений, возникшая из физической задачи, соержит некоторые производные
функции, точный вид которых зависит от конкретной рассматриваемой физи-
Упражнения
237
ческой системы. Например, общее уравнение нелинейной теплопроводности
имеет вид
= Dx (К их)’ (*)
где К(«) зависит от конкретного типа моделируемой среды. Часто имеются
хорошие физические основания для изучения тех уравнений, в которых вид
этих произвольных функций допускает большую группу симметрий, чем в
ином случае. Проблема нахождения таких функций известна как задача о
групповой классификации. Выполните групповую классификацию для нели-
нейного уравнения теплопроводности, доказав следующее:
(а) Если К—произвольная функция (т. е. не имеет ни одни из пере-
численных ниже специальных видов), то уравнение (*) имеет трехпараметри-
ческую группу симметрий.
(Ь) Если К.(и) = (аи-{-Ь)т (при т —4/3, a =f= 0), то группа симмет-
рий четырехмерна.
(с) При К (и) = сеаи имеется пятипараметрическая группа. См. Огоп,
Rosenau [1*]; отметим, что этот пример в других работах приводится с
ошибкой.
(d) При К(и) = (аи + 6)~4/3, а =/= 0, имеется пятипараметрическая
группа.
(е) При К(«) = const эта группа бесконечномерна. (Овсянников [3;
с. 68—73]; см. также Lie [2].)
2.19. Рассмотрим линейное однородное уравнение с частными производ-
ными первого порядка
Пусть v — ' (х) д[ — соответствующее векторное поле.
(а) Покажите, что w У, (.х) порождает однопараметрическую
группу симметрий, если и только если [v, w] = yv для некоторой числовой
функции у(х).
(Ь) Пусть р = 2. Покажите, что если поле w порождает нетривиальную
группу симметрий (это означает, что w =f= Zv ни для какой функции Х(х)),
то мы можем найти общее решение уравнения (*) посредством квадратуры
(если нам известны инварианты поля w).
(с) Что происходит при р 3?
(Lie [5; р. 434]).
2.20. Докажите, что система их = 0, иу + хиг = 0 не является локально
разрешимой. Докажите, что группа, порожденная векторным полем v = хдг,
является группой симметрий, но поле v не удовлетворяет инфинитезималь-
ному критерию (2.120).
*2.21 . Пусть дифференциальное уравнение Р(х, «<">) =0, хе R₽, ueR,
допускает бесконечномерную группу симметрий с образующими р(х)<Эи, где
р — произвольное решение линейного дифференциального уравнения Д[р]=О.
Докажите, что Р эквивалентно неоднородному варианту того же самого урав-
нения Д[н] = f(x). (Kumei, Bluman [1].)
*2.22 . (а) Докажите, что дифференциальное уравнение Р(х, «<">) = 0
эквивалентно линейному дифференциальному уравнению Д[й] = f(x) относи-
тельно замен переменных х= Е(х, й), п = Ф(х, й), если и только если оно
допускает бесконечномерную группу симметрий с образующими вида
( dS д , дФ д ]
V Р I дй дх дй ди J ’
238
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
где р(х,и)—произвольное решение линейного дифференциального уравнения.
(Указание. Сделайте замену переменных и примените предыдущее упраж-
нение.)
(Ь) Обсудите в свете этого результата наш вывод преобразования Хоп-
фа—Коула из примера 2.42.
(с) Примените эту технику, чтобы линеаризовать уравнение Томаса
ax/ + a"i + K+Y«x“i = °>
возникающее при изучении процессов химического обмена.
(d) Примените эту технику к потенциальной форме ut — и~2ихх нелиней-
ного уравнения диффузии vt = Dx(v~2vx), играющего важную роль в физике
твердого тела и в теории течения жидкости через пористую среду. (Kumei,
Bluman [1], Whitham [2; с.], Rosen [1], Fokas, Yortsos [1], Bluman, Kumei [1].)
*2. 23. Два эволюционных уравнения ut = P(x, u<n>) и vs — Q(y, u(m))
называются связанными, если существует замена переменных
t = Т (s, у), х = В (s, у), и = Ф (s, у, а),
переводящая одно уравнение в уравнение, эквивалентное другому.
(а) Докажите, что если уравнение ut = Р связано с уравнением vs = Q,
то векторное поле
дТ д дЕ д дФ д
V ds dt ds dx ds du
— симметрия уравнения ut = P.
(b) Докажите, что если
V = T(Z)7F+g(Z’*)7^' + <iP(Z’ x’ <*)
— симметрия уравнения ut = P, то найдется связанное эволюционное
уравнение vs = Q, такое, что в новых координатах v = ds. (На самом деле
для большого класса эволюционных уравнений (*) — наиболее общая сим-
метрия, так что мы имеем взаимно однозначное соответствие между свя-
занными эволюционными уравнениями и симметриями.)
(с) Найдите преобразование, связывающее уравнение Кортевега—де Фри-
за ut = иххх + иих и уравнение щ = vyyy + vvy + 1. (Kalnins, Miller [2].)
2.24. Пусть a e R. Найдите наиболее общее обыкновенное дифферен-
циальное уравнение первого порядка, инвариантное относительно группы
растяжений (х, и) i—> (Хх, Хап), X > 0. Как эти уравнения разрешить квад-
ратурой?
2.25. Докажите, что уравнение второго порядка ихх = хи -f- tg (их) не
имеет непрерывных групп симметрий! (Cohen [1; р. 206].)
2.26. (а) Докажите, что группа симметрий уравнения ихх — 0 восьми-
мерна и порождается векторными полями
d, xd , ud , xud +u2d ,
X X Л x и
ди’ хди’ иди- *2dx+xudu.
Докажите, что она является подгруппой проективной группы плоскости, со-
стоящей из преобразований вида
f ах + bu + с dx + еи + f
(х, и) t—> ах _j_ ’ ах + р« 4- у ) ’
где ар — Ьа=£= 0, dp — еа =£= 0. Интерпретируйте геометрически эти преоб-
разования.
Упражнения
239
(b) Докажите, что группа симметрий уравнения dnu/dxn = 0 при п 3
(п + 4)-мериа. (Lie [3], Markus [1].)
*2.27. Докажите, что одно обыкновенное дифференциальное уравнение
п-го порядка имеет, самое большее, (п + 4)-параметрическую группу сим-
метрий при л 3. (Lie [3], Gonzalez-Gascon, Gonzalez-Lopez [1*].)
2.28. Докажите, что SL(2)—неразрешимая группа Ли. Что можно сказать
о группе SO(3)?
2.29. Рассмотрим обыкновенное дифференпиальное уравнение Д: «* —
— 4« = 0.
(а) Докажите, что Д имеет всюду максимальный ранг.
(Ь) Докажите, что и2ххх = 0 — комбинация уравнений из Д<6>, но иххх — 0
не является такой комбинацией. (Ritt [1; р. 79].)
*2.30. Уравнения, инвариантные относительно «нелокальных симметрий».
Чтобы читатель не думал, что все методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений сводятся к инвариантности уравнения относи-
тельно некоторой группы симметрий представленного здесь вида, мы предла-
гаем следующую предостерегающую задачу.
(а) Экспоненциальное векторное поле — это формальное выражение вида
, \p(x,u)dxf х д , . . д \
v=e „)_+ ф(х,
где Р (х, и) dx является формально интегралом функции, а и = f (х)—
выбранная нами функция. Таким образом,
D3C^P(x, ii)dx] = P(x, u), D2x Р (х, и) dx j — DXP
и т. д. Подстановка v* в формулу продолжения (2.50) (с заменой Е на
\Pdx f Р dx Ч
eJ Е, q> на eJ ц>) доказывает, что
prWv*==eS₽(x’u,dx.v<«)
\ и dx
где v("’ — обычное векторное поле на Af<">. Например, если v* = eJ ди, то
pr<«>V’=yD^[eS“^]/-=
Z-J х Oil.
fe=0 k
= ^UdX + udUx + (Ux + «2) dUxx +...].
(b) Докажите, что дифференциальные инварианты для экспоненциаль-
ного векторного поля можно выбрать в виде
у = т](х, «), ш = Е(х, и, их), wn — dnw/dyn, п— 1, 2. ...,
точно так же, как для обычного векторного поля. Каковы дифференциаль-
\ и dx
ные инварианты третьего порядка для eJ ди?
(с) Докажите, что обыкновенное дифференциальное уравнение Д(х, п<п>) =0,
являющееся инвариантным относительно экспоненциального векторного поля:
240
Гл. 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений
pr<">v*(A) = 0 при А = 0, допускает понижение порядка на единицу. Ис-
пользуйте это, чтобы свести уравнение
uXX-uuX = ff(x’ux~iui)
к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка.
(d) Обратно, докажите, что если порядок А можно понизить на единицу
подстановкой v = у(х, и, их), то А инвариантно относительно экспоненциаль-
ного векторного поля
(е) Как могут на практике возникнуть эти симметрии? Рассмотрим
«неправильную» процедуру понижения порядка, использованную в приме-
ре 2.62, чтобы получить (2.109). Нам бы хотелось сказать, что другая сим-
метрия v уравнения (2.108) остается симметрией уравнения (2.109). Однако
рг(% = xdu + = х (д^ + дг) не является корректно определенным век-
торным полем в координатах (у, г). Докажите, что pr<*>v является экспонен-
циальным векторным полем в этих координатах [указание: покажите, что
х = ехр z-1 d#)) и, кроме того, остается симметрией уравнения (2.109).
Воспользуйтесь этой информацией, чтобы завершить интегрирование уравне-
ния (2.108).
2.31. Пусть М(св)—матрица размера q X q однородных многочленов п-й
степени от со. Докажите, что det М (со) = 0 для всех со, если и только если
найдется вектор о(со) однородных многочленов, такой, что М(со)о(со) = 0 для
всех со. Какова минимальная степень многочленов, входящих в такой век-
тор о? Обобщите это иа случай, когда многочлены, входящие в М, однород-
ны, но не одной и той же степени. [Finzi [1].)
2.32. Всегда ли является нормальной система эволюционных уравнений?
2.33. Пусть Av(x, «(п)) = 0, v=l./,— вполне невырожденная си-
стема дифференциальных уравнений. Докажите, что функция Q(x, idm>) обра-
щается в нуль иа всех решениях и = f(x) системы А, если и только если
существуют дифференциальные операторы S>v = X u^Dj, V=l, ...
1
I, такие, что Q = ®V-AV для всех функций и = f(x). (Указание.
V
Воспользуйтесь предложением 2.10.)
3. Решения, инвариантные
относительно группы
Когда сталкиваются со сложной системой уравнений с част-
ными производными, возникающей из некоторой важной для
физики задачи, обнаружение хоть каких-нибудь точных реше-
ний представляет большой интерес. Точные решения можно ис-
пользовать как модели для физических экспериментов, как эта-
лон для проверки численных методов и т. д. Они часто отра-
жают асимптотику или доминирующее поведение более общих
типов решений. Методы, используемые для нахождения инва-
риантных относительно группы решений, обобщающие извест-
ную технику нахождения автомодельных решений, доставляют
систематический вычислительный метод для определения боль-
ших классов частных решений. Эти инвариантные относительно
группы решения характеризуются своей инвариантностью от-
носительно некоторой группы симметрий уравнений с частными
производными; чем симметричнее решение, тем легче оно
строится. Основная теорема об инвариантных относительно
группы решениях, грубо говоря, утверждает, что все решения,
инвариантные относительно данной r-параметрической группы
симметрий данной системы могут быть найдены при решении
системы дифференциальных уравнений, содержащей на г мень-
ше независимых переменных, чем исходная система. В частно-
сти, если число параметров на 1 меньше, чем число незави-
симых переменных физической системы: г = р—1, то все
решения, инвариантные относительно соответствующей группы,
могут быть найдены с помощью решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Так, труднообозримое множество
уравнений с частными производными сводится к более простой
системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и у нас
появляются шансы найти точное решение. В практических при-
ложениях эти инвариантные относительно группы решения
можно в большинстве случаев эффективно построить, и часто
они оказываются единственными известными точными реше-
ниями.
Эта глава построена так, что ориентирующийся на прило-
жения читатель может сразу же изучить практическое осуществ-
242
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
ление метода построения решений, инвариантных относительно
группы, не копаясь в теоретических обоснованиях, необходимых
для объяснения этого метода. В § 3.1 излагается метод, осно-
ванный на построении инвариантов данного действия группы.
Он иллюстрируется в § 3.2 рядом интересных примеров, включая
уравнение теплопроводности, уравнение Кортевега —де Фриза
и уравнения Эйлера для течения идеальной жидкости. Даль-
нейшие примеры указаны в упражнениях в конце главы, там
же приведены ссылки на литературу. В третьем параграфе рас-
сматривается задача классификации решений, инвариантных
относительно группы. Почти всегда имеется бесконечное число
различных групп симметрий, которые можно применять для
нахождения инвариантных решений, поэтому для достижения
полного понимания того, какие именно решения могут быть
полезны, существенно уметь определять, какие группы дают
принципиально разные типы инвариантных решений. Посколь-
ку всякое преобразование из полной группы симметрий будет
переводить решения в другие решения, нам нужно найти
лишь те инвариантные решения, которые не связаны преобра-
зованием из полной группы симметрий. Эта задача классифи-
кации может быть решена с помощью присоединенного пред-
ставления группы симметрий на ее алгебре Ли. Она включает
аналогичную классификацию различных подгрупп группы сим-
метрий.
Оставшиеся два параграфа этой главы посвящены строгому
изложению теоретического обоснования метода нахождения ин-
вариантных относительно группы решений. Их благополучно
могут пропустить те, кого интересуют лишь приложения этой
техники. Строгое глобальное геометрическое оформление этих
результатов осуществляется с помощью понятия фактормногооб-
разия некоторого многообразия по некоторой регулярной группе
преобразований. Каждая точка фактормногообразия соответ-
ствует орбите этой группы, так что фактормногообразие по су-
ществу имеет размерность на г меньше, где г — число парамет-
ров группы. Объекты на исходном многообразии, инвариантные
относительно группы, будут иметь естественные аналоги на
фактормногообразии, которые полностью их характеризуют.
В частности, для системы уравнений с частными производными,
инвариантной относительно данной группы преобразований, со-
ответствующая редуцированная система дифференциальных
уравнений на фактормногообразии будет иметь поэтому на г мень-
ше независимых переменных. Решения редуцированной системы
будут отвечать решениям исходной системы, инвариантным от-
носительно группы. Одна трудность этого метода состоит в том,
что, даже когда исходное многообразие является открытым под-
3.1. Построение решений
243
множеством некоторого евклидова пространства, фактормного-
образие никаким естественным способом не представляется
открытым подмножеством «редуцированного» евклидова про-
странства, так что наши предыдущие построения пространств
струй и групп симметрий нельзя применить сразу. Здесь имеют-
ся два приемлемых пути. Самое простое было бы ограничиться
подходящими малыми открытыми подмножествами евклидова
пространства. Тогда фактормногообразие тоже можно сделать
подмножеством некоторого евклидова пространства посредством
выбора на нем новых независимых и зависимых переменных.
Однако при таком подходе конструкции становятся весьма не-
приятным образом координатно зависимыми и много теряют
в своей изначальной простоте. Более абстрактный подход, при-
нятый нами, состоит в обобщении наших конструкций про-
странств струй, продолжений и дифференциальных уравнений
на произвольные гладкие многообразия. Он осуществляется «по-
полнением» обычных пространств струй так, что они включают
«функции», определенные на произвольных р-мерных подмного-
образиях. Эти «функции» могут быть многозначными или иметь
бесконечные производные. Хотя этот метод требует изрядного
уровня абстракции и математической изощренности, чтобы дать
определения, главные результаты об инвариантных относитель-
но группы решениях сохраняют свой сильный геометрический
дух и в том, что касается доказательств, становятся практически
тривиальными. Более сложная технически локальная координат-
ная картина непосредственно получается тогда из этой абстракт-
ной переформулировки процедуры редукции.
3.1. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ, ИНВАРИАНТНЫХ
ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ
Рассмотрим систему уравнений с частными производными А,
определенную на открытом подмножестве М с Х\ U ~R₽X R’
пространства независимых и зависимых переменных. Пусть G —
локальная группа преобразований, действующая на М. Грубо
говоря, решение u = f(x) системы называется G-инвариантным,
если оно остается неизменным при всех преобразованиях из
группы G. Это означает, что для любого g G функции f и
(если она определена) g-f совпадают в их общей области опре-
деления. Например, фундаментальное решение и = log(x2 + у2)
двумерного уравнения Лапласа ихх + иуу — 0 инвариантно от-
носительно однопараметрической группы вращений SO (2):
(х, у, и)>—»(х cos 6 — у sin 6, х sin6 + у cos6, и), действующей
на независимые переменные х, у. Точнее, мы можем определить
244
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
G-инвариантное решение ') системы уравнений с частными про-
изводными как решение u = f(x), график = {(х, f(x) )}сЛ1
которого — локально G-инвариантное подмножество множе-
ства М; см. определение 2.12.
Если G — группа симметрий системы уравнений с частными
производными А, то при выполнении некоторых дополнительных
предположений о регулярности действия группы G мы можем
найти все G-инвариантные решения системы А, решив редуци-
рованную систему дифференциальных уравнений, обозначаемую
через А/G, которая будет содержать меньше независимых пе-
ременных, чем исходная система А. Чтобы увидеть, как осу-
ществляется редукция, мы начнем с упрощающего предполо-
жения, что группа G действует на М проектируемо. Это озна-
чает, что все преобразования из G имеют вид (х, й)= g- (х, и) =
= (Eg(x), Ф^(х, и)), т. е. изменения независимых переменных х
не зависят от зависимых переменных и. (Более общо, действия
непроектируемых групп будут рассмотрены позже, но основная
техника такая же.) Тогда определено проектируемое действие
группы х = g-x = Eg(x) на любом открытом подмножестве
Q cz X. Мы делаем предположение о регулярности, состоящее
в том, что и действие группы G на М, и проектируемое дей-
ствие группы G на Q являются регулярными в смысле опре-
деления 1.26 и что орбиты обоих этих действий имеют одну и
ту же размерность s, где s строго меньше, чем р — число не-
зависимых переменных системы. (Случай s — р совершенно
тривиален, тогда как при s > р не существует G-инвариантных
функций. Обычно s будет таким же, как и размерность самой
группы G, но это не всегда так.) При этих предположениях
из теоремы 2.17 следует, что локально имеется р—s функцио-
нально независимых инвариантов у1 = т]1 (х)..yp~s = t]₽“s(x)
проектируемого действия группы на Q cz X. Каждая из этих
функций является также инвариантом полного действия груп-
пы G на М, и, кроме того, мы можем найти q дополнительных
инвариантов действия G на М вида и1=Ё;1(х, и), ..., vq =
= £’(х, и), которые вместе с тр, ..., r]₽-s доставляют полный
набор р + q — s функционально независимых инвариантов для
G на М. Мы кратко записываем этот полный набор инвариан-
тов в виде
z/ = t](x), v=l(x, и). (3.1)
В построении редуцированной системы дифференциальных
уравнений для G-инвариантных решений системы А инвариан-
') Такие решения часто называют инвариантно групповыми решениями.—
Прим. ред.
3.1. Построение решений
245
ты у будут играть роль новых независимых переменных, а ин-
варианты V — роль новых зависимых переменных. Заметим, в
частности, что число независимых переменных у1, ..., yp~s, ко-
торые появятся в этой редуцированной системе, на s меньше,
где s — размерность орбит группы G.
Далее, имеется взаимно однозначное соответствие между
G-инвариантными функциями u = f(x) на М и произвольными
функциями v = h (у) в новых переменных v, у. Чтобы объяс-
нить это соответствие, мы начнем с обращения к теореме о не-
явной функции и разрешим систему у = т) (х) от р—s незави-
симых переменных, скажем, х = (х‘1, . ,.,х‘р—s), относительно
новых переменных у1, ..., yp~s и остальных s старых незави-
симых переменных, обозначаемых jC = (х'1, ..., x's). Таким об-
разом, мы имеем решение
* = У(А у)> (3.2)
где у — некоторая корректно определенная функция. Первые
р — s из старых независимых переменных называются главны-
ми переменными х, а остальные s из этих переменных — пара-
метрическими переменными х, поскольку они будут на самом
деле входить во все последующие формулы как параметры.
То, как переменные х разделяются на главные и параметриче-
ские, определяется лишь требованием, чтобы подматрица
(drf/dx1) размера (р—s)X(p—s) полной матрицы Якоби дт\/дх
была обратима, т. е. чтобы была применима теорема о неявной
функции; в остальных отношениях выбор совершенно произво-
лен. Нам нужно сделать дальнейшее предположение о транс-
версальности действия группы G на М, ср. (3.35), что позволит
нам разрешить другую систему инвариантов v = £(х, и) от всех
зависимых переменных и1, uQ через х1, ..., хр и и1, ..., vq
и, следовательно, через новые переменные у, v и параметриче-
ские переменные х:
и = 6(х, и) = д(Д у(£, у), v) = 6(£, у, ц) (3.3)
вблизи любой ТОЧКИ (хо, Но) е М.
Если и = й (у) — произвольная гладкая функция, то (3.3)
в совокупности с (3.1) дает соответствующую G-инвариантную
функцию на М вида
u = f(x) = d(f, т](х), Л(т](х))). (3.4)
Обратно, если u=f(x)—произвольная G-инвариантная функ-
ция на Л4, то не слишком трудно показать, что обязательно
существует функция v = h (у), такая, что f и соответствующая
функция (3.4) локально совпадают. Таким образом, мы видим,
246
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
как G-инвариантность функций служит для уменьшения числа
переменных, от которых они зависят.
Нас интересует теперь, как найти все G-инвариантные ре-
шения некоторой системы уравнений с частными производными
Av (х, ы(п)) = 0, v = 1..I.
Иными словами, мы хотим узнать, когда функция вида (3.4),
соответствующая функции v = h (у), будет решением системы
А. Это будет налагать определенные ограничения на функцию й;
они основаны на вычислении формул для производных функции
вида (3.4) по х через производные функции v = h(y) по у и
подстановке их в систему дифференциальных уравнений А. Та-
ким образом, нам нужно знать, как связаны производные
функций v = h(y) с производными соответствующей G-инва-
риантной функции w = f(x). Нужно просто применить цепное
правило. Дифференцирование (3.4) по х приводит к системе
уравнений вида
ди & г» /л м 36 । дб дт) . дд dv di)
поскольку у = т](х). Здесь ди/дх и т. д. обозначают матрицы
Якоби производных первого порядка указанных переменных.
Кроме того, используя (3.2), мы можем переписать дх\/дх через
у и параметрические переменные х. Таким образом, мы полу-
чаем уравнение вида
ди/дх = 61(х, у, v, dv/dy),
выражающее производные первого порядка произвольной G-ин-
вариантной функции и по х через у, v, первые производные от v
по у и параметрические переменные х. Продолжая дифферен-
цировать, используя цепное правило и подставляя там, где это
нужно, (3.2), мы приходим к общей формуле
М<«) = 6(П)(А У, vw)
для всех производных таких функций и по х до порядка п вклю-
чительно, выраженных через у, v, производные от v по у до по-
рядка п включительно и вездесущие параметрические перемен-
ные х. Сейчас стоит рассмотреть характерный пример.
Пример 3.1. Рассмотрим однопараметрическую группу рас-
тяжений
(х, t, «)>—>(Zx, Kt, и), /. gR+,
действующую на XX G ~ R3. На верхней полуплоскости М =
== {t > 0} действие регулярно, причем глобальные независимые
3.1. Построение решений
247
инварианты — это у = x/t и v = и. Если мы считаем v функ-
цией от у, мы можем получить формулы для производных от и
по х и t, выраженных через у, v и производные от v по у
вместе с единственной параметрической переменной, которую
мы обозначаем t, так что х будет соответствующей главной
переменной. Мы получаем, пользуясь цепным правилом, что
если и — v = v (у) = v (x/t), то
их = t~lvy, ut = —t2xve = —t~xyvy.
Дальнейшее дифференцирование приводит к формулам для про-
изведения второго порядка
^хх = t 2®уу> Uxt~ t 2 (У^уу + vy)> = 1 2 (y2vуу “Ь tyvу)
(3-5)
И т. д.
Раз соответствующие формулы, связывающие производные
от и по х с производными от v по у, уже получены, редуциро-
ванная система дифференциальных уравнений для G-инвариант-
ных решений системы Д получается подстановкой этих выра-
жений в систему там, где они встречаются. В общем случае
это приводит к системе уравнений вида
Дг, (х, у, и(п)) = 0, v = 1, ..., I,
содержащей еще параметрические переменные х. Если G — на
самом деле группа симметрий для системы Д, эта полученная
система будет фактически всегда эквивалентна системе урав-
нений, обозначаемой
(A/G)v (у, ц<”’) = 0, v = 1, ..., I,
которая не зависит от параметрических переменных и, таким
образом, действительно представляет собой систему дифферен-
циальных уравнений относительно v как функции от у. Это и
есть редуцированная система Д/G для G-инвариантных решений
системы Д. Каждое решение v — h (у) системы Д/G будет ввиду
(3.4) соответствовать G-инвариантному решению системы Д, и,
более того, каждое G-инвариантное решение может быть по-
строено таким образом.
Пример 3.2. Одномерное волновое уравнение ин — ихх = 0
инвариантно относительно группы растяжений, описанной в
примере 3.1. Чтобы построить соответствующие инвариантные
относительно растяжений решения, нам нужно лишь подставить
формулу для производных (3.5) в волновое уравнение и решить
248
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
полученное обыкновенное дифференциальное уравнение. После
подстановки мы получаем уравнение
t~2 (У2ивв + 2yvB - vyB) = 0.
Как и обещает общая теория, это уравнение эквивалентно
уравнению
(У2 — 1) vBB + 2yvB = 0,
в котором отсутствует уже параметрическая переменная t. Это
последнее обыкновенное дифференциальное уравнение является
редуцированным уравнением для инвариантных относительно
растяжений решений волнового уравнения. Оно легко интегри-
руется. Его общее решение —
V = с log | (у— !)/(«/+ 1) I + с',
где с, с' — произвольные постоянные. Заменяя переменные у, v
в решении на их выражения через х, t, и, мы получаем общее
инвариантное относительно растяжений решение волнового
уравнения (для рассматриваемой группы симметрий растяже-
ний)
и = с log | (х — /)/(х + 01 + с'.
Для удобства читателя мы приводим ниже основные вы-
числительные процедуры для нахождения инвариантных отно-
сительно группы решений данной системы уравнений с част-
ными производными с самого начала. Мы перечисляем шаги по
порядку, начиная с вычисления группы симметрии.
(I) Находим все инфинитезимальные образующие v групп
симметрий системы, пользуясь основными методами продолже-
ния гл. 2, в частности инфинитезимальным критерием (2.25).
(II) Выбираем «степень симметрии» s инвариантных реше-
ний. Здесь 1 s р будет соответствовать размерности орбит
некоторой подгруппы полной группы симметрий. Редуцирован-
ные системы дифференциальных уравнений для инвариантных
решений будут зависеть от р—s независимых переменных. Та-
ким образом, чтобы свести систему уравнений с частными про-
изводными к системе обыкновенных дифференциальных урав-
нений, нам нужно выбрать s = р— 1. Вообще говоря, чем мень-
ше s, тем больше будет инвариантных решений, но тем труднее
будет найти точное решение редуцированной системы Д/G.
(III) Находим все s-мерные подгруппы G полной группы
симметрий, найденной в п. I. Это эквивалентно (теорема 1.51)
нахождению всех s-мерных подалгебр полной алгебры Ли ин-
финитезимальных симметрий v. Каждой такой подгруппе или
подалгебре будет соответствовать множество инвариантных от-
3.1. Построение решений
249
носительно группы решений, отражающее симметрии, прису-
щие самой группе G. Задача классификации подалгебр данной
алгебры Ли будет рассмотрена в деталях в § 3.3. (В принципе
s-мерная подгруппа G может иметь орбиты размерности мень-
ше s, и, как мы отмечали ранее, размерность орбит как раз
имеет значение. Практически, однако, этот вид вырождения
встречается редко, так что мы можем довольствоваться фик-
сацией размерности подгруппы.)
(IV) Фиксировав группу симметрий G, мы строим полное
множество функционально независимых инвариантов, как в
§ 2.1, которые мы делим на два класса
У1 = Т]1 (х, и), ..., yp~s= 1\P~S (х, и),
О1 =4*(*.«)>•••» о9 ==№ «), ( '
отвечающие новым независимым и зависимым переменным со-
ответственно. Если G действует проектируемо, выбор незави-
симых и зависимых переменных предписывается требованием,
что т]‘ не зависят от и; в более общем случае имеется не так
уж мало свободы в этом выборе, и разные выборы приведут
к существенно различным на вид редуцированным системам, но
все они связаны некоторыми преобразованиями типа преобра-
зования годографа.
(V) Если G действует трансверсально (ср. предложение 3.37),
мы можем разрешить (3.6) относительно р—s переменных х,
которые мы обозначаем через х, и всех переменных и, выразив их
через у, v и s оставшихся параметрических переменных х:
х==у(£, у, о), и — 6(£, у, ц). (3.7)
Далее, рассматривая v как функцию от у, мы можем восполь-
зоваться формулами (3.6), (3.7) и цепным правилом диффе-
ренцирования и тем самым найти выражения для производных
по х от любой G-инвариантной функции и через у, v, производ-
ные v по у и параметрические переменные f :
u(n) = 6(n,(f, у, о(п)). (3.8)
(VI) Подставляем выражения (3.7), (3.8) в систему
Д(х, u(n)) = 0. Полученная система уравнений всегда будет экви-
валентна системе дифференциальных уравнений относительно
v = h(y), не зависящей от параметрических переменных X:
Д/G (у, о<п)) = 0. (3.9)
На этом шаге мы построили редуцированную систему диффе-
ренциальных уравнений для G-инвариантных решений.
250
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
(VII) Решаем редуцированную систему (3.9). Каждому ре-
шению v = h(y) системы А/G соответствует G-инвариантное ре-
шение и = f (х) исходной системы, которое неявно задается со-
отношением
£(х, и) = Л[т](х, и)]. (3.10)
Повторяя шаги с IV по VII для каждой группы симметрий
G, определенной на шаге III, мы получим полное множество
Инвариантных относительно группы решений для нашей системы.
3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ, ИНВАРИАНТНЫХ
ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ
Прежде чем приступить к доказательству того, что описан-
ная в предыдущем параграфе процедура построения инвариант-
ных относительно группы решений работает, мы проиллюстри-
руем этот метод несколькими систематическими примерами, в
которых строятся инвариантные относительно группы решения
для уравнения Кортевега — де Фриза, уравнения теплопровод-
ности и уравнений Эйлера. Эти примеры естественным путем
приведут нас к задаче о том, как классифицировать инвариант-
ные относительно группы решения таким образом, чтобы найти
«все» такие решения с минимальными вычислительными труд-
ностями. Но прежде чем обращаться к этому вопросу, мы рас-
сматриваем примеры.
Пример 3.3. Уравнение теплопроводности. Группа симметрий
уравнения теплопроводности
Uj = ихк
была вычислена в примере 2.41; она состоит из шестипарамет-
рической группы симметрий, присущей самому уравнению теп-
лопроводности, плюс бесконечномерная подгруппа, проистекаю-
щая из линейности этого уравнения. Каждой однопараметриче-
ской подгруппе полной группы симметрий будет соответствовать
класс инвариантных относительно группы решений, который бу-
дет получаться из редуцированного обыкновенного дифферен-
циального уравнения, вид которого, вообще говоря, будет зави-
сеть от рассматриваемой конкретной подгруппы.
(а) Бегущие волны. Вообще, решения вида бегущей волны
у уравнения с частными производными появляются как спе-
циальные инвариантные относительно группы решения, когда
рассматриваемая группа является группой сдвигов в простран-
стве независимых переменных. В настоящем примере рассмот-
рим группу сдвигов
(х, t, и) I—> (х + се, t + е, u), е е R,
3.2. Примеры решений
251
порожденную образующей dt + сдх, где с — фиксированная по-
стоянная, которая будет определять скорость волн. Глобаль-
ными инвариантами этой группы являются
у = х— ct, v — u, (3.11)
так что инвариантное относительно группы решение v = h(y)
имеет привычный вид u = h(x — ct), определяющий волну не-
изменного профиля, движущуюся с постоянной скоростью с.
Выражая производные от и по х и t через производные от v
по у, мы находим
Ut= CVy, Ux = Vy, Uxx = Vyy
и т. д. Подставляя эти выражения в уравнение теплопровод-
ности, мы находим редуцированное обыкновенное дифферен-
циальное уравнение для бегущих волн:
cvy = vyy
Общее решение этого линейного уравнения с постоянными ко-
эффициентами имеет вид
v (у) = ke~cy +I,
где k, I — произвольные постоянные. В исходных переменных в
соответствии с (3.11) мы находим наиболее общий вид бегущей
волны волнового уравнения. Это экспонента
и (х, t) = ke~c (x~ct) +1.
(b) Решения, инвариантные относительно растяжений. У вол-
нового уравнения имеются две однопараметрические группы
симметрий растяжения. Рассмотрим линейную комбинацию
хдх + 2tdt + 2аиди, ое R,
их инфинитезимальных образующих, соответствующую группе
растяжений
(х, t, «)ь->(Лх, Л2/, Л2а«), ^eR+.
На полупространстве {(х, t, и): />0} глобальными инвариан-
тами этой однопараметрической группы будут функции
у = х{л/1, v = t~au.
Выражая производные от и через производные от v, получаем
и — tav,
,a—lf2 ,а— 1
ux = t ' Vy, Uxx = t Vyy,
1 .a—3/2 i ,a— 1 ,a~l fl . \
hz = —— x/ Vy + at v = t -j-yVy + avj .
252
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
Здесь мы обращаемся с t как с параметрической переменной
и с успехом выражаем соответствующие производные от и по х
и t через у, v, производные от v по у и параметрическую пе-
ременную t, как в (3.8).
Подставляя эти выражения в уравнение теплопроводности,
получаем
ta ~'vyy = fa~' (—+
Как гарантирует нам общая теория, это уравнение эквивалент-
но уравнению, в котором отсутствует параметрическая пере-
менная /, а именно
vyy + ^-yVy — av = 0.
Это уравнение представляет собой редуцированное уравнение
для инвариантных относительно растяжений решений. Решения
этого линейного обыкновенного дифференциального уравнения
можно записать через функции параболического цилиндра.
В самом деле, если положить
w = v ехр у2-),
то w удовлетворяет дифференциальному уравнению Вебера
^=[(а + т) + '^*'г]“’-
Общее решение этого уравнения имеет вид
= + 4-. -^) + iV (2а + Х
где U(b,z), V(b,z)—функции параболического цилиндра,
ср. Abramowitz, Stegun [1; § 19.1]. Таким образом, общее ин-
вариантное относительно растяжений решение уравнения теп-
лопроводности принимает вид
“<*- ^)+^(а>+4, ^)].
Некоторые значения а приводят к специальным инвариантным
решениям, выражающимся через элементарные функции. На-
пример, при а — 0 мы получаем решение
и {х, 0 = k* erf (x/V2f) -j- k*„
где erf — функция ошибок. Поскольку U (—п—i-, z) =
= Hn (z), где H„ есть n-й многочлен Эрмита, при а =
3.2. Примеры решений
253
= —(п -|- 1) /2 мы получаем решения
и(х> /) = Г(п+,,/2е-^Нп(х-/л/2/).
которые включают функцию источника (п = 0). Аналогично,
соотношение V (п + 1/2, z) = Н„ (z), где Н„ (z) =
= (—г)" Н„ (Zz), приводит к так называемым многочленам тепло-
проводности (см. Widder [1])
х, х2+2/, х3 6х/ и т. д.,
являющимся инвариантными относительно растяжений реше-
ниями специального вида.
(с) Решения, инвариантные относительно преобразований
Галилея. Однопараметрическая группа преобразований Галилея,
порожденная векторным полем vg = 2tdx — хиди, обладает гло-
бальными инвариантами у — t, v = и ехр (х2/4/) на верхней по-
луплоскости {t > 0}. Мы получаем
е~хЩ1, ихх
1
t* 2t
«f
4Р
Поэтому для уравнения теплопроводности редуцированное урав-
нение для решений, инвариантных относительно преобразова-
ний Галилея, — обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка 2yvy v = 0, несмотря на то что уравнение
теплопроводности было уравнением с частными производными
второго порядка. Его решение: v(y) = k/'\/y. Следовательно,
наиболее общее инвариантное относительно преобразований Га-
лилея решение пропорционально функции источника
, л k -x2/4i
и (х, t) = -т=- е
Nt
которую мы нашли раньше как решение, инвариантное относи-
тельно растяжений. Таким образом, одно и то же решение мо-
жет быть инвариантным относительно разных подгрупп полной
группы симметрий.
Очевидно, мы можем расширить этот список инвариантных
относительно группы решений, рассматривая однопараметриче-
ские подгруппы, полученные из более общих линейных комби-
наций инфинитезимальных образующих полной группы симмет-
рий. Однако сейчас без какого-либо представления о класси-
фикации этих решений продолжать бессмысленно. Когда мы
опишем корректную классификационную процедуру, мы вернемся
к этому вопросу и найдем (в некотором смысле) наиболее общее
инвариантное относительно группы решение уравнения тепло-
проводности. См. пример 3.17.
254
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
Пример 3.4. Группа симметрий уравнения Кортевега — де
Фриза
-|- иххх -|- иих = О
была вычислена в примере 2.44. Рассмотрим соответствующие
решения, инвариантные относительно группы.
(а) Бегущие волны. Здесь группа — та же трупа сдвигов,
рассмотренная уже в предыдущем примере. Выраженное через
инварианты у = х — ct, с = и редуцированное уравнение имеет
вид
Vyyy + Wy - CVy -- 0.
Его сейчас же можно один раз проинтегрировать:
vyy + -^-v2 — cv = k.
Второе интегрирование осуществляется после умножения на vy:
-^-Vy = —-^v3 + -^-cv2 + kv + l, (3.12)
где k и I — произвольные постоянные. Общее решение можно
записать через эллиптические функции: и = 1Р(х— ct + 6), где
6 — произвольный сдвиг фазы. Если п—>-0 достаточно быстро
при |х|->оо, то в (3.12) k = l = Q. Это уравнение имеет ве-
щественные решения
v = Зс sch2 -у/с у + б],
если скорость с волны положительна. Они дают знаменитые
«односолитонные» решения
и (х, t) = Зс sch2 Vc (х — ct) -j- fij
уравнения Кортевега — де Фриза. (При с = 0 мы также полу-
чаем стационарное решение и — —12 (х -]- 6)_2 с особенностью.)
Более общо, если мы требуем лишь, чтобы функция и была огра-
ничена, мы получаем периодические «кноидальные волны»
и (х, t) = a сп2 [А (х — ct) -|- 6] т,
где сп — якобиева эллиптическая функция модуля k =
= V(^3 —r2)/V(r3 —rO, a = r3 —r2, A = V(r3 ~ ri)/6, m = r2,
где fi < r2 < r3 — корни кубического многочлена, стоящего
в правой части (3.12).
(Ь) Решения, инвариантные относительно преобразований
Галилея. Рассмотрим, далее, однопараметрическую группу пре-
3.2. Примеры решений
255
образований Галилея, порожденную полем tdx-\-du. Здесь при
t > 0 независимыми инвариантами являются у = t и v = tu— х,
откуда получаем
u = y~l(x + v), ux = y~l, иххх = 0, ut = y-2(yvy — v — x),
где х — параметрическая переменная. Редуцированное уравне-
ние— это просто dv/dy =0, так что общее галилеево-инвариант-
ное решение имеет вид и = (х -|- 6) //, где 6 — произвольная по-
стоянная.
Более интересный класс решений с галилеево-подобной ин-
вариантностью можно получить добавлением к этой группе сдви-
гов по времени. Образующая tdx -|- ад{ ди, а =# 0, имеет гло-
бальные инварианты
у = х---Ы2, v = и — Ы,
v 2
где b = \/а. Тогда
u = v + bt, ux = vy, uxxx = Vyyy, ut = —btVy + b,
так что редуцированное уравнение имеет вид
vyyy + vvy + b = Q.
Оно интегрируется один раз и приводится к уравнению второго
порядка
Vyy + -£-v2 + by + с = °,
известному как Пенлеве-I. Его решения v = h(y) мероморфны
на всей комплексной плоскости, но являются существенно но-
выми функциями, не выражающимися через стандартные спе-
циальные функции. Соответствующие решения уравнения Кор-
тевега — де Фрнза имеют вид
и (х, t) = h(x —+ bt.
(с) Автомодельные решения. Рассмотрим, наконец, группу
симметрий растяжения
(х, t, и) I—> (Лх, Л3/, К~2и).
Инвариантами на верхнем полупространстве {/ > 0} являются
,-1/3 ,2/3
y = t х, v — t и.
Мы находим
Ujc = rlt>j„ иххх = t~5f3Vyyy, ut = — -^-t~5/3(yvy + 2v),
256
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
так что редуцированное уравнение имеет вид
I 1 2 л
Vyyy + Wy - -^-yvy - -3- V = 0.
Отнюдь не очевидно, как решить это обыкновенное дифферен-
циальное уравнение третьего порядка непосредственно. Однако,
основываясь на преобразовании, открытом Миурой (Miura [1])
для самого уравнения Кортевега — де Фриза (см. упр. 5.11),
положим
dw 1 9
о = ----W •
dy 6
Уравнение для w имеет вид
0 = wyyyy ~ I- wwyyv ™wyy + it ™wy ~
1 1 1 2.1,
~ -3ywyy + Tywwy ~ ~3wy + ~9W =
==(^ —(wyyy ~4-w2wy--Tywy~Tw)-
Поэтому каждое решение «модифицированного» уравнения
третьего порядка
1 2 1 1 Л
wyyy - ~ ТУ^у - Т w = °
приводит к автомодельному решению уравнения Кортевега — де
Фриза при указанном преобразовании. Выписанное выше урав-
нение можно один раз проинтегрировать:
1 з । 1 । д
^yy = 18w +~3-yw + &,
где k — некоторая постоянная. Это уравнение, называемое Пен-
леве-П, обладает свойствами, аналогичными свойствам первого
из уравнений Пенлеве. См. Ince [1], где обсуждается классифи-
кация этих уравнений.
(3.13)
Пример 3.5. Для уравнений Эйлера трехмерного течения
идеальной несжимаемой жидкости
uf + и • Vti = —Vp,
V • u = 0
имеются четыре независимые переменные х = (х, у, z) и t, так
что мы можем обсуждать решения, инвариантные относительно
одно-, дву- и трехпараметрических подгрупп полной группы сим-
метрий, полученной в примере 2.45. Здесь мы рассмотрим не-
3.2. Примеры решений
257
сколько таких подгрупп, приводящих к решениям, представляю-
щим физический или математический интерес. Во всех случаях
группа будет содержать однопараметрическую подгруппу одного
из двух видов: независимые от времени сдвиги в фиксированном
направлении, которое мы можем считать осью z, или вращения
вокруг фиксированной оси, в качестве которой мы снова можем
взять ось Z.
(а) Решения, инвариантные относительно сдвига. Для ре-
шений, инвариантных относительно группы сдвигов, порожден-
ной полем дг, трехмерные уравнения Эйлера (3.13) сводятся
к их двумерному варианту (эти уравнения имеют тот же вид,
но и = (и, v), р зависит только от х = (х, у), t) и уравнению
wt -j- uwx + vwy = 0 (3.14)
для вертикальной компоненты скорости, которое можно проин-
тегрировать, решая уравнение для характеристик dt = dx/u =
= dy/v. Конечно, двумерные уравнения Эйлера продолжают
оставаться слишком трудными, чтобы найти их точное решение,
так что мы рассматриваем решения, инвариантные относительно
второй однопараметрической группы.
Для группы Gp сдвигов, зависящих от времени, порожден-
ной полем v₽ = рду + Р/до — $ttydp, р (/) =£= 0, инварианты даются
следующими функциями:
t, х, й = и, v = v — $t/$)y, р = р + -^-(М$)у2,
где t, х—независимые переменные. Редуцированная система
+ ййх = —vt = uvx + (₽f/₽) v = 0, йх + (Pf/p) = 0 (3.15)
быстро решается:
й = [—pfx + o-J/p, v = h (Рх — а)/р,
Р = [(4 ₽₽« - ₽?) х + (2P,of - Рог») х + т]/р2,
где ст(/), т(/) — произвольные функции от t, a h — произвольная
функция от единственного инварианта p(f)x — a(t) для второго
уравнения системы (3.15). Таким образом, мы получаем Gp-ин-
вариантное решение
« = [—Pt* + сг Д/Р, v = [р, у + h (Рх — сг)]/р,
Р = Г(т₽₽" - ₽')*2 ~ Т МиУ + (2PtOf - Р<т») х + т]/р2
двумерных уравнений Эйлера. В частности, если р(/)= 1, мы
можем найти точное решение (3.14) и получить, что
9 П. Олвер
258
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
w = crf, v — h(x— cr (/)), w — H(x — o(t), у — th(x — a(/))),
P = — ottx + т (/)
— трехмерное решение, инвариантное относительно группы сдви-
гов по направлениям у и z. (Здесь сг(7), т(7), /г(|), Н(|, т]) —
произвольные гладкие функции.)
Хотя выше определены все решения двумерных уравнений
Эйлера, инвариантные относительно группы, порожденной vp,
поучительно посмотреть, что происходит, если мы пытаемся
найти более специализированные решения, инвариантные отно-
сительно двупараметрической группы, порожденной полем vp и
полем va = адх + atdu — ацхдр. Инвариантами являются
й = и — (at/a) х, v = v — (₽,/₽) у, р = р + (att/2a) х2 + (₽ff/2p) у2.
Это функции от одной оставшейся независимой переменной t.
Редуцированная система обыкновенных дифференциальных
уравнений имеет вид
Щ + (at/«) н = 0 = vt + (Pf/P) v (3.16а)
плюс условие нулевой дивергенции
(af/a) + (Pf/P) = 0. (3.16b)
Важный момент здесь состоит в том, что если a(t) не равно
ни для какой постоянной k, то (3.16b) выполняться не
может, и редуцированные уравнения не имеют решений. Иными
словами, вообще говоря, нет никаких гарантий, что редуциро-
ванная система дифференциальных уравнений для некоторой
группы симметрий будет совместна, и, следовательно, нет ника-
ких гарантий, что такие решения существуют.
(Ь) Решения, инвариантные относительно вращений. Для
группы вращений вокруг оси z, порожденной векторным по-
лем —удх + хду — vdtl -f- идр, инвариантами являются г —
— ух2 у2, f, р и цилиндрические компоненты скорости и =
= и cos 0 + v sin 0, v = — и sin 0 + v cos 0, w = w. Гедуцирован-
ные уравнения имеют вид
ut + ййг + &йг — r~'v2 = — рг,
vt-\-uvr + wvz 4-г-1йб = 0, (3.17)
wt-j- uwr-\- wwz =—Pz,
(tu)r+ (rw)z = 0,
cp. Berker [1]. Если мы, кроме того, предположим инвариант-
ность относительно сдвигов дг, то и, v, w, р не зависят от z, и
3.2. Примеры решений
259
поэтому мы можем точно решить (3.17):
й — Gflr, v — r ’Л [-у г2 —ff (О], ® =
р = — Gtt In Г — r_2Of + s~3h [-у s2 — о (о]2 ds + т (t),
о
где o(t), т(/) и Л(|), Я(|) — произвольные функции. Это наибо-
лее общие решения, зависящие только от t и цилиндрического
радиуса г.
Рассмотрим решения, полностью инвариантные относительно
вращений, т. е. инвариантные относительно всей группы SO(3).
Хотя группа SO(3) действует проектируемо на R3X R3: (x,u)i—^
t—>(7?х, 7?u), 7?eSO(3), и регулярно с трехмерными орбитами
на любом открытом подмножестве пространства R3 X R3, проек-
ция действия группы хь->#х на R3 имеет лишь двумерные
орбиты. В этом случае условия трансверсальности (3.34) нару-
шаются и мы не в состоянии построить редуцированную систему
A/SO(3). Другой способ увидеть это — рассмотреть инварианты
группы SO(3), которыми являются t, |х|, х-u, |и|, р, и за-
метить, что для осуществления процедуры редукции слиш-
ком много независимых и слишком мало зависимых пере-
менных. Таким образом, SO (3)-инвариантных решений не су-
ществует.
В качестве последнего примера рассмотрим систему (3.17)
эйлеровых уравнений в цилиндрических координатах. Эта си-
стема обладает несколькими группами симметрий, и большин-
ство из них происходят из групп симметрий полных уравнений
Эйлера (3.13). Имеется, однако, одна дополнительная образую-
щая v* = г~2 (б-1да — др), которая не происходит из симметрии
уравнения (3.13)! Таким образом, редукция системы Л с по-
мощью известной группы симметрий G может привести к си-
стеме Д/G, обладающей дополнительными свойствами симмет-
рии, которых не было у исходной системы. Рассмотрим решения,
инвариантные относительно однопараметрической группы, по-
рожденной инфинитезимальной образующей dt — v*, инвариан-
тами которой являются г, z, и, w, (o = r262/2-f-Z, q — p — r~2t.
Они удовлетворяют редуцированной системе
ййг + йй2 — 2r-3to — —qr,
йаг 4- t&to, = 1,
' , .. (3.18)
dwr -j- wwz = — qz,
(гй)г + (rt&)z = 0.
9*
260
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
Эта система, вообще говоря, все еще слишком сложна, чтобы
решать ее; однако, следуя Капитанскому [1], мы будем искать
решение в виде
й — й (г), и = to (г), w = | (г) z + т] (г).
Из первого и последнего уравнений (3.18) вытекает, что
| = —йг — г~1й, qr = —ййг + 2г-3(о.
Дифференцируя третье уравнение по г, мы находим условие
совместности
0 = — qrz = (й1г + ?2)r z + («т]г + Вл)г'»
следовательно, wgr + g2 = k, йцг + gt] = I — константы. Поль-
зуясь предыдущей формулой для g, мы находим, что й должно
удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению
ййгг — й2 — г~'ййг — 2г~2й2 -j- k — 0.
Это уравнение допускает двупараметрическую группу симмет-
рий, порожденную векторными полями w = гдг + иди, у/=г~'дг—
— г~2йда и, следовательно, может быть проинтегрировано с по-
мощью методов § 2.5. При k < 0 имеем
й (г) = ar~' ch (br2 -j- 6),
a, b, б — произвольные постоянные, следовательно,
Ю(г) = - + W-, E(r)=-2o6sh(6r2 + 6),
q (г, г) = —Ь kz1 — /z---[й (г)]2 ( 2s“3tt> (s) ds.
Го
и из последнего уравнения (3.18)
T1(r)==-2&sh(6r2-]-S),
и I = —4аЬ2. Таким образом, общее решение имеет вид
й = й(г), v = r~l V2to(r) — 2/, w = g (г) z -|- т] (г),
p = tr~2 + q(r, z),
где й, to, т), q такие, как выше. Капитанский замечает, что,
поскольку v задается квадратным корнем, из этих решений
можно получить решения уравнений Эйлера в цилиндрических
областях, «взрывающиеся» за конечное время (|Vu|->oo), даже
3.3. Классификация решений
261
хотя нормальная компонента и на границе гладка для всех t.
Причина, конечно, состоит в том, что особенность (о(г)=/
можно устроить так, что она будет проходить границу, не за-
трагивая нормальную компоненту и. (Поведение аналогичного
рода можно получить и для более простых решений, инвариант-
ных относительно сдвигов.) Это наблюдение поэтому не решает
известную задачу о том, могут ли за конечное время появиться
особенности у гладких решений трехмерных уравнений Эйлера.
3.3. КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕНИИ, ИНВАРИАНТНЫХ
ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ
Вообще говоря, каждой s-параметрической подгруппе Н пол-
ной группы симметрий G системы дифференциальных уравне-
ний от р > s независимых переменных будет соответствовать
семейство решений, инвариантных относительно группы. По-
скольку почти всегда имеется бесконечно много таких подгрупп,
обычно невозможным оказывается перечислить все решения си-
стемы, инвариантные относительно группы. Нам нужны эффек-
тивные систематические средства классификации этих решений,
приводящие к «оптимальной системе» инвариантных относи-
тельно группы решений, из которой можно было бы получить
любое другое такое решение. Поскольку элементы g е G, не
принадлежащие подгруппе Я, будут переводить //-инвариант-
ное решение в решение, инвариантное относительно некоторой
другой группы, в нашей оптимальной системе нужно будет пере-
числить только те решения, которые не связаны между собой
таким способом. Основной результат следующий:
Предложение 3.6. Пусть G — группа симметрий системы диф-
ференциальных уравнений Д, и пусть Н е G есть s-параметри-
ческая подгруппа. Если и = f(x) есть G-инвариантное решение
системы Д и g е= G — любой элемент группы G, не содержа-
щийся в Н, то преобразованная функция и = f(x) = g-f(x) яв-
ляется П-инвариантным решением, где П = glig~l — подгруппа,
сопряженная с подгруппой Н при помощи элемента g.
Доказательство непосредственно следует из упр. 2.3, если
в качестве инвариантного подмножества взять график Гу Как
следствие этого результата задача о классификации решений,
инвариантных относительно группы, сводится к задаче о клас-
сификации подгрупп полной группы симметрий G относительно
сопряжения. Таким образом, нам нужно подробно изучить ото-
бражение сопряжения ht—*ghg~l на группе Ли, после чего мы
вернемся к нашей исходной классификационной задаче.
262
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
Присоединенное представление
Пусть G — группа Ли. Для каждого g е G сопряжение
Kg (h) = ghg~x, h е G, определяет диффеоморфизм группы G.
Кроме того, Kg° Kg' = Kgg', Ке = Иа, так что Kg определяет гло-
бальное действие группы G на себе, причем каждое отображе-
ние сопряжения Kg является групповым гомоморфизмом:
Kg(hh') — Kg(h)Kg(h') и т. д. Легко видеть, что дифференциал
dKg : TG lKg(ft) сохраняет правую инвариантность вектор-
ных полей и, следовательно, определяет линейное отображение
на алгебре Ли группы G, называемое присоединенным представ-
лением:
Adg(y) = dKg(v), vefl. (3.19)
Заметим, что присоединенное представление дает линейное гло-
бальное действие группы G на алгебре д:
Ad(g • g') = Adg • Adg', Ade=1.
Если v eg порождает однопараметрическую подгруппу Н =
= {exp(ev): ееР},тов силу (1.22), как легко видеть, Adg(v)
порождает сопряженную однопараметрическую подгруппу
Kg(H) = gHg~i. Это замечание легко обобщить на подгруппы
высших размерностей, пользуясь тем фактом, что они пол-
ностью определяются своими однопараметрическими подгруп-
пами.
Предложение 3.7. Пусть Н и П — связные s-мерные подгруппы
Ли группы Ли G, I) и Ь — соответствующие подалгебры Ли ал-
гебры Ли д группы G. Тогда n = gHg~x— сопряженные под-
группы, если и только если ^ = Adg(f)) — сопряженные подал-
гебры.
Присоединенное представление группы Ли на ее алгебре Ли
часто бывает легче построить по ее инфинитезимальным обра-
зующим. Если v порождает однопараметрическую подгруппу
{exp(ev)}, то мы определяем adv как векторное поле на д, по-
рождающее соответствующую однопараметрическую группу при-
соединенных преобразований:
advL—l?|£_0Ad(cxP(ev^ w- weE9- (З.20)
Основной факт состоит в том, что инфинитезимальное присоеди-
ненное действие согласовано со скобкой Ли на д:
3.3. Классификация решений
263
Предложение 3.8. Пусть G группа Пи с алгеброй Ли д. Для
каждого veg присоединенный вектор adv в w е g равен
adv|w = [w, v] = — [v, w], (3.21)
где мы воспользовались отождествлением касательного про-
странства 7g |w в w с самой алгеброй д, поскольку д — векторное
пространство.
Доказательство. Мы отождествляем д TG | е- Пользуясь
(3.20), определением (3.19) присоединенного представления и
правой инвариантностью вектора w, мы находим
ad v | = lim 4- {rf/<eXP(ev) [w L] - w I} =
e->0 6
= J'Jo exp (ev) IW U ~ w k}-
Если заменить e на —e, то последнее выражение получится та-
ким же, как в определении (1.57) производной Ли от w по v, так
что (3.21) следует из предложения 1.64. □
Замечание. В литературе обычно присоединенное отображе-
ние adv|w имеет другой знак: +[v, w]. Причина в том, что мы
выбрали в гл. 1 правоинвариантные векторные поля для опре-
деления алгебры Ли вместо более традиционных левоинвариант-
ных векторных полей. Причины такого выбора обсуждались
в упр. 1.33. В этой книге мы постоянно будем пользоваться
формулой (3.21) для инфинитезимального присоединенного дей-
ствия.
В случае когда GczGL(n)—матричная группа Ли с алгеб-
рой Ли gcgl(n), эти формулы особенно легко проверить. По-
скольку Да (В) = АВА-1, где А, В е G — матрицы размера п X п,
присоединенное отображение также задается сопряжением:
Ad А(Х) = АХА~', АеС, Хед.
Полагая А = еЕГ, У е д, и дифференцируя по е, мы получаем
adY\x = YX-XY = [X, Г],
что совпадает со скобкой на gl(n).
Пример 3.9. Пусть G = SO(3)—группа вращений в R3.
Алгебра Ли so(3) натянута на матрицы
(0 О 0\ / 0 0 1 X /0 —1 ОХ
0 0—11, 4^ = 1 0 0 0 I, Az —I 1 0 0 I,
0 1 0/ X — 1 0 0/ \0 0 0/
264
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
порождающие однопараметрические подгруппы
<1 0 ° А / cos0 0 sin 0
7?е = | 0 cos 6 — sin6 1, ^ = 1 0 1 0
<0 sin 0 COS0/ — sin 0 0 COS0
/COS0 — sin 0 0\
Rl = 1 sin 8 cos 0 °
\ 0 0 1/
вращений вокруг координатных осей против часовой стрелки.
Присоединенное действие, скажем, R$ на образующую Ау мож-
но найти, дифференцируя произведение RqR-'R’Lq по е и полагая
затем е =0; мы получаем
' 0 — sin 0 cos0\
Ad^(Ay) = [ sin 0 0 0 1 = cos 0 • Ay + sin 0 • A
< — cos 0 0 0 /
и, аналогично,
Ad /?е (Лх) = Ах, Ad Re (Аг) = - sin 6 Ау + cos 6 Аг.
Таким образом, присоединенное действие подгруппы Л?е враще-
ний вокруг оси к в физическом пространстве такое же, как и
группы вращения вокруг оси Ах в пространстве алгебры Ли
so(3). Аналогичные замечания применяются и к другим подгруп-
пам, так что если R е SO(3)—произвольная матрица вращения
в данных координатах (х, у, z) в R3, то ее присоединенное ото-
бражение Ad R, действующее на so(3)~ R3, имеет то же матрич-
ное представление R в индуцированном базисе {Ах, Ау, А2}.
(Тот факт, что присоединенное представление группы SO(3)
согласовано с ее естественным физическим представлением, слу-
чаен и не справедлив для других матричных групп Ли.) Нако-
нец, инфинитезимальные образующие присоединенного действия
получаются дифференцированием; например,
что совпадает с коммутатором
[Ау, Ах] = АХАУ — АУАХ = Аг.
Обратно, если нам известно присоединенное действие adg
алгебры Ли g на себе, мы можем построить присоединенное
представление Ad G соответствующей группы Ли, либо интегри-
3.3. Классификация решений
265
руя систему линейных обыкновенных дифференциальных урав-
нений
= ad v |w, w (0) = w0, (3.22)
с решением
w (е) = Ad (ехр (ev)) w0,
либо (возможно, это более простой способ) суммируя ряды Ли
(ср. (1.19)):
ею
Ad (ехр (ev)) w0 = £ (ad v)" (w0) =
n=0
= w0 —e[v, w0]+-^-[v, [v, w0]]—... . (3.23)
(Сходимость ряда (3.23) следует из того, что (3.22) — линейная
система обыкновенных дифференциальных уравнений, для кото-
рой (3.23) — соответствующая матричная экспонента.)
Пример 3.10. Алгебра Ли, натянутая на векторы vi = дх,
V2 = di, v3 — tdx + ди, v4 — хдх + 3tdt — 2иди, порождает группу
симметрий уравнения Кортевега — де Фриза. Чтобы вычислить
присоединенное представление, мы воспользуемся рядами Ли
(3.23). Например,
Ad (ехр (ev2)) v4 = v4 — е [v2, v4] + e2 [v2, [v2, v4]] — ... =
= v4 — 3ev2.
Таким образом мы строим таблицу
Ad V1 v2 v3 V4
V| V| Vs v3 v4 — ev! (3.24)
Vs Vi Vs v3 — BV| v4 — 3evs
V3 V1 v2 + evi v3 v4 + 2ev3
3e -26
v4 e vi e v2 e v3 V4
где на (z, /') -M месте указано Ad(exp(ev,j)v/.
Классификация подгрупп и подалгебр
Определение 3.11. Пусть G —группа Ли. Оптимальная си-
стема s-параметрических подгрупп — это список неэквивалент-
ных относительно сопряжения s-параметрических подгрупп, об-
266
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
ладающий тем свойством, что всякая другая подгруппа сопря-
жена в точности одной группе этого списка. Аналогично, список
s-параметрических подалгебр образует оптимальную систему,
если каждая s-параметрическая подалгебра алгебры g эквива-
лентна единственному члену этого списка посредством некото-
рого элемента присоединенного представления: I) = Adg(I)),
g^G.
Предложение 3.7 утверждает, что задача отыскания опти-
мальной системы подгрупп эквивалентна задаче отыскания опти-
мальной системы подалгебр, и поэтому мы сосредоточимся на
последней. К сожалению, эта задача может остаться слишком
сложной, и на этот раз инфинитезимальная техника, видимо,
не будет очень уж полезной.
Для одномерных подалгебр эта классификационная задача
в сущности то же самое, что задача классификации орбит при-
соединенного представления, поскольку каждая одномерная под-
алгебра определяется ненулевым вектором из алгебры д. Хотя
для алгебр Ли с дополнительной структурой применима некото-
рая изощренная техника, мы приступаем к этой задаче с по-
мощью наивного подхода, состоящего в том, что мы берем общий
элемент v из g и подвергаем его различным присоединенным пре-
образованиям так, чтобы «упростить» его настолько, насколько
это возможно. Приведем два иллюстративных примера.
Пример 3.12. Рассмотрим алгебру g симметрий уравнения
Кортевега — де Фриза, присоединенное представление которой
было описано в примере 3.10. Наша задача — упростить, на-
сколько возможно, коэффициенты а, данного ненулевого век-
тора
v = OiVj + a2v2 + a3v3 + a4v4
посредством разумных применений к v присоединенных отобра-
жений.
Предположим сначала, что п4#=0. Растянув, если нужно,
вектор v, мы можем считать а4 = 1. В соответствии с табли-
цей (3.24), если на такой вектор подействовать преобразова-
нием Ad (ехр (—a3v3)). мы можем сделать коэффициент при
v3 нулем:
v' = Ad (ехр ( - - j- a3v3)) v = c^v, + a'2v2 + v4,
где a', a^~ некоторые числа, зависящие от а\, а%. а3. Далее,
мы действуем на вектор v'преобразованием Ad (ехр (-|-• a2v2^ ,
3.3. Классификация решений 267
чтобы обратить в нуль коэффициент при V2. Это приводит к век-
тору v'/ = fl^v1 + v4, и, наконец, преобразование Ad (ехр (a(v,))
обращает в нуль оставшийся коэффициент, так что вектор v
эквивалентен относительно присоединенного представления век-
тору v4. Иными словами, каждая одномерная подалгебра, по-
рожденная вектором v с а4 #= 0, эквивалентна подалгебре, по-
рожденной вектором v4.
Остальные одномерные подалгебры порождаются векторами
указанного выше вида с а4 = 0. Если а3 #= 0, мы можем растя-
жением сделать а3 = 1, а затем подействовать на вектор v пре-
образованием Ad(exp(aiv2)), так что вектор v эквивалентен
вектору Vх = a'v2 + v3 для некоторого а2. Мы можем далее по-
действовать на вектор v' группой, порожденной v4; это приведет
лишь к растяжению коэффициентов при v2 и v3:
у" = Ad (ехр (ev4)) v' = a'2e3ev2 + e-2ev3.
Это скалярное кратное вектора у'" = а^е58^ + v3, так что, в за-
висимости от знака а2, мы можем сделать коэффициент при у2
равным 4-1, —1 или 0. Таким образом, всякая одномерная под-
алгебра, порожденная вектором у с а4 = 0, а3 =/= 0, эквивалентна
подалгебре, порожденной либо v3 4- v3, либо v3 — у2, либо v3.
Аналогично можно показать, что в остальных случаях (а3 =
= а4 — 0) вектор у эквивалентен либо у2 (а2#=0), либо
Vi (а2 = а3 = а4 = 0). Читатель может проверить, что даль-
нейшее упрощение невозможно.
Итак, мы нашли оптимальную систему одномерных подал-
гебр— это подалгебры, порожденные векторами
(a) v4 = хдх 4- 3/<5f — 2иди,
(bt) v34- V2 = tdx + dt + du,
(b2) v3 — v2 = tdx — dt -f- du,
(b3) y. = tdx + du, (3’25)
(c) v2 = dt,
(d) yx = dx.
Этот список можно немного сократить, если использовать ди-
скретную симметрию (х, t, —х,—t,u), которая не принад-
лежит связной компоненте единицы всей группы симметрий. Эта
симметрия отображает у3 — v2 в v3 -f- v2, и поэтому число неэк-
вивалентных подалгебр уменьшается до пяти.
268
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
Пример 3.13. Рассмотрим шестимерную алгебру g симметрий
уравнения теплопроводности (2.55), порожденную векторными
полями
V1 = 5X, v2 = df, у3 = иди, vA = хдх + 2tdt,
v5 = 2tdx — хиди, v6 = 4txdx + 4/2df — (x2 -f- 2t) udu.
(Сейчас мы игнорируем тривиальную бесконечномерную подал-
гебру, проистекающую из линейности этого уравнения.) Из таб-
лицы коммутаторов для этой алгебры мы получаем следующую
таблицу:
Ad Vi v2 v3
V1 Vi V2 v3
v2 Vi v2 V3
v3 Vi V2 V3
V4 eeV! e2ev2 V3
V5 V] — ev3 v2 + 2evi — e2v3 V3
V6 vi + 2ev5 v2 — 2ev3 + 4ev4 + 4e2v6 V3
Ad V4 V5 V6
V1 V4 — BVj V5 + ev3 v6 — 2bv5 — B2v3
v2 V4 — 2bv2 V5 — 28V, v6 — 4bv4 + 2ev3 + 4b2v2
v3 V4 v5 v6
—2e ,
V4 V4 e v5 e v6
v5 v4 + ev5 v5 V6
V6 V4 + 2EVe V5 V6
где на (i,/)-м месте стоит Ad(exp(ev/))v/.
Пусть v = Givi + a2v2 + • • • + a6ve — элемент алгебры д, ко-
торый мы попытаемся упростить, используя подходящие присо-
единенные отображения. Ключевое наблюдение здесь состоит
в том, что функция t](v) = (cz4)2 — 4а2п6 является инвариантом
полного присоединенного действия: r](Adg(v)) = tj(v), veg,
g e G. Обнаружение такого инварианта имеет важное значение,
поскольку он определяет ограничения на то, насколько мы мо-
жем надеяться упростить v. Например, если r](v)#=0, то мы не
сможем одновременно обратить в нуль п2, а4 и а6 посредством
присоединенных отображений; если rj(v)<0, то мы не сможем
сделать нулем ни а2, ни ае!
3.3. Классификация решений
269
Чтобы приступить к процедуре классификации, мы сосредо-
точимся на коэффициентах а2, ait а6 поля v. Если поле v такое,
как написано выше, то поле
~ е
v = S а/V,- = Ad (ехр (av6)) ° Ad (ехр (0v2)) v
i = l
имеет коэффициенты
a2 = a2 — 20a4 + 402Об,
a4 = 4cuz2 + (1 — 8a0) a4 — 40 (1 — 4a0) Oq, (3.26)
a6 — 4a2a2 + 2a (1 — 4a0) a4 + (1 — 4a0)2(Zg.
В зависимости от знака инварианта г] имеются три случая:
Случай 1. Если r](v)>0, то мы в качестве 0 берем один из
вещественных корней квадратного уравнения 4а602 — 2а40 +
-|- а2 = 0 и а — ae/8(0ae — 2а4) (оно всегда корректно опреде-
лено). Тогда с2 = й6 = 0, а с4 = V'n(v)vt0, так что v эквива-
лентно кратному поля v = v4 + й4v4 + c3v3 + a5v5. Действуя за-
тем присоединенными отображениями, порожденными соответ-
ственно v5 и vb мы можем добиться обращения в нуль коэффи-
циентов при v5 и V] в V. Поэтому всякий элемент с rj(v)>0
эквивалентен кратному поля v4 + av3 для некоторого с g R.
Дальнейшие упрощения невозможны.
Случай 2. Если r](v)<0, положим 0 = 0, a =—a4/4a2,
чтобы сделать с4 = 0. Действуя на v группой, порожденной v4,
мы можем сделать коэффициенты при v2 и v3 равными, так что
v эквивалентно скалярному кратному поля v = (v2 + v6) +
+ iziVi + a3v3 + C5V5. Использование далее групп, порожденных
полями Vi и Vs, показывает, что поле v пропорционально v2 +
+ v6 + av3 при некотором а е IR.
Случай 3. Если rj(v) = O, имеется два подслучая. Если не все
коэффициенты a2, a4, а6 равны нулю, то мы можем выбрать а
и 0 в (3.26), так что а2 #= 0, а с4 = а6 = 0, так что поле v экви-
валентно кратному поля v = v2 + aiVi + c3v3 + a5v5. Предполо-
жим, что c5 =/= 0. Тогда мы можем сделать коэффициенты при Vi
и v3 равными нулю, используя группы, порожденные Vi и v3,
а группа, порожденная полем v4, независимо растягивает коэф-
фициенты при v2 и V5. Таким образом, поле v эквивалентно крат-
ному либо поля v2 -|- V5, либо поля v2 — V5. Если, с другой сто-
роны, а5 = 0, то группа, порожденная полем v5, может быть ис-
пользована, чтобы привести v к вектору вида v2 + av3, cgR.
Последний оставшийся случай, для которого наши предыду-
щие упрощения излишни, возникает, когда а2 = a4 = а6 = 0.
Если at =/= 0, то с помощью групп, порожденных V5 и Уб, мы мо-
270
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
жом сделать вектор v кратным Vi. Если а\ = 0, a as #= 0, мы мо-
жем сначала подействовать любым отображением Ad (ехр (ev2)),
чтобы получить ненулевой коэффициент перед Vi и свести этот
случай к предыдущему. Остальные векторы кратны вектору v3,
на котором присоединенное представление действует триви-
ально.
Итак, оптимальная система одномерных подалгебр алгебры
симметрий уравнения теплопроводности состоит из алгебр, по-
рожденных
(а) v4 + av3, т] > 0, qeR,
(Ь) v2 + v64-av3, т) < 0, keR,
(С1) v2 — v5, t] = 0,
(с2) v2 + v5, Л == 0, (3.27)
(d) v2 + av3, T] = 0, QE R,
(е) Vi, t] = 0,
(f) v3, г] = 0.
Снова дискретная симметрия (x, t, «)’—>(—x, t, и) переводит
v2 — V5 в V2 + V5 и список уменьшается на один элемент.
Включение дополнительной бесконечномерной алгебры сим-
метрий {va = а(х, t)du}, где а — решение уравнения теплопро-
водности, не внесет существенных изменений в эту классифика-
цию. Если v 4- Na лежит в этой большей алгебре, где v =/= 0
лежит в рассмотренной шестимерной алгебре, то мы всегда мо-
жем найти поле vp = p(x, t)du, такое, что Ad(exp(vp)) (v -f-
+ va) = v. Например, если v = Vi = дх, то
X t
Р (х, /) = — а (у, t)dy — ах (0, s) ds.
о о
(Читателю следовало бы проверить, что р — решение уравне-
ния теплопроводности.) Таким образом, векторы, не эквивалент-
ные никаким векторам из шестимерной алгебры, имеют вид va.
Мы не будем пытаться классифицировать эти векторы, по-
скольку они не приводят к инвариантным относительно группы
решениям уравнения теплопроводности.
Раз мы расклассифицировали одномерные подалгебры ал-
гебры Ли, мы можем продолжить поиск оптимальных систем
для подалгебр высших размерностей. Недостаток места мешает
нам здесь продолжить изучение этой интересной задачи, так что
мы отсылаем читателя к книге Овсянникова [3; § 14.8], где из-
ложена полезная техника.
3.3. Классификация решений
271
Классификация решений, инвариантных
относительно группы
Определение 3.14. Оптимальная система инвариантных отно-
сительно s-параметрических групп решений системы дифферен-
циальных уравнений — это набор решений u = f(x), обладаю-
щий следующими свойствами:
(i) Каждое решение списка инвариантно относительно неко-
торой «-параметрической группы симметрий этой системы диф-
ференциальных уравнений.
(ii) Если u = f(x)— любое другое решение, инвариантное
относительно «-параметрической группы симметрий, то сущест-
вует такая симметрия g системы, которая отображает f в ре-
шение f = g-f из этого списка.
Предложение 3.15. Пусть G — полная группа симметрий си-
стемы А уравнений с частными производными. Пусть {Яа} —
оптимальная система s-параметрических подгрупп группы G.
Тогда набор всех Н^-инвариантных решений, где На — подгруп-
па из этой оптимальной системы, образует оптимальную систему
инвариантных относительно s-параметрических групп решений
системы А.
Доказательство немедленно следует из предложения 3.6.
Кроме того, наша предыдущая классификация подалгебр теперь
непосредственно применима к классификации инвариантных от-
носительно группы решений.
Пример 3.16. В наших предыдущих исследованиях в при-
мере 3.4 нами уже проделана вся работа, чтобы дать полный
список инвариантных решений для уравнения Кортевега — де
Фриза. В самом деле, в соответствии с нашей оптимальной си-
стемой одномерных подалгебр (3.25) полной алгебры симметрий
нам нужно только найти инвариантные относительно группы
решения для однопараметрических подгрупп, порожденных
(a) V4 — растяжениями; (b) v3v2— модифицированными пре-
образованиями Галилея; (с) V3 — преобразованиями Галилея;
(d) v2 — сдвигами по времени; (е) Vi — сдвигами в простран-
стве. Все они, кроме последнего, были найдены в примере 3.4,
к которому мы и отсылаем читателя. Решения, инвариантные
относительно сдвигов в пространстве, все являются константа-
ми, и, следовательно, тривиальным образом появляются среди
других решений. Таким образом, любое другое инвариантное
относительно группы решение уравнения Кортевега — де Фриза
можно найти, преобразуя одно из решений примера 3.4 с по-
мощью подходящего элемента этой группы.
272
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
Например, бегущие волны, соответствующие группе сим-
метрий, порожденной полем v2 + cvi = dt + cdx, можно полу-
чить из стационарных решений u—f(x), инвариантных относи-
тельно группы, порожденной полем v2 = dt. Обращаясь к
табл. (3.24), мы видим, что
Ad (ехр (cv3)) v2 = v2 + cvb
где v3 = tdx + du порождает однопараметрическую галилееву
группу симметрий уравнения Кортевега — де Фриза. В соответ-
ствии с предложением 3.6, если и = f(x)— произвольное стацио-
нарное решение, то f = exp(cv3)f будет бегущей волной, рас-
пространяющейся со скоростью с. Из (2.68) мы видим, что
Цх, t) = f(x — ct) + c,
где f(x) — произвольная эллиптическая функция, удовлетворяю-
щая условию
+ =
В частности, если
и — f0 (х) — Зс sch2 д/с х + б) — с,
а это, как может проверить читатель, — стационарное решение
уравнения Кортевега — де Фриза для любого с > 0, мы полу-
чаем односолитонное решение со скоростью с.
Пример 3.17. Наконец, рассмотрим классификацию инвари-
антных относительно группы решений уравнения теплопровод-
ности ш = ихх. Построение инвариантных относительно группы
решений для каждой из одномерных подгрупп оптимальной си-
стемы (3.27) получается тем же способом, что в примере 3.3, и
мы просто перечисляем результаты.
(a) v4 + av3 = хдх + 2(dt + 2audu.
Инвариантами являются у = х)^1 , v = t~au\ редуцированное
уравнение имеет вид vvv-\--^yvy — av = <J, а инвариантные ре-
шения — это полученные ранее функции параболического ци-
линдра
«(X. /) = Л-"“{»(20 + 1, -js'\+~kv(la+X -fe)).
(b) v2 + v6 + av3 = Mxdx + (4/2 + 1) dt — (х2 + 2/ — а) иди.
3.3. Классификация решений
273
Инвариантами являются
z/ = (4/2+ 1)-1/2х,
v = (4/2 + 1)1/4ц • ехр|(4/2 + I)-1/*2 + arctg (2/)|.
Редуцированное уравнение имеет вид
t>w + (a + Z/2)^ = °-
Инвариантные решения выражаются через функции параболи-
ческого цилиндра от чисто мнимых аргументов (Abramowitz,
Stegun [1; § 19.17] )
«(х, /) = W + (-f. ^=) +
+ *v (- Ь vsfe)} «р {т?тг - т₽о} •
(с) v2 — vs = dt — 2tdx + xudu.
Инвариантами являются
y = x-\-t2, j? = «exp(— xt--
Редуцированное уравнение — это уравнение Эйри
vyy = yv.
Решения записываются через функции Эйри
и (х, f) = {k Ai (х +t2) + k Bi (x +t2)} exp (xt + -у/3) •
Соответствующие инвариантные решения для v2 + vs получа-
ются заменой х на —х.
(d)
v2 + от3 = dt 4- аиди.
Инвариантами являются х, v = e-aZu, и редуцированное уравне-
ние Vxx = av приводит к решениям
и (х, t) —
keat ch ('у/ах + б),
kx + k,
keat cos (V—a x + б),
a > 0,
a = 0,
0.
a
Что касается двух оставшихся подалгебр, то подалгебра, по-
рожденная полем V], имеет в качестве инвариантных решений
лишь константы, а они уже появились в (d), а подалгебра, по-
рожденная полем Уз, не имеет инвариантных решений. Таким
274
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
образом, указанные решения составляют оптимальную систему
инвариантных относительно групп решений уравнения теплопро-
водности, и любое другое инвариантное относительно группы ре-
шение можно найти, преобразуя одно из этих решений с по-
мощью подходящего элемента этой группы.
Когда мы в прошлый раз столкнулись с этой задачей (при-
мер 3.3), мы определили инвариантные решения для пары под-
групп, не появившихся в оптимальной системе (3.27). В силу
общей теории эти решения можно получить из имеющихся под-
ходящими преобразованиями из группы. Например, поскольку
Ad [ехр ( — 4" cvs)] (v2 + cvi) = v2 4- 4- c2v3>
мы могли бы найти бегущие волны, преобразуя решения, инва-
риантные относительно v2 + avz, а = с2/^, с помощью преобра-
зования Галилея ехр((l/2)cv5), и на самом деле и = ke^ax+at 4-
-\-ke~^ax+at переходит в бегущую волну и = k 4- ke~c ~ci}
при а — с2/4.
3.4. ФАКТОРМНОГООБРАЗИЯ
Чтобы строго сформулировать основной метод для нахож-
дения инвариантных относительно группы решений систем диф-
ференциальных уравнений, намеченный в § 3.1, нам нужно до-
стичь лучшего понимания геометрического основания этих кон-
струкций. Понятие фактормногообразии гладкого многообразия
по регулярной группе преобразований доставит естественную
среду для всех инвариантных относительно этой группы объек-
тов. В конце концов мы увидим, как естественно на фактор-
многообразии возникает редуцированная система дифференци-
альных уравнений для инвариантных относительно этой группы
решений. Мы начинаем с общего обсуждения фактормногооб-
разий.
Пусть G — локальная группа преобразований, действующая
на гладком многообразии М. На точках многообразия М имеет-
ся индуцированное отношение эквивалентности: точки х и у
эквивалентны, если они лежат в одной орбите группы G. Пусть
М/G обозначает множество классов эквивалентности или, что
равносильно, множество орбит группы G. Проекция л: M-+M/G
ставит в соответствие каждой точке х из М ее класс эквива-
лентности л(х)е М/G, который можно отождествить с орбитой
группы G, проходящей через точку х. В частности, n(g-x) =
= л(х) для любого g^G, такого, что g-x определено. Обрат-
но, для данной точки w^M/G множество n_1{w} будет орби-
той, определяемой точкой w, реализованной как подмножество
3.4. Фактормногообразии
275
многообразия М. Факторпространство М/G обладает естествен-
ной топологией; мы требуем, чтобы проекция n[G] любого от-
крытого множества UcM была открытой в M/G.
Вообще говоря, факторпространство М/G будет исключи-
тельно сложным топологическим пространством, структуру ко-
торого понять нелегко. Однако если мы в дальнейшем потре-
буем, чтобы группа G действовала на многообразии М регу-
лярно, то мы можем наделить М/G структурой! гладкого много-
образия. Если М есть m-мерное многообразие, а группа G имеет
s-мерные орбиты, то фактормногообразие М/G будет иметь раз-
мерность т— s1). Таким образом, конструкция фактормного-
образия приводит к понижению размерности на s, т. е. на раз-
мерность орбит группы G.
Раз мы построили фактормногообразие, общее соображение
состоит в том, что всякий объект на многообразии М, инвари-
антный относительно действия группы G, будет иметь естествен-
ный эквивалент на фактормногообразии М/G меньшей размер-
ности, свойства которого полностью характеризуют исходный
объект на М. В качестве первого примера рассмотрим G-инва-
риантную функцию F; М^-Р1. Поскольку F(g-x) = F(x), если
g-x определено, функция F является постоянной вдоль орбит
группы G. Поэтому корректно определена функция F = F/G-.
M/G —такая, что F(n(x)) = F(x) при х^М. Обратно, если
F-. M/G —> Rz, то функция F: М-^-Р1, определенная формулой
F(x)=F(n(x)), х<=М, очевидно, будет G-инвариантной функ-
цией на М. Таким образом, имеется взаимно однозначное соот-
ветствие между G-инвариантными функциями на М и произ-
вольными функциями на М/G. Заметим далее, что в любой
локальной координатной карте функции, определенные на M/G,
зависят от на s меньшего числа переменных, чем их эквива-
ленты на М (просто потому, что мы понизили размерность на
s при факторизации). Таким образом, проектирование на фак-
тормногообразие приводит к понижению числа степеней сво-
боды на s — размерность орбит действия группы.
Теорема 3.18. Пусть М— гладкое т-мерное многообразие.
Предположим, что G — локальная группа преобразований, ре-
гулярно действующая на М с s-мерными орбитами. Тогда су-
ществуют гладкое (пг— s)-мерное многообразие, называемое
фактормногообразием многообразия М по группе G и обозна-
чаемое М/G, и проекция п: M^-M/G, которые обладают сле-
дующими свойствами-.
*) Оно может, однако, не быть хаусдорфовым многообразием; см. после-
дующее обсуждение.
276
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
(а) Проекция л — гладкое отображение многообразий.
(Ь) Точки х и у из М лежат в одной орбите группы G, если
и только если л(х) = тс(у).
(с) Если g— алгебра Ли инфинитезимальных образующих
действия группы G, то линейное отображение
^т(м/о\лМ
dn,: ТМ1Х
есть отображение «на» с ядром g|x = {v|x: veg}.
Доказательство. Как и выше, M/G — это просто множество
всех орбит группы G на М. Координатные карты на М/G стро-
ятся с помощью специальных локальных координатных карт
на М (по теореме Фробениуса 1.43), учитывая регулярность
группы G. Локальные координаты уа = (у1а, ..., У™) на такой
карте Ua таковы, что каждая орбита пересекает Ua не больше,
чем по одному слою Оf|Ua = {уха = сха, ..., y™~s = c™~s], при-
чем постоянные cxa, ..., c™~s единственным образом опреде-
ляют орбиту О. Соответствующая координатная карта Va на
М/G определяется как множество всех орбит, имеющих непу-
стое пересечение с U„, так что
Va = {w ^M/G-. л-1 {о;} (][/„=/= 0}.
Локальные координаты на Уа определяются координатами
у^, •••’ Уа~3 слоя; иными словами, координатное отображе-
ние %а: 17а—>-Rm~s определено так, что %а(гу) = (с^, ..., c^~s~),
когда пересекает Па в слое, заданном Уа = са’ •••
..., y™-s = c™~s. Очевидно, что проекция л: M-+M/G является
в этих координатах гладкой, поскольку л (уха.у™) = (уха, ...
• > 1/a ~S) ДЛЯ Уа е иа- Далее-
^лГ-Д-1 =( д/дуа, i=l,...,m — s,
L дУа J 1 0, i = m — s + 1, ..., m,
так что dn : TM \Уа->-Т (M/G) |л(к ) — отображение «на» с ядром,
натянутым на d/dy™~s+x, , д/ду£, а это то же самое про-
странство, которое порождается инфинитезимальными обра-
зующими алгебры Ли g группы Ли G в точке уа.
Единственное, что осталось доказать, — это то, что функции
перехода Х₽оХа' являются гладкими на пересечении ЕаП Ер
двух локальных координатных карт на М/G. Это более или
менее ясно, если соответствующие специальные координатные
карты Ua и t/p достаточно малы и пересекаются на М, но это
последнее условие не обязано выполняться. Однако здесь можно
3.4. Фактормиогообразия
277
применить довольно прямое рассуждение, основанное на связ-
ности орбит группы G, и это позволяет завершить доказатель-
ство; детали приведены в работе Palais [1]. □
Для того чтобы немного лучше разобраться, что означают
локальные координаты на фактормногообразии, рассмотрим не-
которые общие локальные координаты х = (х1, ..., хт) на М.
Из теоремы 2.17 следует, что, сужая, возможно, координатную
карту, мы можем найти полное множество функционально не-
зависимых инвариантов т)1 (х), ..., T]m-S(x), таких, что каждая
Рис. 7. Фактормногообразие R2/G2.
орбита пересекает эту карту не больше, чем по одной связной
компоненте, являющейся множеством уровня {т]1(х) = Ci, ...
..., r]m-s(х) = Cm-s}. Постоянные Ci, ..., cm_s единственным об-
разом определяют орбиту, и, следовательно, их можно выбрать
в качестве новых локальных координат на фактормногообразии
М/G, причем эти координаты согласованы с множеством спе-
циальных координат, которые использовались в доказательстве
теоремы 3.18. Таким образом, локальные координаты на фак-
тормногообразии М/G задаются полным множеством функцио-
нально независимых инвариантов действия группы-.
у1 = Г]1 (х), . . ., ym~s = (х).
Пример 3.19. Рассмотрим группу растяжений
G2: (х, у)^(Кх, №у), Л > 0.
Ее действие регулярно на M = R2\{0}, а орбиты — полупара-
болы у = kx2 при х > 0 или при х < 0, а также положительная
и отрицательная полуоси оси у. Поскольку каждая орбита
278
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
единственным образом определяется ее точкой пересечения с
единичной окружностью S1 — {х2 + у2 = 1}, мы можем отож-
дествить М/G2 с S1. Локальная координата на М/G2 задается
групповым инвариантом у/х2 для х > 0 или х < 0 или же х2/у,
если у > 0 или у <Z 0, что дает четыре пересекающиеся карты
на М/G. (Может быть, лучше выбрать в качестве координаты
на М/G многозначный «угловой» инвариант 6 = arctg(z//x2).)
Очевидно, что в этом случае нельзя найти глобальную коорди-
натную карту для всех ненулевых (х, у).
Такая же конструкция работает для произвольной двумер-
ной группы растяжений G“: (х, т/)1—№у), а > 0. «Угло-
вой» инвариант 6 = arctg(«//xa) обеспечивает отождествление
70/G“~S1. (Случай a < 0 обсуждается в упр. 3.14.)
Как отмечалось ранее, одна из технических трудностей со-
стоит в том, что фактормногообразие М/G может не удовле-
творять условию отделимости Хаусдорфа. Поэтому мы есте-
ственно приходим к рассмотрению более общего понятия много-
образия, чем обычно. Иными словами, хотя М/G всегда будет
удовлетворять требованиям (а) и (Ь) определения 1.1, на M/G
могут существовать различные точки у и у, которые нельзя
«разделить» открытыми окрестностями, т. е. если U — произ-
вольная окрестность точки у и О — произвольная окрестность
точки у, то U А О =# 0. Можно развить целую теорию много-
образий без аксиомы отделимости Хаусдорфа, и в этом случае,
как показал Пале (Palais [1]), в той же «категории» сохра-
няется конструкция фактормногообразии. Другой подход, кото-
рый чаще принимается на практике, состоит в том, что нехаус-
дорфовы «особенности» убираются с фактормногообразии M/G
тем, что мы ограничиваем наше внимание достаточно малым
открытым подмногообразием 70 исходного многообразия М, та-
ким, что M/GczM/G— открытое хаусдорфово подмногообра-
зие. Например, 70 может быть координатной картой, на кото-
рой мы строим полное множество функционально независимых
инвариантов. В этом случае 70/G будет обладать глобальными
координатами, заданными этими инвариантами, и, таким обра-
зом, это фактормногообразие может быть реализовано как от-
крытое подмножество евклидова пространства Rm~s.
Пример 3.20. Рассмотрим векторное поле v = (х2 4- у2)дх на
R2. Порожденная им однопараметрическая группа G имеет вид
(х, 7/)= ехр (ev) (х, у), где у = у и
_ _ ( У tg (гу 4- arctg (х/у)), у-£0,
* ( х/(1 — ex), У = 0.
3.4. Фактормногообразии
279
Орбиты группы G состоят из
(а) начала координат (0, 0),
(Ь) горизонтальных прямых {у = с}, с=/=0,
(с) положительной полуоси оси х {у — 0, х>0},
(d) отрицательной полуоси оси х {р = 0, х<0}.
Таким образом, группа G действует регулярно на М = R2\{0}
Фактормногообразие М/G одномерно и выглядит как экземпляр
вещественной прямой, но с двумя «бесконечно близкими» нача-
лами координат! В самом деле, единственный инвариант груп-
пы G — координата у, каждая орбита, не лежащая на оси х\
единственным образом определяется своим вертикальным сме-
щением. Таким образом, для точек из М/G, определенных гори-
зонтальными прямыми (Ь), координаты вводятся посредством
7Г
Рис. 8. Нехаусдорфово фактормногообразие.
М/С
л(х, У) — У< у=/=0, так что мы можем отождествить эту часть
фактормногообразии М/G с положительной и отрицательной
вещественными полуосями, соответствующими образам верхней
и нижней полуплоскостей соответственно при проектировании
л: M-^-M/G. Однако, на М/G должны быть две точки, отве-
чающие положительной! и отрицательной полуосям оси х в R2;
мы обозначаем их 0+ и 0- соответственно. Их нужно рассматри-
вать как два различных, но бесконечно близких начала коорди-
нат фактормногообразии М/G, которое в остальном выглядит
в точности как экземпляр вещественной прямой
M/G = {у > 0} и {у < 0} U {0J и {О-}.
Базисная окрестность «начала координат» 0+ есть в точности
U+={y. у = 0+ либо 0<1р|<б+} для некоторой константы
6+ > 0, а типичная окрестность точки 0_ — это U-= {у. y = Q_
либо 0 < | у | < 6_}, б- > 0. Очевидно, что U+ П U- =/= 0 неза-
висимо от того, каковы б+ и б_, так что точки 0+ и 0~ не удов-
летворяют условию отделимости Хаусдорфа. (Более уместный
физически пример нехаусдорфова факторпространства дают
группы растяжений G“ примера 3.19 при а < 0; см. упр. 3.14.)
280
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
Предложение 3.21. Пусть группа G регулярно действует на
многообразии М с s-мерными орбитами.
(а) Гладкая функция F: M^-Rl является G-инвариантной
тогда и только тогда, когда найдется такая гладкая функция
F = F/G-. M/G—>Rl, что F(х) = F[л(х)] для всех х^М.
(Ь) Гладкое п-мерное подмногообразие N cz М является
G-инвариантным тогда и только тогда, когда существует глад-
кое (п — s)-мерное подмногообразие N==N/GccM/G, такое,
что N = л [7V] и, следовательно, N = л-1 [N].
(с) Алгебраическое подмногообразие 9>F={x: F(x) = 0},
определенное гладкой функцией F: М — R', является G-инва-
риантным тогда и только тогда, когда найдется гладкое алге-
браическое подмногообразие = {y'F(y) = 0}, определенное
функцией F: M/G-^R1, такое, что 9^ = л (В этом случае
не обязательно F = F о л, если сама функция F не является G-ин-
вариантной.)
Это предложение — в точности глобальная переформули-
ровка теоремы 2.17 и предложения 2.18, и мы оставляем детали
читателю.
Теория размерностей
В случае групп растяжений предыдущие конструкции де-
лают простым доказательство так называемой Пи-теоремы,
являющейся основанием метода теории размерностей. В любой
физической задаче имеются определенные фундаментальные
физические величины, такие, как длина, время, масса и т. д.,
которые можно растягивать независимо друг от друга. Пусть
г1, ..., zr обозначают эти величины, так что рассматриваемая
группа осуществляет такие преобразования:
(z1, ..., zr) (TqZ1, . . ., 7rzr),
где масштабные множители X, = (Xi, ..., hr)— произвольные по-
ложительные вещественные числа. Таким образом, соответ-
ствующая группа — это в точности декартово произведение г
экземпляров мультипликативной группы R+ положительных
вещественных чисел. Кроме того, существуют определенные
производные физические величины, такие, как скорость, сила,
плотность жидкости и т. д., которые также растягиваются при
растяжении фундаментальных физических единиц. Если обо-
значить эти величины через х = (х1, ..., хт) и предположить,
что все они выражены через одни и те же фундаментальные
единицы, то действие нашей группы растяжений на эти произ-
3.4. Фактормногообразии
281
водные величины принимает вид
Л • (х1, .... хт) = (*№ .. . Vrlx’, .... ^,тл“2т • • • £rmxm),
(3.28)
где показатели а.ц, i — 1, ..., г, j = J, ..., т, предписаны фи-
зической зависимостью величин х' от фундаментальных единиц
у1. Например, если у1 обозначает длину, у2 — время и у3 — мас-
су, то изменение скорости v, равной отношению длины ко вре-
мени, и плотности р, равной отношению массы к объему (или
к кубу длины), задается формулами
Л • v = ZqZr'v, Л-р = ЛГ3А.3р.
Если некоторая величина остается неизменной при данных рас-
тяжениях, то она называется безразмерной. В первой части
Пи-теоремы утверждается, что число независимых безразмер-
ных величин определяется числом независимых инвариантов со-
ответствующего действия группы.
Вообще говоря, возникают некоторые функциональные со-
отношения вида F(x', ..., xm) = О между физическими величи-
нами. Например, для поверхностных волн в глубокой воде ско-
рость v является функцией от длины волны I и гравитацион-
ного ускорения g. (В этой простой модели мы пренебрегаем
поверхностным натяжением и другими эффектами). Такое соот-
ношение называется масштабно инвариантным, если оно не ме-
няется при изменении масштабов измерения основных величин.
Масштабно инвариантные соотношения часто имеют большое
значение в физике. Вторая часть Пи-теоремы утверждает, что
всякое такое соотношение можно выразить только через безраз-
мерные комбинации физических величин. Например, в рассмот-
ренном нами примере, если Л = (Ль Л2, Аз)—коэффициенты рас-
тяжения длины, времени и массы соответственно, то
к - (О, I, g) — (ZqZr't), kJ, kyk^g).
Очевидно, что единственная безразмерная величина здесь — это
число Фруда v2/ 1g или его степени. Таким образом, всякое мас-
штабно инвариантное соотношение, определяющее скорость вол-
ны как функцию от длины волны и гравитационного ускорения,
должно иметь вид
v = с 'X'lg.
Здесь остается определить только константу с. Теперь мы при-
ведем Пи-теорему полностью.
Теорема 3.22. Пусть г1, ..., zr — фундаментальные физические
величины, масштабы измерений которых меняются независимо-.
Пусть х1, ..., хт — производные величины, изменяю-
282
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
щиеся в соответствии с формулой (3.28), где А = (а,-,-) — неко-
торая матрица размера r^m, элементы которой — константы.
Пусть s — ранг матрицы А. Тогда существует m — s независи-
мых безразмерных «степенных произведений»
nk = (х>)₽>* (x2)₽2fe ... (xm)₽mfe, k = 1, ..., tn - s, (3.29)
обладающих тем свойством, что всякая другая безразмерная
величина может быть записана как функция от л1..........nm~s.
Если F(xl, ..., xm) = 0 — произвольное масштабно инвариант-
ное соотношение на данные производные величины, то суще-
ствует эквивалентное соотношение Р{хх, ..., хт) = 0, которое
может быть выражено только через указанные безразмерные
степенные произведения-.
F = F(n', ..., nm~s) = 0.
Доказательство. Рассмотрим положительный октант в R"1
М = {х — (х1...... х"1): х‘>0, 1=1, т}. Если G =
= R+ X • • X R+ есть г-кратное декартово произведение муль-
типликативной группы R+ на себя, то (3.28) определяет гло-
бальное действие группы G на М. Инфинитезимальные образую-
щие этого действия получаются дифференцированием (3.28) по
и подстановкой ?.i = ... = = 1. Тогда
1 . q д . tn д
V,- = ацх + а12х + • • • + а1тх
будет образующей, соответствующей i-му экземпляру R+ в G.
Размерность линейной оболочки векторов Vi, .... vr в точке
хоеМ, очевидно, такая же, как ранг матрицы A =(a,ij), а имен-
но s, следовательно, орбиты группы G s-мерны. Глобальные
инварианты для G на всем октанте М даются степенными про-
изведениями вида (3.29), если Vj(nft) = 0, i= 1, ..., г. Это вы-
полняется, если и только если показатели степени в (3.29)
удовлетворяют линейной системе
т
£Мм = °. «= 1, •••./•• (3.30)
т —• s линейно независимых решений этой системы приводят
к m — s функционально независимым степенным произведе-
ниям. Кроме того, эти степенные произведения однозначно
определяют орбиты группы G на М. В самом деле, если
лЛ (х) = nk (х) для всех k, положим xt — etixl, j = 1, ..., т. По-
казатели степени ts удовлетворяют линейной системе У = 0,
k= 1, ..., г. Поскольку мы построили базис нуль-пространства
3.4. Фактормногообразия
283
матрицы А, это верно, если и только если существуют веще-
ственные числа sb sr, такие, что Но тогда
i
х — к-х, где Kt = eSi, и, следовательно, хих лежат в одной
и той же орбите группы G. Таким образом, поскольку каждая
орбита представляет собой общее множество уровня глобаль-
ных инвариантов л1, ..., л"1-5, действие группы G автоматиче-
ски является регулярным ил1, ..., л"1-5 доставляют глобальные
координаты на фактормногообразии G/М, которое можно отож-
дествить с положительным октантом пространства Rm-S. Вторая
часть теоремы теперь непосредственно следует из ч. (с) предло-
жения 3.21. □
Пример 3.23. Предположим, что сопротивление D объекта,
помещенного в жидкость, определяется безразмерной функцией
от плотности жидкости р, скорости жидкости v, диаметра объ-
екта d и вязкости жидкости р. Обозначая через Ль Лг, Лз коэф-
фициенты растяжения длины, времени и массы соответственно,
мы получаем, что соответствующие физические величины изме-
няются следующим образом:
Л • (р, v, d, р, D) = (ЛГ3Л3р, ZqAr'f, Л^, ЛГ'ЛГ'Лзр, Л^^ЛзЛ).
(Например, сопротивление D имеет размерность длина X
X масса/(время)2 н т. д.) Матрица А в этом случае принимает
вид
(—3 11-1 IX
0—10-1-21
1 00 1 1/
и имеет ранг 3. Таким образом, имеется 5 — 3 = 2 независимых
безразмерных степенных произведения. Чтобы отыскать их, нам
нужно в соответствии с (3.30) проанализировать нуль-простран-
ство матрицы А, которое натянуто на вектор-столбцы (1, 1, 1,
— 1, 0)г, (—1, —2, —2, 0, 1)г. Они соответствуют независимым
степенным произведениям
ni~R — g • л2 — К — pv2d2 ,
первое из которых — число Рейнольдса для течения. В соответ-
ствии с Пи-теоремой масштабно инвариантное соотношение
между нашими пятью величинами должно иметь вид F(R,K) =
= 0; разрешая его относительно К, получаем, что сопротивле-
ние задается формулой D = po2f/2/i(/?), где h — функция, вид
которой нужно найти.
284
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
3.5. ПРОДОЛЖЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО
ГРУППЫ, И РЕДУКЦИЯ
В программе строгого обоснования общей процедуры по-
строения инвариантных относительно группы решений диффе-
ренциальных уравнений имеется одно основное препятствие,
которое нужно преодолеть. Вообще говоря, если система диффе-
ренциальных уравнений А определена на открытом подмноже-
стве AfczXXt/ пространства независимых и зависимых
переменных, на котором регулярно действует группа симметрий
G, то редуцированная система дифференциальных уравнений
А/G для G-инвариантных решений будет естественно опреде-
лена на фактормногообразии М/G. Трудность состоит в том, что,
хотя М/G обладает структурой гладкого многообразия, оно,
вообще говоря, не будет открытым подмножеством никакого
евклидова пространства, и поэтому наши предыдущие построе-
ния пространств струй и продолжения действия групп больше
неприменимы. На практике, однако, мы работаем в локальных
координатных картах и поэтому можем сделать более скромное
предположение, что существует рq— s функционально неза-
висимых инвариантов на М, т]‘(х, tz), ..., t]p+9-s(x, и), опреде-
ляющих глобальные координаты на фактормногообразии M/G,
которое можно поэтому рассматривать как открытое подмно-
жество евклидова пространства Рр+<?-5. Здесь s обозначает раз-
мерность орбит группы G. В этот момент появляется вторая
трудность, состоящая в том, что, вообще говоря, нет естествен-
ного способа различить, какие из инвариантов т]; будут новыми
независимыми переменными, а какие будут новыми зависимыми
переменными. Если группа G действует проектируемо, то, как
мы видели, имеется в точности р — s инвариантов, зависящих
только от х, которые и можно взять за новые независимые пе-
ременные. Оставшиеся q инвариантов становятся новыми зави-
симыми переменными. В общем случае, однако, нет способа
последовательно определить новые независимые и зависимые
переменные, и мы вынуждены произвольным образом выбирать
среди данных инвариантов р — s, назначая их на роль незави-
симых переменных, у — (у1, ..., yp~s), а остальные q — на роль
зависимых переменных, v = (г/1, ..., vq). Таким образом, мы
считаем М/G подмножеством евклидова пространства УХЕ~
~Кр-''Х5'’ и, следовательно, можем найти явный вид редуци-
рованной системы &/G, рассматривая v как функции от у. Уже
роли независимых и зависимых переменных перестают быть
ясными. Различный выбор инвариантов приведет, казалось бы,
к различным выражениям для редуцированной системы, но —
и это нужно подчеркнуть — они все будут эквивалентны отно-
3.5. Продолжения и редукция
285
сительно перемены ролей независимых и зависимых перемен-
ных, что напоминает преобразование годографа из гидроди-
намики.
Все это было бы хорошо для наших целей, если бы не еще
одна сложность. Раз мы выбрали для нашей редуцированной
системы А/G новые независимые переменные у и зависимые
переменные v, то нет никакой гарантии, что данная функция
v — h{y) будет соответствовать гладкой однозначной функции
u — f(x), и, наоборот, может оказаться, что G-инвариантные
функции и — f(x) не соответствуют гладким функциям вида
v—h(y) относительно данного выбора независимых и зависимых
переменных. Проблема в обоих случаях состоит в том, что функ-
ция на одном из пространств может привести к «функции»
с бесконечными производными или к «многозначной функции»
на другом пространстве, и причина, возможно, — в нашем искус-
ственном разделении координат на независимые и зависимые
переменные. Быть может это станет яснее, если привести для
иллюстрации пример.
Пример 3.24. Положим, р = 2, q — 1, так что M — Xy<_U
имеет координаты (х, t, и). Рассмотрим однопараметрическую
группу преобразований G: (х, t, u)v—>(х, t + е, и). Предположим,
что вместо естественных инвариантов х и и мы, чтобы задать
координаты на M/G — R2, выбрали инварианты у = х-\-и,
v = и, причем у — новая независимая, a v — новая зависимая
переменные. Всякая функция v — h(y) на M/G — УХ V будет
определять двумерное G-инвариантное подмногообразие мно-
гообразия М, заданное уравнением и = /г(х + и), но, если
h'(y)=/= это уравнение не будет определять и явно как функ-
цию от х (и /). Например, функция v = у на М/G соответствует
вертикальной плоскости {х = 0}, которая, очевидно, не яв-
ляется графиком функции и = f(x,t). С другой стороны, G-ин-
вариантная функция и = —х приводит к вертикальной прямой
у = 0, которая не является графиком функции вида u = fi(y).
Хотя этот пример несколько искусственный, такое явление мо-
жет быть неизбежным и в более сложных ситуациях.
Главная причина всех этих технических трудностей — наше
стремление различить независимые и зависимые переменные,
что становится все более непригодным в свете предыдущих рас-
суждений. Если отказаться от этого «предрассудка», то общая
конструкция редуцированной системы для инвариантных относи-
тельно группы решений становится очень естественной. Раз по-
строена основная бескоординатная конструкция, с технической
стороной, включая введение конкретных независимых и зависи-
286
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
мых переменных и на М, и на М/G, можно справиться с мини-
мумом трудностей. Поэтому мы начинаем этот параграф с бес-
координатной переформулировки нашей основной конструкции
пространства струй, на этот раз справедливой для произволь-
ных многообразий, а не только для скрытых подмножеств ев-
клидова пространства.
Расширенные расслоения струй
Начнем с более тщательного рассмотрения наших предыду-
щих построений пространства струй для AlczXXHc^RpX
X R9- Каждая точка (х0, 1фп)) е определяется производными
гладкой функции u=f(x), график которой проходит через ос-
новную точку z0 = (x0, «0)еЛ1, причем = pr(n)f (х0). Гово-
рят, что две такие функции п-эквивалентны в точке г0, если они
определяют одну и ту же точку в Л4(л) |Zo {(х, tzfn)): (х, и) = zj;
иными словами, f и f «-эквивалентны в точке (х0, «о), если их
производные в этой точке до порядка п включительно совпа-
дают:
д/Г(*о) = д#“(Хо), а=1......Я, 0 <#/<«.
С этой точки зрения пространство струй Affn)|Zo можно рассма-
тривать как множество классов «-эквивалентности на простран-
стве всех гладких функций tz = f(x), графики которых проходят
через точку zG = (х0, uG).
Таким образом, важным объектом является не функция f,
а ее график If = {(х, f(x)}, который представляет собой р-мер-
ное подмногообразие многообразия AL Однако не каждое р-мер-
ное подмногообразие многообразия М является графиком глад-
кой функции, так что не каждое р-мерное подмногообразие, про-
ходящее через точку zG^M, будет определять точку в Aff")|Zc.
Наша цель здесь —«расширить» пространство струй Alfn)|zo так,
чтобы включить эти многообразия с «вертикальными касатель-
ными». С помощью теоремы о неявной функции можно выяснить,
какие подмногообразия являются графиками гладких функций.
Предложение 3.25. р-мерное подмногообразие I'cAfc^X
X U является графиком гладкой функции u = f(x), если и толь-
ко если Г обладает следующими свойствами'.
(а) Трансверсальность. Г трансверсально пересекает верти-
кальное пространство UZl! = {(х0, и): u^U} для любой точки
zG = (хо, «о) е Г, что означает 7Т |Zo П TUZ. |zj = {0}.
3.5. Продолжения и редукция
287
(Ь) Однозначность. Г пересекает каждое вертикальное про-
странство UZ:, z0 е М, не более чем в одной точке.
Конечно, если мы сделаем замену координат на М, требуе-
мые вертикальные плоскости изменятся, так что подмногообра-
зие, которое было графиком функции в одной системе коорди-
нат, может не быть таковым в другой. Например, парабола и —
= х? является графиком функции, если xeR — независимая и
и се R—зависимая переменные, но если мы возьмем у = и в
качестве новой независимой и v = х в качестве новой зависимой
переменных, то для этой параболы будут нарушаться условие
трансверсальности в начале координат и условие однозначно-
сти для всех у > 0. Однако, если у нас имеется достаточно ма-
лое р-мерное подмногообразие Г, мы всегда можем снабдить его
локальными координатами так, что оно будет графиком функ-
ции.
Раз мы допускаем произвольные замены независимых и за-
висимых переменных, бессмысленно исключать некоторые р-мер-
ные подмногообразия только потому, что в некотором данном
множестве координат могут нарушиться условия трансверсаль-
ности или однозначности. С этой точки зрения роль функций
u=f(x) играют теперь произвольные р-мерные подмногообра-
зия Г cz М. Мы видим, что с этого момента освободились от за-
висимости от евклидовых координат (х, и), и последующие оп-
ределения будут иметь смысл для произвольных (p + q)-мер-
ных многообразий М.
Определение 3.26. Пусть Г и Г — регулярные р-мерные под-
многообразия гладкого многообразия Af. Мы говорим, что Г и Г
имеют касание п-го порядка в их общей точке ?оеГП Г, если и
только если существует локальная координатная карта W, со-
держащая z0 = (х0, «о), с координатами (х, и) = (х1, ..., хр,
и1, ..., uQ), такая, что ГП^ и Г fl W7 совпадают с графиками
гладких функций и = f(x) и и = f(x), являющихся «-эквива-
лентными в точке гс: рг<п7 (хо) = рг<”7 (Хо) .
Нетрудно видеть, что свойство иметь касание «-го порядка
в точке г0 не зависит от выбора локальных координат в точке
г0, если только оба подмногообразия трансверсальны вертикаль-
ному пространству н, следовательно, локально являются
графиками гладких функций. Очевидно, касание «-го порядка
определяет отношение эквивалентности на множестве р-мерных
подмногообразий, проходящих через точку.
288
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
Определение 3.27. Пусть М — гладкое многообразие и р —
фиксированное целое число, 0<р<сИшЛ4. Расширенное про-
странство струй Л^я,| определяется как множество классов эк-
вивалентности множества всех р-мерных подмногообразий, про-
ходящих через точку г, по отношению эквивалентности касания
п-го порядка. Расширенное расслоение струй — это объединение
всех этих пространств: Л/(я) = U М(п)|
ге.М 2‘
Если Гсз-М — произвольное р-мерное подмногообразие и
zg Г, то n-е продолжение рг(п)Г \z е Л/(я) |z — класс эквивалент-
ности, определяемый подмногообразием Г. Если Г и Г имеют ка-
сание п-го порядка в точке г0, они, очевидно, имеют касание
/г-го порядка для любого k < п, так что имеется естественная
проекция л/г: М(я) -> л* (рг(я)Г) = рг(й)Г. В частности, ~
~М. Следующий результат проясняет, в каком смысле расши-
ренное пространство струй является пополнением обычного
пространства струй (в том же смысле, в каком проективное
пространство — «пополнение» евклидова пространства).
Теорема 3.28. Если М — гладкое (р + q) -мерное многообра-
зие, то расширенное расслоение струй М(п), определяемое
р-мерными подмногообразиями, является гладким р + q (р^”)-
мерным многообразием. Если Г cz Л4 — произвольное регулярное
р-мерное подмногообразие, то его продолжение рг(п>Г является
регулярным р-мерным подмногообразием многообразия
Если М cz М — локальная координатная карта, определяющая
локальный выбор независимых и зависимых переменных (х, и),
то подпространство
ММ |2 {рг(л)Г |z: z е Г, ТТ |г П ТЕг |г = {0}},
заданное трансверсальными подмногообразиями Г, проходящи-
ми через точку г, является открытым всюду плотным подмноже-
ством расширенного пространства струй |z. Более того, объ-
единение всех таких подпространств Л?(п> изоморфно обычному
евклидову пространству струй: ~ Л? X Ui X X.Un =
= {(х, u(n>): (х, и) еЛ?}. Если Fez Л? совпадает с графиком
гладкой функции u = f (х), то при указанном отождествлении
его продолжение рг(я)Г cz 7Й(Я) cz совпадает с графиком про-
должения функции f: рг<п)Г= {(х, pr(n>f(x))}.
Таким образом, исключая особое подмногообразие У<п)|х =
== М[я) |z \ Мм Iz, состоящее из продолжений нетрансверсальных
3.5. Продолжения н редукция
289
подмногообразий, расширенное пространство струй выглядит в
точности как обычное пространство струй, обсуждавшееся в
гл. 2. Доказательство этой теоремы не составляет труда; иллю-
стративный пример должен показать, как можно восстановить
детали в общем случае.
Пример 3.29. Пусть М cz R2 открыто, и пусть р = 1, так что
мы рассматриваем одномерные подмногообразия (кривые) в М.
Две кривые задают одну и ту же точку в M^n,| , если и только
если в некоторых локальных координатах вблизи точки z0 =
= (х0, Уо) они задаются как графики функций u = f(x), и =
= f(x) с одинаковыми производными в точке х0 до порядка п
включительно:
«о = f (х0) = F (х0), f' (х0) = f' (х0), .. ., (х0) = (х0).
Тогда в случае п — 1 кривые Г и Г имеют в точке zo касание
первого порядка, если и только если они касаются в точке г0.
Таким образом, |го задается множеством всех касательных
к кривым, проходящим через точку z0. Поскольку каждая та-
кая прямая определяется углом В, который она составляет с го-
ризонталью, меняющимся от 6 = 0 до В = л, мы можем отожде-
ствить ] с окружностью S1, где «угловая» координата удо-
влетворяет условию 0 6 < л. Топологически тогда М(1> ~М X
X S1. Выбирая координаты (х, и) на М, мы получаем, что ев-
клидово пространство струй Л4(1) | является подмножеством
пространства заданным теми кривыми, касательные к ко-
торым не вертикальны, т. е. 6=# л/2. Мы можем отождествить
это подмножество с обычным пространством струй {(х, и, их)},
полагая их = tg В.
Обращаясь к случаю п = 2, мы видим, что две кривые Г и
Г имеют касание второго порядка в точке г0, если и только если
они соприкасаются в точке г0, т. е. имеют там одну и ту же ка-
сательную и одинаковую кривизну. Таким образом, M*2)|Zo мож-
но отождествить с множеством всех окружностей положитель-
ного радиуса, проходящих через точку го, включая вырожден-
ные прямые. Я утверждаю, что это пространство топологически
эквивалентно листу Мёбиуса! Естественное проектирование
JTj: s.
ставит в соответствие общую касатель-
ную каждой паре соприкасающихся кривых, так что прообраз
точки Ое S1 (т. е. касательной, проходящей через точку г0)
изоморфен R; дополнительная координата указывает кривизну
кривой, имеющей данное направление касательной. Таким обра-
Ю П. Олвер
290
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
зом, локально ЛГ*2)|2о выглядит как декартово произведение дуги
S1 на R. Однако если мы фиксируем кривизну, а 0 будет воз-
растать от 0 до л, то по существу мы повернем данную кривую
на угол л. В результате получится кривая с той же касатель-
ной, но кривизна ее изменит знак! Таким образом, когда мы об-
ходим окружность S1, экземпляр R над каждой точкой повора-
чивается один раз, и мы получаем лист Мёбиуса. В локальных
Рис. 9. Расширенное пространство струй М» для Мс R.
координатах (х, и) открытое всюду плотное подмножество
Л4(2) |2о с: | получается разрезанием листа вдоль линии 6 =
= л/2. Получаемое в результате подмножество изоморфно дву-
мерной ПЛОСКОСТИ U\ X U2 = {(«х, Uxx)}-
Дальнейшие результаты о структуре расширенного простран-
ства струй приводятся в упражнениях.
Дифференциальные уравнения
Определение 3.30. Пусть М — гладкое многообразие с расши-
ренным расслоением струй Л^п>, заданным р-мерными подмного-
образиями. Система дифференциальных уравнений над М опре-
деляется замкнутым алгебраическим подмногообразием .9л
cz Решение системы — это р-мерное подмногообразие Г,
продолжение которого целиком лежит внутри упомянутого вы-
ше алгебраического подмногообразия: рг(п)Г с:
Если выбрать локальную координатную карту М cz М и со-
средоточить внимание на подмножестве М<п> cz М^\ то мы при-
дем к нашему первоначальному понятию системы дифферен-
циальных уравнений: .9Х = П = {(х, и(п}): Л(х, и<Г!>) = 0}
для некоторого множества гладких функций Д: Под-
3.5. Продолжения и редукция
291
многообразие Г, являющееся графиком гладкой функции и —
— f(x), будет решением в указанном смысле, если и только
если соответствующая функция f — решение в традиционном
смысле: Д(х, pr<">f(x)) = 0. В дополнение мы предполагаем
возможность и многозначных решений, и решений с вертикаль-
ными касательными (бесконечными производными), рассматри-
вая их в некотором смысле как «пределы» классических реше-
ний. Всякая «традиционная» система дифференциальных урав-
нений, определенная на открытом подмножестве М евклидова
пространства X X всегда может быть превращена в такую
«расширенную» систему — нужно взять замыкание ее алгебраи-
ческого подмногообразия в М™: =
Пример 3.31. Рассмотрим нелинейное волновое уравнение
щ + иих = 0. Здесь основное пространство М ~ R2 X R с коор-
динатами (х, t, и), а уравнение определяет алгебраическое под-
многообразие в пространстве 1-струй Af(’>~R5 с координатами
(х, t; и; их, ut). Расширенное пространство струй как и
в предыдущем примере, эквивалентно множеству всех плоско-
стей, проходящих через точку z = (х, t, и). Каждая плоскость
единственным образом определяется своим направлением нор-
мали п = (А, р, v), а два ненулевых вектора нормали п, п опре-
деляют одну и ту же плоскость, если и только если они являют-
ся скалярными кратными: Х = хХ, ц = хр, v~xv. Величины [X.,
р, v], отвечающие вектору нормали, доставляют, таким образом,
«однородные» координаты на Af^[z (которое изоморфно RP2).
Функция и = f(x, t) определяет двумерное подмногообразие
Гг с нормалью п=(—fx, —ft, 1), так что Х = —fx, р~—ft,
v = 1 образуют множество однородных координат для рг(’>Г\.
Подмногообразие более общего вида Г= {F(x,t,u) = 0} имеет
нормаль n = XF, и, следовательно, в наших координатах рг(,)Г=
= {(х, t; и-, [Fx, Ft, FJ)}. В частности, Г и Tf имеют одну и ту
же касательную плоскость, если и только если их однородные
координаты эквивалентны: Fx = —nfx, Ft — —-/.ft, Fu — -/., от-
куда мы выводим известные формулы их = —FXIFU, ut =
= —Ft/Fu. Следовательно, является открытым подмно-
жеством пространства Af^’lz, где третья однородная координата
v не обращается в нуль, и в этом случае их — —k/v, ut = —\i/v.
Если мы подставим эти выражения в исходное уравнение, мы
получим явную формулу для расширенного подмногообразия
= {(X, /; и; [X, р, v]): X + up = 0}.
Решением тогда будет двумерное подмногообразие Г= {F(x, t,
и) —0}, такое, что prfl) Г cz ^д. Это означает, что dtF udxF —
10*
292
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
= 0 (ДЕ #=0). Это уравнение теперь можно решить непосред-
ственно методом характеристик § 2.1. Мы получим общее
решение F = F(x — tu, и). Иначе, мы можем использовать пре-
образование типа годографа и выбрать новые независимые пе-
ременные t и и и новую зависимую переменную х. Заметим, что
xt = —р/%, хи = —vfK так что в координатах (t, и\ х; xt, хи) на
Aff* уравнение принимает вид xt = и, а это уравнение элементар-
но решается: х = tu -F h(u), где h — произвольная функция от и.
Заметим, что, хотя такой выбор координат приводит к глобаль-
но определенным решениям, в исходных координатах (х, F, и)
решения могут стать многозначными, что приводит к известному
явлению разрушения волн. (В нашей теперешней интерпретации
эти многозначные функции остаются решениями, тогда как в
физических приложениях нужно заменить их решениями, содер-
жащими ударные волны.)
Действия групп
Если g: ММ— произвольный диффеоморфизм иГсМ —
некоторое р-мерное подмногообразие, то g-r={g-x: zeI’}
также является р-мерным многообразием. Кроме того, g сохра-
няет отношение эквивалентности касания п-го порядка, так что
имеется индуцированный диффеоморфизм pr<n)g расширенного
пространства струй
pHn’g (рг(п,Г |2) = pr<”> (g • Г) |g.z, ze Г. (3.31)
Таким образом, для всякой локальной группы преобразований
G, действующей на М, имеется индуцированное действие п-го
продолжения pr(n>G на М^\ В произвольной локальной коорди-
натной карте М с М это действие совпадает с нашим преды-
дущим понятием продолжения на соответствующее евклидово
пространство струй с М^. Особенно подчеркнем, что, по-
скольку всякое р-мерное подмногообразие, трансверсально оно
или нет, рассматривается теперь как график «функции», мы не
беспокоимся больше об областях определения продолженного
действия группы; если g определен на Mg, то pr<n)g определен
на всем В частности, если G— глобальная группа преобра-
зований, ее продолжение на М™ остается глобальной группой
преобразований. (Ср. это с примером 2.26.)
Если v — векторное поле на М, его продолжение pr<">v яв-
ляется векторным полем на М<"\ которое порождает продолже-
ние pr<"> [ехр (ev) ] однопараметрической группы, порожденной
полем V. Поскольку это согласуется с обычным продолжением
3.5. Продолжения и редукция 293
на любой координатной карте М с М, мы немедленно заклю-
чаем, что формула для pr<">v такая же, как в теореме 2.36 на
подпространстве с (Заметим, что из этого замечания
мы выводим инвариантность (2.38) относительно произвольных
замен независимых и зависимых переменных!)
Локально разрешимая система дифференциальных уравне-
ний ‘Тд с Af*n) инвариантна относительно действия группы G,
если и только если pr<n>G сохраняет <?д, т. е. рг(п)^[^д] с?!
Соответствующий инфинитезимальный критерий состоит в том,
что pr<n>v касается ^д, если v — инфинитезимальная образую-
щая группы G. В локальных координатах на At с М это приво-
дит к нашему обычному инфинитезимальному критерию инва-
риантности (2.25), который является и необходимым, и доста-
точным, когда = 5*1 f] Af(n) и локально разрешимо, и имеет
максимальный ранг, а полное подмногообразие cz в
точности является замыканием ^д. (Иначе можно было бы про-
верить инвариантность в другой системе координат.) Таким об-
разом, теория групп симметрий систем дифференциальных урав-
нений на расширенном расслоении струй ни в каком существен-
ном аспекте не отличается от нашей предыдущей теории групп
симметрий дифференциальных уравнений и на самом деле сво-
дится к ней, как только на М вводятся локальные координаты.
Инвариантное пространство струй
Ключом к геометрическому пониманию конструкции реше-
ний, инвариантных относительно группы, является выяснение
структуры соответствующих подмножеств пространства струй.
Предположим, что группа G действует на гладком многообра-
зии М, на котором задана некоторая система дифференциаль-
ных уравнений ^д. G-инвариантные решения этой системы бу-
дут некоторыми р-мерными подмногообразиями Г с М, отвечаю-
щими графикам функций в локальных координатных картах,
являющимися локально инвариантными относительно Действия
группы G. Вообще говоря, эти G-инвариантные подмногообра-
зия будут заполнять не все пространство струй Л^п), а только
некоторое подпространство Z"’ = 7*n) (G), называемое инвариант-
ным пространством группы G. Оно определяется как
| = : существует локально G-инвариантное
р-мерное подмногообразие Г, проходящее через точку г0,
с продолжением z(0R) = рг(п,Г J.
294
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
В большинстве практически интересных случаев М — открытое
подмножество некоторого фиксированного евклидова простран-
ства, а Л1(п) cz — обычное пространство струй. Соответствую-
щее инвариантное пространство fn> = f] М(п), которое опреде-
ляется продолжениями G-инвариантных функций u = f(x),
имеет вид
k~{(xo> Mon)) е М<п)-. существует локально G-инвариантная
функция, определенная в окрестности точки х0,
такая, что и(оп) = pr(n)f (х0)}.
Для практических целей больше подходит пространство 7<п) — с
ним легче работать, тогда как его расширение выдвигается
на первый план в теоретических доказательствах.
Пример 3.32. Рассмотрим случай р~2, q—1, так что X
имеет координаты (х, t), a U — одну зависимую переменную и.
Пусть G — группа сдвигов (х, t\ и) (х + е, t; и) с инфините-
зимальной образующей д)дх. Функция y = f(x,t) является
G-инвариантной, если и только если f не зависит от х. Таким
образом,
= f, и; их, щ): их~0},
поскольку в каждой точке их = df/dx обращается в нуль, тогда
как ut = df/dt может быть выбрано произвольно. Аналогично,
7^ = {(х, t\ и; их, up, ихх, uxf, Uf/). их = ихх == uXf = 0}
и т. д. В качестве полезного упражнения в этот момент чита-
телю рекомендуется найти /(1) и 7<2) в случае группы вращений
G=SO(2) с инфинитезимальной образующей —tdx-\-xdt.
В теореме 3.38 мы дадим явную характеризацию инвариант-
ного пространства в общем случае. Однако мы можем уже до-
казать большинство важных свойств этого пространства, даже
не имея точной формулы.
Предложение 3.33. Пусть М — глабкое многообразие и G —
локальная группа преобразований, действующая на М. Тогда
инвариантное пространство струи cz , отвечающее группе
G, инвариантно относительно бействия pr<n)G на М^'.
pr(«)g<= 7ln), ge G.
Доказательство. Пусть z(on) — точка в /'п) | , так что по опре-
делению существует локально G-инвариантное р-мерное подмно-
3.5. Продолжения и редукция
295
гообразие Г, проходящее через точку z0, такое, что рг<п) Г | —
= zon>. Если g — произвольный элемент группы G, такой, что оп-
ределено g-za — Zo, то преобразованное подмногообразие Г =
= £-Г= {g-z: zeF, g-z определено} также является локально
G-инвариантным. (Почему?) Таким образом, в силу (3.31)
pr(n)g (z’")) = [pr(nT |J = prWf |.o.
Оно, будучи продолжением локально G-инвариантного подмного-
образия, лежит в 7*п)|-о. Это завершает доказательство. (То же
доказательство, очевидно, работает и в случае обычного инва-
риантного пространства /<"> cz Л4<п).) □
Связь с фактормногообразием
Поскольку инвариантное пространство струй 7*п) для-дей-
ствия группы само является инвариантным относительно про-
долженного действия группы pr(n)G , мы можем определить
факторпространство Z^/pr^’G, сжимая орбиты продолжения
pr(n)G в /1"’ в точки. В случае когда G действует на многообра-
зии М регулярно, это «продолженное фактормногообразие» мо-
жно отождествить с пространством «-струй соответствующего
фактормногообразия MfG. Этот результат, и формулировка, и
доказательство которого становятся элементарными на языке
расширенных расслоений струй (но заметно усложняются, если
мы останемся в обычном пространстве струй, как будет видно
впоследствии), немедленно приводит к редуцированной системе
дифференциальных уравнений для G-инвариантных решений.
Предложение 3.34. Пусть G — локальная группа преобразо-
ваний, действующая регулярно на (р + q) -мерном многообразии
М с s-мерными орбитами, s^.p. Пусть M/G— соответствующее
(р q — s) -мерное фактормногообразие. Пусть М™ — расширен-
ное пространство п-струй, порожденное р-мерными подмногооб-
разиями многообразия М, и cz Л4^п) — соответствующее инва-
риантное пространство, порожденное G-инвариантными р-мерны-
ми подмногообразиями. Тогда имеется естественная проекция
л(п>. /">на расширенное пространство п-струй, соот-
ветствующее (р — s) -мерным подмногообразиям фактормногооб-
разия MfG, обладающая следующими свойствами:
(а) Если z^M имеет образ л(г) = w^M/G, где л: М-»-
M/G — естественная проекция, то
л(п): 7'”’ \z -> (М/G)™ |ю
— диффеоморфизм.
296
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
(Ь) Если Г cz М — произвольное G-инвариантное р-мерное
подмногообразие с образом Г/G = л [Г] с: М/G, то
[рг<>Г IJ = рг(") (Г/G) |ш (3.32)
для любого геГ с образом w = л (?) е Г/G.
(с) Две точки z^ и zw из имеют один и тот же образ в
(M/G/"} при отображении л<п), если и только если они лежат в
одной и той же орбите продолжения pr<n)G. Таким образом,
/‘”7pr(n)G ~ (Af/G)(">,
причем л(п) совпадает с естественной проекцией.
Доказательство. Почти все эти свойства непосредственно
вытекают из соответствия между G-инвариантными р-мерными
подмногообразиями многообразия М и общими (р s)-мерны-
ми подмногообразиями фактормногообразия М/G, описанного в
предложении 3.21, а также из следующей леммы.
Лемма 3.35. Пусть Г и Г — локально G-инвариантные под-
многообразия многообразия М с образами Г/G и Г/G в M/G.
Тогда Г и Г имеют касание п-го порядка в точке z0 е М, если
и только если Г/G и Г/G имеют касание п-го порядка в точке
wo = л:(го) е M/G.
Доказательство. Выберем плоские локальные координаты
(t,y, п) — (Г, ..., ts, у1, ..., yp~s, vl, ..., vq) вблизи точки г° =
= (io, Уо, Vo), так что орбиты группы G будут слоями {у = с,
v = с}, а Г и Г — графиками функций v = f(y, t), v = f(y, t)
соответственно. G-инвариантность Г и Г влечет за собой незави-
симость f и / от t. Кроме того, в соответствующих локальных
координатах (у, v) на М/G подмногообразия Г/G и Г/G за-
даются теми же формулами v — f(y) и v = f (у) соответствен-
но. Таким образом, эта лемма тривиальна: касание п-го порядка
между Г и Г означает, что производные до порядка п включи-
тельно от f и f по у и t совпадают в точке (уй, to). Но производ-
ные по t все тождественно равны нулю, так что это, очевидно,
эквивалентно требованию, что производные от / и f по у до по-
рядка п включительно совпадают в точке у0, а это то же самое,
что сказать, что Г/G и Г/G имеют касание п-го порядка в точ-
ке уо. □
Чтобы доказать предложение 3.34, мы определяем отображе-
ние л(п), пользуясь формулой (3.32). Как утверждает лемма, это
отображение определено корректно. Часть (а) следует из соот-
3.5. Продолжения и редукция
297
ветствия между G-инвариантными подмногообразиями многооб-
разия М и их образами в M/G. Чтобы доказать ч. (с), предпо-
ложим, что Г и Г — локально G-инвариантные подмногообра-
зия, представляющие z(n) = pr(n) Г |z и z(n) = рг(п) Г |я (2). Образы
(z<n)) = рг(п) (Г/G) |я (г) и л(п) (z(n)) = рг(п) (Г/G) |я (г) совпадают,
если и только если Г/G и Г/G имеют касание п-го порядка в
точке w — jt(z) = n(z). Мы заключаем, что гиг лежат в од-
ной и той же орбите группы G в М; поэтому в силу предложе-
ния 1.24 существуют элементы gi, ..., G, такие, что г =
= gi-g2- -gk-z. Пусть г* = £1- ... -£*-Г. Тогда Г* проходит
через точку г и имеет ту же проекцию I'*/G = Г/G, что и Г. По
лемме 3.35 Г* и Г имеют касание п-го порядка в точке г. По-
этому
z(n) = рг<">Г |г = рг(п)Г* |2 = рг<”> [£i g2 • ... • gk Г] |г =
= pr(n)£i • рг(п)£2 • • • • • рг(п)£* (рг(п)Г |г) =
= рг<")£1- ... • рг<”>£й (£<”>),
так что z(n) и z(n) лежат в одной и той же орбите продолжения
pr(">G. □
Редуцированное уравнение
Пусть <= соответствует системе А уравнений с част-
ными производными, допускающей группу симметрий G. Если
Г — график G-инвариантного решения системы А, то его продол-
жение рг(п>Г не только является подмногообразием в оно
обязано также лежать в инвариантном пространстве Зна-
чит, чтобы найти такие решения, нужно рассмотреть пересече-
ние П этих двух подмногообразий, инвариантность кото-
рого относительно продолжения pr{n)G гарантируется предложе-
нием 3.33. Используя проекцию из предложения 3.34, мы
придем тогда к редуцированной системе = л(п) kind
Теперь легко сформулировать и доказать основную теорему
о построении инвариантных относительно группы решений.
Теорема 3.36. Пусть G — группа симметрий системы диффе-
ренциальных уравнений с=Тогда р-мерное многообра-
зие Г <= М является G-инвариантным решением, если и только
если соответствующее {р — s) -мерное подмногообразие Г/G cz
cz M/G является решением редуцированной системы
&/о = л(п) Л <= (M/G)™.
298
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
Доказательство. Если Г — такое решение, то его продолже-
ние pr<n>r лежит в пересечении ^’дЛЛ">- Тогда в силу предло-
жения 3.34 л(п) [рг<п)Г] = рг(п) (Г/G) лежит в ^д/g, а следова-
тельно, Г/G— решение редуцированной системы. Для доказа-
тельства обратного утверждения заметим сначала, что в силу
предложения 3.33 пересечение £’дЛЛП) является рг<п)С-инвари-
антным; следовательно, если г(п) е обладает проекцией
л(п)(г(п)) <= З^ыа, то z(n) е Л (В самом деле, мы можем
найти точку z(n) е £?д f) лежащую в той же орбите продол-
жения pr<n)G.) Поэтому, если Г/G является решением редуциро-
ванной системы и Г = л-1 (Г/G) — соответствующее G-инвари-
антное подмногообразие многообразия М, то в силу (3.32)
рг(п) Г с П поскольку л(п) [рг(п) Г ] = рг(п) (Г/G) с= ^‘д/0. Та-
ким образом, Г — решение. □
Локальные координаты
Теорема 3.36 дала строгое обоснование общего метода по-
строения инвариантных относительно группы решений. Ее почти
тривиальное доказательство — хорошая иллюстрация мощи ма-
тематической абстракции в упрощении и в то же время обобще-
нии, казалось бы, сложных построений. С другой стороны, с
более физической точки зрения, такое представление совершен-
но не конкретно, так что мы вынуждены перенести абстрактные
конструкции пространства струй обратно на землю, а это озна-
чает ввести снова локальные координаты. Итак, пусть (х, и) =
= (х1, ..., хр, и1, ..., и4) — локальные координаты на многооб-
разии М, которое мы снова можем рассматривать как открытое
подмножество евклидова пространства XXG, с пространством
струй Af(n) с ,М^.
Если G — локальная группа преобразований, действующая
на М, то инвариантное пространство 7<n) с Af(n) отличается от
* CZ /И* в точно-
сти на образы нетрансверсальных G-инвариантных подмногооб-
разий Г. В частности, /(0) с М состоит из всех точек z0= (хо, и0),
таких, что существует по крайней мере одна локально G-инвари-
антная функция tz = f(x), график которой проходит через точ-
ку z0. Заметим, что, тогда как имеет место равенство /0) = Л1
(при условии, что размерность s орбит группы G не превосхо-
дит р), 7<0) не обязательно совпадает с М. Например, в случае
группы G = SO (2), действующей как группа вращений на
X X U ~ R2, локально G-инвариантными функциями являются
3.5. Продолжения и редукция
299
и = ± Vc2 — х2, графики которых — полуокружности. Но таких
графиков, проходящих через точки оси х, нет, так что 7(0) =
— {(х, и): и У= 0} строго содержится в М = X X G. Вообще
говоря, вне /<0) вообще нет G-инвариантных функций, так что
мы можем ограничиться множеством 7(0) и с этих пор считать,
что М = /<°>, — это означает, что через каждую точку из М про-
ходит график некоторой G-инвариантной функции u = f(x).
В случае регулярного действия группы имеется простая явная
характеризация этого требования.
Предложение 3.37. Пусть группа G действует регулярно на
McziX'XU. Тогда г0 е Л1 лежит в /<°>, если и только если
орбита группы G, проходящая через точку го, трансверсальна
вертикальному пространству U Zo. В этом случае говорят, что
группа G действует трансверсально в точке г0.
Доказательство. Необходимость трансверсальности очевидна,
поскольку если Г локально G-инвариантно, то Г содержит от-
носительно открытое подмножество W Г] 0 орбиты 0, проходя-
щей через точку г0, и поэтому трансверсальность подмногообра-
зия Г влечет за собой трансверсальность орбиты 0. Чтобы до-
казать достаточность, заметим, что по определению группа G
действует трансверсально в точке г0, если и только если
91гсПП7г.|го = {О}, (3.33)
поскольку g |Zo является касательным пространством к орбите,
проходящей через точку г0. Пусть ш0=л(г0)—образ этой точ-
ки в MfG. Из теоремы 3.18 вытекает, что rfn [TUZc |ZJ = TU* |
является ^-мерным подпространством пространства Т (М/G) | .
Пусть Г—произвольное (р— s)-мерное подмногообразие,
трансверсальное этому подпространству. Это означает, что
ГГ 1^П TU* |№о= {0}. Тогда легко видеть, что Г — л-1(Г) яв-
ляется G-инвариантным р-мерным подмногообразием многооб-
разия М, проходящим через точку г0, трансверсально Uzt. Сле-
довательно, г0 е 7<°>. □
В локальных координатах, если алгебра Ли g натянута на
векторные поля
vfe = Е Ц(*, и)dxi + Е Фа(*. и)ди(1, k=\, г,
i а
то (3.33) равносильно условию, что ранг матрицы размера р\г
с элементами 11 (х, и) равен в точности размерности s орбиты
300
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
(в точке г0 = (х0, «о)):
rank (Ц (х0, u0)) = rank (Ц (х0, w0), <р* (х0, u0)) = s. (3.34)
Например, действие группы SO(2) на R2 порождено полем
—идх + хди. Имеем s = rank(—и, х) = 1 при (х, и) #= (0, 0),
тогда как гапк(—и) = 1, кроме и = 0. Таким образом, группа
SO (2) действует трансверсально всюду, кроме оси х, что согла-
суется с нашими вычислениями, проделанными ранее.
Это проясняет связь между трансверсальностью и существо-
ванием G-инвариантных функций, по меньшей мере на локаль-
ном уровне. Вопрос о существовании глобально определенных
G-инвариантных функций значительно более тонок, и существо-
вание таких функций не следует даже из выполнения условия
локальной трансверсальности всюду. Для примера см. упр. 3.15.
С этого момента мы считаем, что группа G действует транс-
версально всюду, так что /<0) = М. Тогда инвариантное про-
странство 7(п) можно явно описать через инфинитезимальные об-
разующие группы G.
Теорема 3.38. Пусть группа Г действует регулярно и транс-
версально на МаХУ U. Пусть
р ч
vfe=£^«)^ + £q№«)^r. ь = 1................г,
£ = 1 <1=1
— базис инфинитезимальных образующих. Тогда п-е инвариант-
ное пространство /<п) с Л4(п) определяется равенствами
/("> = {(х, u(n)): DjQk(x, и^) = 0, k = 1, ..., г, а — 1, ... q,
1},
где Qa = q>a — Л ~ характеристики векторных полей v*.
(См. (2.48).)
Доказательство. Мы наметим доказательство для п — 1,
когда /(1) — общее множество нулей характеристик Qa(x, u(1)).
Распространение этого доказательства на случай произволь-
ного п мы оставляем читателю. Если и = f(x) есть G-инвари-
антная функция, то для а = 1, .... <7 равенства
р
o-v.G/'-rwW-IX-S
. , иЛ,
1 — 1
должны выполняться для u = f(x). Справа, таким образом,
стоят Qa(x, pr(l)f(x)). Поскольку каждая точка в /(1) опреде-
3.5. Продолжения и редукция
301
ляется первым продолжением такой G-инвариантной функции,
мы заключаем, что 7(1) содержится в множестве, где Qa = 0 для
всех a, k. Эта часть справедлива для какого бы то ни было
действия группы.
Для доказательства обратного мы должны воспользоваться
ограничениями на действие группы. Самый простой путь сде-
лать это— ввести специальные локальные координаты (у, v) =
= (у1, ур, Г1, ..., vQ), в которых орбиты группы G яв-
ляются слоями {г/1 = Ci, ..., yp~s = Cp-s, vl = ct, ...,
и, следовательно, в каждой точке (уо, v0) пространство инфини-
тезимальных образующих 9lteo>0o) порождается касательными
векторами д!дур—-+\ . .., д)дур. В этом случае обращение в
нуль всех характеристик эквивалентно условиям dva/dyk — 0
для всех a = 1, ..., q, k = p — s+1, ..., p. Каждой точке
(г/о. го 0 е Л1(1’, удовлетворяющей этим уравнениям, легко по-
ставить в соответствие функцию v = h(y), такую, что Го> =
= рг(1,/г(у0) (например, h может быть константой!), и, следова-
тельно, справедливо обратное включение, что и доказывает
теорему.
Однако при такой замене координат придется иметь дело с
двумя техническими моментами. Первый состоит в том, что за-
мена координат не меняет характеристик или, более точно, не
меняет их общего множества нулей. Это следует из общей фор-
мулы упр. 3.21 для поведения характеристик при заменах пере-
менных. Другой момент состоит в том, что график функции
u — f(x), выраженный в координатах (у, v), может перестать
быть трансверсальным вертикальному г-пространству и, следо-
вательно, перестать быть графиком корректно определенной
функции v = h(y). Это, однако, легко исправить с помощью
линейной треугольной замены переменных у — у + Lv, v = v,
где L — некоторая постоянная матрица размера рУ\У. Коорди-
наты (у, г) остаются плоскими, а матрицу L всегда можно вы-
брать так, чтобы график функции u = f(x) снова был трансвер-
салей вертикальному пространству. □
Пример 3.39. В случае группы вращений SO(2) инфинитези-
мальной образующей будет v = —идх + хди, а характеристикой
Q = х + иих. Первое инвариантное пространство в точке (х, и)
при и =/= 0— это, таким образом, 7(,) = {(х, и, их)-. х + иих=0}.
Заметим, что даже если и = 0, Q не обращается в нуль при
х =/= 0, так что 7(,) описывается как множество нулей характе-
ристики всюду, кроме начала координат х = и = 0. Однако
там Д!) остается пустым, но Q = 0 для всех их, так что регу-
лярность действия группы существенна для справедливости тео-
302
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
ремы 3.38. Инвариантные пространства высших порядков стро-
ятся дифференцированием, так что при и =/= 0
/<2) = {(х, и, их, ихх): х + иих = 0,1+ иихх + их = 0}
и т. д.
Чтобы перейти к фактормногообразию, мы сделаем дальней-
шее предположение, что существуют р + q — s глобально опре-
деленных функционально независимых инвариантов группы G
на М, которые мы разделяем на новые независимые переменные
у1 = т]‘(х, и), 1=1, ..., р — s, и новые зависимые переменные
va = £a(x, и), а = 1, ..., q. (Это всегда можно сделать даль-
нейшим сужением области М.) Эти новые переменные дают гло-
бальные координаты на фактормногообразии M/G, которое мы
можем поэтому рассматривать как открытое подмножество
(рq — 5)-мерного евклидова пространства Y X V-
Как мы видели в предложении 3.34, проекция л(п) задает
диффеоморфизм между всем инвариантным пространством
ЛП)1го в точке zoe М и всем расширенным пространством струй
(M/G)<"}Ц в образе этой точки w0 = n(z0) е MIG. Однако при
введении локальных координат и на М, и на М/G мы должны
наложить требования трансверсальности на соответствующие
подмногообразия, чтобы гарантировать, что локально они будут
выглядеть как графики гладких функций. В результате основ-
ное соответствие между инвариантным пространством и
обычным пространством струй (Af/G)(")|a)o теряет большую часть
своей изначальной простоты из расширенного варианта теоре-
мы 3.36.
Пример 3.24 показывает, как графики гладких G-инвариант-
ных функций могут проектироваться на нетрансверсальные под-
многообразия в MJG или, наоборот, гладкие функции на M/G
могут соответствовать нетрансверсальным G-инвариантным под-
многообразиям в М. Поэтому чтобы сохранить основное соот-
ветствие, мы должны исключить эти патологические случаи и
сосредоточиться на тех G-инвариантных функциях на М, кото-
рые соответствуют гладким функциям на М/G и наоборот. По-
дробнее, инвариантное пространство 7(п)
жениями G-инвариантных функций и = f(x), отличается от рас-
ширенного инвариантного пространства
в «вертикальном»
Пусть (r/G),n,|„,o^n'
Zc, заметаемое продол-
Zo только на точки
подмногообразии F(n) zo = Л1*п) |z° \ Л!*"* |^.
-его образ в (Л4/с),"); точ-
3.5. Продолжения и редукция
303
ка в нем представляет продолжение подмногообразия в MfC, про-
ходящего через точку ау0 и не соответствующего графику ника-
кой гладкой G-инвариантной функции, проходящей через точку
z0. Дополнение в пространстве струй
WG)(re) L = L \ (r/G)'n) Ц
представляет продолжения «хороших» функций v = h(y), соот-
ветствующих локально G-инвариантным функциям u = f(x)
вблизи точки z0.
Обратно, обычное пространство струй (M/G)(n> |Юо отличается
от расширенного пространства струй (M/G)^ Ц вертикальным
подмногообразием (Г/О),п) Ц = (Al/G)^’|Юо \ (JM/G),n,|t0o. Пусть
Г(п,|21>-его прообраз в так что л,п) [Г(п) |J = (Г/О)(п) 1^.
Его точка представляет продолжение G-инвариантного подмно-
гообразия, проходящего через точку Zo, не соответствующего
графику гладкой функции v = h{y) на M/G. Остаток инва-
риантного пространства
/(п)| =/(п)| \r'n,L
lZo *Zo Zq
содержит продолжения всех «хороших» G-инвариантных функ-
ций и = f(x), соответствующих явным функциям v — h(y) на
MIG. Именно на этом пространстве «хороших» продолжений
имеется соответствие, аналогичное установленному в предло-
жении 3.34.
Предложение 3.40. Проекция п(п\ _> (М/G)™ | инду-
цирует диффеоморфизм л<п): /•"> Ц -> (M/G)(rt} где w0 = n{z0).
Так много геометрии; как же все это вычисляется явно в
данных локальных координатах? Функциональная независи-
мость инвариантов т), £ означает, что матрица Якоби
/ дт^/дх1 dv/fdu^ \
J s \ д^/дх1 д£,а/ди$ J
всюду имеет ранг р + q — s. Условие трансверсальности (3.34)
вкупе с инфинитезимальным критерием инвариантности tf, £а
требует, чтобы последние q столбцов матрицы J всюду имели
ранг q-.
rank (дтЦди$, д£а/ди$)т = q. (3.35)
По теореме о неявной функции мы можем тогда выразить ло-
кально все зависимые переменные и’, .... uq вместе ср — s не-
304
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
зависимыми переменными, скажем х = (х1‘, x1p~s), через
у = (у1....yp~s), v = (v1, , v4) и оставшиеся s независи-
мых переменных х= (х;‘, ..xis):
х = у(х, у, v), и = д(х, у, v). (3.36)
Для любого фиксированного значения у0, v0 редуцированных
переменных (3.36) определяет орбиту группы G в М, парамет-
ризованную «параметрическими переменными» х.
Если v = h(y) — функция, график которой лежит в M]G, то
соответствующее G-инвариантное р-мерное подмногообразие в
М задается уравнениями
£(х, и) = h[q(x, и)], (3.37)
полученными заменой у и v их выражениями как инвариантов
на М. Это подмногообразие в М будет графиком функции
и = f(x), если и только если мы можем выразить из (3.37) и
как функцию от х. Для этого требуется, чтобы матрица
дуди — (dh/dy) (д-ц/ди) размера q X Я была невырожденна.
(Как в § 3.1, символы частных производных означают здесь
матрицы Якоби.) Поскольку мы можем отождествить h с v,
имеет смысл записать это условие трансверсальности в виде
det (-^---^-757-) =#°- (3.38)
\ ди ду ди ) ' '
Противоположный случай, когда этот детерминант обращается
в нуль, будет соответствовать G-инвариантным подмногообра-
зиям в М, не трансверсальным вертикальному пространству V?
и, следовательно, определяющим особое подмногообразие
(y°/G)(")|a)> которое нам нужно исключить!
Из (3.37) мы можем дифференцированием найти выражения
для производных от и по х через производные от v по у. По
цепному правилу
= (з.39)
дх 1 ди дх ду \ дх ди дх) ' ’
Здесь каждая производная снова представляет собой матрицу
Якоби подходящего размера. Это можно переписать в виде
(д^____до дт] X ди = ди дт| _ д£
V ди ду ди ) дх ду дх дх ’
и наше условие трансверсальности (3.38) позволяет нам разре-
шить это уравнение явно относительно dufdx:
ди / dt, _ ди дт] \~1 (ди_дт\_ _ dt, X
дх ~ V ди ду ди ) V ду дх дх )’
3.5. Продолжения и редукция
305
Мы получили функцию от х, и и dv/dy. Первые р + q перемен-
ных можно заменить их выражениями (3.36), что приводит к
формуле
ди
дх
61 (Л У, V,
выражающей производные первого порядка по х от G-инвари-
антной функции и — f(x) через производные первого порядка
ее представителя v — h(y).
Производные высших порядков получаются дальнейшим
дифференцированием (3.39). Если мы введем полные матрицы
Якоби Dvi], Dx? с элементами Dit/, соответственно, то
(3.39) приобретет более простой вид
Dx? = -f-.Dxn.
хъ fiy Xi
Дифференцируя по х, мы получим (в очевидных обозначениях)
(3-4|>
где
= а- 9 ди I (диУ ' д*и
х>- дх2 "г дх ди дх ди2 \дх ) ‘ди дх2
(Мы оставляем читателю расстановку подходящих индексов.)
Если мы сгруппируем члены, включающие производные второго
порядка от и, то получим выражение вида
/ dt, dv дт| X д2и г / ди dv d2v
\ ди ду ди ) дх2 2 V’ Ы’ дх ’ ду ’ ду2 ) '
Снова (3.38) позволяет нам обратить матрицу, стоящую слева,
и мы можем поэтому выразить д2ы/дх2 через х, и, ди/дх и v,
dv/dy. Первый набор переменных можно заменить соответ-
ствующими выражениями от у, v, dv/dy и параметрических пере-
менных х, так что
-^- = б2(х, у, п<2)),
где 62 — некоторая корректно определенная функция. Случай
производных п-го порядка совершенно аналогичен. Заменяя
(3.41), мы получаем формулу вида
•••’ <3-42)
где опущенные члены зависят от полных производных от т] бо-
лее низкого порядка, а также от производных от v по у до
306
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
порядка п включительно. Далее,
г»"?- dnu
— ди дх11
опущенные члены зависят от производных от и порядка п — 1
и ниже. Таким образом, (3.42) имеет вид
/ dg ду <Эт] дпи_____г ( дп~'и dv
к ди ду ди) дхп " к ’ дх"-1 ду ’ ’ дуп)
Как и раньше, мы можем обратить матрицу, стоящую слева, и
подставить вместо всех производных от и, получающихся в пра-
вой части, их ранее вычисленные выражения. Это приводит к
явной формуле
и<«) = б(") (х, у, ц<")) (3.43)
для производных п-го порядка от и по х, выраженных через у,
v и производные от v по у до порядка п включительно плюс
вездесущие параметрические переменные х.
Эти формулы служат для параметризации инвариантного
пространства, так что если z и w связаны соотношением n(z) =
= W, то
1(п> 1г = {(•*> п,п)): ы<п) = 6<п) (х, у, о<"')
для некоторого (у, t/”’) е (M/G),n) 1^},
так что для каждой фиксированной точки (у, гИя)), удовлетво-
ряющей условию (3.38), соответствующая орбита продолжения
pr(n)G в 7(п) параметризована посредством х. Кроме того, проек-
ция л(п) (х, ы<">) такой точки — это просто точка (у, о(п)) е
е (Af/G)(n), полученная забыванием переменных х.
Наконец, пусть Д(х, «<”)) = 0— система уравнений с частны-
ми производными на М, задающая подмногообразие й^д cz Л4(п).
Ее G-инвариантные решения (если они существуют) будут
иметь продолжения в пересечении й^д П /(п). Если мы, кроме
того, потребуем, чтобы каждое такое G-инвариантное решение
и = f(x) соответствовало гладкой функции v = h(y) на фак-
тормногообразии, нам придется еще сузить подпространство 7(п>
и рассматривать ^д П /(п). Поскольку 7(п) параметризовано по-
средством х, у, о(п), как видно из (3.43), мы можем найти это
пересечение, выражая Д через х, у, так что Д(х, у, ц(п>) =
= Д(х, и(п)), когда справедлива формула (3.43), и, таким об-
разом,
^ДП/Ъ) = {(х, у, г<п)) е 7(п): Д(х, у, г/'!)) = 0).
Далее, если G — группа симметрий системы Д, то 9?д П ло-
кально инвариантно относительно продолженного действия
Замечания
307
pr(n)G, для которого (у, v(n)) образуют полную систему незави-
симых инвариантов. В силу предложения 2.18 имеется эквива-
лентное множество уравнений, которое мы обозначаем А/G, не
зависящее от параметрических переменных х, так что
= {(х, у, »(")) <=>">: h/G(y, v^) = 0}.
Из указанного ранее вида проекции мы немедленно заклю-
чаем, что часть редуцированной системы в (Af/G)(n), а именно
^д/о = (^д П /(п)) = {(У. f(n)): Д/G (У, v<n)) = 0}, (3.44)
задается уравнениями А/G. Таким образом, мы полностью об-
основали процедуру § 3.1. Теорема 3.36, дополненная предложе-
нием 3.40, показывает, что нами доказан следующий строгий
способ построения инвариантных относительно группы решений
систем дифференциальных уравнений с частными производ-
ными.
Теорема 3.41. Пусть G—локальная группа преобразований,
действующая регулярно и трансверсально на Mcz XXU с гло-
бально определенными независимыми инвариантами, и, значит,
M/G cr Y X V. Пусть А — система уравнений с частными произ-
водными, определенная на М, допускающая группу G в качестве
своей группы симметрий. Тогда имеется редуцированная система
дифференциальных уравнений &/G на M/G, заданная (3.44), об-
ладающая тем свойством, что всякая G-инвариантная функция
и = f(x) на М, соответствующая корректно определенной функ-
ции v = h(y) на М/G, будет решением системы &, если и только
если ее представитель h — решение системы &/G.
(Подходящие замены координат на М/G приведут ко всем
G-инвариантным решениям системы А, даже к тем, которые из-
начально были нетрансверсальными при исходном выборе коор-
динат.) Это завершает наше развитие теории и обоснования
процедуры редукции.
Замечания
Несмотря на многочисленные заявления, что понятие инва-
риантного относительно группы решения системы уравнений с
частными производными не сложилось в полной общности
вплоть до 1950 г., на самом деле Ли в одной из своих последних
работ Lie [6] ввел изложенный нами общий метод отыскания
таких решений. Ли рассматривал решения систем уравнений
с частными производными, инвариантные относительно групп
308
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
контактных преобразований, однако его результаты включают
локальные варианты теперешних теорем редукции. В § 65 выше-
упомянутой работы он доказал, что все решения уравнения с
частными производными от двух независимых переменных, ин-
вариантные относительно однопараметрической группы, можно
найти путем решения связанного с исходным обыкновенного
дифференциального уравнения. Обобщение на системы уравне-
ний с частными производными, инвариантные относительно мно-
гопараметрических групп, т. е. наша теорема 3.41, сформулиро-
вано и доказано в § 76 той же работы, но, насколько мне
известно, на нее ранее не было никаких ссылок ни в какой ли-
тературе на эту тему!
Ли умер прежде, чем смог найти какие бы то ни было при-
ложения своего открытия. Много позже в работах Morgan А. [1],
Michal [1] заново был получен результат Ли для случая одно-
параметрических групп симметрий. Впоследствии Овсянников
(1], И рассмотрел общий случай, также не зная более ранней
работы Ли. До этих переоткрытий в литературе время от вре-
мени появлялись различные частные примеры решений, инвари-
антных относительно группы, в особенности автомодельных, но
без всякого указания на то, что это частные случаи гораздо
более общей теории. Первое такое построение, о котором мне
известно, проводится в работе Boltzmann [1]. На рубеже столе-
тий автомодельные решения широко появляются в работе
Прандтля, Мейера и Блазиуса и позже в работе Фолкнера и
Скэна по пограничному слою в механике жидкости: см. Birkhoff
[2; гл. 5], где приводятся эти и другие ссылки, а также обсужда-
ется история Пи-теоремы 3.22 из теории размерностей. Работа
Седова [1] дала сильный толчок к применению групп растяже-
ний и получающихся таким образом автомодельных решений в
теории размерностей для сложных систем. (Хорошее современ-
ное введение в использование методов подобия в инженерных
приложениях представляет собой книга Seshadri, Na [1].) На
долю Биркгофа (Birkhoff [2]) выпала борьба за использование
более общих симметрий для построения точных решений урав-
нений с частными производными, и, таким образом, он непосред-
ственно стимулировал переоткрытие метода Ли.
С тех пор как Овсянников начал свои широкие исследова-
ния, метод редукции для построения инвариантных относитель-
но группы решений стал средоточием большой исследователь-
ской активности сначала в Советском Союзе, а впоследствии
в Европе и Соединенных Штатах. К настоящему моменту име-
ется много советских работ о свойствах симметрий и точных
решениях уравнений механики жидкости, включая новые работы
Капитанского [1], [2], упомянутые в тексте; см. Овсянников [3;
Замечания
309
с. 391], где приведена полная библиография. (Другую технику
для построения точных решений в механике жидкости можно
найти в работе Berker [1].) Появление дополнительных симмет-
рий после выполнения редукции по группе, замеченное Капи-
танским, рассмотрено также в работе Rosen [2].
Инвариантные относительно группы решения с большим эф-
фектом были использованы в описании асимптотического пове-
дения гораздо более широких классов решений систем уравне-
ний с частными производными. Книга Баренблата [1] дает хоро-
шее введение в применения к гиперболическим уравнениям.
В том же духе в работе Ablowitz, Kodama [1] дан строгий анализ
асимптотического поведения решений уравнения Кортевега —
де Фриза, доказывающий, что всякое решение, стремящееся к
нулю на ±оо, в конечном счете распадается в конечное число
различных солитонов (бегущих волн) плюс диспергирующий
хвост, убывающий, как решение описанного здесь второго урав-
нения Пенлеве1)- Полная классификация инвариантных относи-
тельно группы решений уравнений Кортевега — де Фриза появи-
лась впервые в работе Костина [1]. Похожие идеи возникают в
задаче Сент-Венана в теории упругости — см. Ericksen [1].
Предположение об общей связи между вполне интегрируе-
мыми (солитонными) уравнениями, такими, как уравнение Кор-
тевега — де Фриза, и обыкновенными дифференциальными
уравнениями типа Пенлеве, использующей механизм групповой
инвариантности, было впервые высказано в работе Ablowitz,
Ramani, Segur [1]. Доказательства некоторых частных случаев
этого общего предположения, дающего вполне полезный тест на
«интегрируемость», были приведены в работах Ablowitz, Ra-
mani, Segur [2], McLeod, Olver [1]. (Недавно этот метод был
значительно расширен в работе Weiss, Tabor, Carnevale [1].)
Строгое обоснование общего метода построения инвариант-
ных относительно группы решений, основанное на монографии
Palais (1] и понятии фактормногообразия, впервые появилось в
работе Olver [2]. Здесь же впервые было предложено определе-
ние расширенного расслоения струй. Наше изложение является
сильно упрощенным вариантом этой теории. (См. также Вино-
градов [5].) Расширенные расслоения струй, по-видимому,
должны найти более широкое применение в дифференциальной
геометрии, особенно, когда нужно иметь дело с дифференциаль-
ными уравнениями с многозначными решениями.
Присоединенное представление группы Ли на ее алгебре Ли
было известно Ли. Использование его для классификации инва-
риантных относительно группы решений было предложено в ра-
') Этот результат содержится в работе А. Б. Шабата [1**]. — Прим. ред.
310
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
ботах Овсянникова [2; § 86] и (3; § 20]. Последняя из них содер-
жит больше подробностей о том, как провести классификацию
подгрупп группы Ли относительно присоединенного действия.
Дальнейшее развитие этот метод получил в работе Patera, Win-
ternitz, Zassenhaus [1], где указано также множество примеров
оптимальных систем подгрупп групп Ли, играющих важную
роль в математической физике. Классификация алгебр Ли сим-
метрий для уравнения теплопроводности дана впервые в работе
Weisner [1] при исследовании связей между группами Ли и спе-
циальными функциями. См. также Kalnins, Miller [1], где эта
классификация применяется к вопросу о разделении переменных.
Обобщение понятия решения, инвариантного относительно
группы, так называемое частично инвариантное решение, было
введено Овсянниковым ]2; § 17], {3; гл. 6]. В сущности частично
инвариантное решение — это решение, график которого, хотя и
не является полностью инвариантным относительно преобразо-
ваний из рассматриваемой группы, должен оставаться в подмно-
гообразии размерности, строго меньшей, чем р + г. Здесь р —
число независимых переменных, аг — размерность орбит груп-
пы G. (Заметим, что график общей функции должен был бы
отображаться в (р + г)-мерное многообразие под действием
всей группы преобразований.) В определенных случаях такие
решения также можно найти точно с помощью решения редуци-
рованной системы дифференциальных уравнений с меньшим
числом независимых переменных, но промежуточные вычисле-
ния значительно более сложны, чем в полностью инвариантном
случае. Читателя, интересующегося полным развитием этой тео-
рии, мы отсылаем к упомянутым выше работам Овсянникова.
Другое возможное обобщение было предложено в работе
Bluman, Cole [1] и в книге Ames [1; v. 2, § 2.10]. Оно называется
«неклассическим методом» для решений, инвариантных относи-
тельно группы. Здесь не требуется, чтобы все подмногообразие
было рг(п)G-инвариантным. Нужно лишь, чтобы pr(n)G-nH-
вариантным было его пересечение с инвариантным простран-
ством П 7*п). Этот метод, хотя и приводит к редуцированным
уравнениям, несколько слишком общий. Дело в том, что, по-
скольку мы допускаем продолжения уравнений, каждая группа
преобразований на М удовлетворяет этому требованию, и об-
ратно, каждое решение системы может быть получено таким
путем. См. упр. 3.20 и указанную там работу на эту тему.
Упражнения
3.1. Рассмотрим волновое уравнение ин — ихх + (и/х) = 0 с осевой сим-
метрией.
(а) Какие у него группы симметрий?
Упражнения
311
(b) Найдите и расклассифицируйте его решения, инвариантные относи-
тельно группы.
(с) Каково фундаментальное решение этого уравнения?
3.2. Уравнение ББМ ut + их + иих — uxxt = 0 возникает как модельное
уравнение для однонаправленного распространения длинных волн на мелкой
воде.
(а) Какова группа симметрий этого уравнения?
(Ь) Найдите решения, инвариантные относительно группы, соответствую-
щие различным однопараметрическим подгруппам, которые вы нашли в
п. (a). (McLeod, Olver [1].)
3.3. Определите инвариантные относительно растяжений решения задачи
Больцмана ut = (иих)х, решения которой описывают диффузию некоторого
вещества в среде, причем коэффициент диффузии пропорционален концентра-
ции вещества. Какие существуют другие типы решений, инвариантных отно-
сительно группы? (Dresner [1; § 4.1].)
*3.4 . Обсудите инвариантные относительно группы решения двумерного
волнового уравнения. Можете ли вы их классифицировать?
3.5. Обсудите инвариантные относительно растяжений решения двумер-
ных уравнений Эйлера для потока идеальной жидкости. (Редуцированные
уравнения, насколько мне известно, не разрешимы в явном виде.)
3.6. Предположим, что сопротивление жидкости объекту определяется
плотностью жидкости р, скоростью объекта », размером объекта d и сжи-
маемостью p-2dp/dp жидкости. Пусть с2 = dp/dp обозначает скорость звука.
Докажите, что D = p»2-d2f(M), где М = »/с — число Маха рассматриваемой
жидкости. (М < 1 соответствует дозвуковому течению, а М > 1 — сверхзву-
ковому течению.) (Birkhoff [2; с. 126].)
3.7. В 1947 г. Тейлор определил энергию, выделившуюся при первом
атомном взрыве в Нью-Мехико, применяя методы подобия к фотографии этого
взрыва. При распростраиенни сферической ударной волны радиус R будет
зависеть от времени t, выделившейся энергии Е, плотности окружающего воз-
духа ро и давления Ро- В предположении, что все величины выражены в од-
ной системе единиц, докажите, что
для некоторой функции Л(£). (При малых t аргумент С функции h мал, так
что можно приблизить~ Ао/2^5£1^5Р^'1/5, = Л (0); это соотношение было
использовано Тейлором.) (Taylor [1], [2].)
*3.8. Найдите орбиты присоединенного представления евклидовых групп
Е(2) и Е(3). (См. упр. 1.29.)
*3.9. Докажите, что каждая подалгебра алгебры симметрий (2.68) урав-
нения Кортевега — де Фриза эквивалентна в точности одной подалгбре оп-
тимальной системы, состоящей из 0, одномерных подалгебр (3.25), подалгебр,
порожденных
{v:, V4), {vj, v4), {v3, v4}, {vb v3), {vb v2 + v3),
{v>, Vs — Vs), (vi, v2}, {vb v3, v4), {vi, v2, v4], {v(, V2, v3),
и самой полной алгебры симметрий.
3.10. Рассмотрим дифференциальное уравнение Д[и] = иху = 0 на
М = ХХП~ Г?2.
(а) Докажите, что одиопараметрическая группа G сдвигов в направле-
нии х: (х, у, и) ।—> {х + в, у, и) является группой симметрий.
312
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
(Ь) Покажите, что приведенное уравнение Д/G на М/G пусто, так что
всякая функция на М/G определяет G-инвариантное решение системы Д.
(с) Более общо, докажите, что если G — регулярная группа симметрий
системы дифференциальных уравнений Д и ее ннварнантное пространство
/(п) является подмножеством соответствующего подмногообразия S?д с
то каждая функция на М/G приводит к G-инвариантному решению систе-
мы Д. Как можно на практике проверить условие с Р’дСсЛГ*”*? (См. так-
же упр. 3.18.)
3.11. (а) Пусть G—группа симметрий системы Д и Н с G — нормаль-
ная подгруппа, регулярно действующая на М cz X X I/. Докажите, что при-
веденная система Д/ff инвариантна относительно факторгруппы G/Н, дей-
ствующей на MfH.
(b) Пусть р = 2, 9=1 и Д(х, м(п)) = 0 — одно уравнение с частными
производными п-го порядка. Докажите, что если Д инвариантно относительно
(п + 1)-параметрической разрешимой группы Ли, то все инвариантные от-
носительно группы решения, соответствующие отдельной однопараметриче-
ской подгруппе, могут быть найдены с помощью квадратуры.
3.12. Пусть v — векторное поле на гладком многообразии М и х = |(х)—
система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая поток
поля v. Пусть группа G действует на М регулярно и является группой сим-
метрий этой системы. Докажите, что на фактормногообразии М/G имеется
индуцированное векторное поле v = c?n(v), поток которого соответствует
потоку поля v на М. Обсудите, как применить этот результат к теореме
2.66.
3.13. Пусть G — группа Ли и H^G — ее замкнутая подгруппа, которая
действует на G правыми сдвигами: g\—>g-h, h^H. Докажите, что фактор-
пространство G/Н является гладким многообразием. Каким будет G/Н в слу-
чае, когда G = SO(3) и /f~SO(2)—однопараметрическая подгруппа вра-
щений вокруг фиксированной оси?
3.14. (а) Рассмотрим группу растяжений G: (х, y)i—(Zx, регуляр-
но действующую на М — R2\{0}. Докажите, что соответствующее фактор-
многообразие нехаусдорфово и обсудите его структуру.
(Ь) Решите ту же задачу для группы растяжений, являющихся симмет-
риями уравнения Кортевега—де Фриза. (Olver [2].)
3.15. Пусть р = 2, 9=1. Рассмотрим однопараметрическую группу
G: (х, у, ы)|—> (х + е, уем, и). Докажите, что G действует всюду транс-
версально, но не существует непостоянных глобально определенных G-инва-
риантных функций.
3.16. р-грассманово расслоеие над m-мерным многообразием М, т~^. р,
определяется так, что над каждой точкой х е М Grass (р, М)]* = Grass (р,
TAflx)—грассманово многообразие p-мерных плоскостей в касательном
пространстве ТМ]*. (См. упр. 1.2.) Докажите, что это то же самое, что и
первое расширенное расслоение струй: Grass (р, /И) ~ М^- (Olver [2].)
3.17. Пусть G — группа преобразований, действующая на М cz X X U.
продолжение pr(n)G которой действует на
(а) Докажите, что размерность орбит продолжения pr<">G больше или
равна размерности орбит группы G. Приведите пример, когда имеет место
строгое неравенство.
(Ь) Докажите, что если G есть r-параметрическая группа и G имеет г-
мерные орбиты, то то же верно и для pr<">G.
(с) Докажите, что если группа G имеет r-мерные орбиты, то /<"’ =
= (/('>)("-!), Где (/('))("-> обозначает (п—1)-е продолжение инвариантного
пространства /(1) с ЛК1’ (см. определение 2.81). Интерпретируйте следствие
2.54 в свете этого результата.
Упражнения
313
*3.18. Явная характеризация инвариантного пространства.
(а) Пусть р = q = 1. Пусть G — регулярная одиопараметрическая груп-
па преобразований, действующая на М с X X U и имеющая единственный
глобальный инвариант £(х, и)- Докажите, что инвариантное пространство
/("> с Л4<п> определяется уравнениями
/(«) = {(х> MW); D^ = 0, й = 1, 2...п}.
(Б) Пусть q = 1, а р произвольное. Пусть G — регулярная однопарамет-
рическая группа преобразований, действующая на М и имеющая глобальные
инварианты цЦх, и), т]₽(х,и). Докажите, что
/‘1> = {(х, «<'»): D(n*. ..., nP)/D(Z .... хр) = 0},
где определяющее уравнение представляет собой «полный якобиан»:
D(x‘, .... xP) 4
Что будет в случае, если G есть r-параметрическая группа?
(с) Обобщите п. (Ь) и дайте явную характеризацию инвариантного про-
странства в общем случае.
(d) Как этот результат соотносится с теоремой 3.38?
3.19. Покажите, что векторное поле v = 2tdx + + 8tdu не является
симметрией уравнения utt — иихх, но тем не менее можно применить метод
этой главы, чтобы найти решения, инвариантные относительно однопарамет-
рической группы, порожденной полем v. Покажите, что никакое из них ие
появляется среди стандартных решений, инвариантных относительно группы.
Объясните это. (См. следующее упражнение.) (Olver, Rosenau [1].)
3.20. Неклассический метод для решений, инвариантных относительно
группы. В работе Bluman, Cole [1] предлагается следующий метод для на-
хождения решений, инвариантных относительно группы, в качестве обобщения
метода редукции.
(а) Пусть Д — система уравнений с частными производными и-го поряд-
ка на М с соответствующим подмногообразием Р’д с: М^\ Пусть G — регу-
лярная группа преобразований, действующая на М, с инвариантным про-
странством /^ сп Докажите, что если пересечениеSP\ ("] /^инвариантно
относительно pr<n>G, то на фактормногообразии М/G имеется редуцирован-
ная система дифференциальных уравнений А/G, такая, что все решения си-
стемы Д/G приводят к G-инвариантным решениям системы Д и наоборот.
(Особо отметим, что само Р’д не обязано быть инвариантным относительно
prtn>G, так что эти группы более общие, чем группы симметрий, определен-
ные в гл. 2.)
(Ь) Интерпретируйте упр. 3.19 в свете этого результата.
(с) Пусть Д — произвольная система дифференциальных уравнений и
G — произвольная (регулярная) группа преобразований. Докажите, что под-
ходящее продолжение пересечения Р’д П № (согласно определению 2.81)
всегда является рг(л,О-инвариантным. Таким образом, можно использовать
любую группу, чтобы осуществить редукцию п. (а). (Указание. Воспользуй-
тесь формулой продолжения (2.50) н характеризацией инвариантного про-
странства из теоремы 3.37.)
(d) Обратно, покажите, что если u — f(x)—любое решение системы А,
то существует группа G, которая методом редукции п. (а) приводит к этому
решению.
(Olver, Rosenau, [1].)
314
Гл. 3. Решения, инвариантные относительно группы
3.21. Пусть v — векторное поле на М а X X U ~ X Пусть Q =
= (Qi, Q?) —характеристика поля v в координатах (х, и), ср. (2.48).
Пусть у=¥(х,и), и = Чг(х, w)—замена координат на М, и пусть Q =
= (Qi. •Qq)~ характеристика поля v в новых координатах (у, v) на М.
Докажите, что Q и Q связаны формулой замены переменных
ч
Qp = Qa
а=1
дЧ*
диа
V дУ1 » .
диа ду1 /
.. у.
4. Группы симметрий и законы
сохранения
При анализе основных свойств решений систем дифференци-
альных уравнений важную роль играет понятие закона сохра-
нения, являющегося математической формулировкой известных
физических законов сохранения энергии, сохранения импульса
и т. д. В 1918 г. Эмми Нётер доказала замечательный резуль-
тат для систем, возникающих из вариационного принципа: каж-
дый закон сохранения такой системы происходит из соответ-
ствующего свойства симметрии1). Например, инвариантность
вариационной задачи относительно группы сдвигов по времени
влечет за собой сохранение энергии для решений соответствую-
щих уравнений Эйлера — Лагранжа, а инвариантность относи-
тельно пространственных сдвигов влечет за собой сохранение
импульса. Этот основной принцип представляет собой первый
фундаментальный результат в изучении классических или кван-
товомеханических систем с предписанными группами симмет-
рий. Более того, метод Нётер является единственной дей-
ствительно систематической процедурой построения законов
сохранения для сложных систем уравнений с частными произ-
водными.
Чтобы применять теорему Нётер, в рассматриваемой системе
нужна вариационная структура некоторого вида. Первый па-
раграф этой главы дает элементарное введение в соответствую-
щие аспекты вариационного исчисления. Наиболее важным из
них является построение уравнений Эйлера — Лагранжа, харак-
теризующих минимумы вариационной задачи. Помимо этого
потребуется не много результатов из вариационного исчисления,
так что заинтересованным в дальнейшем изучении этой важной
области математики мы бы посоветовали обратиться к любому
стандартному учебнику по этому предмету. Не каждая группа
симметрий системы уравнений Эйлера —Лагранжа приведет
к закону сохранения; нужно, чтобы группа удовлетворяла до-
полнительному «вариационному» условию — оставляла вариа-
') Сейчас имеется доступный английский перевод работы Noether [1].
Мы настоятельно советуем читателю изучить эту весьма важную работу.
316
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
ционный интеграл в некотором смысле инвариантным. В § 4.2
развивается теория вариационных симметрий; там имеется ряд
иллюстрирующих примеров. В случае системы обыкновенных
дифференциальных уравнений в вариационной форме вариа-
ционный характер группы симметрий удваивает эффективность
процедуры редукции, рассмотренной в § 2.5, так что система
уравнений Эйлера — Лагранжа, обладающая однопараметриче-
ской группой вариационных симметрий, допускает понижение
порядка на две единицы.
Третий параграф этой главы посвящен систематическому
развитию теории законов сохранения систем дифференциальных
уравнений. Важное осложнение здесь связано с существованием
тривиальных законов сохранения, которые выполняются для
произвольной системы дифференциальных уравнений и в сущ-
ности не дают новой информации о поведении решений рас-
сматриваемой системы. Мы в состоянии полностью характери-
зовать такие тривиальные законы (с точностью до некоторых
доказательств, приведенных в конце гл. 5). Каждый нетри-
виальный закон сохранения для нормальных систем дифферен-
циальных уравнений однозначно определяется некоторой функ-
цией, называемой его характеристикой. Используя эту связь
между законами сохранения и их характеристиками, мы немед-
ленно получаем доказательство так называемой «классической
формы» теоремы Нётер. Во второй части § 4.4 мы применяем
конструкции, воплощенные в теореме Нётер, чтобы определить
законы сохранения для некоторых физически важных систем.
Недостаток места, однако, мешает нам применить эти законы
сохранения для непосредственного изучения свойств решений
этих систем, таких, как глобальные теоремы существования,
оценки затухания, теория рассеяния, задачи распространения
трещин и дислокаций, устойчивость решений и т. д. (соответ-
ствующие работы обсуждаются кратко в конце главы).
4.1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Как обычно, для простоты мы будем работать в евклидовом
пространстве, причем X = RP с координатами х = (х1...хр),
представляющими независимые переменные, и U = R9 с коор-
динатами « = («*, ..., uq), представляющими зависимые пере-
менные нашей задачи. (Распространение локальных результа-
тов на вариационные задачи для гладких многообразий не вы-
зывает затруднений; однако глобальные результаты требуют
введения топологической техники — см. Anderson, Duchamp [1]
или Виноградов [1].) Пусть ПсгХ — открытое связное подмно-
4.1. Вариационное исчисление
317
жество с гладкой границей д£2. Вариационная задача формули-
руется как задача об отыскании экстремумов (максимумов или
минимумов) функционала
S [«] = ^ Z. (x, u(n)) dx
о
в некотором классе функций u — f{x), определенных на О.
Подынтегральное выражение L (х, н<п>), называемое лагранжиа-
ном вариационной задачи S, является гладкой функцией от х,
и и различных производных от и. Точное описание класса
функций, на котором ищется экстремум функционала S, будет
зависеть и от граничных условий, которые могут относиться
к физической задаче, и от условий дифференцируемости, накла-
дываемых на экстремали и — f(x).
В качестве простого примера рассмотрим задачу отыскания
кривой наименьшей длины, соединяющей две точки (а, Ь) и
(с, d) на плоскости. Эта задача в вариационной форме выгля-
дит следующим образом. Предположим, что минимизирующая
кривая задается графиком функции и = f(x). Длина такой кри-
вой равна
S’ [и] = д/1 + и2х dx.
а
Вариационная задача состоит в минимизации S на простран-
стве, скажем, дифференцируемых функций w = f(x), таких, что
b = f(a) и d = f(c).
Точная степень гладкости, требующаяся для экстремалей
данной вариационной задачи, пространство функций, на кото-
ром нужно искать экстремали, и подходящая норма (или нор-
мы)— это, вообще говоря, довольно деликатные вопросы, тре-
бующие развитого нелинейного функционального анализа.
Сложные проблемы, возникающие здесь, не имеют, однако,
прямого отношения к нашей непосредственной области иссле-
дования. Поэтому для упрощения мы рассматриваем лишь
гладкие (С°°) экстремали вариационной задачи. Распростране-
ние наших результатов на группы симметрий и законы сохра-
нения для более общих типов функций должно учитывать спе-
цифику конкретной задачи.
Вариационная производная
В конечных размерностях экстремумы гладкой вещественно-
значной функции f(x), ,teRm, определяются рассмотрением
точек, в которых градиент Vf(x) обращается в нуль. Чтобы
318
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
найти сам градиент, нужно выяснить, как меняется f при ма-
лом изменении х:
(Vf (х), У) = -^- |е_о f (х + еу),
где <х, у) — обычное скалярное произведение в Rm. Для функ-
ционалов S[u] роль градиента играет «вариационная произ-
водная» от S'. Чтобы построить этот объект, мы смотрим, как
меняется S при малых «вариациях» функции и. Скалярное про-
изведение <•, •> в Rm заменяется скалярным произведением
в L2
<f, g>= $ f (х) • g (х) dx = J fa (x) Sa (x) dx
£2 £2 a=l
двух векторнозначных функций f, g: Rp^-R9. Это приводит
к следующему определению:
Определение 4.1. Пусть S[u]— вариационный функционал.
Вариационная производная функционала S — это единственный
набор из q функционалов
б^[«] = (б12’[и], ..., 6qS[u]),
обладающий тем свойством, что
|g o S [f + 87)] = $ bS [f (X)] • 7] (х) dx. (4.1)
Здесь и = f(x) — гладкая функция, определенная на О, а т](х) =
= (ц1(х)....т]9 (х))—гладкая функция с компактным носите-
лем в £2, так что f + ет] все еще удовлетворяет любым гранич-
ным условиям, которые могут быть наложены на пространство
функций, на котором ищется экстремум функционала S. Ком-
понента §vZ = §SI§ua — вариационная производная от S
по иа.
Предложение 4.2. Если и = f(x) — экстремаль вариационного
функционала S[и], то
бО(х)] = 0, xgQ. (4.2)
Доказательство. Поскольку [ — экстремаль, для любой функ-
ции т] с компактным носителем в Q функция f + ет] лежит в том
же функциональном пространстве, так что как функция от б
S [f -j- ет)] должна иметь экстремум в точке б = 0. Поэтому из
элементарного математического анализа получаем, что (4.1)
должно обращаться в нуль для всех т] с компактным носителем
4.1. Вариационное исчисление
319
в й. Следовательно, (4.2) должно быть справедливо всюду. (То
же рассуждение доказывает единственность 83?.) □
Нетрудно получить общую формулу для вариационной про-
изводной. Прежде всего, меняя порядок дифференцирования
и интегрирования (это допускается при нашем предположении
о гладкости), получаем
L (х, pr(n) (f -J- ет]) (х)) dx —
dx,
где Uj — обычные частные производные от w“, а — соответ-
ствующие производные от т]“. Поскольку т] имеет компактный
носитель, мы можем воспользоваться теоремой о дивергенции,
чтобы проинтегрировать последнее выражение по частям, при-
чем граничные члены на дй обратятся в нуль. Каждая частная
производная д/дх’, примененная к производным dL /duf лагран-
жиана, превращается в полную производную £)/, поскольку L
зависит от х также и через функцию u = f(x)— см. определе-
ние 2.34. Поэтому
+ 8П1 = S ^"ди^’ рг(П)^*))р“ (x)|dx’
где для ] = (/1, .... jk)
(-D), = (-!)*£, = (-£>/_) (-Dla) ... (- Dik).
Оператор, появившийся в предыдущей формуле, играет ключе-
вую роль в вариационном исчислении.
Определение 4.3. Для 1 а q оператор Эйлера с номе-
ром а задается формулой
(«)
Сумма берется по всем мультииндексам 7 = (/ь ..., jk) с 1
/и Р, 0. Заметим, что для применения Еа к произ-
вольной данной функции L(x, w(n)) от и и их производных нужно
просуммировать лишь конечное число слагаемых, поскольку L
зависит лишь от конечного числа производных ц“.
320
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
Таким образом, согласно нашему вычислению, вариационная
производная от 3?[и] = ^QZ.(x, u(n>)dx находится применением
оператора Эйлера к лагранжиану: &£ [w] = Е (Л), где Е (£) =
=(Ej (L), ..., Е9 (L)). Предложение 4.2 дает классические необ-
ходимые условия для гладких экстремалей вариационной за-
дачи. (Конечно, не каждое решение уравнений Эйлера — Ла-
гранжа является экстремалью. Другие решения доставляют
другие типы критических точек функционала.)
Теорема 4.4. Если и = f(x) — гладкая экстремаль вариацион-
ного функционала S (и) = в L (х, и<п>) dx, то она должна быть
решением уравнений Эйлера — Лагранжа
EV(L) = O, v=l, ..., q.
Пример 4.5. Рассмотрим частный случай р = q = 1, так что
мы рассматриваем одну функцию w = f(x) одной независимой
переменной. Оператор Эйлера в этом случае принимает вид
Е = У (— D V = —---------D - 4- £>2 —-----
с ЛЛ х) ди. ди х ди * ди ‘ ’
/=о * х хх
где Dx — полная производная по х, a Uj = diu/dx>. Уравнение
Эйлера — Лагранжа для вариационной задачи п-го порядка с
ь
2?[и] = ^ L(х, и(п))dx
а
имеет вид
Это обыкновенное дифференциальное уравнение порядка 2п,
если только L удовлетворяет условию невырожденности
д^Ь/дшп =/= 0. В частности, для вариационной задачи первого по-
рядка L = L (х, и, их) мы приходим к хорошо известному урав-
нению Эйлера — Лагранжа второго порядка
л — aL _ п aL — — — __ d2L _ d2L
ди x ди ди дх ди х ди ди хх ди2
X XXх
Таким образом, для нашей задачи нахождения кривой мини-
мальной длины уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид
4.1. Вариационное исчисление
321
Его решения—прямые u—mx+k, и это единственные глад-
кие претенденты для задачи минимизации.
Пример 4.6. Возможно, наиболее известная вариационная
задача проистекает из принципа Дирихле для уравнения Лап-
ласа Ди = 0. Здесь мы полагаем
р
ss ЭД = $ ylI2 dx ~ $ Т zL dx'
а а i=i
где щ = ди/дх1 и Q cz X ~ R₽. Уравнение Эйлера — Лагранжа
имеет вид
р р
0 = E(L) = £(-JD/)-^=-^nf(u/) = -A«
2=1 1 2=1
и совпадает с уравнением Лапласа с точностью до знака. Даль-
нейшие примеры появятся в этой главе позже.
Нулевые лагранжианы и дивергенции
Бывает, что для данной вариационной задачи уравнения
Эйлера — Лагранжа обращаются в нуль тождественно, и, зна-
чит, каждая функция является возможной экстремалью задачи.
Например, если
ь
3S М — J иих dx,
а
ТО
Ъ£ = их — Dx(u) = 0
для всех и. В этом случае вариационная задача тривиальна,
поскольку в силу основной теоремы анализа
ь
Zlu] = \Dx^u')dx—
так что каждая функция u = f(x), удовлетворяющая подходя-
щим граничным условиям, даст то же самое значение для Z.
Эта ситуация легко обобщается на случай нескольких неза-
висимых переменных. Если х = (хх, хр) и Р(х, u(n)) =
= (Pi(x, u<n>)...Рр(х, «<">)) — набор из р гладких функций
от х, и и производных от и, мы определяем полную дивергенцию
от Р как функцию
Div р=ад + ад2 + ... +ад, (4.4)
Ц П. Олвер
322
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
где каждая D, — полная производная по х’. Например, если
р = 2 и Р — (ииу, иих), то
Div Р = Dx (ииу) + Du (uux) = 2uuxy + 2uxuy.
Если лагранжиан L(x, u<">) может быть записан как диверген-
ция: L = Div Р для некоторого Р, то по теореме о дивергенции
S? \и\ = ^ L dx = Р • dS
а аа
для всякой функции и = f(х) и всякой ограниченной области Q
с гладкой границей <ЗЙ. Таким образом, S[f] зависит лишь от
поведения функции и = f(x) на границе и не будет меняться
при вариациях т|, использующихся при определении вариацион-
ной производной. Поэтому уравнения Эйлера — Лагранжа для
такого функционала тождественно обращаются в нуль. Заме-
чательно, что этим исчерпываются примеры «нулевых лагран-
жианов».
Теорема 4.7. Функция L(x,u<n>) от х, и и производных от и,
определенная всюду на XX 1Лп\ является нулевым лагранжиа-
ном (это означает, что для нее уравнения Эйлера — Лагранжа
обращаются в нуль тождественно для всех х, u: Е (L) = 0), если
и только если она является полной дивергенцией: L — Div Р
для некоторого набора из р функций Р = (Pi......Рр) от х, и
и производных от и.
Доказательство. Доказательство того, что E(DivP) = 0, сле-
дует из сделанных выше замечаний или из непосредственного
вычисления; см. § 5.4. Чтобы доказать обратное, предположим,
что L(x, и№)—нулевой лагранжиан, и рассмотрим производную
— L(x, = У uaj-^(x, щМ).
de, dtii
a, I J
Каждый член этой суммы можно проинтегрировать по частям,
например,
ui-^-=Di («“) -v?=- uaDi -^+Di(ua
1 du'f 1 ди" 1 duf 4 duat
Это приводит к выражению вида
d L (х, euW) = Е У (— n)j TV (х> еи(п)) + D*v Р (е; х,
de (I=1 j Uj
= u- Е(£) (x, eu(2)) + DivP(e;x, и(2п))
4.1. Вариационное исчисление
323
для некоторого набора Р из р функций от х, и и производных
от и, явный вид которых не важен. (См., однако, § 5.4.) По-
скольку Е (£) = 0, мы можем интегрировать по е,
L (х, u(n)) — L (х, 0) = Div Р,
где
Р (х, u(2n)) = Р (е; х, и(2п>) de.
о
Наконец, поскольку L определена на всем Rp, мы всегда мо-
жем найти набор р(х) из р обычных функций от х, такой, что
divp(x) = L(x, 0), так что для завершения доказательства
осталось положить Р — Р + р. □
Инвариантность оператора Эйлера
Поскольку уравнения Эйлера — Лагранжа определяют экс-
тремали вариационной задачи, множество их решений не долж-
но меняться при заменах переменных. Это наводит на мысль,
что сам оператор Эйлера должен быть более или менее инва-
риантным относительно замены переменных. Здесь мы выво-
дим основную формулу, выражающую этот факт.
Заметим сначала, что если
х = S (х, и), й = Ф (х, и) (4.5)
— произвольная замена переменных, то имеется индуцирован-
ная замена переменных
й(«) = ф(«) (х, и<">)
для производных, задаваемая продолжением. Таким образом,
для данной функции u = f(x) формулы (4.5) неявно опреде-
ляют преобразованную функцию й = f (х) (если выполнены
условия, требуемые теоремой о неявной функции). При этом
каждый функционал
S [/] = L (х, pr<n)f (х)) dx
а
будет преобразован к новому виду
3? [f ] = L (х, pr<n) f (х)) dx.
а
В этом последнем интеграле преобразованная область
Q — {х = S (х, f (х)): х е Q)
11*
324
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
будет зависеть не только от исходной области й, но и от кон-
кретной функции u — f(x), на которой вычисляется S. Фор-
мула для нового лагранжиана легко получается из формулы
замены переменных в кратном интеграле:
L (х, pHn> f (х)) = L (х, pr(n) f (х)) det J (х, pr(1) f (х)). (4.6)
Здесь (х, й) заданы формулами (4.5), a J — матрица Якоби, эле-
менты
(х, pr(i)f (X)) = [8* (х, f (х))] =
= £>/32 (х, рг<*> f (х)), г, / = 1, ..., р,
которой соответствуют функции f. Здесь мы для простоты
предполагаем, что замена переменных сохраняет ориентацию,
так что det J (х) > 0.
Теорема 4.8. Пусть L(x,uw) и £(х, £<"))— два лагранжиана,
связанные формулой (4.6) замены переменных. Тогда
Q
Еиа (£) = Е Fap (х, u<*>) Ей₽ (£), a — 1.q. (4.7)
p=i
Здесь (х, £<">) и (х, u(n)) связаны соотношениями (4.5), a Fae—
определитель следующей матрицы размера (р + 1)Х(р + 1):
Г D& ... Dfl д^Чди* 1
Fap = det
D^p ... дВр/диа
(4.8)
1 DjQP ... £)рф₽ дФ?‘/диа
Доказательство. Пусть u = f(x) — данная функция, опреде-
ленная на области й, и пусть й = /(х), хеЙ,— соответствую-
щая функция от преобразованных переменных (обычно она
корректно определена, пока Й достаточно мала). Для доста-
точно малых е возмущениям ие = f (х, е) = f (х)-}- ет] (х), где т]
имеет компактный носитель в й, соответствуют функции вида
й = /(х, е), которые неявно определяются соотношениями
х = В (х, f (х) 4- ет] (х)), й = Ф (х, f (х) + ет] (х)). (4.9)
Важный момент состоит в том, что, поскольку г] имеет компакт-
ный носитель в й, каждая функция f(x, е) = f (x)+fj (х, е) оп-
ределена на общей области
й == {х = В (х, f (х)): х е й}.
4.1. Вариационное исчисление
325
не зависящей от е, и т] имеет компактный носитель в Q. Вариа-
ционная производная от S определялась дифференцированием
Z [/ 4- ет]] по е при е = 0; аналогично, немного обобщая рас-
Рис. 10. Замена координат для вариации функционала.
суждение, приведшее нас к формуле (4.3) для оператора Эй-
лера, мы находим
4Lsm=SE'<z’ Д./* <4Ло>
о
где Ед (£) вычислено при й — f. Нам нужно теперь вычислить
дг\/дя.
Имея в виду, что при вычислении вариации от Z перемен-
ные х не должны зависеть от е, мы получаем из (4.9), что
р р
0 = У £>,-3* — + У
Следовательно, по правилу Крамера
I = _п1_Уд' У
дв |е=о det J i} диа
где Ki, — алгебраическое дополнение элемента (t,/) матрицы
Якоби J(x). Поэтому
Q
дв 1е=0 диа ' дв
det J— У ^фР.К
диа 1 1 ди*
i ди*
а=1
е=0
Т]“.
326
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
Читатель может узнать в выражении, стоящем в скобках, раз-
ложение определителя (4.8) по последнему столбцу, причем
промежуточная сумма £ Кц — это разложение по по-
следней строке (i, р + 1)-го минора. Таким образом,
~дГ |е=о — det J 2j •
а—1
Подставляя в (4.10) и делая замену переменных, приходим
к равенству
яг|.-,Л[М{ t Wm}*.
Q (.а, Р=1 )
С другой стороны, это должно равняться
a la=l )
В силу произвольности т) отсюда следует (4.7). □
Пример 4.9. В случае р = q = 1
L(x, t№) = L(x, H^)DxB(x, «<»)
и (4.7) упрощается:
= <4Л1)
где нам нужен лишь якобиан
д (В, Ф) _ . .(д3/дх д3/ди А
д (х, и) ~ det V дФ/дх дФ/ди J
частных производных от Е и Ф. В самом деле, определитель,
возникающий в (4.8):
/ Z)XE дВ/ди \ / дВ/дх + их дВ/ди дВ/ди \
Fn (х) = det дф^и J = det дф^х + дф^ дф^ J.
равен указанному выше (в силу элементарных свойств опреде-
лителя). Например, если
S’ [u] = J у и2х dx
4.2. Вариационные симметрии 327
и мы пользуемся преобразованием годографа х — и, й = х, то
ь ь
S [й] = J у (йх) 2 &х dx — (2йх)~1 dx
а а
И
Ец (L) = Uxx ' Ux Unit== Ей (Г),
что подтверждает (4.11). Однако, вообще говоря, мы не можем
заменить полные производные в (4.8) на частные производные.
(См. упр. 4.15.)
4.2. ВАРИАЦИОННЫЕ СИММЕТРИИ
Чтобы применить групповые методы в вариационном исчис-
лении, нам нужно сделать точным понятие группы симметрий
функционала
S [и] = L (х, «<»>) dx. (4.12)
Рассматриваемые здесь группы будут локальными группами
преобразований G, действующими на открытом подмножестве
М czQoX^ cz X X Как подробно обсуждалось в гл. 2, если
и = f (х)— гладкая функция, определенная на подходящей
малой подобласти Q cz Qo, такая, что ее график лежит в М, то
всякое преобразование g из группы G, достаточно близкое
к единице, будет преобразовывать f в другую гладкую функ-
цию й = f(x) = g-f(x), определенную на QczQo. (Отметим, что
если группа G не проектируема, то Q будет, вообще говоря, за-
висеть не только от g, но и от самой функции f.) Группа сим-
метрий G будет, грубо говоря, группой, оставляющей вариацион-
ный интеграл S неизменным для всех таких f.
Определение 4.10. Локальная группа преобразований G, дей-
ствующая на М cz Qq X U, является группой вариационных сим-
метрий функционала (4.12), если, каковы бы ни были подоб-
ласть Q, такая, что ее замыкание Q лежит в Qo, гладкая функ-
ция u = f(x), определенная на Q, график которой лежит в А1,
и элемент g^G, такой, что й = f(x) = g-f(x)—однозначная
функция, определенная на Q, выполняется равенство
L (х, pr(n> f (х)) dx = J L (х, pr(n7 (х)) dx. (4.13)
S
328
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранении
Пример 4.11. Рассмотрим случай, когда X = R и имеется
вариационная задача первого порядка
ь
£’[и]=^ L(х, и, их)dx. (4.14)
а
Если L не зависит от х, то группа сдвигов (х, u)>—>(х -j- е, и)
является группой вариационных симметрий для Z. В самом
деле, поскольку х = х -]-е, й — и для любой функции и = f(x),
определенной на меньшем подынтервале [с, d] cz(a, b), функ-
ция u = f(x) = f(x — е) определена на [с, d] = [с 4- е, d + е] •
Для достаточно малых е это тоже подынтервал интервала
(а, Ь). Проверим (4.13), пользуясь заменой переменной:
d а
L (f (х), f'(x)) dx=^L(f(x — е), f' (х — е)) dx =
С с
а
= f' (*))dx-
c
Инфинитезимальный критерий инвариантности
В соответствии с нашим обычным образом действия мы
найдем теперь аналогичный инфинитезимальный критерий ин-
вариантности вариационной задачи относительно группы преоб-
разований. Снова это условие будет необходимым и достаточ-
ным для того, чтобы связная группа преобразований была
группой симметрий вариационной задачи.
Теорема 4.12. Связная группа преобразований G, действую-
щая на Л4 cz Йо X является группой вариационных симмет-
рий функционала (4.12), если и только если
pr(n)v (£) L Div I = 0 (4.15)
для всех (х, u<n>) е ЛК") и каждой инфинитезимальной обра-
зующей
р
i-1 а-1
группы G. В (4.15) Divg обозначает полную дивергенцию поля
Ъ = ...Лр),ср. (4.4).
4.2. Вариационные симметрии
329
Доказательство. Для каждого g^G преобразование
(X, H) = g‘ (х, и) = (Sg (х, и), Фв (х, и))
можно рассматривать как замену переменных, так что в силу
тех же рассуждений, которые привели к формуле (4.6), мы мо-
жем переписать условие (4.13) в виде
J L (X, pr<n> (g • f) (х)) det Jg (x, pr(1)f (x)) dx — L (x, pr(n) f (x)) dx,
e a
где элементы матрицы Якоби равны
j''(x, и(1)) = п;зГ(х,-ц(1’).
Поскольку это должно быть справедливо для всех подобластей
£2 и всех функций u = f(x), подынтегральные функции долж-
ны совпадать поточечно:
L (pr(n>g • (х, им) det Jg (х, u<‘>) = L (х, u(n)) (4.16)
для всех (х, «<">) е Чтобы получить инфинитезимальный
вариант равенства (4.16), мы полагаем g = ge = ехр (ev) и диф-
ференцируем по е. Нам нужна формула
^L[detJ<e(x, «(*>)] = Divg(pr^e-(x, «<«>))det J<e(x, «(»), (4.17)
выражающая тот факт, что дивергенция векторного поля изме-
ряет скорость изменения объема при соответствующем вектор-
ному полю перемещении. Действительно, если мы заменим и
функцией f(x), то (4.17) сводится к тождеству из упр. 1.36 для
р
редуцированного векторного поля v = £ I* (х, f (х)) д/дх1.
Пользуясь формулами (4.17) и (2.21), находим производ-
ную от (4.16) по е при g — ge = exp(ev):
(pr<">v (/.) + L D Iv B) det Jge = 0, (4.18)
где выражение в скобках вычислено в точке (х, йЕп)) = pr(n)ge(x,
и(п>). В частности, при е = 0 ge — тождественное отображе-
ние, и мы доказали необходимость условия (4.15) для того,
чтобы группа G была группой вариационных симметрий. Об-
ратно, если условие (4.15) выполнено всюду, то (4.18) справед-
ливо для достаточно малых е. Левая часть равенства (4.18),
однако же, — это производная левой части равенства (4.16)
(при g — ge) по е; поэтому, интегрируя от 0 до е, мы доказы-
ваем формулу (4.16) для g, достаточно близких к единице.
Обычные соображения связности завершают доказательство
формулы (4.16) для всех ge G, а следовательно, и теоремы. □
330
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
Пример 4.13. В качестве легкой иллюстрации теоремы 4.12
мы снова выведем результат примера 4.11. Инфинитезимальная
образующая группы горизонтальных сдвигов есть дх с продол-
жением pr(1>dx = дх. Кроме того, g(x, м)=1, так что D& = 0.
ь
Таким образом, для £—^L(u, ux)dx мы получаем тривиаль-
а
ное соотношение
рг<*>с)х (L) + LD& = 0,
так что (4.15) выполняется. Другой простой пример — интеграл
ь ____________________________
длины дуги £й [и] = dx и v = —идх хди — обра-
а
зующая группы вращений. Имеем
pr(1)v = - идх 4- хди + (1 + и2) dUx
и £ = —и, так что
pr(»v(£) + LDxl = (1 + и2)^JT+^x - VT+^T• их0.
Таким образом, теорема 4.12 приводит к геометрически очевид-
ному факту, что длина дуги не меняется при жестких вра-
щениях.
Симметрии уравнений Эйлера—Лагранжа
В обоих предыдущих примерах, как легко может проверить
читатель, из инвариантности данного вариационного интеграла
относительно группы симметрий вытекает, что соответствующие
уравнения Эйлера — Лагранжа также инвариантны относи-
тельно этой группы. Этот результат справедлив в общем случае.
Теорема 4.14. Если G— группа вариационных симметрий
функционала S’[u] — ^L(x,u(n))dx, то она является группой
Йо
симметрий уравнений Эйлера — Лагранжа Е (£) — 0.
Интуитивно происходит вот что. Если g^G и u = f(x)—
экстремаль функционала £ [и], то очевидно, что d = g-f[x}
(если эта функция определена) — экстремаль преобразованной
вариационной задачи S’[и], получающаяся из замены (х,й) —
= g-(x,u). Но если G — группа вариационных симметрий,
£[и] = £[и], то g-f также является экстремалью функцио-
нала S’. Проблема состоит в том, что у уравнений Эйлера —
4.2. Вариационные симметрии
331
Лагранжа имеются также не экстремальные решения. Один под-
ход состоит в том, чтобы использовать формулу замены пере-
менных из теоремы 4.8. Мы предпочитаем здесь не тратить уси-
лий, а отослать читателя к теореме 5.37, где приведено прямое
вычислительное доказательство.
Неверно, что каждая группа симметрий уравнений Эйлера —
Лагранжа является также группой вариационных симметрий
исходной вариационной задачи! Наиболее известные контрпри-
меры связаны с группой растяжений.
Пример 4.15. Волновое уравнение. Мы возвращаемся к вол-
новому уравнению ин — ихх + иуу, группа симметрий которого
была найдена в примере 2.43. Волновое уравнение является
уравнением Эйлера —Лагранжа для вариационной задачи с
&[и] = $$$ — — ^rf\dxdy dt.
Выясним, какие из симметрий, перечисленных в (2.65), яв-
ляются вариационными симметриями функционала S. Мы
пользуемся инфинитезимальным критерием (4.15) при
7 — —- ---— -----—
ь 2 Ut 2 * 2 У'
Легко видеть, что сдвиги являются вариационными симметрия-
ми, поскольку их продолжения не действуют на производные
от и. Далее рассмотрим образующую группы вращений, скажем
гху = —удх^-хду. Член Div| в (4.15) обращается в нуль. Бо-
лее того, prfl) гху = гху — иудих + uxdUy, а следовательно,
(4.15) принимает вид
рг(1)гху (L) = UyUx — ихиу = О,
так что функционал 2 инвариантен относительно группы, по-
рожденной гху. Аналогичное вычисление показывает, что гх/
и ryt также порождают группы вариационных симметрий. Обра-
щаясь к подгруппе дилатаций, получаем
pr<‘>d = хдх + уду + tdt — uxdUx — uydUy — щдир
и в этом случае
Div I = Dx (х) + Dy (у) + Dt (/) = 3.
Поэтому
prU)d (L) + L Div В = L
и d не порождает группу вариационных симметрий функцио-
нала S. Однако, если мы изменим дилатационную образую-
332
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
щую следующим образом:
m = d- |< = хди 4- уду 4- tdt -±-иди,
то
ргП’ш (А) + L Div g = - ЗА + 3L = О,
так что ш будет порождать группу вариационных симметрий.
Наконец, рассмотрим группу инверсий, порожденную, скажем,
— (*2 — у2 + /2) дх + 2худд 4- 2xtdt — хиди.
Имеем
= ix — (и 4- Зхих 4- 2уиу 4- 2/wt) dUjc 4-
4- (2уих — Зхиу) dUy — (2tux 4- 3x«f) dUf
и
Div l = Dx (x2 — y2 4- t2) 4- Dy (2xy) 4- Dt (2xt) = 6x.
Поэтому
pr{1)ix (A) 4- A Div g = uux — 3x (u2t — u2 — u2) 4- 6xA = uux,
и, следовательно, ix в соответствии с определением 4.10 не яв-
ляется вариационной симметрией. Вариационными симметрия-
ми не будут ни две другие однопараметрические подгруппы ин-
версий группы симметрий (2.65), ни их линейные комбинации.
Наконец, если а(х, у, t) — решение волнового уравнения (с обра-
зующей симметрии va = ади), мы находим, что
Р- (!)va (А) = — ахчх — ОуЧу,
так что вариационная симметрия получается, если и только
если а — константа. Таким образом, группа вариационных сим-
метрий для А порождается сдвигами, «вращениями», группой
растяжений, порожденной ш, и группой, порожденной ди. Тео-
рема 4.12 гарантирует отсутствие других вариационных сим-
метрий. (Конечно, это можно было бы проверить непосред-
ственно, решив (4.15) и найдя коэффициенты инфинитезималь-
ной образующей v.)
Предложение 4.16. Если v и w — вариационные симметрии
функционала 2Е [м], то их скобка Ли [v, w] — тоже вариацион-
ная симметрия.
Доказательство мы оставляем читателю, (см. упр. 4.1.)
4.2. Вариационные симметрии
333
Понижение порядка
Как мы видели в § 2.5, знание однопараметрической группы
симметрий одного обыкновенного дифференциального уравнения
позволяет понизить его порядок на единицу. В этом параграфе
мы увидим, что знание однопараметрической группы вариацион-
ных симметрий уравнения Эйлера — Лагранжа некоторой ва-
риационной задачи позволяет понизить порядок уравнения на
два\ В результате вариационная структура дифференциального
уравнения и группы симметрий удваивает мощь теории интегри-
рования Ли.
Самый легкий способ увидеть, как это происходит, состоит
в том, чтобы воспользоваться инвариантностью уравнений Эй-
лера — Лагранжа относительно замен переменной, как показано
в теореме 4.8. Это позволяет менять и независимые, и зависи-
мые переменные, не затрагивая вариационной природы задачи.
Итак, пусть х, и е R, и пусть 2 [м] — вариационный функцио-
нал порядка п с уравнениями Эйлера — Лагранжа порядка 2п.
Предположим, что v = |(х, и)дх + <р(х, и)ди — инфинитезималь-
ная образующая однопараметрической группы вариационных
симметрий функционала S’. Заметим, что по определению ва-
риационной симметрии v останется вариационной симметрией при
замене и независимых, и зависимых переменных. Как в § 2.5, мы
вводим теперь специальную систему координат у = т](х, и), w =
= |(х, и), так что в этих новых координатах v принимает эле-
ментарный вид v = d/dw. Пусть 2Е [w] = j L (у, w<n}) dy — соот-
ветствующая вариационная задача в переменных (у, w). Соглас-
но предыдущим замечаниям, v остается вариационной симмет-
рией для S. Поэтому в силу инфинитезимального критерия (4.15)
имеем
pr(n)v (L) = dL[dw = 0;
следовательно, L = L(y, wy, wyy, ...) не зависит от w. Уравне-
ние Эйлера — Лагранжа для SE поэтому принимает вид
0»Е,Й = £(- = (4.19)
/=1 1 (./=0 /+1 )
где Wj = d’w/dyi. Таким образом, выражение в скобках — по-
стоянная, не зависящая от у, и, следовательно, первый интеграл
уравнений Эйлера — Лагранжа. (Это наше первое настоящее
столкновение с теоремой Нётер.)
Заметим далее, что если мы вводим новую зависимую пере-
менную v = wy, так что V, — d'v/dyi — w/+i, то выражение в
скобках можно записать как вариационную производную от
334
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
& М = J Z (у, U{n 1J) dy, где
Uy, vt....vn_t) = L(y, wy, ..., wn).
Каждое решение w=f(y) исходного уравнения Эйлера — Лаг-
ранжа порядка 2п соответствует решению v = h (у) уравнения
порядка 2п — 2
Ev(L)(y, t/(2«-2)) = A (4.20)
для некоторой постоянной Л (зависящей от начальных условий),
где w получается квадратурой:
w=^h(y)dy + с.
Заметим, что мы можем записать (4.20) как уравнение Эйле-
ра — Лагранжа в чистом виде для функционала
М == $ £ (У> — М dy.
(Иначе Л можно представлять себе как множитель Лагранжа,
так что мы минимизируем S [о] при дополнительном ограни-
чении, скажем, ^t/dy = O; см. Courant, Hilbert [1; с. 218].)
Теорема 4.17. Пусть р = q = 1. Пусть S [и]—вариацион-
ная задача порядка п с уравнением Эйлера — Лагранжа по-
рядка 2п. Предположим, что G — однопараметрическая группа
вариационных симметрий для S. Тогда существует однопара-
метрическое семейство вариационных задач S^lv] порядка
п — 1с уравнениями Эйлера — Лагранжа порядка 2п — 2, та-
кое, что каждое решение уравнения Эйлера — Лагранжа для
S [и] может быть получено с помощью квадратуры из решений
уравнения Эйлера — Лагранжа для S\[v] ,XeR.
Пример 4.18. В случае вариационной задачи первого поряд-
ка, как в (4.14), знание однопараметрической группы вариаци-
онных симметрий позволяет до конца проинтегрировать уравне-
ние Эйлера — Лагранжа второго порядка
ЕЮ=-Й-О-^ = ° <4-2|>
с помощью квадратур. (Для общей однопараметрической груп-
пы симметрий обыкновенного дифференциального уравнения
второго порядка мы можем рассчитывать лишь на редукцию к
уравнению первого порядка.) Таким образом, если L не зависит
4.2. Вариационные симметрии
335
от и, (4.21) сводится к уравнению Dx(dL!dux) = 0; следова-
тельно,
(х, их) — X
ди ' ’ х/
для некоторой постоянной X. Мы можем разрешить это неявное
соотношение относительно ux = F(x, X), так что общее реше-
ние— это
и = \ F (х, X) dx -j- с.
Если Ци, их) не зависит от х, мы можем свести задачу к
предыдущему случаю, воспользовавшись преобразованием го-
дографа из примера 4.9: у = и, w — х. Несколько более прямой
подход, однако, состоит в том, чтобы заметить, что если мы
умножим уравнение Эйлера — Лагранжа на их, то можем по-
лучить первый интеграл
л сих &L 2 n (г dL X
0 = urE (L) = иг ---и?г--------и игг —= Dr I L —и ------1.
х ди х qu ди* хГхх gu2 х х ди* j
Таким образом,
L (и, их) — их (и, их) = X
определяет их неявно как функцию от и и X. Мы можем про-
интегрировать ее, чтобы получить решение уравнения Эйлера —
Лагранжа:
Г du .
J F (и, А) ~х + с-
Этот метод можно распространить на многопараметрические
группы. Однако, исключая случай абелевых групп, мы не мо-
жем, вообще говоря, ожидать понижения порядка на два на
каждом шаге. (См. упр. 4.11 и дальнейшее развитие теории га-
мильтоновых систем в гл. 6). Здесь мы довольствуемся иллю-
стративным примером.
Пример 4.19. Задача Кеплера. Мы покажем, как можно ис-
пользовать предыдущую процедуру, чтобы немедленно проин-
тегрировать двумерный вариант задачи Кеплера о движении
материальной точки в центральном гравитационном поле.
Функционал имеет вид
где (х(/), y(t))—координаты материальной точки, г2=х2+у2
и U — потенциал; в случае трехмерного гравитационного притя-
336
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
жения точки, движущейся в плоскости (х, у), U(r)= —у/г.
Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид
xtt=-^U' (г), ytt = -±U'(r).
Очевидно, что функционал SE инвариантен относительно дву-
параметрической абелевой группы сдвигов по времени и вра-
щений в пространстве с инфинитезимальными образующими
dt и хду — удх соответственно. Вводя полярные координаты
(г, 6, t), мы видим, что эти векторные поля превращаются в
dt и de. Аналогия со случаем однопараметрической группы под-
сказывает, что мы должны рассматривать г как новую незави-
симую переменную, a t и 6 — как новые зависимые переменные.
Это должно привести к редукции системы второго порядка к
системе, разрешимой в квадратурах. Заметим сначала, что
xt = -J- (cos 6 — г sin 6 • 6r), yt = -T- (sin 6 + г cos 0 • 0Г),
следовательно, в полярных координатах
Z = J [ -^-(1 + г202) - t'U (г)] dr.
Как и ожидалось, лагранжиан не зависит от t и 0. Уравнения
Эйлера — Лагранжа, таким образом, можно немедленно про-
интегрировать один раз, что приводит к уравнениям
-^(l+r42) + t/(r) = V -^ = р,
где X, р — константы. Заметим, что если мы вернемся к t как
к независимой переменной, то первое уравнение даст извест-
ный закон сохранения энергии, а второе — в точности второй
закон Кеплера г26< = ц — масса заметает равные площади за
равные промежутки времени. Обращаясь с г как с независимой
переменной, мы можем, однако, исключить tr из этих двух урав-
нений:
(2Ар-2г4 - 2p"2r4t7 (г) - г2) (-^)2 = 1,
следовательно,
6 = S г (2А.Ц-М - 2p~W (г) - 1)1/2 + 6°’
В частности, если U(r)=—yr-1, мы можем проинтегрировать
последнее уравнение явно:
0-0o = arcsin [| (у - |)],
4.3. Законы сохранения
337
где
e2==i+a^. p=j£.
1 у’ ’ л у
Таким образом, орбиты — конические сечения
1 — в sin (0 — 0О)
с эксцентриситетом е. Аналогично, мы можем найти t одной
квадратурой:
, _ Г Г*0Г J If __ f rdr ! ,
Z “ J V + ° ~ J (2V»-2r»t/(r)-p»)’'2 + '°-
В гравитационном случае это приводит к формулам
t = — *3/2 log (V2A s + 2V + у), s — V2V2 + 2уг — ц2.
Таким образом, мы полностью решили задачу Кеплера в ква-
дратурах.
4.3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений или уравнений с частными производными А(х, и^У — О.
Закон сохранения — это выражение
DivP = 0, (4.22)
которое обращается в нуль на всех решениях u = f(x) данной
системы. Здесь P=(Pi(x, и^у, ..., Рр(х, «<">))—набор глад-
ких функций от х, и и производных от и и Div Р — DxPi + ...
... + ЬрРр — его полная дивергенция.
Например, в случае уравнения Лапласа легко обнаружить
несколько законов сохранения. Прежде всего само уравнение
представляет собой закон сохранения, поскольку
Ди = Div (grad и) = О
для всех решений и. Умножение уравнения Лапласа на
и; = ди/дх1 дает еще р законов сохранения:
Позже мы увидим, как установить еще ряд законов сохранения.
В случае системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, включающей одну независимую переменную xeR, закон
сохранения принимает вид DXP = O для всех решений u = f(x)
338
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
рассматриваемой системы. Для этого требуется, чтобы Р(х,
была константой на всех решениях системы. Таким образом, за-
кон сохранения для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений эквивалентен классическому понятию первого инте-
грала или константы движения системы. Как мы увидим,
(4.22)—подходящее обобщение этого понятия на уравнения с
частными производными. Оно включает в себя известные по-
нятия сохранения массы, энергии, импульса и т. д., возникаю-
щие в физических приложениях.
В задачах динамики одна из независимых переменных вы-
деляется как время t, а остальные переменные х = (х1 ,.., хр)
являются пространственными переменными. В этом случае за-
кон сохранения принимает вид
DtT + DivX = О,
где Div — пространственная дивергенция от X по х1, ..., хр.
Плотность закона сохранения Т и соответствующий поток
X = (Хь ..., Хр) являются функциями от х, t, и и производных
от и по х и t. В этой ситуации легко видеть, что для решений
определенных типов плотность закона сохранения, будучи про-
интегрированной, дает нам константу движения. Конкретнее,
пусть Q cz Rp— область в пространстве и u — f(x, t) — реше-
ние, определенное для всех хе й, а t Ь. Рассмотрим
функционал
Тв [/] (/) = J Т (х, t, pr<">f (х, 0) dx, (4.23)
а
который при фиксированных f и Q зависит только от t. Основ-
ное свойство плотности закона сохранения Т означает, что
[/] зависит только от начальных значений функции f при
t = а и от значений f на границе области dQ.
Предложение 4.20. Пусть Т, X — плотность и поток для за-
кона сохранения данной системы дифференциальных уравне-
ний. Тогда для любой ограниченной области Q cz Rp с гладкой
границей <?Q и любого решения u = f(x, t), определенного при
хе й, а t Ь, функционал (4.23) удовлетворяет условию
t
То [f] (0 - То [f] (а) = - $ $Х(Х, т, pr<p)f(x, x))-dSdx. (4.24)
a
Обратно, если (4.24) выполняется для всех таких областей и
решений и = f(x, t), то Т, X определяют закон сохранения.
4.3. Законы сохранения
339
Доказательство. По теореме о дивергенции
\DtT(x, t, pr<n+17)dx = — $X(x, t, pr™f)-dS.
(4.24) получается отсюда интегрированием. Обратное получает-
ся дифференцированием (4.24) по t, что дает
^{^(х, t, рг<в+17) + DivX(x, t, pr(n+I>f)} dx = 0.
Поскольку это выполняется для произвольных подобластей,
само подынтегральное выражение должно обращаться в нуль. □
Следствие 4.21. Если Q<=Rp—ограниченная область и
u — f(x, t) — решение, такое, что Х(х, t, pr<n>f(x, /))->0 при
х-> dQ, то a [fj — константа, не зависящая от t.
Обычно X (х, t, 0) = 0, так что требуют, чтобы решение
/(х, t) стремилось к нулю достаточно быстро при x-»-<5Q (т. е.
на <?Q потока нет) или, если у Q есть неограниченные компо-
ненты, при | х| ОО.
Пример 4.22. Возможно, наиболее наглядная физическая
иллюстрация взаимосвязи между плотностями и потоками за-
конов сохранения получается из уравнений движения сжимае-
мой невязкой жидкости. Пусть xe R3 — пространственные коор-
динаты, а и = и(х, ^)eR3 — скорость частицы жидкости, на-
ходящейся в точке х в момент времени t. Далее, пусть р(х, t) —
плотность, а р(х, t) — давление; в частном случае течения с по-
стоянной энтропией давление р — Р(р) будет зависеть лишь от
плотности. Уравнение неразрывности принимает вид
Pt + Div (pu) = 0,
где Div(pn) = У, d(pui)/dxi— пространственная дивергенция, а
/
равновесие сил приводит к трем уравнениям движения
Уравнение неразрывности уже имеет вид закона сохранения
с плотностью Т = р и потоком X = ри. Это приводит к инте-
340
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
тральному уравнению сохранения массы
р dx = — pu • n dS.
£2 д<->.
Здесь jpdx, очевидно, — масса жидкости внутри области й, а
а
ри-п (где п — единичная внешняя нормаль к дй)— мгновенный
расход жидкости через точки границы дй. Таким образом, мы
видим, что чистое изменение массы внутри й равно потоку жид-
кости внутрь й. В частности, если нормальная составляющая
скорости и-п на дй обращается в нуль, то внутри области й
не происходит изменения массы, и мы получаем закон сохра-
нения массы
\ р dx = const.
Уравнения движения вместе с уравнением неразрывности
приводят к трем новым законам сохранения
з
Dt (риг) + X = °’ 1 = 1 ’ 2> 3-
/=1
В интегральной форме это законы сохранения импульса
— pul dx = — (риг (и • и) + pnt) dS, i = 1, 2, 3
£2 Э£2
(здесь щ есть i-я компонента нормали п). Первое слагаемое в
интеграле по границе обозначает перенос импульса ри‘ потоком
жидкости через поверхность дй, а второе слагаемое есть ре-
зультирующее изменение импульса, вызванное давлением. Та-
ким образом, Xf = ргЛ? + представляют собой компоненты
потока импульса. Наконец, для течения с постоянной энтропией
можно ввести внутреннюю энергию W (р) = р-2Р (р) dp на еди-
ницу массы, измеряющую работу жидкости против сил давле-
ния. Закон сохранения энергии принимает вид
р I«I2 + pw (р)1 + Di* [(|р Iи I2 + р (р) + pw (р)) «] = о;
или в интегральном виде
-^-$[4р|н|2 + р^(р)]^= - $ (4pl«l2+/3(p) + p^(p))«-«rfs.
£2 3£2
4.3. Законы сохранений
341
Здесь — р | и |2 dx — кинетическая энергия, а pW (р) dx —
a а
внутренняя (потенциальная) энергия жидкости. Интеграл по
поверхности представляет собой перенос кинетической и потен-
циальной энергии через дй плюс та часть совершаемой жид-
костью работы, которая вызвана давлением на границе. В част-
ности, если и-п = 0 на dQ, то и масса, и энергия сохраняются.
Тривиальные законы сохранения
Закон сохранения может становиться тривиальным по двум
причинам. Тривиальность первого типа состоит в том, что сам
набор из р функций Р в (4.22) обращается в нуль на всех ре-
шениях данной системы. Тривиальность этого типа обычно
легко устранить, если разрешить систему и ее продолжения
Д(,1> относительно некоторых из переменных и}, выразив их
через остальные переменные, и подставить соответствующие вы-
ражения вместо этих выделенных переменных. Например, в
случае эволюционного уравнения ш — Р(х, uw) мы всегда мо-
жем выразить любую производную от и по времени, т. е. utt,
uxt и т. д., через х, и и пространственные производные от и.
В результате получаем, что всякий динамический закон сохра-
нения эквивалентен, с точностью до прибавления тривиального
закона сохранения первого типа, закону сохранения, в котором
плотность Т зависит только от х, t, и и пространственных про-
изводных от и. Для эволюционных уравнений это обычный вид
закона сохранения.
Пример 4.23. Рассмотрим систему эволюционных уравнений
первого порядка
и* = vx, vt = их,
эквивалентную одномерному волновому уравнению и» = ихх. Вы-
ражение
Dt (4 “И i ~ (“Л) = ut (иа ~ = °’
очевидно, является законом сохранения. В соответствии со сде-
ланным замечанием мы можем заменить плотность и поток за-
кона сохранения выражениями, зависящими только от про-
странственных производных. В результате получаем эквивалент-
ный закон сохранения
Dt (iUx + 4 »х) “ (ЫЛ) = °-
342
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
Он отличается от исходного на тривиальный закон сохранения
Dt (т“Н Т + Dx (vxux ~ utux) = °>
плотность и поток которого обращаются в нуль на решениях
системы.
Второй возможный тип тривиальности возникает, когда
условие на дивергенцию
DivP = 0
справедливо для всех функций u — f(x) независимо от того,
являются ли они решениями данной системы дифференциаль-
ных уравнений. Например, в случае р = 2 тождество
Dx (Цу) Dy (их) О,
очевидно, выполняется для любой гладкой функции u — f(x, у)
и, следовательно, представляет собой тривиальный закон сохра-
нения второго типа для любого уравнения с частными производ-
ными, содержащего u = f(x, у). Менее очевидный пример до-
ставляет тождество
Dx (uuvz — uzvy) + Dy (uzvx — uxvz) + Dz (uxvy — uyvx) ss 0,
содержащее якобианы. Всякий набор из р функций Р(х, u(n)),
дивергенция которого обращается в нуль тождественно, назы-
вается нулевой дивергенцией. Закон сохранения, выражаемый
любой нулевой дивергенцией, не зависит от конкретной струк-
туры какой бы то ни было данной системы дифференциальных
уравнений. Это оправдывает тот факт, что мы расцениваем эти
законы как тривиальные.
Аналогично лемме Пуанкаре, характеризующей ядро обыч-
ного оператора дивергенции (ср. пример 1.62), имеется харак-
теризация всех нулевых дивергенций — тривиальных законов
сохранения второго типа.
Теорема 4.24. Пусть Р = {Р\, ..., Рр)— набор из р гладких
функций, зависящих от х = (х1, хр), и=(и1, ..., W>) и про-
изводных от и определенных на всем пространстве струй
%Х^(П)- Тогда Р является нулевой дивергенцией: DivP = 0,
если и только если существуют гладкие функции Qjk, j, k =
= 1.....р, зависящие от х, и и производных от и, такие, что
Qlk = — Qki, i, k = l...р, (4.25)
и
р
Pi=XDkQik, / = 1, ...,р, (4.26)
fe=i
для всех (х, «(”>).
4.3. Законы сохранения
343
В частности, если р — 3, то в теореме 4.24 утверждается, что
D iv Р = D\ Рj D%P2 “Ь D$Pз = О,
если и только если Р является «полным ротором»: Р = Curl Q,
т. е.
Р ( = D2Q3 — P3Q2, Рсл~ D3Q1 DiQ3> Рз = D1Q2 — ДгФ1-
(Здесь мы отождествляем Qi2 = —Q21 с Q3 и т. д.) Для нашего
предыдущего примера
Р = (uyvz — UzVy, UZVX — UXVZ, UxVy — UyVx),
а соответствующий набор функций Q есть (uvx, uvy, uvz).
Хотя для любой фиксированной функции u = f(x) теорема
4.24 сводится к лемме Пуанкаре, тот факт, что для всех таких
функций можно взять один и тот же набор функций Q/*, зави-
сящих от х, и и производных от и, является гораздо более тон-
ким. Его доказательство оказывается довольно сложным, и мы
откладываем его до § 5.4, когда в нашем распоряжении будет
гораздо больше алгебраической техники.
Вообще говоря, тривиальный закон сохранения будет по
определению линейной комбинацией тривиальных законов двух
рассмотренных типов. Иными словами, Div Р = 0 является три-
виальным законом сохранения системы, если и только если
существуют функции Q)fe, удовлетворяющие условию (4.25), та-
кие, что (4.26) выполняется для всех решений системы Д. Два
закона сохранения Р и Р эквивалентны, если они отличаются
на тривиальный закон сохранения, так что Р = Р + R, где R
тривиален. Нас будет интересовать классификация законов со-
хранения только с точностью до эквивалентности, так что под
«законом сохранения», вообще говоря, мы будем понимать на
самом деле «класс эквивалентных законов сохранения».
Характеристики законов сохранения
Рассмотрим закон сохранения вполне невырожденной систе-
мы дифференциальных уравнений Д(х, н(п)) = 0- В соответствии
с упр. 2.33 Div Р обращается в нуль на всех решениях системы,
если и только если существуют функции Qv(x, такие, что
DivP=£Q^D/Av (4.27)
V, I
для всех (х, и). Каждое слагаемое в (4.27) можно проинтегри-
ровать по частям; например, если 1 j р,
= Di - Dj (Qi) Av.
344
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
Таким образом, мы получаем эквивалентное тождество
i
DivP = Div7?+ У, QVAV = Div/? + Q • А,
V—I
где элементами набора из I функций Q = (Qi, ...» Qi) служат
Qv=Z(-D)/Q'v (4.28)
и /? = (/?], .... Rp) (явные выражения здесь не требуются) за-
висит линейно от компонент Av данной системы дифференци-
альных уравнений и их полных производных. Таким образом,
R является тривиальным законом сохранения (первого типа), и
если мы заменяем Р на Р — Р, то получаем эквивалентный за-
кон сохранения специального вида
DivP = Q-A. (4.29)
Мы называем (4.29) характеристической формой закона сохра-
нения (4.27), а набор из I функций Q = (Qi Qi)— харак-
теристикой данного закона сохранения.
Вообще говоря, при I =/= 1 характеристика данного закона
сохранения определена неоднозначно; это проистекает из того
факта, что Qv в (4.29) определены неоднозначно. Заметим, что
если Q и Q оба удовлетворяют условию (4.29) при одном и
том же Р, то Q-A = Ci-A. Поскольку система А невырожденна,
из предложения 2.11 вытекает, что Q — Q обращается в нуль
на всех решениях. Это служит обоснованием определения три-
виальной характеристики Q как характеристики, обращающейся
в нуль на всех решениях системы. Две характеристики Q и Q
эквивалентны, если они отличаются на тривиальную характе-
ристику, так что Q = Q для всех решений u = f(x) системы А.
Вообще характеристики определены лишь с точностью до экви-
валентности.
Пример 4.25. Чтобы найти характеристику закона сохране-
ния волнового уравнения примера 4.23, нам нужно переписать
левую часть в виде (4.27). Получаем
Dt +4 ui} - D* (ил)=+utDx (vt - о-
Поэтому, согласно (4.28), характеристика имеет вид
Q ’ ( Dj (tif), Dx (ut)) = ( Uff, uxf),
4.3. Законы сохранения
345
и существует эквивалентный закон сохранения в характеристи-
ческой форме, который находится интегрированием по частям:
Dt (ти* ~ 4 + Utvx)+Dx (- «А)=- (»<-«,)•
Важно отметить, что замена производных по t на производные
по х в этом законе сохранения приведет, как в примере 4.23,
к эквивалентному закону сохранения, но, вообще говоря, он не
будет уже в характеристической форме. В настоящем примере
плотность закона сохранения эквивалентна (1/2) «* + (1/2) vx, а
поток эквивалентен — uxvx, но получающийся закон сохра-
нения
Dt (4 “х + 4 °х) + D* (- “Л) = (“х* “ °х») + V* “ Ыхх)
явно находится не в характеристической форме. Вообще говоря,
замена закона сохранения на эквивалентный не сохраняет ха-
рактеристической формы.
Кроме того, этот последний закон сохранения имеет в ка-
честве своей характеристики
Q- ( Dx (их), Dx (ох))== ( Цхх» ^хх),
а это не то же самое, что первоначальная характеристика. Од-
нако разность
Q — Q = (— («« — Ихх), — (Vit — »хх))
является тривиальной характеристикой, поскольку она обра-
щается в нуль на всех решениях системы. Таким образом, два
эквивалентных закона сохранения могут иметь эквивалентные,
но не одинаковые характеристики. Наконец, отметим, что ха-
рактеристические формы этих двух законов сохранения разли-
чаются. Характеристическая форма последнего закона имеет
вид
Dt (4“*+4 °*)+(ал - ых«* - °x°j=
= — ихх (Ut — vx) — vxx (vt — ux).
Таким образом, один (класс эквивалентности) законное) сохра-
нения может иметь более чем одну характеристическую форму.
Наконец, мы замечаем, что к любому рассмотренному закону
сохранения можно прибавить любую нулевую дивергенцию, и
это не повлияет ни на его справедливость, ни на вид характе-
ристик.
346
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
Рассмотренный пример должен дать читателю хорошее пред-
ставление об алгебраической сложности общей взаимосвязи
между характеристиками и законами сохранения. Тем не менее
если мы ограничим внимание нормальными невырожденными
системами (в частности, нормальными аналитическими система-
ми), то окажется, что имеется взаимно однозначное соответ-
ствие между классами эквивалентности законов сохранения и
классами эквивалентности характеристик, так что каждый за-
кон сохранения однозначно определяется своей характеристи-
кой и наоборот, если иметь в виду отношения эквивалентности.
Этот результат — краеугольный камень большей части общей
теории и классификации законов сохранения, включая теорему
Нётер. (Контрпримеры для случая анормальных систем мы об-
судим в § 5.3.)
Теорема 4.26. Пусть Д(х, п(п)) = 0 — нормальная вполне не-
вырожденная система дифференциальных уравнений. Пусть на-
боры из р функций Р и Р определяют законы сохранения с ха-
рактеристиками Q и Q. соответственно. Тогда Р и Р — эквива-
лентные законы сохранения, если и только если Q и Q — экви-
валентные характеристики.
Очевидно, эта теорема сводится к доказательству того, что
закон сохранения в характеристической форме (4.29) тривиа-
лен тогда и только тогда, когда тривиальна его характеристика
Q. Некоторые сложности возникают из-за того, что приходится
иметь дело с двумя типами тривиальности законов сохранения.
Само доказательство довольно сложное, и мы советуем чита-
телю при первом чтении перескочить с этого места к § 4.4.
В качестве подготовительного упражнения к общему дока-
зательству мы начинаем с простого случая одного обыкновен-
ного дифференциального уравнения п-го порядка
Л (х, u(n)) = Д (х, и, щ, ..., ип) = О,
в котором Uk = dku/dxk — производные от единственной зави-
симой переменной и. Закон сохранения в характеристической
форме имеет вид
DXP = Q- Д,
где Q(x, u(m)) — одна функция от х, и и производных от и. За-
метим, что в этом случае тривиальными законами сохранения
второго типа являются лишь константы, поэтому доказатель-
ство заметно упрощается. Предположим сначала, что Р-—три-
виальный закон сохранения. Поскольку уравнение Д невырож-
4.3, Законы сохранения
347
денно,
I
Ak-DkxA + с
£=0
для некоторых функций Ak и се R. По правилу Лейбница
DXP = Е [DxAk DkxA + Ak • D*+,A] =
fe=O
i
= (DxAc) • A + X (Л-i + &xAk) • DXA + At ^+IA.
fe=i
Приравнивая это к Q-A, получаем
i
(DXAO - Q) • A 4- £ (Ak-i + DxAk) • D*A + At DX+1A = 0
fe=i
для всех x, и. Далее, предполагается, что продолжения A<z+‘)
уравнения А имеют максимальный ранг. Тогда, согласно пред-
ложению 2.11, линейная комбинация функций А, £)ХА, ..Z>X+IA,
определяющих Аи+1), будет тождественно обращаться в
нуль, если и только если коэффициенты обращаются в нуль на
всех решениях продолжения А(Г+1). Таким образом,
Л, = 0, Лй_14-£>хЛ6 = 0, 6=1,2...........I,
и
£>ХЛО —Q = 0,
если w = /(x)—решение А. Несложная индукция показывает,
что Ak = 0 на решениях системы А при k = l, I—-1, ..., 1, О,
и, следовательно, из последнего уравнения вытекает, что Q
обращается в нуль на всех решениях тоже. Это означает, что
Q — тривиальная характеристика, и, следовательно, мы дока-
зали, что тривиальный закон сохранения обязан иметь триви-
альную характеристику.
Чтобы доказать обратное, нам нужно разрешить наше урав-
нение А относительно производной самого высокого порядка
= Г(х, и, .... un_t). (4.30)
Это можно сделать в окрестности любой точки (х0, Ыоп>), в ко-
торой система А нормальна (в нашем случае это означает, что
дА(х0, иоп>)/дип^= О)- Прежде чем двигаться дальше, важно
отметить, что замена А на алгебраически эквивалентное урав-
нение ип = Г не влияет на структуру пространства законов со-
хранения:
348
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
Лемма 4.27. Предположим, что А и А — две вполне невырож-
денные системы уравнений с частными производными, алгебраи-
чески эквивалентные в том смысле, что соответствующие им
алгебраические подмногообразия и 9^ в пространстве
струй совпадают:
^д = {(х, ы(п>): А(х, ы(п))= 0} = = {(х, ы(п)): А(х, н,п)) = 0}.
Набор из р функций Р является тогда законом сохранения для
А, если и только если он является законом сохранения для А.
Он тривиален как закон сохранения для А, если и только если
он тривиален как закон сохранения для А. Если Div Р = Q • А —
характеристическая форма для А, то это также характеристи-
ческая форма для A: Div Р = Q • А. Наконец, Q — тривиальная
характеристика для А тогда и только тогда, когда Q — триви-
альная характеристика для Е.
Доказательство. Утверждение, что функция R(x, и<-">) обра-
щается в нуль на всех решениях системы А, эквивалентно в
силу локальной разрешимости утверждению, что R (х, и^) = 0
при (х, Очевидно, что это требование не зависит от
конкретных функций А или А, использованных для описания
подмногообразия ^д (или его продолжений). Этого тривиаль-
ного наблюдения достаточно для доказательства всех утверж-
дений леммы, кроме последнего. Требование, чтобы Q была три-
виальной характеристикой, означает, что выражение Q-A = Z?
имеет нуль второго порядка на некотором подходящем продол-
жении А(*> системы А. (Это означает, что и R, и все ее частные
производные dR/dx1, dR/duf обращаются в нуль на продолжен-
ном подмногообразии ^ди)-) Снова это геометрическое усло-
вие, очевидно, не зависит от конкретных функций А или А, ис-
пользованных для описания ^д, и, следовательно, 9\(k) =
= □
Возвращаясь к нашему доказательству теоремы 4.26 в слу-
чае обыкновенного дифференциального уравнения, попытаемся
показать, что если Q — тривиальная характеристика, то DrP =
==Q-A обязательно является тривиальным законом сохранения.
По лемме 4.27 мы можем считать, что А имеет вид (4.30).
Кроме того, дифференцируя (4.30) и подставляя соответствую-
щие выражения, мы можем выразить производные высших по-
рядков Un+k, 0, через х, и, ..., ип.}. Если подставить их
в закон сохранения Р, то мы получим эквивалентный закон со-
4.3. Законы сохранения 349
хранения Р*(х, и, un-i), зависящий лишь от производных
от и порядка п — 1 и ниже.
Далее, в общем случае, как показывает пример 4.25, замена
закона сохранения на эквивалентный не обязательно сохраняет
его характеристическую форму. Поэтому у нас нет оснований
ожидать, что DXP* = 0 будет характеристической формой. (На
самом деле в общем случае это приведет к главной трудности
в доказательстве.) Однако в настоящей ситуации рассуждения
на этом шаге радикально упрощаются. Именно, поскольку Р*
зависит лишь от производных порядка п — 1 и ниже, произ-
водные порядка п и выше в
п дР* . дР* , . дР*
DXP* =—и----Ь Ы1 -з--г • • • + ----
х дх 1 1 ди 1 " dun-i
появляются только одним способом — в последнем слагаемом.
Таким образом, в силу локальной разрешимости (4.27) спра-
ведливо тогда и только тогда, когда
£>ХР* = Q* («„ — Г),
где Q* = dP/dun_\ — характеристика, которая в силу первой по-
ловины теоремы эквивалентна исходной характеристике Q и,
следовательно, тривиальна. Кроме того, Q* зависит лишь от
производных от и порядка п — 1 и ниже, поэтому она может
быть тривиальна, только если обращается в нуль тождествен-
но: Q* = дР/дип-л = 0. Отсюда следует, что DXP* = 0 и, сле-
довательно, Р*— тривиальный закон сохранения второго типа.
(В настоящем случае это означает, что Р* — константа!) Таким
образом, Р также тривиален, и в этом частном случае теорема
доказана.
Доказательство теоремы 4.26 в общем случае проводится
аналогичным образом, хотя детали, особенно во второй части
доказательства, становятся гораздо более сложными. Предпо-
ложим сначала, что Р — тривиальный закон сохранения, так
что в силу невырожденности Д существуют функции Alv(x, и<тГ),
такие, что
Р,= £ AlvDjbv + Ri, 1=1, ...,р, (4.31)
V, I
где P=(Pi.......Rp)—нулевая дивергенция. В этом случае
Div Р = У, • Djky + Л^ДгД/ДЛ-
i. v. I
Предполагая, что Р записан в характеристической форме, мы
приравниваем последнее выражение к Q-Л и получаем линей-
ную комбинацию производных DK\V, которая обращается в нуль
тождественно по х и и. Снова в силу условия максимальности
ранга продолжений системы Д предложение 2.11 утверждает,
350
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
что коэффициент при каждой производной DK&V должен обра-
щаться в нуль, если u = f(x) — решение системы. Несложная
индукция, следующая по тому же пути, что и в случае обыкно-
венного дифференциального уравнения, показывает, что каждый
коэффициент A{v должен обращаться в нуль, если и — решение,
и, наконец, каждая Qv равна нулю, если u~f(x) — решение си-
стемы Д. Таким образом, тривиальный закон сохранения обя-
зательно имеет тривиальную характеристику, и первая поло-
вина теоремы доказана.
Чтобы доказать обратное, нам нужно сначала применить
замену независимой переменной (у, t) = ф (х), которая делает
систему Д эквивалентной системе в форме Ковалевской
= v=l, .... (4.32)
где Tv зависит от всех производных uj до порядка п включи-
тельно, кроме Unt. (См. теорему 2.76. Нетрудно распростра-
нить это на более общую форму Ковалевской (2.123), но обо-
значения становятся более сложными, поэтому мы оставим это
читателю.) Пользуясь леммой 4.27, достаточно доказать, что
если Q = (Q\, ..., Qq) — тривиальная характеристика для си-
стемы в форме Ковалевской, то соответствующий закон сохра-
нения тривиален.
Лемма 4.28. Если Д— система в форме Ковалевской (4.32)
и Р — плотность закона сохранения, то существует эквивалент-
ная плотность закона сохранения Р, такая, что
Div P = Q-b, (4.33)
где новая характеристика Q зависит только от у, t и и(т\ т. е.
не содержит производных по t порядка выше п.
Доказательство. Заменим Р на Р, где Р не
изводных Unt, к- Тогда
зависит от про-
DivP = £
дР0
а, К ди(п-Ш. К
к+я - Е .„Л +«’
а, К К
(4.34)
где Ро есть /-компонента Р, a R и R* не зависят от произ-
водных Unt, к- Однако Div Р должна обращаться в нуль на Д,
откуда следует, что R* обращается в нуль на Д. Но это невоз-
можно, если R* Ф 0. Поэтому имеем
DivP= Е ZK,a-АА»
а. К
(4.35)
4.4. Теорема Нётер
351
где коэффициенты Zk, а, являющиеся частными производными
от Ро по «(“-иt, к, не зависят от производных Unt.j. Интегри-
руя по частям, мы получаем равенство (4.33), где
Qa=Z (-£>)* 2к,а
К
не зависит от производных 7, поскольку мультииндексы К
относятся только к производным по у. Это доказывает лемму. □
Теперь предположим, что Q — тривиальная характеристика
закона сохранения
DivP = Q • А.
Заменим Р, следуя лемме, эквивалентным законом сохранения Р.
Поскольку Р и Р эквивалентны, в силу доказанной уже части
теоремы 4.26 мы знаем, что Q и Q — эквивалентные характери-
стики. Следовательно,
Q — Q = О на А. (4.36)
Но Q уже обращается в нуль на А. По лемме единственный спо-
соб, которым Q может обращаться в нуль на А, — это быть тож-
дественным нулем. Поэтому Р — тривиальный закон сохране-
ния второго типа (нулевая дивергенция). Следовательно, закон
сохранения Р, будучи эквивалентным Р, также тривиален. Это
завершает доказательство теоремы. □
4.4. ТЕОРЕМА НЁТЕР
Общий принцип, связывающий группы симметрий и законы
сохранения, был впервые установлен Эмми Нётер (Noether
[1]), которая сформулировала его в почти полной общности.
Его вариант, изложенный в этом параграфе, — это вариант,
больше знакомый физикам и прикладникам и требующий лишь
знания теории обычных групп симметрий, изложенной в гл. 2.
Но он далек от наиболее исчерпывающего варианта теоремы
Нётер. Мы вернемся к этой теме в § 5.3, где будет доказана
теорема Нётер в общем виде, который включает и настоящий
вариант. Тем не менее излагаемый здесь результат очень поле-
зен на практике, и мы проиллюстрируем его эффективность
важными физическими примерами.
Теорема 4.29. Предположим, что G—(локальная) однопа-
раметрическая группа симметрий вариационной задачи с2’[и]=
352
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
= L (х, и^) dx. Пусть
р 9
v=£ в' (*•«) -£г+£ ф° <*>«) <4-37)
1 = 1 а=1
— инфинитезимальная образующая группы G и
р
Qa(x, и) = <ра— Е^«“, и^ = диа/дх1,
— соответствующая характеристика поля v, как в (2.48). Тогда
Q = (Qi, ..., Qq) является также характеристикой закона со-
хранения для уравнений Эйлера — Лагранжа Е (£) — 0; иными
словами, имеется набор из р функций Р(х, u(^m'>) = (Pi, Рр),
такой, что
Div Р = Q • Е (L) = Е QVEV (L) (4.38)
V=1
— закон сохранения в характеристической форме для уравне-
ний Эйлера — Лагранжа Е(£) = 0.
Доказательство. Мы подставляем формулу продолжения
(2.50) в критерий инфинитезимальной инвариантности (4.15) и
получаем
р р
0 = prf»>v (L) 4- L Divg = pr(">vQ (£) + E llDtL + L E D& =
= pr<%(L) + Div(W,
где L£ = (£g1, ..., Lgp). Первое слагаемое в этом уравнении
можно проинтегрировать по частям:
рН%(£) - £ Dfi.-%- = £ Q, • (- D), + Div А =
а, I 1 a, I I
9
= £ QaEa(LH Div Л,
a—1
где Л=(Л1, ..., Ар) — некоторый набор из р функций, завися-
щих от Q, L и их производных, явный вид которых здесь не
требуется. Мы доказали, что
рг<% (L) = Q • Е (L) + Div А (4.39)
для некоторого А. Поэтому
0 = Q-E(£)4-Div(4 4-£g) (4.40)
4.4. Теорема Нётер
353
и (4.38) справедливо при Р = — (Д + Lg). Это завершает дока-
зательство теоремы Нётер. □
С этой точки зрения сущность теоремы Нётер сводится к ин-
тегрированию по частям в формуле (4.39). Чтобы найти явное
выражение для получающегося закона сохранения Р =
—— (Д + Lg), нам, таким образом, нужно найти общую фор-
мулу, выражающую А через L и характеристику Q симметрии.
Общая формула появится в предложении 5.74; здесь мы по-
дробно рассматриваем случай вариационных задач первого по-
рядка. (Другой подход состоит в том, чтобы, зная характери-
стику Q, построить Р прямо по основной формуле (4.38). Эта
несколько специальная техника часто бывает полезна на прак-
тике, когда общая формула слишком громоздка, чтобы ее мож-
но было применять непосредственно.) Если L(x, и(1)) зависит
только от производных первого порядка, то
я ( Р s
prl.,vQ(L)=£k^ + £DA,M
I t —1 1 J
Интегрировать по частям нужно только вторую группу слагае-
мых, так что мы получаем, что (4.39) выполняется при Д- =
~T,Qa' dL/dift. Таким образом, имеем следующий вариант
а
теоремы Нётер для вариационных задач первого порядка.
Следствие 4.30. Предположим, что S?[u]= J L(x, uw)dx —
вариационный функционал первого порядка и v — вариацион-
ная симметрия, как в (4.37). Тогда
я ЯР
= (4Л1)
а=1 * а=1 /»1 *
представляют собой компоненты закона сохранения Div Р = 0
уравнений Эйлера — Лагранжа Е(£) = 0.
Пример 4.31. Рассмотрим систему п частиц, движущихся в
R3 в некотором потенциальном силовом поле. Кинетическая
энергия этой системы имеет вид
п
К(х) = у2 ।х“I2»
(1-1
12 П. Олвер
354
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
где та — масса, а ха = (ха, z“)—координаты частицы с но-
мером а. Потенциальная энергия U(t, х) будет зависеть от
конкретной задачи; например,
U <1, X) = Е Yapl Х“ — Г*
может зависеть только от двухчастичного гравитационного
взаимодействия между массами, или (если п = 1) мы можем
взять потенциал притяжения к центру задачи Кеплера. Ньюто-
новские уравнения движения
maX^=-Vat/^-(Hxa, Пга), 0=1,
имеют вариационный вид, поскольку они являются уравнениями
оо
Эйлера — Лагранжа для интеграла действия J (К — U)dt.
— оо
Векторное поле
V = T(/, Х)А + 2Ч“(/, X).-JLSTA +
a
V1 /Va д । ад । «.а д \
+ X(S7Z+’1 +
a
будет порождать группу вариационных симметрий, если и толь-
ко если
+ (4.42)
для всех (t, х). Теорема Нётер непосредственно доставляет со-
ответствующий закон сохранения или первый интеграл
Т = У та^а • х“ — хЕ— const, (4.43)
a==l
где Е = К -f- U — полная энергия системы. В этом примере мы
исследуем, какой вид должен принимать потенциал, чтобы
определенные группы, представляющие физический интерес,
были группами вариационных симметрий, и выведем вид соот-
ветствующего закона сохранения.
Прежде всего, группа сдвигов по времени имеет образующую
v = dt. Поскольку pr^v = v, (4.42) выполняется, если и только
если dU/dt = O, т. е. U не зависит явно от времени. Получаю-
щийся закон сохранения есть просто энергия Е. Инвариантность
физической системы относительно сдвигов по времени, вообще,
как правило, влечет за собой сохранение энергии. Рассмотрим
далее группу одновременных сдвигов всех частиц в фиксирован-
ном направлении аеР3. Группа х“ь->х“ + еа имеет образую-
4.4. Теорема Нётер 355
щую у=^,а-д/дха. Снова pr<14’=v, так что (4.42) выпол-
а
няется, если и только если v(t7) = O. Это означает, что функция
U инвариантна относительно сдвигов в данном направлении. Со-
ответствующий первый интеграл есть импульс
У, таа • ха = const,
а
Снова в большинстве физических систем инвариантность от-
носительно сдвига влечет за собой сохранение импульса. В ка-
честве последнего примера рассмотрим группу одновременных
вращений всех частиц вокруг некоторой фиксированной оси.
Для простоты возьмем ось z. Образующая этой группы имеет
вид
Заметим, что рг<бу(/<) = 0, следовательно, вращения образуют
группу вариационных симметрий, если и только если потен-
циал U инвариантен относительно вращений: v(t7) = 0. Закон
сохранения — это закон сохранения момента количества дви-
жения
У та (хауа — уаха) = const,
а
Снова, как правило, инвариантность относительно вращений
влечет за собой сохранение момента количества движения. На-
пример, задача п тел допускает все семь симметрий, и поэтому
в ней имеет место сохранение энергии, импульса и момента ко-
личества движения, тогда как в задаче Кеплера сохраняется
только энергия и момент количества движения; инвариантность
относительно сдвигов здесь уже отсутствует, поскольку одна
масса должна оставаться в начале координат.
Пример 4.32. Статическая теория упругости. В теории упру-
гости законы сохранения имеют особую важность, поскольку
они дают нетривиальные интегралы, не зависящие от пути ин-
тегрирования, посредством которых можно исследовать осо-
бенности, такие, как трещины, интегрируя соответствующие ве-
личины вдали от них. Пусть xeQcRp — координаты точек
упругого тела в некоторой эталонной конфигурации, а «е R?-
пространственные координаты, представляющие смещение, так
что и(х) — деформированное положение исходной точки х.
В физических приложениях р = q — 2 или 3 в плоской или трех-
мерной теории упругости. В теории идеальной упругости в пред-
12*
356
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
положении отсутствия объемных сил равновесные деформации
определяются как минимумы функционала энергии
Ж[и] = J W (х, uw)dx,
о
подчиненные соответствующим граничным условиям на <ЭП.
В большинстве случаев плотность накопленной энергии W бу-
дет зависеть от материальных координат х, деформации и и
градиента деформации \7и=(диа/дх‘). Последний измеряет воз-
никающее в результате деформации напряжение1). Явный вид
плотности накопленной энергии будет зависеть от предположе-
ний, определяющих тип упругого материала, из которого со-
стоит тело. Тем не менее определенные универсальные физиче-
ские ограничения будут налагать определенные общие ограни-
чения на вид функции W. Каждое из этих ограничений появится
в облике группы вариационных симметрий функционала Ж, и
поэтому теорема Нётер немедленно приведет к соответствую-
щим законам сохранения, справедливым для упругих материа-
лов вообще.
Прежде всего, поскольку W не зависит ни от каких внешних
сил, она, по-видимому, не зависит от выбора системы отсчета,
от наблюдателя. Это означает, что W должна быть инвариантна
относительно евклидовой группы
Е (q): ut-^Ru + a, a^Rq, R <= SO (q),
действующей на пространственных переменных. Инвариант-
ность относительно сдвигов влечет за собой независимость
W=W{x, V«) от и; соответствующий закон сохранения
р
У, D. (dW/duf) = 0, а=1, .... q,
i=l
— не что иное, как сами уравнения Эйлера — Лагранжа, выра-
женные в дивергентном виде. Инвариантность IF относительно
вращений
W (х, R$u) = W (х, Viz), R е SO (q),
приводит к законам сохранения
dW
ди?
= 0,
а, 0 = 1........q,
*) Существуют, однако, теории материалов «более высокого порядка»,
предполагающие зависимость функции W от производных высших порядков.
4.4. Теорема Нётер
357
характеристики которых являются характеристиками инфини-
тезимальных вращений иадир — ifidua.
Дальнейшие законы сохранения можно получить, если мы
накладываем дополнительные ограничения на тип упругого ма-
териала. Например, если тело однородно, то W=W(\/u) не
зависит от х. Инвариантность относительно группы сдвигов
xi—а е Rp, дает еще р законов сохранения
Р / <7 \
E^E^^'H
компоненты которых задают известный тензор энергии-импуль-
са Эшелби. При интегрировании вокруг вершины трещины тен-
зор определяет соответствующую скорость высвобождения энер-
гии. Для однородного изотропного материала группа симмет-
рий SO(p): Xi—>Qx, которая накладывает на функцию W усло-
вие W(yu-Q) = W(Vu), приводит к р(р— 1)/2 дополнитель-
ным законам сохранения
У Di I £(x'u“ - xfeu“) + (6{xfe - б*х') = о,
iZi Lo=i dut J
отвечающим инфинитезимальным образующим xftd/dx'—x'd/dxk.
Дальнейшие интересные законы сохранения можно получить,
если накладывать дополнительные ограничения на плотность
накопленной энергии W. Ограничиваясь однородным материа-
лом, мы получаем, что если U^(Vu) — однородная функция сте-
пени п, так что
W (tfu) = KnW (V«), A > О,
для всех V«, то группа растяжений
(х, и) (Ex, К{п~р}’пи), Z > О,
является группой вариационных симметрий, поскольку
J W (V6) dx = J W (k~plnVu) Г dx = J W (vu) dx.
Q a a
(Если мы будем растягивать отдельно х или и, мы получим
симметрию уравнений Эйлера — Лагранжа, но не вариацион-
ную симметрию, если только р =£ п.) Инфинитезимальная об-
разующая этой группы имеет вид
р ч
Е^+^Е^.
<=1 а=1
358
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
так что закон сохранения имеет вид
Ч Р <7
iLtV » +Лг_ V у Л; «Е.
” 2, ’“? ££. ' *«?
= 0.
На практике предположение об однородности W слишком част-
ное. Для общей функции W указанный закон сохранения не-
много модифицируется и приводит к дивергентному тождеству
Р ( ч
£”{?.-5
Р <7
которое недавно было использовано в работе Knops, Stuart [1]
для доказательства единственности равновесных решений, со-
ответствующих однородным деформациям. (См. упр. 5.25, где
приведена общая теорема этого сорта.) Если функция IF од-
нородна степени р, то имеется полная конформная группа ва-
риационных симметрий. Инфинитезимальные образующие пре-
образований инверсии имеют вид
а соответствующие законы сохранения —
t ОД - f о, | £ (лЛ? - j 6‘ | X р) (£ J = 0.
Снова, если функция W не однородна, они переходят в дивер-
гентные тождества:
р
7=1 L a, k k J
Этот метод использования симметрий частных вариационных
задач для построения полезных дивергентных тождеств для
более общих функционалов кажется довольно многообещаю-
щим, но ему еще предстоит получить полное развитие.
Дивергентные симметрии
Беглый просмотр доказательства теоремы Нетер обнаружи-
вает, что предположение о том, что векторное поле v порождает
группу вариационных симметрий, является чрезмерным огра-
ничением для вывода существования закона сохранения. Это
4.4. Теорема Нётер
359
наводит на мысль ослабить определение группы вариационных
симметрий следующим образом.
Определение 4.33. Пусть 3? [и] = L dx — функционал. Век-
торное поле v на Л4 cz X X U называется инфинитезимальной
дивергентной симметрией функционала S’, если существует на-
бор из р функций В(х, uW) = (Bi, Вр) от х, и и производ-
ных от и, такой, что
pr(">v (Л) + L Div £ = Div В (4.44)
для всех х, и из М.
Чтобы уяснить мотивировку и обозначения, сравним «инфи-
нитезимальный критерий» (4.44) с теоремой 4.12. В случае если
В = 0, мы снова приходим к понятию вариационной симметрии.
Каждая инфинитезимальная дивергентная симметрия вариа-
ционной задачи порождает однопараметрическую группу ge =
= exp(ev) преобразований многообразия М, однако точные
свойства симметрии таких групп дивергентных симметрий ме-
нее понятны, чем в случае обычных групп вариационных сим-
метрий. Тем не менее получаем следующее обобщение теоре-
мы 4.14.
Теорема 4.34. Если v — инфинитезимальная дивергентная
симметрия вариационной задачи, то она порождает группу сим-
метрий соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа.
Доказательство этого результата мы откладываем до § 5.3,
когда будет развита соответствующая теория. Практически, что-
бы найти дивергентные симметрии вариационной задачи, сначала
вычисляют общую группу симметрий соответствующих уравне-
ний Эйлера — Лагранжа. После этого непосредственно прове-
ряется, какая линейная комбинация этих симметрий удовлетво-
ряет дополнительному критерию (4.44), чтобы на самом деле
быть дивергентной симметрией. (См. также предложение 5.39.)
Утверждение теоремы Нётер 4.29 остается тем же самым,
если мы заменим вариационную симметрию на дивергентную
симметрию в ее предположении: характеристика Q инфините-
зимальной дивергентной симметрии остается характеристикой
закона сохранения уравнений Эйлера — Лагранжа. Единствен-
ное, что меняется в доказательстве, — появляется добавочный
член Div В, происходящий из формулы (4.44), в соответствую-
щих формулах, так что, например, (4.40) заменяется на
Q • Е (L) + Div (4 4- I# = Div В.
360
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
Таким образом, заключение (4.38) остается справедливым при
Р = В — А — в этом случае.
Пример 4.35. Рассмотрим инвариантность лагранжиана
К—V для системы п частиц относительно галилеевых преобра-
зований:
(/, ха) (/, ха + Eta),
где a е R3. Инфинитезимальная образующая этого действия
имеет продолжение
п
P|4"v=Z('a-^+a'7?>
а=1
поэтому
pr<‘>v (£) = У таа • ха — t X a • VJA
а=1 а=1
Это выражение никогда не обращается в нуль тождественно
(при а=/=0), так что галилеево преобразование никогда не бу-
дет обычной вариационной симметрией. Однако первое слагае-
мое в pr<1>v(L)—дивергенция, а именно Dt (У таа х“), так
что v порождает группу дивергентных симметрий, если функ-
ция U инвариантна относительно сдвигов в направлении а. Со-
ответствующий первый интеграл имеет вид
У, таа. • х“ — / £ maa • xa.
a a
Первая сумма, поделенная на полную массу У та, определяет
проекцию центра масс системы на направление а, а вторая
сумма — в точности проекцию импульса на то же направление.
Таким образом, мы получаем, что если U инвариантна относи-
тельно сдвигов в данном направлении, то не только проекция
импульса на данное направление постоянна, но и проекция
центра масс на это направление является линейной функцией
от t:
Центр масс = t (импульс)/(масса) + с.
В частности, если U инвариантна относительно полной группы
сдвигов в R3, то центр масс любой такой системы движется ли-
нейно в фиксированном направлении.
Пример 4.36. Вернемся к волновому уравнению в двумерном
пространстве, рассмотренному в примерах 2.43 и 4.15. Уже было
показано, что для полной группы симметрий волнового урав-
нения сдвиги, вращение и модифицированные дилатации яв-
ляются симметриями соответствующей вариационной задачи.
4.4. Теорема Нётер
361
Сейчас мы увидим, что инверсии, не будучи вариационными
симметриями в строгом смысле, являются дивергентными сим-
метриями. В случае ix имеем
рг(1)U (L) + L Div g = иих = Dx (у ы2)
Таким образом, имеется десять законов сохранения для вол-
нового уравнения, проистекающих из геометрических групп
симметрий, — три из сдвигов, три из вращений, один из дила-
тации и, наконец, три закона сохранения, проистекающих из
инверсий. В следующей таблице мы перечисляем эти десять
плотностей законов сохранения, оставляя читателю определить
соответствующие потоки.
Симметрия Характеристика Плотность закона сохранения
Сдвиги их Px = uxut.
иу Py = uy“t
Ut £ = y(Mx + M» + Mt)
Вращения XUy — уих Л = хРу — уРх
Xut+tux Mx = xE + tPx
Vut + tuy My = yE + tPy
Дилатация XU + уи + tu. + — и * У * z D + хРх + уРу -h у uut + tE
Инверсии (х2 -у2 + t2) Ux + 2хуиу + Ix = xD — уА xuut + tMx
+ 2xtuf + хи
2хуих + (у2 — х2 + t2) иу + Iy = yD — xA + yuuf + tMy
+ 2ytut + уи
2xtu + 2ytu + It = (x2 + y1}E~^-u2 +
+ (х2 + у2 + t2) uf + tu + 2tD — t2E
Следовательно, если u(x,y,t)—любое глобальное решение
волнового уравнения, достаточно быстро затухающее при
х2 ^2^00, то пространственные интегралы от каждой из ука-
занных в таблице плотностей — константы, не зависящие от t.
Таким образом, мы получаем сохранение энергии
& \ Е dxdy = const
362
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
и аналогичные утверждения об импульсах SPX и &у (интегралы
от Рх и Ру) и моменте количества движения Гиперболиче-
ские вращения приводят к линейной зависимости соответствую-
щих моментов энергии от /; например,
— хЕ dx dy — SPxt +
для некоторой постоянной где — постоянный импульс.
Группа дилатации приводит к полезному тождеству
^u2dxdy= $ (xPx + yPy)dxdy + ^t + ^,
где ‘ё’ — константа. Три закона сохранения, проистекающие из
инверсий, например
J J [(х2 + у2) Е - ± u2] dxdy = St2 + Z&t +
менее мотивированные физически, играют ключевую роль в раз-
витии теории рассеяния как для линейных, так и для нелиней-
ных волновых уравнений.
Наконец, имеются образующие симметрий va = а (х, у, t)да,
происходящие из линейности уравнения. Они удовлетворяют
условию
pr(1)va (L) = atut — axux — ayuy = Dt (atu) — Dx (axu) — Dy (ayu),
поскольку a — решение волнового уравнения. Таким образом,
исключая частный случай постоянного а, в смысле определе-
ния 4.10 это не вариационные симметрии; но они порождают
дивергентные симметрии. Соответствующие законы сохране-
ния — соотношения взаимности
Dt (aut — atu) — Dx (aux — axu) — Dy (auy — ayu) =
= Cl (Uft Uxx llyy) U Clxx ^yy)== 0»
обращающиеся в нуль, если а и и являются решениями вол-
нового уравнения. В интегральной форме этот закон — в точ-
ности формула Грина, примененная к волновому оператору.
(См. § 5.3, где проводится общее обсуждение соотношений
взаимности.)
Замечания
Вариационное исчисление берет свое начало в работах Эй-
лера и Бернулли, относящихся к восемнадцатому веку. Опе-
ратор, носящий имя Эйлера, появился впервые в 1774 г. Однако
вплоть до работ Вейерштрасса и Гильберта второй половины
Замечания
363
девятнадцатого века в этом предмете не было даже подобия
строгости. Книга Гельфанда и Фомина [1] дает удобное для
наших целей введение в вариационное исчисление, из которого
мы использовали здесь лишь наиболее элементарные идеи. За-
коны сохранения имеют даже более давние истоки, хотя идея
сохранения энергии не была надлежащим образом оформлена
вплоть до работы Гельмгольца 1840-х годов. (См. Elkatia [1],
где имеется интересное исследование исторического развития
этой идеи.) В книге Whitham [2; § 6.1] подробно излагаются
законы сохранения в механике жидкости, кратко изложенные
в примере 4.22.
В этой книге я не пытался представить многочисленные
приложения законов сохранения в качественной теории диффе-
ренциальных уравнений. Я сосредоточился лишь на их система-
тическом выводе, основанном на симметрийном подходе Нётер.
Лакс (Lax [2]) воспользовался законами сохранения (назы-
ваемыми в этом контексте «парами энтропия — поток»), чтобы
доказать глобальные теоремы существования и обосновать
условия на разрывы для решений гиперболических систем, со-
держащих ударные волны. Это направление получило дальней-
шее развитие в работах Di Perna [1], [2], где дополнительные
законы сохранения применяются к затуханию ударных волн и
дальнейшим теоремам существования. Законы сохранения при-
менялись в задачах устойчивости, см. Benjamin [1], Holm,
Marsden, Ratiu, Weinstein [1]. В работах Morawetz [1], Strauss
[1] изложено их применение в теории рассеяния. В теории
упругости законы сохранения (или, скорее, соответствующие им
дифференциальные формы — см. упр. 4.2) играют ключевую
роль в изучении трещин и дислокаций; см. библиографию в
книге Bilby, Miller, Willis [1]. В работе Knops, Stuart [1] они
используются для доказательства теорем единственности для
упругого равновесия. И это — лишь малая часть всех имею-
щихся приложений.
Тривиальные законы сохранения давно были известны спе-
циалистам по общей теории относительности. Тривиальные за-
коны сохранения второго типа называют «сильными законами
сохранения», поскольку они справедливы при любых уравне-
ниях поля; см. обзорные статьи Fletcher J. С. [1], Goldberg [1].
Характеристическая форма закона сохранения появилась в ра-
боте Steudel [1], однако связь между тривиальными характе-
ристиками и тривиальными законами сохранения теоремы 4.26
установлена в работе Alonco [1*]. См. также Виноградов [5]
и Olver [11] по поводу близких результатов.
Понятие вариационной симметрии, включая основной инфи-
нитезимальный критерий (4.15), появилось у Ли (см. Lie [7])
364
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
в его теории интегральных инвариантов. Первыми, кто обратил
внимание на связь между симметриями и законами сохранения,
были Якоби (см. Jacobi [1]) и позже Шютц (Schutz [1]). Эн-
гель (Engel [1]) развил соответствие между сохранением им-
пульса и момента количества движения и линейным движением
центра масс с инвариантностью относительно сдвигов, враще-
ний и галилеевых симметрий в контексте классической меха-
ники. Исследования Клейна и Гильберта по общей теории от-
носительности Эйнштейна вдохновили Нётер на ее замечатель-
ную работу Noether [1], в которой в полной общности были
изложены и понятие группы вариационных симметрий, и связь
с законами сохранения. Вариант теоремы Нётер, приведенный
в этой главе, является лишь частным случаем ее более общей
теоремы, которая будет обсуждена в § 5.3. Распространение
методов Нётер на дивергентные симметрии появилось в работе
Bessel-Hagen [1].
Таким образом, к 1922 г. был подготовлен весь аппарат для
подробного систематического исследования свойств симметрии
и, следовательно, законов сохранения важных уравнений мате-
матической физики. Как ни странно, прогресс был незначитель-
ным вплоть до недавнего времени. Одно возможное объяснение
состоит в том, что конструктивные инфинитезимальные методы
Ли вычисления групп симметрий никогда не были полностью
согласованы с теоремой Нётер. Как бы то ни было, следующая
знаменательная ссылка на работу Нётер появилась в обзорной
статье физика Хилла (Hill [1]). В ней был представлен част-
ный случай теоремы Нётер, обсуждавшейся в этой главе, при-
чем так, как будто на самом деле это все, что было доказано
Нётер на данную тему. К сожалению, в следующие двадцать
лет шел непрерывный поток бесчисленных работ, либо передо-
казывающих основную теорему Нётер 4.29, либо претендующих
на ее обобщение, тогда как на самом деле в них лишь пере-
доказывался исходный результат Нётер или его частные случаи.
Литература по математической физике до сего дня изобилует
такими работами, и перечислять их здесь было бы бессмыс-
ленно. (Мне известно около 50 таких статей, но я уверен, что
их гораздо больше!) Некоторые ссылки можно найти в книге
Logan [1] (в которой снова получен лишь частный случай тео-
ремы Нётер для групп классических симметрий), а также ниже
в настоящих замечаниях.
Недооценка теоремы Нётер и недостатки исследований на
эту тему имели некоторые интересные последствия. Тензор
энергии-импульса Эшелби, очень важный при изучении трещин
и дислокаций в упругой среде, изначально был найден с по-
мощью специальной техники, см. Eshelby [1]. Его не связывали
Упражнения
365
со свойствами симметрии среды, как в примере 4.32, вплоть до
работ Gunther [1] и Knowles, Sternberg [1]. Распространение
законов сохранения на уравнения линейной динамической тео-
рии упругости было сделано в работе Fletcher D. С. [1]. Не-
давно в работах Olver [8], [9] были найдены дальнейшие, не
обнаруженные ранее, симметрии уравнений линейной упруго-
сти и, следовательно, новые законы сохранения. Аналогично,
важные тождества Моравеца (Morawetz [1]), использующиеся
в теории рассеяния для волнового уравнения, были изначально
развиты «на голом месте». Впоследствии в работе Strauss [1]
было показано, как они связаны с конформной инвариантностью
уравнения. (Дальнейшие законы сохранения, которые появятся
в гл. 5, ждут применений.) Так же обстоят дела с работой
Baker, Tavel [1] о законах сохранения в оптике, и нет сомне-
ний, что имеются и дальнейшие примеры.
Применение групп вариационных симметрий к понижению
порядка обыкновенных дифференциальных уравнений, являю-
щихся уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторой вариацион-
ной задачи, содержащееся в теореме 4.17, не так хорошо из-
вестно, как его гамильтонов аналог, теорема 6.35. Вариант тео-
ремы 4.17 для лагранжианов, зависящих от производных только
первого порядка от зависимых переменных, дан в работе Whit-
taker [1; с. 55], но я не в состоянии указать ссылку на полное
изложение этой теоремы в литературе.
Упражнения
4.1. Пусть S — функционал. Докажите, что если v и w порождают одно-
параметрические группы вариационных симметрий, то то же верно и для их
скобки Ли [v, w],
4.2. Пусть р = 2 и DXP + DyQ = 0 — закон сохранения для системы
дифференциальных уравнений. Докажите, что если и (х, у) — любое решение
этой системы, то криволинейный интеграл
Q (*. У, «(т)) dx — Р (х, у, и(т)) dy
С
не зависит от пути С.
4.3. В случае такой механической системы, как в примере 4.31, инвари-
антность относительно сдвигов по времени влечет за собой сохранение энер-
гии, инвариантность относительно пространственных сдвигов влечет за собой
сохранение импульса (в данном направлении), тогда как инвариантность от-
носительно преобразований Галилея, как в примере 4.35, влечет за собой
линейное движение центра масс. Докажите, что если система обладает зако-
нами сохранения энергии и линейного движения центра масс, то она авто-
матически обладает также законом сохранения импульса. (Schiitz, [1].)
4.4. Уравнение ББМ ut + их + иих — uxxi = 0 можно привести к вариа-
ционному виду, положив и = vx. Найдите три закона сохранения этого урав-
нения с помощью теоремы Нетер. (Olver, [3]).
366
Гл. 4. Группы симметрий и законы сохранения
4.5. Уравнение utt = ихххх описывает колебание стержня. Пользуясь тео-
ремой Нётер, вычислите симметрии и законы сохранения этого уравнения.
*4.6. Найдите вариационную задачу для уравнений Максвелла из
упр. 2.16(a), (Ь). Какие из симметрий упр. 2.16 приводят к законам сохра-
нения и что это за законы?
*4.7. Найдите вариационный принцип для уравнений Навье (2.127) ли-
нейной упругости. Обсудите в этом примере симметрии и соответствующие
законы сохранения, включая их тривиальность. Сделайте то же самое для
анормальной системы (2.118).
4.8. Уравнение Эмдена — Фаулера имеет вид
d2u , 2 du , . п
Ч----—F и5 = 0.
dx2 х dx
(а) Найдите вариационную задачу, уравнением Эйлера — Лагранжа ко-
торой является это уравнение. (Указание. Умножьте на х2.)
(Ь) Найдите простую вариационную симметрию — растяжение и восполь-
зуйтесь ею, чтобы проинтегрировать уравнение Эмдена — Фаулера.
(Dresner [1; р. 14], Logan [1; р. 52], Rosenau [1].)
4.9. Докажите, что уравнение гармонического осциллятора с трением
тх + ах + kx = 0, т =/= 0, можно, умножая на ехр(а//т), привести к урав-
нению Эйлера — Лагранжа. Докажите, что векторное поле v= dt—(axj2tn)dx
порождает однопараметрическую группу вариационных симметрий. Восполь-
зуйтесь этим, чтобы проинтегрировать это уравнение с помощью квадратуры.
Насколько эффективен этот метод по сравнению с обычным методом реше-
ния линейных обыкновенных дифференциальных уравнений? (Logan [1; р. 57];
см. также упр. 5.38.)
4.10. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение п-го по-
рядка на М с X X U ~ R2
^- = Я(х. н'"-1)).
Докажите, что первый интеграл этого уравнения — то же самое, что инва-
риант однопараметрической группы, порожденной полем
д , д , д , , д „/ (п-п\ д
~д7 + их~д^ + ихх~д^+ + + “ )’^Г7
и действующей на пространстве струй АН"-1’. Пользуясь этим замечанием,
найдите решения уравнения ихх — и. (Cohen [1; р. 86, 99].)
4.11. Рассмотрим вариационную задачу вида S = L (х, u~YuX]^ dx, х,
и (= R.
(а) Докажите, что дву пара метрическая группа (х, и) ।—> (х, аи + Ь),
а =/= 0, является группой вариационных симметрий.
(Ь) Какой вид имеет уравнение Эйлера — Лагранжа для S7?
(с) Покажите, что уравнение Эйлера — Лагранжа можно дважды про-
интегрировать, пользуясь инвариантностью относительно сдвигов, однако
получающееся в результате уравнение второго порядка, вообще говоря, не
инвариантно относительно растяжений.
(d) Проделайте то же самое для симметрии растяжения.
(е) Проинтегрируйте уравнение Эйлера — Лагранжа дважды, пользуясь
двумя первыми интегралами, которые даются теоремой Нётер. Покажите,
однако, что, как и выше, в общем случае нельзя еще понизить порядок.
(f) Что случится, если применить к этому уравнению методы § 2.5?
Это показывает, что, хотя однопараметрическая группа вариационных сим-
метрий, вообще говоря, позволяет понизить порядок системы уравнений Эй-
Упражнения
367
лера — Лагранжа на два, двупараметрическая группа вариационных симмет-
рий в общем случае не позволяет понизить порядок на четыре единицы! (Эта
задача приведена к гамильтоновой форме в гл. 6.)
4.12. Покажите, что если S?— вариационная задача, зависящая от одной
независимой н одной зависимой переменной, н Z инвариантна относительно
двупараметрнческой абелевой группы симметрий, то порядок соответствую-
щего уравнения Эйлера — Лагранжа можно понизить на четыре единицы.
4.13. (а) Предположим, что А = Е (L) — 0 представляют собой уравнения
Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи и G — регулярная груп-
па вариационных симметрий (или даже дивергентных симметрий), действую-
щая на М. Докажите, что редуцированная система A/G = 0 для G-инвари
антных решений системы А также представляет собой уравнения Эйлера —
Лагранжа для некоторой вариационной задачи на фактормногообразии M/G.
Обобщается ли это на группы невариационных симметрий?
(Ь) Найдите вариационные формулировки уравнений для инвариантных
относительно группы решений уравнения Кортевега — де Фриза (2.66), вос-
пользовавшись сначала подстановкой и = vx, чтобы привести само уравнение
Кортевега — де Фриза к вариационному виду.
4.14. Уравнение теплопроводности ut = ихх не может быть приведено к
вариационному виду (кроме как с помощью некоторых искусственных при-
емов — см. упр. 5.26 и 5.27). Докажите, однако, что уравнение для инвари-
антных относительно растяжений решений эквивалентно уравнению Эйлера —
Лагранжа. (Указание. Найдите подходящую функцию, на которую его нужно
умножить.) Обобщите это на внешне размерности. (Таким образом, редук-
ция с помощью группы симметрий будет обычно сохранять вариационную
структуру, если она имелась сначала, но она может также ввести вариацион-
ную структур там, где ее до этого не было!)
4.15. Пусть р = 1, q — 2, и у нас есть функционал
S [к, й] = L (х, и, й, их, йх, ...) dx.
Рассмотрим «годографическую» замену переменных у — й, v = и, v = х, и
пусть
3? [р, б] = L (у, v, v, Vy, Vy, ...) dy
— преобразованный функционал. Докажите, что соответствующие уравнения
Эйлера — Лагранжа связаны формулой
Еи (V = £) Ей (У = - «хЕ0 w ~ ES (L)-
4.16. Воспользуйтесь теоремой Нётер, чтобы дать другое доказательство
теоремы редукции 4.17, не опирающееся непосредственно на замену перемен-
ных. Примените ваш результат к упр. 4.8 и 4.9.
5. Обобщенные симметрии
Группы симметрий дифференциальных уравнений или вариа-
ционных задач, до сих пор рассматривавшиеся в этой книге,
все были группами локальных преобразований, «геометрически»
действующих на пространстве независимых и зависимых пере-
менных. Эмми Нетер первой осознала, что можно значительно
расширить приложения методов групп симметрий, включая в
преобразования (или, точнее, в их инфинитезимальные обра-
зующие) производные соответствующих зависимых переменных.
В последнее время доказана важность этих «обобщенных сим-
метрий»1) в изучении нелинейных волновых уравнений, где ока-
зывается, что обладание бесконечным числом таких симметрий
является характеристическим свойством «интегрируемых» урав-
нений (таких, как уравнение Кортевега — де Фриза, имеющее
солитонные решения), которые могут быть линеаризованы или
непосредственно, или с помощью обратной задачи рассеяния.
В первом параграфе этой главы представлена основная тео-
рия обобщенных векторных полей и соответствующих преобра-
зований из группы, которые находятся теперь путем решения
задачи Коши для некоторой соответствующей системы эволю-
ционных уравнений. Определение обобщенных симметрий си-
стемы дифференциальных уравнений по существу такое же, как
и раньше, хотя промежуточные вычисления обычно оказываются
гораздо более сложными. Другой подход к этой проблеме со-
стоит в применении оператора рекурсии, который будет по-
рождать сразу бесконечные семейства симметрий. Этому посвя-
щен второй параграф. Для линейных систем операторы рекур-
сии и симметрии—по существу одни и те же объекты, тогда
*) Некоторые авторы ошибочно относят введение этих симметрий к ра-
ботам Ли и Бэклуида и дают им вводящее в заблуждение название «пре-
образований Ли — Бэклунда». (В частности, это не то же самое, что на-
стоящие преобразования Бэклунда, которые не обладают групповыми свой-
ствами.) Мы выбрали термин «обобщенная симметрия», а не «преобразова-
ние Нетер», поскольку последний уже приобрел несколько других значений
в контексте вариационных задач. Более полное обсуждение любопытной ис-
тории этих симметрий проводится в замечаниях в конце этой главы.
Гл. 5. Обобщенные симметрии
369
как в случае нелинейных уравнений лишь очень специальные
«интегрируемые» уравнения обладают операторами рекурсии.
Многие из наших предыдущих приложений геометрических
симметрий остаются в силе для обобщенных симметрий. В част-
ности, теорема Нётер доставляет теперь полное взаимно одно-
значное соответствие между однопараметрическими группами
обобщенных вариационных симметрий некоторого функционала
и законами сохранения соответствующих ему уравнений Эйле-
ра— Лагранжа. Таким образом, можно надеяться на полную
классификацию законов сохранения посредством конструктивных
методов теории групп симметрий. В частности, интерпретация
группы симметрий линейной системы как оператора рекурсии
сразу приводит к бесконечным семействам законов сохранения,
зависящих от производных высших порядков, в очень общих
ситуациях. Недавние результаты еще больше выявляют роль
тривиальных симметрий и законов сохранения в нётеровом со-
ответствии для вполне невырожденных систем, из которого сле-
дует, что каждая нетривиальная группа вариационных симмет-
рий дает нетривиальный закон сохранения и наоборот. Пере-
определенные системы подпадают под действие второй теоремы
Нётер, которая связывает бесконечномерные группы вариацион-
ных симметрий с зависимостями между самими уравнениями Эй-
лера — Лагранжа. Все это будет подробно обсуждаться в
третьем параграфе этой главы.
Лежащий в основе многих наших алгебраических манипу-
ляций, включающих симметрии, законы сохранения, дифферен-
циальные операторы и тому подобное, предмет, лучше всего
описываемый как «формальное вариационное исчисление», яв-
ляется некоторым комплексом, называемым вариационным ком-
плексом. В вариационном исчислении он играет ту же роль,
что комплекс де Рама в обычном векторном исчислении на
многообразиях. Имеются три фундаментальных результата, мо-
тивирующих рассмотрение этого комплекса: первый — это ха-
рактеризация ядра оператора Эйлера как пространства полных
дивергенций; второй — характеризация (в теореме 4.24) про-
странства нулевых дивергенций (тривиальных законов сохра-
нения второго типа) как «полных роторов»; третий — вариант
Гельмгольца обратной задачи вариационного исчисления, кото-
рый устанавливает, когда данное множество дифференциальных
уравнений представляет собой уравнения Эйлера — Лагранжа
для некоторой вариационной задачи. Все эти результаты — про-
явления точности всего вариационного комплекса в различных
членах. Хотя каждый результат можно было бы доказать сам
по себе, вариационный комплекс, фундаментальная роль кото-
рого в геометрической теории вариационного исчисления ста-
370
Гл. 5. Обобщенные симметрии
новится все более и более очевидной, доставляет объединяющую
их основу, а полное доказательство его точности получить не
намного труднее. Поэтому мы посвятили последний параграф
данной главы замкнутому описанию этого комплекса вместе со
значительно упрощенным доказательством его точности.
5.1. ОБОБЩЕННЫЕ СИММЕТРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим векторное поле
р ч
й дх ди
определенное на некотором открытом подмножестве М про-
странства независимых и зависимых переменных Х\ U. Если
коэффициенты <ра зависят только от х и и, то v будет по-
рождать (локальную) однопараметрическую группу преобразо-
ваний exp(ev), действующую поточечно на пространстве М (это
подробно обсуждалось в предыдущих главах). Значительное
обобщение понятия группы симметрий получается при ослабле-
нии этого геометрического предположения, если допустить, что
коэффициенты <ра могут зависеть также от производных
от и. В этой главе мы установим множество следствий такого
расширения понятия симметрии.
Дифференциальные функции
Прежде чем приступать к развитию теории обобщенных век-
торных полей, полезно ввести некоторые обозначения. В этой
главе МаХХИ будет обозначать фиксированное связное от-
крытое подмножество пространства независимых и зависимых
переменных. Продолжения ММ с X X П(п> являются тогда от-
крытыми подмножествами соответствующих пространств струй,
причем (х, ц<">)е Л4(п), если и только если (х, и)^М. Обозна-
чим через пространство гладких функций Р(х, «<">), завися-
щих от х, и и производных от и до некоторого конечного, но
меняющегося порядка п и определенных для (х, ц<">)е Л4<п).
Функции из зЗ называются дифференциальными функциями (по
аналогии с дифференциальными многочленами в дифферен-
циальной алгебре). Каждая дифференциальная функция, таким
образом, — это гладкая функция Р: М(п> R для некоторого
(конечного) п. Если т п, то Р(х, ц(п>) можно также рассмат-
ривать как функцию на Л4(т>, поскольку координаты (х, «<">)
представляют собой часть координат (х, u(m>) на Л4(т). Если
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений 371
нас не заботит, от какого точно числа производных от и зави-
сит Р, мы будем писать Р[и] = Р(х, Здесь квадратные
скобки будут служить напоминанием, что Р зависит от х, и и
производных от и. Далее, мы определяем как векторное
пространство наборов из / дифференциальных функций Р[и] =
= (Pi1Ы1 > • • • > Pi [«]), где каждая Р,- лежит в
Заметим, что — алгебра. Это означает, что мы можем
складывать дифференциальные функции и перемножать их.
Имеется также некоторое число основных дифференциальных
операторов на с которыми мы уже сталкивались. Операторы
взятия частных производных д/дх1 и djdu^ оба переводят диф-
ференциальную функцию в другую дифференциальную функ-
цию, но, вообще говоря, они не сохраняют порядок производ-
ных, от которых те зависят. Например, Р = иххх + хиих зави-
сит от производных третьего порядка, но дР/ди — хих зависит
только от производных первого порядка. Аналогично, полные
производные Df. являются линейными отображениями,
причем D/Pfu] зависит от производных порядка «+1, если
P[u] = Р(х, и<">) зависит от производных порядка п. Два дру-
гих важных оператора — это полная дивергенция Div:
и оператор Эйлера Е: определенные в предыдущей
главе.
Обобщенные векторные поля
Определение 5.1. Обобщенное векторное поле — это (фор-
мальное) выражение вида
р q
»-В'и£+Е<М«];£г. М
1=1 а=1
в котором и фа — гладкие дифференциальные функции.
Таким образом, например,
д . д
V = XUx -5-Ь Uxx
х дх ' хх ди
— обобщенное векторное поле в случае р = q = 1. Сейчас мы
уклонимся от всякого обсуждения точного смысла этого объек-
та, а работать с такими обобщенными векторными полями бу-
дем так, как если бы это были обычные векторные поля. Таким
образом, в согласии с формулой продолжения теоремы 2.36 мы
можем определить продолженное обобщенное векторное поле
pr<")v = V+£ £ [«],
а=1 Г
372
Гл. 5. Обобщенные симметрии
коэффициенты которого определяются формулой
( р \ р
<ра — 2 £4) + £ р
i=l / i = l
(5.2)
при тех же обозначениях, что и раньше. Таким образом, в на-
шем предыдущем примере
рг< XUx |- Uxx h [иххх (XUXX ф- Ux) Ux] Qux '
а коэффициент при д/дих вычислен по формуле
Dx (Uxx — Хи2х) + XUxUxx = Dx (ихх) ~ Dx (XUx) их-
Поскольку для коэффициентов всех продолжений обобщен-
ного векторного поля имеется одно и то же общее выражение,
полезно перейти к «бесконечному» продолжению и заботиться
сразу обо всех производных. А именно для данного обобщен-
ного векторного поля v его бесконечное продолжение (или, для
краткости, продолжение) — это формальная бесконечная сумма
р 9
’rv=D'^-+Z <53>
t=l а=1 I 1
где каждая функция ср' задается формулой (5.2), а суммиро-
вание в (5.3) теперь распространяется на все мультииндексы
J=Ui, Для k 0, 1 р. Заметим, что если
Р [u] = Р (х, и<")) — произвольная дифференциальная функция,
то рг у(Р) = рг<")у(Р)—снова дифференциальная функция.
В частности, поскольку Р зависит лишь от конечного числа про-
изводных от и, для вычисления prv(P) всегда требуется лишь
конечное число слагаемых суммы (5.3). Поэтому вопрос о «схо-
димости» суммы (5.3) никогда не возникает.
Каково бы ни было геометрическое значение обобщенного
векторного поля (этот вопрос мы изучим позже в этом пара-
графе), формальное условие того, что оно будет «инфинитези-
мальной симметрией» системы дифференциальных уравнений,
очевидно.
Определение 5.2. Обобщенное векторное поле v является
обобщенной инфинитезимальной симметрией системы дифферен-
циальных уравнений
Av[u] = Av(x, и(п)) = 0, v=l, ..., Z,
5.1. Обобщенные симметрии Дифференциальных уравнений 373
если и только если
рг v [Av] = 0, v = 1, ..., I, (5.4)
для каждого гладкого решения и = f(x).
Это прямая аналогия с критерием инфинитезимальной сим-
метрии теорем 2.31 и 2.72. Согласно последнему результату,
нам нужно сделать некоторые предположения о невырожден-
ности системы А. Заметим, что в силу предыдущего обсужде-
ния, если коэффициенты поля v зависят от производных от и
порядка т, то левая часть формулы (5.4) будет, вообще го-
воря, зависеть от производных порядка т + п. Поэтому если
мы собираемся потребовать, чтобы левая часть (5.4) обраща-
лась в нуль на всех решениях системы, то мы должны нало-
жить условия невырожденности не только на саму систему А,
но также и на все ее продолжения A<ft>, k = 0, 1, ... . Чтобы
избавиться от постоянного повторения этих предположений, мы
во всей этой главе будем предполагать их выполненными.
Общее предположение. Если не оговорено противное, все
системы дифференциальных уравнений предполагаются вполне
невырожденными в смысле определения 2.83; а именно и они,
и все их продолжения имеют максимальный ранг и локально
разрешимы.
В частности, если А — нормальная аналитическая система,
как обсуждалось в § 2.6, то она удовлетворяет этому предпо-
ложению. В этом случае (5.4) справедливо для всех решений,
если и только если существуют дифференциальные операторы
такие, что
i
рг v (AJ = £ ^цАц (5.5)
Ц=1
для всех функций u = f(x). (См. упр. 2.33.) Обе формулы (5.4)
и (5.5) — полезные варианты основного инфинитезимального
критерия для группы обобщенных симметрий.
Пример 5.3. Рассмотрим уравнение теплопроводности
А [и] — щ — ихх — 0.
Обобщенное векторное поле v = ихди имеет продолжение
д । д । д । . д ,
рг V — «X + ихх + uxt dUt + иххх dUxx + ... .
374
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Таким образом,
рг v (А) = uxt — иххх = Dx (ut — ихх) = DXA
и, следовательно, в соответствии с (5.5) v — обобщенная сим-
метрия уравнения теплопроводности. Более общо, всякое обоб-
щенное векторное поле вида v = 3) [и] ди, где 3) — произволь-
ный линейный дифференциальный оператор с постоянными ко-
эффициентами, как легко видеть, будет обобщенной симметрией
уравнения теплопроводности.
Эволюционные векторные поля
Среди всех обобщенных векторных полей те, у которых ко-
эффициенты |'[и] при д/дх1 равны нулю, играют особую роль.
Определение 5.4. Пусть Q [u] = (Qi[«], .... Qq [и]) е .rt4 —
набор из q дифференциальных функций. Обобщенное векторное
поле
ч
а=1
называется эволюционным векторным полем, a Q называется
его характеристикой.
Заметим, что, согласно (5.2), продолжение эволюционного
векторного поля принимает особенно простой вид
а, Г г
Всякое обобщенное векторное поле v вида (5.1) обладает со-
ответствующим эволюционным представителем vq, характери-
стика которого состоит из дифференциальных функций
р
Qa = qpa—а=1, ...(<7, (5.7)
«=1
где и? = duafdxl. Эти два обобщенных векторных поля в сущ-
ности определяют одну и ту же симметрию.
Предложение 5.5. Обобщенное векторное поле v является
симметрией системы дифференциальных уравнений, если и
только если таковой является его эволюционный представи-
тель Vq.
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений
375
Доказательство. В силу формулы продолжения (2.50)
р
рг V [Av] = рг vQ [Av] + £ g'£>jAv. (5.8)
Вторая группа слагаемых обращается в нуль на всех решениях
системы А, так что предложение легко следует из определе-
ния 5.2. П
Например, симметрия ихди уравнения теплопроводности
в точности является эволюционным представителем образую-
щей симметрии сдвига —дх. Аналогично, эволюционным пред-
ставителем галилеевой образующей —2tdx + хиди будет
(2tux -(• хи)ди. Это, как может проверить читатель, тоже сим-
метрия уравнения теплопроводности.
Мы будем различать симметрии, обсуждавшиеся в гл. 2, и
собственно обобщенные симметрии, называя первые геометри-
ческими симметриями, поскольку они геометрически действуют
на пространстве ХУ,и. (Другое подходящее название — точеч-
ные преобразования.) Согласно предыдущему примеру, каждая
геометрическая симметрия имеет эволюционный представитель
с характеристикой, зависящей от производных, самое большее,
первого порядка. Однако не каждая такая эволюционная сим-
метрия соответствует геометрической группе преобразований;
ее характеристика должна иметь специальный вид (5.7), где
и фа зависят лишь от х и и.
Эквивалентность и тривиальные симметрии
Заметим, что если vQ — эволюционное векторное поле и
9-набор Q обращается в нуль на решениях системы А, то в силу
(5.6) все коэффициенты продолжения prvQ также обращаются
в нуль на всех решениях. Поэтому vq автоматически является
обобщенной симметрией системы А. Такие симметрии назы-
ваются тривиальными, а нас в первую очередь интересуют не-
тривиальные симметрии системы. Обобщенная симметрия три-
виальна, если тривиальна ее эволюционная форма. Две обоб-
щенные симметрии v и v называются эквивалентными, если их
разность v — v — тривиальная симметрия системы. Это вводит
отношение эквивалентности на пространстве обобщенных сим-
метрий данной системы; кроме того, мы будем классифициро-
вать симметрии с точностью до эквивалентности, так что под
симметрией системы мы на самом деле будем понимать целый
класс эквивалентности обобщенных симметрий, отличающихся
друг от друга на тривиальную симметрию. Например, в случае
376
Гл. 5. Обобщенные симметрии
уравнения теплопроводности симметрия сдвига по времени dt,
ее эволюционная форма —щди и обобщенная симметрия —иххди
эквивалентны и для всех практических целей определяют одну
и ту же группу симметрий.
Пример 5.6. Рассмотрим систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений первого порядка
^r = Pa(t,u), а=1, ..., q. (5.9)
Предположим, нас интересует отыскание обобщенных симме-
трий
Q
V = t(t, и, Ut, ...)—+ У Фа (t, и, Щ,
dt ди
а—1
Мы упрощаем вычисление, заменяя v его эволюционным пред-
ставителем.
<7 а
VQ = £ «О ГДе Qa = <Pa —
a=l
Кроме того, для решений u = f(t) система (5.9) доставляет вы-
ражения для производных dua/dt исключительно в терминах и
и t. Дифференцирование (5.9) аналогичным образом приводит
к выражениям для всех производных высших порядков dkua/dtk
в терминах и и t. Ввиду понятия эквивалентности мы можем
подставить эти выражения в Q, что приведет к эквивалентному
векторному полю простого вида
ч
w=y Qa(t,
ди
а=1
Иными словами, для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка всякая обобщенная симметрия всег-
да эквивалентна геометрической симметрии.
Вычисление обобщенных симметрий
В принципе вычисление обобщенных симметрий данной си-
стемы дифференциальных уравнений осуществляется таким же
образом, как и вычисление геометрических симметрий. Однако
отметим следующие особенности. Во-первых, нам нужно приве-
сти симметрию к эволюционному виду vQ — это уменьшает число
неизвестных функций с р + q до q, причем одновременно упро-
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений 377
щается вычисление продолжения prvq. Затем нужно a priori
фиксировать порядок производных, от которых может зависеть
характеристика Q(x, и<т>). Здесь возникает необходимость в ком-
промиссе: чем от большего числа производных от и зависят Q,
тем больше обобщенных симметрий можно найти, но, с другой
стороны, тем дольше и утомительней решать получающиеся ура-
внения для симметрий. Конечно, при таком подходе нельзя на-
деяться найти все обобщенные симметрии. Однако, выбирая пг
не слишком большим, часто можно получить важную информа-
цию об общем виде симметрий. Наконец, мы столкнемся с по-
явлением тривиальных симметрий; самый легкий способ обхо-
диться с ними — исключить лишние производные из Q с по-
мощью подстановок, пользуясь продолжениями системы, как это
делалось в предыдущем примере.
Пример 5.7. Рассмотрим простейшее нелинейное волновое
уравнение
ut = иих.
Предположим, что vq = Q [tz]5u— обобщенная симметрия в эво-
люционном виде. Заметим, что мы можем заменить любую про-
изводную от и по t, встречающуюся в Q, соответствующим выра-
жением, содержащим только производные по х, не меняя класс
эквивалентности v. Например, ut заменяется на иих, uxt -на
иихх + и2х, utt — на и иххЧиох и т. д. Таким образом, каждая
симметрия единственным образом эквивалентна симметрии с ха-
рактеристикой Q = Q(x, t, и, их, ихх, ...). Инфинитезимальное
условие (5.4) инвариантности принимает тогда вид
DtQ = uDxQ 4- uxQ, (5.10)
и оно должно выполняться для всех решений. Чтобы вычислить
симметрии второго порядка, мы требуем, чтобы Q имела вид
Q(x, t, и, их, ихх), так что (5.10) после подстановки вместо щ
соответствующего выражения и упрощения принимает вид
dQ dQ . 2 dQ . q dQ ~
-nr — « + miii = uxQ.
dt dx ' x dUx x xx duXx
В силу метода характеристик, ср. (2.12), общий вид решения
этого линейного уравнения с частными производными первого
порядка — это
Q = uxR (х + /и, и, t + —, ,
\ их их )
где R—произвольная функция от своих аргументов. Какие из
этих обобщенных симметрий соответствуют геометрическим сим-
378
Гл. 5. Обобщенные симметрии
метриям того типа, который обсуждался в гл. 2? Те из них, у ко-
торых характеристика Q имеет вид Q = <р — — иихх, где ср, g
и т зависят только от х, t и и. Соответствующая инфинитези-
мальная образующая имеет вид v = %дх -Т xdt + <pdu. Таким об-
разом,
(2 = цхф(х + tu, и) (tux 1)ф(хф- tu, и)
при некотором ф, причем —£—ит = ф + ^ф. Таким образом,
имеется довольно мало свободы для вида | и т; однако если
£ + их = 0 = ф, то эволюционный вид поля v тривиален, Q = О,
так что каждая геометрическая симметрия эквивалентна сим-
метрии с х = 0, т. е.
v = —(Ф + /ф)дх + фд„.
Если мы ограничим внимание проектируемыми группами сим-
метрий, то можно показать, что эта подгруппа порождается сле-
дующими восьмью векторными полями:
дх, tdx — ди,
dt, xdt + и2ди,
хдх + tdf, xtdx + t2dt — (х + /и) ди,
хдх + иди, х2дх + xtdt + (х -|- tu) иди.
Предыдущий пример может дать читателю слишком оптими-
стическую оценку вычислительной сложности задачи вычисления
обобщенных симметрий. На практике вычисление всех обобщен-
ных симметрий данного порядка данной системы дифференци-
альных уравнений принципиально осуществимо, однако только
при значительных затратах времени и вычислительной ловкости
со стороны исследователя. Следующий пример, тоже относитель-
но легкий, может дать хорошее представление о том, что здесь
требуется ').
Пример 5.8. Здесь мы вычисляем все обобщенные симметрии
третьего порядка уравнения Бюргерса, которое мы берем в про-
интегрированном виде
ut = uxx + ux- (5-П)
Мы берем инфинитезимальную образующую в эволюционной
форме v = Qdu, где Q предполагается зависящей от х, t, и, их,
ихх, иххх. Условие симметрии (5.4) имеет вид
DtQ = DXQ + 2uxDxQ. (5.12)
*) В этих примерах уравнения сводятся к линейным точечным преобра-
зованием, так что речь идет по существу о симметриях линейных уравне-
ний. — Прим. ред.
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений
379
Поскольку это единственное условие, которое должно выпол-
няться на решениях, мы можем подставить в него вместо любой
производной от и по t соответствующее выражение, пользуясь
(5.11) и его продолжениями. Тщательно анализируя (5.12), мы
можем выразить коэффициенты при различных производных от
и последовательно по убыванию порядка. Коэффициенты при
производной пятого порядка иххххх сокращаются, поэтому мы пе-
реходим к членам, включающим ихххх. Из того, что только один
член содержит и2ххх, мы видим, что Q аффинна по иххх:
Q—я (О иххх Ч" Q Л ^Х9 ^xx)t
где а зависит только от t в силу структуры других членов с
ихххх-
Переходя к членам, включающим производную третьего по-
рядка иххх, находим:
+ atUxxx = ®'и и Uxxx + и иххиххх +
+ 2Q' WA^ + 2Q' и .
UU XXX ХИXX ххх
Таким образом, Q' аффинна по ихх.
Q' = Заихихх + + р) ихх + Q" (х, t, и, их),
где Р = Р(О—функция одной переменной t. Коэффициент при
в (5-12) теперь имеет вид
6амх + atx + 20 = Q''^,
следовательно,
Q = a(jlxxx —J- 3uxtlxx -|- Ux) 4" 2 P) (^xx 4" Ux) +
+ Л(х, t, и) uxВ (x, t, u).
Все остальные члены, содержащие uxx, — это
(За^ + -у апх + 0() ихх = (2Ааих + 3atux + 2АХ) ихх.
Таким образом, А не зависит от и и
А = -|- attx2 + ~ 0zx + у,
где y = y(t)—еще одна функция от t. Из вида коэффициента
при и2х теперь следует, что
В (х, t, w) = р (х, t) е~и + а (х, t),
380
Гл. 5. Обобщенные симметрии
где р и о еще нужно определить. Коэффициент при их имеет вид
4" а*н%2 + Т + Y* = 2а* + Т а»’
поэтому
<*(*. 0==-4'а/и^3 + 4‘Р«х2 + (т^ — 4'а")х + б’
где 8 — 6(1). Остальные члены в (5.12), которые не содержат
производных от и, — это в точности
pte~u 4- о, = рххе~и + охх.
Таким образом, р(х, t) —произвольное решение уравнения теп-
лопроводности р/ — рхх, а пользуясь указанным видом о, мы за-
ключаем, что
atttt~®> Pttt= Vtt~~2attt’ —
Таким образом, аир являются соответственно многочленами
третьей и второй степени по t:
а (0 = с/ + с8/2 + c7t + с6, ₽ (/) = с5/2 + с4/ + с3,
где с3, ..., с9 — произвольные постоянные, откуда
О 1
Y(0 = -4c9<2+C2^ + Ci, б(О=-2-С^ + со,
где с0, ci, с2 — константы.
Собирая вместе всю полученную информацию, мы заклю-
чаем, что каждая обобщенная симметрия третьего порядка для
уравнения Бюргерса (5.11) имеет в качестве характеристики Q
линейную комбинацию с постоянными коэффициентами следую-
щих десяти «базисных» характеристик:
Qo= 1,
Qi=
Q2 == tUx Н х
Фз = ихх + Их,
Q4 t (ихх 4“ Их) 4- 2 %UX,
Qs — t (ихх 4~ Их) 4~ txux 4- 14- х2),
Qe ^ХХХ ^^Х^хх “Ь
Q7 = / (Иххх 4“ Зихихх 4- Их) 4- (ЫХХ 4“ Их),
(5.13)
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений
381
Q8 — /2 (wxxx + 3uxUxx + их) 4“ tX (llxx 4- Ux) 4“
+ (4z + 4x2)w-
Qo t (uxxx “I” 3uxUxx 4“ Wx) 4 2~ X (uxx 4“ Ux) 4“
+(4/2+4/x2)Ux 4- (4/x+4 x9
плюс бесконечное семейство характеристик
Qp = p(x, t)e~u,
где p — произвольное решение уравнения теплопроводности. Из
этих характеристик первые шесть Qo, ..., Q5 и характеристики
Qp отвечают геометрическим симметриям, вычисленным в при-
мере 2.42. Например, характеристика Q4 эквивалентна характе-
ристике
Q4 = tut 4- 4 хих,
соответствующей векторному полю
v.i = — 4 хдх — tdt,
порождающему группу симметрий растяжения. Вообще харак-
теристики Qo, .... Qs, Qp эквивалентны характеристикам полей
Vo, •, V5, vp в (2.60) соответственно (во всяком случае, с точ-
ностью до знака).
Можно было бы продолжать таким образом вычислять обоб-
щенные симметрии все более и более высоких порядков, но со-
ответствующие вычисления растут все быстрее и быстрее. Чита-
тель может попытаться найти характеристики четвертого поряд-
ка Q = Q(x, t, и, . .., ихххх), чтобы почувствовать это явление.
В § 5.2 мы откроем более систематические средства нахождения
этих симметрий.
Групповые преобразования
Какая группа преобразований соответствует обобщенному
векторному полю? Если v — собственно обобщенное векторное по-
ле, то его однопараметрическая группа exp(ev) не может боль-
ше геометрически действовать на область М с X X V, поскольку
коэффициенты поля v зависят от производных от и, которые
также преобразуются. Не можем мы определить и продолжение
действия группы ни на каком конечном пространстве струй М^п\
поскольку коэффициенты в pr<n>v будут зависеть от производных
382
Гл. 5. Обобщенные симметрии
от и еще более высокого порядка, чем те, что присутствуют в М®.
Самый легкий способ разрешить эту дилемму — определить дей-
ствие группы ехр (ev) на пространстве гладких функций следую-
щим образом '). Заменим сначала v его эволюционным предста-
вителем vq, как выше, и рассмотрим систему эволюционных
уравнений
-g- = Q(x, w(m))> (5.14)
где Q — характеристика поля v. Решение (если оно существует)
задачи Коши и(х, 0) = f(x) определит действие группы:
[exp(evQ)f] (х) = и(х, е).
Здесь мы вынуждены предполагать, что решение этой задачи
Коши определено единственным образом, если начальное зна-
чение f(x) выбрано в некотором подходящем пространстве функ-
ций, по меньшей мере для достаточно малых е. В результате мы
получим поток exp(evc) на данном функциональном простран-
стве. Конечно, проверка этого предположения приводит к некото-
рым очень трудным проблемам существования и единственности
решений систем эволюционных уравнений, которые лежат да-
леко за рамками этой книги. Оставив в стороне решение этих
проблем, мы получим результаты, которые, хотя и несколько
формальны по своей природе, тем не менее будут иметь прямые
практические приложения.
Пример 5.9. Пусть р = 2, q—\ и введены координаты (х, у,
и). Рассмотрим группу сдвигов G, порожденную полем у = дх.
Индуцированное действие группы G на функции и = f(x, у), как
определено в § 2.2, имеет вид
[ехр (ev) Л (х» y) = f(x — е, у).
Эволюционная форма поля v — обобщенное векторное поле Vo=
= —ихди. Соответствующая однопараметрическая группа опре-
деляется решением задачи Коши
ды/де= — их, и(х, у, O) = f(x, у).
Решение имеет вид
[ехр (ev0) Л (х, у) = и(х, у, E) = f(x — E, у).
Таким образом, v и Vo порождают одно и то же действие, и в
этом смысле они являются эквивалентными векторными полями.
*) См. также упр. 5.8, где указан другой способ.
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений
383
Теорема 5.10. Эволюционное векторное поле v = vq является
симметрией системы дифференциальных уравнений Д если и
только если соответствующая группа exp(ev) преобразует реше-
ния системы в другие ее решения.
Замечание. Эта теорема, конечно, подчиняется различным
техническим предположениям, а именно
(1) А — вполне невырожденная система, как в нашем об-
щем предположении.
(2) Система эволюционных уравнений, соответствующая по-
лю V, разрешима единственным образом в некотором простран-
стве функций, содержащем все (локальные) решения системы А.
(3) Система линейных уравнений (5.15), появляющаяся в до-
казательстве, однозначно разрешима.
Доказательство. Пусть ие = exp(ev)f. (N. В. Нижний индекс
е не обозначает производную.) Если иЕ — параметризованное
семейство решений, то
0-А-д.Ц, «?’) = ЕоЛ(х, «'.')=
а, /
= prvQ[Av(x,
Подстановка е — 0 дает условие (5.4). Обратно, пусть выпол-
няется условие (5.5). Предположим, что для достаточно малых
е единственное решение v = (у1, ..., vl) системы эволюционных
уравнений
~ = £ Pw (х, «Г(х)) rf, V = 1, ..., I, (5.15)
<?8 в в. 1
с нулевыми начальными условиями v(x, 0) = 0 — нулевое реше-
ние v(x, е)^0. Тогда (5.5) и предыдущее вычисление устанав-
ливают, что если u = f(x)—решение системы A, to"wv(x, в) =
= Av (х, t4n)) удовлетворяет этой задаче с начальными условия-
ми и, следовательно, Av (х, t/”*) = 0 для всех е. А это и доказы-
вает, что це — решение. □
Если Р[«] — произвольная дифференциальная функция, а
и(х, е) — гладкое решение системы (5.14), то нетрудно видеть,
что
^РМ-£0Л.М-5—prve(O.
а. / 1
384
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Иными словами, prvo(P) определяет инфинитезимальное изме-
нение Р под действием однопараметрической группы, порожден-
ной полем vc:
Р [ехр (8Vq) Л = Р [fl + е pr vQ (Р) [Л + О (е2). (5.16)
Как и в (1.18), мы можем продолжить разложение по степе-
ням е, что приводит к ряду Ли
оо
Р [ехр (eVQ) Л = £ -S’ <РГ Vq)" р [Л- (5-17)
п—О
(Здесь (prvc)2(P) = prvQ[prvQ(Р)] и т. д.) В частности, если
Р[и] = и, то (5.17) дает (формальный) ряд Ли — решение эво-
люционной системы (5.14). (Мы не будем пытаться исследовать,
сходится ли на самом деле ряд (5.17); см. следующий пример.)
Пример 5.11. Пусть p = q=l. Рассмотрим обобщенное век-
торное поле v = иххди. Соответствующая однопараметрическая
группа получится решением задачи Коши
^ = UXX, и(х, O) = f(x). (5.18)
Решение имеет вид н(х, е) = ехр (ev)f(х). Таким образом, экс-
поненциирование обобщенного векторного поля v = иххди экви-
валентно решению уравнения теплопроводности!
Любому читателю, знакомому с этой задачей, сразу же ста-
нут видны некоторые трудности. Во-первых, при е < 0 мы имеем
дело с «обратным уравнением теплопроводности», которое яв-
ляется классической некорректной задачей и может даже не
иметь решений. Таким образом, мы можем лишь надеяться по-
лучить «полугруппу» преобразований, порожденную полем v. Во-
вторых, как показывает пример, принадлежащий А. Н. Тихо-
нову, если не накладывать некоторых условий на рост решения,
то оно, вообще говоря, не будет единственным. Далее, если
Р [н] = и в (5.17), то мы получаем решение (5.18) в виде (фор-
мального) ряда
. х г / х I d2f . 82 d*f .
u(x, e) = f W + e л?+-2Г aF+ • • • •
Однако, как показала С. В. Ковалевская, даже если функция f
аналитическая, этот ряд для и может не сходиться. На самом
деле он будет сходиться, только если f — целая аналитическая
функция, удовлетворяющая условию роста |f(x) | С ехр (Кх2)
для некоторых положительных постоянных С, К. (Это те самые
условия роста, которые нужны, чтобы обеспечить единственность
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений
385
решений.) Этот пример дает ясное представление о трудностях,
связанных со строгим осуществлением экспоненцирования об-
общенных векторных полей.
Симметрии и продолжения
Связь между обобщенными симметриями систем дифферен-
циальных уравнений и их продолжениями основана на одной
важной характеризации эволюционных векторных полей. Она
состоит в следующем: кроме тривиальных полей сдвигов д/дх1
эволюционные векторные поля единственным образом опреде-
ляются тем фактом, что они коммутируют с операциями полного
дифференцирования.
Лемма 5.12. Если vq — эволюционное векторное поле, то
рг vQ [£>,/>] = Dt [рг ve (Р)], i = 1, ..., p, (5.19)
для всех P Обратно, для данного векторного поля
р
v-=EH«]-£-+E
fe=l а=1 I 1
при некоторых £*, е бФ мы имеем [v*, £>«] = 0 при i = 1, ...
..., р, если и только если
р
• . V» д
V =prvQ+2Jci-?
i=l °
для некоторых Q е q, ...,cpeR.
Доказательство. Заметим сначала, что имеет место соотноше-
ние коммутирования
-£г (АР) = Dt , (5.20)
dtij \dui J дц/\1
где J \ i получается удалением одного i из мультииндекса J.
(Если i не встречается в J, то этот член считается равным ну-
лю.) Отсюда следует, что
ргVQ[^P] = У DtQa [ВД =
Ъ ди“
а, I 4 z а» / J >
13 П. Олвер
386
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Переобозначая J \ i через J во второй сумме (так что / пре-
вращается в /, I), мы получаем, как легко видеть, что это равно
°< [рг Те (Р)]=Е ол D, + £ D,Dfi„. ¥-.
, \OUI J OUJ
а, / 4 J а, I J
Докажем обратное утверждение. В силу (5.20) имеем
р
D, • V - V- • D, = £ О/ + £ (DX - <) -3L.
, . l/Л l/Uj
fe=l 1, а 1
Это выражение обращается в нуль, если и только если D^k = 0
для всех i, k и <р£1 = для всех i, /, а. Таким образом, каж-
дая g* обязательно является константой и по индукции ф'=£>/2а,
где Qa = ф° — коэффициент при диа.
Теорема 5.13. Если vQ— симметрия системы Д, то это также
симметрия любого продолжения
Доказательство. Все уравнения в A(fe) имеют вид £)/Av = 0.
По лемме 5.12
рг vQ (£>/Av) = Dj (рг Vq (Av)) = 0,
если и — решение, поскольку prvp(Av) по предположению обра-
щается в нуль на решениях. □
Скобка Ли
Как и для обычных векторных полей, для обобщенных век-
торных полей имеется скобка Ли. Она должна определяться про-
должением этих векторных полей, поскольку в их коэффициенты
входят производные от и. Как и в случае обычной скобки Ли,
легче всего определить ее как коммутатор, но можно также оп-
ределить ее с помощью соответствующих однопараметрических
групп. (См. упр. 5.7.)
Определение 5.14. Пусть v и w — обобщенные векторные по-
ля. Их скобка Ли [v, w] — это единственное обобщенное вектор-
ное поле, удовлетворяющее условию
pr[v, w](P)==prv[prw(P)] — prw[prv(/J)] (5.21)
для всех дифференциальных функций Р е
Здесь имеется небольшая сложность, состоящая в том, что не
ясно, является ли в самом деле правая часть равенства (5.21)
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений 387
продолжением некоторого обобщенного векторного поля. Однако
это следует из явной формулы для скобки Ли.
Предложение 5.15. (а) Пусть vq и vr— эволюционные век-
торные поля. Тогда их скобка Ли [vq, vfi] = vs также является
эволюционным векторным полем с характеристикой
S = prvQ(R) —pfvr(Q). (5.22)
(В (5.22) pr vq действует на Re sb4 покомпонентно с элемен-
тами prvQ(R*); Q w R можно поменять местами.)
(Ь) Более общо, если
v=Е м tv+[«]-^.
' дх ди
i а
' дх ди
i а
ТО
Р
[V, W] = £ {pr V (n1) - pr w (g')} +
+ У {pr v (Фа) - pr w (<pa)J . (5.23)
•—' du
a=l
Кроме того, если характеристика поля v обозначена через Q,
а характеристика поля w—через R, то [v, w] имеет характери-
стику S, заданную формулой (5.22).
Доказательство. В основной формуле (5.21) при v = vq, w =
= Vr коэффициент при д[диа в pr[v, w], очевидно, дается а-й
компонентой Sa из (5.22).Таким образом, для доказательства ча-
сти (а) достаточно показать, что [prvq, ргуд]—эволюционное
векторное поле. Отсюда обязательно будет следовать, что оно
совпадает с prvs- Это немедленно вытекает из леммы 5.12, по-
скольку раз и pr vq, и pr vr коммутируют со всеми полными про-
изводными, то то же верно и для их коммутатора, не содержащего
членов, включающих д/дх1, ни для какого i. Это доказывает
ч. (а). Часть (Ь) следует из формулы продолжения (5.8), и мы
оставляем ее читателю. □
Например, если v = иихди, w = иххди, то
[v, w] = (pr v (ихJ — pr w (иих)) ди = 2ихиххди.
Предложение 5.16. Скобка Ли обобщенных векторных полей
обладает обычными свойствами'.
13*
388
Гл. 5. Обобщенные симметрии
(а) билинейность:
[cu + c'v, w] = с [и, w] + с' [v, w], с, с' е R;
(Ь) кососимметричность:
[v, w] = — [w, v];
(с) тождество Якоби:
[u, [v, w]] + [w, [и, v]] + [v, [w, и]] = 0
для произвольных обобщенных векторных полей и, v, w.
В самом деле, эти свойства, очевидно, выполняются, когда
мы заменяем каждое векторное поле его продолжением, а этого
достаточно для доказательства их справедливости. Коммутатор-
ное определение (5.21) скобки Ли немедленно влечет за собой
Предложение 5.17. Множество обобщенных симметрий невы-
рожденной системы дифференциальных уравнений образует ал-
гебру Ли.
Пример 5.18. В определенных случаях этот результат может
быть использован для построения новых обобщенных симметрий
по уже известным. Например, рассмотрим список симметрий
(5.13) «проинтегрированного» уравнения Бюргерса. Обозначая
через V/ симметрию с характеристикой Qi, мы заключаем, что
[у,, V/] является симметрией с характеристикой prv/(Q/)—
— prv; (Qi) для любых i, j. Например,
рг v6 (Qi) рг V7 (Qe)== ^хххх Ч- Ч- 3Uxx Ч- Ч"
дает характеристику Qio новой симметрии четвертого порядка
V]0 = (—2/3) [ve, V7] уравнения Бюргерса. Этот процесс можно
продолжать неограниченно, так что [v?, V10] будет симметрией
пятого порядка и т. д. Поэтому уравнение Бюргерса обладает
бесконечным набором обобщенных симметрий, зависящих от про-
изводных от и все более и более высокого порядка. (Дальнейшую
информацию см. в примере 5.31.)
Эволюционные уравнения
Рассмотрим систему эволюционных уравнений
= (5.24)
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений 389
где Р[и] = Р (х, и(п)) е &Р1 зависит от х е Rp, иеК’ и произ-
водных от и только по х. Мы видим, что всякая эволюционная
симметрия должна быть эквивалентна симметрии, характери-
стика Q [м] = Q(x, t, tz(m)) которой зависит лишь от х, t, и и
производных от и по х (в силу подстановок, задаваемых уравне-
ниями (5.24) и их производными). С другой стороны, сами урав-
нения (5.24) можно представлять себе как уравнения потока
exp(^Vp) эволюционного векторного поля с характеристикой Р.
Критерий симметрии (5.4), который в этом случае имеет вид
DtQv = рг vQ (Pv), v = 1, ..., q, (5.25)
как легко видеть, эквивалентен следующему условию на скобку
Ли двух обобщенных векторных полей, обобщающему соответ-
ствие между симметриями систем обыкновенных дифференци-
альных уравнений первого порядка и скобкой Ли соответствую-
щих векторных полей.
Предложение 5.19. Эволюционное векторное поле vq является
симметрией системы эволюционных уравнений ut = P [м], если и
только если
dvo
~дГ+[УР’ vq] = ° (5.26)
тождественно по (х, t, u(ml>). (Здесь dvQ/dt обозначает эволю-
ционное векторное поле с характеристикой dQ/dt.)
Доказательство. Заметим, что, согласно виду продолжения
системы эволюционных уравнений, производная «у t = du°j]dt
эволюционирует в соответствии с формулой ц“ < = Е)/Ра[ц]. Поль-
зуясь этим и формулой для полной производной, легко видеть,
что на решениях
п г\ dQy j \' a dQv dQv . ,
DtQv dt + gua Qt + РГ VP
a. I 1
поскольку Qv зависит лишь от производных от и по х. Таким
образом, (5.25) эквивалентно уравнению
+ РГ Vp (Q) = РГ Vq (Р),
которое должно выполняться тождественно по х, t и и, посколь-
ку в нем уже не присутствуют производные от и по t. Его эк-
вивалентность условию (5.26) легко следует из формулы (5.22)
для скобки Ли. □
390
Гл, 5. Обобщенные симметрии
В частности, если Q[h] =Q(x, и<-т'>) не зависит явно от t, то
(5.26) сводится к условию, что векторные поля vP и nq комму-
тируют:
[vp, VQ]=O. (5.27)
Нетрудно показать, что при определенных предположениях от-
носительно существования и единственности это условие экви-
валентно условию, что коммутируют соответствующие однопа-
раметрические группы симметрий:
ехр (evp) ехр (evQ)f = ехр (evy) exp(evP)f (5.28)
там, где они определены. (См. упр. 5.7.) Следовательно, мы
имеем взаимосвязь, состоящую в том, что если Р, Qe s£4 зави-
сят лишь от х, и и производных от и по х, то векторное поле vq
является обобщенной симметрией системы ut = P тогда и только
тогда, когда векторное поле vP является обобщенной симметрией
системы ut = Q. В частности, для рассмотренного выше Р само
векторное поле vP всегда является симметрией системы ut =
= Р[и]. В самом деле, поле vP эквивалентно эволюционной
форме группы симметрий сдвигов по времени, порожденной по-
лем dt, проистекающей из «автономности» эволюционного урав-
нения. Читатель может попробовать перепроверить условие сим-
метрии (5.26) для симметрий уравнения Бюргерса, найденных в
примере 5.8.
Алгебра коммутирующих «бесконечных» векторных полей
(5.27) интенсивно изучалась при р — q ~ I в связи с теорией
солитонов. Полученные в последние годы результаты носят в не-
котором смысле законченный характер, и мы попытаемся кратко
обрисовать современное положение дел. Отметим сначала, что
любое линейное эволюционное уравнение
dujdt = Р (х, £>х) и = ап (х) D*u + ... + аа (х) и (5.29)
обладает бесконечным набором симметрий с характеристиками
Qi IX Л = (Р(х, Dx) )k(u), k — 1, 2, ..., в силу следующего
утверждения.
Предложение 5.20. Линейная duффepeнцuaльнaя функция
Q (х, Dx) и является характеристикой симметрии линейного эво-
люционного уравнения (5.29) в том и только том случае, если
duффepeнцuaльный оператор Q(x,Dx) коммутирует с P(x,Dx).
Доказательство. Инфинитезимальным критерием коммутиро-
вания потоков, определяемых эволюционными уравнениями
du/dt = Р (х, Dx)u, du/dx = Q(x,Dx)u, является условие равен-
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений
391
ства смешанных производных:
й/с!т[Р(х, Dx)u] = Р{х, Dx)du/dx = P(x, Dx)Q(x, Dx)u —
= д/дх [Q (x, Dx) u] = Q (x, Dx) du/dx = Q (x, Dx) P (x, Dx) u.
Так как это соотношение должно выполняться тождественно по
переменным (х, ы<т)) (см. предложение 5.19), то дифференци-
альные операторы должны коммутировать. □
Рассмотрим в качестве примера эволюционное уравнение
ди/дх = Р (х, Dx) и = ихх — 2х~2и. (5.30)
Коммутатор
[£>2 -I- а (х), £РХ + b (х) Dx + с (х)] =
= (2У - За') Д2 + (2с' + Ь" - За") Dx + с" - а'" - Ьа'
равен 0 при b ==(3/2)а, с=(3/4)а', а = —2/х2, и, таким обра-
зом, рассматриваемое уравнение обладает симметрией с харак-
теристикой Q (х, Dx) и, где Q — оператор третьего порядка. Ясно,
что дифференциальные операторы R = PiQk также коммути-
руют с Р при любых j, k. Поэтому в рассматриваемом примере
существуют симметрии с характеристикой 7?(х, Dx)u, где Р—
оператор любого порядка 2, 3, 4, 5..
Хорошо проработанная теория коммутирующих линейных
дифференциальных операторов служит ориентиром в существен-
но более сложном нелинейном случае. Прежде всего, догово-
римся обозначать через ип — дпи/дхп, п = 0, 1,2, ..., простран-
ственные производные единственной зависимой функции u(x, t).
Рассмотрим эволюционное уравнение порядка п 2
dujdt = P(x, и, щ, ...,ип), п^2, (5.31)
инвариантное относительно сдвигов по t. Подстановка в (5.31)
и (х, I) + е<о (х, /) вместо и (х, /) приводит в пределе е -> 0 к ли-
неаризованному уравнению
п
da/dt = Е dP/dukDx&. (5.32)
fe=0
Пусть Q(x,t,u, ..., ит) — характеристика
Тогда линеаризация уравнения dufdx = Q
ному с (5.32) уравнению
т
д<л/дх== У, dQldukDx<is.
k=0
симметрии (5.30).
приводит к совмест-
392 Гл. 5. Обобщенные симметрии
Приравняв смешанные производные, так же, как в доказатель-
стве предложения 5.20, получим ’)
[Д/ - X dP/dukDx, - Е dQldukDkx 1 = 0
L fe=o fe=o J
или, что то же самое,
[п т "1
ZdP/dukDkx, %dQ/dukDkx\ =
Л=0 k=0 J
т п
= LDt (dQ/duk) Dkx-^DX (дР/ди^) Dx. (5.33)
fe=0 fe=0
Здесь Dt = d/dt + pr vP и Dx — pr vq — полные дифференциро-
вания no t и т соответственно. Ясно, что в линейном случае,
рассмотренном в предложении 5.20, правая часть (5.33) обра-
щается в нуль. Однако пример с Q ~ 1 свидетельствует, что
в нелинейном случае может нарушаться эквивалентность (5.33)
и (5.26).
Можно доказать, что дифференциальные операторы, указан-
ные в левой части (5.33), устроены почти так же, как комму-
тирующие дифференциальные операторы. Будем называть по-
рядком симметрии старший порядок т производных, входящих
в характеристику Q(х, t, и, ит).
Лемма 5.21. Пусть Q(x,t,u, .... ит) — характеристика сим-
метрии порядка т^2 эволюционного уравнения (5.31). Тогда
(dQ/dum)llm = с (/) {дР1дщ$1п- (5.34)
Доказательство. Из формулы
[Dx, a^D^L- aDx = kDx (a) Dx~' + ...,
где многоточием обозначены члены меньшего порядка, полу-
чаем, что наивысшая степень Dx в левой части (5.33) появляется
в виде
[ndP/dunDx (dQ/dum) — mdQldumDx (дР/дип)] Dnx+m~\
По условию n, m 2 и, следовательно, п + m — 1 > max (m, п).
Таким образом, из (5.33) следует, что указанное выражение
равно нулю. Это равносильно формуле (5.34). □
') Это операторное соотношение можно вывести также из (5.26), исполь-
зуя свойства производной Фреше из § 5.2.
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений
393
Условие на порядок симметрии m ^2 в лемме существенно,
так как Q = и\ является решением (5.26) для любого уравне-
ния (5.31), правая часть которого не зависит явно от х. При
этом dQfdui = 1, а дР/дип не обязана быть постоянной. Таким
образом, симметрии нулевого и первого порядков не подпадают
под действие леммы 5.21. Читатель легко проверит, что множе-
ство векторных полей с характеристикой Q = Q(x, и, to) обра-
зует алгебру Ли. Соответствующие группы преобразований вклю-
чают в себя, вообще говоря, не только точечные, но и контакт-
ные преобразования.
Обозначим через S/ множество симметрий порядка не выше
/, / = О, 1, 2, ..., уравнения (5.31), характеристики которых не
зависят явно от t. Рассмотрим вопрос о строении алгебры Ли
S = U Sj. Первое впечатление, что алгебра Si классических сим-
метрий является идеалом алгебры S, оказывается, как показы-
вает следующий пример, ошибочным.
Пример 5.22. Рассмотрим разновидность уравнения Бюр-
герса ’)
dujdt = + 2и2. (5.35)
Можно проверить, что это уравнение обладает бесконечным на-
бором симметрий с характеристиками
Qj = i^D2{uD-\-х}} (х), j = 2, 3, ....
Хотя само уравнение (5.35) инвариантно относительно сдвигов
по х, это свойство нарушается для его симметрий, и при / = 2
мы получаем по указанной формуле
Qj = п3ы3 + 3«2u1m2 + 6u2tZ] + Зх (u2«2 + 2и2).
Теперь ясно, что и\д/ди е Si и что [S, Si] не содержится в Si.
Простейший нелинейный аналог теоремы о коммутирующих
линейных дифференциальных операторах формулируется сле-
дующим образом:
Теорема 5.23. Для любого уравнения (5.31) [Sm, Sm] cz Sm~i
при m^2, и следовательно, алгебра Ли Sm разрешима при лю-
бом т, если разрешима алгебра Si классических симметрий.
Приведенные ниже рассуждения нетрудно превратить в стро-
гое доказательство, если привлечь известную теорию коммута-
тивных колец дифференциальных операторов. Проверим сна-
’) Рассматриваемое уравнение сводится к уравнению Бюргерса анало-
гично тому, как уравнение Бюргерса сводится к линейному. При этом исполь-
зуется преобразование годографа.
394
Гл. 5. Обобщенные симметрии
чала, что множество Sm образует алгебру Ли. Пусть f(x,u, ...
..., u(), g(x, и,..., и,) — произвольные дифференциальные функ-
ции. Из определения скобки Vft = [Vf, vg] следует (см. (5.22),
(5.33)), что
s г । / I
Е dhldukDkx + £ dfldukDkx, Е dgldukDkx =
fe=o L *=о *=o J
= Z Vftdglduk)Dkx~^e(df/duk)Dkx.
k=0 fc=0
Таким образом, вообще говоря, s = i + j — 1, причем (см. дока-
зательство леммы 5.21)
du[dus = i (df/dut) Dx Idg/dUf'} — j (dg/dUj) Dx (df/dut).
Если Vf — симметрия уравнения (5.31) порядка i = tn и vg —
симметрия уравнения порядка / tn, то при j — 1 очевидно, что
порядок vs не больше т. Для того чтобы это проверить при
/ = 2, достаточно показать, что dhfdus = 0. Это легко следует
из леммы 5.21. В случаях j = 3, ... доказательство несколько
удлиняется и дословно повторяет известное доказательство тран-
зитивности свойства коммутирования линейных дифференциаль-
ных операторов ненулевого порядка1)
[Л, В] = [Л, С) = 0=НВ, С] = 0.
Очевидно, в частности, что доказательство леммы 5.21 совпа-
дает с выводом формулы, аналогичной (5.34), для коммутирую-
щих дифференциальных операторов и что не только формула
для dQ/dum, но и формулы для dQ[duk при ft-f-n—1>
> max (т, п) должны совпадать с аналогичными формулами из
теории коммутативных колец линейных дифференциальных опе-
раторов. Доказательство включения [Sm, Sm] cz Sm-i проводится
по той же схеме.
Недостающие детали доказательства теоремы 5.23 и ее уточ-
нения можно найти в недавно вышедшей работе Соколова
[1**], в которой доказано также существование бесконечномер-
ной коммутативной подалгебры симметрий для эволюционных
уравнений (5.31), обладающих симметриями сколь угодно высо-
кого порядка.
5.2. ОПЕРАТОРЫ РЕКУРСИИ
Метод, изложенный в § 5.1, дает систематический способ оты-
скания всех обобщенных симметрий данного порядка для дан-
ной системы дифференциальных уравнений. Однако он страдает
*> См. приложение I.— Прим. ред.
5.2. Операторы рекурсии
395
тем недостатком, что порядок производных, от которых могут
зависеть коэффициенты симметрии, необходимо предварительно
указать. Поэтому таким методом нельзя одновременно получить
все обобщенные симметрии системы. В этом параграфе мы рас-
сматриваем другой метод построения симметрий, основанный на
понятии оператора рекурсии. Хотя этот метод не может дать
исчерпывающей классификации всех возможных симметрий без
дальнейшего анализа, он доставляет технику для построения
бесконечных иерархий обобщенных симметрий, зависящих от
высших производных функции и. К сожалению, хотя проверка
того, что данный оператор определяет оператор рекурсии, яв-
ляется достаточно прямой, в отличие от предыдущего метода
сама техника его построения не вполне конструктивна. Нахож-
дение вида оператора рекурсии (если он вообще существует)
требует определенной интуиции, зачастую базирующейся на виде
симметрий более низких порядков, найденных описанным ра-
нее методом.
Определение 5.24. Пусть Д — система дифференциальных
уравнений. Оператор рекурсии для системы Д — это линейный
оператор 5?: в пространстве наборов из q дифферен-
циальных функций, обладающий тем свойством, что если vQ —
эволюционная симметрия системы Д, то для Q = !%Q поле Vq —
тоже эволюционная симметрия Д.
Таким образом, если нам посчастливилось найти оператор
рекурсии 5? для системы дифференциальных уравнений, то мы
можем получить бесконечное семейство симметрий, исходя из
любой симметрии vq0 посредством многократного применения
оператора 5? к характеристике Qoi иными словами, каждая
Qi = $$Qo, j = 0, 1, 2... является характеристикой обоб-
щенной симметрии. Часто, но не всегда оператор 5? будет мат-
ричным дифференциальным оператором размера q X q-
Пример 5.25- В качестве простого примера покажем, что диф-
ференциальный оператор 5?i = Dx является оператором рекур-
сии для уравнения теплопроводности щ — ихх. Здесь vQ — обоб-
щенная симметрия уравнения теплопроводности, если и только
если на всех решениях DtQ = DxQ. Тогда Q = £)XQ — тоже ха-
рактеристика симметрии, поскольку
DtQ - DXQ = - Dty DXQ = Dx (DtQ - D&) = 0
на решениях. Таким образом, начав с симметрии растяжения
иди, мы можем построить целую иерархию обобщенных снимет-
396
Гл. 5. Обобщенные симметрии
рий многократным применением оператора мы получаем,
что их = (и), ихх — (и) и т. д. все являются характеристи-
ками обобщенных симметрий уравнения теплопроводности.
Иначе говоря, «поток», порожденный уравнением теплопровод-
ности, коммутирует с «потоком», определяемым эволюционными
уравнениями tit = дки/дхк, /е + О, ср. (5.28).
В силу таких же рассуждений полная производная по t Dt
также является оператором рекурсии, но она тривиальным обра-
зом сводится к оператору Dx, поскольку DtQ = DxQ, если Q —
характеристика симметрии. (Вообще, если — оператор рекур-
сии, то и Slm очевидным образом является оператором рекур-
сии.) Имеется, однако, другой оператор рекурсии, не связанный
с оператором Dx, а именно 5?2 = tDx + (1/2)х. Чтобы убедиться
в этом, находим
{Dt - Dx) (tDx + 4 *) Q = (X + 4 *) ~
так что Q = 5?2Q— характеристика симметрии, если Vq — сим-
метрия. Таким образом, мы получаем двойную бесконечную се-
рию обобщенных симметрий уравнения теплопроводности, по-
очередно применяя операторы Й1 и Йз к характеристике Qo = и.
Эти симметрии имеют характеристики
Q0 = w, Q1 = ^i[w] = wx, Q2 = ^2 [«] = tux + -у хи,
Q3 = & [w] = ихх, Qi = [«] = tuxx + -i- xux,
/1 i \ (5.37)
Qs = $2 [w] = t2ux ( + txux + t + —x2) u,
Q6 = ^ [w] = uxxx, Q7 = [«] = tuxxx + xuxx
и т. д. (Заметим, что если мы интересуемся лишь независимыми
характеристиками, то, поскольку й?1^2 = й?2^1+(1/2), поря-
док, в котором применяются операторы и <%2, не имеет значе-
ния.) Первые шесть из них, Qo, • • •. Qs, являются (с точностью
до знака) характеристиками геометрических симметрий уравне-
ния теплопроводности, вычисленных в примере 2.41; осталь-
ные— характеристики настоящих обобщенных симметрий.
Результаты, полученные нами для уравнения теплопровод-
ности, на самом деле обобщаются на произвольные линейные
системы дифференциальных уравнений следующим образом.
Предложение 5.26. Пусть Д [и] = О — линейная система диф-
ференциальных уравнений, причем Л обозначает линейный диф-
5.2. Операторы рекурсии
397
ференциальный оператор. Другой линейный дифференциальный
оператор 9L-. si-4 -> si-4не зависящий от и и ее производных, яв-
ляется оператором рекурсии для системы Д, если и только если
Q = 5? [и] — характеристика «линейной» обобщенной симметрии
этой системы.
Иными словами, для линейной системы всякая обобщенная
симметрия, характеристика которой линейно зависит от и и ее
производных, определяет оператор рекурсии, и наоборот. По-
этому для линейных систем вся теория (линейных) симметрий
может быть построена с помощью операторов рекурсии в каче-
стве основных объектов. Этот подход развит Миллером (Miller
[3]) и его коллегами. Предложение 5.26 доставляет связь этого
подхода с более геометрической теорией Ли — Овсянникова, из-
лагаемой в этой книге. (Преимущество геометрического под-
хода состоит в том, что он одновременно применим и для нели-
нейных систем, которые не поддаются операторному методу.)
Предложение 5.26 доказать легко. Если 91 — оператор рекур-
сии, то Q = 5?[u], очевидно, задает симметрию, поскольку
Qo = и — характеристика тривиальной группы симметрий растя-
жения (х, w)—>-(x, Xw), проистекающей из линейности системы.
Обратно, если vq — симметрия, то в силу (5.4) и линейности си-
стемы Д на всех решениях
ргус(д[и])=д[<э]=дад.
Из невырожденности Д следует существование дифференциаль-
ного оператора j?, удовлетворяющего условию Д5?[ц] = 5?Д[ц]
для всех и, ср. (5.5). Легко видеть, что, поскольку Д и 91 не за-
висят от и, мы можем выбрать 91 также не зависящим от и, и
тогда мы получим тождество Д5? = 5?Д. Таким образом, если
Q = 9LQ, где Q — характеристика некоторой симметрии, так что
Д [Q] = 0, то на решениях Д[С|] = 3?A[Q] = 0 и Cl дает другую
симметрию. □
Пример 5.27. Для двумерного волнового уравнения в при-
мере 2.43 была выведена десятипараметрическая конформная
группа симметрий. Соответствующие характеристики даны в при-
мере 4.36. В соответствии с предложением 5.26 имеется десять
операторов рекурсии, а именно
£>х, Du, Dt, (сдвиги)
91 Ху = хОу уВх, 9lxt = tDx -|- хТД,
9lvt = tD„ + yDt, (вращения)
398
Гл. 5. Обобщенные симметрии
3) = xDx + yDy + tDt, (дилатация) (5.38)
Зх ~ (х2 — У2 + t2} Dx + 2xyDv + 2xtDt -f- x,
3fv — 2xyDx + (r/2 — x2 + t2) Dy + 2ytDt + у, (инверсии)
&t = 2xtDx + 2ytDy + (x2 + y2 +12) Dt +1.
Последовательно применяя произведения этих операторов к
Qo = и, мы получаем огромное количество обобщенных симмет-
рий волнового уравнения; например,
'^'xy'^'xt [^1 XtllXy ytllxx “Н X Uyt Xytlxf УЩ
и т. д. Между получающимися симметриями имеется много за-
висимостей, проистекающих из соотношений между операто-
рами, например
3lxyDt — ^-xtDy + SiytDx = 0.
В диссертации Delong [1] доказано, что эти операторы рекурсии
порождают (2k + 1) (2 k + 2) (2k 4- 3) /6 независимых обобщен-
ных симметрий порядка k. Например, в приведенном выше при-
мере имеется 35 независимых симметрий второго порядка. Важ-
ный открытый вопрос — всякую ли обобщенную симметрию вол-
нового уравнения можно получить таким способом.
Производные Фреше
Для нелинейных систем имеется аналогичный критерий того,
что дифференциальный оператор является оператором рекурсии.
Однако, чтобы сформулировать его, нам нужно ввести понятие
(формальной) производной Фреше от дифференциальной
функции.
Определение 5.28. Пусть P[w] = Р(х, w(n))e^r — набор из г
дифференциальных функций. Производная Фреше от Р — это
дифференциальный оператор DP: 54? ~^s4r, определенный так,
что
dp (<2)==-Ц_ор[«+ «*?[«]] (5.39)
для любого Q е
Иными словами, чтобы вычислить DP(Q), мы заменяем и
(и ее производные) в Р на и + eQ и дифференцируем получен-
ное выражение по е. Например, если Р\ц\=ихихх, то
DP (Q) = ± | (их + eDxQ) (ихх + zD2xQ) = uxD2Q + uxxDxQ,
5.2. Операторы рекурсии
399
так что Dp = uxD2x + uxxDx. Это вычисление легко обобщить и
показать, что производная Фреше от общего r-набора Р =
— (Pi, .... Рг) является дифференциальным матричным опера-
тором размера q X г с элементами
(Dp)gv=£(aPll/^)D/, р = 1, ...,г, v = l.......q, (5.40)
где сумма берется по всем мультииндексам J. В частности, если
Р — Д[и] — линейный дифференциальный многочлен, то Dp = Д—
то же самое, что дифференциальный оператор, определяющий
его. Имеется тесная связь между производной Фреше и эволю-
ционными векторными полями.
Предложение 5.29. Если Р е и Qe то
Dp(Q) = prvQ(P). (5.41)
Это непосредственно следует из формул (5.6), (5.40). Дру-
гой способ: можно заметить, что обе стороны равенства (5.41)
определяют инфинитезимальную вариацию Р под действием од-
нопараметрической группы, порожденной полем vq, ср. (5.16),
и, следовательно, обязаны совпадать. □
Критерии рекурсивности операторов
Последняя формула легко приводит к общей характеризации
операторов рекурсии.
Теорема 5.30. Предположим, что Д [ц] = 0 — система диффе-
ренциальных уравнений. Если 5? : — линейный опера-
тор, такой, что
Da- & = D& (5.42)
для всех решений и системы Д, где 9Е s№— линейный
дифференциальный оператор, то 9L — оператор рекурсии для
этой системы.
Доказательство. Согласно формуле (5.41), эволюционное век-
торное поле vq является симметрией системы Д тогда и только
тогда, когда
Da (Q) = рг vQ (Д) = 0
для всех решений Д, Если 5? удовлетворяет тождеству (5.42),
a Q=5?Q, то для всех решений
DaQ = Da (Ж?) = £ (DaQ) = 0.
Таким образом, Q—также симметрия, и теорема доказана. □
400
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Пример 5.31. Вернемся к уравнению Бюргерса ut — uxx-\-u^,
для которого мы вычислили обобщенные симметрии в приме-
рах 5.8 и 5.18. Структура полученных характеристик наводит на
мысль, что, как и уравнение теплопроводности, уравнение Бюр-
герса обладает двумя операторами рекурсии ’). Рассмотрение ха-
рактеристик Qo, Q3, Q6 и Qio приводит к предположению, что
Й?1 = Dx + их — оператор рекурсии, поскольку Qi — 5?iQo, <2з =
= 5?iQi и т. д. Чтобы это доказать, заметим, что производная
Фреше для уравнения Бюргерса (5.11) равна
Од = Dt Dx 2uxDx.
По правилу Лейбница находим
Од5?1 = DfDx — Dx — 2uxDx -j- uxDt -f- uxt — uxDx —
^UXXDX U-xxx ^UxDx 2uxuxx.
Далее, для решений уравнения Бюргерса uxt — Иххх + 2ихиХх',
следовательно,
Од = (Dx 4~ их) (pt — Dx — 2uxDx) = 5?iDa (5.43)
на решениях, что удовлетворяет критерию (5.42). Таким обра-
зом, имеется бесконечная иерархия симметрий с характеристи-
ками 5??Qo> k = 0, 1,2, ... . Например, следующая за Qi0 харак-
теристика в этой последовательности имеет вид
Q15 == ^1Q1O == UXXXxx 4~ §UxUXXXx 4“ 10uxxUxxx 4~
4“ 10uxtlxxx + 15uxUxx 4“ lOUx^xx 4“ их-
Чтобы получить характеристики, зависящие от х и t, нам
нужен второй оператор рекурсии. Изучение найденных симмет-
рий подсказывает, что он равен
5?2 = /5?! + 4pX = tDx -j- tux -j- ~2~х.
Пользуясь (5.43), находим
Од5?2 == /5?]Од 4- 4—2* Dx их = .4?2Da
на решениях. Это доказывает, что 5?2— также оператор рекур-
сии. Таким образом, имеется дважды бесконечная иерархия
обобщенных симметрий уравнения Бюргерса с характеристи-
ками 5?2S??Q0, k, I > 0. Например, Q2 — 0l2Qo, Qa = и т. д.
’> См. примечание редактора на с. 378 и упр. 5.9.— Прим. ред.
5.2. Операторы рекурсии
401
Уравнение Кортевега—де Фриза
В случае нелинейных уравнений часто приходится расширять
класс возможных операторов рекурсии, чтобы включить «ин-
тегро-дифференциальные» операторы. В качестве примера дока-
жем, что оператор
О о
является оператором рекурсии для уравнения Кортевега — де
Фриза, имеющего вид
Щ = иххх-\-иих. (5.44)
(Это то же самое уравнение, что (2.66) при замене переменной
Xi—>—х.) Интегральный оператор Dxl будет определен только
на тех дифференциальных функциях, которые являются пол-
ными производными, так что если Q = DXR, то мы полагаем
R = DX'Q * *). (На самом деле, это определяет DX*Q с точностью
до аддитивной постоянной, которую мы можем выбирать из
условия R (0,0) = 0.) Если Vq — обобщенная симметрия, то 55JQ
будет определена, лишь если Q = DXR для некоторого R^st-.
Таким образом, мы можем столкнуться с трудностями, пытаясь
получить полную иерархию симметрий & = 0,1,2.......
Прежде, чем обратиться к этим трудностям, покажем, что
формально 5? является оператором рекурсии. Соответствующая
производная Фреше равна
Da = Dt — Dx — uDx — ux,
и мы докажем, что на решениях уравнения Кортевега — де Фри-
за Da5? = 5?Da в соответствии с (5.42). Обращаясь с Dxl как
с оператором, обратным к Dx, мы получаем
Da5? — D^Dt "Ь -у uDf -j- -у щ + -у uxDx uxtDx 1 —
- {Dx + -J- uD3x + uxDx + (3uzx + и2) Dx +
"1 у (uXxx “Ь 4 у (и-хххх 4" U-llxx 4" Ux) Dx 1 •
X
*) Более общо, можно пытаться определить D~ JP = р (х, t№)dx, но
о
это уведет нас из класса дифференциальных функций.
402
Гл. 5. Обобщенные симметрии
С другой стороны, поскольку Dx-u = uDx + их, имеем
Dx1 • (uDx + их) = и. Поэтому
М)д = DxDt + ^-uDt + ±uxDx'Dt -
- {D5X + 4 uDx + uxDx + (з«хx + «2) Dx +
+ («XXX + ««x)} •
Наконец,
Da# — #Da =-^-(ut — uxxx — uux) +
4 3" (.Ч-xt 4XXXX UUXX Ux) Dx ,
а этот оператор обращается в нуль на решениях уравнения
(5.44). Тем самым доказано, что #— оператор рекурсии.
Если начать последовательно применять оператор # к сим-
метрии сдвига —дх с характеристикой Qo = их, мы получим
сначала функцию
Ql == #Qo == Чххх + UUX, (.Dx Ux = и),
эквивалентную характеристике Ut симметрии сдвига —dt. За-
мечая, что Qi = Dx (ихх + -g- и2). мы находим, что
Q2 == #Qi = иХХХХх 4 з” чиххх -) g- ихихх 4 g“ и%их
— характеристика настоящей обобщенной симметрии, как мо-
жет проверить читатель. Аналогично,
7 35
Q3== •RQz= чххххххх 4 з" ииххххх 4* Тихихххх g- иххиххх -J-
4 jg" и иххх 4 g- иихихх -J- ig их 4* -вд- и их
дает обобщенную симметрию седьмого порядка. Как показывает
следующий результат, мы можем продолжать эту рекурсивную
процедуру неограниченно, получая обобщенные симметрии все
более и более высоких порядков.
Теорема 5.32. Пусть Qo = их. Для всякого k 0 дифферен-
циальный многочлен Qk — &kQo является полной производной
по х: Qk = DxRk, и, следовательно, мы можем рекурсивно опре-
делить Qk+\ = #Qfe. Каждая дифференциальная функция Qk
является характеристикой симметрии уравнения Кортевега —
де Фриза.
5.2. Операторы рекурсии
403
Фактически векторное поле v* =VQk определяет бесконеч-
ный набор взаимно коммутирующих потоков •)
du/dt = Qk [u] = w2ft+I + ...,
называемых уравнениями Кортевега — де Фриза высших поряд-
ков. Все перечисленные выше векторные поля являются, таким
образом, симметриями любого из этих замечательных эволюци-
онных уравнений.
Доказательство теоремы 5.32. Мы проводим его индукцией
по k' Предположим, что Qk = DxRk для некоторого Из
вида оператора рекурсии
Qk+i — &xQk + у uQk + у uxDx lQk -
= Dx [/)xQfc + ± uDxlQk + -j- Dx 1 (»Qfe)].
Если мы сможем доказать, что uQk = DxSk для некоторого
дифференциального многочлена Sk мы докажем, что
Qfe+i = DxRk+i, где Rk+i — выписанное выше выражение в скоб-
ках, и это завершит шаг индукции.
Для доказательства этого факта заметим сначала, что фор-
мальное сопряжение оператора рекурсии 5? дает2)
9Г = Dx + ~и - * • их = Dxl9lDx.
О о
Воспользуемся этим, чтобы проинтегрировать выражение uQk
по частям (ср. (5.46)), так что
uQk = иЯ,! [их] = их • ($*)* [и] + DxAk
для некоторой дифференциальной функции 4^ erf. С другой
стороны, применяя дальнейшее интегрирование по частям, по-
лучаем, что
их ) [w]= их ' Dx [их ] = их • Dx Qk = —uQk -J- DxBk
для некоторого Bk е «5/. Подставляя это выражение в предыду-
щее равенство, мы заключаем, что
uQk — DxSk, где Sfe = -g- (Лд, + Bk),
что и требовалось доказать. □
*) Условие инвариантности относительно высшего потока приводит к со-
литонным и конечнозонным решениям уравнения Кортевега — де Фриза. —
Прим. ред.
2) См. начало следующего параграфа.
404
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Уравнение Кортевега — де Фриза обладает еще двумя дру-
гими группами геометрических симметрий. Характеристика гал-
лилеевой группы tdx— ди равна 1 + 1их, и
3$ (1 + tux) = 2и + хих + St (иххх иих),
что эквивалентно характеристике группы симметрий растяже-
ний. Однако эта последняя характеристика не является полной
производной, так что мы не можем получить обобщенной сим-
метрии, применяя к ней повторно оператор рекурсии.
5.3. ОБОБЩЕННЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ
СОХРАНЕНИЯ
Соответствие между обычными вариационными симметриями
и законами сохранения систем уравнений Эйлера — Лагранжа
легко обобщается. Этот факт был осознан уже самой Эмми Нё-
тер. На самом деле если мы допускаем к рассмотрению обоб-
щенные симметрии, то теорема Нётер доставляет взаимно одно-
значное соответствие между вариационными симметриями и
законами сохранения. В этом параграфе мы излагаем этот
результат в форме, принадлежащей Бессель-Хагену. (Изначаль-
ный вариант Нётер изложен в упр. 5.23.) Основные вычисли-
тельные результаты базируются на понятии сопряжения диффе-
ренциального оператора.
Сопряженные дифференциальные операторы
Если
Я) = £ Pj [«] DO Pj е
/
— дифференциальный оператор, то (формально) сопряженный
к нему — это дифференциальный оператор 0*, удовлетворяю-
щий условию
J P-0Qdx — ^Q-SfPdx (5.45)
а а
для любой пары дифференциальных функций Р, Qe обра-
щающихся в нуль при и = 0, любой области QcR₽ и любой
функции и = f (х) с компактным носителем в Q. Несложное ин-
тегрирование по частям показывает, что
j
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
405
Это означает, что для всякой дифференциальной функции
[^Ql-
Например, если
3 — Dx + uDx,
то его сопряженный имеет вид
3)* = {-Dx}2 + {-Dx) -u^Dx-uDx- их.
Аналогично, матричный дифференциальный оператор 3\^k-^>
-+ с элементами 3^. обладает сопряженным 3*: ->
с элементами = (3vtl) > сопряженными к элементам транс-
понированной матрицы оператора 3. Заметим, что {3S)* —
= &*3* для любых операторов 3, <S. Оператор 3 называется
симметрическим, если 3* =3, и антисимметрическим, если
3)” =—3. Например оператор Dx + н является симметриче-
ским, а оператор Л® + 2uDx + их — антисимметрическим. Заме-
тим, что условие (5.45) эквивалентно формуле интегрирования
по частям
P-3Q = Q-3*P + DivA, (5.46)
где А е s£p — билинейное выражение, содержащее Р, Q и их
производные, коэффициенты которого зависят от х, и и производ-
ных от и. Или, что равносильно,
Е {Р • 3Q) = Е (Q 3*Р), (5.47)
где Е — оператор Эйлера, ср. теорему 4.7.
Заметим, что если Р е гФ1, то его производная Фреше обла-
дает сопряженным оператором D* ' с элементами
д Р
(D;)vti=y(-n)z.-^, И = 1.......I, v=l, ...,q. (5.48)
j duJ
(Хотя формула (5.48) кажется похожей на оператор Эйлера,
на самом деле это дифференциальный оператор, а не дифферен-
циальная функция в отличие от формулы для оператора Эйле-
ра.) Например, если Р — иххЛ- и2х, то
Dp = D2x 2uxDx, Dp = D2x — 2DX -ux = Dx — 2ux • Dx — 2uxx.
В частности, если Ре то
E(f> = (Z(-Dh^) = OMD.
406
Гл. 5. Обобщенные симметрии
1 обозначает постоянную дифференциальную функцию. Отме-
тим, наконец, важную формулу для вариационной производной
произведения двух функций
Е (Р Q) = D*P (Q) + D*q (Р), Р, Q е (5.49)
которая вытекает из правила Лейбница:
Характеристики законов сохранения
Прежде чем ограничить внимание уравнениями Эйлера —
Лагранжа, рассмотрим еще раз законы сохранения в общем
виде. Напомним, что всякий закон сохранения системы диффе-
ренциальных уравнений Д эквивалентен закону сохранения в ха-
рактеристическом виде
DivP = QA=£QvAv. (5.50)
V=1
Используя понятие производной Фреше, мы легко получаем не-
обходимые и достаточные условия того, что данный набор из I
дифференциальных функций Q — характеристика закона сохра-
нения.
Предложение 5.33. Пусть Д = 0 — система дифференциаль-
ных уравнений. Набор из I дифференциальных функций Q^s£l
является характеристикой закона сохранения, если и только
если
Dl(Q) + D*e(A) = 0 (5.51)
для всех (х, и).
Доказательство. Согласно теореме 4.7, Q-Д — полная дивер-
генция (5.50), если и только если E(Q-A) = 0. Таким образом,
условие (5.51) сразу следует из правила (5.49) для произведе-
ния. □
В частности, условие, необходимое для того, чтобы Q была
характеристикой закона сохранения для системы Д, имеет вид
Da(Q) = 0 для всех решений системы Д (5.52)
(поскольку на решениях автоматически выполняется равенство
Dq(A) = 0). Этот упрощенный вид формулы (5.51) часто можно
эффективно использовать, чтобы исключить из рассмотрения
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
407
множество наборов из I дифференциальных функций, которые
наверняка не могут быть характеристиками законов сохране-
ния, и, таким образом, быстро прийти к полной классификации
законов сохранения системы.
Пример 5.34. Рассмотрим уравнение Бюргерса в исходной
форме
Щ = ихх + иих.
Если <5[«] е — характеристика закона сохранения, то мы все-
гда можем заменить производную от и по t на производные от и
по х, пользуясь самим уравнением, так что имеется эквивалент-
ная характеристика вида Q (х, t, и,их, ип), ип = дпи/дхп.
Посмотрим, что говорит нам формула (5.52) о виде Q. Для
уравнения Бюргерса
Од = Dt — Dx — uDx — их, так что Од = — Dt — Dx-[- uDx.
Старшие члены в (5.52) имеют вид
D* + • • • = ’ • •
на решениях. Опущенные члены зависят от производных от и
по х порядка п + 1 и ниже. Таким образом, из (5.52) следует,
что dQ/diin = 0, так что на самом деле Q зависит только от
производных от и порядка п— 1 и ниже. Продолжая по индук-
ции, мы заключаем, что Q = q(x, t) не может зависеть от и
или производных от и никаким нетривиальным образом. Кроме
того,
Од (?) = qt — qxx + uqx = 0,
если и только если q — константа. Таким образом, характери-
стикой единственного нетривиального закона сохранения для
уравнения Бюргерса является константа; соответствующий за-
кон— это само уравнение:
Д, (и) — Dx (— их — ~^и2) = °-
Вариационные симметрии
Так же, как геометрический вариант теоремы Нётер, обсуж-
давшийся в гл. 4, общая теорема Нётер устанавливает соответ-
ствие между законами сохранения и вариационными симмет-
риями. Они определяются по аналогии с дивергентными симмет-
риями (4.44).
408
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Определение 5.35. Обобщенное векторное поле
р я
i=l а=1
является вариационной симметрией функционала S’ [ы] = L (х,
u(n))dx, если и только если существует набор из р диффе-
ренциальных функций В [«] е s/p, такой, что
prv(B) + В Div 1 = Div В (5.53)
для всех х, и. (Здесь § = (g1, ..., |р), как в (4.15).)
Мы покажем сначала, что на самом деле можно ограничить-
ся вариационными симметриями в эволюционной форме.
Предложение 5.36. Обобщенное векторное поле v является
вариационной симметрией функционала 3? [ц], если и только если
таковым является его эволюционный представитель. (Замеча-
ние. Это утверждение станет неверным, если мы опустим член
Div В в определении (5.53).)
Доказательство. Пользуясь основной формулой продолже-
ния (5.8), получаем
pr v (В) + L Div § = pr vQ (В) + £ ZlDtL + В £ D& =
1 = 1 1 = 1
= prVQ(B)+f D^L).
Поэтому (5.53) справедливо, если и только если
pr vQ (В) = Div В, (5.54)
где Bt = Bt — B£f. □
Как и в случае обычных симметрий, каждая обобщенная
вариационная симметрия вариационной задачи обязана быть
симметрией соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа.
(Обращение этого утверждения остается, вообще говоря, не-
верным.)
Теорема 5.37. Если обобщенное векторное поле v является
вариационной симметрией функционала 3? [«] = В (х, и^) dx,
то v является обобщенной симметрией уравнений Эйлера —
Лагранжа Е (В) = 0,
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
409
Доказательство основано на следующей важной коммутаци-
онной формуле.
Лемма 5.38. Пусть Q е Тогда
Е [pr vQ (£)] = pr vQ [Е (£)] + DqE (L). (5.55)
Доказательство. Согласно формуле интегрирования по ча-
стям (4.39) и тождеству (5.49),
Е [pr ve (£)] = Е [Q • Е (£)] - D* (L) [Q] + D*e [Е (£)].
Нам нужен теперь тот важный факт, что Д = Е(£) — выражение
Эйлера — Лагранжа, если и только если его производная Фре-
ше— симметрический дифференциальный оператор: Од = Е)д.
Эта фундаментальная теорема, представляющая собой вариа-
ционный аналог равенства смешанных частных производных и
доставляющая решение обратной задачи вариационного исчис-
ления, будет доказана в § 5.4. (См. теорему 5.68.) Считая этот
результат известным, мы легко получаем формулу (5.55) из
(5.41), поскольку
DE(L)[Q] = DE(L)[Q] = prve[E(£)]. □
Доказательство теоремы 5.37. В силу предложений 5.5 и 5.36
мы можем заменить поле v его эволюционной формой vq —
это не влияет на справедливость теоремы. Если vq — вариаци-
онная симметрия, то из (5.54) следует, что левая часть равен-
ства (5.55) обращается в нуль. Но — линейный дифференци-
альный оператор, следовательно, условие симметрии (5.5) спра-
ведливо для Д = Е(£), и доказательство закончено. □
Таким образом, для того чтобы найти все вариационные сим-
метрии системы уравнений Эйлера — Лагранжа, достаточно
применить методы § 5.1 и 5.2, чтобы построить симметрии урав-
нений Эйлера — Лагранжа, а затем проверить, какие из них
удовлетворяют дополнительным требованиям вариационности
(5.53). На самом деле нам не нужно снова применять prv к
лагранжиану или даже точно знать, какой вид имеет лагран-
жиан, поскольку мы можем воспользоваться следующей вну-
тренней характеризацией вариационной симметрии.
Предложение 5.39. Пусть А = 0 — система дифференциаль-
ных уравнений, производная Фреше которой — симметрический
оператор: Од = [)д, так что Л— уравнения Эйлера — Лагран-
жа некоторой вариационной задачи1). Эволюционное векторное
*) Здесь предполагается, что для области М выполнены ограничения тео-
ремы 5.68.
410
Гл. 5. Обобщенные симметрии
поле Vq является вариационной симметрией системы К, если и
только если
рг vQ (А) + Dq(A) = 0 (5.56)
для всех х, и.
Доказательство немедленно следует из предыдущих вычис-
лений и решения обратной задачи теоремы 5.68. □
Групповые преобразования
Считая, что вариационная симметрия имеет эволюционный
вид, мы можем вывести, что соответствующие групповые преоб-
разования оставляют инвариантным сам функционал в следую-
щем смысле.
Предложение 5.40. Пусть выполнены соответствующие усло-
вия существования и единственности решения задачи Коши для
системы эволюционных уравнений. Тогда отвечающее ей обоб-
щенное векторное поле Vq является вариационной симметрией
функционала [u] = L (х, u,n}) dx, если и только если для
Йо
любой подобласти Q <= £20 и любой функции и = f(x) из подхо-
дящего функционального пространства
3?а[ехр(bvq)л = S’oin + ®ди[е, Л, (5.57)
где SSea зависит только от значений exp(evq)f и ее производных
на границе <5£2.
Другой способ интерпретировать этот результат состоит в том,
что обобщенное векторное поле vq является вариационной сим-
метрией функционала S, если и только если S’ определяет за-
кон сохранения для системы эволюционных уравнений щ = Q,
задающей поток поля vq.
Доказательство. Продифференцировав (5.57) по е, получаем
рг Vq (L) dx = В • dS = (Div В) dx
а да а
для некоторого В е s£p, зависящего от и и производных от «;
правая и левая части последнего равенства вычислены при
u = exp(evQ)f. Поскольку это справедливо для произвольной
подобласти й, мы заключаем, что подынтегральные выражения
равны:
рг Vq (L) = Div В,
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
411
а это в точности условие (5.54) инфинитезимального критерия.
Доказательство в обратную сторону получается интегрирова-
нием по е. □
Пример 5.41. Рассмотрим функционал
ъ
£ [и] — -у Uxdx, х, и е R.
а
Легко видеть, что обобщенная симметрия v = —ихдх является
вариационной симметрией функционала £•.
pr V Их) = — ихихх = — Dx (4“ «х ) •
В самом деле, v — в точности эволюционная форма поля сдви-
гов v = дх и порождает однопараметрическую группу
ехр (ev) f (х) = f (х — е).
Если [с, d]c(a, b) — произвольный подынтервал, то вклад гра-
ницы при доказательстве равенства (5.57) равен
Я (X, ы<1>) = -±и* L = 4- г (с)2 - г (d)2];
действительно, (5.57) в этом случае имеет вид
d d
$ ± [Д (х - <<Zx = J ± [Г (х)]2 dx +
с с
8
+ $ 4 - g»2 - tf' & - g)i2)rfg-
о
Отметим особо, что в общем случае мы не можем освободиться
от граничного вклада, поскольку единственное решение, обра-
щающееся в нуль на границе, — это тривиальное решение
w = 0.
Теорема Нётер
Как мог уже заметить читатель, в случае когда система диф-
ференциальных уравнений Д является уравнениями Эйлера —
Лагранжа некоторой вариационной задачи, условие (5.51) того,
что Q — характеристика закона сохранения, и условие (5.56)
того, что vq порождает группу вариационных симметрий, совпа-
дают. Таким образом, пользуясь теоремой 4.26, мы сразу полу-
чаем теорему Нётер в общем виде.
412
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Теорема 5.42. Обобщенное векторное поле v определяет
группу вариационных симметрий функционала 2? [и] = L dx,
если и только если его характеристика Q е s#-4 является харак-
теристикой закона сохранения Div Р = 0 для соответствующих
уравнений Эйлера — Лагранжа Е (L) = 0. В частности, если
2? — невырожденная вариационная задача, то имеется взаимно
однозначное соответствие между классами эквивалентности не-
тривиальных законов сохранения ее уравнений Эйлера — Лаг-
ранжа и классами эквивалентности вариационных симметрий
этого функционала.
Заметим, что две вариационные симметрии эквивалентны,
если они отличаются на тривиальную симметрию, т. е. симмет-
рию, характеристика которой обращается в нуль на всех реше-
ниях уравнений Эйлера — Лагранжа. (Неверно, однако, что
симметрия, оказавшаяся эквивалентной вариационной симмет-
рии, обязательно является вариационной; см. упр. 5.22.)
Пример 5.43. В качестве первой иллюстрации этого резуль-
тата рассмотрим задачу Кеплера х + цг~3х = 0, у + pr~sy = 0,
z -j- pr~3z = 0, г2 = х2 -j- у2 + z2 для материальной точки, дви-
жущейся под действием гравитационного потенциала, создан-
ного притяжением к центру. Соответствующий лагранжиан
имеет вид L= (1/2) (х2 + у2 + z2)—рг-1. Мы уже видели в
примере 4.31, как из групп вариационных симметрий сдвигов
по времени и вращений в R3 получаются законы сохранения
энергии и момента количества движения. Благодаря ньютоновой
природе силового поля имеются еще три дополнительные «скры-
тые» обобщенные вариационные симметрии этой системы, при-
водящие к трем дополнительным независимым законам сохра-
нения. Одна такая инфинитезимальная образующая — это век-
торное поле
v* = (уу + zz) дх + (ху — 2ху) ду + (xz — 2xz) дг,
две другие получаются из нее перестановками переменных х, у,
z. Чтобы доказать, что vx — на самом деле вариационная сим-
метрия, мы вычисляем
рг(1Ч = vx + (уу + zz + у2-j- z2) дх + (ху — 2ху — ху) ду +
+ (xz — 2xz — xz) di,
и, следовательно,
рг( ’Ч (L) = (уу + zz) х + (ху — 2ху) у + (xz — 2xz) z +
+ Цб“3 [(t/2 + z2) x — xyy — xzz] =
= Dt [x (yy + zz) — x (y2 + z2) + цг-Ч].
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
413
Значит, условие (5.54) выполняется. Соответствующие законы
сохранения получаются из характеристического вида (5.50) или,
проще, из того, что само pr(1>Vx(A) обращается в нуль на реше-
ниях уравнений Эйлера — Лагранжа; поэтому
(уу + zz) — х (у2 + z2) + pr ~'x
— первый интеграл задачи Кеплера. Вместе с двумя другими
законами сохранения Ру и Рг, полученными перестановками пе-
ременных, это дает неизменность вектора Рунге — Ленца, кото-
рый можно записать в виде
R = (/?a, ру, Т?г) = хХА — рх/|х| = хХ(хХх) —рх/|х|,
где х = (х, у, z) — положение точки, а А = х X х — момент ко-
личества движения. Физически говоря, вектор R направлен
вдоль главной оси конического сечения, заданного планетарной
орбитой, а величина его определяет эксцентриситет. (См. Thir-
ring [1; р. 147].)
Пример 5.44. Уравнение sin-Гордона uxt = sin и является
уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала
S’ [ы] = (у uxut — cos ц) dx dt.
Обобщенное векторное поле vi с характеристикой Q\~uxxx-\-
+ (1/2)цЗ является вариационной симметрией функционала SE.
В этом можно убедиться непосредственно или, немного легче, с
помощью предложения 5.39. Заметим, что
D«.=ч+4 - 4 - з“а.-
Короткое вычисление показывает, что
Pr VQ. [Uxt ~ sin «] = “xxxxt + 4 UxUxxt + 3“?A -
-(Mxxx + 4Wx) C0SW =
= - DQ. [Uxi - sin “]’
t. e. выполняется условие (5.56). Соответствующий закон сохра-
нения имеет характеристический вид
Dt (- Т Uxx + У <) + D* (UxxPxt ~ Uxx Sin « + у и2 COS «) =
= (“ххх + 4 Ux) («xt-sin «)•
414
Гл. 5. Обобщенные симметрии
В частности, плотность определяет функционал
Ч-оо
^”1 [и] — 5 (1Г ~2 ^Х’
—со
значение которого не зависит от t, если и(х, t) —решение, про-
изводные которого достаточно быстро стремятся к нулю при
|х| -> оо.
Более громоздкие вычисления показывают, что поле
Vq2 = (“ХХХХХ + 4 «Ххх + т “А + | Ых) ди
также является вариационной симметрией с соответствующим
законом сохранения
со
= J (у ихХХ 4 иХиХХ + Тб" “«) dX’
—со
(См. упр. 5.12 и 5.21, где приводятся дальнейшие результаты об
этом уравнении.)
Симметрические линейные системы
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
А[ц] = 0, определенную матрицей размера q X q, элементы ко-
торой — дифференциальные операторы:
Atlv= Е ^v(x)£>p Ц, v= 1, ..., q;
коэффициенты зависят только от х. Хорошо известно, что эта
система представляет собой уравнения Эйлера — Лагранжа для
вариационной задачи, если и только если оператор А является
симметрическим: А* = А. В этом случае мы можем в качестве
функционала взять просто
[ц] = у • А [«] dx. (5.58)
(См. также теорему 5.68.)
Всякий закон сохранения для данной симметрической линей-
ной системы можно, не теряя общности, взять в характеристи-
ческой форме DivP=Q-A. По теореме Нётер характеристика Q
определяет вариационную симметрию соответствующей квадра-
тичной вариационной задачи. Здесь мы подробно исследуем слу-
чай линейных законов сохранения, когда Р линейна по и и про-
изводным от и и, следовательно, Q зависит лишь от х, и случай
квадратичных законов сохранения, когда Р квадратична, a Q
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
415
линейна по и и производным от и. Первый случай приведет к
соотношениям «взаимности», связывающим пары решений систе-
мы; второй случай будет тесно связан с нашей теорией опера-
торов рекурсии для линейных систем, развитой в предыдущем
параграфе.
Заметим, что для линейного закона сохранения v9 =
= S 9а (х) порождает группу симметрий линейной системы,
если и только если q(x) сама является решением: А(9] = 0.
(Преобразования из этой группы — это просто и*—>и + eq, что
отражает линейность системы А.) Заметим также, что произ-
водная Фреше в этом случае автоматически равна нулю, так
что условие (5.56) выполняется и vQ всегда является вариацион-
ной симметрией. Теорема Нётер позволяет заключить, что суще-
ствует линейный закон сохранения
D iv Р [«] = q (х) • А [ц] (5.59)
для любого решения q(x) системы А. Другой способ: мы можем
вывести (5.59) непосредственно, пользуясь нашей основной про-
цедурой интегрирования по частям.
Предложение 5.45. Пусть А[и] = 0 — симметрическая линей-
ная система. Тогда для любых функций и(х), и(х) выполняется
соотношение взаимности
v • А [ц] — и • A[zj] = Div Р [и, о], (5.60)
где Р е — некоторое билинейное выражение, содержащее
и, и иих производные.
Общая формула, выражающая Р через А, достаточно слож-
на. Однако для операторов второго порядка мы можем полу-
чить относительно простое выражение. Нетрудно видеть, что вся-
кий симметрический матричный дифференциальный оператор
второго порядка можно записать в специальном виде
р р
д„=, о. • Ю о, + s к.«• +°. Ч.»)+м.
р, v = 1, ..., q,
где коэффициенты удовлетворяют условиям
Соответствующий вариационный функционал можно взять либо
в виде (5.58), либо, выполнив простое интегрирование по ча-
416
Гл. 5. Обобщенные симметрии
стям, в виде
Ч ( р
Е I - Е <uiw/ +
ц. V=1 *• i. J =1
+ Е~ w^v)+Idx- <5-61)
i = l '
Если определить матричные дифференциальные операторы ЗУ
размера q X Я, i = 1, ..., p, с элементами
p
^v=S^(x)D +^VW,
1=1
то соотношение взаимности (5.60) выполняется при
Pt = v • 3bl [«] — и • ЗУ [о], 1 = 1.р.
Или, в интегральном виде,
(v • 3b [ц] — и • ЗЬ [и]) • dS = (у • А [ц] — и • А [и]) dx, (5.62)
где v • 3b [ц] = (у • 3bx [u], ..., v • 3bp [u]).
Например, в случае уравнения Лапласа равенство (5.62) —
известная формула Грина, поскольку 3)[и] — \и. Для уравне-
ний Навье (2.127)
pA«4-(p + A)V(V- u) = 0
линейной изотропной упругости равенство (5.62) эквивалентно
стандартной теореме взаимности Бетти
j {и • ст [и] — v • ст [«]) dS = {и • [р Au + (р 4- Л) V (V • и)] —
вй й
— v [р Ан + (р 4- Л) v (V • и)]} dx,
где
ст [и] = р (W + V«r) + Л (V • и) I
— тензор напряжений, соответствующий смещению и. (Здесь
(5.61) имеет вид
^[«] = -у $ {Mil W + (М + Л)(V • «)2} dx.
Этот функционал — не точно то же самое, что обычный вариа-
ционный принцип, построенный по плотности накопленной энер-
гии, но отличается от него только на нулевой лагранжиан
N = £ М^ («“, «₽)/д (xl, xl).)
i^l
а ч* ₽
5.3 Обобщенные симметрии и законы сохранения
417
Обратимся к квадратичным законам сохранения. В этом
случае характеристика Q — линейная функция от и и производ-
ных от и; следовательно, Q (х, t№) = Ф[и] для некоторой
матрицы дифференциальных операторов Ф размера q X <7> ко-
эффициенты которых зависят только от х. Из теоремы Нётер
следует, что Q — характеристика вариационной симметрии и,
следовательно, симметрии самих уравнений Эйлера — Лагран-
жа. Из предложения 5.26 вытекает, что Ф — оператор рекурсии
для линейной системы, так что — ^25А для некоторого диф-
ференциального оператора Ф. Хотя не каждый оператор рекур-
сии приводит к вариационной симметрии, те из них, которые
приводят, легко описать.
Предложение 5.46. Набор из q линейных функций Q = Ф[и]
от и и производных от и образует характеристику закона со-
хранения для линейной системы А[ы] = 0, если и только если
дифференциальный оператор Ф*-& антисимметрический.
Это немедленно следует из равенства (5.51), если восполь-
зоваться тем фактом, что производная Фреше линейного набора
из q дифференциальных функций А[и] — то же самое, что диф-
ференциальный оператор А, определяющий этот набор. В част-
ности, если А симметрический, то это условие принимает вид
А-^ = -^*-А. (5.63)
Оно означает, что оператор Ф, фигурирующий в условии рекур-
сии Aj® = ^>А, должен совпадать с —Ф*. Отметим, что в этом
случае всякая нечетная степень ф211+1 оператора Ф также удо-
влетворяет условию (5.63). Мы заключаем, что симметрическая
линейная система, обладающая одним квадратичным законом
сохранения, всегда имеет бесконечную иерархию таких законов
DivMfe) = ^2A+1[w] • A[w],
зависящих от производных от и все более и более высоких по-
рядков.
При наших условиях невырожденности оператор симметрии
Ф определяет тривиальный закон сохранения, если и только
если он является кратным оператора А, т. е. Ф = й’-А для не-
которого дифференциального оператора <S. Поэтому вопрос о
том, сколько имеется нетривиальных квадратичных законов со-
хранения данного порядка, связан с (сложным) вопросом о том,
сколько имеется неэквивалентных операторов симметрий дан-
ного порядка, рассмотренным в § 5.2. Отметим далее, что если
Ф — произвольный линейный оператор рекурсии, так что Д0=
= Фб для некоторого оператора Ф, то мы всегда можем «ан-
14 П. Олвер
418
Гл. 5. Обобщенные симметрии
тисимметризовать» оператор 3 и получить новый оператор ре-
курсии 3 — y (3 — 3*), удовлетворяющий условию (5.63) и,
следовательно, определяющий закон сохранения. Чтобы увидеть
это, достаточно применить сопряжение к условию симметрии:
А® * = (^Д)’ = (Д0)* = 0*Д
(в силу симметричности А). Следовательно,
Af) = 4 (Д0 - Af>*) = -|-(0А - 3*Ь) = -3*Ь.
В частности, поскольку для любого оператора симметрии 3
оператор 3) имеет такие же члены самого высокого порядка,
мы видим, что имеется взаимно однозначное соответствие между
квадратичными законами сохранения и этими антисимметриче-
скими ведущими членами операторов рекурсии. У скалярных
уравнений члены самого высокого порядка должны быть нечет-
ного порядка, и для каждого такого члена мы получаем закон
сохранения. Если 3\, ..., Зъ — линейные операторы вариаци-
онных симметрий первого порядка, то кососимметризованное
произведение
+ ...3t] (5.64)
дает вариационный оператор порядка k (или ниже). (Для ска-
лярных уравнений нам нужно брать только нечетное k, и, зна-
чит, этот оператор имеет порядок k.) Во многих примерах ока-
зывается, что каждый квадратичный закон сохранения можно
получить таким способом.
Пример 5.47. Подведем итог нашим исследованиям симмет-
рий и законов сохранения для двумерного волнового уравнения
Utt = ихх + Иуу в примерах 2.43, 4.36 и 5.27. Здесь A = jD^ —
— jD~ — D2y. Из операторов рекурсии списка (5.38) первые шесть
коммутируют с А и антисимметричны. Следовательно, все они
удовлетворяют условию (5.63). Соответствующие законы
сохранения были получены в примере 4.36. Для оператора дила-
тации 3 мы находим УЗ = (3 + 2) А, но ЗУ* — —3— 3. По-
этому 3 не определяет закона сохранения; однако модифици-
рованный оператор дилатации Jt = 3 + (1/2) уже удовлетво-
ряет условию (5.63):
A./f = (./f + 2)A и ЗС=ЗГ +^=-3--^= — Л-Ъ.
Соответствующий закон сохранения см. в примере 4.36. Нако-
нец, каждый оператор инверсии также определяет закон сохра-
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
419
нения, поскольку, скажем, для 3х
Л^х = (^х + 4х)Д И ^х = ~ ^х ~ 4х-
Соответствующие законы сохранения были найдены в приме-
ре 4.36.
Чтобы найти квадратичные законы сохранения более высо-
ких порядков, нужно рассматривать «кососимметризованные»
произведения нечетного порядка (5.64) этих операторов рекур-
сии, например (\12)\&хуЛЗх + 3 ХЛ91Х^. Некоторые законы со-
хранения второго порядка и соответствующие операторы сим-
метрии приведены в следующей таблице. (См. также при-
мер 5.49.)
Оператор рекурсии Характеристика Плотность закона сохранения
иххх uxxuxt
&xpt uxxt 4(«xf + «xx+ uxy}
D* иш («И + “xt + uyt)
D Ж D X ху х -Уиххх + хихуу + иху uxt(xuxy~ Уихх)
D & D — X ху у ~Уихху + Хихуу-^ихх+ uxx (yuyt + 2 “f) --
см й» 1 -|м 1 ~uyy(xuxt + ^ut)
XUxxf + tuxxx + Uxt + tuxxuxt
Dx-^Dx Xuxxx + yuxxy + tuxxt + , 3 + y«xx T* + iT
XxtDtSlxt x\tt + 2*tuxxt + t2uxxx + + xutt + 2tuxt + xuxx (^+<v+4^+ + 1 (2xuxtutt - uyuyt)
Dx^tDx где (X2 4 y2 + t2) и + 2х/и 4 -‘ль ллл + 2У1ихху + 2xUxt + Ыихх ~ ~2 (Uxt + U*x + uxy)> T* = xuxxuxt + yuxxuyt + + iuxxui (x2 + y2 412) T 4 + ux+ 2tT*
14*
420
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Действие симметрий на законы сохранения
Другой способ получать законы сохранения состоит в том,
чтобы применять известные образующие групп симметрий к
известным законам сохранения. К сожалению, этот способ не
гарантирует получение нетривиальных законов, однако мы мо-
жем точно установить, когда это происходит.
Предложение 5.48. Пусть система Е. вполне невырождена и
Div Р = 0 — закон сохранения. Если vR — эволюционная сим-
метрия системы А, то индуцированный набор Р = pr vR (Р) с
элементами Pt = рг vR(Pt) также является законом сохранения:
Div Р = 0. Кроме того, если А = Е (L) — система уравнений Эй-
лера — Лагранжа, Р имеет характеристику Q, соответствующую
вариационной симметрии vq, и vr — вариационная симметрия,
то Р имеет характеристику Q, соответствующую скобке Ли
= [v^, vQ] этих двух симметрий.
Доказательство. Предположим, что закон сохранения задан
в характеристическом виде (5.50). (Отметим, что если Ро —
тривиальный закон сохранения, таковым является и prvR(P0),
так что этот первый шаг оправдан.) Применяя рг vR, находим
Div [рг vK (Р)] = рг vR (Q) • А + Q • рг vR (А) (5.65)
(мы воспользовались равенством (5.19)). Поскольку на реше-
ниях системы A prvR(A) = 0, правая часть равенства (5.65)
обращается на решениях в нуль, что доказывает первую часть
теоремы. Если А = Е(Е) и vR — вариационная симметрия, то мы
можем воспользоваться предложением 5.39, чтобы переписать
второе слагаемое в правой части (5.65), а затем проинтегриро-
вать по частям:
Q • pr vR (А) = - Q • (А) = - D^Q) • А - D i v В=
= — pr vQ(P) • A—Div В
для некоторого набора из р дифференциальных функций В, ли-
нейно зависящего от /X и ее полных производных. Следователь-
но, это тривиальный закон сохранения первого типа. Таким
образом, в силу (5.22)
Div [pr vR (Р) + В] = {рг vR (Q) — рг vQ (Р)} • А = Q • А
— характеристический вид нашего закона сохранения, и дока-
зательство закончено. □
Этот результат наиболее полезен в случае симметрических
линейных систем. В самом деле, если PeiP определяет ква-
дратичный закон сохранения, соответствующий линейной харак-
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
421
теристике Q = .0[u], a vR— линейная симметрия, так что
R — <S [н] для некоторого дифференциального оператора
удовлетворяющего условию — то prvR(P) приводит
к закону сохранения с характеристикой Q=(g5'<gё* •
0)\и]. В частности, если vR — вариационная симметрия, то
Q — характеристика, отвечающая коммутатору [S), &\ =
= Ф-ё — %&).
Пример 5.49. Для двумерного волнового уравнения плот-
ности законов сохранения из таблицы примера 5.47 легче всего
вычисляются с помощью этого способа. Например, закон сохра-
нения с характеристикой uxxt можно построить, либо применяя
продолжение симметрии v — (1/2) иххди к закону сохранения
энергии с характеристикой ut, либо применяя продолжение сим-
метрии w = (l/2)wxt^u к закону сохранения импульса с характе-
ристикой их. (В первом случае &D2=D2k, так что новая ха-
рактеристика на самом деле равна рг v(«r) + (l/2) (D2x)*ut =
= uxxt.) В первом случае новая плотность равна
рг V [у и2 + у U2 + 1 U2] = | (UlUxXt + их“ххх + VW) s Т•
а во втором —
рг W [uxUf] = (.ЩихХ1 4“ ихихц) == Т.
Поскольку обе эти плотности имеют одинаковые характеристи-
ки, они должны быть эквивалентны:
T = T + DxR + DyS
на решениях волнового уравнения. Иными словами, у нас есть
свобода (а) подставить вместо производных соответствующие
выражения, полученные из уравнения и его продолжения, и (Ь)
проинтегрировать по частям по х и у (но не по t); таким обра-
зом, utUxxt эквивалентна u2t, но не иххиц. Читатель может
проверить, что Т и Т эквивалентны плотности второго порядка,
выписанной в упомянутой выше таблице.
В качестве второго примера найдем закон сохранения, со-
ответствующий оператору Dx&LxtDx, применяя симметрию
v = (l/2)$lxtDx[uJdu = (1/2) (xuxt + tuxx)du к закону сохранения
с характеристикой их. Мы получаем
рг v [uxut] = у {Dx (xuxt + tuxx) ut + uxDt (xuxt + tuxx)} =
= у (XUxxt 4- 4- tuxxx) щ + -^их (xuxit + tuxxt + Uxx).
422
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Оба члена самого низкого порядка utuxt и ихихх являются про-
изводными по х. Следовательно, эта плотность эквивалентна
одной из плотностей нашей таблицы, в чем можно убедиться
аналогичным интегрированием по частям.
Анормальное системы и вторая теорема Нётер
Связь между вариационными симметриями и законами со-
хранения для систем, не являющихся вполне невырожденными,
менее понятна. Хотя основная формула интегрирования по
частям (4.39) по-прежнему дает вариационную симметрию для
каждого закона сохранения и наоборот, теперь нет гарантий,
что нетривиальные симметрии приведут к нетривиальным за-
конам сохранения или наоборот. В случае аналитических си-
стем мы видели, что возможны два основных типа анормаль-
ности. Переопределенные системы в этом отношении менее
поняты, и точная связь между их симметриями и законами со-
хранения не установлена. Однако недоопределенные системы
подпадают под действие второй теоремы Нётер, относящейся к
системам, допускающим бесконечномерные группы вариацион-
ных симметрий. Получающиеся зависимости между уравнениями
Эйлера — Лагранжа можно интерпретировать как тривиаль-
ные законы сохранения, определенные нетривиальными груп-
пами вариадионных симметрий, так что красивое взаимно одно-
значное соответствие из теоремы 5.42 в случае недоопределенных
систем нарушается.
Теорема 5.50. Вариационная задача S’[u] = L dx допускает
бесконечномерную группу вариационных симметрий, характе-
ристики Q[w; h] которых зависят от произвольной функции
h(x) (и ее производных), если и только если существуют диф-
ференциальные операторы ..., не все равные нулю, та-
кие, что
••• +^Е9(£)^0 (5.66)
для всех х, и.
Доказательство. Предположим сначала, что уравнения Эй-
лера — Лагранжа для S недоопределены, так что на них имеет-
ся соотношение вида (5.66). Пусть h (х) — произвольная функ-
ция. Тогда простое интегрирование по частям показывает, что
0 = h (х) [0.Е, (L) + ... + 09Е9 (£)] =
= ^lh] -E,(L)+ ... +0;[ft]-Eg(L)-DivP (5.67)
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
423
для некоторого Р е линейно зависящего от Е (L) и его про-
изводных. Если мы положим QV = <Z>* [Л], v = 1, ..., q, то выпи-
санное выше тождество будет иметь вид закона сохранения в
характеристическом виде, где Q — характеристика, а Р =
— Р[и; h] е s^p — закон сохранения, который на самом деле три-
виален (первого типа). Теперь мы, очевидно, можем восполь-
зоваться равенством (5.67), чтобы доказать, что для любой
функции h(x) поле Vq[(1. Л1 определяет вариационную симметрию
функционала S [тг].
Обратное доказывается непосредственно, если все
Qv[«; h] = [Л] линейны по h и ее производным; здесь
S)v— дифференциальные операторы, коэффициенты которых мо-
гут зависеть от и. Начиная с условия (5.54) того, что поле
Vq — вариационная симметрия, мы интегрируем по частям, что-
бы получить соответствующий закон сохранения
DivP = Q-E(L) = 25I[*]El(£)+ ... +^9[Л]Е9(£).
Дальнейшее интегрирование по частям фактически обращает
вывод формулы (5.67) и приводит к тождеству вида
DivР = Л(х) [^iEi(L) + ... +^Eg(L)], (5.68)
справедливому для произвольной функции h(x). Доказатель-
ство завершает применение следующего «формального» вари-
анта леммы Буа — Раймонда из вариационного исчисления.
Лемма 5.51. Пусть /?(х, и(я))— дифференциальная функция.
Предположим, что для каждой гладкой функции h(x) суще-
ствует функция Р [u] = Ph [и] е зД, такая, что
h(x) R (х, и<я)) — Div Р (х, i№).
Тогда R(x, и<п>) = г(х)— функция только от х.
Доказательство. Предположим, что R зависит от производ-
ных от и порядка п и ниже и что dR(x0, u(0"))/du“ #= 0 для неко-
торого #/= п О, (х0, и10п)) g= Выберем h(x) так, чтобы
djh(хо) =/= 0, а все другие производные от h порядка обра-
щались в нуль в точке х0. Непосредственное вычисление пока-
зывает, что
Еа (Л R) (х0, ^ >) = (-1)" д^ (х0) • dR (х0, и^/ди- Ф 0.
Из теоремы 4.7 вытекает, что h-R не является полной дивер-
генцией, что противоречит нашему предположению. Несложная
424
Гл. 5. Обобщенные симметрии
индукция доказывает теперь, что R может зависеть только
от х. □
Важную роль в дальнейшем будет играть следующее про-
стое следствие этого результата.
Следствие 5.52. Пусть Р е — набор из г дифференциаль-
ных функций. Тогда ^P-Qdx = Q для всех Q^s£r и всех
и
Q с X, если и только если Р = 0 для всех х, и.
Доказательство. Применяя покомпонентно доказанную нами
лемму, мы заключаем, что Р = р(х) зависит только от х. Да-
лее для данного 1 v г выберем Qp. [и] = i^jua для произ-
вольного 1 а q. Тогда Ea(p-Q) = Pv(x) = 0 по теореме 4.7.
Следовательно, Р = 0 для всех х, и. □
Обращаясь к (5.68), мы видим, что
№i(L)+ ... + ^Eg(L) = r(x)
является функцией только от х. Если г = 0, то все доказано; в
противном случае поделим на г(х) и еще раз продифференци-
руем (по любой переменной х{). В результате получим тожде-
ство требуемого вида (5.66). □
Более общо, если Л(х) присутствует в Q [и; h] нелинейно,
мы можем тем не менее с помощью следующей леммы свести
этот случай к предыдущему.
Лемма 5.53. Предположим, что Q [и; h] — характеристика
вариационной симметрии функционала S, зависящая от произ-
вольной функции h (х). Пусть [(1. Л] обозначает произ-
водную Фреше от Q по h с элементами
^0=^ dQv/dh, -D,, v = 1, ..., q (h} = d,h).
Тогда Q' = является характеристикой вариационной
симметрии, линейно зависящей от произвольной функции k(x).
Доказательство. По предположению для любой функции
h(x) существует набор такой, что
рг vq [U;4(L) = DivBft.
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранения
425
Если в этом тождестве заменить h на h + ek и продифференци-
ровать по е, то получим при в — О
prv^(L) = DivB', B'==-^[=oBh+ek,
что и доказывает лемму. □
В теореме 5.50 каждая нетривиальная симметрия Q[u; h]
(линейная по h) дает тривиальный закон сохранения с харак-
теристикой Q. Имеет место также и обратное утверждение: если
система уравнений Эйлера — Лагранжа обладает тривиальным
законом сохранения, соответствующим нетривиальной вариа-
ционной симметрии, то эта система обязательно является недо-
определенной и, следовательно, допускает целое бесконечномер-
ное семейство таких симметрий, зависящих от произвольной
функции. (См. упр. 5.24.) (В теории относительности, ср.
Goldberg [1], эти «тривиальные» законы сохранения на самом
деле являются одними из наиболее важных тождеств. Возмож-
но, здесь наш выбор терминологии несколько сбивает с толку.)
Пример 5.54. Параметрические вариационные задачи. Рас-
смотрим вариационный функционал первого порядка вида
S [и, ц] = L (х, и, v, их, vx) dx,
где xeR. Рассмотрим бесконечномерную группу симметрий,
состоящую из произвольных замен х > ф (х) независимой пе-
ременной. Ее инфинитезимальные образующие будут иметь вид
Vh = h(x)dx, где h — произвольная функция от х. В силу инфи-
нитезимального критерия (4.15) это группа вариационных сим-
метрий, если только
/i (х) Lx h (х) £ uxLUx ^x^vx “1“ EJ ==: b
(нижние индексы означают производные). (Обобщение на ди-
вергентные симметрии здесь ничего не добавляет). Поскольку и
h и h' произвольны, функция L должна не зависеть от х и
иметь вид L — uxC(u,v, vx/ux). Мы заключаем, что здесь обяза-
тельно имеем дело с параметрической вариационной задачей
S’ [и] — L [и, v, их dx = L (u, v, du,
где и можно считать, скажем, функцией только от и.
426
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Вторая теорема Нётер утверждает, что между двумя указан-
ными уравнениями Эйлера — Лагранжа
Eu (L) = uxLu-Dx(t - -g- = О, Ео (Л) = uxLv - DxLVu = О
имеется зависимость. Эволюционный вид поля vh есть
—h(x) (ихди + vxdv). Поэтому, согласно (5.66), (5.67), имеем
тождество
ихЕи (L) + v ЛЕ0 (£) = 0.
Это рассуждение, очевидно, распространяется на вариационные
задачи больших порядков и больших размерностей.
Пример 5.55. Рассмотрим вариационную задачу
s [«]=4 $ $ d* dy>
уравнения Эйлера — Лагранжа
Е„ (7.) = ихх vxy 0, Ео (А) иху Vyy 0
которой составляют, как мы видели в § 2.6, недоопределенную
систему, причем DyEu (L) — DxEd (L) = 0. Доказательство теоре-
мы 5.50 дает соответствующую бесконечномерную группу сим-
метрий, порожденную полем Vh = —hydu ~р hxdv, где h(x,y)—•
произвольная функция. Преобразования из этой группы
ехр (еул) (u, v) = (и — ehy, v + ehx),
очевидно, не меняют S. Хотя эти однопараметрические группы
явно нетривиальны, соответствующие законы сохранения три-
виальны. Например, если h(x, у) =—у, так что ^н = ди, мы
получаем тривиальный закон с компонентами (ux-\-Vy, 0), т. е.
Dx (Цх -р Vy) == t^XX 4“ Vxy.
На первый взгляд этот закон не выглядит тривиальным, но если
мы прибавим очевидно тривиальный закон (первого типа)
(y(uxlJ + Vyy), —y(iixx + Vxy)), то получим эквивалентный три-
виальный закон сохранения второго типа, поскольку
(их + vy) +у (иху + Vyy) = Dy (у (их + Vy)),
— У (“хх + vxy) = — Dx(y (их 4- Vy)).
Урок состоит в том, что для анормальных систем требуется еще
больше тщательности, чтобы отличить тривиальные законы от
нетривиальных; даже характеристики здесь не являются боль-
ше верным указателем тривиальности.
5.4. Вариационный комплекс
427
5.4. ВАРИАЦИОННЫЙ КОМПЛЕКС
Как отмечалось во введении к этой главе, вариационный
комплекс берет свое начало из трех главных результатов, со-
ставляющих основу большей части нашей работы по симмет-
риям, законам сохранения, дифференциальным операторам
и т. д. Первый — это характеризация ядра оператора Эйлера
как пространства полных дивергенций, данная теоремой 4.7;
второй — характеризация всех нулевых дивергенций как пол-
ных роторов, данная теоремой 4.24; третий — характеризация
уравнений Эйлера — Лагранжа симметричностью их производ-
ных Фреше, см. доказательство леммы 5.38. Два последних ре-
зультата, как мог обнаружить читатель, доказать особенно не-
легко. Однако, если их переформулировать на более естествен-
ном языке дифференциальных форм, их можно получить снова
посредством построения подходящих операторов гомотопии,
аналогичных тем, которые использовались в доказательстве
леммы Пуанкаре в § 1.5. (Мы настоятельно рекомендуем чи-
тателю основательно ознакомиться с понятиями обычных диф-
ференциальных форм на многообразиях, изложенными в § 1.5,
прежде чем пытаться изучать формы более сложных типов, с
которыми приходится иметь дело здесь.) Хотя в этой книге нам
потребуются лишь три указанных выше частных примера пол-
ного вариационного комплекса, мы предпочли включить его
целиком, поскольку (а) в общем случае доказательства ничуть
не труднее и (Ь) знакомство с этим комплексом обеспечит чи-
тателю прекрасную подготовку к дальнейшему чтению совре-
менных работ и к исследованиям по геометрической теории ва-
риационного исчисления на многообразиях.
Вариационный комплекс естественно расщепляется на две
составляющие. В первой части соответствующие дифференци-
альные формы — это выражения, включающие дифференциалы
dx1 независимых переменных, коэффициенты которых, однако,
являются дифференциальными функциями. Обычный дифферен-
циал d при этом заменяется «полным» дифференциалом D, ко-
торый используется вместо частных производных. Хотя опре-
деления здесь проще, доказательство точности является на-
много более сложным и требует техники «операторов Эйлера
высших порядков», развитой в конце этого параграфа. Резуль-
тат о нулевых дивергенциях появляется в предпоследнем члене
этой части комплекса. Во второй части вариационного комп-
лекса роль функций берут на себя функционалы вариационного
исчисления, а «функциональные формы» определяются анало-
гично. Дифференциал теперь является аналогом вариационной
производной функционала и называется поэтому вариационным
428
Гл. 5. Обобщенные симметрии
дифференциалом. Хотя объекты этой части меньше нам зна-
комы, доказательство точности получается с помощью относи-
тельно простого расширения оператора гомотопии де Рама.
Сюда включается решение обратной задачи Гельмгольца ва-
риационного исчисления. Сам оператор Эйлера обеспечивает
связь между этими двумя составляющими; характеризация ну-
левых лагранжианов дает оставшийся шаг в полной точности
вариационного комплекса.
D-комплекс
Первая часть вариационного комплекса получается пере-
формулировкой комплекса де Рама для пространства дифферен-
циальных функций, определенных на М с X X U. Полная диф-
ференциальная r-форма будет иметь вид
со = У Р} [и] dx1,
I
где коэффициенты Pj е st- — теперь дифференциальные функ-
ции, a dx1 = dxil л ... /\dxlr, 1 /1 < ... </7 р, состав-
ляют стандартный базис пространства ЛГТ*Х. Если мы заменим
и некоторой функцией u = f(x), то снова получим обычную
дифференциальную r-форму на пространстве X. Мы дифферен-
цируем со, обращаясь с и как с функциями от х, что приводит
к полному дифференциалу
р
Deo = Е Е DiPj dx1 f\ dx1. (5.69)
i = l I
Например, если p = 2, то
co = yux dx uuxy dy
— полная один-форма с полным дифференциалом
Deo = [Z9X (ииху) Dy (yux)J dx A dy
= [uuxxy -f- uxuxy ux yuxy] dx л dy.
Поскольку при подстановке u — f(x) полный дифференциал
совпадает с внешней производной, легко видеть, что D опреде-
ляет комплекс (называемый D-комплексом) на пространстве
полных дифференциальных форм. Это означает, что D(Dco) = 0
для любой формы со. На подходящих подобластях М с X X V
этот комплекс точен. Явное требование на М состоит в том, что
эта подобласть должна быть вполне звездной. Это означает, что
она (а) вертикально звездная, так что каждый вертикальный
5.4. Вариационный комплекс
429
слой Мх={и: (х, и)еЛ1} — звездная подобласть в U, и
(Ь) горизонтальный слой в базе й=(х: (я, 0)eAf}—звездная
подобласть в X.
Теорема 5.56. Пусть М — вполне звездная подобласть. Тогда
D-комплекс
„ _ D D D D
О —> R —> А о * А1 * • • • * А р-1 * А р
точен (Лг обозначает пространство полных r-форм). Иными
словами, если сое А, при 0 < г < р, то форма со D-замкнута:
Da» = 0, если и только если форма со D-точна: со = ОцсАя неко-
торой полной (г — 1) -формы т], а если со е Ао, так что со — про-
сто дифференциальная функция, то Deo = 0, если и только если
со — константа.
Пример 5.57. Точность D-комплекса в члене Ap_i, как легко
видеть, эквивалентна характеризации нулевых дивергенций,
данной в теореме 4.24. В самом деле, пользуясь обозначениями
из примера 1.62, получаем, что каждую (р—1 )-форму со =
= 22 (—T)i APjdx^ можно отождествить с ее коэффициентами
Р~(Pi, ..., Рр)е^р. Имеем Deo = (DivP)dx1 л ... дdxp, так
что форма со D-замкнута, если и только если Р — нулевая ди-
вергенция. С другой стороны, (р — 2)-форма принимает вид
т]= 22 (~-P)l+k~lQjkdxik, где Qjk = —Qkj, и Dt] = co, если и толь-
ко если Pj = 22 DkQjk- (Явные формулы, выражающие Q через
Р, будут найдены в процессе доказательства теоремы 5.56.)
Если мы всюду подставим u = f(x), то D-комплекс сведется
к обычному комплексу де Рама, который по лемме Пуанкаре
(теорема 1.61) точен. Однако это не доказывает точность
D-комплекса! Чтобы увидеть это, рассмотрим полную г-форму
со [iz], зависящую от и и ее производных, и соответствующую
r-форму Й7 (х) = со [/(х) ] на QcA’, полученную подстановкой
всюду вместо и функции f(x). Тогда Deo = 0, если и только если
d<Hf = 0 для каждого f и, следовательно, = с/гц для некоторой
(г—1)-формы T]f(x). Из формулы гомотопии Пуанкаре (1.69)
не ясно, почему для тр существует полная (г—1)-форма г)[н],
зависящая лишь от и и ее производных, которая в каждом слу-
чае при подстановке н = /(х) дает -qf: г][f(х)] = тц (х) для всех
f. Причина состоит в том, что (1.69) не является локальным
отображением.
В самом деле, комплекс де Рама точен даже в члене
Ap-iT’D -А- ЛрТ*П->0, но это совершенно неверно для
430
Гл. 5. Обобщенные симметрии
D-комплекса. Каждая полная p-форма со = L [н] dx* л ... f.dxp,
очевидно, D-замкнута, но она D-точна, co = Dt], если и только
если L — полная дивергенция, L = Div Р, а, как мы знаем, не
каждая дифференциальная функция является полной диверген-
цией. Доказательство теоремы 5.56 потребует поэтому новых
методов, в частности нового «оператора полной гомотопии». Мы
откладываем его до конца этого параграфа.
Следующий шаг в построении вариационного комплекса —
продолжить D-комплекс дальше за член ЛР. В сущности мы
уже знаем, как это делать, поскольку по теореме 4.7 форма
со = Ldx{ л ... Л dxp D-точна (это означает, что Л = В1уРдля
некоторого Р е если и только если Е (L) = 0, где Е — опера-
тор Эйлера. Таким образом, за отображением D: Ap-i /\Р
должен следовать оператор Эйлера или вариационная произ-
водная, возможно, в более внутренней форме. Это будет осу-
ществлено, и вариационный комплекс продолжится даже даль-
ше посредством введения «функциональных форм» и «вариа-
ционных дифференциалов», которые в некотором смысле де-
лают с зависимыми переменными то, что D-комплекс делает
с независимыми переменными.
Вертикальные формы
Полные r-формы активны на «горизонтальных» переменных
X из М с X X U — в них присутствуют лишь дифференциалы
dx‘. Вертикальные формы строятся аналогично — они активны
на «вертикальных» переменных, состоящих из и и их производ-
ных1). А именно, вертикальная &-форма — это конечная сумма
6 = Е Р'; [«] d«“; л ... л du£ (5.70)
в которой коэффициенты P's е — дифференциальные функции.
Поскольку в этих формах появляются лишь дифференциалы
du“, аналогом дифференциала обычного комплекса де Рама
является вертикальный дифференциал
= du^ л dify л ... л dufy (5.71)
Если p = q=\, то типичная вертикальная форма — например,
6 = хихх du л dux. Ее вертикальный дифференциал тогда равен
*) Можно, конечно, строить «гибридные» формы на обоих множествах
переменных, что приводит к важному «вариационному бикомплекту». Однако
это увело бы нас слишком далеко.
5.4. Вариационный комплекс
431
d& = х du Л dux /\diixx, независимая переменная х присутствует
только как параметр.
Поскольку всякая данная вертикальная форма со зависит
лишь от конечного числа переменных и" и, следовательно, оби-
тает на пространстве конечных струй Л1(п), вертикальный диф-
ференциал Йы в действительности — то же самое, что и диффе-
ренциал де Рама по этим переменным, причем остальные неза-
висимые переменные играют роль параметров. Таким образом,
легко видеть, что вертикальный дифференциал обладает обыч-
ными свойствами билинейности, антидифференцирования и
замкнутости, как и обычный дифференциал:
d (ccb + с'&') = cd& + c'd&',
d (<b Л f|) = (dtb) A f] + (— l)ft to A df],
d (d&) = 0,
где to, <b'eAfe(Afe—пространство вертикальных ft-форм на
Af), i] е/\/ и c, d— константы. Кроме того, доказательство лем-
мы Пуанкаре немедленно распространяется на эту ситуацию
и дает доказательство точности «вертикального комплекса» на
подходящих подобластях М cz X X /V.
Теорема 5.58. Пусть М cz ХХй— вертикально звездная об-
ласть. Тогда вертикальный комплекс
~ d ~ d
Л0-^ Л1—* Л2—* ...
точен. Иными словами, при ft > 0 вертикальная k-форма и
замкнута-. На = 0, если и только если она точна: = с!х\ для не-
которой (ft—1) -формы т). При ft = 0 0-форма или дифферен-
циальная функция d-замкнута, если и только если она является
функцией только от х.
Заметим, что, хотя всякая данная вертикальная форма за-
висит только от конечного числа переменных, весь вертикаль-
ный комплекс никогда не оборвется, поскольку мы можем про-
должать его, добавляя производные от и все более высоких
порядков, чтобы строить ненулевые вертикальные ft-формы для
любого ft 0.
Доказательство теоремы 5.58 использует тот же оператор го-
мотопии, который использовался в обычной лемме Пуанкаре,
но приспособленный к бесконечному числу переменных
Основное векторное поле растяжений — это поле prvu =
432
Гл. 5. Обобщенные симметрии
= —бесконечное продолжение эволюционного век-
торного поля vk = У, иад/диа. Для таких векторных полей и
вертикальных форм корректно определено их внутреннее произ-
ведение, причем и — двойственные базисы соответ-
ствующих касательного и кокасательного пространств. (Заме-
тим, что, поскольку вертикальные формы должны быть конеч-
ными суммами (5.70), мы можем допускать бесконечные суммы
в наших векторных полях, поскольку при вычислении, скажем,
prvu Динам понадобится лишь конечное число членов полного
продолжения поля vu.) Формула для оператора гомотопии, со-
ответствующая формуле (1.69), принимает тогда вид
i
h (й) = {prvu J d)[Zu]}-^, (5.72)
о
и для to <= A*, k > 0, мы находим
& = dh (и) + h (d&>).
В (5.72) обозначение й [и] указывает на зависимость to от и
и всех ее производных. Поэтому, чтобы найти й [Zw], мы заме-
няем каждую м“, возникающую в и (либо явно, либо как диф-
ференциал), на Zu)1. Беря внутреннее произведение и интегри-
руя затем по К, мы находим Н(6). (В частности, у подынте-
гральной функции при Z = 0 нет особенности.)
Пример 5.59. Пусть p = q=l. Если й = хих du д dux, то
d& = xdux/\du/\dux = G, так что форма й замкнута. Чтобы
найти однн-форму т), такую, что <о = Йт|, нам нужно лишь вы-
числить
1
П — d (to) = {pr vu Д [х (Ких) d (Ки) л d (ZuJ]} =
о
i
= Z2 [xuux dux — xuj, du) dK = ~3 (xuux dux — xu2 du).
о
Каждая вертикальная Л-форма определяет кососимметрич-
ное й-лннейное отображение из пространства вертикальных век-
торных полей n* =^Qadlduj в пространство дифференци-
альных функций; в частности, она определяет кососимметрич-
ное полилинейное отображение на пространстве То эволюцион-
ных векторных полей. Явная формула записывается с помощью
5.4. Вариационный комплекс
433
определителей, как в (1.49), так что если форма о задана фор-
мулой (5.70), то
(6; prvp ..., prVj0 = £ P“det(£) Q! 1 (5.73)
a, J \ l I/
где Q’ e s/Q — характеристика поля v;-, а определитель берется
от матрицы размера k X k с указанными элементами. Напри-
мер,
/ Q \
{хихх du Л dux, pr Vq, рг = хихх det n Q D RJ
— Хихх (QDXR RDXQ).
Полные производные вертикальных форм
Для каждого i = 1, ..., р полную производную £), можно
представлять себе как своего рода векторное поле на простран-
стве бесконечных струй. Раз так, оно может действовать на вер-
тикальные формы как «производная Ли», которая определяется
следующими правилами:
(а) линейность
D[ (с<в + с'&') = cDj(b -j- c'DjC} , с, с' е R; (5.74а)
(Ь) свойство дифференцирования
(<в А т)) = (Di&) Л f| + to Л (Dtf|); (5.74b)
(с) коммутирование с вертикальным дифференциалом
Df(d(i)) — d(Di&) (5.74c)
вместе с уже определенным его действием на дифференциаль-
ные функции. (См. (1.59), (1.60), (1.61).) В частности, Dt дейст-
вует на базисные формы следующим образом: Didu(j =
= d (D^) = du’} г Это действие легко восстанавливается по
этим свойствам. Например,
Dx (хихх du Л dux) — Dx (хихх) du Л dux -|- xuxxDx (du) Л dux +
+ хихх du Л Dx (dux) =
= (xuxxx + uxx) du A dux + xuxx du A duxx, (5.75)
средний член обращается в нуль, поскольку Dx(du) = dux. До-
казательство того, что (5.74) определяет корректное действие
Di, нетрудно; в сущности это прямое следствие того же свой-
ства единственности обычной производной Ли. Одно ключевое
свойство состоит в том, что полная производная совместима с
434 Гл. 5. Обобщенные симметрии
вычислением вертикальных форм на эволюционных векторных
полях:
prv,.....prvk) = {D{&; prvb prvft) (5.76)
при l^i^p, йе Дй, vf = vQi, Q'erf’. Таким образом, на-
пример, значение производной Dx от xuxx{QDxP— RDXQ) сов-
падает со значением два-формы (5.75) на prvQ и prvR. Дока-
зательство формулы (5.76) основано на формуле для производ-
ной Ли из упр. 1.35 и том факте, что полные производные
коммутируют с эволюционными векторными полями (см. (5.19)).
Функционалы и функциональные формы
На самом деле нас сейчас интересуют «функциональные ва-
рианты» наших вертикальных форм, которые связаны с ними
точно так же, как функционалы связаны с дифференциальными
функциями. Хотя основное понятие функционала появилось в
гл. 4 в своем традиционном облике, последующее развитие нуж-
дается в более алгебраическом подходе к этим фундаменталь-
ным объектам вариационного исчисления. Каждая дифференци-
альная функция задает функционал 3? [м] = L [м] dx,
я
определенный на произвольной подобласти йсХ своей области
определения. Если игнорировать вклад границы (рассматривая,
скажем, только функции u = f{x), достаточно быстро стремя-
щиеся к нулю вблизи границы), то другая дифференциальная
функция t е будет определять тот же функционал, т. е.
J L[u]dx — £[м]<2хдля всех таких и, если и только если она
я я
отличается от L на полную дивергенцию:
£ = LDiv.P для некоторого (5.77)
В этом суть содержания теоремы 4.7 в случае, когда Р [п] = О
на дИ. Условие (5.77) уже не зависит от области Q и определяет
отношение эквивалентности на пространстве дифференциальных
функций. А именно, L и L эквивалентны и определяют одни
и тот же функционал, если выполняется условие (5.77).
Каждый функционал, таким образом, единственным образом
определяется классом эквивалентности дифференциальных
функций и наоборот. Поэтому разумно определить простран-
ство функционалов, обозначаемое 3~, как множество классов
эквивалентности на пространстве дифференциальных функ-
ций относительно отношения эквивалентности (5.77). Иначе го-
воря, положим S' = ^/Div (<s/p)— факторпространство вектор-
5.4. Вариационный комплекс
435
ного пространства st по подпространству полных дивергенций,
т. е. «коядро» отображения полной дивергенции Div:
Естественное проектирование из в ST, ставящее в соответ-
ствие каждой дифференциальной функции L ее класс эквива-
лентности или функционал, разумно обозначать знаком инте-
грала, так что Ldx^&~ — это функционал или класс эквива-
лентности, соответствующий дифференциальной функции
В частности, Ldx = 0, если и только если L = Div Р для не-
которого Р. Это дает нам возможность «интегрировать функ-
ционалы по частям»:
J (Р DtQ)dx=~^(Q- DiP)dx, P, Q e a.
(С нашей предшествующей точки зрения образ оператора пол-
ной дивергенции можно отождествить с образом отображения
D: Лр-1-^-Лр, где L[u] соответствует р-форме L[u]dx =
= L[u]dxl/\ .../\dxP. Можно отождествить пространство
функционалов, с коядром AP/D AP-i, причем проекцией
формы ia = Ldx будет функционал <а== j Ldx. На самом деле,
если бы мы стремились к поистине бескоординатному представ-
лению, нам нужно было бы работать с АР, пространством пол-
ных р-форм, а не с пространством дифференциальных функ-
ций. Заметим также, что нам следовало бы, таким образом,
пополнить D-комплекс добавлением тривиального точного
D
куска: Ap_i —* Лр—>0, но это не так интересно, как
полный вариационный комплекс.)
Важный момент состоит в том, что, тогда как пространство
дифференциальных функций является алгеброй, это становится
неверным для пространства ЗГ функционалов, поскольку мы не
можем естественным способом перемножать функционалы. На-
пример, дифференциальные функции их и иххх обе определяют
тривиальные функционалы: \^их dx — 0= иххх dx, однако их
произведение ихиххх не является дивергенцией и, следовательно,
S — ихиххх dx =f= 0 не является тривиальным функционалом.
В самом деле, 6-S7 = —Ъихххх =/= 0; следовательно, по теореме 4.7
0. Конечно, мы можем брать линейные комбинации функ-
ционалов с постоянными коэффициентами, так что ЗГ является
векторным пространством.
436
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Аналогично, мы определяем отношение эквивалентности на
пространстве Afe вертикальных й-форм, причем 6 эквивалентна
и', если они отличаются на полную дивергенцию:
р
6 = и'+ Div П = (£•'+ Е
i=l
где Di действует на щ в соответствии с (5.74). Пространство
классов эквивалентности — это пространство функциональных
k-форм, обозначаемое
Aj=A7Div(AT-
Естественное проектирование из Afe в снова обозначается
знаком интеграла, так что j a dx — класс эквивалентности,
содержащий а е Afe. В частности, ^Divfjdx —0 для любого
набора из р вертикальных й-форм fj. В совокупности со свой-
ством дифференцирования для полной производной (5.74b) это
дает формулу интегрирования по частям
^a/\DiT\dx = —(7)га) Af\dx, 6 е ЛЛ f] Az. (5.78)
Пример 5.60. Пусть р = у—1. Рассмотрим функциональную
два-форму
а — {их du л duxx} dx.
Мы можем проинтегрировать ее по частям, пользуясь тем фак-
том, что duxx = Dx (dux), так что в силу (5.78)
а = — ^ {Dx (их du) Л dux} dx — — {(ихх du + их dux) л dux} dx =
= — {ихх du д dux} dx.
Это не помогает, даже если мы попробуем еще раз проинтегри-
ровать по частям, поскольку мы получаем
а = + ^ {Dx (ихх du) Л du} dx = + {ихх dux Л du} dx,
а это в точности то же, что и выше.
Раз мы не можем перемножать функционалы, для функцио-
нальных форм нет корректно определенного внешнего произ-
ведения, поскольку если
a = a + Divr) и 6==6 + Divg
5.4. Вариационный комплекс
437
— эквивалентные формы, то нет никаких гарантий, что формы
6 Л 6 и со л 6 тоже эквивалентны. В предыдущем примере фор-
ма duxx = Dx(dux) тривиальна, но функциональная два-форма
со не тривиальна. (См. предложение 5.64.)
Каждая функциональная форма является кососимметричным
полилинейным отображением из пространства эволюционных
векторных полей в пространство функционалов, определенным
так, что
<ш; V,, ..., vft)= prvi, .... prvfe)dx, у^Т0, (5.79)
где co = й dx, co e Д*. В силу (5.76) это определение кор-
ректно. Например, если со = {их du д duxx} dx, как выше, то
(со; vQ, v*) = $ их dx.
Менее очевидным является то, что это действие единственным
образом определяет форму со.
Лемма 5.61. Если со и со'—функциональные k-формы, то
со = со' тогда и только тогда, когда <со; vi, ..., Vfe> =
= <со'; vi, ..., Vfe> для каждого множества эволюционных век-
торных полей Vi, ..., Vk-
Доказательство опирается на более важный результат.
Лемма 5.62. Предположим, что ueR’ и — зависимые
переменные, зависящие от хеRp. Предположим, что 2[и, и] =
= L (х, им, v(n)) dx — функционал, обладающий тем свой-
ством, что 2 [и, Q [w] ] = о для всех наборов из г дифференци-
альных функций Q е эР, зависящих от х, и и производных от и.
Тогда 2 [и, v] = 0 как функционал от и и V.
Доказательство. Эквивалентный способ сформулировать этот
результат — сказать, что если для каждого Qe^'
L[h, Q [«]] = Div Pq [«]
для некоторого Pq e .rtp, зависящего от x, и и производных от
и, то
L [u, v] = Div Р* [и, v]
для некоторого набора из р дифференциальных функций Р*, за-
висящих от х, и, v и производных от и и V. В частности,
L [и, Q [и] ] = Div Р* [и, Q [и] ],
438
Гл. 5. Обобщенные симметрии
где Р* зависит только от Q и ее полных производных. (Это не
обязательно справедливо для Pq, особенно если Pq построено
с помощью метода доказательства теоремы 4.7.)
Чтобы доказать этот результат, рассмотрим Q, Р Тогда
по определению вариационной производной
°=~|е=о^[«, Q + e/?]=$E0(L)[«, Q]-Pdx,
где Ео (£) обозначает вариационную производную от L по v. По
следствию 5.52 Ev (£)[«, Q [«]] = 0 для всех Q, значит,
Ео (£) [и, о] = 0 для всех и, v. Аналогично, дифференцируя
S? [и + еР [«], Q [zz + еР [ы] ] ] по е при е = 0 и пользуясь обра-
щением в нуль Er(L), мы находим, что Еи (£) = (). Из теоре-
мы 4.7 непосредственно следует, что L[u, o] = DivP*[zz, о] для
некоторого Р*, что и доказывает лемму. □
Чтобы доказать лемму 5.61, нам нужно лишь показать, что
-^[/z; Q1,, Qfc] v„ ..., vfe) = o
для всех Qv е v = 1, . .., k, если и только если a = Div т)
для некоторого набора из р вертикальных форм fj. Из леммы
5.62 вытекает, что
(a; pr vb ..., pr vft) = Div P‘ [zz; Q1, ..., Qfc],
где P* зависит только от Ql, ..., Qk и их полных производных.
Оказывается, что компоненты Р*. набора Р* всегда можно вы-
брать линейными по всем Qv, но это могут не быть кососим-
метричные функции. Однако, если мы заменим Р* на его «анти-
симметризацию»
Р’[«; Q1, .... Qfc] -=^r^(-l)nP* h; Q"1. .... <ЭлА]
л
(сумма берется по всем перестановкам л чисел {1, ..., k}),
мы сохраним условие
(a; prvb ..., prvft) = Div P*[zz; Q1, ..., Qfe].
Кроме того, каждая компонента набора Р* является кососим-
метричной полилинейной функцией от Qv и их полных произ-
водных и, следовательно, может быть отождествлена с верти-
кальной ^-формой
рИ«; Q1, •••. <Л=(я/; prvb ..., prvft).
Поскольку это справедливо для всех таких Q1, ..., Qk, мы за-
ключаем, что d>=DivT], и лемма доказана. □
5.4. Вариационный комплекс
439
Рассмотрим более подробно случаи функциональных один-
н два-форм. Всякая однн-форма
£0 = ?а М
определяется конечным набором дифференциальных функций
Ра, но Ра определяются формой со неоднозначно. В самом деле,
поскольку du'j = Djdua, мы можем Проинтегрировать каждое
слагаемое по частям, что приводит к более простому выра-
жению
со = f Ра [м] dua 1 dx = {Р • du} dx,
la=l J
где Pa=£(-D)fP'a, (5.80)
называемому каноническим видом формы со. Нетрудно видеть,
что каждая функциональная однн-форма имеет однозначно
определенный канонический вид.
Предложение 5.63. Пусть со = j {Р • du} dxu со = {Р • du} dx —
функциональные один-формы в каноническом виде, так что Р,
Р е Тогда со = со, если и только если Р = Р.
Доказательство. Достаточно показать, что функциональная
однн-форма со равна 0 тогда и только тогда, когда набор из р
дифференциальных функций Р, присутствующий в канониче-
ском виде, тождественно равен нулю. Вычисляя (5.80) на про-
извольном векторном поле, мы имеем
(со; vQ)= (Р • Q)dx.
Согласно лемме 5.61, со = О, если и только если это выражение
обращается в нуль для всех таких полей vQ, но в силу след-
ствия 5.52 это происходит, если и только если Р = 0, что и до-
казывает наш результат. □
Далее, рассмотрим случай функциональных два-форм. Наи-
более общий вид функциональной два-формы.
440
Гл. 5. Обобщенные симметрии
(Сумма, как обычно, будет конечной.) Чтобы упростить верти-
кальную два-форму, стоящую под знаком интеграла, мы пере-
писываем du,} = DJdua и интегрируем по частям. Это приводит
к выражению вида
£0 = ( f Л^Р 1М1 Л 1
J I а, р, I )
где Р1ар определяются по Рар и их производным. Определим
дифференциальные операторы
Тогда выписанное выше выражение можно переписать в виде
^2 d«a А ^ар du& I dx (5.81)
la, p = l )
или, пользуясь более компактным матричным обозначением,
<в = (du л Ф du} dx.
Оказывается, тем не менее, что матричный дифференциальный
оператор S> = (S>ap) неоднозначно определяется формой
В самом деле, (5.81) можно проинтегрировать по частям, что
приводит к эквивалентному выражению
£0=^|^ Фар (dua) A du$ | dx = — f £ du?' л Ф*ар (dua) dx |,
I a, p J I a, P J
содержащему оператор S)* = (Фра), сопряженный к оператору
Ф. Если мы положим Ф=Ф— Ф*, так что Ф'. —
антисимметрический дифференциальный оператор: Ф* = —Ф,
то и примет канонический вид
<в = ± {du л Ф du} dx, Ф* = — Ф. (5.82)
Ее значение на паре эволюционных векторных полей тогда
равно
(<в; vQ, vr} = у {Q • ~ Я ’ dx = {Q • ФР} dx,
поскольку оператор Ф антисимметрический. Этот канонический
вид однозначно определяется формой <в.
5.4. Вариационный комплекс
441
Предложение 5.64. Пусть со = у^ {du л 3 (du)} dx, G> =
— ~ j {du л 3) (du)} dx — функциональные два-формы в канони-
ческом виде, так что 3 и 3— антисимметрические матричные
дифференциальные операторы размера q^q. Тогда со = со,
если и только если 3) = 3).
Доказательство. По лемме 5.61 достаточно доказать, что если
3)-. 3q -> — антисимметрический оператор, то (Q • 3R) dx =
= 0 для всех Q, 7? е зД1, если и только если 3) = 0. Из след-
ствия 5.52 вытекает, что ЗВ = 0 для всех В, откуда следует,
что 3) = 0. (См. упр. 5.29.) □
Вариационный дифференциал
Определение 5.65. Пусть со = со dx — функциональная 6-фор-
ма, соответствующая вертикальной 6-форме 6. Вариационный
дифференциал формы со —это функциональная (k + 1) -форма,
соответствующая вертикальному дифференциалу формы со:
бсо = (dfo) dx. (5.83)
Соотношение коммутативности (5.74с) гарантирует, что этот
оператор корректно определен на пространствах функциональ-
ных форм. Основные свойства сразу же выводятся из свойств
вертикального дифференциала, так что мы немедленно полу-
чаем точный вариационный комплекс.
Теорема 5.66. Пусть МсХУД: — вертикально звездная об-
ласть. Вариационный дифференциал определяет точный комп-
лекс
0-> Л0"1* Л1Л2~^> Л3 ...
* * * *
на пространствах функциональных форм на М. Иными словами,
функциональная форма замкнута-, бсо = 0, если и только если
она точна-, со = бц.
Доказательство. Формула гомотопии (5.72) непосредственно
проектируется в формулу гомотопии для вариационного диффе-
ренциала: если со — произвольная функциональная 6-форма,
k > 0, то
со = 6ft (со) h (бсо),
442
Гл. 5. Обобщенные симметрии
где для со = й> dx
ft (со) = \ h (й>) dx =
(рг vu J “ dx-
(5.84)
Это также распространяется на случай, когда ft = О, т. е. со —
функционал, поскольку со отличается от dh (со) + ft (dco) лишь
на функцию, зависящую только от х, а всякая такая функция
определяет тривиальный функционал. Этого достаточно, чтобы
доказать теорему 5.66 во всех случаях. □
Пример 5.67. Рассмотрим функциональную два-форму
со = {иХхх du A dux} dx.
(Заметим, что со не в каноническом виде. Канонический вид в
этом случае
~2 У (du А (2иХХх dux -|- ихххх du)} dx
и соответствует антисимметрическому оператору 2uXxxDx +
+ ихххх.) Вариационная производная — это функциональная
три-форма
бсо = \ {duxxx A du д dux} dx.
Эта форма тривиальна: интегрируя по частям, мы видим, что
бсо = — {duxx A Dx (du Л dux)} dx =
= —- \ {duxx д dux A dux + duxx A du д duxx} dx — 0.
Это эквивалентно тому, что duxxx д du д dux = Dx (duxx К du к
Л dux) — полная производная по х. (Другой способ убедиться
в этом — заметить, что значение соответствующей вертикальной
три-формы на тройке эволюционных векторных полей есть про-
изводная по х:
(du A dux A duxxx', Рг Ур, Pr vQ, pr Vr) =
/ Р Q R \ / Р Q R V
= detl DXP DXQ DXR | = £>ж- det I DXP DXQ DXR | . )
\P3P D3Q D^rJ \d*xp d2xq d2xrJ)
Чтобы вычислить один-форму i], вариационным дифференциа-
лом которой является форма со, мы пользуемся формулой гомо-
5.4. Вариационный комплекс
443
топни (5.84),
т] = h (со) ==
£ {^^ххх^х^ххх du} с/Л) dx —
5^3 ^^ххх dlix з UXUXXX du^ dx.
Она имеет канонический вид
Т] J у 3 иМхххх з ^х^ххх J dltj dx
и на самом деле
И1 2 2 1
—g- и duxxxx l\du —g их duxxx л du — -g- uxxx dux Л du | dx.
Можно показать, что бт] эквивалентна форме со, проинтегриро-
вав два раза по частям.
Точность вариационного комплекса в члене Д* особенно
важна, поскольку она дает вышеупомянутое решение обратной
задачи вариационного исчисления. Чтобы увидеть это, нам
нужно сначала связать вариационный дифференциал с вариа-
ционной производной. Если SE = L dx — функционал, который
мы рассматриваем как элемент пространства Д°, то его вариа-
ционный дифференциал есть функциональная один-форма
S2? = 5 tfL}dx= j у JL-du“jdx.
Как в (5.80), мы можем проинтегрировать эту последнюю
форму по частям, что приводит к каноническому виду
dua 1 dx = {Е (£) • du} dx,
ср. (4.3). Из предложения 5.63 следует, что §2? можно одно-
значно отождествить с выражением Эйлера — Лагранжа Е(£),
и это доставляет связь между вариационным дифференциалом
и нашим предыдущим обозначением для вариационной произ-
водной. (На самом деле если мы интерпретируем дифференциа-
лы dua как инфинитезимальные вариации по иа, a du<j =
= Djdua — как соответствующие вариации по производным, то
проведенное вычисление — то же самое, что традиционное
определение уравнений Эйлера — Лагранжа из определения
вариационной производной.) Точность вариационного комплекса
444
Гл. 5. Обобщенные симметрии
в члене Л ° тогда эквивалентна теореме 4.7 о том, что функцио-
нал тривиален, если и только если его вариационная производ-
ная есть тождественный нуль.
Мы можем, таким образом, «склеить» D-комплекс с ком-
плексом, определенным вариационным дифференциалом, полу-
чив в результате полный вариационный комплекс
0->R_> ао —*Aj —
D D Е , в „ в
- > лр—л: —>• дф2 -
Он точен на вполне звездных областях М cz X X U-
Далее, рассмотрим вариационный дифференциал от функ-
циональной один-формы, которую мы берем в каноническом
виде со = \ {Р • du} dx. Мы получаем
Га ₽, I
du& Л dua 1 dx
dift 1 (
{DP (du) Л du} dx,
где Dp — производная Фреше от Р, ср. (5.40). Как и в (5.82),
мы можем проинтегрировать по частям второй раз, что при-
водит к каноническому виду
бсо = ( {du Л (D^ — Dp) du} dx.
В частности, форма со замкнута, если и только если Dp — сим-
метрический дифференциальный оператор. Точность вариацион-
ного комплекса в совокупности с явным видом оператора гомо-
топии (5.84) дают, таким образом, полное решение задачи ха-
рактеризации образа оператора Эйлера — Лагранжа.
Теорема 5.68. Пусть Р [и] е определен на вертикально
звездной области MaXytU. Тогда Р — выражение Эйлера —
Лагранжа для некоторой вариационной задачи S? = ^Ldx,
т. е. Р — Е(£). если и только если производная Фреше Dp
симметрична'. Dp = Dp. В этом случае лагранжиан для Р мож-
но явно построить с помощью формулы гомотопии
1
L [и] — и • Р [Zu] dK. (5.85)
о
Пример 5.69. Пусть р — q = 1. Функционал
[и] = J (у и2хх — uuQ dx
5.4. Вариационный комплекс 445
имеет выражение Эйлера — Лагранжа
Е (£) [w] = Р [«] = ихххх + 2иихх + и2х.
Производная Фреше от Р—это обычный дифференциальный
оператор
Dp = £И + 2uD2 + 2uD + 2ихх,
который, как легко видеть, симметрический. С другой стороны,
если бы нам было дано лишь Р, мы могли бы восстановить
вариационную задачу с помощью (5.85):
з? [«] = 5 | 5 U + ^UUxx + ЛЧ) dZ | dx =
= J {IUUxxxx + у “Чх+у ы«х}dx-
Этот лагранжиан — не тот же самый, что исходный, но экви-
валентен ему, поскольку
1 I 2 2 1 1 2
2 UUxxxx + 3 и ихх + з UUx
= V ихх ~ иих + Dx (тииххх ~ тихихх + 4 ИЧ) •
Z А- Л I £ АЛЛ. /, Л ЛЛ 0 /. J
Таким образом, нами решена версия Гельмгольца обратной
задачи вариационного исчисления: характеризация тех
Р [и] е которые являются выражениями Эйлера — Лагран-
жа. (Условия, требующие симметричности оператора Dp, часто
называют условиями Гельмгольца.) Хотя это решение очень
четкое, оно является отчасти неудовлетворительным с точки
зрения более широкой перспективы определения того, какие си-
стемы дифференциальных уравнений А = 0 возникают из ва-
риационных принципов. Если уравнения оказываются записан-
ными в «неправильном» порядке, скажем, А! = Е2(£), =
= Е,(£) ит. д., то условия Гельмгольца для А будут не вы-
полнены и вариационная структура системы останется необна-
руженной. Еще труднее будет ее обнаружить, когда система А
эквивалентна множеству уравнений Эйлера — Лагранжа, так
что Д = Л-Е(£) для некоторой обратимой матрицы А диффе-
ренциальных функций размера q X 7, или, даже более общо,
А = £Z>E (£) для некоторого дифференциального оператора Ф.
Решение общей проблемы эквивалентности не найдено даже
в случае, когда А — постоянная матрица! (Рассмотрены неко-
торые частные случаи — см. замечания в конце этой главы.)
446
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Операторы Эйлера высших порядков
Хотя D-комплекс, возможно, проще было выписать, по-
строение подходящего оператора гомотопии является значи-
тельно более сложным. Обычная формула де Рама больше не
работает, и мы вынуждены ввести так называемые операторы
Эйлера высших порядков. Наиболее естественно они возникают
при подробном анализе фундаментальной формулы интегриро-
вания по частям (4.39), которая использовалась в доказатель-
стве теоремы Нётер.
Определение 5.70. Для каждого 1 а q и каждого муль-
тииндекса J операторы Эйлера высшего порядка опреде-
ляются так, что формула
Q
pr VQ (Р) = z z Dt (Qa Ei (Р)) (5.86)
а = 1 I
справедлива для всякого эволюционного векторного поля vq
и всякой дифференциальной функции Р е st-.
Тот факт, что формула (5.86) может служить для однознач-
ного определения этих операторов, возможно, лучше всего
можно понять с помощью примера.
Пример 5.71. Пусть p — q— 1, так что имеются операторы
Эйлера Е(0), Е(1), Е(2) и т. д., удовлетворяющие условию
pr Vq (Р) = QE(0) (Р) + Dx (QE(1) (Р)) + Dx (QE(2) (Р)) + ... (5.87)
для функции Р = Р(х, и, их, ...) общего вида. Предположим,
что Р = Р (х, и, их, ихх) зависит лишь от производных второго
порядка, так что
/г>\ дР . г, „ дР . „2^, дР
pr Vq (Р) = Q + DXQ + DXQ .
Чтобы переписать это в виде (5.87), мы должны проинтегриро-
вать второе и третье слагаемые по частям:
DXQ = -Q- Dx-^ + Dx(Q ,
х^ дих х дих 1 х дих )
DXQ -f~=Q- Dx -------2DX (Q Dx-^-\-j- Dx •
diixx diixx \ x duxx J ' x\* duxx /
Сравнивая c (5.87), мы видим, что для такого Р
Е(°> (Р) = _ Dx + , Е(1) (Р) - - 2DX^-,
Е(2,(р)=<г-
5.4. Вариационный комплекс
447
Если мы выполним такую же процедуру для Р общего вида, мы
получим, что (5.87) будет удовлетворяться, если положить
°° / I \
так что
Е(0’(Р)
дР п дР । п2 дР г.3 дР ।
~ * дих + Ux дихх ~ Ux диххх +
совпадает с обычным оператором Эйлера, тогда как
= - 2DX + 3DX -----------------4ВХ дР— + .
дих дихх диххх дихххх
дР q г, дР , с г,2 дР 1 а г>3 дР
— 'з-------оих -ч-----г bDx -----------Ю£)х -ч-------
дихх диххх дихххх диххххх
Е(1,(Р)
Е(2,(Р)
И т. д.
Чтобы установить общую формулу для операторов Эйлера
высших порядков, нам нужны еще некоторые мультииндексные
обозначения. Пусть /, J — неупорядоченные мультииндексы
типа, введенного в гл. 2. Скажем, что Jal, если все индексы
из J имеются в /. Остальные индексы из / мы обозначаем через
/\/. Например, если р = 4, то / = (1,1,2, 4) содержится в
/ = (1, 1, 1,2,4,4) и Г\/ = (1,4). Для данного / = (й, ..., in)
обозначим через 1 =(ii, ..., iP) «транспонированный» упорядо-
ченный мультииндекс, где I/ равно числу появлений индекса j в /;
для рассмотренного примера / = (3, 1, 0, 2), поскольку в / три раза
встречается индекс 1, один раз — индекс 2, 3 не встречается,
а 4 встречается два раза. Положим Л = 7! = tjii! ... Гр\ и опре-
делим обобщенный биномиальный коэффициент ( ) формулой
(;) = Л/(Л (7\/)1) при J с: / и (/) = 0 в противном слу-
чае. В рассмотренном примере Л = 3!-1!-0!-2! = 12; (/) =
= 12/(2-1) = 6.
Предложение 5.72. Пусть 1 а q, 0. Тогда
<688>
для всех Р
Доказательство. Прежде всего заметим, что
-D,Q= £
I с=/ 4
(5.89)
448
Гл. 5. Обобщенные симметрии
для любого /. Это легко доказывается индукцией, начинаю-
щейся с правила Лейбница RDiQ = Di(QR)— QDiR. Вычисляем
левую часть равенства (5.86):
а, 1 1 a, 11 с: I \ 1 /
Изменение порядка суммирования доказывает формулу (5.88)
и, следовательно, единственность операторов Эйлера высших
порядков. В частности, для J = 0 Еа = Еа совпадает с обычным
оператором Эйлера. □
Пример 5.73. Пусть р = 2, q = 1. Пусть х, у — независимые
переменные. Тогда, например,
EW (Р) = 44- — 2DX -44— D др '
дих 2^х дихх диху "г
+ + 2DxD« + D^~
+ 3Dx^ + *DxD« ^ + 3D^
и т. д.
На самом деле для теоретических целей не важны явные
формулы для Еа! важно то, что они однозначно определяются
интегрированием по частям формулы (5.86). В качестве первого
приложения мы находим явное выражение для дивергенции
в ключевой формуле (4.39), которая использовалась в теореме
Нётер.
Предложение 5.74. Пусть Q е Тогда
prvQ(£) = Q-E(L) + DivA (5.90)
где
= Г Е £=1, ..., р. (5.91)
а = 1 #/>0
Доказательство. Вычисляем
<7 Р
°1уД = £ £
а=1 #/ >0 fe = l
5.4. Вариационный комплекс
449
Изменим теперь переменную, по которой суммируем: J =
= (/, /г), так что ik + 1 = jk и + 1 = #4 = У, ik- Таким об-
разом, коэффициент при Dj [QaE£ (Z,)] равен единице. Сравнивая
с (5.86), мы видим, что недостает лишь членов QaEa(Z), отве-
чающих # J = 0. Отсюда непосредственно следует (5.90). □
Операторы Эйлера высших порядков также тесно связаны
с полными производными.
Предложение 5.75. Пусть 1 а q, 1 i р, 5s 0.
Тогда
Е«Хг (Р),
0, i ф I,
е£(ар)={
(5.92)
для любого Р
Доказательство. Хотя это можно вывести из (5.88) непосред-
ственно, проще использовать свойство единственности (5.86).
Имеем
pr Vq (DtP) =ZDj [QuEa (Di P)].
a, J
С другой стороны, в силу (5.19) это равно
Di pr Vq (Р) = Z DPK [QaEa (Р)].
а, К
Замена К на J — (К, i) и сравнение этих двух выражений в силу
единственности немедленно дает (5.92). □
Следствие 5.76. Дифференциальная функция Р является
«.дивергенцией порядка п», т. е. существует Qi е st-, #/ = п,
такая, что Р=^DjQj, если и только если Ea(Р) = 0 для всех
а=1, ..., q, —1.
Оператор полной гомотопии
Как и в нашем доказательстве леммы Пуанкаре в § 1.5, по-
строение оператора гомотопии для D-комплекса основано на
формуле для производной Ли полной дифференциальной формы
по эволюционному векторному полю. Чтобы установить этот
результат, мы начинаем с замечания о том, что каждый опе-
ратор, такой, как полная производная, оператор Эйлера выс-
шего порядка или продолженное векторное поле, действующий
на пространстве дифференциальных функций, может дей-
ствовать покоэффициентно на полные дифференциальные фор-
15 П. Олвер
450
Гл. 5. Обобщенные симметрии
мы. Например, если со =Х P[dx', то
рг Vq (со) = Е рг Vq (Р/) dx1. (5.93)
В частности, полный дифференциал можно записать в виде
р р
Deo = У, Di (dx1 Л со) = У с/х1Л £),со, (5.94)
i— 1 i = 1
где Di действуют лишь на коэффициенты формы со.
Первая цель в нашем построении — установить формулу
вида (1.65), но для полного дифференциала. Таким образом,
нам нужно найти операторы «внутреннего произведения»
|q: Afe-i, k = 1,..., p, Qe^’, такие, что
pr Vq (co) = DIq (co) + Iq (Dco) (5.95)
для любой co e Ar, 0 < r < p. Оказывается, это полное внут-
реннее произведение можно записать более сжато в терминах
операторов Эйлера высших порядков:
v р ~
'Q <И> = . £ Р-' + *'+' °' ' 6? J “)}’ Л '•
(5.96)
Прежде чем доказывать, что оно удовлетворяет условию (5.95),
рассмотрим два частных случая.
Пример 5.77. Если ® = Ldxx л ... !\dxp, то Iq(co) е Ap-t и,
следовательно, имеет вид
lQ(«>)= t (-1)*'1 Akdxk.
* fe=i
Поскольку (— I)*"1 dxk = dxk J (dx1 A ... A dxp), из (5.96) выте-
кает, что
о, I
Мы снова получили (5.91), и (5.90) можно переписать в кано-
ническом для гомотопий виде
pr Vq (со) = D (Iq (©)) -ь Q • Е (со). (5.97)
Пример 5.78. Пусть г = р—1, так что со имеет вид
(-tf~'Pkdx*.
fe=i
5.4. Вариационный комплекс
451
(р — 2)-форма Iq (со) имеет вид
где
q ~
*/>=Е Е о>{«/^7ТТЕ'''<Р>)-47Т2Е:;‘(₽'))}-
а = 1 #/>0
Формула (5.95) для производной Ли принимает вид
РГvQ(Pft) = £ D}Rlk + Ak, (5.98)
где Ak дается формулой (5.91) при L — DivP. Учитывая (5.92),
получаем
т^[О.Й‘Х,(М (5.99)
• j * • "7/ 1 ”Т“ 1
a, I lc.1
(Мы оставляем прямую проверку формулы (5.98) читателю.)
Доказательство формулы (5.95)—возможно, самое длинное
вычисление во всей книге. (Однако представленное здесь дока-
зательство точности D-комплекса гораздо проще более ранних
вычислительных доказательств!) Мы начинаем с анализа пра-
вой части. Пользуясь (5.94), получаем
р
Iq(Dcb) = £ Iq [Dj {dx1 к co)] =
z=i
= Z f_, 7^77 °- { * [£•J D‘ ' “>] }
(5.100)
поскольку Do есть {г +1) -форма. Главная составляющая в
(5.100)—внутренняя сумма
р
У (4+l)E^r^ jM^Za«)] =
= £ (4 + 1)Й*рг(-^г j(dx'A<a))l, (5.101)
k, i=i L 4 7 J
которую мы разбиваем на две части в соответствии с тем, k — I
или k =/= I. Если k =/= I, то по (5.92) • Di = Eix't'k, где
15*
452 Гл. 5. Обобщенные симметрии
по соглашению этот оператор нулевой, если I отсутствует в /.
Кроме того, согласно упр. 1.37,
-^g- J (dx1 ла) = — йх1 л J со), k I.
Мы заключаем, что
Е“6 [ J Dl ^(1хЛ =- Е“Х l’k [dx‘Л J “)]
при k Ф I.
(5.102)
Случай k = I немного более тонкий. Заметим сначала, что
Ец k • Dk — е£, так что соответствующая сумма равна
р
1 L °х
p p
= S E“ -J Л + £ /feE“ J ^dxk Л •
k = 1 k = 1
(5.103)
В правой части (5.103) мы пользуемся двумя другими тожде-
ствами из упр. 1.37:
р
У —^g-J (dxft л со) = (р — г)со
* = ! °Х
при первом суммировании и
J (dxk л со) = со — dxfe л (-^g- J со)
при втором. Это приводит к равенству
£ (7ft+l)E^r-^-JDfe(dxftAco)l =
6= I L °х J
= (Р - г + # 1) Е« (со) - £ ~ikEla [dxfe Л J со)], (5.104)
5.4. Вариационный комплекс
453
р _
поскольку X Комбинируя (5.101), (5.102) и (5.104),
k=i
мы заключаем, что
— г + # /) Е<! (<в)
р
- £ (Г*+1-б?)Е^ЧЛ*
k, 1=1
HA(^-J“)]-
(5.105)
Это ключевое тождество в доказательстве формулы (5,95).
Теперь
1q(Dco) = £MQ„E' (©))-
а, /
VV * fe + 1 — 6*
ZjZj р-г + #/
a. Ik. I
Dr | QaEa4 *’ k ^dxl к J <»
В силу (5.86) первая сумма в правой части — это в точности
prv(j(co), так что для завершения доказательства формулы
(5.95) нам нужно лишь отождествить вторую сумму с
— DIq(co) =
р ~
- - е* 1: е ,л+;,+. °-[q“e: ‘j“)]}-
- Z Z p-Z+^+iDt-1 k (dx‘л J ®))] •
a, j ft, l
Но эти две суммы совпадают; чтобы увидеть это, нужно заме-
нить мультииндекс J, по которому производится суммирование,
на / = (7, Z) и заметить, что ik — jk + 6* # I = # I + 1 • Это за-
вершает доказательство формулы (5.95).
Теперь мы применим формулу (5.95) к случаю векторного
поля растяжения prvu, введенного ранее в доказательстве точ-
ности вариационного комплекса. Заметим, что если Р[ы] =
= Р(х, «<">) — произвольная гладкая дифференциальная функ-
ция, определенная на вертикально звездной области, то
А Р [Ли] = 2 “/ тт IM =7 Pr v“ (р) НЬ
иЛ < OUr п
а> J *
454
Гл. 5. Обобщенные симметрии
где обозначение указывает, что мы сначала применяем к Р поле
рг vu, а затем вычисляем значение в ки. Интегрируя, находим
1
PM-P[0] = $prv„(/W]-^.
о
где Р[0] = Р(х, 0) — функция только от к. Поскольку prvu дей-
ствует на полную дифференциальную форму со(х, ы(">) покоэф-
фициентно, имеем аналогичную формулу
1
со [и] — со [0] = ? рг v„ (со) [/.и] , (5.106)
J Л
о
где со[О] = со(х, 0) — обычная дифференциальная форма на про-
странстве X. Если мы воспользуемся теперь формулой (5.95)
в случае Q = и, в котором
я р ~
'•<ш>=Е ЕЕ p_X177TD'{“<,E“(^Ja>)}’ (SI07>
а=1 I k~]
мы получаем формулу гомотопии
со [«] - со [0] = DH (со) + Н (Deo), (5.108)
где оператор полной гомотопии равен
1
H(co)=JlB(<a)[XU]4-
0
(5.109)
(это означает, что мы сначала вычисляем 1„(со), а затем заме-
няем и на ки там, где встречается и). Этого было бы достаточно
для доказательства точности D-комплекса, если бы не член
со[0]. Однако, со [0] — обычная дифференциальная форма на
й = М П {и = 0}. Поэтому, если область й тоже звездная, мы
можем воспользоваться обычным оператором гомотопии Пуан-
каре (1.69):
со [0] - coo = dh (со [0]) + h (da [0]), (5.110)
где соо = 0 при г > 0 и соо = f (0), если со[0] = f(x) — функция,
г = 0. Для таких форм полные производные Di и частные про-
изводные д/дх1 — одно и то же, так что мы можем заменить
дифференциал d полным дифференциалом D. Комбинируя
(5.108) и (5.110), получаем
со - соо = DH* (со) + Н* (Deo) (5.111)
5.4. Вариационный комплекс
455
при со е Л„ О г < р, где
Н‘ (со) = Н (со) + h (со [0])
— комбинированный оператор гомотопии. Теперь, раз мы уста-
новили формулу (5.111), доказательство теоремы 5.56 получает-
ся отсюда непосредственно.
Формула гомотопии (5.108) распространяется также на пол-
ные р-формы со = L[u]dxl ,\ ...t\dxp, если мы используем мо-
дифицированную формулу (5.97) для производной Ли. Переводя
с языка дифференциальных форм, мы видим, что если L [ы] =
= В(х, ы(л)) определена на вполне звездной области Ма
cz X X U, то
!
B[«] = DivB*[«] + и • Е(В) [Ви] d"k, (5.112)
о
где В* — сумма наборов из р дифференциальных функций
В[и]е^р и функций Ь(х) с составляющими
1 я ~
Bk [«] = $ £ £ 4ттт D< k W I^«l)
, fc=l, ..., p.
bk (x)= J xkL
(5.113)
В частности, если E(B) = 0, то L = Div В*, где В* указано
выше. Таким образом, мы имеем явную формулу, по которой
всякий нулевой лагранжиан записывается в виде дивергенции.
Пример 5.79. Пусть р = 2, q = 1. Рассмотрим нулевой ла-
гранжиан L = uxUyy. Согласно (5.112), L = DXA + DyB, где
1
А = J { «Е<*> (В) + Dx (иЕ(**) (В)) 4- у Dy (иЕ™ (В)) + ... } d\
о
1
в = $ { нЕ<«»(В) +1 Dx (нЕ'^ (В)) + Dy (иЕ™>(В)) + ... } db,
о
где дифференциальные функции Е(х)(£), Е(в)(£) и т. д. вычис-
лены в Вы. В случае В = ихиуу имеем
E«(B) = «W, ЕЮ(В) = -2ыХ1„ Е^»(В)=нх,
456
Гл. 5. Обобщенные симметрии
все остальные слагаемые в А и В равны нулю. (См. пример
5.73.) Таким образом,
1
А — и (Kllyy'j dK ^Иуду
о
I
В — и (—2киху) + Dy [и (Л«Л dk = — Y ииху + ихиу
о
удовлетворяют указанному выше дивергентному тождеству.
Даже в этом относительно простом примере легко увидеть, как
быстро формула гомотопии (5.113) может стать труднообозри-
мой. На практике часто легче угадать форму дивергенции не-
посредственно, прибегая к формулам (5.113) лишь в крайнем
случае.
Мы заключаем этот параграф применением формулы (5.111)
к случаю полных (р — 1)-форм.
Теорема 5.80. Пусть P^'S&q, и пусть L— Div Л Тогда
Pk = £ D&fk + B*k, k = 1........p, (5.114)
где В* — В-\-Ь определено равенствами (5.113) и QZfe=Q/fe+<7jfc,
где
14 ( г ~ I 1
0 а = 1 /
- Еа (Р/) [м] } Лк, (5.115)
qtk W = J {&Рк (Лх, 0) - xfeP,- (Xx, 0)} dk.
0
В частности, если P— нулевая дивергенция, то (5.115) по-
казывает, как явно записать Р в виде «полного ротора»
Рк = ^О^, где Q‘ft=-Q‘r Например, в случае р = 2 мы
имеем
DxP + DyP = 0,
если и только если
P = DyQ, P=-DXQ,
Замечания
457
где
1
Q = $ { j- (Р) +1 Dx [uE(xv} (Р)] +
О
+1 Dy [иЕ<^ (Р)] + ... - у «Е<*» (Р) -
- 4 Dx [«£**’ (Р)] - 4 Dv [иЕ(ед) (Р)] - ... } dk,
(5.116)
причем Е(х) (Р), Е(й)(Р) и т. д. все вычислены в ки. В качестве
характерного примера рассмотрим Р = иуиху + ихиуу, Р =
=—иуихх — ихиху, которые дают нулевую дивергенцию. Отлич-
ные от нуля выражения Эйлера, появляющиеся в (5.116),—
это лишь
Е<«> (Р) = — 2иху, Е<*«> (Р) = иу, Е(уу) (Р) = их,
Е^(Р) = 2иХу, Е<ххЦР) = -иу, Е<^(Р) = -их.
Таким образом,
1
Q = J { « (— + 4 [“ (Ли»)1 + Т DV [« (*«*)] — U (Киху) +
О
2 1 )
+ у Dx [и (Хыв)1 + у Dy [и (ких)] | dk = ихиу
удовлетворяет условию Р = DyQ, Р = —DXQ.
Замечания
Обобщенные симметрии в своем теперешнем виде впервые
появились в фундаментальной статье Нётер Noether [1], в ко-
торой была ясно сформулирована их роль в построении законов
сохранения. В работах Anderson, Ibragimov [1] и Ибрагимов
[1] утверждается, что их возникновение связано с исследова-
ниями Ли и Бэклунда, отсюда их выбор термина «преобразова-
ние Ли — Бэклунда» для этих объектов. Насколько я могу су-
дить, Ли допускал зависимость групповых преобразований от
производных от зависимых переменных лишь в своей теории
контактных преобразований (класс которых гораздо уже клас-
са обобщенных симметрий). Затем он (см. Lie [1; § 1.4]) по-
ставил вопрос о существовании обобщений высших порядков
этих контактных преобразований. При решении этой задачи
Бэклунд (см. Backlund [1]) рассматривал преобразования, за-
458
Гл. 5. Обобщенные симметрии
висящие от производных от зависимых переменных произволь-
ного порядка, и, таким образом, в некотором смысле предвосхи-
тил теорию обобщенных симметрий. Однако и он, и Ли всегда
требовали, чтобы соответствующие продолжения были связаны
с геометрическими преобразованиями некоторого конечномер-
ного пространства струй. Бэклунд заключает, что такие пре-
образования— это лишь продолжения обычных точечных пре-
образований или контактных преобразований Ли. Следователь-
но, на этом пути не удалось совершить скачок к собственно
обобщенным симметриям. Существенно, что Бэклунд требует,
чтобы его преобразования зависели лишь от конечного числа
производных от зависимых переменных, тогда как для истин-
ных обобщенных симметрий это верно после перехода к инфи-
нитезимальным образующим (которые Бэклунд никогда не рас-
сматривал) ; групповые преобразования, которые определяются
решениями соответствующего эволюционного уравнения (5.14),
существенно нелокальны и не определяются значениями ко-
нечного числа производных от зависимых переменных в одной
точке.
С тех пор как они были введены Нётер, обобщенные сим-
метрии много раз перестирывались — среди прочих см. работы
Johnson [1], [2] по дифференциальной геометрии, Steudel [1]
по вариационному исчислению, Anderson, Kumei, Wulfman [1].
Современные приложения к дифференциальным уравнениям
можно найти в работах Anderson, Ibragimov [1], Kosmann-
Schwarzbach [1], [2], Fokas [3], Ибрагимов [1]; последняя
книга содержит обзор работ по классификации эволюционных
уравнений второго и третьего порядка, а также уравнений вто-
рого порядка от двух независимых переменных общего вида,
которые допускают обобщенные симметрии1). В работе Steudel
[1] впервые была отмечена важность эволюционного вида обоб-
щенных векторных полей. Современные исследования по свой-
ствам симметрий систем линейных уравнений, включая линейные
уравнения теории поля (Фущчич, Никитин [1], [2*], Kal-
nins, Miller, Williams [1]) и теории упругости (Olver [9]), обна-
ружили новые обобщенные симметрии, зависящие от производ-
ных первого порядка от зависимых переменных, значение кото-
рых еще не вполне понято, хотя они, кажется, играют роль в
разделении переменных в таких системах. Более полное обсуж-
дение свойств уравнения теплопроводности, упомянутых в при-
мере 5.11, можно найти в работе Ковалевской [1] и в книгах
Forsyth [1; v. 5, § 26], Copson [1; § 12.4, § 12.5].
*) Дальнейшее развитие этого направления обсуждается в работе Ми-
хайлова. Шабата и Ямилова [2**]. — Прим. ред.
Замечаний
459
Использование операторов рекурсии для построения беско-
нечного семейства обобщенных симметрий и высших уравнений
Кортевега — де Фриза основано на конструкции, принадлежа-
щей Ленарду (см. Gardner, Greene, Kruskal, Miura [1]), и в
общем виде появилось впервые в работе Olver [1]. Операторы
рекурсии тесно связаны с сильными и наследственными симмет-
риями из работы Fuchssteiner [1]; см. Захаров, Конопельченко
[1], где имеются дальнейшие результаты. Другой метод по-
рождения бесконечных семейств обобщенных симметрий ис-
пользует понятие «мастер-симметрии», введенное в работе Fo-
kas, Fuchssteiner [1*]. См. также Fuchssteiner [2], Chen, Lee,
Lin [1*] и Oevel [1*] по поводу дальнейших исследований. (Ме-
тод построения симметрий в примере 5.18 — частный случай
общего метода «мастер-симметрий».) Для линейных уравнений
с частными производными симметрии высших порядков непо-
средственно применяются к методу разделения переменных в
работах Миллера, Калнинса, Бойера, Винтернитца и других с
использованием операторного подхода, упомянутого в тексте;
см. Miller [3] и ссылки там. Результаты, относящиеся к клас-
сификации независимых симметрий данного порядка уравнения
Лапласа и волнового уравнения, появились в диссертации Де-
лонга Delong [1]. В работе Weir [1] доказано, что все симмет-
рии второго порядка этих двух уравнений являются линейными
симметриями, однако общий случай остается открытым. Делонг
доказал также, что каждая линейная симметрия уравнения Лап-
ласа и волнового уравнения является многочленом от симмет-
рий первого порядка. Однако это неверно для более общих ли-
нейных уравнений; см. упр. 5.2.
Если опустить часть, связанную с тривиальными симметрия-
ми и законами сохранения, вариант теоремы Нётер 5.42, сфор-
мулированный здесь, восходит к работе Bessel-Hagen [1]. (См.
упр. 5.23, где приведен исходный вариант Нётер, в котором не
используются дивергентные симметрии.) Соответствие между
нетривиальными законами сохранения и нетривиальными груп-
пами вариационных симметрий, доказанное здесь, является но-
вым (см. Olver [11]), хотя близко связанная с этим теорема
появилась в работе Виноградова [5]. Предложение 5.40, отно-
сящееся к геометрической интерпретации групповых преобразо-
ваний вариационной симметрии, можно найти в книге Edelen
[1; р. 149]. Существование бесконечных семейств законов со-
хранения для симметрических линейных систем дифференци-
альных уравнений было причиной некоторого изумления в се-
редине 1960-х гг. в связи с появлением «zilchtenzor» и связан-
ных с ним объектов (см. работы Lipkin [1], Morgan Т. А. [1]
и Kibble [1] по теории поля). Объяснение, использующее обоб-
460
Гл. 5. Обобщенные симметрии
щенные симметрии и полный вариант теоремы Нётер, анало-
гичный предложению 5.46, было вскоре предложено в работе
Steudel [3]. Предложение 5.48 о действии симметрий на законы
сохранения появилось также в работе Хамитовой [ 1 ].
Формулировка и доказательство второй теоремы Нётер 5.50
о бесконечномерных группах симметрий взяты из статьи Noether
[1]. Связи с анормальностью соответствующей системы урав-
нений Эйлера — Лагранжа, однако, являются новыми; см.
Olver [11]. Нерешенная задача здесь — завершить классифи-
кацию симметрий и законов сохранения для переопределенных
систем уравнений Эйлера — Лагранжа. В частности, существует
ли переопределенная система, для которой тривиальные вари-
ационные симметрии дают нетривиальные законы сохранения?
Такая система должна быть достаточно сложной; например,
упр. 5.41 показывает, что она не может быть однородной по и
и ее производным. (В работе Fokas [2] имеется по этому поводу
ссылка на пример Ибрагимова, но цитированная там работа
не содержит нужного примера.)
История вариационного комплекса и, в частности, обратной
задачи вариационного исчисления довольно интересна. Гельм-
гольц в работе Helmholtz [1] впервые предложил задачу вы-
яснения того, какие системы дифференциальных уравнений яв-
ляются уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторой вариацион-
ной задачи, и нашел необходимые условия для случая одного
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
В работе Mayer [1] получено обобщение условий Гельмгольца
на случай лагранжианов первого порядка, содержащих одну
независимую переменную и несколько зависимых, а также дока-
зано, что они достаточны, чтобы гарантировать существование
подходящего функционала. В двух серьезных статьях на эту
тему Hirsch [1], [2] Хирш распространил эти результаты на
случаи лагранжианов высших порядков, содержащих либо одну
независимую и несколько зависимых переменных, либо две или
три независимых и одну зависимую переменные. Работы Хирша
содержат также дальнейшие результаты о том, каких порядков
производные могут возникать в лагранжиане, а также о «про-
блеме интегрирующего множителя»: когда можно умножить
дифференциальное уравнение на дифференциальную функцию
так, чтобы превратить его в уравнение Эйлера — Лагранжа?
Однако общее условие самосопряженности и формула гомото-
пии (5.85) были независимо открыты Вольтерра (Volterra [1;
р. 43, 48]); см. также Вайнберг [1], где приводится современ-
ный вариант. Следующей важной работой по обратной задаче
была глубокая статья Douglas [1], в которой сформулирована
и решена задача определения, когда система двух обыкновенных
Замечания
461
дифференциальных уравнений второго порядка эквивалентна
уравнениям Эйлера — Лагранжа некоторого функционала, за-
висящего от производных не больше первого порядка от зави-
симых переменных; сложность его решения, несомненно, поме-
шала дальнейшим исследованиям в этом направлении. Недав-
ние результаты, относящиеся к этому более сложному варианту
обратной задачи — когда система дифференциальных уравне-
ний эквивалентна системе уравнений Эйлера — Лагранжа —
можно найти в работах Anderson, Duchamp [2], Henneaux [1].
Общий случай, однако, остается нерешенным и по сей день, см.
также работу Atherton, Homsy [1], где имеются дальнейшие
ссылки по обратной задаче.
В начале 1970-х годов стало ясно, что обратная задача яв-
ляется частью более общей конструкции — вариационного ком-
плекса и, более общо, вариационного бикомплекса, занявшего
видное положение в геометрической теории вариационного ис-
числения. Намеки на эту технику можно найти в работе Dede-
cker [1] о приложениях алгебраической топологии к вариацион-
ному исчислению. Этот комплекс впервые возник явно в работе
Виноградова [1], где для доказательства точности использова-
лись глубокие методы алгебраической топологии. Комплекс,
тесно связанный с этим, появился одновременно в работах
Тульчиева [1], [2]. Дальнейшее развитие этой техники можно
найти в работах Kupershmidt [1], Takens [1], Anderson,
Duchamp [1], Tsujishita [1]. (Другой комплекс, включающий
решение обратной задачи, можно найти в работах Olver, Sha-
kiban [1], Shakiban [1].) Методы формального вариационного
исчисления, использованные в построении этого комплекса, из-
ложенном в § 5.4, и в особенности абстрактное определение
функционала многим обязаны работам Гельфанда и Дикого [1],
[2] об уравнении Кортевега — де Фриза. Дальнейшее развитие
этот комплекс получил в глубоких работах Виноградова [2],
[3], [4] и Olver [4]. Новое доказательство точности вариацион-
ного комплекса, представленное здесь, было получено Андер-
соном; операторы гомотопии (5.109) позволяют значительно
упростить ранние вычислительные доказательства точности
D-комплекса, имеющиеся в работе Takens [1], Anderson, Du-
champ [1]. Сами операторы Эйлера высших порядков появились
впервые в работе Kruskal, Miura, Gardner, Zabusky [1] об урав-
нении Кортевега — де Фриза и получили дальнейшее развитие
в работах Aldersley [1], Galindo, Martinez-Alonso [1], Olver
[3]. Настоящее изложение следует Андерсону (I. Anderson).
Есть надежда, что эти методы вдохновят дальнейшие исследо-
вания в геометрической теории вариационного исчисления.
462
Гл. 5. Обобщенные симметрии
Упражнения
5.1. Докажите, что полная группа симметрий задачи Кеплера в R3,
включающая симметрии, задаваемые вектором Рунге — Ленца, локально изо-
морфна группе SO(3, 1) «вращений» в R4, сохраняющих метрику Лоренца
(dx»)2 + (dx2)2 + (dx3)2 — (dx4)2. (Goldstein [1; c. 422].)
*5.2. Уравнение Шредингера для атома водорода — квантовый вариант
задачи Кеплера. Ойо имеет вид Ди + |х|_|и = Хи, где X — константа, xeR3
и us R.
(а) Найдите геометрические симметрии этого уравнения для различных
значений X.
(Ь) Докажите, что «вектор Рунге — Ленца»
Q [u] = (х X V) X Vu — V X (х X Vu) + 2) х |_| хи
дает три обобщенные симметрии второго порядка и их характеристики — это
три компоненты вектора Q. Покажите далее, что эти симметрии не выво-
дятся из симметрий первого порядка этого уравнения, происходящих из эво-
люционного вида геометрических симметрий ч. (а).
(Miller [2; р. 376], Kalnins, Miller, Winternitz [1].)
*5.3. Имеет ли система
“< = “xx + vt’2’ vt = 2vxx
нетривиальные обобщенные симметрии кроме v = (иххх + 3vvx)du + 4щхх<Эо?
(Ср. Ибрагимов, Шабат [1].)
5.4. Предположим, что Р(и, их) = р(и)их + р(и) и Q(u) = q(u)—мно-
гочлены. Докажите, что обобщенные векторные поля vp и v0 коммутируют,
если и только если р — константа и либо р = 0, либо q = 0. (Это последний
оставшийся частный случай, который нужен для доказательства теоре-
мы 5.22.)
5.5. Пусть Д — линейная система дифференциальных уравнений и 2) —
линейный оператор рекурсии. Докажите, что если u = f(x)—решение си-
стемы Д, то U — 3)f(x)—тоже решение. Как связана exp(t&)u = и +
+ tSZ>u + ... с потоком, порожденным симметрией с характеристикой 3)и>
Обобщается ли этот результат на операторы рекурсии для нелинейных си-
стем?
5.6. Пусть ut = 2)и— линейное эволюционное уравнение и (&и)ди—
линейная симметрия. Докажите, что (&*и)ди— линейная симметрия сопря-
женного уравнения ut = — S>*ti.
5.7. Докажите, что при подходящих предположениях существования и
единственности два эволюционных векторных поля коммутируют, [v<j, vR] =
=0, если и только если коммутируют их однопараметрнческие группы
exp(evQ), exp(evR). Интерпретируйте этот факт.
5.8. Другой подход к определению потока, соответствующего обобщен-
ному векторному полю v = У, %1дх1 + У,Фпд„а, может состоять в следую-
щем. Рассмотрим бесконечное продолжение (5.3) и запишем бесконечную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dx1 , dua duj
~dB~^’ ~de~ = ^a’ ~de~ = 4>a'
Определим поток поля v на пространстве бесконечных струй как решение
этой системы с данными начальными значениями (х, u’°°')=(xI, wa,
Упражнения
463
ехр [е pr v] (х, и(о°0 — (х (е), и(°°^ (в)).
Сравните этот метод с эволюционным методом (5.18) для «векторного поля
теплопроводности» v = иххди в случае аналитических начальных значений.
Переносится лн это на векторные поля более общего вида? (Anderson, Ibra-
gimov [1].)
5.9. (а) Что происходит при применении оператора рекурсии для уравне-
ния Бюргерса к симметрии с характеристикой р(х, t)e~u, где р — решение
уравнения теплопроводности?
(Ь) Как связаны операторы рекурсии для уравнения Бюргерса н урав-
нения теплопроводности через преобразование Хопфа — Коула примера 2.42?
5.10. (а) Докажите, что нелинейное уравнение диффузии ut — Dx(u~2ux)
допускает оператор рекурсии 9? = £>* • и-'О*1. Как это связано с
упр. 2.22(d)?
(Ь) Докажите, что общее нелинейное уравнение диффузии ut =
= Dx(K(u)ux) допускает обобщенные симметрии, если и только если К —
либо константа, либо кратное (u-f-c)-2. (Bluman, Kumei [I].)1)
5.11. Модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза имеет вид
ut = иххх + и2их.
(а) Вычислите группу геометрических симметрий этого уравнения.
(Ь) Докажите, что оператор SR. = S)2X + (2/3) и2 + (2/3) ихО~1 • и являет-
ся оператором рекурсии. (Последнее слагаемое — оператор, который умно-
жает дифференциальную функцию на и, затем применяет к ней D~l (если
это возможно) и, наконец, умножает результат на (2/3) их.) Каковы первые
несколько обобщенных симметрий этого уравнения?
(с) Пусть vx = и, так что v будет решением «потенциального модифици-
рованного уравнения Кортевега— де Фриза» vt = vxxx + (1/3) ti*. Найдите
оператор рекурсии для этого уравнения.
(d) Докажите, что если и — любое решение модифицированного уравне-
ния Кортевега — де Фриза, то его преобразование Миуры w — иг + у/—6 и*
является решением уравнения Кортевега — де Фриза. Как связаны симмет-
рии и операторы рекурсий этих двух уравнений? (Miura [1], Olver [1].)
*5.12. Докажите, что оператор 9? = Dx + их — uxD~1 ихх является опе-
ратором рекурсии для уравнения sin-Гордона uxt = sin и. (Указание. В фор-
муле (5.42) 9? = 9?*.) Каковы некоторые обобщенные симметрии? Можете
ли вы связать их с обобщенными симметриями потенциального модифициро-
ванного уравнения Кортевега — де Фриза из предыдущего примера? (Указа-
ние. Попробуйте растянуть v.) (Olver [1].)
5.13. Обсудите законы сохранения и линейные операторы рекурсии для
следующих линейных уравнений:
(а) Телеграфное уравнение Utt = ихх + и. (См. упр. 2.9.)
(Ь) Волновое уравнение с осевой симметрией Utt — ихх + (и/х) — 0.
(См. упр. 3.1.)
* 5.14. Обсудите симметрии н законы сохранения уравнения Гельмгольца
Ди + Хи = 0, х е R3.
* *5.15. Обсудите обобщенные симметрии уравнений Максвелла. (См.
упр. 2.16.) Что можно сказать о законах сохранения? (Фущчич и Никитин
[1]. [2]-)
* 5.16. (а) Выведите законы сохранения для двумерного волнового урав-
нения, перечисленные в примере 5.47. Сравните прямой метод с методом при-
' ) См. п. 4 приложения L—Прим. ред.
464
Гл. 5. Обобщенные симметрии
мера 5.49. Продолжите список, найдя новые плотности законов сохранения
второго порядка для волнового уравнения.
(Ь) Пусть х s Rp, (е R, ue R'. Рассмотрим автономную систему урав-
нений с частными производными Д(х, и(п)) = 0, содержащую и и производ-
ные от и по t н х и не содержащую t в явном виде. Докажите, что если
Т(х, t, utmr)—плотность закона сохранения, то dT/dt, d2T/dt2 н т. д. — тоже
плотности. Воспользуйтесь этим результатом, чтобы проверить вашу работу
в ч. (а).
5.17. (а) Пусть ш = 3)и — линейное эволюционное уравнение. Докажите,
что q (х, t)udx сохраняется, если н только если q(x, t)—решение сопря-
женного уравнения qt = —S)*q.
(b) Докажите, что если q(x, t) = (х— 2tdx)m(l), то q (ж, t) и dx
является законом сохранения для уравнения теплопроводности Ut = ихх. Что
вытекает отсюда об эволюции во времени импульса xmu (х, t) dx, если
и — решение уравнения теплопроводности?
(с) Сделайте то же, что в ч. (Ь), для уравнения Фоккера — Планка
упр. 2.8. (Steinberg, Wolf [1].)
5.18. Попробуйте обобщить пример 5.34, обсудив справедливость сле-
дующего утверждения. Если ut — P(x, и, ..., uzm)—эволюционное уравне-
ние от единственной пространственной переменной и дР/дигт 0, то все
нетривиальные законы сохранения имеют характеристики, не зависящие от и
и ее производных.
5.19. Принцип Гамильтона в геометрической оптике требует минимиза-
ь
ции интеграла N (х) | dx/dt | dt, где х(0 s R3, 7V(x)—оптический показа-
а
тель среды и | . | — обычная длина в R3. Какой вид имеют уравнения
Эйлера — Лагранжа? Докажите, что вариационные симметрии пространствен-
ных сдвигов и вращений приводят соответственно к закону Снелла вида
Nn = const, где n= |dx/dl|_|dx/df— единичный вектор скорости, и «опти-
ческой теореме синусов» Afn Хх = const. Докажите, далее, что симметрии
сдвигов по времени приводят к тривиальному закону сохранения. Что выте-
кает отсюда для уравнений Эйлера — Лагранжа, найденных вами? (Baker,
Tavel [1].)
5.20. Пусть р = q = 3. Докажите, что всякий функционал S'fu] =
= L (div u) dx, зависящий лишь от div u = их + v,, + ш?, допускает беско-
нечномерную группу вариационных симметрий. Обсудите следствия из второй
теоремы Нётер в этом случае.
5.21. В работе Kumei [1] автор нашел «новые» законы сохранения для
уравнения sin-Гордона uxt = sin и, начиная с элементарного закона сохра-
нения
Dt (y“x)+D*(COS,<)=0
и применяя к нему обобщенные симметрии. Например, эволюциоииая симме-
трия с характеристикой Q = uttt + (1/2) 1$, как показано в этой работе, при-
водит к закону сохранения
Dt + 4 UXUtUXt\ - Dx [(«f tt + 4 “9 Sin “] = °'
Упражнения 465
Покажите, что этот закон сохранения тривиален! (Какова его характеристи-
ка?) Более общо, докажите, что всякий закон сохранения, выведенный таким
способом из симметрии, характеристика которой не зависит явно от х, обя-
зательно является тривиальным.
5.22. Пусть 3? [и] = у и* dx. Покажите, что векторное поле v = ихди
является вариационной симметрией, но эквивалентов векторное поле (для
уравнения Эйлера — Лагранжа ихх = 0) v = (их + ихх) ди не является ва-
риационной симметрией. Таким образом, отношение эквивалентности иа сим-
метриях не согласовано со свойством вариационности.
*5.23 . Нетеров вариант теоремы Нётер. Обобщенное векторное поле v
будет называться строгой вариационной симметрией функционала 3! = L dx,
если
pr v(L) + LDlvg = 0,
т. е. в формуле (5.53) нет дивергентного слагаемого, как было в нашем
изначальном обсуждении вариационных симметрий в гл. 4.
(а) Докажите, что для каждого закона сохранения уравнения Эйлера —
Лагранжа Е (Z.) = 0 существует соответствующая строгая вариационная
симметрия, порождающая его в силу теоремы Нётер.
(Ь) Докажите, что такая строгая вариационная симметрия единственна
с точностью до прибавления нулевой дивергенции в том смысле, что две
строгие вариационные симметрии V = У, + У Ч’а^и0 и
+ У порождают один и тот же закон сохранения, если и только если
fZ = |Z + 77^ D/Qij, где Qi/ = — Q/i.
I
(с) Какие строгие вариационные симметрии соответствуют симметриям
инверсий волнового уравнения?
(Noether [1].)
*5.24. Докажите, что если уравнения Эйлера — Лагранжа Е (L) = 0 до-
пускают тривиальный закон сохранения, соответствующий нетривиальной ва-
риационной симметрии, то они обязательно являются недоопределенной си-
стемой и допускают бесконечное семейство таких законов. (Ср. упр. 5.19.)
5.25. Пусть 3 [и] — L [и] dx — функционал, и пусть поле v порождает
однопараметрическую (обобщенную) группу, которая не оставляет функцио-
нал 9? инвариантным, но только умножает его на скалярный множитель.
(Например, симметрии растяжений для волнового уравнения образуют такую
группу.) Докажите, что имеется дивергентное тождество вида Div P[u] =
= Ци], которое выполняется, если и — решение уравнений Эйлера — Лаг-
ранжа Е (L) — 0. (Steudel [2].)
*5.26. Один прием, которым пользуются, чтобы построить вариационные
принципы для произвольных систем дифференциальных уравнений, состоит в
следующем. Если Av[u]=0, v = 1, .... I, — система дифференциальных
уравнений, то мы полагаем Z [и] = \ — | Д [и]|2 dx = \ -х- > (Av [и])2 dx.
J 2 J 2 Lj
v
(В книге Anderson, Ibragimov [1; § 14.3] это называется «слабой лагранже-
вой структурой».)
(а) Докажите, что уравнения Эйлера — Лагранжа для S’ имеют вид
6S = Од (Д) = 0. Таким образом, решения системы Д = 0 являются решения-
466
Гл. 5. Обобщенные симметрии
ми уравнения Эйлера — Лагранжа для S, но обратное, вообще говоря,
неверно. Каковы Z и Ъ9? в случае уравнения теплопроводности и> = ихх?
(Ь) Докажите, что если v<j — произвольная обобщенная симметрия си-
стемы Д, то можно построить закон сохранения для Д с характеристикой
Од (Q), пользуясь техникой теоремы Нётер, однако этот закон сохранения
всегда тривиален! Таким образом, этот способ нахождения вариационных
принципов на практике приводит только к тривиальным законам сохранения.
*5.27. Другой способ нахождения вариационных принципов для произ-
вольных систем дифференциальных уравнений Д = (Дь ..., Д() =0 состоит
в том, чтобы ввести вспомогательные переменные v = (и1, ..., vl) и рассмо-
треть задачу Z [и, о] = о • Д [u] dx.
(а) Докажите, что уравнения Эйлера —Лагранжа для Z — это Д = 0 и
Од (о) = 0.
(Ь) Найдите вариационные симметрии и законы сохранения для урав-
нения теплопроводности ut = ихх этим способом. Как интерпретировать эти
результаты физически?
(Atherton, Homsy [1].)
5.28. Определим псевдовариационную симметрию v как обобщенное век-
торное поле, удовлетворяющее условию (5.53) только на решениях и урав-
нений Эйлера — Лагранжа. Докажите, что каждой псевдовариационной сим-
метрии нормальной вариационной задачи соответствует закон сохранения,
однако всегда найдется также настоящая вариационная симметрия, приводя-
щая к тому же закону. Как связана эта настоящая вариационная симметрия
с псевдовариационной симметрией?
5.29. Пусть 3: s^r-»-s^s — матричный дифференциальный оператор. До-
кажите, что S)Q = 0 для всех Q е если и только если 3) = 0 — нулевой
оператор.
5.30. Пусть 3 — скалярный дифференциальный оператор.
(а) Докажите, что 3 симметричен, если и только если его можно запи-
сать в виде
# I четно
где Pi — некоторые дифференциальные функции.
(Ь) Докажите, что 3 антисимметричен, если и только если
Е +
# J нечетно
для некоторых Pi.
(с) В случае р = 1 докажите, что 3) симметричен, если и только если
®=E'W4
I
для некоторых дифференциальных функций Q,. Обобщается ли этот резуль-
тат на случай р 2?
5.31. Пусть р = q — 1, и пусть Р(х, и<2"+1>) —дифференциальная функ-
ция. Докажите, что производная Фреше Dp антисимметрича, Dp = — Dp,
если и только если Р линейна по и, их, ..., u2n+i- Верно ли это при р > 1?
*5.32. Принцип подстановки. Для последующих приложений в гл. 7 нам
потребуется небольшое обобщение технических результатов об обращении
в нуль, таких, как в следствии 5.52 и лемме 5.61. Основная задача состоит
в том, что имеется выражение, зависящее от одного или более наборов из q
дифференциальных функций Q1.......Qk е и, возможно, от их полных
Упражнения
467
производных, обладающее тем свойством, что оно обращается в нуль, когда
каждая Q‘ = SQi является вариационной производной некоторого функцио-
нала Qi, ..., Заключение, которое нужно получить, состоит в том,
что это выражение будет обращаться в нуль независимо от того, будут Q‘
вариационными производными или нет.
Конкретнее, читателю нужно доказать следующее.
(а) Пусть Р s. — фиксированный набор из q дифференциальных функ-
ций. Тогда Р Q dx — 0 при Q = bQ s st-4, являющейся вариационной
производной, если и только если Р = 0 и, следовательно, Р • Q dx = 0 для
всех Q е
(Ь) Пусть st-ч -> — матричный дифференциальный оператор раз-
мера г X q. Тогда 3)Q = 0 при Q = s являющейся вариационной
производной, если и только если ® = 0 и, следовательно, S>Q — 0 для всех
Q е stq.
с) Пусть 3): s4-q s£q — дифференциальный оператор. Тогда Q 3)R dx=
— О для всех вариационных производных Q = 6Q, R = е stq, если и
только если 3) = 0 и, следовательно, Q • S>R dx = 0 для всех Q, R е
*5. 33. Пусть р = q = 1. Докажите, что если L = Ци<пУ) не зависит явно
от х, то ы^Е (L) dx = 0. Это показывает, что нужно быть осторожным
с «принципом подстановки» предыдущего упражнения, поскольку следующее
«небольшое» обобщение п. (а) неверно: если Р е s£q и Р Q dx = 0 для всех
Q(и(л>) = 6С е^’, не зависящих явно от х, то Р = 0. Контрпример дает
Р = и*. Является ли это единственным таким контрпримером?
5.34. Пусть P(u<m>) — набор из q однородных дифференциальных функ-
ций степени а =/= —1: Р (Ки{т}) = КаР Докажите, что P = E(L) для
некоторого лагранжиана L, если и только если £ (и - Р) — (а + 1) Р. Верно
лн это при а — —1? (Olver, Shakiban [1], Shakiban [1].)
* 5.35. Докажите теорему Гельмгольца 5.68 прямо, без использования
вариационных форм: если Р е имеет симметричную производную Фреше,
то Р = Е(£), где L задается формулой (5.85). Обратно, если P = E(L) для
некоторого L, то Dp симметрична.
5.36. (а) Покажите, что одно эволюционное уравнение ut = P[u], и е R,
никогда ие является уравнением Эйлера — Лагранжа ни для какой вариа-
ционной задачи. Верно ли то же самое для систем эволюционных уравнений?
(Ь) Один общий прием для приведения одного эволюционного уравнения
к вариационному виду состоит в замене функции и на потенциальную функ-
цию v: и = vx, что приводит к уравнению vxi = P[vJ. Покажите, что таким
способом уравнение Кортевега — де Фриза превращается в уравнение Эйле-
ра — Лагранжа некоторого функционала. Какие геометрические и обобщен-
ные симметрии уравнения Кортевега — де Фриза по теореме Нётер дают за-
коны сохранения?
(с) Найдите необходимые и достаточные условия на Р, чтобы прием из
п. (Ь) приводил к уравнению Эйлера — Лагранжа.
(d) Другой прием для такого приведения эволюционного уравнения
состоит в том, чтобы просто продифференцировать его по х: uxt = ZZtP[u].
Докажите, что это приводит к уравнению Эйлера — Лагранжа, если и только
если DXP зависит только от х, их, иХх, ... (но не от и), и это уравнение
468
Гл. 5. Обобщенные симметрии
эквивалентно эволюционному уравнению Wt = Q[w], w = ux, для которого
применим прием из п. (Ь).
*5.37. (а) Докажите, что если Q(x, u(n>)—произвольная система диффе-
ренциальных функций, удовлетворяющая условиям Гельмгольца Dq = Dq, и
Р(Л, х, и<т)) — произвольное однопараметрическое семейство наборов из
q дифференциальных функций, такое, что
Р(0, х, u(m')=f(x), Л(1> х, и^) = и
для некоторой фиксированной функции }(х), то
1
L=(-^f-Q(x, Pw)dk
о
является лагранжианом для Q: Е (L) — Q.
(Ь) Этот метод полезен для нахождения вариационных принципов для
систем дифференциальных уравнений, не определенных на всем пространстве
струй 7И<П>. Например, пусть р = q = 1, Q — и~2ихх + иуу. Воспользуйтесь
семейством Р(Х) = (1—Х)х + %и, чтобы найти вариационный принцип
для Q. Почему в этом случае не годится классическая конструкция (5.85)?
(Horndeski [1].)
*5.38. Проблема интегрирующего множителя в вариационном исчислении
состоит в том, чтобы для данного дифференциального уравнения Д[и] = О
найти не обращающуюся в нуль дифференциальную функцию Q[u], такую,
что 0 = Q-A=E (Z.) является уравнением Эйлера — Лагранжа некоторой
вариационной задачи.
(а) Докажите, что если Д[и] — ихх — Н(х, и, их) — обыкновенное диф-
ференциальное уравнение второго порядка, то Q(x, и, их) является таким
множителем, если и только если Q удовлетворяет уравнению с частными про-
изводными
+ Ux 4- -±- (QH) = 0.
дх ди 1 дих ' '
Выведите отсюда, что любое обыкновенное дифференциальное уравнение вто-
рого порядка всегда локально эквивалентно уравнению Эйлера — Лагранжа
некоторой вариационной задачи первого порядка. (См. упр. 4.8 и 4.9.)
(Ь) Найдите все интегрирующие множители и соответствующие вариа-
ционные задачи для уравнения ихх — их = 0.
(с) Обсудите случай дифференциального уравнения высшего порядка.
(Hirsch [1]; см. Douglas [1], где имеется обобщение на системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, и Anderson, Duchamp [2], где рассматри-
вается случай уравнений с частными производными второго порядка.)
**5.39. Здесь мы обобщаем формулу теоремы 4.8, опасывающую дей-
ствие оператора Эйлера при замене переменных; новые переменные те-
перь могут зависеть от производных от старых переменных. Пусть х =
= (х1, ..., х₽), «=(«*,..., и«)—исходные переменные. Пусть З^и] =
= L (х, «<”)) dx —вариационная задача с выражением Эйлера — Лагранжа
E(L). Предположим, что у = (у1, ..., ур) и w= (wl,..., ш«)—новые
переменные, причем у = Р(х, w = Q(x, uiml>) для некоторых диффе-
ренциальных функций Р е Q е Пусть 9? [а>] = \ L(y, w(l))dy — со-
Упражнения
469
ответствующая вариационная задача. Докажите, что
ч
Eua (L) = £
р=1
Рр, <2₽)
dЕю₽(Ь)-
Здесь коэффициент при — дифференциальный оператор, заданный фор-
мулой _
’П.Р, ... DpPl Dpi>a
р (Р„ ..., рр, qp) ;
D(*‘.....*P’«a) e Dfp-'-DpPp tfpp'a
••• ^Qp, a_
где
— производная Фреше от P по ua, a Dp a — ее сопряженная, причем в опре-
делителе во всех произведениях дифференциальные операторы пишутся пер-
выми. Например,
D(P св (вхР DpA ,
-^^-(p) = det P = DQ(DxP.p)-Dp(Z)jeQ.P).
’ \ DxQ Dq /
Обсудите, почему формула (4.7) является частным случаем. Попробуйте
разобрать несколько конкретных примеров, например х = у, и = wx, чтобы
увидеть, как это практически осуществляется.
5.40. Дивергенция порядка п — это дифференциальная функция Р[и],
такая, что
для некоторых дифференциальных функций Qi. Например,
иххиуу иху ~ Dx ( «j" + Wy (ихиу) + Ву ( %
— дивергенция второго порядка.
(а) Докажите, что Р является дивергенцией порядка п, если и только
если Еа (?) ~ 0 для всех а = 1, ..., д, — 1. (См. след-
ствие 5.76.)
(Ь) Покажите, что
иХхиуу — %uxyvxy + uyyvxx
— дивергенция второго порядка, а
UxXxVyyy -- ?>UxxyVxyy + 3uxyyVxxy UyyyVxxx
- дивергенция третьего порядка. Можете ли вы обобщить этот результат?
(Olver [6].)
* 5.41. Предположим, что Д[и] = 0 — система дифференциальных урав-
нений, однородная в том смысле, что Д[Аи] = Л“Д[и] для всех >.еР, где
470
Гл. 5. Обобщенные симметрии
а — степень однородности. Докажите, что если Div Р — 0 — закон сохране-
ния с тривиальной характеристикой для такой системы, то сама Р — триви-
альный закон сохранения. (Указание. Сведите сначала к случаю однородного
закона сохранения Р [Ли] = [и]. Воспользуйтесь формулой гомотопии
(5.113), чтобы восстановить Р по ее характеристической форме Div Р = Q-&,
где Q = 0 прн Д = 0, Q однородна.) (Olver [11].)
5.42. (а) Если 3? [и] = L [и] dx — функционал, a vq — эволюционное
векторное поле, докажите, что продолженное действие
pr vQ (S) = J рг vQ (Z.) dx
дает корректно определенное отображение на пространстве функционалов.
(Ь) Докажите, что это действие эффективно, т. е. рг vq (S’) = 0 для всех
2 е если н только если Q = 0. Аналогично, докажите, что рг vq (S) — 0
для всех Q е если и только если S = 0 в
(с) Обобщите это, чтобы определить производную Ли от функциональ-
ной формы по эволюционному векторному полю. Докажите формулу гомо-
топии, обобщающую формулу (1.66) или (5.84) на функциональные формы.
5.43. Пусть ш—вертикальная /г-форма, a vq— эволюционное векторное
поле с потоком ехр(еус), заданным формулой (5.14). Определите подходя-
щее действие ехр(еу<г)ф«в этого потока на <а и докажите формулу для произ-
водной Ли
prvQ(6) = -5F[exp(evQ)t«].
(Как всегда, мы предполагаем существование и единственность решения со-
ответствующей задачи с начальными данными.) Можно ли сделать то же
самое, если использовать определение упр. 5.8 для потока, порожденного
полем Vq?
6. Конечномерные гамильтоновы
системы
Важное понятие гамильтоновой системы дифференциальных
уравнений составляет основу большинства наиболее продвину-
тых теорий классической механики, включая движение твердого
тела, небесную механику, теорию квантования и т. д. В по-
следнее время возросла важность гамильтоновых методов в изу-
чении уравнений механики сплошной среды, включая механику
жидкости, физику плазмы и теорию упругости. В этой книге мы
интересуемся лишь одним аспектом этого обширного предмета,
а именно взаимодействием между группами симметрий, закона-
ми сохранения и понижением порядка систем в гамильтоновой
форме. Гамильтонов вариант теоремы Нётер обладет исключи-
тельно притягательным геометрическим ароматом, который
остается скрытым, если оставаться в рамках лагранжева под-
хода.
Поскольку предварительное знакомство с гамильтоновой ме-
ханикой не предполагается, первым делом нужно разъяснить
понятие гамильтоновой системы дифференциальных уравнений.
В этой главе мы сосредоточимся на более известном и концеп-
туально более легком случае обыкновенных дифференциальных
уравнений. После этого обобщение на системы эволюционных
уравнений, предпринятое в гл. 7, окажется вполне естественным.
Есть несколько различных подходов к изложению гамильтоно-
вой механики. Подход, предложенный здесь, является в какой-
то степени новым. Важно осознать необходимость бескоорди-
натного рассмотрения «гамильтоновых структур», не предпо-
лагающего введения специальных канонических координат (р и
q в элементарных учебниках но классической механике). Ко-
нечно, всегда имеется искушение упростить дело, насколько
возможно. Теорема Дарбу утверждает, что для конечномерных
систем постоянного ранга мы при желании всегда можем ввести
такие координаты, упрощающие формулы. Однако такой под-
ход к задаче не всегда оказывается наиболее естественным и
прямым. Кроме того, в бесконечномерном варианте этой теории,
который будет обсуждаться позже, аналогичный результат не-
верен; следовательно, если мы хотим заложить надлежащее
472
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
основание в конечномерной теории, позволяющее совершить
переход к бесконечномерному случаю и эволюционным уравне-
ниям, мы должны отбросить прочь «костыль» канонических ко-
ординат и подходить к гамильтоновой структуре с более внут-
ренней точки зрения.
Но и бескоординатных подходов к гамильтоновой механике
существует несколько. Наименьшей подготовительной работы
по дифференциально-геометрическому обоснованию требует под-
ход, сосредоточенный на изучении скобки Пуассона в качестве
основного объекта. Он позволяет почти совсем избежать диффе-
ренциальных форм и перейти прямо к существу предмета. К то-
му же подход, основанный на скобке Пуассона, допускает га-
мильтоновы структуры переменного ранга (в смысле, который
будет вскоре определен), оказавшиеся важными в недавней
работе о коллективном возбуждении и устойчивости. Этот под-
ход включает как важный частный случай скобку Ли — Пуассо-
на на алгебре, двойственной к алгебре Ли, которая играет
ключевую роль в теории представлений и геометрическом кван-
товании, а также дает теоретическую основу общей теории
редукции гамильтоновых систем с симметрией.
6.1. СКОБКИ ПУАССОНА
Пусть дано гладкое многообразие М. Скобка Пуассона на М
сопоставляет каждой паре гладких вещественнозначных функ-
ций F, Н: Af->-IR новую гладкую вещественнозначную функцию,
которую мы будем обозначать через {F, Н}. Чтобы называться
скобкой Пуассона, такая скобочная операция должна обладать
определенными свойствами. Мы сформулируем эти свойства сна-
чала в простом бескоординатном виде. Впоследствии мы пере-
пишем их в локальных координатах, и в таком виде их также
можно взять в качестве определяющих свойств скобки Пуассо-
на, особенно если М — открытое подмножество некоторого ев-
клидова пространства.
Определение 6.1. Скобка Пуассона на гладком многообразии
М — это операция, сопоставляющая каждой паре F, Н гладких
вещественнозначных функций гладкую вещественнозначную
функцию {F, Н} на М и обладающая следующими свойствами:
(а) билинейность-.
{cF + c'P, H} = c{F, Н} + с'{Р, Н},
{F, сН + с'Р} = с {F, Н} + с' {F, Р}
для любых с, с'е Р;
6.1. Скобки Пуассона
473
(b) кососимметричность:
{F, H} = — {H,F}:
(с) тождество Якоби:
{{F, Н}, Р} + {{Р, F}, Н} + {{Н, Р}, F} = 0;
(d) правило Лейбница:
{F, Н P} = {F, Н} РН {F, Р}.
(Здесь • обозначает обычное умножение функций.) Во всех этих
равенствах F, Н и Р — произвольные гладкие вещественнознач-
ные функции на М.
Многообразие М со скобкой Пуассона называется пуассоно-
вым многообразием, а скобка определяет пуассонову структуру
на М. Понятие пуассонова многообразия является несколько бо-
лее общим, чем понятие симплектического многообразия или
многообразия с гамильтоновой структурой; в частности, мно-
гообразие М не обязано быть четномерным. Это подтверждается
стандартными примерами из классической механики.
Пример 6.2. Пусть М — четномерное евклидово пространство
к2" с координатами (р, q) = (pl, .... рп, ql, .... qn) (в физиче-
ских задачах координаты р задают импульсы, a q — положения
механических объектов). Мы определяем скобку Пуассона двух
гладких функций F(p, q) и Н(р, q) формулой
(6Л)
' dq др др dq >
Ясно, что эта операция билинейна и кососимметрична; проверка
тождества Якоби и правила Лейбница является упражнением по
тензорному исчислению, и мы оставляем ее читателю. Отметим,
в частности, тождества
{pi>P/} = 0, {qi,qt} = ^, {ql, pl} = 6i{, (6.2)
где i и / пробегают от 1 до п, а б/ — символ Кронекера, равный
1 при i = / и 0 в противном случае. (В (6.2) мы рассматриваем
сами координаты как функции на М.)
Более общо, мы можем определить скобку Пуассона на про-
извольном евклидовом пространстве M = Rm. Пусть (р, q, z) =
= (р1, ..рп, ql, ..qn, zl, ..zl) — координаты, так что
2п + I = ш. Определим скобку Пуассона двух функций F(p, q, z),
H{p,q,z} той же формулой (6.1). В частности, если функция
474
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
F(z) зависит только от z, то {F, И} = 0 для всех функций Н.
Такие функции, в частности сами zk, называются отмеченными
функциями или функциями Казимира. Они характеризуются
тем, что их скобка Пуассона с любой другой функцией всегда
равна нулю. Следует дополнить при этом основные коорди-
натные соотношения (6.2) дополнительными соотноше-
ниями
{pl, zk} = {ф, zk} = {zi, zk} — 0 (6.3)
для всех i=l, ..., п и j, k = 1, ..., I. Хотя этот пример выгля-
дит несколько специальным, теорема Дарбу 6.22 покажет, что,
если исключить особые точки, локально каждая скобка Пуассо-
на имеет такой вид. Поэтому мы называем (6.1) канонической
скобкой Пуассона.
Определение 6.3. Пусть М — пуассоново многообразие. Глад-
кая вещественнозначная функция С: Af->R называется отме-
ченной функцией, если скобка Пуассона функции С с любой дру-
гой вещественнозначной функцией тождественно обращается в
О, т. е. {С, Н} — 0 для всех Н: М-> R.
В случае канонической скобки Пуассона (6.1) на R2" един-
ственными отмеченными функциями являются константы, кото-
рые всегда удовлетворяют требованиям определения 6.3. Ему
противоположен случай тривиальной скобки Пуассона, когда
{Л Я}=о для всех F, Н и любая функция является отмечен-
ной.
Гамильтоновы векторные поля
Пусть М — пуассоново многообразие, так что скобка Пуас-
сона удовлетворяет требованиям определения 6.1. Для заданной
гладкой функции Н на М отображение {F, Н} определяет
ввиду билинейности и правила Лейбница дифференцирование на
пространстве гладких функций F на М, а следовательно, в силу
(1.20) и (1.21) и векторное поле на М. Это наблюдение приво-
дит к фундаментальному определению.
Определение 6.4. Пусть М — пуассоново многообразие и
Н: Af->R —гладкая функция. Гамильтоновым векторным полем,
соответствующим функции Н, называется единственное гладкое
векторное поле Ун на М, удовлетворяющее условию
УЯ(П = {Л Н} = -{Н, F}
(6.4)
6.1. Скобки Пуассона
475
для каждой гладкой функции F: Af-»-IR. Уравнения потока век-
торного поля vh называются уравнениями Гамильтона для «га-
мильтониана» Н.
Пример 6.5. В случае канонической скобки Пуассона (6.1) на
Rm, m = 2n-\-l, гамильтоново векторное поле, соответствующее
функции Н{р, q, z), очевидно, имеет вид
у /’дН д______дН д \
\ др1 dq' dq* др1)
(6.5)
Соответствующий поток получается интегрированием систе-
мы обыкновенных дифференциальных уравнений
= = .= i (66)
dt др1 dt dq1
= ......(6.7)
которые в этом случае являются уравнениями Гамильтона. В не-
вырожденном случае m = 2л мы получаем только (6.6). Это ка-
ноническая форма уравнений Гамильтона классической меха-
ники. В более общем случае (6.7) просто добавляет условие
постоянства отмеченных координат z1 под действием потока. В ча-
стности, если функция Н зависит только от отмеченных коорди-
нат z, ее гамильтонов поток тривиален. Это замечание справед-
ливо и в общем случае: функция С на пуассоновом многообразии
является отмеченной, если и только если ее гамильтоново вектор-
ное поле всюду равно нулю: ус = 0.
Между скобкой Пуассона пары функций и скобкой Ли соот-
ветствующих гамильтоновых векторных полей имеется глубокая
связь, которая во многом составляет основу теории гамильтоно-
вых систем.
Предложение 6.6. Пусть М — пуассоново многообразие. Пусть
F, Н: Af->R— гладкие функции, уF, ун— соответствующие им
гамильтоновы векторные поля. Гамильтоново векторное поле,
соответствующее скобке Пуассона функций F и Н, с точностью
до знака совпадает со скобкой Ли этих двух гамильтоновых век-
торных полей:
V{F, Я) [Vj?, Уд] = [Уд, Vf].
(6.8)
476
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
Доказательство. Пусть Р: Af->-R — произвольная гладкая
функция. Пользуясь определением скобки Ли, получаем, что
[vh, vf] Р = vH • vP (Р) — vP • vH (P) = vH {P, P} — Vf {P, H} =
= {{P, F}, H} - {{P, H}, F} — {P, {F, H}}=v[F,h} (P).
Здесь мы использовали тождество Якоби, кососимметричность
скобки Пуассона и определение (6.4) гамильтонова векторного
поля. Поскольку Р — произвольная функция, это доказывает
формулу (6.8). □
Пример 6.7. Пусть М = R2 с координатами (р, q) и канони-
ческой скобкой Пуассона {F, H}—FqHp— FpHq. Гамильтоново
векторное поле, соответствующее функции Н(р, q), имеет вид
vH = Hpdq— Hqdp. Таким образом, для Н = (1/2) (р2 + q2)
имеем vH — pdq — qdp, а для F = pq имеем vF = qdq — рдр.
Скобка Пуассона функций F и Н равна {F, Н} = р2 — q2, а со-
ответствующее гамильтоново векторное поле имеет вид V{f,hj=
= 2pdq + 2qdp. Как может проверить читатель, оно совпадает с
коммутатором [vH, vF].
Структурные функции
Чтобы получить общую картину пуассонова многообразия в
локальных координатах, рассмотрим сначала гамильтоновы век-
торные поля. Пусть х= (х1, ..., хт) —локальные координаты
на М и Н(х)—вещественнозначная функция. Соответствующее
гамильтоново векторное поле будет в общем случае иметь вид
tn
NH = X %1{х)д]дх1, где функции g‘(x), зависящие от Н, следует
г=1
определить. Пусть F(x) —другая гладкая функция. Используя
(6.4), находим
m
{F, Н} = ун(Р) = ^1(х)-^-.
— дх
1 = 1
Но снова в силу (6.4)
Вг(х) = Ун(хг) = {/, Н},
так что эта формула принимает вид
m
{F, Н} = ^{х1, Н}-^. (6.9)
i=i
С другой стороны, кососимметричность скобки Пуассона позво-
ляет нам обратить всю процедуру и выразить скобку Пуассона
6.1. Скобки Пуассона
477
любой пары функций через гамильтоновы векторные поля
vf — vxt, соответствующие локальным координатным функциям
А именно,
т
{/, Н) = - {Н, х1} = - уг (Я) = - X {?, х1} ,
где последнее равенство получается применением формулы (6.9)
с заменой F на Н, а Н на х‘. Таким образом, получаем основ-
ную формулу
тп т
(610>
1=1/=1
для скобки Пуассона. Другими словами, для вычисления скобки
Пуассона любой пары функций в некоторой данной системе ло-
кальных координат достаточно знать скобки Пуассона самих
координатных функций. Эти базисные скобки
!1}(х) — {х1, х1}, i, j = l, (6.11)
называются структурными функциями пуассонова многообразия
М относительно данной локальной системы координат. Они од-
нозначно определяют пуассонову структуру. Для удобства мы
сведем структурные функции в кососимметричную матрицу J(x)
размера m X m, называемую структурной матрицей многообра-
зия М. Обозначая вектор градиента функции Н через МН, пере-
пишем формулу (6.10) для скобки Пуассона в локальных коор-
динатах в виде
{F, H} — MF-JMH. (6.12)
Например, в случае канонической скобки (6.1) на Rm, m =
= 2n I, структурная матрица имеет простой вид
(0 — I 0\
/00
ООО/
относительно координат (р, q, z), где I — единичная матрица
размера пХп-
Гамильтоново векторное поле, соответствующее функции
Н(х), имеет вид
?-=Z(,?/ew££). (6.13)
478
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
или, в матричной записи, Ун = (JVH) -дх, гдедх— «вектор» с ком-
понентами д/дх1. Поэтому в данной координатной карте уравне-
ния Гамильтона принимают вид1)
-§-=/(х)?Я(х). (6.14)
С другой стороны, используя (6.9), мы могли бы переписать это
выражение в «скобочной форме»
= Я},
где t-я компонента правой части равна {х‘, Н}. Система обык-
новенных дифференциальных уравнений 1-го порядка называет-
ся гамильтоновой, если существуют такая функция Н(х) и такая
матрица функций J (х), определяющая скобку Пуассона (6.13),
что система принимает вид (6.14). Конечно, нам нужно знать,
какие матрицы 1(х) являются структурными матрицами скобок
Пуассона.
Предложение 6.8. Пусть J (x) = (j11 (х)) — матрица размера
т\т функций от х — (х1, ..., хт), определенных на открытом
подмножестве AfczRm. Тогда J (х) является структурной матри-
цей для некоторой скобки Пуассона {F, H}=\F-J\H на М,
если и только если выполняются следующие условия:
(а) кососимметричность:
(х) = —(х), г, / = 1, ..., пг;
(Ь) тождество Якоби:
тп
£ = 0, i, j, k=l.......m, (6.15)
z-i
для всех x^M (здесь, как обычно, di = d/dx1).
Доказательство. В своей основной форме (6.12) скобка Пуас-
сона автоматически билинейна и удовлетворяет правилу Лейб-
ница. Кососимметричность структурной матрицы, очевидно, эк-
вивалентна кососимметричности скобки. Таким образом, нужно
проверить лишь эквивалентность условия (6.15) тождеству Яко-
би. Заметим, что в силу (6.10) и (6.11)
{{?, х'}, х*}=£ Jlk(x)dlJtl(x),
/=»1
*) Более общо, мы можем рассматривать функции Н(х, f), зависящие от
времени. Это приведет к зависящим от времени гамильтоновым векторным по-
лям; см. § 6.3.
6.1. Скобки Пуассона
479
и поэтому равенство (6.15) эквивалентно тождеству Якоби для
координатных функций х‘, х1 и xk. В общем случае для функ-
ций F, Н, Р: Л4—>-R имеем
т ( т Ч
{{F, Н}, Р}= £ !^\ £
*—' дх1 ( А-. дх* дх1 I dxR
k, z=i v<,/=1 '
___ у» (jif, dllf dF дН дР .
4—< ( дх1 дх1 дх' дхк
I, 1, k, I
jtbf I ( d*F дН дР _|_ dF д*Н дР Y)
\dxJdx‘ дх' dxk дх1 дх1 дх' дхк))
Суммируя по циклическим перестановкам F, Н, Р, получаем,
что первое множество слагаемых обращается в нуль в силу
(6.15), а остальные члены взаимно уничтожаются в силу косо-
симметричности структурной матрицы. □
Заметим, что мы могли бы принять условия предложения 6.8
на структурную матрицу за определение скобки Пуассона (6.12)
в локальной координатной карте. Условия (6.15), обеспечиваю-
щие выполнение тождества Якоби, составляют большую систему
нелинейных дифференциальных уравнений с частными произ-
водными, которым должны удовлетворять структурные функ-
ции. В частности, любая постоянная кососимметричная матрица
J тривиально удовлетворяет уравнениям (6.15) и тем самым
определяет некоторую скобку Пуассона.
Структура Ли — Пуассона
Один из наиболее важных примеров пуассоновой структуры
связан с алгебрами Ли. Рассмотрим- r-мерную алгебру Ли 0.
Пусть Сц, i, j, k = 1, ..., г, — структурные константы алгебры 0
в базисе {vi, .... vr}. Пусть V — другое r-мерное векторное про-
странство с координатами х — (х1, ..., хг), определенными ба-
зисом {coi, ..., <вг}. Определим скобку Ли — Пуассона пары
функций F, Н: V -> R формулой
{F. (6.16)
Ясно, что это равенство имеет вид (6.10) с линейными структур-
г
ными функциями J1' (х) = 2
Й=1
c^xk. Свойства структурной матри-
цы из предложения 6.8 легко вытекают из основных свойств
480
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
(1.43), (1.44) структурных констант. В частности, как легко мо-
жет проверить читатель, (6.15) сводится к тождеству Якоби
(1-44).
Скобку Ли — Пуассона можно описать более инвариантно.
Напомним, прежде всего, что для любого векторного пространства
V и гладкой вещественнозначной функции F: V -> R градиент
VF(x) в любой точке хе V естественно является элементом
двойственного векторного пространства V*, состоящего из всех
(непрерывных) линейных функций на V. В самом деле, по опре-
делению
\ \ г F(x + ey) — F(x)
<?Г(х); z/) = lim----------—
для любого у е V, где < ; > — естественное спаривание простран-
ства V и двойственного к нему пространства V*. Учитывая это,
мы отождествляем линейное пространство V, участвующее в ис-
ходной конструкции скобки Ли — Пуассона, с двойственным
пространством д* к алгебре Ли 0, причем {<»i, ..., <ог)—двойст-
венный базис к {vi, ..., vr}. Градиент Vf(x) любой гладкой
функции F: 0*->R является элементом пространства (g*)*~g
(поскольку алгебра g конечномерна). Тогда скобка Ли — Пуас-
сона в инвариантной форме имеет вид
{F, Н} (х) = <х; [VF (х), V# (х)]), х е= д’, (6.17)
где [,] — обычная скобка Ли на самой алгебре Ли д; доказа-
тельство мы оставляем читателю. Для любой функции Н: g->R
соответствующая система уравнений Гамильтона имеет вид
У rk.xk¥L i— 1 г
"'Л,•' *>’ ................
куда явно входят координаты хк.
Пример 6.9. Рассмотрим трехмерную алгебру Ли so(3) груп-
пы вращений SO(3). Используя базис Vi = удг— гду, у2 =
— zdx — хдг, Уз — хду — удх инфинитезимальных вращений во-
круг осей х, у и z в R3 (или их матричные представления), мы
получим соотношения для коммутаторов [vi, V2] =—v3, [v3,
Vi]=—V2, [v2, v3] =—Vi. Пусть ©I, (b2, <03 — двойственный ба-
зис в so(3) ~ R3 и u = u‘(Di + w2(d2 + u3(D3 — точка общего вида.
Градиент функции F: so(3)*->R тогда является вектором
Vf = ^rv1+>V2 + ^v3^6o(3).
6.2. Снмплектические структуры и слоения
481
Таким образом, из (6.17) получаем формулу для скобки Ли —
Пуассона на (3) *:
tp т— 1 _l_ <>f ан dF дну t
1 . / Uy ^йз ^u2 0u2 0u3 J -|- U du3 Qu3 J -f
sfdF dH dF dH\
T I du2 du' du' du2)
= -u-WX NH,
где X — обычное векторное произведение в R3. Таким образом,
структурная матрица имеет вид
/ 0 —и3 и2 \
Z(u) = | и3 0 —u1 I, меёо(З)*.
X—и2 и1 0 /
Уравнения Гамильтона, соответствующие гамильтониану Н(и),
поэтому принимают вид
-^- = «ХУЯ(«).
Например, если
22 [ 2/2 2/3
где /ь /2, /з— некоторые константы, то уравнения Гамильтона
становятся уравнениями Эйлера движения твердого тела
du' _ ~ ,,2,,3
dt /2/3 и и
dt *3'1
du ____ /2 । о /с 1 о\
-vr- = r-7-------и'и, (6.18)
(II I . /« ' '
где (/,, /2, /з)—моменты инерции относительно координатных
осей, а и1, и2, и3 — соответствующие моменты количества движе-
ния (угловые скорости равны и‘=«7Л). Гамильтониан является
кинетической энергией тела.
6.2. СНМПЛЕКТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
И СЛОЕНИЯ
Чтобы достичь более полного понимания геометрии, лежащей
в основе общей пуассоновой структуры на гладком многообра-
зии, мы должны тщательно изучить структурную матрицу 2(х),
задающую скобку Пуассона в локальных координатах. Важней-
шим инвариантом этой матрицы является ее ранг. Если ранг
всюду максимален, то, как будет видно, мы находимся в наибо-
лее стандартной ситуации «симплектической структуры». Эта
ситуация рассмотрена в большинстве работ по гамильтоновой
механике. Мы увидим, что в более общем случае немаксималь-
16 П. Олвер
482
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
ного ранга пуассоново многообразие М естественно расслаивает-
ся на симплектические подмногообразия таким образом, что
любая гамильтонова система на М естественно ограничивается
на любое из этих симплектических подмногообразий, и, следо-
вательно, это ограничение возвращает нас к более классической
гамильтоновой механике. Однако во многих задачах более есте-
ственно оставаться на самом объемлющем многообразии, осо-
бенно когда нас интересует совместное поведение систем, зави-
сящих от параметров, и соответствующие симплектические
структуры сами меняются при изменении параметров.
Соответствие между 1-формами и векторными полями
Как мы видели в предыдущем параграфе, пуассонова струк-
тура на многообразии М устанавливает соответствие между
гладкими функциями Н: и ассоциированными с ними га-
мильтоновыми векторными полями vH на М. В локальных коор-
динатах это соответствие задается умножением градиента V// на
структурную матрицу 7(х), определенную скобкой Пуассона.
Этому можно придать более инвариантную формулировку,
вспомнив, что бескоординатной формой градиента веществен-
нозначной функции Н является ее дифференциал dH. Таким об-
разом, пуассонова структура определяет соответствие между
дифференциальными 1-формами dH на М и соответствующими
гамильтоновыми векторными полями vu, которое на самом деле
продолжается на 1-формы общего вида:
Предложение 6.10. Пусть М — пуассоново многообразие и
№ М. Тогда существует единственное линейное отображение
В = В|Х: Т*М\Х->ТМ\Х
из кокасательного пространства к М в точке х в соответствую-
щее касательное пространство, такое, что для любой гладкой ве-
щественнозначной функции Н:
B(dH(x)) = vH\x. (6.19)
Доказательство. Кокасательное пространство Т*М{Х в любой
точке х^М порождено дифференциалами {dx1, ..., dxm}, соот-
ветствующими локальным координатным функциям вблизи точки
х. Из (6.13) мы видим, что в точке хеМ
m
B(dx/)=y/,/(x)AL i=\,...,m.
' ОХ IV
6.2. Снмплектические структуры и слоения 483
Ввиду линейности для любого ковекторао= £ ctjdx' е Т*М |х
m
есть по существу результат умножения и на структурную мат-
рицу /(х), что и доказывает предложение. □
Пример 6.11. На Rm с каноническими координатами (р, q, z),
как в примере 6.2, для любой 1-формы
п I
<0 = У [at dp1 + bi dql] + £ Cj dz!
i=i /=i
имеем
В (->=£{«<
В этом частном случае вид отображения В не меняется от точ-
ки к точке. В частности, размерность ядра В равна числу отме-
ченных координат г1, , z'.
Ранг пуассоновой структуры
Определение 6.12. Пусть М—пуассоново многообразие и
х е М. Рангом М в точке х называется ранг линейного отобра-
жения В|х: ГМ\Х-+ТМ\Х.
В локальных координатах отображение В|х совпадает с ум-
ножением на структурную матрицу 7(х); поэтому ранг М в точ-
ке х равен рангу J(x) независимо от выбора координат. Из ко-
сосимметричности J немедленно следует
Предложение 6.13. Ранг пуассонова многообразия в любой
точке четен.
Например, ранг канонической пуассоновой структуры (6.1)
на Rm, m = 2n-\-l, постоянен и равен 2п. Позднее мы покажем,
что любая пуассонова структура постоянного ранга 2п локально
выглядит как каноническая структура такого ранга. Ранг струк-
туры Ли — Пуассона на *я>(3)* равен 2 всюду, кроме начала ко-
ординат и = 0, где он обращается в 0.
Поскольку ранг линейного отображения определяется раз-
мерностью его ядра или его образа, мы можем вычислить ранг
2п пуассонова многообразия в любой точке, либо рассматривая
16»
484
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
ядро Ж |х = {® е Т*М |х: В (и) = 0}, размерность которого равна
m— 2п, либо рассматривая образ Ж\х = {v = В (со) е ТМ |х: <о =
= 7*Af|x}, размерность которого равна 2п. Например, в случае
канонической скобки Пуассона (6.1) ядро Ж\х порождено «от-
меченными дифференциалами» dz1, ..., dz1, а образ порожден
элементарными гамильтоновыми векторными полями д/dq1,
д/др'1, отвечающими координатным функциям р1, —ql соответст-
венно. Образ Ж\х имеет особое значение; это пространство мож-
но охарактеризовать как линейную оболочку всех гамильтоно-
вых векторных полей на М в точке х:
^L = {vh|x: Я: М ->R— гладкая функция}.
Снмплектические многообразия
В классической механике обычно на скобку Пуассона накла-
дывается дополнительное требование невырожденности, которое
приводит к более узкому понятию симплектической структуры
на многообразии.
Определение 6.14. Пуассоново многообразие М размерности
m называется симплектическим, если его пуассонова структура
имеет всюду максимальный ранг т.
В частности, согласно предложению 6.13, симплектическое
многообразие обязательно четномерно. Каноническим примером
служит скобка Пуассона (6.1) на Rm в случае m = 2n, т. е. в от-
сутствие дополнительных отмеченных координат. В терминах ло-
кальных координат условие, что матрица 7(х) определяет сим-
плектическую структуру, накладывает на нее дополнительное
требование невырожденности detJ(x)=/=0 всюду. В этом слу-
чае сложные нелинейные уравнения (6.15), выражающие тожде-
ство Якоби, упрощаются до системы линейных дифференциаль-
ных уравнений, содержащей элементы обратной матрицы К(х) =
= И(х)Г‘.
Предложение 6.15. Матрица J(x) определяет симплектиче-
скую структуру на Me IRm, если и только если обратная к ней
матрица К (х) = [/(х)]-1 удовлетворяет следующим условиям'.
(а) кососимметричность:
Кц (х) = — К а (х), I, пт,
(Ь) замкнутость (тождество Якоби):
dkKu + diKki + diKi^O, i, j, fc=l, (6.20)
всюду.
6.2. Симплектические структуры и слоения
485
Доказательство. Эквивалентность условий кососимметрично-
сти матриц J и К очевидна. Для доказательства эквивалентно-
сти условий (6.20) и (6.15) мы воспользуемся формулой для
производной обратной матрицыdkK= — К • dkJ К, где /£ = №.
Подставляя в (6.20), получаем
m
I WindkJln + Кк1К1пдД1п + КцКкпдД1п} = 0.
I, П=1
Умножая на и суммируя по i, j, k от 1 до m, получаем
(6.15) с несколько иначе расставленными индексами. □
Отображения пуассоновых многообразий
Пусть М и N — пуассоновы многообразия. Пуассоновым ото-
бражением называется гладкое отображение <р: M-+-N, сохра-
няющее скобку Пуассона:
{F°<p, 77о<р)м — {F, H}N°q> для всех F, Н: N ->R.
В случае симплектических многообразий это канонические
преобразования классической механики. Хороший пример дает
поток, порождаемый произвольным гамильтоновым векторным
полем.
Предложение 6.16. Пусть М—пуассоново многообразие и
Ун — гамильтоново векторное поле. Для каждого t поток
exp(/vw): М—>~М определяет (локально) пуассоново отображе-
ние М в себя.
Доказательство. Пусть F и Р — вещественнозначные функ-
ции, и пусть <р« = exp(/vw). Продифференцировав по t условие
Пуассона (F°(pt, P°(pt} = fF, Р}°(р, получим его инфинитези-
мальный вариант
{уя(П П + К. Vk(P)} = vh({F, Р})
в точке <рДх). Из формулы (6.4) следует, что это равенство
совпадает с тождеством Якоби. При t = 0 <р0 — тождественное
отображение и, следовательно, очевидно, пуассоново. Поэтому
простое интегрирование доказывает выполнение условия Пуас-
сона при произвольном t. □
Например, для Af=R2 с каноническими координатами (р, q)
функция Н = (1/2) (р2 + q2) порождает группу вращений пло-
скости, задаваемую полем NH — pdq — qdp. Таким образом, каж-
дое вращение в R2 является каноническим отображением.
486
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
Поскольку любой гамильтонов поток сохраняет скобку Пуас-
сона на М, в частности, он сохраняет и ее ранг.
Следствие 6.17. Для любого гамильтонова векторного поля
vH на пуассоновом многообразии М ранг М в точке exp(tvH)x
совпадает с рангом М в точке х для любого t e R.
Например, так как начало координат в зо(3)* является един-
ственной точкой ранга 0, оно будет неподвижной точкой любой
гамильтоновой системы в данной структуре Ли—Пуассона. На
самом деле любая точка ранга 0 на пуассоновом многообразии
является неподвижной точкой любой гамильтоновой системы
на нем.
Пуассоновы подмногообразия
Определение 6.18. Подмногообразие N az М называется пуас-
соновым подмногообразием, если погружение ср: являет-
ся пуассоновым отображением.
Эквивалентный способ дать это определение состоит в том,
что для всякой пары функций F, Н: M->R, ограничения кото-
рых на N суть функции F, П: Af->R, естественное ограничение
на N их скобки Пуассона (F, Н}м является скобкой Пуассона
{F, H}N. Например, подмногообразия {z = с} в Rm, m = 2п + I,
соответствующие постоянным значениям отмеченных координат,
как легко видеть, являются пуассоновыми подмногообразиями
с естественно ограниченной на оставшиеся координаты (р, q)
скобкой Пуассона.
Есть простой способ проверить, можно ли превратить дан-
ное произвольное подмногообразие N cz М в пуассоново под-
многообразие; ввиду предыдущего замечания редуцированная
пуассонова структура, если она существует, определяется одно-
значно.
Предложение 6.19. Подмногообразие N пуассонова многооб-
разия М является пуассоновым, если и только если TN \yzo>affi\y
для всех у s N, т. е. каждое гамильтоново векторное поле на М
всюду касается N. В частности, если 77V|j, = для всех
у s N, то N является симплектическим подмногообразием мно-
гообразия М.
Доказательство. Так как скобка Пуассона определяется
своими локальными свойствами, мы можем без потери общно-
сти считать W регулярным подмногообразием многообразия М и
6.2. Снмплектические структуры и слоения
487
воспользоваться плоскими локальными координатами (у, w) =
= (у1, ..., уп, wl, ..., wm~n), в которых N = {(у, w): w — 0}.
Предположим сначала, что N — пуассоново подмногообразие.
Пусть П: 7V->IR— произвольная гладкая функция. Тогда мы
можем продолжить Й до гладкой функции Н: Л4—>R, опреде-
ленной в окрестности подмногообразия N : R = H\N. В наших
локальных координатах Н — Н(у) и Н(у, w)— произвольная
функция, такая, что Н(у,0)—Й(у). Пусть F— аналогичное
продолжение функции Г: Тогда по определению скобка
Пуассона функций Г и Н на N получается ограничением на N
скобки Пуассона функций F и Н:
{F, H}n = {F, H}\N.
В частности, при любом выборе F, Н скобка {F, Я}|ЛГ не может
зависеть от конкретных продолжений F и Н. Ясно, что это воз-
можно, если и только если {F, H}\N не содержит частных про-
изводных ни функции F, ни функции Н по нормальным коорди-
натам w*, так что
{F, H}\N = ^Iif(y, (6.21)
f-y ду1 ду’ l-j ду1 ду'
Но тогда гамильтоново векторное поле vh при ограничении на
N принимает вид
(6.22)
7^ ду1 ду*
и, таким образом, всюду касается N.
Обратно, если для всех у е N выполняется условие касания
Зё |р ст TN |tf, то всякое гамильтоново векторное поле после огра-
ничения на подмногообразие N должно быть линейной комби-
нацией лишь базисных касательных векторов д/ду* и, следова-
тельно, иметь вид (6.22). Если F(w) зависит только от w, то
{F, И} = Vh(F) должна поэтому обратиться в нуль при ограни-
чении на N. В частности,
{у1, а?} = {wk, оИ) = 0 на N для всех Z, /, k,
и, следовательно, скобка Пуассона на W принимает вид (6.21),
rp£lli(y)==j‘l(y,O) = {yt,y,}\N. Тот факт, что структурные
функции (у) индуцированной скобки Пуассона на N удовле-
творяют тождеству Якоби, легко следует из (6.15), поскольку
при ограничении на N все члены, содержащие w, обращаются
в 0. Таким образом, N является пуассоновым подмногообразием,
и предложение доказано. Отметим, что ранг пуассоновой струк-
488
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
туры на W в точке у s N совпадает с рангом пуассоновой струк-
туры на М в той же точке. □
Пример 6.20. Для структуры Ли — Пуассона на зо(3)* под-
пространство Ж\и в точке usso(3)* порождено элементарными
гамильтоновыми векторами vf = и3<?2 — и2д3, v2 = и1д3 — и3д1г
v3 — u2dl — и1д2 (д: = д/ди1), отвечающими координатным функ-
циям и1, и2, и3 соответственно. Если и =/= 0, эти векторы порож-
дают двумерное подпространство в совпадающее с
касательным пространством к сфере S2 = {u: | и | = р), проходя-
щим через точку u: ^|u = 7’Sp|u, |«|=р. Из предложения 6.19
следует поэтому, что каждая такая сфера является симплекти-
ческим подмногообразием в ёо(3)*. Чтобы вычислить скобку Пу-
ассона двух функций F(0, <р) и Л (6, ф) в сферических коорди-
натах и1 = р cos 6 sin ф, и2 = р sin 6 sin ф, и3 = р cos ф на Sp,
нужно продолжить эти функции на некоторую окрестность сфе-
ры Sp, положив, например, Е(р, 6, ф) — г (6, ф), Н(р, 6, ф) =
= Л(0, ф), вычислить скобку Ли — Пуассона (F, И} и затем
ограничить ее на S2. Однако в соответствии с (6.10) (F, R } =
= {6> ф) (ЁеЯф — -ЁфДе), поэтому на самом деле нам нужно лишь
вычислить скобку Ли — Пуассона сферических углов 0, ф:
{0, ф) = —и • (Vu0 X Уиф) = — 1/р sin ф.
Значит, индуцированная скобка Пуассона на cz ёо (3)*
имеет вид
fp т . -1 (д? дН dF дн
' ’ J р sin ф \ <Э6 <Эф <Эф <Э6 J ’
Таким образом, если N cz М — пуассоново подмногообразие,
то любое гамильтоново векторное поле vh на М всюду касается
W и поэтому естественно ограничивается до гамильтонова век-
торного поля V# на N, где R = H\N — ограничение функции Н
на N, и для вычисления v# мы пользуемся индуцированной
пуассоновой структурой на N. Если нас интересуют только ре-
шения гамильтоновой системы, отвечающей функции Н на М,
с начальными условиями хо s N, мы можем без потери инфор-
мации ограничиться изучением гамильтоновой системы, соответ-
ствующей функции R на N, понизив тем самым порядок систе-
мы. В частности, при нахождении частных решений данной га-
мильтоновой системы мы можем ограничить ее на минимальное
пуассоново подмногообразие в М, на котором лежат начальные
данные. Ввиду следующей теоремы эти подмногообразия всегда
6.2. Симплектнческие структуры и слоения
489
оказываются симплектическими, так что всякую гамильтонову
систему можно свести к системе с симплектической скобкой
Пуассона.
Теорема 6.21. Пусть М — пуассоново многообразие. Система
гамильтоновых векторных полей 36 на М интегрируема (т. е. че-
рез каждую точку х е М проходит интегральное подмногообра-
зие N системы 36, для которого TN\y = 36\y в любой точке
y^N). Всякое интегральное подмногообразие является сим-
плектическим подмногообразием в М, и в совокупности эти под-
многообразия определяют симплектическое слоение пуассонова
многообразия М. Кроме того, если Н: М ->• R — произвольный
гамильтониан и x(t) = exp(/vw)xo— произвольное решение со-
ответствующей гамильтоновой системы с начальными условиями
хо^ N, то x(t) остается в одном и том же интегральном подмно-
гообразии JV: x(t) N для всех t.
Доказательство. Теорема является прямым следствием при-
надлежащего Херману бесконечномерного обобщения теоремы
Фробениуса 1.41. Инволютивность системы 36 следует из того,
что скобка Ли двух гамильтоновых векторных полей снова яв-
ляется гамильтоновым векторным полем, см. (6.8). Инвариант-
ность ранга системы 36 обеспечивается следствием 6.17. □
Таким образом, всякое пуассоново многообразие естественно
расщепляется на четномерные симплектнческие подмногообра-
зия— слои симплектического слоения. Размерность любого та-
кого слоя N равна рангу пуассоновой структуры в произвольной
точке у е N. Поэтому, если ранг многообразия М не постоянен,
размерность симплектических слоев будет различной. В случае
so(3)*, например, слоями являются в точности сферы S? с цен-
тром в начале координат, а также особая точка и =0. Всякая га-
мильтонова система на М естественно ограничивается на любой
симплектический слой. Если нас интересует только динамика
частных решений, мы можем ограничить внимание единствен-
ным симплектическим подмногообразием, на котором это реше-
ние лежит. Например, решения уравнений движения твердого
тела (6.18) естественно располагаются на сферах |н| = р.
Теорема Дарбу
Если ограничиться рассмотрением областей, на которых ранг
пуассоновой структуры постоянен (в частности, это так на откры-
том подмногообразии, на котором этот ранг достигает максимума),
490
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
геометрическая картина симплектического слоения значительно
упрощается. В действительности можно, как и в теореме Фробе-
ниуса 1.43 для случая постоянного ранга, ввести специальные
локальные координаты, в которых слоение принимает особенно
простой, канонический вид. В этом и состоит теорема Дарбу.
Теорема 6.22. Пусть М — произвольное пг-мерное пуассоново
многообразие всюду постоянного ранга 2п пг. В каждой точке
х0 е М существуют канонические локальные координаты
(р, q, z) = (р1, ..., рп, ql, ..., qn, zl, zl), 2n + I = m,
в которых скобка Пуассона записывается в виде
(f dF дНУ
* ’ П) L\dqi др1 ’ др1 dqi)'
Слои симплектического слоения пересекают координатные кар-
ты по плоскостям {z1 — Ci, .... zl = а}, определяемым отме-
ченными координатами г.
Доказательство. Если ранг пуассоновой структуры всюду ра-
вен 0, то доказывать нечего. Действительно, скобка Пуассона
тривиальна: {F, Н} = 0 для всех F, Н, и любой набор локаль-
ных координат z = (z1, ..., zz), I = m, удовлетворяет условиям
теоремы. В противном случае будем действовать индукцией по
«полурангу» п.
Так как ранг в точке х0 отличен от нуля, мы можем найти
такие вещественнозначные функции F и Р на М, скобка Пуас-
сона которых отлична от нуля в точке х0:
{F, Р) (х0) = Vp (F) (хо)=/=О.
В частности, уР |Хо =/= 0, и с помощью предложения 1.29 мы мо-
жем выпрямить поле vp в некоторой окрестности U точки х0 и,
таким образом, найти функцию Q(x), для которой
vP(Q) = {Q, Р} = 1
при всех х U. (В обозначениях предложения 1.29 Q — это
координата у1.) Поскольку {Q, Р}— константа, из (6.8) и (6.13)
следует, что
[Vp> Vq] = V{Q. р, = 0
для всех xef7. С другой стороны, Vq(Q) = {Q, Q} =0, и по-
этому Vp и Vq образуют коммутирующую линейно независимую
пару векторных полей на U. Теорема Фробениуса 1.43 позво-
6.2. Симплектические структуры и слоения 491
ляет нам дополнить пару функций р = Р (х), q = Q (х) до
системы локальных координат (р, q,y3, ут) в некоторой,
возможно меньшей, окрестности С е U точки хо, где vp = dq,
vq——др. Ввиду скобочных соотношений {р, ?}=1, {р, у‘} =
= 0 = {у, у‘}, i — 3, ..., пг, структурная матрица принимает
вид
/ ° 1 ° \
Цр, У, Jf) = l —10 О I,
X 0 0 7(р, q, y)j
где элементы матрицы J равны J4 — {у1, у'}, i, j — 3.....т.
Докажем, наконец, что матрица J в действительности не зави-
сит от р и у и, следовательно, задает структурную матрицу для
скобки Пуассона в переменных у, ранг которой на две единицы
меньше ранга матрицы J, что и дает шаг индукции. Для доказа-
тельства этого воспользуемся просто тождеством Якоби и пре-
дыдущими скобочными соотношениями; например,
= р} = {{р\ у'}, р} = о,
и аналогичное соотношение выполняется для р. □
Пример 6.23. Вычислим канонические координаты для скоб-
ки Ли — Пуассона на зо(3)*. Из доказательства теоремы Дарбу
ясно, что нам достаточно найти функции Р(и), Q(u), скобка
Пуассона которых тождественно равна 1. Здесь функция z = и3
порождает векторное поле вращения V3 = w2c?i — tdd2, которое
можно выпрямить с помощью полярного угла 0 = arctg(«2/u‘)
при (и1, ы2)=/=(0,0). Имеем {0, z}=va(0) =—1, и поэтому
0 и z образуют каноническую систему координат на симплекти-
ческих сферах S2 = {| и | = р}. Действительно, простое вычисле-
ние показывает, что если мы перепишем функции F(u) и Н(и)
в координатах 0, z и р, скобка Ли — Пуассона будет записы-
ваться просто в виде {F, Н} — FZH$ — F$HZ. Другими словами,
несмотря на то что симплектические слои в so(3)* являются сфе-
рами, канонические координаты оказываются цилиндрическими!
Коприсоединенное представление
Индуцированное симплектическое слоение для скобки Ли —
Пуассона на двойственном пространстве й* к алгебре Ли имеет
особенно замечательную интерпретацию в терминах представле-
ния, двойственного к присоединенному представлению группы
Ли G на алгебре Ли й- (См. § 3.3.)
492
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
Определение 6.24. Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли й-
Коприсоединенным действием элемента группы g е G назы-
вается линейное отображение Ad*g: двойственного про-
странства, удовлетворяющее условию
(Ad*g(co): w) = (<o; Adg~'(w)) (6.23)
для всех ws g*, wg g. Здесь ( ; ) — естественное спаривание
между g и fl*, a Adg — присоединенное действие g на й-
Если отождествить касательное пространство Гй*!®, соей*,
с самим пространством й* (и провести аналогичное отождествле-
ние для й)> то можно получить инфинитезимальные образующие
коприсоединенного действия дифференцированием равенства
(6.23):
(ad‘v|o; w)= — (со; adv|w) = (co; [v, w]) (6.24)
для v, w e й, и e й* (ср. (3.21)).
Коприсоединенное действие и скобка Ли — Пуассона связа-
ны следующим фундаментальным утверждением.
Теорема 6.25. Пусть G — связная группа Ли с коприсоеди-
ненным представлением KA*G на й*. Тогда орбиты представле-
ния Ad*G в точности совпадают со слоями симплектического
слоения, индуцированного скобкой Ли — Пуассона на й*. Кроме
того, для каждого элемента g £ G коприсоединенное отображе-
ние Ad*g является пуассоновым и сохраняет слои этого слоения.
Доказательство. Рассмотрим для элемента vg й линейную
функцию Н (св) — Hv (со) — (со, v) на й*- Заметим, что для эле-
мента со е й* градиент V//(co), рассматриваемый как элемент
пространства Т*$* | и ~ й, совпадает с самим элементом v. Ис-
пользуя инвариантное определение (6.17) скобки Ли — Пуас-
сона, получаем
v„(F)(co) = {F, Н} (со) = (со; [VF(co), V7/(co)]> =
= (со; [V/7 (со), v]) = (co, ad v (VK (со))) =
= — (ad* v (со); VF(co))
для любой функции F: С другой стороны, поле
Vw(F)(co) = <Vwla; VF (<в))
однозначно определено своим действием на всех таких функ-
циях. Мы заключаем, что гамильтоново векторное поле, зада-
ваемое линейной функцией Н = Hv, совпадает с точностью до
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
493
знака с инфинитезимальной образующей коприсоединенного
представления, определенной вектором veg: vu = —ad*v. Та-
ким образом, соответствующие однопараметрические группы
удовлетворяют условию
exp(/vH) = Ad* [ехр (—t v)].
Предложение 6.16 и обычные соображения связности показы-
вают, что Ad*g является пуассоновым отображением для каж-
дого g Е 6.
Кроме того, подпространство Ж| ю, <о (= $*, порождено га-
мильтоновыми векторными полями Ун, соответствующими всем
таким линейным функциям Н = Hv, veg; следовательно,
Ж|а — ad*g|a совпадает с пространством, порожденным соот-
ветствующими инфинитезимальными образующими ad*v|a. Так
как ad*g|a в точности является касательным пространством к
орбите коприсоединенного представления группы G, проходящей
через точку ы, то ввиду связности этой орбиты мы немедленно
заключаем, что она совпадает с соответствующим интегральным
подмногообразием системы Ж □
Следствие 6.26. Орбиты коприсоединенного представления
группы G являются четномерными подмногообразиями в д*.
Пример 6.27. Для группы вращений SO(3) орбитами копри-
соединенного представления являются сферы 5р<=ёо(3)*, опре-
деленные в примере 6.20. Действительно, согласно примеру 3.9,
присоединенное действие матрицы вращения 7?eSO(3) на ал-
гебре Ли 00(3) ~R3 совпадает с самим вращением R в стан-
дартном базисе: Ad/?(v) = Ry, уея(З). Таким образом, пред-
ставляющая матрица коприсоединенного действия Ad*7? элемен-
та R на (3)* в соответствующем двойственном базисе на
60(3)* ~ R3 имеет вид Ad*/? = (/?-1)г = R, и поэтому коприсо-
единенное представление группы SO(3) совпадает с ее обыч-
ным действием на R3 при указанных отождествлениях. В част-
ности, орбиты коприсоединенного действия в точности совпа-
дают со сферами S3, р^О.
6.3. СИММЕТРИИ, ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Теорема Нётер описывает связь между однопараметрически-
ми группами вариационных симметрий системы обыкновенных
дифференциальных уравнений в лагранжевой форме, т. е. урав-
нений Эйлера — Лагранжа для некоторой вариационной задачи,
494
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
и законами сохранения, или первыми интегралами. Кроме того,
знание такого первого интеграла позволяет нам понизить поря-
док системы на две единицы в случае однопараметрической
группы симметрий; поэтому для полного интегрирования в квад-
ратурах нам достаточно найти вдвое меньшее, чем порядок си-
стемы, число симметрий. Все эти утверждения переносятся на
гамильтонову ситуацию и на самом деле предстают в гораздо
более естественном геометрическом обрамлении, чем наши пер-
воначальные результаты в лагранжевом случае. В этом пара-
графе мы обсуждаем общую теорию симметрий и редукций для
конечномерных гамильтоновых систем.
Первые интегралы
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений в гамильтоновой форме
^- = j(x)v//(x, 0, (6.25)
где Н(х, t) — гамильтониан, а 7(х)— структурная матрица, за-
дающая скобку Пуассона. В этом случае первые интегралы
легко описываются с помощью скобки Пуассона.
Предложение 6.28. Функция Р(х, t) является первым интег-
ралом гамильтоновой системы (6.25), если и только если
^- + {Р, Щ = 0 (6.26)
для всех х, I. В частности, не зависящая от времени функция
Р(х) является первым интегралом в том и только в том случае,
если {Р, Н} = 0 всюду.
Доказательство. Пусть \’н — гамильтоново векторное поле,
задающее уравнение (6.25). Тогда ввиду (1.17) для любого ре-
шения х(<) уравнений Гамильтона
~{P(x(t), t)} = ^-(x(t), 0 + vH(P)(x(/), t).
Таким образом, dP/dt — 0 вдоль решений в том и только в том
случае, если равенство (6.26) выполняется всюду. □
Вид уравнения (6.26) позволяет сразу выписать некоторые
первые интегралы.
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка 495
Следствие 6.29. Если гамильтониан Н(х) гамильтоновой си-
стемы xt = J\jH не зависит от времени, то он сам автоматиче-
ски является первым интегралом.
Следствие 6.30. Любая отмеченная относительно скобки Пу-
ассона, заданной матрицей J, функция С(х) является первым
интегралом гамильтоновой системы xt = J \Н.
Первые интегралы, задаваемые отмеченными функциями,
проистекают из вырожденности самой скобки Пуассона и не
имеют отношения к внутренним свойствам симметрии конкрет-
ной исследуемой гамильтоновой системы. Если скобка Пуассона
симплектична, то отмеченными являются только константы и
следствие 6.30 не дает никакой новой информации. Общие по-
верхности уровня отмеченных функций для пуассоновой струк-
туры постоянного ранга являются слоями симплектического
слоения; поэтому следствие 6.30 просто повторяет теорему 6.21
о том, что любое решение целиком лежит в одном симплекти-
ческом слое.
Гамильтоновы группы симметрий
Первые интегралы систем уравнений Эйлера —Лагранжа
определяются группами вариационных симметрий; для га-
мильтоновых систем ту же роль играют однопараметрические
гамильтоновы группы симметрий, инфинитезимальными об-
разующими которых (в эволюционной форме) являются гамиль-
тоновы векторные поля. Прежде всего легко показать, что вся-
кий первый интеграл приводит к такой группе сим-
метрий.
Предложение 6.31. Пусть Р(х, t) —первый интеграл гамиль-
тоновой системы. Тогда гамильтоново векторное поле vp с га-
мильтонианом Р порождает однопараметрическую группу сим-
метрий этой системы.
Доказательство. Заметим сначала, что, так как структурная
матрица 7 (х) не зависит от t, гамильтоново векторное поле с
гамильтонианом dP/dt есть dvP/dt — производная по t поля с
гамильтонианом Р. Таким образом, гамильтоново векторное
поле, построенное по сумме dP/dt -f- {Р, Н}, входящей в равен-
ство (6.26), с учетом (6.8) имеет вид
5vP/^ + [vff, vp].
496
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
Если Р — первый интеграл системы, это векторное поле обра-
щается в нуль, а это и есть условие (5.26) того, что v₽ порож-
дает группу симметрий. □
В частности, если функция Н(х) не зависит от времени, свя-
занная с ней группа симметрий порождена полем vh и совпа-
дает с группой сдвигов по времени, порожденной образующей
д{, что отражает автономность гамильтоновой системы. Симмет-
рия, отвечающая отмеченной функции С(х), тривиальна: vc^O.
Пример 6.32. Рассмотрим уравнения гармонического осцил-
лятора pt = —q, qt = р, образующие гамильтонову систему на
плоскости М = R2 с канонической скобкой Пуассона. Гамильто-
ниан H(q, р) = (1/2) (р2 + ?2), таким образом, является пер-
вым интегралом. Это отражает тот факт, что движение проис-
ходит по окружностям р2 + q2 = const.
Не всякая гамильтонова группа симметрий непосредствен-
но соответствует первому интегралу. Например, векторное поле
w = —(р2 q2)~x(pdp + qdq) на многообразии М=М\[(р, 0):
р 0} порождает группу симметрий. Более того, поле w = vp
гамильтоново с гамильтонианом Р(р, q) = arctg{q/p). Но Р не
является первым интегралом; на самом деле для решения (p(t),
q(t)) системы P(p(t), </(£))= ?4-Оо —линейная функция от t.
В этом и в более общем случае проблема состоит в том, что
между гамильтоновыми векторными полями и соответствующими
им гамильтонианами нет взаимно однозначного соответствия. На-
пример, функция Р(р, q, t) = arctg (7/р)—t, которая является
первым интегралом для осциллятора, имеет то же гамильтоново
векторное поле vp = w = vp что и Р. Более общо, от прибавле-
ния к данной функции Р произвольной зависящей от времени
отмеченной функции С(х, t) (т. е. при каждом фиксированном
значении t функция С является отмеченной) ее гамильтоново
векторное поле не меняется. Теперь, когда мы поняли возмож-
ность модификации функции, задающей гамильтонову группу
симметрий, мы готовы доказать предложение, обратное преды-
дущему. В этом и состоит гамильтонов вариант теоремы Нётер.
Теорема 6.33. Векторное поле w порождает гамильтонову
группу симметрий гамильтоновой системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений тогда и только тогда, когда существует
такой первый интеграл Р(х, t), что w = vP — соответствующее
гамильтоново векторное поле. Вторая функция Р(х, t) опреде-
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
497
ляет ту же самую гамильтонову симметрию в том и только в
том случае, когда Р = Р + С для некоторой зависящей от вре-
мени отмеченной функции С (х, t).
Доказательство. Второе утверждение непосредственно сле-
дует из определения 6.3 отмеченной функции, примененного к
разности Р — Р. Чтобы доказать первую часть, положим w = vp
для некоторой функции Р(х, t). Из условия симметрии (5.26)
следует, что гамильтоново векторное поле, соответствующее
функции dP/dt + (Р, И}, всюду обращается в нуль, и поэтому
данная функция должна быть зависящей от времени отмечен-
ной функцией С(х, t):
Н} = С.
i
Положим С (х, t) = С (х, т) dx; функция С
о
меченной. Кроме того, вдоль решения x(t)
тоже является от-
гамильтоиовой си-
стемы
ас
at
{-{С, Н} — С.
Легко видеть теперь, что подправленная функция Р — Р—С
имеет то же гамильтоново векторное поле vP = w и задает пер-
вый интеграл: вдоль решений dPjdt — 0. □
В частности, если скобка Пуассона симплектична, то един-
ственными зависящими от времени отмеченными функциями яв-
ляются функции C(t), зависящие только от t. В этом частном
случае теорема 6.33 утверждает, что гамильтоново векторное
поле v~ порождает группу симметрий тогда и только тогда,
когда существует функция C(t), такая, что функция Р(х, t) =
= Р(х, t)—C(t) является первым интегралом. Заметим, что,
даже когда обе функции Н (х) и Р(х) не зависят от времени,
первый интеграл Р(х, t)— Р(х) —C(t) может оказаться зави-
сящим от времени! (Именно такой случай имел место в приме-
ре 6.32.) Дальнейшие сведения об этом случае см. в упр. 6.2.
Пример 6.34. Уравнения движения п материальных точек,
попарные взаимодействия которых определяются потенциальны-
ми силами, обсуждавшиеся в примере 4.31, можно привести к
каноническому гамильтонову виду. За канонические координаты
примем положения q, = (х‘, у', г‘) и импульсы р, = (|‘, т)‘, £‘) —
498
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
= mzq,-, i=l, п. Гамильтонианом является полная энергия
Н(р, 9) = Я(р) + С7(9)=£^+
i = l Ki
где потенциал У(г) зависит только от расстояния между точка-
ми. Уравнения движения имеют вид
dt dq; ’ dt mi’ »•••>•
Некоторые геометрические группы симметрий видны непо-
средственно. Одновременный сдвиг всех масс в данном направ-
лении а = (а1, а2, а3) порожден гамильтоновым векторным
полем
п
р V дх1 ду‘ дг1)
и соответствует первому интегралу /’=Еа,Рь представляю-
i
щему собой импульс в данном направлении. Аналогичным обра-
зом, группа SO(3) одновременных вращений всех масс отно-
сительно начала координат порождает интегралы моментов ко-
личества движения. Например, момент количества движения
Q = У, (x'q* — y'l,1) относительно оси z порождает группу сим-
i
метрий
гг
* V* / i <5 i д , д i д X
=Z (* v ~s +Е и ~ ” «0
одновременных вращений относительно оси г. Помимо шести
законов сохранения импульса — трех компонент импульса и
трех компонент момента количества движения — постоянство
самого гамильтониана обеспечивает закон сохранения энергии.
Еще три первых интеграла порождены равномерным движением
центра масс, что дает еще три группы гамильтоновых симмет-
рий. Например, в направлении оси х имеем
/? = У тгх‘ — t У V = const,
i = 1 i — 1
и, следовательно, векторное поле
порождает однопараметрическую группу галилеевых преобра-
зований.
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
Понижение порядка в гамильтоновых системах
499
Понижение порядка в гамильтоновых ситемах обыкновенных
дифференциальных уравнений с помощью группы симметрий
выполняется аналогично методам § 4.3 для уравнений Эйлера—
Лагранжа, но к тому же получает при этом немедленную гео-
метрическую интерпретацию. Заметим, что, если исходная скоб-
ка Пуассона вырожденна, мы всегда можем ограничиться рас-
смотрением отдельного симплектического слоя. Таким образом,
всякая непостоянная отмеченная функция понижает порядок си-
стемы на единицу. Остальные первые интегралы, порождающие
нетривиальные группы симметрий, позволяют понизить порядок
на две единицы. Ограничимся для простоты не зависящими от
времени первыми интегралами.
Теорема 6.35. Предположим, что векторное поле vp =/= О по-
рождает гамильтонову группу симметрий гамильтоновой си-
стемы х — J^H, соответствующую не зависящему от времени
первому интегралу Р(х). Тогда существует редуцированная га-
мильтонова система, число переменных в которой меньше на
две единицы, такая, что любое решение исходной системы мо-
жет быть получено одной квадратурой из некоторого решения
редуцированной системы.
Доказательство. Доказательство такое же, как и в первом
шаге доказательства теоремы Дарбу 6.22. Введем новые пере-
менные р — Р(х), q = Q(x), у — (у1, ..., у'п-2) == У(х), вы-
прямляющие симметрию, так что v₽ = дч в координатах (р, q,y).
Структурная матрица в этих координатах принимает вид
(О 1 О'
— 1 0 а
О — ат J.
где а(р, q, у) —вектор-строка длины m — 2, а 7(р, у) —косо-
симметричная матрица размера ( пг — 2)\(пг — 2), не завися-
щая от q и для каждого фиксированного значения р являющая-
ся структурной матрицей скобки Пуассона в переменных у.
(Если координаты у = (у1, ..., ут~2) выбраны плоскими, как
и при доказательстве теоремы Дарбу, то а = 0 и матрица 7 (у)
не зависит и от р, как мы видели ранее. Однако для процедуры
редукции в этом нет необходимости, а выбор таких координат
на практике не всегда осуществим.) Доказательство предыдущих
утверждений относительно структурной матрицы проводится
аналогично «плоскому» случаю.
500
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
При любом фиксированном значении первого интеграла
р = Р(х) редуцированная система будет гамильтоновой относи-
тельно редуцированной структурной матрицы 7 (р, у). Заметим,
что в координатах (р, q, у)
О = {р, Н} = - уР (Я) = - dH/dq,
и, следовательно, функция Н = Н(р, у) также зависит только
от р и у. Поэтому уравнения Гамильтона принимают вид
# = 0, (6.27а)
т—2
— = - — + У а1 (р, у) ^7, (6.27b)
dt др ду' ' ’
. т—2
^-=У711(р, у)^, 1—1,..., т—2. (6.27с)
dt ду1
Первое равенство утверждает (как и должно быть), что р по-
стоянно. При фиксированном значении р т — 2 уравнений
(6.27с) образуют гамильтонову систему относительно структур-
ной матрицы J (р, у) с гамильтонианом Н(р, у)-, это и есть ре-
дуцированная система, о которой говорится в теореме. Наконец,
уравнение (6.27b) описывает эволюцию во времени последней
координаты q. Так как его правая часть не зависит от q, то,
зная решение редуцированной системы (6.27с), мы можем про-
интегрировать его с помощью единственной квадратуры. □
Пример 6.36. Рассмотрим на М = R4 с канонической скоб-
кой Пуассона гамильтониан вида
Н {Ру Р„ Яу Яг) = i (Pi + Рг) + V {Я1 ~ Яг\
Соответствующая гамильтонова система
(6.28)
описывает движение пары частиц единичной массы на прямой,
взаимодействие между которыми задается потенциалом Г(г),
зависящим от их взаимного расположения. Эта система, оче-
видно, инвариантна относительно сдвига v = причем
соответствующий интеграл — импульс pi + р2. Согласно теоре-
ме 6.35, мы можем понизить порядок системы на две единицы,
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
501
введя новые координаты
Р = Р1 + Р2> <7 = <7i> У = Р1, r = ql — q2,
выпрямляющие поле v = дч. В новых переменных гамильтониан
принимает вид
Н (р, у, r) = y2 — py + ±-p2 + V (г), (6.29)
а скобка Пуассона равна
<р ди, dF дН . dF дН 3F дН dF дН dF дН SF дН
* ’ * dq dy ' dr d у ' dq dp ду dq ду дг др dq
Далее, гамильтонова система расщепляется на две:
dp _dH__ n dq dH дН =
dt dq ’ dt dp ' dy У
И
dy dFl dH xtf i \ dr __________________ dH «
—%- =---л-----5— =— v (г), = 2y — p. (6.30)
dt dq dr ' dt ду я r \ r
Решение первой пары уравнений
р = a, q=^y(t)dt + b
(а и b постоянные) можно получить из решений второй пары
(6.30). Последние образуют редуцированную гамильтонову си-
стему относительно скобки Пуассона {F, Н} = FrHy — FyHr для
функций, зависящих от у и г, с энергией (6.29), если положить
р — а. Вскоре мы увидим, как можно явно проинтегрировать
двумерную систему (6.30), решив, таким образом, исходную
систему для двух частиц.
Как и в случае общего метода редукции для обыкновенных
дифференциальных уравнений, если векторное поле vp, соответ-
ствующее первому интегралу Р, оказывается слишком слож-
ным, не всегда можно явно найти выпрямляющую его замену
координат, и поэтому редукцию нельзя завершить. (Конечно,
если Р является первым интегралом, то понижение порядка на
единицу возможно всегда.) Если, например, гамильтониан Н(х)
не зависит от времени, то он дает первый интеграл, однако за-
дача выпрямления соответствующего векторного поля Ун совпа-
дает с задачей решения самой гамильтоновой системы! В этом
частном случае, однако, ввиду того, что поле Ун эквивалентно
образующей dt симметрии сдвига по времени, мы можем пони-
зить порядок системы на две единицы, если нас устраивает
переход к зависящему от времени гамильтониану.
502
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
Предложение 6.37. Пусть x = J — гамильтонова система,
в которой Н(х) не зависит от t. Тогда существует редуцирован-
ная зависящая от времени гамильтонова система, число пере-
менных в которой на две единицы меньше, такая, что решения
исходной системы можно получить из решений редуцированной
системы с помощью квадратур.
Доказательство. Само по себе понижение порядка на две
единицы получается легко. Во-первых, ввиду постоянства га-
мильтониана Н мы можем перейти на поверхность уровня
Н (х) = с, понизив при этом порядок на единицу. Далее, полу-
чившаяся система остается автономной, и поэтому ее порядок
снова можно понизить, используя метод примера 2.67. Пробле-
ма в том, что при неаккуратном выборе координат гамильтоно-
вость полученной такой редукцией системы оказывается неоче-
видной.
Легче всего начать с введения координат (р, q, у), исполь-
зовавшихся при доказательстве теоремы Дарбу 6.22, в которых
исходная система принимает вид
т~ 2
= Л!.= V /«и®, , = 1............т_2.
dt dq dt др dt dyt
Предположим, что дН/др =# 0, так что мы можем найти локаль-
ное решение уравнения w — H(p,q,y) относительно р: р —
= K(w,q,y). (Если дН/др = 0 всюду, то q является первым
интегралом, и применима предыдущая процедура редукции!)
Приняв t, w и у за новые зависимые переменные, a q за новую
независимую переменную, перепишем систему в виде
dt 1 _ дК dw п (п ч
dq ~ дН/др dw ’ dq ~U’ (О.й1а)
т—2 т—2
^-= X X (6-31b)
dq дН/др ду1
Система (6.31b) является гамильтоновой относительно струк-
турной матрицы / (у) и гамильтониана K(w,q,y). Решив при
данном фиксированном значении w систему (6.31b), мы можем
из уравнения (6.31а) найти оставшуюся переменную t(q) с по-
мощью единственной квадратуры. Этим завершается доказа-
тельство. □
Пример 6.38. Мы можем использовать этот метод для явного
интегрирования автономной гамильтоновой системы
qt — дН/др, Pt = ~ dHjdq
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
503
на плоскости. Выразим сначала из уравнения w = H(p,q) одну
из координат, скажем р, через q и w, причем w является кон-
стантой. При этом первое уравнение остается автономным
уравнением относительно q, и его можно решить с помощью
квадратуры. Например, для простого маятника H(p,q) =
= (1/2)р2-|-(1—cos q), поэтому на кривой уровня Я = со-)-1,
р — V2 (со + cos q). Оставшееся уравнение
dqfdt = р = д/2 (со + cos q)
разрешимо с помощью эллиптических функций Якоби
q(t) = 2 sin-1 {sn(/j-1 (/+ 6), k)},
где модуль функции sn равен k = -у/2/(а + 1).
Аналогично, для системы двух точек на прямой из примера
6.36, полагая И (у, г)= со + (1/4)р2, находим
c/ = yP±V«> — V(r),
откуда решение восстанавливается простым интегрированием
уравнения
^р = 2у — р = ±2 д/со —1/(г).
Пример 6.39. Рассмотрим уравнения движения твердого тела
(6.18), представленные в виде гамильтоновой системы на <зо(3)*.
Отмеченная функция С(и) — |и|2 естественно понижает поря-
док системы на единицу при ограничении на ее поверхность
уровня (орбиту коприсоединенного представления). Если не все
моменты инерции Л, /2, /3 равны между собой, то сам гамиль-
тониан дает еще один независимый первый интеграл. Отсюда
заключаем, что интегральные кривые данного гамильтонова век-
торного поля даются пересечением сферы {С(ц) = |ц|2 = с}
и эллипсоида {Н(и) = со}, образующим общее множество уровня
этих двух первых интегралов. Явные решения можно получить,
исключив две из переменных, скажем и2 и и3, из пары уравне-
ний С (и)—с, Н(и) = ы. Оставшееся уравнение относительно
их = у является по предложению 6.37 автономным, и поэтому
его можно проинтегрировать. Оказывается, оно имеет вид
•^-=V«(₽2—У2)(№ —i/2).
и, значит, решения выражаются через эллиптические функции.
Явную формулу и ее геометрическую интерпретацию можно
найти в книге Whittakez [1, гл. 6].
504
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
Редукция с помощью многопараметрических групп
Как мы уже видели, в случае уравнений Эйлера — Лагранжа
(ср. упр. 4.11) гамильтонова система, допускающая г-парамет-
рическую группу симметрий, не всегда допускает понижение
порядка на 2г единиц, даже если эта группа разрешима. В га-
мильтоновом случае, однако, можно вычислить степень пони-
жения порядка, которой удается достичь. Интересно, что этот
вопрос тесно связан со структурой коприсоединенного действия
группы симметрий на своей алгебре Ли. Начнем с рассмотрения
примера.
Пример 6.40. Рассмотрим на многообразии М — R4 с кано-
ническими координатами (р, р, q, q) гамильтониан вида Н (р,
ре$, t), Уравнения Гамильтона имеют вид
£=»• 4L=-peW„ > = (6.32)
где г = ре$— второй аргумент функции Н. Эти уравнения до-
пускают двупараметрическую группу симметрий, порожденную
векторными полями
v = dq, w = — рдр + qdq + дц,
соответствующими двум первым интегралам Р = р, Q = pq -j-
+- р. Несмотря на это, в общей точке мы можем понизить по-
рядок системы (6.32) лишь на две единицы! На самом деле эту
редукцию можно провести четырьмя различными способами,
и мы рассмотрим их по очереди.
(1) Проще всего непосредственно использовать два первых
интеграла и ограничить систему на общую поверхность уровня.
Пусть s = pq -j- р, так что s и р — постоянные. Рассматривая
р, р, г, s как новые переменные (это возможно, если р=#0),
запишем редуцированную систему в виде
4 = гН„, (6.33)
который является гамильтоновым относительно редуцированной
скобки Пуассона {F,H} = r(FrHp— FpHr). Однако система
(6.33) не сохраняет свойств инвариантности системы (6.32) от-
носительно полей v и w; поэтому, если не накладывать специ-
альных условий на функцию H{p,r,t) (скажем, независимость
от времени), дальнейшее понижение порядка невозможно.
(2) Другой способ: мы можем использовать процедуру ре-
дукции из теоремы 6.35 по отношению к гамильтоновой симмет-
рии V. Координаты уже имеют подходящий вид, если положить
q — (p,q). Фиксируя р, видим, что после решения третьего
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
505
и четвертого уравнений в (6.32) относительно р и q мы можем
определить q с помощью квадратуры. Редуцированная система
относительно р и q является канонической гамильтоновой си-
стемой, но вторая группа гамильтоновых симметрий исходной
системы не дает ни симметрии, ни первого интеграла. Вновь по-
рядок можно понизить только на две единицы.
(3) Редукция с помощью группы симметрий, порожденной
полем w, приводит к аналогичным выводам. Подходящие пло-
ские координаты имеют вид s = pq + р, q, г = ре$ nz = qe~^;
в этих координатах w = dg, H — H(s — rz, r,t)= H(r, s,z,t).
Система принимает вид
^ = 0, = ^Т=-Нг, ^-=Hr. (6.34)
dt ’ dt s’ dt z’ dt r ' '
При фиксированном s третье и четвертое уравнения образуют
гамильтонову систему, решения которой позволяют вычислить
q посредством квадратуры. Вновь не имеется ни симметрии, ни
первого интеграла, отражающих инвариантность исходной си-
стемы относительно поля v.
(4) Мы можем, наконец, полностью игнорировать гамильто-
нову структуру системы (6.32) и понижать порядок с помощью
процедуры § 2.5. Заметив, что [v, w] = v, понизим порядок сна-
чала с помощью v, это просто. А именно, зная решение пер-
вого, третьего и четвертого уравнений в (6.32), мы можем опре-
делить q(t) посредством квадратуры. Полученная система
третьего порядка сохраняет инвариантность относительно реду-
цированного векторного поля w = — рдр-\-д^. Положим г —
= реч и примем за переменные г, р, q. Полученный результат
совпадает с системой (6.33), и q (а таким образом и q) могут
быть определены посредством квадратуры. Как и в случае (2),
дальнейшая редукция, вообще говоря, невозможна!
Наконец, отметим, что при некоторых начальных условиях,
скажем р = 0, решение можно выписать посредством одних
квадратур. Таким образом, степень возможной редукции, ока-
зывается, зависит как от структуры группы симметрий, так и от
начальных условий, при которых мы ищем решение.
Гамильтонова группа преобразований
В дальнейшем рассматриваемая группа симметрий будет
предполагаться гамильтоновой в следующем строгом смысле.
Определение 6.41. Пусть М — пуассоново многообразие.
Пусть G — группа Ли со структурными константами с г), i, j,
k = 1....г, в некотором базисе ее алгебры Ли g. Функции
506
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
Pi, , Рг: М R порождают гамильтоново действие группы
G на М, если их скобки Пуассона удовлетворяют соотношениям
('*<• р,}=-Дс?л. './=i.........'
К— 1
Заметим, что благодаря условиям (6.8) соответствующие га-
мильтоновы векторные поля Vj = vPi удовлетворяют тем же
(с точностью до знака) коммутационным соотношениям
Г
[Vp v,] = E c*vft
Й=1
и поэтому по теореме 1.57 задают локальное действие группы
G на М. Мы будем говорить, что G является гамильтоновой
группой симметрий для данной гамильтоновой системы на М,
если каждая из ее порождающих функций Pt является первым
интегралом: {Pi,H} =0, i = 1, ..., г, откуда следует, что каж-
дое векторное поле V,- порождает однопараметрическую группу
симметрий.
Как мы видели в § 2.5 и упр. 3.12, любая система диффе-
ренциальных уравнений первого порядка на многообразии М,
допускающая регулярную группу симметрий G, сводится к си-
стеме первого порядка на фактормногообразии М/G. (Конеч-
но, если группа G неразрешима, мы не сможем восстановить
решения исходной системы по решениям приведенной системы
с помощью квадратур, но в данный момент нас это не интере-
сует.) В случае когда многообразие М пуассоново, a G является
гамильтоновой группой преобразований, фактормногообразие
естественным образом наследует пуассонову структуру, относи-
тельно которой редуцированная система оказывается гамильто-
новой. Кроме того, степень вырожденности скобки Пуассона
на М/G будет определять, насколько мы можем понизить по-
рядок системы с помощью отмеченных функций на факторпро-
странстве.
Теорема 6.42. Пусть G — гамильтонова группа преобразова-
ний, регулярно действующая на пуассоновом многообразии М.
Тогда фактормногообразие М/G наследует пуассонову струк-
туру, что для любой пары функций F, Н: Aj/G->R, соот-
ветствующих G-инвариантным функциям F, Н: M->-R, их скоб-
ка Пуассона {F, Н}М10 соответствует G-инвариантной функции
{Р,Щ м. Кроме того, если G — гамильтонова группа симметрий
гамильтоновой системы на М, то существует редуцированная
гамильтонова система на М/G, решения которой являются про-
екциями решений исходной системы на М.
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
507
Доказательство. Прежде всего заметим, что скобка Пуас-
сона {F, Н} двух G-инвариантных функций является G-инва-
риантной функцией; это непосредственно следует из тождества
Якоби и связности группы G. Действительно, для i = 1, ..., г
vt({F, H}) = {{F, Н}, Pi} = ({F, Р{}, Н} + {F, {Н, PJ} = 0,
так как F и Н инвариантны, что и доказывает выполнение усло-
вия инфинитезимальной инвариантности (2.1). Таким образом,
скобка Пуассона корректно определена на М/G; проверка усло-
вий определения 6.1 тривиальна.
Пусть теперь G является гамильтоновой группой симметрий
гамильтониана Н: тогда Н автоматически является
G-инвариантной функцией: vi(H) = {Н, Р,} = 0, так как каж-
дая из функций Pi по предположению — первый интеграл. Пусть
fJ: — соответствующая функция на фактормногообра-
зии. Чтобы проверить, что соответствующие гамильтоновы век-
торные поля связаны между собой естественной проекцией
л: dn(yH') = Vfl, достаточно заметить, что ввиду
определения (1-24)
dn (vh) (F) ° л = vh [F ° л] = {F ° л,» Н}м
для любой функции F: M/G^-P. Но в силу определения скобки
Пуассона на М/G это выражение равно
{А ^}м/С°Я = ^(Р)оЛ,
и соответствие доказано. □
Пример 6.43. Рассмотрим евклидово пространство R6 с ка-
ноническими координатами (р, q) = (pl, р2, р3, q\ q2, q3). Функ-
ции
Р, = g2p3 — Р2 = _ plpS, p3 = plp2 _ g2pl
удовлетворяют скобочным соотношениям
{P„ P2} = P3, {P2, p3} = pb {P3, P,) = P2
и поэтому порождают гамильтоново действие группы вращений
SO(3) на R6, которое на самом деле имеет вид (р,
>(Рр,Р<7), l?eSO(3). Это действие регулярно на открытом
подмножестве М = {(р, q): р, q линейно независимы}, его ор-
биты трехмерны, а глобальные инварианты имеют вид
5(р, p)=4lp!2> п(р, q)=p-q, Up, <7)=4-1<712.
508
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
Таким образом, мы можем отождествить соответствующее фак-
тормногообразие с подмножеством M/Gca {(х, у, z): х > 0,
z > 0, у2 < 4xz) в R3, в котором введены новые координаты
X = I, у = Ц, Z = £•
Как вычислить редуцированную скобку Пуассона на M/G7
Ввиду предложения 6.10 нам достаточно вычислить базисные
скобки Пуассона между инвариантами т], £ с помощью скобки
Пуассона на самом многообразии М, а затем выразить их че-
рез сами эти инварианты. Например, из равенства
3 3
\ dq1 др1 др dq‘)
получаем {х, y}M/G = — 2х. Аналогично, скобочные соотношения
{I, £} = —г), {т), £} = —2£ на М приводят к структурным функ-
циям {х, z}M/o = — у, {у, z}M/G = — 2z на М/G. Таким обра-
зом, структурная матрица на М/G равна
/ 0 — 2х —у \
JjG = I 2х 0 —2z I,
V у 2z 0 /
а скобка Пуассона имеет вид
(F, Н} = ~2x(FxHy -FyHx) -y(FxHz -FZHX) -2z(FyHz-FzHy).
Любая гамильтонова система на Af, для которой моменты
количества движения Pt являются первыми интегралами, сво-
дится к некоторой гамильтоновой системе на M[G. Такова, на-
пример, общая задача Кеплера о движении массы в централь-
ном поле сил с потенциалом У(г). Гамильтонианом в данном
случае является энергия Н(р, q) — (1/2) |р|2-|- К(|<?|). Для по-
лучения редуцированной системы на М/G выразим Н через
инварианты и восстановим гамильтоново векторное поле с по-
мощью данной скобки Пуассона. Редуцированный гамильтониан
примет вид Н (х, у, z) = x-j-V(z), где V (z) = V (V2z), а реду-
цированная система имеет вид
xt = — yV'(z), yt = 2x — 2zV' (z), zt = y. (6.35)
(Возможно, читатель получит удовольствие, выведя эти урав-
нения непосредственно из уравнений Гамильтона на М.)
Многообразие М/G трехмерно, поэтому на нем существует
по крайней мере одна отмеченная функция. Легко видеть, что
это функция С (х, у, z) = 4xz — у2, инвариантная относительно
любой гамильтоновой системы на M[G. (В исходных перемен-
ных С = |рХ ?|2 ) Гиперболоиды 4xz — у2 — k2, будучи поверх-
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
509
ностями уровня функции С, являются слоями симплектического
слоения, и мы можем ограничить систему (6.35) на любой та-
кой слой. Окончательно редуцированная система записывается
в координатах (х, г) в виде
xt= — -у/4xz — k2 V' (2), zf = V4xz — k2 (6.36)
и является гамильтоновой относительно индуцированной скоб-
ки Пуассона {F, Н} ——-у/4x2 — k2 (FХНг — FZHX) на гипербо-
лоиде. Эту последнюю двумерную систему можно решить ме-
тодом предложения 6.37, и поэтому редуцированная система
(6.35) разрешима в квадратурах. Однако на этом этапе мы не
можем использовать данное решение для интегрирования исход-
ной задачи о притяжении к центру, так как группа SO(3) не
разрешима. Но, как мы вскоре увидим, эту трудность можно
обойти с помощью иного подхода к процедуре редукции.
Отображение момента
Приведенный выше подход к задаче редукции, несмотря на
обращение к геометрии, сохраняет необходимость в вычислениях.
Проблема в том, что мы сосредотачиваемся на более сложном
аспекте гамильтоновой группы симметрий, а именно рассматри-
ваем ее как группу преобразований и забываем про имеющиеся
первые интегралы до тех пор, пока не окончена редукция по
симметрии. Здесь они проявляют себя как отмеченные функ-
ции. Логичнее было бы сначала ограничить систему на их об-
щее множество уровня, а затем завершить редукцию с помощью
остаточной симметрии полученной системы. Оказывается, что
эта процедура эквивалентна приведенной выше, но мы сохра-
няем больше шансов на восстановление решения исходной си-
стемы посредством одних квадратур.
На первом шаге следует придать первым интегралам, до-
ставляемым гамильтоновой группой симметрий, более естествен-
ную структуру. Здесь и появляется алгебра, двойственная
к алгебре Ли симметрий, и, следовательно, коприсоединенное
действие.
Определение 6.44. Пусть G — гамильтонова группа преобра-
зований, действующая на пуассоновом многообразии М, по-
рожденная вещественнозначными функциями Рь ..., РГ. Ото-
бражение момента для группы G— это гладкое отображение
Р; задаваемое формулой
p(x)=£pz(xK,
г-1
510
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
где {а>1...сог} — базис в д*, двойственный к базису {vi, ...
..., vrJ в g, относительно которого вычислены структурные
константы с*..
Ключевое свойство, которое объясняет, почему мы требуем,
чтобы отображение момента принимало значения в д*, — это его
инвариантность (или, точнее, «эквивариантность») относительно
коприсоединенного представления группы G на д*.
Предложение 6.45. Пусть Р: Л1->д*— отображение момента,
определенное гамильтоновым действием группы G на пуассоно-
вом многообразии М. Тогда
Р(ё-х) = А^ё(Р(х)) (6.37)
для всех х^М, g^G.
Доказательство. Как обычно, достаточно проверить справед-
ливость инфинитезимальной формы этого равенства:
dP L) = ad’ V,- |P w, x<=M, (6.38)
для любой образующей V/ eg, j = 1, ..., г, группы G. Отожде-
ствив Tg’lp^j с самим пространством g*, получаем
dP (▼/ D = £ V/ (PJ “i= § {Pi' Pf} W ~ £. ctipk W “r
l — l I- 1 I» ft—I
cp. (1.24), (6.4). Ввиду равенства (6.24) это выражение совпа-
дает с правой частью равенства (6.38).
Чтобы доказать равенство (6.37), заметим, что, дифферен-
цируя по е равенство g = exp(ev/), получаем равенство (6.38)
в точке х = ехр (ev;) х. Так как оно выполняется при всех х,
обычные соображения связности доказывают справедливость
равенства (6.37) в целом. □
Пример 6.46. Рассмотрим гамильтоново действие группы
SO(3) на R6, описанное в примере 6.43. Отображение момента
имеет вид
Р (р, у) = (?2Р3 — (fp1) ©! + ((fa1 — 9*Р3) <02 + (?*Р2 — ®3.
где {mi, (й2, ®з} — базис в пространстве so(3)* из примера 6.9.
Заметим, что при отождествлении so(3)* с R3 функция Р(р, q) =
= <7 X р совпадает с векторным произведением векторов в R3.
В этом случае SO(3) действует на so(3)* вращениями, и экви-
вариантность отображения момента есть просто переформули-
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
511
ровка инвариантности векторного произведения относительно
вращений: R(qX p) = (Rq)X(Rp) для ft е SO (3).
Далее, всякая гамильтонова система с гамильтоновой груп-
пой симметрий G, как отмечалось раньше, естественно ограни-
чивается до системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний на общем множестве уровня {Pt (х) = с,} данных первых
интегралов. Заметим, что эти общие множества уровня суть
просто множества уровня отображения момента, которые мы
будем обозначать через — {х: Р(х) = а}, где а=£с£со£е
е д*. Кроме того, приведенная система автоматически сохра-
няет инвариантность относительно остаточной группы сим-
метрий
Ga = {g<=G: £ • cz ^а},
состоящей из элементов, сохраняющих выбранное множество
уровня. Вот простое описание этой остаточной группы.
Предложение 6.47. Пусть Р: Л-1—>-д*— отображение момента,
ассоциированное с гамильтоновым действием некоторой груп-
пы. Тогда остаточная группа симметрий множества уровня
= {Р (х) = а} совпадает с подгруппой изотропии элемента
а <= д*:
Ga = {g^G: Ad*g(a) = a}.
Кроме того, если элемент g е G переводит некоторую точку
хе^а е точку g-x^ff’a, то g лежит в Ga и обладает этим
свойством для всех х е
Доказательство. По определению g е Ga тогда и только
тогда, когда P(g-x)= а, если Р(х)= а. Но ввиду эквивариант-
ности Р
a = Р (£ •х) = Ad* g(P (х)) = Ad* g (a),
и поэтому g лежит в подгруппе изотропии элемента а. Второе
утверждение легко следует из этого равенства. □
Заметим, что остаточная алгебра Ли, соответствующая груп-
пе Ga, совпадает с подалгеброй изотропии ga={veg:
ad*v|a = 0}, которую можно непосредственно вычислить.
В частности, размерность группы Ga совпадает с размерностью
ее алгебры Ли ga. Например, если группа Ли G абелева, то ее
коприсоединенное представление тривиально, Ad*g(a) = a для
всех geG, a eg*; поэтому Ga = G для каждого а. Таким об-
разом, всякая гамильтонова система, допускающая абелеву га-
мильтонову группу симметрий, остается инвариантной относи-
512
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
тельно полной группы даже после ограничения на общее мно-
жество уровня ff’a. Отсюда следует, что мы всегда можем по-
низить порядок такой системы на 2г единиц, т. е. на удвоенную
размерность группы. В качестве второго примера рассмотрим
двупараметрическую разрешимую группу из примера 6.40.
В этом случае отображение момента имеет вид
Р(Р, Р, ?) = Р®1 + (Р? + Р)ш2,
где {(01, со2} — базис в пространстве д*, двойственный к базису
{v, w} в алгебре Ли д. Коприсоединенное представление эле-
мента g = ехр (eiv + e2w) имеет вид
Ad* g (cjCDj + с2со2) = е-Е2с1со| + (гр-1 (е-®2 — 1) q + с2) со2
(с подходящими предельными значениями при ег = 0). Таким
образом, подгруппа изотропии любого элемента а — ci<oi +
+ с2со2 тривиальна, если только Cj =/= 0; в противном случае
она совпадает со всей группой G. Мы ожидаем поэтому, что
при С] #= 0 ограничение гамильтоновой системы с группой сим-
метрий G на множество уровня == {р = сь pq -|- р — с2) не
имеет остаточной группы симметрий, а при Ci=0 остаточная
группа симметрий совпадает со всей группой G. В точности это
мы и наблюдаем.
Идея состоит в том, чтобы, ограничив гамильтонову систему
на множество уровня ff’a, использовать методы § 2.5 для даль-
нейшего понижения порядка с помощью остаточной группы
симметрий Ga. При некоторых предположениях о регулярности
действия группы фактормногообразие ^a/Ga, на котором бу-
дет определена окончательно редуцированная система, можно
естественным образом отождествить с некоторым пуассоновым
многообразием в М/G. Таким образом, окончательно редуци-
рованная система сама наследует гамильтонову структуру.
В частности, если остаточная группа Ga (а не сама группа G)
разрешима, мы можем восстановить решения исходной системы
на ff’a по решениям окончательно редуцированной системы
на ^a/Ga посредством квадратур. Приведем общее утвержде-
ние.
Теорема 6.48. Пусть М — пуассоново многообразие, a G —
регулярная гамильтонова группа преобразований. Пусть а е д*.
Предположим, что ранг отображения момента Р: А4->д* мак-
симален всюду на множестве уровня SPa = Р~1 {а} и что оста-
точная группа симметрий Ga действует на подмногообразии ff'a
регулярно. Тогда существует естественное погружение <р, пре-
вращающее многообразие TTa/Ga в пуассоново подмногообразие
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
513
в М/G таким образом, что диаграмма
(6.39)
коммутативна. (Через л, и па обозначаются естественные проек-
ции, через i — погружение как подмногообразия в М.) Кро-
ме того, любая гамильтонова система на М, допускающая G
в качестве гамильтоновой группы симметрий, естественным об-
разом ограничивается до систем на других пространствах в
диаграмме (6.39), которые являются гамильтоновыми на M/G
и на ff’a./Ga и связаны соответствующими отображениями. В ча-
стности, гамильтонова система на S’a/Ga получается путем
ограничения на и последующей проекции с помощью ла-
Доказательство. Будем предполагать, что G — глобальная
группа преобразований, хотя доказательство легко переносится
и на локальный случай. Согласно диаграмме, если z = Ла(х)е
e^a/Ga, то мы должны положить qi(z) = Ji(x)eAf/G. Заме-
тим, что ла(х) = Ла(^) тогда и только тогда, когда x = g-£
для некоторого элемента g^Ga, но это означает, что л(х) =
= л(х), и поэтому отображение <р корректно определено. Ана-
логично устанавливаем, что ф взаимно однозначно, так как для
х, из л(х) = л(х) следует, что x = g-$ для некоторого
geG; ввиду предложения 6.47 geGa, и поэтому ла(х) =
= ла(^). И наконец, ф — погружение, т. е. ранг dq всюду мак-
симален, так как dq о dna = dn ° di, и по предложению 6.47
ker dna = йа = 9 Л = ker (dn ° di).
Пусть функция Н: M/G-+R соответствует G-инвариантной
функции Н: М -у R, так что по теореме 6.42 соответствующие
гамильтоновы системы связаны между собой: vg = dn. (vH^
Мы знаем также, что поле Ун всюду касается множества уровня
ff’a, и поэтому на ff’a определено редуцированное векторное поле
v, для которого Ун = di (у). Кроме того, поскольку группа G яв-
ляется группой симметрий поля Ун, группа Ga оказывается
остаточной группой симметрий поля у и на фактормногообра-
зни ^a/Ga определено векторное поле v* = dna(v). Далее, это
17 П. Олвер
514
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
векторное поле совпадает с ограничением поляу# на подмного-
образии fp(^a/Ga), так как на этом подмногообразии
dip (v‘) = d<p о dna (v) = dn о di (v) = dn - vg.
Это последнее утверждение доказывает, что любое гамиль-
тоново векторное поле на М/G всюду касается подмногообразия
чЧ^а/Оа). Из предложения 6.19 вытекает теперь, что <р превра-
щает S’a/Ga в пуассоново подмногообразие многообразия M/G
и, кроме того, что ограничение гамильтонова векторного поля
v# на М/G на подмногообразие S^a/Ga (т. е. поле v*) является
гамильтоновым относительно индуцированной пуассоновой
структуры. Тем самым завершается доказательство теоремы и,
следовательно, процедура редукции. □
Если многообразие М симплектическое, то М/G не обяза-
тельно будет симплектическим. Можно, однако, показать, что
подмногообразия SPa/Ga являются слоями симплектического
слоения многообразия М/Gl (См. упр. 6.14.)
Пример 6.49. Рассмотрим на R6 с каноническими координа-
тами (р, q) = (р1, р2, р3, q', q2, q3) действие абелевой гамильто-
новой группы симметрий G, порожденной функциями Р = р3,
Q = qip2 — q2p\ Соответствующие гамильтоновы векторные
поля
д 1 д 9 д . । д 9 д
V1~И V2 — Р др1 Р др1 dq2 q dq1
порождают двупараметрическую абелеву группу преобразова-
ний. Группа G будет группой симметрий любого гамильтониана
вида И (р, о, у, £, t), где р = V(91)2 + (q2)2, а = у\р')2+(р2)2,
Ч — q'p2— q2pl, £ = р3; в частности, такой вид имеет функ-
ция # = (1/2) |p|2-f-Ё(р), цилиндрически симметричный по-
тенциал энергии.
С помощью метода из предложения 6.48 мы можем пони-
зить порядок такой гамильтоновой системы на четыре единицы
(и если И не зависит от t, решить всю систему в квадратурах).
Ограничим сначала систему на поверхность уровня <? = {Р =
— Q — у} для постоянных £, у. Выразив q и р в цилиндри-
ческих координатах
q — (р cos 6, р sin 0, z), р = (a cos ф, о sin ф, £),
получим
у = pa sin (ф — 0) = pa sin <р,
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка
515
где ф = -ф — 0. После ограничения на 9* гамильтонова система
принимает в переменных1) р, 0, <р, z вид
pf = cos <р • Нс, <pf == sin ф (сС’Яр — р~1Нс), (6.40а)
Of = р-1 sin ф770 + Ну, zt — Ht, (6.40b)
где индексы при И обозначают взятие частных производных.
Переменные выбраны таким образом, что на поверхности 9
V1 = дг, у2 = дд. По теореме 6.48 равенства (6.40) инвариант-
ны относительно редуцированной группы симметрий поверхности
9, совпадающей ввиду коммутативности группы G с самой этой
группой. Проявляется это в том, что ни г, ни 0 не появляются
явно в правых частях равенств (6.40). Таким образом, если мы
нашли решение р(0 и <р(£) первых двух уравнений, функции
0(/) и z(t} определяются посредством квадратур.
Кроме того, теорема 6.48 утверждает, что уравнения (6.40а)
сами образуют гамильтонову систему. Зафиксировав у и
рассмотрим редуцированный гамильтониан
Я(р, ф, О = Я(Р, у/(рsinф), у, I, t).
Заметим, что
{р, ф} = — УР-,О~2 = — У~*р 8Ш2ф.
Простые вычисления, использующие цепное правило, показы-
вают, что система (6.40а) совпадает с системой
Р/= — Т-,Р 8Ш2фЯф, ф, = у_,р"зт2фЯр, (6.41)
которая, конечно, гамильтонова. В частности, если функция Н
(и, таким образом, Н) не зависит от t, мы можем в принципе
проинтегрировать систему (6.41) в квадратурах и решить тем
самым исходную систему. (На практике, однако, даже для про-
стых функций Н необходимые алгебраические преобразования
могут оказаться чересчур сложными.)
В общем случае, когда гамильтонова система инвариантна
относительно некоторой r-параметрической абелевой гамильто-
новой группы симметрий, ее порядок можно понизить на 2г
единиц. Это объясняется тем, что остаточная группа симметрий
благодаря тривиальности присоединенного действия совпадает
со всей этой абелевой группой. Гамильтонова система порядка
2п с «-параметрической абелевой гамильтоновой группой сим-
метрий, или, что то же самое, обладающая п первыми интегра-
’) Конечно, этн локальные координаты не универсальны; при р = 0 нам
придется использовать несколько иные переменные.
17*
516
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
лами Pi(x), Р„(х), находящимися в инволюции-.
{Pit Pj} = 0 для всех i, j,
называется вполне интегрируемой гамильтоновой системой, так
как ее решения можно найти в принципе посредством одних
квадратур. На самом деле про такие вполне интегрируемые га-
мильтоновы системы можно сказать гораздо больше, и эта тема
составляет важную главу классической гамильтоновой меха-
ники.
Пример 6.50. Рассмотрим группу одновременных вращений
(р, q)t~>(Rp, Rq), /?eSO(3), действующую на R6. В примере
6.43 было показано, что это гамильтоново действие, порожден-
ное компонентами вектора момента количества движения го =
= <7Хр. Любой гамильтониан вида Н(]р], |р|, p-q) инвариан-
тен относительно одновременных вращений и поэтому порож-
дает гамильтонову систему с гамильтоновой группой симметрий
SO(3). На подмножестве М= {(р, q): <?Xp=#0} группа SO(3)
действует регулярно, ее орбиты трехмерны. Согласно теореме
6.48, мы можем понизить размерность любой такой гамильтоно-
вой системы на четыре единицы; три единицы даются ограниче-
нием на общую поверхность уровня ={q X Р = <о}, а еще
одна — остаточной группой симметрий GB~SO(2) вращений
относительно оси со.
Прежде чем приступить к редукции, будет полезно сделать
небольшое наблюдение. Из эквивариантности отображения мо-
мента Р: Р6->-!50(3)*~ R3, Р(р, q} = q'Kp = (n следует, что
элемент /?eSO(3) отображает поверхность уровня ^в в по-
верхность уровня R • £?в = ^т?в. Таким образом, мы можем вы-
брать элемент R так, чтобы вектор ю = (0, 0, ю), и >0 смотрел
в положительном направлении оси z. Все остальные решения,
исключая те из них, которые соответствуют нулевому моменту
количества движения и которые следует изучать отдельно, мож-
но получить подходящим вращением выбранных решений. Для
вектора со такого вида точки р и q должны лежать на плоскости
ху. Будем задавать точку q полярными координатами (р, 6),
а точку р — полярными координатами (о, ч]?) (как в предыду-
щем примере). Выбрав три из введенных переменных за ло-
кальные координаты на S?B (игнорируя особые точки), получим
редуцированную систему в виде
pf = cos фЯо + рЯт, Gt = — cos фЯр — <гЯт, ef = р-1 sin фЯо.
(6.42)
Через ф обозначен угол между q и р, т. е. ю = рп51Пф и т =
= р.д = рстсо5ф; нижние индексы при Н обозначают частные
Замечания
517
производные. Остаточная группа симметрий — вращений отно-
сительно осн z — порождена векторным полем
о д . • д о д
v= — q -ч-т + Q — Р -ч-г
dq1 dq2 г др1
___А
г др2 ~ ае ’
она проявляется в том, что правая часть уравнений (6.42) не
зависит от 0. Таким образом, мы можем определить функцию
0(0 посредством единственной квадратуры окончательно реду-
цированной системы
pf = cos Ф • Нв, at = — cos ф • Яр, (6.43)
являющейся гамильтоновой с гамильтонианом
Н (р, а) — Н (р, a, pa cos ф), где со2 = ро sin ф.
Проверку того, что подходящая скобка Пуассона записывается
формулой
гй Ол (др дН дР дНХ
{F, Я} = COS ф I -5-л-----Ч-ч— I,
' ’ ' v \ др да да др )
мы оставляем читателю. В частности, если функция Я не зави-
сит от t, уравнения (6.43) можно проинтегрировать в квадра-
турах и получить полное решение исходной системы. Читатель
может проверить, что данная процедура более или менее экви-
валентна интегрированию задачи Кеплера в примере 4.19.
ЗАМЕЧАНИЯ
Гамильтонова механика и тесно связанное с ней понятие
скобки Пуассона берут начало в оригинальных исследованиях
Пуассона, Гамильтона, Остроградского и Лиувилля девятнад-
цатого века; детали исторического развития классической тео-
рии, опиравшейся исключительно на канонические координаты
(р, q) симплектической структуры на R2", можно найти в книге
Whittaker [1, с. 294]. Помимо этого классического труда хорошие
описания общего подхода к гамильтоновой механике в симплек-
тическом преломлении содержатся в работах Abraham, Marsden
[1], Арнольд [3], Goldstein [1].
Более общее понятие пуассоновой структуры впервые появ-
ляется в теории Ли «функциональных групп» и интегрирования
систем линейных дифференциальных уравнений с частными про-
изводными первого порядка; относительно этой теории см. Lie
[4; v. 2, ch. 8], Forsyth [l;v. 5, § 137], Caratheodory [1; ch. 9].
Уже Ли доказал общую теорему Дарбу 6.22 для пуассоновой
структуры постоянного ранга. Он назвал отмеченные функции
«ausgezeichnete functionen», что Форсайт переводит как «ука-
518
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
зующие функции». В этой книге я предпочел перевод термина
Ли, принадлежащий Каратеодори. Недавно Вейнстейн (Wein-
stein [3]) предложил менее исторически обоснованное название
«функция Казимира» для этих объектов, и оно приобрело наи-
большую популярность. Теория Ли была в целом забыта как
математиками, так и физиками. Пуассоновы структуры были
введены снова более или менее независимо в работах Dirac
[1], Jost [1], Sudarshan, Mukunda [1] и, в современном виде,
в статьях Lichnerowicz [1], [2], Marsden, Weinstein [2**] и
Weinstein [3]. Благодаря работам Marsden, Weinstein [2], Conn
[1] и другим они приобретали все более важное значение как
в математической физике, так и в дифференциальной геометрии.
Ли был также хорошо осведомлен о скобке Пуассона на
двойственном пространстве к алгебре Ли и ее связях с копри-
соединенным представлением. Явную формулу для скобки Ли —
Пуассона можно найти в книге Lie [4; v. 2, р. 294]. Эта скобка
тоже была забыта вплоть до 60-х годов нашего столетия, когда
ее переоткрыл Березин [1] и использовали Кириллов [1], Ко-
стант (Kostant [1]) и Сурьо (Souriau [1]) в связи с теорией
представлений и геометрическим квантованием. В дальнейшем
эта скобка носила имя одного или нескольких из указанных
авторов, пока Вейнстейн (Weinstein [2]) не указал на ее го-
раздо более раннее появление в работе Ли, предложив назва-
ние «скобка Ли—-Пуассона». Связь между движением твер-
дого тела и скобкой Ли — Пуассона на SO(3) установил Ар-
нольд [2]. О классическом толковании этих уравнений см.
Whittaker [1; § 69], Goldstein [1; ch. 4], а более детальное из-
ложение в духе настоящей главы можно найти в книге Holmes,
Marsden [1]. О приложениях к теории устойчивости см. Wein-
stein [4].
Понижение порядка гамильтоновой системы с симметрией
имеет долгую историю, и большую часть технических приемов,
включая якобиево «исключение узлов», в их классическом виде
можно найти в книге Whittaker [1]. Современный подход к этой
теории берет свое начало в статье Смейла Smale [1], в кото-
рой введен современный вариант отображения момента. Даль-
нейшие продвижения в работах Souriau [1] и Meyer [1] при-
вели к полностью разработанному подходу к процедуре редук-
ции, развитому Марсденом и Вейнстейном в книге Marsden,
Weinstein [1]. Подход настоящей главы представляет собой
слегка упрощенный и слегка менее общий вариант теории
Марсдена — Вейнстейна. Вполне интегрируемые гамильтоновы
системы, которых мы лишь коснулись, на протяжении всей исто-
рии классической механики были предметом огромной важ-
ности. Большая часть этих примеров, таких, как движение твер-
Упражнения
519
дого тела в R3 и задача Кеплера, известны с давних пор, од-
нако происхождение цепочки Тоды из упр. 6.11 относительно
недавнее. Манаков [1] показал полную интегрируемость дви-
жения твердого тела в R". Обобщение понятия вполне интегри-
руемой системы на системы, интегралы которых не находятся в
инволюции, как в упр. 6.12, было изложено в доступной форме
в последние годы Мищенко и Фоменко [1] и Козловым [1].
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Предположим, что функция Р(х, t) является первым интегралом не
зависящей от времени гамильтоновой системы. Докажите, что ее производные
dP/dt, д2Р/дР н т. д. также являются первыми интегралами. (Whittaker
[1, с. 434].)
6.2. Пусть x = JVH{x)—не зависящая от времени гамильтонова си-
стема. И пусть vp — ее гамильтонова симметрия, соответствующая не зави-
сящей от времени функции Р(х). Докажите, что для любого решения x(J)
этой системы P(x(t)) = at -f- b является линейной функцией от t. Как это
согласуется с теоремой 6.33? Докажите, что если у гамильтоновой системы
есть неподвижная точка х0, то а = 0 и Р па самом деле является первым
интегралом.
6.3. Пусть vp — гамильтонова симметрия гамильтоновой системы
х—lVH, и пусть f(s)—произвольная вещественнозначная функция веще-
ственной переменной s. Докажите, что векторное поле f(P(x))vp тоже яв-
ляется гамильтоновой симметрией, и найдите соответствующий первый инте-
грал.
6.4. Пусть М — пуассоново многообразие постоянного ранга. Докажите,
что функция С: М R является отмеченной тогда и только тогда, когда
она постоянна на слоях симплектического слоения многообразия М. Обобща-
ется ли это утверждение на случай непостоянного ранга? (Weinstein [3].)
6.5. Исследуйте скобку Ли — Пуассона и коприсоединенные орбиты для
алгебры Ли si(2).
6.6. Вычислите скобку Ли — Пуассона для групп евклидовых движений
Е(2) и Е(3). Как выглядит эта скобка при ограничении па коприсоединен-
ную орбиту?
6.7. Пусть структурные функции Р' (х) скобки Пуассона {F, Н] на Rm
линейно зависят от точки xgR"’. Докажите, что эта скобка определяет
структуру Ли —Пуассона на Rm.
6.8. Решите гамильтонову систему, соответствующую гамильтониану
Н(р, р, ?, q) = (l^Jp3-f- (1/2)9-2(р2—1) па R4 с канонической скобкой
Пуассона (Whittaker [1, с. 402].)
6.9. Для консервативной механической системы исследуйте процесс вы-
бора координат, в которых фиксирован центр масс и момент количе-
ства движения системы, в свете нашей общей процедуры редукции
группы.
*6.16 . Движение п одинаковых точечных вихрей на плоскости описыва-
ется канонической гамильтоновой системой иа М = R2n, отвечающей га-
мильтониану
Н </) == £ V/Y.- log [(Рг ~ Р1)2 + (?' — 9/)2]>
«¥=/
где (р‘, q‘) — плоские координаты t-ro вихря, а у;— его напряженность. До-
кажите, что евклидова группа Е(2) одновременных сдвигов и вращений внх-
520
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
рей является группой симметрий этой системы. Докажите, что каждая ин-
финитезимальная образующая этой группы является гамильтоновым вектор-
ным полем, и определите соответствующую ей сохраняющуюся величину. До-
кажите, что вся группа Е(2) не является, однако, гамильтоновой группой
симметрий в строгом смысле определения 6.41. Для каких значений п задача
о вихрях вполне интегрируема? (Козлов [1; с. 15].)
6.11. Цепочка Тоды из трех частиц описывается гамильтоновой системой
с гамильтонианом
н (р> ч) = y I р I2 + у1 + у2 + у3- р> ч- R3>
где
yx=eq'~q2, y2 = eq2-q\ y3 = eq3~q'
и на R6 используется каноническая пуассонова структура. Докажите, что
функции
Р (р> ч) = р' + Р* + Р3> Q (р> ч) = р’р2р3 — Р1У2 — pV — Р3у'
являются первыми интегралами, и поэтому цепочка Тоды — вполне интегри-
руемая гамильтонова система. Можно ли ее проинтегрировать явно? (Toda
[1; § 2.Ю].)
6.12. Предположим, что гамильтонова система на некотором 2я-мерном
спмплектпческом многообразии инвариантна относительно п-параметрической
разрешимой группы гамильтоновых преобразований. Докажите, что если при
заданных начальных условиях все п интегралов обращаются в нуль, то со-
ответствующее решение можно (в принципе) найти в квадратурах (обобще-
ние примера 6.40). (Мищенко, Фоменко [1], Козлов [1].)
6.13. Пусть М = R2" с канонической пуассоновой структурой. Обсудите
применение теоремы редукции 6.48 к группе симметрий за (2), действие кото-
рой порождено энергией гармонического осциллятора Н(р, q) =
= (1/2) (|р|г+ |9|2). (Арнольд (3, с. 341]).
*6.14 . Пусть G и М удовлетворяют условиям теоремы 6.48. Докажите,
что если М — симплектическое многообразие, то фактормногообразие ff'a/Ga
также является симплектическим. (Marsden, Weinstein [1].)
6.15. Гамильтоновой системе в канонической форме
ая др' дН
dt dp' ’ dt dq'
Н=НЦ, р, q)
соответствует уравнение Гамильтона — Якоби с частными производными
ди
dt
Докажите, что векторное поле v = A(t, х, du/dx)du тогда и только тогда
является обобщенной симметрией уравнения Гамильтона — Якоби, когда
функции A (t, q, р) является первым интегралом уравнений Гамильтона. (Fo-
kas [1].)
Упражнения
521
6.16. Рассмотрим функционал Z [и] = j L (t, и^) dt, зависящий от
feR, aeR. Определим замену переменных формулами
<71 = ". <fl = un_l=dn~lu/dtn-1,
pl = - Dt + ... + (-D^-1
ди. ди,. ди
Lit П
^ = -^--Dt-^-+ ... +(-Df)"-2^-,
диш дип
Пусть, наконец,
Н (р, q) = — L + p'q2 + pV + ... + р"-1?" + р"«п.
где ип = dnu/dtn определяется из выражения для рп. Докажите, что функция
и (/) удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагравжа для функционала Z,
если и только если пара (р(0, ?(<)) удовлетворяет уравнениям Гамильтона
для гамильтониана И относительно канонической скобки Пуассона. (Whitta-
ker [1, с. 297].)
*6.17. Интегральные инварианты. Пусть М — пуассоново многообразие, а
чн — гамильтоново векторное поле на М. Для любого подмножества S с М,
предполагая, что гамильтонов поток exp(fva) за время t определен всюду
на S, положим S(t) = {exp(tvH)x: xeS). Дифференциальная fe-форма со на
М называется (абсолютным) интегральным инвариантом гамильтоновой си-
стемы, определяемой полем Ун, если <в = <в для всех компактных
S(f) s
fe-мерных подмногообразий ScM (с границей).
(а) Докажите, что со является интегральным инвариантом, если и только
если Уя(<о) == 0 на всем М.
(Ь) Докажите, что для любого первого интеграла F(x) гамильтоновой
системы 1-форма dF является абсолютным интегральным инвариантом. Верно
лн обратное?
(с) Пусть М — симплектнческое многообразие, а матрица К (х) = № (х),
выраженная в локальных координатах х, — та же, что в предложении 6.15.
Докажите, что дифференциальная 2-форма
m
й = -|- Кц {x\dxl к dx!
I, /=1
не зависит от выбора локальных координат и является интегральным инва-
риантом любой гамильтоновой системы с данной пуассоновой структурой.
(d) Обратно, докажите, что 2-форма R на At определяет симплектиче-
скую пуассонову структуру, если и только если она замкнута: dQ = 0, и
имеет максимальный ранг.
(е) Докажите, что если ю и £ — абсолютные интегральные инварианты
поля Ун, то это же верно и для формы <в д £.
522
Гл. 6. Конечномерные гамильтоновы системы
(f) Докажите теорему Лиувилля-. всякая гамильтонова система на R2"
с канонической скобкой Пуассона (6.1) сохраняет объем:
Vol (S (/)) = Vol (S), SczR2”.
(См. упр. 1.36.) (Картан [1], Арнольд [3].)
6.18. Рассмотрим на пуассоновом многообразии М гамильтоново вектор-
ное поле vh.
(а) Докажите, что если fe-форма со является интегральным инвариантом
и поле w порождает группу симметрий, то (k—1)-форма w_[ca является
интегральным инвариантом. Покажите также, что производная Ли w(w) бу-
дет интегральным инвариантом.
(Ь) Докажите, что если многообразие М симплектическое, то любая га-
мильтоноаа система с двумя негамильтоновымн симметриями имеет первый
интеграл. Что можно сказать про гамильтоновы симметрии? (Розенкранц [1].)
*6.19. Рассмотрим гладкое многообразие N и его кокасательное расслое-
ние М — T*N. На М = Т*М имеется естественная симплектическая структу-
ра, которую можно описать одним из следующих эквивалентных способов.
(а) Введем на W локальные координаты q = (ql, ..., qn). Тогда кока-
сательное пространство T*N]q порождено базисными 1-формамн dq1, ..., dqa
и любой элемент со е T*W|9 можно записать в виде © = р1 dq1-, поэтому
(?, р) определяют локальные координаты на T*N. Положим
,р гп_ У dF дН dF дН
dq1 дР1 дР{ dq1
Докажите, что { , } задает скобку Пуассона, корректно определенную
на всем T*N.
(b) Пусть л: Т*М-*-М—проекция. Каноническая 1-форма 0 на 31 =
— T*N определяется так, что для любого касательного вектора
в точке со е М = T*N
<0, v) = {©, dit(v)).
Докажите, что в локальных координатах, введенных в ч.(а) задачи,
G=^ptdqi. Таким образом, ее внешний дифференциал Q = <У0 опреде-
ляет, как в упр. 6.17(c), скобку Пуассона на Т*М.
(с) Пусть v — векторное поле на N с потоком ехр (ev): N -> АЛ Дока-
жите, что exp(ev)*(x, со) для (х, и) е T*N определяет некоторый поток на
M = Т*Л. Какова его инфинитезимальная образующая? Докажите, что для
любой функции Н-. T*N-*- R существует единственное векторное поле vh на
М = Т*Ы, такое, что
Ун «©, v) |х) = |Е=0^ [ехр (ev)’ (х' ®)J
для всех точек (х, и) е Т*М и любого векторного поля v на ЛГ; докажите, что
это векторное поле является гамильтоновым векторным полем для функции
Н относительно введенной выше гамильтоновой структуры.
*6.20. Мультивекторы. Объекты, двойственные к дифференциальным фор-
мам на многообразии, называются мультивекторами и определяются как
кососимметрические й-линейные вещественнозначные отображения кокаса-
тельного пространства 7*М)х, гладко зависящие от точки х.
(а) Докажите, что «один-векторы» (т. е. k = 1) совпадают с векторными
полями.
Упражнения
523
(Ь) Докажите, что в локальных координатах fe-вектор имеет вид
е=2й/(х)5.1Л...Л^,
где суммирование производится по всем строго возрастающим мультииндек-
сам /; поля di ~ d/dxi образуют базис касательного пространства ТМ]Х,.
функции hj гладко зависят от х.
(с) Пусть J (х) — структурная матрица для скобки Пуассона на М. До-
кажите, что
т
0 = у (х)dt Ndj
i, i = l
определяет два-вектор, такой, что для любой пары вещественнозначных функ-
ций Н, F
(6; dH, dF) = {H, F}. (*)
(d) Докажите, что для /г-вектора 0 и /-вектора £ существует однозначно
определенный (А +1—1)-вектор [0, £], называемый скобкой Схоутена век-
торов 0 и ? и обладающий свойствами: [•, •] билинейна, кососимметрична,
т.е. [0, £]= (-1HU 6]. удовлетворяет правилу Лейбница
[9, £ А т)] = [0, U А1) + (-l)*z+z I Л [0, ч]
и в случае обычных векторных полей (один-векторов) 0 и £ совпадает с
обычной скобкой Ли. Что является аналогом тождества Якоби для скобки
Схоутена?
(е) Докажите, что скобка двух функций Н и F, определенная равен-
ством (*) для два-вектора 0, билинейна и кососимметрична; она удовлетво-
ряет тождеству Якоби тогда и только тогда, когда три-вектор [0, 0], полу-
ченный взятием скобки & с самим собой, тождественно обращается в нуль:
[0, 0] = 0. (**)
Таким образом, задание пуассоновой структуры на многообразии М. эквива-
лентно выбору бивектора, удовлетворяющего тождеству (♦*). (Lichnerowicz
[1]. [2].)
7. Гамильтоновы методы
для эволюционных уравнений
Равновесные решения уравнений недиссипативной механики
сплошной среды находятся обычно минимизацией подходящего
вариационного интеграла. Следовательно, гладкие решения бу-
дут удовлетворять уравнениям Эйлера — Лагранжа для соот-
ветствующего функционала, и для их нахождения можно при-
менять теоретико-групповые методы лагранжева случая, обсуж-
давшиеся в гл. 4 и 5. Однако, имея дело с динамической задачей
во всей ее полноте, мы встречаемся с системами дифференциаль-
ных уравнений, для которых лагранжева точка зрения, если она
и возможна, не является ни приемлемой, ни естественной. В этом
случае гамильтонов вид системы эволюционных уравнений ста-
новится естественной вариационной формулировкой системы.
Исторически, однако, понимание правильной общей формы
бесконечномерного обобщения на эволюционные уравнения
классического понятия конечномерной гамильтоновой системы
пришло лишь недавно. Частично это объясняется чрезмер-
ным значением, придаваемым каноническим координатам, су-
ществование которых в конечномерном случае гарантируется
теоремой Дарбу, в то время как в эволюционирующих систе-
мах их нет. Однако принятый в нашей книге подход, основан-
ный на понятии скобки Пуассона, легко обобщается в этом
контексте. Для превращения гамильтоновой системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений (6.14) в гамильтонову
систему эволюционных уравнений необходимы следующие прин-
ципиальные нововведения:
(i) замена гамильтониана Н(х) на гамильтонов функцио-
нал 3@[и],
(ii) замена операции векторного градиента \/Н на вариа-
ционную производную гамильтонова функционала и
(iii) замена кососимметрической матрицы J (х) антисим-
метрическим дифференциальным оператором 3), который мо-
жет зависеть от и.
Полученная в результате гамильтонова система будет иметь вид
7.1. Скобки Пуассона
525
Дифференциальный оператор 3), чтобы быть настоящим
гамильтоновым оператором, должен удовлетворять определен-
ным ограничениям, основанным на тождестве Якоби для соот-
ветствующей скобки Пуассона. Эти ограничения описаны в
§ 7.1; в своем исходном виде они представляются безнадежно
непригодными для работы, но с помощью теории «функциональ-
ных мультивекторов» выводится простой и эффективный вычис-
лительный алгоритм проверки гамильтоновости оператора S).
Во втором параграфе исследуются стандартные приложения
групп симметрий и законов сохранения к гамильтоновым
системам эволюционных уравнений. При этом основным инстру-
ментом становится гамильтонова форма теоремы Нётер. При-
ведены приложения к уравнению Кортевега — де Фриза и урав-
нениям Эйлера потока идеальной жидкости.
Последний параграф посвящен современной теории бига-
мильтоновых систем. Иногда, как в случае уравнения Кортеве-
га — де Фриза, приходится сталкиваться с системами эволю-
ционных уравнений, которые можно записать в гамильтоновом
виде двумя различными способами. В этом случае при некото-
рых слабых условиях совместности система должна иметь бес-
конечную иерархию попарно коммутирующих законов сохране-
ния и связанных с ними гамильтоновых потоков, порожденных
оператором рекурсии, построенным по двум скобкам Пуассона;
следовательно, такую систему можно рассматривать как «впол-
не интегрируемую» гамильтонову систему. У таких систем есть
много других замечательных свойств: солитонные решения, ли-
неаризация с помощью обратной задачи рассеяния и т. д.
В этом параграфе приведено новое доказательство основной
теоремы о бигамильтоновых системах и некоторые их прило-
жения.
7.1. СКОБКИ ПУАССОНА
Напомним сначала основы формального вариационного ис-
числения, приведенные в § 5.4. Пусть М cz X X U — открытое
подмножество в пространстве независимых и зависимых пере-
менных х = (х1, х?) и и —(и1, ..., и4). Алгебра дифферен-
циальных функций Р(х, и(п)) = Р[и] на М обозначается через
S&, а ее факторпространство по образу оператора полной ди-
вергенции является пространством функционалов tP=^Pdx и
обозначается через 9Г.
Главная цель этого параграфа — уточнить понятие гамиль-
тоновости системы эволюционных уравнений
щ = К[ц] = К (х, t/W),
526
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
Функционал К зависит здесь только от пространственных пере-
менных х и производных функций и по пространственным пе-
ременным; переменная t выделена — она играет особую роль.
Для достижения поставленной цели нам необходимо найти
аналоги различных компонент формулы (6.14) в эволюционном
контексте. Во-первых, роль гамильтониана в формуле (6.14)
должен исполнять гамильтонов функционал dx^3~.
Поэтому мы должны заменить взятие градиента «функ-
циональным градиентом», или вариационной производной 633 е
е £&q функционала 36. Оставшаяся компонента есть аналог ко-
сосимметрической матрицы /(х), с помощью которой опреде-
ляется скобка Пуассона. Здесь нам нужен линейный оператор
3D-. s£q -> s&q на пространстве наборов из q дифференцируемых
функций, который в большинстве случаев будет линейным мат-
ричным дифференциальным оператором размера может
зависеть от х, и и производных от и. Рассматривая соответ-
ствующую скобку Пуассона, находим дополнительные свойства,
которыми должен обладать оператор 3D, чтобы быть гамильто-
новым.
В конечномерном случае скобка Пуассона пары функций —
это функция, билинейно зависящая от соответствующих гра-
диентов, коэффициенты которой определяются матрицей Га-
мильтона /(х), ср. (6.12). Таким образом, для эволюционных
уравнений скобка Пуассона двух функционалов должна быть
функционалом, билинейно зависящим от соответствующих ва-
риационных производных. Ясно, что для возможного гамильто-
нова оператора 3D корректное выражение для соответствующей
скобки Пуассона имеет вид
{^>, 0 == J dx (7.1)
для функционалов 3, @^.3". Конечно, для того чтобы выра-
жение (7.1) было настоящей скобкой Пуассона, необходимо,
чтобы оператор 3D удовлетворял некоторым дополнительным
ограничениям.
Определение 7.1. Линейный оператор 3D-. называ-
ется гамильтоновым, если его скобка Пуассона (7.1) удовлетво-
ряет условию кососимметричности
{^, 0 = - {<3, 0 (7.2)
и тождеству Якоби
{{3, 0, 31} + {{31, 3}, 0 + {{$, 31}, 3} = О (7.3)
для всех функционалов 3, С$, 31 е 3~.
7.1. Скобки Пуассона
527
Если мы сравним определение 7.1 с конечномерным опреде-
лением 6.1, то увидим, что отброшены два условия. Первое из
них, билинейность, очевидно в силу вида скобки (7.1). Правило
Лейбница не имеет аналога в бесконечномерной ситуации: как
мы видели в § 5.4, нельзя корректно определить умножение
функционалов. Однако главное применение правила Лейбница
состояло в доказательстве существования для вещественнознач-
ной функции Н гамильтонова векторного поля, удовлетворяю-
щего условию (6.4). Оно сохраняется и в функциональном
случае:
Предложение 7.2. Пусть Ф— гамильтонов оператор со скоб-
кой Пуассона (7.1). Для каждого функционала Ж =
= Н dx Ф существует эволюционное векторное поле
называемое гамильтоновым векторным полем, соответствующим
функционалу Ж, которое удовлетворяет условию
prvw(lP) = {^ {1А}
для всех функционалов При этом Ф63@ = ФЕ (Н) яв-
ляется характеристикой поля уж
Доказательство. Пусть & =\^Р dx, P^s£. Тогда, интегри-
руя по частям формулу (5.90), находим
{^, Ж} = J Е(Р) • ФЕ(H)dx=\ prv.0E(Я,(Р)dx =
= Рг^Е(щ($ Pdx\
(См. упр. 5.42.) Положив 4% = У®ЕСИ), получаем (7.4). □
Экспоненцируя соответствующее функционалу Ж [ы] гамиль-
тоново векторное поле уж, получаем соответствующий гамиль-
тонов поток. Ввиду формулы (5.14) гамильтонова система эво-
люционных уравнений принимает вид
~ = Ф-Юв, (7.5)
где 6 — вариационная производная, а Ф — гамильтонов опера-
тор. Отметим полную аналогию с конечномерной гамильтоно-
вой системой (6.14). Прежде чем перейти к примерам гамиль-
тоновых систем, нам нужно вооружиться разумными методами
непосредственной проверки того, что данный оператор Ф
528
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
является гамильтоновым. Для начала можно непосредственно
проверить требования, вытекающие из кососимметричности скоб-
ки Пуассона — инфинитезимального аналога кососимметричности
матрицы / в формуле (6.14).
Предложение 7.3. Пусть 3)— матричный дифференциальный
оператор размера q\q со скобкой (7.1) на пространстве функ-
ционалов. Скобка кососимметрична, т. е. выполняется условие
(7.2), тогда и только тогда, когда оператор 3 антисимметриче-
ский: 3)* =—3.
Доказательство. Для 3 = Р dx, Q, = Q dx условие (7.2)
можно переписать в виде
J Е(Р) • 3E(Q)dx = - J E(Q) • 3E(P)dx.
Из определения (5.45) сопряженного оператора 3>* находим,
что
J E(P)-(0-}-0‘)E(Q)dx = O.
Если это равенство выполняется для всех Р, то, как
при доказательстве предложения 5.64 с помощью «принципа
подстановки», сформулированного в упр. 5.32, заключаем, что
3-\-3* = 0. □
Производные Ли дифференциальных операторов
Прежде чем перейти к анализу тождества Якоби, мы долж-
ны дополнить формальное вариационное исчисление, изложен-
ное в § 5.4. Для эволюционного векторного поля vq и диффе-
ренциального оператора 3)=^ Рк[и] DK, коэффициенты кото-
рого могут зависеть от и, мы определяем производную Ли опе-
ратора 3 вдоль поля Vq как инфинитезимальное изменение опе-
ратора 3 под действием однопараметрической группы exp(ev<?).
Ясно, что производная Ли —это дифференциальный оператор
pr Vq (3)} = Е pr VQ (/\) Dk, (7.6)
Л
получаемый действием поля vq на коэффициенты оператора 3).
Это определение распространяется и на случай матричных диф-
ференциальных операторов, где теперь prvQ действует на от-
дельные элементы матрицы.
7.1. Скобки Пуассона
529
Например, для оператора -J-2м£>х-J-и поля vQ =
== ^хх^и
рГ Vq (®) = 2 рГ Vq (и) Dx + рГ Vq (их) = 2uxxDx + Uxxx.
Однопараметрическая группа exp(evp) находится в этом слу-
чае решением уравнения теплопроводности иЕ = ихх, a prvp(.®)
представляет собой инфинитезимальное изменение оператора 3)
в случае, когда и (х, е)— решение уравнения теплопроводности.
Главная формула, которая нам нужна, — это следующий
вариант правила Лейбница:
pr Vq (S5P) = pr Vq (S>) • Р + 3) [рг Vq (Р)], (7.7)
который выполняется для всех Р е s£r, Q е и любого мат-
ричного дифференциального оператора <£). размера
sXr. Эту формулу можно доказать либо непосредственно из
определения, либо вывести из формулы (7.6) с помощью ком-
мутационного соотношения (5.19).
Тождество Якоби
На первый взгляд непосредственная проверка тождества
Якоби (7.3) даже для простейших антисимметрических опера-
торов выглядит безнадежно сложной вычислительной задачей.
Однако с помощью некоторых наших основных результатов из
формального вариационного исчисления достигается значитель-
ное упрощение, вводящее эту задачу в пределы выполнимости.
Еще больше упрощается она введением одного варианта функ-
циональных форм из § 5.4 (хотя здесь они и являются, в неко-
тором смысле, двойственными объектами), после чего проверка
тождества Якоби становится более или менее стандартным вы-
числением.
Пусть 5я, Q, 5?— функционалы в с вариационными про-
изводными &Р = Р, 66? = Q, 65? = Р. (Отметим изменение обо-
значений: Р больше не является подынтегральным выражением
для /Р!) В этих обозначениях первый член тождества Якоби
(7.3) принимает вид
{{5я, £}, = Р • &Qdx) = pr (Р • 3)Q)dx.
С помощью правила Лейбница и тождества (7.7) получаем
{{.Р, 0, 5?} = J{prv^(P)-^Q + P prv^(^).Q +
+ P.0[prv^(Q)]}dx. (7.8)
530
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
Согласно формуле (5.41), связывающей производную Ли и про-
изводную Фреше, первый член в этом выражении имеет вид
5 Рг vs>r (р) ‘ d* = Dp (2>R) S)Q dx.
Ввиду антисимметричности оператора 3) третий член имеет
аналогичный вид
$ Р • & [pr Vs)p (Q)] dx = - J £>Р • Dq т dx. (7.9)
Второй и третий члены тождества Якоби дают аналогичный
вклад; например, выражение для {{62, 5?}, &} содержит члены
J Dq (0Р) -0Rdx и - J S5Q • Ds (0Р) dx. (7.10)
Но, согласно теореме 5.68, производная Фреше функционала
Q = является симметрическим дифференциальным операто-
ром, поэтому первый из интегралов (7.10) равен
^0P-DQ(2)R)dx
и при подстановке в тождество Якоби взаимно уничтожается с
интегралом (7.9). При таком разложении тождества Якоби
шесть членов тем самым взаимно уничтожаются, и мы прихо-
дим к его эквивалентной форме
J [Р ’ РГ V557? (&) Q + Р ' РГ VSQ (®)P + Q-PT V&P (&) Я] dx = 0.
(7.11)
Левая часть должна обращаться в нуль для всех Р, Q, R, яв-
ляющихся вариационными производными функционалов.
На этом шаге возникает следующее упрощение. Заметим,
что подынтегральное выражение в формуле (7.11) зависит
только от Р, Q, R и их полных производных. Согласно общему
«принципу подстановки», сформулированному в упр. 5.32, ин-
теграл (7.11) обращается в нуль для всех вариационных про-
изводных Р = Q = R — тогда и только тогда, когда
он обращается в нуль для произвольных наборов из q функций
Р, Q, R^s^q. Таким образом, мы доказали
Предложение 7.4. Пусть S) — антисимметрический матрич-
ный дифференциальный оператор размера q'Kq. Тогда скобка
(7.1) удовлетворяет тождеству Якоби, если и только если ра-
венство (7.11) выполняется для всех наборов из q функций Р,
Q, R^^.
7.1. Скобки Пуассона
531
Следствие 7.5. Антисимметрический матричный дифферен-
циальный оператор S) размера q^.q, коэффициенты которого
не зависят от и и ее производных, автоматически является га-
мильтоновым.
Действительно, в этом случае prv<?(^)) = 0 для любого эво-
люционного векторного поля vq, поэтому условие (7.11), оче-
видно, выполняется. □
Пример 7.6. Уравнение Кортевега — де Фриза
Ut Uxxx “1“ UUX
в действительности можно записать в гамильтоновом виде дву-
мя различными способами. Во-первых, мы видим, что
где S) = Dx и
щ = Dx (ихх + u2) =
[ы] = 5 [“ Т + V"3] dx
— один из классических законов сохранения. Заметим, что опе-
ратор 3), конечно, антисимметричен и поэтому ввиду следствия
7.5 автоматически гамильтонов. Скобка Пуассона имеет вид
{^, Q} = \t>S>Dx(i>Q)dx.
(7.12)
(Чтобы оценить по достоинству действенность формальных ва-
риационных методов, читатель может попробовать проверить
тождество Якоби для скобки (7.12) непосредственно!)
Вторая гамильтонова форма несколько менее очевидна.
Имеем
ut = (z£ 4- ^-uDx 4- -i- их) и = ^б^0,
где
[u] = -^-u2dx
— еще одна сохраняемая величина и
& = D3x + -yuDx + ±ux.
Легко проверить, что оператор 8 антисимметричен; для дока-
зательства тождества Якоби рассмотрим условие (7.11). Первый
532
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
член имеет вид
$ рprvg(R)(&)Qdx=\P[4Qx + 4mxQ]dx =
~ [“з~ PPxXxQx 4“ "з" PPxXXX.Q. 4“ "g" иРRxQx 4“
+ 4 UxPRQx + 4 uPPxxQ + 4 “xPPxQ +
+ 4 dx,
где индексом x обозначены для краткости полные производные:
Px = DxP, Рхх = £РхР и т. д. Мы должны добавить соответст-
вующие выражения, происходящие из остальных двух членов
формулы (7.11), а затем доказать, что полученное при этом
подынтегральное выражение является нулевым лагранжианом,
т. е. полной производной Dx, независимо от того, каковы Р, Q
и R. Это действительно так, и доказательство мы оставляем чи-
тателю, поскольку позднее найдем гораздо более простое до-
казательство этого факта. Мы заключаем, что формула
{^, 0 = $ [&? • (d* + 4ы£)х + 4 и*)dx (7-13)
определяет скобку Пуассона на пространстве функционалов.
Хотя приведенное выше вычисление чуть менее трудоемко,
чем непосредственная проверка тождества Якоби, но даже и в
этом относительно простом случае оно требует значительной вы-
числительной выносливости. Еще более существенного упроще-
ния можно достичь за счет применения теории полилинейных
отображений, аналогичной развитой в § 5.4. (Быть может,
ориентированный на приложения читатель захочет здесь пе-
рейти непосредственно к началу § 7.2.)
Функциональные мультивекторы
Мультивекторы в конечномерном случае — это объекты,
двойственные дифференциальным формам. В упр. 6.20 было
показано, как развивать теорию конечномерных пуассоновых
структур, опираясь на теорию мультивекторов. В этом пара-
графе мы вводим аналогичные объекты для бесконечномерных
гамильтоновых систем эволюционных уравнений. Так как мы
имеем дело с открытыми подмножествами евклидова простран-
ства MczXxU, теория функциональных мультивекторов сов-
падает с теорией функциональных форм, развитой в § 5.4. Мы
7.1. Скобки Пуассона
533
используем другую терминологию и обозначения лишь потому,
что с более глобальной точки зрения правила преобразования
этих объектов при заменах переменных не совпадают; функцио-
нальные формы преобразуются как выражения Эйлера — Ла-
гранжа, а функциональные мультивекторы больше похожи на
эволюционные векторные поля. Помимо этого различия (кото-
рое не проявится в этой книге), эти объекты совпадают.
Напомним, что каждая функциональная jfe-форма определяет
кососимметрическое Л-линейное отображение пространства То
эволюционных векторных полей в пространство ST функциона-
лов. Аналогично, функциональный k-вектор задается кососим-
метрическим ^-линейным отображением «двойственного» про-
странства Л1 функциональных, 1-форм в ST. Так как каждое
эволюционное векторное поле однозначно определяется своей
характеристикой, мы можем отождествить Тй с з^9, простран-
ством наборов из q дифференциальных функций на М. Анало-
гично, в соответствии с предложением 5.63 каждая функцио-
нальная 1-форма однозначно определяется своей канонической
формой, поэтому мы можем отождествить aJ с з^9. При этих
двух отождествлениях (зависящих от введения евклидовых ко-
ординат на М) мы получаем отождествление функциональных
мультивекторов и форм.
Каждая функциональная форма порождена некоторой вер-
тикальной формой, и соответственно каждый функциональный
мультивектор порожден некоторым вертикальным мультивекто-
ром. Чтобы сохранить различие в обозначениях этих двух объ-
ектов, будем обозначать «один-вектор», соответствующий
1-форме через б“; таким образом,
(б“; Р) = D]Pa для всех Р = (Р1г ..Pq) е з^9
(начиная с этого момента, мы заменяем aJ на з^9). Заметим,
что 0/ можно отождествить с дифференцированием djdtij, ко-
торое можно считать иным обозначением для мультивекторов,
но несколько более громоздким и в дальнейшем вносящим не-
которую путаницу. Таким образом, общий функциональный
й-вектор представляет собой конечную сумму
с коэффициентами Rj е з$; он определяет ^-линейное отобра-
жение
<0; Рх, ..., Pk} = J Г£ Rj det (П/Д)1 dx,
La, J J
p1 <= st-4,
534 Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
ср. (5.73). Полные производные действуют как производные Ли
на вертикальных А-векторах, Dt (б“) = 6“ ,, ср. (5.74). Простран-
ство А* функциональных А-векторов является, таким образом,
факторпространством пространства вертикальных k-векторов
(т. е. конечных сумм внешних произведений элементов 6“ с ко-
эффициентами из .$/) по образу полной дивергенции. По лемме
5.61 каждый функциональный А-вектор однозначно определен
своими значениями на пространстве наборов из q дифферен-
циальных функций. Таким образом, можно перенести на функ-
циональные мультивекторы все теоремы и примеры функцио-
нальных форм из § 5.4, заменив формы dtij на их аналоги б“,
а векторные поля prv<j на их характеристики Q^.s£qV).
Например, любой функциональный один-вектор
J (a, J )
можно привести к каноническому виду
V = ${/?• 6} dx = U £ /?аеа1 dx, Ra=^ (~Db
'•а=1 ' J
путем интегрирования по частям. (Поэтому мы можем отож-
дествить А* с То, пространством эволюционных векторных по-
лей!) Аналогично, у любого функционального два-вектора есть
канонический вид
{eA0e}dx=4n £ eaA^a₽e₽Lx, (7.14)
'•a, ₽=1 >
где =(^)ар)—антисимметрический матричный дифференци-
альный оператор размера qX.q; см. предложение 5.64. Такой
два-вектор определяет билинейное отображение
<0; Р, Q> = — dx=^(P- 0Q) dx, P, Q g
где мы использовали антисимметричность оператора S). В част-
ности, если Р и Q — вариационные производные (или, если вер-
’) В этой теории есть один тонкий момент, состоящий в том, что, хотя
пространства Дй и Д& функциональных форм и мультивекторов и опреде-
ляются двойственным образом, между ними нет естественной двойственно-
сти векторных пространств ни при каких k > 1! Здесь отражается наша не-
способность определить умножение на пространстве функционалов.
7.1. Скобки Пуассона
535
нуться к Л*, дифференциалы), то соотношение
(0; 6ф= J (б^5 • dx
воспроизводит скобку {^, £?}, определенную антисимметриче-
ским оператором Sb. Например, скобка Пуассона, задаваемая
вторым гамильтоновым оператором ё для уравнения Корте-
вега—де Фриза, представляется два-вектором
© = 4 $ {6 Л ё (6)} dx = 4 $ {б Л «6 Л 6 J dx, (7.15)
причем член, содержащий блб, очевидно, обращается в нуль.
Тождество Якоби дает естественный пример функциональ-
ного три-вектора. Заметим, что в своей исходной форме левая
часть тождества (7.3), очевидно, является кососимметрической
трилинейной функцией вариационных производных б^1,
Поэтому и левая часть равенства (7.11), хотя, быть может, это
и незаметно, тоже представляет собой кососимметрическую три-
линейную функцию от наборов из q функций Р, Q, R и поэтому
определяет функциональный три-вектор, который мы обозначим
через
ф = Т И6 Л рГ (£Z>) Л е) dx’ (7‘16)
так что левая часть выражения (7.11) имеет вид <ЧГ; Р, Q, R).
(См. также упр. 7.12.) Осталось пояснить обозначения в фор-
муле (7.16).
«Векторное поле» vi550 — это формальное эволюционное век-
торное поле, характеристика которого — набор из q вертикаль-
ных один-векторов
(®е)« = Е ^а₽е₽;
5=1 Р
таким образом, формально
Prv®0 — диа •
В частности, для любой дифференциальной функции е
рг*^да=£-^°'(£®<Х)
536
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
является вертикальным один-вектором. Например, для второго
гамильтонова оператора уравнения Кортевега — де Фриза имеем
pr vge («) = =оххк + 4 < 4- 4- «Л
Рг vse («J = D^° = Qxxxx + Т uQxx + «Л + Т
и так далее.
С другой стороны, prvse может действовать на дифферен-
циальный оператор, скажем S), как производная Ли; результа-
том этого действия будет дифференциальный оператор, коэф-
фициентами которого будут функциональные один-векторы,
включающие 0“. Например,
рг vge (#) = рг уге (пз + 4 UDX + 4 их) =
= Т Рг v«e («) Dx + 4 рг vse («х) =
= (0ххх 4~ 4 < + 4 D* +
Ч з" (бхххх 4" "з" и^хх 4- Ч д- пхх0^.
И наконец, мы можем применить prvse(£Z>)K самому 0, комби-
нируя очевидным образом дифференцирование и внешнее умно-
жение. Например, три-вектор тождества Якоби, соответствую-
щий оператору S, равен
4 $ {6 А рг vge (#) А 0} dx = J {4 6 Лвххх Л 6Х + 4 «0 л 0Х А вх +
Ч" -g- «Х0 А0Л0хЧ--р-0Л 6ХХХХ Л 0 4-
Ч~ -д' л 6ХХ а 0 4* "g* °х0 Л 0Х а 0 4-
4- 4 «хх0 л 0 а 0} dx =
=—4 $ (°л е*л dx
в силу основных свойств внешнего произведения. Этот полу-
ченный три-вектор также тривиален, в чем можно убедиться
простым интегрированием по частям:
J {0лехлеххх}с/А:=— 5 {Dx (0лех)л0хх}^А: =
J {6Х Л 0Х Л 0ХХ -|- 0 Л 0ХХ Л бхх} О-
7.1. Скобки Пуассона
537
В соответствии с этим обозначением при вычислении Ч; по
формуле (7.16) на Р, Q, R<=.3q мы получим шесть членов, пер-
вые два из которых имеют вид
4 J [Р Рг (0) Q - Q pr v (0) Р] dx.
Ввиду упр. 7.12, так как дифференциальный оператор 3) анти-
симметричен, это же справедливо и для ргу<э(^5) при любом
эволюционном векторном поле vq. Поэтому указанные выше два
члена равны и в сумме дают первый член тождества Якоби
(7.11). Значит, как и утверждалось выше, выражение <4f; Р,
Q, Ry совпадает с левой частью формулы (7.11). Кроме того,
с помощью леммы 5.61 (перенесенной на мультивекторы) полу-
чаем, что выполнение равенства (7.11) эквивалентно тривиаль-
ности три-вектора Т.
Предложение 7.7. Антисимметрический матричный диффе-
ренциальный оператор 3) размера q X q гамильтонов, если и
только если функциональный три-вектор (7.16) нулевой: W = 0.
Можно сделать еще одно упрощение. Расширим определе-
ние продолженного «векторного поля» pr vse на пространство
вертикальных один-векторов, положив
prv^g (б“) = 0
для всех a, J и продолжив его как дифференцирование. Теперь
подынтегральное выражение в (7.16) можно переписать в виде
—ргуЯ6(ел^5е)=елргу0е(^)ле, (7.17)
минус объясняется тем, что мы поменяли порядок сомножите-
лей во внешнем произведении. Кроме того, так как поле prvse
эволюционное, оно коммутирует с полным дифференцирова-
нием:
WVs>eDk = Dk-Wvs>t>’ k==i........р>
ср. (5.19), даже при действии на вертикальные мультивекторы.
Поэтому для любого функционального Л-вектора ф==^ФЛс
мы можем корректно определить (k + 1)-вектор
рг <ф) = $ ₽г v®e (ф)dx-
(См. упр. 5.42.) В частности, таким образом можно подейство-
вать на два-вектор 6, определяющий скобку Пуассона (7.14),
538 Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
и по (7.17) получаем
Рг vS6(®) = 4" $ {рг v®e Л dx =-'¥’>
результат с точностью до знака равен три-вектору, соответ-
ствующему тождеству Якоби. Тем самым мы доказали следую-
щую теорему.
Теорема 7.8. Пусть Я) — антисимметрический матричный
дифференциальный оператор размера q'Aq и 0 = -|-^{6Л
лЯ>0}йх— соответствующий функциональный два-вектор. Тогда
S) гамильтонов, если и только если
prva,e(0) = O. (7.18)
Пример 7.9. Вернемся в последний раз к гамильтонову опе-
ратору связанному с уравнением Кортевега — де Фриза.
В силу условий (7.15) и (7.18) нам нужно только проверить ра-
венство нулю выражения
рг vse S {4 6 А + Т ив Л ех} dx = Т 5 И л 6 л ех} dx =
= 4“ S л6 л 6х + ТW0JC Л6Л + Т“я6л6л М dx = 0
в силу наших предыдущих вычислений. Тем самым мы дока-
зали совершенно элементарным путем, что гамильтонов.
Пример 7.10. Рассмотрим уравнения Эйлера для потока не-
вязкой идеальной жидкости
+ и • Vu = -Vp, V-u = 0.
(Обозначения см. в примере 2.45.) В таком виде они не могут
составлять гамильтонову систему, так как, в частности, нет урав-
нения, описывающего эволюцию во времени давления р. Эту
трудность легче всего преодолеть, переписав уравнения относи-
тельно вихря о = V X U- Взяв ротор первого набора уравнений,
находим уравнение вихря
~ = со . vu — UV®, (7.19)
которое мы приведем к гамильтонову виду
= (7.20)
dt о® ' 7
7.1. Скобки Пуассона
539
для подходящего гамильтонова оператора ф. Гамильтонов
функционал — это энергия
(j J_|u|2dx,
но для вывода уравнения (7.20) нам надо вычислить его ва-
риационную производную по а не по и! (Формально) это де-
лается путем введения векторной функции тока ф, удовлетво-
ряющей условиям VXt = u. Т-ф = 0. Пусть функция ц(х)
имеет компактный носитель и V X ч) = Тогда
o^[<n-|-eg] = J u-4)Jx = J(VX^)-ndx =
= $ Ф (VX»l)dx= Ф • Sdx,
и поэтому 63^/6® =ф.
В двумерном случае функция и=(и, v) зависит от (х, у, t)
и у вихря отлична от нуля одна компонента to = vx — иу. Урав-
нение вихря при этом имеет вид
= — иах — vay = <ох% — ®вФх> (7.21)
где ф — функция тока, фх = v, фа = —и. Положив
-- (axDg (HgDXi
видим, что уравнение (7.21) имеет вид (7.20) с энергией в ка-
честве гамильтонова функционала.
Чтобы доказать, что оператор Ф гамильтонов, заметим сна-
чала, что
Ф* = —Dy • сох + Dx • юв = — Ф,
и поэтому Ф антисимметричен. Тождество Якоби доказывается
проверкой условия (7.18):
0=рг vse J {юхе л ев - ®во л 04 dx dy =
= J {Dx (сОхбу — (OyOJ A 0 А ев — Dy (южев — tOyOJ л 0 A Ox} dx dy =
== (Озер А о л ев овв а о л 0Х) -4-
+ юв(е*в аОА0х—0XXA0A0J,)} dxdy.
Второй и четвертый член после интегрирования по частям дают
5 {®х (0*0 А0А0в + 0,; А0 А0ЛВ) + <£>ХВ0В А 0 А 0Ж +
+ Фху A0A0x-T©xA0A 0хв) + ®хВ0х А 0 А 0В } dx dy = 0
540
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
в силу кососимметричности внешнего умножения. Таким обра-
зом, оператор 3 удовлетворяет условиям теоремы 7.8 и кор-
ректно определяет скобку Пуассона, относительно которой дву-
мерные эйлеровы уравнения являются гамильтоновыми. Трех-
мерный вариант мы оставляем читателю; см. упр. 7.5.
7.2. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Соответствие между гамильтоновыми группами симметрий и
законами сохранения для систем эволюционных уравнений в
гамильтоновом виде строится в общих чертах так же, как и в
разобранном в § 6.3 конечномерном случае. Сначала мы должны
исследовать «отмеченные функционалы», обязанные своим су-
ществованием вырожденности самой скобки Пуассона; они
определяют законы сохранения для всех систем с данной га-
мильтоновой структурой. Дополнительные законы сохранения,
порожденные симметрией конкретного гамильтонова функцио-
нала, можно вывести затем из обобщенных симметрий, которые
сами являются гамильтоновыми.
Отмеченные функционалы
Определение 7.11. Пусть 3— гамильтонов дифференциаль-
ный оператор размера q X Q- Отмеченный функционал для 3 —
это такой функционал е 3, что 3tf& = 0 для всех х, и.
Иными словами, гамильтонова система, соответствующая от-
меченному функционалу, тривиальна: щ = 0. Ввиду равенства
(76.4) заключаем, что функционал <ё’ отмечен тогда и только
тогда, когда его скобка Пуассона с любым другим функциона-
лом тривиальна:
{'g’, 36} = 0 для всех 36 .
Отсюда немедленно вытекает
Предложение 7.12. Пусть 3— гамильтонов оператор. Если
— отмеченный функционал для 3, то ‘g’ определяет закон
сохранения для любой гамильтоновой относительно 3 системы
Ut = ЗЪЗб.
Пример 7.13. Для первого гамильтонова оператора 3 = DX
уравнения Кортевега — де Фриза отмеченный функционал дол-
жен удовлетворять условию Dxf№ = 0, или, что то же самое,
б'®’ постоянна. Всякий такой функционал, с точностью до по-
7.2. Симметрии и законы сохранения
541
стоянного множителя, есть масса ^[u]==^udx. Таким об-
разом, в соответствии с предложением 7.12 всякое L’-решение
любого эволюционного уравнения вида ut = автоматиче-
ски удовлетворяет закону сохранения массы j udx = const.
(На самом деле это утверждение можно обобщить, см. упр. 7.8.)
С другой стороны, второй гамильтонов оператор <S не допускает
нетривиальных отмеченных функционалов, и поэтому его можно
рассматривать как «симплектический».
Скобки Ли
Как и в конечномерной ситуации, главный результат, необхо-
димый для доказательства теоремы нётерова типа, связываю-
щей группы симметрий и законы сохранения,— это соответствие
между скобкой Пуассона функционалов и коммутатором соот-
ветствующих гамильтоновых векторных полей.
Предложение 7.14. Пусть {•, •}—скобка Пуассона, опреде-
ленная дифференциальным оператором S). Пусть 9>, С£^9~ —
функционалы с соответствующими гамильтоновыми векторными
полями v^, Тогда гамильтоново поле, соответствующее
скобке Пуассона {9>, £?}, является скобкой Ли векторных полей
v(&.a}= v<?] = [v<?’ v^»]' (7.22)
(Скобка Ли дается определением 5.14.)
Доказательство. Рассмотрим произвольный функционал 5?.
Применив к 91 продолжение поля v(i9>C} с учетом равенства
(7.4) и тождества Якоби, получаем
РГУ{л<7>(Ж) = {Л, £}} =
= {{Я Я, <?}, =
= рг^({5?, ^})-рг^({5?, 0) =
= (рг vr<. • рг - pr • рг Vc) 91.
В силу тождества (5.21) последнее выражение является про-
должением скобки Ли полей v^, т. е.
₽г<#) = ~РГ vj) 91
542
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
для каждого 91 е ST. Согласно упр. 5.42, это равенство выпол-
няется только в случае, когда два обобщенных векторных по-
ля совпадают, что и доказывает (7.22). □
Законы сохранения
Как мы отмечали в гл. 4, всякий закон сохранения системы
эволюционных уравнений записывается в виде
DtT+ DivX = 0,
где через Div обозначена дивергенция по пространственным пе-
ременным, и можно без потери общности считать, что плотность
Т (х, t, зависит только от производных функций и по х. Это
условие можно выразить и так: при Q cz X функционал
[/; и] = Т (х, t, ы<п)) dx
о
является не зависящей от t константой для всех решений и,
таких, что Т(х, t, «<">)->-О при x->-dQ.
Заметим, что для любой такой дифференциальной функции
Т (х, I, ы<п>) и любого решения и эволюционной системы
Ut —
DtT = dtT + prvp(T),
где через dt = d/dt обозначено взятие частной производной по t.
Таким образом, функция Т является плотностью для некоторо-
го закона сохранения системы тогда и только тогда, когда со-
ответствующий ей функционал £Г удовлетворяет условию
dST/dt + рг vp (ЗП = 0. (7.23)
В случае когда наша система имеет гамильтонов вид, соотноше-
ние (7.4) немедленно приводит к соотношению Нётер между
гамильтоновыми симметриями и законами сохранения.
Теорема 7.15. Пусть ut = — гамильтонова система
эволюционных уравнений. Гамильтоново векторное поле v^>
с характеристикой 089s, определяет группу обобщен-
ных симметрий системы тогда и только тогда, когда существует
эквивалентный функционал 9Р = & — , отличающийся от
& лишь на зависящий от времени отмеченный функционал
¥?[t; и], такой, что & определяет закон сохранения.
Доказательство. Под зависящим от времени отмеченным
функционалом мы по аналогии с гл. 6 понимаем функционал
1.2. Симметрии и законы сохранения
543
[/; и] = J С (t, х, им) dx, где С зависит от t, х, и и производных
от и по х, обладающий тем свойством, что при любом фиксиро-
ванном значении tD ^[to; и] является отмеченным функциона-
лом для S): ^5б^ = 0. В соответствии с предложением 5.19
векторное поле является симметрией гамильтоновой си-
стемы тогда и только тогда, когда
dv^dt + [v^, v^] = 0, (7.24)
где — соответствующее гамильтоново векторное поле. Так
как оператор О) не зависит явно от t, то векторное поле dv^/dt
является гамильтоновым и соответствует функционалу d&ldt,
а по предыдущему предложению [уж, v^] является гамильто-
новым векторным полем для скобки Пуассона функционалов
и Ж Таким образом, из равенства (7.24) следует, что га-
мильтоново векторное поле для функционала 4- {&,
равно нулю, и поэтому
^ + {^, = %
для некоторого зависящего от времени отмеченного функцио-
нала
&[t; и] = j С (/, х, и™) dx.
Положим теперь
; и] = j [s; и] ds =
to
и пусть 5s = & — <&. Тогда
\ С (s, х, ы(")) ds I dx,
to '
а по определению отмеченного функционала
{5s, 2g} = {<7>, Ж}.
Таким образом, функционал 53 удовлетворяет условию (7.23)
и поэтому сохраняется; теорема доказана. □
Пример 7.16. Рассмотрим уравнение Кортевега — де Фриза
Щ = иххх + иих, (7.25)
две гамильтоновы структуры которого обсуждались в приме-
ре 7.6. Выясним, какие из классических групп симметрий из
544 Гл. 4. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
примера 2.44 являются гамильтоновыми и, таким образом, при-
водят к законам сохранения. Симметрии порождены векторны-
ми полями
v1 = dlc, va = dt, v8 = tdx—да, = xdx-\-3tdt—2ида,
ср. (2.68), где х заменено на —х, а соответствующие характе-
ристики имеют вид
Qi= их, Qa = и8хх иих, Qs = 1 *]- tux,
= 2u + xux+3i (urrr+uux)
(с точностью до знака).
Для первого гамильтонова оператора @)=DX существует
один независимый нетривиальный отмеченный функционал —
масса = — который поэтому сохраняется. Из ука-
занных выше четырех характеристик первые три гамильтоновы:
Qi = ZWi 1=1, 2, 3, (7.26)
с соответствующими сохраняющимися функционалами
53! = u2dx, ^2 = j «3-----dx,
=$ (xw fo2)dx'
Отметим, что &2— это в точности гамильтонов функционал для
уравнения (7.25) с гамильтоновым оператором S). Из инвари-
антности функционалов и следует, что первый момент
функции и является линейной функцией от t:
§xudx = at + b, а, b—постоянные,
где а = —j(l/2) «2 dx для любого решения и, достаточно быстро
убывающего при |х|—>оо, или для любого периодического ре-
шения; в последнем случае интеграл берется по периоду. Чет-
вертая характеристика СД не имеет вида (7.26) и поэтому не
порождает закона сохранения.
Что можно сказать о втором гамильтоновом операторе
<§ =£)/+ (2/3)uDx+ (1/3)ыж? В этом случае отмеченных фун-
кционалов нет. Функционалы Qi, Q2 и Q4 (но не Q3) гамильто-
новы:
Qr^&i, t=l, 2, 4,
(7.27)
7.2. Симметрии и законы сохранения
545
где
^>) = З^о = 3 и dx, ^2 = 0\ = -^-u2dx,
&л = 3£Р3 = 3 [хи + ~ /п2) dx
— соответствующие законы сохранения. В этом случае ничего
нового мы не получаем. Отметим, что еще один закон сохранения
&2 не порожден ни одной из геометрических симметрий. В соот-
ветствии с теоремой 7.15, однако, он порожден некоторой га-
мильтоновой симметрией, а именно v^. Характеристика этой
обобщенной симметрии равна
Q5 = ОД = [d3x + -| uDx + -у Их) («XX + 4- и2) =
15 . [О > 5 о
-- иххххх Ч з" ииххх Ч з“ ихихх Ч б" и их.
Таким образом, мы переоткрыли обобщенную симметрию пя-
того порядка из § 5.2! Следуя дальше, заметим, что Qs, оказы-
вается, удовлетворяет условию гамильтоновости (7.26) для
оператора Я), и функционал
^5 = ("Г ~"TUU^^ “9 dX
дает еще один закон сохранения для уравнения Кортевега — де
Фриза. К этому моменту начинают проявляться признаки ре-
курсивной процедуры порождения законов сохранения и соот-
ветствующих гамильтоновых симметрий для уравнения Корте-
вега— де Фриза. Возьмем новый закон сохранения ^5, опреде-
лим его гамильтоново векторное поле относительно оператора
<£, которое по теореме 7.15 обязательно является симметрией, а
затем попробуем найти еще один функционал £Р6, для которого
это векторное поле гамильтоново по отношению к другому га-
мильтонову оператору S), и т. д. Строгое развитие этой рекур-
сивной схемы для произвольного уравнения с двумя гамильто-
новыми структурами составит содержание § 7.3.
Пример 7.17. Двумерные уравнения Эйлера были приведены
к гамильтонову виду в примере 7.10. Изучим, какого типа за-
коны сохранения мы в результате получаем. Нам нужно рас-
смотреть сначала отмеченные функционалы для гамильтонова
оператора S) = ыхРу — <f>yDx. Непосредственное вычисление по-
казывает, что дифференциальная функция лежит в ядре
оператора S)P = 0, если и только если Р = Р(а>) является
функцией от ю (ио не зависит ни от х, ни от у, ни от какой-либо
[8 П. Олвер
546 Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
производной от со). Поэтому функционалы
[со] = С (со) dx dy
для любой гладкой функции С (со) от вихря со все являются от-
меченными и, таким образом, сохраняются на решениях урав-
нений Эйлера. Эти хорошо известные «интегралы по областям»
отражают сохранение вихря «жидкой частицы» для двумерного
потока несжимаемой жидкости.
Теперь мы построим законы сохранения, порожденные евкли-
довыми симметриями уравнений Эйлера, обнаруженными в
примере 2.45. Заметим сначала, что нам нужно найти «со-ха-
рактеристику» каждой из образующих симметрии, т. е. перепи-
сать ее в виде продолжения некоторого эволюционного вектор-
ного поля вида v = Q (х, у, I, и, v, р, со, ...)ды. Для гамильто-
нова векторного поля v мы можем вывести отсюда существование
закона сохранения ZP [со], для которого = Q. Например,
для симметрии сдвига
уа = адх + atdu — attxdp, а = a (t),
эволюционный вид таков:
Va = (az — a“x) ди — — (at tx 4 aPx) dp.
Продолжая va, мы видим, что коэффициент при со равен
Q = — аах = —3) (ау) = — 3)6^,
где
g*a = a (t) ya dx dy = a (/) и dx dy
— соответствующий сохраняющийся функционал (мы проинте-
грировали по частям). Подобным образом, симметрии сдвига
vp приводят к законам сохранения
р (/) rco dx dy = J р (t) v dx dy,
где p(/)—также произвольная функция от /. Кажется пара-
доксальным, что и .4(> при любых функциях a(t) и Р(/)
оказываются законами сохранения, но парадокс разрешается
при рассмотрении граничных вкладов. Положив a(t) — (a(t),
Р(/)), имеем дивергентное тождество в векторном виде
Dt (a • и) ф- Div [(a • и — a< • х) и 4 pa] = О,
которое выполняется для всех решений ц = (и, t>) уравнений
Эйлера. После интегрирования получаем обобщенные соотно-
7.3. Бнгамнльтоновы системы
547
шения импульса
dt J
(а (/) • u) dx = — [(а • и — а, • х) и + ра] • dS,
да
справедливые в любой подобласти Q. Именно в этом смысле
«сохраняются» указанные выше функционалы ‘Т’р.
Симметрия вращения
удх — хд0 + vdu — udv
имеет ©-эволюционный вид
(У^Х да,
являющийся гамильтоновым. Мы получаем
(уах — хау) = 2) х2 + -|- г/2) = £)W,
где
ST = ^ — (№ 4- р2) a dx dy = (уи — xv) dx dy
— сохраняемый момент количества движения жидкости. Таким
образом, для двумерных уравнений Эйлера существуют три бес-
конечных семейства законов сохранения. Два из них порож-
дены обобщенными симметриями сдвигов, а одно — интегралы
по областям—отражает вырожденность исходной скобки Пуас-
сона. Кроме того, имеются также отдельные законы сохранения
момента количества движения и энергии. Трехмерный случай
несколько отличается от двумерного — см. упр. 7.5.
7.3. БИГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
В этом последнем параграфе мы обсуждаем замечательные
свойства систем эволюционных уравнений, которые, как и урав-
нение Кортевега — де Фриза, можно записать в гамильтоновом
виде не одним, а двумя различными способами. Таким образом,
нас будут интересовать системы вида
= Д, [и] = ^&3^1 = ^6^0, (7.28)
где оба оператора S) и ё гамильтоновы, а Ж>о[и] и ^i[u]— со-
ответствующие гамильтоновы функционалы. Благодаря условию
совместности двух пуассоновых структур, определяемых опера-
торами Я) и <£, мы сможем рекурсивно построить бесконечную
иерархию симметрий и законов сохранения для этой системы
следующим образом.
18*
548 Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
В соответствии с теоремой 7.15 для любого сохраняющегося
относительно уравнения (7.28) функционала £Р[и] оба гамиль-
тоновых векторных поля va)6c7> и vg6^ являются симметриями.
В частности, так как сохраняются оба функционала и то
симметриями уравнения (7.28) являются не только исходное
векторное поле v^ = но также и два дополни-
тельных векторных поля и vg6^. Рекурсивный алгоритм
действует в предположении, что одна из этих новых симметрий,
скажем vg65g, является гамильтоновым векторным полем для
другой гамильтоновой структуры, т. е.
Для некоторого функционала 3@2. Вновь по теореме 7.15 3@2
(или некоторый эквивалентный ему функционал) сохраняется, и
поэтому мы получаем еще одну симметрию, на этот раз с харак-
теристикой <о&Уё2. Теперь схема рекурсии ясна. На п-м шаге мы
определяем новый функционал удовлетворяющий рекур-
сивному соотношению
= (7.29)
Это соотношение порождает новый закон сохранения для
исходной системы (7.28), а также новую симметрию v,i+i с ха-
рактеристикой Лп+1 =ёбЖп. Заметим, что, введя оператор 91 —
= мы можем формально записать
Kn+i — 91Кп
и предположить (так это и окажется на самом деле), что 5? бу-
дет определять оператор рекурсии для нашей системы.
Пример 7.18. Рассмотрим уравнение Кортевега — де Фриза,
существование двух гамильтоновых структур для которого было
доказано в упр. 7.6; для него
ч 2 1
0 = £>х, ё = &х + ^иСх + ±-их.
Связующий оператор в иерархии гамильтоновых симметрий
имеет вид
91 = ё • = Dx + -|-и + uxDx\
а это не что иное, как оператор рекурсии Ленарда из § 5.2! Та-
ким образом, наше исследование бигамильтоновых систем дает
автоматически доказательство существования бесконечного на-
бора законов сохранения и симметрий для уравнения Корте-
вега— де Фриза.
7.3. Бигамильтоновы системы
549
Однако для строгости рассуждений нам необходимо убедить-
ся, что две гамильтоновы структуры «совместны» в следующем
точном смысле:
Определение 7.19. Говорят, что пара антисимметрических
матричных дифференциальных операторов Я) и ё размера q X q
образует гамильтонову пару, если любая их линейная комбина-
ция aS) + Ьё, а, Ье 'Н’, является гамильтоновым оператором.
Система эволюционных уравнений называется бигамильтоновой,
если ее можно записать в виде (7.28) для гамильтоновой пары
Я, ё.
Лемма 7.20. Два антисимметрических оператора Я, ё обра-
зуют гамильтонову пару тогда и только тогда, когда S), ё и
Я -\-ё гамильтоновы.
Доказательство. Заметим, что тождество Якоби в любой из
своих форм (7.3), (7.11) или (7.18) квадратично по Я). Поэтому
лемма легко следует из того, что любой квадратичный много-
член, обращающийся в нуль в трех различных точках, тожде-
ственно равен нулю. В применении к нашему случаю для Р, Q,
R е пусть У {Я, Р, Q, R) обозначает левую часть равен-
ства (7.11). Соответствующая симметрическая билинейная фор-
ма имеет вид
?(Я, ё-, Р, Q, Р) =
= -g-$[P-prvSR(^)Q + P-prvSQ(^)P + Q-prvsp(^)P +
+ Р • pr vgR (Я) Q + р • pr vgQ (Я) Р + Q • pr Vgp (Я) Р] dx. (7.30)
Если операторы Я, ё и Я + ё гамильтоновы, то
$(Я, Я-, Р, Q, Р) = ?(ё, ё; Р, Q, Р) = 0
и
?(& + ё, Я-рё; Р, Q, Р) =
= ^(Я, Я; Р, Q, Д) + 2^(Я, ё; Р, Q, Р) +
+ ?(ё, ё-, р, Q, р) = о,
и поэтому
?(Я, ё\ Р, Q, R) = 0. (7.31)
Отсюда легко проверить, что
^(аЯ + Ьё, аЯ + Ьё-, Р, Q, Р) = 0
для всех a, b е R. □
550
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
Следствие 7.21. Два гамильтоновых дифференциальных опе-
ратора Sb и <5 образуют гамильтонову пару тогда и только тогда,
когда
Рг vs>e (es) + Рг vse (в®) = °> (7-32)
где
0^ = -^-J {0A^O)rfx, ®g = 4^0AS>0)dx
— функциональные два-векторы, представляющие соответствую-
щие скобки Пуассона.
Действительно,
0; Р, Q, fl) = <Prv^6(<W Р> Q> Р)>
поэтому вычисление выражения (7.32) в Р, Q, R дает (7.31). □
Пример 7.22. Рассмотрим гамильтоновы операторы Sb, to,
связанные с уравнением Кортевега — де Фриза. Очевидно,
Рг vge (®s>) = Pr vse $ T Iе Л 0Л dx = °-
а
Pr vae (®г) = Pr vs>e $ {4 0 Л 0ххх + Т ив л 0J dx =
= J {4-M0a6Jdx = 0
ввиду свойств внешнего произведения. Таким образом, Sb и %
образуют гамильтонову пару.
Кстати, когда мы изучаем гамильтоновы пары, мы всегда
исключаем тривиальный случай: один оператор равен другому,
умноженному на постоянную. В случае систем (в отличие от ска-
лярных уравнений) мы должны наложить дополнительное огра-
ничение на один из операторов, скажем Sb, связанное с появле-
нием обратного к нему в формуле для оператора рекурсии.
Определение 7.23. Дифференциальный оператор Sb'. si-'
называется вырожденным, если существует ненулевой диффе-
ренциальный оператор Sb: такой, что Sb-Sb = 0.
Например, матричный оператор
ь-
7.3. Бигамильтоновы системы
551
вырожден (и гамильтонов), так как для <Z> = (1, —Dx) имеем
= Нетрудно видеть, что вырожденность — это чисто
матричное явление; любой отличный от нуля скалярный опера-
тор 3): автоматически невырожден. (Полезный крите-
рий невырожденности приведен в упр. 7.14.)
Теперь мы готовы сформулировать основную теорему о бига-
мильтоновых системах.
Теорема 7.24. Пусть
щ [и] = 06^1 =
— бигамильтонова система эволюционных уравнений. Предпо-
ложим, что оператор Ф гамильтоновой пары невырожден. Пусть
&. = <£— соответствующий оператор рекурсии, и пусть
Ко — S)&7@o- Предположим, что для каждого п = 1, 2, 3, ... мы
можем рекурсивно определить
Кп = @Кп_и «>1,
т. е. для каждого п Kn-i лежит в образе оператора S). Тогда
существует последовательность функционалов 3^0, Ж\, ...,
такая, что
(i) для каждого п 1 эволюционное уравнение
щ = Кп [и] = ФбЖп = , (7.33)
является бигамильтоновой системой-,
(ii) соответствующие эволюционные векторные поля уп = у к
попарно коммутируют-.
[vn, vm] = 0, п,
(iii) гамильтоновы функционалы Жп попарно находятся в
инволюции относительно каждой скобки Пуассона-.
Ж, = 0 = {Жп, п, m > 0, (7.34)
и поэтому образуют бесконечный набор законов сохранения для
каждой из приведенных выше гамильтоновых систем.
Прежде чем доказывать теорему, следует сделать несколько
замечаний. Хотя в сформулированном виде результат является
весьма мощным, в нем содержится один неприятный дефект;
а именно, мы должны предполагать, что можем на каждом шаге
применять оператор рекурсии к Кп-\ для получения Кп, т. е. до-
казывать, что Кп-\ лежит в образе оператора S). В большинстве
известных к настоящему времени примеров это, кажется, всегда
так, однако было бы замечательно получить общее доказатель-
552 Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
ство этого факта. (Доказательство, приведенное в теореме 5.32,
годится только для уравнения Кортевега — де Фриза.) Однако
сейчас, за исключением некоторых частных случаев, это лучшее,
что мы можем делать. Вторая проблема состоит в проверке не-
зависимости гамильтоновых функционалов Жп\ на практике это
обычно легко увидеть, рассматривая старшие члены соответ-
ствующих эволюционных уравнений.
Само доказательство сводится к следующей технической
лемме:
Лемма 7.25. Пусть операторы Ф, ё образуют гамильтонову
пару и оператор 33 невырожден. И пусть Р, Q, R е s4-q удовлет-
воряют условию
8Р = 3)Q, %Q = 3)R. (7.35)
Тогда если Р = дЗ, Q = являются вариационными произ-
водными функционалов 3, Q, 3~, то и R = №. для некоторого
функционала
Прежде чем доказывать лемму, посмотрим, как из нее вы-
текает теорема. Положим для каждого п 0 К.п = 3)Qn, где
по предположению Qn е s^q — корректно определенный набор из
q дифференциальных функций. По лемме если Qn_j = №6п-\,
Qn = являются вариационными производными, то и Qn+] ==
= &%п+\ для некоторого функционала Жп+\^3~. Так как мы
уже знаем, что Qo = Qi = 6-Ж имеют такой вид, то суще-
ствование функционалов 36 п, и 0, вытекает из простой индук-
ции. Часть (i) доказана.
Часть (И) следует из ч. (iii) и равенства (7.22), поэтому мы
сосредоточимся на доказательстве ч. (iii). Ввиду равенства (7.4)
{Жп, ^mb = prvm(^„)
и
адг=ргУт+1(^„),
откуда
Ж,
Чтобы двигаться дальше, воспользуемся кососимметричностью
скобки Пуассона. При п < m
{Жп, 36m}s = {36n,
= <}-о,
где k — целая часть числа (т — п) /2, и последняя скобка — это
-пуассонова скобка при четном m —• п и ^-пуассонова скобка
при нечетном m — п. Тем самым доказано равенство (7.34), и
доказательство теоремы завершено. □
7.3. Бигамильтоновы системы
553
Доказательство леммы 7.25. Напомним, возвращаясь к вы-
воду равенства (7.11) из тождества Якоби (7.3), что большое
количество сокращений — результат того, что наборы Р, Q, Д
предполагались вариационными производными функционалов и,
следовательно, их производные Фреше были симметрическими
операторами. Если мы отбросим это исходное предположение и
проведем вычисление для произвольных наборов Р, Q, Д е s£q,
то придем к тождеству вида
Ж (Я), ЗУ, Р, Q, P) = S(3), 3); Р, Q, Д) + ?(3), 3)-, Р, Q, Д),
где
Ж (35, Р, Q, 7?) =
= -i- {pr Р • %Q dx + рг у^р Q • &Д dx +
+ Ргужо + Р ' ®Qdx +
-|- рг v«.P ( Q • SDP dx + pr ( Д • 3)P dx\.
X (3), 3); P, Q, Д) определяется формулой (7.30), a S’ — квад-
ратичная форма билинейного выражения
S(35, Р, Q, Д) =
= -4-${0P -(Dq-Dq) ^T? + ^Q-(Dr-D«)^P +
4- 35Д (Dp - Dp) 4- %P • (Dq - Dq) 35Д -j-
4- SQ (Dfi — Dp) 3)P 4- &Д • (Dp - Dp) 35Q}dx.
У предыдущего тождества есть билинейный аналог
Ж (Я), Р, Q, P) = S>(3), &; Р, Q, Д) + ^(3), Р, Q, Д);
(7.36)
это тождество выполняется для произвольных Р, Q, Д е S& и
произвольных антисимметрических операторов Я), <S. В частно-
сти, если Я), <£ образуют гамильтонову пару, то член У в (7.36)
обращается в нуль.
Заменим теперь Р на S — SS, Д на Т — &Г в (7.36) и пред-
положим, что Р, Q, Д связаны соотношениями (7.35). Так как
Q, S и Т являются вариационными производными функцио-
налов, из теоремы 5.68, (7.36) и (7.31) следует, что
0 = S(3), Q, S, Т) = Ж(3), Q, S, Т). (7.37)
554
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
Кроме того, с помощью соотношений (7.35) и антисимметрич-
ности операторов 3) и ё находим (после перестановки членов)
X(j25, ё\ Q, S, Т) =
= {рг Vgp 5 • ёТ dx 4- рг Vgs Т &Pdx +
+ рг vgr Р • ё8 dx + рг vSR S • 0Т dx +
+ prvss Т • dx + ргуят ^7?-S)Sdx} =
= -i-{X(^, ё\ Р, S, Т) + Ж(Ф, ЗУ, R, S, Т)}.
Так как ё гамильтонов и Р, S, Т являются вариационными про-
изводными функционалов, то Ж(ё, ё\ Р, S, Т) представляет
собой левую часть тождества Якоби для ё и поэтому обра-
щается в нуль. Нам еще неизвестно, что 7? является вариацион-
ной производной некоторого функционала, поэтому мы не мо-
жем утверждать того же относительно Ж (3), 3)', R, S, Т). Од-
нако ввиду (7.36), (7.37) и теоремы 5.68 (для S и 7) имеем
О = Ж(0, ЗУ, R, S, Т) = 2’(3), 3); R, S, Т) =
= \з)Т • (Dyj - D«) 3)S dx = - J T - 3) (D* - D«) 3)8 dx.
Заметим, что оператор 3 3 антисимметрический. Так
как это тождество выполняется для произвольных вариационных
производных S = ЬЗ, Т = §3~, то из предложения 5.64 и прин-
ципа подстановки (упр. 5.32) следует, что
0-(Од-Оя)-0 = О.
И наконец, предположение о невырожденности оператора 3
позволяет нам заключить, что
0-(Dr-D«) = O.
Применив сопряжение, получаем
-(D*-D*)-0 = O.
Использовав еще раз невырожденность оператора 3, заклю-
чаем, что R удовлетворяет условию Гельмгольца D^ = D^ и
поэтому ввиду теоремы 5.68 является вариационной производ-
ной некоторого функционала. □
7.3. Бигамильтоновы системы
555
Операторы рекурсии
Мы видели, что для данной бигамильтоновой системы опера-
тор = последовательно применяемый к исходному
уравнению До = порождает бесконечную последователь-
ность обобщенных симметрий исходной системы (подчиняющих-
ся техническим предположениям теоремы 7.24.) Пока еще не
ясно, что 5? действительно является оператором рекурсии для
системы в том смысле, что если Vq — обобщенная симметрия, то
и v^q — обобщенная симметрия. Пока нам это известно только
для симметрий вида Q = Кп при некотором п. Чтобы доказать
этот более общий результат, нам понадобится формула для ин-
финитезимального изменения самого гамильтонова оператора
под действием гамильтонова потока.
Лемма 7.26. Пусть щ = К= — гамильтонова система
эволюционных уравнений с соответствующим векторным полем
VK ~ ?ог^а
рг (0) = D* • 0 + 0 • D’K. (7.38)
Доказательство. Положим L = т. е. К = 3)L. Пусть
Р = 65s, Q = 8Q — произвольные вариационные производные.
В силу тождества Якоби для оператора S) в виде (7.11) и ра-
венств (7.7) и (5.41)
[Р • рг v^(0)Q] dx= [Р • рг (3))L — Q рг Vg,(2)) £] dx =
= J {p • [pr (Д) — J^prv^ (£)] —
— Q • [pr v (Д) — S) pr (£)]} dx =
= J {P • [DK (ЭД - 0Dt <^5Q)] -
- Q [DK (^P) - 0DL (0P)]} dx =
= $ [P • DK (ад - Q • DK (0P)] dx =
= $ [P + S)D*K) Q] dx.
Предпоследнее равенство следует из того, что оператор 3)DLS)
симметричен в силу антисимметричности S), a DL симметриче-
ский, так как £ = вариационная производная. Теперь тре-
буемый результат следует из принципа подстановки. □
556 Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
Теорема 7.27. Пусть tit = К — 9ДУ%\ = — бигамильто-
нова система эволюционных уравнений. Тогда оператор 91 =
= ё-9)~1 является оператором рекурсии для этой системы.
Доказательство. Мы должны проверить инфинитезимальный
критерий теоремы 5.30. С помощью предыдущей леммы имеем
рг(91) = рг(ё) 9)~х — ё • 9>~х prvK (9)) - 9)~х =
= (DK^ + Wx) ST1 - <Г (DK9) + Wx) =
= Dx^? — 5?Dx-
Поэтому для решения и
(Dt — DK) • 91 — 91 • Dt + pr vx (&) — DK 91 — 91 • (Dt — DK)
и (5.42) выполняется. □
Заметим, что в этой теореме мы не требуем, чтобы пара
(9), ё) была гамильтоновой; нам нужна только гамильтоно-
вость каждого оператора. Таким образом, оператор рекурсии
существует в более общих ситуациях. Однако без предположе-
ния о том, что пара (9), ё) гамильтонова, не ясно, являются ли
гамильтоновыми симметрии vn, п = 0, 1, 2, ..., определяемые
рекурсией. Примеры такого явления до сих пор неизвестны.
Пример 7.28. Уравнение Буссинеска, которое мы записываем
в виде
Hft == "д' НХХХХ -( д" (и )хх,
возникает в модели распространения длинных волн в мелкой
воде, связанной с окрестностью фронта волны (несмотря на то
что оно допускает волны, бегущие в обоих направлениях!). Его
можно преобразовать в эквивалентную эволюционную систему
Щ = vx, Vf g uxxx ~| ^-uux, (7.39)
которая оказывается бигамильтоновой. Первую гамильтонову
формулировку распознать нетрудно. Возьмем в качестве гамиль-
тонова оператора
(он, очевидно, удовлетворяет тождеству Якоби, так как его
коэффициенты'постоянны), а в качестве гамильтонова функцио-
7.3. Бигамильтоновы системы
557
нала
[и, v] = (— 4’и*+1Ги3 + 'Ти2)£/х‘
Вторая гамильтонова структура не столь очевидна. Гамильто-
нов функционал имеет вид
[и, и] = v dx,
а гамильтонов оператор равен
Dyx + 2uDx + ux 3 t>Dx + 21>х
3 vDx + vx |D5x + К uDJx + D’ • и) - (uxxDx + Dx uxx) + *uDx и
Даже доказательство того, что оператор ё гамильтонов, пред-
ставляет собой довольно трудоемкое вычисление. Соответствую-
щий два-вектор имеет вид
©g — у {б A 0XXX + 2u0 A 0х -J- 2и0 А — 4v6x А £ +
4 д' С 'Qxxxxx 4 д' Е,ххх A £,Xx 4 g~ « £ A dx,
где 9 = (0,£), a 0 и т — базисные один-векторы, отвечающие и
и v соответственно. Вычисляя левую часть равенства (7.18)
(для ё), будем использовать то, что
рг vge (и) = еххх + 2ивх + ив + ЗиСх + 2v£,
Рг Vge (v) = 3и0х + vxe + -|- t,xxxxx + -y-i£xxx + buxlxx +
+ + ~y “2) Cx + (-f- Uxxx + -y- C>
а также неоднократное интегрирование по частям — быть может,
читателю захочется проверить на этом примере свою сноровку!
Доказательство того, что Я), ё образуют гамильтонову пару,
несложно; так как коэффициенты оператора S) постоянны, то
prvg0 (0^) = 0, и нам нужно проверить только, что
Pr vse (©g) = 0, где рг (и) = ^х, рг vSe (и) = 0Х.
Таким образом, для уравнения Буссинеска имеется целая иерар-
хия законов сохранения и коммутирующих потоков. Оператор
558
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
рекурсии имеет вид
#=#.0-1 =
/ 3t’ + 2t\Dx D'K + 2и -* и. X'
\.5о1 + \°иО; + 5иЛО,+Зп.х 1 (йщ. 4 \"uuJDy 3t + t\D,‘
и применяя # последовательно к правой части равенств (7.39),
мы будем получать симметрии. На первом шаге этой рекурсии
мы получаем поток
V*
= =
I luxxxxx+^uuxxx + ^uxuxx+^u2ux + 5vvx
\з fxxxxx +т uvxxx + 5uxvxx+^uxxvx + Iuxxxv + ^u2vx + tuuxv
со следующим законом сохранения:
<vz> г 1 С ( 1 1 Ю I 5 2 . 20 з . 5 з\ ,
Ж2[и, и]= \ \^-uxxvxx + -^-uuxxv + ^-uKv + -^-и f + )dx.
С другой стороны, можно начать с гамильтоновой симметрии
сдвига
ut\ fux\
Vf/ \VX/
где оба функционала
X [и, и] = \ и dx, [и, о] =
uv dx
сохраняются. По теореме 7.27 применение # к этой симметрии
приводит ко второй иерархии коммутирующих потоков и соот-
ветствующих законов сохранения, первый из которых имеет вид
vt
= #б Д =
XXX + 4uvx + 4uxv
"д' ^ххххх ”F 4UUXXX 4~ -| U2UX 4~ 4w
Замечания
559
где
Жг\и, о] = ^ ^Uxx —2иих +-^-и4 + 2uv2—^-Vx^dx
— еще один закон сохранения. (На каждом шаге необходимо
быть уверенным в том, что оператор & обратим, но это доказы-
вается аналогично случаю уравнения Кортевега — де Фриза.)
ЗАМЕЧАНИЯ
Хотя гамильтоновы системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений имели первостепенное значение как в классиче-
ской, так и в квантовой механике, распространение идей и тех-
ники этой теории на бесконечномерные системы, управляемые
системами эволюционных уравнений, обретало зрелость очень
медленно. Отставание объяснялось главным образом настойчи-
выми попытками использовать для бесконечномерных систем
канонические координаты, существующие в конечномерном слу-
чае благодаря теореме Дарбу; однако для представляющих
интерес систем эволюционных уравнений таких координат нет, и
поэтому для работы необходимо предварительное овладение об-
щим понятием пуассоновой структуры. (Бесконечномерный ва-
риант теоремы Дарбу, доказанный Вейнстейном (Weinstein
[I]), кажется, в данном контексте неприменим.)
Корректное описание гамильтоновой структуры для эволю-
ционных уравнений основывалось на двух замечательных ре-
зультатах. Арнольд [1], [2] показал, что уравнения Эйлера для
потока идеальной жидкости можно рассматривать как гамильто-
нову систему на бесконечномерной группе диффеоморфизмов,
сохраняющих объем, построенную с помощью скобки Ли — Пу-
ассона (как обобщение на соответствующую бесконечномерную
алгебру Ли). Арнольд выписал свою гамильтонову структуру в
лагранжевых (подвижных) координатах; эйлеров вариант был
впервые открыт Кузнецовым и Михайловым [1]. Вариант, пред-
ставленный здесь, включая вывод законов сохранения, основан
на работах Olver [5] и Ибрагимов [1; § 25.3]. (Приведенная у
нас скобка Пуассона, хотя и является формально правильной,
не может учесть граничные эффекты, и при обсуждении реше-
ний на ограниченных областях нуждается в незначительной мо-
дификации; см. обсуждение этого вопроса в работе Lewis, Mars-
den, Montgomery, Ratiu [1].) Затем в статье Marsden, Wein-
stein [2] было показано, что лагранжева и эйлерова скобки Пу-
ассона — одно н то же. Метод Арнольда был с большим успехом
применен к определению гамильтоновых структур многих систем
дифференциальных уравнений, возникающих в механике жидко-
560 Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
сти, физике плазмы и т. д. С помощью этих гамильтоновых
структур доказывались новые результаты о нелинейной устой-
чивости этих сложных систем; см. Holm, Marsden, Ratiu, Wein-
stein [1] и дальнейшие ссылки в этой работе.
Вторым важным толчком в развитии общей теории послу-
жило открытие Гарднером (Gardner [1]) того, что уравнение
Кортевега —де Фриза можно записать в виде вполне интегри-
руемой гамильтоновой системы. Дальнейшее развитие эта идея
получила в работах Захарова и Фаддеева [1], Гельфанда и Ди-
кого [1Ь [2] и Лакса (Lax [3]). Адлер (Adler [1]) показал, что
(первую) гамильтонову структуру уравнения Кортевега — де
Фриза можно рассматривать как формальную структуру Ли —
Пуассона на бесконечномерной алгебре Ли псевдодифферен-
циальных операторов на вещественной прямой, и распространил
эти результаты на более общие солитонные уравнения, обла-
дающие представлением Лакса, включая уравнение Буссинеска
из примера 7.28. (См. Lax [1].)
Ранние варианты теории гамильтоновых систем эволюцион-
ных уравнений были ограничены настойчивым введением кано-
нических координат; типичный пример этого подхода можно
найти в работе Вгоег [1]. Общее понятие гамильтоновой систе-
мы эволюционных уравнений впервые прояснилось в работах:
Magri [1], Виноградов [2], Kupershmidt [1] и Манин [^.Даль-
нейшее развитие, включая упрощенную технику проверки
тождества Якоби, теория получила в работах Гельфанда и Дорф-
мана [1], Олвера (Olver [4]) и Космана-Шварцбаха (Kosmann-
Schwarzbach [3]). Приведенные у нас методы вычислений, ос-
нованные на функциональных мультивекторах, представляют со-
бой слегка модифицированный вариант методов второй из этих
работ. Оператор prvse в (7.18) —то же самое, что скобка Схо-
утена, где два-вектор 0 определяет скобку Пуассона; такой под-
ход нашел развитие у Магри (Magri [1]) и Гельфанда и Дорф-
мана [1]. (Конечномерный вариант этой скобки можно найти
в упр. 6.20, а ее общий бесконечномерный вид — в работе Ol-
ver [10].)
Основная теорема о бигамильтоновых структурах принадле-
жит Магри (Magri [1], [2]), который также первым опубликовал
вторую гамильтонову структуру для уравнения Кортевега —
де Фриза и других. Его метод получил развитие в работах Гель-
фанда и Дорфмана [1], [2] и Фухстейнера и Фокаса (Fuchsstei-
ner, Fokas [1]). Вторые гамильтоновы структуры в других соли-
тонных уравнениях были обнаружены Адлером (Adler [1]) и
Гельфандом и Диким [3] и получили дальнейшее развитие в ра-
боте Kupershmidt, Wilson [1]. Недавно Купершмидт [2] обна-
ружил «тригамильтонову» систему, возникающую в механике
Упражнения
561
жидкостей; см. упр. 7.11. Понятие бигамильтоновой системы
всплыло также недавно в работах по бесконечномерным га-
мильтоновым системам, в которых семейства законов сохране-
ния строятся с помощью подходящей рекурсивной процедуры;
см. Hojman, Harleston [1] и Crampin [1], а также приведенные
там ссылки. Однако единственный известный мне к настоящему
времени содержательный пример бесконечномерной бигамиль-
тоновой системы — это цепочка Тоды, которая исследована в
статье Leo М., Leo R. A., Soliani, Solombrino, Mancarella [1].
Доказательство основной теоремы 7.24 о бигамильтоновых
системах основано на доказательстве Гельфанда и Дорфмана
[1]. Неприятное предположение технического характера о том,
что оператор Ф обратим на каждом шаге, не всегда выполняет-
ся. Однако для оператора 3) с постоянными коэффициентами
это предположение можно отбросить; доказательство опирается
на точность бесконечномерного обобщения комплекса, построен-
ного в работе Lichnerowicz [1], основанного на скобке Схоутена.
Гипотезу относительно более общей ситуации можно найти в
статье Olver [10], а доказательство для случая постоянных ко-
эффициентов— в моей готовящейся к выходу статье.
УПРАЖНЕНИЯ
*7.1. Пусть р = q = 1. Найдите все гамильтоновы операторы вида
D3X+PDX + Q,
где Р н Q — дифференциальные функции. (Рассмотрите сначала Р, Q, зави-
сящие только от и и их.) (Гельфанд, Дорфман [1].)
7.2. Пусть р = 1, q = 3. Обозначим зависимые переменные через и, v,
w. Пусть
,0 0 DK \
0 = 1 0 Dx 0 j
\0 ЕР 4" 2tzZ), иу J
* л л л л *
Докажите, что оператор S) гамильтонов. (Adler [1].)
7.3. Докажите, что уравнения Максвелла в физическом виде упр. 2.16(a)
составляют гамильтонову систему со скобкой Пуассона
Обсудите симметрии н законы сохранения. (См. также упр. 4.6 и 5.15.)
(Born, Infeld [1], Marsden [1].)
7.4. Выведите найденные в примере 7.17 законы сохранения ^р
для двумерных уравнений Эйлера непосредственно из закона сохранения энер-
гии с помощью предложения 5.48. (Ибрагимов [1].)
*7.5. Докажите, что трехмерные уравнения Эйлера для потока несжи-
маемой жидкости, переписанные относительно вихря to = V X и, образуют
562
Гл. 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений
гамильтонову систему по отношению к оператору S), где
ЗУР = со VP — (V®) V X Р
(V обозначает полный градиент, ротор или дивергенцию). Найдите законы
сохранения, отвечающие известным группам симметрий. Докажите, что един-
ственный нетривиальный отмеченный функционал — это «полная завихрен-
ность» св = (и • co) dx. (Olver [5]; относительно «-мерного случая см. Ser-
ге [1].)
7.6. Пусть Sfu] — вариационная задача с уравнениями Эйлера — Лаг-
ранжа fi-S? = 0. Предположим, что поле v q порождает группу вариационных
симметрий с законом сохранения Div Р = 0. Докажите, что соответствующие
динамические гамильтоновы уравнения щ = имеют соответствующий
закон сохранения, если и только если поле = v^. гамильтоново относи-
тельно данной скобки Пуассона.
7.7. Динамические уравнения упругости имеют вид
где IF (х, Vи)—функция высвобожденной энергии, ср. пример 4.32. Докажите,
что эти уравнения можно привести к гамильтонову виду, приняв энергию
+ Viz)] dx
за гамильтониан, а и, v = щ — за канонические переменные. Обсудите законы
сохранения этой системы в свете упр. 7.6 и примера 4.32. (Fletcher D. С.
[1], Marsden, Hyghes [1; § 5.5].)
7.8. (а) Пусть S5'. st4 st4— дифференциальный оператор. Докажите,
что любой функционал ^[м],удовлетворяющий условию S5* 6®’ = 0, является
законом сохранения для любой эволюционной системы вида щ — 0Q для
любого Q е st4.
(b) Докажите, что любое эволюционное уравнение вида ut = D™Q, где
х, ueR, всегда сохраняет первые т + 1 моментов Mj — х^и dx, j =
= 0, ..., т, любого решения.
7.9. Докажите, что операторы
9
3) = Dx, & = О3х + — Ох-иО~'-и1)х
X л g л л л
составляют гамильтонову пару, превращающую модифицированное уравнение
Кортевега — де Фриза «/ = иххх + и2их в бнгамильтонову систему. Найдите
оператор рекурсии и первые несколько симметрий. Как они связаны с преоб-
разованием Миуры уравнения Кортевега—де Фриза из упр. 5.11? (Magri [2].)
7.10. Уравнение Гарри Дима имеет вид ut = Dx(u~1/2). Докажите, что
это бигамильтонова система при 3) = 2uDx + их, <£ = D3X. Обсудите отме-
ченные функционалы, симметрии и законы сохранения для этого уравнения.
(Magri [1]; в книге Ибрагимов [1] показано, как можно преобразовать это
уравнение Кортевега — де Фриза.)
Упражнения
563
7.11. Рассмотрим три системы уравнений, близкие к нелинейному урав-
нению Шредингера:
ut + ихх = 2 (иих + ах), — vt + vxx = 2 (uv)x,
й" + й'хх = «х + 2t\- -^t + дхх = 2йх5х-
Щ + йхх = 2й2й, — vt + vxx = 2uv2.
Найдите замены, связывающие решения этих систем. Проверьте, что пер-
вая из них является тригамильтоновой, т. е. ее можно записать в гамильто-
новом виде, пользуясь любым из трех гамильтоновых операторов
2DX
uDx Dx
Dx- и — Dx
2vDx + vx
/ 4uDx + 2ux 4vDx + 2vx + Dx (Dx — u)2
\4vDx 2vx + (Dx + u)2 Dx (Dx + u) (2vDx + vx) — (2vDx + vx) (Dx — u)
и любые два из этих операторов составляют гамильтонову пару. Обсудите
гамнльтоиовость остальных двух систем (см. Whitham, [1], Вгоег [1], Кнрег-
shmidt [2], Михайлов, Шабат, Ямннов [2]).
7.12. (а) Докажите, что производная Ли симметрического (соответствен-
но антисимметрического) матричного дифференциального оператора S) по
эволюционному векторному полю vq prvp(S>) симметрична (антисиммет-
рична).
(Ь) Докажите непосредственно, что левая часть тождества (7.11) являет-
ся кососимметричной трилинейной функцией от Р, Q, R.
7.13. Докажите, что если st-^st и <£'. st- -* st- —- ненулевые скаляр-
ные дифференциальные операторы, то & ° S&-. st^-st — тоже ненулевой
дифференциальный оператор. Выведите отсюда, что любой скалярный диф-
ференциальный оператор невырождеи в смысле определения 7.23.
*7.14. Пусть S>-. str st’ — дифференциальный оператор, а Ж* =
= {Q е sts\ S)*Q = 0} — ядро сопряженного к нему оператора. Докажите,
что если Ж* —конечномерное векторное пространство над R, то оператор Sb
невырождеи в смысле определения 7.23. Сколько отмеченных функционалов
имеется у невырожденного гамильтонова оператора?
Литература
Адо И. Д.
[1] Представление алгебр Ли матрицами. — УМН, 1947, т. 2, № 6,
с. 159—] 73.
Арнольд В. И.
[1] Sur la geometric diffcrcntielle des groupes de Lie de dimension in-
finite et ses applications a i’hydrodynamique des Guides parfaits,
Ann. Inst. Fourier Grenoble 16 (1966), 319—361.
[2] Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и иде-
альной жидкости. — УМН, 1969, т. 24, № 3, с. 225—226.
[3] Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974.
Баренблатт Г. И.
[1] Подобие, автомодельность, промежуточные асимптотики. — Л.: Гид-
рометиздат, 1982.
Березин Ф. А.
[1] Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли. —
Функц. анализ и его прилож., 1967, т. 1, № 2, с. 1 — 14.
Бучнев А. А.
[1] Группа Ли, допускаемая движением идеальной несжимаемой жид-
кости. — Динамика сплошной среды, 1971, т. 7 с. 212—214.
Вайнберг М. М.
[1] Вариационные методы исследования нелинейных операторов. — М.:
Гостехиздат, 1965.
Виленкин Н. Я.
[1J Специальные функции и теории представлений групп.—М.: Наука,
1965.
Випберг Э. Б., Оиищик А. Л.
[1* *] Семинар по алгебраическим группам.—М.: Наука, 1988.
Виноградов А. М.
[1] К алгебро-геометрическим основаниям лагранжевой теории поля.—
ДАН СССР, 1977, т. 236, № 2, с. 284—287.
[2] Гамильтоновы структуры в теории поля.—ДАН СССР, 1978, т. 241,
№ 1, с. 18—21.
[3] The "TT-spcctral sequence, Lagrangian formalism and conservation
laws. I. The linear theory, J. Math. Anal. Appl. 100 (1984), 1—40.
[4] The 'g’-spectral sequence, Lagrangian formalism and conservation
laws. II. The nonlinear theory, J. Math. Anal. Appl. 100 (1984), 41—
129.
[5] Local symmetries and conservation laws, Acta AppL Math. 2
(1984), 21—71.
Гельфанд И. M., Дикий Л. А.
[1] Асимптотика резольвенты штурм-лиувиллевских уравнений и ал-
гебра уравнений Кортевега — де Фриза. — УМН, 1975, т. 30, № 5,
с. 67—100.
[2] Структура алгебры Ли в формальном вариационном исчислении. —
Функц. анализ и его прилож., 1976, т. 10, № 1, с. 18—25.
[3] Семейство гамильтоновых структур, связанных с интегрируемыми
нелинейными дифференциальными уравнениями. — Препринт № 136
Литература
565
Института прикладной математики, М„ 1978.
Гельфанд И. М., Дорфман И. Я.
[1] Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические
структуры. — Функц. анализ и его прилож., 1979, т. 13, № 4,
с. 13—30.
[2] Гамильтоновы операторы н бесконечномерные алгебры Ли. —
Функц. анализ и его прилож., 1981, т. 15, № 3, с. 23—40.
Гельфанд И. М., Фомин С. В.
[1] Вариационное исчисление. — М.: Физматгиз, 1961.
Захаров В. Е., Конопельченко Б. Г.
[1] On the theory of recursion operator, Comm. Math. Phys. 94 (1984),
483—509.
Захаров В. E., Фаддеев Л. Д.
[1J Уравнение Кортевега — де Фриза — вполне интегрируемая гамиль-
тонова система.— Функц. анализ н его прилож., 1971, т. 5, № 4,
с. 18-27.
Ибрагимов Н. X.
[1] Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука,
1983.
Ибрагимов Н. X., Шабат А. Б.
[1] Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Лн — Бэклуи-
да. — Функц. анализ и его прилож., 1980, т. 14, № 1, с. 19—28.
Капитанский Л. В.
[1] Групповой анализ уравнений Навье — Стокса н Эйлера при наличии
вращательной симметрии и новые точные решения этих уравне-
ний. - ДАН СССР, 1978, 243, № 4, с. 901-904.
[2] Групповой анализ уравнений Навье — Стокса при наличии враща-
тельной симметрии н некоторые новые точные решения. — Записки
научи, сем. ЛОМИ, 1979, т. 84, с. 89—107.
Кириллов А. А.
[1] Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978.
Ковалевская С. В.
[1] Zur Theorie der Partiellen Differentialgleichungen, J, Reine Angew.
Math. 80 (1875), 1—32.
Козлов В. В.
[1] Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механи-
ке. — УМН, 1983, т. 38, № 1, с. 3-67.
Костин В. М.
[1] О некоторых инвариантных решениях уравнений типа Кортевега —
де Фриза. — Журнал прикл. мех. и техн, физ., 1969, № 4, с. 69—73.
Кузнецов Е. А., Михайлов А. В.
[1] On the topological meaning of canonical Clebsch variables, Phys.
Lett. 77A (1980), 37—38.
Манаков С. B.
[1] Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики п-мер-
ного твердого тела. — Функц. анализ и его прилож., 1976, т. 10,
№ 4, с. 93—94.
Манин Ю. И.
[1] Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравне-
ний.— В сб. Современные проблемы математики, 11, Итоги науки
М.: ВИНИТИ, 1978, с. 5-152.
Михайлов А. В., Шабат А. Б., Ямилов Р. И.
[1**] Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений.
Полные списки интегрируемых систем. — УМН, 1987 т 42 № 4
с. 3-53.
566
Литература
[2**] Extension of the Module of Invertible transformations classifica-
tion of integrable systems, Commun. Math. Phys. 115 (1988), 1—19.
Мищенко А. С., Фоменко A. T.
[1] Обобщенный метод Лнувнлля интегрирования гамильтоновых си-
стем. — Функц. анализ и его прилож., 1978, 12, № 2, с. 46—56.
Овсянников Л. В.
[1] Группы и инвариантные относительно группы решения дифферен-
циальных уравнений. — Новосибирск, 1966.
[2] Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравне-
ний. — Новосибирск, 1966.
[3] Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука,
1978.
Петровский И. Г.
[1] Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физмат-
гиз, 1961.
Понтрягин Л. С.
[1] Непрерывные группы. — М.: Наука, 1984.
Свинолупов С. И.
[1**] On the analogues of the Burgers equation, Phys. Lett A, 1989, v. 135,
№ 1, p. 32—36.
Седов Л. И.
[1] Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1987.
Соколов В. В.
[1**] О симметриях эволюционных уравнений. — УМН, 1988, т. 43,
вып. 5, 133—163.
Фущич В. И., Никитин А. Г.
[1] О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака.—
Физика элемент, частиц и атоми. ядра, 1983, т. 14, с. 5—57.
[2*] Symmetries of Maxwell’s Equations, D. Reidel, Dordrecht, Holland,
1987. [Имеется более краткий русский вариант: Симметрия уравне-
ний Максвелла. — Киев: Наукова думка, 1983.]
Хамитова Р. С.
[1] Структура группы и базис законов сохранения. — Теор. матем. физ.,
т. 52, 1982, № 2, с. 244—251.
Шабат А. Б.
[1**] Об уравнении Кортевега — де Фриза. — ДАН СССР, 1973, т. 211,
№ 6, 1310-1313.
Шабат А. Б., Ямилов Р. И.
[1**] Lattic representations of integrable system, Phys. Lett. A, 130
(1988), N 4, 5, 271—275.
Шокин Ю. И.
[1] Метод дифференциального приближения. — Новосибирск: Наука,
Сибирское отделение, 1979.
Ablowitz М. J., Kodama Y.
[1] Note on asymptotic solutions of the Korteweg — de Vries equation
with solutions, Stud. Appl. Math. 66 (1982), 159—170.
Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H.
[1] Nonlinear evolution equations and ordinary differential equations
of Painleve type, Lett. Nuovo Cim. 23 (1978), 333—338.
[2] A connection between nonlinear evolution equations and ordinary
differential equations of P-type. I, J. Math. Phys., 21 (1980), 715.
Abraham R., Marsden J. E.
[1] Foundations of Mechanics, 2nd ed., Benjamin-Cummings, Reading,
Литература
567
Mass., 1978.
Abramowitz M., Stegun I.
[1] Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards
Appl. Math. Series, No. 55, U. S. Govt. Printing Office, Washington,
D. C., 1970. [Имеется перевод другого издания: Справочник по спе-
циальным функциям с формулами, графиками н математическими
таблицами. — М.: Наука, 1979.]
Adler М.
[1] On a trace functional for formal pseudo-differential operators and
the symplectic structure of the Korteweg — de Vries type equations,
Invent. Math. 50 (1979), 219—248.
Aldersley S. J.
[1] Higher Euler operators and some of their applications, J. Math.
Phys. 20 (1979), 522—531.
Alonso L. M.
[1*] On the Noether map, Lett. Math. Phys. 3 (1979), 419—424.
Ames W. F.
[1] Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering, Academic
Press, New York, 1965, 1972.
Anderson 1. M., Duchamp T. E.
[1] On the existence of global variational principles, Amer. J. Math.
102 (1980), 781—868.
[2] Variational principles for second-order quasi-linear scalar equations,
J. Diff. Eq. 51 (1984), 1—47.
Anderson R. L., Ibragimov N. H.
[1] Lie — Backlund Transformations in Applications, SIAM Studies in
Appl. Mat., No. 1, Philadelphia, 1979.
Anderson R. L., Kumei S., Wulfman С. E.
[1] Generalizations of the concept of invariance of differential equa-
tions. Results of applications to some Schrodinger equations, Phys.
Rev. Lett. 28 (1972), 988—991.
Appell P.
[1] Sur I’equation d2z/dx2 dzjdy = 0 et la theorie de la chaleur,
J. de Math. Pures et Appl. 8(4) (1892), 187—216.
Atherton R. W., Homsy G. M.
[1] On the existence and formulation of variational principles for non-
linear differential equations, Stud. App . Math. 54 (1975), 31—60.
Backlund A. V.
[1] Ueber Flachentransformationen, Math. Ann. 9 (1876), 297—320.
Baker J. W., Tavel M. A.
[1] The applications of Noether’s theorem to optical systems, Amer. J.
Physics 42 (1974), 857—861.
Bargmann V.
[1] Irreducible unitary representations of the Lorentz group, Ana. Math.
48 (1947), 568—640.
Bateman H.
[1] The conformal transformations of a space of four dimensions and
their applications to geometrical optics, Proc. London Math. Soc. 7
(1909), 70—89.
Benjamin T. B.
[1] The stability of solitary waves, Proc. Roy. Soc. London, A328
(1972), 153—183.
Benjamin T. B., Olver P. J.
[1] Hamiltonian structure, symmetries and conservation laws or water
waves, J. Fluid Meeh. 125 (1982), 137—185.
568
Литература
Berker R.
[1] Integration des equations du mouvement d’un fluide visqueux in-
compressible, in Handbuch dec Physik, VIII/2, Springer-Verlag, Ber-
lin, 1963, p. 1—384.
Bessel-Hagen E.
[1] Uber die Erhaltungssatze der Elektrodynamik, Math. Ann. 84
(1921), 258—276.
Bianchi L.
[1] Lezioni sulla Teoria dei Gruppi Continui Finiti di Transformazioni,
Enrico Spoerri, Pisa, 1918.
Bilby B. A., Miller K. J., Willis J. R.
[1] Fundamentals of Deformation and Fracture, Cambridge University
Press, Cambridge, 1985.
Birkhoff G.
[1] Lie groups isomorphic with no linear group, Bull. Amer. Math. Soc.
42 (1936), 883—888.
[2] Hydrodynamics — A Study in Logic, Fact and Similitude, 1st ed.,
Princeton University Press, Princeton, 1950. [Имеется перевод:
Биркгоф Г. Гидродинамика. Постановка задачи, результаты и по-
добие. — М.: ИЛ, 1954; перевод II изд.: М.: ИЛ, 1963.]
Bluman G. W„ Cole J. D.
[1] The general similarity solution of the heat equation, J. Math. Meeh.
18 (1969), 1025—1042.
[2] Similarity Methods for Differential Equations, Appl. Math Sci.,
No. 13, Springer-Verlag, New York, 1974.
Bluman G. W., Kumei S.
[1] On the remarkable nonlinear diffusion equation (d/dx)[a(tz +
+ h)-2(du/dx)] — (du/dt) = 0, J. Math. Phys. 21 (1980), 1019—
1023.
Boltzmann L.
[1] Zur integration der Diffusionsgleichung bei variabeln Diffu-
sionscoefficiencen, Ann. der Physik und Chemie 53 (1894), 959—
964.
Boothby W. M.
[1] An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geo-
metry, Academic Press, New York, 1975.
Born M., Infeld L.
[1] On the quantization of the new field theory. II, Proc. Roy. Soc.
London 150A (1935), 141—166.
Bott R„ Tu L. W.
[1] Differential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag, New
York, 1982. [Имеется перевод: Ботт P., Ту Л. Дифференциальные
формы в алгебраической топологии. — М.: Наука, 1989.]
Bourlet М. С.
[1] Sur les equations aux derivees partielles simultanees, Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. 8(3) (1891), Suppl S. 3 — S. 63.
Boyer С. P., Kalnins E. G., Miller W., Jr.
[1] Symmetry and separation of variables, for the Helmholtz and Lap-
lace equations, Nagoya Math. J. 60 (1976), 35—80.
Broer L. J. F.
[1] Approximate equations for long water waves, Appl. Sci. Res. 31
(1975), 377—395.
Brown A. B.
[1] Functional dependence, Trans. Amer. Math. Soc. 38 (1935), 379—
394.
Литература 569
Byrd Р. F., Friedman M. D.
[1] Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists, Sprin-
ger-Verlag, New York, 1971.
Caratheodory C.
[1] Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the
First Order, Vol. 1, Holden-Day, New York, 1965.
Carmichael R. D.
[1] Transformations leaving invariant certain partial differential equa-
tions of physics, Amer. J. Math. 49 (1927), 97—116.
Cartan E.
[1] Lecons sur les Invariants Integraux, Hermann, Paris, 1922. [Имеет-
ся перевод: Картан Э. Интегральные инварианты. — М. — Л.: Гос-
техиздат, 1940.]
[2] La Theerie des Groupes Finis et Continue et 1’Analysis Situs, Mem.
Sci. Math. No. 42, Gauthier-Villars, Paris, 1930. [Имеется перевод:
Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциаль-
ная геометрия, изложенные методом подвижного репера. — М.: Из-
дательство Московского университета, 1963.]
[3] La Topologie des Groupes de Lie, Exp. de Geometric, vol. 8, Her-
mann, Paris, 1936; also, Oeuvers Completes, vol. 1, Gauthier-Villars,
Paris, 1952, pp. 1307—1330.
Cartan E., Einstein A.
[1] Letters on Absolute Parallelism 1929—1932, Princeton Univ. Press,
Princeton, N. J., 1979.
Champagne B., Winteritz P.
[1] A MACSYMA program for calculating the symmetry group of a
system of differential equations, Preprint CRN 1278, Univ, de Mont-
real, 1985.
Chen H. H., Lee Y. C., Lin J.-E.
[1*] On a new hierarchy of simmetries for the integrable nonlinear evo-
lution equations, in: Advances in Nonlinear Waves v. 2, L. Debnath.
ed. Research Notes in Math., v. Ill, Pitman. Publ., Inc., Marshfield,
Mass., 1985, pp. 233—239.
Chevalley С. C.
[1] Theory of Lie Groups, vol. 1, Princeton University Press, Princeton,
N. J., 1946 [Имеется перевод: Шевалле К. Теория групп Ли.—
М.: ИЛ, 1958 ]
Cohen А.
[1] An Introduction to the Lie Theory of One-Parameter Groups, with
Applications to the Solution of Differential Equations, D. C., Heath
& Co., New York, 1911.
Conn J. F.
[1] Normal forms for analytic Poisson structures, Ann. Math. 119
(1984), 577—601.
Copson E. T.
[1] Partial Differential Equations, Cambridge University Press, Cam-
bridge, 1975.
Courant R., Hilbert D.
[1] Methods of Mathematical Physics, Interscience, New York, 1953.
[Имеется перевод: Курант P., Гильберт Д. Методы математической
физики. — М. — Л.: Государственное издательство технической и
теоретической литературы, 1951.]
Crampin М.
[1] A note on non-Noether constants of motion, Phys. Lett. 95A (1983)
209—212.
570
Литература
Cunningham Е.
[1] The principle of relativity in electrodynamics and an extension
thereof, Proc. London Math. Soc. 8 (1909), 77—98.
Dedecker P.
[1] Calcul des variations et topologie algebrique, Mem. Soc. Roy. Sci.
de Liege, 29 (1957), 7—216.
Delassus E.
[1] Extension du theoreme de Cauchy aux systemes les plus generaux
d’equations aux derivees partielles, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 13(3)
(1896), 421—467.
Delong R. P., Jr.
[1] Killing tensors and Hamilton — Jacobi equations, Ph. D. thesis,
Univ, of Minnesota, 1982.
DiPerna R. J.
[1] Decay of solutions of hyperbolic systems of conservation laws with
a convex extension, Arch. Rat. Meeh. Anal. 64 (1977), 1—46.
[2] Uniqueness of solutions to hyperbolic conservation laws, Indiana
Univ. Math. J. 28 (1979), 137—188.
Dirac P. A. M.
[1] Generalized Hamiltonian dynamics, Canad. J. Math. 2 (1950), 129—
148.
Douglas J.
[1] Solution of the inverse problem of the calculus of variations, Trans.
Amer. Math. Soc. 50 (1941), 71—128.
Dresner L.
[1] Similarity Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations,
Research Notes in Math., No. 88, Pitman, Boston, 1983.
Edelen D. G. B.
[1] Isovector Methods for Equations of Balance, Sijthoff and Noordhoff,
Germantown, Md., 1980.
Ehresmann C.
[1] Les prolongements d’une variete differentiable, C. R. Acad. Sci.
Paris 233 (1951), 598—600, 777—779, 1081—1083; 234 (1952),
1028—1030, 1424—1425.
[2] Introduction a la theorie des structures infinitesimales et des
pseudo-groupes de Lie, in Geometric Differentielle, Colloq. Inter, du
Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Strasbourg, 1953, 97—110.
Eisenhart L. P.
[1] Riemannian Geometry, Princeton University Press, Princeton, 1926.
[Имеется перевод: Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. — М.:
ИЛ, 1948.]
[2] Continuous Groups of Transformations, Princeton University Press,
Princeton, 1933.
Elkana Y.
[1] The Discovery of the Conservation of Energy, Hutchinson Educatio-
nal Ltd., London, 1974.
Engel F.
[1] Uber die zehn allgemeinen Ihtegrale der klassischen Mechanik,
Nachr. Konig. GeselL Wissen. Gottingen, Math.-Phys. KI. (1916),
270—275.
Ericksen J. L.
[1] On the formulation of St.-Venant’s problem, in Nonlinear Analysis
and Mechanics: Heriot—Watt Symposium, R. J. Knops, ed., Re-
search Notes in Math., No. 17, Pitman, San Francisco, 1977,
pp. 158—186.
Литература 571
Eshelby J. D.
[1] The continuum theory of lattice defects, in Solid State Physics,
Vol. 3, F. Seitz and D. Turnbull, eds., Academic Press, New York,
1956, pp. 79—144.
Finzi A.
[1] Sur les systemes d’equations aux derivces parfielles qui, comme les
systemes normaux, comportent autant d’equations que de fonctions
inconnues, Proc. Kon. Neder. Akad. v. Wetenchappen 50 (1947),
136—142, 143—150, 288—297, 351—356.
Fletcher D. C.
[1] Conservation laws in linear elastodynamics, Arch. Rat. Meeh. Anal. 60
(1976), 329—353.
Fletcher J. G.
[1] Local conservation laws in generally covariant theories, Rev. Med.
Phys. 32 (1960), 65—87.
Fokas A. S.
[1] Group theoretical aspects of constants of motion and separable so-
lutions in classical mechanics, J. Math. Anal. App. 68 (1979), 347—
370.
[2] Generalized symmetries and constants of motion of evolution equa-
tions, Lett. Math. Phys. 3 (1979), 467—473.
[3] A symmetry approach to exactly solvable evolution equations,
J. Math. Phys. 21 (1980), 1318—1325.
Fokas A. S., Fuchssteiner B.
[1*] The hierarchy of the Benjamin — Ono equation, Phys. Lett. 86A
(1981), 341—345.
Fokas A.S., Yortsos Y. C.
[1] On the exactly solvable equation S( = [(05 + y)-2Sx]x +
+ 0.(05 + y)“2Sx occurring in two-phase flow in porous media,
SIAM J. Appl. Math. 42 (1982), 318—332.
Forsyth A. R.
[1] The Theory of Differential Equations, Cambridge University Press,
Cambridge, 1890, 1900, 1902, 1906.
Frobenius G.
[1] Uber das Pfaffsche Probleme, J. Reine Angew. Math. 82 (1877),
230—315.
Fuchssteiner B.
[1] Application of hereditary symmetries to nonlinear evolution equa-
tions, Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 3 (1979), 849—862.
[2*] Mostersymetries and higher order time-dependent symmetries and
conserved densities of nonlinear evolution equations, Prog. Theor.
Phys. 70 (1983), 1508—1522.
ITichssteiner B., Fokas A. S.
[1] Symplectic structures, their Backlund Iransformalions and heredi-
tary symmetries, Physica 4D (1981), 47—66.
Galindo A., Martinez Alonso L.
[1] Kernels and ranges in the variational formalism, Lett. Math. Phys.
2 (1978), 385—390.
Gardner G. S.
[1] Korteweg— de Vries equation and generalizations. IV. The Korte-
weg—de Vries equations as a Hamiltonian system, J. Math. Phys
12 (1971), 1548—1551.
Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M.
[1] Korteweg — de Vries equation and generalizations. VI. Methods for
exact solution, Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974), 91—133.
572
Литература
Goff J. A.
[1] Transformations leaving invariant the heat equation of physics,
Amer. J. Math. 49 (1927), 117—122.
Goldberg J. N.
[1] Invariant transformations, conservation laws and energy-momentum,
in General Relativity and Gravitation, vol. 1, A. Hedl, ed„ Plenum
Press, New York, 1980, pp. 469—489.
Goldstein H.
[1] Classical Mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, Mass., 1980.
[Имеется перевод: Голдстейн Д. Классическая механика. — М.:
Наука, 1975.]
Golubitsky М., Giullemin V.
[1] Stable Mappings and Their Singularities, Springer-Verlag, New York,
1973. [Имеется перевод: Голубицкий M., Гийемин В. Устойчивые
отображения и их особенности. — М.: Мир, 1977.]
Conzales-Gascon F„ Gonzalez-Lopez А.
[1*] Symmetries of differential equations, IV, 7. Math. Phys. 24 (1983),
2006—2021.
Gorenstein D.
[1] Finite Simple Groups, Plenum Press, New York, 1982. [Имеется
перевод: Горенстейн Д. Конечные простые группы. — М.: Мир,
1985.]
Gragert Р. Н. К., Kersten Р. Н. М., Martini R.
[1] Symbolic computations in applied differential geometry, Acta Appl.
Math., 1 (1983), 43—77.
Gunther W.
[1] Uber einige Randintegrale der Elastomechanik, Abh. Braunschweiger
Wissen. Gesell. 14 (1962), 53—72.
Hadamard J. S.
[1] La Theorie des Equations anf Dcrivees Partielles, Editions Scienti-
fiques, Peking, 1964.
Harrison В. K., Estabrook F. B.
[1] Geometric approach to invariance groups and solution of partial
differential equations, J. Math. Phys. 12 (1971), 653—666.
Hawkins T.
[1] The Erlanger Programm of Felix Klein: reflections on its place in
the history of mathematics, Hist. Math. 11 (1984), 442—470.
Hejhal D. A.
[1] Monodromy groups and linearly polymorphic functions, Acta Math.
135 (1975), 1—55.
Helgason S.
[1] Differential Geometry and Symmetric Spaces, Academic Press, New
York, 1962. [Имеется перевод: Хелгасон С. Дифференциальная гео-
метрия и симметрические пространства. — М.: Мир, 1964.]
[2] Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Dif-
ferential Operators and Spherical Functions, Academic Press, New
York, 1983. [Имеется перевод: Хелгасон С. Группы и геометриче-
ский анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференци-
альные операторы и сферические функции. — М.: Мир, 1987.]
Helmholtz Н.
[1] Uber der physikalische Bedeutung des Princips der kleinsten Wir-
kung, J. Reine Angew. Math. 100 (1887), 137—166. [Имеется пере-
вод: Гельмгольц Г. О физическом значении принципа наименьшего
действия. — В кн.: Вариационные принципы механики. — М.: Физ-
матгиз, 1959.]
Литература
573
Henneaux М.
[1] Equations of motion, commutation relations and ambiguities in the
Lagrangian formalism, Ann. Physics 140 (1982), 45—54.
Hermann R.
[1] The differential geometry of foliations, II, J. Math. Meeh. 11 (1962),
303—315.
[2] Cartan connections and the equivalence problem for geometric
structures, Contrib. Diff. Eq. 3 (1964), 199—248.
Hill E. L.
[1] Hamilton’s principle and the conservation theorems of mathematical
physics, Rev. Mod. Phys. 23 (1951), 253—260.
Hirsch A.
[1] Uber eine charakteristische Eigenschaft der Differentialgleichungen
der Variationsrechnung, Math. Ann. 49 (1897), 49—72.
[2] Die Existenzbedingungen des verallgemeinterten kinetischen Poten-
tialen, Math. Ann. 50 (1898), 429—441.
Hojman S., Harleston H.
[1] Equivalent Lagrangians: multi-dimensional case, J. Math. Phys. 22
(1981), 1414—1419.
Holm D. D., Marsden J. E„ Ratiu T., Weinstein A.
[1] Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria, Phys. Rep. 123
(1985), 1—116.
Holmes P. J., Marsden J. E.
[1] Horseshoes and Arnol’d diffusion for Hamiltonian systems on Lie
groups, Indiana Univ. Math. J. 32(1983), 273—309.
Horndeski G. W.
[1] Differential operators associated with the Euler — Lagrange opera-
tor, Tensor 28 (1974), 303—318.
Ince E. L.
[1] Ordinary Differential Equations, Longmans, Green and Co., London,
1926. [Имеется перевод: Айне Э. Л. Обыкновенные дифференци-
альные уравнения. — Харьков: ДНТВУ, 1939.]
Jacobi С. G. J.
[1] Vorlesungen Uber Dynamic, G. Reimer, Berlin, 1866. [Имеется пе-
ревод: Якобн К. Г. Я. Лекцнн по динамике. — Л. — М.: Глав. ред.
общетехи. лит., 1936.]
Jacobson N.
[1] Lie Algebras, Interscience, New York, 1962. [Имеется перевод: Дже-
кобсон Н. Алгебры Лн. — М.: Мир, 1964.]
Johnson Н. Н.
[1] Bracket and exponential for a new type of vector field, Proc. Amer.
Math. Soc. 15 (1964), 432—437.
[2] A new type of vector field and invariant differential systems, Pre,
Amer. Math. Soc. 15 (1964), 675—678.
Jost R.
[1] Poisson brackets (an unpedagogical lecture), Rev. Mod. Phys. 36
(1964), 572—579.
Kahn D. W.
[1] Introduction to Global Analysis, Academic Press, New York, 1980.
Kalnins E. G., Miller W., Jr.
[1] Lie theory and separation of variables 5. The equations iUt + Uxx—
= 0 and iUt — Uxx — c/x*U = 0, J. Math. Phys. 15 (1974), 1728—
1737.
[2] Related evolution equations and Lie symmetries, SIAM J. Math.
Anal. 16 (1985), 221—232.
574
Литература
Kalnins Е. G., Miller W., Jr., Williams G. C.
[1] Matrix operator symmetries of the Dirac equation and separation
of variables, J. Math. Phys., to appear.
Kalnins E. G„ Miller W., Jr., Winternitz P.
[1] The group 0(4), separation of variables and hydrogen atom, SIAM
J. Appl. Math. 30 (1976), 630—664.
Kamke E.
[1] Differentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen, Chelsea,
New York, 1971.
Kibble T. W. B.
[1] Conservation laws for free fields, J. Math. Phys. 6 (1965), 1022—
1026.
Knops R. J., Stuart C. A.
[1] Quasiconvexity and uniqueness of equilibrium solutions in nonlinear
elasticity, Arch. Rat. Meeh. Anal. 86 (1984), 234—249.
Knowles J. K., Sternberg E.
[1] On a class of conservation laws in linearized and finite clastostatics.
Arch. Rat. Meeh. Anal. 44 (1972), 187—211.
Kosmann-Schwarzbach Y.
[1] Vector fields and generalized vector fields on fibered manifolds, in
Geometry and Differential Geometry, R. Artzy and I. Vaisman, cds.,
Lecture Notes in Math. No. 792, Springer-Verlag, New York, 1980,
pp. 307—355.
[2] Generalized symmetries of nonlinear partial differential equations,
Lett. Math. Phys. 3 (1979), 395—404.
[3] Hamiltonian systems on fibered manifolds, Lett. Math. Phys. 5
(1981), 229—237.
Kostant B.
[1] Quantization and unitary representations; part I: Prequantization,
in Lectures in Modern Analysis and Applications III, C. Taam, ed..
Lecture Notes in Math., No. 170, Springer-Verlag, New York, 1970,
pp. 87—208.
Kruskal M. D., Miura R. M., Gardner C. S., Zabusky N. J.
[1] Korteweg — de Vries equation and generalizations. V. Uniqueness
and nonexistence of polynomial conservation laws, J. Math. Phys. 11
(1970), 952—960.
Kumei S.
[1] Invariance transformations, invariance group transformations, and
invariance groups of the sine-Gordon equations, J. Math. Phys. 16
(1975), 2461—2468.
[2] Group theoretic aspects of conservation laws of nonlinear disper-
siwe waves: KdV-type equations and nonlinear Schrodinger equa-
tions, J. Math. Phys. 18 (1977), 256—264.
Kumei S., Bluman G. W.
[1] When nonljnear differential equations are equivalent to linear dif-
ferential equations, SIAM J. Appl. Math. 42 (1982), 1157—1173.
Kupershmidt B. A.
[1] Geometry of jet bundles and the structure of Lagrangian and Ha-
miltonian formalisms, in Geometric Methods in Mathematical Phy-
sics, G. Kaiser and J. E. Marsden, eds., Lecture Notes in Math.,
No. 775, Springer-Verlag, New York, 1980, pp. 162—2L8.
[2] Mathematics of dispersive wave, Comm. Math. Phys. 99 (1985), 51—73.
Kuperschmidt B. A., Wilson G.
[1] Modifying Lax equations and the second Hamiltonian structure,
Invent. Math. 62 (1981), 403—436.
Литература
575
Lax Р. D.
[1] Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves,
Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968), 467—490. [Имеется пере-
вод: Лэке П. Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравне-
ний и уединение волны.—Математика, т. 13, 1969, в. 5, с. 128—
150.]
[2] Shock waves and entropy, in Contributions to Nonlinear Functional
Analysis, E. H. Zarantonello, ed., Academic Press, New York, 1971,
pp. 603—634.
[3] A Hamiltonian approach to the KdV and other equations, in Group-
Theoretical Methods in Physics, R. T. Sharp and B. Kolman, eds.,
Academic Press, New York, 1977, pp. 39—57.
Leo M., Leo R. A., Soliani G., Solombrino L., Mancarella G.
[1] Symmetry properties and bi-Hamiltonian structure of the Toda lat-
tice, Lett. Math. Phys. 8 (1984), 267—272.
Lewis D., Marsden J. E., Montgomery R., Ratiu T.
[1] The Hamiltonian structure for dynamic free boundary problems,
Physica D, to appear.
Lewy H.
[1] An example of a smooth linear partial differential equation without
solution, Ann. Math. 66 (1957), 155—158.
Lichnerowicz A.
[1] Les varictcs de Poisson et leurs algebres de Lie associees, J. Diff.
Geom. 12 (1977), 253—300.
[2] Variefees de Poisson et feuilletages, Ann. Fac. Sci. Toulouse 4 (1982),
195—262.
Lie S.
[1] Begriindung einer Invariantentheorie der Beriihrungstransforma-
tionen, Math. Ann. 8 (1874), 215—288; also Gesammelte Abhand-
lungen, vol. 4, B. G. Teubner, Leipzig, 1929, pp. 1—96.
[2] Ober die Integration durch bestimmte Integrate von einer Klasse
linear partieller Differentialgleichung, Arch, for Math. 6 (1881),
pp. 328—368; also Gesammelte Abhandlungen, vol. 3, B. G. Teubner,
Leipzig, 1922, pp. 492—523.
[3] Klassifikation und Integration von gewohnlichen Differentialglei-
chungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen ges-
tatten, Math. Ann. 32 (1888), 213—281; also Gesmmlte Abhundun-
gen, vol. 5, B. G. Teubner, Leipzig, 1924, pp. 240—310.
[4] Theorie der Transformationsgruppen, B. G. Teubner, Leipzig, 1888,
1890, 1893.
[5] Vorlesungen uber Differentialgleichungen mit Bekannten Infinitesi-
malen Transformationen, B. G. Teubner, Leipzig, 1891.
[6] Zur allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen be-
liebeger Ordnung, Leipz. Berich. 1 (1895), 53—128; also Gesam-
melte Abhandlungen, vol. 4, B. G. Teubner, Leipzig, 1929, pp. 320—
384.
[7] Die Theorie der Integralinvarianten ist ein Korollar der Theorie der
Differentialinvarianten, Leipz. Berich. 3 (1897), 342—357; also Ge-
sammelte Abhandlungen, vol. 6, B. G. Teubner, Leipzig, 1927,
pp. 649—663.
Lionville J.
[1* *] Note sur 1’integration des equations de la dinamice, J. Math. Pure
Appl. 20 (1855), p. 137—138.
Lipkin D. M.
[1] Existence of a new conservation law in elecfromagnefic theory,
J. Math. Phys. 5 (1964), 696—700.
576
Литература
Lloyd S. P.
[1] The infinitesimal group of the Navier—Stokes equations, Acta
Meeh. 38 (1981), 85—98.
Logan J. D.
[1] Invariant Variational Principles, Academic Press, New York, 1977.
Magri F.
[1] A simple model of the integrable Hamiltonian equation, J. Math.
Phys. 19 (1978), 1156—1162.
[2] A geometrical approach to the nonlinear solvable equations, in Non-
linear Evolution Equations and Dynamical Systems, M. Boiti,
F. Pempinelli and G. Soliani, eds., Lecture Notes in Physics,
No. 120, Springer-Verlag, New York, 1980.
Markus L.
[1] Group theory and differential equations, Lecture Notes, University
of Minnesota, Minneapolis, 1960.
Marsden J. E.
[1] A group theoretic approach to the equations of plasma physics, Canad.
Math. Bull. 25 (1982), 129—142.
Marsden J. E., Hughes T. J. R.
[1] Mathematical Foundations of Elasticity, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, N. J., 1983.
Marsden J. E., Ratiu T., Weinstein A.
[1] Semi direct products and reduction in mechanics, Trans. Amer.
Math. Soc. 281 (1984), 147—177.
Marsden J. E., Weinstein A.
[1] Reduction of symplectic manifolds with symmetry, Rep. Math. Phys.
5 (1974), 121—130.
[2] Coadjoint orbits, vortices, and Clebsch variables for incompressible
fluids, Physica 7D (1983), 305—332.
Mayer A.
[1] Die Existenzbendingungen eines kinetischen Potentiales, Berich.
Verh. Konig. Sach. Gesell. Wisen. Leipzig, Math.-Phys. KL 84
(1896), 519—529.
McLeod J. B., Olver P. J.
[1] The connection between partial differential equations soluble by
inverse scattering and ordinary differential equations of Painleve
type, SIAM J. Math. Anal. 14 (1983), 488—506.
Meyer K. R.
[1] Symmetries and integrals in mechanics, in Dynamical Systems,
M. M. Peixoto, ed., Academic Press, New York, 1973, pp. 259—272.
Michal A. D.
[1] Differential invariants and invariant partial differential equations
under continuous transformation groups in normed linear spaces,
Proc. Nat. Acad. Sci. 37 (1951), 623—627.
Miller W., Jr.
[1] Lie Theory and Special Functions, Academic Press, New York, 1968.
[2] Symmetry Groups and Their Applications, Academic Press, New
York, 1972.
[3] Symmetry and Separation of Variables, Addison-Wesley, Readnig,
Mass., 1977. [Имеется перевод: Миллер У. Симметрия и разделение
переменных. — М.: Мир, 1981.]
Milnor J. W.
[1] Topology from the Differentiable Viewpoint, The University Press
of Virginia, Charlottesville, Va., 1965. [Имеется перевод в книге:
Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный
курс. — М.: Мир, 1972.]
Литература 577
Miura R. M.
[1] Korteweg— de Vries equation and generalizations. I. A remarkable
explicit nonlinear transformation, J. Math. Phys. 9 (1968), 1202.
Moon P., Spencer D. E.
[1] Field Theory Handbook, Springer-Verlag, New York, 1971.
Morawetz C. S.
[1] Notes on Time Decay and Scattering for Some Hyperbolic Problems,
CBMS-NSF Regional Conf. Series in Appl. Math. No. 19, SIAM,
Philadelphia, 1975.
Morgan A. J. A.
[1] The reduction by one of the number of independent variables in
some systems of partial differential equations, Quart. J. Math. Ox-
ford. 3 (1952), 250—259.
Morgan T. A.
[1] Two classes of new conservation laws for electromagnetic field and
for other massless fields, J. Math. Phys. 5 (1964), 1659—1660.
Nagano T.
[1] Linear differential systems with singularities and an application to
transitive Lie algebras, J. Math. Soc. Japan 18 (1966), 398—404.
Narasimhan R.
[1* ] Analysis on Real and Complex Manifolds, North Holland Publ. Co.,
Amsterdam, 1968. [Имеется перевод: Нарасимхан P. Анализ на дей-
ствительных и комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1971.]
Nirenberg L.
[1] Lectures on Linear Partial Differential Equations, CBMS Regional
Conf. Series in Math., No. 17, Amer. Math. Soc., Providence, R. I.,
1973.
Noether E.
[1] Invariante Variationsprobleme, Nachr. Konig. Gesell. Wissen. Gottin-
gen, Math.-Phys. KI. (1918), 235—257. [Имеется перевод: Неттер Э.
Инвариантные вариационные задачи. — В кн.: Вариационные прин-
ципы механики. — М.: Физматгиз, 1959.]
Oevel W.
[1*] Master symmetries: weak action/angle structure for hamiltonian and
non hamiltonian systems, preprint, 1986.
Olver P. J.
[1] Evolution equations possessing infinitely many symmetries, J. Math.
Phys. 18 (1977), 1212—1215.
[2] Symmetry groups and group invariant solutions of partial differen-
tial equations, J. Diff. Geom. 14 (1979), 497—542.
[3] Euler operators and conservation laws of the BBM equation. Math.
Proc. Camb. Phil. Soc. 85 (1979), 143—160.
[4] On the Hamiltonian structure of evolution equations, Math. Proc.
Camb. Phil. Soc. 88 (1980), 71—88.
[5] A nonlinear Hamiltonian structure for the Euler equations, J. Math.
Anal. Appl. 89 (1982), 233—250.
[6] Hyperjacobians, determinantal ideals, and weak solutions to varia-
tional problems, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 95A (1983), 317—340.
[7] Conservation laws and null divergences, Math. Proc. Camb. Phil.
Soc. 94 (1983), 529—540.
[8] Conservation laws in elasticity I. General results, Arch. Rat. Meeh.
Anal. 85 (1984), 111—129.
[9] Conservation laws in elasticity II. Linear homogeneous isotropic
elastostatics, Arch. Rat. Meeh. Anal. 85 (1984), 131—160.
[10] Hamiltonian perturbation theory and water waves, Contemp. Math.
28 (1984), 231—249.
19 П» Олвер
578
Литература
[11] Noether’s theorems and systems of Cauchy — Kovalevskaya type, in
Nonlinear Systems of PDE in Applied Math., B. Nichols, ed., Amer.
Math. Soc., Providence, R. I., to appear.
Olver P. J., Rosenau P.
[1] On the ‘non-classical’ method for group-invariant solutions of diffe-
rential equations, Univ, of Minnesota Math. Rep. No. 85—125, 1985.
Olver P. J., Shakiban C.
[1] A resolution of the Euler operator. I. Proc. Amer. Math. Soc. 69
(1978), 223—229.
Oron A., Rosenau P.
[1*] Some symmetries of the nonlinear heat and wave equations, Phys.
Lett A 118 (1986), 172—176.
Palais R. S.
[1] A Global Formulation of the Lie Theory of Transformation Groups,
Memoirs of the Amer. Math. Soc., No. 22, Providence, R. L, 1957.
Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H.
[1] Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. I. Ge-
neral method and the Poincare group, J. Math. Phys. 16 (1975),
1597—1614.
Poincare H.
[1] Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste, vol. 3, Gauthieri-
Villars, Paris, 1892. [Имеется перевод: Пуанкаре А. Избранные
труды в 3-х томах, т. 2, Новые методы небесной механики. — М.:
Наука, 1972.]
Pommaret J. F.
[1] Systems of Partial Differential Equations and Lie Pseudogroups,
Gordon & Breach, New York, 1978. [Имеется перевод: Помма-
pe Ж.-Ф. Системы уравнений с частными производными и псевдо-
группы Ли.—М.: Мир, 1983.]
[2] Differential Galois Theory, Gordon & Breach, New York, 1983.
Posluszny J., Rubel L. A.
[1*] The motions of an ordinary differential equation, 7, Dift. Eq. 34
(1979), 291—302.
Riquier Ch.
[1] Sur une question fondamentale du calcul integrale, Acta Math. 23
(1900), 203—332.
Ritt J. F.
[1] Differential Algebra, Colloq. Publ., vol. 33, Amer. Math. Soc., Pro-
vidence, R. L, 1950.
Rosen G.
[1] Nonlinear heat conduction in solid H2, Phys. Rev. B19 (1979),
2398—2399.
[2] Restricted invariance of the Navier — Stokes equation, Phys. Rev.
A22 (1980), 313—314.
Rosenau P.
[1] A note on the integration of the Emden — Fowler equation, Int. J.
Nonlinear Meeh. 19 (1984), 303—308.
Rosenau P., Schwarzmeier J. L.
[1] Similarity solutions of systems of partial differential equations
using MACSYMA, Courant Inst, of Math. Sci., Magneto-Fluid Dy-
namics Division, Report No. COO-3077-160 MF-94, 1979.
Rosencrans S. I.
[1] Conservation laws generated by pairs of non-Hamiltonian symmetries,
J. Diff. Eq. 43 (1982), 305—322.
[2] Computation of higher order symmetries using MACSYMA, J. Comp.
Physics, to appear.
Литература
579
[1*] The motions of a partial differential equation, J. Diff. Eq. 48
(1983), 177—188.
Rubel L. A., Taylor B. A.
[1*] An example of a rigid partial differential equation, J. Diff. Eq. 38
(1980), 126—133.
Sattinger D. H.
[1] Group-Theoretic Methods in Bifurcation Theory, Lecture Notes in
Math., No. 762, Springer-Verlag, New York, 1979.
Schouten J. A., Struik D. J.
[1] Einfiihrung in die Neueren Methoden der Differentialgeometrie,
vol. 1, P. Noordhoff N. V., Groningen-Batavia, 1935.
Schreier O.
[1] Abstrakte kontinuerliche Gruppen, Abh. Math. Seminar Hamburg
Univ. 4 (1926), 15—32.
Schutz J. R.
[1] Prinzip der absoluten Erhaltung der Energie, Nachr. Konig. Wissen.
Gottingen, Math-Phys. KI. (1897), 110—123.
Schwarz F.
[1] Automatically determining symmetries of partial differential equa-
tions, Computing 34 (1985), 91—106.
Serre D.
[1] Invariants et degenerescence symlectique de 1’equation d’Euler des
fluides parfaits incompressibles, C. R. Acad. Sci. Paris 298 (1984),
349—352.
Seshadri R., Na T. Y.
[1] Group Invariance in Engineering Boundary Value Problems, Sprin-
ger-Verlag, New York, 1985.
Shakiban C.
[1] A resolution of the Euler Operator II, Math. Proc. Camb. Phil. Soc.
89 (1981), 501—510.
Smale S.
[1] Topology and mechanics. I, Invent. Math. 10 (1970), 305—331.
[Имеется перевод: Смейл С. Топология и механика. — УМН, т. 27,
1972, в. 4, с. 77—133.]
Souriau J.-M.
[1] Structure des Systemes Dynamiques, Dunod, Paris, 1970.
Steinberg S.
[1] Symmetry operators, in Proceedings of the 1979 MACSYMA User’s
Conference, V. E. Lewis, ed., Washington, 1979, pp. 408—444.
[2] Symmetries of differential equations, Univ, of New Mexico preprint,
1983.
Steinberg S., Wolf К. B.
[1] Symmetry, conserved quantities and moments in diffusive equations,
J. Math. Anal. Appl. 80 (1981), 36—45.
Steudel H.
[1] Uber die Zuordnung zwischen Invarianzeigenschaften und Erhal-
tungssatzen, Zeit. Naturforsch. 17A (1962), 129—132.
[2] Eine Erweiterung des ersten Noetherschen Satzes, Zeit. Naturforsch
17A (1962), 133—135.
[3] Die Struktur der Invarianzgruppe fur lineare Feldtheorien, Zeit.
Naturforsch. 21A (1966), 1826—1828.
[4] Noether’s theorem and higher conservation laws in ultrashort pulse
propagation, Ann. Physik 32 (1975), 205—216.
[5] Noether’s theorem and the conservation laws of the Korteweg —
de Vries equation, Ann. Physik 32 (1975), 445—455.
19*
580
Литература
Strauss W. A.
[1] Nonlinear invariant wave equations, in Invariant Wave Equations,
G. Veto and A. S. Wightman, eds., Lecture Notes in Physics, No. 73,
Springer-Verlag, New York, 1978, pp. 197—249.
Sudarshan E. C. G., Mukunda N.
[1] Classical Dynamics: A Modern Perspective, Wiley, New York, 1974.
Sussmann H. J.
[1] Orbits of families of vector fields and integrability of systems with
singularities, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), 197—199.
Takens F.
[1] A global version of the inverse problem of the calculus of varia-
tions, J. Diff. Geom. 14 (1979), 543—562.
Taylor G. I.
[1] The formation of a blast wave by a very intense explosion. I. The-
oretical discussion, Proc. Roy. Soc. London 201A (1950), 159—174.
[2] The formation of a blast wave by a very intense explosion. II. The
atomic explosion of 1945, Proc. Roy. Soc. London 201A (1950),
175—186.
Thirring W. E.
[1] A Course in Mathematical Physics, vol. 1, Springer-Verlag, New
York, 1978.
Toda M.
[1] Theory of Nonlinear Lattices, Springer-Verlag, New York, 1981.
[Имеется перевод: Тода M. Теория нелинейных решеток. — М.:
Мир, 1984.]
Tsujishita Т.
[1] On variation bicomplexes associated to differential equations, Osa-
ka J. Math. 19 (1982), 311—363.
Tu G.-Z.
[1] A commutativity theorem of partial differential operators. Comm.
Math. Phys. 77 (1980), 289—297.
Tulczyjew W. M.
[1] The Lagrange complex, Bull. Soc. Math. France 105 (1977), 419—
431.
[2] The Euler — Lagrange resolution, in Differential Geometric Methods
in Mathematical Physics, P. L. Garcia, A. Perez-Rendon, and
J.-M. Souriau, eds., Lecture Notes in Math., No. 836, Springer-Ver-
lag, New York, 1980, pp. 22—48.
Vessiot E.
[1] Sur 1’integration des systemes differentiels qui admettent des group-
es continus de transformations, Acta Math. 28 (1904), 307—349.
Volterra V.
[1]
Wah quist
[1]
Leqons sur les Fonctions de Lignes, Gauthicr-Villars, Paris, 1913.
H. D., Estabrook F. B.
Prolongation structures of nonlinear evolution equations, J. Math.
Phys. 16 (1975), 1—7.
Warner F. W.
[1] Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Scott, Fo-
resman, Glenview, Ill., 1971. [Имеется перевод II изд. 1983 г.:
Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. —
М.: Мир, 1987.]
Weinstein А.
[1] Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds, Adv.
Math. 6 (1971), 329—346.
[2] Sophys Lie and symplectic geometry, Expo. Math. 1 (1983), 95—96.
Литература
581
[3] The local structure of Poisson manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983),
523—557.
[4] Stability of Poisson — Hamilton equilibria, Contemp. Math. 28
(1984), 3—13.
Weir G. J.
[1] Conformal Killing tensors in reducible spaces, Res. Rep. No. 2,
Dept, of Math., University of Canterbury, Christchurch, N. Z., 1976.
Weisner L.
[1] Generating functions for Hermite functions, Canad. J. Math. 11
(1959), 141—147.
Weiss J., Tabor M., Carnevale G.
[I] The Painleve property for partial differential equations, J. Math. Phys.
24 (1983), 522—526.
Weyl H.
[1] Die Idee der Riemannschen Flache, B. G. Teubner, Berlin, 1923.
Whitham G. B.
[1] Variational methods and applications to water waves, Proc. Roy.
Soc. London 299A (1967), 6—25.
[2] Linear and Nonlinear Waves, Willey, New York, 1974. [Имеется
перевод: Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир,
1977.]
Whittaker Е. Т.
[1] A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bo-
dies, Cambridge University Press, Cambridge, 1937. [Имеется пере-
вод: Уиттекер E. T. Аналитическая динамика. — М.—Л.: Главная
редакция техн.-теоретич. литературы, 1937.]
Widder D. V.
[1] The Heat Equation, Academic Press, New York, 1975.
Wilczynski E. J.
[1] An application of group theory to hydrodynamics, Trans. Amer.
Math. Soc. 1 (1900), 339—352.
Wussing H.
[1] The Genesis of the Abstract Group Concept, MIT Press, Cambridge,
Mass., 1984.
Приложение I
Каноническая серия законов
сохранения
А. Б. Шабат
В этом добавлении к гл. 5 основной книги будет приведено не-
сколько общих формул для законов сохранения солитонных
уравнений. Наличие этих законов сохранения вполне конкрет-
ного вида, называемых каноническими, является следствием су-
ществования высших симметрий. Другими словами, история с
неклассическими симметриями не кончается на теореме Нётер и
находит здесь довольно неожиданное продолжение. Проверка
выполнения нескольких простых канонических законов сохране-
ния дает, как правило, чрезвычайно ценную информацию об ин-
тегрируемости. Во всяком случае, если эти законы сохранения
нарушаются, уравнение не может иметь обобщенных симметрий.
В конце дополнения приводится краткий обзор приложений ка-
нонических законов сохранения в теории солитонных уравнений
с двумя независимыми переменными.
1. КАНОНИЧЕСКИЕ ВЫЧЕТЫ
Рассмотрим сначала задачу о вычислении коэффициентов
дифференциального оператора, коммутирующего с заданным.
Из формулы
[Р, Q] = {npnD(qm) - tnqmD(pn)) Dn+m~' + ..., (1)
где Р = У, pk (х) Dk, Q=^qk(x)Dk и D^djdx, следует (ср.
о о
доказательство леммы 5.21), что старший коэффициент qm опе-
ратора Q, коммутирующего с Р, определяется однозначно, с точ-
ностью до умножения на постоянную,
</m = const (pn)mln. (2)
Оказывается, что формулы для следующих коэффициентов qm-i,
qm-2, ... также являются дифференциально-алгебраическими и
не содержат квадратур. Для доказательства этого мы восполь-
зуемся следующим классическим результатом, восходящим, как
было недавно обнаружено, к И. Шуру.
© «Мир», 1989
Каноническая серия законов сохранения
583
Лемма 1. Пусть Р=^ pk(x)Dk — дифференциальный опе-
о
ратор порядка п^2 с комплекснозначными гладкими коэффи-
циентами. Тогда существует единственный с точностью умноже-
ния на К с= С, Ля = 1, формальный ряд вида
R = г 1 (х) D + r0(x) + f_i(x) D -f- r_2 (х) D + ..., (3)
такой, что Rn = Р. При этом [7?, Р] = 0 и коэффициенты ряда
(3) являются дифференциальными функциями (полиномами,
если рп=1) от коэффициентов оператора Р. Кроме того, г1 за-
висит ТОЛЬКО ОТ рп, Го-ОТ рп, Рп-1, Г-1-ОТ рп, pn-i, рп-2 и т. д.
Доказательство. Умножение мономов UjD', bkDk определяет-
ся при любых целых j, k (не только положительных) обобщенной
формулой Лейбница *):
аД)1 bkDk = а} (bkDl+k + jD(bk) Di+k~' + ...) =
OQ . . .
s=04 7
где ($) = (s!)~lj(j—1) ... (/ — s + 1) — биномиальные коэф-
фициенты. Поэтому
P —r\D 4~ (2r!r0 -|- r(r J) D + (2r। 4- Го 4~ rtD (r0)) D 4- ...
и вообще при любом i > О
R1 —riDf 4- 4- . . .jD1 4~ (jr ir-i + • • •) D1 2 4- • • •,
где в скобках многоточие обозначает дифференциальные поли-
номы от предшествующих коэффициентов rs. Ясно теперь, что
последовательное приравнивание коэффициентов при Ds, s — п,
п— 1, .. ., 0, —1, .. ., в соотношении Rn = Р дает
ri=Pn- «'1Г0 + е1[г1] = р„_1> пг/^+е^Гь г„] = рл_2, (4)
где 6/ — дифференциальный полином от первых j коэффициен-
тов ряда (3). Отсюда рекуррентным образом находятся все ко-
эффициенты ряда (3).
Остается проверить, что Rn = Р => [Р, Р] — RP — PR = 0.
Имеем
0 = [Р, Р] = [/?", Р] = Rn~l (Р, Р] + Р"-2[р, Р]Р+...
... +[/?, PIP""1.
’) Нетрудно доказать, что это умножение ассоциативно.
584
Приложение I
Так как при перемножении формальных рядов их старшие коэф-
фициенты перемножаются, то для старшего коэффициента rs
формального ряда [/?, Р] = fsDs 4- rs-iDs~l + • - • должно вы-
полняться равенство nr”fs = 0. Следовательно, rs = 0, а зна-
чит, и [/?, Р] — 0.
Задача 2, Пусть задан формальный ряд вида (3). Доказать,
что существует единственный формальный ряд А = asDs 4-
4- as-iDs~l 4-..., такой, что АР = РА = 1.
Задача 3. Проверить, что формула (1) для старшего члена
коммутатора остается справедливой для любых формальных
рядов
Р = У, pkDk, Q = У, qkDk порядков п, tn^Z.
Предложение 4. Пусть Q — дифференциальный оператор по-
рядка пг, коммутирующий с оператором Р порядка п^. 2. Тогда
существуют комплексные числа cm, cm-i, ..., с0, такие, что
Q = (cm^m + ст-1^ + • • • + clP + со) + - (5)
Здесь Р — формальный ряд из леммы 1, а скобка ( )+ означает,
что отброшены члены с Ds, s < 0.
Доказательство. Так как старший коэффициент формального
ряда (3) удовлетворяет соотношению г” = рп, а старший ко-
эффициент оператора Q — соотношению (2), то при некотором
cm е С формальный ряд Q — cmPm — R имеет порядок, мень-
ший пг, т. е. R = rsDs + • • > гДе s < m- Ясно, что_ряд R удовле-
творяет по-прежнему условию коммутирования [/?, Р] =0 и что
поэтому (ср. (1)) его старший коэффициент rs удовлетворяет
уравнению
npnD (rs) — згД) (рп) = 0,
т. е. rs = const (рп)s/n- Применив индукцию, мы приходим к фор-
мальному ряду Q — cmRm — cm-iPm~l — ... — CiP — с0, который
имеет отрицательный порядок, т. е. не содержит членов с Ds,
s 0. Предложение 4 тем самым доказано.
Задача 5. В условиях леммы 1 доказать, что формальный ряд
р вида (3) коммутирует с оператором Р в том и только в том
случае, если Р = щР 4- Со 4" C-iP~l + с_27?-2 4- ..., с,еС.
Формулы (4), (5) указывают нужный нам алгоритм для вы-
числения коэффициентов дифференциального оператора, комму-
Каноническая серия законов сохранения
585
тирующего с заданным. Вообще говоря, построенный по этим
формулам дифференциальный оператор Q удовлетворяет ком-
мутационному соотношению лишь в том смысле, что порядок
оператора [Я, Q] меньше или равен п— 2, где п—порядок опе-
ратора Р. Действительно,
emPm + cm_lPm“'+•••+c1P + co = Q + P, (6)
где R — rsDs + rs-iDs~l ф- ... и —1. В силу леммы 1 [Я,Q+
+ Р] = 0 и учитывая формулу (1) и задачу 3, получаем
[Л Q] = - [Р, Я] = [srsD (рп) - npnD (rs)] Dn+s~l + ... . (7)
Остается заметить, что s —1=ф-п + $—— 2. Однако
очевидно, что при s —п формальный ряд [Р, Я] содержит
только отрицательные степени D. С другой стороны, коммута-
тор [Я, Q] состоит из членов с неотрицательными степенями D.
Поэтому из (7) следует, что
s<-n=HP, Q] = [P, Я] = 0.
Таким образом, для обращения в нуль коммутатора- [Р, Q] до-
статочно, чтобы были нулями первые п — 1 коэффициентов при
О-1, D~2, ... формального ряда (6). Указанное достаточное ус-
ловие приводит к системе п — 1 дифференциальных уравнений
на коэффициенты р,г, pn-i, рп-г, , Ро исходного оператора Я,
так как в силу леммы 1 коэффициенты формального ряда (6)
являются дифференциальными функциями от рп, pn-i, ..., Ро-
Несколько уточнив эти основанные на формуле (7) рассужде-
ния, нетрудно указать критерий существования дифференциаль-
ного оператора порядка т, коммутирующего с заданным опера-
тором порядка и > 2. При формулировке критерия мы ограни-
чимся для простоты случаем п = 2 и введем следующее опреде-
ление, которое будет играть большую роль в дальнейшем.
Определение 6. Вычетом формального ряда называется коэф-
фициент при т. е.
res ( £ fiz,(x)Dfey= a_t(x).
\ k^.ko J
Канонической серией вычетов дифференциального оператора
Р = pnDn + ... + ро называется набор дифференциальных функ-
ций р* = р*[р,;, . ., ро], —1, от коэффициентов оператора,
определяемый в обозначениях леммы 1 формулами
Р-! = -у-. Ро = уЧ Pft = res^), 6 = 1,2...... (8)
г\ Г\
586
Приложение I
Задача 7. Проверить, что коэффициенты ряда (3) однозначно
восстанавливаются по вычетам (8).
Другими словами, канонической серией вычетов оператора
Р порядка п называется набор вычетов его дробных степеней
Pk/n, k=—1, 1, 2, 3, дополненный «логарифмическим вычетом»
Ро = го/Г1. Этот набор вычетов оказывается более удобным, чем
набор коэффициентов ряда (3), при исследовании коммутацион-
ных соотношений.
Теорема 8. Пусть задан дифференциальный оператор Р =
= p2(x)D2 + pi(x)D + Ро(х) второго порядка с комплекснознач-
ными гладкими коэффициентами и рк = рк [р2, pi,p0], k —1, —
каноническая серия вычетов этого оператора. Тогда коммути-
рующий с Р дифференциальный оператор порядка m существует
в том и только в том случае, если коэффициенты оператора Р
удовлетворяют дифференциальному уравнению
CmPm [Р2, Pl, Рв] + • • • + С1Р1 [Р2, Pl, Ро] + С-1Р-1 [Р2, Pl, Ро] = О,
(9)
где ст, ..., Ci, с_, g С и ст ф 0.
Доказательство. Предположим, что коммутирующий с Р диф-
ференциальный оператор Q существует. Тогда в силу предложе-
ния 4 оператор Q выражается через дробные степени Р форму-
лой (5), а формула (7) при п — 2 дает
[Q, Р] = рД(р2) + 2р2О(р), (10)
где р = res(cmRm + ... + CiR) = стрт + ... + сця. Из условия
[Q, Р] = 0 и формулы (10) следует, что р = const(р2)-1/2. Учи-
тывая, что р_! = р^1/2 при п = 2, получаем (9).
Если условие (9) выполнено, то р = —c-ip-i и из (10) сле-
дует, что оператор Q = (cmRm + ... + CiR)+ коммутирует с Р.
Непосредственное вычисление вычетов дробных степеней
дифференциального оператора приводит к большому объему вы-
числений, так как предварительно нужно найти необходимое
число коэффициентов ряда (3). Например, канонический вычет
P3 = res(/?3) для оператора Р = p2D2 + PiD + ро выражается,
так как R2 = Р, формулой
Рз = res Я3 = res {(p2D2 + ptD + р0) (rtD + r0 + r_ID~1 +
+ r_2D 2 + r_$D 3)} =
= P2[D2(r_i) + 2D(r_2) + r_3] + Ру [D(r_,) + r_2] + por_l,
Каноническая серия законов сохранения
587
а соответствующая система уравнений (4) для коэффициентов
ряда имеет следующий вид:
r2i = p2, 2r1r0 = P| —riO(n), 2rir_t = p0 — rl — riD(r0),
2г ^_2 = — rtD (г_[) + r_tD (г,) — 2ror_i,
2г 1Г_з = — rtD(r~2) + 2r_2D(rt) — r^V-i) + r-i°2 (ri) + r-iD(ro) —
n 2
— 2r0r_2 — r-1.
Задача 9. Установить, исходя из приведенных выше формул
и теоремы 8, что для оператора Р = D2р критерием сущест-
вования коммутирующего с Р оператора третьего порядка яв-
ляется следующее дифференциальное уравнение на потенциал р:
р" + Зр2 + ctp 4- с_! = 0.
Проверить, что частным решением этого уравнения (при Ci =
= с_1=0) является р = —2/х2 (ср. (5.30)), а общее решение
выражается через эллиптические функции.
Несмотря на вычислительные трудности1) алгоритм построе-
ния канонической серии вычетов (8), основанный на классиче-
ской лемме 1, с идейной точки зрения представляется безукориз-
ненным. В дополнение к этому алгоритму нам понадобится
приведенная ниже формула для вычета коммутатора двух фор-
мальных рядов:
res ([Л Q]) = D(a(P, Q)). (11)
Здесь при Р = У, pkDk, Q = У, qkDk функция о в правой
k^n
части является следующим дифференциальным полиномом от
коэффициентов этих формальных рядов:
/+fe+i>o j+k
a(P,Q)= £ ( . , * . ) £ (-‘Г Ds (Pk) Di+k~s(qj).
j^n, k<m X 7 + « + 1 / s=0
Для нас важно лишь, что в формуле (11) правая часть является
полной производной корректно определенного дифференциаль-
ного полинома от коэффициентов рядов Р и Q. Заметим, что в
случае мономов из формулы, определяющей их произведение,
следует, как нетрудно проверить, что
res [Р/2У, qkDk] = c(i, k){PlDs(qk)- (-l)sqkDs (Pi)},
]) Наличие персонального компьютера позволяет автоматизировать та-
кого рода вычисления.
588
Приложение I
где s = j + k + 1 > 0 и c (j, k) = 0 при j, k 0. В частности, при
s = 1 выражение в фигурных скобках равно D(pj-qk), при s = 2
получаем D (pjD (</*)— qkD(pj)) и т. д.
2. ВЫВОД ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ИЗ КОММУТАЦИОННЫХ
СООТНОШЕНИИ
Рассмотрим эволюционное уравнение
du)dt — F{x, и, ди/дх, д2и/дх2, ...)
с одной пространственной независимой переменной х и с одной
неизвестной функцией и — и(х, t). Вводя стандартные обозначе-
ния uk = dku/dxk, k = 0, 1, ..., мы будем записывать это урав-
нение порядка m 2 в виде
Df(«) = F(x, и, «j, m^2. (12)
В алгебраической теории (см. гл. 5 основного текста) мы «за-
бываем» о зависимости и от х, t и рассматриваем все перемен-
ные х, t, и, Ui, и2, ... как равноправные независимые перемен-
ные. Законом сохранения уравнения (12) в соответствии с этим
называется тождество по указанным переменным вида
Dt(p(x, t, и, щ, Uni)) = D(o(x, t, и, ..., цП2)), (13)
где операторы полного дифференцирования Dx= D и Dt за-
даются бесконечномерными векторными полями
_ д . д , д . д . ,, ..
D '== —ч Н W. “л В ^2 "л F "л Н * • • j (14)
дх ' 1 ди 1 2 <ЭИ| 1 л диг 1 ’ ' '
Dt = 4-+F-^-+D(F)^-+O2(F)^-+ ... . (15)
f dt 1 ди ди\ ' ' ди2 1 '
Связь введенного определения закона сохранения (13) с общим
понятием интеграла движения подробно обсуждалась в § 4.3
книги.
Следующее часто используемое в современной математиче-
ской теории солитонов утверждение будет нашим основным ин-
струментом при построении законов сохранения.
Лемма 10. Пусть R — формальный ряд вида (3), коэффи-
циенты которого заданы как функции от конечного набора пере-
менных х, t, и, и\, и2, .... удовлетворяет коммутационному соот-
ношению
Dt(R) = [Q, /?]. (16)
Здесь Q — произвольный формальный ряд, коэффициенты кото-
рого также являются функциями указанных переменных, a Dt
обозначает эволюционное дифференцирование (15).
Каноническая серия законов сохранения
589
Тогда все вычеты (8) формального ряда R являются плотно-
стями законов сохранения (13).
Доказательство. Легко проверить, что степени ряда R также
удовлетворяют коммутационному соотношению (16). Действи-
тельно, по определению Dt(R) = У, Dt(rs) Ds и из (16) следует,
что при k > О
Dt (Rk) = Dt (R) Rk ' + RDt (R) Rk~2 + ... + Rk~lDf (R) =
= [Q, Я] Rk~l + • • + Rk~l [Q, P] = [Q, Pft].
Читателю предлагается проверить, что это верно также при k =
=— 1 (см. задачу 2). Таким образом, при А = ±1, 4-2, +3, ...
Dt (pft) = Dt (res Rk) = res Dt (Rk) = res [Q, Z?&] = D (oft),
где oft — дифференциальный полином от коэффициентов комму-
тируемых рядов из формулы (11). Остается проверить, что ло-
гарифмический вычет ро = ГоА1 также является плотностью за-
кона сохранения. Имеем
Dt (гогГ‘) = res (О, (R) Р-1) = res (Q — RQR~l) = res [QP~‘, Р].
Применив снова формулу (11), получаем нужное нам соотноше-
ние ОДр0) =£>(о0).
Основной вопрос, как построить коммутационное соотноше-
ние (16) для данного эволюционного уравнения (12), будет рас-
сматриваться в следующем разделе. Здесь мы приведем некото-
рые предварительные примеры и уточним необходимые для
дальнейшего варианты применения леммы 10.
С алгебраической точки зрения коммутационное соотношение
(16) является прямым обобщением коммутационных соотноше-
ний из предыдущего раздела и записывается в виде равенства
нулю коммутатора — Q, Р] = 0. Сопоставив доказательства
лемм 1 и 10, мы приходим к заключению, что при этом
[Dt-Q, 7?] = 0o[Z)t-Q, Р"] = 0. (17)
Поэтому справедливо следующее обобщение леммы 10.
Предложение 11. Утверждение леммы 10 остается верным,
если существует формальный ряд Р = pnDn 4-..., п 0, такой,
что Dt(P) = [Q, Р]. В этом случае формальный ряд R вида (3),
вычеты которого дают плотности законов сохранения, опреде-
ляется из соотношения Rn= Р (см. формулы (4)).
Теперь мы имеем возможность построить серию законов со-
хранения (плотностями которых являются канонические выче-
590
Приложение I
ты из определения 6) для любого эволюционного уравнения (12),
для которого известна пара дифференциальных операторов
Р, Q, удовлетворяющих уравнению Лакса Dt(P) = [Q, Р].
Пример 12. Пусть P = D2 + « и Q = (Рт + .
-. + CiP)+. Тогда из формулы (10) следует, что
[Q, P] = 2D(p), p = res(7r + cm_IPm“1+•••+CiP),
и мы можем обеспечить выполнение коммутационного соотноше-
ния Dt(P) = [Q, Р], определив эволюционное дифференцирова-
ние (15) при помощи формулы Dt(«)=2D(p) (очевидно, что
Dt(P) =Dt(D2 + w) =Dt(u)). В частности, при m = 3, поль-
зуясь вычислениями задачи 9, мы получаем 8р = ц2 + 3«2 + ctu
и эволюционное уравнение 4Dt(u) = D (и2 + 3«2) (соответствую-
щее выбору Cj=O), которое совпадает с уравнением Кортеве-
га— де Фриза с точностью до масштабных преобразований.
Применив предложение 11, приходим к серии плотностей
Р-1 = 1, Ро = О, Р1=4"ы- Р2 = 0, Рз = 4-(м2 + 3ц2), ...
законов сохранения этого уравнения, совпадающей с канониче-
скими вычетами дифференциального оператора D2 + и.
Задача 13. Доказать, что канонические вычеты оператора ре-
курсии из § 5.2 также являются плотностями законов сохране-
ния уравнения Кортевега — де Фриза.
Для того чтобы вычислить первые У вычетов р_1; р0, pi, ...
• •, pw-2, нужно знать ровно У коэффициентов формального ря-
да Я или (см. (4)) ровно N коэффициентов ряда Р = Рп. Бо-
лее того, если мы хотим найти только первые У плотностей за-
конов сохранения, используя лемму 10, то нам вовсе не нужно,
чтобы коммутационное соотношение (16) выполнялось точно, а
нужно лишь, чтобы
[D, - Q, Р] = rsDs + + • • •
при достаточно большом по модулю отрицательном s. Анализ
доказательств лемм 1 и 10 показывает (ср. (17)), что это со-
отношение выполняется в том и только в том случае, если при
любом целом k ф 0
[Df-Q, tffe] = ^ftDs+* + rs_I,ftDs+ft-1+ ... .
Нетрудно проверить теперь, следуя доказательству леммы 10,
что справедливо следующее ее обобщение.
Каноническая серия законов сохранения 591
Лемма 14. Пусть Р = pnDnpn-\Dn~lп =/= О,— фор-
мальный ряд с коэффициентами, зависящими от х, t, и, щ, ...
и Р = Рх>п — соответствующий ряд вида (3). Тогда из ком-
мутационного соотношения
Dt(P) = [Q, Р]+г^ + г,^-'+s^n-N, (18)
где Dt — дифференцирование (15), a Q — произвольный формаль-
ный ряд с коэффициентами, заданными как функции от х, t, и,
ии ..., следует, что N первых канонических вычетов (8) ряда Р,
т. е. р_4, р0, ..., pw-2, являются плотностями законов сохране-
ния эволюционного уравнения (12).
Это несущественное на первый взгляд усиление леммы 10
является ключевым моментом в дальнейшем развитии теории.
Оказывается, что коммутационные соотношения вида (18)
имеют место для всех эволюционных уравнений (12), обладаю-
щих неклассическими симметриями. Прежде всего мы должны
вспомнить некоторые факты из § 5.1, связанные с определением
симметрий. Строго говоря, инфинитезимальной симметрией
уравнения (12) называется векторное поле
^ = ^ + W^ + W)^+-.., (19)
коммутирующее с (14) и (15). Функция f в (19) считается за-
данной как функция от х, t, и, щ, и2.Дифференцированию
(19), так же как и дифференцированию (15), можно сопоста-
вить эволюционное уравнение
Dx{u) = f(x, t, и, щ, .... ип), (20)
и условие коммутирования векторных полей (15) и (19) совпа-
дает с условием равенства «смешанных производных»
Dt(f) = DX(F). (21)
Уравнение (21) должно выполняться тождественно по перемен-
ным х, t, и, щ, ... . Следствием (21) является коммутационное
соотношение (см. формулу (5.33) основного текста)
£»/(P) = [Q, И + DX(Q), (22)
где дифференциальные операторы Р и Q являются «производ-
ными Фреше» от дифференциальных функций f и F соответ-
ственно:
р — df n" -L -I- df п । df п______ dF nm , , dF
дип U + ‘ + du, + ди' dumD + ••• +"дГ-
(23)
592
Приложение I
Условимся называть порядком симметрии порядок соответ-
ствующего ей дифференциального оператора Р. Высшие или со-
литонные симметрии — это симметрии порядка п > т, где т —
порядок рассматриваемого эволюционного уравнения (12). Не-
посредственным следствием леммы 14 и коммутационного соот-
ношения (22) является следующее утверждение, показывающее,
что в отличие от классических симметрий высшие симметрии
прямо связаны с законами сохранения.
Теорема 15. Предположим, что эволюционное уравнение (12)
порядка пг обладает высшей симметрией порядка п > пг. Тогда
первые п — пг канонических вычетов соответствующего этой
симметрии дифференциального оператора Р (см. (23)) являются
плотностями законов сохранения (13).
Доказательство. Так как порядок дифференциального опера-
тора DX(P) не может быть больше ш, то из (22) следует вы-
полнение коммутационного соотношения (18) с N = п— пг. Та-
ким образом, утверждение теоремы действительно является
следствием леммы 14.
Нужно признать, что указанные в теореме 15 формулы для
плотностей законов сохранения имеют мало общего с формула-
ми классической теоремы Нётер. Однако выявленная в теоре-
ме 15 неожиданно простая связь высших симметрий и законов
сохранения имеет многочисленные приложения как практиче-
ского, так и теоретического характера. В конечном счете это
приводит к алгоритму вычисления плотностей законов сохране-
ния непосредственно по правой части рассматриваемого урав-
нения (12).
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПЛОТНОСТЕЙ
Для уравнений, обладающих высшими симметриями, кано-
нические плотности можно было бы определить как канониче-
ские вычеты дифференциального оператора Р из (23), но нам
нужно выразить их в терминах второго из операторов Q, ис-
пользуя коммутационные соотношения (22). По формулировке
эта задача близка к задаче об определении коэффициентов диф-
ференциального оператора, коммутирующего с заданным, одна-
ко является более сложной в идейном плане. При первом чте-
нии можно попытаться понять суть дела, обратившись непосред-
ственно к результатам вычисления канонических плотностей,
приведенным после описания алгоритма.
Каноническая серия законов сохранения
593
Алгоритм, который будет описан ниже, применим к любому
эволюционному уравнению (12). Исходным является коммута-
ционное соотношение вида (18). Оно заменяется следующей
системой эквивалентных друг другу (ср. (17)) коммутационных
соотношений для степеней формального ряда 7? вида (3):
Dt (/?*) - [Q, 7?ft] = rSt kDs+k + rs_lt kDs+k~l
k = ± 1, 2, 3, ... . (25)
К этой системе добавляется соотношение
{DtR) R~l - [Q7?-1, 7?] = rs0Ds + rs_lf kDs~k + ..., (26)
эквивалентное, очевидно, случаю k=l в (25). Для коэффици-
ентов степеней формального ряда R вводится двойная нуме-
рация:
Rk = г>, kDk + r0, j#-1 + r_(, kDk-2 + ... . (27)
Формулы вычисления коэффициентов ряда Rk по коэффициен-
там ряда R’ при любых j, k были указаны в первом разделе.
Идея алгоритма — выбрать при данном s из множества уравне-
ний (25), (26) самое простое.
Перед тем как начинать действия алгоритма, нужно выра-
зить первые т — 1 коэффициентов каждого из рядов Rk, k =
= ±1, 2, 3, ..., через коэффициенты формального ряда
Q = qmDm + qm^Dm-l+ ..., m>2, (28)
который считается заданным. Выбрав k = т, мы полагаем
Rm — Qn^m + • • • + Qi®2 + ^2-m, irfi + r 1-m, + • • • •
Тогда из формулы
[Q, 7?m] = [Q, Q + (r2^m-ql)D+ ...] = ro>mzr+ ...
следует, что rs, m = 0 при s > 0, а значит, и rs, k = 0 при s > 0
для других значений k.
На первом шаге алгоритма находится уравнение для коэф-
фициента г2т, k, k выбирается равным —1. Представив R~l
в виде
7? 1 = г1, -1-0 1 + • + r2-т, -lD т + • • • >
где выделен нужный нам коэффициент, применим формулы (1)
и (11). Получаем, что
Го, -! = res (Dt (7Г1) - [Q, 7?-*]) = Dt (p_j) - (29)
ст_, = щ?тг2-т,-1 + 6-ь (29)'
594
Приложение I
где p-i = и, -i и б-i — дифференциальные функции от коэффи-
циентов ряда (28).
На втором шаге из (26) мы получаем уравнение для п-т, ь
г-1,0 = res ((DtR) /г1 - [Q/?->, /?]) = Dt (р0) - D (о0), (30)
О0 = (tn — 1) (7mP-l) Г1-m, 1 + %(О-1), (30/
где все величины, включая р0, кроме «нового коэффициента»
П-m, 1, выражены в процессе вычислений как дифференциаль-
ные функции от о-i и коэффициентов ряда (28).
На третьем шаге из уравнения (25) с k = 1 получаем
г-2,1 = res (DtR - [Q, 7?]) = Dt (P1) — (31)
0i = m?rar_„|-|-0|(o.i, 4 (31')
Здесь все величины (кроме r_m, i), включая канонический вы-
чет p+i=res7?, выражены как дифференциальные функции от
о-i, о0 и коэффициентов исходного ряда (28). Далее, полагая
последовательно k = 2, 3, ..., мы вычисляем при помощи фор-
мул (1), (11) г-3, 2, Г-4, 3 и Т. д.
В результате применения алгоритма находятся алгебраиче-
ско-дифференциальные выражения канонических вычетов р, =
= res (R‘) через псевдопотенциалы ok, k < j, и коэффициенты
исходного ряда Q. Например, при m = 2, Q = q2D2 ф- giD + qo
имеем
p_i = l/V?2, Ро = 71/72“
-1/2/ 1 .1 . 1 2 \ 1 -1 /„ ,2\ (^2)
Pi = 72 + + '271 — 0(72)),
а при m = 3, Q = q3D3 4- q2D2 + qiD + q0:
-1/3 3
P-i — 7з . Po — 7гР-ь
P, = P=2D (2D (p_,)) + P2_,72 + PI? (£• (P-i))2 + P5_i7i/3 +
+ p_1O(P_i)72 —pli7i + p-iO-p (33)
P2 = — D2 (p_,)72/3 — D (p_j) 7! + p_!<7o — D (p_i)272/p-i —
“Pi i7i72/3 + D (p_j) pt!72/3 + 2pL^/27 + р.^/З,
Рз = P-iai Pl°-1-
Полученные выражения для канонических вычетов позво-
ляют выписать при любом / —1 замкнутую систему уравне-
ний для псевдопотенциалов1):
*) Система уравнений (34) служит отправной точкой при построении
формул для вычисления плотностей законов сохранения по правой части
эволюционного уравнения (12). Указанные в алгоритме выражения для пер-
вых m — 1 канонических вычетов дают пример такого рода формул.
Каноническая серия законов сохранения
595
£»(<T_1) = Dz(p_1), £>(<Т0) = О/(р0(о_1)), ...»
(34)
Разрешимость этой системы уравнений в алгебре дифференци-
альных функций от х, t, и, иг, ... гарантирует разрешимость
коммутационных соотношений (25), (26) при s = —j — 2. На-
пример, при / = 0 из (34), (29), (30) следует, что r0,-i = r-i,o=
= 0. Поэтому r0, k, r_it k = 0 для любого k и коммутационные
соотношения (25), (26) выполняются при s = —2.
На примере уравнения Кортевега — де Фриза (ср. задачу 13
и пример 12) становится ясным, что одно и то же эволюционное
уравнение может допускать коммутационные представления
вида (18) с существенно различными операторами Q и Q.
В этом случае рассматриваемый алгоритм приведет к двум на-
борам канонических вычетов
p_j, Ро^-Э, Р1(ф)> o-i). Р-ь Ро(сг-1), Р1(б0, б_,), ....
заданным как функции коэффициентов формальных рядов Q и
Q и псевдопотенциалов, которые играют роль дополнительных
аргументов в этих алгебро-дифференциальных выражениях (ср.
(32), (33)). Очевидно, что нужно рассматривать две получен-
ные таким образом системы уравнений (34) как эквивалентные,
если
p_, = p_i+ £>И), р0 = ро + c_ip_i + D(У(<т_1, а_)), ..., (35)
где с_|Е С, а X, У, ... — дифференциальные функции от коэф-
фициентов обоих рядов Q и Q и некоторого (соответствующего
номеру вычета) количества псевдопотенциалов1). Другими сло-
вами, уравнения (34) следует рассматривать как упорядочен-
ный набор законов сохранения и применять к ним соответствую-
щую технику из § 4.3 книги.
В дальнейшем мы будем называть систему уравнений (34),
полученную в результате применения изложенного выше алго-
ритма, системой канонических законов сохранения эволюцион-
ного уравнения (12). При этом всегда подразумевается, что в
качестве Q выбирается оператор, указанный в (23). В соответ-
ствии с этим канонические вычеты, выраженные в терминах
коэффициентов оператора Q и псевдопотенциалов, будут на-
зываться каноническими плотностями.
Как следует из описания алгоритма, несколько первых кано-
нических плотностей совпадает с каноническими вычетами опе-
ратора Q, но, вообще говоря, это объекты другой природы, так
*) Читателю рекомендуется вернуться здесь к примеру 12 и задаче 13.
596
Приложение I
как их нельзя выразить только в терминах коэффициентов опе-
ратора Q, исключив псевдопотенциалы (ср. определение 6 и
формулы (32), (33)).
4. ПРИЛОЖЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
Проиллюстрируем сначала общую схему применения формул
(32) — (33) на примере уравнения нелинейной диффузии (см.
задачи 2.18, 2.22(d), 5.10(b)
(и) = D(k (и) щ). (36)
Нас интересует вопрос, каким должен быть коэффициент диф-
фузии для уравнений, обладающих неклассическими симметрия-
ми. В рассматриваемом случае (см. (23))
Q = q2D2 + ?,£> + %,
q2 = k(u), qx = 2k' (u)ult q0 = k' (u)u2 + 2k" (и) и2,
и мы можем воспользоваться формулами (32). Из общего утвер-
ждения, доказанного ниже (теорема 17), следует, что необхо-
димым условием существования симметрий порядка, большего,
чем порядок уравнения, является разрешимость соотношения
Я/(₽-.) = Я (о-i) (37)
в алгебре функций от переменных х, и, и\, ... . Имеем в силу
(32) р_( = 1/V?2 = Дифференцируя, получаем
Dt (p_l) = -Lk'k~3l2D (k («)«,) = D ^k'k~ll2Ux) + k (a) u2,
где
ft («)=4 k~3'2 (~kk"+4k'2) •
В силу (37) должна существовать функция о(х, и, их, ...), та-
кая, что D (о) = k (и) и2. Очевидно, что это возможно только при
ft = 0. Решив соответствующее дифференциальное уравнение,
находим, что
ft (и) = (аи + Р)~2, а, р <= С.
Таким образом, с точностью до масштабных преобразований,
существует только одно уравнение нелинейной диффузии, кото-
рое может иметь неклассические симметрии, а именно
Dt (и) = D (и~2их). (38)
Задача 16. Проверить, что нелинейное уравнение вида
Dt(u) = k(u)u2, обладающее неклассическими симметриями,
сводится масштабными преобразованиями к уравнению
Dt (и) = и2и2. (39)
Каноническая серия законов сохранения
597
Общая теорема, о которой говорилось выше, является уточ-
нением теоремы 15.
Теорема 17. Для эволюционного уравнения (12) порядка
т 2 необходимым условием существования симметрии поряд-
ка п> ш (с характеристикой, не содержащей t явно) является
разрешимость цепочки уравнений (34) при j — п — m — 2 в
классе функций от переменных х, и, щ, и2.
Схема доказательства. Пусть Q и Р — дифференциальные
операторы, построенные по правым частям уравнений (12) и
(20) соответственно. Для доказательства теоремы достаточно
построить формальный ряд R, удовлетворяющий двум условиям:
(i) Первые m— 1 коэффициентов ряда Rm совпадают с со-
ответствующими коэффициентами оператора Q.
(ii) Ряд R удовлетворяет уравнениям (25), (26) при s =
= tn — п. Этот ряд R строится по формуле вида 7?=с1Р1 4- с0Д-
+ С-ДД1 + с_2РГ2 где Pi определяется по симметрии из
соотношения Р^ — Р, а CjGC—подходящим образом подо-
бранные постоянные (ср. задачу 5). Необходимая для доказа-
тельства техника обращения с коммутационными соотношения-
ми содержится в описании алгоритма (разд. 3), коротком дока-
зательстве теоремы 15 и доказательстве предложения 4.
Следующий учебный пример уравнения
Dt (и) = и2и2х~2 — 4u,u2x-3 -|- 6t?x-4 4- "кщ, ZgC, (40)
показывает, как можно использовать псевдопотенциалы, если
нарушаются необходимые условия существования высших сим-
метрий из теоремы 17. Каноническая плотность p~i равна
q21^ — х[и. Легко проверить, что
Dt (P-i) = D [~uilx + Зп/х2 4- Кх/и) — Л/«.
Поэтому при X =# 0 не выполняется первое из необходимых ус-
ловий теоремы 17. Таким образом, уравнение (40) не может
иметь высших симметрий. Попробуем расширить стандартный
набор «динамических переменных» х, и, и\, и2, ... и ввести но-
вую переменную v так, чтобы D(y) = i/и и выполнялось усло-
вие (37) с функцией щ = сгДх, и, ult v). Для того чтобы опре-
делить действие дифференцирования Dt в расширенном наборе
динамических переменных, нужно выбрать функцию <т(х, и,
v, Ui, .. .) и положить
D (у) = i/u, Dt (и) = сг.
598
Приложение I
При этом из условия [£), £)z] = 0 следует, что должно выпол-
няться соотношение
Dt(v) = D(a>- (4D
В рассматриваемом примере это условие выполняется и, выра-
зив о как функцию х, v, Vi = D(v), ..., мы приходим к урав-
нению
Dt (v) = a = v2vT2x~2 + 2vilx~3 Д- Лир (42)
Можно найти канонические плотности (32) и проверить, что
уравнение (42) удовлетворяет необходимым условиям существо-
вания высших симметрий из теоремы 17, однако лучше предва-
рительно упростить уравнение.
Задача 18. Преобразованием годографа х = 7.г'/2, и = 2х/7.
привести уравнение (42) к виду, обобщающему (38):
Dt(u) = D(u~2u1 — 2x), (43)
и проверить выполнение условий существования высших сим-
метрий.
Уравнение (43), как и обобщенное уравнение Бюргерса
О/ (rz) и2 “I- 2uur Д- h (х),
являются типичными представителями детально изученного за
последние годы класса уравнений, которые сводятся к линейным
после введения соответствующим образом подобранных потен-
циалов, однако мы не имеем здесь возможности входить в де-
тали этой важной для приложений темы.
Перейдем к обзору дальнейших применений и обобщений
формул (32) — (33) для канонических плотностей. Кажется не-
вероятным, но эти формулы содержат всю необходимую инфор-
мацию о свойствах уравнений второго и третьего порядков, об-
ладающих высшими симметриями. Другими словами, указанные
в теореме 17 необходимые условия оказываются также и доста-
точными для существования симметрий, если / = 1 при т = 2 и
/ = 3 при т = 3. Однако проверка этого утверждения — чрез-
вычайно трудоемкое дело и в принципе может оказаться, что в
некоторых исключительных случаях сильно нелинейных уравне-
ний третьего порядка Dt(u) = F(x, и, ui, и2, и3) понадобятся ка-
нонические плотности с более высокими номерами. Обобщение
формул (32) — (33) на случай скалярных эволюционных уравне-
ний (12) вызывает лишь технические усложнения. Обобщение
теории канонических плотностей на гиперболические уравнения
и системы эволюционных уравнений возможно, но здесь имеется
Каноническая серия законов сохранения
599
ряд нерешенных вопросов. К настоящему времени хорошо изу-
чены следующие классы уравнений, обладающих высшими сим-
метриями:
uxy = F(u), (44)
Dt(u) — F(x, и, ult и2), (45)
Dt(u) = А(х, и, ub u2)u3A~ B(x, u, u,, u2), (46)
Dt (u) = u3 + F (и, щ, u2, u3, u4), (47)
Dt (u) = A (u)u2 + B(u, Ut), u = (u1, u2), det71(n)=/=0. (48)
Параллельно развивалась теория нелинейных цепочек
dunldt = F(un, un+i, un_t), (49)
^~ = F(un, dujdt, ип_г). (50)
Во всех этих случаях получено исчерпывающее математическое
описание и проведена классификация. Ссылки на оригинальные
работы можно найти в недавно опубликованных обзорах Михай-
лов, Шабат, Ямилов [1**], Соколов [1**]; связь между уравне-
ниями с частными производными (48) и нелинейными цепочка-
ми (49), (50) обсуждалась в работе Шабат, Ямилов [1**] (см.
список литературы к основной книге).
Приложение II
Метод сдвига аргумента и топология
интегрируемых гамильтоновых систем
А. В. Болейнов, А. Т. Фоменко
В этом приложении изложены некоторые конструкции, допол-
няющие основной текст книги и возникающие в теории вполне
интегрируемых гамильтоновых систем: метод сдвига аргумента,
согласованные скобки Пуассона, топологические инварианты
интегрируемых гамильтоновых систем, перестройки торов Лиу-
вилля. Некоторые другие вопросы, связанные с интегрирова-
нием гамильтоновых систем в явном виде, см., в частности, в
работах С. П. Новикова и его учеников [1].
Начнем с хорошо известного примера гамильтоновой систе-
мы, описывающей динамику многомерного твердого тела, за-
крепленного в центре масс:
Х = [Х, Q], (1)
здесь X, Й — кососимметрические матрицы, связанные соотно-
шением Х=ВЙ-|-ЙВ, где B = diag(6b ..., 6„) — тензор инер-
ции твердого тела. Уравнения (1) иногда называются в литера-
туре уравнениями Эйлера — Арнольда. В трехмерном случае
они совпадают с классическими уравнениями Эйлера, в много-
мерном случае многие важные их свойства были изучены
В. И. Арнольдом (см. [2], [3]). С. В. Манаковым было установ-
лено [4], что система (1) может быть записана в следующем
эквивалентном виде:
(X + /.В2) = [X + ZB2, Й + ZB],
из чего сразу следует, что функции Tr(X + XB2)fe являются пер-
выми интегралами данной системы. Инволютивность этого на-
бора функций относительно стандартной скобки Пуассона — Ли
и полная интегрируемость системы (1) вытекают из следующей
общей конструкции, предложенной А. С. Мищенко и А. Т. Фо-
менко [5] и получившей название «метод сдвига аргумента».
Пусть G — произвольная конечномерная алгебра Ли, G* —
двойственное пространство, fug — инварианты коприсоединен-
ного представления алгебры Ли G, а е G* — произвольный
фиксированный элемент. Тогда функции а(х) = f(x + 7.а) и
© «Мир», 1989
Метод сдвига аргумента
601
ёч. а(х) = g(x -j- pa) находятся в инволюции при любых X,
реК относительно скобки Пуассона — Ли на G* (см. [5], [6]).
Иногда ковектор а, на который производится сдвиг, можно
брать из некоторого большего пространства, содержащего G*,
как это и делается в случае твердого тела (см. выше). А имен-
но, справедливо
Предложение I. Пусть алгебра Ли Н вложена в алгебру
Ли G так, что G = H(&V, причем [Л, У] с V, [V, V'Jcz Н. Пусть
G* = Н*<& V* — двойственное разложение, с е V'* — произволь-
ный элемент, fug — инварианты коприсоединенного представ-
ления алгебры Ли G. Тогда ограничения функций f(x + Та) и
g(x-j-pa) на Н* находятся в инволюции относительно скобки
Пуассона — Ли на Н*.
Сразу же возникает вопрос, сколько функционально незави-
симых функций в инволюции можно получить описанным спо-
собом. Рассмотрим сначала случай полупростой алгебры Ли G.
Как обычно в этом случае, отождествим G и G* с помощью
формы Киллинга. Будем говорить, что инволютивное семейство
функций полно на G*. если из него можно выбрать (1/2) (dimG-f-
-j- ind G) функционально независимых функций.
Теорема 1 (см. [5]). (а) Пусть а — регулярный элемент полу-
простой алгебры Ли G. Тогда инволютивное семейство сдвигов
инвариантов {f (х + Та) |f е /(G), /. eR) полно на G*.
(б) Пусть Н — нормальная вещественная подалгебра, a G —
компактная вещественная форма полупростой алгебры Ли Gc.
Рассмотрим ортогональное разложение G = Н ФУ. Пусть а е
eV — регулярный элемент. Тогда инволютивное семейство
функций {f(h + Та) /(G), /.еР} полно на Н.
Отметим, что следствием второй части этой теоремы является
полная интегрируемость уравнений движения n-мерного твердого
тела (I). Рассмотрим подробнее гамильтоновы системы на полу-
простых алгебрах Ли, интегрируемые в рамках метода сдвига
аргумента. Любой квадратичный гамильтониан h(x) на двой-
ственном пространстве G* алгебры Ли G удобно задавать с по-
мощью самосопряженного оператора <р: G*-> G так, что h(x) =
— (1/2) (<р (х), х). В случае полупростой алгебры Ли рассмотрим
следующие семейства операторов. Пусть а е G — регулярный
элемент, К— подалгебра Картана в G, содержащая а, Ъ е К —
произвольный элемент и D\ — произвольный самосопря-
женный оператор. Положим^,/,,D (х) — ad6 ada xt + Dx2, где x=
= jq + x2, x^K1, x2^K, ad^1: — корректно опреде-
602
Приложение II
ленный в силу регулярности элемента а оператор. Операторы
<Р«, ь, о являются частным случаем общих секционных операто-
ров, введенных А. Т. Фоменко в [7].
В случае когда G = Н® К, Н — нормальная вещественная
подалгебра алгебры Ли Gc, определим самосопряженный опе-
ратор фа> Н-+Н по формуле <ра,ь(Л) = ad^'ad6ft, где fl eV'-
регулярный элемент, лежащий в подалгебре Картана К, b К.
Теорема 2 (см. [5]). (а) Функции f(x®Xa), где fe/(G),
Ze}-, являются первыми интегралами гамильтоновой системы
x = [<l>a,b,D(x), X^G. (2)
(б) Функции f(h-]-Ka), где h^Hc^G, f^/(G), ZeR,
являются первыми интегралами гамильтоновой системы
h = [4a,b(h}, ft], h^H. (3)
Из теорем 1 и 2 автоматически вытекает
Следствие. Гамильтоновы системы (2) и (3) вполне интегри-
руемы по Лиувиллю на орбитах общего положения.
Отметим, что система (1), описывающая динамику «-мер-
ного твердого тела, является частным случаем системы (3). До-
статочно положить Н = so (n), G = si (п), а = В2 = diag (b2, ...
.. ., fen), Ь = В = diag(feb ..., bn).
Перечисленные результаты относятся в основном к орбитам
общего положения, случай сингулярных орбит требует отдель-
ного изучения. Скажем, что инволютивное семейство функций
полно на фиксированной орбите коприсоединенного представле-
ния О(х) с: G*, если из него можно выбрать (1/2) dim О (х)
функций, которые функционально независимы на этой орбите.
Теорема 3 ([8], [9]). Пусть G — полупростая алгебра Ли,
х е G — полупростой сингулярный элемент. Тогда найдется ре-
гулярный элемент а е G, такой, что ограничение инволютивного
семейства сдвигов инвариантов {/(х Ха)} на сингулярную ор-
биту О (х) полно на этой орбите.
Отметим связь этой теоремы с интегрируемостью геодезиче-
ских потоков на компактных симметрических пространствах.
Пусть компактная группа Ли © действует на симметрическом
пространстве М = ®/Х. Это действие задает естественное ото-
бражение момента F: T*M^»-G*. Пусть Н(х)—положительно
определенный квадратичный гамильтониан на G = G*. Тогда
Метод сдвига аргумента
603
функция Н = Н °F при фиксированном с е квадратична и
положительно определена на Т$М. Следовательно, она задает
некоторую риманову метрику на симметрическом пространстве
М, отличную, вообще говоря, от стандартной (стандартной мет-
рике на М отвечает функция Н(х) = (1/2) (х, х), где ( , ) —
форма Киллинга). Если fi, . . . , fs -- коммутирующие интегралы
уравнений Эйлера х = [сШ(х),х] на G, то функции fi°F, ...
..., fs°F являются коммутирующими интегралами геодезиче-
ского потока на Т*М, отвечающего построенной метрике. Для
полной интегрируемости этого потока достаточно, чтобы функ-
ции fi, .. ., fs составляли полное инволютивное семейство почти
на всех орбитах, содержащихся в образе отображения момента.
Эти орбиты, как правило, сингулярны (например, в случае М=
= Sn = SO (и + l)/SO(n)) и полупросты в силу компактности
группы Ли Таким образом, из теоремы 3 вытекает
Теорема 4 ([9]). Пусть М = @/Х—компактное симметриче-
ское пространство. Пусть Н(х) = (1/2) (<ра,ь,о(х), х) — поло-
жительно определенный квадратичный гамильтониан на G (см.
выше). Тогда геодезический поток на Т*М, отвечающий метрике
Н °F, вполне интегрируем.
Для стандартной метрики на М = ®/£ интегрируемость была
доказана в [10].
Метод сдвига аргумента и его различные модификации были
применены для более общих алгебр Ли в большом цикле работ
А. В. Беляева, А. В. Болсинова, А. В. Браилова, Ле Нгок Тьеуе-
на, Т. А. Певцовой, Т. Ратью, В. В. Трофимова, К. Шваи (см.
обзор Трофимова и Фоменко [11]).
В случае произвольной конечномерной алгебры Ли G семей-
ство сдвигов инвариантов не образует, вообще говоря, полного
набора на G*, более того, оно может оказаться тривиальным,
например, если алгебра Ли G фробеииусова, т. е. орбиты общего
положения представления Ad* открыты. Отметим, что различ-
ные конструкции, связанные с фробениусовыми алгебрами, изу-
чались в работах Браилова [12], Ле Нгок Тьеуена [13], Трофимо-
ва [14], Элашвили [15]. В частности, Браиловым была доказана
формула ind G0A = ind G-dimA, где G — произвольная конеч-
номерная алгебра Ли, а А — коммутативная ассоциативная
фробеииусова алгебра с единицей.
Возвращаясь к методу сдвига аргумента, отметим также, что
легко привести примеры, показывающие, что из полноты семей-
ства {/(х Ха)} на орбитах общего положения не следует его
полнота на сингулярных орбитах.
604
Приложение II
Ниже под семейством сдвигов инвариантов мы будем пони-
мать семейство однородных многочленов, полученных при раз-
ложении в ряд локальных инвариантов коприсоединенного
представления в регулярной точке а е G*. Это изменение вы-
звано тем, что инварианты в общем случае могут быть глобаль-
но не определены. Семейство таких многочленов обозначим
через ff~a. Итак, пусть G — произвольная конечномерная ком-
плексная алгебра Ли. Для любого х е G* положим Ann (х) =
= {^ е G | ad|x = б}. Напомним, что ind G— min dim Ann (x),
x<=G*
и рассмотрим множество сингулярных элементов 5 =
= {у е G*|dim Ann(«/) > ind G} в G*.
Теорема 5 (критерий полноты) (см. [16]). Пусть а е G* —
регулярный элемент. Инволютивное семейство ЗГ а полно на G*
тогда и только тогда, когда codim 5^2.
Теорема 6 (см. [16]). Пусть codim 5 ^2 и xgG* — сингу-
лярный элемент, удовлетворяющий дополнительному условию
indAnn(x) = ind G. Тогда найдется регулярный элемент а<^ G*,
такой, что инволютивное семейство STa полно на сингулярной
орбите О(х).
Если алгебра Ли G полупроста, то codim 5 = 3 и, кроме
того, условие ind Ann (х) = ind G выполнено для всех полупро-
стых элементов xg G, поэтому теоремы 1 и 3 могут рассматри-
ваться как следствия общих утверждений теорем 5 и 6. Отметим
еще два следствия.
Следствие 1. Пусть К — комплексная классическая простая
алгебра Ли, <р: A->End(V)—неприводимое представление,
G = К + V — полупрямая сумма, а G* — регулярный эле-
мент. Тогда семейство &~а полно на G*.
Примеры показывают, что требования простоты алгебры Ли
А и неприводимости представления <р в условиях этого след-
ствия нельзя ослабить.
Следствие 2. Пусть xesl(n+E С) или xesp(2n, С) —
произвольный элемент (не обязательно полу простой). Тогда
indAnn(x)=n, и, следовательно, методом сдвига аргумента
можно построить полные инволютивные семейства функций на
любой сингулярной орбите в алгебрах Ли sl(n-|-l. С) ц
sp(2n, С).
Метод сдвига аргумента
605
Пока неизвестно, имеет ли место аналогичное утверждение
для остальных серий простых алгебр Ли. В общем случае си-
туация осложняется из-за существования так называемых полу-
регулярных нильпотентных элементов.
Опишем теперь общую конструкцию, частным случаем кото-
рой является метод сдвига аргумента. В основе конструкции
лежит понятие согласованных пуассоновых структур (пуассоно-
вых пар), связь которых с интегрируемостью гамильтоновых си-
стем была, по-видимому, впервые обнаружена Магри в [17]. На-
помним, что согласованность пары пуассоновых структур Ао и
А], заданных на многообразии М, означает, что их линейная ком-
бинация снова является пуассоновой структурой на М. Рассмо-
трим в этой ситуации линейное семейство пуассоновых структур
7 = {ХА0 + pAi} и выделим в нем подмножество Jo структур
«общего положения», ранг которых в семействе J максимален,
т. е. равен 7? = max rang С. Обозначим через Z(A) централь-
на/
ные функции (функции Казимира) пуассоновой структуры А и
рассмотрим семейство функций & i, = U Z (А), состоящее из
Д £= Jo
центральных функций пуассоновых структур общего положения.
Предложение 2. Семейство к инволютивно относительно
любой пуассоновой структуры С
Мы будем ниже предполагать, что центральные функции
всех рассматриваемых пуассоновых структур определены гло-
бально. Скажем, что инволютивное семейство функций полно
в точке х е М, если подпространство в ТХОХ, порожденное
дифференциалами функций f е ограниченных на симплекти-
ческий слой Ох, имеет размерность (1/2) dim Ох.
Теорема 7 (А. В. Браилов). Фиксируем пуассонову структу-
ру Ае/Г/ и точку «общего положения» х^М, такую, что
rang А (х) = R. Инволютивное семейство полно в точке
х е М в смысле пуассоновой структуры А тогда и только тогда,
когда rangZA0(x) + pAt(x) = R для любых коэффициентов л,
р. е С, не обращающихся одновременно в нуль.
Аналогичный критерий имеется и в случае сингулярного сим-
плектического слоя (Болейнов А. В. [16]).
Рассмотрим некоторые примеры.
1. На двойственном пространстве G* произвольной конечно-
мерной алгебры Ли рассмотрим постоянную скобку Пуассона
{ , )ы, а е С*, которая получается из стандартной скобки Пуас-
606
Приложение II
сона — Ли «замораживанием» аргумента: {/, g}a(x) — (a, [df(x),
dg(x)]) (см., например, работу М. В. Мещерякова [18]). Скобки
{ , } и { , }н согласованы, и центральные функции линейной
комбинации { , } + Х{ , }о имеют вид f(x + Ха), где f — инва-
риант коприсоединенного представления. Таким образом, мы по-
лучаем, следуя общей конструкции, инволютивное семейство
функций [f(x -|- Ха) |f е 1(G), X е R} (см. выше метод сдвига
аргумента).
2. Пусть G = H®V — симметрически градуированная алгеб-
ра Ли, т. е. [Н, Н] cz Н, [Н, V] cz V, [V, V] cz Н. Обозначим че-
рез G полупрямую сумму Н и V, считая V коммутативным идеа-
лом. На двойственном пространстве G* = G* = Н*V*
рассмотрим три различные скобки Пуассона:!) скобку Пуассо-
на— Ли { , }, отвечающую алгебре Ли G, 2) скобку Пуассо-
на— Ли { , }, отвечающую алгебре Ли G, 3) скобку { , }о, где
а е V*; отметим, что скобку { , }о можно определять по любой
из первых двух скобок. Все три скобки согласованы. Рассмо-
трим двумерное семейство, натянутое на скобки { . } и { , } -ф
+ { , }а. Применяя общую конструкцию в этом случае, полу-
чаем семейство функций {f (Xft + v -j- X2a) | f ^I(G), XgR},
инволютивное на G* относительно скобки { , }. Функции такого
вида являются первыми интегралами гамильтоновых систем,
описывающих случаи Лагранжа и Ковалевской движения твер-
дого тела в поле силы тяжести, многомерное обобщение случая
Клебша, движение твердого тела в квадратичном потенциале
(см. подробности в работах [19], [20], [21]).
3. Третий пример связан с так называемыми лиевыми пучка-
ми, классификация которых при некоторых дополнительных огра-
ничениях была получена И. Л. Кантором и Д. Б. Персицем.
Лиевым пучком на линейном пространстве L называется семей-
ство лиевых структур [ , ]л, параметризованное элементами не-
которого линейного пространства / так, что а[ , ]а + ₽[ , ]в =
= f , ]см+ев. На двойственном пространстве L* автоматически
возникает семейство согласованных скобок Пуассона — Ли
({ » }а)д<=р где {[, £}л(х) = (х, [df, с?£]д). В качестве наиболее
интересного примера рассмотрим лиев пучок на пространстве
кососимметрических матриц £: [X, Y]A = XAY— YAX, где А —
симметрическая матрица, X, Y L. Отождествим пространства
L и L* с помощью скалярного произведения (X, У) — —Тг ХУ.
Рассмотрим две симметричные матрицы £ = diag(l, ..., 1) и
В2 = diag(Ь2\, ..., Ьп) и соответствующее семейство согласован-
ных скобок Пуассона { , }хе+цв-’- Оказывается, уравнения дви-
жения n-мерного твердого тела (1) гамильтоновы относительно
Метод сдвига аргумента
607
любой нетривиальной скобки из этого семейства. Центральные
функции каждой из скобок { , }Л£+|л£г являются, следователь-
но, первыми интегралами системы (1). Если элементы матрицы
В2 различны, то эти первые интегралы находятся в инволюции
и выражаются через функции вида Тг(Х + ХВ2)*.
Отметим, что для гамильтоновых систем (2) на полупростых
алгебрах Ли G Мещеряковым [18] был доказан более сильный
результат. А именно, было показано, что системы х =
= [фа, ь, d (*), х] и только они являются одновременно гамиль-
тоновыми относительно пары скобок { , } и { , }о.
Пусть Ео — diag(l, ..., 1, 0). Алгебра Ли Ёе„, заданная на
пространстве L коммутатором [ , ]£о, изоморфна алгебре Ли
е(«—1) — so (и—группы движений (и—1)-мерного
евклидова пространства. Рассмотрим на L* гамильтонову си-
стему относительно скобки { , }£о
п— 1
/ ci — ck ck — ci \
У и = — d^ _ d_ J yikykj — (ci — с,) yinyjn,
kn-\cl_c ’ (4)
У in = d _d- УНгУкп (1 < t < j < «)
fe=l 1 k
n—1
с гамильтонианом f(E)= d~y~ у2ц + , где уц =
i<!<n i = l
=—yji — элементы кососимметрической матрицы У. Эти урав-
нения являются многомерным аналогом случая Клебша движе-
ния твердого тела в идеальной жидкости (см. работу А. М. Пе-
реломова [22]). Так же, как и уравнения Эйлера движения
твердого тела с закрепленной точкой (1), уравнения (4) га-
мильтоновы относительно линейного семейства скобок Пуассо-
на ( > Ь.е.+цО’ где = diag(Ji, ..., dn~\, 1). Заметим, что
лиевы пучки ([ , ]х£+цВ^це|г и ([ , ]ш+цВ)Лл1е|г изоморфны
при В2 — D-'Eo + рЕ, из чего легко следует существование ли-
нейной замены переменных, приводящей систему (1) к виду
(4). Это наблюдение еще раз иллюстрирует связь между инте-
грируемыми случаями Эйлера и Клебша, отмеченную в работах
С. П. Новикова [23] и А. И. Бобенко [24].
Изложим теперь вкратце результаты, касающиеся тополо-
гии интегрируемых гамильтоновых систем [25—27]. Пусть
М4 — четырехмерное симплектическое многообразие, на котором
задана гамильтонова система v = sgrad Н, где Н— гладкий га-
мильтониан. Пусть гамильтонова система v = sgrad Н вполне
интегрируема по Лиувиллю, т. е. существует дополнительный
608
Приложение II
первый интеграл f, независимый с Н. Рассмотрим фиксирован-
ную некритическую изоэнергетическую поверхность Q3 =
= {// = const), grad/7=#0. Ограничим функцию f на инвари-
антную поверхность Q.
Определение. Будем называть интеграл f боттовским на по-
верхности Q, если его критические точки образуют на Q невы-
рожденные критические подмногообразия Т (невырожденность
означает, что гессиан d2j невырожден на подпространствах, нор-
мальных к этим многообразиям).
Примеры показывают, что в большинстве случаев f удовле-
творяет сформулированным требованиям. Критические подмно-
гообразия Т могут быть при этом пяти существенно различных
типов: 1) минимаксная окружность S1 (локальный минимум
или максимум для функции /), 2) минимаксный тор Т2, 3) сед-
ловая критическая окружность S1 с ориентируемой сепаратрис-
ной диаграммой, 4) седловая критическая окружность S1 с не-
ориентируемой сепаратрисной диаграммой, 5) минимаксная
бутылка Клейна №.
Рассмотрим следующие простейшие трехмерные многообра-
зия, краями которых являются двумерные торы Т2:
1) Полнотория S1 X D2.
2) Цилиндры РХЬ1.
3) Прямое произведение (назовем его ориентированным сед-
лом) №XS*, где N2 — диск с двумя дырками.
№
4) Рассмотрим нетривиальное расслоение А3—>5* с базой
S1 и слоем №. Край многообразия А3— два тора Т2. Ясно, что
А3 (назовем его неориентированных седлом) реализуется в IR3
в виде полнотория, из которого высверлено второе (тонкое)
полноторие, два раза обходящее вокруг оси большого полното-
рия (двойная намотка).
5) № = №X-S1 — косое произведение бутылки Клейна №
на S1. Краем № является двумерный тор Т2.
Следующая основная теорема описывает строение трехмер-
ной изоэнергетической поверхности Q в случае существования
дополнительного боттовского интеграла f.
Теорема 8 (см. [25—26]). Пусть v = sgrad Н— гамильто-
нова система на симплектическом многообразии М4, интегри-
руемая на какой-то одной неособой компактной трехмерной
поверхности постоянной энергии Q3 с М4 при помощи боттов-
ского интеграла f. Пусть m — число устойчивых периодических
решений системы v на поверхности Q3 (интеграл f достигает на
Метод сдвига аргумента
609
них локального минимума или максимума), р — число двумер-
ных критических минимаксных торов интеграла f, q — число
критических седловых окружностей с ориентируемой сепара-
трисной диаграммой, s — число критических седловых окруж-
ностей с неориентируемой сепаратрисной диаграммой иг —
число критических минимаксных бутылок Клейна интеграла f.
Тогда Q может быть представлена в виде склейки «элементар-
ных кирпичей» по некоторым диффеоморфизмам их граничных
торов: Q = ml + pH + <уШ + sIV + rV — m(S' Х^2) + р(Т2Х
X D1) + q(N2 X S1) + «Л3 + r№.
Это разложение поверхности Q на блоки естественно назы-
вать гамильтоновым, поскольку оно однозначно строится по до-
полнительному интегралу f гамильтоновой системы v. Если за-
быть про интеграл f, разложение перестанет быть однозначным.
Предложение 3. Трехмерные многообразия T2XD', А3 и К3
могут быть склеены из многообразий первого и третьего типов.
А именно, Т2 X О' = I + III = (S1 X D2) + (N2 X S1), А3 = I +
+ III = (S* х D2) + (N2 X S'), К3 = 21 4- III =2(S> х D2) +
+ (N2XS').
В силу этого предложения для изоэнергетической поверх-
ности Q интегрируемой гамильтоновой системы всегда имеет
место разложение Q = m'l + /III = m'(S' XD2) + q'(N2X S'),
которое мы будем называть топологическим.
Пусть (7И)—класс всех трехмерных замкнутых компактных
ориентируемых многообразий, (Q)— класс, содержащий поверх-
ности постоянной энергии Q3 интегрируемых (при помощи бот-
товского интеграла) гамильтоновых систем, (И)— класс трех-
мерных многообразий, представимых в виде m'l 4-/Ш. В силу
предложения 3 и теоремы 8 (Q)c(H). Оказывается, верно и
обратное.
Теорема 9 (см. [25]). Имеет место равенство (Q) = (H), т.е.
любое трехмерное многообразие, полученное склейкой полното-
рий и ориентированных седел, может быть реализовано как изо-
энергетическая поверхность интегрируемой (при помощи боттов-
ского интеграла) гамильтоновой системы на некотором симплек-
тическом многообразии М4.
С другой стороны имеет место
Предложение 4 (см. [26]). (Q)=H=(AI), т. е. далеко не каждое
трехмерное гладкое компактное замкнутое ориентируемое мно-
20 П. Олвер
610
Приложение il
гообразие может выступать в роли поверхности постоянной
энергии гамильтоновой системы, интегрируемой при помощи
боттовского интеграла (на этой поверхности).
В связи с этим уместно привести еще один результат.
Предложение 5 (С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко). Любое трех-
мерное многообразие М3 cz (Л1) может быть реализовано в виде
изоэнергетической поверхности некоторой (не обязательно инте-
грируемой) гамильтоновой системы.
Дадим теперь полную классификацию всех возможных пе-
рестроек общего положения торов Лиувилля, возникающих при
изменении значения интеграла f. Реализуем тор как одну из
компонент края элементарного многообразия типа I, II, III, IV
или V (см. выше). Тор, увлекаемый изменением значения ин-
теграла f, преобразуется в объединение торов Лиувилля, являю-
щихся остальными компонентами края того же элементарного
многообразия. Эти перестройки, как можно проверить, имеют
следующий вид.
1) Тор Т2 стягивается на осевую окружность полнотория и
«исчезает» затем с поверхности уровня интеграла f. Обозначим
эту перестройку так: Т2 -> Т1 -> 0. Перестройка происходит в
окрестности минимаксной критической окружности интеграла,
т. е. в многообразии S*XT>2.
2) Два тора Г2 движутся навстречу друг другу по цилиндру,
сливаются в один тор и затем «исчезают». Это происходит в
окрестности минимаксного критического тора, т. е. в многооб-
разии T2y^Dl. Эту перестройку мы обозначим таким образом:
2Т2 Т2 -+0.
3) Тор Т2 распадается на два тора, проходя через центр
ориентированного седла, которые потом «остаются» на поверх-
ности уровня интеграла f. Обозначение: Т2—>27’2. Это событие
происходит внутри многообразия №Х5‘.
4) Тор Т2 два раза «наматывается» на тор Т2, следуя при
этом топологии неориентированного седла A3 = W2XS1, и оста-
ется затем на поверхности уровня интеграла f. Обозначение:
Т’2^7’2 дта переСтройка происходит внутри многообразия А3.
5) Тор Т2 превращается в бутылку Клейна, два раза накры-
вая ее. Затем тор «исчезает» с поверхности уровня интеграла f.
Обозначение: 7’2->№->0. Это событие происходит в много-
образии К3 — К2 X S*.
Пять перестроек, получающихся из перечисленных выше за-
меной стрелок на обратные, мы не будем считать новыми.
Метод сдвига аргумента
611
Теорема 10 (см. [25]). Пусть f боттовский интеграл на не-
особой поверхности постоянной энергии Q. Тогда любая пере-
стройка общего положения тора Лиувилля, возникающая при
его проходе через критическую поверхность уровня интеграла f,
является композицией некоторого числа перечисленных выше
элементарных (канонических) перестроек 1, 2, 3, 4, 5. Более
того, из этих пяти перестроек с топологической точки зрения
независимы лишь первые три. Перестройки 4 и 5 распадаются
в композиции перестроек вида 1 и 3.
Отметим, что многие конструкции, изложенные выше, су-
щественным образом зависят от дополнительного интеграла /,
который нельзя выбрать однозначно. Поэтому возникает за-
дача отыскания топологических инвариантов гамильтоновых си-
стем, т. е. объектов, зависящих только от самого гамильтониана
(например, таких как число устойчивых периодических траек-
торий). Опишем один из таких инвариантов.
Определение. Назовем гамильтониан Н нерезонансным на
данной изоэнергетической поверхности Q, если в Q всюду плот-
ны торы Лиувилля, на которых интегральные траектории га-
мильтоновой системы v = sgrad Н образуют плотную иррацио-
нальную обмотку.
Опыт изучения конкретных физических систем показывает
(см. обзор Козлова [28]), что на четырехмерных многообразиях
в большинстве случаев гамильтонианы являются нерезонансны-
ми на почти всех поверхностях Q.
Пусть, как и выше, f — дополнительный первый интеграл,
боттовский на поверхности Q, а е R и fa — связная компонента
поверхности уровня f-H1?.) (особая или неособая). Если
а = а — регулярное значение для f, то fa — тор Лиувилля. Кри-
тические значения для f обозначим через с. Через U(fc) обо-
значим регулярную связную замкнутую трубчатую окрестность
компоненты fc в многообразии Q3. В качестве U(fc) можно
взять связную компоненту многообразия f~*([c— е, с + е]).
Тогда край многообразия U(fc) состоит из объединения торов
Лиувилля, и изоэнергетическая поверхность Q3 получается из
всех многообразий U(fc) склейкой их границ по некоторым
диффеоморфизмам граничных торов. В простейшем случае,
когда на уровне f~'(c) имеется в точности одно критическое
подмногообразие, многообразие U(fc) является одним из пяти
«элементарных кирпичей» (см. выше). В общем случае спра-
ведливо
20*
612
Приложение II
Предложение 6 ([27]). Каждое многообразие U(fc) явля-
ется расслоением Зейферта со слоем S1 над базой Р2, являю-
щейся двумерным многообразием с краем. Особая поверхность
fc, вложенная в D(fc), является подрасслоением этого расслое-
ния. Следовательно, fc есть расслоение Зейферта со слоем S1
над некоторым графом Кс, вложенным в поверхность Р2. База
Р2 и граф Кс однозначно определяются системой v и интегра-
лом [. Каждая вершина графа либо изолирована (отдельная
точка), либо имеет кратность 4, т. е. в ней встречаются ровно
4 ребра графа. Граф Кс может состоять из отдельных изолиро-
ванных точек, непересекающихся окружностей и некоторого
числа окружностей, касающихся друг друга только попарно
(в каждой точке касания).
Пусть рс: U(fc)~>P2—проекция описанного расслоения
и рс: fc-*~Kc. Край поверхности Р2 состоит из окружностей. Их
прообразы при отображении рс являются торами в U(fc).
Склейка этих граничных торов, очевидно, индуцирует склейку
соответствующих граничных окружностей поверхностей Р2 и
Р2'. В результате получаем двумерную поверхность Р2 =
= У^Р2. Отметим, что Q не обязано расслаиваться со слоем
S1 (в смысле Зейферта) над Р2. Построим на Р2 граф К, яв-
ляющийся объединением всех графов Кс и окружностей Кг, по
которым склеиваются поверхности вида Р2 и Р2' (при конструи-
ровании Р2). Граф разбивает поверхности Р2 на области. Обо-
значим через T(Q, f) граф, сопряженный графу К.
Теорема 11 ([27]). Пусть v = sgrad/7 — гамильтонова си-
стема, интегрируемая на Q при помощи боттовского интеграла.
Рассмотрим построенную выше тройку T(Q, f), P(Q, f) = P2 и
/t(Q, f), где h: Г-+Р2— вложение. Если гамильтониан H яв-
ляется нерезонансным на Q, то тройка (Г, Р, h) не зависит от
выбора второго интеграла. А именно, если f и f' — любые бот-
товские интегралы системы и, то соответствующие графы
HQ, f) uV(Q,f), поверхности P(Q, f) и P(Q, f') гомеоморфны,
а следующая диаграмма коммутативна-.
h-. Г ->Р
» й
h'-. Г'-^Р'
Следствие. В нерезонансном случае тройка (Г, Р, h) явля-
ется топологическим инвариантом самого интегрируемого слу-
чая и позволяет классифицировать интегрируемые гамильтониа-
ны по их топологическому типу и сложности.
Метод сдвига аргумента
613
Построенный топологический инвариант (Г, Р, h) можно эф-
фективно вычислять. Например, как показал А. А. Ошейков,
для классического интегрируемого случая С. В. Ковалевской
движения твердого тела полный список графов Г(ф, f) состоит
из 6 графов, во всех случаях поверхность P(Q, f) гомеоморфна
сфере. В случае Эйлера движения 4-мерного твердого тела пол-
ный список T(Q, f) состоит из 9 графов, среди поверхностей
P(Q, f) кроме сфер появляются двумерные торы Т2 [29].
Многие из сформулированных результатов могут быть обоб-
щены на многомерный случай. Здесь мы обсудим типы пере-
строек общего положения, которым подвергаются торы Лиувилля
в л-мериом случае. Пусть v = sgrad//— гладкая интегри-
руемая гамильтонова система на симплектическом многообра-
зии М2п и F: M2n->-R”— отображение момента, т. е. Е(х) =
= (fi(x), ..., где fi, ..., f„— гладкие коммутирующие
интегралы. Точку х^М будем называть регулярной, если ранг
dF(x) равен п, и критической в противном случае. Пусть
NaM— множество критических точек и 2 = Е(Л^)—бифурка-
ционная диаграмма (множество критических значений). Если
dim2<n—1, то все слои = ^-1(a)czM2n, где aeR"\2,
состоят из торов Лиувилля и диффеоморфны. Основной слу-
чай— когда dimS = п — 1. Фиксируем значения п — 1 интегра-
лов ..., fn-i и рассмотрим соответствующую (n + 1)-мерную
поверхность уровня Xn+* = {fi = ci, ..., fn_i = c„_i} в M. Пусть
функции ft, ..., fn-i независимы на Х”+1. Ограничим остав-
шийся интеграл fn на Хл+’, получаем гладкую функцию
ft Xn+1->-R. Пусть с — критическое значение функции f. При
переходе через это значение параметра а происходит перестрой-
ка регулярных слоев f_1(a), состоящих из торов Лиувилля.
Скажем, что эта перестройка является перестройкой общего
положения, если функция f является боттовской на Х"+* в
окрестности множества f-1(c).
Рассмотрим пять типов перестроек торов Лиувилля, являю-
щихся естественными многомерными аналогами перестроек дву-
мерных торов, рассмотренных выше.
1) Тор Тп, реализованный как граница диссипативного пол-
нотория D2 X стягивается на его «ось» — тор Тп~х — и исче-
зает: 7’л-> Тп~х -> 0.
2) Два тора Tf и Tf— края цилиндра TnXDx— движутся
навстречу друг другу, сливаются в один тор Тп и исчезают:
27’п^7’п^0.
3) Тор Тп — нижний край ориентированного торического
седла N2 X Тп~х — поднимается вверх и в соответствии с топо-
логией N2’XTn~1 распадается на два тора: Тп-*-2Тп.
614
Приложение II
4) Рассмотрим неориентированное торическое седло Д"+* =
= N %Тп~\ т. е. нетривиальное расслоение Аа—Эти
расслоения классифицируются элементами Z2).
Край Aa+I состоит из двух торов Т2. Перестройка заключается
в преобразовании одного из этих торов в другой путем дву-
кратной намотки в соответствии с топологией Aa+I: Тп—*Тп.
5) Пусть р: — двулистное накрытие неориентируе-
мого многообразия Кп. Обозначим через Кр+1 цилиндр отобра-
жения р. Ясно, что дКр+1 = Тп. Перестройка состоит в есте-
ственной деформации края Тп на Кп внутри Kp+I: Тп-> К" -> 0.
Теорема 12 (см. [25, 26]). Все возможные типы перестроек
общего положения исчерпываются композициями пяти канони-
ческих перестроек 1, 2, 3, 4, 5.
Отметим, что теорема 7, дающая необходимые и достаточные
условия полноты инволютивного семейства функций ^"д, свя-
занного с согласованными скобками Пуассона, может быть
полезна при изучении топологических свойств некоторых интег-
рируемых гамильтоновых систем, поскольку эта теорема факти-
чески указывает строение критических точек отображения мо-
мента. Продемонстрируем это на двух примерах.
Рассмотрим на компактной алгебре Ли G вполне интегри-
руемую гамильтонову систему х = [<pa, ь, d(х), х] (см. выше).
Первыми интегралами этой системы являются функции вида
/(хД-Ха), где f—инвариант присоединенного представления,
а е G —фиксированный регулярный элемент. Мы рассмотрим
эквивалентное семейство первых интегралов, взяв частные про-
изводные всех порядков базисных инвариантов fi, ..., [indo по
направлению а. Этих функций будет ровно N = Г deg fl =
= (1/2) (dimG + ind G) штук. Обозначим их через gi, ..., g#,
упорядочив произвольным образом, и рассмотрим отображение
момента F: G^-PN, F(x) = (gi(x), ..., gN(x)). Следствием
теоремы 7 является
Предложение 7. Точка xeG является критической точкой
отображения момента тогда и только тогда, когда при некото-
ром С элемент х + Ха сингулярен в G" . Если ранг отобра-
жения момента падает в точке х G ровно на единицу, то су-
ществует единственное число ZeP, такое, что элемент x-\-ha
сингулярен в G. причем размерность орбиты О (х Ц- ha) падает
на два.
Метод сдвига аргумента
615
В силу того, что в случае компактной алгебры Ли инва-
рианты выделяют все (в том числе и сингулярные) орбиты,
критическая поверхность уровня Р_1Р(х) состоит из критиче-
ских точек, если rangdF(x) = А—1. Легко показать, что в этом
случае dim F~l F(x) — k— 1, где k — размерность лиувиллевского
тора общего положения. Таким образом, если ранг dF на всей
поверхности уровня F-1F(x) падает на единицу, т. е. не проис-
ходит более сильного вырождения, то F~iF(x) = Тк~'. Тем са-
мым описаны все критические поверхности уровня отображения
момента F (в случае когда ранг dF падает ровно на 1).
Следствие. Все неособые слои отображения момента F: G->
-> R* состоят из одинакового числа торов Лиувилля.
Фиксируем далее значения всех первых интегралов gi, кроме
gN, и рассмотрим связную компоненту Хо+1 соответствующей
поверхности уровня ^fe+‘ = {gi = Ci, ..., gN-i — cN-i}. Будем
считать, что Xo+1 компактна и неособа, т. е. дифференциалы
функций gi, gtf-i на Хо независимы. Рассмотрим ограниче-
ние функции gN на Хо.
Предложение 8 (А. В. Болейнов). Ограничение g = gN\x'‘
является боттовской функцией на Хо, имеющей ровно два кри-
тических значения сШт и Стах. Критические поверхности уровня
g-1(cniin) и g~l (Стах) связны и являются торами размерности
k—1. На поверхности Хо реализуется только один тип пере-
строек торов Лиувилля (с точностью до обратной перестройки):
Tk -> Tk~l -> 0. Поверхность Хо является склейкой двух полно-
торий Tk~l X D2 по некоторому диффеоморфизму их границ.
Случай гамильтоновой системы /г = [<ра> ь (й), h] на компакт-
ной алгебре Ли Н более сложен, в частности возникают новые
типы перестроек торов Лиувилля. Рассмотрим здесь частный
случай таких систем — систему (1), описывающую движение
«-мерного твердого тела. Случай п = 4 был подробно исследо-
ван Ошемковым [29], в частности доказана боттовость дополни-
тельного интеграла на почти всех изоэнергетических поверх-
ностях Q, построены графы r(Q,f) и поверхности P(Q, f).
Здесь мы приведем некоторые общие результаты для произволь-
ных п. Как было показано выше, первыми интегралами урав-
нений движения «-мерного твердого тела (1) являются функ-
ции Tr (XКВ2)\ 2^ft^«. Разложим эти функции по сте-
пеням Z и рассмотрим коэффициенты разложения. Учитывая,
что коэффициенты при нечетных степенях X равны нулю, мы
получаем в точности N = (1/2) (dim so (n) 4- ind so (n)) первых
616
Приложение II
интегралов. Обозначим их через hi, ..., hN и рассмотрим ото-
бражение момента F: so(n)->Rw, F(x) = (/ti(х), h.N(x)).
Пусть /<c:so(r) — множество критических точек отображения
F, Ко с К—подмножество точек, в которых ранг отображения
момента падает ровно на единицу. Воспользуемся связью си-
стемы (1) с семейством согласованных скобок Пуассона — Ли
{ , на пространстве кососимметрических матриц L =
=so(n).
Предложение 9. Пусть х^К0. Тогда точка х является син-
гулярным ковектором для некоторой алгебры Ли (и притом
единственной) Lc, заданной на пространстве L коммутатором
[ , ] с, где С=Л.Е-\- рВ2. При этом dim Ann (х) = + 2, где
Ann(x)czL— стационарная подалгебра элемента х в смысле
коприсоединенного действия алгебры Ли Lc.
Предположим, что алгебра Ли Lc полупроста; это эквива-
лентно условию det С 0. Пусть элемент х полупрост в полу-
простой алгебре Ли Lc. Ясно, что этот случай является типич-
ным. Тогда Апп(х) как подалгебра в Lc редуктивна и изоморф-
на алгебре Ли Т Ф G3, где Т — коммутативная алгебра Ли раз-
мерности — 1, G3 — одна из двух вещественных трехмерных
простых алгебр Ли si (2) или su(2). Обозначим через М a L
подпространство, порожденное дифференциалами функций
hi, ..., hN. Пользуясь общими свойствами инволютивных се-
мейств функций, связанных с согласованными скобками Пуас-
сона, можно показать, что dim М П Ann (х) = , при этом
dim М f| G3 = 1. Пусть у <= М П G3 — ненулевой элемент. Он
определен однозначно с точностью до пропорциональности.
Предложение 10. Пусть у полупрост в G3. Тогда в окрест-
ностях точек хе Ко и F(x)^RN существуют локальные систе-
мы координат X,, ..., x!s и h\, ...,h'N соответственно, в кото-
рых отображение момента принимает вид й,=х{, ..., h'N_l —
~x'n-o = (.xn)2:^(,xк+i)2• ^сли собственные значения эле-
мента у &G3 вещественны, то h'N = (х^)2 — (xw+i)2. если чисто
мнимые — то h'N = + (x;v+i)2.
Рассмотрим теперь в Ко подмножество Ко, состоящее из эле-
ментов х, удовлетворяющих следующим условиям:
1) F (х) ф F (К\Ко),
Метод сдвига аргумента 617
2) алгебра Ли Lc, для которой х является сингулярным ко-
вектором, полупроста,
3) элемент х полупрост в Lc,
4) элемент (/сАпп(х) полупрост (см. выше).
Все эти условия являются условиями общего положения, поэто-
му подмножество Ro открыто и всюду плотно в К.
Теорема 13 (А. В. Болейнов). Рассмотрим уравнения движе-
ния п-мерного твердого тела X = fX, Q] на алгебре Ли so (л) и
соответствующее отображение момента F: so (n)->Rw. Пусть
х е Ко, где Ко — всюду плотное открытое подмножество в
множестве критических точек отображения момента F, указан-
ное выше. Тогда перестройка торов Лиувилля при прохождении
критического значения F(x) является перестройкой общего по-
ложения и может быть представлена в виде композиции следую-
щих трех стандартных перестроек-. 1) 0, 2) Г6->
Отметим, что принципиальное отличие топологических
свойств системы (1) и системы (2) связано с некомпактностью
алгебр Ли, отвечающих некоторым скобкам Пуассона — Ли из
линейного семейства { , }кв+цВг.
Литература
[1] Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П, Интегрируемые систе-
мы. I. — Современные пробл. математики. Фундаментальные направле-
ния. Т. 4. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 179-284.
[2] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.:
Наука, 1974.
[3] Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. — Совре-
менные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 4. М:
ВИНИТИ, 1985, с. 7-139.
[4] Манаков С. В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера дина-
мики «-мерного твердого тела. — Функц. анализ, 1976, т. 10, вып. 4,
с. 93-94.
[5] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера иа конечномерных
группах Ли. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1978, т. 42, № 2, с. 396—
415.
[6] Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамиль-
тоновых систем на алгебрах Лн. — Успехи матем. наук, 1984, т. 39,
№ 2, с. 3-56.
[7] Фоменко А. Т. О симплектических структурах и интегрируемых систе-
мах на симметрических пространствах.—Матем. сборник, 1981, т. 115,
№ 2, с. 268—280.
[8] Дао Чонг Тхи. Интегрируемость уравнений Эйлера на однородных сим-
плектических многообразиях. — Матем. сборник, 1981, т. 106, № 2,
с. 154—161.
618
Приложение II
[9] Браилов А. В. Построение вполне интегрируемых геодезических потоков
на компактных симметрических пространствах. — Изв. АН СССР. Сер.
матем., 1986, т. 50, № 4, с. 661—667.
[10] Мищенко А. С. Интегрирование геодезических потоков на симметриче-
ских пространствах. — В кн.: Труды семии. по вект. и тенз. анализу.
Вып. XXI. М.: Изд-во МГУ, 1982, с. 13—22.
[11] Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Геометрические и алгебраические меха-
низмы интегрируемости гамильтоновых систем на однородных простран-
ствах и алгебрах Ли. — Современные пробл. математики. Фундаменталь-
ные направления. Т. 16. М.: ВИНИТИ, 1987, с. 227—299.
[12] Браилов А. В. Инволютивные наборы на алгебрах Ли и расширение
кольца скаляров. — Вестник МГУ. Сер. матем. и механ., 1983, № 1,
с. 47—51.
[13] Ле Нгок Тьеуен. Полные инволютивные наборы функций на расшире-
ниях алгебр Ли, связанных с алгебрами Фробениуса. — В кн.: Труды
семин. по вект. и тенз. анализу. Вып. XXII. М.: Изд-во МГУ, 1985,
с. 69—106.
[14] Трофимов В. В. Вполне интегрируемые геодезические потоки левоинва-
риантных метрик на группах Ли, связанные с коммутативными градуи-
рованными алгебрами с двойственностью Пуанкаре. — ДАН СССР, 1982,
т. 263, № 4, с. 812-816.
[15] Элашвили А. Г. Фробениусовы алгебры Ли. — Функц. анализ, 1982,
т. 16, № 4, с. 94—95.
[16] Болейнов А. В. Критерий полноты семейства функций в инволюции,
построенного методом сдвига аргумента. — ДАН СССР, 1988, т. 301,
№5, с. 1037—1040.
[17] Magri F. A simple model of the integrable. Hamiltonian equation. — J.
Math. Phys., 1978, v. 19, № 5, p. 1156-1162.
[18] Мещеряков M. В. О характеристическом свойстве тензора инерции мно-
гомерного твердого тела. — Успехи матем. наук, 1983, т. 38, № 5,
с. 201—202.
[19] Рейман А. Г. Интегрируемые системы, связанные с градуирован-
ными алгебрами Ли. — Записки научн. семин. ЛОМИ, 1980, т. 95,
с. 3—54.
[20] Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах
Ли, возникающие в задачах математической физики. — Изв. АН СССР,
Сер. матем., 1984, т. 48, № 5, с. 883—938.
[21] Ratiu Т. Euler — Poisson equation on Lie algebras and the TV-dimensional
heavy rigid bodi. — Amer. J. Math., 1982, v. 104, № 2, p. 409—
448.
[22] Переломов A. M. Несколько замечаний об интегрировании уравнений
движения твердого тела в идеальной жидкости. — Функц. анализ, 1981,
т. 15, вып. 2, с. 83—85.
[23] Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории
Морса. — Успехи матем. наук, 1982, т. 37, № 5, с. 3—49.
[24] Бобенко А. И. Об интегрировании уравнений Эйлера на е(3) и so(4).
Изоморфизм интегрируемых случаев. — Функц. анализ, 1986, т. 20, № 1,
с. 64—66.
[25] Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируе-
мых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. — Изв.
АН СССР, сер. матем., 1986, т. 50, № 6, с. 1276—1307.
[26] Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем. —
ДАН СССР, 1986, т. 287, № 5, с. 1071-1075.
[27] Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, ин-
тегрируемых по Лиувиллю. — Функц. анализ, 1988, т. 22, вып. 4,
с. 38—51.
Метод сдвига аргумента 619
[28] Козлов В. В. Интегрируемость и пеинтегрируемость в гамиль-
тоновой механике.—Успехи матем. паук, 1983, т. 38, вып. 1,
с. 3—67.
[29] Ошемков А. А. Топология изоэнергетических поверхностей и бифур-
кационные диаграммы интегрируемых случаев динамики твердого
тела на so (4). — Успехи матем. наук, 1987, т. 42, вып. 6, с. 199—
200,
Указатель обозначений
Символ Описание и номер страницы
±4- алгебра дифференциальных функций 370 пространство наборов из т дифференциальных
Ad Ad* adv ad* v Ai В функций 371 присоединенное представление 262 коприсоединенное представление 492 присоединенное векторное поле 262 коприсоединенное векторное поле 492 функция Эйри 273 пуассоново отображение на касательном простран- стве 482
Bi C <& Ck с°° c}k cn Curl d d d D функция Эйри 273 отмеченная функция 474, 496 отмеченный функционал 540 пространство k раз дифференцируемых функций 26 пространство гладких функций 25 структурная константа 82, 505 якобиева эллиптическая функция 254 полный ротор 343 дифференциал 60, 88, 92 вертикальный дифференциал 430 векторное поле дилатации 171 полный дифференциал 428 оператор симметрии дилатации 398 дифференциальный оператор 225, 404 гамильтонов оператор 527
0* Dt, Dx nf DP сопряженный дифференциальный оператор 404 полная производная 153, 372 интегральный оператор 401 полная производная высшего порядка 153 производная Фреше дифференциальной функции Р
Dp 398 сопряженная к производной Фреше 405
Указатель обозначений
621
частный случай производной Фреше 424
Dxt, полная матрица Якоби 305
£)(т)*, . .., rf)/D(x’, хр) полный якобиан 313
dx' базисная дифференциальная один-форма 88, 428
dx1 базисная дифференциальная (т—1)-форма 94
dxi!, базисная дифференциальная (т — 2)-форма 95
dx базисная дифференциальная форма 89, 428
duf базисная вертикальная один-форма 430
det определитель 39
div дивергенция 94
Div полная дивергенция 321
е единица группы 38
Е оператор Эйлера 319
Еа оператор Эйлера 320
Еа оператор Эйлера высшего порядка 466
E<ft) оператор Эйлера высшего порядка 466
Е(т) евклидова группа пространства Rm 108
еЕА матричная экспонента 56
erf функция ошибок 211
ехр экспоненциальное отображение 80
exp(ev) поток векторного поля v 56
exp(ev) однопараметрическая подгруппа 76
ехр (evQ) поток эволюционного векторного поля vq 382
пространство функционалов 434
G группа Ли 39
G+ компонента единицы группы Ли 42
g алгебра Ли 73
д* двойственная к алгебре Ли 480
Gc группа сдвигов 114
G<r> подгруппа разрешимой группы 203
g(r> подалгебра разрешимой алгебры Ли 204
Gx локальная группа преобразований, определенных в
точке х 47
Gx группа изотропии ПО
д* подалгебра изотропии ПО
G“ группа растяжений 114
Ga остаточная группа симметрий 511
ga подалгебра изотропии 511
g - f преобразованная функция 131
G/Н факторгруппа 109
GL(«), GL(n, R) общая линейная группа пространства R” 39
GL+(n) компонента единицы общей линейной группы 42
gl(n) алгебра Ли матриц размера пХп 76
622
Указатель обозначений
GL (m, n)
grad
Grass (m, n)
Grass (p, m)
h
h
H
H, H*
'Чр
czD
Q/p
du
пространство матриц размера mXn максимального
ранга 106
полный градиент 337
грассманово многообразие 106
грассманово расслоение 312
оператор гомотопии 99
вертикальный оператор гомотопии 432
гамильтониан 474
операторы полной гомотопии 454
система векторных полей 70
гамильтонов функционал 527
ИТ1 верхнее полупространство 103
Ж\х пространство гамильтоновых векторных полей 484
Нп многочлен Эрмита 252
i операция взятия обратного в группе 39
I инверсия ПО, 172
/ единичная матрица 39
/<") пространство инвариантов 294
/(П) пространство «хороших» инвариантов 303
/<") расширенное пространство инвариантов 293
Iq оператор полного внутреннего произведения 450
1И оператор полного внутреннего произведения 454
ix векторное поле инверсии 171
Зх оператор рекурсии, отвечающий симметрии инвер-
сии 398
/ структурная матрица для скобки Пуассона 477, 523
/ преобразованный мультииндекс 140
/1, II факториал мультииндекса 140
J, J&. матрица Якоби 146, 155
I*1 структурная функция для скобки Пуассона 477
/С матрица симплектической структуры 484
Kg отображение сопряжения 262
Ж\х ядро пуассонова отображения В 484
S£ [u] = $Ldx функционал 317
т групповая операция 39
ш векторное поле дилатации 331
М многообразие 24
М открытое подмножество пространства независимых
и зависимых переменных 130
М матрица характеристик 220
Л оператор рекурсии, отвечающий симметрии дилата-
ции 418
Mg область определения преобразования g 47
Мх вертикальный слой 429
Указатель обозначений
623
М<пУ пространство струй 138
Af[n) расширенное пространство струй 288
Л4пХп пространство матриц размера пХп 39
М/G фактормногообразие 274
(Af/G)<n) пространство струй на фактормногообразии 302
(M/G)<n) «хорошее» пространство струй на фактормногооб-
разии 302
(Af/G)*n> расширенное пространство струй на фактормного-
образии 295
(3 орбита 48
О (п) ортогональная группа 40
О (еп) порядок малости 55
Р отображение момента 509
pk биномиальный коэффициент 136
р<"> биномиальный коэффициент 136
pr("*f продолжение функции f 137
pr<n>g продолжение преобразования g 141
pr<">G продолжение группы G 140
pr<B>v продолжение векторного поля v 144
prv продолжение (обобщенного) векторного поля v 372
рг<"> Г продолжение подмногообразия Г 288
Q, Qa характеристика векторного поля 161
Q, Qa характеристика закона сохранения 344
Q рациональные числа 38
5? оператор рекурсии 395
R вещественные числа 23
R+ положительные вещественные числа 41
Rg правое умножение 73
Rm m-мерное евклидово пространство 23
тХу векторное поле вращений 171
ЯХу оператор рекурсии, отвечающий симметрии враще-
ния 397
RP" вещественное проективное пространство 106
&f подмногообразие, задаваемое функцией F 115
S™ m-мерная сфера 26
множество уровня отображения момента 511
<?д подмногообразие, задаваемое системой дифференци-
альных уравнений А 138
расширенное подмногообразие, задаваемое систе-
мой дифференциальных уравнений А 290
^л/g редуцированное подмногообразие 307
tP&ia редуцированное подмногообразие 297
624
Указатель обозначений
ё!(п)
sn
SO (n)
ёо(п)
SO(p, q)
Sp(n)
T
pm
T(«)
TM
TM\K
T*M
T*M\X
u, ua
(U
и
и
Ui
Uu
L/(n)
Uz
Ua
u?
H?
Uj, I
Umt
Umt, I
V
V
v
v
y*
vs>e
y(f)
v„
SL («), SL (n, R) специальная линейная группа простран-
ства R" 43
специальная линейная алгебра Ли 84
якобиева эллиптическая функция 503
специальная ортогональная группа 40
алгебра Ли кососимметрических матриц 79
специальная ортогональная группа 236
симплектическая группа 108
транспонирование 40
пространство эволюционных векторных полей 415
m-мерный тор 27
группа верхних треугольных матриц 40
касательное расслоение многообразия М 53
касательное пространство к М в точке х 53
кокасательное расслоение многообразия М 87
кокасательное пространство к Af в точке х 87
зависимые переменные 130
область определения группы преобразований 46
пространство зависимых переменных 130
функция параболического цилиндра 252
производная от и по х: d‘u/dx‘ 186
частная производная от и по х1: ди/дх' 149
пространство частных производных 136
частные производные от и до порядка п включи-
тельно 137
пространство струй 136
вертикальное пространство 286
координатная карта 24
частная
частная
частная
частная
частная
локальная группа Ли 44
функция параболического цилиндра 252
векторное поле; элемент алгебры Ли 53
обобщенное векторное поле 371
экспоненциальное векторное поле 239
формальное эволюционное векторное поле 535
производная Ли от функции f 58
гамильтоново векторное поле 474
гамильтоново векторное поле 527
вертикальное подмногообразие 288
производная
производная
производная
производная
производная
от
от
от
от
от
ua no xl: dua/dxl 155
м“: д}иа 136
м“: duj/dx1 155
ua: dmu“/dtm 217
d](dmua/dtm) 218
У<")
Указатель обозначении
625
У("> «хорошее» особое подмногообразие 303
Vq эволюционное векторное поле 162
vu векторное поле растяжений 432
V |* касательный вектор в точке х 51
V (®) производная Ли от дифференциальной формы 96
(У’/б)(П> особое фактормногообразие 302
(У’/б)(,г) «хорошее» особое фактормногообразие 302
Vol объем 111
W функция параболического цилиндра 273
х, х1 независимые переменные 130
х параметрические переменные 126
X пространство независимых переменных 130
xJ произведение независимых переменных 140
Z целые числа 38
1), 1)х тождественное отображение (пространства X) 26
(— 1)" знак перестановки л 87
rf график функции f 131
Г|п) график продолженной функции 139
6 вариационная производная 318
б вариационный дифференциал 441
бд, вариационная производная по иа 318
бу символ Кронекера 77
Д система дифференциальных уравнений 138
Д линейный дифференциальный оператор 397
Д лапласиан (оператор Лапласа) 321
Д/t? редуцированная система дифференциальных урав-
нений 247
Д(А> продолженная система дифференциальных уравне-
п ний 222
Д(х, «<П))=0 дифференциальное уравнение или система диффе-
ренциальных уравнений 138
0 два-вектор 523, 543
0“ базисный вертикальный один-вектор 534
V. кривизна 159
V коэффициент векторного поля 53
я перестановка 87
я проектирование на фактормногообразие 275
я* степенное произведение 282
л(П> проектирование расширенного пространства струй
295
я* проектирование пространства струй 142
о тензор напряжений 416
Фа коэффициент векторного поля 145
626 Указатель обозначений
Ф/ 'Ха Ф коэффициент продолженного векторного поля 145 координатное отображение 24 отображение, соответствующее инфинитезимальной
Чг образующей группы 84 отображение, соответствующее группе преобразо- ваний, или поток 46
W о СО О & Q д д, dk д/дп djduj д/дх д]дх1, dt dufdx Vf Vw vxf V-f \Ldx \P-dS S® l&dx * * * A Afe три-вектор тождества Якоби 535 дифференциальная форма 87 полная дифференциальная форма 428 функциональная форма 435 вертикальная форма 430 симплектическая два-форма 521 граница 103 частная производная высшего порядка 136 частная производная 111 производная вдоль нормали 221 частная производная по и/ 145 частная производная по х 30 базисный касательный вектор 51 матрица Якоби 246 градиент функции f 35 градиент деформации 356 ротор f 93 дивергенция f 93 функционал 317 интеграл по границе 322 интеграл от дифференциальной формы со 102 функциональная форма 437 кодифференциал 90 сопряжение 405 двойственное векторное пространство 87 внешнее произведение 89 пространство гладких дифференциальных Л-форм 93
Ar A* At Al AftT*ML пространство полных г-форм 429 пространство вертикальных jfe-форм 432 пространство функциональных А-форм 436 пространство функциональных мультивекторов 534 пространство дифференциальных Л-форм в точке х на М 87
J 0 n U внутреннее произведение 91 пустое множество 24 теоретико-множественное пересечение 24 теоретико-множественное объединение 24
Указатель обозначений
627
CZ теоретико-множественное включение 24 теоретико-множественная разность 26
с-- s X X IX о 1V1 G) (a, b) [a, b] [v, w] [A B] UA X] [0. а [A M u, m <•; •) знак принадлежности 25 замыкание множества S 230 декартово произведение 27 векторное произведение в R3 108 полупрямое произведение 108 композиция функций 24 порядок мульти-индекса / 136 длина вектора v 109 биномиальный или мультиномиальный коэффициент 89 открытый интервал 29 замкнутый интервал 37 скобка Ли 62 коммутатор матриц Л и В: В А —АВ 76 коммутатор операторов 421 скобка Схоутена 523 однородные координаты 291 скобка Пуассона 472 скобка Пуассона 526 спаривание векторного пространства и двойствен-
<•> •> ного к нему 87 скалярное произведение 318
Предметный указатель
алгебра Ли (Lie algebra) 73, 74, 80,
161, 388, 479
-----абелева (abelian ~~) 204
-----двойственная (dual 480,
491, 492, 510
-----двумерная (two-dimensional ~
~) 86, 108, 204
-----разрешимая (solvable ~ 204
атлас (atlas) 29
атомный взрыв (atomic explosion)
311
базис (basis) 25, 52
— двойственный (dual ~) 87, 480
— инфинитезимальных образующих
(~ of infinitesimal generators)
300
вектор вертикальный (vertical vector)
534
— касательный (tangent ~) 51
— нормали (normal ~) 291
— присоединенный (adjoint ~) 263
— Рунге — Ленца (Runge — Lenz
413, 462
— функциональный (functional ~)
533
вихрь (vorticity) 519, 538
волна бегущая (travelling wave) 250,
254, 272, 309
— кноидальная—(cnoidal ~) 254
галилеево преобразование (Galilean
boost) 167, 174, 253, 254
гамильтониан (Hamiltonian function)
475, 489, 495, 519
гомоморфизм (homomorphism) 41
граница (boundry) 103, 410
график (graph) 131, 139, 244, 286
группа (group) 38
— абелева (abelian ~) 38, 367, 515
— вариационных симметрий (variatio-
nal symmetry ~) 327, 330, 334
— верхних треугольных матриц (~
of upper triangular matrices) 40
— вращений (notation ~) 120, 128,
132, 141, 146, 158, 183, 189,
192, 263, 294, 301
— гамильтоновых симметрий (Hamil-
tonian symmetry ~) 497
— дивергентных симметрий (diver-
gence symmetry ~) 359
— евклидова (Euclidean ~) 311, 519
— изотропии (isotropy ~) 110
— инверсий (~ of inversions) 86
— контактных преобразований (con-
tact transformation ~) 308
— Ли (Lie ~) 39
----комплексная (complex-------) 109
----локальная (local ~ ~) 44
— общая линейная (general linear
~) 39, 79
— односвязная накрывающая (simp-
ly-connected covering ~) 80
— ортогональных матриц (~ of ort-
hogonal matrices) 40
— преобразований (transformation
~) 46
----гамильтонова (Hamiltonian ~
~) 505
----глобальная (global------) 47
— — локальная (local------) 46
----одиопараметрическая (one-pa-
rameter -----------) 55, 308
— — проектируемая (projectable ~
~) 133
---связная (connected------) 48
— проективная (projective ~) 87, 196
— разрешимая (solvable ~) 203
— растяжений (или масштабных пре-
образований) (scaling ~) 49,
86, 114, 115, 246, 277, 312
— регулярная (regular ~) 312
— сдвигов (translation ~) 49, 85,
114, 115, 294, 312
— симметрий (symmetry ~) 113, 114,
134, 143, 307
Предметный указатель
629
----волнового уравнения (~ ~ of
wave equation) 170
----гамильтонова (Hamiltonian ~
~) 506
----остаточная (residual ~ ~) 511,
517
-----уравнения (------of equation)
113, 134
-------Бюргерса (~ ~ of Burgers)
167
----Кортевега — де Фриза (~ ~
of Korteweg—de Vries ~) 173
----— теплопроводности (~ ~ of
heat ~) 163
-------Эйлера (~ ~ of Euler ~)
174
— специальная линейная (special li-
near ~) 43
----ортогональная (~ orthogonal
~) 40, 79
групповая классификация (group
classification) 236, 237
действие гамильтоново (Hamiltonian
action) 506
— инфинитезимальное (infinitesimal
~) 84
----присоединенное (adjoint ~ ~)
262
— ко присоединенное (coadjoint ~)
492
— полурегулярное (semi-regular ~)
48
— присоединенное (adjoint ~) 262
— продолженное (prolonged ~) 306
— проектируемое (projectable ~) 244
— регулярное (regular ~) 49, 244,
312
— транзитивное (transitive ~) 49
— трансверсальное (transversal ~)
245, 299
дивергенция (divergence) 94, 337, 339
— нулевая (null ~) 343
— полная (total ~) 321, 328
— порядка n (n-th order ~) 449,
469
дилатация (dilatation) 171, 331, 338
днфференцал (differential) 60, 92, 94,
98
— вариационный (variational ~) 441
— вертикальный (vertical) ~ 430
— полный (total ~) 184, 428
задача Больцмана (Boltzmann prob-
lem) 311
— вариационная (variational ~) 317,
335, 359, 422
---обратная (inverse ~ ~) 445
---параметрическая (parameter ~
~) 425
— Кеплера (Kepler’s ~) 335, 462
— Коши (Cauchy ~) 220
— n тел (n-body ~) 355
закон сохранения (conservation law)
337
— — квадратичный (quadratic ~ ~)
417
---линейный (linear ~ ~) 414
---тривиальный (trivial ~ ~) 341,
343
-------первого типа (~ ~ ~ of first
kind) 341
-------второго типа (~ ~ ~ of se-
cond kind) 342
---эквивалентный (equivalent ~
~) 343
замена координат (change of coordi-
nates) 28, 57, 90
— переменных (~ of variables) 323,
468
изометрия (isometry) 109
изоморфизм (isomorphism) 41
иммерсия (или погружение) (immer-
sion) 31
импульс ((linear) momentum) 340,
355, 360, 362, 498
— обобщенный (generalized ~) 547
инвариант (invariant) 115, 118
— глобальный (global ~) 123, 307
— дифференциальный (differential ~)
189, 192, 239
— интегральный (integral ~) 521
— локальный (local ~) 123, 125
инвариантность инфинитезимальная
(infinitesimal invariance) 117
— локальная (local ~) 122
— по рангу (rank-~) 70
инварианты функционально зависи-
мые (functionally dependent in-
variants) 124
— —независимые (~ independent
~) 124, 277
интеграл (integral) 102, 435
— первый (first ~) 333, 338, 494
интегрируемость (integrability) 69
канонический вид функциональной
формы (canonical form of func-
tional form) 439, 440
630
Предметный указатель
--- функционального вектора
(~ ~ of functional vector)
534
касание (tangence) 287, 296
кодифференциал (codifferential) 90,
96
коммутатор (commutator) 62
— гамильтоновых векторных полей
(~ of Hamiltonian vector fi-
elds) 541
— матриц (matrix ~) 76
комплекс (complex) 93
— вариационный (variational ~) 427,
441
— вертикальный (vertical ~) 431
— де Рама (de Rham ~) 93
— точный (exact ~) 93
D-комплекс (D-complex) 428, 429
координатная карта (coordinate
chart) 24
---плоская (flat-------) 35
координаты канонические (canonical
coordinates) 471, 483, 490
---отмеченные (distinguished ~
~) 490
— локальные (local ~) 24, 277, 298,
487
— плоские (flat ~) 72, 487
коэффициент Ламе (Lame moduli)
221
кривая (curve) 36, 289
— замкнутая (closed ~) 37
— интегральная (integral ~) 53
---максимальная (maximal ~
54
критерий инвариантности (invariance
criteria) 215
---инфинитезимальный (infinitesi-
mal ~ ~) 328
— рекурсив нести операторов for
recursion operators) 399
критическое значение (critical value)
229
лагранжиан (Lagrangian) 317, 324
— нулевой (null ~) 321
лемма Буа— Раймонда (du Bois —
Reymond lemma) 423
— Пуанкаре (Poincare ~) 94, 100,
431, 449
— Финзи (Finzi ~) 225
лист Мёбиуса (Mobius band) 289
матрица структурная (structure mat-
rix) 477, 481
— Якоби (Jacobian ~) 30, 125, 304
-----полная (total ~ ~) 305, 313
масштабно инвариантное соотноше-
ние (unit-free relation) 281
многообразие (manifold) 24
— аналитическое (analytic ~) 25
— гладкое (smooth ~) 25
— грассманово (Grassmann ~) 106
— дифференцируемое (differential ~)
104
— компактное (compact ~) 103
— линейно связное (pathwise con-
nected ~) 37
— накрывающее (covering ~) 37
— одпосвязное (simply-connected
37
— ориентированное (oriented ~) 102
— пуассоново (Poisson ~) 474
— снмплектическое (symplectic) 484
^-многообразие (C*-manifold) 26
множество уровня (level set) 116
множитель интегрирующий (integra-
ting factor) 184, 468
— Лагранжа (Lagrange multiplier)
момент количества движения (angu-
lar momentum) 355, 362, 498,
508, 547
мультивектор (multi-vector) 522
— вертикальный (vertical ~) 533
мультииндекс (multi-index) 136
направление нехарактеристическос
(non-characteristic direction)
220, 221
— характеристическое (characteristic
~) 220
область вертикально звездная (verti-
cally star-shaped domain) 428,
429
— вполне звездная (totally star-sha-
ped ~) 428, 429
— звездная (star-shaped ~) 94, 101
— определения (~) 46
обмотка тора (irrational flow on the
torus) 50, 107, 235
образ функции (image oi the fun-
ction) 131
образующая (generator) 118
— инфинитезимальная (infinitesimal
~) 55, 58, 81, 85, 117, 119, 328
оператор внутреннего произведения
(operator of interior product)
450
Предметный указатель
631
— гамильтонов (Hamiltonian ~) 526
— гомотопии (homotopy ~) 99, 432
— дифференциальный (differential ~)
395
----антисимметрический (skew-ad-
joint ~ ~) 405
----вырожденный (degenerate ~)
550
----невырожденный (non-degenerate
-----------) 551, 563
----симметрический (self-adjoint
-----------) 405
----сопряженный (adjoint) 404
— полной гомотопии (total homotopy
~) 449, 450, 454
— рекурсии (recursion ~) 395, 419,
555
— Эйлера (Euler ~) 319, 405, 468
----высшего порядка (higher Euler
~) 446, 449
орбита (orbit) 48, 195, 209, 249, 304,
312
— коприсоединенного представле-
ния (co-adjoint ~) 493, 519
— присоединенного представления
(adjoint ~) 311
ориентация (orientation) 102
— индуцированная (induced ~) 103
отображение гладкое (smooth map)
29
— координатное (coordinate ~) 24
— момента (momentum ~) 509
— пуассоново (Poisson ~) 485
— экспоненциальное (exponential ~)
80, 109
переменная (variable) 115
— главная (principal ~) 245
— зависимая (dependent ~) 130
— независимая (independent ~) 130
— параметрическая (parametric ~)
126, 245, 304, 306
плотность (density) 280, 282, 339
— закона сохранения (conserved ~)
338, 350, 542
— накопленной энергии (stored ener-
gy function) 356
подалгебра изотропии (isotropy sub-
algebra) 511
— Ли (Lie ~) 78
— сопряженная (conjugate ~) 262
подгруппа (subgroup) 43
— замкнутая (closed ~) 43
— изотропии (isotropy ~) ПО, 511
— Ли (Lie 43, 78
— нормальная (normal ~) 198, 200
— однопараметрическая (one-para-
meter ~) 76
— регулярная (regular ~) 43
— сопряженная (conjugate ~) 261
подмногообразие (submanifold) 31,
115
— иммерсированное (immersed ~) 31
— инвариантное (invariant ~) 296
— интегральное (integral ~) 68, 70,
107
— локально инвариантное (locally in-
variant ~) 296
— неявное (или неявно заданное)
(implicit ~) 35, 36
— особое (singular ~) 288
— пуассоново (Poisson ~) 486
— регулярное (regular ~) 34, 107
подмножество инвариантное (inva-
riant subset) 114, 116, 199
— локально инвариантное (locally in-
variant ~) 123
поле (field) 53
— векторное (vector 53
----вертикальное (vertical ~ ~)
432
----гамильтоново (Hamiltonian ~-
~) 474
— — левоинварнантное (left-invari-
ant ----------) ПО, 111
----обобщенное (generalized ~ ~)
371
—------продолженное (prolonged ~
~ ~) 371
----правоннвариантное (right-inva-
riant ~ ~) 76, 81
----продолженное (prolonged ~ ~)
144, 160
----эволюционное (evolutionary ~
~) 374, 383, 535
----экспоненциальное (exponential
-----------) 239, 240
поток (flow) 54, 64, 338, 462
представление (representation) 15
— коприсоединенное (co-adjoint ~)
493
— присоединенное (adjoint ~) 262
преобразование Галилея (Galilean
boost) 167, 174, 253, 254
— годографа (hodograph transforma-
tion) 249
— конформное (conformal ~) ПО
— Ли — Бэклунда (Lie — Backlund
~) 368
— Миуры (Miura ~) 256
— присоединенное (adjoint ~) 262
632
Предметный указатель
— Хопфа — Коула (Hopf — Cole ~)
169, 238
принцип постановки (substitution
principle) 466
продолжение (prolongation) 137
— векторного поля (~ of vector fi-
eld) 144, 160
— группы (~ of group) 170, 292
— обобщенного векторного поля (~
of generalized vector field) 372
— подмногообразия (~ of submani-
fold) 288
—-системы (~ of system) 222
— функции (~ of function) 137
произведение внешнее (wedge pro-
duct) 88, 89
— внутреннее (interior ~) 91
---полное (total ~ ~) 450
— декартово (Cartesian ~) 28, 41
— полупрямое (semi-direct ~) 108
производная вариационная (variatio-
nal derivative) 318, 320
— внешняя (exterior ~) 91
— Ли (Lie ~) 95, 96, 98, 433, 526
— полная (total ~) 153, 449, 530, 532
— Фреше (Frechet ~) 398
пространство вещественное проектив-
ное (real projective space) 106
— двойственное (dual ~) 88
— дифференциальных ft-форм (~ of
differential к-form) 87
---Функций (~ ~ ~ functions) 432
— инвариантное (invariant ~) 312,
313
— касательное (tangent ~) 52
— кокасательное (со-tangent ~) 88
— параметров (parameter ~) 31
— струй (jet ~) 138
---инвариантное (invariant ~ ~)
293, 306
---расширенное (extended ~ ~)
288
— функционалов (~ of functional)
434
— «хороших» продолжений (~ of
«nice» prolongations) 303
ранг максимальный (Maximal rank)
30, 121, 146
— матрицы Якоби (~ of Jacobian
matrix) 30
— отображения (~ of mapping) 30
— пуассонова многообразия (~ of
Poisson manifold) 483
— пуассоновой структуры (~ of
Poisson structure) 483
расслоение грассманово (Grassmann
bundle) 312
— касательное (tangent ~) 52
— кокасательное (cotangent ~) 88,
431, 482, 522
— расширенное струй (extended jet
~) 288
решение (solution) 113, 134, 139, 290,
307, 320
— автомодельное (scale-invariant ~)
255
— инвариантное относительно группы
(group-invariant ~) 241, 244,
250, 297, 313
—-- -----вращений (rotationally-in-
variant ~) 258
----------растяжений (scale-invari-
ant ~) 251
----------сдвигов (translationally-
invariant ~) 257
— G-инвариантное (G-invariant ~)
244
— односолнтонное (one-soliton ~)
254
ротор (curl) 95
— обобщенный (generalized ~) 95
— полный (total ~) 456
ряд Лн (Lie series) 59, 265
связанные эволюционные уравнения
(related evolution equations)
238
F-связанные векторные поля (F-rela-
ted vector filds) 62
связная компонента (connected com-
ponent) 42
связность (connect) 37
— линейная (pathwise 37
симметрия (symmetry) 113—114
— вариационная (variational ~) 332,
353, 408
---строгая (strong ~ ~) 465
— гамильтонова (Hamiltonian ~)
495, 519
— геометрическая (geometric ~) 375
— дивергентная (divergence ~) 358
— — инфинитезимальная (infinitesi-
mal ~ ~) 359
— инфинитезимальная (infinitesimal
~) 165
— — обобщенная (generalized ~ ~)
372, 388
— проектируемая (projectable ~) 175
— тривиальная (trivial ~) 375
— «-эквивалентная (n-equivalent ~)
375
Предметный указатель
633
система алгебраических уравнений
(system of algebraic equations)
ИЗ
— анормальная (abnormal ~) 422
— бигамильтонова (bi-Hamiltonian
~) 547, 551
— в форме Ковалевской (~ in Kova-
levskaya form) 217, 350
----------общая (general----~ ~)
218
— векторных полей (~ of vector fi-
elds) 69
---— в ннволюцин (~--------in in-
volution) 69, 70, 516
-------инвариантная по рангу (rank-
invariant ~ ~ ~) 70
-------интегрируемая (integrable ~
~ ~) 69, 70, 105
-------полурегулярная (semi-regular
~ ~ ~) 71
—------- регулярная (regular ~ ~ ~)
71
-------конечно порожденная (finite-
ly generated-----------~) 70
— вполне интегрируемая (completely
integrable ~) 516
— гамильтонова (Hamiltonian ~)
478, 519
----в канонической форме (~ ~ in
canonical form) 520
— дифференциальных уравнений (~
of differential equations) 130,
290
— — — вполне невырожденная (to-
tally nondegenerate ~ ~ ~)
223, 348
-------локально разрешимая (local-
ly solvable ~ ~ ~) 212
— -----невырожденная (nondegene-
rate ~-----------) 212
—•-----недоопределенная (under-de-
termined ~-----------) 228, 234
—------нормальная (normal ~ ~ ~)
222, 347
-------переопределенная (over-de-
termined ~ ~ ~) 228, 234
--------редуцированная (reduced ~
-------) 244, 251, 297, 307
— координат плоская (flat coordina-
te ~) 72
— — специальная (particular ~
333
— оптимальная (optimal -~) 265, 266,
270, 311
— — решений (~ — of solutions)
271
— полная функционально независи-
мых инвариантов (complete ~
of functionally independent in-
variants) 126, 129, 307
— эволюционных уравнений (~ of
evolution equations) 388, 389
скобка (bracket)
— Ли (Lie ~) 62, 74, 96, 160, 263,
332, 365, 386, 420, 475, 541
— Ли — Пуассона (Lie — Poisson ~)
479, 518, 559
— Пуассона (Poisson ~) 472, 494,
506, 517, 522, 526, 540
----каноническая (canonical ~ ~)
474, 500
— Схоутена (Schouten ~) 523, 560
слоение (foliation) 70
— симплектическое (symplectic ~)
489
слой (leave) 70, 489
солитон (soliton) 174, 254, 309
структура бигамильтонова (bi-Hamil-
tonian structure) 560
—гамильтонова (Hamiltonian ~) 560
— пуассонова ((Poisson ~) 482
----каноническая (canonical ~ ~)
520
— симплектическая (symplectic ~)
481
структурная константа (structure
constant) 82, 83, 85
таблица коммутирования (commuta-
tor table) 83
тензор напряжений (stress tensor)
416
— энергии-импульса (energy-momen-
tum ~) 357
теорема Ado (Ado theorem) 80
— взаимности Бетти (Betti reciprocal
~) 416
— Дарбу (Darboux ~) 471, 489
— Коши — Ковалевской (Cauchy —
Kovalevskaya ~) 217
— Ли (Lie ~)
---первая основная (first funda-
mental ~ ~) 104
----вторая основная (second fun-
damental ~ ~) 104
— Лиувилля (Liouville ~) 522
— Нётер (Noether ~) 333, 351, 367,
412, 464
— — вторая (second ~ ~) 422
— Стокса (Stokes 102
— Фробениуса (Frobenius ~) 69, 71,
105
634
Предметный указатель
Пи-теорема (Pi-theorem) 281
тор (torus) 27, 28, 30, 33, 42, 77, 107
— интегральный (integral ~) 71, 72
трансверсальность (transversality)
286, 300
уравнение ББМ (ВВМ equation) 311,
365
— бнгармоническое (biharmonic ~)
236
— Буссинеска (Boussinesg ~) 556
— Бюргерса (Burger’s ~) 167, 378,
388, 393, 400, 407, 463
— Вебера (Weber ~) 252
— волновое (wave ~) 170, 221, 236,
247, 291, 310, 331, 344, 360,
377, 418
— вполне интегрируемое (completely
integrable ~) 309
— Гамильтона (Hamilton ~) 475, 485
— Гарри Дима (Harry Dym ~) 562
— Гельмгольца (Helmholtz ~) 463
— инвариантное относительно «нело-
кальных симметрий» (invariant
under «nonlocal symmetries»
~) 239
— Кортевега — де Фриза (Korte-
weg—de Vries ~) 173, 254,
265, 266, 401, 538, 543, 548
--------модифицированное (modified
--------) 463
— Лапласа (Laplace ~) 139, 236, 337
— Максвелла (Maxwell ~) 236, 366,
463
— Навье линейной изотропной упру-
гости (Navier ~ of linear iso-
tropy elasticity) 221, 236, 416
— Навье — Стокса (Navier — Stokes)
236
— нелинейное диффузии (nonlinear
diffusion ~) 238
— однородное (homogeneous ~) 182
— определиющне (defining ~) 162
—ПенлевеЛ (first Painleve transcen-
dent) 255, 309
— Пенлеве-П (second Painleve ~)
256, 309
— редуцированное (reduced equation)
297 312
— Риккати (Riccati ~) 188, 195, 206,
210
— связанное (related ~) 238
— солитонное (soliton ~) 309
— телеграфное (telegraph ~) 236,
463
— теплопроводности (heat ~) 50,
134, 163, 236, 251, 268, 272,
373
— Фоккера—Планка (Fokker —
Plank ~) 235, 464
— Шредингера (Schrodinger ~) 462,
563
— эволюционное (evolution ~) 238,
467
— Эйлера (Euler ~) 174, 236, 256,
311, 481, 545, 561
— Эйлера — Лагранжа (Euler — La-
grange ~) 320, 330, 352, 359,
366, 467
— Эйри (Airy ~) 273
— Эмдена — Фаулера (Emden — Fow-
ler ~) 366
— sin-Гордона (sine-Gordon ~) 413,
463
условие Гельмгольца (Helmholtz-
condition) 445
— локальной разрешимости (~ of
local solvable) 147, 212, 223
— максимальности ранга (maximal
rank ~) 147, 212, 223
— отделимости Хаусдорфа (Haus-
dorff separation property) 278
факторгруппа (quotient group) 198,
200
фактормногообразие (quotient mani-
fold) 274, 295, 302, 312
— продолженное (prolonged ~) 295
физическая величина безразмерная
(dimensionless physical quanti-
ty) 281
----производная (derived-----) 280
----фундаментальная (fundamental
~ ~) 280
форма вертикальная (vertilac form)
430
— дифференциальная (differential ~)
87
----гладкая (smooth------) 88
— —полная (total ~ ~) 428, 456
— замкнутая (closed ~) 93
— объема (volume ~) 111
— точная (exact ~) 93
— функциональная (functional ~)
439, 533
— характеристическая (characteristic
~) 344
формула гомотопии (homotopy formu-
la) 432, 441, 454
— коммутационная (commutator ~)
409
Предметный указатель
635
— продолжения (prolongation ~)
150, 154
функционал (functional) 317, 434
— вариационный (variational ~) 318,
353
— гамильтонов (Hamiltonian ~) 526
— отмеченный (distinguished ~) 540
— эволюционный (evolution ~) 526
функция дифференциальная (diffe-
rential function) 370, 432
— ннварнантная (invariant ~) 115,
117, 199, 245, 300
----глобально (globally ~ ~) 123
—•—-локально (locally ~ ~) 123
----«хорошая» («nice» ~ ~) 303
— Казимира (Casimir ~) 474
— отмеченная (distinguished ~) 474
— ошибок (error ~) 211, 252
— параболического цилиндра (para-
bolic cylinder ~) 252, 272
— перехода (overlap ~) 24, 276
— структурная (structure ~) 477, 519
— Эйри (Airy ~) 273
— якобиева эллиптическая (Jacobian
elliptic ~) 254, 503
Характеристика векторного поля (cha-
racteristic of vector field) 161,
300, 314, 352, 387
— закона сохранения (~ of conser-
vation law) 344, 406
— тривиальная (trivial ~) 344, 470
— эволюционного векторного поля
(~ of evolutionary vector fi-
eld) 374
цепочка Тоды (Toda lattice) 520
число Рейнольдса (Reynold’s number)
283
— Фруда (Froude ~) 281
эволюционный представитель (evolu-
tionary representative) 374
эквивалентность (equivalence) 286,
287, 345, 375, 445
экспонента (exponential) 80
— матрицы (matrix ~) 56, 77
экспоненцирование (exponentation)
55
экстремаль (extremal) 318
— вариационного функционала (~ of
variational functional) 321
якобиан (Jacobian determinant) 326
Оглавление
От редактора перевода............................ . . . 5
Преднсловне к русскому изданию................................... 6
Предисловие......................................................... 6
Благодарности ...................................................... 8
Введение........................................................... 9
Указания читателю .... .............. . . .........18
Глава 1. Введение в теорию групп Ли .... .......................... 22
1.1. Многообразия...............................................23
1.2. Группы Ли..................................................37
1.3. Векторные поля.............................................51
1.4. Алгебры Ли............................................. 72
1.5. Дифференциальные формы.................................. .87
Замечания......................................................103
Упражнения..................................................106
Глава 2. Группы симметрий дифференциальных уравнений . . . . 112
2.1. Симметрии алгебраических уравнений.....................113
2.2. Группы и дифференциальные уравнения.................. 130
2.3. Операция продолжения............................... . . 135
2.4. Вычисление групп симметрий.............................162
2.5. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений . 179
2.6. Условия невырожденности для дифференциальных уравнений 211
Замечания............................................ 229
Упражнения..................................................234
Глава 3. Решения, инвариантные относительно группы . 241
3.1. Построение решений, инвариантных относительно группы . . 243
3.2. Примеры решений, инвариантных относительно группы .... 250
3.3. Классификация решений, инвариантных относительно группы . . 261
3.4. Фактормногообразня........................................274
3.5. Продолжения, инвариантные относительно группы, и редукция 284
Замечании......................................................307
Упражнения.....................................................310
Глава 4. Группы симметрий и законы сохранения ......... 315
4.1. Вариационное исчисление...................................316
4.2. Вариационные симметрии............................... . 327
4.3. Законы сохранения.........................................337
4.4. Теорема Нётер . 351
Замечания............................................... .... 362
Упражнения.....................................................365
Оглавление
637
Глава 5. Обобщенные симметрии ..... 368
5.1. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений .... 370
5.2. Операторы рекурсии.....................................394
5.3. Обобщенные симметрии и законы сохранении.......404
5.4. Вариационный комплекс..................................427
Замечания...................................................457
Упражнения..................................................462
Глава 6. Конечномерные гамильтоновы системы................... .471
6.1. Скобки Пуассона........................................472
6.2. Симплектнческие структуры и слоения....................481
6.3. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка .... 493
Замечания...................................................517
Упражнения................................................. 519
Глава 7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений . 524
7.1. Скобки Пуассона........................................525
7.2. Симметрии н законы сохранения..........................540
7.3. Бигамильтоновы системы...............•.................547
Замечания...................................................559
Упражнения..................................................561
Литература......................................................564
Приложение I. Каноническая серия законов сохранения. А. Б. Шабат 582
Приложение 11. Метод сдвига аргумента и топология интегрируемых га-
мильтоновых систем. А. В. Болейнов, А. Т. Фоменко . 600
Указатель обозначений.......................................... 620
Предметный указатель............................................628
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, ка-
честве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820,
Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство
«Мнр».
Научное издание
Питер Олвер
ПРИЛОЖЕНИЯ ГРУПП ЛИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ст. научи, ред. Г. М. Цукерман
Мл. научн. ред. И. В. Герасимова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Художник В. С. Потапов
Технический редактор А. Л. Гулина
Корректор С. С. Суставова
ИВ № 7005
Сдано в набор 17.02.89. Подписано к печати 15.09.89.
Формат бОХЭО'Лв. Бумага книжно-журнальная импортная.
Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 20,0 бум.
л. Усл. печ. л. 40,0. Усл. кр.-отт. 40,0. Уч. изд. л. 35,59.
Изд. № 1/6405. Тираж 8100 экз. Зак. 1884. Цена 2 р. 90 к.
Издательство «Мир»
В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии н книжной торговли
129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер. 2.
Набрано в Ленинградской типографии № 2 головного пред-
приятия ордена Трудового Красного Знамени Ленинградско-
го объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Государственного комитета СССР по печати. 198052, г. Ле-
нинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Тру-
дового Красного Знамени Ленинградского объединения «Тех-
ническая книга» им. Евгении Соколовой Государственного
комитета СССР по печати. 191126. Ленинград, Социалисти-
ческая ул., 14.
Имеются в продаже книги издательства «Мир
по теоретической и прикладной математике:
Билз И. и др. Строго псевдовыпуклые области в
С". 1987, 2 р. 30 к. (О)
Бурбаки Н. Группы н алгебры Ли. Гл. 9. 1986,
1 Р- (О)
Гловииски Р. и др. Численное исследование нера-
венств. 1979, 2 р. 50 к. (О)
Годен М. Волновая функция Бете, 1987. 3 р.
10 к. (О)
Кестен X. Теория просачивания для математиков.
1986, 3 р. (X)
Крафт X. Геометрические методы в теории инва-
риантов. 1987, 2 р. (О)
Лакс П. Теория рассеяния для автоморфных функ-
ций. 1979, 1 р. 80 к. (О)
Обей Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ, 1988,
3 р. 90 к. (О)
Рид М., Саймон Б. Методы современной математи-
ческой физики. Т. 4. 1982, 2 р. 20 к. (О)
Хокни Р. Численное моделирование методом частиц.
1987, 4 р. 10 к. (X)
Чанг X., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно-возму-
щенные краевые задачи: Теория и приложения.
1988, 1 р. 50 к. (X О)
Заказы на приобретение этих книг направляйте
в «Московский дом книги» по адресу: 121019, Моск-
ва, просп. Калинина, 26, фирменная секция изда-
тельства «Мир» (книги отмечены знаком X) или
в магазин № 5 «Техническая книга» — опорный
пункт издательства «Мир» — по адресу: 191040, Ле-
нинград, Пушкинская, 2 (книги отмечены зна-
ком О). Заказы высылаются наложенным платежом.