Л.М.Лихтарников
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ
ВВЕДЕНИЕ
В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Книга для начинающих
изучать функциональные уравнения
и преподавателей
«Лань»
Санкт-Петербург
1997

ББК 22.12
Л 45
Лихтарников Л. М.
Л 45 Элементарное введение в функциональные уравнения /
Оформление А. Олексенко, С. Шапиро — СПб.:
Лань, 1997. - 160 с.
ISBN 5—86617—044—2 ББК 22.12
Книга «Элементарное введение в функциональные уравнения »
предназначена для начинающих изучать функциональные уравнения и
преподавателей.
Она может быть использована как для проведения факультативных
занятий, так и для ее самостоятельного изучения учащимися.
© Издательство «ЛАНЬ», 1997
© Издательство «ЛАНЬ»,
оформление, 1997
ISBN 5—86617—044—2 © Л. М. Лихтарников, 1997

3
ОТ АВТОРА
Книга «Элементарное введение в функциональные
уравнения» предназначена для учащихся математических
классов средних школ, студентов математических факультетов
и учителей математики.
Она может быть использована в процессе изучения
курса «Математический анализ», для проведения
факультативного курса «Элементарное введение в функциональные
уравнения», при индивидуальной работе со способными
учениками и студентами младших курсов с целью
привлечения их к творческой работе.
Для усвоения материала предлагаемой книги, в основном,
достаточно знания школьного курса «Начала анализа».
Книга содержит большое количество задач, связанных
с теорией функциональных уравнений, и в их числе
задачи, предлагавшиеся на различных математических
олимпиадах учащихся школ и студентов вузов.
Функциональные уравнения являются одним из старых,
но до сих пор малоизученных разделов математического
анализа.
С одной стороны, изучение функциональных уравнений
требует только знания основных понятий
математического анализа и поэтому они представляют интерес для
большинства учащихся математических классов и студентов
математических факультетов, но, с другой стороны, решение
отдельных функциональных уравнений требует тонкого
понимания основных вопросов анализа и искусного их
применения.
Последнее обстоятельство делает изучение
функциональных уравнений ценным еще и потому, что позволяет

4
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
дать способным учащимся возможность испытать свои
силы в самостоятельной творческой работе.
Предлагаемая книга содержит элементарное введение в
теорию функциональных уравнений функций одной
переменной. Она включает в себя "Введение" и четыре раздела:
1. Функциональные уравнения, не содержащие
свободных переменных.
2. Функциональные уравнения, содержащие свободные
переменные.
3. Определение основных элементарных функций с
помощью функциональных уравнений.
4. Разностные уравнения.
Учитывая различный уровень в математической
подготовке читателей, во введении сформулированы основные
понятия математического анализа, которые наиболее
активно используются в книге. В конце введения приведена
минимальная информация о дифференциальных
уравнениях, необходимая при решении функциональных уравнений
путем их сведения к дифференциальным уравнениям.
Центральной частью книги являются первая и вторая
главы, в которых изложены основные методы решения
функциональных уравнений. Это изложение
иллюстрируется большим числом разобранных примеров.
Третья глава дает представление об одном из важных
теоретических приложений функциональных уравнений -
определении основных элементарных функций.
Особое место в книге по методам исследования
занимает четвертая глава, посвященная разностным уравнениям,
которые играют большую роль в прикладной
математике. К сожалению, ни объем книги, ни математическая
подготовка предполагаемого читателя книги не позволили
рассмотреть вопросы, связанные с использованием
разностных уравнений при приближенном решении
дифференциальных уравнений.
В конце книги приведены упражнения. Они содержат
большое число задач для самостоятельной работы
читателей. Сюда включены и задачи, предлагавшиеся на раз-

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 5
личных престижных олимпиадах учащихся и студентов
(смотри, например, [7], [8], [9], [10]). Учитывая, что многие
из олимпиадных задач представляют собой серьезные
проблемы и могут вызвать затруднения у некоторых
читателей, в книге приведены не только ответы к их решениям,
но и полные решения. Задачи этого класса в книге
отмечены символом *.
Все задачи, включенные в упражнения, занумерованы
двумя индексами. Первый индекс указывает номер
раздела, к которому относится данная задача, второй - номер
задачи в данном разделе. В книге используются
следующие обозначения:
Через N обозначается множество всех натуральных
чисел: {1,2, 3,...,«,...}.
Через Ζ обозначается множество всех целых чисел: {0,
±1, ±2, ±3,..., ±л,...}.
Через Q обозначается множество всех рациональных
чисел, т.е. чисел вида \ —: т-> η &Ζ, п*0>
Через R обозначается множество всех вещественных
чисел Я=(-оо,+<ю).

б
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Элементарные факты из начал анализа
Приведем основные сведения из начал
математического анализа, которые будут использоваться в дальнейшем
изложении.
Числовой функцией называется отображение
некоторого подмножества D множества действительных чисел R на
другое подмножество Ε множества R.
При этом D называют областью определения, а Е
областью значений функции.
Иначе говоря, числовая функция - это закон /, по
которому каждому действительному числу χ из множества
D ставится в соответствие единственное числом из
множества Е. При этом записывают у = f(x), x называют
аргументом или независимой переменной, а у - функцией или
зависимой переменной.
Очень часто функция задается в виде формулы, где
указаны те действия над аргументом х, которые нужно
выполнить, чтобы получить соответствующие значения
функции у. В этом случае говорят, что функция задана
аналитически.
Однако функция может задаваться и иначе. В
частности, на различных участках области определения она
может быть задана различными аналитическими
выражениями. Например, функция f(x) задана на множестве [0, 2]
так:

Элементарное введение в функциональные уравнения
\х, если χ е [О, 1]
•^*) = *L· ι /ι οι
[хг +3, еслихе(1, 2]
Функция может задаваться таблицей (например,
таблицы квадратов и кубов натуральных чисел) или ее
графиком. Эти способы задания функций называют,
соответственно, табличным и графическим.
Отметим, что таблицы квадратов и кубов натуральных
чисел представляют собой функции, определенные на
множестве натуральных чисел.
В дальнейшем мы будем пользоваться, в основном,
аналитическим способом задания функции.
Пусть заданы две функции: функция у = f(x),
отображающая множество D с R на множество Lc R, и
функция ζ =F(y), отображающая множество L на множество
EczR.
Композицией функций F и /, или сложной функцией,
составленной из функций F и / называется функция,
которая отображает множество D на множество Ε и
определяется равенством ζ = F(f(x)).
Например, композицией функций у = χ , определенной
на множестве R с множеством значений на R и функции
ζ = sin у, определенной на множестве R с множеством
значений на [-1,1], будет функция ζ = sin(x3),
определенная на множестве R с множеством значений на [-1, 1].
Для композиции функций F и / принято обозначение
Fof.
Очевидно, можно рассматривать композицию φ ° φ. Это
будет функция у = φ(φ(χ)).
Например, для функции φ(χ)= χ функция
2х+3
φ(φ(χ)) = (χ2)2 = χ4, а для функции φ(χ) = функция

8
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
, < чч 2Л£?\+Ъ 4χ+6+9χ+3 13χ+9
φ(φ(χ)) = —^— = = .
3·23£ι+1 6χ+9+3χ+1 9χ + 10
2
Композицию φ ° φ иногда записывают в виде φ .
Аналогично определяются композиции
φ3 = φ2 ο φ = (φ ο φ) ο φ = φ(φ(φ(χ))),
φ4=φ3οφ = ((φοφ)οφ)οφ = φ(φ(φ(φ(χ))))
и так далее.
/ ч *+1
Например, для функции φ(χ) = :
2/ ч / / чч f-+l + 1 X+1 + 1-X 2 1
φ2(χ) = φ(φ(χ)) = ^— = - - = —- = —,
l-ff^ 1 — jc— jc—1 -2x χ
φ\χ) = φ(φ(φ(χ))) = -— = ί = ^—-,
φ4(χ) = φ(φ(φ(φ(χ)))) = ^—- = ~ = -^ = χ
Пусть имеется функция y = f(x), отображающая
множество D на множество Е. В общем случае различным
элементам xeD может соответствовать один и тот же
элемент у е Е.
Например, для функции у = χ различным элементам χ
и (-х) из области определения R соответствует один и тот
же элемент лг е[0,+оо).
Предположим, что для функции у = f(x) каждой паре
различных значений аргумента х, и х2 соответствуют два
различных значения функции уу и у2. В этом случае одновременно с
отображением y = f(x) множества D на множество Ε можно
говорить об отображении х= φ( у) множества Ε на
множество D, при котором каждому у е Ε ставится в соответствие

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 9
единственное χ е D такое, что y = f(x).
Здесь у является аргументом, а х функцией. При этом
отображение φ называют обратным по отношению к
отображению / или обратной функцией и обозначают /""', а
отображение / называют прямым.
Так как для функции х= φ( у) обратной будет функция
У = f(x), то функции У = f(x) и х=(р(у) называют
взаимно обратными.
Очевидно, для взаимно обратных функций
справедливы равенства f(,ty(y))=y и φ(/(χ)) = χ, которые можно
было бы принять за определение обратных функций.
Легко видеть, что отыскание аналитического
выражения обратной функции χ = φ( у) сводится к решению
уравнения у = f(x) относительно переменной х. Например, для
v-3
функции у = 2х+3 обратной будет функция х = ——.
Так как функция у = /(х) и ей обратная х= φ( у)
выражают одну и ту же зависимость, то их графики совпадают.
Но ясно, что графики функций у = f(x) и у = (р(х)
симметричны относительно биссектрисы первого и третьего
координатных углов (см. чертеж).

10
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
В заключение отметим, что не для всякой функции
У = /(*) существует обратная. Так функция У = х,
определенная на (-оо,+оо), обратной функции не имеет.
Пусть функция f(x) определена на множестве β, Δλ:>0
и x+Ax^D.
Функция f(x) называется возрастающей (строго
возрастающей) на множестве D, если для любого xeD
Дх+Ах)-Дх)>0 (f(x+Ax)- f(x)>0) и убывающей
(строго убывающей) на множестве Д если для любого
xeD Дх + Ах)-Дх)<0 (Дх + Ах)-Дх)<0).
Функция f(x) возрастающая или убывающая
(строго возрастающая или строго убывающая) на множестве
D называется монотонной (строго монотонной).
Существует несколько определений непрерывности
функции в точке. Ограничимся одним из них - определением
непрерывности функции в точке по Гейне.
Функция Дх) называется непрерывной в точке Xg eD,
если для любой последовательности значений аргумента
^,Χζ,.,.,Χη,..., принадлежащей D и сходящейся к точке
Xg eD, последовательность соответствующих значений
функции Дх[),Дх2),...,Дхп),... сходится к Д%).
Функция f(x) называется непрерывной на множестве
D, если она непрерывна в каждой точке множества D.
Важным свойством непрерывной функции является
право переходить к пределу под знаком непрерывной
функции, т.е. если функция f(x) непрерывна в точке х0 и
последовательность (х^ сходится к х0, то
lim/(xj = /(limxj.
Я"»00 Я->оо
Как известно, всякое действительное число jjeB
можно рассматривать как предел последовательности
рациональных чисел (r„)c Q, то есть для всякого
действительного числа Xq eD существует последовательность
рациональных чисел (г„), сходящихся kjj,:jj = limrn.
Следовательно, если х0 действительное число из облас-

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 11
ти Оси, а функция Дх) непрерывна в точке х0, то
всегда найдется последовательность рациональных чисел
(О с1 D, сходящихся к х0. Отметим, что такая
последовательность не единственна. В частности, это могут быть
последовательности десятичных (или двоичных)
приближений к xQ с недостатком или избытком. Действительно,
пусть с0,с{с2...сп... представление действительного числа
х0 в виде десятичной дроби, с0,С\ с2 ...сп - десятичное при-
ближение к числу ха с недостатком, а с^с2...св+^ -
десятичное приближение к числу х0 с избытком. Тогда
последовательность десятичных приближений с недостатком -
это последовательность рациональных чисел, которая
сходится к х0, возрастая, а последовательность десятичных
приближений с избытком - это последовательность
рациональных чисел, которая сходится к х0, убывая.
Аналогично можно рассматривать последовательности
двоичных приближений к х0 с недостатком и с избытком,
которые также представляют собой последовательности
рациональных чисел, сходящихся к х0.
§ 2. Основные понятия теории
функциональных уравнений
Определение 1. Функциональным уравнением
называется уравнение, в котором неизвестная функция связана с
известными функциями с помощью операции композиции.
Примерами функциональных уравнений могут служить
уравнения
Дх+3)-4Дх+1) + Дх) = 0
и
Дх+у) = Дх)+Ду).
Здесь Дх) - неизвестная функция, χ и у - независимые

12
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
переменные. В обоих уравнениях неизвестной является
функция одной переменной, но во втором уравнении
фигурируют две независимых переменных, одна из которых
является свободной (например, у).
В отличие от второго уравнения первое уравнение
является уравнением без свободных переменных.
Определение 2. Функция f(x) называется решением
функционального уравнения в области D, если она
удовлетворяет ему при всех значениях независимых
переменных из этой области.
Иначе говоря, функция f(x) является решением
функционального уравнения, если она, будучи подставленной
в уравнение вместо неизвестной функции, обращает его в
тождество.
Например, решением уравнения
f(x-y) = f(x)f(y) (1)
является функция /(х) = л^, где μ -любая постоянная.
Решением уравнения
Дх+2)-5/(*+1) + 6/(х) = 0 (2)
является функция f(x) = с, · 3* + с2 · 2*, где с, и с2 -
произвольные постоянные.
И, наконец, решением уравнения
υ
, где Φ
при хф\ является функция /(х) = Ф
произвольная функция.
Уже из этих примеров видно, что степень общности
решения функциональных уравнений может быть различной.
Так, в первом примере решение уравнения зависит от
одной произвольной постоянной μ, во втором - от двух
произвольных постоянных с, и с2, а в третьем примере
решение зависит от произвольной функции Φ.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 13
Если решение функционального уравнения содержит
произвольные постоянные или произвольные функции, то,
придавая этим постоянным или функциям различные значения,
мы будем получать различные решения уравнения,
которые называются частными решениями. Для получения
частного решения обычно задаются дополнительные условия.
Например, если решение уравнения (1) /(х) = х?
удовлетворяет дополнительному условию /(2) = 4, то,
полагая в решении χ = 2, получим 4 = 2μ. Откуда μ = 2 и,
следовательно, при дополнительном условии /(2) = 4
частным решением уравнения (1) будет функция f(x)= χ .
Аналогично можно показать, что решение уравнения (2),
содержащее две произвольных постоянных, при
дополнительных условиях ДО) = 1 и /(1) = 1 обращается в частное
решение f(x) = 2x+ -3х.
В дальнейшем будем, как правило, рассматривать
уравнения, в которых искомая функция является функцией
одной переменной. Однако, как уже указывалось, такое
уравнение может содержать и свободную переменную, а
может и не содержать ее.
Методы решения этих двух классов уравнений имеют
значительные различия и поэтому они будут
исследоваться раздельно.
Отметим также, что поиски решения функционального
уравнения зависят от класса функций, в котором ищется
решение. Так, уравнение (1) в классе непрерывных
функций (а также и в классе дифференцируемых функций) имеет
своим решением функцию f(x) = χ?, где μ - постоянная, а
в классе разрывных функций ее решением будет функция
1 прих>0,
/(x) = Sgnx=-|-l при х<0,
О прих=0.

14
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
В самых простых случаях для решения
функционального уравнения будет достаточно осуществить ряд
несложных математических операций. Например, для решения
уравнения
3/W-/2(l)-logflx+5x-l = 0
непосредственно можно записать равенство
f(x)=l3f2(\)+l3\ogax-53x+l3.
Полагая в этом равенстве х=1, получаем относительно
/(1) квадратное уравнение
/2(1)- 3/(1) -4 = 0.
Так как это уравнение имеет два решения: /(1) = -1 и
f2 (1) = 4, то и функциональное уравнение имеет два решения:
Мх)=з(\о£ах-5х+2) и /2(l) = I(k>gex-5x+17).
Однако такая простота в решении функционального
уравнения является редким исключением.
В абсолютном большинстве случаев даже простое по
внешней форме функциональное уравнение требует для его
решения применения довольно сложных методов. Более
того, в теории функциональных уравнений в отличие от
других математических теорий известно мало общих
методов решения. Это положение во многом объясняется и
большим разнообразием функциональных уравнений и
трудностями, которые возникают при их исследовании.
Функциональные уравнения появились почти
одновременно с зарождением классического математического анализа.
В середине XVIII века проблема параллелограмма сил
привела Даламбера к решению функционального уравнения
f(x + y) + f(x-y) = 2f(x)f(y).
Это уравнение было решено Коши в начале XIX века.
Он же ввел в рассмотрение уравнения

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 15
Дх + у) = Дх)Ду),
Дху) = Дх)+Ду),
Дху) = Дх)Ду),
которые используются в различных разделах
математики и, в частности, могут быть положены в основу
определения элементарных функций. Их принято называть
уравнениями Коши.
Для решения этих (и родственных им) уравнений Коши
предложил метод, который в настоящее время носит его имя.
Функциональное уравнение Коши было использовано
Н.И.Лобачевским в его геометрии, а формула
1 -*
Дх) = 1ё-П(х) = е *
для угла параллельности была получена Лобачевским
из решения функционального уравнения
/2(х) = Дх-у)Дх+у).
Ряд важных функциональных уравнений был изучен
норвежским математиком Абелем, который сводил их к
дифференциальным уравнениям.
Особое место в теории функциональных уравнений
занимают разностные уравнения. Их роль особенно велика
в связи с решением многих задач прикладной математики.
§ 3. Краткие сведения из теории
дифференциальных уравнений
Как уже упоминалось, в работах Абеля применялся метод
сведения функциональных уравнений к дифференциальным
уравнениям. В связи с этим необходимо рассмотреть
простейшие дифференциальные уравнения, которые будут использо-

16
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
ваться для решения функциональных уравнений в классе
дифференцируемых функций.
Дифференциальным уравнением называется уравнение,
в котором содержится производная или дифференциал
неизвестной функции.
Простейшее дифференциальное уравнение возникает в
задаче об отыскании первообразной. Это уравнение вида
£ = /(*). -О) ■
ах
где у - искомая функция, зависящая от х, a f(x) -
известная функция, заданная на некотором промежутке.
Из равенства (1) видно, что искомая функция у есть
первообразная относительно f(x). Следовательно,
y = jf(x)dx+C=F(x)+C, (2)
где С - произвольная постоянная, г. F(x) - некоторая
первообразная функции f(x).
Из равенства (2) следует, что уравнение (1) имеет
бесконечное множество решений, каждое из которых с
геометрической точки зрения представляет собой кривую.
Чтобы найти одно определенное решение, нужно
заранее задать некоторое дополнительное условие, а именно,
значение неизвестной функции у в фиксированной точке
х0, то есть Лхо) = Уо- Тогда, подставляя в уравнение (2) х0
и у0 вместо хм у, мы найдем С= у0 -F(xq), и искомая
кривая имеет уравнение:
y=F(x)+y0-F(xa). (3)
Другой пример дифференциального уравнения дает
задача об отыскании закона прямолинейного движения
материальной точки с постоянным ускорением а.
Если S обозначает путь, пройденный за время t, то
задача сводится к решению уравнения
d2S
W = a- (4)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 17
Это уравнение, в отличие от уравнения (1), содержит
вторую производную искомой функции. Для отыскания
неизвестной функции в этом случае приходится дважды
производить интегрирование.
Первое интегрирование дает
dS
— = at+C.
dt Ч
Интегрируя второй раз, получаем
2
S=^-+Q + Q. (6)
Решение (6) уравнения (4) зависит от двух
произвольных постоянных С, и Сг Поэтому для вычисления одного
определенного решения нужно задать два дополнительных
условия. Например, в момент t0 (начальный момент) за-
дать S = Sq (начальное расстояние) и — = V0 (начальная
скорость). Тогда из равенств (5) и (6) находим C\ = VQ,
Q = Sq и получаем
s=^+Vot+Sa_ (7)
Приведенные выше примеры являются частным
случаем обыкновенных дифференциальных уравнений, в
которых неизвестная функция зависит от одной независимой
переменной.
Уравнение такого типа имеет вид:
Пх,У,У) = ОштР{х,У,У,У) = 0. (8)
Порядок старшей производной искомой функции,
участвующей в уравнениях (8), называется порядком
дифференциального уравнения. Поэтому уравнение (1) является
уравнением первого порядка, а уравнение (4) -
уравнением второго порядка.
Задачу решения дифференциального уравнения, то есть
задачу отыскания неизвестной функции, часто называют

18
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
задачей интегрирования дифференциального уравнения.
Для отыскания одного определенного решения, как
было видно из примеров, приходится кроме уравнения
задавать дополнительные условия вида
dy
х=Хд, у=у0шт х=Хо, у=у0, — = У0- (9)
Они называются начальными условиями. Задача
отыскания неизвестной функции по уравнению (8) и
начальным условиям (9) называется задачей Коши. Для
широкого класса уравнений задача Коши на некотором
промежутке, содержащем точку х0, имеет единственное решение.
Это решение называется частным решением уравнения (8).
Множество всех частных решений дифференциального
уравнения образует общее решение этого уравнения. Так,
для уравнений (1) и (4) частными решениями являются,
соответственно, функции (3) и (7), а общими решениями -
функции (2) и (6).
В дальнейшем нам требуется умение решать
дифференциальные уравнения первого порядка, которые носят
название дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными.
Определение. Дифференциальное уравнение первого
порядка вида
£ = /(*» (Ю)
называется уравнением с разделяющимися
переменными, если выражение f(x,y) является произведением
функции Р(х), зависящей только от χ и функции Q(y)
зависящей только от у. Оно имеет вид:
d/ = ПхШу) или dy= P(x)Q(y)dx.
dx
Если β( у) φ 0, то после почленного деления последнего
равенства на Q(y), получаем уравнение с разделенными
переменными

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 19
—— = P(x)dx. fin
Теперь можно проинтегрировать обе части уравнения
i^ = i^dx+C (12)
и найти общее решение.
Выражение (12) дает общее решение в неявном виде.
Такую форму общего решения принято называть общим
интегралом уравнения.
Например, найдем общий интеграл уравнения
dy=x{\ + y2)
dx γζΐ + χ2).
2
Здесь Q(y)=l-±l-,aP(x) = TJh-
у 1 + Χ.
После разделения переменных получаем
ydy _ xdx
1 + j,2 Ί + χ2.
Следовательно, искомый общий интеграл имеет вид
>1 + у2 h + x2
Вычисляя интегралы, получим
Un(l+y2)=l-ln(l + x2)+C.
Производную постоянную С можно представить в виде
—In С. Тогда, потенцируя предыдущее равенство, найдем
общий интеграл в виде
\+у2=С(1 + х2).

20
ГЛАВА 1
Функциональные уравнения,
не содержащие свободных переменных
Здесь будут рассматриваться функциональные
уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одной
переменной и не содержит свободных переменных.
Основным методом решения таких уравнений является
метод подстановки. Кроме этого метода рассматривается
решение функциональных уравнений, не содержащих
свободных переменных в классе непрерывных функций, в
классе дифференцируемых функций и в классе функций
натурального аргумента.
§ 1. Метод подстановки решения
функциональных уравнений, не содержащих
свободных переменных
Суть этого метода заключается в том, что в уравнении
независимая переменная заменяется некоторой функцией
новой независимой переменной. В результате такой
подстановки приходят к новому уравнению относительно
неизвестной функции. В отдельных случаях новое уравнение
легко решается. Довольно часто приходится делать
несколько подстановок и комбинировать уравнения,
полученные в результате различных подстановок, с исходным
уравнением, сводя задачу к решению системы алгебраи-

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 21
ческих уравнений относительно неизвестной функции и ее
композиции с известными функциями.
Метод подстановки имеет очень широкий диапазон
использования, который во многом зависит от структуры
уравнений.
Рассмотрим решение методом подстановки
функциональных уравнений вида:
β(χ)/(φ(χ)) + *(χ)/(ψ(χ)) = F(x). (1)
Здесь a(x), b(x),(p(x),y/(x),F(x) - известные функции,
определенные в некоторой области Осй,а f(x) -
неизвестная функция.
Важнейшими частными случаями уравнения (1)
являются уравнения
β(χ)/(φ(χ)) + Ь(х)Дх) = F(x) (2)
и
f(<p(x))=F(x), (3)
которые получаются из уравнения (1) при ψ(χ) = χ и
b(x) = 0, a(x) = \ соответственно.
Очевидно, что наиболее простым является уравнение (3).
Если функция φ(χ) в своей области определения имеет
обратную функцию φ~ (ζ), то подстановка в уравнении
(3) вместо χ функции новой переменной ζ по формуле
х= φ" (ζ) приводит к равенству
/(z)=^cp-'(z)]·
Заменяя здесь ζ на х, получаем решение уравнения (3)
/(*) = *Ιφ-'(*)]-
Например, требуется найти решение уравнения
χ
Здесь функция φ(*) = определена в области
х+\

22
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
(-oo,-l)U(-l,+°o)· Ей обратной является функция
φ (х) = - , определенная в области (-oo,+l)U(+l,+°o).
Заменяя в уравнении переменную χ новой переменной ζ
поформулег=-—, получим/(ζ) = или/(х)= ,
1+х \l-zj \}-х)
где f(x) определена в области (-oo,l)U(l,+°°)·
Более трудным является вопрос о решении уравнения
(2). Пусть функция φ(χ) в своей области определения
имеет обратную функцию φ~ (х) и φ~ι(χ) = φ(χ), что
равносильно равенству φ(φ(χ)) = х- Заменяя в уравнении (2) χ
на φ(χ), мы приходим к уравнению
я(ср(*)) Άφ(φ(χ))) + Ηφ(χ)) Дср(*)) = F(q>(x)) (4)
или
α(φ(χ)) Дх) + Ц<р(х)) Дср(х)) = F(cp(x)). (5)
Уравнения (2) и (5) в совокупности представляют собой
систему линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных функций f(x) и /(φ(χ)). Если эта
система разрешима, то, исключая из нее функцию /(φ(χ)),
найдем неизвестную функцию f(x).
Например, требуется найти функцию f(x), определенную
при х^Ои удовлетворяющую при всех х*0 уравнению
/(x)-2/(ij = 2*.
. . 1 1
Здесь φ(χ) = — и, очевидно, φ(φ(χ)) = у = х.
χ
Заменяя в уравнении χ на —, получим уравнение
χ

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 23
/(±)-2/(х) = 2*,
которое вместе с исходным уравнением дает систему
алгебраических уравнений относительно неизвестных функций
f(x) и / ~ . Исключая из этой системы функцию /
найдем функцию f(x):
1 '+ι
/(χ) = -±(2*+ 2* ).
Описанный прием применении к уравнению (2) в
случае, когда φ(φ(χ))φ х, но k-кратная композиция функции
φ(χ) равна х, то есть φ(φ(φ...(φ(χ)...)))= χ (φ*(χ) = χ).
Пусть, для конкретности, φ(φ(φ(χ))) = χ. (6)
Тогда, заменяя в уравнении (2) χ на φ(χ), получим
уравнение (4), а заменяя в уравнении (4) χ на φ(χ), получим
уравнение
α(φ(φ(χ))) Αφ(φ(φ(χ)))) + Ηφ(φ(χ))) /(φ(φ(*))) =
= Ρ(φ(φ(χ))). (7)
Учитывая равенство (6), можно утверждать, что
уравнения (2)-(4)-(7) представляют собой систему трех
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
функций f(x), f(<p(x)) и /(φ(φ(χ)))· Если эта система
разрешима, то, исключая из нее /(φ(χ)) и /(φ(φ(χ))),
найдем неизвестную функцию f(x). Например, требуется
найти функцию f(x), определенную при х^1 и
удовлетворяющую уравнению

24
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Здесь φ(χ) = -—, φ(φ(χ)) = , φ(φ(φ(χ))) = χ.
1
Поэтому, заменяя в исходном уравнении χ на ,
получим уравнение
[i^xj {~J~~ϊ^χ,
а заменяя в последнем уравнении χ на φ(χ), получим
В результате получаем систему трех алгебраических
уравнений относительно неизвестных функций f(x),
Суммируя первое и третье уравнения и вычитая из этой
суммы второе уравнение, найдем
J ' 2{ χ 1-х)·
Ясно, что в случае, когда Ажратная композиция
функции φ(χ) равна х, а все композиции функции φ(χ)
кратности меньшей к не равны х, задача отыскания решения
уравнения (2) сводится к решению системы к линейных
алгебраических уравнений относительно функций f(x),

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 25
/(φ(χ)),Αψ(ψ(χ))),...,/(ψ(ψ(...(ψ(χ))...)-
Рассмотрим теперь уравнение (1).
Если функция φ(χ) (или ψ(χ)) имеет обратную
функцию, то уравнение (1) сводится к уравнению (2).
Действительно, если функция ζ = φ(χ) имеет обратную
функцию χ=φ~'(ζ), то, полагая φ(χ) = ζ (χ=φ~'(ζ)), мы
приведем уравнение (1) к виду
al(z)f(z) + bt(z)f(w(z))=F[(z),
где β,(ζ) = β(φ-,(ζ)), ^(ζ) = δ(φ-'(ζ)), Fx(z) = F(q>~l(z)),
Щг)= ψ(φ"'(ζ)), то есть к уравнению (2). Например,
требуется найти функцию f(x), определенную при хф-\ и
удовлетворяющую уравнению
/Mjl + 2/(x+l) = x + l.
χ ζ-ϊ
Полагая х+1 = ζ, найдем χ=ζ-\, = - и уравне-
х+\ ζ
ние принимает вид
y(£zl] + 2/(z)=z,
то есть вид уравнения (2).
z-1 1
Здесь φ(ζ) = , φ(φ(ζ)) = -—, φ(φ(φ(ζ))) = ζ и,
следовательно, решение последнего уравнения может быть
сведено к решению системы трех линейных
алгебраических уравнений
Ζ^1 + 2/(ζ) = ζ,

26
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
В ряде случаев в уравнении (1) функции φ(χ) и ψ(χ)
имеют непосредственные связи, например связи вида:
а) φ(χ) = -ψ(χ), б) <р(х) = ———, в) φ(-χ) = ψ(χ). В этих
ψ(χ)
случаях переход от уравнения (1) к уравнению вида (2)
значительно упрощается. Так, в случаях а) и б) подстановка
ζ = φ(χ) приводит уравнение (1) к уравнению вида (2).
Действительно, в случае а) получаем уравнение
a{cp-\z))f{z) + b{(p-\z))f{-z)=F{cp-\z)),
а в случае б) получаем уравнение
α(φ "'(г)) f(z) + Κφ ι(ζ)) /ф = F(<p~\z))
В случае в) уравнение (1) имеет вид
а(х) Д<р(х)) + Ь(х) Д φ(-χ)) = F(x).
Заменяя здесь χ на - х, получим уравнение
а(-х) /(Ψ(-Χ)) + К-х) /(<р(х) = F(-x),
которое в совокупности с предыдущим уравнением дает
возможность исключить /(ср(-х)) и найти выражение
/(φ(χ)), то есть прийти к уравнению вида (3).
Например, требуется решить уравнение
af(x-l) + bf(l-x) = cx,
где а, Ь, с -постоянные и а фЪ .
Здесь функция φ(χ) — х-1, а функция ψ(χ) = 1 - χ и,
следовательно, ψ(χ) = -φ(χ) ■ Полагая х-1 = ζ, получим
уравнение
af(z) + bf(-z) = c(z + \).
Из совокупности двух последних уравнений находим
f(z) = -Z + ИЛИ f(x) = 7Х+-
а-Ъ α+b а-Ъ а+Ь

Элементарное введение в функциональные уравнения 27
Описанный способ применения метода подстановки к
уравнению (1) распространяется на более широкие
классы уравнений. В частности, он применим к уравнениям
вида:
в(х)/(ф(х))+*(х)/(Ф))+^)/(Ф))=ад. (8)
Здесь a(x),b(x),c(x),(p(x),y(x),w(x),F(x) - известные
функции, определенные в некоторых областях, f(x) -
неизвестная функция.
Как и в случае уравнения (1), уравнение (8) при
некоторых дополнительных условиях может быть приведено к
виду
а(х) Дср( *)) + *>(*) Ду(х)) + с(х) /(*)= F(x). (9)
Используя здесь общую идею решения уравнения (1),
естественно при решении уравнения (9) сделать
последовательно две подстановки: сначала заменить в уравнении
(9) χ на φ(χ), а затем также в уравнении (9) заменить χ на
ψ(χ). В результате будет получено два новых уравнения:
я(<р(*)) Л <Р(<Р(*))) + Κψ(χ)) Л ψ(φ(*))) +
+ c(cp(x))/(cp(x))=.F(cp(x)) (10)
и
«(Ψ(*)) /(φ(ψ(*))) + Κψ(χ)) Л ψ(ψ(*))) +
+ ί(ψ(χ))/(ψ(χ))=ί(ψ(χ)). (11)
Уравнения (9), (10) и (11) в совокупности дают систему
трех уравнений, содержащую семь неизвестных:
Αχ),Л<р(*)),/(Ψ(χ)), Л<р(<р(*)Х /(<ρ(ψ(χ))), Αψ(ψ(χ))),
κ/(ψ(φ(χ))).
Если мы хотим свести задачу к решению уравнения вида
(1), то функции, входящие в уравнение (9), должны
удовлетворять дополнительным условиям, при выполнении
которых система (9)-(10)-(11) будет содержать только четыре
неизвестных. Тогда, исключая из этой системы две
неизвестных, мы придем к уравнения вида (1) (или вида (2)).

28
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Перечислим некоторые из указанных дополнительных
условий:
Случай 1. Функции φ(χ) и ψ(χ) удовлетворяют
условиям: φ(φ(χ))= = ψ(ψ(χ))= χ, φ(ψ(χ))= ψ(φ(χ)). Например,
φ(χ) = -χ, ψ(χ) = -.
χ
Случай 2. Функции φ(χ) и ψ(χ) удовлетворяют
условиям: φ(ψ(χ)) = = ψ(φ(χ)) = χ, φ(φ(χ)) = ψ(ψ(χ)). Например,
, ч χ-5 , . 3χ+5
•Κ*) = г. Ψ(χ) = - .
χ·+ 3 1-х
Случай 3. Функции φ(χ) и ψ(χ) удовлетворяют
условиями^ х)) = ψ(χ), φ(ψ(χ)) = ψ(φ(χ)),ψ(ψ(χ)) = χ. Напри-
χ~ϊ 1
мер, φ(*) = τ, ψ(*) =—, ψ(ψ(χ))=χ.
Рассмотрим подробно первый случай. Здесь уравнения
(9), (10), (11) дадут систему трех уравнений с четырьмя
неизвестными вида:
a(x)f(^x))+b(x)f(^x))+cix)f(x) = Flx),
o(9(x))/(x)+6((p(x))/(vK(p(x)))+c((p(x))/((p(x)) = fl((p(x)),
α(ψ(χ))/(ψ(φ(χ)))+6(ψ(χ))/(χ)+^Ψ(χ))/(Ψ(χ)) = ^ψ(χ)).
' (12)
Исключая из этой системы две неизвестных, например,
/(ψ(φ(χ))) и /(ψ(χ)), мы придем к одному уравнению с
двумя неизвестными f(x) и /(φ(χ)), то есть к уравнению
вида (2).
Рассмотрим решение конкретного уравнения
зд-*)+/Н+/(*)=*.
Здесь (р(х) = -х, ψ(χ) = —, а система (12) принимает вид:
χ

Элементарное ввеление в функциональные уравнения
29
3/(-*) + /^)+ /(*) = *
Считая /I ~ I известной функцией, рассмотрим систему
трех уравнений относительно неизвестных f(x), f(-x) и
/(x)+3/(-x) = x-/i\
3/00+/(-*)+/(--) =-χ,
Решая ее относительно f(x), найдем
™-*-έ-Μί
или
1
/(х)--/|-| = —х-
то есть получили уравнение вида (2).
Ьго решение: /(*)=-—х--—.
3 3 χ
Рассмотрим еще одно уравнение:
^М4И-
х(х + 1)

30
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
x-l 1
Здесь φ(χ) = -, ψ(χ) = —, *"(*) =
χ + ϊ χ
χ3+2χ2-2χ-1
Так как ψ(ψ(χ))= χ, φ(φ(χ)) = — = ψ(χ),
χ+ϊ
φ(ψ(χ)) = ψ(φ(χ)) = -, то имеет место третий случай.
При этом система (9)-(10)-(11) имеет вид:
А
—\+А--\пх)=р(х),
Суммируя первое и третье уравнения и вычитая из этой
суммы второе уравнение, найдем
то есть уравнение вида (2). Его решение f(x) = χ.
В заключение отметим, что естественно применить
метод подстановки и к решению систем функциональных
уравнений. Здесь, как правило, подстановка позволяет
привести уравнения системы к виду, при котором
некоторые из неизвестных функций легко исключаются.
Например требуется найти решение системы
функциональных уравнений относительно неизвестных функций
Дх) и q(x):
2х? +х+\
Д2х) + 2д(2х) = -
{
х) \х
χ2 +Χ+Ϊ

/ре ввеление в функциональные уравнения 31
„ 1
В первом уравнении сделаем подстановку 2х= -.
ζ
2х? + х+\ 2ζ2+ζ + ϊ
При этом = и первое уравнение
прият ζ
нимает вид
В результате получаем систему уравнений
\xj \xj χ
Решение которой q(x) = —,f(x)=x+\.
χ
§ 2. Решение функциональных уравнений, не
содержащих свободных переменных,
в классе непрерывных функций
Как известно, в классе непрерывных функций возможен
предельный переход под знаком непрерывной функции.
Это обстоятельство позволяет в некоторых случаях
пользоваться методом последовательных подстановок.
Рассмотрим уравнение
/(x) = F(x)-/(<p(x)) + V(x), (1)

32
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
где F(x), φ(χ), ψ(χ) - известные функции, непрерывные в
области D с R. Для простоты будем предполагать, что D
совпадает с R. f(x) - неизвестная функция.
Обозначим φ(χ) = φ,(χ), ψ(χ) = ψ,(χ), F(x) = F{(x),
<P„(*) = 4Vi(<P(*))>
Ψ„(*)=Ψ,,-ι(φ(χ))> ·η = 2,3,4,··^
Fn(x)=Fn_^(x)),\
то есть
φ2(χ) = φ(φ(χ)), φ3(χ) = φ2(φ(χ)), φ4(χ) = φ3(φ(χ)),...
ψ2(χ) = ψ(φ(χ)), ψ3(χ) = ψ2(<Ρ(*)), ψ4(*) = Ψ3(ψ(*))>-
Сделаем в уравнении (1) подстановку χ=φ(ζ) и,
заменив после этого ζ на х, получим
Дср(х)) = F2{x)f{9l{x)) + ψ2(χ). (2)
Подставляя вьфажение ЛфМ) из равенства (2) в
правую часть равенства (1), будем иметь
Дх) = ^(x)F2(x)· Дср2(х)) + Fl(x)xV2(x) + ψ,(χ). (3)
Далее, заменив в равенстве (2) χ на φ(χ), найдем
Д φ2(χ)) = F3(x) · /(срз(х)) + ψ3(χ). (4)
Подставляя выражение ЛфгМ) из равенства (4) в
правую часть равенства (3), получим
Л х) = Fx(x)F2(x)F3(x) ■ f(q>3(x)) +
+ Fx(x)F2(x)-4/3(x) + Ρχ(χ)ψ2(χ) + ψχ(χ).
Методом математической индукции можно доказать,
что для любого натурального и справедливо равенство
f(x) = Fx(x).F2(x):..-Fn(x).f(ipn(x)) +
+ Fl(x)-F2(x}...-Fn_i(x)-yn(x) +
+ Fx(x)· F2(x):..-Fn_2(x)yn_i(x)+...+Fx(x)y2(x) + ψ,(χ)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения
или короче:
η р-\
Y[Fr(x) /(%(χ)) + ΣΠ/Γ(*)ν,(*>· (5)
/(*) =
где
η р-\
YX\Fr{x)¥p{x)=wx{x) +
р=\ г=\
( г \
+ Ρ{χ)ψ2(χ)+ Y[Fr(x)
ψ3(χ) +
Vr=l J
( 3 A
YlFr(x)
Чг-1
( n-\ \
ψ4(χ)+...+
J|Fr(x) ·ψ„(χ)
Если существуют пределы:
η
lim Γί/ν(χ) = Φ(χ)
lim ΣΠ^(х) Ур(х) = A(x)> lim Ψη(χ) = «(*)>
то, переходя к пределу в равенстве (5), получим
Дх)=Ф(х)Да(х)) + Ах). (6)
Если а(х) = С(const), то равенство (6) дает решение
уравнения (1):
Дх)=Ф(х)ДС) + А(х),
Если а(х) = х, то Дх) = 17 .
ι-Φ(χ)

34
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Отыскание решения уравнения (1) значительно
упрощается в случаях, когда F(x) = 1 или ψ(χ) = 0.
Если в заданном уравнении lim φ„ (χ) = оо, то необходи-
мо предварительно преобразовать уравнение с помощью
соответствующей подстановки так, чтобы в
преобразованном уравнении функция φ„(χ) имела бы конечный предел.
Например, в уравнении f(2x+l) = f(x) функция
φ(χ) = 2χ + 1,φ„(χ)= = 2пх+2п-\тл lim φη(χ) =-ко.
Сделаем в уравнении подстановку, заменим 2х+1 на х.
х-\
Тогда χ заменится на ~z~, и уравнение принимает вид
х-1 х-(2"-1)
Здесыр(х) = ^-,ач>п(х) = и lim <р„(д) = -1.
L 2 л->-н»
Рассмотрим простые примеры.
1) Решить уравнение
/w=«v(j].
В этом уравнении F(x) = ax, φ(χ)=-, ψ(χ)=0.
ι \ χ
Поэтому φ„(χ)-—,
χ χ Л
Φ(χ) = αχ.α* -α*...-α?...= a"s+k-+r+- = al\ ψ„(χ) = 0,
lim φ„ (χ) = 0, Α(χ) = 0 и, следовательно,
Л->оо
5
/(х)=С-в**, гдеС=/(0).

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 35
2) Решить уравнение
f(2x) = (ex2cosx\f(x)
при условии, что НтДх) = 1.
В этом уравнении φ(χ) = 2χ, φ„(χ) = 2" χ и, значит,
limcp (χ) = +оо. Поэтому заменим в заданном уравнении χ
*->о
на —. В результате получим уравнение
( J
/(*) =
Л
/If
χ х
Здесь F(x) = e* -cos-, ψ(χ) = 0, φ(*) = -
При этом ψ„(χ) = 0, <Р„(*) = ^г,
F„(x) = ^".cos-£.)n^"=^
(22+24*-+j2«J
ПтГТе22г =e 3
Предел функции 1 lcos-r при и-> 0 существует,
так как
cos-
<1.
Положим ^ПС05^7" = б(х). Очевидно,
6(2x) = cosjo2(x).

36
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Наконец, lim /(<ря (χ) = lim / = 1.
'-J
Таким образом, /(дс) = е3 β(χ).
Не трудно проверить, что эта функция удовлетворяет
заданному уравнению.
§ 3. Решение функциональных уравнений,
не содержащих свободных переменных,
в классе дифференцируемых функций
Идея решения функциональных уравнений в классе
дифференцируемых функций состоит в том, что
функциональное уравнение путем дифференцирования по независимой
переменной сводится к дифференциальному уравнению
относительно той же неизвестной функции. Здесь следует
учитывать принципиальное различие, которое имеет
место при дифференцировании функциональных уравнений,
не содержащих свободных переменных, и при
дифференцировании функциональных уравнений, содержащих
свободные переменные. В первом случае в результате
дифференцирования мы чаще непосредственно приходим к
новому функциональному уравнению относительно
производной неизвестной функции исходного
функционального уравнения f\x). Решив его, находим f(x) и,
следовательно, находим f(x) с точностью до произвольной
постоянной.
Во втором случае, как будет показано в дальнейшем, с
помощью дифференцирования функциональное уравнение
заменяется дифференциальным уравнением той же
неизвестной функции.

Элементарное ввеление а функциональные уравнения 37
В связи со сказанным ясно, что в случае уравнения, не
содержащего свободных переменных,
дифференцированием его добиваются упрощения уравнения.
Например, рассмотрим функциональное уравнение вида
/(x) = F(x)/(<p(x)) + y(x).
При отыскании его решения в классе
дифференцируемых функций целесообразно предварительно
продифференцировать в случае, когда F(x) = £ - постоянная, а
φ(χ) = - ^или<р(х) = —J.
η
Действительно, при £>\ здесь НтГТр(х) = +оо, а при
Я->ооА *
г=1
£<\ Ηπιφ„(χ)= +оо.
/|->оо
Дифференцируя это уравнение
/(*) = «·/(у)+ ψ(*),
мы приходим к уравнению
/'(*) =/(f)+ Ψ(*),
X
у которого F(x) = 1, а φ(χ) = -.
Если здесь £ > 1, то lim φα (χ) = 0, а если ^ < 1, то замена
Л->00
- на* приводит нас к уравнению, у которого lim φη(χ) = 0.
Например требуется решить уравнение
4/(*) = /(4х).
Дифференцируя это уравнение, приходим к новому
функциональному уравнению:

38
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
/Ч*) = Л4х) или Α*) = /'
где неизвестной является функция f'(x), а φ(χ) = —. Легко
показать, что решением последнего уравнения в классе
непрерывных функций является постоянная, то есть /'(*) = С.
Непосредственное интегрирование последнего
равенства дает решение уравнения в классе дифференцируемых
функций и им является функция
f(x) = Cx+Q.
Как следует из уравнения /(0) = 0 и поэтому Cj = 0.
Следовательно, f(x)=Cx.
Аналогично решается уравнение
/(Зх + 2)=3/(х).
Дифференцируя этой уравнение по х, приходим к
функциональному уравнению относительно f'(x)'.
f(3x+2)=f(x),
которое удобно решать в классе непрерывных функций.
Действительно, заменяя Зх+ 2 на х, приходим к
уравнению
f'(x) = f\-j-\ и здесь <р(х) = -—.
Решением этого уравнения является функция f(x) = С,
гдеС=/(-1).
Интегрируя равенство f(x) - С, найдем f(x) = Cx+ Q.
Подстановка этого решения в уравнение дает С = Q и,
следовательно, f(x) = С(х+1).

Элементарное ввеление в_^нкииональные_^.
кииональные уравнения 39
§ 4. Решение функциональных уравнений, не
содержащих свободных переменных,
в классе функций натурального аргумента
Здесь мы будем рассматривать функциональные
уравнения, в которых неизвестная функция f(x) ищется
только для xeN.
Естественно, что в этом случае одним (но не
единственным) из основных методов, позволяющих найти решение
функционального уравнения, является метод
математической индукции. Обычно он используется в случаях,
когда имеется возможность рассматривать уравнение для
частных значений аргумента χ = 1,2,3... При этом находят
закономерности для значений неизвестной функции и
выдвигают гипотезу о виде выражения /(и).
Справедливость выдвинутой гипотезы доказывается
методом полной математической индукции.
Например, требуется найти функцию натурального
аргумента /(и), удовлетворяющую уравнению
для всех и больших или равных двум.
Для решения задачи прологарифмируем уравнение:
(/(n)-l)lgn = /(n-l)lg(n-l) или
/(И) = 1+М^1/(и-1). (1)
lg«
Полагая в последнем равенстве и последовательно
равным 2,3,4..., получим:
Д2) = 1,
яз Ig2_lg2+lg3 = lg(3!)
Ig3 lg3 lg3 '
/(4)=1 + MA lg(3!) = 1|lg(3!) = lg(4!)
Ig4 lg3 lg4 lg4 '

40
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Эти частные случаи позволяют выдвинуть гипотезу о
том, что
/(") = -;—· (2)
Докажем справедливость этого равенства методом
полной математической индукции .
lg(2')
При и = 2 оно принимает вид /(2) = ——- = 1. Справед-
lg2
ливость этого равенства была проверена выше.
Пусть теперь гипотеза справедлива для некоторого
натурального и. Докажем ее справедливость для
следующего натурального числа и +1.
Из равенства (1) имеем
lg(w + l)
Используя предположение о справедливости равенства
(2), получим
/(„,!)-!, 1«и ^я!>-1| Μ"!) М(» + Щ
lg(w + l) lgw lg(w + l) lg(n +1)
то есть гипотеза справедлива для натурального числа
и + 1. Отсюда, согласно методу математической индукции,
гипотеза справедлива для любого и > 2. Следовательно,
решением уравнения является функция
lg«

41
ГЛАВА 2
Функциональные уравнения,
содержащие свободные переменные
Функциональные уравнения, содержащие свободные
переменные, были в числе тех уравнений, с которыми
математикам пришлось встретиться в первую очередь. Сюда
относятся упомянутые выше уравнения Даламбера,
уравнения Коши и уравнение Лобачевского.
Как и в случае уравнений, не содержащих свободных
переменных, при решении уравнений, содержащих
свободные переменные, ведущим является метод подстановок. Но
здесь он имеет более широкий диапазон применения.
Эффективный метод решения функциональных
уравнений в классе непрерывных функций был предложен Коши.
В частности, он был использован при исследовании
уравнений Даламбера, Коши и Лобачевского.
Для решения функциональных уравнений в классе
дифференцируемых функций Абель использовал метод
сведения функциональных уравнений, содержащих свободные
переменные, к дифференциальным уравнениям.
Как указывалось, Коши применил свой метод для
решения уравнений
Дх+у)=Дх) + Ду),
Дх+у) = Дх)-Ду),
Дх-у) = Дх) + Ду),
Дх-у) = Дх)-Ду).
Отметим, что эти уравнения имеют своими решениями
Функции

42
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Дх) = Сх, Дх) = С", Дх) = С\пх, Дх) = хс
соответственно. Здесь во всех случаях С - некоторая
постоянная, принадлежащая либо R, либо R^.
Эти уравнения будут подробно исследованы, в
частности, в разделе, посвященном определению элементарных
функций.
§ 1. Решение функциональных уравнений,
содержащих свободные переменные,
методом подстановок
Будем рассматривать функциональные уравнения, в
которых неизвестной, как правило, является функция одной
переменной, а в уравнении содержится две (или более)
независимых переменных.
Примерами таких уравнений являются уравнения
Я*·*) =//(*)> (!)
Дх + у)- 2Дх- у) + Дх)-2Ду)=у-2. (2)
Ясно, что используя при решении этих уравнений
метод подстановок, мы можем заменить некоторыми
новыми функциями (в том числе постоянными) одну или обе
независимые переменные.
В простейших случаях замена одной из независимых
переменных постоянной приводит функциональное
уравнение, содержащее свободные переменные, к уравнению,
не содержащему свободных переменных, решение которых
получается непосредственно.
Так, полагая в уравнении (1) х=1, мы приходим к
равенству
/W=//(i)
или Дх)=Схк, где С= Д\).

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 43
Непосредственной проверкой можно убедиться, что эта
функция является решением уравнения (1) при любом
действительном С.
В более сложных случаях замена одной независимой
переменной на постоянную приводит к уравнению, не
содержащему свободных переменных, но которое, в свою
очередь, может быть решено методом подстановок. Например,
полагая в уравнении (2) х = 0, мы получим уравнение
f(y)-2f(-y) + f(0)-2f(y)=y-2.
Заменяя в этом уравнении у на - у, мы приходим к
уравнению
А-у)-2Ду) + Д0)-2Д-у) = -у-2.
Последние два уравнения в совокупности дают систему
линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных функций /(у) и f(-y), из которой находится
неизвестная функция f(y):
ЯУ) = У + \(/Ф) + 2)
Полагая в уравнении (2) χ = у = 0, находим /(0) = 1 и,
следовательно, решением уравнения (2) будет функция
f(y)=y+i.
Отметим, что, полагая одну из независимых
переменных равной постоянной, мы вводим в рассмотрение одно
из значений неизвестной функции. Иногда это значение
удается определить. Так, при решении уравнения (2) это
было /(0) = 1. Однако иногда это значение определить не
удается и, следовательно, в этом случае полученное
решение зависит от произвольной постоянной.
В связи с этим целесообразно в каждом случае
установить непосредственной проверкой при каких значениях
постоянной найденная функция является решением уравнения.
Определенного искусства требует поиск подстановки
при замене на некоторые функции одной или обеих
независимых переменных.

44
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
В качестве примера рассмотрим уравнение
Дху) = уДх),х>0.
Заменяя в этом уравнении х=ег, мы придем к
равенству
Дегу) = уДег).
При ζ = 1 имеем
Деу)=уДе),
то есть f(ey) - Су ■ Положив здесь еу = χ (у = 1ηχ),
получаем решение уравнения в виде
Дх) = С\пх, где С= Де).
Как нетрудно убедиться, эта функция будет решением
исходного уравнения при любом С.
Конечно, выбор подстановки при решении
функциональных уравнений, содержащих свободные переменные,
принципиально зависит от структуры уравнения.
Значительное число типов таких уравнений,
допускающих подстановки определенного вида, приведено в
работе [1].
Рассмотрим некоторые из них.
1) Уравнение вида
j[^Y-) = G[f(x),f(y)], (3)
где G - некоторая функция, может рассматриваться как
обобщение уравнения
/^ψγΜψΑ. (4)
Такие уравнения приводятся к простому виду путем
замены χ на х+у, а у на 0.
Применим эти подстановки к уравнению (4).
В результате получим уравнение

■Элементарное введение в функциональные уравнения 45
^.Л"й±ла. (5)
Приравнивая правые части уравнений (4) и (5),
приходим к уравнению
/(*+ У) = Дх) + АУ)~а. где « = ДО).
Последнее уравнение при подстановке φ(χ) = Дх) - a
переходит в уравнение Коши
φ(χ+γ) = φ(χ) + φ(γ),
решение которого φ(χ) = Сх и, следовательно, f(x) = Cx+a.
2) Уравнение вида
Н[Дх+у),Дх-у),Дх),х,у] = 0, (6)
где Η - некоторая функция.
Для него изложим два приема, в каждом из этих
приемов используются подстановки, характер которых
зависит от вида функции Н.
Первый из этих приемов покажем на примере
уравнения
Дх+У)+Дх-у) = 2Дх)аяу. (7)
Совершим в уравнении (7) три подстановки:
π π π π
χ=0, y = t; x=- + t, y = -· x=-, y = - + t
и введем обозначения: /(0) = a, / - Ι = b.
В результате получим три уравнения:
f(t) + f(-t) = 2acast,
Л* + π)+ /(0 = 0,
f{t + π) + Д-t) = 2Acosi- + t) = -2Asin t.
Эта система трех алгебраических уравнений с тремя
неизвестными f(t), Д-t) и fit + π).

46
Л. М. ЛИХТАРНИКОЦ
Суммируя первые два уравнения системы и вычитая из
полученной суммы третье уравнение, найдем неизвестную
функцию
f(t) = acost + bsmt.
Непосредственная проверка позволяет убедиться, что
эта функция является решением уравнения (7) при любых
постоянных а и Ъ.
В рассмотренном примере существенную роль играло
то обстоятельство, что при у — — функция /(x)cos у
тождественно обращается в нуль. Поэтому, для того, чтобы
этот метод был распространен на случай других
уравнений типа (6), должно существовать такое значение у = у0,
для которого функция #(ζ,, ζ2,ζ3,χ, у) в уравнении (6)
становилась независимой от ζ3:
H(zl,z2,zi,x,y0) = h(z„z2,x), (8)
где h — некоторая функция.
Если это условие выполнено, то следующий
аналогичный метод часто позволяет найти решение.
Совершая в уравнении (6) подстановки х=0, y = t\
x=y0+t, y=y0, x= y0, y=y0+t и вводя обозначения
ДО) = а, /(у0) = Ъ, мы получим уравнения:
#[ДО,/(-0,вД*] = 0,
H[f(2y0+t),f(t),y0+t] = 0,
m/(2y0+t),A-t),b,y0,y0+t] = o.
Исключая из этих трех уравнений f(2y0 + t) и f(-t),
получим искомую функцию /(f)-
Если условие (8) не выполнено, то часто с успехом
можно применить следующий прием, который
проиллюстрируем на примере.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 47
Рассмотрим уравнение
Дх+у) + 2Дх-у) = ЗДх)-у.
Совершая подстановких= О, y=t; x = t, y = 2t; x=t,
y = -2t, получим относительно неизвестных /(f)> /(~0·
/(30 систему трех алгебраических уравнений:
f(t) + 2f(-t) = 3a-t,
-3/(0 + 2/(-0 + /(30 = -2f,'
-3/(0 + /(-0 + 2/(3ί) = 2ί.
Отсюда находим
/(O=i + e,raee = /(0).
Эта функция удовлетворяет заданному уравнению при
любом действительном а.
Описанный прием применим к общему уравнению (6).
Действительно, совершая в уравнении (6) подстановки χ = 0,
y = t\ x = t, y=2t; x= t, y = -2t, мы получим
относительно неизвестных функций /(ί). /(-'). /(30 систему трех
уравнений:
H[f(t),f(-t),a,0,t] = 0,
я[/(30,/(-0./(0.^]=о, ·
^[/(-θ,/(30,/(0,ί-2ί] = ο.
Если эта система разрешима, то неизвестная функция
/(0 будет найдена.
3) Уравнение вида
ЩЛх+у),Дх-у),Ях),Пу),х,у]=о, (9)
где Н- некоторая функция.
Выполним для уравнения (9) последовательно четыре
подстановки: х=0, y = t; x-t, y = 2t; x=2t, y = t\ x=t,
y=t.

48
Л. М. ЛИХТАРНИКОВ
Это дает нам систему четырех уравнений, в которых
неизвестными будут /(i), f{-t), f(2t), f(3t).
Если полученная система разрешима, то мы найдем
неизвестную функцию /(f)-
Рассмотрим, например, уравнение
Дх+у)-2Дх- у) + Дх)-2Ду)= у-2.
С помощью указанных подстановок в это уравнение
получаем систему четырех линейных алгебраических
уравнения
-f(t)-2f(-t) + a = t-2,
/(30-2/(-0 + /(0-2/(2ί) = 2ί-2,
/(3ί)-4/(0 + /(20=ί-2,
/(20-2β-/(0=ί-2,
где а = ДО).
Вычитая из суммы первого и третьего уравнений
четвертое, умноженное на 3, и второе, получим:
или, короче,
f(t) = t + b,
где Ъ - некоторая постоянная.
Однако непосредственной подстановкой можно
убедиться, что функция f(t) удовлетворяет уравнению лишь
при Ь = \. Следовательно, возможно лишь решение
Дх) = х+\ при Д0) = а=\.
И в случае общего уравнения (9) можно произвести
подстановки: х=0, y = t\ x=t, y = 2t; x=2t, y = t; x=t,
y = t.
В результате получим систему четырех уравнений
относительно неизвестных функций /(0. /(-')> /(20 и /(3ί):

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 49
H[f(t),f(-t),a,№,0,t] = 0,
H[f(3t),f(-t),f(t),f(2t),t2t] = О,
я[/(зо,яо./(2о,яо.ад=о,
H[f(2t),a,f(t),f(t),t,t] = 0,
где a = ДО).
Если эта система разрешима, то неизвестная функция
/(О будет найдена.
§ 2. Метод Коши решения функциональных
уравнений, содержащих свободные
переменные
Метод Коши применяется к функциональным
уравнениям, содержащим свободные переменные, в том случае,
когда решение ищется в классе непрерывных функций. При
этом сначала последовательно находятся решения
уравнения f(x) на множествах Ν, Ζ и Q.
После этого берется произвольное значение χ е R и
строится последовательность рациональных чисел (χ„)α Q,
сходящаяся к χ и, следовательно, берется
последовательность значений функции (/(*,,))-
Так как в классе непрерывных функций возможен
предельный переход под знаком непрерывной функции, то
справедливо равенство
ι™/(*;) = /(*)
и, следовательно, находится решение функционального
уравнения на множестве R.
Покажем суть метода Коши на конкретном примере.

50
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Рассмотрим уравнение
Дх+у) = Дх)+Ау)+ху-
Найдем сначала его решение в классе функций
натурального аргумента.
Полагая последовательно в уравнении у равным х, 2х,
Зх, найдем:
Д2х) = Дх+ х) = Дх)+ Дх)+ хх = 2Дх) + х2,
ДЪх) = Д х+ 2х) = Д х) + Д2х) + х-2х = 3 /( х) + 3 х2,
Д4х) = Д х+ Зх) = Д х) + ДЪх) + х-Зх = 4 /( х) + бх2.
Закономерность, которая просматривается в этих
частных случаях, позволяет выдвинуть гипотезу следующего
вида:
/(η.Χ) = η./(χ)+'^ψ1.χ2_ (1)
Справедливость этой гипотезы докажем методом
математической индукции.
При и = 1 справедливость равенства (1) очевидна.
Предположим справедливость равенства (1) при некотором
натуральном и и докажем его справедливость для
следующего натурального числа (и + 1). Действительно,
/((и +1) · х) = Дх+ пх) = Дх)+ Дп ■ х) =
/·/ ч г, ч и(и-1) 2
= j(x) + nf(x) + -хг + хпх =
(„+1).Л,) + (^ + „).^„ + 1№) + £^У
Что и требовалось доказать.
Положив в равенстве (1) х = \, получим
г, ч у„ч и(и-1)
Дп) = и-/(1) + -*уЛ (2)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 51
Считая /(I) = С, имеем решение функционального
уравнения в классе функций натурального аргумента: χ е N и
f(x)=Cx+£j^. (3)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что
функция (3) является решением заданного уравнения при
любом С.
Покажем теперь, что функция (3) является решением
уравнения и при χ е Q.
χ
Заменив в равенстве (1) χ на —, придем к равенству
{
η) η 2 U
Положив в последнем равенстве х=тн учитывая
равенство (2) найдем
J т\ „т 1 т(т Л
/-=£-+--—Я (4)
\п) η 2 п\п ) ν '
Отсюда следует, что решение (3) справедливо для
положительных рациональных значений аргумента, то есть для
xeQ+.
Так как при χ = у = 0 исходное функциональное
уравнение приводится к равенству /(0) = 2/(0), то /(0) = 0.
Учитывая это, положим в функциональном уравнении
т т
х=—, а У = - .В результате получим:
и и
4-ϊΗϊ) <-.

52
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
С учетом равенства (4) получаем:
\ η) η 2 п\ η
то есть решение исходного функционального уравнения
справедливо и для отрицательных рациональных
значений аргумента (х е Q-).
Остается доказать, что функция (3) является решением
уравнения и при хе R.
Пусть теперь (г„) - любая последовательность
рациональных чисел, сходящаяся к действительному числу х.
Тогда по доказанному для рациональных чисел г„
справедливо равенство
Дгп)=Сг+1-фп-1). (5)
Так как lim rn = х, а функция f(x) — непрерывна, то
/1->оо
НтДгя) = /(НтЛ)=Дх).
Перейдем теперь к пределу при и —> -к» в равенстве (5).
В результате получим:
Дх) = Сх+^,
и, следовательно, решение (3) справедливо для любых
действительных значений аргумента.
Более сложным является решение уравнения
Дху) = Дх) + Ду), х>0,у>0.
И здесь сначала рассмотрим частные случаи, полагая у
равным х, 2х, Зх.
Дх2)^ Дхх) = Дх) + Дх) = 2Дх).
Дхъ) = Дхх2) = Дх) + Дх2) = ЪДх).

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 53
Закономерность, которая просматривается в этих частных
случаях, позволяет выдвинуть гипотезу следующего вида:
Дя*) = */(х). (6)
Оказывается, что, пользуясь методом Коши, равенство
(6) можно доказать для любых положительных
действительных значений к, т.е. к е R+.
Доказательство проведем в три этапа.
1) Пусть keN. Для к= 1 равенство(6) очевидно.
Предположим, что оно справедливо для некоторого
натурального к. Тогда для следующего натурального числа fc+1
имеем:
f(xk+1)=AXkx)=f(Xk)+Ax)=kAx)+Ax)=(k+i)f(x),
то есть равенство (6) справедливо для натурального числа
(к +1) и, следовательно, для любого keN.
2) Пусть к eQ, то есть к = — , где/j nq eN.
Ч
Тогда можно записать равенства
Д ** ) = />/(*),
Л(**)')=«/■(**)■
Так как левые части этих равенств равны, то равны и
правые части. Отсюда находим
ρ
Л**) = £Л*).
ч
то есть равенство (6) справедливо для к е Q+.
3) Пусть keR+,a &,,A^,...,A^,... - последовательность
положительных рациональных чисел и предел lim k„=k.
Тогда справедливо равенство
Л **") = ** Л*)-

54
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Переходя в этом равенстве к пределу, мы, в силу
непрерывности функции /, получим
/(**) = */(*),
то есть равенство (6) справедливо для любого ке R+.
Явное выражение функции f(x) можно получить
следующим образом:
Положим t = In χ. Тогда х=е', а
f(x) = f(e')=tf(e) = f(e)lnx.
В то же время легко убедиться, что функция f(x) = Cln x
удовлетворяет исходному функциональному уравнению
при любом действительном С. Значит, f(e)=C.
Метод Коши с некоторыми естественными
изменениями применим к отысканию решений функциональных
уравнений в классе монотонных функций. В этом случае,
как и при использовании метода Коши в классе
непрерывных функций, находится решение функционального
уравнения, справедливое для любых рациональных значений
аргумента. Затем рассматриваются две
последовательности рациональных чисел (г„) и (гя') таких, что
последовательность (гя) сходится к действительному числу х,
возрастая, а последовательность (гя') сходится кх, убывая. Это
всегда можно сделать, в частности, взяв за указанные
последовательности последовательность десятичных
приближений к χ с недостатком и последовательность
десятичных приближений к χ с избытком. При этом будут
справедливы неравенства
г„<х<гп'.
В силу монотонности функций из последних
неравенств следуют неравенства
/(/■„)</(*)</(/■/),
если f(x) не убывает, и

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 55
Дгп)>Дх)>Дгп·),
если f(x) не возрастает.
Если последовательности (/(О) и /(О сходятся к
одному и тому же пределу, то значение функции f(x)
будет равно этому пределу.
§ 3. Решение функциональных уравнений,
содержащих свободные переменные,
в классе дифференцируемых функций
Идея решения функциональных уравнений, содержащих
свободные переменные, в классе дифференцируемых
функций состоит в сведении функционального уравнения к
дифференциальному уравнению. Это достигается обычно
путем дифференцирования функционального уравнения
последовательно по каждой из переменных.
Такой прием, как правило, дает результат в том случае,
когда неизвестная функция, входящая в уравнение,
зависит или от суммы, или от разности, или от произведения,
или от частного независимых переменных, то есть
содержит или f(x+ у), или f(x- у), или f(x- у), или / — .
В этих случаях последовательное дифференцирование по
каждой из двух независимых переменных приводит к двум
равенствам, из которых исключается производная от
функции /, содержащей две независимые переменные, а
оставшееся равенство приводит к дифференциальному
уравнению относительно неизвестной функции f(x).
Общее решение дифференциального уравнения будет
решением исходного функционального уравнения при всех
или некоторых значениях произвольных постоянных, для

56
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
отыскания которых иногда удается получить начальные
условия из самого функционального уравнения.
Проиллюстрируем эту идею на примерах.
1) В классе дифференцируемых функций решить
функциональное уравнение
Дх+у) = Дх)Ду),
которое является одним из уравнений Коши.
Продифференцируем уравнение вначале по х, а затем
по у. В результате получим два уравнения:
Г(х+у) = Г(х)Ду),
f(x+y) = f(x)f(y).
Так как левые части этих равенств равны, то равны и
правые части. Приравнивая их, получим
f(x>f(y)=f(x)-f(y)-
Предполагая, что /(х)фО, можно записать
f(x) = f(y)
/(*) Ду) ·
Так как это равенство справедливо при всех значениях
переменных χ и у, то это возможно лишь при условии, что
Г(х)
= С (С - постоянная).
Проинтегрировав последнее равенство, получим
\nf(x)=Cx+Q
или
f(x) = eCx+q=eqeCx = C2(ec)x = C2ax,
где С, = eq, а а = ес.
Таким образом, общее решение дифференциального
уравнения имеет вид Дх) = С1ах.
Определим произвольную постоянную Q. Из самого
функционального уравнения при х=у=0 имеем ДО) =/2(0).

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 57
Это возможно в двух случаях: или ДО) = 0, или /(0) = 1. Но
в первом случае получаем из общего решения Q = ДО) = 0
и, значит, Дх) = 0.
Во втором случае из общего решения получаем Q = 1 и
решение принимает вид: f(x) = a*.
2) В классе дифференциальных функций решить
уравнение
Дх+у) + 2Дх-у) = ЗДх)-у.
Продифференцируем данное уравнение вначале по х, а
затем по у. В результате получим
f(x+y) + 2f(x-y) = 3f(x),
f(x+y)-2f(x-y) = -L
Суммируя эти равенства, будем иметь
2f(x+y) = 3f(x)-l
Последнее равенство также продифференцируем вначале
по х, а затем по у. Это даст два равенства:
2f(x+y) = 3f(x),
2Г(х+У) = 0.
Отсюда ясно, что /"(*) = 0, а Дх) = Qx+ Q.
Подставляя это решение в исходное функциональное
уравнение, приходим к равенству Q · у = у. Отсюда Q = 1.
Следовательно, решением функционального уравнения
будет функция
Дх) = х+С.

58
ГЛАВА 3
Определение основных элементарных
функций
с помощью функциональных уравнений
Среди большого многообразия типов функциональных
зависимостей в ходе развития науки выделилась
небольшая группа функций, которые особенно часто
встречаются в самых разнообразных задачах. Естественно, что этот
класс так называемых элементарных функций оказался
наиболее тщательно изученным.
К основным элементарным функциям относятся
линейная, степенная, показательная, логарифмическая и
тригонометрические функции.
Элементарными обычно называют функции,
полученные из основных элементарных функций и постоянных
путем применения конечного числа арифметических
операций и композиций.
Существует достаточно много способов определения
основных элементарных функций (с помощью интегралов,
рядов, дифференциальных уравнений, функциональных
уравнений). Смотри, например, [6].
Рассмотрим подробно определение основных элементарных
функций как решений функциональных уравнений. В связи с
этим будем исследовать решение следующих уравнений:
Дх+у) = Дх) + Ау), (I)
Дх+у) = ДхУДу), (II)
f(x-y) = f(x) + f(y), (III)
Дх-у) = Дх)-Ду), (IV)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 59
Дх+У) + Дх~У) = 2Дх)-Ду). (V)
Покажем, что при требованиях непрерывности и
отличия Дх) от константы, каждое из перечисленных
уравнений имеет своим решением только определенный вид
элементарных функций, а некоторые дополнительные
условия позволяют доказать и единственность решения
каждого из этих уравнений.
§ 1. Определение линейной функции
Рассмотрим уравнение (I) при следующих условиях:
1|) /(*) непрерывная функция в интервале (-оо,+оо).
12)Д1)=*.
Теорема. Решение функционального уравнения (I) при
условиях I, и 12 обладает следующими свойствами:
а) ДО) = 0 · б), Д—х) = -f(x), в ) Для любого
действительного числа χ справедливо равенство f(x) - kx.
г) Если к>0,то f(x)>0 при х>0 и Дх)<0 при х<0.
Если к<0, то Дх)<0 при х>0 и Дх)>0 при х<0.
д) Функция f(x) при к > 0 строго возрастает, а при к < 0
строго убывает.
е) Если к>0, то lim Дх) = -к», a lim Дх)=-со.
Если£<0,то lim/(x)=-oo, a lim Дх)=+оо.
Доказательство, а) Полагая в уравнении (I) х=у = 0,
получаем ДО) = 2Д0). Отсюда следует, что ДО) = 0.
б) Так как
/(-*)=[/(-*)+fix)] -Дх) = А-х+ χ) -/(*) =
- ДО) - Дх)=-Дх), то Д-х) = -Дх).

60
Л. М. ЛИХТАРНИКОв
в) Методом Коши докажем, что при любом
действительном χ Дх) = кх. Сначала докажем это равенство для
χ е N. Полагая в уравнении последовательно у равным х,
2х, Зх,..., будем получать:
Д 2х) = Дх + х) = Дх) + Дх) = 2Дх),
Д Зх) = Дх + 2х) = Дх) + Д2х)= 3 Л х),
ДАх) = Дх + 3) = Дх) + Л Зх) = 4/(х),
Закономерности, которые видны в этих равенствах,
позволяют выдвинуть гипотезу вида
/(/!■*) =/!■/(*), (1)
Докажем ее методом математической индукции. При
и = 1 равенство (1) очевидно. Предположим, что равенство
(1) справедливо для некоторого натурального и и
докажем его справедливость для следующего натурального
числа и + 1.
Таккак/((п+\)х) = Дх)+ДПх) = Дх)+пДх)^п+1)Дх),
то утверждение доказано.
Полагая в равенстве (1) х=1,получим f(n) = nf(\) или
Дп) = кп (2), где к = Д1). Следовательно, равенство
f(x) = кх справедливо для χ е N.
Пусть теперь г = любое положительное рациональ-
п
ное число. Тогда, полагая в равенстве (1) х= , получим
и
f(m)=rm или, учитывая равенство (2), находим
j{™y-f{m)=k™.
\п) η η

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 61
Значит, равенство Дх)=кх справедливо для xeQ +
в силу условия б) /1 ~ I = ~/\ - I и, следовательно,
I _ J= \ 1" Значит, равенство Дх) = kx
справедливо и для χ е Q-, а поэтому справедливо и для χ е Q.
Пусть теперь χ - любое действительное число. Тогда
найдется последовательность рациональных чисел (г„)
такая, что Нтгя =х.
Так как, по доказанному, Дг„) = к · г„, то переходя в этом
равенстве к пределу при и —> +оо (что возможно в силу
непрерывности функции /(*)), получим
lim f(r„) = к Hm rn или f(x) = kx (3)
д) Положим в уравнении (I) у = Ах> 0. Тогда получим
Дх+Ах)- f(x) = f(x) + ДАх)- Дх) = ДАх) = к-Ах
или
Дх+Ах)-Дх) = кАх. (4)
Если к > 0, то правая часть равенства (4) больше нуля
(к-Ах>0) и, значит, Дх+Ах)-Дх)>0, то есть функция
Дх) строго возрастает.
Если к < 0, то правая часть равенства (4) меньше нуля и,
значит, f(x+Ax)-f(x)< 0, то есть функция Дх) строго
убывает.
е) Переходя в равенстве (3) к пределу при х—> +оо, имеем
lim Дх) = к lim x=\
х-тх, *_>+«, ^_ 00> если ^ < 0.
Аналогично:
lim Дх) = к lim x=\
х-*-*о х-*-ю [+00, если^<0.

62
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Ясно, что различные решения уравнения (I)
отличаются друг от друга только значениями функции f(x) в
точке х=1. Следовательно, при требовании непрерывности
уравнение (I) имеет своим решением определенный вид
элементарных функций {f(x) = кх), а дополнительное
условие /(1) = к при конкретных к выделяет единственное
решение.
Определение 1. Решение функционального уравнения (I)
при условиях I, и 12 называется линейной функций и
обозначается f(x) - кх.
§ 2. Определение показательной функции
Рассмотрим уравнение (II) при следующих условиях:
II,) f(x) непрерывная функция в интервале(-оо,+оо).
П2) Дх)*0.
1Ц/(1) = в (й>0,й*1).
Теорема. Решение функционального уравнения (II) при
условиях II П2 и П3 обладает следующими свойствами:
а)/(х)>0.
б)/(0) = 1.
п\ f(~x) =
г) Для любого действительного числа χ справедливо
равенство f(x) = ax.
д) Если а > 1, то f(x) > 1 при х>0 и /(х) < 1 при х<0.
Если 0<я<1,то f(x)<l при х>0 и f(x)>\ при х<0.
е) Функция f(x) при а>\ строго возрастает и при
0 < а < 1 строго убывает.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 63
ж) Если α >1, то lim /(х) = +°о, a lim/(x) = 0.
Если0<я<1,то lim/(x) = 0, a lim/(*)=-к».
Доказательство, а) По условию теоремы существует
такое % е(-со,+со), что /(xq) ф 0. Тогда для любого
х е (-оо,+со) имеем на основании уравнения (II):
/(f}/(*o-f) = /W*°.
Отсюда/i^Lo и,значит,/(χ) = /ί| + |1 = /2ί|1>0.
б) Так как f(x) = Дх+0) = f(x)-f(0) и Дх)>0, то
в) Полагая в уравнении (II) у = —х, получим
Д0) = ДхУД-х) или Дх)Д-х) = 1. Отсюда /(-*) = -J-.
Л*)
г) Методом математической индукции легко доказать,
что для любого и справедливо равенство
/(их) = /"(*)· (1)
Действительно, при и = 1 это равенство очевидно.
Предположим, что оно верно для некоторого натурального и и
докажем его справедливость для следующего
натурального числа η +1.
Рассмотрим /((и + 1)х). Из уравнения (II) имеем
/((п + 1)Х) = Дпх+х)=Дпх)Дх) = Д(х)-Дх) = Г+\х).
что и требовалось показать.
При х = 1 равенство (1) дает значение функции Дх) при
натуральных значениях аргумента: /(и) = /"(1) или
/(и) = в\

64
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Полагая в равенстве (1) х= —, получим f(m) = f\ —
( λ / \П " ^
или / I — I-" . Отсюда / = α , то есть мы получили
значения функции f(x) при положительных значениях
аргумента х.
Так как f(~x) ~ fl ., то Д =—-, ^=—г = а
J\x) \ η) А т
Таким образом, для любого рационального значения
аргумента г имеем /(г) = а .
Пусть теперь χ - любое действительное число, а (г„) -
последовательность рациональных чисел, сходящихся к х.
Но по доказанному f(rn) = a". Переходя в этом равенстве
к пределу при и —> +оо, и учитывая, что функция f(x)
непрерывна, получим
{ \ lim Тп
Дх)= lim /(/■„) = /! lim r„ = lim a'" =a-^ =ax.
д) Если а > 1, то f(x) = ах > 1.
Пусть χ - любое действительное число, а возрастающая
последовательность рациональных чисел (г„) сходится к
х. Тогда f(rn) = a" >1 и, в силу непрерывности f(x),
lim/(r„) = /(x)>l.
Л->оо
Аналогично доказываются и другие утверждения этого
пункта.
е) Полагая в уравнении (II) у= Ах, получим
f(x+Ax) = f(x)f(Ax) или
/(х+ Δχ)- /(χ) = /(χ)(/(Δχ)-ΐ). (2)
Пусть а > 1, Δχ:> 0. При этом правая часть равенства (2)
положительна и, следовательно, f(x+Ax)-f(x)>0. Зна-

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 65
чит, функция f(x) строго возрастает на интервале f(x)
на интервале (-оо,+оо).
Аналогично доказывается строгое убывание функции
f(x) на интервале (-оо,+оо) при 0 < а < 1.
ж) Найдем предельные значения функции f(x) при
х—>+со и х—>-<ю. Учитывая непрерывность функции
f(x) и ее строгое возрастание (убывание) на интервале
(-оо,+оо), будем рассматривать пределы функции по
множеству целых чисел.
Так как Ди) = а",то при я>1 lim Ди)= lim a" =+oo,
апри0<а<1 lim/(и) = lim а" =0.
Следовательно, при a > 1 lim f(x) = +00, а при 0 < a < 1
lim/(x) = 0.
Я->+сю
Аналогично доказывается, что при a > 1 lim /(χ) = 0, a
при 0 < а < 1 lim /(χ) = +оо.
И здесь полученные решения уравнения (II) отличаются
друг от друга только значениями функции в точке χ = 1,
то есть /(1) = а.
Следовательно, при требованиях непрерывности и
отличия f(x) от нуля, уравнение (II) имеет своим решением
определенный класс элементарных функций lf(x) — a*), a
дополнительное условие /(1) = а при конкретном а
выделяет единственное решение.
Определение 2. Решение функционального уравнения (II)
при условиях II!, П2 и П3 называется показательной
функцией и обозначается так:
Дх) = а*.

66
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
§ 3. Определение логарифмической функции
Рассмотрим уравнение (III) при следующих условиях:
III,) f(x) непрерывна и отлична от постоянной
функции в интервале(0,+ оо ).
Ш2)/(а) = 1 (β>0,β*1).
Теорема. Уравнение (III) при условиях III, и Ш2 имеет
единственное решение.
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию
φ(ξ) = /(α^ )=/(*), то есть заменяя χ на ξ по формуле
x=as. Аналогично, φ(η) = /(αη)=/(^), то есть у = ал-
ΠρΗ3ΤθΜ/(χ·^)-/(«ξ·«η) = /(«ξ+η) = φ(ξ + η).
В связи с этим уравнение (III) примет вид
φ(ξ + η)=φ(ξ) + φ(η). (Г)
Причем функция φ(ξ) непрерывна, как композиция двух
непрерывных функций и φ(1) = f(a) = 1.
Таким образом, для уравнения (Г) выполнены условия
I, и12.
Как было показано, в этом случае уравнение (Г)
имеет единственное решение:
φ(ξ) = £ξ (в нашем случае к=\).
Так как функциональное уравнение (I') имеет
единственное решение, то и функциональное уравнение (III) (при
условии III и Ш2) имеет единственное решение. Это
единственное решение уравнения III можно положить в
основу определения логарифмической функции.
Определение 3. Непрерывное на (0,+оо) решение
функционального уравнения III называется логарифмической
функцией и обозначается
f(x) = \ogax (я>0,я*1).

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 67
При таком определении логарифмической функции
можно получить ее основные свойства, используя свойства
решений функционального уравнения (III).
Теорема. Решение функционального уравнения III при
условиях III, и Ш2 обладает следующими свойствами:
а)/(1) = 0,
6)/f-) = -/(j0,
\У)
B)/\j\ = f(x)-f(y),
г) f(xa) = af(x) при любом действительном а,
д)Если л^*1,то /(л^)*0,
е) Если а > 1, то f(x) возрастает в интервале (0,+оо), если
О < a < 1, то f(x) убывает в интервале (0,+°о),
ч ,· /ν ч ί+0°· еслиа>1
ж) lim f(x)=<
*->+» [-да, если 0<а <1,
[-да, еслия>1
\imf(x) = i
*->о [+ оо, если 0 < a < 1.
Доказательство, а) Положим в уравнении (III) χ = у = 1,
получим равенство /(1) = 2/(1). Отсюда следует, что
/0) = о.
б) Положим в уравнении (III) х= —. Тогда
У
1 (\
x-y = -y = l,af(l) = f
— \ + f(y) = 0. Отсюда
/
;Н*

68
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
в)/
=/
x-\ = f(x) + f
У
-у\=П*)-Пу).
г) Методом Коши докажем справедливость равенства
f(xa) = af(x) при любом действительном а.
При aeN доказательство проведем методом
математической индукции. При α = 1 это равенство очевидно.
Предположим, что оно справедливо для некоторого
натурального α = и и докажем его справедливость для
следующего натурального числа и +1. Действительно,
/(χ"+1)=/(χ"·χ)=/(χ") + /(χ) =
= nf(χ) + Л х) - (п + 0/(*). что и требовалось доказать.
Далее, из очевидного равенства
'( "Г4
/(*) = /
χ
V J
= nf
X'
V J
имеем f
= =1/(х),
и
V J
то есть равенство f(xa) = af(x) справедливо для а =
1
где neN.
Докажем справедливость этого равенства для α е Q+.
Пусть α = —, где т, neN. Тогда
и
/
f( ι У^
= /
χ
V J
mf
ί \\
χ'
V J
η
Теперь, используя свойство б), получим
( <*\
f
= /
( \
\_
ι
\х" J
= mf
( \
\_
ι
\хп J
= -mf
f ι Λ
χ'
V J
fix).

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 69
и, следовательно, равенство f(xa) = af(x) справедливо
для CL&Q- и поэтому оно справедливо для любого
a = r &Q.
Пусть а е R, a (гя) - последовательность рациональных
чисел, сходящаяся к α. Так как, по доказанному,
fixr" J = rnf(x), и функции f(x) и У" непрерывны, то,
переходя в последнем равенстве к пределу при и —> +оо, получим
lim Д У") = (lim rn ]/(х) или /(χα ) = α/( χ) -
д) Докажем, что если какая-нибудь точка Xq Φ1, то
/(хо) * 0. Предположим противное. Пусть х§ Φ1, а
/(хо) = 0. Тогда, по доказанному в свойстве г),
/I х£) = α · /(Хд ) = 0 при любом действительном α. В
частности, если α = log^ χ, то /Ix^8'") = 0, что невозможно.
е) Так как функция φ(ξ)= f(a^) есть решение
уравнения (Г) и для нее fe= 1 > 0, то φ(ξ) возрастает в интервале
(-αο,+αο).
При я>1 функция аг возрастает в интервале (-оо,+оо).
Но тогда из равенства φ(ξ)= /(α1·) следует, что и
функция Дх) возрастаете интервале (0,+оо).
Аналогично доказывается, что при 0<я< 1 Дх)
убывает в интервале (0,+°о).
ж) Пусть а>\. Так как Дх) = /(αξ)= φ(ξ), то
lim/(x)=lim/(e*) = =ξ1™(Ρ^).
Но последний предел равен + оо, следовательно,
lim /(χ) =+οο.

70
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Пусть теперь 0<я<1. Вновь, пользуясь равенством
Дх) = Д«ξ ) = φ(ξ), получаем
lim f(x) - lim /(αξ) = lim φ(ξ) = -<»
JC->+QC Jc->-oc x—k-ac
Аналогично рассматривается предел f(x) при χ—>+0.
§ 4. Определение степенной функции
Рассмотрим функциональное уравнение (IV) при
условиях:
IV,) f(x) непрерывная функция в интервале(0,+ оо ) и
отлична от постоянной.
IV2) f(a) = b (a >0,й * 1,6>0,6*1).
Теорема. Уравнение (IV) при условиях IV, и IV2 имеет
единственное решение.
Доказательство. Заменим независимые переменные χ и
у новыми переменными ξ и η по формулам ξ = loga x,
а η = loga у и введем в рассмотрение функцию φ:
φ(ξ)= /(αξ), φ(η)= /(αη). Тогда из уравнения (IV)
следует:
φ(η + ξ)=/(«η+ξ) = /(«ξ·«η) = /(«ξ)·/(«η)=φ(ξ)φ(η).
то есть функция φ удовлетворяет функциональному
уравнению
φ(η + ξ) = φ(ξ)·φ(η) (ΙΓ)
и условию φ(1) = f(a)-b (b > 0,6*1).
Как было показано, единственным непрерывным
решением этого уравнения при указанных условиях является
показательная функция φ(ξ) = 6ξ.
Следовательно, единственным непрерывным решением
уравнения (IV) будет функция

Элементарное ввеление в функциональные уравнения
71
ДХ) = bi0*°х = (а,0*° bf*° * = (в*"· *)'°*° * = х10^ » = ^.
Таким образом, /(х) = Xй, где μ = loga 6.
Определение 4. Непрерывное в интервале (0,+°о)
решение функционального уравнения (IV) при условиях IV, и
IV2 называется степенной функцией и обозначается
/(χ) = *μ-
Теорема. Решение функционального уравнения (IV) при
условиях IV, и IV2 обладает следующими свойствами:
а)Д1)=1,б)/
Л J') Ы А у)
то /(xj)* 0, д) Все значения функции f(x)
положительны, е) Если а ф 1, то f(a) φ 1.
Доказательство, а) Полагая в уравнении (IV) χ = у -1,
получим Д1) = [Д1)]2· Отсюда или /(1) = 1,или Д1) = 0.Но
если /(1) = 0, то при любом хе(0,+оо) /(х) = 0.
Действительно, пусть Д1) = 0.Тогда /(χ) = /(χ·1) = /(χ)·/0) = 0.
Следовательно, /(1)^0 и /(1) = 1.
б)ТаккакД1) = /[-^) = /(-|./(7) = 1,то/
в)Такгак/Л = /Гх.1|=Л*)·/
ι
у J Ay)
1
(-} = Αχ)·1Γχ
у) А у)
то
г) Докажем, что если х,>0, то f(xl)*0. Предположим
противное. Пусть х,>0 и /(xj) = 0. Но тогда для любого
хе(0,+оо). Имеем:
V·"
( \
X
J
/(χ) = 0 > что невозможно.

72
Λ-. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
д) Так как Дх) = f(<ii-Jx) = /(Щ/(-Гх) = [/[Щ,
то все значения функции положительны.
е) Докажем, что если а * 1, то и /(а) * 1. Предположим
противное. Пусть для некоторого а ф 1 и Да) = 1. Но тогда
Да" ) = (Да))" = 1. Из равенства Да" ■ аГп) = /(1) = 1
имеем /(а") · /(а ~") = 1 и, следовательно, Да~") =
/(«")
Далее, из равенства /(Vfl-Vfl...Vfl) = /(e) = l получаем
/
f \\
ап
\ J
\\
-1 и, значит, /\а"
= 1
Наконец, Да") = f
а
V )
f
ί iVr
а"
= · (reQ).
Но тогда для любого действительного х>0 найдется
последовательность (гя) рациональных чисел,
сходящаяся к loga χ и поэтому Дх) = /(a108"*} = 1, что невозможно.
Поэтому f(a) = b*l.
§ 5. Определение тригонометрической
функции
/(x) = cosx
Рассмотрим функциональное уравнение (V) при
следующих условиях:
V,) функция Дх) непрерывна в интервале (-<»,+оо).

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 73
V2) Существует такое положительное число С, что
ΛΊ. Г°и ^x)'t0'ecjIiI о<*<-·
Уз)/(0)>0.
Теорема 1. Решение функционального уравнения (V) при
условиях ν,,ν2,ν3 обладает следующими свойствами:
а)/(0) = 1,
б) /(*) = /(-*),
b)/(Q = -/(0)=-1.
r)/(x+0 = -/W.
д)/(х+20 = /(х),
e)/(2Q = l,
ж)|/(^<1.
Доказательство, а) При x=j>=0 уравнение (V)
принимает вид /(0) = / (0). Так как, по условию, /(0)>0, то
/(0) = 1.
б) При х = 0 уравнение (V) принимает вид
f(.y) + f(-y)=2f(Q)f(.y)· Так как /(0) = 1, то из
последнего равенства получаем f{-y) = f(y).
С
в) При χ = у = — уравнение (V) принимает вид
JC\ „ J С
f(Q + ДО) = 2/2 - . Но, по условию, / - = 0. Значит,
ЛО = -/(0) = -1.
с с
г) Заменим в уравнении (V) χ на х+ —-, a j? на —. Тогда
получаем f(x+Q+ + /(*) = 2/\x + — · / — или

74
• Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОв
или
f(x+C) + f(x) = 0 и, следовательно, f(x+C) = -f(x).
3 С
д) Заменив в уравнении (V) χ на х+-С,ауна—,
получим f(x+2Q + /(x+0 = 2/(x+|cj·/:
Дх+2С) + /(л:+С) = 0. Отсюда Дх + 2С) =
е) Положим в уравнении (V) х=у=С.
Тогда Д2С) + /(0) = 2/2(С). Но, по доказанному,
/(0) = 1, а /(С) = -1, и последнее равенство принимает вид
/(2С) + 1 = 2 или /(2С) = 1.
ж) Предположим, что при некотором х=0 справедливо
неравенство |/(а)|>1. Рассмотрим при этом
предположении выражение 2/1 — + а /1 а . Используя уравнение
(V), будем иметь:
4Н-(Ь
2Я-+аМ--а =/ -+« +hr-e
2 " "/ Л2
/(0 + /(2a) = -l + /(2a) = -l+[2/2(a)-l]=2[/2(a)-l]>Q
Таким образом, должно выполняться неравенство
f«MH>0·
С другой стороны, используя свойство г), получим
-а =/
C-lf+a
=-/|f+4
что противоречит предыдущему неравенству.
Теорема 2. Функциональному уравнению (V) при
условиях V|(V2,V3 удовлетворяет единственная функция.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 75
Доказательство. Предположим противное. Пусть
существуют две различные функции У|(х) и f2(x),
удовлетворяющие уравнению (V) и условиям V|(V2,V3.
Очевидно, эти функции имеют одинаковые значения при
С
х=0, — С, 2С. Докажем, что из совпадения значений
функций У|(х) и f2(x) при некоторых х=я*0 должно
следовать совпадение их значений и при других значениях
аргумента.
Пусть /ι(α) = /2(α). Тогда
fx(2a) = 2fx\a)-\ = 2f2\a)-\ = /2(2β). Допустим, что
справедливо равенство ft(k-a) = f2(k-a) для некоторого
натурального к>2. Тогда
fl[(k + l)-a] + ft[(k-l)-a] = 2ft(k-a).ft(a) = 2f2(k-a).f2(a) =
= /2[(* + ΐΗ+/2[(*-1)·4
Отсюда f\(k + \)a]= f2[(k + \)a].
Следовательно, в силу метода математической
индукции, для всех натуральных и справедливо равенство
f\{na) = f2{na).
a
С другой стороны, из уравнения (V) при χ = у = — имеем
/(e) + /(0) = 2tf-
fiia) +f2{V) = 2fi\-\.
ι а ] (a
Отсюда при 0 < a < С находим f\ hr = f2

76
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Пользуясь последним равенством, найдем
Методом математической индукции нетрудно доказать,
что при любом натуральном т будет справедливо
равенство:
Комбинируя полученные равенства, мы придем к
равенству:
Пусть теперь χ - произвольное число, а а —
какое-нибудь, отличное от нуля, решение уравнения /j(x) = f2(x)■
χ
Разложим число — в бесконечную десятичную дробь и
и, п2 пк
составим последовательность ,_ >···>„„. .··· ее двоич-
2 2 2
χ
ных приближении. Эта последовательность сходится к —.
а
пк А А пк
Но тогда из равенства Til -щ ■ о. I = f2\ ^ ·а
переходя к пределу при к—>+оо, в силу непрерывности
функций У|(х) и f2(x), получаем /i(x) = f2(x) при любом
действительном х.
На основании доказанного можно дать следующие
определения функции /(*) = cos*.
Определение 5. Решение функционального уравнения (V)
при условиях V,,V2,V3 и С= π называется тригонометри-

Элементарное виеленне в функциональные уравнения 77
ческим косинусом и обозначается /(x) = cosx.
Определение остальных тригонометрических функций
можно дать следующим образом.
Определение 6. Функция cp(x) = cos — -χ называется
тригонометрическим синусом и обозначается f(x) - sin χ.
Определение 7. Функция F(x) = называется триго-
cosx
нометрическим тангенсом и обозначается F(x) = tgx.
cos χ
Определение 8. Функция Ф(х) = называется триго-
sinx
нометрическим котангенсом и обозначается 0(x) = ctgx.
Все свойства функций sinx, tgx и ctgx могут быть
получены, исходя из свойств функции cos χ.

78
ГЛАВА 4
Разностные уравнения
§ 1. Общие понятия теории разностных
уравнений
Рассмотрим функцию у = f(x), которая в точках
;>%,:kj = xu+h,x1 =% +2h, ...,x„ = XQ+nh,xn+l — л^+(и+1)А
принимает соответствующие значения
jo = /(*>). л = /(*). tt = Къ)>-ьУп = /W.jvi = Άχη+ά
Разность двух последовательных значений функции
byk=yk+i-yk = f(xd + (k + \)-h)-f(x0+k-h),k=0№,...,n
называют конечными разностями первого порядка или,
просто, первыми конечными разностями функции f(x).
При этом число h называют шагом аргумента.
Разности между двумя последовательными разностями
первого порядка называют разностями второго порядка
или вторыми разностями:
Δ2Λ=ΔΛ+Ι-ΔΛ,Λ=0Λ2,...,«-1.
Вообще, под конечными разностями р-го порядка
понимают разности двух последовательных разностей
(p-l)-ro порядка:
Δ'Λ=Δ'-,Λ+Ι-Δ'-,Λ,*: = 0Α2,...

Элементарное введение в функциональные уравнения 79
Конечные разности любого порядка можно выразить
через значения функции. Например,
ΔΛ = Л - Л = /(*Ь + h)~ f(*o),
А2у0 = Ау{-Ау0 = (у2 - ух)-(ух - у0) = у2 -2ух+у0 =
= /U+2A)-2/U+A) + /U),
Δ3Λ = A2j>, -А2у0 =(Уъ -2y2 + yl)-(y2 -2yx + y0) =
= f(x0 + 3h)-3f(x0+2h) + 3f(x0+h)-f(xa).
Методом математической индукции нетрудно доказать
справедливрсть формулы:
Δ*Λ = Λ ~*Λ-. +^|ρ^Λ-2-···+(-1)*"' ·*Λ +(-!)* ·Λ
и общей формулы
л* 1 fc(fc-l) , ,.t
Δ У, = Ук+,-ЬУк+,-л+ 2, Λ+„-2--+Η) -JV
Определение 1. Разностными уравнениями называются
функциональные уравнения, которые связывают
переменную х, неизвестную функцию f(x) и ее конечные
разности Af(x),Af2(x),...,Af(x), то есть уравнения вида
F(x,f(xlAf(x),A2Ax),...AkAxj) = 0. (1)
Здесь F- известная функция.
Наличие в уравнении (1) хотя бы одной конечной
разности существенно.
Определение 2. Порядком разностного уравнения
называется наивысший порядок входящей в уравнение
конечной разности.
Так, уравнение (1) есть уравнение k-το порядка.

80
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Если в уравнении (1) вместо конечных разностей
подставить их выражения через значения функции, то придем
к другой форме разностного уравнения:
F{(x,f(x),f(x+h),Ax+2h),...,Ax+kh)) = 0. (2)
Отметим, что шаг аргумента h в разностном уравнении
всегда можно считать равным единице, так как заменой
переменной χ на xh мы придем к аргументу с шагом
аргумента, равным единице. Действительно, заменяя
в f(x+ ih) x на xh, получим
f{xh + ih) = f(h(x+i)) = Mx+i).
Определение 3. Линейным разностным уравнением
называется разностное уравнение вида:
a0(x)f(x+ k) + ay(x)f(x+ к-1)+...+.
+«*-ι(*)/(*+!) + **(*)/(*)= «*)· (3)
Здесь α,(χ) ί = (0,1,2,...,£) и ОЦх) - известные функции,
определенные в некоторой области Dc R.
Если все а, - постоянные, то уравнение (3) называется
линейным разностным уравнением с постоянными
коэффициентами.
Если ОЦх) = 0, то уравнение (3) называется однородным.
В противном случае оно называется неоднородным.
Ясно, что разностное уравнение является частным
случаем функционального уравнения.
Обозначим левую часть уравнения (3) через L(f(x)\ и
будем называть ее линейным разностным оператором. То
есть
Ь(Дх))=ай(х)Дх + к) + а{(х)Дх + к-1)+...+
+ak-i(x)f(x + l) + ak(x)f(x).
Легко проверить справедливость утверждений:
а) Если С - постоянная, то L(C/(x)) = CL^ftx)}.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 81
б) Если f(x) = fl(x) + f2(x),ro
L(Mx) + Mx)) = L{Mx)) + L(f2(x)).
И, следовательно,
L(Cifi(x)+C2f2(x)) = CiL(fl(x))+C2L(f2(x)),
где Су и С2 - постоянные.
Отметим, что за С можно брать и периодическую
функцию с периодом Τ = 1.
Эти свойства оператора L позволяют просто доказать
ряд важных теорем для линейного однородного
разностного уравнения
L(f(x)) = 0. (4)
Теорема 1. Если функция f(x) является решением
линейного разностного уравнения (4), а С - постоянная, то и
функция Cf(x) также является решением уравнения (4).
Доказательство. Так как f(x) является решением
линейного однородного разностного уравнения, то
справедливо равенство (4). Но тогда, используя свойство а),
получаем
L(Cf(x)) = CL(f(x)) = 0,
то есть функция С ■ f(x) является.решением уравнения (4).
Теорема 2. Если функции /(*) и f2(x) являются
решениями линейного однородного разностного уравнения (4),
то и функция f(x) = Cifi(x) + C2f2(x), где Су и
(^-постоянные, также является решением этого уравнения.
Доказательство. Так как функции fx(x) и f2(x)
являются решениями линейного однородного разностного
уравнения, то справедливы равенства:
L{Mx)) = 0nL{f2(x)) = 0.
Но тогда
i{qMx)+cjax))=qi{Mx))+Qi{f2(x))=о.

82
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
И, значит, функция С,У|(х) + С2^(х) является
решением уравнения (4).
Теорема 3. Если комплексно-значная функция
f(x) = и(х) + iv(x) является решением линейного
однородного разностного уравнения (4), то функции и(х) и v(x)
также являются решениями уравнения (4).
Доказательство. Так как функция f(x)=u(x) + iv(x)
является решением уравнения (4), то справедливо равенство
L(u(x) + iv(x)) = 0.
Но согласно свойствам оператора L,
L(u(x) + iv(x)) = L(u(x)) + iL(v(x)),
и, значит,
L(u(x)) + iL(v(x)) = 0.
Как известно, комплексное выражение равно нулю, если
равны нулю его действительная и мнимая части.
Следовательно, L(u(x)) = 0 и 1<(ν(χ)) = 0, то есть и(х) и v(x)
являются решениями уравнения (4).
Рассмотрим линейное неоднородное разностное
уравнение
L(f(x)) = Q(x). (5)
Теорема 4. Если функпия /j(x) есть решение линейного
однородного разностного уравнения (4), а φ(χ) - любое
решение линейного неоднородного разностного
уравнения (5), то функция f(x) = /j(x) + φ(χ) является решением
неоднородного уравнения (5).
Доказательство. По условию теоремы справедливы
равенства L(yj(x)) = 0 и £,(φ(χ)) = Q(x). Но тогда, используя
свойства оператора L, имеем
£(/(χ) + φ(χ)) = £(/(χ)) + £(φ(χ)) = <2(*),

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 83
и, значит, функция /ί(χ) + φ(χ) -решение уравнения (5).
Будем в дальнейшем рассматривать линейные
разностные уравнения, в которых независимая переменная
принимает лишь целочисленные значения.
§ 2. Решение линейных однородных
уравнений с постоянными коэффициентами
первого и второго порядка
п.1) Линейное однородное разностное уравнение с
постоянными коэффициентами первого порядка имеет вид
flb/(x + l) + fl1/(x) = 0. (6)
Здесь Оц и а, - постоянные, отличные от нуля. Будем
искать решение уравнения (6) в виде
Мх) = гх, (7)
где г - число, подлежащее определению.
Подставляя функцию (7) в уравнение (6), получим
я0-г*+1+а,-г* =0 или rx(aQ-r + ai) = 0.
Так как г" * 0, то а§ ■ г + aj =0 и, значит, г = —-. Таким
образом, при г- —- функция (7) будет решением
уравнено
ния (6). Следовательно, для отыскания решения
уравнения (6) достаточно составить и решить алгебраическое
уравнение
<Vr + q=0, (8)
которое принято называть характеристическим
уравнением для разностного уравнения (6).

84
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Согласно теореме 1 решением уравнения (6) будет и
функция
f{x) = Cfx{x) = Crx, (9)
где С - произвольная постоянная.
Придавая С различные числовые значения, мы получим
бесконечное множество решений уравнения (6).
Решение (9) уравнения (6), зависящее от произвольной
постоянной, называется общим решением уравнения (6).
Решение, которое получается из общего решения при
определенном числовом значении С, называют частным
решением уравнения (6). Обычно для отыскания частного
решения уравнения (6) задается дополнительное условие
вида /(хо) = Уо- Тогда, полагая в общем решении (9)
χ = х0, получим Уо = Сг*°. Отсюда С = — и искомое
частное решение имеет вид
Например, требуется решить уравнение
2/(х + 1)-3/(х) = 0
при начальном условии /(1) = 2.
Характеристическое уравнение для заданного
разностного уравнения имеет вид 1т - 3 = 0.
Следовательно, г - -, и общим решением уравнения бу-
2
дет функция f(x) = C-\-
Используя начальное условие, найдем С = -, и поэто-
3
му искомым частным решением уравнения будет функция
Лх)-2(|Г.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 85
п.2) Линейное однородное разностное уравнение с
постоянными коэффициентами второго порядка имеет вид:
a^f(x + 2) + aif(x + l) + a2f(x) = 0. (10)
Здесь α^,α^α2 - постоянные, причем а$ φ 0 и Oj φ 0.
Будем и здесь искать решение уравнения в виде (7).
Подставляя функцию (7) в уравнение (10), получим
<V*+2+<V*+1+a2r* =0 или rx(a0r2 +axr + aj) = 0.
Таккак г" φ0,то a^r1 Λ-α^ + α^ = 0 (11)
Уравнение (11) называют характеристическим
уравнением для разностного уравнения (10). Оно имеет, вообще
говоря, два решения Ли Л>. Поэтому мы здесь получаем
два решения разностного равнения (10): f\Kx) = r\ и
/2(*) = »2*.
Согласно теореме 2 функция f(x)=Cl-r* +С2- т2, где С,
и С2 - любые постоянные, также будет решением
уравнения (10).
Определение 4. Две функции /(*) и f2(x),
определенные в области DczR, называются
линейно-независимыми в этой области, если их отношение не является
постоянной величиной.
В противном случае они называются линейно
зависимыми.
Например, функции fl(x) = x + 2 и f2(x) = x + 3 -линей-
/Ах) х+2
но-независимы, так как их отношение —— = φ const,
f2(x) x + 3
а функции /λ(χ)=2χ и f2(x) = Зх -линейно-зависимы, так
fx(x) _2x _2 _
как их отношение f/\~-i ~ \~ const.

86
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Ясно, что для линейно-зависимых функций /|(х) и f2(x)
существуют такие постоянные С, иС2, 4toQ/^(x)+Q^(x)=0.
Отметим без доказательства, что важным критерием
линейной независимости двух решений линейного
разностного уравнения /|(х) и f2(x) является отличие от нуля
определителя второго порядка
f\(x) f2(x)
Δ =
/(х + 1) /2(х + 1)
Например, функции y|(x) = cos — и ^(x) = sin—,
которые являются решениями линейного разностного
уравнения f(x + 2) + f(x) = 0, линейно независимы, так как для
них определитель Δ φ 0. Действительно, здесь
Δ =
πχ . πχ
cos—- sin—
2 2
π(χ + ϊ) . π(χ + \)
|cos—-—- sin—-—-
2 2
COS-
roc
sin-
ГОС
πχ π . πχ . π . πχ π. π πχ
cos—-cos—-sin—-sin— sin—-cos— + sin—cos—
22 22 22 22
πχ
cos-
sin-
nx
~2
. πχ , πχ
-sin—-1 cos —
2 2
2 π · 2 π , η
= cos — + sm —x = 1*0
Определение 5. Если два решения /|(х) и f2(x)
линейного однородного разностного уравнения второго
порядка (10) линейно- независимы, то функция
/(x) = C,/(x) + C2/2(x),

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 87
где С, и С2 — произвольные постоянные, называется
общим решением уравнения (10).
Рассмотрим вопрос об отыскании общего решения
линейного однородного разностного уравнения с
постоянными коэффициентами второго порядка в зависимости от
вида корней характеристического уравнения (11). Здесь
возможны три случая:
а) Корни характеристического уравнения (11) г, и т2 -
действительные, различные и оба отличны от 0.
При этом функции /(*) = г* и f2(x) = г2 линейно
независимые, так как их отношение
Jl\X) h V2y
не равно постоянной величине (г, *г2 и> значит, i-^l).
h
Следовательно, общим решением уравнения (10) в этом
случае будет функция
f(x) = Ctf +C2r2x■
Например, для уравнения
Дх + 2)-6Дх + \) + ЯДх) = 0
характеристическим будет уравнение
г2-6г + 8 = 0.
Оно имеет два различных действительных корня г, = 4 и
г2 = 2. Поэтому линейно-независимыми решениями
разностного уравнения будут функции /(х) = 4* и f2(x) = 2х, а
общим решением является функция
Дх) = Сг4х+С2-2х.
б) Корни характеристического уравнения (11)
действительные и кратные, то есть ту=т2. При этом функции

88
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
f](x) = r* и f2(x) = r2 совпадают, а их отношение равно
постоянной и, следовательно, они линейно-зависимы.
Однако легко показать, что в этом случае
линейно-независимыми решениями уравнения (10) будут функции
/(*)=»!* и/2(*) = *-Л*·
Действительно, так как характеристическое уравнение
имеет кратные корни, то его дискриминант равен нулю, а
г, = - ——. В связи с этим
= г*[*(ед2 +011 +θ2)+(4·Ί +βι)·ΐ] · (12)
Но г, - корень характеристического уравнения и
поэтому а0г,2 + а,г, +а2 = 0, а из равенства г, =-—L следует, что
2а0
2од · г, + о, = 0. Таким образом, правая часть равенства (12)
равна нулю и, значит, функция f2(x) = xr* -решение
уравнения (10).
Отношение функции /γ ч ~ ,* ~х не равно посто-
J\\x) "l
янной и поэтому функции /■* и χ ■ г{ линейно независимы,
а общее решение уравнения (10) имеет вид:
Лх)=Слх +С2хг* ■
Например, для уравнения
Дх + 2) + 4/(х + 1) + 4/(х) = 0
характеристическим будет уравнение г2 +4г + 4 = 0. Оно
имеет действительные и кратные корни гх = г2 - -2.
Поэтому линейно-независимыми решениями данного
функционального уравнения будут функции /|(χ) = (-2)* и

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 89
/2(х) = x(-2)x, а общее решение имеет вид
Дх) = С,(-2У+С2х(-2)\
в) Корни характеристического уравнения комплексны.
Но тогда, как известно, они комплексно-сопряженные:
г, = a + ϊ'β, r2 - a - ϊ'β.
Переходя к тригонометрической форме записи
комплексных чисел, получим
г, =p(cosa + isina) и т2 = p(cosa-i'sina).
При этом решения уравнения (10) будут иметь вид:
fx{x) = rx =p*(cosa + i'sina)*,
f2(x) = r2 = p*(cosa - isina)*.
Учитывая, что χ e Ζ, можно воспользоваться формулой
Моавра. В результате получим
/j(x) = p*cosocc + i'p*sinocc и /2(x) = p*cosocc-ip*sinocc.
Но тогда, согласно теореме 3, решениями уравнения (10)
будут функции
и(х) = рх cosocc и v(x) = ρ* sin осе
Эти функции линейно-независимы, так как определитель
Δ не равен нулю. Действительно,
"(*) ν(χ)
Δ =
и(х + 1) ν(χ + 1)
ρ cosocc ρ smocc
p*+1cosa(x+l) p*+1sina(x + l)
■ p2x+i
cos ax smocc
cos осе cos a-sin ax sin a sinaxcosa + sinacosax
= p2jc+1[sinaxcosaxcosa +sinacos2 ax -
- sin occ cos cue cos a + sinasin2 ax] =
= p2x+i sina(cos2 ax + sin2 ax J = p2jc+1 sina.

90
Л. М. ЛИХТАРНИКОВ
Следовательно, Δ φ О, если a^kn (fc =0,1,2,...) (но
афкп, иначе Г\ = г2= pcos кп, то есть корни кратные и
действительные).
Таким образом, общее решение уравнения (10) в этом
случае имеет вид
f(x) = C,p* coscce + C2p* sin ax.
Например, для уравнения
/(х +2)+ /(*) = 0
характеристическим будет уравнение г2 +1 = 0. Оно имеет
комплексные корни г, = ϊ , r2= -i, которые в
тригонометрической форме запишутся в виде
π . . π π . . π
r, =cos—+ ism— и h =cos—-ism—.
ι 2 2 2 2 2
Значит, линейно независимыми решениями будут фун-
, ч ία у , · п
kuhhm(x) = cos— и v(x) = sin—, а общее решение имеет вид
Дх) = С, cos у + С2 sin у.
Замечания. 1. Если характеристическое уравнение для
однородного разностного уравнения с постоянными
коэффициентами первого или второго порядка имеет корень
г = 1, то легко показать, что решением этого уравнения
будет любая периодическая функция с периодом Τ = 1.
2. Решения разностных линейных уравнений с
постоянными коэффициентами и первого, и второго порядка
рассматривались нами при условии, что χ является целым числом.
Отметим, что если корни характеристического
уравнения действительны и положительны, то найденные нами
решения справедливы для любого x&R .
Так, для уравнения f(x + 2) - 6f(x +1) + 8/(х) = 0 решение
/■(х) = С,-4*+С2-2* имеет своей областью определения
множество R.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 91
Для отрицательных действительных и комплексных
корней построение линейно-независимых решений в общем
случае требует использования теории функций
комплексных переменных.
3. Отыскание частных решений для уравнения второго
порядка требует задание двух начальных условий:
/(*о)= /о» /(*о +1) = /· И при этом произвольные
постоянные С, и С2 находятся из системы алгебраических
уравнений.
Например, требуется найти решение уравнения
Дх + 2) + 4/(х + 1) + 4/(х) = 0,
удовлетворяющее начальным условиям /(0) = 3, /(1) = 2.
Как было показано, общее решение этого уравнения
имеет вид
Дх) = Сг(-2)х+С2-х(-2)х.
Используя начальные данные, получим систему
алгебраических уравнений:
з=с„ 1
2 = -2С, -2C..J
Следовательно, С, = 3, а С2 = -4, и соответствующее
частное решение записывается так:
/(х) = 3-(-2Г-4-х-(-2)*·
4. Рассмотренная теория решения линейных разностных
уравнений первого и второго порядка с постоянными
коэффициентами естественным образом распространяется на
линейные разностные уравнения с постоянными
коэффициентами k-го порядка (к>2).
При этом характеристическим уравнением будет
алгебраическое уравнение к-ой степени. Его решение имеет
ровно к корней, по которым с учетом кратности корней
можно построить к линейно-независимых решений и получить
общее решение однородного линейного разностного урав-

92
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
нения как сумму произведений этих линейно-независимых
решений на произвольные постоянные.
Например, для линейного разностного уравнения
пятого порядка с постоянными коэффициентами
/(x+5)-9/(x+4)+28/(x+3)-36/(x+2)+27/(x+l)-27/(x)=0
характеристическим является алгебраическое уравнение
пятой степени
г5 -9г4 +28г3 -36г2 +27г-27=0.
Его корнями являются числа:
г, =3, г2=3, г3=3, г4=/, г5=-/.
Этим корням соответствуют линейно-независимые
решения:
УГ(х) = 3*,/2(х) = х-3*,/,(х)=х2-3*,/4(х)=оовН,/5(х)=япу.
и, следовательно, общим решением линейного
однородного разностного уравнения пятого порядка с
постоянными коэффициентами будет функция
Дх) = С, -3х +С2 -х-Зх +СЪ -х2 -3х +C4-cos— + C5 -sin—.
К линейным однородным разностным уравнениям с
постоянными коэффициентами приводят многие задачи.
Одним из примеров использования таких уравнений
являются возвратные последовательности.
Рассмотрим числовую последовательность
«1,"2 "«.··· (13)
гдеи„ = /(и).
Определение. Если существует натуральное число к и
числа (Ц,а2,...,ак такие, что, начиная с некоторого номера
и и для всех следующих номеров, выполняются равенства
"n+* =a,un+k_, +a2u„+k_2+...+akun, (14)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 93
то последовательность (13) называется возвратной
последовательностью порядка к, а равенство (14) возвратным
уравнением порядка к.
Так как un+k = f(n + к), то равенство (14), определяющее
возвратную последовательность, представляет собой
линейное однородное разностное уравнение с постоянными
коэффициентами.
Примерами возвратных последовательностей являются
геометрическая и арифметическая прогрессии. Для первой
из них возвратное уравнение имеет вид ия+| = qun, где q -
знаменатель прогрессии, а для второй ия+| =un+d, где d-
разность арифметической прогрессии.
Интересный пример возвратной последовательности
дает задача Фибоначчи о числе кроликов.
В ней требуется определить число пар зрелых кроликов,
образовавшихся от одной пары в течение года, если
известно, что каждая зрелая пара кроликов ежемесячно
рождает новую пару, причем новорожденные достигают
полной зрелости в течение месяца.
Приведем решение этой задачи. Пусть ип - число пар
зрелых кроликов через и месяцев. Очевидно, и, = 1, щ = 1,
и3=2. Предположим, что мы вычислили уже количество
зрелых пар через и -1 месяцев - ип_, и через η месяцев - и„.
Так как к этому времени ия_, ранее имевшихся зрелых пар
дадут еще ия_, зрелых пар приплода, то через и+1 месяцев
общее число зрелых пар будет
"«+!="« +"„-!· (15)
Таким образом, задача Фибоначчи свелась к
возвратной последовательности, удовлетворяющей уравнению
(15), т.е. к разностному однородному линейному
уравнению с постоянными коэффициентами вида:
/(х + 1)-/(х)-/(х-1) = 0. (16)

94
Л. М. ЛИХТАРНИКОВ
Его характеристическим уравнением является уравнение
г2-г-1=0,
1 + V5 1--Л
корни которого г, = —-— и г2 = —-—.
Следовательно, общим решением уравнения (16) будет
функция
Используя начальные условия /(0) = ы, =1 и
f{2) = u1 =1, найдем С, и С2:
'"2V5' 2" 2V5'
Поэтому искомое частное решение имеет вид
1 2 J
+с2
ι 2 J
«и =
1
fi+VsY Γι-Vs
<л
'"=7?
При и = 1,2,3.4,... получаем
и, =1, щ = 1, ι^ =2, и4 =3, и5 =5,...,и,2 =144,...
§ 3. Решение линейных неоднородных
разностных уравнений с постоянными
коэффициентами первого и второго порядка
Будем рассматривать линейные неоднородные
разностные уравнения с постоянными коэффициентами вида
a0f(x + k)+a,f(x + k-l)+...+ak_lf(x + l)+akf(x) = Q(x) (17)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 95
Уравнение
auf(x + k) + alf(x + k-l)+...+ak_lf(x+l) + akf(x)=0 (18)
носит название соответствующего однородного уравнения
для неоднородного уравнения (17).
Согласно утверждению теоремы (4) решением
линейного неоднородного уравнения (17) будет сумма решений
соответствующего однородного уравнения (18) и любого
частного решения неоднородного уравнения (17).
Назовем общим решением неоднородного линейного
разностного уравнения с постоянными коэффициентами
сумму общего решения соответствующего однородного
уравнения (18) и любого частного решения
неоднородного уравнения (17).
Отсюда следует, что для отыскания общего решения
уравнения (17) необходимо уметь находить его частное
решение.
Если правая часть уравнения (17) имеет некоторый
специальный вид, то частное решение можно найти методом
неопределенных коэффициентов. Ограничимся случаем,
когда правая часть уравнения (17) является функция
Q(x) = axPm(x),
raePm(x) = C0xm +Clxm"' +C2xm~2+...+Cm_lx + Cm, то есть
многочлен степени т, а левая часть уравнения есть
линейный разностный оператор первого или второго порядка.
1) Рассмотрим линейное неоднородное разностное
уравнение первого порядка:
auf(x + l) + alf(x) = axPm(x). (19)
Будем искать частное решение неоднородного
уравнения (19) в виде
F(x) = axRn(x), (20)
где Rn(x) = b0xn +bixn-,+...+bn_ix + bn, (21)

96
Л. М. ЛИХТАРНИКОВ
а постоянные й>(« =0,1,2,...,и) подлежат определению.
Подставляя функцию F(x) в уравнение (19) вместо
функции /(*), получим равенство
<Va*+' ·*„(* + !) + «, α* *„(*) = «* -Pm(x)
или
a0-a-R„(x + l) + ai-RH(x) = Pm(x). (22)
Так как
Л„(х + 1) = йь(х + 1)" + *k(x +1)""' +...+*i,_, (х +1) + *i. =
= Ьахп +(Ь1+пЬ0)хп-у +(ь^ +(п-Щ + "("~1Чу-'+...+
+(fc„+Z>„_1+-+6b).
то равенство (22) можно записать в виде
b0(a<)-a+al)-x'' +[bl(a0-a + al) + au-an-b0]x''~,+...+
+ [ай-а(Ьа+Ьа_,+...Ь0) + агЬп] =
= C0xm+Clx"-,+...+Cm_lx + Cm. (23)
Чтобы равенство (23) было тождественным,
необходимо, чтобы левая часть его была многочленом пг-ой
степени. Здесь возможны два случая:
а.
а) Если а^-а+а. * 0 (α * , то есть α не является кор-
нем характеристического уравнения), то левая часть
равенства (23) будет многочленом пг-ой степени при п = пг.
а.
б) Если Оо-а+Я|=0 (а = , то есть а является кор-
нем характеристического уравнения), то левая часть
равенства (23) будет многочленом пг-ой степени при п=пг+\.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 97
Таким образом, частное решение уравнения (19) нужно
искать в виде F(x) = ax Rm(x), если α не является корнем
характеристического уравнения, и в виде F(x) = a" ■ χ · ^(х),
если α является корнем характеристического уравнения.
В каждом из этих случаев при указанном выборе
функции F(x) левая часть равенства (23) будет многочленом т-
ой степени и равенство (23) будет тождеством, если
коэффициенты при χ в одинаковых степенях в левой и правой
частях этого равенства будут равны. Приравнивая их, мы
придем к системе т+\ линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных коэффициентов й>(» = 0,1,2,...,/я),
из которой и будут найдены эти неизвестные.
Замечание. В частном случае при α = 1 правая часть
неоднородного уравнения является многочленом ю-ой
степени. В этом случае вид частного решения, естественно,
зависит от того, является ли α = 1 корнем
характеристического уравнения.
Приведем два примера, иллюстрирующие описанную
теорию.
Найдем общее решение уравнения
Дх + 1)-4Дх) = Зх(5х + 2).
Здесь характеристическим уравнением
соответствующего однородного разностного уравнения является
алгебраическое уравнение г-4 = 0. Его корень г = 4 и, значит,
общее решение соответствующего однородного уравнения
имеет вид /|(х) = С-4*, где С- произвольная постоянная.
Так как α = 3 не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
разностного уравнения будем искать в виде:
F(x) = 3x(b0x + bl).
Подставляя функцию F(x) в исходное уравнение
вместо функции f(x), получим равенство
4 Зак. N° 959

98
Л. М. ЛИХТАРНИКОВ
Зх+,(Ь0-(х + 1) + Ь1)-4-Зх(Ь0-х + Ь1) = Зх(5х + 2)
или
-bQx+(3b0-bl) = 5x + 2.
Приравнивая коэффициенты при χ в одинаковых
степенях выражений, стоящих в левой и правой частях
равенства, получим систему линейных алгебраических
уравнений:
*Ь=-5,1
ЗАь - 6, = 2.J
Отсюда bo = -5, а 1\ =-17.
Следовательно, искомое частное решение
неоднородного уравнения имеет вид
F(x) = -3*(5x + 17),
а общим решением неоднородного уравнения будет
функция
/(x)=/(x) + F(x) = C.4*-3*(5sc+17).
Найдем общее решение уравнения
Дх + 1)-Дх) = 2х2+х + 1.
Здесь г -1 = 0 является характеристическим уравнением
для соответствующего однородного разностного
уравнения. Его корень г = 1 и, значит, общее решение
однородного уравнения имеет вид /(*) = С, где С - постоянная.
Так как а = 1 является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
разностного уравнения будем искать в виде
F(x) = x(bQX2 +blx + b2).
Подставляя функцию F(x) в исходное уравнение
вместо функции f(x), получим
Κ(χ +1)3 + 6,(х +1)2 + Ь^х +1)1 - Гбь*3 + V2 + hA = 2χ2 + х + 3

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 99
ИЛИ
ЗЬ^х2 + (ЗЬо + 26, )х + (bo + 6, + &2) = 2х2 + χ + 3.
Приравнивая коэффициенты при χ в одинаковых
степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим
ЗЬо + 26, = 1, ·
b0+bl+b2=3.
Из этой системы уравнений последовательно находим
u 2 u 1 ι 17
£>Ь = -, η = —, &2= — и, следовательно, частным реше-
3 2 6
нием неоднородного уравнения будет функция
ευ -ν 2 з 1 2 Π
F(x) = - дг - - дг + — х,
3 2 6
а общим решением неоднородного уравнения будет функция
Дх)= Mx) + F(x) = cA3 -l-x2 + Χ-1χ.
5 2 о
2) В случае линейного неоднородного разностного
уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка,
правая часть которого Q(x)=axPm(x), как и для
уравнения первого порядка, можно показать, что частное
решение неоднородного уравнения ищется в форме:
а) F(x)= axRm(x), если α не является корнем
характеристического уравнения;
б) F(x) = a" ■ χ■ Rm(x), если α является простым корнем
характеристического уравнения;
в) F(x) = ax х2 Rm(x), если α является кратным
корнем характеристического уравнения.
Например, для уравнения
Дх + 2)-6/(х + 1) + 9/(х) = 3*(х + 3)

100
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
характеристическое уравнение г - 6г + 9 = 0 имеет кратные
корни г, = г2 = 3. Поэтому общее решение
соответствующего однородного уравнения имеет вид fl(x)=3x(Cl+C2-x),
а частное решение неоднородного уравнения следует
искать в форме
F(x)=3x-x2(b0x + bi).
Подставляя функцию F(x) в уравнение вместо функции
f(x), придем к равенству
54Ь0х + (54Ь0 + Щ) = х + 3,
из которого, для определения неизвестных
коэффициентов Ьц и 1\, вытекает система алгебраических уравнений:
54fc0 = 1,
54^+18^=3,
решение которой йц =
54
h = - и, следовательно,
^ 9
F(x) = 3'
ν54+9,
а общим решением неоднородного уравнения будет
функция
f(x)=fl(x) + F(x) = 3>
f 2 Э\
С, + C-,χ + — + —
v ' 9 54
Замечание. Метод неопределенных коэффициентов для
отыскания частного решения неоднородного линейного
разностного уравнения с постоянными коэффициентами
применим и в случае, когда правая часть уравнения имеет
вид
Q(x) = α*( 4„(x)cos^x + Bm(x)sinfbc),

Элементарное ввеленне в функциональные уравнения 101
где α и β -действительныечисла, а Ат(х) и Вт(х)
-многочлены ти-ой степени.
Здесь различается два случая:
1) Если число r = a(cos/? + i'sin/?) не является корнем
характеристического уравнения, то частное решение
неоднородного уравнения ищется в форме
F(x)=ax(Cm(x)cosPx+Dm(x)smpx),
где Ст(х) и Dm(x) - многочлены т-ой степени,
коэффициенты которых подлежат определению.
2) Если число г = a(cos/J + / sin /?) является корнем
характеристического уравнения, то частное решение
неоднородного уравнения ищется в форме
F(x) = χ ■ ax(Cm(x)cosPx + Dm(x)sin βχ).
Например, рассмотрим уравнение
f(x + 2)+4f(x+l) + 3f(x) = 3xcos7rx.
Характеристическим уравнением для
соответствующего однородного разностного уравнения будет
алгебраическое уравнение г2 + 4г + 3 = 0. Его корнями являются числа
/| =-3 = 3(cos7r+i'sin;r) и r2 = -l = cos7T + i'sin;r.
Значит, общим решением соответствующего
однородного разностного уравнения будет функция
/(*) = С, ·(-!)*+Сг-(-3)*.
Так как число г, = 3(cos π + i sin π) является корнем
характеристического уравнения, то частное решение
неоднородного уравнения следует искать в виде
F(x) = С ■ χ ■ 3х cos πχ + D ■ χ ■ 3х sin ττχ.
Подставляя функцию F(x) в уравнение вместо функции
f(x) и приравнивая коэффициенты при sinrac, costec,

102
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
χύηπχ, xcosTOc, найдем C = -, D = 0. Таким образом,
6
χ
F(x) = —'3 cos юс 5 а общим решением неоднородного
уравнения является функция
F(x) = Cl -(-If +C, (-3)* + --3*costec.
6
В заключение отметим, что имеется достаточно много
задач, в которых функциональные (не только разностные)
уравнения сводятся к линейным неоднородным
разностным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Например, требуется найти решение системы
неоднородных функциональных уравнений
/(χ + \) + φ(1-χ) = χ,)
η-χ) + φ(ϊ + χ) = 0.]
Решение. Из второго уравнения системы следует, что
φ(1-χ) = -/(χ). Тогда первое уравнение системы можно
записать так:
Дх + 1)-Дх) = х.
Оно является линейным неоднородным разностным
уравнением первого порядка с постоянными
коэффициентами.
Характеристическое уравнение соответствующего
однородного разностного уравнения г -1 = 0 имеет один
действительный корень г = 1. Следовательно, общим
решением однородного уравнения будет функция fx(x) = C, где
С - произвольная постоянная, а частное решение
исходного неоднородного уравнения следует искать в форме
F(x) = x(b0x + bl).
Подставляя функцию F(x) в исходное уравнение
вместо функции f(x), получим

Элементарное ввеление в функциональные уравнения
\1^(χ + 1)2 + Ь1(х + 1ц-\Ь0х2 + blx\=x
или
2b0x + (b0+bl) = x.
Отсюда 2Z\j = 1, 6^ + 6, = О и, значит, й^ = -,а 6, = --.
Таким образом, частным решением неоднородного
х2-х
уравнения будет функция F(x) = , а общим
решением неоднородного уравнения является функция
х2-х
При этом из равенства <р(1 - х) = -f(x) получаем
х-х2
2
Пример сведения функционального уравнения к
разностному с помощью подстановки дает уравнение
f[xk\-f(x) = m, x>\, k>\.
Сделаем в этом уравнении подстановку, положив
х = к . Тогда, обозначив f\x) = /I «^ I - ф(0> получим
/(^)=/(^'+,,)=φ(ί+ΐ).
При этом исходное уравнение примет вид
(p(t + l)-(p(t)=m.
Общим решением этого уравнения является функция
φ(ί) =mt + C, где С-произвольная постоянная. Найдем f(x).

104
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Так как χ = кк , το \gx = к' \gk, а к' = ——. Логарифми-
Igk
руя последнее равенство, найдем t\gk = \g\gx-\g\gk и
lglgx-lglgfc
t =
\gk
В связи с этим имеем
f(x) = m(t) = mt + C =m— — + C.
7 \gk
§ 4. Линейные разностные уравнения
с переменными коэффициентами
первого порядка
п.1. Достаточно просто находится решение линейного
однородного разностного уравнения первого порядка с
переменными коэффициентами вида
f(x + l) = (p(x)-f(x), (24)
где φ(χ) - известная функция, определенная на
множестве N, f(x) - неизвестная функция.
Придавая в уравнении (24) независимому переменному
значения 0, 1, 2,..., х-1, получим следующие равенства:
Д1)=<р(0)Я0),
Д2) = <р(1)Я1),
f(x) = <p(x-l)f(x-\).
Перемножим почленно написанные равенства. После
сокращения на произведение

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 105
Д\)Д2)...Дх-\),
получим функцию
/(*)= /(0)·φ(0)·φ(1)·φ(2)...φ(χ-1)
или короче
Я*)=/(0)П?(О. (25)
(=0
Величина /(0) есть начальное значение функции f(x)
и является произвольной постоянной.
Таким образом, найденная функция Дх) является
общим решением однородного уравнения (20).
Например, требуется найти решение уравнения
Дх + 1) = ±.Дх).
2
Здесь φ(χ) = — и поэтому решение имеет вид
(=0 λ
Но
fri=1.i.i
,J2' 2 2l 2X~' 2-2i-2i..2
2 ·" ~x-l ~ -2 -3 λι-Ι
^I+2+3+..+jc-I *(£-')
fix) = ДО)- l
и поэтому *(?-'.)'
2 2
Легко проверить, что найденная функция является
решением уравнения.

106
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
п.2. Рассмотрим теперь простейшее неоднородное
разностное уравнение вида:
Δ/ = Ψ(χ)
или
/(χ + 1)-/(χ) = Ψ(χ). (26)
Придавая в равенстве (22) χ значения 0, 1, 2, 3
получим цепочку равенств:
/(1)-/(0) = Ψ(0),
/(2)-/(1) = Ψ(1),
/(3)-/(2) = Ψ(2),
/(χ)-/(χ-1)=Ψ(χ-1).
Суммируя эти равенства, найдем решение уравнения
(22):
/(χ) = /(0)+£ψ(ζ). (27)
Например, для уравнения Af = x имеем
Д*) = Д0) + |> = Д0)+(1 + 2 + 3+...+х-1) = Я0) + ^^.
п.З. Рассмотрим линейное неоднородное разностное
уравнение первого порядка с переменным коэффициентом
вида:
Af(x)+P(x)f(x)=Q(x), (28)
где Р(х) и Q(x) - известные функции, определенные на
множестве N.
Будем искать неизвестную функцию в виде
произведения двух функций
f(x) = i4x)v(x), (29)

Элементарное введение в функциональные уравнения 107
где функции и(х) и v(x) пока произвольные и подлежат
определению.
Из равенства (29) находим
Af(x)= f(x + \)- f(x) = u(x + l)v(x + l)-u(x)v(x) =
= u(x + l)v(x+l)-u(x + l)v(x) + u(x + l)v(x)-u(x)v(x) =
= u(x +1) · Δν + v(x) ■ Au.
При этом уравнение (24) принимает вид
u(x + l)Av(x) + v(x)[Au(x) + P(x)u(x)] = Q(x). (30)
Выберем и(х) так, чтобы член в квадратных скобках
обратился в нуль:
Au(x)+P(x)u(x) = 0. (31)
Для этого, на основании формулы (25), следует положить
u(x) = ClY[[l-P(t)\ (32)
(=0
где С, - произвольная постоянная.
После такого выбора и(х) уравнение (30) принимает вид
u(x + \)Av(x)=Q(x),
или
с.ГО-'чо]
(=0
и позволяет определить функцию v(x) согласно равенству (27)
v(x) = C2+£-
г=0с,П[1-^(0]
(=0
где С2 = v(0) - произвольная постоянная.

108
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Следовательно, решением неоднородного уравнения (28)
будет функция
я*)=Ш-р(о}
(=0
β(ζ)
ζ=0
с,Ш-Р(0]
- + С
Например, для уравнения f(x + l)--Zx~f(x) = —г
2 *
22
Р(х) = 1- —, Q(x) = —г и при f(x) = u(x)-v(x) функция
22
и(х) определяется из уравнения вида (24), то есть
и(х + \) = —и(х), решение которого находится по
формуле (25):
ЩХ)— х(х-у) ■
Функция v(x) определяется из уравнения
1
Δν =
решение которого находится по формуле (26) и имеет вид:
χ
1 1-22
22
jc(jc-
2 2
О
или
Δν =
22
Су
v(x) = C2 +-
1-22

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 109
Следовательно, решением исходного неоднородного
уравнения будет функция
С 1-22
1-22
V J
где С = С.С2.

110
УПРАЖНЕНИЯ
0.1. Найти композиции функций:
х + 1
а) φ(χ) =
χ +1 / ч
и ψ(χ) = -,
χ-l х-1
б) φ(φ(χ)), если <р(х) = ф6-(х + 5)2 -5,
χ + ϊ
в) φ(φ(χ)), φ(φ(φ(χ))), φ(φ(φ(φ(χ)))), если <р(х)= ,
1-х
ч то то то...от χ
г) il-u-J 1:, если φ(χ) = ■- .
η 2
0.2. Показать, что функции Дх) = Сх, f(x) = αχ·,
Дх) = log„ χ, Дх) = χμ, где С, а, и μ - постоянные,
являются соответственно решениями следующих уравнений:
а) Дх + у) = Дх)+Ду),
Ь)Дх + у) = Дх)-Ду),
*)f(xy) = f(x) + f(y),
г) Дх-у) = Дх)-Ду).
0.3. Показать, что функция
1 при χ > 0,
Дх) = Sgnx = < -1 при χ < 0,
0 при χ = 0.
удовлетворяет уравнению Дх · у) = Дх) ■ Д у).
0.4. Показать, что функция Дх)=ф
χ +1 '
х-1
, где Φ
произвольная функция, являющаяся решением уравнения

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 111
0.5. Найти решения следующих уравнений:
a)(x-l)sin(/(x))-3x = 0,
б) logfl f(x) + loga(f(x)-j6-a2x) = 4x, a>0,
в) Д*) = Д0)яшс-/]— cosx+x
*0.6. Найти все функции, удовлетворяющие тождеству
sinx + cosy= Дх) + Д у)+ g(x)-g( у).
(Заочная олимпиада, мех.мат. МГУ, 1984г.)
*0.7. Функция f: R—> R удовлетворяет тождеству
/(χ.γ) = ΔΞΐ±Λΐ1ί x,yeR, х + у*0.
х + у
Существует ли такое значение хей, для которого
Дх)*0. (Нью-Йорк, 1978 г.)
*0.8. Функции f,g:R -4Й не постоянны и
удовлетворяют двум тождествам:
f(x + y) = f(x)g(y)+g(x>f(y),
g(x + y) = g(x)-g(y)-f(x)-f(y), x,ytR.
Найти все возможные значения ДО) и g(0). (Нью-
Йорк, 1976 г.).
*0.9. Функция f:Z —> R удовлетворяет условиям
in -10, если и > 100,
IЛ Л"+ 1)), если и < 100,
при и е Ζ. Доказать, что для любого значения и < 100
справедливо равенство f(n) = 91. (Югославия, 1983 г.)
*0.10. Доказать, что любая функция f:R—>R,
удовлетворяющая одному из тождеств

112
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
f(x+y) = f(x)+f(y), x,yeR,
f(x-y+x+ y) = f(x y)+f(x)+f(y), x,yeR,
удовлетворяет и другому. (Югославия, 1979 г.)
В следующих задачах требуется найти решения указанных
функциональных уравнений, используя метод подстановки.
1.1. f(2x + \) = x\
1.2. /1 = кх, χ φ-с, а,с,к -постоянные,
\с + х)
1.3. af(x) + f\ — = αχ, χ Φ 0, α φ ±1, α - постоянная,
1.4. (х + 1)Дх)+/\-) = 1, гдех*0,
1.5. / \-α/(χ) = φ(χ), χφ\, αΦ±\, а -постоянная,
\χ-\)
1.6. /(Vl6-(x + 5)2-5) + x/(x) = x,
1.7. ДХ) + /
ί ζ ·\
α
= χ, α - постоянная,
1.9.
qf] -— \ + bf(x) = F(x), ЬфО, а2 фЬ2, хф-\ хф\ хфО, аиЬ
- постоянные,
1.10. af(x + 2) + bf\ \ = х2' а и Ъ - постоянные,
1.11. af{xn) + f{-xn) = bx", аФ±\, аиЬ -постоянные,

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 113
- «ύ-ΗΨ^ »-· »»·
1.13. mf\ + и/1 = kx, χ φ ±c, m,n,a,c и к
\c + x) \c-xl
постоянные.
В следующих задачах требуется найти решения
указанных функциональных уравнений в классе непрерывных
функций.
1.14. Д2х-\)=Дх),
1.15. Дх") = аДх), x>0, a eR,
1.16. Дх) = *(х + 1)+/£),
1.17. 3-Д2х + 1)=Дх) + 5х.
1.18. Найти решение уравнения
Дх)= /(χ-1) + α*\ если/(1) = 1, а - постоянная, в
классе функций натурального аргумента.
1.19. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению
со
если последовательность Дп) является беско-
нечно убывающей геометрической прогрессией со
знаменателем q.
*1.20. Доказать, что существует функция f:N-*N,
удовлетворяющая тождеству
2
/(Дп)) = п, neN. (Румыния, 1978 г.)
*1.21. Функции f, g, h: Ν ->Ν удовлетворяют
следующим трем условиям:
а) Функция h(n) не принимает никакое значение более
чем в одной точке η eN.

114
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
б) Множество значений функции g(n) есть Ν,
B)f(n) = g(n)-h(n) + \,neN.
Доказать, что справедливо тождество
Ди) = 1, иеЛЛ
(Румыния, 1979 г.)
*1.22. Функция /, определенная при всех
действительных значениях аргумента и принимающая действительные
значения при всех х, удовлетворяет условию
Дх + й)Л + А/д*)-(Дх))2,
где а - некоторое положительное число.
а) Доказать, что функция/периодическая (т.е.
существует некоторое Ь>0 такое, что Дχ + b) = f(x) для всех х),
б) Приведите пример такой функции /, отличной от
тождественной константы, для а = 1.
(X международная математическая олимпиада, 1968 г.,
Москва-Ленинград.)
*1.23. Пусть Ди) - функция, опеределеная на
множестве натуральных чисел и принимающая значения на том
же множестве.
Доказать, что если для каждого и выполняется
неравенство Ди + 1)> /(/(и)), то для каждого и имеет место
равенство Ди) = и.
(XIX международная математическая олимпиада, 1977 г.,
Белград).
В задачах 1.24 и 1.25 требуется найти решения
уравнений в классе дифференцируемых функций.
1.24. Д2х)=2Дх),
1.25. Д5х + 1) = 25Дх).
*1.26. а) Доказать, что если непрерывная функция
ДЯ —> Я удовлетворяет тождеству

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 115
/(/(/(*)))=*,* СЕД,
то при любом значении xeR справедливо равенство
б) Привести пример разрывной функции g:R^> R,
удовлетворяющей условиям
g(x)*x и g(g(g(x))) = х, xeR. (Румыния, 1982 г.)
Следующие задачи требуют применения методов
решения функциональных уравнений, содержащих свободные
переменные.
2.1. Дх-у)=[Дх)],!
2.2. Дх+ у) + Ду-х)-(у + 2)Дх)+ у(х2 -2у) = 0,
2.3. Дх + у) + 2Дх-у) = ЗДх)-у,
2.4. 2Дх + у)-Дх-у)-(1-у)Дх) = у(6х +х' + у),
2.5. /(х + У) ~ Дх - У) = *ху,
2.6. 2Дх + 2у) + Дх)= Дх + у){2еУ +е~У),
2.7. п~^-\ = 4Дх)-Ду) (уравнение
Н.И.Лобачевского).
Указание. Использовать подстановку,
рекомендованную для уравнения вида
1{ЦА = 0[Дх),Ду))
2.8. g(x-y) + 2g
-\ = 3g(x)-lny,x>0, y>0.
.У;
Указание. Ввести в рассмотрение функцию Дх) с
помощью равенства g(x)= /(lnx).
2.9. Дх + у) + Дх- у) + Дх) + Ду) = Ъх2 + гу\
Указание. Использовать подстановку,
рекомендованную для уравнения вида

116
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
H[f(x + y),f(x-y)J(x)J(y),x,y] = 0.
2.10. Дх + у) + Дх-у)-2Дх)(1 + у)= 2ху(3у-х2).
Указание. Использовать подстановку,
рекомендованную для уравнений вида
н[ /(χ + у),/(χ - у),Дх),х, у] = о.
2.П. Ах+у)-Дх-у)+Дх)=4ху+х2-
Указание. Использовать подстановку,
рекомендованную для уравнений вида
я[л χ+у), А* - у),Дх),х, у]=°-
*2.12. Найти все функции f:R—>R, удовлетворяющие
тождеству
хДу)+уДх) = (х + у)Дх)Ау\ x,ytR-
(Болгария, 1968 г.)
*2.13. Найти функцию f:Q —> Q, удовлетворяющую
условиям: Д\)=2,Дх-у)=Дх)-Ду)-Дх+у)+\ для всех х,у eg.
(Международные математические соревнования
школьников, 1980 г., Люксембург.)
*2.14. f(x) - действительная функция действительного
переменного х, не равная тождественно нулю. Пусть
f(x~ У) = Л *)' Л У) ЯМ1 всех возможных действительных
χ и у. Найдите f(x).
(Из задач английских олимпиад.)
*2.15. Пусть 5 - множество неотрицательных целых
чисел. Найдите все функции /, определенные на 5 и
принимающие свои значения в 5 такие, что
f(m + f(n))=f(f(m)) + f(n).
(XXXVII международная математическая
олимпиада, Бомбей, 1996 г.)
*2.16. Найдите все функции /(х), определенные для
каждого χ и удовлетворяющие уравнению

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 117
xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)·
для произвольных χ и у. Докажите, что две из них
непрерывны.
(Из задач жюри олимпиад.)
*2.17. Найти все функции /:Z—>Л, удовлетворяющие
тождеству
f(n + m)+ f(n-m)= ДЗи), n,meZ+, n>m.
(Австрия-Польша, 1979 г.)
*2.18. Найти все функции /:β—>β, удовлетворяющие
условию Д1) = 2 и тождеству
Ax-y) = f(x)-Ay)-f(x + y) + l,x,yeQ.
(Люксембург, 1980 г.)
*2.19. Пусть Μ - множество всех функций /:Ζ—>Я,
удовлетворяющих условию /(0)*0и тождеству
An)-Аш)= Ап + ш) + An-ш), n,meZ.
Найти: а) все функции Ди) еМ, для которых /(1)= -,
б) все функции Ди) еМ, для которых
Д1)=Л.
(ГДР, 1982 г.).
*2.20. Найдите все функции Д х), определенные на
множестве неотрицательных действительных чисел,
принимающие значения в том же множестве и удовлетворяющие
следующим условиям:
1) /(*' /(у))' /(у) = fix + У) ДДЯ всех неотрицательных
хиу,
2) Д2) = 0,
3) Д*)*0 для всех 0<х<2.
(XXVII международная математическая олимпиада,
1986 г.)

118
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
*2.21. Рассматриваются непостоянные функции f(n,m),
определенные на множестве всех пар целых чисел,
принимающие целочисленные значения и удовлетворяющие
тождеству
Дп,т)=-(Дп-\т) + Дп + \,т) + Дп,т-\)+ Дп,т + \)),
п,т eZ.
Доказать, что:
а) Такие функции существуют,
б) Для любого значения к ez каждая такая функция
принимает значения как больше к, так и меньше к.
(Румыния, 1978 г.)
*2.22. Для заданного подмножества 5 множества пар
целых чисел назовем функцию f:S—>S универсальной,
если она обратима и для любой пары (п,т) eS
удовлетворяет условию
/(и,/и)е{(и-1;/п),(и + 1;/п),(и;/п-1),(и;/и+1)}.
Доказать, что если существует хотя бы одна
универсальная функция, то существует универсальная функция,
удовлетворяющая тождеству
f(f(n,m)) = (n;m), (n;m)eS.
(Австрия-Польша, 1978 г.).
*2.23. Доказать, что если фунция Дх,у), определенная
на множестве всех пар рациональных чисел и
принимающая только положительные значения, удовлетворяет трем
тождествам
f(xy,z) = f(x,z)-f(y,z), (1)
Дг,ху)=Дг,х)Дгу), (2)
ДхД - χ) = 1, χ, у,ζ eQ, (3)
то справедливы тождества

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 119
Дх,х) = \,Дх,-х)=\Дх,у) = Ду,х) = 1, х,уeQ.
(Польша, 1977 г.).
*2.24. Найти все непрерывные функции /:(1,+оо)—>Я,
удовлетворяющие тождеству
Дх,у) = хДу) + уДх), х,у>1
(Австрия, 1975 г.)
*2.25. Найти все непрерывные функции,
удовлетворяющие соотношению
Дх+у) = Дх)+Ду)+х- у(х + у)-
(Киевский университет.)
*2.26. Найти все бесконечно дифференцируемые
функции f:R^>R, удовлетворяющие тождеству
Дх + у) = Дх) + Ду)+2ху.
(Бельгия, 1977 г.)
*2.27. Найти все дифференцируемые функции f:R^> R,
удовлетворяющие тождеству
I 2 ) у-х
(Нью-Йорк, 1977 г.)
*2.28. Найти все такие функции/, определенные на
множестве R+ положительных действительных чисел и
принимающие значения в R+, для которых выполнены
следующие условия:
1) f(xf(y))=yf(x) при любых x,yeR+,
2) Дх) -> 0 при χ -> +со.
(XXIV международная математическая олимпиада,
Франция, 1983 г.)
*2.29. Доказать, что если не равная тождественно нулю

120
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
функция f:R—>R удовлетворяет тождеству
Дх)Ду) = Дх + у\ x,yeR,
и дифференцируема в точке χ = 0, то она бесконечно
дифференцируема в любой точке.
(Англия, 1969 г.)
2.30. Решить функциональное уравнение
f(x-y) = [f(x)f-[f(y)f,
где β - вещественная постоянная, a f(x) -
положительная непрерывная однозначная функция положительного
переменного х.
Следующие функциональные уравнения решить в
классе дифференцируемых функций.
2.31. /(х-у-^х1'•л/ГГ7) = /(*) + Ду).
2.32. Дх + У)=;\ /„V
*2.33. Пусть/иq-действительные функции,
определенные на всей прямой, и удовлетворяют уравнению
Дх + У) + Дх-У) = 2ДхМу)
для всех χ и у. Докажите, что если Дх) не тождественный
нуль и если \Дх^ ^ 1 для всех х, то \q(j>)| < 1 для всех у.
(XIV международная математическая олимпиада, 1972
г., Варшава)
*2.34. Про функцию/, определенную на множестве всех
пар неотрицательных целых чисел (х, у), известно следу-
щее:
1° Д0,у)=у + 1,
2° Дх + 1,0) = Дх,1),
3° Дх + \у + 1) = /(х,Дх + ],у))

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 121
для каждой пары x>0,j>>0. Найдите значение /(4,1981).
(XXII международная математическая олимпиада 1981 г.)
4.1. Найти решение линейных однородных разностных
уравнений:
а) Дх + 1)-4Дх)=0, при условии Д1) = 4.
б) Дх + 1) + ЗДх) = 0, при условии Д1) = -6.
B)f(x + 2) + 4f(x + \) + 3f(x) = 0, при условии
Д1) = -1, /(2) = 7.
г)/(χ + 2) - 6f(x +1) + 9f(x) = 0, при условии
Д1) = 1, /(2) = 4.
4.2. Найти общие решения линейных однородных
разностных уравнений:
а) Дχ + 2) - 2/(χ +1) + 2/(х) = О,
б) Дχ + 3) - 3/(х + 2) + 3/(χ +1) - f{x) = О,
в) /(х + 3)-8/(х)=0.
4.3. Найти общие решения линейных неоднородных
разностных уравнений:
а) /(х + 2)-4/(х + 1) + 3/(х)=2*(х + 1),
б)/(х + 3)-8/(х) = 2*.
в) f(x + 2) + 4f(x) = 2x\ 5cos—x-6sin—χ Ι.
4.4. Решить следующие функциональные уравнения
путем их сведения к линейным разностным уравнениям:
а) Дх)-Дх + 1)=Дх)Дх + 1),
fyf(x)=^^,f(x)>0,
в) /(x) = *-/(g-x) + C, g>0, g*l, fc>0,
r)/(ex)=/(x).

122
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
0Λ.Ά)φ(ψ(χ))=-
χ2+ϊ
x-l'
6) φ(φ(χ)) = χ,
1 χ — ϊ
β) φ(φ(χ)) = , φ(φ(φ(χ))) = -, φ(φ(φ(φ(χ))) = χ,
χ
γ) φ°φ°φ°...°φ = —.
4 ν ' 2
0.3. Указание. Рассмотреть случаи
1) χ>0, у>0,
2) χ>0, у<0 (χ<0, у>0),
3) χ<0, у<0,
4) χ = 0, у>0, (χ = 0, у<0; χ>0, у = 0; χ<0, у = 0).
0.4. Указание. Воспользоваться результатом задачи 0.1.
п. а).
0.5.а) f(x) = arcsin , χ*1,
б) /(*) =
2 ~ 2
J-χ
в) f(x) = x — (sin x + cos x).
4
*0.6. Найти все функции, удовлетворяющие тождеству
sinx + cosy = f(x)+ f(y) + g(x)-g(y). (1)
(Заочная олимпиада, мех.мат. МГУ, 1984 г.)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 123
Решение. Из равенства (1) следует
f(x) + g(x)-smx = g(y)-f(y) + cosy. (2)
Так как последнее равенство справедливо при любых χ
и у, то это возможно лишь в случае, если и левая и правая
части равенства (2) равны некоторой постоянной С, т.е.
имеют место равенства
/(х) + g(x) - sin x = С
и
g(y)-f(y) + cosy = C
или
f(x) + g(x)-sinx = C)
g(y)-f(y) + ™sy = C.] (3)
Из системы (3) находим
, ч sin х-cos x _
g(x) = + С,
,, ч sinx + cosx
Αχ)= j '
Легко проверить, что эти функции удовлетворяют
уравнению (1) при любой постоянной С.
*0.7. Функция f:R^>R удовлетворяет тождеству
дх + у) = Л*}±ЛУ1г x,yeR, x + y*0.
х + у
Существуют ли такие значения χ eR, для которых
f(x)*0. (Нью-Йорк, 1978 г.)
Решение. В тождестве, выполненном для функции f(x),
положим у = 1. Тогда имеем тождество
/и)=/М±Л!>,„_,.
Χ + Ϊ

124
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Отсюда xf(x) = /(1). При х = 0 имеем Д1) = 0, т.е.
xf(x) = 0. Отсюда при х й{-1,0} имеем Дх) = 0.
Далее, подставляя в исходное тождество значения
у = 0, х = 2, получим Д0)=-[/(2) + /(0)} Отсюда
/(0)=/(2) = 0. Наконец, подставляя значения у=0,
х = -\, получаем Д0) = -Д-1)-ДО). Отсюда
Д-1) = -2Д0) = 0.
Таким образом, для функции f(x) доказано тождество
f(x)^0,xeR.
*0.8. Функции fyg;R^> R не постоянны и
удовлетворяют двум тождествам
g(x + y) = g(x)- g(y)- f(x)- f(y), x,y eR.
Найти все возможные значения /(0) и g(0). (Нью-Йорк,
1976 г.)
Решение. Положив х= у = 0 в каждом из тождеств,
получим
Д 0) = Д 0) · g(0) + g(0) ■ Д 0),| ДО) = 2 Д 0) · g(0),)
g(0) = g2(0)-f(0).j ШИ g(0) = g2(0)-f2(0).]
g(0) φ — (иначе из второго равенства имеем
- = — /2(0), то есть / (0) = - - < 0.) Поэтому из первого
равенства получаем /(0) = 0, а из второго равенства или
g(0) = 0, или g(Q) = l Но g(0) = 0 невозможно, так как
иначе из первого тождества при у = 0 получаем

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 125
/(*) = /(*)·*(0) + *(χ) ■/(<>) = О,
то есть f(x) = 0, а это противоречит условию.
Таким образом, имеем /(0) = 0, g(0) = 1.
*0.9. Функция f:Z —> R удовлетворяет условиям
in -10, если и > 100,
\/{Яп +11)\ если и < 100, при и eZ.
Доказать, что для любого значения и<100
справедливо равенство /(п) = 91. (Югославия, 1983 г.)
Решение. Пусть сначала и<100 и и + 11>100, т.е.
90<и<100. Тогда
/(и) = /(/(и + 11))=/(и + 11-10)=/(и + 1).
Поэтому
/(90) = /(91) =...= /(100) = /(101) = 91.
Пусть теперь и < 90. Выберем такое число m eN, чтобы
выполнялись оценки
90<и + 1Ьп<100.
Тогда имеем
/(n) = /2(n+ll)=...= /m+'("+ll^) = /m(/("+lbI)) = /m(91) = 9L
Таким образом, требуемое равенство доказано при всех
значениях и<100.
*0.10. Доказать, что любая функция f;R —> R,
удовлетворяющая одному из тождеств
Дх + У) = Дх) + Л у), x,yeR,
Дху+х + у) = Дху) + Дх)+Ду), x,yeR,
удовлетворяет и другому. (Югославия, 1979 г.)
Решение. Если функция удовлетворяет первому
тождеству, то
Дх-у+х + у) = Дху) + Дх + у) =
= fixy)+fix)+fiy)ix,yzR),
то есть второе тождество для нее также выполнимо.

126
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Пусть теперь функция f(x) удовлетворяет второму
тождеству. Положив в нем y = u + v+u-v, получим
/(X + U + V + X ■ U + X ■ V + U ■ V + X ■ U ■ V ) =
= f(x) + f(u + v+u-v) + f(x-u + x-v + x-u-v),
что можно преобразовать к виду
/(X + U + V + X ■ U + X ■ V + U ■ V + X ■ U ■ V ) =
= f(x) + f(u + ν + и ■ ν) + f(x-u + x-v+xu-v). (1)
Поменяв местами переменные х,и в тождестве (1),
получим
f(x+ и + ν + х- и + и- ν + х- ν + х- и ■ ν) =
= /(*) + /(«) +/(ν) +/(х-ν) +
+ f(x-u + u-v + x-u-v). (2)
Из тождеств (1) и (2) получаем
f(u ■ ν) + f(x-u + x-v + x-u-v) =
= f(xv)+ f(x-u+u-v + x-uv) (3)
Положив в тождестве (3) х=1, имеем
/(u-v) + /(u + v+u-v)=/(v) + /(u + 2-u-v).
Отсюда
/(ιι) + 2/(ιι-ν) = /(ιι + 2·ιι-ν). (4)
Положив в тождестве (4) и=0, получаем
/(0) = 3/(0), т.е./(0) = 0. (5)
Положив в тождестве (4) ν = -1, получаем
/(-«) = /(«)+2/(-«).
Следовательно, /(-ы) = -/(ы). (6)
Положив в тождестве (4) ν = - -, получаем
ДО) = /(«) +2/^
Используя соотношения (5) и (6), получаем
/(«) = 2/jJJ иди /(2ц) = 2/(«). (7)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 127
Из тождеств (7), (4) имеем /(и + 2v и) = Ди) + /(2м ■ ν) и,
сделав в последнем уравнении замену 2v = t, получаем
f(u+u-t)=f(u) + f(u-t). (8)
Итак, мы приходим к тождеству f(x + y) = Дх) + f(y),
так как при х~0 это тождество обращается в равенство (5),
а при χ ф. О имеем из тождества (8)
/(х^) = /х«4-/(х) + /.4/(х) + /№
1.1. /(*) =
(х-1)2
1.2. f{x)-k , χφ\ а Φ с.
1-х
1.3. /00 = -^:—27» «*±1> **0·
х(1-а )
1.4. /(*) =
1
х2 +х + 1
а<р(х) + <р
1.5. /Υ-.Λ U-1
/(*)=-
1-а2
, χ * 1, αΦ±\.
1.6.
/(χ)=(ί_^Μ£), х*0, rfle<p(x) = Vl6-(x + 5)2-5.
χφ(χ)-1
3 2 3
,, . χ -α χ + α .
1.7. Д*) = ^ —. х*0, х*а.
1.8. /(*) =
1.9.
2x(x-a)
9χ3+6χ2-χ + 2
2(9χ2-1) '
α „(χ + ϊλ α
^--Ar^Vhr
ο -α
где χφ±\, α2 фЬ2, χ*0, ЬфО.
\\ a3 Jx-l
b~ [1-х) b2 { χ) Ьъ lx + 1

128
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
χ + 1
Указание. Для функции <р(х) = следует найти
φ(φ(φ(φ(χ))))-
{χ-if
b (2-х
а\ χ-ϊ
1.10. f(x) = -T-n
а - о
, ч Ьх
1.11. Дх)=—-, а*+1.
а-\
, ,-. /·/ ч Зх2-4х + 2
1.12. Дх) = — -.
χ -х + 1
., . fc сх-а
1.13. j\x) = : , аФс, хф\, χ φ с, гпфп.
т-п 1-х
1.14. Дх)=С, гдеС = Д1).
1.15. Дх) =
0, если \а\ < 1,
Д1), если \а\ = 1,
+ оо, если \а\ > 1.
1.16. Дх)=С + -х2+2х, где С= ДО).
1.17. /(х)=х--.
11+
а>*-2-1)
1.18. Дх) = Г + β_ι
х, если а = 1.
, если а * 1,
1.19. Дх)=/(0)
2-ДО)
, χ eiV.
* 1.20. Доказать, что существует функция f:N—>N,
удовлетворяющая тождеству /(Дх)) = и2,и eN.
(Румыния, 1978 г.)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 129
Решение. Пусть последовательность л, -2, «2=3, щ =5,...
перечисляет в порядке возрастания все натуральные числа,
не являющиеся квадратами целого числа. Положим
nkjm = (nkf", где k eN, m eZ\ Тогда nkjn+l = (nkm)2, и
каждому значению и > 1 соответствует единственная пара
чисел к, т, для которых п = пкт.
Определим функцию /(и) следующим образом:
\nk+i,m> если ^ ~ нечетно,
/(1) = 1, f(nkm) = \
*'m K-,.m+1. есди к -четно, при
к eN, m eZ+. Тогда справедливо тождество
f(f{n)) = n2,neN.
*1.21. Функции/, g,h: N—>N удовлетворяют
следующим трем условиям:
а) Функция h(n) не принимает никакое значение более
чем в одной точке η eN.
б) Множество значений функции g(n) есть N,
B)f(n) = g(n)-h(n)+\neN.
Доказать, что справедливо тождество /(и) = 1, η eN.
(Румыния, 1979 г.)
Решение. Докажем тождество g(n) ξ h(n) (и eN), из
которого в силу условия в) будет следовать, что
f(n) = g(n)-h(n) + l = ],neN.
Прилюбом и eN имеем h(n) = g(n)+\- f(n)<g(n), так
как f(n)> 1. Предположим, что для некоторого значения
и eN равенство g(n)=h(n) не выполнено. Тогда
А(и) < g(n) = fc. Согласно условию б) найдутся числа
n,,«2 пк_у eN, для которых g(w,) = » при i = l£,...,fc-l.
Поэтому каждое из к чисел А(и|),А(л2),...,А(пл_|),А(и)
принадлежат множеству {1,2 к-Ц. Следовательно, по

130
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
принципу Дирихле функция А(и) принимает некоторое
значение более одного раза, что противоречит условию
а). Утверждение доказано.
*1.22. Функция /, определенная при всех
действительных значениях аргумента и принимающая действительные
значения при всех х, удовлетворяет условию
Дх + а)Л + ^Дх)-(Дх))\
где а некоторое положительное число.
а) Доказать, что функция / периодическая (т.е. существует
некоторое Ъ > 0 такое, что f(x + b) = Дх) для всех х).
б) Приведите пример такой функции/, отличной от
тождественной константы, для а = 1.
(X международная математическая олимпиада, 1968
г., Москва-Ленинград.)
Решение. Докажем, что функция имеет период 2а. Из
условия видно, что / (х + а) > - для всех х. Перенесем - в
левую часть и возведем в квадрат:
Дх + а)-~\ =/(х)-(/(х))\
или
(/(χ + β))2-/(χ + β) = /(χ)-(/(χ))2--[. (1)
Запишем f(x + 2a) = - + ^jf(x + a)-(f(x + a)f
и, используя (1), получим:
Пх+2а) = ^ + ^(Дх))2-Дх)
1 1
+ -=- +
4 2
Я*)" 2
-Дх),
т.к. Дх)>-·

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 1'31
б) Как легко проверить, условию при а~\ (см. рис. 1)
удовлетворяет функция
, 2и < χ < 2и +1,
Д*)= 2'
[1, 2и +1 < χ < 2и + 2,
и = 0,±1,±2,...
Можно указать и более сложный пример (см. рис. 2).
ПхУ-
-х + — п, 2п<х<2п + \
2 2
2 \2 \2 '
и = 0,+1,±2,...
-1 о
1
1/2
з *■ о
Рис. 1
Рис.2
*1.23. Пусть /(и) - функция, определенная на
множестве натуральных чисел и принимающая значения на том
же множестве.
Доказать, что если для каждого и выполняется
неравенство /(и +1) > /(/(и)), то для каждого и имеет место
равенство f(n) = n.
(XIX Международная математическая олимпиада, 1977
г., Белград)

132
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Решение. Покажем, что для любого натурального к
выполнено следующее утверждение: если и£ к, то f(n)> к.
Для к = 1 утверждение очевидно. Пусть оно верно для
некоторого к е N и пусть и > к + L Тогда и -1 > к и на
основании индуктивного предположения f(n-\)>k и
f(f{n-\))>k.
А так как Д и) > /(/(и -1)), то Ди) > А: или Д и) >к + 1
Отсюда вытекает, что f(k)> к, для всех натуральных к.
Допустим, что для некоторого к имеет место f(k)>k.
Обозначим через А множество всех Ди) для п> к. Пусть
£ = f(n) - наименьший элемент множества А. Так как
и -1 > к, то Д и -1) > к.
Действительно, если и -1 > к, то это следует из
неравенства Ди-1)>и-1, а если п-1=к, то из
неравенства f(k) > к. Пусть т = f(f(n-1)). Из сказанного
вытекает, что т принадлежит А. Но верно неравенство
Ди)>/(/(и-1))> значит, £>т, что противоречит тому,
что £ наименьший элемент множества А.
Значит, предположение f(k)> к неверно, и для всех и
имеет место равенство Ди) = и.
1.24. f(x) = C, CeR.
1.25. Дх) = С(4х + 1)2, CeR.
*1.26. а) Доказать, что если непрерывная функция
f:R—>R удовлетворяет тождеству
f(f{f(x))) = x,xeR,
то при любом значении χ eR справедливо равенство
/(*) = *·
б) Привести пример (разрывной) функции g:R^>R,
удовлетворяющей условиям
g(x)j^x и g(g(g(x)))=x, χ eR. (Румыния, 1992 г.)

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 133
Решение, а) Из условия задачи следует, что f(x) не
принимает никакого значения более чем в одной точке χ eR.
Действительно, если и = f(x) = Ду) Для некоторых
х,у eR,ro
x = f3(x)=f2(n) = f3(y) = y-
Отсюда и из непрерывности функции Дх) следует, что
она строго монотонна. В противном случае найдутся
числа х, <х2 <хъ, удовлетворяющие неравенствам
Дху)<Дх2), Дх2)>Дх{) ипи-Дх,)>Дх2),
f(x2)<f(xi), а значит, некоторое значение и, лежащее
как между числами f(x,) и f(x2), так и между числами
/(jtj) и /(хъ), согласно теореме о промежуточном
значении непрерывной функции, будет приниматься
функцией Дх) в двух различных точках хл е(х„х2) их5 е(х2,х2),
что невозможно.
Итак, функция Дх) либо убывает, либо возрастает на
всей числовой прямой. В первом случае функция / (х)
возрастает, а функция / (х) убывает, поэтому тождество
/ъ(х) = χ выполняться не может.
Допустим, что Дх) возрастает и f(x0) φ χ0 при
некотором значении Xq eR. Тогда, если /(х0)>х0,то
/2(*о)>/(*о)» /3(*б)>/2(*о) и /3(х0)>*о>
а если f(x0) < xQ, то
/2(*о)<Д*о)> /3(*б)</2(*о) и /3(*i»)<*b·
В любом случае имеем противоречие с равенством
f2(x0) = x0. Таким образом, доказано тождество
Дх) = χ, χ eR .

134
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
б) Функция g(x) --
χ, если х й{1,2,3},
2, если х = 1,
3, если χ = 2,
1, если χ = 3.
удовлетворяет всем требованиям задачи.
2.1. /(х) = С*,гдеС=/(1).
2.2. /(х) = х2.
2.3. /(х) = х + С, гдеС = /(0).
2.4. Дх) = х2.
2.5. /(х) = х2+С, С=/(0).
2.6. f(x) = Се*.
•2.7. Дх) = а-Сх.
2.8. g(x) = ln;c + C, где08(1).
2.9. /(х) = х2.
2.10. /(*) = *3·
2.11. /(х) = х2.
*2.12. Найти все функции f:R —> R, удовлетворяющие
тождеству
xfiy)+yfix)=ix+y)fix)-fiy)> x,yeR-
(Болгария, 1968 г.)
Решение. Положим в исходном тождестве x = y=i
Тогда получим 2/(1) = 2/2(1), то есть или /(1) = 0, или
/(1) = 1. Рассмотрим каждый из этих случаев.
а) Если /(1) = 0, то снова положиву~\, получим
тождество
fix) + x = ix + \)fix), т.е. х(Дх)-\)=0.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 135
Откуда при любом χ φ 0 имеем f(x) = 1. Таким образом,
для функции f(x) имеется две возможности: либо f(x) = О,
либо
/ν ч [1прих*0,
[α при χ = 0, где a eR.
Проверка показывает, что найденная функция
удовлетворяет условию задачи.
*2.13. Найти функцию /:β —> β, удовлетворяющую
следующим условиям:
Л1) = 2, Дх у)= /(х)/(У)-Дх + у) + 1 Для всех χ и
yeQ.
(Международные математические соревнования
школьников, 1980 г., Люксембург.)
Решение. При ^ = 1 имеем Дх)= Дх)Д1)-f(x + l)+l
или f(x +1) = f(x) +1.
Отсюда /(и) = и +1 и /(0) = 1 при всех и е Q.
*2.14. f(x) - действительная функция действительного
переменного х, не тождественно равная нулю. Пусть
f(x) Ду) = f(x ~ У) Λ™1 всех возможных действительных
χ и у. Найдите Дх).
(Из задач английских олимпиад).
Решение. Пусть Дх)-Ду) = Дх-у) (1)
для всех действительных значений χ и у.
а) Так как по условию f(x) Φ 0, то существует х0 е R
такое, что /(х0)*0. При х = х0 и у = 0 получим
/(*o)/(0) = /(*b)· Следовательно, /(0) = L
б) Подставим в (1) χ = у. Получим (/(*)) = /(0).
в) Подставим в (1) У = —· Получим /(*)■ / — = / —
Так как / — \Ф0 (по пункту б), то f(x) = 1.

136
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
*2.15. Пусть 5 множество неотрицательных целых
чисел. Найдите все функции /, определенные на 5 и
принимающие свои значения в 5 такие, что
f{m + f(n))=f(f(m)) + f(n).
(XXXVII международная математическая олимпиада,
1996 г., Бомбей.)
Решение. При /п = 0ии = 0из уравнения имеем
До+/(0))=Д/(0))+/(0)
или
/(ДО)) =/(ДО)) + ДО).
Отсюда Д0) = 0.
Положим в уравнении и = 0. Тогда получим
/(m + /(0))=/(/(»!))+ДО)
ИЛИ /(И!) = /(/(»!))
Отсюда следует, что или f(m) = пг, или f(m) = 0.
*2.16. Найдите все функции f(x), определенные для
каждого х, и удовлетворяющие уравнению
xf(y)+yf(x) = (x+y)fW(y)
для произвольных χ и у. Докажите, что две из них
непрерывные.
(Из задач жюри олимпиад.)
Решение. Положим в уравнении у = х, тогда
2xf(x) = 2xf2(x),
Отсюда при χ^Ο /(*) = / (х)· Следовательно, либо
Дх) = 0, либо /(x) = L
Пусть /(я) = 0 при х = а*0. Тогда из данного
уравнения получаем af(у) = 0 для всех у, то есть f(x) = 0.
Пусть /(а) = 1 при х = а*0. Тогда из данного
уравнения получаем y=yf(y), откуда f(y) = l при у*0, а при

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 137
у = 0 ДО) = С - любое число.
Итак, все решения данного функционального уравнения
следующие:
1)/(х)^0.
2) Каждая функция вида
., ч [1длях*0,
[Сдлях = 0.
Среди этих решений только функция f(x) = 0 и /(х) = 1
являются непрерывными.
*2.17. Найти все функции f'-Z+ —> Λ, удовлетворяющие
тождеству
f(n + m) + f(n-m)=f(3n), n,m eZ+,n>m.
(Австрия-Польша, 1979 г.)
Решения. При пг = 0 имеем 2/(и)= /(Зи), а при
и = m = 0 имеем /(0) = 0. Далее, полагая в тождестве п = пг,
получаем /(2и) + /(0) = /(Зи),т.е. /(2л) = /(3и).
Отсюда, с одной стороны, для любого m eZ+ получаем
/(4m)=/(6ifi) = /(9m),
а с другой стороны, из тождества при п-Ът получаем
Д4т) + Д2т)=Д9т).
Это возможно лишь в случае, если Д2т) - 0.
Следовательно, при любом значении η eZ+ имеем
/(и) = ^/(3и) = ^/(2и) = 0.
Таким образом, /(и) = 0.
*2.18. Найти все функции, удовлетворяющие условию
/(1) = 2 и тождеству
Дху) = Дх)-Ду)-Дх + у) + \ x,yeQ.
(Люксембург, 1980 г.)

138
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Решение. Полагая в уравнении у=1, получим для χ eQ
/(χ) = /(χ)·/(1)-/(χ+1) + 1,
т.е. f(x + l) = f(x) + l
Отсюда для χ е Q и χ е Ζ имеем равенство
f(x + n)=f(x) + n.
Поэтому f(n) = f(0) + n. Но Д1) = /(0)+1 и,
следовательно, /(0) = 1, a f(n) = и +1.
Подставляя в уравнение х = —, j> = и при и е Ζ получаем
и
/(ΐ)»/ί^)·/(»)-/;+»]+ι
Наконец, подставляя в исходное тождество
х = Р, У=-, ρεΖ, qeN,nosiy4IlM
или
/
'£W(P)·/
ί,+ιμ
Отсюда
/
1 Ρ .
— /> = —+ L
я я
Таким образом, f(x) = χ +1 для всех /:g —> β.
*2.19. Пусть Μ - множество функций /.Ζ—>Я,
удовлетворяющих условию /(0) φ 0 и тождеству
f(n)-f(m)=f(n + m) + f(n-m), n,meZ.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 139
Найти: а) все функции Ди) еМ, для которых /(1) = —·
б) все функции Ди) еМ, для которых
/(1)=Л.
(ГДР, 1982 г.)
Решение. Полагая и = /и = 0, из уравнения получаем
/2(0) = 2Д0). Отсюда ДО) = 2 (Д0)*0>
Подставляя в уравнение значение /и = 1, получаем
Ди)Д1)=Ди + 1) + Ди-1), neZ.
Если заданы значения функции Ди) в точкахи=0 ии=1,
то из этого тождества определяются однозначно значения
Д2) и Д-1), а затем ДЗ) и Д-2), то есть все значения
Ди) при и eZ.
Таким образом, функция Ди) единственным образом
определяется условиям задачи, так как ДО) = 2, а /(1) = —
или /(l) = v3.
Остается убедиться, что фунции Ди) = 2я + 2'" и
Ди) = 2соя π·— удовлетворяют соответствующим
условиям. Действительно, имеем:
а) /(0) = 2° + 2°*0, Д1) = 2'+2
2'
Λ«)·/(»ι) = (2" +2-")-(2m +2-m) = (2"+m +2-"-m)+(2"-m +2"-") =
= Ди + m)+ f(n-m) при всех п,ш eZ.
б) /(0) = 2cos0*0, /(l) = 2-cos(-] = V3.

140
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
j'(и)·f(m) = 2соя π·- -2соя π- —
= 2cos
π\ +2соя π\ —
= f(n + m)+ f(n-m) при всех п,т eZ.
*2.20. Найдите все функции f(x), определенные на
множестве неотрицательных действительных чисел,
принимающих значения в том же множестве и удовлетворяющие
следующим условиям:
1) f(x,f(y))-f(y)= f(x + у) для всех неотрицательных
хиу,
2) Д2) = 0.
3) f(x) φ 0 для всех 0 < χ < 2.
(XXVII международная математическая олимпиада,
1986 г.)
Решение. Положим в уравнении у~2. Учитывая второе
условие, имеем
f(x,f(2))-f(2)=f(x + 2) или Д0)0 = Дх + 2), т.е.
f(x + 2) = 0 для любых х>0. Значит, Дх) = 0 для х>2.
Пусть 0 < χ < 2 тогда, заменяя в уравнении у на х, а х на
2-х, получим
/((2-хУЯх)}Ях) = Д2-х + х)=Д2) = 0.
Следовательно, /((2-х)■ Дх)) = 0 и (2-х)·/(*)>2,
т.е.
1 2-х
-<
Αχ) 2
Пусть теперь 0 < χ < у < 2, тогда
f((y-x)-f(x))-f(x) = f(y-x + x) = f(y)*0.

Элементарное введение в функциональные уравнения 141
И, следовательно,
f((y-x)-f(x))-f(x)*y, (y-x)f(x)<2.
Отсюда
2 /(χ) 2
для любых у в промежутке от χ до 2. Поэтому
1__2-х 2
д-р—^~ или Лх) = ^^для *е[°>2)·
и Дх)=0 для х е[2,+оо).
*2.21. Рассматриваются непостоянные функции f(n,m),
определенные на множестве всех пар целых чисел,
принимающие целочисленные значения и удовлетворяющие
тождеству
f(n,m)=-(f(n-\m)+f(n+\,m)+f(n,m-\)+f(n,m+\%n,me.Z.
Доказать, что: а) Такие функции существуют, б) Для
любого значения k eZ каждая такая функция принимает
значения как большие к, так и меньшие к.
(Румыния, 1978 г.)
Решение, а) Например, функция f(n,m) = n, (n,m eZ).
б) Пусть утверждение неверно, т.е. для некоторого числа
к eZ все значения некоторой функции f(n,m),
удовлетворяющей условию задачи, не превосходят к. Тогда среди
значений f(n,m) (n,m eZ) найдется наибольшее, равное,
скажем, i = /(«b,Wo)· Этому же значению равны и все
числа f(n0±l,m0),f(n(),m0±\), так как в противном случае
оказалось бы, что
An0,m0) = -(f(n0-l,m0) + f(n0 + l,mQ) +
+ /Κ.™ό - *) + /("о.^о +!)) < е-

142
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Рассуждая таким образом, можно получить равенство
ί = Д"о,Щ)) = /(«о ±1Щ) = /(«о ±2,»%) =···= /("о ± ^»»%) =
= /(«о ± £,»% +1) = /(«о ± £,»% +2).=...= /(«о ± к,щ ± fc)
для всех и и /и, принадлежащих iV, то есть
f(n,m)=e,
что противоречит условию задачи.
*2.22. Для заданного подмножества 5 множества пар
целых чисел назовем функцию f:S —> 5 универсальной, если
она обратима и для любой пары (п,т) eS удовлетворяет
условию
Дл,/и) € {(и - \;т);(п + \;т);(п;т - \);(п;т +1)}.
Доказать, что если существует хотя бы одна
универсальная функция, то существует универсальная функция,
удовлетворяющая тождеству
f(f(n,m)) = (n;m), (n;m)eS.
(Австрия-Польша, 1978 г.)
Решение. Назовем точку (п;т) eS четной или нечетной
в зависимости от того, является ли сумма п+т четной или
нечетной соответственно.
Пусть существует универсальная функция g(n,m),
тогда функция g~ (n,m), также универсальная.
Рассмотрим функцию, заданную следующим образом:
, ч |£(и>'я)> если точка (п.т) четная,
g(n,m) = < )' '
[g (n,m), если точка (п,т) нечетная
при (n,m)eS. Точка g(n,m) и g~\n,m) имеют
противоположную с точкой (п,т) четность, поэтому для любой
точки (n,m)eS получаем
S'\s(n>m)) = (ntmX если точка (п,т) - четная,
gig '(п,т)) = (п,т), если точка (п,т) - нечетная.
f\n,m) = <

Элементарное введение в функциональные уравнения 143
Таким образом, доказано тождество / (п,ш) = (п,ш)
(п,ш) eS, из которого вытекает обратимость функции
f(n,m), а для доказательства универсальности этой
функции достаточно теперь вспомнить, что функции g(n,m)
и g~ (n,m) универсальны.
*2.23. Доказать, что если функция f(x, у), определенная на
множестве всех пар рациональных чисел и принимающая
только положительные значения, удовлетворяет трем тождествам
f(x-y,z) = f(x,z)-f(y,z), (1)
f(z,x-y) = f(z,x)-f(z,y), (2)
f(x,l-x) = l, x,y,zeQ, (3)
то справедливы тождества:
Дх,х) = Ъ f(x,-x) = \, f(x,y) = f(y,x) = \, x,yeQ.
(Польша, 1977 г.)
Решение.
Из (1) при х = у = о и х = у = \, получаем
/(Ο,ζ) = Л Ο,ζ) · /(Ο,ζ), т.е. /(Ο,ζ) = 1; /(Ι,ζ) = /(\,ζ) ■ f(\,z),
т.е./(Ι,ζ) = 1.
Далее, подставляя в тождество (1) χ = у = 1, имеем
1 =/(-1,ζ)·/(-1,ζ) = следовательно, /(-l,z) = l.
Аналогично из второго исходного равенства получаем
равенства
/(ζ,0) = /(ζ,0)·/(ζ,0), т.е. /(ζ,Ο)-Ι,
/(ζ,0) = /(ζ,1)/(ζ,0)η/(ζ,1) = 1η
/(ζ,-1) = 1.
Отсюда /(0,0) = 1, Л Ο,ζ) · /(Ο,ζ) = L
Остается доказать требуемые тождества для ненулевых
значений χ и у.

144
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
При χ φ О имеем из первого тождества при у = —'·
χ
l«/(U) = /(x,z)-/|-,z
Поэтому f(x,z) = -
Λ.,·ζ
Далее получаем
Дх,\-х) \х J \х' χ ) \х' χ J \х
Но поскольку
то /I — ,х I = 1. Итак, имеем
ι=Я*Д) = / *Д) = Я*,*)=А*,*) ■ Я*,-1) = А*,-*),
т.е. /(*,*) =/(*,-*) = 1.
Наконец, при х*0, у*0 имеем
/1 N '
f(x,y) = f(x,y)-f
-,у =/
\У
,У =/
-.^1·/
X X
J' J>>
/
-.^ =/ ->*·/ί-,*]=/ -»*1=·
J ) ЯУ,х)
Следовательно, Дх,у)-Ду,х) = 1-
*2.24. Найти все непрерывные функции /:(1,+оо)—>Л,
удовлетворяющие тождеству
Дх-у) = хДу)+уДх), х,у>1

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 145
Решение. Докажем, что для любого значения к > 0
справедливо тождество
/(**) = *х*-'/(*)(х>1) (1)
(Австрия, 1975 г.)
Доказательство проведем в три этапа.
1) Пусть keN. Если к=\ то тождество (1) очевидно.
Предположим, что тождество (1) справедливо для
некоторого натурального к и докажем, что тогда оно
справедливо для следующего натурального числа (k+ϊ).
Действительно,
f(xk«) = /[xk-x) = j{xk)-x+jSf(x) = xk-f(x)+x.k-x"f(x) =
Что и требовалось доказать.
Отсюда, по принципу математической индукции,
тождество (1) справедливо для любого к eN.
2) Пусть к eQ, к>0, т.е. к = —, где p,qeN.
Ч
По доказанному в п. 1) имеем два тождества:
f(x") = p-x"-,f(x),
f
χ
V )
«-I
X
\ J
f
χ
V J
Приравнивая правые части этих тождеств, получаем
/
Ρ
х"
\ )
-I
= -*' fix),
Ч
то есть тождество справедливо для любого
рационального А:>0.

146
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
3) Пусть к eR , к > 0. Тогда выберем
последовательность положительых рациональных чисел к^к^ кп
для которой lim kn = к.
П->0О
Так как функция f(x) непрерывна, то для любого
значения χ > 0 имеем
/(**)= lim/(x4 = \imkn ■x""-,f(x) = kxk-,f(x).
Из доказанного тождества (1) легко найти явный вид
функции f(x). Действительно, обозначив t = lnx, т.е.
х = е' получим:
f(x)=f(e,)=te",f(e) = (\nx)^f(e).
С другой стороны, при любом С eR функция
f(x) = С ■ χ In x удовлетворяет условию задачи.
*2.25. Найти все функции непрерывные и
удовлетворяющие соотношению
f(x+y)=f(x)+f(y)+x-y(x+y)-
(Киевский университет.)
Решение. Докажем, что для любого к eN справедливо
тождество
Дк.х)=к.Дх) + ^±х3 (1)
Для к = 1 тождество (1) очевидно.
Пусть оно справедливо для некоторого к eN. Тогда оно
справедливо и для к+1. Действительно,
f((k +1) · χ) = f(k ■ χ + χ) = f(k ■ χ) + f(x) + kx ■ χ( kx + χ) = -
къ -к
= kf(x) + ——хъ+Дх)+к(к + 1)-хъ =
=№+i№)+ii±Jifi*±Jiv.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 147
При этом f(k)=kf(l) + . (2)
2) Докажем теперь, что любого — eQ+ справедливо ра-
/С
венство
3
m ) m
л пг) m , I k
Положив в равенстве (1) х = —, получим
/С
{
тъ -т
_/(ш) къ-ктъ тЯ1) + ~у е-ктъ
к) к 3 к3 к Ъ-к къ
з
т т
т /-/14 тък2-тк1-тък2 +тъ т ,..,. L Аг J fc
= —/(1)+ ; = —/(1) + ·
fc 3fc3 fc 3
При х = у = 0 исходное уравнение принимает вид
ДО) = 2/(0). Отсюда Д0) = 0. Но при х = -у имеем
/(0)= /(*) + /(-*), т.е /(-*) =-Дх) И поэтому
4-
£L -5LW ^ ^ *
чз
/η ι I m
к) у к) 3
Следовательно, для любого г е Q справедливо равенство
Пусть теперь χ - любое действительное число (х е R), а
(г„) - последовательность рациональных чисел, сходяща-

148
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
яся κ χ. Тогда, переходя к пределу при и —> оо в равенстве
/(О = '*/(!)+ ^>
получим
Дх) = Сх + —, (3)
гдеС = /(1).
Непосредственной проверкой легко убедиться, что
функция (3) является решением исходного уравнения при
любом С eR.
*2.26. Найти все бесконечно дифференцируемые
функции f:R^>R, удовлетворяющие тождеству
Дх + у) = Дх) + Ду) + 2ху (1)
(Бельгия, 1977 г.)
Решение. Дифференцируя тождество (1) сначала по х, а
затем по у, получим два равенства:
Г(х + У) = Г(х) + 2у,
f(x + y) = f(y) + 2x.
Приравнивая правые части этих равенств, будем иметь
f(x) + 2y=f(y) + 2x или f(x)-2x = f(y)-2y.
Последнее равенство возможно, если каждая из двух
частей этого равенства равна одной и той же постоянной
С, то есть
f(x)-2x = C.
Интегрируя, получим
Дх) = х2+С.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что
функция Дх) = х +Сх есть искомое решение при любой со-
стоянной С.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 149
*2.27. Найти все дифференцируемые функции f:R—>R,
удовлетворяющие тождеству
Jx + y) Дх)+Ду)
f{~rr y-χ ' x'yeR' ХФу-
(Нью-Йорк, 1977 г.)
Решение. Заменим в уравнении у на х+у, а х на х-у,
получим
ηχ) = ΔΞ±Σ)ζΛΞζΙΪ(χ^
Отсюда
/"(*) =
2у
f(x+y)-f(x-y)
Дх + 2у)-Дх) Дх-2у)-Дх)
2у (~2у)
Дх + 2у) + Дх-2у)-2Дх)
Дифференцируя последнее равенство по х, получим
f,,( гЛ _ f'(x + 2y) + f(x-2y)-2f(x) _
J W- 4y2
1
Дх + 4у)-Дх) , Дх-4у)-Дх)
4/L 4y
(-4у)
= 0.
Дх + 4у)-Дх-4у)
4у
Таким образом, искомые функции обязаны
удовлетворять тождеству f"'(x) = 0, поэтому f"(x)= const, то есть
fix) = /"(0), f{x) = /"(0) · χ + f'(0),
χ2
Дх) = /"(0)—+Г(0)х + Д0). Заметим, что любая фун-

150
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
кция вида /(*) = = αχ2 + bx + χ, где a,b,ceR, обладает
всеми указанными в задаче свойствами.
*2.28. Найти все такие функции/, определенные на
множестве R+ положительных действительных чисел и
принимающие значения в R+, для которых выполняются
следующие условия:
1) /{х-/(у))=У-Дх) при любых x,yeR+,
2) /(*)-> 0 при х->+оо.
(ХХ1Умеждународная математическая олимпиада,
Франция, 1983 г.)
Решение. Предположим сначала, что /- искомая
функция. Положив в первом условии у- х, получаем, что при
любом х,у еЛ+ число b-x-f(x) является неподвижной
точкой функции/, т.е. f(b)=b.
Пусть а - произвольная неподвижная точка функции/.
Докажем, что а = 1.
Докажем, во-первых, что если а - неподвижная точка
функции /, то а" при и > 2 также является неподвижной
точкой функции/.
Действительно, при и = 1 утверждение справедливо. Пусть
утверждение справедливо для некоторого натурального и,
то есть справедливо равенство
/(«") = «"■
Рассмотрим /\ап+>\.
/(й"+|)=/(й"-й) = /(й./(й")) = й"/(й) = й"-й = й"+|.
Следовательно, по принципу математической индукции
а" - неподвижная точка при любом η eN. Далее,
й = /(й)=/(1й)=/(1/(й))=й/(1).
Так как а ф 0, то /(1) = 1. Затем имеем

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 151
'•/(ϊ)-/(ϊ·Λ.>)-·£·.)=Λΐ>-ι
/П ι ι
Отсюда / ~ —> то есть - - неподвижная точка. На-
\aj a a
f( ιλ- Г
конец, аналогично проверяется, что /1-„ \~~п- Таким
образом, все числа а" (и eZ) - неподвижные точки.
Из условия 2) заключаем, что а=1.
Итак, при любом χ eR+ имеем xf(x) -1, откуда
/(*) = -.
χ
Обратно, легко проверяется, что функция Дх) = —
χ
удовлетворяет условиям 1) и 2).
*2.29. Доказать, что если не равная тождественно нулю
функция f:R^>R удовлетворяет тождеству
f(x>f(y) = f(x + y),x,yeR
и дифференцируема в точке χ = 0, то она бесконечно
дифференцируема в любой точке χ eR.
(Англия, 1969 г.)
Решение. Подставив в исходное тождество для функции
Дх) значение х-у-0, получим Д0)(Д 0) -1) = О, то есть
или Д0) = 0, или /(0) = 1. Но если Д0) = 0, то из
тождества
ДО)·/(*) = /(*) (xeR)
следует тождество Дх) = 0, противоречащее условию
задачи. Итак, ДО) = 1.
Докажем, что функция f(x) дифференцируема на всей
числовой прямой.

152
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Действительно, для любого х eR имеем
Дх + у) = Дх>Ду) (yeR).
Отсюда
lim/(x+,)-/W=lim/(x)-/(7)-/W=/(;c)lim/(7)-/(0).
y-iQ у y-iQ у у-)0 у
Значит, предел в левой части последнего равенства
существует и равен
/'(*)=Я*)-/'(0).
Пусть f'(0) = a. Тогда f'(x) = af(x).
Отсюда следует, что функция f(x) дифференцируема
любое число раз. Действительно, из последнего равенства
последовательно находим
f"(x) = af(x) = a2f(x), Д"(х) = а2Г(х) = а'Дх) и т.д.
Таким образом, при любом neN имеем
/<">(х) = вУ(х).
2.30. Дх) = хСх'.
Указание. Полагая f(x) = lnf(x), преобразуем
исходное уравнение к виду
g(x-y)=yi>g(x) + x"g(y)·
Последнее уравнение может быть решено аналогично
решению уравнения 2.20.
Отметим, что это уравнение может быть решено и в
классе дифференцируемой функции. При этом его решение
сводится к решению линейного дифференциального
уравнения первого порядка.
2.31. f(x) = C arcsinx , где С - произвольная
постоянная.
2.32. f(x)=tgCx, где С - произвольная постоянная.

Элементарное введение в функциональные уравнения 153
*2.33. Пусть/и g- действительные функции,
определенные на всей прямой и удовлетворяющие уравнению
f{x + y) + f{x-y) = 2f{x)f{y)
для всех х,у. Докажите, что если f(x) не
тождественный нуль и если |/(х)| ^ 1 для всех*, то \g( j>)| ^ 1 для всех у.
(XIV международная математическая олимпиада, 1972
г., Варшава).
Решение. Допустим противное, т.е. что в некоторой
точке JOk(JO)| = a>'· Возьмем точку х0 такую, что /(х0)*0.
Определим по индукции последовательность {**}, где
к = 0,1,2..., следующим образом:
хк + Л» если \Яхк +Уо^\Яхк -Уо^
хК-Уо> если \/(хк + Уо^<\Яхк-Уо)\'
Используя данные в условии задачи уравнения,
получим:
МхкМ/Ы+УоЬ\Лхк-УоЫЛхк+уЛ+\Лх^УоЬ
= 2\f(xk]\g(y0] = 2a\f(xkl
Итак, \f(xk+i]>a\f(xkl a>\, £ = 0,1,2,...
Отсюда получаем, что [/"(λγ^. )| > α* - |/"(л:0)(. Но,
поскольку |/(х0)(^0 и а>1, можно подобрать такое к, для
которого а*-/(х0)|>1 и, значит, |/(χλ|>1, что противоречит
условию.
Полученное противоречие доказывает, что \g(y}\ ^ 1 для
всех у.
*2.34. Про функцию /, определенную на множестве всех
пар неотрицательных целых чисел (х,у), известно следующее:
1° Я0,у)=у + 1,

154
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
2° Дх + Щ= f(x,l),
3° f(x + ly + l)=f(x,f(x + l,y))
для каждой пары χ > О, у > 0. Найдите значения
/(4,1981).
(ХХП-ая международная математическая олимпиада,
1981 год).
Решение. Легко видеть, что /(1,0) = /(ОД) = 2. Применяя
соотношение 3°, находим
/(l,J')=/(0,/(l,J'-l)) = /(l,J'-l) + l,
отсюда следует, что
/(1,у)=Щ0) + у=у + 2.
Аналогично получаем, что
Д2,у) = 2у + Ъ.
Посмотрим, чему равно f(3,y). Имеем
/(3,0) =/(2,1) = 5,
/(3,^) = /(2,/(3^-1)) = 2/(3,^-1) + 3,
так что
Д3,1)=13, Д3,2) = 29, Д33)=61, /(3,4)= 125,...
Методом математической индукции можно доказать, что
/(3,j0 = 2"+3-3.
Выразим теперь f(4,y):
А4,У) = /(3,/(4,у-1)) = 2/(4^-1)+3 - 3,
причем /(4,0) = /(3,1) = 24 - 3 = 13.
В поисках /(4,j>) найдем предварительно /(4Д) и
/(4,2)·
Имеем
/(4Д) = 2/К0)+3-3 = 2222-3
ггг
/(4,2) = 2/(4·1)+3-3 = 22 -3.

Элементарное ввеление в функциональные уравнения 155
Методом математической индукции легко доказать, что
Д4)3>) = 22 -3,
где в показателе степени (у + 3) двойка и, значит,
2
/(4Д 981) = 2 - 3, где в показателе степени 1984 двойки.
4.1.а) Дх) = 4*.
б)/(х) = 2-(-3)*,
в) Я*) = (-ЗГ-2(-1)\
г)/(х)=Г2(х + 2).
4.2.а) /(x) = 22IC,cos— + C2sin— I,
б) Дх) = С{+С2х + С^х2,
в) /(x) = 2*ic,+C2cos^ + Qsin-y4.
4.3.а) /(х) = С,+С2-3*-2*(х + 1),
б) /(x) = 2*l C,+C2cos—+ C3siii —+ —L
в)
fix)-С,-2 cos—+С, ·2 sin—+ 2 -χ --cos—- +-sin— .
•^ ' ' 22 2 1,8242,1
4.4.a) f(x)= г;· Указание. Сделать подстановку
/(*)= —— ■
φ(χ)
B)f(x)=ke >g'+Y^,
r)/W = C.

156
Λ. Μ. ЛИХТАРНИКОВ
Литература
1. Я.Ацель. Некоторые общие методы в теории
функциональных уравнений одной переменной. Новые
применения функциональных уравнений. Успехи математических
наук, т. XI, вып 3. (69), 1-68, 1956 г.
2. J.Aczel. Vorlesungen iiber Funktionalgleichungen und
ihre anwendungen. Veb Deutscher Verlag der wissen-
schaften. Berlin. 1961.
3. А.О.Гельфонд. Исчисление конечных разностей. Гос.
издат. технико-теоретической литературы. Москва, 1952,
Ленинград.
4. Я.С.Бродский, А.К.Слипенко. Функциональные
уравнения. Киев, Вища школа, 1983 г. (библиотека физ.-мат.
школы. Математика).
5. Л .М.Лихтарников, Л.В.Зорик. Функциональные
уравнения (методические рекомендации для учителей
математики средних школ). Новгород, Новгородский
педагогический институт, 1986 г.
6. В.П.Одинец, А.И.Поволоцкий. Построение
элементарных функций. С.-Петербург: «Образование», 1995 г.
7. В.А.Садовничий, А.С.Подколзин. Задачи
студенческих олимпиад по математике. Москва: «Наука», 1978 г.
8. В.А.Садовничий, А.А.Григорьян, С.В.Конягин.
Задачи студенческих математических олимпиад. Издательство
московского университета, 1987 г.
9. Зарубежные математические олимпиады. Москва:
«Наука», 1987 г.
10. ЕА.Морозова, И.С.Петраков, ВА.Скворцов.
Международные математические олимпиады (задачи, решения,
итоги). Пособие для учащихся. Москва: «Просвещение», 1976 г.

Содержание
от автора 3
Введение 6
§ 1. Элементарные факты из начал анализа 6
§ 2. Основные понятия теории
функциональных уравнений 11
§ 3. Краткие сведения из теории дифференциальных
уравнений 15
Глава 1. Функциональные уравнения, не
СОДЕРЖАЩИЕ СВОБОДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ .... 20
§ 1. Метод подстановки решения функциональных
уравнений, не содержащих свободных
переменных 20
§ 2. Решение функциональных уравнений,
не содержащих свободных переменных,
в классе непрерывных функций 31
§ 3. Решение функциональных уравнений,
не содержащих свободных переменных,
в классе дифференцируемых функций 36
§ 4. Решение функциональных уравнений,
не содержащих свободных переменных, в классе
функций натурального аргумента 39
Глава 2. Функциональные уравнения,
содержащие свободные переменные 41
§ 1. Решение функциональных уравнений,
содержащих свободные переменные, методом
подстановок 42

§ 2. Метод Коши решения функциональных
уравнений, содержащих свободные
переменные 49
§ 3. Решение функциональных уравнений,
содержащих свободные переменные,
в классе дифференцируемых функций 55
Глава 3. Определение основных
элементарных функций с помощью
функциональных уравнений 58
§ 1. Определение линейной функции 59
§ 2. Определение показательной функции 62
§ 3. Определение логарифмической функции 66
§ 4. Определение степенной функции 70
§ 5. Определение тригонометрической функции 72
Глава 4. Разностные уравнения 78
§ 1. Общие понятия теории
разностных уравнений 78
§ 2. Решение линейных однородных уравнений с
постоянными коэффициентами
первого и второго порядка 83
§ 3. Решение линейных неоднородных разностных
уравнений с постоянными коэффициентами
первого и второго порядка 94
§ 4. Линейные разностные уравнения
с переменными коэффициентами-
первого порядка 104
Упражнения ПО
Ответы, указания, решения 122
Литература 156

Леонид Моисеевич Лихтарников
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВВЕДЕНИЕ В
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Генеральный директор А. Кноп
Заведующая редакцией О. Смирнова
Художественный редактор С. Шапиро
Корректор А. Гроссман
Оригинал-макет А. Олексенко
ЛР№ 063193 от 20.12.93 г.
Бумага газетная. Формат 84Х108'/з2.
Гарнитура Тайме. Печать офсетная.
Печ. л. 5,0. Тираж 10 000 экз.
Заказ № 959.
Издательство «ЛАНЬ»
193029, Санкт-Петербург, пр. Елизарова, 1
Отпечатано с готовых диапозитивов
в типографии им. Володарского "Лениздата"
Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 57

лементарное
ведение
ункциональные
равнения