ЭЛЕМЕНТЫ
КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ
ПОЛЯ
БОЗОНнЫЕ Р*\\ЛМОДЕЙСТВИЯ

А. С. ШВАРЦ
ЭЛЕМЕНТЫ
КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
БОЗОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1975

УДК 530.145
Шварц А. С. Элементы квантовой теории поля.
Бозонные взаимодействия. М., Атомиздат, 1975, 192с.
Изложены основные понятия квантовой теории поля.
Ради простоты рассмотрены почти исключительно теории,
описывающие один тип частиц — бесспиновые бозоны.
Главной особенностью книги является проведенное в ней
максимально полное отделение проблемы перенормировок
от проблемы ультрафиолетовых расходимостей (прежде
всего рассматриваются теории, приводящие к конечным
перенормировкам; лоренц-инвариантные взаимодействия
исследуются с помощью предельного перехода от таких
теорий). Благодаря предварительному изучению конеч-
конечных перенормировок удается достичь большей четкости
изложения и избежать рассмотрения математиче-
математически неопределенных выражений.
Рисунков 26. Библиография — 39 наименований.
Ш 0344@21) -75 7~75 © Атомиздат, 1975

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Взаимодействия вида V (?) 9
§ 1. Квантование классической системы 9
§ 2. Основные определения 18
§ 3. Функции Грина 26
§ 4. Теория возмущений для функций Грина 35
§ 5. Операторы и гамильтонианы, записанные в нормаль-
нормальной форме 42
Глава 2. Трансляционно-инвариантные гамильтонианы 52
§ 6. Трансляционно-инвариантные взаимодействия ... 52
§ 7. Двухточечная функция Грина и массовый оператор 54
§ 8. Вершинные функции 63
Глава 3. Перестройка ряда теории возмущений 67
§ 9. Перенормировка энергии 67
§ 10. Перенормировка константы связи 69
Глава 4. Исследование взаимодействий вида V (?) с помощью
предельного перехода от потенциальных взаимодей-
взаимодействий 76
§ 11. Потенциальные взаимодействия . . 76
§ 12. Теорема Хори 85
§ 13. Диаграммная техника 88
§ 14. Предельный переход к бесконечному числу степеней
свободы 92
§ 15. Построение операторной реализации трансляционно-
инвариантного гамильтониана 96
Глава 5. Матрица рассеяния 99
§ 16. Построение матрицы рассеяния с помощью in- и out-
операторов 99
§ 17. Адиабатическое определение матрицы рассеяния . . 115
Глава 6. Лоренц-инвариантные взаимодействия 120
§ 18. Постановка задачи 120
§ 19. Расходящиеся диаграммы 128
§ 20. Взаимодействие g<p* 138

Глава 7. Взаимодействия фермионов и бозонов 142
§ 21. Классические лоренц-инвариантные уравнения .... 142
§ 22. Свободные фермионы 154
§ 23. Взаимодействие фермионов спина 1/2 со скалярными
бозонами 160
Дополнение А 166
Дополнение Б 175
Дополнение В 184
Список литературы 190

ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель настоящей книги — дать четкое изложение основных
понятий квантовой теории поля.
В книгах по квантовой теории поля (см., например, [1—5])
изложение во многом нечетко. Разумеется, нельзя требовать
математической строгости от физической книги, но уровень
строгости и просто логической ясности в перечисленных кни-
книгах несколько отстает от уровня, принятого в других областях
физики. Например, в учебниках по квантовой теории поля по
аналогии с квантовой механикой исходят обычно из опреде-
определения матрицы рассеяния с помощью Г-экспоненты, иными
словами, с помощью формулы
S = lim S(t, t0),
где
S (t, Q = exp (iHot) exp \—\H (t— t0)) exp (-1ВД
— оператор эволюции в представлении взаимодействия. Это
определение неудовлетворительно уже потому, что матрица
рассеяния в квантовой теории поля определяется самим га-
гамильтонианом Н и не зависит от способа выделения свободного
гамильтониана Яо; основной физический недостаток этого оп-
определения матрицы рассеяния состоит в том, что оно не учиты-
учитывает различия между «голыми» и «одетыми» частицами*. Но
все конечные результаты оказываются правильными, посколь-
поскольку в процессе вычислений определение матрицы рассеяния из-
изменяется. Это изменение происходит из-за процедуры перенор-
перенормировки. Однако в представлении большинства читателей не-
необходимость перенормировки связана с существованием уль-
ультрафиолетовых расходимостей, хотя из тех же книг можно
* Под «голыми» понимаются частицы, отвечающие гамильтониану
Нй, а под «одетыми» — частицы, отвечающие гамильтониану Н.

заключить, что при построении матрицы рассеяния конечные
перенормировки необходимы и в случае отсутствия расходи-
мостей.
Наиболее последовательное изложение квантовой теории
поля содержится в работе 16], однако в ней вопрос о перенор-
перенормировках полностью слит с вопросом об устранении расходи-
мостей.
В книгах по квантовой теории поля авторы нередко опе-
оперируют понятиями, не имеющими строгого смысла. В частно-
частности, гамильтонианы квантовой теории поля обычно рассматри-
рассматривают как операторы в фоковском пространстве. На самом деле
они не становятся операторами в фоковском пространстве,
даже если обрезать их по импульсам, чтобы избежать ультра-
ультрафиолетовых расходимостей; это сказывается на расходимости
вакуумных петель.
Для применения обычных в квантовой теории поля рассуж-
рассуждений (например, чтобы установить связь между матрицей рас-
рассеяния и функциями Грина) следует рассматривать гамильто-
гамильтониан как оператор в пространстве, отличном от фоковского.
Можно, впрочем, ограничиться рассмотрением фоковского про-
пространства, введя в гамильтониан дополнительное обрезание
по объему, но такой подход также связан с трудностями и тре-
требует более серьезных модификаций в стандартном изложении,
чем переход к другому пространству. Этот подход использует-
используется в § 1 1—15, 17 настоящей книги; остальная часть книги осно-
основана на построении оператора энергии в пространстве, отлич-
отличном от фоковского. Ради простоты рассматриваются в основном
теории, описывающие один тип частиц — бесспиновые бозоны.
Распространение результатов на другие теории требует лишь
небольших формальных усложнений, пока мы не сталкиваемся
с инфракрасными расходимостями. В книге почти не затра-
затрагивается вопрос о том, какими гамильтонианами описы-
описываются реально существующие элементарные частицы. Совер-
Совершенно не приводятся примеры применения правил вычисле-
вычисления матрицы рассеяния к анализу конкретных процессов
рассеяния. Эти вопросы хорошо освещены во многих книгах.
Физик должен рассматривать настоящую книгу как допол-
дополнение к уже существующим. Для математика, не интересую-
интересующегося приложениями основных принципов квантовой теории
поля к конкретным расчетам, она может служить источником
для первоначального ознакомления с квантовой теорией поля.
Настоящая книга написана не на математическом уровне
строгости, однако принятый в ней уровень строгости доста-
6

точно высок, чтобы не вызывать чувства протеста у математика
(предполагается, что математик не будет пропускать набранные
петитом разъяснения точного смысла вводимых понятий).
Некоторые сведения, необходимые для понимания книги,
содержатся в дополнении Айв начале дополнения Б. Доказа-
Доказательства ряда утверждений, приведенных в основном тексте
без строгого обоснования, включены в дополнения Б и В.
Обозначения
1. Четырехмерные векторы:
х = (х°, х1, х2, х3) = (Л х1, х\ х3) = (t, х);
У - (У°, у\ у2, У3) = (т, у\ у2, у3) = (т, у);
k = (k°, k1, k2, kS) = (CO, k1, k2, ks) = (CO, k)
[x, y, k — трехмерные векторы, t=x" их = y° — время, x = (x1, x*, x3)
и У=(У1> У2> У3)—пространственные координаты, со = k° — энергия,
k = (k1, k2, k&) — трехмерный импульс.
2. Индефинитное скалярное произведение ху в четырехмерном
пространстве:
ху = х!> у" ~- х1 у1—хъф—х3 у3 = х° у° — xy = ft—ху =
0<а<3 0<а<3 0<а<3
0р3 0<р<3
(Здесь Аар = 0 при а ф Р, h°>° = 1, А1.1 = А2.2 = А3.3 = — 1,
Аар = АаР, х0 = х°, хг = — х1, хг = — х2, х3 = — х3.)
3. Под преобразованием Лоренца понимается ортохронное соб-
собственное-преобразование Лоренца, т. е. преобразование
ха =
с матрицей g" удовлетворяющей условиям:
4. [А, В]= АВ — ВА — коммутатор, [А, В]+ = АВ + ВА —
антикоммутатор операторов А, В.
5. Оператор, эрмитово сопряженный к оператору А, обозначает-
обозначается А+.
6. Число, комплексно сопряженное к числу г, обозначается г
или г*.
7. Еп — я-мерное евклидово пространство.
8. L2 (?") — пространство интегрируемых с квадратом функций
от п переменных.
9. F (X) — фоковское пространство.
10. Всюду в книге постоянная Планка % и скорость света с приняты
равными 1.

11. 6ft = 0 при k ф О, бо=1; бйг=б* = 8k_ i—символ Кронекера.
12. 6@= 1 при t > 0, 6@ = 0 при t <0.
1 1 1 С
13. = lim =— \ 6@exp(i«0 dt.
ю+Ю а->+о w+ia i J
14 Д ( ^ (
+ + + J
14. Для перехода от (х, ^-представления (пространственно-вре-
(пространственно-временного представления) к (к, ^-представлению (импульсно-времен-
ному) и (к, (о)-представлению (импульсно-энергетическому) в разных си-
ситуациях применяются разные формулы с целью уменьшения чис-
числа несущественных множителей типа BяM.
Приведем некоторые из используемых соотношений.
Для взаимодействий вида V (<р) полевые операторы в (х, {)¦
и (к; ^-представлениях связаны формулой
<р(х, 0 = Bя)~3/2 J exp (i kx) ф (k, /) dk,
а функции Грина соответственно в (х, t)-, (к, t)- и (к, (о)-представле-
ниях определяются соотношениями:
ч, ti) ... ф(х„, <„))Ф. ф);
= <Т(ф(к1, t) ... ф(к„, tn)) Ф, Ф>:
п
exp I — i jj] k^
\ /=i
Gn (^i ^n) = Gn (klt ©i, ..., kn> о)„) =
С / " " \
= Bя)~2" \ expli 2^1 (ujtj—i 2j ^ ^M "n ("n'l xn, tn) dnxdnt.
Двухточечная функция Грина свободного гамильтониана соответст-
соответственно в (х, t)-, (к, t)- и (к, (о)-представлениях обозначается так:
Gj0' (kj, «>!, k2, @2) =DJr (kj, 0j) 6 (kx + k2) 6 @!-)-©^ =

ГЛАВА 1
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВИДА
§ 1. Квантование классической системы
Классическую механическую систему с конечным числом
степеней свободы можно, как известно, описать с помощью
функции Гамильтона Ж (р, q), зависящей от обобщенных коор-
координат q = (<7i, ...,qn) и обобщенных импульсов/? = (ръ ..., рп).
Закон изменения во времени обобщенных координат и импуль-
импульсов определяется уравнениями Гамильтона:
dt dqt ' dt dpi ' ^
Важный класс механических систем образуют системы, функ-
функции Гамильтона которых имеют вид
Ж {р, q) = Т (р) + U (q), A.2)
где Т (р) — положительно определенная квадратичная форма.
В таком виде можно, в частности, записать функцию Гамиль-
Гамильтона системы нерелятивистских частиц в декартовых коорди-
координатах. Функция U (q) имеет физический смысл потенциальной
энергии, поэтому взаимодействие с функцией Гамильтона
A.2) назовем потенциальным взаимодействием.
Классической механической системе с функцией Гамильто-
Гамильтона A.2) естественно сопоставляется квантовая механическая
система. Именно импульсам ръ ..., рп сопоставляются само-
самосопряженные операторы plt ..., рп, а координатам^, ..., qn —
операторы qlt ..., qn, подчиняющиеся соотношениям:
[к Р}\ = \Яи Я}\ = 0; [ph qj] = A/1) 6W. A.3)
Оператор Гамильтона Н выражается через pit qj формулой
= Т(р\, ..., pJ + Ufa qn). A.4)

Отметим, что в A.4) операторы Т (р) и U (q) представляют со-
собой функции от коммутирующих самосопряженных опера-
операторов.
В общем случае существует много различных способов кван-
квантования (см., например, [7]), т. е. много разных гамильтониа-
гамильтонианов Я, которые можно считать соответствующими классической
функции Гамильтона Ж{р, q).
Будем считать, что пространством состояний рассматри-
рассматриваемой системы является пространство L2 (Еп) интегрируемых
с квадратом функций i|; (qt, ..., qn). Операторы координат
qv ..., qn реализуем как операторы умножения на независимые
переменные qr, ..., qn, а операторы импульса — как операторы
дифференцирования р, = — =— .
Важно отметить, что конструкция самосопряженных опе-
операторов, удовлетворяющих условиям A.3), по существу един-
единственная. Точнее, справедливо следующее утверждение [8]:
если неприводимая* система самосопряженных операторов
р1?..., pn, qv ..., qn в гильбертовом пространстве Ж удовлетво-
удовлетворяет условиям:
exp (i ар}) exp (i ppft) = exp (i Ppft) exp (i
exp(ia^)exp(ip<7ft)=exp(ip<7ft)exP(i ..„,.
(l.o)
exp (i офб, ft) exp (i §qh) exp (i ap}),
то существует унитарный оператор,- отображающий прост-
пространство Ж на пространство L2 (Еп) и переводящий операторы
О] в операторы умножения на независимые переменные о;, а опе-
1 д
раторы Pj — в операторы — г- ,
С помощью формальных вычислений нетрудно проверить
эквивалентность условий A.3) и условий A.5), однако из-за
того, что pi и q) не ограничены и, следовательно, не всюду оп-
определены, эти формальные рассуждения нельзя превратить
в математическое доказательство.
* Система операторов называется неприводимой, если не сущест-
существует нетривиального подпространства, инвариантного для всех опе-
операторов системы.
10

Уравнения Гейзенберга для операторов р} (f) =
= exp (\Ht) ft) exp (— iHt) и q} (t)= exp (iHt) q} exp (— \Ht)
имеют вид
(W) ((
т. е. внешне совпадают с уравнениями Гамильтона для класси-
п
ческой системы. Если Т (р) = -^ 2 Pi (к этому случаю всегда
можно прийти с помощью линейной замены координат), то
= p} (t), а значит,
Рассмотрим классическую механическую систему, явля-
являющуюся аналогом систем с потенциальным взаимодействием
для случая бесконечного числа степеней свободы. Будем счи-
считать, что состояние системы описывается функциями
п (!) и ф (|), где | пробегает бесконечное множество. Ради оп-
определенности предположим, что % пробегает трехмерное про-
пространство Е3. Числа ф (|) можно рассматривать как обобщен-
обобщенные координаты, а числа п (%) — как обобщенные импульсы.
Очевидно, мы имеем бесконечное число обобщенных координат
и обобщенных импульсов. Функция Гамильтона Ж (п, <р)
представляет собой функционал от функций п и ф. Полагаем:
у| A-8)
где
V(q>)= S $Кп($г, .... Sn)<PEi) ... фAп)^х ... d\n, A.9)
п
(функции Vn считаем симметричными).
Уравнения Гамильтона можно тогда записать как
dt
11

Исключая из них я (|, t), получаем
...ФF„-1,Ойя-16 = О. A.10)
Нашей основной задачей является изучение квантовой
системы, появляющейся при квантовании описанной клас-
классической системы. По аналогии со случаем конечного числа
степеней свободы можно предположить, что при квантовании
возникнут операторные функции я (|), ср (|), удовлетворяю-
удовлетворяющие соотношениям:
[я(|), я (|'I= [фA),Ф (!')]=-0;
[я(|), $(|')] = (l/i) 6A-1')
A.11)
(точнее говоря, я (|), ф (|) представляют собой операторные
обобщенные функции). Соотношения A.11) называют канони-
каноническими коммутационными соотношениями (CCR).
Гамильтониан квантовомеханической системы, получа-
получающейся при квантовании классической системы с функцией
Гамильтона A.7), можно записать в виде
+2
A.12)
где я (|), ф (|) удовлетворяют CCR.
Однако оказывается, что операторные обобщенные функции
л (I). Ф (I) можно построить существенно различными спо-
способами. При наиболее простых способах построения я (|),
Ф (|) выражение A.12) во многих случаях не определяет само-
самосопряженного оператора.
Эти трудности преодолеваются разными методами. Один
из них заключается в построении для каждого выражения
A.12) своего гильбертова пространства, в котором действуют
операторы я (|), ф(|), удовлетворяющие условиям A.11), ив
котором формальному выражению A.12) можно сопоставить
самосопряженный оператор. Другой метод основан на предель-
предельном переходе от потенциальных взаимодействий с конечным
12

числом степеней свободы. Ему посвящена гл. 4. Во всех главах
(кроме четвертой) использован первый из указанных методов.
Остановимся более подробно на представлениях CCR, т. е.
на построении операторных обобщенных функций, удовлетво-
удовлетворяющих CCR. Называя я (?) или ф (?) операторной обобщен-
обобщенной функцией, мы имеем в виду, что эта функция приобретает
смысл оператора после интегрирования с «хорошей» функцией.
Иными словами, считаем заданными операторы я (/), ф (/),
которые можно формально записгть как
В соответствии с этим будем говорить, что в гильбертовом
пространстве Ж задано представление CCR, если каждой функ-
функции из пространства R основных функций сопоставлены эр-
эрмитовы операторы я (/), ф (/), линейно зависящие от /:
ф (^ fx + Я,2 /2) = Я,! ф (fj + 1г ф (fa)
и удовлетворяющие соотношениям:
= 0; J
AЛЗ)
(пространство R основных функций должно быть линейным
многообразием в пространстве действительных интегрируемых
с квадратом функций; предполагается, что все я (/), ф (/) оп-
определены на одном и том же множестве D и переводят множест-
множество D в себя). Соотношения A.13) можно истолковать как дру-
другую запись A.11).
Если операторные обобщенные функции я (|), ф (%) удов-
удовлетворяют соотношениям A.11), то операторные обобщенные
функции
сопряжены друг к другу и удовлетворяют соотношениям
A.15)
[а (I), а+ (%')] --
13

Поскольку задача о построении ср (|), п (|), удовлетворяющих
A.11), эквивалентна задаче о построении а (|), а+ (|), удов-
удовлетворяющих A.15), то соотношения A.15) также называют
CCR.
В теории систем тождественных частиц соотношениям
A.15) удовлетворяют операторы рождения а+ (|) и уничто-
уничтожения а (|) в фоковском пространстве (см. дополнение А).
Представление A.15) с помощью этих операторов называется
фоковским. Исходя из фоковского представления A.-15), мож-
можно построить представление A.11) с помощью формул
ф F) =
или с помощью более общих формул:
Ф A) = J А F, л) а (л) di\ + S А F, Л)«+ (л) d%
«
" F) = $ В F. Л) а (л) d4 + J В F, Л) а+ (л) d4,
где А F, л)> ^ F. Л) — обобщенные функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям:
J л F. л) л (б\ л)^л= S л F,
F, л)В(б', л)^л = S в F, л) в (!',
{подробнее о представлениях CCR см., например, [9]).
Сделаем несколько замечаний, объясняющих, как возни-
возникает задача о квантовании механических систем с функцией
Гамильтона вида A.8).
Рассмотрим одночастичное уравнение Шредингера
где ijj 6 L2 (Е3), Я=2^А+^A)гИ разделим в нем дейст-
действительную и мнимую части, положив г)э (|) = A/]^2) (ф (|) +
14

+ in (D). Тогда получим уравнения:^ = Яя; ?¦ = — Яф,
или, подробнее,
Зф F. О
dt
Легко видеть, что они образуют гамильтонову систему, т. е.
являются уравнениями Гамильтона классической механиче-
механической системы с функционалом Гамильтона:
Ж{п, Ф) = -[-«Яя, я> + <ЯФ, ф» =
" AЛ6)
Полученную систему можно проквантовать; эта операция но-
носит название вторичного квантования, поскольку само урав-
уравнение Шредингера получается с помощью квантования класси-
классической механической системы с функцией Гамильтона (р2/2т) -+-
+ U A).
В результате квантования приходим к гамильтониану
где я (|), ф (|) — операторы, удовлетворяющие соотноше-
соотношениям A.11) [функционал Гамильтона A.16) не принадлежит
к классу A.8), но для квантования описываемой им механиче-
механической системы вполне можно применить соображения, исполь-
использованные для квантования функционалов Гамильтона вида
A.8)].
Перейдя к операторам A.14), запишем гамильтониан сле-
следующим образом:
15

где а (|), а+ (|) — операторы, удовлетворяющие соотноше-
соотношениям A.15). В виде A.17) записывается оператор Гамильтона
системы из любого числа тождественных невзаимодействующих
нерелятивистских частиц с массой т, движущихся в потен-
потенциальном поле U (|) (см., например, [10]). Это означает, что
с помощью вторичного квантования одночастичного уравнения
Шредингера мы получаем уравнение Шредингера для системы
тождественных невзаимодействующих бозонов. Аналогично
можно получить и уравнение Шредингера для системы тожде-
тождественных невзаимодействующих фермионов; для этого проведем
вторичное квантование, пользуясь не коммутационными соот-
соотношениями A.15), а каноническими антикоммутационными со-
соотношениями (CAR):
[а A), а (!')]+ = [а+ A), а+ (!')]+ = 0;
[а A), а+ (!')]+ = 6A-1').
Эту процедуру можно применить к любому гамильтониану,
действующему в пространстве L2 (X). В самом деле, пусть
Н A. Л) — ЯДР0 гамильтониана. Тогда уравнение Шрединге-
Шредингера запишется следующим образом:
A.19)
Представляя функции if> (|, t) и Н (|, г\) в виде
ф A, 0 = A/К2) (Ф A, 0 +1я A, 0); Я A, т,) = А(Ы +\В A, т,),
где ф, я, Л и Б — действительные функции, можно перепи-
переписать A.19) как систему:
Эти уравнения являются уравнениями Гамильтона классиче-
классической механической системы с функционалом Гамильтона:
Ж (я, Ф) = -1 I А(Ъ, ri)n(l)n(ri)dldr\ +
l A.20)
16

(при проверке данного утверждения следует воспользоваться
тем, что из самосопряженности гамильтониана вытекают соот-
соотношения А A, ц) = А (ть 1), В A, г)) = — В (ц, %)). Кванто-
Квантование полученной классической системы приводит к гамиль-
гамиль*
тониану*
Я = \ f А A, г]) п A) я (n) + -i- j Л A, г]) ф A)
Ш)^^Ч. A.21)
где я (|), ф (к)) — операторы, удовлетворяющие соотношени-
соотношениям A.11).
Как было отмечено, придать операторный смысл выражению
A.21) не просто, поэтому, строго говоря, следует рассматривать
A.21) как формальное выражение, а я (§), ф (г\) — как сим-
символы, удовлетворяющие соотношениям A.11). Введя обозна-
обозначения A.14) и отбросив несущественное постоянное слагаемое,
запишем выражение A.21) в виде
A,т1)а+A)а(т1М!Ль A.22)
где аA), а+ (г\) удовлетворяют соотношениям A.15).
Гамильтониан A.22) также описывает систему невзаимо-
невзаимодействующих тождественных бозонов.
Если провести вторичное квантование уравнения A.19),
пользуясь CAR (каноническими антикоммутационными соот-
соотношениями), то придем к гамильтониану, описывающему си-
систему невзаимодействующих тождественных фермионов [он
имеет тот же вид A.22), но символы а (§), а+ (г\) следует счи-
считать удовлетворяющими соотношениям A.18I.
При построении релятивистской теории можно сначала
написать релятивистское одночастичное уравнение, а затем,
произведя вторичное квантование, получить из него гамиль-
гамильтониан системы тождественных частиц. Наиболее простым
лоренц-инвариантным аналогом нерелятивистского уравнения
Шредингера для свободной частицы
i^- = --^ A-23)
* При квантовании заменяем я (|) <р (ц) симметризованным про-
произведением 1/2 (я (|) ф (т)) + ф (i)) я (D); это необходимо для самосопря-
самосопряженности гамильтониана Н.
17

является уравнение.Клейна — Гордона:
|^ 2Ф = 0 A.24)
(подробнее о лоренц-инвариантных уравнениях см. в § 21).
Его можно рассматривать как уравнение движения класси-
классической механической системы с функционалом Гамильтона:
A-25)
Квантование этого уравнения приводит к гамильтониану
где я A), ф A) удовлетворяют соотношениям A.11).
По аналогии с нерелятивистским случаем можно сказать,
что #0 представляет собой гамильтониан системы тождествен-
тождественных релятивистских свободных частиц со спином 0. Чтобы
рассмотреть взаимодействующие частицы, нужно к гамиль-
гамильтониану Но добавить член вида V (ф), описывающий взаимо-
взаимодействие. Таким образом, приходим к гамильтонианам вида
A.12).
Отметим, что уравнение Клейна — Гордона — не единствен-
единственный релятивистский аналог уравнения Шредингера. В § 21 рас-
рассмотрено уравнение Дирака, описывающее релятивистские
фермионы со спином 1/2. Применение к нему вторичного
квантования приводит к гамильтониану системы тождествен-
тождественных свободных фермионов спина 1/2.
§ 2. Основные определения
Рассмотрим гамильтонианы вида
Я = — J n2{x)dx + V, B.1)
где
V = 2$Vm(*i. ...,хт)ф(х1)...ф(хт)йх1...йхт, B.2)
т
18

а я (х), ф (х) — символы*, удовлетворяющие соотношениям:
я+ (х) = я (х), ф+ (х) = ф (х);
[я (х), я (х'I = [Ф (х), Ф (х'I = 0;
B.3)
(здесь х, х'еВ3).
Гамильтониан B.1) будем пока понимать как формальное
выражение, не сопоставляя ему никакого оператора. Будем
считать этот гамильтониан формально эрмитовым, т. е. функ-
функции Vm будем предполагать действительными. Эти функции
всегда можно считать симметричными. Иногда удобно записы-
записывать Я в k-представлении, т. е. выражать его через символы
я (к), ф (к), связанные с я (х), ф (х) преобразованием Фурье:
я (х) = Bя)-3/2 5 я (к) exp (i kx) dk,
Ф (х) = Bя)-3/2 J $ (к) exp (i kx) dk.
Эти символы удовлетворяют соотношениям.
[я (к), 5(к')]=[ф(к), "'
B-4)
B.5)
Гамильтониан Н записывается в к-представлении следую-
следующим образом:
= -LCn(k)n(—k)dk+V,
где
Условимся, что самосопряженный оператор Н (оператор энер-
энергии) в гильбертовом пространстве Ж представляет собой опера-
операторную реализацию формального гамильтониана Н, если в этом
* Вместо обозначений я (х), <р (х), использовавшихся в § 1 для сим-
символов, удовлетворяющих CCR, применим здесь обозначения я (х),
19

пространстве заданы нормированный вектор Ф и операторная
функция ф (х, t), обобщенная по переменной х таким образом,
что выполняются условия:
1) ЯФ = 0; вектор Ф является основным состоянием опе-
оператора энергии Я;
2) для операторной функции ср (х, t) справедливы соотно-
соотношения:
ехр AЯт)ф(х, t) exp (— i Ят) = ф(х, t + x); B.6)
Ф+ (x, t) = ф (х, t); B.7)
[Ф (x, t), ф (x', t)] = [я (x', t), я(х', 01 = 0; j B g)
[я(х, t), ф(х', t)] = (l/i) б (x—x'), J
где
я (x, t) = — ф (x, t); B.9)
3) вектор Ф — циклический относительно операторов
Ф(/, 0 = Jf(x)<P(x,*)dx;
4) операторная функция ф (х, f) удовлетворяет также урав-
уравнениям, зависящим от вида функций Vm:
т v ' ' — .ж m \ 1/ / y y y 1 гп /Y А
,,2 — Zj" \ ml- ' 1' ¦"• ' Am-l) Ч> (.А1. ^ ¦•¦
...ф(хт_ь О^^х. B.10)
Точнее было бы сказать, что операторной реализацией фор-
формального гамильтониана Я называется набор, состоящий из
всех описанных выше объектов Ж, Я, Ф, ф (х, t). Операторную
обобщенную функцию ф (х, t) называют полевым операто-
оператором (по отношению к ф(х, t) употребляется также термин
«квантованное поле»).
Отметим, что условия 1—3 носят общий характер и не за-
зависят от конкретного вида функций Vm. Уравнения B.10)
представляют собой гейзенберговские уравнения, формально
написанные по гамильтониану Я. Можно сказать, что построе-
построение операторной реализации по Я состоит в отыскании реше-
решения гейзенберговских уравнений B.10), удовлетворяющего
естественным условиям 1—3.
20

Требование ЯФ = 0 следует рассматривать просто как
соглашение отсчитывать энергию от энергии основного состоя-
состояния (если оно не выполнено, то всегда можно добиться его вы-
выполнения, заменив оператор Н на Н—<#Ф, Ф». Выпол-
Выполнить условие 3 можно, заменив пространство Ж наименьшим
подпространством пространства Ж, содержащим все векторы
вида ф (Д, /]) ... ф (fn, tn) Ф. Из равенства B.6) следует, что по-
полевой оператор ф (х, t) удовлетворяет уравнению
-|-Ф(х, 0= ПН, Ф(х, 01,
т. е. Н определяет изменение со временем полевого опера-
оператора. Наконец, равенства B.7), B.8) означают, что ф (х, t),
я (х, t) при фиксированном / удовлетворяют CCR.
Указанное определение операторной реализации нуждается в не-
некоторых уточнениях. Говоря, что полевой оператор <р (х, t) является
обобщенной функцией по переменной х, имеем в виду, что заданы опе-
операторы ф (f, t), линейно зависящие от основной функции f; записы-
записываем их в виде ф (f, f) = J f (x) ф (х, t) dx. Предполагаем, что ф (f, t)
определены на одном и том же множестве D, и переводят это множество
в себя. Условие B.7) означает, что оператор <р (f, f) эрмитов, если функ-
d
ция f действительна. Операторы я (f, f) = ^т <р (f, ~f) определяют опера-
операторную обобщенную функцию я (х, f) с помощью соотношения л (f, f)=
= J f (x) n (x, t) dx. (Предполагается, что для всякого вектора Ч* ? D
предел
нш *(
существует и принадлежит множеству D; таким образом, оператор
я (f, t) также определен на D и переводит множество D в себя.) Равен-
Равенства B.8) означают, что
[я (fu t), я (f2, 01 = [Ф (fu t), Ф (f2, 01 = 0;
tt (flt t), Ф (ft, t)] = (l/i)J h (x) h (x) dx.
Ради определенности основные функции f считаем принадлежа-
принадлежащими пространству гладких, быст-р-о убывающих функций SP (Е3). Пред-
Предполагаем также, что для любых %, W2 ? D функция <ф (f, t) Wlt У2>
непрерывно зависит от f ^ SP в топологии пространства SP. При этом
условии можно придать смысл оператора, определенного на множестве
D, любому выражению вида
х„)ф(х1, tx) ... ф(х„, tn)dx1 ... dxn,
SP (Е3п) (см., например, [11]).
21

Уравнение B.10) более аккуратно следует записать в виде
... <f(xm_bt)dxdxl...dxm_1, B.11)
где/ ? SP (?3); из сделанного замечания вытекает, что правая часть
равенства B.11) имеет смысл, если для всякой функции f ? ?Р (Е3)
функция J f (х) Vm(x, хх X/n-i) ^х принадлежит пространству
SP (?3<т~1)) (это требование выполнено, например, когда Vm ? 5° (??m)
или Vmfa, ..., xm) = t»m(x1 — xm, .... Хщ.! —xm), где vm ? ?P
(?3(m~1)), а также когда т — 2, Va (xx, x2) = t» (xr — x2), преоб-
преобразование Фурье функции v (x) является гладкой функцией, все произ-
производные которой имеют не более чем степенной рост.
В гл. 4 несколько подробнее рассматривается построение
операторной реализации формального гамильтониана. Здесь
же считаем, что это построение тем или иным способом произ-
произведено.
Нередко вместо операторной обобщенной функции ср (х, /)
бывает удобно рассматривать ее преобразование Фурье по пере-
переменной х:
Ф (к, 0 = Bя)-3/2 J ехр (—i кх) ср (х, t) dx.
Данная функция, очевидно, удовлетворяет соотношениям:
exp(i//t)jip(k, ^)exp(— iHx) = ^(k, t + x); B.12)
Ф+(М)=ф(-к, *): B.13)
[ф (k, t), ф (k',t)] = [я (k, t), я (k't t)] = 0; B.14)
[я(к, 0. ф(к', t)] = (\/i)8(k + k'); B.15)
, t) =
= ~2 m {ут(-К К, - . km-i) Ф (ki, 0- ф(кт-1, t)d--1 k,
B.16)
я (к, t) = — ф (к, 0 = Bя)-3/2 Г ехр (—i кх) я (х, /) dx;
dt J
Km(klf ...,km) =
где
-—m
= Bя) 2
22

Простейшими из гамильтонианов B.1) являются выражения
xdy B.17)
(свободные гамильтонианы).
Гейзенберговские уравнения для полевых операторов
Ф (х, t) и ф (k, t) в этом случае приобретают вид:
-^ ф (х, 0 + j v (х-у) Ф (у, 0 dy = 0;
B.18)
где v (к) = j" v (x) exp (ikx) dx. Легко убедиться, что,
если существует операторная реализация формального гамиль-
гамильтониана Яо, функция v (k) ^ 0. В самом деле, рассмотрим
в пространстве Ж операторной реализации гамильтониана Яо
вектор (точнее, обобщенную векторную функцию) Ф (k, t) =
= ф (к, t) Ф. Пользуясь, с одной стороны, уравнением B.18),
а с другой — соотношением
-^-Ф(к, /)=i-i-[//, Ф(к, t)]=-[H, [Я, Ф(к, *)] =
= — Я2 ф (к, t) + 2Яф (к, *) Я— ф (к, 0 Я2,
убеждаемся, что
-^- Ф (к, t) = - о (к) Ф (к, *) = -Я2 Ф (к, *). B.19)
Если v (к) < 0 в некоторой области, то из неотрицатель-
неотрицательности оператора Я2 и равенства B,19) заключаем, чтоФ (k, f) —
— 0 при к, пробегающем эту область. Таким образом,
<р(к,*)Ф=°0; я (к, 0Ф=4"ф(к'0ф-°
at
в области, где и (к) •< 0, а это противоречит соотношению
B.15).
Более тонкие рассуждения показывают, что если формаль-
формальный гамильтониан Яо имеет операторную реализацию, функ-
23

ция v (к) почти везде положительна (т. е. v (к) может обра-
обращаться в нуль только на множестве меры О*).
Рассмотрим операторную реализацию гамильтониана Яо,
считая, что v(k) = е2 (к), где е (к) — почти везде положитель-
положительная функция. Удобно ввести операторные обобщенные функ-
функции в пространстве Ж:
а(к, *) = ^
а+ (к, t)=^=- [У7(к) ф (к, t) + -уЩ-"(к' f)] •
Как легко видеть, они удовлетворяют CCR при фиксированном
t** и подчиняются уравнениям:
да(к' ° = i [Я, а(к, 01 = - i e (k) а (к, t);
at
= i [Й, а+ (к, t)] = i e (к) а+ (к,
B.20)
Решая уравнения B.20), получаем:
a (M) = exp(-ie (к) 0 а (к, 0);
а+(к, t) = exp (ie (к) 0 а+ (к, 0).
Справедливо соотношение а (к, f) Ф = 0, так как если бы
a (k, t) Ф ^= 0, то равенство
Яа (к, /) Ф = а (к, *) ЯФ—е (к) а (к, <) Ф = —е (к) а (к, f) Ф
противоречило бы положительности оператора Я. Поскольку
вектор Ф — циклический относительно операторной обобщен-
обобщенной функции ф (k, t), он циклический и относительно а+ (к, t),
а (к, t). Отсюда следует, что представление CCR в пространстве
Ж, определяемое операторными обобщенными функциями
а+ (к, t), а (к, t) при фиксированном t, фоковское.
* Говорят, что некоторое свойство выполняется почти везде, если
множество тех к, для которых оно нарушается, имеет нулевой объем
(точнее, меру 0 в смысле Лебега). В этом случае пользуются также вы-
выражением: свойство выполнено для почти всех к.
** При проверке CCR следует использовать четность функции г (к)
[по предположению, функция v (х —- у) симметрична, т. е. v (х — у) =
~v (У —х)> а отсюда вытекает четность v (x), v (k) и е (к)].
24

Можно теперь сконструировать по формальному выраже-
выражению #0 пространство Ж как фоковское пространство F (Е3).
Оператор Я и операторную обобщенную функцию ф (х, t) оп-
определим" через операторы рождения а+ (к) и уничтожения
а (к):
Ф (х, t) = Bя)-3/2 ^ [а+ (к) exp (i e (k) t — ikx) -f
dk
-f a (k)exp ( —i e (k) f-f ikx)] —7=- .
У2е (к)
Вектор Ф зададим как вакуумный вектор фоковского представ-
представления. Легко проверить, что условия 1—4 выполнены, т. е.
построена операторная реализация гамильтониана Яо. Из
приведенных выше рассуждений вытекает однозначность этой
конструкции (с точностью до унитарной эквивалентности).
Отметим, что в пространстве Ж можно ввести (векторный)
оператор импульса Р = | ka+(k) а (к) dk, имеющий физический
смысл оператора бесконечно малого параллельного переноса.
Эта интерпретация оператора Р подсказывается соотноше-
соотношением
exp (iPa) ф (х, /) ехр (—iPa) = ф (х — а, /).
Все компоненты Р коммутируют между собой и с оператором
энергии Я.
Пусть теперь гамильтониан Я имеет вид Я = Яо + W, где Яо —
свободный гамильтониан, а
Тогда напрашивается следующий метод построения операторной реа-
реализации Н. Рассмотрим операторную реализацию свободного гамиль-
гамильтониана Яо; оператор энергии в ней обозначим Но, его основное состоя-
состояние — Фо, а полевой оператор j <p0 (\J)- В пространстве этой оператор-
операторной реализации рассмотрим оператор Н = Яо + W, где
m(x1, ..., xm)<?o(xlt0) ...<po(xm, O)dmx,
и операторные обобщенные функции
Ф(х, *)=exp(i№)<Po(x. 0)exp(— \Ht).
Простые формальные вычисления показывают, что Я и <р (х, t) удов-
удовлетворяют условиям 2 и 4 операторной реализации. Чтобы построить
операторную реализацию формального гамильтониана Я, остается
проверить только наличие у оператора Я основного состояния Ф (как
было замечено выше, выполнения условия ЯФ = 0 и условия 3 можно
тогда добиться с помощью простых модификаций оператора энергии
25

и гильбертова пространства). К сожалению, описанная конструкция
операторной реализации работает далеко не во всех случаях. Главным
препятствием к ее применению является то, что указанное определение
оператора Я не всегда имеет смысл (пересечение областей определения
Нд и W может не быть плотным множеством; иногда оно состоит из един-
единственной точки 0). В частности, нельзя описанным выше способом по-
поставить в соответствие выражению Н самосопряженный оператор в на-
наиболее интересном случае, когда гамильтониан Н трансляционно-
инвариантен, т. е. функции Wm зависят только от разностей хг- — хт.
В самом деле, оператор импульса Р имеет единственный нормированный
собственный вектор Фо. В трансляционно-инвариантном случае Н =
= Яо + W должен коммутировать с Р, поэтому вектор #Ф0 также
должен быть собственным вектором оператора Р, откуда
НФ0 = ХФ0. B.21)
Однако прямые вычисления показывают, что равенство B.21) не вы-
выполнено (более того, вектор Фо не входит в область определения Н).
Существенно лучше ситуация, когда все функции Wm принадлежат про-
пространству ?Р. В этом случае нетрудно проверить, что выражение #о +
+ W определяет эрмитов оператор, а также указать условия на функ-
функции Wm, обеспечивающие ограниченность снизу этого оператора (на-
(напомним, что ограниченный снизу эрмитов оператор всегда можно рас-
расширить до самосопряженного). Операторы вида Но + W изучались
во многих работах (см., например, [12]).
§ 3. Функции Грина
Пусть Ж, Н, Ф, ф (х, t) — операторная реализация гамиль-
гамильтониана вида B.1).
Назовем п-точечной функцией Грина Gn среднее значение
Г-произведения Т (ф (xlt tj) ... ф (xn, tn)) по вектору Ф:
Gn (xlf tlt .... х„, tn) = <Г(ф (xlf 4) ¦¦• ф(хв, Q) Ф. Ф>-
C-1)
Г-произведение операторов ф (xj, 4), ..., ф (х„, tn) определяется
как произведение этих операторов, расположенных в порядке
убывания времен:
Г(ф(хь *!)... ф(х„, tn)) = q>(xtl, til)...4>(xtn, ttj,
где ilt ..., in — перестановка, для которой t(l ^ ... ^ tin.
Иными словами,
Г(ф(Х1, ^)...ф(х„, tn))
[Здесь сумма берется по всем перестановкам Р = (jlt ..., /„).]
26

Функция Грина Gn является обобщенной функцией от пере-
переменных Хц ..., х„ и обычной от переменных tlt ..., tn. Сделаем,
однако, предположение, что ее можно рассматривать также
как обобщенную функцию от tx, ..., /„, т. е. она растет не быст-
быстрее некоторой степени |^|4-..- +И«|- Эт° предположение
позволяет рассматривать преобразование Фурье по ix, ..., tn.
Функцией Грина в (к, а)-представлении называется функ-
функция ип, связанная с Gn соотношением
Gn(x1t1, ..., х„, /„) =
= Bя)-2«Сехр(—i^ajtj + i^ikjXj) x
xGn(klt ©!,..., к„, (on)drekdraa.
Часто удобно считать функции Gn и Gn зависящими от точек
четырехмерного пространства хх — (хъ ^), ..., хп = (х„, tn)
[соответственно kx = (k^ aj, ..., kn — (к„, и„)].
Функция Грина в (к, О'пРеДставлении определяется фор-
формулой
GB(k1>
= Bя) 2 Jexp(-i2k;xi)GB(x1,/1, ... ,хпУ tn)d«x.
Отметим следующие простые свойства функций Грина:
1) функции Gn {хъ ..., хп) и Gn(k1, ..., kn) симметричны,
поскольку под знаком Т-произведения можно переставлять
сомножители;
2) из соотношения
exp (i Ят) q> (x, t)exp(— ijjx) = y(x, t + r)
легко получить
Gn (xi, к +т х„, tn +т) = Gn (хъ tlt ..., х„, tn)
для любого числа т.
Для свободного гамильтониана Яо вида B.17) /г-точечную
функцию Грина просто вычислить, пользуясь указанной
в конце § 1 операторной реализацией. В частности, двухточеч-
двухточечные функции Грина для гамильтониана Яо имеют вид:
xi, h, x2, g = DF(x1—x2, t-L—Q;
GB0) (ki, (o1( k2, oJ) = DF (kj, o\) 8 (kx + k2) б К -f и2),
27

где
+ exp (i e (p) 0 6 (-0) exp (i px)
28 (p)
Df (P, и) = — ' .
со2—62(P) + i0
Чтобы убедиться в справедливости этих соотношений, доста-
достаточно воспользоваться тем, что
(Pi, tlt р2, t2) = <Т (ф (Pl /х) ф (р2) /2)) Ф, Ф> =
(-р1,/1)а(р2, /2))Ф, Ф> +
<Т(а(Р1, /1)а+(-р2,
7Ц
2 У 8 (pt) 8 (р
-д exp [-i e(Pl) (^-
2e(pi)
+ Q(t2-t1)exp[iz(p1)(t1-t2)]).
Через G20> легко выражается /г-точечная функция Грина
^0) (хъ ..., хп) гамильтониана Яо. Именно при п нечетном
^o) = 0, при п = 2т
[сумма берется по всем разбиениям множества {1, ..., 2т) на
р^, /i) ... (tm, /m)].
Пользуясь B.10), можно написать систему зацепляющихся
уравнений для функций Gn произвольного гамильтониана Я.
Дважды дифференцируя соотношение C.1) по tx и усредняя по
вектору Ф, получаем
Л2 С*
—-GB(xlt tlt ..., х„, tn) = —^m)Vm(xlt у!, .... уга_])х
"rl га
X Gn+m_2(y1} tx, ..., ym-!, /l x2,/2,..., х„, tn)dy1...dym-1 +
+ —
' 1 = 2
xj+1, tJ+1, ..., х„, tn). C.2)
Проведем подробно вывод уравнения C.2) при п = 2. Рыражение для
Г-произведения при п=2 приобретает вид
Г (ф (хь Ь) ф (х2, <2)) =
= Q(h - «9(xi,/i) Ф (х2, <2) + 9(^2 - У Ф (х2, У Ф К, *i).
28

Дифференцируя его дважды по г'х и воспользовавшись одновременными
коммутационными соотношениями, получаем:
З2
-^ Т (ф (хь U) ф (х2, t2)) =
д2ф (х,, Л) д2ф (хь tj)
= в (^-/2) Туа Ф (Х2, *,)+в (/,-/!) ф (Х2, *2) ^2 +
(Х2, ti)_ ф (Х2,
+ ТГ IS (<i-<z) (ф (хх, ^) Ф (х2, у-ф (х2> <8) ф (хь ^))] =
32ф (х,, t,) д2ц>(хи ti
=е(<!-/,) т^2 хф(х2,/2) + е{t2-h)Ф(х2, /«) ———
Учитывая, что
32Ф (хь t)
и что
= — 2 п]>„(*!, .... х„)ф(д;2,. О...ф(х„, t)dxz...dxn
/ д2 , . ч
=\^Г Т (ф (хь ^) *Р (Х2 /2)' ф ф/
— Ga (xj., <!, Х2, <8) =\^Г Т (ф (хь ^) *Р (Х2> /2)' ф- ф/
получаем нужное уравнение.
На выводе C.2) в общем случае не будем останавливаться, так как
он отличается от проведенного только большей громоздкостью вычис-
вычислений.
Уравнения C.2) неоднозначно определяют функции Gn
уже потому, что при их выводе не использовались какие-ли-
какие-либо свойства вектора Ф. Поэтому нужно присоединить к этим
уравнениям, так сказать, «граничные условия» — свойства
функций Gn, отражающие то, что вектор Ф является основным
состоянием гамильтониана Н.
Пойдем по другому пути — вместо дифференциальных по
времени уравнений C.2) напишем интегральные уравнения,
имеющие уже ( по крайней мере в рамках теории возмущений)
единственное решение.
Запишем гамильтониан Я как сумму
C.3)
29

заменив в B.1) обозначения: функция У2 (х1( х2) в новых обо-
обозначениях есть уо(х! — х2) + V* (xi. х2); функции Vn при
я>3 не меняются. Считаем, что v (х) = X
v ' BяK
X Jexp (—ikx) v (k) dk, v (k) = e2 (k), 8 (k) почти везде поло-
жительно, Vn (x1; ..., х„) = Bя)з«/2 J ехр (—i ^ М
xVn(k1( ..., kn) dk1; ..., dkn. Напомним, что гамильтонианы
вида Яо мы называем свободными; V = Н — Но будем назы-
называть возмущением или взаимодействием.
Гамильтониан Яо можно выделить разными способами:
деление Н на свободный гамильтониан и возмущение не имеет
физического смысла и производится только из соображений
удобства вычислений.
Уравнения C.2) для гамильтониана Н = Но + V имеют
вид:
— Gn(x1, tx, .... xn) tn) =
yu tlt x2,4, ..., xn, tn)dy1
m(Xi, У1, •••» Ут-1)Х
X 0п+т-2(У1. ^i , -. , Ут-l. 'l. X2> k . •¦¦ . Xn, U^^
1 ;=2
X Gn_2 (X2, y2, ... , Xj-.lt tj-lt X;+1, ^;+1 , ... , Xn , tn).
Удобнее переписать их в (к, (о)-представлении:
m( —k1; qlt ..., q^Jx
X 5n+ra-s(qi, «i. ¦¦¦. 4m-i. Vn k2> (o2, ..., kn, <on) X
x O'n_2(k2> «2. ¦¦¦. k;-i. w;-i. k;+i. «y+i. ••• - kn. «J. C-4)
30

откуда
Gn (klt ©! kn) con) = F (klt ©i) x
m(—ki. qi. -. qm-i)x
X Gn+m-2(qlt ^l» ••• > Ятп-i. fflm-n k2> «г. •••. kn> <°п) X
1 m
2
1 /=2
Gn_2 (ki. «i. —. k;-i> «i-i. k/+i. «;+i. •••. kn. «n)|. C-5)
где F (k, со) удовлетворяет условию
(со2— e2 (k))F (k, со) = 1.
Это условие неоднозначно определяет функцию F (k, со). При
V — 0, очевидно,
F(k,(o) = -yDf(k,(o).
Если исходить из того, что при V Ф 0 следует выбирать функ-
функцию F точно в таком же виде, то приходим к уравнениям:
п
Gn(klt <olt .... kn, con) = У. Dpik^&j) 6(k! + k;NК + ю;) х
~ /=2
xGn_2(k2, (o2, .... k;-!, ©;_!, k;+1, (o;+1, .... kn, (on)+
m(—k1, qlt ..., ят_х) X
xG7n+n_2(q1, (olt .... q^^ ©,„_!, k2, ю2, ..., kn, (on) x
или в (х, ^-представлении
га
Gn(x1, ^, .... Xn, U = 2 ^(Xi — X;, ^ — tj)X
Г/+!, ..., Xn, tn)-\-
(x;i ylt .... ym.x) X
m
Yl» 4> •••« Ут-l» *i> Xa, f2) ..., Xn, tn) X
x a'x; л; dm-' y. C.7)
31

Не будем приводить полное обоснование перехода от уравне-
уравнений C.4) к C.6). Исследуем только случай п = 2.
Учтем прежде всего, что функцию G2 (k1( tlt к%, t2) можно
записать в форме
G2 (klf tlt k2, tz) = < T ($ (klf tx) ф (k2> Q) Ф, Ф> =
где щ (klt tlt k2, у = <ф ?k1( у ф (k2) t2) Ф, Ф> (функции
wn (klt tlt ..., kn, tn) = < ф~(к1( ^) ... ф (к„, tn) Ф, Ф> но-
носят название функций Уайтмана). Пользуясь инвариантностью
относительно сдвига по времени, представим функцию Уайт-
Уайтмана в виде
wt{klt tlt k2, y = v(k1, k2> tx—t2),
а функцию Грина — как
^2 ("'I» ^1> *^2> ^2/ =: ^2 (^1> ^2> M. У>
где
k (-0v(k2)k1> —t). C.8)
Заметим, что обобщенная функция лГ (kx, k2, со) =
= J exp (i at) v (kb k2, t) dt обращается в нуль при со < 0.
В самом деле,
v(k1( k2, со) = I exp (i erf) <ф (klt t) ф (k2> 0) Ф, Ф> dt =
= 5 <exP (j w0 exP (—[ И*) Ф (k2> °)ф» Ф (—ki> 0) ф> dt.
Учитывая, что для любого вектора W ? Ж в силу неотрицатель-
неотрицательности оператора Н
$exp(i«>0exp(—Ш)?Л=0, C.9)
при (о ¦< 0 получаем нужное свойство функции v. Соотношение
C.9) легко получается, если разложить вектор ? по обоб-
обобщенным собственным векторам Wx оператора Я:
5 exp (i at) exp (—i Ht) (jj с (Л) ?я, tu) d^ =
= J exp [i (со — E%) t] с (I) Vx dXdt = 2n^8((>>—Ex) с (X) Yx d%.
32

Применяя преобразование Фурье к C.8), убеждаемся, что
функцию G2 (къ k2, со) = jexp (iat) G2 (къ k2, t) dt можно пред-
представить в виде
2jt J (o—0+iO
_i_ Г v (k2, kt, a) ^ (g 1Q
^ 2jt ] -@-o+iO '
где v (kx, k2, cr) = 0 при a < 0. Формула (ЗЛО) является од-
одной из форм представления Челлена — Лемана (см. также § 16).
Представление C.10) играет роль «граничного условия»
к уравнению C.4), позволяющего преобразовать его в C.6).
Введем функции:
AV(kltkvz)=± Г v (ki, k,, о) da.
2п ] г—а
кх, к2, г)=*±[ v(k2'kl>2) da = AW (k2, klt -г),
2—a
где z— комплексное число. Функция Л*1) (кь k2, z) анали-
тична всюду в плоскости г, за исключением положительной дей-
действительной полуоси; функция Л<2) (къ k2, z) аналитична
всюду, за исключением отрицательной действительной полуоси.
В силу равенства C.10) функция G2 (kb к2, со) может быть
представлена в форме
Sa(ki> к2> «) = Ga(ki> к2> «) + Gr(ki. К> «).
где
Qa(klt к2,(о) = ЛA)(к1, k2,co + i0);
Gr(k1( к2, со) = А& (к1( к2( со—i 0),
т. е. Ga — предельное значение функции Л*1) при подходе
к действительной оси со стороны верхней полуплоскости, а
функция Gr — предельное значение функции Л<2) при подходе
со стороны нижней полуплоскости. Отметим, однако, что Tia
и Gr можно получить из функций Л*1) и Л<2> с помощью од-
одного и того же предельного перехода:
Ga(klt k2, <о)= ПтЛA)(к1, к2, юA+ ia)); C.11)
a^ + 0
Ог(ки к2, ю)= Нт Л<2)(к1, к2, ®(l + ia)). C.12)
а^ + 0
2 А. С. Шварц 33

Например, соотношение C.11) при со > 0 эквивалентно соот-
соотношению C.10), а при со < 0 функция Л^1) (кь к2, со) анали-
тична, и поэтому
lim Л'1) (klt к2, со A + i a)) = А<» (к,, к„, со) =
о^ + о
1, к2, co + iO).
Определим функции /с1) (kf, k2, г), P (къ k2, z) соотноше-
соотношением
lf k2, 2) = [22-е2(к1)]Л«')(к1, к2, г).
В силу равенств C.11), C.12)
Ga(kl, к2, со) =^ ; (
Gr(kb к2, со) = lim 1- /№ (к,,к„,<о
— {[со2—e2(k1)]Gr(k1, k2, со)} C 14)
(здесь мы воспользовались тем, что lim :—-—-— =
~ C02-e2(k) + i0/'
Сложение равенств C.13) и C.14) приводит к соотношению
Q, (к1? к2, со) = 2 ' {[со2-82 (к,)] G2 (к1( к2, со)}, C.15)
СО Б (^1/ 1~ 1 v
позволяющему получить из C.4) уравнение C.6) при п = 2.
Проведенные рассуждения не претендуют на полную стро-
строгость. В связи с этим не может считаться вполне строгим и
вывод разложения функций Грина в ряд теории возмущений,
который проводится в следующем параграфе с помощью урав-
уравнений C.6). Однако разложение в ряд по g обосновывается ак-
аккуратно другими способами.
34

§ 4. Теория возмущений для функций Грина
Уравнение C.6) или C.7) можно использовать для построе-
построения ряда теории возмущений для функций Грина гамильтониа-
гамильтониана Нg = #0 + gV> т- е- Для получения разложений функций
Грина по степеням g. Члены этого ряда удобно изображать
с помощью предложенных Фейнманом диаграмм. Начнем
с описания фейнмановской диаграммной техники для функций
Грина, а затем наметим вывод этой техники из уравнений для
функций Грина.
Назовем звездой точку, из которой выходит п непересека-
непересекающихся линий (топологических отрезков); их свободные кон-
концы называются вершинами звезды.
На рис. 1 изображены звезды с \ /
тремя и пятью вершинами (линии, \ * /
входящие в состав звезд, изобра- У 7\
жаются пунктиром). Диаграммой ' / ^
называется совокупность нескольких '
звезд и нескольких ребер (топологи- рис 1
ческих отрезков, крайние точки
которых мы также называем вер-
вершинами). Будем предполагать, что две звезды или два ребра
из диаграммы не имеют общих точек, а ребро и линия из звезды
могут иметь общую вершину (и не могут иметь другие общие
точки). Вершины, которые принадлежат одновременно ребру
и линии из звезды, называются внутренними, остальные вер-
вершины — внешними.
Будем рассматривать только такие диаграммы, у которых
каждая связная компонента содержит по крайней мере одну
внешнюю вершину. Предполагаем, что все вершины диаграммы
упорядочены (перенумерованы), причем первые номера при-
присвоены внешним вершинам, а нумерация внутренних вершин
такова, что вершины, принадлежащие одной и той же звезде,
нумеруются соседними числами (если вершины с номерами i
и j принадлежат одной звезде, то вершина с номером k, где
i <. k < /, принадлежит той же звезде). Две диаграммы счи-
считаются одинаковыми, если соответствие, при котором сопостав-
сопоставляются друг другу вершины с одинаковыми номерами, яв-
является топологической эквивалентностью (см. дополнение Б).
На рис. 2 приведены примеры диаграмм (ребра изображены
сплошными линиями). Отметим, что диаграммы аи б различны,
хотя и одинаковы геометрически, поскольку они различаются
нумерацией. Диаграммы айв, наоборот, согласно нашему оп.
2*

ределению одинаковы. В дальнейшем будем изображать ди-
диаграммы, не отмечая порядка вершин; следует помнить, од-
однако, что до тех пор, пока вершины не упорядочены, диаграмма
задана не полностью*.
8 Z
1 6
Рис. 2.
Отметим, что линии, входящие в состав введенных диа-
диаграмм, не считаются направленными.
Фиксируем гамильтониан Н = Но + V вида C.3). Удобно
включить Я в семейство гамильтонианов Hg = Яо + gV,
зависящее от параметра g (g принято называть константой
связи). В дальнейшем будем все время
иметь дело с гамильтонианом Hg и по-
построенными по нему величинами, од-
однако в обозначениях не всегда будет
отмечаться зависимость от константы
связи g.
Рис. 3.
* Обычно диаграммы изображаются несколько иначе. Пунктирные
линии не включаются в их состав, а все вершины, принадлежащие од-
одной звезде, объединяются в одну точку (в соответствии с этим вместо
термина «звезда» используется термин «вершина»). Например, диаграм-
диаграмма рис. 2, а изображается так, как это показано на рис. 3. Такой спо-
способ изображения хорош при изучении локальных взаимодействий
(см. гл. 6), но менее удобен в рассматриваемом нами случае.
36

По каждой диаграмме и гамильтониану Нg построим не-
некоторую функцию. Считаем, что 1-й вершине диаграммы
отвечает переменная точка четырехмерного пространства
хг = (х;, t[). Каждой звезде поставим в соответствие
функцию j- Vn (xilt ..., x/J 6 (th — t,,) ... 6 (ttl— t,n), где
(xilt tid, •••» (xzn, tin) — точки, отвечающие вершинам
этой звезды, а каждому ребру условимся сопоставлять функ-
функцию Грина гамильтониана Яо:
G^ (x;, tu xj, tj) = DF (xi — xj, tt — tj).
Здесь (хь ti), (xj, tj) — точки, отвечающие вершинам ребра.
Тогда всей диаграмме ставится в соответствие функция, ко-
которая получается из произ-
ведения функций, сопостав-
ленных звездам и ребрам диа-
граммы интегрированием по
переменным, отвечающим
внутренним вершинам. (Она Рис 4
зависит от неременных, отве-
отвечающих внешним вершинам.) Условимся включать в эту
функцию еще множитель \!т\, где т— число звезд в диаграмме.
Очевидно, что функция, соответствующая диаграмме, имеет
вид gmf (функция / не зависит от g). Иными словами, она имеет
порядок т по константе связи g. Например, диаграмме рис. 4
соответствует функция
lt хг, х3) = -^-g2 (у)' fv4(^, x2, xv xb)DF(xi — xli)x
X DF {хъ—хт) V3 (-^e. xv xa) df (ха—хз) dxt dxb dxe dx7 dxa.
Здесь введено обозначение
Va(Xu .... Xa)=Va(xlt .... Xa) б (t, - t2) ... 6 {t,- ta), D.1)
которое мы часто будем использовать в дальнейшем.
Легко видеть, что функции, соответствующие двум тополо-
топологически эквивалентным диаграммам, переходят друг в друга
при некоторой перестановке аргументов. Например, диаграм-
мыаибнарис: 2 топологически эквивалентны, причем при то-
топологической эквивалентности вершины 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
переходят соответственно в вершины 2, 1,5, 3, 4, 8, 7,6. Поэтому
функции g2 fx (xu x2) и g2/2 (хъ х2), построенные по этим диаг-
диаграммам, связаны соотношением
g2fi (*i, х2) = g2f2 (х2, хг).
37

Назовем диаграмму гриновской, если все ее внешние вершины
принадлежат ребрам (из диаграмм рис. 2 гриновскими являют-
являются диаграммы а, б, в).
Справедливо следующее важное утверждение.
Если функции Грина разлагаются в (сходящиеся или асимп-
асимптотические) степенные ряды по степеням g, то ряд для функции
Gh {хъ ..., xh) может быть записан как сумма функций, соот-
соответствующих всем различным гри-
новским диаграммам с k внешними
вершинами.
Это утверждение обычно форму-
I лируют короче: функция Грина Gh
5 А д представляется в виде суммы всех
(' \ гриновских диаграмм с k внешними
] вершинами. (Функция, соответст-
ч / вующая диаграмме, часто назы-
* 7 Y8 вается просто диаграммой.)
(i=4j I Отметим, что работа по вычис-
|лению диаграмм облегчается тем,
что из класса топологически экви-
^ валентных диаграмм достаточно
вычислить только одну.
Рис- 5- Вывод диаграммного представ-
представления функций Грина основан на
соотношениях, связывающих гриновскую диаграмму с диа-
диаграммами, имеющими меньшее число вершин. Рассмотрим
гриновскую диаграмму с k внешними вершинами и п звездами.
Функцию, соответствующую ей, обозначим F\ (хъ ..., xh).
Номер вершины, с которой соединена ребром первая вершина,
обозначим i. Предположим сначала, что перйая вершина при-
принадлежит ребру, обе вершины которого — внешние (t «С k).
Тогда, вычеркнув это ребро из диаграммы, получим гринов-
гриновскую диаграмму с k —-2 внешними вершинами и п звездами;
соответствующую функцию обозначим Fi—z (x2, ..., x^v
xi+1, ..., xk) (рис. 5). Очевидно, что
Fk(x1, ..., xk) =
= DF(x1—xi)Fk-2(x2, ..., лг?_!, xi+1, ..., xh). D.2)
Пусть теперь первая вершина соединена с вершиной не-
некоторой звезды (/> k). Тогда, вычеркнув из диаграммы эту
звезду и ребро, содержащее первую вершину, получим гринов-
38

скую диаграмму с k — 2 -f- а внешними вершинами и и — 1
звездами (рис. 6). Функцию, соответствующую этой диаграмме
обозначим ФЙ+а (*2> ¦•¦ xh, xj+1 *;_!, xi+1, ..., х!+а)
(здесь а—число вершин в вычеркнутой звезде, / + 1, ...
..., / -f- а — номера этих вершин, / -f- 1 ^ i ^ / -f- а). Легко
видеть, что
1) •••, Хь ..., Xj+a) X
I П J
\n—\ ,.. XX- X- X- X ) X
xdxj+1... dxj+a D.3)
Рис. 6.
(множитель I/ft появляется из-за множителя \1п\, содержа-
содержащегося в Fk). Если обозначить сумму всех различных гринов-
ских диаграмм с k вершинами и п звездами Gl (хг, ..., xh),
то, просуммировав D.2) и D.3) для всех таких диаграмм,
придем к соотношению
DF(x1—x')
a
/i> ¦¦-. Уа-i, x2, ..., xk)dx'dy. D.4)
(При получении этого равенства следует учесть, что каждой
диаграмме ck — 2 -f- a внешними вершинами и п — 1 звездой
соответствует па диаграмм с k внешними вершинами и п звез-
звездами.)
Из равенства D.4) вытекает, что
Gk(xv ...,xh)= 2
удовлетворяют уравнениям C.7) для функций Грина.
39

Справедливо также утверждение, обратное доказанному,
Пусть известно, что функции Грина Gk разлагаются в (сходя-
(сходящийся или асимптотический) степенной ряд по степеням g:
Gh(x1,...,xh)= %?П(х1г ...,xh).
Тогда из уравнений C.7) вытекает, что gnWl удовлетворяют
таким же уравнениям, как функции G\. Легко видеть, что G\ —
функции Грина гамильтониана #0— совпадают с функциями
W%. Учитывая это, с помощью уравнений D.4) по индукции
убеждаемся, что g'^i = Gnk. (Шаг индукции заключается
в доказательстве того, что из равенства g"- Ym = GnmX
при всех т и равенства g"Y?_2 = GJ5L2 следует соотношение
gn^l = Gl)
Из диаграммного представления Gr (хъ ..., хТ) с помощью
преобразования Фурье можно получить диаграммное пред-
представление функции Gr (&!, ..., kr). Впрочем оно получается
также непосредственно из уравнений C.6). В (к, (^-представ-
(^-представлении 1-й вершине диаграммы сопоставляется точка kt =
= (kj, o)j) четырехмерного пространства, но функция, соот-
соответствующая диаграмме, строится иным способом.
Именно, каждому ребру ставится в соответствие множитель
i6
если обе вершины ребра внутренние или обе внешние, и мно-
множитель DF (kt) б (kt — kj), если одна из вершин ребра внутрен-
внутренняя, а другая внешняя (kt и k}— точки, сопоставленные на-
началу и концу ребра).
Звезде с вершинами, которым соответствуют точки
&;,, •••> k( , отвечает множитель
(мы пользуемся здесь обозначением
Vn(*i. ..., кп) = Bя)-*чп(х1, ..., хп)х
X exp (i 2k; х}—\ 2®j tj) dn x.
40

функция, соответствующая диаграмме, получается из произве-
произведения множителей, соответствующих вершинам и ребрам диа-
диаграммы, интегрированием по внутренним вершинам и умно-
умножением на \1т\, где т— число звезд в диаграмме.
Удобно несколько модифицировать описанное диаграммное
представление. Будем называть две диаграммы t-эквивалент-
ными, если между ними можно установить топологическую
эквивалентность, сохраняющую порядок внешних вершин.
Очевидно, функции, соответствующие ^-эквивалентным диаг-
диаграммам, совпадают.
Число различных диаграмм, ^-эквивалентных данной,
равно
т\ tii). ... пт\ ,^ g.
где т— число звезд в диаграмме, пъ ..., пт— число вершин
в звездах, d — порядок группы симметрии диаграммы. В са-
самом деле, вершины данной диаграммы можно перенумеро-
перенумеровать т\пх\ ... пт\ способами. Вспомним, что вершины каждой .
звезды занумерованы соседними числами, поэтому чтобы пе-
перенумеровать вершины диаграммы, следует сначала перену-
перенумеровать звезды (это можно сделать т\ способами), а затем —
вершины каждой из звезд (если у звезды nh вершин, то их ну-
нумерацию можно провести nk\ способами).
Однако не все различные нумерации вершин данной диа-
диаграммы приводят к различным диаграммам. Действительно,
если соответствие, при котором друг другу сопоставляются
вершины с одинаковыми номерами, является топологической
эквивалентностью, то диаграммы считаются одинаковыми.
С другой стороны, такое соответствие можно рассматривать
как преобразование симметрии диаграммы. Учитывая это,
приходим к формуле D.5) для числа различных диаграмм,
f-эквивалентных данной.
Рассмотрим в качестве примера диаграмму рис. 2, а. Порядок группы
симметрии этой диаграммы равен двум (кроме тождественного преобра-
преобразования группа симметрии содержит преобразование, при котором чет-
четвертая вершина меняется местами с пятой, шестая —с седьмой, осталь-
. „ к 2!3!3!
ные вершины остаются на месте). Таким образом, существует —„— =
= 36 различных диаграмм, ^-эквивалентных диаграмме рис. 2, а.
С помощью D.5) можно привести построенное выше диаграм-
диаграммное представление к форме, более удобной для практического
применения. Именно, в дальнейшем всегда предполагаем, что
41

в рассматриваемых нами диаграммах перенумерованы только
внешние вершины. Две диаграммы будем считать одинаковыми,
если существует топологическая эквивалентность между ни-
ними, сохраняющая нумерацию внешних вершин. Определение
функции, сопоставленной диаграмме, оставим прежним, за-
заменив, однако, множитель \1т\ множителем Ш и дополнитель-
дополнительно включив в множитель, сопоставленный каждой звезде, п\
(п — число вершин в звезде).
Легко видеть, что новое определение функции, отвечаю-
отвечающей диаграмме, отличается от старого множителем D.5) и,
значит, класс ^-эквивалентных диаграмм в старом смысле мож-
можно заменить одной диаграммой в новом смысле.
Таким образом, изменив описанным способом основные
определения, по-прежнему можно утверждать, что функция
Грина Gh равна сумме всех различных гриновских диаграмм
с k внешними вершинами,
§ 5. Операторы и гамильтонианы, записанные
в нормальной форме
Пусть фиксирован свободный гамильтониан вида B.17).
Запишем его в к-представлении:
Операторная реализация Ж, Яо, Фо, q> (x, f) гамильтониа-
гамильтониана #0 может быть построена (см. § 2) в фоковском простран-
пространстве F, причем «свободные поля» в (k, f)-представлении опре-
определяются формулой
Ф(к, t) - yL=- (fl+ (-k)exp (i e(k) t) +
+ fl(k)exp(—ie(k)f)), E.1)
где а+ (к), а (к) задают фоковское представление CCR.
Введем определение нормального произведения. Обозна-
Обозначим At операторы, линейно выражающиеся через а+(к), а (к);
иными словами, оператор At должен иметь вид
Л, - $ а, (к) а+ (к) d к + $ рг (к) а (к) dk. E.2)
42

Нормальное произведение N {Ах ... Ап) операторов
Ах, ..., Ап определим по индукции с помощью соотношений:
..An+1) = N(A1...An)An+1-
(Ах ... А{-г Ai+1 ... Ап) At An+1,
E.3)
где AtAj — число {АгА} Фо, Фо>, которое будем называть
связкой операторов At и Aj.
Исходя из данного определения, без труда проверяем, что
нормальное произведение N (a(kj, ег,) ... а(кп, е„)) операторов
а (к, е) равно произведению фигурирующих в нем операторов,
расставленных в нормальном порядке*. (Мы пользуемся обо-
обозначениями а+(к) = а (к, 1), а (к) = а (к, — 1); порядок
операторов считается нормальным, если все а+ (к) стоят левее
всех а (к).) Например:
N {а (к,) а+ (к2)) = а (к,) а+ (к2)-а (к^а+ (к2) = а+ (к2) а (к,);
кх) а(к2)) = а+ (кг)а(к2)-а+ (к^а(к2) = а+ (кх)а
= iV (он- (к,) а Aц)) а+ Aц) -а Aц) а+0О_а+ Aц) -
-а+ (к,) а (к2)а+(к3) = а+ (к,) а+ (к3) а Aц).
Нормальное произведение E.3) обладает, очевидно, свой-
свойством дистрибутивности, поэтому его вычисление можно све-
свести к вычислению произведений вида N (а (кх, гх)... а (к„, е„)).
Это замечание позволяет дать другое определение нормаль-
нормального произведения: нормальным произведением N (Ах ... Ап)
операторов вида E.2) называется выражение, которое получит-
ся, если в произведении Ах ... Ап все операторы Аг выразить че-
* Это можно доказать, например, по индукции с помощью соотно-
соотношений а+ (к) а+ (\)=а (к) а (\)=а+ (к) а A)=0; а (к) а+ A)=6 (к—1)
и формулы [Аг ... Ап, В] = 2 Л ••• Ai-tlAi, В) А1+1... Ап.
43

рез а+ (к), а (к), раскрыть скобки, пользуясь законом дистри-
дистрибутивности, и в каждом из получившихся произведений опера-
операторов а+ (к), а (к) переставить сомножители в нормальном
порядке.
Из второго определения нормального произведения сразу
следует, что оно не зависит от порядка сомножителей. Отме-
Отметим соотношения:
д/ / Л Л Л \ Л Л/1Л А \
1\ {Six ... Л„ П-п+1) — пп+1 ls \п1 ¦¦¦ Лп)
п
2j N (Ах ... Ai-xAi+x ¦¦¦ Ап) An+1At; E.4)
i= i l i
[N(A1...An),An+1] =
П
\ д т /А А А А \ (А А _ А А \ (^ г^ \
/= 1 ' I ' "г I f
Первое из этих равенств доказывается сначала для случая,
когда Л г = а(кг, 8г), и затем по дистрибутивности распростра-
распространяется на общий случай; второе получается комбинацией фор-
формул E.3) и E.4).
Многократно применив E.3) и E.4), можно выразить через
нормальные произведения оператор вида Ах ... AkN (Ah+1 ...
... Лг) Al+1... Л,.. Ответ сформулируем, введя понятие нормаль-
нормального произведения со связками. Предположим, что из операто-
операторов Ах, •¦¦, Ап выделены пары Л(-1? Aj^ ...; Л,- , Л/ Будем гово-
говорить, что At связан с Л/ (все Л;, Л/ предполагаются раз-
различными). Нормальным произведением операторов Ах, ¦¦¦, Ап
со связками Аг,, Л;,; ...; At A,-k называется нормальное про-
произведение операторов Аи не входящих в выделенные пары, умно-
умноженное на связки Аи, Л,-,; ... ; Aift, Ajk. Например, нормаль-
нормальное произведение операторов Ль ..., Л6, в котором Л]
зан с Л4 и Л 2 с Л6, обозначается N (АхА2А3АцА5А
равно N (А3АЪ) АхА^А^А^
По индукции легко доказывается следующее утверждение
(одна из форм теоремы Вика): оператор Ах... AhN (Ah+1... Л,)
Лг+1 ... Аг равен сумме всех таких нормальных произведений
операторов Ах ,..., Ап со связками, в которых не связываются
44

друг с другом операторы Ak+V ..., At (т. е. нет связок А г Aj
с k + 1 < in fr < /). Так, ~~~
1А2 А3 Ai Аъ А,) + N (А, А2 А3 Ai Аъ А6)
i1 ji
1 ... ABAt) +
!1
+ N(A1A2A3AiA5At)+ ... N(A1A2A3AiA5Ae).
I I 1 I
В силу соотношения E.1) ф (х, f) и ф (р, t) линейно выра-
выражаются через операторы а+ (р), а (р), поэтому можно рассмат-
рассматривать их нормальное произведение. Легко видеть, что
Ф(р, 9ф(Я. *) =6-(р, t—xN(p+q);
1 L \ E-6)
Ф(х, Оф(У. t) = D"(x—у, f—т),
где
E.7)
D~ (x, t) = -±- f exp (i px) D- (p, t) dp.
BяK J
Пользуясь этими соотношениями и формулой E.3), получаем,
например,
Ф (х1( tj) ф (х2, Q = N (ф (х1( ^) ф (х2, д) +
+ D-(x1-x2,^1-y; E.8)
ф (Xj) ф (*2) ф (Х3) ф (Х4) = Л^(ф (Хх) ф (ДС2) ф (ДС3).ф (Xi)) +
+ D~ (xx—х2) N (ф (х3) ф (х4)) + D" (хх—х3) N (ф (х2) ф (х4)) +
+ D~ (x1—xt) N (ф (х,) ф (х3)) + D- (х2—х3) N (ф (xj) ц> (х4)) +
+ D- (x2-Xi) N (ф (Xl) ф (х3)) + D- (х3—х4) yv (ф (хх) ф (х2)) +
кх -- х2) D" (л:3—х4) + D~ {xx—x3)D~ (x2—х4) +
+ D" (Xi—x^ D~ (х2—х3). E.9)
45

Операторы, действующие в пространстве F, удобно представ-
представлять как
А= S ) ап(хц •••- *«)#(<p(*i) ...(f(xn))dx1 ... dxn. E.10)
п — 0
Этот вид носит название нормальной формы оператора Л.
Функции ап всегда будем выбирать симметричными. Указан-
Указанное условие еще не фиксирует их однозначно; о степени про-
произвола в выборе этих функций речь будет идти чуть позже.
Представление в нормальной форме особенно удобно, если
нужно вычислить вакуумное среднее <ЛФ0> Фо>. В самом
деле, очевидно, (N (<р (х^) ... ф (хп)) Фо> Фо> = 0 при
л > 1 и, следовательно, <ЛФ0, Фо> = 0.
С помощью E.8) и E.9) без труда представим в нормальной
форме операторы вида
^ L (xv х2) ф (хх) ф (х2) dx1 dx2 =
= ^ L (xlt x2) N (ф {Xj) ф (х2)) dx1 dx2 +
+ J L (xlt x2) D- (Xi-xJ dx1 dx2, E.11)
L {xlt x2, x3, xt) ф (хх) ф (х2) ф (х3) ф (дс4) dx1 dx2 dx3 dxi ==
+ J L (xlf ..., x4) [D- (дсх—x2) iV (ф (х3) ф (д
+ D~ to—*,) iV (ф (х2) ф (дс4)) + D- (xx—x4) iV (ф (х2) Ф (д
+ D~ (x2—x3) N (ф to) ф (дс4)) + D- (x2—xt) N (ф (дс,) ф (дс,)) +
(х,- дс4) iV (Ф (xj Ф (х2)) + D- (xx—x2) D- (x3-xt) +
—x3)D-(x2—xJ + D-(x1—xi)D-{x2—x3)]dx1 ...dxt.
E.12)
Если оператор Л записан в нормальной форме в (k, ^-представ-
^-представлении
Л= у Cfln(ki,/lf ..., kn, y
n=0J
у)^Ы, E.13)
46

то, используя E.5), можно просто записать в нормальной форме
оператор [A, q> (к, t)h
[Л,ф(к,0]= 2 \bn(k1,t1,...,kn,tn\Kt)X
5к1,/1)...ф(к„, tn))d*kdH, E.14)
где
bn(K к, .... К> tn\Kf) =
= ~(n+l)ftn+1(K h, ..., К, tn,-k, x)D(k, t-x)dx,
E.15)
а функция D (k, f) определяется соотношением
D(k,f) = b-(k, t)-D~(-k, f)= -1- sin(e(kH . E.16)
i e (k)
(Отметим, что функция D (k, f) может быть определена также,
как решение уравнения
G E.17)
с начальными условиями D(k, 0) = 0, D(k, t)\t=0= —.)
at i \ I
Применяя несколько раз соотношение E.14), убеждаемся,
что
<[...[Л, ф(к1( tx)], .... ф(кп, гп)]Ф0, Фо> =
= n!(-l)'lJan(-k1,T1,.... —kn,xn)b(klt h-xj ...
...D(kn,tn-xn)dx1...dxn. E.18)
Формула E.18) неоднозначно определяет ап (kx, tlt ..., kn, tn);
функция ап находится лишь с точностью до слагаемого /,
удовлетворяющего уравнению
lf *1-Tl)...D(kn,*n-Tn)/(k1,T1,.... kn,Tjd«T = 0.
E.19)
Но это несущественно, поскольку для такой функции /, спра-
справедливо равенство
{^^ tn))d4 = O E.20)
47

(равенство E.20) становится очевидным, если заметить, что
в силу E.17) имеет место соотношение
5(к, о= i
Таким образом, чтобы записать оператор А в нормальной
форме, достаточно найти функции 2Г„ (k^ ilt ..., kn, tn), удов-
удовлетворяющие условиям E.18).
Если оператор А записан в нормальной форме в (х, ^-пред-
^-представлении [см. E.10)], то
[А, Ф (х)] = 2\bn(х, хп|х)N(Ф(Xl)...
п «
...y(xn))dx1...dxn, E.21)
где
Ьп{х1 хп\х)=—(п + 1)<\>ап+1(х1, ..., хп+1) х
xD(x-xn+1)dxn+1, E.22)
а
D (х, 0 = -JL. J D (к, 0 exp (i kx) dk =
= <[ф(х + |, t + x), фE, т)]Ф,Ф>
удовлетворяет уравнению
0 E.23)
с начальными условиями D (х, 0) = 0, -^ D (х, ^) |<=0 =
= у б (х). (Формулы E.22) и E.23) можно, очевидно, получить
из E.14) и E.15) преобразованием Фурье.)
Коснемся вопроса о вычислении матричных элементов опе-
оператора, записанного в нормальной форме, в обобщенном 6&-
зисе а+ (кг) ...а+(к„)Ф. Докажем следующее утверждение:
матричные элементы оператора
...y(K,tn))dk1dt1...dkndtn
48

выражаются при условии к* ф q^ (i = 1, ..., т; / = 1, ..., я)
следующей формулой:
Ат>п(къ...,кт, qi, .... qn) = <4a+(qi)...a+(qn)(i), c
X
•••,—km, 8(km), eh,—8(<ь), ..., qn,—e(qn)),
E.24)
где
«m(ki,©i, ¦¦¦, km, ©m) =
= J exp (i юЛ-f... + i (•>„*„,) am (klt fx ..., km, fra) d«f.
В самом деле
¦A-m, n (ki> ••• i km, qx, ..., qn) =
= <Ла+(Ч1)...а+(Чп)Ф; а+(кх)... a+(kro) Ф> =
... c(km)
поэтому для вычисления функций Лт|П достаточно предста-
представить в нормальной форме оператор а (к^... а (кт) Aa+iqj)...
... a+(qn). Пользуясь теоремой Вика о представлении
A±...AiN (Ai+1 ... Аг) Al+1 ... Ап в виде суммы нормаль-
нормальных произведений со связками, получаем, что вакуумное сред-
среднее
<c(k1) ...a(km) Nfofa, tx) ...ф(рг, *r))a+(qi) - а+(Чп)Ф,Ф>
есть сумма таких нормальных произведений операторов
a (kj) ... а (кт) N (ф (р^^) ... ф (pr> tr)) a+ (qx) ... а+ (qn)
со связками вида а (к) ф (р, f), ф (р, t) а+ (q) и а (к) а+ (q),
в которых все операторы связаны. При принятых нами усло-
условиях связки а (к) а+ (q) равны нулю, поэтому ненулевой ответ
получится лишь в случае г = т-\- п (г— число операторов ф).
Нужные нормальные произведения со связками получаются
перестановкой индексов в нормальном произведении, в котором
а (кг) связаны с ф (р,, t), ф (pl+m, f)— с а+ (q^; это произве-
произведение со связками выражается как
Xexp(—i;
49

[Мы воспользовались тем, что а (к) <р (р, t) = «Р О»(Ц <) Д(Ь+Р)
\ | 1 У 2е (к)
Учитывая симметричность функции ап, получаем:
¦™m, n (kl » ••• » km> 4l> ••• > Чп) ==
Л _Д_(к» + 1,)
г=1
X
-, — km. e(km), (fc, -e(q1), ..., qn, — e(qn)).
Рассмотрим теперь формальный гамильтониан Н = Но -\-
+V вида C.3). Его также бывает удобно записывать в нормаль-
нормальной форме, т. е. представлять V как
V=SJ^n(Xi, .... xn)JV(9(x1)...9(xn))dx1...dxn. E.25)
Здесь символ N (ф (х^... ф (хп)) определяется аналогично
нормальному произведению операторов.] Например, если вы-
выражение для V имеет вид
V = ^ У2 (х1? х2) ф (хх) ф (х2) dxx dx2 +
x x4) ф (хх)... ф (х4) dxx... dx4, E.26)
то оно приводится к нормальной форме следующим образом:
V = J V4(xlt..., х4) Л^ (Ф(Х1)... Ф(х4)) dxx... dx4 +
4(x1,..., x4)D-(x3-x4, 0)JV(9(x1)9(x>))dx1...dx4 +
(xlt x2) Л^ (ф (хх) ф (х2)) dxx dx2 +
-(Xl—x2, 0)D-(x,—x4,0)dx1...dx4 +
J (xlt x2) D- (Xl-x2, 0) dxx dxv E.27)
50

Если выражение V трансляционно-инвариантно, то при при-
приведении его к нормальной форме возникает бесконечная кон-
константа. Условимся ее отбрасывать.
Легко построить диаграммную технику для вычисления
функций Грина формального гамильтониана, исходя из взаи-
взаимодействия V, записанного в виде E.25)(в нормальной фор-
форме). Отличия от изложенной выше диаграммной техники
состоят в сокращении числа диаграмм (не
следует рассматривать диаграммы с ребрами, г
обе вершины которых принадлежат одной \ /
звезде)* и, конечно, в замене функций Vv чч/
функциями Wn. Проверка того, что описан- / \
ная диаграммная техника приводит к пра- / ч ч
вильному результату, может быть проведена
сравнением с диаграммной техникой для га- Рис. 7.
мильтонианов, не приведенных к нормаль-
нормальной форме. Убедимся, например, что для взаимодействий
вида E.26) обе диаграммные техники дают один и тот же ре-
результат. Для этого достаточно заметить, что звезда с четырь-
четырьмя вершинами, две из которых соединены ребром, в диаграм-
диаграммной технике, построенной по взаимодействию в форме E.26),
дает такой же вклад, как и звезда с двумя вершинами в диа-
диаграммной технике, построенной по взаимодействию в форме
E.27).
* Диаграмма такого типа изображена на рис. 7.

ГЛАВА 2
ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫЕ
ГАМИЛЬТОНИАНЫ
§ 6. Трансляционно-инвариантные
взаимодействия
В этой главе мы будем рассматривать трансляционно-ин-
трансляционно-инвариантные гамильтонианы вида B.1) (т. е. те, коэффициентные
функции которых зависят только от разностей аргументов).
Считаем, что гамильтониан Н представлен в виде Н — Но -\-V,
где #0—свободный гамильтониан B.17), V—возмущение
B.2), коэффициентные функции которого имеют вид
•п (Х1> ¦ ¦ ¦ > хп) == vn (Х1 хп> ¦ ¦ ¦ i xn-i —" хп) ¦
Тогда для вычисления функций Грина этого гамильтониана
применима описанная в предыдущей главе диаграммная тех-
техника теории возмущений*.
При вычислении диаграмм в (k, t)- и (к, <о)-представлениях
возникают некоторые упрощения в связи с тем, что функция
Vn(klf.... kB) = un(klf..., кп_1)б(к1 + ... + кп)
содержит в качестве множителя б-функцию. В самом деле,
наличие б-функций в подынтегральном выражении диаграммы
позволяет сократить число интегрирований**. К примеру,
* Чтобы гейзенберговские уравнения, написанные по формальному
гамильтониану Н, обладали четким смыслом, достаточно предположить,
что vn принадлежит пространству SP, а преобразование Фурье функции
v (х) является гладкой функцией, все производные которой имеют не
более чем степенной рост (см. замечания, сделанные в § 2 после опре-
определения операторной реализации). Выполнения этих же требований
достаточно для того, чтобы все диаграммы ряда теории возмущений
имели смысл (в противном случае в (к, со)-представлении можно встре-
встретиться с расходящимися интегралами, а в (х, ^-представлении — с не
имеющими смысла произведениями обобщенных функций).
** Подробнее этот вопрос рассмотрен в дополнении Б.
52

диаграмма а рис. 2 в (к, со)-представлении записывается как
X DP (kt) б (kt + k7) DF (kb) б (k5 + k,) щ (ke, k7) x
, + ka) DF (k2) б(k2 + ka) dk3... dka =
= _ 131I /2я)-1 1 б lkx + /г,) X
2 (cof-e2(k) + i0)(cole2(k) + i0)
J (<o2-e
•i 0)[(col—co4J—e2(k!—k4) + i0]
Легко видеть, что из трансляционной инвариантности функ-
функций Vn вытекает трансляционная инвариантность каждой из
диаграмм, поэтому, по крайней мере в рамках теории возму-
возмущений, можно утверждать, что функции Грина также трансля-
ционно-инвариантны. Вспоминая, что они инвариантны также
относительно сдвига по времени (см. § 3), запишем в (х, f)- и
в (к, (о)-представлениях функции Грина в форме
Gn(x1 xn) = Gn(x1—xn, ...,*„_!—хп)\ F.1)
Gn(ku ... , К) = Gn(^ *n_i)«(*i+¦¦¦ + *«)• F-2)
Исходя из действительности функций Vn, нетрудно проверить
также, что в каждом порядке теории возмущений выполнены
соотношения
Gn(x1) tlt ...,xn,tn) = Gn(xlt —U, ..., хп, —tn); F.3)
Gn(k1( co1( ..., kn, ©„) ^„(ki, —щ kn, —con) F.4)
(эти соотношения не зависят от предположения трансляционной
инвариантности; они выражают инвариантность относительно
обращения времени).
В частности, функцию G2 (klt k2) можно представить
в виде
Из соотношения F.4) следует четность функции Q2 (k) =
= G2 (k, со) от со, а из симметричности G2 (klt k2) вытекает
четность G2 (k) по переменной k.
53

Таким образом,
, co) = G2(k, —co) = G2(—k, co) = G2(—k, -co)
(т. e. G2 (k, со) — четная функция и от со, и от к).
Соотношения F.1) — F.4) позволяют предположить, что
в пространстве Ж операторной реализации трансляционно-
инвариантного гамильтониана можно построить оператор им-
импульса Р = (Р1г Р2, Р3) (т. е. три коммутирующих самосо-
самосопряженных оператора Ри Р2, Р3) и антиунитарный оператор
обращения времени т, удовлетворяющие условиям:
HPi = PiH, Нх = хН, PtX=—xPit т2=1; F.5)
ехр (—i Ра) ф (х, t) ехр (ГРа) = ф (х + a, t)\ F.6)
тФ(х, От = Ф(х, —0- F.7)
(Если такие операторы Рит существуют, то соотношения
F.1) — F.4), очевидно, выполнены.) Удается проверить в рам-
рамках теории возмущений, что Рит можно построить. Более
подробное обсуждение вопроса о построении Рит проводится
в гл. 4.
В дальнейшем, рассматривая операторную реализацию
трансляционно-инвариантного гамильтониана Я, будем всегда
считать, что в пространстве этой операторной реализации су-
существуют операторы Рит, удовлетворяющие условиям F.5) —
F.7).
§ 7. Двухточечная функция Грина
и массовый оператор
Определим функцию G% (xu х2) как сумму всех связных
гриновских диаграмм с двумя внешними вершинами. Всякая
несвязная гриновская диаграмма с двумя внешними вер-
вершинами состоит, очевидно, из двух гриновских диаграмм
с одной внешней вершиной. Пользуясь этим, легко убедиться,
что двухточечная функция Грина Ь{(хъ х2) может быть пред-
представлена в виде
G2 (xlt x2) = G% (хъ х2) + d (xj Gx (x2).
В силу известных нам свойств функций Грина Gx (x) является
константой, Gx (х) = у, a G2 {хъ х2) и, следовательно, G| (хъ х2)
54

зависят только от разности аргументов х1 — х2. Функцию
G% (#1. #2) можно, таким образом, записать в виде
G.1)
где G (k) — функция, которую также будем называть функ-
функцией Грина. Двухточечную функцию Грина в (к, (^-пред-
(^-представлении можно выразить через G (k):
G2 fa, k2) = G fa) 6 fa + К) + Bл)У6 fa) 8 (k2). G.2)
Рис. 8.
Рис. 9.
Заметим, что когда взаимодействие содержит только четные
степени ф, т. е. функции У2г-1 = 0> всякая (ненулевая)
гриновская диаграмма имеет четное число внешних вершин*,
а значит, функции G2,-+1 (в частности, Gx) равны нулю. В этом
случае G% = G2.
Рассмотрим произвольную диаграмму для G% и выделим
в ней ребра, при разрезании которых она распадается на две
части (рис. 8). К числу таких ребер относятся, например,
ребра, содержащие внешние вершины. После удаления выде-
выделенных ребер остается диаграмма, распадающаяся на несколько
связных диаграмм (рис. 9). Каждая из получающихся связных
диаграмм обладает следующими свойствами: а) не распадается
* Для грииовской диаграммы справедливо равенство азв +
+ ав = 2 г, где азв — число вершин, принадлежащих звездам,
ав — 4исло внешних вершин, г — число ребер. Поскольку в ненулевой
диаграмме все звезды имеют четное число вершин, азв и, стало быть,
ав четно.
55

на две части, если удалить какое-либо из ее ребер; б) имеет две
внешних вершины, причем обе эти вершины принадлежат звез-
звездам диаграммы. Диаграммы, обладающие свойствами а) и б),
называются массовыми, а сумма М (хх, х2) всех различных мас-
массовых диаграмм — массовым оператором. (Функцию М (хъ х2),
так же как и G2 (хъ х2), удобно рассматривать как ядро опе-
оператора в пространстве L2 (Е*).)
Функция G\ (хъ х2) связана с массовым оператором соот-
соотношениями
G% (Xl, x2) = G< °> (*lt x2) + \ G<2°> (xlt I) x
\/ J\A(P T| ) C/^ (Tl X I ?zH ДТП* I ( O/
<XJ л
2 \Л1» Л2^ —' u\ V*l» X2/ ~T ^j I иг \Л1' Su IYl VSl> 4u A
ft= 1 J
U2 V^H fej ••• УИ left. ТЫ U2 V%' X2^ "Si ••• I
G.4)
или в операторной форме
G% = G<2°) + G<2°> MG%; G\ = jjj , j^
k=i
Чтобы доказать эти соотношения, носящие название уравне-
уравнений Дайсона, заметим, что гриновская диаграмма F с двумя
внешними вершинами выражается через массовые диаграммы
Фь ..., Фк, получающиеся из F при удалении выделенных ре-
ребер, следующим образом:
F (хъ х2) = J G<2°> (xv I,) Ф1 (?lt гц) Gt°> (%, У -
- Ф* (Ik. Лл) G<°> (%, x2) d* Ык r\. G.5)
Суммируя G.5) для всех диаграмм F', получаем равенство
G.4), а из него сразу следует G.3), которое, впрочем, нетруд-
нетрудно вывести и непосредственно.
Соотношения G.3) и G.4) удобно записывать в (к, со)-
представлении. Функция М (хи х2), так же как G2 (хъ х2),
зависит только от разности хх — х2, поэтому она может быть
представлена в виде
(zn) l J
^^ fe. G.6)
(zn) l J
56

Из соотношений G.1), G.3), G.6) вытекает:
G (k) = Dp (k) + ~-DF (k) M (k) G (k), G.7)
откуда
*¦>-¦ i 1 *~
Г\ 1 / 1\ /"i 1 / ?_\ Г *• Л Л / t \
т. е.
i
Этой формулой удобно пользоваться для нахождения по тео-
теории возмущений полюса функции G (к, со) по переменной со.
В самом деле, если вычислять по теории возмущений G (к, со),
то в любом порядке получим функцию с особенностью в точке
б (к) и не будем иметь никакой информации о положении по-
полюса функции G (к, со). Однако из G.8) следует, что в полюсе
функции G (к, со) выполняется соотношение
со2 — б2 (к) — М (к, со) = 0. G.9)
Вычисляя по теории возмущений массовый оператор
М (к, со) и подставляя приближенное выражение для него
в G.9), получаем уравнение, из которого приближенно опре-
определяется положение полюса (например, снова по теории воз-
возмущений). Функция G (к, со), а следовательно, и М (к, га) —
четные функции со (см. §6), и их можно рассматривать как функ-
функции от со2. Таким образом, если G (к, со) при данном к имеет
полюс в точке со, то она имеет полюс и в точке (—со). Считаем,
что при каждом к функция G (к, со), так же как и DF (к, со),
имеет ровно два полюса; эти полюса обозначим ^со (к), где
со (к) > 0. Используя G.9), запишем уравнение для со (к):
со2 (к) — б2 (к) = М (к, со (к)). G.10)
Позже (в § I6) увидим, что со (к) имеет смысл энергии одетого
одночастичного состояния с импульсом к. Поэтому назовем
со (к) энергией одетых частиц.
Отметим, что через массовый оператор легко выражаются
также вычеты функции G (к, со) в полюсах ±со (к). Будем ре-
решать эквивалентную задачу о нахождении вычета функции
G (к, со), рассматриваемой как функция от со2, в полюсе со2 (к),
57

т. е. о вычислении предела lim (га2 — га2 (к)) G(k, га).
а'-*аг (к)
Покажем, что этот вычет равен
1 я-5- G.11)
В самом деле, пусть
ill-
ал?
G.8) равенство G.10), умноженное на 1/i, получаем
А (к). Вычитая из
G^, со) = — [со2— со2 (к) — (М(к,а>)—М(к, га(к)))] =
i
= _L [со2—со2 (к) —(Л (к) + а) (га2—га2 (к))] =
= -1- A —Л (к)—а) (га2—га2 (к)),
где а -»- 0 при со -*¦ ± га (к). Таким образом,
lim = ——-=\ — А (к),
а-*±а(к) Ю2—Ю2 (к)
что эквивалентно нужному нам соотношению G.10).
Вычет функции G (к, га) по переменной га2 обозначим
\Z (к) [в § 16 показано, что этот вычет — чисто мнимая величина
и что 0^Z(k)^l]*. Пользуясь этим обозначением, по-
получаем:
(со2 — га2 (k)) G (к, га) = \Z (к) + В (к, га),
где lim В (к, га) = 0. Функция В (к, га) связана с мас-
а»-*а« (к) ^
совым оператором М (к, га) соотношением
Д(к,ш) i (®2-®2(k)W-Z(k)]+Z(k)[M(k, ю)-М(к,ю(к)I _
со2— со2 (к)— М (к, со) +М (к, со (к))
G.12)
Если предположить, что М (к, со) дважды непрерывно диффе-
дифференцируема по со2 в точке со2 = га2 (к) и Z (к) Ф 0, то из
G.12) вытекает, что функция
R(k, со)=
сог-(О2(к)
*Полезно отметить, что «а (к) и Z(k) являются четными функция-
функциями к; это вытекает из четности G (к, со) по переменной к (см. § 6).
58

может быть определена по непрерывности также при со2 =
= со2 (к). С помощью соображений, использованных в конце
§3 [например, применяя соотношения C.15)], убеждаемся, что
где функция R (к, со) непрерывна в точках со = ± со (к).
Разумеется, массовый оператор М (к, со) зависит от выбора
Яо. Если свободный гамильтониан выбран в виде
2(к)ф(к)Ф(-к)^к. G-14)
где со (к) — энергия одетых ча-
стиц, то соответствующий массо- \ /
вый оператор Mi (к, со) связан с %ч, ,'
функцией Грина G (к, со) равенст-
равенством
G (к, со) = со2 — со2 (к)
i
-Mi (к, со). G.15) / ~~\
Очевидно, функция Мг (к, со) удов-
удовлетворяет условию Рис. 10.
Мх (к, со (к)) = 0. G.16)
Комбинируя равенства G.8), G.10) и G.15), получаем
Мх (к, со) =М (к, со) —М (к, со (к)). G.17)
Функцию G| удобно рассматривать как «кирпичик», входя-
входящий в состав диаграмм для более сложных функций, представ-
представленных в виде суммы диаграмм ( например, для функций Гри-
Грина Gn при п ^ 3). Введем в связи с этим следующие опреде-
определения.
Назовем диаграмму G-неприводимой, если ни одна из ее
поддиаграмм не является массовой диаграммой (иными словами,
если всякая ее связная гриновская поддиаграмма с двумя
внешними вершинами состоит из одного ребра). Например,
диаграмма на рис. 10 G-неприводима, а диаграммы на рис. 11 —
G-приводимы. Легко убедиться, что диаграмму функции Gn
можно получить единственным способом из G-неприводимой,
вставляя вместо ребер гриновские диаграммы с двумя внешними
59

вершинами (на рис. 11 изображены диаграммы, которые полу-
получаются таким образом из диаграммы на рис. 10).
Используя это, нетрудно проверить, что в диаграммном
представлении функции Грина Gn можно рассматривать толь-
только G-неприводимые диаграммы, если в определении функции,
\
Рис. 11.
соответствующей диаграмме, заменить свободную функцию
Грина DF (к, со) = ^ _ е,'(к) + i0 функцией G (к, со).
Если в определении функции, соответствующей G-неприво-
димой диаграмме, DF (k,. со) заменяется на G (к, со), то эту ди-
диаграмму будем называть G-скелетной. Ее ребра условимся
изображать жирными линиями.
Переформулируем теперь сделанное выше утверждение:
функция Грина Gn (ku ..., kn) может быть представлена как
сумма всех различных гриновских G-скелетных диаграмм с п
60

внешними вершинами. Простейшие G-скелетные диаграммы для
функции G4 изображены на рис. 12.
Считаем теперь, что деление гамильтониана Н на свобод-
свободный гамильтониан Яо и взаимодействие V произведено так,
что к взаимодействию отнесены только слагаемые, имеющие
степень ^3 по символам ср. Тогда в диаграммной технике, по-
\ /
\
Рис. 12.
строенной по этому разбиению, все звезды имеют не менее
трех вершин. Воспользовавшись этим, нетрудно доказать, что
массовый оператор М (к, со), построенный по выбранному раз-
разбиению гамильтониана Н на Но и V, может быть представлен
в виде суммы всех различных массовых G-скелетных диаграмм.
Заменим в определении функции, соответствующей G-
неприводимой диаграмме а, функцию DF (k, со) произвольной
функцией t (k, со); полученную функцию обозначим Wa (/)•
Можно сказать, что по G-неприводимой диаграмме построен
(нелинейный) оператор Wa, ставящий в соответствие функции
t{k) функцию Wa(t)', функция, соответствующая G-скелетной
диаграмме, очевидно, записывается как Wa (G). Опишем, на-
например, оператор Wa, соответствующий G-неприводимой мас-
61

совой диаграмме, изображенной на рис. 13. Он сопоставляет
функции t (k) функцию
1 Г* •—*
Л to, ^)= — g2 Vgto, ^3. h) t (k3) t (kA) X
X\/ / h ~— I? t? \ /It? /It?
Отметим, что все звезды, содержащиеся в G-неприводимой
диаграмме, имеют не менее трех вершин, поэтому операторы Wa
выражаются только через функции Vn при п ^ 3. Это означает,
что операторы Wa определяются только взаимодействием V
и не зависят от свободного гамиль-
гамильтониана Но.
_. Обозначим W сумму операторов
Wat соответствующих всем G-не-
приводимым массовым диаграммам,
Рис.13. ТогДа
М to, k2) = W (G), G.18)
т. е. массовый оператор равен сумме G-скелетных массовых
диаграмм. Легко убедиться, что функция W (t) имеет вид
h (^j) б to -f- ^2); введем обозначение W (t\k) = h (k). С по-
помощью этого обозначения и соотношения М to, k2) =
= М to) б to -f- k2) можно записать равенство G.15) в виде
M(k)=W(G\k). G.19)
Из равенства G.19) получим уравнения, позволяющие вы-
вычислить функцию Грина G (k | со), если известны взаимодейст-
взаимодействие V и энергия одетых частиц со (к), т. е. положение полюсов
функции G (к, со) по переменной со. Для этого рассмотрим вве-
введенный выше массовый оператор М (к, со). Очевидно,
Mt (к, со) = W (G | к, со) — W (G | к, со (к)); G.20)
G-!(k, со) = — [со2—со2 (к)—М^к, со)]. G.21)
Эти соотношения представляют собой нужную нам систему
уравнений, так как оператор W определяется взаимодей-
взаимодействием V и не зависит от свободного гамильтониана [решение
G.20), G.21) следует искать в классе функций, допускающих
представление вида C.10)]. Систему уравнений G.20), G.21)
62

можно решать методом итераций, т. е. п-е приближение
для функции Мг получать по формуле
Ш\п)(к, ю) = W (G*"-1'! к, со)-?// (G*"-1'^, со (к)),
где G*»-1) — (п — 1)-е приближение для функции G,
а n-е приближение G<") для G вычислять, пользуясь соотно-
соотношением
(G<"> (к, со))-1 = — (со2—со2 (к)—М\п) (к, со))
и считая, что функция G<"> (k, со) допускает представление
вида C.10). В качестве нулевого приближения следует выбрать
Л4<°> (к, со) = 0, тогда G«» (к, со) = ц2 _ J{k) + .Q. К со-
сожалению, оператор W можно вычислить только по теории воз-
возмущений, поэтому модифицируем описанный выше метод ите-
итераций таким образом, чтобы он позволял получить разложение
в ряд теории возмущений функции G. Для этого нужно при вы-
вычислении M<n~> и G(") разлагать по степеням константы свя-
связи if, отбрасывая члены, содержащие^ степени, превышающей
п. При этом достаточно вычислить оператор W по теории
возмущений срочностью до членов порядка п nog. Члены пос-
построенного для G ряда выражаются через взаимодействие V и
энергию одетых частиц со (к). Функции Грина Gn при п ^ 3
также легко представить в виде аналогичного ряда, поскольку
можно выразить их через G-скелетные диаграммы, а функ-
функция, сопоставленная G-скелетной диаграмме, выражается
только через V и G.
Таким образом, вместо гамильтониана Н можно задавать
энергию одетых частиц со (к) и взаимодействие V. Это нередко
оказывается удобным, в частности, потому, что функция со (к)
тесно связана с наблюдаемыми в эксперименте величинами.
В § 9 указан другой способ получать разложение функций
Gn в ряд теории возмущений, члены которого выражаются че-
через со (к) и V.
§ 8. Вершинные функции
Связную диаграмму будем называть вершинной диаграммой,
если в ней нет ребер, при разрезании которых она распадается
на две части. Все внешние вершины вершинной диаграммы при-
принадлежат звездам (если внешняя вершина принадлежит ребру,
63

то при разрезании его она распадается на две части). Примеры
вершинных диаграмм изображены на рис. 14.
Вершинной функцией Гт (х1, ..., хт) называется сумма
всех вершинных диаграмм, имеющих т внешних вершин.
Вершинная функция в (к, со)-представлении определяется
формулой
Л ..., km) = Bn)-im^Tm(x1, ... , хт) X
X exp (i 2И7 tj—i 2 kjX.j) dmx =
BП)-2- J Гт (xx, ...,xm) exp (i 2 kj xy) d" x.
ч
1
1
1
j
1 У
/
{.
/ |
/
/
/
/
1
1
_ 1
Рис. 14.
Будем рассматривать вершинные функции лишь при т ^ 3;
это объясняется тем, что Г2 (хъ х2) совпадает с массовым опе-
оператором М (хъ х2).
Важно отметить, что функции Гт при т. ^ 3 определяют-
определяются самим гамильтонианом Я и не зависят от способа его разбие-
разбиения на Яо и V (хотя диаграммное представление, с помощью
которого мы определили эти функции, зависит от способа раз-
разбиения).
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим древесные гриновские
диаграммы, содержащие только звезды, имеющие не менее трех
вершин. (Диаграмма называется древесной, если в ней нет
циклов. Примеры древесных диаграмм см. на рис. 15.) Из
древесных диаграмм можно получать более сложные гринов-
гриновские диаграммы, вставляя вместо звезд вершинные диаграммы,
а вместо ребер — связные диаграммы с двумя вершинами (на-
(например, диаграмму на рис. 16 получаем из диаграммы б на
рис. 15, вставляя вместо одной из звезд диаграмму с рис. 14а).
Легко убедиться, что так получается любая гриновская диа-
64

грамма, причем единственным способом. Это позволяет утвер-
утверждать, что функция Грина Gm (къ ..., km) может быть получена
как сумма функций, соответствующих древесным гриновским
диаграммам с т внешними вершинами и со звездами, имеющими
не менее трех вершин, если при построении функций, отвеча-
отвечающих диаграммам, слегка изменить описанные в § 4 пра-
правила. Именно, каждой звезде следует сопоставить вместо
у Vn (къ ..., kn) функцию Тп (къ ..., kn), а ребру вместо мно-
_!_ JLJLJL
._ I
б Рис. 15.
жителя Dpikj) 8 (kx ± k2) — множитель G («i) б (kt ± k2).
Остальные правила остаются теми же. Сделанное замечание
позволяет выразить Gm (къ ..., km) через G (k) и Гп (ku ..., kn)
с 3 ^ л ^ m. Например,
G4 (ku k2, k3, kj = G (kj 8 (k, + k2) G (k3) 8 (k, + K) +
k, + k3) G (k2) 8 (k2 + kt) +
r4(^1, К К К); (8-1)
в J g j g ^j
= G (kj 8 (k, + k2) G (?3) б (^з + k,) G (kj 8 fa + K) +
8 (k, + k2) G (k3) G {Ri) G (k6) G (ke) Г4 (^3, kt, kB, ku) +
+ G (kx) G (k2) G (?3) Г (kt, k2, k3) G (k, + kt + k3) Г (kt, ks, ke) x
+ G (kj G (k2) G (k3) G (kj G (k6) G (ke) x
хГДЛ- \,k4,kB,kJ + ... . (8.2)
3 А. С. Шварц 65

\
В (8.2) функция Г определяется соотношением
Г~ (Ь Ь Ь Ъ\ — Т (h h h \ 8 (h _1_ & JL b i t> \-
многоточие обозначает члены, отличающиеся от выписанных
только перестановкой индексов. В выписанных формулах для
простоты ограничиваемся случаем, когда взаимодействие содер-
| жит только четные сте-
I пени ф, и, значит, Gk =
j = Th = 0 при нечет-
~| ном k.
I Функции Грина Gn и
ч\ I функция G определяют-
определяются самим гамильтониа-
р и с. 16. ном Я, поэтому доказан-
доказанные соотношения позво-
позволяют установить независимость Гп от представления Я в
форме Яо + V.
Вершинные функции и массовый оператор были определе-
определены выше только для трансляционно-инвариантных гамильто-
гамильтонианов. Следует заметить, однако, что указанные определения
сохраняют смысл, даже если трансляционная инвариантность
отсутствует. В этом случае также остаются справедливыми мно-
многие из доказанных в настоящем и предыдущем параграфах
утверждений.

ГЛАВА 3
ПЕРЕСТРОЙКА РЯДА ТЕОРИИ
ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 9. Перенормировка энергии
Будем исходить из трансляционно-инвариантного гамиль-
гамильтониана Н = #0 -{- V, определяемого формулой C.3).
В § 4 была указана диаграммная техника для вычисления
функций Грина Gn. Построенные там диаграммы выражались
через функции е (к) и Vn (к^ ..., кп) (мы все время используем
(к, <о)-представление). Перестроим в этом параграфе диаграм-
диаграммное представление так, чтобы вместо е (к) в выражение для
функции, соответствующей диаграмме, входила энергия оде-
одетых частиц со (к), определяющая положение полюсов функции
Грина G (к, <о). (Другой способ построения ряда теории воз-
возмущений по энергии одетых частиц <о (к) и взаимодействию V
был указан в § 7.) Как и раньше, удобно включить Н в семей-
семейство гамильтонианов, зависящих от параметра g, но сейчас сде-
сделаем это по-другому. Рассмотрим семейство гамильтонианов
Нй = Нй (g) + gV, где
и функция 8 (k\g) определяется из условия, чтобы для Hg
полюса функции Грина G (к, со) находились в точках <о =
= ±<» (к) (функцию о (к) считаем независящей от g). Очевидно,
что при g = 0 справедливо равенство е (к 10) = <о (к), поэтому
разложение функции еа (k | g) по степеням g имеет вид
Чтобы получить нужную перестройку ряда теории возму-
возмущений, разобьем гамильтониан Н по-другому на «свободный
3* 67

гамильтониан» и «возмущение». Именно, положим Hg = Н'о
+ gV, где Яц задается формулой G.14), а
Массовый оператор Mi (к, со), отвечающий новому способу вы-
выделения свободного гамильтониана, связан с функцией Гри-
Грина G соотношением G.15) и обращается в нуль при со2 =
= со2 (к) [см. G.16)].
Строя диаграммную технику по разбиению Hg = Н'а -\-
+ gV, получаем диаграммное представление, где каждая
диаграмма выражается через функции со (k), Vn {къ ...
,.., к„), \ип (к) и константу g. Кроме звезд, которым соответ-
соответствует в подынтегральном выражении диаграммы множитель
в диаграммах, построенных по разбиению Н'а -\- gV', появ-
появляется счетное число типов звезд с двумя вершинами, причем
звезде я-го типа соответствует множитель g" \in (k) б (кг -\-
+ к2). Покажем, что функции цп (к) можно по индукции вы-
выразить через со (к) и Vn (къ ..., кп) и тем самым построить ди-
диаграммное представление функций Gn и fn, в котором каждая
диаграмма выражается через g, со (к) и Vn (k1; ..., кп).
Пусть для функций Hj (k) ... nn_j (к) построены нуж-
нужные выражения. Вычислим сумму М[п> (к, со) всех диаграмм,
имеющих n-й порядок по g, для массового оператора Л^ (к, со).
В ней функция \х,п (к) встречается только в одной диаграмме
(все остальные содержат цг (к) лишь с индексами i < п). Эта
единственная диаграмма состоит из одной звезды я-го типа
с двумя вершинами и равна gn^,n (k). Таким образом,
68

где P<"> (к, со) выражается через ц, (к) при i <C п. Но нам
известно, чтоЛ?! (к, со (к)) = 0, поэтому также М[п) (к, со (к)) =
= 0. Отсюда
V* (к) = - ?-»#»> (к, со (к)),
что дает возможность по индукции вычислить цп (к).
§ 10. Перенормировка константы связи
Введем нормированные функции Грина G'n и нормированные
вершинные функции Г^:
o;l(k1,...,kn)=z-"/2Gn(ki,-,kn), (юл)
TUk1,...,kn) = Zn/2fn(ku-,kn), (Ю.2)
где
Z = Z@) = — Urn (со2—co2@))G@, со).
i <О2^<О2@)
Ради определенности будем рассматривать гамильтониан
Н = #о +V, где #0, как всегда, задается соотношением
B.17), а
У = ) M*i — Х4> х2—х4, х3—х4)ф(х1)ф(х2)ф'(х3)ф(х4)сDх.
Как и в § 9, включим его в семейство гамильтонианов Н (g) =
= Но (g) + Я^> Для которых функция Грина G (к, со) имеет
полюса в точках ± со (к).
Рассмотрим нормированную вершинную функцию
Г; (къ k2, ka, kj = Г (къ k2, k3) б (kx +к2+к3+кь)
и обозначим К значение функции i Г (къ k2, k3) в фиксирован-
фиксированной каким-либо образом точке (&J, k\, k°):
X = iT (k°, k°, k°). A0.3)
Назовем Х перенормированной константой связи (позже бу-
будет показано, что при некоторых условиях величина X тесно
связана с амплитудой рассеяния). Отметим, что для свободного
гамильтониана К = 0, поэтому разложение К по степеням g
имеет вид
а*ёг + ... (Ю.4)
69

Для вычисления коэффициента ах заметим, что в первом
порядке, теории возмущений
Г4 (klt К К К) = -у- B")-1 gvt (klt k2, k3) 6
(существует только одна вершинная диаграмма первого по-
порядка, и она состоит из единственной звезды). Далее, ряд
теории возмущений для массового оператора начинается со
второго порядка по g, поэтому Z отличается от единицы
только во втором порядке. Отсюда убеждаемся, что
В дальнейшем считаем всегда, что о4 (к?, кг, kg) ^0 и,
значит, аг Ф 0.
Укажем разложение функций G'n и Т'п по степеням пере-
перенормированной константы связи Я,, представив его в виде
суммы диаграмм, каждая из которых выражается через <о (к),
Я, и функцию у4.
Будем исходить из уравнений для функции G'n, получа-
получающихся из C.4) подстановкой Gn = Znl2G'n:
5A ^);_2(ft,,..., Vi» *«-i. -,kn\g) +
+ IT gZ*8 J °*(qi) q2) Яз) б ^+9l+9a+^»)x
X G'n+2 (?i, ?2. ?з. *«» ••- К I g) d?i dq2dq3. A0.5)
Функции Gn, 8 (k [g) и число Zg будем рассматривать как
ряды по перенормированной константе связи Я,. В силу A0.4)
и условия ах Ф 0 ряд по g можно преобразовать в ряд по Я,.
При Я, = 0, очевидно, g = 0, 8 (к |0) = w (к), Z = 1, поэтому
можно написать:
-tf(k))= 2*4 (к),
г=1
70

Пользуясь этими соотношениями, преобразуем A0.5):
^_2(^2. -. fy-i. kJ+i< •••• К) +
г>1
? Xr t,r) J y4 (qb q2, q3) б {kx + ^-4- ?2 4- q3) x
X Gn+2 (<7n ?2. ?s> ^2> •••> ^
и, далее, сведем их к уравнениям
tfп (й^ кп) =
X 0^ + 2 (<7lt <7a. ?з. *a. •••. *n
где
DF (к, <o) =
(Переход от уравнений A.0.5) к A0.6) аналогичен переходу
от C.4) к C.6) и обосновывается теми же соображениями.)
Из уравнений A0.6) так же, как и в § 4, получается диаг-
диаграммное представление функций G'n\ диаграммы в нем выра-
выражаются через функции со (к), у4 (кх, к2, к3), vm (к) и числа
Цту Х>т- Именно, в диаграммах участвуют звезды с двумя
и четырьмя вершинами; каждому натуральному m соответ-
соответствуют два типа звезд с двумя вершинами, один из кото-
которых вносит в подынтегральное выражение множитель
-т- Xmvm(k1N(k1 + &г)> а другой — множитель — A,mTim(coi —
— со2 (кх)) б (&х 4- ^2) и один тип звезд с четырьмя вер-
71

шинами [этому типу звезд соответствует в диаграммах мно-
множитель ^{bmlmPi (ki. к2, к3) б (ki -f &2 + k3 +k4)]. Ребрам
диаграмм отвечают множители
i (<of — (о2 (кх) + iO)-1 б {kx + kj.
Числа r\m, t,m и функции vm (k) пока неизвестны.
Покажем, однако, что их можно вычислить по индукции.
Для этого заметим, что нормированная вершинная функция Г^
может быть представлена как сумма всех вершинных диаграмм
описанного диаграммного представления, а сумма всех мас-
массовых диаграмм из него дает нормированный массовый опе-
оператор М' (к, (о), связанный с нормированной функцией
Грина G' (к, со) = Z~x G (к, <о) соотношением
(G' (к, (о))-1^-!-^2—w2(k)—M (к, (о)). A0.7)
(Соотношение A0.7) получается так же, как равенство G.8).
Рассуждения § 8 позволяют установить связь между сум-
суммой уп вершинных диаграмм с п внешними вершинами и функ-
функциями G'n. Например:
 (""II "1 "1 "/ ~
\ 1/ \ 1 —1 2/ ^"^ \ 1/ \ 4 —I 4/ —1
+ G' (kj б (^ + k3) G' (*a) б (Л2 -f Л4) +
IT I ?? I I T I IP I I T I ?? I I T I ?? I Af I ?? ?? ?? ?? I
Сравнивая это соотношение с (8.1), A0.1), A0.2), видим,
что у4 = Г4; аналогично доказывается, что уп = Г^ при
любом п.)
Чтобы вычислить vn (k), r\n, t,n, воспользуемся A0.3)
и равенствами:
М' (к, (о (к)) = 0; A0.8)
да>2
k =0
<o!=(o2@)
A09)
В силу A0.7) соотношение A0.8) означает, что ±<о (к) —
полюса функции Грина G (к, со) по переменной <о, а A0.9)
эквивалентно условию: lim (со2 — со2 @)) G' @, <о) = i.
<02-*@2 @)
72

Обозначим Л1<") (к, со) и Г<"> (klt k2, k3, kt) =
= Г<"> (kx, &2, k3) 8 (kx -\-k2 -\-ks -f \) сумму диаграмм
n-го порядка по Я, в разложениях функций М' и Г4. Легко
убедиться, что
(k)(o); A0.10)
Т(п)(К, h,k3) = ~lnXlvi{K К k3) + S(rt)(^, k2, k3),
A0.11)
где функции /?<") и S<") выражаются только через vr(k), r\r,
t,r с r<n. Пользуясь соотношениями A0.3), A0.8) — A0.11),
получаем формулы для вьиисления vn(k), t\n, |n, если извест-
известны vr (k), Tir, t,r cr<n:
—
A0.12)
$z\0'' A0ЛЗ)
bn 411»4 (kj, kg, kg) V
= -i?1A,-nS{n)(ft»,ft»,ftS) A0.14)
при «> 1;
g,= „ {2JT . A0.15)
1 4!y(kJ, k», kg) ;
С помощью A0.12) — A0.14) удается рекуррентно выразить
через Я,, со (k), v4 все функции vn (k) и числа г\п, ?,п, а стало
быть, и все диаграммы описанного выше диаграммного пред-
представления функций G'n.
Полезно отметить, что в построенном диаграммном пред-
представлении функций G'n можно не рассматривать диаграммы,
в которых содержатся ребра с вершинами, принадлежащими
одной звезде. В самом деле, рассмотрим вместо взаимодейст-
взаимодействия V взаимодействие
V' = N^vi(x1 — х4, х2—х4, х3—х4)ф(х1)ф(х2)ф(х3)ф(х4)#х.
73

Взаимодействия V и V отличаются друг от друга только квад-
квадратичным по ф слагаемым (см. § 5). Отсюда видно, что иссле-
исследуемый нами гамильтониан Н (g) = H0(g) -f- gV совпадает
с Н' (g) = H'0(g)-\-gV, где H'0(g) определяется из условия,
чтобы функция Грина гамильтониана H'(g) имела полюса
в точках ±со(к). Как было замечено в § 5, при построении
диаграммной техники по взаимодействию, записанному
в нормальной форме, не возникают диаграммы, содержащие
ребра с вершинами, принадлежащими одной звезде. Это за-
замечание вместе с соотношением H(g) = H'{g) показывает,
что в диаграммном представлении функций G'n также можно
не рассматривать такие диаграммы.
В качестве примера произведем вычисление М' и Г с точ-
точностью до второго порядка. Легко проверить, что v-^k) = О,
% = 0 (поскольку нет ненулевых диаграмм первого порядка
для массового оператора). В Ri2) дает вклад только диаграмма
рис. 9, а; таким образом *,
5f(—k—p1—p2)M—Pl —р2,
Из равенств A0.10), A0.12), A0.13) получаем
М{2) (k, co) = tfB) (к, со)-#<2) (к, со(к))-
A0.16)
В первом порядке по Я,
ГA)(^, ?2, k3) =^~ A ?l р4 (kl, k2) кз),
. 18)
где ?i определяется формулой A0.15). Комбинируя A0.18)
и A0.5), видим, что
T(l)(k k к )= ^
1 lf 2> з; i
Мк°,к°,к°3)
* Множитель 6 в знаменателе появляется из-за того, что рассмат-
рассматриваемая диаграмма имеет группу симметрии порядка 6.
74

При вычислении функции S<2> вносит вклад только диаграм-
диаграмма рис. 14,а. Отсюда*
X J у4 (kj, k2, р) DF(—р—*i—Ag) у4 (—P. P + ki + k2> ks) ^ ^
!
oe(kj, k«, kg)
X M-
С помощью A0.11), A0.14), A0.19) получаем:
Ь., k8)
51(kj, kg, kg)
(Ю.20)
Отметим в заключение, что перенормированная константа
связи, определенная соотношением A0.3), может оказаться
комплексной. Тогда бывает удобно модифицировать опреде-
определение перенормированной константы связи, положив
A, = Re(ir(*;, К, ?°)).
Существенных изменений проведенных выше рассуждений
при этом не требуется.
* Группа симметрии рассматриваемой диаграммы состоит из двух
элементов, поэтому в выражении A0.19) появляется множитель 1/я.

ГЛАВА 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
ВИДА К(ф) С ПОМОЩЬЮ ПРЕДЕЛЬНОГО
ПЕРЕХОДА ОТ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
§11. Потенциальные взаимодействия
Рассмотрим в пространстве R = L2 (Ek) интегрируемых
с квадратом функций / (х) от k действительных переменных
хъ ..., xk гамильтонианы вида Н = А + В (f), где А =
k
= — ^Езга- В @ — оператор умножения на v (x, t) =
?ПЬ i==l OX{
= v (хъ ..., xk, t). Функция v, а следовательно, и Н могут
явно зависеть от времени t. Считаем, что эта функция доста-
достаточно хорошая (например, непрерывная и ограниченная
снизу).
Напомним, что рассматриваемые гамильтонианы получа-
получаются при квантовании классических систем с функциями
Гамильтона:
ш (=1
Представим различные величины, связанные с такими га-
гамильтонианами, в виде континуальных интегралов. Начнем
с замечания, что при малых т
ехр (—i (A +B @) т) х ехр (— \Ах) ехр (— [В (t) т),
причем ошибка этого равенства — бесконечно малая величина
второго порядка по т. Для вычисления оператора эволюции
U(ti> t0) разделим промежуток Uo, tt] на малые части точ-
точками t0 = т0 < хх < «,. < тп_1 < xn = tx и запишем
приближенное равенство:
^ (к, t0) = ^ (тд> Tn-i)и (Tn-i> Tn-2) -U (tlf т0) «
«ехр [ —i (А + В (т„)) AtJ ... ехр [ —i (Л + В (Tl)) Дт^ «
« ехр (— iЛДтп) ехр [ — \В (т„) Дт„]... ехр (— iЛДтх) х
Хехр[ — Ш^Дт^,
76

где Ат, = т, — T;_x. В пределе max At, -> 0 получаем точ-
точное соотношение:
U(tltt0)= lim exp(—1ЛДт„)ехр[ —Ш(т„) Дт„]...
max Дтг-*0
—LBCrJATil A1.1)
(формула Далецкого—Троттера).
Если фх, — обобщенный базис в пространстве R, то из
формулы Далецкого — Троттера вытекает:
Игл f<A,|exp(—
x Дтг--*0 J
max Дтг-
X <А,П | ехр[ —Ш (т„) Атп] | |in> ... <[х21 ехр[-1ЛАт1]| ^> X
X <К\ехр[ — \В (тх)]|ц>Лх...dXnd\i2...d|in
здесь введено обозначение <Я,|Л|[х> = <Лфц, »
До сих пор никак не использовалась специфика опера-
операторов А и В. Теперь выберем в качестве ф^ функции фх (у) =
= б (х — у) = б {хх — г/j ... б (хп — уп), тогда <х | Л | х'> =
= <ЛфХ', фх> представляет собой ядро оператора Л (мат-
(матрицу оператора Л в координатном представлении). Ядра опе-
операторов ехр (—iAAx) и ехр [—\В (t) At] легко вычисля-
вычисляются:
2 Дт
<х | ехр (—\В (t) At) | x'> = ехр [ — io (x, t) Ат] б (х—х').
Подставляя эти соотношения в A1.1), получаем
<x|?/«lf/n)|x'>= lim
max Дт--»0
A1.2)
(здесь x0 = x', xn = x). Соотношение A1.2) и есть нужное
нам представление ядра оператора U (tlt t0); это соотношение
77

принято кратко записывать в виде
if(^-f(x(t),t))A П dx(x) A1.3)
и называть правую часть континуальным интегралом от
функционала exp US (x (т))] по пространству траекторий
х (т), начинающихся в точке х' и кончающихся в х (мы
и
ввели обозначение S (х (г)) = | (тх2 (т)/2—у (х (т), x))dx\
to
величина S (х (т)) носит название классического действия
вдоль траектории х (т), а стоящая под интегралом функция
L (х, х, т) = тх2/2 — v (х, х) называется функцией Ла-
гранжа). Следует помнить, что мера в пространстве траекто-
траекторий не задается и континуальный интеграл по определению
является пределом конечнократных интегралов, так что
формула A1.3) содержит столько же информации, сколько
A1.2).
Если ф0 и фх — две функции из пространства R, то
<?/ (tlt g Фо, ф1> = J <х | и (tlt g | х'> Фо
или кратко:
(U (tlt t0) ф0, фх> = Г ф0 (х (д) фх (х (^)) х
хехр ijf — х2(т) — у(х(т), T)jdT T\ dx(x). A1.5)
Правая часть A1.5) интерпретируется как континуальный
интеграл по пространству траекторий со свободными кон-
концами.
78

Предположим, что функция v, а стало быть, и гамильто-
гамильтониан Н не зависят от времени. Определим я-точечную функ-
функцию Грина Gn (a^Ji, ..., ап, tn) гамильтониана Н как
среднее значение 7-произведения гейзенберговских опера-
операторов Т (xai (tj) ... ха (tn)) по основному состоянию Ф
гамильтониана Н (напомним, что ха (t) = exp (ifif) xa х
X ехр (—\Hf), a = 1, ..., k, а Г-произведение определяется
как произведение операторов ха (t}), расставленных в поряд-
порядке убывания времен tj)*. Производящий функционал функций
Грина
X 2 - 2 Gni^tt, ...,an, tn)Jai(ti) ... Jan(tn) (U.6)
будем называть, функционалом Грина, [Через /a (t) здесь и
дальше обозначаются финитные гладкие действительные функ-
функции, векторную функцию (/г (t), ..., Jk (t)) обозначаем J (t)].
Рассмотрим вспомогательный гамильтониан Hj = H +
ь
+ ^j Ja @ xa, зависящий от времени t, и построим по паре #j,
Н оператор
S (/, /„ | J) = exp (xHf) U (/, U | J) ехр (-1Яд, A1.7)
где U (t, to\J) — оператор эволюции, определяемый гамиль-
гамильтонианом #j.
Представим S (t, to\S) в виде ряда (см. дополнение А):
rt=0 ,
х 2 - S Г(ха1 (rj ... ^(rj)^^) ... JaJxn).
* Функции Грина легко выразить через функции Уайтм.ана
(alt tx, .... an> tn) = <*ai (h) ... \n (tn) Ф, Ф>.
79

Отсюда получаем следующее утверждение: если носитель функ-
функции J (t) = (Jx (t), ..., Jh (t)) лежит в интервале Uo, ?j,
G(J) = <S (tly t0\i)O, Ф> =
= <U (h, to\J) Ф, Ф> ехр HE &—*„)] (П.8)
(E — энергия основного состояния).
Формулу A1.8) можно рассматривать как определение функ-
функционала Грина G (J); это избавляет от рассмотрения тонких
вопросов, связанных со сходимостью ряда A1.6). При таком
определении формула
получается без предположений о сходимости ряда A1.6).
Вычислим, например, функционал Грина Go (J) гамильто-
гамильтониана
k k
0 2 /Т, dxj 2 yf^ ' '
Для этого найдем функцию Ф (t) = U (t, t0 \ J) Ф 6 L2 (Ek)
из уравнения
а=1
с начальным условием
а=1 а а=1
k
Ц х,0 (П.9)
а=1 \ а=1 /
Легко проверить, что решение A1.9) может быть записано
как
k /CO \ 1/4
а=1
X i 2 [
80
а1
ехр —i- 2 [«а (Ха-Щ, @L 2са@] ,
I 2 а=1 j

[ia(t) и ca(t) определяются из уравнений:
dt (oa
с начальными условиями ца (t0) = са (t0) = 0.
Отсюда с помощью A1.8) получаем, что функционал Грина
Go (J) гамильтониана Яо имеет вид
= exp
L
G0(J) = exp — i
L 2 а=1
где
(т~° exp[-i(os(T-0]l.
©S J
Более общий гамильтониан
яо= -
линейной заменой переменных сводится к уже рассмотренному,
поэтому можно утверждать, что для него
k 1
Go (J) = exp
2 а, р=1
Л т) J*(t)Ур(т)dtdx
Вспоминая, что Go (J) — производящий функционал функций
Грина, убеждаемся в совпадении Аа% р (t, т) с двухточечной
функцией Грина G^ (a, t, Р, т) гамильтониана Яо.
Представим Я как сумму Н — Но -\-V, где Яо — оператор
вида A1.10), V—оператор умножения на функцию да (х).
Введем еще один вспомогательный гамильтониан
Яа = Яо +ехр(—a|f|) у
и определяемый им оператор эволюции Ua (t, t0). Очевидно,
при малых а гамильтониан Яи медленно (адиабатически) из-
изменяется со временем, причем Яа (t) « Я при |^| < I/a
и Ha{tOz$HQ при |^| > I/a (множитель ехр (—а|^)
81

описывает адиабатическое включение и выключение взаимо-
взаимодействия V). Как известно, Ua (t, t0) переводит основное со-
состояние гамильтониана Яа (^0) в основное состояние гамиль-
гамильтониана На (t); это означает, в частности, что существуют
такие функции d+ (a, t, T) и d_ (a, t, T\, равные по модулю
единице, для которых
Ф = lim lim d_ (a, t, T) Ua (t, T) Фо;
Ф=Нт lim d+(a,t,T)Ua(t, Т)Ф0,
где Фо — основное состояние гамильтониана Яо. Доказатель-
Доказательство соотношений A1.11) может быть получено с помощью
адиабатической теории возмущений [13].
Выразим теперь функционал Грина через оператор эволю-
эволюции Ua, (t, t01J), определяемый гамильтонианом
ft
Ha,j = H0 + exp(—a\t\)V+ 2 /„(*) xa.
a=l
Именно, покажем, что
G(J)=,,m lim <^(^-^1^о^о>. AU2)
w a-Ob+oo <Ua(T, -Г)Ф0, Фо>
Для этого проведем следующие преобразования:
= lim <t/e (t, t01 J) Ф, Ф> exp [i E (t-t0)] =
= lim lim exp[i?(^—^0)] x
*<Ua(t,t0\J)d-(a,t0, —T)x
X Ua (t0, -T) Фо, d+ (a, t, T) Ua(t, T)Фо> =
= lim lim — . A1.13)
0-0 r-> + co exp[—\E{t—to)]d- (a, t0, —T)d+(a, t, T)
Промежуток Uo, t] выбран так, чтобы вне его функция J
обращалась в нуль; тогда при — Т <! t0, t ^ T имеем
Um (t0, - Г| J) = Ua(t0, - Т), Ua (t, Т, J) = Ua (t, Т).
Мы воспользовались при преобразовании групповым свойством:
Ua(T,- T\J) = Ua (T, t\3) Ua (t, to\J) Ua (to,-T\i).
82

При J = О функционал Грина G (J) равен единице; отсюда
ясно, что знаменатель в A1.13) можно заменить на
<?/„ (Т, —Т) Фо, Фо>. Это и доказывает A1.12).
Определим адиабатический функционал Грина Ga (J) фор-
формулой
. A1.14)
Фа(Т, -Г)Ф0, Фо>
Его коэффициентные функции G^(^i, tlt ...,hn,tn) назовем
адиабатическими функциями Грина:
GS(^ ^, ..., Я„, tn) = i» 6" Ga (J) |J= 0.
бУ^^)... 6JKn(in)
Из A1.12) следует, что
Gn(kv tlt ..., Яп, ^n) = lim GS(^, /1? ..., Xn, tn), A1.15)
a-i-0
поэтому вычисление функций Грина удобно основывать на
предварительном вычислении адиабатических функций Грина.
Используя A1.5), представим числитель A1.14) в форме
континуального интеграла:
<1/вG\ -
= $Ф0(х(-Г))Ф0(х(Г))х
xexp|i ) JU [x (т), x (t), t I J) dx\ П dx(x), A1.16)
-T J-r<T<r
где
k ¦ k
La (x, x, т | J)
A
— exp( —а|т|)йу(х) —
Знаменатель в A1.14) получается из числителя, если положить
J = 0, и, стало быть, тоже представляется континуальным
интегралом.
83

Таким образом, мы имеем выражение адиабатического функ-
функционала Грина (Р- (J) через континуальные интегралы:
G«(J) =
§Ф0(х(-Г))ф0(х(Г))
х
X ехр
X ехр
i J La(x(x), х(т),
—г
i J La(x(x), х(т),
X
П rfx (т)
~г<т<г • . A1.17)
П
Для G« (Л,!, ^, ..., Хп, tn) из формулы A1.17) получаем:
ио(х(-Г))фо(х(Г))
= lim J
x
Г т 1
ХехрИ J Lo(x(t), х(т), x|o)dxjc,
L -TJ
П
Г T 1
Xexp i|z.o(x(x), x(x), x|0)dx П dx(%)
L J -г<т<г
A1.18)
Похожие континуальные интегралы можно написать для мат-
матричных элементов адиабатической 5-матрицы Sa (напомним,
что Sa «я Sa (оо, —оо) = lim So (f, 4). гДе 5a (t, t0) =
= ехр (iHot) Ua (t, t0) exp {—\Hoto), Ua (t, t0) — оператор
эволюции, определяемый гамильтонианом На = Яо +
+ ехр (—a| t\) V). Ограничимся замечанием, что среднее зна-
значение (Sa Фо> Фо) оператора Sa по основному состоянию Фо
гамильтониана Яо равно
= lim <ехр (i ЯоТ) Ua(Г, —Г) ехр [—i Яо(—Г)] Ф„, Фо> =
Г-^ + оо
exp(i2?0r)<f/a(r, — Г)Ф0, Фо>,
и, значит, <5а Фо, Фо> можно представить с помощью фор-
формулы A1.16) при J = 0 в виде континуального интеграла.
84

§ 12. Теорема Хори
Укажем преобразование фейнмановских континуальных
ингегралов, позволяющее просто получить в рассматриваемом
случае ряды теории возмущений. Начнем с известного соотно-
соотношения
1 Г / i я ^i
/о-т ;\&/2 J г I „ ¦" , тп =m Sn "г X-J т -
vz:rl у \ z m, n = 1 т=1
г)72, A2.1)
где amn — действительная симметричная невырожденная мат-
матрица, Хт — действительные числа, Ьтп — матрица, обрат-
обратная матрице атп. Это равенство легко получается, если ли-
линейной заменой переменных привести квадратичную форму
2amn ?т?„ к сумме квадратов; тогда интеграл A2.1) распа-
распадется в произведение однократных интегралов вида
i= \ — j exp(-i—
Далее покажем, что справедливо соотношение
Bni)B'J J \ 2 т,~=1
= (detamn)-'/2X
_ 6t.--.lft)
ч, п= 1
A2.2)
Здесь Dm = ^z оператор дифференцирования по пере-
менной gm.
Равенство A2.2) фактически уже доказано, когда
F (li, —,Ът) = exp (i J] Xm lm). В силу формулы
f(Dlt .... Dft)exp(i %К
= f(iV .... UA)exp(i S
85

оно сводится к A2.1). Отсюда следует A2.2) в общем случае,
если заметить, что произвольную функцию F (?х, ..., ?ft) можно
представить в виде суперпозиции функций exp (i 2 Ят?т),
т. е. разложить в интеграл Фурье:
exp (i S 1,п1т)р(К, ..., h)dh ... d%h.
Предельным переходом от конечнократных интегралов
получаем аналог формулы A2.2) для континуальных интегра-
интегралов: континуальный интеграл
Г ехр Ц- Г A (t, а) х (t) x (a) dt do] F (х (т)) П dx (т) .
можно записать как
СехрГ-Гв(*. а)— —dtda]F(x(x))
(здесь квадратичная форма J A (t, a) x (f) x (a) dtda должна быть
невырожденной; функция A (t, а) может быть обобщенной
функцией). Отсюда видим, что континуальный интеграл
= $Ф0(х(-Г))Ф0(х(Г))х
Г. f /
><ехр h
L
h [z —о—
(т)) Л F (х (х)) П dx (т)
/ J — Г<т<Г
записывается в форме
Г Т. к
6
Г ¦ с г 4ч
8xv{a) J х(т) = с
86
х

где функция Вх, v (p. о) и константа С пока неизвестны*. Что-
Чтобы найти их, достаточно вычислить интеграл
Xexp[i
L
X exp I i 2
т i k
П
= CexpU J J 2 B».v(p,a:
8xv(a)
dp da X
г k 1
Xexp i J ] 4x{i)xx{x)dx
[T T
т И^
= C exp
Применив это преобразование к континуальному интегралу
A1.16), представим <f/a (Т, — Т\ J) Фо> Фо> в виде
<Ua(T, —Г|Л)Ф0, Фо> =
т т т
> / ч б б
т I J
(р) 6^v (a)
dp da X
X exp
— i *\exv(—a\%\)w(x(%))d%-\-
\-T
A2.3)
Для вычисления С и Вх, v (p. v) достаточно найти
<f/a (Т, —T\J) Фо, Фо> при w = 0, т. е. отыскать
(О (Т, — T\J) Фо, Фо>, где t/ (*, 41 J) — оператор эво-
k
люции для гамильтониана Яо
J\ (t) x%.
* Для проверки этого утверждения необходимо воспользоваться
тем, что функция Ф0.(х) имеет вид квадратичной экспоненты.
87

Из сказанного ранее вытекает, что функционал Грина
Go (J) для Яо задается формулой
G0(J) = <t7G\ -71|J)O0,O0>expBi?07') =
Ik т т -i
-4- 2 \ $<?(°>(Л, p,v,a)A(p)/v(a)dpda .
1 l,v=I -Г -Г J
Отсюда вытекает, что в A2.3) С = ехр (—2i ?„ 7), а
iS\,v (р, о) = G^0) (Я, р, v, or). Комбинируя A2.3) и A1.4),
запишем адиабатический функционал Грина Ga (J) для га-
гамильтониана Н = Но -\- V, где К — оператор умножения на
функцию w (х), в виде
Ga(J) = li
, J)
/l7.Jr7.(x, 0)
A2.4)
х (т) = 0
где §т (х, J) — функционал
Г ?
(х, J)= ехр — i ^ ехр (—а|т|) ш(х(т)) dx-
-г
— 1
Я= 1 —г
А т — оператор
т т
1
,
J
— 2 f f Gi0) (я- P. v- °) — — dpdal.
§ 13. Диаграммная техника
Соотношение A2.4) позволяет без труда построить фейн-
мановские диаграммы для разложения Ga (J) в ряд по воз-
возмущению V. Для этого рассмотрим сначала выражение
х
A3.1)

(здесь индексы а, |3, <хъ..., ап пробегают конечное множество
N). Легко показать, что / можно представить в виде суммы
диаграмм. Именно, следует рассмотреть диаграммы, не имею-
имеющие внешних вершин; каждой вершине сопоставляем точку
множества N, каждому ребру — множитель Ra$, где
а 6 N, P g N — точки, отвечающие вершийам ребра, каж-
каждой звезде сопоставляем множитель ш„") ....«„» гДе
ai. •••. ап 6 N — точки, соответствующие вершинам звезды*.
Всей диаграмме ставится в соответствие число, получаю-
получающееся из произведения множителей, сопоставленных верши-
вершинам и ребрам диаграммы, суммирова-
нием по точкам множества N, сопо- s' ~"-^
ставленным вершинам, и умноже-<—— ->
нием на Ш, где d—порядок груп- ^-^ ^''
пы симметрии диаграммы. (В даль-
дальнейшем нам придется рассматривать Рис 17.
также диаграммы, содержащие внеш-
внешние вершины; здесь суммирование следует производить
только по точкам множества N, соответствующим внутрен-
внутренним вершинам; число, сопоставленное диаграмме, зависит
в этом случае от точек, соответствующих внешним вершинам.)
Например, диаграмме рис. 17 отвечает число
1 "Vro.<3) „.C) D D П
— ^| ^aj, а2, а, ^а4, as, а, Аа, а4 Аа2 а, Аа3 а,-
Доказательство того, что / равно сумме всех описанных
диаграмм, не имеющих внешних вершин, получается с помо-
помощью элементарного, хотя и довольно громоздкого подсчета.
Напишем также диаграммное представление для функции
дха д.
п п- at, .... ап
Именно, 1п (к17 ..., кп) можно представить как сумму диаграмм
с п внешними вершинами, принадлежащими ребрам. Чтобы
* Так же, как и в § 4, мы рассматриваем диаграммы, состоящие из
нескольких звезд и нескольких ребер, и считаем все вершины упорядо-
упорядоченными.
89

убедиться в этом, проще всего заметить, что
dJX ••• dJx
где
1 V in) , у , \
a,, ..., an a I
Для В (J) нетрудно написать диаграммное представление,
поскольку добавление слагаемого 2 Jo. xa в показателе выра-
жения / можно рассматривать просто как изменение функций
Wa\ Это диаграммное представление отличается от диаграм-
диаграммного представления для / появлением в диаграммах нового
типа звезд — звезд с одной вершиной, которым соответствует
множитель Ja. Чтобы получить диаграммную технику для
вычисления /„ (А^, ..., А^), достаточно выделить из диаграммно-
диаграммного представления для В (J) те диаграммы, которые содержат
множитель J%i ... J% .
Воспользовавшись описанной диаграммной техникой для
вычисления In (klt ..., А,п) и /, получим диаграммное представ-
представление функции 1п (А-!, ..., А,п)//. Эта функция равна сумме всех
таких диаграмм с п внешними вершинами, принадлежащими
ребрам, каждая из компонент которых имеет хотя бы одну
внешнюю вершину, т. е. сумме всех гриновских диаграмм.
Убедиться в этом можно, воспользовавшись тем, что функция,
соответствующая несвязной диаграмме, разлагается в произ-
произведение функций, соответствующих ее связным компонентам.
Полученные диаграммные представления легко обобщить
»а выражения вида
[2
х ехР [2 jjJ» <i п) (i) (n) i n] I ;
[2^1-1^@1. ~-<*n)x(<h) ...x(an)da1...dan
+ \j(a)x(a)da\\
J JU
\
U(a)
90

1п(кх, ...Д„) = —-7— . B(J)
6/(Л) ... 0/(Л„)
где а, р, А, пробегают произвольное пространство с мерой N.
Единственное отличие от уже рассмотренного случая состоит
в том, что вместо суммирования по конечному множеству в оп-
определение функции, соответствующей диаграмме, входит ин-
интегрирование по точкам множества N, сопоставленным внут-
внутренним вершинам.
Воспользовавшись этими соображениями и формулой A2.4),
можно сразу написать диаграммное представление для адиа-
адиабатических функций Грина G™ (Pd tu ..., Р„, tn), построенных
по гамильтониану Н = Но -)- V, где Но — оператор
A1.10), V—оператор умножения на функцию w (x) =
= 2 2 а4"! ...,*.„ *A.i ••• Хх . Именно, условимся каждой
п К ^п
вершине диаграммы сопоставлять пару (К, t), где к =
= 1, ..., k, —сю < t < сю, ребру сопоставлять функцию
G!j0) (К, t, К', f), где (к, t), (Kr, t) соответствуют вершинам
ребра, а звезде — функцию
где (hy, tx), ..., (Xn, tn) соответствуют вершинам звезды. Функ-
Функцию, соответствующую диаграмме, строим из произведения
функций, сопоставленных ребрам и вершинам, обычным
способом, т. е. с помощью интегрирования по I и сум-
суммирования по К, отвечающим внутренним вершинам. Тогда
Gn (Pi. ^ъ •••> Pn. in) можно представить как сумму всех гри-
новских диаграмм.
Напомним теперь, что функцию Грина Gn (Px, tx, ..., Pn, tn)
можно записать как предел адиабатических функций Грина:
{$x,tx, ..., pn) tn).
Это позволяет получить диаграммное представление Gn, пе-
переходя к пределу a-s-Ов диаграммах для G™. Мы видим,
91

что функцию Gn также можно представить как сумму всех гри-
новских диаграмм, если только в определении функции, соот-
соответствующей диаграмме, положить а = 0, т. е. не включать
в функцию, сопоставленную вершине, адиабатический мно-
множитель ехр (—a\t1\).
§ 14. Предельный переход к бесконечному
числу степеней свободы
Основным предметом рассмотрения в предшествующих
главах были гамильтонианы B.1). Покажем, каким образом
их можно изучить с помощью предельного перехода от потен-
потенциальных взаимодействий. Ограничимся при этом наиболее
интересным случаем трансляционно-инвариантных гамиль-
гамильтонианов, т. е. будем считать, что функции Vn можно пред-
представить в виде Vn(xlt ..., xn) = vn (хх — хп, ..., х^ — х„);
функцию vn (§!, ..., §n_j) предполагаем убывающей быстрее
любой степени Ц-^ + ... + |?n_i|. Заметим, однако, что
в случае гамильтонианов, не являющихся трансляционно-
инвариантными, требуются несущественные изменения ука-
указанных ниже определений.
Чтобы получить из гамильтониана Н потенциальное взаимо-
взаимодействие HL, л, заменим в выражении B.1) интегрирование
по трехмерному пространству Es суммированием по множеству
Tl, л точек х ? Es, имеющих вид х = -г- п, где п — неотри-
неотрицательный целочисленный вектор, компоненты которого не
превышают Л • -- (иными словами, множество Tl, а состоит
из тех точек решетки -^ п, которые лежат в кубе 0 ^ х1 ^ L,
О ^ х2 ^ L, 0 ^ xs ^ L). Числа L/2n и Л будем считать
натуральными; при этом условии множество Tl,a можно
рассматривать как группу относительно покоординатного
сложения по модулю L.
Если говорить точнее, гамильтониан HL, A определяется
формулой
92

где Я|, ф| — символы, удовлетворяющие соотношениям:
= [Ф1- Ф1'1 = 0; [я^, Ф|'] = у б|'. A4.2)
(Здесь §, \' ? Г^.д; суммирование в формуле A4.1) ведется
по индексам, пробегающим TL,A.) Переход к суммированию
по решетке означает обрезание больших импульсов, а выде-
выделение точек решетки, лежащих в кубе, — обрезание в коорди-
координатном пространстве.
Если Vn являются обобщенными функциями, то опреде-
определение гамильтониана HLrJ\ должно быть модифицировано.
В этом случае HL, Л, удобно определять в импульсном пред-
представлении формулой
nkv:..,kn
3<л-2)/2
A4.3)
Здесь суммы берутся по множеству TLt л, состоящему из век-
2я
торов вида — п, компоненты которых принадлежат отрезку
[0, Л], вектор п имеет целочисленные координаты; символы
я*, фк удовлетворяют соотношениям
Я1+=я_к; Фк" = фк; [як, як'] = 0,
[фк, фк']=0; [як, фк'] =-т-бк+к'.
Переход к координатному представлению осуществляем,
пользуясь равенствами:
Два сформулированных определения гамильтониана HL, д
не эквивалентны, но в пределе L—*-oo, Л-> сю приводят
к одним и тем же результатам.
Будем рассматривать гамильтониан Hl, л как оператор
в пространстве RL, л = L2 (Е( <*-• Л>) суммируемых с квад-
квадратом функций от t (L, Л) переменных [здесь t (L, Л) — число
точек в множестве TLt jj. Именно, пространство Rl, а предста-
93

вим как пространство суммируемых с квадратом функций от
переменных х^, где § ? TL, А. Символу ф| сопоставим оператор
умножения на х%, а символу л.% — оператор — д—. [Как отме-
чалось в § 1, это по существу единственная возможность по-
построить операторы, удовлетворяющие соотношениям A4.2).]
Величины, связанные с формальным гамильтонианом Н,
можно определить с помощью предельного перехода от вели-
величин, построенных по HL, А. В частности, функции Грина Gn
гамильтониана Н определим предельным переходом от
функций Грина Gjj1 Л операторов HL, А:
Gn(Si, к,..., %п, tn) = \\m \\mi^-Knl2GLnA{l1, h, .... \п, tn).
A4.4)
Напомним, что, в силу данного в § 11 определения, функция
Gn'A Hi, h, ..., ln, tn) задана при li?TL,A, Предельный
переход в A*4.4) понимается в смысле обобщенных функций,
т. е. считаем, что для каждой основной функции ф ? У
) 2
?1. •••. in
Адиабатические функции Грина G? гамильтониана Н опреде-
определяются с помощью аналогичного предельного перехода от адиа-
адиабатических функций Грина гамильтонианов HLt A.
Для функций G^'A в § 13 была построена диаграммная
техника теории возмущений. Предельным переходом L-+ сю,
Л -> сю из диаграммного представления функций G%'A легко
получается диаграммное представление функций Gn (счи-
(считаем, что предельный переход L -*¦ сю, Л ->- сю можно
совершать в каждом члене ряда теории возмущений).
Это диаграммное представление функций Gn с очевидно-
очевидностью совпадает с представлением функций Грина, построенным
в § 4. Таким образом, по крайней мере в рамках теории воз-
возмущений, определенные в настоящем параграфе функции Gn
совпадают с обозначавшимися точно так же функциями, оп-
определенными в § 3. Аналогично получается диаграммное пред-
представление адиабатических функций Грина G^ (§1? tu ...,
94

%n> tn)\ оно отличается от диаграммного представления обыч-
обычных функций Грина множителями ехр (—а|^|), соответству-
соответствующими каждой звезде в интегралах, определяющих диаграммы.
Из этого диаграммного представления легко заключить, что
^(lu *!,..., Ъп, tn)
(по крайней мере в рамках теории возмущений).
Предельный переход L—>- сю, Л-»- сю позволяет получить
также представление адиабатических функций Грина G^ с по-
помощью континуальных интегралов. Производящий функцио-
функционал Ga (J) функций Gn может быть записан в виде
Ga(J)= lim lim /а(Г>01'/) , A4.5)
г-н-«а-+ » /«(г, Q|0)
где
J[i- ("Фа(х, -T)dx-
MP(> T)dx+iS?'.o(q>)
а
г
г
— г
I j|У (-у)ф(х> Оф(у- О-
—г а
т
— [exp(—a\t\)dt2iUx1...[dxnVn(x1,...,xn)<f(x1,t) ...
-г n a a
т
... Ф (х„, 0- f Л f dxJ(x, 0 Ф (х, t). A4.6)
-Г Q
Интеграл A4.6) берется по пррстранству функций ф (х, t),
где xgQ, — Т^^^Т (здесь Q — куб, выделяемый не-
неравенствами 0 ^ xlf x2, x3^. L). Строго говоря, нужно еще
определить, как понимать интеграл вида A4.6). Проще всего
считать его пределом континуальных интегралов, фигуриру-
фигурирующих в формуле A2.4), примененной к адиабатическим функ-
функциям Грина гамильтонианов Hl, л- Тогда соотношение A4.5)
становится совершенно очевидным.
95

Используя рассуждения § 12, функционал Ia (Т, Q\J)
можно записать по-другому:
/¦(Т, Q | У) = ехр Ц- J Лх J Ла f dxx f dx2 GB0) (хх, *х, х2, ^ х
у- у
б
— lexp[iS?;o(q>)] |Ф=с
. h) J
бф (Xlf tj) бф (Х2
(О представлении функций Грина с помощью континуальных
интегралов см. в работах [1, 6, 14].)
§ 15. Построение операторной реализации
трансляционно-инвариантного гамильтониана
Укажем конструкцию операторной реализации трансля-
трансляционно-инвариантного гамильтониана Н с помощью предель-
предельного перехода L -»- сю, Л -+¦ сю. Определим прежде всего функ-
функции Уайтмана wn трансляционно-инвариантного гамильто-
гамильтониана Н предельным переходом от функций Уайтмана w?" Л,
построенных по потенциальному взаимодействию Hl, a-
*n) = lim lim (^-
A5.1)
Функции v/n'A (xv tb .... xn, tn) определены для хг g TLtA,
—oo < ti < сю; предельный переход в A5.1) понимается
в смысле обобщенных функций. Существование предела A5.1)
можно доказать в рамках теории возмущений.
Легко проверить, что функции wn (хь tb ..., xn, tn) имеют
следующие свойства:
1) трансляционная инвариантность
wn (хх + a, tlt ..., xn + a, Q = wn (xx, t1% .... xn, tn);
2) инвариантность при сдвиге по времени:
wn (xi, ti +r, ..., xn, tn -ft) = wn (xu tlt .... xn, tn);
3) эрмитовость
wn (xlt tv .... xn, tn) = wn (xn, tn, .... хъ У;
4) положительная определенность для любой последова-
последовательности основных функций fn (хх, tx, ..., хп, tn), отличных

от нуля лишь для конечного числа индексов п, справедливо
неравенство
2л ) wh+l (,А1> ll' '••> Afc> lk> Jl> ll> •••> Jl> 4/ •*>
X f(xft, 4,..., Xl) ^ f (ylt Tlt.... уг, тг) d* xdk tdl yd1 x > 0;
5) спектральность:
jexp(icoa) wn(xv tlt ...,Xi,ti,xi+1, ti+1 +
-f a,..., xn, tn-{-a)da = 0,
если со < 0;
6) перестановка аргументов: пусть да^г) (х^ tlt ..., хп, tn) —
функция, получающаяся из функции wn перестановкой аргу-
аргументов (х,, ti) и (xi+1, ti+l). Тогда имеют место соотношения:
ш«> (xlt /lt..., xn, tn) = wn (xlt /lt ..., xn, Uh=^+1;
¦ш(,')(х1,/1,...,хЛ,/п) =
TOn(x1,i1,...,xn, tn)
ti dtt+t
= ^a'n-2(xi» ^i> •••» xi-i> xi-i> ^г+2» ti+i,..., xn, tn)b(xt xi+1);
7) инвариантность относительно обращения времени:
wn (хъ —tlt ..., xn, — tn) = wn (xlt ^, ..., xn, 4);
8) уравнения движения: если vn (%ъ ..., %n-^) — основные
функции, то функции wn удовлетворяют уравнению
— шп(х1, tlt ...,xn, /„) = — S
X И'п+й-г (Х1) ^1» •••) xi-l> ^г-1> У1> th ¦••¦> Уй.-1> ^г> хг-1> *г+1> ¦¦•
Эти свойства получаются предельным переходом из соот-
соответствующих свойств функций w?'A. Не будем проводить их
подробное доказательство. Отметим лишь, что свойство 7 выте-
вытекает из того, что гамильтониан Hl, л коммутирует с антиуни-
антиунитарным оператором комплексного сопряжения в пространстве
4 А. С. Шварц 97

L2 (Ef (L< л>), а свойство 1 — из того, что HL, л коммутирует
с оператором сдвига {/?'л, где а ? TL,A (вектору af Tl,a
ставится в соответствие перестановка элементов множества
Tl, л. ПРИ которой элемент х ? TLt Л переходит в x+af Г/.,л;
эта перестановка индуцирует унитарное преобразование про-
пространства L2 (?<<*¦• л>), обозначающееся ?/?'л).
Теперь следует воспользоваться рассуждениями, которые
применяются в аксиоматической квантовой теории поля для
доказательства теоремы реконструкции, т. е. теоремы о воз-
возможности по функциям Уайтмана при некоторых условиях
построить полевые операторы, удовлетворяющие аксиомам
Уайтмана (см., например, [11, с. 931). С помощью этих
рассуждений и перечисленных свойств функций Уайтмана
можно построить по трансляционно-инвариантному гамильто-
гамильтониану Н гильбертово пространство Ж, вектор Ф ? Ж, четыре
самосопряженных оператора Н, Р1г Р2, Р3> антиунитарный
оператор т и операторные функции ф(х, t), обобщенные по пе-
переменной х, таким образом, что:
1) выполняются требования 1—3 определения операторной
реализации гамильтониана B.1), а также условия F.5) —
F.7), дополнительно наложенные на операторную реализа-
реализацию трансляционно-инвариантного гамильтониана;
2) функции Уайтмана wn (x±, tlt ..., хп, tn) гамильтони-
гамильтониана Н равны средним значениям произведения ф (хь ^) ...
... ф (xn, tn) no физическому вакууму Ф*
Wn (ХЬ tlt ..., Xn, tn) = <ф (Х1г У... ф (Xn, tn) Ф, Ф>.
Условия 1, 2 определяют Ж, Н, Р, т, Ф, ф (х, t) однозначно
(с точностью до унитарной эквивалентности).
Сформулированное утверждение подсказывает новое оп-
определение операторной реализации. Именно, можно опре-
определить операторную реализацию трансляционно-инвариант-
трансляционно-инвариантного гамильтониана как набор объектов Ж, Н, Р, Ф, т, ф (х, t),
удовлетворяющий условиям 1, 2. Нетрудно проверить, что
когда vh{l!l, ..., %,k_j) принадлежит пространству У, оператор-
операторная реализация в описанном смысле является операторной
реализацией в смысле определения, указанного в § 2 (видимо,
это справедливо и при более слабых условиях на функции vh).
Все наши построения можно основывать на любом из двух
указанных определений операторной реализации.
* Аналогичное равенство справедливо и для функций Грина.

ГЛАВА 5
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
§ 16. Построение матрицы рассеяния
с помощью in- и out-операторов
Рассмотрим операторную реализацию (Ж, Н, Ф, ср (x, t))
трансляционно-инвариантного гамильтониана Н. Мы хотим
определить in- и out-операторы cpin (x, t) и cpout (х, t) как опе-
операторные функции, обобщенные по переменной х, которые,
с одной стороны, в некотором смысле аппроксимируют при
t -»- н= оо операторные обобщенные функции ср (х, t), a
с другой — являются свободными полями, т. е. удовлетворяют
«свободным» уравнениям движения:
d2q>in (x, t)
-^- + [ш(х-у)<р1п (у, 0 = 0
at2 J out
и коммутационным соотношениям:
[«pin (х, о. Фш (у. 01=0; Гя1п (х, о, Яш (у, 01 = 0;
'- out out out out J
Гящ (Х, 0. «Pin (У, 0|=-7-б(х — У),
L out out J 1
где я!п (х, 0 = -^гФ1п (х, 0-
out Ot out
Говоря одновременно об in- и out-операторах, будем упот-
употреблять обозначение срех (х, t). Удобно воспользоваться
(к, 0-представлением, т. е. вместо ср (х, t) применять операторы
ср (к, t), а вместо срех (х, t), яех (х, t) — операторы
Фех (к> 0 = ^3/2 j еХР (—ikx) Фех (х> 0 dxi
4* 99

подчиняющиеся уравнению
Из A6.1) вытекает, что
Фех (k, t) = cos (со (к) (t—т)) фех (к,
A6.1)
Sex(k, т),
где со (к) = \/w (к). Иными словами,
Фех(к, t) = i (Ъ(к, f-т) А фех(к, т) +
db(k,t—т)
Фе:
¦ Фех (к.'
. (х, t) = i Г Ь (х—у, ^—т) А фех (у, т)
4 ^х~у' ~х' фех(у,
A6.2)
где D(k, t), D (x, t) — функции, встречавшиеся в § 5. Отметим,
что из E.6) и E.16) вытекают соотношения:
[Фвх(х. 0. Фех (У. т)] =D(x—у, ^—т);
Равенство A6.2) подсказывает следующее определение
in-операторов. Операторные функции ^in (k, t), nin (к, t) ==
~~ат Ф1п (к, 0> обобщенные по переменной к и удовлетворя-
удовлетворяющие соотношениям:
<Pit (к, 0 = Фш(—к, 0;
[фш(к, 0. фш(р, О] = ["jn(k, 0. Я;п(р, 0]=0,
[nin (к, 0. Фш (р, О] = -г б (к + Р),
A6.3)
100

будем называть in-oneраторами, если найдутся такие неотри-
неотрицательные действительные функции со (к) и Л (к), что
Ф,П(М)= lim Л (к) |~cos (со (к) (^—х))ф(к,х) +
со(к) дх у
= lim Л (к) х | A6.4)
+ ¦
ОТ
[—со (к) sin (со (к) (t—x)) $ (к, г) +
X [—
(функция со (к) подбирается из условия существования пре-
предела*, Л (к) — из условия, чтобы операторы cpin (к, t) удов-
удовлетворяли соотношениям A6.3); предельный переход здесь
и дальше понимается в смысле слабого предела операторных
обобщенных функций). Иначе: операторные обобщенные функ-
функции cpin (k, t), nin (к, t) = щ Фш (к, t), удовлетворяющие
соотношениям A6.3), называются in-операторами, если
ф!п (к, t) = i lim Л (к)
ф(к, х) +
+ D(k, ^-х)А.
я,„ (к, 0 = i 1!тЛ(к)(а2Р(к'/-т)ф(к,х)
г-»—оо V °t
В (х, ^-представлении определение in-операторов принима-
принимает следующую форму: операторные функции ф!п (х, t),
* Позже мы увидим, что в качестве со (к) следует выбирать обозна-
обозначавшуюся тем же символом функцию, определяющую положение по-
полюсов функции G (к, со). Из этого, в частности, вытекает четность функ-
функции со (к).
101

я,-п (х, f) = -щ фл, (х, /), обобщенные по переменной х и
удовлетворяющие соотношениям:
[фш(х, 0. Ф;п(у, 0] = [Jtin(x, t), nin(y,t)]=O;
[л[п (х, 0, фш (х, 01 = -г-б (х—у),
1
называются in-операторами, если их можно представить в виде:
ф1в(х,0= Нт
у, t—г) -^ ф (у, гI dy;
—у, t—т) д
где Д (х, ^) удовлетворяет уравнению
и условию А (х, 0) = 0.
Определение out-операторов отличается от определения
in-операторов только заменой предельного перехода т -> оо
предельным переходом т-> -f оо. Ясно, что out-операторы
могут быть получены из in-операторов с помощью оператора
обращения времени т; именно*:
Щгп (х, f) = фош (x, — t)x; , j g g
к
Покажем, что in- и out-операторы удовлетворяют соотноше-
соотношениям:
ехр A#0Фвх (к, г) ехр (—!#*) = Фех (к, / + г); A6.6)
ехр ( — iPa) фех (к, г) ехр (iPa) = фех (к, г) ехр (ika); A6.7)
^ (к)фех(к,0-0, A6.8)
* Напомним, что по сделанному в § 6 предположению в простран-
пространстве^ действуют оператор обращения времени т и оператор импуль-
импульса Р. удовлетворяющие условиям F.5) — F.7).
102

или в (х, ^-представлении:
exp (ifit) фех (х, г) ехр (— \Ht) = Фех (х, / + т)_,
ехр (— iPa) фе1 (х, г) ехр (iPa) = фех (х + а, г);
-~ Фех (х. О + J w (х — у) фех (у, t) dy = О.
Равенство A6.7) сразу вытекает из F.6). Соотношение A6.6)
доказьшается следующими преобразованиями:
ехр (Ша) фех (k, t) ехр (— Ша) =
= lim Л (к) (cos (со (к) (t — г)) <р (к, г + а) +
.inmw-mjL- (k>T+0)u
со (к) дх )
= lim Л (к) (cos (со (к) (/+ ст—р)) ф (к, р) +
| sin(co(k)(<+a-p)) аф(к, р)||^
со (к) 5р j (
(мы ввели обозначение р = т + <*)• Чтобы проверить A6.8),
заметим, что
cos (со (к) (/-г)) фех (к, г) + .™т*П'-Ч) Яех (к> т) =
со (к)
= lim Tcos (со (к) (/—г)) Л (к) {cos (со (к) (г - р)) q> (к, р) -f
. sin (со (к) (т—р)) dip (к, р)) sin (со (к) (t—т)) . д /к\ х
со (к) 5р J со (к)
X {—со (к) sin (со (к) (г—р)) ф (к, р) +
lim Л (к) [cos (со(к)(/—р)) ф (к, р)
Р~±оо L
sin (со (к) (t-р)) аф(к, p)
со (к) аР
103

Из полученного равенства и аналогично доказываемого соот-
соотношения
— со (k) sin (со (к) (/ — т))фех (к, г) +
-f cos (со (к) (t — г))яех (к, г) = яех (к, г)
сразу следует уравнение A6.8).
Сделаем предположение, что вектор Ф является цикличе-
циклическим вектором семейства in-операторов cpin (/) = j f (х) q>in(x) dx,
где f ? У (это предположение можно проверить в рамках
теории возмущений). Поскольку при обращении времени
in-операторы переходят в out-операторы [см. A6.5)], можно
утверждать также, что вектор Ф циклический относительно
семейства out-операторов q>out (/) = J / (х) cpout (х, 0) dx.
Соотнощения A6.3), A6.6), A6.8) вместе с предположением
о цикличности вектора Ф показывают, что пространство Ж,
вектор Ф, оператор Я и операторные обобщенные функции
Фех (х, t) удовлетворяют всем условиям определения оператор-
операторной реализации свободного гамильтониана. Отсюда получаем,
что функции до (к) и <о (k) = j/ ш (к) почти везде положитель-
положительны и можно найти операторные обобщенные функции а^х(к),
а6х(к), задающие фоковское представление CCR и удовлет-
удовлетворяющие соотношениям:
, t) = i
«ex (k, t) = aex (k) exp [ —ico (k) t]\
atx(K t) = ae+x(k) exp [ico (k) t]\
= jkae+X(k)aex(k)dk.
A6.9)
Таким образом, при наложенных нами условиях оператор Н
унитарно эквивалентен гамильтониану
Но = jco(k)a+(k)a(k)dk,
104

описывающему свободные частицы с зависимостью энергии от
импульса, выражаемой функцией со (к). Состояние
A6.10)
является собственным для операторов Я и Р, т. е.
ЯФ (к) = со (к) Ф (к); РФ (к) = кФ (к).
Это состояние имеет физический смысл одетого одночастич-
ного состояния с импульсом к; функция со (к) — энергия этого
состояния (следует заметить, что Ф (к) — обобщенная вектор-
векторная функция от к)*. Установим связь со (к) с положением по-
полюсов функции Грина G (к, со), а Л (к) — с вычетами в этих
полюсах. Именно, покажем, что полюса функции G (к, со)
по переменной со находятся в точках +со(к); этим будет оп-
оправдано использование термина «энергия одетых частиц»
в применении к функции, определяющей положение полюсов
функции G (к, со). Функция Л (к) равна
A(k) = (Z(k))-i/*f
где М (к) — вычет в полюсе функции G (к, со) по перемен-
переменной со2.
Чтобы проверить эти утверждения, введем прежде всего
функции pn (kx кп) соотношением
= б/р+|]кДрп(к1)...,кп) A6.11)
и выразим через них функцию Грина G (р, со). Легко получить:
exp (ipo) <ф (р, 0) Ф, a,t (kj ... at(kj Ф> =
= <exp (— iPoM (p, 0) exp (iPo) Ф, arf;(k1)... a,t(kn) Ф> =
= <Ф (р, 0) Ф, exp (iPo) at (kv)... a,t(kn) Ф> =
= exp [ — 10(^4-... + kj] <Ф(Р, О) Ф, aUK)... atn(K) Ф),
* Мы покажем ниже, что а?п (к) Ф = a+ut (к) Ф и, значит, фор-
формула A6.10) однозначно определяет состояние Ф (к).
105

откуда следует, что функцию <ср(р@)Ф, ajUlq) ... а?п (кп)Ф >
можно представить в виде A6.11). Тогда
<Ф(р, t) Ф, а& (kx)... a,+n(kn) Ф> =
= <Ф(Р, 0)Ф, ехр(-1
2(/)РпAп)( S
Вычисляя скалярное произведение
<Ф(Р1. 'iW(P2> дф> ф>-<ф(Р2. ^)ф.ф(-р1.
в базисе а?п (кх) ... а& (кп) Ф, получаем
- afn(kx) ...а;+п(кп)Ф> X
Х<Ф(— Р1,^)Ф, а!+п(к1)...о!+п(кп)Ф>Л =
/=i
n=o
>(^)]|P»(ki.-.k»)l2dki...*B. A6.12)
Замечая, что
G2 (Pi, ^i, P2, g = 0 &—*,) <ф 0>v ^) ф (p2, g Ф, Ф> +
а-ъ) <ф (р2, g ф (px, g ф, ф> =
- ^) <тф(р2,
$ $, go, ф> +
. — go,o>,
(Pi, «i, P2, ю2) = -^-Гехр [io, ^ + i©^2] Gz(ft, /lf p2, g,
106

находим из A6.12) соотношение
G2 (рх, сох, р2, со2) = б (рх + р2) б (сох +со2) х
X
X У — о —
+¦
X
2
/=1
2
/= 1
из которого получается следующее представление функции
Грина G (р, со):
X
X
со
со+
|pB(k1,...,kn)|ad»k =
X
X|pn(k1,...,kn)|*d»k. A6.13)
При выводе A6.13) мы воспользовались формулой
G2 (рх, colt р2, со2) = G (рх, сох) б (рх + р2) б (сох +со2) +
+ 2п|ро|2б(рх)б(сох)б(р2)б(со2),
где р0 определяется равенством
РО6(Р)=<Ф(Р, 0)Ф,Ф>-
= Bп)~3/2 Г ехр (—ipx) <ф(х, 0) Ф, Ф> dx = BпK/2 уб(р).
Представление A6.13) для функции G (р, со) называется
представлением Челлена — Лемана. Формула A6.13) может
107

быть переписана в виде
G (р, со) =
со2—co2(p)+i0
п
/=1 /co2-Bco(M
xlpn(ki. -. к») I'd"к-
Отсюда ясно, что точка со2 = со2 (р) является полюсом функ.
ции G (р, со) по переменной со2, а вычет в этом полюсе равен
A6.14)
Далее можно написать:
«=2
X ехр Гi t 2 «> (к/Iа,+„ (кх)... аи (к„) Фй"к,
откуда
tl^L JL $
cos (со (р) (*_ г)) $ (р, г) Ф + ^J^mtl^L JL $ (р, г) Ф =
со (р) от
= exp[ico(p)^]p1(—р)а^(—р)Ф +
+ cos (со (р) {f- г)) 2 Л f Р» (ki' -'k")б (р + 2 к^ х
X ехР | it 2 ** (k^lai« (ki) • • • ai» (
: Sin(a)(p)(/-T)) у 1
l2
Хб/р+ 2 k^2 со(к^ехрГк 2

Переходя к пределу при т-> ± оо и учитывая, что слагае-
слагаемые, содержащие интегралы, стремятся к нулю (из-за быстро
осциллирующей экспоненты), получаем:
lim (cos (со (р) (t—г)) ф (р, г) Ф +
+ sm((o(p)(f-T))J_ Ф (Р. г)ф) =ехр [ко (р) t) Pl (-p) a,+n (-р)Ф.
со (р) ох '
A6.15)
С другой стороны, в силу A6.4)
lim Л(р) (cos (со (р) (t — т))ф (р, г) +
%f Ф()) ф
(О (р) д% I out
exp [i(o (р) t) atn (-P) Ф- A6.16)
t
= J— exp [i(o (р) t) atn (
|/2(В (р) out
Из A6.15) и A6.16) вытекает равенство
'/2, A6.17)
а также упоминавшееся выше соотношение а?п (р) Ф =
= «out (р) Ф- Комбинируя равенства A6.14) и A6.17), полу-
получаем нужное выражение для Л (р) (при его выводе следует
учесть неотрицательность функции Л (р) и четность функций
Z (р) и со (р)).
Из представления Челлена — Лемана вытекают сформули-
сформулированные без доказательства в § 7 утверждения, что Z (р)
действительно и заключено в пределах 0 ^ Z (р) ^ 1. В са-
самом деле, из соотношения A6.14) следует неотрицательность
Z (р). С другой стороны, из A6.12) и B.15) легко вывести ра-
равенство:
у 2 тл Iб (р+р') б (р- S k') B 2 е0 (к^)х
too

откуда
n=2
2 A6.18)
Поскольку Z (p) = I px (p) |2 2co (p) — одно из слагаемых
в сумме A6.18), а все слагаемые неотрицательны, то 0 ^
<Z(p)<l.
Назовем матрицей рассеяния (S-матрицей) унитарный
оператор S в пространстве Ж, удовлетворяющий условиям
ф1п (х, t)S = Sqw (x, t); S Ф = Ф. A6.19)
Чтобы доказать существование и единственность такого опера-
оператора, заметим, что требования A6.19) эквивалентны условиям
ain (к) S = Saoul (к); SO = Ф, A6.20)
а из теоремы об унитарной эквивалентности двух фоковских
представлений OCR (см. дополнение А) вытекает существо-
существование единственного оператора S, удовлетворяющего усло-
условиям A6.20).
Легко видеть, что оператор S коммутирует с операторами
Я и Р. Проверим, например, что S коммутирует с Я. Из A6.9)
вытекает:
ехр (НН) aia (k) Sexp (-UH) =
=ехр (НН) аы (к) ехр (—НН) ехр (НН) X
X S ехр (— UH) = ain (к) ехр (—ко (к) t) X
Xexp(tf#)Sexp(— HH);
A6.21)
ехр (НН) Saout (к) ехр (—НН) =
= ехр (НН) Sexp (—HH)aoui (к) х
Хехр( —ico(k)f).
Из равенств A6.20), A6.21) получаем:
ain (к) ехр (НН) S ехр (— if Я) = ехр (НН) S exp(-itH) aout (к),
откуда, в силу единственности оператора, удовлетворяющего
условиям A6.20), ехр (itH) S = S ехр (ПН).
ПО

Рассмотрим матричные элементы Smn(k1,..., km 11Х, ..., 1П)
оператора S в обобщенном базисе ' atn (к^ ... atn (kn) Ф
(в in-базисе):
^т, п (*1> •••> Кт I 1ц ••., 1П) =
= < Satn (li)... ata A„) Ф, atn (К) - atn (кт) Ф > =
= ^ДОО ...а+„Aп)Ф^'1 сА(кх)...аА(кт)Ф> =
= <а,+„ AХ)... а;+п A„) Ф,a0+ut (К)... a0+ut (km)Ф >.
Пользуясь тем, что оператор S коммутирует с Н и Р, предста-
представим функции Sm>n в виде
/ m n \ I m
хб
т п \ I m n
/ = .! /=1 / \/=1 /=
Функции от п называются амплитудами рассеяния (иног-
(иногда этот термин употребляют также по отношению к Sm>n).
Квадраты модулей этих функций задают вероятности пере-
переходов из in-состояний в out-состояния. (Подробнее о связи
|tfm>n|2 c дифференциальными эффективными сечениями рас-
рассеяния можно прочесть, например, в книге [6].)
Полезно отметить, что S переводит out-состояния в in-co-
стояния:
Sa+Ui (kx)... a0+u, (кщ) 9 - atn(kx)... atn (kJ6.
Матрицу рассеяния >можно рассматривать как оператор в простран-
пространстве ^?as = F (Е3) (пространстве фоковского представления CCR).
Тогда ее следует определять формулой S—S$S-, где S+ и S_ —опе-
—операторы, удовлетворяющие соотношениям:
S+fl(k)=aout(k)S+, S+9 = ©;
S_a(k)=aln(k)S_, S_9 = (D
(матрицы Меллера). Это определение просто связано с определением,
используемым в настоящей книге, — матричные элементы оператора S
в базисе a+(kj) ... a+(kn) 9 совпадают с матричными элементами S
в in-базисе:
<Sa+(h) ... а+A„)в, а+(кх) ...a+(km)9> =
= <S_a+(l1)... fl+(lnN, S+a+ikJ ... a+(km)9> =
• ак,A„)Ф, a0+ut (kx) ... aout (km) Ф> =
= <Sa& (h) ... atn (\n) Ф, «in (M ... atn (km) Ф>.
HI

S-матрицу удобно представлять в нормальной форме
(см. §5)*:
S = 1i\vn(xlf xlf....х„,т„)N(ф,„ (xlf т^)... ф!п (х„,т„)) X
х da xdn т = 2 jj vn (ki, xlf.... kn, т„) N (фщ (klf т,)...
-?in(kn,Tn))d"kd«T. A6.22)
Зная функции vn, нетрудно вычислить амплитуды рассеяния
Smin. При условии k^q/ (t = 1,..., m; / = 1, ..., п) имеет
место формула
(—kj.o (kj),..., —km,o (km), qlf—a (qx), .... qn, —
- «»(qj) = Um xd« t' exp [i f « (k,-) т— i J] « (q;) T/' 1 X
X vm+n{—V1,x1,..., — km,xm,(\1,x[, ...,qn,r'n) =
вытекающая из соотношения E.24).
Покажем, каким образом S-матрица записывается в нор-
нормальной форме, если известны функции Грина Gn гамильто-
гамильтониана Н. Убедимся, что в (к, ^-представлении функции vn
можно выбрать в виде
n (—ki, Tlf...,—kn, т„) = -^-Л (kx)... Л(kn) x
xGn(K^u-,K^n)- A6.23)
[В § 5 говорилось, что существуют разные способы записи опе-
оператора в нормальной форме; формула A6.23) указывает один
из возможных выборов vn.l
Напомним, что уже было установлено, каким образом функ-
функции Л (к) и о (к) можно выразить через функцию G (к, со).
* Использование результатов § 5 правомерно, так как g>in (x, t)
можно рассматривать как свободные поля.
112

Для доказательства равенства A6.23) воспользуемся соотно-
соотношением
[ST (ф (р15 /х)... Ф (pn. О), Фш (q, 01 =-f $ ^тЛ (q)D (q,*-t) X
— ОО
ST (у (Р1,^)... у (pn,tn) у (q,x)). A6.24)
Это соотношение (редукционная формула) доказывается сле-
следующими преобразованиями:
[ST (ф (Pl, tj ... Ф (р„, tn)), ф,„ (q, 01 = 5Т($ (Pl, /x) X ...
- X Ф (Рп. 'п)) Фш (q. 0 — Фш (q, t) ST (ф (р15 О ... $ (рп, /„)) =
Pl, t,)... $ (р„, fn))$in (q, 0-5 qw (q, 0 T (ф (pl5 /x) X ...
Pn,a = i5 lim A(q)f дп^^ х
( at
D(q,/-t) X
-iS lim A(q)x
+
+ D(q, t-x)-?—T($(px, fx)... Ф(р„,fn) Ф (q,
ат
{ дх
oo
—D (q, f—т) -f- Г (ф (plt ^)... Ф (р„, ^) Ф (q,
= iS
113

(Мы воспользовались здесь тем, что при т -*¦ — оо Т (ср (рх,
t^... ф (р„, tn)) ф (q, т) можно заменить оператором Г(ф(р1, t^)...
¦ ¦• Ф (рп, 4) Ф (<Ь т)), а при т-^ + оо Ф (q, т) Г (ф (р„ у ...
... ф(рп. tn)) заменить оператором Т (ф (q, т) ф (р1( tj... ф (р„,
tn)).) Многократное применение A6.24) позволяет написать:
X J йт„ J dr^.!... J dTx Л(qx)... Л (qj -D (qlf /x — tx) ...
...D(qn,tn-xn)
и, значит,
xGn(qi,T1,...,qrt,Tn). A6.25)
С другой стороны, из E.18) вытекает:
< [.- IS, ф,„ (%,/!)]... Фь (qn, tn)]Ф, Ф} =
^i-T1)--6(qn,<n-Tn) X
Xvn(-qi,r, -qn,Tn)d«r. A6.26)
Комбинируя A6.25) и A6.26), получаем нужное соотношение
A6.23).
Функции vn удобно выражать через регуляризованные
функции Грина GTnee. Для этого введем регуляризованный по-
полевой оператор в (к, ^-представлении:
и в (х, ^-представлении:
i
х ф (у, 0 dy,
114
1 С ~ р ~
фге8 (х, 0 = —75 ) ехР (ikx) Фге8 (К О dk = ] Л (х—у) х

где Л(х) = — ( Л (к) exp (ikx) dk. Функции Грина, по-
построенные с помощью регуляризованных полевых операторов,
назовем регуляризованными функциями Грина:
Grnee (Kh, -,K,tn) = A(k1) ...A(kn)Gn(Ktv-,KJnY,
\Xi,ti,...,xn,tn) =
= ^A(x1—y1)...A(xn—yn)Gn(y1,ti,...,yn,tn)dy1...dyn.
Выражения vn, vn через регуляризованные функции Грина
имеют более простой вид:
где Ki — оператор, действующий по формуле
Ktf{*»h хп,у = -^|-/(х1,/1 xn,in) +
1,tu ..., x,_lf tt-ltyt, tu x/+lf tt+1, ...,xn,tn)dyt.
§ 17. Адиабатическое определение
матрицы рассеяния
Данное в § 16 определение матрицы рассеяния основано на
построении операторной реализации трансляционно-инва-
риантного гамильтониана. В гл. 4 был развит другой подход
к взаимодействиям вида V (ф), основанный на предельном
переходе от потенциальных взаимодействий. В этой главе по
трансляционно-инвариантному гамильтониану Н = Н0 -\-V ви-
вида C.3) был построен гамильтониан Hl, а = Но. l. a + Vl, a»
получающийся обрезанием по импульсам и координатам.
115

Как говорилось, трансляционная инвариантность гамиль-
гамильтониана Н означает, что коэффициентные функции Vm воз-
возмущения V можно представить в виде Vm (xlf ..., xm) =
=vm(x1—xm, ..., xm_!—xm); функции vm предполагаем^при-
предполагаем^принадлежащими пространству if. Функцию e (k) = ]/y (k), где
v (k) фигурирует в k-представлении гамильтониана Яо, счи-
считаем гладкой функцией, все производные которой имеют не
более чем степенной рост.
Обозначим Sa'А адиабатическую S-матрицу, построен-
построенную по операторам HLt A, #о.?, л- (Определение адиабати-
адиабатической S-матрицы, построенной по операторам Н, Но, дается
в дополнении А.)
В нерелятивистской квантовой механике матрицу рассея-
рассеяния можно получить из адиабатической S-матрицы с помощью
предельного перехода a-v 0. В квантовой тебрии поля также
часто пытаются определить матрицу рассеяния с помощью ана-
аналогичной конструкции. Однако при этом приходится сталки-
сталкиваться с существенными затруднениями. В частности, вычис-
вычисляя по теории возмущений матричные элементы оператора
Sa'A, получаем расходящиеся выражения как при снятии
обрезания по объему, т. е. при L -*¦ оо, так и в пределе a -?- 0
(напротив, при снятии обрезания по импульсам Л -*¦ оо при
наложенных нами условиях на функции в (к) и vm получается
конечный предел). Чтобы убедиться в этом, запишем опера-
оператор Sa', Л в нормальной форме:
A 2 P:(Mk*jx
A7.1)
где
ехр(— 'iH0,L,At),k 6 fi,A-
Для вычисления функций p^; „ по теории возмущений может
быть построена диаграммная техника, аналогичная диаграм-
диаграммной технике для функций Грина. Представление оператора
Sa'A в виде ряда теории возмущений получается с помощью
соотношения
Пв

где
X ф(кх,/)... ф(кт,/)
(см. дополнение А); приведение к нормальной форме осущест-
осуществляем, применяя теорему Вика. Мы не останавливаемся на
описании диаграммного представления функций р„; „, по-
поскольку оно подробно описано во многих книгах по квантовой
теории поля, и мы его в дальнейшем не будем использовать.
Легко видеть, что число pa,' ^ не имеет конечного преде-
предела ни при L -v оо , ни при а ->¦ 0 (для проверки этого доста-
достаточно заметить, что диаграммы, не имеющие внешних вер-
вершин, — вакуумные петли — расходятся как при L -*¦ оо ,
так и при a-v 0). Однако в каждом порядке теории возмуще-
возмущений существует конечный предел:
lim lim lim —^—'—' . —'—-— =
— 9m (кц tv ...,km, tm). A7.2)
Естественно предположить, что функции pm тесно связаны
с амплитудами рассеяния. Но ситуация оказывается не столь
простой: чтобы с помощью описанной конструкции получить
матрицу рассеяния, следует включить в исходный гамильто-
гамильтониан Я добавочные слагаемые (контрчлены, соответствующие
перенормировке одночастичной энергии и волновой функции).
В стандартных изложениях квантовой теории поля пользу-
пользуются именно такой процедурой, но там рассматривается сразу
лоренц-инвариантный случай и контрчлены вводятся для ко-
конечности теории; при этом остается в тени то обстоятельство,
что в случае отсутствия расходимостей для получения физи-
физической матрицы рассеяния также нужно вводить контрчлены,
правда, конечные.
Не будем подробно описывать намеченную выше конструк-
конструкцию матрицы рассеяния. Существует другая конструкция,
позволяющая построить матрицу рассеяния по адиабатиче-
адиабатическим S-матрицам Sa' A, не прибегая к введению в гамильто-
117

ниан каких-либо контрчленов. Именно, матрицу рассеяния
S можно определить как оператор в фоковском пространстве
F (Е3), имеющий матричные элементы
=limlim lim
а-*-0 1.^ооЛ->оо
Г т п
]/ П о??, (к<|к{) П^;
Здесь
а+ (к), а (к) — операторы рождения и уничтожения в фоков-
фоковском пространстве F (Е3)\ операторы а?, аи' где k g TL, л, оп-
определяются соотношениями:
QL, л — основное состояние оператора Яо, ?., л- Этот опе-
оператор записывается через а?, ак:
Но, l, л = Е е (к) atf ak + const.
Предельный переход от функции дискретного аргумента,
стоящих в правой части A7.3), к функциям непрерывного ар-
аргумента понимается в смысле обобщенных функций. Когда
функция е (к) удовлетворяет условию е (к, -f к2) < е (kj) -f 6A^),
можно, используя теорию возмущений и применяя час-
частичное суммирование ряда теории возмущений, установить
связь между оператором S и матрицей рассеяния S, определен-
определенной в предыдущем параграфе с помощью in- и out-операторов.
118

Удается доказать, что функции Sm<n (кх, ..., кт\\и ..., 1„)
совпадают с матричными элементами оператора S в in-ба-
зисе:
¦? /ь ь | 1 | 1
'-'т, п \Л1' •••' Лт I 'it ••¦' 'п/ —
= <Sai+n(l1) ... а,+„Aп)Ф, aft (кж) ... а;+(к„)Ф> =
— 9 /к к I I \ \
Таким образом, сечения рассеяния с равным успехом вы-
вычисляются по оператору S и по оператору S. Доказательство
этого утверждения (адиабатической теоремы) можно получить
с помощью незначительной модификации рассуждений статьи
[15]. Мы не будем проводить здесь доказательства адиабати-
адиабатической теоремы. Отметим только, что асимптотику матричных
элементов o?,'m, n оператора S?' Л при a-vO нельзя полу-
получить с помощью соотношения A7.2). Дело в том, что они выра-
выражаются через преобразования Фурье функций р„; т, п по пе-
переменным tlt ..., tm, однако вычислять предел функций о?; ?, „
с помощью A7.2) нельзя в силу того, что предел в A7.2) не-
неравномерен по tlf ..., tm. Асимптотику матричных элементов
°а,' о", о и о„; ? i можно получить с помощью адиабатиче-
адиабатической теории возмущений (см., например, [13]). Именно, при
a -v 0 оказывается:
где ELiA(g) и «L)A(k|g) — энергии стационарных со-
состояний оператора Яо, и л +gVL, лг получающихся по
теории возмущений соответственно из основного состояния
0l, л и одночастичного состояния ak 0l, л оператора Яо, l. л
(иначе EL,A.(g) определяется как энергия основного состоя-
состояния оператора Яо, l. л +g^L. л. а coL> л (k|g) — как наи-
наименьшая энергия того же оператора при условии, что импульс
равен к). Таким образом, видим, что в пределе a-vO числа
Оа,' и 1 и Оа,' t, I (k | к) по модулю равны единице.

ГЛАВА 6
ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНЫЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
§ 18. Постановка задачи
До сих пор мы рассматривали практически произвольные
взаимодействия вида V (ф). Наиболее интересны взаимодейст-
взаимодействия, приводящие к лоренц-инвариантной S-матрице. Разумеет-
Разумеется, чтобы имело смысл говорить о лоренц-инвариантности
S-матрицы, следует предположить, что функция со (к), выра-
выражающая энергию одетых частиц через их импульс, имеет реля-
релятивистский вид У к2 + т2. Лоренц-инвариантность можно
понимать, например, как возможность записать S-матрицу
в виде A6.22) с функциями vn, инвариантными относительно
преобразований Лоренца. Для выделения взаимодействий, ко-
которые обладают этим свойством, вспомним, что рассматри-
рассматриваемые гамильтонианы получаются при квантовании клас-
классических систем с функционалом Гамильтона A.8). Естествен-
Естественно предполагать, что при квантовании лоренц-инвариантной
классической системы получается лоренц-инвариантная кван-
квантовая система.
Уравнения движения A.10), соответствующие функционалу
Гамильтона Ж{л, ср), лоренц-инвариантны, если-
где / (ф) — произвольная функция, поскольку тогда они при-
принимают форму
Лоренц-инвариантность уравнений A8.1) означает, что они
сохраняют свой вид при замене ф (х) на ф (gx), где g— пре-
преобразование Лоренца. Наиболее простым уравнением вида
A8.1) является линейное уравнение A.24) (уравнение Клей-
Клейна— Гордона); ему соответствует функция Гамильтона A.25).
120

Таким образом, следует рассмотреть формальные гамиль-
гамильтонианы
Н = \{Vn* Wdx+ S<Vfp (x)Jdx) + [f (Ф (х)) dx, A8.2)
где л (х), ф (х) — символы, удовлетворяющие соотношениям
B.7), B.8). Такие гамильтонианы носят название локальных.
Ограничимся случаем, когда функция / является полиномом,
так как достаточно полная теория неполиномиальных гамиль-
гамильтонианов пока еще не построена (см. [16—18]).
Обычно гамильтонианы вида A8.2) записывают как сумму
свободного гамильтониана Яо и взаимодействия V:
х))Жс. A8.3)
Основное внимание в этой главе уделено взаимодействию
x)dx, A8.4)
которое во многом аналогично квантовой электродинамике —
единственной лоренц-инвариантной квантовополевой теории,
с достоверностью, подтвержденной экспериментом.
Взаимодействие в гамильтониане A8.3) может быть за-
записано в виде B.2), где
* п (Х1> •••> Хп) = Vn (Xl хп>.-"> Х?г-1 Хтг) =
= Хп8(х1—х„) ... 8(хп_1—хп).
Однако фейнмановская диаграммная техника непосредственно
неприменима в рассматриваемом случае, поскольку Vn — обоб-
обобщенные функции [при вычислении фейнмановских диаграмм
возникают математически неопределенные выражения — про-
произведения обобщенных функций в (х, ^-представлении и рас-
расходящиеся интегралы в (к, ю)-представлении]. Чтобы придать
смысл взаимодействию в гамильтониане A8.3), естественно
использовать предельный переход от взаимодействий V\ ви-
вида B.2) с гладкими функциями V% (xx, ..., х„), т. е. представ-
представлять Vn = M(xi — хп) ... б (хп_1 — хп) в виде
' п (Х1> •••> Хтг) == ®п (Х1 хтг» •••> Хп-1 Хп/
= 11ГП Vn \Х± Хп, ..., Хп-^ xnji
Л
121

где v%— гладкие функции; предел понимается в смысле обоб-
обобщенных функций [для построения последовательности Vn
можно, например, воспользоваться соотношением б (х) =
^ ехр (— х2А2)].
Л->°о
Описанную замену vn «хорошими» функциями называют
обрезанием по импульсам, так как в импульсном представ-
представлении ей соответствует замена функции
функцией
где/л (kj, ..., к„) — быстро убывающая функция импульсов
ki, ..., к„, удовлетворяющая условию
limfA(k1, ..., kj=l.
Л-юо
Величину Л называют параметром обрезания.
Если Я = Яо + V — гамильтониан вида A8.3), ЯЛ =
= Но + V\ — гамильтонианы, полученные из Я обреза-
обрезанием по импульсам (Я = lim Яд), то напрашивается опре-
Л->оо
деление матрицы рассеяния S и функций Грина Gn гамильто-
гамильтониана Я как предела при Л -> оо матриц рассеяния SA и
функций Грина G%, построенных по гамильтонианам ЯЛ. Ко-
Конечно, при таком определении матрица рассеяния может ока-
оказаться зависящей от способа обрезания (т. е. гамильтониану
Я будет соответствовать целое семейство матриц рассеяния).
К сожалению, как правило, последовательность операто-
операторов S\ либо расходится, либо слабо сходится к единичному
оператору, и, стало быть, указанная конструкция приводит
к тривиальной S-матрице. Однако эта конструкция модифи-
модифицируется так, чтобы в некоторых случаях она давала нетри-
нетривиальную лоренц-инвариантную S-матрицу (по крайней мере
в рамках теории возмущений). Модифицированная конструк-
конструкция сопоставляет матрицу рассеяния (точнее, семейство
матриц рассеяния) не одному гамильтониану A8.3), а целому
семейству гамильтонианов такого вида,
122

Рассмотрим семейство взаимодействий A8.4). Введем об-
обрезанное по импульсам взаимодействие
V (g, Л) = g J vA (хх—х4, х2 —
—х4) х3—х4) ф (xj ... ф (х4) d* х, A8.5)
где
va (li, 12, У = Л9/ (Л^, Л12, ЛУ, A8.6)
/—функция из пространства ?f, удовлетворяющая условию
Построим матрицу рассеяния S (т, g, Л), отвечающую взаи-
взаимодействию V(g, Л) и энергии одетых частиц ®(к) = }/к2-{-т2
(напомним, что в § 7 и 9 строились варианты теории
возмущений, в которых матрица рассеяния выражалась через
взаимодействие и энергию одетых частиц). Параметр т на-
называется физической массой; говоря о частицах с физической
массой т, мы всегда имеем в виду одетые частицы, энергия
которых задается законом ш (к) = ]/к2 -\- т2.
Матрицей рассеяния частиц с физической массой т, otnee-
чающей семейству взаимодействий A8.4), называем оператор,
который может быть представлен в виде
S = limS(m,gA,A), A8.7)
где g\ — произвольная функция Л (предел операторов здесь
и дальше понимается в смысле слабого предела).
Справедливо (по крайней мере в рамках теории возмуще-
возмущений) следующее утверждение: для каждой массы т существу-
существует однопараметрическое семейство S-матриц, отвечающих
семейству взаимодействий A8.4); эти S-матрицы лоренц-ин-
вариантны*. Доказательство данного утверждения намечено
в следующих параграфах; там же указано представление
S-матриц, отвечающих взаимодействиям A8.4), с помощью
фейнмановских диаграмм.
Сделанное утверждение называют теоремой о перенорми-
перенормируемости A8.4) и формулируют обычно следующим образом:
чтобы построить S-матрщу по взаимодействию g J ф4(х) dx,
* При определении взаимодействия V (g, Л) мы использовали функ-
функцию f ? SP, от выбора которой a priori может зависеть, какие S-матри-
S-матрицы соответствуют нашему семейству взаимодействий. На деле оказы-
оказывается, что семейство S-матриц не зависит от выбора /.
123

нужно сделать перенормировку массы и заряда. Слова «перенор-
«перенормировка массы» означают, что при снятии обрезания по им-
импульсам, т. е. в процессе предельного перехода Л->• оо , счи-
считаем фиксированной энергию одетых частиц ]/ k2 -\- яг2; сво-
свободный гамильтониан Но при этом зависит от Л. Говоря о пе-
перенормировке заряда, имеют в виду, что константу связи g (го-
(голый заряд) в процессе предельного перехода Л -> сю следует
считать зависящей от Л.
Остановимся немного на физическом смысле наших пост-
построений. Предположим, что в природе существует только один
тип частиц— бозоны массы т с взаимодействием A8.4), при-
причем константа связи g неизвестна. Заменим взаимодействие
V обрезанным взаимодействием V (g, Л) и вычислим S-матрицу
S (яг, g, Л), соответствующую рассеянию частиц с физической
массой т и взаимодействием V (g, Л). При больших Л опера-
оператор S (яг, g, Л) достаточно точно описывает интересующий нас
процесс рассеяния. Неизвестный параметр g нужно при этом
определить, найдя экспериментально какую-нибудь одну фи-
физическую величину а и сравнив ее значение с теоретически
вычисленным [если г (яг, g, Л) — значение выбранной вели-
величины при параметрах m,g,A, то g определяется из уравнения
/¦(m, g, Л) ,= а]. Разумеется, пользоваться описанным ре-
рецептом можно при условии, что окончательный ответ не за-
зависит от выбора Л, если, конечно, Л достаточно большое. Тео-
Теорема о перенормируемости и означает выполнение этого усло-
условия [если устремить Л к бесконечности, считая, что g зависит
от Л и определяется из уравнения г (яг, gA, Л) = а, то мат-
матрица рассеяния S (m, gA, Л) имеет предел, зависящий от па-
параметров яг и а].
Оставляет некоторое чувство неудовлетворенности то, что
в рассматриваемом случае нельзя поставить в соответствие от-
отдельно взятому гамильтониану S-матрицу, а нужно говорить
о S-матрице, построенной по семейству гамильтонианов. В свя-
связи с этим можно, например, предположить, что гравитацион-
гравитационное взаимодействие порождает эффективное обрезание по им-
импульсам локальных взаимодействий, т. е. реализуются именно
взаимодействия типа V (gt Л), где Л велико. Это предположе-
предположение обсуждалось в некоторых работах, например [19, 20]; его
подтверждение объяснило бы, с одной стороны, успех локаль-
локальной квантовой теории поля, а с другой — освободило бы от
трудностей, связанных с локальностью.
Существуют и другие предположения, сводящиеся к то-
тому, что локальные теории — лишь идеализация осущест-
124

вляющихся в природе нелокальных в каком-то смысле взаи-
взаимодействий. Однако заметим, что независимо от справедливо-
справедливости этих предположений невозможно построить S-матрицу
по взаимодействию A8.4) с фиксированным g еще и по чисто
математическим причинам, а именно: выражения, с которы-
которыми приходится встречаться при попытке анализировать это
взаимодействие, не вводя обрезания по импульсам, не имеют
четкого смысла. В качестве модели рассмотрим трехмерную
нерелятивистскую частицу, движущуюся в поле потенциала
U (х) = Х8 (х). Здесь также можно ввести обрезание по им-
импульсам, другими словами, заменить этот потенциал, напри-
например, на V\ (х) = ХЛ3/ (Лх), где / ? &>, J / (х) dx = \. Оказывает-
Оказывается, что операторы exp [iff (X, A) t] с ff (к, Л) = ff0 + Va, ff0 =
= •— А при Л->- оо сходятся к exp (iffo0. T- е. при снятии
обрезания взаимодействие исчезает. Однако удается подо-
подобрать зависимость А, от Л и а, при которой существует силь-
сильный предел:
s lim exp [iff (Я,А (а), Л)./] = Ua (t),
Л-»-оо
и операторы Ua (t) можно представить в виде Ua(t).=
=ехр [iff (a) Й, где Н (а) — самосопряженный оператор, ко-
который, к сожалению, описать довольно сложно. Итак, в этой
простой модели также нельзя придать смысл формальному
гамильтониану
-д+аад,
но семейству таких формальных гамильтонианов соответствует
семейство самосопряженных операторов Гамильтона Н (а), по
которым можно вычислять различные физические величины
(например, S-матрицу). Подробное исследование разобран-
разобранной модели и аналогичных моделей проводится в работах
[21, 22].
Данное выше определение семейства S-матриц, отвечаю-
отвечающих семейству взаимодействий A8.4), можно пытаться при-
применить в других случаях, например для семейства g J cpra(x)dx.
При п—3 также справедлива теорема о перенормируемости;
более того, в этом случае нет необходимости перенормировы-
вать заряд. Иными словами, справедливо следующее утверж-
утверждение (в рамках теории возмущений): для взаимодействия
125

g j ф3 (x) dx матрицы рассеяния SA~ S (m, g, Л), построен-
построенные no «обрезанному взаимодействию»
У (g> л) = 8 ) va (Xx—x3, x2—x3) ф (хх) ф (Ха) ф (x3) dxx dx2 dxs
и энергии одетых частиц а> (к) = ]Ak2 + т*> «Рм снятии
обрезания стремятся к лоренц-инвариантной матрице рассея-
рассеяния S (m, g) (снятие обрезания, означает предельный переход
Л -> оо, функция vA A1( 1а) =Л°/ (Л11( Л1а), где /? У). Опе-
Оператор S (m, g) имеет физический смысл матрицы рассеяния
частиц с физической массой тис законом взаимодействия
8 J Ф3 (х) ^х.
Перенося определение семейства S-матриц на семейство
взаимодействий g J ф" (х) dx при n ^ 5, приходим совсем к дру-
другим результатам. Оказывается, что у такого семейства взаи-
взаимодействий нет нетривиальных S-матриц в определенном
выше смысле. Иначе говоря, если у последовательности мат-
матриц рассеяния S (m, gA, Л) существует предел при снятии
обрезания, то он обязательно является единичным операто-
оператором. Это утверждение назовем теоремой о неперенормируемо-
сти взаимодействий g § (рп (х) dx при п ^ 5, поскольку оно
показывает, что перенормировкой массы и заряда нельзя по-
получить нетривиальную S-матрицу для этих взаимодействий.
Все известные к настоящему времени определения S-матрицы
либо также не дают возможности построить для g J ф" (х) dx при
п ^ 5 нетривиальную S-матрицу, либо приводят к семейству
S-матриц, зависящему от бесконечного числа параметров.
Данное выше определение семейства S-матриц для взаимо-
взаимодействий A8.4) можно записать в различных формах. Ввиду
большой важности этого определения и теоремы о перенорми-
перенормируемости приведем несколько модификаций.
Рассмотрим семейство гамильтонианов Н (w, g) —
= tf0 (w) + gV, где
#оИ = j J л2 (x) dx + -L j w (х-у) ф (x) ф (у) dx dy;
w (x) — произвольная функция.
Матрицей рассеяния семейства гамильтонианов Н (w, g)
называем оператор S, который можно представить в виде пре-
126

дела матриц рассеяния S (wA, gA, Л), построенных по га-
гамильтонианам
H(wA, gA, A) = H0(wA) + V(gA, Л)
(здесь Л-э-оо, взаимодействие V (g, Л) определено форму-
формулой A8.5), зависимость wA и gA от Л произвольна).
Нетрудно видеть, что теорема о перенормируемости взаи-
взаимодействия A8.4) эквивалентна следующему утверждению:
среди матриц рассеяния семейства гамильтонианов Н (w, g)
существует зависящее от двух параметров семейство лоренц-
инвариантных матриц рассеяния; матрицы рассеядия из это-
этого двупараметрического семейства совпадают с определенными
выше матрицами рассеяния, отвечающими семейству взаимо-
взаимодействий A8.4).
Семейство гамильтонианов H(w, g) в сформулированном
определении можно заменить семейством
Н' (w, g) = H0(w) +gV,
где
V' = N J ф* (х) dx.
В самом деле, для любой w и любого Л легко найти такую
функцию w', что
Но (w) + V fe Л) = Но (wr) + V (g, Л) + const
(взаимодействие V' (g, Л) определяется по взаимодействию
gV' так же, как V (g, Л) строится по gV). Пользуясь этим соот-
соотношением, убеждаемся, что семейства S-матриц, построенные
по семействам, гамильтонианов Я (w, g) и Н' (w, g), совпадают.
То же рассуждение показывает совпадение матриц рассея-
рассеяния частиц с физической массой т, построенных по взаимо-
взаимодействиям gV и gV'.
Во всех приведенных определениях S-матрицы способ об-
обрезания по импульсам можно было фиксировать (например,
положив vA (glf 12, У = (AW) ехр [ - (%\ + \\ + U) Л2])
или, наоборот, считать, что vA (|х, |2> 1з) — почти произ-
произвольная последовательность функций, сходящихся
к б (|х) б (|а) б (|3). Как увидим дальше, получающееся
семейство S матриц от этого не зависит.
Мы говорили пока только о построении лоренц-инвариант-
ной S-матрицы. Другие физические величины следует опреде-
определять с помощью того же предельного перехода. Пусть, на-
например, последовательность ^л выбрана такой, что S-матрицы
S (m, gA, Л), построенные по взаимодействию V (g, Л), опре-
127

деляемому формулой A8.5), и энергии одетых частиц
)Ак2 + /п2 сходятся при А-*- оо к оператору S. Тогда норми-
нормированные функции Грина G'n (Л) и регуляризованные функции
ГринаGTnS (Л), построенные по Уд= V(g\,Л) и со(к)= У"к2 + »г2,
стремятся при снятии обрезания к одному и тому же пределу:
функции Gn лоренц-инвариантны; они называются регуляри-
зованными функциями Грина семейства взаимодействий
gf cp*(x)dx (каждой S-матрице соответствуют свои регуля-
регуляризованные функции Грина). Сформулированное ухверждение
переносится также на нормированные вершинные функции Г^
и регуляризованные вершинные функции Гтпее. Заметим, од-
однако, что обычные функции Грина Gn (А) не имеют конечного
предела при снятии обрезания.
Доказательства всех перечисленных утверждений наме-
намечены в дальнейших параграфах.
§ 19. Расходящиеся диаграммы
Рассмотрим формальный гамильтониан
A9,1)
и попытаемся применить к вычислению функций Грина этого
гамильтониана развитую выше диаграммную технику. Мы
столкнемся при этом с расходимостями. Здесь мы лишь пере-
перечислим расходящиеся диаграммы; вопросом о построении ко-
конечной матрицы рассеяния по гамильтониану A9.1) займемся
в следующем параграфе*. Речь пойдет только о расходимо-
стях при больших значениях импульсов (ультрафиолетовых
расходимостях).
Сходимость будет всегда пониматься в смысле абсолют-
абсолютной сходимости (суммируемости по Лебегу); если в подын-
* Если взаимодействие записано в виде V = j g(pn (x) dx, то к ди-
диаграммам, построенным по гамильтониану A9.1), добавляют диаграм-
диаграммы, содержащие ребра с вершинами, принадлежащими одной и той же
звезде. Такие диаграммы, очевидно, расходятся.
128

тегральном выражении содержатся б-функции, то под схо-
сходимостью интеграла понимается абсолютная сходимость ин-
интеграла, который получается из данного при сокращении чис-
числа интегрирований с помощью б-функций.
В интересующем нас случае диаграммная техника строится
следующим образом: t'-й вершине вершинной диаграммы сопос-
сопоставляется точка kt = (kb сог) ? ?4, ребру — функция
DF (ka) б (ka
где a, p — номера начала и конца рассматриваемого ребра,
а звезде — функция п\ -А- Bл)-2га+4 б (ki+1 -f ... + ki+n)
где t + 1> •••> l + п— номера вершин этой звезды. Функция,
соответствующая диаграмме, получается из произведения
функций, соответствующих вершинам и ребрам, с помощью
интегрирования по точкам, отвечающим внутренним верши-
вершинам (по внутренним импульсам); она зависит от точек, соответ-
соответствующих внешним вершинам (от внешних импульсов).
Рассмотрим произвольную вершинную диаграмму а. Вве-
Введем обозначения: г — число ребер в диаграмме, s — число
звезд, Ь — число внешних вершин. Число внутренних вер-
вершин, очевидно, равно 2г (в вершинной диаграмме ребра не
содержат внешних вершин и, стало быть, каждому ребру со-
соответствуют две внутренние вершины). Отметим еще соотно-
соотношение ns = b -f 2 г (у каждой звезды п вершин, каждая вер-
вершина в вершинной-диаграмме принадлежит одной из звезд).
Интеграл / (а), соответствующий диаграмме а, является
8г-кратным (8г = 4 • 2г). Однако б-функции позволяют
сократить число интегрирований до 4 (г — s -f 1)- В самом
деле, в подынтегральном выражении содержится г -{- s четы-
четырехмерных б-функций; после интегрирования остается толь-
только одна четырехмерная б-функция, выражающая закон со-
сохранения энергии-импульса (мы воспользовались здесь тем,
что вершинная диаграмма связна; в несвязной диаграмме
после интегрирования остается столько четырехмерных б-функ-
б-функций, сколько компонент в диаграмме). Таким образом, с по-
помощью б-функций можно снять 4 (г -f s— 1) интегрирований;
останется 4 (г—s + 1)-кратный интеграл. (Аккуратное до-
доказательство содержится в дополнении Б.)
5 А. С. Шварц 129

После использования б-функций интеграл, соответству-
соответствующий вершинной диаграмме, приобретает вид
*/4 <'-»+»?, A9.2)
где Q — полином степени 2г от переменных интегрирования
(Q — произведение г квадратичных выражений)*.
Перейдем к сферическим координатам в 4 (г— s -4- 1)-мер-
ном пространстве, т. е. зададим точку этого пространства с по-
помощью числа р— ее расстояния от начала координат — и точ-
точки а на единичной сфере, или, иными словами, с помощью
радиального импульса р и 4 г — 4s+3 угловых координат
а = (аг, ..., CT4r-4s+3). Тогда интеграл A9.2) запишется
в форме
Q (Р> о)
причем при больших р знаменатель ведет себя как р2г. Следо-
Следовательно, сходимость интеграла по р при больших р опреде-
определяется числом со (а) = 2 г — 4s -4- 4, которое называется
индексом диаграммы**. Именно, когда со (а) ^ 0, интеграл
по р расходится, а в случае со (а) < 0 он сходится. Разу-
Разумеется, сходимость интеграла по р еще не гарантирует схо-
сходимости интеграла A9.2) в целом; однако условие со (а) < О
необходимо для сходимости интеграла A9.2)***. (Это вытекает
из теоремы Фубини, в силу которой из суммируемости f-(?lt
..., |m) следует суммируемость этой функции как функции
переменных lv ..., |ft при почти всех |й+1,..., |т.)
Выберем какую-нибудь вершинную поддиаграмму а' вер-
вершинной диаграммы а. Легко видеть, что интеграл /(а'), со-
соответствующий диаграмме а, содержится в / (а) (точнее,
подынтегральное выражение / (а) получается из подынтег-
подынтегрального выражения / (а), если фиксировать некоторые пере-
переменные и поделить его на функцию от фиксированных пере-
* Если диаграмма не вершинная, то полином Q может иметь вид
Q = Q1Q2. где Qi ¦— полином от внешних импульсов, a Q2 ¦— полином
степени, меньшей, чем 2 г, от переменных интегрирования.
** Индекс диаграммы равен, очевидно, числу независимых импуль-
импульсов (числу переменных интегрирования в интеграле, соответствующем
диаграмме) минус степень полинома Q.
*** Единственным исключением является тривиальный случай
диаграммы, состоящей из одной звезды (не будем в дальнейшем рассмат-
рассматривать такую диаграмму).
130

менных). Отсюда следует, что сходимость интеграла / (а) вле-
влечет за собой отрицательность индекса диаграммы а (строгое
доказательство основано на теореме Фубини).
Таким образом, для сходимости вершинной диаграммы
а необходимо, чтобы
max со (а) < 0.
{максимум берется по всем вершинным поддиаграммам а диаг-
диаграммы а). Этого условия уже достаточно для сходимости диаг-
диаграммы а при больших импульсах (доказательство достаточности
см. в дополнении В). Итак, во всякой расходящейся диаграмме
содержится диаграмма с неотрицательным индексом.
Поясним более аккуратно термин «сходимость диаграммы при боль-
больших импульсах». Расходимости рассматриваемых диаграмм могут воз-
возникать также из-за обращения в нуль функции Q (знаменателя подын-
подынтегрального выражения). Чтобы отделить эти расходимости от ультра-
ультрафиолетовых, изменим определение функции, соответствующей диаграм-
диаграмме, считая, что ребру сопоставляется функция
где е > 0. Расходимости, возникающие при вычислении модифициро-
модифицированной функции, происходят только из-за ее поведения при больших
импульсах. Функцию, соответствующую диаграмме при обычном оп-
определении, можно получить из введенной только что функции с помощью
предельного перехода 8 —» 0; это вытекает из соотношения
DF (йх) б (йх + йг) = G<<» (klt й2) = lim Се (*lf k2).
Е-*- и
Расходимости, которые могут получиться при этом предельней
переходе, появляются из-за нулей знаменателя и связаны с существую-
существующими всегда особенностями матрицы рассеяния.
До сих пор рассматривались только вершинные диаграммы,
так как все остальные выражаются через вершинные диаграм-
диаграммы без привлечения операции интегрирования, и, следова-
следовательно, исследование их сходимости можно свести к исследо-
исследованию сходимости вершинных диаграмм (см. § 8).
Отсюда получаем, что произвольная диаграмма расходится
тогда и только тогда, когда в ней содержится вершинная
диаграмма с неотрицательным индексом.
Итак, чтобы описать расходящиеся диаграммы, достаточно
перечислить вершинные диаграммы с неотрицательным ин-
индексом. Займемся этой задачей. Пользуясь соотношением ns =*=
= b -\-2r, запишем индекс диаграммы а в виде
со (а) = (п — 4) s — Ь +4.
5* 131

При п = 3
со(а)= — s — b -|- 4
и, стало быть, а (а) ^ 0 только при условии s -f- 6 ^ 4. Все
вершинные диаграммы, удовлетворяющие этому условию,
изображены на рис. 18; видно, что число их ограничено.
При п = 4
со (а) = — ft -f 4,
Рис. 18.
т. е. индекс диаграммы определяется лишь количеством внеш-
внешних вершин. Неотрицательный индекс имеют диаграммы с дву-
двумя и четырьмя внешними вершинами (диаграмм с нечетным
Рис. 19.
числом внешних вершин не существует). Это диаграммы из
диаграммного лредставления массового оператора М и вершин-
вершинной функции Г4. Таких диаграмм бесконечное число; простей-
простейшие из них изображены на рис. 19.
Наконец, при п ^ 5 существуют диаграммы неотрицатель-
неотрицательного индекса со сколь угодно большим числом внешних
вершин.
Остановимся коротко на одномерных и двумерных моделях. До
этого рассматривались теории, где символы л (х), ф (х), через которые
выражается гамильтониан, зависели от точки трехмерного простран-
пространства (х ? ?8). Считая, что х ? ?v, v = 1,2, получаем гамильтониан
одномерной или двумерной модели квантовой теории поля. На такие
гамильтонианы легко переносится все сказанное выше с небольшими
132

модификациями. В частности, индексом диаграммы для v-мерной мо-
модели будем называть число
ns—Ъ
Для одномерной модели
со (а) = 2 A—s),
откуда следует, что неотрицательный индекс имеет только исключен-
исключенная нами из рассмотрения вершинная диаграмма, состоящая из един-
единственной звезды.
Таким образом, в этом случае расходимостей нет вовсе. В работах
[23, 24] показано, что при п = 2 т и достаточно малых положитель-
положительных g одномерные модели с гамильтонианами A9.1) приводят к конеч-
конечным результатам не только в рамках теории возмущений. Точнее,
в этих работах построена операторная реализация таких гамильтониа-
гамильтонианов и доказано существование лоренц-инвариантной матрицы рассея-
рассеяния. Для двумерной модели
ns—Ъ I п\ Ъ п—6 Ъ
ш(а)= —3s4-3 = —3+— s—— +3 = s— — +3.
О \ О/ О О О
Z* \ Z/ / 4/ Zi &
Отсюда видно, что при п < 6 число диаграмм с неотрицательным ин-
индексом конечно, при п = 6 неотрицательный индекс имеют диаграммы
с двумя, четырьмя и шестью внешними вершинами, наконец, при п>6
есть диаграммы с неотрицательным индексом со сколь угодно большим
количеством внешних вершин.
Взаимодействия, для которых существуют диаграммы неот-
неотрицательного индекса со сколь угодно большим количеством
внешних вершин, называют взаимодействиями второго рода;
в противном случае они называются взаимодействиями перво-
первого рода. Оказывается, взаимодействию первого рода можно сопо-
сопоставить конечнопараметрическое семейство лоренц-инвариант-
ных матриц рассеяния (иными словами, взаимодействие
первого рода перенормируемо). Четкое доказательство этого
утверждения дано Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком
[25] (см. также [26—29]). Для взаимодействия второго рода
конструкцию конечнопараметрического семейства матриц
рассеяния указать не удается.
Проведем более подробное исследование расходящихся диа-
диаграмм. Назовем диаграмму примитивно расходящейся, если
она сама расходится, а все ее поддиаграммы сходятся. Оче-
Очевидно, что в каждой расходящейся диаграмме содержится при-
примитивно расходящаяся.
Важную роль играет следующее утверждение: если подын-
подынтегральное выражение примитивно расходящейся диаграммы
с индексом со (а) продифференцировать по внешним импуль-
133

сам © (a) + 1 ряз> то интеграл по внутренним импульсам
станет сходящимся. Строгое доказательство этого намечено
в дополнении В; сейчас ограничимся, как и при установле-
установлении условия расходимости диаграммы, формальным подсче-
подсчетом степеней в числителе и знаменателе подынтегрального вы-
выражения. Напомним, что после использования б-функций
подынтегральное выражение приобретает вид -тг — тг ••• тг >
где Qt = m2 — If, a It — линейная комбинация внешних и не-
независимых внутренних импульсов. При больших радиальных
импульсах Dx -^ ведет себя как р—(IM+2) (здесь Dk обозна-
обозначь
чен дифференциальный оператор порядка | к | по внешним им-
импульсам). Отсюда ясно, 4toD\\/Q) ведет себя как р~Bг+1 Ч),
т. е. дифференцирование улучшает сходимость по радиально-
радиальному импульсу. Дифференцируя © (a) -f- 1 Раз, превращаем
интеграл по радиальному импульсу р в сходящийся; как было
указано выше, подробный анализ позволяет утверждать, что
интеграл по угловым переменным в рассматриваемом случае
также не приводит к расходимостям.
Введем обрезание больших импульсов, например, рассмат-
рассматривая вместо взаимодействия gN j <p4 (x) dx взаимодействие
= gN (I vA (xx—x4, x2—x4, x3—x4) ф (xx).. .q> (x4) d*x) =
A9.3)
где
¦Mix. l», У = Л9/ (A5lf Л5„ ЛУ;
Функция / непрерывна в начале координат и равна там еди-
единице, достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности
и ограничена.
Функцию, построенную по диаграмме а и взаимодействию
V(g, Л), обозначим 1а (klt ..., kb_x\g, Л)*. Если диаграмма
* Точнее, /а получается из функции, сопоставленной.диаграмме а,
выделением множителя б (fex + ... + k/,).
134

а сходится, то 1а имеет конечный предел при Л-> оо, ко-
который равен функции Ia (kx, ..., kb_x\g), построенной по
диаграмме а и взаимодействию V (это следует из теоремы Ле-
Лебега о предельном переходе под знаком интеграла). Если а —
расходящаяся диаграмма, то у функции 1а нет конечного пре-
предела при А-*- оо. Нетрудно проверить, что при со (а) = 0, 1,
2 и т. д. функция /а при Л -> оо ведет себя соответственно
как С 1пЛ, СЛ, СЛ2 и т. д. В связи с этим диаграммы с со (а) = О
называют логарифмически расходящимися, диаграммыс со (а)=
= 1 — линейно расходящимися, с со (а) = 2 — квадратич-
квадратично расходящимися.
Из утверждения о дифференцировании примитивно расхо-
расходящейся диаграммы а сразу получаем следующее: при А -> оо
существует конечный предел выражения Dv/a (kx,..., kb_x | g, A),
где а — примитивно расходяищяся диаграмма, Df — диф-
дифференциальный оператор порядка \ у \ = со (a) -J- 1. Отсюда вы-
вытекает другое полезное утверждение: если а — примитивно
расходяищяся диаграмма, то функция .^C,(™L<7b_ la. (^i» •••
..., kb_x\g, А) имеет конечный предел при Л->оо. Здесь
Ж1, %$ (li> •••> 1ь) — функция, получающаяся из функ-
функции г|) вычитанием членов разложения ее в ряд Тейлора
в точке %, ..., tj6, имеющих степень не большую, чем р:
X
s, (gi~%O' (gb-r)bOb
A, . •• •
Yil 7b'
При выводе используется то, что функцию J^, ^ X
X 'Ф (li, ..-, 1ь) легко выразить через производные порядка
р + 1 от функции г|). Например, для одной переменной
; A9.4)
135

общий случай с помощью замены ?* = x\i -f- Ц^г сводится кхлу-
чаю одной переменной. В частности, при р = О
м\, Tib№, ¦••. У = №. ••¦-У—я|)(%,.... ч„) =
l-ih), ..., Г)Ь+(Х(|Ь-Г)Ь))
ь г
Из сделанных утверждений вытекает, что функцию
/«(klt ..., kb_x |g, А) при больших Л можно представить как
сумму полинома степени © (а) от внешних импульсов с коэф-
коэффициентами, зависящими от Л, и функции, имеющей конечный
предел при Л-?- оо.
Применим полученные результаты к диаграммам, изобра-
изображенным на рис. 2, а, б. Диаграмма рис. 2, б—примитивно
расходящаяся диаграмма с индексом 0, поэтому для построен-
построенной по ней функции
X \vA{kx, k2, q)DF(q)DF(—q—kx — k2) X
ХиЛ( — q, q + kj + ko, ks)dq
существует предел
lim (Ib(kly kv ks\g, Л)-/Ь(й?, К, k%\g, Л)) =
^"V^U (I9-5)
Bя)«
где
k k\ —
1> n-2> КЪ1 —
A9.6)
136

Диаграмма рис. 4 представляет собой примитивно расхо-
расходящуюся диаграмму с индексом 2. Ей соответствует функция
( — ql, — q2,
Легко видеть, что функция la (k \ g, A) = Ia (k, со | g, А) являет-
является четной функцией со, поэтому ее можно рассматривать как
функцию со2. Из проведенных рассуждений получаем при
А-> оо существование конечного предела выражений
/„(к, со|?, Л); /„(к, colg, Л),
если г ^ 3. Однако, используя четность функции 1а (к, со \g, A)
по со, нетрудно проверить, что
^ /_ (к, со I g, A)
(со2)
тоже стремится к конечному пределу при Л -> оо. При со2 = О
это вытекает из соотношения
о 12 дсо*
,Ia(k,<u\g,A)
(второй член разложения Тейлора по со2 совпадает с четвертым
членом разложения по со), а в общем случае следует из фор-
формулы
Л (к, <a\g,A) =
д (со2J
д (со2J
/а(к,
С помощью A9.4) отсюда можно вывести, что выражение
/Л(к, co|g, Л) — /e(k, co|g, Л)
СО = У I
к=0
(со2—к2—т2) =
к=0
= Ia(k\g,A)-Ia(k\g,
к= О
(/г2—т2)
A9.7)
к = 0
137

также имеет конечный предел при Л -*- оо (дифференцирова-
(дифференцирование по k2, как и по со2, производится при фиксированном к).
Этот предел равен, очевидно, ~-.5 g2o (k), где
—DF{ — k—qx—q2)
\dq%. A9.8)
Из явного вида предельных выражений для обеих диаграмм
ясно, что в локальном пределе получаются лоренц-инвариант-
ные функции.
§ 20. Взаимодействие gcp4
Рассмотрим взаимодействие V (g, Л), определяемое форму-
формулой A9.3). Построим нормированные функции Грина G'n и
нормированные вершинные функции Г^ по взаимодействию
V (g, Л) и энергии одетых частиц со (к) = |^ка + т*- ГЗдесь
v\(ku к2, к3) = Л"9 / -!, -^, -2), функция / непрерывна
\Л Л Л)
в начале координат и равна там единице, достаточно быстро
стремится к нулю на бесконечности и ограничена; например,
можно считать, что /6^-1
В § 10 было показано, как выразить функции G'n и Г^ через
энергию одетых частиц со (к), функцию vA и перенормирован-
перенормированную константу связи к [мы фиксировали точку (к?, к<>, кз)
и определяли перенормированную константу связи соотноше-
соотношением A0.3)].
Снимем обрезание по импульсам, т. е. устремим Л к бес-
бесконечности, меняя при этом константу связи g так, чтобы к ос-
оставалась постоянной. Иными словами, считаем, что зави-
зависимость g от Л определяется формулой
А, = 1Г(к», к», Ц\ёА, Л). B0.1)
Тогда в пределе Л -*- оо каждый член построенного в § 10 диаг-
диаграммного представления функций G'n, Y'n имеет конечный пре-
предел (об обосновании этого утверждения речь пойдет несколь-
несколько ниже).
138

В результате предельного перехода Л -> оо получаем
диаграммное представление функций:
Gn(kx, ..., kn)=\im&(kv ..., kn\gA, Л);
Л-юо
fn(k1, ..., kn)=\im Tn(klt ..., kn\gA, Л).
Л->оо
Эти функции зависят от двух параметров т и Я, (физической
массы и перенормированной константы связи).
Легко видеть, что Gn (kx, ..., kn) и fn (kx, ..., kn) лоренц-
инвариантны (каждый член их диаграммного представления
лоренц-инвариантен). Из лоренц-инвариантности этих функ-
функций следует, в частности, что Gn и Гп можно представить так
же, как пределы регуляризованных функций Грина G"g и Г"г,
построенных по V (g, Л) и со (k) = j^k2 + m2- (Определение
функций Grnee и. f "g и выражение матрицы рассеяния через
эти функции см. в § 16.)
В самом деле, рассмотрим функцию G (k\g, Л), связанную
с G2 (kx, k21 g, Л) соотношением
G2 (kv k2\g,A) = G (k,\g,A)8 (kx + ?2).
Эта функция, как мы знаем, может быть представлена в виде
где R(k\g, Л) — функция, не имеющая особенностей при
62 = т2 [см. G.13)].
Нормированная функция Грина G2 (kx, k2\g, Л) выражает-
выражается через функцию G' (k\g, Л) = Z~x {6\g, Л) G (k\g, Л):
G'2 {К, k2\g. Л) = G' {kx\g, Л) б (kx +k2).
Чтобы функция G' в пределе Л -> оо была лоренц-инвариан-
тной, необходима лоренц-инвариантность ее сингулярной
части. Иными словами, в пределе Л -> с» множитель А' {
()
не должен зависеть от к; поскольку при к = 0 он равен еди-
единице, то
*(к"*А). B0.2)
1.
, A)
139

Определение функций GTne, f"g отличается от определе-
определения функции G'n и Т'п заменой множителей Z = Z @) на мно-
множители Z (к). Соотношение B0.2) показывает, таким образом,
что в пределе А-*- оо различие между регуляризованными и
нормированными функциями Грина, регуляризованными и нор-
нормированными вершинными функциями исчезает.
Вспомнив указанную в § 16 связь между регуляризованны-
регуляризованными функциями Грина и матричными элементами матрицы рас-
рассеяния, получаем следующее утверждение: матрицы рассея-
рассеяния S(m, g&, А) имеют конечный лоренц-инвариантный пре-
предел S (т, X) при А-*- оо, если ?л зависит от А так, что пе-
перенормированная константа X остается постоянной. [Здесь
S (m, g, А) — матрица рассеяния, построенная по ю (к) =
= У&-\-та и V (g, А); предел операторов S (m, gA, А) по-
понимается в смысле слабого предела; точнее говоря, при Л-у оо
все члены разложений по Я, матричных элементов оператора
5 (т, g^ А) стремятся к соответствующим членам разложе-
разложений по Я, матричных элементов оператора S (т, Я,).]
Итак, мы получили двупараметрическое семейство S (т, X)
лоренц-инвариантных матриц рассеяния; их естественно счи*
тать матрицами рассеяния, соответствующими локальному
взаимодействию gcp4.
Чтобы доказать сделанные в данном параграфе утвержде-
утверждения, необходимо прежде всего проверить, что, переходя к пре-
пределу Л -*¦ оо в каждом члене указанного в § 10 диаграммного
представления функций G'n (kv ..., kn\gA, А) и Г^ (kv ...
•••. kn\gK, А), мы получим конечный предел. Не будем при-
приводить полное доказательство этого утверждения, представ-
представляющего частный случай теоремы Боголюбова — Парасюка
о перенормируемости теорий, содержащих конечное число
типов расходящихся диаграмм (в нашей ситуации не удается
существенно упростить рассуждения, применяемые в доказа-
доказательстве теоремы Боголюбова — Парасюка). Ограничимся
только проверкой интересующего нас утверждения в низших
порядках теории возмущений для нормированного массового
оператора М' и функции Г4 (все остальные функции G'n и Г*
можно представить с помощью скелетных диаграмм через
М' (k) и Г4 (ku .... &4), поэтому, изучив предельный переход
Л-»- с» для М' и Т'4 и зная, как себя ведут функции М' и П
при больших значениях аргументов, нетрудно доказать конеч-
конечность предела и для остальных функций).
140

В § 10 были выписаны выражения для функций М' и Т'4 че-
через энергию одетых частиц и перенормированную константу
связи Я, до членов второго порядка по Я, [см. A0.17), A0.20)].
Чтобы установить, что эти выражения при Л -»- оо имеют
конечный предел, следует использовать установленную в § 19
конечность предела для A9.5) и A9.7). Формулы A9.6), A9.8),
дающие пределы выражений A9.5), A9.7) при Л-у оо , позво-
позволяют выписать локальные пределы величин М' и Г^*; до вто-
второго порядка по Я, они равны соответственно №а (k) и (— Я, +
+ Я,2р (kv k2, k3)) 8 (ki + kz + kg + ki), где p (ku k2, k3) и a (k) он-
ределяются соотношениями A9.6) и A9.8). Как уже говори-
говорилось в § 19, из явных выражений для функций р и а вытекает
их лоренц-инвариантность.
В более высоких порядках теории возмущений доказатель-
доказательство остается по существу тем же для примитивно расходящих-
расходящихся диаграмм; немногим сложнее случай диаграмм без перекры-
перекрывающихся расходимостей (не будем давать точное определение
этого класса диаграмм). Однако полный анализ диаграмм с пе-
перекрывающимися расходимостями достаточно громоздок.
Описанные конструкции пригодны и в других случаях,
в частности для гамильтониана вида
Н = Т 2 J><? (x) + (V(p*(x)J-}-(X;V (X))dX + JP(9l(x),...,
..., Ф„(х)) dx, B0.3)
где [я, (х), я, (х')] = [q>, (х), ф^ (х')] = 0;
[я?(х), Ф,(х'I = A/1)в(х—х')б}.
Повторяя намеченные выше рассуждения можно убедить-
убедиться, что взаимодействие B0.3) перенормируемо, если Р —
полином степени, не превышающей четырех.

ГЛАВА 7
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФЕРМИОНОВ
И БОЗОНОВ
§ 21. Классические лоренц-инвариантные
уравнения
В гл. 6 рассматривались некоторые гамильтонианы кванто-
квантовой теории поля, приводящие к лоренц-инвариантной мат-
матрице рассеяния. При конструировании этих гамильтонианов
было использовано квантование классических механических
систем с бесконечным числом степеней свободы, описываемых
лоренц-инвариантными уравнениями. Мы ограничивались
при этом системами с функциями Гамильтона вида A.8).
Укажем конструкции некоторых других лоренц-инвариант-
ных классических механических систем. В частности, опишем
классическую механическую систему, квантование которой
приводит к построению квантовой электродинамики.
Поставим перед собой прежде всего задачу написать реля-
релятивистский аналог уравнения Шредингера для одной свобод-
свободной частицы A.23). Плоские волны ехр (— \Et -j- ipx) являют-
являются решениями уравнения A.23), если энергия Е и импульс
р связаны нерелятивистским соотношением Е = -~— р2.
У релятивистского аналога уравнения A.23) также должны
быть решения в виде плоских волн, но энергия и импульс
здесь связаны уже релятивистским соотношением Е = У р^-\-т2.
Этому условию удовлетворяет уравнение Клейна—Гордона
A.24). Его можно записать в форме
(С] + ™2)Ф = О, B1.1)
где
при ii^fcv, hoo=l, hn =
Рассмотрению уравнения B1.1) как релятивистского
аналога уравнения A-23) мешает то, что оно содержит вторую
142

производную по времени, тогда как уравнение Шредингера со-
содержит первую производную по времени. Это затруднение,
однако, легко преодолимо: достаточно ввести функции
*¦<*>=? = ?• *<(*) = ? ('=1.2.3), Ь = Ч.
и выразить уравнение Клейна — Гордона в виде системы:
дх«
Г i * 1 i ?\ О.
дх° дх1
дх«
B1.2)
Обозначим if> (х) столбец из пяти функций г|)а, .тогда система
B1.2) перепишется следующим образом:
B1.3)
где Я,', у—матрицы:
0 10 0 0
10 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
'00010
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
10 0 0 0
10 0 0 0 0
V =
'Q0100
0 0 0 0 0
10 0 0 0
0 0 0 0 0
\о о о о о
'0000 — т2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
10 0 0 0
Уравнение B1.3) называют уравнением Кеммера — Даф-
фина. Оно, очевидно, лоренц-инвариантно в следующем смыс-
смысле: если функция г|) удовлетворяет уравнению B1.3), то Vg X
х) также удовлетворяет этому уравнению; под g по-
143

нимается произвольное преобразование Лоренца, Vg — мат-
матрица:
"¦~ О
V о \)
Однако уравнение B1.3) не может описывать частицы с по-
полуцелым спином (уже потому, что полуцелый спин связан
с двузначными представлениями группы вращений). Между
тем наиболее важные элементарные частицы —- фермионы со
спином 1/2, и мы должны отыскать уравнение, описывающее
их движение. Предположим, что это уравнение можно записать
в виде
Y дх" r dxl ^ r dx* ^ r dx* v ' V ;
где if> (x) — функция, значениями которой являются столбцы
из п комплексных чисел, vv — матрицы /г-го порядка, т —
число, не равное нулю. Следует потребовать также от уравне-
уравнения B1.4) лоренц-инвариантности, т. е. для всякого преоб-
преобразования Лоренца g должна существовать невырожденная
матрица Ug, для которой функция г|/ (х) = ?/gi|> (g~xx) удов-
удовлетворяет уравнению B1.4), если этому уравнению удовлет-
удовлетворяет я|з (х). Конечно, матрица Ug определяется наложенным
нами условием неоднозначно. Удается показать, что матрицы
Ug для каждого лоренц-инвариантного уравнения можно
выбрать так, чтобы они задавали либо однозначное, либо
двузначное представление группы Лоренца.
Лоренц-инвариантные уравнения вида B1.6) полностью
перечислены (см., например, [30, 31]). Среди нераспадающих-
нераспадающихся лоренц-инвариантных уравнений интересующего нас вида
имеется единственное, описывающее только частицы со спи-
спином 1/2, т. е. такое уравнение, что все собственные значения
оператора проекции спина на ось z равны ± Va [оператор
sz проекции спина на ось г определяется формулой sz =
= lim — (Vge—1), где Vge—матрица Vg, соответствующая пово-
е-»0 в
роту ge вокруг оси z на угол е]. Это уравнение называется урав-
уравнением Дирака. Не будем здесь перечислять линейные лоренц-
инвариантные уравнения; остановимся только на уравнении
Дирака. Оно имеет вид
з
i У,уУ —у(х)—тар(х) = 0 B1.5)
v=o dxv
144

где значениями функции ^ (х) являются столбцы из четырех
комплексных чисел, т — положительное число, yv — четы-
четырехмерные матрицы, удовлетворяющие условиям
уИ yV _J_ yv уц = 2/jHV. B1.6)
Матрицы yv можно выбрать разными способами. Сущест-
Существенно заметить, однако, что две системы матриц yv и y'v, удов-
удовлетворяющих B1.6), подобны, т. е. существует такая невы-
невырожденная матрица D, для которой y'v = DyvD~1; она оп-
определяется этим соотношением с точностью до численного мно-
множителя (доказательство приводится, например, в книге [32])»
При замене i|/ = Dty уравнение
з
. vi ,v j ,.. , . . .
v = о dxv
переходит в B1.5), иными словами, уравнения Дирака, полу-
получающиеся при разных выборах матриц yv, эквивалентны друг
другу.
В качестве матриц yv можно взять, в частности, матрицы
B1.7)
где 0 и 1 — нулевая и единичная двумерные матрицы, ot —
матрицы Паули, определяемые формулами:
'О 1 у /0 —i \ /1 О
1 0/' °2 Л i О
з д
Оператор д= 2 yv—- называют оператором Дирака. Урав-
v=o дх
нение Дирака, очевидно, записывается в виде
(\8—т)ур = 0. B1.8)
Каждая компонента решения уравнения Дирака удовлет-
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона. В самом деле,
145

Применяя к обеим частям B1.8) оператор id -\-m, убеждаем-
убеждаемся, что следствием уравнения B1.10) является уравнение
( )(id—m)i|> = (— D— т2)я|) = 0,
т. е. уравнение Клейна — Гордона. Сам Дирак пришел к свое-
своему уравнению и к условиям B1.6) на матрицы yv, отыскивая
такое уравнение вида B1.5), следствием которого было бы
уравнение Клейна — Гордона.
Убедимся в лоренц-инвариантности уравнения Дирака.
Заметим, что при замене неизвестной функции я|з (х) по фор-
формуле ф (х) = я|з (g*), где g—преобразование Лоренца,
B1.5) переходит в уравнение
з
где 7'^= 2 gvYv- Матрицы у'*1 удовлетворяют соотно-
v= О
шениям B1.6):
р, от р, а
Р. а
Следовательно, как было указано выше, существует матрица
Dg, удовлетворяющая условию Dg1 y>Dg = ук.. Отсюда без
труда убеждаемся, что функция я|/ (х) = Dgip (х) = Dgty (g^x)
удовлетворяет B1.5); тем самым доказана лоренц-инвариант-
ность уравнения Дирака.
Уравнение Дирака удобно записывать в виде
УрР] B1.9)
р=о /
где
PP = i^p-; Р = 0, 1, 2, 3.
Четыре оператора (р0, рь р2, р3) назовем оператором энергии-
импульса. Он ведет себя при преобразованиях Лоренца как
четырехмерный вектор. Компонента р0 имеет физический
смысл оператора энергий, а /?,-при» = 1, 2, 3 с точностью
146

до знака совпадают с компонентами оператора импульса р,
т. е. р = (р\ р2, р3) = (—ръ — р2, — р3).
Перепишем уравнение Дирака в форме уравнения Шредин-
гера:
?* B1.10)
с оператором Гамильтона
з
Я== У си — —. + $т = — а
Эх
где
a' = y°yi (i= 1,2,3); p = v°-
Считаем, что матрицы а' и р* эрмитовы; этого можно до-
добиться, например, выбрав v11 B виДе B1-7). Нетрудно прове-
проверить самосопряженность оператора Я относительно скаляр-
скалярного произведения:
4
<ф, т|>> = 2 Stye(х)Фо(х)dx— \if>+ (х)ф(х)dx
О=0
(значениями функций ф и г|) являются столбцы; i))+(x) — строка
из функций i$J(x)).
Обобщенный собственный вектор гамильтониана Н ищем
в виде плоской волны и (р) exp (ipx). Легко показать, что та-
такая плоская волна — собственная функция оператора Я, если
столбец и (р) — собственный вектор четырехмерной матрицы
з
2 aip}+ Pm. При выборе матриц yv, определяемом форму-
з
лами B1.7), матрица 2 a'ps -\-$m выражается следующим
образом:
где (ар) = <з1р1 + о2р2 + о^.
Ее собственные значения определяются из уравнения
deH I) aipt + fm—Яj = — (m—X)(m + %)—p2=0
147

и равны ± со (р) = ± ]/"р2 + т2. Ортонормированную си-
систему собственных векторов можно выбрать в виде
«, = р (р)
са(р)+т
\
«з = р (р)
> (Р) + т
1
О
1
О
Рз
Ия = р (р)
со(р)+т
\ со (р) +т
И4=Р(Р)
Pi— ip2
co(p)+m •
<в(р)+/га
О
1
О
1
Pi—'Р2
со(р)+от
Рз
(В(р)+/И
B1.11)
где р (р) = (l +
Л —1/2
-А . Первые два из них отве-
(о> (р) + ту)
чают собственному значению со (р) = ]/р2 + т2, два пос-
последних — собственному значению — со (р) = —
Плоские волны
Bя)-3/2 Ua (р) ехр (ipx)
+
образуют обобщенный собственный базис оператора Н, норми-
нормированный на б-функцию. Отсюда следует, что спектр опера-
оператора Н состоит из двух лучей (— оо , — т] и [т, -{- оо ),
разделенных щелью шириной 2 т.
Как принято считать, уравнение Дирака B1.5) описывает
движение свободного электрона, причем волновые функции
Bя)-3/2%(р)ехрAрх), Bя)~3/2«2(р) ехр (ipx) описывают движение
электрона с импульсом р (наличие двух волновых функций
с импульсом р связано со спином электрона, который равен 1/2).
Волновые функции Bя)~3/2 и3 (р) ехр (ipx) и Bя)~3/2 щ (р) х
X ехр (ipx), отвечающие отрицательной энергии, связывают
с движением позитрона. К сожалению, такую интерпретацию
в рамках одночастичного уравнения Дирака нельзя провести
достаточно последовательно (разумеется, энергия частицы
должна быть неотрицательной, а оператор энергии в физиче-
физических задачах должен быть ограничен снизу). Для построения
последовательной теории необходимо рассмотреть уравнение
148

Дирака как уравнение движения классической механической
системы с бесконечным числом степеней свободы и прокван-
товать эту систему [напомним, что эта операция называется
вторичным квантованием (см. § 1)]. Тогда мы придем к кор-
корректной теории, описывающей движение системы свободных
электронов и позитронов. Применяя к уравнению Дирака,
записанному в виде B1.10), процедуру вторичного квантова-
квантования, получаем гамильтониан
з
• (х) ртф (л) dx, B1.12)
или, подробнее,
3 4 4
., VVVlj././ld,,.,,
/=1 p=l a=l J ' "x
4 4
~r til Zj Zj
p=l Of=l
Здесь if^ (x), г]5р (x) — символы, удовлетворяющие CAR:
htufxi. ibRCx'1)l_L = [\ha (x), ihg (x')].=0; 1
B1.1
¦\ т ОСЬ О / / \ I *
а г]5 (х) и г]5+ (х) — соответственно столбец и строка, состав-
составленные из символов г])а (х) и г])^ (х).
Исследование гамильтониана Ht проводится в § 22, а сей-
сейчас, оставаясь в рамках одночастичного подхода, напишем
уравнение Дирака в электромагнитном поле. Как известно,
электромагнитное поле можно описывать с помощью четырех-
четырехмерного потенциала Av (x) (v = 0, 1,2, 3). Трехмерный век-
вектор А = (А1, А2, А3) = — (Аг, А2, А3) называется вектор-
векторным потенциалом, а компонента Ао = Л° — скалярным
потенциалом. При преобразованиях Лоренца Av ведет себя
как четырехмерный вектор. Функция Гамильтона классиче-
классической частицы с зарядом е и массой т в электромагнитном поле
имеет вид
Ж (р, х) - еА0
где р — обобщенный импульс. Эта функция получается из
функции Гамильтона свободной частицы Ж = "jAm2 -\- р2 за-
149

меной р на р — еА и Ж на Ж — еА0. Естественно предпола-
предполагать поэтому, что уравнение Дирака в электромагнитном поле
получается из уравнения Дирака для свободной частицы B1.9)
с помощью замены р^, на /?ц — еА^.
Таким образом, уравнение Дирака в электромагнитном
поле Лц можно записать в форме
Д ]-/m|) = 0, B1.14)
или, более подробно,
Ь° ('?;-еА°)- 2 * (т h +^)]*-«*=o.
Напишем его также, как уравнение Шредингера с оператором
Гамильтона На = « (р— еА). -f Рт + еЛ0:
з
а/Л»1|з + еЛ01Ь. B1.15)
Уравнение B1.14) может быть использовано, например,
для нахождения релятивистских поправок к уровням энер-
энергии атома водорода. Но так как оно страдает теми же дефек-
дефектами, что и уравнение Дирака для свободных частиц, к нему
тоже следует применить процедуру вторичного квантования.
Она приводит, очевидно, к гамильтониану
= 2 J
5 + (х) (рт + еД (х)) у (х) rfx, B1.16)
или, подробнее,
2 f
1а=1J
2
/=1р=1
4 4
+ 2 2
p=la=l
Здесь г|)р" (х), г|>а (х) — символы, удовлетворяющие CAR,
а Лц (х) — заданные числовые функции. Гамильтониан fif
150

описывает движение электронов и позитронов в электро-
электромагнитном поле, которое рассматривается как классическое
поле.
Вернемся к одночастичному уравнению Дирака в электро-
электромагнитном поле и дополним его уравнением, описывающим
изменение со временем электромагнитного поля. Его можно
записать, как известно, в виде
где /ц — четырехмерный вектор плотности тока (компонента
/0 этого вектора имеет смысл плотности заряда, а трехмерный
вектор j = — (Д, /а, /3) = (/\ /2, /3) — смысл плотности тока).
Чтобы применять уравнение B1.17) в рассматриваемой си-
ситуации, необходимо знать, как выражается /ц для частицы,
описываемой уравнением Дирака. Правильное выражение для
/и через функции г|)а нетрудно угадать, если заметить, что:
а) в качестве плотности заряда /„ целесообразно принять
выражение
з
/о (х) = е 53 4>а (х) % (х) = ег|>+ Мр;
а = 0
б) вектор /ц должен удовлетворять уравнению непрерыв-
непрерывности
или, в трехмерной форме,
Соотношение
i p/^ ф) = — div (ei|3+oi|3)
ox J
151

показывает, что четырехмерный вектор плотности тока /v (л:)
для уравнения Дирака естественно записывать в виде
/v = eii)+YV^, B1.18)
т. е. /° = /0 = ег|>+г|>, j = (/\ f, /»)= — (/lf /2, /3) = е-ф+а-ф.
Легко проверить, что формула B1.18) действительно опреде-
определяет четырехмерный вектор.
Таким образом, мы пришли к системе уравнений B1.14),
B1.17), B1.18), описывающей изменение во времени функций
¦ф (х, t) и Лй (х, t). Эти уравнения релятивистски-инвариант-
релятивистски-инвариантны, т. е. им удовлетворяют и функции г|/ (л:) = Dg г|э (g x),
3
A-L (х) = 21 ё^Ж (g л:). Отметим их инвариантность также
v=0
относительно калибровочных преобразований:
Г (х) = exp [i а (х)] у (х); А^ (х) = AVL(x)--^-a (x).
Все физические величины должны выражаться через комбина-
комбинации г[э (л:) и Лй(л:), не меняющиеся при калибровочных преоб-
преобразованиях. Так, напряженности электрического и магнит-
магнитного полей
Е = — VA0 — — ; H=rotA
dt
являются компонентами тензора напряженностей:
р дЧ дА*
дха дх$
остающегося инвариантным при калибровочных преобразо-
преобразованиях.
Наличие калибровочной инвариантности можно исполь-
использовать для упрощения уравнений. Наложим, например, на
потенциалы Лй условие Лоренца:
з
2EdL_?dL = o. B1.19)
i=[ дх1 дх°
С помощью калибровочного преобразования от любых потен-
потенциалов Лй всегда возможно перейти к потенциалам, для кото-
152

рых условие Лоренца выполнено. При этом уравнение B1.17)
принимает вид
Уравнения B1.14), B1.17) B1.18) можно рассматривать
как уравнения движения классической системы. Кванто-
Квантование этой системы приводит к построению квантовой электро-
электродинамики; оно сопряжено с затруднениями, которые прояв-
проявляются уже при квантовании уравнений свободного электро-
электромагнитного поля:
д ( У? dAi дА0
О А*—
Эти затруднения связаны с тем, что в классической теории
нельзя стандартно перейти к гамильтонову формализму из-за
вырожденности лагранжиана.
Для электромагнитного поля действие S и функционал Лагранжа L
можно записать в виде:
= 8» [ f (A
Обобщенный импульс
я0 (х) =
8А0 (х)
тождественно равен нулю; это показывает, что функционал Лагранжа
электромагнитного поля вырожден (см. дополнение А). Обобщенные
импульсы
совпадают с компонентами электрической напряженности с точностью
до множителя.
Отмеченные трудности не возникают, если, воспользовав-
воспользовавшись градиентной инвариантностью, наложить на векторный
потенциал А дополнительное условие div А = 0 (ввести куло-
новскую калибровку). Однако в кулоновской калибровке
лоренц-инвариантность теории не очевидна, что осложняет
проведение перенормировок. Поэтому часто пользуются дру-
153

гими способами преодоления затруднений, связанных с вырож-
вырожденностью лагранжиана (см., например, [1,2, 6])*. Мы не бу-
будем в этой книге заниматься построением квантовой электро-
электродинамики. Рассмотрим лишь квантование свободного фермион-
ного поля, в частности квантование свободного уравнения
Дирака и теорию фермионов спина 1/2, взаимодействующих
со скалярными бозонами (эта теория является близким
аналогом квантовой электродинамики, но более проста бла-
благодаря невырожденности лагранжиана и отсутствию инфра-
инфракрасных расходимостей).
§ 22. Свободные фермионы
Свободные фермионы описываются формальным гамиль-
гамильтонианом
Н = Д S Ч? (х) Vo. p (х-у) % (у) dy =
= 2 S v«. р (k) fa (к) фр (к) Л. B2.1)
Здесь i|>a (х), я|зр (х) удовлетворяют соотношениям B1.13).
Символы г[)(? (к), -фр (к) связаны с tya (x), -фр (х) преобразо-
преобразованием Фурье:
Ч>« (х) = Bя)-з/2 ^а (к) exp (i kx) dk;
^ (х) = Bя)-8/2 Jfa (к) exp ( —i kx) d
и также удовлетворяют CAR:
]+ = 6g6(k-k').
Гамильтониан Н предполагается формально эрмитовым; это
означает, что при каждом к матрица \а, р (к) эрмитова.
Определение операторной реализации гамильтониана B2.1)
аналогично определению, данному в §2 для гамильтонианов
B.1), Именно, под операторной реализацией формального га-
гамильтониана B2.1) понимаются гильбертово пространство Ж,
вектор Ф ? Ж, самосопряженный оператор Н (оператор энер-
* Способы преодоления этих затруднений, пригодные в общей
ситуации (не только d квантовой электродинамике, но и, к примеру,
для полей Янга — Миллса), описаны в работах [33, 34].
154

гии) и обобщенные по х операторные функции ty? (х, i),
г[)р (х, t), действующие в Ж и удовлетворяющие следующим
условиям:
1) НФ — 0; вектор Ф — основное состояние оператора Н;
2) операторные обобщенные функции г|5« (х, t), г|э (х, t)
сопряжены друг другу; для них справедливы соотношения':
exp (i На) % (х, t) exp (—i На) = % (х, t -f a);
exp (i Ho) tyt (x, t) exp (— i Ha) = tyt (x, * + a);
[% (x, О, Ь (У. 01+ = №a+ (x, t), # (y, 01+ = 0;
B2.2)
3) вектор Ф — циклический вектор семейства операторов
4>a (А 0=1/ (х) 4>а (х, 0 dx, я|»г (/, t) = J /00 ф+ (х, 0 dx,
где / 6 <^;
4) выполняются равенства:
. д%(х, t)
vap(x—у)г|>р(У>
v«p (x-y) # (у, 0 dy,
т. е. фа (х, f), if>a (x, 0 подчинены гейзенберговским уравне-
уравнениям, формально написанным по гамильтониану Н.
Из соотношений CAR вытекает ограниченность операторов
¦фа (Л 0» 'Фа (/> 0- Можно считать поэтому, что они определе-
определены во всем пространстве. Ж. Вместо операторных обобщенных
функций г|)„ (х, t), i|)a (x, t) часто удобно рассматривать опе-
операторные обобщенные функции:
№ (к, t) = Bя)-з/2 J ф+ (х, t) exp (i kx) dx;
фа (k, 0 = Bя)-з/2 ^a (x, 0 exp (-i kx) dx,
удовлетворяющие уравнениям:
. д% (k, 0 v~ ~
i = Zj vap (k) г|)р (k, t);
at p
155

и соотношениям:
exp (i На)% (к, Оехр( —i На) = $a(k, t + a);
exp (i Ha) г$" (к, t) exp (— i Ha\ = г$" (k, t + a).
Уравнения для г|;а(к, t), г[э? (к, t) можно решать как обычные
(числовые) дифференциальные уравнения. Решение сразу по-
получается, если унитарной заменой переменных сделать мат-
матрицу коэффициентов диагональной, т. е. ввести новые опера-
операторы:
са (k, t) = y wpa (к) % (к, t); ca+ (к, t) = J ща (к) $р+ (к, t),
Р Р
так, чтобы они-удовлетворяли уравнениям:
) B2'3>
Нужную унитарную матрицу wap (k) можно найти, поскольку
эрмитова матрица vap унитарным преобразованием при-
приводится к диагональному виду. Предполагаем, что при почти
всех к матрица vap (к) не вырождена, тогда функции ка (к)
почти всюду отличны от нуля. Из уравнений B2.3) вытекает:
са (k, t) = exp (- i К (к) t) са (к, 0) =
=; exp (i fit) са (к, 0)ехр(—iHt), B2.4)
откуда
% (к, 0=2 «ар (к) ехр [ - i Яр (к) *] Ср (к, 0);
Р
^ (к, 0 = 2 «ар (к) exp [i Ц (к) fl 4 (к, 0).
Легко проверить, что операторы с? (k, t), ca (к, t) при фикси-
фиксированном t удовлетворяют CAR.
Введем новые операторы, также удовлетворяющие CAR:
da (k, t) = Q{K (k)) ca (k, t) + 8 (-Aa (k)) ca+ (k, 0;
da+ (k, о = 6 {Ka (k)) d (k, о + в {-К (k)) Ca(k, o-
156

Из соотношения B2.4) следуют равенства:
da (к, t) = exp (i fit) da (к, 0) exp (—i fit) =
= exp[ — i|^a{k)|^]da(k, 0),
и, значит,
[H, da (k, 0)] = —I Ka (к) | da (k, 0). B2.5)
С помощью B2.5) получаем
Hda (к, 0) Ф = -| К (к) | da (к, 0) Ф;
в силу неотрицательности оператора Н отсюда вытекает:
da (к, 0) Ф = 0.
Из того, что вектор Ф циклический относительно семейства
операторов г|>а (/, t), г|)+ (f, t), следует, что он циклический
относительно семейства операторов J / (k) da (к, 0) dk,
J" / (к) da (к, 0) dk. Можно поэтому утверждать, что da (к) =
=da (к, 0), da (p) = da (p, 0) задают фоковское представле-
представление CAR, а вектор Ф — вакуумный вектор данного представ-
представления. Операторы da (к), da (к) имеют физический смысл
операторов рождения и уничтожения частиц; это подтверж-
подтверждается тем, что оператор Н выражается через них формулой
a-(k)da(k)dk. B2.6)
Полученные соотношения позволяют без труда построить опе-
операторную реализацию гамильтониана Я; в качестве простран-
пространства Ж следует взять пространство фоковского представления
операторов da (к), da (k), удовлетворяющих CAR, оператор
Н задать формулой B2.6), а операторы г[эа (к, t), г|э? (к, t) —
формулами:
%(k,t) = Jua!i(k){Q{kfi(k))dfi(k)exp(-i\kfi(k)\t) +
Функции Ка (к) (а = 1, ..., п) определяются как собствен-
собственные числа матрицы v (k) = {vap (к)}, а вектор-столбцы
157

щ (к) = (мщ (к), м2р (к), ...., н„р (к)) представляют собой
полную ортонормированную систему собственных векторов
матрицы v (к):
v (к) «р (к) = Яр (к) up (к).
Формальный гамильтониан Я трансляционно-инвариантен,
поэтому естественно ожидать, что в пространстве Ж можно
построить оператор импульса Р = (Ръ Р2, Р3), удовлетво-
удовлетворяющий условию
ехр ( — i Pa) i|3a (x, t) exp (i Pa) = % (x + a, t)
(как всегда, Ръ Р2, Р3 должны быть самосопряженными опе-
операторами, коммутирующими между собой и с Я). Такой опе-
оператор Р действительно существует; он определяется формулой
Р = 2 J Мла (k)) d+ (к) da (к) dk,
где е (К) = Q(K) — Q( — K).
Остановимся на случае, когда функции Ка (к) таковы, что
Ка (к) и Ка (— к) имеют один и тот же знак. Здесь удобно вве-
ввести вместо da (k, t) операторы
о„ (к) = е (мк)) Са (к, 0)+е (-Мк)) с+(-к, о).
влетворяют CAR. Операторы энер
я через них в виде
H=%\\ka(k)\c?(k)aa(k)d(k);
Они также удовлетворяют CAR. Операторы энергии и импуль-
импульса выражаются через них в виде
а операторы tya(k,t)—формулами:
Ux (к, 0 = 2 «ар (к) F (Яр (к)) ехр (—11 Яр (к) 11) ар (к)
Р
+ 8(-Яр(к))ехрA|Яр(-к)иL(-к)};
+ 8 (-Яр (к)) ехр (-1| Яр (-к) \t) ap (-к)}.
В качестве примера разберем операторную реализацию га-
гамильтониана Дирака B1.12), описывающего свободное движе-
158

ние электронов и позитронов [к гамильтониану B1.12) мы
пришли в предыдущем параграфе, применяя процедуру вто-
вторичного квантования к уравнению Дирака]. Для построе-
построения этой операторной реализации воспользуемся тем, что пол-
полную ортонормированную систему собственных векторов мат-
^ 3
рицы v (к) = 2 а' Щ + Рт можно составить из четырех век-
торов: их (к), и2 (к), и3 (к), и4 (к), первые два из которых от-
отвечают собственному значению ]/k2 + m2, а два последних —
собственному значению —|/ к2 + т2-
Операторную реализацию гамильтониана Дирака можно
построить в пространстве фоковского представления CAR:
к (к),
К (к), йр
где к, к' ?Е3, а, Р = 1, 2, 3, 4. Операторы энергии Н и им-
импульса Р следует определить формулами
Й-?Х
а функции
$(к,
г|э (к, ^), •'
а=1, 2
+ 2 м
а = 3, 4
$+ (к ~
,0= 2
а=1.
й+(к)йа(к)^к;
ф+ (к, ^) задать
^а(к)ехр (— i |/
k)exP(il/k2 + ;
wa+(k)exp(i |/
2
2 «а (к) ехр (— i |/k2-
4
Р= 2 \ каа (к) flo (к) dk,
а= 1
соотношениями
rk2 + m21) йа(к) +
т21) at (—к);
кг + т20 а?(к) +
fm4)aa( — к).
2
= 3, 4
Основное состояние гамильтониана Й совпадает с фоковским
вакуумом 8.
Операторы af (k), а$ (к), аг (к), аг (к) имеют физический
смысл операторов рождения и уничтожения электрона с им-
импульсом к, операторы at (к), а\ (к), as (к), й4 (к) — смысл
операторов рождения и уничтожения позитрона с импульсом
к (существование при каждом к двух операторов рождения
связано с тем, что электроны и позитроны являются частицами
спина 1/2),
159

§ 23. Взаимодействие фермионов
спина 1/2 со скалярными бозонами
Рассмотрим в качестве примера классическую механиче-
механическую систему со следующими уравнениями движения:
з
v=o dxv B3.1)
= 0. )
Здесь ф (х) — действительная функция, г|з (х) — столбец из че-
четырех комплексных функций, yv — матрицы, фигурирующие
в уравнении Дирака (v = О, 1,2, 3), г|5+ (х) — строка функ-
функций, комплексно сопряженных функциям столбца г|з (х). Счи-
Считаем, что (у°)+ =7°. (у')+ = —У1 при /= 1, 2, 3. Это
условие эквивалентно наложенному в § 21 требованию зрми-
товости матриц а> = у°у', р = у0; оно выполняется, если вы-
выбрать 7V в форме B1.7).
Полагая, чтогр (х) ведет себя при преобразованиях Лорен-
Лоренца как спинор, а ф (х) является скаляром, легко убедиться
в лоренц-инвариантности уравнений B3.1). Точнее говоря, эти
уравнения не меняют своего вида при замене г|з (х) на г|/ (х) =
= Dgty (g-i-x) и ф (х) на ф' (х) = ф (g-1*) (здесь g — пре-
преобразование Лоренца, матрицы Dg построены при дока-
доказательстве лоренц-инвариантности уравнения Дирака).
Будем квантовать описанную систему, пользуясь канони-
каноническими антикоммутационными соотношениями для г|з (х) и ка-
каноническими коммутационными соотношениями для ф (х).
Другими словами, попытаемся построить квантовую систему,
операторная реализация которой состоит из гильбертова про-
пространства Ж и операторных обобщенных функций ф (х), % (х),
Ч>2 (*)> 'Фз (х)< 4>t (*)> удовлетворяющих условиям:
1) оператор Н имеет основное состояние Ф с энергией,
равной нулю. Это состояние является циклическим вектором
семейства операторных функций г|5а (х), ц> (х)\
2) справедливы соотношения B.6) — B.8), B2.2) и ра-
равенства
Ы> (х, t), ф (х\ /)] = Ь|>+ (х, t), ф (х\ f)\ =
= h|> (х, t), п (х, t)] = Ы>+ (х, t), я (х', t)\ = О,
где я (х, t) определяется формулой B.9);
3) операторные обобщенные функции ij) (x), ф (х) удовлет-
удовлетворяют уравнениям B3.1).
160

Отметим, что наша квантовомеханическая система описы-
описывается формальным гамильтонианом Н = Но -\-V, где
Н*= 2 №(х) а/ т ~ir *(х) dx + J ^+
я (х), ф (х) — символы, удовлетворяющие CCR,
я|) (х), я|)+ (х) — символы, удовлетворяющие CAR.
Строго говоря, условие 3 не имеет точного смысла, посколь-
поскольку не объяснено, как понимаются произведения операторных
обобщенных функций ty(x)<p(x) и Ф3(х). При попытке опре-
определить эти произведения мы сталкиваемся с сингулярностями,
которые проявляются позже в расходимостях диаграмм ряда
теории, возмущений. Чтобы провести более строгое рассужде-
рассуждение, следует рассмотреть уравнения B3.1) как предел несин-
несингулярных уравнений, т. е. ввести предварительно обрезание
по импульсам. Рассмотрим сейчас уравнения B3.1) чисто
формально. Построим с их помощью ряды теории возмущений
и проделаем обрезание по импульсам в этих рядах.
Отметим, что из B3.1) с помощью эрмитова сопряжения
получается уравнение для операторной обобщенной функции
т|э+ (х) = (ij)f (x), tyt (x), я|)з" (х), я|L" (х)):
-{Т~У°+ 1 1-^±-Т'-тф+-еФ1|)+=0. B3.2,
ох .-"zfi дх*
Удобно вместо я|)+ (x) рассматривать операторную обоб-
обобщенную функцию я|) (х) = я|)+ (х) у0, так как тогда уравнения
B3.1), B3.2) записываются в более простом виде:
v=o ил
3 ~ ,-п- Г
B3.3)
6 Л. С. Шварц 161
v=o dx
<= 0.

Определим функции Грина соотношением
Gkil(xv aj , ... , xh, ah\yit p! yk, pfe|2, ?,) =
= <T (%, (хг)... %h (xh) %, (t/i)... %k (yh) Ф (?!)...
...ф(г,))Ф, Ф>; B3.4)
T— произведение операторов я|за1 (л-j) %k (xk), %, (у,), ..
• ..>%>* iyk), ф Bj), .... Ф (г,) в правой части B3.4) понимается
как произведение этих операторов, расставленных в порядке
убывания времен [если для расстановки операторов г|за, г|5р
в таком порядке требуется нечетная перестановка, то произ-
произведение нужно умножить на (— 1)]. Будем опускать дискрет-
дискретные индексы в обозначении функций Грина и писать
Gh, ifa хк\у, yh\zlt ...,zt) =
= <Г (ф(Xi)... Ч>(х„) ^(у,)... ФЫ ф (г,)... ф (г,)) Ф, Ф>.
Функции Грина Gk, и соответствующие свободному гамиль-
гамильтониану #0 = Hj + Нь, легко вычислить с помощью опера-
операторных реализаций гамильтонианов Hf и Нъ, построенных
соответственно в § 2 и § 22. В частности,
Gi%(*. а, у, P) =
матричные элементы матрицы
5(^)
Bя)
где
? exp (i kx)SF (k) dk,
J
2
Пользуясь уравнениями B3.3), можно без труда вывести
систему уравнений для функций Грина Gkj и построить диаг-
диаграммы для их вычисления, которые состоят из фермионных
и бозонных линий и двух типов звезд — звезд с тремя вер-
вершинами и звезд с четырьмя вершинами. Фермионные линии
считаются направленными, а бозонные — ненаправленными.
Вершины, принадлежащие фермионным (бозонным) линиям,
называются фермионными (бозонными).
162

Все вершины звезд второго типа должны быть бозонными
линиями, одна из вершин звезды первого типа также должна
быть, бозонной, остальные две вершины должны служить со-
соответственно началом и концом фермионнои линии. (Как всег-
всегда, рассматриваются только диаграммы, у которых каждая
из компонент содержит по крайней мере одну внешнюю вер-
вершину.) Кроме описанных гриновских диаграмм рассмотрим
Рис. 20.
также диаграммы, получающиеся из гриновских удалением
нескольких фермионных или бэзонных линий. Их вершины
называют фермионными или бозонными, в зависимости от того,
какой линии они принадлежат в исходной гриновской диаг-
диаграмме. На рис. 20 изображены примеры гриновских диаграмм
(фермионные линии — сплошные, а бозонные — волнистые).
Всякой вершине диаграммы сопоставим точку четырех-
четырехмерного пространства, а если она принадлежит фермионнои
линии, то еще и дискретный индекс, принимающий значения
а = 1, 2, 3, 4. Бозонной линии сопоставим функцию Df (х —
—у), фермионнои — функцию Saf$(x — у) (здесь х, у — точки,
сопоставленные началу и концу линии, а, р — дискретные ин-
индексы, сопоставленные началу и концу фермионнои линии).
Звезде первого типа отвечает функция еб (хг — х3) 8 (х± — xs),
а звезде второго типа — функция 4! g8 (xt — xt) 8 {хг — xt) X
х8(х3—я4). Функция, сопоставленная диаграмме, получает-
получается из произведения функций, отвечающих ребрам и звездам,
с помощью интегрирования по переменным, соответствующим
внутренним вершинам, и суммирования по дискретным индек-
индексам, соответствующим этим вершинам. В нее включается так-
также множитель Ш, где d— порядок группы симметрии диаг-
диаграммы. Так же, как в § 4, доказывается, что функция Грина
6* 163

Gk, /равна сумме гриновских диаграмм с/ бозонными и2k фер-
мионными внешними вершинами (k внешних вершин служат
началами и k— концами фермионных линий).
Из изложенной диаграммной техники можно получить диаг-
диаграммную технику в (к, (о)-представлении. Не останавливаясь
на ее описании, заметим только, что ребрам в ней отвечают
функции DF (kj) б fa ± k2) и 5?р (kj) 8 fa ± k2).
На квантовомеханическую систему, удовлетворяющую
B3.1), переносятся определения вершинной диаграммы и вер-
вершинной функции. (Под вершинной функцией Tkt г (хъ..., хк),
Ун ¦•-, Ук, Zj, ..., z,) понимается сумма вершинных диа-
диаграмм, имеющих 2k фермионных и / бозонных вершин.) Без
труда определяются также бозонный и фермионный массовые
операторы Мь и Mf.
Среди описанных выше диаграмм есть математически бес-
бессмысленные выражения [в частности, в (к, <о)-представлении
мы сталкиваемся с расходящимися интегралами]. Прежде все-
всего расходятся диаграммы, в которых имеются ребра, соеди-
соединяющие две вершины одной звезды. От этих наиболее простых
расходимостей можно избавиться, записав взаимодействие
в нормальной форме, т. е. заменив V на
е ^N (г|>+ (х) / г|> (х)) dx + g ^N (cp4 (x)) dx.
Так же, как и в § 19, удается убедиться, что. среди осталь-
остальных диаграмм расходятся те и только те, которые содержат
в качестве поддиаграммы вершинную диаграмму с неотри-
Рис 21.
164

дательным индексом, состоящую более чем из одной звезды.
Индекс со(а) диаграммы а здесь следует определить формулой
со (а) = 2 гъ + 3 rf — 4 s + 4,
где гь и rf — число бозонных и фермионных ребер соответст-
соответственно, s — число звезд. Обозначим число звезд первого типа
S/, второго типа sb, число фермионных внешних вершин vf,
число бозонных внешних вершин vb. С помощью соотношений
4sb + s, = 2 гъ -у vb\ 2 s, = 2 rf + vf
индекс вершинной диаграммы записывается в виде
в)(а) = 4-оь—±-vf, B3.5)
тогда он определяется только числом и типом внешних вершин.
Из B3.5) видно, что существует конечное число типов вер-
вершинных диаграмм с неотрицательным индексом, т. е. конечное
число типов примитивно расходящихся диаграмм (простей-
(простейшие диаграммы каждого из этих типов изображены на рис. 21).
Другими словами, примитивно расходящимися являются диа-
диаграммы фермионного и бозонного массовых операторов Mf, Mb
и диаграммы вершинных функций Т1 ъ Г04 и Г01.
Чтобы построить по изучаемому нами взаимодействию ло-
ренц-инвариантную матрицу рассеяния (точнее, семейство
лоренц-инвариантных матриц рассеяния, зависящее от четы-
четырех параметров), воспользуемся методами гл. 6. Именно, вве-
введем обрезание по импульсам и будем снимать его, считая фик-
фиксированными .массу одетого формиона md, массу одетого бозона
[xd и два перенормированных заряда ed и gd, описывающих
соответственно взаимодействие фермионов с бозонами и взаи-
взаимодействие бозонов друг с другом. Тогда матрица рассеяния
5 имеет конечный лоренц-инвариантный предел.
Обрезание по импульсам можно проводить разными способами,
например так же, как и в гл. 6, т. е. производя обрезание в гамильтониа-
гамильтониане. Перенормированные заряды ed и gd определяются соотношениями:
гДе 7i,i> 7o,4 получаются из нормированных вершинных функций
ri,if<> 4 выделением б-функций:
?о,4 (*i- къ *з. *4)=Yo,4(*i. h, k3)
точки р<0>, 9е-0', k[°\ k^°\ k^°> фиксируются произвольным образом.
Нормированные вершинные функции Г'т п также имеют конечный ло-
лоренц-инвариантный предел; единственное исключение — функция Г^[.

ДОПОЛНЕНИЕ А
§ АЛ. Операторы в гильбертовом
пространстве
Под оператором всегда понимается линейный оператор,
определенный на всюду плотном подмножестве гильбертова
пространства Ж (множество D называется всюду плотным,
если любой вектор х ? Ж можно представить как предел по-
последовательности векторов xn?D).
Часто приходится рассматривать семейство JiD опера-
операторов, определенных на одном и том же множестве D и пере-
переводящих это множество в себя. Операторы A, B^JlD назы-
называются сопряженными, если {Ах, у) — (х, By) для любых
х, у 6 D.
Оператор А назовем сильным пределом последовательно-
последовательности операторов Ап ? Md (обозначается А = s lim An), если для
любого вектора х 6 D
Ах = lim Anx.
Оператор А называется слабым пределом последователь-
последовательности операторов Ап ? Md (обозначается А = w lim An), если
для любых векторов х, у?D
(Ах, у) = Пт<Л„ х, у).
Под производной оператора по параметру мы понимаем
сильную производную, т. е. dAldt определяем как
/t-О А
Оператор А называется эрмитовым (симметричным), ес-
если для любых векторов х, у из его области определения
(Ах, у) = (х, Ау).
Математики (в отличие от физиков) различают понятия эр-
эрмитова и самосопряженного оператора. Следуя принятой в ма-
математике терминологии, мы называем эрмитов оператор А са-
166

мосопряженным, если из того, что векторы у и z для любого
вектора х из области определения оператора А удовлетво-
удовлетворяют условию (Ах, у} = (х, 2>, вытекает, что у входит в об-
область определения оператора^, иг = Ау. Отметим, что физи-
физическим величинам в квантовой механике должны соответст-
соответствовать именно самосопряженные операторы.
Вектор х называется циклическим вектором семейства опе-
операторов А, если линейные комбинации векторов вида Ах... Апх,
где At?A, всюду плотны.
§ А.2. Числовые, векторные и операторные
обобщенные функции
Под числовой обобщенной функцией понимается линейный
функционал на пространстве функций R (пространстве основ-
основных функций), Таким образом, обобщенная функция опреде-
определяет закон, сопоставляющий каждой функции / ? R число ф (/),
которое удовлетворяет равенству
ф (Vx + ад = мр (Л) + к<? (h) (A.i)
(здесь /j, /2 ? R, Хъ Х2 — комплексные числа).
Число ф (/) записывается также в виде интеграла
Ф (/) = I / (х) ф (х) dx,
имеющего чисто символический смысл [как говорят физики,
обобщенная функция ср (х) приобретает смысл только под
знаком интеграла с «хорошей» (основной) функцией]. Ради
определенности считаем, что пространством основных функ-
функций R является пространство if (En) бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций от п переменных, все производные которых
убывают быстрее любой степени.
На функционал ф (/) накладывается дополнительно усло-
условие непрерывности в топологии пространства ?f, т. е. предпо-
предполагается, что ф (fk) -> 0, если х ... х%п ... —б- fh рав-
дх\1 дхРпп
номерно стремится к нулю на любом ограниченном множестве
при любых at ^ 0, pj ^ 0.
Векторная обобщенная функция ф (х) определяет закон,
сопоставляющий каждой функции / из пространства основных
функций R вектор ф if) из гильбертова пространства Ж, линей-
167

но зависящий от /; иными словами, требуется выполнение
равенства (АЛ). Как и в числовом случае, пишем
Ф if) = 1 / (х) Ф (х) dx.
Если выполнено соотношение <ф (х), ср (х')> = б (х, х'), т. е.
<Ф (/)» Ф (g)> =ХД g>» T0 говорят, что обобщенная векторная
функция ф (х) нормирована на б-функцию.
Операторная обобщенная функция А (х) определяет закон,
ставящий в соответствие каждой функции /? R оператор Л (/),
линейно зависящий от / [предполагается, что все операторы
A (J) имеют одну и ту же область определения D и переводят ее
в себя]. Оператор А (/) символически записывается в виде
A{x)dx.
Операторная обобщенная функция А+ (х) называется
сопряженной к функции А (х), когда для любой основной
функции / оператор Л+ (/) сопряжен к оператору А (/¦), оп-
определен на D и переводит D в себя.
Если пространством основных функций является прост-
пространство ^(Я"), обобщенная операторная функция А (х) имеет
сопряженную функцию и для любых векторов ?, ц?О функ-
функционал <Л (/) |, т)> непрерывен в топологии пространства if,
то можно придать смысл оператора с областью определения
D выражению
$g(xlt .... хт) A (Xj)... A (xm) dxv.. dxm,
где g? У (Етп) (операторный аналог теоремы о ядре).
Операторная обобщенная функция А (х) называется силь-
сильным (слабым) пределом операторных обобщенных функций
Ап (х), когда для любой основной функции / операторы Ап if)
сильно (слабо) сходятся к оператору А (/).
Говорят, что векторная обобщенная функция ф (х) — собст-
собственная для оператора А, если
Лф (х) = %(х) ф (х),
или, точнее, если Лф (/) = ц> (А/).
Справедлива следующая важная теорема: для всякого само-
самосопряженного оператора Л существует такая обобщенная век-
векторная собственная функция ф (х), нормированная на б-функ-
цию, что множество векторов вида ф (/) = J / (х) ф (х) dx всюду
плотно. Эта теорема — одна из форм известного утверждения:
168

у всякого самосопряженного оператора есть полная система
обобщенных собственных векторов.
До сих пор не уточнялась природа множества, которое про-
пробегает аргумент х обобщенной функции. Обычно оно является
евклидовым пространством. Однако существуют и другие воз-
возможности; важно только, чтобы для функций на этом мно-
множестве было определено понятие интеграла, обладающее обыч-
обычными свойствами (иными словами, чтобы это множество пред-
представляло собой пространство с мерой).
Вектор Ф называется циклическим вектором семейства обоб-
обобщенных операторных функций Аг (х),.., Ап (х), бели это
циклический вектор семейства операторов вида At (/), т. е. ли-
линейные комбинации векторов All(fxj... Aln(fn) Ф образуют
всюду плотное множество.
§ А.З. Фоковское пространство
Под фоковским пространством F (X) понимается гильбер-
гильбертово пространство, составленное из так называемых фоков-
ских столбцов:
Фо \
ф! ill)
4>n(Sl. ••• . In)
где фп — симметричная функция переменных Si. ¦••. Sn. про-
пробегающих пространство X (как правило, пространство X —
евклидово пространство Еп, но вообще X может быть произ-
произвольным пространством с мерой). Скалярное произведение
двух фоковских столбцов ф и ф' определяется формулой
Если состояние одного бозона описьюается функцией / (%),
аргумент которой пробегает множество X, то симметричная
функция фп (%и ..., %п) описывает систему изп тождественных
бозонов. Поэтому можно сказать, что фоковский столбец
описывает состояние системы из неопределенного числа тож-
тождественных бозонов.
169

Определим в фоковском пространстве операторную обоб-
обобщенную функцию а (?) следующим образом:
Фо
Ф1
Точнее, чтобы задать операторную обобщенную функцию
а (?), следует задать операторы а (/) = J / (?) a (g) dg с помощью
соотношения
Фо
ф!
иЙ!» •••' In)
Операторы а (/) определены на множестве D, составленном
из фоковских столбцов с конечным числом отличных от тож-
тождественного нуля функций, и переводят это множество в себя.
Операторы а (/) носят названия операторов уничтожения,
а сопряженные к ним операторы а+ (/) = J / (?) а+ (?) dg—¦
операторов рождения [а+ (/) также определены на множест-
множестве D и переводят его в себя]. Это название объясняется тем,
что а (/) переводят «-частичное состояние в (п — 1)-частичное
а+ (f) — в (я+ 1)-частичное [состояние называется «-частич-
«-частичным, если оно описывается фоковским столбцом, в котором
отлична от нуля лишь функция фп (?1( ..., ?„)].
Ради краткости часто говорят не об операторной обобщен-
обобщенной функции а (?) и сопряженной к ней операторной обобщен-
обобщенно

ной функции а+ (?), а об операторах уничтожения а (|) и
рождения а+ (?). Легко убедиться в справедливости соот-
соотношений:
[а (I), а (Г)] = [а+Ш, а+ (?')] = 0;
\аA), а+ (g')J = 6 (g, I').
Они называются каноническими перестановочными соотно-
соотношениями (CCR). Если в гильбертовом пространстве Ж заданы
операторные обобщенные функции а (?), а+ (?), удовлет-
удовлетворяющие CCR, то говорят, что в Ж задано представление CCR.
Обозначим 0 фоковский столбец
Он называется фоковским вакуумом. Нетрудно видеть, что
a (?) 9 = 0.
Представление CCR называется фоковским, если в прост-
пространстве Ж этого представления существует циклический век-
вектор Фо семейства операторных обобщенных функций а+ (?),
а (?), удовлетворяющий условию а (|) Фо = 0. Можно дока-
доказать, что всякое фоковское представление унитарно эквива-
эквивалентно построенному выше представлению OCR в пространстве
Фока, т. е. существует унитарный оператор а, отображающий
фоковское пространство на пространство Ж и удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям аа (?) = а (?) а, аа+ (I) = а+ (I) а, а0 = Фо.
Оператор а определяется этими условиями однозначно (под-
(подробнее см., например, [9]).
К числу простейших операторов в фоковском простран-
пространстве относятся операторы
Н = J со (?) а+ (I) a (I) dt (A.2)
Векторная обобщенная функция а+ (^х)... а+ (^„) 0 являет-
является собственной функцией оператора вида (А.2):
На+ (I,)... a+ (In) 0 = (со (У + ... + со (U)x
Ха+(У... аЩп) 9.
171

§ A.4. Оператор эволюции
Для зависящего от времени гамильтониана Я (t) оператор
эволюции U (t, t0) определяется как решение уравнения
удовлетворяющее начальному условию U (t0, t0) = 1.
В случае, когда Я (t) = Я,
U(t, Q = exp [ — \H(t—Q].
Если Я (t) = Яо + V (t), то определим оператор 5 (t, t0)
(оператор эволюции в представлении взаимодействия) фор-
формулой
5 (t, t0) = ехр AЯ„0 U (t, t0) exp (—\Hoto).
Он удовлетворяет уравнению
dA(LJ t0) (A.3)
i
с начальным условием 5 (t0, t0) = 1. Здесь
V @ =exp AЯ„0 V (t) exp (- \Hot).
Уравнение (А.З) вместе с начальным условием эквивалент-
эквивалентно интегральному уравнению
Решая его методом итераций, получаем представление опера-
оператора 5 (t, t0) в форме
()
(т) S
...K(U), (A.4)
где Т (V (tx) ... V (tm)) — произведение операторов V (^), ...
..., V (tm), расположенных в порядке убывания времени (Т-про-
изведение).
Адиабатический оператор эволюции Ua (t, t0), соответст-
соответствующий паре операторов Я, Яо, определяется как оператор
172

эволюции, построенный по зависящему от времени гамильто-
гамильтониану На (f) = Я2 +ехр (— |а|0 V, где V = Я — Яо.
Адиабатической 5-матрицей называется оператор
5a = s lim Sa(t,Q, (A.5)
t-*oo , tQ-+— °°
где
Sa (t, t0) = exp (\Hof) Ua (t, t0) exp (— 1ВД.
Из соотношения (А.4) вытекает, что оператор (А.5) может
быть представлен в виде
xT(V(t1)...V(tm))dt1...dtm.
§ А.5. Механика систем е бесконечным
числом степеней свободы
Функционал F (/), заданный на гильбертовом пространст-
пространстве R, называется дифференцируемым, если для любого век-
вектора /6 R существует такой непрерывный линейный функцио-
функционал l} (h), что
F(f+h)=F(f)+lf(h)+z(f, h),
где е (Д К) стремится к нулю быстрее, чем h, т. е. lim ^е ('' " =
/t-vO || Я ||
= 0. Функционал tf (h) называется дифференциалом функцио-
функционала F (f) в точке /.
Предположим, что гильбертово пространство R реализова-
реализовано как пространство функций; для определенности будем счи-
считать R = L2 (Es). Тогда
Функция lf(x) называется вариационной цроизводной функ-
функционала F(f) и обозначается 8F(f)/8f(x). Таким образом,
(Определение дифференциала сохраняет смысл для функцио-
функционалов, заданных на произвольном банаховом пространстве R;
определение вариационной производной пригодно, если про-
173

странство R' линейных функционалов на R реализовано как
пространство функций.)
Функционал F (/) на L2 (Е3) называется аналитическим,
если он может быть представлен в форме:
JmJ ft! J П
Функции Fn (хь ..., х„) считаем симметричными. Они назы-
называются коэффициентными функциями функционала F (/),
а функционал F (/) — производящим функционалом функ-
функций Fn (хц ..., х„).
Простое формальное вычисление показывает, что
6Fl, Z. . . __ ...... .. . _.„_.. .
х,
при некоторых условиях его нетрудно строго обосновать.
Далее, очевидно,
р (х х)== 6"f</)
Рассмотрим теперь механическую систему, состояние кото-
которой в момент времени t описывается функцией ф(х, t). Будем
считать, что ее уравнения движения записываются в виде
d I 8L \ 8L
dt \бф(х, t) } 6<p(x,/)
где L (ф (х), ф (х)) — функционал Лагранжа. Значения функ-
ций ф (х, t), ф (х, t) = — ф(х, t) и я (х, t) = ——- имеют
at o(p(x, t)
смысл соответственно обобщенных координат, обобщенных
скоростей и обобщенных импульсов. Если, пользуясь соотноше-
ниями л (х) = —:—, можно однозначно выразить обоб-
6<р(х)
щенные скорости ф,(х) через я (х) и <р (х) (функционал Лаг-
Лагранжа невырожден)', то уравнения движения записываются
в гамильтоновой форме:
<3ф(х, 0 _ Ш дл(\, 0 _ Ш
dt ~ бя(х, t) ' dt ~ б(р(х, t) '
Здесь Ж (я (х), ф (х)) обозначен функционал Гамильтона, т. е.
энергия
^(х)ф(х) dx—
выраженная через л (х) и ср (х).

ДОПОЛНЕНИЕ Б
Ряды теории возмущений в квантовой теории поля удобно
описывать, сопоставляя каждому члену ряда некоторую со-
совокупность графов (фейнмановских диаграмм). Приведем ос-
основные определения и некоторые простейшие сведения из тео-
теории графов.
Под топологическим отображением понимается взаимно
однозначное и в обе стороны непрерывное отображение.
Топологическим отрезком называется множество, которое
можно топологически отобразить на замкнутый отрезок пря-
прямой линии. Точки, переходящие при этом отображении в кон-
концы прямолинейного отрезка, называются концами или вер-
вершинами топологического отрезка.
Графом называется совокупность топологических отрезков
(ребер), каждая пара которых либо совсем не имеет общих то-
точек, либо имеет один общий конец.
Граф считается ориентированным, если на каждом из
составляющих его отрезков выбрано определенное направ-
направление.
Объединение составляющих граф отрезков называется те-
телом графа.
Под вершинами графа понимаются вершины (концы) состав-
составляющих его отрезков.
Два графа называются топологически эквивалентными, ес-
если существует топологическое отображение тела одного графа
на тело другого графа, при котором вершины переходят в вер-
вершины. Это отображение носит название топологической экви-
эквивалентности. Если графы ориентированы, то на топологиче-
топологическую эквивалентность накладывается дополнительное требо-
требование: она должна сохранять направление входящих в графы
отрезков. Примеры графов изображены на рис. 22. Графы
а, б топологически эквивалентны, граф в топологически не
эквивалентен графам а а б.
175

Если в множестве отрезков, составляющих граф, выделено
некоторое подмножество, то это меньшее множество также
образует граф, который назовем подграфом исходного графа.
Подграф называется собственным, когда он не пуст и не сов-
совпадает со всем графом.
Граф называется несвязным, если его можно разбить на
два собственных подграфа, т. е. разбить множество отрезков,
составляющих граф, на два непустых подмножества так, что-
чтобы никакие два отрезка из разных подмножеств не имели об-
общих вершин. В противном случае граф
называется связным. Всякий граф мож-
можно разбить на связные компоненты, т. е.
разбить множество отрезков, составляю-
составляющих граф, на несколько подмножеств,
каждое из которых определяет связный
подграф, и в то же время два отрезка из
разных подмножеств не имеют общих
вершин. Например, граф рис. 23 состоит
из трех связных компонент.
Вершина графа называется внешней,
если она принадлежит только одному от-
отрезку. В противном случае она называется внутренней. От-
Отрезок называется внутренним, если обе его вершины — внут-
внутренние, и внешним, если хотя бы одна из его вершин —
внешняя.
Нередко приходится рассматривать графы, состоящие из
отрезков нескольких типов (чаще всего встречаются графы,
состоящие из отрезков двух типов; отрезки одного типа изоб-
изображаются на чертежах пунктиром, отрезки другого типа —
сплошными линиями). Такие графы мы называем диаграммами.
(Это употребление слова «диаграмма» нестандартно; в физиче-
176
Рис. 23.

ской литературе термин «диаграмма» употребляется как сино-
синоним термина «граф».)
Две диаграммы называются топологически эквивалентны-
эквивалентными, если существует топологическое отображение тела одной
диаграммы на тело другой, при котором вершины переходят
в вершины, а отрезки — в отрезки того же тела. (Отрезки не-
некоторых типов могут быть ориентированными; тогда тополо-
топологическая эквивалентность должна сохранять их ориентацию.)
Фиксируем ориентированный граф а. Множество отрезков,
составляющих граф, обозначим R, число этих отрезков — г.
Множество вершин графа обозначим V, их число — v. Будем
говорить, что в графе а задана одномерная цепь, если каждо-
каждому отрезку р ? R сопоставлено действительное число, и что за-
задана нульмерная цепь, если каждой вершине Р ? V сопостав-
сопоставлено действительное число. Иными словами, под одномерной и
нульмерной цепями понимаются действительные функции со-
соответственно на R и на V.
Естественным образом определяется сложение цепей и ум-
умножение их на число; множество одномерных цепей Сх пред-
представляет собой r-мерное линейное пространство, множество
нульмерных цепей Со представляет собой у-мерное линейное
пространство относительно этих операций. Каждому отрезку
р ? R сопоставим одномерную цепь, принимающую значение 1
на этом отрезке и значение 0 на остальных отрезках; будем
ее отождествлять с отрезком р и обозначать тем же символом.
Аналогично каждой вершине сопоставляется нульмерная цепь,
которая отождествляется с этой вершиной. Очевидно, всякую
одномерную цепь можно представлять как линейную комби-
комбинацию отрезков, а нульмерную цепь — как линейную ком-
комбинацию вершин.
Под границей dp отрезка р ? R понимается нульмерная
цепь, ар — РР, где рр — начало отрезка р, ар — его конец
(напомним, что рассматривается ориентированный граф, по-
поэтому все отрезки р ? R ориентированы). Под границей да
одномерной цепи а
а= 2
рея
понимается линейная комбинация границ составляющих ее
отрезков:
2 p(orp—Рр)-
177

Таким образом, граница д представляет собой линейный опе-
оператор, действующий из Сх в Со.
Циклом назовем одномерную цепь, граница которой равна
нулю; множество всех циклов обозначим через Z. Очевидно,
Z — линейное подпространство пространства Сх. Размерность
пространства Z (число линейно независимых циклов) обозна-
обозначим bv Например, для графа
на рис. 24 базис пространст-
пространства Z состоит из циклов р2 —
Рз. Рг — Р4-
Покажем, что для связно-
связного графа
Ьх = г —¦ v -\- 1.
Рассмотрим линейное пространство dCx (множество значений
граничного оператора д). Всякая цепь
удовлетворяет условию
поскольку этому условию удовлетворяет граница любого от-
отрезка. Для связного графа справедливо и обратное утверж-
утверждение: если для цепи
2 IvvgCg
выполняется (Б.1), то она принадлежит пространству dCv
Действительно, всякую цепь, удовлетворяющую (Б.1), мож-
можно представить как линейную комбинацию цепей вида Р —¦ у,
где Р, у ? V [это вытекает, например, из подсчета размерностей:
линейные комбинации цепей вида Р —¦ у образуют подпрост-
подпространство размерности v— 1, как и цепи, удовлетворяющие ус-
условию (Б.1)]. Если граф связен, то для двух любых вершин
Р, у найдется такая последовательность вершин ро = у, рх, ...
•••» Pti-i. Р« = Р. чт0 Рг-i. Рг принадлежат отрезку рг?# и,
стало быть, dpг- = о; (рг— Рг-i), где о; = ± 1. Отсюда
Р-т= S (Pi-P«-i) = 3( S о» Pile ас,.
\ l
Таким образом, мы установили, что для связного графа про-
пространство дСх имеет размерность v — 1, т. е. оператор д отоб-
178

ражает r-мерное пространство на (v— 1)-мерное; пространст-
пространство цепей, которые он переводит в нуль (пространство циклов),
имеет размерность г— v -f- 1.
Если граф несвязен, то размерность Ьх пространства цик-
циклов равна сумме размерностей пространств циклов для его
связных компонент, поэтому
ftj. = Г — V + Ьо,
где Ьо — число связных компонент.
Как уже упоминалось, ряды теории возмущений удобно
изображать с помощью диаграмм. Каждой диаграмме сопо-
сопоставляется функция, определяемая некоторым интегралом;
в его подынтегральном выражении содержится несколько
б-функций. Займемся вопросом о сокращении кратности ин-
интеграла с помощью б-функций. Прежде всего рассмотрим про-
произвольный интеграл, под знаком которого есть б-функции от
линейных комбинаций аргументов, а затем перейдем к интег-
интегралам, соответствующим диаграммам.
Если в подынтегральной функции содержится б-функция
вида б Aх) = б (txxi + ... + tnxn), то кратность интеграла
можно уменьшить на единицу:
хN(lx)dx = Jfta,.... xrl)d(l1x1 + ...+lnxn)dx1...dxn =
(Б.2)
Многократным применением соотношения (Б.2) интеграл
Cf(xN(l1x)...6(l*x)dx =
= ^f(xv...,xn)8(l\x1 + ...+l1nxn)... x
X 6(/f x1 + ... + lknxn) dxx... dxn (Б.З)
сводим к (п — &)-кратному интегралу. (Аккуратное определе-
определение интегралов (Б.З) изложено, например, в книге [35]. Мож-
Можно считать, что описанная процедура дает определение этого
интеграла.)
При вычислении интеграла (Б.З) удобно пользоваться тем,
что он с точностью до постоянного множителя представляет
собой интеграл от функции / по линейному подпространству,
определяемому уравнениями
I1 х.= 0, ..., 1*х = 0.
179

Отметим также следующее полезное соотношение:
б^х)... вA*х) =
= 6(l1x)...6(lft-1xN(l*x + ^1l1x+... + Vi1^lx)- (Б-4)
Чтобы интеграл (Б.З) имел смысл, необходима линейная не-
независимость векторов 1Х, ..., \k, в противном случае при по-
последовательном применении соотношения (Б.2) мы встретим-
встретимся с бессмысленным выражением б @) [это видно, например,
из соотношения (Б.4)].
Рассмотрим теперь интеграл вида
[здесь х' = (хъ ..., xh), x" = (xh+1, ..., хп), л1 — А-мерные
векторы, Ъ1 — (я — А)-мерные векторы, интеграл берется толь-
только по переменным хъ ..., xh]. Он также имеет смысл лишь в слу-
случае, когда векторы I1,..., 1* линейно независимы. С помощью
последовательного применения соотношения (Б.4) он приво-
приводится к виду
(х\ х") б (с1 х' + d1 х")... б (cs х' + ds x") dx' x
§ f
Здесь с1,..., cs— максимальное линейно независимое подмно-
подмножество векторов а1, ..., а*.
Таким образом, кратность рассматриваемого интеграла
благодаря б-функциям снижается до А — s, где s— ранг сис-
системы векторов а1, ..., лк; в функции от переменных xh+J, ...
..., хп, получающейся после взятия интеграла, содержится
произведение k—s б-функций. Чтобы определить число s,
достаточно найти размерность t линейного подпространства,
выделяемого в n-мерном пространстве уравнениями
lbc = 0, ..., 1*х =0, х" = 0*.
В самом деле, легко видеть, что t = h — s, т. е. t равняется
кратности данного интеграла, уже упрощенного с помощью
б-функций. Число б-функций, остающихся после взятия ин-
интеграла, равно k — (А — t) = k — h -f t.
* Очевидно, рассматриваемый интеграл можно представлять как
интеграл от функции / (х', х") по многообразию, получающемуся из
описанного подпространства с помощью сдвига.
180

Пусть теперь задан ориентированный граф а. Считаем от-
отрезки, составляющие граф, перенумерованными, причем пер-
первые номера 1, 2, ..., h присвоим внутренним отрезкам, а послед-
последние номера h -f 1. •••, п— внешним. Предположим также, что
у графа а нет связных компонент, содержащих только одно
ребро (т. е. каждое внешнее ребро имеет ровно одну внешнюю
вершину).
Рассмотрим интеграл
$f(*i...-. K)Y\b{\°k)dk1...dkh. (Б.5)
а
где функция / зависит от п переменных, которые находятся
во взаимно однозначном соответствии с отрезками, состав-
составляющими граф. Интеграл берется по переменным, соответ-
соответствующим внутренним отрезкам, а его б-функции находятся
во взаимно однозначном соответствии с внутренними вершина-
вершинами: каждой внутренней вершине 0 сопоставляется б-функция
б (lak) = б B&,-и—2&/р), где kia, kj$ — переменные, со-
соответствующие отрезкам, для которых вершина 0 служит на-
началом и концом соответственно.
Как было сказано выше, с помощью б-функций можно ин-
интеграл (Б.5) свести к ^-кратному, где t— размерность под-
подпространства, определяемого соотношениями:
Iе к = 0; kh+1= ... =kn = 0
(о пробегает все внутренние вершины). Ясно, что это подпро-
подпространство совпадает с подпространством Z, состоящим из цик-
циклов. Таким образом, t = Ьъ или
t = r—v+b0, (Б.6)
где Ьо — число связных компонент графа. В частности, для
связного графа
t = r—v +1,
и после взятия интеграла остается одна б-функция линейной
комбинации переменных kh+1, ..., kn. В самом деле, по общей
формуле число остающихся б-функций равно
w — и -f t,
где w — число внутренних вершин, и — число внутренних
отрезков. По предположению у каждого внешнего ребра есть
ровно одна внешняя вершина, поэтому
w — и = и — г,
181

и, значит, число остающихся б-функций равно (v— г) -\-(г —
—v -\- 1) = 1, Легко показать, что остающаяся б-функция бу-
будет записываться в виде
где е, = 1, если соответствующее внешнее ребро имеет внеш-
внешнюю вершину своим началом, и ег = — 1, если внешнее реб-
ребро имеет внешнюю вершину своим концом.
Итак, интеграл (Б.5) для связного графа можно записать
следующим образом:
б
где переменные qlt ..., qbt находятся во взаимно однозначном
соответствии с циклами, q = (qlt..., qbl), к' = (kh+1, ..., kn).
Изучим теперь интеграл, отвечающий в (к, «^-представле-
«^-представлении диаграмме, построенной по трансляционно-инвариантно-
му гамильтониану. Будем считать, что все внешние вершины
принадлежат звездам (если в диаграмме есть внешние верши-
вершины, принадлежащие ребрам, то, удаляя эти ребра, мы полу-
получим диаграмму из рассматриваемого класса, причем из интег-
интеграла, соответствующего ей, можно получить интеграл, от-
отвечающий исходной диаграмме, умножением на DF (k^ ...
DF(kw), где переменные къ ..., kw соответствуют внешним
вершинам).
Исследуемый интеграл запишем в виде
••• dk0. (Б.7)
Все вершины диаграммы перенумерованы. Номера 1, ..., w
присвоены внешним, а номера w -\- 1, ..., v— внутренним вер-
вершинам. Вершине с номером i сопоставлен четырехмерный век-
вектор kh 4у-мерный вектор (ku ..., kv) обозначен к. Каждому
ребру р диаграммы соответствует б-функция б (vp k), а каждой
звезде — б-функция б(^,ак), гдеурк—сумма четырехмер-
четырехмерных векторов, соответствующих вершинам ребра р, а Ха к —
сумма четырехмерных векторов, отвечающих вершинам звез-
звезды 0.
Будем считать, что все ребра как-либо ориентированы;
обозначим а (р) и р (р) начало и конец ребра р. Тогда с по-
182

мощью б-функций б (vp k) = б (ka (р) + k$ (p)) можно умень-
уменьшить кратность интеграла (Б.7), проинтегрировав повеем пере-
переменным &р (р), отвечающим концам ребер. Останется только ин-
интегрирование по &га(Р), находящимся во взаимно однозначном
Рис. 25. Ри с. 26.
соответствии с ребрами. Таким образом, интеграл (Б.7) пре-
преобразуется к виду
..., kw, ръ ... pr)[~\8(tak + ii<lP~iJL°p)dp1...dpr, (Б8)
а
где къ ..., kw — четырехмерные векторы, отвечающие внеш-
внешним вершинам; ръ .... р,. — четырехмерные векторы, однознач-
однозначно соответствующие ребрам; ха к — сумма векторов, отвечаю-
отвечающих внешним вершинам звезды о; jmjp и ц°р—сумма век-
векторов, отвечающих ребрам соответственно с началом и с кон-
концом в вершине звезды о.
Построим по нашей диаграмме ориентированный граф, реб-
ребрами которого служат, во-первых, линии, входящие в состав
звезд и начинающиеся во внешних вершинах, и, во-вторых,
отрезки, образующиеся при объединении ребер диаграммы
с примыкающими к ним пунктирными линиями. На рис. 25
изображен граф, полученный описанным способом из диаграм-
диаграммы рис. 26. Все ребра графа изображены сплошными линиями.
Легко убедиться, что интеграл (Б.8) совпадает с интегралом,
сопоставленным графу с помощью (Б.5), если только считать
в (Б.5) переменные kt четырехмерными векторами. Применяя
соотношение (Б.6) и используя все б-функции в интеграле (Б.7),
можно свести его к ^-кратному, где t— учетверенное число ли-
линейно независимых циклов в диаграмме:
^ = 4(r-s+&o); (Б.9)
здесь г—число ребер, s—число звезд в диаграмме, Ьо —
число связных компонент. Если диаграмма связна, то из (Б.9)
вытекает, что после взятия интеграла (Б.7) остается одна че-
четырехмерная б-функция [а именно, остается б (кг -f ... +kw),
выражающая закон сохранения четырехмерного импульса].
183

ДОПОЛНЕНИЕ В
Как уже отмечалось, доказательство перенормируемости
взаимодействия gq>4 не проще доказательства общей теоремы
Боголюбова — Парасюка о том, что так называемая вычита-
тельная процедура приводит (в рамках теории возмущений)
к конечной лоренц-инвариантной матрице рассеяния. При до-
доказательстве теоремы Боголюбова — Парасюка, видимо, удоб-
удобнее всего пользоваться а-представлением диаграмм (см. [6, 27,
29]), но поскольку мы не собираемся проводить полное до-
доказательство этой теоремы, а займемся лишь обоснованием
некоторых утверждений гл. 6, то предпочтем не переходить
к а-представлению. При исследовании сходимости диаграммы
воспользуемся указанным в работе [36] достаточным усло-
условием суммируемости (абсолютной интегрируемости) функции.
Пусть каждому подпространству R cz Еп сопоставлено дей-
действительное число a (R). Будем говорить, что функция f, за-
заданная на пространстве Ен и суммируемая в каждой ограни-
ограниченной области, принадлежит классу Ап и имеет асимптоти-
асимптотические коэффициенты a (R), если для любых линейно незави-
независимых векторов Z'1), ..., /<m> ? Еп и всякой ограниченной об-
области W выполнено соотношение
/Oil ••• Г)т-'(
) гB)»
(В.1)
где т)ь ..., т)т независимо стремятся к бесконечности, w 6 W,
Р( зависит от векторов /t1), ..., /«. (Здесь {/<х> Щ —
наименьшее подпространство, содержащее вектора /A), ..., /A)).
Соотношение (В.1) означает, что можно подобрать числа Ьг, ...
..., bm~^z\ и М > 0, зависящие от Z'1), ..., /<т> и области W,
184

для которых справедливо неравенство
If D1- 11т/<1> + ... + г]т/<'«> + ш)|
X {\п^к..щ{^-- t(m)) (\пцт)^ (В.2)
при любых т)х > Ьъ ..., т)т ^ 6ТО, ш? U?.
Если т = 1, то соотношение (В.2) принимает вид
'>(InT])P, (Б.З)
т. е. число а {/} может быть истолковано как степень возрас-
возрастания функции / (х\1). В общем случае оно интерпретируется
как степень возрастания функции / (т)/) для «типичного» век-
вектора /? R (в частности, для R = {/t1), ..., /<m>} и любого /? R
вида IW Л1 ... т)т_х + ... + /<2> тJ ... т)^! + ... + /<«>, где
т)г > &г, при достаточно больших т) выполняется неравенство
If (Л01 <Л1т)«(«)Aп т))Р).
Рассмотрим интеграл
где /—^-мерное подпространство пространства Еп, х? Еп. До-
Достаточно рассматривать функцию // (х) только для х, принадле-
принадлежащих ортогональному дополнению Iх пространства /. Оче-
Очевидно, /i (x -f a) = fi (х), если а? /, поэтому, зная // (х) для
х ? Iх, можно найти // (х) для всех х ? Еп.
Вейнберг доказал следующую теорему [36]. Пусть функция
f на пространстве Еп принадлежит классу Ап и имеет асимп-
асимптотические коэффициенты a (R). Предположим, что для
всякого подпространства R al выполнено неравенство
a {R) + dim R < О,
где dim R — размерность пространства R. Тогда:
а) интеграл f d\f (x -f §) существует (точнее, для почти
i
всех х функция f (*+ ?) является суммируемой функцией от
Ее/).;
б) функция fi (х) — \ f (x -f |) d§ принадлежит классу
i
An-h и имеет асимптотические коэффициенты a/(S), опреде-
определяемые соотношением
a/ (S) = sup (a (R) + dim R—dim S),
185

где Л — ортогональная проекция пространства Е" на /-1- (т. е.
Л задается условиями Ах — 0 для х? /, Ах = х для х? /J-).
Доказательство теоремы проводится индукцией по &. Ос-
Основной этап доказательства — проверка обоих утверждений
при k = 1 [первое из них сразу следует из неравенства (В.З),
второе доказывается довольно длинными рассуждениями]. Эта
проверка не только дает начало индукции, но и позволяет без
труда провести шаг индукции*.
Применим теперь условие суммируемости Веинберга к ус-
установлению сходимости диаграмм. Рассмотрим произвольную
вершинную диаграмму а для взаимодействия вида J Р (<р (х)) dx.
Считаем, что она задается интегралом от функции
f(p)=U
(=1- (=1
по линейному многообразию,, содержащемуся в 4г-мерном
пространстве Eir. Здесь plt ..., рг—точки четырехмерного
пространства, соответствующие ребрам диаграммы, р =
= (plt ..., pr)?Eir, nt— отображение, сопоставляющее точ-
точке (Pl, ..., рТ) е Eir точку Pi 6 Е\ DF (k) = \l{k2 — m2 + iO).
Точнее говоря, интересующая нас диаграмма записывается
в виде
где / — подпространство в 4г-мерном пространстве, выделяе-
выделяемое уравнениями
2 Щ(Я)=-О. (В.4)
I e Vh
Эти уравнения находятся во взаимно однозначном соответст-
соответствии со звездами диаграммы; V% обозначено множество номе-
номеров ребер, имеющих общие вершины со звездой X (о приведе-
приведении диаграммы к такому виду см. дополнение Б). Как отмеча-
отмечалось в § 19, чтобы выделить ультрафиолетовые расходимости,
* Второе утверждение интересно и само по себе, поскольку оно
позволяет исследовать поведение функций, определяемых диаграмма-
диаграммами, при больших импульсах. Впрочем, в этом направлении позже были
получены более тонкие результаты (см. [37—39]).
186

которыми мы занимаемся, удобно заменить функцию DF (k) =
= DF (k, ш) на функцию
F ((I + ie) соJ — k2 — /n2 '
поэтому будем исследовать интеграл вида ( /е (р + Ф dq, где
/е (р) = ITDf (p,). Выберем прежде всего m линейно независи-
мых векторов /A\ ..., /(т> ? / и оценим число /е (р), где
т]г независимо стремятся к бесконечности, w пробегает огра-
ограниченную область. Легко видеть, что
Здесь число р = р (i) находится из условия
л. (/A)) -. ... = я.(/(Р-1)) = о, яг-(/
Таким образом,
(= 1 != 1
Собирая вместе степени каждого т), получаем
где у; — число индексов i, для которых / ^ г (г) [иначе у; мож-
можно определить как количество индексов i, для которых по край-
крайней мере один из векторов л,- (/A)). ..., ni (/(") отличен от нуля].
Сопоставим каждому подпространству Rdl множество
& (R), состоящее из таких чисел i, I ^ i ^ г, что по крайней
мере для одного из векторов l^R имеем зт*(/)=^=О. Число
элементов в множестве $ (R) обозначим у (R). Очевидно, yj =
= у ({l^ ,..., /(/)}), поэтому из проведенных выше рассуж-
рассуждений вытекает справедливость соотношения (Д. 15) для функ-
функции /е (р), если положить a (R) = — 2 у (R).
Итак, чтобы убедиться в сходимости диаграммы а, достаточ-
достаточно проверить для любого подпространства выполнение нера-
неравенства a (R) < — dim R. Условимся каждому подпростран-
18

ству Ral сопоставлять поддиаграмму v (R) диаграммы а, сос-
состоящую из ребер с номерами i ? "S (R) и звезд, имеющих хотя
бы одну общую вершину с этими ребрами. Убедимся, что в диа-
диаграмме v {R) нет звезд, соединенных с остальной частью диаг-
диаграммы только одним ребром (такие диаграммы мы назовем
правильными).
В самом деле, пусть к — какая-либо звезда диаграммы 0.
Рассмотрим пересечение Vx П '3 (R) множества Vx номеров ре-
ребер, имеющих общие вершины со звездой к, с множеством 'З (R).
Очевидно, для точки р ? R
2 я,(р) = 0 (B.5)
это следует из уравнения (В.4) и соотношения яг (р) = О при
t<?$ (R)]- Если множество Vxu& (R) состоит из единственного
элемента t0, то из (В.5) получаем яг-0 (р) = 0 для любой точки
р fR, т. е. го(?$ (R). Таким образом, V),[\$ (R) не может сос-
состоять из единственного элемента, и, значит, диаграмма \(R) —
правильная.
Размерность пространства R не превышает, очевидно, раз-
размерности подпространства R пространства /, выделяемого
уравнениями яг- (р) = 0, где i 6 $ (R). С другой стороны, раз-
размерность R равна кратности интеграла, соответствующего
диаграмме v (R) (считаем интеграл уже преобразованным с по-
помощью содержащихся в подынтегральном выражении
б-функций). Поскольку a (R) = а (R), имеем:
а (R) + dim R < а (#) + dim R = о» (v (#)). (В.6)
Индекс диаграммы v, т. е. разность кратности интеграла для
этой диаграммы и степени полинома в знаменателе подынтег-
подынтегрального выражения, обозначен ш (v). В силу (Б.9) кратность
интеграла равна 4 (г — s -f b0) и, следовательно, индекс равен
в, (V) = 2 г— 4 s +4 6„. (В.7)
Применяя соотношение (В.6) и теорему Вейнберга, убеждаем-
убеждаемся, что для сходимости диаграммы при больших импульсах
достаточно отрицательности индекса каждой ее правильной
поддиаграммы.
Теперь легко получить сформулированное в § 19 утвержде-
утверждение: для сходимости диаграммы при больших импульсах необ-
188

ходимо и достаточно, чтобы для каждой ее вершинной поддиа-
поддиаграммы индекс был меньше нуля. Необходимость была доказа-
доказана в § 19. Для проверки достаточности рассмотрим в правильной
диаграмме v ребра, при разрезании которых диаграмма стано-
становится несвязной. При удалении таких ребер диаграмма v рас-
распадается на компоненты рх, ..., pfe, которые являются вершин-
вершинными диаграммами; число k этих компонент, число Ьо компо-
компонент исходной диаграммы и число / удаленных ребер связаны
соотношением
k = b0 + /.
Пользуясь данным соотношением и формулой (В.7), по-
получаем
со (v)< со (рх) + ••• + со (р*),
поэтому из отрицательности индекса всех вершинных под-
поддиаграмм вытекает отрицательность индекса всех правильных
поддиаграмм и, по доказанному, сходимость диаграммы.
Аналогично из соотношения (В.6) и теоремы Вейнберга
вытекает другое утверждение § 19: при (со (о) -\- \)-крат-
ном дифференцировании по внешним импульсам подынтеграль-
подынтегрального выражения примитивно расходящейся диаграммы а полу-
получается сходящийся интеграл. В самом деле, обозначив a (R)
асимптотические коэффициенты для подынтегрального выра-
выражения диаграммы о, a a^R)—асимптотические коэффициенты
этого выражения, продифференцированного со (о) -\- 1 раз
по внешним импульсам, видим, что для всего пространства /,
по которому идет интегрирование, ах (/) = а (/) — (со (а) + 1),
а для любого подпространства Ral a^R) ^.a (R). В силу
примитивной расходимости диаграммы о для любого под-
подпространства Ral, не совпадающего с /,
ах (R) -f dim R < а (R) -f dim R < 0.
Учитывая соотношение
«! (/) + dim / = a (/) =
= (со (a) +1) -f dim / = —1< 0,
убеждаемся в справедливости нужного утверждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.
М., «Наука», 1969.
2. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.
Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1963.
3. Бгрегтецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятиви-
Релятивистская квантовая теория. Ч. 1. М., «Наука», 1968.
4. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая тео-
теория. Ч. 2. М., «Наука», 1971.
"гу Новожилов Ю. В. Введение в тгорию элементарных частиц. М.,
^г' «Наука», 1972.
му Боголюбов Н. Н., Широков Д. В. Введение в теорию квантованных
^ полей. М., Гостехиздат,.1957.
7. Березин Ф. А. Невинеровские континуальные интегралы.—«Теор.
матем. физ.», 1971, т. 6, с. 194.
8. Neumann J., von. Die Eindeutigkeit der Schrodingerschen Ope-
ratoren. — «Math. Ann.», 1931, Bd 104, S. 570.
9. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. М., «Наука», 1965.
ПТЬ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М-, Физмат-
^? гиз, 1963.
Щ) Йост Р. Общая теория квантованных полей. Пер. с англ. М., «Мир»,
1967.
12. Gliimn J., Jaffe A. Boson quantum field models. — In: Mathe-
Mathematics of contemporary physics. Ed. by R. Streater. N. Y., Acade-
Academic Press, 1972.
13. Шифф А. Квантовая механика. Пер. с англ. М., Изд-во иностр.
лит., 1959.
14. Фрадкин Е. С. Метод функций Грина в теории квантованных полей
и в квантовой статистике. — В кн.: Тр. ФИАН СССР. Т. 29. М.,
«Наука», 1965.
15. Лихачев В. Н., Тюпкин Ю. С, Шварц А. С. Адиабатическая 5-
матрица и квазичастицы. — «Теор. матем. физ.». 1970, т. 2, с. 3;
Адиабатическая теорема в квантовой теории поля. ¦— «Теор. матем.
физ.», 1972, т. 10, с. 63.
16. Fradkin E. S. Application of functional methods in quantum field
theory and quantum statistics. Part 1. Divergence-free field theory
with local non-linear interaction. — «Nucl. Phys.», 1963, v. 49, p. 624.
17. Ефимов Г. В. О построении локальной квантовой теории поля без
ультрафиолетовых расходимостей. — «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 1963, т. 44, с. 2107.
190

18. Volkov M. К. Method of construction of the Green's functions in
momentum space for unrenormalisable interactions. —«Ann. Phys.»,
1968, v. 49, p. 202; Quantum field model with unrenormalisable
interaction. — «Comm. Math. Phys.», 1968, v 7, p. 289.
19. Fradkin E. S. Application of functional methods in quantum field
theory and quantum statistics. Part II. — «Nucl. Phys.», 1966,
v. 76, p. 588.
20. Хриплович И. Б. Гравитация и конечные перенормировки в кван-
квантовой электродинамике. — «Ядерная физика», 1966, т. 3, с. 575.
21. Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера
с сингулярным потенциалом. — «Докл. АН СССР», 1961, т. 137,
с. 1011.
22. Березин Ф. А. О модели Ли. — «Матем. сб.», 1963, т. 60, с. 495.
23. Glimm J., Jaffe А. А Яф| quantum field theory without cutoffs.
Part I. —«Phys. Rev.», 1958, v. 176, p.,1945. The A,q>? quantum
field theory without cutoffs. Part II. The field operators and the ap-
approximate vacuum.— «Ann. Math.», 1970, v. 91, p. 362; The A,<p|
quantum field theory without cutoffs. Part 111.The physical vacuum.—
«Acta Math.», 1970, v. 125, p. 203.
24. Glimm J., Jaffe A., Spencer T. The particle structure of the weakly
coupled P(<pJ model and other applications of high tempera-
temperature expansions. Part 1, 2.— In: Constructive quantum field
theory. Ser. Lecture Notes in Physics. N 25, Springer, 1973, p.
132 — 242.
25. Боголюбов Н. Н., Парасюк О. С. К теории умножения причинных
сингулярных функций. — «Докл. АН СССР», 1955, т. 100, с. 25;
О вычитательном формализме при умножении причинных сингу-
сингулярных функций. Там же, с. 429; О вычитательном формализме при
умножении причинных функций. — «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1956, т. 20, с. 585.
26. Степанов Б. М. Абстрактная теория ^-операции. — «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1963, т. 27, с. 819.
ЩЬ Нерр К. Theorie de la renormalisation. Springer, 1969.
28. Zimmermann W. Convergence of Bogoliubov's method of renorma-
renormalisation in momentum space. — «Comm. Math. Phys.», 1969, v. 15,
p. 208.
29. Аникин С. А., Завьялов О. И., Поливанов М. К. Одно простое до-
доказательство теоремы Боголюбова— Парасюка. — «Теор. матем.
физ.», 1973, т. 17, с. 189.
30. ГельфандИ. М., МинлосР. А., Шапиро3. Я. Представления группы
вращений и группы Лоренца. М., Физматгиз, 1958.
31. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. М.,
Физматгиз, 1958.
32. Паули В. Общие принципы волновой механики. Пер. с англ. М. —
Л., Гостехиздат, 1947.
33. Фаддеев Л. Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжиа-
лагранжианов. — «Теор. матем. физ.», 1974, т. 1, с. 3.
34. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. М., Атомиз-
дат, 1972.
35. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над
ними. М., Физматгиз, 1959.
36. Weinberg S. High-energy behavior in quantum field theory. —
«Phys. Rev»., I960, v. 118, p. 838.
191

37. Ефремов А. В., Завьялов О. И. Асимптотика графов Фейнмана. —
В кн.: 12 Международная конференция по физике высоких энер-
энергий. Дубна, 1964. Т. 1. М., Атомиздат, 1966, с. 360.
38. Завьялов О. И. Высокоэнергетическая асимптотика сходящихся
диаграмм Фейнмана. — «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1964,
т. 47, с. 1099.
39. Завьялов О. И., Степанов Б. М. Асимптотика расходящихся диа-
диаграмм Фейнмана. — «Ядерная физика», 1965, т. 1, с. 922.
Альберт Соломонович Шварц
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
БОЗОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Редакторы Н. Е. Никитина, Ю. С. Аборин
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Художник А. И. Шавард
Технический редактор И. Н. Подшебякин
Корректор О. М. Герасимова
Сдано в набор 12/VIII 1974 г. Подписано к печати 9/1 1975 г.
Т-02710. Формат 84ХЮ8'/з2. Бумага типографская № 2.
Усл. печ. л. 10,08. Уч.-изд. л. 11,61. Тираж 5400 экз.
Зак. изд. 73186 Зак. тип. 1089. Цена 1 р. 32 к.
Атомиздат, 103031, Москва, К-31, ул. Жданова, 5.
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
Москва, И-41, Б. Переяславская ул., д. 46.