/
Автор: Ициксон К. Зюбер Ж.-Б.
Теги: физика теория поля естественные науки квантовая теория поля квантовая физика
Год: 1984
Текст
К. ИЦИКСОН
ЖгБ. ЗЮБЕР
КВАНТОВАЯ
ЕОРИЯ
ОЛЯ
CLAUDE ITZYKSON
and
JEAN-BCRNARD ZUBER
Commissariat a I'Energie Atomique
Centre d'Etudes Nucleaires de Saclay
QUANTUM
FIELD THEORY
McGRAW HILL
BOOK COMPANY
New York St. Louis San Francisco Auckland Bogota Hamburg
Johannesburg London Madrid AAexico Montreal New Delhi
Panama Paris Sao Paulo Singapore Sydney Tokyo Toronto
к. ициксон
ЗЮБЕР
КВАНТОВАЯ
ТЕОРИЯ
ОЛЯ
В 2-х томах
ТОМ
Перевод с английского
под редакцией
Р. М. МИР-КАСИМОВА
Москва «Мир» 1984
ЕБК 22.31
И 96
УДК 530.145
Ициксон К., Зюбер Ж.-Б.
И96 Квантовая теория поля: Пер. с англ.—М.: Мир, 1984. —
400 с, ил.—Т. 2.
Книга известных французских теоретиков К. Ициксона и Ж.-Б. Зюбера пред-
представляет собой современный курс квантовой теории поля, охватывающий основные
положения этой области физики и новые результаты. В русском переводе книга из-
издается в двух томах. Во втором гоме рассматриваются теория перенормировок, функ-
функциональные методы, теория неабелевых калибровочных полей, ренормализационная
группа, динамика на световом конусе и др.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших
курсов, занимающихся проблемами квантовой теории поля и физикой элементарных
частиц
1704020000-315 ББК 22.31
И 041@1)—84 45~83f Ч> ! 530.1
Редакция литературы по фиаике
КлоД Ициксон, Жан-Бернар Зюбер
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
В двух томах
Том 2
Научный редактор А. Н. Куксенко. Мл. научи, редактор И. А. Зиновьева
Художник Н. И. Василевский. Художественный редактор Л. Е. Безрученкс
Технический редактор Е. С. Потапенкова. Корректор Т, И. Стифеева
ИБ Ш 3225
Сдаио в набор 06.06 83. Подписано к печати 11.11.83.
Формат бОХЭО'Дв' Бумага типографская № К Гарнитура литературная. Печать высокая
Объем 12,50 бум. л п. л. Усл. печ. л. 25. Усл. кр.-отт. 25. Уч.-нзСд л 93,83.
Изд. № 2/2048 Тираж 8000 экз. Зак. 1845. Цена 2 р 80 з к.39,
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая
типография имени А. А. Жданова Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издателыпв, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано с матриц в Ленинградской типографии № 6 Ордена Трудового Красного Зна-
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой Союзпо.
лиграфпрома при Государственном коми~ете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли 193144, г. Ленинград, ул Моисееико, 10
Copyright © 1980 McGraw-Hill Inc.
© Перевод на русский язык, «Мир».
1984
Глава 8
ПЕРЕНОРМИРОВКА
Проблема перенормировок во всех порядках теории возмущений
является в теории поля центральной. После введения, посвящен-
посвященного изучению различных методов регуляризации, мы изложим
cxeiMy вычитаний Боголюбова —Циммермана. Мы наметим доказа-
доказательство сходимости перенормированных интегралов, а также
изучим ультрафиолетовое поведение (теорема Вайнберга) и без-
безмассовые теории Будет кратко рассмотрена перенормировка со-
составных операторов. В конце главы мы проанализируем взаимо-
взаимосвязь, существующую между калибровочной инвариантностью и
перенормировками1).
8.1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
И ПОДСЧЕТ СТЕПЕНИ РАСХОДИМОСТИ
8.1.1. Введение
Настоящая глава посвящена систематическому изучению процедуры
перенормировок. Общие рассуждения, лежащие в основе этой
процедуры, уже изложены в предыдущей главе на примере кван-
квантовой электродинамики Мы видели, что расходимости могут быть
поглощены переопределением различных параметров теории-—массы,
константы cbhj,h и т д. Целесообразно отвлечься вначале от труд-
трудностей, специфических для электродинамики, а именно от кали-
калибровочной инвариантности, и изучить перенормировку в скаляр-
скалярной теории Дополнительные проблемы, возникающие в связи
с существованием симметрии, будут рассмотрены в конце этой
главы для случая квантовой электродинамики, а в гл. 11 и 12 —
для других внутренних симметрии.
Природа и свойства перенормировок были впервые сформули-
сформулированы и изучены основателями квантовой теории поля Томона-
гой, Фейнманом, Дайсоном, Швингером и др Важный вклад
внесли Салам, Вайнберг, Боголюбов и Парасюк, а также Хепп.
Сравнительно недавно Циммерман и его последователи внесли еще
х) Обзор современного состояния теории перенормировок дан в книге
О. И. Завьялова (см. примечания редактора перевода в конце настоящей
главы).— Прим. ред.
ГЛАБД 8
большую ясность в процедуру перенормировок. Эпштейн и Гла-
зер развили аксиоматический подход
Математическая природа проблемы ясна Расходимости возни-
возникают в вычислениях по теории возмещений из-за отсутствия долж-
должной осмотрительности при умножении обобщенных функций
Например, усеченная диаграмма собственной энергии на рис 8.1, а
а 6
РИС 8 1 Расходящаяся диаграмма и соответствующий контрчлеь
соответствует формально -сданному выражению [GF(y1 — r/2)]2
Непосредственного смысла оно не имеет Соответствующее выра-
выражение в импульсном пространстве, т е преобразование Фурье
данной величины, логарифмически расходится Как мы видели
в гл 7 (см т 1), в таких расходящихся выражениях необходимо
производить вычитания Поскольку мы требуем, чтобы вычитания
были локальны в конфигурационном пространстве, данная опера-
операция сводится к изменению параметров лагранжиана на бесконеч-
бесконечную величину Таким образом, мы оставляем мысль о том, чтобы
использовать или измерять параметры исходного лагранжиана,
так называемые «голые> величины, а выражаем все через конеч-
конечные «перенормированные» наблюдаемые параметры.
Вначале заменим G2F(yl—у2) выражением
П (уг—уг) = [GF (г/, — г/2)]2—51 (г/,—у2),
где S—обобщенная функция, сосредоточенная в начале координат
и выбранная таким образом, чтобы величина П в целом имела
смысл Здесь достаточно исполыовать член, пропорциональный
6-функции С помощью преобразования Фурье величина
4 (ft2 — m2+№)[(p—kf— m2+t8]
заменяется, например, хорошо определенным выражением
х
11
1
2J'
_m2_|_(e) [(p_&J_m2+I8} ~(k*— ma+ieJJ
и мы можем записать формально
П (уг-у2) = [GP{yi-y,)f + Лб (У1-и%}. (S. I)
ПЕРЕНОРМИРОВКА
Строго говоря, константа А бесконечна, но формально можно
считать, что второй член в (8 1) является вкладом от кснтрчлена
нулевого порядка, представленного на рис 8 1,6 Накладывая
определенное условие нормировки на П, можно однозначно за-
зафиксировать конечную часть величины А Подчеркнем, что эта
ренормализационная процедура применима вследствие локальности
и вещественности вычитания и, следовательно, контрчлена
Ниже мы покажем, что операцию вычитания можно сформу-
сформулировать систематическим образом Если для исключения расхо-
димостей в функциях Грина требуется ввести в лагранжиан лишь
конечное число дополнительных членов, то перенормированная
теория будет зависеть только от конечного числа параметров.
Такие теории называют перенормируемыми или суперперенорми-
руемыми Остается доказать, что перенормированные интеграль?
действительно конечны и удовлетворяют условиям локальности и
унитарности Ниже рассмотрим кратко эти вопросы
Несколько другой подход, предложенный Дайсоном и Швин-
гером, основывается на системе интегральных уравнений, связы-
связывающих полные функции Грина (см разд 10 1) К сожалению,
в этом подходе на промежуточных этапах также приходится иметь
дело с бесконечными константами мультипликативных перенор-
перенормировок
Наконец, наиболее ортодоксальная процедура, предложенная
Эпштейном и Глазером, опирается непосредственно на аксиомы
локальной теории поля в конфигурационном пространстве Она
свободна от математически неопределенных выражений, однако
в ней завуалирован мультипликативный характер перенормировок
Последнее же свойство весьма существенно, так как при надлежа-
надлежащей интерпретации оно подводит к изучению ренормализационнои
группы (см гл 13)
8.1.2. Регуляризация
Чтобы придать смысл формальным и расходящимся выражениям,
важно в качестве первого шага регуляризовать разложение тео-
теории возмущений После того как выполнены ренормализационные
вычитания, эту регуляризацию можно снять произвольным обра-
образом Разработано несколько способов снятия регуляризации Окон-
Окончательные результаты конечны и не зависят от выбранного способа
Наиболее простой рецепт состоит в том, чтобы произвести
поворот Вика и обрезать большие значения (евклидовых) 4-им-
пульсов для каждой петли Тогда любое интегрирование ограни-
ограничивается компактной сферой (&2I/г<Л, что определенно делает
любую фейнмановскую амплитуду конечной Однако при этом раз-
разрушается столь важная для нас Пуанкаре- (или, точнее, евкли-
евклидова) инвариантность Поэтому данный рецепт используется крайне
8 ГЛАВА 8
редко, лишь в эвристических рассуждениях. Еще один рецепт
состоит в переходе к дискретному пространству-времени, т. е.
в предположении о том, что конфигурационные переменные х^ при-
принимают только дискретные значения, соответствующие, скажем,
узлам регулярной решетки. Ясно, что обрезание на малых рас-
расстояниях эквивалентно обрезанию больших импульсов. При вве-
введении решетки утрачивается инвариантность относительно вра-
вращений.
Ковариантная регуляризация получается, если заменить про-
пагатор Фейнмана GF(x—у, т) выражением вида
Gf(x-y) = GF(x-y, m) + 2CkGF(x-y, Mh), (8.2)
где коэффициенты Ck, зависящие от т и М, подобраны таким
образом, чтобы устранить некоторые из сингулярностей пропага-
тора GF. Какая степень сингулярности допустима, чтобы любая
диаграмма Фейнмана данной теории была конечной, и, следова-
следовательно, сколько членов должно содержаться в сумме (8.2),— это
станет ясным после того, как мы сформулируем критерий сходи-
сходимости. Здесь же достаточно сказать, что любую данную диаграмму
с помощью такого вычитания можно сделать конечной, Например,
в случае диаграммы собственной энергии, рассмотренной нами
в разд. 8.1.1, можно сделать подстановку
GF{x—y, m)-^GF(x—y, m)—Gp(x—.y, M),
или в импульсном пространстве
1 1
и убедиться в том, что это действительно так. В общем случае,
если для всех вспомогательных масс Мк ввести общее обозначе-
обозначение Л, исходный пропагатор восстанавливается, когда Л->оо.
Поведение пропагатора при больших импульсах можно изме-
изменить также с помощью параметрического представления. Это из-
изменение связано со следующей модификацией интегрирования
в области малых значений параметра а:
I da рЛ(а) е'« <*•-'"'+ '«>,
о
где функция рл (а) обращается в нуль вместе с несколькими своими
производными при а = 0. Мы требуем также, чтобы при устране-
устранении обрезания, т.е. при Л-»-с©, выполнялось условие рЛ(а)->1
для всех а > 0. Например, мы можем взять pA(a) = 6(a—1/Л2)
или p(a) = a?b) где Л-*-1 при Л->оо. Последний случай, соот-
ПЕРЕНОРМИРОВКА
ветствует в импульсном пространстве пропагатору (k2—т?-\-Щ~х.
Этот тип регуляризации подробно изучался Спиром.
Иногда с целью обеспечить какие-либо свойства инвариант-
инвариантности, например калибровочную инвариантность, приходится при-
прибегать к более утонченной процедуре. Для этого можно исполь-
использовать регуляризацию Паули — Вилларса, которая уже встречалась
нам в предыдущей главе. Каждый фотонный пропагатор заменяется
суммой вида (8.2). С другой стороны, из фермионных пропагаторов
модифицируются лишь те, которые входят во внутренние замк-
замкнутые фермионные петли. Точнее говоря, замкнутой петле с 2п
вершинами мы сопоставляем выражение
Г
Sp П YviSp(гР~гр-ь
11 р
Г2п
~2 Cs Sp |Д
s2 Д
где zg == z2n. Более подробно эта регуляризация рассматривается
в разд. 8.4.2.
Расходящиеся интегралы Фейнмана становятся сходящимися
в ультрафиолетовой области, если перейти к пространству-времени
меньшей размерности. В случае размерной регуляризации т'Хофта
и Велтмана интегралы Фейнмана вычисляются для произвольной
целой размерности d пространства-времени. Результат интегриро-
интегрирования может быть далее аналитически продолжен на произволь-
произвольные вещественные или даже комплексные значения й. В данной
регуляризации ультрафиолетовые расходимости проявляются как
полюс при рациональных или целых значениях d. Нас интересует
в конечном итоге переход к значению d, равному четырем, т. е.
к размерности физического пространства-времени. Поэтому мы
сосредоточим свое внимание на простых или кратных полюсах при
d = 4. Такое продолжение можно определить и для теорий, со--
держащих у-матрицы Дирака, за исключением матрицы уь, опре-
определение которой связано с размерностью d = 4 (или в общем слу-
случае с пространством-временем четной размерности). Достоинство
этого метода состоит в том, что он автоматически сохраняет внут-
внутренние симметрии, не связанные с у5-матрицами. Технически все
действия, которые мы производим для проверки тождеств Уорда
(см. гл. 7 или разд. 8.4), такие, как сдвиг переменных интегри-
интегрирования,- сворачивание лоренцевых индексов и т. д., согласуются
с этой регуляризацией.
Аналитическое продолжение к d-мерному пространству-времени легче всего
выполнить после осуществления поворота Вика в евклидову область с по-
помощью параметрического представления, введенного в гл. 6 (см. т. 1). В самом
деле, можно вычислить амплитуду F.94) в случае произвольной целой раз-
размерности d (впредь мы будем опускать шляпки, отмечающие евклидовы ий-
XЛЛОА О
пульсы);
-JИ
И g
Нетрудно заметить, что здесь применим метод, изложенный в разд. 6.2.3, и
мы получаем следующий результат:
где функции Qq и 5*6 определяются выражениями F.86) и F.87). Интеграл
по X, т. е. по параметру однородности переменных а, сходится при А,=0,
если /— dL/2 = L(l~d/2) + V —I > 0. Таким образом,
= r /-i?
Например, при /?,
/о О»):
Г ddk
1 Г (n+p—d/2) С
= -тг, V / in / [ - \ ^ )x
х[а A -a) p2+am,2+(l- a) mI]d/2-n-p. (8.7)
Полная зависимость от d может быть выделена явно, если выполнить инте-
интегрирование по а Для достаточно малых d результат является конечным.
При d —> 4 могут появиться ультрафиолетовые расходимости либо в функции
Эйлера, стоящей перед выражением (8.6), либо в интеграле по а, либо в том
и другом месте одновременно. Однако в случае однопетлевых диаграмм, таких,
как (8.7), бесконечной становится только величина Г (/—dL/2). Если /—2Z.
представляет собой целое неположительное число, то
/ dL
Г 1 7 "~Т
и функция 1о(Р) имеет простой полюс при <з!=4. При наличии также и внут-
внутренних расходимостей, связанных с интегрированием по а, этот подюс может
стать кратным (см примеры, приводимые ниже).
Для полноты рассмотрения нам нужно договориться также, как следует
обращаться с интегралами, включающими лоренцевы векторы и (или) спи-
спиноры Первый случай не представляет какой-либо трудности: 4-векторы пре-
преобразуются в d-векторы, интегрирование можно выполнить, а результат про-
продолжить на произвольные размерности. Например, в евклидовом пространстве
ПЕРЕНОРМИРОВКА И
имеем
ddk kji Pll r(n+p-d/2)^
Bn)a [ip—k^+mlfik^+miy Drt)d/i Г (п) Г (р) '
l
[ ? a) mi]d/2-"-p, (8.9a)
Bn)* [(p — k)*+ml]a (k*+mt)P Dя)<*/2 Г (л) Г (р)
Л*
\ toa»+!(I-aJ'-'foO-a)p4+am?+(l— а) т|]й/2-"-рх
i
(|H (8.96)
В данном выражении буд, является единичным тензором в d-мерном про-
пространстве, удовлетворяющим условию
Полагают, что это условие остается справедливым и при продолжении на
нецелые размерности Такой рецепт обеспечивает согласованность данного
продолжения с алгебраическими действиями, такими, как свертки или сдвиги
переменных интегрирования Например, нетрудно проверить, что
J BлУ [(p-kr+mi]n(k*+rnt?
1
Обращение со спинорами требует большой осторожности. Во-первых,
в исходном фейнмановском подынтегральном выражении мы отличаем у-ма-
трицы, входящие в фермионные пе1ли, от у-матриц, принадлежащих ферми-
онным линиям, связанным с внешними линиями. Последние исключаются
с помощью проектирующих операторов в четырех измерениях. Поэтому для
каждой диаграммы следует рассматривать набор структур, включающих лишь
у-матрицы, относящиеся к петлям Предполагается, что эти матрицы удовлет-
удовлетворяют правилам
{Vm> YV} = -2V (8Л1а)
(напомним, что мы совершили поворот Вика и, следовательно, т>-матРи1щ
являются теперь антиэрмитовыми),
Sp (нечетное число у -матриц) = 0, (8.116)
Sp/ = /(d), (8.11b)
где / (d) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию / D) = 4,
например, f(d) = 4 или f(d) = d. Для регуляризации явный вид функции /не
12 ГЛАВА 8
играет роли (он был бы, однако, существен, если бы мы действительно по-
попытались строить теорию в af-измерениях) С помощью правил (8 11) мы можем
перестроить всю систему тождеств для сверток и следов произведений Y'Ma~
триц, приведенных в конце настоящей книги в приложении П 2 для d=4
в пространстве Минковского. Например,
=—f (фйцч,
Мы не определили rf-мерный аналог ^5-матРВДЬ1. Это связано с тем, что обыч-
обычное определение у5"матрицы опирается на существование абсолютно антисим-
антисимметричного тензора e^vpa, который определен только при d = A Отсюда можно
сделать заключение, что невозможно продолжить фермионные петли, содер-
содержащие нечетное число у5-матриц. Это кажущееся невинным ограничение есть
не что иное, как проявление, в рамках размерной регуляризации, серьезной
проблемы, а именно возможного возникновения киральных аномалий (см.
гл 11 и 12)
Рассмотренные выше рецепты могут показаться скептическому читателю
довольно кустарными Их самосогласованность, хотя и вполне вероятная и
проверенная в практических вычислениях, не была, насколько нам известно,
никогда полностью доказана Особенно смущает случай безмассовых теорий.
Например, мы встречаем интегралы вида
которые не зависят от какого-либо масштаба. Аналитическое продолжение
такого интеграла не определено, поскольку не существует размерности d,
при которой он имел бы смысл Он расходится либо в инфракрасной, либо
в ультрафиолетовой области в зависимости от того, какое из неравенств,
d-\-p—2fi<0 или d-\-p — 2я^0, выполнено Мы будем пренебрегать этими
проблемами и придерживаться в тех случаях, где это необходимо, правила,
гласящего, чтв такие интегралы, отвечающие безмассовым диаграммам типа
«головастиков», обращаются в нуль при размерной регуляризации.
При вычислениях с этой регуляризацией нужно помнить, что в d-изме-
рениях некоторые константы связи mosvt приобрести размерность. Например,
электрический заряд, т. е. коэффициент при выражении
в безразмерном действии (jk=l) имеет в массовой шкале размерность
[<>]== d - (d -1) - (rf - 2)/2 = D -
поскольку [я|)] = (с(—1)/2 и [A] — (d—2)/2. Следовательно, е заменяется на
ц<4-Л/2е'_ где е' — безразмерная величина, ц — либо одна из масс рассматривае-
рассматриваемых частиц, либо некоторый произвольный масштаб энергии, если все час-
частицы безмассовые. Следовательно, при разложении результата в окрестности
с( = 4 получаем логарифмы этого масштаба.
Будем ли мы в окрестности d = 4 разлагать также и факторы Dit)"Ld/2,
входящие в выражение (8 6),— дело вк5'са, так же как выбор функции } (d)
в (8.11 в). Важный момент состоит в том, что при вычислении контрчленов
к-алибровочно-инвариантным образом или при сравнении диаграмм с целью
проверки тождеств Уорда мы всегда рассматриваем классы диаграмм с одним
и тем же полным числом петель L, т. е. с одинаковыми степенями величины 4д
и с одним и тем же числом фермионных петель, т • е, с одинаковыми степе-
ПЕРЕНОРМИРОВКА 13
нями функции / (d) Меняя рецепт, мы не нарушим справедливости тождеств
Уорда, а лишь изменим контрчлены на конечную величину.
В качестве иллюстрации рассмотрим поляризацию вакуума в скалярной
электродинамике. Правила Фейнмана для этой теории приведены в гл. 6 (см.
т. 1). После поворота Вика (для евклидова внешнего импульса р) диаграммы,
приведенные на рис. 8.2, дают вклады
Bnf fe2+m2 Dл)*2
J
l-4) f
2 / J
о
В соответствии с (8.8) выделим в сумме Г(в)-Т-Гч(') полюс при rf=4:
l{R ^ "flj i (/?и^-Р2бд^+Регулярные члены. (8.12)
Можно проверить, что а) в этой сумме расходящиеся члены, пропорциональ-
пропорциональные ms, сократились, а б) тензорная структура расходящегося вклада и,
следовательно, контрчлена является поперечной по отношению к р Оба ре-
результата согласуются с тем, что ожидалось из калибровочной инвариантности.
Вычисление конечной части рассматриваемой величины предосгавляется чи-
читателю.
к
Р [ \
^ v J v
РИС. 8.2. Поляризация вакуума в однопетлевом приближении в скалярной
электродинамике.
Можно построить и другие регуляризационные схемы. Сущест-
Существенным здесь является то, чтобы конечный перенормированный
результат не зависел от выбора регуляризации. Однако найти
регуляризацию и показать, что она делает все диаграммы конеч-
конечными, недостаточно. Мы должны также доказать, что структура
расходимостей такова, что они могут быть устранены с помощью
допустимых контрчленов, т. е. с помощью локальных и эрмито-
эрмитовых полиномов от операторов полей. Например, расходимости
вида log p2 log Л2 или расходимости с комплексным коэффициентом
были бы катастрофой. В самом конце процедуры перенормировки
14 ГЛАВА 8
мы будем действовать другим способом Мы докажем, что фейн-
маповские подынтегральные выражения с достаточным количест-
количеством вычитаний приводят к конечной теории Поскольку вычита-
вычитания соответствуют введению допустимых контрчленов, этот вывод
будет следовать a posteriori. Иными словами, никакая конкрет-
конкретная регуляризация не будет фигурировать в доказательстве ко-
конечности теории. Однако итоги и смысл последней процедуры
были бы неясными, если бы не подразумевалось применение не-
некоторой регуляризации, что, таким образом, является удобным
и общепринятым приемом.
8.1.3. Подсчет степени расходимости
Мы уже использовали понятие условной степени расходимости
при обосновании сходимости фейнмановских интегралов из сооб-
соображений размерности. Рассмотрим здесь это понятие более под-
подробно.
В настоящем и следующем разделах мы будем иметь дело
лишь с проблемой ультрафиолетовых расходимостей и отложим
для дальнейшего изучения возможные трудности, связанные с ин-
инфракрасной областью, которые могут возникнуть из-за отсутствия
массы у каких-либо частиц Для конкретности предположим на
время, что все поля являются массовыми.
Наивный способ оценить сходимость некоторой диаграммы
Фейнмана состоит в том, чтобы одновременно растянуть все внут-
внутренние импульсы диаграммы с помощью общего множителя X,
т. е. kt —*¦ Xkt и изучить поведение соответствующей амплитуды
10~№ при X—>оо. В параметрическом представлении это сво-
сводится к изучению поведения подынтегрального выражения, когда
все а—»¦ 0 одинаковым образом, а именно аг—>Х~^аг. Мы ожидаем
и это будет скоро доказано, что если общая степень величины X,
называемая условной степенью расходимости и обозначаемая че-
через со, неотрицательна (м^О), то интеграл, вообще говоря, рас-
расходится. Если она отрицательна, то некоторые интегралы, отве-
отвечающие поддиаграммам, все еще могут быть расходящимися; при
этом говорят, что интеграл является условно сходящимся.
Мы рассматриваем теорию, включающую бозонные поля со спи-
спином 0 или 1 и фермионные поля со спином 1/2. Фермионные про-
пагаторы ведут себя при больших импульсах Xk как Х~х, а бо-
бозонные—как Х~2. Мы предполагаем здесь, что массивным векторным
полям сопоставляются пропагаторы в калибровке Штюкельберга
C.147) (см. т. 1) В гл. 12 рассматривается случай, когда мас-
массивные поля связаны с несохраняющимися токами. Поля с выс-
высшими спинами в этой книге мы обсуждать не будем.
Здесь применяются те же обозначения, что и в гл. 6 (см. т. 1).
Если соответствующий член в лагранжиане взаимодействия содер-
ПЕРЕНОРМИРОВКА 15
жит производные полей, то вершина v диаграммы G вносит сте-
степень Xе*. Каждое интегрирование d*q по импульсам петли дает
вклад X4. Если L—число независимых петель, /в и 1F — число
внутренних бозонных и фермионных линий соответственно, а V —
полное число вершин, то условная степень расходимости <д диаг-
диаграммы G запишется в виде1)
co(G) = 4L + ( 2 6j-V-2/B, (8.13a)
Пр вершинам
ИЛИ
(o(G)-4 = 3/F+2/8+ 2 (бР-4), (8.136)
По вершинам
если учесть равенство F.69) (см. т. 1):
L = /8+/H-l-V. (8.14)
Величина 6V равна числу производных, действующих на те поля
в вершине о, которые входят в спаривания, отвечающие пропа-
гаторам внутренних линий Если fv—число внутренних фермион-
ных, a bv—число внутренних бозонных линий, входящих в вер-
вершину v, то, очевидно,
'я—г2>„. (8-16)
поскольку в сумме по вершинам каждая внутренняя линия учи-
учитывается дважды. Таким образом, равенство (8.136) можно пере-
переписать в виде
2-4), (8.13в)
где
uv^bv + y,fv + bv. (8.16)
Интерпретация этой величины, относящейся к вершине v, стано-
становится ясной, если вспомнить соображения размерности, приведен-
приведенные в разд. 6.2.1 (см т. 1). На шкале масс размерность фер-
мионного поля со спином 1/2 равна 3/2, а для бозонного поля
она равна 1 Следовательно, со„ является вкладом в размерность
лагранжиана взаимодействия, отвечающим fv внутренних фер-
мионов, bv внутренних бозонов и bv производных внутренних по-
полей. С другой стороны, если со^, является размерностью члена J?B3,
х) См подстрочное примечание на е. 4Н (т. 1 настоящей книги).— Прим.
ред.
16 ГЛАВА 8
отнесенного к вершине v, включая как внутренние, так и внешние
поля, т. е.
ир = Полное число бозонных полей + C/2) (Полное
число фермионных полей) + Полное число
производных полей), (8.17)
и если ЕР и Ев—число соответственно внешних фермионных
и бозонных линий диаграммы, то из (8.13в) с очевидностью сле-
следует, что
(wv-4)^EF-EB-b, (8.18)
По вершинам
где б—полная степень внешних импульсов, факторизованных из
фейнмановского интеграла. Разумеется, в размерность со,, вер-
вершины не входит вклад от размерной константы связи gv, отно-
относящейся к данной вершине. Как уже отмечалось в гл. 6 (см. т. 1),
= *• (8-19)
Нет ничего удивительного в том, что сходимость фейнманов-
ских интегралов связана с размерностью констант связи. В самом
деле, если о\, < 4 для вершин, то размерность константы связи gv
положительна. Переход к более высоким порядкам теории возму-
возмущений означает включение более высоких степеней величины g; при
этом фейнмановское подынтегральное выражение при больших
импульсах должно убывать все быстрее, чтобы общая размер-
размерность оставалась неизменной. Наоборот, если все о\, > 4, то ин-
интегралы будут расходиться все быстрее. Данные соображения
в равной степени приложимы к любой поддиаграмме. В общем
случае диаграмма с со (G) > 0 называется условно расходящейся.
Таким образом, существуют следующие три класса теорий
поля:
1. Неперенормируемые теории—-это теории, в которых хотя
бы один из мономов в лагранжиане взаимодействия имеет
степень о\, > 4. Для данной функции Грина из соотноше-
соотношения (8.18) следует, что условная степень расходимости
растет с числом вершин, т. е с порядком теории возму-
возмущений. Как будет показано ниже, любая функция в доста-
достаточно высоком порядке становится расходящейся.
2. Перенормируемые теории представляют наибольший интерес.
В этом случае всем членам в лагранжиане взаимодействия
отвечает O3c<!4 и хотя бы одному из них отвечает <)>.„ = 4.
Если для всех этих членов coB = 4, то мы видим из (8.18),
что все диаграммы, дающие вклад в данную функцию, имеют
одну и ту же степень расходимости. В перенормируемых
ПЕРЕНОРМИРОВКА 17
теориях лишь конечное число функций Грина является ис-
источником расходимостей.
3. Суперперенормируемые теории содержат лишь вершины
с сос < 4. Степень расходимости уменьшается с увеличением
порядка теории возмущений. В таких теориях имеется лишь
конечное число расходящихся диаграмм.
Слово «неперенормируемая» может ввести в заблуждение. Оно
не означает, что такие теории не могут быть сделаны конечными,
но что размножение расходимостей, а стало быть и контрчленов
делает нереалистичным применение здесь теории возмущений.
После перенормировки эти теории зависят от бесконечного набора
произвольных параметров, за исключением тех случаев, когда
существует какой-либо принцип, позволяющий установить связь
между этими параметрами. Такие теории мы больше не будем
рассматривать. С другой стороны, суперперенормируемые теории
образуют слишком ограниченный класс и часто являются патоло-
патологическими.
Опираясь на правило (8.17), с помощью простой проверки не-
нетрудно найти все возможные перенормируемые и суперперенорми-
суперперенормируемые теории. Для этого из операторов дифференцирования, ска-
скалярных полей <р, полей Дирака \\> и векторных нолей Лд (которым
по предположению сопоставляется пропагатор Штюкельберга)
нужно построить все возможные лагранжианы взаимодействия,
представляющие собой лоренцевы скаляры, являющиеся эрмито-
эрмитовыми и имеющие степень 03^5^4. Выражениям г|д|хр или г^-у^р,
Ф4 или (Л2J, г])*4Ч|) (или, возможно, ^Ау^) ф+ддсрЛц, <р+<рЛа наряду
с выражениями г|)#ф, (<ЭфJ, (д^А^2, (д^А*J, обычно входящими
в кинетический лагранжиан, соответствует сои = 4. С точностью
до введения нескольких полей каждого типа и дополнительных
внутренних симметрии этим исчерпывается список перенормируе-
перенормируемых лагранжианов взаимодействия. Членам ф3, \|)i|), гру5г|), Ф2, Аъ
соответствуют (ov = 3 или 0^ = 2, т. е. это суперперенормируемые
лагранжианы. Среди неперенормируемых теорий укажем псевдо-
псевдоскалярную связь фурУв^^Ф' взаимодействие Ферми г|гурA—ув)Х
Хг|д|)урA—у5)^> а также высшие степени поля <р: ф5, ф6 и т. д.
Данный анализ и классификация теорий проведены нами для
четырехмерного пространства-времени. С целью обобщения или
для нужд статистической механики может оказаться необходимым
распространение этого анализа на другие размерности. Читатель
без особого труда может вывести аналоги соотношений (8.13)—
(8.18) и определить, в пространстве какой размерности теория
Ферми или скалярные теории q;\ ср*, (дцфJР(ф) (где Р—произ-
Р—произвольный полином) являются перенормируемыми.
18 ГЛАВА 8
8.1.4. Теорема о сходимости
Рассмотрим более детально связь между сходимостью интег-
интегралов Фейнмана и степенью расходимости. Заметим сначала, что,
поскольку пропагаторы содержат мнимую часть j'e, безразлично,
в каком пространстве изучать сходимость,— в пространстве Мин-
ковского или в евклидовом. Мы рассмотрим здесь только второй
случай.
Предел е—>--|-0 изучался Боголюбовым и Параскжом, а также Хеппом
Они показали, что существует эквивалентность между абсолютной сходи-
сходимостью в евклидовой области, определяющей аналитическую функцию внеш-
внешних импульсов, и сходимостью соотвстсшующего фейнмановского интеграла
к обобщенной функции медленного роста (т. е. полиномиально-ограниченной)
в пространстве Минковского в пределе е-—>-+0
Определим здесь поддиаграмму g диаграммы G как подсистему
вершин диаграммы G и всех внутренних линий, соединяющих
их в G. Каждой сильносвязной (т. е. одночастично-неприводимой)
диаграмме мы сопоставляем семейство ? всех ее связных соб-
собственных поддиаграмм. Разумеется, ? включает и саму диаг-
диаграмму G.
Теорема. Если ш (g) < 0 для всех g ? <F, то интеграл Фейн-
Фейнмана, соответствующий диаграмме G, абсолютно сходится
(в евклидовой области)
Чтобы иметь дело с относительно простыми выражениями, проведем
доказательство только для случая скалярной теории без связей с про-
производными Мы используем при этом параметрическое представление.
В евклидовой области оно имеет вид
la (P) = \ **i • • • da, Fl lAj , ¦ '" . <8.2Q)
j D)^(«J
Предположим, что trtf > 0 для всех /, и напомним, что Q—это
квадратичная положительно-определенная форма внешних импульсов
и однородная рациональная дробная функция первой степени относи-
относительно а Следовательно, неясной остается лишь сходимость при а = 0.
Экспонента, ограниченная в нуле, не играет здесь роли Полином 5s
является суммой мономов степени L [ср с выражением F 86)]:
5» (<*)=» 2 П ai- <8-21)
По деревьям / (? ,0"
о/
Следуя Хеппу, разобьем область интегрирования на секторы:
где я—перестановка из A, 2 /). Докажем сходимость интеграла
по секторам. Каждому сектору соответствует семейство эложенцых друг
ПЕРЕНОРМИРОВКА \Q
в друга подсистем yt линий диаграммы G (необязательно поддиаграмм):
7i С у2 С- ¦ -с y,^G,
где yi содержит линии, отвечающие набору (я^, «.., ая V Ради про-
простоты обозначений проведем рассуждение для первого сектора, соответ-
соответствующего тождественной перестановке Йроизведем в этом секторе
следующую замену переменных:
«2= Pi '•• PJ,
(8.22)
06/_l = P/^P/.
a,- PJ.
Якобиан данного преобразования равен
D (Pi, .... Р/) -2Р^---Р/ •
Область интегрирования Д по переменным E запишется в виде
0<Р/<оо и 0<рг<1 при 1</</^1.
Для любой (необязательно связной) подсистемы yt можно определить
условную степень расходимости
a>l&=a{yl)=4Lt—21t, (8.23)
где ![=1—число внутренних линий подсистемы yt. Число независимых
петель
k^h+Ci-Vi (8.24)
выражается через число связных частей Cj и вершин Vi. Это обобщение
формулы F.69) нетрудно доказать по индукции. Очевидно, Li = 0, Lf = L.
Как функция от C, 5s является полиномом, причем коэффициенты при
различных мономах, входящих в него, равны единице. Докажем, что
он имеет вид
5»-P;L'Pj?"---Pli/[4-O(P)]. (8 25)
Прежде всего отметим-, что при одновременном растяжении всех а в р
раз справедливо равенство
.... a/).
Изучим теперь поведение полинома 1р в случае, когда а, принадлежа-
принадлежащие только yi, растягиваются в р раз:
^(Р«ь .... Р«;, ai+t a7) (8.26)
Равенство (8.21) выражает 5s через деревья диаграммы О. Каждое де-
дерево $~ диаграммы G проектируется на yi как объединение С\ Зг Сг
связных деревьев <?ГХ, •••> J7"^-- Это дает вклад а (8.21) и виде члена,
который при растяжении (8.26) ведет себя как степень величины р с по-
20 ГЛАВА 8
казателем, равным числу линий подсистемы yi, не принадлежащих
системе
Поскольку система 41 удовлетворяет соотношению типа (8 24), в ко-
котором число петель положено равным нулю (это объединение деревьев)
й объединяет все вершины подсистемы yt, то полное число линий равно
Следовательно, степень величины р в соответствующем мономе, входя-
входящем в S3, равна /г— 1сц = 1—Vi+C'i^1— Vi+Ci = Lt. Наинизшая сте-
степень величины р достигается для тех деревьев ^Г* диаграммы 0, для
которых C'i = Ci, т. е. для таких деревьев, которые проектируются
в соответствии с формулой
оНпроект., у = У <^V
Все эти деревья jf можно задать, если построить независимые связные
деревья в каждой связной части подсистемы уг, а затем дополнить их
объединение до дерева диаграммы G. Следовательно, их общий вклад в !р
факторизуется в произведение 3*у , т. е. в полином 5*. соответствующий у{,
согласно правилу (8.21), и в полином ^о/у , причем приведенная диа-
диаграмма G/yi получается стягиванием всех линий и вершин каждой связной
части подсистемы уг в одну вершину Таким образом, мы приходим к выводу,
что
Х[5»Т| (of, .. „ щ) 5>e/Vl (a/+i. .... «/)+О Щ. (8.27)
Вернемся теперь к переменным р. Очевидно, Р/ является фактором однород-
однородности для параметров, относящихся к yf=G, p/_i—для параметров, относя-
относящихся к Yz-ь •••> и т- Д- Поскольку у вложены друг в друга, соотношение
(8.27) может быть использовано повторно:
>...р?, Pi... Р/ ti-iti, P2/)=
= PJL/5»(P!...PU 1Й.„Р?,1,..., pJ-i, D =
= Pf^i^-ip^, (Pi ••• P?-f PS... P/-2,.... pI-2, Ox
что в итоге приводит к (8.25). Коэффициент, стоящий перед ведущим чле-
членом, равен 1, так как в исходном полиноме 53 данную комбинацию сте-
степеней величины Р может иметь лишь единственный моном. Рассмотрим
теперь интеграл (8.20), вычисляемый в секторе Д. В предположении тео-
теоремы, а именно, что со (g) < 0 для лю^ой сильносвяэной поддиаграммы g,
нетрудно показать, что ш (у) < 0 для любой подсистемы -у—как сильно-
сильносвязной, так и не сильносвязной. Следовательно, подынтегральное выра-
ПЕРЕНОРМИРОВКА 2J
жепие мажорируется с точностью до множителя величиной
00
и, поскольку m^ < 0, интеграл \ JJ d|Jj РГ"^ абсолютно сходится в
о
нуле Таким образом, интеграл (8 20) абсолютно сходится в любом сек-
секторе, что и требовалось доказать.
В случае скалярной теории, лагранжиан которой не содержит
производных, и 5 проведенного выше доказательства следует также,
что, если сильносвязная поддиаграмма имеет неотрицательную
условную степень расходимости, интеграл Фейнмана расходится.
В самом деле, расходимость имеется по меньшей мере в одном
секторе, а, поскольку интеграл является положительно-определен-
положительно-определенным, она не может сократиться. С другой стороны, в электро-
электродинамике мы встречали примеры сокращений различных членов,
входящих в числитель фейнмановского подынтегрального выраже-
выражения в импульсном пространстве. Например, мы показали, что
диаграмма поляризации вакуума расходится лишь логарифмически,
а не квадратично и что диаграмма рассеяния света на свете схо-
сходится.
Ниже мы должны будем показать, что, после того как про-
произведены вычитания во всех поддиаграммах, для которых <n (g) ^ 0,
интеграл абсолютно сходится Заметим, что предыдущие рассуж-
рассуждения об абсолютной сходимости оправдывают a posteriori про-
произведенные при выводе (8.20) изменения порядка интегрирования
или замены переменных интегрирования При этом мы нашли
также, сколько членов следует вычесть из обычного пропагатора
(8.2), чтобы регуляризовать теорию. Например, в теории ф4 замена
(k2 — m2) —+ (fe2 — nf)~x — (№ — Л2) делает любую диаграмму,
кроме однопетлевого головастика, сходящейся, так как условная
степень расходимости записывается теперь в виде
co(G) = 4I —4/= 4A— V)
и является отрицательной при У > 1. Однопетлевой головастик
можно либо регуляризовать независимым образом, либо исключить,
переопределив правило Вика. Действуя таким образом, мы полу-
получаем в результате конечную регуляризованную теорию. Такой же
анализ можно провести и для квантовой электродинамики (см.
разд. 8.4.2.)
\\д предыдущей теоремы можно сделать следующий полезный
Вывод. Если диаграмма G не содержит условно расходящихся
поддиаграмм, т. е. <o(g)<0, для всех поддиаграмм g^G, но
сама G условно расходится, т. е. g>(G):>0, to расходящаяся
22 ГЛАВА 8
часть соответствующей амплитуды является полиномом по внеш-
внешним импульсам и внутренним массам степени, меньшей или равной
co(G). Действительно, поскольку со (G) служит мерой степени одно-
однородности 1а(Р) по импульсам и массам, то производные порядка
со (G) -j-1 по Pi и ть имеют степень — 1 и, следовательно, яв-
являются условно сходящимися. Согласно теореме, производные
[да+1/(дР)а+1] 10(Р) [или (да+ 1/дта+ г) /0, или смешанные произ-
производные этого порядка] являются конечными.
Читателю предоставляется в качестве простого упражнения показать, что
наше доказательство теоремы остается в силе и в этом случае.
Окончательно получаем
/0. рег (Р, т, Л) = 1коиечв (Р) + D (Р, т. Л), (8.29)
где /конечн(-Р) остается конечным после устранения обрезания,
a D является полиномом от Р и т степени, меньшей или равной со (G).
8.2. ПЕРЕНОРМИРОВКА
8.2.1. Условия нормировки и структура контрчленов
Мы подошли теперь вплотную к самой операции перенормировки.
Сформулируем еще раз основные идеи и подчеркнем главные резуль-
результаты этой операции.
Наша цель состоит в том, чтобы выразить сильносвязные функ-
функции Грина через интегралы Фейнмана, соответствующие исходным
диаграммам. Этого можно достигнуть посредством трех эквива-
эквивалентных процедур. В первом подходе, описанном в гл. 7 (см. т. 1),
к первоначальному лагранжиану добавляется формальный ряд
(по fi) контрчленов. Это, в свою очередь, сводится ко второму
подходу, состоящему в переопределении параметров теории в каж-
каждом порядке теории возмущений. Голые параметры, входящие
в лагранжиан, являются неявными функциями перенормирован-
перенормированных параметров. Первые ненаблюдаемы и расходятся при снятии
регуляризации, в то время как последние являются истинными
параметрами теории—это массы, константы связи и т. д. В сле-
следующих разделах мы увидим, что эти две процедуры эквивалентны
некоторому алгоритму вычитаний в подынтегральном выражении.
Достоинством этого подхода, предложенного Боголюбовым, яв-
является то, что он обеспечивает конечный результат для каждой
диаграммы, не требуя регуляризации на промежуточном этапе.
Мы попытаемся манипулировать этими тремя эквивалентными
подходами настолько искусно, насколько нам это удастся, и при-
применить к решению каждой конкретной задачи наиболее подходя-
подходящий из них. Например, чтобы подчеркнуть мультипликативный
ПЕРЕНОРМИРОВКА 23
характер процедуры перенормировок, обсудим сначала рекуррент-
рекуррентную конструкцию контрчленов в произвольном порядке и затем
используем связь между голой и перенормированной теорией.
В заключение на основе вычитательнои операции Боголюбова будет
дано (эвристическое) доказательство фундаментальной теоремы
о сходимости.
Построение контрчленов производится по индукции. Мы пред-
предполагаем, что теория сделана конечной до некоторого порядка %L~X
(где L—1—число петель) с помощью разумным образом подобран-
подобранных контрчленов Согласно подсчету степеней расходимости [соот-
[соотношения (8.13) —(8.18)], в следующем порядке %L лишь конечное
число сильносвязных функций имеет неотрицательную условную
степень расходимости. За исключением сокращений, возможных
при наличии симметрии, мы сопоставляем каждой функции локаль-
локальный моном из полей и их производных. Разумеется, такой моном
представляет собой лоренцев скаляр; его структура отражает
характер функции Грина, поскольку он должен давать вклад
в изучаемый процесс, а дополнительный вклад, вносимый им
в данную функцию в этом порядке, должен сокращать ее расхо-
расходимость. Остается, безусловно, произвол, связанный с возмож-
возможностью изменения контрчленов на конечную величину. После вве-
введения регуляризации коэффициенты при контрчленах полностью
определяются условиями нормировки, налагаемыми на условно
расходящиеся функции Грина. Если эти условия нормировки
выполняются в низшем порядке (в приближении деревьев для
исходного лагранжиана), то требование, чтобы функция Грина
удовлетворяла им в каждом порядке однозначно, фиксирует не
только бесконечную, но и конечную часть контрчленов
Например, в перенормируемой теории ср4 скалярного поля с мас-
массой т двухточечная функция ГB) квадратично расходится
[ю(ГB)) = 2]. Мы требуем, чтобы перенормированная функция Г$>
удовлетворяла условиям
^*)^. (8.30)
Это естественные условия для физической массы, поскольку из
интерпретации теории в терминах частиц вытекает, что полный
пропагатор G'$)(p2) = i[r$(p2)]~1 должен иметь полюс о вычетом i
при рг = т2. В L-u порядке регуляризованная функция Грег, уже
перенормированная до L—1-го порядка, записывается в виде
Г$г (Р2) = rgUm {р\ т\ Л2) + /Л^Г* (т\ Л*)+ДаГ<2> [т\ Л*), (8.31)
где функция Г^нечн (/Л т2, Л2) конечна при Д2—*оо, тогда как
AjF*2' (ms, Л2) ведет себя самое худшее как степень величины
1п(Л7т2), а Д2ГB) как Л2 [умноженная на Inf (Л2/т2)]. Контрчлен
24 ГЛАВА 8
L-ro порядка дается выражением
Ъ>3Ш = аЩ?-Ьт*^~; (8.32)
это определяет дополнительный вклад в Г(а) вида
ДГB) = ара—Ьт2. (8.33)
Поскольку в низшем порядке условия (8.30) уже удовлетворяются,
в L-u порядке они дают
Г(«> [L] (р2 = т2) = Г<?е>г (р2 = та) + (а—Ь) т? = 0,
_ drPtr_ , Л_п (8.34)
откуда можно определить а и Ь. Аналогичное условие нормировки
налагается на другую условно расходящуюся функцию, а именно
на четырехточечную функцию теории ср4. Физически разумное
и симметричное условие состоит в том, чтобы эта функция при-
принимала значение —-А, (перенормированная константа связи) в рас-
расположенной на массовой поверхности (но нефизической) точке Sm:
Очевидно, это согласуется со значением ГD> М — — % в низшем
порядке. Аналогичные условия нормировки могут и должны быть
введены в любую перенормируемую теорию.
Предыдущие рассуждения ни в коей мере не доказывают, что
расходимости можно устранить с помошью контрчленов. В частно-
частности, мы не доказали того, что из равенства со(Г<2)) = 2 следует,
что F^eV ведет себя в соответствии с (8.31). В самом деле, усло-
условия того, чтобы выполнялось равенство (8.29), не выполнены,
поскольку не все поддиаграммы с необходимостью сходятся, хотя,
возможно, они перенормированы контрчленами низших порядков.
То, что наши рассуждения тем не менее верны, выяснится факта-,
чески a posteriori, когда мы покажем, что данная процедура дей-
действительно приводит к конечной перенормированной теории. Здесь
мы хотим лишь напомнить логические основы метода и подчерк-
подчеркнуть необходимость условий нормировки. Имеет смысл также
напомнить, что перенормируемые и неперенормируемые теории
различаются между собой числом этих условий. В то время как
для первых достаточно иметь конечное число условий, чтобы опре-
определить теорию с помощью конечного числа перенормированных
параметров, перенормировка последних требует бесконечного набора
таких условий. В конечном счете неперепормируемая теория будет
зависеть от бесконечного числа параметров.
ПЕРЕНОРМИРОВКА 25
Имеется большой произвол в выборе условий нормировки.
Единственное ограничение состоит в том, что они должны быть
удовлетворены в низшем порядке таким образом, чтобы однозначно
определялись вычитания в высших порядках. В разд. 8.2.5 мы
вновь рассмотрим данный вопрос.
Благодаря этому произволу можно использовать более удоб-
удобную, но физически менее очевидную промежуточную перенорми-
перенормировку. В случае когда все поля имеют ненулевую массу, надеж-
надежнее выбрать условия нормировки в начале координат импульсного
пространства. Для приведенного выше примера теории ф4 условия
запишутся в виде
dp*
, О, О, 0) = -L
(8.36)
Определяемая этими соотношениями величина т2 уже не яв-
является квадратом физической массы, хотя и связана с ней.
В случае частиц с ненулевым спином необходимо учитывать
тензорную структуру функций Грина. Может оказаться так, что
расходится лишь часть формфакторов при некоторых тензорах
(например, изучая в предыдущей главе вершинную функцию, мы
показали, что величина F2 конечна, a Ft расходится). Тогда вычи-
вычитания и условия нормировки необходимы только для этих форм-
факторов.
Одно из следствий описанной выше рекурсивной процедуры
построения контрчленов имеет отношение к их структуре. В пере-
перенормируемых теориях контрчлены удовлетворяют критерию пере-
перенормируемости. Так было в случае однопетлевого приближения
в спинорной электродинамике, где присутствовали лишь контр-
контрчлены вида ^
:(a^v—аи»,J:, :W>:, -±-:Т\ёхр-.,
Аналогично в теории ф4 контрчлены имеют степень, меньшую или
равную четырем: :(<3фJ:, :ср2:, :ср*:. В скалярной электродина-
электродинамике ситуация несколько иная, поскольку здесь к мономам исход-
исходного лагранжиана взаимодействия, отвечающего минимальной
связи, помимо контрчленов такой же структуры добавляется новый
член типа :(ф+фJ: . Таким образом, мы приходим к смеси электро-
электродинамики и самодействия ф4. Однако теория остается при этом
перенормируемой. Отсюда также следует, что скалярная электро-
электродинамика зависит от дополнительного незапланированного пара-
параметра, а именно от значения четырехточечной функции в данной
точке.
26 ГЛАВА 8
Вообще, если сильносвязная диаграмма G в перенормируемой
теории условно расходится:
(здесь используется выражение (8.18), при <о„^4], то соответст-
соответствующий контрчлен содержит ЕР фермионных полей, Ев бозонных
полей и б производных. Поэтому его размерность в смысле соот-
соотношения (8.17) равна
<Ъе = у ЕР+Ев + 8 < 4-ш (G). (8.37)
Размерность этого контрчлена меньше или равна четырем; следо-
следовательно, он также перенормируем.
В любом случае, если контрчлены имеют ту же структуру,
что и мономы исходного лагранжиана, их можно рассматривать
как переопределение параметров теории. Величины, которые вхо-
входят в лагранжиан после добавления контрчленов к первоначаль-
первоначальному выражению, будем рассматривать как голые параметры.
Голые параметры определяются последовательно в каждом порядке
теории возмущений как функции перенормированных величин таким
образом, чтобы условия перенормировки были выполнены. В пре-
предыдущей главе (см. т. 1) мы рассмотрели такое построение при-
применительно к электродинамике (см. также разд. 8.4). В случае
же теории ф4 лагранжиан вместе е относящимися к нему контр-
контрчленами запишется в виде
(8>38)
где Фо^г^ф.
Данное выражение иногда называют перенормированным лагран-
лагранжианом, хотя этот термин неудачный, поскольку в лагранжиан
входят бесконечные коэффициенты. С точностью до замен ф —-> ф0,
^—*К> т—*та лагранжиан S?R имеет тот же вид, что и исход-
исходный. Напомним, что в теории возмущений
(8.39)
ПЕРЕНОРМИРОВКА 27
Последнее соотношение характерно для ф4-взаимодействия. A priori
мы ожидали бы Z=l -\-0(A).
То, что перенормировка сводится к переопределению парамет-
параметров, означает, что неперенормированные (или голые) и перенор-
перенормированные функции Грина связаны соотношениями
G%>(plt ..., рп, т, X) = Z-"i2G^r{p1, ..., рп, т0, Хо, Л),
ГЙЧРг Рп, т, k)~Z«*T™r(Pl, ..., рп, т0, К, Л). к ¦ >
Мы видим, что данное соотношение выполняется как для связных,
так и для сильносвязных диаграмм. В самом деле, связные пере-
перенормированные функции вычисляются из лагранжиана ??R =
= J?-\- AJ7, к которому добавлен источник /ф. В то же время
неперенормированные функции можно вычислить с помощью 3\
(при наличии регуляризации), к которому добавлена связь источ-
источника с ср0, т. е. член /ф0. Дифференцируя п раз по /, приходим
к требуемому соотношению. В правой части соотношений (8.40)
предполагается переход к пределу Л—»оо. Сильносвязные функ-
функции получаются после исключения одночастично приводимых диа-
диаграмм (операции, коммутирующей с перенормировкой) и перехода
к усеченным функциям путем умножения на перенормированный
или неперенормированныи пропагатор соответственно, откуда и сле-
следует различие в степени величины Z.
8.2.2. Рекуррентная формула Боголюбова
В разд. 8.2.1 контрчлены ассоциировались с сильносвязными функ-
функциями, т. е. с суммой диаграмм Фейнмана, вычисленных до опре-
определенного порядка. Существование условий нормировки позволяет
нам сопоставить каждой условно расходящейся диаграмме контр-
контрчлен, вычисленный с учетом условия нормировки. Здесь следует
указать на некоторую тонкость, связанную с сокращениями,
вызванными симметриями (симметрия Бозе или Ферми, внутренние
симметрии и т. д.), благодаря чему отдельные диаграммы могут
расходиться сильнее, чем их сумма в данном порядке. В этом слу-
случае надежнее рассматривать только совокупность диаграмм, в кото-
которых эти сокращения происходят, например калибровочно-инва-
риантные совокупности диаграмм в квантовой электродинамике.
В дальнейшем мы будем избегать этого несущественного осложне-
осложнения, ограничиваясь рассмотрением скалярной теории без про-
производных.
Изучим теперь вклад в данную сильносвязную диаграмму
Фейнмана G, который вносят контрчлены более низкого порядка.
В самом деле, в G могут входить условно расходящиеся сильно-
сильносвязные поддиаграммы у: ю(у)^0. Каждой из этих поддиаграмм
можно сопоставить контрчлен порядка Ь1у (где L,v—число петель
28 ГЛАВА 8
в у). Обозначим через $0 подынтегральное выражение для диа-
диаграммы Фейнмана G в импульсном пространстве, Э1а—то же
подынтегральное выражение, но с учетом всех контрчленов более
низкого порядка, и 5?0—перенормированное подынтегральное выра-
выражение, дающее конечный интеграл. Если G условно сходится, то
&Q = m0 при <a(G)<0. (8.41)
Однако если со (G) ^ 0, то Sta отличается от Э10 вкладом, вноси-
вносимым контрчленом, отвечающим самой диаграмме G. Иными сло-
словами, в iAQ нужно произвести вычитание, чтобы получить Мо,
интеграл от которого конечен и удовлетворяет условиям норми-
нормировки. После интегрирования по внутренним импульсам j {0AQ—Яо)
дает полином от независимых внешних импульсов диаграммы G,
причем его степень будет меньше или равна a)(G). В рамках про-
промежуточной перенормировки (вычитание при нулевом импульсе)
Жа~Э10 есть не что иное, как разложение Тейлора Т0Э10 вели-
величины Ша по внешним импульсам в окрестности начала координат
до порядка co(G) включительно. Мы будем писать
Ма = (]—Та)Ма при (o(G)^O. (8.42)
Нам остается найти связь Мв с первоначальным подынтеграль-
подынтегральным выражением ^а ¦ Различие между ними обусловлено контр-
'членами, отвечающими ренормализационным частям у диаграммы G.
Согласно Циммерману, это относится к сильносвязным условно'
расходящимся поддиаграммам, т. е. в соответствии с определе-
определением, данным к разд. 8.1.4, к поддиаграммам, содержащим все
линии диаграммы G, которые соединяют две_ их вершины. Вклад
контрчлена, отвечающего у, равен —Т^ЭЬу. Подстановка его
в диаграмму G вместо у дает
fGh (-ТуМу). (8.43)
Здесь ТуЭ1у обозначает разложение в ряд Тейлора модифициро-
модифицированного подынтегрального выражения Му как функции независи-
независимых внешних импульсов поддиаграммы у до порядка со (у) (вклю-
чительнно).
Данное разложение в ряд Тейлора не является столь же хорошо определен-
определенным, как в случае самой G, так как здесь требуется большая осторожность
при различении внутренних и внешних независимых импульсов. Будем счи-
считать, что мы можем в любом случае определить эти внешние переменные.
Заинтересованный читатель может обратиться к работам, цитируемым а при-
примечаниях, помещенных в конце главы.
ПЕРЕНОРМИРОВКА 29
С другой стороны, ¦fc/y обозначает вклад в подынтегральное
выражение линий и вершин первоначальной диаграммы, внешних
по отношению к у. В частности, в него входят пропагаторы,
относящиеся к линиям, которые соединяют у с остальной частью G
(см. для иллюстрации рис. 8.3). Выражение (8.43) содержит вклад
контрчлена, относящегося к у (и, возможно, контрчленов, дающих
вклад в 5?7). Теперь легко записать вклад, двух контрчленов,
//ГПЛ
РИС. 8.3. Вычитание внутренней ренормализационной части у в подынте-
подынтегральном выражении ¦$¦.
относящихся к двум несвязным ренормализационным частям yt
и у2. Под несвязными понимаются диаграммы, не имеющие общих
линий или вершин: VjflV2~0- Этот вклад записывается в виде
ton?» у,) (~ ГА) (- ТуДу},- (8.44)
где f-e/{yu Уг) обозначает вклад в первоначальное подынтегральное
выражение всех линий и вершин диаграммы G, за исключением
тех, которые принадлежат уг или у2. То, почему рассматриваются
лишь несвязные ренормализационные части, объясняется тем, что
в противном случае ни одну из них нельзя будет заменить соот-
соответствующим ей контрчленом. Это перечисление возможных вкла-
вкладов в Э1п может быть продолжено. В результате получается ре-
рекуррентная формула, данная Боголюбовым: *
{7„ ..-, Vsi
В правой части первый член совпадает с исходным подынтеграль-
подынтегральным выражением, а суммирование проводится по всем семействам
несвязных ренормализационных частей. Из формулы (8.45) после
итерации с учетом (8.41) и (8.42) получаем перенормированное
подынтегральное выражение. Если G не содержит условно расхо-
расходящихся сильносвязных поддиаграмм, то 5?G = ^0. К таким диа-
диаграммам относятся все диаграммы, изучавшиеся в гл. 7 (см. т. I).
Для однопетлевых диаграмм либо ш(C)<0 и 9tQ~^Qt либо
м(С)>о и so=(i-ro)^, л
30
Приведем теперь простые примеры, в которых имеется большее число петель.
Ради простоты рассмотрим теорию скалярного поля ф с взаимодействием
j?B3 — Хф3/3! в шестимерном пространстве-времени. Хотя такая теория стра-
страдает серьезными недостатками—ее гамильтониан не ограничен снизу,— имеет
смысл построить для нее разложение в ряд теории возмущений. Это перенор-
перенормируемая теория (в шести измерениях). Подсчет степеней расходимости про-
проводится в соответствии с формулой (o(G) = 6L—27 = 6—2? вместо (8.18), Рас-
7 \ N
РИС. 8.4. Расходимости вложенных диаграмм.
смотрим диаграмму, изображенную на рис. 8.4. Поддиаграмма у внутри пря-
прямоугольника, очерченного штриховой линией, является единственной ренор-
молизационной частью, не ечитая самой G. Согласно (8.45),
откуда следует выражение
Здесь допущена некоторая вольность в обозначениях. Следуя (8.42), имеем
&0».A ~То)Ма=а-То) A -Ту) fQ. (8.46)
Мы видим, что в случае с вложенными диаграммами yczG имеются два фак-
фактора A—Т). Это утверждение продолжает оставаться справедливым, если
к этой диаграмме добавлять новые (параллельные) ступени. Здесь мы имеем
хорошее упражнение, позволяющее убедиться в том, что перенормирован-
перенормированное подынтегральное выражение приводит к конечному интегралу.
L_j I
РИС. 8.5. Расходимости перекрывающихся диаграмм.
Обратимся теперь к диаграмме, приведенной, на рис. 8.5. Она условно
расходится [w(G) = 2) так же, как и две се ренормализационные части Vi и
Y2 [©(¦у1) = сй (у2) = 0]. Здесь мы сталкиваемся с новым явлением; у1 и у2 не
входят одна в другую И не являются несвязными —они перекрываются. У них
имеются одна общая линия и две вершины, однако ни одна из них не вклю-
ПЕРЕНОРМИРОВКА 31
чена в другую. Следовательно, формула (8.45) дает
Записывая тождество Tyf-a в fQhTyfT окончательно получаем
(8.47)
Мы видим, что 5?0 не равно величине A— То) A—^TJ (l-*-T^J фо. Допол-
Дополнительные члены, а именно A—Tq)(T T \, в точности соответствуют пере-
перекрывающимся поддиаграммам.
Диаграмму, приведенную на рис. 8.5, мы изучим в разд. 8.4.4 для случая
четырехмерной квантовой электродинамики.
8.2.3. Явное решение Циммермана1)
Приведенные примеры подсказывают общее решение рекуррент-
рекуррентного уравнения (8.45). Следуя Циммерману, определим лес ренор-
мализационных частей как семейство U сильно-связных неприво-
неприводимых условно расходящихся поддиаграмм у, таких, что
(то либо у1су«>
либо у2суи (8.48)
либо У1ПУ2 — 0-
Напомним, что равенство ^if\y2= 0 означает, что эти поддиа-
поддиаграммы не имеют ни общих вершин, ни линий. Лес может быть
пустым. Кроме того, обозначим через V леса диаграммы G, такие,
что если G сама условно расходится, то G не принадлежит V.
Разумеется, если G не является условно расходящейся, то две
системы лесов {U} и {У} совпадают.
Пусть выбрана согласованная система внутренних импульсов,
для которой операции 7\- имеют смысл. Тогда такие операции,
относящиеся к несвязным у] и у2, коммутируют, в то время как
в случае ytczy2 подразумевается, что величина Тъ должна стоять
справа от ТУг [ср. с примерами, описываемыми формулами (8.46)
и (8.47)]. При этих условиях покажем, что выражения
Э1>в^2а 11 (—TylSroi
(8>49)
1) Решение рекуррентных соотношений, определяющих /?-операЦию,
было впервые найдено О. И. Завьяловым и Б, М. Степановым (см. примеча-
примечания редактора перевода в конце настоящей главы).— Прим. ред.
представляют собой решение уравнения (8.45). Во-первых, заме-
заметим, что пустому лесу соответствует член ^0 Во-вторых, если
G является ренормализационной частью, мы можем сопоставить
каждому У два леса ?/-типа, а именно U1 = Vv. U2 = {G}{]V.
Следовательно, в этом случае выражения (8.49) дают Э1п =
= A—ТаM10, тогда как если c»)(G)<0, то Э1а — Э1о по опреде-
определению V. Оба случая согласуются с (8.41) и (8 42) Доказатель-
Доказательство того, что (8.49) действительно является решением уравне-
уравнения (8.45), проведем по индукции, предполагая, что утверждение
доказано для произвольных диаграмм с числом петель не более
L—1. Рассмотрим случай, когда G содержит L петель Запишем
уравнение (8.45) и подставим в него выражение (8.49) для каж-
каждого Э1У. Мы получим
_ S
&o = fa+ 2 fan-* vs}U-Tya\It П (-TyW
{?„ -., Vs) a=\ lVVa y'tVya
¦(8.50)
Обозначения здесь являются громоздкими, но очевидными. Про-
Простая проверка показывает, что (8.50) воспроизводит все члены
первого из выражений (8.49), соответствующие лесам экстремаль-
экстремальных элементов ул, ..., ys. По определению экстремальный эле-
элемент леса—это элемент у, который не входит ни в один другой
лес. В сумму по несвязным системам все леса диаграммы G вхо-
входят по одному и только по одному разу.
Мы пока не говорим о выборе условий нормировки. Поскольку природа тей-
лоровых вычитаний зависит от этого выбора, наиболее подходящим из них
является промежуточная перенормировка, определенная выше, т е вычита-
вычитание при нулевом импульсе. Если выбирается другая точка, например в без-
безмассовых теориях, в которых вычитания при нулевом импульсе запрещены
(см. разд 8.3.1), то необходимо специально позаботиться о сохранении лоренц-
ивариантности.
Аналогичным образом можно провести последовательно дополнительные
вычитания, т. е. сверх степени <d(G), вытекающей из наших правил подсчета
степеней. Мы не будем этим заниматься здесь и рекомендуем читателю обра-
обратиться к цитируемой в конце главы литературе (см 1акже замечания в конце
разд. 8.2 6).
Структура выражения 3{ такова, что в него входят лишь несвязные
ренормализационные части, т е части, не имеющие общих вершин или линий
Ради последовательности изложения покажем, что перенормироваиное подын-
подынтегральное выражение для некоторой сочлененной (или одновершинно-приводи-
одновершинно-приводимой) диаграммы может быть факторизовано (рис. 8.6) В качестве примера рас-
рассмотрим диаграмму, приведенную на рис. 8 6, б, для четырехмерной ф4 теории.
Имеются следующие леса U:
я, Ы. Ы. (И. О}, {уъ G}, {G}
Следовательно^
ПЕРЕНОРМИРОВКА 33
Для такой диаграммы TG=s=TyT^. Поскольку степень расходимости для G,
Yi и 72 одна и та же и разложение в ряд Тейлора до порядка м не влияет
на полином степени <о, мы имеем
То=TaTVl = ToTVl=Tv,TVi.
Следовательно, Э1о можно записать также в виде
Это доказательство нетрудно обобщить на произюльный случай.
Можно непосредственно проверить, что в случае, когда все реиормали-
зационные части диаграммы G являются вложенными одна в другую, выра-
а — ^ 6
РИС. 8.6. Сочлененные (одновершинно приводимые) диаграммы
жения (8 49) сводятся к произведению операторов (/—Ту) по всем у. В ебщем
случае такое произведение нужно расписать почленно и опустить в нем все
члены, соответствующие перекрывающимся поддиаграммам Эти два утверж-
утверждения являются непосредственным обобщением свойств, найденных для част-
частных примеров в конце разд 8 2 2.
Соотношения (8.49) представляют собой главный результат,
однако мы не мож^м быть полностью удовлетворены до тех пор,
пока мы не докажем, что они приводят к сходящелуся интегралу.
Особое затруднение вызывает случай перекрывающихся рас.ходи-
мостей Действительно ли рецепт, выражаемый соотношениями
(8.49), достаточен, чтобы в таких случаях получалось сходящееся
выражение? Как мы увидим ниже, ответ на этот вопрос является
утвердительным После того как это будет доказано, использова-
использование промежуточной регуляризации не будет необходимым, по-
поскольку вычитание подынтегрального выражения приводит к схо-
сходящемуся интегралу Фейнмана Тем не менее часто более удобно
иметь дело с регуляризованными амплитудами, а не с громозд-
громоздкими выражениями (8.49) Прежде чем дать схематическое до-
доказательство сходимости, рассмотрим вычитания в параметрическом
представлении.
8.2.4. Перенормировка
в параметрическом представлении
Рецепты вычитательной процедуры можно сформулировать в параметриче-
параметрическом представлении. При этом мы получаем более простое доказательство
теоремы о сходимости. Опишем кратко наиболее важные этапы этого дока-
доказательства
В качестве предварительного примера рассмотрим снова однопетлевую
Диаграмму собственной энергии (8.7) для ср3-теории в шести измерениях. Соот-
34
ГЛАВА 8
ветствующая амплитуда в евклидовой области запишется в виде
[2(a +
, a)]
о
где g»{a) = al-\-at, Q (P, a) = [a1a3/(ai + a2)]P2. Мы имеем здесь квадра-
квадратичную расходимость, обусловленную неинтегрируемостью в начале координат
РИС. 8.7. Диаграмма «пузырь».
а параметрическом пространстве. Если мы используем промежуточную пере-
перенормировку, то перенормированная форма будет получаться после вычитания
конечной части разложения в ряд Тейлора по Р2 в окрестности нуля:
= I
°/
(8.51)
При одновременном растяжении параметров аъ а2 на величину X подынте-
подынтегральное выражение, подвергнутое вычитанию, будет вести себя как Я.
Благодаря дополнительному фактору X, возникающему из меры daldai,
интеграл будет сходящимся в нуле. Теперь вычитание по Р2 можно преобра-
преобразовать в вычитание по параметру X, если мы вспомним свойства однородности
величин Q и 5* и заметим, что
Q(pP, a) = Q(P, p2a)
_?.
\
ip=0
д"
р = 0- (8.52)
Этот явный пример приводит нас к следующему определению. Пусть
f (р)— функция переменной р, такая, что величина pPf (p) дифференцируема
в нуле до некоторого целого порядка р. Определим оператор ?Гк следую-
следую(р) фу р р , pf (p) фф
в нуле до некоторого целого порядка р. Определим оператор
щим образом:
следую-
следуюs=0
ПЕРЕНОРМИРОВКА 35
здесь k — целое число. Можно непосредственно проверить, что это определе-
определение не зависит от условия рг~^ р и что его можно обобщить на нецелые
значения р. Выражение (8 53) имеет смысл при условии, что k-\-p^O, а это
значит, что k можег принимать отрицательные значения. Мы полагаем по
определению, что
J^seO при k+p<0.
Существенное свойство этого обобщенного разложения Тейлора сосгоит в гом,
что
A - J™) / (р) ~ О (p*+i). (8.54)
В предыдущем примере мы имели следующее перенормированное подынте-
подынтегральное выражение:
(l-jr-4) {[? (P2«)]-3 e-W- Рг«>} |р=1,
где обозначения указывают, что вычитания выполняются при р = 0 и затем
функция вычисляется при р=1.
Эти действия обобщаются на произвольные ситуации Если вернуться
к четырехмерному случаю, то формулы (8.49), переведенные на язык пара-
параметрического представления, дают следующую переиормированную амплитуду:
]
JJ_ \das e SKL(P, a),
s=l
1-2.-0(P. all I (8-55)
2 HvU г
U 76 U V
Оператор <^"р действует на параметры щ, относящиеся к ренормализацион-
ной части у после растяжения а; —> р^а^; /у обозначает число внутренних
й В 0
у р ; р^^ у ур
линий в поддиаграмме у. Вычитания выполняются при р=0, а результат
вычисляется при р =1. Эги действия выполняются для всех у, принадлежа-
принадлежащих лесу U, а затем проводится суммирование по U (U = 0 соответствует
тождеству без вычитаний). Для простоты в выражениях (8.55) рассматривается
скалярная теория в евклидовой области, не содержащая связей с производ-
производными, а перенормировка производится в начале координат импульсного про-
пространства Обобщение на случай ненулевого спина, связей с производными
высших размерностей и т. п. не вносит каких-либо трудностей, усложняются
лишь обозначения.
Формулировка вычитаний в параметрическом пространстве обладает заме-
замечательными алгебраическими свойствами. Можно показать, что полное выра-
выражение (8 55) не зависит от порядка, в котором производятся тейлоровы вычи-
вычитания, хотя две отдельные операции (^г, относящиеся к перекрывающимся
поддиаграммам, вообще говоря, не коммутируют. Кроме того, для данной диаг-
диаграммы или конечной системы диаграмм существует ограничение сверху иг
значения степени р. Следовательно, операторы <?Гр зависят только от числа
внутренних линии 1у и уже не зависят от конкретной топологии диаграммы.
Можно избавиться даже от последней ссылки на топологию в (8.55),
а именно на нумерацию лесов и ренормализационных частей. Мы докажем
сначала, что
где произведение берется по всем ренормализащюнным частям диаграммы.
Иными словами, вычитания, относящиеся к перекрывающимся поддиаграммам,
36
ГЛАВА 8
в это выражение не входят. В качестве иллюстрации проверим это свойство
на примере диаграммы, изображенной на рис. 8.8. В четырехмерном прост-
пространстве диаграмма G и ее поддиаграммы у1у у2 и у являются ренормализа-
ционными частями Чтобы показать эквивалентность выражений (8.55) и (8.56),
мы должны доказать тождество
где %—параметр растяжения для G. Если обозначить через / функцию в квад-
Y Yi Тг
РИС 8.8. Расходимости перекрывающихся диаграмм, изучаемые в парамет-
параметрическом пространстве.
ратных скобках, то нетрудно показать, что она имеет вид
Xpu Яра),
поскольку только а, принадлежащие у, одновременно растягиваются в р?
и р| раз. Следовательно, действие оператора $~
<**>*
дает
(Ограничение снизу иа k зависит от гого, какую теорию мы рассматриваем;
в скалярной теории это — 4Ly , где Lyi — число петель в уа.) Таким образом,
П /ft,
n + m < -2/y
Каждый отдельны*! член в сумме является однородной функцией от X степени
к-\-п. Однако
.-а/.
Следовательно, действие последнего вычитания (i—J7^ Gj, которое остав-
оставляет лишь члены степени выше, чем —2Iq, дает нуль. Обобщение этого дока-
доказательства иа произвольную ситуацию — дело простого пересчета.
ПЕРЕНОРМИРОВКА 37
Наконец, нетрудно показать, что вычитания по параметру однородности
подсистем параметров, не соответствующих условно расходящимся связным
поддиаграммам, не сказываются на полном выражении. Таким образом,
окончательный резульга) нашего рассмотрения запишется в виде
(8.57)
где произведение берется по B °—l) непустым системам параметров а.
Результат опять не зависит от порядка операторов. Последнее выра-
выражение имеет два достоинства. Во-первых, оно не зависит or топологии
диаграммы. Во-вторых, оно позволяет нам, по крайней мере качест-
качественно, понять аргументацию доказательства сходимости Действительно,
для любого семейства g параметров % а (8.57) можно перенести оператор
(—2/ \
1— JT- & ) влево от произведения. Из (8.54) следует, что подынтегральное
8 *
выражение ведет себя как pg 8 и, следовательно, интегрируемо по pg,
поскольку мера по-прежнему содержит фактор $g 8 dpg. К сожалению, того,
что возможная сингулярность в произвольной подсистеме параметров а ин-
интегрируема, еще недостаточно, чтобы обеспечить сходимость всего интеграла.
Например, в интеграле
1 1
2а4
о
сингулярности, отвечающие пределам <хг —* 0, аг Ф О, или а2 —> 0, oti Ф О,
или <2i ~ tzs —> 0, интегрируемы, однако интегрирование по ал приводит к рас-
расходящемуся интегралу
1
da,
aa(l-f- a2)"
о
Мы не будем воспроизводить здесь утомительного доказательства того, что
в случае интегралов Фейнмана таких явлений не возникает. Как и в разд.
8.1.4, необходимо разбить область интегрирования на секторы и воспользо-
воспользоваться свойствами однородности параметрических функций.
В заключение этого длинного и технически сложного анализа
вновь приведем формулировку важной теоремы Боголюбова —
Парасюка — Хеппа. Операция вычитания, описываемая соотноше-
соотношениями (8.45), (8.49) или (8.57), дает абсолютно сходящийся ин-
интеграл и определяет аналитическую функцию от импульсов в евк-
евклидовой области и обобщенную функцию oi раниченного роста
в пространстве Минковского.
8.2.5. Конечные перенормировки
До сих пор мы рассматривали вычитания бесконечностей. Однако
выводы, сделанные относительно структуры контрчленов, мульти-
мультипликативном характере перенормировок и алгебре вычитаний,
38 ГЛАВА 8
применимы также и к конечным перенормировкам Этим термином
мы обозначаем операции, которые необходимо произвести при
изменении условий нормировки При этом (перенормированные)
параметры теории претерпевают конечное изменение Это имеет
место, например, при переходе от условий нормировки (8 30)
и (8.35) к (8 36) В более общем случае рассмотрим в рамках
Ф4-теории следующую систему условий нормировки, зависящую от
произвольного массового масштаба ц,:
*=я*
ф2
2 '
(8 58)
где S^ определяется выражением (8.35), в котором т заменено
на (х
Это весьма разумный выбор нормировочного условия, поскольку оно удов-
удовлетворяется в низшем порядке и является обобщением условия (8 30) и усло-
условий (8 35) и (8 36) Имеет смысл въбрать р: таким образом, чтобы точки
перенормировки p2 = ji2 и Sju лежали внутри областей аналитичности двух-
и четырехточечных функций соответственно В противном сл>чае след\ет
подразууевать, что приведенное выше условие выполняется только для веще-
вещественной части амплитуды
Теория зависит теперь от двух массовых масштабов т—массы,
входящей в пропагатор в диаграммах Фейнмана, и fx—массы,
определяющей точку перенормировки Что касается физической
массы, определяемой как полюс полного пропагатора, то она яв-
является некоторой функцией от т, ц, к и ее можно вычислить
в каждом порядке теории возмущений Кроме того, вычет в полюсе
теперь не равен единице и его необходимо учитывать при вычис-
вычислении элементов S-матрицы
Как связаны между собой две перенормированные теории, соот-
соответствующие двум различным \О Очевидно, что каждая из них
может быть получена из другой путем перестройки с помощью
конечных контрчленов, определяемых в каждом порядке теории
возмущений на основании новых условий Как и в случае беско-
бесконечной перенормировки, это в свою очередь эквивалентно пере-
переопределению параметров теории т и X при условии, что мы
учитываем также конечную перенормировку оператора поля
Поскольку эти параметры равны значению функций Грина в дан-
данной точке |г, переход от ц к ц' равносилен переходу от парамет-
параметров т, Я (и 1) к /л', Я.' и г Следовательно, справедливо соот-
соотношение
rg> (Pl, ...,/>„; т, К [I) = z»l*Tff (Pl, ..., рп; т', %', ц'), (8-59)
где т', Я.' и z являются функциями от т, 1, ц и [*', вычисляе-
вычисляемыми по теории возмущений.
ПЕРЕНОРМИРОВКА 39
Проиллюстрируем зю на примере двухточечных функций «р^-геории в шести-
MipnoM пространстве Эта перснормируемая теория имеет то свойство, что
в ней перенормировка оператора поля е однопеглевом приближении нетри-
нетривиальна Если J?B3 = — Л/31 ф3 , то амплитуда отвечаю пая диаграмме собст-
собственной энергии, представленной на рис 8 7, записываем в виде
1 ' J BлN [(Р—6J-m2](A:2-
m2) '
где подразумевается, что произведена какая-либо регуляризация, а значок [1]
означав!, что берется однопетлевая поправка С помощью непосредственного
вычисления получаем
оо 1
д2Г'2>ш А,2
1/Л2 О
I
_ А,2 Г dec а2 A-аJ
~DяK J m2- а A -а) Р2 '
о
Перенормированная функция Г^ ^х\ удовлетюряющая условиям (8 58), за-
записывается в виде
(8 60)
где мы не позаботились выполнить интегрирование по а явно Если теперь
заменить |х на (г', то нетрудно показать, что Г^' = Р2 — т2+Г^'1' удовлет-
удовлетворяет уравнению (8 59), причем
1
о
(8 61)
1
, .. . . /7Z2 — 06 A —К) U2
da a A-a) In — i ^— .
Функция А,' определяется из однопетлевой трехточечнои функции Мы предо-
предоставляем это вычисление читателю в качестве упражнения
Полученные выше результаты можно обобщить на произволь-
произвольные условия нормировки в любой перенормируемой теории, причем
мы получим уравнение, аналогичное (8 59) Уравнение (8 59) отра-
отражает эквивалентность схем перенормировки, соответствующих
различному выбору точек перенормировки или переиормировапных
параметров. Это свойство теории называется инвариантностью
40 ГЛАВА 8
относительно ренормализационной группы. В гл. 13 мы изучим
следствия, вытекающие из этого уравнения или его инфинигези-
мальной формы, так на)ываемого ренормгруппового уравнения
Мы увидим, что кажущаяся невинной свобода выбора условий
нормировки имеет нетривиальные и важные следствия.
8.2.6. Составные операторы
Функции Грина, рассматриваемые до сих пор, включали только
элементарные поля, т. е. динамические переменные, входящие
в лагранжиан. Процедура перенормировки, выполняемая либо с
помощью вычислительной /^-операции Боголюбова, либо с помощью
введения контрчленов, распространяется на более широкий класс
функций, включающих составные поля Под составными полями
мы подразумеваем локальные мономы операторов поля и их про-
производных Прототипом этих операторов является электромагнитный
ток tyy^. Составные поля играют важную роль во многих пост-
построениях.
Ради простоты будем рассматривать снова лишь скалярную
Ф4-теорию. Составные операторы имеют вид ф2, (дфJ, ф П Ф» ф">
Ф6 и т. д., а также фд^ф, с^фс^ф, ..., если мы строим векторо-
подобные и тензороподобные операторы При подсчете степени
расходимости эти поля имеют, очевидно, размерности а>[ — 2, 4, 4,
4,6, ..,3,4, ... соответственно. Чтобы проводить вычисления
с функциями Грина, включающими в себя вставки этих операто-
операторов Ог (х), удобно добавить источники %,, связанные с ними в дей-
действии Следовательно, эти новые функции будут определяться
выражением
Z (/, х) = @1Т ехр {i I d*x [j (х) Ф (х) + X/ (*) О, (*)]} 10>. (8.62)
Связные функции Грина определяются с помощью логарифма
величины Z, как в F 71) (см т 1). Преобразование Лежандра,
введенное в гл. 6 (т 1), выполненное только над источником /,
будет задавать сильносвязные, т е. одночастично-неприводимые
функции, но с произвольным числом О,-вставок. Если нас инте-
интересует конечное число вставок, то мы дифференцируем конечное
число раз по Xi и затем полагаем Хг==0.
Если мы рассмотрим диаграмму с N вставками операторов
размерности сог, то простое применение соотношения (8.13в) пока-
показывает, что новая условная степень расходимости со' отличается
от соответствующей степени в отсутствие вставок на величину
л
о)'—о)= 2 К — 4)- (8.63)
i !
ПЕРЕНОРМИРОВКА 41
Вставки операторов степени, меньшей или равной четырем, в ус-
условно сходящуюся диаграмму сохраняют сходимость, тогда как
вставки со степенью, большей четырех, ухудшают степень расхо-
расходимости. Тем не менее для любого (конечного) числа вставок
составных операторов существует рецепт вычитания или, что
эквивалентно, построения контрчленов, который позволяет сделать
сильносвязные функции Грина конечными Например, предполо-
предположим, что двухточечная (два внешних <р) функция
<ТОЛ (xj Ог (*а) ...Оы (хы) Ф (у) Ф B)>силь„0СВЯ,„ (8 64)
является условно расходящейся со степенью ш'. Существует
локальный контрчлен, квадратичный по <р и пропорциональный
%х(х) ... %ц(х), с полипомом производных степени, меньшей или
равной он'. Очевидно, что этот конгрчлен будет давать вклад
только в функцию (8 64). Проиллюстрируем это на простых
примерах
/. Вставка оператора <р2. Этот оператор имеет размерность
(в(фа) = 2, и, следовательно, его вставка улучшает сходимость.
Имеются две условно расходящиеся сильносвязные функции
с (^-вставками Эти функции представлены на рис. 8.9. Обеим
а 6
РИС 4.9. Расходящиеся диаграммы со вставками <ра.
соответствует со = 0. Первой мы сопоставляем контрчлен, квад-
квадратичный по %, но не зависящий от ф, второй нужно сопоста-
сопоставить контрчлен вида A/2) ХФ2- Таким образом, в лагранжиане
первоначальный член A/2) хф2 заменяется на величину
где 6lt Ss—расходящиеся скалярные величины. Определим
величину Zy* через константу перенормировки Z оператора
поля ф следующим образом:
Мы видим, что n-точечные функции с одной фа-вставкой удов-
удовлетворяют соотношению
Г$, я (q; Pl рп, X, /я) =.Z,.Z""r$r. per (?; pit..., pnt К «о)-
(8.65)
Здесь q—импульс, входящий в диаграмму в ф2-вершине. Мы
видим, что ф2 перенормируется мультипликативно, как и ф,
42
1 Л Л СЛ О
с помощью константы перенормировки волнового оператора 1^.
Вставка нескольких операторов является непосредственным
обобщением соотношения (8.65):
Пр»ф», r (Яи Ч*\ Pi, •••> РпЛ, т) =
= Z%WГ^ф., per (<?„ <?г; Рг, ¦ • •, р„, К те) + 26А, 0, (8.66)
где последний член учитывает вакуумные диаграммы (п = 0),
представленные на рис. 8.9, а.
Разумеется, чтобы полностью определить эти новые вычи-
вычитания, требуются новые условия нормировки. Например, в низ-
низшем порядке можно наложить следующие условия при нуле-
нулевом импульсе:
$ R @; 0) = I, r|pV л @, 0) = 0. (8.67)
Перенормировка ф2-оператора не является независимой от перенормировки
массы. Добавление члена A/2) х (дг)ф2 (х) в лагранжиан можно рассматривать
как зависящее от х изменение массы: т2—> т2—X (х)- Поэтому мы можем
написать соотношение
г?> R @; р; *,/«)=- гф2 ~ Г»2» 0>; X, m) fa,
от
где дифференцирование выполняется при фиксированном %д. Следовательно,
если вычитания производятся при нулевом импульсе, как в (8.36) и (8.67),
можно сделать вывод, что
Zfr2==:-r:—5" • (8.68)
2. Вставка оператора ср*. Вставка операторов размерности четыре
не влияет на степень расходимости. Контрчлены являются
линейными функциями источника Хф4. т- е. контрчлены, соот-
соответствующие отдельной вставке, будут комбинациями величин
{О,-, ('=1, •.., 4} = {cp2(x), ср4(х), (<ЭфJ(;е), фПф(дс)[ (две по-
последние величины, будучи проинтегрированы пол:, эквивалентны,
но, вообще говоря,.они отличаются друг от друга). Эти опе-
операторы фактически перемешиваются перенормировкой. Поэтому
оператор ф4 нельзя рассматривать независимо от остальных.
В явном виде обобщение (8.65) записывается следующим
образом:
gj к (Г, Рг Рп\ К т) = ^ Z"t*ZtJTWr per (q; рь..., рп\ К т„).
(8.69)
Это равносильно утверждению, что перенормированная
Ф*-вставка требует добавления в лагранжиан следующего
источника:
у \? ?Уг + 7 7*^-
ПЕРЕНОРМИРОВКА 43
где Z;j определяется после выбора подходящих условий нор-
нормировки. Наконец, нам известно из предыдущего анализа, что
оператор ср2 является мультипликативно перенормируемым, а это
означает, что ZX]—Q при \ф\ a Zu = ZfP2.
Вообще говоря, в перенормируемой теории полная система
составных операторов О,- размерности, меньшей или равной
данному числу D, и с одинаковыми квантовыми числами муль-
мультипликативно перенормируема в рассмотренной выше матричной
форме, по крайней мере пока мы имеем дело с одной вставкой.
Кроме того, Z,-, =0, если размерность оператора О( меньше
размерности оператора Oj (матрица ZtJ не является симмет-
симметричной), Оба этих результата вытекают с очевидностью из
подсчета степеней (8.63).
В качестве упражнения читатель может изучить соотношение между Iff для
операторов размерности четыре и голыми константами Хо, т0, Z. Мы реко-
рекомендуем также провести анализ перенормировки операторов размерности
шесть, или одного из тензорных операторов, например тензора энергии-им-
энергии-импульса.
В некоторых случаях можег оказаться интересным приписать какому-либо
оператору размерность больше той, которая следует из непосредственного
подсчета, и перенормировагь его в соответствии с эшм Например, если,
вместо того чтобы рассматривать ср2 как оператор размерности два, мы при-
припишем ему размерность четыре, то потребуется больше вычитаний (и условий
нормировки). Новый (или «жесткий») оператор, обозначаемый /V4 (ф2), чтобы
отличить его от старого (или «мягкой») оператора N.2 (ф'г), должен рассмат-
рассматриваться на равной основе с ф4, (дер)'2 и Ф О Ф- В частности, Z\j теперь от-
отличен от нуля. Это обобщение, полезное в некоторых приложениях, было
введено Циммерманом.
В случае нескольких вставок, пользуясь правилом (8.63) как
нитью Ариадны, мы находим, что размерность контрчленов
(мультилинейных относительно источников) сохраняется равной
четырем до тех пор, пока исходные операторы О,- имеют размер-
размерность четыре. Однако размерность контрчленов возрастает, когда
размерность О, становится больше четырех. Например, для двой-
двойной вставки операторов <р4 и ф П Ф коитрчлены снова должны
быть типа ф2, ф", ф Q ф и (дц>J, в то время как вставка опера-
операторов ф4 и ф6 требует, чтобы все операторы имели размерность
шесть, а двойная вставка фв приводит к контрчленам размерности
восемь!
8.3. ПРЕДЕЛ НУЛЕВОЙ МАССЫ,
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
И ТЕОРЕМА ВАЙНБЕРГА
До сих пор мы не касались проблем, связанных с безмассовыми
частицами. Цель данного раздела—дать эвристическое изложение
некоторых аспектов этих проблем и показать их связь с теоремой
Вайнберга. Последняя относится к изучению поведения диаграмм
Фейнмана при очень больших внешних импульсах.
44 ГЛАВА 8
8.3.1. Безмассовые теории
Ht пользуя для внутренних линий пропагаторы безмассовых частиц,
мы рискуем столкнуться с новыми расходимостями. В нашу за-
задачу входит показать, что подобное явление не встречается, пока
мы удалены от некоторых выделенных значений внешних импульсов.
В евклидовой (т. е. преобразованной с помощью поворота Вика)
форме теории, когда размерность всех вершин лагранжиана равна
четырем (или выше), сильносвязные функции конечны при любом
ненулевом и неисключительном значении внешних импульсов.
Неисключительные импульсы — это такие конфигурации, в которых
никакая частичная сумма входящих импульсов р1 не обращается
в нуль. Интегралы остаются конечными для малых значений
внутренних импульсов, поскольку внешние импульсы обеспечивают
обрезание снизу.
Это утверждение не выполняется в теориях, содержащих суперперенормируе-
мые связи. Например, на рис. 8.10, а диаграмма с <р2-вершиной (или, что
эквивалентно, <р2-вставкой при нулевом импульсе) имеет инфракрасную рас-
расходимость:
Эту амплитуду можно также рассматривать как шеститочечную функцию
в ф4-теорки (рис. 8.10,6), но тогда она вычисляется для исключительной
конфигурации.
p-~
ее 6
РИС. 8.10. Диаграмма с инфракрасной расходимостью.
Строгое доказательство требует аккуратного разбиения области
интегрирования, весьма похожего на то, которое проводилось
при доказательстве теоремы в разд. 8.1.4. Здесь мы приведем
лишь простую аргументацию, основанную на подсчете степеней
расходимости без учета возможных ультрафиолетовых расходи-
мостей.
Подсчет степеней инфракрасных расходимостей сводится к нахождению числа
внутренних импульсов, которые могут стать мягкими в диаграмме, если обе-
обеспечено сохранение импульса в каждой вершине. Рассмотрим ^-точечную
функцию с ненулевыми внешними импульсами и предположим, что для этих
жестких внешних импульсов выбран определенный поток через диаграмму.
Поскольку выбранные таким образом импульсы не являются исключительны-
исключительными, любой внутренней липни, через которую протекает этот поток, отвечает
ненулевой импульс, тогда как импульсы, отвечающие петлям, равны нулю.
Кроме того, то же самое свойство означает, что эти жесткие внутренние ли-
ПЕРЕНОРМИРОВКА 45
нии образуют связный узор на диаграмме (в примере, приведенном на рис. 8. 11,
он отвечает жирным линиям). Следовательно, поскольку нас интересует по-
поведение в инфракрасной области, эти внутренние линии можно сжать в одну
вершину. С этой вершиной связаны Л' жестких внешних и i внутренних ли-
линий, причем !^2, поскольку диаграмма одночастично-неприводима. Пусть/,
L, Уя и V4 обозначают соответственно число внутренних линий, петель, трех-
и четырехточечных вершин в сжатой диаграмме. Тогда можно записать обыч-
обычные топологические соотношения
Поскольку по предположению все вершяны лагранжиана имеют степень че-
четыре, каждой трехточечной вершине отвечает одна степень импульса. Следо-
Следовательно, степень однородности сжатой диаграммы, которая определяет услов-
условную степень инфракрасной расходимости, когда импульсы всех внутренних
петель одновременно малы, равна
Это, по крайней мере эвристически, является условием инфракрасной сходи-
сходимости.
Можно поинтересоваться, не становится ли неверным проведенный под-
подсчет степеней расходимости, если смягчить гипотезу о том, что после сжатия
импульсы всех внутренних петель малы. Например, предположим, что/н^7
внутренних импульсов остаются жесткими и что они образуют узор с LH пет-
РИС. 8.11. Поток жестких импульсов через диаграмму и соответствующая
сжатая диаграмма.
лями, VSfj и V4# вершинами каждого типа. Может показаться, что @jt заме-
заменяется на о,, =«ir — ДйНг, где A(»it = 4Lff-(~'/3H"~2/H, и что мы можем столк-
столкнуться с трудностями. К счастью, это не так. Жесткий узор можно рассмат-
рассматривать как диаграмму (возможно, несвязную), все внешние линии которой
являются мягкими по построению. Таким образом, она ведет себя, как эти
импульсы в степени Ащг. Следовательно, щг не изменяется. Это не удиви-
удивительно, поскольку он,- является степенью однородности диаграммы.
Можно пойти еще дальше и показать, что, когда один из им-
импульсов р обращается в нуль, а остальные не равны нулю и не
являются исключительными, функции Грина остаются конечными.
Читатель не столкнется с трудностями при обобщении на этот случай рассуж-
рассуждений, приведенных выше, и в демонстрации того, что a>ir уменьшается самое
большее на единицу.
При этих нестрогих рассуждениях мы пренебрегали возможными
трудностями в ультрафиолетовой области. Для того чтобы пере-
перенормировка не нарушала нашего результата, необходимо выбрать
46 ГЛАВА «
разумные условия нормировки. Вычитания при нулевом импульсе
следует исключить, поскольку функции Грина обычно расходятся
в этой точке. В безмассовой теории имеет смысл выбрать в каче-
качестве точек нормировки вместо (8.34) или (8.36) евклидовы значе-
значения импульса, например р2 = — и-2 < 0. Необходимость введения
ненулевой точки нормировки означает, что теория, в которой от-
отсутствуют физические массы, тем не менее содержит массовый
масштаб и.. Независимость физических величин от выбора этой
величины приводит к связям, соответствующим ренормализациои-
ной группе, которые мы обсудим ниже.
Приведенные соображения применимы также к теориям, в ко-
которых рассматриваются как безмассовые, так и массивные частицы,
например к квантовой электродинамике. Функции Грина конечны
при любом ненулевом и неисключительном значении импульса.
Когда в нуль обращается более чем один внешний импульс, в каждом
отдельном случае необходимо проводить независимый анализ.
Таким образом, в случае, когда все (или некоторые) массы
внутренних линий диаграммы Фейнмана обращаются в нуль, не
будет никаких сингулярностей, если
1) степень всех вершин равна четырем;
2) внешние импульсы не являются исключительными;
3) имеется самое большее один мягкий внешний импульс;
4) перенормировка проводится в некоторой фиксированной точке
евклидова пространства.
Труднее ответить на вопрос, что происходит, если внешние
импульсы продолжить из евклидовой области к физическим зна-
значениям на массовой поверхности. Представляют интерес следствия,
вытекающие из предыдущей теоремы. Рассмотрим сильносвязную
двухточечную функцию и предположим, что ее можно аналитиче-
аналитически продолжить в псевдоевклидову область, не наталкиваясь на
пороговые сингулярности. Функция Грина при этом остается ко-
конечной, как и ее абсорбтивная часть. Согласно правилам Кутко-
ского (см. гл. 6 в т. 1) это означает, что все ширины распадов
в конечные состояния, в которых присутствуют безмассовые ча-
частицы, являются конечными. Этот результат, полученный Кино-
ситой, следует сравнить с теоремой, доказанной Ли и Науенбергом.
По этой теореме любая вероятность перехода в теории, рассматри-
рассматривающей безмассовые частицы, конечна при условии, что производит-
производится суммирование по вырожденным состояниям. Это, разумеется,
согласуется с тем, что мы обнаружили на частных примерах,
разобранных в гл. 4 и 7 (см. г 1), в которых мы рассматривали
главным образом мягкое излучение. Следует иметь в виду, что
при рождении коллинеарных безмассовых частиц с ненулевой энер-
энергией могут возникнуть дополнительные расходимости. Теорема Ли
и Науенберга справедлива и для таких расходимостей.
ПЕРЕНОРМИРОВКА 47
8.3.2. Поведение в ультрафиолетовой области
и теорема Вайнберга
Найдем точное соотношение между условной степенью ультрафио-
ультрафиолетовой расходимости со (G) и поведением интегралов Фейнмана
в случае, когда все внешние импульсы велики. Умножение всех
этих импульсов на общий большой множитель X эквивалентно, из
соображений размерности, делению на этот же фактор всех вну-
внутренних масс. Следовательно, проблема тесно связана с пределом
нулевой массы, рассмотренной в разд. 8.3.1.
Для простоты вернемся опять к скалярной теории со связями
без производных. Возьмем функцию Грина, вычисленную для ев-
евклидовых внешних импульсов, и ограничимся на время рассмот-
рассмотрением случая, когда имеется сходимость в ультрафиолетовой
области. После интегрирования по общему параметру однородности
выражение (8.20) принимает вид
Если импульсы Р растягиваются в X раз, Р—* ХР, то интеграл
ведет себя как Xю1-01 [напомним, что по предположению co(G)<0],
при условии что интеграл
сходится. Это в свою очередь зависит от существования предела
нулевых масс для /с(Р). Мы видим, в частности, что поведение
при больших X связано с конфигурациями импульсов Р. Изразд. 8.3.1
известно, что если евклидовы импульсы не равны нулю и не яв-
являются исключительными, то такой предел существует. В этом
случае асимптотическое поведение определяется, посредством под-
подсчета степеней ультрафиолетовых расходимостей:
1а(ХР) ~ХШ<°>. (8.70)
Я,-> со
Полученный результат обобщается на случай условно расходящих-
расходящихся, но перенормированных диаграмм. Однако степенную зависи-
зависимость можно заменить на зависимость в виде степеней логарифма:
1а (%Р) ~ Яа<°> 2 С, 1п« X [1 + О (Х-% (8 71)
7 = 0
Если предел нулевых масс плохо определен, т. е. если диа-
диаграмма содержит вершины степени, меньшей четырех, и (или)
исключительные внешние импульсы, мы ожидаем, что будет иметь
48
I ЛАВА 8
место некоторое отклонение от этого поведения, а именно, мы
получим более высокие степени, чем А,ш(сг>, и возможные логариф-
логарифмические поправки.
Чтобы проиллюстрировать эту точку зрения, рассмотрим однопетлевую диаграм-
диаграмму на рис. 8.12, в которой имеются л+2 линий и вершин; среди этих вер-
вершин п представляют собой массовые вставки. Условная степень равна <о (G)=
= — 2п. Соответствующий (евклидов) интеграл имеет вид
С
J
l
и
При Р2—s-оо амплитуда Iq(P) ведет себя как
-ог" 1п "^2 ПРИ
'а(Р) ~ \ „
~Р*"(т*у прИ п
Оценка, основанная на подсчете степеней, дала бы (Р%)~п. Это можно объяс-
объяснить, заметив, что большой импульс протекает через один из пропагаторов
(верхний пропггатор на рис. 8.12), что дает степень (Р2)^1. Коэффициент,
6 п+1
¦п-1
/
К
РИС. 8.12. Диаграмма собственной энергии с п вставками <ра.
51Р I
d4?/(fc2+/n2)n+1, пропор-
пропорционален In И2 при п = \ и равен постоянной при п > 1.
В общем случае, изученном Вайнбергом, поведение при боль-
больших к определяется минимальным числом пропагаторов, по кото-
которым протекает большой импульс. Для перенормируемых (или су-
перперенормируемых) теорий, не содержащих безмассовые частицы,
справедлив следующий результат. Если евклидовы импульсы (воз-
(возможно, исключительные) умножаются на большой фактор к, то
интеграл Фейнмана мажорируется величиной
(8.72)
где 8 символически выражает тот факт, что степенная зависимость
№ умножается на целую степень логарифма, причем
Q = supoo(g). (8.73)
g
Здесь g пробегает по всем подсистемам диаграммы G, таким, что
1) в каждую вершину приведенной диаграммы Gig входит нулевой
полный внешний импульс и 2) каждая связная часть диаграммы
Gig соединена с некоторыми внешними линиями. Короче говоря,
это означает, что (большие) внешние импульсы могут протекать
-Рз
а
РИС. 8J3. Возможные потоки больших внешних импульсов (жирные линии)
через диаграмму «ящик» в неисключительной (а) и исключительной (б) кон-
конфигурациях.
через g, не давая вклад в G/g (см. рис. 8.13). В выражении (8.73)
величина оо (g) является ультрафиолетовой условной степенью рас-
расходимости поддиаграммы g.
В случае когда теория является строго перенормируемой (от-
(отсутствуют суперперенормируемые связи), а импульсы неисключи-
неисключительные, можно показать, что верхняя граница Q совпадает с со (G)
в соответствии с предшествующими рассуждениями. Читателю
предлагается применить эти общие правила к примеру, приведен-
приведенному на рис. 8.12.
Данные результаты можно обобщить на случай, когда импуль-
импульсы принадлежат пространству Минковского, или на конфигурации,
в которых только часть импульсов становится большой. Можно
получить также ограничения на степень логарифма величины К.
8.4. СЛУЧАЙ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Данный раздел посвящен рассмотрению проблем, характерных
для квантовой электродинамики, а именно проблем, связанных
с калибровочной инвариантностью и тождествами У орда. Мы уже
встречались с этими вопросами и изучали их в рамках однопет-
левого приближения (см. разд. 7.1.4 в т. 1). Наша цель здесь
заключается в проведении анализа во всех порядках таким обра-
образом, чтобы он согласовался с перенормировкой. Сначала дадим
более последовательный и формальный вывод тождеств Уорда по
сравнению с тем, который проводился в гл. 7 (см. т. 1).
50 ГЛАВА 8
8.4.1. Формальный вывод тождеств У орда —- Такахаси
Будем исходить из лагранжиана F.25) (см. т. 1) с фотонной мас-
массой (х. Согласно теореме Нётер, сохранение тока
/р(х) = е:ф(х)уЖ*):. <П.(*) = 0 (8.74)
было следствием инвариантности лагранжиана относительно гло-
глобальных фазовых преобразований
Это свойство приводит к соотношениям между функциями Грина,
содержащими единственный оператор тока и произвольное число
полей if, ф, А.
Наша программа состоит в том, чтобы вывести сначала систему
ковариантных тождеств как следствие сохранения тока и того
факта, что функции Грина можно представить через хронологиче-
хронологические произведения в пространстве Минковского Позаботимся за-
затем о том, чтобы эти соотношения сохранились при перенормировке
Выражения, которые получаются таким способом, имеют лоренц-
ковариантную форму, причем подразумевается, что мы имеем дело
с ковариантнычи Г-произведенияш (см. раздел 5.1.7 в т. 1).
Таким образом, получаем
= 2 <01 T {[/„ (x), * (л,)] б (Xе - x?) ф (г/г) + Ф (x,) [/0 (x), if fe,)] X
¦(уг)...ЛРрBр)|
(=
+ 2 <0|Гф(х,).. .^(г/„) Ао, (zj. . .[уо(х), ЛРу (Z/.)]6(x«-2«)...
...ЛРяB/()|0>. (8.75)
(Здесь угловая скобка над каким-либо членом означает, что этот
член опускается.) Член, содержащий dpjp, исчез, в то время как
появление остальных членов обусловлено зависимостью от х°, со-
содержащейся неявно в Т-произведении. Обратимся теперь к кано-
каноническим коммутационным соотношениям:
[/„ (х), _ф (х')] б (х»—х'°) = —еф (х) б4 (х—х'),
[/«W, Ф(х')]б(г9-д;"')=еф(х)б*(х—х'), (8.76)
[/.(х), 4р(х')]в(хв-х'«) = 0,
которые выражают тот факт, что if, if и /1 рождают кванты
электрического заряда Q = J/0 (х, f) d8x, равные соответственно
ПЕРЕНОРМИРОВКА 51
— е, е и нулю. В противоположность явному виду тока, который
вытекает из минимального взаимодействия, данные соотношения
или по крайней мере их интегральные версии играют ключевую
роль для сохранения заряда. Тождество Уорда—Такахаси (8.75)
принимает вид
<01 Г/р (х) ф (Xl) ф 0/,)., . АРр (гр) 10> =
п
^^{^(Х-у1)-6Цх-х1)] (8.77)
Изучим далее следующие случаи:
л=1, р = 0 собственная энергия и вершина,
п=0, р=1 поляризация вакуума,
п=0, р = 3 фотон-фогонное рассеяние
Заметим, что соотношение (8.77) справедливо также для связных
частей функций Грина. Последующее наше рассмотрение будет
формальным, поскольку мы не учитываем ультрафиолетовые рас-
расходимости. В разд. 8.4.2, в котором мы введем регуляризацию,
сохраняющую тождества, будет показано, что такой подход яв-
является справедливым.
РИС. 8.14. Поляризация вакуума в квантовой электродинамике.
1. Пусть Gpo — полный фотонный пропагатор, a G^— свободный
фотонный пропагатор (рис. 8.14):
Gpo (х) = Gi°J (x)-i $ dV Ф (x-xr) <01 Tja. {x') Ao @) 10>. (8.78)
Из (8.77) следует, что
dSGpoto = dgGw(*)- (8-79)
В импульсном пространстве это соотношение является условием
поперечности амплитуды поляризации вакуума:
(?) = 0, (8.80)
Ф) = — I (gpok* — kpka) © (к2),
т. е. обобщением результата, выраженного формулой G.6) (см.
т. 1 настоящей книги).
52 ГЛАВА 8
Действительно, в импульсном пространстве соотношение (8.79) записывается
в виде
kPGpa (k) =
где Ма=цаД или, после умножения на Gap' = — iTop',
feP= 2/ь2_ум2П'ТГ°р^' (8.81)
Если записать Г0р в следующей параметрической форме:
ГсР (k) = — [gpOk2 — kpka (I —Я)]+§роЦ2+юрс (ft) =
то из тождества (8.81) следует, что
Иными словами, радиационные поправки не затрагивают В (k2), а величина
поляризации вакуума ща является поперечной.
РИС. 8.15. Вершинная функция и ее разложение на сильносвязкую вер-
вершину, одетую полными пропагаторами.
2. Соотношение между функцией собственной энергии электрона
и вершинной функцией получается из рассмотрения полной (не
обязательно сильносвязной, но обязательно связной) вершинной
функции f°p(p',p), определяемой в виде (рис. 8.15)
= ^ d*xd% d*yj ес<"'-ь-р-Уг-ч-*) <01TAQ (x) if (xj if (уг) \ 0/ =
= — ЮРУ (q) \&хй% &ух ё (p'-xt-p-y.-<i-x) х
X <0 | Tf (х) ф (Xl) $(j/J 10>. (8.83)
В терминах вершинной функции Ар(р', р), которая нам уже
встречалась в G.46) (см. т. 1 настоящей книги), [Лр01(/?', р) = ур],
и полного электронного пропагатора iS(p)[SW(p) = (j3i—га)"] мы
ПЕРЕНОРМИРОВКА S3
имеем (ср. с рис. 8.15)
П (/Л Р) = Gpp< (q) [IS (р') Лр' (/>', р) iS (р)]. (8.84)
Сворачивая соотношение (8.83) с qp и используя соотношения (8.84)
и (8.79), получаем '
eBny6*(p'-p-q)qPG[p°a](q)S(p')A°(p',p)S(p) =
= —qvG^J (q) J d*xd*x1 d*y, ё<*>'•¦*.-*¦*.-»•*> <01 Tf (x) ^ (x^(yj \ 0>.
(8.85)
Поскольку величина <7pGp?] (q) пропорциональна «7°, имеем
eBny&*(p'-p-q)S(p')q»Ap(p', p)S(p) =
= i S d^d^d4^ е'(р'-х'-р-У1-4* дрх <01 Tjp (x) \|? (хг) ^ (г/х)| 0>.
Мы можем теперь использовать общее тождество (8.77) при
п— 1, р=€:
е Bл)* б4 (p'-p-q) S (p1) cfA, (p't p) S (р) =
= ie \ d*xd% d4yt е'^'-^-р-л-?-*) <01 Ту (Xl) $ (г/,)] 0> х
Следовательно,
S(p')qf>Ap(p', p)S(p) = S(p)-S(p'), (8.86)
]• (8-87)
Дифференцирование по р'р при <? = 0 дает
ЛР(р, p)=±.S-1(p), (8.88)
что согласуется с G.476).
3. Наконец, тождество Уорда для амплитуды фотон-фотонного
рассеяния позволяет нам отделить в виде множителей четыре
степени внешних импульсов и, следовательно, уменьшить степень
расходимости. Из (8.77) при п — 0, р = 3 получаем соотношение
для четырехфотонной функции Грина:
tf1 rPlP2p3p4 (К, К, К К) = о, kt+k% + k,+*4=о,
и аналогичные условия поперечности по отношению к &2т k9, kt.
Отсюда следует, что
I PiP*Pap4 (^1> ^2> ^3' ^4^ = «1 I !, ap1pspsp4 («j^. «2> ^3> ^«)»
54
ГЛАВА 8
здесь Fj антисимметрична по первой паре индексов a, pv Эта
факторизация импульсов фотона может быть продолжена для
k2, k3, k4 без введения сингулярностей. Мы придем к четырех-
четырехточечной функции, условная степень расходимости которой
равна не нулю, а минус четырем.
Остается показать, что эти тождества не нарушаются опера-
операциями регуляризации и перенормировки.
8.4.2. Регуляризация Паули — Вилларса
во всех порядках
Будем иметь здесь дело с традиционной регуляризацией Паули —
Вилларса, а не с размерной регуляризацией. Последняя исполь-
используется при вычислениях в двухпетлевом приближении в разд 8.4 4.
Напомним, что метод Паули — Вилларса сводится к независимой
регуляризации фермионных петель и фотонных пропагаторов.
Фотонный пропагатор заменяется стандартным путем суперпозицией
свободных пропагаторов Однако фермионные петли трактуются
РИС. 8.16. Фермионная петля.
как целое, каждая представляет собой теперь сумму вкладов,
соответствующих фермионам с различными массами, минимальным
образом связанных с электромагнитным током (рис. 8.16). Соот-
Соответствующая амплитуда записывается в виде
s
/ -2 С J (§* SP (,-?.+* Тм. ^i-A
причем Со=1, М0 = т, a qt, ..., qin—импульсы, входящие в
петлю. Избавляясь в знаменателях от у-матриц, вычисляя след и
разлагая числители и знаменатели по степеням величины М\,
получаем
?5 ' J
P-qt,
p-q{,
<8'90)
здесь Pk и Qk—полиномы от р степени, меньшей или равной Ik.
Для больших \р\ коэффициент при Mf ведет себя как |р|~2п~2*.
Следовательно, если мы наложим два условия
s s
SCS = O и 2СД = 0, (8.91)
s=0 s=0
то подынтегральное выражение для любой фермионной петли будет
вести себя как \p\~s (мы отбрасываем вакуумные диаграммы;
поэтому п^1) и, значит, петля является условно сходящейся.
Такие условия можно реализовать посредством введения только
двух вспомогательных масс:
M* = ms + 2Aa,
М1 = т? + А\ W^/я2), (8.92)
где Лг—обрезание (которое в конечном счете стремится к беско-
бесконечности). Этот выбор таков, что
Вскоре мы выясним, почему требуется, чтобы Cj и С2 были це-
лыми Что касается фотонного пропагатора, то единственное вы-
вычитание
делает его достаточно быстро убывающим, чтобы все диаграммы
сходились. Подразумевается, что ц* -> оо при Лг->-оо. Все при-
приведенные выше рецепты следуют из регуляризованного лагран-
лагранжиана
[(дА-доА(>)(D +M2 + ц?)
+ 1 А
з
+ 2 U (И-еА - Ms) fs. (8.95)
5=0
После интегрирования по частям квадратичная по А часть при-
принимает вид
)[К (|*{)-/f (|л2)]-1
где дифференциальный оператор ХРо(ц2) определяется следующим
образом:
Кра (И2) = ?ро (? + ^)-дрд0 A -X).
При этом очевидно, что пропагатор поля А, т. е. оператор, обрат-
обратный по отношению к квадратичной форме, входящей в &л, имеет
вид i[K~l №) — К (M-i)lpti- С другой стороны, мы ввели в (8.95)
три вспомогательных поля (\р0 = \|>), взаимодействующие минималь-
минимальным образом с электромагнитным полем и наделенные массами
Mv М2^^М3, определяемыми соотношениями (8.92). Кроме того,
г|), рассматривается как обычное поле Ферми, в то время как ifa
и т|з3 квантуются согласно статистике Бозе! Такие странные пра-
правила, разумеется, формулируются для того, чтобы воспроизвести
рецепт (8.93) Вследствие вырождения, существующего между
полями г|з3 и \р3, и отсутствия знака минус в соответствующих им
замкнутых петлях мы имеем С2 = —2.
Мы достигли нашей цели. Теория регуляризована удовлетво-
удовлетворительным образом, поскольку в (8.95) J?pt,r является калибро-
вочно-инвариантным (с точностью до члена, отвечающего фотон-
фотонной массе, и поперечных членов, фиксирующих калибровку вд-А),
а тождества Уорда, рассмотренные в разд. 8.4.1, очевидно, удо-
удовлетворяются.
8.4.3. Перенормировка
Нам нужно теперь показать, что перенормировку можно выпол-
выполнить, не нарушая тождеств Уорда, при условии, что выбраны
подходящие условия нормировки. Потребуем, чтобы выполнялись
следующие условия:
IT {f) \^m - V {p)\f=m - 0, (8.96а)
Г%° (к)
—gwif + Wk0}, (8.96г)
ю*@) = 0 (8.96д)
Очевидно, эти условия выполняются в низшем порядке. Соотно-
Соотношения (8.966) и (8.96в) согласуются с тождеством (8.87), а (8 96г)
и (8.9бд) включают информацию, содержащуюся в (8.79) и (8.82).
Что касается условий (8.96а) и (8.966), то они определяют физи-
физическую массу электрона, поскольку ими гарантируется, что пол-
полный пропагатор 5 имеет полюс с вычетом, равным единице при
р — т. Аналогично условие (8.96в) дает физическое определение
ПЕРЕНОРМИРОВКА 57
заряда как связи между фермионом на массовой поверхности и
фотоном с.нулевым импульсом. Однако, как уже отмечено в гл. 7
(см. т. 1), условия (8.966), (8.96в) и (8.96д) не могут выпол-
выполняться, если масса фотона \х—>0. В самом деле, производная от
собственной энергии на массовой поверхности {д/др)'У!(р)\„_т и,
следовательно, вершинная функция подвержены инфракрасным
расходимостям, когда ^,2—>-0. Поэтому есла мы настаиваем на
переходе к пределу fx—>-0, то следует выбрать другие условия
нормировки. На всякий случай выберем массу \i2 малой, но конечной.
Доказательство того, что тождества Уорда сохраняются при
перенормировке, проводится по индукции. Мы предполагаем, что
они справедливы до данного порядка hL. Иными словами, мы опре-
определили в данном порядке голые величины Zx, Z2, Z3, пг0, \i% и Кй
таким образом, что лагранжиан
' 2
2
приводит к перенормированным функциям Грина, удовлетворяю-
удовлетворяющим соотношениям (8.96). Напомним, что
A0 = Z'J*A, if0 = Zi/fi|>t ео = -^тг. (8.98)
Кроме того, мы предполагаем, что в данном порядке тождества
Уорда означают, что
Z8n20 = fi2. Vo-b. Zt = Zt. (8.99)
В следующем порядке Ai+1 функции Грина пока расходятся.
Мы введем калибровочно-инвариантную регуляризацию, такую,
как в разд 8.4.2, чтобы регуляризовать теорию и вычислить функ-
функции Грина, используя jg^i, т е учитывая все контрчлены низ-
низших порядков. Структура лагранжиана J?iLi такова, что эти ре-
гуляризованные функции Г^г+11 удовлетворяют тождествам, вы-
выведенным в разд. 8.4.1. Используя эти тождества и условия HGp-
мировки (8.96), можно непосредственно убедиться в том, что новые
контрчлены, которые необходимо ввести в L + 1-м порядке, имеют
ту же структуру, что и контрчлены в более низких порядках
[собственно, вводить контрчлен вида (Л2J нет необходимости] и
ГЛАВА 8
что по-прежнему выполняются соотношения (8.99).
Например,
Накэнец, из соотношения (8.88) следует, что Z[L+1^ = Z\L+1^.
В перенормированной теории мы приходим в итоге к функциям,
связанным с голыми регуляризованными функциями соотношением
рда, р) (р|( р^ ^ p'nt pni q^ ^ ^^ шг }i) g( ^_
= lim zfZir^^ipl, ...,qp, ma, fi0, e0, l0, A). (8.100)
Эти перенормированные функции Грина удовлетворяют тожде-
тождествам Уорда как тривиальному следствию мультипликативного
характера перенормировок
Подчеркнем важную роль тождества Zx — Z% в перенормировке
заряда etl = eZJ1/2. Если с электромагнитным полем связано не-
несколько разновидностей заряженных частиц (электрон, мюон и
т. д ), то тождества Z\e' = Zf, Z\il' = Z(/l), ..., гарантируют уни-
универсальность перенормировки. Концепция универсальности заряда
имеет смысл только благодаря этому тождеству.
Правильнее было бы говорить, что отношение перенормированного заряда
к голому не зависит от типа заряженной частицы, поскольку в рамках этого
ограниченного рассмотрения не существует естественного объяснения кванто-
квантования заряда Ишерпрегация квантования заряда имеется в случае объеди-
объединенных моделей слабых и электромагнитных взаимодействий, где электро-
электромагнитная калибровочная инвариантность соответствует подгруппе более ши-
широкой простой группы инвариантности (см гл. 11)
В целом метод, описанный в данном разделе, предназначен для
того, чтобы показать, как симметрии связаны с тождествами
Уорда, и доказать их совместимость с перенормировкой. Мы вновь
вернемся к этому методу в дальнейшем при рассмотрении кираль-
ной симметрии, неабелевых калибровочных симметрии и т. д.
8.4.4. Поляризация вакуума
в двухпетлевом приближении
Вычисление амплитуды поляризации вакуума в двухпетлевом при-
приближении будет проведено для случая безмассовой евклидовой
квантовой электродинамики (fi = m = 0) с использованием размер-
размерной регуляризации.
Это вычисление поучительно во многих аспектах:
1) оно дает пример свойств, характерных для поправок высших порядков,
т. е. свойств, не проявляющихся в однопетлевом приближении^
59
2) демонстрирует действие размерной регуляризации в спинорном случае;
3) убеждает нас, что перенормировки можно провести даже в тех случаях,
когда имеются перекрывающиеся диаграммы;
4) иллюстрирует результаты, относящиеся к безмассовым теориям и асимпто-
асимптотическому поведению; можно также считать, что вычисление при нулевых
массах дает асимптотическое (при больших k) поведение амплитуды поля-
поляризации вакуума со (/г2) в массивной квантовой электродинамике;
5) служит проверкой общих результатов, выведенных в предыдущих разделах,
а именно условия поперечности тензора поляризации вакуума;
6) выявляет интересное свойство поляризации вакуума, а именно неожидан-
неожиданные сокращения, происходящие при больших импульсах; последнее свой-
свойство мы рассмотрим подробно в конце вычислений.
Приведем сначала ряд полезных формул, требующихся при работе с ев-
евклидовой версией теории при больших импульсах. Как и в выражениях (8.11),
антиэрмитовы матрицы удовлетворяют соотношениям
{V тЛ = -2б^, (8.101)
причем считается, что выполнено условие [ср с (8.116)]
Sp/ = 4. (8.102)
Все стандартные тождества для сверток и следов у-мэтриц можно вывести
отсюда (d—размерность евклидова пространс1ва):
VpVp=—d>
, (8.103)
Sp 7 Vv Yo 70 7T 7 — —4 Fуд,йро Stu — пер естановки).
В евклидовом пространстве действие в безмассовой квантовой электродинамике
имеет вид
(8.104)
В калибровке Фейнмана, Я=1, правила для теории возмущений, отвечающие
экспоненте е~ в, записываются следующим образом;
фермионный пропагатор •— т ¦¦'• (~^")в ~~
ее р а
фотонный пропагатор > , ¦ »¦ • -• -iti,
вершине Лъ e(Vn)fia.
/ 9
50 ГЛАВА 8
и, разумеется, каждой фермионной петле приписывается знак минус. Как уже
отмечалось в разд (8 12), если размерность d ±- 4, то заряд е приобретает
размерность D~rf)/2. Если ц —произвольная масса, то можно записать ра-
равенство
е=|л<1-'"/2е', (8.105)
где е'—безразмерная величина. Этим выражением мы будем пользоваться
в любом случае, когда производится разложение в ряд вблизи а! = 4, чтобы
правильно воспроизвести свойства однородности. Таким образом, в безмассо-
безмассовую теорию неизбежно прокрадывается массовый масштаб
Сначала в рамках этого формализма вычислим в однопетлевом прибли-
приближении поляризацию вакуума, фермионную собственно-энергетическую часть
и вершинную функцию
Собствеино-энергешческая частьводнопетлевом приближении (см. рис. 7.5
в т. 1 настоящей книги) имеет вид
Bя)"
При интегрировании мы использовали соотношения (8.9), в которых поло-
положили mf = ml = 0, и определение В-функции Эйлера:
- -' -TJx+yJ-
U
Определяя величину е = 4— d, приходим к выражению
D-4W-4K*
а Г 2
~ 3JT [7~In
Г 2 № 1
[7~In fl3-+const+0(e)J (^v*1-*,.*»), (8.106)
которое согласуется с G.9), если отождествить 2/е с In (A2/m2). С учетом опре-
определений, данных в гл. 6 (см т. 1 настоящей книги), евклидова сильносвяз-
сильносвязная двухточечная функция равна по величине и противоположна по знаку
пропагатору в минус первой степени, Следовательно, после введения контр-
контрчлена
члена
-.)¦¦¦-?4
перенормированная амплитуда поляризации вакуума принимает в четырех из-
измерениях вид
k* \ (8.107)
—5-f const j .
ПЕРЕНОРМИРОВКА 61
Здесь постоянная представляет собой малоинтересную комбинацию величин
л, у (константы Эйлера) и т. д. Подчеркнем, что нами использовались нор-
нормировочные условия нового типа. Вместо того чтобы фиксировать значение
со(?2) в некоторой точке, мы решили вычесть из (8.106) только полюсный
член Будем придерживаться этого удобного рецепта, который называют мини-
минимальной перенормировкой. В рамках этой процедуры автоматически выпол-
выполняются тождества Уорда. Остальные две диаграммы на рис. 77 и 7.10 (гм.
т. 1 настоящей книги) вычисляются тем же способом. Собственная энергия
фермиона имеет вид
J Bn)
и —
/ 2 \
и — , a ^ I —Ь Конечные члены 1 . (8.108)
Это выражение требует перенормировки волновой функции, равной
7- (8ЛО9>
Что касается вершинной функции, то она равна
Г (о а1 ,*f *k
11 J Bn)d
e3 2
. ,„ V + Конечные члены.
4яJ в V
Отсюда мы получаем следующий контрчлен:
Мы убеждаемся, что в данном порядке выполнено тождество Zi = Z2 и что
Zi, Z2, Z3—те же величины, что и в массивной псевдоевклидовой теории,
если отождествить 2/в = In (Л2//п2) Ясно, что в этом вычислении не было
необходимости!
Обратимся теперь к двухпетлевым диаграммам, представленным на
рис 8 17, йь а.г, б На рис. 8.17 изображены также вставки контрчленов по-
порядка п. Две диаграммы п\ и й2, очевидно, дают одинаковые вклады. Выра-
Выразим сначала величину Гра = Г(^(}' + Г^"> через амплитуду собственной энергии
фермиона ГB) (р), определяемую выражением (8 108):
a; U 2
62
ГЛАВА 8
р+к
а,
p*k*-q
О О
РИС 8.17. Двухпетлевые вклады в поляризацию вакуума. Показаны также
вклады контрчленов порядка %.
Чтобы вычислить интеграл по р, воспользуемся тождеством
00
1 __ I Г
(puy-d/i ~ ГC —d/2) J
о
и параметрическим представлением Это дает
(8.111)
4
После простых алгебраических выкладок получаем
ги) /w 8e*(d-2) В (d/2- I, d/2) В (d/2, d-2){k*)?-*
X
~rf)]. (8.112)
Разложим это выражение в окрестности d=4: Г D — d) = l/e —
ГC—d) =—1/s + (y—1) и т. д. Мы находим
; (8.113)
ПЕРЕНОРМИРОВКА 63
здесь опущены постоянные члены. Нетрудно гакже вычисли !ь вклад
контр членов (рис. 8.17, а[, ог):
Необходимо сделать следующие три замечания. Во-первых, вклад контрчле-
контрчленов обладает свойством поисречности—очевидный факт, поскольку это, но
существу, однопетлевые диаграммы, вычисленные ранее Величины Гр?,' этим
свойством не обладают. Условию поперечности удовлетворяет лишь сумма
всех вкладов, изображенных на рис 8 17 Во-вгорых, в сумме Г1Й) + Г( '' рас-
расходящиеся члены не сокращаются, что не является неожиданностью, поскольку
для этой диаграммы еще требуется произвести общее вычитание На первый
взгляд кажется удивительным, что доминирующие члены 1/е2 (или In2 Л2)
не сокращаются, поскольку внутренние расходимости были вычтены с по-
помощью контрчленов. Но перенормированная собственно-энергетическая часть
электрона ведет себя при больших р2 как 1п р2; поэтому ее вставка в условно
расходящуюся диаграмму приводит к расходимости типа In3 Л2, т. е,
л
j_M2 If Pa~ln2 Л2.
Коэффициент при члене In (k2 ji2) зависит от условия нормировки для диа-
диаграммы собственной энергии Как видно из выражения (8 114), изменение
контрчлена (Z2—l)f на конечную величину приводит к изменению члена
In (?2/,u2) (а также несущественною постоянного члена). Однако в полном вы-
выражении для Гор эга зависимость отсутствует. Эго иллюстрирует гот факт,
что ренормгрупповому уравнению (8.59) удовлетворяют не отдельные диа-
диаграммы, а лишь функция Грина в данном порядке.
Мы переходим теперь к гораздо более громоздким вычислениям для диа-
диаграмм, изображенных на рис. 8.17, 6. В обозначениях, принятых на этом ри-
рисунке, вммитуда записывается в виде
Грс (А) = -е*\ ч , Sp (YvYaYn W«7PWn) /<*Pnv (*. Я). (8-
J Bл)V
f ddp
J Bя)
где .„wv-j {2n)d
Сначала проводится интегрирование по р. Введем параметры Фейнмана аь ...
..., а4 для линий, которым отвечают соответственно импульсы р, p-\-q,
p-\-q-\-k, p-\-k. Мы получаем выражения
ос
о
С ddp
¦<aBuv= l ~г Рв (P~r"a (/'~r~«-f"'7)n (Р ~\~ 4)vX. (Я 1 tfi\
J Bя)" '
Хехр|
64 ГЛАВА 8
где использованы сокращенные обозначения а2з=а2 + <*з и т- Д-> а 2 = cti -f-
-f- a2 + «s+a4- Удобно сместить переменную интегрирования следующим обра-
образом:
и переписать числитель в (8.116) в виде
Pi
Таким образом, нам нужно вычислить интегралы вида
тогда как интегралы, включающие нечетные степени величины р', обра-
обращаются в нуль. Нам понадобятся также следы уштриц. Из (8.103) находим
Sp (YvYaYnYVYaYpYpVb) =
= —4 (d—2) [6ap
— 4F — d) [fi M p^ цЭЭ|р
+ Йур(б<;рбда — баабцр)]. (8.118)
Первая квадратная скобка здесь симметрична, а вторая антисимметрична отно-
относительно зшены а на р*. Утомительные, но несложные алгебраические вы-
выкладки ДсЮТ
exp
X
^-kpka) Q-(Q-q)-Fpxk-Q~QpkX)X
«2—d) B?p<7a-Ma)+(d- 2) X
F-d) 4 -
4(d-2)
2 422—ci-
222 422
(8.119)
65
Мы воспользовались здесь симметрией между р и о. Происхождение и смысл
каждого члена очевидны.
Теперь следует провести интегрирование по q. Запишем
(8.120)
о
Поскольку подынтегральное выражение содержит экспоненту
ехр 22-21 !?_М LJ 2_J _
умноженную на степени величины <?, произведем новый сдвир переменной
интегрирования:
q^q'—ak, (8.121)
где ct ^ ~~,—i—гг^^~*~^^ #
Соответственно Q запишется в виде
Q = a2SG' -(- гк, (8.122)
причем
Обозначим коэффициент при <72 в показателе экспоненты через
^ = -г у . (8.
Следовательно, искомая амплитуда ГЭо (k) имеет вид
ю 1
r^(fe)=-e*fd«i.,.d«4(>^-/. 1ап^~-Х
J
о
Хехр
2ов«и
Г-
L
Для того чтобы вычислить следующие выражения, требуется проявить лишь
терпение. Мы имеем
Г g
+бро [(*«>* г A - г) (а+г) A -а-г)+
-о„)
2(«i— «») («4 — «а)
?| ;
66 ГЛАВА 8
г lj?q_ e-v<l"B1 = {2-d)Ba*-\)kpko-
J
J Bя)" • 2y
Следовательно,
s A—«гз) (kpka—fe28p<j),
Г
4 F-<Q (d-2)
1 00
UX' Г d«l'--<i«4«28«u(I
J
л exp
e
Г «12«2а«34«41—-У' («1«3 — «2«4J b2] _
« —,
[ ia23a14 J
-d) (d-2) (AMpo -Ap*o) (fe2)d-4 Г D-d)x
(
l 1
'l (>(tal---d«46(l-«l-«2-«3-«4)
Произведем следующую замену переменных;
аг = р«, os-(J-P)e, oc-a-ipXl-D), «4 = P(l-«)> «i4 = P, вм-1 -Р,
[a12a2Sa34a4i—
i ill
-a1—аг—as—a4)F(a,)= J dpp(l — P) J du J */?(«;).
0 0 0
Нетрудно проверить, что последний интеграл сходится при d=4. Следовательно,
пренебрегая, как я выше, постоянными членами в со (/г2), получаем
(j/
Аналогично получаем вклад, соответствующий С$
Г(С,)._ **(¦*--2)
0 0
— «1 —«2 — «3 — «4) v
J J
0 0
X [а12а2заз4а41—x' (aia3—
где интеграл по Р также сходится при d=4. Следовательно,
1 ill
О
0 0 0
В противоположность этому вклады от Aj и В± имеют внутренние расходимо-
расходимости при р = 0 или Р=1. Например, члены, пропорциональные kpko, можно
записать в виде
1 1 1
Dя) i i i
44>ka [dx'x"
i
—2JГD—d)(tf)*-44>ka [dx'x%-* [du [dvx
i i i
1
X TdP [P A-P)]"-** ДО (l-u)+(l_p) (l-o)] X
0
« + A -P) ol—**P A -P) <а-оJ}*-4Х
x
Однако требуемое разложение в окрестности d = 4 легко получается, если
заметить, что для любой функции F ф), регулярной в точках 0 и 1, выпол-
выполняется соотношение
1 1
о
В итоге получаем
-р-('-т)+-]- (8Л27)
3*
Таким образом, полный вклад, соответствующий диаграмме на рис. 8.17, б,
запишется в виде
(8Л28)
Нам остается еще вычислить вклад вершинных контрчленов, изображенных
на рис 8.17, б\, бг. Однако благодаря тождеству Уорда они в точности сокра-
сокращаются с вкладом собственно-энергетических контрчленов {а[, а'г). В самом
деле, последние пропорциональны (Zip1 — i)'-1-' = —(Z2— 1)'г\ тогда как первые
пропорциональны (Z\ — I)'1-'. Это типичное явление для квантовой электроди-
электродинамики.
Складывая выражения (8.Ц$) и (8.128), окончательно полу-
получаем следующий результат:
„2 / 1 1 ьа \ (8.129)
я2 \ 4е ' 4 ц2 ¦ }
Мы видим, что он обладает всеми требуемыми свойствами:
1. Расходящиеся члены вида A/в) In (A3/fx2), которые нельзя было
бы исключить с помощью локальных контрчленов, сократились.
2. Благодаря тождеству Уорда тензор поляризации вакуума, как
и ожидалось, является поперечным. Это справедливо как для
расходящейся, так и для конечной части. Следовательно, пер-
первую можно перенормировать с помощью контрчлена порядка k2,
удовлетворяющего условию поперечности. Для больших евкли-
евклидовых № с точностью до аа перенормированная функция
сод(Аа) дается выражением
^(А2)--^-1п-^~^1п-^ + 0(а«). (8.130)
Читатель, если он отважится, может проверить, что конечные
члены, которыми мы пренебрегли, также поперечны или (это
даже предпочтительнее) что полное выражение для ю (fe2) не
зависит от калибровочного параметра X.
3. К счастью, выражение (8.130) совпадает с результатами, полу-
полученными другими авторами. Мы заключаем, что в сумме Г(й) +
_1_ р(ь> отсутствует зависимость от условия нормировки соб-
собственно-энергетической части. Очевидно, что объясняется тем,
что два контрчлена действительно сокращают друг друга.
ПЕРЕНОРМИРОВКА 69
4. Неожиданно мы обнаруживаем, что теперь отсутствуют расхо-
расходящиеся члены с 1/е2 [которые в общепринятой регуляризации
записываются как In2 (Л2/|д. )] и, соответственно, In2 (k2/\x2). Это
общее свойство поляризации вакуума, справедливое во всех
порядках, если мы ограничиваемся диаграммами с одной фер-
мионной петлей. Действительно, калибровочный параметр X
можно последовательно в каждом порядке фиксировать таким
образом, чтобы выполнялись равенства Z1 = Z2=l. Следова-
Следовательно, выбранная подсистема диаграмм не содержит каких-либо
внутренних расходимостеи и ее вклад в калибровочно-инвариант-
ную величину со (б2) ведет себя как первая степень величины
1п(Л2//?2).
Исходя из вышесказанного, Джонсон, Вилли и Бейкер, а также
Адлер высказали интересные предположения. Возможно ли, чтобы
коэффициент / (а) при логарифмическом члене обращался в нуль
для ненулевого значения а? Поскольку та же функция умножается
на In Л2 (или на 1/е), это, по-видимому, указывало бы на то, что,
переупорядочивая ряды теории возмущений, можно исключить
ультрафиолетовые расходимости при некоторых подходящих зна-
значениях голых констант связи.
ПРИМЕЧАНИЯ
7
Полное описание перенормировок в электродинамике впервые дал Дайсон
(см. Dyson F. У.—Phys Rev, 1949, vol. 75 p. 1736) [Имеется перевод веб.
статей; Новейшее развитие квантовой электродинамики.—М.: ИЛ, 1954, с. 205.J.
Более раннюю историю этого вопроса можно проследить в книге: Schwinger ./.
Quantum Electrodynamics.— New York: Dower, 1958. Значительный вклад
внесли Н. Н. Боголюбов и О. С. Парасюк (см.: Ada Math , 1958, vol. 97,
p. 227). Подробное изложение теории перенормировок содержится также в учеб-
учебнике: Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных
полей.— М.: Наука, 1976. Вопрос о сходимости перенормированных интегралов
Фейнмана детально изложен в книге: Нгрр К- Theorie de la Renormalisation.—
Berlin: Springer-Verlag, 1969. [Имеется перевод. Хепп К,. Теория перенормиро-
перенормировок.— М.: Наука, 1974.]; см. также: Нгрр К. Commun Math Phys., 1966,
vol 2, p. 301. В начале 70-х гг. Циммерман дал исчерпывающее изложение
теории перенормировок, включая метод вычитания подынтегральных выражений
(см.: Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory, Brandeis
Summer Institute A970)/ed. S Deser, M. Grisaru, H. Pendlton.—MIT Press, 1970;
см. также: Zimmerman W.— Ann. of Phys. (N. Y ), 1973, vol. 77, p. 536 Эле-
Элегантная, хотя и несколько абстрактная, работа Эпштейна и Глазера (см.:
Epstein H., Glaser V.— Annales de L'Institute Poincare, 1973, vol. XIX, p. 211)
в этот вопрос внесла окончательную ясность, показав, чго процедура перенор-
перенормировок сохраняет все свойства локальной теории поля.
Каждая из многочисленных процедур перенормировки имеет свои достоин-
достоинства. Метод Паули — Вилларса освещен в литературе, приведенной в гл. 7
(см. т. 1 настоящей книги). Размерная регуляризация обсуждается в статье:
VHooft G., Veltman M.~ Nucl. Phys., ser. В., 1972, vol. 44, p. 189; см. также:
Speer E. R. В кн: Renormalization Theory (Erice Summer School 1975)/ed.
G Velo, A. S. Wightman.— Dordrecht, Holland, and Boston Mass.: D. Reidel
Publishing Company, 1976.
70 ГЛАВА 8
Сходимость перенормированных интегралов изучали Вайнберг (см.: Weirr
berg S.— Phys. Rev., I960, vol. 118, p. 838) и Хепп (см.: Hepp К.— Cornmun-
Math Phys., !966, vol. 2, p. 301). Некоторые аспекты данной проблемы, отно-
сящиеся к параметрическому представлению, изложены в следующих работах:
Appelquist Г.—Ann of Phys. (N. Y.), 1969, vol 54, p. 27; Bergere M.,
Zuber J. В.— Commun. Math. Phys., 1974, vol 35, p. 113; Bergere M.,
Lam Y. M. P.—Commun. Math. Phys., 1974, vol. 39, p. 1.
Безмассовые теории рассмотрены в работе. Symanzik К.— Commun. Math.
Phys., 1973, vol. 34, p. 7. Сокращение инфракрасных расходимостей см. в ра-
работе: Kinoskita Т.— J Math, Phys., 1962, vol 3, p. 650; Lee Т. D., Nauen-
berg M.— Phys. Rev., 1964, ser. B, vol. 133, p. 1549; Kinoshita Т., Ukawa A.
Phys. Rev., 1976, ser. D, vol. 13, p. 1573. Принятый нами эвристический способ
изложения заимствован из работы: Poggio E. С, Quinn H R.— Phys. Rev.,
1976, ser. D, vol. 14 p. 578.
Вычисление поляризации вакуума в порядке а2 выполнено в работе:
Jost R., Luttinger J. Al.— Helv. Phys. Acta, 1950, vol. 23, p. 201. См. также
учебник: Bjurken J. D., Drell S. D. Rclalivistic Quantum Fields.— New York:
McGraw Hill, 1965. [Имеется перевод: Бьеркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Реляти-
Релятивистская квантовая теория. Т. 2. Релятивистские квантовые поля —М.: Наука,
1978.]. Возможность существования конечной квантовой электродинамики рас-
рассматривается в статьях: Johnson K-, Willey R., Baker M.— Phys. Rev , 1967,
vol. 163, p. 1699; Adler S. L— Phys. Rev, ser D, 1972, vol. 5, p. 3021.
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Обзор современного состояния теории перенормировок дан в книге: Завьялов О. И.
Перенормированные диаграммы Фейнмана.— М.: Паука, 1979. Здесь имеются
подробные «Литературные указания», в которых можно найти дальнейшие
ссылки, а также проследить историю развития этого важного раздела кванто-
квантовой теории поля.
Общее решение рекуррентных соотношений (8.45) впервые приведено в ра-
работе: Завьялов О. И., Степанов Б. М.— ЯФ, 1965, т. 1, с. 922.
Кроме рассмотренных автором регуляризации Паули — Вилларса и размер-
размерной регуляризации укажем на аналитическую регуляризацию, предложенную
•Спиром:рее/- Е. /?.—J. Math. Phys., 1968, vol. 9, p. 1404.
Глава 9
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Формализм континуального интегрирования, развитый Фейнманом
и Кацем, позволяет рассматривать с единой точки зрения кван-
квантовую механику, теорию поля и модели статистической механики.
Мы вводим этот формализм сначала для систем с конечным числом
степеней свободы, затем обобщаем его на фермионные системы и
на системы с бесконечным числом степеней свободы. Метод пере-
перевала выявляет тесную связь данного формализма с квантовой
механикой и позволяет заново воспроизвести результаты обычной
теории возмущений. Среди различных приложений мы рассматри-
рассматриваем здесь понятие эффективного действия, квантование систем со
связями и вычисление высших порядков теории возмущений.
9.1. КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Впервые идея о представлении квантовомеханических амплитуд
через интегралы по путям была предложена в 1933 г. Дираком.
Эта идея получила дальнейшее развитие в 40-х гг. в блестящей
работе Фейнмана. Швингер разработал эквивалентный подход,
основанный на функциональном дифференцировании. В начале
к этим работам относились с некоторым предубеждением, поскольку
их практическое применение требовало преодоления серьезных
математических трудностей. Однако в 70-е гг. было показано,
что данный метод является наиболее удобным при решении задач,
возникающих в современной теории поля, и, следовательно, заслу-
заслуживает детального изучения.
9.1.1. Роль классического действия
в квантовой механике
Вернемся к квантовой механике, чтобы выяснить, какую роль
в теории играет лагранжев формализм по сравнению с гамильто-
новым. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью сво-
свободы, описываемую парой сопряженных операторов Q и Р, удов-
удовлетворяющих коммутационному соотношению
[Q, Р] = ». (9.1)
Для обозначения операторов используем заглавные буквы,
чтобы отличать их от соответствующих классических с-числовых
величин. Пусть гамильтониан имеет вид
(9.2)
Обозначим состояния системы через |а>|, |Ь>, .... Наша цель
найти выражение для амплитуды перехода
<Ь (*') | а (ф = <Ь | е~'н »'-« | а>. (9.3)
В обычном представлении коммутационных соотношений (9.1)
можно ввести квадратично-интегрируемые волновые функции
и попытаться решить уравнение Шредингера в частных производ-
производных, вытекающее из (9.2) Несобственные состояния \q> и \р>
здесь таковы, что выполняются соотношения
Q\q> = q\q>, Р\р> = р\р>, (9.4)
= 8 (p'-p),
Возвращаясь к выражению для амплитуд перехода, исполь-
используем принцип суперпозиции и подставим в это выражение пол-
полную систему состояний, отвечающих промежуточному моменту
времени. Это аналогично использованию принципа Гюйгенса
в оптике. Разобьем эволюцию во времени на бесконечно малые
этапы t—*t-\-At и вычислим сначала величину
Граничное условие требует, чтобы при At—>-0 эта амплитуда
сводилась к б (</2 — q^. Для малых At естественно ожидать, что,
если цг заметно отличается от qv матричный элемент пренебре-
пренебрежимо мал либо вследствие убывания его модуля, либо вследст-
вследствие быстрых осцилляции его фачы. Это наводит на мысль, что
вместо оператора потенциала V (Q) можно подставить его значе-
значение V (qt) [или V (q2)], что дает приближение следующего вида:
g-i AlH ^, g-i At [P*lim)e-i AtV (Q)
Члены, которыми мы пренебрегли, содержат коммутаторы
[Р2/2т, V(Q)], умноженные на высшие степени величины А^. Ими
можно пренебречь, если V медленно меняется в окрестности qt
и ц% Это означает, что на коротком промежутке Д^ мы не учи-
учитываем переход потенциальной энергии в кинетическую. Для
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 73
матричного элемента получаем оценку
<q2 (t + At)|<7, (*)> » <q2\e~l A"
(9.5)
Мы видим, что эта процедура является последовательной. При
1<?2—4i |^>(^ Atlmfi* амплитуда подавляется сильными осцилля-
циями таким образом, что поправочные члены оказываются исче-
зающе малыми при условии, что |K'/V| (h At/mL'^, 1, где V—
производная потенциала. Это можно использовать для получения
более симметричной формы записи, например заменяя V (qt) на
2[V V]
)[(qi) (q2)]
Основываясь на выражении (9.5), можно рассуждать следую-
следующим образом. Величина (q2—q^/At является аналогом скорости
q, а выражение в показателе экспоненты сводится к i At L (q, q),
где L (q, q)—функция Лагранжа:
L(q/q) = ~mq*-V(q). (9.6)
Более точно, пусть q-(t')—траектория, проходящая от qx до q$
в течение интервала времени (/, t-\-Al) согласно классической
механике, т. е. в соответствии с принципом наименьшего действия.
Как мы только что видели, при Д?—>-0 ядро дает заметный вклад
только для значений q2, лежащих вблизи qx, в области порядка
(А(/т)''к Таким образом, фаза амплитуды перехода эквивалентна
действию
/B,1)= S dt'L(q,q), (9.7)
<ti (t)
вычисленному вдоль классической траектории, проходящей от
точки (дг, t) до (<72, t-\-At). Эта траектория почти совпадает
с прямолинейным путем
Следовательно, можно написать
1B, l)«!-fc^_ J ,и'У[д(П]*%&=3?-ЫУЫ (9.8)
(9.9)
В пределе At—*Q эта величина стремится к б(^а—qj.
74
ГЛАВА 9
Для конечного промежутка времени в силу принципа супер-
суперпозиции амплитуда запишется в виде
ге-1
<Я/, h I ft. l Г П
(9.10)
п = 1 ге-1
lira Г П dqp П <<lp+i> 'я+i I ft
I ft, ',> =
(9.11)
Фактически оказывается, что исходная фаза является суммой
вида
/W(n, л—l) + /(/i —I, n-2)+... +/A,0),
т. е. действие вычисляется вдоль ломаной линии, показанной на
рис. 9.1. Устремляя интервал At = (tf—tj/n к нулю, можно полу-
получить действие вдоль произвольной траектории. Определить точно
Чп-1 I
I
I
1
I
I
I
I
if
РИС. 9.1. Ломаный путь интегрирования.
набор функций q (t), которые дают существенный вклад в этом
пределе, является нетривиальной математической задачей В дан-
данном случае достаточно гладкие потенциалы V (q) представляют
собой так называемые функции Липшица порядка 1/2 Это озна-
означает, что величина \q(t') — q(t)\ ограничена постоянной, умно-
умноженной на \t' — /1'/*. Читателя, интересующегося методическими
подробностями, мы отсылаем к соответствующей литературе Те
же, кого интересуют физические приложения, могут без опасений
продвигаться вперед и извлечь удивительно много информации
из формул тшц (9.11), причем нет необходимости более подробно
анализировать предельный переход п—>-оо.
^ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 73
Мы будем использовать краткое обозначение
<Я/> h14t. *t>- S ® to) exP r S л L to. я) ¦ <9-12)
«Мера» на функциональном пространстве траекторий q(t)
обозначается через <3) (q), она включает произведение нормиро-
нормировочных множителей (те~1Л^/2л Дг)'/г. а концы траектории q (t)
фиксируются граничными условиями q (ti) = ql, q (tf) = qf Сущест-
Существенное свойство континуальных интегралов отражает принцип
суперпозиции. Оно состоит в том, что, если t принадлежит шпер-
валу th tf, должно выполняться равенство
S> (q) е"<>- '> = J dq (t) J &> (q) <*'<'• <>$ S> (q) e?1"- lK (9.1-3)
Если в этих формулах восстановить %, то подынтегральное
выражение примет вид eG/(i. Переход к классическому пределу
% --* 0 включает, естественно, вычисление интеграла по путям
методом стационарной фазы. При этом классические траектории
соответствуют экстремуму действия. Такая формулировка кван-
квантовой механики приводит, следовательно, непосредственным обра-
образом к динамическому принципу классической механики как пре-
предельному случаю. Если классическая траектория, соединяющая
<7; с <7/i является единственной, то естественно ожидать, что
е точностью до нормировочного множителя
Таким образом, квантовомеханическое описание можно интерпре-
интерпретировать как учет флуктуации около этой классической траектории.
Математические тонкости, связанные с рассматриваемым формализмом, проис-
проистекают из того факта, что „мера" S) {q} является комплексной, а подынте-
подынтегральное выражение представляет собой осциллирующую функцию. Это наводит
на мысль, что евклидова теория, получаемая с помощью поворота Вика к мни-
мнимому времени, может оказаться объектом, изучение которого с математической
точки зрения более просто. В евклидову теорию входят матричные элементы
onepaTopd e~Ht, что соответствует переходу от уравнения Шредингера к урав-
уравнению теплопроводности или диффузии. Фактически эта пробтема была рас-
рассмотрена Винером, который впервые ввел континуальные интегралы в мате-
математике. В итоге мы получили ответ на вопрос, сформулированный в названии
данного раздела, установив, что классическое действие входит в квантово-
механические амплитуды как показатель экспоненты в весовой функции
траекторий в континуальных интегралах.
Формализм можно обобщить на матричные элементы операто-
операторов. При этом мы воспроизведем квантовомеханический принцип
действия Швингера. Предположим, например, что нам нужно
вычислить матричный элемент оператора 6 в момент времени t,
ГЛАВА 9
промежуточный между t{ и
<<7/> tf\6(t)\qt, ti>^f
- J dq> dq" $ S> (q) e "*r 'r '• %", Q W> J 0 („ e"«'< * <¦"
Для простоты предположим, что оператор 6 является диагональ-
диагональным в ^-представлении:
Тогда предыдущее выражение можно символически записать
в виде
«7л h 16 (О I «7л <*> = S »(?) e"tf> ° 6 [? @1- (9-14)
Этот результат можно обобщить на хронологическое произведение
операторов
6i('iN.0i) •••> причем ^>^>....
Если все эти операторы в ^-представлении диагональны, то мы
имеем
(9.15)
Используя приведенные выше выражения, можно изучить послед-
последствия инфинитезимального изменения в динамике между момен-
моментами времени tt и tf (например, небольшого изменения потенциала
или граничных условий). Соответствующее изменение амплитуды
перехода можно записать в виде
6<<7/. '/1qt, ti> = i\SD(q)elHh °6/(f, t).
Это соотношение по форме совпадает с выражениями (9.14) и
(9.15), записанными для оператора б/. Последний может зависеть
от промежуточных моментов времени, так что в общем случае
мы имеем
ЬI ft. t{> ">' <qff h | б/ | qit tt>. (9.16)
Данное выражение можно использовать как инфинитечимальный
эквивалент континуального интеграла. Например, если вариация
является результатом перехода к более позднему моменту вре-
времени для конечного состояния, т.е. перехода от ts к tt-\-btt,
при котором б/ = — НЫ, то формула (9.16) приводит к уравне-
уравнению Шредингера в виде
6 «7/. tf I qt, t,> = - / «7/, tf | Я (tf) | qt, tt> btf.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ff
Изучим соотношение (9.11) на примере гармонического осциллятора
V{Q)-"~Q' (9.17)
С частотой и и уровнями энергии ?„ = (гг + 1/2) со.
Применим здесь выражение (9 11). Для любого малого интервала
(t, /-f-Д/) произвольный путь можно аппроксимировать прямолинейным отрез-
отрезком таким образом, что соответствующее приращение действия запишется
в виде
д/B, в =4L
Положим t=tf*-ti. Мы находим
<918>
Нам нужно проинтегрировать экспоненту от квадратичной формы ,
где q обозначает набор величин qo&sqi, qi, ..., qn-x, qn&=qj, а матрица М
такова, что
Все остальные матричные элементы равны нулю. Переменными интегрирова-
интегрирования являются qlt ..., <?«-?• Если N представляет собой матрицу, полученную
из матрицы М вычеркиванием в ней строк и столбцов с индексами 0 и я, то
имеет место равенство
п-\
Используя классический метод вычисления гауссовых интегралов, получаем
f dn-igeW2)qNq =^e^y-1)/2 (det N)-4\
В показателе экспоненты линейные члены учитываются с помощью трансля-
трансляций, что дает
я/2 (Чти-Щ* У"-*)/2 -V.
X вхр jif
78
ГЛАВА 9
1 1 + м8<*/6я»
Определяя величину а В виде
Детерминант матрицы N можно записать следующим образом:
1 —а 0 ..
— а 1 — а
О —я 1 —
Детерминант, входящий в правую часть этого выражения, обозначим через
/n_i (а). При фиксированном а он удовлетворяет рекуррентному соотношению
/р (а) = /„.I (a)-*»/,., (я), Уо («)
решение которого имеет вид
Диагонализуя 2 X 2-матрицу, находим
Xq (а)-Я,п-(a)
Таким образом, при больших п
1
„ Г» 2
Следовательно,
2я sin
X Ш^ exp i'j [(??+?') (Ми-/*!, iVu1) -^ff^JiATi;1,,-jl.
При sin ю^ < 0 последовательный расчет позволяет нам выбрать правильную
фазу. Исключим этот случай, полагая a>t < я. Вычислим теперь величины
о""
/„.j (a) ~ «2sin
Окончательное выражение
безусловно, совпадает о результатом, полученным традиционными способа-
способами Интересно отметить, что в данном частном случае коэффициент перед
экспонентой равен значению действия для реальной классической траектории
на конечном промежутке времени. Это является характерным свойством квад-
квадратичных гамильтонианов.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
79
В качестве второго упражнения читатель может применить этот метод к
случаю, когда зависящий от времени гамильтониан описывает одномерное дви-
движение частицы под воздействием внешней силы:
(9.20)
Соответствующая амплитуда запишется в виде
me
"fa/2
(9.2Г)
где /'(/, 0 вновь обозначает действие, вычисленное вдоль классической траек-
траектории:
т
4 Нdf dt"F (n [(</~<'-4~<l)~Inf (t'~ti' r'~ti)\F (n
Н
(922)
Выражение G (f, t") = t't"/T — \ni(t', f) является симметричной функцией
Грина классической задачи, описываемой уравнением q = F(t)/m, с гранич-
граничными условиями G @, t") = G(T, t")=0, которую мы уже рассматривали в
гл 1 (см т. 1)
Из выражения, аналогичного (9.16), следует
-areW <f\l">F=<hQ(t)\c>F. (9.23)
Эта формула позволяет нам дать алгебраическое определение амплитуды пе-
перехода для произвольного гамильтониана вида (9 2). В данном случае можно
записать
(9.24)
Если здесь экспоненциальный оператор разложить в степенной ряд и постро-
построить теорию возмущений, то формальное выражение (9 24) принимает опера-
операторную форму
Все приведенные выше рассуждения можно без труда обобщить на любое
конечное число степеней свободы
Рассмотрим теперь кратко более общий вывод ядра оператора эволюции
(9 12) Идея состоит в использовании обоих базисов | <7> и [ р> в гильбертовом
пространстве Предположим, что смешанный матричный элемент гамильтониа-
гамильтониана можно записать в виде
(9 25)
80
ГЛАВА 9
«Классическое* значение h (р, q) равно квантовому оператору Н; упорядочен-
упорядоченному таким образом, что, после того как мы заменим с-числа операторами,
величины Р расположатся слева от Q В случае когда гамильтониан имеет
вид (9.2), это не приведет к каким-либо затруднениям. Для бесконечно мало-
малого временного интервала &t получаем из (9.25) следующее регулярное при-
приближение:
<р\е-ШН \я '
Таким образом, записывая выражение
<Я/, Ч I Яь <*> = I'm \ \\ dps Д dqr <<?„ | Рп> <р„ | e-iiH/n
**»J 1 l
где, как обычно, <?0 = <7/> qn&aqf, t = tj—tt, мы получаем
п n—i
П dPs П йЯг
tim
t . .
1—<7о)— — "(Рп, Чп-V — »•» —
—— h(pi, q<t)\
4}-
Ш> (р, (?) ехр ¦{ ( \ dt \pq~h (р, ?)] > . (9.26)
v
Разумеется, последнее выражение носит символический характер. Заметим,
что интегрирование производится по одной дополнительной переменной р
таким образом что граничные условия содержат только qt и qp В подышег-
ральном выражении мы узнаем классическое действие
'/
1A, 0-J dt[pq—h(p, <?)], (9.27)
записанное о помощью канонических переменных р и q. Если зависимость
h(p, q) or р является, как обычно, квадратичной, то интеграл по р сводится
к интегралу Гауеса Выполняя это интегрирование, (9.26) можно свести к
(9 12)
Данный формализм позволяет также изучить проблему рас-
рассеяния. Для простоты ограничимся рассмотрением одномерного
короткодействующего потенциала. В соответствии с этим для боль-
больших значений времени эволюция системы сводится к свободной,
отвечающей гамильтониану Но, а S-матрица получается как предел
S = lim е"/н°е-'1г/~'|)Не-'УЧ (9.28)
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 81
Ее матричные элементы между состояниями tyf и i|); запишутся
в виде
| S | f ,> »lim J d?/ dq,itf (qf, tf) <qf, t, \ qt. tt> Ь (q,, t{). (9.29)
В наших обозначениях
и ^(q, t) определяется как решение свободного уравнения Шре-
дингера, такое, что ty(q, 0) = ф(<?), т. е.
J^'(M-p"/M>)«0»)- (9-30)
При | /1 ~* оо величину ^ (9, t) можно оценить методом стацио-
стационарной фазы: '
t) ~ ^у/1е-*л/4 s,gn (o+to,v*/ y(m\ . (9.31)
Это выражение можно подставить в (9.29), в котором мы заме-
заменяем переменные по формулам qf = pftf/m, qj = p{t{/m, что дает
&Р, dPl [ -^-) х
(9-32)
Можно проверить этот результат для тривиального случая V — Q,
5=1 В случае когда континуальный интеграл используется для
того, чтобы построить выражение для матричного элемента опе-
оператора эволюции, соотношение (9.32) допускает интересную интер-
интерпретацию. В самом деле, из этого соотношения следует, что
интеграл включает пути, которые асимптотически ведут себя как
свободные траектории:
Разумеется, в случае одномерного движения из закона сохране-
сохранения энергии следует, что pf = ± р{, однако этот формализм легко
обобщается на более интересные многомерные случаи.
В качестве приложения рассмотрим приближение эйконала для трехмерного
рассеяния на короткодействующем потенциале V (г) при больших энергиях и
малых передачах импульса.
82
ГЛАВА 9
Мы исходим из представления оператора эволюции
<г8, h | гь <!>= J 3> [г @] ехр Ы « Г± т^-V [г (Q]l [¦ (9.33)
В свободном случае (V —0) это представление сводится к следующему:
me~tni2 TV» im (r,-r,v
В тех физических условиях, которые нас интересуют, основной вклад в кон-
континуальный интеграл вносят классические экстремальные траектории, кото-
которые для больших прицельных параметров можно аппроксимировать прямыми
линиями:
(9.34)
Проводя факторизацию закона сохранения энергии и осуществляя переход
с помощью преобразования Фурье в импульсное пространство, нетрудно по-
получить следующее выражение для матричных элементов оператора перехода
f=(S-l)ft:
(9.35)
здесь b(|b| — прицельный параметр) и q—двумерные векторы в плоскости,
перпендикулярной среднему импульсу.
Это приближение было обобщено на релятивистский случай Рассмотрим
амплитуду рассеяния, соответствующую набору лестничных диаграмм с пере-
перекрестным обменом. В этих диаграммах происходит обмен скалярными бозо-
бозонами с массой [х и константой связи g (рис. 9.2). Данную амплитуду можно
РИС. 9.2. Лестничные диаграммы с перекрестным обменом.
представить в виде континуального интеграла, аналогичного (9.32) и (9.33).
В результате получается следующее выражение для амплитуды при больших
s (квадрат энергии в системе центра масс) и малых передачах импульса
Читатель может определить, как ведет себя выражение (9.36) при s-ко н
обобщить данный результат на случай электродинамики, где соответствующие
амплитуды имеют полюсы, отвечающие связанным состояниям с правильным
н ер едят и висте ким пределом (см. разд. 2.3.2 в т. I настоящей книги).
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 83
9.1.2. Траектории в пространстве Баргмана — Фока
До сих пор континуальные интегралы рассматривались либо в
конфигурационном [(9.12)], либо в фазовом пространстве [(9.26)].
В обоих случаях граничные условия зависели от q или р на обоих
пределах интегрирования. Введем теперь новый тип траекторий,
подходящий для обобщения на теорию поля. Он в сильной сте-
степени инспирирован примером гармонического осциллятора, по-
поскольку поле можно рассматривать как ансамбль взаимодействую-
взаимодействующих осцилляторов. Континуальные интегралы этого типа можно
обобщить без затруднений на случай фермионных систем.
Будем использовать когерентные состояния Баргмана и Фока,
которые введены в гл. 3 (см. т. 1 настоящей книги). Это дает
представление операторов уничтожения и рождения
а>,Я^. ,Ка1 = 1 (9.зт)
в пространстве аналитических функций комплексной переменной,
которую обычно обозначают буквой с чертой над ней как комп-
комплексно-сопряженную величину а или г. Причина такого выбора
станет ясной из дальнейшего изложения. Если в исходной задаче
об осцилляторе фигурировала частота со, то, прежде чем вводить
а и а+ в соответствии с формулой (9.37), можно выполнить ка-
каноническое преобразование Q —> Qu>~1!*, р —» Ав1/>. Аналитические
функции, которые мы рассматривали, порождают гильбертово
пространство со скалярным произведением
(9.38)
и мы имеем соответствие
е--4. а^г, (9.39)
которое приводит к паре сопряженных операторов. Ортонормиро-
ванный базис в этом пространстве имеет вид
(9.40)
Унитарное преобразование отображает данный базис на более при-
привычную систему квадратично-интегрируемых функций конфигураци-
конфигурационной переменной д. Функциям/,, соответствуют известные волновые
функции осциллятора, а именно функции Эрмита Разумеется,
/„ являются собственными функциями оператора Н — а?а =
с собственным значением п.
84 ГЛАВА 9
Обычно оператор А характеризуют его матричными элементами
<.q' \A | q> таким образом, что действие оператора А на вектор
состояния t|) дает волновую функцию
Проведем аналогичное построение в пространстве Баргмана—Фока.
Если J я> обозначает состояние, отвечающее функции /и, опреде-
определяемой выражением (9.40), то можно написать
Л=2 \n>Antn<m\, Antm = <n\A\m>. (9.41)
п, т
Соответственно для любого состояния / имеем
Ядро А (г, I), которое естественным образом ассоциируется с А
и обладает тем свойством, что
имеет вид
й? (9'43)
Для достаточно регулярного оператора Л функция A (z, |) явля-
является аналитической функцией двух комплексных переменных I и
z. Кстати, наш выбор обозначений, в которых аргумент аналити-
аналитической функции отмечается значком комплексного сопряжения,
оправдывается стремлением записать операторы в такой форме.
Для представления (9.43) справедливо следующее правило
суперпозиции, вытекающее из ортогональности функций /„:
АгАш{г, l)^^e-^At(z, г,) А^, I). (9.44)
Возвращаясь к выражению (9.41), перепишем его в виде
Напомним, что проектор на основное состояние |0><0| можно
выразить через нормальное произведение следующим образом:
:<?-в1а: . (9.45)
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Следовательно,
А^Л? ?^L (9.46)
Данная нормальная форма подсказывает определение нормального
ядра, представляющего оператор А. Обозначим это ядро через
AN (г, г), чтобы отличить его от ядра, которое использовалось
выше. Величины г и z рассматриваются как независимые пере-
переменные:
1?=/%,„-?= A = :AN(a\a):. (9.47)
Чтобы получить соотношение между AN (z, z) и А (г, г), можно
либо использовать (9.46), либо заметить, что в гильбертовом про-
пространстве целых функций имеется репродуцирующее ядро, анало-
аналогичное б-функции Дирака, вида
<Г|1+Г1Ш. (9-48)
В случае оператора afnam,
имеем
A (I, E)-e*i4"?,S). (9.49)
Благодаря линейности это свойство распространяется на произ-
произвольный оператор.
Исходя из соотношений (9.44) и (9.49), можно вычислить ядро,
соответствующее оператору эволюции квантовомеханической за-
задачи. Предположим, что гамильтониан задан в нормальной форме
через операторы а+ и а. Его нормальное ядро получается, если
вместо операторов рождения и уничтожения подставить комплек-
комплексные числа Обозначим это ядро через h(z, l) Для бесконечно
малого интервала времени Д^ выполняется следующее приближен-
приближенное соотношение:
U (I, g, ДО на **-'* ft<i. В, (9.50)
ГЛАВА 9
которое сводится к ядру единичного оператора при Д/ —* 0. По-
Повторное применение соотношений (9.44) на конечном интервале
приводит к континуальному интегралу
U (If, tt\ zt, /,)*»
л-I .- Гп— 1
\k exp S zk+izk-
lim П
п-+<я J tt=\
/ _f "-1 _ 1
*=0 J
(9.51)
Выражение, которое получается в пределе, обозначим символи-
символически следующим образом:
г)ехр | '>4^ + *| dt \^~h G, г)] f. (9.52)
-*?*)]}.
Здесь переменные интегрирования z(tf) и z(tt) остаются незави-
независимыми от величин z{tf) и z(i,-), которые фиксированы гранич-
граничными условиями.
Мы видим опять, что выражение, стоящее в показателе экспо-
экспоненты в (9.52), есть не что иное, как классическое действие.
В самом деле, форму pdq, точнее (\/2)(pdq—qdp), в соответ-
соответствии с (9.37) можно записать в виде
1 (р dq—q dp) =±(z dz—zdz), (9.53)
откуда следует, что гиг нужно рассматривать как независимые
переменные. Очевидно, что все сказанное выше непосредственно
обобщается на гамильтонианы, зависящие от времени и на слу-
случай нескольких степеней свободы.
Вычислим оператор эволюции для гармонического осциллятора, на который
воздействует зависящая от времени внешняя сила, так что гамильтониан
имеет вид
Н^шРа—/(*)af— ~f(t)(a). (9.54)
Здесь /—величина, комплексно-сопряженная по отношению к /. Как видно
из соотношений (9.19) и (9.21), результат должен быть пропорционален е'1^11),
где / (/, г)—действие, вычисленное на экстремальной траектории, удовлетво-
удовлетворяющей классическим уравнениям движения
i+/ [,«-/@1-0, «(/,)-*/,
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 87
Решение записывается в виде
Вследствие асимметрии граничных условий эти величины, очевидно, не явля-
являются комплексно-сопряженными друг другу Соответствующий показатель
экспоненты в континуальном интеграле вдоль этой траектории дается выра-
выражением
'/
i
t.
~\ [dtdt'f(f)e-te'V-t">f(i')O(t—tt). (9.55a)
Явное вычисление континуального интеграла дает простой результат:
U (If tf; zb U) = Jl. (9.556)
Таким образом, в данном формализме описание осциллятора, находящегося
в поле внешней силы, является очень простым. Соответствующее ядро всюду
регулярно.
Имеет смысл привести здесь формулу для гауссова интегри-
интегрирования, которая многократно использовалась в наших вычисле-
вычислениях и является краеугольным камнем при применении конти-
континуальных интегралов. Если А—матрица квадратичной формы,
эрмитова часть которой положительна, a г и и обозначают век-
торы-столбцы из комплексных чисел, то
Щ d*ndZk e-'*A*+»*+™ = (detЛ)-1 е"Л~'». (956)
Заметим, что в правой части показатель экспоненты равен зна-
значению показателя экспоненты подынтегрального выражения в точке
перевала.
ГЛАВА 9
9.1.3. Фермионные системы
Поскольку континуальные интегралы демонстрируют тесную связь
между классической и квантовой механикой, то априори следует
ожидать, что при обобщении этого метода на случай фермионов
мы натолкнемся на трудности. К счастью, соответствующая схема
в рамках антикоммутативной алгебры была развита Березиным.
Мы уже использовали этот метод в гл. 4 (см. т. 1 настоящей
книги).
Будем исходить из двухуровневой системы, описываемой двумя
операторами а и а+, удовлетворяющими соотношениям
{о, й+}=1, аа = а+2=0. (9.57)
Попытаемся найти представление для них в гильбертовом про-
пространстве «аналитических функций». Аналогия с бесконечными
рядами по z и г, использованными выше для бозонов, подсказы-
подсказывает следующий ход действий. Рассмотрим ряд с комплексными
коэффициентами по двум антикоммутирующим переменным х\ и
tj, т. е. таким, что
О» л2 = ^2 = 0. (9.58)
Эти ряды сводятся к полиномам вида
Р (П> Ч) = Ро + РМ + № + Pi244- (9-59)
Система этих полиномов размерности 22 = 4 может быть отожде-
отождествлена с внешней алгеброй двумерного векторного пространства
(порожденного однородными полиномами первой степени). Ассо-
Ассоциативное умножение определяется в соответствии с правилами
(9.58). Введем также операторы линейного дифференцирования
дР-к + РиЧ, dP~Pl-Plti\. (9.60)
Действие этих операторов на произвольный моном сводится к опу-
опусканию соответственно ц (в случае д) или ц (в случае д) при
условии, что т] перенесена влево. Во всех остальных случаях
дифференцирование дает нуль.
Определим подсистему аналитических функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию
а/ = 0, (9.61)
откуда следует, что f зависит только от т).
Заметим, что справедливы соотношения
me 1 иды
Это означает, что полиномы по операторам дифференцирования имеют ту же
структуру, что и исходная антикоммутатнвная алгебра. Легко видеть, что
d (P1P2) т- дР\ P2+^1^2- Читатель без труда найдет правильную формулу
для дифференцирования произведения. Данную конструкцию нетрудно обоб-
обобщить на случай нескольких степеней свободы. Для 2п степеней свободы
внешняя алгебра будет иметь размерность 22", а пространство аналитических
функций —размерность 2".
Возвращаясь к случаю п = 1, запишем аналитическую функ-
функцию в виде
и определим скалярное произведение
(g, f) = gJi> + gJv (9.62)
Здесь черта над скаляром означает комплексное сопряжение.
Можно ли представить это скалярное произведение в виде инте-
интеграла, как в бозонном случае? Ответ является утвердительным,
если отождествить дифференцирование и интегрирование следую-
следующим образом. Определим операцию интегрирования, исходя из
условий
J $ $ $ (9.63)
Благодаря свойству линейности эти условия достаточны, чтобы
вычислить интеграл от произвольной функции (9.59). Если мы
условимся также, что dr\ и dr\ антикоммутируют и что правила
(9.63) применяются, когда в парах величин drj и tj или dr\ и ц
вторая следует за первой, мы увидим, что интегралы и произ-
производные действительно совпадают. Таким образом,
(9.64)
Поэтому интеграл от производной равен нулю (д2 = д2 = О). Дан-
Данная процедура легко распространяется на случай нескольких
степеней свободы
Мы можем произвести замену переменных под знаком инте-
интеграла. Если ограничиться на время линейными преобразова-
преобразованиями, которые автоматически учитывают структуру (9.58), т. е.
имеют вид
где А—несингулярная с-числовая матрица, то подстановка в лю-
любой полином Р дает
90
ГЛАВА 9
и, в частности,
РиЩ = ft Д = (ри det А) Щ.
В результате мы имеем
$ Р ft, ч) = J <? d? (det Л) Q (?, Г)- (9-65)
Это правило отличается от обычного в том смысле, что якобиан
входит сюда в минус первой степени, поскольку
detX«y{^4).
4. I/
Необходимо выбрать базис, допускающий определение анали-
аналитических функций. Определим комплексное сопряжение как
I (Tl) = /o + /iTl' (9.66)
Мы убеждаемся далее, что скалярное произведение можно записать
в виде
(8. П-=^ц йц e-'^i(ri) / (л), (9.67)
аналогичном формуле (9.38) для бозонов. Мы имеем теперь сле-
следующее представление для а и а+ через пару взаимно сопря-
сопряженных операторов:
а-*Ъ, а*-* rj. (9.68)
Очевидно, что а*=ча+2 *=0. Кроме того,
Таким образом, мы имеем
acfi + а*а= 1,
а также
Вообще говоря, линейному оператору, действующему в простран-
пространстве Ж аналитических функций, можно сопоставить некоторое
интегральное ядро. Рассмотрим ортонормированные состояния |0>
и |1>, соответствующие функциям 1 и ц, такие, что а|0> = 0,
at|0> = [l>. Запишем выражения
п, m
(Af) (ч) - \ 4<%е-\*А (ц, |)/ (I), (9.69)
a, m
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 91
-Как и. в случае бозонов, мы представим оператор проектирова-
проектирования на основное состояние в виде
(9.70)
и перепишем А в нормальной форме:
А = 2 An. т:а+«е-аЧ'» : = 2 Km a*nа". (9.71)
п, т п, т
Соответствующее нормальное ядро
Й2^ (9-72)
п, т
связано с ним с помощью соотношения
Aft,i\) = ewAtl(ii,r\). (9.73/
Например, ядро единичного оператора равно е^, и мы имеем
f (ц) = J djdl е-Я+nS /(I), (9.74)
тогда как произведение операторов дается выражением
АХА, й, л) - S 4 ^ е-^Л- Н 1) ^2 (I. Ч>- (9-75)
Аналог формулы (9".5б) для интегралов Гаусса имеет вид
п
SII d"n* dii* exP [- 2д Л^1+2 (п*5* +!*%)] =
|"^lj (9.76)
Близкая аналогия со случаем бозонов позволяет записать непо-
непосредственно континуальный интеграл для амплитуды перехода.
Пусть Н(eft, а, ^—нормально упорядоченный гамильтониан фер-
миоппой системы. Соответствующее нормальное ядро получается
подстановкой т), т) вместо а+, а в тем же порядке. Следовательно,
ядро оператора эволюции можно записать в виде
(9-77)
'/
В качестве упражнения рассмотрим движение кванта со спином 1/2, подвер-
подверженного действию постоянного поля В, направленного вдоль оси г Основное
состояние определяется как состояние, отвечающее значению проекции
92 ГЛАВА 8
спина Sz=l/2. Гамильтониан имеет вид Я = |хб Bа*а—1), где ц—гиромаг-
ц—гиромагнитное отношение. Из выражения (9 77) имеем
U (Ч/. '/; Л/. <i) = exp [*>В (/,
Отметим аналогию со случаем гармонического осциллятора. Наше рассмотре-
рассмотрение можно обобщить на случай поля, зависящего от времени, включая, в ча-
частности, поперечное поле, вращающееся с частотой со.
Замечательным свойством соотношения (9 76) является то, что интеграл
от квадратичной формы здесь также определяется (с точностью до множителя)
значением на «экстремальной траектории», т е значением на траектории,
отвечающим стационарному значению показателя экспоненты.
9.2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
В данном разделе мы обобщим сформулированный выше подход
на случай взаимодействующих полей.
9.2.1. Запись 5-матрицы и функций Грина
через континуальные интегралы
Начнем с изучения хорошо знакомого случая нейтрального ска-
скалярного поля, связанного с внешним с-числовом источником / (х).
Запишем классическое действие
^] (9.79)
и квантовомеханическии гамильтониан
^] (9.80)
Гамильтониан описывает ансамбль квантовых осцилляторов, свя-
связанных с различными внешними силами (см. гл. 3 и 4 в т. 1
настоящей книги). В данный момент времени разложение Фурье
для поля имеет вид
Фор (х) - J & [а (к) *** + at (к) е-**],
яор (х) =—i \ dk со (k) [a (k) e'k-*—a+ (ft) e-'k"].
С учетом (9.81) гамильтониан запишется следующим образом:
Я = \ dk [со (к) a+ (ft) a (k)—f (t, к) at (*) — f (t, k) a (ft)],
(9.82)
f(t, k) = \d3xe-tk*j(x, t).
В этой записи гамильтониан является диагональным, и мы можем
применить формулу (9.55), определяющую ядро оператора эво-
ИСШДМ
люции:
U(Jf, tf; zh ^.) =
dt
-1J Jd/d*7(*,k) «-'•«*> I'-<'i/(f«,k)}). (9.83)
Если" источник выключается при j^|—>-oo, то 5-матрица опреде-
определяется как предел оператора eltfH°U (tf, /,-)е~"<н\ где /Уо полу-
получается из Я при / = 0. Для когерентных состояний, таких, кото-
которые рассматриваются в нашем случае, действие оператора e~ltH»
сводится к простому сдвигу г—>ге~ш, где ю —частота осцилля-
осциллятора, описываемого переменной г. Ядро, отвечающее 5-матрице,
записывается следующим образом:
tf (zf, г,.) = lim exp { С dk [zf (k) zt (k) +
V _
+ i [ dt [zf (k) еш t*' 7 (Л k)+f(t, k) e~ia> <ft>' zt (ft)]—
(9.84)
[
Если опустить в этой формуле первый член в показателе экспо-
экспоненты и учесть (9.49), то получится выражение для нормального
ядра Остающаяся часть может быть выражена через класси-
классическое асимптотическое поле, т. е. решение однородного уравне-
уравнения Клейна —Гордона:
Фас (х, 0 = S dk [Zi (ft) е- *•* + zf (ft) e'k-*± (9.85)
Поскольку величина zf (k) не является комплексно-сопряженной
по отношению к zt (k), то <pac определяется граничными условиями
для положительных частот при t—*— оо и для отрицательных
частот при t--> + oo. Это известные нам смешанные граничные
g4 ГЛАВА »
условия Фейнмана. В этих обозначениях имеем:
+ 00
J dk J dt \zf (ft) ele> ы ' f (t, k) +7(/, k) «-'• <*>«z, (ft)] =
— 09
«J d**$dft j(x) fz, (ft) e*M «'-*•* +zj(ft) «-'•**>'+*¦«].
Кроме того,
$dft$Jd/d<«7(<, к) e-'»»> I'-<'!/(<«, k) =
^ J J d^xd^x'-} (x) j (xr) J dk e-l°> <*> I'-'' !+*•(»-«').
Интеграл по k совпадает с пропагатором Фейнмана:
= - iGF (x-x') = <01 ГФор (дс) Фор (^) 10>,
где фОр—квантованное скалярное свободное поле. В итоге полу-
полу(г/, г,) \j = exp [i J d*^ / (х) Фм (х) +
чаем
Это выражение фактически совпадает с выражением D.63) (см. т. 1
настоящей книги), которое мы использовали как отправную точку
при анализе теоремы Вика. Релятивистская инвариантность,
а также фейнмановская добавка для пропагаторов, естественно,
вытекают из формализма континуального интегрирования.
Чтобы получить оператор S, который будет обозначаться как
S0(j), мы подставим фор вместо фас и произведем нормальное
упорядочение:
*o(/)-:expL* Jd*x/(x Фо,,(.
Г / rr J i (9.87)
Zo (I) - exp | \ \ df-xfrx* i {x) GF (x-x') j (x')\ . '
Учитывая соотношение
<? + m*) | -g|^- Zo (/) - / (x) Zo (/),
формулу (9.87) можно переписать в виде
Sa (/) = :exp | J d*x [фОр (х) (П + ma) -g^-j 1 :Z0 (/), (9.88)
(Q Ц-m2) (б/б/) действует только на Z0(j).
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 95
Рассмотрим теперь более сложные взаимодействия. Введем,
например, самодействие с помощью потенциала V(<p). При этом
действие принимает вид
(9.89)
Как видно из обозначения, мы выбрали для простоты взаимо-
взаимодействие V (ф), зависящее только от поля ф, но не от его гра-
градиента. Например, можно взять 7(ф) = ?1ф4/4!. Чтобы получить
5-матрицу, воспользуемся тем же ходом рассуждений, который
привел нас к соотношениям (9.23) и (9.24). Иными словами, между
нормальными ядрами существует следующее соотношение:
(9.90)
где <zfN(j) определяется выражением (9.86).
Ряды теории возмущений получаются разложением экспонен-
экспоненциального оператора в (9.90). Сама S-матрица может быть запи-
записана в виде
5 = :ехр [J d*xФор (ж) (П + m«) -~] :Z (/)
/-о
(9.91)
Величина Z (/) представляет собой не что иное, как производящий
функционал функций Грина, а предыдущая формула совпадает
с E.38) (см. т. 1 настоящей книги). Новым здесь является то,
что мы вывели функциональные представления для нормальных ядер
5-матрицыи Z (у). Действительно, оператор ехр [—г jj d4xVF/i8j(x))j
генерирует само действие, что приводит к следующему выражению:
(9.92)
где
о-г * г,
-a>(k)z(t, k)z(t, ?)-/iB3B, z)] • (9-93)
В данном случае
J], (9.94)
ГЛАВА 9
где ф является функционалом от z(t, k) й z(t, к), полученным
заменой в (9.81) операторов a(t, k) и ($(tt k) на эти с-числа:
<р(х, t) = \ dk[z (t, k)e*-* +^(t, ft)e~*•«],
я(х, 0м —» Jdftto^tz^, fe)elk-*— 7(/, ft)e-'k-«].
Прежде чем совершить эту подстановку, следует переписать Нва
в нормальной форме. Наконец, чтобы получить S-матрицу из опе-
оператора эволюции, кроме предельных переходов tf, tt—»с» необхо-
необходимо наложить свободные асимптотические условия
'-" ' (9.96)
lim z{t, ft) —г,(ft)«-'•<*>'.
Нормировка континуального интеграла следует из предыдущего
случая, если V отождествить с /<р. Для краткости обозначим меру
через ®(ф, я) или ®(ф).
Аналогично функционалы Zo (/) и Z (/) записываются в виде
интегралов
20 (/) =» J © (Ф) exp [ila (Ф) +« S d*x Ф (х) / (х)] , (9.97)
Z (/) = \ 3> (Ф) ехр [»7 (Ф) + i J d*x? (х) / (х)] , (9.98)
= J d«x [1 (^ФJ -4" ^-
Предполагается, что в меру включен нормировочный фактор, т. е.
Z@)=l.
Из выражения для Zo (/) получаем
( °Й 2 G(^-^)G(xp-^) (9.99)
перестановки
т. е. теорему Вика в явном виде.
Разумеется, можно рассматривать континуальный интеграл (9.98) как фор-
формальный степенной ряд, если учесть соотношения (9.91) и (9.99). Это позво-
позволяет нам убедиться в том, что для континуальных интегралов можно про-
производить операции, оправданные для обычных интегралов,—такие, как замена
беременных интегрирования, интегрирование по частям н т. д. В качестве
примера раеемотрим следствия бесконечно малого изменения переменной вида
Х(*)+е/-Хх> *). (9.100)
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
97
где F — произвольный функционал от х, который может быть разложен в сте-
степенной ряд по х- Данная замена является канонической в том смысле, что
отображение <р—» х можно обратить (как формальный ряд), Учитывая яко-
якобиан, возникающий при замене переменной, в первом порядке по 8 получаем
XF (x, x)} exp {i [/ (x) +1 Лс / (x) t (л:)]}. {9.101)
Собирая члены, пропорциональные е, и отделяя множители перед интегралом
с помощью замены % на °7F/ (х), находим
Это выражение можно также записать в виде
Данную формулу можно проверить непосредственно с помощью (9.98).
Рассмотрим это общее тождество в частном случае, когда F (х, х) = / (дг),
т. е. когда замена переменной является локальным сдвигом поля. Соотноше-
Соотношение (9.103) при этом сводится к следующему:
2(/)=а (9104а)
В случае скалярного поля получаем в явном виде
г (rw)-/w]z(i)=a (9104б)
Это тождество—прямое следствие уравнений движения — связывает (п-\-1)-,
п- и (п—1)-точечные функции Первая включает оператор Клейна — Гордона,
вторая—вставку величины V'. Все это показано на рис. 9.3
РИС. 9.3. Графическое представление уравнений (9.104а) и (9.1046).1
Упражнения
1. Выведите соответствующее тождество, которому удовлетворяет производя-
производящий функционал для связных функций Грина Gc,(j).
2. Обратите внимание на то, что если функционал F (X, х) локален, т. е.
содержит только х в точке х, то в выражение (9.102) входит величина
6F/8x(x):=F'[х(х)]Ь@). Каким образом можно интерпретировать эту вели-
чину? Покажите, что она имеет более высокий порядок по R по сравнению
с дружин членами, входящими d (9 102), и что она компенсируется виков-
ским спариванием между F (у) и членом (П+т'2)Х> содержащимся в 61/8%.
3. Используя уравнение движения, покажите, что вставка оператора \ d4xif(x)X
Х[б7/6ф (х)] позволяет сосчитать число внешних линий у функций I рина.
4. Докажите теорему эквивалентности. Последняя состоит в том, что, хотя
инфинитезимальная обратимая замена полевой переменной изменяет функции
Грина, она не затрагивает .^-матрицу, Иными словами, если F (ср) = О (ф2),
то 5-матрица, которая получается, если записать Z' (/) в виде (9 91)
Z' (/) = J 3) (Ф) exp (l |/ (Ф) + J d*x 1 (х) [Ф (х) +F (ф, х)] J ) , (9.105)
совпадает с 5-матрицей, вычисленной с помощью Z(j). В самом деле, при
усечении внешних линий, на которое указывает оператор (Щ-f-m2) b(9.S1),
действие величины F (<р) сводится лишь к перенормировке волновой функции.
б. Покажите, что и в случае лагранжиана взаимодействия, содержащего про-
производные, разложение континуального интеграла по теории возмущений
приводит к ковариантным правилам Фейнмана
6. В заключение обобщите формализм на поля Ферми. Запишите производя-
производящий функционал Z (/) Для связи Юкавы фермионов со скалярными бозо-
бозонами и для случая электродинамики. В последнем примере покажите, что
если замена переменных является инфинитезимальным калибровочным пре-
преобразованием, то мы получаем систему тождеств Уорда, рассмотренную
в гл. 8.
В последующих главах мы будем широко пользоваться рассмотренными
здесь функциональными методами получения тождеств между функциями Грина.
9.2.2. Эффективное действие и метод перевала
Мы определили производящий функционал для связных функций
Грина Ge(j) следующим образом:
c(y)], (9.106)
а также ввели эффективное действие с помощью преобразования
Лежандра
. ., 6 п ...
ф (х. п== .». , . ис (I),
1 (9,107)
Чтобы вычислить величину ?<(;), заданную континуальным ин-
интегралом, в показателе экспоненты можно удержать квадратич-
квадратичную часть действия, разложить оставшуюся часть в ряд и при-
применить теорему Вика (9.99). При этом делается предположение, что
константа связи мала Несколько более общий способ рассужде-
рассуждений подсказывается самим функциональным представлением.
Поскольку лишь гауссовы интегралы можно вычислить в замкну-
замкнутой форме, идея состоит в том, чтобы использовать метод пере-
перевала или метод стационарной фазы (в пространстве Минковского)
и тем самым выбрать наиболее подходящую точку, около которой
следует произвести разложение в ряд. Малым параметром здесь
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 99"
является постоянная Планка %; это становится очевидным, если
выписать явно размерные величины, а действие / заменить на Ijh.
Следовательно, указанный выше метод является естественным ана-
аналогом квазиклассического приближения в квантовой механике
и приводит к разложению в ряд по числу петель.
Таким образом, наша цель состоит в том, чтобы найти вначале
экстремальные значения показателя экспоненты в интеграле (9.98),
т. е. поля ф0, удовлетворяющие классическому уравнению
(? + т2)Ф„ + 1/'(фо) = /. (9.108)
Будем предполагать, что при / = 0 решение сводится к тривиаль-
тривиальному решению ф0 —О, так что по крайней мере в смысле фор-
мального разложения решение единственно. Функция Грина, кото-
которую следует использовать при решении уравнения (9.108), имеет
фейнмановскую добавку is.
Предположение о том, что в отсутствие источника имеется только тривиаль-
тривиальное решение, в ряде физически интересных случаев оказывается несправед-
несправедливым. Для того чтобы получить правильную интерпретацию в таких край-
крайних случаях, требуется провести детальный анализ
Вблизи экстремальной траектории произведем сдвиг перемен-
переменной интегрирования <р—>фо + ф, удерживая в экспоненте квадра-
квадратичные по полю члены, а члены более высокого порядка разложим
в ряд теории возмущений, В силу условия стационарности (9.108)
линейные члены отсутствуют, а, согласно условию нормировки,
Z @) = I. Таким образом, мы имеем
Z (j) = е«А>'<Ф„, /> Г ® (ф) exp (j Г d*x ij (дфJ—
р
(9.Ю9)
Новая квадратичная часть дается выражением
+ V" (Фо)]} =
ф0)]ф, (9.110)
благодаря зависимости которого от ф0 мы получаем нетривиальное
выражение для пропагатора Для того чтобы получить разложе-
разложение по степеням ft, переопределим поле следующим образом:
ф—*Ь1^ц>. В результате находим
Z (j) = eac «л / * = e<'/ft>' «p.- '> \ %> (Ф) exp («\ ^ i T W2-
(9.111)
Применяя здесь теорему Вика, мы видим, что остаются лишь
полиномы четной степени по ср. В петлевом разложении встре-
встречаются поэтому только целые степени величины 1i. Из (9.111) сле-
следует, что ведущий член (порядка %а) в разложении Gc (/) равен
/ (ф0, /). Вычислим следующий член. Интеграл от квадратичной
части дает
(9.112)
Как и в гл. 4 (см. т. 1), обозначения детерминантов операторов
бесконечной размерности будем начинать с прописной буквы,
а следов — со строчной. Обратный по отношению к Ко оператор,
вводимый на основании условия нормировки, был выбран равным
Gf(x—у). Следовательно,
Ko'Kv =&'(x—y) + GF(x—y) Г KG/)].
Поскольку детерминант можно записать в виде
Det А = <*р <1п А\ (9.113)
мы находим
-Ш, (/) = / (ф0) /) + -у % sp In [ 1 + GPV" (ф,)] + О (&2). (9.114)
Чтобы получить Г(ф), нужно обратить соотношение
ф(х
Ф (Х> 1> - i6j (х) •
В соответствии с (9.114) и (9.108) поле ф определяется в глав-
главном порядке с точностью до поправок порядка k величиной ф0.
Кроме того, поскольку / стационарно при ф0, мы имеем / (ф, /)—
—/(фо> /) = 0(^2)- Наконец, чтобы получить Г, необходимо из
— iGc(j) вычесть }d4x<p(x) j (х). Таким образом, получаем
V (q>) = I (<p) + ~1lspln[\ +GFV" (<р)] + О(Р). (9.115)
Смысл второго члена с точки зрения теории возмущений становится ясным,
если его разложить следующим образом:
X Gf B2-г8).,,V" [<p (г„)] GP (г„-г1) V
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 101
Данное выражение представляет собой сумму вкладов однопетлевых диаграмм,
состоящих из п пропагаторов —iGp (х—у) и п вершин —(Т"(ф) На рис. 9.4
это разложение изображено графически для случая, когда V (<p) = tap4/4!.
Заметим, что множитель 1/2л, стоящий перед каждым членом суммы, явля-
является фактором симметрии для соответствующей диаграммы (п отвечает враще-
f
9 9
РИС. 9.4. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении.
ниям, 2—отражению). Аналогично в случае теории ф4 фактор 1/2 в V" (ф)=
= Х<рг/2 учитывает симметрию между двумя внешними концами, входящими
в каждую вершину
Это разложение можно провести во всех порядках Последующие члены
в Gc ирцдс1авляюгся связными диаграммами Фейнмана, соответствующими
взаимодействию ~Zj %р^~'' (q>P/p\)VP (ф0), а входящие в них пропагаторы
р >з
получаются обращением ядра LJ~bm3+^" (фо)-
Что касается Г (<р), то здесь, учитывая преобразование Лежандра, из
вышеуказанных диаграмм нужно отобрать только одночасгично неприводимые
и заменить всюду ср0 на произвольный аргумент <р. Разумеется, в любом ре-
реальном вычислении мы сталкиваемся с ультрафиолетовыми расходимосгями.
Таким образом, метод перевала или метод стационарной фазы
дает изящный способ получения квазиклассического разложения
по числу петель. Чтобы выйти за рамки теории возмущений, не-
необходимо либо выполнить разложение около нетривиального экс-
экстремума, либо аппроксимировать континуальный интеграл совер-
совершенно иным способом
Рассмотрим скова величину Г(ф). Напомним, что разложение
по ф порождает одночастично-неприводимые функции Грина.
В физике частиц именно это свойство функционала Г (ср) явля-
является важным. Можно также подчеркнуть, что Г(ср) играет роль
эффективного действия. Учитывая трансляционную инвариант-
инвариантность, мы можем найти разложение, включающее производные
по полю ф все более высокого порядка:
Г (Ф) = J d*x [- Кэфф (ф) + A/2) ZaM (Ф) (<ЭФ)* +...]. (9.116)
В (9.116) первый член включает сумму по всем сильносвяз-
сильносвязным функциям при нулевом внешнем импульсе, второй член
102 ГЛАВА &
включает все вторые производные в той же точке, и т. д. В прин-
принципе функция ф (х) остается произвольной Однако, если нужно
определить только УЭфф, можно удовлетвориться вычислением при
постоянном ф при условии, что расходящийся четырехмерный
интеграл по х факторизуется однозначным образом.
В качестве примера вычислим Уэфф с точностью до А из соот-
соотношений (9.114) и (9.115) В общем случае можно записать
йф& + ... . (9.117)
Используя (9.114), вначале находим
^ (9.118)
В детерминанте, входящем в (9.112), ф является теперь констан-
константой, а пропагатор [П+ma + V"'(ф)] диагоналей в импульсном
пространстве:
Разумеется, это выражение не имеет смысла, до тех пор пока
мы не выполним ультрафиолетовые вычитания. Для конкретности
выберем потенциал в виде
Чтобы удовлетворить требованию о нормальном упорядочении,
необходимо также добавить член вида <р2. В противном случае
нам пришлось бы включить диаграммы типа головастиков, отве-
отвечающие спариванию двух полей в одной вершине.
Q
3 К ^"~\ ,2
4 з V—/ '} 4
а 6
РИС. 9.5. Расходящиеся диаграммы в однопетлевом приближении.
Это единственная расходящаяся однопетлевая диаграмма для
двухточечной функции Г12' (рис. 9.5, а); она дает квадратично-
расходящийся вклад, пропорциональный ср2 в разложении V"^:
d4p i
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЮЗ
В этом порядке мы имеем также логарифмическую расходимость
четырехточечной функции ГD), соответствующей диаграмме на
рис. 9.5, б:
Bя)*(/>3—'
Более высокие степени величины <р отвечают сходящимся инте-
интегралам. Перенормировка приводит к контрчленам, необходимым,
чтобы удовлетворить условиям
1, (9.120)
а также к ограничениям на четырехточечную функцию, например
на ее значение в симметричной точке S, лежащей на массовой
поверхности, что придает этой функции смысл перенормирован-ной
константы связи:
р\ == /п|из,
(Pi + p/f = -jmlH3> iz^i> (9.121)
r(«(p,)|.= -W
Эти условия являются полезными, когда мы имеем дело с каким-
либо реальным приложением к задаче рассеяния. Однако они
создают неудобства при вычислении величин, входящих в эффек-
эффективное действие, разложенное в окрестности нулевых внешних
импульсов.
С точностью до конечной перенормировки величины (9.120)
и (9.121) можно заменить следующими:
Г<4>@) = — I. (9.122)
Чтобы подчеркнуть различие, мы ввели нижний индекс „физ."
для массы и константы связи, отвечающим предыдущей норми-
нормировке
Достоинство соотношений (9.122) состоит в том, что их можно
рассматривать как условия, накладываемые на эффективный пере-
перенормированный потенциал и функцию Zs ,ф (<р), а именно
*%, (9.123)
Из (9.118) следует, что эти требования, очевидно, выполнены
в порядке ft0. Кроме того, с этой точностью мы имеем
=l. (9.124)
104 ГЛАВА 9
В выражениях для Уафф и Za^ контрчлены типа ср2 и ф4 сокра-
сокращают соответствующие члены в высших порядках. Следовательно,
правильный однопетлевой вклад в эффективный потенциал запи-
запишется в виде
- " ) B^ L V ~~
На данном этапе целесообразно выполнить поворот Вика ра—*
—> ip0. Обозначая через k соответствующий евклидов четырех-
импульс, можно написать
Выполняя интегрирование и добавляя это выражение к члену
нулевого порядка, определяемому выражением (9.118), получаем
Мы видим, что при больших ф квантовые поправки меняют пове-
поведение У(ф). Чтобы показать это яснее, полезно ввести новую
Систему нормировочных условий, позволяющую нам положить
т = 0. Можно определить новую константу связи Км, такую, что
&1тМ- (9Л28)
Из (9.127) следует, что
Подставим эту величину в (9.127) и рассмотрим предельную без-
безмассовую теорию, для которой
(?-|) + ... . (9.129)
-Эта формула получена Коулменом и Вайнбергом. В выражении
(9.127) нельзя положить непосредственно т = 0. Это связано со
структурой ультрафиолетовых вычитаний в (9.126), второе из ко-
которых, предназначенное для того, чтобы обеспечить выполнение
условия (сD1/эфф/с(ф4) @) = 0, вносит инфракрасную расходимость
в пределе т = Ъ. Чтобы определить безмассовую теорию, нужно
выбрать произвольную, но не равную нулю точку вычитания
Ф = М. Рассматриваемые отдельно Г-функции при нулевом им-
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 105
пульсе, определяемые разложением (9.127), сингулярны при/га—»•
—> 0. Поведение при ф —> оо можно установить, используя тот
факт, что размерность величины V равна четырем, так что доми-
доминирующие члены должны быть пропорциональны ф4 с точностью
до логарифмов q>/M. Заметим, что произвол в выборе точки М
означает, что согласованное изменение М я Км должно остав-
оставлять Кдфф инвариантным. Мы видим здесь проявление ренорма-
лизационной группы, которая будет рассмотрена ниже.
В теории ф4 в первом порядке разложения по петлям отсутствует пере-
перенормировка волновой функции. Тем не менее функция Za$$ является нетри-
нетривиальной в этом порядке, хотя она и не содержит логарифмов. Используя
рыражение для эффективного действия (9.115), можно показать, что эту
функцию можно записать в виде
Предел нулевой массы можно получить, как и в (9.129). Вычисления были
выполнены в высших порядках. Приведем здесь результаты, полученные до
второго порядка, а Также соответствующие диаграммы. Вводя обозначения
Х = Ш?' а = Щ~*' V^==TV{X' a)> 2эФФ(<Р) = г(*, «). (9.131)
получаем
Диаграмма v
X*
1
о
-?[<>+*)'In
(9.132)
106 ГЛАВА 9
Здесь В — постоянная, зависящая от условий нормировки, а А дается выра-
выражением
р=о
Рассматриваемое здесь эффективное действие аналогично лагранжиану
Эйлера —Гейзенберга в электродинамике (разд. 4 3 4 в т. 1 настоящей книги).
Мы предоставляем читателю более подробно разобрать эту аналогию
Для 5-матрицы существует разложение по степеням величины %, анало-
аналогичное разложению функций Грина. Читателю предлагается показать, что
первые два члена разложения соответствующего ядра запишутся в виде
$> G/, г,-) = exp i-1 / (Фкл)-1 Sp In [ 1 + GFV (Фкл)] +0 (%) 1 , (9.134)
где фкл является решением уравнения
(9.135)
с фейнмановскими граничными условиями; фкл удовлетворяет также инте-
интегральному уравнению
фкл (*) = Фас (x)-^#yGP(x-y) V [фкл (у)], (9.136)
причем фас определяется формулой (9.85).
Можно дать более физическое определение эффективного дей-
действия. В частности, 1Д,фф(ф) можно рассматривать как плотность
энергии основного состояния при том ограничении, что среднее
значение поля равно <р всюду. Это позволяет нам изучать воз-
возможные нестабильности системы (см. гл 11)
9.3. СИСТЕМЫ СО СВЯЗЯМИ
Ряд динамических систем можно описать с помощью наблюдае-
наблюдаемых, подчиняющихся связям в фиксированный момент времени.
В качестве известного примера мы можем сослаться на электро-
электродинамику. Такие системы нельзя квантовать непосредственно.
Вскоре нам придется встретиться с более серьезными труднос-
трудностями в случае неабелевых калибровочных теорий. Континуальное
интегрирование представляет собой идеальную основу для описа-
описания таких систем, поскольку этот формализм тесно связан l клас-
классическим случаем, допускающим простую трактовку. Метод
квантования требует исключения стольких пар канонически сопря-
сопряженных переменных, сколько имеется связей. Последние должны
удовлетворять соответствующим условиям совместимости, которые
мы будем рассматривать ниже.
^ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 107
При первом чтении можно пропустить эти технические построе-
построения и вернуться к ним, когда будет рассматриваться конкретное
применение теории калибровочных полей (гл. 12), в котором
будет использоваться соотношение (9.159).
9.3.1. Общее рассмотрение
Пусть на классическую систему с п (п > 1) степенями свободы
вначале наложена единственная связь
HP, q) = 0. (9.137)
Обозначим Bп—1)-мерное многообразие в фазовом пространстве,
характеризуемое условием (9 137), через С. Наши рассуждения
будут носить локальный характер, т. е. будут отнеситься к ок-
окрестности точки, принадлежащей С Кроме того, мы не будем
делать различия между двумя функциями f и F, обращающимися
в нуль на С, т е такими, что F (p, q) — a(p, q)f{p, q). Пусть
d представляет собой кольцо (дифференцируемых) функций, ко-
которые обращаются в нуль на С. Для функций F ? Л будем ис-
использовать обозначение F ~ 0.
Мы можем рассматривать связь как часть действия, используя
зависящий от времени множитель Лагранжа K(t). Уравнения
движения вытекают из условий стационарности для величины
/ = \ dt [pq-h (р, q)-К (t) f {p, q)]. (9.138)
В число этих уравнений, наряду с уравнением (9.137), получаю-
получающимся при варьировании X, входят также следующие уравнения:
dh , . df • dh л df , ~ . ~ /п , опч
Разумеется, многообразие С содержит слишком много перемен-
переменных (р,-, qt). Естественное условие совместности состоит в том,
что эволюция, описываемая системой (9.139), оставляет много-
многообразие С инвариантным. С помощью скобок Пуассона это усло-
условие записывается следующим образом:
<ft, f}~0- (9140)
Вообще говоря, скобка Пуассона любой F ~ 0 с h принадлежит А\
F~0=$-{h, F\~Q. (9.141a)
Кольцо А стабильно относительно скобочной операции Пуассона,
поскольку оно имеет единственный генератор
F~O=>{f, f}~0. (9.1416)
108 ГЛАВА 9
Соотношения (9.14ia) и (9.1416) означают, что это кольцо функ-
функций (но не обязательно его отдельный элемент) стабильно отно-
относительно эволюции (9.139). Пусть F — произвольный фиксирован-
фиксированный элемент в Л. Определим отношение эквивалентности Е на С
следующим образом. Рассмотрим поток, генерируемый функцией F
в фазовом пространстве. В инфинитезимальной форме он описы-
описывается уравнениями
<*?! , . dF dPi . , dF en ,„..„,
-&г(н)=Ж' -dz{u)ss—3ii' F~°- (9Л42)
Две точки на С эквивалентны тогда и только тогда, когда они
принадлежат одной и той же траектории потока (9.142). Это от-
отношение эквивалентности Е имеет следующие свойства: 1) оно не
зависит от выбора F в d и 2) инвариантно относительно эволю-
эволюции во времени.
В самом деле, мы видим, что если линия потока проходит че-
через точку, принадлежащую С, то эта линия целиком находится
в С. Кроме того, если F' является каким-то другим элементом
в Л, то поскольку F = aF', векторы, касательные к двум пото-
потокам, пропорциональны друг другу на С, что доказывает первое
свойство. Из (9.141) следует, что гамильтониан h постоянен на
линиях потока, принадлежащих С. Наконец, пусть G — произ-
произвольная функция, которая является постоянной вдоль линий по-
потока (9.142), принадлежащих С, т. е. такая, что
F~0=${G, F}~0. (9.143)
Ее временная эволюция в течение инфинитезимального интервала
бодается выражением G —>G-j-G6/, причем G={/i + /t/, G\ ~ {h, G\
и \\h, G\, F}r={h, \G, F\\ — {G, {h, F\\ -0, что следует из тож-
тождества Якоби и условий (9.141а) и (9.143). Следовательно, функ-
функция G~\-$G является снова постоянной вдоль линий потока, что
доказывает свойство 2
Таким образом, многообразие С в соответствии с Е расслаи-
расслаивается не зависящим от времени способом на систему классов
эквивалентности. В свою очередь фактор-пространство С/Е можно
рассматривать как фазовое пространство размерностью 2п—2
при условии, что функция / удовлетворяет некоторым условиям
регулярности. Все потоки вида (9.142) эквивалентны на С, а фи-
физические наблюдаемые (такие, как энергия) постоянны на этих
потоках. Таким образом, достаточно выбрать представителя в каж-
каждом классе, причем опять регулярным способом. С этой целью
пересечем многообразие С другим многообразием, которое описы-
описывается вспомогательным условием
g(p, v) = 0 (9.144)
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 109
таким образом, чтобы каждая линия потока имела единственное
пересечение с данной пересекающей поверхностью. Это условие
будет выполнено, если g монотонно меняется вдоль любой линии
потока, что имеет место в случае, когда
{/, g}^=0. (9.145)
При этих условиях можно ввести явную параметризацию на С/Е,
выполняя следующее каноническое преобразование:
(Pi, qt)-+(P/, Qj), i<»\
Pn=g{p, Я).
.В новых переменных скобка {/, g\ имеет вид
U а\ = —dL
V» si зди>
а условие (9.145) позволяет найти решение уравнения
f(Q, P) = 0, ^?=0, (9.147)
для Qn как функции от Qlf ..., <?n_j, Pt Рп:
<?»-Qn(Qi <?,-„ ^, .... />„). (9.147а)
Определение фактор-пространства С/Е завершается условием
(9.144), которое принимает теперь вид
Рй-0. (9.148)
Наконец, нетрудно проверить, что величина
Н(Qlt ..., Qn-i, Рг, ¦¦•, Pa~i)==^1 (Qi> Pi)
Рп=°
(9.149)
является эффективным гамильтонианом на фактор-пространстве.
Произвол, имеющийся в выборе функции g, удовлетворяющей
условию (9.145), может привести к некоторым затруднениям при
общем определении во всем фазовом пространстве.
Вышеописанную конструкцию легко обобщить на случай т < п
независимых связей
М/>, <?) = 0 fm(p, <?) = 0. (9.150)
Кольцо Л состоит из гладких функций, обращающихся в нуль
на многообразии С, определенном записанными выше уравнениями,
т. е. из функций вида
т
F(P, g)~2«*<P, i)h(P. Я)- (9.151)
J10 ГЛАВА 9
Потребуем, чтобы скобка {h, F) принадлежала Л, если F при-
принадлежит Л:
F~0=$>{h, F}~0. (9.152)
Для того чтобы на С можно было определить отношение экви-
эквивалентности, исключающее остальные т координат, потребуем
также, чтобы кольцо Л было инвариантно относительно скобоч-
скобочной операции Пуассона
Flt F,~O=>{FV Ft}~0. (9.153)
Это условие автоматически выполнялось, когда кольцо Л имело
единственный генератор.
Действуя, как и прежде, определим расслоение на многообра-
многообразии С, рассматривая в произвольной его точке систему траекто-
траекторий, порождаемых произвольным элементом F ~ 0. Касательные
к этим траекториям образуют m-мерное линейное многообразие
в Bл—т)-мерном пространстве, касательном к С. Не зависящее
от времени отношение эквивалентности Е отождествляет точки,
принадлежащие одному и тому же m-мерному многообразию, по-
порождаемому кольцом Л\ С/Е имеет естественную структуру фа-
фазового пространства Эту структуру можно продемонстрировать
явным образом, вводя т вспомогательных условий:
gl(p, <?) = 0, .... gm(q, p) = 0, (9.154)
которые фиксируют единственную точку в m-мерном слое в С.
Достаточное условие этого записывается в виде
К*. '<"»• (Э-155)
Если потребовать, чтобы скобки Пуассона между величинами g
обращались в нуль, то каноническое преобразование (д, р) —+ (Q, Р)
определяется таким образом, что
Л,-»+1=&. •¦•• Рп=ёт, (9156)
чтобы можно было выразить на С величины Qn_m+1, ..., Qn через
Qi. •••» Qb-я» Л. •••> Л»- ПРИ ЭТом фактор-пространство С/Е
определяется условиями
^я-»+. = 0, .... Я„ = 0. (9 157)
В фактор-пространстве динамика описывается гамильтонианом Я,
полученным из первоначального гамильтониана h (p, q) с помощью
канонического преобразования, учитывающего вышеописанную
процедуру исключения лишних переменных.
Покажите, что соответствующая конструкция в случае т связей следует
рекуррентным образом из конструкции, полученной лишь при наличии един-
единственной связи.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ \Ц
Для того чтобы можно было квантовать такие системы б тер-
терминах независимых канонических переменных Р и Q гамильтони-
гамильтониана Н и соответствующих наблюдаемых, запишем амплитуду
перехода в виде
<f|*>=$S>(/\ Q)exp{ildt[PQ-H(P,Q)]}. (9.158)
В реальных случаях, вообще говоря, нецелесообразно производить
исключение переменных, приводящее к канонической параметри-
параметризации на С/Е. Поэтому будем искать выражение для амплитуды
(9 158) через исходные связанные переменные (р, q). Для этого
запишем меру к каждый момент времени в континуальном ин-
интеграле следующим образом:
= П dPk dQk П б (Ps) б [Qs-Qs № Qn-m, Р» -. . Рп)]-
k = 1 s=n-m+I
п
Поскольку выражение Д dPkdQk инвариантно относительно ка-
к = 1
п
ионических преобразований, его можно записать в виде JJ dpk dqk,
п т
Кроме того, используя соотношение Ц б (Ps) = Ц б
s =n-m+ I ii = I
и обычное правило для б-функций, получаем
П б [Qs-Qs (Qi, • • ¦. Q»-., Л, ..., р„)] =
s=n-m+I
Из (9.156) следует, что якобиан есть не что иное, как det{g-ft, ft),
который мы будем обозначать кратко через det{g, f}. Используя
интегральное представление
n
и производя перегруппировку, находим
<f | i> = S S) [p, q, X)Il[6(g)det {g, f}]exp [i J df (р^-Л-Х
(9.159)
112 ГЛАВА 9
Связи входят сюда явным образом, и мы видим, что в экспо-
экспоненте здесь стоит действие, определяемое выражением (9.138).
В (9.159) не входят переменные, сопряженные с Я.
Для того чтобы это построение имело смысл, необходимо, чтобы выражение
(9.159) не зависело от выбора вспомогательных условий gfe = 0. Убедимся
в этом на примере инфинитезимальных изменений. Рассмотрим, к каким
следствиям приводит небольшое изменение
gfc+f>gft = O, Kk^m. (9.160)
В силу условия (9.155) линейная система уравнений
т
допускает единственное решение. Это означает, что
m
6gft~{^\ gk}, 6f=2 8v^ (9.162)
» = i
Соответствующее 6F порождает каноническое преобразование, записываемое
в виде
p-+p+bp, q-+q + bq, bp = {6F, p], &q = {dF, q), (9.163)
которое оставляет меру П^рА? инвариантной. Вспоминая условие (9,153),
мы видим, что bf порождает также несингулярное линейное преобразование
связей:
/ —A + 6Л)/, (9.164)
где матрица 8А является, вообще говоря, функцией переменных (р, q). На-
Наконец, действие \ dt{pq—h) изменяется самое большее из-за наличия гранич-
граничных членов, которые необходимы для того, чтобы учесть изменение гранич-
граничных условий.
Если выполнить в (9.159) интегрирование по X:
<П />- \ 3> {p, q) П [Ь ф 6 (g) det {g, /}] exp [/ J dt (p'q - ft)],
то мы увидим, что благодаря присутствию б (/) все величины определены с точ-
точностью до функции на Jt Применяя затем каноническое преобразование
(9.163) и используя соотношение
т т
Л б (/fe)-* det A+6Л)-1 Д 6(fk),
fts= 1 к = 1
можно показать, что
т
П ts (/ft) * (Si)] det {g, /} —
k= l
-+ det
^ Д [6 (fk) b (gu+6gfe)] det {g+8g, f+Щ,
h = l
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
поскольку разности bg— {6F, g) и их скобки Пуассона с / и f-{-$i обраща-
обращаются в нуль на С Наконец, мы можем записать
det {g+6g, / + 6/} = det (l+ЬА) det {g+6g, f).
В итоге получаем
fl [в (fk) 6 (gft)] det {g, /} — Д [S tffe) fi (gk+bgk)} det {g+Sg, f). (9.165)
k= i ft=l
Таким образом, мы доказали, что континуальный интеграл (9 159) с точностью
до граничных членов, присутствующих а фазе, действительно не зависит от
инфинитезимальною изменения вспомогательных условий Читателю предла-
предлагается объяснить роль этих граничных членов, равных exp ii \p dbF/dpVi, a
также обобщить данные рассуждения на случай, когда вспомогательные усло-
условия зависят от времени
9.3.2. Электромагнитное поле как пример
Чтобы познакомиться ближе с рассмотренным выше методом
квантования, вернемся к случаю электромагнитного поля с с-
числовым внешним сохраняющимся током В этом случае действие
записывается в виде
Вместо того чтобы в качестве динамической переменной исполь-
использовать только потенциал, мы предпочтем так называемый форма-
формализм первого порядка, в котором основными переменными явля-
являются как поля, так и потенциалы. Перепишем действие /следующим
образом.
J ^^ ]. (9.166)
Это выражение сводится к предыдущему, если в него вместо Е
и В подставить их выражения через А" и А Варьируя действие
по полю, мы находим соотношения между полем и потенциалом:
Е = —(УЛ« + А), В = rot А, (9.167а)
которые приводят к первой паре однородных уравнений Максвелла:
rotE + B = 0, divB = 0. (9.1676)
Вариация по А дает вторую пару уравнений:
divE = p, rot В — fe = j. (9.168)
Заметим, что
щ^} f d»y В (у) • rot А (у) = rot В (х),
114 i лава а
Среди этих уравнений В s= rot А и div E = р выступают в качестве
связей. Первое из них можно решить просто, заменяя всюду В
на rot А. После интегрирования по частям получаем следующее
выражение для действия:
+^otA)a A]+4°(divE—p)j (9.169)
Сравнивая данное выражение с (9.138), видим, что Л\ как и %,
играет роль множителя Лагранжа, которому не соответствует
какая-либо сопряженная переменная. Таким обраьом, мы пришли
к отождествлению канонических переменных (/?,-, qt) с А (х) и Е (х)
соответственно. Скобки Пуассона определяются посредством со-
соотношения
\At(x), ?у(у)Н8/уб»(х-у). (9.170)
Условия совместимости (9.152) необходимо обобщить, чтобы ох-
охватить случаи, когда р зависит от времени. Эти условия запи-
записываются теперь в виде
§? F}~0, (9.171)
где дифференцирование по времени выполняется для функции,
имеющей явную зависимость от времени. В нашем случае F —
= div E—р и
-|-(divE-P) = —|-.
Условие (9.171) сводится к равенству
dlvE-p} g—divJ-O,
(9.172)
которое выполняется тождественно благодаря сохранению тока.
Таким образом, за исключением этого минимального обобщения,
рассматриваемый случай укладывается в рамки описания, приве-
приведенного в разд. 9.3.1.
Остается выбрать вспомогательные условия g(E, A) = 0. Ра-
Разумеется, такой выбор в значительной степени является произ-
произвольным. В случае когда как g, так и связь div E — р = 0 явля-
являются линейными относительно динамических переменных, имеет
место серьезное упрощение. При этих условиях det \g, f} не зависит
от переменных и, следовательно, его можно включить в норми-
нормировку континуального интеграла. Допустимым условием является
следующее:
duA» = A° + dnA = c(K, t)> (9.173)
где с(х, t)—произвольная функция.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ] 15
Вернемся к ковариантным обозначениям и запишем амплитуду
перехода в виде
§9>(F,A)Jlb(d-A-с) exp |t Jd'x[-1 V»-
(9.174)
Интеграл Гаусса по В автоматически осуществляет подстановку
В—+ rot А. Аналогично интеграл по Е дает вместо электрического
поля его значение —(\М" + А). Выполняя эти действия, полу-
получаем следующее выражение для амплитуды:
. (9.175)
Это не совсем то выражение, которое использовалось в предыду-
предыдущих главах. Однако, поскольку (9.175) не зависит от произволь-
произвольной функции с(х, t), можно получить полную идентификацию
данных выражений, интегрируя по этим функциям ь (х, /) с весом
ехр I —Aк/2)\с1*хс2\. Обозначая разность д^А^—дцЛм через F^v,
находим окончательный вариант континуального интеграла, ко-
который совпадает с известным выражением
]} (9.176)
Данный подход иллюстрирует произвол, связанный g калибро-
калибровочной инвариантностью. Имеет также смысл сравнить его с опе-
операторным формализмом.
9.4. ВЫСОКИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
9.4.1. Введение
Функциональные интегралы дают нам новое средство для иссле-
исследования различных аспектов теории поля. В качестве иллюстрации
приведем в заключение настоящей главы анализ теории возмуще-
возмущений в высоких порядках. Одна из целей нашего изучения состоит
в том, чтобы попытаться лучше понять причины поразительной
точности, которую дают последовательные приближения в кван-
квантовой электродинамике и в других многообещающих моделях с
малыми константами связи. Мы предпринимаем это исследование,
надеясь также преодолеть ограничения, характерные для разло-
116 ГЛАВА 9
жений теории возмущений, я включить в рассмотрение явления
сильной связи. Хотя наши знания на сегодняшний день еще да*
леки от того, чтобы их можно было считать удовлетворитель*
ными, достигнутые важные результаты оправдывают те усилия,
которые предпринимаются в данном направлении, Кроме того,
здесь нам представляется случай продемонстрировать применение
методов расчета, связанных с использованием континуальных ин-
интегралов.
По своей природе ряд теории возмущений связан с аналити-
аналитическими свойствами функций Грина как функций константы связи
в окрестности нуля Изучение этих свойств возможно, но явля-
является чрезвычайно сложным делом.
К счастью, существует менее строгий, но реально осуществи-
осуществимый подход, который приводит к аналогичным выводам, а именно
что ряд теории возмущений во всех интересных случаях сильно
расходится Однако, несмотря на это, ряд теории возмущений,
как будет видно из дальнейшего изложения, может оказаться
весьма полезным
Таким образом, нашу задачу можно разбить на две независи-
независимые части Сначала мы ищем оценку для высоких порядков раз-
разложения функции Грина, заданного хорошо определенными пра-
правилами Фейнмана и рецептами перенормировки. Некоторые аспекты
этой программы уже завершены. Стоит заметить, что здесь мы
уже не зависим от ответа на вопрос, определяет ряд одночнач-
ную математическую величину или нет Для некоторых практик
ческих целей этот первый этап может оказаться вполне достаточ-
достаточным Например, может случиться так, что квантовая электроди-
электродинамика в ее современном виде не является полностью
последовательной и что в рамках более глубокой теории степен-
степенные ряды по а окажутся асимптотическими.
Вторая часть задачи состоит в том, чтобы попытаться восста-
восстановить из данных разложений однозначную теорию в соответствии
с некоторыми определенными рецептами Эта задача, очевидно,
трудноразрешима, и для ее решения потребуется дополнительная
информация Последнюю можно получить с помощью независимого
построения Тем не менее в самой структуре ряда можно обна-
обнаружить такие свойства, которые подскажут нам разумные спо-
способы его суммирования.
Природу расходимостей нетрудно понять на примере исследо-
исследования простого случая Для этой цели заменим континуальные
интегралы обычными интегралами вида
+ 00
Z (?)=—=¦ Г d<pe-(q>V2+gq>«), (9.177)
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ Ц7
Разумеется, этот случай настолько тривиален, что можно полу-
получить Z (g) в замкнутой форме В точке g = 0 имеется существен-
существенная сингулярность При отрицательных Reg (и при |Argg|<it)
контур интегрирования в (9 177) можно повернуть. Это стано-
становится невозможным, когда g приближается к отрицательной
вещественной оси и интеграл расходится при больших <р Вели-
Величину ф можно рассматривать как значение поля в точке, а выра-
выражение Ф2/2 + §ф4—как что-то похожее на действие Отрицательные
значения g отвечают нестабильной ситуации, когда «потенциал»
не ограничен снизу. Это находит отражение в разложении по
теории возмущений, если записать
arJ
где
у п k\
— 00
Используя формулу Стирлинга
(9 178)
мы видим, что при больших k величина Zh дается выражением
У я
Тем не менее степенной ряд по g является асимптотическим в
комплексной g-плоскости, разрезанной вдоль отрицательной ве-
вещественной полуоси, поскольку из оценки
I а |я+1
-^ (9.180)
{cos[(l/2)Argg]}2'!+3'/2
следует, что при фиксированном п и достаточно малом g ее пра-
правую часть можно сделать сколь угодно малой
Асимптотическое поведение величины Zk было получено с по-
помощью формулы Стирлинга, примененной к точному выражению.
Однако в реальных случаях точное выражение получить невоз-
невозможно. Рассмотренный пример наводит на мысль применить
к выражению
ОЭ
(9.181)
ГЛАВА 9
при больших k метод перевала, Положение седловой точки опре-
определяется равенством
Ф? = 4?, (9.182)
а интегрирование по квадратичным отклонениям от q>c дает"
Zk ~ t?>- \/e*k 1п **- »*д <~У е<*-1/«) >n*-*t (9.183)
как и прежде.
Какую информацию можно извлечь из такого расходящегося
ряда помимо использования его в асимптотическом смысле для
вычисления функции при малых g> При некоторых благоприятных
обстоятельствах, подобных тем, которые мы здесь обсуждали,
степенной ряд (9.178) в действительности содержит достаточно
информации для однозначного восстановления функции. Конечно,
имеется возражение, что всегда можно добавить произвольную
функцию типа ехр(—llVg), производные которой обращаются
в нуль в начале координат при стремлении к нему вдоль поло-
положительной вещественной оси. Однако в хорошо определенном
классе функций, в котором исключены такого рода патологии
[и к которым принадлежит Z (g)], мы можем с помощью преобра-
преобразования Бореля восстановить Z (g) из соответствующего расходя-
расходящегося ряда теории возмущений.
Введем функцию
Sffe (9-184)
в которой присутствие в знаменателе T(k + 3/2) оправдывается
поведением, описываемым формулой (9.179). В зависимости от
рассматриваемого случая эта величина может несколько меняться.
Ряд в (9.184) будет сходиться в круге конечного радиуса комп-
комплексной ^-плоскости. Если функцию В (t) можно продолжить на
всю вещественную положительную полуось и она не возрастает
слишком быстро на бесконечности, то Z(g) можно записать в виде
\ (9.185)
Для доказательства суммируемости по Борелю недостаточно
того, что нам известен ряд теории возмущений. Однако этого
достаточно, чтобы доказать отсутствие суммируемости в случае,
когда В (/) имеет сингулярность на положительной вещественной
полуоси. Это имеет место, например, когда Zk имеют асимптоти-
асимптотически одинаковые фазы.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ П9
В нашем простом случае мы имеем
t) = -±=
У я
и_ )О+Ж-1 (9Л86)
^ б '
причем В (t) является аналитической в плоскости, разрезанной
на промежутке от —1/16 до —оо.
Для того чтобы получить сходящееся разложение функции Z {g),
отобразим разрезанную /-плоскость на круг, не меняя положение
нуля (здесь это обеспечено выбором переменной и), и выпишем
сходящийся ряд Тейлора для В (и):
5@ = 5(«)=1>*И0Р, (9.187)
вытекающий из соответствующего разложения по t. При этом
Zfe)= S bk]dtt4*[u(gt)]*e-*. (9.188)
к —0 о
Поскольку коэффициенты Ьк убывают здесь как ?-*/«, легко
видеть, что этот новый ряд будет сходиться как е-8(*/зя'/г)г/з.
Поведение, обнаруживаемое в данном примере, говорит о тес-
тесной связи с некоторыми расходимостями, которые встречались
нам в теории поля, поскольку коэффициенты разложения Z (g)
по степеням величины g равны числу вакуумных диаграмм
в теории ф4. Это следует непосредственно из того факта, что
теорема Вика применима к интегралам от мономов с гауссовым
весом.
Данное замечание применимо и к другим теориям поля. Рассмотрим, на-
например, Ь электродинамике интеграл
e-^2/2 + r,tl/(l-^) + Mj {g lg9)
где предполагается, что •ф и •ф представляют собой комплексно-сопряженные
е-числовые переменные. За исключением сокращений, вытекающих из теоремы
Фарри, разложение функции lnZ по степеням величины е дает число диаг-
диаграмм, отвечающих связным функциям. Это осуществляется симметризацией
производящей функции для заряженных петель по отношению к е, когда
1пA — еЛ)—у A/2) In A—еМ2)], т е заменой Z на
. г,)= [^^Г^^О-^М, (9Л90)
J20 i ллвл а
Интеграл имеет смысл при отрицательных Л Фотонный и электронный про-
пагаторы G и S, связанные с поляризацией вакуума ш и собственной энер-
энергией 2, запишутся соответственно в виде
>,
(9191)
где усреднение выполняется с мерой (dA/Y"l — е*А2)е~А*/2. Удивительно,
что эти выражения совпадают:
здесь Ко(г)—модифицированная функция Бесселя:
ас
dQ е-г ch 9
О
Разложение выражения (9.192) при больших г дает
Ко (г) =$
+... . (9.193)
Эти выражения следует сравнивать с числом диаграмм для поляризации
вакуума при наличии лишь одной заряженной петли:
ш, = 2 Bя— 2)!! е2« = е2 + 3в4+ 15е"+105еЧ-945е10+ Ю395е13Н . (9.194)
Аналогично производящая функция для вершинных диаграмм равна
Г=4гA —S)S-2G-1=l+e2 + 7e4 + 72ee + 891e8+12 672el0+... . (9.195)
Особо смелые люди берутся за вычисление 891 диаграммы для электронной
аномалии в восьмом порядке, но можно ли всерьез задумываться о рассмот-
рассмотрении 12672 диаграмм в десятом порядке?
9.4.2. Ангармонический осциллятор
Применим рассмотренные выше идеи к изучению квантовомехани-
ческой системы. Хотя метод работает для любого полиномиаль-
полиномиального потенциала, для определенности рассмотрим энергию основ-
основного состояния ангармонического осциллятора с гамильтонианом
Я = |(/?2 + <Р3)+?ф4- (9-196)
Обозначим конфигурационную переменную через <р, а сопряжен-
сопряженный ей импульс—через р, чтобы подчеркнуть формальную ана-
аналогию с теориями поля высших размерностей. Задачу о разло-
разложении по степеням величины g можно рассматривать в рамках
уравнения Шредингера. Мы ожидаем, что в случае бесконечно
малых отрицательных g имеет место неустойчивость, которую
можно исследовать с помощью приближения В КБ (приближение
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 121
Вентцеля — Крамсрса— Бриллюена). Поскольку в случае высших
размерностей этот метод неприменим непосредственно, поучительно
использовать альтернативный подход, построенный по аналогии
с предыдущим примером.
Матричные элементы оператора эволюции е~пн можно пред-
представить в виде континуальных интегралов. Такое же представле-
представление существует и для следа оператора е~$н, который интерпре-
интерпретируется как функция распределения канонического ансамбля
осцилляторов. Здесь E-1 равно абсолютной температуре, умно-
умноженной на постоянную Больцмана, причем величина
F = — ^ln(spe-e") (9.197)
является свободной энергией. Когда температура стремится к нулю,
или f5—-к бесконечности, величина F представляет собой энергию
основного состояния
Таким образом, функцию распределения Z (g) можно записать
в виде континуального интеграла от экспоненты, показатель сте-
степени которой есть не что иное, как евклидово действие (т. е. дейст-
действие, в котором относительный знак между кинетической и потен-
потенциальной энергией заменен на обратный по сравнению с обычным
выражением). Функции <рG) являются периодическими во«времени» :
Оф(р) в соответствии с тем фактом, что мы вычисляем след
) (9.198)
Энергия основного состояния дается формулой
], (9.199)
где Z (g) определяется выражением (9.198).
Разложение отношения Z(g)/Z@) по степеням g имеет вид
(9.200)
При больших k величина Zk вычисляется посредством метода
перевала. Мы ищем седловую точку q>e(t), Для которой выпол-
выполняется равенство фс @) = фс (р1) и которая минимизирует эффек-
тивное действие
о
о
т. е. фс должно удовлетворять уравнению
з
— = 0.
(9.201)
(9.202)
Переопределяя ф, с помощью соотношения
L0
(9.203)
приходим к уравнению
(9.204)
которое выражает тот факт, что ф имеет первый порядок, тогда
как фс растет как k'1*. По сравнению с обычным уравнением
движения в уравнении (9.204) изменены два знака, а также бла-
РИС. 9.6. Эффективный по-
потенциал в евклидовом про-
пространстве. V(<p) = —ф8/2 -\-
+ ф4/4. Штриховой линией
показано движение в огра-
ограниченных пределах.
годаря (9 203) от^/тствует зависимость от константы связи.
Во-первых, ^нак потенциала, а следовательно, и силы, изменен
на противоположный благодаря повороту к евклидову времени
(другой способ перехода в евклидову область состоит в замене t
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 123
на it, изменяющей знак ускорения) Во-вторых, эффективная
свя-sb отрицательна, о чем говорит относительный знак между
гармоническим (ср) и ангармоническим (ср3) членами Эффективный
потенциал изображен на рис 9 6 Уравнение является трансля-
ционно-инвариантным во времени и симметричным относительно
преобразования ср—>¦—ср
Сдвигая начало отсчета времени t, можно перейти вместо
[О, Р] к симметричному временному интервалу [—р/2, C/2] В пре-
пределе р —> оо интервал становится бесконечным, и решение, мини-
минимизирующее действие, записывается в виде
<9-205>
с точностью до общего знака и при произвольном выборе начала
отсчета времени т Очевидно, что данное выражение удовлетво-
удовлетворяет периодическим граничным условиям, которые здесь допол-
дополнены условием конечности действия Таким образом, имеется бес-
бесконечное число вырожденных седловых точек, удовлетворяющих
условиям
= lim
СО СО С
5?+!t_kln([dt<p$ U —J
(9.207)
В этом пределе соотношение между ф( и ф запишется в виде
(9 208)
Из-ча вырождения седловых точек, которое является следствием
симметрии задачи, интегрирование по квадратичным отклонениям
от минимума требует некоторой осторожности Правильнее отнести
это к проблемам квантования, поскольку мы ищем квантовые
частоты осцилляции около классического экстремума действия
Этот вопрос возникает всякий рач, кшда классическая седловая
точка используется с целью нахождения приближенного выраже-
выражения для континуального интеграла и имеется вырождение, свя-
связанное с непрерывной инвариантностью Нулевой частоте отвечают
одна или несколько мод В данном случае они соответствуют транс-
трансляции во времени и их следует отделить прежде всего для того,
чтобы после интегрирования по т получить множитель ft Разу-
Разумеется, существенно то, чтобы величина 0 оставалась конечной,
хотя и большой, несмотря на то что для тех величин, которые
допускают конечный предел, ее можно было бы выбрать даже
124 ГЛАВА 9
бесконечной. Рассматриваемая задача имеет непосредственное
отношение к квантованию систем со связями, которые мы изу-
изучали в разд. 9 3
Таким образом, наша цель состоит в том, чтобы исследовать
отдельно коллективную моду, возникающую благодаря трансля-
трансляционной степени свободы Для этого введем в континуальный
интеграл следующий фактор, равный единице:
Р/2
1= J й!тб@ф—т), (9.209)
-Р/2
где 0Ф определяется неявно с помощью условия
$d*i|>(/—9,)ф@ = 0, (9.210)
а функция if является нормированной производной от ф, соот-
соответствующей, скажем, точке т = 0:
Мы вскоре выясним, почему нам пришлось сделать такой Еыбор.
Если над полем ср произведено преобразование трансляции
на величину т, а именно ip(t) —npT(t) = q>(t — T), то при этом
предельное действие и континуальный интеграл по путям остаются
инвариантными, но 8Ф заменяется на 0ф + т. Таким образом, ин-
интегрирование по т можно выполнить явно, что дает, как и ожи-
ожидалось, множитель E. Следовательно,
е"(/"/с>- (9-212)
С точностью до знака благодаря б-функции мы получим единст-
единственную седловую точку. Можно произвести разложение около одного
из двух решений (например, положительного) при условии, что
результат умножается на два, поскольку вследствие симметрии оба
вклада равны друг другу. Положим
Ф = Ф, + Х (9.213)
и удержим главные члены в разложении по %. При stom получаем
В главном порядке мы опускаем ^dtify и видим, что
=|/&. (9.215)
Во втором порядке по % величина / — 1С имеет вид
]- (9-216)
где и=х_фЗ
В скобочных обозначениях Дирака имеем
(9.217)
здесь К—оператор Шредингера:
а /Со соответствует свободной части, т е. Ко = — d^/dt2 Согласно
предписанию, необходимо проинтегрировать нормированную вели-
величину ф по подпространству, ортогональному if Спектр оператора
К +1 содержит дискретную нулевую моду с собственной функ-
функцией, определяемой \р Действительно, дифференцируя (9.204) по
времени и подставляя в результат решение (9.205), имеем
Это не влияет на интегрирование с б-функцией. Кроме того, по-
поскольку vp имеет один узел, существует единственная нормирован-
нормированная величина %, соответствующая отрицательному собственному
значению оператора /С+1 Остальная часть спектра представляет
собой положительный континуум Из определения и следует, что
<ф|и> = 0
Оператор К соответствует новой задаче Шредингера с так назы-
называемым потенциалом Баргмана, которая допускает явные решения.
Вычислим не равный нулю детерминант оператора К + 1 +1 ^> <« |
в пространстве, ортогональном 11|>>.
Таким образом, окончательное выражение для Zk запишется
в виде
det (/С+ 1+!«><« 1)х
(9-220)
Множитель 2я здесь обусловлен наличием гауссова интеграла по ф,
который не учитывается в знаменателе, когда мы рассматриваем
оператор (/(„+ l)j_- Этот множитель станет другим, если мы пред-
предпочтем не нормировать ф. От дополнительного проектора jи><«|
нетрудно избавиться, если заметить, что
(Я+1)Ф = —2ф8 = — D/|Лз)и. (9.221)
Выше мы отмечали, что, поскольку | «> принадлежит подпрост-
подпространству, ортогональному ф, уравнение (9.221) можно обратить
в этом пространстве, и мы получим
= — det(/C+
(9.222)
Знак минус нас вполне устраивает, так как остается единственное
отрицательное собственное значение оператора (/С + 1)х- На прак-
практике, для того чтобы отделить вклад поперечных мод, можно исполь-
использовать предельную процедуру, заменяя К-\-\ на K-\-z и отделяя
коэффициент при (г— 1), когда г—> 1. Таким образом,
Г---2я
f <* +
det(/C0
.-I —2л Иш ' ,d?/*+'». (9.223)
Существует несколько методов получения явного выражения
для этого детерминанта Фредгольма. Наиболее поучительный из
них, допускающий обобщение на произвольный одномерный потен-
потенциал, состоит в том, чтобы связать вычисление флуктуации около
седловои точки в континуальном интеграле и обычное ВКБ-прибли-
жение для волновых функций Следует также заметить, что в данном
случае проблема флуктуации сводится к решаемому уравнению.
Применение находят оба метода, которые в результате дают
откуда мы находим
Объединяя все сомножители, получаем
' ZV
(9.225)
<9.226)
Как и следовало ожидать, это приводит к растущему фактору
вида k\, как, например, для функции
г (k + 1/2) (—3)* F/я8I/».
(9.227)
Благодаря такому поведению данный результат можно переписать
в терминах разложения для энергии. Действительно, главный вклад
в коэффициент при g* в разложении для In ( 1 + ]? cpgp \ имеет
вид ск[\ +O(l/k)], где ск растет как k\. Таким образом, приме-
применяя формулу (9.199), находим, что множитель Р выпадает, и мы
получаем
(9.228)
Впервые это соотношение получили Рендер и By.
Граффи, Греччи и Саймон в случае ангармонического осцилля-
осциллятора сумели показать, что функция Е (g) суммируема по Борелю,
т. е. может быть записана в виде преобразования Бореля с помощью
соотношения типа (9.185).
Затем, используя стандартную технику теории возмущений
в окрестности седловой точки, можно получить систематическим
образом поправки по степеням величины \jk. Данный метод можно
также обобщить на возбужденные состояния, удерживая в выра-
выражении для действия в седловой точке члены порядка е~Р и раз-
разлагая е~1с по степеням величины е~$
Заметим, наконец, что помимо периодических решений с перио-
периодом |5 существуют решения с дробными периодами Р/2, f>/3, ...,
которым также могут соответствовать седловые точки. Этим реше-
решениям отвечают значения классического действия, которые превос-
превосходят наименьшее в два, три и т. д раз Следовательно, поправки,
вносимые ими в наши результаты, экспоненциально малы
В принципе эти методы можно непосредственно обобщить на теорию поля, по
крайней мере пока не рассматриваются перенормировки. Аналогичным обра-
образом находят точки нестабильности при малых константах связи. Они ответст-
ответственны за сингулярности в плоскости, преобразованной по Борелю. До тех
пор пока эти сингулярности не достигают положительной вещественной оси
(считается, что последняя отвечает физической ситуации), теория последова-
последовательна. Эта дополнительная информация позволяет использовать наиболее
аффективным образом первые несколько членов ряда теории возмущений
с целью точного определения физических величин. Данная программа привела
к большому успеху в ряде приложений бозонной теории Ф4 в трех измерениях
к проблемам статистической механики. Эту программу можно обобщить и на фер-
мионные поля Однако могут встретиться также сингулярности на положитель-
положительной вещественной полуоси, которые являются следствием подлинных неста-
бильносгей. С такими сингулярносгями можно столкнуться даже при квази-
квазиклассическом рассмотрении (например, в случае калибровочных полей,
рассматриваемых в гл. 12). Вследствие этого для построения теории возмущений
мы должны среди нескольких вырожденных минимумов классической энергии
выбрать один. При этом расходимость ряда отражает квантовый туннельный
эффект между данными основными состояниями. Классические евклидовы
решения уравнений поля с конечным действием / интерполируют между этими
состочниями, давая вклад в амплитуду перехода е~Ч . Следовательно, для
построения разумной теории необходимо устранить это вырождение, вводя
дополнительные квантовые числа
Дополнительные сингулярности могут возникнуть также в результате пере-
перенормировки. Это, по-видимому, ставит трудные проблемы, связанные с после-
последовательностью перенормируемых теорий поля.
ПРИМЕЧАНИЯ
Идея о континуальных интегралах, основанных на принципе суперпозиции,
в квантовой механике впервые появилась в работе Дирака (см. ¦ Dirac P. A. M.—
Physikalische Zeitbchrift der Sowjetunion, 1933 vol 3, p 64) и была развита
Фейнманом (см.: Feynman R, P.—Rev. Mod. Phys., 1948, vol. 20, p. 367). Под-
Подробное изложение можно найти в книге: Feynmun R. P., Hibbs A. R. Quantum
Mechanics and Path Integrals.— New York: McGraw-Hill, 1965 [Имеется перевод:
Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям.— М.:
Мир, 1968.]. Фермионный случай рассмотрен в mohoi рафии: Березин Ф А.
Метод вторичного квантования —М.- Наука, 1965. Среди многочисленной лите-
литературы последнего времени можно сослаться на лекции Зинн-Жюстена (см.: Zinn-
Justin J. Trends in Elementary Particle Theory: В сб. статей: Lecture Notes in
Physics Ко. 37/ed. H. Rolnik, K. Dietz.— Berlin: Springer-Verlag, 1975), а также
на лекции Л. Д. Фаддеева (см: Faddeev L. D. В сб. craiefl. Methods in Field
Theory/ed. R. Balian, J. Zinn-Justin.— Amsterdam: North-Holland, 1976). Под-
Подход, основанный на функциональных производных, развит Швингером
(см.: Schaiinger J —Phys. Rev., 1951, vol. 82, p 914 [Имеется перевод в сб.
статей: Новейшее развитие квантовой электродинамики.— М.: ИЛ, 1954, с. 115.],
Эйкональное приближение в 1еории поля рассмотрено в лекциях Абарбанела
(см.: Abarbanel Н. D. I. В сб. статей: Cargese Lectures in Physics/ed. D. Bessis.—
New York: Gordon and Beach, 1970).
Эффективный потенциал обсуждается в статье: Coleman S., Weinberg E.—
Phys. Rev., ser. D, 1973, vol.7, p. 1888, а также в лекциях Коулмена (см.: Cole-
Coleman S. Secret Symmetry.— b кн.: Laws of Hadronic Matter. Proc of the 11th
Course, International School in Physics «Ettore Majorana»/ed. A. Zichichi.— New
York: Academic Press, 1975 [Имеется перевод в книге: Квантовая теория калиб-
калибровочных полей.— М.: Мир, 1977.]. Вычисления, приведенные в тексте, заим-
заимствованы из статьи: Iliopoulos J., Itzykson С., Martin Л.—Rev. Mad. Phys.,
1975, vol. 47, p. 165.
Дирак впервые дал общую трактовку квантования систем со связями
(см: Dirac F, А. М.— Proc Roy. Soc. 1958, vol. 246A, p. 326). В рамках метода
континуальных интегралов эту проблему рассматривал Л. Д. Фаддеев (см.: Теор.
и мат. физика, 1969, т. 1, с. 3).
Нестабильности вакуума и их связь с расходимостью ряда теории возму-
возмущений были впервые рассмотрены в статье: DybonF.J.— Phys. Rev., 1952,
vol. 85, p. 631. Суммируемость по Борелю изучал Джаффе (см.: Jaffe A.M.—
Commun. Math. Phys., 1965, vol. 1, p. 127). В случае ангармонического осцил-
осциллятора она была доказана Граффи, Греччи и Саймоном (см Graffi S., Grecchi К.,
Simon В.-- Phys. Lett. ser. B, 1970, vol. 32, p. 631) Соотношения для ангар-
ангармонического осциллятора получены Бендерсм и By (см: Bender С. М.,
Wa Г. Г.—Phys. Rev., 1969, vol. 184, p. '231. Phys. Rev Lett., 1971, vol. 27,
p. 461; Phys. Rev., ser. D, 1973, vol 7, p 1620). Квантование вблизи класси-
классического экстремума обсуждаю ся в работе: Dashen R. F., Hasslacher В.,
Neveu A.— Phys Rev., ser D, 1974, vol. 10, p. 4114.
В теории поля оценки высоких порядков рассмотрены в следующих статьях:
Липатов Л. Н.— ЖЭТФ, 1977, т. 45, с. 216; Вгегхп ?., 1л Guillou J.C., Zinn-
Justin У.—Phys. Rev., ser. D, 1977, vol. 15, pp. 1544, 1588.
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Изложение теории континуального интеграла и ее приложений имеется
в книгах: Славное А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калиб-
калибровочных полей.— М.: Наука, 1978; Попов В. Н. Континуальные итегралы
в квантовой теории поля и статистической физике.—М.: Атомиздат, 1976;
Васильев А. И. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике.—
Л.: Изд-во ЛГУ, 1976.
Высокие порядки теории возмущений рассматриваются в лекциях: Коза-
Козаков Д. И., Шишков Д. В. Суммирование асимптотических рядов в квантовой тео-
теории поля.—Дубна: Р2-80-462, 1980.
1845
Глава 10
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ПРОБЛЕМА СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
Интегральные уравнения, связывающие амплитуды, являются важ-
важным средством изучения особенностей теории, выходящих ia рамки
теории возмущений В частности, они представляют собой адек-
адекватный метод исследования релятивистских связанных состояний.
Сосредоточим свое внимание в первую очередь на этой проблеме,
оставляя в стороне другие интересные вопросы В настоящей главе
дано весьма подробное описание формализма, основанного на интег-
интегральных уравнениях В качестве иллюстрации мы рассмотрим сверх-
сверхтонкое расщепление позитрония.
10.1. УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА —ШВИНГЕРА
Применяя различные методы, Швингер и Дайсон независимо вывели
интегральные уравнения для функций Грина как следствие урав-
уравнений поля, т е характерней структуры лагранжиана В гл 9
нам уже встречались подобные уравнения, соенветствующие слу-
случаю самодействующего скалярного поля
Бели эти уравнения перенормировать должным образом, то их
можно использовать как независимую основу для построения тео-
теории возмущений Более вним л'ельное рассмотрение показывает,
что данная система уравнений представляет собой бесконечную
иерархию Вследствие этого, помимо анализа общих свойств, прак-
практическая применимость таких уравнений ограничена приближе-
приближениями, необходимыми для того, чтобы придать им обозримый вид
Это досадное обстоятельство можно увязать с тем фактом, что
в данном случае естественным математическим аппаратом является
функциональное исчисление—метод, не очень распространенный.
10.1.1. Уравнения поля
Для определенности мы будем рассматривать электродинамику,
хотя данный метод применим в общем случае. Как обычно, опре-
определим производящий функиионал с источником электромагнитного
потенциала Jц(х) и антикоммутирующими источниками электрон-
позитронного поля г\(х) и г\(х). Этот функционал выражается
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ L.UI. 1 УЯНИЯ \$\
через континуальный интеграл следующим образом:
Z(J, ц, ц) = е°^^^=1^>(А, \р, \p)el°, A0.1)
где
o=l(A,y,V) + l d*x[./„(х) А»(х) + ц(х)q(х) + ф(х)i\(x)].
Здесь действие / представляет собой функцию от Л, \р, \f>, опре-
определяемую соотношениями F 25) {см т 1 настоящей книги). Под-
Подразумевается также, что присутствует нормировочный множитель,
благодаря которому свячный функционал, у которого для крат-
краткости записи опущен индекс с, удовлетворяет условию G@) = 0.
Чтобы учесть перенормировку, можно регуляризовать действие
и включить в него конгрчлены Для простоты они не будут выпи-
выписываться явным образом до конца наших вычислений Уравнения
поля получаются как следствие того факта, что интеграл от про-
производной равен нулю Мы имеем, например,
]*ъ (|а2)
Выпишем уравнение для производной
^ Ц. A0.3)
С учетом этого равенства уравнение A0.2) принимает вид
-, 6G 6G 6G б
A0.4)
Удобно с помощью преобразования Лежандра перейти к неприво-
неприводимым функциям
G(J, Ti, q) = »Г(Л, г|), ip) +
которые удовлетворяют следующим соотношениям:
я j \ 1 6G . . .. 1 6G т. . 1 6G
^Х)
Подставляя эти величины в A0 4) и учитывая, что
&Цх (-х) Щу (г) ^^v (г)
5*
л=1=», A0.7)
132
ГЛАВА 10
в случае, когда фермионные источники равны нулю, уравнение
A0.4) можно переписать в виде
6Л11 (х)
1J)=1J)=O
A0.8)
Величина, обратная б2Г/б\|; (х) 8г|; (у), является электронным пропа-
гатором, в который включены радиационные поправки в присут-
присутствии внешнего поля. Возьмем производную по Л и приравняем ее
РИС. 10.1. Интегральное уравнение для амплитуды поляризации вакуума.
нулю. При этом возникают неприводимая вершинная функция G.46)
(см. т. 1 настоящей книги):
=е\»(х;у,г), A0.9)
6-4^ (х)
амплитуда поляризации вакуума
62Г
A, i|), i|)= 0
A0.10)
и полный электронный пропагатор iS (x, у), удовлетворяющий соот-
соотношению (рис. 10.1)
(SfuvQ —д,А)ш(*, У) =
» x)\ A0.11)
Условия нормировки таковы, что в низшем порядке мы имеем
Иными словами, уравнение A0.4) представляет собой усложнен-
усложненную форму уравнений Максвелла, по отношению к которым A0.11)
является лишь малой частью Высшие функциональные производ-
производные приводят к последующим соотношениям. Непосредственным
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ Ш
образом уравнения можно вывести, используя графическую интер-
интерпретацию, данную на рис. 10.1. Аналогично, уравнение Дирака
следует из тождества
0 = J <2>(А, у, l|
- й--?)
Здесь удобно работать с полными функциями Грина в отсутствие
несвязных фотонных амплитуд, получаемых как производные от
Z (J, т), r\)/Z (J, 0, 0) Записывая для краткости Z (J, 0, 0) = Z (/),
получаем
Дифференцируя по т[ и полагая q = ri = O, имеем
здесь функция S (х, у; J) описывает распространение в присутст-
присутствии источника J. Вводя обозначение
^^^G(J,0,0),
последнее уравнение можно переписать в виде
ЬЧх-у)-[Ш-т~еА {х- J)-ey» j^^S (х, у-, J) = 0, A0.15)
где мы опустили символ Кронекера б для спинорных индексов.
В данном уравнении можно продифференцировать по У и поло-
положить источник равным нулю, вследствие чего будет выполняться
равенство А (х\ J)\j=o = 0. Это дает
(Ш -т) S (х, у) — ге2 J d*z й*х' d*y' у^ (х, г) S (х, х') X
y) = 8'(x-y), A0.16)
поскольку полная трехточечная функция содержит неприводимую
вершину, свернутую с пропагаторами двух фермионов и фотона:
Продольные1 {10Л7)
члены f v '
Смысл уравнения A0 16) становится более ясным, если записать
его в виде
m-Z)S{x,y)\ = b'(x-y)K A0.18)
134 ГЛАВА 10
где оператор собственной массы 2 дается выражением
г#х'у^{х, z)S(x,x')Av(z;x',y). A0.19)
Это выражение иллюстрируется на рис. 10.2. i
Полагая т) = т] = 0, уравнение A0.4) можно переписать следу-
следующим образом:
[ngl>v-O-b)dtld4]A»(x\J) =
= —Jv,-ieSp[yllS(x,x\J)]. A0.20)
В сочетании с A0.15) это дает замкнутую функциональную систему,
в которой аргументом является источник J. Альтернативно можно
РИС. 10.2. Представление оператора собственной массы.
записать эквивалентную систему, в которой аргументом является
внешний потенциал А, Для этого введем фотонный пропагатор
Gyp(xt у; А). Дифференцируя уравнение A0 20) по У, получаем
lbS^)A) Gvp(z, у; Л)]=^рб*(^—у).
A0.21)
В то же время A0.15) можно записать в виде
[Шх-т-еА (x)]S(x, у; А)-
, z; А)^^^Ь*(х-у). A0.22)
Мы вновь получили полную систему уравнений, определяющую 5
и G. К сожалению, они дают мало пользы, поскольку у нас нет
опыта работы с такими выражениями.
Возвращаясь к уравнению A0.14), можно получить дальнейшую
информацию, вычисляя производные более высокого порядка по
спинорным источникам Большой интерес представляет собой функ-
функция Грина S (xlt x%, у1г уг, J), соответствующая распространению
двух заряженных частиц. Действуя так же, как и прежде, нахо-
находим
И^—
(Ю.23)
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСЮЯНИЯ
135
В правей части антисимметричная комбинация является отра-
отражением принципа Паули Учитывая соотношение A0 18), которому
удовлетворяет двухточечная функция, можно подействовать на
переменную *2 оператором Ш — т — 2 (В других случаях нас
+
РИС. 10.3. Ядро V уравнения Бете — Солпитера Перечеркивание соответст-
соответствует усечению соответствующей пропагаюрной линии
мог бы интересовать результат действия этого оператора на остав-
оставшиеся переменные у1 или у2.) Во всяком случае, полагая / = 0,
находим
i— m — S)S(x1, x2tyuy2)
= б* (*,-</,) б4 (д,-yt)-6* (х,-у
A0.24)
Нетрудно заметить, что в правой части первые два члена являются
вкладом несвязной амплитуды Роль третьего члена легче понять
с помощью графического анализа Будучи записан в виде свертки
% й*гг V (*„ хг\ zlt гг) S (г„ г2; г/„ уг),
этот член содержит ядро V (хг, х2; ух, у2), описываемое усеченными
четырехфермионными диаграммами, которые нельзя сделать несвяз-
РИС. 10.4 Уравнение Бете—Солпшера
ными, разрезая две фермионные линии (рис. 10.3). Вводя для у-
матриц значки, указывающие, на какие индексы они действуют,
получаем в наинизшем порядке
V(*i, Ч\ Ул, y2)-^'%'G^(xl~xi)fr^(x,-yl)^(x2-y2) A0.25)
В этих обозначениях уравнение Бете—Солпитера окончательно
запишется в виде
—т — S)
m—
J d*Zl d*zt V (xlf xt; гх, гг) S (гг, г2; ylt у,), A0.26)
136 ГЛАВА 10
Это уравнение представлено графически на рис. 10.4, на ко-
котором перечеркивание указывает на то, что соответствующие про-
пагаторные линии являются усеченными.
Уравнение A0.26) записано для электрон-электронного канала.
Разумеется, соответствующее уравнение можно вывести и для пе-
перекрестного электрон-позитронного канала, где оно описывает
связанные состояния позитрония.
10.1.2. Перенормировка
Уравнения поля требуют, очевидно, перенормировки Чтобы из-
избежать громоздких обозначений, мы не вводили контрчлены в дей-
действие Их следует теперь восстановить Поскольку перенормировка
не является здесь нашей основной заботой, не будем вдаваться
в подробности. Обрисуем лишь схематически изменения, которые
привносит учет мультипликативных перенормировок функций
Грина, когда мы выражаем их через физическую массу и константу
Рассмотрим сначала уравнение A0.15) для электронного про-
пагатора. Запишем его через константы перенормировки волновой
функции (Z2) и константы перенормировки вершины (Zx) следующим
образом:
ЪЦх-у) -\z,{i%-m)-eZx [A(x, J) + Vv^r^}} S(x, у; J) = 0.
A0.27)
Тождество У орда требует выполнения равенства Z1 — Z2, причем
обе эти величины бесконечны Аналогично уравнение для фотон-
фотонного пропагатора A0 21) следует записать в виде
Gv, (х, у) + Mv&Gv, (х, у) +
^IpJU Gvo(z, у)] =gll)84x-y) A0.28)
Такая запись вновь указывает на то, что, когда эти уравнения
итерируются в случае конечных функций Грина G и S, для по-
получения конечных результатов необходимы бесконечные константы
перенормировки
Если не возвращаться к разложению теории возмущений, мы
приходим к довольно неприятной ситуации.
Упражнения
1. Выведите перенормированные формы соотношений A0.11) и A0.19).
2. Свяжите вершинную функцию с ядром Бете—Солпитера и изучите ренор
мализациоипыс свойства уравнения A0 26)
3. Полечите лмлогич'ые уравнения в модели <р4 и рассмотрите их ренорма-
лизационные свойства
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 137
10.2. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
В релятивистском подходе связанные состояния и резонансы оп-
определяются по положению полюсов функций Грина. Простое обоб-
обобщение уравнения Шредингера, к сожалению, невозможно, за исклю-
исключением особых случаев, таких, как случай статических внешних
источников, обсуждавшийся в связи с уравнением Дирака.
Вообще говоря, имеются трудности двух типов. Прежде всего
необходимо учесть эффекты запаздывания, из-за которых в задачу
вводится дополнительная переменная, а именно относительное
время Альтернативное описание опирается на использование про-
промежуточного поля Однако при этом нельзя пренебрегать кван-
квантовыми свойствами последнего Таким образом, оказывается, что
само понятие связанного состояния двух тел является лишь ре-
результатом чрезмерного упрощения реальной ситуации Несмотря
на различные следствия, которые могут иметь большое практиче-
практическое значение, во всех случаях, когда необходимо иметь последо-
последовательное описание, необходимо вернуться к общей теоретико-по-
теоретико-полевой картине Это верно и тогда, когда мы хотим учесть высшие
радиационные поправки
Данному вопросу посвящено большое количество работ Здесь
будет дан лишь небольшой обзор этих работ, но, как мы надеемся,
наиболее важной их части. Напомним, что в гл 2 (т 1) уже рас-
рассматривались свя -энные состояния водородоподобных атомов, а
в гл 7 (т. 1) вычислялись поправки за счет лэмбовского сдвига
в низшем порядке.
10.2.1. Однородное уравнение Бете — Солпитера
Вместо того чтобы иметь дело со всеми сложностями спинорной
задачи, рассмотрим пока более простую модель скалярных частиц,
взаимодействующих посредством обмена скалярными частицами
другого типа Разумеется, это представляет собой теоретическое
упражнение, цель которого заключается в том, чтобы продемон-
продемонстрировать некоторые особенности реальной проблемы Ядро V
также должно быть усеченным Кроме того, мы будем пренебре-
пренебрегать эффектами статистики, полагая, что две «заряженные» частицы
принадлежат разным типам.
В символических обозначениях уравнение A0.26) можно пере-
переписать следующим образом:
SA2) = SA'S<2) + S<1)SB)FSA2); A0 29)
здесь Sn) — полный пропагатор частицы 1, который мы ниже ап-
аппроксимируем свободным пропагатором с физической массой, а
эффектами перенормировки пренебрежем Определяя величину —D
как ядро оператора, обратного произведению SA)SB), можно за,-
писать формальное решение этого уравнения в виде
1. A0.30)
Отсюда следует, что полюсы могут находиться в тех точках, ко-
которым отвечает нулевое собственное значение оператора D + V.
Таким образом, мы пришли к однородному уравнению, описыва-
описывающему свойства связанных состояний. Чтобы быть более точными,
определим величины
= <01 Гф1 (д^ф, (х2) Ф| (у,) ф! (уш) | 0>,
Вклад связанного состояния (которое для простоты предполагается
невырожденным) с массой М в SA2) запишется в виде
d3P
J Bя) i
где
h
%р (*!, *,) = <01 Гф1 (xt) Фа (х2) | Р>,
л) ф! (^) I о> = A о.зз)
Здесь Т обозначает антихронологическое упорядочение Обобщение
на случай, когда имеется несколько вырожденных связанных со-
состояний, производится непосредственно Аппроксимируя 5Ш и SB)
свободными пропагаторами-
находим
г„ z2) xp (г1; г2) = 0,
A0 35)
l, г2)У(г„г2; «/lt j/a)=0.
Уравнения A0.35) достаточно хорошо иллюстрируют способ рас-
рассуждений, типичный для уравнений Бете —Солпитера.
Хотя и имеется некоторое сходство, уравнения данного типа
весьма сильно отличаются от нерелятивистского уравнения Шре-
дингера Это различие отражается в наличии большего числа кон-
конфигурационных переменных, в том, что мы имеем дело с интегро-
дифференциальпыми уравгепиями четвертого порядка, в том, что
имеется ядро V, которое определяется из теории возмущений, а
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ J39
также в том, каким образом энергия связанного состояния входит
в уравнение.
Из трансляционной инвариантности следует, что
¦у (х 4-а х -\-a)=e~lP'a)i (х х) A0 36)
Естественно ввести относительную пространственно-временную
координату х = хх—х% Однако общая конфигурационная перемен-
переменная является априори произвольной. Мы можем выбрать две по-
положительные величины % и ц2 таким образом, что
A0.37)
Якобиан данного преобразования равен единице. Запишем приве-
приведенные амплитуды Бете—Солпитера в виде
Согласно определениям A0.33), величины х и X не следует
путать с волновыми функциями, они скорее являются обобщенными
формфакторами Условия нормировки нельзя получить непосредст-
непосредственно, поскольку в них входит относительное время х0. Эта проблема,
которая выглядит на первый шгляд безобидной, потребовала дли-
длительных исследований Роль нормировки состоит в том, чтобы
задать правильную связь между функцией % и четырехточечной
функцией Грина Кроме того, условие нормировки существенно
при отборе физических решений уравнения A0 35) Вернемся к не-
неоднородному уравнению A0 29) Введем полный импульс пары A, 2)
с помощью соотношения
; уг, уд-
Связанное состояние и состояние, СРГ-сопряженное ему, дают
полюсный вклад по переменной Р2, который можно записать в виде
A0.39)
где R—величина, регулярная в окрестности полюса Р2 = М2 Су-
Существенным для интерпретации решений в терминах связанных
состояний является свойство факторизуемости вычета В случае
вырождения его следует соответствующим образом обобщить
Проитерируем уравнение (D -\- V) S112) = — 1, записав его пред-
предварительно в виде SU2) (D+V)SU2> = — SA2\ затем подставим
соотношение A0 39) и воспользуемся соотношениями (D-^V)% =
= %(D + V) = 0, чтобы сравнить вычеты обеих частей при ра=Ма.
140 ГЛАВА 10
Результат символически записывается в виде
или, что эквивалентно, в ковариантиой форме
причем в левой части производится интегрирование по относи-
относительным переменным. В общем случае условие нормировки в от-
отличие от нерелятивистского случая зависит от «потенциала» V.
Полезно записать эти уравнения также и в импульсном про-
пространстве. Пусть р—переменная, сопряженная с я В соответст-
соответствии с A0.37) имеем
где р1 = т]1Р + р и Pi — ЦгР — Р—импульсы полей фх и ф2 соответ-
соответственно (рис 10 5). Мы не имеем другого естественного определе-
определения относительного импульса, как то, которое возникает при раз-
= о
У
Vzp-P'
РИС 10,5. Однородное уравнение для амплитуды % связанного состояния.
делении переменных в случае нерелятивистского движения Не-
Нерелятивистское определение переменных Р и р соответствует
частному выбору величин ц1<г — т1} i/(m1-\-mi) В релятивистском
случае такой выбор может быть полезным в целях сравнения с не-
нерелятивистским описанием Исполыуя для фурье-образов те же
символы, что и в конфигурационном пространстве, и учитывая
трансляционную инвариантное гь, получаем
^Р + рУ-тЦ [(^Р~рГ-к] Хр (Р) +
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 141
Обмен скалярной частицей, имеющей массу \i и константы связи
g, и дг, с частицами 1 и 2, так что соответствующий лагранжиан
взаимодействия имеет вид JS?B3 = (gi<Pi<P, + ^аФгФг) Ф> приводит
в борновском приближении к величине
которая не зависит от Р. Условие нормировки записывается в явном
виде следующим образом:
\ p; P)} Xp(p) =
A0.43)
Уравнение A0 35) и условие A0 40), или эквивалентные им A0.42)
и A0 43), дают основу для изучения некоторых конкретных мо-
моделей.
10.2.2. Поворот Вика
Уравнения для связанных состояний выведены в пространстве
Минковского В своих ранних исследованиях Вик применил ана-
аналитическое продолжение к евклидовым переменным, которое теперь
принято называть поворотом Вика Нетрудно обосновать эту про-
це гуру с помощью теории возмущений, т е точно, без учета
появления возможных новых сингулярностей, подобных тем, ко-
которые изучались здесь Для того чтобы применить эту теорию
к нашей задаче, требуется некоторая осторожность Физически
существенным обстоятельством является необходимость обеспече-
обеспечения критерия устойчивости. Привлекательность этого приема
состоит, конечно, в том, что он позволяет представить уравнение
в более удобной для изучения форме
Мы будем действовать прямолинейно, полагая, что при Х = 0
X, W = 9 (*•)/ (х, P)+Q(-x?)g(х, Р),
~%Р (х) = 8 (*•) «Г (х, Р) + 0 (- #) /• (х, Р),
причем
/ (х, Р) - <01Ф, (ti,jc) ф2 (— л,*) | Р>
g(x, Р)- <01 ф2 (- ъх) Ф1 (гJх) | Р> =
142 ГЛАВА 10
Используя представление
JUu-?-_, A0.46)
получаем выражения для % и % в импульсном пространстве:
a Г(яо,р,Р), i Tdq g'(?,,P,P) Aил/)
Vo p°—^« + t"e ~ 2ot J Vo p«—?°— te '
Соотношение между % и % таково, что их скачки на разрезах
являются взаимно сопряженными. Поворот к мнимой оси будет
допустим при условии, что fug имеют соответствующий носи-
носитель по переменной q0. Это следует из их определения, если вста-
вставить систему промежуточных состояний
f(q, P)= J d'xe'v* ]? <01 ф, @) | «> <и |<р, @) f Р> в-«(р.-ч.Р»-* =
П
= 2Bя)*б*(<7-р„ + V>)<0|9l@)|«><n|?2@)|/>>, A0.48)
^ = 21 Bя)«б*(^ + Рп-ц2Р) <01Фа@)\пу<п\ф1 @) |Р>.
Для Того чтобы частица 1 была стабильной, в первом выражении
должно быть pl^tnl, Рп > 0. Это означает, что величина / (q, P)
обращается в нуль, если не выполнены условия (щР -\- дJ ^ т\,
т11/'0 + ^0>0. Аналогично во втором выражении должно быть
Pn^wl. Рп > 0. следовательно, g(q, P) обращается в нуль, если
не выполнены условия (г\2Р—qJ^ ml, i]2Pa—qa > 0. В представ-
представлении A0.47) интеграл от / (или /*) берется в пределах от ю+ до
оо, а интеграл от g (или g*)—от —схэ до со_, причем
<»+ = Kmj+QuP + pFTii/o. A0 49)
Поворот к мнимой оси без пересечения «ингулярностей возможен,
если «_ < ©+ Для стабильного связанного состояния Ро <
" 2- Если выбрать систему центра масс, в кото-
кото( )
рой Р = 0 и ii1,2 = m1,2/(mj + m2), то
Следовательно, в интегральном представлении A0.47) между двумя
разрезами имеется щель
Теперь можно вернуться к уравнению Бете—Солпитера и,
используя полученные результаты, выполнить поворот Вика. Для
ИШЫРАЛЬНЫЬ УРАВНЕНИЯ MtB)UAHHBIt
простоты рассмотрим систему центра масс и не будем менять
выбранные значения r\lt 2. Кроме того, ограничимся так называе-
называемым лестничным приближением, т. е. ядром У, вычисленным
в борновском приближении:
Уравнение принимает вид
IP(P')
Рассмотрим аналитическое продолжение р°-^р°е1в, где 9 изме-
изменяется от 0 до л/2 Воспользуемся для первого члена в A0 51)
представлением A0.47) и изучим по отдельности случаи р° > 0 и
р° < 0 Испольчуя свойства со_ < 0 <со+, можно убедиться в том,
что при аналитическом продолжении нам не встретятся сингуляр-
сингулярности. Во втором члене мы совершим одновременно повороты
р° -* р°е'е, р'й-* р'°ей и по той же причине не встретим какой-
либо сингулярности ни для величины %Р(р'), ни для знаменателя.
Если при 8== л/2 употребить те же обозначения для функций от
евклидова аргумента, что и в псевдоевклидовой области, то
окончательный результат запишется в виде
Метрика, используемая в A0.52), является евклидовой: (р—р'J =
2U0
Обобщение рассмотренного метода на ядра высших порядков требует более
детального анализа применительно к нескольким переменным. Аналогичным
образом можно исследовать случай рассеяния, когда часть контура интегри-
интегрирования остается зажатой между двумя разрезами. Мы оставляем изучение
эгих случаев читателю в качестве упражнения
10.2.3. Обмен скалярными безмассовыми частицами
в лестничном приближении
В качестве иллюстрации методов и проблем, встречающихся при
исследовании релятивистских уравнений для связанных состояний,
рассмотрим полученное Виком и Куткоским решение уравне-
уравнения A0 52) при н2 — 0 Это г выбор не является полностью про-
произвольным с физической точки зрения, поскольку, несмотря на
144 ГЛАВА 10
чрезмерное упрощение, связанное, в частности, с пренебрежением
спином (в том числе спином обмениваемого поля), данный пример
имеет некоторое сходство с реальными ситуациями, например со
случаем позитрония Кроме того, в данном случае существует
почти аналитическое решение и проявляются особенности, кото-
которые могут иметь место в более сложных моделях
Система лестничных диаграмм выглядит на первый взгляд как
естественное обобщение нерелятивистской потенциальной теории.
Однако в этом приближении остаются неучтенными существенные
свойства релятивистской квантовой теории Из-за отсутствия пе-
перекрестных лестничных диаграмм здесь нарушается инвариантность
относительно (s—ы)-кроссинг-преобразования. Это означает соот-
соответствие между правильным хронологическим упорядочением реля-
релятивистских взаимодействий При этом мы ничего не можем сказать
о релятивистском статическом пределе, когда одна из масс ста-
становится очень большой. В случае реальных систем такое ограни-
ограничение является весьма сильным. Например, в электродинамике,
если нет каких-либо особых причин, чтобы использовать частную
калибровку (скажем, нековариантную кулоновскую калибровку),
это приближение не будет калибровочно-инвариантным Не выпол-
выполняется также важный критерий, состоящий в том, чтобы уравне-
уравнение Бете—Солпитера в пределе, когда одна из масс становится
очень большой, переходило в уравнение Клейна — Гордона (или
Дирака в случае спина 1/2)
Чтобы удовлетворить данному критерию, необходимо включить в рассмотре-
рассмотрение по крайней мере систему перекрестных лестничных диаграмм, приводя-
приводящих к бесконечно большому ядру V. Найдите соответствующее приближение
на функциональном языке уравнений A0.23) и A0.24).
Учитывая эти ограничения, вернемся к уравнению A0.52),
в котором положим |х2 = 0. Вик и Куткоский заметили здесь ана-
аналогию с задачей об атоме водорода в импульсном пространстве
и предложили использовать стереографическую проекцию на еди-
единичную сферу в пятимерном пространстве. Этот метод, предло-
предложенный Фоком в нерелятивистском случае, позволяет использо-
использовать конформные преобразования и продемонстрировать динами-
динамическую симметрию системы. Удобно обозначить через А, следующую
безразмерную величину:
Это соотношение напоминает нам, что g являются размерными
константами связи для взаимодействия ф3. Данный случай можно
сравнить с электродинамикой, рассматривая X как постоянную
тонкой структуры. Ограничимся сначала случаем равных масс
140
2 = т. Принимая т за единицу энергии, находим
здесь Р—четырехвектор (Ро, 0). Уравнение A0.54) можно рас-
рассматривать как уравнение на собственные значения для константы
связи X, а, обратившись к теории Фредгольма, можно показать,
что оно допускает дискретный спектр. Стереографическая проек-
РИС. 10.6. Проектирование из че-
четырехмерного р-пространства на
сферу диаметром J^l—Р2/4.
ция, которую более подробно мы рассмотрим в гл. 13, сводится
к сопоставлению точки р в R4 вектору z в пятимерном простран-
пространстве на сфере радиусом A/2) К 1—Р2/4, проекция которого на
четырехмерное пространство направлена вдоль р с полярным
углом ?, таким, что tg (?/2) = |р \;У\ _ру4 (рис. 10.6). Пусть (р\
0, ф)—дополнительные полярные углы четырехвектора р; тогда
р-Р = \р\\Р\сов$ и
Если ^ — элемент телесного угла на сфере, нормированный
согласно условию ^ с?24 = 8я2/3, то справедливо следующее равен-
равенство:
cos2
(Р-Р'Г
8 соьв(?'/2) 1— cos а'
A0.56)
где а—угол между соответствующими векторами z и г', т. е.
г z' = [(l— Р2/4)/4] cos а. Наконец, определим новую функцию
К (z) с помощью соотношения
W(?/2):
A0.57)
Таким образом, уравнение A0.54) запишется в виде
(z'). (Ю.58)
Предельный случай /52 = 0 является О E)-инвариантным, причем К
пропорциональна пятимерной сферической гармонике. Пусть сте-
степень этой сферической гармоники равна N — 1; это означает, что
умножение ее на Iz^ дает гармоническую функцию в пятимер-
пятимерном пространстве. Чтобы вычислить собственные значения [с вы-
вырождением N (N + 1) BN -f l)/6, А'=1, 2, ...], достаточно при-
применить A0.58) к сферическим гармоникам специального вида,
зависящим только от угла с пятой осью. Это ортогональные
полиномы (обобщающие полиномы Лежандра), полученные путем
разложения по степеням величины г</2> элементарной функции
Грина
1 1
1*-*Т ~ | 2>|i[l + г*/г*.-2 (*</*>) cos a]V. '
A0.59)
1 X
[\ + t2—2/cos a]'»
Таким образом, если выбрать вектор г, направленный вдоль
пятой оси, то А.Д, дается выражением
я
дг-1 (?') _ ?WV С dgsin3 gC^-iCO
что при |^| < 1 эквивалентно выражению
[J ЛГ-1'' = ?,) 1 — cos ? A -f- /2—It cos 0'/г = 2л A — 0 '
Иэ определяющих выражений A0.59) следует, что CN_1(l) =
= N (N + \)/2; таким образом,
A0.60)
В общем случае 0 < Р2 < 4 уравнение A0.58), как и в случае атома
водорода, является О D)-инвариантным. Это следует из того факта,
что помимо ОE)-инвариантных выражений в уравнение входит
единственная величина sin t, cos р, пропорциональная проекции
вектора z на нулевую ось (т. е. на направление Р). Следовательно,
О D)-инвариантность относится к вращениям, оставляющим непо-
неподвижной нулевую ось.
Единичную сферу в /?5 можно затем спроектировать обратно
•на евклидово пространство R*, но теперь уже из точки, распо-
ложенной на нулевой оси. Пусть у таково, что cos у = sin ? cos (i;
тогда можно рассмотреть четырехвсктор q, полученный проекти-
проектированием с единичной сферы, такой, что [<?| = tg (у/2), а % (q) —
= cos6 (у/2) К (г). Выполняя преобразования, аналогичные A0.55)
и A0.56), находим уравнение, обладающее явной О (^-инвариант-
(^-инвариантностью:
Разумеется, преобразование, связывающее р с q и % с X. можно выполнить
непосредственно. Пусть п—единичный вектор, направленный вдоль нулевой
оси; тогда
2-2<7-n+l
A0.62)
Инвариантностью уравнения A0.62) можно воспользоваться
для того, чтобы произвести разложение по парциальным волнам
в пространстве R4, т. е. по &nim(q), представляющим собой орто-"
нормированные сферические гармоники группы 0D). Положитель-
Положительные целые числа п~^\, аналогичные главному квантовому числу
в атомной физике, нумеруют представления 0D), имеющие раз-
размерность п2. Обычный орбитальный момент / принимает значения
между 0 и п — 1.
Если О D) отождествляется с SU B)x5t7 B)/Z2, то гармоники '&nim обра-
образуют базис представления (/, /), где п = 2/+1. Подгруппа О C), которая не
меняется при комбинированном преобразовании A0.62), является диагональ-
диагональной подгруппой группы SU B)XSU B)/Z2.
В пространстве /?* мы имеем разложение, аналогичное A0.59),
а именно
^^ (з^)\^п1тШп1т&). A0.63)
Ч ' Ч> п=\ Ч ?> ' 1,т
Определим радиальную амплитуду Rn (q*) с помощью соотношения
X«l)=]4V.+illl*+w-.p>n+i]9«m 6)- (Ю.64)
Подставляя последние два выражения в A0.61), получаем одно-
одномерное уравнение относительно переменной x = q2:
/ v* v M „ I. [ I A /у' y\ I v
уЛ> Л- 1 ^^ I f I \J 1Л —— д, i ¦ j^
Х?5ХагПТЗГ5!«ТТ7' <!0-65)
148 ГЛАВА 10
эквивалентное дифференциальному уравнению
Х dx* (П l) dx +nx^ + 2x(l-PV2) + l~ ' (
дополненному условиями, что при х—>0 величина Rn обращается
в нуль, как х", a Rn/x" стремится к нулю при х—> оо.
Используя переменную
г=^|, A0.67)
изменяющуюся от —1 до -)-1, а также функцию gn> такую, что
fln(*) = 7r-^sgi»B). A0.68)
Вик и Куткоский записали уравнения, эквивалентные A0.65) и A0.66),
в виде
A0.70)
при условии, что gn(± l) = 0.
Применяя стандартные методы к уравнению A0 66) или A0 70),
мы видим, что при 0^/12^4 имеется дискретный спектр вели-
величин Хп, которые можно найти численными методами При фикси-
фиксированном п (и Р2) мы имеем последовательность решений, которые
нумеруются целыми числами К(К — 0, 1, •• ), соответствующими
числу нулей радиальной функции (за исключением граничных
точек).
В случае неодинаковых масс можно провести аналогичное рас-
рассмотрение, показывающее, что здесь существует О D)-симметрия,
и задача фактически сводится к случаю равных масс Сохраним
прежние значения величины ци 2, а именно y\ui = tnl3i/(m1-\-m2),
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 149
и определим следующие величины:
[
"А27л82)A~А2). 00.71)
D = 1 +cos0 + (l—cos9)(?2—
Единичный вектор re направлен вдоль Р, а все эти формулы оп-
определяют комплексное конформное преобразование. Пусть контур
интегрирования деформируется таким образом, чтобы конечное
уравнение, которому удовлетворяет функция
%(<1) = D-3%(P), A0.72)
было вещественным и записывалось в виде
'(|^. A0.73)
Это уравнение аналогично уравнению A0.61), к которому оно
сводится при тх — т2, поскольку
2е2 2
1
Напомним, что в A0.61) общая масса т была принята за еди-
единицу энергии.
Таким образом, с помощью соответствующей замены перемен-
переменных соотношения, полученные для одинаковых масс, можно преоб-
преобразовать в соотношения, относящиеся к неравным массам. Рассмот-
Рассмотрим поэтому снова первый случай и уравнения A0.66) и A0.70).
(Хобый интерес представляет поведение вблизи порога /Ja = 4,
где ядро можно аппроксимировать выражением
Таким образом, из A0.65) следует
/?„(*)«—р== /?„<!) [9 (х- 1) + х"в A-х)] A0.74)
Требование согласованности, т. е. равенства обеих частей при
х=\ (мы полагаем формально 0@) = 1/2), сводится к условию
|/4— Р* = Х/п, A0.75)
ГЛАВА 10
выражая которое через энергию связи В, причем Р2 = B-~-В/тJ,
получаем известную формулу для спектра атома водорода:
где т/2 — приведенная масса, а к отождествляется с е2/4п. К со-
сожалению, наше рассмотрение на этом не заканчивается.
Выражение A0.74) определяет функцию без узлов (К = 0) и,
следовательно, не приводит к ограничению на величины собст-
собственных значений, соответствующих /С^1. Последние отвечают
аномальным решениям, для которых X не обращается в нуль в
пределе нулевой энергии связи, и не имеют поэтому нереляти-
нерелятивистских аналогов! Вик и Куткоский показали, что соответст-
соответствующие собственные значения для функции с К узлами стремятся
при Р2 —>¦ 4 к не зависящему от п пределу
Это не единственный порок данной модели. Можно изучить по-
поправки к разумному набору решений (/( = 0), которые в низшем
порядке воспроизводят нерелятивистский результат, т. е. соот-
соотношения A0.75) и A0.76). Такое рассмотрение показывает, что
величина 2яеД, где г = \^\—Р3/4, имеет следующее разложение:
?p ln8 + a23]+..., A0.78)
причем г имеет порядок %. В более физическом приближении, чем
лестничный ряд, эти логарифмические члены отсутствуют.
Кроме того, Наканиши показал, что некоторые решения имеют
отрицательную норму! Их называют «духами», и не ясно, возни-
возникают ли они из-за неадекватности приближения или являются
проявлением более глубокой непоследовательности теории.
Проведенное выше рассмотрение можно обобщить на случай
неоднородного уравнения для амплитуды рассеяния, в частности
на случай высокоэнергетического поведения в перекрестном ка-
канале (соответствующем обмениваемым частицам). Можно обнару-
обнаружить реджевское поведение sa ш и вычислить соответствующую
траекторию a(t).
Чтобы сократить число степеней свободы в релятивистской задаче о связан-
связанных состояниях и, в частности, избавиться от вызывающего постоянные труд-
трудности относительного времени, делались различные попытки вчести прибли-
приближение эффективного потенциала (или квазипотенциала) Несмотря на то что
эти попытки приводят к ишересным практическим результатам, они так или
иначе нарушают последовательность теории и, вообще говоря, привносят
ложные сингулярности.*)
1) См примечания редактора перевода в конце настоящей главы. —
Прим. ред
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 151
10.3. СВЕРХТОНКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ В ПОЗИТРОНИИ
Не следует делать заключения, что в случае релятивистской сла-
слабосвязанной системы двух тел нельзя получить релятивистских
поправок, согласующихся с экспериментом. Наоборот, состояния
позитрония являются примером хорошего согласия, что как-то
оправдывает теорию. Тем не менее нужно признаться в том, что
получение точных предсказаний требует от исследователя особо-
особого искусства, поскольку до сих пор не существует систематиче-
систематического метода получения поправок.
Приведем здесь некоторые важные результаты и напомним,
что предварительное рассмотрение было уже выполнено в разд. 2.3
и 5 2 (см т. 1 настоящей книги). Хотя позитроний представляет
собой практически чисто электромагнитную систему, некоторые
из развитых для него методов оказываются полезными и в дру-
других случаях, в таких, например, как модели связанных состоя-
состояний кварков в адронах.
Разность энергий между более высоким триплетным (орто) и
более ни жим синглетным (пара) основными состояниями позит-
позитрония, которые обозначают соответственно как \3Sl и 11S0
(в спектроскопических обозначениях «2S+1 Lj), в настоящее время
измерена с высокой точностью. Значения этого сверхтонкого рас-
расщепления A^ts1). которые приводятся в литературе, равны
A?ts = 2,033870 A6)хЮь МГц
(Миллз и Бирман),
A?,s = 2,033849 A2)хЮ5МГц A0'?9)
(Иган, Фриз, Хьюдж и Ям).
Эту разницу иногда также называют тонкой структурой позитро-
позитрония. Недавно Миллз, Берко и Кантер измерили расстояние между
п = 2 триплетными возбужденными уровнями:
?B"S,) — ?B-JA>s) = 8624 ±2,8 МГц. A0.80)
Напомним, что все эти состояния нестабильны Радиационная
ширина основного состояния в f изшем порядке уже обсуждалась
(см. разд 5.2 в т. 1).
Происхождение величины и знака синглет-триплегною расщепления в позит-
позитронии можно понять, если заметить, что оно соо1ветствурт сумме двух эф-
эффектов Магнитное взаимодействие учитывается с помошью оценки Ферми,
которая уже рассматривалась нами в случае атома водорода (см разд 2 3 2
в т. 1). Эта оценка, выраженная через параметры, относящиеся к электрону
и позитрону, для значения гиромагнитного отношения, равного 2, записы
*) Индекс ts означает синглет-ipunлетное расщепление.—Прим. ред.
152 ГЛАВА 10
вается в виде
где | фо |2 — квадрат нерелятивистской волновой функции в начале координат
для системы двух частиц с равными массами, | ф0 |2 = (таK/8я
Как уже отмечалось в предварительном обсуждении электрон-позитрон-
ного рассеяния (см разд 6 1 3 в т. Г), мы должны также рассмотреть новый
эффект, соответствующий аннигиляционночу каналу Если ограничиться зф-
фектамг наинизшего порядка, то oi О1вечает однофотонному каналу, который
дает s-волновой вклад в энергию взаимодействия порядка а в триплетном
состоянии только благодаря его отрицательной зарядовой четности Искомый
сдвиг энергии можно вычислить с помощью эффективного потенциала, отож-
отождествляемого с соответствующим элементом Г-матрицы на пороге E = /-f-G),
умноженным на | <рй |2. Из результатов гл 6 (см т 1) следует, что амплиту-
амплитуда рассеяния на пороге равна
Bm)*
Знакам в этом выражении уделяется особое внимание, а под спинорами и и
v подразумеваются их пороговые выражения для электрона и позитрона соот-
соответственно:
¦0 О-
—«Jg Х2 /
Матричный элемент в явном виде записывается следующим образом:
J б2 т ^ +
4m2
=Ш* (у xlxaxtxi+y
Здесь мы использовали преобразование Фирца. Следовательно, можно напи-
написать
Член <C + »i-O2)/2> есть не что иное, как S2, где S = (ai+a2)/2—полный
спин Таким образом, этот член вносит [Юложительный вклад только в энер-
энергию триплетного состояния Последнее позволяет предположить, что сдвиг
энергии основного состояния в низшем порядке имеет следующую зависимость
от спина:
Чтобы получить сверхтонкое расщепление, найдем разность значений этого
выражения, соответствующих 5=1 и 5 = 0. Таким образом, имеем
A?ts=Z-a2Ryd, A0.81)
где Ryd — постоянная Ридберга
= ma2/2 = 3,28984-10^ Гц. A0.82)
Формула A0 81) дает Л? — 2,04 10> МГц. Это значение хорошо согласуется с
экспериментальными данными с точностью до величины а К счастью, это на
два порядка больше, чем скорость двухфотонного распада синглетногосостоя-
синглетногосостояния Г27 =ali Ryd Следовательно, вычисление сверхтонкого расщепления яв-
является точной проверкой чак квантовой электродинамики, так и применимо-
применимости уравнения Бете — Солпитера.
10.3.1. Общая постановка задачи
В нашем изложении будем следовать оригинальной работе Карп-
луса и Клейна Отправным пунктом для нас является записанное
в электрон-позитронном канале уравнение, аналогичное A0 26),
Амплитуда свя данного состояния % — <0 | \|; (х) \|; (у) \ Ру обознача-
обозначается 4 х 4-матрицей в пространстве индексов Дирака Следует
подчеркнуть, что % представляет собой калибровочно-ковариант-
ную величину Поэтому если % удовлетворяет решаемому при-
приближенно уравнению, то нам не безразлично, как нужно выбрать
частную калибровку. На практике, учитывая, что относительные
скорости малы, естественно в качестве первого приближения
для энергии связи взять нерелятивистское соотношение
Ы2, A0.83)
а % определить из волнового уравнения Паули—Шредингера.
Для получения этого результата, по-видимому, лучше всего под-
подходит нековариантная калибровка излучения Однако такой выбор
является небезопасным, поскольку высшие поправки потребуют
перенормировки С другой стороны, известно, что для введения
калибровочной инвариантности релятивистским образом необхо-
необходимо включить в ядро V бесконечный ряд диаграмм с пересече-
пересечениями Мы сталкиваемся с дилеммой, которую можно практически
разрешить следующим образом Будем использовать ковариантную
калибровку, а именно, калибровку Фейнмана При этом необхо-
необходимо отделить мгновенное взаимодействие от запаздывающего.
Это является следствием того, что нельзя точно решить уравне-
уравнение, эквивалентное релятивистскому уравнению Вика — Кутко-
ского Поэтому запаздывающее взаимодействие будем рассматри-
рассматривать как возмущение, на том же основании, что и члены высших
порядков в V Если мы будем получать все меньшие и меньшие
поправки, которые согласуются с экспериментом, то эту процедуру,
несмотря на ее недостаточное теоретическое обоснование, можно
рассматривать по крайней мере как полезный метод расчета Это
справедливо по отношению к поправкам порядка a3 Ryd Однако
дальнейшее изучение данного вопроса показывает, что даже спе-
специалисты наталкиваются на затруднения при расчетах вкладов
более высоких порядков, учет которых требуется для сравнения
с очень точными измерениями.
154 ГЛАВА 10
Предлагался ряд усовершенствований, таких, как разложение
% по лоренц-инвариаптным скалярным амплитудам, умноженным
на ковариантные величины, проведение полного разложения Фурье
по угловым переменным для амплитуды, над которой совершен
поворот Вика, или попытка найги эквивалентную, но решаемую
форму релятивистского лестничного приближения.
Пренебрегая вначале радиационными поправками, запишем урав-
уравнение, которому удовлетворяет х в импульсном пространстве,
в виде
= i 4^ J (p-'p>)s УД (Л Уи, A0.84)
где Vв отвечает однофотонному обмену в перекрестном ^-канале,
a Va—ядро, соответствующее однофотонному аннигиляционному
взаимодействию Даже на этом раннем этапе сложность проблемы
несколько отпугивает.
Удобно работать с величиной К, получаемой действием анти-
антисимметричной матрицы зарядового сопряжения С на второй ин-
индекс матрицы %:
Kafi^CwXaV'. A0.85)
Эта амплитуда имеет те же трансформационные свойства, что и
амплитуда, соответствующая каналу частица-частица, за тем лишь
исключением, что в последнем отсутствуют электромагнитные свя-
связанные состояния. Амплитуда удовлетворяет уравнению
f + ,_m)i(!— p-m)t K = (VB+Va)K(p),
причем
S J ^t ^v^K (pt)> A0-86)
Мы добавили индексы в произведение ^-матриц, чтобы различать
электронные и позгтронные переменные.
Структура YtnYf/k2, где к = {р—р'), возникает в связи <г ис-
использованием калибровки Фейнмана Однако это взаимодействие
можно разделить на мгновенную и запаздывающую часть в общей
системе покоя, Р = 'Е, 0), с помощью соотношения
Здесь в правой части второй член содержит как запаздывающее,
так и статическое магнитное взаимодействие. Мы будем анализи-
анализировать его, опираясь на теорию возмущений (конечно, нам хоте-
хотелось бы сделать большее); то же самое относится и к вкладу ан-
нигиляционных членов
Приближение нулевого порядка для К получается, если в
соответствии с A0.87) отделить в VB кулоновскую часть Ко от
остальной части, которую мы обозначим через Vb. Следовательно,
в приближении мгновенного взаимодействия можно записать сле-
следующее уравнение:
(?
*' A0.88)
Отсюда можно вывести уравнение Для
?»/С(р°, р), A0.89)
которое получается, если разделить обе части уравнения A0.88)
на волновые операторы и проинтегрировать результат по р°. Таким
образом получаем
4я» J Р (Р/2 + Р? — т* + к (Р/2 - pf - т? + is X
(^? A0.90)
Присутствие в знаменателях добавки ie вытекает из вывода урав-
уравнения. Интеграл по р° сходится, и его можно вычислить, замы-
замыкая в верхней полуплоскости контур, охватывающий полюсы в
точках р° = +Е/2—ш-И'е, где « = J/p2 + /n2. Если мы использу-
используем обозначения Дирака р = у° и oc = Pv> a также следующие вели-
величины:
#(р) = сс р [-(Зга,
, A0.91)
Л±±-Л1±(р)Л2±(-р),
то интегрирование по р° дает
а ("<V<pfp')
VW! 2 \оэ — Я/2 ' (о-\-Е/2 ) 2я2 J (р—р
Заметим, что две формы записи пропагатора Фейнмана эквивалентны между
собой:
с _
, Л-(Р) 1 о
156 ГЛАВА 10
В силу равенства
уравнение A0.92) можно также записать как эффективное урав-
уравнение для одной частицы, а именно
A0.93)
Вводя обозначения ф±± = Л±±ф, мы видим, что уравнение A0.93)
эквивалентно системе связанных уравнений
')], (Ю.94)
Для наших целей недостаточно иметь уравнение A0.88) или A0.92),
поскольку в них опущены запаздывающая часть Vb и аннигиля-
пионное ядро, существенные для сверхтонкого расщепления. Пра-
Правильное уравнение, впервые рассмотренное Брейтом для задач
такого рода, мы получим, включив оба этих взаимодействия.
Чтобы обсудить этот эффект, воспользуемся здесь той формой
теории возмущений, которая была первоначально развита Сол-
питером. Она предназначена для преодоления трудности, возни-
возникающей вследствие того, что энергия Е входит в дифференци-
дифференциальный оператор уравнения квадратично (и, вообще говоря, пара-
параметрически в ядро). Данный метод приспособлен для описания
мгновенного невозмущенного взаимодействия.
Умножив обе части уравнения A0.88) на Y?Va» получим
Предполагая, что ф известно, и используя добавку te при обра-
обращении оператора D, действующего на К, можно написать сле-
следующие выражения:
nOQfi}
Интегрирование по р„ возвращает нас к уравнению A0.92). Для
краткости записи определим величину ц таким образом, чтобы
ПШ С1
выполнялось соотношение
(Я—E)r\ = vy, A0.97)
в котором мы положили
Я(р) = Я1(р)+Я8(-р).
Из уравнения A0.93) следует, что
Ф = (Л+ + — Л"-)т|, A0.98)
а величина /( дается выражением
K-(H-E)±D-4\. A0.99)
При фиксированном т|, соответствующем данному решению
уравнения, определим амплитуду Q с помощью выражения, ана-
аналогичного A0.99), но с энергией Е, замененной на Е'. Напом-
Напомним, что D также зависит от Е; таким образом,
Q = {H-E')±D-i(E'y4. A0.100)
Рассмотрим выражение
При Е', равном Е, и Q, равном К, левая часть этого выраже-
выражения обращается в нуль. В правой части единственная зависи-
зависимость от р° имеется в пропагаторе D~L (?"). Интеграл совпадает
с тем, что был выше, поэтому мы имеем
=-2Е (?'-?) т|. A0.101)
Последнее равенство следует из формул A0.97) и A0.98). Ана-
Аналогично, если
Q = 4HH-E')±D-i(E'), A0.102)
то, учитывая эрмитовость величин Я и и, получаем
^^ViHE'-E). A0.103)
Мы готовы теперь обсудить вопрос о том, к каким эффектам
приводит возмущение мгновенного кулоновского взаимодействия,
158 ГЛАВА 10
имеющее вид
A0.104)
Новая волновая функция К' и энергия ?" удовлетворяют урав-
уравнению I
^±^^' = Q. A0.105)
Умножим это уравнение слева на амплитуду Q, определенную,
как и выше, для энергии Е', и проинтегрируем по 4-импульсу р.
Из A0.103) находим
Это точный результат. Чтобы использовать его как приближение
¦первого порядка, заменим ср' на <р, а К' и Q—на К- Таким об-
образом, получим выражение
^ A0.106)
при условии, что использована нормировка
В будущем нам понадобится также выражение для сдвига энер-
энергии во втором порядке. В принципе оно включает в себя вели-
величину, обратную полному пропагатору ?>(?)— \/2in \dp°v\
Однако в нашем случае можно обойтись свободным двухчастич-
двухчастичным пропагатором. В итоге будем иметь
(ia 108)
Читателю предлагается исследовать условие нормировки с точки зрения, раз-
развитой в разд !0 2, и установить соотношение между этим условием и рас-
рассмотренным выше разложением энергии связанного состояния по теории воз-
возмущений
10.3.2. Вычисление в порядке а5
Анализируя проблему сверхтонкого расщепления, мы имеем дело
со сферически-симметричными п = 1 состояниями. Теперь, когда
нам известно достаточно точное решение невозмущенного урав-
уравнения A0 92) или A0 93), можно вычислить сдвиг энергии.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 159
В низшем порядке он состоит из двух вкладов:
A0.109)
Tlk) Ш1Y»C] Sp [Су»К (p)],
где K = Ky\yl
Включая в рассмотрение радиационные поправки, мы наме-
намереваемся получить А? в порядке <х\ тогда как ведущий член
имеет порядок а4. Желательно полому найти подходящее приб-
приближение для мгновенной волновой функции ф, являющейся реше-
решением уравнения A0 92) или A0 93) Напомним, что соответствую-
соответствующая волновая функция Шредингера, удовлетворяющая уравне-
уравнению
т. е. при энергии Е, заданной в наинизшем приближении A0.83),
и со, разложенной до порядка р2, равна
здесь ф0—значение волновой функции в начале координат в кон-
конфигурационном пространстве:
|Фо|г = (таK/8я. A0.112)
Если данное выражение [умноженное на произведение двух спи-
спиноров в состоянии покоя, т. е. на форму /^ )®(о )> К0Т0Рая
не будет выписываться явно] подставить в A0 96), то мы полу-
получим приближение, которое является достаточным для наших
целей¦
Л КР) - i Z* [Eo/2 + po Т («-№)] [Яо/2-Ро ? (ш -№)] Х
Величина Ео здесь определяется выражением A0.83). Следова-
Следовательно, с требуемой степенью точности можно написать
Л„1, 2of HpJI f rfW 1
Пь ~ я2 BдK J {p — p'f + if. (pa+m2a2/4) (p'2+m2a2/4)
х/у Ь±± х
\Ще12+ Т (оэ'-It)] [Е0/2-й, Т («o-fe)]
U-pT а .„ 1 у
(Р -Р')г х 2J ^ [?о/2
-;70 Т (ш-
A0.114)
160 ГЛАВА !0
Выражение, стоящее в угловых скобках, обозначает среднее зна-
значение в состоянии, описываемом произведением спиноров в по-
покое. Перед интегралом в A0.114) имеется зависимость а*. Сле-
Следовательно, члены, которые нам предстоит вычислить, могут
возникнуть лишь благодаря вкладам в интеграл порядка 1/а2 и
1/а. Ясно, что из-за присутствия в знаменателе величины [р2+
+ т2а2/4][р'2 + /и2а2/4] главный член определяется областью ма-
малых |р|, |р'| и что множитель вида |pj или |р'| будет увели-
увеличивать степень величины а перед интегралом на единицу. В вы-
выражение для среднего значения входят запаздывающее кулонов-
ское взаимодействие и взаимодействие Б рейта at a2. В первом
с относительной ошибкой порядка а? можно заменить (рй—р'ау
на (р—р'J, сокращая тем самым фотонный знаменатель. Затем
можно выполнить интегрирование по р0 и р'о и показать, что
в числителе члены, содержащие зависимость от спина, включают
в себя трехмерные импульсы в четвертой степени. Следовательно,
в порядке оР этими членами можно пренебречь.
Перейдем далее к рассмотрению взаимодействия Брейта а, а2.
В этом случае с помощью фурье-преобразования волновых функ-
функций удобно ввести относительное время. Перепишем часть инте-
интеграла по р0 и р'о, отвечающую взаимодействию Брейта, в виде
A0.115)
где k = p—p', a
J 2я
е„ е8
+ [6 (е2) в (— t)—в (— в|) 9 (/)] в" ^и-
A0.116)
В этой сумме единственный вклад будет давать знаменатель, со-
соответствующий Л + + , поскольку Еп — 2со « — A/т) (р2-т-ш2аа/4), и
в интегрировании, которое предстоит выполнить, доминирует
область малых ра. Если бы главный вклад, который мы ищем,
имел порядок а1, то достаточно было бы удержать множитель
при проекторе на положительные энергии Однако, чтобы полу-
получить следующую поправку, необходимо использовать полное
выражение. К счастью, вклады порядка р2 можно опустить Это
является следствием того, что они дают поправки относитель-
относительного порядка а2 при условии, что р2 связано с фактором, обес-
печивающим ультрафиолетовую сходимость. Заменяя Ей всюду,
где это возможно, на 2т, получаем для D~l (t) удовлетворитель-
удовлетворительное приближение вида
К ' 2<а (р2+ т2а2/4) V 2"» А 2т
х[((о + т)е-'1'1(а-'«> _(Ю_т)е-;|П(»+т)]. A0.117)
Применяя то же правило, что и прежде, и удерживая в мат-
матричном элементе только член, ответственный за сверхтонкое рас-
расщепление, находим
Поскольку оставшаяся часть интеграла инвариантна относитель-
относительно трехмерных вращений, мы можем заменить правую часть на
выражение —(k/4m2) B/3)<а1а2>. Подставляя эти выражения
в A0.115) и интегрируя результат по t, получаем
^Lf «у.а>Г dk0
Зя Bя)8 N » 2 J (p2+a2m2/4J(p'2 + a2m2/4J(^~k2 + te)
х Г \
\ fe0 —w~ca'+2/n + «8 feo+fi>+«)'—2т--1г J '
Интеграл по k0 легко вычислить, замыкая контур в верхней
полуплоскости, что дает
4а3 С d3p cPp'
Л?"' = 3 Bя)8 I Фо I2 <<Tl' a2> J (p2+a2m2/4J(p'2+a2m2/4J><
| к | Г ((л+т){(л' + т) ^ (мт' + т2) (м-т) (м*—m) 1
X2oxo' [ш+о)' + |к| —2m <a+o)' + |k| ^ w+(u' + |k|+2m J *
A0.118)
Последний член можно опустить, поскольку интеграл сходится, если в обоих
знаменателях положить а2 = 0. Используем тождество (к>~\-т) (<в'—т) +
+ (со—т) (и' + т) = 2 («со' — т2) и учтем снмчссрию интеграла. Это позволит
нам отбросить в знаменателях одно из а2; таким образом, имеем
о С <Рр сРр' (ш' + т)\к\
J Р2 (p'2+m2a2/4J Dw + m) 0H)' (w+co'+l k |) '
Производя замены р' -+ ( -=- | р', р ->-/пр и удерживая основной вклад поряд-
порядка а, получаем простой интеграл
со
1_ DпJ Г
m2a J
со
р
6 № 1845
162
ГЛАВА 10
Первый интеграл в A0.118) дает главный вклад Запишем его в виде
- m) |к|
2 (P 2
_ л BпУ ,
4(ош'
Г(со+т)(й,
)'-\-\ к \ — 2т
(pa+m2a2/4J(p'a+m2a2/4J[ 4шсо'
1т
-1
Здесь нельзя непосредственно применить тот же метод, которым мы пользо-
пользовались выше. В противном случае благодаря энергетическому знаменателю
(со+ю'-Ы к | — 2т) возникла бы дополнительная инфракрасная расходимость.
Чтобы преодолеть эту трудность, введем искусственным образом массу фото-
фотона (х, заменяя в знаменателе | k | на J/^k2-]-jx2 Если масса р. такова, что
та/2 <^ [I <^ т, ю можно действовать, как и прежде. Оставшийся интеграл
нетрудно вычислить, и мы получаем
BлK
т
?['+»¦(?)]•
Объединяя полученные нами результаты, имеем
Вклад порядка а4 согласуется, очевидно, с первоначальной оцен-
оценкой. Следующая поправка содержит ложную инфракрасную рас-
расходимость, обусловленную нашим способом оценки интегралов
^зта оценка является правильной, если (д, выбрать, как указано
выше). Когда будут собраны все величины одного порядка, то
члены вида In (пг/ц) сократятся (ниже мы убедимся, что они дей-
действительно сокращаются)
1
1
1
1
J!
11
11
11
Г"
1
1
4-A
1 1
| 1
1 ]
1 j
а б
РИС. 10 7. Обмен во втором порядке, а—запаздывающее взаимодействие Vf,
во втором порядке, б—перекрестный обмен фотонами Штриховые линии со-
соответствуют мгновенному обмену, ломаные линии — запаздывавшему обмену,
а волнистые линии— коиариантиому фотонному прогшгагору
Вместо того чтобы переходить непосредственно к вычислению
аннигиляционного вклада, рассмотрим снова эффекты второго
порядка и тем самым продемонстрируем предсказанное сокраще-
сокращение. Однако неразумно вычислять эффект второго порядка от
потенциала Vb, не вводя поправок к ядру Бете — Солпитера,
обусловленных перекрестным обменом двумя фотонами (рис.
10.7, б), обеспечивающим калибровочную инвариантность Обозна-
Обозначим сумму этих вкладов через АЕ^+Х. Применяя выражение
A0.108), произведем дальнейшее упрощение. Заметим, что в это
выражение вместо полного входит свободный пропагатор элект-
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 163
рон-позитронной пары. На рис. 10.7, а это сводится к пренебре-
пренебрежению вкладом мгновенного обмена, линии которого заключены
между линиями, соответствующими Уь-в?аимодействию. В том же
духе вместо К (и К) можно подставить его нулевое приближение,
т. е. значение волновой функции в конфигурационном простран-
пространстве в нуле:
Короче говоря, мы имеем
J1Фо | J (fc
BяJ
Второй член, очевидно, описывает перекрестный фотонный обмен.
Здесь через со обозначена величина |/"ka+m2, а четырехимпульс
Р = Bт, 0). Мы перейдем теперь к матричной алгебре, учитывая
тот факт, что можно вычислить сферическое среднее по к Таким
образом, часть, дающая вклад в расщепление, запишется в виде
f
В результате мы приходим к выражению
Восстановим теперь массу фотона ц и применим ту же технику,
что и выше; тогда
164
ГЛАВА 10
Происхождение инфракрасной расходимости связано здесь с ис-
использованием свободного двухчастичного пропагатора, однако,
как и ожидалось, это приближение оправданно, поскольку члены
ln(m/fx), входящие в A0.119) и A0.121), сокращаются.
. При учете радиационных поправок второго порядка Д?$ вер-
вершины и потенциал Vb изменяются за счет поляризации вакуума.
Эта поправка к Vb не влияет на синглет-триплетное расщепление
в порядке а", поскольку они вносят изменения на малых рас-
расстояниях, тогда как изменение вершинных функций можно учесть,
включив аномальные магнитные моменты электрона и позитрона,
т. е. умножив главный член в A0.119) на A -|-сх/2лK. Таким об-
образом, в требуемом порядке имеем
2aa
A0.122)
Обратимся теперь к аннигиляционной части АЕ%\ определяе-
определяемой выражением A0.109), в котором замена р2 на 4т2 была обо-
обоснована для данного расчета Здесь мы сталкиваемся с новой
трудностью, поскольку при введении кулоновской волновой функ-
функции необходимо учитывать входящую в нее в скрытой форме
часть перенормировки заряда в вершине. Это ясно показано на
РИС. 10.8, Аннигиляционные диаграммы, а — член низшего порядка; б—вклад
второго порядка от перекрестного члена V'aD~xVь+VbD~xVa.
рис. 10.8. Поскольку потенциал, связанный с однофотонным об-
обменом, разбит на части нековариантным образом, вычитания сле-
следует проводить с осторожностью. Для того чтобы восстановить
ковариантность процедуры, необходимо включить в рассмотрение
члены второго порядка VbD~l-Va + VaD']-Vb При этом фотонный
пропагатор дополняется до ковариантного Фактически то, что
в данном приближении сдвиг энергии во втором порядке опре-
определяется свободным двухчастичным пропагатором, означает, что
оператор Vb сюит непосредственно перед или после аннигиля-
аннигиляционной вершины. Разумеется, главный вклад порядка а* нечув-
нечувствителен к этому эффекту. Таким образом, объединяя непосред-
' ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ Щ
ственно АЕ(а' + Л?аь+&а, находим
'1' л-\F{1} — ж
+ ЛГ (p')]
v Г w«n JSp [C/D-i (p, P) W-ai.m) ф0]
J
Заметим, что на этот раз мы удержали в К (р) полный двухча-
двухчастичный свободный пропагатор, в то время как по-прежнему
считается, что ф0 содержит произведение Xi®%2 двухкомпонент-
ных спиноров, описывающее поляризацию состояния, и фигури-
фигурирует поэтому как матрица под знаком Sp. В выражении для
АК (р) мы аппроксимировали кулоновскую волновую функцию
ее значением в начале координат в импульсном пространстве
и использовали инфракрасное обрезание (а. Перенормировка вер-
вершины проводится, как и в гл. 7 (см. т. 1), посредством вычи-
вычитания аналогичного выражения с большой фотонной массой Л
и использования константы перенормировки Z1 = Za в калибровке
Фейнмана, вычисленной тем же методом, что и в G.34):
A0.124)
В разд. 10.3.1 уже отмечалось, что вклад в расщепление
уровней дают только пространственно-подобные значения поляри-
поляризации (индекс }а) виртуального фотона в аннигиляциошюм. Кроме
того, матрица зарядового сопряжения
0 -1аЛ
¦ = \~ioa 0)
является нечетной в употребляемом нами представлении, вслед-
вследствие чего
Sp[CV( ),( J<PoJ
следует считать равным величине
@, tf(-i
166
ГЛАВА 10
Непосредственное (хотя и утомительное) вычисление с учетом
этого замечания дает
trt
<10-125)
Для того чтобы учесть радиационную поправку порядка а, свя-
связанную с поляризацией вакуума, записанное выше выражение
следует еще умножить на величину [1 —со Dт2)] В данном фор-
формализме эту поправку следует учитывать, начиная с члена второго
порядка VaD~lVa:
A0.126)
Это дает дополнительный вклад
A0.127)
Последний элемент, который необходимо учесть для решения
нашей задачи—это член, отвечающий двухфотонной аннигиляции,
мнимая часть которого (со знаком минус) равна половине ширины
-P/Z
-Р/г
-У/2
РИС. 10.9. Диаграммы двухфотонной аннигиляции.
синглетного уровня (рис. 10.9). Выражение для него определяется
путем добавления нового члена к ядру Бете—Солпитера. Лучше
всего вернуться к уравнению A0.84) и в качестве приближения
для волновой функции использовать ее нерелятивистское значение
в нуле. Это дает главный эффект порядка аь в зарядово-четном
канале. Для того чтобы проследить за различными коэффициен-
коэффициентами, проще использовать релятивистские обозначения, в которых
- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 167
__—_«_ . ¦ _ _ .,
иA) и уB) являются спинорами в системе покоя:
Т2у (-а2 г
О) (тцуд,Л_д Y. +Yv _^/2^_mY,) "B)- (Ю.128)
Вычисляя интеграл и спинорный матричный элемент, получаем
коэффициент, пропорциональный проектору на синглетное со-
состояние:
Д?$ — 1~Р- = — ^ I Ф« I2 <2—S2> B—2 In 2 + in). A0.129)
Мнимая часть этого коэффициента дает значение ширины Г%у =
= таъ12, определяемой выражением E.128) в т. 1.
Мы имеем теперь полное выражение в порядке а5 для сверх-
сверхтонкого расщепления уровней позитрония. Беря выражения A0.119),
A0.121) и A0.122) для обменного канала, а также A0.125),
A0.127) и A0.129) для аннигиляционного канала и вычитая со-
соответствующие значения в состояниях S=l и 0, приходим к фор-
формуле Карплуса и Клейна:
A0.130)
Это значение все еще не является достаточным, чтобы можно было произво-
производить сравнение с результатом эксперименте) Читатель может оценить усилия,
необходимые для извлечения поправок порядка а6 Трудность частично свя-
вана с необходимостью последовательного учеы эффектов отдачи, т е пра-
правильного описания релятивистских кулоьовских волновых функций, что фак-
фактически приводит к членам порядка afi In A /а). Остальные эффекты, такие,
как поляризация вакуума в обменном канале, также дают вклад в этот член,
причем поправка имеет вид (а2/2) Ryd [Ва2 In A/а) + С] Последнее теорети-
теоретическое значение коэффициента В, сообщенное Лепажем в 1977 г., равно
В~— 1/6 Учитывая это значение в A0 130), получаем теоретическое значение
сверхтонкого расщепления 2,033774-10& МГц, которое можно сравнить со зна-
значениями, приведенными в A0 79).
Формализм Пете—Солпитера можно также применить для получения ра-
радиационных поправок к ширинам распада, а также к другим системам, таким,
как атом водорода. Читатель может в качестве упражнения получить в рамках
168
ГЛАВА 10
данного формализма возбужденный спектр позитрония с точностью до а1".
_
SLJ-~
SL,J
2ТТТ+Т
3L+4
LBL —1)'
A0131>
L-\.
Каким образом это можно сравнить со значением триплетного расщепле-
расщепления A0 80)?
ПРИМЕЧАНИЯ
Полевые уравнения рассмотрены в работах Дайсона (см.: Dyson F. J.—
Phys Rev., 1949, vol. 75, p. 1736 [Имеется перевод: Новейшее развитие кван-
квантовой электродинамики: Сб статей.— М.: ИЛ, 1954, с 205]) и Швигнера (см.:
Schwinger J.— Proc. Nat. Acad Sci , 1951, vol. 37, pp 452, 455 [Имеется пе-
перевод: Проблемы современной физики, 1955, № 3, с. 28, 33 ].
Уравнения для связанных состояний имеют долгую историю, которую
можно проследить по книге. Bethe H. A,, Salpeter E Е Quantum mechanics
of One and Two Electron Atoms.— Berlin: Springer-Verlag, 1957 [Имеется пе-
перевод: Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя
электронами.— М.: Физматгиз, I960.] Современное развитие этого вопроса
началось с работ: Bethe H. Л., Salpeter E. ?.—Phys. Rev., 1951, vol. 82,
р 309; vol. 84, p. 1232 [Имеется перевод второй из этих статей: Новейшее
развитие квантовой электродинамики: Сб. статей—М.: ИЛ, 1954, с. 334.], с ра-
работы Швингера, процитированной выше, а также со статьи: Gell-Mann M.,
Low F.— Phys Rev., 1951, vol. 84, p. 350 [Имеется перевод' Проблемы сов-
современной физики, 1955, № 10, с 43 ]. Обмен лестничными диаграммами рас-
рассматривался в работах: Nambu Y.— Progr. Theoi. Phys., 1950, vol, 5, p. 614;
Wick G. С — Phys. Rev., 1954, vol 96, p. 1124; Cutcosky R. ?.—Phys. Rev.,
1954, vol. 96, p. 1135. Обзор, составленный Наканиши (Nakanishi N.— Suppl.
Prog., Theor. Phys., 1969, vol. 43, p 1), содержит результаты как его соб-
собственных работ, так и работ многих других авторов, выполненных до конца
60-х гг.
Теория возмущений в случае сверхтонкого расщепления была развита
в работе: Salpeter Е Е.— Phys. Rev., 1952, vol. 87, p. 328, а для случая
позитрония — в работе: Karplus R , Klein A.— Phys. Rev., 1952, vol.87, p. 848.
Результаты последних весьма точных измерений приведены в статьях:
Mills A. P., Bearman G. Н.— Phys. Rev. Lett., 1975, vol. 34, p. 246; Egan P. O.,
Frieze W. E., Hughes V. W'., Yam. M. H.— Phys. Lett., Ser. A, 1975, vol. 54,
p. 412. Значение величины расщепления возбужденного триплета, приведенное
ъ настоящей главе, заимствовано из работы: Mills A. P., Berko S , Canter К- F, —
Phys. Rev. Lett., 1975, vol. 34, p. 1541. Позитронию посвящен следующий
обзор: Stroscio A.— Phys. Rep., ser. С, 1975, vol. 22, p. 215. Среди работ,
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 169
выполненных в последнее время, отметим следующие: Lepage G, Р.— Phys.
Rev., scr. A, 1977, vol. 16, p. 863; Bodwin G. Т., Yennie D. R.~ Phys. Rep.
ser. C, 1978, vol. 43, p. 267. В этих статьях имеются ссылки на более ранние
работы.
Спектр позитрония рассматривается в книге: Schwinger У. Particles, Sources
and Fields, vol. 2.— Reading: Addison-Wesley 1973 [Имеется перевод: Швингер Д.
Частицы, источники, поля. Т 2.—М.: Мир, 1976.]
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Формализм трехмерных уравнений в релятивистской проблеме двух тел воз-
возник еще до появления ковариантной формулировки теории поля (см.
Fock V. A.— Zs. Phys. Sowjetunion, 1934, Band 6, s. 425; Tamm I. E.— J. Phys.
USSR, 1945, vol. 9, p. 449; Dancoff S. Al.—Phys. Rev. 1950, vol. 78, p. 382).
Трехмерный квазипотенциальный подход в квантовой теории поля
(см Logunov A. A., Tavkhetidze A. N.— Nuovo Cimento, 1963, vol. 29, p. 380)
можно рассматривать как непосредственное обобщение на релятивистский
случай потенциальной теории двух тел.
Помимо отсутствия относительного времени, которое является причиной
серьезных трудностей в четырехмерном подходе, важной особенностью трех-
трехмерного описания является справедливость вероятностной интерпретации вол-
волновой функции и возможность простой формулировки граничных условий
[см. Kadyshevsky V, G.~ Nucl. Phys., 1968, vol. B6, p. 125; Логунов A. A.,
Хрусталев О. А. В сб. статей: Проблемы теоретической физики (Памяти
И. ~Е. Тамма).—М.: Наука, 1972; Klein A.,Tsung-Shung Lee W.—Phys. Rev.,
D. 1974, vol. 10, p. 4308; Кадышевский В. Г., Тавхелидзе А. Н. В сб. статей:
Проблемы теоретической физики (Сборник, посвященный Н. Н. Боголюбову).—
М.: Наука, 1969].
Квазипотенциальный подход явился эффективным средством решения
таких задач, как нахождение асимптотического поведения амплитуд при вы-
высоких энергиях, определение релятивистских поправок к спектру атома во-
водорода, в модели кварков (см обзоры: Фаустов Р. Н.—ЭЧАЯ, 1972, т 3,
вып. 3; Боголюбов П. Я.—ЭЧАЯ, 1973, т. 3, вып. 1).
Результаты теоретических расчетов и экспериментальных исследований
позитрония, полученные за истекшие годы, приведены в обзорах- Lepage G. Р.
В кн.: Atomic Physics, v. 7 (Proc. 7th Intern. Confer, on Atomic Physics,
1980)/ed. Kleppner D., Pipkin F. M.—New York: Plenum Press, 1981, p. 297;
Rich A.— Rev. Mod. Phys., 1981, v. 53A), p. 127. После недавних уточнений
экспериментальных значений времен жизни пара- и ортопозитрония наметилось
расхождение с теорией для триплстного состояния (см.: Gidley D.W., Rich A.,
Sweetmen E., West D,— Phys. Rev. Lett., 1982, v. 49, p. 525).
Глава II
СИММЕТРИИ
Важная роль симметрии в квантовых системах и в физике час-
частиц стимулировала целый ряд специальных исследований. Для
построения теоретико-полевых моделей и понимания структуры
фундаментальных вчаимодействий необходимо идентифицировать
различные инвариантности и способы, которыми они реализуются
и нарушаются Значимость такого анализа подкрепляется захва-
захватывающими результатами, полученными в теории унитарной сим-
симметрии, в алгебре токов и в кирально-инвариантных моделях,
а также все возрастающим интересом к кварковой структуре
адронов. С другой стороны, соображения, основанные на симмет-
риях, являются главными в теории фазовых переходов в макро-
макроскопических средах, что еще раз подчеркивает глубокую связь
теории поля и статистической механики. Здесь мы рассмотрим
некоторые из моделей, изучение которых привело к открытию
специфических теоретико-полевых явлений, таких, как почти вы-
вырожденные мультиплеты полей, спонтанное нарушение симметрии
и квантовые аномалии.
11.1. РЕАЛИЗАЦИЯ СИММЕТРИИ
В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Выше мы уже встречались с несколькими примерами симметрии.
Некоторые из них были дискретными: симметрии относительно
пространственной инверсии, обращения времени и зарядового со-
сопряжения. Другие были непрерывными, например лоренцева ин-
инвариантность, или даже зависящими от пространственно-временных
координат, как в случае калибровочной инвариантности. Здесь
мы сосредоточим наше внимание на рассмотрении непрерывных
внутренних симметрии и обсудим реализацию квантовых симмет-
симметрии в рамках лагранжевой теории поля, хотя для формулировки
некоторых утверждений и результатов нет нужды в таком спе-
специальном ограничении.
СИММЕТРИИ 171
11.1.1. Постановка задачи
Рассмотрим некоторую теорию, инвариантную относительно группы
непрерывных преобразований, ограничившись пока классическим
случаем В гл 1 (см. т. 1 настоящей книги) мы объяснили поня-
понятие инвариантности; она означает, что лагранжиан (или гамиль-
гамильтониан), а следовательно, и уравнения движения остаются инва-
инвариантными при данных преобразованиях Задача теперь состоит
в том, чтобы выяснить, каким образом свойство инвариантности
отражается на поведении квантовой системы, и, в частности,
исследовать, к каким следствиям для спектра ее состояний оно
приводит.
Анализ симметрии в рамках квантовой теории предполагает
существование группы преобразований (локальных автоморфизмов),
действующей на физические наблюдаемые и, следовательно, на
динамические полевые переменные На инфинитезимальном уровне
это приводит к задаче построения 4-векторных токовых плотно-
плотностей и соответствующих нарядов. Возникает вопрос о возмож-
возможности реализации этих преобразований унитарными операторами
в гильбертовом пространстве состояний. В локальной постановке
задача состоит в изучении сохранения токов, с глобальной же
точки зрения необходимо задаться вопросом: генерируются ли
зарядами унитарные операторы, коммутирующие с 5-матрицей?
В гл. 1 (т. 1 настоящей книги) в рамках классической теории
мы уже обсуждали, как сопоставлять инфинитезимальным пре-
преобразованиям группы соответствующие нётеровские токи. В слу-
случае когда поля преобразуются по закону
( '
где баа—бесконечно малый параметр, токи определяются следую-
следующим образом:
здесь ??—лагранжиан теории. Это определение не зависит от
того, инвариантно ли действие относительно преобразований A1 1)
или не инвариантно и лишь предполагает, что лагранжиан яв-
является некоторой функцией полей и их первых производных.
С учетом уравнений движения Эйлера — Лагранжя вариация S
сводится к
Ь2 =*Щ1Ьла. A1.3)
Заряды, определяемые интегралами
172 глава и
генерируют тогда преобразования A1.1) с помощью скобок Пуас-
Пуассона:
\Q«(t), Ф(х, t)\ = ^(x, t). A1.5)
Соотношение A1.5) предполагает, что скобка Пуассона ф с бф
исчезает. Это справедливо в том случае, когда бф не зависит от
сопряженного к ф импульса поля. В частности, величины Qa (t)
удовлетворяют тогда коммутационным соотношениям, характерным
для алгебры Ли группы преобразований со структурными констан-
константами СаЬе [см. выражение A.146) в т. 1]:
{Bе@, Qb(t)\ = -CaboQB{t). A1.6)
В соответствии с A1.3), если ?? инвариантен относительно рас-
рассматриваемых преобразований, токи сохраняются в классическом
смысле, т. е.
д*/5 = 0, (И.7)
а заряды не завщ;ят от времени. Это легко установить, используя
теорему Стокса и пренебрегая пространственными поверхностными
членами.
В квантовом случае нам хотелось бы повторить все эти шаги
и, в частности, построить сохраняющиеся токи Но так как токи,
вообще говоря, являются локальными полиномами по полям, то
при этом можег возникнуть ряд трудностей. Так, иногда полезно
произвести предварительную регуляризацию, а именно осуществить
малый относительный сдвиг аргументов полей, вычесть расходя-
расходящиеся члены и т. д. В результате может оказаться так, что, для
того, чтобы удовлетворить законам сохранения в этих случаях,
нам придется решать нетривиальную задачу. На практике не всегда
известны правила коммутации полей, чаще мы пытаемся проверить
справедливость предположения о выполнении законов сохранения
в ка'ждом порядке теории возмущений после проведения соответ-
соответствующей перенормировки Реализация этой программы сводится
к установлению ряда тождеств, которым должны подчиняться
функции Грина в случае сохранения данного тока. Указанные
тождества подобны тождествам У орда в электродинамике и могут
быть проверены по теории возмущений. На примере киральной
симметрии в а-модели Гелл-Манна и Леви мы продемонстрируем,
что классические законы сохранения могут нарушаться аномалиями,
связанными с ультрафиолетовыми расходимостями. Следовательно,
эта область исследований не является чисто академической.
Рассмотрим теперь глобальный аспект проблемы, а именно
унитарную реализацию симметрии и соответствующие следствия
для спектра Здесь надо различать два случая, Первый из них
наиболее известен и детально изучался (см. первые работы Вейля
СИММЕТРИИ 173
и Вигнера) Он соответствует унитарному представлению группы
симметрии g --> U (g) в гильбертовом пространстве состояний. Дей-
Действие этого представления на наблюдаемые дается формулой
A-+'A = U(g)AW(g). A1.8)
Именно с такой ситуацией мы встречались при изучении пуанкаре-
инвариантности Обсуждаемый случай предполагает введение фа-ю-
вых множителей, что в свою очередь приводит к рассмотрению
представлений односвязной накрывающей группы (теорема Виг-
Вигнера). Состояния классифицируются по мультиплетам, которые
соответствуют неприводимым представлениям. В частности, вакуум
или основное состояние отвечает тождественному представлению.
Симметрии иногда основываются на приближениях, в которых,
например, пренебрегается более слабыми взаимодействиями. Это
имеет место в случае изотопической инвариантности, о которой
часто говорят, что она слабо нарушается электромагнитными си-
силами. Ниже мы кратко коснемся этого вопроса. Однако может
случится так, что симметрия проявляется только динамическим
путем и вакуум относительно нее не инвариантен. Мы называем
эту ситуацию голдстоуновской реализацией симметрии. В этом
случае унитарные операторы U (g) не существуют и симметрия
оказывается спонтанно нарушенной. Состояния уже не классифи-
классифицируются по мультиплетам, и при определенных условиях возни-
возникают безмассовые частицы. Подобные ситуации в физике нередки:
примером могут служить спиновые волны и ферромагнетизм. В фи-
физике частиц эта схема позволяет приближенно описать динамику
пионов.
11.1.2. Основное состояние
Свойства симметрии системы характеризуются поведением ее основ-
основного состояния Впоследствии мы увидим, что если совокупность
зарядов аннигилирует вакуум, то сохраняются соответствующие
токи, а группа симметрии вводится с помощью унитарных преоб-
преобразований. Напротив, если токи сохраняются, а вакуум оказы-
оказывается неинвариантным, симметрия спонтанно нарушена.
Если бы вакуум был не единствен, мы могли бы определить
ортонормированный базис в подпространстве основных состояний,
диагонализуя все коммутирующие эрмитовы наблюдаемые. Для
определенности рассмотрим дискретный набор таких состояний | п>.
Выберем любую пару операторов А(х), В (у). Если их аргументы
разделены бесконечным пространственно-подобным интервалом, то
в соответствии с обобщенной леммой Римана—Лебега вклад в ма-
матричный элемент их произведения могут давать лишь промежуточ-
174 ГЛАВА 11
ные трансляционно-инвариантные основные состояния:
lim <п\А (х)В@) \т> = %<п\А @)\р><р\В@)\т>.
Здесь суммирование выполняется по набору всех основных состоя-
состояний. В силу условия причинности матричный элемент коммутатора
<п|[Л(х), В@)]|/п> обращается в нуль при |х|—*оо. Следова-
Следовательно, матрицы in | А @) | ту и <п | В @) | т> коммутируют и могут
быть одновременно диагонализованы. В данном секторе вакуумные
матричные элементы произведения локальных операторов фактори-
зуются, когда пространственно-подобный интервал между их аргу-
аргументами становится большим. Это называется свойством класте-
кластеризации.
Кажущееся вырождение вакуума может возникать вследствие
грубого приближения. Реальное основное состояние единственно
и определяется из требования минимума энергии. В качестве при-
примера рассмотрим квантовомеханическую одномерную систему с по-
потенциалом V(x) = (x2 — IJ, имеющим два симметричных минимума.
В квантовой механике возможно туннелирование сквозь барьер,
в результате которого восстанавливается единственное симметрич-
симметричное основное состояние.
Мы можем ввести основное состояние трансляционно-инвариант-
ным способом, требуя, чтобы оно минимизировало эффективный
потенциал Vai}i} (ф). Последний играет роль плотности потенциаль-
потенциальной энергии в состоянии с данным средним значением поля.
Опишем важное свойство, следующее из локальности теории. Допустим, что
имеется оператор сохраняющегося тока;^(х), такой, что d^j^-(x)=0. Опреде-
Определим интеграл от /° (х, t) по ограниченной области пространства V:
Qv(O=jft/-»(x, t). A1.9)
v
Ясно, что этот оператор можно корректно определить с большей вероятностью,
чем его предел Q (/), в котором интегрирование распространяется на все про-
пространство. Коммутатор Qv(i) с локальньп; оператором А не зависит от времени
при интегрировании по достаточно большому объему V:
lim -§-[<Ы<), 41 = 0. (НЛО)
Действительно, из сохранения тока следует:
О = f tPx [дц f (x, 0, A\=-fi j <P* [/°(x- 0, A] + j ««• [j (x, 0, A].
v . ч
Когда V становится достаточно большим, то поверхностны,) интеграл обра-
обращается в нуль поскольку коммутатор включает в себя локальные операторы,
разделенные очень большим пространственно-подобным ишервалом
Это утверждение справедливо и и более общих on «аях В частности, А можно
заменить на любой мультилокальный оператор. Доказательство можно обобщить
симметрии 175
даже и на нерелятивистские системы при условии, что имеются лишь коротко-
короткодействующие силы.
Ответ на вопрос, является ли вакуум инвариантным или нет,
что на первый взгляд кажется довольно тривиальным, имеет важ-
важное значение для обширного ряда ситуаций с разнообразным физи-
физическим содержанием. Что происходит, например, если вакуум
инвариантен? Теорема Коулмена гласит, что соответствующие токи
сохраняются. Допустим, что Q (t), т. е. пространственный интеграл
от /°, хорошо определен (по крайней мере на плотном подмноже-
подмножестве гильбертова пространства, содержащем основное состояние)
и приводит к аннигиляции вакуума:
3*/o(x, t)\0> = 0. A1.11)
Если в спектре имеется энергетическая щель, то из трансляцион-
трансляционной инвариантности следует, что любое состояние с нулевым им-
импульсом обладает тем свойством, что
<п, Рп = 0|/о(х, 0|0> = 0,
поскольку этот матричный элемент не зависит от х, а в силу
условия A1.11) его пространственный интеграл равен нулю. Этот
вывод не вполне корректен, так как, строго говоря, рассматри-
рассматриваемое состояние не является нормируемым. Однако в доказатель-
доказательство можно внести необходимые поправки. Таким образом,
<п, Ря = 0|д0/°(х, 0|0>=<п, Ря = 0|д^(х, f)|0> = 0. (I1.12)
Последнее равенство следует из того факта, что Vj(*. /) =
= t[P, j(x, /)]. Предполагая, что матричный элемент j (x, t) имеет
смысл, можно утверждать, что матричный элемент его трехмерной
дивергенции должен обращаться в пуль между состояниями с ну-
нулевыми 3-импульсами. Поскольку д^(х) представляет собой лорен-
цев скаляр, уравнение A1.12) справедливо и для произвольного
матричного элемента между вакуумом и любым другим состоя-
состоянием. Следовательно д^ аннигилирует вакуум. Можно показать,
что для локального оператора это возможно только в том случае,
если он сам равен нулю.
Таким образом, мы делаем вывод, что
Симметрия является точной и допускает унитарное представление
операторами вида U = e'aQ.
176 ГЛАВА И
11.2. СПЕКТР МАСС, МУЛЬТИПЛЕТЫ
И ГОЛДСТОУНОВСКИЕ БОЗОНЫ
11.2.1. Октетная модель Гелл-Манна и Неемана
В случае когда внутренние симметрии образуют компактную группу
Ли, фазы операторов представления можно выбрать таким обра-
образом, что мы получим унитарное представление ее накрывающей
группы Это представление расщепляется на неприводимые компо-
компоненты, действующие в подпространствах исходного гильбертова
пространства. Следовательно, последнее порождается мультипле-
тами состояний.
Здесь мы коротко обсудим модель приближенной SU ^-сим-
^-симметрии сильных взаимодействий (октетную модель), которая обоб-
обобщает уже известную нам изотопическую инвариантность ядерных
сил, открытую Гейзенбергом в 30-х гг.
При высоких энергиях проявляются более широкие группы
ароматов, как их теперь называют. В процессе изучения новых
узких резонансов в области нескольких ГэВ уже имеются данные
о наличии SU D)-симметрии, и вполне вероятно, что это еще
далеко не предел1).
Члены элементарного изодублета—протон и нейтрон—класси-
нейтрон—классифицируются в соответствии с собственными значениями третьей
компоненты изоспина Т3, принимающей в данном случае значения
±1/2; при этом имеет место следующее соотношение:
Q = N/2 + T3, A1.14)
где N—барионный заряд. В рамках лагранжевой теории соответ-
соответствующие поля объединяются в изоспинор \|з, и, если пренебречь
различиями в массах, можно записать свободный лагранжиан
который оказывается инвариантным при изоспиновых вращениях:
гр^ A1.15)
х) В настоящее время приближенная SU D)-симметрия адронов твердо уста-
установлена; помимо частиц со скрытым чармом J-ip и г|/ (связанных состояний СС
четвертого кварка С и антикварка С) экспериментально обнаружены частицы,
обладающие явным чармом Эти частицы образуют SU D)-мультиплеты. Экспе-
Эксперимент свидете 1ьствует о наличии приближенной SU E)-симметрии и существо-
существовании пятого /-кварка (от английского top—верх). Связанное состояние ft, ипси-
ипсилон-частица, является аналогом частицы ty-J. Наконец, имеются веские
соображения в пользу существования шестого кварка и, следовательно, SU F)-
симметрии адронов.— Прим. перев.
СИММЕТРИИ |77
где (/ — унимодулярная унитарная 2х2-матрица. Простейшая инва-
инвариантная связь—это связь с пионным изовекторным полем л
(см. гл. 5 в т. 1). Для пиона в соотношении, аналогичном A1.14),
нужно положить N = 0 и приписать Та значения +1, 0 или—1.
С учетом свойства псевдоскалярности пиона единственным пере-
перенормируемым инвариантным взаимодействием является
^B3^ignN^y^-^- A1.16)
С1
Обозначение матриц Паули и пионных полей полужирными бук-
буквами означает, что они являются векторами в изопространстве.
Формула A1.16) представляет собой запись в компактном виде
ряда соотношений между различными константами связи:
?я+ рп = VZgn'pp =—V2gn°nn , (И . 17)
выражающих динамическое содержание симметрии. Эти соотноше-.
ния можно получить, замечая, что обычные поля я<+), я(~)=(яс+')+ й
я<0) связаны с их декартовыми компонентами следующим образом:
A1.18)
~
Отметим, что оператор л(~> рождает положительный пион или
уничтожает отрицательный. Выше при обсуждении пион-нуклон-
ного рассеяния мы упоминали о некоторых динамических след-
следствиях этой симметрии, таких, как неравенства треугольника для
соответствующих сечений. В начале 1960-х гг. Гелл-Манну и
Нееману удалось обобщить изотопическую симметрию до более
широкой группы SU C). Как оказалось, все известные мультиплеты
адронов соответствуют представлениям фактор-группы SU C)/Z3,
где Z3 является абелевым центром группы SU C), генерируемым
кубическими корнями из тождественного элемента. Генераторы
центра действуют как единица на все адронные состояния, кото-
которые, таким образом, обладают нулевой триальностью.
Напомним, что представления удобно описывать в терминах
алгебры Ли инфинитезимальных эрмитовых генераторов группы.
Метод такого описания нам хорошо известен из квантовой меха-
механики. Мы диагонализуем максимальный набор коммутирующих
генераторов (подалгебру Картана). Базисные состояния задаются
весовыми векторами, компоненты которых совпадают с собствен-
собственными значениями этих генераторов в пространстве, размерность
которого равна рангу алгебры Ли, т. е. размерности подалгебры
Картана В случае группы SU B), имеющей ранг единица, весо-
весовые диаграммы являются одномерными, .причем по оси абсцисс
178
ГЛАВА 11
откладывают собственные значения Ts (рис. 11.1). Выделенную
роль играет присоединенное представление, действующее на самой
ц Изоспин1
* * (нуклон)
-*—н-
Игаспин!1
(пион)
К К ?г
РИС. 11.1. Весовые диаграммы
для SU B).
алгебре Ли посредством операции коммутирования. В случае SU B)
оно соответствует единичному изоспину, причем
[Ts,
A1.19)
Этот метод можно обобщить на группу SU C), которая порождается
восемью эрмитовыми генераторами (в фундаментальном представ-
представлении это бесследовые ЗхЗ-матрицы) и алгебра Ли которой имеет
ранг два. Два диагональных генератора представляют собой линей-
линейные комбинации изоспина Т3 и гиперзаряда У", который опреде-
-1
-1 1 М 1
-1
-1
j-*r3
о
-1
-2
_3 _i _1
2 l 2
РИС. П.2. Мезонные и барионный октеты и резонансный декуплет в модели
ГМ Н
ар
Г
р
елл-Манна и Неемана.
СИММЕТРИИ
179
ляется как сумма барионного числа и странности. Формула Гелл-
Манна и Нишиджимы дает связь этих операторов с зарядом:
Q = K/2 + T,, Y = N + S, A1.20)
обобщая тем самым соотношение A1 14) На рис. 11.2 показаны
мультиплеты наименьшей размерности — октеты барионов и псевдо-
псевдоскалярных мезонов [они соответствуют присоединенному представ-
представлению SU C)], а также декуплет ре^онансов, на основе которого
было предсказано существование частицы il~.
В представлении матрицами Гелл-Манна базис алгебры Ли,
обобщающий матрицы Паули, записывается следующим образом:
A1.2П
/0
^=A
Vo
/0
Л» = 0
Vi
V
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0\
0 .
о/
1\,
0
ov
0
0 -
i
0
-i
0
K--
K
\
).
Эти матрицы нормированы
/0 -
=(»
Vo
/O
= 0
V/
^8 =
— i 0\
0 0 ,
о о/
0 -Л
0 0
о о/
I
\ о
. K-
0
i/Кз
0
в соответствии с )
/1 0 0
0—10
Vo oo
/0 0 On
= 001
VO 1 0;
о N
0
—2/1/зУ
условием
и подчиняются коммутационным и антикоммутационным соотно-
соотношениям
[kk, K1 =
AL22)
где fk[m полностью антисимметричны, а йЫт полностью симмет-
симметричны; в следующей таблице приведены ненулевые компоненты
этих величин:
к
l
l
l
2
2
3
3
4
6
2
4
5
4
5
4
6
5
7
m
3
7
6
6
7
5
7
8
8
2
1
—1
1
1
1
—1
\f3
k
l
l
l
2
2
2
3
3
3
1
4
5
2
4
5
3
4
5
m
8
6
7
8
7
6
8
4
5
2dfete
2/yT
1
1
2/^3"
—1
1
2/^3
1
1
k
3
3
4
5
6
7
8
6
7
4
5
6
7
8
m 2dft/m
6 -1
7 j
8 —\iyj
8 — 1/^T
8 —l/yHf
8 _i/^3~
8 —2/ |Аз"
ч A1.23)
180
ГЛАВА 11
С момента открытия унитарной симметрии оставалось загадкой,
почему в природе отсутствуют мультиплеты с ненулевой триаль-
ностью. Простейший из таких мультиплетов мог бы соответство-
соответствовать триплету гипотетических кварков, введенных Гелл-Манном
РИС. 11.3 Кварковый триплет.
и Цвейгом. Эти частицы [изодублет (и, d) иизосинглет (s)] должны
иметь дробные заряд и барионное число (рис. 11.3). Если унитар-
унитарная группа сильных взаимодействий на самом деле шире, чем
SU C), то должны существовать кварки, несущие новые квантовые
числа, такие, как очарованный кварк (с), изосинглет с зарядом
2/3 и гиперзарядом 1/3. Соответствующая новая группа симмет-
—I—-,/ 5°
РИС. 11.4. Фундаментальное и присоединенное представления для SUD)
Указаны новые мезоны с чармом.
рии SU D) имеет ранг три. На рис. 11.4 представлены весовые
диаграммы для ее (четырехмерного) фундаментального представле-
представления и (пятнадцатимерного) присоединенного представления1).
Было предпринято много безуспешных попыток обнаружить
свободные кварки, главным образом используя факт дробности их
зарядов. Оказалось, что все известные адроны ведут себя как
связанные состояния кварков. Идея о том, что кварки могут суще-
существовать только в связанных состояниях, привела к понятию
*) См. примечание на с. 176.
СИММЕТРИИ
«конфайнмента»'/). Было предложено несколько механизмов его
реализации. Один из наиболее обещающих подходов базируется
на локальной ненарушенной цветовой симметрии. Мы рассмотрим
этот подход в следующих главах.
Октетная симметрия является приближенной инвариантностью
сильных взаимодействий. Это утверждение заведомо справедливо
и в отношении любой более широкой группы инвариантности.
Однако нарушение симметрии вводится довольно однотипно, исходя
из так называемого правила октетнои доминантности. Чтобы пока-
показать это на примере, рассмотрим расщепление масс между членами
одного из мультиплетов, взяв для определенности барионный
октет, включающий нуклоны, а также Л-, S-, S-частицы. В пред-
предположении, что имеется лишь изоспииовая инвариантность, в эф-
эффективный лагранжиан массовые члены должны входить с коэф-
коэффициентами mN, mA, ffzs, tits,- Любая билинейная комбинация
полей, такая, как рр-^пп-^ ¦ ¦., преобразуется относительно SU C)
как прямое произведение двух октетных представлений, которое
можно разложить на неприводимые части согласно стандартной
процедуре Клебша—Гордана:
A1.24)
Требование нейтральности исключает несамосопряженные пред-
представления 10 и 10 из массовой матрицы. Из этого следует, что
четыре физические массы можно записать в виде следующих ли-
линейных комбинаций четырех голых параметров, стоящих при поле-
полевых комбинациях, имеющих определенные трансформационные
свойства в SU C):
m3 =(m1-fOTj—2m"s—3/nJ7).
Разумеется, эта перегруппировка не представляла бы особого инте-
интереса, если бы ни один из неприводимых параметров не обращался
в нуль. Предположим, однако, что расщепление масс заложено
в более фундаментальном лангранжиане на уровне массовых чле-
членов кварков типа -ф (а -\- Ь\) г|;, содержащих лишь синглетные и
октетные представления, и что это свойство (таинственным обра-
образом) сохраняется при учете всех взаимодействий Это означает,
что в выражении A1.25) параметр т27 обращается в нуль; отсюда
х) Проблема невылетания кварков (конфайнмент) является одной из клю-
ключевых проблем теории элементарных частиц. Последовательной теории этого
явления в настоящее время не существует (см. примечание редактора в конце
настоящей главы).— Прим. ред.
182 ГЛАВА 11
мы получаем соотношение Гелл-Манна и Окубо:
01.26)
которое хорошо согласуется с экспериментальными данными, а
именно
ГэВ, A/4) CmA+mz) = 1,134 ГэВ.
В аналогичную формулу для псевдоскалярного октета (К, я, т))
входят квадраты масс:
4fflb=3msn + <. A1.27)
Необходимо учитывать смешивание с девятым ц' мезоном, допол-
дополняющим октет до нонета. Само по себе соотношение A1.27)
предсказывает т\ = 0,320 (ГэВJ, в то время как эксперименталь-
экспериментальное значение т\ = 0,301 (ГэВJ.
Правило октетной доминантности, примененное к декуплету,
ведет к эквидистантному расщеплению масс, которое хорошо
согласуется с экспериментальными результатами; главным дости-
достижением этого правила является предсказание полного набора
квантовых чисел О~-частицы:
т2*— /Ид =152 МэВ,
m = mn + maY, т3*—тъ- = 149 МэВ, A1.28)
/пд — ,ns» = 139 МэВ.
Унитарная симметрия позволяет написать различные соотно-
соотношения между амплитудами рассеяния, которые находятся в удов-
удовлетворительном согласии с экспериментом. Мы будем подробно
говорить об этом при обсуждении применений алгебры токов.
11.2.2. Спонтанное нарушение симметрии
Спонтанное нарушение симметрии возникает, когда основное
состояние не инвариантно относительно данной группы преобра-
преобразований. В этом случае группа действует в более широком несе-
парабельном гильбертовом пространстве, что хорошо видно на
примере поведения бесконечного ферромагнетика при вращениях
(см гл. 4 в т. 1 настоящей книги) Можно пояснить это с по-
помощью следующего эвристического рассуждения Вычислим норму
состояния <?|0>, где Q—величина, которую мы условно назовем
полным зарядом:
jjs*<0|yo(x)Q|0>. (П.29)
СИММЕТРИИ 183
Благодаря трансляционной инвариантности правую часть этой
формулы можно записать также в виде
Очевидно, что интеграл здесь будет бесконечным, когда
Наиболее характерной особенностью спонтанного нарушения,
установленной Голдстоуном, является то, что нарушение непре-
непрерывных симметрии обязательно сопровождается возникновением
безмассовых частиц. Эти состояния порождаются операторами,
осуществляющими инфинитезимальный «поворот» данного ваку-
ума в другой вакуум из вырожденного набора, поскольку из
физических соображений ясно, что такое преобразование не может
генерировать какой-либо энергии.
Для более строгого доказательства теоремы Голдстоуна пред-
предположим, что существует сохраняющийся ток и рассмотрим неко-
некоторый оператор А, такой, что
8а (t) ^ lim <01 [Qv (t), А] |0> ф 0. A1.30)
V
V -
В существовании такой наблюдаемой как раз и проявляется не-
неинвариантность вакуума. Вставим в это соотношение полный
набор промежуточных состояний с определенным 4-импульсом:
8a (t) = lim 2
V^-OD П V
= 2BяKб8(PJ[<01/0@)|«><n| A10>e-'?«<-
n
/Q I ^ t tj\ /^j I < /Q\ I Q\ giBnO ^z 0 П 1 31)
При обсуждении уравнения A1.10) мы уже показали, что из
сохранения тока следует соотношение
^-6а @ = 0. A1.32)
Таким образом, имеем
0=2 BяK б3 (Р„) Еп [<01 U @) | п><п | i410> е-'^ +
п
+ <01 А|п><«|/0@I0>eiE"t]. A1.33)
Из уравнений A1.31) и A1.33) следует, что должно существовать
состояние |«>, такое, что <01 А|я><«| /„ @) | 0>Ф-0, и для кото-
которого ?И6!(Р„) обращается в нуль. Это безмассовое состояние
имеет такие же квантовые числа, как /0 (и А), поскольку порож-
порождается действием указанного оператора на вакуум.
134 глава li
Эти безмассовые состояния называют голдстоуновскими бозо-
бозонами, связанными со спонтанным нарушением данной симметрии.
Они действительно являются бозонами, если /0—бозе-оператор.
В более общей ситуации, например в современных теориях супер-
симметрий, /д может в действительности переносить полуцелый
спин, тогда соответствующая ему безмассовая частица является
фермионом. Иными словами, спин голдстоуновских состояний
определяется трансформационными свойствами /^ (х) относительно
лоренцевых преобразований.
Тонкость заключается в том, что безмассовые состояния не
обязательно должны быть наблюдаемыми. Это замечание относится
к теориям, имеющим нефизический сектор ненаблюдаемых состоя-
состояний (к таким, например, как квантовая электродинамика в фор-
формулировке Гупта — Блейлера), и может быть существенным, если
мы хотим обойти следствия теоремы Голдстоуна.
В противоположность специальным рецептам нарушения сим-
симметрии, с которыми мы встречались, например, при обсуждении
октетной модели, механизм спонтанного нарушения симметрии
обладает эстетической привлекательностью. Он является эконом-
экономным в том смысле, что не требует введения новых параметров.
Он выгоден и с теоретической точки зрения, поскольку сохра-
сохраняет свойства перенормируемости. В ряде случаев присутствие
безмассовых голдстоуновских частиц может оказаться нежелатель-
нежелательным В следующей главе мы рассмотрим изящный способ преодо-
преодоления этой трудности с помощью механизма Хиггса.
В качестве элементарного примера спонтанного нарушения симметрии
рассмотрим свободное безмассовое скалярное поле с лагранжианом
%=(\12){дФ)\ A1.34)
инвариантным относительно сдвига поля;
Ф(х)-+Ф(х)+Х. A1.35)
Соответствующий сохраняющийся ток имеет вид
1\1(х) = д*Ф(х). A1.36)
Понятно, что вакуум не инвариантен относительно таких преобразований.
Подставляя в выражение A1.30) вместо А поле Ф(х), получаем
^0. A1.37)
Альтернативная точка зрения состоит в том, что полный «заряд»
lira Q у (/) = lim [<Рхдоф(х, t) A1.38)
не является хорошо определенным. В этом случае голдстоунов-
ский бозон представляет собой квант самого поля ф. Интересная
особенность рассматриваемого примера в том, что мы можем
найти явный вид состояния, получаемого действием на вакуум
оператора ellQv, Из фурье-разложения поля
cPk г ... ,,,
следует, что в пределе бесконечного объема состояние
|}l>= lim e v |0>
принимает вид
\к>= lira exp Ik U*x\^u[aWeik «-a(t (*)«-*¦«] 110> =
Таким образом, оно оказывается когерентной суперпозицией
состояний с нулевыми энергией и импульсом. Чтобы показать,
что <А,[0> обращается в нуль, следует быть более осторожными
при переходе к бесконечному объему. Лучше всего для этого
ввести гладкое обрезание в пространственных направлениях,
например, следующим образом:
Qv = j d*x доф (х, 0) е- *W2/?. (i i .42)
Читатель может легко убедиться в том, что
Простейшая физически осмысленная модель со спонтанным
нарушением симметрии включает совокупность п взаимодействую-
взаимодействующих скалярных полей, описываемых лагранжианом
&{ф) = ^(дфУ—^ф*-\(ф*у, A1.44)
инвариантным относительно внутренней группы симметрии О(п).
В такой записи Ф обозначает вектор-столбец этих полей, и сим-
симметрия нарушается, если квадрат голой массы р.2 отрицателен.
В классическом случае основному состоянию соответствует нену-
ненулевое среднее значение поля, поскольку минимум потенциала
V (ф) = №/2) ф* + (V4) (Ф*Г (П.45)
достигается при ненулевом значении поля (рис. 11.5):
|Ф1=о = (—HW. A1.46)
Чтобы обеспечить стабильность теории, предположим, что боль-
большие значения ф энергетически подавлены, т.е. i>0. Это
напоминает вырождение вакуума: каждое состояние с |</>|=у
можно априори назвать вакуумным состоянием. Однако различ-
ным выборам вакуумного поля фг1 соответствуют неэквивалентные
гильбертовы пространства. Заметим, что такой выбор #о остав-
оставляет ненарушенной 0 (п—1)-подгруппу, состоящую из преобразо-
преобразований, сводящихся на <S>V к тождественному.
РИС. 11.5. Потенциал V @) = (ц2/2H3+(Х/4) @2)а. а—ц2 > 0; б—ц2 < 0.
Для конкретности выберем во внутреннем пространстве такую
систему координат, чтобы лишь п-я составляющая вакуумного
вектора Фо = <0|ф|0> была отлична от нуля, и параметризуем
поле в терминах радиального смещения р и ортогонального
О(п — 1)-поворота:
¦ 0 '
О
A1.47)
Здесь ta (где 1^а<л — 1) обозначает п—1 генераторов группы
О (п), действующих эффективно на векторы <fiv в отличие от осталь-
остальных генераторов, образующих алгебру Ли подгруппы О(п—1)
и обращающих в нуль Фу. Записывая лагранжиан в новых дина-
динамических переменных р и ?, имеем1)
(П.48)
г) Во втором члене выражения A1.48), v^i—ковариантная производная,
определяемая соотношением
= тг е
0 д.,е —е д„е
(см. примечание редактора перевода в конце настоящей главы).— Прим. перев.
СИММЕТРИИ 187
Отсюда мы видим, что «угловые» переменные | соответствуют
п—1 безмассовым полям, как предсказывается теоремой Голд-
стоуна.
В предшествующем примере, который более подробно мы
изучим в разд. 11 4, вырождение основного состояния возникает
на классическом уровне. Однако в гл. 9 мы видели, что радиа-
радиационные поправки могут изменить вид потенциала и привести
к вырождению вакуума на квантовом уровне. Как показали
Коулмен и Вайнберг, такой механизм реализуется в определен-
определенной модели скалярной электродинамики, В ней комплексное
безмассовое бозонное поле минимальным образом взаимодействует
с электромагнитным полем. При этом лагранжиан записывается
в виде
\4 (*? + Ф1У- A1 -49)
Комплексное поле ф представлено здесь своими вещественными
составляющими ф1 и ф2. Кроме того, ангармоническую константу
связи мы обозначили через >»/4!, чтобы удобнее было сравнивать
однопетлевое значение эффективного потенциала с выражением
(9.129), соответствующим лагранжиану
^=4(с>ФJ-Аф*. - A1.50)
Построенный по этому лагранжиану эффективный потенциал
имеет вид
Ф2 25\
)
В гл. 9 была выполнена перенормировка при значении поля,
равном М, чтобы обеспечить равенство
Возвращаясь к скалярной электродинамике, можно повторить
аналогичное вычисление вклада Ф{ в V, учитывая факторы сим-
симметрии, указанные на рис. 11.6. Результат запишется в виде
A1.53)
Вычисление было выполнено в калибровке Ландау. Последняя диаграмма,
приведенная на рис. 11.6, г, не дает вклада при нулевом импульсе. Наличие
множителя 3 в диаграмме на рис. 11.6, в обусловлено следом тензора
(gi\,— kukvj№). Остальные веса связаны с вершинами
188 глава и
Логично предположить, что Хае* сравнимы по величине.
Действительно, Я-связь генерируется дополнительной расходи-
расходимостью, появляющейся в порядке е4. Следовательно, мы можем
хх <
1
а 6 в г
РИС. 11.6. Относительные веса однопетлевых диаграмм для функции Грина
с четырьмя полями Фь
пренебречь W по сравнению с е4. При этом потенциал V, опреде-
определяемый выражением A1.53), имеет минимум при ненулевом зна-
значении Ф1 = Фо. i + Фо, ъ определяемом из соотношения
Если выбрать масштаб Ф так, чтобы М2 = Фа, т. е. положить
^=&Ф* 2- 2» A1.55)
то придем к соотношению
откуда мы действительно получаем X порядка'е4. Параметрами
теории теперь являются е и Фф.
Подобные рассуждения неприменимы к обычной <?4-теории, когда лагранжиан
записывается в виде A1.50). В этом случае потенциал V действительно имеет
минимум для зчэчения Фу, такого, что
х т* х* ф1 »
6—Т92^+64^1ПЛР=О> AL57)
A1.58)
или
Однако величина A. In (ф1/М2) теперь соизмерима с основным вкладом, и можно
ожидать, что квантовые поправки более высоких порядков не будут пренебре-
пренебрежимо малыми. Иначе говоря, в этом случае незаконно считать, что ф1 = М2,
поскольку такое отождествление привело бы к большому значению константы Я,
при котором разложение в ряд по теории возмущений становится несправед-
несправедливым.
В скалярной электродинамике спонтанное нарушение сим-
симметрии не приводит к появлению какого-либо безмассового бозона.
Наоборот, как векторная, так и скалярная частица приобретают
симметрии 189
массы, равные
m* = 6(^)V" A1.59),
Эти массы связаны между собой замечательным соотношением:
<
~ = 0{е2). (Н.60)
В следующей главе мы подробно объясним механизм такого пове-
поведения.
Завершим этот раздел обсуждением роли размерности пространства-времени.
Теорема Мермина и Вагнера утверждает, что непрерывную симметрию можно
спонтанно нарушить только при размерности большей двух Для дискретной
симметрии низшая критическая размерность равна единице Фактически это
хорошо известно, поскольку в квантовой механике с конечным числом сте-
степеней свободы (что соответствует теории поля в одномерном случае) туннели-
рованиг между двумя вырожденными состояниями, отвечающими двум клас-
классическим минимумам, приводит к восстановлению единственного симметрич-
симметричного основного состояния С другой стороны, можно рассмотреть дискретный
аналог теории поля, взяв в качестве простейшего примера модель Изинга
В статистической механике. Интегралы по траекториям заменяются суммами
членов вида e~Blkl, где ?—энергия данной конфигурации. Для модели
Изинга ?=— J 2а<а/> где сУмма берется по всем смежным узлам решетки,
if
а дискретный «спин» в{ принимает значения ±1. Такая модель допускает
дискретную симметрию, соотве1С1вующую изменению направлений всех спинов
на противоположные, т. е. о; —* — о;. В низкотемпературной фазе ниже кри-
критической точки эта симметрия оказывается спонтанно нарушенной, если
пространство двумерно или имеет большее число измерений; однако в одно-
одномерном случае никаких переходов не происходит (Паперлс, 1938).
Аналогичная модель, называемач классической моделью Гейзенберга,
вместо переменных о,- использует единичные векторы S, на сфере В этом
случае, если S,- имеет п составляющих, существует непрерывная группа О (п),
но при числе измерений, меньше чем 3, спонтанного намагничивания не
возникает.
В рамках теории поля георема Мермина — Вагнера была вновь открыта
Коулменом. В соответствии с общей 1еоремой Голдстоуна спонтанное нару-
нарушение непрерывной симметрии должно было бы приводить к голдстоунов-
скому бозону. Но в двумерном пространстве-времени невозможно построить
оператор безмассового скалярного поля Действительно, соответствующая
двухточечная функция Вайтмана
00
j^8(felxi)e*1J(' - A1.61)
оказывается инфракрасно расходящимся интегралом, не имеющим смысла.
При этом не удается придумать никакой процедуры вычитания, чтобы обойти
эту трудность, не отказавшись от какик-дибо фундаментальных свойств тео-
теории поля, например положительности метрики гильбертова пространства.
190
ГЛАВА 11
Таким образом, в двумерном мире безмассовая скалярная теория поля не
определена из-за сильных инфракрасных расходимостей. В рамках статисти-
статистической физики это означает, что флуктуации превышают энергию взаимо-
взаимодействия, разрушая в этой размерности дальний порядок.
= L-\
. t t
. t t
t t
t t
,6/L
t t
РИС. 11.7. Две конфигурации, рассматриваемые в классической модели Гей-
зенберга на d-мерной решетке. Одно из направлений выделено для того,
чтобы указать эффект непрерывного вращения усредненного спина.
Простое доказательство объясняет происхождение этого явления. Рас-
Рассмотрим дискретную классическую модель Гейзепберга на решетке. Сравним
две конфигурации, изображенные на рис. 11.7, где ориентация «спина» может
изменяться, скажем, вдоль направления первой оси. Действие заменяется энер-
энергией, пропорциональной соответственно Еа=—ЬаиЕь=—L ~г '^j'cos (Q/L).
Относительный вес этих конфигураций задается фактором Больцмана
Мы видим, что в случае d > 2 конфигурация на рис. 11.7, б входит с пренебре-
пренебрежимо малым весом в термодинамическом пределе при достаточно низкой
температуре; это означает, что предпочтителен порядок В случае d = 2
усреднение по флуктуациям будет разрушать этот порядок. Аналогичные
соображения для дискретных симметрии показывают, что в этом случае наи-
наименьшая критическая размерность равна единице.
11.3. АЛГЕБРА ТОКОВ
11.3.1. Коммутаторы токов
Слабые взаимодействия приводят к необходимости детального
изучения структуры и свойств адронных токов. В феноменологи-
феноменологическом плане эти взаимодействия хорошо описываются эффектив-
эффективным лагранжианом ток х ток:
A1.62)
где G—константа Ферми, равная
G = (l,026 ±0,001)- 10-?mpa. A1.63)
Полный ток J^(х) есть сумма лептонного A^) и адронного (ft^)
токов:
*)- A1.64)
Если пренебречь вкладом недавно открытого массивного лептона,
то в лептонный ток будут входить только левоспиральные ком-
компоненты электрона е~, мюона ц~ и нейтрино \е, v^:
h (х) = Ф« (*) vP (I —Те) ЧЧ (*) + +». (ж) ур A — у.) Ч\-ц (*)¦ A1 -65)
Адронный же ток состоит из сохраняющей странность №pS=0' и
изменяющей странность frpAS==1) частей:
Ар = cos 9e йрД5=ш + sin % /ipAS=1>, (H .66)
где 0С—угол Кабиббо, приближенно равный
9с«0,25. A1.67)
Такое разбиение подразумевает, что мы можем соотнести масштаб
различных составляющих, отвечающих за переходы с различными
квантовыми числами. Существование такого общего масштаба обес-
обеспечивается нелинейной алгеброй коммутаторов токов.
Каждый из этих токов, как и лептонньш, представляет собой
суперпозицию V — А векторной и аксиальной частей. В рамках
унитарной симметрии они образуют октеты токов, обозначаемых
Vй, Аа (а= 1, ..., 8), причем
Читатель не должен путать применяемое здесь обозначение А^ для
аксиального тока с обозначением Лд для потенциала в электро-
электродинамике.
Слабое взаимодействие токов, дополненное этими гипотезами,
приводит к замечательным свойствам универсальности. Рассмот-
Рассмотрим, например, матричный элемент, измеряемый в ^-распаде
нейтрона:
un. A1.69)
В правой части формфакторы Gv и GA вычисляются при нулевом
передаваемом импульсе ввиду малого различия масс нейтрона и
протона. С однопроцентной точностью наблюдаемое значение Gv
совпадает с соответствующим значением, измеряемым в распаде
мюона. Значение константы G в A1.63) получается из распада
_I92 щдр«. ..
мюона с учетом радиационных поправок. Наиболее точные изме-
измерения для сильно взаимодействующих частиц обычно проводятся
в разрешенных C-переходах между состояниями ядер @+—>0+).
При этом учитываются различные тонкие эффекты, такие, как
радиационные поправки, наличие угла Кабиббо и т. п. Приведем
некоторые значения, полученные сравнительно недавно:
"о ^14N, GK/G = 1,006,
aeAl ->-aeMg, Gv/G = I,Oil.
Тот факт, что Gv@) не перенормируется сильными взаимодей-
взаимодействиями, находит естественную интерпретацию, если вслед за
Гелл-Манном и Фейнманом мы предположим, что векторный ток
Уд сохраняетсяХ) и генерирует унитарную симметрию адронов.
Иными словами, У^а (а=1, 2, 3) являются составляющими изо-
спинового тока, a Vfs=1'1 сохраняется приближенно, если прене-
пренебречь нарушением SU (З)-симметрии. Следовательно, адронный
электромагнитный ток можно записать в виде
;ет __ V*. i * Vs
/p. -»|it у-^ v Ц>
где для удобства сравнения мы опустили множитель е в опреде-
определении /ет. Данная гипотеза возникла как обобщение известного
свойства электродинамики, состоящего в том, что сохранение тока
приводит к универсальной перенормировке заряда. Напомним
(см. гл. 7 и 8), что тождество Уорда, выражающее закон сохра-
сохранения, показывает, что перенормировка заряда целиком обуслов-
обусловлена поляризацией вакуума. Все взаимодействия фермионов дают
вклад лишь в перенормировку волновой функции с константой
Z
Таким образом, определенные составляющие векторного адронного слабого
тока и изовекторная часть электромагнитного токр входят в один и тот же
мультиплет и одновременно сохраняются. Эту гипотезу Гелл-Манна и Фейн-
мана о сохраняющемся векторном токе (СВТ) можно проверить, сравнивая
вероятности слабого и электромагнитого распадов частиц, входящих в один
изоспиновый мультиплет. Из физики частиц нам известны ширины распадов
я+—> n°-j-e+-j-v и л~—* n°-j-e~-j-v. В силу того что передаваемый импульс
ничтожно мал, амплитуды этих распадов можно нормировать непосредственна
на электрический заряд посредством соответствующего поворота матричных
элементов в изоспиновом пространстве. При этом предсказывается следующее
значение ширины распада:
Г
30lts
x> Гипотеза о сохранении векторного тока была одновременно и незави-
независимо сформулиров.ана С. С. Герщтейном и Я. Б. Зельдовичем.— Прим. перев.
где вкладами порядка те%Цтл+ — тп<1J ~ 10~2 мы пренебрегли. Это значе-
значение следует сравнить с экспериментальным результатом
г ±_ „ , =@,39 ±0,03) с-1.
В ядерной физике можно также выполнить точную проверку справедливости
гипотезы СВТ.
Напротив, аксиальный ток не сохраняется даже в пределе
точной SU (З)-симметрии. Это находится в соответствии с тем
фактом, что аксиальная константа связи, измеряемая в C-распаде,
вовсе не равна векторной константе:
GA/Gv^\-,22±0,02. A1.70)
Однако мы можем изучать приближение, в котором аксиальные
токи будут сохраняться, по крайней мере те, что не изменяют
странность Это соответствует требованию инвариантности отно-
относительно дополнительной группы киральных преобразований
SUB)xSU B), генерируемой зарядами Qa и Qf (a=l, 2, 3).
Если для описания адронов в качестве фундаментальных дина-
динамических переменных использовать кварковые поля, то можно
получить следующие выражения для токов:
,VW-?W1^T?W. VW = ?(*)TV?Sу</(*)• (П-71)
Для этих токов можно вычислить одновременные коммутационные:
соотношения; это же справедливо для соответствующих зарядов:
*x Vua(x, t), Q°(t)~[d*x A/(x, t). A1.72)
Гелл-Манн постулировал, что эти коммутационные соотношения,
выведенные в рамках модели кварков, остаются справедливыми
независимо от предположения о кварковой структуре адронов.
Если SU C) не является точной симметрией, некоторые из заря-
зарядов могут зависеть от времени, однако вид алгебры одновременных
коммутаторов при этом не изменяется-
[Q", Qbb]~ifabcQsC, (П.73)
Мы видим, что данные коммутационные соотношения образуют
алгебру Ли группы SU C)xSU C) Это легко проверить, если
построить лево- и правосторонние комбинации генераторов
7 N, 184S
194 глава и
которые подчиняются следующим правилам коммутации:
Обычная унитарная группа входит в SU C) X SU C) как диаго-
диагональная подгруппа, а оператор четности переводит эти два набора
зарядов друг в друга:
5i-1 = Q_. A1.76)
Поскольку алгебра этих зарядов нелинейна, с ее помощью можно
придать ясный смысл концепции универсальности. Например, из
соотношения
[Q1+l2, Q1-'rJ = 2Qa A1.77)
следует, что матричный элемент коммутатора в левой части, вхо-
входящий в слабую амплитуду, универсально нормирован относи-
относительно изоспиновых состояний.
Соотношения A1.73) можно обобщить в два этапа. Вначале
мы можем написать коммутационные соотношения между зарядами
и токами, выражающие трансформационные свойства операторов
Кцв и А^а относительно преобразований SU C)xSU C). Из квар-
ковой модели следует, что токи принадлежат представлению
A,8)® (8, 1):
[Q«@, V/(x, t)] = ifabcV»c(x, t),
[Q-@, V(x' t)] = ifabcAS(x, t),
[Q5e@, V(x> 0] = -'fe»cV(*. 0. l ' J
[Q8'@, V(x- O3 = t7a6cV(x- 0-
Беря интегралы от соотношений A1.78) по пространственным
координатам, мы снова придем к коммутационным соотношениям
между зарядами.
На втором этапе, исходя снова из кварковой модели, можно
вывести одновременные коммутаторы для временных составляющих:
|V0«(x, 0. V0»(y, 0] = '/а»Лс(*. Об'(х-У).
[Vo« (x, 0, Л„6 (У, 0] = if аьЛс (х- 0 бз (*-У). A Ь79)
[Л0«(х, 0, Лоь (у, 0] = t/ebeVoe(x, Об3(х-У)-
Данные соотношения между временными составляющими, по-ви-
по-видимому, выполняются с высокой степенью достоверности и в общем
случае. Однако это уже не так, если попытаться продвинуться
дальше и включить в рассмотрение все составляющие. При этом
появятся члены с производными от б-функции. Например, мы
получаем
[Ve«(x, t), Vfd, Ol-'UW*. t)8^x-y) + Sab:ijd^(x-y).
A1.80)
Такие дополнительные члены были первоначально введены Швин-
гером при обсуждении сохраняющегося электромагнитного тока
[U A)-симметрия]. В данном случае предположим, что справед-
справедливо соотношение вида
[Уо(х, *), /Иу, /)] = 0. A1.81)
В правой части каких-либо вкладов от б-функции мы не имеем,
поскольку структурные константы в этом абелевом случае равны
нулю Таким образом,
[/„(*, 0, Vj(y, *)] = 0. A1.82)
В силу сохранения тока это также означает, что
[/.(х, 0. до/о(у, 0] = 0. A1.83)
Вычисляя вакуумное среднее этой величины и вставляя полный
набор собственных состояний оператора энергии, приходим в пре-
пределе х—-у к следующему равенству:
>1а = 0. (Н.84)
Из свойства положительности энергии мы заключаем, что /0 обра-
обращается в нуль! По крайней мере в этом случае швингеровские
члены неизбежны.
Эти дополнительные вклады выпадают из коммутаторов [Q, /J,
получаемых интегрированием Ситуация оказывается даже более
запутанной, когда дело касается одновременных коммутаторов
пространственных составляющих, которые сильно зависят от мо-
модели и не будут рассматриваться в дальнейшем.
В разд. 5.1.7 (см. т. 1 настоящей книги) мы уже встречались
с швингеровскими членами, когда пытались написать спектраль-
спектральные представления для вакуумного среднего хронологического
произведения электромагнитных токов или их коммутатора. Мы
обнаружили связь между швингеровским членом и локальной
нековариантной разностью «наивного» хронологического произве-
произведения (Т) и его ковариантной версии (Г). Было найдено, что
<01 Г/, (х) /v (у) 10> = <01 Г/V (х) /\, (у) 10> -
A1.85)
где %—интеграл от спектральной функции:
. A1.86)
С другой стороны, было также показано, что
<01 [/. (х, 0. /* (У. ')] I 0> = Й»6» (х -у) 1- A1.87)
7*
Если предположить существование такой же связи между швин-
геровскими членами и нековариантными частями «наивного» хро-
хронологического произведения (вклады диаграммы типа чайка) для
произвольных токов и состояний, то эти нежелательные вклады
будут сокращаться в окончательных выражениях, во шикающих
в приложениях алгебры токов. В самом деле, типичный резуль-
результат следует из тождества Уорда, которому удовлетворяет кова-
риантное хронологическое произведение
^ < А | ТГ (х) Г (У) I В> = < А | Тд»р {х) Г (у) | By +
+ 8(x°-y«)<.A\[j»(x), ,y(t,)]\B> + ± (чайка). A1.88)
Если последний член компенсируется швингеровским членом, по-
появляющимся из одновременного коммутатора, то мы можем их оба
опустить, после чего это тождество сводится к своей «наивной»
форме:
^ < А | 7Г (х) Г (Л) I В> = < А | Тд»1» (х) Г (У) | В> +
>иъа. A1.89)
Примем это как постулат. Тождество Уорда будет использоваться
для того, чтобы получать низкоэнергетические теоремы и правила
сумм всякий раз, когда имеется определенная информация о ди-
дивергенции тока Можно постулировать правило частичного сохра-
сохранения аксиальных токов (ЧСАТ), точное содержание которого мы
установим ниже. Однако покажем вначале, как можно проверять
локальные коммутационные соотношения Это позволит нам ввести
новый технический прием—так называемую систему бесконечно
большого импульса Дирака, Фубини и Фурлана
Выбирая нуклонные состояния А и В с равными импульсами
р и усредняя но поляризациям нуклонов, определим величину
fl^v (Р, Я) - г^ I d*x elqx J 2 <Р 11С (*). /v @)] \p>. A1 -90)
Поляр
Интегрирование по q° приводит к одновременному коммутатору
Woo (p, q) = J d^e-'я » 1 ? <р | [ft (x, 0), ft @)] j p>. .
Поляр
A1.91)
В типичных приложениях токи выбираются как векторные плот-
плотности $ ь*= Vo *й или Vi±l6, коммутаторы которых сводятся к
| у у
комбинациям V% и KJJ Например,
<p|[VJ + u(x, 0),
Поляр
3(x)i- ^ <p|V5(O)|p> = 4^T»; A1.92)
Поляр
здесь Т3—третья составляющая изоспина нуклона, а состояния
нормированы в соответствии с условием </?|р'> = (ро//л)BлK х
Хб'(р-р')
Ковариантную амплитуду W^ можно разложить следующим
образом¦
W W „ .L.W PvP% /П7 в Рр(>а _|-
w nv— w iei>.vnr w » m2 lw 3bnvpa 2m2 ^
^^#^^?^, (П.93)
где Ц7Х) ..., We—функции лоренц-инвариантных переменных
a v = q-p. Следовательно,
J \ p0 m
p0 m ротг рптъ /фикс, q
A1.94)
Если выбрать систему отсчета, в которой р q = 0, и потому
^e = v/p0 и <?2 = (v/puJ—q2, то выражение A1.94) можно перепи-
переписать в виде
J
. (П.95)
фикс q
Интерпретация этого правила сумм все еще затруднена из-за его
зависимости от р0 Вместо системы координат, в которой нуклон
покоится, а потому ри^т, разумнее выбрать предельную систему,
в которой р0—>оо, а ф остается фиксированным, т. е.
Р°' 'Pi-*00' РЧ-0> (П-96)
<72 — — q? фиксировано *
Если допустить законность перестановки операций перехода к пре-
пределу и интегрирования, то можно написать
vUMv, <?2=-q2)= lira ±\dq°W00. A1.97)
Вспоминая A191) и A1.92), видим, что мы получили сильное
ограничение на амплитуду, поскольку из него, в частности, еле-
дует, что левая часть полученного соотношения не зависит от q2.
Этим подтверждается локальный характер алгебры токов.
Правило сумм этого типа имеет ряд приложений. Мы приве-
приведем здесь только некоторые из них. Если применить соотношение
A1.97) к изоспиновым векторным токам У1+'2, V71"'2, то мы полу-
получим правило сумм Кабиббо — Радикати. Оно записывается в виде
>°:"~°:«¦
v порог
Функции F\ (q2), Fl (q2) представляют собой изовекторные форм-
факторы нуклона, определяемые через матричный элемент элек-
электромагнитного тока следующим образом:
A1.99)
Величины оТ/2, оТ/2 — это полные адронные сечения рассеяния
«изовекторных» фотонов на нуклонах в каналах с полным изо-
РИС. 11.8. Инклюзивный процесс
v-f-Л/ —1+Х
спином соответственно 1/2 и 3/2. Экспериментальные значения
обеих частей выражения A1 99) находятся в хорошем согласии
друг с другом. В единицах обратного квадрата массы пиона имеем
dF 1
\-2ИГ\
V порог
^. A1.100)
Инклюзивное сечение процесса Нейтрино (v) [или антинейтрино
(v)]-f Нуклен (Л/) —- Лептон A)+Х где X — неидентифицирован-
ное адронное состояние (рис П.8), записывается череч структур-
структурные функции Wv Wit Wat появляющиеся в выражении A1.93),
СИММЕТРИИ
следующим образом:
1 ' sin2y + IFv cos2 j
A1.101)
В этом процессе кинематические переменные vh?! связаны с энер-
энергией Е входящего нейтрино, энергией Е' конечного лептона и
углом рассеяния 0 в лабораторной системе соотношениями:
q* = — 4??'sinaF/2). lU
В экспериментах с лептонами высоких энергий их массами можно
пренебречь Этим объясняется отсутствие в A1,101) функций W4,
Wb, We и простое выражение для передаваемого импульса В гл. 13
мы изучим такие процессы более подробно.
При фиксированных цг и v, когда Е (а следовательно, и ?")
растет, 9 стремится к нулю и величину сечения можно аппрок-
аппроксимировать единственным вкладом W2. Следовательно,
«m ^- = 5^7 f dvlFBvrv)(v, </«). A1.103)
Перекрестная симметрия приводит тогда к условию
W?> (v, q*) = — r<v~(— v, q*), A1.104)
и алгебра токов позволяет написать правило сумм Адлера:
где Т3—третья составляющая изоспина, Y—гиперзаряд частицы
мишени и 0С—угол Кабиббо Аналогичный результат можно по-
получить для инклюзивных сечений неупругого рассеяния электрона
e-j-jV—>е-\-Х, которое описывается векторным током V{1+ll\
Однако, поскольку алгебра токов неприменима к изоскалярной
части электромагнитного тока, предсказание, полученное Бьер-
кеном, представляет собой всего лишь ограничение на сумму се-
сечений рассеяния электронов на нейтронной и протонной мишенях:
A1Л06)
200 ГЛАВА И
11.3.2. Частичное сохранение аксиального тока
и киральная симметрия
Коммутационные соотношения векторных и аксиальных зарядов
образуют алгебру Ли группы SU B)ix SU B) Предполагая, что
аксиальные токи приближенно сохраняются, приходим к симмет-
симметрии, называемой киральной Она реализуется с помощью голд-
стоуневского механизма, в котором роль безмассовых частиц иг-
играют пионы. Эта гипотеза позволяет извлечь новые следствия из
алгебры токов в виде правил сумм и низкоэнергетических теорем.
Обобщение на киральную симметрию SU C)xSU C), включающую
токи, изменяющие странность, является, по-видимому, более про-
проблематичным
Рассмотрим матричный элемент аксиального тока между со-
состоянием пиона и вакуумом:
<01 Л{, (х)\п* (/?)> = »/v6'* /,*-"•*. A1.107)
Эта амплитуда определяет вероятность распада я—>n~v в виде
Гя^= °2w"/"^-^J COS2 8 (Ц.108)
4лтя
Экспериментально измеренное значение /л равно
Л,«93МэВ (И 109)
Из A1.107) следует, что матричный элемент дивергенции
записывается в виде
<01 dMt (х) | я* (/?)> = ml б/* fn е- ч> *. A1.110)
Поэтому сохранение тока означает, что {„т*„ = 0, и мы приходим
к двум возможностям, либо /п, либо т\ равно нулю, что проти-
противоречит экспериментальным фактам Тем не менее в качестве пер-
первого приближения попытаемся сконструировать мир с безмассо-
безмассовыми пионами Если при выборе группы SU B) х SU B) предпо-
предположить инвариантность вакуума, то у нас получится нереальный
мир с вырожденными по четности мультиплетами с соответствую-
соответствующими правилами отбора С другой стороны, голдстоуновская реа-
реализация согласуется с тем фактом, что масса пионов много меньше,
чем у остальных мезонов
Поэтому исследуем вопрос о том, к каким следствиям приводят
предположения duAli = 0 и /л? = 0. Вычислим матричный элемент
аксиального тока между нуклонными обкладками:
<N (р2) | А^ @) | N (/>!» = и (pj %~ [WigA (<f) + q^hA (?*)] и (Pl),
(И П1)
СИММЕТРИИ 201
где q = ps—pv Сравнение с формулой A1.69) дает
gA@) = GA/Gy&l,22. A1.112)
В силу сохранения тока имеем равенство
(q*) = Q, A1.113)
из которого было бы ошибочным заключить, что gA @) = 0 Дей-
Действительно, формфактор h(q2) имеет полюс при <f = 0, отвечающий
обмену пионом (рис 11 9) Вклад его запишется в виде
#я -^r ignNn и (Pt) Ъ1'и (Pi)> A1.114)
где gnNN—эффективная константа " гшон-нуклонного взаимодей-
взаимодействия (см. раздел 5.3.4 в т. 1 настоящей книги), приближенно
равная
И4=14,6. A1.115)
Из соотношений A1 113) и A1.114) при нулевой передаче им-
импульса получаем соотношение Голдбергера — Треймана
A1.116)
которое находится в согласии с экспериментальными данными
в пределах 10%-ной ошибки [правая часть выражения A1 116)
равна 1,34, а левая—1,22]. Это замечательное соотношение, по-
РИС. 11 9. Вклад пиона в матрич- * •
ный элемент аксиального тока
между состояниями нуклона ^ iPi)
скольку оно связывает параметры сильного (gnNN) и слабого
(fn. GA!GV) взаимодействий. Для установления соответствия с ре-
реальным миром массивных пионов необходимо уметь экстраполи-
экстраполировать амплитуды из нефизической точки д! = 0 в точку ц* — т%л.
Это становится возможным в рамках гипотезы о частичном сохра-
сохранении аксиального тока (ЧСАТ).
A1.117)
которая отождествляет дивергенцию тока с гладко меняющимся
интерполирующим пионным полем Мы уже знаем, что диверген-
дивергенция д^Ауу имеет нужные квантовые числа Cooi ношение A1.110)
указывает, ч'Ю ее действительно можно использовать в качестве
202 ГЛАВА 11
оператора рождения асимптотических пионных состояний, если
тл(лф0. Уравнение A1.117) дополняется гипотезой о гладком
импульсном поведении формфакторов вблизи массовой поверхности.
Это означает, что в матричные элементы дМй при малых значе-
значениях передаваемого импульса | ql ] ^ тгл основной вклад дает пи-
онный полюс:
0(^) = <л|ЗМ11|В>=—^-т+..-; (П.Н8)
qi~mn
здесь С—вычет, величину которого нам надо определить. Таково
практическое содержание гипотезы ЧСАТ.
11.3.3. Низкоэнергетические теоремы
и правила сумм
Низкоэнергетические теоремы можно вывести с помощью алгебры
токов и ЧСАТ. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет
место в электродинамике. Поэтому мы начнем с изучения компто-
новского рассеяния при низких энергиях
РИС. 11.10. Комптоновская амплитуда и борновские члены.
Для простоты амплитуду рассеяния фотонов запишем для бес-
бесспиновой мишени с единичным зарядом (рис. 11.10):
Bя)*б« (А + *i~ Pi—
= ге2 J d*xd*y ^s^e{^-"-k'^ <p, | Г/„ (х) yv {y)\ /?,>,
& = ie* \ d*x«*вГе'*'-«<л\TU(х)/v@)|Pl> = еЧ^Т^. A1.119)
Выбирая для удобства векторы поляризации так, что e1^1=e2-fe2,
и учитывая лоренцеву инвариантность и инвариантность относи-
относительно обращения времени, можно записать амплитуду Т^ч в об-
общем виде:
A:2v. A1.120)
Здесь Р—средний импульс частицы мишени, Р^{р1 + ргI^- Пара-
Параметризация выбрана таким образом, что скалярные амплитуды Л,
СИММЕТРИИ 203
В, С и D свободны от кинематических сингулярностей. Из сохра-
сохранения тока следует, что fe?TnV = 0. Поэтому
В низкоэнергетическом пределе kv &2—>0 в амплитуды В, С и D
основной вклад вносят динамические полюсные члены, опреде-
определяемые борновскими членами с перенормированными вычетами.
Элементарное вычисление приводит к следующему значению ам-
амплитуды А на пороге:
Hm A = 2. A1.122)
fc,,fc2-*0
Таким образом, в этом пределе без каких-либо приближений, свя-
связанных с теорией возмущений, сечение дается выражением
которое находится в согласии с классической оценкой, произве-
произведенной в гл 1 (т. 1) и вычислениями в низшем порядке теории
возмущений (см. раздел 5.2.1 в т. 1). Впервые этот подход раз-
разработали Лоу, Гелл-Манн и Гольдбергер, которые, исходя us тех
же предположений, для частиц-мишеней со спином 1/2 вычислили
в комптоновской амплитуде следующий член, линейный по kt и k^.
Амплитуда S~ для рассеяния вперед имеет вид
& = ft (со2) s, ¦ 82 + {of, (со2) (е2 X ех) • о A1.124)
(здесь со = р-/г/т—полная энергия в лабораторной системе от-
отсчета). Поляризации выбраны здесь так, что они имеют равные
нулю временные компоненты. При этом низкоэнергетическая тео-
теорема записывается в виде соотношений
Амплитуда f2 включает аномальную часть магнитного момента
частицы-мишени (для протона g — 2 = 3,58). Первое соотношение,
конечно, эквивалентно соотношению A1.122). Это предсказание
трудно проверить непосредственно. Лучше преобразовать его в пра-
правило сумм, как это предложили сделать Дрелл и Хирн1). Исполь-
Используя безвычитательное дисперсионное соотношение для /2 (со2) [соот-
[соответствующее соотношение для fx (со2) требует по крайней мере
I) Несколько ранее это правило сформулировал С. Б. Герасимов (см. при-
примечание редактора перевода в конце настоящей главы).— Прим. перге.
204 ГЛАВА И
одно вычитание], можно написать
со'г)_ 1 Г ,2 о- (со'2)—о + (со'8)
^2 ~2К J ш'2 —(О2 '
(I
Здесь о± (ю2)—полные сечения для циркулярно-поляризованных
фотонов со спинами, соответственно параллельными или антипа-
антипараллельными спину мишени Обмен в /-канале, отвечающий ампли-
амплитуде с переворотом спиральности, указывает на то, что интеграл
от разности сечений с большой вероятностью является сходящимся,
и тем самым подтверждается наше предположение о справедли-
справедливости безвычитательного дисперсионного соотношения. Из послед-
последнего находим
Для протонов левая часть этого соотношения равна 205 мкб, в то
время как, согласно данным при высоких энергиях, значение пра-
правой части находится в пределах 200—270 мкб.
С помощью аналогичных методов вычислим амплитуды, вклю-
включающие аксиальные токи Это позволит нам получить определен-
определенную информацию о пион-нуклонном рассеянии при низких энер-
энергиях Введем матричный элемент аксиального векторного тока
между начальным нуклонным и конечным пион-нуклонным со-
состояниями:
= J
N (pt)\ Al (x)\ N (л)>. {11.127)
В соответствии с A1.117) этот матричный элемент связан с пион-
нуклонной амплитудой #"ял/. Чтобы убедиться в этом, свернем
обе части выражения A1.127) с qt и получим
= — / J Лг* х <п> (ft) N (р2)\ д»АЪ (х)\ N (Pl)> =
тл—<7i
'(?¦)# (л) |я*(*)!#(л)>-
Следовательно,
&(Л. ?•: Л. Яг)- W 128)
Если устремить q1 к нулю, то левая часть обращается а нуль
при условии, что Т? не имеет в этой точке сингулярности. Един-
симметрии 205
ственная сингулярность возникает из нуклонного полюса (рис.
11.11). Но в противоположность случаю комптоновского рассея-
рассеяния эта сингулярность компенсируется тем, что в точке ??, =0
числитель обращается в нуль и с$Т$ ~ q\iqx•/?!—>¦О при qt—»0.
Это приводит для экстраполированной амплитуды к условию
совместности Адлера:
Ига <П*/ {phPl; Pi, ft)-O. A1.129)
Разумеется, такой предельный случай мягких пионов является
нефизическим В альтернативном выводе соотношения A1.129)
прямо полагают /пп = 0 и «ЭЙЛМ = 0. Из условия ^Т^ = О выра-
выражение A1.129) получается посредством отделения пионного по-
полюса от других сингулярностей.
A t
x N(p2)
РИС. 11.11. Вклад нуклоиного полюса в матричный элемент <nN\A\N'>.
Если всерьез принять этот несколько нереальный мир с без-
безмассовыми пионами, то для амплитуды можно написать тождество
Уорда типа A1.80):
здесь И—произвольное адронное состояние.
Отсюда следует, что
I J d*xe*-*<Н (р5)| б (х») [М(х), А%@)]| Н(рг)> =
(И. 131)
Мы использовали здесь алгебру токов и тот факт, что V'w пред-
представляет собой изоспиновый ток, так что Т'н является изоспином
адрона. В случае когда рл—рг, Т^ имеет двойной полюс при
(^ = 0 с вычетом, пропорциональным амплитуде л;Я-рассеяния на
пороге:
+... ¦ A1-132)
Следовательно, пороговое значение амплитуды ?Гnli (в реальном
мире, когда p-q=mr<tnH) дается выражением
/л
(И.133)
206 ГЛАВА И
Обозначая через Т полный изоспин в s-канале, можно получить
соотношение
<2Т„-ТЛ «ГG+1)-Г„(Г„+1)-2 A1.134)
Этот же результат можно записать по-другому в терминах s-вол-
новых длин рассеяния в различных изоспиновых каналах, опре-
определяемых как
on = 8л (ти + mn) aT A1.135)
В случае пион-нуклонного рассеяния это дает значения
ал, = 0,166т;1, ач=— 0,083т, ш, +2ач =0, A1.136)
которые удивительно хорошо согласуются с экспериментальными
данными:
а^2сп = @,171 ± 0,005) т-я\ a%f" = —@,088 ± 0,004) т-\ A1.137)
Аналогичные вычисления, дающие хорошие результаты, можно
выполнить для пион-пионного и пион-каонного рассеяния
Используя дисперсионные соотношения, можно представить
эти низкоэнергетические теоремы также в виде правил сумм, Раз-
Разложим амплитуду пион-нуклонного рассеяния на четную и не-
нечетную части относительно преобразования кроссинг-симметрии
(см. разд. 5.3.4 в т. 1):
<g~jbN = #"+б-'* + Wkl%l$~ ~ A1.138)
и возьмем в качестве переменных v = p-q и переданный импульс ?.
Феноменологическое рассмотрение предсказывает следующее пове-
поведение этих амплитуд для больших v при t = 0:
#"+ -v. v(lnv)a, <f- -^ v0'6.
V^"«» V—*- оо
Поэтому можно предположить, что <0~~ (v, 0)/v удовлетворяет
дисперсионному соотношению без вычитаний Правило сумм, вы-
выведенное ниже, позволяет проверить справедливость этого пред-
предположения Выделяя вклад нуклонного промежуточного состояния
в полюсе 2v-f-m? = 0, дисперсионное соотношение для рассеяния
вперед можно написать в виде
•- (V, 0)
2 Г
Используя общую формулу A1.133) и пренебрегая т„ по сравне-
сравнению с т% в знаменателе борновского члена, получаем на пороге
симметрии 207
следующее значение:
' =i*-_ + f ? *.im^-(v)+0D). (И-НО)
Ы тм л J v \mN J
r«
Наконец, используя оптическую теорему, выразим lm<f через
полные сечения и применим соотношение Гольдбергера — Трей-
мана, чтобы заменить /„ на GA/GV. Это приводит к правилу сумм
Адлера—Вайсбергера:
1 UV = LlllN t —[аполнМ — anom(v)J. A1.141)
Сд ngnNN J v
mNmn
Согласие с экспериментом опять очень убедительное. Численная
оценка дает для GA/GV значения в пределах 1,16—1,24, что со-
согласуется со значением, полученным из |3-распада и равным
1.22 ±0,02.
Имеется внушительный список приложений алгебры токов и
техники мягких пионов к слабым полулептонным и нелептонным
распадам, для ознакомления с которыми мы рекомендуем чита-
читателю обратиться к соответствующей литературе.
В заключение заметим, что кирйльная симметрия является хорошим прибли-
приближением в физике ндронов Обобщение на SU C)xSU C) не вполне законно
из-за больших масс К- и т]-мезонов Гелл-Манч, Оке и Реннер дали феноме-
феноменологическую схему нарушения симметрии SU C)xSU C), записав эффектив-
эффективный гамильтониан сильных взаимодействий в виде
A1 142)
Здесь член Нъ ответственный за нарушение SU C)xSU C), должен был бы
иметь вид
A1 143)
где и0 преобразуется как скаляр относительно группы SU C), а иа — как
восьмая составляющая октета Феноменологический анализ показывает, что
величина е6/е0 равна приблизительно —V 2, а не нулю. Это указывает на то,
что лучшим приближением должна быть симметрия SU B)xSU B), а не SU C).
11.4. о-МОДЕЛЬ
Опишем теперь теоретико-полевую модель, первоначально разви-
развитую Гелл-Манном и Леви в 1960 г., как пример реализации ки-
ральной симметрии и частичного сохранения аксиального тока.
Название а-модель возникло из-за введенных ими обозначений.
Мы воспользуемся этой моделью, чтобы изучить взаимосвязь пере-
перенормировки и симметрии, что позволит нам, следуя идеям Ли и
Симанзнка, изложить технику тождеств У орда, которая будет
полезна при изучении калибровочных теорий.
11.4.1. Описание модели
Рассматриваемая а-модель включает фермионное изодублетное
поле ф с нулевой голой массой, триплет псевдоскалярных пионов
и скалярное поле а. Соответствующий лагранжиан записывается
в виде
где
^ ]- A1.144)
Его обычно называют лагранжианом линейной а-модели по при-
причинам, которые мы обсудим ниже.
Часть 3?s (индекс 5 означает симметричный) инвариантна по
отношению к преобразованиям киральной группы SU B)xSU B),
которые вводятся следующим образом. Правая и левая спинор-
ные компоненты \|># = A/2) A ~ry5) t|\ v|O = (l/2)(l — y5) v|) преобра-
преобразуются по представлениям соответственно A/2, 0) и @, 1/2), в то
время как совокупность полей (а, л) преобразуется по представ-
представлению A/2, 1/2).
Чтобы убедиться в этом, запишем лагранжиан взаимодействия
в виде
ф (a -f in • ту6) \р = yL (a + in ¦ т) \pR + $R (о— in ¦ т) $L.
Если {II, V) обозначает элемент группы SU B) х SU B) с незави-
независимыми U и V, то преобразование (сг + т-т)-^(cr-j-wi-Tjt/-1
есть допустимое 5i/ B)x5t/ B)-преобразование, приводящее к дей-
действительным полям а' и л'. Следовательно, если мы одновременно
произведем вращения изоспиноров tyR—+UtyR, ^ —»• V"v|)z, то ла-
лагранжиан взаимодействия, очевидно, останется инвариантным.
Инвариантна и величина а2 + л2, пропорциональная детерминанту
(а + т-т). Наконец, кинетический член \|}f#i|; равен ^д^Фя ~Ь
—]— гру t^\|3j и явно инвариантен. Следовательно, мы показали инва-
инвариантность лагранжиана JSs.
Соответствующие инфинитезимальные преобразования генери-
генерируются киральными зарядами Q# L, где а пробегает значения от
единицы до трех:
-т *** [02. Ы = ~т***!.>
o, [сгг,Фл]=о,
' if» ГОа ffl- ' ir« (П-145)
симметрии 209
В компактной записи преобразования полей (о, я) представля-
представляются соотношениями
A1.146)
Такая форма киральных преобразований позволяет особенно легко
проверить инвариантность лагранжиана. Алгебра Ли группы
SU B)xSU B) изоморфна алгебре одной из ее фактор-групп
OD) = 5i/ B)xSU B)/Zn и (а, я) преобразуется как вектор по
отношению к 0D).
В''отсутствие нарушающего члена со векторный и аксиальный
токи сохраняются. Они имеют вид
0
^*9^-^ or).
Нарушающий член са оставляет ненарушенной только диагональ-
диагональную группу SU B). При этом векторный ток остается сохраняю-
сохраняющимся, а аксиальный ток, выражение которого не меняется, при-
приобретает ненулевую дивергенцию:
dMjJ = — cna. A1.148)
Таким образом, эта модель обладает всеми желаемыми свойствами
алгебры токов, а дивергенция аксиального тока оказывается,
естественно, пропорциональной полю пионов.
Присутствие линейного нарушающего члена приводит к тому,
что в квантовом случае поле а приобретает отличное от нуля
вакуумное среднее <О|сг|О> = у, Поэтому в разложении по тео-
теории возмущений следует учитывать флуктуации этого поля отно-
относительно значения v, а не нуля. Для построения корректной
квантовой теории необходимо произвести следующий сдвиг поля:
а' =а—v
и потребовать, чтобы а' имело нулевое вакуумное среднее. Пере-
Переписывая полный лагранжиан в терминах поля а', получаем
2 = -ф [Ш + gv + g (о' + Ы ¦ ту,)] op + j [(дпГ + (^'J]-
а'2—-1 (ja3 + k>2) л2—too' (а'2 +л2) —
а' (с—^2у—Xv3). (И Л 49)
210 ГЛАВА 11
Выполненный нами сдвиг имеет три следствия. Во-первых, исчезло
вырождение по массе у мезонных полей. Теперь их массы равны
/74 = ^ +к;2, я4 = |л2 + ЗЬ2. A1.150)
Во-вторых, фермион приобрел массу, равную
mN = — go. A1.151)
И в-третьих, мы видим, что появилось новое трилинейное взаимо-
взаимодействие а'яп.
Вакуумное среднее v ограничено непростым условием <а'>=0.
Лучший способ удовлетворить ему—это потребовать, чтобы в тео-
РИС. 11.12. Диаграмма типа головастик.
рии возмущений вклады от диаграмм типа головастик для пере-
перехода о'—>• вакуум обращались в нуль (рис 11.12) В борновском
приближении это условие, как видно из формулы A1.149), можно
записать в виде
с — \i2v—Xv3 = 0.
Сравнение соотношений A1.117) н A1.148) приводит к следую-
следующей идентификации:
Следовательно,
fn = -v, mN=gfn, A1.152)
что есть не что иное, как соотношение Гольдбергера—Треймана
в приближении GAlGv=\.
При с—>0 могут возникнуть две различные ситуации. Одна
из возможностей состоит в том, что мы имеем также у—<-0;
в этом случае симметрия реализуется в описанной выше нормаль-
нормальной моде с безмассовыми нуклонами. Альтернативная возмож-
возможность возникает, когда ц2 < 0- В этом пределе имеем:
уа = _цЗД. A1.153)
Эта симметрия реализуется голдстоуновским способом, рассматри-
рассматриваемым нами в разд. 11.2.2, с нулевой массой пиона:
В этой фазе а-модель можно применить для вывода низкоэнерге-
низкоэнергетических теорем для пион-пионного или пион-нуклонного рас-
рассеяния.
симметрии
11.4.2. Перенормировка
Лагранжиан J?(cr', n, ф), полученный выше с помощью сдвига
поля а, или его разновидность в пределе с = 0, соответствующая
голдстоуновской моде, приводят к перенормируемой теории, как
показывает подсчет степеней расходимости. Все вершины в лаг-
лагранжиане взаимодействия имеют размерность, которая не больше
четырех, то же самое справедливо для любых возможных контр-
контрчленов Остается лишь показать, что форма лагранжиана вместе
со всеми контрчленами будет такой же, как в выражении A1.149),
отражающем структуру исходного лагранжиана A1.144) В част-
частности, можно поставить вопрос, что произойдет с соотношением
ЧСАТ A1.148)? Мы покажем, что все свойства теории сохра-
сохраняются. Для этого произведем вначале перенормировку в сим-
симметричной фазе, а затем докажем, что при этом автоматически
охватываются случаи явного (с ф 0) или спонтанного (с = 0, |х" < 0)
нарушения симметрии.
Чтобы упростить рассмотрение, опустим в лагранжиане члены
с фермионными полями, поскольку они не вносят каких-либо прин-
принципиально новых трудностей. Будем также использовать компакт-
компактные обозначения, причем мультиплет га полей, преобразующихся
по векторному представлению группы симметрии О (га), обозначим
через Ф В предыдущем примере п было равно четырем. Напишем
лагранжиан в виде
(ИЛ54)
Очевидно, что лагранжиан 3?$ инвариантен при преобразованиях
A1.155)
где Tfk—инфинитезимальные генераторы группы, в данном случае
п(п—1)/2 антисимметричных вещественных /гхя-матриц Т% +
+ П, = 0 <
Вначале удобно произвести инвариантную регуляризацию тео-
теории. Это можно сделать, например, путем следующей модифика-
модификации кинетического члена:
что приведет к пропагатору с достаточно гладким поведением при
больших импульсах, чтобы обеспечить сходимость всех интегралов
Фейнмана Далее будем всегда подразумевать, что такая регуля-
регуляризация выполнена.
212 ГЛАВА It
Рассмотрим теперь производящий функционал для с&язных
функций Грина в симметричной теории:
} A1.156)
Вследствие инвариантности (регуляризованного) лагранжиана при
преобразованиях A1.155) функция Gs(j) удовлетворяет соотно-
соотношению
A1.157а)
которое эквивалентно условию
%jf$ 0. A1.1576)
Чтобы выявить структуру расходимостей, необходимо иметь ана-
аналогичное тождество для неприводимых функций Грина, получен-
полученных с помощью преобразования Лежандра:
Поскольку справедливо обратное соотношение
мы видим, что при преобразованиях A1.155) Т5(ф) обладает свой-
свойствами инвариантности, аналогичными A1.1576):
= 0. A1.159)
Следовательно, если инвариантны условия нормировки, любые
контрчлены, необходимые для перенормировки, должны быть ин-
инвариантными. Действительно, предположим, что это свойство
справедливо в приближении L петель. Поскольку ?s представ-
представляет собой наиболее общий инвариантный полином четвертой сте-
степени, введение контрчленов может только перенормировать массу ц
и константу связи к, а также мультипликативно изменить поле
(одновременно все его компоненты) за счет умножения на кон-
константу перенормировки волновой функции Z. Так как J^s + Aj?^-1
обладает той же симметрией, что и $s, заключаем, что Г, вы-
вычисленное по этому лагранжиану, в приближении L + 1 петли
удовлетворяет тому же самому условию A1.159). Его расходящаяся
часть (L-\- 1)-го порядка представляет собой локальный симметрич-
симметричный полином, генерирующий контрчлены в порядке L+1. Это
симм.ь гний 213
индуктивное доказательство мы провели здесь довольно формально.
В более сложных случаях параметризация групповых преобразова-
преобразований может изменяться в каждом порядке за счет перенормировки,
но приведенные выше рассуждения и тогда остаются полезными.
Рассмотрим теперь полный лагранжиан 3', включающий линей-
линейный нарушающий член с-ф. Чтобы можно было правильно исполь-
использовать теорию возмущений, необходимо произвести сдвиг поля ф:
<*> = v. A1.160)
Опуская штрих, имеем выражение
знаменатель в котором гарантирует, что G@) = 0. Поскольку ф
является немой переменной, ее можно сдвинуть без изменения
значения функционального интеграла:
¦) + (#-v)-(j+c)]}
1 О1-
и записать G (j) через симметричный функционал
*xi-v, A1.163)
где v определяется из условия обращения в нуль производной
G(j) по j при j = 0:
0)
A1.164)
Аналогично находим
$ ), A1.165)
причем
Таким образом,
Г (¦) = Г5 (Ф +v)—rs (v) + J #хс-Ф(х),
_6rs(v)
С
Из тождества A1.159), выраженного через Г(Ф), получаем
= 0. A1.168)
Разберемся более подробно в смысле уравнения A1.168), Напри-
Например, возьмем производную по Ф и положим ф = 0:
—',1
=0-
Примем во внимание условие 6Г(Ф)/6фг (лг)|# = о = О, которое сле-
следует из определения величины v и антисимметрии матриц Т.
Тогда из A1.169) следует, что обратный пропагатор Г<^(/эа) при
нулевом импульсе удовлетворяет следующему уравнению:
T2a[cfiak + otri&@)] = 0. (П-170)
Отсюда вытекает, что векторы с и v коллинеарны, что было уже
очевидно из выражений A1 167) Если рассматривать с как внеш-
внешнее магнитное поле, то вектор намагниченности v будет направ-
направленным вдоль с Масса поперечных (по отношению к с) состояний
определяется выражениями
Г«> @) = — т\ A1.171)
V
c = mjv. A1,172)
Величина тТ в а-модели играет роль массы пиона и обобщает
результат, полученный в разд 114 1 Из A1 167) следует, что
перенормировка симметричной теории автоматически решает про-
проблему перенормировки нарушенной теории. Точнее говоря, если
Тзя(ф, ц\ X) = rs,per(Z'/.*, ц2 + 6ц*, Хв), A1.173)
то соответствующий перенормированный функционал в случае
нарушенной симметрии записывается в виде
ТН(Ф, tf, К, с) = ГрегB^Ф, ц* + 6н/До. Z-'/'c). A1.174)
Здесь оказалось необходимым изменить масштаб нарушающего
симметрию параметра с:
c(=Z"/.c A1.175)
таким образом, чтобы произведение сф осталось инвариантным:
с-ф = со-Фо. Последнее обеспечивает справедливость соотношений
Соотношения A1.167) предполагают, что в случае нарушенной симметрии
амплитуды получаются суммированием вставок диаграмм типа головастика сим-
симметричной теории. Например, р-точечные функции Грина (р > 1) можно запи-
записать в виде (рис. 11.13)
и=0
Для компактности записи мы предположили, что v направлен вдоль первой
оси в изотопическом пространстве.
Обсуждение перенормировки можно провести и в том случае, когда нару-
нарушающие симметрию члены имеют более сложную структуру и включают опе-
п
РИС. 11.13. Суммирование диаграмм типа головастик.
раторы более высокой размерности. Урок, который можно извлечь из работы
Симанзика, состоит в том, что только нарушающие члены размерности а < 4
требуют введения контрчленов, размерность которых ниже или равна ш.
Например, нарушающий симметрию массовый член (ю = 2) не будет влиять
на контрчлены степени гри или четыре, и они будут оставаться симметрич-
симметричными. Таким образом, при мягком нарушении (со < 4) остается след исходной
симметрии Жесткое нарушение (<о = 4) будет заведомо полностью разрушать
симметрию
Эти свойства ультрафиолетовых расходимостей отражаются в асимптоти-
асимптотическом поведении перенормированных функций Грина при больших импуль-
импульсах, по крайней мере в евклидовой области Это —другой аспект теоремы
Вайнберга (см. разд. 8 3 2). Мягкое нарушение не влияет на асимптотический
режим, который остается таким же, как и в симметричной теории
Читатель может задать вопрос, в чем состоит связь между этим обсужде-
обсуждением и тождествами Уорда
~<Jil (х) Ау (х{) ... Ап(хп)> = <Тд»% (*) Ai (*i) • • • Ап(*п)> +
п
+ 2 <Г/41 to) • • • б (л;0 —4) [io (х). Ар (Хр)] ... Ап (ха)>, A1.178)
0=1
которые встречаются в квантовой электродинамике или в приложениях алгебры
токов Легко убедиться, что предшествующие соотношения являются соотно-
соотношениями типа A1 178), проинтегрированными по к Поля ^(а^) отождест-
отождествляются с Фь (хр), а / представляет собой нетеровский ток /^ (х) =
[ци (*)] Tki [Ф1 М + и(] При интегрировании левая часть соотношения
A1.178) обращается в нуль, поскольку она представляет собой полную про-
производную, а поверхностные члены в отсутствие безмассовых частиц не появ-
появляются. В правой части величина d^/jj (x) равна ctTfm [Фт (x)-\-vm], а послед-
последний член можно переписать в виде вариации поля
6 (х°-уо) Ь? (х), Фк ({,)] = - «в* (х-у) ТЬ [0, (y) + vt]
В результате мы получим тождество A1 168).
Мы рекомендуем читателю вывести соотношение A1 178) из функциональ-
функционального интеграла A1 162) на основе того свойства, что последний не изменяется
при замене переменных <р—*0-f-6>, &</> — (Ta<f>) биа (х), где бша (х) зависит
от х. Эта зависимость приводит к вариации Si?s (Ф) — 1 ¦& (бсо) в соответствии
с определением тока Беря производную по 6ш, мы получаем соотношение
A1.178). Перенормировку этого тождества можно изучить сначала в симметрич-
симметричной теории, чтобы показать, что токи не перенормируготся, или, иными сло-
словами, что Zj=\ Более того, на это свойство не влияет введение мягкого
нарушения, так что мультипликативная константа перенормировки токаи в этом
случае равна единице При этом возникает вопрос: встретятся ли какие-ни-
какие-нибудь новые трудности, если мы попытаемся вывести тождества при наличии
в теории нескольких токов?
Теперь мы готовы обсудить интересный случай спонтанного
нарушения симметрии На первый взгляд кажется разумным на-
начать с перенормируемой симметричной теории при (х2 > 0, а затем
продолжить ее в область (Л2 < 0. Однако при этом мы столкнемся
с трудностью, а именно « переходом через сингулярную точку.
Физические величины, такие, как mf-([Д с), будут неаналитичны
по [i- при с = 0. Чтобы справиться с этой трудностью и обойти
сингулярность, введем малый линейный нарушающий член (с =^=0).
На рис. 11.14 показано, как можно перейти в голдстоуновскую
фазу, продвигаясь по пути сфуб посредством последовательного
изменения с и |i2. Из предыдущего рассмотрения следует, что
контрчлены симметричной теории (точка а) обеспечивают конеч-
конечность в точке с нарушенной симметрией р. Симметричные массо-
массовые контрчлены будут переходить из точки |3 в точку у, соответ-
соответственно изменению величины рА Наконец, при обращении с в нуль
(точка б) перенормированные функции будут удовлетворять тож-
тождеству
^0, A1.179)
а соотношение A1.170) примет вид
¦ 0,77л @) = 0. A1.180)
Это означает, что «—1 поперечных бозонов становятся безмас-
безмассовыми голдстоуновскими бозонами спонтанно нарушенной сим-
симметрии.
Уравнение A1.179) неявно включает в себя все соотношения
между функциями Грина в голдстоуновской фазе и приводит к ряду
низкоэнергетических теорем.
СИММЕТРИИ
217
Тот факт, что линейная а-модель и ее голдстоуновский предел
явным образом реализуют ограничения алгебры токов и ЧСАТ
уже на уровне борновских членов, предполагает ее использова-
использование в качестве феноменологического лагранжиана, подобно теории
Ферми для слабых взаимодействий На самом деле можно найти
т*
ctO
РИС. 11.14. Зависимость т% и /л = —о от jx2 в отсутствие (сплошная линяя)
и в присутствии (штриховая линия) внешнего поля с.
целый ряд феноменологических взаимодействий с такими свой-
свойствами. Общая идеология этого подхода состоит в том, что в нем
не рассматриваются проблемы перенормировок и учитываются
соотношения между амплитудами процессов лишь в низшем
порядке.
Примером такого рода служит нелинейная а-модель. Ее назва-
название связано с нелинейной реализацией киральнои группы на много-
многообразии:
Выражая о через пионное поле, соответствующий лагранжиан
можно записать в виде
I
(П. 182)
218 глава и
Отсюда мы видим, что на классическом уровне киральная сим-
симметрия реализуется в голдстоуновской фазе. Составное поле
а = ]/"/.*—л2 отлично от нуля, а пион является безмассовым.
Хотя в 4-мерном пространстве-времени эта теория не является перенормируе-
перенормируемой в соответствии с обычными критериями, она вызывает большой интерес
благодаря своим приложениям к статистической физике, в которой она опи-
описывает непрерывный предел классической модели Гейзенберга Кроме того,
теория, в которой используется лагранжиан типа A1.182), перенормируема
в двумерном пространстве, где скалярное поле безразмерно и, как можно
показать, тождества Уорда ограничивают структуру контрчленов Таким обра-
образом, эта теория характеризуется свойствами, присущими современным теориям
сильных взаимодействий (квантовой хромодинамике).
11.5. АНОМАЛИИ
До сих пор мы имели дело лишь с такими примерами, в которых
перенормировка не вступала в конфликт с симметриями, наблю-
наблюдаемыми на классическом уровне. В этом разделе рассматривается
представляющая большой интерес обратная ситуация, когда после
перенормировки теория приобретает новые свойства. В гл. 13 ана-
аналогичное явление встретится при изучении масштабной инвариант-
инвариантности. Чтобы ввести в предмет, разберем один кажущийся пара-
парадокс, возникающий в применениях алгебры токов.
11.5.1. Распад л°—*2у и алгебра токов
При перечислении в разд. 11.3 успехов алгебры токов мы наме-
намеренно не упомянули о том, что на первый взгляд кажется ее
РИС. 11.15. Распад л°—>-2v.
неудачей: о ее применении к описанию распада п° на два фотона
(рис. П. 15). Изучим теперь этот процесс. Амплитуду его можно
написать в виде
«Г = <Г (<72)L=ms = Hm ejfej Т„у(Я), (Ч. 183)
й (x) /v (y) n @) 10> e!<*¦ •*
A1.184)
219
Мы явно выделили хронологическое произведение двух электро-
электромагнитных токов, связанных с двумя фотонами (kv s, и k2, e2)
и нионным полем л (х) Здесь q = k1-\- k2 и фотоны находятся на
массовой поверхности k\ = k\ = Q. Пользуясь соотношением ЧСАТ
A1.117), заменим нейтральное пионное поле дивергенцией аксиаль-
аксиального тока, опустив изотопический индекс 3. Тогда
& (?) = "т^ eWTVvp, A1-185)
'31 Л
причем
Т^р = -/е2 J &xd*y е«Л-*+*.-»> <01 Tj^x) /v (у) Ар @) 10>. A1.186)
При вынесении производной аксиального тока из-под знака хро-
хронологического упорядочения мы воспользовались тем фактом, что
коммутатор б (х°—у0) [/й (х), Ло (у)] обращается в нуль для набора
квантовых чисел, входящих в A1.186). Напишем теперь разло-
разложение тензора T^vp{klt /г2) в самом общем виде. При этом надо
учесть отрицательную четность аксиального тока, симметрию
относительно комбинированной замены (kv ja) «-> (k2, v), отражаю-
отражающую тот факт, что фотоны подчиняются статистике Бозе, и,
наконец, поперечность по отношению к векторам Щ и k"l, кото-
которая следует из сохранения электромагнитного тока:
= 0. A1.187)
Учитывая также, что
Т (h Ь \ я ЬаЬт
I^Vn V^IJ 2/ ~~~~ LIVOt 1 *^2
+ L(eHPcn
Следовательно,
Qpl
\ (<72
=^0, получаем
) "Г (enp<JTV evp(Jt'
т
1 2
(я2
A
]х
1.188)
J<72 [T, (q*) + Ts (q% A1.189)
Вычислим эти амплитуды с точностью до ведущего порядка по
электромагнетизму. Поскольку при этом не имеется каких-либо
сильно взаимодействующих частиц с нулевой массой (массу п?п счи-
считаем отличной от нуля), из A1.189) следует
«Г@) = 0. A1.190)
В рамках теории мягких пионов это означает, что величина
$~ (ml) подавляется:
0. (U. 191)
\
Таким образом, в соответствии с наблюдением Сазерланда и
Вельтмана доминирующая компонента амплитуды распада я0 —•¦ 2у
220 ГЛАВА f}
оказывается запрещенной. К счастью, из-за эффектов перенор-
перенормировки это заключение является некорректным Подчеркнем, что
при ;том не ставится под сомнение справедливость экстраполяции
от (И 190) к A1.191), а лишь предполагается, что соотношения
A1 189) и A1 190) должны быть изменены Решение проблемы
основано на вычислениях по теории возмущений в рамках дан-
данной модели Интерпретация полученного результата будет со-
состоять в том, что в присутствии электромагнитного взаимодей-
взаимодействия соотношение ЧСАТ A1.117) требует модификации.
U.S.2. Аксиальная аномалия в а-модели
Для конкретности воспользуемся а-моделью с фермионами. Для
простоты рассмотрим лишь ферми-поле с зарядом +1 (протон)
и два мезона it0 и а. Согласно разд. 11.4.1, лагранжиан имеет вид
j I
2 2
!)__^(Я2 + а2J- (Ц.192)
В низшем порядке справедливы соотношения
т = _?у, m\—ml = 1h)%. A1.193)
Протон является единственной заряженной частицей, дающей
вклад в ток:
В этой модели аксиальный ток
{Ь A1.194)
имеет дивергенцию, которая формально равна
0*4в=/п?/„я, /„ = —о. A1.195)
Амплитуда я°-распада, вычисленная в низшем однопетлевом по-
порядке, дается выражением (рис 11.16)
7V = 7^Fx. *.) + ЛЙ(*„ кг), A1.196)
Bя)«
but*-
k2lv к „p.
РИС. 11 16. Однопетлевые диаграммы для распада я0.
В числителе след равен 4ше^рой?А§ (причем еО1аз =—1), и остав-
оставшийся интеграл является сходящимся:
х
BяL
-m2] (p*—m*
J
1 J
(p*—m*)
AL197»
На массовой поверхности мы имеем ^ = ^=0, *Lkx-k% — q%, и
вклад двух диаграмм имеет вид
1 1-х
dy-T-^—а- A1.198)
0 U
Это находится в противоречии с соотношением A1.190), поскольку
ST @) не равно нулю, а представляет собой в действительности
величину
<Г@) =^^^6^81/2?^. A1.199)
Заметим, что A1 198) предполагает гладкое поведение S~ (q3)
в окрестности qi — 0, причем
г@). A1.200)
Используя соотношение gltn=- 1/[л, где /л~93 МэВ, находим сле-
следующее численное значение ширины, обусловленное главным
вкладом оГ@):
= 7,63 эВ.
A1.201)
222
ГЛАВА 11
Здесь при интегрировании по телесному углу 2зт мы учли, что
фотоны подчиняются статистике Бозе Экспериментальная ширина
Гэксп = G,37± 1,5) эВ
A1.202)
находится в разумном согласии с вышеприведенной оценкой.
В действительности еще в 1949 г. Стейнбергер пришел к анало-
аналогичной оценке без учета всех тонкостей алгебры токов.
В кварковой модели электромагнитный ток связан с дробно заряженными
фермионами (с зарядами Q,) Аксиальный ток дается выражением
д уъ -у-1)),-+Мезонные вклады.
Таким образом, амплитуду $" следовало бы умножить на величину *=2
i
Кварковый триплет (и, d, s) имеет заряды (?,-=B/3, 1/3, —1/3), а соответст-
соответствующие значения тз равны A, —1, 0), поэтому л: = 1/3 Согласие с экспери-
экспериментом становится неудовлетворительным, если только KBdpKH не являются
трижды вырожденными по скрытому квантовому числу, Называемому цветом.
В действительности наряду с вопросом о статистике кварков в барионных со-
состояниях это наблюдение является одним из наиболее прямых аргументов
в пользу введения такого вырождения
ки/х.
а
РИС 11.17. Диаграммы, соответствующие амплитуде
в низшем порядке.
Попробуем теперь понять, в чем состоит некорректность вы-
вывода Вельтмана—Сазерланда. Для этой цели вычислим в рамках
обсуждаемой модели амплитуду TVvp, определяемую выражением
A1 186) Из A1 194) видно, что аксиальный ток связан либо
с пионом при помощи множителя iqpv = — iqpfn> либо непосред-
ственно е протоном. Следовательно, в низшем порядке
' nvp = ' nvp ~г ЫЯ(> а '•> ' (iv- ('
В T^vp дают вклад первые две диаграммы, представленные на
на рис. 11.17; последние две диаграммы включают пионную ампли-
амплитуду TRV. Вызывающее наибольшие сомнения тождество A1.185)
принимает вид
T^ A1.204)
'л" л
или в Другой записи:
<7p^vp = L^v = |^v. A1.205)
Разумеется, желательно обеспечить сохранение электромагнитного
тока A1.187) и после перенормировки Вычислим вклад двух
первых диаграмм, приведенных на рис. 11.17. Учитывая коэф-
коэффициент 1/2, который надо ввести в соответствии с определением
A1.194), находим
Та> Ik b \ — T<2> (k k \ —
^^). (П.206)
Сворачивая эту амплитуду с qp, получаем
Центральный член в следе можно перегруппировать следующим
образом:
5 [(/7—*,)*—
Таким образом, имеем
Здесь первый член есть не что иное, как амплитуда T™(kv ?2)
в я°-распаде [см. выражение A1.196)]. Следовательно, справед-
ливость уравнения A1.205) зависит от того, обратится ли в нуль
второй член. На первый взгляд можно было бы думать, что
каждый член, дающий вклад в этот интеграл, равен нулю, будучи
лоренцевым псевдотензором, зависящим от одного 4-векторного
аргумента. Кроме того, можно было бы привести соображение,
что сдвиг переменной интегрирования p—>p-\-kt показывает
сокращение первого члена в подынтегральном выражении для
величины q!'ffyp со вторым членом в подынтегральном выражении
для q'-'fffif,. Однако оба этих соображения являются ошибочными,
поскольку рассматриваемые интегралы линейно расходятся. Для
прояснения ситуации следует прибегнуть к надежному методу,
а именно к калибровочно-инвариантнои регуляризации Паули—.
Вилларса. Метод размерной регуляризации здесь не подходит
из-за присутствия величин у5 и e^vop, которые хорошо опреде-
определены лишь для четырехмерного пространства-времени.
Введение регуляризующего поля с большой массой (М) изме-
изменяет A1.208) следующим образом:
1° [Лйр (т)-fg>p(Щ = [| Т{В (m)~j T$ (Af)], (И.209)
поскольку приведенные выше аргументы уже справедливы для
регуляризованного конечного интеграла в A1.208). Используя
результаты предыдущих вычислений, нетрудно найти, что
М п
lim ~~Т^ЧМ\ — 9 kpb° I'll 21Ш
Hill "^ ж ил; \ / О UVpCrM"^' yll.&L\Jl
В результате регуляризации как раз и обнаруживается этот
конечный член, представляющий собой вклад второго интеграла
в A1.208). Наконец, добавляя вклад диаграмм, изображенных
на рис. 11.17, а и б, получаем выражение
пет HL Т —р kpk° l\\ 2111
где аномальный член в правой части исправляет A1.205). Следует
заметить, что тождества A1.187) выполняются по-прежнему.
Может возникнуть вопрос: нельзя ли в A1.211) устранить
этот новый член, используя какую-либо другую схему вычитаний?
Ведь даже, хотя выражение qpT'^vp является конечным, Т^.р имеет
линейную расходимость. Неизвестный вычитательный член AT^vp
должен быть линейным полиномов по kx, k2 и преобразовываться
как лоренцев псевдотензор, симметричный относительно замены
(k17 (a) <-> (k2, v). Единственным кандидатом на эту роль является
выражение
ДТ^ vp =a const • г^ра (ki—k^y A1.212)
225
но оно не удовлетворяет условию A1.187). Для аксиального тока
можно написать тождество У орда без аномалий в виде A1.205),
но ценой потери обычной калибровочной инвариантности.
Аномалия, которая появилась в A1.211), оказывается весьма
кстати, поскольку она приводит к удовлетворительной оценке
времени жизни л°. Вместо того чтобы пытаться любой ценой
сохранить соотношение ЧСАТ, плодотворнее исправить его в пер-
первом порядке по а, записав в виде
aMJ = /лт>° -*-SvLVpolwp», A1.213)
где Fj,v—тензор электромагнитного поля. Эта поправка оставляет
в силе все предыдущие результаты, полученные с применением
алгебры токов. Поскольку в регуляризованной или перенорми-
перенормированной теории невозможно сохранить все тождества Уорда,
справедливые в классическом приближении, название «аномальные
тождества Уорда» представляется оправданным. Перейдем теперь
к изучению некоторых свойств и следствий этих тождеств.
11.5.3. Общие свойства
Явление, проанализированное в рамках о-модели, оказывается
общим для всех теорий, в которых фермионы связаны с аксиаль-
аксиальными токами. Оно возникает, когда мы пытаемся удовлетворить
одновременно аксиальному и векторному тождествам Уорда. Это
явление открыл Швингер в 1951 г., Адлер изучил его подробно
в электродинамике, а Белл и Джекив—в а-модели.
Проверим в электродинамике соотношение
д»% = дп (WVS = 2m%,i|> = 2т/„ A1.214)
утверждающее, что в присутствии фермионного массового члена
сохранение аксиального тока невозможно. В соотношении A1.214)
аксиальный ток отличается множителем 2 от тока, рассмотрен-
рассмотренного выше. Следствием уравнения A1.214) является соотношение
между функциями Грина (рис. 11.18), аналогичное A1.205):
?p^vP = &V J d*xd*y e' <k> x+k'»> <T/^ (x) /v (y) /,
= 2me* S d*x d*y & <*. *+*«¦*) <7/V (x) /v (y) jt
*=2mRllv. A1.215)
Определим для аксиального тока и псевдоскалярной плотности*
сильносвязные функции
1845
226 ГЛАВА 11
где нижний индекс Т означает, что фермионные пропагаторы
усечены. Из A1.214) имеем
A1.217)
Согласно нашим обычным обозначениям, iS (p) представляет собой
полный фермионный пропагатор, такой, что в низшем порядке
Ч,Р
РИС. 11.18. Функция Грина с двумя
векторными и одним аксиальным
токами.
S (уэ) = д—т. Уравнение A1.217) является аналогом тождества
Уорда для вершинной функции (8.87):
(р'ц — Ри.)№(р', p) = S~1(p')—S~1(p). A1.218)
Уравнение A1.217) могло бы означать общую мультипликативную перенор-
перенормировку величин т]ь и /е с постоянной перенормировки Z5=l.
В действительности тождество A1.214) и его следствия A1.215)
и A1.217) невозможно проверить по теории возмущений. Как мы
видели на примере а-модели, они изменяются из-за аномалий,
вносимых треугольными диаграммами. Вычисления, проведенные
в предыдущем разделе, нетрудно обобщить на рассматриваемый
случай, причем результат запишется в виде
„ вч~.-. (П.219)
что является подправленным вариантом соотношения A1.215)
в приближении одной петли. В операторной форме аномалия
имеет вид
diH lv\ Otni Iv\ SL. в /rnv/7pa /|i OOfU
\il& W — ?Щь (x)—TZ 6nvpar r ¦ (ll./,/,\J)
Аналогичным образом изменяется и соотношение A1.217):
, p) = -2imrt(p', p) + ?tS-l(p) +
4p')yb + i^F(p', p), A1.221)
F (p', p) - J d'xd'x' e<tr'y~P-*HTip (y) $ (x) ^vvF^F*0 @)>r.
СИММЕТРИИ
227
Из равенств A1.221) при нулевом импульсе можно найти, что для 1т]ь кон-
константа перенормировки по-прежнему равна единице. Однако это уже не спра-
справедливо по отношению к /?. Нарушение киральной инвариантности теперь
происходит за счет компоненты 8 vpo^w'V^PO. т' е. является жестким.
В том же духе можно рассмотреть структуру аномалий в пере-
перенормируемой теории, когда фермионные поля переносят индексы
внутренней симметрии и связаны с векторными, аксиальными,
скалярными и псевдоскалярными полями. Общий вывод состоит
в том, что к аномалиям приводят только те диаграммы, в кото-
д л
Д
V-
V V V V A A A A
РИС. 11.19. Однопетлевые фермионные диаграммы, приводящие к аномалиям
в аксиальных тождествах Уорда.
рых к фермионным петлям присоединены векторные и аксиальные
токи, причем число аксиальных токов нечетно. Более того, любая
петля, содержащая скалярную или псевдоскалярную свячь, может
быть исключена с помощью подходящего вычитания. Если потре-
потребовать сохранения нормальных тождеств Уорда для векторных
токов, то диаграммы на рис. 11.19 приведут к аномалиям для
аксиальных токов. Как и в случае «треугольной» диаграммы,
при проверке тождества d^jg = 2mjs мы будем иметь дело с рас-
расходящимися интегралами в диаграммах вплоть до пятиугольной.
Пусть "У9^ и Лу, —соответственно векторное и аксиальное поля,
рассматриваемые как матрицы, действующие на индексы внутрен-
внутренней симметрии фермионов таким образом, что лагранжиан взаимо-
взаимодействия имеет вид
¦^вз = Ф?№ (^ц + Y&^n) Ф- A1.222)
Соответствующие токи
дХ
дХ
дЛ/
A1.223)
также являются матрицами по индексам внутренней симметрии.
Предположим, что векторные тождества Уорда записываются
в обычном виде
V (*) = /(*)• A1.224)
В то же время для аксиального тока имеют место аномальные
соотношения
+1 iFlvdpda +1 id^Flpdo -~| Л^ЛрЛо). A1.225)
В этих выражениях через / и /6 обозначены наивные выражения
для дивергенций токов, а тензоры полей определены следующим
образом:
Если соответствующие операторы перенормировать надлежащим
образом, то ни структура, ни коэффициент аномальных членов
в таких выражениях, как A1.213), A1.221) или A1.225), не будут
изменяться за счет поправок высших порядков. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим в качестве примера электродинамику. Будем
исходить из того, что существует регуляризация фотонного про-
пагатора, например, в виде —V^uvO + П2/Л4) F^v, такая, что
, все интересующие нас диаграммы, за исключением однопетлевых,
оказываются сходящимися. В самом деле, новый подсчет степеней
расходимости для диаграммы, имеющей EF внешних фермионных
линий, ЕА фотонных линий или вставок токов и L петель, дает
(о = 8 — {'/2) EF—Ед — \L. Следовательно, амплитуды с L> 2 будут
сходиться. Естественно, что стандартная программа перенорми-
перенормировки квантовой электродинамики устраняет все внутренние
расходимости. Эта регуляризация калибровочно-инвариантна и не
меняет структуры аксиального тока. Таким образом, аномалии
возникают единственно из-за однопетлевых поддиаграмм, которые
только что рассматривались.
Заметим, что можно определить другой аксиальный ток, кото-
которому соответствует обычное тождество Уорда, но который нару-
нарушает калибровочную инвариантность. Например, в электродина-
электродинамике такой ток имеет вид
^ A1.227)
и удовлетворяет условию
djK~2m}t. A1.228)
Эти различные возможности можно интерпретировать по-разному, Можно
было бы построить оператор ft непосредственно иэ полей ¦ф и ^ в присут-
симметрии 229
ствии внешнего потенциала. Поскольку комбинация типа ip(х) т|э{у) сингулярна
в пределе х—+у, предположим, что аргументы в ней отличаются на беско-
бесконечно малый пространственно-подобный интервал 8; при этом получим
Д1)д(*, г) = Ц(х + е)у>1уьЦ(х). A1.229)
Этот новый оператор не является калибровочно-инвариантным. Согласно
предложению Швингера, поправим его следуюдим образом. Умножим
A1 229) на фазовый множитель, включающий интеграл от векторного потен-
потенциала по пространственно-подобному пути от х до х-\-&, вдоль которого
различные полевые компоненты коммутируют:
[х+г -1
-ie J йг° А^г) . A1.230)
Если использовать уравнения движения, то дивергенцию этого оператора
можно записать в виде
-ie J *%(z) \-ieft{x,
A1.231)
В правой части второй плен сингулярен в пределе е —>¦ 0. Вакуумный мат-
матричный элемент /? в присутствии ^внешнего поля ведет себя как 1/в, и мы
получаем прежнее предельное соотношение
<01 djt <*) | 0> = <0 | 2mty (*) ЪУ W I °>—^ HvpaF^FW (x). A1.232)
В присутствии электромагнитных взаимодействий аксиальная
аномалия изменяет условие ЧСАТ [см. выражение A1.213)].
Добавочный член соответствует жесткому нарушению киральной
симметрии и приводит к существенному изменению ренормализа-
ционных свойств аксиального тока. Вернемся к обсуждению ^-рас-
^-распада и запишем его амплитуду в виде
e№uv (<?2) = К -Я2) <У (*i, ej, V (*« в,) | я @) 10>. A1.233)
Это выражение в соответствии с A1.213) можно представить
также следующим образом;
+ ? ePl0,PsC! <Y (kit 8l), y {kh 4) | Fe^Fe*' 10>]. AJ .234)
Здесь второй матричный элемент в низшем порядке по а равен
(а/л) efe^vpo&ffej, в то время как первый обращается в нуль
в пределе д2 — 0. Поэтому мы приходим к выражению
^ A1.235)
230 ГЛАВА 11
которое находится в согласии с A1.199). Благодаря тому что
аномалия не перенормируется высшими порядками, эта низко-
низкоэнергетическая теорема фактически оказывается справедливой во
всех порядках по а. Однако процедура экстраполяции в точку
ql=m2 будет зависеть от порядка приближения.
Мы приходим к заключению, что аномалии не являются чем-то
случайным, а естественно следуют из перенормировок, отражая
более глубокие аспекты теории поля. В каждой решаемой модели
мы в состоянии вычислить их явным образом, как, например,
в швингеровской модели двумерной электродинамики с безмассо-
безмассовыми фермионами, которая имеет вычисляемую аномалию вида
«W^V. A1.236)
Дополнительный свет на это явление проливает проблема ано-
аномальных размерностей в асимптотическом поведении (см. гл. 13).
ПРИМЕЧАНИЯ
Теория унитарной симметрии изложена ее создателями Гелл-Манном и Нее-
маном в" книге: Gell-Mann M., Ne'eman Y. The Eightfold Way.—New York:
Benjamin 1964. Кварковая модель была независимо предложена в работах:
Gell-Mann M,~ Phys Lett., 1963, vol. 8, p. 214; Zwelg G. (неопубликованный
отчет, CERN, 1963).
Спектр, связанный с нарушением симметрии, обсуждался в статьях:
GoldstoneJ.— Nuovo Cimento, 1961, vol. 19, p. 154; NambuY., Jona-Lasi-
nio G.— Phis. Rev., vol. 122, p. 345; Goldstone J., Salam A., Weinberg S,—
Phis. Rev., 1962, vol. 127, p.965. Невозможность нарушения непрерывной
симметрии в двумерной модели была продемонстрирована в рамках статисти-
статистической физики в работе: Мегпйп N. D., Wagner H.— Phys. Rev. Lett., 1966,
vol. 17, p. 1133. Этот вывод был затем распространен на теорию поля Коул-
меном: Coleman S.— Comm. Math. Phys., 1973, vol. 31. p. 259. Доказательство
существования фазовых переходов в кристаллических системах с дискретной
симметрией см. в статье: Peierls R. Е.— Phys. Rev., 1938, vol. 54, p. 918.
Инвариантность основного состояния анализировалась Коулменом: Cole-
Coleman S.— J. Math. Phys,. 1966, vol. 7, p. 787. Общий обзор проблем симмет-
симметрии дается Гуральником, Хагеном и Кибблом в книге: Advances in Particle
Physics /ad R L. Cool, R. E. Marshak.—New York: Interscience, 1968. Этот
вопрос рассматривается также Коулменом в книге: Laws of Hadronic Mat-
ter/ed. A. Zichichi,— New York: Academic Press, 1975.
' Богатая подборка работ по алгебре токов имеется в книгах: Adler S.,
Dashen R. Current Algebras.—New York: Benjamin, 1968 [Имеется перевод:
Адлер С, Цашен Р. Алгебры токов и их применение в физике частиц — М.:
Мир", 1970.]; Alfaro V. de, Fubini S., Furlan G., Rosetti С Currents in Hadron
Physics.— Amsterdam: North-Holland, 1973 [Имеется перевод Де Альфаро В.
и др. Токи в адронной физике,—М.: Мир, 1976.]. См. также лекцию Вайн-
берга в сб.: Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory,
Brandeis, 1970/ed. S. Deser, M. Grisaru, H. Pendleton.— Cambridge, Mass.: MIT
Press, 1970; Treiman S. B. Lectures on Current Algebra and Its Applications.—
Princeton University Press, 1972 [Имеется перевод: Трейман С, Джекив Р.,
Гросс Д. Лекции по алгебре токов —М.: Атомиздат, 1977 ].
Феноменологические лагранжианы обсуждаются в статье: Gasiorowicz S.,
Geffen D. Л.—Rev. Mod. Phys., 1969, vol. 41, p. 531.
СИММЕТРИИ
Конкретные вопросы, обсуждавшиеся в настояний главе, рассматриваются
в следующих работах:
Правила сумм
Cabibbo N., Radicati L. A.— Phys. Lett., 1965, vol. 19, p. 697;
Adler 5.—Phys. Rev., 1966, vol. 143, p. 1144;
Bjorken J. D.— Phys. Rev., 1966, vol. 16, p. 408.
Следствия ЧСАТ
Goldberger M. L, Treiman S. В.—Phys. Rev., 1958, vol. 110, p. 1178.
Низкоэнергетические теоремы
Low F. E.— Phys. Rev., 1954, vol. 96, p. 1428; 1958, vol. 110, p. 974;
Gell-Mann M., Goldberger M. L,— Phys. Rev., 1954, vol. 96, p. 1433;
Drell S. D., Hearn A. C—Phys. Rev* Lett., I960, vol. 16, p. 908;
Adler S. L.— Phys. Rev., 1965, vol. 140, ser. B, p. 736;
Weisberger W. /.— Phys. Rev., 1966, vol. 143, p. 1302.
Мягкопиояные теоремы
Adler S.— Phys. Rev., 1965, vol. 139, ser. B, p. 1638;
Weinberg S.— Phys. Rev. Lett., 1966, vol. 17, p. 616.
Нарушение симметрии SU C)XSU C)
Gell-Mann M., Oakes R. J., Renner В.— Phys. Rev., 1968, vol. 175, p. 2195.
Предложенная Гелл-Манном и Леви о-модель обсуждается в работе:
Gell-Mann M,, Levy М.— Nuov. Cimento, 1960, vol. 16, p. 705; обзор ее дал
Ли (см. Lee В. W. в кн.: Chiral Dynamics.— Gordon and Breach, 1972).
Распад нейтрального пиона изучался Стейнбергером (см. Stein^erger J.—
Phys, Rev., 1949, vol. 76 p. 1180); в рамках алгебры токов этот вопрос рас-
рассматривали Сазерленд и Вельгман (см. Sutherland D. С—Nucl. Phys., ser. В,
1967, vol. 2, p. 433; Veltman M.— Proc. Roy. Soc, ser A, 1967, vol. 301 p. 107).
Аномальные соотношения впервые появились в работе Швингера (Sckwin-
ger J.— Phys. Rev., 1951, vol. 82, p. 664) и были проанализированы в сле-
следующих статьях: Adler S.— Phys. Rev., 1969. vol. 177, p. 2426; Bell J. S.,
Jackiw R.~ Nuov. Cimento, ser A., 1969, vol. 60, p. 47. Общая структура
аномалий обсуждалась в работе: Bardeen W. А.— Phys. Rev., 1969, vo'l, 184,
p. 1848. Кроме тою, см. лекции Адлера в сб. Lectures on Elementary Particles
and Quantum Field Theory, Brandeis, 1970/ed. S. Deser, M. Grisaru, H. Pend-
leton.— Cambridge, Mass. MIT Press, 1970; см. также Jackiw R. В сб.: „Lectu-
„Lectures on Current Algebra and Its Applications.— Princeton University Press, 1972.
Безмэссовая двумерная модель квантовой электродинамики разработана
Швингером (см Schwinger /.— Phys. Rev., 1962, vol. 128, p. 2425).
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Общий метод изучения квантовых систем со спонтанно нарушенной симмет-
симметрией был разработан Н. Н Боголюбовым в 1960 г. в связи с решением таких
задач статистической .механики, как сверхпроводимость, сверхтекучесть, фер-
ферромагнетизм. В частности, он впервые ввел в квантовой теории преобразо-
преобразование A135). См. Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статической фи-
физике.— М : изд-во МГУ, 1979.
Гипотеза о сохранении векторного тока была высказана в работе: Гер-
штейн С. С, Зельдович Я- ?.—ЖЭТФ, 1955, т. 29, с. 698.
Правило сумм A1.126) предложено С. Б. Герасимовым (Ядерная физика,
1965, т. 2, с. 598).
232 ГЛАВА 11
Вопросы алгебры токов и феноменологических лагранжианов рассмотрены
в книге: Волков М. К., Первушин В. Н. Сушественно нелинейные квантовые
теории, динамические симметрии и физика мезонов.— М.: Атомиздат, 1978,
а также в обзорных статьях: Вайнштейн А. И,, Захаров В. И.— УФН, 1970,
т. 100. о. 225; Волков Д. В. Физика элементарных частиц и атомного ядра,
1973, т. 4, вып. 1, с. 3 [в этом обзоре дано общее определение ковариантной
производной; см. выражение A1.48) и подстрочное примечание в связи с ним].
Кварковая структура адронов, включая одну из наиболее важных проблем
физики элементарных частиц, а именно проблему конфайнмента, рассматри-
рассматривается в следующем обзоре: Арбузов В А., Логунов А. Л.—УФН, 1977,
т. 123, вып. 3. с. 505, а также в книгах: КлоузФ. Кварки и партоны,— М.: Мир,
1982; Окунь Л. Б. Лептоны и кварки.— М.: Наука, 1981.
Глава 12
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
Начнем рассмотрение с короткого введения в геометрию полей
Янга — Миллса, а затем детально обсудим их квантовую теорию.
Особое внимание будет уделено процедурам квантования и пере^'
нормировки для случаев как точной, так и спонтанно нарушен-
нарушенной симметрии. Мы также кратко рассмотрим явление вырождения
вакуума и классические решения. Приложения к единой теории
слабых и электромагнитных взаимодействий будут обсуждаться
при рассмотрении модели Вайнберга—Салама.
12.1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Предложенное Янгом и Миллсом в 1954 г. обобщение принципа
калибровочной инвариантности на неабелевы группы оказалось
чрезвычайно привлекательным и вполне естественным До конца
60-х гг. теория неабелевых калибровочных полей развивалась
довольно медленно, несмотря на обилие посвященных ей работ.
Затем были блестяще решены важнейшие проблемы квантования,
перенормировки и инвариантного включения массы полей Янга —
Миллса. Теперь все верят, что теория такого типа может обеспе-
обеспечить единое описание слабых, электромагнитных, а возможно, и
сильных взаимодействий.
Модели калибровочных полей сложны во многих отношениях.
Их трудно квантовать и перенормировать, они обнаруживают
замечательные механизмы нарушения симметрии и приводят
к уникальному поведению на малых расстояниях. В то же время
большинство аспектов, связанных с дальнодействием, все еще не
выяснено до конца. Как было осознано совсем недавно, калибро-
калибровочные теории имеют удивительно богатую структуру даже на
классическом уровне.
Практически невозможно уместить столь большое количество
информации на нескольких десятках страниц. Поэтому мы огра-
ограничимся изложением основ и лишь упомянем некоторые из воз-
возможных путей развития теории и разрешения существующих
проблем.
234 jjiada \i
12 1.1. Калибровочное поле А^ и тензор F^
Модель, рассмотренная Янгом и Миллсом, была основана на изо-
изотопической симметрии с SU B)-симметрией в качестве группы
глобальной инвариантности. Можно ли обобщить эту глобальную
инвариантность до локальной таким образом, чтобы система от-
отсчета, в которой определяются изоспины, могла произвольно
меняться от точки к точке? Если допустить такую возможность,
то для другого наблюдателя утверждение, что в данной точке
пространства-времени рождена частица, скажем протон, было бы
бессмысленным, пока не нашлось бы способа согласовать обе
системы отсчета. В обеспечении такого согласования и состоит
роль калибровочного поля. Подчеркнем аналогию с электродина-
электродинамикой, где относительные фазы заряженных полей в различных
точках имеют смысл только из-за возможности их сравнения
посредством электромагнитного потенциала.
Для определенности рассмотрим N полей (в целях упроще-
упрощения—лоренцевы скаляры), преобразующихся по неприводимому
представлению U некоторой компактной группы Ли G:
и(ё)Ф(х), A2.1)
где U (g) — унитарная (или ортогональная) матрица MxN. Пред-
Предположим, что лагранжиан инвариантен при этом преобразовании.
Наша задача—построить более сложную теорию, инвариантную
относительно преобразований A2.1), когда g зависит от прост-
пространственно-временной точки х. Пусть g(x) является такой функ-
функцией со значениями, принадлежащими группе G. Понятие обычной
производной поля дйф перестает быть полезным, поскольку мы
сравниваем поля ф(х-\-&х) и Ф(х), которые преобразуются неза-
независимо при A2.1). Чтобы сделать возможным такое сравнение,
необходимо ввести новый объект.
Рассмотрим инфинитезимальное преобразование
f«, A2.2)
где е—тождественный элемент группы G, а t"—элементы алгебры
Ли, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
р«, *ь] = СйЬсК A2.3)
В представлении, к которому принадлежат поля Ф, генераторы ta
реализуются антиэрмитовыми матрицами Та, так что при преоб-
преобразовании g в соответствии с A2.2) имеем
(х), 2 ,
Если инфинитезимальные параметры ба0 (х) зависят от х, то соот-
соответствующие преобразования называются (локальными) калибро-
вочнымн преобразованиями, а группа таких преобразований —
калибровочная группа—формально определяется как бесконечное
произведение YiGx:
6ф (х) = 8а (х) Ф (х) = 6аа (х) ТаФ (х). A2.46)
Введем калибровочные поля к—* А^а{х). Они являются век-
векторными полями и несут индекс присоединенного представления
группы G. Обозначим через Лд соответствующий элемент ал-
алгебры Ли:
A»(x)=A»a(x)ta A2.5)
и будем использовать одно и то же обозначение для любого его
представления: А^а(х)Та.
Бесконечно малому пути (х, х-\-йх) калибровочное поле со-
сопоставляет элемент группы
x; A) = e + dx»Ali(x)> A2.6)
Это позволяет сравнивать две соседние системы отсчета. Данное
рассуждение можно обобщить на конечный путь С, идущий из
точки хх в х2. Если путь задать параметрически, т. е. ввести
параметр s, s—>x(s), 0<s<l, причем s@) = ^, s(l)==xn то
элемент группы G, ассоциированный с С, определяется следующим
образом:
A2.7)
Символ Р означает упорядочение по s, аналогичное известному
хронологическому упорядочению Т.
На языке дифференциальной геометрии величина Л11 есть
связность, задающая параллельный перенос геометрических объек-
объектов, определенных в пространстве представления группы. Парал-
Параллельный перенос поля Ф из х в x + dx дается соотношением
. *>ф (*)=ф (х) + бх-А(х)ф{х), A2.8)
из которого следует естественное определение ковариантной про-
производной:
ЙФ (х) ^ Ф (x+dx)—<t>t {x) =a d# ]р»—А» (*)] Ф (ж), 2 g
236 ГЛАВА 12
Записанная в компонентах эта производная имеет вид
-w-nevw- A2-9б>
В частности, в присоединенном представлении (Тс)аь=СсЬа = —СЪса
получаем
(?,*).* = W + ^'.A* (х). A2 9в)
Если в качестве G взять группу U A), то данное определение
сведется к известному понятию ковариантной производной в элект-
электродинамике Трансформационный чакон калибровочного поля при
калибровочных преобразованиях можно определить из требования,
чтобы <f>t{x) преобразовывалось как ф(х + с1х). Для этого доста-
достаточно положить
g(x + dx, x; A + 8A) = g(x + dx)g(x+dx, x; А)g-Цх). A2.10)
Следовательно,
х- A + 6A)]U[g(x)]4>(x) =
Ф,<х), A2.11)
что и требовалось. В инфинитезимальной форме это преобразо-
преобразование записывается в виде
6D^(x)~8a(x)D^(x), A2.12)
т. е О11ф(х) преобразуется как ф(х). Разлагая A2.10) в ряд по ба
до первого порядка, получаем
; A2.13а)
здесь величина ба считается принадлежащей присоединенному
представлению. Последнюю формулу можно также записать в бо-
более явном виде
ба6 (д) А^ (х). A2.136)
Используя равенство A2.10), для конечного калибровочного пре-
преобразования имеем
А» (х) — ^ (х) = [<U(х)] g~> (x) + g(x) A» (x) g-* (л:). A2.14)
По сравнению с абелевым случаем появилось новое свойство:
при постоянном g (или ба) А^ преобразуется как заряженное
поле, принадлежащее присоединенному представлению, что видно
из структуры второго члена в правой части соотношений A2 13)
и A2 14).
В классической электродинамике два потенциала, локально
связанные несингулярным калибровочным преобразованием» физи-
физически эквивалентны, а потому им соответствует один и тот же
1\ллпсгииимлшс
тензор F^y напряженности электрочапштного поля. Наша задача
состоит в тем, чтобы построить аналогичный тензор кривизны F^
в неабелевом случае С этой целью рассмотрим параллельный
перенос некоторого данного поля Ф вдоль бесконечно малого
замкнутого пути С. После возвращения в начальную точку
поле Ф окажется повернутым с помощью преобразования
g(C; A) = Pexp
Пусть /—характерный размер пути С. Разложим экспоненту
в последнем выражении до членов порядка /2:
g(C; А) = е+ \dx-A-\- \\ dx2-.
с ее
Х2 > X,
Здесь, как и выше, упорядочение означает, что кривая парамет-
параметризуется таким образом, что лг„ == л: @) = л: A). Разложим также
величину ^^[^(s)]:
Тогда получим
g(C; A) = e + ~
A2.15)
где Л—бесконечно малая площадь, ограниченная контуром С.
Полагая
= (д^а~д^а—СЬсаА»ьАчс) t\ A2.16)
получаем обобщенное определение электрического и магнитного
полей. Тензор F^ часто называют тензором напряженностей. Из
предыдущего обсуждения следует полезное тождество
[D», Dv]^-F^. A2.17)
Калибровочное преобразование величины g(C; А) записывается
в виде
g{CiA)-+g(xo)g(C-,
[ср с формулой A2.10)]. Следовательно, F преобразуется как
заряженное поле, принадлежащее присоединенному представлению:
F(x)-+g(x)F(x)g-*(x). A2.18)
238 ГЛАВА 12
В инфинигезимальной форме это соответствует
F-^F + bF,
8F=*[6a(x), F], A2.19)
&Fllva(x)=C^a8ab(x)Fllvc(x).
В частности, ковариантную производную величины F можно
записать следующим образом:
D^Fvpft*« = [?>,», Fvp] = dilFvp-[AVi, Fvp].
В электродинамике внешняя производная дифференциальной формы Ау.
а именно A/2) />v <&"* A dxv представляет собой замкнутую форму второго
порядка:
dpf(iv+Циклические перестановки = 0. A2.20)
Это свойство Ffiv эквивалентно однородным уравнениям Максвелла divB=0,
rot E-\-dB/dt=O. Наоборот, если задана такая замкнутая форма, из леммы
Пуанкаре следует локальное существование потенциала А, через который вы-
выражается F (см раздел 1 1 2 в т. 1 настоящей книги) В неабелевом случае
ситуация несколько иная. Здесь действительно существует аналогичное тож-
тождество
/4i]=0, A2.21)
являющееся следствием тождества Якоби и тождества A2,17). Однако следует
заметить, что уравнение A2 21) уже предполагает существование А, так как
А явно присутствует в ковариантной производной Более того, можно пока-
зато, что если FVp и Ац удовлетворяют уравнению A2 21), то из этого факта
не следует с необходимостью, что F есть тензор напряженности, отвечающий
потенциалу А. Соответственно, в противоположность абелеву случаю, тензор
напряженности F не определяет однозначно все калибровочно-инвариантные
величины
Если Fuv обращается в нуль в окрестности некоторой точки,
то Лу, представляет собой чистую калибровку:
^v-0 «» 3 g (х)х А^ (х) = [d»g(x)] g"» (x). A2.22)
Действительно, если F = 0, то в соответствии с определением F
интеграл от А^ вдоль пути С из tvo начала в точку х не зави-
зависит от вида кривой:
8(x)**g(х, 0; А) = РехрГJ dx- А (х)\.
Этот элемент g(x) удовлетворяет соотношению A2.22). Обратно,
подставляя вместо А чистую калибровку, мы видим, что F об-
обращается в нуль.
За счет произвола в калибровке иногда можно потребовать,
чтобы потенциал локально удовлетворял некоторому условию.
Это называется выбором калибровки. Пусть, например, п№—фи-
п№—фиксированный 4-вектор. Существует калибровочное преобразование
A—+A', такое, что
п-А'(х) = 0. A2.23}
Такая калибровка называется аксиальной.
Покажем, что такая калибровка возможна. Для этого введем 4-вектор Nv такой,
что N -п Ф 0 (например, N — п, если иа ф 0). Любую величину х можно одно-
однозначно представить следующим образом:
где
М) х
Рассмотрим отрезок С, x(s) — s%(x) « + *j_ @<s< 1), и интеграл
Используя величину
мы видим, что
п-А' =
В соответствии с определением функции g{x) можно написать
g (X) = n-dg (x)=n- A (x) g (x),
откуда следует, что п-Л' = 0
Аналогичным образом мы могли бы показать, что посредством
калибровочного преобразования в любом случае можно локально
удовлетворить условию Лоренца
C-/1 = 0, A2.24)
а также любому другому условию, которое получается из A2.23)
или A2.24) заменой правой части на некоторую функцию со зна-
значениями в алгебре Ли группы G.
12.1.2. Классическая динамика
Наша цель заключается теперь в том, чтобы определить калиб-
ровочно-инвариантное действие. Что касается введения взаимо-
взаимодействий с различными мультиплетами заряженных полей (мате-
(материальных полей), то здесь достаточно применить принцип ми-
минимальной связи. Будем использовать всюду ковариантную про-
производную вместо обычной:
«V—D^-дц—Л„, A2.25)
где Ау,—А^аТ" берется в представлении, по которому преобразу-
преобразуются поля материи. Часть действия, зависящая от А, должна
быть лоренцевым скаляром и калибровочно-инвариантной величи-
величиной, содержащей производные не выше второго порядка. Единст-
Единственным кандидатом на эту роль является след свертки F^F^,
взятый в некотором неприводимом представлении. Для простой
группы Ли следы от одинаковых комбинаций генераторов в раз-
различных неприводимых представлениях с точностью до числовых
множителей совпадают, так как существует единственный в ал-
алгебре Ли квадратичный инвариант. Выберем фундаментальное пред-
представление как имеющее наименьшую размерность и нормируем
его генераторы следующим образом:
Sp (/«/»)«=—у 6е». A2.26)
Здесь знак минус поставлен в силу того, что t является анти-
антиэрмитовым. Например, в случае групп SU B) и SU C) мы соот-
соответственно выбираем
ta=*ioa/2, а=1, 2, 3,
и
ta = ila/2, a=l, .... 8.
Действие полей А записывается в виде
?uveFuve. A2.27)
Безразмерный параметр g (не путать его с элементом группы G!)
играет роль константы связи. В этом можно убедиться» если про-
произвести изменение масштаба поля Янга — Миллса:
A~*gA, / — i- J d*x Sp {F»vFn,
где
F^d^-d^-g^, 4V] = —i[Z>,, Dv],
*» (Iz.zo)
D^d^-gAl
Однако для простоты, прежде чем мы выведем правила Фейн-
мана, не будем использовать это изменение масштаба.
В общем случае алгебра Ли калибровочной группы представ-
представляет собой прямую сумму простых алгебр Ли плюс генераторы
абелевых множителей. С каждым из этих слагаемых может быть
связан квадратичный инвариант и независимая константа связи.
Примером такого рода является модель слабого и электромагнит-
электромагнитного взаимодействий Вайнберга—Салама, основанная на группе
SU B)xU {]). Две ее константы взаимодействия связаны с кон-
константой Ферми и электрическим зарядом (см разд. 12.6).
Классические уравнения движения полей Лц легко вывести из
принципа стационарного действия [см. A2.27)]:
О = в/ = A j d.* Sp [бЛ* C*/v_ [Л*, />])].
Следовательно,
[Z>, /^]=д^—[Л<\ ^] = 0,
или (D*V/Vb = 0. (I2.29)
Эти уравнения представляют собой неабелево обобщение урав-
уравнений Максвелла. Поскольку они нелинейны, решать их трудно.
Уравнения A2.29) обладают необходимым свойством ковариантности Если
Ац есть решение, то решениями будут и функции, полученные из него с по-
помощью калибровочных преобразований. Очевидно также, что система A2.29)
является совместной. В частности, се свертка с dv даег нуль:
Полагая g=l, находим канонический тензор энергии-импульса
[ср. с выражением A.105) в т. 1 настоящей книги]:
§ = 2 Sp (f^av 4 — j
Однако этот тензор не является калибровочно-инвариантным. Его
можно сделать таковым, если вычесть из него полную производ-
производную Ae^v:
Лв^' = 2 Sp [F>» (Зр А* + [А\ Ар])] - 2dp Sp (F™Av),
где были использованы полевые уравнения A2.29). Таким обра-
образом, имеем
A2.30)
Определим аналоги электрического и магнитного полей следую-
следующим образом:
| j, ft = l, 2, 3. A2.31)
Здесь, как и всюду в данной главе, будем считать индексы г", /,
k пространственными (/, /', k—l, 2, 3), а индексы а, Ь, с—отно-
с—относящимися к алгебре Ли. Записывая соответствующие величины
через Е и В, мы имеем
A2.32)
X Ва)'' = -2 Sp (E X В)'.
12.1.3. Решения классических уравнений движения
в евклидовой области
Исследование классических решений стимулируется уверенностью в том, что
полуклассический подход может помочь в понимании квантового мира и что
классические конфигурации полей, для которых действие стационарно, играют
важную роль.
Особый интерес представляют недиссипативные конфигурации с конечной
энергией, т. е. конфигурации, энергия которых остается локализованной в ко-
конечной области пространства и не уходит в виде излучения на бесконечность.
Такие объекты можно рассматривать как модели для описания на квантовом
уровне систем, протяженных в пространстве. Это когерентные состояния фун-
фундаментальных полей, если они не подвержены распадам. Свойство стабиль-
стабильности может обеспечиваться каким-либо законом сохранения, возможно, топо-
топологической природы Сиаемы такого рода называются солитонами или сгуст-
сгустками энергии. Поскольку они возникают при разложении действия вблизи
нетривиальной стационарной точки, эти сгустки и их квантовые возбуждения
обладаю1 свойствами, которые нельзя получить путем обычного разложения
по теории возмущений. В разд 12 5 3 мы рассмотрим пример четырехмерной
калибровочной теории, включающей скалярные поля, которая дает решения
с конечной энергией. С другой стороны, можно показать, что нетривиальные
недиссипативные решения при конечной энергии не существуют в неабелевых
калибровочных теориях, содержащих только калибровочные поля Иными
словами, в такой теории любое решение этого сорта эквивалентно Лд = 0.
Рассмотрим функцию Лагранжа для не зависящего от времени решения,
т. е. интеграл по пространству от лагранжиана
здесь приняты те же обозначения, что и в формуле A2.31). Полная энергия Н
равна сумме Z,i-fZ,2; следовательно, ее конечность означает, что величины Llt
L2 и L также являются конечными. Решение, если оно существует, неустой-
неустойчиво относительно масштабных преобразований
При это»4 функция Лагранжа преобразуется следующим образом:
L—
и должна быть стационарной при р = Х=1. Это приводит к
Следовательно, Fyv — О, и в силу глобального обобщения локального утверж-
утверждения A2.22) это калибровочное поле сводится всюду к чистой калибровке.
Можно показать, что рассуждение, основанное на таком масштабном преоб-
преобразовании (принадлежащее Коулмену), запрещает существование нетривиаль-
нетривиальных, не зависящих от времени решений в любом пространстве, размерность
которого отлична от четырех Этот аргумент можно применить и к более
общим недиссипативным конфигурациям.
Существуют, однако, нетривиальные решения классических уравнений
в четырехмерном евклидовом пространстве Прежде чем объяснить природу
и роль этих евклидовых решений, займемся дальнейшим анализом структуры
основного состояния в неабелевых калибровочных теориях.
Для этой цели удобно наложить калибровочное условие Ло—0. Класси-
Классически основное состояние должно соответствовать независящим от времени
конфигурациям поля с исчезающе малой плотностью энергии.
Таким образом, мы имеем F^ssO, откуда следует, чю поле А является
чистой калибровкой
Кроме того, мы предполагаем, что можно ограничиться калибровочными функ-
функциями g(x), которые имеют один и тот же предел по всем пространственным
направлениям. Этот предел можно отождествить с единицей группы
(в действительности не существует каких-либо убедительных аргументов, оп-
оправдывающих это допущение). При этих обстоятельствах все конфигурации
поля, записываемые в виде A2.33) и A2.34), можно рассматривать как описы-
описывающие основное состояние. Мы можем задаться вопросом, все ли экзем-
экземпляры вакуума эквивалентны, т. е. существует ли исчезающее на простран-
пространственной бесконечности непрерывное калибровочное преобразование, которое
связывает любые два из них. Как правило, хотя это и неожиданно, отве! на
данный вопрос является отрицательным. Предположим для определенности,
что калибровочной группой является SU B). Любая матрица SU B) может
быть параметризована с помощью матриц Паули в виде
g(x)=u0+tu-o, A2.35)
где и является вещественным и удовлетворяет условию «о + иа=1. Следова-
Следовательно, SU B) изоморфна трехмерной сфере Ss'.Uo-\-Ui-\-ul-\-ui= 1, С другой
стороны, трехмерное пространство, все точки которого на бесконечности отож-
отождествлены, также топологически эквивалентно S3 Поэтому калибровочное
преобразование g(x), связанное с каждым вакуумом, осуществляет отображе-
отображение S3 на 53. Согласно теории гомотопий, такие отображения распадаются
на классы эквивалентности. Два отображения х—»¦ gj (х) и х—-» g2 (х) при-
принадлежат одному и тому же классу, если существует непрерывная деформа-
деформация gi (x) в ga (x)- В рассматриваемом случае классы обозначаются положи-
положительным или отрицательным целым числом, называемым степенью отображе-
отображения, или индексом Понтрягина, класса. Это целое число характеризует число
отображений сферы S^ на саму себя. Оно равно
где iA%(x)ea дается соотношением A2.33). Примерами представителей класса
с п = 1 являются
х2—-1 а-х
a gn (x) = gi" (x) принадлежит п-му классу. Тот же самый вывод справедлив
и для других простых групп, а именно что существует дискретный набор
неэквивалентных вакуумов | я.>, нумеруемых целыми числами п.
Как объяснялось в гл. 11, такое вырождение основного состояния недо-
недопустимо, и оно в действительности исчезает за счет квантового туннельного
эффекта. Истинный вакуум представляет собой линейную суперпозицию вы-
вырожденных приближенных вакуумов | п>. Поскольку вышеприведенное кали-
калибровочное преобразование сдвигает п на единицу и поскольку истинный ва-
вакуум должен быть инвариантен (с точностью до фазы) относительно любого
калибровочного преобразования, мы имеем
Ю>= 2 e'"eln>< <12-37)
П~ — оо
Где 0—новый произвольный (и неожиданный!) параметр теории.
Теперь нам будет легче понять, как происходят туннельные переходы
между вырожденными состояниями вакуума |«>. Начнем с того, что запишем
формулу Фейнмана—Каца [см. (9.198)]
^-1, A2.38)
где Н—гамильтониан системы, а /—евклидово действие на интервале вре-
времени от 0 до Т:
т
т
(Ee-Ee+Ba-Be). A2.39)
Здесь мы обобщили определение тензора напряженности на случай евклидо-
евклидовых переменных. В выражении A2.38) функциональный интеграл вычисляется
при следующих граничных условиях, накладываемых на степень отображе-
отображения п (А):
п[Л(х, т = 0)]=пь
п[А(х, т = Г)]=я,.
Нами допущена здесь небольшая хитрость, поскольку мера Ц) (А) не опре-
определена пока надлежащим образом. Точное ее определение дается при обсуж-
обсуждении процедуры квантования в разд 12.2. Покажем теперь, как можно
по-другому объяснить классификацию основных состояний в соответствии
с гомотопическими классами поверхности S3—> 53. Рассмотрим при Т—> оо
те конфигурации, окрестность которых дает конечный вклад в формулу Фейн-
Фейнмана—Каца. Поскольку их евклидово действие конечно, F^y должно исчезать
на бесконечности во всех направлениях евклидова пространства, а это сво-
сводится к утверждению, что Ац является чисто калибровочным полем и осу-
осуществляет отображение поверхности Ss, заданной на бесконечности в четы-
четырехмерном евклидовом пространстве,— на группу, например, Sf/B)~53.
Кроме того, можно показать, что число п, связанное с этим отображением,
записывается в виде евклидова интеграла
ньаььлььы к.длиь^ивичныь поля 245
где дуальный тензор F^as^ (\j2) г^'рс!роаа. Мы видим, что
Предполагается, что в интеграл A2.38) при очень больших Т доминирующий
вклад дает окрестность стационарных конфигураций, которые являются ре-
решениями классических уравнений движения в евклидовом пространстве
A2.43)
удовлетворяющими граничному условию A2.40) или, что эквивалентно, условию
F»v<,. A2.44)
Такому решению соответствует действие, ограниченное снизу по я. Это обу-
обусловлено положительностью интеграла
Г
!=2 I d*x [(Ff'/VaJ i F^a FM.va], A2.45)
Следовательно,
С IIP -. Ятг2 I n I
A2.46)
i с i
~4g«J *l a — 4g2
Последнее неравенство насыщается самодуальными или антисамодуальными
конфигурациями F=±F, поскольку при этом уравнения движения удовлетво-
удовлетворяются автоматически благодаря тождеству A2.21)
В последнее время были получены явные решения с произвольным числом
Понтрягина. Решение, предложенное Белавиным, Поляковым, Шварцем и Тюп-
киным при п=± I, записывается в виде
х„ i (Ъ-х
Очевидно, что на бесконечности Ац сводится к чистой .калибровке, соответ-
соответствующей тождественному отображению S3 на Sa. Таким образом, мы ожидаем
и можем проверить прямым вычислением, что это решение имеет п=±1.
Если мы используем в более общем случае параметризацию
= 1,2,3,
то уравнение F= ±F принимает вид
A2.49)
Случай п=± 1 соответствует fW= 1 -\-'K2/x2, но могут быть построены и дру-
другие решения, отвечающие степеням отображения ± п:
rb- <12-50>
Они зависят от п-\-\ произвольных масштабных параметров^, и координат xt.
Такие решения называются псевдочастицами (из-за мнимой временной коор-
координаты) или инстантонами (благодаря их локализации во времени в отличие
от трехмерных солитонов). Известно, что должны существовать и другие ре-
решения. Для SU B), например, общее решение с точностью до калибровочного
преобразования зависит от 8я—3 параметров. Мы не будем останавливаться
ни на этой, быстро развивающейся области исследований, ни на многих дру-
других связанных с ней задачах, таких, как модификации, возникающие в рас-
рассматриваемой картине в присутствии безмассовых фермионов.
Несмотря на их привлекательность, в дальнейшем мы не будем возвра-
возвращаться к изучению глобальных свойств. Это связано с тем, что ниже будет
использоваться лишь разложение теории возмущений, а оно не чувствительно
к выбору вакуума, относительно которого производится.
12.1.4. Калибровочная инвариантность
и дополнительные связи
Уравнений движения недостаточно для того, чтобы можно было
вычислить поле А^(х) при заданном наборе условий Коши в мо-
момент времени t0. Два решения, сводящиеся одно к другому
посредством калибровочного преобразования g(x), такого, что
g(x) = e при t^t0, удовлетворяют одним и тем же условиям
Коши, но могут различаться для моментов времени t > tQ. Поэ-
Поэтому калибровочный произвол следует ограничить с помощью
дополнительных условий, не влияющих на калибровочно-инвари-
антные физические наблюдаемые. Последующее рассмотрение, ос-
основанное на работах Фаддеева, приведет нас к функциональному
квантованию, которое кратко обсуждалось в гл. 9.
Ограничимся рассмотрением простой компактной группы Ли.
Действие, как и в абелевом случае, первоначально записывается
через независимые переменные F и А:
Варьируя по F и А, получаем соответственно уравнения A2.16)
и A2.29). Введем обозначения Е и В в соответствии с формулами
A2.31) и, чтобы исключить последнюю величину, используем не
зависящее от времени соотношение между А и В. В дальнейшем
для В будем применять обозначение В (А). После интегрирования
по частям имеем
A2.52)
Поскольку член A/2) (Е2 + Ва) есть не что иное, как плотность
энергии, мы имеем типичную проблему системы со связями.
Роль канонических переменных р и q играют здесь A/g и E/g.
Переменные Л° играют роль множителей Лагранжа для связей
r(*) = V-E + [A, Е] = 0 A2.53)
и являются составляющими уравнений движения A2.29) при v = 0.
Вследствие диагональности метрики A2.26) (что позволяет задать
полностью антисимметричные структурные константы СаЬс) одно-
одновременные скобки Пуассона можно записать следующим образом:
\А'а(х), ^6(г/)Ьо=,о=^'7М3(х-у). A2.54)
Нам понадобятся также выражения для скобок {Н, Г} и {Г, Г},
причем
^]>? + В1). A2.55)
Следовательно, мы имеем выражения
{Еа(х),
\Аа(х),
в которых D (у) = V^ + А (у) и правила перестановок учитываются
как для производных, так и для члементов алгебры Ли. С дру-
другой стороны, не зависящие от времени инфинитезимальные кали-
калибровочные преобразования векторов Е и А запишутся в виде
y | Еа (х), 2 баь (у) Ть (у)\,
6Aa (х) = - ?бав (х) + СаЬсЬаь (х) А, (х) =
= j, J д?у {Аа (х), S баь (у) Ть (у)\.
Следовательно, в гамильтоновом формализме Г являются генера-
генераторами не зависящих от времени калибровочных преобразований.
Не производя каких-либо дальнейших выкладок, приходим к за-
заключению, что
{Та(х), Гъ(у)\х.= у.'=ёЁС1ЛеГе(уN*(х-у),
{Я, Га(х)} = 0. <и'Ъ1>
При этом уравнения движения можно записать в виде
д0Е< = (rot В)' + е, jk [AJ, Д*] + [А\ ?'],
Л , A], (Ulb8J
а уравнения для связей запишутся следующим образом:
, Е] = 0, A259)
2
', A*\.
Наблюдаемые являются функционалами от величин Е и А, огра-
ограниченных на многообразии A2.59), так что скобки Пуассона
величины Г с Е и А на этом многообразии обращаются в нуль.
Следовательно, такие функционалы оказываются инвариантными
относительно не зависящих от времени калибровочных преобразо-
преобразований Именно такой случай реализуется, например, для плотно-
плотности гамильтониана.
12.2. КВАНТОВАНИЕ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ
Следующий шаг состоит в том, чтобы провести квантование тео-
теории и вывести правила теории возмущений для вычисления функ-
функций Грина Физическая интерпретация, которая служила полезным
руководством в случае электродинамики, здесь отсутствует.
В частности, мы не знаем, будут ли возникать в результате
квантования асимптотические безмассовые состояния, подобные
фотону.
12.2.1. Квантование при наличии связей
В методе, описанном в разд. 9.3, использовался гамильтониан
и динамические, переменные, заданные нековариантным способом.
Тем не менее мы надеемся получить в итоге ковариантные выра-
выражения.
г уравнений связей (/- — порядок группы Ли)
' Г = ?-Е + [А> E]^D-E = 0 A2.60)
на поверхности A2.60) имеют нулевые скобки Пуассона с Я и
друг с другом, как это предписывается соотношениями (9.152)
и (9.153). Две пары (А, Е), удовлетворяющие уравнению A2.60),
эквивалентны, если они принадлежат одной и той же траекто-
траектории потока (9.142):
d\/du*={T, A}, dE/du={V, E},
т. е. если они связаны друг с другом не зависящим от времени
"калибровочным преобразованием. При этом следует ввести до-
дополнительное условие, которое в каждом классе эквивалентности
рыделит единственного представителя.
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 249
В любом случае можно произвести калибровочное преобразо-
преобразование, такое, что во всем пространстве будет выполняться условие
Л3 = 0 A2.61)
[см. соотношение A2.23)]. Эти г дополнительных связей аксиаль-
аксиальной калибровки определяют единственный элемент на каждой
траектории, если предположить, что на бесконечности поля до-
достаточно быстро обращаются в нуль. Поскольку калибровочные
преобразования, которые сохраняют условие Л'3 = 0, не зависят
от переменной х3 и должны сводиться на бесконечности к тож-
тождественным преобразованиям, они согласуются с указанным
предположением во всем пространстве. Это условие также запре-
запрещает проведение каких-либо глобальных преобразований
Следующий этап состоит в вычислении скобок Пуассона между
Г и дополнительными условиями. Преимущество аксиальной ка-
калибровки A2.61) состоит в том, что эти скобки не зависят от
динамических переменных Е и А. Действительно, {Г, А3} есть
инфинитезимальное калибровочное преобразование Л3, но ограни-
ограниченное условием Л3 = 0, и не зависит от А или Е. Детерминант
этих скобок, который появляется в интеграле по путям (Э 159),
можно включить в нормировку, и мы его не будем выписывать
в дальнейшем. Производящий функционал функций Грина запи-
записывается в виде
е°А ^ = J & (Е, А, А0) П б (Л3) х
]}. A2.62)
Здесь для всех четырех компонент величины А^ добавлены источ-
источники, несмотря на то что А3 обращается в нуль, а по Л0 можно
явно проинтегрировать.
Введение источника позволяет нам «зондировать» систему.
Некоторые ее отклики, такие, как функции Грина, могут зави-
зависеть от выбора калибровки и являются просто промежуточным
шагом на пути получения физической информации. Разумеется,
заманчиво было бы рассмотреть непосредственно калибровочно-
инвариантные величины, такие, как S-матрица. К сожалению,
асимптотические состояния неизвестны и любое вычисление
объектов, претендующих на роль элементов S-матрицы, осложняется
присутствием сильных, хотя и небезынтересных, инфракрасных
расходимостей. Кроме того, теория требует перенормировки и ¦
необходимо еще найти алгоритм устранения ультрафиолетовых
расходимостей, не базирующийся на функциях Грина,
Поскольку в A2 62) вектор Е входит в экспоненту только
квадратично, мы имеем по этой переменной гауссов интеграл,
250 ГЛАВА 12
который можно вычислить:
рШ^^-2в8р(Л.У)]},
{ v J A2.63)
В функции GA (J) наличие нижнего индекса А подчеркивает тот
факт, что функции Грина зависят от выбора калибровки. Несмо-
Несмотря на простоту этой аксиальной калибровки, правила Фейнмана,
которые можно вывести, не являются лоренц-ковариантными.
Поэтому естественно рассмотреть более общие условия. Решим
эту задачу в несколько этапов.
Изучим вначале другую нековариантную калибровку, а именно
кулоновскую калибровку, вводимую вспомогательным условием
divA = 0. A2.64)
Как было установлено выше, всегда можно найти локальное калибровочное
преобразование, такое, чтобы удовлетворить условию A2.64). Это условие
обычно рассматривалось как единственным образом определяющее калибро-
калибровочное преобразование g. Иными словами, если divA = 0, то традиционное
утверждение состоит в том, что решение уравнения div (?A)=0 относительно
g сводится к тождеству при подходящих условиях на пространственной беско-
бесконечности. Именно так происходит в абелевом случае. Если div A = 0, div A'^=0,
где А'=А-|-уЛ, то гармоническая функция Л обращается в нуль на беско-
бесконечности, а это значит, что она равна нулю всюду. Однако, как показал
недавно Грибов, в неабелевом случае такое утверждение неверно Уравнение
относительно g включает А и допускает решения при достаточно больших А.
Выберем А таким, чтобы divA = 0, и рассмотрим не зависящее от времени
инфинитезнмальное калибровочное преобразование А'1 —А'-{-[6а, А!]-{-д'6а,
такое, что dhA'=0:
ba, Л'])=0. A2.65)
При достаточно малых А (что эквивалентно случаю достаточно малой кон-
константы связи) можно записать следующее разложение:
и т. д.
Предположение о том, что а обращается в нуль на бесконечности, озна-
означает, что то же самое справедливо для всех а'*1. Нетривиального решения
не существует. Однако соотношение A2.65) можно рассматривать как урав-
уравнение Шредингера. Можно проверить, что для достаточно большого потен-
потенциала А существуют связанные состояния, т. е. решения уравнения
Да+д,[а, <4г] = ?а,
при Е < 0. Следовательно, для промежуточных значений потенциала А должны
существовать решения с нулевой энергией, быстро убывающие на беско-
бесконечности.
Эго возражение, по-видимому, является препятствием для осуществления
нашей программы, так как сравнение квантования в различных калибровках
основывается на предположении о единственности преобразования, которое
их связывает. Однако, поскольку данное явление возникает при больших
значениях потенциала, оно не сказывается на структуре ряда теории возму-
возмущений, который, по существу, является разложением по слабому полю (малые
флуктуации) около данной классической конфигурации. Поэтому в дальней
шем мы будем пренебрегать эффектом Грибова. Всякий раз, когда будет де-
делаться утверждение о единственности вы5ора калибровки A2.64), мы будем
понимать его в смысле теории возмущений.
Скобка Пуассона между вспомогательным условием A2.64) и
связью является нетривиальной и записывается в виде
=,0 = ~divA'e(*) =
= [- 8аЬАх + CabcSx- К (*)] б3 (х-у). A2.66)
Введем оператор еМ:
^аЬ (X, У) = [- ДА» + CabcVx-К (*)] «' (Х~У) =
= [-4Ab-f-ca6A«-v,]S3(x-y). <12-67>
Последнее выражение справедливо только в том случае, когда е$
определено на многообразии, ограниченном связями. Таким обра-
образом, в кулоновской калибровке производящий функционал для
функций Грина имеет следующий вид:
dJ> = [s> (Л)П fdet Л Д б (V- АI X
X ехр{^ J d*x[#-2g Sp (J-АЩ. A2.68)
Изменяя нормировку в этом выражении, deta^ можно заменить
на detG*j#0~\ где
Используя соотношения <Ж<М^л =ехр [Sp In (eSaS'1)] и Sp In A -\-A) =¦
= ^[(—l)n~Vn]Sp Л", можно вывести правила Фейнмана в этой
калибровке. Однако они также не будут иметь ковариантныи вид.
12.2.2. Интегрирование по калибровочной группе
До сих пор используемые нами калибровочные преобразования
не зависели от времени. Для того чтобы иметь явную лоренц-
ковариантность, удобно ввести также преобразования, зависящие
от времени. Мы осуществим это попутно с решением другой за-
задачи, а именно с доказательством эквивалентности аксиальной и
кулоновской калибровок.
Исключим взаимодействие с внешним источником J, заменив
последний источниками, связанными с калибровочно-инвариант-
ными величинами О,(х), и рассмотрим функциональный интеграл
(в данный момент времени)
X = S Я> (А, Е) П б (Л8) A (А, Е), A2-&9)
252 ГЛАВА 12
где ц.—калибровочно-инвариантный функционал:
|х(А, E) = exp{i^d*x{J?(x) + Ji(x)Ol(
При калибровочном преобразовании
. A2.70)
где g рассматривается как произведение Y[xg(x), ц. является ин-
инвариантом. Таким же свойством обладает мера Ш) (А, Е), по-
поскольку калибровочные преобразования являются каноническими.
Отсюда следует, что
, Е).
Поскольку условия V-A = 0 или Л8 = 0 представляют собой два
эквивалентных способа однозначного выделения (в рамках теории
возмущений) представителя в каждом классе эквивалентности,
то должно существовать калибровочное преобразование gt (A),
такое, что
M8 = 0=4>V-A = 0. A2.71)
Вычислим якобиан этого преобразования. Положим
, A2.72)
где через S> (g) обозначено бесконечное произведение инвариант-
инвариантных мер на компактных группах, томорфных группе G в каждой
пространственной точке х, ?D {g)=zYlxDg(x)
Инвариантность меры Dg' = D (gg') приводит к равенству
" A2.73)
Умножим выражение A2.69) на величину
(\.e\) A2.74)
и изменим порядок интегрирования. Тогда, используя соотноше-
соотношение A2.73),' выражение A2.69) можно записать в виде
>(A, E) jut (A,
>(А, Е)ц(А, \
V х
A2.75)
Эследствие инвариантности меры !&(g) в последнем интеграле
йожно заменить g~l на gg^ где величина gu такова, что
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 253
. Для упрощения введем обозначение В = е»А и запишем
8> (?) П б Is'1 & (*)] = $
Поскольку Б3 = 0, достаточно (по крайней мере в рамках теории
возмущений) рассмотреть лишь инфинитезимальные преобразова-
преобразования g и выполнить интегрирование по группе в окрестности еди-
единицы:
где а—бесконечно малая величина. При этом мера а каждой
точке Dg(x) сводится к произведению H/da, (x), a
Следовательно, интеграл
не зависит от А, и его можно включить в нормировочный мно-
множитель N, не зависящий от (л. Таким образом, мы имеем
A276)
Чтобы перейти к A2.68), необходимо показать, что объект А (Л)
пропорционален детерминанту оператора е?, определяемого выра-
выражением A2.67). Поскольку в A2.76) А (А) умножается на 6(V-A),
достаточно выполнить вычисления лишь для поперечных полей А.
При этом в интеграл, определяющий величину А, вклад дают
лишь бесконечно малые g:
А (Л) = $(?)П[ ()]
>(а)П8(?.{-Уа(х)+[а(х), A(jc)]})=det-1«^, A2.77)
причем, как и в A2.67), имеем
Мы показали эквивалентность аксиальной и кулоновской калиб-
калибровок лишь в той мере, в какой это касается вычисления калибро-
вочно-инвариантных величин ji(A, E). Вопрос о том, что произой-
произойдет с источником и, следовательно, с функциями Грина, не
изучался. Однако В предложенном выше выводе использовались
только локальные -и канонические замены полевых переменных.
254 ГЛАВА 12
На основании теоремы эквивалентности, упоминавшейся в гл. 9,
можно ожидать, что такие преобразования не изменяют физи-
физического содержания теории.
Рассмотренный выше метод интересен тем, что позволяет рабо-
работать с зависящими от времени калибровочными преобразованиями
и налагать коварна нтные дополнительные условия. Предположим,
что таким условием является
Г(Л) = 0. A2.78)
Здесь ?—локальный функционал поля А, т. е. функция поля
А (х) и его производных. Этот функционал принимает значения
в соответствующей алгебре Ли и может зависеть от Л° Исполь-
Используя тот же самый метод, что и выше, находим с точностью до
нормировки,
X = \т(А) Пб [<F (A)]det «#,р (А).
Таким образом мы пришли к рассмотрению функций Грина, опре-
определяемых производящим функционалом
^} A2.79)
причем величина
Ау1 (А) = (det с%Г= J S> (g) Пб [Г («А)] A2.80)
вычисляется для !"(Л) = 0. В интеграл дают вклад лишь инфини-
тезимальные преобразования, поэтому
—safer °*.сь*(х-у),
где О$,сб = &&еь + СемА»а(х).
Если воспользоваться, например, лоренцевой калибровкой
? (Л) = адЛ" = 0,
то оператор о/Я запишется в виде
[П Кь + СаЬс ЪА^ (х)] б* (х-у) =
сА^(х)д^ (х-у). A2.82)
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 255
Возвращаясь к аксиальной калибровке
мы убеждаемся, что на множестве потенциалов, ограниченных
этим условием, оператор ©# не зависит от А; следовательно,
det оМ может быть включен в нормировку.
Вместо того чтобы применять каноническую гамильтонову схему квантования
и производить затем различные операции с функционалами, мы могли бы
модифицировать плохо определенный интеграл
вставив в него единичный множитель, записанный в виде
1 = J 3> (g) А (А) Ц ё l§r (SA))
Калибровочная инвариантность величин \х (А), Д (А) и меры @) (Л) позволила
бы тогда факторизовать бесконечный групповой объем
X = [ [ S> fe)] J & (A) it (Л) Д (A) [J 6 [«Г (Л)].
Этот грубый прием хорош тем, что он явно демонстрирует бесконечное вы-
вырождение степеней свободы, когорое и приводит к данной проблеме.
Предыдущий анализ нетрудно обобщить на случай дополни-
дополнительных условий вида
где <F и заданная функция С (х) принимают значения в алгебре
Ли При этом оператор а$, входящий в A2.80), не претерпевает
никаких изменений.
Вариации (e/6g) [§~ (&А)—С] не зависят от С, и единственная зависимость Д^
от С обусловлена наличием калибровочного преобразования g0, такого, что
f (г"Л) = С:
АГ(Л, С)=д(Ч4).
Можно написать следующие равенства:
1 - J m (g) Д (g°A) б [Г (gA) - С] = 5 т fe) Л ('A) S [Г (*А) - С],
где второе равенство обеспечивается б-функцией, приводящей к g—go- Таким
образом, какой-либо след от С исчезает.
Поскольку калибровочно-инвариантные величины не должны
быть чувствительными к изменениям дополнительных условий,
фиксирующих калибровку, можно провести усреднение по С
256 ГЛАВА 12
с гауссовым весом, т. е. заменить 8 [f (А)—С] величиной
' S> (С) ехр [4- \ d*x Sp (С2) I б [f (А) —С] =
В своем окончательном виде производящий функционал запишется
следующим образом:
(A) det <*% exp (-^ J d»jt {J? (х) +
—2gSp(J-A)\) . A2.83)
Разложение det <Л> по теории возмущений приводит к нело-
нелокальным взаимодействиям между калибровочными полями. Этот
детерминант полезно подвергнуть еще одной операции, т е.
записать его как локальное взаимодействие некоторых фиктивных
полей. Рассматривая интегрирование на алгебре Грассмана, мы
получили формулу (9.76):
det *#=
где <Л—матрица пхп. Заменяя сЛ на i<S и обобщая этот резуль-
результат на бесконечную алгебру, можно переписать deta#y в виде
функционального интеграла
'¦> И, ц,
— т\о$ц—2^3р(У-Л)}). A2.84)
Модифицированный, или эффективный, лагранжиан
включает в себя калибровочное поле А и новые антикоммутирую-
щие вспомогательные скалярные поля ц и ц, так называемые
«духи» Фаддеева и Попова. Подчеркнем, что эти поля нефизические
и участвуют лишь в алгебраических преобразованиях. Чтобы
сохранить глобальную инвариантность, ц и г\ должны преобразо-
преобразовываться по присоединенному представлению. В лагранжиане
A2,85) член, представляющий собой дух, записывается в виде
= J J d*x d*y\ (х) 5Гба^)] ть (у) =
а (х) Щ^. D%c% (х), A2.86)
]
Вообще говоря, ядро <Л>^ не является эрмитовым, поэтому в диа-
диаграммах Фейнмана линии, соответствующие духам, должны иметь
определенную ориентацию. Например, если в качестве W берется
лоренц-ковариантное условие ? =ддЛМ/, то
J d*x ц^ц = J d*x цЛ^аьПь ¦ A2-87)
В этом случае лагранжиан A2.85) принимает вид
^ -АГ-цд^ц. A2.88)
Наличие здесь параметра К (обозначаемого также в литературе
как а или S) отражает тот факт, что выбор вспомогательных
условий является произвольным. Выбор Я = ] или к~1 = 0 принято
называть соответственно калибровками Фейнмана и Ландау.
12.2.3. Правила Фейнмана
Выражение A2.88) дает искомое решение проблемы квантования,
так как оно представляет собой локальную лоренц-ковариантную
форму эффективного лагранжиана. Часть лагранжиана, квадра-
квадратичная по А, оказывается невырожденной благодаря тому, что
условие W= С выделяет единственного представителя в каждом
классе эквивалентности.
Теперь мы можем написать правила Фейнмана. Произведем
мультипликативную перенормировку нолей А, ц и ц с помощью
константы связи g. Поскольку диаграммы Фейнмана также вклю-
включают и духовые поля, полезно ввести (антикоммутирующие)
источники I, |, связанные с г|, ц. В результате получаем
A2.89)
(А, л, Ч g, Ц - - 4 F \
-9>A\—gCabeA»bA\, A2.90)
gCabeA»b4e.
Пропагаторы калибровочных и духовых полей соответственно
эавны
1 A2.91)
9 № 1845
258 ГЛАВА 12 —
и при больших импульсах ведут себя как k~'\ Следовательно, при
подсчете степеней расходимости в ультрафиолетовом пределе оба
поля имеют размерность, равную единице. Константа связи g
является безразмерной Имеется три типа вершин. Если мы будем
направлять духовые линии от т| к ц (как мы поступали в случае
истинных фермионов) и включим множитель i из разложения
экспоненты exp yi \ d*z J?b3 (z) J, то получим
A2.92)
\ ^eac edb \&|ac&PV &\xvsqo) "T*
ad pc
f.ia
Следует заметить, что последняя вершина (как и предполага-
предполагалось) имеет асимметричный характер. По нашему соглашению
выходящая духовая линия переносит импульс, возникающий при
дифференцировании. При практических вычислениях установлен-
установленные выше правила необходимо дополнить предписаниями, при-
приведенными в гл. 6 (см. т 1), а именно интегрированиями с мерой
d"k/Bn)* по всем внутренним импульсам, выделением й-функции
по полной энергии-импульсу, факторами симметрии и множителем
(—1) для каждой духовой петли.
Обсуждение фейнмановских правил мы завершим рассмотрением
случая, когда поля материи связаны с калибровочными полями
минимальным образом. К лагранжиану A2.90) добавим члены1)
37 == ЩЩ — тЩ
и A2.93)
х) Здесь и далее буквы D и В (см. ниже) обозначают символы Фейнмана.—
Прим. ред.
нслвслсвы
соответственно для фермионных и бозонных полей. Здесь Р—не-
Р—некоторый полином, а т|з и ф — мультиплеты полей, преобразующиеся
по определенному представлению R калибровочной группы, инфи-
ните-шмальные генераторы которого являются антиэрмитовыми
матрицами Та. Напомним, что оператор Z> определяется следую-
следующим образом:
Дополнительные фейнмановские правила записываются в виде
В Р А
Р
к
яПв(р„+р;)х
и
—p'—k) XBny8*(p—p'—k),
A2.94)
ХBя)*6*(/>—р'—k—k1).
V
В
Выражения в первой колонке здесь относятся к фермионам, а во
второй — к бозонам. В последнем случае добавочные вершины воз-
возникают за счет самодействия
Для полноты изложения приведем здесь также правила Фейнмана в аксиаль-
аксиальной калибровке. С этой целью добавим к лагранжиану член вида (п-А)г:
A2.95)
Аксиальная калибровка получается при Я.-1 —>• 0. Как было показано выше,
никаких духовых членов в этом пределе не требуется. Пропагатор равен
Проблемы, возникающие из-за нового типа сингулярности в знаменателях,
здесь исследоваться не будут
Заметим, что пропагатор ведет себя как k~2 только в пределе к'1—*0.
Наконец, вершины А1 и А* являются такими же, как и в A2.92).
9*
12.3. ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ
В ОДНОПЕТЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Установленные выше правила Фейнмана приводят к теории, пере-
перенормируемой в соответствии с подсчетом степеней. Действительно,
все пропагаторы ведут себя как k~2, а все вершины имеют размер-
размерность четыре. Однако задача состоит в том, чтобы показать, что
при перенормировке сохраняется калибровочная инвариантность.
Прежде чем приступить к довольно длинному и технически слож-
сложному доказательству этого утверждения во всех порядках теории
возмущений, поучительно провести явное вычисление эффектив-
эффективного действия в однопетлевом приближении.
12.3.1. Общий вид
Чтобы справиться с многочисленными индексами, воспользуемся
компактной функциональной записью. Эффективное действие полу-
получим тем же способом, что и выражения F.73) (см. т. 1) или
(9.107), т. е. с помощью преобразования Лежандра
iT(A, t], л)«С.(/, 6, J)-l
, 6G 60 - 60 A2.97)
™е л==1бГ- r" = -Sf *» =—W
Лоренцевы и групповые индексы здесь опущены. Производные
по антикоммутирующим переменным понимаются как левые про-
производные. Иными словами, мы будем писать
В выражении для т) знак минус [см. выражения A2.97)] появ-
появляется благодаря этому предписанию.
В низшем порядке величина Г сводится к действию-:
Гм« / (А, т), ч)= S ^^эфф (А, Ц, л; g, A-). A2.98)
в то время как первая поправка F[1J получается в результате
гауссова интегрирования по штрихованным переменным действия,
разложенного в ряд по этим переменным до второго порядка:
/да
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 261
Напишем квадратичную форму в явном виде:
-i([DM, A'V]-[DV, ЛД])([О», A'4-[D\ A'»])-
'[Л'11, л]}. A2.99)
Здесь мы использовали матричные обозначения: т) = т)а^в и т. п
Эта довольно сложная форма смешивает коммутирующие и анти-
коммутирующие переменные. Напомним формулы
п
= 1BяI2 A2.100)
для гауссовых интегралов соответственно по коммутирующим
и антикоммутирующим переменным. В смешанном случае получаем
f ц + ч ¦ I) = det аЛ [det Q]" V, exp i± [и +1а?~1а +
• A2.101)
Матрицы Q и вМ содержат коммутирующие элементы, элементы
матриц а н Р принадлежат алгебре Грассмана, а Q представляет
собой симметричную матрицу:
Q = Q—p^t-ia—§a?-ia)T.
Выражение A2.101) получается путем повторного применения предшествую-
предшествующих формул. Другой способ его получения основан на том факте, что точное
вычисление гауссовых интегралов можно выполнить методом перевала.
Эти формулы можно применить к квадратичной форме A2.99).
При этом
')n = [Dv, [D\ A'*]—[D*, A>vJ[\—g[F*\ A'v] + M»d-A' +
', i\\. A2.102)
a tj' и tj' можно найти из уравнений
м, АД.
262 ГЛАВА 12
Если g = 0, то а? и Q сводятся к операторам
Обратными по отношению к этим операторам являются свободные
пропагаторы. Следовательно, эффективное действие в однопетле-
вом приближении, нормированное так, что Г[11 @) = 0, дается
выражением
Л1»1 МЛ n) = sp[lnH<r1^)-i-In(QQ0-1)]. A2.1Q4)
След здесь берется по внутренним и лоренцевым индексам и по
пространственно-временным переменным.
Невозможно получить более точное выражение. Поскольку
матрицы Q и <Л действуют в присоединенном представлении,
удобнее рассматривать А^ и т) как матрицы в этом же представ-
представлении [ср. с соотношением A2.9в)]. В явном виде имеем
(АрЬс = А%Т%=СЬасА», A2.105)
Таким образом, нормировка A2.26) заменяется следующей:
Sp (Т*Т*) ? СЫаСыь = - С6«К A2.106)
d
с, d
Для группы SU (N) имеем C = JV. Используя введенные нами
обозначения, запишем
ad^aS A, 2) = б A, 2) -ig С ?* е~1Ы*Гг) k-A (Хг),
BJ- A2.107)
В фигурных скобках аргументом функций Л и F является х^
а производные действуют справа на все зависящие от хг члены.
Ядро Q отличается от Q тем, что в него входят духи, которые
не выписывались здесь в явном виде. В дальнейшем для функции
и ее фурье-образа мы будем применять одно и то же обозначение:
Перейдем теперь к изучению условно расходящихся функций.
НЕАЬЕЛКВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 263
12.3.2. Двухточечная функция
Разлагая sp In (гМ^Л) —у sp In
в двухточечную функцию (рис. 12.1):
Разлагая sp In (гМ^Л) —у sp In (Q^Q), мы получаем три вклада
x[{kq'.A-k-q'A)®q']}_k. A2.108)
В последнем следе q' = q-\-k, в первых фигурных скобках
аргументом является к, а во вторых—величина — к. С целью
сокращения записи введены тензорные обозначения Временные
О
а о
РИС. 12.1. Однопетлевые вклады в собственную энергию векторного поля.
Штриховые линии соответствуют пропагаторам духов.
компоненты импульсов и векторных полей подвергнуты повороту
Вика:
k« _, tfe», q<> -+ iq\ А» (к) -, i A° (k).
С целью сохранения калибровочной инвариантности мы приме-
применяем размерную регуляризацию, а меру ddk/Bn)d обозначаем [dk].
Следует заметить, что вышеприведенное выражение можно также
получить непосредственно с помощью правил Фейнмана A2.91)
и A2.92).
В гл 8 мы показали, что в рамках размерной регуляризации
вполне разумно считать, что в правой части выражения A2.108)
второй интеграл обращается в нуль тождественно. Вклад духов,
264 ГЛАВА 12
т. е. первый член в правой части выражения A2.108), нетрудно
выразить через функции Эйлера:
г (ft —
D)] A2.109)
После утомительных алгебраических преобразований полная двух-
двухточечная функция запишется в виде
A2J10)
В этих выражениях функцию Г (k) следует рассматривать как
матрицу в присоединенном представлении, пропорциональную
единичной матрице.
Вклад духов, определяемый выражением A2.109), играет ре*
шающую роль для достижения поперечности функции A2.110)
по импульсу k, поскольку вклады по отдельности не удовлетво-
удовлетворяют этому условию. Выражение A2.110) удобно для устранения
части, расходящейся при d — 4 = — е—»0. Следуя рецепту, пред-
предлагаемому в гл 8, величину g2 в действительности следовало бы
написать как g2^8, где р,—произвольный массовый масштаб.
Таким образом, мы имеем
A2.111)
где постоянные члены (т. е. не зависящие от k, но зависящие
от К) не были вычислены. Это выражение можно переписать
в эквивалентном виде, расписав явным образом групповые индексы
и перейдя обратно в пространство Минковского. Двухточечная
сильносвязная функция для A^la(k) А\(—k) записывается в виде
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 265
Теперь ясно, что расходящуюся часть можно устранить, вводя
контрчлен:
, A2.113)
где ^=1+тЩ4 + тA-?г1)]т- A2Л14)
В этом порядке член 2/е можно считать соответствующим
члену вида In (А2/ц.2) в обычной регуляризации. Константа пере-
перенормировки волновой функции Z3 зависит от калибровки. Это
свойство можно объяснить тем, что неабелевы калибровочные
поля играют также роль заряженных полей. Фундаментальное
следствие поперечности функции A2.110) состоит в том, что
теперь нет необходимости в контрчленах типа А2 или (д- ЛJ.
В выражении A2.110) расходящиеся члены определяются полюсами Г-функ-
ции. Однако, если вычисления производятся каким либо иным способом,
такие сингулярности могут возникать у В-функции. Это отражает тот факт,
что в безмассовой теории теряется различие между ультрафиолетовой и
инфракрасной расходимостями. Например, в выражении для Г-1" член,
стоящий под интегралом и пропорциональный A—X.) 6^v, имеет вид
q* (q+k)*
и в рамках размерной регуляризации приводит к интегралу, конечному в уль-
ультрафиолетовом пределе, но расходящемуся в инфракрасном-
о d
Однако после замены переменных q—t-q'=*q-\-k этот интеграл выглядит
расходящимся в улырафиолетовои области и сходящимся в инфракрасной;
Разумеется, эти выражения совпадают, однако, когда проводится разложение
вблизи d = 4, необходимо выделить все сингулярные члены.
12.3.3. Другие функции
Для других условно расходящихся сильносвязных функций при-
приведем лишь структуру расходящегося члена.
В трехточечную функцию (рис. 12.2) дают вклад три диа-
диаграммы. Контрчлен, который необходимо ввести, записывается
в виде
6^(Zl)(firSp{(^Mj[^t Av]\), ,„
266
ГЛАВА 1Z
Аналогичным образом диаграммы, изображенные на рис. 12.3,
которые дают вклад в четырехточечную функцию, нуждаются
во введении контрчлена
{? AV][A», /iv])},
Контрчлены имеют тот же вид, что и исходные члены в лагран-
лагранжиане. Неудивительно, что это справедливо для Ь3>' А%, поскольку
A2.115) представляет собой единственное выражение, которое
РИС. 12.2. Трехточечная функция,
является лоренц-инвариантным, кубическим по полю, имеет раз-
размерность четыре и инвариантно при (глобальных) групповых
преобразованиях. Для члена четвертого порядка по полю это
не так, а поэтому контрчлен вида A2.116) является сюрпризом.
V/
t
РИС 12.3. Четырехточечная функция.
Необходимо также вычислить контрчлены для функций с внеш-
внешними духами Структура оператора Q, определяемого выражениями
A2 102) и A2 103) или, эквивалентным образом, с помощью правил
Фейнмана A2 92), такова, что импульс выходящей духовой линии
всегда может быть факторизован. Это уменьшает эффективную
РИС 12.4. Собственная энергия духа в однопетлевом приближении.
условную степень расходимости функций, включающих в себя
духовые поля, и оставляет нам лишь две расходящиеся функции:
собственную энергию духа (рис. 12 4) и вершину, в которой дух
поглощает или излучает векторное поле (рис. 12 5) Вследствие
указанного выше свойства первая функция не нуждается в вве-
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 267
дении какого-либо массового контрчлена, и мы имеем
W5l-(Z1-l)(-^dhU)t2,-l+^(i + i^iL, A2.117)
и
В калибровке Ландау (Я~* = 0) величина Z, в действительности
сводится к единице во всех порядках, что является следствием
поперечности векторного пропагатора и факторизации входящего
духового импульса.
РИС. 12.5. Однопеглевые вклады в вершину вектор-дух.
На практике с калибровочным полем также взаимодействуют
поля материи. Приведем контрчлены, включающие спинорные
поля, а также дополнительные вклады в SJ^V», bSа* и &3; л* от
этих нолей Лагранжиан взаимодействия дается выражением
A2.93). Примем следующие обозначения для квадратичных опе-
операторов Казимира в представлении, по которому преобразуются
поля: , . ,
'—с,/. A2Ш)
а
Если через г обозначить размерность группы [например, число
генераторов алгебры Ли для SU (N) равно г = №—1], а через
РИС. 12.6. Собственная энергия фермиона.
nf—размерность фермионного представления [для фундаментально-
фундаментального представления SU (N) имеем nf=M], то можно записать следую-
следующее соотношение:
Т,г = С,пг. A2.120)
Для присоединенного представления п=т и, следовательно, Т=С
[=зЛГ в случае SU (N)], в то время как для фундаментального
представления SU (N) имеем Т,= 1/2 и С, = (ЛГ2 - 1 )/2ЛЛ
268
ГЛАВА 12
Контрчлены, порождаемые диаграммами, представленными на
рис. 12.6 и 12 7, записываются в виде
A2 121)
A2122)
Эти выражения, если положить в них Cf=l, С —0 и g
сввдятся к выражениям, которые вычислялись в гл. 7 (см. т. 1)
для случая квантовой электродинамики
РИС. 12 7, Фермион-векторная вершина.
Наконец, изменения в контрчленах калибровочных полей,
обусловленные наличием внутренней фермионнои петли (рис. 12 8),
даются выражениями
р„ионы
1- §. A2.123)
Рассмотрение случая, когда с калибровочными векторными полями
РИС 12.8. Фермионные вклады в двух-, трек- и четырехточечные функции.
связаны скалярные поля, не вызовет у читателя каких-либо
затруднений.
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ ?69
12.3.4. Перенормировка однопетлевых диаграмм
Мы обнаружили, что все контрчлены обладают той же структу-
структурой, что и мономы исходного лагранжиана Это еще не вполне
гарантирует, что перенормированный и голый лагранжианы имеют
одинаковые симметрии. Опуская на время поля материи, нахо-
находим в явном виде
,%СаЬе). A2.124)
Определим голые поля и параметры следующим образом.
д,=гъ\А, щ = zs•ti,^ti0=z,% A2 125)
При этом &-\-Ь?? можно рассматривать как исходный лагран*
жиан & (Ао, t\0, г|0; g0, Хо), выраженный через голые величины
при условии, что справедливы следующие тождества:
|* = |i = |l-. v A2.126а)
Простого взгляда на выражения A2.114) — A2 118) достаточно,
чтобы убедиться в том, что эти тождества удовлетворяются в одно-
петлевом приближении Эти выражения, которые обобщают соот-
соотношение Z^ — Z% квантовой электродинамики, отражают тот факт,
что перенормировки констант свячи в вершинах третьего и чет-
четвертого порядков по полю, а также в вершинах щА совпадают;
иными словами, универсальность взаимодействия сохраняется пере-
перенормировкой. Присутствие полей материи, скажем фермионов,
требует, кроме того, выполнения следующих тождеств:
fi = fi = |L3:^. A2.1266)
^1 *s Z3 l*
Этому соотношению также удовлетворяют выражения A2.121) —
A2 123)
В заключение запишем перенормировку константы связи в при-
присутствии фермионных полей:
•' ^-твИ^-т71/I"^ <12127>
Следует заметить, что зависимость от калибровки исчезла. В даль-
дальнейшем величину 2/8 будем всюду заменять на ln(Aa/fi2)-
270 ГЛАВА 12
12.4. ПЕРЕНОРМИРОВКА
Данный раздел посвящен изучению перенормировки неабелевых
калибровочных теорий с ненарушенной симметрией. Что происхо-
происходит в случае, когда локальная симметрия спонтанно нарушается,
мы выясним позже. Здесь же рассмотрим вопрос о том, сохра-
сохраняются ли при перенормировке замечательные свойства калибро-
калибровочных теорий, в частности универсальность константы связи
На промежуточных стадиях будет вводиться регуляризация; прак-
практически наиболее удобной является размерная риуляризация.
Свойства, которые мы хотим получить, будут следовать из тож-
тождеств Уорда, впервые полученных для данных целей Славновым
и Тейлором. Читателю может показаться, что повторное при-
применение таких тождеств в этой главе и в гл. 8 и 11, излишне.
Однако неабелевы калибровочные теории характеризуются слож-
сложной структурой и соответственно требуют усложненных методов
анализа.
12.4.1. Тождества Славнова — Тейлора
Будем исходить из производящего функционала
еа <J>= Г S>(A) deto^exp [i Г d** (з -j <f2 + J ¦ a\ ],
где ed—вариация величины W относительно-калибровочного пре-
преобразования
6Л = О6а, bW=<Sba. A2.128)
Воспользуемся тем свойством, что при этом преобразовании мера
?D(A)(\e\cS является инвариантной даже в том случае, когда 8а
само зависит от А. Иными словами, если
то
&> (/4)deto^!y (A) = iD (Л') det a?? (A1). A2.129)
Для того чтобы равемотреть эти выражения более аккуратно, напишем
det oSff (А) ш* Ду (Л, ff (А)), согласно определению, в виде
д JJ (А, С) - J fi)(g) Ь (ff {tA) -С).
Для калибровочного преобразования, не зависящего от А, очевидно, имеем
Ду (8А, С) = Ду (А, С)
благодаря инвариантности меры @ (g)- Однако в данном случае, для которого
А1,
НЬАЬЬЛКЬЫ К.АЛИЬРиВОЧМЫЬ 1ЮЛЯ 271
калибровочное преобразование зависит от потенциала. Мы покажем, что яко-
якобианы в <2) (Л) и Д™ стремятся скомпенсировать друг друга. Рассмотрим
Л, ? (Л)) = J® (Л) Д3,{Л,1г(Л
Х[ Д,. (Л, ^ (Л)) 5 ® (g) 6 (Г' (*Л) -Г (Л))].
В правой части оба члена, заключенные в квадратные скобки, равны единице.
В случае g — g(A) аргумент последней 6-функции исчезает и поэтому в пер-
первую б-функцию вместо gA можно подставить общее q Положив затем А = ?~1В,
обнаружим, что &D(A) = 6Q(B), и проинтегрируем по В Таким образом.
используя инвариантность Д относительно не зависящих от потенциала калиб-
калибровочных преобразований, получаем
J т (Л) д, (л, ? (л» =
= J &> (А1) 3> (g) Д^ (Л', ? (8~'Л')) ьг. (А1, ? («"'Л')) б {?' (Л')-
-?(й"'л')) = J т (ло т (g) а? (А', ?' (ло) д,, (а; ?' (Л'» б#' <л')-
-? (g"M')) = J S> (А') Д,, (Л', Г' (Л')).
Последнее равенство возникает в результате интегрирования по g и является
точной записью формулы A2.129).
Таким образом, мы можем написать
[t §dix(&~?*+J-A—K?0*fa+
+ J.D8a\\.
Смысл данного тождества наиболее легко исследовать, если по-
положить ба = а^~1бй), что соответствует нелокальному калибро-
калибровочному преобразованию, которое сдвигает ? на величину &о.
В низшем порядке по бсо находим
О = ( 3> (Л) det *d j d*x (Ш—J
xexp[i jrf«x(j?—2-Г2 +
или, подставляя вместо Л величину 6//бУ,
A2.130)
вторяю-
вторяю= ed;al (j/, x; j-^)eG<J> A2.131)
где подразумевается, что выполнено суммирование по повторяю-
повторяющимся индексам. Выражение
можно рассматривать как духовый пропагатор в присутствии
источника J.
В окончательном виде тождества Славнова—Тейлора записы-
записываются следующим образом:
Записать эти тождества компактным образом через одноча-
стично неприводимые функции довольно трудно. Такой цели по-
позволяет достичь преобразование, обнаруженное Бекки, Рюэ и
Стора. Для этого в действие снова вводятся духовые поля:
A2.133)
Нетрудно показать, что данное действие инвариантно при сле-
следующем комбинированном преобразовании переменных:
= D- аЬ (х) Лъ (х) 6; = sA^,
ца(х)=№в[А(х)Щ^!щ&Ь A2.134)
|в (х) = -(g/2) Сд6с г!& (х) t|e (х) 6? s
В противоположность преобразованию, использованному выше,
данное преобразование является локальным. Оно вводит не за-
зависящий от х антикоммутирующии параметр б? и смешивает ком-
коммутирующие и антикоммутирующие переменные.
Инварилнтность действия / легко доказать. Во-первых, лагранжиан X инва-
инвариантен, поскольку б<4 представляет собой калибровочное преобразование
специального вида. Во-вторых,
вследствие того, что т) и 6? антикоммутируют, И наконец,
Первый qлeн обращается в нуль поскольку выражение (Dv t))j (Dm r\)a анти-
антисимметрично по отношению к перестановке индексов, (jxa) и (vb); кроме того,
с помощью A2.134) и тождества Якоби можно показать, что
б(?>мЧ)=0. A2.135)
6 дальнейшем мы будем использовать также аналогичное равенство
0. A2.136)
HCAbtJlbbbl l4AJlHbiJUBU4rlblt IUJJ1M 2C6
Генератор преобразования Бекки—Рюз—Стора s определяется как правая
производная величин A2.134) по 6?, т. е. sA = Dr\, sr)a =—ёСаьвць цс/2, Урав-
Уравнения A2.135) и A2.136) означают, что sM = 0, s2r|=O.
Эта инвариантность приводит к соотношениям между функция-
функциями Грина. Прежде всего покажем, как воспроизводится тождество
Славнова—Тейлора A2.130). Будем исходить из уравнения
которое следует из того факта, что в подынтегральном выраже-
выражении имеется нечетное число духовых переменных. Осуществим
замену переменных в соответствии с A2.134); легко проверить,
что такая замена не влияет на интеграл, а ее якобиан равен еди-
единице. Следовательно,
(Л, ч, п) [ХГЛ (дс) + ца {х) J d*y Ub (у) фц)ь (у)] х
0. A2.137)
Интегрирование по х\, ц эффективно сводится к подстановке
п. (х) ч\ь (У) -* i^~\a (У, х)
и приводит таким образом к тождеству A2,130).
12.4.2. Тождества для сильносвязных функций
Сначала напишем тождества для связных функций. Удобно вве-
ввести источники не только для духовых полей, но и для составных
операторов, входящих в преобразования A2.134). Напишем вы-
выражения
еа и. б, Г к. и = Г& (д ^ ~) ехр L- J diy^_^ дг2 -^Мг\ +
b) + 4t + KsA-Ls4)l A2.138)
I, К,
Здесь К^а(у) и La(y)— локальные источники, связанные о
s^na (У) = (Оц11)в (У) и —S11« (У) = g^e6e Ль (У) »1е (У)/2- а потому явля-
являющиеся антикоммутирующими или коммутирующими объектами
соответственно. Точнее говоря, если величине ц сопоставить ду-
духовое число т> = —1 (и у = +1 для ц), то К и L будут иметь
7=1 и 2. Подсчет степеней показывает, что s/4 и st], а следова-
следовательно, К п L имеют размерность, равную двум. В дальнейшем
мы будем предполагать, что функция ? линейна по А:
^а(У)-Ф'аь\ь(У)- A2.139)
274 ГЛАВА 12
Например, обобщенные калибровки Фейнмана соответствуют вы-
выбору Ф*аЬ — д^ЬаЬ Использование нелинейного калибровочного усло-
условия ? потребовало бы введения в A2.138) дополнительного
источника, связанного с ?.
Заменяя переменные в соответствии с A2.134), получаем
0= J S> (А, ц, ц) J dlx(J-sA + ls^—kFl) (x)exp [i $ d*y(...
поскольку sA и sr) являются также инвариантами Последнее
уравнение можно переписать следующим образом:
Оператор функционального дифференцирования является ли-
линейным в соответствии с предположением A2.139) Следовательно,
(J, |, l,K,L)=0. A2.140)
В предыдущем разделе тождество A2.130) было дополнено урав-
уравнением движения для духового пропагатора [см. A2 132)] Аналог
его в данном случае можно получить, используя то обстоятель-
обстоятельство, что функциональный интеграл A2 138) инвариантен отно-
относительно бесконечно малого смещения г| —»¦ г|-|-8т), где 6т] — про-
произвольная величина. В результате получаем локальное соотно-
соотношение
или, поскольку <S"(\ = s?—Ф-sA:
Для связных функций это соотношение запишется в виде
Фтщ^бУг I, I, /С, L) = ?(*). A2.141)
Уравнения A2.140) и A2.141) следует теперь переписать через
сильносвязные функции. Это можно сделать, воспользовавшись
преобразованием Лежандра
Г (Д 11, "п. К, L) = -iG(J, I, f, К, I)—
A2.142)
где
SG № ~ 6G
А ц
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 275
или, что эквивалентно,
, бг_ r_iL %— бг
При этом преобразовании источники К и L не затрагиваются:
Уравнения A2.140) и A2.141), выраженные через Г, записываются
следующим образом:
A2.145)
Введем модифицированное эффективное действие
if = Г -f -| [ №у ?г [А (у)]. A2.146)
огда уравнения A2.144) и A2.145) принимают более простой
ид:
f-jyij- — — V о
_ A2.147)
Тождества A2.147) записаны в универсальной форме. Они уже
не содержат каких-либо параметров, изменяемых перенормиров-
перенормировкой, таких, как константы связи, и не несут следов групповой
Г структуры, которая теперь скрыта в определении источников.
Следовательно, эти тождества в равной степени применимы к
действию, а потому подходят для изучения структуры контр-
контрчленов.
Легко проверить, что тождества A2.144) и A2.145) удовлетворяются в низшем
порядке Первое тождество выражает инвариантность действия относительно
преобразования Бекки — Рюэ—Стора:
6-4=-^-6?, 6т) = ->
¦ Условие того, чтобы якобиан был равен единице, записывается в виде
Д2 p[Oj
и очевидным образом удовлетворяется.
Хорошее упражнение—выполнить диалогичный анализ в абелевом случае
для калибровки § = d^Ad -\-А2/2, которая требует введения духов.
276 глава is
12.4.3, Рекурсивный метод построения контрчленов
В предыдущем рассмотрении неявно подразумевалось, что в тео-
теории проведена размерная регуляризация. Здесь мы хотим пере-
перенормировать теорию таким способом, который не нарушит полу-
полученные выше тождества. Как и при вычислении в однопетлевом
приближении в разд 12.3, удобно выполнить минимальную пере-
перенормировку, определение которой дано в разд. 8.4.4 Иными
словами, мы ограничимся устранением членов, расходящихся при
d—> 4. Проводя вычисление последовательно, порядок за поряд-
порядком по Ь,, мы можем написать следующее равенство:
Г$ = Г?] + Г&*. A2.149)
где Грег вычисляется с учетом всех контрчленов низших поряд-
порядков. Можно сформулировать более физические условия, требуя,
однако, их согласованности с тождествами A2.144) и A2.145).
Из A2.147) следует, что все функционалы зависят от К и ц
только через комбинацию К — 'ЦФ- Воспользуемся компактным
обозначением
<12150>
Тождества A2.147), которым удовлетворяет степенной ряд
в п-м порядке по % запишутся в виде
2 fO. A2.151)
Наша задача состоит в том, чтобы найти контрчлены, такие, что
перенормированное ff^] удовлетворяло бы условию
Будем следовать рекурсивному методу. В низшем порядке
сводится к выражению
Ц, А, ь) =
которое, конечно, удовлетворяет условию A2.152). В первом по-
порядке имеем
=*0, A2.154а)
= 0 A2.1546)
2ГТ
Уравнение A2.1546) есть не что иное, как тождество A2.152)
при п=1, а A2.154а) определяет структуру контрчлена первого
порядка Для того чтобы сократить расходящийся член, предла-
! гается модифицировать / следующим образом:
! 7—>?! = / —Щх. A2.155)
Однако рекурсивный метод применим только в том случае, если
перенормированное действие 1Х удовлетворяет тому же условию
/1*/1 = 0, A2.156)
как и само /. Это не так для модифицированного выражения
A2.155), поскольку
расх*1 расх-
Однако правая часть здесь имеет порядок Ьг. Таким образом,
мы приходим к величине ~IV которая определяете выражением
где добавка А1 представляет собой интеграл от локального поли-
полинома четвертой степени по полям, имеет порядок ft2 и определя-
определяется таким образом, чтобы удовлетворялось условие A2.156). Эта
модификация, разумеется, не затрагивает величин первого поряд-
порядка и, следовательно, оставляет Гд1] конечным при прежнем усло-
условии нормировки.
Такая усложненность очень типична для симметрии, приводящих к нелиней-
нелинейным тождествам. Например, то же самое явление возникает в двумерной
нелинейной о модели, рассмотренной в конце главы 11.
Структуру добавки Д^ можно получить, исходя из структуры
L- Если мы сможем показать, что
р K,L; g) = I(A0, rje, тГо, tf0, Lo;
A2.157)
где i4e-Zi/fi4, Tlo = 2ft/Sti, Tjo = Z1s/sti, A2 158)
KO = ~ZT'K, L, = ttU go = Zgg,
причем Zb=l-\-zJi и т. д., то естественным выбором будет
~1г{А, ц, tj, К, L; g)s=I(Aot ц0, тH, /Со, Lo; g0).
Это новое действие ~It удовлетворяет соотношению
Чш7l/l ЬТ{Ло' '••"' go)
Z щ
уЧг7Чш Д/(^ ••¦) О? (Л, •-•)
Z Ll ^ щ
278 ГЛАВА 12
Кроме того, если
ZL = ZS, A2.159)
условие A2 156) удовлетворяется и рекурсивное доказательство
можно продолжить Цель последующего обсуждения состоит в
том, чтобы доказать справедливость соотношений A2 157) и A2.159)
Найдем общее решение уравнения
af[n] _ JJhE«] _i_p [«] *7—О П2 1601
ul расх '*' расх Т^ 1 расх*' —и> II^.IOU)
которому удовлетворяет расходящаяся часть Г'"^х в данном порядке п, когда
учтены асе контрчлены более низкого порядка
В A2 160) оператор а который обобщает преобразованиеs Бекки—Рюэ —
Стора, является нильпотентным
аа = 0 A2.161)
Это нетрудно показать, если записать а в виде
д! д д! д
~ дх, дВ^дв, дх,-'
где антикоммутирующие переменные были обозначены соответственно как х
и 9; в нашей задаче {*,} = {<4 L}, {8,} = {г|, К] При этом A2.161) следует
из условия
JLL-^L—0. A2.162)
В явной записи имеем
i—(J?L2LJLJLj-lL]!Ll. <? el з7 д э
~~\ дх, dxj ddt dQ/"T~ dQt dQ; dxt dxf дх, dQ} dQt bxf*~
4.i[iIllU-(—-^i- д ( dl dl \ д
"*" 59, дх; дх, dQjj "г дх, \ дх, dBt ) dQ/ dQ; \ дх, 39, / dxj'
Перва! скобка обращается в нуль вследствие <штикоммута1ивности, а два
оставшихся члена —в силу соотношения A2 162) С другой стороны любой
калибровочно инвариантный функционал /?инв (А) зависящий только от А,
удовлетворяет условию
Следовательно, решение уравнения aR=0 можно запивать в виде
A2 163)
Можно иоказать что данное выражение является общим решением уравнения
для Г'™^ {А) даже в гом случае когда к исходному лагранжиану добавляют
ся дополнительные источники связанные с составными калибровочко инва
риантными операторами Однако в данном случае это можно доказать непо
средсгвенной проверкой, используя тог факт, что подсче! степеней а сохра-
сохранение числа духов приводят к следующему выражению для Г^
J «аЬс
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 279
В этом выражении размерность ЦА) равна четырем, а размерность Дца„ равна
единице и таким образом эти величины имеют самое большее линейную за
висимость от A a dabc = ~dacb являются числами. Если предположить что
глобальная симметрия не нарушается {выбором калибровки), то справедливы
следующие выражения
где а, р* и у—некоторые числа Подстановка этих выражений в A2 160) дает
Частное решение второго уравнения имеет вид
а общее решение получается путем добавления калибровочно инвариантного
функционала от А степени 4, т е кратного лагранжиану X (А)
)=аХ(А)+ф—а.) А
В итоге получаем следующее выражение для
= f
- a) g(K -ЦФ) »аСаьсАясГ\ь+ Pf ?вСв*вЛ»П»]. A2.164)
где а, а и ^ имеют порядок Йге Простые алгебраические преобразования и
использование свойства однородности SS,
позволяют нам переписать Г^"|х в виде
X/U, т), т[, ^ U g), A2.165)
чго и представляет собой искомый результат Все контрчлены возникают за
счет перенормировки параметров исходного действия Более того, А и L
перенормируются одинаковым образом Если, согласно гипотезе рекурсив-
ности действие перенормированное вплоть до (и— 1) го порядка записать
в виде
7e_i=7(zytv,i4, z^.,4, z7;e-,4. %_i*. 4^_,L; zg,n-lg),
280 ГЛАВА 12
то мы непосредственно доказываем, чго
'„л. 2?П/С. z?nL; Z,,,,*) , A2.166)
На этом завершается доказательство по индукции.
Мы показали, что неабелевы калибровочные теории можно
перенормировать и сохранить калибровочную инвариантность,
выражаемую тождествами Славнова — Тейлора A2.144) и A2.145).
К счастью, все операции сводятся к перенормировкам волновой
функции и константы связи Мы получаем конечные функции
Грина, если действие имеет вид
Ir(A> т1» П» #. L\ g, i) = l(A0, г]0, %, KQ, Lo\ g0, l0), A2.167)
где используются те же обозначения, что и в A2.158), причем
Zl — Z3, ko = Zjlk, с учетом отсутствия перенормировки калибро-
калибровочного члена (V2)(F (АJ (для линейной функции <F) Как сле-
следует из A2.167), функции Грина перенормируются мультиплика-
мультипликативно:
TR{A, ц, ц, К, L; g, Я) = Грег (Ло, ti0, tj., К„ W, g0, К) A2.168)
и удовлетворяют тождествам A2.144) и A2.145). После того как
мы завершили это доказательство, вполне можно опустить до-
дополнительные источники К и L в обоих соотношениях A2.167)
и A2.168).
Предыдущее рассмотрение обобщается на случай, когда име-
имеются поля материи, взаимодействующие минимальным образом.
Если присутствуют фермионные поля, то предположим на время,
что в члены, описывающие взаимодействия, не входит матрица у5
(это ограничение мы обсудим в разд. 12.4.5). Размерная регуля-
регуляризация по-прежнему приводит к конечной теории, преобразова-
преобразование Бекки—Рюэ—Стора и тождества A2.147) можно обобщить,
и, как следует из наших вычислений в однопетлевом приближе-
приближении, остаются справедливыми соотношения, аналогичные A2 167)
и A2.168). Решающим обстоятельством, конечно, является уни-
универсальность перенормировки константы связи.
Компактная формулировка тождеств Уорда, возможно, делает неясными про-
простые Факты. Подчеркнем, что результаты, найденные при вычислениях в одло-
петлевом приближении, представляют собой очевидные следствия уравнений
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 281
A2.147), Например, если переобозначить контрчлены Zt, Zi и Z4, как
в A2.124), нетрудно заметить, что из соотношения A2 167) следует, что
во всех порядках. С помощью уравнения A2 147) можно также показать,
что поправки к обратному пропагатору Гц? являются поперечными во всех
порядках.
Другая регуляризация, исследованная Ли и Зинн-Жюстеном, основана
на введении в исходный лагранжиан высших ковариантных производных ')
Это улучшает поведение калибровочных полей при больших импульсах, а
также приводит к том>, что любые диаграммы, имеющие более чем одну пе1лю,
становятся конечными. Однопеглевые диаграммы должны быть независимо регу-
ляризованы калибровочно инвариашным образом
Читатель может выполнить npoipa.viMv перенормировки в аксиальной ка-
калибровке; удобно написать условие п ,4=0 вводя в континуальный интеграл
множитель Лагранжа Хотя в этом сл\час духовые поля не имеют реальных
связей с калибровочным полем, их введение позволяет нам применить нес-
несколько модифицированное преобразование Бекки—Рюэ —Стора и вывесги
ряд тождеств.
12.4.4. Зависимость функций Грина от калибровки
Поскольку до самого конца наших вычислений мы собираемся прове-
проверять калибровочную независимость физических величин, важно
уметь контролировать зависимость функций Грина от выбора
калибровки. Мы убедились, что преобразование ЬА=Оаё~1Ьи>
сдвигает ? к JF+Sco и модифицирует действие /у, определяемое
выражением A2.133), следующим образом:
]/г+бИ. {12.169)
Следовательно, бесконечно малое изменение функции ? может
быть компенсировано калибровочным преобразованием поля А.
Последнее касается лишь члена с источником, и, согласно тео-
теореме эквивалентности, рассмотренной в разд. 9.2.1, при этом не
должны изменяться физические величины, такие, как элементы
S-матрицы:
J т (Л) det 0%+д.гехр U J d*x [j? — у (? +
\ \
A2.170)
') Регуляризацию с помощью высших ковариантных производных (для
нелинейной а-модели) впервые предложил А. А. Славнов, который применил
ее затем для анализа перенормировок в теории Янга—Миллса.—прим. перге.
Здесь это обсуждение имеет совершенно формальный характер,
поскольку в калибровочных теориях, изучавшихся до сих пор,
вследствие сильных инфракрасных расходимостей S-матрица не
определена.
На языке преобразования Бекки—Рюэ —Стора указанное выше свойство на-
находит отражение в структуре величины 6/:
Благодаря этому мы можем изучать зависимость сильносвязных функций и
контрчленов от калибровки, например их зависимость от параметра А.. В ка-
качестве типичного результата укажем на то, что перенормировка константы
связи Zg не зависит от К, по крайней мере при минимальной перенорми-
перенормировке При других предписаниях такое утверждение может быть неверным.
Последнее замечание наводит на мысль о том, что, возможно, физическая
интерпретация и наблюдение неабелевой калибровочной константы связи ока-
окажутся трудным делом.
12.4.5. Аномалии
Рассмотрим теперь представляющую физический интерес модель,
о которой мы упоминали в конце разд. 12.4.3 и изучение кото-
которой мы отложили на будущее Предположим, что фермионы свя-
связаны с калибровочным полем через аксиальный ток. В предыду-
предыдущей главе мы убедились в том, что аномалии могут возникать
при сохранении (или квазисохранении) этого тока вследствие
невозможности регуляризовать теорию, в то время как кираль-
ная симметрия сохраняется. В рамках моделей, изучаемых в
гл. 11, а именно в квантовой электродинамике или в сг-модели,
рассмотрение аномалии оказалось физически полезным для ана-
анализа распада л° —>¦ 2у. Если с аномальным током связано калиб-
калибровочное поле (абелево или неабелево), то ситуация резко меня-
меняется. Тождества Славнова — Тейлора могут перестать выполнять-
выполняться, и перенормируемость окажется под сомнением. В теориях, в
которых калибровочное поле является бечмассовым (такие поля
рассматривались нами до сих пор), это означало бы, что потре-
потребовались бы все возможные контрчлены четвертой степени; тем
самым нарушилась бы универсальность перенормировки констан-
константы связи. Положение становится еще более критическим, когда
симметрия спонтанно нарушена. Как мы увидим в следующем
разделе, калибровочное поле становится массивным и перенор-
перенормируемость обусловлена исключительно калибровочной инвари-
инвариантностью теории При этом аномалии играют пагубную роль и
можно построить модели, когда из-за этих аномалий теория ока-
оказывается неперенормируемой. Именно поэтому нам необходимо
найти критерий их отсутствия.
Как и в предыдущей главе, можно ограничиться рассмотре-
рассмотрением однопетлевых диаграмм. Существует калибровочно-инвари-
НЬАЬЬЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 283
антная регуляризация, которая сохраняет киральную инвариант-
инвариантность в высших порядках (см. разд. 12.4.3). Рассмотрим калиб-
калибровочную теорию, основанную на компактной группе. Иными
словами, допустим присутствие абелевых факторов. Лагранжиан,
включающий фермионные поля, записывается в виде
2' = -\F^aF»\+y{i9-m-igAaYa)% A2.171)
где Гв представляет собой некоторую комбинацию матриц Т" и
Тауъ. Легко проверить, что аномалия аксиального тока
определяемая выражением A1.225), пропорциональна величине
Т*\), A2.172)
которая может обращаться в нуль сама по себе для каждого
типа фермионов (каждого представления), связанных с калибро-
калибровочным полем. В частности, это имеет место для вещественных
представлений, когда матрицы Т являются антисимметричными:
dabi: = Sp(TaT\Tb, Tc\T) = -dabc = 0. A2.173)
Однако данное условие может также возникагь в результате
компенсации вкладов фермионов различной природы. Эта воз-
возможность будет проиллюстрирована в разд. 12.6.4.
Вредные аномалии—это аномалии, возникающие в аксиальных
токах, связанных с калибровочными полями. Например, если
комбинации ihVYs^ являются синглетами внутренней группы G,
то аномалии таких токов не приводят к каким-либо нежелатель-
нежелательным последствиям. Матрицы Ка могут относиться к другим набо-
наборам квантовых чисел, скажем к ароматам, а не цвету. Соответ-
Соответствующие аномалии пропорциональны величине
dabc = Sp(k°{T\ Т*\) = $рк°$р{Т*, Т<\,
которая обращается в нуль, например в случае SU C)-симметрии,
так как Sp^" = O. Только ток U A), равный
, A2Л74)
содержит аномалии: ,
A2.174 а)
284 ГЛАВА 12
здесь С =—Tf/l&n*. С другой стороны, имеется сохраняющийся
ток
hb = Кь -2CgVpo4ve (&А°а-9>А>л~\gCabcA\A\), A2.175)
но, к сожалению, он не является калибровочно-инвариантным.
12.5. МАССИВНЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
12.5.1. История вопроса
Рассматриваемые до сих пор неабелевы калибровочные теории
характеризовались точной локальной симметрией; поэтому калиб-
калибровочное поле было безмассовым Такие теории используются до
сих пор с целью построения моделей сильных взаимодействий.
Однако исторически, после того как Янг и Миллс предложили
неабелевы калибровочные поля, физики в течение многих лет
прилагали усилия для построения имеющей физический смысл
теории массивных калибровочных полей, т е. с явно нарушенной
локальной симметрией
Этот вопрос в сильной степени связан с изучением слабых
взаимодействий В гл. 11 мы показали, что теория Ферми, в ко-
которой лагранжиан записывается в виде произведения токов, яв-
является замечательной с феноменологической точки зрения Лаг-
Лагранжиан слабого взаимодействия (или с точностью до знака
гамильтониан) записывается [ср с A1.62)] в виде
yra = -A^Wi^W. A2.176)
Разумеется, это взаимодействие с нулевым радиусом действия.
Несмотря на успехи, достигнутые в рассмотрении низкоэнер-
низкоэнергетических процессов, применение данной модели требует реше-
решения ряда серьезных проблем Из размерности константы связи G
следует, что теория является неперенормируемой Альтернативно
подсчет степеней дает для произведения J^J^ размерность, рав-
равную шести При достаточно высокой энергии уже нельзя огра-
ограничиться борновским приближением. Для того чтобы амплитуда
рассеяния удовлетворяла условию унитарности по крайней мере
в рамках теории возмущений, необходимо добавить члены выс-
высших порядков Однако эти поправки влекут за собой появление
ультрафиолетовых расходимостей, устранение которых приводит
к возрастанию числа произвольных параметров Неперенормируе-
мость теории приводит к тому, что на практике вычисления
становятся невозможными.
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 285
Другой аспект той же самой проблемы возникает, когда рас-
рассматривается какое-либо сечение о в борновском приближении.
Из соображений размерности можно ожидать, что при высоких
энергиях сечение ведет себя следующим образом:
а ~ const х G\ A2.177)
здесь s представляет собой квадрат полной энергии в системе
центра масс, в то время как унитарный предел для каждой пар-
парциальной волны равен
a~const/s. A2.178)
Следовательно, мы ожидаем, что при энергиях порядка Ks~
^ G-1/» ~ 300 ГэВ унитарность будет нарушаться.
Хорошим упражнением является вычисление константы, входящей в выраже-
выражения A2.177) и A2.178), для лептонных процессов, таких, как w ->-vv, \ee~ -*¦
Оба аспекта—неперенормируемость теории и плохое поведение
борновского приближения при высоких энергиях — проистекают
из одного и того же явления. Это становится очевидным, если
применить дисперсионные соотношения для вычисления однопет-
левого вклада в какую-либо амплитуду упругого рассеяния, ис-
используя ее скачки на разрезах, т е. значение соответствующего
борновского сечения Поведение последних приводит к сильным
расходимостям в дисперсионном интеграле.
^ Именно поэтому имеет смысл перейти от теории Ферми к более
'< удобной теориг, тек перенормируемой полевой теории Соблаз-
Соблазнительный путь состоит в том, чтобы ввести заряженное вектор-
jHoe поле W^ и связать его с током J :
A2.179)
(здесь сокращенная запись э.с. означает эрмитово-сопряженныи).
:Аналогия с электродинамикой здесь очевидна. Промежуточный
^бозон, представляемый полем W, мог бы быть квантом слабых
взаимодействий Чтобы объяснить справедливость теории Ферми
при низкой энергии, предположим, что масса бозона W очень
велика Выводы теории с лагранжианом A2 179) будут отли-
отличаться от выводов теории с лагранжианом A2.176) только при
высоких энергиях. Рассмотрим, например, (х-распад. В теории
: Ферми амплитуда распада имеет вид (рис. 12.9, а)
-ft1 {Ре) ъ A ~~Ye) v ('Ч)" (
286 1 ЛАВА 12
тогда как в теории с IF-бозоном она записывается следующим
образом:
ги (ре) уР A -у,) v (/> v,
"Т.)и
Обе амплитуды совпадают при энергиях, таких, что k? =
^Щ-/* и ПРИ условии, что
-4- = -^- A2.180)
Аналогично при высоких энергиях амплитуда рассеяния, напри-
например в процессе vv — ¦ w, в борновском приближении уменьша-
уменьшалась бы по сравнению с фермиевской в M^/s раз. Казалось бы,
а
РИС. 12.9. Распад мюона а—в теории Ферми; б—через промежуточный
бозон.
нарушения унитарности удалось устранить. В действительности
амплитуда процесса vv—+W + W~ все еще имеет плохое поведе-
поведение. Это указывает на то, что необходимо вводить в рассмотрение
большее число полей и взаимодействий.
Приступим теперь к описанию динамики таких массивных
векторных полей. Особенно трудным является вопрос о перенор-
перенормируемости теории, что связано с поведением пропагатора при
больших импульсах:
const.
m2w
Вспомним, однако, что в квантовой электродинамике введение
массы фотона не нарушает перенормируемссти. Если мы будем
придерживаться распространенного мнения, что в теории с более
высокой симметрией число расходимостей уленынается, то ло-
логично рассматривать W^ как член мультиплета калибровочных
полей. Подходящей группой симметрии является SU B); при этом
локальная инвариантность будет явно нарушаться массовыми
членами, входящими в W. Это могло бы обеспечить универсаль-
иость связи W. Поскольку калибровочные поля SU B) должны
образовывать триплет, необходимо ввести третье нейтральное век-
векторное поле. Такая модель, уточненная соответствующим обра-
образом, является, как мы покажем, перенормируемой.
Для полноты картины упомянем другую причину, которая исторически обу-
обусловила введение массовых векторных полей Еще в начале 60-х гг. предла-
предлагалось строить теорию сильных взаимодействий на основе калибровочного
принципа. В качестве группы инвариантности выбиралась SU (З)хб' A), со-
соответствующая унитарной SU C) симметрии и сохранению барионного заряда.
Векторные бозоны — массивные калибровочные поля — отождествлялись с час-
частицами р, К*, ш и Ф
Интересной особенностью такой модели является то, что между частицами
с антипараллсльными изоспинами в ней возникает притяжение, а при парал-
параллельных изоспинах— отталкивание, что представляет собой обобщение электро-
электромагнитного взаимодействия между противоположными зарядами Такое свой-
свойство согласуется с экспериментальными данными при низких энергиях.
РИС. 12.10. Амплитуда рассеяния
в низшем порядке
Чтобы убедиться в наличии такого свойства, вычислим амплитуду упру-
упругого рассеяния двух скалярных частиц, принадлежащих вещественным пред-
представлениям A) и B) простой группы Ли. Вклад низшего порядка (обмен
квантом векторного поля, как показано на рис 12.10) обусловлен следую-
следующими членами лагранжиана:
if=-i(Z)|i1HA)) (D<i> IV1')^-уOD[?V2)) (КвЖфО!)), A2.181)
где Da}v =д&—gAvaT<i>a, 7"ll) а—антисимметричная матрица, причем а =
= 1, ..., г. Этот вклад дается выражением
Величина
должна быть спроектирована на неприводимые представления. Для этой цели
введем матрицы Клебша— Гордана для произведения представлений A) и B).
Если щ и п2 — размерности этих представлений, то ^Хп^-шатрицы М^А
удовлетворяют следующим соотношениям ортогональности и полноты:
e) = 6"VB, A,B=l Я1Я11
V MU)AM(t)A_6 . A2.183)
A, t
ZOO
и преобразуются по представлению [t):
%A. A2.184)
При этом нетрудно показать, что .ХаВуб записывается через операторы Кази-
Казимира для представлений A) и B) и (/) [см. A2.119)] в виде
Zi ав va' /V1a'p' ' g'6
a, Л, /
•=4 2 [C d)+C B)-C (t)] M§AM$A. A2.186)
/M
Собственные значения оператора Казимира возрастают с ростом размерности
представления Например, в случае SU B) симметрии представлению с изо-
спином / соответствует С (/) = / (/ + 1). Желаемое свойство следует из положи-
положительности величины (s—и)/(М2 — t) в физической области.
Это вычисление перекрестной матрицы, относящейся здесь к внутренним
степеням свободы, аналогично правилам переачновки Фирпа, описанным
в гл. 3 (см т. 1 настоящей книги).
Из данной модели, рассмотренной Сакураи, можно получить также ши-
ширины векторных бозонов Пренебрежем смешиванием Ф—<в (которое улучшает
результаты вычислений) и свяжем окгегы (я, /С, т|) и (р, К*, Ф) калибро-
вочно-инвариантным образом В борцовском приближении амплитуда р-волны
в упругих яя-, яЛ- и КК-каналак записывается в виде
где q—3-импулье в системе центра масс, а a = 8/3, 1 и 2 для трех каналов
соответственно. Унитарную амплитуду tt можно построить следующим обра-
образом:
'-ЙГ
где величина p = 2|q|/yT (умноженная на 1/2 в силу тождественности час-
частиц яя.) представляет собой фазовый фактор. Эта амплитуда имеет полюс
при s«M2— ipaq2g2/16n, соответствующий резонансу с шириной r»paq2g2/
/16яЛ1 |5=л,,. Полагая ?2/16я = 0,63, находим Гр ж 130 МэВ, Гк»ж38 МэВ и
Г, я4,5 МэВ Эти значения довольно хорошо согласуются с эксперименталь-
экспериментальными значениями (соответственно 125, 50 и 3,2).
12.5.2. Массивная калибровочная теория
Является ли перенормируемой калибровочная теория, в которую
массовые члены вводятся изначально?
В случае электродинамики мы имеем вполне благоприятную
ситуацию. После разделения калибровочного поля на поперечную
и продольную компоненты продольная часть k^kjM2, которая
обусловливает плохое поведение пропагатора, не дает вклада
в S-матрицу. Это является результатом того, что продольная и
поперечная компоненты не взаимодействуют друг с другом и,
, кроме того, поле связано с сохраняющимся током. В неабелевой
теории ни одно из этих свойств не выполняется. Продольная и
> поперечная компоненты поля в ней действительно взаимодейст-
'} вуют, а ток, с которым связано калибровочное поле, не сохра-
сохраняется1). С другой стороны, непредвиденные сокращения расхо-
1 димостей на однопетлевом уровне делают теорию похожей на
* перенормируемую. Этим объясняется, почему потребовался опре-
i деленный период времени, чтобы достигнуть единодушия в мне-
> нии, что такая теория неперенормируема Выход из этой не-
| приятной ситуации состоит в том, чтобы обратиться к механизму
спонтанного нарушения симметрии, который мы рассмотрим
в разд. 12 5 3
Наша цель состоит в том, чтобы построить перенормируемую теорию при
условии, что физическими состояниями должны быть только массивные век-
векторные поля. Если ввести вспомогательные поля, такие, как в методе Щтю-
кельберга для электромагнитного поля, то необходимо будет удостовериться
в том, что для каждого массивного векторного бозона вклад в условие уни-
унитарности дают лишь три физические степени свободы. В силу теоремы экви-
эквивалентности это требование будет выполнено в сформулированном ниже ме-
методе, в котором в целях улучшения поведения пропагатора континуальный
интеграл подвергается локольным заменам переменных. Таким образом, рас-
рассмотрим производящий функционал
ео <•/> =_- J g> (Л) ехр ^( ^ d*x [X — 2 Sp (J- A)]\, A2.186)
s котором, как и выше, применяются матричные обозначения:
A2.187)
Каноническое квантование может вызвать затруднение, поскольку яоа =
= 6j?/89oj4tta— 0. Однако присутствие массового члена гарантирует сущест-
существование пропагатора и, следовательно, состоятельность приведенного выше
континуальчого интеграла в рамках теории возмущений. Операция Фаддеева —
Попова не является необходимой, тем не менее выполним ее, чтобы улуч-
улучшить поведение пропагатора. Выберем, как и в разд. 12.2.2, калибровочное
условие в виде
и вставим в A2.186) множитель
(g) П б 1<^Л) - Cl det «** И)- <12-' 88>
!) Последнее утверждение неверно. Неабелевы калибровочные массивные
поля при включении минимальным образом массового члена, инвариантного
относительно глобглышх преобразований, связаны с сохраняющимся током
и обладают универсальным взаимодействием На этом свойстве, в частности,
основана феноменологическая модель векторной доминантности —Прим. перев.
10 № 184S
zyu
Тогда выражение A2 186) примет вид
ео (Л = ^ (A) S>(M)\\fi W (gA)-C) det вЛр exp j i J d*x {X—2Sp(/ •
В противоположность случаю безмассовой теории лагранжиан JS? не является
теперь инвариантным при калибровочном преобразовании А—> 8А. Если пара-
параметризовать функцию g (к) следующим образом.
g(x) = ei<«
то легко показать, что
Sp (А* Л„) = Sp [w sA^ _ J- э„ & «А* + Jj- ^ *JP» («Л, I) j ,
где через Р>* мы обозначили формальный ряд
I---Ipit6, El. El, .... II. (»2.189)
общий член которого имеет п скобок. Матрица S не изменится, если заме-
заменить источник J-A на J-SA. Произведя замену переменных А—<>?-1А и вы-
вычислив гауссов интеграл по С, новый производящий функционал можно за-
записать в виде
eG'U) = J т (А> 5> ц> ^ ехр {/ J Л [if' (Д |, 1,, ^)-2Sp (J-Л)]}. A2.190)
Входящий в него лагранжиан включает в себя поле А^, духи Фаддеева —
Попова т), т) и" новое поле | с обычными предписаниями относительно ком-
коммутации:
1,, л) = 8р^
—^Г-^Уч <Л- Е)] -ПеМрЯ A2.191)
Если М3 = 0, то поле ? исчезает из лагранжиана, а интегрирование по |
дает (бесконечный) фактор, который не вносит вклада в е° (i/)~G @).
Удобно выбрать калибровку Ландау ^" = 3М,Л11, К—»¦ оо, чтобы вычислить
векторный пропагатор — i (g^v—k^kvjk?) (k2— M2). Пропагаторы | и ц ве-
ведут себя как \/k2. Условная степень расходимости L-петлевой диаграммы
дается выражением
где п,- —число вершин типа ((), a d/—число производных поля в такой вер-
вершине. Отсюда для сильносвязной диаграммы с Е внешними линиями (среди
которых нет линии I) имеем
2 nt(di—2)<2L + 2—E, A2.192)
Внутренние
вершины
что следует сравнить с w<6L+?—2, получаемой в первоначальной теории
с лагранжианом A2.187).
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 291
Мы видим, что в абелевой теории, в которой Рц=3№|, поля % и т\ не
связаны с векторным полем. Мы в точности воспроизвели результат, полу-
полученный в гл. 8, а именно что массивная электродинамика является перенор-
перенормируемой по подсчету степеней.
В неабелевом случае, если мы ограничимся однопетлевым приближением,
выражение A2.192) дает гу же самую условную степень расходимости, что
и в перенормируемой теории, т. е. © = 4 — Е. В этом порядке эффективный
лагранжиан для диаграмм без внешних линий \ и ц запишется в калибровке
Ландау следующим образом:
Jff'i=Sp (-^FnvF^—M^A^Av- z-daW^i J— 'п'дц/^Т!, A2.193)
W g 1
Интегралы по | и т), т) являются гауссовыми и могут быть вычислены. Пер-
Первый из них дает det *гоМ%, в то время как второй — deta#ar. Следовательно,
в этом порядке достаточно ввести единавенное вспомогательное поле при
условии, что каждой замкнутой духовой петле сопоставляется множитель
—1/2. Сравнивая этот множитель, —1/2, с множителем — 1, присутствующим
в безмассовом случае, находим, что предел М —> 0 должен быть сингуляр-
сингулярным. В разд. 12.3 мы показали, что в бесмассовом случае сохранение калиб-
РИС. 12.11. Диаграмма о расходимостью че1вертой степени в массивной ка-
калибровочной теории. Пунктирные линии соотвегствуют пропагаторам вспомо-
вспомогательного поля |.
ровочной инвариантности обеспечивалось духовым вкладом (с множителем —1).
Таким образом, можно ожидать, что указанное выше изменение предписаний
приводит к модификации контрчленов. Например, это вызывает перенорми-
перенормировки массового или калибровочного члена и (что более существенно) воз-
возникновение новых четырехточечных связей Следовательно, даже если теория
выглядит перенормируемой в этом порядке, контрчлены теряют симметрию и
при рассмотрении высших порядков возникают серьезные трудности. В част-
частности, диаграмма, изображенная на рис 12.11, в соответствии с формулой
A2.192) имеет расходимость четвертого порядка: со = 4.
Таким образом, мы прих-одим к заключению, что, несмотря на сокращение
расходимостей, массивная калибровочная теория является неперенормируемои.
12.5.3. Спонтанное нарушение симметрии
В гл. 11 мы уже изучали спонтанное нарушение симметрии, когда
граничные условия позволяли нам выбрать одно из набора вы-
вырожденных основных состояний. Возникновение безмассовых час-
частиц представляет собой замечательную особенность такого нару-
нарушения в случае непрерывной симметрии. Эти голдстоуновские
бозоны являются возбуждениями с нулевой энергией, связываю-
связывающими возможные вакуумные состояния друг с другом. Естественно
вернуться к обсуждению этого явления в рамках калибровочной
292 ГЛАВА 12
теории (абелевой или неабелевой), где рассматриваются дально-
действующие силы или, альтернативно, где в гильбертовом про-
пространстве может присутствовать нефизический сектор. Оказы-
Оказывается, что при наличии нарушенной калибровочной симметрии
дальнодействующие силы экранируются. Голдстоуновские бозоны
и калибровочные поля комбинируются в массивные возбуждения,
а безмассовые возбуждения становятся ненаблюдаемыми
Это явление было открыто и изучено в связи со сверхпро-
сверхпроводимостью. Пары электронов, ответственные за сверхпроводи-
сверхпроводимость, могут описываться волновой функцией г|) = ре'9А. Чтобы
нейтрализовать фоновый заряд ионов, плотность заряда, пропор-
пропорциональная г|я|з* = р'\ должна быть постоянной во всем кристалле.
При наличии магнитного поля с векторным потенциалом AtokJ
записывается следующим образом:
где q = 2e—заряд пары. Дивергенция тока J обращается в нуль,
и, следовательно, в поперечной калибровке V А = 0 мы имеем
Д6 = 0. В случае простой геометрической конфигурации величина 8
является постоянной; таким образом, уравнение Максвелла
АА = — qi
принимает ввд
ДА = -^А. A2.194)
Векторный потенциал А экранирован на характерной длице К,
причем k = Vml\qp\. Это эффект Мейснера, согласно которому
магнитное поле не может проникнуть внутрь проводника.
Возвращаясь к теории поля, рассмотрим заряженное поле ф,
связанное с абелевым калибровочным полем. Напишем лагранжиан
„ Ф—У(ф). A2.195)
Потенциал V (ф) инвариантен относительно локальных преобразо-
преобразований ф—+еш1х)Ф, и егр минимум расположен при ненулевом зна-
значении Ф*Ф (ср. рис. 11.5). Например,
У(Ф) = №Ф + Ь(ГФ)Ш, A2.196)
причем |Аа < 0, а % > 0. В основном состоянии <ф> = v\Yi \ при
этом
A2.197)
С помощью глобального поворота основное состояние <Ф> всегда
можно преобразовать к вещественному значению, поскольку эта
величина не зависит от х. Следовательно, будем считать, что
<ф1> = и, <ф2>=0. A2.198)
ф = , <ф1> = и, <ф2
Сдвинем величину Ф следующим образом:
ФЛх) = Ф"Лх) + и, <Ф;>=0. A2.199)
Лагранжиан, выраженный через Ф' (штрих будет далее опущен),
принимает вид
1—^А[ХФгд^Фл-\-№А^д11ф2. A2.200)
Величина Ф2 соответствует голдстоуновскому бозону, поскольку
в силу соотношения A2 197) коэффициент при Ф\ обращается
в нуль. Но не будем спешить! У поля А^ теперь появился мас-
массовый член A/2)е2Л42, а также член смешивания еиА^д^Ф^ Квад-
Квадратичная форма по А и ф2 диагонализуется заменой
Вц-А^ + ^ф-, A2.201)
которая напоминает калибровочное преобразование. В результате
квадратичную часть лагранжиана J? можно записать в виде
&ч = - т (d*Bv-dvB») (dwdm») +1 д
+ j e*v*B*—j B№) ф\. A2.202)
Итог этого обсуждения состоит в следующем. Калибровочное
поле приобрело массу, в то время как поле Ф2 исчезло, по край-
крайней мере из ?ч. В действительности ф2 можно устранить пол-
полностью, если воспользоваться другой параметризацией функ-
функции ф(х):
ф (д) = в» w/в t)+pJ*) , A2.203)
где v и р—эрмитовы поля. После локального калибровочного
преобразования
A2.204)
294 ГЛАВА 12
лагранжиан принимает вид
я = - т (Wv-dvA V) (ам--ам
—/еЛ'ДФ'^ + ^'^Ф'— И-2*'2—^Ф'4- A2.205)
Используя разложение ф' = (p-\-v)l\/f2, убеждаемся в том, что Л
действительно приобрело массу М = [ е \ v и что голдстоуновский
бозон исчез. Мы начали рассмотрение с системы, описывающей
заряженное скалярное поле (два состояния) и безмассовое кали-
калибровочное поле с двумя состояниями поляризации. После спон-
спонтанного нарушения симметрии мы получили вещественное ска-
скалярное поле и одно массивное векторное поле с тремя состояниями
поляризации. Число степеней свободы сохранилось, а голдстоу-
голдстоуновский бозон превратился в состояние продольной поляризации
векторного поля. Это явление открыли Энглерт, Броут и Хиггс.
Оставшийся массивный скалярный бозон называется хиггеовским.
Представленный здесь подход можно обобщить на случай
неабелевой симметрии. Будем следовать анализу, выполненному
Кибблом, Ли и Зинн-Жюстеном. Пусть G — калибровочная группа
размерности г, необязательно полупростая, и пусть калибровоч-
калибровочное поле связано с мультиплетом скалярных полей Ф, преобра-
преобразующихся в соответствии с некоторым неприводимым п-мерным
представлением этой группы. Лагранжиан записывается в виде
& = - Т Лт ^\ + Ш~ЦаТаАт) ФШ»-ёаТ°Ат) Ф]-У (ф).
A2.206)
Антиэрмитовы матрицы Т являются инфинитезимальными генера-
генераторами данного представления, а константы связи могут зависеть
от простой компоненты группы. Наконец, предположим, что V
инвариантен относительно преобразований данной группы G и его
минимум достигается при <Ф> = v. Пусть Н есть подгруппа группы G
(размерности s), которая оставляет v инвариантным Природа Я
зависит от G, от представления, по которому преобразуется ф,
и от формы потенциала V.
Примеры
1 G=~O(n), ф есть векторное (с размерностью, равной п) представление,
Я = О(«—1).
2. G = SU C)xSf/ C), Ф = М является ЗхЗ-матрицей, принадлежащей пред-
представлению C, 3), а
Читатель может убедиться в том, «гто для эрмитовой матрицы <М^ опе-
оператор Н включает по крайней мере группу SU B)xU A).
Пусть инфинитезимальные генераторы подгруппы Н соответ-
соответствуют матрицам Та (а=\, ..., s). Остальные генераторы
Та (a^s+l, ..., г) порождают фактор-пространство G/H, Пара-
Параметризуем Ф(х) следующим образом:
¦ <*>-ехр
A2.207)
здесь вакуумные ожидания полей р и ? имеют нулевые значения 1).
Поле р имеет п—(г — s) эффективных составляющих. В отсутствие
калибровочных полей величина \ играла бы роль голдстоуновских
бозонов. Однако калибровочная инвариантность позволяет их
устранить. Выполним преобразование
n 2.208)
которое заменяет лагранжиан A2.206) выражением
3 (Л', Ф') = — -j F'^aF'^a + [D^ (Л') Ф']+ [D* (Л') Ф'}—У(Ф'),
A2.209)
Всякий след от несостоявшихся голдстоуновских бозонов. \ исчез;
а эрмитову неотрицательную массовую матрицу векторных полей
можно записать в виде
(T"v) А\АФ. A2.210)
Поскольку^ первых генераторов Та(а=\, .... s) обращают v
в нуль, эта матрица является блочно-диагональной Только ниж~-
няя (г — s)x(r—5)-матрица является положительно-определенной
и соответствует массивным векторным бозонам. Оставшиеся s без-
безмассовых полей соответствуют ненарушенной калибровочной группе
симметрии Н. Как и в абелевом случае, полное число степеней
свободы здесь сохраняется.
х) Множитель У~2, появившийся в правой части соотношения A2.207),
будем опускать при обсуждении вещественных полей, аналогично тому, ка&
мы это делали в гл. 11. ^J
Теперь мы можем пересмотреть данную в разд. 12.1.3 полуклассическую кар-
картину и найти решения уравнений движения для теории, включающей кали-
калибровочные и скалярные поля. Отдельно для калибровочных или скалярных
полей нетривиальных статических решений с конечной энергией не сущест-
существует. Однако теории, включающие как скалярные, так и калибровочные
поля, могут приводить к интересным классическим решениям в трехмерном
пространстве.
Для статических решений с конечной энергией поля должны стремиться
на пространственной бесконечности к одной из конфигураций с минимальной
энергией. В противном случае в бесконечной области плотность энергии
отличалась бы от нуля на конечную величину. Существование набора вырож-
вырожденных вакуумных состояний является возможным средством для обеспечения
устойчивости нетривиального решения. Таким образом, можно считать, что
поля переходят в различные вакуумные конфигурации в зависимости от
направлений, по которым их аргументы стремятся к бесконечности. Решение,
если оно существует, будет топологически устойчивым при условии, что оно
нетривиальным образом отображает сферу S2 на пространственной бесконеч-
бесконечности на многообразие допустимых вакуумных состояний, т. е. на фактор-
пространство G/H. Достаточное условие этого состоит в том, чтобы симметрия
была спонтанно нарушенной и чтобы гомотопическая группа л2 (G/H) была
нетривиальной.
Для определенности рассмотрим модель Джорджи — Глэшоу, представ-
представляющую собой калибровочную теорию с группой симметрии G — SOC), в ко-
которой триплет скалярных полей связан с триплетом калибровочных полей.
Симметрия нарушается спонтанно до подгруппы U (l) = S0B) Если оставшееся
безмассовое калибровочное поле рассматривать как электромагнитное поле,
то мы имеем модель квантовой электродинамики, основанную на группе S0C).
Имея это в виду, будем обозначать в дальнейшем константу связи буквой е.
Математики учат нас, что щ [SO (S)/U A)] = Z есть группа целых чисел; это
означает, что решения характеризуются целочисленным топологическим за
рядом «.
Т'Хоофт и Поляков изучали решение с ге=1. Оно соответствует гранич-
граничному условию, такому, при котором фа направлено по нормали к сфере S2
на бесконечности [тождественное отображение S2 на SO C)/(/ A) ~ Sa):
Здесь v—Вакуумное среднее вещественного поля Ф. Если выбрать калибровку
Лд = 0, то в предположении, что D<? асимптотически обращается в нуль,
получаем
Aa-^j*Ub^- A2.212)
Тогда можно показать, что существуют регулярные решения Фа(х) и Аа (х),
удовлетворяющие этим граничным условиям.
Топологический инвариант п можно интерпретировать как магнитный
заряд Для этого не зависящего от времени решения электрическое поле
отсутствует Магнитное поле на бесконечности является радиальным:
В* L p.,. Vij = JL.
2 * егъ '
поскольку оно получено с помощью калибровочного преобразования из ва-
вакуумной конфигурации <#> = v.
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 297
Поток магнитного поля через поверхность равен
B-dS=T J -L^dQo.^L.g A2.213)
в соответствии с определением магнитного заряда g, заключенного внутри
сферы. Решения с высшим топологическим зарядом п соответствуют магнит-
магнитному заряду 4яп/е.
Как и для любой квазиклассической конфигурации этого типа, энергия
данной конфигурации, или масса покоя монополя, пропорциональна обрат-
обратному квадрату константы связи, т. е. пропорциональна 1/е2. Т'Хоофт пока-
показал, что она имеет порядок М^/а, где Mw—векторная масса, приобретаемая
за счет спонтанного нарушения симметрии. Такой монополь был бы чрезвы-
чрезвычайно тяжелым!
12.5.4. Перенормировка спонтанно нарушенных
калибровочных теорий
Ясно, что калибровка A2.209), называемая унитарной, поскольку
она включает в себя только физические степени свободы, не удобна
для изучения перенормировки, вследствие того, что в этой кали-
калибровке пропагатор при больших импульсах ведет себя плохо.
Следует вернуться к первоначальной калибровке, в которой пере-
перенормируемость более очевидна, но тогда придется показать, что
нефи зические состояния не дают вклада в 5-матрицу.
Здесь используется та же идея, что и в случае спонтанно
нарушенной о-модели (гл. 11). Перенормировка не зависит от
того, является ли симметрия точной или спонтанно нарушенной.
Для простоты проведем анализ для группы G = O(n) и вещест-
вещественного скалярного векторного мультиплета ф. Полный лагран-
лагранжиан, включающий в себя калибровочные и духовые члены, за-
запишется в виде
F^| (дА\)*ц
I
^^ A2.214)
Для того чтобы избежать путаницы с калибровочным параметром,
константу связи при члене Ф4 мы обозначили через Кф. При (j,3 < О
поле Ф имеет вакуумное среднее <<?> = v. Надо показать, что
контрчлены симметричной теории (ц,2 > 0) вполне достаточны,
для того чтобы нарушенная теория (|д,2 < 0) с точностью до пере-
перенормировки [д.2 стала конечной. Как и в гл. 11, нельзя просто
продолжить [х2 от положительных значений к отрицательным,
поскольку точка р,2 = 0 не является точкой аналитичности. В этой
точке имеет место фазовый переход. Однако можно найти спаси-
спасительный выход Для этого нужно ввести малый внешний источ-
источник с, связанный с полем Ф (х) и постоянный во всем пространстве:
A2.215)
298 ГЛАВА 12
Это явное нарушение приводит к вакуумному среднему v для
Ф (х), параллельному с. Действительно, тождество, полученное
в линейной а-модели [выражение A1.170)], остается справедли-
справедливым и здесь. Если Г^> @) = — т2 обозначает обратный пропага-
тор для поперечной компоненты ф.Т при нулевом импульсе, то
c = — vr«»@). A2.216)
В низшем порядке это условие записывается как с = (ц,2 + кФ у2) v
и выражает тот факт, что при вакуумном среднем у = <Ф> лагран-
лагранжиан A2.214) является стационарным.
Доказательство перенормируемости основано на двух наблю-
наблюдениях. Во-первых, как и в линейной а-модели, производящие
функционалы сильносвязных функций в симметричной и нарушен-
нарушенной теориях связаны соотношением:
Г(ф, с, х)*=Г3(ф+\)-Г5(ч) + 1фхс-Ф, A2.217)
где
с = —6l\,(v)/8v. A2.218)
Остальные аргументы величин Г и Гу, такие, как А^, r\, r\, g, ...,
здесь опущены. Мы подчеркиваем, что Г—это производящий
функционал функций Грина, описывающих флуктуации относи-
относительно состояния несимметричного вакуума. Это тождество играет
важную роль, поскольку нам уже известно, как следует перенор-
перенормировать симметричную теорию. В разд. 12.4.3 мы получили
(Ы lh l\ . A2.219)
Следовательно, при введении симметричных контрчленов нару-
нарушенная теория также становится конечной:
Гд (Ф, с, v, Л, .... ц2) = Грег (Z'J^, с„ v0, Z'/M, ..., ц2 + б^),
A2.220)
если v и с перенормируются таким образом, что сохраняется
конечность произведения с-Ф и выполняется A2.218):
co = Z-;/2c, vo = z;Av. A2.221)
Вторая наша забота связана с вариацией величины ц3. Из
подсчета степеней следует, что в нарушенной теории такая вариа-
вариация требует модификации одного лишь контрчлена 8ji2. Тожде-
Тождество A2.217) показывает, что эта модификация оказывается также
достаточной и для того, чтобы нарушенная теория стала конеч-
конечной. В этом случае можно было бы считать, что вариация вели-
величины (д,2 также требует модификации массового члена М2А век-
НКАЬКЛКВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Щ
торного поля, что нарушило бы справедливость нашего доказа-
доказательства. Однако из соотношения A2.217) следует, что такая
модификация члена М2А обусловлена лишь изменением зависимо-
зависимости величины v от ц,2.
В заключение отметим, что можно достигнуть любой точки
(т2, и)-плоскости (рис. 12.12) и перенормировать соответствующую
теорию с помощью контрчленов симметричной теории. Перенор-
у .^ , ¦ С фиксирована
РИС. 12.12. Кривые, соот- х ^— х г г
ветствующие постоянным ji2
и с в плоскости т2, и.
мируем спонтанно нарушенную теорию [с = 0, m3 = 0, v задано
(точка б на рис. 12.12)], модифицируя только контрчлен для ц,2.
Вспомним также изображенные на рис. 11.14 диаграммы на (fx2, m2)-
или {[i2, у)-плоскостях.
Мы не выписали явно соответствующие условия нормировки
различных сильносвязных функций. Их можно вывести, исходя
из тождества A2.217) и условий нормировки симметричных функ-
функций. Этой промежуточной перенормировке мы предпочитаем более
физические требования, например, определение константы св-язи
как значения трехточечной функции в некоторой точке на массо-
массовой поверхности и т. п. Нет необходимости напоминать, что эти
новые условия нормировки должны согласовываться с тождествами,
выведенными из A2.217) и из тождеств, которым удовлетворяет
величина Ts. .
Можно сказать, что^ метод, которому мы здесь следовали, является эконом-
экономным, поскольку он позволяет свести перенормировку спонтанно нарушенной
теории к перенормировке ее более простого симметричного варианта. Однако
можно вообще избежать ссылок на безмассовую ненарушенную теорию. При
этом задача будет состоять в том, чтобы показать, что тождества Слазнова —
Тейлора, которым удовлетворяет спонтанно нарушенная теория, остаются
справедливыми и после перенормировки.
Предыдущее рассмотрение проводилось нами в перенормируемой кали-
калибровке, когда не представляет труда сравнение нарушенной и ненарушенной
теорий. Эта калибровка не удовлетворяет нас с физической точки зрения,
так как приводит к нефизическим следствиям, например к возникновению
безмассовых мод Фт {тг—>0 при с—>0), Однако изучение перенормировки
в унитарной калибровке, например такой, как в выражении A2.209), было бы
затруднительным, поскольку теория выглядит неперенормируемой и теряется
прямая связь с симметричной фазой.
'300 ' Глава 12
12.5.5. Калибровочная независимость
и унитарность 5-матрицы
Покажем, что все нефизические состояния—фиктивные голдсто-
уновские бозоны, добавочные поляризационные состояния вектор-
векторного поля и поля Фаддеева—Попова —действительно не дают
вклада в элементы S-матрицы. Всем этим нефизическим полям
соответствуют пропагаторы с полюсами при k2 = 0. Таким образом,
мы должны показать, что эта сингулярность не дает вклада
в промежуточные состояния.
В простом доказательстве используют калибровочную незави-
независимость S-матрицы, чтобы можно было ввести калибровку т'Хоофта
A\-j- (v, Т*ф')] . A2.222)
Мы предполагаем, что группа симметрии является простой и,
следовательно, характеризуется одной константой связи. Кроме
того, будем считать, что скалярное поле ф принадлежит вещест-
вещественному представлению и чтоФ' получается трансляцией Ф = Ф' -\-v,
причем <ф'> = 0. Эта калибровка имеет некоторые преимущества
и ее открытие т'Хоофтом сыграло важную роль для дальнейшего
развития теории. Она явно нарушает глобальную инвариантность.
Следовательно, состояния, которые могли бы быть голдстоунов-
скими бозонами в отсутствие локальной симметрии, приобретают
массовую матрицу
—j (т%)«рФ'вФ'р = —^(Ф'аТ% о3) (Ф;Г%6о6). A2.223)
Кроме того, приобретает массу также и дух Фаддеева—Попова.
Оператор е?аЬ записывается следующим образом:
^аь(х, </) = {<У>аЬ—|1(У, Т«Ть(ф' + ю))\8*(х-у), A2.224)
так как он возникает из инфинитезимального калибровочного
преобразования в <F, совершаемого как над А, так и над Ф'.
Поэтому массовая матрица духов дается выражением
(m\b = -^-(Tav, Tbv). A2.225)
И наконец, этот выбор диагонализует квадратичную форму по
Лиф'. Перекрестный член в разложении величины —-(Х/2)#
в точности сокращается с членом — g(d^', AaaTav), возникаю-
возникающим из A/2) (Z?^, ?^Ф). Отсюда следует, что векторный пропа-
гатор с помощью массовой матрицы A2.210) можно написать
в виде
A2226)
nc.ADE.jiE.BDi к,а«ипгивичпшк
Прн К —* оо можно снова получить правила Фейнмана в попереч-
поперечной калибровке Ландау, в то время как при X —> 0 все нефизи-
нефизические массы уходят на бесконечность. В последнем случае есте-
естественно ожидать, что эти состояния с огромными массами не
будут давать вклада в 5-матрицу. В разд. 12.4.4 мы доказали,
что 5-матрица не зависит от выбора калибровки. Представленные
там аргументы были формальными из-за инфракрасных расходи-
мостей, теперь же они обоснованы. Мы приходим к выводу, что
в любой калибровке, в частности в калибровке Ландау, нефизи-
нефизические состояния не дают вклада. При тщательном рассмотрении
следует уделить особое внимание перенормировке. Интересующие-
Интересующиеся этим вопросом могут обратиться к специальной литературе.
Даже если исфизические частицы исчезнут из физического подпространства,
останется некоторый след механизма спонтанного нарушения, а именно
(массивные) компоненты скалярных полей. Вспомним также, что помимо этих
скалярных хиггеовских полей безмассовыми могут оставаться и некоторые
компоненты векторного поля.
Правомерно задать вопрос, а законно ли вводить скалярные поля и
нельзя ли их получить как связанные состояния, например, фермион-антифер-
мионных пар. Такое динамическое нарушение иллюстрируется двумерной
безмассовой электродинамикой Швингера. Выражение для поляризации ва-
вакуума имеет полюс при нулевом импульсе, фермионы исчезают из теории,
и единственным остающимся одночастичным состоянием является бозонное
связанное состояние с массой el У п. Несмотря на привлекательность такого
механизма, пока неизвестно, как можно реализовать его в четырехмерном
пространстве.
12.6. МОДЕЛЬ ВАЙНБЕРГА — САЛАМА
Рассмотрим здесь реалистическую единую модель слабого и элек-
электромагнитного взаимодействия, предложенную независимо Вайнбер-
гом и Саламом и основанную на спонтанно нарушенной калибро-
калибровочной теории. Из всех моделей этого типа ее можно выделить
как наиболее проверенную временем, экономную по числу пара-
параметров, а также потому, что она получила определенное экспе-
экспериментальное подтверждение с открытием нейтральных токов и
очарованных частиц11.
12.6.1. Модель лептонов
Электрон и его нейтрино ve рассматривается на тех же основа-
основаниях, что мюон и его нейтрино v^. Левоспиральная компонента
заряженного лептона eL = (\—yb)ej2 [jxL = (l —ув) [х/2] и его ней-
нейтрино v(.(vll) группируются в матрицу-столбец:
<12-227>
!> В начале 1983 г. появились сообщения об экспериментальном обнару-
обнаружении векторных частиц W± и Z«, что является серьезным подтверждением
рассматриваемой модели.— Прим. ред.
Это предполагает введение группы лептонного изоспина, относи-
относительно которой Lp и Ly, являются дублетами, в то время как
правые компоненты eR — (\ -\~yb)e/2 = Re и (х# —/?й являются
синглетами. Каждому из этих полей также приписывается леп-
тонный гиперзаряд У таким образом, что выполняется аналог
правила Гелл-Манна и Нишиджимы:
Q=T3+^-. A2.228)
Левым дублетам соответствует Y = — 1, а правым синглетам
Y = —2. Слабый изоспин Т и гиперзаряд Y коммутируют; сле-
следовательно, мы имеем полную группу преобразований SU B) х U A).
Построим теперь калибровочную теорию с этой группой инва-
инвариантности, включающую SU B)-триплет калибровочных полей
А^ с зарядом g и поле В^ для 0 (\) Константа связи, ассоции-
ассоциированная с U (I), будет обозначаться через g'/2. Поскольку после
спонтанного нарушения мы хотим, чтобы безмассовым оставалось
лишь одно калибровочное поле (фотон), введем дублет комплекс-
комплексных скалярных полей с гиперзарядом У = 4-1:
Ф
= (?).;. A2.229)
Самый общий перенормируемый инвариантный потенциал для
поля Ф имеет вид
У(ф*ф)=*\к*ф*ф + \(ф1ф)*. A2.230)
При ц.3 < 0 поле Ф приобретает ненулевое вакуумное среднее,
которое можно считать вещественным и направленным вдоль
поля ф°:
() f A2.231)
Симметрия относительно группы SU B)xU (\)Y нарушена, а сим-
симметрия относительно U (\)q сохраняется. Это приводит к желае-
желаемому результату, так как бешассовым остается одно векторное
поле, связанное с электрическим зарядом.
Лагранжиан записывается в виде
(а. ф- / -^ в»ф -| тМ^ф) f (а'1ф -11 вч -
A2.232)
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 303
где Anv и Вцч—тензоры напряженности поля:
A№V = d^Av—dv Ap + gA№ х Av, B^ = 0^—5^^,
а х' (i = 1, 2, 3)—матрицы Паули Симметрия относительно группы
SU B) не позволяет ввести массовые члены для электрона и мюона,
но не запрещает ввести взаимодействие <;о скалярным полем
с константами связи Ge и G^.
Чтобы уяснить физический смысл этой модели, применим уни-
унитарную калибровку. Воспользуемся параметризацией
ftto-gftfж*/»» р+р(*) A2.233)
и выполним калибровочное SU B)-преобразование
В, R—инварианты.
Выражение A2.232) можно переписать в виде
A2.235)
Скалярное (хиггсовское) поле р имеет массу Y—2jx2. Электрон
и мюон приобрел» массы tne = GevlV^ и /и,, = б^/Кг. Заряжен-
Заряженное векторное поле
Г± = -^=-(^тМ») A2.236)
является также массивным, причем
Mw = lf. A2.237)
Наконец, квадратичная по А3 и В форма диагонализуется с по-
помощью следующих подстановок:
304 ГЛАВА 12
так что
Mz = j (8* + § 2)/f» A2.239)
Лагранжиан взаимодействия лептонов можно тогда переписать
через физические поля W±, Z и А:
—ctg 9^ (fLy*eL—v,y"v.)] Z^—eAtfte + \e «-> pjt, v,ч^ v,,}.
A2.240)
В этом выражении мы ввели угол Вайнберга Qw, определяемый
следующим образом:
или е=§-'соз0^ = ^5ш9^. A2.241)
В A2.240) последний член представляет собой обычное взаимо-
взаимодействие с электромагнитным полем А^. Первый член записан
в виде A2.176); константа связи при нем выражается через кон-
константу Ферми следующим образом:
7Т=~8Л1^=15Г' A2'242)
Зная величину G, можно получить нижние границы масс полей
W± и 1\
2 cos 6$/
ГэВ
A2.243)
Константы связи Ge и G^ определяются из масс электрона и мюона:
fi = 2V*61/4n#«,2.10-»f
A2.244)
4104
Эта модель включает взаимодействие нового типа: связь Z№
с нейтральным нарушающим четность слабым током, построенным
из eL, eR, и ve (и \iL, (Xfj, v^.). Это общая черта большинства
перенормируемых моделей слабых взаимодействий. В них возни-
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 305
кают либо нейтральные токи и связанные с ними векторные поля,
либо новые лептоны, которые, как предполагается, должны быть
тяжелыми, чтобы теория согласовалась с экспериментальными
фактами; возможны модели, в которых возникают оба типа таких
полей. В первом случае явный вид тока зависит от модели,
а именно от выбора представлений, по которым преобразуются
поля и т. п. Модель Вайнберга—Салама естественным образом
воплощает в себе электрон-мюонную универсальность. К типу
лептона оказываются чувствительными только Ge и G^. С другой
стороны, модель не дает никакого естественного объяснения
} квантованию электрического заряда,
s В случае других моделей, основанных на простых группах, например в мо-
модели Джорджи — Глэшоу (см. разд. 12.5.3), мы не можем сделать такого
заключения. Как модель слабого и электромагнитного взаимодействий
модель Джорджи —Глэшоу опровергается экспериментальными данными, по-
поскольку она не содержит нейтральных токов. В этой модели из трех компо-
компонент калибровочного поля две становятся массивными (аналоги полей Wj
в модели Вайнберга—Салама), в то время как третья компонента остается
безмассовой (фотон). Преимущество использования простой группы состоит
в том, что в ней электрический заряд квантован.
12.6.2. Электрон-нейтринные сечения
Чтобы продемонстрировать некоторые замечательные следствия существования
нейтральных лептонных токов, вычислим сечения упругого е—v-рассеяния
в низшем порядке, используя модель Вайнберга—Салама. Соответствующие
V) V V, V
I
W
РИС. 12.13. Электрон-нейтринное рассеяние в низшем порядке.
диаграммы приведены на рис. 12.13. В пределе, когда энергия падающего
нейтрино мала по сравнению с массой бозонов W и Z, можно ограничиться
эффективным лагранжианом
v
~ey»ve) B slna 6^ Tiffin—cos 26^ 7LVv>,4) j", A2.245)
где первый и второй члены представляют соответственно вклады от бозонов
W и Z. Выполнив преобразования Фирца первого члена
306 ГЛАВА 12
лагранжиан A2.245) можно переписать з виде
A2.247)
Используя общее выражение вида
^(i^i+2t)] A2.248)
где С^ и Сд—вещественные коэффициенты, мы получаем для процесса
e{p)J{-\{q)—>e(p')-\-v (q1) следующее сечение:
-^г^ °а 2 [# (p-^ + C^ {p-^-CiCuni (q.qT]. A2.249)
В случае процесса ve —> ve сечение можно вычислить, переставляя в A2.249)
местами CL и Cr. Если энергия падающего нейтрино много больше, чем масса
электрона, то мы имеем следующие соотношения:
nieq ¦ q' s* tncp • p' = tneEv -p—p— ,
и, таким образом, в A2.249) последним членом можем пренебречь. Для раз-
различных каналов окончательно получаем
1
a (vee —+ vee)—— е v <
in L
a (vee —* vee) =—^_L
} ¦ .. , - -\ A2.250)
4 sin* e^+-g- A —2 sin26^J ,
[4 "j
A -r*2 sin2 $чр\*-\~г s*» ew •
о J
Эти выражения согласуются с несколькими наблюдаемыми событиями vue
и V|j,e и со значением 9^-, полученным из инклюзивных реакций рассеяния
нейтрино на нуклонах:
sin2 Qw » 0,25 ± 0,02. A2.251)
Экспериментальные исследования структуры нейтральных токов еще
активно продолжаются, в частности в атомной физике.
12.6.3. Поправки высших порядков
Перенормируемая теория слабых взаимодействий позволяет нам
вычислять поправки высших порядков Фактически же в пред-
представленной модели могут изучаться лишь лептонные процессы,
- псдсслсиш 1ЧАЛиъкиъо4пыь пиля 307
такие, как слабый вклад в аномальный магнитный момент мюона
или радиационные поправки к распаду мюона.
На рис. 12.14 показаны диаграммы, описывающие вклады
слабых взаимодействий в константу g^—2. При вычислениях
а 6 s
РИС. 12.14. Слабые поправки к аномальному магнитному моменту мюона.
в однопетлевом приближении безопаснее использовать перенорми-
перенормируемую калибровку вида A2.232). Диаграммы на рис. 12.14, а, б, в
дают соответственно следующие вклады:
mlg2 Г dlk
В случаях а и б величина М обозначает массу бозонов W, Z или
одного из исходных голдстоуновских бозонов ф±. Предположим,
что мы выбрали калибровку, в которой масса голдстоуновского
бозона очень велика, т. е порядка Mw, и определяется соотно-
соотношением A2 223) при конечном к. Масса, соответствующая ком-
комбинации (ф0— ф1I\^2, также велика, а физическая компонента
(фо + ф1)>У 2 имеет неизвестную массу тФо. Предположим, однако,
что Шфо^>nip. При вычислении вклада диаграммы на рис. 12.14,в
мы учитываем только мюон-скалярную связь, определяемую вы-
выражением
ГЪ (|2253)
Формфактор F2 не требует ультрафиолетовых вычитаний; поэтому
можно ожидать, что приведенные выше интегралы пропорцио-
пропорциональны отношениям пг^/М2 или m^jm^, умноженным на возмож-
возможный логарифмический фактор. Слабые поправки к аномальному
магнитному моменту оказываются, таким образом, самое большее
порядка
^~10-i. A2.254)
308 ГЛАВА 12
Этот порядок величины в точности соответствует эксперимен-
экспериментальной и теоретической неопределенностям (последняя возникает
из-за адронных вкладов):
= A1659,22 ±0,09)-10-',
сп A2.255)
= A1659,19±0,10)-10-'.
теор
Логарифмический множитель In (mfjM^) мог бы, однако, приво-
приводить к значительному увеличению слабых вкладов. Заметим, что
вклад хиггсовского бозона подавляется множителем m2jM2w
по сравнению с двумя другими и им можно пренебречь. В реаль-
реальных вычислениях никаких логарифмов не появляется и поправка
от слабых взаимодействий мала:
-2 10 -9" П.
Такое же вычисление можно выполнить для электрона. В этом
случае достигнуты более высокие экспериментальная и теорети-
теоретическая степени точности (~ 10~9), но слабый вклад дополнительно
подавляется множителем m\lm\x ~ 10~б.
Можно также вычислить радиационные поправки к мюониому
распаду. Разумеется, результат, выраженный через перенормиро-
перенормированные величины, оказывается конечным и сводится к перенор-
перенормировке константы связи Ферми G. Эту поправку, имеющую
порядок а, можно наблюдать, сравнивая ее с константами связи
в других слабых процессах, например в Р-распаде. К сожалению,
мы не имеем каких-либо иных чисто лептонных распадов, а срав-
сравнение с адронной системой требует учета поправок на сильное
взаимодействие.
12.6.4. Включение адронов
Естественный путь, каким мы можем ввести адроны в предшест-
предшествующую схему, —это связать кварковые мультиплеты с калибро-
калибровочными полями. В разд. 11.3 мы уже изучали структуру заря-
заряженного адронного тока в терминах обычных кварков и, d, s.
Он содержит сохраняющие странность и изменяющие странность
компоненты, причем с углом смешивания Кабиббо Возможно, что
в рамках калибровочной теории слабых взаимодействий значение
этого угла предсказуемо. В дополнение к этому заряженному
току в теориях, аналогичных модели Вайнберга—Салама, возни-
возникает нейтральный ток, связанный с бозоном Z. Ограничение,
состоящее в том, чтобы процессы с изменением странности, инду-
индуцированные этим нейтральным током, не противоречили явно
Ц НЕДВЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ ЗОЙ
эксперименту, оказывается весьма жестким и требует введения
по крайней мере одного нового кварка.
Начнем рассмотрение с трех кварков и, d, s и временно пре-
пренебрежем их связью с хиггсовскими скалярами. Предположим, что
угол Кабиббо 9е задан. Обычный заряженный адронныи ток вос-
воспроизводится, если принять, что кварковые компоненты
tfi-U.B.<«cnSfi-H*1t,e , A2-257)
составляют дублет по слабому изоспину с гиперзарядом Y =1/3,
в то время как uR, dR, sR и seL = (s cos Э^.—dsinB^ являются
изосинглетами соответственно о Y — 4/3, ^-2/3, —2/3, —2/3.
Лагранжиан взаимодействия
B/3) uRg'BuR A2.258)
можно переписать через поля W, А и Z, определяемые выраже-
выражениями A2.236) и A2.238), что дает
э.с.) +С
(^л) A2.259)
причем
К = "Vn 0 — Ts) (^ cos 9, + s sin 9C),
как и ожидалось. Нейтральный бозон Z связан с электромагнит-
электромагнитным током и с током
—sin 9e cos 9C
Члены, пропорциональные sin9ccos9c, представляют собой нейт-
нейтральные токи, изменяющие странность. Эти члены вызывают
определенные трудности, поскольку в эксперименте процессы
с правилами отбора AS=1 или AS = 2 при AQ = O оказываются
сильно подавленными. Например,
r(/^-^vv) =6,ш-7> Г^-^iiH-ii-) ^ш-8- A2260)
Г (/С* —*- все моды) Г (К0 —> все моды)
Выход из такого затруднения нашли Глэшоу, Илиопулос и Май-
яни A970 г.). Они ввели четвертый кварк, обозначаемый с, кото-
310
ГЛАВА12
рый, как и кварк и, имеет заряд 2/3, но несет новое квантовое
число, называемое чарм. Предполагается, что вместе с комбина-
комбинацией sql = — dL sin 0e + sz. cos 9,, левая компонента cL образует
изодублет. Другими словами, теперь имеются два левых дублета
A2.261)
и четыре правых синглета uR, й%, sR и cR соответственно с гипер-
гиперзарядом К = 4/3, —2/3, —2/3 и 4/3.
Нетрудно заметить, что нейтральный бозон теперь связан е
/«». A2.262)
В этом выражении в первый и второй члены входят нейтральные
токи, изменяющие странность, но теперь их вклады взаимно со-
сокращаются. Это означает, что нежелательные вклады исключены
в порядке G. Однако нейтральные переходы с изменением стран-
sin &с -cos?c
VT
I
t w+
cos 9C
t
sln0c
РИС. 12.15. Распад
ности, индуцированные обменами заряженными токами в более
высоких порядках, могут еще ставить теорию под угрозу На
рис. 12 15 приведены диаграммы, соответствующие этому случаю.
Можно ожидать, что они имеют порядок Ga и, следовательно,
не согласуются со вторым очень низким экспериментальным огра-
ограничением A2.260).
Однако, после того как мы ввели кварк с, заряженный ток
можно записать в виде
К =
—Те)
— уь) se.
A2.263)
Если учесть все вклады, то окажется, что вызывающая опасение
амплитуда пропорциональна отношению (т* — m2a)/M2w. Для оча-
очарованных кварков, которые много легче бозона W, т. е. тс^
<1,5—2 ГэВ, не возникает каких-либо противоречий с экспери-
экспериментом.
Помимо этого свойства подавления нейтральных токов с Д5 Ф 0
введение очарованного кварка привлекательно с эстетической точки
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 311
зрения. Очарованный кварк восстанавливает симметрию между
четырьмя лептонами и четырьмя кварками и, кроме того, что яв-
является приятным сюрпризом, сокращает аномалии в модели Вайн-
берга—Салама. Действительно, лептонная модель, рассматрива-
рассматриваемая нами в разд. 12.6.3, страдала от киральных аномалий. Если
повторить анализ, выполненный в разд. 12.4, применительно к тео-
теории, включающей лишь слабые изосинглеты и дублеты, то легко
обнаружить, что единственная неисчезающая аномалия пропорцио-
пропорциональна
2 sp (TaTaY)~ 2 Y-
По фермионам По дублетам
Как и прежде, матрица Та описывает некоторую компоненту сла-
слабого изоепина, а У обозначает слабый гиперзаряд. Аномалия со-
соответствует, например, треугольным диаграммам АаАаВ. Отсюда
следует, что лептоны дают неисчезающий вклад в аномалию.
С учетом двух дублетов Le и L^, определяемых выражением A2.227),
имеем
2 У = 2(—1). A2.264)
По лептонныМ
дублетам
Однако если учитывать также адроны в соответствии с изложен-
изложенной выше схемой, то два дублета A2.261) дадут вклад
2 К = 2хA/3). A2.265)
По адронным
дублетам
Кроме того, если предположить, как это делалось при обсужде-
обсуждении я°-распада в гл. 11, что кварки вырождены по трем ненаблю-
ненаблюдаемым цветам, то в выражении A2.265) необходимо дополнитель-
дополнительно просуммировать по цвету, т. е умножить данное выражение
на 3. При этом лептонные и адронные вклады в аномалию взаимно
сократятся. Подчеркнем важность того обстоятельства, что для
справедливости полученного результата мы должны иметь одина-
одинаковое число лептонных и адронных дублетов, соответствующих
предписанным им выше значениям слабого изоспина и заряда, и
фактор вырождения по цвету. Описанный механизм сокращений
не влияет на вычисление л°-распада. Действительно, вспомним,
что л° связан с дивергенцией третьей компоненты обычного ак-
аксиального изотопического тока, т. е. с (и, 5)уду5т8/2( ^ ).
До сих пор мы опускали связи типа Юкавы скалярных мезо-
мезонов с кварками, а также массовые члены кварков. До того как
вводится спонтанное нарушение, теория инвариантна относительно
группы преобразований SU B)xU (I), которая запрещает массовые
ч,лены кварков. Однако после спонтанного нарушения и сдвига
312 ГЛАВА 12
хиггсовского поля кварки приобретают массу:
^и = _^1^^_^1±^^^. A2.266)
Здесь оМ—матрица, которая априори не является ни диагональ-
диагональной, ни вещественной, а вид ее ограничен лишь тем, что она
должна коммутировать с оператором заряда Q. Используя неза-
независимые унитарные переопределения левых и правых компонент,
ее можно привести к диагональному виду:
A2.267)
= M (здесь М—диагональная матрица),
A2.268)
Собственными состояниями i|/ массовой матрицы являются кварки
и, d, s, с. С другой стороны, заряженный ток, который записы-
записывается следующим образом:
А|*~*УдA—У.)т-1|>, <12-269)
принимает вид
Ъ~У'ъО-У,)и№-и#1, A2.270)
где UiL и Uu представляют собой ограничения UL соответственно
на верхнюю (и, с) и нижнюю (d, s) компоненты. Переопределяя
далее относительные фазы кварков [разумеется, ненаблюдаемые
в A2.268)], последнее выражение можно привести к виду
что находится в согласии с A2.263). Мы приходим к заключению,
что угол Кабиббо возникает из-за несоответствия между собст-
собственными состояниями массовой матрицы и кварковыми компонен-
компонентами, входящими в заряженный ток.
Рассмотрение моделей слабых взаимодействий должно было бы включать об-
обзор их приложений, в частности рассеяние нейтрино на адронах. Читателю
мы рекомендуем обратиться к обзорам, написанным более компетентными ав-
авторами.
В свете сравнительно недавних экспериментальных открытий рамки пред-
предшествующей теории могут и должны быть расширены с тем, чтобы включить
в рассмотрение большее число кварков и лептонов. Мы же ограничимся здесь
простым замечанием. Матрица смешивания Кабиббо, которая в случае четырех
кварков имела простой вид A2.271), может зависеть от большего числа пара-
параметров, часть которых может быть комплексной, что приведет к нарушению
СР-инвариантности. В последние годы наблюдался расцвет теоретических мо-
моделей, построенных с привлечением различных групп, разбиений по мульти-
плетам, возможных правоспиральных токов и т. д. Обсуждать их в рамках
какой-либо книги было бы опрометчивым, поскольку такой материал очень
быстро устаревает.
Каким образом в эту схему могли бы войти сильные взаимодействия?
В следующей главе мы покажем, что на сей день, по-видимому, неабелева
калибровочная теория сильных взаимодействий наиболее подходит для такого
объединения. Калибровочной группой была бы группа SUC)C, не связанная
с октетной симметрией Гелл-Манна и Неемана. В этом случае с цветными
квантовыми числами кварковых триплетов были бы связаны восемь калибро-
калибровочных полей—так называемых глюонов. В противоположность спонтанно
нарушенной симметрии слабого и электромагнитного взаимодействий эта ло-
локальная 5УC),,-симметрия должна быть точной, а глюон должен оставаться
безмассовым. При таком калибровочном описании слабого, электромагнитного
и сильного взаимодействий кваркам приписываются два квантовых числа —
цвет и аромат. С другой стороны, векторные бозоны W, Z, ..., и фотон бес-
бесцветны, в то время как глюоны не имеют пи аромата, ни заряда.
Наконец, можно предполагать, что группа G^yiSUC)c [G\Xr=SUB)XU(l)
в модели Вайнберга —Салама] возникает в результате нарушения более широ-
широкой простой группы. Такое сверхобъединение можно было бы обобщить даже
на гравитационные поля.
ПРИМЕЧАНИЯ
Неабелевы калибровочные поля введены Янгом и Миллсом (Phys. Rev., 1954,
vol. 96, p. 191) и за истекшее время рассматривались многими авторами. Мы
приведем здесь только те ссылки, которые непосредственно связаны с изла-
излагаемым в данной главе материалом.
КЕантование калибровочных полей развивали Фспиман (Acta Phys., Po-
lonica, 1963, vol. 24, p. 697), Л. Д. Фаддеев и В. Н. Попов (Phys. Lett., 1967,
vol. 25, ser. В, р. 29) и Де Витт (Phys. Rev., 1967, vol. 162, pp. 1195 и 1239).
Примерно в то же время Вайнберг (Phys. Rev. Lett., 1967, vol. 19, p. 1264) и
Салам (В кн.: Elementary Particle Thecry/ed. N. Svartholm.—Stockholm: Alm-
quist and Wiksells, 1968.) предложили построение теории слабых взаимодей-
взаимодействий на основе калибровочной модели со спонтанным нарушением симметрии.
Это явление ранее рассматривалось в работах: Engleri P., Brout R.— Phys.
Rev. Lett., 1964, vol. 13, p. 321; Higgs P. W. — Phys. Lett., 1964, vol. 12 p.
132; Phys. Rev. Lett., 1964, vol. 13, p. 508; Phys. Rev., 1966, vol. 145, p. 1156;
Guralnik G. S., Hagen С R.t Kibble T. W. В. — Phys. Rev. Lett., 1964, vol. 13,
p. 585; Kibble Г.—Phys. Rev., 1967, vol. 155, p. 1554. Более раннее обсужде-
обсуждение механизма спонтанного нарушения симметрии применительно к сверх-
сверхпроводимости см. в статье: Anderson P. W. — Phys. Rev., 1958, vol. 112, p. 1900;
Phys. Rev., 1963, vol. 130, p. 439.
Все эти работы привели к интенсивному изучению перенормировки. Не-
Некоторые поворотные пункты содержат статьи: V Hooft G,— Nucl. Phys., 1971,
ser. В. vol. 33, p. 173; 1971, ser. B, vol. 35, p. 167; Славное А. А. — Теор. и
мат. физика, 1972, т 10, с. 99; Taylor J. С —Nucl. Phys., 1971, ser. В, vol.
33, p. 436; Lee B. W'., Zinn-Justin J. — Phys. Rev., 1972, ser. D, vol. 5, pp.
3121, 3137, 3155; 1972 set D, vol. 7, p. 1049; t'Hooft G,, Veltman M.T.—
Nucl. Phys., 1972, ser. B, vol. 50, p. 318; Becchi C, Rouet A., Stora R. В кн.:
Renormalisation Theory/eds. G. Velo, A. S. Wightman. — Dordrecht, Holland
and Boston, Mass.: D. Reidel, 1976.
Имеются следующие обзоры по этому направлению: AbersE. S., Lee В. W.~
Phys. Rep., 1973, ser. С, vol. 9, p 1; Veltman M. Т. кн.: Proc. of the Sixth Intern.
Symposium on Electron and Photon Interactions at High Energies/ed. H. Rollnik,
W. Pfeil. — Amsterdam: North-Holland, 1974; Zinn-Just in J. В кн.; Trends in
Elementary Particle Theory/eds. II. Rollnik, K. Dietz — Berlin: Springer-Verlag,
1975; Lee В. W. В кн.: Methods in Field Theory/eds. R. Balian, J. Zinn-Justin.—
Amsterdam: North-Holland, 1976; Marciano W., Pagels Я.—Phys. Rep., 1978,
ser. C, vol. 36, p. 137. Общий обзор содержится в учебнике Тейлора (Taylor J. С.—
Gauge Theories of Weak Iunteractions. — London, New York, Melburne: Cambridge
Univ. Press, 1976 [Имеется перевод: Тейлор Дж. Калибровочные теории сла-
слабых взаимодействий, —М.: Мир, 1978.]).
Обобщение модели слгбого взаимодействия, охватывающее адроны, было
стимулировано введением квантового числа чарм (Glashow S. L., lliopoulos J.,
Maiani L. — Phys. Rev., 1970, ser. D, vol. 2, p. 1285).
By и Янг пересмотрели геометрию калибровочных полей (Wu Т. Т.,
Yang С. Л'. —Phys. Rev., 1975, ser. D, vol. 12, p. 3843). Общее обсуждение
классических решений имеется в записях лекций С Коулмена (В кн,: Cole-
man S. New Phenomena in Subnuclear Physics/ed. A Zichichi. — New York:
Plenum Press, 1977. Калибровочные монополи были найдены независимо
Г. Т'Хоофтом (Nucl. Phys., 1974, ser. В, vol 79, p. 276) и А. М. Поляковым
(Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 20, с. 194). Евклидовы инстантоны ввели А. А. Бе-
лавин, А. М. Поляков, А. С. Шварц и И. С. Тюпкин (Phys. Lett., 1975, ser.
В, vol. 59, p. 85).
В. Н. Грибов рассмотрел неоднозначности, возникающие при выборе ка-
калибровки (Nucl. Phys., 1978, ser В, vol. 139, p. 1).
Аномальный магнитный момент мюона рассмотрен в гл. 7 (см. т. 1 настоя-
настоящей книги). Слабые поправки к нему вычислены в работе: Fujikawa К,,, Lee В. W.,
Sanda A. I. — Phys. Rev., 1972, ser. D, vol. 6, p. 2923.
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Более глубокому анализу вопросов, рассмотренных в настоящей главе,
посвящена книга: Славное А, А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию
калибропочных полей. — М.: Наука, 1978. В этой книге имеются подробные
литературные комментарии по теории калибровочных полей.
Дополнительное квантовое число у кварков, названное впоследствии
«цветом», было введено при построении составных кварковых моделей для ад-
ронов с целью удовлетворить требованиям статистики в работах: GreenbergO. W .—
Phys. Rev. Lett, 1964, vol. 13, p. 598; Боголюбов H. Н., С тру минский Б. В.,
Тавхелидзе А. Н.— ОИЯИ, 1965, препринт Д-1968; Han M. К., Nambu Y.—
Phys. Rev., ser. В. 1965, vol. 139, p. 1006,
Важная теоретическая схема, претендующая на роль теории сильных взаи-
взаимодействий— квантовая хромодинамика—основана на гипотезе о том, что эти
взаимодействия переносятся калибровочными полями (глюонами), отвечающими
цветовой группе SU C). Данная гипотеза была высказана в работах: Pati J.,
Salam A.— Phys. Rev. D, 1973, vol. 8, p. 1240; Fritzsch H., Oell-Mann M.,
Leulwylkr #.— Phys. Lett. B, 1973, vol. 47, p. 365; Weinberg S. — Phys. Rev.
Lett. 173, vol. 31, p. 494 Различные аспекты квантовой хромодинамики рас-
рассматриваются в книге: Андреев И. В. Хромодинамика и жесткие процессы при
высоких энергиях.—М.: Наука, 1981; см также обзоры: Marciano W.,
Pagels H.— Phys. Rep., 1978, vol. 36, p. 137; Efremov A. V., Radyushkin A.V.—
Rivista del Nuovo Cimento, 1980, vol. 3, № 2; Вайнштейн А. #., Захаров В. И.,
Новиков В. А., Шифман М. А.— ЭЧАЯ, 1982, т. 13, с. 542.
Глава 13
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
Сзязь между поведением амплитуд при больших передаваемых
импульсах или на малых расстояниях и свойствами перенорми-
перенормируемости рассматривали в начале 50-х гг. Штюкельберг и Петер-
ман, а также Гелл-Манн и Лоу. В 70-х гг. после работ Вилсона,
Симанзика и Калла на эта область исследований вступила в пору
расцвета. Не следует недооценивать также потока новых идей,
приведших в итоге к слиянию этих исследований с изучением
критических явлений, что связано в первую очередь с именами
Каданова, Фишера и Вилсона. Выяснилось, что сингулярности на
малых расстояниях, причинившие немало хлопот и вынудившие
теоретиков разработать целую технологию перенормировки, на
самом деле позволяют уяснить свойства операторов при масштаб-
масштабных преобразованиях. Нетривиальные следствия бесконечно ма-
малого изменения масштаба можно записать с помощью системы
дифференциальных уравнений. Интегрируя их, можно установить,
что во многих случаях поведение на малых расстояниях носит
универсальный характер, причем полям и составным операторам
необходимо приписать аномальные размерности.
Эти идеи нашли успешное применение при изучении глубоко-
неупругого рассеяния лептонов, электрон-позитронной аннигиля-
аннигиляции и других процессов при высоких энергиях. Концепции опера-
операторного разложения на малых расстояниях, асимптотическая свобода
обогащают арсенал теоретиков и пробуждают надежды на разра-
разработку фундаментальной теории сильных взаимодействий.
Поразительные успехи развивающейся параллельно статисти-
статистической механики привели к выдающимся результатам, которые
прекрасно согласуются с экспериментом.
Настоящая глава может служить лишь введением в эту без-
безграничную область. Мы будем избегать сложных математических
доказательств и полагаться большей частью на эвристические ар-
аргументы и примеры, следуя историческому пути развития ценой
некоторых повторений.
13.1. ЭФФЕКТИВНЫЙ ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Для того чтобы ввести читателя в круг соответствующих пред-
представлений, обсудим сначала электродинамику, изучавшуюся перво-
первоначально Гелл-Манном и Лоу.
Фундаментальной величиной здесь является электрический за-
заряд, точнее постоянная тонкой структуры а— 1/137. Это значение
получено из низкоэнергетических экспериментов в атомной физике,
т. е. на расстояниях, существенно превосходящих комптоновскую
длину волны заряженного фермиона (скажем, электрона), которая
определяет фундаментальный масштаб длины. В высокоэнергети-
высокоэнергетических же экспериментах мы интересуемся, наоборот, локальными
квазимгновенными свойствами взаимодействия. Можно было бы
наивно полагать, что этот режим управляется затравочными па-
параметрами, входящими в гамильтониан. К сожалению, в резуль-
результате перенормировки соотношение между затравочным и перенор-
перенормированным зарядами осложняется из-за бесконечностей, возни-
возникающих по крайней мере в рамках теории возмущений. Способ
компенсации этих расходимостей накладывает определенные огра-
ограничения, которые отражаются на асимптотическом поведении.
Смысл слова «асимптотический» будет проясняться по мере даль-
дальнейшего изучения предмета.
13.1.1. Функция Гелл-Манна — Лоу
Рассмотрим фотонный пропагатор и его связь с поляризацией
вакуума:
Для простоты не будем вводить фиктивной массы фотона Про-
Продольная часть G?v, пропорциональная qpqv, в последующем рас-
рассмотрении не играет какой-либо роли Нормировка заряда обеспе-
обеспечивается условием w @) = 0 и, следовательно, определяется низко-
низкоэнергетическим взаимодействием или излучением мягких фотонов.
Поляризация вакуума зависит от q*, а и массы электрона т Чтобы
дать определение эффективного заряда d(a, q2, m2), соответству-
соответствующего переданному импульсу q, рассмотрим комбинацию aGpv,
связанную с фотонным пропагатором-
Pv(q) = -i^-d (a, q\ m2) + aG?v(ф,
,w')= - а , f A3.2)
l-J-G) (a, qz, тг)
d (a, 0, m2) = a.
Вычитания обычно выполняются при q* = 0. Посмотрим, что про-
произойдет, если выбрать другую точку вычитания, а именно q* = к2 < 0
(в евклидовой области вдали от сингулярностей). В этом случае
параметром разложения по теории возмущений будет величина аК,
равная
ax = d(a, k\ та). A3.3)
АСИМШШИЧЬСЖОЕ ПОВЕДЕНИЕ 317
Эффективный заряд, выраженный через аА, представляет собой
функцию D, такую, что
D{ak, q\ m\ X2) = d (a, q\ m2) <13.4)
ax^D(ax,%\ m\ Щ. A3.5)
Уравнение A3.4) выражает бессодержательное на первый взгляд
утверждение, что величины, имеющие физический смысл, не должны
зависеть от того, какого из этих определений мы придерживаемся.
Выбор другой точки вычитания приводит к изменению величины ак,
но функция D при этом остается прежней. Заметим, что в кван-
квантовой электродинамике анализ упрощается благодаря тождествам
Уорда Zl — Z2, a — Z3a0, учет которых позволяет ограничиться
изучением лишь поляризации вакуума.
Поскольку D—безразмерная функция, можно написать
п[„ Ч_ ILL.)—И п Ч '
A3.6)
и воспользоваться этими соотношениями в глубоко евклидовой
области, в которой отношение —</2/т2 является большим. Нам
известно в принципе разложение поляризации вакуума (ad) — 1
в ряд теории возмущений. В каждом порядке мы вычисляем его
асимптотическое поведение, пренебрегая членами, ведущими себя
как (tn2/q2) [In (—q2lnf)\n. Отсюда получаем функцию dac (a, —q2/m2),
которая следовала бы также из безмассовой квантовой электро-
электродинамики, если бы в качестве масштабного параметра использо-
использовалась величина т2. Таким образом, мы исследуем область
— q2/m?—> оо, aln(—q*/m2) ~* 0, надеясь при этом, что отбро-
отброшенные члены не дадут в сумме ощутимого вклада. Однако серь-
серьезный анализ этой гипотезы на данной стадии исследований не-
невозможен.
В выражениях A3.6) правая часть становится равной dac (а, х),
где х = — q2/m2. Если выбрать точку вычитания в интервале
т2<^—^2^'—ф, то в левой части выражений A3.6) можно пре-
пренебречь зависимостью от ш2, поскольку из гл. 8 известно, что
соответствующий безмассовый предел существует. В этом пределе D
заменяется функцией Dac, зависящей от масштабного параметра Я2.
Полагая у = —~Х2/т2% находим
<V у) =
причем ссу - d3' (а, у) = Dac (ау, 1). A3.8)
Отсюда следует, что dac можно рассматривать как функцию одной
переменной. Чтобы убедиться в этом, определим согласно Гелл-
318 ГЛАВА 13
Манну и Лоу функцию
продифференцируем выражение A3.7) по х и положим у = х. Та-
Таким образом, получим
l = x^dac(a, x). A3.10)
С учетом условия A3.8) интегрирование этого уравнения дает
1п?^ V Ш> A3Л1)
что эквивалентно ряду
Прежде чем перейти к обсуждению полученного результата, при-
приведем найденное нами ранее выражение (8.130) для поляризации
вакуума. Напомним, что показатель степени при а определяется
числом петель в диаграмме. С точностью до а2 имеем
&'(а, *)-_? (in *_|)-^(In*-С,) + О (а»), A3.13)
где С2—числовая константа. Определим величину а4:
«i = d"(«,D = l+5a/9ll+c«{aW)+^t. A3.14)
Тогда мы можем записать
dac (а, х) = , , . а/ ., . . A3.15)
Чтобы отыскать функцию ^М06*)» вычислим производную
(д/дх) dac (а, х) при х = 1. Используем также результат трехпет-
левого вычисления, полученный Бейкером и Джонсоном. Это дает
причем функция Римана ?C) равна
СC)-1,202... . A3.17)
Решение уравнения Гелл-Манна—Лоу A3.10) показывает, что
главный вклад п-го порядка в поляризацию вакуума можно
найти, если известно dac (а следовательно, и г))) в более низких
порядках. Чтобы проиллюстрировать это утверждение, вычислим
главный вклад а3AпхJ в d, ограничиваясь двухпетлевым при-
приближением для ip: гр (z) = г2/3я + г3/4л2 -(-... . Из выражения
A3.11) имеем
dac (а, х)
I tB) A3.18)
/ B) = const—у—^-j- 1П 2 -f О B).
Обращая эти выражения, находим
dac (а д:) = — gl /
' 1— (ai/3n)lnx— (af/te2) In x—(а|/24я8) Aпл:J+О (af In*) '
A3.19)
« iLo-sj-
1 14-5а/9л+С2а2/4л2"~ 9л " Т • • • •
Таким образом, мы действительно получили доминирующий вклад
в порядке а3. В качестве более простого примера можно было
бы, удерживая лишь первый член в гр, обнаружить в двухпетле-
вом приближении сокращение членов a2(lnxJ, т.е. результат,
получение которого в гл. 8 стоило нам значительных усилий.
Заметим, однако, что в данном приближении мы не смогли бы
получить коэффициент при a2 In x.
Если в A3.19) подставить а, как функцию от а, то в данном
порядке можно выделить главные вклады. В любом случае из
A3.19) следует вывод, что при —<?2—>оо трехпетлевой вклад
в w ведет себя как (—а3/24л3) [In (— (f/m2)]2. Таким образом,
ренормализационная группа позволяет получать новые результаты,
хотя поначалу казалось, что мы занимаемся лишь формулировкой
тривиальных утверждений. Ниже мы покажем, что найденные до
сих пор численные выражения достаточны, чтобы можно было
вычислить все вклады типа а"[1п(—^/т?)]"*1.
Функция гр известна только как степенной ряд в окрестности
нуля, и нет никакой гарантии, что он сходится. Даже наоборот,
мы подозреваем, что этот ряд будет в лучшем случае асимптоти-
асимптотическим (см. разд. 9.4). Напомним, что разложение d в ряд спра-
справедливо лишь при условии, что a In (—^3/m2)—>-0, когда
— g2/m2—> оо. Это объясняет, почему существование полюса
функции d в окрестности нефизической евклидовой точки
m2- 1O560
довольно сомнительно. Такой полюс, называемый иногда призрач-
призрачным полюсом Ландау, возникает, когда в ю удерживается вклад
только первого порядка. Поскольку эта сингулярность, очевидно,
находится в асимптотической области, при серьезном исследова-
исследовании потребуется полное выражение для о'ас, все члены которого
сравнимы по величине. Поэтому на данном этапе рискованно
делать какие-либо выводы о несогласованности квантовой элект-
электродинамики.
С другой стороны, если предположить, что функция ф имеет
смысл, то, формулируя конкретные гипотезы относительно вида
этой функции, можно делать выводы о характере теории в целом.
Отметим, что по самому ее определению функция гр универсальна
и не зависит от выбора того или иного способа перенормировки.
Рассмотрим несколько возможностей. Исходя из явного вида
первых членов разложения функции \|з (г), предположим, что она
положительна на интервале 0 < г < «„. Чтобы быть последова-
последовательными, предположим также, что а„ принадлежит этому ин-
интервалу.
Если а,, бесконечно, т. е. если г|>(г) обращается в нуль только
00
при г = О, необходимо, чтобы интеграл jj dz/\p (z) расходился на
верхнем пределе таким образом, что dac (а, х) —»<х> при х—>оо.
В противном случае dac (ос, х) должно обращаться в бесконечность
г» ~\
I С I
при нефизических значениях q2 = — m2 exp j dzfty (z) I, и то же
La, J
самое, вероятно, справедливо относительно полной функции d.
Иными словами, в соответствующей теории действительно имеется
призрачный полюс Ландау. Ясно, что по первым нескольким
членам разложения ^ в ряд эту гипотезу проверить надлежащим
образом нельзя.
Другой возможностью является обращение в нуль т|з (г) при
некотором конечном положительном значс-нии z = a^. В области
О < <Xj < (%„, положительность \|з (г) означает, что dac (x) представ-
представляет собой возрастающую функцию, и мы требуем, чтобы интег-
рал \dz/ty(z) расходился. Это будет выполнено, если \p(z) имеет
при 2 = а00 простой нуль. Если эти условия выполнены, то
dac (а, х)—>otB, когда х—э-оо. Фактически, поскольку \p(z) умень-
уменьшается в окрестности этой точки, dac стремится к а^ независимо
от того, а,- меньше, чем а^, или больше. Это свойство характе-
характеризуют, говоря, что ап есть ультрафиолетовая притягивающая
(или стабильная) фиксированная точка. В случае когда а1 = аоо,
функция dac принимает постоянное значение <*„,.
В окрестности точки г « аю можно записать
4>B) = v(aM—z) + ..., v>0. A3.20)
Интегрирование выражения A3.11) дает
dac(«, -д*!т*)^а„-~*(— q*/m*)-* + . ..; A3 21)
здесь положительная постоянная k зависит от точного вида функ-
функции v|>. Критический индекс v [v = — (dif/dz) (aj > 0] характеризует
скорость приближения к фиксированному значению а^, при котором
фотонный пропагатор имеет значение, соответствующее свобод-
свободному полю. При этом ат должна представлять собой электро-
электромагнитную константу связи для малых расстояний, как если бы
затравочная (голая) константа связи была конечной.
¦ 13.1.2. Уравнение Каллана — Симанзика
Вместо того чтобы исследовать эффекты, связанные с измене-
изменением точки перенормировки, можно сделать как бы шаг назад и
вернуться к рассмотрению голых регуляризованных функций
Грина, характеризуемых параметром обрезания А^>т. При
соответствующем выборе голых параметров мы имеем
d (a, q\ т2) = lira d (a0, q\ ml, Л2). A3.22)
Л-» us
Известно, что это соотношение было получено лишь с помощью
теории возмущений, и благодаря тождеству Уорда не содержит
множителей, связанных с перенормировкой волновой функции.
Кроме того, мы имеем
(^H. A3.23)
Предел Л—>оо будет здесь всегда подразумеваться, но, как
правило, мы не будем его выписывать в явном виде. Для даль-
дальнейшего очень важно, что вследствие перехода к этому пределу
перенормированные амплитуды зависят от меньшего (на единицу)
числа размерных параметров, чем регуляризованные.
Рассмотрим неприводимую функцию d~L^=a~1(l -|-(o). Диаг-
Диаграммы, дающие вклад в величину
являются условно сходящимися. С точностью до множителя
guvg2 — q^qv они соответствуют неприводимой части функции
Грина (рис. 13.1)
(х) /v@)
Условная сходимость предполагает сохранение тока. Вставка
оператора im0 ] diy:^(y): увеличивает на единицу степень одного
It № 1845
из знаменателей в интегралах Фейнмана. Однако, как показано
в гл 8, вычитание внутренних расходимостей, обусловленных
вставками /no\po\po B поддиаграммы собственной энергии фермиона,
требует введения нового контрчлена или, что то же самое, умно-
умножения г|зог|эо на Z-т.. В конечном счете величина
в пределе Л—> оо будет конечной В низшем порядке величина Д
определяется формулой G.9) (см т. 1 настоящей книги) При
больших —qs/m2 она ведет себя как — (т*/<7й) In (— q%lm}). В л-м
= _ГЛ—
РИС. 13.1. Диа1рамиы для mo(d/dmo)d
порядке А есть величина — тг]ц%, умноженная на полином от
1п(—ц*/т*). Поэтому в теории возмущений асимптотический
предел Дас обращается в нуль
Рассмотрим теперь вариацию величины т (а следовательно, и ос)
при фиксированных значениях а0 и Л. В соответствии с A3.23)
"имеем
дт
а0. Л
Если это соотношение имеет предел при Л —<• сю при фиксиро-
фиксированных а и и, то единственным безразмерным параметром, от
которого оно может зависеть, является а. Следовательно, из
соображений размерности определим величину
(о)= lim «з-lnZ
A3-25)
Убедимся в том, что в теории возмущений функция |3(а) сущест-
существует. С этой целью вычислим соответствующую производную
от d~l:
lim
"dm
-K+w ?] <-(*-*)
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 323
С помощью A3.24) левую часть можно также записать в виде
Пш т ± rf (а0) ц\ т%, Л*) | а„. Л = Ига ?. ^ х
хтш; d~l (а ^ т
л-»»
Если функция р (а) конечна, то же самое справедливо и относи-
относительно величины
что приведет нас к уравнению Каллана—Симанзика
Из того факта, что Adc обращается в нуль, следует также урав-
уравнение
[| ^] A3.28)
Из уравнения A3 28) мы видим, что функция |3(а), вычис-
вычисленная но теории возмущений, конечна. Этого достаточно, чтобы
использовать данное уравнение при некотором определенном зна-
значении х Наоборот, изучая это уравнение и обобщая его на дру-
другие функции Грина, можно судить о перенормируемости теории.
Для квантовой электродинамики фермионов трехпетлевые вы-
вычисления де Рафаэля и Рознера дают
4
<13-29>
В отличие от функции г|5 функция р\ за исключением первых
двух ее членов, зависит от того, каким образом проводится пере-
перенормировка константы связи а. Из A3.29) следует, что при
а—»+0 функция Р(а) положительна.
Как мы договорились ранее, вычислим теперь для произволь-
произвольного высокого порядка теории возмущений ведущий вклад в поля-
поляризацию вакуума, используя лишь уравнение A3.28) и формулу
A3 29) Для этого подставим в A3.28) следующие формальные
разложения:
A3.30)
11*
324 глава 13
При этом получим следующее уравнение:
п
9=2
Решение его запишется в виде
Рг(х) = — -у In
' '
Отсюда следует, что вычисления с учетом двухпетлевых вкладов
определяют Ь^ и Ь2, которые в свою очередь позволяют найти
главное приближение в п-м порядке.
Разложение величины d^ можно перегруппировать, суммируя
сначала главные логарифмы, затем следующие за ними и т. д.
В результате имеем
A3 33)
К сожалению, этот метод не позволяет вычислить d? (a, x) при
больших х. Например, если бы мы удержали только главные
логарифмы, то опять получили бы нефинический призрачный
полюс Ландау в точке, в которой [1—(a/Зл) In *] = '). Но при
таком значении х второй член логарифмически обращается в бес-
бесконечность, и предположение о том, что этот член не вносит
доминирующего вклада, нарушается. Иначе говоря, перегруппи-
перегруппировка, приведшая к A3.33), полезна только тогда, когда
|alnx|^l. Чтобы найти истинное поведение при больших х,
требуется просуммировать все логарифмы или, что эквивалентно,
вернуться к исходным уравнениям A3.27) и A3.28).
Интересно понять на языке диаграмм, почему для вычисления в любом
порядке коэффициента при главном логарифме нам достаточно иметь лишь
Л f
+ Перекрестная +
РИС. 13.2. Диаграммы с максимальным числом п—1 фермионных петель,
дающих вклад в поляризацию вакуума порядка п.
&j и 62. Напомним, что в гл, 8 мы сделали заключение, согласно которому
при суммировании калибровочно-инвариантных классов диаграмм главная
степень величины lnx равна числу внутренних фермионных петель. Для
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 325
читателя поучительно получить это свойство nyiем введения для фермионов
JV-кратного вырождения по некоторому квашовому числу и изучения зави-
зависимости от N. На рис. 13.2 представлены диаграммы с наибольшим числом
фермионпых петель в длин ом порядке по а. Получаемая в итоге структура
показывает, почему вычисление вдвухнетлевом приближении дает коэффициент
при доминирующем члене до n-го порядка, пропорциональный b"b2 (hut)"-1.
Из A3.25) следует, что константа Zg удовлетворяет уравнению
К"'Ж °>-°' „3.34,
r/ = As/m2.
Таким образом, изучение предела бесконечного параметра обрезания у—> оо
возможно при условии, что сделаны некоторые предположения о виде
функции р (а).
- Разумеется, между функцией Гелл-Манна — Лоу ф и коэффи-
коэффициентом Каллана—Симанзика р1 (а) существует некоторая связь.
Возьмем, например, производную от выражения A3.11) по хг и
Подставим результат в A3.28). Это приводит к выражению
ф [dac (а, х)\ -10 (а) ^dac («, х), A3.35)
которое можно проанализировать затем при некотором определен-
определенном значении х. Выберем, например, точку х=\ (q* = — nf).
При этом dac(a, l) = al(a) = a—5аа/9я_|_ .. ., а
^a^ilJfa)^. A3.36)
Это показывает также, что нули двух функций связаны между
собой. Если осс таково, что |i(ac) = 0, то ф обращается в нуль
при a^, =s= ax (ac). В частности, если это значение соответствует
ультрафиолетовой фиксированной точке, то <iac—>а„ при х—> оо.
Кроме того, из A3.34) вытекает, что Z3 — конечная величина;
а«, играет роль квадрата конечного голого заряда. Возможность
того, что ас может равняться наблюдаемой физической постоян-
постоянной тонкой структуры, подробно обсуждалась Адлером. К сожа-
сожалению, в настоящее время мы не имеем определенной процедуры
вычисления этих функций вне рамок теории возмущений, так что
в целом вопрос остается открытым.
Читателю рекомендуется получить уравнения, аналогичные уравнениям
Каллана—Симанзика, для Других электродинамических функций Грина.
13.2. НАРУШЕННАЯ МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Как выяснилось спустя некоторое время после первых исследо-
исследований Гелл-Манна и Лоу, более общий подход состоит в исследо-
исследовании поведения функций Грина перенормируемой теории на
малых расстояниях, когда все относительные расстояния прост-
пространственно-подобны и одновременно стремятся к нулю Этот
вопрос может казаться чисто теоретическим, поскольку он касается
поведения амплитуд в области, далекой от массовой поверхности.
К счастью, оказалось, что это не так Косвенными методами,
такими, как глубоконеупругое рассеяние лептонов на адронных
мишенях, удается изучать взаимодействия на малых расстояниях.
Эти эксперименты, результаты которых были предвосхищены тео-
теоретическими соображениями Бьёркена и Фейнмана, отчасти сти-
стимулировали исследования, выполненные Вилсоном, Симанзиком
и Калланом.
В действительности слишком наивно предполагать, что при
больших импульсах, когда массами можно пренебрегать, теория
становится масштабно-инвариантной. Асимптотическое поведение
определяется соответствующей безмассовой теорией Как обсужда-
обсуждалось в гл 8, перенормировка предполагает выбор произволь-
произвольного энергетического масштаба Наличие этого масштаба не дает
возможности применить анализ размерностей Но, как оказалось,
именно произвольность выбора этого масштаба позволяет факти-
фактически спасти положение в силу того, что изменение масштаба
можно скомпенсировать изменением констант свя ш Соответ-
Соответствующий процесс управляется функциями, аналогичными коэф-
коэффициенту р1, рассмотренному выше, и ренормгрупповые преобразо-
преобразования оказываются вполне подходящими для замены наивного
анализа размерностей.
При "к —> оо ультрафиолетовые фиксированные точки (если они
существуют) будут аттракторами для констант связи. Это будет
приводить к восстановлению масштабной инвариантности на ма-
малых расстояниях при определенных значениях констант связи,
не зависящих от начальных данных при их изменении в доста-
достаточно широком диапазоне. В частности, наблюдаемые размер-
размерности полей (или каких-либо других составных операторов) будут,
вообще говоря, зависеть от динамики.
Особый интерес представляет случай, когда ультрафиолетовая
фиксированная точка находится в нуле. Данное явление назы-
называется асимптотической свободой В этом случае перенормировка
приводит к логарифмическим поправкам к наивной масштабной
инвариантности.
13.2.1. Масштабная и конформная инвариантность
Если классическое действие не содержит размерных констант,
то можно ожидать, что теория является масштабно-инвариантной.
В массивной теории масштабная инвариантность могла бы прояв-
проявляться на малых расстояниях, характеризуемых условиемт\хj
Если подвергнуть координаты масштабному преобразованию
х-+хх = Ь-1х, Х>0, A3.37)
то поля, обозначаемые в общем случае через <р, будут преобразо-
преобразовываться следующим образом:
A3.37а)
где U (к)—конечномерное представление абелевой группы растя-
растяжений Предположим, что это представление полностью приводимо.
Тогда мы можем написать
причем матрица D может быть диагонализована. Инфинитезималь-
ная форма при ]пЯ = 6в закона преобразования запишется в виде
A3 38)
В классической безмассовой теории преобразования A3.37а) и
A3 38) сводятся к инвариантному преобразованию при условии,
что собственные значения матрицы D равны 1 (d/2—1) для бозе-
полей и C/2) (d/2—1/2) для ферми-полей Величины в скобках
относятся к случаю произвольной размерности d, отличной от
четырех
Можно также рассмотреть эффект таких преобразований в мас-
массивной теории, получая при этом тождества Уорда, отражающие
нарушение масштабной инвариантности В этом смысле имеется
отличие от чистого анализа размерностей, поскольку мы рассма-
рассматриваем здесь следствия преобразования динамических переменных
(полей), а не размерных параметров, таких, как массы Если не
учитывать этого, то можно смешать две различные физические
ситуации
Обращаясь к нашему излюбленному примеру1), а именно к
лагранжиану вида
S = \ (<Э<рJ-—^ ф2—gj^i A3 39)
найдем вариацию
~4r-2D^V A3 40)
Следовательно, если D = 1, то
ЬХ I д . .
( y —I— Д
6s \ дх
1) В настоящей главе, чтобы избежать путаницы с обозначением масштаб-
масштабного параметра К, константу связи при ф4 будем обозначать через g.
Интеграл [ й*х%*<2-' (кх) не зависит от X (положительного). Диф-
Дифференцируя в точке Я=1, находим
Это означает, что величина [х ¦ (д/дх) + 4] ?? (х) представляет со-
собой дивергенцию и что вариация действия / равна
^(x). A3.41)
Очевидно, когда т обращается в нуль, теория является масштаб-
масштабно-инвариантной в классическом смысле.
Покажем, что в этом случае конформная инвариантность есть следствие мас-
масштабной инвариантности.
Конформная группа определяется как множество преобразований, остав-
оставляющих инвариантными углы. Это переносится и на пространство Минков-
ского, в котором мы имеем дело как с гиперболическими, так и со сфери-
сферическими углами. Конформная группа получается добавлением к преобразованиям
Пуанкаре инверсии по отношению к произвольной точке—началу отсчета,
например:
*"•—>*'"•= оЛс*. A3.42)
Чтобы это определение имело смысл, обычное /?4-пространство должно быть
пополнено на бесконечности конусом. Введем полезную геометрическую
конструкцию. Рассмотрим шестимерное пространство с метрикой B, 4), т. е.
такое, что
Линии, принадлежащие изотропному конусу z2 = 0, отождествляются с R*-
пространством, пополненным конусом на бесконечности. Это можно реализо-
реализовать, например, разрезав конус г3 = 0 гиперплоскостью г_х=1 и построив
затем стереографическою проекцию получившегося в результате одногюлост-
ного гиперболоида на /^-пространство из точки @, 0, 0, 0, — 1) в /^-про-
/^-пространстве (рис. 13.3). Соответствующие этому преобразованию формулы
запишутся в виде
t/4K=— 1. 0<ц<3, A3.43)
v - Ч» -%-У*-1
Преобразования псевдоортогональной группы О B, 4) в пространстве Мин-
ковского соответствует конформным преобразованиям. В частности, масштаб-
масштабные преобразования соответствуют гиперболическим поворотам в плоскости
г4, г-\-
- Ун j/4ch6+sh9
х -е Jlche+jkshe ^(/4sh9+che
she. A3.44)
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
329
В качестве упражнения найдите четыре других типа конформных преоб-
преобразований, дополняющих число генераторов до 15. Напишите соответствую-
соответствующие преобразования в пространстве Минковского. Построше аналогичную
конструкцию для случая евклидова четырехмерного пространства. При эгом
РИС. 13.3. Проекция гипербо-
гиперболоида A, 4) на пространство
Минковского.
конформная группа совпадает с 0A, 5), a Ru, пополненную точкой на беско-
бесконечности, можно отождествить со стереографической проекцией единичной
сферы в пятимерном пространстве.
Таким образом, для того чтобы доказать конформную инвариантность
безмассовой ф4-теории, достаточно изучить следе;вия инверсии. В пятимерном
^-пространстве эт преобразование соогвегствует симметрии (/<->—у единич-
единичного гиперболоида За1ем нужно выбрать закон преобразования для поля.
Из преобразования A3.37 а), т. е. ^ (х) = Адр (Хх) можно прийти к следую-
следующему определению:
¦ Ф W = -г ф \-ж
Отсюда мы имеем
ф (X)
Добавочный член представляет собой четырехмерную дивергенцию
A3.45)
Таким образом, формально (т. е. без учета возможных сингулярностей) дей-
действие, а следовательно, и уравнения движения являются конформно-инва-
риангными.
330 ГЛАВА 13
Упражнения
1. Сформулируйте безмассовую ф4-теорию в пятимерном пространстве с ди-
динамическими переменными, определенными на единичном гиперболоиде
(псевдоевклидов ел у и й) или на единичной сфере (евклидов случай) Вы-
Выпишите соответствующий лагранжиан и уравнения движения Разложиге
решения уравнений для классического свободного поля по обобщенным
сфеоическим гармоникам.
2. Покажите, что вариацию действия массивной теории при мгештабном пре-
преобразовании [формула A3.41)] можно записать в виде интеграла от четы-
четырехмерной дивергенции тока, соответствующего этому преобразованию.
Последний связан с модифицированным тензором энергии-импульса (таким,
что его след в безмассовом случае равен нулю) следующими соотношениями:
81 =[ d*x d^SV де, 5Д = xv 7^д,
1 E3 46)
Обсуждение этих вопросов можно найти в работе Каллана, Коулмена и
Джекива.
3. Исследуйте масштабную и конформную инвариантность при наличии
ферми-полей.
13.2.2. Модифицированные тождества Уорда
Произведем поворот Вика и изучим теорию в евклидовой области.
Для нашей задачи, касающейся исследования поведения амплитуд
на малых расстояниях, это не налагает никаких ограничений.
Запишем нормированный производящий функционал в виде
A3.47)
Действие / в евклидовой области можно записать в виде суммы
двух вкладов:
В этом случае масштабное преобразование ц>(х)—*-хср(х) можно
рассматривать как простую замену переменной интегрирования,
при которой
Изменение меры включено в нормировку, и в результате мы снова
получаем наивное тождество Уорда в виде
A3 49)
Член, содержащий (б/б/)а, можно было бы заменить производной
по источнику оператора ф2. Естественно ожидать, что уравнение
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 331
A3.49) изменит свой вид вследствие перенормировки. В большин-
большинстве случаев, обсуждавшихся нами выше, таких, например, как
калибровочная инвариантность или глобальные симметрии, нам
удавалось ввести регуляризационную и перенормировочную схемы,
сохраняющие симметрию и, следовательно, тождества Уорда.
Однако наличие киральных аномалий следует рассматривать как
предостережение о том, что в квантовом случае возможны моди-
модификации.
Прежде* чем разбирать упомянутые модификации, упростим
алгебраическую структуру уравнения A3.49), переписав его в виде
A3.50)
Преобразование Лежандра к неприводимым функциям в евкли-
евклидовых переменных определяется формулами F.97) (см. т. 1 на-
настоящей книги):
причем
- = 0*(л;
aq>(*) «/{*)
где предполагается, что ядра — №G(j)/bj(x) 6j(y) и
62Г (ф)/бф (х) бф (у) являются обратными по отношению друг
к другу. Чтобы упростить обозначения, введем следующие вели-
величины:
Vlv »• «Л = &2Г № Г-1/г //• пЛ ^ — . 82° ^'^ П.Ч R91»
При этом уравнение A3.50) принимает вид
х; ф)-Г-Чж, х; 0)]|. A3.53)
Разложите правую часть уравнения A3.53) по степеням оператора <р и полу-
получите соответствующее тождество для я-точечной неприводимой функции.
В нулевом порядке по % уравнение A3.53) сводится к тривиальным слу-
случаям, встречающимся при обсуждении классической теории (с точностью до
поворота Вика)
j [i ^V+g-fJ-] , A3 54)
X (-Dp+«2<P+? IJ-) =- j d*x «VM- A3.55)
332
Заметим, что уравнение A3.53) действительно удовлетворяется, поскольку
разность [Г (л:, х; <р) — Г-1 (х, х; 0)] имеет порядок h, в чем легко убе-
убедиться, восстанавливая факторы % (Г —> Т/%, 6/бф —> л S/бф). В первом по-
порядке эту величину можно записать следующим образом:
и можно формально представить Г[1) в виде
Поскольку
выполняется соотношение
A3'57)
и уравнение A3.53) было бы удовлетворено, если бы не возникало необхо-
необходимости делать ультрафиолетовые вычитания.
Функционал
х- ф)~Г-1(х> х; 0)]A3.58)
можно рассматривать как производящий функционал для непри-
неприводимых функций Грина, содержащих вставку оператора
а-
РИС. 13.4. Массовая вставка в однопетлевом приближении.
— (тп2/2)\ й*хц>^(х). Это очевидным образом следует из уравнения
A3.49), в котором член m2\jdix[8/8j(x)]2 возникает из контину-
континуального интеграла по т% ^ A4хц>2(х). Соотношение A3.57) пред-
представляет собой проверку этого утверждения в первом порядке
по % На рис. 13.4 показано соответствующее разложение в диа-
диаграммном представлении. Будем называть это массовой вставкой.
Подсчет степеней показывает, что такая вставка дает лога-
логарифмические расходимости в двухточечную функцию в первом
порядке по %. На языке операторов этому соответствует функция
Грина j й4л:<0|Тф2(А:)ф(г/)ф (г) |О>. Уточним наши условия нор-
нормировки. До тех пор пока это не приводит к каким-либо ослож-
осложнениям, удобно использовать промежуточную перенормировку при
нулевом импульсе:
R кн ' _ 1 гч« /п\ „. по сп\
32s 0
здесь т пропорционально, но не равно физической массе.
Проводя регуляризацию с помощью параметра обрезания Л
и добавляя в лагранжиан необходимые контрчлены, мы, очевидно,
модифицируем тождества Уорда, отвечающие масштабным преоб-
преобразованиям Соотношение между регуляризованными и перенор-
перенормированными неприводимыми функциями Грина записывается
в виде
Гд(ф, т, g) = rb(Z1^(p, m0, gQ), A3.60)
где в правой части зависимость от параметра обрезания Л вхо-
входит в константу перенормировки волновой функции Z, в голую
массу т, и в голую константу связи g0, но комбинация VR имеет
конечный предел, когда Л —-»<х>, а т и g фиксируются. Согласно
обычному анализу размерностей величины Z, g0 и тЦтг зависят
от Л только через комбинацию Л2/т2
Рсгуляризовапный производящий функционал массовых вставок
дается выражением
Гд.*(ф, т0, ^о) = О/2)/п„^Г6(Ф, т0, go)|gA- 03-61)
На данном этапе можно заняться изучением масштабных ано-
аномалий. Вариация массы тй при фиксированных g0 и Л подразу-
подразумевает, что вариации перенормированных параметров gum удов-
удовлетворяют условию
0 = dga = ^dm+d-^dg. A3.62)
Из A3.60) и A3.61) следует, что
, m0, go)=[dm-± + dg?g-±d(lnZ)x
4]я(Ф, т, g), A3.63)
в то время как обычный анализ размерностей подразумевает
справедливость уравнения
Это позволяет нам переписать выражение A3.63) в виде
, Д., So)- A3 65)
Забегая вперед, предположим, что в левой части безразмерные
коэффициенты имеют конечный предел при Л —>¦ <х> и фиксирован-
фиксированных gum. Опять-таки из соображений размерности в этом пре-
пределе они могут зависеть только от g. Введем следующие обоз-
обозначения:
(? Ь(? 4 A366)
A3.67)
Они указывают на то, что производные берутся при фиксирован-
фиксированном значении g0. Естественно, подразумевается переход Л —> оо,
и это означает, что при вычислении по теории возмущений необ-
необходимо пренебрегать всеми вкладами, обращающимися в нуль
при бесконечном увеличении параметра обрезания.
Из обсуждения, проведенного в гл. 8, следует, что массовые
вставки перенормируются мультипликативно. Существует кон-
константа Zyz, такая, что
/п., go) = I\ я(ф, т, g), A3.68)
причем Гд, /? (ф, т, g) является конечной величиной. Предпола-
Предполагая, что предел Л —»¦ оо существует, определим величину б (g)
следующим образом:
при некотором хорошо определенном нормировочном условии на
массовую вставку.
Опуская нижний индекс R, получаем уравнение Каллана —
Снманзика в окончательном виде
A3.70)
Сравнивая это выражение с некорректной формулой A3.53), в ко-
которой не учтена перенормировка, мы видим, что оно отличается
от последней членами, включающими коэффициенты р (g), у (о)
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 335
и 6(g). Прежде чем доказывать, что они являются конечными,
объясним их физический смысл.
Сначала заметим, что они аналогичны киральным аномалиям,
модифицирующим классическое тождество Уорда. Коэффициент
у(g) можно рассматривать как зависящую от константы связи-
добавку к размерности поля. Член c$(g)d/dg возникает из-за
наличия в соотношении, связывающем g и g0, размерного пара-
параметра обрезания Л. Это означает, что инфинитезимальное
масштабное преобразование должно сопровождаться небольшим
изменением константы связи. Наконец, коэффициент б (g) можно
устранить a posteriori конечной перенормировкой массовой вставки.
Чтобы доказать, что эти коэффициенты конечны, разложим
A3 70) по степеням оператора ц> (в случае ср1 -теории по четным
степеням). В импульсном представлении получаем
п- I
*=I гк °
= 2[l-f6(g)}r(f @; p). A3.71)
Для определенности дополним условия нормировки A3.59) тре-
требованием
Гд2>@; 0) =—т\ A3.72)
которое выполняется в порядке &° и является достаточным, для
того чтобы Гд было конечным. Рассматривая уравнение A3.71)
в окрестности точки р = 0 при п = 2, находим два соотношения:
= 0' A3.73)
из которых вытекает, что y(g) и 8(g) являются конечными. При
этом из уравнения A3.71) следует, что $(g) есть также хорошо
определенная величина. Подчеркнем, что эти коэффициенты, вообще
говоря, зависят от нормировочных условий. В практических вы-
вычислениях иногда выгодно использовать условия A3.66), A3.67)
и A3.69), которые связывают данные коэффициенты с расходи-
мостями теории возмущений. Отсюда следует, что в низшем по-
порядке (kl) коэффициенты $ и у на самом деле ни от каких усло-
условий не зависят.
Вышеприведенные рассуждения в значительной степени основаны на исполь-
использовании регуляризованной теории с устремленным к бесконечности парамет-
параметром обрезания Л. У скрупулезного читателя могло возникнуть подозрение,
что этого окольного пуги можно избежать и вывести уравнение A3.70) в рам-
рамках конечной перенормированной теории. Однако в таком подходе отсутст-
отсутствуют |,нтуи№вныс предпосылки. С другой стороны, уравнения Каллана — Си-
манзика могут служить в качестве непосредственной основы для построения
перенормированной теории.
336 ГЛАВА 13
Выше мы обратили внимание читателя на интерпретацию уравнений Кал-
Каллана—Симанзика, связанную с модификацией тождесш Уордл, соответствую-
соответствующих нарушенной масштабной инвариантности Это действительно полезный
аспект уравнений Каллана—Симанзика Однако их можно интерпретрова1Ь
и как ренормгрупповые уравнения Например, в безмассовот, теории это до-
достигается тем, что масштабному преобразованию подвергаема точка вычита-
вычитания ц, а не импульсы, в результате чего уравнение A3.71) принимает вид
8, Ю = 0.
Ясно также, что этот вывод можно обобщить и на дру(ие перенормируе-
перенормируемые теории В случае нескольких безразмерных констант связи функция Р (g)
становится векторным полем В калибровочных теориях, как абелевых, так
и нсабелсвых, функции Грина зависят, вообще говоря, cri калибровочного
параметра К, и в левой части уравнения A3.71) появляется новый член
? (8' к) д/дк, в котором
^(A)|to4. <1374>
Поскольку А,0 связано с константой перенормировки волновой функции Zs
калибровочного поля соотношением
имеем
Cfe, w-ayte, к),
где у = A/2) т (д/дт) lr?Z3 — аномальная размерность В неабелевых теориях
последняя величина так же как и аномальные размерности других полей ма-
материи, зависит от X Как отмечалось в гл 12, такая зависимость не возни-
возникает у ? (g), по крайней мере при определенном выборе нормировочных
условий
Уравнение A3.71) можно сравнить с аналогичным уравнением в электро-
электродинамике A3 28) Ошегим. что в электродинамике существует соотношение
между |3 и аномальной размерностью электромагнитного поля у. Это есть
следствие тождества Уорда. el =e2,Z3.
Проведенный выше анализ можно также обобщить на функции, вклю-
включающие составные операторы Каждый набор операторов, имеющих одинако-
одинаковые размерности, мультиплика! ивно перенормируегся с помощью матрицы
перенормировок Z [см. (8 69)] Сильносвязные функции (возьмем для про-
простоты безмассовую теорию) удовле1воряю! уравнению
(Z-l)k/. A3 75)
So
причем уу (g) = — м -g? Zik
Смысл различного выбора знаков в выражениях A3.67) и A3.75) мы разь-
ясним ниже
13.2.3. Коэффициенты Каллана — Симанзика
ь низших порядках
В случае ф4-теории можно воспользоваться результатами вычи-
вычислений, выполненных в гл. 9 с точностью до порядка к1. Воэ-
можно, более поучительным будет вычисление [i и у, исходя из
контрчленов лагранжиана. Для определенности предположим, что
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
337
проведена гауссова регуляризация
Вычислим Г<2)@), (d/dp2) ГB> @) и Г<*> @) как функции от g0, m0
и А. Мы не будем здесь опускать члены типа «головастик», ко-
которые должны сократиться в конце вычислений.
Для нашей цели достаточно вычислить Г12> @) с точностью до
членов порядка %\ напомним, что в ф4-теории перенормировка
волновой функции в этом порядке отсутствует. Нарисуем диа-
диаграммы Фейнмана и поместим их справа от соответствующих вы-
выражений. Как и в предыдущих главах, будем здесь обозначать
постоянную Эйлера через у Будем также считать, что члены,
записанные как константы, не зависят от Л.
Таким образом, имеем
—mi,
X
— fn -ij- (y + In 2) -f const]
ITlQ J
KJ
Tf @)
A3.76)
XXX
В соответствии с A3.59) получаем
Таким образом, соотношения A3.76) определяют Z, g и т как
функции от тъ, g0 и Л. Подставим т2 вместо ml, удерживая
члены только порядка g2 и используя обозначения
2. A3.77)
Отсюда следует, что
(ln-^ + CGnst) + ...,
|(^) A3.78)
К счастью, члены, пропорциональные Ла, исчезли; остались лишь
логарифмы. Пользуясь определением A3.66), находим
P(g) _ да _
2 DлJ д In Л2 т, о,
n.d\nZ , ™_. Г Зай , ./9 ,_ Л2 9 3 9
В рассматриваемом порядке множитель Z2 можно заменить еди-
единицей. Выражая осо через а, получаем
A3.79а)
Аналогичным образом
' 4+-.. , A3 796)
.... A3.79b)
Как и ожидалось, все коэффициенты являются конечными. Кроме
того, характерные для использованной схемы регуляризации по-
постоянная Эйлера у и In 2, которые появлялись на промежуточных
стадиях вычислений, в окончательных результатах исчезли.
Упражнения
й Проверьте, что f} (g) не зависит от рецепта перенормировки вплоть до по-
порядка ЙЛ
2. Изучите модификации, возникающие при наличии группы внутренней сим-
симметрии О(п).
3. Выведите иэ A3 70) уравнения Каллана — Симанзика, которым должны
удовлетворять функции Vb^ (ф) и Za,^ (ф), рассматриваемые в гл. 9 [см.
выражения (9 116)], и убедитесь, что и рамках теории возмущений им под-
подчиняются выражения, полученные в (9 132).
Можно также использовать результаты, полученные в гл. 12
для калибровочных полей, и вычислить соответствующую функ-
функцию р. Как мы видели, связь между перенормированной и затра-
затравочной константами связи в низшем порядке дается выражением
Энергетический масштаб [х был произвольным параметром, кото-
который позволял определить g без привлечения механизма Хиггса,
приводящего к истинной физической массе Из A3 80) получаем
Р (g) в порядке g3 Добавим сюда также двухпетлевой вклад,
вычисленный Касуэллом, Джонсом, Белавиным и Мигдалом:
Интересная особенность этого результата состоит в том, что в про-
противоположность аналогичным выражениям квантовой электроди-
электродинамики [выражение A3 29)] или гр"-теории [выражение A3.79)]
функция р (g) при g—>0 имеет знак, противоположный g (при
условии, что Ту < A1/4) С). Позже мы убедимся в важности этого
замечания. Заметим также, что вычисление аномальных размер-
размерностей заведомо интересно лишь для калибровочно-инвариантных
операторов. К этому вопросу мы еще вернемся.
Упраянения
1. Покажите, что вычисление, выполненное в квантовой электродинамике,
согласуется с A3.81), если положить С = 0, Tf=Ct=\ и обозначить
Р(а)д/да^$'(е)д/де.
2. Рассмотоите модель калибровочных полей, взаимодействующих со скаляр-
скалярным" бозонами Получите их вклад в низшем порядке и удостоверьтесь,
что он составляет 1/8 фермионного вклада при условии, что поля соот-
соответствуют вещественному представлению
13.3. ВОССТАНОВЛЕННАЯ МАСШТАБНАЯ
ИНВАРИАНТНОСТЬ
13.3.1. Эволюция константы связи
Точное уравнение Каллана—Симанзика находит себе наиболее
интересные применения, когда правой частью, содержащей мас-
массовую вставку, можно пренебречь. Если бы это было не так, нам
пришлось бы иметь дело с цепочкой функционалов Г, Гд, ГДД| .....
отражающих всю сложность структуры амплитуд во всей кине-
кинематической области их определения. Нас же интересует только
глубоко евклидова область, в которой любые импульсы стано-
становятся большими. Разумеется, зто имеет смысл лишь тогда, когда
задан некоторый массовый масштаб. Здесь нас выручает теорема
Вайнберга, рассмотренная в гл. 8. Ее применение к строго пере-
перенормируемой теории показывает, что в рамках теории возмуще-
возмущений в соотношении A3.71) величина Гд' подавляется некоторой
степенью параметра рг (с точностью до логарифмов) по сравнению
с левой частью этого соотношения. Поэтому безмассовый предел
теории существует при условии, что вычитания производятся при
ненулевом импульсе. Это определяет выбор энергетического мас-
масштаба. Здесь и далее Г$ будет обозначать соответствующие без-
безмассовые функции Грина. Они удовлетворяют однородному урав-
уравнению
1 = 0. A3.82)
^ *=i ' "и* "s ')
Аналогичные уравнения можно получить и для Г'д"; справедли-
справедливость наших предположений будет доказана, если решения этих
уравнений пренебрежимо малы по сравнению с Г°!).
Решение уравнений A3.82) по своей структуре напоминает
соотношение между затравочными и перенормированными пара-
параметрами. Это, разумеется, связано со способом, с помощью кото-
которого были получены эти уравнения. Отличие состоит лишь в том,
что расходимости здесь уже исключены. Изменение масштаба
импульсов будет сопровождаться конечной перенормировкой. Чтобы
описать соответствующие эффекты, введем функцию g(k), пред-
представляющую собой решение дифференциального уравнения
В случае нескольких констант связи обобщением A3.83) будет
система дифференциальных уравнений первого порядка Введем
также функцию
dg-v(g')\; 2(i) = i.(i3.84)
Pte')
Уравнение A3.82) принимает тогда вид
l)\' 2A) =
J
A3.85)
Отсюда следует, что
Г?> (kpt; g) = X*-»z (к)-" Г™ [pc g(Щ. A3.86)
Помимо наивного масштабного фактора Х1~п появляется аномаль-
аномальная размерность [г(Х)~л], а константа связи меняется на g(X).
Остается найти, что происходит в пределе X—> оо. В част-
частности, нам следует изучить асимптотическое поведение функции
g(X). Из уравнения A3.83) видно, что главным является вопрос
о расположении нулей функции p(g). Возможен исключительный
случай, когда исходная константа связи g(\) в точности совпа-
совпадает с положением такого нуля; назовем его g^. В этом случае
ё(Ц = Иоо независимо от значения к.
Вообще говоря, значение g(X) при X— -> бо будет изменяться;
оно растет, если величина р> положительна, и уменьшается, если
Р отрицательна. Такая зависимость нарушается, если функция р
обращается в нуль. Возможна ситуация, когда g—>оо с ростом X.
Это может случиться, если р имеет тот же знак, что и g, при
любых g и обращается в нуль только при g = 0. Эту ситуацию
сложно анализировать, поскольку при к—»<х> приходится иметь
дело с режимом сильной связи.
Чтобы функция g(k) стремилась к конечному пределу ga,
когда X—> оо, необходимо, чтобы P(groo) обращалась в нуль и
(g-gjft(g) было отрицательным в окрестности точки gm. Такой
нуль называется ультрафиолетовой фиксированной точкой (рис.
РИС. 13.5. Ультрафиолетовая
фиксированная точка.
13.5). Может случиться так, что фиксированная точка является
ультрафиолетовой притягивающей с одной стороны и ультрафио-
ультрафиолетовой отталкивающей—с другой. Это имеет место в случае,
когда два простых нуля совпадают. Для простого притягиваю-
притягивающего нуля In Я будет расходящимся:
J go.—
a g(X) будет стремиться к gm как обратная степень величины X.
Аналогичный анализ можно выполнить в случае кратного нуля.
С другой стороны, от поведения у (g) в окрестности g^ мы не
ожидаем ничего необычного Если y^ = y(gj), то с точностью до
независимого от X множителя
z{X) ~ %ч~.
В общем случае притягивающие и отталкивающие фиксиро-
фиксированные точки появляются последовательно вдоль оси g В зави-
зависимости от исходного значения g({) эффективная константа связи
g(X) при X—>¦ оо будет стремиться к ближайшей притягивающей
ультрафиолетовой фиксированной точке
Ультрафиолетовые неустойчивые точки, для которых (g — g«,) P (g) > О
являются инфракрасными точками притяжения и соответствуют предельным
значениям g (А,) при X —* 0 Они представляют интерес, если в безмассовой
теории аиализируе1ся предел больших расстояний или мачых по сравнению
с параметром ультрафиолетового обрезания импучьсов Эго как раз предмет
теориь критических явлений, в которой т = 0 соответствует критической тем-
температуре, а предметом исследования являются дальнодействующие корреляции
Возвращаясь к нашей исходной задаче, мы заключаем, что
наличие близкой ультрафиолетовой фиксированной точки приводит
к тому, что при больших X асимптотическое поведение амплитуд
записывается в виде
rtB)(V,; 8) — Г?'(Ь/?,; ?)~^-"<1+^>Г<"Лл; 8J. A3.8-7)
Мы снова пришли к масштабной инвариантности, соответствую-
соответствующей в данном случае некоторому конкретному значению константы
связи gx При этом поле имеет эффективную размерность
<*.ФФ(Ф) = 1 + ?.. A3 88)
Функции Грина, содержащие массовую вставку А, подчиняются уравнению
где уд (g) = д In Z<p«/d In Л [см уравнение A3 75)] До тех пор пока уд (gm) < 2,
основывающееся на теории возмущений отождествление асимптотическою ре-
режима и безмассового предела законно В противном случае массовая вставка
эффективно соответствует жесткому оператору и теорию следует переформу-
переформулировать. Дополнительные замечания по этому поводу см в разд 13 3 3
Это блестящее рассуждение, которым мы обязаны главным
образом Вилсону, показывает, каким образом ренормализационная
группа позволила обнаружить существование нетривиального мас-
масштабного поведения Вопрос теперь заключается в том, чтобы
выяснить, имеет ли р (g) нули указанного вида Однако, поскольку
точка ^=0 всегда является таким нулем, вследствие того что
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
343
Р (ё) равна нулю в отсутствие взаимодействия, особый интерес
представляет изучение природы этой фиксированной точки в рам-
рамках теории возмущений.
Упра), нения
1 Обсудите, как отразится наличие кратного нуля на асимптотической фор-
формулировке масштабной инвариантности, и найдите поправки к асимптоти-
асимптотическому поведению
2 Покажите, что из положительности спектральной плотности в представле-
представлении Челлена — Лемана для двухточечной функции следует, что у :> 0 и что
7оо = 0 соответствуют свободной теории, как было отмечено ГТаризи, а так
же Калланом и Гроссом
13.3.2. Асимптотическая свобода
Мы привели вычисления C (g) при малых g в случае самодейст-
самодействующего скалярного поля и абелевых или неабелевых калибро-
калибровочных полей На рис 13 6 приведены соответствующие резуль-
а
РИС. 13 6 Функция |3 (g) вблизи начала координат, а— самодействующее
скалярное поле, б—неабелево калибровочное поле при ПС >4Т^; в— неабе
лево калибровочное поле при ПС < ATf, электродинамика С = 0, 7/=1, или
взаимодействие Юкавы
таты. В квантовой электродинамике рассматривалась величина
4лр (а)/2е [причем р (а) определялась выражением A3.29)] как
функция от е.
Если g = 0 представляет собой ультрафиолетовую фиксиро-
фиксированную точку, то мы говорим, что соответствующая теория
асимптотически свободна Среди приведенных здесь примеров
только неабелевы кглибровочные поля с малым числом фермионов
обладают этим свойством На первый взгляд такой является ф4-
теория при g<0 Но скорее всего при g < 0 она нестабильна
Поскольку асимптотическая свобода означала бы, что по крайней
мере в области больших импульсов радиационные поправки можно
вычислять по теории возмущений, можно было бы найти неогра-
344 ГЛАВА 13
ничейный эффективный потенциал. Вслед за Коулменом мы при-
приходим к заключению, что для g < 0 теория нестабильна.
В исчерпывающем исследовании Коулмен и Гросс установили
следующий результат. Никакая перенормируемая теория поля не
является асимптотически свободной в четырех измерениях, если
она не содержит неабелевы калибровочные поля.
Наметим схему вывода этого важного результата.
а) Скалярная теория
Взаимодействие <р4 обобщается на произвольный набор взаимодействующих
скалярных нолей, заданных в виде
¦5?вз = — gijki Ф rtP/P*<Pj.
где тензор gijki полностью симметричен. В первом порядке по h имеем
fojki =>. ^ ёцы М = А ? Ыптп W g/bmn W + Перестановки],
где А > 0. Предполагая для стабильности форму 4-го порядка
положительной, найдем, что $цц > 0.
б) Взаимодействие Юкаеы
Лагранжиан взаимодействия имеет вид
Условие положительности $цц может нарушаться, но все консчанты связи
gijki не могут одновременно обращаться в нуль в асимптотической области.
Действительно, если
то J
Поскольку абелевы калибровочные поля также не являются асимптот ически
свободными, остается единственная возможность—ввести неабелевы калибро-
калибровочные поля.
Если поля Янга — Миллса связаны с фсрмионами, то для простой кали-
калибровочной группы необходимо, чтобы выполнялось условие ПС > 4Т,. Если
прису1сгвуют 1акже бозонные поля, ситуация осложняется. Прежде всего
этих полей не должно быть слишком много, G тем чтобы сохранялось усло-
условие f> (g) < 0, где g—калибровочная конс[анта связи. Кроме того, эти поля
имеют свои собс!венные константы, хараюеризующие их самодействие Пред-
Предположим, например, что существует единственное скалярное поле, принадле-
принадлежащее присоединенному представлению. Соответствующая константа само-
дейс!вия gq/ в низшем порядке будет удовлетворять уравнению вида
где А > 0. При этом величина а=§ф/§2 будет определяться уравнением
Кроме того, мы должны предположить, что g<p имеет по крайней мере поря-
порядок g2; в протквном случае положительный член Аа2 буде1 доминирующим
и приведет к уничюжепию асимптотической свободы Правая часть послед-
последнего уравнения имеет два корня аг и а2 порядка единицы при условии, ч;о
В2 > 4АС При этом необходимо тщательно соблюдать баланс между числом
полей, поскольку добавление фермионов приводит к росту величины В. Если
такой баланс выполняется, то при X —s- оо величина gq, (X) будет вести себя
как ag2 (к) (где а —один из корней данного уравнения) и, следовательно,
удовлетворять требуемому свойству Общая ситуация при наличии несколь-
нескольких бозе-полей оказывается еще более запутанной и требует в каждом конк-
конкретном случае детального рассмотрения.
Введение таких бозе-полей может быть вызвано необходимостью генери-
генерировать массовые члены с помощью механизма спонтанного нарушения сим-
симметрии. На практике, однако, трудно объединить асимптотическую свободу и
нарушение симметрии. Путем введения взаимодействия Юкавы g~ мы мо-
можем в лучшем случае создать зону нестабильности на линии притяжения в
плоскости (g, g- ). Обсуждение этого вопроса можно найти в лекциях Грос-
Гросса, цитируемых в примечаниях к данной главе.
Выводы, сделанные исходя из вычислений нескольких первых
членов вблизи g = 0, основываются, конечно, на предположении,
что ряд теории возмущений является асимптотическим. При об-
обсуждении высших порядков (гл. 9) мы убедились, что это луч*
шее, на что мы можем надеяться. Полные ряды, вероятно, рас-
расходятся и имеют существенную сингулярность в точке g = 0.
Очевидно, что вычисление р1 (g) в точках g, удаленных от g = 0,
остается задачей будущего.
В асимптотически свободной теории поведение амплитуд при
больших импульсах может быть вычислено, если точка g = 0
является ближайшей фиксированной точкой. Это одна из причин,
почему данной точке уделяется такое большое внимание со сто-
стороны теоретиков. Однако название «асимптотическая свобода»
несколько вводит в заблуждение, поскольку даже в этом случае
имеется логарифмическое отклонение от законов масштабного
преобразования, свойственных свободной теории. Если
Р (g) = — bga+ О (gb), b>0, A3.89)
то для g(X) получаем
g2 ft> а 1ьШ + ° [ 'опУ 1 ' A3-90)
Для большинства интересных операторов функция y(g) будет
иметь порядок g2:
Y(g)=cg2+0(g*). A3.91)
Следовательно, масштабный фактор будет содержать логарифмы
z (X) ~ ехр — \ j- -fr ~ (Щ* In %yi*K A3.92)
При этом поведение функции Грина, включающей оператор О,,
в случае X—>¦ оо будет отличаться от канонического множителем
{ )
Существование асимптотически свободных теорий имеет дале-
далеко идущие последствия при построении моделей сильных взаимо-
взаимодействий Эти теории позволяют нам согласовать два, казалось
бы, противоречивых свойства Взаимодействия при ни жих и сред-
средних энергиях оказываются на самом деле сильными и обладают
сложной структурой за счет многочисленных резонансов Прибли-
Приближенная SUC)- или 5?/D)-симметрия дает качественное описание
адронов как составных связанных состояний кварков Однако все
попытки выделить эти составляющие в свободном виде до сих
пор терпели неудачу При более высоких энергиях кварки взаи-
взаимодействуют гораздо слабее вплоть до точки, в которой они, по-
видимому, действуют как свободные частицы Соответствующая
кинематическая область, достижимая в реальных эксперименталь-
экспериментальных условиях, представляет собой прос1ранство светоподобных
интервалов В разд 13 4 и 13 5 мы увидим, что обсуждавшееся
до сих пор разложение на малых расстояниях можно обобщить
и на данную область. При этом можно объяснить наблюдаемое
парадоксальное поведение константы связи, если предположить,
что взаимодействия кварков описываются асимптотически свооод-
нол теорией поля Катастрофические инфракрасные сингулярности
были бы тогда ответственны за конфайнмент кварков Эги при-
привлекательные рассуждения с неизбежностью требуют, что1ы
такая модель включала неабелевы калибровочные поля, связанные
с ненаблюдавшейся (а может быть, и ненаблюдаемой) цветной сте-
степенью свободы
Обобщение на случай нескольких констант связи и соответствующую много-
многомерную эволюцию открывает громадное богатство различных явлений, таких,
как стабильные фиксированные точки, предельные циклы, эргодическое пове-
поведение и т д Однако трудности получения достоверной информации об эволю-
эволюции констант связи вдали от точки, в которой они все равны нулю, несколько
ограничивают ценность таких исследований.
13.3.3. Массовые поправки
Вернемся к вопросу о самосогласованности безмассовой асимпто-
асимптотической теории. Заметим, что при определении амплитуд теории,
возмущений в области больших импульсов мы пренебрегли не-,
главными вкладами Наличие этих вкладов отражает то, что в
лагранжиане имеются члены, размерность которых меньше четы-
четырех, и соответствующие им константы связи положительной pa s-
мерности в единицах энергии Как правило, эти члены являются
массовыми Мы уже упоминали, что можно определить аномаль-
аномальные размерности составных операторов О,, таких, как ф2 или
Щ, благодаря их мультипликативной перенормируемости. Пред-
Предположим для простоты, что матрица перенормировок диагональна
и имеет вид Z(-(A/m, g0). Определим функцию
?/(?) = Л Jf In Z, (Л/т, $,). A3.93)
Если gx—ультрафиолетовая фиксированная точка, то эффектив-
эффективная размерность оператора О,- будет отличаться от канонической
размерности d(- в соответствии с соотношением
gj, A3.94)
где подразумевается только случай dt < 4. Как правило, массо-
массовыми поправками можно пренебрегать до тех пор, пока удов-
удовлетворяется критерий Вилсона:
<4. A3.95)
Это условие будет автоматически выполняться в асимптотически
свободной теории, в которой у, (g^) —*0. Напомним, однако, что
логарифмические поправки все же портят каноническое поведение.
Весьма близкий по духу к вышеприведенному метод анализа
данного вопроса был предложен Вайнбергом. В его методе вводят-
вводятся контрчлены, не зависящие от перенормированной массы, с
точностью до тривиальных размерных множителей Иными сло-
словами, последние не фиксируются явно. Такого результата можно
добиться, исполыуя размерную регуляризацию и перенормировку.
При таком подходе в уравнении ренормгруппы уже нельзя пре-
пренебрегать членом, связанным с массовой вставкой. В ф4-теории
решение соответствующего уравнения
Тп(Хр,; g, mi) = Xl-tt[z(k)]-"Tn[pt; g(k), пгЦХ)], A3.96)
см
где
Покажите, что в низшем порядке вклад однопетлевои диаграммы на рис, 13.7
дает
РИС. 13.7. Массовая вставка низшего порядка в теории ф*.
Когда Х—юо, условие т2(Я)—»0 соответствует условию
Тд (SJ) < 2, и, следовательно, оно эквивалентно критерию Вилсо-
Вилсона A3.95). Только в этом случае имеет смысл рассматривать
348 ГЛАВА 13
безмассовую масштабно-инвариантную теорию, даже если данное
условие не выполняется в теории возмущений. Из приведенного
выше анализа нельзя было сделать вывода о том, что мягкую
массовую вставку можно изучать в рамках теории возмущений.
Действительно, в бэзмассовом пределе производные достаточно
высокого порядка or функций Грина по массе являются сингуляр-
сингулярными. Это является следствием того, что с некоторого момента
увеличение числа вставок не улучшает ультрафиолетового пове-
поведения (см. обсуждение теоремы Вайнберга в гл. 8). Интуитивно
это можно понять следующим образом. Вторая (третья) производ-
производная по т бозонного (фермионного) пропагатора в общем случае
приводит к появлению при т—+0 логарифмической инфракрасной
сингулярности в соответствующей фейнмановской диаграмме.
Следовательно, можно ожидать, что при малых массах имеются
сингулярности типа
т% (In ms)a [m3P (In mF)a].
13.4. ГЛУБОКОНЕУПРУГОЕ ЛЕПТОН-АДРОННОЕ
РАССЕЯНИЕ И ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННАЯ
АННИГИЛЯЦИЯ В АДРОНЫ
Рассмотрим здесь более детально материал, уже рассматривав-
рассматривавшийся в гл. 11. В данном разделе мы зададимся целью обсудить
приложение теоретико-полевой модели к описанию лептон-адрон-
ных процессов с большой передачей импульса.
13.4.1. Электророждение
Начнем с обсуждения электромагнитного рассеяния заряженных
лептонов (электрона или мюона) на нуклоне (см. рис. 11.8 в
гл 11). Начальный и конечный импульсы лептона обозначим соот-
соответственно / и /' и при высоких энергиях будем пренебрегать
массой лептона. Начальный нуклон с импульсом р (массой т)
превращается в некоторое конечное состояние X, которое не наблю-
наблюдается; такие процессы называются «инклюзивными». Пренебре-
Пренебрегая радиационными поправками, будем рассматривать электро-
электромагнитное взаимодействие в низшем порядке. В этом процессе
фотон переносит пространственно-подобный импульс g — l—/' от
лептона к адронной вершине.
На практике измеряемыми величинами являются начальная и
конечная энергии лептопа Е и Е', а также угол рассеяния 9 в
лабораторной системе. Мы не будем обсуждать здесь поляриза-
поляризационные эффекты. Кинематические инварианты записываются в
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 349
виде
\ = p.q*=m(E — E'), A3.97)
М2 = (р + qf = m2 + 2/Ti(E-E')-iEE' sin2(9/2).
Поскольку нуклон является легчайшим состоянием с барионным
числом, равным единице, из условия стабильности М2^т2 сле-
следует, что переменная Бьёркена
x = 0)-1=s— q*/2v A3.98)
изменяется в пределах
0<*<1. A3,99)
Верхний предел соответствует упругому рассеянию. В литерату-
литературе встречаются оба обозначения: как х, так и ш.
Пусть J ц — адронная компонента электромагнитного тока.
Амплитуда рассеяния записывается в виде
Sfl = iBn)*8^{px + l'-p~t)u(l')ru(l)^-<px\Jtl@)\p>. A3.100)
Таким образом, инклюзивное сечение рассеяния неполяризован-
ных лептонов и нуклонов дается выражением
Л
<P\J»(O>\PxXPx\JA0)\p>.
Поляриз
Используемые обозначения подразумевают суммирование по нук-
лонным поляризациям. Явные вычисления дают
j Sp (%ifi'} = 1 (W + Г1 Г' -g^ I ¦ /'),
X Поляриз
Поляриз
В интересующей нас кинематической области тензор W^ можно
также представить как фурье-образ коммутатора токов:
^), yv@)]|p>. A3.101)
Полярнз
350 ГЛАВА 13
В электромагнитном случае релятивистская инвариантность, сох-
сохранение тока и четности позволяют выразить W^v через две
структурные функции 1FX и W\, которые являются обобщением
упругих формфакторов [ср. с выражениями C.203) в т. 1 настоя-
настоящей книги]:
--- <>ЗЛ02)
Сечение рассеяния дается выражением
Связанное с экспериментом ограничение, а именно sin2(9/2)<<; 1,
делает затруднительным извлечение функции IF, из данных.
Амплитуда W^v связана с сеченш.ми рассеяния поляризованных виртуальных
фотонов на нуклоне Обозначим через от поперечное, а через os~ продольное
сечения (причем п$ =0 при <72 = 0). Покажите, что
здесь в 07 и а^ плотность потока выбирается такой, как если бы фотоны
6б1ли реальными, но имели ту же самую энергию.
Найдите из этих выражений условия положительности функций W\ и Й72.
В случае упругого ррсееяния (<в—1) выведите следующие соотношения, свя-
связывающие Wi и W2 с электрическим и магнитным формфакторами Gg (q2) и
Gm (q*):
(v, 9s) = - ?- GM (<?2)
<2v+Л.
Напомним, что как было усыновлено в гл, 11, при анализе нейтринного рас-
рассеяния необходимо учитывать также третью структурную функцию Wa. Се-
Сечение рассеяния нейтрино (v) или антинейтрино (v) записывается [ср. с вы-
выражением A1.101)] в виде
do(v- v) EE'm do(v- v>
dQ'dE'~ n dvdq*
dx dy 2n
A3.106a)
*(l-iH^T. "A3.1066)
где введена переменная у:
Е — Е'
v
A3.107)
Дополнительный вклад обусловлен интерференцией между векторной и ак-
аксиальной частями тока. В высокоэнергетическом пределе, когда массой ко-
конечного лептона (электрона или мюона) можно пренебречь, несохраняющаяся
часть тока пропадает.
Экспериментальные данные указывают, что не только в области
возбуждения резонансов, но и в глубоконеупругои области, в ко-
которой — цг и v очень велики, сечение остается значительным.
При фиксированных q2 значение интеграла по v сравнимо с се-
сечением Мотта для рассеяния на точечном нуклоне. Измерения
с высокой степенью точности под различными углами позволяют
f
РИС. 13.8. Функция vWj//n, построенная в зависимости от модифицирован-
модифицированной масштабной переменной co' = Bv+mSl)/{—q\ /? — 0.18. Используются дан-
данные, полученные в СЛАК'е. Эги данные обсуждались в докладе Р. Тейлора
на конференции в Палермо A975 г.). При больших значениях —g2/m2 резо-
нансы, отвечающие малым ю', оказались размытыми.
отделить W1 и W2 и получить отношение R = os/oT, где os и ат
определяются выражениями A3.104). Значение этого отношения
мало: /?~0,15. Но наиболее впечатляющим является масштабное
поведение (скейлинг), предсказанное Бьёркеном и Фейнманом1).
х) На возможность «точечноподобного» поведения сечений глубоконеупру-
гого взаимодействия нейтрино с нуклонами указал- также М. А. Марков
в 1963 г. (см. примечание редактора перевода в конце настоящей главы).—
Прим. перев.
В глубоконеупругой области безразмерные величины 2mW1 и
\Wjrn переходят в нетривиальные функции масштабной перемен-
переменной со = 2%7(—qz). Это показано на рис. 13.8, на котором функция
\Wjtn представлена в виде зависимости от модифицированной
переменной со' — B\-\-т2)/(—q2) ~ со. Аналогичные результаты
получены и для нейтринного рассеяния.
Эти явления заставляют предположить, что лептоньт рассеи-
рассеиваются на точечноподобных почти невзаимодействующих состав-
составляющих, спин большей части которых равен 1/2 (что соответствует
отношению R = 0). В рамках феноменологической партонной мо-
модели— это название дали ей Бьёркен и Фейнман — удается вы-
вывести несколько правил сумм, согласующихся с эксперименталь-
экспериментальными данными. Самосогласованное обоснование партонной картины
дает асимптотически свободная теоретико-полевая модель, в ко-
которой составляющими являются фундаментальные кванты: кварки
и глюоны.
13.4.2. Динамика на световом конусе
Изучим более подробно кинематическую область, которая зонди-
зондируется в экспериментах по глубоконеупругому рассеянию. При
высоких энергиях мы фактически исследуем сингулярности ком-
Ро
РТ
РИС. 13.9. Система координат с
бесконечным импульсом.
мутатора [У,, (х), Jv@)]. Сингулярности появляются на малых
расстояниях (я~0) или при светоподобных интервалах (jc2~O).
Поскольку коммутатор обращается в нуль вне светового конуса
(т. е. при х% < 0), то в пространстве Минковского упомянутые
малые расстояния являются времениподобными. Чтобы изучить
такую область, нам придется рассмотреть импульсное простран-
ство при больших q и малых а. Однако физическая область огра-
ограничена условием со > 1. В экспериментально доступной области
можно записать q в виде q = kn— qu, где п—светоподобный век-
вектор, а параметр % велик. При к—> оо имеем —g2~2X(n q0)—>ю,
\~к(п-р) —> оо и величина ay~p-n/qo-n стремится к конечному
пределу. Грубо говоря, можно ожидать, что область, в которой
[п х)~1А, зондируется таким образом, что х2~0 AД)~0A/—</2)-
Следовательно, изучаемая нами структура сингулярностеи комму-
коммутаторов токов находится вблизи светового конуса Поэтому по-
полезно сформулировать гипотезы, лежащие в основе партонной
модели, в так называемой системе координат бесконечного им-
импульса (рис. 13.9).
Рассматривается динамическая эволюция с начальными условиями, задан-
заданными на гиперплоскости, содержащей некоторое свегопочобное направление,
чго соответствует ситуации, когда энергии и продольные имп\льсы велики
и сравнимы по величине. Не вдаваясь в детали, изложим схематически ин-
интуитивные рассуждения партонной модели Обозначим через Р величину боль-
большою продольного импульса протона, например в системе центра масс, тогда
его 4-импульс приближенно равен pss(P, О О, Р) Мишень представим как
совокупность JV элемешарных составляющих, которые в течение их электро-
электромагнитных взаимодейс!вий рассматриваются как свободные частицы с про-
продольными импульсами ккР, и пренебрежимо малыми по сравнению с У—д2
поперечными импульсами В этой системе отсчета 4-импульс виртуального
фосона имеет приб гижепно координаты q~(yj1P, ]А—<?2 , 0, —v/2P). Пра-
\
1гп
РИС. 13.10. Вклады парюнов в структурную функцию.
вила Фейнмана в системе бесконечного импульса подобны правилам нереля-
нерелятивистской теории возмущений Таким образом, в сечение рассеяния i-я со-
составляющая дает вклад, пропорциональный величине
Q*|-6 (?¦'-?-<?„),
где Qi—заряд этой составляющей (рис. 13.10) Поскольку ее начальный им-
импульс равен Х[Р, мы имеем
E' — E — c
-q*+lXiP—w\ -x,P—~r
2P " 2x,P
Следовательно, рассматриваемый вклад можно также записать в виде
v
12 № 18 45
позволяющем интерпретировать масштабную переменную х=<о~1 как долю
полного импучьса приходившегося на составляющую до ее рассеяния на
виртуальном фотоне Модель дополняется предположением, что вероятность
такого события равна / (х), причем
Для простоты рассмотрим случай, когда / (х) не зависит от типа (-и состав-
составляющей Отсюда следует, что структурная функция, скажем №2, дается вы-
выражением
± Wi (v, <?2) =/>, (—IJ-) - A3.Ю8)
где
и автоматически удовлетворяет масштабной инвариантности Аналогичным
образом функция mWi (v, q*) равна функции f, (— q*/2v) Соотношение между
Fj и F2 зависит от спинов составляющих, причем для спина 1/2 имеем ра-
равенство
2xP1(x)=F2(x), A3 109)
которое соответствует 7? = o5/Oj- = 0, Используя закон сохранения полной
энергии-импульса B*f=l), находим правила сумм
(.3.110,
Главным предположением этого подхода является гипотеза о квазисвободном
поведении партонов в процессе взаимодействия с внешним гоком и пренебре-
пренебрежение поперечными степенями свободы.
Можно получить эквивалентное описание, если при вычислении
вклада адронного тока в окрестности светового конуса в A3 101)
подставить свободные поля для адронных составляющих. Этот
ток записывается в виде
J»(x)-*$(*) t<№ (х), A3.111)
где \|>—свободное фермионное поле, a Q—зарядовая матрица.
Используя антикоммутатор C.170) (см. т. 1 в настоящей книге)
355
находим
У»(х), Jv(y)]
(
Поскольку рассматривается диагональный матричный элемент и
производится суммирование по поляризациям мишени, вклад
в A3 101) дают лишь члены, четные относительно перестановки
H<-»v Разложим произведение полей в ряд Тейлора
i (х) ф (-х) = ? -^ #'...#»if @)Я,... Я„Ч> @)
и используем соотношение
В результате получим
j№»(*). JA-x)]+[Jv(x), ^д(-х)]}-
%1. . . Чя ±
п нечет
A3.112)
В окрестности х'—) коммутатор разложен в бесконечный ряд
по регулярным локальным операторам, умноженным на соответ-
соответствующие с-числовые обобщенные функции. Чтобы в пределе
Бьеркена вычислить тензор W^, нам понадобятся матричные эле-
элементы
¦1 ? (р -^-0^ »*» р}=*ап+1(рер»>...р»» +Свертки). A3.113)
Потяриэ
Члены, содержащие свертки по двум индексам, не дают вклада,
когда умножаются на произведение х^...х^г, как в A3.112).
Таким образом, имеем
~2 52 (Р ^д (") ' ^v ( — ТУ г) =
Поляриэ
Поляриз
—л—~ О I
19*
356 ГЛАВА 13
Подставим сюда выражение A3.113) и введем функцию f (х) еле-
дующим образом:
^H'^. A3Л14)
где х, как мы убедимся ниже, является масштабной переменной
(не путать ее с координатой!). Это означает, что матричные эле-
элементы а„+1 представляют собой моменты функции распределения
f (х). Пренебрегая величиной р2 = т? по сравнению с р q, находим
dxeix w« Ш. х
Выполняя интегрирование по у, приходим к выражению
w Г~ B) + ~~P~^^) [P—^"
где, очевидно, д: = со * =— q2/2v.
Таким образом, мы снова получили структурные функции пар-
тонной модели:
= F.(Y\ = mf(y\l2Y (I3.116)
Возникают вопросы, почему такое незамысловатое приближение
хорошо описывает эксперимент и какие ожидаются к нему по-
поправки? Ответ на эти вопросы связан с существованием асимпто-
асимптотически свободной теории. В разд 13.5 мы проведем более де-
детальное рассмотрение этого вопроса.
В экспериментах с поляризованными лептонами и нуклонами можно измерять
антисимметричную часть коммутатора гоков Покажите, что, если известна
степень поляризации спина в направлении падающего пучка, справедливо
следующее выражение:
-(?—?'cos 9) (?+?') mg(v, ql)\, A3.117)
где величины d (v, q3} и g (v, q2) даются выражением
p, S>-<,p,—S\[JVi(x), Jv@)]|p,-S>}=
giv, <?2)] A3.117a)
и 4-вектор S поляризации нуклона удовлетворяв! условию S-p — S^-\- I =0.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
357
13.4.3. Электрон-позитронная аннигиляция
Процесс аннигиляции электрона и позитрона в адроны при очень
высоких энергиях (несколько ГэВ) оказался удивительно плодо-
плодотворной областью исследований. Однако из-за недостатка места
мы не будем здесь обсуждать открытие узких резонансов, таких,
как if и гр', а также соответствующую спектроскопию.
Im
в
РИС. 13.11. а—борновгкая диаграмма для процесса е+е~—>A+ц~; б — про-
процесс е+е~ ¦—>• Адроны; в—сечение ое+е- _„Адроны, выраженное через адрон-
ный вклад в поляризацию вакуума
Сечения этих процессов имеют порядок нескольких десятков
нанобарн A0~33 см2) и сравнимы по величине с вероятностью
электромагнитной аннигиляции е+е~—>fx+|j,~. Последний процесс
схематически представлен па рис. 13.11, а. При очень высокой
энергии, когда квадрат энергии в системе центра масс д2 много
больше, чем массы, сечение процесса е+е~ —>-fx+fx~ дается выра-
выражением
-I-
dsP+ d3P_
2 I
Поляриз
86'9
[нб].
A3.118)
Аннигиляция в адроны включает матричные элементы тока J^.
Учитывая эрмитовость тока, сечение неполяризованных электро-
368 ГЛАВА 13
нов и позитронов можно записать в виде
(g»4 P4PV —р
p. —P4PV-
A3 119)
Поскольку вектор q лежит во времениподобнои области к q0 > О,
справедливы равенства
<01 ¦/„(*)
>. A3.120)
Таким образом, аннигиляция при высокой энергии позволяет
изучать вакуумный матричный элемент коммутатора токов на
малых времениподобных расстояниях Займемся снова исследова-
исследованием асимптотической области Однако следует заметить, что
переход от пространственно-подобных малых расстояний к времени-
подобным может выйти за рамки невинных модификаций
Фурье-образ коммутатора, входящего в выражение A3 120),
связан с адронным вкладом в амплитуду рассеяния вперед соот-
соотношением (рис. 13.11, б)
= 2Im [i \ й*хе1" x <0\TJ ^(x) J v@)\0>] . A3.121)
С точностью до множителя е2 выражение в правой части соот-
соотношения A3.121) представляет собой также адронный вклад
в поляризацию вакуума:
t J^xe"'-<0|TJli(x)Jv@)t0> = ^MW2-^v)«ft(<72)- A3 122)
Таким образом,
-^^1т ©*(?•). A3.123)
Следует заметить, что сечение ае+е- _^^+^~ имеет ту же самую структуру,
ттричем член 1тсол заменяется на вклад мюонной петли [см формулу G 11)
в т 1 настоящей книги]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
359
1бя2а2 , -
4яа2
Отсюда получаем выражение
которое согласуется с A3.118)
По традиции отношение сечения е+е~-аннигиляции в адроны к
сечению аннигиляции в пару fx+fj,~ также обозначают через R:
R fa*) =
Ь' = 12я Im
A3.125)
Непосредственное применение партонной модели дает предельное
значение этого отношения
lim R(q*)
A3.126)
в виде простой суммы вкладов от взаимодействующих в низшем
порядке по а заряженных элементарных составляющих со спи-
спином 1/2.
Используя модели внутренних симметрии адронных состояний,
можно получить различные значения Rm в соответствии с числом,
РИС 13.12 Оч.о'иение Я = ае+(,_ _ Аярояы/ое+е- ^ц+н- как функция пол-
полной энергии E=Y~q2 в системе центра масс, полученное при измерениях
в СЛАК'е- Данные приведены в работе- Schwitters R F., Strauch К.— Ann
Rev. Nucl. Sci., 1976, vol. 26, p 89.
типом и зарядами составляющих. Октетная модель кварков с за-
зарядами 2/3, —1/3 и —1/3 и тремя цветными степенями
свободы предсказывает отношение /?га = 2 Если имеются допол-
дополнительные квантовые числа, то это отношение увеличивается.
Например, с-кварк с зарядом 2/3 должен вносить дополнитель-
360 ГЛАВА 13
ную величину 4/3, что дает /?ет = 10/31). Массивный лептой в
области около 2 ГэВ, рождающийся парами и неотличаемый от
адронных состояний, снова увеличивает R^ на единицу. На рис.
13.12 представлено несколько экспериментальных результатов,
полученных до 1976 г. Мы видим, что значение R(q2), по-види-
по-видимому, установится на значении, предсказываемом рассмотренной
моделью. Однако последующие эксперименты, возможно, приве-
приведут к неожиданным результатам.
Асимптотическое поведение A3.126) можно установить экви-
эквивалентным образом, предполагая, что свойства вакуумного мат-
матричного элемента в окрестности точки х = 0 определяются сво-
свободными полями:
<0 ] Ун (х) Jv @) 10> х~ о ^ (d,A-g,w D) (х2_'-ехоJ • A3-127)
Мы можем угадать вид поправок к Ra, которые характерны для
теоретико-полевой асимптотически свободной модели. Из того
факта, что константа перенормировки для сохраняющихся токов
равна единице (см. ниже), мы имеем следующее приближенное
выражение для функции R при больших q2:
R[q*, ^)]««.[I"rWJ'/+-]' A3Л28)
где g(k)—бегущая константа сильного взаимодействия. Выра-
Выражение A3.128) получено из формулы двухпетлевого приближения
для поляризации вакуума [выражение A3.13)], которое позво-
позволяет оценить вклад порядка g2(X) в ImoA Множитель Т} связан
с внутренними квантовыми числами фермионов, а величина R^
дается выражением A3.126). В соответствии с равенствами A3.81)
и A3.90) величина g2(ty при больших А. записывается в виде
Такая поправка предсказывает, что /?„ медленно приближается
сверху к асимптотическому значению [как (Ing2)]. В обычном
разложении по теории возмущений доминирующий вклад полу-
получился бы от разложения величины A3.124) в ряд по степеням
m2/q2. При этом мы получим
A3.130)
т. е. отрицательную и быстро меняющуюся поправку.
1) В 1977 г. были обнаружены тяжелые Г- и Г'-мезоны с массой 9,5 и
10 ГэВ, которые интерпретируются как связанные состояния нового, пятого
кварка с электрическим зарядом —1/3 и соответствующего ашикварка Име-
Имеется ряд указаний на существование еще одного более тяжелого, /-кварка,
который, однако, пока экспериментально не обнаружен.—Прим. ред.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 361
Замечательные и многочисленные экспериментальные данные по глубоконе-
упругим явлениям мы рассмотрели здесь очень бегло и недостаточно подроб-
подробно. Наша цель состояла лишь в том, чтобы проиллюстрировать область фи-
физики частиц, в которой современные идеи позволяют делать количественные
предсказания, которые можно затем подвергнуть серьезной проверке. Для
теорий, не являющихся асимптотически свободными, таких, как квантовая
электродинамика, мало что известно о поведении на малых расстояниях.
13.5. ОПЕРАТОРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Проведенное выше рассмотрение иллюстрирует интерес к изуче-
изучению поведения матричных элементов произведений составных опе-
операторов в некоторых хорошо определенных предельных случаях.
Этими случаями являются следующие:
1. Пространственно-подобный интервал стремится к нулю (евкли-
(евклидов случай).
2 Времениподобный интервал стремится к нулю (метрика Мин-
ковского).
3. Величина х% стремится к нулю (светоподобный предел).
Случаи 2 и 3 характерны для физики частиц. Вообще говоря,
рассматриваемые операторы являются сохраняющимися или час-
частично сохраняющимися токами Случай 1 можно проанализиро-
проанализировать наиболее полно. Полученные результаты непосредственно
применимы в статистической механике. Основополагающие работы
в этой области были сделаны Вилсоном и Циммерманом.
13.5.1. Разложение на малых расстояниях
Рассмотрим произведение двух локальных операторов. В целях
упрощения будем указывать только их зависимость от конфигу-
конфигурационных переменных. Для этого произведения Вилсон предло-
предложил разложение на малых расстояниях в виде
А(х)В(у) ~ Y*CN(x-y)ON(x-±^) A3.131)
Здесь через On обозначена последовательность локальных регу-
регулярных операторов, в то время как с-числовые коэффициенты
CN(x—у) в пределе х—+у сингулярны. В рамках теории возму-
возмущений их поведение с точностью до логарифмов определяется
канонической размерностью соответствующих операторов:
lim Cn (x) ~ x N (mod In | х |
<13132)
362 ГЛАВА 13
Чем выше размерность величины 0N, тем быстрее Cn стремится
к нулю. Очевидно, что ренормгрупповые эффекты приводят к не-
некоторой модификации этих соображений.
Когда имеют дело с евклидовой теорией, слово «оператор»
несколько дезориентирует. В действительности мы подразумеваем
возможность построить обобщенные функции Грина G% (x> У", %л ¦ ¦ ¦
..., гп), в которых п аргументов гг, ..., г„ относятся к фунда-
фундаментальным полям, а оставшиеся два — к А я В. Смысл рыра-
жения A3.131) состоит в том, что если упорядочить операторы 0^
в соответствии с их размерностью, то
lim [\G%{x, y\ zlt .... zn) — YNM^CN(x—
I L -^
)]^-,)} = 0. A3.133)
Разложение Вилсона обладает тем свойством, что сингуляр-
сингулярности, возникающие в пределе х —* у, содержатся в с-числовых
коэффициентах CN (x — у) независимо от числа аргументов и ти-
типов элементарных полей, входящих в функции Грина. В прост-
пространстве Минковского равенство A3.133) понимается, как асимп-
асимптотический ряд (в слабом смысле) матричных элементов между
физическими состояниями. Очевидно, это является обобщением
случая, рассмотренного выше, когда все разности координат
одновременно устремлялись к нулю. Мы покажем, что для коэф-
коэффициентов Cn можно написать ренормгрупповые уравнения
Вместо того чтобы приводить громоздкое общее доказатель-
доказательство, удовлетворимся рассмотрением простого примера из теории
скалярного поля Будем считать операторы А и В элементарны-
элементарными полями и найдем главный коэффициент
-уП A3.134)
Из A3.132) можно ожидать, что С(х— у) ведет себя в данном
порядке как полином по 1п|х—у\ с точностью до членов по-
порядка (х—г/J. Чтобы доказать это, рассмотрим два набора связ-
связных функций Грина G("+2)(<7i, q2; рг, ..., р„) и Gft (q1 + qa;
plt ..., pn) и изучим дополнительные вычитания, необходимые
для построения G^', в сравнении с теми, что необходимы для"
построения Gln+2). На рис. 13.13 иллюстрируется пример, вклю-
включающий GU) и G$.
Подынтегральное выражение в фейнмановском интеграле, от-
относящемся к Gyl, можно получить, если отождествить две внеш-
внешние вершины, принадлежащие G('I+al (рассматривая их далее как
одну), и соответствующим образом подправить симметрийный
коэффициент. Но вычитания, которые необходимо произвести,
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 363
будут иными. Для анализа перенормировочной процедуры доста-
достаточно рассмотреть одночастичпо-неприводимые функции Г$. Одна-
Однако не следует удалять из G{n+2) две внешние линии, которые
должны «склеиться» при переходе к Gjp Обозначим через
X
X ¦ XX
РИС. 13.13. Связные функции Грина G<4> и G$.
G4n+2)(q1, qu; рх, ..., рп) одночастично-неприводимую (п + 2)-то-
чечную функцию с полными пропагаторами на внешних линиях,
по которым протекают импульсы <?, и q2. Пусть 5?ф» и 5?—пере-
5?—перенормированные подынтегральные выражения соответственно для
r$ и G'Ut+8f. Они связаны соотношением
5^=5? + ^, A3.135)
где if обусловлено вычитаниями расходимостей из подграфов,
содержащих вершину v, сопоставляемую оператору ср2. Эти под-
подграфы соответствуют неприводимым функциям Грина с двумя
внешними ф-линиями и имеют нулевую условную степень расхо-
расходимости, если считать, что размерность ср2 равна двум. Как и в
гл. 8, обозначим через ? множество всех лесов расходящихся
подграфов, причем один из них содержит о. Если х является
наименьшим расходящимся подграфом множества W, содержащим
вершину v, то можно написать
<F = <F,UtU<F2, A3.136)
где <Г8—множество расходящихся подграфов, принадлежащих т,
a (F,—множество расходящихся подграфов, которые либо цели-
целиком содержат т, либо вообще не пересекаются с т. Пусть /—подын-
/—подынтегральное выражение до вычитаний, общее для Гф"' и G'l"+2);<
тогда явное выражение для of имеет вид
<^= S [ П (-ТУ)](-Т-)\ П (-7^I/. A3.137)
Суммирование можно выполнить следующим образом Сначала
учтем подграф т, содержащий v, затем просуммируем по лесам
364
ГЛАВА 13
<F2, принадлежащим т (исключая при этом само т), и далее —
по лесам ? 1 редуцированной диаграммы G/т. Последняя пред-
представляет собой одну из диаграмм, дающих вклад в функцию
Гф"\ Для диаграммы, дающей вклад в функцию G'ln+2), обозначим
через а подграф, соответствующий т. Если отвлечься от пропа-
гаторов (и возможных собственно-энергетических вставок в них)
двух линий, которые (для т) соединяются в вершине v, то а
представляет собой неприводимую четырехточечную функцию.
Назовем ее ГD).
Для любого т подынтегральное выражение / факторизуется
следующим образом: / =/о/г/т • При промежуточной перенорми-
перенормировке операторы Tv сводятся к ряду Тейлора при нулевом им-
импульсе. Леса & 2 относятся к а; |"х являются лесами G/т, а Тх
сводится к замене величины 91 (о) ее постоянным членом 54„ (а).
РИС. 13.14. Вычитания при нулевом импульсе в Г(*\
Эта операция иллюстрируется на рис. 13.14, на котором показан
некоторый вклад в Ги). Соответствующая диаграмма содержит
две линии, которые можно будет затем соединить в вершине v.
Под действием операции Тх все внешние импульсы полагаются
равными нулю, за исключением импульса k, как бы циркулирую-
циркулирующего по подграфу т. Математически это можно записать следую-
следующим образом:
^ = — ]?#,. (С/т)Я0(а), A3.138)
откуда с учетом соотношения A3.135) имеем
A3.139)
Перенормированное подынтегральное выражение для G'(n+2> запи-
записано в таком виде, что вычитания, связанные с V, фигурируют
явно, хотя они, безусловно, компенсируются вторым членом в
правой части этого соотношения. В данном случае обозначение
5?Ф2 является несколько двусмысленным, поскольку число аргу-
аргументов все еще равно п + 2 и операция 5йфг действует на функ-
функцию Грина, которую будем обозначать как
<01Т [Ф (х) <р (у)Ъч> (гх). . • ф (г„) 10>.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 365
После интегрирования по импульсам петель и суммирования по
диаграммам функцию Грина можно записать следующим образом:
G(n+2) (х, у; ги ¦¦., гп) = <.0\Тц>(х
6*
У + 2е«-*« \]А??51(Я, Р, k; G). A3.140а)
Определим величины
<01 T [q> (х) ф (г/)]2ф (zj. . . ф (Zn) | 0> = To же самое, что и в A3.140а), но с
заменой: &—*Му, A3.140 6)
<0 | Т [ф2 (х)]аф (Zj) ¦ . . ф (zn) \ 0> = То же самое, что и в A3.140а), нос
заменой: 5? —» 51ф» и х = г/. A3.140 в)
Обозначение [ ]2 напоминает, что оператору, заключенному в
скобки, приписывается размерность, равная двум. Для упрощения
обозначений мы воспользовались символами Г-произведения в про-
пространстве Минковского. Полагая
сг*гф(г) A3.141)
для фурье-образа при Нулевом импульсе и учитывая равенство
A3.139), приходим к заключению, что
<01 7ф (х) Ф (у) Ф (Zl)...ф (г„) | 0> = <01 Т[Ф (х) Ф (y)]t<p (zj...
1).. ФB„)|0>. A3.142)
Индекс Р указывает на то, что рассматриваемая величина полу-
получена из неприводимой функции Грина ГA) добавлением полных
пропагаторов на двух внешних линиях. Мы рекомендуем чита-
читателю проверить описанные выше операции на каком-либо при-
примере, чтобы убедиться в необходимости наличия симметрийного
фактора A/2) в A3.142).
Эта алгебраическая конструкция хорошо приспособлена для
изучения предела х—>у. Действительно, исходя из теории пере-
перенормировок, можно считать, что после вычитаний интеграл схо-
сходится. В частности, функции Грина, включающие [ф (х) ф (у)]2
в каждом порядке теории возмущений, при х —* у стремятся к
функциям Грина, содержащим [tp2(x)]2, с точностью до поправок
вида (х—уу(\п\х—у\)а, по крайней мере в евклидовой области.
366 ГЛАВА 13
Следовательно, равенство A3.142) позволяет выделить следующую
наиболее сингулярную часть функции G(n+2):
х
Хф(г1)...ф(г„)|0>, A3.143)
В каждом порядке теории возмущений С (х) ведет себя как по-
полином по In | лс |- Например, в низшем порядке функция С (х)
пропорциональна
<13Л44>
Вышеприведенному выводу можно придать более рафинированную
форму, с тем чтобы продемонстрировать построение последую-
последующих членов разложения Вилсона. Мы опустим обсуждение этого
довольно скучного вопроса и, предполагая, что окончательный
результат правилен, наймемся изучением следствий, вытекающих
из применения ренормализационной группы к коэффициенту С.
Согласно A3 143), при этом потребуется анализировать функции
Грина при исключительных импульсах.
Из примера, данного выше, ясно, что в теории возмущений
функция С (х) может содержать и субдоминантные члены Поэ-
Поэтому мы должны сделать выбор, следовать ли нам первоначаль-
первоначальному методу Каллана—Симанзика, в котором вводится массовая
вставка при нулевом импульсе, или подходу Вайнберга, основан-
основанному на использовании не зависящих от массы условий норми-
нормировки. Для определенности выберем первую возможность и обо-
обозначим через Са (х) асимптотическую форму функции С (х), полу-
получающуюся в результате отбрасывания членов, которые в рамках
теории возмущений являются недоминирующими. Покажем, что
Си (х) удовлетворяет уравнению вида
о(*) = 0. A3.145)
Связные функции Грина удовлетворяют уравнению
х, у, га). A3.146)
Заметим, что всегда можно определить А таким образом, что
множитель 2[l+8(g)] [см. A3.70)] будет отсутствовать.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 367
Подставим в A3.146) разложение Вилсона при х—*у и удер-
удержим только доминирующий член. В данном пределе левую часть
этого выражения можно записать в виде
Уравнение Каллана—Симанзика выполняется также и для
= G?V<*. га). A3.147)
Отсюда уже следует желаемый результат при условии, что в
пределе х—*у правую часть выражения A3 146) можно отожде-
отождествить с Cfiflp:
У, za)^C0(x-y)Ct\Ax-±±, га). A3.148)
х-* у * '
Справедливость этого соотношения следует из рассмотрения, ана-
аналогичного тому, который мы провели кратко выше —необходимо
только обобщить его на функции Грина, содержащие массовую
вставку А. Заметим, что последняя находится вне подграфа т,
дающего вклад в С (х— у), поскольку единственной расходящейся
функцией с двумя <р2-вставками является амплитуда вакуум-вакуум-
вакуум-вакуумного перехода Отсюда следует, что соотношение A3 148) выпол-
выполняется, и таким образом мы доказали, что Си (х) удовлетворяет
уравнению ренормализационной группы A3 145).
Все это распространяется и на последующие члены оператор-
операторного разложения. Возвращаясь к общему случаю, когда рассматри-
рассматривается произведение А (х) В (у), видим, что A3.132) необходимо
исправить на
N(x) = 0, A3.149)
где dA, dB, d0N — канонические, а уА, ув, уОдг—аномальные раз-
размерности соответствующих операторов. Предполагается, что по-
последние являются мультипликативно перенормируемыми.
Строго говоря, уравнения A3.145) и A3.149) справедливы
только в евклидовой области. Они выполняются и в метрике Мин-
368 ГЛАВА J3
ковского при условии, что фейнмановские добавки h остаются
конечными. Предельный переход к реальному пространству Мин-
ковского, необходимый при анализе е+е~-аннигиляции, требует
детального рассмотрения возможных осцилляции при больших
импульсах.
Разложение Вилсона установлено только в смысле слабой сходимости. К при-
примеру, оно выполняется для любой функции С'^д, содержащей п элементарных
полей ф и операторы А, В. Однаяо нет никакой гарантии, что A3 131) можно
непосредственно применить к другим функциям Грина, включающим дополни-
дополнительно еще какие-то составные операторы. Например, равенство
lim <01 ГФ (х) ф (у) ф2 (г) 10> = С (х-у) <0 | Ту* (i+l) у* (г) | 0>
является неверным. В этом случае, поскольку функция как целое является
примитивно расходящейся, существуют дополнительные вклады в поведение
на малых расстояниях, кроме тех, что обусловлены двумя полями ср, генери-
генерирующими коэффициент С (х — у). В частности, необходимо учитывать вычита-
вычитание для всей диаграммы как целого, которое дает новую функцию С (х— у),
не зависящую от г:
lim <0 | 7\р (х) Ф (у) ф* (г) 10> = С (х-у) <0 | Т<?* (^) Ф2 (г) | 0>+С (х-д).
A3.150)
Характер следствий, вытекающих из операторного разложения,
зависит от того, имеются ли в действительности (т. е. вне рамок
теории возмущений) ультрафиолетовые фиксированные точки Если
такая точка существует, то мы получаем результаты с помощью
модифицированного анализа размерностей, причем
В асимптотически свободной теории, в которой функции у (g)
имеют порядок gi, можно записать, как в разд. 13.3,
"bfi+.... {Ш52)
Т(?)=с?2+
Интегрируя A3.149), получаем
С*М~|*Г0""''1"'* (\n^)iC*+C»-C°^2b. A3.153)
Таким образом, мы видим, что отклонения от канонического мас-
масштабного поведения имеют логарифмический характер.
Чтобы применить описанные выше методы к изучению конкрет-
конкретных примеров, необходимо указать вид соответствующих опера-
операторов, исследовать связанные с ними законы сохранения и обоб-
обобщить анализ на случай светоподобных интервалов.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 369
13.5.2. Доминирующие и субдоминантные операторы,
смешивание операторов и законы сохранения
В простейшем примере, а именно для произведения ср (л:) tp (у),
операторы ON разложения Вилсона представляют собой локальные
мономы^полей и их производных, совместимые со свойствами сим-
симметрии. Например, в теории, инвариантной относительно замены
Ф на — ф, первые из недоминирующих операторов имеют канони-
каноническую размерность, равную четырем:
Ф (|) Ф (- \) = С-2 (х) ф* @) + С? (х) CФJ @) + С*> (х) ф ? Ф @) +
... A3.154)
Здесь С$(х) обозначает используемую выше функцию С (х). Число
операторов растет по мере увеличения канонической размерности.
Но даже тогда, когда рассматриваются лишь первые недомини-
недоминирующие члены, возникают новые трудности. Напомним, что в ре-
результате перенормировки происходит смешивание операторов, име-
имеющих одну и ту же каноническую размерность и одинаковые
квантовые числа. Кроме того, в этом случае перенормировка не
будет в точности мультипликативной, поскольку вставка опера-
оператора размерности d требует введения контрчленов размерности,
меньшей или равной d. Чтобы в С§ (х) отделить mV-поправки
от членов, дающих вклад в С[1) (х), необходимо принять специаль-
специальное соглашение. В безмассовой теории, в которой подобные проб-
проблемы не возникают, необходимо рассмотреть только мультиплика-
мультипликативную (в матричном смысле) перенормировку этих операторов.
В этом случае доминирующий вклад в Off определяется уравне-
уравнением
*)*=(), A3 155)
>
где (yJj)i/(g) — yN (g)—транспонированная матрица аномальных
размерностей операторов 0$, смешивающихся при перенормировке
[см. формулу A3.75)]. При наличии ультрафиолетовой фиксиро-
фиксированной точки g^ наблюдаемые аномальные размерности получаются
диагонализацией матрицы yw (&«,)• В асимптотически свободной
теории аналогичную диагонализацию нужно проводить для мат-
матрицы с", представляющей собой обобщение множителя с из A3.152).
Между операторами Одг могут существовать связи, обусловленные выбо-
выбором конкретной динамической схемы. В качестве примера можно привести
уравнения движения.
370 ГЛАВА 13
Неперенормированная связная функция Грина регуляризованной ф*-тео-
рии удовлетворяет в евклидовом пространстве уравнениям движения
f ^-/ <*)]
ЦЗЛ56)
где оператор (—П+то)л является обратным по отношению к регуляризо-
ванному пропагатору. Продифференцируем по / (у) и перейдем к пределу
х—у у. В результате получим тождество, из которого для сильносвязных
функций Грина следует, что
1=(р«о4)Гб- (Ш57)
В перенормироваином виде это соотношение приводит к смешиванию между
операторами с размерностью два и четыре. Как следствие можно записать
такие функции в,- (g) н Ь (g), для которых справедливо следующее тождество:
(g) Г?> (q; Ра) +Ъ (g) Г^,. {<Г. Ра) +
Ра)= ? ГСя)(Рь ••"
В безмассовой теории член, дающий доминирующий вклад, и пропорцио-
пропорциональный Ь (g), обращается в нуль. Применяя в обеих частях равенства A3.158)
уравнение Каллана — Симанзика, заключаем, что матрица y'J для операторов
размерности четыре должна иметь нулевое собственное значение.
Аналогичное явление возникает, когда операторы ON (или их
комбинация) являются генераторами непрерывных симметрии, со-
сохраняющимися токами, тензором энергии-импульса и т. п. Соот-
Соответствующие аномальные размерности обращаются в нуль. Мы уже
сталкивались с такой ситуацией при изучении электродинамики,
в которой это имело своим следствием наличие одного единствен-
единственного коэффициента |3 в уравнении A3.28) для инвариантного за-
заряда. С более общей ситуацией приходится иметь дело в а-модели,
в которой имеет место мягкое нарушение симметрии, т. е. обус-
обусловленное членами в лагранжиане, имеющими размерность меньше
четырех. Напомним полученный Симанзиком результат, гласящий,
что контрчлены, имеющие размерность больше d, всегда можно
сделать симметричными. Отсюда, в частности, следует, что пере-
перенормировка волновой функции не нарушает симметрии.
Пусть при таких обстоятельствах J%—неперенормированный
ток (с размерностью три), a Do—его дивергенция. Предположим,
что размерность последней меньше четырех [см. выражение A1.3)]:
д
Ь (*-tf) [Л (х),
где <р0—голое поле, являющееся вектором во внутреннем прост-
пространстве, а т соответствует матричному представлению генератора.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 371
Если предположить, что аномалии отсутствуют, то тождество Уорда
)-.-ФоЫ|0>+
-г/а) A3.160)
+ 2
0=1
в перенормированной форме принимает следующий вид:
<01TD (х) Ф (у,)... Ф (уп) 10> +
>бМх-г/а). A3.161)
Здесь мы учли тот факт, что перенормировка волновой функции
не нарушает симметрию, т. е. она является одной и той же для
любой компоненты оператора ф. Поскольку перенормированные
функции конечны, отсюда следует, что Zj = ZD также конечно, и
при надлежащей нормировке, согласующейся с A3.159), получаем
Zj = ZD=\. A3.162)
Отсюда следует, что точные или мягко нарушенные симметрии
соответствуют токам, для которых
?у = 7д = 0. A3.163)
Чтобы размерность дивергенции D была меньше четырех, она
должна иметь явную зависимость от массовых параметров теории.
Например, в теории с фермионами, в которой киральная инва-
инвариантность нарушается массовым членом с размерностью три,
сохранение аксиального тока является мягко нарушенным. В от-
отсутствие аномалий
^ ^. A3.164)
Если придерживаться не зависящего от массы рецепта перенорми-
перенормировки, то т зависит от фактора растяжения А, в соответствии
с A3.96). Пусть ут—аномальная размерность оператора \|д[). Со-
Согласно A3.163), мы можем записать
S К + ?Л^^ф(г Ра) A3.165)
Явная зависимость от т привела к появлению дополнительного
члена уп, причем т следует интерпретировать как аномальную
размерность оператора ityyty, равную, таким образом, аномальной
372 ГЛАВА 13
размерности оператора
Этот результат не должен вызывать удивления, поскольку обе
аномальные размерности можно вычислять в киральном пределе,
в котором они, очевидно, совпадают.
Применим эти идеи к адронным симметриям и их связи с эффективным лагран-
лагранжианом слабых нелеитонных взаимодействий.
Рассмотрим модель сильных, электромагнитных и слабых взаимодействий,
основанную на калибровочной группе G^^G^, следуя линии, намеченной
в конце гл. 12. Группа G$ обычно является группой цвета [например, SU C)],
a G^ спонтанно нарушена до группы фазовых преобразований U A)q, соот-
соответствующей элек1рическому заряду.
В нулевом порядке по а и Gf~ajM\ff лагранжиан сильных взаимодей-
взаимодействий запишется в виде
где М — массовая матрица, наличие которой частично или целиком связано
с нарушением Gw. Вайнберг показал, что соо1ветствующее переопределение
полей в любом случае позволяет привести М к диагональной вещественной
форме, не содержащей членов с уъ, в то время как кинетический член остается
инвариантным. Иными словами, в нулеЕом порядке по а. четность и странность
а 6 в
РИС 13.15. Вклады низшего порядка в эффективный нелешонный лагран-
лагранжиан, а—калибровочный бозон; б—мезон Хиггса; в—вклад диаграммы типа
головастик.
естественным образом сохраняются, тогда как изотопическая симметрия требует
дополнительной гипотезы Md — Mu для d- и ы-кварков. Покажем, что в по-
порядке а четность и странность сохраняются, а нарушаются они лишь в порядке
GP~alM\.
Чтобы проверить это, введем эффективный лагранжиан слабых нелептон-
ных взаимодействий, основанный на вычислении процессов обмена в низшем
порядке (рис. 13.15):
^вФФ= -gw J d*x дмЛ> С*, т2) <TJ* (х) Jv f <P)> +^,ь)+^(«. A3.166)
Только первый член, соответствующий обмену калибровочным бозоном, выпи-
выписан явно. Два других члена соответствуют вкладу X'(&,, связанному с обменом
хиггсовским мезоном, и вакуумному среднему хиггсовских бозонов, приводя-
приводящему к перенормировке массовой матрицы М Ожидается, что вклад хиггт.ов-
ских бозонов имеет по крайней мере порядок а (т*/Мур), где т — адронная
масса.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 373
Что касается первого члена, то, если отвлечься от вклада, связанного
с безмассовым фотоном, оставшиеся вклады, соответствующие обмену тяже-
тяжелыми W- и Z-мезонами, можно проанализировать с помощью разложения
произведения двух токов на малых расстояниях Доминирующий вклад по-
порядка а —- gw приводит к дополнительной перенормировке массовой матрицы,
тогда как недоминирующие вклады содержат множители a/Mw — G. Матрицу
М-\-6М снова можно привести к диагональной вещественной форме. Короче
говоря, в порядке а четность и странность, очевидно, все еще сохраняются.
Однако этого нельзя сказать об изотопической инвариантности. Но даже
в настоящее время все попытки получить абсолютные предсказания относи-
относительно величины предполагаемой электромагнитной разницы масс не имели
реального успеха.
Разложением на малых расстояниях можно воспользоваться также для
объяснения динамических правил отбора, наблюдаемых в нелептоппых слабых
переходах, таких, как правило Д/=1/2, |А5|=1 Доминирующий вклад
обусловлен операторами с размерностью шесть, содержащими по четыре фер-
мионных поля. Действительно, операторы размерности три приводят только
к переопределению массовой матрицы, а вклад операторов с размерностью
четыре может быть скомпенсирован перенормировкой волновой функции.
Согласно вычислениям, проведенным Гайяр и Ли, а также Альтарелли и
Майани, переходы с А/ = 1/2 усилены по отношению к переходам с А/ = 3/2
логарифмическим фактором fin (M\p/m")]y, принимающим значения порядка
5—7 в зависимости от используемой модели, тогда как наблюдаемое усиление
характеризуется фактором 20 Обсуждение этих вопросов затрудняется отсут-
отсутствием абсолютной нормировки матричных элементов рассматриваемых опе-
операторов.
13.5.3. Разложение на световом конусе
С целью анализа поправок к партоннои модели глубоконеупругих
процессов необходимо расширить область применимости оператор-
операторных разложений. О том, какого вида обобщения потребуются для
перехода к светоподобным интервалам, можно догадаться, исходя
из анализа случая свободных полей [см A3.112)]. Если отвлечься
от несущественных для дальнейшего изложения индексов у токов,
то асимптотическое разложение, справедливость которого нам хоте-
хотелось бы показать, имеет вид
A)
J (~f) Ло? С«. «<*•>*"• • •*^°& «'""(О). <13Л67>
где операторы О^\'а^к симметричны относительно лоренцевых ин-
индексов и имеют нулевой след по любой паре индексов. В рамках
теории возмущений и с точностью до логарифмов мы ожидаем,
что коэффициенты CNt a (х) пропорциональны
С„,Ж) ~ (J'/V-""-'Л A3.168)
хг-*0
где dj—каноническая размерность тока J.
В отличие от ранее рассмотренного случая заданному поведе-
поведению на световом конусе, например доминирующему, соответствуют
374 ГЛАВА 13
вклады бесконечного числа членов. Вклады можно сгруппировать
в соответствии с величиной, которую Гросс и Трейман назвали
«твистом». Она представляет собой разность
A = doN,a~N A3.169)
между размерностью оператора и его спином. Строго говоря, пос-
последний характеризует соответствующее представление однородной
группы Лоренца. Тот факт, что требуется бесконечное число чле-
членов, следует приветствовать, поскольку матричные элементы этого
произведения токов должны давать масштабную функцию F (х).
Знание такой функции эквивалентно знанию бесконечной после-
последовательности чисел, например ее моментов. В случае когда струк-
структурные функции лептон-адронного рассеяния представляются в виде
абсорбтивной части комптоновской амплитуды, целое число N
представляет собой верхнее ограничение значения спина, обмени-
обмениваемого в /-канале.
Ведущий вклад обусловлен операторами низшего твиста. В тео-
теории, включающей фермионы со спином 1/2, скалярные и калибро-
калибровочные бозоны, эта величина принимает значение 2 для диагональ-
диагональных матричных элементов электромагнитных токов. Эти операторы
являются билинейными по полям (с точностью до ковариантных
производных) и имеют следующий вид:
Я
L--?M- A3.170)
sn-ъ F П П Fv
Симметризация и вычитание сверток подразумеваются. В этом
списке упомянуты только «физические» поля, чтобы не вдаваться
пока в тонкости, специфические для калибровочных теорий. (См.
ниже некоторые замечания по данному вопросу.)
Для проверки разложения A3.167) свяжем его с разложением
на малых расстояниях, выделяя вклад, соответствующий обмену
определенным спином в кросс-сопряженной комптоновской ампли-
амплитуде. Эта величина зависит только от переменной q2, т. е. от
квадрата импульса виртуального фотона, и в пределе —д2—> оо
доминирующий вклад в нее дает оператор с соответствующим
спином и твистом 2 в разложении Вилсона. Благодаря этому можно
получить определенную информацию о моментах структурных
функций.
Для краткости по-прежнему будем пренебрегать векторным
характером токов и последующим тензорным анализом структур-
структурных функций. Таким образом, будем считать, что мы имеем дело
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 375
со скалярной амплитудой
A(q\ v)-
A3.171)
При конечных j'ev эту амплитуду можно разложить по ортогональным поли-
полиномам переменной z = iv/mV — <?2, которая играет роль косинуса угла между
4-векторами ряд. Эти полиномы ортогональны с весом dz Y \—z~ и являются
обобщением полиномов Лежандра, относящихся к группе 0C), на случай 0D)-
инвариантности Читатель, интересующийся деталями, связанными с упомяну-
упомянутой проекцией и ограничениями, возникающими вследствие свойств положи-
положительности структурных функций, может обратиться к работе Нахтманна, цити-
цитируемой в примечаниях к данной главе. Здесь мы ограничимся упрощенным
рассмотрением.
Подставляя A3.167) в определение амплитуды A3.171), нахо-
находим
A(q\ v) = < S^^-'Д CN, «(*«-fe)*!*•¦• •
Мы позаботились об аналитических свойствах в х-пространстве,
добавив к переменной хг бесконечно малую отрицательную мнимую
величину. Определим следующие величины:
w "«'"*'
a {P^---P»N+Свертки),
n r A3.172)
\#x#i*C(*l)
Выраженный через эти величины доминирующий вклад в A (gs, v)
записывается следующим образом:
A{q\ v)« ? (^)NaN,aCN,a^). A3.173)
N. a
Вклады операторов 0#, а связаны с коэффициентами тейлоровского
разложения амплитуды А по степеням масштабной переменной
(d = x~l = 2(pq)/(—q*), тогда как в экспериментах измеряется
абсорбтивная часть амплитуды А при со > 1. Необходимо поэтому
выделить коэффициент при cow с тем, чтобы можно было восполь-
воспользоваться разложением на малых расстояниях для изучения поведе-
поведения Cn, «G2) при больших отрицательных q2. В этом обсуждении
использование переменной со более удобно, чем обратной ей вели-
величины х.
Поскольку точка © = 0 находится вне пределов, в которых
можно проводить эксперимент, нам не удастся обойтись без ана-
аналитического продолжения. Его можно выполнить с помощью дис-
дисперсионного соотношения для амплитуды А виртуального комито-
новского рассеяния вперед. В качестве скачка на разрезе при этом
используются структурные функции W (q2, v). В этом дисперсной-
376 ГЛАВА 13
ном соотношении переменной величиной является энергия v/tn, или,
что при фиксированном q2 сводится к тому же самому, величи-
величина со. В случае со <— 1 при определении скачка необходимо вос-
воспользоваться свойствами рассматриваемой амплитуды относительно
кроссинг-преобразования. В фиктивном скалярном случае, рассмат-
рассматриваемом здесь, W{q, р) — ~-W(—q, р) или W(q*, — со) = — W (q2, to).
В реальном случае векторных токов W^ (q, p) — — WVil (— q, p),
откуда следует, что все три структурные функции Wlt W2, W3
можно считать нечетными функциями относительно со.
. Необходимо привлечь также дополнительную информацию о
числе вычитаний k, достаточном при всех N в области больших
отрицательных q%. Если \mA — nW, a P^-i—полином от со сте-
степени k—J с зависящими от q3 коэффициентами, то
r(^co')- A3Л74)
Разлагая амплитуду в ряд в окрестности точки со = 0, получаем
также
Л(<Дсо) = Р,_10Дсо)+ V ш" \ -—-.Wig», со')- A3.175)
N>k |W'1>1
При N ^ k отсюда следует искомое соотношение, связывающее
моменты MN(q2) структурных функций и коэффициенты Вилсона:
I J^ (<A©)_^?a*,«Cw, «(<?*). A3.176)
При фиксированном N ведущий вклад в правой части этого выра-
выражения соответствует операторам твиста 2. Условие положитель-
положительности W приводит к тому, что моменты представляют собой выпук-
выпуклую функцию по переменной N. Чем меньше N, тем более
чувствительны MN к поведению в асимптотической области, по-
поскольку при больших N мы имеем дело главным образом с областью
со~ 1.
В соответствии с предполагаемым характером теории возможны
следующие варианты поведения MN(qi) при больших q2:
( const наивный скейлинг,
MNln9i ](_0«-^«-v. нетривиальная фиксирован-
М (q*)~<\ Я) ная точка, (Id.177)
-Со /2ft
\ (In—q%) N асимптотическая свобода.
В свете имеющихся экспериментальных данных последний вариант
выглядит наиболее предпочтительным.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 377
Читатель может спросить, нельзя ли объяснить наблюдаемое масштабное пове-
поведение существованием нетривиальной фиксированной точки g«, при условии,
что все у0 (gn) равны нулю. Однако это означало бы обращение в нуль ано-
мальной размерности самого фундаментального поля:
С учетом свойства положительности отсюда мы можем заключить, что теория
является свободной. Следовательно, асимптотическая свобода остается единст-
единственной возможностью.
Вернемся на короткое время к обсуждению калибровочных теорий, которые
только и могут привести к асимптотической свободе, и исследуем специфичес-
специфические усложнения, возникающие, как обычно, в этом случае. В разложении про-
произведения физически наблюдаемых и, следовательно калибровочно-инвариянт-
ных операторов могут, однако, появляться нефизическис операторы, в частности
составленные из духовых полей Такие операторы встречаются в контрчленах
для функций Грина и, следовательно, необходимы при вычислении аномаль-
аномальных размерностей физических операторов. Эти дополнительные операторы
можно охарактеризовать с помощью метода, основанного на тождествах Уорда
и развитого в гл. 12 для функций Грина, не имеющих вставок Результат, запи-
записанный в виде A2.163), можно обобщить следующим образом Используя те же
обозначения, что и в гл. 12, можно показать, что калибровочно-инвариантный
оператор О размерности d генерирует конгрчлены с размерностью, меньшей
или равной d, и имеющие те же квантовые числа, что и О, причем эти контр-
контрчлены либо калибровочно-инвариантны, либо имеют вид аО'. Второй класс
операторов стабилен относительно перенормировок, поскольку аа = 0 Следо-
Следовательно, вычисление аномальных размерностей можно провести в базисе
i^inv oO1'}- В этом случае матрица аномальных размерностей является блочпо-
треугольной с заполненным верхним углом. Только субматрица, соответству-
соответствующая подпространству 0|пу, имеет прямое отношение к вычислению физичес-
физических аномальных размерностей. В благоприятной ситуации, используя некоторые
аргументы, можно упростить анализ, сводя его непосредственно к вычислению
лишь этой субматрицы. Кроме того, матричные элементы калибровочно-инва-
риантных операторов между физическими состояниями, а также и их аномаль-
аномальные размерности не зависят от калибровочного параметра. Поэтому член
^(д/дХ), введенный в выражение A3.74), можно опустить.
В заключение дадим сводку результатов применения калибро-
калибровочных теорий сильных взаимодействий к процессам глубоконеуп-
ругого лентон-адронного рассеяния. Эти результаты были получены
Джорджи и Политцером, а также Гроссом и Вилчеком. Для про-
процессов электро- (или мюонного) рождения описанный выше
анализ применяется к структурным функциям mW1 и vWJmx, обоз-
обозначаемым в совокупности fa(q2, х), и к их моментам
(<72) = S dx xN~4a {q\ x). A3.178)
о
В данном случае из списка A3.170) вклад дают операторы двух
последних типов. Здесь мы сталкиваемся с проблемой смешивания
операторов, относящихся (при фиксированном N) к этим двум
типам. Поскольку мы имеем дело с асимптотически свободной тео-
378 ГЛАВА 13
рией, наивный масштабный закон логарифмически нарушается:
— — А
w ) "" 2jaN, а (>П—<7 ) ' а, Aо.1/У)
а
причем показатели степени при ln(—q2) вычислимы. Суммирова-
Суммирование в A3.179) производится по собственным векторам матрицы
перенормировок. Входящие сюда коэффициенты aN, вообще говоря,
остаются неизвестными.
Наиболее просто провести рассмотрение для низшего момента
с N = 2. В этом случае одним из операторов является тензор энер-
энергии-импульса Тц,\ с нулевой аномальной размерностью, а также
рассматривается оператор, дающий другой, нелидирующий вклад.
Кроме того, нам известен матричный элемент оператора Т^ между
протонными состояниями:
В результате мы приходим к следующему правилу сумм:
lim \dxx\2mWAq\ jc)]= lim \dx 1vW*^' *>] =й, A3.180)
где а выражается через средний квадрат заряда <Q2> фермионных
составляющих следующим образом:
fl = <Q2>=V2-l)/n/- A3.181)
Последнее выражение относится к случаю, когда имеется / типов
фермионов, принадлежащих одному и тому же представлению калиб-
калибровочной группы SU (N), имеющему размерность п. Например,
в случае группы SU C) для трех типов триплетов, имеющих за-
заряды 2/3, —1/3, —1/3, величина а равна 2/25, а для четырех
триплетов с зарядами 2/3, —1/3, —1/3, 2/3 имеем а = 5/42 « 0,12.
В партонной модели со свободными кварками соответствующее
значение в соответствии с A3.110) равно a = <,Q2y. Уменьшение
величины а в асимптотически свободной модели связано с тем, что
часть энергии-импульса переносится нейтральными глюонами.
При N ^ 4 разумным приближением является учет только опе-
оператора, соответствующего меньшей аномальной размерности. При
больших N показатель AN ведет себя как \п N.
Хотя в отсутствие дополнительной информации решение задачи
о восстановлении структурных функций по их моментам является
безнадежным делом, некоторые результаты можно получить, если
вдобавок к A3.179) учесть еще и свойство положительности. Напри-
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
379
мер, для любого N можно записать
X+R 1
const
A3.182)
Поскольку AN ~ In N при N —»», можно ожидать, что функция f
при фиксированных х убывает быстрее, чем любая степень вели-
величины In (—q2). Из этого свойства с учетом правила сумм A3.180)
следует, что по мере увеличения переменной —q* структурные
функции при малых х должны возрастать.
Асимптотический режим для моментов достигается очень мед-
медленно, поскольку недоминирующие вклады подавлены лишь множи-
множителем порядка 1п[1п(—c/2/Li2)]/ln (—</2/Ц2)- Это следует из формулы
двухпетлевого приближения [см. A3.90)] для эффективного заряда.
Кроме того, степень приближения зависит от неизвестного масш-
масштаба, при котором эффективный заряд становится малым. Вдоба-
Вдобавок, при конечных q2 могут влиять также массовые члены.
1
0,19
¦8
0,10
о
Л = 0,2
А =0,5
/
8
ГэВ2
30
РИС. 13.16. Теоретические кривые для второго момента структурной функ-
функции, соответствующей рождению мюона, и экспериментальные значения, по-
полученные Андерсоном и др. [см. Anderson H. L. et al.— Phys. Rev. Lett., 1977,
ser. B, vol. 38, p. 1450]. Этот рисунок и один из рис. 13.17 представил нам
Г. Альтарелли
С другой стороны, вычисление моментов из экспериментальных
данных также не является простой задачей, поскольку для этого
необходимо проводить измерения при очень высоких энергиях
(малых х) и при любых конечных д2 замена переменной х на х' =
— x + O(\/q2) может оказать заметное влияние на результаты.
Несмотря на эти трудности, сравнение результатов, предска-
380
ГЛАВА 13
зываемых теорией, с экспериментальными данными можно считать
успешным. Удобно переписать выражение для эффективной конс-
константы связи A3.129) в терминах одного параметра Л, который
задает необходимый масштаб:
12я
4я
C3—2/Iп(— <
A3.183)
Это выражение относится к случаю, когда группой цвета является
SU C) (С = 3) и имеется / триплетов кварков (/ ароматов). Наилуч-
Наилучшие результаты, полученные на 1977 г. подгонкой к эксперименту
Z5
со
5:
РИС. 13.17. Четвертый и шестой моменты для рождения мюона, нормиро-
нормированные при — </2 = 9 (ГэВJ. Экспериментальные данные получены Андерсо-
Андерсоном и др. (Сообщение на конференции в Гамбурге в 1977 г.)
при / = 4, соответствуют Л ~ 400+200 МэВ. На рис 13.16 пока-
показаны результаты сравнения экспериментальных данных для момен-
момента Mw структурных функций глубоконеупругого мюонного рассея-
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 381
ния с теоретическими предсказаниями. Стрелка указывает предел
A3.180) (а = 0,12 при / = 4). В случае более высоких моментов
(рис. 13.17) можно сравнить с экспериментом только отношение
В случае глубоконеупругого нейтринного рассеяния аналогич»-
ный анализ необходимо провести для разложения на световом ко-
конусе произведения слабых токов: (Уц — Aliy+i2(x)(Vv—ЛуI"'2^).
В правой части разложения при этом возникают следующие опе-
операторы твиста два:
б) iN~1^VLlDill... D^ (I ±уъ)уу\>; A3.184)
Необходимо учесть также третью структурную функцию /а = vWalm
[см. формулу A3.106)]. Комбинируя амплитуды, соответствующие
рассеянию нейтрино и антинейтрино на протонах и нейтронах,
можно выделить канал, имеющий данные квантовые числа. Напри-
Например, в разность Wlv>—TF<V) дает вклад только октетный оператор
A3.184 6).
Должны выполняться правила сумм, являющиеся следствием
того, что генераторы адронных симметрии коммутируют с генера-
генераторами калибровочной группы. Так, правило сумм Адлера A1.105)
должно выполняться при всех q%:
Г da
J (о
= 2m. A3.185)
Другие правила сумм выполняются только в асимптотике, причем
имеет место логарифмический выход на асимптотику. К таковым,
например, относится правило сумм Каллана—Гросса, которое запи-
записывается в виде
of.-JL
A3.186)
В партонной модели величина WL = B/w) Wx—vWjtn2 обращается
в нуль [см. A3.109)].
382 ГЛАВА 13
ПРИМЕЧАНИЯ
Первые работы по ренормгруппе были выполнены Штюкельбергом и Петер-
маном (Stueckelberg E.C.G., Peterman A.— Helv. Phys. Acta, 1953, vol. 26,
p. 499) и Гелл-Манном и Лоу (Gell-Mann M., Low F. ?.— Phys. Rev., 1954
vol. 95, p. 1300).
Приложения к квантовой электродинамике обсуждали Бейкер и Джонсон
(Baker M., JohnsonK-— Phys. Rev., 1969, vol. 183, p. 1292), которые вычислили
вклад третьего порядка в г|>функцию, а также Адлер (Adler S. L.— Phys. Rev.,
1972, ser. D, vol. 5, p. 3021). Ландау, Абрикосов и Халатников исследовали
вопросы самосогласованности КЭД (ДАН СССР, 1954, т 95, с. 1177). В элект-
электродинамике ^-функция до третьего порядка заимствована из работы: Rafael E.,
de, Rosner J. L.— Ann. of Phys. (New York), 1974, vol. 82, p. 369.
Тождества Уорда для нарушенной масштабной инвариантности были вве-
введены в работах Symamik A'.— Comm. Math. Phys., 1970, vol. 18 p. 227; Cal-
Callan C. G.— Phys, Rev., 1970, ser. D, vol. 2, p. 1541. Впервые генератор растя-
растяжений рассматривали Каллан, Коулмен и Джекив (Callan С. G., Coleman S.,
JackiwR.— Ann. of Phys. (New York), 1979, vol. 59, p. 42). Обобщение этих
тождеств было дано Вайнбергом (Weinberg S.— Phys Rev., 1973, ser. D, vol. 8,
p. 3497).
Однопетлевое вычисление C-функц.ии для неабелевых калибровочных полей
было выполнено Гроссом и Вилчеком (Gross D. J., Wilczek F.— Phys, Rev. Lett.,
1973, vol. 30, p. 1343), а также Политцером (Politzer H. D.— Phys. Lett., 1973,
vol. 30. p. 1346). Двухпетлевые вычисления проведены Касуэллом (Cas-
well W. E.— Phys. Rev. Lett , 1974, vol. 33, p. 244), Джонсом (Jones D. R. Г.—
Nucl. Phys., 1974, ser. B, vol 75, p. 531), а также Белавиным и Мигдалом
(Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 19, с. 181).
В работах: (ParisiG.— Nuovo Cimento Lett., 1973, vol. 7, p. 84; Callan С G.,
Gross D. J.— Phys. Rev., 1973, ser I), vol. 8, p. 4383) обсуждаются следствия
свойств положительности аномальных размерностей.
Теорема об асимптотической свободе установлена Коулменом и Гроссом
(Coleman S., Gross D. J.— Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, p. 851).
Обзор глубоконеупругого рассеяния можно найти, например, в докладе
Гилмана (Gilman F. В кн.: Proc. of the XVII Intern. Confer, on High Energy
Physics (London, 1974).— Chilton, Didcot, U.K.: The Science Research Council,
Rutherford Laboratory, 1975.
Партонная динамика в систе.ме бесконечного импульса обсуждается в ра-
работах: Feynman R. P.— Phys . Rev. Lett., 1969, vol. 23, p. 1415; Bjorken J.D.,
Paschos E. A.— Phys. Rev., 1969, vol. 185, p 1975; DrellS.D., YanT.M.—
Ann Phys. (New York), 1971, vol. 66, p 578 Связь между феноменологичес-
феноменологической моделью и разложениями на световом конусе обсуждается в докладе: Fri-
shman Y. В кн.: Proc. of the Sixteenth Intern. Confer on H'gh Energy Physics
(Batavia), vol. 4/ed. J. D Jackson, A. Roberts,—Batavia, 111.: National Acce-
Accelerator Laboratory, 1972. Детальное изложение этих вопросов дано в книге:
Feynman R. P. Photon-Hadron Interaction,—Reading, Mass.: Benjamin, 1972
[Имеется перевод: ФейнманР. Взаимодействие фотонов с адронами.— М.: Мир,
1975.]
Разложения на малых расстояниях были предложены Вилсаном (Wil-
(Wilson К. G.— Phys. Rev., 1969, vol. 179, p. 1499; Phys. Rev., 1971, ser. D, vol. 3,
p. 1818). Детальное изучение проведено в работе: Zimmerman W.— Ann. Phys.
(New York), 1973, vol, 77, pp. 536, 570.
Приложение к правилам отбора в слабых взаимодействиях можно найти
у Вайнберга (Weinberg S.— Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, p. 494; Phys. Rev.,
1974, ssr. D, vol, 8, p. 4482; Rev. Mod. Phys., 1974, vol. 46. p. 255). По пра-
правилу 4/= 1/2 в нелептонных распадах см. работы: Gaittard M.K., Lee В. W'.—
Phys. Rev. Lett., 1974, vol.33, p. 108; AltarelliG., Maiani L — Phys. Lett.,
1974, ser. B, vol. 52, p. 351.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 383
Обобщение разложения Вилсона на случай светового конуса (когда необ-
необходимо бесконечное суммирование) предложено в pa6oie: Brandt R. A ., Prepa-
rata G.—Nucl. Phys., 1971, ser. B, vot. 27, p 541. В статье: NachtmaniiO.—
Nucl. Phys., 1973, ser. B, vol. 63, p. 273 обсуждаются теоретико-групповые
аспекты и ограничения, налагаемые свойствами положительности. Проблемы
калибровочной инвариантности изучались в работах: DixonJ. A.— Nucl. Phys.,
1975, ser. В, vol. 99, p. 420; Klubetg-Stern H., Zuber J. В.— Phys. Rev., 1975,
ser. D, vol. 12, p. 3159; Lee B. W., Jogkkar 5.—Ann. Phys. (New York), 1976,
vol. 97, p. 160.
Приложения асимптотически свободных теорий к моментам структурных
функций в случае глубоконеупругих процессов рассматриваются в статьях:
GeorgiH., РоШгег Н. D.— Phys Rev. 1974, ser. D, vol. 9, p. 416; Gross D. J.,
Wilczek F.— Phys. Rev., 1974", ser D, vol 9, p. 920
К этому очень неполному списку мы добавили следующие обзоры и за-
записи лекций, которые были наиболее полезны при подготовке данной главы:
Coleman S. В кн : Properties of the Fundamental Interactions/ed. A. Zichichi.—
Bologna: Editrice Compositor!, 1973; Crewther R. J. В кн.: Weak and Electro-
Electromagnetic Interactions at High Energies (Cargese, 1975)/ed. M. Levy, J. L. Basde-
vant, D. Speiser, R. Gastmans,— New York: Plenum Press, 1976; Callan С G.,
Gross D. J. В кн.: Methods in Field Theory/ed. R. Balian, J. Zinn-Justin.—
Amsterdam: North-Holland, 1976; Politzer H. D.—Phys. Rev., 1974, vol. 14,
p. 129.
Приложения асимптотической теории поля к критическим явлениям обсуж-
обсуждаются в статье: Brezin ?., Le Guillou J. C, Zinn-Justin J. Phase Transitions
and Critical Phenomena, vol. Vl/ed. С Domb, M. S. Green,—New York: Aca-
Academic Press, 1977, а также в учебнике; Amit D. Field Theory, the Renorma-
lization Group, and Critical Phenomena.—New York: McGraw-Hill, 1978.
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Обзор применений ренормализационной группы имеется в статьях: Вла-
Владимиров А. А., Ширков Д. В.— УФН, 1976, т. 120, с. 439; Efremov A. V.,
Ginzburg I. F,— Foris. Physik, 1974, Band 22, s. 575. Результаты вычисления
(З-функции в трехпетлевом приближении в калибровочных теориях приведены
в работе: Vladimirov A. A., Tarasov О. V., Zharkov A. Yu.— Phys. Lett. В,
1980, vol. 93, p. 429.
Подробный анализ операторных разложений имеется в книге: Завья-
Завьялов 0. И. Перенормированные диаграммы Фейнмана—М.: Наука, 1979. В связи
с «точечноподобным» поведением см. книгу: Марков М. А, Нейтрино.— М.:
Наука, 1964. Описание поведения глубоконеупругих процессов в рамках
подхода, основанного на гипотезе автомодельности, дано в обзоре: Мат-
Матвеев В. А., Мурадян Р. М., Тавхелидзг А, Н.— ЭЧАЯ, 1971, т. 2, вып. 5.
Применения операторных разложений в физике высоких энергий рассмотрены
в статье: Brandt R.— Acta Phys. Acad. Sci. Hungaricae, 1972, vol. 31,
p. 2131.
ПРИЛОЖЕНИЕ
П.1. Метрика
Метрический тензор:
/1 0 0
О 0 0 -1,
Производные по контравариантныч (х11") и ковариантным (х ) координатам
иногда сокращенно обозначаются как
а,-А» д1"^тг~- (п-2)
д а*1* &V
Суммирование по повторяющимся лоренцевым (обозначаются греческими бук-
буквами) или пространственным (латинские буквы) индексам подразумевается,
если нет оговорок:
y.yp = V W==V W =s V W =в V V =V°W<) V-W = V°W° V'W'
(П.З)
3-вектор и трехмерная часть контравариантного 4-вектора обозначаются
полужирными буквами:
V = {Vi, /=1, 2, 3} = {VX, Vy, V2). (П.4)
Исключение делается только для трехмерного градиента
Оператор Д'Аламбера
\2 = д^д —до — V2. (П.6)
Оператор 4-импульса
р^ = id* = {id», — i\}. (П.7)
Полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты:
¦f-1, если оператор {jx, v, p, а} получен четным числом
перестановок из {0, 1, 2, 3},
—1, если нечетным числом перестановок, I ' '
О в остальных случаях;
ПРИЛОЖЕНИЕ 385
Полезные тождества:
' = (х', v', p', а';
'— det (gaa'), a = v, p, а,
a'
' = -2 рр'^0'^0'
a'=v', p', a';
<П10>
Трехмерный антисимметричный тензор:
8<7* = e,yft = 1, если ((, /, й) получено четным числом
перестановок из A, 2, 3).
П.2. Матрицы Дирака и спиноры
Матрицы y удовлетворяют соотношениям
{/, YV}=YV + 7V=2^V, (П. 11)
где у0—эрмитова матрица, а у1—антиэрыитовы матрицы, записываемые через
Р- и a-матрицы следующим образом:
vo = p\ v = Pa; (П. 12)
Y*=Y5 = WVV = - ^ ^vpa Y^yYy0 =
= v\l (П. 13)
Коммутатор ^-матриц
удовлетворяет соотношениям
(П. 16)
75Y°Y = 2, где If - -i- 8l/ft а/*. (П. 17)
Эрмитово сопряжение:
386 ПРИЛОЖЕНИЕ
Для любых спиноров i|)X и i|J и любых 4х4-матриц Г справедливо тождество
(П. 19)
соответствующее тождество для двух антикоммучирующих полей со спином 1/2
включает дополнительный знак минус. Матрица зарядового сопряжения:
CcuvC-i = -arv, <IL20>
Матрицы Паули:
Представление Дирака:
(~ °) (П.22)
Сг = С+=— С, СС+ = С+С = /, С2 = —/. (П.23)
Представление Майорана:
(П.24)
C=—ia1®a2=( . 2 Qa j удовлетворяет также соотношениям
(П.23).
Связь представления Майорана с представлением Дирака:
I/ = U* =-^
ПРИЛОЖЕНИЕ 38?
Кнральное представление:
(П.*)
C = —fo3®^:^ .. . 2J удовлетворяет соотношениям (П.23);
„,• . /С" 0 \ ,, /а" 0
0 \
-a')'
Связь кирального представления с представлением Дирака:
где У = -±=- A -7буо) = у=- (\ ~ {) - (П.26)
Свертка по 4-индексам:
Следы:
Sp/ = 4, 8р7^ = 0, SpY6=0. (П.28)
След произведения нечетного числа ¦/''-матриц равен нулю:
Sp (vYvV) =4 (/V0-gV+/°gvp), (П.29)
Y Vе)=- 4<^vpa =
Sp (й^а ... ain) = Sp (,а2п ...
Sp (^t... ^an)=a1-a2 Sp (a3... a^—ax-ab Sp (я2я4 ... a2n) +.,,
-a» Sp (*,...*,„_!)=
где 8—сигнатура перестановки hh ••- tn}n, а сумма берется по Bя)!/2пя1
различным парам с номерами, удовлетворяющими соотношениям I = i1<
< B < ... < /„, ik < jk.
Спиноры Дирака и и v, т. с. решения уравнения Дирака
388 ПРИЛОЖЕНИЕ
являются функциями 4-импульса р на массовой поверхности, причем
рО = Ер== Y' + Р2. и им приписывают индексы поляризации а=1, 2.
Сопряженные спиноры:
Нормировка:
Плотности заряда
«<а>(р)у,
U(a)(p)Y°i
~v™ (р)
и тока:
*<e>(p)=«t
/Р>(р) = в+<
uW(p) = 5<a'(p)o<
(/?) # \Р) =* tl
<*(P)VW(P)=-1>
u<W(p) = -
а) (р) Й(Р> (
>{а),(р)»(р)
-Л
Р'~1п '
(р)==-^о«1
(П.32)
(П.ЗЗ)
(П.34)
', (П.35)
Р=(Р°. -Р)-
Операторы проектирования на состояния с положительной и отрицательной
энергиями:
(П.36)
а = 1. 2
Проекторы на состояния с определенной поляризацией вдоль простран-
пространственно-подобного 4-вектора п, ортогонального р; п>р = 0:
Пояснения к выбору спиральных состояний даются в разд. 2.2.1 (см. т. 1
настоящей книги).
Тождества Гордона:
„<а)(р)У*ц<0>(9) = -^««*>О
2т (П.38)
например,
(П.39)
ПРИЛОЖЕНИЕ
П.З. Нормировка состояний, S-матрица,
унитарность и формулы для сечений
Нормировка однобозонных состояний:
<р | //>=2юя BяK б3 (р-р'), (П.40)
где со^5= Ур2-\-т2 и опущены индексы поляризации.
Нормировка однофермионных состояний:
<Р \Р'>=-? B«K63 (P-P'h (П.41)
[Для безмассовых фермионов, таких, как нейтрино, в промежуточных вычис-
вычислениях надежнее использовать нормировку в виде (П.40).]
S-матрица и инвариантная амплитуда рассеяния:
<f\T\ t>=Bя)«а« {Pf-Pt) <#}.. (П.42)
Дифференциальное сечение рассеяния из начального состояния i = {l, 2}, не
содержащего массивные фермионы, в конечное состояние / = {3, 4, .•., га}:
Pl-Pf)- (П.43)
s Uf/s ••• Uf
Фактор 5 для случая, когда имеется kt идентичных частиц сорта i в конеч-
конечном состоянии:
S-ЦА,!. (П.44)
i
Мера dp обычно обозначает величину
dp = „—— , (П.45а)
BяK 2(йр '
за исключением массивных фермионов, для которых
— • (П.456)
Соответственно, если падающие частицы 1 и (или) 2 являются массивными
фермионами, выражение (П.43) следует умножить на 1ni\ и (или) 2т2.
Формула (П.44) может быть дополнена усреднением по поляризациям
начальных и суммированием по поляризации конечных состояний.
Скорость распада dT~й(х~1) частицы с массой /И на частицы 3, 4, ...
..., п а системе покоя частицы определяется правой частью выражения (П.43),
причем фактор протока 1/4 [(Р1-Рг)а—т^тЦЧи заменяется на 1/2М. В слу-
случае когда имеются фермионы, следует произвести изменения, указанные выше.
Дифференциальное сечение рассеяния 14-2-> 3+4 двух нетождественных
частиц:
dt
ИЛИ -17Х
. 91*. (П.4ба)
390 ПРИЛОЖЕНИЕ
здесь использованы переменные Мандельстама: s=(/71+p2K, t=(pi—pgJ и
начальный и конечный 4-импульсы в системе центра масс:
2_M'i'D_ [s
s s
(П.47)
X(s, m% ml)
4q'2__i:—11—il
s
Оптическая теорема: полное сечение рассеяния i-t- ... выражается через
мнимую часть амплитуды упругого рассеяния вперед of},'(s> / = 0):
@ = v/ ( 2 ~ • (П.48)
Разложение на парциальные амплитуды для бесспиновых частиц
g-fi (s, t) = 16«2
причем
(m*—ml) (ml—m2.)
|l|'|e + il^^
Унитарность ниже упругого порога:
S~l (s) = -щу в '6i <S> sin бг (s). (П.50)
Обобщение этих формул на случай частиц со спинами кратко рассматривалась
в гл. 5. (см. т. 1 настоящей книги).
П.4. Правила Фейнмана
Приведем правила Фейнмана для вычисления конкретной функции Грина или
амплитуды рассеяния.
1. Изобразить все возможные топологически различные диаграммы—свяэ-
ные или несвязные (но без вакуум-вакуумных поддиаграмм), дающие вклад
в исследуемый процесс в требуемом порядке.
2. Каждой диаграмме и каждой внутренней линии сопоставить пропагатор:
a"
P
к
P
к
/
a
для бозона
(П.51)
k2 — m2-(-i8 со спином О,
/ ' \ для фермиона /j-j 59)
\ 41—m-f-fe /pa со спином 1/2, '
ИР"
fe> J У ™'
ПРИЛОЖЕНИЕ
391
для векторного бозона с массой р. в калибровке Штюкельберга, т. е. опи-
описываемого лагранжианом с кинетической частью
\ *-^(д-А)*+^ A*.
3. Каждой вершине сопоставить вес, соответствующий мономиальному лагран-
лагранжиану взаимодействия. Вес составляется из следующих величин: а) фак-
фактора, обусловленного вырождением по тождественным частицам в данной
вершине; б) константы связи, входящей в !ifB3; в) возможных тензоров
по внутренним индексам и г) дельта-функции BлL64Bр), выражающей
закон сохранения 4-импульса. Каждой производной поля д^Ф сопоставля-
сопоставляется величина —</?ц, где р — соответствующий входящий импульс. Ниже
мы приведем вершины, встречающиеся в наиболее общепринятых теориях.
4. Выполнить интегрирование по всем внутренним импульсам с мерой
d*k/ BлL, возможное после регуляризации,
5. Вклад от каждой диаграммы умножить'
а) на фактор симметрии 1/S, где S — порядок группы перестановок
внутренних линий и вершин, оставляющих диаграмму неизменной, когда
внешние линии являются фиксированными;
б) на —1 для каждой фермионной петли;
в) на общий знак от внешних фермионных линий, отвечающий их переста-
перестановке, по отношению к аргументам данной функции Грина (см. гл. 6
в т. 1 настоящей книги).
Эти правила дают усеченные функции, не содержащие факторов, соответ-
соответствующих внешним линиям. Связные функции BлL64 (Zp) Gc (plt ..., р„)
получаются, если оставить только связные диаграммы и приписать внешним
линиям лропагаторы (П,51) —(П.53). Вклады в сильносвяэные функции Грина
i BлL64 B/)) Г (pi р„) дают одночасгично неприводимые диаграммы.
Окончательно, амплитуду рассеяния igT BяL64 (Я, — Рj) можно получить с
точностью до перенормировки, согласно сформулированным выше правилам, в
предположении, что внешние линии находятся на массовой поверхности, т. е.
полагая p2t = mj, и при условии, что внешние фермионные линии снабжены
спинорами и(р), v(q'), u(p'), v (q) в соответствии с тем, входят ли линии в
диаграмму или выходят из нее и принадлежат ли они начальному или
конечному состоянию (# = у = т, 4—#'=—т).
Начальное
состояние
Стандартные теории
/. (р1-теория:
Пропагатор (П.51):
Вершина —(Я BлLб4 Bр).
2. Квантовая электродинамика:
Конечное
состояние
j (д-
4!
392 ПРИЛОЖЕНИЕ
Фотонный пропагатор (П.536) с (ia = 0.
Фермионный пропагатор (П.52):
Вершина i — ie (Yn)pa BяL64
л
3. Скалярная электродинамика:
_JL
4
Фотонный пропагатор (П.53) с ц2 = 0.
Скалярный пропагатор (П.51), направленный вдоль погока заряда.
Вершины:
-ie (Ри+Р') Bя)«б« (p-p'-k).
»V> /
^. Неабелева калибровочная теория:
?= ~ (д^Ауа—dv Аца—gCabcAntAvc) (д^А"а - dv Av.a- gCabcAv. bAv c) -
-у (
$ (d»-gA*aT°)-m] y + [{^-gA\ T") ф]* [(dv-gA,* Ta) <j>] -
Векторный пропагатор дается выражением (П. 536) с ц,2=0.
Пропагатор духа ц дается выражением (П.51).
Знак минус для каждой духовой петли.
Вершины:
V
a
BяL64 <р+я+г) [g^ (Р-Я)р
—Phi
ПРИЛОЖЕНИЕ
393
g ¦Jra' p*^ Г "^ CeadPebc (gu
d- с
Вершина вектор-духового взаимодействия:
[CeabCecd (gup gv
—guvgpa) +
—gupgov)]-
- gnagvp) +
т
Р Ь с 1
Вершина ферм ион-векторного взаимодействия:
к
SB «A
Вершины скаляр-векторных взаимодействий:
г В A *
где Та—антиэрмитов оператор.
В
«. ТЬ);
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ1)
Адлера — Вайсбергера правило сумм 207
Адлера правило сумм 199, 381
Адлера условия совместимости 206
Аксиальная калибровка 239, 259
Алгебра токов 190
Аналитические свойства 296, 363
Аннигиляция пары 278, 345
Аномалии 218, 282, 211
Антикоммутации соотношения 179
Антилинейньш, антиунитарный оператор 65
Аромат (квантовое число) 176, 313
Асимптотическая свобода 343
Асимптотическое (ультрафиолетовое) по-
поведение 47, 340
Баба сечение 339
Баргманна — Мишеля — Телегди уравне-
уравнение 31
Безмассовая частица Дирака ПО
Безмассовые теории 43
Бекки — Рюэ — Опора преобразование 272
Бендера — Вц формула 128
Бета-функция (р-функция) 322, 334, 338
Бете •— Гайтлера сечение 290
Бете — Сомштера уравнение 135, 137
Боголюбова — Парасюка теорема 37
Боголюбова рекуррентная формула 29
Бора радиус 94
Бореля преобразование 118
Брейта уравнение 156
Бьеркена неравенство 199
Бьеркена — Фейнмана скейлииг 351
Вайнберга — Салима модель 301
Вайнберга теорема 47
Вайнберга угол 304
Вакуум, вырождение 173, 244
— инвариантность 173, 182
Вакуумные диаграммы 322
Ван-деР-Ваальса силы 173, 439
Вейлн уравнение 112
Велтона аргументация 102
Вершинная функция 403
Весовые диаграммы 178
Вигнера Э-функцин 293
Вигнера теорема 65, 185, 173
Вигнера — Эккирта теорема 102
Вика — Куткоского модель 143
Вика поворот 361, 141
Вика теорема 220, 96
Вика упорядочение 138
Вилсона критерии 347
Вилсона разложение 361
Водородотодобные атомы 93
Вынужденное излучение н поглощение 213
Высокие порядки теории возмущений 115
Гафниан 222
Гелл-Манна — Лоу функция 316
Гелл-Манна матрица 179
Гелл-Манна — Нишиджимы формула 179
Гелл-Манна — Окубо соотношения 182
Гиперзаряд 178
Гипотеза о сохраняющемся векторном токе
(СВТ) 192
Гиромагнитное отношение g 29, S7
Глэшоу — Илиопулоса — Майяни механизм
309
Глубоконеупругое рассеяние 189, 348
Голдстоуна бозоны 183, 216, 291
Голые параметры 416
Гольдбергера — Треймана соотношение 201
Гордона тождество 81
Грассмана алгебра антикоммутирующих пе-
перемен 22?, 88
Грибова неоднозначность 250
Грина функции евклидовы 155, 360
— — зависимость от калибровки 281, 336
— — запаздывающие, опережающие 50
— — одночастично-неприводимые 349
— — производящий функционал 255, 316
связные 256, 326
— — сильносвязные 349
— — усеченные 348
Гупта — Блейлера квантование 156
Дайсона — Швингера уравнение движения
97,130
Дарвина член 93
Джакоба ¦— Вика спиральный формализм
293
Джорджи — Глэшоу модель 296, 305
Диаграмма головастик 327, 210
Динамика на световом конусе 352
Дирака матрицы 68
Дирака поле (квантование) 175
Дирака уравнение G8
Дисперсионные соотношения 30 3
Древесная диаграмма 346, 354
Дрелла — Хирна — Герасимова правило
сумм 203
Дрожание (zitterbewegung) 83
Евклидов пропагатор 155, 360
Жесткое нарушение, жесткие вставки 215
Законы сохранения 34, 46, 170
Зарядовое сопряжение 108, 151, 186
Заряженное скалярное поле 47, 149. 340
') Страницы, указанные светлыми числами, относятся к т. 1, а полужирными —
к т. 2.— Прим. ред.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
395
Излучение классической заряженной ча-
частицы 54
Изоспиновая симметрия 305, 176
Индефинитная метрика 156
Инстантоиы 245
Инфракрасные расходимости 59, 209, 290,
42 i, 44
Инцидентности матрица 354
Исключительные импульсы 44
Йоста — Лемана — Дайсона представле-
представление 30J
in-и out-поля и состояния 203, 244
Кабиббо — Радикатти правило сумм 198
Кабиббо угол 191, 312
Казимира операторы 267
Казн чира эффект 170
Калибровочные преобразования 23, 48,
234, 236
Кал шна — Гросса правило сумм 381
Ка иана — Симанзика уравнения 321, 334
Kapnmica — Kieuna формула 167
Квантование вблизи стационарной конфигу-
конфигурации 123
— каноническое 131
— неабелевых калибровочных теорий 248
— систем со связями 106
Кварки 180. 222, 30S, 352
Киноситы теорема 46
Киратьнад симметрия 200, 208
Киральность ПО
Классический электромагнитный раднус 56
Ктасгеризации свойство 174
Клейна — Гордона уравнение 49, 66, 134
Клейна - ¦ Мишины формула 276
Клейна парадокс 83
Клиффорда алгебра 74
Ковариантноя производная 48, 235
Когерентные состояния 146, 208, 83
Коллективные моды 124
Комптоновское рассеяние 57, 271, 344, 202
Константа распада пиона /л 200
Континуальные интегралы 71
Контрчлены 394, 22
Конфайнменг 181, 346
Конформная инвариантность 326
Коулмена — Вайнберга эффективный
циал 104
Коулмена теорема 175
Кроссинг-(перекрестная) матрица 287
— симметрия 275, 279, 299
Кулоновская калибровка 24, 250
Кулоиовское рассеяние 118, 421
Ккого правила 379, 442
потен-
потенЛандау калибровка 165, 257
Ландау призрачный полюс 319
Ландау уравнение 364
Лармора фэр".:ула 55
Лежандра преобразование 14, 349
Лемана — Счианзика — Циммермана асим-
асимптотическая теория 244
Лемана эллипсы 311
Лептон-адронное инклюзивное рассеяние
198, 348
— в неабелевых калибровочных тео-
теориях 377
поляризационные эффекты 356
Лес поддиаграмм 31
Ли — Науенберга теорема 46
Лоренца — Дирака уравнение 61
Лоренца калибровка 26, 157, 239
Лоренца преобразование 17
Льенара ~ Вихерта потенциал 54
Лэмбовский сдвиг 102, 396, 431
Магнитный момент 29, 87
— — аномальный 418, 307
Майорана представление 69
.Максвелла уравнения 20
Мандельстама переменные 292
Мандельстама представление 378
jMacca фотона 169
Массивное векторное поле 166
Массовая вставка 332, 342
Масштабная инвариантность 325, 339
Матрица рассеяния см. 5-матрица
Мера фазового пространства бозоиного
142
— фермионного 180
Мермина — Вагнера теорема 189
Меллера сечение рассеяния 337
Минимальная связь 48, 84, 239
Мононоль (т' Хоафта — Полякова) 296
Momma сечение рассеяния 122, 337
Мягкая вставка 215
Мягкие фотоны см Инфракрасные расходи-
расходимости
Нарушение СЯ-инвариантности 197, 312
Неабелевы калибровочные теории 233
Нептральныи ток (слабый) 304, 308
Нелепюнные взаимодействия 372
Нелинейная G-модель 217
Нетео теорема 39, 45
Низьомергетические теоремы 202, 216
Нормальное упорядочение 138
— ядро 85
Нормировки условия 22
Обращение времени 189, 295
Одиочастично неприводимые диаграммы и
функции Грина 349
Октетная доминантность 181
— модеть 176
Операторное разложение 361
Операторы (составные), аномальные раз-
размерности 336
— жесткие, мягкие 215, 370
— перенормировка 40, 377
Оптическая теорема 291
Параметрическое представление амплитуд
Фейнмана 354
Партонная модель 352
Паи ли — Любанского вектор 43, 72, 180
Паули уравнение 86
Перекрывающиеся расходимости 30, 68
Перенормировка волновой функции 245
416
— заряда 416, 57
— квантовой электродинамики 384, 40
— конечная 37
— массы 401 ^ 1 .
— минимальная 61 tt :
— мультипликативная 416, Э7^,_
¦— неабелевых калибровочные теорий 260,
270, 297 ,
— общая теория 22 s , ,
— составных операторов 40, 377
— О" модели 211
Перенормируемые и неперенормаруемые
теории 16
Пион-адронного рассеяния длина 200
Пиона распад заряженного 192
— -- нейтрального 218
Ппон-нуклонная связь 309, 201
Плоской волны поле, классическая частица
в нем 33, 35
»-=«• = частица Дирака в нем 89, 127
396
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Подсчет степени расходимости 414, 14
— числа диаграмм 199
Позитроний, распад 188, 281
— сверхтонкое расщепление 151
— спектр 151, 168
Поляризация вакуума 385, 58, 316
Померахчука теорема 314
Понтрягина индекс 243
Порог аномальный 371, 375
— нормальный 370
— псевдо 373
Предел нулевой массы 43
Представление взаимодействия 216, 316
Представления группы SU{2) 293
St/C) 177
Производящий функционал для функций
Грина связных 256, 94
— — — — - - сильносвязных 349
— ~ — элементов S-матрицы 251
Прока уравнение 166
Пропагатор см также Грина функция и
Фейнмана пропагатор
— ковариантный векторного поля 266
— полный 347
— электрона 397
Пуанкаре группа 17, 47, 72, 145
Пуассона скобка 19, 107
Пфаффиан 225
Радиационные поправки в квантовой элект-
электродинамике 417
Разложение на малых расстояниях 355,
361
^- — световом конусе 373
— по парциальным волнам 291
— — петлям 346
Размерности аномальные 336, 342, 368.
377
Размерность критическая (низшая) 190
Регуляризация 7
— Паули — Вилларса 385, 9, 54, 224
— размерная 9, 59, 283
Редукционные формулы i48, 252, 257
Резерфорда формула 122
Ренормализационная группа 40, 335
— час~ь 28
Ридберга постоянная (Ryd) 94
Рождение пары во внешнем поле 234
Рождения операторы 136, 143, 180
Сверхтонкая структура 101
— — позитрония 151
Связные части 255—257
Спяль V — А 191
Сечение рассеяния 243, 292, 296
Сильносвязные диаграммы и функции Гри~
на 349
Симметрии в квантовой теории поля 170
— внутренние 44
— дискретные 185
— и законы сохранения 34
— спонгаино нарушенные 182, 216, 281
Симметрия SUC) 178
Сингулярности интегралов Фейнмана 364
Система бесконечного импульса 196, 352
Системы со связями 106, 24в
Скалярная электродинамика 340, 187
Скейлинг 351
Скорость распада 282
Слабые взаимодействия 190, 284, 301, 372
Славнони — Тейлора тождестна 270
Собственная энергия (собственная масса)
351, 397
Собственного времени метод 124
Солитоны 24а, 296
Сшш-орбитальное взаимодействие 31, 92
Спиральность 80, 110, 181, 293
Спонтанное нарушение симметрии 182, 216,
291
Странность 179
Структурные константы 45, 172
— функции 198, 350
— — моменты 378
Суиерпергнормируемые теории 17
СРГ-теорема 193
S-матрица 204, 215, 240, 248, 254, 94
— независимость от калибровки 300
— унитарность 290, 300
а-модель 207
Твист 374
Тенчор напряженностеч 237
Теорема об острие клинз 300
— о МЯ1 ких пионах 205
— — связи спина и статистики 182
— — сходимости амплитуд Фейнмана 18
Теория дырок 106
Томаса прецессия 29
Томсона рассеяние 56
Тонкая структура 97
— — постоянная (а) 56
Тормозное излучение 57, 287, 345, 424
Триалыгость 180
т'Хоофта калибровка 300
Угловой момент поля Дирака 73, 177
— — скалярного поля 42, 145
Улита потенциал 395
Ультрафиолетовые расходимости 397, 413,
5
Умова — Пойнтинга вектор 42
Унитарная калибровка 297, 303
— симметрия см Октетная модель
Уничтожения операторы 136, 143, 180
У орда — Такахаси тождества 407, 50, 196,
215, 270, 330
Усеченные диаграммы и функции Грина 348
Условная степень расходимости 414, 15
Фаддеева — Попова духи 256
Фаза рассеяния 295
Фактор симметрии 320, 324
Фарри теорема 333
Фейнмана диаграммы 319, 320, 346
— — параметрическое представление 354
Фейнмана калибровка 165, 257
Фейнмана правила 320
— — для квантовой электродинамики 328
— — — неабечевых калибровочных тео-
теорий 257
— — — скалярной электродинамики 343
Фейнмана пропагатор массивного вектор-
векторного поля 168
— — поля Дирака 114, 184
— — — Клейна — Гордона 52, 153
— — — электромагнитного 53, 164
Феноменологические лагранжианы 217
Ферми постоянная 191
Фиксированная точка (ультрафиолетовая)
321, 325, 341,
Фирю георема 197
Флуктуации вакуума 148, 170
Фока пространство 139, 159, 179
Фолди — Вацтчайзена преобразование 90
ФоРчфактопы lq5, 198
— в однопе1левом приближении 410
Фотон-фотонное рассеяние 427
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
397
Фредеольма детерминант 228, 100
Фруассара граница 313
Хиггса бозон 294
Хронологическое произведение 151, 184,
217
Цвет 181, 222, 211, 346
Циммермана формула вычитаний 31
Чарм (очарование) 180, 310
Частичное сохранение аксиального тока
(ЧСАТ) 200, 225
Челлена — Лемана представление 247
Четность 73, 85, 294
Швингера модель 230, 301
Швингера принцип действия 75
Швннгеровские члены 271, 195
Штюкельберга лагранжиан 167
Эйкоиальное приближение 81
Эйлера — Гейзенберга лагранжиан 237
Эквивалентности теорема 97
Электромагнитное поле 20
¦— — взаимодейстпие q классическим ис-
источником 201
— — квантование 156, 1!3
— — постоянное, классическое движение
в нем 28
— — пропагатор Дирака в нем 117, 124
— — частица Дирака в ием 88
Электрон-нейтринное рассеяние 305
Электрон-позитронная аннигиляция 357
Электрон-позитронное рассеяние 337
Электрон-электронное рассеяние 333
Электророждение 348
Энергии-импульса тензор квантованных по-
полей 145, 176
— — классический 38, 241
Энергия нулевых колебаний 137, 171
Эффективное действие 353, 98
— — в неабелевых калибровочных теориях
260
_ _ _ ф* теории 95
Эффективный заряд 315, 360, 379
— потенциал 101
Юкавы связь 311, 344
Янга — Миллса поле 233
=г — е- массивное 284
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 8. Перенормировка , . . 5
8.1. Регуляризация и подсчет степени расходимости 5
8.1.1. Введение 5
8.1.2. Регуляризация , 7
8.1.3. Подсчет степени расходимости 14
8.1.4. Теорема о сходимости 18
8.2. Перенормировка 22
8.2.1. Условия нормировки и структура контрчленов . . 22
8.2.2. Рекуррентная формула Боголюбова 27
8.2.3. Явное решение Циммермана 31
8.2.4. Перенормировка в параметрическом представлении 33
8.2.5. Конечные перенормировки 37
8.2.6. Составные операторы 40
8.3. Предел нулевой массы, асимптотическое поведение и теорема
Вайнберга 43
8.3.1. Безмассовые теории 44
8.3.2. Поведение в ультрафиолетовой области и теорема
Вайнберга ..,,.,, 47
8.4. Случай квантовой электродинамики , 49
8.4.1. Формальный вывод тождеств Уорда—Такахаси 50
8.4.2. Регуляризация Паули — Вилларса во всех порядках 54
8.4.3. Перенормировка . . .J 56
8.4.4. Поляризация вакуума в двухпетлевом
приближении 58
Примечания ....,..,..,,..... 69
Глава 9. Функциональные методы .................. 71
9.1. Континуальные интегралы . 71
9.1.1. Роль классического действия в квантовой
механике 71
9.1.2. Траектории в пространстве Баргмана—Фока . . 83
9.1.3. Фермионные системы 88
9-2. Релятивистская формулировка 92
9.2.1. Запись S-матрицы и функций Грина через конти-
континуальные интегралы , 92
9.2.2. Эффективное действие и метод перевала .... 98
9.3. Системы со связями 106
9.3.1. Общее рассмотрение , 107
9.3.2. Электромагнитное поле как пример 113
9.4. Высокие порядки теории возмущений 115
9.4.1. Введение 115
9.4.2. Ангармонический осциллятор 120
Примечания ,,........,. 128
ОГЛАВЛЕНИЕ
399
Глава 10. Интегральные уравнения и проблема связанных
состояний ..,..,,.,. 130
10.1. Уравнения Дайсона —Швингера ..,....,,. 130
10.1.1. Уравнения поля 130
10.1.2. Перенормировка . 136
10.2. Релятивистские связанные состояния , 137
10.2.1. Однородное уравнение Бете—Солпитера . . 137
10.2.2. Поворот Вика 141
10.2.3. Обмен скалярными безмассовыми частицами в
лестничном приближении , . 143
10.3. Сверхтонкое расщепление в позитронии 151
10.3.1. Общая постановка задачи 153
10.3.2, Вычисление в порядке а5 158
Примечания ..,,,.,....,........... 168
Глава 11. Симметрии 170
11.1. Реализация симметрии в квантовой теории 170
11.1.1. Постановка задачи 171
11.1.2. Основное состояние 173
11.2. Спектр масс, мультиплеты и голдстоуновские бозоны 176
11.2.1. Октетная модель Гелл-Манна и Неемаца . . 176
11.2.2. Спонтанное нарушение симметрии 182
11.3. Алгебра токов 190
11.3.1. Коммутаторы токов 190
11.3.2. Частичное сохранение аксиального тока и ки-
ральная симметрия . ..,,... 200
11.3.3. Низкоэнергетические теоремы и правила сумм 202
11.4. а-Модель 207
11.4.1. Описание модели 208
11.4.2. Перенормировка 211
11.5. Аномалии 218
11.5.1. Распад п° ->- 2у и алгебра токов 218
11.5.2. Аксиальная аномалия в о-модели ...... 220
11.5.3. Общие свойства 225
Примечания 230
Глава 12. Неабелевы калибровочные поля 233
12.1. Классическая теория 233
12.1.1. Калибровочное поле А^ и тензор F^v .... 234
12.1.2. Классическая динамика 239
12.1.3. Решения классических уравнений движения в
евклидовой области 242
12.1.4. Калибровочная инвариантность и дополнитель-
дополнительные связи 246
12.2. Квантование калибровочных полей , 248
12.2.1. Квантование при наличии связей 248
12.2.2. Интегрирование по калибровочной группе . . 251
12.2.3. Правила Фейнмана , 257
12.3. Эффективное действие в однопетлевом приближении 260
12.3.1. Общий вид , . . , 260
12.3.2. Двухточечная функция ........... 263
12.3.3. Другие функции 265
12.3.4. Перенормировка однопетлевых диаграмм . , , 269
400 ОГЛАВЛЕНИЕ
12.4. Перенормировка 270
12.4.1. Тождества Славнова —Тейлора 270
12.4.2. Тождества для сильносвязных функций . . . 273
12.4.3. Рекурсивный метод построения контрчленов 276
12.4.4. Зависимость функций Грина от калибровки . 281
12.4.5. Аномалии 282
12.5. Массивные калибровочные поля . . 284
12.5.1. История вопроса 284
12.5.2- Массивная калибровочная теория 288
12.5.3. Спонтанное нарушение симметрии 291
12.5.4. Перенормировка спонтанно нарушенных калиб-
калибровочных теорий 297
12.5.5. Калибровочная независимость и унитарность
S-матрицы 300
12.6. Модель Вайнберга — Салама . ., 301
12.6.1. Модель лептонов 301
12.6.2. Электрон-нейтринные сечения 305
12.6.3. Поправки высших порядков 306
12.6.4. Включение адронов , . 308
Примечания 313
Глава 13. Асимптотическое поведение 315
13.1. Эффективный заряд в электродинамике .,...,. 315
13.1.1. Функция Гелл-Манна—Лоу ......... 316
13.1.2. Уравнение Каллана— Симанзика ,.,.,. 321
13.2. Нарушенная масипабная инвариантность 325
13.2.1. Масштабная и конформная инвариантность . 326
13.2.2. Модифицированные тождества Уорда .... 330
13.2.3. Коэффициенты Каллана—Симанзика в низших
порядках . , ¦<. . 336
13.3. Восстановленная масштабная инвариантность , , , . 339
13.3.1. Эволюция константы связи .,.,,..,, 339
13.3.2. Асимптотическая свобода ...,..,,.. 343
13.3.3. Массовые поправки , , , 346
13.4. Глубоконеупругое лептон-адронное рассеяние и
электрон-позитронная аннигиляция в адроны , , , . 348
13.4.1. Электророждение , , . . , 348
13.4.2. Динамика на световом конусе ...,.,,, 352
13.4.3. Электрон-позитронная аннигиляция . . , , . 357
13.5. Операторные разложения , , 361
13.5.1, Разложение на малых расстояниях 361
13.5.2, Доминирующие и субдоминантные операторы,
смешивание операторов и законы сохранения 369
13.5.3, Разложение на световом конусе 373
Примечания ,,..,,,,.,..,,...,...,. 382
Приложение ...,.,,,..,,,,,., , . 384
,П,1. Метрика , 384
П,2, Матрицы Дирака и спиноры 385
П.З, Нормировка состояний, S-матрица, унитарность и фор-
формулы для сечений , , . , 389
П.4. Правила Фейнма'а , , . , , • . . 390
Предметный указатель .,,,,,,,,.,....,.....,,, 394