Автор: Крушвиц Л. Шефер Д. Шваке М.
Теги: динамика народного хозяйства экономическое развитие финансы государственные финансы финансы государственного сектора банковское дело деньги основы экономической теории макроэкономика информационная экономика горное дело инвестиции финансирование
ISBN: 5-318-00292-7
Год: 2001
Текст
ФИНАНСИРОВАНИЕ
И ИНВЕСТИЦИИ
Сборник задач и решений
ПИТЕР
Studienbuch
Finanzierung
und
Investition
Von
Dr. Dorothea Schafer
Univ.-Prof. Dr. Lutz Kruschwitz
Dipl.-Kfm. Mike Schwake
2., tiberarbeitete und erweiterte Aufla^e
о
R. Oldenbourg Verlag Munchen Wien
Л. Крушвиц, Д. Шефер, М. Шваке
ФИНАНСИРОВАНИЕ
И ИНВЕСТИЦИИ
Сборник задач и решений
Перевод с немецкого под общей редакцией
3. А. Сабова и А. Л. Дмитриева
ПИТЕР
Санкт-Петербург
Москва • Харьков • Минск
2001
Лутц Крушвиц, Доротея Шефер, Майк Шваке
Финансирование и инвестиции
Сборник задач и решений
Серия «Учебники для вузов»
Перевел с немецкого 3. Сабов
Научные редакторы: 3. Сабов, А. Дмитриев, И. Розмаинский
Главный редактор
Заведующий редакцией
Выпускающий редактор
Художественный редактор
Верстка
Корректор
В. Усманов
Л. Волкова
В. Земских
Н. Биржаков
М. Лебедев
М. Одинокова
ББК 65.010.65я7 УДК 330.322(075)+336.01 (075)
Крушвиц Л., Шефер Д., Шваке М.
К84 Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений / Пер. с нем. под общей редак-
цией 3. А. Сабова и А. Л. Дмитриева. — СПб: Питер, 2001. — 320 с.: ил. — (Серия
«Учебники для вузов»).
ISBN 5-318-00292-7
Вы держите в руках сборник задач и решении к учебнику известного немецкого ученого
Лутца Крушвица «Финансирование и инвестиции». В сборнике детально, на конкретных чи-
словых примерах рассматриваются такие вопросы как принятие решений в условиях риска,
модели оценки финансовых активов, теория структуры капитала, ценообразование опционов,
что создает возможность более детального усвоения материала.
Книга может быть рекомендована для самостоятельной работы студентов, для препода-
вателей, читающих курс «Корпоративные финансы», а также для всех интересующихся данной
темой.
© R. Oldenbourg Verlag, 1998
© Перевод на русский язык, 3. А. Сабов, 2001
© Предисловие к русскому изданию, Сабов 3. А., Дмитриев А. Л., 2001
© Издательский дом «Питер», 2001
Права на издание получены по соглашению с R. Oldenbourg Verlag.
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было фор-
ме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Перевод для издания данной книги на русском языке осуществлен при финансовой поддержке Фонда
Goethe-lnstitut Inter Nationes, Бонн/ Германия, за что мы выражаем искреннюю признательность.
ISBN 5-318-00292-7
ISBN 3-486-24853-7 (нем.)
ЗАО «Питер Бук». 196105, Санкт-Петербург, Благодатная ул., д. 67.
Лицензия ИД № 01940 от 05.06.00.
Налоговая льгота - общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953000 - книги и брошюры.
Подписано в печать 05.04.01. Формат 70x100/16. Усл. п. л. 34,83. Тираж 5000 экз. Заказ № 850.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Печатный двор» им. А. М. Горького
Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуинкаций.
197110, Санкт-Петербург, Чкаловский пр., 15.
Оглавление
Предисловие к русскому изданию............................... XI
Предисловие ко второму немецкому изданию................... XIII
Из предисловия к первому изданию .......................... XIII
Глава 1. Гарантированные платежи.............................. 1
1.1. Однократные платежи в условиях определенности ....... 1
1.1.1. Бюджетное ограничение ........................ 1
1.1.2. Трансакционная линия.......................... 3
1.1.3. Бюджетное ограничение с реальными
инвестициями ....................................... 7
1.1.4. Инвестиционная программа...................... 8
1.1.5. Кривые безразличия........................... 10
1.1.6. Инвестиционная программа, трансакционная линия
и кривая безразличия................................ 13
1.1.7. Оптимальный план потребления с функцией
инвестиций I......................................... 15
1.1.8. Оптимальный план потребления с функцией
инвестиций II ................................ 16
1.1.9. Оптимум потребления—сбережений............... 19
1.1.10. Оптимум потребления—инвестиций.............. 20
1.1.11. Изменение начального запаса и ставки процента ... 22
1.1.12. Инфляция и оптимум потребления—сбережений ... 24
1.1.13. Сравнительная статика в модели инфляции......27
1.1.14. Разные ставки процента по заимствованию
и по инвестированию................................. 30
1.1.15. Разные ставки процента по заимствованию .....32
1.1.16. Разные ставки процента по инвестированию.....33
Литература.................................... 34
1.2. Теория полезности в условиях определенности......... 35
1.2.1. Лексиграфическое предпочтение................ 35
1.2.2. Ординалистская срункция полезности........... 36
1.2.3. Кардиналистская функция полезности........... 37
Литература.................................... 38
1.3. Многократные гарантированные платежи................ 39
1.3.1. Спотовые и форвардные ставки процента.........39
1.3.2. Спотовые ставки процента и цены примитивных
ценных бумаг ................................. 41
1.3.3. Условные форвардные ставки .................. 44
VI
Оглавление
1.3.4. Цена многопериодной реальной инвестиции......... 46
1.3.5. Специфические реальные инвестиции и проблема
вымогательства ........................................ 47
Литература....................................... 51
Глава 2. Решения в условиях существования риска................. 52
2.1. Теория полезности в условиях существования риска....... 52
2.1.1. Аксиомы и вероятности безразличия............... 52
2.1.2. Вероятность безразличия и функция полезности ... 54
2.1.3. Функция полезности при нерасположенности
к риску.......................................... 55
2.1.4. Матрица результатов и полезности................ 56
2.1.5. Однозначность функции полезности................ 59
2.1.6. Значимость постоянных издержек.................. 60
2.1.7. Расчет премии за риск .......................... 63
2.1.8. Страховые договоры с лимитом собственной
ответственности.................................. 65
Литература....................................... 67
2.2. Формы отношения к риску................................ 69
2.2.1. Избранные функции полезности и отношение
к риску.......................................... 69
2.2.2. Функция полезности с варьирующим отношением
к риску.......................................... 73
2.2.3. Положительное линейное преобразование
и отношение к риску.............................. 74
2.2.4. Избранные правила преобразования................ 76
2.2.5. Распределение имущества на надежные и рисковые
вложения......................................... 77
2.2.6. Структура сринансирования и критическая ставка
процента......................................... 83
Литература....................................... 86
2.3. Классические правила принятия решения.................. 87
2.3.1. Совместимость с принципом Бернулли.............. 87
2.3.2. Квадратичная срункция полезности и ожидаемая
полезность ...................................... 89
2.3.3. Кривые безразличия и степень нерасположенности
к риску.......................................... 91
Литература....................................... 92
2.4. Стохастическое доминирование........................... 93
2.4.1. Непрерывное распределение и ожидаемая
полезность....................................... 93
2.4.2. Альтернативные концепции для определения
математического ожидания прибыли................. 94
2.4.3. Стохастическое доминирование первого порядка ... 96
2.1.4. Стохастическое доминирование второго порядка ... 98
Оглавление VII
2.4.5. Выбор наилучшего инвестиционного проекта.....100
2.4. G. Выбор проекта при издержках банкротства...103
Литература....................................10G
2.5. Модель предпочтения ситуации .......................107
2.5.1. Бюджетная линия и оптимальный план
потребления .........................................107
2.5.2. Оптимальный план потребления.................109
2.5.3. Цены примитивных ценных бумаг в равновесии ... 112
Литература....................................114
Глава 3. Теория арбитража....................................115
3.1. Теория арбитража в условиях определенности..........115
3.1.1. Типы возможностей арбитража..................115
3.1.2. Существование возможностей арбитража.........116
3.1.3. Арбитражная прибыль через «связывание»
и «развязывание» портфелей...........................117
3.1.4. Возможность арбитража и трансакционная линия . . 119
3.1.5. Примитивная ценная бумага и рыночная ценная
бумага........................................120
3.1.6. Свободный от арбитража рынок капитала
и аддитивность стоимости .....................120
.3.1.7 . Оценка одной рыночной ценной бумаги с помощью
примитивных ценных бумаг......................121
.3.1.8 . Альтернативные методы оценки..............122
3.1.9. Форвардная цена Эрроу—Дебре..................124
3.1.10. Спотовые и форвардные ставки процента
при свободе от арбитража.............................125
3.1.11. Эквивалентный портсрель и примитивные ценные
бумаги...............................................126
3.2. Теория арбитража в условиях неопределенности........128
3.2.1. Эквивалентный портфель и примитивные ценные
бумаги........................................128
3.2.2. Структура портфеля и доходность портфеля.....129
3.2.3. Оценка инвестиционных проектов...............130
3.3. Лемма Минковского—Фаркаша...........................133
3.3.1. Скалярное произведение и линейная
(не-)зависимость векторов ....................133
.3.3.2 . Лемма Минковского—Фаркаша и теория арбитража
на основе примитивных ценных бумаг............136
3.3.3. Геометрическая версия леммы..................137
3.3.4. Свободные от арбитража векторы цен...........139
Литература....................................141
VIII
Оглавление
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)....................143
4.1. Теория портфеля............................................143
4.1.1. Значение доходности и курс ценных бумаг
при полной корреляции...............................143
4.1.2. Продажа без покрытия........................147
4.1.3. Кривая трансформации в случае с двумя ценными
бумагами............................................148
4.1.4. Полная корреляция и кривая трансформации....151
4.1.5. Кривая трансформации при трех ценных бумагах . . 155
4.1.6. Линия эффективности.........................158
4.1.7. Кривая эффективности для экономики в целом .... 159
4.1.8. Выбор портфеля при одном рисковом финансовом
титуле......................................................160
4.1.9. Отношение к риску и выбор портфеля .................163
Литература...........................................165
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ....................166
4.2.1. Бюджетное ограничение ..............................166
4.2.2. Модель трех ценных бумаг....................168
4.2.3. Оптимальная структура портфеля..............180
4.2.4. Оптимизация совокупного вложения............181
4.2.5. Оптимальный портфель, рыночная цена риска
и семейство кривых трансформации ...................182
4.2.6. Позиция «риск—возвратный поток» при вариации
вложения без риска..................................185
4.2.7. Оптимальный план потребления, сбережения
и инвестиций........................................186
4.2.8. Оптимальный портфель при трех рисковых ценных
бумагах.............................................190
4.2.9. Инвестиция в безрисковый сринансовый титул .... 191
4.2.10. Доминирование линий рынка капитала ................191
4.2.11. Возможность делегирования принятия решений
о рисковых инвестициях..............................193
Литература.................................‘ . . 193
4.3. САРМ без безрисковой ставки процента.............195
4.3.1. Портфель, минимизирующий дисперсию, против
портфеля, максимизирующего полезность........195
4.3.2. Независимые от предпочтения базовые портфели . . . 198
4.3.3. Зависимые от предпочтений портфели инвесторов . . 200
4.3.4. Рыночный портфель и базисные портфели.......201
4.3.5. Выведенные базисные портфели................201
4.3.6. Выравнивание «коротких» и «длинных» позиций . . 204
4.3.7. Доходность ценной бумаги и бета ценной бумаги . . . 205
4.3.8. Минимальный по дисперсии портфель
с нулевой бета......................................206
Оглавление
IX
4.3.9. Расчет наименьшего по риску портфеля
с нулевой бета.................................208
Литература.....................................209
4.4. САРМ и решения об инвестициях......................211
4.4.1. Фактическая доходность против равновесной
доходности.....................................211
4.4.2. Приближенное и точное уравнения цены..........214
4.4.3. Зависимая от ситуации доходность рыночного
портфеля и оценка..............................217
4.4.4. Примитивные ценные бумаги и уравнение цены
САРМ...........................................219
Литература.....................................222
Глава 5. Теория структуры капитала............................223
5.1. Формы предоставления капитала .......................223
5.1.1. Разграничение между собственным и заемным
капиталом .....................................223
5.1.2. Низкая доля собственного капитала.............225
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала .... 226
5.2.1. Традиционный тезис ...........................226
5.2.2. Теорема Модильяни—Миллера ....................230
5.2.3. Уравнение цены САРМ и теоремы нерелевантности . . 234
5.2.4. Оптимум структуры капитала с тремя финансовыми
титулами.......................................235
5.2.5. Безрисковый и рисковый заемный капитал........237
5.2.6. Две фирмы с разным уровнем финансового
левериджа .....................................239
5.2.7. Доходность собственного капитала и уровень
финансового левериджа..........................240
5.2.8. Максимальная безрисковая задолженность .......241
5.2.9. Арбитражи с помощью реструктуризации
портфелей......................................242
5.2.10. Нерелевантность без получения частного кредита . . . 246
5.3. Структура капитала и налоги..........................248
5.3.1. Налог на имущество............................248
5.3.2. Вычитаемые из налогооблагаемой базы расходы
на реинвестиции................................249
5.3.3. Сравнение двух систем налогообложения.........250
5.3.4. Налог на прибыль предприятия и налог
на имущество...................................253
Литература.....................................254
Глава 6. Теория ценообразования опционов......................256
6.1. Европейские опционы..................................256
6.1.1. Модель «два момента времени—две ситуации» .... 256
6.1.2. Рентный опцион................................259
X
Оглавление
G.I.3. Биномиальная модель.........................262
6.1.4. Модель Блэка—Скоулза........................264
6.1.5. Детерминанты цены опциона ..................267
6.1.6. Хеджирование................................268
6.2. Американские опционы на акции.....................272
6.2.1. Опционы колл и пут в сравнении..............272
6.2.2. Американский опцион пут в биномиальной модели . . 274
6.3. Расширение анализа................................279
6.3.1. Опцион на акцию с дивидендом................279
6.3.2. Валютный опцион пут.........................281
6.3.3. Свободная от предпочтения оценка, осуществляемая
несмотря на возможность арбитража..................286
6.3.4. Опцион колл—пут.............................288
Литература...................................292
Предметный указатель ......................................294
Предисловие к русскому изданию
Вы держите в руках сборник задач и решений к учебнику Лутца Крушви-
ца «Финансирование и инвестиции», вышедшему в этом же издательстве
в русском переводе, и с интересом воспринятому российским читателем.
В сборнике обобщаются темы учебника: каждые тема и проблематика раз-
бираются на конкретных числовых примерах в форме задач с последующим
тщательным анализом их решения. Таким образом, он подходит для само-
стоятельной работы студентов, прочитавших учебник «Финансирование и
инвестиции» или прослушавших курс по теории корпоративных финансов.
Кроме того, данное издание будет весьма полезным и для преподавателей,
готовящих практические занятия с использованием учебника Л. Крушвица.
В сборнике по дидактическим соображениям выдержана одинаковая
структура каждого раздела: вначале дается весьма короткий обзор темы и
представление о дальнейшем ходе решения проблемы, т. е. определяются
те области, которые освещаются отдельными задачами. После перечисления
Задач читатель может последовательно проследить их решения. Таким обра-
зом, предоставляется возможность вникнуть в детальный анализ отдельных
тем из новой, более практической перспективы.
Как и в учебнике, в сборнике задач необходимо было принимать реше-
ние об использовании терминов, еще не привитых в российской научной
литературе. Мы придерживались принципа использования тех же терми-
нов, которые мы принимали в учебнике. Но если в учебнике автор четко
использовал раз введенный термин, то в немецком варианте сборника авто-
ры часто прибегали к многочисленным синонимам. С нашей точки зрения,
такая синонимичность затрудняет использование книги в учебном процессе.
Поэтому мы по возможности стрались избегать употребления синонимов.
Так же как и в учебнике Л. Крушвица «Финансирование и инвестиции»,
для характеристики стоимостной оценки капитала был использован термин
«стоимость», хотя в оригинале соответствующее понятие обозначено немец-
ким «Wert» — ценность. При этом мы исходили из большой распространен-
ности термина «стоимость» в отечественной литературе и из неоднозначно-
сти трактовки термина «ценность», которая скорее зависит от качествен-
ных, нежели количественных интерпретаций.
XII
Предисловие к русскому изданию
Следует отметить наличие в книге некоего сленга, иногда встречаемого в
профессиональной литературе. Например, когда говорится об оптимальном
потребительском плане, авторы пишут, что в этом случае наклон кривой
безразличия в точности соответствует наклону трансакционной линии. Хо-
тя, строго говоря, речь идет о тангенсах углов наклона касательных к со-
ответствующим линиям. Между тем мы сочли в таких случаях возможным
сохранить авторский текст, но говорим об этом читателям.
Мы искренне уверены, что данная книга будет встречена с большим ин-
тересом российскими читателями и окажется полезной в освоении курса
теории корпоративных финансов.
В работе по подготовке этой книги приняли участие Т. В. Субботина,
В. А. Болгова, Е. Л. Лункина и Б. В. Субботин, за что выражаем им искрен-
нюю признательность.
Санкт-Петербург, 3 марта 2001 г.
3. Сабов
А. Дмитриев
Предисловие ко второму немецкому изданию
Новое издание настоящей книги дало нам возможность избавиться от оши-
бок и недостатков, на которые нам указали студенты, сотрудники и колле-
ги. Мы оставили неизменной структуру книги и добавили лишь некоторые
задачи. Фундаментальная переработка была сделана нами в рамках пред-
ставления модели оценки финансовых активов. Мы надеемся, что благода-
ря этому читателям будет легче усвоить данный материал. При этом для
более полной ясности мы решили обозначать каждую случайную перемен-
ную тильдой.
Все сотрудники кафедры теории финансов оказали нам ценную помощь,
поделившись с нами своим опытом, который они приобрели в ходе практи-
ческой работы с книгой на занятиях в университете. Всем им, и особенно
Свену Хусманну, хотелось бы выразить сердечную благодарность.
Берлин, апрель 1998 г.
Доротея Шефер
Лутц Крушвиц
Майк Шваке
Из предисловия к первому изданию
Настоящая книга написана в качестве приложения к учебнику: Krusch-
witz L. Finanzierung und Investition. Berlin; New York, 1995.
Она предназначена для дополнения и обобщения учебника с помощью
изложения на примерах конкретных проблем, касающихся решений лиц,
предоставляющих капитал, и инвесторов. Благодаря рассмотрению задач и
тщательному анализу их решений создается возможность детального усво-
ения материала учебника. Помимо этого, за счет большого количества во-
просов открываются также новые аналитические перспективы, касающиеся
тех взаимосвязей между моделями, которые при прочтении учебника оста-
вались пока что скрытыми.
XIV
Предисловие
Структура данной книги в основном совпадает с учебником. Правда, для
более наглядного обеспечения связей между отдельными аспектами нам по-
казалось разумным объединить в одну главу все проблемы теории арбит-
ража.
Каждая глава начинается с введения, в котором мы даем обзор новой те-
мы и объясняем, какие вопросы будут обсуждаться в последующих задачах.
После этого следуют задачи с решениями. В конце каждой главы интересу-
ющемуся читателю даются конкретные указания на дополнительную лите-
ратуру. Задачи одной главы часто построены так, что каждая последующая
вытекает из предыдущей, так что мы не рекомендуем при работе с книгой
«перескакивать» через несколько задач. Там, где такая «скачкообразная ра-
бота» видится особенно неразумной, мы даем на этот счет ясные указания в
вводных замечаниях к главе.
Естественно, во многих задачах расчет осуществляется с конкретными
цифрами, и мы настоятельно рекомендуем нашим читателям пересчитывать
результаты, представленные в данной книге. Тот, кто будет работать с каль-
кулятором, заметит довольно значительные отклонения от наших результа-
тов. Наверное, причина таких отклонений состоит в том, что мы при ре-
шении наших задач использовали компьютерную программу EXCEL, в рам-
ках которой промежуточные результаты, как правило, обрабатываются не
округленно. Далее, пусть читатель не возмущается значениями некоторых
цифр. Если, например, осуществление инвестиции связано с начальными
расходами в объеме 1 руб., то это — следствие не отсутствия чувства реаль-
ности авторов, а их прагматизма и желания избежать лишних неудобств.
Тот, кто пишет книги, всегда должен опираться на помощь других. Мы
выражаем благодарность студентам Свободного университета Берлина, ко-
торые справедливой и конструктивной критикой помогли нам при написа-
нии настоящего текста, а также «очистить» его ранний вариант от много-
численных недостатков. Особую благодарность выражаем нашим сотрудни-
кам и коллегам, а именно, Даниэлю Бриквеллу, Катрин Буркхардт, Акселу
Еромину, Яне Киндт, Карстену Марксу, Ренате Мауэрсбергер и Михаэлю
Шмитцу.
Естественно, за все оставшиеся недостатки мы принимаем ответствен-
ность на себя. Всех благосклонных читателей мы просим, чтобы они указа-
ли нам на ошибки и возможности улучшения книги.
Берлин, август 1995 г.
Доротея Шефер
Лутц Крушвиц
Майк Шваке
Глава I
Гарантированные платежи
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
Ирвинг Фишер в 1930 г. на основе модели совершенного рынка капитала
доказал, что собственники могут принимать свои инвестиционные решения
независимо от своих предпочтений в отношении потребления. Посредством
осуществления инвестиций, которые имеют положительную чистую сего-
дняшнюю стоимость, все собственники могут повысить свой уровень полез-
ности. Только на втором этапе каждый собственник ищет из всех возмож-
ных планов потребления свой оптимальный план. Эта возможность разде-
ления решений об инвестициях и о потреблении делает возможным делеги-
рование принятия инвестиционных решений. Целью этой главы является
выяснение теоремы разделения Фишера со всеми ее следствиями. Первые
пять задач служат для того, чтобы ознакомиться с ее обоими существенны-
ми элементами, а именно трансакционной линией и выведенными из инди-
видуальных функций полезности кривыми безразличия. К этому основопо-
лагающему аспекту, а также к первому комбинированию трансакционной
линии и кривых безразличия в шестой задаче относятся дискретные инве-
стиционные программы. Следующее графическое и аналитическое определе-
ние оптимального потребительского плана базируется, как и все последую-
щие задачи, на непрерывной функции инвестиции. Перед тем как включить
инфляцию в наши рассуждения, мы покажем, как могут быть определе-
ны оптимумы потребления—сбережений и потребления—инвестиций и как
влияют изменения начального запаса и ставки процента на уровень полез-
ности. В конце этой главы мы проверим на основе трех примеров, соблюда-
ется ли теорема разделения и тогда, когда происходит отказ от допущения
совершенного рынка капитала.
1.1.1. Бюджетное ограничение
Пусть вы находитесь в мире двух моментов времени в условиях определен-
ности и намерены найти свой оптимальный потребительский план. Ваш на-
чальный запас составляют потребительские блага в количестве Со, а также
наличные деньги величиной в Мо- Потребительское благо стоит сегодня и в
следующем году V’- Существует возможность дать или взять в долг деньги
по ставке процента рынка капитала г.
1. Изобразите свои бюджетные ограничения для обоих моментов времени
в номинальном и реальном выражениях.
2
Глава 1. Гарантированные платежи
2. Как изменятся реальные ограничения, если вы узнаете, что вам кто-
нибудь в t = 1 подарит с гарантией денежную сумму величиной в A/j?
1. Благодаря бюджетным ограничениям, с одной стороны, отсутствует пе-
рерасход бюджета, а с другой — его полное расходование. Если мы обо-
значим фактически приобретенное количество потребительских благ в
момент времени t = 0 (£ = 1), Со (CJ и вложенную (полученную) на
рынке капитала денежную сумму Л/о, то бюджетные ограничения в
номинальном выражении выглядят:
для t = 0: ipC0 + Мо = + Л/d,
для t = 1: -0С1 = + Мо • (1 + ?).
В реальном выражении мы получаем:
для t = 0: Со + = Со + ,
для / = 1: С] = Ci + • (1 + г).
Как нужно интерпретировать эти уравнения? Сконцентрируем внима-
ние сначала на номинальном выражении. Левая часть первого бюд-
жетного ограничения является не чем иным, как вашим начальным
запасом, измеренным в денежных единицах. Правая часть описывает
ваше желаемое использование начального запаса, выраженного опять
в денежных единицах. В левой части второго ограничения приведены
желаемые потребительские расходы для момента времени t = 1, а в
правой — имеющиеся для этого в распоряжении суммы денег. Сум-
ма денег состоит из двух компонентов: из сбережений с начисленными
сложными процентами и ценности начального запаса потребительских
благ для этого момента времени. При этом необходимо учитывать, что
сбережения могут быть и отрицательными. В этом случае мы имели
бы дело с получением кредита. То обстоятельство, что существует как
рынок потребительских благ, так и рынок капитала, позволяет вам ре-
ализовать потребительские планы, которые отличаются от вашего име-
ющегося всегда начального запаса. Реальное выражение следует интер-
претировать совершенно аналогично. Оно отличается от номинального
лишь тем, что вместо денежных единиц используются единицы потре-
бительских благ.
2. Ограничение для t = 1 теперь выглядит следующим образом:
Л71 +А7о
ф -Ф
А ограничение в момент времени t = 0 никак не изменится.
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
3
1.1.2. Трансакционная линия
С обломков судна, потерпевшего кораблекрушение, Робинзон Крузо успел
спасти мешок с двумя центнерами картофеля. Ему придется питаться этим
два года. До истечения этого срока он не сможет выбраться с острова. Исхо-
дите далее из описанного сценария и опишите графически и аналитически,
как будет выглядеть трансакционная линия в следующих ситуациях:
1. Робинзон Крузо может либо съесть свой картофель сегодня, либо хра-
нить его в близлежащей пещере.
2. Он имеет такую же возможность, что и в ситуации 1, но должен счи-
таться с тем, что пещера в первом году будет регулярно «посещаться»
обезьянами, которые съедят 20 % запаса.
3. Поведение обезьян не изменилось. Но Робинзон встречает туземцев,
которые изобрели рынок картофеля и рынок капитала. Один цент-
нер картофеля продается за 22 руб. Однако рынок капитала является
несколько необычным, так как ставка процента является отрицатель-
ной и равна —10%, а Робинзон может вложить деньги, но не в состоя-
нии получить кредит.
4. Далее действует сценарий 3. Но Робинзон сразу после прибытия на
остров встречает туземца, который фигурирует в «Желтых страницах»
этого острова под рубрикой «охранные сигнализации». Ни один совет
не бесплатен. Туземец требует за обеспечение техники безопасности
пещеры гонорар в объеме S = 5 за кг картофеля.
5. Теперь на рынке капитала имеется положительная ставка процента,
равная 10%. В остальном по сравнению со сценарием 4 ничего не из-
менилось.
6. В ходе первой прогулки по острову Робинзон обнаруживает 2 поля, на
которых он может выращивать картофель. Первое поле обещает норму
урожайности, равную 25 %, а второе — 5 %. Будет ли Робинзон за-
ниматься земледелием? Исходите опять из ставки процента на рынке
капитала, равной 10 %.
7. На более плодородной почве можно посадить максимально 30 кг. Став-
ка процента на рынке капитала неизменно составляет 10 %.
* *
*
1. При этих условиях Робинзон может потреблять во втором году в точ-
ности то количество, которое он хранит. Его бюджетное уравнение вы-
глядит следующим образом:
С, = Со - Со.
Оно изображено на рис. 1.1 жирной и сплошной линией.
4
Глава 1. Гарантированные платежи
Рис. 1.1. Трансакционные линии Робинзона
2. Если Робинзон должен считаться с тем, что он потеряет 20 % свое-
го складского запаса, то его бюджетное уравнение примет следующий
вид:
с; = (1 + г) (Со - Со) = (1 - 0.2) (100 - Со). (1.1)
Графиком этой функции является пунктирная линия на рис 1.1.
3. Робинзон имеет две возможности обеспечения будущего потребления.
Он или осуществляет складирование, или использует рынок картофеля
и рынок капитала. В первом случае соблюдается бюджетное уравнение
(1.1). Во втором — уравнение, имеющее вид:
С" = (1 + Н(Со - Со) =
= 0.9 • (100 - Си).
С" изображено на рис. 1.1 в виде мелкой пунктирной линии. Несмотря
на отрицательную ставку процента, Робинзону нужно участвовать на
рынке. Норма потери там меньше, чем при складировании в пещере.
4. Обеспечение охранной сигнализации приводит к бюджетному уравне-
нию
С(" = Со - S - Со =
= 95 - Со.
Рис. 1.1. показывает, что трансакционные линии для обеспечения
охранной сигнализации и участия на рынках пересекаются в точке А.
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
5
Поэтому Робинзон примет решение обеспечивать охрану только в пер-
вом году в зависимости от желаемого потребления. Критический уро-
вень потребления С(‘|'рнт, при котором Робинзон безразличен при со-
вершении выбора между обеспечением охраны и участием на рынках,
будет найден, если приравнять оба бюджетных ограничения
0.9 • (100 - Сдрит) = 95 - Сокрит,
Сокрит = 50.
Если Робинзон захочет потреблять в первом году более чем 1 ц карто-
феля, он должен участвовать на рынке, в противном случае выгодно
обеспечение охранной сигнализации.
5. Если Робинзон использует рынок капитала, то его трансакционная ли-
ния имеет наклон — (1 + г) = —1.1. Наоборот, если он надеется на скла-
дирование в пещере, то его трансакционной линией является С"' с на-
клоном dC"/d Со = — 1. Из-за Со > Со — S не существует точки пересе-
чения между альтернативными кривыми, так что рынок капитала для
любого уровня Со позволяет добиться более высокого будущего потреб-
ления. Обеспечение охраны уже невыгодно.
6. Пашня предоставляет Робинзону возможность собирать картошку, ко-
торую сажают сегодня, в следующем году с дополнительным урожаем.
При норме урожайности, равной z = 25 % (5 %), Робинзон от каждой
посаженной картошки получает урожай, равный 1.25 (1.05). Его воз-
можности потребления обобщенно описываются как
Ci = (1 + z) • (Со — Со)
и с учетом обеих возможных норм урожайности как
Cj = 1.25-(100 -Со) или (1.2)
Ci = 1.05-(100-Со). (1.3)
Объем картофеля, который может быть потреблен Робинзоном через
год, если он не пользуется пашней, а участвует на рынке картофеля и
на рынке капитала, определяется из
Ci = (1 + г) • (100 - Со) = 1.1 • (100 - С,,). (1.4)
Сравнение трех уравнений (1.2), (1.3) и (1.4) показывает, что Робинзон
должен был бы заниматься земледелием лишь на более плодородной
пашне при z = 25 % . Если норма урожайности составляет лишь 5 % , то
нужно предпочесть торговлю картофелем (см. рис. 1.2).
7. Если картофель Робинзона посажен лишь на более плодородной пашне,
возможности потребления можно изобразить ломаной линией, пока-
занной на рис. 1.3. Вначале Робинзон может двигаться по кривой с
высокой нормой урожайности. Если он планирует отказ от потребле-
6
Глава 1. Гарантированные платежи
Рис. 1.2. Земледелие по сравнению
с рынком капитала
ния, превышающий 30 кг, то ему придется продать объем картофеля,
который не может быть посажен им на более выгодном поле, и вы-
ручку поместить на рынке капитала. Его позиция потребления тогда
окажется на ломаной линии.
Рис. 1.3. Земледелие при ограничении
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
7
1.1.3. Бюджетное ограничение с реальными инвестициями
Ваши возможности в ходе принятия решения теперь становятся шире. По-
мимо приведенных в предыдущем примере возможностей вы можете сейчас
осуществить и реальные инвестиции. Расходы на их реализацию составля-
ют /0- Гарантированные возвратные потоки составляют Покажите, что
осуществление реальной инвестиции разумно лишь тогда, когда чистая се-
годняшняя стоимость положительна.
•А* *
*
Чистая сегодняшняя стоимость реальной инвестиции определяется как
NPV = -/о +
1 + г
Для приведения желаемого доказательства мы поступим следующим обра-
зом: сначала мы выведем бюджетные ограничения при условии, что реаль-
ный проект осуществляется. После этого мы выясним, при каких условиях
планы потребления с реальными инвестициями лучше, чем при отказе от
реальных инвестиций. Для этой цели мы зафиксируем сегодняшнее потреб-
ление на каком-либо произвольном уровне. Новые бюджетные ограничения
выглядят следующим образом:
''/'Со + Л/о = фСо + Мо + /о. (1.5)
фС\ = фС\ + Л/о (1 +?) + А'ь (1.6)
Рассмотрение первого ограничения показывает, что сейчас мы подразделяем
сбережения на финансовые вложения (jWo) и реальный проект (/о). Соответ-
ственно второе уравнение констатирует, что существуют два вида инвести-
ционных доходов, а именно доходы от финансовых инвестиций (Л/о(1 + >'У)
и возвратные потоки от реального проекта (XJ.
Если мы выразим (1.5) через .Mt) и подставим в (1.6), то после преобразо-
вания получим
G = G + (с0 + ~Y^ + г) - Со • (I + ,•) + -~/()-(-Ц r) +27.
V Ф J ч Ф,
Щ 1/2
Это уравнение описывает, от чего зависит ваше будущее потребление, ес-
ли вы осуществляете реальный проект. Наоборот, если вы отказываетесь от
проекта, ваше будущее потребление ограничивается до величины Н\. Вслед-
ствие этого реальный проект выгоден лишь при условии, что Н2 положи-
тельна. Так как между Я2 и NPV имеется соотношение
NPV =
Н2ф
1 + г'
8
Глава 1. Гарантированные платежи
то при положительной ставке процента и цене отсюда следует, что вы ока-
зываетесь в выигрыше благодаря проекту лишь тогда, когда NPV положи-
тельна.
1.1.4. Инвестиционная программа
Предприниматель имеет 500 000 руб. и хочет их как можно выгоднее ин-
вестировать. Его инженеры предлагают ему следующие неделимые инве-
стиции.
Проект Инвестиционные расходы Доходность
А 150 000 руб. 200 %
В 100 000 руб. — 40%
С 350 000 руб. 20 %
D 250 000 руб. 100 %
1. Помощник менеджера упорядочивает проекты в алфавитном порядке
и выводит на основе имеющихся данных изображенную на рис. 1.4
инвестиционную функцию. Так как существует лишь одно благо, цена
которого составляет один рубль, он может обозначить оси Со и Cj.
Придерживаетесь ли вы мнения, что это решение является разумным,
или вы уволили бы этого помощника? Если вы выбираете второе, то
предложите более обоснованное решение и объясните свой подход.
Рис. 1.4. Инвестиционная функция
помощника
2. Банк предлагает инвестору кредит по ставке процента, равной 10%
годовых. Определите оптимальную инвестиционную программу и об-
оснуйте свое решение.
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
9
3. Кроме того, банк готов предоставить кредит под 10 %. Что изменится
вследствие этого для инвестиционной программы?
4. Сможет ли руководство принять однозначное решение об инвестицион-
ной программе, если рыночная ставка процента составит 20 % ?
* *
*
1. Представьте себе фермера, посевные площади которого ограничены. Он
владеет пашнями различной плодородности, разницу качества кото-
рых он точно знает. Фермер был бы глуп, если бы он не обрабатывал
бы сначала самую плодородную пашню, потом вторую по плодородно-
, сти и т. д. Помощник должен быть уволен, так как при своем упорядо-
чении он нарушил именно этот принцип. Единственное упорядочение,
которое удовлетворяет данному принципу, выглядит следующим обра-
зом: A-D-C-B. Поэтому функции инвестиций всегда выпуклы вверх,
как это изображено на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Разумное упорядочение проектов
Ввиду того обстоятельства, что бюджет ограничен 500000 руб. и проек-
ты неделимы, предприниматель будет осуществлять проекты А и D, а
остаток в виде 100000 руб. внесет в кассу.'
2. Если есть возможность направить свои деньги в финансовые вложения,
доходность которых равна 10 %, то нет оснований для реализации ин-
вестиционных проектов, доходность которых меньше. Таким образом,
исключено и держание кассы. Программа реальных инвестиций оста-
ется неизменной. Но предприниматель покупает облигации на сумму
100000 руб.
1 Для полного исчерпания своего бюджета он мог бы еще осуществить проект В. Но
«доходность» держания кассы значительно выше, чем —40%.
10
Глава 1. Гарантированные платежи
3. Если сейчас банк откроет предпринимателю возможность получения
кредита, то последний откажется от покупки облигаций. Вместо этого
он возьмет кредит в объеме 250000 руб. Вместе со своими остаточны-
ми собственными средствами в объеме 100 000 руб. предприниматель
теперь в состоянии осуществить и проект С. Как показывает табл. 1.1,
такая стратегия выгодна. Это обосновано тем, что кредит обходится в
10 ‘/о, а инвестиция приносит доходность, равную 20 % .
Таблица 1.1. Альтернативы инве-
стиционных программ
Проект Платежи
1 = 0 t = 1
А -150000 450 000
D -250 000 500 000
Облигация -100 000 110 000
Сумма -500 000 1 060 000
А -150 000 450000
D -250 000 500 000
С -350000 420 000
Кредит 250 000 -275 000
Сумма -500 000 1 095 000
1. Если рыночная ставка процента повысится до 20 ‘/о, то проект С станет
предельной инвестицией. В этом случае безразлично, осуществляет ли
предприниматель этот проект или финансовую инвестицию. Поэтому
содержание программы реальной инвестиции неоднозначно.
1.1.5. Кривые безразличия
1. Вы имеете межвременную функцию полезности
U (Q), С\) = Q) + 7С1.
Рассчитайте выражение (—Назовите и проинтерпретируйте
его.
2. Начертите кривые безразличия для 7 = 1 И7 = 2в системе координат
Gi-G.
3. Вы владеете начальным запасом в объеме 1 млн руб. Ваша продол-
жительность жизни составляет два периода. Существует ли для 7 = 1
оптимум межвременного потребления, если возможно лишь держание
кассы?
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
11
4. Ставка процента остается неизменной. Какую структуру потребления
вы выберете для 7 = 2? Определите результат с помощью графика.
5. Вы знаете, что ваш друг в противоположность вам имеет строго вы-
пуклые вниз кривые безразличия. Как вы бы описали поведение его
нормы временных предпочтений? Почему кривые безразличия вашего
друга в экономическом смысле более правдоподобны, чем ваши?
•Л* -к
'к
1. Мы найдем полный дифференциал функции полезности и приравняем
его к нулю
c)U ди
dU = — dC\} + — dC, = 0.
<Х.() дСА
Через преобразование мы получим:
dC'r _ ди/дСп
dCa OU/дС\ '
Это выражение дает для каждой точки кривых безразличия соответ-
ствующее значение угла наклона. При производных функции полезно-
сти, равных
dU dU
ас,-1 “ ас,-’’-
мы получим для MRS (предельной нормы замещения)
dC\ __ 1
MRS обозначает, сколько дополнительного будущего потребления вы
потребуете, если откажетесь от предельной единицы сегодняшнего по-
требления. При постоянстве предельной нормы замещения кривые без-
различия являются прямыми.
2. Подстановка 7=1 дает MRS, равную 1. Если мы используем 7 = 2,
то наклон кривой безразличия снизится до —0.5. Рис. 1.6 показывает
соответствующие кривые.
3. Наклон кривой безразличия в точности соответствует наклону транс-
акционной линии. Поэтому для вас каждый осуществляемый потреби-
тельский план оптимален.
4. На рис. 1.7 вы видите семейство кривых безразличия с наклоном —0.5
и трансакционную линию, имеющую наклон —1. Очевидно, вы дости-
гаете самого высокого уровня полезности на той кривой безразличия,
которая «касается» трансакционной линии в точке А. Вы откажетесь
от всякого сегодняшнего потребления, помещая все, чем владеете, в
кассу, чтобы потребить это в следующем году.
12
Глава 1. Гарантированные платежи
Рис. 1.6. Кривые безразличия при постоянстве
наклона
Рис. 1.7. Исключительное будущее потребление
5. Норма временных предпочтений определена как
Она определяет наклон кривой безразличия. При выпуклости вниз
кривой безразличия норма временных предпочтений при уменьшении
сегодняшнего потребления постоянно растет. Это означает: чем больше
ваш друг ограничивает свое сегодняшнее потребление, тем тяжелее ему
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
13
становится еще туже затянуть ремень. Он будет готов к дальнейшему
ограничению потребления лишь тогда, когда станет получать все более
растущую компенсацию при будущем потреблении. А вы готовы неза-
висимо от уровня вашего сегодняшнего потребления ограничить его на
предельную единицу, если вам за это предлагается 1/7 = const единиц
будущего потребления. Независимо от того, купаетесь ли вы в роскоши
или близки к голодной смерти, ваше предельное страдание при отказе
от потребления остается всегда одинаковым. А ваш друг требует высо-
кую компенсацию, если его сегодняшнее потребление мало, и низкую
компенсацию, если его сегодняшнее потребление велико, — это дей-
ствительно правдоподобное поведение.
1.1.6. Инвестиционная программа, трансакционная линия
и кривая безразличия
Робинзон стоит перед выбором: какие приведенные в следующей таблице
проекты реальных инвестиций ему следует осуществить, а от каких лучше
отказаться.
Проект /о Л1
А -1000 1200
В -600 610
С -700 730
D -200 250
Е -550 650
При ответе на эти вопросы исходите из того, что Робинзон владеет ликвид-
ными средствами величиной в 3050 руб.
1. Объясните Робинзону на примере графика, какие инвестиции ему сле-
дует реализовать, если он может поместить деньги и получить кредит
по ставке процента, равной 12 % . Как велики в этом случае его расходы
на осуществление реальных инвестиций и возвратные потоки от них?
2. Предпочтение сегодняшнего времени у Робинзона так сильно, что
ему хотелось бы потреблять больше, чем это позволяет его начальный
запас. Начертите на приведенном в пункте 1 графике выпуклые
вниз кривые безразличия, которые это выражают, и объясните, как
Робинзон может реализовать свой оптимальный план потребления.
Покажите на рисунке объем его финансовых инвестиций.
* *
*
1. Первый шаг к графическому решению состоит в том, чтобы начертить
функцию инвестиции в координатах С0~С\. Для этой цели мы рассчи-
таем значения доходности, исходя иЗ
14
Глава 1. Гарантированные платежи
и получим отсюда следующее упорядочение:
Проект 'j Ранг
А 20.00 % 2
В 6.67 % 4
С 4.30 % 5
D 25.00 % 1
Е 18.18% 3
Если вы перенесете это упорядочение на оси Q)-Ci, то получите вы-
пуклую вверх инвестиционную функцию, показанную на рис. 1.8. При
этом мы действуем следующим образом: исходной точкой является на-
чальный запас величиной в 3050 руб. Первой реализуется инвестиция
D. Она стоит 200 руб., так что возникает остаточный бюджет величиной
в 2850 руб. Инвестиционный доход составляет 250 руб. Имея эти дан-
ные, мы можем начертить первый отрезок инвестиционной функции:
им является отрезок (2850. 250)(3050.0) с наклоном —(1 + го) = —1.25.
Если мы произведем аналогичные операции с другими проектами, то
для инвестиционной функции создастся следующая картина:
Инвестиция Отрезок инвестиционной функции Наклон
А (1850, 1450) (2850,250) -1.2000
Е (ТзОО. 2100)(1850, 1450) -1.1818
В (700,2740)(1300,2100) -1.0667
С (0.3470)(700, 2740) -1.0430.
На рис. 1.8 вы видите также семейство трансакционных линий. Все
они имеют наклон, равный -(1 + г) = —1.12. Если вам хочется осу-
ществить планы потребления, равные Т\, вам необходимо отказаться
от части своего начального запаса. Это не может быть разумным. По-
зиции на Т4 не осуществимы с вашим начальным запасом. Позиции
на Т2 были бы достижимы, если бы вы осуществляли исключитель-
но финансовые инвестиции и тем самым отказались бы от наиболее
привлекательной реальной инвестиции. И этим вы принесли бы вред
самому себе. Остается еще Тз- Это геометрическое место всех домини-
рующих и одновременно реализуемых планов потребления. Робинзон
будет искать свой оптимум лишь на этой линии. Так как для того,
чтобы достичь Тз, приходится осуществлять проекты D, А и Е, линия
определяет также однозначную программу реальных инвестиций. Рас-
ходы для этого составляют 1750 руб. при возвратных потоках, равных
2100 руб.
2. Из-за своего сильного предпочтения сегодняшнего времени Робинзону
хотелось бы потреблять потребительские блага величиной в ОСЬ- По-
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
15
Рис. 1.8. Инвестиционная функция
и трансакционная линия
этому кривые безразличия имеют позицию, отраженную на рис. 1.9.
Так как, кроме того, он разумным образом не ограничивает свою про-
грамму реальных инвестиций, ему приходится взять сегодня кредит.
Его финансовые инвестиции являются отрицательными. Кредит изо-
бражен отрезком 10С0.
1.1.7. Оптимальный план потребления с функцией инвестиций I
Изобразите графически в координатах C()-C'i правдоподобную функцию ин-
вестиций. Начертите трансакционную линию так, чтобы можно было опре-
делить оптимальную инвестиционную программу. Рассмотрите действия ли-
ца, принимающего решение, которое сегодня хочет больше потреблять, чем
ему позволяют его наличные средства. Какие отрезки представляют
• инвестиционные расходы,
• сегодняшнее потребление,
• взятие кредита,
• чистую сегодняшнюю стоимость реальной инвестиции,
• сегодняшнюю стоимость общего имущества после осуществления ре-
альной инвестиции,
• будущее потребление,
• возвратный поток инвестиций,
16
Глава 1. Гарантированные платежи
Рис. 1.9. Потребительский план Робинзона
при сильном предпочтении сегодняшнего
времени
• платеж по возврату кредита кредиторам?
?': 'k
*
Рис. 1.10 содержит всю необходимую информацию для решения задачи. При
допущении постоянной во времени и равной единице цены потребительских
благ, желаемые данные представляют собой следующие отрезки.
/оЛ/о — инвестиционные расходы;
ОСо — сегодняшнее потребление;
Д)Со — заимствование;
M0L — чистая сегодняшняя стоимость реальной инвестиции;
0L — сегодняшняя стоимость общего имущества после
осуществления реальной инвестиции;
OCi — будущее потребление;
0X1 — возвратный поток инвестиций;
CiXi — возврат кредита, включая проценты.
1.1.8. Оптимальный план потребления с функцией инвестиций II
Пусть существует функция инвестиций Xj = 240 /р-5, где /0 — сумма инве-
стиций и X] — валовой денежный поток. Цена потребительских благ равна
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
17
Рис. 1.10. Принятие решения о по-
треблении в случае сильного предпо-
чтения сегодняшнего времени
единице. Ваше оптимальное потребление в первом периоде С() составляет
5000. Вы помещаете 5000 руб. на рынке капитала и инвестируете 10 000 руб.
1. Рассчитайте свой начальный запас, валовые денежные потоки, процен-
ты на рынке капитала, вашу норму временных предпочтений в опти-
муме и объем возможного потребления во втором периоде.
2. Ваши предпочтения сильно и быстро изменились. Сейчас вы оценива-
ете свою альтернативу с функцией полезности {/(СЬ-Ст) = С°7:> С']’-25.
Как сейчас выглядит ваш наилучший план потребления?
3. Как изменилась бы ваша оптимальная инвестиционная программа, ес-
ли бы проценты на рынке капитала снизились до г = 0.1?
•к к
*
1. Начальный запас составляет
Л?о = Мо + V’Co +1о = 5000 + 5000 + 10 000 = 20 000 руб.
Подстановка суммы инвестиций в функцию инвестиций дает
Xi = 240\/10 000 = 24 000 руб.
В оптимуме доходность предельной инвестиции точно так же велиКа,
как рыночная ставка процента. Поэтому верно
0.5 • 240 • I~°-5 = 1 + г,
18
Глава 1. Гарантированные платежи
120
-------- — 1 + г,
ч/ЮООО
г = 0.2.
Норма временных предпочтений в оптимуме в точности соответствует
рыночной ставке процента. Во втором периоде вы можете потреблять
Ci = Мо( 1 + г) + %! = 5000 -1.2 + 24 000 = 30 000
потребительских благ.
2. Наилучший план потребления находится на трансакционной линии,
которая пересекает ось абсцисс в точке
(см. по этому поводу рис. 1.10). Уравнение этой линии выглядит сле-
дующим образом:
Ci = 1.2 • (30000- Со) = 36000- 1.2 • Со. (1.7)
В оптимуме потребления верно
MRS =1 + ?-.
0.75/Cq U(Ср, С[) _
0.25/Ci ' ^(Co.Ci) “ ' ’
3Cj
^ = 1-2’
М)
Ci =0.4 Со.
Теперь мы приравняем это условие оптимума к (1.7) и получим из-за
0.4 Со = 36 000- 1.2 Со
в качестве наилучшего плана потребления
Со = 22 500 и Ci = 9000.
Так как для сегодняшнего потребления после вычета инвестиционных
расходов остается лишь 10 000 руб., вы должны взять кредит в объеме
12 500 руб.
3. Вы осуществили бы реально больше инвестиций. Вы получите точную
величину оптимального объема инвестиций в том случае, если прирав-
няете первую производную функции инвестиций к (1 + г)
120
-= = 1.1 => /о = П901 руб.
wo
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
19
1.1.9. Оптимум потребления—сбережений
У Робинзона есть проблема: хотя он знает свою функцию полезности U =
= Cq-75Ci'25, все равно ему не известно, как разделить наилучшим образом
свои средства в объеме 500 руб. на потребление и финансовые инвестиции.
1. Какое разделение его средств вы бы ему порекомендовали, если бы
было возможно лишь держание кассы?
2. Как ему следует использовать свои средства, если он может вложить
частично или полностью свой начальный капитал под г = 10%.
•л- *
*
1. Проблему оптимизации Робинзона
П1„х JJ _ p0.75p0.25
lllcLX. С? — 1_/п ' 1
Co.Cj U 1
при дополнительных условиях
500 = Со + Мо,
Ci = Л А,
можно решить с помощью метода множителей Лагранжа
С = С0°'75С?'25 + к (500 - Со - Ci).
Возьмем частные производные по Со, Ci и к и приравняем их к нулю.
Это дает
= 0.75С(7°'25 -С?25 - к = 0, (1.8)
~ = 0.25 С00 75 • СГ0-75 - к = 0, (1.9)
дС.
— = 500 -Со-Ci =0. (1.10)
ок
А теперь мы выразим (1.8) через к и подставим в (1.9). Преобразование
приведет к условиям оптимума
Со = 3-С!.
Подстановка в (1.10) дает
СР= = 125.
4
Для Со мы получаем из условия оптимума
Со = 3 • Ci = 3 • 125 = 375.
Для максимизации своей полезности Робинзон должен сегодня (завтра)
потреблять товары на сумму в 375 (125) руб.
20
Глава 1. Гарантированные платежи
2. Если существует возможность поместить деньги под ставку процента,
равную г = 10%, то изменится лишь бюджетное ограничение для мо-
мента времени t = 1
Ci = 1.1 Л/д.
Функция Лагранжа приобретет новую форму
£ = С°'75С^-25 + к ^500 - С() - • С^.
Условия первого порядка составят
^=0.75С,;»“СГ-к = 0,
-%=0.25С»"С,-"”--1-.к = 0.
С/С/1 1.1
Q Р 1
— = 500 - Со - — • Ci = 0.
Ок 1.1
Аналогичным образом мы получим условия оптимума
и как результат
Г 550 147 г
С1 —---- — 137.5,
4
Со = 500 - ~ Ci = 500 - 125 = 375,
, , Ci 137.5
Мо = — = --------- = 125.
1.1 1.1
И в этой ситуации Робинзон достигает своей максимальной полезно-
сти, если он в t = 0 потребляет блага на сумму в 375 руб., но сейчас он
поместит остаток своего имущества не под подушку, а в банк. Отсюда
для него в t = 1 появится возможность потреблять на 10 % больше, чем
в исходной ситуации.
1.1.10. Оптимум потребления—инвестиций
Робинзон имеет функцию полезности U = ес°'^' и финансовые средства
величиной в 15 000 руб. Он может осуществить реальные инвестиции. Функ-
ция инвестиций имеет вид X] = ЮО-уТо. Далее, Робинзон на рынке капитала
может брать и помещать финансовые средства под 10 %. Определите опти-
мальный план инвестиций и потребления Робинзона при условии, что цена
потребительского блага составляет 1 руб.
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
21
Для максимизирующего полезность Робинзона верно
max U = ес°'^-
C^C^Io
при дополнительных условиях
15 000 = Со + Мо + /о, (1.11)
Ci = 1.1 • Мо + ЮО^/То. (1.12)
Соединив (1.11) и (1.12), получаем функцию Лагранжа
С = eCoV^ + к - (С]. - 1.1 • (15 000- Со - 10) - 100 -
Нахождение частных производных по искомым переменным решения и
множителю Лагранжа приведет нас к условиям первого порядка
ОС дС~о =\/С\ • ес°^ + к - 1.1 = 0. (1-13)
дС дС[ = —U= • Со • + к = 0. 27СГ (1-14)
дС дГо = к • 1.1 — к • 100 • —т= = 0, 2^ (1.15)
дС дк = Ci - 1.1 • (15000- Со - /о) - ЮОд/То = 0. (1-16)
Из уравнения (1.15) мы получаем
и, таким образом, 10 = 2066.12. Мы получаем доход инвестиционной про-
граммы Xi путем подстановки расходов на осуществление инвестиций Iq в
функцию инвестиций
Xi = 100 х/2066.12 = 4545.45.
Теперь мы используем оба уравнения (1.13) и (1.14). Деление приводит к
Теперь мы подставим (1.17) и остальные результаты в (1.16) и получим при
О.55Со - 1.1 • (15 000- Со - 2066.12) - 100^2066.12 = 0,
Со = 11377.41.
22
Глава 1. Гарантированные платежи
Из (1.17) получается
Ci = 0.55 • 11 377.41 = 6257.57.
При /□ и Со можно определить остаточную величину Мо из (1.11)
Мо = 15 000 - 11377.41 - 2066.12 = 1556.47.
Робинзон достигнет своего максимума полезности, если он распределит
свои средства величиной в 15000 руб. таким образом, что потребит сегодня
11377.41 руб., использует 2066.12 руб. для осуществления реальных инвести-
ций и разместит 1556.47 руб. на рынке капитала. Эти трансакции позволят
ему в момент времени t = 1 потреблять на сумму 6257.57 руб.
1.1.11. Изменение начального запаса и ставки процента
Предприниматель определил свой оптимальный план потребления с учетом
реальных инвестиций. Он помещает часть своего начального запаса по ры-
ночной ставке процента.
1. Обсудите, что случится, если рыночная ставка процента остается по-
стоянной, но начальный запас предпринимателя из-за непредвиденно-
го получения наследства внезапно увеличится.
2. Сейчас предприниматель сталкивается с внезапным снижением рыноч-
ной ставки процента и должен изменить свои планы. Как повлияет
снижение ставки процента на его программу реальных инвестиций, на
величину средств, помещаемых им на рынке капитала, и на его полез-
ность?
Рнс. 1.11. Увеличение начального запаса
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
23
Рис. 1.12. Воздействие снижения ставки процента
1. Увеличение начального запаса сдвигает график исходной функции ин-
вестиций вправо, см. рис. 1.11.
При постоянной ставке процента наклон трансакционной линии со-
храняется. Так как предприниматель теперь может достичь непрерыв-
ной трансакционной линии, он будет искать свой оптимум только там.
Количество реальных проектов с положительной чистой сегодняшней
стоимостью осталось неизменным, так что в объеме этой программы
ничего не изменится. До сих пор инвестировалась сумма IqMq, теперь
инвестируется сумма IqMq. Все достижимые оптимальные планы по-
требления сейчас находятся правее реализованных до сих пор. Таким
образом, получение наследства приведет к росту полезности.
2. Рис. 1.12 графически иллюстрирует последствия снижения ставки про-
цента.
Пунктирные кривые отражают исходную ситуацию. Наш предприни-
матель хотел поместить часть своего начального запаса по существу-
ющей до сих пор рыночной ставке процента. Это видно из того фак-
та, что точка касания кривой безразличия с исходной трансакционной
линией лежит слева от точки касания между графиком функции ин-
вестиций и трансакционной линией. При допущении, что эффект за-
24
Глава 1. Гарантированные платежи
мещения более чем компенсирует эффект дохода, его финансовые ин-
вестиции снижаются с S до S'. Этот тезис основан на двух эффектах с
одинаковой направленностью. С одной стороны, увеличивается потреб-
ление сегодняшнего времени с С до С'о, если снижается ставка процен-
та. С другой стороны, некоторые инвестиционные проекты, которые до
сих пор имели отрицательную чистую сегодняшнюю стоимость, теперь
внезапно — из-за снижения ставки процента — станут выгодными.
Из-за этого увеличится объем реальных инвестиций с IqMq до IqMq.
Кривые безразличия представляют тем большую полезность, чем в
большей степени они отдалены от начала координат. Наш предпри-
ниматель, очевидно, должен смириться с потерей полезности. Если бы
предприниматель был заемщиком, то его кривые безразличия были бы
в большей степени отдалены от начала координат и тогда он выиграл
бы от снижения ставки процента. Его полезность увеличилась бы.
1.1.12. Инфляция и оптимум потребления—сбережений
На совершенном рынке капитала сейчас обращается лишь одна безриско-
вая облигация с одним реальным возвратным потоком, равном единице. Ее
цена составляет р(Х) при возвратном потоке, равном X. Все покупки и про-
дажи осуществляются в момент времени t = 0, сроком погашения является
момент времени t = 1. Ставка процента составляет г = 0.08. Ваша меж-
временная функция полезности принадлежит к типу {7(С0,С]). Начальный
запас, которым вы владеете, состоит из по облигаций, а также из Со и С\
потребительских благ. Пусть Со будет благом-измерителем со стабильной
ценой, равной -фо = 1-
1. Рассчитайте цену облигаций и составьте бюджетные ограничения.
2. Пусть существует постоянный положительный темп инфляции tl. Как
теперь выглядит бюджетное уравнение?
3. Сформулируйте и разрешите свою проблему оптимизации аналитиче-
ски. Исходите при этом и далее из наличия инфляции.
* *
*
1. Сегодняшняя цена облигации составляет
р(Х) = —— = — = 0.93.
’ 1+г 1.08
Бюджетные ограничения можно описать через
с» + TZ7 = с”+ Г+7 <1л8>
и через
Ci -s С\ + по.
(1-19)
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
25
Из (1.18) и (1.19) мы получаем межвременное бюджетное уравнение
С1 = (1 + г)-(п7 + <5о-Со)+(51- (ь2°)
сбережения в t = О
В правой части мы видим сумму из начисленных посредством сложных
процентов сбережений в t = 0 и начального запаса потребительских
благ в t = 1. Левая часть описывает возможный уровень потребления
во втором периоде.
2. При темпе инфляции i? цена потребительского блага во втором периоде
составляет
V>(C1) = V’(Co)-(1+^ = 1 + ^.
Возвратный поток по облигации определен в реальных единицах по-
требительских благ. Мы получаем реальную цену посредством деления
возвратного потока на реальный коэффициент дисконтирования. Како-
ва величина этого коэффициента? Для ответа на этот вопрос мы внача-
ле должны выяснить его экономическое значение. Этот коэффициент
определяет, каким количеством благ компенсировал бы нас рынок ка-
питала, если бы мы отказались сегодня от одной единицы блага. Если
рынок капитала номинально «обещает» нам 1 + г единиц благ как ком-
пенсацию, то это при темпе инфляции в 1 + 19 означало бы реальную
компенсацию в сумме (1 + r)/(l + i?). Поэтому мы можем выразить ре-
альный коэффициент дисконтирования следующим образом:
1 _ 1 + 19
1+г “ 1+ г ’
1-1-19
Таким образом, в качестве скорректированного с учетом инфляции ре-
ального бюджетного ограничения для t = 0 мы получаем
1 +19 1-4-19
Со + йо —— = Со + по-±-. (1.21)
1+г 1+г
В t = 1 реальный бюджет состоит из (реальных) возвратных потоков,
купленных облигаций и из реального начального имущества в виде
потребительских благ. Поэтому верно
C^Cj+hq. (1.22)
Если мы сейчас обозначим реальный коэффициент дисконтирования
через 1/(1+/?), то, выразив (1.21) через п0 и подставив в (1.22), получим
упрощенную формулу реальных возможностей потребления в t = 1
Cj = f-^ + Co-Co") (1+/?) + С1. (1.23)
\ 1 + it /
26
Глава 1. Гарантированные платежи
В качестве сегодняшней стоимости (1.23) в этом случае получается
С’О = (С1~С1) (ITR)+Со + ”о(ТТя)-
Скорректированная с учетом инфляции бюджетная линия соответству-
ет приведенному в (1.20) уравнению, если мы заменим номинальное
начисление процентов г их реальным начислением R.
3. При учете ограничений из задачи 2 проблема оптимизации выглядит
следующим образом:
max U(C0,Ci) (1.24)
при дополнительных условиях
Со + С1 (1 + Я) “ <51 (1 + Я) " ~ П° (1+R) “ °
и
Со > 0, Ci > 0.
(1.24) является нелинейной программой. Она, в принципе, предоста-
вляет возможность выбора комбинации благ, лежащих внутри бюд-
жетного множества. Условия неотрицательности искомых переменных
сформулированы в явном виде. Так как целевая функция квазивы-
пукла вверх, а ограничения являются линейными, то условия Куна—
Таккера являются как необходимыми, так и достаточными для макси-
мума.2 С помощью функции Лагранжа
С = U (Со, Ci) + к Г (Ci -Ьйо — Ci) /."“pT + С) — Cq
\ \ A I -it)
мы получаем условия Куна—-Таккера
dC dCo = dC dCi = Ц-С0=0, (1.25) <7 Oq <7 Oq ^C1=o’ (1-26) 0 Ci 1 + rt <7Ci
^ = (Cl+n0-Ci)—^—+Co-Co>Q ^ = 0. (1.27)
<У к ' (1 + R) ок
Из-за положительной предельной полезности к > 0 ограничение (1.27)
является обязательным: дС/дк = 0. Следовательно, по меньшей мере
одна из искомых переменных решения должна быть положительной.
Сначала мы проверяем Со = 0 и Ci > 0. Тогда (1.25) и (1.26) можно
обобщить применительно к условиям оптимальности
MRS= < 1 + Д. (1.28)
oUIо С i
2 См.: Chiang А. С. Fundamental Methods of Mathematical Economics. 4th ed. Singa-
pore: McGraw-Hill, 1987.
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
27
Неравенство означает, что угловое решение с нулевым потреблением
в настоящее время происходит в том случае, если норма временных
предпочтений лица, принимающего решение, меньше реального коэф-
фициента дисконтирования, господствующего на рынке. Иными слова-
ми, лишь тогда, когда затребованная вами будущая компенсация для
каждой дополнительной единицы сбережения была бы всегда меньше
компенсации, которую предлагает рынок, вы сберегли бы весь свой на-
чальный запас в первом периоде и потребляли бы полностью во втором
периоде.
Ci = 0 и Со > 0 соответствовали бы как раз обратной структуре по-
требления. Она осуществлялась бы, если в (1.28) было бы верно: MRS>
> 1 + R. Если бы вы имели личный коэффициент дисконтирования 3,
который всегда бы превышал существующий на рынке капитала, вы
выбрали бы нулевые сбережения. Так как можно реалистично предпо-
лагать, что вы являетесь жизнеспособным лишь тогда, когда потребля-
ете как сегодня, так и завтра, мы можем исключить такие вышеопи-
санные структуры временных предпочтений и исходить из внутреннего
решения при Со > 0 и С\ > 0. В этом случае мы получаем условия оп-
тимальности
dU/dCo
dU/dCi
(1.29)
В оптимуме наклон кривой безразличия соответствует наклону бюд-
жетной линии. Максимизирующей полезность является та комбина-
ция благ, при которой норма временных предпочтений соответствует
ставке процента. Уравнения (1.29) и (1.27) образуют систему с двумя
неизвестными. Таким образом, оптимальные значения в зависимости
от экстремальных переменных определены однозначно. Если мы обо-
значим оптимальное решение звездочкой, то сможем записать зависи-
мость оптимального плана потребления от начального запаса и реаль-
ной ставки процента как
C*0{n0,C0,Cx,R') и C*{n0,C0,C^R).
(1.30)
Внутреннее решение проблемы оптимизации иллюстрируется на
рис. 1.13. Начерченные пунктиром кривые безразличия привели бы к
обсужденным выше угловым решениям.
1.1.13. Сравнительная статика в модели инфляции
1. Покажите аналитически, как изменятся оптимальное сегодняшнее и
будущее потребление, если увеличится начальный запас сегодняшних
благ.
3 При £, обозначающей норму временных предпочтений, он представляет собой
28
Глава 1. Гарантированные платежи
Рис. 1.13. Оптимум потребления—сбережений
2. Осуществите тот же анализ, что и в задаче № 1, для прироста реальной
ставки процента.
* *
*
1. Из соображений удобства мы рассмотрим сейчас изменения начально-
го запаса сегодняшних потребительских благ и оставим все остальные
экзогенные величины постоянными. Поэтому функции оптимальных
множеств потребительских благ (1.30) упрощаются и сводятся к С^(С0)
и С*(Со). Подстановка в оба условия оптимума (1.29) и (1.27) приведет
после преобразований к
at/[c0’(c0),cr(c0)]n п
- —----------(1+7?) = 0,
CQ (Со) (1 + 7?) + С( (Cq) — Ci — Cq (1 + 7?) — по = 0.
Чтобы выяснить для себя реакцию на более высокий объем начального
запаса, мы продифференцируем по Со. Для упрощения обозначений
введем следующие определения:
и -д2и и —и — d4j и d4j
u°°-dcl' Um-Uw~dc^Ci' U11 = dcr
Таким образом, мы получим систему уравнений
Uqo — (1 + 7?) Uio
1 + 7?
и01 -пн(1 + 7?)\ /эс^/дСо
1 / \ас;уасо
(1-31)
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
29
Применение правила Крамера при D, обозначающей определитель ма-
трицы коэффициентов, дает
~ (^11(1 + Я) - им), (1.32)
и Со А/
££l = 1±ZZ(C/oo-C11()(1 + 7?)). (1.33)
0 С() и
Из-за выпуклости вниз кривых безразличия определитель
D = Поо - 2 П1() (1 + R) + 7/п(1 + Л)2
имеет отрицательный знак, D < 0. Мы исходим из того, что сегодняш-
ние и будущие потребительские блага являются нормальными. Поэто-
му верно Hoi > 0. Кроме того, предельная полезность из-за условия
выпуклости вниз не может повыситься, Uoo < 0 и < 0. Таким обра-
зом, выражение, содержащееся в скобках в правой части (1.32) и (1.33),
отрицательно, так что
Вы реагируете на более высокий начальный запас, увеличивая потреб-
ление в обоих периодах.
2. Прирост ставки процента означает, что рынок капитала вознаграждает
за отказ от сегодняшнего потребления в большем объеме. Сейчас вы мо-
жете получить за каждую дополнительную единицу сбережения более
высокую компенсацию, чем раньше. Для подготовки формализован-
ного анализа мы сейчас выразим зависимость функции оптимального
потребления в зависимости от R,
C^(R) и C*(R),
и подставим в (1.29) и (1.27). При взятии частных производных в си-
стеме уравнения по R получаем
/ L70o — (1 + 7?) Сю Uoi-L7u(l + 7?) \ / dC0/dR \ / dU/dCr \
\ 1 + 7? 1 J \ BCi/OR / \ Со-Со )
Для изменения сегодняшнего потребления мы получаем
U}1(l+R)-Ul0
'dR~~D' + {Ca~Со) D '
| 0.
(1-34)
Реакция на изменение ставки процента априори неопределима. Первое
слагаемое правой части (1.34) отрицательно, в то время как дробь во
втором слагаемом из-за (1.32) имеет положительный знак. Второе сла-
гаемое отражает эффект дохода, взвешенный по сбережениям потреби-
30
Глава 1. Гарантированные платежи
тельских благ. Если ваш начальный запас перед повышением ставки
процента не совсем истощен (Со-Со > 0), то ваши вложения сейчас по-
рождают более высокие возвратные потоки. Увеличиваются как ваше
сегодняшнее, так и ваше будущее потребление. Но при потреблении,
которое превышает ваш начальный запас сегодняшних благ (Со - Со <
< 0), увеличение доходности приведет к потере доходов и сокращению
спроса в обоих периодах.
Первое слагаемое в (1.34) соответствует эффекту замещения. Если по-
требление сегодня из-за прироста ставки процента становится относи-
тельно дороже, то рациональный потребитель «перемещает» свой спрос
с сегодняшнего момента времени на будущий. Оптимальные сбереже-
ния и будущее потребление повысятся.
Значит, общая реакция индивидуума на изменение ставки процента
зависит от того, является ли он чистым покупателем или чистым про-
давцом потребительских благ и какой из отдельных эффектов преобла-
дает. Таким образом,
OR <
Реакцию будущего потребления С* на повышение ставки процента
можно назвать перекрестным ценовым эффектом. Эффект замещения
положителен, как и эффект дохода,
здесь тоже зависит от того, является
покупателем или чистым продавцом
дС\ >
~dR <
Таким образом, общий
ли данный индивидуум
эффект
чистым
0.
Лишь тогда, когда объем потребления индивидуума меньше, чем его
начальный запас, происходит однозначное увеличение будущего по-
требления. В противном случае, это не так.
Однако необходимо учитывать, что отмеченная неоднозначность реак-
ции на изменение ставки процента не действует для сумм всех потреби-
телей. В этом случае положительные эффекты дохода у чистых продав-
цов в точности компенсируются отрицательными эффектами дохода у
чистых покупателей. Происходит взаимная компенсация эффектов до-
хода, и преобладающим оказывается эффект замещения. Потребители
в совокупности реагируют на повышение рыночной доходности, одно-
значно отказываясь от потребления сегодня.
1.1.14. Разные ставки процента по заимствованию и по инвестированию
Мы исходим из того, что ставки процента, по которой вы можете поместить
деньги, меньше, чем ставка процента по кредитам. Какие последствия имеет
это для теоремы разделения Фишера?
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
31
Рис. 1.14. Отклоняющиеся друг от друга про-
центные ставки по заимствованию и по инве-
стированию
Последствия, которые вытекают из отказа от допущения совершенного
рынка капитала, показаны на рис. 1.14.
В этом случае существуют две трансакционные линии. Трансакционная
линия, которая касается графика функции инвестиций в точке Н, имеет
значение лишь для некоторых лиц, принимающих решение, а именно для
тех, кто помещает деньги на рынке капитала. Наоборот, трансакционная
линия, которая касается функции инвестиций в точке S, является значи-
мой для тех участников рынка, которые хотят получить кредит. Тезисы,
которые являются верными для всех лиц, принимающих решения, касают-
ся лишь точек Н и S. Расширения объема реальных инвестиций за преде-
лы точки Н не должно произойти, так как достигаемые благодаря этому
доходности меньше ставок процента по вкладам. С другой стороны, сокра-
щение объема реальных инвестиций ниже точки S неразумно, так как эти
инвестиции даже при дисконтировании на основе ставки процента по заим-
ствованиям характеризуются положительной чистой сегодняшней стоимо-
стью. Как можно видеть из рис. 1.14, нельзя достичь единогласия в связи с
программой реальных инвестиций тогда, когда лица, предлагающие капи-
тал, имеют разные временные предпочтения. «Скупердяй» будет выступать
за программу Н. «Нормальный инвестор» достигает своего максимума по-
лезности, если выбирает программу N. «Расточитель» будет выступать за
программу S. Таким образом, теорема разделения Фишера нарушается.
32
Глава 1. Гарантированные платежи
1.1.15. Разные ставки процента по заимствованию
На рис. 1.15 мы видим ситуацию перспективного молодого предпринима-
теля Максима Павлова, который осуществляет при рыночной ставке про-
цента, равной Г!, реальные инвестиции в сумме /о Л А) и получает кредит
величиной в /оСо. Как выглядит трансакционная линия, если банк предла-
гает более низкие ставки процента /'j лишь при объеме кредита К < К, а
все кредиты, объем которых составляет К > К, предоставляются по более
высоким ставкам процента г2?
Рис. 1.15. Исходная ситуация Максима Павлова
* *
*
Рис. 1.16 показывает, что нельзя сконструировать однозначную трансак-
ционную линию.
При ставке процента, равной ri, Максим Павлов брал бы кредит величи-
ной в IoCq. Но тогда он превысил бы объем кредита по более низкой ставке
процента, так что г2 стала бы значимой ставкой процента. Для Максима
Павлова трансакционная линия Т2 является кривой для хороших возмож-
ностей действий. При более высокой ставке процента Максим Павлов пла-
нирует ограничить свою программу реальных инвестиций до объема I^Mq.
Но это ограничение привело бы к тому, что он посредством этого объема
кредита не достиг бы установленного банком лимита. Теперь актуальной
станет опять ставка процента ту, так что программа реальных инвестиций
1оМо снова окажется более привлекательной альтернативой. Максим Пав-
лов идет цо кругу, и мы не можем дать ему однозначную трансакционную
линию.
1.1. Однократные платежи в условиях определенности
33
Рис. 1.16. Дилемма Максима Павлова: две про-
центные ставки по заимствованию
1.1.16. Разные ставки процента по инвестированию
После исследования общеэкономической нормы сбережений правительство
разрабатывает программу стимулирования сбережений. Программа предпо-
лагает, что каждое лицо, которое вложит на рынке капитала по меньшей
мере D, вознаграждается процентной дотацией, равной Дг. Лица, которые
инвестируют в финансовые титулы меньше D, должны довольствоваться,
как и прежде, старыми процентами по вкладам. Однако запрещено финан-
сирование вложений денег посредством инвестирования. На рынке капи-
тала существуют две разные ставки процента по инвестированию. Ставки
процента по кредитам не подвергаются воздействию за счет стимулирова-
ния сбережения. Как выглядит ваша новая трансакционная линия?
* *
*
При условии, что существуют две ставки процента для лиц, предлага-
ющих капитал, трансакционная линия изменяет свой вид, как показано
на рис. 1.17. Для финансовых вложений, которые превышают объем Sig,
срабатывает процентная дотация. Новая трансакционная линия действует
лишь для тех инвесторов, оптимум которых находится при повышенной
ставке процента г + Дг слева от точки А, так как иначе они не достигают
минимального объема сбережений D. Эти участники рынка выступают за
осуществление реальных инвестиций в объеме Motf. Все лица, оптимум по-
лезности которых при повышенной ставке процента находится справа от А,
34
Глава 1. Гарантированные платежи
Рис. 1.17. Две ставки процента по инвестированию
должны довольствоваться низкой ставкой процента. Поэтому для них оста-
ется действительной исходная трансакционная линия и они настаивают на
инвестиционной программе MqIq. Поэтому трансакционная линия состоит
из двух отрезков с разным наклоном, которые разделяются точкой изгиба.
В том случае, если в ходе принятия решения о программе реальных инве-
стиций временные предпочтения лиц, предлагающих капитал, между собой
достаточно сильно различаются, единогласия достичь нельзя.
Литература
Идея о возможности разделения между решениями о реальных инвестициях
и решениями о потреблении впервые появилась в работе Ирвинга Фишера:
Fisher I. The Theory of Interest. As Determined by Impatience to Spend In-
come and Opportunity to Invest it. New York, 1930. Джек Хиршлейфер в сво-
ей статье «On the theory of optimal investment decisions» (Journal of Political
Economy. 1958. Vol. 66. P. 329-352. Русский пер.: Хиршлейфер Дж. К теории
оптимальных инвестиционных решений // Рынки факторов производства.
Вехи экономической мысли. Т. 3. СПб, 1999. С. 178-224) доказал, что тео-
рема разделения Фишера действительна только при совершенных рынках
капитала. Тому, кто интересуется сжатым представлением теоремы разде-
ления, мы рекомендуем вторую главу книги Ричарда Э. Брейли и Стюарта
С. Майерса: Brealey R. A., Myers S. С. Principles of Corporate Finance. 5th ed.
New York: McGraw-Hill, 1996 (русский пер.: Брейли P„ Майерс С. Принципы
корпоративных финансов. M., 1997).
1.2. Теория полезности в условиях определенности
35
1.2. Теория полезности в условиях определенности
Теорема разделения Фишера предполагает, что существует ординалистская
функция полезности. Поэтому до сих пор, не напоминая, мы предполага-
ли ее существование. Но сейчас мы хотим вернуться на один шаг назад
и заняться изучением структуры предпочтения. Сперва мы проанализиру-
ем особую структуру предпочтения — dictionary order, или лексиграфиче-
скую структуру предпочтения. На основе конкретного примера проверим,
следуют ли лица, имеющие эту структуру, определенным аксиомам рацио-
нальности. После этого мы займемся вопросом, возможно ли и каким обра-
зом доказательство существования функции полезности с помощью аксиом
рационального поведения. Мы здесь проверим как ординалистскую, так и
кардиналистскую функции полезности. Последняя имеет центральное зна-
чение особенно в контексте неопределенности. Поэтому мы к ней вернемся
в разделе 2.1.
1.2.1. Лексиграфическое предпочтение
Существуют блага у (золото) и р (бумажные деньги). Принимающее реше-
ние лицо (с ненасыщаемыми потребностями) применительно к этим благам
имеет соотношение предпочтений
(.91>Р1) (s?2,P2) <=> [.91 > У1] или
[<71 = <72 и Р1 > р2]-
1. Опишите вербально это соотношение предпочтений.
2. Покажите, что это соотношение предпочтений удовлетворяет аксиомам
сравнимости и транзитивности.
* *
*
1. Лицо, принимающее решение и имеющее описанную лексикографиче-
скую структуру предпочтений, сильно опасается инфляции. Для него
первый портфель является по меньшей мере таким же хорошим, как
второй портфель, если в первом содержится больше золота, чем во вто-
ром, или если при одинаковом объеме золота в нем содержится по
меньшей мере столько же бумажных денег, сколько и во втором. Спер-
ва для принятия решения имеет значение золото. Бумажные деньги —
в каком бы то ни было объеме — вообще не играют роли до тех пор,
пока один из портфелей — пусть даже лишь «на частицу пылинки» —
содержит больше золота. Только тогда, когда оба портфеля содержат
одинаковый объем золота, наше лицо, принимающее решение, при-
нимает во внимание бумажные деньги как критерий для принятия
решения.
36
Глава 1. Гарантированные платежи
2. Если мы хотим проверить, выполняется ли аксиома сравнимости, мы
должны различать три случая.
а) 91 > дг: так как д является единственно значимым для принятия
решения, верно (91,Р1) (д2,Р?)-
б) 91 <92: так как здесь первый портфель содержит меньше 9, чем
второй, должно быть верно (91, pi) -< (92, Рг).
в) 91 = 92: если оба портфеля содержат 9 в одинаковом объеме, р уже
имеет некоторое значение. Поэтому сейчас мы должны различать
следующие ситуации.
i. Pi > р2 => (9i,Pi) >- (92,Рг),
и- pi < р2 => (91,Pi) -< (92,Рг),
iii. pi =р2 => (91,Pi) ~ (92,Рг)-
В каждом из этих случаев можно сделать суждение о соотношении
ценностей обоих портфелей. Таким образом, выполнена аксиома срав-
нимости.
Для проверки верности аксиомы транзитивности введем третий порт-
фель (93,Рз), такой, что верно (92,92) h (9з,Рз)- Необходимо различать
четыре ситуации.
а) 91 > 92 и 92 > 93: из 91 > 92 и 92 > 93 вытекает непосредственно
91 > 93. Поэтому здесь должно быть верно (91,pi) >- (93,Рз)-
б) 91 > 92 и 92 = 9з и рг > рз: портфель 1 содержит больше золота, чем
портфель 3, из чего следует (91,Pi) >- (93,Рз).
в) 91 — 92 и pi > рг и 92 > 93: соответственно предположению тогда
91 >93. Поэтому при используемом здесь соотношении предпочте-
ния должно быть верно (91,pi) >- (93, Рз)-
г) 91 = 92 и 92 = 9з и pi > р2 и р2 > рз: решающее значение здесь име-
ют лишь бумажные деньги. Из-за заданного соотношения поэтому
верно (9i,pi) (93,Рз)-
Для всех обсуждаемых здесь ситуаций выполняется аксиома транзи-
тивности.
1.2.2. Ординалистская функция полезности
Проверьте, идет ли речь при
1,
U(z) = 92,
О,
если z ~ х
если х >- z > х, при 0 < q < 1 и z ~ [qx + (1 — д)т]
если z ~ х
об ординалистской функции полезности.
1.2. Теория полезности в условиях определенности
37
Мы называем функцию ординалистской, если верно
21У22Ф^С/(21)>С/(г2),
2! ~22<=>С/(21) =[/(22).
(1.35)
Мы концентрируем внимание на (1.35) и проверяем лишь условие необходи-
мости. При этом мы предполагаем, что zi у z2, и должны различать далее
четыре ситуации.
1. х ~ z\ у z2 у х: при предполагаемой здесь функции полезности тогда
верно U(zi) = 1 и U(z2) = q2. Из-за 1 > q следует U(zi) > U(z2).
2. х ~ z\ у- z2 ~ х: здесь мы получаем = 1 и Щг2) — 0 и благодаря
этому U(zx) > U(z2).
3. х > z-, у- z2 ~ х: в этом случае функция полезности равна J7(si) = q2 и
U(z2) = 0. Так как q положительна, следует U(zi) > U(z2).
4. х > 2i у z2 > х: в этом случае мы имеем H(zi) = q2 и U(z2) = q2 и долж-
ны показать, что из наших предположении вытекает соотношение qf >
> q2. Из определения функции полезности вытекает q2 = U(x, х : q\, 1 —
- qx) и q2 = U(x,x : q2,1 - g2). Так как zx >- z2, должно быть верно
(х,х : <?i, 1 — <71) > (т, х : q2,1 — q2). Но это из аксиомы доминирования
приводит к <71 > q2 и впоследствии к q2 > q2. Таким образом, доказыва-
ется, что наша функция полезности является ординалистской.
1.2.3. Кардиналистская функция полезности
Является ли функция полезности из 1.2.2 кардиналистской?
Для того чтобы мы могли говорить о кардиналистской функции полез-
ности, должно быть верно
U([zi, z2 :q,l — q]) = qU(zi) + (1 - q)U(z2).
Для проверки данного свойства у этой особой функции полезности рассмо-
трим случай х ~ 21 у- z2 У- х. Из аксиомы независимости верно [21, z2 : q, 1 —
— g] ~ [x,z2 : q, 1 — q]. Из аксиомы непрерывности должно существовать q2
при 0 < g2 < 1, так что z2 ~ [т, х : q2,1 — д2]. Новое использование аксиомы
независимости дает после преобразования
[21,22 : q, 1 - q] ~ [х,х : q + (1 - q)q2, 1 - (<7+ (1 - д)дг)]-
Из определения функции полезности следует
U([x,x : 9+ (1 - q)q2,1 - (д + (1 - 9)92)]) = (g + (1 - д)дг)2 (1-36)
38
Глава 1. Гарантированные платежи
Так как по предположению верно U(zi) = 1 и J7(z2) = q%, должно быть верно
u(lzi, z2 : <7,1 ~ <?]) = qU(zi) + (1 - Q)t7(z2) = q + (1 - q)q%. (1.37)
Так как (1.36) и (1.37) не совпадают, обсуждаемая функция полезности не
является кардиналистской.
Литература
Гюнтер Бамберг и Адольф Кённенберг (Bamberg G., Coenenberg A. G. Betriebs-
wirtschaftliche Entscheidungslehre. 9. Aufl. Munchen: Vahlen, 1996), а так-
же Гельмут Лаукс (Laux H. Entscheidungstheorie. 4. Aufl. Berlin: Springer,
1998) объясняют в коротких разделах понятие лексиграфической структу-
ры. Конкретные примеры приведены у Ганса-Вернера Зинна (Sinn H.-W.
Okonomische Entscheidungen bei UngewiBheit. Tubingen: J.C.B. Mohr, 1980).
Доказательства существования ординалистских и кардиналистских функ-
ций полезности заинтересованный читатель может найти у Роберта Йерроу
(Jarrow R. A. Finance Theory. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1988).
1.3. Многократные гарантированные платежи
39
1.3. Многократные гарантированные платежи
После того как мы обсудили обоснованное теорией полезности понятие сего-
дняшней стоимости, заложен фундамент для использования этого понятия
также при изучении многопериодных гарантированных платежей. Расши-
рение обсуждаемых видов кредитных сделок до многопериодных спотовых,
а также до одно- и многопериодных форвардных сделок приводит к тому,
что кредитные контракты уже нельзя охарактеризовать суммой возврата и
одной-единственной спотовой ставкой процента. Цена (сегодняшняя стои-
мость) в этом случае зависит от того, когда должна быть выплачена сумма
кредита и какие существуют периодичные спотовые и форвардные ставки
процента. Поэтому следующие задачи связаны с анализом
• структуры спотовых и форвардных ставок процента на рынке капита-
ла, свободного от арбитража, и
• цен (сегодняшних стоимостей) многопериодных финансовых титулов и
реальных инвестиций.
1.3.1. Спотовые и форвардные ставки процента
На рынке капитала обращаются одна бескупонная облигация и две купон-
ные облигации. Срок погашения облигации с нулевым купоном номиналь-
ной стоимостью в 1000 тыс. руб. равен одному году; она котируется сегодня
по цене 921.66 руб. Форвардная ставка процента для вложений на период от
t = 1 до t = 3 составляет 13.79%. Первая облигация имеет купон, равный
8 %, остаточный срок погашения, равный 3 годам, и цену, равную 90.86 руб.
О второй купонной облигации известно лишь то, что ее остаточный срок по-
гашения составляет 2 года и она котируется по цене 108.87 руб.
1. Чему равен купон второй облигации?
2. Какие формы структуры ставки процента вам знакомы, и какая имеет
место здесь?
3. Составьте таблицу со всеми здесь существующими спотовыми и фор-
вардными ставками процента.
4. Вы заключаете в момент времени t = 0 форвардный кредитный кон-
тракт, в котором обязуетесь в t = 2 произвести возвратный платеж
величиной в 306 680 руб. Какова величина суммы кредита, которую вы
получаете в t = 1, если вами предполагается неизменность ставок про-
цента?
* -к
к
1. Для определения величины купона необходимо, чтобы были известны
спотовые ставки процента (spot rates) для одногодичных и двухгодич-
40
Глава 1. Гарантированные платежи
ных сроков погашения. Ставку для первого года можно определить из
облигации с нулевым купоном
Х1 1000
701 ~ р(Х1) “ _ 921.66
1 = 0.085.
При данной форвардной ставке процента ('Пз) мы получаем
гоз = </(1 +roi)(l +7-1з)2 - 1 = >/1.085 • 1.13792 - 1 = 0.12.
Для цены облигации верно
Если мы подставим в это соотношение данные первой облигации и из-
вестные уже спотовые ставки процента, то получим
90.86 =
8 • 8
1.085 + (1 + г02)2
108
1.123’
/ 8
Го2 V 6.6144
- 1 = 0.10.
Сейчас, используя эту информацию, мы можем рассчитать величину
купона второй облигации
108.87 =
К 100 4- К
1.085 + 1.12
26.225
1.748
= 15.
2. Характерным для имевшейся здесь нормальной структуры ставки про-
цента является рост спотовых ставок процента при увеличении срока
погашения. При пологой структуре ставки процента существует лишь
одна не зависящая от срока действия спотовая ставка. Если имеется
обратная структура ставки процента, то спотовые ставки повышаются
при уменьшении срока действия.
3. Существующие три спотовые ставки процента уже были рассчитаны
нами в задаче 1. Помимо этого, в задаче дана подразумеваемая фор-
вардная ставка процента для периода времени между t = 1 и t = 3, так
что мы должны определить лишь г 12 и г2з- Чтобы стали более ясными
используемые обозначения, рассмотрим форвардный кредит более вни-
мательно. Он имеет такое свойство, что лицо, предлагающее кредит,
к любому моменту времени, который мы обозначим ti, выдает кре-
дит, а получатель кредита к какому-то более позднему моменту време-
ни, который мы обозначим t2, осуществляет единственный возвратный
1.3. Многократные гарантированные платежи
41
платеж. Соответствующий договор заключается в to- Следовательно,
форвардную ставку процента можно определить через
п1(2
(1.38)
Посредством подстановки соответствующих спотовых ставок процента
получаем
П2 = —------1=0.1152 и г2з = 0.1611.
12 1.085
Обзор всех существующих ставок процента приведен в следую-
щей таблице.
«1 1 t-2 2 3
0 0.085 0.1000 0.1200
1 0.1152 0.1379
2 0.1611
выплате, составляет
4. Сумма кредита, подлежащая
.306 680
1 + 7’12
306 680
1.1152
= 275 000 руб.
1.3.2. Спотовые ставки процента и цены примитивных ценных бумаг
В мире Федора Счастливого существует рынок капитала, на котором обра-
щаются лишь описанные в таблице финансовые титулы.
Бумага Цена Возвратный поток в
t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
А 97.00 8.00 108.00
В 87.00 G.50 6.50 6.50 106.50
С 100.00 109.00
D 102.05 11.00 11.00 111.00
1. Является ли рынок капитала полным?
2. Что вы понимаете в смоделированном мире Федора Счастливого под
примитивной ценной бумагой?
3. Рассчитайте цену примитивной ценной бумаги.
4. Определите спотовые ставки процента.
5. Какая форма структуры ставки процента существует на этом рынке?
Вкратце проинтерпретируйте их.
42
Глава 1. Гарантированные платежи
6. Определите все подразумеваемые ставки процента.
7. Какую сумму, включая все проценты, должен перевести Федор Счаст-
ливый банку в t = 4 для форвардного кредита (заключение договора в
t = 0) в размере 25000 руб., который выплачивается в t = 2?
8. Существует ли на этом рынке возможность арбитража?
1. Рынок капитала является полным, так как там обращается в точности
столько бумаг, сколько существует моментов времени в будущем, и
все бумаги имеют линейные, не зависимые друг от друга, возвратные
потоки.
2. В мире Федора Счастливого под примитивной ценной бумагой мы
понимаем такую бумагу, которая имеет в будущем лишь в одном-
единственном моменте времени возвратный поток, величиной в точ-
ности 1 руб. Во всех других моментах времени эта бумага не имеет
возвратного потока.
3. На описанном здесь рынке капитала обращаются четыре рыночные
ценные бумаги, возвратные потоки и цены которых известны. Для
каждой из этих рыночных ценных бумаг мы можем составить урав-
нение в виде p(Xji, • • •, Xjt) = Хдтг! 4-... 4- Х^тт?. Так как существуют
четыре будущих момента времени и четыре ценных бумаги, мы полу-
чаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.
97.00= 8.00 • 7Г1 + 108.00 тг2 + 0.00 тг3 4- 0.00 • тг4,
87.00 = 6.50 • 7Г1 4- 6.50 тг2 4- 6.50 • тг3 4- 106.50 • тг4,
100.00 = 109.00 • тг! 4- 0.00 тг2 4- 0.00 • тг3 4- 0.00 • тг4,
102.05= 11.00 7Г1 4- 11.00 - 7Г2 4- 111.00 - 7Г3 4- 0.00 • тг4.
Из третьего уравнения следует
= — = 0.91743
Если мы этот результат подставим в первое уравнение, то получим
1Г2 =
97 - 8 0.91743
108
= 0.83019.
Если мы знаем 7Г1 и тг2, то через четвертое уравнение можно вычислить
102.05 - 11 • 0.91743 - 11 • 0.83019 „ „
7Г3 = ---------------—----------------- = 0.74618.
После этого из второго уравнения мы получаем
ТГ4 =
87 - 6.5 • 0.91743 - 6.5 • 0.83019 - 6.5 0.74618
106.5
= 0.6647.
1.3. Многократные гарантированные платежи
43
4. Цену будущего платежа мы определяем посредством дисконтирования
этого платежа с помощью соответствующей его сроку действия спото-
вой ставки процента,
(1-39)
В отношении примитивных ценных бумаг это означает
(l+rOi)r
После преобразования и подстановки уже известных цен примитив-
ных ценных бумаг мы получаем зависящие от срока действия спотовые
ставки
rot = { Д- - 1,
V *7
1
Г01 ~ 0.91743
1 = 0.09,
Г02 =
1
0.83019
- 1 = 0.0975,
гоз =
з/ 1
V 0.74618
- 1 = 0.1025,
Г04 =
1
0.6647
- 1 = 0.1075.
5. На этом рынке существует нормальная структура ставки процента.
С ростом срока к погашению спотовая ставка процента повышается.
6. Подстановка соответствующих спотовых ставок процента в (1.38) —
общую формулу для определения форвардных ставок процента — дает
П2= 0.1051, пз = 0.1088, т-14=0.1134,
723 = 0.1126, г24 = 0.1176,
гз4 = 0.1226.
7. Если мы хотим решить задачу со спотовыми ставками, вначале нам
необходимо дисконтировать сумму выплаты к t = 0 и после этого опре-
делить конечное значение дисконтированной суммы. Получаем
25 000
(1 + гог)2
(1 + г04)4
25 000
1.09752
1.10754 = 31 225.
Если мы используем подразумеваемые форвардные ставки процента,
то существуют два разных способа расчета.
• Первый способ связан с 7г4. На сумму выплаты начисляется при
724 в течение двух лет сложный процент
25 000- (1 + 724)2 = 25 000- 1.11762 = 3 1 225.
44
Глава 1. Гарантированные платежи
• Второй способ связан с форвардными ставками процента ?2з и 7 34.
Здесь мы начисляем сложные проценты на сумму выплаты на пер-
вом этапе до t = 3, на втором этапе — до t — 4
25 000- (1 + г23) • (1 + 7-3.1) = 25000- 1.1126- 1.1226 = 31 225.
8. На нашем полном рынке капитала может существовать возможность
арбитража лишь по двум причинам.
• Если цены примитивных ценных бумаг отрицательны, то су-
ществует возможность арбитража из-за теоремы доминирования.
При таких условиях возможно осуществление инвестиций с от-
рицательным вложением капитала, инвестиций, которые «обеща-
ют» положительные денежные потоки. Эта возможность в дей-
ствительности является печатным станком.
• Если цены Эрроу—Дебре больше единицы, то благодаря
rot = - 1
V TTt
мы имеем дело с отрицательными ставками процента. Если допол-
нительно к рыночным ценным бумагам на рынке капитала можно
осуществить инвестицию типа держания кассы, то и это открыва-
ет возможность арбитража. Она реализуется следующим образом:
мы берем сегодня кредит по отрицательной ставке процента и по-
мещаем сумму на один период в кассу. Обязательство платежа в
конце срока действия кредита из-за отрицательной ставки процен-
та меньше первоначальной суммы кредита. Таким образом, благо-
даря держанию кассы объем притока больше, чем то, что необхо-
димо выплатить лицу, предоставившему кредит. Здесь тоже имеет
место нарушение теоремы доминирования. Мы имеем дело опять
с известным феноменом — печатным станком.
Обоих этих феноменов здесь не существует. Рынок является свободным
от арбитража.
1.3.3. Условные форвардные ставки
Вы сталкиваетесь со следующими спотовыми ставками процента:
го1 = 0.0800, тог = 0.0873, газ = 0.0948.
Ожидается, что в будущем годовые спотовые ставки процента изменятся.
Они либо повысятся, либо снизятся до 10% (см. рис. 1.18). Аналогичные
изменения ожидаются для двухгодичных спотовых ставок процента.
1. Определите все действующие сегодня и через год форвардные ставки
процента при условии, что рынок свободен от арбитража.
1.3. Многократные гарантированные платежи
45
Рис. 1.18. Возможные
годовые спотовые ставки процента
2. Сегодня на рынке обращаются три облигации с нулевым купоном и со
сроками действия, равными соответственно 1, 2 и 3 года. По всем им
выплачивается 1000 руб. Рассчитайте цены этих облигаций для момен-
тов времени t = 0 и t = 1.
* *
*
1. Для вычисления форвардных ставок процента мы можем использовать
формулу (1.38) со с. 41. Расчет этого уравнения приводит к представ-
ленным в табл. 1.2 значениям действующих сегодня спотовых и фор-
вардных ставок процента. Динамика будущих одногодичных спотовых
ставок процента описана в задаче (ср. рис. 1.18). Если двухгодичные
спотовые ставки процента изменяются аналогично, то это означает,
что
г“2 = г02(1 + 0.1) = 0.0873 1.1 = 0.0960,
Го2 = г02(1 - 0.1) = 0.0873 • 0.9 = 0.0786.
Представьте себе, что вы находитесь во времени на один период позд-
нее. Изменились как одногодичные, так и двухгодичные спотовые
ставки. Так как обе ставки процента могут независимо друг от дру-
га снизиться или повыситься, возможны четыре ситуации. Для расче-
та этих условных форвардных ставок процента мы снова обратимся к
(1.38). Результаты даны в табл. 1.3.
2. Так как мы знаем все действующие сегодня спотовые ставки процента,
можно вывести сегодняшние цены трех облигаций с нулевым купоном
46
Глава 1. Гарантированные платежи
Таблица 1.2. Спотовые и форвард-
ные ставки процента
1 2 3
0 0.0800 0.0873 0.0948
1 0.0947 0.1023
2 0.1100
Таблица 1.3. Условные форвардные
ставки процента
Г02
+ 10% -10%
+ 10% 0.1041 0.0G92
/ () 1 -10% 0.1206 0.0852
с помощью формулы (1.39) со с. 43. С числами из примера для этих
трех облигаций это означает:
1000
—— = 925.93,
1.08
1000
1.0873-
= 845.87,
1000
1.09483
= 762.07.
В момент времени t = 1 с рынка исчезает первая бескупонная обли-
гация. Поэтому мы оцениваем лишь вторую и третью облигации. Для
оценки второй (третьей) облигации нам нужна одногодичная (двухго-
дичная) спотовая ставка. В зависимости от ситуации мы получаем
• для второй облигации или
1000 1000
—— = 919.12. 1.088 или = 932.84; 1.072
• для третьей облигации или
1000 1.09602 = 832'44’ 1000 = 859.61. 1.07862
1.3.4. Цена многопериодной реальной инвестиции
Консультационная фирма «Русинвест и партнеры» предлагает вам для по-
купки фирму с сетью торговых точек продажи мороженого за 1.35 млн руб.
С определенностью можно сегодня сказать, что после двухгодичного перио-
да убытков в сумме 0.25 млн руб. и 0.15 млн руб. в последующие годы будут
1.3. Многократные гарантированные платежи
47
достигнуты избытки величиной в 0.2, 0.3, 0.5, и 0.5 млн руб. Через шесть лет
сеть торговых точек продажи мороженого по всей вероятности будет иметь
продажную стоимость величиной в 1.25 млн руб. На банковский счет вам
начисляют процент, равный доходности безрискового актива, — 9.5 %.
1. Купили бы вы сеть торговых точек продажи мороженого?
2. Какую сумму вы должны были бы положить на банковский счет для
достижения того же денежного потока, какой будет иметь место при
покупке сети торговых точек продажи мороженого? Покажите дина-
мику состояния счета в табличной форме.
* *
*
1. Рациональные участники рынка принимают решение об инвестициях
на основе чистой сегодняшней стоимости. Следовательно, «Русинвест
и партнеры» найдут покупателя для сети торговых точек продажи мо-
роженого, если она достигнет положительной чистой сегодняшней сто-
имости
NPV = —1.35 —
0.25 0.15 , 0.2 0.3
1.095 - 1.0952 + 1.0953 + 1.0954
0.5 0.5 + 1.25 ____
------- -|---------— = —0.009591.
1.0955 1.0956
Мы осуществляем расчеты в млн руб. Поэтому чистая сегодняшняя
стоимость составляет —9591 руб. За цену в 1.35 млн руб. вам не следует
покупать сеть торговых точек мороженым.
2. Требуемая таблица должна быть заполнена от последнего платежа.
Для того чтобы вы могли назвать в конце шестого года 1.75 млн руб.
1 75
своими, вам нужно вложить в предшествующем этому году =
= 1.598174 млн руб. Но так как в этом же году вы также желаете
осуществить изъятия в объеме 0.5 млн руб., общее имущество должно
составить 2.098174 млн руб. По этой схеме происходит обратный расчет
до момента времени t = 0. Этот расчет показан в табл. 1.4.
Вложенная сумма должна составить 1.340409 млн руб. Разность меж-
ду необходимой сумМой вложения и покупной ценой, которую требует
«Русинвест и партнеры», соответствует вычисленной в 1.3.4, 1 чистой
сегодняшней стоимости.
1.3.5. Специфические реальные инвестиции и проблема вымогательства
Андрей Спящий является студентом экономики и думает, что нашел отлич-
ную нишу на рынке. Он убежден, что установка копировальной машины
в здании факультете является золотой шахтой. Одна копия должна стоить
0.10 руб. Расходы на приобретение аппаратуры составляют 4000 руб. Андрей
48
Глава 1. Гарантированные платежи
Таблица 1.4. Динамика состояния счета
Год Дисконтированное остаточное имущество последующего периода Изъятие или вложение в текущем периоде Необходимое общее имущество текущего периода
6 1750000 1 750 000
5 1 750 000 1 598 174 500000 2 098 174
1.095
4 2 098 174 1.095 = 1916141 300000 2 216141
3 2216 141 1.095 = 2 023 873 200000 2 223 873
2 2 223 87.3 2 030 934 -150000 1 880 934
1.095
1 1 880 934 1 717 748 -250000 1 467 748
1.095
0 1467 748 1 340 409
1.095
знает, что будут сделаны 10000 копий в год и ежегодно возникают издержки
величиной в 300 руб. Рыночная ставка процента составляет 10 % годовых.
1. Какова величина сегодняшней стоимости и чистой сегодняшней стои-
мости копировальной машины, если вы предполагаете, что поступле-
ние доходов и осуществление расходов имеют место всегда в конце года
и машина будет кому-то подарена после десятилетней эксплуатации?
2. Какова величина сегодняшней стоимости и чистой сегодняшней сто-
имости, если Андрей Спящий примет решение не дарить машину, а
эксплуатировать ее вечно?
3. Андрей Спящий уже эксплуатирует машину в течение года. Бизнес
процветает. Декан факультета, однако, для покрытия хронических де-
фицитов бюджета хочет потребовать годовую арендную плату от Ан-
дрея. Альтернатива Андрея для дальнейшей эксплуатации оборудова-
ния на экономическом факультете выглядит следующим образом: он
мог бы демонтировать машину (издержки в объеме 500 руб.) и пере-
ехать на соседний факультет, где ему гарантируется свобода от аренд-
ной платы. Годовая выручка, однако, там составляет лишь 600 руб.
Какова минимальная величина арендной платы, которую согласился
бы выплачивать Андрей?
4. Издержки закрытия бизнеса .являются переменными. Но во всем
остальном положение дел Андрея по сравнению с (3) не изменилось.
1.3. Многократные гарантированные платежи
49
Определите функцию, отражающую зависимость максимальной вели-
чины арендной платы, приемлемой для Андрея, от издержек закрытия
бизнеса.
* *
*
Сначала мы должны определить годовые денежные потоки. При годовых
доходах в объеме 10 000 0.1 = 1000 руб. и годовых расходах в объеме 300 руб.
они составляют 700 руб.
1. Мы можем рассчитать сегодняшнюю стоимость по аналогии с задачей
1.3.4, 1 как
Однако так как денежные потоки в течение всего срока эксплуатации,
равного 10 лет, остаются постоянными, возможно сокращение затрат
на расчет благодаря применению формулы постнумерандо сегодняш-
ней стоимости ренты
PV = X
(1 + г)т - 1
г • (1 + г)т
= 700-
1.110 - 1
0.1 • 1.110
= 700-6.14457 = 4301.20.
Для определения чистой сегодняшней стоимости сейчас необходимо
лишь вычесть инвестиционные расходы из сегодняшней стоимости
NPV = PV - То = 4301.20 - 4000 = 301.20.
Инстинктивное решение Андрея реализовывать этот проект оправды-
вается положительной чистой сегодняшней стоимостью.
2. Мы получим сегодняшнюю стоимость вечных (по величине постоян-
ных) возвратных потоков посредством деления возвратных потоков на
ставку процента
PV=*=^ = 7000.
г 0.1
Таким образом, чистая сегодняшняя стоимость повысится до 3000 руб.
3. Андрей должен сохранять трезвую голову. Для определения макси-
мально приемлемой для него арендной платы рекомендуется расчет
чистой сегодняшней стоимости для случая переезда на соседний фа-
культет. Мы получаем
9
NPV = -500 + V 600 ~ 300 = 1227.72 .
1.1?
t=l
50
Глава 1. Гарантированные платежи
Максимальная арендная плата, которую Андрей должен был бы за-
платить декану, должна привести в случае дальнейшего пребывания
на прежнем факультете к такой же чистой сегодняшней стоимости.
Это дает критическую арендную плату Л/Крит, для которой, очевидно,
должно быть верно
NPV = •£ 700 Т^ри.Т = (700 - мкрит) • 1 = 1227.72.
L—1 1.1 0.1 • 1.1
<=1
Если данную формулу выразить через Л/крит, то это приведет к
0 1-1.1°
Мкрит = 700 - 1227.72 -—--- = 486.82.
1.1J — 1
Декан может сбалансировать бюджет своего факультета лишь тогда,
когда он потребует от Андрея не больше 486.82 руб.
4. Для определения функции, которая показывает, каким образом мак-
симальная приемлемая арендная плата зависит от издержек закрытия
бизнеса, мы обозначим А в качестве символа для таких издержек и в
результате запишем чистую сегодняшнюю стоимость в случае переезда
в форме
„г.,- , Д 600 -300 4 _ 1.1° — 1
Npv = -л + Е -пт- = -А + 30(1 оТТг-
t=l
При бескорыстной преданности факультету достигаемая чистая сего-
дняшняя стоимость составит
Л 700-^ -М). 1^4.
l.P v ’ 0.1 -1.1°
t=I
Безразличие при совершении выбора между обеими альтернативами
существует тогда, когда обе чистые сегодняшние стоимости одинако-
вы, так что
1.1° — 1 1.19 - 1
-Л + 30° П1Т-Тр = (™о-">'оГТр-
Если выразить из данного равенства М, то получим
М = 0.1736 А + 400.
Ясно видно, что Андрея тем легче «шантажировать», чем выше из-
держки закрытия бизнеса, с которым он должен считаться.
1.3. Многократные гарантированные платежи
51
Литература
Ни один из учебников по теории инвестиций и финансов не обойдется без
обращения к концепции чистой сегодняшней стоимости. Из почти неограни-
ченного числа учебников напомним два: указанный выше учебник Р. Брей-
ли и С. Майерса и: Kruschwitz L. Investitionsrechnung. 8. Aufl. Munchen;
Wien: Oldenbourg, 2000 (русский пер.: Крушвиц Л. Инвестиционные расче-
ты. СПб, 2001).
Глава II
Решения в условиях существования риска
2.1. Теория полезности в условиях существования риска
Описанные в первой главе гарантированные денежные потоки являются
скорее исключением, а не правилом практики финансовых рынков. Мы,
несмотря на это, занимались их фундаментальной оценкой, имея на то две
причины. Первая причина заключается в значимости NPV в теории и на
практике. Мы не ошибемся, если скажем, что к NPV прибегают часто как
к итерационной формуле для оценки в принципе негарантированных пла-
тежей. Вторая причина имеет чисто дидактический характер. Значение, по-
лученное при разработке концепции оценки в условиях определенности, об-
легчит нам подход к принципам оценки негарантированных денежных по-
токов, к которым мы сейчас обратимся.
Для оценки рисковых платежей необходимо существование соответству-
ющих значений полезности. Генерирование этих значений полезности с по-
мощью концепции простой лотереи и построенная на этом функция ожида-
емой полезности являются темой первых двух задач. После этого мы пока-
жем, как можно найти лучшую лотерею, и обсудим вопрос о том, является
ли функция полезности для негарантированных результатов однозначной.
Остальная часть этого раздела посвящена применению теории ожидаемой
полезности к избранным проблемам. Мы займемся анализом значимости по-
стоянных издержек и попытаемся оценить страховые контракты с лимитом
собственной ответственности и без нее.
2.1.1. Аксиомы и вероятности безразличия
Вы сталкиваетесь с ситуацией принятия решения, описанной в табл. 2.1.
Объясните, как с помощью применения аксиомы Бернулли вы можете най-
ти выгодный для вас розыгрыш.
* *
*
Если ваше поведение соответствует аксиоме сравнимости и аксиоме тран-
зитивности, то вы должны быть в состоянии однозначно упорядочить ре-
зультаты между собой. Ранговый порядок может быть, например, следую-
щий: машина >- кухня >- путешествие >- гольф >- видео >- фото. Так как
у вас имеются наихудший (т = фото) и наилучший (7 = машина) резуль-
таты, вы придерживались, пусть даже и неявным образом, также аксиомы
ограничения.
2.1. Теория полезности в условиях существования риска
53
Таблица 2.1. Призы лотереи А и В
Ситуация 1 2 3
Вероятности 0.2 0.4 0.4
Лотерея А Лотерея В Кухня Путешествия Гольф Машина Видео Фото
Аксиома непрерывности требует от вас, чтобы вы могли назвать для
каждого результата вероятности безразличия q при 0 < q < 1, так что
£ ~ [т, т : <7, (1 — <?)].
При этом действует лишь одно правило, которого вы должны придержи-
ваться. При прямом сравнении двух результатов оцененному более высоко
нужно причислить более высокую вероятность безразличия. В противном
случае вы нарушаете аксиому доминирования. Возможной серией вероятно-
стей безразличия является:
X Фото Видео Гольф Путешествие Кухня Машина
Q 0.00 0.60 0.75 0.80 0.90 1.00
Если вы признаете аксиому независимости, то тогда вы сможете количе-
ственно оценить полезность обеих лотерей следующим образом:
А= (Кухня, Гольф, Видео : 0.2,0.4,0.4^ ~
, ~ ([Машина, Фото : 0.9,0.1], [Машина, Фото : 0.75,0.25],
[Машина, Фото : 0.6,0.4] : 0.2,0.4,0.4^
В = (Путешествие, Машина, Фото : 0.2,0.4,0.4^ ~
~ ([Машина, Фото : 0.8,0.2], [Машина, Фото : 1,0],
[Машина, Фото : 0,1] : 0.2,0.4,0.4^.
Мы можем существенно упростить эти выражения, применяя правило рас-
чета сложной лотереи. Мы получаем:
А = [Машина, Фото: 0.72, 0.28],
В = [Машина, Фото: 0.56, 0.44].
Последовательно, на основе аксиомы доминирования, вы должны выбрать
лотерею А.
54
Глава 2. Решения в условиях существования риска
2.1.2. Вероятность безразличия и функция полезности
Несмотря на ваши скудные финансовые запасы, вы строите планы путеше-
ствия. Цель путешествия упорядочена вами следующим образом:
Аляска > Бразилия > Цейлон > Доминиканская республика у Эквадор >- Франция.
1. Какая связь существует между вашими целями путешествия и вероят-
ностями безразличия д Е [0. 0.1, 0.2; 0.4. 0.8, 1]?
2. Проинтерпретируйте содержательно вероятности безразличия.
3. К вашей радости вы приглашены частными телевизионными компа-
ниями ВТН и ЦВТ на призовое шоу, где можно выиграть ваши люби-
мые варианты путешествий. Барабан выигрыша ВТН содержит, одна-
ко, лишь Аляску, Доминиканскую республику и Францию, а ЦВТ —
лишь Бразилию, Цейлон и Эквадор. К сожалению, оба шоу проводятся
в одно и то же время. Вы не можете себя разделить. Куда вы пойдете?
* *
*
1. Приписывание целей путешествий вашим вероятностям безразличия
дает картину, изображенную в следующей таблице:
Цель путешествия Вероятности безразличия
Аляска 1.0
Бразилия 0.8
Цейлон 0.4
Доминиканская республика 0.2
Эквадор 0.1
Франция 0.0
2. Представьте себе барабан с десятью шарами. Одни из них белые, дру-
гие — черные. Если вы вытащите белый шар, то можете посетить эс-
кимосов на Аляске. А если вам, наоборот, попадется черный шар, то
вы могли бы гулять по следам Астерикса и Обеликса (Франция). Пред-
положим, что вы уже имеете билет на карнавал в Рио-де-Жанейро.
Сколько белых шаров должно было бы в этом случае быть в барабане
для того, чтобы вы обменяли бы этот билет на шанс (возможность) еще
раз вытащить шар из барабана? Будучи студентом, который уже дав-
но освоил принцип Бернулли, вам не должно составить труда точно
назвать цифру. Вы соглашаетесь рискнуть гарантированным путеше-
ствием в Рио-де-Жанейро лишь при 8 белых шарах (д = 0.8). С гаран-
тированным путешествием на Цейлон барабан мог бы конкурировать
уже при 4 белых шарах. За Доминиканскую республику вы требуете
лишь два белых шара и т. д.
3. Вероятности безразличия подходят как значения полезности, так как
они количественно оценивают относительную ценность целей путеше-
2.1. Теория полезности в условиях существования риска
55
ствия. На основе еще раз обобщенных и приписанных альтернативам
значений полезности — см. таблицу —
Альтернативы Значения полезности
Ai (ВТН) А2 (ЦТВ) 1.0 0.2 0.0 0.8 0.4 0.1
легко вычислить ожидаемую полезность альтернатив
з
S=1
Для Ах и А2 получаем
| (1+0.2 + 0) = 0.40 и | (0.8+ 0.4+ 0.1) =0.43.
о О
Итак, вам лучше принять участие в шоу ЦТВ.
2.1.3. Функция полезности при нерасположенности к риску
Необходимо осуществить выбор между следующими лотереями:
L1 := [50,0 ; 0.5, 0.5],
L2 := [100,-25 : 0.5,0.5].
Ваша функция полезности имеет свойства U'(x) > 0, U"(x) < 0 и /7(0) = 0.
Изобразите графически:
• математические ожидания результатов лотереи;
• полезность лотерей по Бернулли;
• рисковую премию;
• безрисковый эквивалент.
Какую лотерею вы предпочтете?
* *
*
Знаки первой и второй производной показывают, что предельная полез-
ность вашего дохода положительна, но убывает. Поэтому функция полезно-
сти характеризуется изображенной на рис. 2.1 выпуклостью вверх.
Так как U(0) = 0, то она проходит через начало координат. Принадле-
жащая первой лотерее функция полезности по Бернулли является геомет-
рическим местом всех линейных комбинаций, состоящих из значений по-
лезности /7(0) и /7(50). Она начерчена как непрерывная сплошная линия.
Определенная аналогичным образом полезность по Бернулли второй лоте-
реи изображена пунктиром. На основе заданных вероятностей математиче-
56
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Рис. 2.1. Математическое ожидание, ожидаемая полезность, без-
рисковый эквивалент и премия за риск
ское ожидание результатов лотереи находится в точности посередине между
значениями 0 и 50 (—25 и 100) для первой (второй) лотереи. Поэтому мы по-
лучаем показатели E[Lj] = 0.5-50 = 25 и Е[Л2] — 0.5-(100+(—25)) = 37.5. Полез-
ности по Бернулли лотерей на рис. 2.1 обозначены как E[(7(Li)] и E[tZ(Z/>)].
Это можно вычислить, если вначале от Е[Л1] = 25 или Е[А->] = 37.5 распо-
ложить линии вертикально к полезности по Бернулли и потом, исходя из
точки пересечения, начертить горизонтально ординату. На абсциссе верти-
кально от точки пересечения между горизонталью и функцией полезности
Щх) можно найти безрисковые эквиваленты и S2. Сейчас нам еще нужно
поискать премии за риск. Они отражены в разнице между математическим
ожиданием результатов лотереи и безрисковым эквивалентом. Выбор между
обеими лотереями не должен представлять трудность, ведь E[(7(Li)] распо-
ложена однозначно выше, чем E[t7(L2)]-
2.1.4. Матрица результатов и полезности
Вы получили диплом по экономике предприятий и стоите перед выбором:
• пойти в качестве молодого менеджера на фирму и получать фиксиро-
ванную зарплату (А^;
• предоставлять как партнер по договору консультации нескольким фир-
мам на основе оплаты по результатам (Л2);
2.1. Теория полезности в условиях существования риска
57
• создать независимую консультационную фирму (Аз).
В табл. 2.2 отражаются ожидаемые вами сценарии, соответствующие веро-
ятности и ежемесячные доходы.
Таблица 2.2. Альтернативы доходов
Сценарии Бум Подъем Стагнация Рецессия
Вероятности qi = 0.2 <?2 = 0.2 <Гл =0.4 71 = 0.2
Ai 6750 6750 6750 6750
А? 1500 5850 9150 14485
Аз 1001 5250 13500 20250
1. В пользу какой альтернативы вы примете решение, если следуете
принципу Бернулли и имеете функцию полезности типа U(i) = 185 +
+ 5 In .г?
2. В случае рецессии ваши партнеры по договору предлагают вам допол-
нительный платеж z помимо премии, зависящей от результата. Каким
должно быть минимальное значение z для того, чтобы вы предпочли
вторую альтернативу?
3. Ситуация радикально меняется. Сначала внезапно отменяется предло-
жение выплаты надбавки, обусловленной рецессией. Потом ваша се-
стра просит вас помочь ей выбраться из финансовых трудностей и при-
нять на себя на неопределенный срок обслуживание ее кредита вели-
чиной в 200000 руб. Какое решение вы примете, если ставка процента
составляет 6 % и вам не нужно выплачивать основную сумму долга?
4. Примете ли вы иное по сравнению с пунктом 3 решение, если одна из
ваших подруг подарит вам 400000 руб.? Исходите из того, что неза-
медлительный возврат кредита возможен, а рынок капитала является
полным.
* *
*
1. Вы всегда принимаете решения на основе функции ожидаемой полез-
ности. Для дискретных распределений доходов верно
S S
E[t/(.r)] = V 4sU(xs) = £ f185 + 5 (2Л)
S=1 S=1
После подстановки уровней доходов, зависящих от ситуации в (2.1),
ожидаемая полезность безрисковой альтернативы Ai оказывается рав-
ной
Е[[/(.-г)] = П(т) = [185 + 51116750] = 229.1.
58
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Таблица 2.3. Очищенные альтернативы доходов
Сценарии Бум Подъем Стагнация Рецессия
Вероятности 71 = 0.2 72 = 0.2 <1з = 0.4 74 = 0.2
Ai 5750 5750 5750 5750
А? 500 4850 8150 13485
Аз 1 4250 12500 19250
Ожидаемая полезность А-г согласно следующей таблице получается
равной E[[/(i)] = 228.8.
(Х.ч ) Ч, ЩА)
0.2 185 + 5111 1500 44.3
0.2 185 + 5 hi 5850 45.7
0.4 185 + 5 In 9150 92.2
0.2 185 + 5 In 14485 46.6
Сумма 228.8
Соответствующий расчет дает для Дз ожидаемую полезность в сумме
229.4. Таким образом, эта альтернатива оказывается оптимальной и вы
создаете консультационную фирму.
2. Вам безразлично, реализуется ли сценарий /Ь или Д:!, если верно
Е[П(£)] = 44.3 + 45.7 + 92.2 + 0.2 • (185 + 5111(14485 + г)) = 229.4.
Упрощение дает
1п(14485 + г) = 10.1811,
е1п( 14 485+г) _ р10.1811
14 485 + г = 26 399.3.
z = 11914.3.
Вы работаете консультантом лишь тогда, когда соответствующий кон-
тракт в случае рецессии предполагает платеж в сумме 26 399.3 руб. Зна-
чит, надбавка должна составлять по меньшей мере г = 11 914.3 руб.
3. Обслуживание процентных платежей уменьшает ваш месячный до-
ход. Следовательно, прогнозируемые значения доходов сначала долж-
ны быть освобождены от суммы процентов. Так как сумма ежегодных
процентов составляет 0.06 200 000 = 12 000 руб., то месячная нагруз-
ка равна 1000 руб. Табл. 2.3 содержит очищенную матрицу возможных
доходов. Подстановка этих значений в (2.1) приведет к
2.1. Теория полезности в условиях существования риска
59
Лр Е[[/(.т)] = 228.3,
А2: Е[[/(£)] = 227.2,
Л3: Е[(7(.т)] = 222.1.
Ранговый порядок изменился. Если вам нужно обслуживать кредит,
то вы предпочтете более надежную зарплату менеджера.
4. После того как кредит вами возвращен, вы можете поместить
200000 руб. на рынке капитала. Дополнительный доход в сумме
1000 руб. в месяц опять делает Л3 предпочтительной альтернативой,
так как
Л1: Е[[/(т)] = 229.78,
Л2: Е[[/(х)] = 229.75,
Л3: E[t/(i)] = 230.47.
2.1.5. Однозначность функции полезности
Пусть даны две функции полезности
и U*(x) = h + gU(.r) с <! > 0.
1. Лицо, принимающее решение, приходит на основе второй функции по-
лезности при изучении двух альтернатив к результату А± Л2. Что из-
менится, если оно вместо этого будет ориентироваться на первую функ-
цию полезности?
2. Как бы выглядел ваш ответ, если вторая функция полезности имела
бы форму U*(x) = h — gU(Jc) с д > 0?
3. Как упорядочиваются альтернативы при U*(t) = й?
к к
1. Две функции полезности приводят к принятию одинаковых решений
тогда, когда их можно взаимно «перевести» друг в друга посредством
положительного линейного преобразования (см. по этому поводу также
с. 74). Если нам удастся показать, что [/(£) является положительным
линейным преобразованием функции то тогда выбор функции
полезности не окажет влияния на упорядочение альтернатив.
Мы ищем два числа а и Ъ при b > 0, так чтобы было верно
а + 6(7*(х) = U (а:).
Если подставить вторую функцию полезности, то будет иметь место
а + Ь (й + д U(£)) = U(.т).
60
Глава 2. Решения в условиях существования риска
На первом этапе мы определяем Ь таким образом, что фактор, на кото-
рый умножается 17 (.т), приобретает значение единицы. Очевидно, что
мы должны обозначить Ь = 1/д. Таким образом, получается
а + - + J7(.r) = U(x).
9
После этого мы должны выбрать а так, чтобы в обеих частях уравнения
осталось лишь U(x). Это получится при а = — h/g.
2. Теперь мы ищем преобразование формы
а + b (h — д U(.г)) = U(i).
Чтобы получить желаемый результат, мы должны обозначить Ь = —
— 1/Д. Это было бы отрицательным линейным преобразованием и из-
менило бы ранговый порядок с точностью до наоборот.
3. Лицо, принимающее решение и имеющее эту функцию полезности,
оценивает все альтернативы с тем же значением. Поэтому оно долж-
но прийти и при осуществлении выбора между альтернативами Ai и
А2 к результату Ai ~ А2.
2.1.6. Значимость постоянных издержек
Вы имеете в области х < 25 000 функцию полезности типа
U = х-----— ;Г2
50 000
и эксплуатируете новую квартиру вашего дяди в течение года. Эту кварти-
ру можно приспособить под офис. За это вы от дяди получаете сумму, рав-
ную годовой квартплате. Одногодичной арендой интересуются Иван и Петр.
Иван предлагает фиксированную арендную плату за год в сумме 9670 руб.
Петр же предлагает вам арендную плату в зависимости от оборота. Если
оборот является низким, то он готов платить лишь 3000 руб. Если бизнес
процветает, то он готов перечислять на ваш счет 23000 руб. По его мнению,
оба события одинаково вероятны.
1. Кому вы сдадите квартиру?
2. Изменили бы вы свое решение, если бы аренда была связана с посто-
янными издержками в сумме 1400 руб.?
3. Рассчитайте величину постоянных издержек, при которой обе альтер-
нативы нужно было бы оценить как одинаково хорошие.
4. Начертите график зависимости функции ожидаемой полезности от по-
стоянных издержек. Используйте для этого рассчитанные вами выше
значения.
2.1. Теория полезности в условиях существования риска
61
Таблица 2.4. Значения полезности с постоянными издержками
Сценарий Низкий оборот Высокий оборот
Вероятности 0.5 0.5
Ai (Надежная альтернатива) А? (Рисковая альтернатива) 6902 1549 6902 12269
5. Какой контракт заключили бы вы при существовании постоянных из-
держек в сумме 1500 руб. и при том, что ваш дядя дополнительно по-
дарил бы вам 3000 руб.?
* ж
*
1.
Полезность надежной альтернативы без
постоянных издержек соста-
вляет
U (г) = .г —
50 000
(2-2)
= 9670 -
96702
50 000
= 7800.
Для ожидаемой полезности рисковой сдачи в аренду возникает
E[U(x)]=qiU(r.1)+q2U(i2) =
/ 30002 \
= 0.5- 3000-----------4-0.5-
\ 50 000 J
= 7620.
(2-3)
23 000 —
23 0002 \
50 000 )
Если бы постоянных издержек не существовало, то вы сдали бы квар-
тиру в аренду Ивану.
2. С учетом постоянных издержек при выборе надежной альтернативы вы
получаете чистую арендную плату в сумме 8270 руб. Рисковая альтер-
натива обещает вам или 1600 руб., или 21600 руб. После подстановки
этих сумм в (2.2) мы получаем показанные в табл. 2.4 значения полез-
ности. Тогда функция ожидаемой полезности (2.3) дает для Л1 значе-
ние 6902. Рисковая сдача в аренду порождает ожидаемую полезность
6909. Постоянные издержки в сумме 1400 руб. изменяют ранговый по-
рядок альтернатив. Теперь контракт на аренду получает не Иван, а
Петр.
3. Мы получим критическую сумму постоянных издержек через прирав-
нивание функции полезности к функции ожидаемой полезности. Если
К — это постоянные издержки, то тогда лицо, принимающее решение,
62
Глава 2. Решения в условиях существования риска
всегда безразлично при совершении выбора между рисковой и надеж-
ной сдачей в аренду, когда обе альтернативы дают одинаковую полез-
ность
U(x — K) = E[U(x-K)]. (2.4)
Использование конкретных арендных платежей (2.4) позволяет рассчи-
тать критическую сумму постоянных издержек, значит
(9670 - К) - (.9670-;<)2 = 0.5 • ((23 000 - /<) - +
v 1 50 000 V 50000 J
+0.5.f(3000-A3-(3QQQ.^-)2y
V 7 50 000 J
Если выразить из этого уравнения К, то получим
К = 1350.
В первом разделе мы уже установили, что при постоянных издержках,
равных нулю, доминирует надежная альтернатива, а при постоянных
издержках, равных 1400 руб., — рисковая. При использовании этого
результата не должно представлять затруднений определение интерва-
ла постоянных издержек, в котором надежная арендная плата превос-
'ходит рисковую:
у Лг, если К < 1350.
Если постоянные издержки повысятся до 1350 руб. или до большей
величины, то будет заключен договор о рисковой арендной плате.
2?[Z7(/f)]
Рис. 2.2. Варьирование постоянных издержек
2.1. Теория полезности в условиях существования риска
63
Таблица 2.5. Альтернативы доходов и значения полезности
Сценарий Низкий оборот Высокий оборот
Вероятности 91 = 0.5 <72 = 0.5
Доход .41 (надежная альтернатива) 11170 11170
Доход А'2 (рисковая альтернатива) 4500 24500
Полезность .41 8675 8675
Полезность А-2 4095 12495
4. Пусть Е[[/(Л')] будет функцией ожидаемой полезности в зависимости
от постоянных издержек. Рис. 2.2. показывает график этой функции
для рисковой и надежной альтернатив.
5. С учетом подарка вашего дяди и новых постоянных издержек вы мо-
жете рассчитать представленные в табл. 2.5 значения дохода и полез-
ности. Мы получим ожидаемую полезность исследуемых альтернатив
сдачи в аренду опять через подстановку соответствующих значений из
табл. 2.5 в уравнение (2.3),
U (х) = 8675,
Е[П(х)] = 8295.
Надежный договор сдачи в аренду опять окажется более приемлемой
альтернативой.1
2.1.7. Расчет премии за риск
Ваше сегодняшнее имущество составляет 50 000 руб., а вашей функцией по-
лезности является U(Y) = In У.
1. Вы находитесь в ситуации, в которой с вероятностью 50% можете или
выиграть, или проиграть 10000 руб. Застрахуете ли вы себя против это-
го риска за премию в размере 1250 руб. или же согласитесь на участие
в такой лотерее?
2. Предположим, что вы приняли участие в этой лотерее и проиграли.
Ваше имущество тогда составит 40 000 руб. Заключили ли бы вы сейчас
договор о страховке по тем же условиям, что и в задаче 1?
3. Какова сумма максимальной премии, которую бы вы заплатили в за-
даче 1 и 2?
* *
*
1 Этот результат будет получен нами и тогда, когда сальдо между подарком вашего
дяди и постоянными издержками станет интерпретироваться как «отрицательные
постоянные издержки».
64
Глава 2. Решения в условиях существования риска
1. Вы можете выбрать между альтернативами «заключение договора о
страховке» (Ai) и «принятие на себя риска» (А2). Если вы заклю-
чаете договор, то ваше имущество составит 50000 — 1250 = 48 750 руб.
независимо от того, какая ситуация наступит в будущем. Если же
вы принимаете на себя риск, то имущество может или повыситься до
50000+ 10000 = 60 000 руб., или с той же вероятностью, равной 50%,
снизиться до 50 000 - 10 000 = 40 000 руб. Если вы примените значения
возможных результатов, используя свою функцию полезности, то по-
лучите представленную в табл. 2.6 матрицу полезности.
Таблица 2.6. Первая матр ица полезности Имущество
Ситуация 1 2
Альтернатива Вероятность 0.5 0.5
1 2 10.79446 11.00210 10.79446 10.59660
Из матрицы можно определить значения ожидаемой полезности обеих
альтернатив
Е[£/(Л1)] = 10.79446.
E[Z7(A2)] = 11.0021 • 0.5 + 10.5966 • 0.5 = 10.79935.
Так как 10.79935 > 10.79446, то вы соглашаетесь на участие в лотерее.2
2. Из-за потери 10 000 руб. возникает представленная в табл. 2.7 матрица
полезности. Теперь для значений ожидаемой полезности обеих альтер-
натив верно:
Е[[/(Л1)] = 10.56489,
Е[[/(А2)] = 10.81987 0.5 + 10.30895 • 0.5 = 10.56437.
Учитывая предыдущий опыт, вы стали осторожным и заключаете до-
говор о страховании.
3. Второй возможностью анализа вопросов, поставленных в задачах 1 и 2,
является расчет рисковых премий. Премию за риск по Пратту и Эр-
роу определяют для «маленького риска», и поэтому она здесь неприме-
2 На первый взгляд эта разность может показаться вам мизерной. Но вы должны
принять во внимание, что функции полезности положительно линейно преобразо-
ваны и, таким образом, разность между обеими альтернативами можно сделать на-
сколько угодно большой.
2.1. Теория полезности в условиях существования риска
65
Таблица 2.7. Вторая матрица полезности
Имущество
Ситуация 1 2
Альтернатива Вероятность 0.5 0.5
1 2 10.56489 10.81978 10.56189 10.30895
нима. Можно использовать лишь определение премии за риск по Мар-
ковицу. Математическое ожидание игры, о котором здесь идет речь,
является нулевым. Поэтому исходная формула выглядит следующим
образом:
безрисковый эквивалент
Обратной функцией к In У является eY. Таким образом, для безриско-
вого эквивалента мы получаем
t/-1(E[[/(Vy0 +5)]) = eE[ln(50000+i)l.
Экспонента в правой части является не чем иным, как ожидаемой по-
лезностью. Сейчас остается только сделать маленький шаг для расчета
максимальной премии за риск. Для условия из задачи 1 получаем
л = 50.000 - с10-79935 = 1011.05 руб.
При 1011.05 < 1250 руб. премия, которую лицо, принимающее решение,
готово платить, меньше требуемой. Поэтому договор о страховании не
заключается. В случае, при котором вы один раз уже проиграли (зада-
ча 2), вами было бы заплачено максимум
л = 40.000 - e10'5C43ttF> = 1270.18 руб.
И здесь утверждается полученный выше результат: максимальная пре-
мия превышает требуемую. Вы заключаете договор о страховании.
2.1.8. Страховые договоры с лимитом собственной ответственности
Вы живете в приватизированной квартире и хотите заключить страховой
договор на случай пожара. Страховая компания предлагает вам следующие
полисы:
66
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Договор Страховая сумма Премия
А в С 1 500 000 1500 +а 2 000 000 1350 + b 2 500 000 1200 +с
Надбавки а, Ь и с соответствуют ожидаемым платежам страхователя. Веро-
ятности и величины ущерба оцениваются экспертом следующим образом:
Величина ущерба Вероятность
О
250 000
500 000
0.900
0.050
0.025
2 500 000 0.025
1. Какой контракт вы предпочитаете, если у вас имеется 100 000 руб. на-
личными и квартира стоимостью 2 500000 руб.? Пусть ваша функция
полезности будет [/(Ир + х) = 1000hi(Hz() 4- х), причем Иц обозначает
надежную, ах — рисковую часть вашего остаточного имущества. Вы
можете вложить ваше ликвидное имущество в форме наличности на
один год под 7 % .
2. Измените ли вы ваше решение, принятое в пункте 1, если в конце
первого периода вы унаследуете 100 млн руб.? Учтите, что отказ от
страховки тоже является альтернативой.
* *
*
1. Перед тем как вы можете составить соответствующую матрицу полез-
ности, необходим расчет надбавок. Здесь необходимо учесть, что вы-
платы, которые должен произвести страхователь при наступлении наи-
большего ущерба, лишь при С достигают полной суммы ущерба. При
контракте А (В) страхователь платит лишь 1 500 000 (2 000 000) руб. Над-
бавки составляют:
а = 0 • 0.9 + 250 000 • 0.05 + 500 000 • 0.025 + 1 500 000 • 0.025 =
= 62 500 руб.,
Ъ = 75 000 руб.,
с = 87 500 руб.,
так что договор А включает премию в сумме 64 000 руб., договор В —
76 350 руб., а договор С — 88 700 руб. Значения возможного остаточного
имущества можно сейчас рассчитать по формуле:
V = квартира + (наличные деньги — премия) • (1 + 77) —
— лимит ответственности.
2.1. Теория полезности в условиях существования риска
67
Матрица значений остаточного имущества, имеющая вид
Ситуация 1 2 3 4
0.90 0.05 0.025 0.025
Договор A 2 538 520.0 2 538 520.0 2 538 520.0 1 538 520.0
Договор В - 2 525 305.5 2 525 305.5 2 525 305.5 2 025 305.5
Договор С 2512 091.0 2512 091.0 2512091.0 2 512 091.0
Отсутствие страховки 2 607 000.0 2 357 000.0 2107000.0 107 000.0
сначала преобразовывается нами в матрицу полезности
Ситуация 1 2 3 4
<1- 0.90 0.05 0.025 0.025
А 14 747.092 14 747.092 14 747.092 14 246.331
В 14 741.873 14 741.873 14 741.873 14521.231
С 14 736.626 14 736.626 14 736.626 14 736.626
О 14 773.711 14 672.900 14 560.776 11580.584
а после этого мы рассчитываем значения ожидаемой полезности
E[U(A)] = 14 747.092 • 0.975 + 14 246.331 0.025 = 14 734.573,
Е[С7(В)] = 14 736.357,
Е[[7(С)] = 14 736.626,
E[U(N)] = 14683.519.
В этой ситуации для вас оптимальным является договор С.
2. Каждый результат матрицы исходов из пункта 1 увеличится на
100 млн руб. Отсюда мы получаем новые значения ожидаемой полез-
ности:
E[U(A)J = 18 445.5041,
E[U(B)] = 18 445.4980,
E[U(C)] = 18 445.4913,
E[U(N)] = 18 445.5560.
На основе этого радикального увеличения вашего благосостояния те-
перь рекомендуется отказ от заключения страхового договора.
Литература
В отношении дидактических аспектов особенно рекомендуется: Hirsh-
leifer J., Riley J. G. The Analytics of Uncertainty and Information. 2nd ed.
New York. Cambridge University Press, 1993 (Reprint 1995). Подробное пред-
68 Глава 2. Решения в условиях существования риска
ставление теории ожидаемой полезности можно найти и у: Laux Н. Entschei-
dungstheorie 4. Aufl. Berlin: Springer, 1998. Тех, кто увлекается изучением
возникновения идей экономической теории, мы отсылаем к: Бернулли Д.
Опыт новой теории измерения жребия // Теория потребительского пове-
дения и спроса. СПб, 1999. С. 11-27. Дискуссия о значимости постоянных
издержек получила толчок в работе: Schneider D. Entscheidungsrelevante
fixe Kosten, Abschreibungen und Zinsen zur Substanzerhaltung. Der Betrieb.
1984. Bd. 37. S. 2521-2528. Тот, кто хочет углубиться в теорию страхова-
ния, должен изучить: Schulenburg J.-M. G. v.d. Versicherungsokonomik //
Wirtschaftswissenschaftliches Studium. 1992. Bd. 21. S. 399-40G, и приведен-
ную там литературу.
2.2. Формы отношения к риску
69
2.2. Формы отношения к риску
При изучении «значимости постоянных издержек» и «страхового договора
с лимитом собственной ответственности» выяснилось, что начальный запас
влияет на выбор альтернатив. В продолжение этого мы сконцентрируем вни-
мание на измерении систематической связи между отношением к риску и
личным богатством для конкретных функций полезности (и их положитель-
ных линейных преобразований). Отношение к риску измеряется с помощью
показателей риска «абсолютная нерасположенность к риску» (ARA) и «от-
носительная нерасположенность к риску» (RRA). На основе этих показате-
лей мы, в общем, в состоянии обосновать, почему ограничение допустимых
правил преобразования необходимо для класса положительных и линейных
преобразований.
Особенно большое внимание уделено нами разным видам интенсивности
риска, т. е. производным показателям риска. Для того чтобы соответству-
ющая, но не всегда сразу понятная интерпретация этих выражений была
более ясной, мы выбираем здесь путь расчета оптимума для инвестора в мо-
дели двух ситуаций, который хочет разделить свое имущество на рисковое и
безрисковое вложения. В заключение главы опять приводится задача, кото-
рая предназначена для применения приобретенных таким образом знаний.
Необходимо будет определить критическую ставку процента применительно
к рискованному проекту, хотя бы частично финансируемому заемным капи-
талом, а также квантифицировать влияние отношения к риску инвестора на
эту ставку процента.
2.2.1. Избранные функции полезности и отношение к риску
Вы долгое время вели наблюдение за тем, как ваши друзья Максим, Ве-
роника и Игорь принимают решения в условиях риска. Благодаря вашим
способностям сыщика вы пришли к результатам, что эта троица имеет сле-
дующие функции полезности:
• Максим: U(£) = — 1 + ет,
• Вероника: U(£) — 2 + 4000х — 0.002 а:2,
• Игорь: U(x) = 1000 + 2 х.
1. Как бы вы описали отношение к риску своих друзей? Используйте
в качестве показателей абсолютную и относительную нерасположен-
ность к риску.
2. Покажите, что для Максима ожидаемая полезность всегда выше по-
лезности математического ожидания. При этом исходите из существо-
вания мира только с двумя ситуациями.
70
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Таблица 2.8. Отношение к риску и функция полезности
Форма функции полезности U(i) Вторая производная ARA и RRA Отношение к риску
Выпуклая вверх Отрицательная Положительная Нерасположен- ность к риску
Линейная Нулевая Нулевая Нейтральность к риску
Выпуклая вниз Положительная Отрицательная Расположен- ность к риску
1. С помощью функции полезности U(x) определяется как значение на-
чального запаса, так и значение будущих негарантированных денеж-
ных потоков. Значит, если мы введем для оценки негарантированных
результатов некую функцию полезности, то тогда нам следует исполь-
зовать в точности ту же функцию для оценки имущества. Абсолютная
нерасположенность к риску, в общем, определяется3 через формулу
d? U/dx~
ARA =------.
dU/dx
(2-5)
Так как мы всегда исходим из того, что для всех индивидуумов, а зна-
чит, и для ваших друзей, возрастание дохода приводит к извлечению
дополнительной полезности, то первая производная каждой экономи-
чески правдоподобной функции полезности положительна. Таким об-
разом, для оценки отношения к риску решающее значение имеет знак
второй производной. При этом верны приведенные в табл. 2.8 связи.
Следовательно, для того чтобы суметь оценить отношение к риску ва-
ших друзей, вы должны знать первую и вторую производные соответ-
ствующих функций полезности. Для соответствующих производных
функции полезности Вероники мы получим
dU
— = 4000- 0.004 ,т> 0 и
dx
d2U
dx'2
= -0.004 < 0,
3 В дальнейшем мы откажемся от замены переменной х переменной имущества И'о-
Но хотелось бы напомнить, что для абсолютной нерасположенности к риску можно
записать также
d2 и /ЩЦ2
ARA =-----------.
dU /dWn
Аналогичное верно и для относительной" нерасположенности.
2.2. Формы отношения к риску
71
Таблица 2.9. Абсолютная нерасположенность к риску при возрастающем
благосостоянии
rfARA dx Изменение абсолютного отношения к риску Рискованно вложенная абсолютная сумма
Положительная Увеличение Уменьшается
Нулевая Постоянство Постоянна
Отрицательная Уменьшение Увеличивается
так что сразу же можно определить Веронику как нерасположенную
к риску.4 * *
С помощью числовых значений ARA и RRA мы хотели бы более по-
дробно проанализировать отношение Вероники к риску. Абсолютная
нерасположенность к риску, согласно этим расчетам, оказывается рав-
ной
d2U/dx -0.004
—______' — - —____________
dU/dx 4000 — 0.004 .f
Из умножения ARA на х получаем относительную нерасположенность
к риску
d~U/dx2 -0.004 х
р и д — _,р ___L___________________
dU/dx 4000 — 0.004.7:
Если имущество увеличивается, то применительно к абсолютной
нерасположенности к риску можно различать три альтернативы, см.
табл. 2.9. И для относительной нерасположенности к риску при изме-
нении имущества существуют три возможности, детали которых мы
можем для себя легко выяснить, взглянув на табл. 2.9. Все представ-
ленные там эффекты верны соответственно, если заменить d.ARA/dx
dRRA/dx и «абсолютную сумму» на «долю имущества». Как изменят-
ся числовые значения Вероники, если увеличивается имущество? Для
ответа на этот вопрос мы должны взять производную
dARA _ d (0.004/(4000- 0.004 ,r)) _
dx d x
= -^°°4 2 (-0.004) > 0
(4000 -0.004 x)2 v 7
и правильно проинтерпретировать положительный знак. Предпочте-
ния Вероники характеризуются возрастающей абсолютной нерасполо-
4 Мы должны, однако, ограничить диапазон определения интервалом 0 < х <
< 1 млн руб., так как функция полезности Вероники лишь здесь характеризуется
положительной предельной полезностью.
72
Глава 2. Решения в условиях существования риска
женностью к риску. С возрастанием имущества ее рискованно вложен-
ная денежная сумма сокращается. Если же абсолютная сумма сокра-
щается, то это автоматически приводит к тому, что уменьшается и
относительная доля рискованно вложенных денег с ростом имущества.
Тот, кто в этом выводе сомневается, пусть выяснит для себя это на сле-
дующем примере. Вероника владеет в исходной ситуации 150000 руб.,
из которых 100 000 руб. инвестированы без риска, а 50 000 руб. — рис-
кованно. Доля с риском вложенных денег составит тогда 1/3. Из-за
своей возрастающей нерасположенности к риску Вероника — если ее
имущество повышается до 200000 руб. — будет вкладывать с риском
меньше 50 000 руб., например лишь 40 000 руб. Доля рискованно вло-
женной суммы сократится, таким образом, на 20 %. Даже если Верони-
ка и при большем имуществе 50 000 руб. инвестировала бы рискованно
(постоянная абсолютная нерасположенность к риску), доля рискован-
но инвестированного имущества снизилась бы до 50 000/200 000 = 1/4.
Следовательно, мы можем с уверенностью утверждать, что возрастаю-
щая, точно так же как и постоянная, абсолютная нерасположенность к
риску, обязательно предполагает возрастающую относительную нерас-
положенность к риску. Значит, для Вероники мы должны ожидать,
что производная ARA по х будет иметь положительный знак
<7RRA __ d (0.004 £/(4000 - 0.004 л))
dx d х
_ 0.004 • (4000 - 0.004 л) - 0.G04 1 (-0.004) _
(4000 - 0.004 л)2 “
(4000 — 0.004 л)2
Теперь давайте обратимся к анализу предпочтений Максима. Если два-
жды продифференцировать его функцию полезности
dU
dx
= ег > 0
d2U
dx2
и
то это даст нам уверенность в том, что Максим является расположен-
ным к риску человеком. Для показателя ARA и ее первой производной
получаем
d2 U/dx е
ARA =------— = —
dU / dx е
dARA
-1 и —-— — 0.
dx
(2-6)
При проверке показателя RRA и ее первой производной для Максима
мы определяем
RRA-
d2U/dx2
d.U/dx
dRRA
И =
(2-7)
2.2. Формы отношения к риску
73
Что означает этот результат? Вспомним, что Максим является распо-
ложенным к риску лицом. В его случае можно говорить не об абсолют-
ной и относительной нерасположенности к риску, а об абсолютной и
относительной расположенности к риску. Благодаря (2.6) сумма, кото-
рую Максим с риском вложит, не изменится при возрастании имуще-
ства, т. е. он имеет постоянную абсолютную расположенность к риску.
Но это предполагает убывающую относительную расположенность к
риску.
Функция полезности Игоря является менее сложной, чем функция
Максима. При
dU п п d2U п
= 2 > 0 и —— - О
«.Г (I.T-
мы можем идентифицировать Игоря как нейтральное к риску лицо.
Так как вторая производная функции полезности равна нулю, показа-
тели ARA и RRA, а также их производные принимают нулевые значе-
ния, которые делают интерпретацию невозможной.
2. Функция полезности Максима выпукла вниз. Этот вид функций обла-
дает тем свойством, что линейная комбинация двух значений функции
U(xi) и П(х2) при Xi < х < .т2 по меньшей мере так же велика (или
больше), как (чем) значения функции Щ;г). Поэтому их можно оха-
рактеризовать следующим образом:
ХЩхх) + (1 - А) П(.т2) > П(.Г1 < х < .т2) >
> [7(АТ] + (1 — Л).т2) (2.8)
при 0 < X < 1. Сейчас мы предположим, что .Г] реализуется с вероятно-
стью q, а т2 — с вероятностью 1 — q, и заменим в формуле (2.8) А на q.
Это даст нам
gH(.Ti) + (1 - q) Щх2) > U(qx\ + (1 - q)x2),
E[L7(i:)] > L7(E[:?]).
2.2.2. Функция полезности с варьирующим отношением к риску
Ваша функция полезности выглядит следующим образом:
U(x) — £7 при 7 > 0.
1. Рассчитайте абсолютную и относительную нерасположенности к риску
и прокомментируйте эти показатели.
2. Как изменятся оба показателя, если ваше имущество увеличится?
74
Глава 2. Решения в условиях существования риска
1. Первой и второй производными функции полезности по .г являются
d2U _7_2
1-у = (7-1)7а:
Далее мы получаем
ARA=-(7~1)7f^ = -l^ (2.9)
и
RRA = -х 2 = -х = 1 - 7- (2.Ю)
7 х* 1 х
Лишь ARA зависит от имущества. Относительная нерасположенность
к риску RRA является постоянной. Кроме того, мы можем констати-
ровать, что функция полезности при 7=1 описывает нейтральность к
риску, при 0 < 7 < 1 — нерасположенность к риску, а при 7 > 1 —
расположенность к риску.
2. При увеличении имущества ARA изменяется в соответствии с
<7ARA 7 — 1
dx х2
Это выражение является отрицательным для 0 < 7 < 1 и положитель-
ным для 7 > 1. Если мы предположим первый случай (второй случай),
то тогда абсолютная нерасположенность (расположенность) к риску с
возрастанием имущества уменьшится. При увеличении богатства ин-
вестор будет вкладывать с риском все большую (меньшую) сумму. Так
как
<7RRA
-дГ- = 0’
то не изменяется относительная доля рискованного вложения. Струк-
тура портфеля не зависит от благосостояния инвестора.
2.2.3. Положительное линейное преобразование и отношение к риску
Покажите в общем, что свойства функции полезности U(i), касающиеся
отношения к риску лица, принимающего решение, сохраняются лишь при
положительном линейном преобразовании.
2.2. Формы отношения к риску
75
Пусть U(x) будет любой функцией полезности со следующими свойствами:5
Нерасположенность к риску:
Расположенность к риску:
Нейтральность к риску:
Ux > О,
их > о,
их > о,
< 0.
> 0.
= 0.
Пусть F(U(.i:)) будет любым положительным монотонным преобразованием
F = F(U(x)} с Fv > 0.
(2-11)
Формула, данная через U(x), представляет отношение к риску, не варьи-
рующееся по отношению к положительному монотонному преобразованию,
если сохраняется абсолютная и относительная нерасположенность к риску.
Необходимым и достаточным условием для этого является постоянство ко-
эффициента Эрроу—Пратта
U F
ARA - - — - - —
Ux Fx '
(2.12)
Давайте рассмотрим преобразованную функцию полезности F(i) = F(f7(£))
и рассчитаем первую и вторую производные. При
Fx =FuUx> 0
и
Fxx = Fuu (Ux)2 + Fu Uxx
мы получим для объема риска
_Fxx _ _ Fuu (Ux}2 _ Fu Uxx _
Fx Fu Ux Fu Ux
Fuu (Ux}2 Uxx
Fu Ux Ux '
Это выражение лишь тогда соответствует -Uxx/Ux, когда первый член в
правой части приравнивается к нулю. Благодаря тому что Ux > 0 для всех
видов отношения к риску и Fu > 0, в соответствии с условием (2.11) это
требует того, что
Fuu = 0 и, следовательно, Fu = а. (2.13)
Свойство (2.13) характеризует положительное монотонное линейное преоб-
разование
F(U(x)} = Ь + a U(x) при любом Ь,
5 Ux (Uxx) является первой (второй) производной функции полезности U, Fx (Fxr)
первой (второй) производной функции F по х. Fu и Fuu образуются через соответ-
ствующие производные F по U.
76
Глава 2. Решения в условиях существования риска
так что лишь для этого вида преобразования верно
ARA = -
Urr
U.г '
RRA = -.г = -.г
2.2.4. Избранные правила преобразования
Предположим, что U(F) > 0 и .? > 0. Как изменяется коэффициент
Эрроу—Пратта, измеряющий отношение к риску, если функция полезно-
сти U(т) = 10 + 5 преобразуется согласно следующим правилам?
1. F(U(F)) = 20+ (F(.?))2.
2. F(U(ty) = 10+(Щ.?))°'5.
3. F(L7(.r)) = 100 + 2000 U(.г).
•к *
Задача решается в два этапа. Сначала мы определяем коэффициент Эрроу—
Пратта для исходной функции U(.г)
(2-14)
После этого вычислим величину риска преобразованных функций и срав-
ним все результаты с величинами эталона (2.14).
1. Для функции
F(i) = F(F(i:)) = 20 + (10 + л05)2
мы получаем при
Fx = 10щ-° 5 + 1
И
показатель риска, равный
ЛОЛ 1
А ~ + 1 ~ 21-+ 0.2-Г1 5 ’
Абсолютная нерасположенность к риску стала меньше, и относитель-
ная нерасположенность к риску из-за RRA = rARA тоже уменьши-
лась.
2.2. Формы отношения к риску
77
2. Расчет коэффициента Эрроу—Пратта дает
_ 0.252 (C7(i))-1-5 +0.125 (t/(i))“°'5 i"1-5
_ 0.25 1 0.25 1
U(х) г0-5 2.т 10 £0-5 + х 2.?
ARA и RRA благодаря преобразованию увеличились.
3. Функция
F(JJ(i)) = 100 + 2000 (10 + 0.5 i0 5)
имеет с производными
= 2000 Ux = 2000 0.5 i“0-5,
Fxx = 2000 Uxx = 1000 • (-0.5) i"15
коэффициент Эрроу—Пратта
Fxx -500 J"15 1
“ lOOOi-05 “ 2Г
Абсолютная и относительная нерасположенность к риску не затронуты
преобразованием.
2.2.5. Распределение имущества на надежные и рисковые вложения
Благодаря прибыльному бизнесу в России вам удалось накопить 1 млн руб.,
которые вам хочется использовать для постройки дома. Предварительный
договор со строительной компанией предусматривает оплату строительства
сразу после передачи ключа. Однако компания настаивает на варьирующем
сроке завершения строительства. При плохой конъюнктуре строительной
отрасли она хочет передать ключ через один год, а при полной загружен-
ности другими заказами — через два года. По прогнозу ведущих инсти-
тутов прогнозирования экономики в строительной отрасли с вероятностью
q — 0.6 наступит спад. Вы хотите вложить свои финансовые средства до
возможного срока платежа. На рынке предлагаются договоры лишь двух
видов. Первый контракт предполагает срок, равный двум годам, и возврат-
ный платеж в объеме 1.42 руб. на каждый вложенный рубль. При прежде-
временном расторжении договора через один год выплачиваются, однако,
лишь 0.55 руб. Во втором контракте вам предлагается на каждый вложен-
ный рубль 1.10 руб. через один год, и 1.21 руб. — через два года.
1. Исходите из того, что вы комбинируете предложенные договора. Став-
ка процента г = 0.1. Составьте таблицу, которая отражает безрисково
вложенные части имущества, а также сегодняшние стоимости, если
выплаты происходят либо в t = 1, либо в t = 2. Выведите из имеющих-
ся значений общее бюджетное уравнение.
78
Глава 2. Решения в условиях существования риска
2. Какую абсолютную сумму вы вложите с риском и какую — надежно,
если сама функция полезности имеет вид U(x) = ;?п-5?
3. Какую абсолютную и какую относительную сумму вы вложите с рис-
ком, если ваше имущество благодаря выгодному браку увеличится еще
на 1 млн?
4. Как велика ваша абсолютная и ваша относительная нерасположен-
ность к риску?
5. Чему равны абсолютные суммы объема рискованного и надежного вло-
жения до и после заключения вами брака, если ваша функция полез-
ности из-за экзогенного шока стала иметь вид Г'(.т) = -с-г?
•к
1. Сначала мы рассмотрим сегодняшние стоимости возвратных платежей.
Если вы подпишите договор 1, то каждый инвестированный рубль бу-
дет иметь сегодняшнюю стоимость 2/, = уу = 0.5 руб., если из-за более
короткого срока строительства вам придется преждевременно расторг-
нуть договор денежного вложения. Но если вы сможете подождать до
истечения срока действия в два года, то сегодняшняя стоимость инве-
стированного рубля составит 2ц = |yj = 2 руб. Поэтому этот контракт
является рисковым. Второй контракт гарантирует вам для каждого
срока выплаты одинаковые сегодняшние стоимости 21 = -|у = 1 = ги
22 = |у| = 1=2. Теперь мы сложим оба вида договора и рассчитаем для
ситуации 1 (преждевременный возвратный платеж) и ситуации 2 (пол-
ный срок действия) соответствующие сегодняшние стоимости. Пусть
«1 будет долей имущества, которая будет инвестирована при заключе-
нии надежного контракта, тогда распределение начального имущества
можно записать следующим образом °:
Ио = ГЦ И о + 02 НЛо
при Qi +«2 = 1- Сегодняшняя стоимость выплаты в ситуации 1 обозна-
чается х\, а в ситуации 2 — Оба значения можно определить через
формулы
= О1 ИЛо z + о2 Wo zL, (2.15)
х2 = oi Но 2 + о2 Н’о гц. (2.16)
Следующая таблица приводит некоторые зависящие от ситуации сего-
дняшние стоимости в зависимости от oi.
6 Цена за надежный контракт, так же как и цена за рисковый договор, принимается
равной 1.
2.2. Формы отношения к риску
79
Доля имущества, вложенная без риска, сц (в млн руб.) Т2 (в МЛН руб.)
0.0 0.5 2.0
0.2 0.2 + 0.40 = 0.6 0.2 + 1.6 = 1.8
0.4 0.4 + 0.30 = 0.7 0.4 + 1.2 = 1.6
0.6 0.6 + 0.20 = 0.8 0.6 + 0.8 = 1.4
0.8 0.8 + 0.10 = 0.9 0.8 + 0.4 = 1.2
1.0 1.0 1.0
Две пары значений из таблицы достаточны для расчета бюджетной ли-
нии
х2 = а + b х^. (2.17)
Если мы, например, выбираем х\ — 0.5 и т2 = 2, а также I] =1 и х2 = 1,
то создается система уравнений
2 = а + Ь-0.5,
1 — а + b • 1
с решением а, = 3 и Ь = —2. Следовательно, бюджетной линией является
х2 = 3 — 2 • Xi.
Она на рис. 2.3 является левой непрерывной линией.
2. Вы максимизируете свою функцию ожидаемой полезности при усло-
вии, что полностью распределяете свои средства на оба вида договора:
max qU(xi') + (1 - q)U(x2) при дополнительных условиях l=ai+a2-
«1 +>2
Эта проблема разрешается с помощью функции Лагранжа
С = qU(xi) + (1 - q)U(x2) + к(1 - Ol - о2).
Необходимым условием первого порядка является
+ (2.18)
=qUl(xl) + (1 - <7) U'(x2) - к = О, (2.19)
ОСк.2 и 012
dL ,
— = 1 - О! - О2 = 0.
дк
Формулы (2.18) и (2.19) можно из-за
дхх dxY дх2 дх2
д— = Woz, -— = WozL и -—.= 1+о+ -— =\\ozH
OCti UCt2 ООц CfC^2
обобщить, приведя к виду
qU'(xi) z + (1 - <7) U'(x2) z = qU'(xi)zL + (1 - <7) U'(x2) zH,
80
Глава 2. Решения в условиях существования риска
и, наконец, превратить в условие оптимальности
1 - 2
----- = 2.
0.5-1 .
(2.20)
При 7 = 0.6 и U'(.r) = 0.5 х 0,5 (2.20) превращается в
0.6 • 0.5 • зд °'5 = 2 0.4 0.5 • .г2 °'5.
Рис. 2.3. Постоянная абсолютная и относительная нерас-
положенность к риску
Следовательно, на рис. 2.3 все точки оптимума находятся на пунктир-
ной линии
— 1.78 ад.
Для нахождения оптимальных комбинаций сегодняшней стоимости,
принадлежащих имуществу в сумме 1 млн руб., мы должны рассчи-
тать точки касания кривой безразличия Ui и бюджетной линии. Так
как линией экспансии является геометрическое место всех точек каса-
ния, искомую комбинацию сегодняшних стоимостей мы получим через
приравнивание
3’2 = 1.78 ад при
3-2 = 3 - 2 • .Т1.
Оптимальная сегодняшняя стоимость выплаты при преждевременном
расторжении договора составляет ад = 0.794, а при полном сроке дей-
2.2. Формы отношения к риску
81
ствия она имеет величину х2 = 1.41. Для определения безрисково вло-
женной доли имущества «1, максимизирующей полезность, мы под-
ставим полученные только что значения при учете, что а2 = 1 — «1,
в (2.15)
0.794 = ai • 1 + (1 - «1)0.5
и получим, таким образом, О] = 0.59.7 Сейчас мы должны вспомнить,
что нашими единицами расчета являются миллионы рублей. Значит,
надежно вложенная абсолютная сумма составляет 590000 руб. А в рис-
кованный контракт 1 вы инвестируете 410 000 руб.
3. Теперь ваши средства увеличились до 2 млн руб. В следующей таблице
приведены возможности выбора из потенциальных комбинаций сего-
дняшних стоимостей.
Доля имущества, вложенная без риска щ (в млн руб.) т 2 (в млн руб.)
0.0 0.5 • 2 = 1.0 2 2 = 4.0
0.2 (0.2 + 0.40) • 2 = 1.2 (0.2+ 1.6) 2 = 3.6
0.4 (0.4 + 0.30) - 2 = 1.4 (0.4 + 1.2) • 2 = 3.2
0.6 (0.6 + 0.20) -2 = 1.6 (0.6 + 0.8) 2 = 2.8
0.8 (0.8 + 0.10) - 2 = 1.8 (0.8 + 0.4) 2 = 2.4
1.0 1 2 = 2.0 1 2 = 2.0
С помощью этих чисел мы рассчитаем новую бюджетную линию
х2 = 6 - 2X1.
Это совместно с условием оптимума (2.20) дает новые значения, макси-
мизирующие полезность хг = 1.59 и х2 = 2.82. Подстановка в (2.15)
1.59 = • 1 • 2 + (1 - «1)0.5 • 2
приведет опять к ai = 0,59. Очевидно, что инвестированная в надеж-
ный контракт доля имущества из-за большего богатства не изменилась.
Однако сейчас Как надежный, так и рискованный контракт содержат
больше средств. Надежно вложены 1.18 = 0.59 2 млн руб., рискованно
инвестированы 0.82 = 0.41 • 2 млн руб. Вы имеете постоянную отно-
сительную нерасположенность к риску (доля имущества, вложенная с
риском, не зависит от величины имущества) и убывающую абсолют-
ную нерасположенность к риску (абсолютная сумма, вложенная с рис-
ком, после заключения брака повысилась с 410000 до 820 000 руб.).
4. Приведенное только что утверждение отражается в обоих показателях
ARA и RRA, а также в их производных
0.25Х-1-5 .
ARA =--------— = 0.5 х~1,
___________ О.5.Т-0-5
7 Тот же результат для ai мы получим, если подставим эти значения в (2.16).
82
Глава 2. Решения в условиях существования риска
RRA = .г 0.5.т-1 = 0.5,
JRRA
5. Благодаря изменению функции полезности меняется также первона-
чальное условие оптимальности (2.20) — оно принимает вид
0.6 • е-:Г1
------- = 2.
0.4 • е~х^
После преобразования и логарифмирования мы получим
lne“T1 = In 4/3 + In е~Т2
и, следовательно,
.т2 = 0.2877 +ад.
Эта линия экспансии параллельна биссектрисе, см. рис. 2.3. Перед за-
ключением брака бюджетная линия
г 2 = 3 — 2 • .Г1
отражает возможные комбинации сегодняшней стоимости. Оптималь-
ной, однако, является лишь точка касания с кривой безразличия t/f
на рис. 2.3, которую мы можем определить через приравнивание ли-
нии экспансии к бюджетной линии. Становится верно
3-2-Xi = 0.2877+ ;С1
и, таким образом, Xi = 0.9041. Подстановка в (2.15)
0.9041 = • 1 + а.2 • 0.5
дает надежно вложенную долю имущества = 0.8082. При имуще-
стве в объеме 1 млн руб. вы вложите 808 200 руб. гарантированно и
191800 руб. рискованно. После заключения брака вы осуществляете
расчеты с новой бюджетной линией
х2 = 6 — 2x1.
Точками пересечения с линией экспансии
х2 = 0.2877 + ац
согласно вашим расчетам являются Xi = 1.9041 и г? = 2.1918. Опти-
мальная доля имущества вычисляется из:
1.9041 = О! 1 • 2 + (1 - ai)0.5 • 2.
2.2. Формы отношения к риску
83
При = 0.9041 и Ио = 2 млн руб. мы получаем в качестве надеж-
но вложенной абсолютной суммы 1.8082 = 0.1918 млн руб. Рискованно
вложенная сумма остается при 2 — 1.8082 = 0.1918 млн руб. неизменной.
Это наблюдение находится в полном соответствии с динамикой ARA
при изменении имущества. Так как
— е
ARA =-----= 1 и
е х
JARA
d ,т
ваше поведение характеризуется постоянной абсолютной нерасполо-
женностью к риску.
2.2.6. Структура финансирования и критическая ставка процента
Вы ищете выгодные инвестиционные проекты и узнаете о двух вариантах.
Первый проект обещает гарантированный возвратный поток в объеме Xs =
= 1.5, а второй — рискованный денежный поток в объеме Хц = 2 или Х^ =
= 0. Вероятность более высокой величины оценивается вашим финансовым
консультантом с вероятностью q = 0.6. Инвестиционная сумма при обеих
альтернативах составляет /о = 1. Вы планируете половину этой суммы фи-
нансировать за счет собственных средств, а другую половину — через бан-
ковский кредит. Кредит должен быть вами обслужен со ставкой процента
г. При неплатежеспособности вы несете ответственность за объем величины
возвратных потоков.
1. Пусть ваша функция полезности будет U =>/х. Какую величину долж-
на иметь г для того, чтобы вы были безразличны при совершении вы-
бора между этими двумя проектами?
2. Изменится ли эта критическая ставка процента, если проекты станут
полностью финансироваться через банковский кредит?
3. Теперь пусть ваша нерасположенность к риску повысится. Как изме-
нится ваш выбор, если вы далее предполагаете, что оба проекта финан-
сируются полностью за счет внешних источников?
4. Какое решение вы примете, если при неизменной нерасположенности к
риску и полном заемном финансировании ставка процента повысится?
1. Инвестор безразличен при совершении выбора между безрисковым и
рискованным проектами, если фактическая и ожидаемая полезности
одинаковы,
U(X) = Е[Н(Х)]. (2.21)
При учете наших конкретных данных (2.21) означает
84
Глава 2. Решения в условиях существования риска
/ / 1 + г \
= J0.62 2 - .
V V 2 J
Вышеприведенное равенство выполнено, если
Таким образом, критическая ставка процента составляет г = 143.75%.
2. Если весь проект финансируется за счет кредита, расчеты изменятся
0.5 - (1 + г) = 0.6 02 - (1+г) + 0.4 -у/шах [0, (0 - (1 + г))] =
= 0.62. (2-(1+г)).
Оба проекта оцениваются одинаково, если
1.5 - (1 +г) = 0.36- (2 - (1 + г)).
Если из данного выражения выразить г, то критическая ставка про-
цента окажется значительно ниже:
(1.5 - 0.72 - 0.64)
г = 2-------------= 0.21875.
0.64
Рискованный проект предпочитается уже при ставке процента
21.875%.
3. Если вы безразличны при совершении выбора между двумя альтерна-
тивами, то верно
t/(X) = Е[С7(Х)],
- (1 + г)) = q ^Хи - (1 + г)) .
То, какое влияние имеет снижение 7 на нерасположенность к риску,
показывают формулы (2.9) и (2.10) на с. 74. Для 7 = 1 мы можем
охарактеризовать инвестора как нейтрально расположенного к рис-
ку. Функция полезности U = х является линейной. Для 7 = 0.5 мы
получаем выпуклую вверх, выражающую нерасположенность к рис-
ку функцию полезности U = Vi при ARA = 0.5/5 и RRA = 0.5. Для
7 = 2, наконец, мы получаем функцию полезности расположенного к
риску индивидуума U = i2, причем ARA = — 1/5 и RRA = — 1. Теперь
нас интересует, как повлияет снижение 7 на выбор проекта. В общем,
инвестор, если изменяется его отношение к риску, предпочитает тот
2.2. Формы отношения к риску
85
проект, ценность которого повышается больше. Полезность надежного
проекта изменяется согласно
= С7(Х) ln[Xs-(l + r)],
Cry
а полезность рискованного проекта согласно
вИ=Е[С7(Х)] 1п[Х„ - (1 + г)].
О'У
Воздействие изменения 7 на выбор может быть установлено посред-
ством анализа прироста полезности. Так как ЩХ) — Е[Н(Х)], то
E[t/(X)] можно взять в скобки. Таким образом, при 1 + г = у мы полу-
чаем
dU(X) ЭЕ[ЩХ)] Л
—--------1— — E[t/(X)] I ln[As -у?]- 1п[ац - </?]1.
Так как ненадежный доход Хц больше гарантированного дохода Xs, то
разность отрицательна. При увеличении 7 инвестор предпочитает рис-
кованный проект. Надежный проект, наоборот, предпочитается, если
7 снижается.
4. Повышение ставки процента увеличивает полезность безрискового про-
екта согласно
Ш(Х) / V-1
дг = -У у S >
а полезность рискованного проекта согласно
5Е[ЩХ)] / у-1
-------- = -97 I Хн - р I
Разность обоих изменений дает
/ у / / у\
дЩХ) 9E[U(X)] ys-y
— — —“у - — —у --- —
dr---------------------------------------------dr-Xs — <р-X н — (/>
\ /
./ ЩХ) Е[П(Х)]\
\Xs - Хн - J
Из-за U(X) = E[t/(X)] и Хц > Xs вследствие роста ставки проекта
предпочтение отдается рискованному проекту
дЩХ) ЭЕ[[/(Х)]
дг
дг
86 Глава 2. Решения в условиях существования риска
Литература
Показатели риска были введены Джоном У. Праттом в статье Risk aversion
in the small and in the large (Econometrica. 1964. Vol. 32. P. 122-136) и ла-
уреатом Нобелевской премии Кеннетом Дж. Эрроу в статье The theory of
risk aversion (Arrow K. J. (ed.) Essays in the Theory of Risk-Bearing. Amster-
dam; London: North-Holland, 1971. P. 90-120). Дидактически очень удачный
подход к показателям риска можно найти в учебнике Хиршлейфера и Рей-
ли, на который мы уже указывали в предыдущем разделе (см. с. 67). А о
том, как структура капитала влияет на выбор проекта, можно прочитать, в
частности, в книге: Bester Н„ Hellwig М. Moral hazard and equilibrium credit
rationing: an overview of the issues // Bamberg G., Spremann K. (eds.) Agency
Theory, Information, and Incentives. Berlin; Heidelberg: Springer, 1987.
2.3. Классические правила принятия решения
87
2.3. Классические правила принятия решения
Все рассуждения по поводу оценки рискованных результатов, которые дела-
лись нами в предыдущих разделах, основываются на аксиоме рационально-
сти. Этого нельзя сказать a priori о классических правилах принятия реше-
ния. Инвесторы, которые принимают решение на основе этих правил, ско-
рее, прагматично относятся к негарантированным результатам. Они исхо-
дят из того, что распределение описывается определенными показателями,
такими как математическое ожидание и дисперсия. В качестве аргумен-
тов в функции полезности лица, принимающего решение, эти показатели
указывают на выбор наилучшего распределения. Естественно, этот подход
провоцирует вопрос о том, нельзя ли аксиоматично обосновать классиче-
ские правила принятия решения, несмотря на их, скорее всего, эвристиче-
ский характер. Или, иными словами, совместимы ли друг с другом принцип
Бернулли и классический критерий математического ожидания — диспер-
сии. После рассмотрения данного аспекта мы обратимся к системе кривых
безразличия функции полезности на основе математического ожидания и
дисперсии.*
2.3.1. Совместимость с принципом Бернулли
1. Докажите эквивалентность принципа Бернулли критерию ц—ст для
квадратичной функции полезности
U (.г) = а + Ы2
и для линейной функции полезности
U (£) = а + bi.
2. Назовите другие варианты, для которых имеет место данная эквива-
лентность.
* *
*
1. Для доказательства эквивалентности мы пройдем два этапа. На пер-
вом этапе мы осуществим для каждой функции полезности в условиях
определенности U = U(i) разложение в ряд Тейлора в точке ц = Е[.т].
На втором этапе мы применим оператор математического ожидания
к аппроксимированной функции и получим, таким образом, функцию
ожидаемой полезности.
* Далее этот принцип мы будем называть принципом (критерием) д—а. — Прим,
ред.
88
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Разложение в ряд Тейлора'.
U(£) = U(р.) + U'(p) (£ - ai)1 + U (х - р)2 +
Использование оператора ожидаемой полезности: здесь необходимо
учесть, что математическим ожиданием гарантированной величины
всегда является эта же величина. Мы получим
Е[17(4)| = UW + U'M E[(i - /0'1 + Е[(,1 - /<)2| +
о! 4!
Первой и второй производной анализируемой здесь квадратичной
функции полезности является
U'(x) = 2Ьх,
U"(x) = 2Ь.
Все производные более высоких порядков являются нулевыми. Таким
образом, получается функция ожидаемой полезности
Е[Н(£)] = а + Ь р2 + 2Ьр Е[(т - ц)1] +0.5 2ЬЕ[(;г - р)2]. (2.22)
Из-за Е[(.т - р)] = 0 и р = Е[.т], а также Е[(.т - р)2] = Var[i] имеет место
E[J7 (£)] = а + b Е[т]2 + b Var[.r] —
= C/(E[.r],Var[i-]),
что доказывает эквивалентность для особого случая квадратичной
функции полезности.8
Для линейной функции полезности верно U\x} = Ь. Все производные
более высоких порядков являются нулевыми. Если мы учтем это в рам-
ках (2.22), то тогда функция ожидаемой полезности будет выглядеть
следующим образом:
Е[Н (г)] = а + Ьр =
= а + Ъ E[i] =
= ЩЕ«
Так как дисперсия не имеет значения для линейной функции полезно-
сти, оба принципа и здесь совместимы.
2. Оба принципа, кроме того, совместимы друг с другом, если результаты
нормально распределены.
8 Несмотря на то что установленная эквивалентность верна для всех квадратичных
функций полезности, а именно этот вид функции полезности здесь и рассматривает-
ся, необходимо учесть, что речь идет о расположенном к риску индивидууме.
2.3. Классические правила принятия решения
89
2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность
Обсудите проблематику квадратичной функции полезности в рамках теории
ожидаемой полезности.
* *
*
Рассмотрим квадратичную функцию полезности в форме9
U = —ах2 + Ьх при а, b > 0. (2.23)
При Var[i] = Е[(х - E[i])2] = E[i2] - Е[.г]2 мы можем ее преобразовать в функ-
цию ожидаемой полезности
E[[/(i)] = —аЕ[.г2] +ЬЕ[т] =
= -« Е[х2] + 6Е[з'] + a E[i:]2 - a E[z]2 =
= -а (Е[.г2] - E[i’]2) +6Е[.т] - аЕ[л~]2 =
Varpr] = (<7[.т])2
= [7(Е[.?],ф]).
Как легко можно увидеть, (2.23) предполагает, что лицо, принимающее ре-
шение, имеет отрицательную предельную полезность при уровне потребле-
ния х > Ь/2а. Это не совсем правдоподобно, так как означало бы, что инди-
видуумы, если они уже достигли определенного уровня потребления, добро-
вольно отказались бы от дальнейших требований на потребительские блага.
Эмпирически такой феномен нельзя наблюдать. Может быть, для отдельных
потребительских благ существуют границы насыщаемости. Так, например,
трудно представить, что семья, состоящая из 5 человек и занимающая лишь
5 комнат, будет покупать более 5 телевизоров. Но существование границы
насыщаемости для агрегата требований на потребительские блага, а значит,
на имущество, не имеет никакой экономической правдоподобности. Следо-
вательно, квадратичные функции полезности можно использовать лишь то-
гда, когда делается предположение, что область определения возможных
распределений потребительских благ находится в области ненасыщаемости.
Для всех исходов х должно быть верным
х < Ь/2а.
Анализ кривых безразличия в системе Е[т]/сг[.т] указывает на дальней-
шую неправдоподобность. На любой кривой безразличия ожидаемая полез-
9 Естественно, мы можем анализировать и каждое линейно положительное монотон-
ное преобразование (2.23): С'(£) = г + yU(£) = z — yax2 + ybx, причем необходимо
соблюдение условия у > 0.
90
Глава 2. Решения в условиях существования риска
ность постоянна. Поэтому функцию ожидаемой полезности можно записать
в форме
с = —«cr[i]2 — аЕ[.г]2 + ЬЕ[.т].
0 = - +<ф~]2 + Е[.?]2 - - Е[.г].
а а
Данная формула является общей формулой круга с координатой центра
Е[.т],п = -- —. <т[.г] = 0
и радиусом г = 1/2((—b/а)2 — 4с/«) 1//2.1П Наклон кривых безразличия будет
рассчитан нами посредством приравнивания полного дифференциала
к нулю. При учете <7f7/</E[x] = U' = -2nE[.r]+b и d'2U/<7Е[.г]2 = U" = -2а имеет
место
<Ж[£] -2a<r[f] U"
-Г-ГТ =-------------гч = ~-гг ° Ы = ARA а ,т .
с?сг[.т] — 2aE[:r] + b U'
причем ARA является коэффициентом Эрроу—Пратта абсолютной нерас-
положенности к риску. Семейство кривых безразличия изображено на
рис. 2.4. Если мы дифференцируем ARA, то окажется, что квадратичная
функция полезности характеризуется возрастающей абсолютной нерасполо-
женностью к риску
r/ARA _ 4«2
с/Е[щ] - (b - 2aE[i])2 > °'
Значит, лицо, принимающее решение, требует тем более высокую субъек-
тивную цену за риск, чем выше его начальный запас. Для того чтобы в этом
убедиться, рассмотрим рис. 2.4. Для данного значения среднеквадратично-
го отклонения ст[£]* можно начертить параллель к ординате. Точки пере-
сечения вертикалей с соответствующими кривыми безразличия отражают
относящиеся к определенным уровням полезности математические ожида-
ния оцениваемых распределений потребности. Выберем для себя точку А на
рис. 2.4. Соответствующий уровню полезности А гарантированный уровень
потребления х.ч — это точка пересечения кривой безразличия и ординаты.
Если сейчас начальный запас и, таким образом, гарантированный уровень
потребления будут повышаться (движение вдоль ординаты), то тогда верти-
кальное расстояние между математическим ожиданием распределения по-
требительских благ (движение вдоль вертикали) и предоставляющим тот же
уровень полезности гарантированным начальным запасом будет становиться
все больше. Данное вертикальное расстояние представляет собой субъектив-
10 Для аргумента под корнем должно быть верным (—b/а)2 — 4с/о > 0.
2.3. Классические правила принятия решения
91
E[ij
Рис. 2.4. Семейство кривых безразличия
квадратичной функции полезности
ную цену риска, значит, ту скидку на математическое ожидание, которую
инвестор готов принять, если риск полностью уничтожить. Скидка стано-
вится тем больше, чем богаче оказывается индивидуум в момент принятия
решения. Из этого мы должны сделать вывод, что миллионер готов застра-
ховать себя против данного риска, например потери 10 000 руб., в большей
степени, чем индивидуум с маленькой зарплатой, но это представление со-
вершенно неправдоподобно. Вследствие существенной неправдоподобности
квадратичных функций полезности решающее значение приобретает другой
достаточный критерий для совпадения между критерием ожидаемой полез-
ности и критерием Е[.-г]/сг[дг], а именно предпосылка нормально распределен-
ных результатов.
2.3.3. Кривые безразличия и степень нерасположенности к риску
Вы должны сделать экспертизу относительно инвесторов 1 и 2 с функциями
полезности
U' (E[f], Var[;c]) = 2 + 4E[.r] - 0.5Е[т]2 - 0.5Var[.r],
t/2(E[i;], Var[i]) = 2 + 4E[x] - 0.8E[£]2 - 0.8Var[£],
92
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Ваш заказчик надеется на то, что ваша экспертиза информирует его о том,
кто из них готов принять на себя больше риска. Как вы поступите, и какой
результат вы можете представить вашему заказчику?
* *
*
Для определения степени нерасположенности к риску нам необходимо зна-
ние наклона кривых безразличия в любой точке (Var[.i],Е[т]). Если кривая
безразличия первого инвестора в данной точке круче кривой безразличия
второго инвестора, то тогда 1 не расположен к риску в большей степени,
чем 2. Полный дифференциал функции полезности
dС7(Е[Ч, Var[S|) - dE|d] + <(Var|.f| = 0
приводит к
d E[i]
d Var[i]
dU/#Var[r]
9U/dE[i]
Теперь мы проверим этот наклон для любой координаты (Var[.r], Е[.т]). Пусть
Var[i] = 1 и Е[.т] = 1 будут этой координатой, тогда для первого инвестора
верно
d Var[i]
—0.5 ] 0.5 1
4 — 2 0.5 - Е[.т] J ~ 4- 1 ~ 6'
а для второго
d E[i] _ Г -0.8 1 _ 0.8 _ 1
dVar[.r] 4 - 2 • 0.8 Е[;г] 4 - 2 0.8 3’
При 1/6 < 1/3 инвестор 2 является нерасположенным к риску в большей
степени, чем инвестор 1.
Литература
Тот, кто хочет заняться критерием математического ожидания—дисперсии
более глубоко, должен прочитать книгу: Sinn H.-W. Okonomische Entschei-
dungen bei UngewiBheit. Tubingen: J.C.B. Mohr, 1980. В сжатой, но очень
четкой форме этот критерий обсуждается и в: Neumann М. Theoretische
Volkswirtschaftslehre III. Munchen: Vahlen, 1982.
2.4. Стохастическое доминирование
93
2.4. Стохастическое доминирование
Стохастическое доминирование является третьей концепцией оценки в
условиях неопределенности, которую мы здесь представим. Эта концепция
по сравнению с обсуждавшимися в ранних разделах критериями принципа
ожидаемой полезности и принципа математического ожидания—дисперсии
имеет преимущества, которые нельзя недооценивать. Для определения вы-
годной инвестиционной альтернативы достаточно знать соответствующие
функции распределения негарантированных результатов и отношение к
риску инвестора. В обращении к явной функции полезности нет необхо-
димости.
Мы подойдем к используемой концепции — в первую очередь для непре-
рывных распределений — поэтапно. Вначале мы покажем, что можно изоб-
разить ожидаемую полезность случайной переменной U(.r) посредством ин-
тегрирования функции, обратной функции распределения.11 С помощью
этого доказательства нам удастся обосновать разницу в ожидаемых полез-
ностях двух альтернатив прохождением соответствующих функций распре-
деления. Так как отношение к риску и выбор проекта неотделимо связаны
друг с другом, мы займемся подробным анализом всех трех форм отношения
к риску. Заканчивается глава рассмотрением конкретных случаев оценки.
2.4.1. Непрерывное распределение и ожидаемая полезность
Пусть полезность Щх) в интервале U = [0, 2] будет равномерно распределена.
Покажите, что выражение
1
У dq
О
при q = F(U) соответствует ожидаемой полезности
* *
*
Ожидаемая полезность определяется как
ЩЬ) 2
E[f7(x)]= У Uf(U)dU = У Uf(U)dU (2.24)
Ща) О
при f(U), являющейся функцией плотности распределения случайной пе-
ременной U(x). Так как мы предполагали равномерное распределение, то
11 U из-за £ является тоже случайной переменной. По соображениям наглядности,
несмотря на это, мы откажемся в данной главе от использования тильды.
94
Глава 2. Решения в условиях существования риска
q(U)= / c.dU= cU
f(U) = с является константой в интервале [а, Ь] = [0,2], см. рис. 2.5. Вероят-
ность q(U) = Prob(F < U) можно записать как
(2.25)
= с- (F-0) = ей.
Если мы приравняем U = 2, то получим для константы значение с = 1/2.
Расчет ожидаемой полезности при использовании с сразу дает
2 9
/1 1 77 212 1 / 4 \
2С/^=2[т]0=212-°>1- <2’26)
о
Для требуемого доказательства эквивалентности определим полный диффе-
ренциал функции распределения q
OF
dq=—dU = f(U)dU,
Затем вычислим при (2.25) границы интеграла заново — q = F(2) = 1 и
q — F(0) = 0 и подставим в (2.24)
1
Е[[7(.т)] = I Udq. (2.27)
о
Так как мы сейчас интегрируем над ординатой на рис. 2.5 (выше), т. е. над
q, мы должны в (2.27) выразить U как функцию от q. Поскольку
q = F(U) = ей =
мы получаем
U = F~\q) = 2q.
После подстановки этого результата в (2.27) получим ожидаемую полезность
= 2-|-0 = 1. (2.28)
(2.2G) и (2.28) приводят к тому же результату.
2.4.2. Альтернативные концепции для определения математического
ожидания прибыли
Пусть прибыль 7г имеет в интервале [0,2] плотность распределения
E[F(x)]= / 2qdq = 2
/(7r) =
2.4. Стохастическое доминирование
95
f(U)
Рис. 2.5. Функция плотности (распределения)
и функция распределения
Покажите, что безразлично, с помощью каких из следующих трех подходов
рассчитывается ожидаемая прибыль:
7Г /(тг) <7тг,
F-4q)dq,
(2.29)
(2.30)
(2.31)
Сначала мы рассчитаем ожидаемую прибыль через интегрирование по тг:
96
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Определение математического ожидания с помощью интегрирования по q
требует известной уже из задачи 2.4.1 «подготовительной работы». Мы опре-
деляем функцию распределения q как
<1 = F(tt) =
1 , 1 2
- тг атг = - тг .
2 4
(2.32)
ее полный дифференциал как
9F
dq = — г/тг = /(тг) г/тг.
(77Г
обратную функцию как
(г/) = ТГ =
а в конце, определяя еще
ния,
при помощи
(2.32)
новые границы интегрирова-
9(2)
ло) =
О2
— = 0.
£ = i
4
и
4
Подстановка в (2.30) дает
g0”’ dq = 2
2
9 ч
о
= 2- (- -I1'5 —0
\3
J о
о
4
3
Третий подход к расчету (2.31) дает из-за F(b) = 1
Три способа приводят к одному и тому же математическому ожиданию. Их
эквивалентность можно было бы доказать и в общем виде.
2.4.3. Стохастическое доминирование первого порядка
Пусть функция полезности U(т) будет дважды непрерывно дифференцируе-
мой. Покажите с помощью интегрирования по частям, что
ДЕ[1/(х)] = Е[Р(.г)]с - Е[Р(.т)]к > 0,
если на всем интервале а < х < Ь верно неравенство F(.r) > G(x).
2.4. Стохастическое доминирование
97
Для разности в ожидаемой полезности мы можем записать
17(b) 17(b)
ДЕ[С7(я:)]= У U(x)g(U)dU - j U(x)f(U)dU =
U (a) t/fa)
b b
= j U(x) д(х) dx — у U(x) /(.т) dr =
a a
= [ Щх)^х- I U(x)^dx =
J dx J dx
a a
(2.33)
Теперь выражение (2.33) интегрируется по частям с помощью формулы
Для этого мы определим
rr, s , ди ,
U (x) = v, d.v — —— dx,
dx
= z,
dz _ (dG
dx \ dx
OF
Ох
dG dF\ ,
~д^~ дх) dx
и подставим в (2.34)
ь
Ь
дх
а
тогда получим
ь
ди
(2.35)
Так как G(b) = F(b) = 1 и G(a) = F(a) = 0, (2.35) упрощается и сводится к
ь
dU ,
—— ах.
дх
При положительной предельной полезности и при F(x) > G(x) во всем диа-
пазоне изменения х это выражение положительно.
98
Глава 2. Решения в условиях существования риска
2.4.4. Стохастическое доминирование второго порядка
Рассмотрим два распределения F(.t) и Н(х) со свойствами
Г(.г) < Я(.г)
F(.r) = Н(х)
F(x) > Н(х)
Для
Для
Для
а < х < z,
X = Z,
z < х < Ь.
Какое из двух распределений вы предпочтете, если вы являетесь
1. Нерасположенным к риску,
2. Нейтральным к риску,
3. Расположенным к риску?
Вновь для принятия решения мы можем использовать критерий
F(x) >- Н(х) E[U(x)]f - E[F(.r)]H > 0.
Для общего вывода искомой связи между распределением и ожидаемой по-
лезностью мы сначала определим обратную функцию х = Полный
дифференциал этой функции имеет вид
Если выразить данную формулу через dU и подставить х = U 1, то это при-
ведет к
(2.36)
Обратная функция х в пределах интегрирования Ща) и U(b) имеет значения
r. = U-1(U(a))=a и х = U~l(U(b)) = b.
(2.37)
После этой «подготовительной работы» можно легко вывести разность в
ожидаемой полезности. При учете (2.36), (2.37) и F((7(.r)) — Н(Щх)) = F(.r) —
— Н(х) мы получим
2.4. Стохастическое доминирование
99
ДЕ[1/(!)] = E[I7(i)]f - E[L7(a:)]// =
L/(b)
17(b)
L/(a)
b
17(a)
dU ,
— dx.
dx
(2.38)
Исходя из формулы (2.38) мы сейчас можем проанализировать, варьируется
ли выбор распределения при изменении отношения к риску, и если да, то
каким образом.
1. Нерасположенность к риску можно представить через выпуклую вверх
функцию полезности U(х) при
dU
dx
<FU
dx2
(2.39)
Как выясняется из рис. 2.6, из (2.39) следуют неравенства
dU(x) dU(z)
dx dx
dU(x) dU(z)
dx dx
для x < z,
ДЛЯ X > z.
При нерасположенности к риску предпочитается распределение F. Для
того чтобы это показать, разделим на первом этапе (2.38) на
A ERR = E[L/(RF -E\U(r)]H =
z b
H(x) - F(x) \ ^-dx - [ ( F(x) - H(.t)^ dx
J dx J \ J dx
a z
и подставим dU(z)/dx. Это приведет к
z b
AE[l/(i)]>^ [ (Щх) - F(x)\ dx - [ (F(x) — H(x)\ dx >
dx J \ J dx J \ J
a z
b
(II(x) - F(x))dx. (2.40)
a
dU(z) Г
dx J
Так как по предположению
Н(х) — F(x) 1 dx = О,
> О
и
100
Глава 2. Решения в условиях существования риска
из (2.40) следует
E[U(x)]f-E[U(x)]h >0.
Разница в ожидаемой полезности положительна. Распределение F пре-
восходит распределение Н.
2. Нейтральность к риску предполагает
dU
dx.
d2U
О = с и —-тг = 0.
d.F
После подстановки константы с (см. для этого рис. 2.6) в (2.38) получа-
ем
ь
E[U(x)]f -
dx — 0.
Нейтральные к риску индивидуумы безразличны при совершении вы-
бора между F и Н.
3. Расположенность к риску формально описывается через
dU „ d2L7
— > 0 и - > 0.
dx. dxd
Таким образом, согласно рис. 2.6 верно:
dU(x) dU(z)
dx dx.
dU(x.) dU(z)
dx dx
при
при
х < z,
z,
и мы можем по аналогии к (2.40) записать
дЕ(Щх)]<^
ь
dU(z) Г
dx I
0.
dx
Н при расположенности к риску является однозначно предпочтитель-
ным распределением.
2.4.5. Выбор наилучшего инвестиционного проекта
Вы должны принять решение в пользу одного из двух инвестиционных про-
ектов А и В. Прибыль тгд в интервале л = [0,2.71] распределена в соответ-
ствии с функцией плотности /д(л) — 0.2723 л. лц в том же интервале имеет
функцию плотности /в(л) = 0.5 л2 — л + 0.5.
2.4. Стохастическое доминирование
101
F
т < z
Рис. 2.6. Функции предельной полезности и отношение к риску
1. В пользу какого проекта вы примете решение?
2. Изобразите функции плотности распределения, распределения и раз-
ности распределения графически.
1. Если функции распределения пересекаются лишь один раз (см.
рис. 2.7), то в качестве критерия принятия решения можно приме-
нить математическое ожидание прибыли.12 Если
Е[7Гд] > Е[7Гц]
2.71 2.71
то мы выбираем проект А, а в противном случае — проект В.
Следовательно, для случая А > В разность математических ожиданий
должна быть положительной
Е[тгд] — Е[тг/з] > 0.
12 См.: Wolfstetter Е. Stochastic Dominance: Theory and Applications. Discussion Paper
10 of the Institute for Economic Theory I. Berlin, 1996.
102
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Для определения математического ожидания прибыли мы имеем в рас-
поряжении альтернативные формулы13
2.71
Е[тг] = У 7Г ,f (тг) (ITT
()
Е[тг] = / F 1 (</) d<i = 2.71 — / Р(7г)б/тг.
(2.41)
Мы используем разумным образом (2.41) и получаем для разности ма-
тематических ожиданий выражение
Д Е[тг] — Е[тгд] = Е[тгц] =
= 2.71— / Ед(тг) d~ — ( 2.71 — / Fn^dir
2.71
J (fb(7t) - Гд(л-)^ (frr.
Для рационального выбора между двумя проектами достаточно знания
функций распределений Ед и Гц. Интегрирование функции плотности
дает
-Ра(тг) = / /л(7г)</тг = 7Г3 - ]~~~ + |тг
/ 3 _ 2
Ед(тг) = J = - 'У'-- тг.
Для разности математических ожиданий мы получаем
Интегрирование этого выражения даст
Е[тгд] - Е[7гц] = - 0.2121 7Г3 + - 7Г
24 4
= -0.1370.
Разность отрицательна. На основе стохастического доминирования вто-
рого порядка проект В более выгоден, чем проект А.
13 См. задачу 2.4.2.
2.4. Стохастическое доминирование
103
2. Рис. 2.7 показывает функции плотности и распределения. Плоскость
прямоугольника высотой 1 и шириной £.71 после вычета плоскости под
кривой Е[тгд] на рис. 2.7 (б) изображает ожидаемую прибыль Е[тгд]. По
аналогии с этим Е[тгв] является разницей плоскостей прямоугольника
и плоскости под Р[тгв].
2.4.6. Выбор проекта при издержках банкротства
Вы хотите открыть свой бизнес. У вас есть выбор: стать владельцем ларь-
ка «Бистро» (альтернатива А) или частным таксистом (альтернатива В). В
обоих случаях необходим стартовый капитал в объеме /0 = 1 ден. ед., кото-
рый полностью финансируется банковским кредитом по ставке процента г.
Вы ожидаете будущие денежные потоки величиной в .г при л: > р = 1 + г в
случае успеха и х < <р = 1 + г, если вы как частный предприниматель потер-
пите неудачу, х находится в интервале [0,п]. Функции распределения Ев(.г)
и Fa(x) пересекаются один раз при х* > р>. Если вы вдруг станете непла-
тежеспособны, то должны нести — какой бы проект ни реализовывали —
издержки банкротства величиной С. При этом верно:
п п
FB(x)dx = у* und > Г4(^).
о о
Какой вид деятельности вы выберете?
*
Мы вычисляем для обоих проектов ожидаемую прибыль
Е[тгл] = -FA(p) С +
<г) /д (а") Лг
(2.42)
и
Т1
Е[тгв] = -Fb(p)C + У (х - р) fB(x)dx.
(2.43)
Так как
F(^) = Prob(x <
то ожидаемыми издержками банкротства являются соответствующие пер-
вые члены в (2.42) и (2.43), а соответствующие вторые члены изображают
ожидаемую чистую прибыль, причем
п
f(x) dx = РгоЬ(т > <р).
104
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Рис. 2.7. Функции плотности и распределения
2.4. Стохастическое доминирование
105
Мы осуществляем оценку альтернатив с помощью стохастического домини-
рования второго порядка. При подготовке к этому нам нужно проинтегри-
ровать по частям (2.42) и (2.43). Мы получаем
п П
Е[тгл] = -FA&) С + (z - v?) FA(.r) - / F.i(.r)c/.T =
. J J
ч V
11
= -Ед(^) С + (n - • 1 - (у? - - У Fa(t) dx =
V
и
——FA(p) С + (п — р) — J FA(F)d.r
и по аналогии с этим
п
ЕЫ = -Гв(^)С-Нп-^)- У Fl3(x)dx.
Для разности математических ожиданий получаем
it
Е[тг.4] - Е[тгу?] = (FB(V) - Fa(^))C + У (fc(.t) - Fa(.t)^ d.r.
v
Так как FB(^) > FA(-^), то первый член вышеприведенной формулы поло-
жителен. На рис. 2.8 второй член соответствует площади под извилистой
кривой справа от Абсцисса и кривая включают в себя две частичные
площади.
Ед (.г) - FA (.г)
Рис. 2.8. Разница площадей под функциями распределения
Часть площади к северу от абсциссы в соответствии с предполагаемыми в
задаче свойствами должна быть столь же большой, как и часть площади к
106
Глава 2. Решения в условиях существования риска
югу от абсциссы. Таким образом, общая площадь справа от <р — 1 + г имеет
отрицательный знак. Поэтому бизнес частного таксиста нужно предпочесть
лишь тогда, когда для издержек банкротства верно:
С < С
- FA(<p)
Литература
Тому, кто хочет фундаментально понять принцип стохастического домини-
рования, рекомендуется: Hirshleifer J., Riley J. G. The Analytics of Uncer-
tainty and Information. 2nd ed. New York: Cambridge University Press, 1993
(Reprint 1995). Мотивированное представление стохастического доминирова-
ния можно найти и у: Elton Е. J., Gruber М. J. Modern Portfolio Theory and
Investment Analysis. 5th ed. New York: Wiley, 1995. А то, как с этой концеп-
ции можно анализировать конкретную проблему экономической политики,
а именно регулирование структуры капитала банков, показывают: Dewa-
tripont М„ Tirole J. Efficient governance structure: implications for banking
regulation // Mayer C., Vives X. (eds.) Capital Markets and Financial Interme-
diation. Cambridge University Press, 1993.
2.5. Модель предпочтения ситуации
107
2.5. Модель предпочтения ситуации
Модель предпочтения ситуации является моделью равновесия, которая для
оценки рисковых финансовых требований играет роль, похожую на роль
равновесной версии модели Фишера при оценке гарантированных возврат-
ных потоков. Модель, с одной стороны, предоставляет теоретическое обос-
нование, а с другой стороны, инструментарий для оценки. Там и здесь за-
кон Вальраса обеспечивает то, что оптимизация индивидуальных планов
потребления приведет к возникновению однозначной и стабильной системы
цен в экономике. То, как возникает эта система цен для оценки зависящих
от ситуации требований, мы хотим далее показать на основе конкретно-
го примера. Предварительно мы займемся подробным анализом проблемы
максимизации со стороны индивидуального инвестора.
2.5.1. Бюджетная линия и оптимальный план потребления
1. Рассмотрим поведение лица, принимающего решение, которое наме-
рено оптимизировать свое рисковое будущее потребление. Оно владеет
начальным запасом Vo. Этот запас используется в t = 0 для приобрете-
ния примитивных ценных бумаг двух типов. Первый тип генерирует
в t = 1 денежный поток лишь тогда, когда наступает ситуация 1. Тип
2 дает покупателю денежный поток лишь в ситуации 2. Величина де-
нежного потока при обоих типах составляет в точности 1 рубль. Эти
примитивные ценные бумаги обращаются по ценам ttj и тг2. Обе ситу-
ации наступают с вероятностью <71 или </2. Покажите графически, как
выглядит оптимальный план потребления лица, принимающего реше-
ние.
2. Что должно измениться в решении по сравнению с пунктом 1, ес-
ли наилучший план потребления участника рынка характеризуется
гарантированностью, а уровень полезности должен остаться неизмен-
ным?
1. В анализируемой здесь ситуации бюджетной линией является
7Г1 Сц + ~2 С12 = Vo,
причем Си (Сщ) является количеством примитивных ценных бумаг
типа 1 (типа 2), приобретенных лицом, принимающим решение. Дан-
ное количество определяет уровень зависящего от ситуации потребле-
ния в t = 1. Если указанную формулу выразить через С]2 и взять про-
изводную по Си, то это даст
</с12
</сп
108
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Данная формула соответствует наклону бюджетной линии на рис. 2.9.
Наклон кривой безразличия будет получен нами через функцию полез-
ности инвестора. Если использовать
то тогда для кривой безразличия должно быть верным
(IE[U (С)] = (Ц ---- (1С ! 1 + <72 —(IC ! 2 = 0.
Если мы сейчас обозначим производные функции полезности символа-
ми U\ и (72, то можем описать наклон кривой безразличия на рис. 2.9
через
_ <71
Наилучший план потребления определяется точкой касания бюджет-
ной линии и кривой безразличия.
Рис. 2.9. Оптимум потребления
Все гарантированные планы потребления находятся на биссектрисе,
так как лишь тогда верно Си — С\2- Если одновременно уровень полез-
ности должен оставаться прежним, то лицу, принимающему решение,
нельзя покидать первоначальную кривую безразличия. Следовательно,
искомый план потребления находится в точке пересечения между бис-
сектрисой и кривой безразличия. Очевидно, эта точка лежит на бюд-
жетной линии, которая прежде не была значимой. Поэтому если га-
рантированный план потребления находится в точке касания и, таким
образом, действительно оптимален, бюджетная линия должна выгля-
деть по-другому. Как показывает рив. 2.10, искомая бюджетная линия
2.5. Модель предпочтения ситуации
109
Рис. 2.10. Приспособленная бюджетная линия
является более крутой. Поэтому соотношение цен примитивных цен-
ных бумаг должно быть большим.
В пунктах 1 и 2 этой задачи задаются два разных вопроса. В первом слу-
чае речь идет об оптимальном плане потребления при данной бюджетной
линии. Во втором случае вопрос задается относительно цен примитивных
ценных бумаг, которые преобразуют предварительно установленный план
потребления в оптимальный. При ответе на этот вопрос становится ясно,
что каждому оптимальному плану потребления должен принадлежать опре-
деленный вектор цен примитивных ценных бумаг.
2.5.2. Оптимальный план потребления
Вы хотите оптимизировать свой план потребления. Информация о вашем
финансовом запасе содержится в табл. 2.10. Кроме того, вы владеете 300
единицами единого потребительского блага, которое продается и покупает-
ся по цене 2 руб. Вы приписываете будущим трем возможным ситуациям
вероятности наступления qs = 0.20,0.45 и 0.35. Вашей функцией полезности
является _____
U = 4\/Со Cis.
1. Какой план потребления является для вас наилучшим?
2. Как выглядит оптимальный план, если вы нацелены на гарантирован-
ный уровень потребления в t = 1?
110
Глава 2. Решения в условиях существования риска
Таблица 2.10. Финансовый запас
j ^3 ’Ъ
1 0.15 руб. 150 22.5 руб.
2 0.50 руб. 100 50.0 руб.
3 0.30 руб. 150 45.0 руб.
Наличные деньги 250.0 руб.
3. Определите для найденного в задаче 2 оптимума цены примитивных
ценных бумаг. Безрисковая ставка процента пусть будет равна 5.26 %.
* *
*
1. Для решения этой проблемы мы должны максимизировать функцию
ожидаемой полезности
Е[С] = 0.8 УСоСц + 1.8 х/С'о С12 + 1.4 УС0 С13
при учете бюджетных ограничений
3 3
V’G) + У7 п,тг, = фС0 + ns7ts + Мо,
фС1я = пя Vs.
Подстановка данных дает функцию Лагранжа14
£ = 0.2 • 4 УС0Сц + 0.45 • 4 у/Со С12 + 0.35 • 4 у/Со С13 +
+ к (Со + 0.15 Сц + 0.5 С12 + 0.3 CL3 - 483.75).
Расчет частных производных приводит к:
= 0.40 .3^ + 0.90 + 0.70 /Си.. .. + к = 0,
дСа д£ дСп д£ дСх2 д£ ас)3 x/CqCh у/СоСщ \/СоС13 = 0.40 , °а + 0.15 к = 0, ^СОСП = 0.90 + 0.5 к = 0, а/Со С12 = 0.70 , Са + 0.3 к = 0, VC0 С13
д£
— = Со + 0.15 Си + 0.5 С12 + 0.3 С13 - 483.75 = 0.
он
11 Общий запас состоит из финансового запаса в объеме 367.50 руб. и оцененного
реального начального запаса (300 2 руб. = 600 руб.). Он составляет в номинальном
выражении 967.50 руб. и в реальном выражении 96? 50 = 483.75 единиц.
2.5. Модель предпочтения ситуации
111
В качестве решения этой системы получаем
Со = 241.88, Сп = 398.15. С12 = 181.41, Си = 304.83.
Чтобы перейти от вычисленного здесь стоимостного выражения воз-
можностей потребления к количественному, мы должны лишь разде-
лить эти значения на ф = 2.
2. Количество потребительских благ, которое вы можете купить в t =
= 1, образуется из возвратных потоков приобретенных в t = 0 ценных
бумаг. Если потребление должно зависеть от ситуации (Cj = Си =
= С12 = С13), то вы должны иметь одинаковое количество каждой из
всех трех бумаг (r?i = п2 = п-л}. Таким образом, функция Лагранжа
упрощается и сводится к
£ = 4 \/Со Ci + к (Со + 0.95 Cj - 483.75).
Посредством разрешения системы уравнений
-f£=2
ЭС0
aci
с.
v/GTc?
Ср
УСГсГ
+ к = 0,
+ 0.95 к = 0,
— = Сп + 0.95 Ci - 483.75 = 0
дк
опять получаем сумму потребления в настоящее время в объ-
еме 241.88 руб. Гарантированное будущее потребление составляет
254.61 руб.
3. Если нам известны функция потребления, вероятности наступления
всех возможных ситуаций окружающей среды и гарантированная став-
ка процента, то мы можем для определения цен примитивных ценных
бумаг использовать формулу
1 C7C1S)
(!s' l+rf'E[U\C\)]'
Встречающуюся в знаменателе этого выражения ожидаемую предель-
ную полезность будущего потребления можно определить лишь то-
гда, когда установлен оптимальный план потребления инвестора. Так
как функцию полезности с гарантированным будущим потреблением
(Си = С12 = С1з = Ci) можно упростить до
U — 4у С» С'1,
то первой производной является
C'(C1S)
9 , G)
\/С(> Ci
112
Глава 2. Решения в условиях существования риска
и соответственно
Е[[/'(С1)]=27Д=.
V (- Г! Ст
Таким образом, формула определения цен примитивных ценных бумаг
упрощается и сводится к
7T.S = <?.s •
1
1 + г/
Если мы подставим соответствующие данные, то получим
Tri = 0.20-
тг2 = 0.45
тгз = 0.35 •
1
1 + 0.0526
1
1 + 0.0526
1
1 + 0.0526
= 0.1900
= 0.4275
= 0.3325
2.5.3. Цены примитивных ценных бумаг в равновесии
Давайте рассмотрим экономику, имущество которой сегодня составляет
241.88 ден. ед. Участники рынка единодушно предполагают, что имуще-
ство в момент времени t = 1 с вероятностью 20 % (45 % и 35 %) достигнет
398.15 ден. ед. (181.41 ден. ед. и 304.83 ден. ед.). Совокупное имущество рас-
пределяется в соотношении 50 : 30 : 20 между тремя инвесторами. Какую
цену заплатили бы инвесторы в равновесии за примитивные ценные бума-
ги, если бы все они имели функцию полезности
U = 4\/C0Cls,
а безрисковая ставка процента была бы равна 5.26%?
Для отдельного инвестора цена примитивной ценной бумаги определяется
по формуле
1 U\C’1S)
4s 1 + ?7 Е[1/'(С’)]'
(2.44)
В равновесии спрос и предложение соответствуют друг другу. Если мы обо-
значим символом Qi долю 7-го инвестора в сегодняшнем и будущем благосо-
стоянии экономики, то верно
3
г=1
(2.45)
* *
*
3
1=1
2.5. Модель предпочтения ситуации
113
Подстановка (2.45) в (2.44) дает
i 1 w (ai
= 9» • гг---г/-----;—тг-
1 + ?7 Е[[/'(аг^=1С’)]
(2.46)
а, встречается в качестве множителя как в числителе, так и в знаменателе
и, таким образом, его можно сократить. Коэффициент £7'(-)/Е[С7'(-)] в этой
функции полезности не зависит от инвестора.15 Для выяснения этого най-
дем первую производную функции полезности по зависящему от ситуации
будущему потреблению:
и сконструируем формулу ожидаемой предельной полезности будущего по-
требления
Очевидно, здесь не только коэффициент [/'( )/Е[[/'( )], но и числитель, и зна-
менатель не зависят от индивидуальной доли имущества аг. Если мы под-
ставим данные в задачу, то этот результат подтвердится. Для каждого инве-
стора будут получены показанные в приведенной ниже таблице величины.
S 1 2 3
U'i) 1.559 2.309 1.782
Е[[/'(-)] 1.975
Вследствие однородности ожиданий в отношении вероятностей наступления
событий все инвесторы выходят на идентичные цены примитивных ценных
бумаг
7Г! =0.20-
1
1.0526
1.559
1.975
= 0.15,
15 И логарифмические функции полезности имеют это свойство.
114
Глава 2. Решения в условиях существования риска
= 0.45-
= 0.35 •
1
1.0526
1
1.0526
= 0.50,
1.975
=0.30.
1.975
результат: цена, которую репрезентативный ин-
ТГ2
Остается констатировать
вестор в равновесии готов заплатить за примитивную ценную бумагу, все-
гда одинакова, независимо от того, владеет ли инвестор 20 %, 30, 50 или
100% совокупного имущества экономики. Для определения цен примитив-
ных ценных бумаг с помощью формулы (2.46) нет никакой необходимости в
информации о распределении совокупного имущества среди отдельных ин-
дивидуумов.
Литература
Тот, кто хочет интенсивно заняться теорией предпочтения ситуаций, дол-
жен прочитать: Myers S. С. A time-state-preference model of security valua-
tion // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1968. Vol. 3. P. 1-33.
Хорошее описание дают также: Copeland Т. Е., Weston J. F. Financial Theory
and Corporate Policy. 3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988.
Глава III
Теория арбитража
После того как мы разработали основы оценки, связанной с предпочте-
ниями, давайте теперь сменим подход. Мы обратимся к методам оценки,
свободной от предпочтений, т. е. к теории арбитража. Так как нам хоте-
лось бы представить точность и пригодность этой концепции в сжатом ви-
де, мы решили объединить в одной главе теорию арбитража в условиях
определенности, теорию арбитража в условиях неопределенности и лемму
Минковского—Фаркаша.
Оценка, свободная от предпочтений, обоснована, если мы можем быть
уверенными в том, что на рынке капитала господствует свобода от арбитра-
жа. Лишь при этих условиях структура цена—возвратные потоки обращаю-
щихся титулов позволяет объективно измерить оценку финансовых титулов
и инвестиционных проектов. Значит, если нам хочется использовать теорию
арбитража, то мы должны быть в состоянии:
• определять потенциальные виды возможностей арбитража,
• отличать рынки капитала без возможности арбитража от рынков ка-
питала с возможностью арбитража,
• применять методы оценки.
В двух первых разделах мы развиваем описанные навыки интуитивным
способом. Только после того, как эта основа заложена, мы сконцентриру-
ем внимание на формализованном представлении теории арбитража, т. е.
на теореме разделения Минковского—Фаркаша.
3.1. Теория арбитража в условиях определенности
Идентификация возможностей арбитража находится в центре этого раздела.
Во втором разделе мы непосредственно займемся методом оценки в условиях
определенности и включим его в контекст.
3.1.1. Типы возможностей арбитража
Какие типы возможностей арбитража могут иметь место в условиях опреде-
ленности?
116
Глава 3. Теория арбитража
Возможности арбитража можно классифицировать следующим образом:
• неотрицательный денежный поток с отрицательной ценой:
j J
52 ,гяХА^) <0 52 ’a xj °-
j=i j=i
Тот, кто покупает такой портфель, владеет легальным «печатным стан-
ком», так как он получает неотрицательные возвратные потоки, за ко-
торые он должен платить «меньше, чем ничего».
• неположительный денежный поток с положительной ценой:
j j
> 0 и 52nJ-YJ - °-
J=1 J=1
Тот, кто продает портфель с такими свойствами, получает сегодня до-
ход без принятия на себя каких-либо обязательств.
• Целое имеет большую (меньшую) стоимость, чем сумма его состав-
ных частей:
j ( 1 \
Y^njP{Xj) /Р .
j=i \j=i /
Этот «печатный станок» может быть включен вами двумя способами.
Вы можете или купить портфель дешево и продать задорого его состав-
ные части, или приобрести эти составные части дешево и продать их
задорого в качестве портфеля.
3.1.2. Существование возможностей арбитража
Пусть три банка конкурируют на одном рынке капитала. Они предлагают
своим клиентам индивидуальные финансовые титулы. Первый банк требу-
ет цену в сумме 50 руб. и обязуется через год заплатить 56 руб. Второму
банку вы должны сегодня заплатить 2.60 руб., если хотите получить через
год 3.00 руб. Третий обещает 275 руб. в конце периода за 250 руб. в начале
периода. Внезапно банк «Немрус» входит на рынок с новым продуктом. Он
предлагает по льготной цене — 499.99 руб. — портфель, в котором содер-
жится 50 единиц титула второго, 1 единица финансового титула третьего и
3 единицы титула первого банка. Покажите, что на этом рынке существуют
возможности арбитража.
* *
*
Если цена за сумму отдельных частей так же велика, как и цена порт-
феля, то не существует возможности арбитража. Поэтому мы должны срав-
3.1. Теория арбитража в условиях определенности
117
нить цену, которую требует банк «Немрус», с суммой отдельных цен бумаг,
которые содержатся в данном портфеле. При этом мы выходим на сумму
50 • 2.6 + 250 + 3 • 50 = 530 руб.
За портфель необходимо заплатить 499.99 руб. Самое лучшее, что можно сде-
лать, — купить этот пакет, разложить его на составные части и выступить
самому как лицу, предлагающему финансовые титулы. Но даже если этого
доступа к рынку не существовало бы, вы могли бы использовать возмож-
ность арбитража. Первый банк предлагает начисление процентов в объеме
И = || — 1 = 0.12, в то время как третий банк предлагает гз = — 1 =
= 0.1. Будучи ловким участником рынка, вы сейчас предприняли бы по-
пытку предложить финансовый титул по условиям третьего банка и таким
образом приобрести капитал за 10 %. Эти средства будут затем вами отданы
в первый банк под 12 %.
3.1.3. Арбитражная прибыль через «связывание» и «развязывание»
портфелей
Петр Морозов в воскресенье утром посетил один из цветочных рынков в
Петербурге. Он услышал от друга, который в недавнем прошлом приобрел
состояние, что на рынке можно легко и совершенно легальным путем раз-
богатеть. Вооруженный калькулятором, Петр сравнивает выкрикиваемые
торговцами цветов предложения. Он уделяет особое внимание розам и хри-
зантемам, которые предлагаются разными торговцами в виде корзины. По-
сле обхода рынка ему удается сделать следующие выводы.
Торговец Розы Хризантемы Цена за корзину
А 3 1 80 руб.
В 2 2 60 руб.
С 5 7 185 руб.
1. Какие сделки должен осуществить Петр для того, чтобы использовать
возможности арбитража, которые предлагает ему эта ситуация на рын-
ке? Какова его арбитражная прибыль при разовом арбитраже и какова
его максимальная прибыль?
2. Когда торговец В заметил, что спрос особенно велик, он повысил свою
цену. Вместо 60 руб. теперь он требует за каждую корзину 75 руб.
а) Приостановит ли свои действия Петр после повышения цены? Ес-
ли нет, то что он должен сделать, чтобы источник поступления
денег продолжал «работать»?
б) До какого уровня торговец В должен был бы повысить свою цену
для того, чтобы на рынке исчезла возможность арбитража?
118
Глава 3. Теория арбитража
3. Торговцы А, В и С не хотят и далее сложа руки наблюдать, как Петр
становится все богаче. У них возникает следующая идея: торговец А
продает только хризантемы по цене 15 руб. за штуку, торговец В про-
дает только розы по цене 20 руб. за штуку и лишь торговец С действует
как прежде. Проверьте, удастся ли этим трем торговцам посредством
реализации данной идеи остановить деятельность Петра.
* *
*
1. Здесь Петр покупает 4 корзины у торговца В и продает по одной кор-
зине торговцам А и С. По окончании этих сделок у него не остается
цветов. Если мы сейчас обозначим символом Ха (Хв,Хс) содержание
корзины А (В, С), то для портфеля Петра
(пд,пц,пс) = (—1, + 4,—1)
будет верным условие
па Ха + пв Хв + пс Хс = 0.
— 1 • Хд + 4 • Хв — 1-Хс = 0-
За 4 корзины торговца В Петр должен заплатить 240 руб. От прода-
жи корзины в составе, предлагаемом торговцем А, он выручит 80 руб.
За корзину, предлагаемую торговцем С, он получает 185 руб. Таким
образом, при одноразовом осуществлении сделки для Петра создается
отрицательная цена за его портфель в объеме +240 — 80 — 185 = —25 руб.
Если бы Петру удалось осуществлять сделку бесконечно, он выигрывал
бы каждый раз 25 руб. и стал бы безгранично богатым.
2. а) Этим повышением цены Петра не остановить. Он сейчас купит
корзину у торговцев А и С, за что он в совокупности должен за-
платить 265 руб. Приобретенные цветы он продаст после этого в
четырех корзинах в том составе, который предлагается торгове-
цем В. За эти четыре корзины он выручит 300 руб.
б) Для уничтожения возможности арбитража торговец В должен был
бы поднять свою цену до = 66.25 руб.
3. Чудесное умножение денег Петра было бы закончено, если бы семь
хризантем торговца А и пять роз торговца В стоили бы вместе столько
же, сколько стоит корзина, которую продает торговец С. Семь хри-
зантем вместе стоят 105 руб. Пять роз имеют общую цену в объеме
100 руб., из чего можно вывести совокупную цену в объеме 205 руб.
Так как 205 185, Петр может и дальше извлекать арбитражную при-
быль.
3.1. Теория арбитража в условиях определенности
119
3.1.4. Возможность арбитража и трансакционная линия
1. Покажите, что возможность арбитража в модели Фишера приведет к
повышению достигаемого уровня полезности. При этом исходите из
начального запаса ценных бумаг величиной в тф при j = Эти
ценные бумаги обращаются по цене р(Х}), и по ним обещают возврат-
ные потоки величиной в Xj.
2. Объясните различие между возможностями арбитража и реальными
инвестициями.
* *
*
1. Отправным пунктом наших рассуждений является бюджетное ограни-
чение в момент времени t = О
У,'7 , n-jp(Xj) V 7 1
Со + =Со+ . (3.1)
-ф 'ф
Пусть на рынке существует арбитражный портфель, для которого вер-
но
j j
£ni3j>(Xj) = O и
1=1 j=i
Так как этот портфель в t = 0 ничего не стоит, то каждое лицо, при-
нимающее решение, может купить этот портфель без изменения своих
решений относительно потребления и сбережений в момент времени
t = 0. Однако приобретение портфеля повлияет на бюджетное ограни-
чение в момент времени t = 1
р р , Sj=l njXj ^2j=im3X.i
+ ---- +----ф-----•
исходное бюджетное ограничение
Так как верно
I2j=i mixj > Q
0
то лицо, принимающее решение, благодаря возможности арбитража
сумеет больше потреблять в t = 1 и таким образом повысится его по-
лезность.
2. Существуют сходство и различие. Как для возможностей арбитража,
так и для реальных инвестиций (с положительной чистой сегодняш-
ней стоимостью) верно, что они повышают полезность инвестора (или
арбитражера). Однако в противоположность реальным инвестициям
арбитражные портфели обращаются на (теоретически) бесперебойно
120
Глава 3. Теория арбитража
функционирующих рынках капитала. Это приводит к тому, что воз-
можности арбитража очень быстро уничтожаются. В противополож-
ность этому положительные чистые сегодняшние стоимости реальных
инвестиций из-за фрикций рынка сохраняются несколько периодов
времени.
3.1.5. Примитивная ценная бумага и рыночная ценная бумага
Какие существуют связи между примитивными и рыночными ценными
бумагами?
* *
*
Примитивная ценная бумага характеризуется тем, что она принесет лишь в
один единственный момент времени денежный поток в объеме 1 руб. Таким
образом, верно
/ Y Y Y \ = J 1 для °ДНОГО 1
ь т' [0 в любом другом случае.
В противоположность этому рыночные ценные бумаги имеют свойства или
лишь в один единственный момент времени принести возвратный поток, от-
личающийся от единицы, или дать положительный возвратный поток боль-
ше чем в один момент времени. Поэтому для облигации с нулевым купоном
мы можем записать
% ^,(а>0иа^1 для одного t
1 ’ ’ ’' ’ '''' 1 ~ [ 0 в любом другом случае
или, например, для купонной облигации или аннуитетного долга
(Xi,..., Xt,..., Хт) = а > 0 больше чем для одного t.
Поэтому рыночную ценную бумагу можно всегда воспринимать как порт-
фель, состоящий из примитивных ценных бумаг. Конечно, такая искус-
ственно созданная, или синтетическая, рыночная ценная бумага исходя
из теоремы аддитивности стоимости должна обращаться по такой же цене,
как рыночная ценная бумага. В противном случае будут существовать воз-
можности арбитража.
3.1.6. Свободный от арбитража рынок капитала и аддитивность стоимости
Пусть на рынке капитала существуют три примитивные ценные бумаги и
одна рыночная ценная бумага. Эти бумаги характеризуются приведенны-
ми ниже ценами и платежами. Покажите, что этот рынок свободен от ар-
битража.
3.1. Теория арбитража в условиях определенности
121
Номер бумаги Цена в t = 0 Платеж в t = 1 Платеж в t = 2 Платеж в t = 3
1 101.300 8 8 108
2 0.930 1
3 0.865 1
4 0.805 1
* *
*
Через три примитивные ценные бумаги рынок уже полностью определен.
Так как рыночную ценную бумагу можно также трактовать как портфель
из трех чистых примитивных ценных бумаг, возможность арбитража отсут-
ствует, если цена портфеля так же велика, как цена облигации. Поскольку
верно
87Г! + 87Г2 + 1087ГЗ = 8 • 0.930 + 8 • 0.865 + 108 0.805 = 101.30,
то мы имеем дело со свободным от арбитража рынком капитала.
3.1.7. Оценка одной рыночной ценной бумаги с помощью
примитивных ценных бумаг
Можно ли найти возможности арбитража на рынках капитала, которые опи-
саны через следующие две таблицы?
Рынок капитала А
Номер бумаги Цена в t = 0 Платеж в t = 1 Платеж в t = 2
1 85.60 5.00 105.00
2 101.40 8.50 108.50
3 96.70 108.00
Рынок капитала А
Номер бумаги Цена в t = 0 Платеж в t = 1 Платеж в t = 2
1 102.20 111.50
2 98.50 8.00 108.00
3 94.30 5.50 105.50
* *
*
Оба рынка сверхдетерминированы. Если их нужно проверить на предмет
наличия свободы от арбитража, то разумно определять цену примитивных
ценных бумаг всегда из двух рыночных ценных бумаг и оценивать с помо-
щью этого соответствующую третью рыночную ценную бумагу. Если опре-
122
Глава 3. Теория арбитража
деленная таким образом цена и заданная рыночная цена соответствуют друг
ДРУГУ, то рынок свободен от арбитража. В любом другом случае существуют
возможности арбитража.
Для рынка капитала А мы хотим привлечь бумаги 1 и 3 для расчета цен
примитивных ценных бумаг. Если мы решим систему уравнений
85.60= 5.00 7Г1 + 105.00 7г2,
96.70 = 108.00 7Г1,
то получим
96.70 „ , 85.60 - 5.00 • 0.8954
Tri = ----- = 0.8954, 7г2 = -------------------- = 0.7726.
108.00 ’ 105.00
Если сейчас мы оценим возвратные потоки бумаги 2 с помощью этих цен,
то получим
8.5 • 0.8954 + 108.50 • 0.7726 = 91.44.
Бумага 2 должна стоить лишь 91.44 руб., но она обращается по цене
101.40 руб. Таким образом, рынок капитала А предоставляет возможности
арбитража. Сейчас рассмотрим рынок капитала Б. Посредством бумаг 1 и 2
цены Эрроу—Дебре являются полностью определенными:
102.20= 111.50 ttj,
98.50= 8.00 7Г1 + 108.00 тг2.
При
7Г1 =
102.20
111.50
= 0.9166,
ТГ2 =
98.50 - 8.00 • 0.9166
108.00
= 0.8441
сегодняшняя стоимость возвратных потоков из бумаги 3 окажется равной
5.50 • 0.9166 + 105.50 • 0.8441 = 94.09 руб.
Но котировочная цена на бумагу 3 соответствует 94.30 руб., так что и здесь
существуют возможности арбитража. Если нами используются другие ком-
бинации рыночных ценных бумаг для определения цены примитивных цен-
ных бумаг, то хотя мы получаем и другие цены, чем заданные здесь, воз-
можности арбитража все-таки возникают.
3.1.8. Альтернативные методы оценки
Петр имеет доступ к рынку капитала, на котором обращаются 3 ценные
бумаги.
Титул р(Х) Xi х2 Хз
1 108.0 11.0 11.0 111.0
2 99.5 8.5 108.5
3 97.7 7.5 107.5
3.1. Теория арбитража в условиях определенности
123
Какова величина суммы, которую Петр должен был бы максимально из-
расходовать на инвестицию, которая приносит возвратные потоки в объеме
Аг! = 3750, Х2 = 6750 и Хз = 2500 руб.? Решите эту проблему, используя
1) цену эквивалентного портфеля,
2) цены примитивных ценных бумаг,
3) спотовые ставки процента.
* *
*
1. Эквивалентный, портфель: эквивалентный портфель должен иметь то
свойство, что он приведет в каждый момент времени к тем же самым
возвратным потокам, что и инвестиция, которую нужно оценить. Для
того чтобы определить, какие бумаги и в каком количестве для этой
цели следует покупать и продавать, необходимо решить систему урав-
нений
3750= ll.Ori! + 8.5п2 + 7.5п3,
6750= 11.0 П1 + 108.5 п2+Ю7.5 п3,
2500 = 111.0 zii.
Результаты выглядят следующим образом: т = 22.523, п2 = 3277.252 и
п3 = —3247.252. Петр получает портфель, который имеет те же возврат-
ные потоки, что и инвестиция, если он покупает 22.523 единиц бумаги
1 и 3277.252 единиц бумаги 2 и при этом продает 3247.252 единиц бумаги
3. За этот портфель Петр должен заплатить
j
РУ = ^п]Р{Х^ =
j=i
= 22.523 108.0 + 3277.252 • 99.5 - 3247.252 • 97.7 = 11 262.49 руб.
Эта цена является одновременно ценой, которую ему максимально вы-
годно заплатить за инвестицию.
2. Цены примитивных ценных бумаг: цены примитивных ценных бумаг
определяются с помощью системы уравнений
108.0=11.0^ + 11.0тг2 +111.0 7Г3,
99.5= 8.5 Tn+ 108.5 7г2,
97.7= 7.5 Tn+107.5 тг2.
Решениями являются:
7Г1 = 0.9580, 7г2 = 0.8420, тг3 = 0.7946.
С учетом существующих здесь возвратных потоков справедливая цена
инвестиции составляет
Т
= =
t=l
= 3750 • 0.9580 + 6750 • 0.8420 + 2500 • 0.7946 = 11 262.49 руб.
124
Глава 3. Теория арбитража
3. Спотовые ставки процента: общая формула, с помощью которой мы
определяем спотовые ставки процента, если известны цены примитив-
ных ценных бумаг, выглядит как:
Применение этой формулы к существующим здесь ценам Эрроу—Дебре
приводит нас к результатам:
™ = (йй« -1=°04384-
’”=vS^-i=oo89ra-
r»s=\0«-i=oora&
Если мы дисконтируем возвратные потоки инвестиции со спотовыми
ставками процента, мы получим цену, которую максимально выгодно
заплатить Петру за инвестицию
т
PV = ^Xt(l+r0()-f =
t=i
3750 6750 2500
1.04384 + 1.089792 + 1.079653 ' '
Значит, вычисленная и этим методом максимальная цена инвестиции
составляет 11262.49 руб.
3.1.9. Форвардная цена Эрроу—Дебре
Представьте себе, что вы имеете дело со свободным от арбитража рынком
капитала, на котором продаются и покупаются финансовые титулы со сро-
ком обращения до двух лет. Ценные бумаги «обещают» возвратные потоки
лишь к концу каждого года. Если этот рынок капитала является полным, то
существуют цены примитивных ценных бумаг, которые нужно оплатить в
момент времени 1 = 0 (спотовые цены Эрроу—Дебре). Естественно, вы може-
те также заключить форвардные контракты. Вы делаете это, если сегодня
обязуетесь оплатить в момент времени 1 = 1 определенную цену, чтобы по-
лучить в момент времени 1 = 2 один рубль. Рассчитайте соответствующую
форвардную цену Эрроу—Дебре.
* *
*
Между существующими спотовыми ставками процента и форвардной став-
кой процента при условии свободы от арбитража должно выполняться сле-
дующее соотношение:
3.1. Теория арбитража в условиях определенности
125
(1 + Ли)2 = (1 + Г01)(1 + Гц,).
Если это уравнение выразить через форвардную ставку процента, то это
даст:
Если мы подставим спотовые цены Эрроу—Дебре, то получим
1 + г
(‘+А-9'
1
*2
1
7Г]
ТГ2 '
Если мы сейчас обозначим искомую форвардную цену tti2, то после новой
подстановки через
мы придем к результату
7Г->
ТГ12 = —
7Г|
3.1.10. Спотовые и форвардные ставки процента при свободе от арбитража
Пусть дан рынок капитала, на котором обращаются три ценные бумаги.
Титул Р(Л') А'1 %2 А'з
1 98.5 8.0 108.0
2 102.0 9.5 9.5 109.5
3 100.0 109.0
1. Определите существующие спотовые и форвардные ставки. Какая
структура ставок процента скрывается за ними?
2. Проверьте, является ли рынок свободным от арбитража.
* *
*
1. Решение системы уравнения
8.0 7г( + 108.0 7г2 = 98.5,
9.5 7Г1+ 9.5 тг2 + 109.5 7г3 = 102.0,
109.0 7Г1 =100.0
126
Глава 3. Теория арбитража
приведет к
7Г1 = 0.9174, 7г2 = 0.844 и тг3 = 0.7787.
Для существующих на этом модельном рынке спотовых ставок процен-
та мы получаем
г02 = .2/---- 1 = 0.0884.
V ТГ2
гоз = \ ~ - 1 = 0.0870.
' V 7Гз
Структура ставок процента является обратной. Подразумеваемые фор-
вардные ставки процента определяются следующим образом:
тп
П2 = — - 1 = 0.0868,
7Г2
г13 = 2/— - 1 = 0.0855,
V ^3
7Г2
г23 = — - 1 = 0.0842.
тг3
2. Так как ни одна из цен Эрроу—Дебре не является отрицательной и,
кроме того, все ставки процента положительны, рынок является сво-
бодным от арбитража.
3.1.11. Эквивалентный портфель и примитивные ценные бумаги
Покажите в общем, что безразлично, оцениваете ли вы реальную инвести-
цию через цены примитивных ценных бумаг или с помощью эквивалентного
портфеля. Исходите из того, что рынок капитала, на котором обращаются
лишь купонные облигации А и В, является полным.
* *
*
Для того чтобы можно было показать эквивалентность обеих концепций
оценки, мы сначала должны вывести соответствующие уравнения оценки.
Если обозначить через Xi и Х2 возвратные потоки по инвестициям в мо-
ментах времени t = 1 и t = 2, то мы получим первое уравнение оценки для
инвестиции
p(Xi, Х2) = 7Г1Х1 + 7г2Х2. (3.2)
Так как рынок капитала является полным, цены примитивных ценных бу-
маг однозначно определены. При свободе от арбитража верно
р(Х14,Х2Л) = TrjXj4 + 7Г2Х2Л, (3.3)
ptXf, Хв) = TnXf + 7г2Л'2в. (3.4)
3.1. Теория арбитража в условиях определенности
127
При этом ХА (Хв) обозначают возвратные потоки соответствующей обли-
гации в момент времени t, а р(-) — рыночную цену этих бумаг. Для на-
хождения второго уравнения оценки мы используем следующий принцип
конструирования эквивалентного портфеля:
Х1=пЛХ1Л +nBXf,
Х2 = пАХА + пвХ2в
(3-5)
(3-6)
при пА (пв), являющимся числовым значением для необходимых финансо-
вых титулов. При условии свободного от арбитража рынка из этого следует,
что возвратные потоки инвестиции имеют значения, равные
p(Xlt Х2) = пАр(ХА,ХА) + пвР(Хв, Х2В).
(3-7)
Оба уравнения оценки приводят в точности к тому же результату, если вер-
но
Л!%! + тг2Х2 = пАр(ХА, ХА) + nBp(Xf, Х2).
Если подставить (3.3) и (3.4) в (3.7) и преобразовать его, то мы получим
р(Хх, Х2) = ПА(7Г1ХА + л2%24) + хв + л2А'2в) =
= пА щХА + пв TTiXf 4- пА тг2Ха 4- пв л2Х^ =
= -пх(пАХА 4- пвХв) 4- тт2(пАХА 4- пвХ2 )
и при учете (3.5) и (3.6)
p(Xi, Х2) = TTiXi 4- тт2Х2.
128
Глава 3. Теория арбитража
3.2. Теория арбитража в условиях неопределенности
Как в условиях определенности, так и в условиях неопределенности допу-
щение свободы от арбитража на рынке капитала является предпосылкой
оценки финансовых титулов и инвестиционных проектов. Поэтому первая
задача связана с вопросом о том, выполнено ли такое допущение. После
этого мы обсудим способ функционирования методов оценки и следствия их
применения.
3.2.1. Эквивалентный портфель и примитивные ценные бумаги
В мире с тремя возможными ситуациями существуют три рыночные ценные
бумаги с приведенными в следующей таблице свойствами.
Титул Возвратные потоки Цена
Z1 z2 z3
А 15 2 6 14.55
В 9 20 10 22.25
С 3 7 ? 9.60
1. Ваше имущество составляет 4761.50 руб. Рассчитайте, какое количе-
ство рыночных ценных бумаг должно быть приобретено и/или прода-
но без покрытия для того, чтобы вы получили доходы, зависимые от
ситуации, величиной в 3015, 2105 и 3535 руб. Какова величина возврат-
ного потока от ценной бумаги С, если фактически имеет место третья
ситуация, а рынок является свободным от арбитража?
2. Рассчитайте цены примитивных ценных бумаг и проинтерпретируйте
их.
* *
*
1. У нас есть четыре определяемые величины, доли ценных бумаг иско-
мого портфеля и неизвестный возвратный поток х. С помощью данных
о рынке и значений имущества нам удастся построить следующую си-
стему уравнений:
15.00пд+ 9.00 пв + 3.00 пс = 3015.00,
2.00 пА + 20.00 пв + 7.00 пс = 2105.00,
6.00 пА + 10.00 пв + х пс = 3535.00,
14.55 пА + 22.25 пв + 9.60 пс = 4761.50.
Решение системы приводит к долям ценных бумаг
пА = 150, пв = -20 и пс = 315
и к искомому возвратному потоку в сумме х = 9 руб.
3.2. Теория арбитража в условиях неопределенности
129
2. Цены примитивных ценных бумаг мы определяем из
15 7Г1 + 2тгг+ 6тгз = 14.55,
9 7?1 + 20 7?2 + Ю тгз = 22.25,
3 7Г1 + 7 7?2 + 9т?з= 9.60
и получаем
Tri = 0.75, т?2 = 0.6, 7?з = 0.35.
Если мы рассмотрим эти цены более тщательно, то выяснится, что за
гарантированный возвратный поток в один рубль мы должны запла-
тить цену 7Г1 + т?2 + тгз = 0.75 + 0.6 + 0.35 = 1.70 руб. Следовательно, на
этом рынке существует отрицательная ставка процента. Если допуще-
но держание кассы, то создаются возможности арбитража, несмотря
на то что рынок является полным. Если мы продаем каждую из трех
примитивных ценных бумаг в точности один раз, тогда мы сегодня по-
лучим гарантированный доход величиной в 1.70 руб. и одновременно
обязуемся заплатить через год один рубль. Для того чтобы мы мог-
ли выполнить это обязательство, нам нужно сегодня положишь в кас-
су лишь один рубль, и благодаря этому удастся достичь арбитражной
прибыли в размере 0.70 руб.
3.2.2. Структура портфеля и доходность портфеля
Пусть на рынке капитала существуют две ценные бумаги. Бумага 1 стоит
15 руб. и гарантирует 21 руб. (17 руб.) при вступлении в силу ситуации 1
(ситуации 2). Платежи по бумаге 2, которая стоит 25 руб., равны 20 руб.
при вступлении в силу ситуации 1 и 40 руб. при ситуации 2.
1. В каком соотношении вы должны смешать обе бумаги для того, чтобы
вы при любой величине имущества Vo могли бы получить гарантиро-
ванные возвратные потоки? Определите количественное и стоимостное
соотношения.
2. Рассчитайте доходность портфеля.
* *
*
1. Возвратные потоки портфеля являются безрисковыми, когда они в
каждой ситуации равны одной и той же величине. Это условие при-
водит к уравнению
21 П1 + 20 тг2 = 17 7ii + 40 712.
Если данное уравнение выразить через щ, то это позволит получить
формулу
771 = 5 71'2 •
130
Глава 3. Теория арбитража
Соотношение смеси надежного портфеля по количеству должно всегда
составлять 5:1.
Стоимостная доля первого титула определяется как
7/.1P(Xi)
— -----Z-------------
ПуР^Хх} + тг2р(Х2)
_ 5п2р(Л~1)
5?г2р(Х1) + п2р(Х2)
5р(Л'1)
5р(Х1)+р(Х2)
5 15 _ 3
~ 5-15 + 25 - 4
2. Для случая, при котором вступает в силу первая ситуация, возвратные
потоки портфеля составляют
7ii 21 + п2 20 = 5?г2 • 21 + п2 20 — 125 п2.
Мы получаем те же самые возвратные потоки, если вступает в силу
вторая ситуация, так как соответствующим образом сконструировали
портфель. Необходимое вложение капитала составляет
пх 15 + п2 • 25 = 5п2 • 15 + п2 25 = 100 п2.
Поэтому мы получаем доходность
3.2.3. Оценка инвестиционных проектов
Фирма должна принять решение о том, осуществлять инвестиционный про-
ект А или В. Обе инвестиции требуют вложения капитала в объеме 36 руб.
Ожидаются три возможные ситуации через год, ситуации, при которых про-
екты принесли бы следующие возвратные потоки.
Zi Z2 Z:l
хА 40 20 60
Хв 20 10 70
На рынке капитала обращаются три рыночные ценные бумаги, цены и воз-
вратные потоки которых видны из следующей таблицы:
3.2. Теория арбитража в условиях неопределенности
131
Титул Возвратные потоки Цена
Z1 Z? Z-л
1 8 3 2 4.55
2 2 6 5 3.80
3 4 0 0 1.60
1. Рассчитайте чистые сегодняшние стоимости обоих инвестиционных
проектов и обоснуйте вытекающее из этого решение.
2. Фирма принадлежит двум пайщикам (ii и с различной расположен-
ностью к риску. Долевые части составляют 32 и G8 %. Первый пайщик
хочет получить гарантированные доходы величиной в 100 руб., другой
заинтересован в возвратных потоках, зависимых от ситуации, в объ-
еме 200, 250 и 180 руб. Покажите, что оба пайщика выигрывают, если
руководство фирмы реализует проекты с положительной чистой сего-
дняшней стоимостью.
* *
*
1. Мы начнем с расчета цен примитивных ценных бумаг. С данными из
примера мы получим
7Г1 = 0.4, т?2 = 0.25, тгз = 0.3.
Рассчитаем чистую сегодняшнюю стоимость посредством суммирова-
ния умноженных на цену соответствующей примитивной ценной бу-
маги зависимых от ситуации возвратных потоков, вычитая из этого
расходы на приобретение. Получаем
NPV^ = -36 + 40 • 0.4 + 20 • 0.25 + 60 0.3 = 3.0,
NPVB = -36 + 20 0.4 + 10 0.25 + 70 • 0.3 = -4.5.
Нужно осуществить лишь инвестицию А. Тот, кто заинтересован в воз-
вратных потоках, которые соответствуют проекту В, может дешевле
купить их на рынке капитала.
2. Если пайщики откажутся от реальных инвестиций и обратятся вместо
этого к рынку капитала, то они должны будут затратить для желаемых
ими зависимых от ситуации доходов следующие суммы:
Л : 100 • 0.4 + 100 • 0.25 + 100 • 0.3 = 95.0 руб.,
г2 : 200 • 0.4 + 250 • 0.25 + 180 • 0.3 = 196.5 руб.
Если, наоборот, они примут решение в пользу реальных инвестиций, то
сейчас должны быть осуществлены расходы величиной в 0.32 36 руб.
для ii и 0.68 • 36 руб. для г2. Так как заработанные с помощью ин-
132
Глава 3. Теория арбитража
вестиций возвратные потоки не совпадают с желаемыми, то разницу
нужно дополнительно купить на рынке капитала. Поэтому общие рас-
ходы инвестора ц для получения запланированного им потока доходов
составят
0.32 • 10 4- 7Г1 (100 - 0.32X1) + тг2(100 - 0.32Х2) + тг3(100 - 0.32Х3).
С данными из примера это означает
0.32 • 36 4- 0.4 (100 - 0.32 40) 4- 0.25 • (100 - 0.32 • 20)4-
4-0.3 • (100 - 0.32 • 60) = 94.04.
Для другого инвестора соответственно получим
0.68 • 36 4- 0.4 • (200 - 0.68 • 40) 4- 0.25 • (250 - 0.68 20)4-
4-0.3 • (180 - 0.68 • 60) = 194.46.
Сегодняшние расходы обоих лиц, принимающих решения, вследствие
осуществления реальной инвестиции становятся меньше. Экономия
для обоих соответствует произведению доли их участия в предприятии
и чистой сегодняшней стоимости.
3.3. Лемма Минковского—Фаркаша
133
3.3. Лемма Минковского—Фаркаша
Теорию арбитража формально можно изобразить через лемму Минковско-
го—Фаркаша. Эта теорема разделения содержит четкие критерии для раз-
личения между рынками капитала с существованием и без существования
возможностей арбитража. Характерным для свободы от арбитража явля-
ется существование ценового вектора как линейной комбинации линейно
независимых векторов. Если этой линейной комбинации не существует, то
возможны арбитражные прибыли. Мы хотим изобразить лемму графически
и вынуждены для этой цели провести некоторую «подготовительную рабо-
ту». Первая задача — познакомиться с необходимыми аспектами векторной
алгебры. На основе этого мы соединим формальные выводы леммы с уже
полученными знаниями из обоих предыдущих разделов этой главы.
3.3.1. Скалярное произведение и линейная (не-)зависимость векторов
1. Объясните связь между скалярным произведением векторов и вектора-
ми включенного угла.
2. Какие из следующих векторов являются ортогональными?
(-2.5\ /2
V1= 1 ’ V2= 3 ’ ”3= 5
г>4 = 2
\3
«5=1
\ 1
/-5
ve = 5
\ 5
3. Что понимается под линейной комбинацией векторов?
4. Какая связь существует в двухмерном векторном пространстве между
расположением одного вектора и знаком множителя 7*?
5. Проверьте векторы а'^, а2 и р' на линейную зависимость. Рассчитайте
(если это возможно) скалярный множитель линейных комбинаций,
< = (6 7), а2 = (7 6),
Pi = (3 5) , р'2 = (4 4) , р'3 = (5 4) .
134
Глава 3. Теория арбитража
Рис. 3.1. Скалярное произведение и включенный угол
1. На рис. 3.1, а два вектора включают в себя угол, который меньше 90
градусов. Это приводит к тому, что скалярное произведение этих двух
векторов положительно. Векторы, расположенные друг к другу пер-
пендикулярно, называются ортогональными (рис. 3.1, в). Их скаляр-
ное произведение равно нулю. Векторы, которые образуют друг с дру-
гом угол, превышающий 90 градусов, имеют отрицательное скалярное
произведение (рис. 3.1, б). Если обозначить включенный угол симво-
лом а, то мы можем обобщенно записать
> 0
V1 • V2 <
ДЛЯ
ДЛЯ
для
0 градусов < а < 90 градусов
а = 90 градусов > .
180 градусов > а > 90 градусов
2. С помощью двумерных векторов можно сформировать скалярные про-
изведения
V1 • V2 = (-2.5 1) • Q = (-2.5) 6 + 1 3 = -12 < 0,
' / 9\
V1 • «з = (-2.5 1) • = (-2.5) • 2 + 1 • 5 = 0,
\ о j
/ <2\
v2 V3 = (6 3) К = 6 • 2 + 3 • 5 = 27 > 0.
\ О /
Лишь щ и v3 расположены перпендикулярно друг к другу. Проверка
скалярных произведений трехмерных векторов дает
/2\
«4 «5 = (2 2 3)1 = 2 2 + 2 • 1 + 3 • 1 = 9 > 0,
V/
v4 • ve = (2 2 3) • 5=2- (-5) + 2- 5 + 35=15>0,
\ V
3.3. Лемма Минковского—Фаркаша
135
/—5 \
г>5 ve = (2 1 1) 5=2- (-5) + 1 • 5 + 1 • 5 = 0.
\ 5/
Лишь г>5 и г»в являются ортогональными векторами.
3. Вектор v является линейной комбинацией векторов а', если
77/
i-1
(3.8)
Двумерное векторное пространство полностью описано двумя линей-
но независимыми векторами (ЛНВ). Поэтому каждый дополнительный
вектор v можно изобразить как линейную комбинацию ЛНВ.
4. Расположение вектора v определяет, являются ли множители 7; поло-
жительными или отрицательными. Если v лежит между ЛНВ или если
v сам является одним из этих векторов, то верно 7,- > 0. Если v про-
ходит справа или слева от ЛНВ, то как минимум один из множителей
имеет отрицательное значение, 7, < 0.
5. Можно очень легко проверить, является ли ценовой вектор линейной
комбинацией векторов выплат, если представить (3.8) в виде матрич-
ного уравнения
Р\
Р2
G
7
7 ) • I 71
6 J I 72
Уравнение лишь тогда имеет одно решение для 71 и 72, когда матрица
выплат является обратимой. Обратимость предполагает отличный от
нуля определитель матрицы коэффициентов. Так как это условие здесь
соблюдается, то, преобразуя рассматриваемую матрицу в обратную
мы получаем для
каждого данного ценового вектора вектор множите-
лей
Все три ценовых вектора можно изобразить как линейную комбина-
цию. Однако множители имеют положительный знак лишь для р2.
В векторном пространстве лежит левее, а рз — правее векторов вы-
плат.
136
Глава 3. Теория арбитража
Таблица 3.1. Выплаты и цены
Акция 1 Акция 2
Zt 0.5 3
Z-2 5 2
р Pl Р2
3.3.2. Лемма Минковского—Фаркаша и теория арбитража
на основе примитивных ценных бумаг
Объясните содержание леммы Минковского—Фаркаша с помощью векто-
ров. Исходите при этом из данных о рынке капитала, представленных в
табл. 3.1.
* *
*
Признаком свободы от арбитража является существование ценового векто-
ра как положительной линейной комбинации линейно независимых век-
торов. Для объяснения экономического содержания леммы Минковского—
Фаркаша мы проинтерпретируем ЛНВ в качестве возвратных потоков обе-
их ценных бумаг при вступлении в силу определенной ситуации. Мы го-
ворим о возможности арбитража, если выполнены одновременно два век-
торных уравнения. Первое связывает структуру арбитражного портфеля с
ЛНВ. Второе связывает рыночные цены и структуру портфеля. Для того
чтобы можно было изобразить содержание леммы при помощи данных из
табл. 3.1, мы сперва определим 2 х 1-вектор структуры портфеля1
2 х 2-матрицу выплат с векторами-строками а'
. (0.5 3\ (а', \
А = = J
\ 5 2 / \ а' I
X / X т/
и вектор-строку 1 х п цен
р' = (Pl Р2)
Рынок капитала не предлагает возможность арбитража, если можно изоб-
разить р' как линейную комбинацию а'.
2
Р' = ^2
1—1
1 и, может быть как положительным, так и отрицательным.
(3-9)
3.3. Лемма Минковского—Фаркаша
137
причем верно 7,; > 0. Естественно, множители 7; можно проинтерпретиро-
вать и экономически. Вспомним свободную от арбитража оценку зависимых
от ситуации требований. Там рыночные цены образовывались как сумма
платежей, взвешенных по ценам примитивных ценных бумаг и зависимых
от ситуации. Это, очевидно, здесь тоже имеет место. Следовательно, 7, яв-
ляется ценой примитивной ценной бумаги, которая в ситуации i порожда-
ет возвратный поток, равный одной единице, а во всех других ситуациях
характеризуется возвратным потоком, равным 0. Если эту положительную
линейную комбинацию нельзя создать, то всегда существует арбитражный
портфель, для которого верно
и одновременно
(3.10)
(P1 р2> (nJ) < °'
(з.п)
Здесь субъекты рынка всегда имеют шанс стать безгранично богатыми. Су-
ществуют портфели с неотрицательными платежами по отрицательным це-
нам.
3.3.3. Геометрическая версия леммы
Изобразите с данными из табл. 3.1 лемму Минковского—Фаркаша в двумер-
ном векторном пространстве.
* *
*
Геометрически лемму можно проинтерпретировать следующим образом.
Для расположения вектора рыночной цены существуют лишь две возмож-
.ности.
• Вектор рыночной цены находится между векторами выплат, см. урав-
нение (3.9). Тогда нельзя найти вектор структуры, который образует с
обеими векторами выплат угол менее 90 градусов, но образует с векто-
ром рыночной цены угол больше 90 градусов. Рынок не предоставляет
возможности арбитража, или, иными словами, вектор рыночной цены
является свободным от арбитража.
• Вектор рыночной цены находится левее (правее) вектора выплат. Тогда
существует вектор структур п*, который образует с векторами выпла-
ты угол меньше 90 градусов, а с вектором цены, наоборот, угол больше
90 градусов (уравнения (3.10) и (3.11)). Для инвесторов открываются
возможности арбитража.
Для иллюстрации мы используем рис. 3.2 и 3.3. На обоих рисунках а' и
а'2 являются векторами выплат обеих ценных бумаг в ситуации 1 или в си-
138
Глава 3. Теория арбитража
Рис. 3.3. Существование возможности арбитража
туации 2. р' представляет собой соответствующий вектор цены. На рис. 3.2
р' является свободным от арбитража. Рис. 3.3, наоборот, показывает век-
тор цены, который создает возможность арбитража. Для уяснения этого мы
движемся шаг за шагом. Вначале мы определим две области.
• Область, в которой каждый возможный вектор структуры образует с
обоими векторами угол максимум 90 градусов (плоскость 1).
• Область, в которой любой мыслимый вектор структуры образует с дан-
ным вектором цены р' угол максимум 90 градусов (плоскость 2).
3.3. Лемма Минковского—Фаркаша
139
Плоскость 1 ограничивается изображенными пунктирными векторами Q и
L. Плоскость 2 становится ограниченной также через изображенную пунк-
тиром линию Н. На обоих рисунках плоскость 2 разделяется соответству-
ющими ценовыми векторами р' на две половины. Сначала сконцентрируем
внимание лишь на рис. 3.2 и рассмотрим там вектор цены р'. Он лежит
между а'г и а2. Каждый вектор структуры, образующий с а[ и а2 острый
угол, образует и по отношению к р' острый угол. Не существует ни одного
вектора структуры, который удовлетворял бы (3.10) и (3.11). Следовательно,
верно (3.9) и существуют неотрицательные множители. Рынок свободен от
арбитража.
А сейчас рассмотрим ценовой вектор на рис. 3.3. р' лежит правее а'2.
Здесь между Н и L можно найти вектор п", который с обоими векторами
выплат а'г и а2 образует угол меньше 90 градусов, но с вектором цены обра-
зует угол больше 90 градусов. Аналогичную ситуацию можно было бы скон-
струировать, если бы вектор цены р’ находился левее а^. И в этом случае
существовал бы п* с описанными свойствами и неравенства (3.10) и (3.11)
были бы верными. Если вектор цены нельзя изобразить как положительную
линейную комбинацию обоих векторов ситуаций, то рынок не может быть
свободным от арбитража.
3.3.4. Свободные от арбитража векторы цен
Являются ли
р'=(4 0.5), р'=(2 2), р'=(0.5 4)
свободными от арбитража векторами цены, если данные по рынку капитала
описываются и далее согласно табл. 3.1?
к *
*
Как показывает рис. 3.4, лишь р2 лежит между обоими векторами выплат.
Два других ценовых вектора нельзя изобразить как линейную комбинацию.
При
, - (2\
Р2~ \2J
и данных по рынку капитала из табл. 3.1 мы получим систему линейных
уравнений
Решение этой системы уравнений дает
3 5
71 = ? и . 72 = -.
140
Глава 3. Теория арбитража
Рис. 3.4. Векторы выплат и векторы цен
Таблица 3.2. Портфель 1
Доли Цены Расходы Денежные потоки
Д1 Zi
4 2 8 2 20
-0.5 2 -1 -1.5 -1
7 0.5 19
Таблица 3.3. Портфель 2
Доли Цены Расходы Денежные потоки
Z1 Z-1
2 2 4 1 10
3 2 G 9 G
10 10 16
Сейчас мы проверим два любых портфеля с положительными зависимыми
от ситуации платежами на предмет наличия свободы от арбитража. Пусть
структура портфеля 1 будет равна Пусть для структуры порт-
феля 2 будет верно (”') = Q. Соответствующие потоки платежей пред-
ставлены в табл. 3.2 и 3.3. Если денежные потоки портфеля оцениваются
3.3. Лемма Минковского—Фаркаша
141
с помощью множителей 71 и 72, то мы получим соответствующие расходы.
Портфели являются свободными от арбитража. Теперь давайте рассмотрим
вектор цены
= СУ
и любой вектор структуры. Если, например, мы выбираем
/-0.75\
то расходы для арбитражного портфеля составляют
-0.75-4+ 4-0.5 = -1.
Приобретение портфеля связано сегодня с доходами. Так как, кроме того,
он в ситуации Z\ дает
-0.75-0.5 + 4-3 = 11.625
и в ситуации Z±
-0.75-5 + 4-2 = 4.25,
то открываются возможности арбитража. Аналогично получаем для
, /0.5\ /—5 \
Рз=^4 J И П = \0.75j
цену портфеля
-5 • 0.5 + 0.75 • 4 = 0.5
и выплаты
-5 • 0.5 + 0.75 • 3 = -0.25, -5 • 5 + 0.75 • 2 = -23.5.
Этот портфель вам следует не покупать, а, наоборот, продавать. Тогда вы
получите сразу выручку от продажи в объеме 0.5 руб. и дополнительно по-
ложительные будущие денежные потоки.
Литература
В очень сжатом виде теория арбитража представлена в: Ingersoll J. Е. The-
ory of Financial Decision Making. Totowa (N.J.): Rowman & Littlefield, 1987.
Акцент на аксиоматике теории арбитража делается в: Jarrow R. A. Finance
Theory. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1988. Для тех, кто хочет продви-
нуться дальше анализа однопериодных условных требований, рекоменду-
ется многопериодная модель в работе: Banz R. W„ Miller М. Н. Prices for
state—contingent claims: some estimates and applications // Journal of Busi-
ness. 1978. Vol. 51. P. 653-672, и статья: Litzenberger R. H., Breeden D. T.
142 Глава 3. Теория арбитража
Prices of state—contingent claims implicit in option prices // Journal of Busi-
ness. 1978. Vol. 51. P. 621-651. Тот, кто хочет подробнее заняться теоремой
разделения Г. Минсковского и Я. Фаркаша, может найти краткое доказа-
тельство на основе теоремы двойственности линейного программирования
в: Krouse С. G. Capital Markets and Prices. North Holland, 1986. Подробно
лемма излагается в: Takayama A. Mathematical Economics. Hinsdale: Dryden
Press, 1974. Предложенная Россом теория «арбитраж—цена» также основы-
вается на теореме разделения. Об этом читатель может узнать в: Boss S. А.
The arbitrage theory of capital asset pricing // Journal of Economic Theory.
1976. Vol. 13. P. 341-360.
Глава IV
Модель оценки финансовых активов (САРМ)
4.1. Теория портфеля
Теория портфеля является одной из самых популярных концепций теории
финансов. С одной стороны, эта популярность связана с весьма большой го-
товностью использовать ее на практике. Портфельные менеджеры, как и
банковские аналитики риска, формируют свои стратегии, оптимизирующие
риск, основанные на теории портфеля. С другой стороны, большое значение
модели портфеля Марковица можно объяснить тем, что она является необ-
ходимым предварительным этапом для понимания модели оценки финан-
совых активов (САРМ). Вывести условия равновесия и содержание САРМ
без базовых знаний теории портфеля достаточно сложно. Это побудило нас
заняться теорией портфеля в отдельном предшествующем модельному ана-
лизу САРМ «комплексе».
Мы приближаемся к теории портфеля в два этапа. На первом этапе мы
займемся ограничениями, которые должны приниматься во внимание ин-
весторами при выборе портфеля. Мы покажем, что их можно изобразить на
кривой трансформации. Двумя существенными детерминантами вида этой
кривой, т. е.
• корреляцией между финансовыми титулами и
• возможностью или запретом продаж без покрытия,
мы займемся детально в этом разделе. Тогда во втором разделе в центре
внимания будет находиться выбор (с точки зрения одного отдельного инве-
стора) наилучшего портфеля. Мы здесь сначала рассмотрим особый случай
одного-единственного рискового титула перед тем, как заняться оптимиза-
цией портфеля многих ценных бумаг. К некоторым финансовым титулам
мы в ходе изложения главы будем время от времени возвращаться. Поэто-
му мы решили перед разбором задачи представить первичные данные в виде
табл. 4.1.
4.1.1. Значение доходности и курс ценных бумаг при полной корреляции
Сконцентрируйте внимание на первых трех ценных бумагах, показанных в
табл. 4.1. Цена первого титула составляет p(Xi) = 46 руб. Математическое
ожидание возвратных потоков второй бумаги составляет Е(Х2) = П8 руб.
Пусть доходности бумаг 1 и 2 имеют коэффициент корреляции +1 , а доход-
ности акций 2 и 3 — коэффициент корреляции —1.
144
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Таблица 4.1. Данные обращающихся ценных бумаг
1 Ценные 2 бумаги 3 4
Ситуация Возвратные потоки Доходность Доходность Возвратные потоки
1 0.3 40 0.0G30 0.2433 52.5
2 0.2 45 0.1772 0.1405 52.5
3 0.2 50 52.5
4 0.3 со 52.5
1. Начертите график, показывающий взаимосвязь между бумагами 1 и 2.
2. Определите математическое ожидание и дисперсию доходностей обеих
ценных бумаг.
3. Какой курс должна иметь бумага 2?
4. Составьте уравнение для взаимосвязи между акцией 2 и акцией 3. Ка-
ковы величины математического ожидания и дисперсии доходности
бумаги 3?
* *
*
1. Если бумаги 1 и 2 имеют коэффициент корреляции 4-1, то между исхо-
дами доходностей в каждой возможной ситуации существует линейная
взаимосвязь. Верно
r2s=a + ^rls при b>0 Vs. (4.1)
Доходность титула 1 будет рассчитана тогда, когда мы подставим зави-
симые от ситуации возвратные потоки в формулу
Xis-p(Xi)
Г13 = ----=----.
Р(Х1)
Для первых двух ситуаций получаем
40 - 46 45 - 46
Гц = = -0.1304 и г12 = - = -0.0217.
46 46
Так как мы знаем соответствующие значения доходностей акции 2, мы
можем подставить их в (4.1) и тогда получим
0.0630 = а 4- b • (-0.1304),
0.1772 = а 4- Ь- (-0.0217).
145
4.1. Теория портфеля
Таблица 4.2. Доходность и риск трех
ценных бумаг
Ситуация V2S ГЗз
1 -0.1304 0.0G30 0.2433
2 -0.0217 0.1772 0.1405
3 0.0870 0.2913 0.0378
4 0.3043 0.5196 -0.1676
Е[г] 0.0G52 0.2685 0.0584
Var[r] 0.0302 0.0334 0.0270
<7 [г] 0.1739 0.1826 0.1644
Эти формулы являются системой линейных уравнений с двумя неиз-
вестными. Решение системы дает после округления а = 0.2 и b =
= 1.05. При учете этих значений мы получим с помощью (4.1) для
всех возможных ситуаций записанные в табл. 4.2 доходности титулов.
Рис. 4.1, а показывает линейную зависимость между п и г2.
2. Математическое ожидание доходностей рассчитывается для S ситуа-
ции или с помощью
5
ЕН = ^2rsQs, (4.2)
5=1
или (при знании ожидаемых возвратных потоков и цены) через
_Е[Х]-р(Х) ^,U-pffl
р(А') р(Х)
Рис. 4.1. Совершенная корреляция
146
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Если мы подставим соответствующие величины из табл. 4.2 в (4.2), то
для ожидаемых доходностей получим
Е[п] = 0.3 • (-0.1304) + 0.2 • (-0.0217) + 0.2 • 0.0870 + 0.3 • 0.3043 =
= 0.0652.
Для того чтобы суметь оценить (4.3), нам необходимо математическое
ожидание возвратных потоков. С данными из задачи мы получим
EpG] = 0.3 40 + 0.2 • 45 + 0.2 • 50 4- 0.3 • 60 =
= 49.
Из этого непосредственно следует
49 - 46
Е[п] = = 0.0652.
Дисперсия доходности ценной бумаги определяется как
s
Var[r] = 57 (rs - E[r])2/7.,. (4.4)
5=1
Подстановка дает
Varfri] = 0.3 • (-0.1304 - 0.0652)2 4- 0.2 • (-0.0217 - 0.0652)2 +
4-0.2 (0.0870 - 0.0652)2 4- 0.3 • (0.3043 - 0.0652)2 =
= 0.0302.
Математическое ожидание и дисперсию доходности ценной бумаги 2
можно определить двумя разными способами. Сначала подстановка со-
ответствующих данных из табл. 4.2 в (4.2) и (4.4) дает желаемые вели-
чины. Затем благодаря (4.1) верно
Е[г2] = а 4- b Е[г]],
Е[г2] = 0.2 4- 1.05 E[rj] = 0.2685
и
Var[r2] =62Var[r1],
Var[r2] = 1.052Var[r1] = 0.0334.
3. Ценур(Х2) можно рассчитать с помощью
= E[jv2]-p№)
р(х2)
Если данную формулу выразить через р(Х2), то подстановка значений
приведет к
р(Х2) = = 93.03 руб.
1 27 14-Е[г2] 1.2685
4.1. Теория портфеля
147
4. При совершенно отрицательной корреляции взаимосвязь между обе-
ими доходностями можно изобразить через прямую с отрицательным
наклоном. Поэтому зависимые от ситуации доходности можно опреде-
лить с помощью уравнения
гз.ч = а — b r2s, b > О Vs.
Подстановка соответствующих величин из первых двух строк табл. 4.1
приведет к получению системы линейных уравнений
0.2433 = а — b • 0.0630,
0.1405 = а — b • 0.1772.
После решения этой системы мы получим изображенную на рис. 4.1, б
линию
гз = 0.3 — 0.9 Г2,
с помощью которой мы можем восполнить вектор доходности бумаги
3. Табл. 4.2 показывает результаты. В качестве математического ожи-
дания и дисперсии получаем
Е[п] = 0.3 - 0.9 Е[г2] = 0.0584
Var[f3] = (—0.9)2 Var[r2] = 0.027.
4.1.2. Продажа без покрытия
Представьте себе, что на финансовом рынке существуют лишь две рисковые
ценные бумаги 1 и 2 из табл. 4.1. Титулы в настоящее время обращаются по
цене p(Xi) = 46 и р(Хх) = 93.03 руб. Вы ожидаете, что в t — 1 курсы будут
составлять E[A\] = 49 и Е[Х2] = П8 руб. Будучи не очень сильно нераспо-
ложенным к риску человеком, вы поставили себе цель вложить 11 000 руб.
в высокодоходную, но также очень рисковую акцию 2. К сожалению, вы
владеете лишь 10 000 руб., кроме того, не существует возможности получить
кредит по безрисковой ставке процента. Что вы сделаете? Объясните свою
стратегию. Какие издержки при этом вы должны нести, и какова ваша чи-
стая прибыль?
* *
*
Для того чтобы суметь осуществить инвестиции в объеме И 000 руб. в акцию
2 без возможности получения кредита, существует «фокус», который назы-
вают продажей без покрытия. Вы можете получить отсутствующие средства
таким образом: сначала вы найдете владельца ценных бумаг, который го-
тов ссудить вам в t = 0 бумаги типа 1 стоимостью в размере 10 000 руб.,
148
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Таблица 4.3. Баланс одной продажи без покрытия
t = 0 (= 1
Титул Трансакция Денежный поток Трансакция Денежный поток
Акция 1 Продажа без + 1000 Возвратная -1065.22
покрытия (21.74 • 46) покупка (21.74 49)
Акция 2 Покупка (118.24 • 93.03) - 11000 Продажа (118.24 118) + 13952.49
Сумма инвестиции -10000 + 12887.27
если вы одновременно обязуетесь вернуть ему акции того же типа в том же
количестве (1000/46 = 21.74) в момент времени t — 1. После этого вы прода-
ете бумаги и вкладываете выручку в объеме 1000 руб. и свои собственные
10000 руб. в титул 2 ((11000/93.03 = 118.24 штук). Для того чтобы вы мог-
ли выполнить свое обязательство перед лицом, который ссудил вам акции,
естественно, вам не остается ничего другого, как в момент времени t = 1
«обратно» купить необходимое количество этих акций по существующим в
этот момент ценам. Если в момент времени t = 0 вы ожидаете, что эта цена
будет составлять 49 руб., то ваши расходы на возвратную покупку составят
21.74 49 = 1065.22 руб. Ожидаемая выручка от продажи ценной бумаги 2 со-
ставит 118.24-118 = 13 952.49 руб. После осуществления всех сделок создается
изображенная в табл. 4.3 картина. Ожидаемую чистую доходность в объеме
28.87% мы получим и тогда, когда взвесим отдельные доходности по их до-
ле и просуммируем полученные значения. Так как реализованный портфель
на 110 % состоит из бумаги 2 и на —10 % из бумаги 1, то для доходности мы
можем записать
Е[т] = 1.1 • 0.2685 + (-0.1) • 0.0652 = 0.2887.
4.1.3. Кривая трансформации в случае с двумя ценными бумагами
Посмотрите на табл. 4.2 и сконцентрируйте внимание на ценной бумаге 2 и
дополнительно на пятой обращающейся на рынке бумаге с математическим
ожиданием Е[г5] = 0.15 и дисперсией Var[r5] = 0.01.
1. Составьте таблицу значений и покажите с помощью графика, ка-
кую структуру «доходность—риск» может выиграть тот, кто реализует
портфель из этих двух бумаг. Исходите при этом из корреляции между
доходностями обеих бумаг, равной £>25 = -0.5.
4.1. Теория портфеля
149
Таблица 4.4. Комбинация «доходность—
риск» при варьирующих долях
о? (доля титула 2) ЕЫ <т[гр]
0.00 0.1500 0.1000
0.10 0.1618 0.0824
0.20 0.1737 0.0694
0.25 0.1796 0.0655
0.30 ’0.1855 0.0638
0.35 0.1915 0.0645
0.40 0.1974 0.0675
0.50 0.2092 0.0792
0.60 0.2211 0.0960
0.70 0.2329 0.1158
0.80 0.2448 0.1372
0.90 0.2566 0.1596
1.00 0.2685 0.1826
2. Какую структуру имеет состоящий из обоих титулов портфель с наи-
меньшим риском?
3. Определите комбинацию «доходность—риск», которой достигает инве-
стор, продающий без покрытия 50 % бумаги 5 и инвестирующий вы-
ручку в титул 2.
* *
*
1. При w, являющейся долей ценной бумаги 2, портфель из этих двух
титулов достигает ожидаемой доходности величиной в:
E[fp] = w 0.2685 4- (1 — w) 0.15
и характеризуется риском
Varfrp] = w2 • 0.0334 + (1 - w)2 • 0.01 -
-2 • 0.5 • w (1-w)-0.1826-0.1. (4.5)
За счет вариации долей мы получим таблицу значений 4.4. Рис. 4.2
показывает кривую трансформации, похожую на гиперболу в осях
«доходность—риск». С помощью такого портфеля невозможно совер-
шенно уничтожить риск.
2. Портфель с минимальным риском, а значит, реализуемый портфель
с наименьшим риском, создается путем дифференцирования (4.5) по
150
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ
Е[гР]
Рис. 4.2. Кривая трансформации
структурной переменной ш и приравнивания к нулю получаемого в ре-
зультате выражения1
= 2<х> Var[r2] + 2(w - 1) Var[f5] +
+ Р2&2 (1 — 2u>) <7(7'2] <7(7'5] = 0.
Если выразить данную формулу через и>, то подстановка даст2
w = Уаг[7~5] - р-25 <7[>~2] gps] =0 31
Varfz^] + Var[r5] — 2p2s <7(7'2] ^[т^]
Если инвестор хочет поддерживать риск на как можно более низком
уровне, он должен инвестировать свое имущество на 31 % в ценнук
бумагу 2 и на 69% в актив 5.
3. Если мы продаем титул 5 на 50 % без покрытия, то посредством нашегс
портфеля мы достигаем ожидаемой доходности
1 Строго говоря, нужно было бы еще проверить и вторую производную для того, что-
бы быть уверенным, что речь идет о минимуме. Мы не будем заниматься этим, нс
хотели бы обратить внимание читателей на то, что функция Уаг(ш) является парабо-
лой, поэтому условия второго порядка в любом случае оказываются выполненными.
2 При использовании ковариаций соответствующая формула выглядит следующим
образом:
Varffr,] — Covjrs, r2]
W Var[r2] + Var[7'5] - 2 Соу[?'3, 7~2] ’
4.1. Теория портфеля
151
Е[гР] = 1.5 • 0.2685 + (-0.5) • 0.15 = 0.3277.
Риск составляет
cr(f>] =V/1.52 • 0.0334 + (-0.5)2 • 0.01 + 2 • (-0.5) • 1.5 • (-0.5) • 0.182G • 0.1 =
= 0.302.
Рис. 4.2 показывает соответствующую структуру «доходность—риск».
4.1.4. Полная корреляция и кривая трансформации
1. Рассмотрите портфель, состоящий из бумаг 1 и 2, который показан в
табл. 4.1. Определите кривую трансформации при условии, что прода-
жи без покрытия запрещены.
2. Исходите из доходностей акций 2 и 3. Определите кривую трансформа-
ции и покажите, что с портфелем из титулов 2 и 3 можно совершенно
уничтожить риск без осуществления продаж без покрытия. Как велика
доля акций 2 в портфеле с минимальным риском?
* *
*
1. Кривая трансформации является геометрическим местом всех комби-
наций «доходность—риск», которых инвестор может достичь посред-
ством «смешивания» двух ценных бумаг. Каждой точке кривой транс-
формации соответствует «своя» структура портфеля. Вид кривой зави-
сит от корреляции между доходностями ценных бумаг.
В этой задаче предполагается совершенно положительная корреляция
между доходностями акций 1 и 2. Мы хотим показать, что кривая
трансформации в этом специальном случае имеет вид прямой линии.
Для этого нам необходима сначала формула доходности и дисперсии
для портфеля, состоящего из акций 1 и 2. Для ожидаемой доходности
Е[гр] верно
E[fp] = <х> Е[п] + (1 — <х>) Е[г2] (4-6)
при <х>, являющейся стоимостной долей в портфеле акции 1. Дисперсия
портфеля определена как
Varfrp] =<х>2 Varf/'i] + (1 — w)2 Var[r2] +
4-2 cj (1 - w) pi2 <т[г1] <т[г2]-
Для специального случая полной положительной корреляции (и толь-
ко для этого случая) Var[rp] является возведенным во вторую степень
152
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
средневзвешенным стандартным отклонением3 4
/ • \2
Var[rp] = I w сг[г1 ] + (1 — <х>) <7(7'2] 1 .
Если мы исключим возможность продажи без покрытия, то доля ш
всегда находится в интервале [0,1]. Далее, так как не существует от-
рицательных стандартных отклонений, выражение в скобках в правой
части должно быть положительным. Поэтому- для стандартного откло-
нения мы получим
nfz'p] = i/Varf/'p] = о-' ^[гД] + (1 - <х>) <7(7'2]. (4.7)
Если мы выразим формулу (4.6) через и, то подстановка в (4.7) даст
после преобразований
_ £[nl..5gL-»[glB|f,l + E[n 1 - ЕЫ
<т[п] - ст[г2] ст[г^ - <j[r2]
Через подстановку цифр из табл. 4.2 можно рассчитать уравнение пря-
мой линии
Е[7Р] = —3.9942 + 23.34 п[й>].
Прямая линия в области 0.1739 < <т[гр] < 0.1826 соответствует искомой
кривой трансформации при полной положительной корреляции, если
продажа без покрытия не допущена (см. рис. 4.3)?
На самой северной точке портфель состоит на 100 % из ценной бумаги
2. На южном конце все имущество вложено в ценную бумагу 1. Точка
Q отражает комбинацию «доходность—риск» для портфеля, которая
состоит на 80 % из бумаги 1 и на 20 % из бумаги 2. Координаты Q мы
получаем через
E[rQ] = 0.8 E[/'i ] + 0.2 Е[/-2] = 0.1059
и
<t[7q] = 0.8 а[7'1] + 0.2 <7(7'2] = 0.1757.
Уничтожить риск при исключении продаж без покрытия невозмож-
но, так как все достижимые позиции «доходность—риск» можно изо-
бразить лишь как положительные линейные комбинации позиций
«доходность—риск» обеих ценных бумаг.
3 Это можно легко увидеть, если мы вспомним биномиальную формулу. Если мы
приравняем а = со <7(7'1] и b = (1 — со) <7(7'2], то дисперсию можно определить как
Varfrp] = (а + b)2 = а2 + b2 + 2аЬ.
4 При дисперсии, равной Var[r2] = 0.0334, которую мы определили на с. 146, получа-
ем стандартное отклонение-У Var[r2] = 0.1826.
4.1. Теория портфеля
153
Рис. 4.3. Кривая трансформации с q = 1
2. Доходности акций 2 и 3 имеют коэффициент корреляции —1. Для того
чтобы показать, что риск можно уничтожить полностью, мы использу-
ем две формулы
E[fp] = <х> Е[7~2] + (1 — w) Е[г3] (4-8)
и
/ \2
Var[rp] = ( <х> сг[г2] - (1 - w) а[г3] 1 .
Но для выведения кривой трансформации мы сейчас предложим дру-
гой способ, отличающийся от способа, содержащегося в задаче 4.1.4, 1.
Выражение в скобках, которое мы должны возвести во вторую сте-
пень, может стать как положительным, так и отрицательным. Но так
как не существует отрицательных стандартных отклонений, их нуж-
но исключить. Для этой цели мы в скобках учтем различие случаев и
скомбинируем их со знаком перед скобкой таким образом, что резуль-
тат в любом случае не станет отрицательным
<т[гр] = ± ( ил?[r2] - (1 - w)с[гз]) • (4.9)
Вначале мы определим для обоих случаев наклон кривой транс-
формации и после этого используем обе координаты (^[ro],cr[z~2]) и
(Е[г3], <т[г3]). Оказывается, что кривая трансформации сложена из двух
прямых линий.
Случай. 1. Знак выражения в скобках в (4.9) является положительным
а [гр] = <х> сг[гг] — (1 — w) <т[гз].
(4.10)
154
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Рис. 4.4. Кривая трансформации с д = — 1
Мы дифференцируем сначала (4.8) и (4.10) по ш и определяем после
этого при учете
£Е[М __ £E[rp
clcrfi'p] д cr[rp]/du'
наклон кривой трансформации. При
dE[z~p] т-,г- л т-1 г~ 1
—----- = Е Г2 - Е 7'з
и
Усф'р] ,
—----- = а г 2 + а ,-3
мы получим после подстановки значений из табл. 4.2
д EJz'p] Efol — Efol
---= _------------L±L = 0.6055.
Эст[гр] <т[г2] + cr[z~3]
Так как наклон постоянен, то кривая трансформации в случае 1 имеет
вид прямой с положительным наклоном в форме Ef/'p] = « + 0.6055 cfofo].
Случай 2. Знак выражения в скобках в (4.9) отрицателен. Наклон кри-
вой трансформации определяется аналогично случаю 1. Он составляет
ЭЕЫ = ЕЫ - Efo] = _0
д<т[гр] —сг[г2] - <?fo]
Мы получаем прямую линию вида Е[/'р] — а - 0.6055 fo/fo. Кривая воз-
можных действий, очевидно, образуется из двух прямых линий по
абсолютной сумме одинакового наклона. Нам известны две координа-
ты кривой. Они могут находиться на одной и той же прямой линии
лишь при полной положительной корреляции, см. с. 152. При имею-
4.1. Теория портфеля
155
щемся здесь коэффициенте корреляции -1 мы можем исключить воз-
можность того, что точки (Е[гг],<7[г2]) и (Е[гз], сг[г3]) лежат на одном и
том же отрезке прямой. Кроме того, так как продажи без покрытия
не допущены, мы знаем, что обе координаты являются самыми восточ-
ными точками кривой трансформации в координатах «доходность—
риск». Поэтому северная точка должна находиться на отрезке кривой
трансформации с положительным наклоном, южная — на отрезке с
отрицательным наклоном. После этих предварительных рассуждений
мы можем по отрезкам определить кривую трансформации через под-
становку соответствующих координат в общую формулу уравнения у =
— а + b х. При
0.2685 = а + 0.6055 0.1826
и
0.0584 = а - 0.6055 • 0.1644
для северного отрезка получим
E[f'p] = 0.1579 + 0.6055 а [?'/>]
и для южного
Е[тт>] = 0.1579 - 0.6055 <т[гР].
Рис. 4.4 показывает комбинацию «доходность—риск», которая дости-
жима при разных структурах портфеля. В общем отрезке ординаты
обоих прямых при положительной ожидаемой доходности дано совер-
шенное уничтожение риска. Здесь находится также портфель с наи-
меньшей дисперсией. Для специального случая £>2.з = —1 портфель с
наименьшим риском приносит гарантированную (безрисковую) доход-
ность. Структуру можно рассчитать, если приравнять к нулю (4.9) и
выразить эту формулу через структурную переменную5
ш = .. . = 0.4737.
+ а [г3]
Портфель с наименьшим риском содержит на 47.37% ценную бумагу
2 и на 52.63 % ценную бумагу 3. Он приносит в каждой ситуации s
одинаковую доходность
7>s = 0.4737 r2s + 0.5263 ?'з., = 0.1579.
4.1.5. Кривая трансформации при трех ценных бумагах
Пусть рынок капитала состоит из трех рисковых ценных бумаг.
° Альтернативно к этому мы получаем также со, если мы подставим значение отрезка
ординаты в формулу (4.8).
156
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Ценные бумаги А в С
Е[7] 0.10 0.15 0.20
Var[r] 0.01 0.0625 0.16
Коэффициенты корреляции в связи с доходностями ценных бумаг составля-
ют
QAB = -0.5, qAc = 0, qbc = -0.6.
1. Рассчитайте портфели из двух ценных бумаг, имеющие структуру с
наименьшей дисперсией.
2. Каковы доходность и риск портфеля, который состоит из одинаковых
долей трех ценных бумаг?
3. Оцените кривую трансформации для портфеля из трех ценных бумаг.
* *
*
1. Структура портфеля с наименьшим риском при двух ценных бумагах
рассчитывается по формуле
Var[r2] — Cov^Ti.i'o]
Var[n] + Var[r2] - 2 Covf)'!, f2] ’
причем w является долей первой бумаги. При учете
Cov[fi,f2] = щ2 ст[/*1] сг[г2]
мы получаем для портфеля, состоящего из бумаг А и В,
_ 0.0625-(-0.5) 0.1-0.25
~ 0.01 + 0.0625 - 2(—0.5) 0.1 • 0.25 ~ '7692,
= 1 — сид = 0.2308,
для портфеля, содержащего А и С,
0.16-0-0.1-0.4
~ 0.01 + 0.16 - 2 О • 0.1 • 0.4 “ °' 412’
<jJc = 1 — — 0.0588
и для портфеля, в котором содержатся акции В и С,
0.16- (-0.6)0.25-0.4
tjJ Г) — --------------------------- = 0
0.0625 + 0.16 - 2 (-0.6) 0.25 0.4
tjJc = 1 — иЩ = 0.3577.
Табл. 4.5 показывает координаты соответствующих портфелей с наи-
меньшей дисперсией.
4.1. Теория портфеля
157
Таблица 4.5. Структура и координаты
портфеля с наименьшим риском
Портфель AB AC ВС
Бумага 1 Бумага 2 76.92 % 23.08 % Доли 94.12% 5.88% 64.23% 35.77%
E[z>] 11.15% 6.9.3 % 10.59 % 9.70% 16.79 % 13.67%
2. Дисперсию портфеля, в котором содержатся одинаковые доли бумаг А,
В и С, мы рассчитаем с помощью формулы
Уаг[7~р] = Var[f д] + Var[fa] + ^'с Var[z'c] +
+ 2и7д uZp Соу[гд, fB] + 2о?д uJC Соу[гд, 7~с] +
+2wp шс Cov[r#, /’с].
Это уравнение можно записать и с помощью матриц.1’
Соу[/'..1,гд] Covfz'-д, тв] Соу[?'д, z'c]
CJ] lv’2 С^з
Cov[tb,ta] Соу\тв,гв] Cov[rj3, rc]
Соу[г(7,Гд] Соу[гс’Л'в] Cov[?'c, z'c]
С данными нашей задачи мы получим таким образом
0.01 -0.0125 0 1/3
1/3 1/3 1/3 ] • -0.0125 0.0625 -0.06 1/3 = 0.0097.
0 -0.06 0.16 . V3 .
Доходностью портфеля является средневзвешенное значение отдель-
ных доходностей
E[z~p] = | 0.1 + | 0.15 + | 0.20 = 0.15.
3. При трех ценных бумагах возможные портфели находятся уже не на
одной кривой, а на плоскости в виде формы яичной скорлупы. Вид
этой плоскости представлен на рис. 4.5 для трех бумаг А, В и С.
6 При этом мы должны уяснить для себя, что Cov[ri,ri] = Varffj]. Для этого способа
расчета сравни: Copeland Т. Е., Weston J. F. Financial Theory and Corporate Policy.
3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988. P. 175.
158
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Е[г>]
----------------------------------------------------»- <7 [?'р ]
Рис. 4.5. Кривая трансформации при трех ценных бумагах
Если мы предположим, что продажа без покрытия недопустима, то
краем плоскости окажется оболочка кривой трансформации для соот-
ветствующих портфелей из двух ценных бумаг. Позиция D отражает
портфель с абсолютно минимальной дисперсией.
4,1.6. Линия эффективности
На рынке обращается много ценных бумаг. Объясните, почему линия эф-
фективности состоит лишь из северной ветви кривой трансформации. Исхо-
дите из того, что риск ценной бумаги с более низкой доходностью меньше,
чем риск титула с самой большой доходностью.
* *
*
Линия эффективности — это геометрическое место всех доминирующих
позиций «доходность—риск». О доминирующих позициях мы говорим то-
гда, когда невозможно достичь через альтернативную смесь портфеля бо-
лее высокой доходности при том же риске. Как показывает рис. 4.6, это
свойство имеют лишь позиции, которые находятся на северном крае кривой
трансформации. Точка С является одной такой доминирующей смесью цен-
ных бумаг. Напротив, портфели А и В, которые имеют одинаковый риск и
поэтому лежат на вертикальной линии С, являются неэффективными.
4.1. Теория портфеля
159
Рис. 4.6. Кривая эффективности
4.1.7. Кривая эффективности для экономики в целом
Обоснуйте, почему кривая эффективности для экономики в целом должна
иметь положительный наклон и быть строго выпуклой вверх.
* *
*
На рис. 4.7 слева изображена кривая эффективности с (гипотетической)
снижающейся ветвью. Рассмотрим комбинацию «доходность—риск» Q. Ни
один не расположенный к риску инвестор не стремился бы к позиции Q,
так как он мог бы достичь той же самой доходности E[?'p]q и с меньшим
риском Q не эффективна, как и все позиции на снижающейся ветви.
Следовательно, кривая эффективности имеет во всей области определения
положительный наклон. Для обоснования строгой выпуклости вверх кри-
вой эффективности проверим, может ли она быть выпуклой вниз или ли-
нейной. Если нам удастся исключить эти два вида прохождения, то должна
иметь место выпуклость вверх.
Давайте сначала исследуем возможность выпуклой вниз кривой эффек-
тивности. Эта возможность изображена в правой части рис. 4.7. Здесь мы
можем составить портфели из позиций L и N. Как мы знаем из теории порт-
феля, эти позиции в наихудшем случае имеют коэффициент корреляции
+ 1. Тогда все смеси можно изобразить в виде линейной комбинации N и L.
Почему здесь речь идет о наихудшем случае, мы можем себе легко уяснить,
если исходя из N составим смесь из обеих позиций. Рост доходности AEf?'],
160
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Рис. 4.7. Кривая эффективности
которого можно достичь за дополнительную единицу риска Дстр], является
постоянным и всегда меньшим, чем при корреляции q < +1. Проверим все-
таки один раз эту структуру и рассмотрим М. Портфель М по сравнению с
портфелем К является доминирующим, так как он имеет при том же риске
более высокую доходность. Как К, так и все другие точки на (гипотетиче-
ской) выпуклой вниз кривой, являются суб доминантными по сравнению с
портфелями на прямой линии. Поэтому кривая эффективности не может
иметь выпуклые вниз участки.
Сейчас давайте проверим еще возможность того, что прямая линия ока-
жется линией эффективности. Такой вид графика хотя и является теорети-
чески возможным, но возникает лишь тогда, когда обращающиеся на рын-
ке капитала ценные бумаги совершенно положительно коррелируют и все
комбинации доходности и риска с минимальной дисперсией находятся на
одной и той же прямой линии соединения. Это предполагает, что портфели
можно создать всегда лишь из двух ценных бумаг. Очевидно, такой вывод
явно противоречит действительности. Следовательно, единственно возмож-
ной формой линии эффективности остается ее строгая выпуклость вверх.
4.1.8. Выбор портфеля при одном рисковом финансовом титуле
Инвестор имеет функцию полезности
U(Ер], стр]) = а + Ь Ер] + с Ер]2 + с стр]2.
1. Рассчитайте предельную норму замещения в общем виде и для кон-
кретных значений b = 0.2 и с = -0.825082.
2. Какие комбинации «доходность—риск» достижимы для инвестора, ес-
ли можно инвестировать лишь в две ценные бумаги:
4.1. Теория портфеля
161
• ценную бумагу 4 из табл. 4.1 и
• ценную бумагу 6 с математическим ожиданием Е[г6] = 0.1 и стан-
дартным отклонением ст[г(;] = 0.08?
Цена для бумаги 4 составляет 50 руб. Продажи без покрытия допуще-
ны.
3. Определите оптимальный портфель.
4. Является ли инвестор заемщиком или кредитором?
* *
*
1. Предельную норму замещения можно определить, приравняв к нулю
полный дифференциал функции полезности
dU — I b + 2сЕ[г]1 • </Е[г] + 2сст[г] dстЩ = 0
и выразив его через
Мы сейчас подставим конкретные значения в MRS и получим
2. Цена бумаги 4 является безрисковым вложением с доходностью, рав-
Кривую трансформации портфеля с безрисковыми и рисковыми акти-
вами можно определить при учете стандартного отклонения
ст [г] = x/'cj2 Var[/'fjj + (1 - w)2 Var[r4] + 2 о? (1 — lu) Cov[f4, re],
дисперсии Var[r4] = 0 и ковариации Cov[r4, re] = 0 — с помощью урав-
нения доходности портфеля
Е[г] = ш Е[ге] + (1 — <х>) г4 =
= ш (E[?'g] - гл) + Г4
(4-12)
Так как мы допустили продажу без покрытия, то каждый инвестор
может первым делом получить кредит по ставке процента r4 (w > 1)
или вторым делом продать рисковый актив 6 без покрытия < 0).
Поэтому мы можем переписать стандартное отклонение как
162
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Если выразить данную формулу через и>, то подстановка в (4.12) даст
_г_, , , Е[?'б] - 7'4
ЕН = Г| £ "И
Линия трансформации состоит из отрезков прямой с безрисковой став-
кой процента, соответствующей оси ординаты (рис. 4.8). Все точки,
Рис. 4.8. Оптимальная ситуация инвестора
достижимые за счет
пунктирной линии
продажи без покрытия бумаги 6, находятся на
Прямая линия пересекает ось абсцисс при сг[7~] = 0.08, что мы можем
легко проверить за счет приравнивания к нулю предыдущего уравне-
ния. Для определения структуры принадлежащего портфеля мы при-
равниваем (4.12) к нулю и выражаем через структурную переменную
с результатом = —1. Инвесторы считаются лишь с продажей без по-
крытия титула 4, так как продажа без покрытия акции 6 приведет к
неэффективным комбинациям «доходность—риск». Кривая эффектив-
ности характеризуется уравнением
Е[?'] = 0.05 +
0.1-0.05
08
сг[г] = 0.05 + 0.625 сф'].
3. MRT (предельная норма трансформации) соответствует наклону линии
эффективности. При учете (4.11) условие оптимального портфеля вы-
4.1. Теория портфеля
163
глядит следующим образом:
2 (—0.825082) сф'] ,, „
--------------- J - = 0.625. (4.13)
0.2 + 2 (-0.825082) Ер] V '
Путем подстановки
Е[г] = w0.1 + (1-lj) 0.05 = 0.05 + cuO.05 (4.14)
и
стр] = ш сгрб] = w 0.08 (4.15)
в (4.13) получим уравнение определения
2 (-0.825082) 0.08 cv бО5
~ 0.2 + 2 (-0.825082) (0.05 + ш 0.05) “ '
Если выразить данную формулу через л, то это приведет к структуре
портфеля, максимизирующего полезность:
• ш = 0.4 (доля рисковой ценной бумаги 6) и
• 1 — о? = 0.6 (доля безрискового актива 4).
Подстановка ш в (4.14) и (4.15) приведет к точкам, отражающим вы-
бранный портфель,
сг[г] = 0.4 • 0.08 = 0.032
и
Е[г] = 0.05 + 0.4 0.05 = 0.07.
Оптимальная ситуация инвестора изображена на рис. 4.8.
4. Безрисковая ценная бумага содержится в портфеле с долей 1 - > 0.
Поэтому инвестор является кредитором. В оптимуме он ссужает 60 %
своего имущества. Положение заемщика в точке Q (рис. 4.8) требует
продажи без покрытия титула 4 и, таким образом, 1 — о? < 0.
4.1.9. Отношение к риску и выбор портфеля
Ваши предпочтения характеризуются слабой нерасположенностью к риску,
и при этом вы хотите оптимизировать свой портфель. На рынке капитала
обращается много ценных бумаг. Ваш друг рекомендует вам купить порт-
фель с наименьшим риском. Последуете ли вы совету вашего друга?
Ж -к
*
Кривые безразличия инвесторов, характеризующихся слабой нерасполо-
женностью к риску, являются относительно пологими, а тех, кто сильно
не расположен к риску, — относительно крутыми. Данный тезис проиллю-
стрирован на рис. 4.9.
164
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Рис. 4.9. Виды отношения инвесторов к риску
Пусть Ц будет кривой безразличия инвестора и, а /2 — инвестора г2. Рас-
смотрим положение с одинаковым риском А и В. Исходя из В инвестор ?i го-
тов принять на себя одну дополнительную единицу риска Д ар] лишь тогда,
когда это компенсируется относительно высокой доходностью ДЕрр. Тре-
бование высокой компенсации отражает его сильную нерасположенность к
риску. Инвестору г2 нужно компенсировать для принятия дополнительного
риска лишь относительно низкую дополнительную доходность ДЕр]2, и по-
этому его нерасположенность к риску можно охарактеризовать как слабую.
Безразличные к риску инвесторы по этим соображениям имеют горизон-
тальные кривые безразличия. Эта категория инвесторов не требует компен-
сации для принятия на себя дополнительного риска. Вертикальные кривые
безразличия указывают на то, что инвестор готов к дополнительному при-
нятию на себя риска лишь в том случае, если он будет вознагражден бес-
конечно большой дополнительной доходностью. Такой инвестор является
«бесконечно» не расположенным к риску.
Оптимальный портфель находится в точке касания кривой трансформа-
ции и кривой безразличия. Здесь верен тезис: «Предельная норма транс-
формации (MRT) равна предельной норме замещения (MRS)». Так как кри-
вая трансформации при характеризующей портфель с минимальным рис-
ком комбинации «доходность—риск» имеет бесконечный наклон, этот порт-
фель мог бы быть лишь тогда вашим оптимальным портфелем, когда вы бы-
..и С;., «бесконечно» не расположены к риску. Но это противоречит данной
4.1. Теория портфеля
165
задаче, где ваша нерасположенность к риску была охарактеризована как
слабая. Ваш оптимальный портфель должен находиться в пологой обла-
сти линии эффективности при относительно высоких значениях комбина-
ции «доходность—рйск». Вы никогда не стали бы держать портфель D с
минимальным риском из-за связанной с этим потери полезности (/2 >
Литература
Теория портфеля основывается на работе: Markowitz Н. М. Portfolio Selec-
tion. Efficient Diversification of Investments. New York: Wiley, 1959. Одними
из самых лучших вторичных источников можно считать: Copeland Т. Е.,
Weston J. F. Financial Theory and Corporate Policy. 3rd ed. Reading (Mass.):
Addison-Wesley, 1988 и: Elton E. J., Gruber M. J. Modern Portfolio Theory and
Investment Analysis. 5th ed. New York: Wiley, 1995. Тем читателям, которые
особенно интересуются практическим применением теории, рекомендуется
также Boss S. A., Westerfield В. W„ Jaffe J. F. Corporate Finance. 3rd ed.
Homewood (Ill.): Irwin, 1993.
166
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
Большую значимость САРМ можно объяснить за счет теоремы разделе-
ния Тобина. Тобин показал, что решения об инвестициях и потреблении
можно разделять также и в стохастических условиях. Если существует воз-
можность капиталовложения без риска, то инвесторы независимо от того,
как велико их капиталовложение, инвестируют в рыночный портфель и в
безрисковую ценную бумагу. Индивидуальная расположенность к риску не
играет роли для состава рискового портфеля и для рыночной цены, которую
достигает риск в равновесии. Таким образом, теорема разделения содержит
не только теоретическое обоснование для возможности делегирования ре-
шений о портфеле, но также обосновывает независимые от предпочтения
решения менеджеров о рисковых инвестиционных проектах.
Наша цель состоит в том, чтобы аналитически корректно и в то же вре-
мя доступно представить основные идеи САРМ. Для этого мы скрупулезно
следуем подходу в учебнике и, таким образом, версии САРМ Моссина. Oj\-
нако мы сведем количество рисковых финансовых титулов и инвесторов к
минимуму. Для помещения сбережений имеются одна безрисковая и две
рисковые ценные бумаги. На рынке действуют лишь два инвестора. Как об-
разуется равновесие в этом упрощенном мире «одно благо — три ценные
бумаги»? Теоретический анализ, необходимый для ответа на этот вопрос,
будет проделан нами поэтапно с помощью следующих одна из другой част-
ных задач. Анализ обрамляется одной вступительной задачей и набором
заключительных задач. Первая освещает ограничения, с которыми сталки-
вается инвестор, принимающий решения на основе принципа «дисперсия—
математическое ожидание». Последняя служит для изображения важней-
ших следствий из модели на примере конкретных данных и графиков.
4.2.1. Бюджетное ограничение
На рынке капитала существуют три ценные бумаги, которые можно иден-
тифицировать через их денежный поток. Все титулы обращаются в t = 0 по
одинаковой гарантированной ценер(А'о) =р(Х1) = р(Х2) = 1.00 руб. Нулевая
ценная бумага является безрисковым вложением и «обещает» возвратный
поток в объеме А'о — 1.10 руб. При наличии двух рисковых ценных бумаг
можно ожидать возвратные потоки в объеме E[Xi] = 1.20 руб. и Е[Х2] =
= 1.50 руб. Вашим начальным запасом являются:
• потребительские блага в объеме CQ) = 2 • С() = 20 000 руб.,
• безрисковые бумаги в количестве Уф = 10 000 шт.,
• рисковые титулы в количестве nj = 20 000 и ч2 = 30 000 шт.
1. Сколько потребительских благ вы можете максимально потреблять в
t = 0?
2. Как велико максимальное потребление в t = 1, если вы принципиально
4.2. Решение «потребление—сбережение» .и САРМ
167
откажетесь от рисковых вложений, а инфляция на рынке потребитель-
ских благ является нулевой? Вы принимаете свое решение о потребле-
нии и сбережении на основе функции полезности U{C'o. E[Ci], Var[Ci]).
Объясните вербально и аналитически с помощью вышеприведенных
данных начального запаса ограничения, которые вы должны соблю-
дать при максимизации своей полезности. Исходите сейчас из цены
потребительского блага, равной '</’• Дисперсия возвратных потоков пер-
вого титула составляет 0.3, второго —0.5. Ковариация возвратных пото-
ков имеет значение 0.01.
1. Стоимость вашего начального запаса составляет
Со +р(Хо) • по +р(Хф) • «1 + р(Л'2) • но.
(4.16)
После подстановки стоимости благ, количества штук и цен в (-1.16) по-
лучим
20 000 + 10 000 + 20 000 + 30 000 = 80 000.
Если все это расходуется в t = 0, то мы можем потреблять
80 000
2
= 40 000
единиц благ.
2. Если все 80 000 руб. сберегаются и будут помещены по безрисковой
ставке процента г/ = 0.1, в t = 1 возможен уровень потребления, рав-
ный
80000- 1.1
--------- = 4-1 000
2
единиц благ.
3. Во-первых, в t = 0 нельзя потреблять и сберегать больше, чем на сум-
му, превышающую начальный запас. Во-вторых, нельзя накапливать
никаких сумм или вкладывать в кассу и, в третьих, не допускается
расточительство потребительских благ. Так как все цены сведены к
единице, то начальный запас составляет 70 000 руб. При Со, являющим-
ся спросом на потребительские блага, п() — спросом на безрисковую и
П1,П2 — объемами спроса на рисковые ценные бумаги, ограничение
для совокупного спроса в t = 0 выглядит следующим образом:
Со + По + 771 + 77 2 = 70 000.
И в t = 1 возможно лишь потребление зависимых от ситуаций возврат-
ных потоков. Расточительство снова исключено. Аналитически огра-
ничение можно записать как
С1 =770 Л'о + 771 А’1 + 772 -Ab
(4-17)
168
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Это зависимое от случайности ограничение необходимо теперь преоб-
разовать в математическое ожидание и дисперсию будущих уровней
потребления. Это необходимо, так как вы можете оценить будущие
значения распределения потребления с позиции сегодняшнего дня на
основе своей функции полезности лишь тогда, когда известны оба эти
числа. Из (4.17) получается
Е[С\] — по (1 + rf) + щ Е[Л i] + П'2 Е[А 2],
= Но 1.1 + 71} ' 1.2 + 112 ' 1-5
и
Var[Ci] = n2 Var [XJ + П2 VarfAV] -Г 2ni n2 Cov[X\, X2],
= nj 0.30 + nl 0.50 + 2n.i z?2 (-0.01).
4.2.2. Модель трех ценных бумаг
4.2.2.1. Данные рынка капитала
Объектами помещения ваших сбережений являются охарактеризованные в
табл. 4.С ценные бумаги. Рассчитайте с помощью этих данных математиче-
ское ожидание и дисперсию возвратных потоков для обеих рисковых бумаг.
Каково значение ковариации возвратных потоков?
Таблица 4.6. Цены и денежные потоки трех
ценных бумаг
J <11 = 0.6 Л' 12 72 = 0.3 -y,3 9з = 0.1
0 1.00 1.00 1.00 1
1.12
1 1.05 1.20 1.10 1
2 1.30 1.00 1.05 1
*
*
Мы получаем для обоих титулов математическое ожидание, дисперсию и
ковариацию возвратных потоков следующие результаты:
E[Xj] = 0.6 • 1.05 + 0.3 • 1.2 + 0.1 • 1.1 = 1.1,
Е[Х2] = 1.185,
VarLYij = 0.6 • (1.05 - 1.1)2 + 0.3 • (1.2 - 1.1)2 + 0.1 (1.1 - 1.1)2 =
= 0.004502,
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
169
VarVX-2\ = 0.020022.
CovfA'i, Л'г] =0.6 (1.05 - 1.1) (1.3 - 1.185) +
+ 0.3 (1.2 - 1.1) • (1 - 1.185) +
+ 0.1 • (1.1 - 1.Г) • (1.05 - 1.185) =
= -0.009.
Так как участники рынка имеют однородные ожидания, данные в табл. 4.6
и рассчитанные здесь значения для всех участников рынка одинаковы.
4.2.2.2. Подход Лагранжа
Ваша функция полезности имеет вид:
^^.EfCHVarfG]).
и пусть рынок капитала характеризуется данными из табл. 4.6. Вашим на-
чальным запасом являются потребительские блага и ценные бумаги, причем
(?о = 1000, йо = 50 000, й1 = 10000 и й2 = 10 000. Единица потребительского
блага стоит ib — 1. Опишите вначале проблему принятия решения и сформу-
лируйте после этого соответствующий подход Лагранжа.
* *
*
Вы стоите перед проблемой выбора одного из многих распределений потре-
бительских благ, которое максимизирует вашу полезность. Выбор происхо-
дит посредством двух частичных решений. Вы должны
1) установить ваше сегодняшнее потребление Со и ваше сбережение и
2) распределить ваше сегодняшнее сбережение между рисковыми и без-
рисковыми активами.
Так как каждая возможная комбинация параметров пп, iij и по детерми-
нирует определенное распределение потребительских благ, выбор «наилуч-
шего» распределения происходит через оптимизацию этих трех параметров
принятия решения. При решении этой задачи оптимизации вы должны со-
блюдать ограничения для двух моментов времени. В отношении момента
времени t — 0 должно быть выполнено ограничение
С° + п0^ + п1 + п2 = 1000 + 50000 • + 10000 + 10000.
В отношении момента времени t = 1 должно быть соблюдено бюджетное
ограничение, которое мы можем описать с помощью математического ожи-
дания
E[Ci] = пц + п-1 • 1.1 + П2 • 1-185 (4-18)
и дисперсии
VarfC]] = nj 0.0045 + nj -0.0200+ 2?+ п2 • (-0.009) (4.19)
170
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
будущего потребления.' (4.18) и (4.19) можно включить в функцию полез-
ности [7(Co,E[Ci], Var[Ci]), так что при формулировании подхода Лагранжа
необходимо лишь учесть ограничения для момента времени t = 0. Мы полу-
чим в общем
Д — U ( Су, пq + 7i\ E[A”i] 4- Н‘2 Е[А2],
ЕКА]
niVarfAj + n.^ Var[A2] + 2»i 7i2Cov[A'i. АА] ) +
Уаг[С,]
- 1
+ К Со + 77ц -----------
\ 1 + rf
+ ^iP(Ai) + 7i2p(A2) -
r 1
— С-0 — 7?0 —-
l+77
- 771p(Al) - 7!2p(A'2)
(4.20)
или после подстановки данных рынка капитала
£ = и[ Со, 77О + 77! 1.1 + п2 1.185, nf0.0045 + п?2 0.0200 + 2щ п2 (-0.009) +
+«/1000 + 50 000- + 10 000 + 10 000 - Со - - 1ц - п2
4.2.2.3. Условия оптимальности
Выведите из функции Лагранжа, описанной в предыдущей задаче в общем
виде, условия первого порядка для межвременного максимума полезности
инвестора.
* *
*
Функция для максимизации задана формулой (4.20). Дифференцирование
по Со, по, П], п2 и к и приравнивание к нулю полученных таким образом
выражений позволяют найти искомые условия первого порядка
дС _ &Ц_
дС() дС0
д£ dU 1
-— =------— --------к — 0.
дпо c)E[Ci] 1 + rf
(4-21)
(4.22)
' См. по этому поводу рис. 4.10 на с. 184. Для каждого по существует кривая транс-
формации. Инвестор ограничен тем, что он может выбрать лишь такие комбинации
математического ожидания и дисперсии, которые «возможны», а значит, находятся
на одной и той же кривой трансформации. Расположение и вид семейства кривых
трансформаций были описаны формулам^ (4.18) и (4.19).
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
171
дС дщ dU =—E[Xi] + (4.23) j ди ( - - - \ + PmVarlA'i] + 2 7i2Cov[X1,X2] -^(XO = 0, c?Var[Ci] \ /
дС дп2 ar r +Е|с,|ВД + ,4-24) QTJ / \ -1 =— ( 2?i2 Var[X2] + 2 Cov[X2, A'i] ) — к p(X2) = 0. OVarfCi] \ /
DC дп = Co + t?o +7fip(A]) + n2p(X2) (4.25) 1 + rf Co «ip(Ai) 772p(A2)=0. 1 + 77
4.2.2.4. Решение «потребление—сбережение»
Докажите, что сумма, которую инвестор в совокупности сбережет, зависит
лишь от безрисковой ставки процента.
*
Для этого доказательства мы используем оба условия первого порядка (4.21)
и (4.22). Если выразить (4.21) через множитель Лагранжа
0U
то подстановка в (4.22) даст после преобразований
ди/дСц
dU/дЦСх]
(4.26)
Решение о том, каков будет объем отказа от потребления в f = 0, или, иными
словами, сколько нужно сберечь, будет принято только на основе безриско-
вой ставки процента. Условие (4.26) соответствует условию оптимальности
для принятия решения о потреблении и сбережении в условиях определен-
ности.
4.2.2.5. Оптимальные инвестиционные планы и уравнение цены
Рассмотрите условие первого порядка из задачи 4.2.2.3 и выведите соответ-
ствующее равновесию на рынке капитала уравнение цены.
172
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Сконцентрируем внимание исключительно на условии первого порядка
(4.23) и (4.24). На пути к желаемому результату мы должны пройти два
этапа. Конец первого этапа отражается в равенствах
Е[А7] — (1 + rf)p(Xi) = h' Varf.Vi] + n> Cov[A7. A'2]J . (4-27)
Е[АЪ] - (4 + = h' (ii2 VarfAA] + »i-Cov[A'2, A\ M. (4.28)
Отдельные шаги на пути к этому промежуточному результату выделены в
тексте курсивом.
Удаление множителя Лагранжа. Для этой цели мы преобразуем (4.22)
таким образом, что возникнет
ои
<ЭЕ[С\]
(1 + 0,
(4.29)
и подставим данное выражение в (4.23) и (4.24). Это приведет к
, ЕО1 + Ал1 f2'?i VarpG] + 2 7).2Cov[A1.X2]"j -
uE[Ci] aVar[Cij \ /
- 7^0 + O/Oi) = °, (4.30)
(J Hi [O i j
dU ~ dU ( - - - \
i e[A2] + - - (2n2Var[A2] + 27>1 Cov[A2.Ai] -
<?E[Ci] <?Var[Ci] \ /
--^-(l + O?(X2) = 0. (4.31)
Упрощения. После этого с формулами (4.30) и (4.31) производятся следу-
ющие операции:
• вычитание ди ( - - - \ 2 nv ГА , ”1 VarPG] + н2 Cov[A], А2] (9Var[C\] \ /
и 2 - (п2 Var[,V2] +7uCov[A'2,A1]^ c?Var[C7]] \ /
из обеих частей,
• подстановка в скобки dU/с?Е[С1] в соответствующих левых частях,
• деление обеих частей на dU/OEfCi].
Таким образом, мы получим
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
173
Е[Х1]-(1+г/)р(Х1) =
Ш/ЭУаг}^}
c)t7/c?E[C'1]
«1
Var[Aj] +n2Cov[X'1,
(1.32)
Е[Х2] - (1 + rf)p(X2) =
Ш/ЭУаг}^]
dH/dEfCi]
?/2 Var[A’2] + 77] Cov[X2. Xi]
(4.33)
Замещение. Теперь мы заменим предельную норму замещения между
ожидаемым потреблением и риском потребления показателем
Ш/дУаг^]
б>С7/г?Е{С’1]
при / € {1,2},
(4.34)
причем hl подчеркивает зависимость от инвестора предельной нормы за-
мещения. Новую полученную вспомогательную переменную подставляем в
(4.32) и (4.33). Это наконец приведет нас к формулам (4.27) и (4.28).
Формулировка определений и правил расчета. Перед тем как мы начнем
проходить второй этап, сформулируем целесообразные для этого определе-
ния и правила расчета. Нам необходимы приведенные в табл. 4.7 формулы.
Дальнейшие преобразования. Если мы выразим (4.27) и (4.28) через //', то
для инвесторов 1 и 2 получается
= E[>CQ-(1 -
77}Уаг[Х1] + r4Cov[Xi,X2]
д2_ Е[Х,] - (1 - 77)р№)
n^VarfXi] +77^Cov[X'i!X2]’
Если мы преобразуем эти матрицы в обратные, то получим
1 niVar[Xi] + zv^CovIXi, Хг]
/ц= Е[Х!] - (1 - 77МХ!)
Тогда суммирование дает
1 1 n}Var[Xi] +/i^CovfXi,Х2] + TijVarfA'!] +/i^CovfXi,Х2]
ЩХ^-^-г^Хг) ’
С учетом определения 1/Н = (1/Тг1) + (1//г2) после применения тождества
ковариации из табл. 4.7 получаем:
1 __ CovjXi, (тг} + nf)Xt + (тг.} + nl)X2]
Н~ Е[Х1]-(1-глР(Х1) ’
174
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Таблица 4.7. Определения и правила расчета
Доли портфеля = ?ip(X,) _ = (4 35) П1 р(А1) + п2 р(А2) и., = П2р{Х2) = П2р{Х2) 36) П1 р(А'1 ) + 712 р( X2) Su Математические ожидания доходности
Е[й] = Дисперсия доходности Varfri ] = Var , Var Var ,-2 = p(X Ковариация доходности ?еЬ1 и Е[г2] = Щ-1 (4.37) Р<Х1> г(Л-2> '-Al = (4.38) p(A'i) ] [p(Xi)J р(Х,)2 (4-39> и денежного потока
Cov[Xi, f,„] = Cov[p(Ai)(l + Г1), rm] = p(A'i )Cov[l + fl,rm] = p(XJ )Cov[n, rm] (4.40) Ожидаемый денежный поток индивидуального оптимального портфеля E[Am] = U7] Е[Х;] + и_’2 Е[Х2] (4.41) Дисперсия денежного потока индивидуального
оптимального портф Var[Xm] =^Var[ Тождества ковариации еля Xi] -р ^2 Var[A2] + 2 Cov[Xj, А2] (4.42) Cov[A], Xi] = Cov[Ai,ui Xi] (4-43) Cov[X), X2] = Cov[Xi, i^2 X2] (4.44) 5v[Xi, u2 X2] = Cov j^Xi, Xi + u2 ~ = Cov[Xi.Xm] (4.45) Cov[X2, Xm] = Cov^ivi Xl + u-’2 X2^ , Am] = = Cov[Xm,Xm] = = Var[Xm] (4.46)
u-’i Var[Xi] = и Cov[Xi,ui Xi] + С< оЦ Cov[Ai, Х,„] + <^2
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
175
В равновесии совокупное предложение ценных бумаг должно соответство-
вать совокупному спросу на них. Условие выполнено, если на предложен-
ные на рынке денежные потоки существует спрос, так что верно
X щ — (ч.} + П^)Х1 + (772 + п2)^2-
С учетом этого для Н мы получим выражение
н = е[х1]-(1-77)?№)
CovpGXj
Незначительная перестановка дает нам равновесную цену первой рыночной
бумаги
= Е[Х,|-ИСоуЦ„.Ц,1
1 4- Tf
Аналогично равновесная цена для ценной бумаги 2 определяется как
? = Efcl-HCovl^.XJ
1 + 77
Сейчас уясним для себя, что в равновесии на рынке капитала и оцененный
спрос должен соответствовать оцененному предложению, так что верно
n\p(Xi) + nlptXi) + п\р{Х2) + 7i|p(A'2) = р(Хт). (4.49)
Подстановка (4.47) и (4.48) в (4.49) и вынесение за скобки 1/(1 + rf) приведет
нас при учете представленного в таблице обстоятельства
тг} Cov[Xi, Xm] 77* -EPG]
+n-f CovjXj, Х7„] E[%i]
+п\ Cov[X2, Х,п] + тг> Е[Х2]
+п2 • Cov[X2, Х,„] +?г| Е[Л'2]
= Cov[Xm,X,„] = Е[Х„1]
после незначительной перестановки к
(1 + rf)p(Xm) = E[A'm] - HCov[Xm, Х„,]. (4.50)
Из )•„, = Хт/р(Хт) — 1 можно легко извлечь Х,„ и подставить в (4.50). Таким
образом, мы получим
Н Var[p(A,n)(l + rrn)] = Е[р(Ат)(1 + г,,,)] - р(Х„,)(1 + rf).
Цена рыночного портфеля является постоянной, и поэтому ее можно пе-
реставить на место перед оператором математического ожидания, так что
после деления на р(Хт) получаем выражение
Hp(Xm)Xar[rm] = 1 + Е[г,„] - (1 + т7)
176
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
и наконец
Е[т~,г, )] - г;
p(Xm)Var[rTO]’
Н определяется через рыночные величины независимо от инвестора. Если
мы сейчас подставим Н и Хт в (4.47) и, кроме того, учтем (4.40), непосред-
ственно получим искомую независимую от инвестора формулу цены
Р(Х1) =
E[Xi] — ACov[A'i, г,п]
1 + г/
Цена р(Х2) из (4.48) определяется совершенно аналогично.
4.2.2.6. Независимая от предпочтения структура портфеля
Докажите, что оптимальная структура рискового портфеля не зависит от
функции полезности индивидуального инвестора и, следовательно, идентич-
на для всех участников рынка.
*
Для доказательства того, что оптимальная структура рискового портфеля
независима от инвестора, мы объединим (4.27) и (4.28) в матричную форму
ад-тунх!)
Е[Х2] - rfp(X2)
' VarlXj]
Cov[X21Xi]
Cov[Xi, X2]
Var[X2]
Перемножение данной матрицы и матрицы, обратной матрице «диспер-
сия—ковариация», дает
VarfXj] Cov[X1;X2]\ 1 /Е[Х!]-(l + zyHXjA /щ/Л
’ = • <4-51>
Соу[Х2,Х!] Var[X2] / \Е[Х2] - (1+77)р(Х2)/ \пг2Ь’/
Сейчас мы должны вспомнить, что при условии САРМ все субъекты имеют
однородные ожидания. Значит, в левой части (4.51) находятся лишь наблю-
даемые рыночные величины (эти величины одинаковы для всех инвесторов,
если исходить из предпосылки однородности). Это позволит нам сделать сле-
дующее упрощающее действие:
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
177
Var[Xi] Cov[Xi,A2]
Cov[X2,Xi] Var[A'2]
ЕЙ-П+гМ)
E[X2]-(l + r;)p(X2)
(4.52)
Из этой формулы с учетом (4.51) следует
Ч, = — И Г); = —.
1 h‘ ~ /г.'
причем вспомогательные переменные и 02 не зависят от индивидуальных
предпочтений инвесторов. Подстановка в (4.35)
^Р(Й) + ^Р(Й)
#1 p(-^l) + O‘i 7>(Й)
(4.53)
(4.54)
сразу показывает, что оптимальная структура портфеля не зависит от
инвестора. Равенство = w2 можно получить аналогичным образом.
4.2.2.7. Индивидуальный портфель и рыночный портфель
Покажите, что структура рискового оптимального портфеля каждого инве-
стора совпадает со структурой рыночного портфеля.
* *
*
Рыночный портфель состоит при наличии двух рисковых ценных бумаг и
двух индивидуумов из долей Qj и П2, причем
Q = __________?4р(Х1) + 7;.'fp(^i)______
1 «1P(^1) + ^lP(A'l) + п2Р(^2) + п^р(Х2)
и
п^р(Х2)+»2Р(Х2)
J 'О = ---------X----------- •
П1Р(Х1) +n?p(A'i) + гЦр(Аг2) + п?2р(Х2)
Пусть совокупные сбережения индивидуального инвестора будут равны S.
Вложенное с риском сбережение индивидуального инвестора обозначим S,,.
Для упрощения системы обозначений мы используем формулу
Й = п{р(Хх) + п2р(Й)
для вложенного с риском сбережения инвестора 1 и
Si = n21P(Xj) + n^p(X2)
178
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
для соответствующего сбережения инвестора 2. При использовании этого
определения мы расширим Q] с помощью
ад = 1 и =
Получим
Так как для индивидуальной оптимальной доли портфеля верно
™1P(-V1)
wi ~ —S-----’
то (4.55) можно свести к
1 s^ + si '
Тогда вынесение ац из знаменателя сразу покажет соответствие между оп-
тимальной индивидуальной долей портфеля и соответственно взвешенной
долей в рыночном портфеле
S1 + S~
о ___
“1 - Cl , СО ~ W1 •
Уравнение
О , S''' + ^
2 =“2
можно доказать аналогичным образом. Независимо от того, вложит ли инве-
стор один рубль или один миллион рублей, он всегда разделит сумму меж-
ду обеими рисковыми ценными бумагами в соотношении оц : а>2. Из это-
го обязательно следует, что все сбережения в экономике, предназначенные
для рисковых вложений, тоже будут распределены в таком же соотношении
между обоими титулами.
4.2.2.8. Зависимая от предпочтения инвестиция в рыночный портфель
Докажите, что сильно нерасположенный к риску инвестор в оптимуме вло-
жит более высокую долю своего портфеля в безрисковый актив, чем слабо
нерасположенный к риску.
* *
*
При Cq, являющейся оптимальным уровнем потребления, мы получим при
учете цен потребительских благ и ценных бумаг оптимальные сбережения
S* = Со + + ni p(Xi) + п2р(Х2) - Со* =
1 + rf
= —-----Н t?ip(Xi) + п2 р(Х2). (4.56)
1 + rf
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
179
S* = nip(X1) + П2р(А"2) является значением рискового портфеля. Так как
2 -ЭП/ЭУаг^] = Ер,,,] - rf . X = д ±
д С//ЭЕ[С1] Var[r„,] ' Su Su
при А, являющейся рыночной ценой риска, рискованно инвестируемую сум-
му можно также записать как
2 -6>С7/б? Уаг[С,1]
dU/д E[Cj]
Подстановка (4.57) в (4.56) и деление на S* приводит к
S* (1 + т}) + 2 S* -<Э[7/<9Уаг[С1]
ЭП/ЭЕ[С1]
(4-57)
(4.58)
Из-за деления на S* в правой части находятся уже не абсолютные суммы,
вложенные в безрисковые или рисковые активы, а соответствующие доли.
Выражение
- dU/д Var[Ci]
Э{7/ЭЕ[С1]
в (4.58) представляет собой предельную норму замещения (MRS) между
ожидаемым возвратным потоком и риском этого возвратного потока. Для
сильно нерасположенного к риску человека MRS высока. Индивидуумы,
которые являются настолько не расположенными к риску, имеют более низ-
кую MRS. Так как MRS в (4.58) находится в знаменателе, рискованно вло-
женная доля тем ниже, чем выше MRS. Значит, сильно нерасположенные
к риску люди инвестируют относительно большую долю своих сбережений
в безрисковые титулы.
4.2.2.9. Уравнение доходности
Выведите из уравнения цены в задании 4.2.2.5 уравнение доходности.
* *
*
С помощью зависимой от ситуации доходности ценной бумаги
Г1 = —=-----1
и определения (4.40) уравнение цены можно записать и в форме
EpG] - Ap(X1)Cov[r1,rm]
Р(Х,) =------------------------•
180
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Если выразить данную формулу через p(Aj), то это даст
Р(Х1) =
1 + rf + ACov[ri, '
При учете (4.37) эта формула преобразуется в
Е[Хх] _ E[Xt]
1 + E[?~i ] 1 + г/ + XCovff 1, rm] ’
Образование обратной величины непосредственно показывает, что в равно-
весии на рынке капитала должно быть верным
Е[п] = rf + ACovffi.r,,,].
Очевидно, что ожидаемая доходность бумаги j зависит от двух детерминант,
а именно
• от безрисковой ставки процента ту и
• премии за риск.
Премия за риск сама по себе образована из «рыночной цены риска» (Е[г,„] -
— ту)/Уаг[гт] и количества риска, а значит, ковариации доходности бумаги
и доходности рыночного портфеля.
4.2.3. Оптимальная структура портфеля
Рассчитайте с помощью данных из табл. 4.6 оптимальные рисковые доли
портфеля.
* *
*
Вначале мы рассчитаем матрицу, обратную матрице «дисперсия—кова-
риация»
VarfA’i]
Cov[X2,Xi]
Cov[Xi,X2]
Уаг^Ад]
0.0045
-0.0090
—0.0090\
0.0200/ ’
Так как мы имеем дело с матрицей 2x2, мы должны заменить цифры вдоль
главной диагонали, поменять знаки чисел побочных диагоналей и, наконец,
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
181
полученные таким образом числа разделить на определитель. Тогда мы по-
лучим8
А1 _ 1 /0.0200 0.0090А
^21 ^22/ 0.000009 ^0.0090 0.0045^
2188.61
983.78
983.78\
492.15/
и можем сейчас при учете
Е[Х1] - (1 + ?7)p(Xi) = 1.10 - 1.12 = -0.02,
Е[Х2] - (1 + 77)р(Х2) = 1-185 - 0.120 = 0.065
подставить в (4.52):
01 = 2188.61 (-0.02) + 983.78 • 0.065 = 20.1735,
02 = 983.78 • (-0.02) + 492.15 • 0.065 = 12.3144.
Из (4.54) мы получим
^1
= ОТЫ = °-6210'
Таким образом, оптимальный рисковый портфель имеет структуру wj =
= 0.621 и w2 = 0.379.
4.2.4. Оптимизация совокупного вложения
1. Определите с помощью результатов из задачи 4.2.3 количество безрис-
ковых и рисковых ценных бумаг, на которые предъявляется спрос ин-
вестором с совокупным начальным запасом в объеме 5000 руб. и оп-
тимальным уровнем потребления в объеме 4000 руб., если он вложит
половину своих сбережений в рисковые активы.
2. Как велики математические ожидания и риск потребления при этом
портфеле?
* *
*
1. Инвестор вложит 500 руб. в безрисковый титул и разделит остальные
500 руб. в соответствии с оптимальной структурой своего портфеля
8 Если исходные числа (см. с. 168) рассчитываются на калькуляторе, то при округ-
лении до четвертого числа после запятой получим
1?21
1112^
t?22 J
/2222.22
1000
1000\
500/ ’
182
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
500- 1
—j— = 560,
1.12
500 •°'6210 = 310.48,
1
500 • 0.379
----------- = 189.52.
между рисковыми титулами. То, сколько титулов он соответственно
купит, мы можем рассчитать по формуле
сумма вложения • доля портфеля
п = -------------------------------.
цена
Мы получим
По =
711 =
"2 =
2. Математическое ожидание потребления составляет
E[Ci] = 560 + 310.48 • 1.1 + 189.52 • 1.185 = 1126.1.
Для дисперсии будущего потребления получаем
Var[Cj] = 310.482 • 0.0045 + 189.522 • 0.0200 +
+2 • 310.48 • 189.52 • (-0.009) =
= 94.03.
4.2.5. Оптимальный портфель, рыночная цена риска
и семейство кривых трансформации
На рынке капитала обращаются три титула, при этом цена каждого из них
равна 1 руб. Безрисковая ставка процента составляет гу =0.1. Обе рисковые
бумаги можно описать посредством матрицы «дисперсия—ковариация»
' Var[Xi]
.Cov[X2, Xi]
Cov[A i, Л2]
Уаг[Аг]
0.30 -0.01
-0.01 0.50
и математических ожиданий денежных потоков EfA'i] = 1.2 и Е[Аг] = 1.5.
1. Как выглядит матрица «дисперсия—ковариация» доходностей?
2. Какую структуру имеет рыночный портфель?
3. Как велики ожидаемые рыночные доходности и рыночная цена риска?
4. Какие возвратные потоки может ожидать инвестор, если он при сбере-
жении в объеме 50000 руб. купит 40 000 безрисковых титулов, а остаток
денег использует для приобретения рискового портфеля с оптимальной
структурой?
1.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
183
5. Начертите в осях координат E[C*i] — «rfCi] соответствующие суммам сбе-
режений и вложений
• S = 5000, Su = 5000,
• S = 10 000, Su = 10 000,
• S = 50 000, Su = 10 000
кривые трансформации. Покажите оптимальную позицию инвестора
из 4.
* *
*
1. Так как цена всех рисковых титулов приравнена к единице, матрица
дисперсии и ковариации денежных потоков не отличается от соответ-
ствующих матриц доходностей. Мы покажем это при наличии двух
ситуаций и двух ценных бумаг на примере дисперсии. Дисперсия де-
нежных потоков определена через9
VarfXj = Я1(Хг - Е[Х])2 + q2(X2 - Е[Х])2.
Дисперсию доходностей можно описать с помощью
v ... /%!-1 Е[Х]-1\21 /Х2-1 Е[Х]-1\2
Var [г] = /ц I — ----------- ) + <?21 —J------—J-----J •
Сразу видно, что оба показателя эквивалентны.
2. Мы используем уже известное из задачи 4.2.3 уравнение определения
оптимальных долей портфеля в случае двух ценных бумаг:
ач = -----.
01+^2
После подстановки конкретных значений мы получим
0! = 3.3356 (1.2 - 1.1) + 0.0667 • (1.5 - 1.1) = 0.3602,
02 = 0.0667 • (1.2 - 1.1) + 2.0013 • (1.5 - 1.1) = 0.8072,
Оптимальный рисковый портфель для каждого участника рынка имеет
структуру W] = 0.3086 и сс>2 = 0.6914.
3. Ожидаемая рыночная доходность составляет
E[rm] = wiEpi] + w2E[r2] =
= 0.3086 • 0.2 + 0.6914 • 0.5 = 0.4074.
9 Здесь индекс обозначает ситуацию, а не ценную бумагу.
184
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Риск награждается рыночной ценой
х 0.4074 — 0.1
“ 0.30862 • 0.3 + 0.69142 • 0.5 + 2 • 0.6914 • 0.3086 • (-0.01) ”
= 1.1674.
4. При 10 000 руб., которую инвестор вложит рискованно, и при оптималь-
ной структуре рисковых активов, описываемой соотношением 0.3086 и
0.6914, покупаются 3086 титулов типа 1 и 6914 титулов типа 2. Отсюда
создаются возвратные потоки в объеме10
E[Ci] = Е[Хр]* = 40 000 • 1.10 + 3086 • 1.20 + 6914 • 1.50 = 58074 руб.
Е[АР]
Рис. 4.10. Кривые трансформации возвратных потоков
5. В нижней части рис. 4.10 показаны кривые безразличия для S = Su =
= 5000 и S = Su = 10 000. Если дополнительно к рисковой сумме вло-
10 См. рис. 4.10
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
185
жения Su инвестируются и 40 000 руб. в безрисковый актив, то кривые
трансформации смещаются параллельно вверх на сумму 40 000 • (1 +
4-77) = 40 000 • 1.1 = 44 000 руб. Параллельное смещение изображено для
Su = 10 000. Если все вложение с риском было бы помещено во второй
титул, то ожидаемый возвратный поток составлял бы Е[А"] + . Позиция
«риск—доходность» <т*/Е* означает оптимум.
4.2.6. Позиция «риск—возвратный поток» при вариации
вложения без риска
Валентина является инвестором, максимизирующим полезность; она отка-
залась от потребления величиной в 40 000 руб. и сталкивается с описанным
в табл. 4.8 рынком капитала.
Таблица 4.8. Данные трех ценных бумаг
j е[А7-] Var[.\'j|
0 1.08 0.0000 1
1 1.30 0.0625 1
2 2.40 0.0400 2
Как велики ее ожидаемые возвратные потоки, если она
1. Покупает 30 000 безрисковых титулов и остаток своих сбережений
вкладывает с риском в соотношении чц : u>2 = 2 : 3?
2. При той же рисковой структуре портфеля не покупает безрисковых
титулов?
3. Каким стандартным отклонением характеризуются возвратные потоки
в первом случае, если ковариация между обеими рисковыми бумагами
является нулевой? Проинтерпретируйте это число.
* *
*
1. При 30 000 руб., являющимися вложением в безрисковый актив, Ва-
лентина может ожидать возвратные потоки величиной в
Е[Л>] = 30 000-1.08 + 4000 • 1.30+ • 2.40 = 44 800 руб.
2. Если она не покупает ни одного безрискового титула, то ожидаемые
возвратные потоки составляют
24 000
Е[Хц] = 16 000- 1.30 + 2.40 = 49 600 руб.
186
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
3. Она имеет в первом случае риск, равный
Var[Xp] = 40002 • 0.0625 + 30002 • 0.04 = 1 360 000,
<т[ХР] = 1166.19.
Значит, результаты в среднем отклоняются от математического ожи-
дания на величину 1166.19 руб.
4.2.7. Оптимальный план потребления, сбережения и инвестиций
Родные брат и сестра Ирина и Евгений (И&Е) уже некоторое время по-
молвлены, но до брака еще далеко. Их будущие супруги — соответственно
Геннадий и Фаина (Г&Ф) — попросили их представить свои межвременные
планы потребления—сбережения. Только если ответы удовлетворительны,
Геннадий и Фаина готовы окончательно дать свое согласие. Надеющиеся
вступить в брак И&Е должны произвести точный расчет. Ирина делает это
на основе своей функции полезности
C7(C'0,E[Ci],Var[C'1]) = 2 С*°'5 + E[Ci] - 62.905 Var[Ci]
и своего начального запаса 2.81 денежных единиц.11 Расчеты Евгения бази-
руются на функции полезности
C/(C’0,E[C'i],Var[C'i]) = 1.5 С’"5 + EfGj - 38.97Var[Gi].
Его начальный запас составляет 3.1715 денежных единиц. Рынок капитала
можно описать с помощью данных табл. 4.9.
Таблица 4.9. Данные рынка капитала
Титул Е[Х] Var[X] Cov[Xj,X2] Цена
0 1.000 0.0000 1
1.1
1 1.100 0.0045 1
2 1.185 0.0200 -0.009 1
1. Геннадий хочет узнать,
• каково будет потребление Ирины в первом брачном периоде и сбе-
режение во втором периоде,
• сколько рисковых бумаг она возьмет в свой портфель,
и
Читатель, если захочет, может представить себе 1 млн руб.
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
187
• каково число безрисковых бумаг, и какую долю общей стоимости
рискового портфеля Ирины будет иметь первая ценная бумага?
2. Фаина требует от Евгения то же самое.
* *
*
1. Расчет Ирины можно представить по аналогии с задачей 4.2.2.3 на
с. 170 через условие первого порядка
= 2 0.5 • Со-° 5 - к = 0, (4.59)
оС-о
---= 1.1 - 62.905 (2 • 0.0045 • + 2 (-0.009) • п2) - к = 0, (4.61)
0711
= 1.185 - 62.905 (2 • 0.02 п2 + 2 (-0.009) • щ) - к = 0, (4.62)
Этг2
дС 1
— = 2.81 - Со - — п0 - ni - п2 = 0. (4.63)
ок 1.1
• Благодаря возможности разделения функции полезности опти-
мальное потребление Ирины можно определить лишь через пер-
вые два уравнения. Верно
к = С0-0'5
и, следовательно,
1 - и = °-
Решение позволяет получить Cq = 0.8264. Таким образом, опти-
мальное совокупное сбережение составляет S'* = 2.81 — 0.8264 =
= 1.9836.
• к является теневой ценой рискового вложения. Ее оптимальное
значение
к = O.8264-0 5 = 1.1
можно подставить в (4.61) и (4.62). Мы получим
0 = 1.1 - 62.905 (2 • 0.0045 • т + 2 (-0.009) п2) - 1.1,
0 = 1.185- 62.905 (2 • 0.0200 п2 + 2 (-0.009) тц) - 1.1.
Эти формулы являются системой уравнений с двумя неизвестны-
ми. Решение данной системы относительно щ и п2 даст желаемое
Ириной количество рисковых ценных бумаг:
пх = 0.6666,
п2 = 0.3333.
188
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
С помощью этих значений определяется и величина вложенного с
риском сбережения. Она составляет Su = 1.
• Число безрисковых титулов мы получим через подстановку из-
вестных до сих пор результатов в (4.63). С помощью
2.81 - 0.8264 - — • 7(.о - 0.6666 - 0.3333 = 0
1.1
после перестановки мы получим
по = 1.0809,
так что безрисковое сбережение составит 1.0809 • 1/1.1 = 0.9826.
• Желаемые Ириной доли благодаря Su = 1 эквивалентны соответ-
ствующим количествам и составляют wj = 0.6666 и w2 = 0.3333.
Отдельные решения Ирины представлены на рис. 4.11. В левом
квадранте принимаются решения о потреблении и совокупном сбе-
режении. Справа изображено распределение общих сбережений
между рисковыми и безрисковыми активами. Начальный запас
Ирины составляет С(). Оптимальное потребление в первом перио-
де составляет Cq. Расстояние между Со и Cq отражает желаемое
совокупное сбережение Ирины. Для каждой возможной величи-
ны 0 < Su < 1 существует одна кривая трансформации. Касатель-
ная — это геометрическое место всех идентичных портфельных
структур. Она начинается у ординаты при 1.1 • 1.98 = 2.18. Здесь
Su = 0. Оптимальный портфель Ирины порождает денежный по-
ток в объеме
Е[ХР]* = 0.9836 1.1 + 0.66 1.1 + 0.33 • 1.185 = 2.2
при дисперсии
Var[XP]‘ = 0.662 0.0045 + 0.332 • 0.02 + 2 • 0.66 0.33 • (-0.009) = 0.00022.
Значит, стандартное отклонение имеет значение <т[Ар]‘ = 0.0148.
2. Сейчас осуществим тот же расчет для брата Ирины Евгения. Его усло-
вие первого порядка выглядит следующим образом:
0 = 1.5 • 0.5 • С,/0,5 — к, (4.64)
0 = 1 — ру • к, (4.65)
0 = 1.1 - 38.97 • (2 • 0.0045 щ + 2 • (-0.009) • /г2) - к. (4.66)
0 = 1.185 - 38.97 (2 • 0.02 п2 + 2 • (-0.009) тп) - к, (4.67)
о = 3.1715-Со -^--720-711-722. (4.68)
• Для Евгения после использования (4.64) и (4.65) мы получим оп-
тимальный уровень потребления С(* = 0.4649.
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
189
Рис. 4.11. Принятие решения о потреблении—сбережении и о вложении с риском
• Так как и в случае с Евгением теневая цена составляет к = 1.1,
(4.66) и (4.67) изменяются:
О = 1.1 - 38.97 • (2 • 0.0045 • пх + 2 • (-0.009) • п2) - 1-1,
0 = 1.185 - 38.97 • (2 • 0.02 • п2 + 2 • (-0.009) • тц) - 1.1.
Решение этой системы уравнений дает для титула 1 число щ =
= 1.0771, а для титула 2 — п2 = 0.5386. Таким образом, вложенное
с риском сбережение оказывается равным Su = 1.0771 + 0.5386 =
= 1.6157.
• Безрисковые титулы покупаются Евгением на сумму
по = 1.1 (3.1715 - 0.4649 - 1.0771 - 0.5386) = 1.2.
На них он расходует 1.2 • 1/1.1 = 1.0909 денежных единиц.
• Доля первого титула в общей стоимости рискового портфеля со-
ставляет
Несмотря на то что начальный запас и функция полезности Ирины и
Евгения различаются, они стремятся к одинаковой структуре своего
рискового портфеля. Если вы внимательно изучали предыдущие зада-
чи, то вы ведь и не могли ожидать иного, не так ли? Между прочим,
если вы еще ожидаете хэппи-энд истории помолвки, то мы должны вас
190
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
огорчить. До начала полиграфических работ над этой книгой нам так
и не удалось выяснить, были ли Г&Ф довольны ответом.12
4.2.8. Оптимальный портфель при трех рисковых ценных бумагах
Пусть существуют матрица «дисперсия—ковариация» денежных потоков
VarfXi] Cov[X1;X2] Cov[Xi,X3]\ / 0.30 -0.01 0.00\
Cov[X2,Xi] Var[X2] Cov[X2,X3] = -0.01 0.50 -0.02
Cov[X3,Xi] Cov[X3,X2] Var[X3] / \ 0.00 -0.02 0.40/
и вектор сверхдоходности
0.05\
0.10 .
0.07/
Цены всех обращающихся на рынке ценных бумаг пусть будут равны еди-
нице. Как будет выглядеть оптимальная структура портфеля?
* *
*
Мы получим искомые уравнения с помощью матрицы, обратной матрице
«дисперсия—ковариация»
/3.3356 0.0668 О.ООЗЗХ
0.0668 2.0053 0.1003
\0.0033 0.1003 2.5050/
и данного вектора сверхдоходности. Верны равенства
01 = 3.3356 • 0.05 + 0.0668 0.10 + 0.0033 • 0.07 = 0.1737,
02 = 0.0668 • 0.05 + 2.0053 • 0.1 + 0.1003 • 0.07 = 0.2109
и
03 = 0.0033 • 0.05 + 0.1003 0.1 + 2.5050 • 0.07 = 0.1855.
С помощью формулы
0,
“' = 0,+^ для 2 = 1’2-3
получается
°-1737
W1 0.1737+ 0.2109 + 0.1855 ~ '3°47'
По аналогии с этим мы получим
w2 = 0.3699,
w3 = 0.3254.
12 Мы уже потеряли из виду надеющихся вступить в брак. Вы, наверное, никогда не
узнаете конца истории.
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
191
4.2.9. Инвестиция в безрисковый финансовый титул
Представьте себе мир с двумя одинаково вероятными ситуациями. Безрис-
ковая ставка процента составляет ту =0.1. Рыночный портфель имеет мате-
матическое ожидание, равное E[rm] = 0.2, причем в одной из обеих ситуаций
можно ожидать доходность, равную 0.25.
1. Рассчитайте рыночную цену риска.
2. Критически обсудите свой результат.
* *
*
1. Для определения рыночной цены риска нам необходима дисперсия ры-
ночной доходности. Для этой цели мы сначала должны рассчитать, ка-
кую доходность имеет рыночный портфель во второй ситуации. Мы
получаем
E[rm] = 0.5 r,„i + 0.5 гш2.
Подстановка данных и решение относительно искомой доходности дает
0.2 - 0.5 0.25
Г,п2 =----777—---- = 0.15.
0.5
Поэтому при дисперсии, равной
Var[rm] = 0.5 (0.25 - 0.20)2 + 0.5 • (0.15 - 0.20)2 = 0.0025,
рыночная цена риска составляет
2. Если вы выясните для себя, что доходность рыночного портфеля в каж-
дой ситуации выше безрисковой ставки процента, то вами найден ключ
к разгадке этого вопроса. На безрисковый титул спрос не предъявля-
ется. Расчет рыночной цены риска при этих данных хотя и возможен
арифметически, но экономически совершенно лишен смысла. То же
самое верно для каждого основанного на этом расчета, как, например,
расчета стоимости капитала с учетом риска или сегодняшней стоимо-
сти. Поэтому читатель должен остерегаться оценивания инвестицион-
ных проектов на основе данных, которые несовместимы с равновесной
САРМ.
4.2.10. Доминирование линий рынка капитала
Представьте себе рынок капитала без безрисковой ценной бумаги. Объясни-
те с помощью графика, почему все участники рынка одобрили бы эмиссию
192
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
безрисковой ценной бумаги. Предпочтение участников
рынка описывается
функцией полезности
Ul = t/'' E[fp],cr[rP] .
* *
*
Даже если эмиссия одной безрисковой ценной бумаги поставит в лучшее
положение одного единственного участника рынка, но не поставит в худ-
шее никого, то все участники высказались бы за эмиссию. Это следует из
принципа Парето. Рассмотрим вначале рис. 4.12 и исследуем ситуацию пе-
ред введением безрисковой ценной бумаги. До тех пор пока не существует
такой бумаги, рационально действующие инвесторы занимают позицию на
северной ветви кривой трансформации. Например, инвестор 1 занимает по-
зицию D, а инвестор 2 — позицию Е. Так как наклон кривой безразличия
меньше наклона (72, то инвестор 1, очевидно, расположен к риску меньше,
чем инвестор 2.
Рис. 4.12. Отношение к риску инвесторов
Если сейчас один банк эмитирует одну безрисковую ценную бумагу, то
создастся новая «кривая возможности действий», прямая HG. Если инве-
сторы разделят свои финансовые средства между рисковым портфелем М и
безрисковой бумагой, то они смогут достичь позиции на этой прямой. Сей-
час вам следует проверить, можете ли вы свое положение улучшить, если
4.2. Решение «потребление—сбережение» и САРМ
193
займете позицию на новой кривой. С первого взгляда на рисунок видно, что
это действительно так. Участник рынка 2 сейчас вложит свои средства в
портфель F и достигнет В противоположность этому 1 примет решение
выбрать смесь I на кривой безразличия U{. Тому инвестору, который уже
прежде выбрал позицию М, будет безразлично, появится ли на этом рынке
новая ценная бумага или нет.
Все участники рынка будут занимать позицию на новой прямой эффек-
тивности. Она называется линией рынка капитала. Рисковый портфель М
держится всеми инвесторами и называется рыночным портфелем.
4.2.11. Возможность делегирования принятия решений
о рисковых инвестициях
При условии, что САРМ верно, прокомментируйте следующее утверждение:
«Менеджер акционерного общества при принятии своих решений должен
учитывать отношение к риску каждого акционера».
к *
*
Так как все инвесторы независимо от своих предпочтений относитель-
но финансовых инвестиций и реальных инвестиций того же типа требуют
одинаковой доходности, для менеджера не является необходимостью при
принятии своих решений учитывать отношение к риску акционеров. Полез-
ность акционеров максимизируется тогда, когда менеджеры осуществляют
лишь те инвестиционные проекты и покупают лишь те ценные бумаги, до-
ходность по которым соответствует уравнению доходности САРМ. Существо-
вание этого уравнения является необходимым, хотя и не достаточным усло-
вием для того, чтобы в акционерных обществах можно было делегировать
принятие решения о капиталовложениях менеджера без опасения того, что
отдельные акционеры станут терпеть убытки. Уравнение доходности было
бы достаточным лишь тогда, когда одновременно было бы гарантировано,
что менеджеры стремятся к максимизации полезности акционеров. Правда,
a priori и без соответствующей мотивации менеджеров мы не можем ожи-
дать от них такого бескорыстного поведения.
Литература
Читателям, которые интересуются историей возникновения модели, нужно
изучить работы: Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk // Re-
view of Economic Studies. 1958. Vol. 25. P. 65-86; Sharpe W. F. Capital asset
prices: a theory of market equilibrium // Journal of Finance. 1964. P. 425-442;
Lintner J. The valuation of risky assets and the selection of risky investments
in stock portfolios and capital budgets // Review of Economics and Statistics.
1965. P. 13-37; Mossin J. Equilibrium in a capital market // Econometrica.
194 Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
1966. Р. 768-783. Очень сжатое представление САРМ дает: Schneewetji Н. The
role of risk aversion in the capital asset pricing model // OR Spektrum. 1994.
P. 169-173. Тому, кто ищет более интуитивный подход, будут весьма полез-
ны работы: Copeland Т. Е„ Weston J. F. Financial Theory and Corporate Pol-
icy. 3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988 и Elton E. J., Gruber M. J.
Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 5th ed. New York: Wiley,
1995.
4.3. САРМ без безрисковой ставки процента
195
4.3. САРМ без безрисковой ставки процента
В САРМ существование безрисковой процентной ставки играет решающую
роль. При допущении возможности вложения в свободный от риска актив
мы можем вывести линейную связь между доходностью оптимального порт-
феля и его ковариационным риском. Но как обстоят дела, если не суще-
ствует безрисковой ставки процента по надежному активу? Должны ли мы
в этом случае отказаться от идеи, что можно найти уравнение доходности
для рисковых финансовых и реальных инвестиций, или все-таки возможно
выведение уравнения, похожего на отношение
Е[гР] =rf + (E[rm]-rfyiP?
Ответ на эти вопросы является ядром данного раздела о портфеле с нуле-
вой бета. В противоположность обычно встречающимся в учебниках подхо-
дам мы при этом скрупулезно следуем оригинальной статье Фишера Блэка
1972 г. С помощью следующих одна из другой задач мы выведем уравнение
доходности с нулевой бета
Е[7Р] = E|n] + fE|lra| -Ер2])Йр.
Для понимания отдельных этапов основополагающую роль вначале играет
знание того, что
• без возможности вложения в безрисковый актив каждый инвестор ин-
вестирует в два независимых от инвестора базисных портфеля,
• однако веса участия этих базисных портфелей в оптимальном портфеле
зависят от индивидуальных (Е[гр],Уаг[гр])-предпочтений.
Поэтому задачи выбраны таким образом, чтобы сначала обосновать эти те-
зисы.
4.3.1. Портфель, минимизирующий дисперсию, против портфеля,
максимизирующего полезность
Рассмотрим рынок капитала без безрисковой ценной бумаги. На рынке
обращаются три рисковые ценные бумаги. Соответствующая им матрица
дисперсии и ковариации выглядит следующим образом:
/32.16 0.74 1.88\
0.74 18.01 -5.08 .
\ 1.88 -5.08 9.24/
Вектор доходности (выраженный в процентах) имеет форму
/11.2\
8.3 .
\ 9 6/
196
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Покажите с использованием данных, что безразлично, оптимизируется ли
структура портфеля с помощью
minVarffp] при дополнительных условиях
з з
ем = У2^еи и 1 = (4-69)
>=1 j=i
или с помощью
3
max[/(E[fp], Var[fp]) при дополнительных условиях 1 =
7 = 1
Пусть запланированная инвестором доходность портфеля будет равна 10 %.
(4.69) дает функцию Лагранжа
(з \ / з
E[rp] - I + «211 -
J=1 / \ 1=1
(з \ / з \
ю — y2wiE[^] I + ^211 — I
j=i / \ i=i /
Оптимизировать надо оц, w2, ^з, «1 и к2. Дифференцирование функции Ла-
гранжа по этим переменным приводит к следующим условиям оптимально-
сти
2wiVar[fi] + 2w2Cov[fi, f2] + 2w3Cov[fi, f3] — KjEfri] — к2 = 0,
2wiCov[r2, fi] + 2w2Var[f2] + 2w3Cov[f2, r3] — «i E[f2] — k2 — 0,
2wiCov[f3, fi] + 2w2Cov[r3, f2] + 2w3Var[f3] — KiE[f3] — к2 — 0,
10 — (ац E[f i ] + w2E[f2] + w3E[f3]) = 0,
1 — (ц>1 + о>2 4- w3) = 0.
Мы сконцентрируем внимание на первых трех. Посредством умножения на
матрицу, обратную матрице дисперсии и ковариации, получаем
= 0.5«i
0.0317—0.0037—0.0085\ /Е[й]\
-0.0037 0.0661 0.0371 E[f2] +
-0.0085 0.0371 0.1304/ \E[f3] /
(4-70)
/ 0.0317—0.0037—0.0085 \
+0.5к2 -0.0037 0.0661 0.0371 .
\-0.0085 0.0371 0.1304/
4.3. САРМ без безрисковой ставки процента
197
Доли портфеля еще зависят от обоих множителей Лагранжа «1 и к2. Поэто-
му мы подставляем
w* = 0.5К1 (0.0317 11.2 + (-0.0037) • 8.3 + (-0.0085) 9.6) +
+0.5к2 (0.0317 + (-0.0037) + (-0.0085)),
си2 = 0.5К1 ((-0.0037) • 11.2 + 0.0661 8.3 + 0.0371 9.6) +
+0.5к2((—0.0037) + 0.0661 + 0.0371),
= 0.5к1 ( - 0.0085 • 11.2 + 0.0371 • 8.3 + 0.1304 9.6) +
+0.5к2( - 0.0085 + 0.0371 + 0.1304)
в оставшиеся условия оптимальности и получаем 0.5ki = 8.68 и 0.5к2 = —
-73.08. Соответствующие векторы структуры выглядят следующим образом:
0.341Х
0.112 .
0.547/
Теперь мы используем оба подхода к оптимизации. При ц, являющимся
множителем Лангранжа, функция имеет вид
(з
1 - У) (jjj
1=1
Условием первого порядка оказывается
17еЕ[г1] + 2f7v(u»iVar[fi] + w2Cov[fi,f2] + w3Cov[fi,f3]) - ц = 0,
{7бЕ[г2] + 2f7v(wiCov[f2, fi] + w2Var[f2] + w3Cov[f2, f3]) - p. = 0,
C/£E[f3] + 2Lry(wiCov[f3, й] + w2Cov[f3, f2] + w3Var[f3]) - //. = 0.
CVl + CU2 + uZ3 = 1.
После перестановки и умножения на матрицу, обратную матрице дисперсии
и ковариации, оптимальный вектор портфеля описывается через
5 J / 2UV' w3 / ( 0.0317-0.0037 —0.0085\ /E[r~i]\ -0.0037 0.0661 0.0371 E[f2] + (4.71) ^—0.0085 0.0371 0.1304/ \E[f3]/
+ -^- 2UV / 0.0317-0.0037-0.0085X -0.0037 0.0661 0.0371 . \-0.0085 0.0371 0.1304/
Подходы (4.70) и (4.71) определяют наилучший вектор портфеля для одно-
го и того же инвестора с Е[7р]-Уаг[гр]-предпочтением. Из-за того, что, как
матрица дисперсии и ковариации, так и вектор доходности содержат неза-
198
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
висимые от инвестора рыночные данные, оба метода оптимизации приводят
лишь тогда к тому же результату, когда
Ki Ue U.
— =------и -----=-----.
2 2Uy 2 2Uy
Если мы для подставим число — 17.36 и для = к2 = —146.16 и
после этого рассчитаем доли, то получим известный уже нам результат w* =
= 0.341,^2 = 0.112, W3 = 0.547. Тем самым показано, что при использова-
нии минимизации за множителем Лагранжа скрываются индивидуальные
предельные нормы замещения. Первый множитель ьц представляет норму
замещения между математическим ожиданием и риском, которую имеет
анализируемый инвестор в оптимуме. А к2 нужно интерпретировать как ин-
дивидуальную теневую цену одной дополнительно инвестируемой денежной
единицы. Лишь эти теневые цены являются специфическими для инвесто-
ров и определяют в зависимости от соответствующей функции полезности
разные оптимальные векторы портфеля.
4.3.2. Независимые от предпочтения базовые портфели
В экономике существуют два инвестора 1 и 2. Покажите, что каждый инве-
стор инвестирует в точности в два портфеля, если не существует возможно-
сти безрискового вложения. Исходите и далее из того, что в совокупности
существуют три возможности рисковых вложений.
* *
*
Для доказательства мы используем условия оптимальности подхода мини-
мизации из задачи 4.3.1. Сначала посмотрим на создание портфеля инве-
стора 1. Чтобы не делать громоздкой систему символов, мы откажемся от
обозначения отдельных инвесторов, поскольку пока этого не нужно для по-
нимания. Наш инвестор выбирает в соответствии с (4.70) структурный век-
тор с максимальной полезностью
w* = 0.5к1(19цЕ[т1] + 7?12Е[г2] + $1зЕ[г~з]) + 0.5к2($п + $12 + $13),
= 0.5К1 (1?21 Е[Г1] + 1?22Е[Г2] + 1?2зЕ[г3]) + 0.5к2($21 + $22 + $2з),
W* = о.бкц (19з1Е[г1] + $з2Е[г2] + $ззЕ[г3]) + 0.5к2($з1 + $32 + $зз),
причем все i)kj — это элементы матрицы, обратной матрице дисперсии и
ковариации. Как уже известно из задачи 4.3.1, в оптимуме верно
(Те ц
“ Uv ’ К2~ Uv'
Для того чтобы видеть, что избранные два базисных портфеля независи-
мы от инвестора, мы расширим соответствующие правые части уравнения
определения для структурного вектора. После умножения первого члена на
4.3. САРМ без безрисковой ставки процента
199
Ej=i Ea=i i
Ej=i EL, "
и второго на
Ej=i Et=i ^fe.7 _ 1
E.E Eti ~
получим
* n _ $iiE[ti] + $12Е[г2] + $1зЕ[гз] y’1 v"1 о т?г- i ।
= °-5*i----------------------------> , > , г^ЕЫ +
Ej=i Efc=i ] J=1 fc=1
(4.72)
2^=1 2^A;=] VAj J=1 fczzl
.'71
3 3 3 3
Cc>2 = 0.5K1 EE 19A-jE[rj]/l2 + 0.5k2 ^kj92-
j = l k=1 j=l k=l
3 3 3 3
u/з = 0.5ki У* ^fejE[7~7]/<3 +0.5к2ЕЕ^93'
j=l k = l j = l k=l
Так как портфельные доли w* должны в сумме равняться единице, то после
сложения трех вышеприведенных уравнений мы получим
1=^;+lv*+^*= (4.73)
зз зз
= 0.5/41 У2 Е 1(/г 1 + ^2 + М + 0.5к2 Е Е + 9'2 + Зз)-
j = l A-=l J = 1 к=1
Так как
Л.1 + Л2 + /13 =
Ej=i Еа—1 ^kjEfo]
Ej=! Efc=i
91 + 92 + Зз =
Ej=i Efc=i ^kj
E-=1E^ = i3^
(4-74)
(4-75)
мы можем проинтерпретировать gj и hj как доли портфелей, которые мы хо-
тим назвать базисными портфелями Н и G. gj и hj определяются лишь через
рыночные данные дисперсии, ковариации и математического ожидания ле-
жащих в их основе ценных бумаг. Значит, они не зависимы от инвестора.
Подстановка (4.74) и (4.75) в (4.73) приводит к
3 3 3 3
1 = 0.5«i ЕЕ 1?д-уЕ[г^] 1 + 0.5к2 ЕЕ $kj 1.
j=i t=i . j=i fe=i
200
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Следовательно, мы должны суммировать соответствующие доли вложений в
базисные портфели для каждого Wj и для каждого инвестора таким образом,
чтобы получить единицу.
Если мы сейчас вспомним нашего второго инвестора, то сможем при ис-
пользовании надстрочного индекса 2 записать максимизирующий его полез-
ность вектор структуры как
3 3 3 3
wj2 = 0.5к2 У j9fcjE[rj]fei + о.5к2 У У $kjgi,
j=i fc=i j=i k=i
3 3 3 3
У = 0.5/i2 У* У* &kjE[fj ]h2 + 0.5«2 У У &kj92,
j = l k=1 j=l fc=l
3 3 3 3
У = 0.5к2 У У 4-О.5К2У У
j=l fc=l j=l k=l
Инвестор 2, так же как и инвестор 1, инвестирует в оба базисных портфе-
ля G и Н. Однако доли участия базисных портфелей в специфических для
инвестора оптимальных портфелях различны. Эти доли определяются соот-
ветствующими предельными нормами замещения.
4.3.3. Зависимые от предпочтений портфели инвесторов
Предположим, что оба базисных портфеля имеют структуру
(h.,h2,h3) = (1/3,1/3,1/3) и (щ,.92,9.3) = (1/2,-1/4,3/4).
Инвестор 1 планирует вложить 25 % его средств в Н. Инвестору 2 хотелось
бы продать второй портфель на 50 % без покрытия.
1. Рассчитайте наилучшие векторы структуры для 1 и 2.
2. Какие условия должны быть обязательно выполнены этими векторами
для нерасположенного к риску инвестора?
* *
*
1. Наилучший портфель инвестора 1 описывается через
'У\ Л/з\ / 1/2'
, ,*1 1 = 0.25- 1/3 4- 0.75 - -1/4
, ,* 1 / ,W3 / V/3/ \ 3/4.
0.4583Х
-0.1041 .
0.6458/
Для инвестора 2 соответствующее уравнение выглядит следующим об-
разом: •
/У\ /1/3\ / 1/2\ /0.250\
I У I = 1.5 1/3 + (-0.5) • 1—1/4 = 0.625 .
\^2/ \1/3/ \ 3/4/ \0.125/
4.3. САРМ без безрисковой ставки процента
201
2. Нерасположенные к риску инвесторы никогда не инвестируют в неэф-
фективные портфели. Значит, все смеси, которые образуются через
комбинацию обоих базисных портфелей, должны быть эффективны-
ми. Они находятся к «северу» от абсолютно минимального по диспер-
сии портфеля и имеют как более высокую ожидаемую доходность, так
и более высокую дисперсию.
4.3.4. Рыночный портфель и базисные портфели
На рынке капитала действуют лишь два рыночных субъекта. Оба инвесто-
ра владеют имуществом V1 и V2. Покажите, что рыночный портфель тоже
является комбинацией обоих базисных портфелей.
* *
*
Мы должны лишь суммировать данные, относящиеся к обоим инвесторам.
Если мы обозначим соответствующие индивидуальные доли в портфеле Н с
71, то для вектора структуры рыночного портфеля верно
о . .1 У1 , .2 У2
~ yl _|_ у2 + yl _|_ y2
( 1 V1 2 V2 \
“ ^7 yl 4- y2 + 7 yl + y2 J j +
/ У1 У2 \
+ (j1 ~ 7 ) yl y2 + (1 ~ 7 )yi + y2 J9j-
Множители, на которые необходимо умножать hj и gJt известны после ре-
ализации индивидуальных программ оптимизации. Их сумма составляет
единицу. Следовательно, рыночный портфель тоже является комбинацией
базисных портфелей Н и G.
4.3.5. Выведенные базисные портфели
Существуют два новых базисных портфеля. Пусть один из этих базисных
портфелей будет рыночным портфелем Л/ при = 1. Второй портфель
назовем Z. Пусть он характеризуется следующим свойством
Cov[r2,fm]
Var(f„J
= о
и тем самым является портфелем с нулевой бета.
1. Покажите, что оба портфеля Н и G можно трансформировать в новые
базисные портфели, т. е. в рыночный портфель и портфель с нулевой
бета.
202
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
2. Можно ли вектор эффективных портфельных весов изобразить как
комбинацию рыночного портфеля и портфеля Z?
3. Какая связь существует между доходностью наилучшего портфеля ин-
вестора 1 и (3 этого портфеля?
1. Из задачи 4.3.4 известно, что рыночный портфель является комбина-
цией базисных портфелей Н и G. С помощью новых символов
= 'у----------1- V--------
1 yl _|_ у2 I yl +у2
И
V1 V2
= (1 - 7 )у1 + у2 + (! “ 7 ) yl + у2
можно записать вектор структуры рыночного портфеля как
Для этого вектора структуры верно {Зт = 1. Сейчас мы взвесим оба
базисных портфеля таким образом, что создастся вектор структуры од-
ного портфеля с нулевой бета. Пусть эти веса будут равны и ££, тогда
искомый структурный вектор с нулевой бета можно изобразить как
zA МЛ Mi
Z2 j = £h I h.2 1 + I 52
z.3 / \/»з / \5з
Строки обоих векторных уравнений можно попарно соединить в си-
стемы уравнений с двумя неизвестными hj и gj. Для первой строки
получаем
Z1 J
ИЛИ
W Vh ZgJ \ZJ'
Аналогичный метод для всех hj и gj позволит получить вектор структу-
ры базисных портфелей как комбинацию новых базисных портфелей,
рыночного портфеля и портфеля с нулевой бета.
2. Структурный вектор эффективного портфеля можно выразить через
рыночный портфель и портфель с нулевой бета. Для уяснения этого
начнем с определения матрицы, обратной матрице портфельных весов,
ст
Sh
ст
^9
%
1.3. САРМ без безрисковой ставки процента
203
Подстановка в (4.72) приводит к
з з
=о.5К1 £ £ ^жкхг^ + С20 +
J = 1fc=l
3 3
+O.5k.2 5252^J(X^1 +XgZl)
3=1 fc=l
и после перестановки к
= fo.5Ki 5252i9fcjE^^x^+°-5к.2 52521?'о*'1 +
к >=1t=i /
+fo.5«i 52 52 +°-5k2 52 52 zi-
\ j = l fc=l 3=1 k=l /
Так как x™ + X™ = 1 и Xh + Xzg = 1> множители взвешивания от Qi и
zi дают в сумме единицу. Портфельные доли и можно извлечь
аналогичным способом.
3. Каждый эффективный портфель со структурными долями w* можно
изобразить в соответствии с уравнением (4.76) через рыночный порт-
фель и портфель с нулевой бета. Если обозначить символом а1 точно
описанные в задаче 2 веса для индивидуального инвестора, то можно
создать следующую связь между бета базисного портфеля и «наилуч-
шим» портфелем инвестора
(Зр = а1 (Зт + (1 - а1)^,
(Зр = а1 • 1 + (1 - а1) О,
&=<*'.
При а1 = (Зр зависимую от случайности доходность специфического
для инвестора оптимального портфеля можно описать как
Гр = /ЗрГ,п + (1 - /3p)rz.
После применения оператора математического ожидания мы получаем
= ^Е[Пп] + (1 - ^р)Е[гг].
Если мы сделаем в этой формуле перестановку
Е[гр] = Е[тг] + (E[rm] - Е[г2])^,
то тем самым будет доказано, что доходность каждого оптимального
портфеля линейно зависит от своего (Зр. Место безрисковой ставки про-
цента заняла доходность портфеля с нулевой бета.
204
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
4.3.6. Выравнивание «коротких» и «длинных» позиций
Исходите далее из двух рыночных участников с имуществом V1 и V2. По-
кажите, что первый базисный портфель, в который инвестируют участники
рынка, лишь тогда совпадает с рыночным портфелем, когда при портфеле
с нулевой бета «короткие» и «длинные» позиции всех участников рынка в
сумме дают единицу.
* *
*
Если мы обозначим первый базисный портфель U и соответствующие инди-
видуальные доли в нем а1, то для совокупной суммы, вложенной в ценную
бумагу 1, верно
wfV1 + ^V2 = а'У'щ + (1 - а1)^] + о2У2М1 + (1 - a2)V2zi. (4.76)
Если «короткие» и «длинные» позиции всех участников рынка должны
быть выровнены, то стоимость проданных без покрытия в экономике порт-
фелей с нулевой бета должна соответствовать стоимости купленных портфе-
лей этого типа. Верно
(1 — a1)z^V1 = —(1 — a2)ziV2
и, следовательно,
(1-й2) = -^(1-а1) а2 = 1 + ^(1-а’).
V Vл
Подстановка в (4.76) и перестановка дают
wJV1 +^V2= (a'V1 + (1 + JJ(1 -a]))V2YZ] +
\ /
\ и /
Фактор 2i равен нулю, так что после дальнейшего преобразования можно
записать
wJV1 + w2V2 = (а1^1 + (1 - о1)^1 + У2)щ =
= (У1 + У2)щ.
Наконец, мы еще разделим это уравнение на совокупное имущество всех
рыночных участников и получим таким образом
На рис. 4.13 изображены позиции с продажей без покрытия (справа от М) и
без такой продажи (между М и абсолютно минимальным по дисперсии порт-
4.3. САРМ без безрисковой ставки процента
205
Е[гр]
Рис. 4.13. Кривая рынка капитала без безрисковой ставки процента
фелем). Если стоимость проданных без покрытия портфелей с нулевой бета
в экономике (соответствует получению рискового кредита) совпадает со сто-
имостью совокупно купленных смесей этого вида (предоставление кредитов
с риском), первый базисный портфель должен быть рыночным портфелем.
4.3.7. Доходность ценной бумаги и бета ценной бумаги
Покажите, что и для отдельной ценной бумаги действует линейное отноше-
ние между доходностью и риском.
* *
*
Для доказательства нам необходимо два из трех условий оптимальности из
задачи 4.3.1. Если мы выберем первые два, то верно
2u>i Var[fi] + 2w2Cov[ri, r2] + 2си3Соу[г!, r3] - «iE[fi] - к2 = О,
2wiCov[r2, Г1] + 2w2Var[r2] + 2w3Cov[r2, r3] - «iE[f2] - к2 — 0.
Сделаем перестановку при учете правила расчета ковариации13, сведем эту
систему к
2Cov[fi, гр] — «1 Epi ] — к2 — О,
2Cov[r2, гр] - «1 Е[г2] - к2 = О
13 Ср. по этому поводу табл. 4.7 на с. 174.
206
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
и после этого вычтем второе уравнение из первого, гр является доходностью
индивидуального, эффективного портфеля. Так как результат
2Соу[г!,гр] - 2Cov[r2.rp] = kj(E[ti] - Е[?~2])
верен для любых ценных бумаг и любых эффективных портфелей, при учете
того факта, что рыночный портфель сам по себе является эффективным,
заменим п на fj, f2 на ii и гр на гт. Тогда мы получим
2(Cov[fj,7',„] - Cov[fj,rm]) = Ki(E[rj] - E[r;]).
Наконец, мы еще используем то обстоятельство, что соотношение верно как
для отдельных ценных бумаг, так и для портфелей, и заменим сначала г,
на fz
Cov[fj, r„t] - Соу[гг, = ^-(E[fj] - Е[тг]), (4.77)
= 0
и после этого г3 на rm
Соу[гта, = ~(E[rm] - E[/\]).
=Var[f,„]
Вынесение 0.5«i дает
Сейчас мы заменим 0.5ki в (4.77)
Cov[rj,fm] = —- Е[гг])
Ji [7 mJ Ji [7 г]
и сведем к виду
Т7Г~ 1 Т7Г~ 1 -^[7 г] « г ~ ~ -1
ЕЫ = EW + Var[r„] C°v|r-’. г’"1 =
= ЕМ + (E[fm] - E[r2])/3j.
Таким образом, и для отдельных ценных бумаг соблюдается линейное соот-
ношение между риском и доходностью.
4.3.8. Минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета
Объясните, почему инвесторы вкладывают только в минимальный по дис-
персии портфель с нулевой бета.
4.3. САРМ без безрисковой ставки процента
207
Каждый портфель с нулевой бета свободен от систематического риска и при-
носит поэтому доходность Е[г2]. Поэтому на первый взгляд кажется, что ин-
весторы инвестируют в любые портфели с этим свойством. Однако с помо-
щью образования портфелей в случае двух ценных бумаг можно показать,
что осуществляются вложения лишь в минимальный по дисперсии порт-
фель этого типа.
Доходности портфеля с нулевой бета независимы от рыночной доход-
ности. Поэтому мы можем проинтерпретировать рыночные портфели и
портфели с нулевой бета как независимые друг от друга ценные бумаги.
Для каждой смеси из любого портфеля с нулевой бета и рыночного порт-
феля существует одна кривая трансформации. Соответствующие позиции
«доходность—риск» определены через два уравнения
E[rp] = aE[rm] + (1 - а)Е[гг]
и
Var[rp] = a2Var[rTO] + (1 - a)2Var[f2].
Рис. 4.14. Функции трансформации нулевых бета
Если Var[r21] < Var[r22], то для любого а и таким образом для любой
доходности портфеля Е[гр] верно неравенство Varfrpi] < Var[rp2]. Линия
трансформации неминимального по дисперсии (второго) портфеля с нулевой
бета располагается справа от кривой трансформации для минимального по
дисперсии (первого) портфеля с нулевой бета (ср. рис. 4.14). Все инвесторы
держат эффективные смеси этих обоих «типов ценных бумаг», ковариация
которых составляет ноль. Это означает, что они позиционируют себя на кри-
208
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
вой трансформации, которая находится ближе всех к оси ординат.14 Таким
образом, возможны лишь комбинации из рыночного портфеля и портфеля с
минимальной дисперсией с нулевой бета.
4.3.9. Расчет наименьшего по риску портфеля с нулевой бета
На рынке капитала без возможности вложений в безрисковые активы суще-
ствуют лишь два инвестора. Инвестору 1 хотелось бы разделить свое иму-
щество У1 = 200 000 по равным долям среди трех ценных бумаг с матрицей
дисперсии—ковариации
0.24
-0.10
0.25
-0.10
0.75
0.32
0.25\
0.32
0.12/
Инвестор 2 владеет 300 000 руб. Он инвестирует эту сумму на 50% в ценную
бумагу 1, на 37.5% — в ценную бумагу 2 и на 12.5% — в ценную бумагу 3.
1. Рассчитайте рыночный портфель.
2. Рассчитайте портфель с минимальной дисперсией и с нулевой бета.
* *
*
1. Вектор структуры рыночного портфеля можно определить через
оЛИ1 +ЛУ2
О . = -2___1__
} 1М~У2
Мы получаем
Qi \
12г I
Оз /
0.4333Х
0.3583 .
0.2083/
2. Для портфеля с нулевой бета должно быть выполнено уравнение
Cov[z\.. Г,„] = (о?! W2
0.24
-0.10
0.25
(1 — оц — и>г)) •
-0.10
0.75
0.32
0.25\ /0.4333Х
0.32 0.3583 = 0.
0.12/ \0.2083/
Сложение дает
0.1202^1 + 0.2921^2 + 0.2480 • (1 - цц - о>2) = 0,
14 Между прочим, верно, что никогда не принимаются позиции, которые находятся
ниже абсолютно минимальной по дисперсии позиции.
4.3. САРМ без безрисковой ставки процента
209
и с учетом этого
u>2 = 2.8979<щ - 5.6257.
Для упрощения обозначения мы сейчас определим
а = 5.6257, Ь = 2.8979.
Формула дисперсии портфеля из трех ценных бумаг выглядит следую-
щим образом:
Var[rp] =u’iVar[ri] + 2u»iu»2Cov[fi, гг] + 2_j1uJ3Cov[t4 ,r3] 4-
-l-a^Varf?^] + 2и»2^зСоу[г2, гз] 4-u»jVar[f3].
Сейчас при учете u»3 = 1 — — ал мы подставим в это выражение полу-
ченное соотношение и показатели ковариации:
Var[rp] = а?2 • 0.24 + 2u>i • (Ьац — а) (—0.1) 4-
4-2ац • (1 — ац — (Ьац — а)) 0.25 4- (бац — а)2 • 0.75 +
+2 • (Ьа>1 — а) • (1 — — а)) • 0.32 +
+ (1-iai - - а))2 • 0.12.
Дифференцирование по оц дает нам в качестве условия для минимума
—-Г= u>i • 0.24 4- ((Ьац — а) 4- ац • b) • (—0.1) 4-
+ ((1 — u>i — (6a>i — а)) 4- ац(—1 — 6)) 0.25 4- (бац — а) • b 0.75 4-
4- (6 (1 — ац — (бац — а)) 4- (бац — а)(— 1 — 6)) -0.32-1-
4-(1 — ац — (Ьач — a)) • (—1 — б) • 0.12 = 0.
Упрощение дает после повторной подстановки значений для а и b
ац = 0.0387.
Соответствующая доля второй ценной бумаги равна
а>2 = 2.8979 0.0387 - 5.6257 = -5.5135.
Наконец, при
и>з = 1 - 0.0387 - (-5.5135) = 6.4748
минимальный по дисперсии портфель с нулевой бета однозначно опре-
делен.
Литература
САРМ без возможности вложения в безрисковый актив была разработана
в: Black F. Capital market equilibrium with restricted borrowing // Journal
210
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
of Business. 1972. Vol 45. Р. 444-455. Представление этого варианта САРМ
можно найти также в: Copeland Т. Е., Weston J. F. Financial Theory and
Corporate Policy. 3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988 и: Elton E. J.,
Gruber M. J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 5th ed. New
York: Wiley, 1995.
4.4. САРМ и решения об инвестициях
211
4.4. САРМ и решения об инвестициях
Рассмотрение САРМ научило нас тому, что
• существует независимая от предпочтения рыночная цена риска,
• менеджеры фирм могут принимать решения о принятии или отверже-
нии рисковых инвестиционных проектов независимо от предпочтения
риска акционерами.
Этим заложена основа для следующего применения выведенных из САРМ
уравнений оценки. Но прежде, чем мы перейдем к расчету сегодняшней
стоимости, в начале раздела мы проясним вопрос об эквивалентности обоих
ценовых уравнений САРМ. В конце раздела мы займемся связью между
ценами Эрроу—Дебре и ценовым уравнением САРМ.
4.4.1. Фактическая доходность против равновесной доходности
Мы рассмотрим рынок капитала с двумя рисковыми ценными бумагами
(см. таблицу). Возможны три ситуации. Пусть цена обеих ценных бумаг
составляет по 100 руб.
Вероятность 60 % 30 % 10 %
Титул 1 105 120 по
Титул 2 130 100 105
Нужно оценить инвестиционный проект, который «обещает» с теми же ве-
роятностями, что и финансовые титулы, возвратные потоки, составляющие
125, 122 и 118 руб. Расходы на приобретение равны 100 руб. Безрисковая
ставка процента составляет 10 %. В рыночном портфеле ценная бумага 1
занимает долю 2/3.
1. Рассчитайте ожидаемую доходность рыночного портфеля, а также его
дисперсию.
2. Как велики ожидаемые денежные потоки и ожидаемая доходность ин-
вестиционного проекта?
3. Как велика бета проекта?
4. Как велика доходность, скорректированная с учетом риска?
5. Объясните, почему в состоянии равновесия рынка капитала вознагра-
ждается лишь систематический риск.
212
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
1. Для расчета ожидаемой доходности рыночного портфеля нам необхо-
димы ожидаемые доходности обоих титулов:
Е[п] = 0.6-
= 0.1,
Е[г2] = 0.6 •
105- 100
100
+ 0.3-
120 - 100
100
+ 0.1
130- 100
---------1- 0.3 •
100
100 - 100
Гоо
+ 0.1
110- 100
100
105 - 100
100
= 0.185.
Тогда структура цц = 2/3 и cv2 = 1/3 дает
Е[г„,] = оц E[?'i] + _j2 Е[г2] =
= | - 0.1 + | -0.185 = 0.1283.
При дисперсии1'
Var[ri] = 0.6- (0.05 -0.1)2 +
+ 0.3- (0.2 -0.1)2 + 0.1 • (0.1 - 0.1)2 =
= 0.0045,
Var[r2] = 0.6 • (0.3 - 0.185)2 +
+ 0.3 (0 - 0.185)2 + 0.1 (0.05 - 0.185)2 =
= 0.020
и ковариации
Cov[ri, г2] = 0.6 (0.3 - 0.185) • (0.05 - 0.1) + 0.3 • (-0.185) • (0.2 - 0.1) +
+ 0.1 (0.05 - 0.185) • (0.1 - 0.1) = -0.009
мы получим для дисперсии доходности рыночного портфеля
Var[rm] = iv2 Var[ri] + Var[r2] + 2 оц w2Cov[?'i, r2] =
/2\2 /1\2 2 1
= - -0.0045+ - -0.020 + 2 -----(-0.009) =
\ъ) 3 3 v ’
= 0.000225.
2. Для ожидаемых денежных потоков проекта получаем
Е[Х] = 0.6- 125 + 0.3- 122 +0.1 118 = 123.4.
15 Соответствующие стандартные отклонения равны:
сг[г1] = 0.067 и ст [+2] = 0.1415.
4.4. САРМ и решения об инвестициях
213
Сейчас существуют два варианта для расчета ожидаемой доходности
проекта. Мы можем использовать в качестве основы или цену при-
обретения, или справедливую цену (сегодняшнюю стоимость). В пер-
вом случае мы получаем
Е[Я] =
Е[Х] - /()
/о
123.4 - 100
100
= 0.234.
В дальнейшем мы должны учесть, что R обозначает фактическую, а
г — равновесную доходность, приспособленную к риску. Обе ставки
процента являются лишь тогда идентичными, когда расходы на при-
обретение в точности совпадают с сегодняшней стоимостью Ро.
Во втором случае мы должны были бы работать с формулой
Е[г] =
Е[Х] - Ро
Ро
(4-78)
Однако мы можем сделать это лишь тогда, когда вычислим сегодняш-
нюю стоимость. Поэтому мы сначала поставим (4.78) на задний план.
После завершения работы с первой частью задачи 4.4.2 мы снова зай-
мемся этой формулой.
3. И для /3 проекта существует вариант сегодняшней стоимости и вари-
ант покупной цены. Здесь мы сконцентрируем внимание на варианте
покупной цены. Тем самым мы получим
_ Cov[P, rm] _ Cov[P, r,„]
Var[rm]
0.000225
(4-79)
Числителем вышеприведенного уравнения является
Cov[P, fm
•0.05+ | -0.3 - 0.1283 ) +
О /
+0.3 • (0.22 - 0.234) • ( - 0.2 + | 0 - 0.1283 ) +
\ 3 3 /
• 0.1 + i • 0.05 - 0.1283
О
= 0.00027.
(4.80)
Подстановка этого значения в (4.79) приведет к
0.00027
0.000225
4. Доходность проекта, скорректированная с учетом риска (вариант по-
купной цены), будет получена нами с помощью подстановки данных в
уравнение линии ценной бумаги
214
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
г{ + / Cov[7?,
Var[r,„]
0.128.3 - 0.1
0.1 +--------------- 0.00027
0.000225
0.1339.
5. Под понятием систематического риска инвестиционного проекта мы
имеем в виду ковариацию доходности проекта с доходностью рыночно-
го портфеля. Несистематический риск, т. е. часть риска проекта, ко-
торый не связан с рыночным риском, может быть полностью уничто-
жен посредством диверсификации. В равновесии на рынке капитала
все инвесторы держат рыночный портфель, а значит, хорошо диверси-
фицированную смесь ценных бумаг. С принятием одного предельного
инвестиционного проекта в оптимально диверсифицированный порт-
фель инвестора исчезает несистематический риск проекта. Общий риск
инвестора в равновесии повышается лишь на величину неизбежного
ковариационного риска. Следовательно, и вознаграждается лишь этот
риск.
4.4.2. Приближенное и точное уравнения цены
Для того чтобы мы могли определить сегодняшнюю стоимость инвестици-
онного проекта из задания 4.4.1, в контексте САРМ существуют две разные
возможности. Или ожидаемые возвратные потоки дисконтируются на осно-
ве скорректированной с учетом риска ставки процента, или безрисковый
эквивалент дисконтируется на основе ставки процента по безрисковому ак-
тиву.
1. Примите решение (с помощью рыночных данных из задачи 4.4.1) на
основе обоих методов, должны ли менеджеры осуществлять инвести-
ционный проект. Обоснуйте свое решение и объясните, почему лишь
один метод приводит к получению точной сегодняшней стоимости про-
екта.
2. Начертите линию ценной бумаги. Начертите рыночный портфель и
проект. Объясните, почему расходы на приобретение в рамках тех
инвестиционных проектов, которые со своими комбинациями «доход-
ность/бета» находятся выше от линии ценной бумаги, должны расти.
*
1. На совершенно функционирующем рынке капитала11’ цены (равные
расходам на приобретение) инвестиционных проектов совпадают с со-
16 Это понятие включает совершенно функционирующий рынок как для финансо-
вых, так и для реальных инвестиций.
4.4. САРМ и решения об инвестициях
215
ответствующими риску и доходности сегодняшними стоимостями (Р()).
Поэтому доходность проекта можно записать как
Е[Д] = Е[?'] =
Е[Х] - И
Ро
(4.81)
Ожидаемая цена в момент времени t = 1 в нашей двухпериодной мо-
дели соответствует ожидаемому денежному потоку Е[А ] проекта. Сего-
дняшняя стоимость — это цена в момент времени t = 0. Приравнивание
(1.81) к САРМ приводит к
Е[Х] - Р()
Ро
= rf +
Ер,,,] ~ I'f
Var [r,„]
• Covp, r,„].
Если из данного уравнения выразить /?о,'то это дает
______ш_______.
1+rl + fe-cov['^'l
(4.82)
Расчет сегодняшней стоимости на основе этого первого уравнения цены
имеет тот недостаток, что определяемая переменная Ро находится в
определяющем выражении. Где в правой части от (4.82) скрывается Ро,
покажет более тщательное рассмотрение ковариации
Cov[r,r„i]
= Cov
Г
Можем ли мы, несмотря на это, использовать (4.82) для определения
сегодняшней стоимости? В принципе, да. Но лишь на предполагаемых
выше совершенно функционирующих рынках, где наблюдаемая нами
покупная цена всегда совпадает со справедливой ценой, а значит, с се-
годняшней стоимостью. Если существует малейшее подозрение о несо-
вершенстве рынка, например из-за того, что цены реальных инвести-
ционных проектов не приспосабливаются к рыночным изменениям с
бесконечной скоростью, нужно исходить из того, что эмпирическая по-
купная цена /0 отличается от сегодняшней стоимости Ро
Ро Л)-
В случае соблюдения неравенства при использовании (4.82) возника-
ют более или менее значительные искажения сегодняшней стоимости.
Для наших данных при использовании результатов из задачи 4.4.1, 2
и 4.4.1, 4 мы получим сегодняшнюю стоимость
Ро
Е[Х] _ 12.3.4
1 + Ер] 1.1.339
= 108.83.
216
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Является ли эта полученная сегодняшняя стоимость справедливой це-
ной или мы здесь имеем дело с искаженным вариантом? Для ответа
на этот вопрос мы рассчитаем сегодняшнюю стоимость с помощью без-
рискового эквивалента. Для этого мы должны исключить Ро в правой
части (4.82). Так как
Cov[r,rm] = Е
= Е
Е[Х] - Ро\
Ро J
Х-Ро + Ро- Е[Х]
Ро
= ^Cov[A\fm]
М)
то мы можем сделать перестановку в (4.82) и свести его к
___________Е[Х]__________
1 + rf + vfeS Cov^’
и затем с результатом
EW-^gjg(Cov[A-,r„.|
1 + rj
(4.83)
выразить через Pq. (4.83) является вторым уравнением цены САРМ.
В числителе находится тот ожидаемый возвратный поток, который
должна была бы иметь безрисковая инвестиция в t = 1 для того, чтобы
она в t = 0 оценивалась по цене Ра. Знаменателем является безриско-
вый коэффициент дисконтирования. Выражение дает неискаженную
сегодняшнюю стоимость, так как в правой части необходимы лишь
данные, которые независимы от степени совершенства рынка реаль-
ных инвестиций. При наших цифрах с учетом (4.80), p(Xj) = 100 и
1/100- Cov[X,rm] = 0.00027 мы получим рыночную цену
л 123.4 - • 0-027
Ро = --------0.00022,,----- = 109 09
Обе цены (сегодняшней стоимости) Ро — 108.83 и Ро = 109.09 отлича-
ются друг от друга. Однако мы можем спокойно констатировать, что
искажения, связанные с использованием варианта покупной цены, не
привели бы инвестора к принятию неправильного решения. Необходи-
мая для осуществления проекта положительная чистая сегодняшняя
стоимость возникает независимо от метода расчета.
NPV = Pq — 10 = 108.83 — 100 = 8.83 > 0 вариант покупной цены,
NPV = Ро — /0 = 109.09 — 100 = 9.09 > 0 вариант рыночной цены.
4.4. САРМ и решения об инвестициях
217
После того как мы узнали сегодняшнюю стоимость проекта, расчет с
помощью варианта рыночной цены
• ожидаемой доходности проекта (задача 4.4.1, 2),
• /3 проекта (задача 4.4.1, 3)
• и доходности, скорректированной с учетом риска (задача 4.4.1, 4),
уже не является проблемой. Мы получаем
125 - 109.09 „ 122 - 109.09
= 0.6 ---------------1- 0.3 --------------F 0.1 •
109.09 109.09
= 0.1312,
118- 109.09
109.09
0.6 • (J0.1458 - 0.1312) (0.1333 - 0.1283)
Var [г™]
0.3 • ^(0.1183 - 0.1312) • (0.1333 - 0.1283)
Var[r,„]
0.1 ((0.0816 - 0.1312) (0.0833 - 0.1283)
Var[rmj
+
= 1.099
и
E[rj = 0.1 + (0.1283 - 0.1) • 1.099 = 0.1312.
2. Рис. 4.15 показывает линию ценной бумаги. Мы занимаемся проектом
К. Занесенные данные проекта Е[Яд-] и основываются на эмпириче-
ски наблюдаемой покупной цене Iq. Равновесное требование к доход-
ности для проекта с систематическим риском /Зк находится при Е[гд-].
Так как К находится выше линии ценной бумаги, доходность проекта
слишком высока. Так как
Е|ад=КЬА,
то это предполагает слишком низкую цену приобретения. Реакцией на
ситуацию такого рода сначала является избыток спроса. Впоследствии
происходит повышение цены. /0 растет, а ожидаемая доходность сни-
жается. Это противоположное движение цены и доходности приоста-
навливается, если Е[7?д'] = Е[гд-].
4.4.3. Зависимая от ситуации доходность рыночного портфеля и оценка
Один инвестиционный проект обещает с одной и той же вероятностью воз-
вратные потоки величиной в 100 (ситуация 1) или 200 денежных единиц
218
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Е[гР]
Рис. 4.15. Линия ценной бумаги
(ситуация 2). Рыночный портфель имеет математическое ожидание Е[гП|] =
= 0.115, причем во второй ситуации возникает доходность, равная 0.08. Без-
рисковая ставка процента составляет Т( = 0.1. Оцените инвестиционный
проект.
* *
*
Для получения оценки мы должны обратиться к уравнению
n E[.Y] - А Cov[A'.
- F+7f
Для его использования нам необходимы следующие данные:
• доходность рыночного портфеля в первой ситуации
0.115 - 0.08 • 0.5
г,„1 = -----—------- - 0.15,
0.5
• дисперсия рыночной доходности
Var[f,„] = 0.5 (0.15 - 0.115)2 + 0.5 (0.08 - 0.115)2 = 0.001225,
• математическое ожидание возвратных потоков проекта
Е[Х] = 0.5 • 100 + 0.5 200 = 150,
4.4. САРМ и решения об инвестициях
219
• ковариация между возвратными потоками проекта и рыночной доход-
ностью
CovfX.r,,,] = 0.5 (100 - 150) (0.15 - 0.115) +
+0.5 (200 - 150) (0.08 - 0.115) =
= -1.75.
Подстановка этих данных в уравнение сегодняшней стоимости дает резуль-
тат, согласно которому инвестор должен заплатить максимум
0.115 - 0.1
р 1О(> ~ 0.001225
F0 =-------------п—
4.4.4. Примитивные ценные бумаги и уравнение цены САРМ
Исходите из того, что верны данные из табл. 4.10, а ожидаемая доходность
рыночного портфеля составляет E[z~,„] = 0.147.
Таблица 4.10. Данные по рынку капитала и реальной инвестиции
Ситуация $ 1 о 3
Вероятность наступления ч- 0.30 0.40 ?
Цены Эрроу—Дебре " S 0. 10 ? ?
Доходности рыночного портфеля Денежный поток по одной реальной rfll> 0.05 0.18 ?
инвестиции А, 7 000 000 GOOD 000 5 000 000
1. Определите безрисковую ставку процента, рыночную цену риска и це-
ну примитивной ценной бумаги для третьей ситуации.
2. Рассчитайте ковариацию денежного потока реальной инвестиции с до-
ходностью рыночного портфеля и определите справедливую цену этого
проекта с помощью уравнения цены САРМ. Проверьте справедливую
цену реальной инвестиции с помощью цен примитивных ценных бу-
маг.
1. Для расчета дисперсии рыночной доходности сначала мы определим
вероятность наступления третьей ситуации из
S'~l
= 1 - 0.3 - 0.4 = 0.3
220
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
и доходность рыночного портфеля в третьей ситуации из
3
rmsqs — 0.147,
5= 1
0.147 - 0.05-0.3 - 0.18-0.4
гтз =--------------од------------ = 0.20.
Таким образом, дисперсия рыночной доходности равна
3
Var[fm] = У <?., =
«=1
= (0.05 - 0.147)2 • 0.3 + (0.18 - 0.147)2 • 0.4 +
+ (0.20 - 0.147)2 0.3 = 0.004101.
А сейчас для вычисления рыночной цены риска
E[rm] -rs
Var[rm]
(4.84)
а также безрисковой ставки процента целесообразно использовать
уравнение
ТГ., = — f 1 — A (rm5 - Е[гт])). (4.85)
Оно описывает, каким образом цена примитивной ценной бумаги за-
висит от вероятности наступления соответствующей ситуации, безрис-
ковой ставки процента, рыночной цены риска, зависимой от ситуации
доходности рыночного портфеля, а также от ожидаемой рыночной до-
ходности. Подстановка (4.84) в (4.85) приводит к
qs / E[rm] - rf \
l + r; V Var[rm] J
Так как мы знаем цену чистой ценной бумаги для первой ситуации из
табл. 4.10, это окажется уравнением с безрисковой ставкой процента
как единственной неизвестной. Выражение из формулы rf и подста-
новка известных данных приводят к
__ (гг$ </.,) • Var[rm] -|- gsE[rm] (rms E[rm]) _
7rsVar[rm] - ц, (rms - E[r,n])
(0.40 - 0.30) • 0.004101 + 0.30 • 0.147 (0.05 - 0.147)
~ 0.40 • 0.004101 - 0.30 (0.05 - 0.147)
= 0.1258.
Таким образом, рыночная цена риска составляет
А =
0.147 - 0.1258
0.004101
= 5.1658.
4.4. САРМ и решения об инвестициях
221
А сейчас отсутствующие цены чистых ценных бумаг можно легко вы-
числить с помощью уравнения (4.85). Мы получим
%2 = 1 ' t1 - 5'1658 ' (°'05 - °'147» = °'29473’
1 U.1ZO0
О 3
Ъ = 1 ,-п Т^е ' О - 5-1658 ' (°-20 ~ °-147» = °-19352-
1 -f- U.lzOo
2. Ковариацию денежного потока с доходностью рыночного портфеля мы
получим из
Cov[X,7\,] = е[(Х - Е[Х]) (тт - Е[г,„])] =
S
= £(Х - Е[.¥]) (rms -E[fm])7s.
.4=1
Сначала мы определим математическое ожидание возвратных потоков
Е[Х] = (7 • 0.3 + 6 0.4 + 5 • 0.3) 1 000 000 = 6 000 000,
из чего для ковариации рассчитаем
Cov[X, гт\ = ((7 — 6) (0.05 -0.147) 0.3 +
+ (6-6) • (0.18-0.147) -0.4 +
+ (5 - 6) (0.20 - 0.147) О.з) 1 000 000 =
= -45 000.
Отрицательный знак ковариации указывает на то, что риск проекта
нужно оценить как выгодный, потому что денежные потоки проекта
растут, если доходности рыночного портфеля снижаются. Значит, при-
нимающее решение лицо, которое инвестирует в рыночный портфель
и, кроме того, осуществляет реальные инвестиции, снижает свой сово-
купный риск. При использовании ковариации мы можем вывести то,
какую цену можно максимально заплатить за ожидаемые денежные
потоки инвестиции. С учетом уравнения цены САРМ мы получим
E[Xj - ACov[X,r,n]
р° = гтт; =
6 000 000 + 5.1658-45 000
“ 1.1258 ~
= 5 535 957 руб.
Мы придем в точности к такому же результату, если используем цены
Эрроу—Дебре
3
Ро = ^2 = (7 • °-40 + 6 • О-29473 + 5 0.19352) 1 000 000 = 5 535 957 руб.
3=1
222
Глава 4. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
Литература
Оценка с помощью уравнения цены САРМ подробно обсуждается в: Drukar-
czyk J. Theorie und Politik der Finanzierung. 2. Aufl. Munchen: Vahlen,
1993. Тому, кто хочет заняться более глубоким анализом оценки с помо-
щью примитивных ценных бумаг, советуем прочитать работу: Bierman Н.
jr„ Smidt S. The Capital Budgeting Decision. Economic Analysis of Investment
Projects. 8th ed. New York: Macmillan, 1993.
Глава V
Теория структуры капитала
Выбор оптимальной структуры капитала долгое время находился в центре
дискуссий в области теории финансов. Этот вопрос является одним из важ-
нейших и в сфере финансовой практики. Какое соотношение отдельных
форм финансирования друг с другом должны выбрать менеджеры, если они
проводят свою политику в интересах собственников?
В теоретической дискуссии об оптимальной структуре капитала в основ-
ном существуют две точки зрения. Согласно «традиционному тезису» суще-
ствует определенное соотношение между собственным и заемным капита-
лом, при котором средневзвешенная стоимость капитала минимизируется.
В подходе Модильяни—Миллера, наоборот, выдвигается тезис, в соответ-
ствии с которым определить оптимум невозможно, если рынок капитала
является совершенным и исключена возможность арбитража. Мы обсудим
детально обе точки зрения, при этом учтем и несовершенство рынка, свя-
занное с налогами.
5.1. Формы предоставления капитала
Несмотря на то что существует множество альтернативных финансовых ин-
струментов, дискуссия обычно ограничивается определением наиболее вы-
годной структуры капитала. В этом разделе мы обсудим критерии, кото-
рые можно использовать для различения собственного и заемного капитала.
Впоследствии мы исследуем, каковы доли собственного капитала в Герма-
нии и как можно объяснить различия в этих долях для разных стран.
5.1.1. Разграничение между собственным и заемным капиталом
Для того чтобы можно было сделать точные утверждения о структуре капи-
тала предприятий, должна быть четко проведена «линия» между собствен-
ным и заемным капиталом. Назовите критерии для разграничения между
этими двумя формами финансирования и критически обсудите их.
* *
В литературе можно найти многочисленные попытки разграничения соб-
ственного и заемного капитала. Все эти попытки являются в той или иной
степени спорными. Далее мы обсудим шесть таких попыток разграничения.
224
Глава 5. Теория структуры капитала
1. Собственный капитал является капиталом, который предоставля-
ется собственниками.
Такие определения понятия, при которых на передний план выдвига-
ется юридический статус лица, предлагающего капитал, в литературе
используется часто. Но они являются однозначными лишь в том слу-
чае, если понятия собственника предприятия не вызывают сомнения.
А это не всегда так. Акционер классически является (со-) собственни-
ком предприятия. Лицо, которое продает товары предприятию с после-
дующей оплатой, наоборот, согласно преобладающему мнению имеет
статус кредитора. Но если поставщик приобретает акции, то он яв-
ляется как кредитором, так и лицом, предоставляющим собственный
капитал. Следовательно, юридический статус неоднозначен.
2. Собственный капитал как капитал с ответственностью.
И при таком определении проблема разграничения между собственным
и заемным капиталом решается за счет привлечения терминологии
юриспруденции. Опять вопрос состоит в том, кто является собствен-
ником, а кто — кредитором.
Частные предприниматели и полностью ответственные участники то-
варищества при некоторых условиях несут ответственность за долги
предприятия во всем объеме своей частной собственности. Таким обра-
зом, исходя из вышеприведенного определения речь идет о собствен-
ном капитале, хотя предприятие не может к нему обратиться до тех
пор, пока не наступит случай банкротства.
3. Собственный капитал является капиталом с требованием на зави-
симое от прибыли вознаграждение. Наоборот, лица, предоставляю-
щие капитал, имеют требования на платежи, которые не зависят
от прибыли.
Тому, кто придерживается этого определения, должно быть ясно сле-
дующее: партиарная (долевая) ссуда, при которой при положительной
прибыли кредитор помимо определенного процента за ссуду получает
согласованную долю прибыли, а в случае убытка — лишь проценты за
ССУДУ, является в этом смысле собственным капиталом. Наоборот, при-
вилегированная акция с правами на фиксированные дивиденды долж-
на трактоваться как титул заемного финансирования.
4. Собственный капитал — это капитал, который характеризуется
правом обладания, правом собственности и правом на прибыль.
Такое определение является однозначным лишь тогда, когда разъясне-
но, что такое право обладания и что такое право собственности. Если они
являются лишь правами вмешательства в дела предприятий в отдель-
ных случаях, тогда нужно, с одной стороны, констатировать, что и кре-
диты могут иметь характер собственного капитала. С другой стороны,
это определение ввиду весьма небольшого права вмешательства мелких
акционеров в некоторых акционерных обществах побуждает прийти к
выводу, что уставный капитал (например, если он принадлежит мелким
акционерам) нужно отнести к категории заемного капитала.
5.1. Формы предоставления капитала
225
5. Собственный капитал является капиталом с правом на вознагра-
ждение низшего ранга.
При этом определении выделяется то обстоятельство, что кредиторы
при распределении инвестиционных доходов, как правило, обслужи-
ваются перед лицами, предлагающими собственный капитал.
И это определение понятия неоднозначно. Например, акционеры вла-
деющие привилегированными акциями, находятся — при получении
дивидендов и выручки от ликвидации — хотя и в лучшем положении,
чем обыкновенные акционеры, но в худшем положении, чем креди-
торы. И даже кредиторы по рангу не равноправны. Значит, фактиче-
ски мы имеем дифференцированную иерархию ранговых отношений
между различными формами капитала. Таким образом, граница меж-
ду собственным и заемным капиталом расплывчата.
6. Собственный капитал — рискованный капитал, причем степень рис-
ка превышает определенное пороговое значение.
Проблема этого определения состоит в том, что, с одной стороны, долж-
но быть единогласие в том, как измеряется риск. С другой стороны,
необходимо установить величину критического порогового значения.
Оба решения в конечном счете могут быть приняты лишь произвольно.
5.1.2. Низкая доля собственного капитала
Доли собственного капитала немецких предприятий в последние пять деся-
тилетий становились все меньше.
1. Опишите, какие доли собственного капитала характерны для отдель-
ных отраслей Германии.
2. Как вы могли бы объяснить, что доля собственного капитала в Герма-
нии так низка?
* *
*
1. (Вертикальная) структура капитала обозначает отношение собственно-
го капитала к совокупному капиталу. В принципе, нужно констати-
ровать, что в последние 40-50 лет доли собственного капитала немец-
ких предприятий постоянно снижались. Сегодня они находятся при-
мерно на уровне 20 %. Предприятия, в которых главную роль играет
вложенный капитал (открытое акционерное общество), обычно имеют
более высокую долю собственного капитала, чем предприятия, в ко-
торых главную роль играет личное участие (товарищество) и частные
предприниматели. Причина этого заключается, наверное, в том, что
последние два типа предприятий связаны с институтом частной ответ-
ственности.
226
Глава 5. Теория структуры капитала
В отдельных отраслях картина относительно неоднородна. Для обраба-
тывающей промышленности можно исходить из того, что доля соб-
ственного капитала сегодня находится на уровне примерно 25 %; в
строительстве мы имеем низкие доли собственного капитала, соста-
вляющие примерно 10 %. И в оптовой, и розничной торговле доли соб-
ственного капитала относительно низки и составляют от 5 до 15 %.
2. Низкие доли собственного капитала немецких предприятий в основном
объясняются следующими тремя причинами:
а) Немецкие предприятия — в международном сравнении — не до-
стигают средней «доходности оборота» (отношение прибыли и вы-
ручки). Тот, кто мало зарабатывает, вряд ли в состоянии накап-
ливать большие прибыли. В течение многих лет сообщалось, что
доходность оборота американских предприятий более чем вдвое
превышает аналогичный показатель у их немецких конкурентов.
б) Немецкие предприятия — в международном сравнении — сталки-
ваются с относительно большим налогообложением. Налог на про-
мысловый доход, налог на прибыль и подоходный налог в сумме
так высоки, что от 100 немецких марок прибыли после вычитания
налогов остается лишь примерно 30 марок.
в) Немецкие предприятия — в международном сравнении — име-
ют весьма скромные возможности амортизации. В других странах
существуют менее жесткие правила относительно прогрессивных
методов амортизации.
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
Сейчас мы обратимся к вопросу о том, может ли существовать оптималь-
ная структура капитала. Для этого мы сначала исследуем «традиционный
тезис». Что он означает и как он может быть аналитически уточнен, яв-
ляется темой нашей первой задачи. После этого мы подробно займемся до-
пущениями и следствиями из теоремы Модильяни—Миллера, причем в ка-
честве основ аргументации будут использованы как теория арбитража, так
и САРМ. При этом вновь окажется, что в условиях совершенно функцио-
нирующего рынка капитала, где отсутствуют возможности арбитража, не
существует оптимума структуры капитала.
5.2.1. Традиционный тезис
Проанализируйте традиционный тезис и выведите условия для оптималь-
ной структуры капитала. Выясните при этом разницу между традиционной
моделью и моделью Модильяни—Миллера.
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
227
Согласно традиционному тезису средневзвешенная стоимость капитала и до-
ходность собственного капитала функционально зависят от структуры ка-
питала. Если мы обозначим средневзвешенную стоимость капитала к, тре-
бование к доходности собственников паев (кредиторов) кЕ (fcp), рыночную
стоимость собственного капитала (заемного капитала) Eq (Do), уровень фи-
нансового левериджа Q = Dq/Eq и, наконец, общую стоимость предприятия
Vo, то тогда это в формализованном виде означает
fc(Q) = ЫЗ) + kl)(Q} -tTTTT-
Данное уравнение можно преобразовать к следующему виду:
kE{Q) = k(Q) + k(Q) - kD(Q) Q.
(5-1)
Дифференцирование (5.1) по уровню финансового левериджа первоначально
дает
и после преобразований
дкЕ
dQ
дк Л _1_ О(Л . <k к 1 дк° О
Если данную формулу выразить через дк/dQ, то это при Eq + Do = Vo при-
ведет к
дк Ео
OQ^Vq
дкЕ dkD \
~dQ + 'dQQ~[ к-к^)-
(5-2)
Для интерпретации уравнения (5.2) мы подразделим интервал от 0 до оо
уровня финансового левериджа Q на два субинтервала. Пусть первый про-
ходит от 0 до Q„,ar и охватывает область низкого и среднего уровня фи-
нансового левериджа. Здесь вероятность неоплаты долга по предположению
составляет ноль, так что лица, предоставляющие заемный капитал, не реа-
гируют на уровень финансового левериджа. Верно
212=0.
dQ
Второй интервал пусть ограничивается Qmax < Q < оо. При уровнях финан-
сового левериджа в этой области требования лиц, предоставляющих заем-
ный капитал, весьма рискованны. Кредиторы хотят вознаграждения за этот
риск и поэтому повысят требования по процентам
>0.
dQ
228
Глава 5. Теория структуры капитала
Интервал 1. Здесь верна упрощенная версия уравнения (5.2)
dQ V0\dQ 1 D>J k 1
Выражение в скобках в правой части отрицательно до тех пор, пока предель-
ные требования к доходности собственников паев низки, а разность между
средневзвешенной стоимостью капитала и процентами по заемному капита-
лу высока. Эта структура приводит к убывающей средневзвешенной стои-
мости капитала и согласно традиционному тезису поддерживается в обла-
сти «умеренного» уровня финансового левериджа. Мы должны еще более
тщательно проанализировать убывающую средневзвешенную стоимость ка-
питала. Причем норма снижения падает. Чем это обосновано? Это связано с
двумя противоположными эффектами, которые нам удастся выделить, если
мы рассмотрим внимательнее выражение в скобках в уравнении (5.3). Пер-
вый член выражает изменение требования к доходности собственников па-
ев. Мы можем считать правдоподобным, что собственники вначале, еще при
низком уровне финансового левериджа, почти не повысят свои требования
к доходности или повысят их незначительно. dkE/dQ в этой ситуации поло-
жительно, но близко к нулю. Разница между средневзвешенной стоимостью
капитала и требованиями по процентам кредиторов, наоборот, относительна
велика. Таким образом, выражение в скобках в целом отрицательно. Реша-
ющую роль играет способ, посредством которого собственники паев станут
повышать свои требования к доходности, если уровень финансового левери-
джа все дальше будет расти. По традиционным соображениям акционеры
будут постепенно повышать свои требования к доходности все сильнее, т. е.
dkE/dQ будет становиться все больше! При этом до тех пор, пока мы на-
ходимся в области убывающей средневзвешенной стоимости капитала, раз-
ница {к — ко) снижается. Таким образом, отрицательное выражение dk/dQ
постепенно приближается к нулю. Когда оно наконец достигнет этого значе-
ния, предельная доходность, получаемая акционерами, в точности совпадет
с разницей между средневзвешенной стоимостью капитала и процентами по
заемному капиталу
= (5.4)
С/Ц/
Формула (5.4) определяет оптимальную структуру капитала в смысле тра-
диционного тезиса. Новый прирост к сейчас связан с высоким предельным
требованием к доходности собственников паев совместно с относительно
небольшой разницей между к и ко- Эта разность возникает в области сред-
него уровня финансового левериджа. Рост сначала происходит медленно,
гак как разница между процентами за кредит и к опять возрастает.
Интервал 2. Теперь и лица, предоставляющие заемный капитал, реаги-
руют на рост задолженности, так что
дк _Е0(дкЕ dkD А
dQ Vo \dQ dQ J
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
229
Растущие требования на проценты dkp/dQ > 0 влияют на выражение в скоб-
ках двояко. С одной стороны, к предельной доходности акционеров добавля-
ется дополнительный положительный фактор, а с другой — рост процента
сужает разницу между средневзвешенной стоимостью капитала и кр. Темпы
роста к повышаются. Значит, в целом возникает изображенный на рис. 5.1
U-образный график средневзвешенной стоимости капитала.
Рис. 5.1. Релевантность структуры капитала
Если средневзвешенная стоимость капитала не зависит от структуры ка-
питала, как гласит тезис Модильяни—Миллера, то тогда при постоянной
стоимости заемного капитала верно
дк п
dQ~ '
(5.5)
Для области низкой задолженности, в которой кредиторы еще не станут
повышать свои требования на проценты, должно быть верным
дкЕ ь ь
-aQ‘k~kn’
в чем мы можем убедиться через подстановку (5.5) в (5.3). Собственники па-
ев с постоянным темпом приспосабливают свои требования по доходности к
растущей задолженности. По аналогии с традиционным тезисом и в рамках
тезиса Модильяни—Миллера предполагается, что кредиторы при высоком
уровне финансового левериджа реагируют с повышенными требованиями на
проценты. Требование к доходности акционеров
дкЕ
9Q
, ь дк° п
= k~k°~-0QQ
230
Глава 5. Теория структуры капитала
при высоком уровне финансового левериджа из-за частичного переноса рис-
ка на лица, предоставляющие заемный капитал, растет уже не постоянно,
а лишь с убывающим темпом.
5.2.2. Теорема Модильяни—Миллера
Модильяни и Миллер предложили три тезиса, касающихся структуры ка-
питала.
1. На каких допущениях основаны эти теоремы?
2. Как формулируются эти теоремы и как их можно доказать?
* *
*
1. Теорема Модильяни—Миллера, в сущности, основана на восьми допу-
щениях.
а) Не существуют трансакционных и информационных издержек.
Все финансовые титулы бесконечно делимы.
б) Не существует налога, различающегося в зависимости от форм фи-
нансирования.
в) Не существует ограничений рынка капитала.
г) Все участники рынка имеют однородные ожидания.
д) Политика предприятий задана.
е) Все участники рынка не расположены к риску.
ж) Кредиты являются безрисковыми.
з) Не существует возможности арбитража.
2. Эти три тезиса формулируются следующим образом:
• Тезис 1. Решения менеджеров о структуре капитала не изменя-
ют совокупную стоимость предприятия. Совокупная стоимость для
всех, кто предлагает капитал (для собственников паев и кредито-
ров), формируется из стоимости предприятий для собственников
(стоимость собственного капитала) и стоимости предприятия для
кредиторов (стоимость заемного капитала). Теорема гласит, что
совокупная стоимость предприятия не зависит от избранного соот-
ношения между собственным и заемным капиталом.
• Тезис 2. Ожидаемая доходность собственного капитала предприя-
тия-должника является линейной функцией уровня финансового
левериджа, причем верно
кв = к + (к — kjj\
\ ) Ео
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
231
• Тезис 3. Менеджеры максимизируют благосостояние всех лиц,
предлагающих капитал, если они принимают решение об инве-
стициях с помощью чистой сегодняшней стоимости и используют
ставку процента к в качестве расчетной ставки процента.
Центральное значение имеет тезис 1, потому что тезисы 2 и 3 являются
ничем иным, как логичными выводами из тезиса 1. Поэтому сначала
мы сконцентрируем внимание на этом тезисе. Ее можно доказать с
помощью аргумента об арбитраже. При этом решающую роль играют
вышеназванные допущения г, д и з.
Мы рассмотрим два предприятия, которые абсолютно идентичны, ес-
ли не учитывать их структуру капитала. Первое предприятие не имеет
долгов, а значит, имеет лишь собственный капитал, в то время как вто-
рое предприятие имеет долги, значит, владеет как собственным, так и
заемным капиталом. В следующих формулах индекс U означает «без
долгов», а индекс L — «с долгами». Долю участия мы обозначим а. Ва-
ловые инвестиционные доходы предприятия отражены в символе Е[Х].
В остальном мы будем пользоваться уже знакомыми нам символами.
Мы исходим из того, что предприятия получают валовые инвестицион-
ные доходы постоянно в течение длительного времени (выводы, одна-
ко, могут быть верными и без этого допущения). Применительно к дол-
гам предполагается, что речь идет о вечном кредите, который обязыва-
ет получателя кредита осуществлять платежи кредитору в сумме koDo-
Простая идея доказательства связана с попыткой показать, что пози-
цию собственника пая, который владеет акциями не имеющего долгов
предприятия, можно принять двумя способами. Или он покупает
акции не имеющего долгов предприятия, или он приобретает акции
предприятия, имеющего долги, и предоставляет дополнительно кре-
дит как частное лицо. В обратном случае он может «дублировать» и
позицию акционера предприятия, имеющего долги. Вместо того чтобы
приобретать акции предприятия, имеющего долги, он покупает доли
в предприятии, не имеющем долгов, и одновременно берет кредит как
частное лицо.
• Позиция U-акционера
Мы называем (7-акционером владельца паев предприятия, ко-
торый участвует с долей <> в не имеющем долгов предприятии.
Благодаря этому участию он приобрел требования на текущие
доходы в объеме оЕ[Х] и заплатил за это цену аЕ^. Кроме того,
так как не имеющее долгов предприятие по определению не
получало кредит, верно Е'о! =
Инвестор получает в точности тот же доход, если он приобретает
долю а акций имеющего долги предприятия (цена покупки аЕ'{ =
= — Do)) и, кроме того, покупает долю а заемного капитала
имеющей долги фирмы (цена покупки oDn). Совокупная цена
покупки за о-Е[А'] в этом случае составляет aV0L.
232
Глава 5. Теория структуры капитала
Если V'otz > V^, то не будет инвесторов, которые захотят держать
акции не имеющего долгов предприятия. Ведь каждый инвестор
может приобрести те же самые требования дешевле, если он купит
как акции, так и облигации предприятия, имеющего долги.
• Позиция L-акционера
Тот, кто покупает долю а имеющей долги фирмы, заплатит за
это цену аЕ$ = ct(V0L — Do) и приобретет требования на доходы
в объеме а(Е[Х] — kpD0). Инвестор может получить то же тре-
бование, если он купит акции не имеющего долгов предприятия
и одновременно подходящим образом берет деньги в долг как
частное лицо. Тот, кто покупает акции не имеющего долгов пред-
приятия, платит цену аЕ^ и приобретает требования на платежи
величиной в аЕ[Х]. Если он в этом случае получит, кроме того, и
частный кредит величиной в a Do, то он будет обязан осуществить
текущие платежи величиной в akEDo. Сальдо требований после
этих сделок составит а(Е[Х] — koD0), за что инвестор должен
заплатить цену величиной в — Do).
До тех пор пока V0L > Vof/, акционеры имеющего долги пред-
приятия будут продавать свои доли и за это покупать доли не
имеющего долгов предприятия при одновременном образовании
(частной) задолженности.
Таким образом, они будут извлекать арбитражную прибыль
величиной a(V0L — Voy).
Так как возможность извлечения арбитражной прибыли, по допуще-
нию, исключена, должно быть всегда верным
V = vf.
Для доказательства тезиса 2 доходность собственного капитала
определяется как соотношение чистых возвратных потоков для
собственников паев и стоимости собственного капитала, а значит, как
, Е[А'] - kDD0
kE = -----р-----
-C.Q
Из-за тезиса 1 должно быть всегда верным
v _ р + _ Ей
Если выразить данную формулу через Е[Х], то это приведет к
E[X] = k- (Eo + Do).
Если мы сейчас подставим уравнение, определяющее кЕ, тогда будет
иметь место
к (Ео 4- -Dq) — k[jDo
к'с = --------------- —
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
233
_ к Ео + (k - kD) Do _
Ео
— к+ (к- ко'} —°.
\ / Ео
Тезис 3 констатирует, что принятие решений об инвестициях в
интересах всех финансистов может произойти с помощью метода
чистой сегодняшней стоимости, причем необходимо использовать как
расчетную ставку процента к.
Если мы исходим из инвестиции, которая требует расходов величиной
в I и обещает текущие доходы величиной в ДЕ[Х], то условие для
принятия решения в пользу проекта выглядит следующим образом:
AEjX]
к
Сейчас можно различать два разных случая. Инвестиция финансиру-
ется или собственными, или заемными средствами.
Применительно к финансированию собственными средствами бла-
госостояние кредиторов вообще не изменяется. Собственники паев
выплачивают I и приобретают за это требование на ДЕ[Х], которое они
капитализируют при к. Следовательно, их прирост благосостояния
составляет
АШ -, > о.
к
Значит, правило принятия решения, соответствующее тезису 3, в
случае собственных средств не противоречит интересам ни одного из
лиц, предоставляющих капитал.
Если проект финансируется заемными средствами, то кредиторы
могут достичь максимального начисления процентов в сумме ко, а
значит, получить текущие платежи в объеме koi. Для собственников
паев остаются требования на текущие поступления величиной в
(ДЕ[Х] — koi), которые при соблюдении правила решения должны
быть положительными. Обоснование этого состоит в следующем: из-за
допущения е величина к всегда больше, чем ко, и ко всегда больше
нуля. Поэтому всегда верно
ДЕ[Х] ДЕ[Х]
kD > к > ’
Из этого следует
ДЕ[Х] - kD I > 0,
что и требовалось доказать. Приобретение требований на текущие
доходы величиной в (ДЕ[Х] - kD I), в случае финансирования за-
емными средствами для акционеров происходит бесплатно. Значит,
234
Глава 5. Теория структуры капитала
соблюдение правила принятия решения, соответствующего теореме 3,
оказывается и в случае заемного финансирования полезным для всех
лиц, предоставляющих капитал. Тем самым теорема 3 доказана.
5.2.3. Уравнение цены САРМ и теоремы нерелевантности
Если мы хотим показать, что теорема нерелевантности Модильяни—Милле-
ра верна, когда даны условия модели оценки финансовых активов, то нам
необходимо использовать два свойства ковариации, которые описываются
следующими формулами:
Covfij + х2,у] =Cov[5:i,y] + Cov[.r2,y], (5.6)
Cov[ft + .т, у] = Cov[.r. у]. (5.7)
Докажите, что обе формулы верны. Покажите далее, что (5.7) является спе-
циальным случаем (5.6).
* *
*
Для доказательства первого свойства начнем с определения ковариации
Cov[7-| + ,r2. ij] = Е [(ij + i-2 - E[.rj + :г2]) (у - E[//]) j .
Элементарное преобразование приведет к
Cov[.ti + .т2, у] = Е[(.?! + х2 - Е[.Г]] - Е[.г2]) (у - Е[у])j =
= е[(.Т1 - E[.£'i] + .7'2 - Е[.7-2]) (у - E[y])j =
= Е [(.Гц - Е[Гц]) (у - Е[у]) + (т2 - Е[5-2]) (у - Е[у])j.
Если мы, наконец, применим оператор математического ожидания к обоим
аргументам по отдельности, то получим
Cov[5i + ,г2, у] = е[(.Гц - Е[.Гц])(у - E[y])j +
+ е[(з-2 - Е[х2]) (?/ - E[y])j =
= Cov[.ri, у] + Cov[.r2, у],
что и требовалось доказать. Для доказательства второго свойства ковариа-
ции начнем снова с определения
Cov[a + х. у] = Е [(a + х — Е[« + .г]) (у — Е[у]) j.
Если мы используем тот факт, что математическое ожидание гарантирован-
ной величины соответствует самой этой величине, то можем преобразовать
следующим образом
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
235
Cov[a + х, у] = + ,т - Е[«] - Е[;г]) (у — Е[у])
= e[(x - E[.i])(y - Е[у])] =
= Cov[x, у],
что и требовалось доказать. Если мы хотим показать, что (5.7) является
специальным случаем (5.6), то нам лишь необходимо заменить в уравнении
стохастическую .переменную хi детерминированной переменной а. Таким
образом, возникает следующее:
Cov[a + х2, у] = Cov[h, у] + Cov[i-2. у].
Сейчас нам необходимо лишь выяснить для себя, что
Cov[«,y] = E^(a — E[a])(y — Е[у])] = Е^О (у — E[y])] = 0
и отсюда следует
Cov[a + 2'2, ?у] = Cov[.T2, у].
5.2.4. Оптимум структуры капитала с тремя финансовыми титулами
Американская студентка-гость Дэла Лиза узнала, что, согласно тезису Мо-
дильяни и Миллера, рыночную стоимость предприятия нельзя максимизи-
ровать таким образом, чтобы для этого предприятия выбиралась определен-
ная структура капитала. Она готовится совместно с нашим довольно ушлым
студентом Леней Ленивцем к экзамену по экономике предприятия. В дис-
куссии с Лизой Леня придерживается следующих представлений:
«Возможно, что безразлично, финансируется ли фирма акциями
и облигациями или только акциями. Правда, я до конца так и
не понял, как можно доказать тезис Модильяни—Миллера из
САРМ, но все-таки я уверен в том, что доказательства не полу-
чится, если ввести в игру три или еще больше финансовых ти-
тулов (например, акции, облигации и акции с фиксированным
дивидендом без права голоса).»
Дэла Лиза, которая действительно умница и, кроме того, происходит из «ро-
дины экономики», покажет своему другу Лене, что нерелевантность струк-
туры капитала сохраняется также при трех финансовых титулах, если дей-
ствуют допущения САРМ и все лица, предоставляющие капитал, в совокуп-
ности получают не больше, чем сумма всех зависимых от ситуации инвести-
ционных доходов. Как будет Лиза осуществлять доказательство?
236
Глава 5. Теория структуры капитала
Предположим, что предприятием имитированы три финансовых титула, ко-
торые будут обозначены нами по соображениям удобства А, В и С. Тогда
владельцы A-титула (В-титула, С-титула) в момент времени t = 1 имеют
требования на зависимые от ситуации денежные потоки величиной в А1г В\
и С\. На основе того факта, что на три группы, предоставляющие капитал,
должна быть распределена в точности сумма всех зависимых от ситуации
инвестиционных доходов, должно быть верно
Ах+Вх+Сх=Х. (5.8)
Если мы обе части уравнения выразим через математическое ожидание, то
из этого получим
E[Aj] + E[Bi] + E[Ci] = Е[Х]. (5.9)
Далее, если все лица, предоставляющие капитал, убеждены в том, что вер-
ны допущения САРМ, то для оценки своих требований они обратятся к
уравнению цен САРМ. Для обсуждаемых здесь трех групп, предоставляю-
щих капитал, это означает
E[Ai] - Л • Cov[Ai,rm]
Ап — ------------------.
D E[Bj] — А Cov[B1; rm]
1 + rf
„ Е[(Л] — А • Cov[Ci,fm]
bn —--------:------------
Но ведь рыночная стоимость предприятия является ничем иным, как сум-
мой этих сегодняшних стоимостей, вследствие чего в случае финансирова-
ния с тремя титулами мы можем записать
V01 * (3) = Ао + Во + Со =
E[Ai] + E[Bi] + E[Ci] - A (Cov[4i,fm] + Cov[Bi,rm] + Cov^,rm])
1 + Vf
E[X] - A (Cov[Ai, fm] + Cov[Bi, rm] + Cov[Ci, rm]J
1 + ry
Чтобы вывести последнюю формулу, мы использовали (5.9). В случае если
предприятие финансируется лишь посредством одного единственного фи-
нансового титула, то должно быть верным
= E|XH^Cov[X,.\„| (5.10)
Очевидно, что обе рыночные стоимости в точности соответствуют друг другу
тогда, когда
Cov[X, fm] = Cov[Ai ,rm] + Cov[Bi,r,n] + Cov[Ci,rm].
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
237
Благодаря свойствам ковариации, обсуждавшимся в задаче 5.2.3, согласно
(5.6), мы можем сразу записать правую часть вышеприведенной формулы
как
Covf^i, fm] + Cov[Bi,r,n] + CovfCi,rm] = CovfAi + Bi +C’i,7'm],
что при учете (5.8) преобразуется в
Cov[4i + В\ +С’1,7,ТП] = Cov[A', fm].
Из этого закономерно следует
1/(3) _ у(1)
ио — vo >
и предположение Лени Ленивца отвергается.
5.2.5. Безрисковый и рисковый заемный капитал
Леня Ленивец хотя и не имеет того понимания, которое присуще его по-
друге Дэле Лизе, но зато характеризуется некоторым упорством, поэтому
он еще раз вернется к проблематике, затронутой в задаче 5.2.4. Он предъ-
являет Лизе претензию, что она в ходе своего доказательства использовала
недопустимый фокус. Она предполагала, что дсе три финансовых титула яв-
ляются рискованными. Но из этого в реальности все-таки нельзя исходить.
Ведь известно, что согласно договорам о финансировании требования лиц,
предоставляющих капитал, удовлетворяются в определенной очередности.
Позиция лиц, предоставляющих заемный капитал, является обычно менее
рискованной, чем позиция лиц, предоставляющих предприятию собствен-
ный капитал. А это в рамках доказательства Лизы в той или иной степени
не учитывается. Как Лиза отреагирует на претензии Лени?
* *
*
Дэла Лиза остается спокойной. Ей будет трудно объяснить Лене из-за огра-
ниченности его знаний тот факт, что в своем первоначальном доказательстве
было учтено, что три лица, предоставляющие капитал (А, В и С), долж-
ны нести весьма разные риски. Поэтому она использует более радикальный
путь. Для этого она предполагает, что финансовые титулы типа А предста-
вляют собой совершенно безрисковый заемный капитал, в то время как фи-
нансовые контракты типа В и С связаны с риском, а значит, при этом речь
идет об акциях или о конвертируемых облигациях. Но, как и прежде, вер-
но, что лица, предоставляющие капитал, получают не больше и не меньше,
чем сумму инвестиционных доходов, а значит
А1 + Bi + Ci = X, (5.11)
А( +E[Bi] + £[(?!] = Е[Х].
238
Глава Г>. Теория структуры капитала
Сейчас, для рыночной стоимости этих трех финансовых титулов должно
быть верным
E[Z?J - А • Cov[Bi,r,„]
Во =---------— -----------•
1 + Vf
E[Ci] - A CovfCi.?',,,]
Co =----------------------
если исходить из условий САРМ. В оценке титулов В и С методически ниче-
го не изменилось. Но гарантированные требования лиц, предоставляющих
капитал типа А, сейчас дисконтируются на основе ставки процента по без-
рисковому активу.
Если предприятие финансируется исключительно через акции, то тогда
его рыночная стоимость в соответствии с (5.10) должна составить
(1) _ Е[Х] - А Cov[X.?\„j
Ч) ~ i , 1
1 + '7
в то время как финансирование с тремя моделируемыми здесь титулами
приводит к
Vo(' ’ = Ло + Во + Со =
А] + E[Bi] + Е[С i] — A (CovfBi, + CovfCi. ?,,,])
1 + 77
_ Е[Х] - A (Cov[Bi,7~,n] + CovfCt, ?'„,])
1 + rf
В этом случае об идентичности рыночных стоимостей обоих сравниваемых
фирм можно говорить, очевидно, лишь тогда, когда мы можем доказать,
что
Cov[X, r,n] = Cov[Bb r,„] + Cov[Ci,
Из-за (5.6) мы можем сразу записать
Cov[Bi,7'm] + CoyfCi.r^] = Cov[B( + Ci,?',,,],
из чего вследствие (5.11) следует
Cov[Bi + Ci,7',,,.] = Cov[X - Ai.?'m].
Наконец, благодаря (5.7) должно быть верно
Cov[X — А], 7*m] = Cov[X,
и Леня должен опять признать свою неправоту.
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
239
5.2.6. Две фирмы с разным уровнем финансового левериджа
Существуют две фирмы А и В, которые различаются по своей структуре
капитала. А финансируется заемным капиталом на 40 %, а В — на 5 %.
Вероятность банкротства является нулевой.
1. Григорий Оленин владеет 1 % акций имеющего высокий уровень фи-
нансового левериджа предприятия А. Какая комбинация вложений по-
родила бы в точности те же текущие возвратные потоки, что и пакет
акций фирмы А?
2. Анна Глухова держит 2% собственного капитала имеющей небольшие
долги фирмы В. Какой альтернативный пакет акций породил бы те же
текущие возвратные потоки?
* *
*
1. Григорий держит пакет акций стоимостью 0.01 (V0A — 0.40 V0A) = 0.01 х
х0.60Кд4. Возвратные потоки по его вложениям составляют
0.01 • (Е[ХА] - kD 0.40 Г04),
если мы учтем, что рыночная стоимость заемного капитала равна
0.4 И0А. Возвратные потоки не изменились бы, если бы Григорий осу-
ществил следующие сделки:
• продажа своей доли акций по цене О.6ОУоА,
• получение частного кредита величиной в 0.01 • 0.35 VJ3,
• покупка доли акций, равной 1 %, в фирме В.
Денежные потоки, связанные с этими сделками, изображены в
табл. 5.1.
Так как согласно допущению ЦА = Vj3 и Аа = Хп, благосостояние
Григория после покупки пакета акций фирмы с меньшим уровнем фи-
нансового левериджа не изменилось. Структура капитала фирмы для
него как инвестора не имеет значения. Это одновременно подразумева-
ет, что старания менеджеров по достижению оптимальной структуры
капитала напрасны.
2. Стратегия вложения Анны, позволяющая ей сохранять благосостоя-
ние, состоит из
• продажи пакета акций фирме В по цене ,
• предоставления кредита величиной в 0.02 0.35 Vq4,
• покупки акций в фирме А по стоимости 0.02 0.60 VJj4.
После осуществления этих сделок Анна могла бы составить изображен-
ный в табл. 5.1 баланс. Из-за И0А = Анна, как и все другие инве-
сторы в наблюдаемом нами мире, безразлична при совершении выбора
между первоначальным и новым пакетом акций.
240
Глава 5. Теория структуры капитала
Таблица 5.1. Баланс сделок
Григорий
Расходы ( —), доходы (+) Отданные ( —), приобретенные требования (+)
+0.01 • 0.60 V0A +0.01 • 0.35 V0B -0.01 • 0.95 V0B -0.01 • (Е[ХЛ] - 0.40 Vo4) -0.01 • kD 0.35 V0B +0.01 (E[AB] - kD 0.05 VnB)
0.01 O.6(Vo'4 - V0B) = 0 0.01(E[AB] - EpC-4]) + O.4kD(VoA - V0B) = 0
Анна
+0.02 • 0.95 V0B -0.02 • 0.35 V0A -0.02 • 0.60 V0A -0.02 (E[AB] - kD 0.05 V0B) +0.02 • kD 0.35 Vd4 +0.02 -(E[XA]-kD- 0.40 Vo4)
0.02 • 0.95( V0B - V,'4) = 0 0.02(E[X'4] -E[Ab])+O.O5-O.O2A:d(Vob - Vq-4) =0
5.2.7. Доходность собственного капитала и уровень финансового
левериджа
Фирма ОАО «Пакетные услуги» финансируется на 80% акциями и на 20%
облигациями. Акционеры ожидают получения доходности в объеме 12%
на свой инвестированный капитал. Ставка процента по заемному капиталу
составляет 6 %. Покажите графически динамику доходности собственного
капитала и средневзвешенной стоимости капитала при изменении соотно-
шения собственного и заемного капитала.
* *
*
Мы рассчитываем средневзвешенную стоимость капитала с помощью
k = kEE^D~+kDE^D-- (5Л2)
£-0 + -М) +
Подстановка кЕ = 0.12 и кЕ = 0.06 в (5.12) дает с долей собственного капита-
ла, равной 0.8,
к = 0.12 • 0.8 + 0.06 0.2 = 0.108.
Согласно Модильяни и Миллеру, верно
кЕ = к+ (k-kD)^. (5.13)
Ьо
Подстановка конкретных цифр в (5.13) дает уравнение прямой линии
кЕ = 0.108 +0.048-
Ео
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
241
Рис. 5.2 показывает, что требование акционеров по доходности с растущим
уровнем финансового левериджа увеличивается линейно. Средневзвешенная
стоимость капитала постоянна.
Рис. 5.2. Возрастающая линейно стоимость соб-
ственного капитала
5.2.8. Максимальная безрисковая задолженность
Фирма, которая ликвидируется в t = 1, ожидает для этого момента време-
ни с одинаковой вероятностью зависимые от ситуации валовые возвратные
потоки величиной в 600, 800, 1200 и 1800. Требование акционеров по доход-
ности, при полном самофинансировании составляет k = 0.1.
1. Рассчитайте общую рыночную стоимость предприятия и рыночную
стоимость собственного капитала при рыночной стоимости заемного
капитала D = 300 и ставкой за использование заемного капитала fcp =
= 0.08.
2. Какие платежи вы станете ожидать, будучи единственным держателем
акций в момент ликвидации?
3. Можно ли получить кредиты в любом объеме по старой ставке за ис-
пользование заемного капитала? Если нет, то как бы вы рассчитали
величину кредита, начиная с которой ставка процента за использова-
ние заемного капитала повышается?
242
Глава 5. Теория структуры капитала
1. Стоимость предприятия рассчитывается в этом мире двух периодов при
полном самофинансировании по формуле1
Математическое ожидание возвратных потоков составляет
Е[Х] = 0.25 600 + 0.25 • 800 + 0.25 • 1200 + 0.25 • 1800 = 1100.
При учете этого результата для стоимости фирмы мы получаем
v0 = 1122 = юоо.
При
Vo = До + Eq
рыночная стоимость собственного капитала составляет
Ео = Vo - Do = 1000 - 300 = 700.
2. Требуемая доходность собственного капитала составляет
кЕ = 0.1 + (0.1 - 0.08) • 122 = 0.10857.
Поэтому собственник в момент времени t = 1 ожидает платеж величи-
ной в
(1 + кЕ) Ео = 1.10857 • 700 = 776.
3. Кредиторы готовы предоставить новые кредиты по старой ставке про-
цента лишь тогда, когда для их требований выполнено условие
(1 + кЕ) Do < minfXi. Х'2,..., As).
Наименьший ожидаемый возвратный поток не должен быть меньше,
чем совокупность процентов и основной суммы долга. Таким образом,
для верхней границы заемного капитала Д,„„.г верно
1.08 • D„iaj. = 600 => D,„„r = --- = 555.55.
1.08
5.2.9. Арбитражи с помощью реструктуризации портфелей
Существуют две фирмы L и U с одинаково высокими, ожидаемыми вечно
возвратными потоками Е[Х] = 200. Рыночная стоимость собственного капи-
тала в фирме L составляет 1000 ден. ед. Эмитируемые фирмой облигации с
процентом кЕ = 0.06 котируются по совокупной стоимости 1000. Стоимость
не имеющей долгов фирмы U составляет Vo° = 4000. Собственный капитал
фирмы L на 25 % находится в ваших руках.
1 При полном самофинансировании к = кЕ.
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
243
1. Вы планируете продать свой пакет акций и эмитировать как частное
лицо ценную бумагу с фиксированной ставкой процента и вечным сро-
ком обращения. Какую рыночную стоимость должна бы иметь бумага,
приносящая ко процентов, если вы посредством эмиссии и продажи
вашего пакета акций хотите достичь дохода величиной в 0.25 V^?
2. Полученные за счет этой сделки средства вам хотелось бы инвестиро-
вать в фирму U. Какая доля участия возможна для вас?
3. Какая сумма требований, от которой вы отказываетесь, и какие пла-
тежные обязательства возникают при эмиссии ценной бумаги? Как ве-
лики ожидаемые возвратные потоки вашей инвестиции в U7
4. Выгодна ли ваша инвестиционная стратегия?
5. Пусть математическое ожидание ваших возвратных потоков составля-
ет независимо от вашей инвестиционной стратегии 35 денежных еди-
ниц. Рассчитайте необходимое для этого участие в фирме U и чистые
расходы при такой инвестиционной стратегии. Подумайте о том, что
вы являетесь эмитентом свободной от риска ценной бумаги с номи-
нальной стоимостью 0.25 Do.
6. Ваша подруга участвует в фирме U с долей в 25%. Финансовый кон-
сультант предлагает ей продать это участие, предоставить кредит в
объеме 250 ден. ед., а оставшиеся средства использовать для покупки
акции фирмы L. Какой доли участия могла бы добиться ваша подруга?
7. Порекомендуете ли вы вашей подруге воспользоваться советом финан-
сового консультанта?
8. Какие сделки должна была бы осуществить ваша подруга, если бы она
без образования задолженности хотела бы максимизировать математи-
ческое ожидание бесплатных дополнительных возвратных потоков?
*
1. За счет продажи вашего пакета акций удается получить выручку в объ-
еме 0.25 Ео = 250. Для достижения общей выручки в объеме 0.25 V0L =
= 0.25 Ео + 0.25 Do = 500 выручка за счет эмиссии вашей ценной бумаги
должна составить 250. Это одновременно соответствует 25 % рыночной
стоимости долгов фирмы.
2. Доля участия а рассчитывается по формуле
выручка от продажи и эмиссии
а =---------------------------------------------.
рыночная стоимость не имеющей долгов фирмы
Подстановка соответствующих значений дает
и __ 0.25 VnL
а “ С
500
4000
= 0.125.
Совокупная цена пакета акций составляет 0.125 = 0.125 4000 = 500.
244
Глава 5. Теория структуры капитала
3. За счет продажи пакета акций фирмы L вы отказались от требований
стоимостью
А = 0.25 (Е[Х] - kD Do) = 0.25 • (200 - 0.06 • 1000) = 35 ден. ед.
Ваши обязательства после эмиссии ценной бумаги составляют
0.25 kD Do = 0.25 • 0.06 1000 = 15.
Новые приобретенные требования составляют
А = аи Е[Х] = 0.125 • 200 = 25.
4. Результатом инвестиционной стратегии являются чистые расходы в
объеме
0.25 Ео + 0.25 Do - 0.125 = 0.25 • 1000 + 0.25 • 1000 - 0.125-4000 = 0
и чистые возвратные потоки величиной в
-0.25 (Е[Х] - kD Do) - 0.25 kD Do + 0.125 E[A'] =
= -0.25 • (200 - 60) - 0.25 • 60 + 0.125 200 = -25.
Очевидно, вам было бы выгодно отказаться от плана, приносящего
большие убытки.
5. Комбинация из эмиссии ценной бумаги и участия в фирме U порождает
в точности те же ожидаемые возвратные потоки, что и пакет акций
фирмы L, если выполнено условие
0.25 (Е[Х| - kD Dq) = -0.25 kD Dq+ аи-Е[Х]. (5.14)
Если подставить данные в (5.14) и выразить данную формулу через аи,
то это даст
аи = 0.25.
Табл. 5.2 показывает баланс после осуществления всех сделок. Из-за
аи = aL = а мы отказались от обозначения доли участия отдельных
фирм.
Очевидно, что комбинация из покупки tZ-акций и эмиссии ценной бу-
маги с фиксированным процентом лишь тогда породит ожидаемые воз-
вратные потоки в объеме 35 ден. ед., когда вы готовы смириться с пере-
расходом, равным 500. Будучи рациональным инвестором, вы должны
сохранить свои £-акции.
6. Если ваша подруга последует совету финансового консультанта, то она
получит доходы величиной в
0.25 Vou - 0.25£>0 = 0.25 • 4000 - 250 = 750
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
245
Таблица 5.2. Перерасход при постоянных ожидаемых возврат-
ных потоках
Расход ( —), приход (+)
+<> Ео +0.25 1000 = +250
+<> Do +0.25 • 1000 = +250
-0.25 4000 = -1000
« (4L - Vo(/) -500
Отданные ( —), приобретенные (+) требования
-а (Е[Х] - kD Do) -0.25 • (200 - 60) = -35
-о ко Do -0.25 • 60 = -15
+а Е[Х] +0.25 • 200 = +50
а (Е[Х] - Е[Х] + ко Do - koDo) = 0 0
Таблица 5.3. Бесплатные дополнительные возврат-
ные потоки при предоставлении кредита
Расход (—), приход (+)
Vou +0.25 4000 = +1000
-auDo -0.25 1000 = -250
-aL Vf -0.75 1000 = -750
au (Voy - D) - aL VoL 0
Отданные ( —), приобретенные (+) требования
-au E[X] -0.25 200 = -50
+ау ко Do +0.25 • 60 = +15
+aL (E[JV] -koDo) +0.75 (200 - 60) = 105
(aL-au) (E[X] -koDo) 70
и, таким образом, может участвовать с долей
, 0.25 (ЦТ - £>„) 750
“ =-------в,------= 1боб = °'75
в собственном капитале фирмы L.
7. Совет финансового консультанта проиллюстрирован в табл. 5.3.
246
Глава 5. Теория структуры капитала
Таблица 5.4. Бесплатные дополнительные возврат-
ные потоки без предоставления кредита
Расход ( —), приход (+)
0.25 4000 = +1000
-1 1000 = -1000
Отданные ( —), приобретенные (+) требования
—ct^EfX]
________+<>L (е[Х] - крРп)
aL (е[А~] - крР^ -а('Е[Х]
-0.25 200 = -50
-Н f 200 — бо') = +140
+ 90
Он дает вашей подруге бесплатно дополнительные требования величи-
ной 70 ден. ед.
8. Ваша подруга максимизирует математическое ожидание бесплатных
дополнительных возвратных потоков, если она откажется от предо-
ставления кредита. При выручке от продажи в объеме 1000 денежных
единиц она может приобрести всю совокупность собственных средств
предприятия L, так что возникает ситуация, изображенная в табл. 5.4.
5.2.10. Нерелевантность без получения частного кредита
Два инвестора владеют соответственно финансовыми средствами величиной
в (1 — /3)V0. Инвестор 1 покупает на эту сумму акции фирмы L, имеющей
долги в размере /3V0. Инвестор 2 не хочет ни получать частный кредит, ни
иметь дело с фирмами, залезшими в долг. Поэтому он расходует свои сред-
ства на не имеющую долгов фирму U. Исходя из вечных возвратных потоков
и платежей по обслуживанию долга покажите, что оба инвестора должны
ожидать по стоимости одинаковые возвратные потоки, если значения стои-
мости фирм идентичны.
* *
*
Инвестор 1 может приобрести собственный капитал имеющей долги фирмы
(1 — (3) Vq. Инвестор 2, наоборот, может участвовать с долей 1 — В в собствен-
ном капитале не имеющей долгов фирмы. Ожидаемые возвратные потоки
составляют для инвестора 1
E[X]-kD/3V0L,
5.2. Структура капитала при совершенном рынке капитала
247
а возвратные потоки из долевого участия инвестора 2 составляют
Мы получим стоимость возвратных потоков посредством дисконтирования
денежных потоков. При этом необходимо различать негарантированные и
гарантированные платежи. Рисковые возвратные потоки необходимо дис-
контировать по ставке средневзвешенной стоимости капитала к. При дис-
контировании гарантированных платежей нужно применить безрисковую
ставку процента кр. При соблюдении этих правил для инвестора 1 получим
в качестве стоимости возвратных потоков
ВД _ k.D(3V0L = ЕЙ _ kp/зЩр = (1 _ ЕЙ.
/с А? и k kjj
Так как инвестор 2 со своей инвестицией приобрел требования по стоимости
(1-^Ш
К
не существует разницы между значениями сегодняшней стоимости требова-
ний.
248
Глава 5. Теория структуры капитала
5.3. Структура капитала и налоги
Теперь мы будем учитывать несовершенство рынка. При этом мы сконцен-
трируем внимание исключительно на влиянии налогов. Будет исследовано
несколько идеализированных систем налогообложения на предмет того, со-
храняется ли нерелевантность структуры капитала или нет.
5.3.1. Налог на имущество
Исходите из того, что государство облагает частный сектор лишь одним
единственным налогом. Объектом налогообложения является имущество
предприятий, причем заемный капитал не учитывается в налогооблагаемой
базе. Остается ли структура капитала при этой системе налогообложения
нерелевантной?
* *
*
Мы рассмотрим двух инвесторов 1 и 2, частное имущество которых иден-
тично. Первый вкладывает свои средства в имеющую долги Da фирму L.
Второй покупает доли не имеющей долгов фирмы U.
При этих условиях структура капитала нерелевантна, если оба инве-
стора достигают идентичных возвратных потоков после налогообложения,
несмотря на то что они покупают пакеты акций фирм, которые имеют раз-
ный уровень финансового левериджа, но в остальном одинаковы. Обе фир-
мы ожидают валовых возвратных потоков величиной в Е[АЛ]. Для упроще-
ния мы предполагаем, что сумма соответствующих долей участия составля-
ет единицу. При сравнении обоих инвесторов необходимо учесть, что для
покупки пакета акций имеющей долги фирмы инвестору 1 в точности хва-
тает той суммы денег, которой он располагает, тогда как инвестору 2 для
покупки одинакового по доли пакета не имеющей долгов фирмы необхо-
димо получить как частному лицу дополнительный кредит в объеме Do.
Налогооблагаемой базой при использовании налога на имущество является
имущество В предприятия, уменьшенное на рыночную стоимость долга Do
фирмы. Таким образом, требования после уплаты налогов составляют для
инвестора 1:
А1 = Е[Х] - kDDQ - Tv = Е[Х] - A-о А, - Л, (В - А>) =
= Е[Х] - k[)D0 - tv В + т„ Da,
а для «залезшего в долги» инвестора 2
А2 = Е[Х] - kDD0 - т„ = Е[X] - kDDo - т,, В.
Обратите внимание на то, что частный кредит не уменьшает налог на иму-
щество фирмы. Тот факт, что кредит фирмы вычитается из налогооблагае-
5.3. Структура капитала и налоги
249
мой суммы, отменяет нерелевантность структуры капитала. Инвестор 1 до-
стигает при одинаковом вложении средств большего — на величину tv Dq —
возвратного потока.
5.3.2. Вычитаемые из налогооблагаемой базы расходы на реинвестиции
Существуют налог на прибыль предприятий и подоходный налог с физи-
ческих лиц, причем проценты по заемному капиталу и амортизационные
отчисления предприятий снижают налогооблагаемую базу. Налогооблагае-
мой базой подоходного налога является выплаченная прибыль. Проценты
частных лиц по заемному капиталу не снижают налогооблагаемую сумму
подоходного налога. Докажите, что все инвесторы вложили бы свои сред-
ства в имеющую долги фирму. При этом исходите из того, что имущество
предприятия поддерживается постоянным благодаря ежегодным реинвести-
циям, равным суммам амортизации, начисляемым в соответствии с прин-
ципом линейной амортизации.
* *
*
Для доказательства нам необходим расчет разности возвратных потоков.
Сначала мы рассчитаем возвратный поток одной инвестиции в имеющую
долги фирму. При сроке эксплуатации, равном п, возвратный поток за вы-
четом налогов будет равен
Al = Е[Х] - Тк - Тс - RdDq -
7?
(5.15)
Обратите внимание при анализе этой формулы, что В/п является значением
фактических ежегодных реинвестиционных расходов. Проценты предприя-
тий по заемному капиталу и амортизация снижают налогооблагаемую базу.
При
Тк = rk(E[X]-kDDn- -
X 7?
и
Те=те[ Е[Х] - тк (е[Х] - kD kD Dq--
\ \ n J 7?
мы можем преобразовать (5.15) к следующему виду:
AL = (1 - те)(1 - тк) (Е[Х] - - V (1 - тс)(1 - Tk)kDD0.
\ п /
Какими рассуждениями мы должны руководствоваться, если бы нам хоте-
лось принять финансовое участие в фирме, не имеющей долгов? Мы рассчи-
таем ожидаемые возвратные потоки после уплаты налога таким образом,
250
Глава 5. Теория структуры капитала
как и прежде, но с другой налогооблагаемой суммой. Обязательство по на-
логу на прибыль не имеющей долгов фирмы составит
Тк = тк Ге[Х] - |
Налоговая сумма подоходного налога будет равна
Те = тА Е[Х] -т/е[Х] - -
Так как проценты по заемному капиталу у частных лиц не вычитаются, то
мы можем считать, что чистые возвратные потоки равны
Аи = Е[Х] - тк f Е[Х] - - те ГЕ[А"1 - тк f ELY] - - V -
\ 71 ) \ \ п ) п
В
— kpDo-----=
п
= (1 -М(1 - ^/e[JY] - -kpDt).
\ н /
Сравнение обоих чистых возвратных потоков показывает, что при вложении
средств в имеющую долги фирму ожидается вечная безрисковая экономия
на налогах, составляющая
kpD0 - (1 - тс)(1 - n)(A-D Do) > 0.
Стоимость имеющей долги фирмы L превышает стоимость не имеющей дол-
гов фирмы на величину сегодняшней стоимости «гарантированной» эконо-
мии на налогах.
pV _ крРр - (1 - те)(1 - Тк)(кр Dq) _
кр
= - (1 - Те)(1 - Tfc)^ Do = (те + тк - тк те) D().
Следовательно, инвесторы, которые намерены участвовать в не имеющей
долгов фирме, быстро откажутся от своих планов. Так как все потенци-
альные инвесторы поступят таким же образом, спрос на акции фирмы U
окажется нулевым. Но к этому результату мы приходим лишь тогда, когда
пренебрегаем издержками банкротства и агентской проблемой, с которой
сталкивается имеющая долги фирма.
5.3.3. Сравнение двух систем налогообложения
Давайте рассмотрим следующие системы налогообложения и проанализи-
руем их с помощью подходящего метода на предмет верности теоремы о
нерелевантности структуры капитала.
5.3. Структура капитала и налоги
251
1. Налоговая система №1
Фирмы выплачивают налог на прибыль предприятия, физические ли-
ца — подоходный налог.
• Проценты по заемному капиталу предприятия снижают налого-
облагаемую базу налога на прибыль предприятий.
• Проценты частным лицам по заемному капиталу не снижают на-
логооблагаемую базу подоходного налога.
• Ставка налога на прибыль предприятия не зависит от того, выпла-
чивает ли предприятие прибыль или накапливает.
2. Налоговая система №2
Предприятия платят налог на доход с промысла, физические лица —
подоходный налог.
• При определении налогооблагаемой базы налога на доход с про-
мысла не допущен вычет процентов по заемному капиталу.
• Для подоходного налога собственникам паев верно обратное.
* *
*
Для того чтобы проверить, какое влияние имеет налоговая система на при-
нятие решений о структуре капитала, мы опять выберем знакомый подход:
мы рассмотрим, с одной стороны, финансовое благосостояние акционера 1,
который владеет долями имеющего долги предприятия, а с другой стороны,
финансовое благосостояние акционера 2, который приобрел акции не имею-
щего долговых обязательств предприятия и одновременно берет средства в
долг как частное лицо.
1. Налоговая система №1
Требование акционера 1 составит
А1 = Е[Л] - kDD() - Тк - Тг
при Тк = та.(Е[Х] - kpDo)
и Т(, = тг(Е[Х] -kDD(i-Tk),
что можно преобразовать в
л1 = (Е[А']-Ш)(1-п.)(1-4
Требования, связанные с владением акциями не имеющего долгов
предприятия, составят
Е[Х] - Тк - Тк.
Так как Тк = пЕ[Х] и Тс = тс(Е[Х] - Тк) возвратные потоки после
уплаты налога можно записать как
Е[Х](1 - П)(1 - Те).
252
Глава 5. Теория структуры капитала
Если мы учтем еще и частную задолженность, то при обсуждаемой
здесь системе налогообложения верно
A2 = E[X](l-T,)(l-re)-A.-DD().
Сейчас опять необходимо обсудить разность между требованиями. Мы
получим
ДА = А1 - А2 =
= (Е[Х] - fcDn0)(l - т,)(1 - те) - Е[Х](1 - т,)(1 - тс) + kDD0 =
= (тк + тс(1 - тк)) кп Da.
Выясняется, что задолженность фирмы выгоднее задолженности част-
ного лица.
2. Налоговая система №2
Здесь требования, связанные с владением акциями имеющего долги
предприятия, составят
А1 = Е[Х] - kDD$ - Tgt. - Те
при Тде = тйеЕ[Х]
и Те =Tc(E[X]-kDD0-T!ie),
что можно преобразовать в
А1 = (Е[Х](1-т,с)-А-рД,)(1-те).
Требования, связанные с владением акций не имеющего долгов пред-
приятия, составят
Е[Х](1-т9е)(1-тс).
Если сейчас собственник паев получает кредит как частное лицо, то он
должен будет постоянно выплачивать проценты кредитору, но может
вычесть эти проценты из налогооблагаемой базы подоходного налога.
Поэтому его чистый доход в случае, если он берет в долг как частное
лицо, составит
А2 = Е[Х](1 - тйе)(1 - тс) - fcDn0(l - те) =
= (E[X](l-TffJ-fcD£>0)(l-re).
В конце анализа опять нужно посмотреть на разницу между доходами.
Они здесь составляют
ДА = А1 - А2 =
= (Е[Х](1 - тде) - feDL>o)(l - те) -
-(Е[Х](1-т9е)-ад(,)(1-тс) =
= 0.
Таким образом, налоговая система № 2 является нейтральной по виду
финансирования.
5.3. Структура капитала и налоги
253
5.3.4. Налог на прибыль предприятия и налог на имущество
Пусть государство взимает налоги на имущество и на прибыль предпри-
ятия. Заемный капитал снижает налогооблагаемую базу налога на имуще-
ство. Проценты по заемному капиталу снижают налогооблагаемую базу на-
лога на прибыль предприятия. Имущество предприятий перед вычетом за-
емного капитала В составляет 12 500. Фирма ожидает постоянные возврат-
ные потоки в объеме Е[А'] = 1000, причем в конце срока эксплуатации иму-
щество предприятия оказывается утраченным. Требования к доходности в
случае полного самофинансирования составляют kg = к = 0.08. Рыночная
стоимость долгов составляет D = 4500 при ставке процента по заемному ка-
питалу, равной ко = 0.06. Ставка налога на имущество пусть будет равна
т„ = 0.007, а ставка налога на прибыль предприятия — тд = 0.45.
1. Рассчитайте сегодняшнюю стоимость ожидаемых чистых возвратных
потоков и средневзвешенную стоимость капитала.
2. Является ли здесь структура капитала релевантной?
* *
*
1. Мы получим сегодняшнюю стоимость чистых возвратных потоков по-
средством дисконтирования денежных потоков после уплаты налогов с
подходящими ставками процента. Для чистых требований верно
Al = Е[Х] - тк [е[Х] - kDD^ - тг - Do^ - kDD0 =
Е[Х] - тк Е[А'] ) - ki)Do - т„В + [ тк kDD0 + tv Do
негарантированно гарантированно
Сконцентрируем внимание на последней формуле. Негарантированную
часть нужно дисконтировать по ставке к, гарантированную — по став-
ке ко- Подстановка данных значений в (5.16) дает для сегодняшней
стоимости
тгГ 1000 - 0.45-1000 0.06-4500 0.007-12 500
Vn - Dn =----------------------------------------------1-
0 0.08 0.06 0.06
0.45 • 0.06 • 4500 + 0.007 • 4500 „
+--------------------------------- = 3466.66.
Норма средневзвешенной стоимости капитала по Модильяни—Мил-
леру постоянна и не зависит от уровня финансового левериджа. Так
как доходность собственного капитала при полном самофинансирова-
нии совпадает со средневзвешенной стоимостью капитала, то для лю-
бой возможной структуры капитала верно к = ко = 0.08. Таким обра-
зом, уровень финансового левериджа не имеет значения.
254
Глава 5. Теория структуры капитала
2. При нерелевантности структуры капитала благосостояние акционера,
который держит все акции имеющей долги фирмы L, после уплаты
налогов должно быть в точности так же велико, как благосостояние
акционера, который держит все акции идентичной, но не имеющей
долгов фирмы U, и как частное лицо получил кредит величиной в D.
Благосостояние собственника имеющей долги фирмы известно из зада-
чи 1. Чистые требования акционера, взявшего в долг как частное лицо,
составят
Аи = Е[Х] - тк Е[Х] - т„ В - Ащ£)0-
Поэтому его частное имущество составит
„г „ BIX) - n ВД r,.B + kBD„
-°»= к к7, '
После подстановки конкретных цифр мы получим
,, „ 1000-0.45-1000 0.007-12 500 0.06-4500
Vn — Do —----------------------------------------= 916.66.
0 0.08 0.06 0.06
Благосостояние акционера, имеющего долги как частное лицо, одно-
значно ниже. Причиной разницы является возможность вычитания
• процентов по заемному капиталу при налоге на прибыль предпри-
ятия,
• заемного капитала при налоге на имущество.
Использование обеих возможностей приведет к гарантированной эко-
номии на налогах для собственников паев имеющей долги фирмы. Ме-
неджеры, которые действуют в интересах акционеров, ввиду этого на-
логового «подарка» должны использовать при финансировании пред-
приятия как можно большую сумму заемного капитала.
Литература
Интересное обсуждение вопроса о спорности разграничения между собствен-
ным и заемным капиталом содержится в: Swoboda Р. Der Risikograd als
Abgrenzungskriterium von Eigen- versus Fremdkapital // Stoppler S. (Hrsg.)
Information und Produktion. Beitrage zur Unternehmenstheorie und Un-
ternehmensplanung. Festschrift zum 60. Geburtstag von Waldemar Wittmann.
Stuttgart: Poeschel, 1985. S. 343-361. Эмпирический материал по доле соб-
ственного капитала немецких предприятий можно найти у: Kruschwitz L.
Probleme der Ermittlung und Beurteilung von Eigenkapitalquoten // Sonke A.
et al. (Hrsg.) Elemente erfolgreicher Unternehmenspolitik in mittelstandischen
Unternehmen. Stuttgart: Poeschel, 1989. S. 207-234.
Для анализа тезиса нерелевантности обязательно изучите оригинальные
работы: Modigliani F., Miller М. Н. The cost of capital, corporation finance,
5.3. Структура капитала и налоги
255
and the theory of investment // American Economic Review. 1958. Vol. 48.
P. 261-297. Интересной работой по исследованию традиционного тезиса яв-
ляется критическая статья: Durand D. The cost of capital, corporation fi-
nance, and the theory of investment: a comment // American Economic Review.
1959. Vol. 49. P. 639-655. Рекомендуется также обширный анализ, представ-
ленный в: Copeland Т. Е„ Weston J. F. Financial Theory and Corporate Policy.
3rd ed. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1988. P. 437-543. Традиционный те-
зис о структуре капитала сжато описывается в: Schmidt R. Н., Terberger Е.
Grundziige der Investitions- und Finanzierungstheorie. 4. Aufl. Wiesbaden:
Gabler, 1997.
Значимость налогов для решений о структуре капитала хорошо описа-
на у: Drukarczyk J. Theorie und Politik der Finanzierung. 2. Aufl. Munchen:
Vahlen, 1993. S. 119-196, особенно на с. 151-196. Обширный анализ воздей-
ствия несовершенного рынка капитала на проблемы структуры капитала
обширно содержится в: Swoboda Р. Betriebliche Finanzierung. 3. Aufl. Hei-
delberg: Physica, 1994.
Глава VI
Теория ценообразования опционов
Опционы наряду с форвардами, фьючерсами и свопами являются произ-
водными финансовыми титулами. Общее у них то, что их цена зависит от
случайно изменяющейся цены лежащих в их основе финансовых титулов
(no-англ.: underlying assets). Важно уяснить для себя, что при условиях
полных рынков капитала из финансовых титулов и производных ценных
бумаг удается сконструировать портфели, которые являются безрисковыми
(хеджирование). И наоборот, если безрисковая ценная бумага и финансовые
титулы обращаются на полном рынке, то тогда возможно совершенное ду-
блирование денежных потоков по производным финансовым титулам. Это
является основой для так называемой свободной от предпочтений оценки
производных финансовых титулов. Мы покажем в этой главе, как с помо-
щью этой основной идеи можно найти справедливую цену для разных типов
опционов. При этом мы ограничимся исключительно моделями с дискрет-
ным временем. Лишь в одной-единственной задаче используется модель с
непрерывным временем Блэка—Скоулза.
6.1. Европейские опционы
В учебной литературе принято сосредоточивать внимание на европейских
опционах на бездивидендные акции. Мы будем следовать этому дидакди-
чески испытанному методу при решении первых трех задач, причем мы
перейдем от простой модели «двух моментов времени—двух ситуаций» че-
рез биномиальную модель к модели Блэка—Скоулза. Кроме того, мы хотим
уяснить для себя, каким образом цена опциона на покупку (опциона колл)
зависит от главных определяющих ее факторов. Далее будет показано, что
с точки зрения одного владельца акции безразлично, хеджирует ли он с по-
мощью опциона колл или опциона пут, если оба опциона оцениваются лишь
на основе справедливой цены.
6.1.1. Модель «два момента времени—две ситуации»
Исходите из наличия только двух моментов времени t = 0 (сегодня) и t = 1
(через год). Предположите, что акция, курс которой через год или повысит-
ся на 12%, или снизится на 5%, обращается по цене 650 руб. Безрисковая
ставка процента составляет 4 %.
6.1. Европейские опционы
257
1. Какую цену вы заплатили бы при этих условиях за опцион, предоста-
вляющий владельцу право покупки акции в момент времени t = 1 по
сегодняшней цене?
2. Проинтерпретируйте псевдовероятность того, что курс акции повы-
сится.
3. Покажите, что любая цена опциона колл, отличающаяся от найденной
в п. 1, приведет к возможности арбитража.
*
*
1. Для того чтобы рассчитать цену опциона колл Со, мы можем исполь-
зовать уравнение оценки
Со = —(рСп + (1-р)сД
1 + г; \ )
в котором Си (C,i) представляет зависимый от ситуаций денежный по-
ток опциона при повышении (понижении) курса акции, в то время как
р обозначает псевдовероятность для случая повышения курса и /7 —
безрисковую ставку процента. С помощью и — 1 + =1.12ис/=1 +
+ га = 0.95 мы рассчитаем зависимые от ситуации денежные потоки
Си = max (So и — К, 0) = max (650 • 1.12 — G50, 0) = 78.
Са = max (So d — К. 0) = max (650 • 0.95 — 650.0) = 0,
причем So — это сегодняшний курс акции и К — цена исполнения. Из
определения псевдовероятности
Р =
получаем
0.04 -(-0.05) = 09 =
1 0.12-(-0.05) 0.17
Если мы подставим все это в уравнение оценки, то тогда получим
• 78 + 0.4706 о) = 39.71 руб.
2. Псевдовероятность не содержит никакой информации о том, с какой
вероятностью ожидает лицо, которое оценивает опцион, повышение
курса акции. Следовательно, эта цифра и не оценивается, а рассчи-
тывается из ожидаемой доходности акции и безрисковой ставки про-
цента.
Название «псевдовероятность» основывается, с одной стороны, на том
факте, что р в условиях свободы от арбитража является — как и любая
258
Глава 6. Теория ценообразования опционов
другая вероятность — числом, находящимся в интервале между ну-
лем и единицей. С другой стороны, можно показать, что нейтральные
к риску лица, принимающие решение, должны ожидать повышения
курса акции в точности с вероятностью р. Для таких инвесторов ожи-
даемая доходность акции должна была быть в точности так же велика,
как и безрисковая ставка процента, и действительно мы имеем
pru + (1 - p)rd = 0.5294 • 0.12 + 0.4706 • (-0.05) = 0.04 = rf.
3. Для демонстрации того, что любая другая цена опциона на покупку
открывает возможности арбитража, мы покажем, что из акции и без-
рискового капиталовложения можно сконструировать портфель, кото-
рый по своим зависимым от ситуации денежных потоков не отличается
от опциона колл. Для этой цели мы проинтерпретируем безрисковую
ставку процента, равную 4 %, таким образом: сегодня облигация обра-
щается по цене 100 руб., а через год за счет ее продажи удастся по-
лучить гарантированный доход в объеме 104 руб. Если мы обозначим
символом ns количество приобретаемых акций и нд — количество при-
обретаемых облигаций, то тогда для эквивалентного портфеля должна
быть верной система уравнений
ns • 728.0 + пв 104.0 = 78,
ns • 617.5 + по • 104.0= 0.
Первое (второе) уравнение обеспечит совпадение зависимых от ситуа-
ции денежных потоков эквивалентного портфеля и соответствующих
денежных потоков потоков опциона на покупку в том случае, если
курс акции повысится (понизится). Используя правило Крамера, мы
получим для структурных переменных эквивалентного портфеля
78.0 104.0
0.0 104.0
720 104.0
617.5 104.0
и
= 0.7059
пв =
728.0
617.5
728.(Г
617.5
78.0
0.0
104.0
104.0
-4.1912.
Эквивалентный портфель является «синтетическим опционом на по-
купку». Его цена, как показывает табл. 6.1 и, кроме того, задача 1,
составляет 39.71 руб. Если цена фактически обращающегося на рынке
опциона отличается от цены синтетического опциона, то тогда вы из-
влечете арбитражную прибыль посредством покупки (продажи) факти-
ческих опционов и одновременной продажи (покупки) созданного нами
опциона.
6.1. Европейские опционы
259
Таблица 6.1. Синтетический опцион на покупку
Титул Количество Денежный поток в ситуации Цена
Курс акции «вверх» Курс акции«вниз»
Акция 0.7059 513.88 435.88 458.83
Облигация -4.1912 —435.88 -435.88 -419.12
Портфель 78.00 0.00 39.71
6.1.2. Рентный опцион
На рынке капитала обращается бескупонная облигация, владелец которой
по истечении п = 3 периодов получит платеж величиной в 100 руб. Кроме
того, на рынке продается и покупается европейский колл на этот титул,
срок обращения которого заканчивается в периоде у = 2. Цена исполнения
определена равной К — 95 руб.
Существует возможность предоставления или получения кредита на один
период по фактически действующей ставке процента. Сегодня она составля-
ет г0 = 0.05, но по истечении времени будет менять свой уровень, а именно
таким образом, как показано на рис. 6.1. Мы обозначим существующую в
момент времени t в ситуации з безрисковую ставку процента символом rts.
t = 0 t = 1 t = 2
Рис. 6.1. Ожидаемая динамика ставки процента
1. Определите зависимые от времени и от ситуации значения стоимости
бескупонной облигации.
2. В каких ситуациях будет исполнен опцион колл? Одновременно рас-
считайте зависимые от ситуации платежи по опциону.
3. Сопоставьте системы матричных уравнений для расчета цены прими-
тивных ценных бумаг nts и рассчитайте эти цены.
4. Какую стоимость имеет опцион колл сегодня?
260
Глава 6. Теория ценообразования опционов
1. Зависимые от времени и от ситуации значения стоимости бескупонной
облигации изображены на рис. 6.2.
t = 0 t = 1 t = 2
Рис. 6.2. Зависимая от времени и ситуации
динамика стоимости бескупонной облигации
Далее, в качестве примера мы рассчитаем ту стоимость, которая об-
разуется в момент времени t = 2 при условии, что наступит ситуация
s = 3. Мы назовем эту стоимость Х23.
В конце срока своего обращения (t = 3) бескупонная облигация будет
погашена за 100 руб. Значит, в момент времени t = 2 облигация имеет
еще остаточный срок погашения, равный 1 году. Если к этому момен-
ту времени безрисковая ставка процента составляет 72з = 0.04, то мы
должны в течение года дисконтировать на основе этой ставки процен-
та, вследствие чего получаем
Х23 = 100 • 1.04’1 = 96.15.
2. Европейский опцион колл будет исполнен в том случае, если Х2.ч > К-
Поэтому верно
C2s = шах (Х2.« - А', 0).
Таким образом, мы получаем следующие зависимые от ситуации де-
нежные потоки
С21 С22 С'23 0*24
0.00 0.00 1.15 3.04 •
3. Чтобы выяснить цены примитивных ценных бумаг в обсуждаемом
здесь случае, можно составить три системы уравнений. Выплачивае-
мая (сегодня) цена Эрроу—Дебре для требований на 1 рубль в момент
времени t в ситуации s обозначается символом тг(,.
Сначала мы концентрируем внимание на требования в момент времени
t = 1. Так как в этом моменте времени существуют две ситуации, нам
необходимы две рыночные ценные бумаги с линейно независимыми де-
нежными потоками. Первой бумагой, естественно, является бескупон-
ная облигация, второй титул представляет собой безрисковое денежное
вложение по существующей сегодня ставке процента гп = 0.05. Поэтому
6.1. Европейские опционы
261
в матричной форме запись системы уравнений выглядит следующим
образом:
и с цифрами из нашего примера
/87.34 94.2б\ /тгц\ _ /86.38\
у 1.05 1.05/ \л-12/ \ 1-00у '
В результате получаем
Ли Л _ /87.34 94.26V1 /86.38\ _ /0.4898\
V12/ ~ \ 1-05 1.05/ ' 1.00/ ~ уО.4626/ '
Теперь давайте обратимся к анализу требований, которые возникают в
момент времени t = 2. Очевидно, необходимо различать два сценария.
• Первый сценарий характеризуется тем, что в момент времени t —
— 1 безрисковая ставка процента повысилась до ?-ц = 0.07. Тогда в
момент времени t = 2 могут наступить лишь ситуации 1 и 2.
Сколько денег мы должны заплатить сегодня, чтобы быть в состо-
янии при этом сценарии в момент времени t = 1 купить бескупон-
ную облигацию? Это, очевидно, лцХц = 0.4898-87.34 = 42.78. Тогда
денежные потоки в момент времени t = 2 составят или 92.59, или
94.34 руб. Но если мы хотим быть в состоянии вложить в момент
времени t = 1 один руб. по безрисковой ставке процента Гц = 0.07,
то нам нужно заплатить сегодня тгц = 0.4898 и получить в момент
времени t = 2 не зависимые от ситуации 1.07 руб. Отсюда можно
вывести следующую систему уравнении в матричном виде
/ %21 Хц \ / ТГ21 \ _ / \1 + Гц 1 + Гц J \7Г22 J \ Она имеет решение ЛггЛ __ /92.59 94.34V1 / 42.78' \л-227 ~ \ 1-07 1.07/ ' ^0.4898 • Для второго сценария аналогично имеем / %23 -^24 \ /Л2з\ _ / \1+П2 1+Г12/ \Л-2.1/ ~ \ с решением /тг2з\ _ /96.15 98.04V1 / 43.60' \л-24/ - 1.03 1.03/ ' ^0.4626 7Г11Х11\ (6.2) л-ц / v \ _ /0.2310\ / 1Д.2267/ ’ 7Г12Х1'Л (6.3) Л-12 / \ _ /0.2267\ J ~ ^0.2224/ '
262
Глава 6. Теория ценообразования опционов
4. Стоимость опциона колл удается получить с помощью умножения ха-
рактеризующих его зависимых от ситуации денежных потоков на цены
Эрроу—Дебре и суммирования по всем ситуациям
s
Со — С2я7Г2., =
s=l
= 0.00 0.2310 + 0.00 0.2267 + 1.15 0.2267 + 3.04 • 0.2224 =
= 0.94 руб.
6.1.3. Биномиальная модель
Формула, которая подходит для расчета теоретической цены опциона на
покупку, выглядит следующим образом:
- пГ-+ гц)А-(1 +
к)1 k (1+7-/)’-
?г / \
-/<(1 + 77)-”.£['')/(1-рГ-\
к=а
причем к — это количество повышений курса акций в течение срока обра-
щения опциона.
I. Проинтерпретируйте отдельные члены этой формулы и опишите в де-
талях способ выведения этой формулы оценки из экономической мо-
дели.
2. Предполагается, что курс акции в течение ближайших четырех перио-
дов соответственно или повысится на 12%, или снизится на 15%. Ак-
ция обращается сегодня по цене, равной 155 руб., а безрисковая ставка
процента составляет 6.25% . Рассчитайте с помощью вышеприведенной
формулы теоретическую цену опциона на покупку с базисной ценой
180 руб., если она должна быть оплачена через четыре периода.
к 'к
к
1. Необходимо проинтерпретировать формулу для расчета стоимости оп-
циона на покупку в рамках биномиальной модели. В этой формуле
действующий курс акции обозначен символом So, цена исполнения —
К, число субпериодов до погашения опциона — п, ставка процента
субпериода — г/, доходности акции в отдельных субпериодах — ги и
и псевдовероятность — р = Параметр а, наконец, означает ко-
личество направленных вверх биномиальных шагов, которые должен
осуществить курс акции для того, чтобы исполнение опциона колл при
погашении было выгодным.
6.1. Европейские опционы
263
Ядро экономической модели, из которого можно вывести вышеприве-
денную формулу оценки, можно объяснить на основе так называемой
модели «два момента времени—две ситуации». Эта модель основана на
предположении, что опцион колл нужно оценить в момент времени t =
= 0 и сроком его обращения является момент времени t = 1. Лежащий
в основе опциона колл курс акции сейчас составляет S() либо повы-
шается до S'o • (1 + ги), либо снижается до 50 • (1 + г(1). Таким образом,
оцениваемый опцион колл в момент времени t = 1 имеет или стоимость
Си = max(S0(l +г„) - А',0), или стоимость C,i = inax(S0(l +’’</) - А’,0).
С помощью принципа свободной от арбитража оценки можно показать,
что в этом случае справедливая цена опциона колл составляет
c0 = -^-7pCu + (i-p)qA
1 + Г/ \ /
или в другой форме
При этом символ £[•] означает псевдоматематическое ожидание стои-
мости опциона колл в конце срока обращения. Если мы перенесем эту
идею на случай биномиальной модели с п шагами, то выйдем на ана-
логичное уравнение оценки в форме
<6.4)
Если курс акции осуществит А- повышений и (п — А ) снижений, то по
истечении п субпериодов он примет значение
S,, +
а стоимость опциона колл в конце срока обращения при тех же усло-
виях составит
С„ = max(Su(l + гц)А'(1 + - А’,0).
Описанная в рамках биномиальной модели ситуация наступит с веро-
ятностью
J
Таким образом, псевдоматематическое ожидание стоимости опциона
колл по истечении п субпериодов составит
сп=z Q?fc(i ~ p}n~k'н1ах +r^n~k -к- °) •
Подстановка в исходное уравнение (6.4) приведет после дальнейших
алгебраических манипуляций к вышеуказанному уравнению оценки.
264
Глава 6. Теория ценообразования опционов
2. Для того чтобы можно было делать выводы из уравнения оценки с
данными из задачи, мы сначала рассчитаем псевдовероятность р при
rf-rd 0.0625 + 0.15
р = -!----- = ---------- = 0.787
ru - rd 0.12 + 0.15
и после этого количество минимально необходимых повышений курса
акции для успешного исполнения опциона колл. Мы получим это, если
выразим формулу
So и“ dn~a' = К
через а'. Логарифмирование и перестановка приведут к
а = In
____А___\ / / 1 + ги \
S0(l+ ?+)"// -П\1 + 7д/
, / 180 \ /, /1.12\
In ------------ / In ----
V155 0.854 J / у 0.85/
0.7996
0.2758
= 2.8987.
Следовательно, необходимы а = 3 повышений курса акции для успеш-
ного исполнения опциона колл.
Далее мы вычислим значение члена
Jc/ ' Р) (l+rf)n
и получим
/4\ о ,
10.7873 0.2131
\3/
1.123 • 0.851
“Т.06254
+ Г4Ао.7874 0.213° —12 ~°'8J = 0.8629.
\4/ 1.06254
Соответственно получаем для
V I ? V(1 -р)п~к = I „ ) 0.7873 0.2131 + I 4 ) 0.7874 0.213° = 0.7990.
\к I ' 13/ \4)
к-=а 4 ' х 7 4 '
Если наконец все это подставить в уравнение оценки, то для теорети-
ческой стоимости опциона колл мы получим
Со = 155 0.8629 - 180 • 1.0625-4 • 0.7990 = 20.90 руб.
6.1.4. Модель Блэка—Скоулза
Акция одного предприятия котируется 8 января по цене 245 руб. В тот же
день можно было продать и купить опцион колл этой акции со сроком обра-
щения до 15 июня того же года с базисной ценой, равной 260 руб., по цене
6.10 руб. Соответствующая безрисковая годовая ставка процента составляла
Г; = 7%.
6.1. Европейские опционы
265
1. Опишите связь между номинальным и соответствующими годовыми
ставками процента при повышении ставки процента и определите но-
минальную безрисковую ставку процента.
2. Рассчитайте теоретическую цену опциона колл с помощью модели
Блэка—Скоулза при допущении, что моментная дисперсия акции со-
ставляет 2 %.
3. Если бы вам задали вопрос, превышает ли подразумеваемая дисперсия
2 %, то что бы вы ответили и как бы вы обосновали свой ответ?
* *
*
1. Если номинальную годовую ставку процента обозначить 7?/, а соответ-
ствующую годовую ставку процента — /у, то при постоянстве начисле-
ния процентов верно
Если эту формулу выразить через Rf и подставить в нее соответствую-
щие значения, то это даст
Rf = ln( 1 + rf) = In 1.07 = 6.77 %.
2. Формула Блэка—Скоулза для расчета теоретической цены опциона
колл в данном случае выглядит следующим образом:
Со = - /<(1 + rj)~T N(d2)
при
ln(S0//<) + (ln(l + rf + 0.5 <т2) T /-
<7 VT
При этом T — это (измеренный в годах) срок обращения опциона,
О
ст — моментная дисперсия доходности акции, Vf — соответствующая
безрисковая ставка процента и Лт( ) — стандартизованное нормальное
распределение.1
Подходящие значения стандартизованного нормального распределения для реше-
1ия задачи можно найти в следующей таблице:
и -0.1000 -0.1500 -0.2000 -0.2500 -0.3000 -0.3500 -0.4000 -0.4500 -0.5000
7V(u) 0.4602 0.4404 0.4207 0.4013 0.3821 0.3632 0.3446 0.3264 0.3085
266
Глава 6. Теория ценообразования опционов
В литературе формула Блэка—Скоулза часто предлагается и при ис-
пользовании номинальной безрисковой ставки процента.2
В промежутке между 8 января и 15 июня находятся 157 дней, так что
мы имеем дело с остаточным сроком обращения, равным Т = =
= 0.4361 лет. Остальные данные можно извлечь прямо из задачи. Таким
образом, мы получаем
d _ ln(245/260) + (In 1.07 + 0.5 0.02) 0.4361 _ 2
1 ~ УО2 V0.4.361
И
d2 = 0.2736 -УО2 V0 4361 = -0.3670.
Далее необходимо определить значения стандартизованного нормаль-
ного распределения для этих аргументов. Для этой цели мы осуще-
ствим интерполяцию между значениями таблицы. Подходящей фор-
мулой интерполяции в случае щ < и < если даны N(ui) и
является
N(u) = N(u-2) + ——— (N(ui) - N(u2)) .
U 1 - U-2
Для расчета N(—0.2736) мы обращаемся к соседним значениям таблицы
и осуществляем подстановку. Это дает
N(-0.2736) = 0.4013 + 36 + °'25 • (0.3821 - 0.4013) =
v 1 -0.30 + 0.25 v 7
= 0.3922.
Совершенно аналогично для 7V( —0.3670) мы получим
АД—0.3670) = 0.3632 + -°-6'0 + °'3j . (0.3446 - 0.3632) =
v ' -0.40 + 0.35 7 1
= 0.3569.
Подстановка в формулу Блэка—Скоулза даст наконец
С = 245 0.3922 - 260 1.07”0-1361 • 0.3569 = 6.01.
3. Под подразумеваемой дисперсией понимается значение моментной дис-
персии, для которой теоретическая модель оценки дает цену опцио-
на колл, в точности соответствующую фактически наблюдаемой цене.
2 В этом случае верна формула
С» = S0N(di) - Кс~'^т N(d2)
при
ln(S0/K) + (Rf + 0.5СГ2') T
</i = -------------------— и d2 = di — aVT.
G.l. Европейские опционы
267
При моментной дисперсии, равной 2 %, теоретическая стоимость опци-
она колл (6.01 руб.) находится ниже фактически выплачиваемой цены
(6.10 руб.). На основе того факта, что теоретическая стоимость опцио-
на колл с увеличением дисперсии растет, подразумеваемая дисперсия
должна быть больше 2 %.
6.1.5. Детерминанты цены опциона
Исследуйте с помощью так называемой биномиальной модели при исполь-
зовании следующих данных, какое влияние на теоретическую стоимость
опциона колл окажут:
• увеличение срока обращения,
• рост сегодняшнего курса акции,
• рост базисной цены,
• рост безрисковой ставки процента,
• увеличение изменчивости.
Ограничьтесь при этом числовым исследованием. Одновременно дайте прав-
доподобное экономическое объяснение поведению, наблюдаемому вами в чи-
словом примере:
So = 300 руб. — сегодняшний курс акции,
К = 330 руб. — базисная цена,
п = 2 периода — срок обращения,
г/ = 6% — безрисковая ставка процента,
ги — 11 % — выгодная доходность акции,
га = 3% — невыгодная доходность акции.
* *
*
Теоретическая стоимость опциона колл зависит от пяти влияющих факто-
ров, которые можно систематически изучать с помощью биномиальной мо-
дели. Для этой цели мы исходим из уравнения оценки
С'о=5о-^(^/(1-/)''"""
z' \К /
k — а х '
П / к
-7<(i + 77)-'‘-£r)?/(i-p)’'-fc
\ А. /
k=a х '
при
обозначающих псевдовероятность и модифицированную псевдовероятность,
и изменяем отдельные параметры. При использовании названных выше
268
Глава 6. Теория ценообразования опционов
данных стоимость опциона колл составляет Со = 10.38 руб. (у нас нет здесь
возможности представить этот расчет).3 Каким образом влияют системати-
ческие изменения детерминантов на стоимость опциона колл, мы можем
увидеть в табл. 6.2. В отдельности верно следующее:
• Чем больше срок обращения, тем выше вероятность наступления в
конце срока ситуаций, в которых исполнение опциона колл рекомен-
дуется. Значит, при прочих равных условиях, опцион колл с увеличе-
нием срока обращения становится ценнее.
• Чем выше сегодняшний курс акции, тем более ценен опцион колл.
Это можно объяснить тем, что вероятность исполнения опциона колл
с положительным результатом тем выше, чем больше положительная
разность между курсом акции и ценой исполнения.
• Чем выше цена исполнения, тем менее ценен опцион колл. Обоснова-
ние этого тезиса аналогично предыдущему пункту.
• Чем выше безрисковая ставка процента, тем более ценен опцион колл.
Обоснование данного тезиса на основе биномиальной формулы только
лишь кажется простым: чем выше ставка процента, тем ниже сего-
дняшняя стоимость цены исполнения и (так как она включается с от-
рицательным знаком в уравнение оценки) тем выше стоимость опцио-
на колл. Такая аргументация, естественно, не учитывает, что безрис-
ковый процент тоже входит в псевдовероятность р = (rf - r,i)/(ru - rd),
т. е. р' = р (1 + г„)/(14-гу). Однако мы не приходим к другому результату
и при учете влияния безрискового процента на псевдовероятность.
• Под изменчивостью в модели Блэка—Скоулза понимается дисперсия
доходностей акции в конце срока обращения опциона. В биномиальной
модели рост изменчивости выражается в том, что разность между ги и
r,i растет. С увеличением изменчивости растет количество случаев, при
которых выгодно исполнить опцион колл с положительным результа-
том. Это должно сделать его более ценным. Данный аспект показан и
в нашей таблице расчета, в которой мы при прочих равных условиях
допустили повышение выгодной доходности акции.
6.1.6. Хеджирование
Давайте рассмотрим описанный в табл. 6.3 рынок капитала.
1. Представьте себя в ситуации владельца акций, который намерен «хе-
джировать» себя. Что должен был бы сделать такой участник рынка?
2. Теперь исходите из того, что названный в табл. G.3 опцион колл не
обращается на рынке. Вместо него существует опцион на продажу (оп-
цион пут), который позволяет своему владельцу продать акцию по
цене исполнения К = 320 руб. Его рыночная цена составляет 2.50 руб.
3 Метод расчета (с другими цифрами) представлен на с. 2G4
6.1. Европейские опционы
269
Таблица 6.2. Стоимость опциона колл в зависимости от его
детерминантов
Варьирование s<> к П г! Ги rd Со
300 330 2 0.06 0.11 0.03 10.38
300 330 3 0.06 0.11 0.03 23.37
Срок обращения 300 330 4 0.06 0.11 0.03 38.61
300 330 5 0.06 0.11 0.03 53.40
310 330 2 0.06 0.11 0.03 16.69
Курс акции 320 330 2 0.06 0.11 0.03 26.30
330 330 2 0.0G 0.11 0.03 36.30
300 340 2 0.06 0.11 0.03 4.96
Базисная цена 300 350 2 0.06 0.11 0.03 2.46
300 360 2 0.0G 0.11 0.03 1.21
300 33(1 2 0.07 0.11 0.03 14.33
Процент 300 330 2 0.08 0.11 0.03 18.49
300 330 2 0.09 0.11 0.03 22.8G
300 330 2 0.0G 0.12 0.03 10.94
Изменчивость 300 330 2 0.06 0.13 0.03 11.42
300 330 2 0.06 0.14 0.03 11.82
Таблица 6.3. Рыночная ситуация хеджера
Титул Цена Курс акций Денежный поток
«вверх» Курс акции «вниз»
Акция 333 366 300
Опцион на покупку 36 45 0
Как должна была бы выглядеть сейчас стратегия хеджирования, и как
можно объяснить, что хеджирование с опционом пут дешевле, чем хе-
джирование с опционом колл?
* *
*
1. Инвестор, который хочет хеджировать себя, находится в рискованном
положении и намерен реструктурировать свой портфель таким обра-
зом, что он станет безрисковым. Мы исходим из того, что владелец
акции, которого нужно здесь проконсультировать, имеет только одну-
270
Глава 6. Теория ценообразования опционов
единственную акцию и заинтересован в том, чтобы в момент времени
t = 1 получить гарантированные денежные потоки величиной в 366 руб.
Так как рынок капитала является полным, мы должны определить
структуру портфеля, состоящего из акций и опционов колл, который
имеет желаемое свойство. После этого необходимо сравнить фактиче-
ский портфель с этим целевым портфелем и при необходимости скор-
ректировать первый из них. Если мы обозначим структурные перемен-
ные целевого портфеля zig и пс, то должно быть верным
366 п s + 45 • пс = 366,
300 • ns + 0 пс: = 366.
Из второго уравнения мы сразу получим ns — 1.22, и подстановка это-
го результата в первое уравнение даст после незначительных расчетов
пс = —1.7893. Это означает, что наш инвестор должен дополнительно
купить Ans = 1.22 — 1.00 = 0.22 акций и продать 1.7893 опционов колл.
Результаты этой стратегии хеджирования можно проанализировать в
табл. 6.4.
Таблица 6.4. Хеджирование с продажей опциона колл
Титул Количество Цена Денежные потоки в ситуации
«вверх» «ВНИЗ»
Старая акция Новая акция Опцион на покупку 1.0000 0.2200 -1.7893 73.26 -64.42 366.00 80.52 -80.52 300.00 66.00 0.00
Портфель 8.84 366.00 366.00
2. Если мы хотим хеджировать позицию акционера с помощью опциона
пут, то нам нужно сделать в точности то же самое, что было осуще-
ствлено выше с опционом колл. Необходимо определить целевой порт-
фель, который порождает денежные потоки величиной в 366 руб. По-
средством структурных переменных ns и пр мы можем описать целе-
вой портфель с помощью системы уравнений
366 • ns + 0 • пр = 366,
300 • ns + 20 • пр = 366.
Она имеет решения ns = 1 и пр = 3.3, в чем мы можем убедиться при
анализе табл. 6.5.
Значит, при хеджировании с опционом пут по сравнению с ранее про-
веденной стратегией хеджирования с помощью опциона колл мы сэко-
номим 8.84 — 8.25 = 0.59 руб. На чем основывается эта экономия? Тот,
кто думает, что ее основой может быть какое-то имманентное различие
6.1. Европейские опционы
271
Таблица 6.5. Хеджирование с помощью покупки опциона пут
Титул Количество Цена Денежные потоки в ситуации
«вверх» «вниз»
Старая акция 1.0 366.00 300.00
Новая акция 0.0 0.00 0.00 0.00
Опцион на покупку 3.3 8.25 0.00 66.00
Портфель 8.25 366.00 366.00
в качестве между опционом пут и опционом колл ошибается точно так
же, как и тот, кто пытается найти причину в отличающихся друг от
друга базисных ценах. Разница в ценах объяснима существенно проще.
Она обосновывается лишь тем, что цены примитивных ценных бумаг
в обеих частях задачи не совпадают.
При условиях рынка капитала в табл. 6.3 верна система уравнений
366 • тг,, + 300 • тг,/ = 333,
45 • тг„ + 0 ttj = 36,
решения которой удается поручить при тгп = 0.8 и тг,/ = 0.134.1 * * * Одна-
ко если рынок капитала состоит из опциона пут, котирующегося по
цене 2.50 руб.(!), и акции, то для формулы цены примитивных ценных
бумаг оказывается верным:
366 • тг„ + 300 • тг,/ = 333.0,
0 • тг„ + 20 • тг,/ == 2.5,
или 7ги = 0.8074 и тг,/ = 0.125.5
1 Таким образом, теоретическая цена опциона пут равна Ро = 0.8 0 + 0.134 • 20 =
= 2.68 руб.
При верности этой системы цен равновесная цена опциона колл составляет Со =
= 0.8074 45 + 0.1250 • 0 = 36.33 руб.
272
Глава 6. Теория ценообразования опционов
6.2. Американские опционы на акции
После базовой «подготовительной работы», проведенной в предыдущем раз-
деле, мы теперь обратимся к типу американских опционов, но будем исполь-
зовать в качестве базисных активов, как и прежде, бездивидендные акции.
Будет обсуждаться вопрос о том, выгодно ли преждевременное исполнение
опциона или нет. Кроме того, мы затронем вопрос о том, как можно оценить
американские опционы в рамках многопериодной модели с дискретным вре-
менем.
6.2.1. Опционы колл и пут в сравнении
1. Покажите, что преждевременное исполнение американского опциона
колл на акции невыгодно, если предполагается, что акционерное об-
щество во время срока обращения опциона не выплачивает дивиденды.
2. Объясните, почему не может быть верным тот же результат для аме-
риканского опциона пут.
* *
*
1. В противоположность европейским опционам, которые можно испол-
нять лишь в последний день срока обращения, американские опционы
предоставляют право преждевременного исполнения. Поэтому они
как минимум так же ценны, как и европейские опционы. Если
символом Са (Се) обозначить стоимость американского (европейского)
опциона колл, то для любого момента времени t всегда можно задать
соотношение
Ca,t > Cc,t. (6.5)
Для исполненного в момент времени t («мертвого») американского
опциона колл мы пишем C°t и можем задать его ценность в этом
моменте времени при
C^t = max (St — К, 0).
в то время как для исполненного в момент времени t («живого»)
американского опциона колл мы применяем способ записи С„л. Наша
цель — показать, что при всех условиях должно быть верным
Это означает, что если не учитывать последний день срока обращения
опциона, то «живой» американский опцион колл в каждом моменте
времени более ценен, чем «мертвый» американский опцион колл.
Поэтому никогда не выгодно преждевременно исполнять опцион
колл. Американский опцион колл должен быть в точности таким же
ценным, как европейский. Так что верно
3.2. Американские опционы на акции
273
Таблица 6.6. Нижняя граница стоимости американского опциона колл
Рыночная стоимость в t Зависимые от ситуации возвратные потоки в Т
ST > К St < &
Покупка акции St St St
Покупка опциона колл сеЛ Sr - К 0
Безрисковое вложение денег К(1 К К
= СгЛ.
Для оценки рыночной стоимости «живого» американского колла
C^t рассмотрим два портфеля А и В в момент времени /. Портфель
А состоит лишь из одной акции, в то время как портфель В — из
европейского опциона колл и безрискового вложения денег величиной
в К по ставке процента г/. Сегодняшние стоимости обоих портфелей в
момент времени t при 0 < t < Т и зависимые от ситуации возвратные
потоки изображены в табл. 6.6.
Из сравнения обоих портфелей вытекает, что в ситуации Sp > К оба
имеют одинаковую стоимость и что В доминирует над портфелем А,
если наступает ситуация St < К. Поэтому сегодняшняя рыночная
стоимость портфеля В не может быть меньше, чем рыночная стои-
мость А, и мы получаем в качестве нижней границы стоимости для
европейского опциона колл
Ce,( + 7C(l + r;)-(r-(> >St,
или, если мы выразим это уравнение через Се (,
Ce,t > +
Так как опцион колл не должен быть исполнен, мы можем для него
записать
Ce,t > max (St - K(l + 0)
и вследствие соотношения (6.5) нижняя граница стоимости для живого
американского опциона колл составит
C”t >max(St-X(l+r/)-(T-<),0).
Кроме того, если ставка процента положительна, для всех остаточных
сроков обращения (Т — t) > 0 должно соблюдаться
К > К(1 + г/)-(Т“с
274
Глава 6. Теория ценообразования опционов
и из этого непосредственно следует
^аЛ > '^аЛ'>
что и требовалось доказать.
2. Между опционами колл и пут есть одно существенное различие,
которое является решающим для преждевременного исполнения.
Опционы колл (при прочих равных условиях) тем более ценны, чем
выше курс лежащей в их основе акции. Так как верхняя граница курса
акции отсутствует, верхней границы стоимости опциона на покупку
также не существует. В случаях с опционами пут дело обстоит по-
другому. Они, при прочих равных условиях, тем более ценны, чем ниже
курс акции, лежащей в их основе. Однако нижняя граница курса акции
существует, так как акционеры не несут ответственности в пределах
своего личного имущества. Курс акции не может стать отрицательным,
и по этой причине стоимость опциона пут ограничена «сверху».
Предположим, что курс одной акции в момент времени t < Т упал до
нуля. Тогда «мертвый» американский пут имеет стоимость
P^t = max(7< — 0) = К.
Если мы подождем до момента времени Т, то сможем достичь лишь
К. Однако в случае преждевременного исполнения мы имели бы то
преимущество, что могли бы уже в момент времени t < Т вложить
К по безрисковой ставке процента и в конечном счете получили бы
имущество величиной в
K^l + rff-1 > К.
Значит, если курс акции достаточно низок, то выгодно преждевремен-
ное исполнение опциона на продажу.
6.2.2. Американский опцион пут в биномиальной модели
1. Опишите детально, что нужно учесть в рамках биномиальной модели,
чтобы рассчитать теоретическую цену американского опциона пут.
2. Используйте этот метод сейчас в следующем числовом примере: речь
идет об опционе пут на акции; этот опцион можно исполнить не позд-
нее чем через три периода. Акция котируется сегодня по цене 160 руб.
и меняет свой курс в каждом из трех периодов или на 8 % вверх или
на 10 % вниз. Безрисковая ставка процента составляет 6 %, а базисная
цена согласована на уровне сегодняшнего курса акции.
G.2. Американские опционы на акции
275
1. В рамках биномиальной модели можно точно рассчитать теоретиче-
скую стоимость американского опциона пут. Для этой цели рекомен-
дуется следующий метод.
• Начните с полного описания биномиального процесса динамики
курса акции с помощью дерева ситуаций. В каждом «узле» дерева
можно назвать соответствующий этой ситуации курс акции.
• Теперь рассчитайте для всех «узлов» в конце срока обращения
зависимые от ситуации значения стоимости опциона пут из фор-
мулы
Р„.т = (К — St,
• После этого обратитесь непосредственно к предыдущему моменту
времени и рассчитайте зависимые от ситуации значения стоимо-
сти «живого» американского опциона пут из формулы
причем Ри и Pd обозначают те стоимости опциона пут, которые до-
стигаются, если курс акции исходя из интересующей нас ситуации
повышается или снижается.
После этого рассчитайте зависимые от ситуации значения стоимо-
сти «мертвого» американского опциона пут с помощью
^Г-1 = max (А' — S,,0).
Наконец, путем сравнения выясните, какая из этих двух стоимо-
стей выше. Определите зависимую от ситуации стоимость амери-
канского опциона пут данного момента времени с помощью
=шах
• Если вы достигли момента времени оценки (/ = 0), то это означает,
что ваша работа завершена и вам следует приостановить процеду-
ру оценки. В противдом случае вы уменьшите момент времени
расчета на один субпериод и в этом случае примените описанные
прежде расчеты соответственно.
2. Для расчета американского опциона пут при данных условиях мы в
точности придерживаемся ранее представленного метода.
• Мы начнем с полного описания биномиального процесса динамики
курса акции. Если сегодняшний курс акции равен 160.00 и цена
каждый раз или повышается на 8 %, или снижается на 10 %, то
вы увидите результат, показанный на рис. G.3.
• Теперь мы рассчитаем для всех конечных «узлов» зависимые от
ситуации значения стоимости опциона пут из формулы
Ра.з = шах (160 - 5з,0).
276
Глава G. Теория ценообразования опционов
Рис. 6.3. Динамика курса акции
Опцион пут является ничего не стоящим, если курс акции в конце
срока обращения превышает 160.00. Наоборот, исполнение выгод-
но при курсах акции, равных 139.97 и 116.64. Стоимость опциона
пут в этом благоприятном случае равна 20.03 и 43.36, ср. рис. 6.4.
• Сейчас мы сначала рассчитаем псевдовероятности при
rf - га
г и га
0.06 + 0.10
----------- = 0.8889
0.08 + 0.10
и обратимся после этого к моменту времени t = 2.
— Если курс акции поднялся бы до 186.62, то тогда было бы со-
всем бессмысленно использовать сейчас опцион пут. Но и то-
гда, когда опцион хранится еще один период, уже нельзя рас-
считывать на доходы. При такой динамике курса исполнение
опциона приведет к денежным потерям и он абсолютно ничего
не стоит.
— При курсе акции, равном 155.52, нужно подумать о том, выгод-
но ли реализовывать право преждевременного использования.
Если мы не реализуем это право, то тогда стоимость «живого»
опциона пут составит
Р?2 = J- • fo.8889 • 0.00 + 0.1111 20.03s) = 2.09.
1.06 \ J
6.2. Американские опционы на акции
277
Рис. 6.4. Американский опцион пут
Если, наоборот, опцион исполняется немедленно, то тогда мы
получим
РД = 160.00 - 155.52 = 4.48,
что, очевидно, для нас выгоднее. Значит, опцион пут в этой
ситуации имеет стоимость 4.48.
— Совершенно аналогично следует осуществлять расчеты, если
курс акции упадет до 129.62. Немедленное исполнение приве-
дет к
РОЛ2 = 160.00 - 129.60 = 30.40,
в то время как выжидание приводит к получению стоимости,
равной лишь
Р^9 = — • Г0.8889 • 20.03 + 0.1111 43.36^ = 21.34.
°’2 1.06 \ /
Значит, и здесь немедленное исполнение целесообразно.
• После того как мы проанализировали все возможные случаи в мо-
мент времени t = 2, обратимся теперь к моменту времени t = 1.
— При курсе акции 172.80 не рекомендуется немедленное испол-
нение, так как
Р^ = шах (160.00 - 172.80,0) = 0.
278
Глава 6. Теория ценообразования опционов
Если мы откажемся от исполнения, то у нас есть
P(;v = —L <0.8889 • 0.00 + 0.1111 • 4.48^ = 0.47.
’ 1.0G \ /
Значит, выжидание лучше.
— Если наоборот, курс упадет до 144.00, то мы в случае выжида-
ния получим
РЛ = ~ Го.8889 4.48 + 0.1111- 30.40^1 = 6.94,
в то время как немедленное исполнение приведет к
Pf(\ = шах (160.00- 144.00.0) = 16.00.
Значит, дальнейшее выжидание здесь невыгодно.
• Таким образом, мы наконец можем заняться t = 0 и рассчитать,
сколько стоит опцион пут сегодня. Немедленное исполнение при-
несет мало денег, так как
Р(;'о = шах (160.00 - 160.00. 0) = 0.
Наоборот, выжидание лучше, так как
Р;\ = —L . <0.8889-0.47 + 0.1111 • IG.Oo') = 2.07,
и, таким образом, мы нашли справедливую цену, которую можно
сегодня заплатить за опцион пут.
6.3. Расширение анализа
279
6.3. Расширение анализа
Возможности теории ценообразования опционов выходят далеко за рамки
оценки европейских или американских опционов на бездивидендные ак-
ции. Этот факт учитывается здесь нами таким образом, что в качестве ба-
зисных активов используются, с одной стороны, акции с дивидендом, а с
другой — валюта. В заключение мы займемся свободной от предпочтения
оценкой связанной сделки (опциона колл—пут) и попытаемся предостеречь
от непродуманного применения свободной от предпочтений оценки.
6..3 .1. Опцион на акцию с дивидендом
В 6.1.1 было сделано обычное допущение, согласно которому акционер во
время срока обращения опциона не получает дивидендов. Теперь мы пред-
положим наличие выплаты дивиденда в объеме D в конце срока обращения
опциона, который не зависит от действующего в тот момент курса акции.
1. Выведите при этих измененных условиях общую формулу оценки оп-
циона на покупку акции с дивидендом.
2. Примените вашу формулу к данным задачи 6.1.1 и исходите при этом
из того, что дивиденд составляет D = 12 руб.
1. Искомую формулу оценки можно найти, если уяснить для себя, что по-
сле включения дивиденда ничего не изменилось в других допущениях
модели. Решающую роль играет тот факт, что рынок капитала с дву-
мя моментами времени и с двумя ситуациями является полным, если
на нем обращаются две рыночные ценные бумаги (акция и облигация)
с линейно независимыми друг от друга денежными потоками. В этих
условиях можно однозначно рассчитать цены примитивных ценных
бумаг (при 7ги для случая, при котором курс акции повышается, и при
тг(/ для случая, при котором он снижается) и мы можем использовать
уравнение оценки
Со = тг„ Си + тг,/ C,J. (6.6)
Для искомых цен Эрроу—Дебре можно сейчас сконструировать систему
уравнений
(Sou + D") тг(i + (Sad + D) тг(/ = S(1.
Во(1 + Гу) 7Г„ + Во(1 + Гу) ТГ,/ = Во-
Чтобы понять первое уравнение, уясните для себя следующее: акци-
онер, который непосредственно после выплаты дивиденда продает ак-
цию, имеет или Sou + D, или Sod + D в зависимости от того, как из-
менялся курс. Если мы умножим зависимый от ситуации денежный
280
Глава 6. Теория ценообразования опционов
поток на соответствующие цены Эрроу—Дебре, то стоимость на сво-
бодном от арбитража рынке должна совпасть с сегодняшним курсом
акции (теорема аддитивности стоимости). Соответствующее уравнение
для облигации не требует объяснения. Если мы разделим первое урав-
нение на So, а второе — на Во, то получим
(и 4- тти + (d + T^d = 1,
\ °0 / \ 150 /
(1 + Г/)7Г„+ (l + 7y)7rd = l.
Отсюда с помощью правила Крамера мы выведем следующие результа-
ты для обеих цен
1 d+lT
•Ьо
1 1 4- г/
u+# d+
Оо Оо
1 + rf 1 + Vf
1 / (1 + rf) - d
1 + rf \ и — d
и 4- -S- 1
и 4- ₽ d 4- ₽
O0 O0
1 4- rf 1 + rf
(1 +-/)
D \
S0(u - d)) ’
»-(l + rz) ! D \
и — d Sq(u — d) J
Если мы подставим эти результаты в уравнение оценки (6.G), то полу-
чим искомую формулу для расчета равновесной цены опциона колл.
Она выглядит следующим образом:
14-rz \ и — d S’o(u — d) J v
, 1 . (w ~ (! +r/) . D A . c
1 + rf \ и — d Sq(u — d)) ‘
(6-7)
Для того чтобы придать этому громоздкому выражению некоторую эле-
гантность, мы определим число
. = (1 + rf)-d _ D
и — d Sq(u — d)
как псевдовероятность. Далее мы покажем, что
1-р* = Ц-(1+Г7)+ D .
и — d ЗДи. — dj
(6-8)
(6-9)
Мы просуммируем оба последних уравнения и получим в действитель-
ности
* . 1 _ * = (1 + r/)-rf _ D и~ y + rf) D
? ? и — d S0(u — d) и — d ЗДи — dy
6.3. Расширение анализа
281
1 = (1 + rf)-d ц - (1 + rf) =
и — d U — d
__ (1 + Гу) — rf + Ц — (1 + Vf)
и — d
Наконец, подстановка (6.8) и (6.9) в уравнение (6.7) приведет в изме-
ненных условиях к результату
с0 = —(р* си + (1 - р*) сЛ
1 + rf \ /
при
Си = max (Squ — К, 0),
Cd = max (Sod — К, 0) и
, (1 + ry) - rf D
p — ----------- _ -------
и — rf Sq(u — rf)
Обычная модель без дивидендов отличается от нашей новой модели
только тем, что мы должны были изменить определение псевдовероят-
ности. В модели без дивидендов псевдовероятность выглядит следую-
щим образом:
_ (1 + Гу) - rf _ гу - rd
и - d ru-rd'
что является специальным случаем модели с дивидендом, так как при
D = 0 новая псевдовероятность переходит в старую.
2. Используя числа из предыдущей задачи и дивиденд величиной в D =
= 12, мы получим
Си = max (650 • 1.12 - 650,0) = 78,
Cd = max (650 • 0.95 - 650, 0) = 0,
, 1.04-0.95 12
Р ~ 1.12-0.95 ~ 650- (1.12 - 0.95) ~
= 0.5294 - 0.1086 = 0.4208 и
Со = — • (0.4208 78 + 0.5792 • о) = 31.56.
1.04 \ /
6.3.2. Валютный опцион пут
Найдите формулу для оценки валютного опциона пут в рамках так называе-
мой модели «два момента времени—две ситуации». Используйте следующие
символы:6
6 Мы используем не косвенную котировку, а прямую. Это означает для инвестора,
ведущего свои расчеты в рублях, что курс составляет 28.00 руб. за 1 доллар США.
282
Глава 6. Теория ценообразования опционов
Sq — сегодняшний валютный курс,
So и — будущий валютный курс при благоприятном развитии
событий,
So d — будущий валютный курс при неблагоприятном
развитии событий,
г„ j — безрисковая ставка процента по активам в
иностранной валюте,
/ ;,/• — безрисковая ставка процента по активам в
отечественной валюте,
К — цена исполнения валютного опциона пут,
и = 1 + гп — благоприятный фактор повышения стоимости валюты,
d = 1 + I'd — неблагоприятный фактор повышения стоимости
валюты.
1. Опишите свою модель с помощью принятых допущений, на которые вы
хотели бы опереться, и после этого выведите соответствующую форму-
лу оценки.
2. Покажите, что существуют возможности арбитража, если псевдоверо-
ятность выводимого здесь уравнения оценки не принадлежит интерва-
лу [0,1].
1. Чтобы суметь дать свободную от предпочтений оценку валютного оп-
циона пут, нам необходим полный рынок капитала. Он дан, так как
в момент времени t = 1 мы имеем дело с двумя ситуациями («вверх»
и «вниз») и при этом обращаются два финансовых титула с линейно
независимыми друг от друга денежными потоками, а именно отече-
ственное (безрисковое) и иностранное (рисковое) инвестирование. На
этой основе и при имеющихся здесь условиях можно однозначно опре-
делить цены Эрроу—Дебре и использовать их при работе с уравнением
оценки
Р0 = Р, + Р/ 7Г(/. (G.10)
При этом символы 7Г(1 и тг,; обозначают обе цены Эрроу—Дебре, а Р„ и
Р/ — зависимые от ситуации денежные потоки валютного опциона пут
при
Ри — шах (К — S’o н, 0).
Pd = max (/< — S() d, 0).
Для того чтобы суметь оценить опцион пут, нам снова необходимы две
формулы цен Эрроу—Дебре. Первая из них будет найдена нами, ес-
ли мы уясним для себя, что существуют два способа для того, чтобы
приобрести требования на гарантированные потоки величиной в одну
отечественную денежную единицу: или мы покупаем безрисковый ти-
6.3. Расширение анализа
283
тул и платим цену 1/(1 + r,f), или мы приобретаем все примитивные
ценные бумаги, а значит, платим тг„ + тг,/. В условиях свободного от
арбитража рынка должно быть верным
(1 + О. f ) • 7Г„ + ( 1 + у) • 7Г,/ — 1 . (6.11)
Вторая формула оценки должна относиться к рисковым денежным по-
токам. Рисковым (негарантированным) является в нашей модели лишь
валютный курс. Для выведения этого уравнения задумаемся о следую-
щем: если сегодня кто-то обменяет одну отечественную денежную еди-
ницу на иностранную валюту, он делает капиталовложения, зараба-
тывая в течение одного периода доход, соответствующий иностранной
ставке процента, чтобы в конце поменять ее «обратно» по действую-
щему в это время курсу; тогда в зависимости от того, благоприятна
динамика курса или нет, он получит:
1 1
— • (1 + г„у) • S',, и или — (1 + щу) 50 (!
Отсюда в качестве второй формулы оценки выводится
( 1 + I'n.f ) и • 7Г„ “Г (1 + г„ у )(/ 7Г(1 1. (6.12)
Если мы решим возникшую таким образом систему уравнений для цен
Эрроу—Дебре при использовании правила Крамера, то получим
1 б7(1 + /'„у)
1 1 + Ti,f
а (1 + г„у) d (1 + г(,у)
1 + О./ 1 + 'I'J
__________(1 + ri.f ) ~ (1 + Vr>.J )__________
(1 + ri.f') (u + ''>./) -
1 (1 + 7',у) - r/(l + 7-,ty)
1 + 7',y (U - d) (1 + 7'„y)
U (1 + 7'ny ) 1
_______1 + riJ 1 __________
1/(l+7-ay) rf(l + r„y)
1 + ri.f 1 + ri.f
1 77 (1 + 7'f,y) - (1 + 7-,y)
l+r,y (u - rZ) (1 - r„y)
(6.13)
(6.14)
Перед тем как мы подставим эти результаты в формулу оценки (6.10),
рекомендуется преобразовать уравнения цен (6.13) и (6.14) в несколько
284
Глава 6. Теория ценообразования опционов
более подходящую форму. Для этой цели мы определим псевдовероят-
ность
. = (l + nj)-d(l + raj)
(и - d) (1 + raJ)
и покажем, что верно
(6.15)
1 _ . = Ч1 + r«j) ~ (! +П,/)
(и - d) (1 - raj)
Это сделано быстро. Суммирование двух последних уравнений приве-
дет действительно к
. , 1 _ * = С1 + rt./) ~ + ra,f] + Ц (1 + rnJ) - (1 + Пj)
(и - d) (1 + raj)
x = (~d + u) (1 + roj)
(u - d) (1 + rQj)
С использованием псевдовероятности мы можем записать цены Эр-
роу—Дебре как
Подстановка в уравнение оценки (6.10) дает
Р0 = 7-^— (р* Ри + (1 - Р*) Pd)
при
Ри = max (К — Sou, 0),
Pd = max {К — Sad, 0) и
. = (! + П,/) - <2(1 + ro,z)
Р (и - d) (1 + ra j)
и мы у цели.
2. Если мы хотим показать, что существование возможности арбитража
при р* е [0,1] исключено, то нам нужно исследовать, что случится,
если псевдовероятность не принадлежит этому интервалу. При этом
мы исходим из того, что и > d > 0.
Давайте сначала исследуем случай р* > 1. Подстановка в (6.15) даст
(! + nj) -<2(1 + ro,z) > х
(U - d) (1 + Taj)
1 + nj -<2(1 + rOi/) > (u - d) (1 + Taj),
(1 + rl7) > U (1 + raj),
(1 + Tij) - и (1 + Taj) > 0. (6.16)
6.3. Расширение анализа
285
Тогда при условии, что и > d > 0, должно быть верным
(1 + ri,/) — d (1 + 7'пу ) >> О (6.1/)
и это указывает на возможность арбитража. Но данное утверждение
еще должно быть доказано. Мы начнем с того, что проиллюстриру-
ем оба неравенства, (6.16) и (6.17). Мы представляем себя в ситуации
инвестора, который ведет свои расчеты в рублях. Он хочет взять за гра-
ницей кредит, а именно в том объеме, который позволит ему по сего-
дняшнему курсу стать владельцем одного рубля. Далее он инвестирует
сумму кредита на отечественном рынке капитала, так что через один
год имеет гарантированные денежные потоки величиной в (1 + г,у).
Иностранный кредит должен быть обслужен им в момент времени t =
= 1 при (1 + ra„f). Если субъект был бы нерезидентом, то речь и здесь
шла бы о гарантированном платеже. Но наш получатель кредита мо-
жет выполнить свои обязательства по возврату кредита лишь в том
случае, если он приобретет необходимую валюту по действующему в
соответствующий момент курсу, вследствие чего сумма возврата кре-
дита, включая проценты, с сегодняшней точки зрения является риско-
вой. Она составляет или и (1 + гау), или d (1 + гау). Действия инвестора
порождают сегодня нулевые чистые платежи и приведут позже к поло-
жительным избыткам (ср. табл. 6.7), если мы предположим, чтор* > 1.
Такое погашение противоречит теореме доминирования, так как инве-
стор сегодня ничего не платит за положительные возвратные потоки.
Таблица 6.7. Валютный арбитраж при р* > 1
Цена в t = 0 Денежные пс Ситуация «вверх» токи в t = 1 Ситуация «вниз»
Иностранный кредит Отечественная инвестиция 1 -1 -U (1 + Гау) (1 +оу) —d(l + гоу) (1 + пу)
0 > 0 »0
А сейчас давайте обратимся к случаю р* < 0 и подставим опять данные
в (6.15). Это дает
(1 +rtj) -d(l 4-гоу) < о
(u - d) (1 + гау)
При и дальше действующем условии, что и > d > 0 и иностранная став-
ка процента не становится отрицательной, мы умножим уравнение на
знаменатель левого члена и получим после незначительных преобразо-
ваний
О < d (1 + гоу) - (1 + Пу)
286
Глава 6. Теория ценообразования опционов
и из-за и > d
О II (1 + l'„f) — (1 + 7'г,У' )•
Как показывает табл. 6.8, и здесь речь идет о возможности арбитра-
жа. Для ее использования необходимо взять отечественный кредит и
вложить деньги за границей.
Таблица 6.8. Валютный арбитраж при р* < О
Цена в 1 = 0 Денежные пс Ситуация «вверх» ТОКИ в t — 1 Ситуация «вниз»
Отечественный кредит Иностранная инвестиция 1 -1 -(1 + Л./) и (1 + г,,./) “(1 +
0 5> 0 > 0
6.3.3. Свободная от предпочтения оценка, осуществляемая
несмотря на возможность арбитража
Представьте себя в мире «два момента времени—две ситуации» и рассмо-
трите описанный в табл. 6.9 рынок капитала.
Таблица 6.9. Рынок капитала с тремя ситуациями
Титул Цена в t = 0 Денежные потоки в t — 1
Ситуация 1 Ситуация 2 Ситуация 3
Акция 300 400 350 240
Облигация 100 10(3 106 106
Опцион на покупку 28 60 10 0
1. При изображенном в табл. 6.9 опционе речь идет об опционе колл на
описанную там акцию при базисной цене К = 340 руб. Нужно оценить
при данных условиях опцион на продажу с той же ценой исполнения.
Какую структуру имеет эквивалентный портфель и как высока его цена?
2. Придерживаетесь ли вы мнения, что изображенный в табл. 6.9 рынок
капитала свободен от арбитража? Обоснуйте свое мнение.
6.3. Расширение анализа
287
1. Мы начнем с выяснения зависимых от ситуации денежных потоков
опциона пут в конце срока обращения. Их можно записать при Sls,
обозначающем зависимый от ситуации курс акции по истечении срока
обращения опциона, в форме
Р1,ч = шах (А' — 5|Л.,0).
из чего следует
Рц=0, Р]2=0. Р1з = ЮО.
Из обращающихся на рынке бумаг необходимо сконструировать порт-
фель, который порождает в точности эти денежные потоки. Если мы
обозначим символами п If и пс количество акций, облигаций и оп-
ционов колл, из которых состоит этот портфель, тогда на основе пред-
ставленных данных должна быть решена система уравнений
400 /?s + 106 лп + 60 • нс = 0,
350 ns + 10G 77fi + 10 • пс = 0.
240 • п.ч + 106 • 77/з + 0 • пс = ЮО.
Первое уравнение относится к ситуации 1 и обеспечивает то, что экви-
валентный портфель порождает возвратные потоки величиной в Рц =
= 0. Два других уравнения Нужно трактовать аналогичным образом,
учитывая, что они относятся к ситуациям 2 и 3. Для определения
структурных переменных эквивалентного портфеля мы можем исполь-
зовать правило Крамера. С его помощью мы получим следующие зна-
чения количеств приобретаемых акций, облигаций и опционов колл.
77.3 = 0 106 60 0 106 10 100 106 0 , »/? = 400 0 60 350 0 10 240 100 0 1) 400 106 0 350 106 0 240 106 100
400 106 60 350 106 10 240 106 0 400 106 60 350 106 10 240 106 0 400 106 60 350 106 10 240 106 0
Отсюда мы с помощью правила Сарусса рассчитаем
/0 106 • 0 + 106 10 • 100 + 60 0 • 106—Л
100 106 • 60 - 106- 10 • о - о • о iogJ
400 • 106 0 + 106 • 10 240 + 60 350 106—\
-240 • 106 60 - 106 10 • 400 - 0 350 • 106J
-530 000
530 000
= -1.0000.
77/з = 3.2075,
/7С = 1.0000.
288
Глава G. Теория ценообразования опционов
Если исключены возможности арбитража, то эквивалентный портфель
должен иметь ту же цену, что и опцион пут. Поэтому мы получим
Ро = ns So + пв Во + пс Со =
= -1.0000 • 300 + 3.2075 • 100 + 1.0000 • 28 =
= 48.75 руб.
2. Обсуждаемый здесь рынок капитала, без сомнения, является полным,
так как мы имеем дело, с одной стороны, с тремя ситуациями, а с дру-
гой — с тремя рыночными ценными бумагами, денежные потоки ко-
торых линейно независимы. Линейная независимость подтверждена,
так как в противном случае определители матрицы денежных потоков
в предыдущей части задачи приобрели бы нулевое значение, и мы не
были бы в состоянии определить эквивалентный портфель.
Но для наличия рынка, свободного от арбитража, нужно большего:
все цены Эрроу—Дебре должны быть положительными. Имеем ли мы
дело с этим случаем или нет, нужно еще исследовать. Для этой цели
рассчитаем соответствующие цены из системы уравнений
400 • тг! + 350 ТГ2 + 240 тгз = 300,
106 • 7Г1 + 106 • ТГ2 + 106 • ТГз = 100,
60 • 7Г1 + 10 • ТГ2 + 0 • 7Г.З = 28.
Если мы решим систему уравнений подходящим методом, то получим
информацию, что рынок не является свободным от арбитража, так как
тг! = 0.4688, тг2 = -0.0130, тг3 = 0.4875.
Если бы в предыдущей части задачи мы рассчитали бы опцион пут не
через эквивалентный портфель, а с помощью цен примитивных цен-
ных бумаг, то нам стало бы ясно, насколько спорным является опре-
деление стоимости с помощью используемых здесь чисел. Рынок с воз-
можностью арбитража не находится в равновесии!
6.3.4. Опцион колл—пут
Здесь речь идет об оценке опциона, который позволяет своему владельцу
по истечении двух периодов по цене К = 340 руб. выборочно или купить,
или продать акцию (опцион колл—пут). Акция котируется сегодня по цене
So = 320 руб., причем все участники рынка предполагают, что этот титул
в каждом периоде или повышается на 8 %, или снижается на 2 %. Кроме
того, в первом (втором) периоде обращается облигация по цене Во = 100
(Bi = 106), которая через год породит гарантированные возвратные потоки
величиной в 106.00 (112.36). Значит, безрисковая ставка процента составля-
ет постоянно rf — 0.06. Сконструируйте из акции и безрисковой облигации
6.3. Расширение анализа
289
портфель, который эквивалентен опциону колл—пут и определите цену это-
го портфеля.
* *
11-
ОПЦИОН, который может использоваться выборочно как опцион колл или
опцион пут, «обещает» в момент времени t = 2 зависимые от ситуации де-
нежные потоки величиной в
Оии = max ( max (Sou2d° — К, 0), max (Д' — StyuPdP, 0)),
Oud = max max (Sotz1^1 — Д', 0), max (Д' — Sow1^1^)^,
Odu = max ( max (Sow1^1 — K, 0), max (Д' — Sow1^1,0)) или
Odd = max (max (Sozz°c/2 — Д', 0), max (Д' — Sow°d2,0)) .
С цифрами из нашего примера это означает, что
Оии = 33.25, Odu = Oud = 1.31, Odd = 32.67.
В момент времени t = 1 опцион колл и пут не порождает ни доходов, ни
расходов, так как он относится к европейскому типу, а значит,
Ои = Od = 0.
Для того чтобы суметь сконструировать эквивалентный портфель из акции
и безрисковой инвестиции, мы будем использовать следующие символы для
обозначения структурных переменных эквивалентного портфеля:
ns,o — количество акций, оборачивающихся в t = 0,
пв,о — количество облигаций, оборачивающихся в t = 0,
п'д j — количество акций, держащихся в t — 1 в ситуации и,
iig j — количество акций, держащихся в t — 1 в ситуации d,
п'д j — количество облигаций, держащихся в t = 1 в ситуации и,
пв 1 — количество облигаций, держащихся в t = 1 в ситуации d.
При использовании этих символов можно составить и решить три системы
уравнений. При этом мы как бы «двигаемся назад во времени».
(1) Рассмотрите рис. 6.5 и сконцентрируйте внимание на окаймленном
участке. Вы находитесь в моменте времени t — 1, и курс акций по-
высился до Sow. В этой ситуации вы можете быть убеждены, что курс
акции в момент времени t = 2 или повысится до Sow2, или снизится до
St)ud. Это одновременно означает, что опцион колл—пут тогда породит
денежные потоки или в объеме Ouu, или в объеме Oud.
Нам сейчас нужно при действующих здесь условиях сконструировать
из акции и облигации портфель, который в момент времени t = 2 по-
родит в точности те же денежные .потоки, что и опцион колл и пут,
290
Глава 6. Теория ценообразования опционов
Рис. 6.5. Курс акций в биномиальной модели
а именно С>,,„ и O,„i. Если далее учесть, что облигация в момент време-
ни t = 1 котируется по цене By и один период позднее даст гарантиро-
ванные возвратные потоки в объеме By (1 -Му), тогда система уравнений
для определения структурных переменных эквивалентного портфеля
будет выглядеть следующим образом:
S()U2</° • + В} (1 + Tf) н']!л = O„n,
SOU1^1 + B](l + Vf) ll'j; j = O,/»,
или с конкретными данными из нашего примера
373.25 • + 112.36 • 7/.уА) = 33.25,
338.69 77^'д + 112.36 • 77^’j = 1.31,
из чего мы получаем решения п'^ j = 0.9241 и т?.'д j = —2.7738.
(2) Вторая система уравнений предполагает, что курс акции в момент вре-
мени t = 1 упадет до стоимости Snrf. При этом условии эквивалентный
портфель необходимо образовать так, чтобы он в момент времени I =
= 2 при повторном снижении курса акции принял значение О(М, а при
росте курса акции — значение O,iu. Поэтому мы получаем
Squ’c/1 • ndSA + £j(l + rf) vdn j = О,,,/.
StfPtP n,lSA + By (1 + 77) 77'/; j = O,w,
или с конкретными данными из нашего примера
338.69 • п",л + 112.36 • 77.ул1 = 1.31,
307.33 • 7?”’] + 112.36 • п^'л = 32.67.
что приводит к решениям nds j = -1.0000 и 77./; j = 3.0260.
6.3. Расширение анализа
291
(3) С помощью обеих первых систем уравнения мы определили структуру
эквивалентного портфеля, который следует выбрать нам в интересах
дублирования нашего опциона в момент времени t = 1. Естественно,
для приобретения этого портфеля в соответствующий момент времени
необходимы платежи. Но так как сам опцион колл—пут по истечении
первого периода не порождает ни расходов, ни доходов, то эти плате-
жи должны финансировать сами себя. Вследствие этого мы должны
выбрать доли портфеля в момент времени t = 0 таким образом, чтобы
связанные с ним в момент времени t — 1 доходы были бы в точности
так же велики, как необходимые в этом моменте времени расходы. Это
означает следующее:
77..S-.O + Во(1 + ';)• "л.о = • b'()U + д • В-,,
%</ M.s'.o + В()(1 + /д) • 7?yj0 = • Sod + ndei Bi.
Левая часть первой (второй) формулы описывает возвратные потоки
из владения акциями и облигациями в момент времени t — 1 при усло-
вии, что курс акции повысился (понизился). В правой части находятся
доходы, которые необходимы для финансирования (зависимых от си-
туаций) эквивалентных портфелей в момент времени t 1. С учетом
данных примера и промежуточных результатов для структурных пере-
менных эквивалентного портфеля это означает:
345.60 • /г.ч.о + 106.00 = 25.34.
313.60 nss) + 106.00 7?в’о = 7.15.
что, наконец, приведет к решениям ns,0 = 0.5683 и — —1.6138.
Имея эти числа, мы точно знаем, что необходимо делать сегодня (I — 0)
и позже (/ = 1) для того, чтобы посредством покупки и продажи акций и
облигаций поставить себя в положение, которое в отношении ожидаемых
денежных потоков никоим образом не отличается от приобретения опциона
колл—пут. Цена приобретаемого сегодня портфеля составляет
U‘S.0 + пц.о Во = 0.5683 320 - 1.6138 • 100 = 20.47,
и это число при условии свободного от арбитража рынка капитала долж-
но в точности совпадать с ценой, которую инвестор обоснованно согласится
заплатить за опцион колл—пут.
При помощи табл. 6.10 можно подтвердить, что наше решение действи-
тельно имеет желаемое свойство дублирования опциона колл и пут. Мы по-
купаем в момент времени * = 0 акции в количестве 0.5683 и одновременно
продаем без покрытия 1.6138 облигаций. Это сегодня связано с чистыми
расходами в объеме 20.47 руб. Рассмотрим для примера, что случится, ес-
ли курс акции по истечении одного периода повысится. За счет держания
акции мы получим доходы в объеме 0.5683,- 345.60 = 196.41 руб., в то вре-
мя как продажа облигации без покрытия вынудит нас осуществить расходы
292
Глава 6. Теория ценообразования опционов
Таблица 6.10. Дублирование опциона колл и пут
Количество Платежи в момент времени
t = 0 t = 1 t = 2
Пр 4 наступлении ситуации
и d uu ud du M
ns,o = +0.5683 -181.86 196.41 178.22 0.00 0.00 0.00 0.00
пв,о ~ — 1.6138 161.39 -171.06 -171.06 0.00 0.00 0.00 0.00
x = +0.9241 0.00 -319.36 0.00 344.91 312.97 0.00 0.00
=-2.7738 0.00 294.01 0.00 -311.66 -311.66 0.00 0.00
ndsl = -1.0000 0.00 0.00 313.60 0.00 0.00 -338.69 -307.33
ndB1 = +3.0260 0.00 0.00 -320.76 0.00 0.00 340.00 340.00
-20.47 0.00 0.00 33.25 1.31 1.31 32.67
в объеме 1.6138 • 106 = 171.06 руб. Таким образом, сальдо доходов оказыва-
ется равным 196.41 — 171.06 = 25.35 руб. Однако мы должны одновременно
приобрести 0.9241 акций и продать 2.7738 облигаций. Поэтому для покуп-
ки акций мы осуществляем расходы в объеме 0.9241 345.60 = 319.36 руб.,
в то время как проданные без покрытия облигации приносят нам доходы в
объеме 2.7738 106 = 294.01 руб. Сальдо расходов оказывается равным 319.36-
— 294.91 = 25.35 руб., так что доходы и расходы в момент времени 1=1 совер-
шенно выравниваются. Независимо от того, как изменяется курс акций во
втором периоде из-за проданных без покрытия облигаций, мы осуществляем
расходы величиной в 2.7738-112.36 = 311.66 руб. Если курс акции повышает-
ся, то мы за счет продажи акции получаем 0.9241 373.25 = 344.91 руб.; если,
наоборот, курс акции снижается, то тогда наша выручка составляет лишь
0.9241 • 338.69 = 312.97 руб. В первом случае сальдо доходов оказывается рав-
ным 33.25 руб., во втором — 1.31 руб. Эти значения в точности совпадают с
денежными потоками, которые может ожидать владелец опциона колл—пут
при точно такой же динамике курса акции.
Литература
Фишер Блэк и Майрон Скоулз со своей известной работой «The pricing of
options and corporate liabilities» (Journal of Political Economy. 1973. Vol. 81.
P. 637-654) начали весьма плодотворный и долгосрочный процесс обсужде-
ния оценки опционов и похожих финансовых титулов. Читатель, который
хотел бы серьезно заняться теорией ценообразования опционов и ее разны-
ми применениями, должен обратиться к книге: Сох J. С., Rubinstein М. Е.
Options Markets. Englewood Cliffs (-N.J.): Prentice-Hall, 1985. Выдающимся
6.3. Расширение анализа 293
учебником об опционах и других производных финансовых титулах явля-
ется также: Hull J. Options, Futures, and other Derivative Securities. 3rd ed.
Englewood Cliffs (N.J.): Prentice-Hall, 1907. По поводу подхода, в основе ко-
торого лежит идея непрерывного времени, как и в модели Блэка—Скоулза,
мы рекомендуем: Kruschwitz L., Schobel R. Eine Einfiihrung in die Options-
preistheorie // Das Wirtschaftsstudium. 1981. S. G8-72, 116-121, 171-176.
Предметный указатель
Агентская проблема, 250
Аксиома
доминирования, 53
- , независимости, 53
- , непрерывности, 53
- , ограничения, 52
- , сравнимости, 52
- , транзитивности, 52
Арбитражная прибыль, 232
Безразличность к риску, 75, 98, 100,
10-1
Безрисковый эквивалент, 55, 90, 213,
210
Бескупонная облигация, 39, 45
Бета инвестиционного проекта, 211
Биномиальная модель, 263, 267, 268,
274, 275
Благо-измеритель, 24
Будущее потребление, 17
- , предельная полезность, 111
Бюджетное ограничение, 3, 119, 166
номинальное, 1
- , реальное, 1, 25
Векторы
- , линейно независимые, 135
- , ортогональные, 135
Вероятность
- , безразличия, 53, 54
- , ущерба, 66
Возвратные потоки вечные, 48, 242,
246
Возможность арбитража, 230, 232,
257, 258, 282, 284-286, 288
- , типы, 115
Держание кассы, 44, 129
Диверсификация, 214
Дивиденд, 272, 279, 281
Дисперсия
- , моментная, 265, 266
- , подразумеваемая, 265, 266
Длинная позиция, 201
Долевая часть, 131
Доходность
- , гарантированная, 130
- , оборота, 226
- , скорректированная с учетом риска,
211, 213
- , собственного капитала,
ожидаемая, 230
Задолженность
- , предприятий, 230-232, 239, 246,
248-252, 254
- , частная, 231, 232, 243, 246, 248, 249,
251, 252, 254
Заемный капитал, 83, 223
- , безрисковый, 237
Значение полезности, 54
Издержки
- , банкротства, 103, 250
- , информационные, 230
- , постоянные, критическая сумма,
61
- , трансакционные, 230
Изменчивость, 267, 268
Интегрирование по частям, 96
Интерполяция, 266
Ковариация, 234, 237
Колл, см. Опцион колл
Короткая позиция, 204
Корреляция, 148, 151, 160
- , полная отрицательная, 143, 147
- , полная положительная, 1 13, 154
Коэффициент
дисконтирования, 25
- , -, личный, 27
- , -, реальный, 25
- , корреляции, 156
- , Эрроу—Пратта, 76, 90
Кривая
- , безразличия, 192
- , -, выпуклая вниз, 11
- , -, линейная, 10
- , -, наклон, 108
Предметный указатель
295
-, трансформации, 1-19, 151-156, 158,
161, 183, 192
Купонная облигация, 126
Курс акции, 146
Лексикографическая структура
предпочтений (dictionary' order),
35
Лемма Минковского—Фаркаша, 133
Линейная комбинация
- , векторов, 133, 135
- , значений полезности, 55, 73
- , положительная, 136, 137
Линейное преобразование
- , отрицательное, 6(1
- , положительное, 59
- , -, монотонное, 75
Линия
- , рынка капитала, 193
- , трансакционная, 119
- , ценной бумаги, 213, 214, 217
- , эффективности, 158-160, 162, 165
- , -, для экономики в целом, 159
Лотерея, 55
- , сложная, 53
Математическое ожидание, 55
- , полезности, 69
- , результатов лотереи, 56
Матрица
- , полезности, 66, 67
- , результатов, 58
Метод чистой сегодняшней
стоимости, 231, 233
Модель оценки финансовых активов
(САРМ), 166-194
- , и принятие решений об
инвестициях, 211-222
- , и структура капитала, 234-236, 238
Накопление прибыли, 226
Налог
- , на доход с промысла, 251
- , на имущество, 248, 253
- , на прибыль, 226
- , -, предприятия, 249-251, 253
- , подоходный, 249-252
Нерасположенность к риску, 75, 98,
99, 159, 163, 164, 178
-, абсолютная, 69, 70, 73, 78
- , -, возрастающая, 90
- , -, постоянная, 83
- , -, убывающая, 81
- , бесконечная, 164
- , относительная, 69, 71, 73, 78
- , -, постоянная, 74, 81
Норма
- , временных предпочтений в
оптимуме, 17
- , предельная
- , -, замещения, 160, 161, 164, 198, 200
- , -, трансформации, 162, 164
- , сбережений, 33
Однородные ожидания, 169, 230
Ожидаемая полезность, 55, 69
- , теория, 52-67, 89
- , функция,79
Опцион
- , колл (на покупку), 257, 258, 262,
267, 268, 270, 272-274, 279, 280
- , -, американский, 272
- , -, синтетический, 258
- , колл—пут, 288, 289, 291, 292
- , пут (на продажу), 257, 270, 274
- , -, американский, 272, 274, 275
- , -, валютный, 281, 282
Оценка с движением назад во
времени, 289
Партиарная (долевая) ссуда, 224
План
-, «потребление—сбережение», 171
- , -, межвременной, 186
- , потребления
- , доминирующий, 14
- , -, оптимальный, 15, 20
Политика предприятия, данная, 230
Полное самофинансирование, 253
Полный дифференциал, И, 96
Портфель
-, арбитражный, 118, 119, 137
- , базисный, 198-203, 205
- , безрисковый, 129
- , рыночный, 166, 177, 178, 182, 191,
193, 201-203, 205
- , с наименьшим риском, 151, 155,
• 156, 163
-, с нулевой бета, 195-210
296
Предметный указатель
минимальный по дисперсии,
206-209
эквивалентный, 123, 126, 128, 258,
286-291
Правило
- , принятия решений
- , -, классическое, 87
- , Сарусса, 287
Предельная инвестиция, 10
Предельная полезность дохода, 55
Предельное страдание при отказе от
потребления, 13
Предпочтение
- , лексикографическое, 35
- , настоящего времени, сильное, 13
Преждевременное исполнение, 272,
274
Премия за риск, 55, 180
Преобразование, 76
Привилегированная акция, 224
Принцип Бернулли, 54
Проблема вымогательства (hold-up),
48
Программа
- , нелинейная, 26
реальной инвестиции,
оптимальная, 15, 20
Продажа без покрытия, 147, 151, 152,
158, 161, 162, 204, 205
Псевдовероятность, 257, 262, 264, 267,
268, 276, 280-282, 284
Псевдоматематическое ожидание, 263
Пут, см. Опцион пут
Разложение в ряд Тейлора, 87
Расположенность к риску, 75, 98, 100
Распределение
- , непрерывное, 98
- , нормальное, 88
- , -, стандартизованное, 265, 266
- , равномерное, 93
Репрезентативный инвестор, 114
Риск
- , ковариационный, 214, 217
- , несистематический, 214
- , систематический, 214, 217
Рынок капитала
- , несовершенный, 215
- , ограничения,230
- , полный, 41, 57, 129, 270, 279, 282,
288
- , свободный от арбитража, 44, 117,
120
- , совершенно функционирующий,
120, 214
Рыночная стоимость
- , заемного капитала, 239, 243, 248,
253
- , предприятия, 230, 235, 236, 238, 241
- , собственного капитала, 241, 242
Рыночная цена риска, 179, 180, 182,
184, 191
Сбережение
- , вложенное без риска, 179
- , вложенное с риском, 177
- , оптимальное, 178
Скалярное произведение, 134
Собственный капитал, 223
- , доля, 225
- , с ответственностью, 224
Совершенное уничтожение риска,
149, 151, 155
Средневзвешенная стоимость
капитала, 227-229, 240, 241, 247,
253
Ставка процента
- , критическая, 83, 84
- , отрицательная, 129
-, расчетная, 231, 233
-, скорректированная с учетом риска,
214
-, спотовая, 39-41, 43, 45, 124
-, форвардная, 39, 40, 42, 45, 124
-, -, подразумеваемая, 40, 42, 126
Стохастическое доминирование
- , второго порядка, 102, 105
- , первого порядка, 96
Страхование,65
Структура
- , капитала, нерелевантная, 226, 235,
248-250, 254, 255
- , портфеля, 74, 151
- , ставки процента, 39, 41
- , -, нормальная, 40, 43
- , -, обратная, 40, 126
Тезис
- , Модильяни—Миллера, 229, 230,
235, 250
Предметный указатель
297
традиционный, 226, 228, 229
Темп инфляции, 24
Теорема
- , аддитивности стоимости, 120, 280
- , доминирования, 44
- , Модильяни—Миллера, 230
- , разделения
- , -, Тобина, 166, 193
- , -, Фишера, 1-34
Требования
- , по доходности
- , -, пайщиков, 227-229, 241, 253
- , по процентам
- , -, кредиторов, 227-229
Уровень
- , потребления
- , -, не зависимый от ситуации, 109
- , финансового левериджа, 223, 227,
230, 241, 253
Условия Куна—Таккера, 26
Форвардный кредит, 39
Формула
- , Блэка—Скоулза, 265, 266
- , круга, 90
- , сегодняшней стоимости ренты, 49
Функция
- , инвестиций, 16
- , -, дискретная, 8, 14
- , обратная, 96, 98
- , плотности, 93, 94
- , полезности
- , -, выпуклая вниз, 73
- , -, кардиналистская, 37
- , -, квадратичная, 87, 88
- , -, линейная, 87, 88
- , -, математического ожидания и
дисперсии, 167, 169
- , -, межвременная, 19
- , -, ординалистская, 36
- , распределения, 96, 98, 103
Хеджирование, 269, 270
Цена Эрроу—Дебре, 44, 122-124, 126,
129, 279, 280, 282-284, 288
- , форвардная, 121
Ценная бумага
- , примитивная, 11, 4 1, 120, 137, 271,
279, 283, 288
- , рыночная, 42, 120
- , синтетическая, 120
Частная ответственность, 225
Эффект
- , дохода, 29
- , замещения, 30