Текст
лиеизт пвьер
ТЕОРІЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЪ ПОСТРОЕНІИ
н
/НВГУСТЪ НДЛЕРЪ
риватъ-доцентъ высшей технической школы въ Вѣнѣ
ТЕОРІЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЪ
ПОСТРОЕНІЙ
ПЕРЕВОДЪ СЪ НБМЕЦКНГО
подъ редакціей и съ примѣчаніями приватъ-доцента
С О. ШРТУНОВСКРГО
іір. 1961г
Типографія Акціонернаго Южно-Русскаго Обществу Ц^чатнаго Дѣла
(Пушкинская ул., собств. д. №
ПРЕДИСЛОВІЕ НВТОРН.
Появленіе настоящей книги вызвано желаніемъ пред-
ставить въ связномъ изложеніи и съ нѣкоторой полнотой
интересные и особенно увлекательные для начинающаго
методы и теоріи рѣшенія геометрическихъ задачъ на постро-
еніе. При этомъ не предполагается никакихъ болѣе или менѣе
подробныхъ свѣдѣній изъ высшей Математики; всѣ необ-
ходимыя вспомогательныя теоремы будутъ приведены; дока-
зательство ихъ, впрочемъ, часто будетъ лишь намѣчаться,
такъ что свѣдущій читатель не утомится, а начинающій
будетъ побуждаемъ доказать эти простыя предложенія.
Для того, чтобы книга удовлетворяла своему назначе-
нію — быть учебникомъ, она снабжена многочисленными
задачами для упражненія, рѣшеніе которыхъ по большей
части вкратцѣ указывается. Часть учебнаго матеріала раз-
бита по задачамъ, такъ что читатель, несмотря на умѣрен-
ный объемъ книги, будетъ оріентированъ во всѣхъ чисто
геометрическихъ вопросахъ, связанныхъ съ геометриче-
скими построеніями.
За оказанную во время составленія настоящей книги
поддержку я еще разъ здѣсь приношу свою горячую благо-
дарность Обществу поощренія нѣмецкихъ Науки, Искусства
и Литературы въ Богеміи.
ПРЕДИСЛОВІЕ РЕДАКТОРА.
На русскомъ языкѣ имѣются двѣ очень хорошія книги,
содержащія изложеніе методовъ рѣшенія геометрическихъ
задачъ на построеніе. Это — русскій переводъ книги Петер-
сена „Методы и теоріи рѣшенія геометрическихъ задачъ
на построеніе" (Харьковъ 1883) и книга И. Александрова
„Методы рѣшеній геометрическихъ задачъ на построеніе".
Однако каждая изъ этихъ книгъ содержитъ изложеніе только
частныхъ пріемовъ рѣшенія конструктивныхъ задачъ. Во-
просъ о критеріяхъ разрѣшимости или неразрѣшимости
задачи при опредѣленныхъ допущеніяхъ или при пользо-
ваніи соотвѣтствующими имъ чертежными инструментами
въ этихъ книгахъ не разсматривается. Такимъ образомъ,
замѣчательныя работы Маскерони, Штейнера, Венцеля и
другихъ геометровъ остаются неизвѣстными широкой пу-
бликѣ. Предлагаемая книга Адлера содержитъ въ себѣ
изложеніе, какъ частныхъ, такъ и общихъ методовъ рѣ-
шенія конструктивныхъ задачъ элементарной плоской Ге-
ометріи. Въ ней теорія конструктивныхъ задачъ разсма-
тривается во всей ея широтѣ, благодаря чему является
возможность ^дать критеріи разрѣшимости и неразрѣши-
мости задачи при помощи циркуля и линейки и т. п. При-
водятся изслѣдованія самого Адлера, имѣющаго значите™*
ныя заслуги въ теоріи примѣненія принципа обратйргкъ
радіусовъ и другихъ областяхъ.
Настоящій переводъ, сдѣланный студентоь^^Йоворос-
сійскаго университета Гр. Фихтенгольцемъ, итоженъ имъ
и мною рядомъ примѣчаній, облегчающихъАчтеніе книги;
они отмѣчены номерами и помѣщены вш^нцѣ.
VIII
ПРЕДИСЛОВІЕ РЕДАКТОРА.
Расходясь съ авторомъ въ нѣкоторыхъ чисто теоре-
тическихъ взглядахъ, я счелъ нужнымъ помѣстить здѣсь
Введеніе, въ которомъ разсматриваю вопросъ о наиболѣе
общемъ содержаніи задачи и о разрѣшеніи наиболѣе об-
щей задачи элементарной Геометріи при помощи циркуля
и линейки.
Одесса, Іюнь 1910.
С. ШатухоЬскій.
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
Приступая къ изложенію теоріи конструктивныхъ за-
дачъ элементарной Геометріи, мы считаемъ необходимымъ
нѣсколько остановиться на общемъ опредѣленіи задачи и
разъясненіи ея содержанія. Что такое задача и каково ея со-
держаніе въ наиболѣе общемъ случаѣ? Слѣдующее опредѣле-
ніе хотя, быть можетъ, и не вполнѣ отвѣчаетъ на поставлен-
ный вопросъ, но представляется намъ достаточно общимъ.
Задача есть изложеніе требованія „найти" по
„даннымъ" вещамъ другія, „искомыя" вещи, находя-
щіяся другъ къ другу и къ даннымъ вещамъ въ
указанныхъ соотношеніяхъ.
Принимая это опредѣленіе задачи мы предполагаемъ,
конечно, что предварительно опредѣлены всѣ термины,
входящіе въ его составъ (за исключеніемъ термина: задача),
или что эти термины приняты безъ опредѣленія либо въ
силу соглашенія, либо потому, что они имѣютъ достаточно
ясный смыслъ. Намъ придется однако обратить особое вни-
маніе на поставленные выше въ ковычки термины: найти,
данныя (вещи), искомыя (вещи). Каково бы ни было ихъ
реальное содержаніе (въ настоящій моментъ оно для насъ
безразлично), важнымъ представляется то обстоятельства^
что въ каждой задачѣ разсматриваются два класса вещей
(для насъ опять безразлично, будутъ ли эти вещи (^кон-
кретныя или отвлеченныя):
Одинъ классъ есть классъ данныхъ веще^О нихъ
говорятъ, что онѣ даны, указаны, извѣстны^Ъступны
нашему непосредственному или посредственному усмотрѣ-
нію, созерцанію, пониманію или предвиденію, нахо-
X
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
дятся въ нашемъ распоряженіи, что мы эти вещи знаемъ,
воображаемъ и т. д.
Наоборотъ, о вещахъ другого класса говорятъ, что
онѣ не даны, неизвѣстны, не указаны, что это суть
искомыя вещи, что онѣ должны быть найдены или опре-
дѣлены (вычислены — въ Ариѳметикѣ, построены — въ
Геометріи, вообще — обнаружены) и т. д.
Когда вещь найдена, о ней перестаютъ говорить, какъ
о вещи неизвѣстной: она переводится изъ класса искомыхъ
въ классъ данныхъ вещей. Такимъ образомъ, найти вещь
это значитъ сдѣлать такъ, чтобы мы не только могли,
но и обязаны были причислить вещь къ классу дан-
ныхъ или извѣстныхъ вещей. Поэтому совершенно ясно,
что задача не будетъ имѣть содержанія, терминъ
„найти" ничего не будетъ означать, если не указаны
тѣ обстоятельства, событія или условія, при осущест-
вленіи которыхъ мы обязаны перечислить вещь изъ
класса вещей неизвѣстныхъ въ классъ извѣстныхъ
вещей *).
Итакъ, въ каждой отдѣльной отрасли знанія или даже
въ каждой отдѣльной задачѣ терминъ найти можетъ имѣть
свое особое значеніе, но онъ долженъ быть опредѣленъ
въ томъ смыслѣ, что явно должны быть указаны тѣ условія,
при осуществленіи которыхъ искомая вещь считается най-
денной. Эти условія нерѣдко даются намъ тѣми или дру-
гими преслѣдуемыми цѣлями, зависящими весьма часто отъ
состоянія нашего сознанія или имѣющихся въ нашемъ рас-
поряженіи средствъ воспріятія; но эти условія могутъ быть
*) Здѣсь умѣстно будетъ сдѣлать слѣдующее замѣчаніе: поло-
жимъ, что искомая вещь х будетъ нами считаться найденной тогда и
только тогда, когда осуществится событіе а. Можно поставить вопросъ
о томъ, при наличности какихъ признаковъ р мы будемъ оговррить,
что событіе а осуществилось, затѣмъ—вопросъ о томъ, ка^бѣы при-
знаки у, свидѣтельствующіе о наличности признаковъ д. аб. іп-
Гіпііит. Мы будемъ поэтому предполагать, что во всж^ь разсматри-
ваемыхъ случаяхъ нѣтъ никакого сомнѣнія относи^йьно того, осу-
ществлены ли уже или еще не осуществлены тѣдрловія, при выпол-
неніи которыхъ вещь должна быть переведена^из^> класса искомыхъ
въ классъ данныхъ вещей.
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
XI
и иногда дѣйствительно являются предметомъ чистаго со-
глашенія. Въ послѣднемъ случаѣ мы можемъ измѣнять
условія, замѣщая одни другими, лишь бы только сово-
купность соглашеній не содержала логическаго противо-
рѣчія. Но нельзя не устанавливать никакихъ усло-
вій относительно перечисленія вещи изъ класса
искомыхъ въ классъ данныхъ, ибо при отсутствіи
такихъ условій задача не имѣетъ смысла.
Если, напримѣръ, А предлагаетъ В раздѣлить попо-
ламъ данный прямолинейный отрѣзокъ Л/7Ѵ, то прежде,
чѣмъ приступить къ рѣшенію задачи, В долженъ узнать,
при выполненіи какихъ условій А будетъ считать, что
середина О отрѣзка МЫ найдена, ибо въ противномъ слу-
чаѣ В можетъ разсуждать, какъ угодно, и дѣлать, что
угодно, между тѣмъ какъ А все будетъ говорить, что сере-
дина О не найдена. На практикѣ, когда МЫ есть начер-
ченный отрѣзокъ или вообще отрѣзокъ, опредѣляемый
двумя реальными (начерченными) точками, середина О счи-
тается найденной, когда она отмѣчена особымъ знакомъ
или когда въ ней находится ножка циркуля. Въ Геометріи
середина О считается найденной только тогда, когда мы
къ ней пришли при помощи нѣкоторыхъ вполнѣ опредѣ-
ленныхъ пріемовъ, о чемъ рѣчь будетъ ниже.
Предложенія, которыми устанавливаются тѣ фак-
ты, обстоятельства или условія, при наличности ко-
торыхъ искомая вещь становится данной, мы будемъ
называть постулатами, лежащими въ основѣ рѣше-
нія данной задачи или данной группы задачъ, раз-
сматриваемыхъ въ той или другой дисциплинѣ (эти
постулаты можно было бы назвать логическими средствами
рѣшенія).
Переходя теперь къ конструктивнымъ задачамъ эле-.
ментарной плоской Геометріи, мы прежде всего укажемъ тѣ^
постулаты, которые обыкновенно кладутся въ осно^йе
рѣшенія этихъ задачъ. Замѣтимъ для этой цѣлнАйто въ
элементарной плоской Геометріи разсматриваютт^рѣолько
слѣдующіе образы:
і. Точки, прямыя, прямолинейные отрѣзкй^окружности
и ихъ дуги. Эти образы будемъ называть <^рж)вными.
XII
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
2. Совокупности основныхъ образовъ.
3. Конечныя или безконечныя (напр. углы) части пло-
скости, ограничиваемыя основными образами.
Мы принимаемъ:
Постулатъ I. Прямая и прямолинейный отрѣзокъ
соотвѣтственно считаются построенными тогда и
только тогда, когда даны или построены двѣ точки
прямой или концы отрѣзка.
Постулатъ II. Окружность считается построенной
тогда и только тогда, когда даны или построены ея
центръ и двѣ точки, которыми опредѣляется ея раді-
усъ. (Одною изъ этихъ точекъ можетъ быть центръ,
а другою — точка на окружности.) Дуга окружности
считается построенной въ томъ и только въ томъ слу-
чаѣ, когда даны или построены ея центръ и ея концы.
Постулатъ III. Точка построена, если она есть
пересѣченіе двухъ данныхъ или построенныхъ пря-
мыхъ.
Постулатъ IV. Точка построена, если она есть
общая точка данной или построенной прямой и дан-
ной или построенной окружности.
Постулать V. Точка построена, если она есть об-
щая точка двухъ данныхъ или построенныхъ окруж-
ностей.
Постулатъ VI. Всякій другой образъ считается
построеннымъ, если даны или построены основные
образы, изъ которыхъ онъ состоитъ или которые
его ограничиваютъ.
Въ черченіи, гдѣ строятся не геометрическіе образы,
а ихъ графическія изображенія, эти постулаты практически
осуществляются помощью циркуля и линейки, при чемъ оба
эти инструмента употребляются опредѣленнымъ обрафмъ,
а именно: при помощи линейки проводится грд^^чёское
изображеніе прямой черезъ графически заданныя д^ки, при
помощи циркуля описываютъ изъ графичес^^заданнаго
центра графическую окружность, имѣющую графически за-
данный радіусъ. Другое употребленіе циШ^я или линейки
можетъ не соотвѣтствовать нашимъ первымъ двумъ посту-
латамъ. Что касается постулатовъ ІІІ<^СМ, то ихъ осущест-
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
XIII
вленіе содержится въ томъ фактѣ, что мы непосредственно
усматриваемъ общія точки графически данныхъ прямыхъ и
окружностей. Случаи, когда эти общія точки лежатъ внѣ
эпюра (рамокъ) чертежа и потому не усматриваются непосред-
ственно и не считаются построенными, соотвѣтствуютъ тѣмъ
случаямъ, когда тотъ или иной изъ постулатовъ III—V от-
брасывается (см., напр., задачи на стр. 75 и примѣчаніе 76).
Можно, конечно, установить другіе постулаты, кото-
рымъ будутъ соотвѣтствовать либо другіе чертежные ин-
струменты, либо другіе способы употребленія циркуля и
линейки. Можно, наоборотъ, задать чертежные инструменты
и способъ ихъ употребленія и поставить на разрѣшеніе
вопросъ о томъ, каковы соотвѣтственные постулаты (см.,
напр., главы II, III, IV и примѣчанія къ нимъ), но какіе либо
постулаты должны быть установлены (или соотвѣтствующіе
имъ инструменты выбраны), такъ какъ въ противномъ слу-
чаѣ задача лишена содержанія.
Установленные нами постулаты, отвѣчающіе обыкно-
венному способу пользованія циркулемъ и линейкой, экви-
валентны слѣдующему допущенію. Конструктивная задача
элементарной плоской Геометріи считается рѣшенной, если
она приведена къ рѣшенію конечнаго числа задачъ, изъ
которыхъ каждая есть одна изъ слѣдующихъ пяти задачъ:
I. черезъ двѣ данныя точки провести прямую или отрѣзокъ,
ихъ соединяющій; II. изъ данной точки описать окружность
даннаго радіуса или начертить дугу окружности по ея кон-
цамъ и ея центру; III. найти общую точку двухъ данныхъ
прямыхъ; IV. найти общія точки данной прямой и данной
окружности; V. найти общія точки двухъ данныхъ окруж-
ностей. Для геометра безразлично, какъ рѣшаются
эти пять задачъ. Ихъ рѣшеніе ему извѣстно по условію,
и къ нимъ должна сводиться всякая другая задача для того,^
чтобы считаться рѣшенной.
Принявъ постулаты I—VI, мы поставимъ себѣ тетарь
на разрѣшеніе наиболѣе общую конструктивную дз^дачу
элементарной плоской Геометріи. Такъ какъ кажды^образъ
опредѣляется ограничивающими его основнымй^^м. выше)
образами, а эти въ свою очередь считаются достроенными,
когда найдены нѣкоторыя опредѣляющія^джъ точки, то
XIV
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
можно принять, что каждый геометрическій образъ задается
нѣкоторою системою точекъ и что требованіе построить
геометрическій образъ есть требованіе о построеніи системы
точекъ. Наиболѣе общая конструктивная задача можетъ по-
этому быть выражена такъ:
По данной системѣ точекъ Рх (Р/, Р/',... Рі(к)), содер-
жащей конечное число точекъ Р/,... Р/% требуется
построить другую конечную систему (2 ((?> (2”, ••• 0!к)\
точекъ, подъ условіемъ, чтобы эти послѣднія удовле-
творяли нѣкоторымъ напередъ указаннымъ требова
ніямъ.
Точки Р/,... Рх(к) данной системы Рх будемъ называть
точками перваго класса. Найдемъ всѣ тѣ образы, которые
могутъ и должны считаться построенными въ силу посту-
латовъ I—VI. Мы можемъ, впрочемъ, игнорировать послѣд-
ній постулатъ и задаться только такимъ вопросомъ: какіе
основные образы могутъ и должны считаться построенными,
когда приняты постулаты I—V и дана система точекъ Р,?
Если эта задача рѣшена, то должны считаться построен-
ными и всѣ тѣ образы, которые составляются изъ основ-
ныхъ или ограничиваются ими.
Постулаты III—V говорятъ объ основныхъ образахъ,
которые должны считаться построенными, когда даны (по-
строены) прямыя или окружности. Эти постулаты непосред-
ственно ничего не могутъ дать въ примѣненіи къ точкамъ
системы Рѵ Въ силу же постулата I мы можемъ и должны
считать построенными всѣ прямыя Іх и прямолинейные от-
рѣзки опредѣляемые всевозможными парами точекъ пер-
ваго класса. Эти прямыя и отрѣзки будемъ называть пря-
мыми и отрѣзками перваго класса. Въ силу же посту-
лата II теперь должны считаться построенными всѣ окруж-
ности для которыхъ центрами служатъ точки перваго
класса, а радіусами—прямолинейные отрѣзки перваго іСдасса.
Эти окружности мы будемъ называть окружностей пер-
ваго класса.
Такимъ образомъ, мы имѣемъ теперь
точки Рх
прямыя Ц
отрѣзки
окружности 01
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
XV
Примѣняя теперь постулаты III—V, мы можемъ и
должны считать построенными всѣ отличныя отъ точекъ Рх
точки встрѣчи построенныхъ уже окружностей и прямыхъ.
Эти точки Р2 мы будемъ называть точками второго класса.
Въ силу постулатовъ I и II мы можемъ, по аналогіи съ пре-
дыдущимъ, считать построенными прямыя /2, отрѣзки Л2 и
окружности 02 второго класса, затѣмъ точки Р3 третьяго
класса и т. д.
Совокупность точекъ классовъ Р2, Р3,... содержитъ
въ себѣ всѣ тѣ и только тѣ точки, которыя могутъ и
должны считаться построенными въ силу постулатовъ
I—V, когда точки Рх образуютъ данную, исходную систему
точекъ. Если искомыя точки () найдутся среди точекъ Р1Ч
Р21 Р3,..., то задача при нашихъ постулатахъ разрѣшима.
Если же искомыхъ точекъ () не будетъ среди точекъ Ри
Р2, Р3,..., какъ бы далеко мы этотъ рядъ ни продол-
жали, то задача не будетъ имѣть рѣшенія. Пояснимъ это
еще такъ: Если точки системъ Ри Р2,--. не покрываютъ
всей плоскости, такъ что на плоскости имѣется одна или
нѣсколько точекъ которыя не будутъ принадлежать ни къ
одному изъ классовъ Р1} Р2,..., то всякая задача, въ кото-
рой даны только точки а ищется хоть одна изъ точекъ
7, будетъ неразрѣшимой при нашихъ постулатахъ, хотя она
и могла бы быть разрѣшимой при другихъ постулатахъ.
Такъ, напримѣръ, (если требованіе, которымъ должны удо-
влетворять точки д въ нашей задачѣ, не противорѣчатъ другъ
другу) можно было бы принять за постулатъ, что точки д
построены, когда точки Рх даны; въ этомъ случаѣ задача,
въ которой точки д суть искомыя, разрѣшима въ силу
установленнаго постулата. Въ книгѣ Адлера приводится
много примѣровъ задачъ, неразрѣшимыхъ при однихъ, но
разрѣшимыхъ при другихъ постулатахъ (см., напр., §§ 35^
45, 4б, 49 и 51).
Въ предыдущемъ изложеніи указанъ путь, слѣдуя і^Ьб-
рому мы, принявъ обычные постулаты, непремѣнно нДідемъ
рѣшеніе задачи, если только рѣшеніе можетъ бытьатолучено
при этихъ постулатахъ. Разсмотримъ, напримѣг^азадачу о
дѣленіи пополамъ прямолинейнаго отрѣзка заданнаго
его концами. Система Рх точекъ перваго ДІасса состоитъ
XVI
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
изъ двухъ точекъ А и В, Искомый образъ есть точка С,
дѣлящая пополамъ отрѣзокъ АВ. Отрѣзокъ АВ, прямая
АВ, окружность А(АВ) центра А и радіуса АВ и окружность
В(АВ) образуютъ систему отрѣзковъ, прямыхъ и окружно-
стей перваго класса. Если 71/, суть точки пересѣченія окруж-
ностей А(АВ) и В(АВ), Р и О—вторыя точки пересѣченія
этихъ окружностей съ прямою АВ, то точки М, 7Ѵ, Р, О
образуютъ систему точекъ второго класса. Среди 9-ти пря-
мыхъ и 28-ми окружностей второго класса имѣется прямая
МШ, которая въ пересѣченіи съ прямой АВ даетъ искомую
точку С. Поэтому искомая точка есть точка третьяго класса.
Разсмотримъ еще дѣленіе пополамъ дуги АВ (окруж-
ности), заданной центромъ О и концами А и В. Точки О,
А, В образуютъ систему точекъ перваго класса. Три отрѣзка
ОА, ОВ, АВ, три прямыя О А, ОВ, АВ и девять окруж-
ностей 7Ѵ (Р0>) (гдѣ центръ 7Ѵ есть одна изъ точекъ //, В, О,
а радіусъ РО есть одинъ изъ отрѣзковъ ОА, ОВ, АВ)
образуютъ систему отрѣзковъ, прямыхъ и окружностей
перваго класса. Точки встрѣчи этихъ образовъ другъ съ
другомъ (исключая О, А, В) образуютъ систему точекъ
второго класса. Среди нихъ имѣется отличная отъ О точка
встрѣчи С окружностей А(АВ) и В(АВ). Прямая ОС при-
надлежитъ второму классу, а точка 79 ея встрѣчи съ окруж-
ностью О(АВ) (лежащая на данной дугѣ) принадлежитъ
третьему классу и есть искомая точка.
Указанный общій методъ рѣшенія задачъ при помощи
циркуля и линейки не только страдаетъ недостатками, свой-
ственными всякому общему методу, но оставляетъ безъ отвѣта
вопросъ о критеріяхъ разрѣшимости или неразрѣшимо-
сти данной задачи при помощи циркуля и линейки. Критеріи
разрѣшимости или неразрѣшимости устанавливаются анали-
тически (стр. 8, 195) и выражаются слѣдующимъ образомъ:
Для того, чтобы отрѣзокъ Л могъ быть п^ѣ^ро-
енъ при помощи циркуля и линейки, необхфхимо и
достаточно, чтобы длина Л могла быть вьг^жена въ
функціи раціональныхъ чиселъ и отрѣзі^о^ъ перваго
класса при помощи конечнаго числ^стоженій, вы-
читаній, умноженій, дѣленій и извлеченій квадрат-
ныхъ корней. '
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
XVII
Отсюда выводится, что всякій отрѣзокъ, построяемый
съ помощью циркуля и линейки, есть корень алгебраиче-
скаго неприводимаго уравненія степени 2й. Критерій раз-
рѣшимости такого уравненія въ квадратныхъ радикалахъ
уже данъ былъ Венцелемъ *).
Мы остановимся еще на двухъ вопросахъ, а именно
на вопросахъ о произвольныхъ элементахъ и о геометрогра-
фическихъ рѣшеніяхъ.
Произвольные элементы. Нерѣдко при рѣшеніи
геометрической задачи пользуются такъ называемыми произ-
вольными точками, а именно либо берутъ произвольную
точку на плоскости, или на данной прямой, или на данной
окружности или внутри (либо внѣ) данной фигуры, либо
допускаютъ еще, что эта произвольная точка отлична отъ
нѣкоторыхъ данныхъ или построенныхъ уже точекъ. Такія
допущенія составляютъ особенные постулаты, которые дол-
жны быть установлены особыми договорами. При употребле-
ніи циркуля и линейки такіе постулаты оказываются лиш-
ними: произвольную точку легко замѣнить построенной даже
въ томъ случаѣ, когда она должна быть отлична отъ нѣ-
которыхъ данныхъ или построенныхъ точекъ. Такъ, напри-
мѣръ, если на прямой или дугѣ уже имѣются построеныя
точки, расположенныя въ порядкѣ: А,В,С,... К, то мы мо-
жемъ замѣнить произвольную точку, отличную отъ А, В,
С,... К,— серединой отрѣзка (дуги), опредѣляемаго (опредѣ-
ляемой) двумя послѣдовательными точками.
Есть однако и такіе случаи, когда допущеніе о пріоб-
щеніи произвольныхъ точекъ къ числу данныхъ или уже
построенныхъ является существеннымъ: циклъ разрѣшимыхъ
задачъ можетъ быть суженъ, если отбросить право пользо-
ванія произвольными точками (см., напр., примѣчанія 74 и 97).
Геометрографическія рѣшенія. Простѣйшее рѣше--^
ніе данной конструктивной задачи называютъ геометрогр^<
фическимъ ея рѣшеніемъ. Такое опредѣленіе не имѣетъ
Л) Въ настоящее время мы имѣемъ другой критерішч&я того,
чтобы неприводимое уравненіе могло быть рѣшено въш^Йдратныхъ
радикалахъ, необходимо и достаточно, чтобы оно имѣл^у группу по-
рядка 2п.
XVIII
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
смысла, если не установлено мѣрило простоты. По Лемуану,
простота рѣшенія опредѣляется слѣдующимъ образомъ.
Лемуанъ разсматриваетъ 4 элементарныя операціи: і) при-
кладываніе линейки къ данной точкѣ, 2) помѣщеніе ножки
циркуля въ данной точкѣ, 3) проведеніе прямой и 4) описа-
ніе окружности. Къ каждой изъ этихъ операціи Лемуанъ
относитъ число і и называетъ число 5 всѣхъ элементар-
ныхъ операцій, потребныхъ для рѣшенія задачи, коэффи-
ціентомъ простоты или простотой рѣшенія. Проведеніе
прямой черезъ данныя 2 точки имѣетъ поэтому коэффиціентъ
простоты з (линейка прикладывается къ двумъ точкамъ и
проводится одна прямая). Вычерчиваніе окружности изъ
даннаго центра О даннымъ радіусомъ АВ имѣетъ коэффи-
ціентъ 4 (помѣщеніе двухъ ножекъ циркуля соотвѣтствен-
но въ А и 23, помѣщеніе одной ножки циркуля въ О, вы-
черчиваніе одной окружности) или з (если О совпадаетъ съ
А или съ 5), или 2 (если циркуль имѣетъ растворъ АВ
вслѣдствіе того, что уже раньше вычерчивалась окру-
жность радіуса АВ).
Мы покажемъ, что, имѣя какое либо рѣшеніе задачи,
можно при помощи конечнаго числа испытаній найти ея
геометрографическое рѣшеніе. Замѣтимъ для этой цѣли,
что для полученія точки класса п > і необходимо произ-
вести, по меньшей мѣрѣ, яп -ф-1 элементарныхъ операцій.
Это докажется индуктивно. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ
;/=2. Такъ какъ точка 2-го класса есть пересѣченіе двухъ
линій і-го класса, то для полученія точки второго класса
необходимо вычертить либо 2 прямыя і-го класса (просто-
та 6), либо прямую и окружность перваго класса (простота
7 или 6) или двѣ окружности перваго класса (простота 8,
или 7, или 6, или 5). Такимъ образомъ, при ;г = 2 число
элементарныхъ операцій дѣйствительно не меньше, кѣмъ
5 = 2.2-|-і. Точка класса есть пересѣченіе прямб^гили
окружности класса п съ прямой или окружность^^гого же
или низшаго класса. Допустивъ наше предложфйе для чи-
сла п, замѣтимъ, что для полученія прямой окружности
;/-го класса і) необходимо имѣть точку класса, что по
допущенію требуетъ по меньшей мѣрѣ^^К|-і операцій, и 2)
необходимо вычертить линію и-го щЙсЩа, что требуетъ по
ВВЕДЕНІЕ РЕДАКТОРА.
XIX
меньшей мѣрѣ двухъ элементарныхъ операцій, такъ что для
полученія точки ^-го класса необходимо сдѣлать по меньшей
мѣрѣ 2//—|— і -|-2 = 2(/і —|— і) Ц- і операцій. Положимъ теперь,
что нѣкоторая задача рѣшена и рѣшеніе имѣетъ простоту 5.
Найдемъ наибольшее число г, удовлетворяющее неравенству
2Ѵ + I < 5.
Тогда
2(^ + і) + і>5.
Точка класса ѵ -|- і требуетъ 2 (у -ф- і) -ф- і >5 элементарныхъ
операцій. Отсюда слѣдуетъ, что въ составъ геометрографи-
ческаго рѣшенія не можетъ войти ни одна точка класса
г-|-і и потому для полученія геометрографическаго рѣшенія
достаточно испытать точки первыхъ ѵ классовъ. Число
этихъ точекъ конечно *).
Примѣчаніе. Коэффиціентъ простоты иногда можетъ
быть пониженъ отъ введенія произвольныхъ точекъ. Въ
этомъ случаѣ слѣдуетъ получить геометрографическое рѣ-
шеніе безъ введенія произвольныхъ точекъ и затѣмъ опре-
дѣлить, какія изъ данныхъ или построенныхъ точекъ мо-
гутъ быть замѣнены произвольными. Такъ, напримѣръ, безъ
введенія произвольныхъ точекъ геометрографическое дѣле-
ніе отрѣзка АВ на 2 равныя части имѣетъ простоту и.
Если же замѣнить окружности А(АВ) и В(ЛВ) двумя
окружностями произвольныхъ равныхъ радіусовъ, то про-
стота будетъ ю.
*) Кажется, что до сихъ поръ еще не былъ убранъ ни одинъ
методъ полученія геометрографическаго рѣшенія.
ОГЛАВЛЕНІЕ.
1. ГЛАВА.
Методы рѣшенія геометрическихъ задачъ на построеніе.
Стр.
§ і. Методъ алгебраическаго анализа (3 примѣра;
задача Мальфатти)................................ 7
§ 2. Методъ геометрическихъ мѣстъ (задачи і—19) . 13
§ 3. Методъ подобныхъ фигуръ (задачи 20— 28) ... 22
§ 4. Методъ вспомогательныхъ фигуръ (задачи 29—39) 24
§ 5. Методъ преобразованія фигуръ (задачи 40—68) . 26
А) Параллельное перенесеніе (задачи 40—50) . 26
В) Перекладываніе (задачи 51—63)......... 29
С) Вращеніе (задачи 64—68)............ . 32
§ 6. Методъ инверсіи (задачи 69—87)................ 35
§ 7. Стереометрическія изслѣдованія, какъ средство
рѣшенія геометрическихъ задачъ на построе-
ніе (задачи 88—юі)................................ 57
§ 8. Приближенное рѣшеніе задачъ на построеніе,
кривая ошибокъ .................................. 72
II. ГЛАВА.
Построенія, выполняемыя съ помощью проведенія лишь
прямыхъ линій, при условіи пользованія данным^фигу-
рами (построенія Штейнера).
§ 9. Введеніе (задача 102)
74
XXII
ОГЛАВЛЕНІЕ.
Стр.
§ іо. Построенія, выполняемыя помощью проведенія
однѣхъ лишь прямыхъ линій, если даны двѣ
параллельныя прямыя (задачи 103—ш) ... 76
§ іі. Построенія, выполняемыя проведеніемъ однѣхъ
лишь прямыхъ линій, если данъ параллело-
граммъ (задачи 112—ііб)............................. 8о
§ 12. Построенія, выполняемыя проведеніемъ лишь
прямыхъ линій, когда данъ квадратъ (задачи
117—122)............................................ 8т
§ 13. Построенія, выполняемыя проведеніемъ однѣхъ
лишь прямыхъ линій, когда дана постоянная
окружность и ея центръ (задачи 123—136) . . 82
III. ГЛАВА.
Построенія, выполняемыя помощью описыванія окруж-
ностей (построенія Маскерони).
§ 14. Лемма....................................... 91
§ 15. Дѣленіе окружности на равныя части (задачи
І37—т4°)......................................... 92
§ іб. Умноженіе и дѣленіе отрѣзковъ (задачи 141—
і44)............................................. 95
§ 17. Сложеніе и вычитаніе отрѣзковъ. Построеніе
параллелей и перпендикуляровъ (задачи 145— '
148)............................................. юі
§ 18. Построеніе пропорціональныхъ отрѣзковъ (за-
дачи 149—154).................................. 102
§ 19. Пересѣченіе прямыхъ линій съ окружностями и
прямыми; умноженіе и дѣленіе угловъ (задачи /х
155-158)................................ • • • ; е^107
§ 20. Примѣненіе принципа обратныхъ радіусовъ
рѣшенію геометрическихъ задачъ на пос^фЪе-
ніе второй степени съ помощью одногоЬюлько
циркуля (задачи 159—ібі) . . . . .... 109
§ 21. Построенія при одномъ растворѣ^лдаркуля (за-
дача 162) ..................................... 118
ОГЛАВЛЕНІЕ.
XXIII
Стр.
IV. ГЛАВА.
Построенія, совершаемыя при помощи линейки съ па-
раллельными краями (двѣ параллельныя прямыя на
постоянномъ разстояніи); построенія, совершаемыя съ
помощью подвижного прямого угла; построенія, совер-
шаемыя съ помощью произвольнаго подвижного угла;
построенія, совершаемыя съ помощью линейки и по-
стояннаго отрѣзка (эталона длины); построенія, совер-
шаемыя съ помощью биссектора.
§ 22. Введеніе. (Строгія и приближенныя рѣшенія
геометрическихъ задачъ на построеніе. Основ-
ныя чертежныя операціи; элементарныя гео-
метрическія задачи)................................ 121
§ 23. Геометрическія построенія, выполняемыя съ по-
мощью линейки о двухъ параллельныхъ краяхъ
(задачи 163—172)................................... 124
§ 24. Построенія, совершаемыя съ помощью прямого
угла (задачи 173—180)........................... . 129
§ 25. Построенія, выполняемыя съ помощью произ-
вольнаго угла (задачи 181—187)......................132
§ 26. Построенія, производимыя съ помощью односто-
ронней линейки и постояннаго отрѣзка (за-
дачи (188—193)..................................... 135
§ 27. Построенія съ помощью биссектора............. 140
V. ГЛАВА.
Задачи первой и второй степени.
§ 28. Леммы изъ проективной Геометріи............
§ 29. Классификація геометрическихъ задачъ на по-^^
строеніе.....................................
§ 30. Визуальныя задачи первой и второй степені^а-
дачи 194—199) .........................‘ ' 160
§ 31. Метрическія задачи первой и второй стедени (за-
дачи 200—204)................................... 167
XXIV
ОГЛАВЛЕНІЕ.
Стр.
§ 32. Графическое рѣшеніе уравненій второй степени. 170
і. Рѣшеніе квадратнаго уравненія путемъ про-
веденія однѣхъ лишь прямыхъ линій при пользо-
ваніи начерченною окружностью................... 171
2. Опредѣленіе корней уравненія второй сте-
пени при помощи прямого угла ............... 173
VI. ГЛАВА.
Доказательства невозможности.
§ 33. Введеніе.................................. 176
§ 34. О невозможности опредѣлить абсолютъ плоско-
сти съ помощью визуальныхъ чертежныхъ опе-
рацій ..................................... .... 177
§ 35. Доказательство невозможности рѣшить каждую
задачу второй степени съ помощью проведенія
прямыхъ линій и перенесенія отрѣзковъ ... 179
§ 36. Доказательство невозможности строгаго рѣше-
нія съ помощью проведенія прямыхъ линій и
описыванія окружностей геометрической за-
дачи, которая зависитъ отъ неприводимаго
уравненія третьей степени........................ 183
§ 37. О возможности или невозможности рѣшенія гео-
метрической задачи съ помощью циркуля и
линейки ......................................... 191
VII. ГЛАВА.
Дѣленіе окружности. (Построеніе правильныхъ много-
угольниковъ.)
§
§
§
§
38. Введеніе. . ............................. ^5^95
39. Геометрическое представленіе комплексныхъ ч^^
селъ.................................... -^4^ - 196
40. Корни изъ единицы......................... 198
41. Построеніе правильныхъ пятиугольникѣ^ деся-
тиугольника .................................. 200
а) Съ помощью циркуля и дММіки .... 202
ОГЛАВЛЕНІЕ.
XXV
Стр.
Ь) Съ помощью Штейнеровой окружности
(методъ Штаудта) . ..................... 202
с) Съ помощью прямого угла............. 203
§ 42. Правильные семи- и девятиугольникъ . . . 204
§ 43. Построеніе правильнаго семнадцатиугольника
(задачи 207—208).................................206
і. Вычисленіе корней семнадцатой степени изъ
единицы............................. . . . 206
2. Построеніе правильнаго семнадцатиуголь-
ника ........................................ 210
А) Съ помощью циркуля и линейки (по Серре-
Бахману, Шуберту)..........................210
В) Съ помощью Штейнеровой окружности (по
Штаудту)...................................212
С) Съ помощью одного только циркуля (по
Жерару)............................ ..... 216
П) Съ помощью, прямого угла............... 220
§ 44. Теоремы о возможности построенія правиль-
ныхъ многоугольниковъ............................222
VIII. ГЛАВА.
Геометрическія построенія третьей и четвертой степени.
§ 45. Удвоеніе куба (Делійская проблема)........... 225
і. Рѣшеніе съ помощью коническихъ сѣченій . 226
2. Рѣшеніе съ помощью конхоиды Никомеда . 227
3. Рѣшеніе съ помощью циссоиды Діоклеса . 2З0
4. Рѣшеніе Аполлонія.....................231
5. Рѣшеніе съ помощью двухъ прямыхъ угловъ 232
6. Приближенный методъ Буонафальче . . . 233
§ 46. Трисекція угла . . .• ...........234.
і. Уравненіе, къ которому приводитъ трисекція 5"
угла а............... ......... ... <^^34
2. Трисекція угла съ помощью коническихъ^^
ченій..................... .... . 237
3. Трисекція угла съ помощью бумажной^Йоски 240
4. Трисекція угла съ помощью Ник^Медовой
конхоиды и Паскалевой улитки . . . . . .... 241
XXVI
ОГЛАВЛЕНІЕ.
Стр
5. Инструменты для дѣленія угла на три части 242
§ 47. Графическое рѣшеніе уравненій третьей и чет-
вертой степени.................. . . . . 245
і. Приведеніе биквадратнаго уравненія къ ку-
бическому .................................... 245
2. Рѣшеніе съ помощью коническихъ сѣчееій. 246
3. Графическое рѣшеніе уравненій третьнй и
четвертой степени съ помощью произвольнаго на-
черченнаго коническаго сѣченія.................248
4. Результаты работъ Кортума и Смита отно-
сительно геометрическихъ задачъ на построеніе
третьей и четвертой степени . . . . ... 252
§ 48. Рѣшеніе уравненій третьей степени съ помощью
двухъ прямыхъ угловъ ...................... 253
§ 49. Построеніе правильнаго семиугольника и девяти-
угольника съ помощью двухъ прямыхъ угловъ 256
§ 50. Визуальныя задачи третьей и четвертой степени 258
IX. ГЛАВА.
Историческія замѣчанія относительно квадратуры круга;
приближенное выпрямленіе окружности; правила для
увеличенія точности построеній.
§ 51. Историческія замѣчанія относительно квадратуры
круга............................... ... . 260
§ 52. Приближенное выпрямленіе окружности .... 263
і. О точности выполненнаго построенія . . . 263
2. Методы для приближеннаго выпрямленія
окружности.................................264
§ 53. Правила для увеличенія точности построеній . 269
X. ГЛАВА.
§
Г еометрографія.
54. Допущенія Лемуана............
55. Критика и ^распространеніе допущецДг
§ 56. Примѣры и задачи для упраж
209—228)
272
275
емуана
(задачи
281
нисизт ншек
ТЕОРІЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЪ ПОСТРОЕНІЙ
Историческія замѣчанія.
і. Подъ Теоріей геометрическихъ построеній
обыкновенно разумѣютъ изложеніе методовъ для рѣшенія
предложенныхъ геометрическихъ задачъ на построеніе.
Такого рода методовъ было указано большое число;
имъ исключительно и будетъ посвящена первая глава на-
стоящей книги.
Но существуютъ еще и другіе вопросы, также отно-
сящіеся къ Теоріи геометрическихъ построеній и гораздо
рѣже подвергавшіеся разработкѣ; въ настоящемъ сочиненіи
имъ отведена большая часть мѣста.
2. Къ числу ихъ принадлежитъ вопросъ объ области
примѣненія каждаго изъ употребляемыхъ средствъ рѣ-
шенія, т. е. вопросъ о томъ, какія задачи можно строго
разрѣшить каждымъ изъ нихъ въ отдѣльности, ка-
кія-же лишь помощью нѣсколькихъ средствъ рѣше-
нія, взятыхъ въ совокупности.
Въ 1797 году Маскерони (Мазсѣегопі) въ своемъ
знаменитомъ сочиненіи „Ьа Сеошеѣгіа сіеі Сотра8зо“
доказалъ, что всѣ геометрическія построенія, которыя раньше
выполнялись циркулемъ и линейкой (т. е. всѣ такъ назы-
ваемыя построенія второй степени), могутъ быть выпол-
нены также и помощью одного лишь циркуля. Эти построенія
особенно удобны для нѣкоторыхъ практическихъ цѣлеЖ
напр.? для дѣленія окружности на части, такъ какъ циркШгь
является болѣе точнымъ инструментомъ черченія, чѣ^^ли-
нейка, помощью которой проводятся прямыя линіи^^
Вскорѣ послѣ этого французскіе геометры зани-
маться рѣшеніемъ задачъ, проводя лишь прямыя
ЛИНІИ.
ИСТОРИЧЕСКІЯ ЗАМѢЧАНІЯ.
Уже Ламбертъ (БатЬегІ, „Егеіе Регзресііѵе", 1774)
искалъ и нашелъ такого рода построенія, имѣющія значеніе
въ перспективѣ и землемѣріи. Бріаншонъ (Вгіапсіюп) въ
1818 году опубликовалъ сочиненіе „Ьез арріісаііопз бе
Іа іѣёогіе сіез ігапзѵегзаіез44, касающееся построеній
этого рода.
Особенную извѣстность пріобрѣла книга: „Піе &ео-
теігізсѣе Копзігикііопеп, аиз^еГйѣгІ тіііеіз бег §е-
габеп Ьіпіе ипб еіпез (езіеп Кгеізез44 (1833), принадле-
жащая Якову Штейнеру (Зіеіпег)- Въ ней Штейнеръ
учитъ построеніямъ, которыя могутъ быть выполнены по-
мощью проведенія однѣхъ лишь прямыхъ линій, если (въ
плоскости чертежа) даны изображенія нѣкоторыхъ фигуръ,
напр., параллелограмма, квадрата, круга. Въ частности, онъ
доказываетъ тамъ слѣдующее предложеніе, которое носитъ
его имя:
„При пользованіи произвольнымъ начерченнымъ
кругомъ (вмѣстѣ съ его центромъ) каждую задачу
на построеніе второй степени можно рѣшить, про-
водя лишь однѣ прямыя линіи44.
Слѣдуетъ, впрочемъ, замѣтить, что очень многія изъ
построеній, которыя приводитъ Штейнеръ въ своемъ со-
чиненіи, встрѣчаются уже у Ламберта („Егеіе Регзрес-
ііѵе“, 1774), и что основной его результатъ, приведенный
нами выше, былъ раньше высказанъ Понселэ (Ропсеіеі
„Тгаііё сіез ргоргіёіёз рго)есііѵез44, Парижъ 1822, стр.
187—190).
Гауссъ (Санзз) доказалъ въ своемъ знаменитомъ трудѣ
„Піздиізіііопез агііЬшеіісае44, что построеніе правиль-
наго семнадцатиугольника возможно помощью цир-
куля и линейки.
Это построеніе особенно изящнымъ образомъ было
выполнено Штаудтомъ (ѵ. Зіаиск, Сгеііе ]оигпа! 24^842)
и позже упрощено Шретеромъ (ЗсйгбСег). о
Кортумъ (Когіит) и Смитъ (Зшііѣ) въ дй^хъ тру-
дахъ,удостоенныхъ Берлинской Академіей п^^Міи Штей-
нера (і866), доказали, что каждую геометрическую за-
дачу третьей и четвертой степениѴШожно рѣшить,
ограничиваясь проведеніемъ прямыжьЧі окружностей,
ИСТОРИЧЕСКІЯ ЗАМѢЧАНІЯ.
3
если только уже начерчено какое-либо отличное отъ
круга коническое сѣченіе.
Въ работѣ автора „Хиг ТЬеогіе бег Мазсѣего-
пізсѣеп Копзігисііопеп" (АѴіепег Акабетіе, 1890) были
указаны преимущества примѣненія принципа обратныхъ
радіусовъ къ рѣшенію задачъ при помощи одного лишь
циркуля.
Въ другой работѣ: „ІІЬег біе гиг АизІйИгип^ §ео-
теігізсѣег Копзігикііопеп поіхѵепбі^еп НіИзтііІеГ
(АѴіепег Акабетіе 1890) было доказано, что каждая гео-
метрическая задача второй степени можетъ быть
строго рѣшена также помощью линейки съ двумя
параллельными краями или помощью одного только
подвижного прямого или остраго угла (науголь-
ника); такимъ образомъ, каждое изъ употребляющихся
средствъ рѣшенія: циркуль, линейка, наугольникъ—само по
себѣ достаточно для рѣшенія всѣхъ геометрическихъ за-
дачъ второй степени; тамъ же было показано, что прямой
уголъ является наиболѣе могучимъ средствомъ рѣше-
нія, при чемъ съ двумя прямыми углами можно строго
рѣшить всѣ задачи третьей и четвертой степени.
Въ „СтипсПа^еп бег Сеотеігіе" Гильберта (НіІ-
Ьегі, Лейпцигъ, 1903) особенную роль играютъ построенія,
которыя могутъ быть выполнены путемъ проведенія пря-
мыхъ линій и перенесенія отрѣзковъ. Теорію этихъ
построеній далъ Фельдблюмъ (ГеІбЫит) въ своей
диссертаціи: ,,11Ьег еіетепіаг-§;еотеігІ8СІіе Копзігик-
ііопеп“, }паи§;ига1-ВІ88егі:а1:іоп, СюШп§;еп 1899.
Заслуживаютъ упоминанія еще: Н. 8ітоп, „(Зео-
теігізсѣе Копзігикгіопеп оѣпе Хігке!“ (ХеіізсЬгік ѣ
тайі. и. паі. ІЗпІегг. XXII, і89і) и (3. АѴаІІепЬег^: „Коп-
зігикііопеп тіі Гіпеаі ипсі Еісѣтазз 8О\ѵіе тіі бет
Ьіпеаі аІІеііГ. (Зйгип^зЬегісЫе бег Вегііпег тайі. (ЗезеІР
зсЬаЙ IV, 1905).
3. Всѣми этими трудами дается нѣкоторая закончщдасть
изслѣдованіямъ относительно области примѣненія обычныхъ
средствъ рѣшенія.
Къ Теоріи геометрическихъ построеній принад-
лежитъ также и классификація геомеж^ескихъ за
4
ИСТОРИЧЕСКІЯ ЗАМѢЧАНІЯ.
дачъ, т. е. подраздѣленіе ихъ на визуальныя (ѵізиеііе
Аиі^аЬеп)1) и метрическія, на задачи второй, третьей,
четвертой и высшихъ степеней. Позже мы будемъ объ
этомъ говорить подробно.
4. Къ Теоріи геометрическихъ построеній относятся
также нѣкоторыя доказательства невозможности; ука-
жемъ, напр., что циркулемъ и линейкой невозможно
произвольный данный уголъ раздѣлить на три рав-
ныя части, что въ этомъ же смыслѣ невозможно удвоеніе
куба, наконецъ, что этими средствами построенія не разрѣ-
шается и изстари знаменитая задача о квадратурѣ круга,
какъ это впервые строго было доказано Линдеманномъ (Ьіпсіе-
тапп) въ 1882 году.
5. Къ Теоріи геометрическихъ построеній при-
надлежитъ и вопросъ относительно точности построенія,
выполненнаго тѣмъ или другимъ изъ употребительныхъ
чертежныхъ инструментовъ. Въ самомъ дѣлѣ, всякій резуль-
татъ вычерчиванія содержитъ ошибки. Точка, найденная по-
строеніемъ, не находится въ томъ мѣстѣ, которое она зани-
мала бы при идеальномъ совершенствѣ всѣхъ употребленныхъ
инструментовъ; она лежитъ лишь въ нѣкоторой окрестно-
сти этого мѣста и эту окрестность можно считать имѣющей
форму эллипса.
Такимъ образомъ, въ отношеніи каждаго построенія
возникаетъ вопросъ о приблизительномъ, по крайней мѣрѣ,
опредѣленіи степени его точности, а отсюда ужъ мы прихо-
димъ къ задачѣ — выполнить это построеніе такъ, чтобы
вѣроятная ошибка результата была возможно меньшей.Такого
рода изслѣдованія практически были бы чрезвычайно важны;
кое-что по этому вопросу мы находимъ въ сочиненіи Винера
(УѴіепег) „Пагзіеііепсіе Сеоше1гіе“ (і часть, стр. 185—191).
Въ позднѣйшее время, благодаря иниціативѣ Л(жуана
(Ьешоіпе), было достигнуто, по крайней мѣрѣ, д^лто по-
строенія, которыя раньше обыкновенно лишь в<д^5ажались,
стали въ дѣйствительности выполняться, пріѣфмъ, на осно-
ваніи данныхъ Лемуаномъ опредѣленій,^Аали оцѣнивать
степень ихъ простоты; въ частностМже, стали изучать
такія (геометрографическія) построенія, которыя отлича-
ются наибольшей простотой.
ИСТОРИЧЕСКІЯ ЗАМѢЧАНІЯ.
5
Лемуанъ употребляетъ только циркуль и односторон-
нюю линейку; если же въ качествѣ средствъ построенія до-
пустить также двухстороннюю линейку и прямой уголъ
(какъ это и дѣлаютъ на практикѣ), то мы прійдемъ къ дру-
гимъ построеніямъ и, въ частности, къ другимъ геометро-
графическимъ рѣшеніямъ, какъ будетъ показано въ заклю-
ченіи предлагаемаго сочиненія.
6. Спеціальныхъ сочиненій по Теоріи геометриче-
скихъ построеній существуетъ до сихъ поръ лишь два:
Ф. Клейнъ: Е. Кіеіп, „Ѵогіга^е йЬег аиз^ехѵаЫіе
Ега§;еп бег Еіетепіаг-Сеотеігіе" Ьеірхі^, 1895 и Ф.
Энрикесъ: Е. Епгідиез, „(Эиезііопі Кі^иагсіапіі Ьа
Сеотеігіа Еіетепіаге", Воіо^па 1900; обоими сочиненіями
мы часто будемъ пользоваться въ послѣдующемъ изложе-
ніи. 2).
I. ГЛАВА.
Методы рѣшенія геометрическихъ задачъ на
построеніе.
і. Каждое геометрическое построеніе рѣшаетъ
нѣкоторую геометрическую задачу на построеніе.
Въ геометрической задачѣ на построеніе требу-
ется начертить 3) фигуру, удовлетворяющую опредѣленнымъ
условіямъ.
Если данныя условія являются необходимыми и доста-
точными для опредѣленія искомой фигуры, то задача назы-
вается опредѣленной. Она можетъ въ этомъ случаѣ имѣть
одно, два и бол ьше р ѣшен ій; въ соотвѣтствіи съ этимъ ее
называютъ однозначной, двухзначной, многозначной.
Если дано меньше условій, нежели необходимо для
опредѣленія фигуры, то существуетъ безконечное множество
фигуръ, удовлетворяющихъ условіямъ задачи: задача явля-
ется неопредѣленной.
Если дано больше условій, чѣмъ достаточно, то фигура
переопредѣлена; задача въ этомъ случаѣ вообще нераз-
рѣшима. 4).
2. При рѣшеніи геометрической задачи на построеніе
обыкновенно поступаютъ слѣдующимъ образомъ: .
Предполагаютъ искомую фигуру уже извѣстной^М съ
помощью методовъ, къ разсмотрѣнію которыхъ мж|ёйчасъ
приступимъ, изучаютъ фигуру до тѣхъ поръ,лДжа не ста-
нетъ яснымъ тотъ путь, по которому задач^рГожетъ быть
рѣшена предложенными средствами рѣшеш^
Затѣмъ могутъ быть выполнены тре^емыя построенія.
Но послѣ этого еще необходимо покжіеть, что полученная
§ 1. МЕТОДЪ АЛГЕБРАИЧЕСКАГО АНАЛИЗА.
7
фигура удовлетворяетъ требуемымъ условіямъ, т. е. что по-
строеніе правильно.
Наконецъ, необходимо еще изслѣдованіе задачи въ
ея цѣломъ, т. е. опредѣленіе числа рѣшеній, зависимости
между числомъ рѣшеній и данными величинами и т. д.
Такимъ образомъ, въ рѣшеніи каждой задачи на по-
строеніе должны быть отмѣчены четыре стадіи:
і. Анализъ геометрической задачи на по-
строеніе.
2. Выполненіе построенія.
3- Доказательство правильности рѣшенія.
4. Изслѣдованіе.
3. Въ качествѣ средствъ построенія въ настоящей
главѣ мы будемъ пользоваться только циркулемъ и ли-
нейкой (односторонней) 5), другія же средства построенія
будутъ нами примѣняться лишь въ слѣдующихъ главахъ.
§ 1. Методъ алгебраическаго анализа.
4. Если . суть данные отрѣзки, то, какъ из-
вѣстно, помощью циркуля и линейки, т. е. проводя
лишь прямыя линіи и окружности, можно легко по-
строить слѣдующіе отрѣзки:
а-\~Ъ, а—Ь, VаЪ , Vа*Ь2, Vа2— Ь2 .
Повторяя эти основныя операціи, можно построить
и болѣе сложныя выраженія, напр., выраженіе
х = У а2 -ф- Ъ2 — с (І,
при чемъ полагаемъ
с(1 = у2 и V Ь2 — у2 —
тогда ______ о
х=Ѵа'-\-22\
отрѣзки у, х могутъ быть построены на основашфѣыше-
сказаннаго. Если требуется построить отрѣзокъ,^^
а3 Ъ3
8
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
то полагаемъ
отрѣзки
г/2, г/3, х легко могутъ быть построены.
Можетъ быть построено, напр., п слѣдующее выраженіе
а Ь + |/ с2 (і2 — Ѵек — р &
х _ -
I/ 2 . 21^^
|/ т1 + п2 + —
гдѣ а, Ь, с и т. д. суть данные отрѣзки.
Вообще можетъ быть построено каждое выра-
женіе, которое изъ данныхъ отрѣзковъ получается
помощью конечнаго числа раціональныхъ операцій
(сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе) и извлече-
ніи квадратныхъ корней.
2. На этомъ основанъ чрезвычайно употребительный
при рѣшеніи геометрическихъ задачъ на построеніе мед^дъ
алгебраическаго анализа: о
„Стараются черезъ данныя величины віЭразить
величину, непосредственно опредѣляющ^^ѣскомый
результатъ (напр., отрѣзокъ; въ подходящихъ слу-
чаяхъ при этомъ пользуются и аналитической гео-
метріей), а затѣмъ ужъ обращаюъфъкъ построенію
полученнаго выраженія". ррѵ
§ I. МЕТОДЪ АЛГЕБРАИЧЕСКАГО АНАЛИЗА.
9
3. Примѣненіе этого метода мы иллюстрируемъ нѣ-
сколькими примѣрами:
і. Примѣръ. Даны двѣ прямыя & и точка Р;
требуется построить тѣ окружности, которыя про-
ходятъ черезъ точкуР и касаются обѣихъ прямыхъ.
Предполагаемъ задачу рѣшенной (фиг. і); тогда
7ё> = ~РР\ Р&,
гдѣ есть отраженіе6) точки Р въ биссектрисѣ угла. От-
сюда слѣдуетъ
РХ = ѴРР. РО.
2. Примѣръ. Данъ треугольникъ АВС; требуется
построить три окружности такъ, чтобы каждая изъ
нихъ касалась двухъ другихъ окружностей и двухъ
сторонъ треугольника (задача Мальфатти*)). Счита-
емъ задачу рѣшенной (фиг. 2). Пусть точка О будетъ цен-
тромъ вписанной въ треугольникъ окружности (радіуса г).
Радіусы круговъ К и В означимъ соотвѣтственно черезъ
*) Этой знаменитой задачей впервые занимался Мальфатти
(Маііаііі. Метогіе бі таіетайса Тото X рагіе I, Мосіепа 1803). Посад
него эта задача часто подвергалась обработкѣ. Чисто геометрцч^кое
рѣшеніе ея безъ доказательства далъ Штейнеръ въ 1826 въ
сочиненіи „Еіпі^е ^еогпеігізсйе Веігасйіип^еп" (СгеІІ^Ч^Ѣчасть\
Доказательство правильности этого рѣшенія было дано ІДѴётеромъ
(1874, Сгеііе ч. 77). Другое доказательство Штейнеровнаго рѣшенія
даетъ Петерсенъ (Реіегзеп) въ своей цѣнной р^оЬтъ „МеіЬобеп
ипсі ТЬеогіеп гиг АиПозип^ ^еошеігізсіі©^оЖопзІгисііопз-
аиГ§аЬеп“ (на нѣм. яз. перевелъ Е і 8 с 1і е г-В ё^раті 1879).
10
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
гх и г3. Изъ точекъ К, О, Ь опустимъ перпендикуляры на
сторону АВ и такимъ путемъ построимъ точки В, Е, Р.
Положимъ А Е — з, В Е = іу А В = х, В Р —у.
Если мы проведемъ Е С || А В, то
ЬС — Г2 и К С = + Г2)2 -- (г2 гхУ = 2У гхт2 .
Изъ подобія 7) треугольниковъ А В К и А Е О слѣдуетъ, что
аналогично этому и г2 =-у, что вытекаетъ изъ подобія тре-
угольниковъ ВРЬ и ВЕО.
Далѣе,
АВ = АВ+ВР-\-РВ,
слѣдовательно:
Х-\-у-\-2 V= з-\-і
или (подставляя вмѣсто гх и г2 полученныя для нихъ выра-
женія)
(і)
Ѵху = 8-\-І-
Если опустимъ изъ точекъ Е,МУО перпендикуляры на сто-
рону В С и положимъ РС—и и 0С=8), то получится
равенство
(2)
2 Г
У + У* = 1+и'
аналогично мы получимъ равенство и для третьей стороны:
(3)
. . 2 Г г_____________________________________
% “г х і -рг— V я х = и -Р .
Такимъ образомъ, мы имѣемъ три уравненія
опредѣленія трехъ неизвѣстныхъ х, у, о
Мальфатти сообщаетъ рѣшенія этихъ трехъу^а^неній:
2 X = 8 і -|- и — г -|- V г2 -}- — У Г2 4“ >
§ I. МЕТОДЪ АЛГЕБРАИЧЕСКАГО АНАЛИЗА.
11
Если подставить эти значенія въ вышеприведенныя уравне-
нія, то они удовлетворятъ послѣднимъ. Путь, которымъ
Мальфатти нашелъ рѣшенія, чрезвычайно сложенъ, какъ онъ
самъ указываетъ.
Геометрическое же построеніе величинъ х, у, я пред-
ставляется чрезвычайно простымъ, ибо
= О А, + = ОВ, = ОС,
вслѣдствіе чего отрѣзки эти, равно какъ и отрѣзки 5, /, и, г,
легко могутъ быть построены.
Если же теперь построить выраженіе
^(ОА-ф- ОВ-ф- ОС— 8 — і— и-\-г) = тп,
то
х — О А — т
у = ОВ — т
8 — ОС — т (фиг. 2).
3- Примѣръ. Даны три окружности Кх, К3,
коихъ центры лежатъ на одной прямой; радіусъ каж-
дой изъ окружностей ЛГ2, К3 равенъ г2. Послѣднія
двѣ окружности имѣютъ одно и то же центральное
разстояніе а отъ окружности Кх Требуется по-
строить всѣ окружности, которыя касаются трехъ
данныхъ (фиг. з).
Для того, чтобы рѣшить эту задачу вычисленіемъ, мы
кладемъ въ основаніе прямоугольную систему координатъ.
При этомъ уравненія данныхъ окружностей таковы:
х2 -ф"У = гі >
Кг . . . (х— я)2+у = гІ,
К3 . . . (х-ф- а)2 -\-у2 = г%.
Уравненіе же каждой изъ искомыхъ окружностей и^фуъ
видъ:
(.х-А.)2+(у-^,)2 = е?- У'
Для круга С\ (фиг. 3) легко могутъ бьгй^получены
три уравненія, опредѣляющія три неизвѣсѣМя величины
Рм Ял, Со именно, изъ условій и0°
12
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ На ПОСТРОЕНІЕ.
0)^1 = С'1 + Гх ,
01К2 - 91 4“ Г2 ,
@1 А'з = 2, Г2
вытекаютъ равенства
/>? + ^ = (еі + о)2>
(А — я)2 + ді = (р, + г2)2 ,
(А + ^ + '/і ^(е.4-о)2 •
Изъ двухъ послѣднихъ слѣдуетъ, что р^ = о, а отсюда
уже непосредственно вытекаетъ:
ибо радіусъ круга О2 равенъ радіусу круга С\ (фиг. 3).
Окружность О3 касается окружностей К2 и К3 извнѣ,
а окружности Кѵ—изнутри; такимъ образомъ, имѣютъ мѣсто
равенства
Оз... РІ + 9» = (о3 — г,)2 , о ^5
О^с2 ... (/>з--«)2 + ^| = (е3Дг2)2,
0^2 ... (А+ар 4- С]і = (е3 4-
Отсюда получается
<72 — (Г2 — Г
03 2(?2 4-Г1)
§ 2. МЕТОДЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЪ МЪСТЪ.
13
Для окружности 05 имѣютъ мѣсто равенства
Р1+я1 = ^& — п)2 >
(А + «У + ?5 = (бб — ГгУ ,
(ръ — «У + <7б = (бб + ^У ,
откуда получается:
Построеніе можетъ быть выполнено по слѣдующему плану:
Строимъ по порядку (фиг. з):
АВ = г2 , ВС = а ,
тогда
СКХ = Ѵа2 — — г*);
если затѣмъ построить
К^) = 2(г2 — гУ и СХ1 _1_ СВ ,
то
= р1 = р2.
Аналогично построимъ
А2 = р3 — р4 и Х3 = р5 = р6 — р7 = р8
§ 2. Методъ геометрическихъ мѣстъ.
і. Весьма удобнымъ методомъ для рѣшенія геометри-
ческихъ задачъ на построеніе является методъ геометри-
ческихъ мѣстъ.
Онъ основывается на слѣдующемъ: стараются све-
сти всю задачу къ нахожденію нѣкоторой точки X,
что въ большей части случаевъ сдѣлать нетрудно.
Точка X опредѣляется двумя условіями, выте-
кающими изъ требованія задачи. Если устранить
первое изъ условій, то существуетъ не одна только
точка X, но безчисленное множество такихъ точе^Ѣ;
ѵ о
составляющихъ въ совокупности нѣкоторую №1Ю,
нѣкоторое геометрическое мѣсто. Если ж^^стра-
нить второе условіе и ограничиться пе^^І»імъ, то
получится другое геометрическое мѣ^Ь. Каждая
точка пересѣченія этихъ двухъ геометрическихъ
мѣстъ удовлетворяетъ требованіямД^^ідачи.
14
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
2. Является необходимымъ предварительно изучить
нѣкоторыя геометрическія мѣста. Мы приведемъ наи-
болѣе простыя и вмѣстѣ съ тѣмъ наиболѣе употребительныя
изъ нихъ.
а) Геометрическое мѣсто точекъ, находящихся отъ
данной точки на данномъ разстояніи, есть окружность,
описанная изъ данной точки, какъ изъ
центра, даннымъ разстояніемъ, какъ
/ / \ радіусомъ.
/ / \ \ Ь) Геометрическое мѣсто точекъ,
I / О \ і находящихся на данномъ разстояніи
I / \ I отъ данной прямой, состоитъ изъ
\ Д/ \\ / двухъ прямыхъ, проведенныхъ парал-
Ьлельно данной прямой на данномъ отъ
7 нея разстояніи.
7 с) Геометрическое мѣсто точекъ,
4. равноотстоящихъ отъ двухъ данныхъ
точекъ А и Д есть прямая, перпендикулярная къ отрѣзку
АВ въ его серединѣ. (Симметраль точекъ А и В).
сі) Геометрическое мѣсто точекъ, равноотстоящихъ отъ
двухъ данныхъ прямыхъ, состоитъ изъ двухъ взаимно
перпендикулярныхъ прямыхъ, дѣлящихъ пополамъ углы
между данными прямыми (биссектрисы) 9).
е) Геометрическимъ мѣстомъ точекъ, изъ коурыхъ
отрѣзокъ АВ виденъ подъ даннымъ угломъ появляется
дуга окружности, стягиваемая отрѣзкомъ Л^Жйостроеніе
ясно изъ фиг. 4) 10).
3) Геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ
отъ двухъ данныхъ точекъ находятся вязанномъ отноше-
ніи т : и, есть нѣкоторая окружносшДфиг. 5) п).
§ 2. МЕТОДЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЪ МЪСТЪ.
15
При этомъ
АРХ_ АР _ т
ВРХ~ ВР~~п
откуда по извѣстной теоремѣ получается, что
^АРРХ = ^РХРВ.
Имѣетъ мѣсто также пропор-
ція
АРх\РхВ = АРг-ВРг .
Четыре такія точки назы-
ваются, какъ извѣстно, че-
тырьмя гармоническими
точками.
§•) Геометрическое мѣсто
точекъ, разстоянія которыхъ
Фиг. 6.
отъ двухъ данныхъ прямыхъ находятся въ данномъ отно-
шеніи т : п, образуется двумя прямыми линіями х и у, про-
ходящими черезъ точку пересѣченія данныхъ прямыхъ (фиг. 6).
Ь) Геометрическое мѣсто точекъ, квадраты разстояній
которыхъ отъ двухъ данныхъ точекъ А и В сохраняютъ
постоянную разность </2, есть прямая, перпендикулярная къ
отрѣзку АВ.
Доказательство: Пусть точ-
ка РА (фиг. 7) обладаетъ указаннымъ
свойствомъ, такъ что
Фиг. 7.
Изъ Ь) можетъ быть выведено слѣдствіс^Оюторое позже
РХВ2— РхА2 = сі2.
Если опустить изъ точки Ру
на А В перпендикуляръ и взять на
немъ произвольную точку Р, то
и
РА(І=АВ^ВР\
поэтому
16
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
для насъ будетъ важно. Мы лишь предпошлемъ ему крат-
кое замѣчаніе:
а) Какъ извѣстно, справедливо слѣдующее предложеніе:
„Если черезъ точку Р (фиг. 8 а, 8 б) провести сѣкущія къ
окружности, то постоянно
РА.РА=РВ.РВ=... “
Это постоянное произведеніе называется степенью точки Р
въ отношеніи данной окружности; степень равная/2—г2,
гдѣ А есть разстояніе точки Р отъ центра (центральное
разстояніе точки Р), г — радіусъ окружности.
Если точка Р лежитъ внѣ окружности, то степень
точки также равна Р Р.
Р) Если даны двѣ окружности съ центрами и О2,
то точка Р имѣетъ опредѣленную степень по отношенію къ
каждой изъ нихъ. Если же точка Р по отношенію къ обѣимъ
окружностямъ (съ радіусами и г2) имѣетъ одну и ту же
степень, то
~РОІ- ^ = РОІ-гІ.
такъ что
Р 0\ — Р ОІ = И — Г2 = СОП8І.,
слѣдовательно, геометрическое мѣсто точекъ, имѣющихъ
одну и ту же степень въ отношеніи обѣихъ окружностей,
есть (согласно ѣ) прямая, перпендикулярная къ линіи^ен-
тровъ этихъ окружностей; прямая эта называем^фади-
кальной осью обѣихъ окружностей.
Если окружности пересѣкаются, то их^^р^ідикальиая
ось проходитъ черезъ точки пересѣченія, .ирЬ каждая изъ
точекъ пересѣченія имѣетъ въ отношен№ обѣихъ окруж-
ностей степень, равную нулю. Если ж<| окружности не пе-
§ 2. МЕТОДЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЪ МЪСТЪ.
17
ресѣкаются, то радикальную ось можно построить (фиг. 9)
опустивъ перпендикуляръ на линію центровъ изъ середины,
общей касательной къ обѣимъ окружностямъ; можно при
этомъ слѣдовать и другому пути, пользуясь теоремой: „Если
даны на плоскости три окружности, то опредѣляемыя ими
три радикальныя оси проходятъ черезъ одну и ту же точку
(радикальный центръ трехъ окружностей)"; доказа-
тельство теоремы основывается на томъ соображеніи, что
точка пересѣченія двухъ какихъ-либо радикальныхъ осей
имѣетъ одну и ту же степень въ отношеніи всѣхъ трехъ
окружностей, слѣдовательно, лежитъ на третьей радикаль-
ной оси.
3. Мы разъяснимъ методъ геометрическихъ мѣстъ на
двухъ примѣрахъ:
а) Даны двѣ окружности О1, О2 радіусовъ и г2.
Требуется построить такую окружность К, которая касаласьбы
обѣихъ данныхъ окружностей и имѣла бы данный радіусъ г.
Если откинуть требованіе, чтобы окружность К каса-
лась окружности 02, то искомыхъ окружностей существуете
безчисленное множество; геометрическое мѣсто ихъ пф-
тровъ состоитъ изъ двухъ концентрическихъ съ О1 ож^ж-
ностей, радіусы которыхъ соотвѣтственно равны г и
— г. Аналогично мы получимъ для искомаго ц^ѣра X и
другое геометрическое мѣсто, состоящее изъ^^^хъ окруж-
ностей, описанныхъ изъ точки О2, какъ изъочфентра, радіу-
сами г2-\~г и г2— г.
Теорія геометрическихъ построеній.
I БИБЛИОТЕКА
І^шііатя'-'езк. йн-та
і АилД. Наук С С С Р
2
18
* ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ На ПОСТРОЕНІЕ.
Точка X должна совпасть съ одной изъ точекъ пересѣче-
нія обоихъ геометрическихъ мѣстъ; существуетъ не больше
восьми точекъ, удовлетворяющихъ требованіямъ задачи.
/?) Даны три окружности Кх, К2, К3; требуется
построить всѣ окружности, касающіяся трехъ дан-
ныхъ (Аполлоніева задача о касаніи).
Если (фиг. іо) черезъ центръ одной изъ данныхъ трехъ
окружностей, напр., черезъ центръ окружности , прове-
сти окружность, концентрическую съ искомой X у то ока-
жется, что упомянутая выше задача сведется къ слѣдующей:
„Даны двѣ окружности А\,А'212)и точка Р; тре-
буется построить окружности, касающіяся двухъ
данныхъ и проходящія черезъ точку Р“
Геометрическое мѣсто центровъ всѣхъ окружностей,
которыя касаются окружности К\ и проходятъ черезъ точку
Р,есть эллипсъ или гипербола, въ зависимости отъ того,
лежитъ ли Р внутри окружности К\ или внѣ ея 13). Центръ
К\ и точка Р являются фокусами этихъ коническихъ сѣне-
ній; асимптоты гиперболы перпендикулярны къ картель-
нымъ, которыя можно провести къ окружності^Я^і изъ
точки Р.
Каждая изъ данныхъ трехъ окружност<ж|эдожетъ све-
стись и къ одной точкѣ или перейти въ пМ^ую. Геометри-
ческое мѣсто центровъ окружностей^фбторыя касаются
прямой I и проходятъ черезъ точід^г, есть парабола,
§ 2. МЕТОДЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЪ МЪСТЪ.
19
имѣющая прямую I своей директрисой, а фокусъ — въ
точкѣ Р.
4. Задачи для упражненія.
Въ слѣдующихъ задачахъ буквы, помѣщенныя послѣ
изложенія условій, указываютъ тѣ геометрическія мѣста,
которыя находятъ особенное примѣненіе при рѣшеніи раз-
сматриваемой задачи.
Начинающему мы настоятельно рекомендуемъ въ дѣй-
ствительности рѣшить задачу съ помощью циркуля и ли-
нейки и продумать изслѣдованіе рѣшенія.
і. Даны два отрѣзка л, і, произвольно расположенные
одинъ въ отношеніи другого, и два угла а, /9; требуется
построить точку, изъ которой отрѣзки а и Ь видны соот-
вѣтственно подъ углами а и 0 (е) (задача Потено) (Ро-
Іѣепоі).
2. Даны три прямыя линіи ; требуется по-
строить точку, разстоянія которой отъ трехъ данныхъ пря-
мыхъ находятся въ данныхъ отношеніяхъ (§•).
3- Даны три окружности; требуется построить точку,
изъ которой ко всѣмъ тремъ окружностямъ можно провести
касательныя равной длины (Ь).
4. Даны окружность и двѣ точки А, В; требуется впи-
сать въ окружность прямоугольный треугольникъ такъ,
чтобы катеты его проходили соотвѣтственно черезъ дан-
ныя точки (е).
5. Даны двѣ параллельныя прямыя и точка Р; требуется
построить окружность, которая касалась бы обѣихъ пря-
мыхъ и проходила бы черезъ точку Р (а, ф.
6. Даны три равныхъ окружности; требуется построить
окружность, которая касалась бы всѣхъ трехъ окружностей
извнѣ (с).
7. Данный отрѣзокъ а разложить на двѣ части х
такъ, чтобы среднее геометрическое между х и у равняюсь
второму данному отрѣзку Ь (Ь).
8. Данъ треугольникъ АВС] требуется постро^^ точку,
изъ которой всѣ три стороны его были бы Лны подъ
однимъ и тѣмъ же угломъ (120°) (е).
9. На нѣкоторой прямой лежатъ точки, В, С, Р;
требуется отыскать на плоскости такуюточ^, изъ которой
2*
20
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
отрѣзки АВ, ВС, СВ видны подъ однимъ и тѣмъ же угломъ (I)14).
іо. Даны три окружности; требуется построить окруж-
ность, которая всѣ три окружности пересѣкла бы подъ
прямымъ угломъ (Ь) 15).
іі. Даны три окружности; требуется построить такую
точку, изъ которой всѣ три окружности были бы видны
подъ однимъ и тѣмъ же угломъ16). (Разстоянія искомой
точки отъ центровъ окружностей должны относиться, какъ
соотвѣтственные радіусы.)
12. Даны двѣ окружности Кх, К2 и отрѣзокъ 5; тре-
буется построить окружность даннаго радіуса г такъ, чтобы
центръ ея лежалъ на окружности Кѵ и чтобы хорда пере-
сѣченія ея съ окружностью К2 имѣла данную длину 5.
(Каково геометрическое мѣсто центровъ всѣхъ окружностей
радіуса г, которыя пересѣкаютъ окружность К2 по хордѣ 5?)
13. Дана прямая §, на ней точка А, и внѣ ея точка В;
требуется найти на & точку X, для которой АХ-\- ХВ = з
гдѣ 5 есть данный отрѣзокъ (с). (На данной прямой отъ
точки А откладываютъ отрѣзокъ 5.)
14. Даны три прямыя линіи а, Ъ, с и точка Р; тре-
буется провести черезъ Р прямую х такъ, чтобы три точки
пересѣченія ея съ данными прямыми вмѣстѣ съ точкой Р
образовали бы гармоническій рядъ
точекъ. (Каково геометрическое мѣ-
сто точекъ, которыя гармонически
отдѣляютъ точку Р отъ двухъ пря-
мыхъ? 17) Сколько рѣшеній имѣетъ
задача?)
15. Даны двѣ концентриче-
скихъ окружности Кх, К2 и точка
Р; требуется провести черезъ Р
прямую х такъ, чтобы отр
ея, заключенный между конш
ческими окружностями, и^рт
былъ виденъ подъ даннымъ угломъ а. (Если врац^ръ вокругъ
центра уголъ а, продолживъ одну изъ его стшюнъ до пере-
сѣченія съ , другую — до пересѣченія и соединивъ
прямыми точки пересѣченія, то эти пря^ія будутъ огибать
нѣкоторую новую концентрическую^^^ркность, фиг. и.)
§ 2. МЕТОДЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЪ МѢСТЪ.
21
іб. Даны двѣ пары параллельныхъ прямыхъ и точка Р;
требуется черезъ Р провести прямую такъ, чтобы обѣ пары
параллельныхъ прямыхъ отсѣкли на ней равные отрѣзки.
(Разсматриваютъ параллелограммъ, образованный обѣими
парами параллельныхъ линій.)
17. Даны четыре точки Л, 73, С, Р; требуется по-
строить квадратъ, стороны котораго проходили бы черезъ
эти четыре точки. (Если на АВ , какъ на діаметрѣ, построить
окружность (фиг. 12), то биссектриса угла АРВ будетъ про-
Фиг. 12.
ходить черезъ точку 5 окружности, которая не измѣняется при
движеніи точки Р по окружности 18).)
18. Даны двѣ окружности Кх и ; требуется по-
строить прямую, на которой онѣ отсѣкаютъ хорды, имѣю-
щія данныя длины и 52. (Общія касательныя къ двумъ
окружностямъ.)
19. Данъ четырехугольникъ; требуется вписать въ него
параллелограммъ такъ, чтобы стороны его имѣли данныя
направленія. (Какое мѣсто опишетъ четвертая вершѣйа
параллелограмма, котораго стороны имѣютъ данныя нашЛйе-
нія, если удалить одну изъ сторонъ четырехугольн^^^1^9)) *)
*) Дальнѣйшіе многочисленные примѣры можно на^^ въ заслу-
живающей рекомендаціи (уже упоминаемой нами выіиеН^йигѣ Петер-
сена „МеТЬосіеп нпсі ТЬеогіеп гиг АиГІбзипДдеогпеіігізс Ьеі'
КопзігикНопз аиі §аЬеп“. (Имѣется русскійдгьёрёводъ этой книги.
См. также прекрасную книгу Александрова.Ю^
22
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
§ 3. Методъ подобныхъ фигуръ.
і. Нѣкоторыя задачи на построеніе обладаютъ тѣмъ
свойствомъ, что безконечно многія ихъ рѣшенія, которыя
получаются при устраненіи части данныхъ условій, обра-
зуютъ систему подобныхъ между собой фигуръ. Напри-
мѣръ, если требуется построить треугольникъ по двумъ
угламъ и по периметру, и если послѣднее условіе (касающееся
величины периметра) устранить, то всѣ треугольники, удо-
влетворяющіе остальнымъ условіямъ, подобны между собой.
При рѣшеніи задачъ такого рода съ большимъ удоб-
ствомъ примѣняется методъ подобныхъ фигуръ: „Пона-
чалу строятъ фигуру, подобную искомой фигурѣ, а
затѣмъ увеличиваютъ или уменьшаютъ ее въ тре-
буемомъ отношеніи".
Въ нашемъ примѣрѣ — по угламъ а и /3 строятъ нѣ-
который треугольникъ А' В' С, периметръ котораго озна-
чимъ черезъ и* (фиг. 13); затѣмъ разсматриваютъ точку О,
какъ центръ подобія, наносятъ величину и, наконецъ, проводя
параллельныя прямыя, строятъ искомый треугольникъ АВС.
2. Методъ подобныхъ фигуръ примѣняется постоянно
въ двухъ случаяхъ:
а) Если для опредѣленія фигуры дана толіуср
одна длина, кромѣ нея же даны лишь углы и уно-
шенія. (Если не принимать въ расчетъ данной дл^ы, то
всѣ фигуры, удовлетворяющія остальнымъ усз^ѣЫіъ, по-
добны.)
/3) Если искомая фигура должна « мать опре-
дѣленное положеніе по отношенію луы даннымъ ли-
ніямъ или точкамъ, такъ что уств^^еніе одного усло-
§ 3- МЕТОДЪ ПОДОБНЫХЪ ФИГУРЪ.
23
вія приводитъ къ системѣ подобныхъ и сходственно
расположенныхъ фигуръ.
3. Мы приведемъ теперь рядъ задачъ для упражне-
нія, которыя могутъ быть рѣшены помощью метода подоб-
ныхъ фигуръ:
20. Извѣстна сумма 5 стороны квадрата и его діаго-
нали; требуется построить квадратъ.
2і. Въ данный треугольникъ вписать квадратъ.
22. Въ окружности даны два радіуса; требуется по-
строить хорду этой окружности, которая данными радіусами
дѣлилась бы на три равныя части. (Обозначимъ черезъ а
уголъ между обоими радіусами. На произвольной прямой
наносимъ подрядъ три равныхъ отрѣзка А'В', В'С\ СВ'}
затѣмъ возставляемъ перпендикуляръ къ отрѣзку А9ГУ въ
его серединѣ и отыскиваемъ на немъ такую точку, изъ
которой отрѣзокъ В'С' виденъ подъ угломъ н; полученная
фигура подобна искомой.)
23. Данъ четырехугольникъ; требуется вписать въ него
ромбъ, стороны котораго были бы параллельны діагоналямъ
четырехугольника. (Чертятъ произвольный ромбъ, стороны
котораго параллельны діагоналямъ четырехугольника, и
проводятъ черезъ его вершины прямыя, параллельныя сто-
ронамъ четырехугольника.)
24. Требуется начертить окружность, проходящую че-
резъ данную точку и касающуюся двухъ данныхъ прямыхъ
а и Ь 20).
25. Даны двѣ прямыя I и а и точка Е внѣ прямой а\
требуется отыскать на а такую точку X, разстояніе которой
отъ I было бы вдвое больше разстоянія отъ Е. (За центръ
подобія принимаютъ точку пересѣченія прямыхъ а и /.)
26. Даны двѣ точки А и В и прямая требуется по-
строить окружность, проходящую черезъ А и В и пасу-
щуюся прямой
27. Извѣстны высоты ка, кь, кс нѣкотораго глаголь-
ника; требуется построить этотъ треугольникъ. (Рыготы тре-
угольника, имѣющаго сторонами Ла, Ль, кс, пропорціональ-
ны сторонамъ искомаго треугольника.)
28. Даны двѣ кривыя Кх и К7 и ж||ка Р; требуется
черезъ Р провести прямую х такъ, чтобърР А! : Р А2 = т'.п,
24
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
гдѣ Ах, А2 являются точками пересѣченія я: соотвѣтственно
съ кривыми Кѵ, К2, а т и п означаютъ данныя числа. (За
центръ подобія берутъ точку Р и чертятъ кривую К\, по-
добную кривой Къ и сходственно съ нею расположенную,
съ модулемъ —, т. е. умножаютъ кривую л2 на —.) *)
§ 4. Методъ вспомогательныхъ фигуръ.
і. Нѣкоторыя геометрическія задачи легко разрѣша-
ются путемъ присоединенія къ искомой фигурѣ отдѣльныхъ
линій, причемъ получаются фигуры, которыя могутъ быть
построены непосредственно по условіямъ задачи.
При изученіи фигуры, подлежащей построенію, прини-
мается въ соображеніе слѣдующее:
Данные отрѣзки всегда вводятъ въ фигуру. Если,
напр., дана сумма двухъ отрѣзковъ, то вводятъ въ фигуру
эту сумму.
Затѣмъ стараются найти линіи, углы или цѣлыя
части фигуры, которыя легко могутъ быть опредѣ-
^7 лены по даннымъ отрѣзкамъ; въ
/\ частности, строятъ треуголь-
/ ники по тремъ даннымъ элемен-
/ тамъ, которыми они опредѣ-
/ / х. ляются.
/ х. 2’ Пояснимъ сказанное на нѣ-
_________________ х^ сколькихъ задачахъ для упраж-
А________________& ненія:
фиг- 14- 29. Требуется построить тре-
угольникъ АВС (фиг. 14) по дан-
ному углу а, высотѣ ка и биссектрисѣ тѵа угла а. (По
отрѣзкамъ гѵа и к а строится прямоугольный треугольни^.)
30. Построить треугольникъ по высотѣ ка , <мшданѣ
(исходящей изъ А) ша и радіусу г круга вписанн^^(Сна-
чала по отрѣзкамъ ка , т а строятъ прямоугольнь^ртреуголь-
никъ и отыскиваютъ вписанный кругъ по м^оду геомет-
рическихъ мѣстъ 21) .) Ѵ'ѵ
*) Петерсенъ, тамъ же.
§ 4- МЕТОДЪ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХЪ ФИГУРЪ.
25
31. Построить треугольникъ по сторонѣ а, суммѣ 5
двухъ другихъ сторонъ Ъ и с и высотѣ к Ъ • (Вводятъ въ
фигуру отрѣзокъ Ь-\-с, удлиняя сторону Ь въ направленіи
отъ С къ А на отрѣзокъ, равный с
32. Извѣстны сторона а треугольника, противолежащій
ей уголъ а и сумма 5 двухъ другихъ сторонъ; требуется
построить треугольникъ. (Удлиняютъ Ь въ сторону А на с
и получаютъ такимъ образомъ уголъ а .)
33. Данную дугу окружности разложить на двѣ дуги
такъ, чтобы сумма соотвѣтствующихъ хордъ была наиболь-
шей. (Геометрическое доказательство? 22))
34. Черезъ точку пересѣченія двухъ окружностей про-
вести прямую такъ, чтобы сумма отсѣкаемыхъ на ней хордъ
была наибольшей23).
35. Даны прямая на ней точка О и внѣ ея двѣ
точки А и В; требуется черезъ А и В провести параллель
ныя прямыя АХ и ВУ такъ, чтобы ХО : О У = т: п. (Дѣ-
лятъ прямую АВ (фиг. 15)
въ отношеніи т'.п и про-
водятъ черезъ А и В пря-
мыя, параллельныя АО.)
36. Даны двѣ парал-
лельныя прямыя, на одной
изъ нихъ точка Р, на дру-
гой — точка наконецъ,
точка О, лежащая внѣ каждой изъ этихъ прямыхъ; требу-
ется черезъ Р и 0^ провести двѣ параллельныя прямыя РХ
и ОУ такъ, чтобы прямая ХУ проходила черезъ О24).
37. Даны двѣ точки Р и О и нѣкоторая проходящая
черезъ О прямая требуется на § опредѣлить такія двѣ
точки Хи У, равноотстоящія отъ О, чтобы отрѣзокъ ХУ
изъ точки Р былъ виденъ подъ угломъ а. (Продолжаютъ^
отрѣзокъ РО до нѣкоторой точки Р такъ, чтобы отрѣзсжк
0.К равнялся Р<2”)-)
38. Извѣстна сумма сторонъ треугольника, т^^вели-
чина 5= а-[-Ъ-\-с, уголъ а и радіусъ Р описанн^о круга;
требуется построить треугольникъ 26).
39. Даны двѣ параллельныя прямыя , на прямой
а точка А, на прямой Ъ точка В, и мюйу^обѣими парал-
26
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
лельными прямыми точка О; требуется провести черезъ О
прямую, которая пересѣкла бы а и Ъ въ точкахъ X и У такъ,
чтобы АХ + В У = 5 , гдѣ 5 есть данный отрѣзокъ (знаки
отрѣзковъ АХ и ВУ принимаются во вниманіе27)).
§ 5. Методъ преобразованія фигуръ.
(Параллельное перенесеніе, перекладываніе, вращеніе.)
А) Параллельное перенесеніе.
і. При рѣшеніи геометрической задачи на построеніе
часто бываетъ полезно перенести параллельно отдѣль-
ныя части фигуры и тѣмъ самымъ придать ей болѣе удобный
для рѣшенія видъ.
Если, напр., даны два отрѣзка и уголъ, между ними
заключенный, и если одинъ отрѣзокъ будетъ перенесенъ
параллельно самому себѣ такъ, чтобы одинъ изъ его кон-
цовъ совмѣстился съ однимъ изъ концовъ другого отрѣзка,
то получится треугольникъ, изъ элементовъ котораго из-
вѣстны двѣ стороны и уголъ, между ними заключенный.
Этотъ треугольникъ легко можетъ быть построенъ, что
можетъ оказаться полезнымъ при рѣшеніи задачи.
Часто являются весьма полезными также и другого
рода параллельныя перенесенія: если, напр., въ со-
ставъ искомой фигуры вхо-
дитъ многоугольникъ и че-
резъ данную точку прове-
сти отрѣзки, параллель-
ные и равные по длинѣ
сторонамъ многоугольни-
ка, то концы отрѣзковъ
образуютъ новый много-
угольникъ, который не-
рѣдко легко поддается^ро-
строенію; затѣм^^гжъ
строится искомы^^Иного-
угольникъ.
2. Для треугольника и четырехугольника существу-
ютъ два особенно удобныхъ параллельньЪ^перенесенія*).
Именно, если въ треуголььникѣ Л/^дфиг. іб) перене-
сти стороны АВ, ВС, АС соотвѣтственно въ положенія
Е
Фиг. 16.
*) Петерсенъ, тамъ же.
§ 5- МЕТОДЪ ПРЕОБРАЗОВАНІЯ ФИГУРЪ.
27
въ треугольникѣ СВЕ,
ВВ, ЕА, ЕВ, то получится новый треугольникъ СВЕ.
Стороны послѣдняго параллельны медіанамъ исходнаго тре-
угольника и вдвое больше ихъ по длинѣ; углы, составленные
сторонами, медіанами и высотами въ исходномъ треуголь-
никѣ, сохраняютъ свое значеніе и
3. Для четырехугольника
АВСВ во многихъ задачахъ
является полезнымъ слѣдую-
щее параллельное перенесеніе:
Отрѣзокъ АС (фиг. 17) пере-
носятъ въ положенія ВВХ и ВВ} ;
такимъ путемъ получается парал-
лелограммъ ВВѴВХВ. Стороны его
равны по длинѣ діагоналямъ исход-
наго четырехугольника; отрѣзки,
исходящіе изъ С, равны сторонамъ
четырехугольника АВСВ. а углы
вокругъ С равны угламъ того же четырехугольника; діаго-
нали параллелограмма параллельны отрѣзкамъ, соединяю-
щимъ середины противоположныхъ сторонъ, и вдвое больше
ихъ по длинѣ.
4. Мы снова предлагаемъ рѣшить нѣсколько задачъ
для упражненія:
40. Даны три медіаны треугольника; требуется постро-
ить треугольникъ.
41. Даны двѣ стороны параллелограмма и уголъ между
діагоналями; построить параллелограммъ. (Одну діагональ
переносятъ такъ, чтобы одинъ
изъ концовъ ея совпалъ съ кон-
цомъ другой діагонали.)
42. Даны двѣ окружности;
требуется построить отрѣзокъ
данной длины 5 такъ, чтобы кон-
цы его лежали на данныхъ окруж-
ностяхъ и чтобы онъ былъ парал-
леленъ данной прямой 28).
43. Данъ треугольникъ АВС
(фиг. 18); требуется описать во-
кругъ него равносторонній треугольникъ
28
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
шей площадью. (Задача сводится къ тому, чтобы черезъ точку
пересѣченія двухъ окружностей провести прямую, для ко-
торой сумма отсѣкаемыхъ на ней хордъ была бы наибольшей.
Задача 34.)
44. Даны діагонали трапеціи и двѣ непараллельныя
ея стороны; построить трапецію29).
45. Даны стороны четырехугольника и длина отрѣзка,
соединяющаго середины діагоналей; построить четырехуголь-
никъ. (Соединяютъ середины діагоналей съ серединами
сторонъ 30).)
46. На прямой линіи & лежатъ двѣ точки А и А'; тре-
буется раздѣлить ихъ гармонически точками Р и Р' такъ,
чтобы отрѣзокъ РР' имѣлъ данную длину 5 31).
47. Требуется построить трапецію по параллельнымъ
сторонамъ и діагоналямъ 32).
48. Даны діагонали четырехугольника, двѣ противопо-
ложныя стороны и уголъ между послѣдними; построить че-
тырехугольникъ 33).
49. Даны двѣ окружности Кх и К2 и точка Р (фиг. 19);
требуется провести черезъ точку Р такую прямую, на ко-
торой обѣ окружности отсѣкли бы равныя хорды. (Предпо-
лагаютъ задачу рѣшенною и перемѣщаютъ окружность К2
параллельно искомой прямой до тѣхъ поръ, пока ея^&фда
не совпадетъ съ хордой окружности Кх. Изъ ноз^йрО цен-
тра 0\ центральная линія видна подъ прямымъ угжжъ; каса-
тельная, проведенная изъ точки Р къ окружнос||рА'.2, равна
касательной изъ той же точки къ окружноо^ЛГ, 84).)
50. Даны двѣ окружности Кх, К2 иЛгртмая требу-
ется провести параллельно & прямую ялжь, чтобы сумма
хордъ, которыя на ней отсѣкаются битами окружностями,
§ 5- МЕТОДЪ ПРЕОБРАЗОВАНІЯ ФИГУРЪ.
29
равнялась данному отрѣзку 5. (Если перенести окружность
Кх (фиг. 20) параллельно данной прямой на разстояніе, рав-
ное 5, то получится окружность К\; если, далѣе, построить
перпендикуляръ къ центральной линіи въ ея серединѣ и
перенести окружность К2 параллельно данной прямой такъ,
чтобы ея центръ упалъ на этотъ перпендикуляръ, то уже
опредѣлится искомая прямая х.)
В) Перекладываніе.
і. При этомъ методѣ фигуру приводятъ въ по-
ложеніе, болѣе удобное для рѣшенія, передвигая нѣ-
которую ея часть. И въ этомъ случаѣ слѣдуетъ по пре-
Фиг. 20.
имуществу вводить данные отрѣзки въ фигуру, приводить
къ совпаденію равные углы и отрѣзки, или вычерчивать
симметричныя фигуры такъ, чтобы искомая точка ока-
залась на оси симметріи.
2. Методъ выяснится при рѣшеніи предлагаемыхъ за-
дачъ для упражненія.
51. Построить треугольникъ по сторонамъ а, Ъ и пр^
разности угловъ а — р = д. (Если переложить искомый от<^^
угольникъ такъ, чтобы вершина А совпала съ В, —
съ Д то получится новый треугольникъ со стороіѣіжі а, Ь
и съ заключеннымъ между ними угломъ <5.)
52. Даны стороны АО, АВ, углы О и 5^^ірехуголь-
ника АВСО, въ который можетъ быть впи<|гК кругъ (опи-
санный четырехугольникъ); построить^датырехугольникъ.
30
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
{Проводятъ биссектрису угла А (фиг. 21); пусть Ох, Сх бу-
дутъ точки, симметричныя точкамъ Р и С въ отношеніи этой
биссектрисы ; тогда прямая
С\ также является касатель-
ной къ окружности 35).)
53. Даны четыре сторо-
ны вписаннаго въ окружность
четырехугольника; построить
четырехугольникъ. (Строятъ
(фиг. 22) ВхА =АВ} ВХСХ
параллельно ВС и ВЕ = ВХСХ\
тогда треугольникъ АВЕ кон-
груэнтенъ съ треугольникомъ
А В1 С г Поначалу строятъ
Фиг. 21. треугольникъ СЛЕ; при
этомъ слѣдуетъ замѣтить, что
АЕ:АС = АВ:АВ; см. геометрич. мѣсто (.)
калась прямоугольно
54. Даны прямая /, точка Р и
прямая^, проходящая черезъ У7; тре-
буется построить на § такую точку X
которая равно отстояла бы отъ Р и I.
(Проводятъ черезъ Р нормаль п къ
прямой § и строятъ биссектрису угла
между п и I.)
55. Дана окружность К, прямая
и на ней точка А; требуется по-
строить окружность, имѣющую центръ
въ нѣкоторой точкѣ X, такъ, чтобы
она касалась & въ точкѣ А и пересѣ-
съ окружностью К. (Если К'= К пере-
сѣкаетъ прямую въ точкѣ А прямоугольно, то ТОЧіфу^Ѵ
лежитъ на радикальной оси (перпендикулярѣ къ це^фаль-
ной линіи въ ея серединѣ) окружностей К и К'
56. Въ окружность К требуется вписать треугольникъ
АВС такъ, чтобы точки а, 0, у были середищ(&і дугъ, стя-
гиваемыхъ соотвѣтственными сторонами треугольника. (Если
вращать произвольную точку Р (фиг. 2з)Дю окружности во-
кругъ /3 до точки Рх, затѣмъ Рх вокр^ьш до точки Р2, и
§ 5- МЕТОДЪ ПРЕОБРАЗОВАНІЯ ФИГУРЪ.
31
Р2 вокругъ 7 до точки Р3, то А будетъ серединой дуги
Л>36).)
и три исходящія изъ ея цен-
описать треугольникъ АВС
57. Дана окружность К
тра прямыя а, Ъ, с; требуется
такъ, чтобы вершина А лежала
на а, В на Ь> С на с. (Если
произвольную касательную /
(фиг. 24) къ окружности отра-
зить въ прямой а, полученную
такимъ путемъ касательную
/'—въ прямой Ь и Г въ пря-
мой с, то получится касатель-
ная сторона Ъ искомаго
треугольника составляетъ рав-
ныеуглы съ касательными I и /7)
58. Даны треугольникъ
АВС и прямая проходящая
черезъ вершину С; требуется
Л, изъ которой стороны А С
Фиг. 23.
построить на такую точку
и ВС видны подъ однимъ и
Фиг. 24.
’гѣмъ же угломъ. (Отражаютъ треугольникъ
мой &.)
59. Даны треугольникъ АВС и точка О і
ищется на АС такая точка X, изъ котор^
АВС пря-
32
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
АВ и ВВ видны подъ однимъ и тѣмъ же угломъ. (Стро-
ятъ точку Вх , симметричную точкѣ В въ отношеніи пря-
мой ВХ.)
6о. Даны двѣ кривыя Сх и С2 и прямая требуется
провести перпендикулярно къ § прямую х такъ, чтобы обѣ
кривыя отсѣкали отъ нея равные отрѣзки, считая отъ точки
Вг пересѣченія & съ х. (Поворачиваютъ
/\ кривую С2 вокругъ & и разсматрива-
/ ютъ точки пересѣченія повернутой
/ Г\ кривой съ Сх.)
I / \ 6і. Даны прямая & и двѣ точки
/ А, В, лежащія съ одной и той же
/ стороны отъ прямой; требуется по-
/\ / I строить на $ точку X такъ, чтобы
у г сумма АХ-^-ХВ была наименьшей.
/\ і (Отраженіе Вх точки В въ прямой р*
/ \ I соединяютъ съ точкой А 37).)
д ср р 62. Даны треугольникъ АВС и
Фиг. 25. точка Р на сторонѣ АВ; требуется
вписать въ треугольникъ новый тре-
угольникъ РХХ такъ, чтобы стороны искомаго треуголь-
ника составляли равные углы со сторонами Ь и с даннаго
треугольника (фиг. 25) 38).
63. Данъ треугольникъ АВС; требуется вписать въ
Фиг. 26.
него треугольникъ съ наи-
меньшимъ периметромъ. (По
способу, употребленному въ
задачѣ 62, предложенная зада-
ча сводится къ слѣдующей
(фиг. 26): „Даны двѣ прямыя
т, п, на первой изъ нихъ точка
М, на второй—точка Д^^ре-
буется построить на этих^ь пря-
К и 5 такъ, чтобы = ЗХ
фѣзокъ КЗ
[ХЪШИИ 39).)
ТОЧКИ
наименьшее значеніе".
мыхъ, соотвѣтственно,
и длина КЗ имѣла бы
будетъ перпендикуляренъ биссектрисѣ угла п]
С) Вращеніе. дА
і. Если нѣкоторую фигуру / повернусь вокругъ цен-
тра О на уголъ а, то всѣ точки ф^уры опишутъ дуги
§ 5- МЕТОДЪ ПРЕОБРАЗОВАНІЯ ФИГУРЪ.
33
различныхъ радіусовъ, но отвѣчающія одному и тому же
центральному углу а.
Чтобы повернуть прямую & на уголъ а можно, на-
примѣръ, повернуть нормаль къ этой прямой на уголъ а.
Между новымъ положеніемъ прямой и первоначальнымъ
заключенъ уголъ вращенія а.
Если, далѣе, принявъ точку О за центръ подобія, уве-
личить или уменьшить фигуру въ опредѣленномъ отно-
шеніи, или, какъ выражается Петерсенъ, умножить ее
на нѣкоторое число, то получится новая фигура /2 > по-
добная фигурѣ , слѣдовательно, и фигурѣ /.
2. Наоборотъ, если на плоскости даны двѣ подоб-
ныя и одинаково направленныя 40) фигуры /и /2, то
всегда есть возможность построить точку О такъ,
чтобы фигура /2 могла быть получена изъ фигуры /
путемъ вращенія послѣдней вокругъ точки О и умно-
женія на нѣкоторое опредѣленное число.
Достаточно доказать эту теорему лишь для того слу-
чая, когда фигура / есть отрѣзокъ АВ, а фигура /2 —
отрѣзокъ А2В2, такъ какъ при
обѣихъ фигуръ всѣ ихъ точки
совпадутъ, коль скоро будутъ
приведены къ совпаденію оба
отрѣзка. Для рѣшенія этой за-
дачи замѣтимъ, что уголъ, со-
ставляемый обоими отрѣзками
при точкѣ 5 (фиг. 27), и являет-
ся искомымъ угломъ вращенія а.
Такимъ образомъ, точка О вмѣ-
стѣ съ точками А, А2,5 должна
одинаковомъ направленіи
Фиг. 27.
лежать на нѣкоторой окружно-
сти Кх и вмѣстѣ съ точками
В , В2,3— на нѣкоторой окружности К2 41)« Число, на кото^е
должна быть умножена фигура /, есть
3. При рѣшеніи очень многихъ задачъ съ ѵшбствомъ
примѣняютъ вращеніе вокругъ точки, при чемтфъъ случаѣ
надобности, пользуются и вышеприведенной .теоремой.
Мы опять выяснимъ это на задачахъ <^тад,упражненія:
Теорія геометрическихъ построеній.
3
34
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
64. Даны три прямыя р, д, г и на р точка А; тре-
буется построить равносторонній треугольникъ такъ,чтобы
Фиг. 28.
одна изъ его вершинъ со-
впала съ А, а двѣ другія
лежали соотвѣтственно
на прямыхъ д и г. (Вра-
'Я щаютъ (фиг. 28) сторону
Ъ, прямую г и вмѣстѣ съ
ними точку С на 6о° до
совпаденія съ Ъх, гх, С\.)
65. Данъ квадратъ;
требуется вписать въ него
равносторонній треуголь-
котораго
рата 42).
никъ, одна изъ вершинъ
лежала бы въ точкѣ, данной на сторонѣ квад-
66. Даны двѣ прямыя а и а2, на первой — точка А, на
второй — точка Д2 и внѣ обѣихъ прямыхъ — точка Р.
Фиг. 29.
Требуется провести черезъ
Р прямую х, которая встрѣ-
чаетъ прямыя а и а2 соот-
вѣтственно въ точкахъ X
и Х2 такъ, что
-- ггі . ,
гдѣ т и т2 суть данныя
числа. (На прямыхъ а и а2
отъ точекъ А и А2 (фиг. 29)
откладываютъ отрѣзки, со-
отвѣтственно равные т и ;
концы ихъ означимъ черезъ
В, В2. Затѣмъ разсматри-
ваютъ А. и А2, В ,
какъ сходственньп^^моло-
гичныя) точки л^таъ подоб-
ныхъ системъ^ж^сообразно
съ фиг. опредѣляютъ
центръ вращенія О. Такъ какъ, далѣе, тф|угольникъ ХХ2О
подобенъ треугольнику АА2О, то^^^Х=<^:А; поэтому
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ. 35
точка X лежитъ на дугѣ К, построенной (согласно фиг. 4)
на отрѣзкѣ ОР.)
67. Даны двѣ прямыя а и а2у на нихъ соотвѣтственно
точки А и А2 и внѣ обѣихъ прямыхъ — точка Р; требуется
провести черезъ Р прямую, которая пересѣкла бы данныя
прямыя соотвѣтственно въ точкахъ X, Х2 такъ, чтобы
АХ-[- А2Х2 = 8, гдѣ 5 — данный отрѣзокъ. (Если отложить
на а отрѣзокъ АВ = з1 то должно имѣть мѣсто равенство
Л2Х2 = ХВ, такъ что предложенная задача сводится къ
задачѣ 66.) (Задача 68 опущена, ибо содержитъ ошибку.)
Петерсенъ въ своемъ неоднократно нами упоминае-
момъ сочиненіи приводитъ еще цѣлый рядъ весьма изящ-
ныхъ задачъ на методъ вращенія, при чемъ онъ пользуется
слѣдующими двумя предложеніями:
а) Если многоугольникъ (оставаясь постоянно по-
добнымъ самому себѣ) передвигается такъ, что три
изъ его вершинъ описываютъ прямыя линіи, не прохо-
дящія черезъ одну точку, то и каждая изъ остальныхъ
вершинъ многоугольника описываетъ прямую линію.
Ь) Если многоугольникъ (оставаясь постоянно
подобнымъ самому себѣ) передвигается такъ, что
три его стороны вращаются вокругъ постоянныхъ
точекъ, не лежащихъ на одной прямой, то всѣ сто-
роны многоугольника вращаются вокругъ постоян-
ныхъ точекъ.
§ 6. Методъ инверсіи.
Весьма полезнымъ методомъ для рѣшенія геометриче-
скихъ задачъ на построеніе, именно такихъ, которыя отно-
сятся къ окружностямъ, является методъ инверсіи или
обратныхъ радіусовъ> Онъ даетъ возможность замѣнять^,
фигуры, содержащія окружности, болѣе простыми фигурадйг
і. Прежде всего мы должны будемъ разъясцЖть
самый принципъ инверсіи (принципъ обратіЩ^» ра-
діусовъ).
Пусть дана (фиг. 30) окружность К радіусхкфи точка Р.
Если прямую, соединяющую точку Р съ цсщдромъ, продол-
жить до пересѣченія съ полярой і3) р трчМр-Р, то получится
з*
36
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
точка Р‘, которую и считаютъ отвѣчающей точкѣ Р въ
отношеніи окружности К по принципу инверсіи.
Изъ прямоугольнаго треугольника ОАР вытекаетъ не-
медленно, что
слѣдовательно, если положить г = і, 0Р=$, ОР'=о',
, і
О =
" о
Вотъ почему этотъ принципъ отображенія называется
также принципомъ обратныхъ радіусовъ.
Окружность К называется основной окружностью,
точка О—центромъ инверсіи, число г2— степенью
инверсіи.
2. Если точку Р (фиг. 30) передвигать вдоль прямой & *
то и точка Р’ будетъ дви-
гаться по этой прямой; если
точку Р постоянно удалять
отъ центра, то Р' будетъ
,9 постоянно приближаться къ
точкѣ О; безконечно уда-
ленной точкѣ прямой & по«
принципу инверсіи отвѣча-
етъ точка О. Если Р при-
ближается вдоль прямой къ
точкѣ О, то Р' удаляется
отъ О; точка О окружности совпадаетъ съ отвѣчающей
ей точкой <2*.
Между Р и Р' существуетъ инволюціонная за-
висимость, т. е., если Р совпадаетъ съ Р', то Р' передви-
гается на мѣсто Р, что вытекаетъ изъ равенства
ОР- ОР = Р . 44)
Такимъ образомъ, вся часть плоскости внѣ ^дружно-
сти отображается въ части ея, ограниченной <Ж^жностью;
всѣ безконечно удаленныя точки имѣютъ с^имъ изобра-
женіемъ точку О.
Если Р передвигается вдоль нѣшйюрой прямой или
кривой, то и точка Р' описываетъ нЩрторую линію, кото-
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
37
рая носитъ названіе обратнаго изображенія первой
линіи. Въ частности, прямая отвѣчаетъ сама себѣ (фиг. 30),
т. е. совпадаетъ съ отвѣчающей ей линіей Равнымъ
образомъ отвѣчаетъ сама себѣ и окружность К, а
именно, каждая ея точка сама себѣ отвѣчаетъ.
3. Для послѣдующаго изложенія важны нѣкоторыя
теоремы, которыя мы сейчасъ выведемъ:
а) Если (фиг. 31) точки Р и О? отвѣчаютъ точкамъ
Р и О относительно окружности К
по принципу обратныхъ радіусовъ, то
А ОР0~ А 00'Р’,
ибо
ор. ор=~оогоо\
слѣдовательно,
ОР: 0(2 = 00; : ОР,
Четыре точки Р, Р, О, О? лежатъ,
такимъ образомъ, на окружности 45),
которая пересѣкаетъ окружность К подъ прямымъ угломъ (с).
вдоль прямой то
Ь) Если точка Р движется
точка Р описываетъ нѣко-
торую окружность, проходя-
щую черезъ О.
Доказательство. Если
(фиг. 32) 00 есть нормаль къ ,
Р—произвольная точка на
Р' и О'—точки, обратныя точ-
камъ Р и О, то, согласно а),
^ОР0'=^00Р = 9о°.
Такимъ образомъ, Р' ле-
житъ на окружности, построен-
ной на отрѣзкѣ 00', какъ на
діаметрѣ.
Изъ чертежа ясно также,
какъ построить окружность обратную пряЛ®
с) Если А и А', В и В' суть взаимно обратныя точки,
лежащія на одной и той же прямой, истоЖщщй изъ О, а Р
&
Фиг. 32.
38
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
и Р'—какая-нибудь другая пара взаимно обратныхъ точекъ
(фиг. зз), то
А АРВ^ А А'Р'В',
ибо изъ а) вытекаетъ:
^ОАР = ^ОРА.
равнымъ образомъ ,
^ОВ'Р = ^ОРВ,
слѣдовательно,
^А’РВ’=^АРВ
(но ихъ знаки противоположны).
Отсюда выводъ: если точка Р описываетъ окружность
Кх, имѣющую отрѣзокъ АВ своимъ діаметромъ, то точка
Р описываетъ окружность К\ , имѣющую своимъ діаметромъ
отрѣзокъ А'В'.
Такимъ образомъ, фигурой, обратной данной
окружности, является снова нѣкоторая окружность;
обѣ окружности расположены такъ, что точка О
является ихъ внѣшнимъ центромъ подобія.
Если окружность Кх дана, то построеніе окружности
К\ удобнѣе всего выполнить такъ: отыскиваютъ точку <2'>
обратную точкѣ 2, и строятъ центръ окружности К\ , какъ
точку, сходственную съ центромъ окружности Кх. (Центры
обѣихъ окружностей не будутъ обратными точками.)
сі) Изъ фиг. зз можетъ быть выведено еще одно важ-
ное предложеніе: если АРВ есть безконечно малый тре-
угольникъ, то обратную ему фигуру можно представить
себѣ совпадающей съ треугольникомъ А' РВ'. Онъ подобенъ
треугольнику АРВ, такъ какъ
= и ^В'=^В.
Отсюда вытекаетъ слѣдующее предложеніе:
Если С , С2 — двѣ кривыя, пересѣкающаяся подъ
угломъ а, то и обратныя имъ кривыя С\ пересѣ-
каются подъ тѣмъ же угломъ а 46); ъъ^частности, если
обѣ кривыя касаются, то равнымъ образомъ касаются и
обратныя имъ кривыя.
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
39
Отображеніе, такимъ образомъ, удерживаетъ въ
мельчайшихъ частяхъ сходство съ отображаемой
фигурой; оно сохраняетъ углы или конформно.
4. Въ тѣсной связи съ упомянутымъ выше способомъ
отображенія находится другой способъ, которымъ мы
позже будемъ пользоваться:
Обозначимъ черезъ О (фиг. 34) постоянную точку,
черезъ г — данный отрѣзокъ, черезъ Р — произвольную точку
плоскости; проведемъ прямую ОР и на продолженіи ея
въ сторону О построимъ точку
Р' такъ, чтобы
ОР- ОР'= — г\
Если отнести другъ къ другу
каждыя двѣ точки плоскости,
Фиг. 34.
удовлетворяющія этому равенству, то тѣмъ самымъ плос-<
кость будетъ отображена сама въ себѣ.
Если мы построимъ теперь точку Р" (фиг. 34) по чре;ь
нему методу, т. е. такъ, чтобы
ОР-ОР'=гР
то станетъ яснымъ, что точка Р' можетъ быт^долучена изъ
точки Р" при помощи вращенія послѣднеЖда і8о°.
40
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
Такимъ образомъ, если Р и Р" являются взаимно
обратными фигурами по отношенію къ точкѣ О, какъ цен-
тру инверсіи, и г2, какъ степени инверсіи, и если фигуру
Р" повернуть вокругъ О на і8о°, то вновь образованная
фигура Р' и исходная фигура Р будутъ также взаимно обрат-
ными при томъ же центрѣ инверсіи и степени — г2.
Радіусъ основного круга для степени —г2 есть г У — і ,
т. е. является мнимымъ.
Выведенныя выше теоремы сохраняютъ свою силу и
для случая отрицательной степени:
Прямой отвѣчаетъ снова проходящая черезъ центръ
инверсіи окружность, окружности отвѣчаетъ окружность,
при чемъ О въ этомъ случаѣ является ихъ внутреннимъ
центромъ подобія; отображеніе и теперь будетъ конформ-
нымъ, два обратныхъ угла имѣютъ, какъ и раньше, проти-
воположные знаки.
Задачи для упражненія:
69. Кромѣ основной окружности К дана прямая; тре-
буется построить ея обратное изображеніе, если прямая
касается окружности, пересѣкаетъ ее или проходитъ внѣ ея.
Дана основная окружность К и еще окружность Кх;
построить фигуру, обратную Кх, въ слѣдующихъ случаяхъ:
пКх проходитъ черезъ центръ К\ Кх касается К извнѣ
или изнутри; Кх пересѣкаетъ К подъ острымъ угломъ,
прямымъ угломъ; Кх лежитъ цѣликомъ внѣ или внутри К“
70. Совокупность окружностей, имѣющихъ одну
и ту же радикальную ось 47), называется пучкомъ
окружностей.
а) Если какія-либо двѣ изъ этихъ окружностей пере-
сѣкаются, то точки ихъ пересѣченія лежатъ на ихъ общей
радикальной оси и вмѣстѣ съ тѣмъ принадлежатъ всѣмъ
окружностямъ пучка. Пучокъ въ этомъ случаѣ имѣетщд^ѣ
вещественныхъ основныхъ точки и состоитъ иэт^эово-
купности всѣхъ окружностей, проходящихъ че(||^ь эти
двѣ точки (эллиптическій пучокъ окружно^^и).
Ь) Можетъ встрѣтиться также такой сда&ай, что ни-
какія двѣ окружности пучка і гйкаются въ
вещественныхъ точкахъ (гипе ескій пучокъ
окружностей).
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
41
Если Кх и К2 суть двѣ окружности пучка, то по нимъ
нетрудно построить остальныя окружности пучка:
Если Р есть точка пересѣченія ихъ радикальной оси
съ центральной линіей, то она имѣетъ въ отношеніи обѣихъ
окружностей одну и ту же степень р2. Поэтому касатель-
ныя, проведенныя изъ Р ко всѣмъ окружностямъ пучка,
должны быть равны ( = />). Точки касанія всѣхъ этихъ каса-
тельныхъ лежатъ, такимъ образомъ, на окружности К, ко-
торая имѣетъ центромъ точку Р и пересѣкаетъ всѣ окруж-
ности пучка подъ прямымъ угломъ.
Если хотятъ построить еще какую-нибудь окруж-
ность К3 пучка, то въ окружности К проводятъ произ-
вольный радіусъ и на концѣ его Е возставляютъ къ нему
перпендикуляръ, который пересѣчетъ центральную линію
въ точкѣ 03. Окружность 03 (Л) принадлежитъ пучку, ибо
она имѣетъ въ точкѣ Р также степень р2 48).
Изъ построенія вытекаетъ также соотношеніе
г2 = сі2 —р2,
гдѣ г — радіусъ окружности 03, А—разстояніе ея центра
отъ Р и р2— постоянная степень точки Р.
Если положить б7 = />, то
т. е. этотъ гиперболическій пучокъ содержитъ также
двѣ точки (точки - окружности); онѣ лежатъ въ пере-
сѣченіи центральной линіи съ окружностью К.
с) Если р есть общая радикальная ось пучка, — ка-
кая-нибудь точка этой оси, то она въ отношеніи всѣхъ
окружностей пучка имѣетъ одну и ту же степень </2; изъ
нея, такимъ образомъ, ко всѣмъ окружностямъ можно про/
вести касательныя равной длины. о
Если вокругъ О описать окружность радіусомъ ^д^ав-
нымъ этимъ касательнымъ, то она пересѣчетъ всѢОкруж-
ности пучка ортогонально (подъ прямымъ угловъ).
Такимъ образомъ, вокругъ каждой точкщфадикальной
оси можетъ быть описана окружность, пер|ѢѢкающая всѣ
окружности пучка ортогонально. /Л/
42
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
(3) Совокупность всѣхъ этихъ ортогональныхъ
окружностей образуетъ новый пучокъ, имѣющій
центральную линію даннаго пучка своей радикаль-
ной осью.
Доказательство: Каждая окружность КА перваго
(даннаго) пучка пересѣкается ортогонально всѣми окруж-
ностями второго пучка. Касательныя къ окружностямъ
второго пучка въ этихъ точкахъ пересѣченія проходятъ,
такимъ образомъ, черезъ центръ взятой окружности 7^ .
Слѣдовательно, произвольная точка 0± центральной линіи
перваго пучка имѣетъ одну и ту же степень въ отношеніи
всѣхъ окружностей второго пучка.
е) Если первый пучокъ имѣетъ вещественныя
основныя точки, то ортогональный пучокъ ихъ не
имѣетъ. Узловыя точки перваго пучка (общія всѣмъ его
окружностямъ) являются точками-окружностями ортогональ-
наго пучка.
Если же первый пучокъ не имѣетъ веществен-
ныхъ основныхъ точекъ, то второй пучокъ ихъ
имѣетъ, именно, въ точкахъ-окружностяхъ перваго пучка.
і) Если начертить фигуру, обратную системѣ кон-
центрическихъ окружностей и ихъ діаметровъ, то
получатся два ортогональныхъ пучка окружностей 49).
71. Дана окружность Кх и внѣ ея точка Р.
Если провести изъ Р касательныя къ Кх и вокругъ Р
описать окружность К
радіусомъ, равнымъ
этимъ касательнымъ,™
окружность Кх будетъ
отвѣчать сама себѣ
по принципу инвер-
сіи въ отношеніи
окружности К\ это
требуется доказать 50).
Окружности К и Кх
пересѣкаются подъ
прямымъ угломъ.От-
вѣчающія другъ другу
точки А и А', В и В',... (фиг. 35) оіфЩ<ности образу-
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
43
ютъ при этомъ инволюцію. Степенью нашей инверсіи будетъ
степень точки Р въ отношеніи окружности К±.
И въ томъ случаѣ, когда Р лежитъ внутри Кх (фиг. 36),
можно установить инверсію, взявъ точку Р за центръ, при
чемъ окружность Кх отвѣчаетъ сама
себѣ. Степень инверсіи снова равна
степени точки Р въ отношеніи окруж-
ности К х и, слѣдовательно, является
отрицательной.
Основной кругъ К инверсіи —
мнимый 51).
72. Дана окружность К{ и точка
Р внѣ или внутри Кх (фиг. 37 а, Ь);
требуется для нѣкоторой точки О построить точку отвѣ-
чающую ей въ такой инверсіи, при которой точка Р является
центромъ и окружность отвѣчаетъ сама себѣ. (См. 3, а).)
73. Даны двѣ окружности Кх и К2, которыя касаются
въ точкѣ А; требуется, принявши точку А за центръ ин-
версіи, построить фигуры, обратныя окружностямъ Кх, К2;
каково относительное взаиморасположеніе этихъ фигуръ? 52)
74. Пусть (фиг. 38) Кх, К2 — двѣ данныя окружности,/»—
ихъ радикальная ось, — окружность, касающаяся обѣихъ
данныхъ, і—общая касательная, которая принадлежитъ къ
той же системѣ касательныхъ окружностей, что и
Тогда окружность пересѣкаетъ радикаЛоЬ^Ъ
ось р подъ тѣмъ же угломъ, подъ которымъ пересѣ-
каетъ ее прямая /; это предложеніе находитъ ^$ВѢ при-
мѣненіе при рѣшеніи Аполлоніевой задачи оДр&аніи.
Для доказательства проведемъ изъ точкУ\<9 касатель-
ную къ окружности Кл (или К<Р и примевгь^эту касатель-
ную за радіусъ окружности К, въ отшжёиіи которой ин-
44
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
вертируемъ всю разсматриваемую фигуру; при этой инверсіи
Кх > ^2 и Р отвѣчаютъ сами себѣ; К3 переходитъ въ общую
касательную К\. Отображеніе будетъ конформнымъ.
75. Даны окружность К и точки А и В] требуется
Фиг. 38.
построить такую окружность, которая проходила бы черезъ
точки А и В и касалась бы окружности К.
За центръ инверсіи
берутъ произвольную точ-
ку окружности, если воз-
можно — одну изъ точекъ
пересѣченія съ окруж-
ностью К перпендикуля-
ра, возставленнаго къ от-
рѣзку АВ въ его серединѣ.
76. Даны три окружно-
сти Кх, К2, , имѣющія
общую точку 5; требует-
ся построить окружность,
касающуюся трехъ дан-
ныхъ (За центръ инвер-
сіи принимаютъ точку 5.)
77. Даны окружность
Кх, точки Р и проводятъ черезъм^фиг. 39) произволь-
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
45
ную сѣкущую, которая пересѣкаетъ Кх въ точкахъ А и А'г
и затѣмъ строятъ окружность К2, проходящую черезъ точки
А, А' и <2; если измѣнять сѣкущую АР, то получатся новыя
окружности К2, которыя всѣ проходятъ не только черезъ точку
но еще черезъ одну постоянную точку (У и образуютъ, слѣ-
довательно, пучокъ. (Касательныя, проведенныя изъ точки Р
къ окружностямъ Кх и , равны по длинѣ; если вокругъ Р
описать окружность К радіусомъ, равнымъ этимъ касатель-
нымъ, и принять ее за основную окружность инверсіи, то
Кх и всѣ окружности К2 будутъ отвѣчать сами себѣ. Та-
кимъ образомъ, окружности К2 должны проходить еще че-
резъ точку 2', отвѣчающую въ силу инверсіи точкѣ О»)
78. Даны окружность Кх и двѣ точки тре-
буется построить окружность, которая проходитъ черезъ
О и О' и касается окружности Кх (у']).
рр Даны двѣ окружности Кх и К2; требуется построить
окружность К, въ отношеніи которой обѣ окружности
были бы взаимно обратными (степень инверсіи предпола-
гается положительной).
Центръ О окружности К долженъ быть внѣшнимъ
центромъ подобія окружностей Кх, К2; радіусъ г окруж-
ности К (фиг. 40) опредѣляется изъ равенства:
Р = ОА^ОА' = ОВ-ОВ1.
Такъ какъ обѣ окружности должны быть взаимна
обратными фигурами, то получаемъ далѣе:
ор.()Р'=оо -оо:=г1.
редло-
омъ
Изъ принципа инверсіи непосредственно вытекаетъ,,
что окружность К2, которая касается окружности Кх въ.
въ точкѣ О и проходитъ черезъ точку <2', должна касаться^
окружности К2 въ точкѣ О!; въ самомъ дѣлѣ, въ сил^
инверсіи она отвѣчаетъ сама себѣ, слѣдовательно, пер
каетъ основную окружность инверсіи подъ прямымъ^
(Ср. 71.) Отсюда вытекаетъ часто примѣняемо
женіе:
Если окружность касается двухъ даняхъ окруж-
ностей, то прямая, соединяющая обѣотЭчки касанія,.
46
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НИ ПОСТРОЕНІЕ.
проходитъ черезъ центръ подобія, именно, черезъ
внѣшній центръ, если касаніе для обѣихъ окружностей
одного рода, черезъ внутренній центръ, если касаніе не
одного рода.
Степень внѣшняго центра подобія въ отношеніи
всѣхъ однородно касающихся окружностей К* оказывается,
такимъ образомъ, постоянной, а именно, она равна
г’ = ОА • ОА' = ОВ-ОВ' = ОР • ОР.
Какъ видоизмѣнилась бы предшествующая задача,
если бы вмѣсто внѣшняго центра подобія за центръ инвер-
Фиг. 40.
сіи былъ принятъ внутренній центръ подобія? (Окружность
К была бы при этомъ мнимой.)
8о. Если черезъ взаимно обратныя точки С2 и <2' <Н^ры
40 (задача 77) провести какую-нибудь окружность ^^°то по
отношенію къ окружности К она отвѣчаетъ х» себѣ и,
такимъ образомъ, пересѣкаетъ К ортогонаМшю, а обѣ
окружности Кх, Кг — подъ равными углцж^л4 является
изогональной окружностью обѣих^л окружностей
к^к2. .
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
47
Каждая ортогональная относительно К окруж-
ность есть изогональная окружность для Кх и К2,
такъ какъ при инверсіи она отвѣчаетъ сама себѣ.
Пусть теперь будутъ даны три окружности Мх, М2, 7И3;
черезъ обозначимъ одинъ изъ центровъ подобія
окружностей Мх и ТИ2, черезъ Т^і,2— окружность, въ от-
ношеніи которой окружности Мх и М2 будутъ взаимно
обратными, когда Аі,2 есть центръ инверсіи; символы Аігз и
7^і,з имѣютъ аналогичное значеніе въ отношеніи окружно-
стей Л/і и М3.
Всѣ окружности, ортогональныя въ отношеніи
окружности ТС,2 (7^1,з), пересѣкаются (согласно задачѣ 8о)
съ окружностями Мх и ТИ2 и 7И3) подъ равными углами.
Всѣ общія ортогональныя окружности для окружностей
/Гі,2 и 7^1,3 пересѣкаются, такимъ образомъ, со всѣми тремя
данными окружностями подъ равными углами.
Совокупность ортогональныхъ окружностей двухъ
данныхъ окружностей образуетъ пучокъ (70), который
имѣетъ своею радикальною осью линію центровъ этихъ
двухъ окружностей.
Совокупность всѣхъ полученныхъ указаннымъ
выше путемъ окружностей, изогональныхъ въ отно
шеніи ТИі, ТИ2, 7І43, образуетъ, такимъ образомъ, пу-
чокъ, имѣющій своей радикальной осью — ось подо-
бія а 53).
Можно исходить изъ другой оси подобія трехъ окруж-
ностей, при этомъ снова получится пучокъ изогональныхъ
окружностей, имѣющій эту ось подобія своею радикаль-
ною осью.
Такимъ образомъ, мы приходимъ къ теоремѣ:
„Совокупность всѣхъ изогональныхъ окружно-
стей трехъ данныхъ окружностей образуетъ четыр^
пучка, каждый изъ которыхъ имѣетъ своею р^фй-
кальнбю осью одну изъ осей подобія."
Каждой окружности, касающейся окруядюстей
, ТИ2, 7і/3, соотвѣтствуетъ другая окрткность,
также касающаяся окружностей Мх, М2, Жщ принад-
лежащая вмѣстѣ съ первой одному и <у@\Іу же пучку.
48
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
Пусть точка 2Г будетъ радикальнымъ центромъ
трехъ окружностей; пусть, далѣе, окружность К пере-
сѣкается со всѣми тремя окружностями подъ прямымъ
угломъ; К есть, такимъ образомъ, окружность, описанная
около 2 радіусомъ, равнымъ каждой изъ касательныхъ, кото-
рыя могутъ быть проведены изъ 2 къ тремъ окружностямъ.
Если теперь принять окружность К за основную
окружность инверсіи, то окружности Мх, М2, какъ
ортогональныя окружности /Г, будутъ отвѣчать сами
себѣ, и каждой изогональной окружности трехъ данныхъ
окружностей отвѣчаетъ изогональная окружность того же
пучка; въ частности, каждой окружности, касательной къ
тремъ даннымъ, отвѣчаетъ другая окружность, также каса-
тельная къ даннымъ.
Но двѣ окружности, взаимно обратныя въ отношеніи
К, имѣютъ точку 2 своимъ центромъ подобія и пересѣ-
каются на окружности К 54). Отсюда слѣдуетъ:
а) Основныя точки четырехъ пучковъ изого-
нальныхъ окружностей лежатъ на К\ окружность К
такимъ образомъ, принадлежитъ всѣмъ четыремъ
пучкамъ изогональныхъ окружностей.
Основныя точки, слѣдовательно, являются точ-
ками пересѣченія осей подобія съ окружностью
Ь) Касательныя окружности тѣхъ же пучковъ
пересѣкаютъ К въ упомянутыхъ выше основныхъ
точкахъ и имѣютъ точку 2 своимъ центромъ подобія.
Эти замѣчанія будутъ полезны при рѣшеніи Аполло-
ніевой задачи о касаніи.
8і. Даны двѣ окружности Кх и и точка Р; требуется
построить окружность, проходящую черезъ Р и касающуюся
обѣихъ окружностей. (За центръ инверсіи принимаютъ
центръ подобія окружностей Кх и и опредѣляетъ
радіусъ г основной окружности инверсіи, въ отнощ^н§? ко-
торой окружности Кх и Кг отвѣчаютъ одна друг^^>
Искомая окружность при этой инверс^^отвѣчаетъ
сама себѣ и поэтому должна проходить ч^р|зъ точку Р\
обратную точкѣ Р. Такимъ образомъ, задала эта сводится
къ задачѣ 78.
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
49
За центръ инверсіи принимаютъ сначала внѣшній, а
затѣмъ внутренній центръ подобія.
82. Даны прямая ^*, окружность Кх и точка Р\
требуется построить окружности X, которыя ка-
саются и Кх и проходятъ черезъ Р (фиг. 41).
Принимаютъ за центръ инверсіи точку А (или /),
затѣмъ опредѣляютъ основную окружность такъ, чтобы
окружность Кх и прямая отвѣчали одна другой (для точки
/ эта окружность будетъ мнимой).
Степень точекъ А и / въ отношеніи искомыхъ окруж-
ностей непосредственно можетъ быть опредѣлена изъ чер-
тежа.
83. Пусть даны окружность К и п основныхъ окруж-
ностей инверсіи ОДгД О2(г2), О3(г3), ...., О„(ги); строятъ
окружность Кх, обратную К въ отношеніи Ох (гД окруж-
ность К2, обратную Кх въ отношеніи О2 (г2), окружность
А"3, обратную К2 въ отношеніи О3(г3), и т. д. Наконецъ,
получаютъ окружность Кп, обратную предпослѣдней окрулш^
пости Кп-\ въ отношеніи ОДги). о
Окружность Кп можетъ совпасть съ окружност^т?
въ такомъ случаѣ окружность Оп(гп) должна бй^ тою
окружностью, въ отношеніи которой Кп-і и К рЖвчаютъ
другъ другу.
Мы предположимъ, что окружность^яѵ») именно
такъ и выбрана.
Теорія геометрическихъ построеній.
4
50
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
Если теперь взять на окружности К какую-либо точку
А, то помощью послѣдовательныхъ инверсій получится
точка на окружности Кл, А2 на АГ2,...., наконецъ,
точка Ап на окружности Кп, вообще несовпадающая съ
взятой на К точкой А. Мы ставимъ себѣ слѣдующую задачу:
Найти на окружности К такую точку А, которая
совпала бы съ точкой Ап.
Искомую точку обозначимъ черезъ X. Ея разыска-
ніе представляетъ собою задачу послѣдующаго из-
ложенія.
При этомъ главную роль играютъ двѣ точки:
Если построить точку, отвѣчающую точкѣ О± при
второй инверсіи О2 (г2), затѣмъ найти точку, отвѣчающую
только что построенной при третьей инверсіи О3 (г3), и т. д.,
то послѣ п — і послѣдовательныхъ инверсій относительно
центровъ О2,. . ., Оп получится нѣкоторая точка Нѵ
Если теперь найти точку, отвѣчающую точкѣ Оп при
инверсіи Оп-і(гп-і) у затѣмъ — точку, отвѣчающую найден-
ной при инверсіи Оп-2 и т. д., проходя тотъ же рядъ
инверсій въ обратномъ порядкѣ, то, наконецъ, послѣ п—і
инверсій получится точка Нп.
Каждой прямой а, проходящей черезъ точку
отвѣчаетъ послѣ п послѣдовательныхъ инверсій
относительно центровъ С\, О2,..., Оп нѣкоторая пря-
мая а\ проходящая черезъ Нѵ
Доказательство. Первая инверсія преобразуетъ пря-
мую а въ нѣкоторую окружность проходящую черезъ
точку Ох; эта окружность послѣ второй инверсіи замѣ-
няется снова нѣкоторой окружностью и т. д. Наконецъ,
послѣ п—і инверсій получится окружность, которая должна
проходить черезъ Оп, такъ какъ точка Нп, которая лежитъ
на прямой а, послѣ п — і послѣдовательныхъ инв^сій
переходитъ въ Оп. Послѣдняя оставшаяся еще сЦЦи&рсія
относительно Оп переводитъ упомянутую окру^^сть въ
нѣкоторую прямую а'.
При этомъ помощью первой инверсіи отношенію
къ центру 0^ прямая а переходитъ въ іАкоторую окруж-
ность ах у которая должна проходить черевъ О1; окружность
, такимъ образомъ, помощью посзгѣжвательныхъ инверсій
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
51
по отношенію къ центрамъ О2, О3, . . . , Оп также перево-
дится въ прямую а'. Но такъ какъ окружность ах прохо-
дитъ черезъ точку 0х, то прямая а' должна проходить
черезъ точку Нх, чѣмъ и доказывается теорема.
Такимъ образомъ, послѣ п инверсій по отношенію къ
центрамъ , . . . , пучокъ лучей, исходящихъ изъ точки
Нп, переходитъ въ пучокъ лучей, исходящихъ изъ точки Нх.
При помощи точекъ ІІХ и Нп и строится рѣшеніе на
шей задачи, однако же мы должны различать два случая
въ зависимости отъ того, будетъ ли п четнымъ, или нечет-
нымъ числомъ.
Дѣло въ томъ, что при каждой инверсіи уголъ а ра-
венъ отвѣчающему ему углу, но имѣетъ противополож-
ный знакъ.
Если уголъ подвергнуть п послѣдовательнымъ инвер-
сіямъ, то абсолютная величина его останется неизмѣнной,
знакъ же не измѣнится лишь въ томъ случаѣ, если п есть
четное число. Если же п — нечетное число, то знакъ угла
будетъ обратнымъ.
а) п—четное число.
Если соединить искомую точку X на окружности К
съ точкой Нп, то этой прямой послѣ п инверсій будетъ
отвѣчать прямая ХНх. Обѣ линіи должны при точкѣ X
составлять съ окружностью равные углы одного и того же
знака. Это возможно лишь тогда, когда X лежитъ на пря-
мой НхНп.
Такимъ образомъ, наша задача имѣетъ два рѣшенія:
точки пересѣченія прямой НхНп съ исходной окруж-
ностью К.
Ь) п— нечетное число.
Въ этомъ случаѣ прямая НхНп не отвѣчаетъ сама
себѣ. 4^
Если разсматривать эту прямую, какъ принадлежащую
пучку Нх , и обозначить ее черезъ 5, то ей по вьпііесідощгному
отвѣчаетъ нѣкоторая прямая $ пучка Нп \ если л^р^тнестп
прямую НхНп къ пучку Нп, обозначивъ д^при этомъ
черезъ су, то въ пучкѣ Нх ей отвѣчаетъ прямая су'.
Прямыя НхНп, з' и су' должны пересЫдаъ окружность
К подъ равными углами, онѣ поэто&у^должны касаться
4*
52
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
одной и той же окружности, имѣющей общій центръ съ окруж-
ностью К. Далѣе, парѣ прямыхъ 5, о' отвѣчаетъ пара У, а;
слѣдовательно, должны быть равны углы между б' и 5, б и з'..
Это возможно лишь тогда, когда точки Нх и Нп равно-
отстоятъ отъ центра окружности К.
Если теперь черезъ точки Н4, Нп и центръ окружно-
сти К провести новую окружность, то послѣдняя пересѣ-
четъ окружность К въ искомыхъ точкахъ Х\ въ самомъ
дѣлѣ, прямая, соединяющая любую изъ этихъ точекъ пере-
сѣченія съ Нх, пересѣкаетъ окружность К подъ тѣмъ же
угломъ, что и прямая, соединяющая эту точку съ точкой
П етерсенъ разсматриваетъ (тамъ же, №. эоі) эту
задачу; но онъ не выводитъ того свойства, что точки Нх и.
Нп равноотстоятъ отъ центра окружности К, Его построе-
ніе точекъ X поэтому является менѣе простымъ, нежели
вышеприведенное.
84. *) Даны окружность К и четыре точки 0г , 02 г
О3, 04\ требуется въ окружность К вписать четырехуголь-
никъ ХУХО такъ, чтобы стороны его ХУ, УХ, ХО, ОХ
проходили соотвѣтственно черезъ точки О1, О2, О3, О4.
(Помощью нѣкоторой инверсіи по отношенію къ центру
О1 окружность К преобразуется въ самое себя (задача 71),,
затѣмъ инверсія по отношенію къ центру О2 снова преоб-
разуетъ ее въ самое себя; къ аналогичнымъ результатамъ,
приводятъ и (надлежаще выбранныя) инверсіи по отношенію
къ 03, О4. Окружность К, такимъ образомъ, помощью четы-
рехъ опредѣленныхъ инверсій преобразуется въ самое себя..
Точка X опредѣляется согласно задачѣ 83, а) 55).)
85. *) Даны окружность и три точки 01, О2, О3; тре-
буется построить треугольникъ, вписанный въ окружность,
такъ, что стороны его проходятъ черезъ данныя точки.
(Сводится къ задачѣ 83, Ь).)
86. Даны три окружности Кх, К2, К3] трё^ется
построить окружность, касающуюся трехъйнныхъ
(Аполлоніева задача о касаніи).
Указанные методы даютъ намъ возможность предло-
жить цѣлый рядъ способовъ для рѣшеюг этой изстари.
) Петерсенъ, тамъ же.
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
53
знаменитой задачи; мы изложимъ въ пунктахъ а), Ь), с), сі)
нѣкоторые изъ этихъ способовъ.
а) Всегда можно эту задачу свести къ слѣдующему
частному случаю:
„Даны двѣ окружности и точка; требуется по-
строить окружность, касающуюся двухъ данныхъ
окружностей и проходящую черезъ данную точку/
Эта задача имѣетъ (8і) четыре рѣшенія.
Приведеніе общей задачи къ этому частному
случаю производится на основаніи слѣдующаго сообра-
женія :
Обозначимъ черезъ т и п двѣ окружности, черезъ
у — касающуюся ихъ окружность (фиг. 42, 43).
Мы можемъ эти три окружности измѣнять такимъ об-
разомъ, чтобы центры ихъ оставались постоянными и чтобы
окружность у постоянно касалась окружностей т и п] при
этомъ лишь увеличиваются или уменьшаются радіусы
окружностей.
Если у касается обѣихъ окружностей т и п одинако-
вымъ образомъ (фиг. 42 а, Ь), то радіусы обѣихъ окружноч
стей либо одновременно возрастаютъ, либо одновременно
убываютъ.
Если же у касается обѣихъ окружностей не-
одинаковымъ образомъ (фиг. 43 а, Ь), то однаіШѣ этихъ
окружностей возрастаетъ въ то время, какъ дрДгаяубываетъ.
Пусть теперь даны три окружности К2, /ѵ3 съ
центрами въ точкахъ О1, 02, 03 и раф^еами 7^, г*, г3;
54
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
обозначимъ черезъ X окружность, касающуюся трехъ
данныхъ; тогда окружность Кх можетъ быть сведена къ
точкѣ 0х, при чемъ одновременно двѣ другія окружности,
какъ было указано выше, увеличиваются или уменьшаются’
задача, такимъ образомъ, сводится къ задачѣ 8і.
Построеніе можетъ быть выполнено по слѣдую-
щему плану:
Вокругъ точки 02 описываютъ двѣ окружности К'2 и
К"2 радіусами г.г\-гх и г2 — г1, вокругъ точки О3 подобнымъ
же образомъ описываютъ окружности радіусами
г3 -|- гх и г3 — гх. Послѣ этого строятъ такія окружности,
которыя проходятъ черезъ 0х и сверхъ того касаются окруж-
ностей К2 и К'3 или К” и А"", а именно — обѣихъ оди-
наковымъ образомъ (четыре рѣшенія).
Далѣе строятъ окружности, которыя проходятъ че-
резъ Ох и сверхъ того касаются окружностей К2, К” или
К”. АГ3, а именно — неодинаковымъ образомъ (четыре
рѣшенія).
Найденныя восемь окружностей будутъ концентри-
ческими съ искомыми окружностями. Задача поэтому
имѣетъ восемь рѣшеній. 4^
Ь) Предполагаютъ задачу рѣшенною, затѣмъ увеличи-
ваютъ или уменьшаютъ радіусы окружностей такимѣ обра-
зомъ, чтобы двѣ окружности, напр., К[ и А^ркасались
другъ друга въ точкѣ 2 (фиг. 44). /0^
Если теперь принять точку 2 за центръ инверсіи,
то окружности К[ и К'2 обратятся .^^параллельныя
прямыя И Т. Д.
§ 6. МЕТОДЪ ИНВЕРСІИ.
55
с) Обозначимъ черезъ К окружность, которая пересѣ-
каетъ всѣ три данныя окружности подъ прямымъ угломъ
(стр. 48).
Если принять точку О на окружности К за центръ
инверсіи, то данныя окружности преобразуются въ окруж-
ности, центры которыхъ лежатъ на одной прямой; съ
помощью еще одной инверсіи можно придти къ случаю,
изображенному на фиг. 3 56).
Является выгоднымъ по возможности выбирать центръ
инверсіи въ точкѣ пересѣченія окружности К съ одной
изъ данныхъ окружностей.
Если двѣ изъ данныхъ окружностей пересѣкаются,
то удобно центръ инверсіи помѣстить въ точкѣ ихъ пере-
сѣченія, благодаря чему эти окружности преобразуются въ
прямыя линіи. хЛ
Полезно также прежде, чѣмъ примѣнить инвщ|сто,
свести одну изъ окружностей къ точкѣ (съ помощьюді|иема,
указаннаго въ задачѣ 86, а)).
ф Изъ предложеній, установленныхъ въ^Вадачѣ 8о,
вытекаетъ слѣдующее рѣшеніе Аполлонібф|ж задачи о
касаніи:
Пусть даны три окружности
М (фиг. 45).
56
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
Мы исходимъ изъ оси подобія, напр., изъ внѣшней
оси подобія а, и строимъ изогональную окружность
принадлежащую тому пучку изогональныхъ окружностей, для
котораго радикальной осью служитъ прямая а.
Для этой цѣли мы беремъ на окружности Мх точку Вх
и строимъ точку В2 на ТИ2, обратную точкѣ Вх въ отно-
шеніи точки Ліі2, какъ центра инверсіи 57); сверхъ того
мы находимъ на окружности М3 точку В* , обратную точкѣ
В1 въ отношеніи уѢ,з, какъ центра инверсіи.
Окружность IV, проходящая черезъ три точки
В1 , В2, В%, является изогональной окружностью (8о).
Если теперь построить радикальную ось окружно-
стей IV и Мх и черезъ 2 обозначить точку пересѣченія
ея съ прямой л, то 2 будетъ имѣть одну и ту же сте-
пень въ отношеніи Мх • и IV] но такъ какъ точка (2 ле-
житъ на прямой а, то она будетъ имѣть ту же степень
и въ отношеніи искомой окружности X, которая
надлежитъ пучку изогональныхъ окружност^^)0 IV,
ибо а является радикальной осью этого пучка. Такі^рІ обра-
зомъ, 2 есть точка радикальной оси окружност^^Х и Мх.
Такъ какъ, далѣе, окружности X и Тк^^олжны ка-
саться другъ друга, такъ что ихъ радиійданая ось есть
ихъ общая касательная, то отсюда уже. ^ітекаетъ способъ
построенія точки касанія окружностей^^ и Мх (фиг. 45).
§ 7- СТЕРЕОМ. ИЗСЛѢДОВАНІЯ, КАКЪ СРЕДСТВО РѢШЕНІЯ. 57
е) Изящное рѣшеніе Аполлоніевой задачи, основан-
ное на стереометрическихъ изслѣдованіяхъ, будетъ нами
разсмотрѣно въ слѣдующемъ параграфѣ.
§ 7. Стереометрическія изслѣдованія, какъ средство рѣше-
нія геометрическихъ задачъ на построеніе.
і. Стереометрическія изслѣдованія часто съ пользою
примѣняются при рѣшеніи геометрическихъ задачъ на по-
строеніе, напримѣръ, при рѣшеніи слѣдующей задачи:
„Дано коническое сѣченіе; требуется построить другое
коническое сѣченіе, которое имѣло бы двойное касаніе съ
даннымъ коническимъ сѣченіемъ и удовлетворяло бы тремъ
другимъ условіямъ, напр., проходило бы черезъ три точки.и
Мы однако не станемъ ближе разсматривать эту за-
дачу и прибѣгнемъ къ стереометрическимъ изслѣдованіямъ
лишь для рѣшенія задачъ и для доказательства предложеній
въ рамкахъ обрабатываемыхъ нами проблеммъ.
2. Прежде всего мы помощью разсмотрѣнія про-
странственныхъ образовъ докажемъ нѣсколько пред-
ложеній, которыми позже будемъ пользоваться.
а) Пусть даны двѣ окружности Кх и К2 съ центрами
Оі и О2 и радіусами и г2.
Возставимъ въ точкахъ Ох и О2 къ плоскости чер-
тежа перпендикуляры и отложимъ на нихъ соотвѣтственно
радіусы гх и г2; построенныя этимъ путемъ точки и 52
соединимъ соотвѣтственно со всѣми точками окружно-
стей Кх> К2.
Полученныя такимъ образомъ коническія поверхности,
для которыхъ направляющими служатъ окружности, мы
будемъ называть прямоугольными коническими по-
верхностями, такъ какъ каждое ихъ осевое сѣченіе пред|
ставляетъ собою прямоугольный равнобедренный треуг^щ-
НИКЪ.
Если теперь въ обѣихъ окружностяхъ протеста два
одинаково направленныхъ радіуса, то они будутъ іфЙекціями
двухъ параллельныхъ образующихъ коническйхф поверхно-
стей. Если черезъ эти образующія провести доіоскость, то
слѣдъ ея пройдетъ черезъ точку А пересѣченія прямой,
58
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
соединяющей вершины конусовъ, съ плоскостью чертежа,,
поэтому прямая, соединяющая концы радіусовъ, также
проходитъ черезъ точку А 58).
При этомъ мы представляли себѣ обѣ коническія по-
верхности расположенными по одну и ту же сторону плос-
кости чертежа.
Если же взять точку по одну сторону плоскости
чертежа, а точку 52 — по другую, то совершенно анало-
Фиг. 46.
2»
гично получится главное свойство внутренняго цен-
тра подобія обѣихъ окружностей.
Ь) Пусть даны (фиг. 46) три окружности
съ центрами 0і, О2, и радіусами , г2,^
Въ точкахъ С\ , О2, О3 снова возставлять перпенди-
куляры, на которыхъ откладываемъ радіусл^^ г2, г3, напр.,
всѣ —вверхъ отъ плоскости чертежа; тактаъ образомъ по-
лучаются точки , 53. Ч
§ 7- СТЕРЕОМ. ИЗСЛѢДОВАНІЯ, КАКЪ СРЕДСТВО РѢШЕНІЯ. 59
Точка пересѣченія прямой 5^2 съ плоскостью чер-
тежа есть внѣшній центръ подобія обѣихъ окружно-
стей Кх, ; аналогично этому и Лі,3 лежитъ въ пересѣче-
ніи той же плоскости съ прямой 5^, А2^ — въ пересѣ-
ченіи этой же плоскости съ прямой .
Три прямыя ЗрЗ'з, 5253, 535і лежать въ плоскости,
опредѣляемой тремя вершинами конусовъ; слѣдовательно,
ихъ слѣды Л2,з, Л3,і лежатъ на одной прямой.
Если, далѣе, построить эти коническія поверхности
иначе: на окружности Кх -- вверхъ отъ плоскости чертежа,
а на окружностяхъ А"2, — внизъ, то съ помощью совер-
шенно аналогичныхъ разсужденій выведется предложеніе,
что точки /і,2,/і.з, ^2.з лежатъ на одной прямой, и т. д.
Такимъ образомъ, съ помощью стереометрическихъ
изслѣдованій доказано слѣдующее предложеніе:
Шесть центровъ подобія трехъ окружностей
образуютъ вершины полнаго четырехсторонника 59).
Стороны его носятъ названіе осей подобія трехъ
окружностей.
с) Разсматривая пространственные образы, можно
легко получить и основныя предложенія теоріи по-
ляръ для окружности:
Пусть дана окружность К. Ее разсматриваютъ, какъ
окружность большого круга нѣкотораго шара, одна поло-
вина котораго расположена надъ плоскостью чертежа, а
другая подъ нею.
Если взять теперь точку Р внѣ шара (на плоскости
чертежа), то ея поляра р будетъ ортогональной проекціей
круга касанія того конуса, который можно изъ точки Р
описать вокругъ шара. Если точка Р передвигается вдоль
нѣкоторой прямой то этотъ кругъ касанія измѣняется,
но его окружность всегда проходитъ черезъ точку касащ^
тѣхъ касательныхъ къ шару плоскостей, которыя мр^М*
быть проведены черезъ прямую Поляра точки ^^вра-
щается, такимъ образомъ, вокругъ точки С, еслнД^ опи-
сываетъ прямую
Если С описываетъ нѣкоторую прямук>Л^ то & вра-
щается вокругъ точки Р—полюса прямой /^дѣйствительно,
поляра & точки С, согласно вышесказащійф, можетъ быть
60
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
найдена слѣдующимъ образомъ: въ точкѣ С возставляемъ
перпендикуляръ къ плоскости чертежа, продолжаемъ его
до пересѣченія съ поверхностью шара въ нѣкоторой точкѣ
3, затѣмъ проводимъ черезъ 5 касательную къ поверхности
шара плоскость, которая пересѣчетъ плоскость чертежа по
искомой прямой
Прямая /’ будетъ проекціей нѣкотораго круга 5 шара.
Касательныя плоскости во всѣхъ точкахъ окружности этого
круга огибаютъ нѣкоторый конусъ вращенія, вершина ко-
тораго Р лежитъ на плоскости чертежа.
Если теперь передвигать точку С вдоль прямой /, то
точка 5 постоянно будетъ лежать на окружности 5, такъ
что ея касательная плоскость всегда будетъ проходить че-
резъ Р, т. е.: если точка С передвигается по прямой /, то
ея поляра § вращается вокругъ точки Р.
сі) Мы докажемъ теперь еще одно предложеніе, опи-
раясь на стереометрическія изслѣдованія; предложе-
ніемъ этимъ мы впослѣдствіи часто будемъ пользоваться.
Оно состоитъ въ слѣдующемъ:
„Обозначимъ черезъ А, В, Си А', В', С' вершины
двухъ треугольниковъ, лежащихъ въ одной плоско-
сти, черезъ а, Ь, с и а’, Ь\ с—соотвѣтственныя ихъ
стороны; если прямыя, соединяющія соотвѣтствен-
но вершины А и А\ В и В', С и С, проходятъ черезъ
одну и ту же точку 5, то стороны а и а', Ъ и Ъ', с и с'
соотвѣтственно пересѣкаются въ трехъ точкахъ
Р, 2» Р> лежащихъ на одной прямой 5."
Наоборотъ:
„Если стороны а и а', Ъ и Ь', с и с' пересѣкаются
соотвѣтственно въ точкахъ Р, 2, Р, лежащихъ на
одной прямой, то прямыя, соединяющія соотвѣт-
ствующія вершины, проходятъ черезъ одну и ту0ке
точку 5." 60)
Доказывая оба эти предложенія при помон^р^терео-
метрическихъ изслѣдованій, мы будемъ пользс^^ться слѣ-
дующими двумя непосредственно очевиднымиДВтинами:
і. „Если прямая § лежитъ въ плтежости Р, то
слѣдъ ея на другой плоскости В л^жіфтъ на прямой
пересѣченія плоскостей Е и Р.“
§ у. СТЕРЕОМ. ИЗСЛѢДОВАНІЯ, КАКЪ СРЕДСТВО РѢШЕНІЯ. 61
2. „Если проектировать прямую & на плоскость
Е, то проекція прямой § всегда пройдетъ черезъ ея
слѣдъ на плоскости Е, независимо отъ того, бу-
детъ ли центръ проекціи конечной точкой, или без-
конечно удаленной."
а) Разсмотримъ теперь на плоскости Е два тре-
угольника АВС и А'В'С, расположенные такъ, что
прямыя, соединяющія соотвѣтственно точки А и А',.
В и В\ С и С', проходятъ черезъ одну и ту же точку 5.
Проведемъ черезъ 5 произвольную прямую к, не ле-
жащую, однако, въ плоскости Е, и возьмемъ на ней двѣ
точки О и О'; точку О соединимъ съ вершинами треуголь-
ника АВС, а точку О — съ вершинами второго треуголь-
ника А'В'С.
Прямыя ОА и О'А' пересѣкутся въ нѣкоторой точкѣ
А", такъ какъ онѣ лежатъ въ одной и той же плоскости;
равнымъ образомъ пересѣкутся прямыя ОВ и О'В'— въ
точкѣ В', прямыя ОС и О'С— въ точкѣ С”.
Мы получили въ пространствѣ треугольникъ А'В'С" г
по отношенію къ которому оба данныхъ треугольника бу-
дутъ центральными проекціями, именно, треугольникъ АВС
есть проекція треугольника А”В"С" изъ центра О, треуголь-
никъ А'В’С есть проекція того же треугольника изъ центра
Прямыя а и а’ должны поэтому проходить черезъ
слѣдъ прямой В'С" на плоскости Е. Точка Р (==а\а')
является, такимъ образомъ, слѣдомъ прямой В'С".
Аналогично этому точка 2 (=^Х^) есть слѣдъ пря-
мой А'С" и точка К (=с X С) — слѣдъ прямой АВ” на
плоскости Е.
Точки Р, О,, К должны лежать на прямой пересѣченія
плоскости Е съ плоскостью, опредѣляемой тремя точками
А\ ВС С". А
Этимъ доказывается первая часть теоремы. о
Пусть два треугольника АВС и А'В'С, ^^<а-
щіе въ одной плоскости, будутъ такъ распо^Ц^кены,.
что точки Р, К пересѣченія соотвѣтственныхъ
сторонъ а и а', Ь и Ъ', с и с лежатъ на однЖг прямой 5.
Проведемъ черезъ 5 вспомогательнуюОтлоскость Н и
построимъ на ней треугольникъ чтобы сто-
62
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
рона В"С" проходила черезъ точку Р, С"А"— черезъ О.
А"В"— черезъ 7?.
Стороны этого новаго треугольника обозначимъ че-
резъ л", Ь”, с"; если мы теперь проведемъ три плоскости
соотвѣтственно черезъ прямыя а и а”, Ъ и Ъ”, с и с”, то онѣ
пересѣкутся въ нѣкоторой точкѣ О; О есть такая точка
пространства, изъ которой треугольникъ А”В”С" проекти-
руется въ АВС.
Аналогично этому мы находимъ точку О’, изъ которой
треугольникъ А'В"С" проектируется въ А'В’С.
Прямая 00' пересѣкаетъ плоскость Е въ точкѣ 5,
которая должна лежать на одной прямой съ точками А, А’,
равно какъ съ точками В, В' и С, С; это вытекаетъ изъ
того, что точки О, О’ лежатъ съ каждой парой точекъ
А и А' у В и В', С и С въ одной плоскости61). Теорема
доказана вполнѣ.
Два треугольника, находящіеся въ такого рода отно-
сительномъ положеніи, называются двумя перспективно
расположенными или гомологичными треугольниками.
3- Отображеніе окружностей плоскости въ про-
странствѣ (циклографія Фидлера) (Еіесііег).
Обозначимъ черезъ К окружность на плоскости Е,
черезъ О — ея центръ, черезъ г — ея радіусъ; возставимъ
въ точкѣ О перпендикуляръ къ плоскости Е и отложимъ
на немъ радіусъ г; мы построимъ такимъ образомъ
нѣкоторую точку Р.
Если, наоборотъ, дана точка Р, то ей будетъ от-
вѣчать на плоскости Е одна лишь окружность, кото-
рую можно получить, опустивъ изъ точки Р на плоскость
Е перпендикуляръ и описавъ вокругъ основанія его оіуд^ж-
ность радіусомъ, равнымъ длинѣ этого перпендикулярѣ
Точка Р вмѣстѣ съ окружностью К оі^^ѣляетъ
прямоугольный конусъ, который мы уже в^^е изучали.
Каждой окружности К отвѣчаютъ дщЙЖ’очки про-
странства, одна надъ плоскостью танежа, другая
подъ нею. (Плоскость Е мы предполагаемъ горизонталь-
ной.)
§ 7- СТЕРЕОМ. ИЗСЛѢДОВАНІЯ, КАКЪ СРЕДСТВО РѢШЕНІЯ. 63
Если окружность сводится къ точкѣ, то она
совпадаетъ со своимъ пространственнымъ изображеніемъ.
Прямой $ отвѣчаютъ двѣ плоскости, проходящія че-
резъ § и пересѣкающіяся съ Е подъ угломъ въ 450.
4. Пусть дана на плоскости Е окружность К\ пусть
точка Р будетъ ея пространственнымъ изображеніемъ,
именно, надъ плоскостью Е (фиг. 47).
Если теперь взять на образующей е конической по-
верхности какую-нибудь точку, то ей отвѣчаетъ опредѣ-
ленная окружность на плоскости Е, которая касается
окружности К въ точкѣ 2, являющейся слѣдомъ об-
разующей е на плоскости Е. Если при этомъ точіс^Рле-
житъ надъ плоскостью Е, ниже точки Р, какдв^йапр.,
точка Р1, то отвѣчающая ей окружность /Опасается
окружности К изнутри, въ то время, какъ окружность Кг ,
которая отвѣчаетъ точкѣ Р2 (фиг. 47), касаугат окружности
К, заключая ее въ себѣ; окружност$|\Мз, отвѣчающія
64
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
всѣмъ точкамъ конической поверхности, лежащимъ подъ
плоскостью Е, касаются окружности К извнѣ.
5. Рѣшеніе Аполлоніевой задачи о касаніи.
Этихъ немногихъ замѣчаній достаточно для рѣшенія
Аполлоніевой задачи о касаніи:
Пусть даны три окружности Кх, К2, строимъ
соотвѣтствующіе конусы по методу циклографіи. Каждой
окружности отвѣчаютъ два конуса. Мы сначала бу-
демъ разсматривать тѣ три конуса, которые лежатъ
надъ плоскостью чертежа.
Любые два изъ этихъ конусовъ пересѣкаются по нѣ-
которой кривой, которая, какъ мы сейчасъ увидимъ, ока-
зывается гиперболой. Точки Хг, Х2 пересѣченія этой
гиперболы съ третьимъ конусомъ суть тѣ точки, которыя
одновременно принадлежатъ поверхностямъ всѣхъ трехъ
конусовъ.
Если теперь на плоскости чертежа построить окруж-
ности, отвѣчающія этимъ общимъ точкамъ Х± и Х2, то онѣ
должны будутъ касаться данныхъ окружностей, т. е. будутъ
двумя изъ искомыхъ окружностей.
Другія рѣшенія получатся, если не ограничиваться
исключительно конусами, расположенными надъ плоскостью
чертежа, а взять нѣкоторые изъ нихъ расположенными
подъ нею.
6. Выполненіе построенія для рѣшенія Аполло-
ніевой задачи о касаніи.
і. Предыдущій пунктъ уже содержитъ общее рѣшеніе
Аполлоніевой задачи; для того же, чтобы сдѣлать воз-
можно болѣе простымъ выполненіе самого построенія, нужны
еще нѣкоторыя замѣчанія:
а) На фиг. 48 представлены въ ортогональной проек-
ціи планъ и профиль двухъ прямоугольныхъ коничещфхъ
поверхностей Р\, Р2, оси которыхъ перпендикуляру^ го-
ризонтальной плоскости проекцій и равноотст^^тъ отъ
вертикальной плоскости проекцій.
Вторая проекція кривой пересѣченія этаф* двухъ ко-
нусовъ есть часть прямой е2; кривая перѴ^Ьченія, такимъ
образомъ, лежитъ въ одной плоскости Доявляется гипер-
болой 62).
§ 7- СТЕРЕОМ. ИЗСЛѢДОВАНІЯ, КАКЪ СРЕДСТВО РѢШЕНІЯ. 65
Первый слѣдъ ех плоскости, въ которой лежитъ кри-
вая пересѣченія, проходитъ черезъ общія точки окружно-
стей К[ и , т. е.: горизонтальный слѣдъ плоско-
сти, въ которой лежитъ кривая пересѣченія обѣихъ
коническихъ поверхностей, есть радикальная ось
окружностей Кх и К>.
Ь) Прямая РХР2 пересѣкаетъ основную плоскость въ
точкѣ А — центрѣ подобія обѣихъ окружностей. Пря-
мая ах фигуры 48 является полярой точки А относительно
Фиг. 48.
окружности прямыя и аг суть слѣды плоскости, ко-
торая проходитъ черезъ точку Рх и называется полярной
плоскостью точки А въ отношеніи конуса Рѵ
Точки А\ В, С, 1) будутъ четырьмя гармониче-
скими точками 63); четыре луча, соединяющихъ съ ними
точку Р'', образуютъ, слѣдовательно, гармоническій пу-^
чокъ лучей, который, какъ извѣстно, пересѣкаетъ каждаго
прямую (въ томъ числѣ и прямую е2) въ четырехъ^г^мо-
ническихъ точкахъ.
Далѣе, такъ какъ точка 2 фигуры 48 есть ^щШшна от-
рѣзка і, з, такъ что четвертая гармоническаяХ^очка ряда
і, 2, з лежитъ въ безконечности, то прямаяш^должна быть
Теорія геометрическихъ построеній.
66
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
плоскости чертежа
параллельна прямой е2У отсюда заключаемъ о параллельно-
сти плоскостей , а2 и ел, е2.
Итакъ, имѣетъ мѣсто предложеніе:
Плоскость еІУ е2у въ которой лежитъ кривая пе-
ресѣченія обоихъ конусовъ РІУ Р2, параллельна по-
лярной плоскости аІУа2 точки А относительно ко-
нической поверхности Кх (или /Г3).
с) Обозначимъ черезъ К нѣкоторую окружность въ
(фиг. 49); на ней снова построимъ пря-
моугольный конусъ (съ вершиною
Р). Проекція Р' вершины на плос-
кость чертежа совпадаетъ съ точ-
кой О.
Соединимъ нѣкоторую точку//
плоскости чертежа съ точкой Р
прямою к; к' есть ея проекція. Че-
резъ произвольную точку С плос-
кости чертежа проведемъ прямую §
параллельно к (прямая парал-
лельная к', есть ея проекція).Тре-
буется опредѣлить точки Ху У пересѣченія прямой^
съ коническою поверхностью.
Проведемъ черезъ прямыя к и & вспомогательную
плоскость; она пересѣчетъ плоскость чертежа по линіи 5, а
коническую поверхность по двумъ образующимъ, проекція-
ми которыхъ служатъ прямыя ОМ и 0Л4 Искомыя точки
X у X должны лежать на этихъ образующихъ; итакъ, точки
X' у X найдены (фиг. 49).
2. Съ помощью этихъ и раннѣе приведенныхъ замѣ-
чаній мы теперь легко ужъ можемъ рѣшить Аполлоніеву
задачу:
Пусть будутъ даны три окружности К1У
съ центрами С\, О2У 03 (фиг. 50).
а) Вообразимъ себѣ на этихъ окружностязф|?ірямо-
угольныя коническія поверхности Ріу Р2у Р2у в^ѣрфи—надъ
плоскостью чертежа. Требуется опредѣли^^Ьбщія точ-
ки этихъ трехъ конусовъ.
Съ этой цѣлью разсмотримъ кривлч^ пересѣченія ко-
нусовъ Рх и Р.л, Эта кривая лежи^^ъ плоскости 5і,2,
§ 7- СТЕРЕОМ. ИЗСЛѢДОВАНІЯ, КАКЪ СРЕДСТВО РѢШЕНІЯ. 67
проведенной черезъ радикальную ось /і,2 параллельно той
плоскости, которая, какъ мы это показали въ предыду-
щемъ пунктѣ (см. а) и Ь)), опредѣляется полярой Лі,2 и
точкой Рі .
Обратимся теперь къ кривой пересѣченія коническихъ
поверхностей Рх и Р2. Она лежитъ въ плоскости $і,3, про-
веденной черезъ радикальную ось ^і,3 параллельно пло-
скости лі,3, Рх.
Ь) Такимъ образомъ, общія точки трехъ кони-
ческихъ поверхностей лежатъ на прямой пересѣ-
ченія обѣихъ плоскостей $і,2 и $і,3 и могутъ быть
лучены, какъ точки пересѣченія прямой съ какимъ-ші||уйь
изъ трехъ конусовъ, напр., съ
Далѣе, прямая § параллельна прямой 1г
•обѣихъ плоскостей ^і>2, Рх и Лц3, Рх\ поэтому
У' точекъ пересѣченія прямой съ конусо^г
ляются согласно пункту с) (фиг. 49). ^51°
п^йжсѣченія
§юекціи Х\
Ѵ Рх о пре дѣ-
68
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
Найденныя такимъ путемъ точки X и У' будутъ
центрами окружностей, которыя касаются трехъ дан-
ныхъ окружностей; точки касанія можно найти, со-
единивъ прямыми точки X, У съ центрами данныхъ
окружностей.
с) Итакъ, нами уже получены двѣ изъ искомыхъ окруж-
ностей.
Другія касательныя окружности мы получимъ,
если не всѣ три конуса возьмемъ по одну сторону пло-
скости чертежа, но два изъ нихъ по одну, а третій по дру-
гую сторону отъ нея.
Каждое такое построеніе даетъ двѣ окружно-
сти, слѣдовательно, всего ихъ будетъ восемь. Большаго
числа рѣшеній получить нельзя, такъ какъ, допустивъ, на-
примѣръ, что всѣ три конуса лежатъ надъ плоскостью, мы
придемъ къ тѣмъ же рѣшеніямъ, къ которымъ мы пришли бы
въ предположеніи, что всѣ три конуса расположены подъ
нею.
3. Это Жергонново (Сег§-оппе) рѣшеніе Аполло-
ніевой задачи о касаніи можетъ быть представлено и въ
другомъ видѣ:
Точка Н пересѣченія прямыхъ /и.о и ги,з (фиг. 50) бу-
детъ полюсомъ одной изъ осей подобія трехъ окружно-
стей (§ 7, 2, Ь)).
Точка С пересѣченія прямыхъ и /і,3 есть ради-
кальный центръ трехъ окружностей (§ 6); прямая 0хН
перпендикулярна къ оси подобія,слѣдовательно, п прямая
перпендикулярна къ послѣдней.
Для нахожденія центровъ X и У' поступаютъ такъ:
Сначала строятъ радикальный центръ О трехъ
окружностей (фиг. 50), затѣмъ полюсъ Н одной изъ
осей подобія относительно окружности Кѵ Если со-
единить точки Н и С прямою, то она пересѣетъ
окружность въ двухъ точкахъ М и Х\ пт^ёкціи
точекъ М и X изъ центра 0х на перпендіу^жДіръ ,
опушенный изъ точки С на ось подобіяЖЙ будутъ
искомыми точками А', У.
Каждая изъ четырехъ осей подобія\трехъ окружно-
стей доставляетъ два рѣшенія, такъ чтоУвсего ихъ восемь.
§ 7- СТЕРЕОМ. ИЗСЛѢДОВАНІЯ, КАКЪ СРЕДСТВО РѢШЕНІЯ. 69
На фигурѣ довычерчены всѣ восемь касательныхъ окруж-
ностей; для того, чтобы не загромождать чертежа, построеніе
приведено лишь для окружностей, касающихся однородно.
Задачи для упражненія.
88. Какое геометрическое мѣсто образуютъ простран-
ственныя изображенія Р всѣхъ окружностей плоскости,
касающихся двухъ прямыхъ линій? 64)
89. Совокупность всѣхъ окружностей, имѣющихъ об-
щую радикальную ось, называется пучкомъ окружно-
стей 65).
Если двѣ какія-либо окружности пучка пересѣкаются
въ двухъ вещественныхъ точкахъ, такъ что пучокъ имѣетъ
вещественныя основныя точки, то между окружностями
пучка существуетъ наименьшая, именно та, которая имѣетъ
общую хорду своимъ діаметромъ; если же пучокъ окруж-
ностей не имѣетъ вещественныхъ основныхъ точекъ, то къ
числу окружностей пучка принадлежатъ также двѣ точки
а; и к.. ~
Именно, если Р есть точка пересѣченія радикальной оси
съ центральной линіей окружностей,/2 — степень точки Р
въ отношеніи всѣхъ окружностей пучка, г/—разстояніе
центра одной изъ окружностей пучка отъ точки Р, г — ра-
діусъ этой окружности, то всегда имѣетъ мѣсто равенство
г2 = б/2 —/2.
Такимъ образомъ,
г = о,
если
сі = р.
Какую кривую опишутъ пространственныя изображе-
нія пучка окружностей съ вещественными основными точг
ками, съ мнимыми основными точками? 66) 'ф
90. Каждому пучку окружностей отвѣчаетъ ор^фо-
кальный пучокъ окружностей 67). Именно, еслиійгесть
общая радикальная ось перваго пучка, то каж^ф точка
прямой р есть центръ нѣкоторой окружнос^йу которая
пересѣкаетъ всѣ окружности перваго пучка діртогонально.
Если начертить всѣ эти ортогональ^И окружности,
то онѣ снова образуютъ нѣкоторыщ^учокъ, который
70
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
имѣетъ мнимыя или вещественныя основныя точки въ
зависимости отъ того, имѣетъ ли первый пучокъ веще-
ственныя, или мнимыя основныя точки.
Пусть теперь данъ нѣкоторый пучокъ окружностей и
соотвѣтствующій ортогональный пучокъ. Каковы простран-
ственныя изображенія окружностей обоихъ пучковъ?
91. Даны точка А плоскости чертежа и окружность К\
какое геометрическое мѣсто образуютъ пространственныя
изображенія всѣхъ окружностей плоскости, которыя пре-
ходятъ черезъ точку А и касаются окружности К168)
92. Дана прямая какое геометрическое мѣсто обра-
зуютъ пространственныя изображенія всѣхъ окружностей
плоскости, которыя касаются прямой §1 6Э)
93. Даны прямая и точка; какое геометрическое мѣ-
сто образуютъ вершины всѣхъ прямоугольныхъ коническихъ
поверхностей, отвѣчающихъ тѣмъ окружностямъ, которыя
касаются данной прямой и проходятъ черезъ данную точку?70)
94. Дана окружность; какое геометрическое мѣсто
образуютъ пространственныя изображенія всѣхъ окружно-
стей плоскости, которыя касаются данной окружности? 71)
95. Даны двѣ окружности; какое геометрическое мѣ-
сто образуютъ вершины всѣхъ прямоугольныхъ коническихъ
поверхностей, отвѣчающихъ окружностямъ, которыя каса-
ются двухъ данныхъ? 72)
96. Даны окружность и прямая; какое геометрическое
прямоугольныхъ кониче-
скихъ поверхностей, отвѣ-
чающихъ окружностямъ^
которыя касаются данной
окружности и данной пря-
мой? (См. задачи 92, 94^)
97. Даны двѣ оіфуж-
мѣсто образуютъ вершины всѣхъ
Фгг. 51.
ъ пока-
окружностей. (Доказательство
путемъ вращенія плоскости епммет]
поверхностей.)
вести прямые
занонафигу^
Р буде лежать на ра-
ди каль^ [ обѣихъ
получа^Йя изъ фигуры 48
і,то точка
§ 7- СТЕРЕОМ. ИЗСЛѢДОВАНІЯ, КАКЪ СРЕДСТВО РѢШЕНІЯ. 71
» 98. Даны двѣ окружности и точка Р; требуется
по указанному выше способу Жергонна построить
четыре касательныя окружности.
Радикальная ось точки и окружности дѣлитъ попо-
ламъ касательныя, которыя можно провести изъ точки къ
окружности. Если даны точка и окружность, то ихъ внѣш-
ній и внутренній1 центры подобія совпадаютъ съ данной
точкой. Если даны двѣ окружности и точка, то осей подо-
бія существуетъ, такимъ образомъ, всего лишь двѣ.
99. Даны двѣ окружности и прямая; требуется
построить всѣ окружности, касающіяся данныхъ
окружностей и прямой.
Если изъ двухъ окружностей одна вырождается въ
прямую, то радикальная ось обѣихъ окружностей совпа-
даетъ съ прямой; внутренній и внѣшній центры подобія при
этомъ лежатъ на разсматриваемой окружности, а именно,
внутреннимъ центромъ подобія является точка этой
окружности, наиближайшая къ прямой, внѣшній же
центръ подобія совпадаетъ съ точкой окружности, наи-
болѣе удаленной отъ прямой.
Все построеніе имѣетъ такой же видъ, какъ и прежде.
іоо. Даны окружность, прямая и точка; тре-
буется построить всѣ окружности, касающіяся дан-
ной окружности и данной прямой и проходящія че-
резъ данную точку.
Если изъ двухъ окружностей одна вырождается въ
прямую, въ то время какъ другая сводится къ точкѣ, то
радикальная ось совпадаетъ съ прямой, а оба центра подо- *
бія сливаются съ точкой.
Въ этомъ случаѣ снова примѣнимо построеніе Жер-
гонна.
юі. Даны окружность и двѣ точки; требуетадг
построить всѣ окружности, которыя проходятъ^че-
резъ эти точки и касаются данной окружност^ІЭ
Если двѣ окружности сводятся Къ точкам^рчго ихъ
радикальной осью будетъ перпендикуляръ къ^Ьпредѣляе-
мому этими точками отрѣзку въ его середшст< внутренній
центръ подобія совпадаетъ съ серединой ^центральной ли-
ніи, въ то время какъ внѣшній центръ <^рдобія лежитъ въ
безконечности.
72
ГЛАВА I. РѢШЕНІЕ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ.
§ 8. Приближенное рѣшеніе задачъ на построеніе.
і. Въ предшествующихъ параграфахъ мы изучили важ-
нѣйшіе методы, полезные при рѣшеніи геометрическихъ
задачъ на построеніе, и примѣнили ихъ къ большому числу
задачъ.
Дальнѣйшіе примѣры можно найти въ часто цитируе-
мой нами книгѣ Петерсена „Меійосіеп ипсі Тйеогіеп
2пг АиПозип§' ^еотеІгізсЬег КопзІгикііопзаиІ^аЬеп"
(на нѣм. яз. перев. ЕізсЬег-Веп/оп, Копенгагенъ 1879) и
въ многочисленныхъ другихъ сочиненіяхъ.
Если для рѣшенія предложена геометрическая задача
на построеніе, то, несмотря на указанные методы, нерѣдко
приходится долго размышлять и внимательно изучать фи-
гуру, пока не будетъ найдено удовлетворительное рѣшеніе.
2. Если же эта геометрическая задача должна быть
рѣшена быстро, между тѣмъ какъ строгое ея рѣшеніе не-
извѣстно, или вообще невозможно съ помощью циркуля
и линейки (существуютъ и такія задачи, какъ мы позже
увидимъ), то примѣняются приближенные методы 73).
---Одинъ чрезвычайно употре-
/ бительный приближенны й
методъ мы разъяснимъ на
і примѣрѣ:
/ // / 3- Требуется рѣшить
\ \\\ / // / построеніемъ слѣдующую
\\\ и/ задачу:
Дана окружность К
11 ТРИ ТОЧКИ I, 2, 3 (фиг. 52);
> \5 предлагается вписать въ
Фиг. 52. окружность т р е у г о л ь-
никъ ХХгХ2 такъ, чтф5ы
стороны треугольника проходили соотвѣтственно
черезъ данныя точки і, 2, 3 (ср. задачу 85).
Съ цѣлью рѣшенія этой задачи берутъ^^вкоторую
точку А на окружности К и опредѣляютъ^фтѣмъ точки
Ах, А3. А есть искомая точка X, если ЛЛдаИіадаетъ съ А.
Если же измѣнять взятую точку ЛЛта точка А3 опи-
шетъ нѣкоторую кривую /, такъ нЖываемую кривую
§ 8. ПРИБЛИЖ. РѢШЕНІЕ ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ. 73
ошибокъ, которая пересѣкаетъ данную окружность К въ
искомой точкѣ X.
Строятъ небольшое число точекъ кривой / вблизи ея
точки пересѣченія съ К.
Такимъ путемъ строится точка X съ совершенно до-
статочной для практики точностью.
II. ГЛАВА.
Построенія, выполняемыя съ помощью проведенія
лишь прямыхъ линій, при условіи пользованія
данными фигурами (построенія Штейнера).
§ 9. Введеніе.
і. Въ настоящей главѣ мы, главнымъ образомъ, будемъ
разсматривать задачи, которыя могутъ быть рѣшены съ
помощью проведенія лишь прямыхъ линій, если уже
начерчены либо двѣ параллельныя прямыя, либо па-
раллелограммъ, въ частности, квадратъ, либо, нако-
нецъ, окружность.
2. Существуютъ также и такія задачи, которыя
могутъ быть рѣшены съ помощью проведенія исклю-
чительно прямыхъ ли-
ній, безъ употребле-
нія какихъ либо дан-
ныхъ фигуръ 74).
Этими средствами
можно, напр., по тремъ
даннымъ точкамъ А.
В, А' построить такую
точку В', которая отъ
точки В гармонически
отдѣлялась бь^Ьочка-
ми А, А' (фиг^^з) 75).
Равнымъ образомъ, всегда можно, провогіОлишь пря-
мыя линіи, построить четвертый лучъ Ь' (фйіч 53) гармони-
ческаго пучка— по тремъ его лучамъ.
Слѣдующая задача также можетъД^ть рѣшена путемъ
проведенія прямыхъ линій безъ дружбъ предположеній:
§ 9- ВВЕДЕНІЕ.
75
Даны двѣ прямыя л, Ъ и точка Р (фиг. 54); требуется
провести черезъ Р прямую, которая проходила бы черезъ
недоступную точку 76) пересѣченія обѣихъ данныхъ пря-
мыхъ а и Ь. Рѣшеніе ясно изъ чертежа; оно основывается
на двукратномъ примѣненіи теоремы, выражаемой предыду-
щимъ чертежомъ.
Въ проективной Геометріи извѣстенъ еще цѣлый
рядъ задачъ, которыя могутъ быть рѣшены проведеніемъ
Фиг. 54.
однѣхъ лишь прямыхъ линій, безъ обращенія къ какимъ-либо
чуждымъ задачѣ даннымъ.
Если, напр., извѣстны пять точекъ нѣкотораго кониче-
скаго сѣченія, то съ помощью шестиугольника Паскаля
можно, проводя лишь прямыя линіи, построить вторую точку
пересѣченія коническаго сѣченія съ прямой, проходящей
черезъ одну изъ данныхъ пяти точекъ.
Вотъ другая задача такого же рода:
Если извѣстны пять точекъ А , В, С, В ,Е коническа^
сѣченія Кх п пять точекъ А,В, С^Р, С коническаго^&>ё-
нія К2, такъ что даны три общихъ точки этихъ^цйщіче-
скихъ сѣченій, то четвертая ихъ общая точка монетъ быть
построена проведеніемъ однѣхъ прямыхъ линнъС>
Ю2. Двѣ вершины четырехугольника лежатъ въ до-
ступной части плоскости чертежа, двѣ др^^—въ недоступ-
ной ея части; требуется построить пріфую, соединяющую
76
ГЛАВА II. ПОСТРОЕНІЯ ШТЕЙНЕРА.
обѣ недоступныя вершины, проводя однѣ лишь прямыя
линіи.
§10. Построенія, выполняемыя помощью проведенія однѣхъ
лишь прямыхъ линій, если даны двѣ параллельныя прямыя.*)
Мы должны сначала упомянуть объ одномъ предло-
женіи, которое въ послѣдующемъ изложеніи часто будетъ
находить себѣ примѣненіе:
Если (фиг. 55) соединить точку Е пересѣченія
трапеціи АВСБ съ точкой Г
непараллельныхъ сторонъ ея,
то сторона АВ дѣлится пря-
мою ЕЕ пополамъ; въ самомъ
дѣлѣ:
обѣихъ діагоналей
пересѣченія обѣихъ
Фиг. 55.
АО:ОВ — БН:НС,
и
40: СВ = НС:ВН.
Умноженіе этихъ пропорцій приво-
дитъ къ доказательству предложенія,
предложенія могутъ быть рѣшены
Съ ПОМОЩЬЮ ЭТОГО
слѣдующія задачи:
103. На прямой даны три точки А, О, В такъ,
что точка О лежитъ въ серединѣ отрѣзка АВ’ тре-
буется, проводя однѣ лишь прямыя линіи, построить
прямую, проходящую черезъ данную точку В и па-
раллельную данной прямой.
104. Даны двѣ параллельныя прямыя ш, п и на
прямой т отрѣзокъ АВ', требуется раздѣлить этотъ
отрѣзокъ пополамъ, проводя однѣ лишь прямыя
линіи.
105. Даны двѣ параллельныя прямыя т , <^°внѣ
ихъ точка Р. Требуется построить про^жящую
черезъ точку Р прямую, параллельнук^^аннымъ,
*) Построенія слѣдующихъ параграфовъ і(хѴ^і2, 13 изложены
вь извѣстномъ сочиненіи Якова Штейнера „Ое^теІгізсЪе Копзігнк-
ііопеп, аи8§еГй1ігІ тіНеІз йег §егасіеп Ьіпіе иЙ еіпез іезіеп Кгеізеь*
(Вегііп, 1833, іп Оз\ѵа1сІ8 К1а88Ікег йег ехакІецЖШгѵѵІ88еп8сйаЕіеп, І\тг. 6о\
§ іо. даны ДВБ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЯ ПРЯМЫЯ.
77
проводя однѣ лишь прямыя линіи. (Сначала строятъ на
прямой т два равныхъ отрѣзка.)
іоб. Даны двѣ параллельныя прямыя т, п и на т
нѣкоторый отрѣзокъ; требуется его удвоить, поль-
зуясь лишь проведеніемъ прямыхъ линій").
2. Если даны двѣ параллельныя прямыя т, п и на
одной изъ нихъ отрѣзокъ АВ, то безъ труда могутъ
быть рѣшены слѣдующія задачи:
107. Требуется увеличить отрѣзокъ АВ (фиг. 56)
въ нѣсколько разъ.
(Проводятъ прямую рг
параллельную т, см.
задачу 105.)
108. Требует-
ся раздѣлить отрѣ-
зокъ АВ на данное
ча-
напр., на три
число равныхъ
стей,
части. (Сначала утраи-
ваютъ отрѣзокъ АВ и опредѣляютъ точку / (фиг. 56).)
109. Требует.ся на прямой т построить отрѣ-
зокъ, отношеніе котораго къ отрѣзку АВ равнялось
бы г:5, гдѣ г и 5 суть цѣлыя взаимно простыя числа.(Отрѣ-
зокъ А В дѣлятъ на г равныхъ частей и откладываютъ одну
изъ этихъ частей 5 разъ.)
но. Требуется отрѣзокъ АВ раздѣлить на двѣ
части, которыя относились бы, какъ г'.з.
Замѣчаніе. Бріаншонъ (Вгіапсіюп) вт» своемъ со-
чиненіи „Арріісаііоп сіе Іа ТЬёогіе сіез Тгапзѵегзаіез"
(Парижъ 1818, стр. 37) далъ чрезвычайно изящный способъ
построенія путемъ проведенія однѣхъ лишь прямыхъ линій
третьей, четвертой, пятой.... части даннаго отрѣзку
АВ, въ предположеніи, что дана нѣкоторая пряіьфй
аЬ, параллельная прямой АВ.
*) Во всей этой главѣ единственной дозволеы™ чертети-
ной операціей является проведеніе п р я м ы х чуткій. Такимъ
образомъ, задача только тогда считается рѣшеннош^йіи она рѣшена,
съ помощью проведенія прямыхъ линій.
78
ГЛАВА II. ПОСТРОЕНІЯ ШТЕЙНЕРА.
Берутъ произвольную точку Р (фиг. 57) и проводятъ
прямыя АЬ и Ва; отрѣзокъ А В будетъ половиной отрѣзка
АВ. Если, далѣе, провести прямыя Ва и Ре , то отрѣзокъ
АЕ будетъ третьей частью отрѣзка АВ} ибо точки А, Е,
В, В являются четырьмя гармоническими точками, какъ это
вытекаетъ изъ ихъ положенія въ полномъ четырехугольникѣ
а есіР. Дѣйствительно,
АЕ\ЕВ=АВ\ВВ\
но такъ какъ А В=ъ ВВ, то отсюда слѣдуетъ, что
такъ что
А Е = я Е В,
АЕ = ^АВ.
Если затѣмъ провести прямыя Еа и Р/, то получится
точка Е, при чемъ
АР=$АВ,
что вытекаетъ изъ разсмотрѣнія гармоническихъ точекъ
А, Е, Е, В.
Если провести прямыя Ра п/^, то получится точка С,
при чемъ
АС = \АВ,
какъ это слѣдуетъ изъ разсмотрѣнія четырехъ гедониче-
скихъ точекъ А , С, Е, Е.
Это построеніе можетъ быть повторяемо неограни-
ченное число разъ. - .
іи. Вообразимъ, что фигура 57 та^^ спроектирована
цѣликомъ на другую плоскость, что тож Р переносится въ
§ ІО. ДАНЫ ДВѢ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЯ ПРЯМЫЯ.
79
безконечность и уголъ при А становится прямымъ. Какая
фигура при этомъ получится?
3. На нѣкоторой прямой § (фиг. 58) даны два
отрѣзка АВ, ВС, находящіеся другъ къ другу въ
опредѣленномъ раціональномъ отношеніи а\Ь (на-
примѣръ, 5: з).
Требуется, пользуясь лишь проведеніемъ пря-
мыхъ линій, построить прямую, проходящую черезъ
данную точку Р и параллельную прямой Рѣшеніе
задачи сводится къ тому, чтобы получить на прямой два
равныхъ по длинѣ отрѣзка.
Допустимъ, что а больше и построимъ четвертую
гармоническую точку В (фиг. 58); тогда
АВ:ВС = А~В: СВ
или
а : Ь = (а Ц- Ь х): х,
такъ что
_Ь (а-уЪ).
Л— а — Ъ ’
слѣдовательно,
СЁ)-. АсА-^^:(а^Ь) = Ь-.(а-Ъ).
Такимъ образомъ, мы получили два отрѣзка, котйме
относятся, какъ Ь: (а — ^); при этомъ числитель и знамена-
тель отношенія (оставаясь цѣлыми числами) будуМ^ соот-
вѣтственно меньше 77) предыдущихъ.
(Въ нашемъ частномъ случаѣ оба эти о^ѣзка отно-
сятся, какъ 3:2.) /9°
80
ГЛАВА II. ПОСТРОЕНІЯ ШТЕЙНЕРА.
Теперь съ отрѣзками А С, СВ мы поступимъ точно
такимъ же образомъ, т. е. построимъ точку А, которая отъ
С гармонически отдѣляется точками А, В, и получимъ два
отрѣзка, для которыхъ числитель и знаменатель отношенія
снова меньше предыдущихъ. Повторяя это построеніе, мы,
наконецъ, придемъ къ отрѣзкамъ, равнымъ по длинѣ.
Въ нашемъ частномъ примѣрѣ:
ЛЯ:ДС = 5:3,
поэтому (фиг. 58)
АС: СВ = 2:3.
Если построить точку Е, гармонически связанную съ
С въ отношеніи точекъ А, В, то
АВ:ВЕ=2: і.
Если, наконецъ, построить точку Е, гармонически со-
пряженную съ В въ отношеніи А, Е, то получатся уже
два равныхъ отрѣзка А Е и ЕЕ, ибо
АЁ\ЁЁ=х : і,
т. е.
АЁ=ЁР.
4. Изъ этой задачи явствуетъ, что пользованіе двумя
параллельными прямыми равносильно пользованію
двумя отрѣзками, находящимися въ данномъ раціо-
нальномъ отношеніи, т. е., если начерчены параллельныя
прямыя, то легко могутъ быть построены отрѣзки, находя-
щіеся въ желаемомъ раціональномъ отношеніи, если же,
наоборотъ, даны отрѣзки, находящіеся въ опредѣленномъ
раціональномъ отношеніи, то немедленно можно построить
параллельныя прямыя.
§ 11. Построенія, выполняемыя проведеніемъ однѣ^^^лишь
прямыхъ линій, если данъ параллелогр^^^/.
і. Въ этомъ случаѣ легко могутъ бьТ^^ѣшены слѣ-
дующія задачи (какъ всегда, проведеніемъ лишь прямыхъ
линій):
§ 12. ДАНЪ КВАДРАТЪ.
81
іі2. Требуется черезъ точку Е (фиг. 59) прове-
сти прямую, параллельную одной изъ сторонъ дан-
наго параллелограмма АВСВ.*)
113. Требуется черезъ произвольную данную
точку провести прямую, параллельную произволь-
ной данной прямой
На прямой & получаются два равныхъ отрѣзка ВС
и СН. Второе рѣшеніе ясно изъ чертежа, который по-
казываетъ, что легко мо-
жетъ быть построена пря-
мая параллельная
114. Данъ отрѣзокъ
АВ , произвольно рас-
положенный относитель-
но параллелограмма; тре-
буется раздѣлить этотъ
отрѣзокъ въ опредѣлен-
номъ отношеніи.
115. Даны три па-
раллельныя прямыя а, Ь, с,
которыя начетвертой пря-
мой б/отсѣкаютъ отрѣзки,
находящіеся въ извѣст-
номъ отношеніи />:д' ка-
кая фигура эквивалентна этимъ даннымъ? 78)
ііб. Два отрѣзка на произвольной прямой раздѣлены
въ опредѣленномъ раціональномъ отношеніи; требуется по-
строить параллелограммъ **).
§12. Построенія, выполняемыя проведеніемъ лишь прямыхъ
линій, когда данъ квадратъ.
Если допускается пользованіе начерченнымъ квадраМ^
томъ, то съ его помощью могутъ быть рѣшены всѣ задачи
*) Въ послѣдующемъ мы не всегда будемъ указывать т^у^е раз-
смотрѣнныя задачи, къ которымъ сводится рѣшеніе предлагаемыхъ
задачъ. _
**) Въ этихъ задачахъ часто, кромѣ рѣшеній, неЖгЬредственно
вытекающихъ изъ уже рѣшенныхъ раньше, существую^?еще и другія,
болѣе простыя рѣшенія; слѣдуетъ всегда стреми^^тСнайти наибо-
лѣе простое рѣшеніе.
Теорія геометрическихъ построеній.
(5
82
ГЛАВА П. ПОСТРОЕНІЯ ШТЕЙНЕРА.
предыдущихъ параграфовъ іо, и; сверхъ того могутъ быть
рѣшены еще слѣдующія задачи:
117. Требуется возставить перпендикуляръ къ
произвольной прямой ЕС, проходящей черезъ центръ
квадрата.
Проводимъ СИ (фиг. 6о) параллельно СВ, далѣе, НХ
параллельно ВІ)\ тогда ХУX ЕС 79).
и8. Даны прямая % и точка Р;_ требуется изъ
точки Р опустить перпендикуляръ на прямую^*. (Про-
водятъ черезъ точку Е прямую параллельную и т. д.)
119. Данъ прямой уголъ
ХЕС съ вершиной въ центрѣ
квадрата (фиг. 6о); требуется
раздѣлить этотъ прямой уголъ
пополамъ. (Если провести ЕК па-
раллельно ХС и ЕХ перпендику-
лярно къ ЕК, то этимъ будетъ
найдена биссектриса.)
120. Требуется раздѣлить
пополамъ произвольный дан-
ный прямой уголъ.
і2і. Изъ трехъ лучей а, Ъ, с.
два послѣдніе взаимно перпендикулярны; требуется
построить четвертую прямую <7 такъ, чтобы уголъ
/><7 равнялся углу аЬ. (Такъ какъ лучъ 7 гармонически
отдѣляется отъ луча а лучами Ъ и с 80), то лучъ <7 можетъ
быть построенъ съ помощью лишь проведенія прямыхъ линій.)
122. Данъ уголъ аЪ] требуется увеличить его въ
цѣлое число разъ, пользуясь при этомъ квадратомъ и
проводя лишь прямыя линіи. (Слѣдуетъ принять въ сообра-
женіе предыдущую задачу.)
Такимъ образомъ, съ помощью квадрата мож^р^по-
вторить уголъ нѣсколько разъ. °^Ь°
§13. Построенія, выполняемыя проведеніемъ сіднѣхъ лишь
прямыхъ линій, когда дана постоянная окружность и ея
центръ 8І).
і. Дана окружность К и ея центръ О.
Тогда можно, проводя лишь прда&я линіи, построить
квадратъ (фиг. 6і), при чемъ проводятъ А'В' параллельно
§ 13. ДАНА ОКРУЖНОСТЬ ВМЪСТЪ СЪ ЦЕНТРОМЪ. 83
помощью проведенія
Фиг. 61.
діаметру АВ (АО = ОВ), а затѣмъ поступаютъ, какъ ука-
зано на чертежѣ.
Такимъ образомъ, съ помощью окружности 7ѵ, можно
рѣшить всѣ задачи, которыя въ предыдущихъ парагра-
фахъ 9, іо, іі, 12, были рѣшены съ
лишь прямыхъ линій, слѣдовательно,
можно, въ частности, проводить па-
раллели, опускать перпендику"
ляры, дѣлить и повторять нѣ-
сколько разъ отрѣзки и повто-
рять углы.
Но сверхъ того могутъ быть рѣ-
шены задачи, которыхъ нельзя рѣ-
шить съ помощью одного квад-
рата, напр., можетъ быть раздѣленъ
пополамъ произвольный уголъ.
Мы также сейчасъ увидимъ, что
при пользованіи постоянной окруж-
ностью (вмѣстѣ съ центромъ) можно рѣшить всѣ задачи,
которыя обыкновенно рѣшаются съ помощью циркуля и ли-
нейки, т. е. всѣ задачи
элементарной Гео-
метріи, всѣ такъ назы-
ваемыя геометрическія
задачи второй сте-
пени.
2. Одну изъ этихъ
задачъ мы сейчасъ
разсмотримъ:
123. Пусть, кромѣ
вспомогательной
окружности/Г, будутъ
даны отрѣзокъ АВ
(фиг. 62), прямая §> и
на % точка С; тре-
буется построить на
нялось равенство СХ =
Фиг. 62.
выпол-
точку X такъ,
АВ
*) Проводя однѣ лишь прямыя линіи, кацъ^^в^ѣхъ задачахъ этой
главы. 6*
84
ГЛАВА II. ПОСТРОЕНІЯ ШТЕЙНЕРА.
Строятъ отрѣзокъ ОВ (фиг. 62), параллельный отрѣзку
АВ и равный ему по длинѣ, проводятъ (параллельно <§")
параллельно ВС параллельно СИ параллельно О А
и НХ параллельно АС.
3. Докажемъ теперь, что при пользованіи вспо-
могательной окружностью каждая задача второй
степени можетъ быть рѣшена съ помощью проведе-
нія однѣхъ лишь прямыхъ линій.
Для этой цѣли сдѣлаемъ предварительно слѣдующее
замѣчаніе 1
Сколь сложно ни было бы геометрическое построеніе,,
выполняемое при неограниченномъ пользованіи цир-
кулемъ и линейкой, оно всегда слагается изъ нѣкотораго
числа чертежныхъ операцій простѣйшаго рода.
Именно, съ помощью линейки непосредственно
можно выполнить только слѣдующія операціи:
і. проведеніе прямой линіи,
2. опредѣленіе точки пресѣченія проводимой
прямой съ уже начерченной,
3. нахожденіе точки пересѣченія проводимой
прямой съ уже начерченной дугой окружности.
Съ помощью же циркуля прямо выполняются только
слѣдующія операціи:
4. проведеніе окружности,
5. нахожденіе точки пересѣченія проводимой
окружности съ начерченной уже прямой,
6. построеніе точки пересѣченія проводимой
окружности съ напередъ заданной82).
Если предоставлено неограниченно пользоваться цир-
кулемъ и линейкой, то выполненіе этихъ операцій не пред-
ставляетъ никакихъ затрудненій; трудность же рѣшенія ге-
ометрической задачи на построеніе состоитъ лишь въ тфгь,.
чтобы эти операціи надлежащимъ образомъ скол^^іиро-
вать.
Если же, наоборотъ, средства построеніж^раничены
то требуется прежде всегодюказать, что и по^оіцью этихъ,
ограниченныхъ средствъ могутъ бДть выполнены
вышеназванныя операціи83); этиьу^^° будетъ строго
доказано, что всѣ задачи на п<ѣ<тфоеніе второй сте-
§ 13. ДАНА ОКРУЖНОСТЬ ВМЪСТЬ СЪ ЦЕНТРОМЪ.
85
пени могутъ быть разрѣшены и ограниченными сред-
ствами.
4. Въ нашемъ случаѣ могутъ быть проводимы
лишь однѣ прямыя линіи.’
Выполненіе упомянутыхъ выше операцій 1,2 не пред-
ставляетъ поэтому никакихъ трудностей. Задачи 4 мы съ
помощью проведенія прямыхъ линій вообще не можемъ рѣ-
шить; но мы можемъ построить произвольное число точекъ
окружности, какъ мы сейчасъ увидимъ. Такимъ образомъ,
остается еще показать, что нашими ограниченными сред-
ствами могутъ быть рѣшены слѣдующія двѣ задачи 84):
А) Окружность задана ея центромъ и радіусомъ
и сверхъ того дана прямая; требуется построить
точки пересѣченія этой прямой съ заданной окруж-
ностью.
В) Двѣ окружности заданы ихъ центрами и ра-
діусами; требуется опредѣлить точки пересѣченія
этихъ окружностей.
5. Задача В можетъ быть приведены къ задачѣ А.
Именно, есть возможность съ помощью проведенія однѣхъ
лишь прямыхъ линій построить радикальную ось обѣихъ'
данныхъ окружностей *).
Мы укажемъ два различныхъ способа для выпол-
ненія этого построенія ради-
кальной оси:
і. способъ: Пусть точки
, О2 будутъ центрами обѣихъ
данныхъ окружностей (фиг. 63),
а г,. г2— ихъ радіусами, задан-
ными съ помощью произвольно
расположенныхъ отрѣзковъ. Фиг. 63.
Проведемъ С\А и 02В л
(фиг. 63) перпендикулярно къ отрѣзку ОгО2 (задачао р),
сдѣлаемъ отрѣзокъ 0{А равнымъ г2 и 02В - равн^^ь г,
*) Штейнеръ (въ указанномъ его сочиненіи) не ид^і^по этому
пути, но помошью преобразованія по принципу подобьи сводитъ за7
дачу В къ слѣдующей: „Опредѣлить точки пепвАьченія опре-
дѣленной вспомогательной окружности ругой окруж-
ностью, заданной ея центромъ и радіусА&ъ .
86
ГЛАВА II. ПОСТРОЕНІЯ ШТЕЙНЕРА.
(задача 123); раздѣлимъ теперь пополамъ отрѣзокъ АВ въ
точкѣ М и возставимъ въ ней перпендикуляръ МІ)\ по-
слѣдній пересѣчетъ центральную линію обѣихъ окружно-
стей въ точкѣ /9, которая уже лежитъ на искомой ради-
кальной оси.
Доказательство: Изъ фигуры 63 слѣдуетъ, что
«Ч + Н = ^2 + ,
такъ что
= г\ — г\ ,
чѣмъ и доказывается, что В есть точка радикальной оси
(стр. іб).
2. способъ ясенъ изъ фиг. 9.
(124. Кромѣ вспомогательной окружности заданы еще
двѣ окружности ихъ центрами и радіусами; построить ихъ
общую радикальную ось по второму способу.)
6. Теперь мы должны показать, какъ можетъ быть
рѣшена нашими ограниченными средствами задача А:
, Пусть будутъ даны, кромѣ основной окружности К съ
центромъ О (фиг. 64), еще точка 7И, отрѣзокъ г и прямая,
требуется построить точки А, У пересѣченія пря-
Фиг. 64.
мой съ окружностью, описанной вокруг^рЯ/ ра-
діусомъ Г.
Съ этой цѣлью проведемъ отрѣзокъ параллель-
ный и равный г (фиг. 64), затѣмъ прямуѣъШг', параллель-
ную прямой МР\ тогда точка А будетъ внѣшнимъ центромъ
подобія окружностей -Кх и К.
§ ТЗ- ДАНА ОКРУЖНОСТЬ ВМѢСТѢ СЪ ЦЕНТРОМЪ. 87
Проведя въ этихъ подобныхъ системахъ прямую
отвѣчающую прямой % 85), мы немедленно получимъ точки
Х\ У', а потомъ и точки X, У.
Замѣчаніе. Если точка А лежитъ въ недоступной
части плоскости чертежа, то можно провести радіусъ окруж-
ности К, параллельный МР, но направленный въ противо-
положную сторону; при этомъ уже пользуются внутреннимъ
центромъ подобія / обѣихъ окружностей Кх и К.
Такимъ образомъ, съ помощью нашихъ огра-
ниченныхъ средствъ рѣшенія можетъ быть рѣшена
основная задача А; этимъ доказана теорема Штей-
нера, гласящая, что всѣ геометрическія задачи, кото-
рыя обыкновенно рѣшаются съ помощью циркуля и
линейки, могутъ быть рѣшены и путемъ проведенія
однѣхъ лишь прямыхъ линій, если въ плоскости чер-
тежа дана постоянная окружность и ея центръ*)86).
Именно, если нѣкоторая геометрическая задача
на построеніе должна быть рѣшена съ помощью
нашихъ ограниченныхъ средствъ рѣшенія, то пред-
ставимъ себѣ эту задачу рѣшенной обычными сред-
ствами и будемъ слѣдовать этому рѣшенію шагъ за ша-
гомъ, выполняя каждую въ немъ встрѣчающуюся чертеж-
ную операцію ограниченными средствами; а это всегда
возможно, какъ было доказано.
8. Однако этотъ способъ рѣшать задачи съ помощью
нашихъ средствъ рѣшенія оказывается по большей части
очень громоздкимъ. Поэтому полезно непосредственно
найти для наичаще встрѣчающихся задачъ простыя рѣшенія
съ помощью вспомогательной окружности.
Мы разсмотримъ (по Штейнеру) эти основныя по-
строенія, при чемъ будемъ давать или, по крайней мѣрѣ,
намѣчать рѣшенія задачъ.
*) Штейнеръ, тамъ же. Штейнерово сочиненіе, какъ изустно,
носитъ названіе: „Оіе § еотеігізсЬеп Копзігикііопеп, ^Ц^еГйІігі
тіНек йег ^егайеп Ьіпіе ипсі еіпез Гезіеп Кгеізе^НС О цен-
трѣ окружности при этомъ нѣтъ рѣчи, въ то время^ка^ онъ игра-
етъ важную роль, ибо безъ этого центра нѣкоторы^Ѵ^ъ задачъ пара-
графовъ ті, Т2, 13 не могутъ быть рѣшены путемъТпроведенія однѣхъ
прямыхъ линій.
88
ГЛАВА II. ПОСТРОЕНІЯ ШТЕЙНЕРА
125. Провести прямую, параллельную данной пря-
мой линіи §.
При этомъ слѣдуетъ различать три случая:
і. $ есть діаметръ АВ окружности К,
2. пересѣкаетъ эту окруж-
ность въ двухъ точкахъ Е, Г,
3. § лежитъ внѣ окружности.
(Рѣшеніе — согласно фигурѣ 65.)
126. Даны прямая & и точ-
ка Р; опустить изъ Р перпен-
дикуляръ на
(Если о* есть діаметръ АВ
окружности К (фиг. 66) и отрѣзокъ
А'В' параллеленъ АВ, то прямая
СО перпендикулярна къ если же
пересѣкаетъ окружность К
(фиг. 66) въ двухъ точкахъ Р, Е, то
хорда ЕЕ перпендикулярна къ РЕ.}
і2Г]. Данъ уголъ а со сто-
ронами а, Ъ, даны сверхъ того
прямая и точка Р; требуется
черезъ точку Р провести прямую х такъ,
чтобы
она съ прямой § составляла уголъ а.
(Черезъ точку О (фиг. 67) проводятъ прямыя а', Ь', <?',
Фиг. 66. _Фцѵ67.
параллельныя соотвѣтственно прямым^я,Ь, затѣмъ про-
водятъ АР параллельно ВС и х параллельно х'.)
§ 13. данл окружность вмѣстѣ съ центромъ. 89
128. Данъ (кромѣ вспомогательной окружности, кото-
рая въ этомъ параграфѣ постоянно предполагается данной)
уголъ а со сторонами а, Ъ;требуется построить бис-
сектрису х этого угла.
(Черезъ точку О (фиг. 68) проводятъ прямыя а',Ь', со-
отвѣтственно параллельныя
прямымъ а, Ь.)
129. Удвоить данный
уголъ а.
(Проводятъ прямыя а', У,
соотвѣтственно параллель-
ныя прямымъ а,Ь (фиг. 69). )
130. Данъ треуголь-
никъ, одна изъ вершинъ
котораго лежитъ на вспо-
могательной окружности;
требуется построить три высоты треугольника и
вписанной и описанной окружностей.
центры
131. Даны окружность К и двѣ точки А , В; требуется
построить центры окружностей, проходящихъ черезъ А, В
и касающихся К, проводя
при этомъ однѣ лишь пря-
мыя линіи и принимая К за
•основную окружность.
132. Даны три окруж-
ности Кху и центръ
Оі окружности Кх; требует-
ся по способу Жергонна
помощью проведенія однѣхъ
прямыхъ линій построить
которыя касаются трехъ
центръ одной изъ окружностей,
данныхъ.
133. Даны двѣ окружности К и и сверхъ°^гЬ
центръ окружности К\ требуется построить цен^рй 01
окружности А\, проводя однѣ лишь прямыя линійЦ^
134. Если, кромѣ начерченной окру^дасти, ни-
чего болѣе не дано, то нѣтъ возможности постро-
ить центръ окружности съ помощьюи^роведенія од-
нѣхъ прямыхъ линій. Если же свесть того данъ па-
90
ГЛАВА II. ПОСТРОЕНІЯ ЩТЕЙНЕРА.
раллелограммъ, то можно найти центръ окружности.
(Какъ?)87)
135. Если данъ квадратъ, то нѣтъ надобности знать
центръ Штейнеровой вспомогательной окружности. Что
нужно еще присоединить къ квадрату, чтобы онъ вмѣстѣ
съ присоединенной фигурой былъ эквивалентенъ Штейне-
ровой вспомогательной окружности вмѣстѣ съ ея цен-
тромъ ?
9. Вмѣсто Штейнеровой окружности можетъ
быть дано и другое коническое сѣченіе, напр., эл-
липсъ. Кромѣ самого эллипса необходимо еще знать
его центръ и одинъ изъ фокусовъ; центръ нуженъ
для проведенія параллелей, а фокусъ—для построе-
нія перпендикуляровъ.
136. Предлагается рѣшить нѣкоторыя изъ разсмотрѣн-
ныхъ только что задачъ съ помощью проведенія однѣхъ
лишь прямыхъ линій, если данъ эллипсъ вмѣстѣ съ его цен-
тромъ О и однимъ изъ фокусовъ.
Можно легко построить прямыя, параллельныя любому
изъ діаметровъ эллипса, а слѣдовательно и опредѣлить
сопряженный діаметръ. Если требуется провести черезъ
О прямую х, параллельную прямой §, пользуясь лишь пря-
мыми линіями, то строятъ полюсъ С прямой §; прямая, со-
единяющая его съ центромъ, есть поляра и безконечно уда-
ленной точки V прямой и искомая прямая а сопряжена
съ діаметромъ и.
Вмѣсто центра эллипса можетъ быть также данъ па-
раллелограммъ. Если данъ квадратъ, то достаточно
знать лишь самый эллипсъ, въ знаніи центра и фокуса нѣтъ
надобности.
III. ГЛАВА.
Построенія, выполняемыя помощью описыванія
окружностей (построенія Маскерони *)).
§14. Лемма.
і. Единственнымъ чертежнымъ инструментомъ,
которымъ мы будемъ пользоваться въ настоящей
главѣ, является циркуль88); допускается только описы-
ваніе окружностей; ни одна прямая линія не должна входить
въ построеніе. Для доказательства же правильности построе-
нія мы будемъ прибѣгать къ прямымъ линіямъ.
2. Прежде всего мы докажемъ слѣдующее простое пред-
ложеніе:
Пусть АВС будетъ данный треугольникъ, В—середина
стороны АВ, уголъ АВС равенъ а; тогда изъ треуголь-
ника АВС слѣдуетъ:
АС* = А& -\-ВС*-2АВ.ВСыяа,
а изъ треугольника ВСВ :
ВС2 ~ + ВС* + 2 АВ. ВС соз а.
Если сложить оба равенства и замѣтить, что
АВ = ВВ,
*) МазсЪегопі, „Ьа &еогпеігіа сіеі сотраззо", Павія^ѣ/97;
на нѣм. и франц. яз. перевелъ Грузовъ, 1820. Содержаніе сочиненья Мас-
керони изложено въ книгѣ Гутта (НиИ) „Віе МазсЬеМоѣізсІіе п
Копзігикііопеп**, і88о. Фришауфъ (Ргі8сЬаиГ) въ своёмъ сочиненіи
„ГІЬег сііе ^еотеігізсЬеп Копзігикііопеп ѵой^^МазсЬегопі
ипё Г біеіпег*. Грацъ, 1869, также въ существенцом'ввоспроизводптъ
эти построенія.
92
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
то получится:
АС* 4- ВС* --- 2 л7)2 + 2 да .
Это равенство и составляетъ содержаніе предложенія, ко-
торымъ мы неоднократно будемъ пользоваться.
§ 15. Дѣленіе окружности на равныя части.
і. Окружность легко можетъ быть раздѣлена съ по-
лнощью одного циркуля на шесть равныхъ частеіГ(фиг. 71).
Прежде, чѣмъ
разсматривать дѣленіе
окружности на другое
число частей, полезно
рѣшить двѣ основ-
ныя задачи, именно:
Раздѣлить дан-
ную дугу окружности
пополамъ 41 построить
правильный вписанный
Фиг. 70 а. пяти- и десятиуголь-
никъ.
2. Дѣленіе пополамъ дуги АВ (фиг. 70 а, Ь):
Строимъ параллелограммы АВОС, АВВО\\ проводимъ
прямую СВ (фиг. 70 а).
По леммѣ § 14 имѣетъ мѣсто соотношеніе:
АВ1 + ОВ'- = 2 Аб? + 2 ВС'-.
Если обозначить радіусъ дуги черезъ г, длину отрѣзка АВ
черезъ <7, то изъ этого соотношенія вытекаетъ:
Изъ треугольника СОЕ (гдѣ Е есть
•слѣдуетъ:
середина дуги
и изъ треугольника СОЕ'.
0Е'г = сі2 + Е
Такимъ образомъ, СЁ—ОЁ.
§ 15. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЯ ЧАСТИ.
93
Въ случаѣ, когда требуется съ помощью одного лишь
циркуля раздѣлить пополамъ дугу Л/?, поступаютъ поэтому
слѣдующимъ образомъ (фиг. 70 Ь):
Описываютъ окружности вокругъ концовъ Л, В дуги
радіусомъ г, затѣмъ—вокругъ точки О радіусомъ, равнымъ^
хордѣ АВ] такимъ путемъ получаются точки Си/). Опи-
сывая окружности вокругъ точекъ Си/) радіусомъ СВУ
получаютъ точку Е. Нако-
нецъ, искомая точка Е по-
лучится въ пересѣченіи дан-
ной дуги АВ съ окружно- \
стью, описанной вокругъ /
точки С или/) радіусомъ ОЕ.
3. Построеніе сто-
роны пяти- и десяти- "С О
угольника. Фиг. 70Ь.
Если требуется по-
строить сторону вписаннаго въ окружность (фиг. 71) пра-
вильнаго пяти- или десятиугольника, то поступаютъ слѣдую-
щимъ образомъ:
Сначала строятъ вершины Л, В, С, /), Е вписаннаго
шестиугольника; затѣмъ опредѣляютъ точку С, въ которой
пересѣкаются окружности, описанныя вокругъ точекъ А и /)г
какъ центровъ, радіусомъ АС — ВВ.
Если теперь вокругъ точекъ С и Е описать радіусомъ.
ОС окружности, которыя пересѣкутся въ точкѣ К, то отрѣ-
зокъ ОК и будетъ искомой стороной десятиугольника, а
отрѣзокъ КН- стороной пятиугольника.
Доказательство: Проведемъ вспомогательную пря-
мую СЕ, которая пересѣчетъ діаметръ АВ въ точкѣ /,;
тогда
.4С=гѴ3, ОС = АН=г V ^ = СК, кС=--Ѵ 3;
2 о <
отсюда слѣдуетъ, что
«-=^5
и
КО = Г~Ѵ 5 — = 51.
2^2 Ч
94
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
Итакъ, КО есть длина стороны правильнаго вписан-
наго десятиугольника, а НК, согласно извѣстной теоремѣ
{$2 = г2-|-5 ^), есть длина стороны пятиугольника.
137. Раздѣлить окружность
частей, на три, на двѣ равныя
на шесть равныхъ
части; затѣмъ-—на
поламъ, ибо треугольникъ
пять, на десять равныхъ
частей, на четыре равныя ча-
сти (сообразно съ двумя ос-
новными задачами).
138. Раздѣлить окруж-
ность на восемь равныхъ
частей.
Рѣшеніе этой задачи
можно свести къ дѣленію по-
поламъ четвертой части окруж-
ности (137).
Второе рѣшеніе состо-
итъ въ слѣдующемъ: дѣла-
ютъ (фиг. 71) ОИ = ОА = г]
точкой Аг дѣлитъ дугу АН по-
ОИС — прямоугольный равно-
бедренный, такъ что уголъ АОК равенъ 450.
Если построить (фиг. 71)
ПН = АО и АР — РР = КО,
то отрѣзокъ ОР также равенъ сторонѣ правильнаго впи-
саннаго восьмиугольника, т. е. равенъ АН.
Доказательство: ОС = г У~2 89); поэтому изъ прямо-
утольнаго треугольника АОР слѣдуетъ:
ОР — г |/ 2 — 2 = .
139. Раздѣлить окружность на шестнадцать
равныхъ частей. ^3'
Съ этой цѣлью либо дѣлятъ пополамъ (сооб^§уясь
•съ основной задачей 2.) восьмую часть окружн^^и, либо
же поступаютъ слѣдующимъ образомъ: строй|> точку Р
{138, фиг. 71) и опредѣляютъ точку 2 такъ-то бы
0Р = АО = г.
Тогда АО есть сторона правильнага%нисаннаго шестнад-
цатиугольника.
§ 15. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЯ ЧАСТИ. 95
Доказательство:
такъ какъ
А1Ѵ=0Р
и
АО = ЛЮ = І2О = 0Р~ г.
Поэтому
^АЫО = ^0ОР^ | К90),
такъ что
^АО0 = $К.
140. Раздѣлить окружность на 12, 24, 48, 15, 20
120, 240 равныхъ частей.
Слѣдуетъ замѣтить:
и гі гі гі гі и
3 4 12 1 ~4 \Гі і 20
и гі гі и 5 24 гі гі
12 іб -48’ 5 120
и гі гі гі 5 ^8 и и
8 12 “ 24 ’ ІО 240
и и _ и
~ 3 = ^5 ’
§16. Умноженіе и дѣленіе отрѣзковъ.
141. Требуется удвоить, повторить нѣсколько
разъ отрѣзокъ, заданный его концами А, В.
Описываютъ (фиг. 72) радіусомъ АВ вокругъ точки В
окружность и строятъ
ас=св=ве:
Тогда
АЕ=2 АВ.
Если описать окружность
Е (В) *) , то подобнымъ же обра-
зомъ получится
АР=зАВ.
ентромъ и проходя-
іломъ М (Р).
*) Окружность, имѣющую точку М своим
щую черезъ точку Р, мы будемъ обозначать сір
96
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МаСКЕРОНП.
142. Отрѣзокъ 5, заданный его концами Д, 23,.
требуется раздѣлить на п равныхъ частей.
Маскерони для рѣшенія этой основной задачи да-
етъ два метода, которые, впрочемъ, могутъ быть сведены
одинъ къ другому:
і. методъ. Строятъ (фиг. 73) АС=л. АВ и описы-
ваютъ затѣмъ окружности А(В) и С(Л), въ результатѣ
чего получаютъ точки О и
О'; окружности О (А) и
О' (А) пересѣкаются въ точ-
кѣ X, для которой имѣетъ
* мѣсто равенство
АХ=~АВ .
Доказательство: Точ-
ка А", какъ явствуетъ изъ
симметріи всей фигуры, лежитъ на прямой АС.
Оба равнобедренныхъ треугольника АХО и АОС
подобны одинъ другому, такъ что
АХ: АО = АО: АС.
Такъ какъ при этомъ отрѣзокъ АО (равный АВ) ра-
веиъ--ДС, то
п
АХ=~АВ.
я. методъ. По прежнему строятъ отрѣзокъ АС (фиг.
74), равный л. АВ; затѣмъ описываютъ окружности А(В),
А(С), С(А) и С(Е), послѣд-
нюю — радіусомъ, равнымъ
А В. Если теперь вокругъ С
описать окружность радіу-
сомъ ЕО, то она пересѣ-
чется съ окружност&р
АВ.
зательство: На
чертежѣ прямая СХ параллельна прям^р^А, слѣдовательно,
§ іб. УМНОЖЕНІЕ И ДѢЛЕНІЕ ОТРѢЗКОВЪ. 97
и прямой АС] точка X, такимъ образомъ, есть точка пе-
ресѣченія окружности О (А) съ прямой АС, т. е. совпа-
даетъ съ точкой X, построенной по первому методу.
Если найденъ отрѣзокъ АХ, то повторнымъ его от-
кладываніемъ могутъ быть построены всѣ точки дѣленія
на данномъ отрѣзкѣ.
143. Раздѣлить отрѣзокъ АВ на двѣ, на четыре
равныя части, на восемь равныхъ частей и т. д.
Изъ предыдущаго пункта вытекаетъ, въ частности, спо-
собъ дѣленія отрѣзка на двѣ, на четыре равныя части, на
восемь равныхъ частей и т. д.
Маскерони даетъ еще два чрезвычайно изящныхъ ме-
тода для этой же цѣли:
С
і. методъ. Удваиваютъ отрѣзокъ АВ (фиг. 75), затѣмъ
описываютъ, какъ и прежде, окружности А (В), С (И),
О (А), О' (А) и получаютъ,
такимъ образомъ, (142) сере-
дину X отрѣзка АВ.
Если далѣе сдѣлать
АВ=АВ = ВО,
то окружности В\А) и В' (А)
пересѣкутся въ точкѣ У, ко-
торая является серединой от-
рѣзка ХВ.
Если затѣмъ построить
АС = АС' = ВВ,
то окружности С(А) и С'(А)
пересѣкутся въ серединѣ А
отрѣзка ХВ, и т. д.
Построеніе можетъ быть
число разъ.
Доказательство: X есть середина отрѣзка А/В
Поэтому, на основаніи леммы § 14, имѣемъ^^уиг. 75):
повторено неограничен^
АО2-\- ВО* = 2 АХ*-\-2 ХО*
Теорія геометрическихъ построеній.
98
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
Отсюда, если положить АВ равнымъ 5, слѣдуетъ, что
В1)~ = 4 з2.
Изъ подобія двухъ равнобедренныхъ треугольниковъ АВУ
и А СВ вытекаетъ:
АУ:АВ=АЕ:АС.
Но такъ какъ
АВ* = ВВ* = <5*
и
то получается:
т. е.
АС — 25 ,
ЛУ=<5,
ХУ=|5.
Такимъ образомъ,
Фиг. 76.
Если сдѣлать теперь
есть середина отрѣзка ХВ.
Если аналогично этому, съ
помощью леммы § 14, вычи-
слить длину отрѣзка
ВВ=АС,
то изъ подобія двухъ тре-
угольниковъ АСА и АСС по-
лучится для длины отрѣзка
УХ величина |5, и т. д.
2. методъ. Пусть АВ бу-
детъ отрѣзкомъ, подлежащимъ
дѣленію.
Строятъ АС—2 АВ (фиг. 76)
съ помощью окружностии
затѣмъ описываютъ ^(дружно-
сти А(В),А(С\ С(2))^^<имъ пу-
темъ получаютсяжотки Е, Е'.
ХЕ=ХВ св, Ду
то точка X будетъ серединой отрѣзц|С^.В.
§ іб. УМНОЖЕНІЕ И ДѢЛЕНІЕ ОТРѢЗКОВЪ.
99
Если далѣе сдѣлать
СЁ=СЁ=ВЕ
и
ЁУ=КУ=ВЁ,
то точка У будетъ лежать въ серединѣ отрѣзка ХВ.
Если затѣмъ сдѣлать
СЁ = СС7 =ВЁ
и
С2^О2=ВЁ,
то точка А будетъ серединой отрѣзка УВ, и т. д.
Доказательство: Изъ подобія двухъ равнобедрен-
ныхъ треугольниковъ ХЕС и САЕ (фиг. 76) слѣдуетъ:
ХС: СЁ=СЁ:АС.
Если положить АВ равнымъ 5, то
СЕ=СВ = зѴз,
и отсюда
хс=у,
т. е. точка X есть середина отрѣзка АВ.
Для того, чтобы доказать аналогичное свойство точки
У, мы вычислимъ сперва длину отрѣзка ВЕ\
Съ помощью леммы § 14 получается
АЕ2 + ЕС2 = 2 АВ? + 2^.
Замѣтивъ, что
АЁ = Ъ8, СЁ= ВС = 8Ѵ~^,
получимъ
ВЁ2 = СЁ>=^8\
Затѣмъ разсмотримъ два равнобедренныхъ треугольника
УРС и САЕ] изъ ихъ подобія слѣдуетъ:
УС: СЁ=СЁ:АС;
поэтому, подставивъ найденное значеніе для
что
Сг , падучимъ,
УС=%8,
т. е. точка У есть середина отрѣзка^
100
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
Для того, чтобы доказать аналогичное свойство точки
вычисляютъ сначала длину ВР съ помощью леммы § 14.
Изъ подобія треугольниковъ АСС и САС слѣдуетъ далѣе*
что т очка А есть середина отрѣзка ТВ, и т. д.
144. Раздѣлить отрѣзокъ на три равныя части.
И для этого случая Маскерони даетъ еще одно изящ-
ное построеніе, отличное отъ тѣхъ, ксторыя получаются по
общимъ методамъ:
Строятъ (фиг. 77) сначала АС — АВ=^ВВ\ затѣмъ
описываютъ окружности С(Д), С(/)), Р(С), Е>(А). Такимъ
путемъ получаются точки Е, Е и /, Е', Если сдѣлать теперь
ХЕ = ХВ = ТЕ= УР=СВ,
то точки X и У раздѣлятъ отрѣзокъ АВ на три р^вйыя
части.
Доказательство: Изъ подобія двухъ р;
ныхъ треугольниковъ СХЕ и СВЕ слѣдуетъ
н-
затѣмъ
СЕ = 2 АВ и СВ =
§17- СЛОЖЕНІЕ И ВЫЧИТАНІЕ ОТРѢЗКОВЪ.
101
поэтому
СХ—^АВ, такъ что АХ = ^АВ.
§ 17. Сложеніе и вычитаніе отрѣзковъ.
Построеніе параллелей и перпендикуляровъ.
145. Данный отрѣзокъ увеличить или уменьшить
на длину другого даннаго отрѣзка.
Пусть заданы (ихъ концами) отрѣзки АВ и СВ,
Отрѣзкомъ СВ, какъ радіусомъ, описываютъ вокругъ
точки А окружность К (фиг. 78) и пересѣкаютъ ее про-
извольной окружностью Кх, с
имѣющей центръ въ точкѣ В; _____ ,
такимъ путемъ получаются .А /\
точки Е, Е'; если раздѣлить / / \
пополамъ дугу ЕЕ' въ точ- / I \
кахъ Хи У, то отрѣзокъ ВХ I /
будетъ суммой данныхъ отрѣз- \ \ /
ковъ, а отрѣзокъ ВУ — ихъ х.
разностью.
146. Возставить перпен- Фиг- 78,
дикуляръ х въ точкѣ А къ
отрѣзку АВ, заданному его концами А и В, т. е.
найти нѣкоторую точку X этого перпендикуляра *).
Вокругъ точекъ А и В строятъ двѣ окружности одного
и того же, но произвольнаго радіуса; обозначимъ черезъ С
точку ихъ пересѣченія. Если теперь начертить окружность
С(В) и удвоить отрѣзокъ ВС, то получится точка X иско-
маго перпендикуляра; дѣйствительно, точка X лежитъ на
діаметрѣ окружности С(В), проходящей черезъ точки А иВ.
Если искомый перпендикуляръ долженъ имѣть данную
длину 5, то описываютъ вокругъ А (фиг. 79) радіусомъ
окружность К, затѣмъ пересѣкаютъ ее окружностью ВфА)
въ точкахъ В и Е. Если теперь построить такую то|ж^^ Е
окружиэсти К, которая лежала бы на одной пЖМой съ
*) При рѣшеніи всѣхъ этихъ задачъ, равно каіг
вавшихъ имъ, можно чертить лишь окружности,
ЛИНІИ. . А7У
прямыя
102
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
точками А и Е, то середина дуги ЕР и будетъ искомой
точкой X.
147. Опустить изъ точки Р перпендикуляръ на
прямую АВ.
Описываютъ окружности А (Р) и В (Р) (фиг. 8о). Вто-
рая точка пересѣченія X этихъ окружностей лежитъ на
Фиг. 79.
Фиг. 80.
В
искомой нормали и является отраженіемъ точки Р въ АВ.
р 148. Построить прямую, па'
раллельную данной и проходя-
> щую черезъ данную точку.
Пусть даны прямая АВ и точка
.. В Р’ Описываютъ изъ ТОЧІ<и Р окруж-
А ность радіусомъ АВ (фиг. 8і) и изъ
Фиг. 81. точки В окружность радіусомъ АР.
Точка X ихъ пересѣченія лежитъ на
искомой параллели.
§18. Построеніе пропорціональныхъ отрѣзковъ.
149. Требуется по тремъ отрѣзкамъ л, Ъ, с по-
строить четвертый пропорціональныя!, т. е. т^бй
отрѣзокъ а, который вмѣстѣ съ данными ^||разо-
валъ бы пропорцію
а : Ь = с : х.
Пропорція эта легко можетъ быть рѣшета съ помощью
одного только циркуля, какъ показываютъ^ слѣдующія раз-
сужденія:
§ і8. ПОСТРОЕНІЕ ПРОПОРЦІОНАЛЬНЫХЪ ОТРѢЗКОВЪ. . 103
Описываютъ вокругъ точки О (фиг. 82) двѣ концен-
трическія окружности и дѣлаютъ
Тогда
и поэтому
Отсюда:
АА' = ВВ'.
ЛАОА'^ЛВОВ'
ЛаОВ^ДА'ОВ'.
ОА:ОА' = АВ\ЖВ\
Такимъ образомъ, если описать концентрическія
окружности радіусами а и
нымъ с и отрѣзки АА\ ВВ'
извольному отрѣзку, то от-
рѣзокъ АВ и будетъ иско-
мымъ отрѣзкомъ х, удовле-
творяющимъ выше написан-
ной пропорціи.
Если отрѣзокъ с на-
столько великъ, что не мо-
жетъ быть сдѣланъ хордою
окружности О(Л), то вмѣ-
сто него берутъ отрѣзокъ
—, гдѣ п есть нѣкоторое
достаточно большое нату-
ральное число. При этомъ
въ результатѣ упомянутаго
построенія получается не
Ь, сдѣлать отрѣзокъ АВ рав-
равными одному и тому же про-
Фиг. 82.
отрѣзокъ X, но
X
11
150. Построить третій пропорціональный къ
двумъ отрѣзкамъ а и Ъ, т. е. рѣшить пропорцію
а\Ь = Ь\х.
Задача эта можетъ быть рѣшена по только что^жі-
занному методу. Но Маскерони даетъ еще одно оѣщеніе,
которое мы и приводимъ:
Вокругъ точки О описываютъ радіусомъ ^^ружность
(фиг. 83); на ней берутъ произвольную точкууЦ и описы-
ваютъ вокругъ нея радіусомъ Ь окружносп^^ВС, причемъ.
104
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
точка С опредѣляется такъ, чтобы дуга АС была полу-
окружностью.
При этомъ каждый изъ угловъ а, а' фигуры 83 допол-
няется угломъ 2/3 до
двухъ прямыхъ; слѣдовательно, углы
а и а' равны. Отсюда вытекаетъ, что
^СОХВ~ {\ВОХО.
Поэтому имѣетъ мѣсто проп рція:
а&\ВОе=ВОс~ВС
ИЛИ
а: Ь —Ъ: х.
Такимъ образомъ, отрѣзокъ ВС
есть третій геометрически пропорціо-
нальный къ двумъ отрѣзкамъ а и Ь 91).
151. Построеніе средняго гео-
метрически пропорціональнаго
отрѣзка.
Требуется рѣшить пропорцію а\х = х’.Ь.
Маскерони для рѣшенія этой задачи даетъ два раз-
личныхъ метода:
і. методъ. Пусть (фиг. 84) АВ = а и АС = Ь.
Отыскиваютъ середину Н отрѣзка ВС} затѣмъ точку
К такъ, чтобы выполнялось равенство КА = АН.
Если теперь описать
изъ точекъ Н и К окруж-
ности радіусомъ/®, то онѣ
пересѣкутся въ нѣкоторой
точкѣ X; отрѣзокъ ХА и
будетъ искомымъ среднимъ
геометрически пропорціо-
нальнымъ между двумя дан-
ными отрѣзками а и
Доказательство усматривается непосредственъ^0 такъ
какъ X лежитъ на полуокружности, которая имѣ^ь точку
Н своимъ центромъ, а отрѣзокъ а Ь своимѣ^^аметромъ.
2. методъ. Дѣлаютъ АВ = а и АС=Ъ^^ѵк. 85); да-
лѣе, дѣлятъ пополамъ отрѣзокъ АВ въ тоф<ѣ Н и строятъ
§ і8. ПОСТРОЕНІЕ ПРОПОРЦІОНАЛЬНЫХЪ ОТРѢЗКОВЪ.
105
Если теперь изъ точекъ Н и К описать окружности
радіусомъ НА , то онѣ пересѣкутся въ нѣкоторой точкѣ X.
Отрѣзокъ АХ есть иско-
мое геометрическое среднее;
въ самомъ дѣлѣ, точка X
лежитъ на полуокружности,
имѣющей Н своимъ цент-
ромъ и АВ — діаметромъ.
152. Произвести зо-
лотое дѣленіе отрѣзка
АВ.
Вокругъ точки В (фиг. 86) описываютъ окружность
радіусомъ АВ, находятъ вершины С, В, Е, В, С вписан-
наго шестиугольника и точ-
ку Н пересѣченія двухъ
окружностей А (/)), Е(С).
Если теперь построить
точку X такъ, что
ХО = ХЁ=ВН,
то точка X и произведетъ
золотое сѣченіе отрѣзка
АВ, такъ какъ отрѣзокъ ХВ
(согласно § 15, 2) есть сто-
рона вписаннаго въ окруж-
ность правильнаго десяти-
Фиг. 86.
угольника.
153. Извлеченіе квадратныхъ корней.
Если (фиг. 86) положить АВ =і, то
вн=у2, АВ=Ѵ^, ае=Ѵ4 = 2.
Если
далѣе отыскать такую точку М, что
МА^ МК — АВ,
то
Если
что
удлинить отрѣзокъ АЕ на АВ до то*йш.7Ѵ, такъ
ХБ= ХЁ=ВА,
106
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
ТО
7/7Ѵ=Гб,
гѵ Г7.
Если построить теперь точку А, какъ точку пересѣ-
ченія окружностей А (У7*) и Е (С), то
ЕН=Ѵ%,
АХ = Ѵэ,
Ш=Ѵю.
Замѣчаніе. Съ помощью найденныхъ нами корней
натуральныхъ чиселъ отъ і до іо легко можно построить
корни всѣхъ чиселъ до 36:
Если, напр., требуется найти 1/23, то полагаютъ
такъ что
23 25 - 2 ,
(]/23)г = 5г — (]<2 )2.
Если построить теперь прямоугольный треугольникъ,
у котораго гипотенуза равна 5, а одинъ изъ катетовъ —
|/*2 (катетъ можетъ быть построенъ, какъ выше указано),
то тѣмъ самымъ будетъ найденъ ^23.
154. Если извѣстны корни изъ чиселъ до 36, то можно
построить корни всѣхъ натуральныхъ чиселъ до 361 (это
утвержденіе обосновывается аналогично предыдущему).
Если требуется извлечь квадратный корень изъ (поло-
жительной раціональной) дроби, т. е. построить выраженіе
т
— , то полагаютъ
п
построить
і, у т и
Отсюда ясно, что для
четвертый геометрически пропорціональ
§ 19. ПЕРЕСѢЧЕНІЕ ПРЯМЫХЪ СЪ ОКРУЖНОСТЯМИ И ПРЯМЫМИ. 107
§19. Пересѣченіе прямыхъ линій съ окружностями и
прямыми; умноженіе и дѣленіе угловъ.
155. Опредѣлить точки пересѣченія начерчен-
ной окружности съ прямой, заданной двумя ея точ-
ками. Обозначимъ черезъ К данную окружность, черезъ
А, В — двѣ данныя точки прямой.
Строятъ (фиг. 87) отраженіе Кг окружности К въ пря-
мой АВ; К и Кх пересѣкутся
Если данная прямая
проходитъ черезъ центръ
окружности К, то изъ точки
А прямой описываютъ произ-
вольнымъ радіусомъ вспомога-
тельную окружность Н, кото-
рая пересѣчетъ окружность
К въ точкахъ В и В'. Если
раздѣлить пополамъ дугу ВВ',
то точки дѣленія X, У бу-
дутъ искомыми точками.
156. Опредѣлить точку
въ искомыхъ точкахъ Хи У.
Фиг. 87.
пересѣченія двухъ прямыхъ АВ и СВ, пользуясь лишь
описываніемъ окружностей. Каждая изъ этихъ прямыхъ за-
дана двумя ея точками.
Отражаютъ (фиг. 88) точки С и В въ прямой АВ\ та-
кимъ путемъ получаютъ прямую Сх Вх, которая также про-
ходитъ черезъ искомую
точку X. Если опредѣ-
лить теперь точку С" такъ,
что
СС" = ВВХ
и
В^"=ВС,
то отрѣзокъ ВХС'' будетъ
параллеленъ отрѣзку ВС,
слѣдовательно, имѣетъ
мѣсто пропорція
С
108
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
Если построить къ отрѣзкамъ С^С", СгС, СІВ1 четвер-
тый геометрически пропорціональный и отложить его отъ
точки Сх на прямой Сг Вѵ (задача 145), то и получится
искомая точка X.
157. Перенести уголъ.
Пусть уголъ а будетъ заданъ тремя точками А, В, С
(фиг. 89); пусть, сверхъ
того, будутъ даны точки
Еи В. Требуется опредѣ-
лить точку X такъ, чтобы
^ХЕВ=^:СВА.
Фиг. 89.
Треугольники АВС
и ВЕХподобны; поэтому
имѣютъ мѣсто слѣдующія пропорціи:
ХВ\ВЕ = СА\АВ
ХЕ\ВЕ=СВ\АВ.
Такимъ образомъ, отрѣзки ХВ и ХЕ могутъ быть по-
строены, какъ четвертые геометрически пропорціональные.
Отсюда затѣмъ ужъ получается точка X и уголъ а.
158. Данный уголъ повторить нѣсколько разъ
или раздѣлить пополамъ.
Пусть уголъ а снова будеть заданъ тремя точками
А , В, С (фиг. 90). Описываютъ
окружности В(А), В(С) и
дѣлаютъ
АС=СВ = ВЕ =.....
Тогда
Для дѣ^ыОпя угла по-
поламъ можно примѣнять различные спо^юы, напр., слѣ-
дующій:
§ 20. ПРИМѢНЕНіе ПРИНЦИПА ОБРАТНЫХЪ РАДІУСОВЪ. 109
Снова описываютъ окружности В(А) и В(С), опредѣ-
ляютъ точку Р, дѣлятъ пополамъ дугу АВ въ точкѣ Е и
дугу АЕ—въ точкѣ X.
§ 20. Примѣненіе принципа обратныхъ радіусовъ къ рѣше-
нію геометрическихъ задачъ на построеніе второй степени
съ помощью одного только циркуля *).
Построенія, данныя Маскерони, чрезвычайно изящны,
но часто получаются столь искусственнымъ путемъ, что
при чтеніи объемистаго его сочиненія (изъ котораго выше-
изложенное представляется лишь краткимъ извлеченіемъ)
естественно появляется желаніе найти общій принципъ
для полученія такихъ же или имъ подобныхъ построеній.
Это достигается съ помощью принципа обратныхъ ра-
діусовъ, какъ будетъ показано въ послѣдующемъ изло-
женіи:
і. Построеніе обратной точки съ помощью одного
лишь циркуля.
Если К есть окружность радіуса г и Р—произволь-
ная точка, лежащая въ плоскости этой окружности, то, какъ
извѣстно (стр. 36), обратная ёй точка Р' лежитъ въ пере-
сѣченіи центральной линіи РО съ полярой точки Р въ отно-
шеніи окружности К.
При этомъ имѣетъ мѣсто равенство:
ОР-ОР = Р.
Если точка Р описываетъ прямую линію, то обратная
ей точка Р' движется по окружности, проходящей черезъ
центръ О основной окружности К\ если же точка Р опи-
сываетъ нѣкоторую окружность А , то Р’ также описываетъ
окружность А', расположенную въ отношеніи А такъ, что
О есть внѣшній центръ подобія обѣихъ окружностей.
Для нашей цѣли необходимо построить съ помимо
циркуля по точкѣ Р обратную ей точку Р'. Этогр-дюжно
достичь слѣдующимъ путемъ:
*) А. Асііег, „2иг ТЬеогіе дег Мазсйегопія-б^еп Копзігик-
ііопеп“, АѴіепег Акадетіе, Всі. ХСІХ, АЬг II а,
110
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
Описываютъ окружность Р(О) (фиг. 91), которая пе-
ресѣчетъ К въ точкахъ и 52; окружности 5\(0) и
32(0) пересѣкутся другъ съ другомъ (кромѣ О) еще въ
нѣкоторой точкѣ Р , которая и будетъ обратной точкѣ Р
въ отношеніи окружности К.
Именно, вслѣдствіе симметріи фигуры, точка Р' лежитъ
на линіи ОР. Изъ подобія же двухъ равнобедренныхъ тре-
угольниковъ 8х0Р' и Р8ѵ0 выте-
каетъ сверхъ того, что
I I \ ОР- 0Р=Р д. е. а.
1 I Р Построеніе это примѣнимо
\ \ ) всякій разъ, когда точка Р лежитъ
\ / внѣ окружности; для точекъ же
внутри окружности лишь тогда,
2 когда разстояніе ихъ отъ центра
больше половины радіуса. Какъ
поступать въ томъ случаѣ, когда это не имѣетъ мѣста,
будетъ показано позже.
2. Построеніе центра той окружности, которая
•отвѣчаетъ данной прямой или данной окружности
при инверсіи относительно К.
а) Искомый центръ М окружности С, отвѣчающей
прямой § (фиг. 92), получится, если построить сначала от-
§ 20. ПРИМѢНЕНІЕ ПРИНЦИПА ОБРАТНЫХЪ РАДІУСОВЪ.
111
Доказательство: Если Р и Р суть точки пересѣче-
нія прямой ОМ съ прямою и окружностью С', то
0М = ^0Р,
слѣдовательно,
ОМ' = г ОР,
какъ это прямо вытекаетъ изъ соотношенія
ОМ • ОМ' = ОР * ОР.
Прямая § можетъ быть задана двумя ея точками, такъ
какъ ихъ уже достаточно (147) для построенія отраженія
М' точки М.
Ь) Если окружности А и А' будутъ взаимно обратными
въ отношеніи окружности К, и черезъ точку О провести
къ обѣимъ окружностямъ общую касательную, то ея точки
касанія 2, 01 (фиг. 93) должны быть взаимно обратными въ
отношеніи окружности К.
Если теперь провести 01М перпендикулярно къ этой -
касательной и 00' перпендикулярно къ центральной линій?
окружностей, то треугольники ООО' и ОО'М будутт^лю-
добны. Отсюда слѣдуетъ, что ^5^
ОМ: 00=00 : 00',
такъ что
ОМ • ОО
112
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
Такимъ образомъ, точки О'и М будутъ взаимно обрат-
ными въ отношеніи окружности К.
Теперь, какъ это ясно изъ чертежа, О есть точка, об-
ратная точкѣ О относительно окружности А, а М есть
центръ окружности А'.
Итакъ, для того, чтобы получить точку М, слѣ-
дуетъ разыскать точку О', обратную точкѣ О отно-
сительно данной окружности А, а затѣмъ точку М,
обратную найденной точкѣ О1 въ отношеніи основ-
ной окружности К.
3. Общій методъ рѣшенія геометрическихъ за-
дачъ на построеніе съ помощью одного лишь цир-
куля.
Пользуясь тѣмъ, что было изложено въ пунктахъ
і и 2, можно не только доказать, что всѣ геометрическія
задачи на построеніе второй степени разрѣшимы однимъ
циркулемъ, но и дать методъ, съ помощью котораго ихъ
рѣшеніе можетъ быть получено:
Каждое выполненное построеніе второй степени даетъ
фигуру, составленную изъ прямыхъ линій и окружностей;
фигура, ей обратная относительно нѣкоторой окружности
К, принятой за основную, будетъ состоять лишь изъ однѣхъ
окружностей, которыя легко могутъ быть построены (со-
гласно пункту 2) съ помощью одного лишь циркуля.
Такъ какъ, сверхъ того, построеніе, служащее для пе
рехода отъ точки Р къ обратной ей точкѣ Р', также мо-
жетъ быть выполнено (см. пунктъ і) съ помощью одного
лишь циркуля, то сказанное выше даетъ ужъ методъ, по-
средствомъ котораго могутъ быть рѣшены однимъ цирку-
лемъ всѣ конструктивныя задачи второй степени.
Именно, если требуется рѣшить нѣкоторую геометри-
ческую задачу помощью одного лишь циркуля, то слѣзетъ
представить себѣ эту задачу рѣшенной обыкнощ^ными
средствами, благодаря чему передъ умственнымт^ійоромъ
явится нѣкоторая фигура Р, состоящая изъ ітдаыхъ линій
и окружностей.
Теперь слѣдуетъ провести по возможйж^ги болѣе подхо-
дящую основную окружность К и затЪг^йостроить фигуру
р\ обратную фигурѣ Р въ отношеніицпМНаконецъ, строятъ
§ 20. ПРИМѢНЕНІЕ ПРИНЦИПА ОБРАТНЫХЪ РАДІУСОВЪ. 113
обратное изображеніе того образа, который принимается за
результатъ на полученной такимъ путемъ фигурѣ Р', что и
приводитъ къ искомому результату.
Всѣ встрѣчающіяся при этомъ построенія могутъ быть
выполнены съ помощью одного лишь циркуля. Окружность
К слѣдуетъ при этомъ выбирать возможно болѣе удобной.
Въ большинствѣ случаевъ надлежитъ разложить всю
задачу на нѣсколько частей, изъ которыхъ каждая рѣша-
ется согласно вышесказанному.
4. Замѣчанія.
а) Пользуясь вышеизложеннымъ, мы разсмотримъ теперь
задачу: Раздѣлить отрѣзокъ АВ на п равныхъ ча-
стей.
Съ этой цѣлью повторимъ п разъ отрѣзокъ АВ, въ
результатѣ чего получимъ точку С, и построимъ затѣмъ
точку X, обратную точкѣ С относительно окружности А(В).
Тогда
АХ = -АВ,
п '
ибо
АХ-АС = А&.
Легко замѣтить, что это построеніе есть въ точности
то самое, какое для этой цѣли далъ Маскерони.
Ь) Мы должны еще показать (§ 20, і), какъ найти
точку, обратную точкѣ Р, если Р лежитъ внутри
круга К и разстояніе ея отъ центра меньше —.
Съ этой цѣлью мы прежде всего множимъ отрѣзокъ
ОР на цѣлое число и, выбранное такъ, чтобы полученная
въ результатѣ точка Рх отстояла отъ О дальше, чѣмъ
на—. Теперь построимъ точку Р[, обратную точкѣ Рп
и умножимъ отрѣзокъ ОРХ на п. Найденная такимъ путе^
точка Р' будетъ обратной точкѣ Р, что вытекаетъ из^^а-
венства:
0Р-0Р'=0Р-ОР'
с) Указанное выше (§ 20, і) построеніе обратной точки
СЪ ПОМОЩЬЮ ОДНОГО ЛИШЬ ЦИркуЛЯ ГірОІЦ^Чб^ЫЧП ЯГО ПО-
Теорія ГЕОМЕТРИЧЕСКИХЪ ПОСТРОЕНІЙ.
8
114
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
строенія съ помощью прямыхъ линій; оно непосредственно
показываетъ основное значеніе принципа обратныхъ ра-
діусовъ для всего, что касается окружности:
Въ самомъ дѣлѣ, если желаютъ создать Геометрію
циркуля, къ чему стремится Маскерони въ своемъ трудѣ,
то вѣдь необходимо начать съ вычерчиванія окружности; послѣ
этого проще всего будетъ присоединить еще точку Р и
начертить опредѣленную ею окружность; почти невольно
приходишь къ нашему по-
строенію, какъ самому про-
стому изъ всѣхъ возмож-
ныхъ.
Если взять точку Р на
самой окружности (фиг. 94),
то получается еще одно
простое построеніе:
Именно, если Р есть
точка окружности К и если
описать окружность О (Р) = Кх, при чемъ есть произволь-
ная точка окружности 7Г, то получится точка 7?; если
теперь пересѣчь Кх окружностью Р(7?), то получится точка
5, и можно показать, что прямая ЗР есть касательная къ
окружности К въ точкѣ Р.
Въ самомъ дѣлѣ, прямая РО есть центральная линія
обѣихъ окружностей Кх и Р(К)\ поэтому
а такъ какъ и
ибо
-^7 = ^Р,
Рй=ак,
то
такъ что прямая РЗ есть касательная къ окружйш^и К въ
точкѣ Р.
Это построеніе—наиболѣе простое изъ^ѣхъ, которыя
могутъ быть выполнены съ помощью преяденія окружно-
стей; кромѣ данной окружности , онѳ\^ребуетъ проведе-
нія только двухъ окружностей.
§ 20. ПРИМѢНЕНІЕ ПРИНЦИПА ОБРАТНЫХЪ РАДІУСОВЪ. 1 15
ф При рѣшеніи геометрическихъ задачъ на по-
строеніе съ помощью одного только циркуля можно
слѣдовать и по совершенно иному пути:
Штейнеръ, какъ мы знаемъ (глава II), показалъ, что
всѣ геометрическія задачи могутъ быть рѣшены съ помощью
проведенія однѣхъ лишь прямыхъ линій, коль скоро въ
плоскости чертежа дана окружность К и ея центръ О.
Если представить себѣ теперь задачу рѣшенной по
ПІтейнерову способу, то получится фигура, состоящая,
кромѣ окружности К, только изъ прямыхъ линій.
Если теперь принять К за окружность инверсіи и
построить фигуру, обратную полученной, то она будетъ
состоять только изъ окружностей, которыя, за исключеніемъ
К, всѣ проходятъ черезъ точку О.
Такъ какъ переходъ отъ Штейнеровой фигуры къ ей
'обратной можетъ быть выполненъ съ помощью одного лишь
циркуля, то мы
Не только
рони, рѣшить
второй степени
лемъ, но можно даже поставить еще условіемъ, чтобы всѣ
входящія въ построеніе окружности, за исключеніемъ
одной изъ нихъ, про-
ходили черезъ одну
и ту же произвольно
выбранную точку.
Такимъ образомъ,
не только можно каждое
геометрическое построе-
ніе выполнить, проводя
однѣ лишь окружности,
но можно и эти окруж-
ности подчинить огра-
ниченіямъ.
Задачи для упраж-
ненія.
159. Построеніе центра X начерченной шфужности К.
і. методъ (по Маскерони).
Берутъ на окружности К точку ^^<ф^г. 95), описы-
убѣждаемся въ слѣдующемъ:
возможно, какъ это показалъ еще Маске-
всѣ геометрическія конструктивныя задачи
при исключительномъ пользованіи цирку-
Фиг. 95.
8*
П6
ГЛАВА ЦІ. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
ваютъ произвольнымъ радіусомъ АВ окружность Н и опре-
дѣляютъ точку С такъ, чтобы дуга ВС была полуокруж-
ностью.
Радіусомъ СВ описываютъ вокругъ точекъ А и С окруж-
ности, которыя пересѣкаются въ точкѣ Е, и строятъ на Н
точку Р такъ, что
РЕ=~СВ.
Отрѣзокъ ВР будетъ искомымъ радіусомъ окружно-
сти К.
Доказательство:
^ВАЕ=^АСЕ-\-^АЕС=^РАЕу^РАВ,
а такъ какъ
ВАСЕ^ВАЕЕ,
то
^РАВ = ^РЕА,
поэтому
ВАВР^кАРЕ',
отсюда вытекаетъ, что
ВР\АР = АР\АЁ,
или
ВХ: АВ = АС: СВ,
при чемъ X опредѣляется такъ, что
ВХ = А~Х = ВР.
Изъ послѣдней пропорціи вытекаетъ, что
Вавх^Вавс.
Отсюда далѣе получается:
^ВАХ=^АСВ = ±^ВАВ,
а это даетъ намъ, наконецъ, возможность заклю
В ВАХ^ЛАХВ; Уу
такимъ ооразомъ,
АХ=ВХ=ВХ,
т. е. точка X есть искомый центі
§ 20. ПРИМѢНЕНІЕ ПРИНЦИПА ОБРАТНЫХЪ РАДІУСОВЪ. 117
2. методъ. Рѣшеніе съ помощью принципа обрат-
ныхъ радіусовъ.
Берутъ на окружности К центръ инверсіи О и опи-
сываютъ вокругъ него произвольнымъ радіусомъ окруж-
ность инверсіи Н, лишь бы только она пересѣкла окруж-
ность К въ двухъ точкахъ А, В.
Прямой АВ (фиг. 96) при инверсіи относительно Н
отвѣчаетъ тогда окружность К.
Если сообразно съ задачей 147 построить точку С,
симметричную точкѣ О относительно АВ у и точку X, об-
ратную точкѣ С относительно /7, то X и будетъ искомымъ
центромъ окружности К.
ібо. Даны три точки А, В, С окружности; тре-
буется построить ея центръ.
При рѣшеніи этой задачи можно слѣдовать тому же
принципу, что и при рѣшеніи послѣдней задачи:
Съ помощью инверсіи преобразуютъ окружность К въ
прямую а затѣмъ, обратно, отыскиваютъ центръ той
окружности, которая при этой
инверсіи отвѣчаетъ прямой
Съ этой цѣлью принимаютъ
точку А за центръ инверсіи,
окружность А(В) — за окруж-
ность инверсіи Н и строятъ
сначала точку В, которая отвѣ-
чаетъ С относительно Н по
принципу обратныхъ радіусовъ.
Тогда ВВ есть та именно
прямая обратнымъ изобра-
женіемъ которой относительно
Н является данная окружность
К. Теперь строятъ отраженіе Е
точки А въ прямой § и точку X, обратную Е относителі^&ТУ.
Точка X и будетъ искомымъ центромъ^жруж-
ности АВС.
ібі. Приближенное выпрямленіе окружности.
Маскерони даетъ для приближенно*^ выпрямленія
четвертой части окружности (т. е. для гфйолиженнаго опре-
Фиг. 96.
118
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
дѣленія -^) простои и практически очень цѣнный методъ.
Если (фиг. 71) начертить
АВ = ВС=СП = АО
и описать окружности А(С) и В>(В), то въ пересѣченіи
ихъ получится точка С; если сдѣлать
ВТ=ВС.
то отрѣзокъ АТ приблизительно будетъ равенъ четвертой
части окружности.
Доказательство: Если АО=і, то 06 = ]/Г2; такъ
какъ ВС=і, то изъ треугольника ВСО слѣдуетъ, что
/?С = |/3 —16.
Въ треугольникѣ АВГуголъ АВТ= 30°, сторона АВ = г
и сторона ВТ= ]/ д у 6
Если обозначить длину отрѣзка А 7'черезъ т, то имѣетъ
мѣсто равенство:
і—У2Ц-(3—у 6) — 2х |/з—]/б со8 30°
1 =*2 + з — Ѵб — X \'э — 3]/б.
Отсюда получается:
А- = |(р9 —з]/б+ |/і+]/б) = 1-5712....
Такъ какъ Г5708...., то четвертая часть окружно-
сти найдена съ точностью до первыхъ трехъ десятичныхъ
знаковъ.
Разница между результатомъ, найденнымъ построе-
ніемъ, и вычисленнымъ значеніемъ состава
то есть, напримѣръ, Е Піш, если радіусъ
зультатъ этотъ вполнѣ достаточенъ для
могущихъ встрѣтиться на практикѣ.
§ 21. Построенія при одномъ раст^^7циркуля.
і. Мы видѣли выше, что всѣ ^Оачи на построеніе,
которыя обыкновенно рѣшаются ^йнркулемъ и линейкой,
§ 21. ПОСТРОЕНІЯ ПРИ ОДНОМЪ РАСТВОРЪ ЦИРКУЛЯ. 119
могутъ быть строго разрѣшены съ помощью проведенія
однѣхъ лишь окружностей и что можно даже подчинять
проводимыя окружности нѣкоторымъ условіямъ.
Мы знаемъ также, что построенія, совершаемыя съ по-
мощью одного лишь циркуля, имѣютъ особенный практи-
ческій интересъ, такъ какъ циркуль является го-
раздо болѣе точнымъ чертежнымъ инструментомъ,
чѣмъ линейка.
Для практическихъ цѣлей было бы наиболѣе удоб-
нымъ, если бы всѣ проводимыя окружности имѣли одинъ и
тотъ же радіусъ, т. е. если бы всѣ построенія выполнялись
однимъ циркулемъ при одномъ его растворѣ.
2. Канторъ (Сапіог) въ своей книгѣ „Сезсѣісіііе
сіег МаіЬешаіік", стр. 383, считаетъ несомнѣннымъ, что
грекамъ была извѣстна Геометрія одного раствора
циркуля; далѣе, Канторъ упоминаетъ и о томъ, что
значительная часть сочиненія „Книга геометрическихъ
построеній" арабскаго математика АЬй ХѴаГа посвящена
рѣшенію задачъ при одномъ растворѣ циркуля.
3. Если пытаться рѣшить геометрическія основныя за-
дачи при помощи циркуля съ постояннымъ растворомъ,
не проводя при этомъ прямыхъ линій, то окажется, что хотя
можно увеличивать отрѣзки въ цѣлое число разъ, но
нельзя ихъ дѣлить.
Такимъ образомъ, невозможно выполнить всѣ гео-
метрическія построенія съ помощью этого ограниченнаго
средства рѣшенія, не проводя ни одной прямой линіи.
Иначе обстоитъ дѣло, если, кромѣ циркуля съ по-
стояннымъ растворомъ, допускается и односторон-
няя линейка. Тогда всѣ задачи на построеніе могутъ быть
разрѣшены этими ограниченными средствами, ибо по тео^
ремѣ Штейнера достаточно и одной окружности для
чтобы разрѣшить всѣ задачи на построеніе второй ст^ёни
проведеніемъ однѣхъ лишь прямыхъ линій. х
Геометрія одного раствора циркуля дш^^ быть
поэтому понимаема только въ томъ смыслѣ, чт^допускается
и проведеніе прямыхъ линій, при чемъ дѣлаетъ построенія
возможно болѣе простыми.
120
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНІЯ МАСКЕРОНИ.
162. Допустимъ, что даны два циркуля съ различными,
но постоянными растворами; какія задачи можно рѣшить
съ ихъ помощью, если проводить только дуги окружностей
и не проводить ни одной прямой линіи?
IV. ГЛАВА.
Построенія, совершаемыя при помощи линейки съ
параллельными краями (двѣ параллельныя прямыя
на постоянномъ разстояніи); построенія, совер-
шаемыя съ помощью подвижного прямого угла;
построенія, совершаемыя съ помощью произволь-
наго подвижного угла; построенія, совершаемыя
съ помощью линейки и постояннаго отрѣзка
(эталона длины); построенія, совершаемыя съ по-
мощью биссектора.
§ 22. Введеніе.
і. Строгія и приближенныя рѣшенія геометри-
ческихъ задачъ на построеніе.
Обыкновенно говорятъ: „Геометрическая задача
на построеніе можетъ быть рѣшена строго, если для
ея рѣшенія необходимо только описывать окружно-
сти и проводить прямыя въ конечномъ числѣ, и если
при идеальномъ совершенствѣ инструментовъ рѣ-
шеніе было бы точно".
Наоборотъ, говорятъ о приближенномъ рѣшеніи
задачи, если даже при идеально совершенныхъ инструментахъ^
избранный путь не можетъ привести къ математически
ному рѣшенію задачи или если ея рѣшеніе требу^й^не-
ограниченнаго числа построеній.
Эти замѣчанія важны для слѣдующаго :
Пусть будетъ дана задача: „На прямой дѴ^буется по-
строить точку X такъ, чтобы изъ нея гданныйХ>трѣзокъ АВ
былъ виденъ подъ прямымъ угломъ" ; рѣшёшеея можетъ быть
122 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРЪЗОКЪ.
получено, если приложить къ точкамъ А и В подвижной
прямой уголъ (напр., изъ дерева) и передвигать его до тѣхъ
поръ, пока вершина угла не коснется прямой
Обыкновенно рѣшаютъ задачу другимъ путемъ; тѣмъ
не менѣе, если поступить вышеуказаннымъ образомъ, то
точка X при этомъ будетъ найдена никакъ не прибли-
женно, ибо при идеальномъ совершенствѣ употребленнаго
инструмента точка X получилась бы вполнѣ точно.
Правда, прямой уголъ необходимо нѣкоторое время
передвигать, пока онъ не придетъ въ надлежащее положе-
ніе; но это обстоятельство отнюдь не дѣлаетъ нашего по-
строенія приближеннымъ, ибо и при соединеніи двухъ
точекъ прямою приходится нѣкоторое время пере-
двигать линейку, пока она не приметъ надлежащаго
положенія 92).
2. Основныя операціи.
а) Изъ разсмотрѣнія Штейнеровыхъ построеній
(стр. 84) мы знаемъ, что съ помощью проведенія прямыхъ
линій и окружностей могутъ быть непосредственно вы-
полнены только слѣдующія шесть основныхъ операцій:
і. проведеніе прямыхъ линій, 2. опредѣленіе точки пе-
ресѣченія проводимой прямой съ уже начерченной, 3. опре-
дѣленіе точекъ пересѣченія проводимой прямой съ уже начер-
ченной окружностью, 4. описываніе окружности, 5. построе-
ніе точекъ пересѣченія проводимой окружности съ начер-
ченной уже прямой, 6. построеніе точекъ пересѣченія про-
водимой окружности съ уже начерченной.
Если средства рѣшенія ограничены, то необхо-
димо показать, что съ ихъ помощью могутъ быть выпол-
нены упомянутыя выше шесть основныхъ операцій 93).
Ь) Въ настоящей главѣ всегда будетъ допускатьсял^ю-
веденіе прямыхъ линій. о
Слѣдователи^, задачи і и 2 могутъ быть <^йосред-
ственно разрѣшены; рѣшеніе задачи 4 безъ циркуля можетъ
быть произведено лишь по точкамъ 94). ТашшѢ образомъ,
остаются только задачи 3, 5, 6, которыя,\Жкъ было пока-
зано выше (стр. 85), могутъ быть сведеномъ одной задачѣ,
а именно:
§ 22. ВВЕДЕНІЕ.
123
А) „Дана прямая, сверхъ того задана окруж-
ность ея центромъ и радіусомъ; требуется постро-
ить точки пересѣченія прямой съ окружностью".
Для того, чтобы доказать, что предложеннымъ сред-
ствомъ рѣшенія могутъ быть выполнены всѣ построенія,
нужно лишь обнаружить, что съ его помощью можетъ быть
рѣшена главная задача А.
с) Тогда съ помощью нашего ограниченнаго средства
рѣшенія можно было бы разрѣшить каждую произвольно
предложенную задачу, слѣдуя шагъ за шагомъ за ея рѣше-
ніемъ, совершаемымъ при неограниченномъ пользованіи
циркулемъ и линейкой, но выполняя каждую изъ примѣнен-
ныхъ операцій лишь при помощи даннаго средства рѣшенія.
Однако такого рода методъ во многихъ случаяхъ не
заслуживаетъ предпочтенія, такъ какъ многія изъ наиболѣе
простыхъ и наиболѣе часто встрѣчающихся конструктив-
ныхъ задачъ (такъ называемыя, элементарныя геометриче-
скія задачи) могутъ быть съ помощью нашего средства рѣ-
шенія легче разрѣшены другимъ путемъ, нерѣдіф даже бо-
лѣе просто, чѣмъ циркулемъ и линейкой.
3. Элементарныя задачи.
Поэтому удобнѣе сначала заняться рѣшеніемъ этихъ
элементарныхъ задачъ, тѣмъ болѣе, что на нихъ основы-
вается и рѣшеніе главной задачи А.
Этими элементарными задачами являются (по Штей-
неру, „Оеопіеігізсѣе Копзігикііопеп, аиз^еійЬгі тіііеіз сіег
§'егас1еп Еіпіе ипсі еіпез іезіеп Кгеізез") слѣдующія :
а) „Провести параллельную прямую";
Ь) „повторить произвольное данное число разъ
отрѣзокъ, длина котораго дана, или раздѣлить его
на произвольное число равныхъ частей";
с) „провести взаимно перпендикулярныя пря^
мыя"; ° °
сі) „данный уголъ раздѣлить пополамъ иіф'по-
вторить произвольное число разъ";
е) „Черезъ данную точку провести п^мую, ко-
торая съ данной прямой образовала бй^'олъ, рав-
ный нѣкоторому данному по величинѣ^и положенію
углу";
124 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРЪЗОКЪ.
I) „провести отъ данной точки въ произволь-
номъ направленіи отрѣзокъ, равный нѣкоторому
данному по величинѣ и положенію отрѣзку".
Въ настоящей главѣ мы постоянно будемъ прежде всего
указывать рѣшенія этихъ задачъ, а затѣмъ уже главной
задачи А.
§ 23. Геометрическія построенія, выполняемыя съ помощью
линейки о двухъ параллельныхъ краяхъ (двѣ параллельныя
прямыя на постоянномъ разстояніи а) 95).
а) Въ результатѣ получится, что съ помощью
линейки о двухъ параллельныхъ краяхъ могутъ
быть строго разрѣшены всѣ конструктивныя гео-
метрическія задачи второй степени и что встрѣчаю-
щіяся при этомъ построенія иногда даже проще, чѣмъ обыч-
ныя, совершаемыя съ помощью циркуля и линейки.
Ь) Мы должны прежде всего съ помощью одной
только линейки о двухъ параллельныхъ краяхъ раз-
рѣшить Штейнеровы элементарныя задачи.
При этихъ построеніяхъ мы часто будемъ пользоваться
теоремой о трапеціи (стр. 76).
163. „Провести параллель" (построеніе такое же,
какъ на фигурѣ 55).
164. „Данный по величинѣ отрѣзокъ повторить
нѣсколько разъ или раздѣлить" (рѣшается такъ же,
какъ на фигурѣ 56).
165. „Провести взаимно перпендикулярныя пря-
мыя."
Даны прямая & и
на ней точка Р; тре-
буется въ точкѣ Р
возставить перпен-
дикуляръ къ
Проводятд^ёрезъ
Р ПрЯМуЮ(^фИГ. 97)
и дважтайіриклады-
вают^Якъ ней ли-
нейку; затѣмъ помѣщаютъ линейку въ тонкости чертежа
такъ, чтобы одинъ ея край проходилъ <^фезъ Р, а другой—
черезъ Л (фиг. 97). Прямая РВ есть ижліый перпендикуляръ.
§ 23. ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ ДВУХСТОРОННЕЙ ЛИНЕЙКИ. 125
Прямая к выбирается такъ, чтобы точка А достаточно
далеко отстояла отъ точки Р.
Само построеніе, согласно § 22, і настоящей главы, ни
въ какомъ случаѣ не является приближеннымъ, ибо при
идеальномъ совершенствѣ употребленнаго инструмента ре-
зультатъ получился бы
вполнѣ точнымъ.
ібб. „Раздѣлить по-
поламъ или повторить
нѣсколько разъ дан-
ный уголъ."
Если требуется раз-
дѣлить пополамъ уголъ
М81Ѵ, то поступаютъ
такъ, какъ указано на
фигурѣ 98 (черезъ а обо-
значена ширина линейки).
Построеніе проще
обычнаго, совершаемаго съ по-
мощью циркуля и линейки (односторонней).
Для того, чтобы удвоить уголъ М8^ (фиг. 99), при-
кладываютъ сначала линейку къ прямой 8М и получаютъ
такимъ образомъ точку Р;
затѣмъ помѣщаютъ линейку
такъ, чтобы одинъ ея край
проходилъ черезъ точку Р, а
другой черезъ Точку 5 (фиг. 99).
Фигура 80РК есть ромбъ.
167. „Провести черезъ
точку Р прямую х такъ,
чтобы она съ данной пря-
мой I составляла уголъ,
равный углу А8В,
женію."
Строятъ прямую
биссектрису к угла ЛЗЬ
Фиг. 99.
пол
заданному по величинѣ
и
8Ь'У параллельную I (фиг.
если затѣмъ сдѣлать <5^
и
126 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРѢЗОКЪ.
то прямыя 5 У' п 5 А' будутъ
мымъ.
і68. „Даны прямая
зокъЛВ; требуется на $
чтобы МХ = АВ.“
параллельны искомымъ пря-
на ней точка М и отрѣ-
построить точку А такъ
На фигурѣ юі прямая // есть биссектриса угла АГМ§\
прямая А'Х параллельна А.
с) Покончивъ съ элементарными построеніями, мы
обращаемся къ рѣшенію главной задачи А.
Пусть будетъ дана прямая
требуется
прямой
М, какъб
о- (фиг. 102) И фгрѣ-
П(^ффОИТЬ
Йг о круи-
зъ центра,
зонъ МА, параллельный <§;
точки Хх и пересѣченія
ностью, описанной изъ точки
радіусомъ МА *).
*) Если радіусъ окружности заданъ въ Одъ произвольнаго от-
рѣзка, то, съ помощью задачи 167, можнодіровМдтрадіусъ параллельно §
§ 23- ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ ДВУХСТОРОННЕЙ ЛИНЕЙКИ. 127
Прикладывая линейку къ прямой МА , получаютъ пря-
мую (фиг. 102); теперь проводятъ произвольную прямую
МВ, которая пересѣчетъ § въ точкѣ В, а &—въ точкѣ В',
и затѣмъ проводятъ прямую А’В' параллельно прямой АВ.
Если теперь помѣстить линейку въ плоскости чертежа
такъ, чтобы одинъ изъ ея краевъ проходилъ черезъ М} а
другой—черезъ А’, что возможно сдѣлать двумя различ-
ными способами, то и получатся искомыя точки Хг и Ат2.
Доказательство: Фигуры МА’ВХ2 и МА'СХ[ суть
ромбы. Х[ и Х% являются точками пересѣченія прямой^' съ
окружностью /И(Л'), слѣдовательно, точки Х{ и А"2 лежатъ
въ пересѣченіи прямой $ съ концентрической окружностью
М(А).
б) Построеніе точекъ пересѣченія двухъ окруж-
ностей можетъ быть сведено къ предыдущей задачѣ со-
вершенно такъ же, какъ это сдѣлано на стр. 85.
е) Такимъ образомъ, мы строго доказали, что съ
помощью линейки о двухъ параллельныхъ краяхъ
(двѣ параллельныя прямыя на постоянномъ разстояніи)
можно рѣшить каждую задачу на построеніе второй
степени, и видѣли также, что рѣшенія совсѣмъ несложны^
иной разъ даже проще обыкновенныхъ.
Эти построенія имѣютъ практическое значеніе длй|^и-
лемѣрія.
Задачи для упражненія.
169. Данъ треугольникъ; требуется съ щ^гощыо ли-
нейки о двухъ параллельныхъ краяхъ посадить центры
вписаннаго и описаннаго круговъ.
128 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРЪЗОКЪ.
170. Данъ отрѣзокъ АВ, меньшій, чѣмъ разстояніе а
между краями линейки; требуется въ точкѣ А возставить
къ отрѣзку АВ перпендикуляръ. (Умножаютъ отрѣзокъ АВ
на достаточно большое число.)
171. Даны двѣ точки А \\В. Употребляемая для построе-
нія линейка слишкомъ коротка для того, чтобы можно было
непосредственно провести прямую, соединяющую эти точки;
требуется, тѣмъ не менѣе, построить точку X, лежащую
на прямой АВ.
Проводятъ черезъ В двѣ прямыя линіи а и Ь (фиг. 103).
Обѣ линіи, въ случаѣ надобности, помощью повторнаго
приложенія линейки, могутъ быть сколь угодно продолжены
въ сторону точки А; если теперь провести прямыя с, <7, е
и построить прямую е' параллельно с' параллельно с, б/'
параллельно </, то точка X будетъ принадлежать прямой АВ.
Слѣдовательно, прямую, соединяющую точки А и В,
можно начертить и съ помощью короткой линейки.
Вообще каждая изъ вышеприведенныхъ задачъ
разрѣшима также и съ помощью короткой линейки.
172. Замѣчательный методъ для рѣшенія геометриче-
скихъ задачъ съ помощью линейки о двухъ параллель-
ныхъ краяхъ можетъ быть заимствованъ изъ построеній
Штейнера, какъ это указываетъ Ф. Энрикесъ ^^Епгі-
С|ие8) на 267 стр. его „Лекцій по проектившДІХ еомет-
ріи“ (на нѣм. яз. перев. Эг. Флейшеръ, ЛеЖщигъ, 1903).
а) Съ помощью линейки о двухъ пар^^юльныхъ кра-
яхъ, ширина которой есть а, можно прободать прямыя ли-
ніи; но легко можно также съ ея пом4|Нью проводить ка-
§ 24. ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ ПРЯМОГО УГЛА. 129
сательныя изъ любой точки Р къ окружности К, если данъ
ея центръ М и если радіусъ ея равенъ а.
Посредствомъ же этихъ чертежныхъ операцій можно
построить полюсъ каждой прямой и поляру каждой точки
относительно К.
Ь) Если геометрическую задачу рѣшаютъ по способу
Штейнера, то получается фигура Е, которая, кромѣ
Штейнеровой окружности, содержитъ только прямыя линіи.
Если теперь построить фигуру Р', полярную для фи-
гуры Е' относительно окружности, опредѣляемой центромъ
М и радіусомъ а, то построеніе это, согласно вышесказан-
ному, кромѣ проведенія прямыхъ, потребуетъ еще лишь
проведенія касательныхъ къ окружности К. Переходъ отъ
Е къ Е\ равно какъ и отъ Е’ къ Р, также можетъ быть
выполненъ съ помощью только этихъ двухъ операцій.
с) Такимъ образомъ, всѣ конструктивныя задачи вто-
рой степени могутъ быть рѣшены съ помощью линейки о
двухъ параллельныхъ краяхъ, при чемъ употребленіе ея мо-
жетъ даже подлежать ограниченіямъ 96).
Предлагается рѣшить задачи этого параграфа указан-
нымъ здѣсь путемъ.
§ 24. Построенія, совершаемыя съ помощью прямого угла.
а) Единственно примѣняемымъ въ настоящей главѣ
инструментомъ черченія является подвижной прямой
уголъ 97) (хотя бы изъ дерева), напр., прямоугольный тре-
угольникъ, гипотенуза котораго удалена.
Ь) Въ результатѣ нами снова будетъ выведено, что
съ помощью этого инструмента могутъ быть выпол-
нены всѣ построенія второй степени.
Позже мы увидимъ, что прямой уголъ есть болѣе мо-<
гучее средство построенія, чѣмъ циркуль, такъ какъ съ п(5>
мощью двухъ или трехъ прямыхъ угловъ можно строготайз-
рѣшать также и уравненія третьей степени, чего, Вдъъ из-
вѣстно, нельзя сдѣлать даже при помощи многихъ іжркулей.
Мы снова разсмотримъ по порядку элементарныя за-
дачи (§ 22, з). Рѣшеніе нѣкоторыхъ изъ них^ получается
непосредственно.
Теорія геометрическихъ построеній.
9
130
ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРѢЗОКЪ.
173. „Провести параллели съ помощью прямого
угла." (Проводятъ сначала перпендикуляры.)
174. „Повторить или раздѣлить отрѣзокъ."
Пусть (фиг. 104) требуется утроить отрѣзокъ АВ. Про-
водятъ прямую § въ произвольномъ направленіи черезъ А,
строятъ 1і перпендикулярно къ § и поступаютъ такъ, какъ
указано на фигурѣ 104. Какъ раздѣлить пополамъ отрѣзокъ
АВ, показываетъ фигура 105.
Дѣленіе отрѣзка на большее число равныхъ частей
производится, какъ и раньше (стр. 77), съ помощью двухъ
параллельныхъ прямыхъ или же по указанному выше ме-
тоду Бріаншона. (Фигура АВЬа при этомъ будетъ прямо-
Фиг. 106.
угольникомъ.)
175. „Провести взаим-
но перпендикулярныя пря-
мыя." (Разрѣшается непосред-
ственно.)
176. „Повторить или
раздѣлить пополамъ дан-
ный уголъ."
Если требуется удвЬить
уголъ АЗВ, то, согд^сйб фи-
гурѣ іоб, проводятъЛ^С _1_ ЗВ
и дѣлаютъ СВ
Если требуется раздѣ-
лить пополамъ уголъ АЗС, то поступаЪ^ слѣдующимъ
образомъ: дѣлаютъ ВЗ = АЗ (фиг. помѣщаютъ за-
тѣмъ прямой уголъ въ плоскости чертежа такъ, чтобы сто-
§ 24. ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ ПРЯМОГО УГЛА.
131
роны угла проходили черезъ А и В, а вершина его лежала
на второй сторонѣ угла а; прямая х, параллельная ВС, и
будетъ искомой биссектрисой угла. (Построеніе это, согласно
§ 22, і., ни въ коемъ случаѣ не должно считаться прибли-
женнымъ.)
177. „Черезъ данную точку Р провести прямую
х такъ, чтобы она съ данной прямой I составила
уголъ, равный заданному по величинѣ и положенію
углу А8В (фиг. 108).“
Проводятъ черезъ 5 прямую Г параллельно /, берутъ
на а произвольную точку А и опускаютъ перпендикуляры
АВ, АС соотвѣтственно на Ъ
и Г; затѣмъ соединяютъ точки
В, Си опускаютъ изъ 5 перпен-
дикуляръ 80 на ВС. Искомая пря-
мая х параллельна 80.
Доказательство: АВ8С
есть вписанный четырехуголь-
никъ; поэтому
какъ вписанные углы, опираю-
щіеся на одну и ту же дугу;
далѣе
какъ углы, образованные взаим-
но перпендикулярными сторонами; слѣдоватеШ^о,
132 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ІІССТ. ОТРЪЗОКЪ.
178. „Даны прямая на ней точка О и сверхъ
того отрѣзокъ АВ; требуется построить на § точку X
такъ, чтобы 0Х=АВ“
Проводя параллели, строятъ (фиг. 109)
ОС = О1) = АВ
и помѣщаютъ затѣмъ прямой уголъ въ плоскости чертежа
такъ, чтобы катеты его
Фиг. 109.
проходили черезъ С и /), а вер-
шина его лежала на (По-
строеніе ни въ коемъ случаѣ
не приближенное.)
179. Главная задача А:
„Даны прямая и парал-
лельный ей отрѣзокъ МА;
требуется построить точ-
ки ХІУХ2 пересѣченія пря-
мой съ окружностью,
имѣющей своимъ цен-
тромъ точку Му а радіу-
сомъ—отрѣзокъ МА“
Продолжаютъ отрѣзокъ МА въ сторону точки М
на длину, равную его собственной длинѣ, въ результатѣ
чего получаютъ точку В; затѣмъ помѣщаютъ прямой уголъ
въ плоскости чертежа такъ, чтобы его стороны проходили
черезъ А и В, а его вершина лежала на
180. Данъ треугольникъ АВС; требуется съ по-
мощью лишь прямого угла построить центръ О опи-
санной около треугольника окружности.
Возставляютъ въ точкѣ А перпендикуляръ къ сторонѣ
АС и въ точкѣ В—перпендикуляръ къ/?С; прямая, соеди-
няющая точку пересѣченія перпендикуляровъ съ точкой С,
проходитъ черезъ искомую точку О.
§ 25. Построенія,выполняемыя съ помощью произвольнаго/^іа.
а) Въ этомъ параграфѣ мы предполагаемъ, под-
вижной уголъ а (напр., изъ дерева) есть едида^йзенный
чертежный инструментъ; а можетъ имѣть произвольныя
значенія, за исключеніемъ і8о° ").
Въ результатѣ будетъ установлено, что съ по-
мощью одного лишь этого инстр\ждцта можно стро-
§ 25. ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОЛЬНАГО УГЛА. 133
го разрѣшить всѣ геометрическія задачи второй
степени.
Ъ) Для доказательства этого мы должны показать, какъ
съ помощью нашего инструмента рѣшаются шесть элемен -
тарныхъ задачъ и основная задача § 22.
т8і. „Провести параллель"
(рѣшеніе непосредственно усматри- ------~/ ---------
вается изъ фигуры но). /
182. „Повторить или раздѣ- /
лить отрѣзокъ." ---,/ѵ _______
Фигура ш показываетъ, какъ /
съ помощью подвижного угла а Фиг. 110.
утроить отрѣзокъ АВ: приклады-
вая уголъ а къ точкамъ А и 5, опредѣляютъ точку Р,
проводятъ черезъ нее параллель къ АВ и строятъ затѣмъ
точки Р', С, Р", Р .
Фигура 112 показываетъ, какъ раздѣлить отрѣзокъ АВ
пополамъ.
Дѣленіе отрѣзка на большее число частей выполняется
такъ же, какъ на стр. 77.
183. „Опустить перпенди-
куляръ". (Рѣшеніе усматривается
ИЗЪ фигуры 112.)
184. „Даны прямая на ней
точка О и внѣ ея отрѣзокъ АВ]
требуется построить на & точ-
ку7 X такъ, чтобы ОХ = АВ.“
Опредѣляютъ, согласно фигурѣ 113, точки С, за-
тѣмъ помѣщаютъ уголъ а въ плоскости чертежа та^ь, чтобы
его стороны проходили черезъ Е и С, а вершинД<^жала на
Доказательство: Точки С, Еи X лежавъ на окруж-
ности, съ центромъ въ точкѣ О и радіусодафравньтмъ АВ.
134 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРѢЗОКЪ.
185. „Раздѣлить пополамъ или повторить уголъ/4
Дѣленіе угла АЗВ пополамъ производится согласно съ
фигурой 114, причемъ предварительно дѣлаютъ ЗА=ЗВ.
Способъ удвоенія угла показываетъ фигура 115. На сто-
ронѣ ЗА берутъ точку М и опредѣляютъ затѣмъ съ по-
мощью повторнаго прикладыванія угла а точки Аг, О, Р.
186. „Перенести данный уголъ.11
187. Главная задача А: „Даны прямая & и отрѣ-
зокъ МА, параллельный требуется построить
точки Хх и Х2 пересѣченія прямой^* съ окружностью,
Фиг. 115.
имѣющей своимъ центр
отрѣзокъ МА“.
Строятъ (фиг. ііб) ромбъМАВС съп^Ьщью повторнаго
прикладыванія угла а; если теперь^^мѣстить уголъ а въ
§ 26. ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ И ПОСТ. ОТРЪЗКА. 135
плоскости чертежа такъ, чтобы стороны его проходили че-
резъ точки А и С, а вершина лежала на прямой &, то
точки Хг и Х2 будутъ искомыми точками пересѣченія пря-
мой § съ окружностью, ибо онѣ вмѣстѣ съ точками А и С
лежатъ на одной окружности, имѣющей центръ въ точкѣ М.
Замѣчаніе: Циркуль, линейка, прямой и острый
углы являются обычными чертежными инструмен-
тами каждаго чертежника.
Нами доказано, что каждымъ изъ этихъ инстру-
ментовъ въ отдѣльности могутъ быть рѣшены всѣ
конструктивныя задачи второй степени.
§ 26. Построенія, производимыя съ помощью односторонней
линейки и постояннаго отрѣзка (эталона длины) *).
і. Въ этой главѣ дозволенными чертежными опе-
раціями являются: проведеніе прямыхъ линій и пере-
несеніе нѣкотораго отрѣзка.
Перенесеніе отрѣзка можетъ быть выполнено съ по-
мощью эталона длины, т. е. инструмента, который позволяетъ
переносить совершенно опредѣленный отрѣзокъ, напр., еди-
ницу длины (такимъ инструментомъ можетъ служить хотя
бы полоска бумаги опредѣленной длины).
Переносимый отрѣзокъ при этомъ можно от-
кладывать лишь на начерченной уже прямой отъ
данной на ней точки ").
Такимъ образомъ, не дозволяется операція, состоя-
щая въ прикладываніи конца эталона къ данной точкѣ
и вращеніи его вокругъ этого неподвижнаго конца до того
положенія, въ которомъ другой конецъ падаетъ на данную
прямую; другими словами, не дозволяется такимъ путемъ
строить прямоугольный треугольникъ, одинъ изъ катетовъ
котораго извѣстенъ, а гипотенуза равна длинѣ эталона. .X)
2. Мы должны прежде всего рѣшить по порядку^рри
помощи нашихъ ограниченныхъ средствъ рѣшенія фЭтей-
неровы элементарныя задачи (стр. 123):
*) Гильбертъ. ,.Сгипс11а^еп сіег СеотеітгѴЪ-е изд., 1903.
Фельдблюмъ, „ГГеЬег еіетепіаг^еотеігІ8сЬеЖѴпБігикііопеп44,
диссертація, Геттингенъ 1899. '
136 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРѢЗОКЪ.
і88. „Провести параллель." (Выполняется согласно
стр. 76, ибо, прикладывая дважды эталонъ, можно получить
на каждой прямой два равныхъ отрѣзка.)
189. „Повторить или раздѣлить отрѣзокъ" (со-
гласно стр. 77).
190. „Провести перпендикуляръ."
Требуется возставить перпендикуляръ къ прямой а
(фиг. 117); берутъ на а произвольную точку А, строятъ
АВ = АС = АІ) = АЕ = т
= длинѣ эталона и проводятъ ВО и СЕ] прямая ЕН пер-
пендикулярна къ а, ибо ВЕ
и СВ суть высоты треуголь-
ника ВСН.
191. „На данной пря-
мой построить данный
уголъ."
Пусть будутъ даны (фиг.
108) прямая /, уголъ В8А = а
и точка Р] требуется провести
черезъ Р прямую, которая пе-
ресѣкала бы I подъ угломъ а.
Фиг. 118.
Проводятъ черезъ 5 прямую Г параллельно /, берутъ
произвольную точку А на одной изъ сторонъ угла а и опус-
каютъ перпендикуляры АВ и
АС] если теперь провести ЗВ
перпендикулярно къ ВС, то,
согласно стр. 131,
искомая прямая х параллельна
529.
192.„Данный отрѣзшй.
отложить на данныё^фя-
будутъ даі
точка Р] требуется о
которой ХР = АВ; э'
равнымъ отрѣзку АВ,
мой отъ данной тоіс@й."
аы отрѣзокъ АВ, прямая2ж>и на ней
предѣлить такую точку^г на %, для
галонъ, который мо0^тъ и не быть
отмѣченъ здѣсь ѵфй-і?. и8) числомъ і.
§ зб. ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ И ПОСТ. ОТРѢЗКА. 1 37
Проводятъ, сообразно съ задачей і88, Р(2 параллельно
АВ (фиг. и8), опредѣляютъ съ помощью эталона точки
С, В и проводятъ ОХ параллельно СВ; тогда РХ равняется
АВ.
Такимъ образомъ, для перенесенія произволь-
наго отрѣзка достаточно одного эталона длины*).
193. „Раздѣлить пополамъ или повторить данный
уголъ. “
Пусть требуется раздѣлить пополамъ уголъ МАХ.
Если построить (фиг. 119)
ВА = ВС=ВА = ВЕ=т,
то прямая АГ будетъ искомой биссектрисой.
Если желаютъ удвоить уголъ, то изъ произвольной
точки, взятой на одной сторонѣ, опускаютъ на другую сто-
рону перпендикуляръ и продолжа-
ютъ его въ сторону подошвы на дли-
ну, равную его собственной длинѣ.
3. Такимъ образомъ, Штей-
иеровы элементарныя задачи
могутъ быть строго рѣшены съ
помощью нашихъ ограниченныхъ
средствъ рѣшенія.
Для того, чтобы показать те-
перь, что всѣ задачи, которыя обыкновенно рѣшаются
съ помощью циркуля и линейки, можно рѣшить, поль-
зуясь лишь проведеніемъ прямыхъ линій и перенесеніемъ
отрѣзковъ, слѣдовало бы только рѣшить еще задачу А
(стр. 123), которая требуетъ построенія точекъ пересѣченія
начерченной прямой съ окружностью, заданной ея центромъ
и радіусомъ, ибо, пользуясь указаннымъ выше способомъ
(стр. 85), можно свести къ этой задачѣ и при нашихъ
ограниченныхъ средствахъ рѣшенія задачу „объ опредѣ^
леніи точекъ пересѣченія двухъ окружностей". о
Но эта главная задача А не можетъ ^(рйть
разрѣпіена съ помощью нашихъ ограниужнныхъ
средствъ рѣшенія.
*) И. Кюршакъ 0. КйгйсЬак), „Е)а8 8ігеск^пйЬегіга&еп“,
МаЙі. Апп. Вд. 55, 1902.
138 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРЪЗОКЪ.
Именно, мы не въ состояніи найти второй катетъ пря-
моугольнаго треугольника, гипотенуза и катетъ котораго
даны.
Этому будетъ дано строгое доказательство въ од-
ной изъ слѣдующихъ главъ.
4. Какія задачи разрѣшимы этими ограничен-
ными средствами рѣшенія?
На этотъ вопросъ можетъ быть данъ полный
отвѣтъ:
а) Если а, і, с,... суть данные отрѣзки, то, согласно
вышесказанному, съ помощью проведенія прямыхъ линій и
перенесенія отрѣзковъ можно построить выраженія
I г і & •
а Ь, а — Ь, - —
(при чемъ придется пользоваться лишь откладываніемъ от-
рѣзковъ и построеніемъ параллелей) и выраженіе
]/ д2-Н2
(посредствомъ построенія прямого угла и откладыванія от-
рѣзковъ).
Можно строить и болѣе сложныя выраженія *); напр.,
выраженіе
гс = ]/ х2 -Ну* -р я2
можно построить, найдя сначала
г/ = V х2
а затѣмъ
а» = У и2 -|- г2 .
Предложенными ограниченными средствами рѣшенія
можетъ быть построено и выраженіе ѵ = а ]/" п, гдѣ а—дан-
ный отрѣзокъ, а п — цѣлое число; въ самомъ дѣлѣ,
ѵ — ]/я2 а2 -|- а2 + .... -р я2,
такъ что ѵ можетъ быть построено съ помощь^щроведенія
перпендикуляровъ и откладыванія отрѣзковъ^*
-------------- ж
*) Фельд блюмъ, тамъ же.
§ 26. ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ И ПОСТ. ОТРѢЗКА. 139
Можно, напр., построить и слѣдующее выраженіе:
х = а У дд — І21^2 ,
ибо
X = |/(4 Д)2 (2 а V 2 —за)2 ;
сначала строятъ отрѣзокъ какъ гипотенузу прямо-
угольнаго треугольника съ катетами 2й, а затѣмъ строятъ
отрѣзокъ х, какъ гипотенузу прямоугольнаго треугольника
съ катетами 4 а и (2 2 — 3 л).
Ь) Такимъ образомъ можетъ быть построено
всякое выраженіе, которое получается изъ данныхъ
отрѣзковъ путемъ сложенія, вычитанія, умноженія,
дѣленія и извлеченія квадратнаго корня изъ суммы
квадратовъ.
Поэтому, если при рѣшеніи какой-либо геометрической
задачи на построеніе приходятъ окончательно путемъ вы-
численія къ выраженію, которое кромѣ раціональныхъ опе-
рацій содержитъ только извлеченія квадратныхъ корней
изъ суммъ квадратовъ, то задача эта можетъ быть рѣшена
нашими ограниченными средствами рѣшенія.
Такъ, напр., при рѣшеніи задачи Мальфатти (стр. ю)
приходятъ къ выраженіямъ, которыя кромѣ раціональныхъ
операцій содержатъ лишь извлеченія квадратныхъ корней
изъ суммы квадратовъ. Слѣдовательно, эта задача можетъ
быть рѣшена нашими ограниченными средствами рѣшенія.
Если 5 есть сторона правильнаго треугольника, то
высота его
поэтому и правильный треугольникъ можетъ быть по-
строенъ нашими ограниченными средствами рѣшенія.
Если г есть радіусъ окружности, то
^о=1?'(І/5 — і)
и
О Т ' > Ѵѵ
гдѣ 510 и х5 означаютъ соотвѣтственно сданы правиль-
ныхъ вписанныхъ десяти- и пятиугоД§тшка. Оба много-
140 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРѢЗОКЪ.
угольника слѣдовательно, могутъ быть построены съ по-
мощью лишь проведенія прямыхъ линій и откладыванія от-
рѣзковъ.
5. а) Но выраженіе а2— Ь2 (а, слѣдовательно, и
выраженіе ]/#У) не можетъ быть построено этими
ограниченными средствами рѣшенія, что будетъ
строго доказано позже.
Поэтому не могутъ быть разрѣшены всѣ тѣ задачи,
для Которыхъ вычисленіе приводитъ къ результатамъ, со-
держащимъ корни изъ разности квадратовъ или изъ произ-
веденія двухъ отрѣзковъ.
Ь) Пусть, напр., даны прямая и двѣ внѣ ея лежащія
точки А, В] требуется построить окружность, проходящую
черезъ точки А и В и касающуюся прямой
Если обозначить точку пересѣченія прямыхъ АВ и че-
резъ С, а искомую точку касанія черезъ X, то, какъ извѣстно,
сх= /ЗЖёТ.
Но нашими ограниченными средствами рѣшенія невоз-
можно построить |/лс • ВС, и потому можно быть увѣ-
реннымъ, что предложенными средствами рѣшенія наша за-
дача не можетъ быть разрѣшена ни этимъ, ни инымъ путемъ.
с) Вообще этими ограниченными средствами не
можетъ быть разрѣшена іХполлоніева задача о ка-
саніи.
Конечно, три окружности, которыя даются въ этой за-
дачѣ, не должны быть предложены для пользованія уже на-
черченными, ибо въ противномъ случаѣ можно было бы
разрѣшить эту задачу по Штейнеру, проводя однѣ лишь
прямыя линіи. Окружности должны быть заданы ихъ цен-
трами и радіусами. Но тогда задача неразрѣшима нашими
ограниченными средствами рѣшенія.
§ 27. Построенія съ помощью биссектора.
Фельдблюмъ 0 далъ инструментъ, съ пожйлью кото-
раго можно дѣлить пополамъ углы. Онъ и^^лъ затѣмъ
*) Фельдблюмъ, „ІЗеЬег еі етепіап^е^теіі’івсііе Коп-
8ігикііопеп“, диссертація, Геттингенъ 1899., 4
§ 27. ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ БИССЕКТОРА.
141
тѣ построенія, которыя могутъ быть выполнены путемъ
проведенія прямыхъ линій и дѣленія пополамъ угловъ съ
помощью этого инструмента, и нашелъ, что не всѣ геомет-
рическія построенія второй степени выполнимы этимъ пу-
темъ, но лишь тѣ изъ нихъ, которыя выполнимы съ по-
мощью проведенія прямыхъ линій и откладыванія отрѣзковъ.
і. Упомянутый инструментъ—биссекторъ — имѣетъ
форму ромба (фиг. 120), подвижного при всѣхъ вершинахъ;
двѣ стороны его и діагональ продолжены.
Если въ этомъ инструментѣ сближать точки А и С,
то точки В и В будутъ удаляться другъ отъ друга, и на-
оборотъ; но при этомъ прямая
ВВ постоянно дѣлитъ пополамъ
уголъ АВС.
Фельдблюмъ употребля-
етъ этотъ инструментъ ис-
ключительно для дѣленія
угловъ пополамъ, но не для
удваиванія ихъ 10°). Поэтому даже
слѣдующія задачи представляютъ
нѣкоторыя трудности:
2. Даны прямая линія &
и на ней точка А] требуется
въ точкѣ А возставить къ § перпендикуляръ.
Для того, чтобы указать рѣшеніе, которое даетъ
Фельдблюмъ, мы нуждаемся въ двухъ предложеніяхъ
изъ основного курса проективной Геометріи:
а) Если л, с и а\ Ъ', с' суть соотвѣтственные лучи
двухъ проективныхъ пучковъ, то лучъ сГ второго пучка,
отвѣчающій произвольному лучу б/ перваго пучка, можетъ
быть построенъ путемъ проведенія однѣхъ лишь прямыхъ^
линій.
Ь) Если разсматривать каждые два взаимно перщййш-
кулярные луча одного и того же пучка, какъ соотв^^вен-
ные, то всѣ лучи пучка окажутся разбитыми на^Жры вза-
имно соотвѣтственныхъ лучей. \
Такимъ образомъ, если даны а, Ь , с, с, при чемъ
а _1_ а у Ъ' , с' _!_ с , то для каждаго луѵщ-ЖМ^ИѵНО построить
142 ГЛАВА IV. ДВУХСТОР. ЛИНЕЙКА, УГОЛЪ, ПОСТ. ОТРЪЗОКЪ.
перпендикулярный ему лучъ <7' путемъ проведенія однѣхъ
лишь прямыхъ линій.
с) Теперь мы возвратимся къ нашей задачѣ. Прово-
дятъ черезъ А произвольную прямую /г, отыскиваютъ съ
помощью биссектора равнодѣлящую а угла и равнодѣ-
лящую а смежнаго съ нимъ угла; а' есть перпендикуляръ къ а.
Если черезъ А провести вторую прямую к и снова раз-
дѣлить пополамъ уголъ к^ и смежный съ нимъ, то пол\
чатся двѣ взаимно перпендикулярныя прямыя анало
гично строятъ и третью пару перпендикулярныхъ прямыхъ^, с .
Искомая прямая перпендикулярная къ §, опредѣ-
ляется изъ соотношенія:
№ Ь' с' /\ {а Ъ с «•) 101).
Замѣчаніе: Если бы было дозволено съ помощью
биссектора та^же и удваивать углы, то задача эта могла бы
быть рѣшена значительно проще.
3. Удвоеніе и повтореніе нѣсколько разъ от-
рѣзка.
Если отрѣзокъ АВ (фиг. 121) долженъ быть удвоенъ,
Фиг. 122.
то проводятъ АС ±_ АВ, ВЕ _І_ АВ, дѣлятъ затѣмъ уголъ
А пополамъ и строятъ ЕХ _1_ АЕ\ тогда АХ = %АВ.
4. Проведеніе параллелей выполняется съ по-
мощью задачи 3.
5. Повернуть отрѣзокъ вокругъ одного Лвего
концовъ.
Пусть будутъ даны отрѣзокъ АВ и прямая ^^оходящая
черезъ одинъ изъ концовъ отрѣзка АВ\ требухѣ я построить
на точку С такъ, чтобы АС = АВ.
Проводятъ черезъ точку В прямую^параллельно &
(фиг. 122) и дѣлятъ пополамъ уголъ
§ 27. ПОСТРОЕНІЯ СЪ ПОМОЩЬЮ БИССЕКТОРА. 143
6. Данный отрѣзокъ отложить на данной прямой
отъ данной точки.
Переносятъ отрѣзокъ параллельно самому себѣ до
тѣхъ поръ, пока одинъ изъ его концовъ не совпадетъ съ
данной точкой, а затѣмъ вращаютъ его вокругъ этой точки
до совпаденія съ данной прямой.
ф Замѣчаніе: Съ помощью дѣленія угловъ пополамъ
и проведенія прямыхъ линій можно произвольно перено-
сить отрѣзки. Такъ какъ, съ другой стороны, съ помощью
перенесенія отрѣзковъ и проведенія прямыхъ линій можно
раздѣлить пополамъ каждый уголъ, то биссекторъ и
эталонъ длины въ нѣкоторомъ смыслѣ — эквивалентны
одинъ другому.
Каждая задача, которая можетъ быть разрѣ-
шена съ помощью эталона длины и проведенія пря-
мыхъ линій, можетъ быть рѣшена также и съ по-
мощью биссектора и проведенія прямыхъ линій, и на-
оборотъ.
Если же нѣкоторая задача не можетъ быть
строго рѣшена съ помощью проведенія прямыхъ
линій и откладыванія отрѣзковъ, то она неразрѣ-
шима и съ помощью проведенія прямыхъ и дѣленія
угловъ пополамъ.
V. ГЛАВА.
Задачи первой и второй степени.
§ 28. Леммы изъ проективной Геометріи.
Для послѣдующаго изложенія необходимо знаніе нѣ-
которыхъ теоремъ изъ проективной Геометріи. Мы
считаемъ цѣлесообразнымъ изложить здѣсь во введеніи
все, что намъ позже понадобится.
і. Двойное отношеніе, гармоническіе ряды то-
чекъ и пучки лучей, инволюція на прямой линіи.
а) Если А, В, С, В суть четыре точки нѣкоторой
прямой, то выраженіе
=
ВС ' ВВ
называютъ двойнымъ или ангармоническимъ отноше-
ніемъ этихъ четырехъ точекъ.
Это двойное отношеніе, какъ извѣстно, по тео-
ремѣ Паппа (Рарриз), не измѣняется при проекти-
рованіи, т. е., если эти четыре точки спроектировать на дру-
гую прямую, то аналогично образованное двойное отноше-
ніе соотвѣтствующихъ точекъ равно двойному отношенью
данныхъ точекъ. ' о
Подъ двойнымъ отношеніемъ четырехъ луч^Иіучка
разумѣютъ двойное отношеніе четырехъ точеьж^ъ кото-
рыхъ эти лучи пересѣкаются съ произвольной^Йрямой.
Если четыре точки имѣютъ двАйфюе отноше-
ніе, равное—і, то онѣ называются ч^тЬрьмя гармони
ческими точками. уАХ
§ 28. ЛЕММЫ ИЗЪ ПРОЕКТ. ГЕОМЕТРІИ.
145
Четыре луча пучка носятъ названіе четырехъ гармо-
ническихъ лучей, если они пересѣкаются съ какой-нибудь
прямой въ четырехъ гармоническихъ точкахъ.
Ь) Если А и А' суть точки прямой, то на ней можно
найти безконечное множество паръ точекъ 5, В\ которыя
вмѣстѣ съ Л, А' будутъ чётырьмя гармоническими точками
при чемъ пара точекъ А, А' раздѣляется парой точекъ Д В'102)
Если точка В движется вдоль прямой (при неподвиж-
ныхъ А, А'\ то перемѣщается и точка В'. Въ частности,
если точка В совпадетъ съ серединой отрѣзка АА\ то
точка В' удаляется въ безконечность.
Если л, а! суть стороны угла, а й, V суть равнодѣля-
щія этого угла и смежнаго съ нимъ, то четыре луча
я, Д V образуютъ гармоническій пучокъ лучей103).
с) Пусть снова будутъ даны точки Л, А'. Совокуп-
ность всѣхъ паръ точекъ (такихъ паръ безконечное множе-
ство), которыя гармонически раздѣляются точками А и А',
называютъ инволюціей.
Если на той же прямой АА' дана еще пара точекъ
71/, 71/', то пары точекъ, гармонически раздѣленныхъ точками
71/, 71/', образуютъ вторую инволюцію на томъ же основаніи.
Можно безъ труда доказать, что эти обѣ инволюціи
имѣютъ одну и только одну общую пару точекъ, ко-
торая можетъ быть и мнимой.
Такимъ образомъ, если Л, А* и 71/, 71/' суть двѣ пары
точекъ на одной и той же прямой, то существуетъ лишь
единственная пара точекъ X, X, которыя гармонически
раздѣляются какъ точками А, А', такъ и точками 71/, 71/' 104).
Пусть, далѣе, а, а' будутъ двѣ произвольныя прямыя
линіи на плоскости, а 5 — ихъ точка пересѣченія; если двѣ
точки В, В' той же плоскости расположены такъ, что прямыя
Ь, і', соединяющія ихъ съ точкой 5, гармонически раздѣля-
ются прямыми а, а', то говорятъ: „Прямыя я, а' гармс^
нически раздѣляются точками в, В'“.
Въ частности, если я, а', ту т суть четыре луча^його
и того же пучка и % есть произвольная прямая щшскости,
то, согласно вышесказанному, на этой прямой ц^ріествуетъ
единственная пара точекъ X, Х\ которыми о^рмонически
раздѣляются какъ лучи а, а', такъ и лучиЛ^^;/.
Теорія геометрическихъ построеній.
10
146
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
2. Перспектива пространственныхъ образовъ.
а) Проектированіе и пересѣченіе, то-есть двѣ основныя
операціи проективной Геометріи, приводятъ къ понятію
о безконечно удаленныхъ элементахъ, которое имѣетъ
большое значеніе для послѣдующаго и поэтому должно быть
здѣсь развито 105).
Пусть Е и Е будутъ двѣ произвольныя ПЛОСКОСТИ, 5—
прямая ихъ пересѣченія, X— произвольная точка простран-
ства (фиг. 123).
Представимъ себѣ, что точки и прямыя плоскости Е
спроектированы изъ точки X на плоскость Е.
Пусть % будетъ произвольная прямая плоскости Е
на . двѣ точки Л и В и опредѣливъ ихъ про-
прямая должна пересѣчь & въ нѣкоторой
найти, взявъ
' екціи на Е]
точкѣ 5 прямой 5.
Ь) Если точку В все дальше передвигать вдоль прямой
по направленію стрѣлки, то и точка В' будетъ щадвнять
свое положеніе; въ частности, когда точка В стжртъ без-
конечно удаленной, ея изображеніе В' совщнфФъ съ той
точкой В1 прямой въ которой прямая />, п^ртллельная
встрѣчаетъ плоскость Е (фиг. 123).
Если снова передвигать точку 5^™Ьль прямой но
въ обратномъ направленіи, то буд^^двигаться и ея изо-
§ 28. ЛЕММЫ ИЗЪ ПРОЕКТ. ГЕОМЕТРІИ. 147
Сраженіе, которое снова совпадетъ съ /7', коль скоро В
удалится въ безконечность.
Итакъ, безконечно удаленные элементы прямой
отображаются въ одной точкѣ 77'; это приводитъ
насъ къ допущенію, что прямая имѣетъ одну безконечно
удаленную точку. Въ этомъ смыслѣ говорятъ о безко-
нечно удаленной или несобственной точкѣ прямой
Изображеніе прямой <? можно также получить, если
провести черезъ 2 лучъ />, параллельный прямой и пере-
сѣкающій плоскость Е въ точкѣ 77', и соединить 77' съ 5,
ибо V есть изображеніе безконечно удаленной точки пря-
мой &, а 5 — изображеніе слѣда прямой о* на плоскости
проекцій Е.
Если въ плоскости Е дано нѣсколько параллельныхъ
прямыхъ А, /?, то имъ отвѣчаетъ одинъ и тотъ же парал-
лельный лучъ, исходящій изъ Л; слѣдовательно, ихъ изо-
браженія проходятъ черезъ одну и ту же точку.
Такимъ путемъ мы приходимъ къ допущенію,
что параллельныя прямыя пересѣкаются въ одной
безконечно удаленной точкѣ.
с) Возьмемъ на плоскости еще одну прямую I и оты-
щемъ изображеніе ея безконечно удаленной точки ; съ этой
цѣлью черезъ Е проведемъ лучъ, параллельный /, и продол-
жимъ его до пересѣченія съ плоскостью Е (фиг. 123).
Если прямая I измѣняется, то измѣняется и параллель-
ный ей лучъ, проходящій черезъ Е, но послѣдній всегда
лежитъ въ той плоскости, которая можетъ быть проведена
черезъ точку Е параллельно плоскости Е.
Изображеніе безконечно удаленныхъ точекъ всѣхъ
прямыхъ плоскости лежатъ, такимъ образомъ, на совер-
шенно опредѣленной прямой и' плоскости Е] эта прямая
лежитъ въ пересѣченіи плоскости Е съ плоскостью, пр^"
веденной черезъ Е параллельно Е. °^°
Итакъ, всѣ безконечно удаленные элемеъжгпло-
скости отображаются въ нѣкоторой прямойСлиніи.
Если изображеніе фигуры, не содержаще^^езконечно
удаленныхъ элементовъ, есть прямая, то и самалщігура должна
быть прямою. Поэтому мы приходимъ къ^^пущенію :
10*
148
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
„Плоскость Е имѣетъ одну безконечно удален-
ную или несобственную прямую".
Аналогичныя изслѣдованія въ пространствѣ приводятъ
къ утвержденію: „Параллельныя плоскости имѣютъ
общую безконечно удаленную прямую; всѣ безко-
нечно удаленные элементы пространства лежатъ на
нѣкоторой плоскости".
3. Центральная коллинеація на плоскости или
гомологія *).
Пусть будутъ даны на плоскости: точка 5, прямая
которая можетъ также проходить черезъ 5, и двѣ точки
А, А\ лежащія на одномъ лучѣ, исходящемъ изъ 5 (фиг. 124).
Возьмемъ произвольную другую точку В на той же плос-
кости, соединимъ ее съ А прямою §, точку пересѣченія пря-
Фиг. 124.
точекъ Ц, А\ либо же съ помощью
мыхъ & и 5 соединимъ
съ А' прямою кото-
рая пересѣчетъ пря-
мую ЗВ въ точкѣ В'
(фиг. 124).
Двѣ такого рода
точки В, В' мы бу-
демъ называть соот-
вѣтственными точ-
ками.
Если теперь дана
третья точка С, то от-
вѣчающую ей точку С
можно опредѣлить ли-
бо съ помощью пары
точекъ Е, В.
Въ обоихъ случаяхъ, въ^силу теоремы о перспективно
расположенныхъ треугольникахъ (стр. 6о), приходятъ къ
одной и той же точкѣ С; если /), Е,Е,... суть ^^ь-
нѣйшія точки плоскости, то отвѣчающія имъ точкі^ѳжно
найти, исходя изъ любой пары соотвѣтственныхт^^чекъ.
Двѣ прямыя линіи, находящіяся въ таком^^й отноше-
ніи, какъ прямыя и о-', к и //, к и к' на. фигурѣ 124, на-
зываются соотвѣтственными. оуѵ
*) Ф. Энрикесъ. „Лекціи по про^^вноіі Геометріи".
На нѣм. яз. перев. Бг. Германъ Флейш^ь, Лейпцигъ, 1903.
§ 28. ЛЕММЫ ИЗЪ ПРОЕКТ. ГЕОМЕТРІИ.
149
Такимъ образомъ, каждыя двѣ соотвѣтственныя точки
лежатъ на прямой, проходящей черезъ 5, и каждыя двѣ
соотвѣтственныя прямыя пересѣкаются въ точкѣ на пря-
мой 5. Каждая точка прямой 5 отвѣчаетъ сама себѣ; каждая
прямая, исходящая изъ 5, также отвѣчаетъ сама себѣ.
Точка 5 совпадаетъ съ отвѣчающей ей точкой; равнымъ
образомъ, прямая 5 совпадаетъ съ отвѣчающей ей прямой.
Если точка Р описываетъ прямую то соотвѣтствую-
щая ей точка Р' описываетъ прямую соотвѣтствующую^;
если прямая § вращается вокругъ нѣкоторой точки , то
соотвѣтствующая ей прямая & вращается вокругъ точки і^',
отвѣчающей О.
Соотвѣтствіе, которое такимъ путемъ устанавливается
между точками и прямыми плоскости, называютъ централь-
ной коллинеаціей или гомологіей. Съ нею, какъ из-
вѣстно, очень часто приходится встрѣчаться въ начерта-
тельной Геометріи и въ геометрическихъ задачахъ.
Точка 5 называется центромъ коллинеаціи, пря-
мая 5 — осью коллинеаціи.
Основные элементы 5, 5 и А, А' могутъ имѣть раз-
личное взаиморасположеніе; имъ характеризуются
частные случаи
гомологіи.
Мы упомянемъ
здѣсь о тѣхъ изъ
нихъ, которые бу-
дутъ важны для насъ
впослѣдствіи.
а) Ось к о л -
5 есть
прямая
отрѣ-
Фиг. 125.
лженъ ле-
линеаціи
конечная
(фиг. 125);
зокъ АА' располо-
женъ перпендику-
лярно къ прямой
5 и дѣлится ею
пополамъ;сверхъ
того, центръ коллинеаціи 5, которы
жать на прямой АА', безконечно уоЙ
150
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
При этомъ два соотвѣтственныхъ треугольника АВС
и А'В'С (фиг. 125) конгруэнтны, но обратно располо-
жены; одна изъ фигуръ можетъ быть приведена къ совпа-
денію съ другой путемъ поворота вокругъ оси коллинеаціи.
Обѣ фигуры расположены симметрично отно-
сительно оси коллинеаціи 5; симметрія, такимъ об-
разомъ, является частнымъ случаемъ гомологіи.
Съ помощью проектированія двухъ фигуръ симметрично
расположенныхъ относительно оси, на новую плоскость, по-
лучается общій случай гомологіи.
Ь) Пусть ось коллинеаціи проходитъ черезъ 5.
Построеніе соотвѣтственныхъ точекъ и прямыхъ про-
изводится, какъ и въ общемъ случаѣ (фиг. 126).
с) Если взять 5 и 5 безконечно удаленными,
т. е. если за ось коллинеаціи принимается безконечно уда-
ленная прямая нашей плоскости и 5 есть одна изъ ея то-
чекъ, то прямыя, соединяющія - соотвѣтственныя точки, па-
Фиг. 126. Фиг. 127.
раллельны; сверхъ того, параллельны соотвѣтственныя ^яря-
мыя (фиг. 127). о
Два соотвѣтственныхъ треугольника АВС ^ігА'В'С'
конгруэнтны и могутъ быть приведены кж^ёовпаде-
нію съ помощью параллельнаго перене
Итакъ, параллельное перенеселУф^ также есть
частный случай гомологіи и при шфУлТированіи пере-
ходитъ въ общій случай. 4
ІЯ.
§ 28. ЛЕММЫ ИЗЪ ПРОЕКТ. ГЕОМЕТРІИ.
151
4. Мнимыя циклическія точки, абсолютная инво-
люція.
а) Пусть будетъ дана прямоугольная система коор-
динатъ.
Тогда уравненіе каждой окружности, лежащей въ плос-
кости осей координатъ, можетъ быть написано въ видѣ:
х2 Ч~у2 Ч~ах Ч~ Ч- с—° >
при чемъ для каждой данной окружности а, Ъ , с суть дан-
ныя числа. Мы хотимъ опредѣлить точки У,, У2 пересѣченія
окружности, выражаемой этимъ уравненіемъ, съ безконечно
удаленной прямой. Съ этой цѣлью мы полагаемъ х = ,
у
у=^~ и находимъ уравненіе окружности въ однородныхъ
координатахъ *):
х'г -\~у’2 Ч~ах Ч~ ^у' ? с?2 — ° •
Для безконечно удаленной точки должно быть / = о, по-
этому
х>2 -\~У12 = ° У
такъ что
т. е. тангенсы угловъ, образуемыхъ прямыми ОУ , 0У2 съ
осью Х-овъ, равны і и —/, такъ что эти углы не зави-
сятъ отъ а у Ь, с.
Согласно съ этимъ всѣ окружности плоскости
пересѣкаютъ безконечно удаленную прямую въ
двухъ совершенно опредѣленныхъ точкахъ У^У^на-
зываемыхъ мнимыми циклическими точками.
Итакъ, окружность можетъ быть разсматриваема, какъ
коническое сѣченіе, проходящее черезъ мнимыя циклическую
точки. Поэтому окружность опредѣляется уже тремя точкамъ
Ь) Изъ многочисленныхъ соотношеній, которыя шйутъ
быть установлены для мнимыхъ циклическихъ то^^ъ, мы
укажемъ только тѣ, которыя нужны будутъ намлЛйозже.
*) М. Симонъ (М. 8іпіоп\ „Апа1ііІ8сйе^4^оше1:гіе сіег
ЕЪепе". См. стр. ѴШ. УСЧІ
152
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
Прежде всего докажемъ слѣдующую важную теорему:
„Если а и Ь суть двѣ взаимно перпендикулярныя
прямыя, то онѣ гармонически раздѣляются мнимыми
циклическими точками; наоборотъ, если двѣ прямыя
гармонически раздѣляются мнимыми циклическими
точками, то онѣ взаимно перпендикулярны".
Доказательство: Положимъ, что ХОУ (фиг. 128) есть
моугольная система координатъ, а, Ь — двѣ произвольныя
прямыя, іл, — тѣ прямыя, которыя
соединяютъ О съ мнимыми цикли-
ческими точками. Уравненія мни-
мыхъ прямыхъ іх, г2 у согласно а),
могутъ быть представлены въ видѣ:
Л • • • У = ™
і2... у = — іх.
Напишемъ уравненія прямыхъ а, Ъ,
проходящихъ черезъ О:
а. .. у — тх
Ь. .. у = пх.
Возьмемъ теперь точку А на разстояніи і отъ О на оси
Х-овъ и, проведя черезъ А параллель оси Х-овъ, разсмот-
римъ точки ея пересѣченія съ четырьмя прямыми іх, г2, а, Ь.
Двойное отношеніе четырехъ лучей при этомъ равня-
ется двойному отношенію точекъ пересѣченія, такъ что
(Л г. а Ь) = (РЛ2С') = •
Р'О. Р'О.'
Далѣе,
поэтому
§ 28, ЛЕММЫ ИЗЪ ПРОЕКТ. ГЕОМЕТРІИ.
153
Если прямыя а, Ь взаимно перпендикулярны, то, какъ
извѣстно, существуетъ соотношеніе:
і
т'
тогда
і
(РР'е<2') = ~
4~ 7 4~ 777 . . I
4-7-----
1 т
откуда слѣдуетъ, что
чѣмъ доказана первая часть теоремы.
Пусть теперь, наоборотъ,
такъ что
-- 7 —111 —1“" 7 11
+ / + 111 4- І + И ’
Отсюда вытекаетъ:
что доказываетъ теорему.
с) Мы выведемъ еще одну чрезвычайно важную
формулу, которая допускаетъ проективное предста-
вленіе угла, именно — формулу Лагерра (Ьадтіегге).
Мы снова составимъ двойное отношеніе четырехъ лу-
чей іл, 4, л, гдѣ ?!, суть тѣ прямыя, которыя соеди-
няютъ О съ мнимыми циклическими точками, а прямыя а, Ь
являются произвольными лучами, проходящими черезъ О
(фиг. 128).
Тогда
^аЬ)=(РР'ООГ)
Далѣе, т а и п = і§' @, поэтому
(РР’ОО!)
154 ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
Какъ извѣстно (Эйлерова формула):
СО8 + І 8ІП г — еія ;
если подставимъ вмѣсто % соотвѣтствующія значенія, то
получимъ:
(РР'ОО!}
е^‘‘
отсюда слѣдуетъ, что
а-^=-.ІОѴ,
2/
гдѣ 1)Ѵ есть двойное отношеніе четырехъ лучей г2, а, Ьг
т. е. двойное отношеніе сторонъ угла и двухъ проходящихъ
черезъ его вершину минимальныхъ прямыхъ (изотроп-
ныя прямыя).
Поэтому два угла равны, если двойное отношеніе, об-
разуемое сторонами перваго угла съ мнимыми циклическими
точками, равно двойному отношенію, образуемому сторонами
второго угла съ мнимыми циклическими точками.
5. Визуальныя (ѵізиеііе) и метрическія свойства
геометрическихъ фигуръ*).
а) Свойства фигуры могутъ принадлежать къ двумъ
различнымъ категоріямъ:
а) Они могутъ быть визуальными (свойствами по-
ложенія, графическими, начертательными свой-
ствами) и находиться въ связи только съ понятіями о
точкѣ, о прямой, о коническомъ сѣченіи и т. д., давая лишь
указанія относительно расположенія этихъ элементовъ.
Если, напр., три прямыя пересѣкаются въ одной точкѣ,
нѣсколько точекъ фигуры лежатъ на одной прямой, прямая
касается коническаго сѣченія фигуры, либо двѣ фигуры
гомологично отвѣчаютъ другъ другу, то всѣ эти свофтва
будутъ визуальными.
р) Они могутъ быть метрическими и сшііы тогда
съ понятіями о длинѣ отрѣзка и величинѣ ушйи
*) Ф. Энрикесъ „Ѵогіезип^еп йЬег рг^^Нѵе Сеотеігіе14
Лейпцигъ, 1903. °
§ 28. ЛЕММЫ ИЗЪ ПРОЕКТ. ГЕОМЕТРІИ.
155
Мы имѣемъ дѣло съ метрическими свойствами фигуры,
если, напр., въ ея составъ входятъ два равныхъ отрѣзка
или два равныхъ угла, прямой уголъ, уголъ въ 6о°, или если
входящее въ нее коническое сѣченіе есть окружность, и т. д.
7) Можно говорить также о проективныхъ свой-
ствахъ фигуры.
Свойство фигуры называютъ проективнымъ, если
оно не измѣняется при произвольномъ проектированіи
на другую плоскость, т. е. переходитъ въ аналогичное (вы-
ражаемое одинаковыми словами) свойство трансформирован-
ной фигуры.
Каждое визуальное свойство является также и
проективнымъ, т. е. сохраняется при проектированіи; но
не каждое проективное свойство будетъ визуаль-
нымъ.
Если, напр., двойное отношеніе четырехъ точекъ нѣко-
торой прямой равно двумъ, то это свойство сохраняется при
проектированіи; дѣйствительно, четыре данныя точки при
проектированіи переходятъ въ четыре точки съ такимъ же
двойнымъ отношеніемъ (стр. 144).
Это свойство, такимъ образомъ, является проектив-
нымъ; но оно совсѣмъ не визуальное, такъ какъ значеніе
двойного отношенія можетъ быть опредѣлено только путемъ
измѣренія (сравненія двухъ отрѣзковъ).
Наоборотъ, если, напр., два пучка лучей аЪссІ и а'Ъ'с'с^,
имѣютъ одно и то же двойное отношеніе, то это свойство
есть свойство визуальное, ибо въ этомъ случаѣ, какъ из-
вѣстно, можно построить третій пучокъ лучей, находящійся
въ перспективномъ положеніи по отношенію къ обоимъ
пучкамъ.
Для того, чтобы имѣть возможность утверждать, что
два пучка лучей имѣютъ одно и то же двойное отношефе,
нѣтъ надобности опредѣлять двойное отношеніе каждаго
изъ пучковъ, но достаточно лишь обнаружить, что-^рЪжетъ
быть построенъ пучокъ, находящійся въ персждашвномъ
положеніи съ данными пучками.
Ь) Если два угла равны, то это свожггво есть ме-
трическое свойство обѣихъ фигуртМХ
156
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
Но мы видѣли уже выше, что стороны каждаго изъ
двухъ равныхъ угловъ образуютъ съ мнимыми цикличе-
скими точками плоскости одно и то же двойное отношеніе.
Утвержденіе же, что два двойныхъ отношенія нѣкото-
рой фигуры равны, .выражаетъ визуальное свойство этой
фигуры.
Поэтому мы можемъ упомянутое выше метрическое
свойство разсматривать, какъ визуальное, если введемъ
обѣ мнимыя циклическія точки.
Легко могутъ быть даны и другіе примѣры:
Если, напр., точка М есть середина отрѣзка АВ, то
это свойство есть метрическое. Но точка М отъ безко-
нечно удаленной точки гармонически раздѣляется точками
ЛиВ; если поэтому дана эта безконечно удаленная
точка, то указанное соотношеніе является визуаль-
нымъ свойствомъ.
Дадимъ другой примѣръ: равнодѣлящія угла (я, Ъ) и
смежнаго съ нимъ угла взаимно перпендикулярны; онѣ,
слѣдовательно, являются тѣми прямыми пучка а, Ь, которыя
гармонически раздѣляются, какъ лучами а, Ь, такъ и мни-
мыми циклическими точками, и сообразно съ этимъ онѣ
опредѣляются визуальными свойствами, соотношеніями рас-
положенія, если только даны мнимыя циклическія
точки.
6. Мы теперь покажемъ вообще, что съ присо-
единеніемъ безконечно удаленной прямой и мни-
мыхъ циклическихъ точекъ, которыя вмѣстѣ называются
также абсолютомъ плоскости чертежа, каждое мет-
рическое свойство фигуры можетъ быть разсматри-
ваемо, какъ визуальное.
а) Всѣ метрическія свойства фигуры сводятся ^ъ
двумъ понятіямъ, именно, къ понятію о равенствѣ ді^ухъ
отрѣзковъ и къ понятію о равенствѣ двухъ ущловъ.
Для того, чтобы доказать упомянутое ві^рг предло-
женіе, мы поэтому должны лишь представи^ равенство
двухъ отрѣзковъ, какъ визуальное свошотб, ибо выше
мы уже опредѣлили равенство двухъ угжйзъ, какъ визуаль-
ное свойство фигуры, если данъ аборЖтъ плоскости.
§ 28. ЛЕММЫ ИЗЪ ПРОЕКТ. ГЕОМЕТРІИ.
157
Ь) Если теперь АВ и А'В' суть два равныхъ отрѣзка
(фиг. 129), то можно отрѣзокъ АВ привести къ совпаденію
со вторымъ отрѣзкомъ, перенеся сначала отрѣзокъ АВ
параллельно самому себѣ и отразивъ затѣмъ полученный
такимъ путемъ отрѣзокъ въ биссектрисѣ / (фиг. 129).
Но параллельное перенесеніе есть частный слу-
чай гомологіи; осью гомологіи при этомъ является
безконечно удаленная прямая плоскости, а центромъ
безконечно удаленная точка
прямой АА' (§ 28).
Отраженіе, равнымъ
образомъ, есть частный
случай гомологіи; ось кол-
линеаціи 52 совпадаетъ при
этомъ съ биссектрисой /, а
центръ коллинеаціи 52 — съ
безконечно удаленной точкой
прямой перпендикулярной
къ биссектрисѣ.
Если теперь данъ абсолютъ плоскости, то тѣмъ са-
мымъ даны и въ такомъ случаѣ 52, могутъ быть
опредѣлены безъ помощи измѣренія путемъ построенія та-
кихъ прямыхъ /, &, которыя гармонически раздѣляются,
съ одной стороны, прямыми А'В' и В'В", съ другой же—
мнимыми циклическими точками.
Поэтому, если присоединенъ абсолютъ плоско-
сти, то и равенство двухъ отрѣзковъ можно раз-
сматривать, какъ визуальное свойство.
7. Разъяснимъ еще нѣсколькими примѣрами предста-
вленіе метрическихъ свойствъ въ видѣ визуальныхъ.
а) Если двѣ прямыя взаимно перпендикулярны, то это
метрическое свойство можно выразить визуально, говоржф
„Двѣ прямыя гармонически раздѣляются мнимыми цку^й-
ческими точками
Ь) Если данный четырехугольникъ есть параллел^^аммъ,
то съ присоединеніемъ безконечно удаленной щ^фюй можно
также сказать : „Противоположныя стороны пересѣкаются на
безконечно удаленной прямой". Это свойство визуальное.
158
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
с) Если фигура есть квадратъ, то это свойство съ по-
мощью абсолюта плоскости можно выразить визуально,
сказавъ: „Противоположныя стороны пересѣкаются на без-
конечно удаленной прямой въ точкахъ, кожорыя гармони-
чески раздѣляются мнимыми циклическими точками ; діаго-
нали также гармонически раздѣляются мнимыми цикличе-
скими точками
(1) Треугольникъ будетъ равностороннимъ, если каж-
дая пара его сторонъ образуетъ съ мнимыми циклическими
точками одно и то же двойное отношеніе.
е) Сумма угловъ треугольника составляетъ і8о°; какъ
можно представить это утвержденіе въ видѣ визуальнаго
свойства треугольника?
1) Уголъ нѣкоторой фигуры содержитъ 6о°; какъ можно
выразить это визуально?
§ 29. Классификація геометрическихъ задачъ на построеніе.
Геометрическія задачи на построеніе могутъ быть раз-
сматриваемы съ различныхъ точекъ зрѣнія и сообразно съ
этимъ раздѣляются на классы:
а) Во-первыхъ, ихъ можно, въ связи съ изложеннымъ
выше, подраздѣлить на визуальныя и метрическія за-
дачи на построеніе.
Именно, каждая геометрическая конструктивная задача
требуетъ построенія нѣкоторой фигуры, обладающей дан-
ными свойствами.
Если всѣ эти свойства являются визуальными, то и самое
задачу называютъ визуальной задачей на построеніе.
Если же хоть нѣкоторыя изъ требуемыхъ свойствъ
принадлежатъ къ метрическимъ, то и задача называется
метрической.
Визуальныя задачи не мѣняютъ своего словеснаго вы-
раженія при проектированіи данныхъ и искомыхъ обр^^въ
изъ какого-нибудь центра на вторую плоскость, т.^Десли
спроектировать данные образы, то построеніе подщь проек-
ціямъ проекцій искомыхъ образовъ требуетъ точня такихъ же
операцій на второй плоскости, какія необ^х^ймы для того
чтобы на первой плоскости по даннымъ ошщзамъ построить
искомые. ДУ
§ 29. КЛАССИФИКАЦІЯ ГЕОМ. ЗАДАЧЪ НА ПОСТРОЕНІЕ. 159
Визуальныя задачи поэтому всегда могутъ
быть разрѣшены съ помощью проектированія и пере-
сѣченія прямыхъ, коническихъ сѣченій и т. д. другъ
съ другомъ.
Метрическая задача требуетъ для своего рѣшенія, кромѣ
проведенія прямыхъ линій, еще сравненія и перенесенія от-
рѣзковъ и угловъ, проведенія окружностей или же черченія
высшихъ кривыхъ.
Мы знаемъ, что каждое метрическое свойство фигуры
всегда можетъ быть разсматриваемо, какъ визуальное свой-
ство, если только къ фигурѣ присоединенъ абсолютъ пло-
скости.
Можно поэтому также сказать: „Каждая метриче-
ская задача съ помощью присоединенія абсолюта
плоскости можетъ быть преобразована въ визуаль-
ную задачу".
Мы называемъ задачу проективной, если проекти-
рованіе не мѣняетъ ея словеснаго выраженія.
Напр., задача: „По тремъ лучамъ пучка построить
четвертый, который вмѣстѣ съ этими тремя образовалъ бы
двойное отношеніе, равное двумъ"—является проективной;
но она совсѣмъ не представляетъ собою визуальной задачи,
ибо въ ней рѣчь идетъ объ измѣреніи.
Ь) Къ другому важному принципу классифика-
ціи геометрическихъ задачъ на построеніе приходятъ,
рѣшая задачи путемъ вычисленія.
Задачи при этомъ подраздѣляются въ зависимости отъ
рода производимыхъ операцій и степени уравненій, къ ко-
торымъ приводитъ ихъ рѣшеніе.
Прежде всего ихъ дѣлятъ на алгебраическія и
трансцендентныя въ зависимости отъ того, приво-
дится ли ихъ рѣшеніе къ алгебраическимъ уравнв^
ніямъ, или къ трансцендентнымъ. о
Такъ, напр., квадратура круга представляетъ^^ою
трансцендентную задачу на построеніе.
Алгебраическія задачи на построеніе подв^йѣляются
далѣе на задачи первой, второй, третьей, ^Летвертой сте-
пени, соотвѣтственно наивысшей степеішШстрѣчающихся
при ихъ рѣшеніи уравненій.
160
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
с) Можно также классифицировать геометриче-
скія задачи на построеніе по роду кривыхъ, которыя
чертятся при ихъ рѣшеніи, или по свойству инструмен-
товъ, употребляемыхъ для черченія кривыхъ и, слѣдова-
тельно, для рѣшенія задачъ.
Сообразно съ этимъ, можно, какъ мы знаемъ, гово-
рить о геометрическихъ задачахъ на построеніе, рѣшаемыхъ
съ помощью проведенія однѣхъ лишь прямыхъ линій (стр.
74) или однѣхъ окружностей (стр. 91 и слѣд.).
Можно говорить о задачахъ, которыя разрѣшимы, напр.,.
съ помощью проведенія прямыхъ линій, окружностей и од-
ной конхоиды.
Можно также вести рѣчь о Геометріи прямыхъ линій,,
циркуля, эллиптическаго циркуля и т. д.
(1) Каждая геометрическая задача, для которой
вообще существуетъ рѣшеніе, можетъ быть рѣшена
построеніемъ, но не съ помощью всякаго инструмента.
Трисекція угла, напр., не можетъ быть строго выпол-
нена съ помощью циркуля и линейки, но, какъ мы скоро дока-
жемъ, выполняется съ помощью высшихъ средствъ рѣшенія.
Итакъ, не существуетъ абсолютно неразрѣши-
мыхъ задачъ, но есть лишь относительно неразрѣ-
шимыя *).
Греки допускали только циркуль и линейку въ каче-
ствѣ средствъ рѣшенія, поэтому многія задачи были нераз-
рѣшимыми, какъ напр., знаменитыя задачи о трисекціи угла,
удвоеніи куба, квадратурѣ круга.
Но всѣ эти задачи могутъ быть рѣшены построеніемъ,,
даже задача о квадратурѣ круга, сводящаяся къ построенію
отрѣзка, равнаго по длинѣ данной окружности. Эта за-
дача не можетъ быть строго рѣшена циркулемъ и линей-
кой, даже и эллиптическимъ циркулемъ; она разрѣшаемся
лишь съ помощью инструмента, чертящаго трансцендеіфныя
кривыя, какъ напр., интеграфъ Абданкъ-АбакаЖжича.
§ 30. Визуальныя задачи первой и второй ^геНени.
А) Визуальныя задачи первой степени. у.-'"'
і. Эти задачи не измѣняютъ своо^словеснаго
выраженія при проектированіи, не требуютъ ника-
*) Ф. Энрикесъ, тамъ же, стр. 268.
§ 30. ВИЗУАЛЬНЫЯ ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. 161
кого измѣренія отрѣзковъ или угловъ и, будучи рѣ-
шаемы вычисленіемъ, приводятъ къ уравненіямъ
первой степени.
На основаніи послѣдняго соображенія онѣ во всякомъ
случаѣ имѣютъ одно рѣшеніе, если онѣ не распадаются
въ рядъ другихъ линейныхъ задачъ.
Ихъ рѣшеніе требуетъ только операцій проектирова-
нія и пересѣченія; онѣ поэтому разрѣшимы съ помощью
проведенія однѣхъ лишь прямыхъ линій, ибо примѣненіе
коническаго сѣченія во всякомъ случаѣ дало бы два рѣшенія.
Наоборотъ, относительно каждой геометрической
задачи на построеніе, которая имѣетъ только одно
рѣшеніе и является визуальной, такъ что не измѣняетъ
своего словеснаго выраженія при проектированіи и не тре-
буетъ никакого измѣренія, можно утверждать, что она
разрѣшима съ помощью проведенія однѣхъ лишь
прямыхъ линій.
2. Новѣйшая Геометрія знаетъ много визуаль-
ныхъ задачъ первой степени.
Напр.: построеніе по тремъ даннымъ точкамъ четвер-
той гармонической; пополненіе двухъ проективныхъ ря-
довъ точекъ или пучковъ лучей, когда даны три пары со-
отвѣтственныхъ элементовъ; пополненіе проективныхъ плос-
кихъ системъ, когда даны четыре пары соотвѣтственныхъ
элементовъ; опредѣленіе второй точки пересѣченія прямой,
исходящей изъ извѣстной уже точки коническаго сѣченія,
съ этимъ сѣченіемъ, заданнымъ пятью элементами; опредѣ-
леніе четвертой точки пересѣченія двухъ коническихъ сѣ-
ченій, если уже извѣстны три точки пересѣченія.
Всѣ эти задачи визуальныя, имѣютъ только одно рѣ-
шеніе и поэтому могутъ быть рѣшены съ помощью прове-
денія однѣхъ прямыхъ линій.
Слѣдуетъ замѣтить, что не каждая проективнаЯ/фк-
дача (стр. 159), имѣющая только одно рѣшеніе, такл^Яио-
жетъ быть рѣшена съ помощью проведенія однѣхъ і^ямыхъ
линій. .
Пусть, напр., будутъ даны три точки нѣйотбраго ряда;
требуется опредѣлить четвертую точку этогодэйіа такъ, чтобы
Теорія геометрическихъ построеній.
11
162
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
двойное отношеніе, образованное ею съ тремя данными точ-
ками, равнялось двумъ.
Эта задача будетъ проективной, но не визуальной;
она не можетъ быть рѣшена съ помощью проведенія однѣхъ
прямыхъ линій, если не дань абсолютъ плоскости.
3. Мы не станемъ вдаваться въ подробности рѣшенія
линейныхъ визуальныхъ задачъ, такъ какъ онѣ относятся
къ проективной Геометріи. Мы лишь разсмотримъ нѣкото-
вести прямую х черезъ точку
рыя изъ этихъ задачъ и укажемъ ихъ рѣшеніе, которое
во всѣхъ задачахъ основано на теоремѣ о перспективно
расположенныхъ треугольникахъ (стр. 6о).
194. Даны двѣ прямыя линіи и точка Р; требуется про-
Р и черезъ недоступную
точку пересѣченія обѣ-
ихъ данныхъ прямыхъ.
Рѣшеніе выполняется
согласно фигурѣ 130 или
131. На первой фигурѣ
прямая 1г и точки<^^ В
произвольны; вто-
рой фигурѣхйроизволь-
ными являю^да прямыя/?,
/г, I и тю^а 5.
і^Даны двѣ пары
прямыхъ аа’, ЬЬ', при чемъ точки пер^йченія а X Ь\Ь'
§ 3°- ВИЗУАЛЬНЫЯ ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. 163
лежатъ внѣ эпюра чертежа (фиг. 132); требуется построить
прямую, соединяющую обѣ
Съ этой цѣлью на
второй діагонали четы-
рехсторонника аа'ЬЬ' бе-
рутъ произвольную точку
Л>, проводятъ черезъ нее
прямыя /г, и разсматри-
ваютъ получившіеся пер-
спективно расположен-
ные треугольники.
Точки А и В лежатъ
на искомой прямой х.
196. Прямая , ле-
жащая внѣ эпюра чер-
эти точки.
тежа, задана двумя пара-
ми прямыхъ а, а' и Ъ, Ъ9 (фиг. 133), сверхъ того дана прямая с,
пересѣкающая прямую въ точкѣ Р, лежащей внѣ эпюра;
требуется построить вторую прямую проходящую черезъ
Р. Соединяютъ точки а X Ь и а' X Ъ' (фиг. 133), берутъ на
этой прямой произвольную точку 5 и строятъ с', какъ сто-
Фиг. 133.
спективѣ от-
и*
рону треугольника, который находится в
носительно треугольника аЪс и точки
164
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
В) Визуальныя задачи второй степени.
і. Эти задачи требуютъ лишь возстановленія
относительнаго положенія искомой фигуры и, бу-
дучи рѣшаемы вычисленіемъ, приводятъ къ урав-
неніямъ первой и второй степени; онѣ не измѣня-
ютъ своего словеснаго выраженія при проектиро-
ваніи и не требуютъ никакого измѣренія отрѣз-
ковъ или угловъ.
Такъ какъ каждое уравненіе второй степени имѣетъ
два рѣшенія, то и каждая задача второй степени, если она
не распадается на большее число задачъ второй степени»
имѣетъ только два рѣшенія, которыя однако могутъ и
совпасть или быть мнимыми.
Поэтому говорятъ также: „Геометрическія задачи
второй степени имѣютъ либо два рѣшенія, либо одно,
либо совсѣмъ рѣшеній не имѣютъ".
Визуальными задачами второй степени будутъ,
напр., слѣдующія : опредѣленіе точки пересѣченія прямой
съ коническимъ сѣченіемъ, заданнымъ пятью точками; по-
строеніе касательной изъ данной точки къ коническому сѣ-
ченію, заданному пятью точками; построеніе остальныхъ
точекъ пересѣченія двухъ коническихъ сѣченій, если из-
вѣстны двѣ ихъ общія точки; построеніе двойныхъ точекъ
проективныхъ рядовъ, расположенныхъ на одной пря-
заданныхъ тремя парами соотвѣтственныхъ точекъ;
построеніе двойныхъ точекъ ин-
волюціи, заданной двумя ея па-
рами точекъ, или (иными сло-
вами) опредѣленіе такой пары
точекъ прямой, которыя гармо-
нически раздѣляются двумя па-
рами точекъ той же прямой, д.
2. Всѣ визуальны^ «^Гдачи
на построеніе второйС^тепени
могутъ быть сведе^фПкакъ мы
докажемъ) къ слѣдтоІцей задачѣ :
Между дАжя рядами то-
чекъ, расположенными на
начерченномъ коническомъ сѣчец^о^(фиг. 134), уста-
двухъ
мой и
§ 3°- ВИЗУАЛЬНЫЯ ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. 165
новлена проективная зависимость, заданная тремя
парами соотвѣтственныхъ точекъ АА', ВВ', СС’\ тре-
буется опредѣлить двойные элементы X и У (точки,
отвѣчающія сами себѣ) этой проективной зависи-
мости.
Для полученія этихъ точекъ проектируютъ, какъ из-
вѣстно, оба расположенные на К ряда точекъ соотвѣт-
ственно изъ А и А' и строятъ такимъ путемъ два проек-
тивныхъ пучка, которые находятся въ перспективномъ по-
ложеніи другъ къ другу, такъ какъ они имѣютъ общій лучъ
АА', отвѣчающій самъ себѣ.
Поэтому соотвѣтственные лучи этихъ двухъ пучковъ
пересѣкаются въ точкахъ нѣкоторой прямой 5, которая съ
удобствомъ можетъ быть использована для пополненія
обоихъ рядовъ точекъ.
Легко видѣть, что точки пересѣченія 5 съ К и будутъ
искомыми точками X, У.
Къ рѣшенной выше задачѣ сводится, какъ извѣстно,
опредѣленіе двойныхъ элементовъ двухъ проективныхъ ря-
довъ точекъ, расположенныхъ на одной прямой, а, слѣдо-
вательно, и опредѣленіе точекъ пересѣченія прямой линіи
съ коническимъ сѣченіемъ, заданнымъ пятью его элемен-
тами.
Раннѣе упомянутыя задачи также могутъ быть сведены
къ этой задачѣ.
3. Каждая визуальная задача второй степени
можетъ быть рѣшена съ помощью проведенія
однѣхъ лишь прямыхъ линій, если въ плоскости чер-
тежа дано постоянное коническое сѣченіе К 106).
Для рѣшенія каждой визуальной задачи второй сте-
пени можно лишь проводить прямыя, опредѣлять коническія
сѣченія, строить точки пересѣченія прямыхъ съ прямыми
и съ коническими сѣченіями, производить операціи проекти-
рованія и пересѣченія.
Но построеніе точекъ пересѣченія прямой симониче-
скимъ сѣченіемъ, заданнымъ пятью его элемеьп4&и, всегда
можетъ быть сведено къ основной задачѣ ііуті^гѣ 2 и, при
пользованіи коническимъ сѣченіемъ К, можетъ быть выпол-
нено путемъ проведенія однѣхъ лишь пйадыхъ линій.
166
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
Поэтому каждую визуальную задачу второй степени
можно рѣшить, проводя однѣ лишь прямыя линіи, если въ
плоскости начерчено коническое сѣченіе, напр.. окружность,
при чемъ нѣтъ надобности знать ея центръ (ср. стр. 87).
4. Каждая визуальная задача второй степени
можетъ быть, такимъ образомъ, окончательно све-
дена къ опредѣленію двойныхъ элементовъ двухъ
проективныхъ наложенныхъ другъ на друга рядовъ
точекъ.
Отсюда вытекаетъ чрезвычайно общій методъ
рѣшенія такого рода задачъ, такъ называемый „ме-
тодъ испытанія".
Мы разъяснимъ его на
примѣрѣ:
Пусть будутъ даны три
прямыя о-, , И три точ-
ки г, 2,3 (фиг. 135); требует-
ся начертить треугольникъ
ХУ7, такъ, чтобы вершины
его лежали соотвѣтственн-»
на прямыхъ , &) а
стороны проходили соот-
вѣтственно черезъ точки
7, 2У 7.
Берутъ на произ-
гъ ее изъ і на въ точку
точку А3 и А3 изъ 7 на
> прямую , то А2 пробѣ-
гаетъ рядъ точекъ на , находящійся въ перспективѣ по
отношенію къ ряду точекъ на , А3 пробѣгаетъ рядъ то-
чекъ на &3, перспективно расположенный въ отношеніи^» ,
наконецъ, А4 — рядъ точекъ на , перспективный оо^п|ьси-
тельно рд.
Ряды точекъ, которые пробѣгаются на тещами Ах и
будутъ, слѣдовательно, проективными; иж/мыя точки
X являются двойными точками этой проеі^Щщой зависимо-
сти, ибо если Л4 совпадетъ съ АХ1 тд4ш будемъ имѣть
рѣшеніе задачи.
проектирую
2 на рд въ
вольную точку Ах ,
А2, затѣмъ А2 изъ
въ точку А±.
Если точка А.
§ 31- МЕТРИЧ. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. 167
Задачи для упражненія.
197. Даны два треугольника АВС и ВЕЕ\ требуется
построить новый треугольникъ ХХЕ, вписанный въ тре-
угольникъ АВС и описанный около треугольника ВЕЕ.
198. Даны коническое сѣченіе и три точки; требуется
вписать въ коническое сѣченіе треугольникъ такъ, чтобы
стороны его проходили черезъ данныя точки.
199. Даны коническое сѣченіе и три прямыя; требуется
построить такой треугольникъ, который былъ бы описанъ
около коническаго сѣченія и вершины котораго лежали бы
на данныхъ прямыхъ.
Замѣчаніе. Хотя съ помощью начерченнаго кониче-
скаго сѣченія можно рѣшить каждую визуальную задачу
второй степени путемъ проведенія однѣхъ лишь прямыхъ
линій, но нельзя рѣшить ни одной метрической задачи.
Такъ, напр., этими средствами нельзя раздѣлить попо-
ламъ отрѣзокъ, провести параллельную прямую, опустить
перпендикуляръ.
§ 31. Метрическія задачи первой и второй степени.
і. Таковы геометрическія задачи на построеніе, кото-
рыя, при рѣшеніи ихъ путемъ вычисленія, приводятъ къ
уравненіямъ соотвѣтственно первой или второй степени, и
въ которыхъ, между прочимъ, идетъ рѣчь и объ измѣреніи.
Линейными метрическими задачами являются,
напр., слѣдующія: раздѣлить пополамъ отрѣзокъ; провести
прямую, параллельную къ данной; опустить перпендикуляръ,
и т. д.
Эти задачи имѣютъ только одно рѣшеніе, такъ какъ
онѣ зависятъ отъ линейнаго уравненія. Однако онѣ не
разрѣшимы путемъ проведенія однѣхъ прямыхъ дф,
ній, коль скоро не данъ абсолютъ плоскости. о
Къ метрическимъ задачамъ второй сте от-
носятся, напр., слѣдующія: дѣленіе пополамъ уп^щерене-
сеніе отрѣзка; опредѣленіе точекъ пересѣченія^грямой съ
окружностью, заданной ея центромъ и радіу^жъ, и т. д.
Всѣ эти задачи имѣютъ два рѣшенішѣтоторыя могутъ
также совпасть или быть мнимыми), тжъ^какъ онѣ зави-
168
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
сятъ отъ квадратныхъ уравненій; онѣ не могутъ быть рѣ-
шены путемъ проведенія однѣхъ прямыхъ, даже при поль-
зованіи начерченнымъ коническимъ сѣченіемъ, коль скоро
не данъ абсолютъ плоскости.
2. Но, согласно § 28, каждое метрическое свойство мож-
но разсматривать, какъ визуальное, если поставить въ связь
съ фигурой абсолютъ плоскости.
Двѣ параллельныя прямыя опредѣляютъ безконечно
удаленную точку, двѣ пары параллельныхъ прямыхъ (парал-
лелограммъ) опредѣляютъ безконечно удаленную прямую.
Если данъ начерченный квадратъ, то имъ опредѣля-
ется безконечно удаленная прямая и сверхъ того еще и
мнимыя циклическія точки. Именно, онѣ гармонически раз-
дѣляются каждыми двумя смежными сторонами квадрата, а
также его діагоналями; слѣдовательно, онѣ вполнѣ опредѣ-
лены.
Итакъ, начерченный квадратъ опредѣляетъ без-
конечно удаленную прямую и мнимыя циклическія
точки, т. е. абсолютъ плоскости.
Поэтому, если данъ квадратъ, то каждую линей-
ную метрическую задачу можно разсматривать, какъ
визуальную линейную задачу и рѣшить ее съ помощью
проведенія однѣхъ прямыхъ линій (§ 12).
Если начерчена окружность и данъ ея центръ, то тѣмъ
самымъ данъ абсолютъ плоскости; именно, безконечно уда-
ленная прямая есть поляра центра въ* отношеніи окружно-
сти, а мнимыя циклическія точки являются точками пересѣ-
ченія окружности съ опредѣленной такимъ образомъ без-
конечно удаленной прямой.
Начерченной окружности безъ центра достаточно, со-
гласно § 30, для рѣшенія каждой визуальной задачи второй
степени путемъ проведенія однѣхъ прямыхъ линій; еслюфе
кромѣ самой окружности данъ и центръ ея, то кажда^мет-
рическая задача второй степени можетъ быть разсматри-
ваема, какъ визуальная, и поэтому можетъ бытьЗтшіена съ
помощью проведенія однѣхъ лишь прямыхъ ди^ги; резуль-
татъ этотъ нами былъ полученъ уже ранЪше' во II главѣ.
Если начерчены коническое сѣчете и квадратъ,
то можно каждую визуальную и мет^вд’ебкую задачу вто-
§ З1- МЕТРИЧ. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. 169
рой степени рѣшить путемъ проведенія однѣхъ лишь пря-
мыхъ ; того же можно достигнуть и съ помощью начерчен-
наго коническаго сѣченія, если даны его центръ и одинъ
изъ фокусовъ (§ 13).
Задачи для упражненія.
2оо. Даны двѣ параллельныя прямыя я, а' и точка Р
построить проходящую черезъ Р прямую, параллельную а и
проводя однѣ лишь прямыя линіи. (Ср. фиг. 130, 131.) (Без-
конечно удаленная точка разсматривается, какъ точка, ле-
жащая внѣ эпюра.)
201. Даны двѣ пары параллельныхъ прямыхъ аа!, ЬЬ\
т. е. параллелограммъ; сверхъ того, даны прямая с и точка
Р', построить прямую с\ проходящую черезъ Р и парал-
лельную с, проводя однѣ лишь прямыя линіи. (Ср. фиг. 133.)
(Безконечно удаленная прямая разсматривается, какъ лежа-
щая внѣ эпюра.)
202. По извѣстной теоремѣ проективной Геометріи,
три пары противоположныхъ сторонъ полнаго четырех-
угольника 1234 пересѣкаютъ каждую прямую 5 въ трехъ
парахъ точекъ А и А', В и В', С и С' нѣкоторой инволюціи
(фиг. 136). Съ другой стороны, извѣстно слѣдующее:
„Если каждые два взаимно перпендикулярные^ дуча
а и#', Ъ иЬ, с и с',... нѣкотораго пучка отнести о^р$ч> къ
другому, то лучи пучка образуютъ инволюцію."
Но инволюція опредѣляется двумя парами^я элемен-
товъ; поэтому, если лучъ а перпендикуляреЛШъ а', лучъ Ь
перпендикуляренъ къ Ь’, то лучъ перпендикулярный къ с,
можетъ быть, согласно фигурѣ 136, прсШоенъ линейно.
170
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
(Берутъ произвольную прямую 5 и точку 2 на с; строятъ
затѣмъ точки 5, ^.) (Ср. § 27.)
203. Даны квадратъ, прямая и, сверхъ того, точка Р;
провести черезъ Р перпендикуляръ къ пользуясь лишь
прямыми линіями. (Рѣшается съ помощью предыдущей за-
дачи. Ср. § 12.)
204. Даны квадратъ, три точки Си прямая
проходящая черезъ А; путемъ проведенія однѣхъ прямыхъ
линій опредѣлить вторую точку пересѣченія прямой о* съ
окружностью, проходящей черезъ А, В, С.
§ 32. Графическое рѣшеніе уравненій второй степени.
Если обратиться къ вычисленію, то каждая геометри-
ческая задача второй степени требуетъ рѣшенія уравненій
второй степени, коэффиціенты которыхъ получаются изъ
извѣстныхъ величинъ съ помощью раціональныхъ операцій
и извлеченій квадратныхъ корней.
Если при рѣшеніи нѣкоторой геометрической задачи
путемъ вычисленія приходятъ къ квадратному уравненію
(і) а2 -ф- тх-ф- п = о ,
то либо коэффиціентъ т долженъ быть извѣстнымъ отрѣз-
комъ и п — квадратомъ нѣкотораго отрѣзка, либо же т и и
будутъ числами, когда какой-либо отрѣзокъ принятъ за
единицу; само х можетъ быть найдено въ видѣ отрѣзка
путемъ построенія выраженія
/ ч т і і
(2) л. = __
Если въ качествѣ средствъ построенія для рѣшенія
уравненія (і) данъ только циркуль или линейка о двухъ
параллельныхъ краяхъ (двѣ параллельныя прямыя^а
постоянномъ разстояніи), то строятъ найденное заданіе
для х съ помощью этихъ средствъ рѣшенія по ранвде дан-
нымъ правиламъ.
Мы не станемъ ближе изслѣдовать оба э^гслучая, но
вмѣсто этого мы подробнѣе разсмотримъ Лощеніе квадрат-
наго уравненія съ помощью ШтейнероЩдй окружности и
съ помощью прямого угла.
§ 32. ГРАФИЧ. РѢШЕНІЕ УРАВНЕНІЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
171
1. Рѣшеніе квадратнаго уравненія путемъ проведенія однѣхъ
лишь прямыхъ линій при пользованіи начерченною окружностью.
Пусть будетъ дано для рѣшенія уравненіе
(з)
х2 — />л--|-^ = о,
гдѣ р и а суть раціональныя числа. Въ данной вспомога-
тельной окружности К радіуса
метръ АВ, построимъ на его
концахъ касательныя къ К и
опредѣлимъ на нихъ точки С
__ 4
и Л такъ, чтобы АС=~р и
ВІ) = ~ по абсолютной вели-
Р
чинѣ и по знаку, при чемъ по-
ложительное направленіе для
обѣихъ касательныхъ мы вы-
бираемъ одно и то же.
Прямая СВ (фиг. 137)
і (фиг. 137) проведемъ діа-
Фиг. 137.
пересѣкаетъ окружность въ
двухъ точкахъ Е и Е, которыя, будучи проектируемы изъ
А , даютъ точки Х1, Х2; мы докажемъ, что ВХ1 = хг ,
ВХ2 = х2 суть искомые корни уравненія (3).
Доказательство: Принявъ хг, х2, слѣдовательно, и
точки Х1, Х2 за данныя, опредѣлимъ отсюда отрѣзки АС
и ВО нашей фигуры.
Изъ нея слѣдуетъ, что
ЛД х2
«і = .
Въ треугольникѣ АЕС
поэтому
- _ АЕ со8 а.
лг = —-----------—.
8Ш (сц 4- а2)
Изъ треугольника АВВ получается
АГ = 2 соза2-
172 ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
поэтому
___ 2 СО8 а1 СО8 а2_ 2
8ІП ах 4- а,
= 4
Л1 Х2
Аналогично изъ треугольника І)ВЕ, въ которомъ
<^В = а1 и <^Е=а2,
слѣдуетъ, что
--- ВЕ 8Іп а2 2 8Іп а. 8Іп а2
8Іп («і -а2) зіп^ад-Р^)
_ 2 а, !§• а2 х1 х2
Но хл и х2 суть корни уравненія:
х1—рх-\- ^ = о;
поэтому
Х1 + Х2 = Р И Л'1 -^2 = 7’
такъ что
АС = 1 и ВГ) = '[ ,
Р Р
что и требовалось доказать.
Замѣчаніе. Съ помощью Штейнеровой окружности,
какъ извѣстно, можно (глава II) умножать отрѣзки и дѣ-
лить ихъ, проводя однѣ лишь прямыя.
Поэтому, если р и (] суть раціональныя числа, то отрѣзки
могутъ быть построены съ помощью однѣхъ прямыхъ
линій.
Корни уравненія опредѣляются отрѣзками ВХ1 и ВХ2.
Если желаютъ найти ихъ числовыя значенія, то необходимо
опредѣлить отношенія этихъ отрѣзковъ къ радіусу окруж-
ности.
При этомъ прежде всего узнаютъ, сколько^ржгь раді-
усъ круга укладывается въ ВХ^, затѣмъ дѣлят^радіусъ на
десять равныхъ частей и опредѣляютъ, сколько разъ мо-
жетъ быть отложена радіуса, въ случаѣлдаобности опре-
дѣляютъ еще, сколько разъ укладываете^^ радіуса.
§ 32. ГРАФИЧ. РѢШЕНІЕ УРАВНЕНІЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. 173
2. Опредѣленіе корней уравненія второй степени съ помощью
прямого угла.
Пусть для рѣшенія будетъ дано уравненіе
(4) ал а2 а2 х а3 = о,
гдѣ ах, я2, а3 суть цѣлыя числа (въ частности, ал есть по-
ложительное цѣлое число).
а) Мы прежде всего будемъ различать два случая:
а) Коэффиціентъ а3 будетъ положительнымъ,
имѣя, такимъ образомъ, тотъ же знакъ, что и ах.
Въ этомъ случаѣ чертятъ прямоугольную ломанную
линію АВСВ (фиг. 138), стороны которой по порядку про-
порціональны коэффиціентамъ аг, а2) при чемъ СВ имѣетъ
направленіе, противоположное направленію АВ.
Если теперь провести прямую АЕ, наклоненную къ
подъ произвольнымъ угломъ со, и ЕЕ перпендикулярамъ
АЕ И ПОЛОЖИТЬ ІР-60 = А, то
ВЕ = ахх,
'2 ,
ЕВ = х2
о
174
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
Если Е совпадаетъ съ В, то
/7) = о,
такъ что будетъ корнемъ уравненія.
На чертежѣ (съ отрицательнымъ знакомъ)
суть корни уравненія, такъ какъ прямоугольныя ломанныя
линіи АХх В и АХ2Е заканчиваются въ Е.
Такого рода рѣшающую ломанную линію легко по-
строить съ помощью прямого угла:
Его помѣщаютъ въ плоскости чертежа такъ, чтобы
стороны его проходили черезъ А и Е, а вершина лежала
на прямой ВС (въ случаѣ надобности — на ея продолженіи).
Тогда корнями уравненія будутъ
ВХх ях*
=------, Х2 =------- •
АВ АВ
Свободный членъ а3 даннаго для рѣшенія
уравненія будетъ отрицательнымъ, имѣя знакъ, об-
ратный знаку ал .
Въ этомъ случаѣ чертятъ прямоугольную ломанную
линію, со сторонами ах, , а3, при чемъ отрѣзки ал и а3
одинаково направлены (фиг. 139).
Фиг. 139.
Если построить на
АВ произвольный уголъ
со и провести ЕЕ перпен-
дикулярно къ АЕ, то,
положивъ снова о) = х,
получимъ
ВЕ = ахх, СЕ=ахх-\~
ЕВ = (цх-^- а3
(число а3 будетъ отрица-
тельнымъ).
Опредѣленіе, ^рней
уравненія треб^^ь по-
строенія рѣіЖІЬіцей ло-
манной линт|Ютого мож-
уголъ вфгшіоскости чер-
жрезъ А и Е, а
5ямой ВС.
но достигнуть, помѣстивъ прямой
тежа такъ, чтобы стороны его проходил:
вершина его лежала на неограниченной^
§ 32. ГРАФИЧ. РЪШЕНІЕ УРАВНЕНІЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
175
Ь) Оба случая а) и (!) могутъ быть объединены слѣдую-
щимъ правиломъ:
„Чертятъ ломанную линію, стороны которой
равны коэффиціентамъ предложеннаго уравненія
(принимая нѣкоторый удобно выбранный отрѣзокъ
за единицу); двѣ первыя стороны взаимно перпен-
дикулярны, въ остальномъ ихъ взаимное расположе-
ніе можно выбирать произвольно; третья же сторона
ломанной линіи должна имѣть направленіе, совпа-
дающее съ направленіемъ параллельной ей первой
стороны, или противоположное ему — въ зависимо-
сти отъ того, имѣютъ ли коэффиціенты ах и а3 пред-
ложеннаго уравненія неодинаковые или одинаковые
знаки".
Если разрѣшающія ломанныя линіи найдены, то опре-
дѣленіе знаковъ найденныхъ значеній требуетъ еще вни-
манія :
Для угла со за положительное должно принимать то
направленіе, исходя отъ АВ, при которомъ уголъ со = 2700
отвѣчаетъ положительному направленію прямой ВС, при
чемъ это положительное направленіе указывается отрѣз-
комъ ВС или СВ, смотря по тому, будетъ ли коэффиціентъ
и., положительнымъ или отрицательнымъ.
Замѣчаніе. Если пользуются прямымъ угломъ, какъ
единственнымъ инструментомъ черченія, то, какъ извѣстно,
можно проводить параллельныя прямыя, опускать перпен-
дикуляры, умножать и дѣлить отрѣзки (§ 24).
Можно, слѣдовательно, построить съ помощью этого
инструмента и ломанную линію АВСВ, которая „пред-
ставляетъ" триномъ ах х2 -ф- а2 х -ф- а3, коль скоро , а2,
суть раціональныя числа.
Разрѣшающія ломанныя разыскиваются опять-таки при
исключительномъ пользованіи прямымъ угломъ. Численно^
опредѣленіе корней можетъ также быть произведено^ри
помощи одного лишь прямого угла.
— X
VI. ГЛАВА.
Доказательства невозможности.
§ 33. Введеніе.
і. Въ предыдущихъ главахъ мы неоднократно говорили
о невозможности выполнить построеніе данными средствами
рѣшенія.
Мы упоминали, напр., что для рѣшенія квадратныхъ
задачъ на построеніе съ помощью постоянной окружности
и односторонней линейки, кромѣ самой окружности, необхо-
димо имѣть еще и центръ ея, и что, въ частности, невоз-
можно путемъ проведенія однѣхъ лишь прямыхъ линій раз-
дѣлить отрѣзокъ пополамъ или провести параллельную
прямую, если центръ Штейнеровой окружности не данъ.
Мы упоминали, что невозможно также построить не-
извѣстный центръ начерченной окружности путемъ прове-
денія однѣхъ лишь прямыхъ линій.
Далѣе, нами было упомянуто, что не всѣ геометриче-
скія задачи на построеніе второй степени могутъ быть рѣ-
шены съ помощью проведенія прямыхъ линій и перенесенія
отрѣзковъ, что, напр., такимъ путемъ не можетъ быть по-
строено выраженіе |/я2— гдѣ а и Ъ — данные отрѣзки.
2. Строгое доказательство всѣхъ этихъ утвержденій
является настоятельнымъ требованіемъ нашей любознатель-
ности, ибо наше стремленіе къ познанію можетъ бд<^рудо-
влетворено лишь тогда, когда мы либо получаер^^^юлное
рѣшеніе задачи или строгое доказательство теорМЫ, либо же
нами ясно понято основаніе невозможности достиженія успѣха
и вмѣстѣ съ тѣмъ стала понятной необходилшсть неудачи *).
о
*) Гильбертъ, „СгипсПа^еп сіег Се^фтеігіе", стр. 82.
§ 34- АБСОЛЮТЪ плоскости.
177
Поэтому мы исчерпаемъ въ настоящей главѣ вопросы,
которые нами были упомянуты выше, и затѣмъ докажемъ
еще, что каждая задача, которая, при рѣшеніи ея путемъ
вычисленія, приводитъ къ неприводимымъ уравненіямъ
третьей степепи (какъ, напр., трисекція произвольнаго угла
и удвоеніе куба), не можетъ быть строго рѣшена путемъ
проведенія прямыхъ линій и описыванія окружностей.
§ 34. О невозможности опредѣлить абсолютъ плоскости съ
помощью визуальныхъ чертежныхъ операцій.
і. Подъ визуальной чертежной операціей разумѣютъ
проведеніе прямыхъ линій, пересѣченіе прямыхъ между
собой и съ другими данными фигурами, которыя могутъ
быть также кривыми линіями, напр., коническими сѣченіями
и т. д.; исключаются всякіе виды измѣренія.
При этомъ мы предполагаемъ также, что данныя на-
черченныя фигуры не опредѣляютъ абсолюта плоскости, какъ
это, напр., имѣетъ мѣсто въ томъ случаѣ, когда дана окруж-
ность и ея центръ.
2. Съ помощью проведенія прямыхъ линій, пересѣченія
и проектированія безконечно удаленная прямая и абсолют-
ная инволюція на ней (съ циклическими точками въ каче-
ствѣ двойныхъ точекъ) не могутъ быть опредѣлены. *
Въ самомъ дѣлѣ, если бы мы могли опредѣлить абсо-
лютъ плоскости или, по крайней мѣрѣ, безконечно удален-
ную прямую путемъ проведенія однѣхъ лишь прямыхъ ли-
ній, то можно было бы все выполненное такимъ образомъ
построеніе спроектировать на вторую плоскость такъ, чтобы
безконечно удаленная прямая перешла въ совершенно
произвольную прямую а абсолютная инволюція
— въ данную (мнимую) инволюцію на ,
При посредствѣ тѣхъ же операцій, съ помощьюкот^
рыхъ находятъ безконечно удаленную прямую на первомт^^э-
тежѣ, можно было бы построить совершенно протоколь-
ную прямую такимъ образомъ, оказалось бі^возмож-
нымъ съ помощью данной операціи найти н^^олько нѣ-
которую опредѣленную, но и произвольную прямую
плоскости, что невозможно 107). ъХХ
Теорія геометрическихъ построеній.
12
178
ГЛАВА VI. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВОЗМОЖНОСТИ.
3. Безконечно удаленная прямая въ чистой Гео-
метріи положенія, которая трактуетъ только о зависимо-
стяхъ, связывающихъ положеніе, но не о результатахъ из-
мѣренія, не занимаетъ вовсе исключительнаго мѣста;
она является такой же прямой, какъ и всякая другая, ибо
путемъ проектированія она можетъ быть переведена во
всякую другую прямую.
Безконечно удаленная прямая не можетъ быть опре-
дѣлена съ помощью проектированія и пересѣченія безъ
всякаго пользованія измѣреніемъ, она не можетъ входить
ни въ какія визуальныя соотношенія съ фигурами, не содер-
жащими никакого измѣренія.
4. Поэтому представляется также невозможнымъ раздѣ-
лить пополамъ отрѣзокъ съ помощью проведенія однѣхъ
прямыхъ линій, ибо въ противномъ случаѣ можно было бы
опредѣлить безконечно удаленную прямую съ помощью
визуальныхъ операцій, что, согласно вышесказанному, не-
возможно.
Равнымъ образомъ, невозможно найти путемъ прове-
денія однѣхъ прямыхъ линій центръ начерченной окружно-
сти, ибо тогда абсолютъ плоскости оказался бы найденнымъ
съ помощью визуальныхъ операцій, чего быть не можетъ.
5. Если дано начерченное коническое сѣченіе, то
хотя съ помощью проведенія прямыхъ линій могутъ быть
рѣшены всѣ визуальныя задачи второй степени (стр. 165),
но не можетъ быть рѣшена ни одна метрическая задача,
напр., не можетъ быть раздѣленъ пополамъ отрѣзокъ, ибо въ
противномъ случаѣ путемъ визуальныхъ операцій былъ бы
опредѣленъ абсолютъ плоскости. Но абсолютъ плоскости
не можетъ входить ни въ какія визуальныя соотношенія
сь коническимъ сѣченіемъ, которое задано только своимъ
контуромъ.
Но если, кромѣ окружности, извѣстенъ ея центамъ или
квадратъ, или же, кромѣ коническаго сѣченіж^шы его
центръ и одинъ изъ фокусовъ, то тѣмъ сдакъ дается
абсолютъ плоскости, такъ что всякая задач^йервой и вто-
рой степени разрѣшима съ помощью поведенія однѣхъ
лишь прямыхъ линій (стр. 168).
§ 35- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕВОЗМОЖНОСТИ.
179
§ 35. Доказательство невозможности рѣшить каждую задачу
второй степени съ помощью проведенія прямыхъ линій и
перенесенія отрѣзковъ *).
і. Перенесеніе отрѣзковъ въ этомъ параграфѣ выпол-
няется съ помощью эталона длины (отрѣзка данной длины,
которую мы можемъ принять за единицу) (§ 26).
Будетъ доказано, что не каждая квадратная задача
можетъ быть рѣшена съ помощью этихъ ограниченныхъ
средствъ рѣшенія.
Но прежде всего мы отвѣтимъ на вопросъ о томъ,
какія задачи могутъ быть рѣшены предложенными сред-
ствами.
2. Аналитическое представленіе координатъ то-
чекъ, которыя могутъ быть построены съ помощью
проведенія прямыхъ линій и перенесенія отрѣзковъ.
а) Въ основаніе мы кладемъ прямоугольную систему
координатъ и относимъ къ ней всѣ данныя точки при по-
мощи ихъ координатъ.
Если 7\, Р2 и Р3, Р4 суть двѣ произвольныя данныя
пары точекъ, то прямыя, соединяющія эти пары точекъ,
имѣютъ соотвѣтственно уравненія:
У—Уі
У2 ~Уі
х2 —хг
У—Уз
——— (х — х3).
Х4— Х3 37
(* —*і),
Опредѣливъ координаты точки пересѣченія этихъ
двухъ прямыхъ, легко замѣтить, что эти координаты полу-
чаются съ помощью однѣхъ лишь раціональныхъ операцій
изъ координатъ точекъ Ри Р21 , Р4.
Если соединить эту точку пересѣченія съ другой дан-А
ной точкой и разсмотрѣть точку пересѣченія этой соединф"
тельной прямой съ какой-нибудь другой прямой, опіжПъ
ляемой данными точками и т. д., то окажется, чтотаор-
динаты всѣхъ точекъ, которыя могутъ б&ь по-
строены по даннымъ точкамъ съ помощью^йроведе-
*) Гильбертъ. „Сгипсііа^еп сіег Сеоше
стр. 76, 77.
2-е изданіе
12*
180
ГЛАВА VI. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВОЗМОЖНОСТИ.
нія прямыхъ линій, будутъ числами, которыя изъ
координатъ данныхъ точекъ могутъ быть получены
съ помощью раціональныхъ операцій.
Точно также раціонально выражаются черезъ коорди-
наты данныхъ точекъ и угловые коэффиціенты этихъ
у г—У \
прямыхъ, напр., т = —---—.
ОС
Поэтому, если черезъ одну изъ данныхъ или построен-
ныхъ уже точекъ провести прямую, параллельную нѣкото-
рой уже построенной прямой, и взять точку пересѣченія про-
веденной прямой съ другой построенной прямой, то коорди-
тами этой точки всегда будутъ числа, которыя могутъ быть
получены, какъ результаты примѣненія однѣхъ только ра-
ціональныхъ операцій къ координатамъ данныхъ точекъ.
Ь) Перенесеніе отрѣзка можетъ быть замѣнено его
параллельнымъ перенесеніемъ и слѣдующимъ за этимъ вра-
щеніемъ вокругъ одного изъ концовъ.
Параллельное перенесеніе требуетъ опредѣленія
точки пересѣченія прямыхъ, параллельныхъ даннымъ пря-
мымъ, т. е. только раціональныхъ операцій надъ данными
натъ ХОУ
(фиг. 140) будетъ
координатами.
с) Мы теперь ближе разсмотримъ вращеніе от-
рѣзка.
Пусть при нѣкоторой прямоугольной системѣ коорди-
данъ уголъ со съ помощью
точки С, имѣющей коорди-
наты л, і, и сверхъ того
точка Р съ координатами
я, у.
Т ребу ется повернуть
эту точку Р вокругъ О на
уголъ со и опредѣлить^ко-
ординаты х , у' полуф|нной
такимъ путемъ тожі? Р.
х = Г СО8 (а 4- со) = Г СО8 а СО8 СО — Г 8ІП
А такъ какъ
а
8ІП со
СО8 со
§ 35* ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕВОЗМОЖНОСТИ.
181
и
то
г со8 а = х у г зіп а =у ,
а . ъ
' у Х ~ + У
Аналогично находимъ
. Ь . а
у = — . х ч—г ... - у;
у>+^ Ѵа^ъ^
при этомъ корень берется съ положительнымъ знакомъ.
Отсюда мы заключаемъ, что координаты х', у ис-
комой точки Р' могутъ быть получены изъ коорди-
натъ данныхъ точекъ С, Р помощью раціональныхъ
операцій и извлеченія квадратнаго корня изъ суммы
двухъ квадратовъ.
сі) Такимъ образомъ, если М и 7Ѵ суть двѣ точки, ко-
торыя построены помощью проведенія прямыхъ линій и пе-
ренесенія отрѣзковъ, то координаты точекъ Л/, А всегда мо-
гутъ быть получены изъ координатъ данныхъ точекъ пу-
темъ производства раціональныхъ операцій и извлеченій
квадратнаго корня изъ суммы двухъ квадратовъ. Это же
справедливо и относительно длины отрѣзка МЫ.
Итакъ, мы можемъ утверждать теорему:
„Если нѣкоторая геометрическая фигура полу-
чена съ помощью односторонней линейки и эталона
длины, то координаты найденныхъ точекъ должны
быть такими функціями координатъ данныхъ точекъ,
опредѣленіе которыхъ требуетъ примѣненія только
четырехъ раціональныхъ операцій и развѣ еще из-
риче-
іа съ
рѣшенія.
Опредѣленную
влеченія квадратнаго корня изъ суммы двухъ квад-
ратовъ; эти операціи должны притомъ примѣняты&я
конечное число разъ."
3. Докажемъ теперь, что не всякая ге
екая задача на построеніе можетъ быть
помощью нашихъ ограниченныхъ средст
Съ этой цѣлью мы построимъ нѣкото
область й алгебраическихъ чиселъ.
182
ГЛАВА VI. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВОЗМОЖНОСТИ.
Мы исходимъ изъ числа і и примѣняемъ къ нему и
ко всѣмъ получающимся числамъ четыре раціональныя опе-
раціи и пятую операцію |Уі4-й>2|, прѣ чемъ со всякій разъ
означаетъ нѣкоторое число, полученное съ помощью этихъ
пяти операцій. Самый корень мы всегда беремъ лишь съ
положительнымъ знакомъ.
Эта числовая область, очевидно, содержитъ координаты
• и разстоянія всѣхъ точекъ, которыя могутъ быть получены
изъ двухъ точекъ (о, о), (і,о), отнесенныхъ нѣкоторой пря-
моугольной системы координатъ съ помощью проведенія
прямыхъ линій и перенесенія отрѣзковъ.
Въ частности, въ ней содержится отрѣзокъ У2, но
нѣтъ въ ней отрѣзка
$=|/2 ІРЪІ—2.
Дѣйствительно, наша область содержитъ только веще-
ственныя числа, такъ какъ мы начинаемъ съ вещественнаго
числа, а мнимое число не можетъ быть получено изъ ве-
щественныхъ съ помощью нашихъ операцій.
Далѣе, если со есть какое-нибудь число нашей области,
то этой же числовой области принадлежитъ и сопряженное
съ со алгебраическое число, что прямо вытекаетъ изъ опре-
дѣленія числовой области &.
Наша числовая область & содержитъ поэтому только
такія числа, которыя сами будутъ вещественными, и кото-
рыя будутъ сопряжены только съ вещественными числами.
Сопряженнымъ съ 5 числомъ будетъ число
•5' = |/— 2 I ]/г I — 2 .
Оно мнимое; слѣдовательно, числа з' и 5 не принадле-
жатъ числовой области & 108).
Мы предложимъ теперь слѣдующую задачу:
Въ нѣкоторомъ прямоугольномъ треуголыі^кѣ>
гипотенуза г=і, одинъ изъ катетовъ а = | Уіё^- і;
требуется построить второй катетъ съда^ощью
нашихъ ограниченныхъ средствъ рѣшены!^
Оба числа а и с содержатся въ облацт^й. Искомый
катетъ есть |/ 2 | У 2 | —2; это число цѣЛнашей области
й не содержится.
§ зб. ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ.
183
Слѣдовательно, задача не можетъ быть рѣшена
нашими средствами рѣшенія, въ то время какъ она легко
рѣшается при неограниченномъ пользованіи циркулемъ и
линейкой.
§ 36. Доказательство невозможности строгаго рѣшенія
съ помощью проведенія прямыхъ линій и описыванія окруж-
ностей геометрической задачи, которая зависитъ отъ непри-
водимаго уравненія третьей степени.
Въ этомъ параграфѣ будетъ доказано, что съ помощью
циркуля и линейки невозможно строго разрѣшить геомет-
рическую задачу, которая, будучи рѣшаема путемъ вычисле-
нія, оказывается зависящей отъ неприводимаго 109) урав-
ненія третьей степени.
Для того, чтобы имѣть возможность доказать это, мы
предварительно упомянемъ о нѣкоторыхъ важныхъ поня-
тіяхъ Алгебры.
і. Область раціональности.
Надъ даннымъ числомъ а и всѣми тѣми числами, кото-
рыя будутъ получаться, производятся раціональныя операціи
и только онѣ, т. е. числа складываются, вычитаются, умно-
жаются и дѣлятся (исключается дѣленіе на нуль).
Такимъ путемъ получается безконечное множество чи-
селъ. Совокупность всѣхъ чиселъ, получающихся ука-
заннымъ образомъ изъ даннаго числа а, называется об-
ластью раціональности.
Подъ этимъ, такимъ образомъ, разумѣютъ та-
кую числовую область (числовой корпусъ), что если
надъ числами ея производить раціональныя опера-
ціи, то въ результатѣ получаются лишь числа, со-
держащіяся въ этой области.
Въ частности, если а есть раціональное число, то съ
помощью вышеупомянутыхъ операцій получаются всѣ
ціональныя числа, т. е. корпусъ раціональныхъ ч^|йіъ.
2. Обозначимъ черезъ 7?1 совокупнос^ь^сѣхъ
раціональныхъ чиселъ и черезъ а нѣкототЖе опре-
дѣленное раціональное число.
Если всѣ числа 7?, сочетать съ Vа съдпомощью ра-
ціональныхъ операцій и всѣ этимъ щ&^іъ полученныя
184
ГЛАВА VI. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВОЗМОЖНОСТИ.
числа снова подвергнуть раціональнымъ операціямъ, то
получится новая область раціональности 7?2, которая со-
держитъ 7?х, какъ часть.
Въ область Т?2 входитъ число зх = тх ф- пх V а , гдѣ
суть раціональныя числа; дѣйствительно, число
получается изъ чиселъ пх и а путемъ раціональныхъ
операцій.
Всѣ числа, принадлежащія области Т?2, могутъ
быть представлены въ формѣ Л/-]-Л7Уа, гдѣ М и 7Ѵ
принадлежатъ уже области Кх, т. е. являются раціо-
нальными числами.
Дѣйствительно, всѣ числа области Т?2 получатся,
если сочетать съ помощью раціональныхъ операцій сначала
число а съ числами области 7?І , а затѣмъ полученныя
числа между собою.
Пусть теперь зх и #2 будутъ числа, полученныя пер-
вымъ способомъ; они должны имѣть видъ:
-1 = V Щ ^2 = ^2 + „2 •
Складывая числа %х и ^2 или вычитая одно изъ дру-
гого, получимъ результатъ вида Л7-]-7ѴКесли соста-
вить произведеніе %х • <з2, то оно снова будетъ имѣть тотъ же
видъ. Наконецъ, если образовать частное , при чемъ сдѣ-
лать знаменатель раціональнымъ и преобразованный числи-
тель раздѣлить на него, то снова получится результатъ вида
гдѣ М и Ы суть числа области 7?ѵ
Такимъ образомъ, можно утверждать: „Если къ обла-
сти раціональныхъ чиселъ присоединить новое
число ]/*а (пріобщить У~а), гдѣ а есть раціональное
число, то получится новая область раціоналыіоѣтн,
и каждое число этой расширенной области °4^Гціо-
нальности можетъ быть представлено въіС^формѣ
М-\~ІУѴ а, гдѣ М и Аг суть раціональныя ^Жсла, т. е.
принадлежатъ исходной области раціональности, и,
въ частности, могутъ быть нулями".
3. Кх снова означаетъ область раі^^йальныхъ чиселъ.
§ зб- ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ.
185
Если пріобщить къ ней, напр., Уз, то получится но-
вая область Т?2, всѣ числа которой могутъ быть написаны
въ формѣ т -ф- п У з, гдѣ т и п суть раціональныя числа.
Но область Т?2 не содержитъ однако числа У5;ибо въ
противномъ случаѣ было бы:
^ + "1/Л3 = Г5.
гдѣ т и п раціональныя числа, что невозможно.
Если къ области Т?2 пріобщить У 5, то получится но-
вая область 7?3. Всѣ числа этой новой области могутъ быть
(пунктъ 2) представлены въ видѣ ^-ф-/]/5> гдѣ к и I суть
числа, которыя принадлежатъ области Т?2 > слѣдовательно,
могутъ содержать также и У 3.
4. Мы снова отправляемся отъ области раціональ-
ныхъ чиселъ, пріобщаемъ число- гдѣ — раціональное
число, и получаемъ такимъ путемъ область Т?2; къ ней мы
пріобщаемъ число ]/я2, при чемъ а2 (но не|/я2) принадлежитъ
къ области Т?2, въ результатѣ получаемъ область раціо-
нальности 7?3. Къ этой области мы пріобщаемъ ]/я3, гдѣ а3
принадлежитъ области 7?3, и т. д.
Наконецъ, пріобщеніемъ Улф_і мы получимъ область
Кп и дальнѣйшимъ пріобщеніемъ V ап— область
Каждое число послѣдней области имѣетъ при этомъ
форму р-\-дѴап, гдѣ р, ц, ап принадлежатъ уже предпо-
слѣдней области.
5. Пусть будетъ дано число я, которое изъ другихъ
данныхъ чиселъ можетъ быть получено съ помощью раціо-
нальныхъ операцій и извлеченій квадратнаго корня, но
имѣетъ совершенно произвольную форму.
гт а “Ь с у 7 (64^
Пусть, напр., з =--—~ •• -—, гдѣ
у т — У п
раціональныя числа.
Съ помощью послѣдовательнаго пріобшф^йя квадрат-
ныхъ корней можно получить изъ области^ раціональныхъ
чиселъ область, въ которой содержится
186
ГЛАВА VI. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВОЗМОЖНОСТИ.
Если мы пріобщимъ къ области 7?г раціональныхъ
чиселъ число ]//>, то новая область Т?2 будетъ содержать
число а + если мы теперь пріобщимъ къ области /?2 число
и къ полученной такимъ образомъ области 7?3
число ѴТ, то получимъ область , въ которой содержится
числитель дроби г. Если мы затѣмъ пріобщимъ къ обла-
сти /?4 число Ѵп, то въ новой области Т?5 будетъ содер-
жаться и т — Vнаконецъ, пріобщивъ къ /?5 число
т — Ѵп, мы получимъ область /?6, въ которой содер-
жатся числитель и знаменатель числа %, а, слѣдовательно,
и само числог.
Такимъ образомъ, отправляясь отъ раціональныхъ чи-
селъ, мы построили область раціональности, въ которой
содержится число %.
6. Теперь мы въ состояніи доказать, что уравненіе
третьей степени, не имѣющее раціональныхъ корней, не-
разрѣшимо въ квадратныхъ радикалахъ.
А) Пусть будетъ дано уравненіе:
(і) х3-\-ах = Ь1
гдѣ а и Ъ суть раціональныя числа. Это уравненіе, какъ
извѣстно, имѣетъ три корпя х,, х2, х3; коэффиціентъ при
х* (і) 2 (з) есть нуль, слѣдовательно, должно имѣть мѣсто равен-
ство:
(2) хх + х2 + х3 = о .
Мы допустимъ теперь, что ни одинъ изъ этихъ
корней не будетъ раціональнымъ, и докажемъ, что
тогда ни одинъ изъ нихъ не можетъ быть пред-
ставленъ цѣпью квадратныхъ радикаловъ.
Доказательство. Мы дадимъ непрямое доказатель-
ство. Допустимъ, что одинъ изъ трехъ корней, напрф^,
выражается съ помощью квадратныхъ радика°д©^ъ.
Тогда, согласно 5., путемъ пріобщенія кв^^ѣтныхъ
радикаловъ можетъ быть построена область д^рИонально-
сти, въ которой содержится хг. Если VI есть^юслѣдній изъ
пріобщаемыхъ при этомъ радикаловъ, то оуѵ
(з) = т + 11
§ 36. ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ.
187
гдѣ ту п и 7, согласно 5., должны принадлежать предше-
ствующей области раціональности.
Если подставить это значеніе х въ равенство (і), то
получится:
(4) Л/+7ѴГГ=о,
гдѣ
М = т3 + ат — > 2Ѵ= ”Ь Ч- ап •
М, IV, I принадлежатъ, такимъ образомъ, предшествующей
области раціональности;]/? ей не принадлежитъ; поэтому
л/Т М
VI не можетъ равняться — .
Слѣдовательно, равенство (4) можетъ имѣть мѣсто
только въ томъ случаѣ, если М=о и ^=о. Тогда уравне-
ніе (і) удовлетворяется и значеніемъ
(5)
х2 = ш — пУ /,
въ чемъ можно убѣдиться вычисленіемъ.
Изъ равенства (2) вытекаетъ далѣе, что
(6)
Х3 =-----(Х' Х2) =-----2Ш.
Этотъ результатъ можно такъ выразить:
Если одинъ изъ корней уравненія (і) можетъ
быть выраженъ съ помощью квадратныхъ радика-
ловъ, то путемъ пріобщенія квадратныхъ радикаловъ
можетъ быть образована область, которой принад-
лежитъ хг; той же области долженъ принадлежать и
второй корень уравненія; третій же корень х3 при-
надлежитъ тогда предшествующей области.
Но такъ какъ х3 принадлежитъ предпослѣдней области,
то съ помощью аналогичныхъ умозаключеній выведемъ, что
хл или х2 принадлежитъ предпослѣдней области, а оставщі^
ся корень относится къ области, ей предшествующей, д.
Наконецъ, такимъ путемъ придемъ къ области радіаль-
ныхъ чиселъ.
Такимъ образомъ, мы видимъ, что догтофніе, будто
одинъ изъ корней уравненія можетъ бъ^рь предста-
вленъ съ помощью квадратныхъ корц^^должно быть
188
ГЛАВА VI. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВОЗМОЖНОСТИ.
отвергнуто, коль скоро уравненіе не имѣетъ раціональ-
ныхъ корней, что именно и было предположено.
Этимъ показано, что кубическое уравненіе (і) нераз-
рѣшимо въ квадратныхъ радикалахъ, въ случаѣ если оно
не имѣетъ раціональныхъ корней.
В) Кубическое уравненіе общаго вида
(і) +Дз3ф5гфС=о
съ помощью подстановки
(2)
можетъ быть представлено въ формѣ:
(3)
образомъ, общее уравненіе третьей степени
представлено въ приведенной формѣ (3) безъ
Такимъ
можетъ быть
употребленія квадратныхъ корней.
Поэтому общее уравненіе и полученное изъ него при-
веденное уравненіе либо оба одновременно имѣютъ ра-
ціональные корни, либо оба ихъ не имѣютъ.
Слѣдовательно, полученное выше предложеніе можетъ
быть формулировано въ общемъ видѣ: „Кубическое урав-
неніе съ раціональными коэффиціентами, не имѣю-
щее раціональныхъ корней, не можетъ быть разрѣ-
шено въ квадратныхъ радикалахъ".
С) Необходимо еще показать, какъ узнать, имѣетъ ли
уравненіе третьей степени съ раціональными коэффиціентами
раціональные корни.
Это выполняется съ помощью легко доказуемаго
предложенія Алгебры, которое гласитъ: „Если урав-
неніе имѣетъ исключительно цѣлые коэффиціенты
и коэффиціентъ при наивысшей степени незвѣет-
наго равенъ -ф-і, то каждый раціональный іфрень
уравненія долженъ быть цѣлымъ числомъ, д^Якото-
рое свободный членъ дѣлится безъ остатдсаШ
свободный членъ дѣлится безъ остат^д^
Доказательство: Пусть будетъ дано уравненіе
хп -ф- ах хп~1 -ф-... -ф- ап-і х -ф- бьк^о ,
(і)
гдѣ
ах, а2... ап суть цѣлыя числа
§ зб. ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ.
189
А
Допустимъ теперь, что раціональное число — будетъ кор-
немъ этого уравненія; при этомъ можно предполагать, что
р и 9 суть взаимно простыя цѣлыя числа. Тогда должно
имѣть мѣсто равенство :
(2) рп -\-ахрп~х 9 + + + = о.
Отсюда, путемъ дѣленія на <?, получаемъ
Ьп
(3) рп~х + • • • + = о.
Всѣ члены, начиная со второго, оказываются цѣлыми
числами, слѣдовательно, и первый членъ также долженъ
быть цѣлымъ числомъ; такъ какъ р ъц суть числа взаимно
простыя, то это возможно лишь въ томъ случаѣ, когда ([ =і .
Каждый раціональный корень уравненія (і) бу-
детъ цѣлымъ числомъ.
Принимая во вниманіе, что д равно і, мы изъ равен-
ства (2) путемъ дѣленія на р выведемъ:
(4) />и-1 + «І/и-2 + --- + й«-і + -^ = °-
Изъ этого равенства вытекаетъ, что и послѣдній членъ дол-
женъ быть цѣлымъ числомъ; />, слѣдовательно, будетъ
дѣлителемъ числа ап .
Отсюда слѣдуетъ: „Если предложено уравненіе, у ко-
тораго коэффиціентъ при наивысшей степени неизвѣстнаго
оавенъ і и въ которомъ всѣ остальные коэффиціенты суть
цѣлыя числа, то безъ труда можно распознать, имѣетъ ли
это уравненіе раціональные корни, или нѣтъ. Съ этой цѣлью
отыскиваютъ лишь всѣхъ дѣлителей абсолютной величины
свободнаго члена и узнаютъ, удовлетворяютъ ли они пред-
ложенному уравненію, если дать имъ положительный или
отрицательный знакъ. Если этого не будетъ, то уравнеЙ^
совсѣмъ не имѣетъ раціональныхъ корней".
П) Пусть, напр., будетъ дано уравненіе зй^2=о>
къ которому приходятъ въ задачѣ объ удвоец-^ъкуба.
Число 2 имѣетъ дѣлителями і и 2; оба эо^йсла, снаб-
женные положительнымъ или отрицательными знакомъ, не
удовлетворяютъ уравненію.
190
ГЛАВА VI. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВОЗМОЖНОСТИ.
Слѣдовательно, это уравненіе не имѣетъ раціональныхъ
корней и потому неразрѣшимо въ квадратныхъ радикалахъ.
Пусть далѣе будутъ даны уравненія
у3 — і=о
и
У3 — 3^ + т =о.
Оба уравненія, согласно С), могутъ имѣть только раціо-
нальные корни -ф- і или — і; но такъ какъ этого нѣтъ, то
они вообще не имѣютъ раціональныхъ корней, и потому
неразрѣшимы въ квадратныхъ радикалахъ.
7. Каждая задача, приводящая къ уравненіямъ,
неразрѣшимымъ въ квадратныхъ радикалахъ, не мо-
жетъ быть рѣшена съ помощью проведенія прямыхъ
линій и описыванія окружностей, и потому неразрѣ-
шима при помощи циркуля и линейки.
а) Въ самомъ дѣлѣ, каждая фигура, построенная съ
помощью этихъ средствъ рѣшенія состоитъ изъ прямыхъ
линій и окружностей.
Въ основаніе всей фигуры положимъ систему прямо-
угольныхъ координатъ. Опредѣленіе путемъ вычисленія то-
чекъ пересѣченія прямыхъ приводитъ при этомъ къ линей-
нымъ уравненіямъ; опредѣленіе точекъ пересѣченія пря-
мой съ окружностью или точекъ пересѣченія двухъ окруж-
ностей приводитъ къ квадратнымъ уравненіямъ.
При вычисленіи различныхъ элементовъ фигуры при-
ходятъ поэтому только къ уравненіямъ первой и второй
степени. Координаты всѣхъ точекъ должны, слѣдовательно,
выражаться въ координатахъ данныхъ точекъ съ помощью
раціональныхъ операцій и извлеченій квадратнаго корня.
Ь) Если, наоборотъ, дано выраженіе, которое
содержитъ только раціональныя операціи и квад-
ратные корни, то оно можетъ быть построено Цир-
кулемъ и линейкой, съ помощью повторнаго слоукенія
и вычитанія отрѣзковъ, построенія четвертаго г^жетри-
чески пропорціональнаго, построенія средняго гео^^рически
пропорціональнаго и Пиѳагоровой теоремы.
с) Поэтому, если задача, при рѣшеніи ^еОѣічисленіемъ,
приводитъ къ уравненію третьей степени джоторое нераз-
рѣшимо въ квадратныхъ радикалахъ, Ж^фадача эта не мо-
жетъ быть рѣшена съ помощью циріф^ія и линейки.
§ 37- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕВОЗМОЖНОСТИ.
191
§ 37. О возможности или невозможности рѣшенія геоме-
трической задачи съ помощью циркуля и линейки;
познакоми-
вычислені-
степени не
наоборотъ,
і. Нерѣдко случается, что задача, повидимому простая,
не поддается попыткамъ рѣшить ее съ помощью циркуля
и линейки.
Въ основаніи этого иной разъ лежитъ трудность най-
ти вѣрный путь, но можетъ также случиться, что задача
эта циркулемъ и линейкой вообще неразрѣшима.
Поэтому чрезвычайно важно имѣть простыя средства
для распознаванія того, принадлежитъ ли предложенная гео-
метрическая задача къ числу разрѣшимыхъ, или неразрѣ-
шимыхъ (ср. § 29).
Въ заключеніи предыдущаго параграфа мы
лись съ однимъ изъ средствъ: рѣшаютъ задачу
емъ; если при этомъ приходятъ къ уравненіямъ
выше второй, то задача разрѣшима; если же,
приходятъ къ неприводимымъ уравненіямъ третьей или чет-
вертой степени, то задача неразрѣшима циркулемъ и линейкой.
Для уравненій третьей степени мы это доказали. Извѣ-
стно, что это же справедливо и относительно уравненій чет-
вертой степени, такъ какъ рѣшеніе каждаго уравненія чет-
вертой степени зависитъ отъ рѣшенія уравненія третьей
степени (§ 47, і), называемаго его резольвентнымъ уравне-
ніемъ; первое разрѣшимо или неразрѣшимо въ квадратныхъ
дикалахъ въ зависимости отъ того, разрѣшимо ли въ квад-
ратныхъ радикалахъ резольвентное уравненіе, или нѣтъ.
Для уравненій высшихъ степеней часто бываетъ по-
лезна слѣдующая теорема изъ Алгебры:
„Неприводимому уравненію нечетной степени
не удовлетворяетъ выраженіе,составленное изъ квад-
ратныхъ радикаловъ".
2. Болѣе простое средство, съ помощью котораг^
безъ затруднительныхъ вичисленій можно опредѣлить. <^Йз-
рѣшима ли или неразрѣшима предложенная задач^Мвдрку-
лемъ и линейкой, основывается на слѣдующихъ тшёдложе-
ніяхъ:
Если извѣстны пять элементовъ, опредѣляющихъ ко-
ническое сѣченіе, напр., пять точекъ, то <й|ржно построить
192
ГЛАВА VI. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВОЗМОЖНОСТИ.
циркулемъ и линейкой точки его пересѣченія съ произволь-
ной прямой (§ 30).
Соотвѣтственно этому и построеніе касательной изъ
данной точки къ коническому сѣченію, опредѣляемому
пятью его элементами, также есть квадратная задача.
Въ Алгебрѣ строго доказываются слѣдующія предло-
женія, обратныя этимъ:
а) Если построеніе точекъ пересѣченія нѣкото-
рой кривой съ произвольной прямой выполняется
циркулемъ и линейкой, то кривая есть коническое
сѣченіе.
Ь) Единственными кривыми, касательныя къ ко-
торымъ изъ каждой произвольной точки могутъ
быть построены циркулемъ и линейкой, являются
коническія сѣченія.
с) Окружность и прямая линія суть единствен-
ныя кривыя, точки пересѣченія которыхъ съ произ-
вольной окружностью могутъ быть построены съ
помощью циркуля и линейки.
Существуютъ также и высшія кривыя, точки пересѣ-
ченія которыхъ съ опредѣленными прямыми или окруж-
ностями могутъ быть найдены съ помощью циркуля и ли-
нейки ; такъ, напр., въ случаѣ Паскалевой улитки (§46)
вторыя точки пересѣченія прямыхъ, проходящихъ черезъ
двойную точку кривой, легко могутъ быть построены съ
помощью циркуля и линейки. Но прямая должна проходить
черезъ двойную точку, она, слѣдовательно, не произволь-
ная прямая.
Точки пересѣченія Паскалевой улитки съ произволь-
ными прямыми, наоборотъ, не могутъ быть точно построены
циркулемъ и линейкой.
3. Приведенными предложеніями мы воспользуем^Сдля
того, чтобы опредѣлить, разрѣшима ли, или неразрѣшима
съ помощью циркуля и линейки слѣдующая зат^а^:
205. Даны двѣ прямыя линіи , ^ѵ^йроизволь-
ная точка Р и произвольный отрѣзоК^з; требуется
черезъ Р провести прямую такъ, зроьі на ней пря-
мыми и былъ отсѣченъ отршМкъ з.
§ 37- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕВОЗМОЖНОСТИ.
193
Попытки рѣшить циркулемъ и линейкой эту повиди-
мому простую задачу не приводятъ ни къ чему, онѣ и не
могутъ увѣнчаться успѣхомъ, ибо эта задача вообще не-
разрѣшима циркулемъ и линейкой.
Для того, чтобы доказать это, мы сначала устранимъ
прямую ^2, проведемъ черезъ Р произвольную прямую и
нанесемъ на ней отъ точки ея пересѣченія съ отрѣзокъ 5.
Получаемыя такимъ путемъ точки X образуютъ нѣ-
которую кривую с\ точки пересѣченія этой кривой с съ
будучи соединены съ Р, и дадутъ искомыя прямыя.
Сама прямая есть произвольная прямая плоскости;
поэтому, если бы точки пересѣченія ея съ с могли быть
построены циркулемъ ис линейкой, то кривая с должна была
бы быть коническимъ сѣченіемъ.
Но кривая с не есть коническое сѣченіе, а представля-
етъ собою конхоиду, какъ это явствуетъ изъ самого спо-
соба ея образованія (§ 45).
Итакъ, наша задача неразрѣшима циркулемъ и ли-
нейкой.
4. Совершенно подобно тому, какъ это сдѣлано въ
предыдущей задачѣ, можно поступать и во многихъ другихъ
задачахъ съ цѣлью опредѣлить, будутъ ли это задачи второй,
или болѣе высокой степени:
Задачу выражаютъ такъ, чтобы въ ней требовалось
отыскать точку X, которая лежитъ на данной прямой ^или
на данной окружности к. Затѣмъ устраняютъ соотвѣт-
ственно & или /г; задача въ этомъ случаѣ имѣетъ уже не
одно рѣшеніе, но безконечное множество ихъ. Для точки X
получается геометрическое мѣсто.
Если теперь точка X должна лежать на прямой то
это геометрическое мѣсто должно быть либо прямой линіей,
либо коническимъ сѣченіемъ (въ частности, окружностью)^
если только задача разрѣшима циркулемъ и линейкой. °^°
Если же точка X должна лежать на окружноста^^Яго
найденное геометрическое мѣсто необходимо будет^црямой
линіей или окружностью, коль скоро задача д^|фша быть
степени не выше второй, предполагая совершенно общія
условія взаимнаго расположенія.
Теорія геометрическихъ построеній.
13
194
ГЛАВА VI. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕВОЗМОЖНОСТИ.
5. Иныя задачи могутъ быть сведены къ отысканію
прямыхъ х, которыя проходятъ черезъ данную точку Рили
касаются опредѣленной окружности К или коническаго сѣ-
ченія 5.
Если устранить Р, К или 5, то получится для х нѣ-
которое геометрическое мѣсто, и съ помощью теоремъ
а), Ь), с) снова можно опредѣлить, разрѣшима ли задача съ
помощью циркуля и линейки, или нѣтъ.
6. Замѣчаніе. Изъ сказаннаго выше вытекаетъ и
общій методъ рѣшенія геометрическихъ задачъ на
построеніе:
Задачу сводятъ къ отысканію нѣкоторой точки X, ко-
торая должна лежать на данной прямой Затѣмъ устра-
няютъ & и строятъ мѣсто, описываемое при этомъ точкой
X; если задача разрѣшима циркулемъ и линейкой, это мѣ-
сто должно быть коническимъ сѣченіемъ. Его точки пере-
сѣченія съ & и будутъ искомыми точками.
206. Даны окружность К съ центромъ О и двѣ
точки А, В въ произвольномъ относительно О по-
ложеніи; требуется опредѣлить на К точку X такъ,
чтобы уголъ АХВ былъ раздѣленъ пополамъ каса-
тельной къ окружности въ точкѣ X.
Разрѣшима ли эта задача съ помощью циркуля и ли-
нейки, или нѣтъ? Въ какомъ положеніи должны находиться
точки А и В, чтобы задача была квадратной? (Ср. § 6.)
VII. ГЛАВА.
Дѣленіе окружности.
(Построеніе правильныхъ многоугольниковъ.)
§ 38. Введеніе.
і. Какъ извѣстно, съ помощью циркуля и линейки
можно построить рядъ правильныхъ многоугольниковъ или
—что то же—раздѣлить данную окружность на равныя ча-
сти. Можно построить правильные шестиугольникъ, тре-
угольникъ, двѣнадцатиугольникъ, десятиугольникъ и пяти-
угольникъ.
Но съ помощью циркуля и линейки не можетъ быть
построенъ правильный семиугольникъ или девятиугольникъ,
наоборотъ, можно построить правильный семнадцатиуголь-
никъ, какъ позже увидимъ.
Въ послѣдующемъ разсматриваются вопросы этого рода.
2. Пусть будетъ дана окружность, радіусъ которой,
какъ это впредь всегда будетъ предполагаться, равенъ і;
черезъ зп обозначимъ сторону правильнаго вписаннаго
л-угольника.
Изъ получающихся равнобедреннаго и прямоугольнаго
треугольниковъ вытекаетъ:
. я
8п = 2 81П — .
П С.
По сторонѣ л-угольника можно вычислить стойлу
• п
2л-угольника з2п, которая равна 2 8іп—. Съ этоі^^гвлью
пользуются формулой
. 2 а
I — СО8 а = 2 81П2 -. X
2 ^>41
13*
196
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Отсюда получается:
1 / • о ЛГ . о ЗТ
I — I / I 81ГГ — = 2 81П" ,
|/ Л 2П
ИЛИ
2 — — 5'1 = ЗІ„ ,
ИЛИ
52и=|//2 —У4 —5?,.
По сторонѣ шестиугольника можно, такимъ образомъ,
вычислить длины сторонъ 12-угольника, 24 - угольника,
48-угольника, и т. д.
По сторонѣ вписаннаго многоугольника можно также
опредѣлить сторону описаннаго многоугольника. Такимъ
путемъ, какъ извѣстно, Архимедъ опредѣлялъ число лг.
§ 39. Геометрическое представленіе комплексныхъ чиселъ.
Мы должны прежде всего сказать нѣсколько словъ о
Гауссовомъ изображеніи комплексныхъ чиселъ, такъ какъ
оно находится въ тѣсной связи съ построеніемъ правиль-
ныхъ многоугольниковъ. Мы, впрочемъ, будемъ заниматься
комплексными числами лишь постольку, посколькуАто нужно
для послѣдующаго.
і. Возьмемъ произвольное компл^бное число
а) Мы кладемъ въ основаніе прямоугольную систему
координатъ и, принимая во вним ’ ^Макъ величины, такъ
§ 39- ГЕОМЕТРИЧ. представленіе комплексныхъ чиселъ. 197
и знаки чиселъ а и і, разсматриваемъ ихъ соотвѣтственно,
какъ абсциссу и ординату, и получаемъ точку (фиг. 141)
съ кординатами а, Ъ.
Каждому числу отвѣчаетъ одна и только одна точка
плоскости и каждой точкѣ плоскости отвѣчаетъ одно и
только одно число ^=а-\-Ьг. Можно поэтому разсматривать
точку, какъ изображеніе комплекснаго числа; комплексныя
числа такимъ путемъ отображаются на плоскости.
Двѣ точки плоскости только тогда совпадаютъ другъ
съ другомъ, когда равны соотвѣтствующія ихъ координаты.
Если поэтому два комплексныхъ числа а Ц- Ьі и % = а'-ф- Ь'і
равны, то должны выполняться равенства: а' = а и Ъ'=Ь 110).
Ь) Исходя изъ этого отображенія приходятъ къ важ-
ному способу представленія комплексныхъ чиселъ:
Отрѣзокъ (фиг. 141) обозначаютъ черезъ г; его
всегда считаютъ положительнымъ и называютъ абсолют-
ной величиной комплекснаго числа; уголъ со (фиг. 141),
который также задается комплекснымъ числомъ, называютъ
его фазой (амплитудой). Изъ чертежа вытекаетъ, что
а = г соз со , Ъ = г 8ІП со.
Можно поэтому написать число также въ формѣ:
^=Г (СО8 СО -ф- І 8ІП со).
Этотъ способъ представленія особенно важенъ въ виду тео-
ремы Муавра (Моіѵге):
_ гп (СО8 11 СО -|~ /8ІП п со).
Если и цѣлое число, а только этимъ случаемъ мы и будемъ
въ послѣдующемъ пользоваться, то формула эта легко до-
казывается.
2. Мы разсматриваемъ въ послѣдующемъ только ком-
плексныя числа, абсолютныя величины которыхъ
равны і; пусть з будетъ такимъ числомъ. Тогда
г = со8 д-[-г 8Іп д.
По теоремѣ Муавра:
% 2 = СО8 2 д -|- і зіп 2 д
з3 = соз з д 3 (Р
= со8 п д-\-і8ІП7? д.
198
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Изображенія этихъ степеней г лежатъ на окружности
радіуса і (фиг. 141). Фаза числа & равна ъср, фаза числа
равна зф , фаза числа равна пср.
На фигурѣ я1 совпадаетъ съ і; такимъ образомъ,
з7=і; есть корень этого уравненія. Говорятъ, что з
есть корень седьмой степени изъ единицы.
Легко замѣтить, что дѣленіе окружности на п равныхъ
частей сводится къ опредѣленію корней уравненія — і = о.
Поэтому уравненія такого вида носятъ также названіе
уравненій дѣленія окружности.
Дѣленіе окружности на и равныхъ частей (съ по-
мощью циркуля и линейки) возможно въ томъ и только въ
томъ случаѣ, когда корни уравненія — і = о могутъ быть
выражены съ помощью квадратныхъ радикаловъ.
§ 40. Корни изъ единицы.
і. Въ предыдущемъ параграфѣ мы видѣли, что дѣленіе
окружности на п равныхъ частей зависитъ отъ рѣшенія
уравненія хп — і = о.
Мы разсмотримъ теперь его рѣшеніе.
Изъ уравненія слѣдуетъ:
х = V і= г(соз/зіп9^),
гдѣ г и ср подлежатъ опредѣленію. Съ помощью возведенія
въ степень получается:
і = ги(со8//9?4~
Отсюда вытекаетъ, что
Гп = СОЪИСр = I , Гп8ІПП(р=О.
Слѣдовательно,
п
Г = 1/
такъ какъ г должно оыть положительнымъ, О есть един-
ственное положительное число, ;гая степень кбтбраго равна і.
Для опредѣленія ср имѣемъ уравненія оуѵ
со8/г<р = і, 8ігыг
§ 40. КОРНИ ИЗЪ ЕДИНИЦЫ.
199
Отсюда слѣдуетъ:
= 2 л;, 4 л; и т. д.
2 36 4 36 2к 36
^ = о,— , ------------.
11 11 11
Этимъ дается рѣшеніе задачи въ трансцендентной
формѣ. Такимъ образомъ, каждый корень приведеннаго
выше уравненія хп—і = о имѣетъ видъ:
2ІЗЗІ . . . 2&31
СО8-----Н 7 81П-— .
11 11
Если въ этомъ выраженіи положить к = п, то полу-
чится то же число, что и для ^ = о, именно, корень і. Если
положить к = п-\- т, гдѣ то получится тотъ же ко-
рень, что и для к = т .
Отсюда мы заключаемъ, что мы будемъ получать раз-
личныя значенія только для к = о, і, 2, 3,... п — і. Можно,
такимъ образомъ, сказать: уравненіе хп — і=о имѣетъ и
корней (которые являются корнями ;гой степени изъ еди-
ницы); они имѣютъ видъ
2кзі . . . 2кзі . ,
СО8------Н 78Ш----, гдѣ к = о , I, 2 , . .11- I.
11 1 11 1
Мы полагаемъ
236 . . . 236
е = СО8-----Ь г 8іп —;
и 1 іг
тогда
, 2кзі . . . 2кзъ
8к = СО8----Н 781П-----,
11 11
единицы, то каж-
т. е.: если е есть корень /7ой степени изъ
дая положительная цѣлая степень е также будетъ корнемъ
/гой степени изъ единицы 1П). Такимъ образомъ, корни лой
степени изъ единицы могутъ быть представлены такъ:
е, е2, 83... і.
ж п
1 акъ какъ е” = і, то
, , 2кзь , . 2кзі
__е-Л = СО8-----7 8Ш-----
11 11
этимъ равенствомъ мы будемъ пользоваться
200
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Корни //ой степени изъ единицы і, е, е2, е3, ... е”-1
всѣ отличны другъ отъ друга, какъ это прямо видно по
ихъ изображеніямъ. Дѣйствительно, изображеніями ихъ
будутъ вершины правильнаго //-угольника, вписаннаго въ
окружность радіуса і, при чемъ точка, отвѣчающая числу і,
служитъ одной изъ вершинъ.
2. Алгебраическое опредѣленіе корней изъ еди-
ницы.
Построеніе правильнаго //-угольника сводится, какъ
было указано, къ опредѣленію корня //ой степени изъ
единицы, т. е. такого числа е, которое удовлетворяетъ урав-
ненію хп — і = о; но
Xй — I = (х — і) (хп~х хп~2 4-х Д- і),
откуда слѣдуетъ, что і всегда будетъ корнемъ уравненія
хп — і=о и что каждый другой корень е удовлетворяетъ
уравненію
е 82 Ч~е3 = —1 •
Построеніе правильнаго //-угольника тогда и
только тогда можетъ быть выполнено съ помощью
циркуля и линейки, когда корни этого уравненія
могутъ быть выражены въ квадратныхъ радикалахъ.
§ 41. Построеніе правильныхъ пятиугольника и десяти-
угольника.
і. Построеніе правильнаго пятиугольника зависитъ
отъ корней пятой степени изъ единицы, которые должны
удовлетворять уравненію:
(і) е* е3 4~ 82 ~Ь8 = —т-
Такъ какъ е5 = і, то, согласно указанному выше, е4 = е_1,
€3 = е~2; уравненіе (і) перехоцитъ поэтому въ слѣдующее:
(2) е + е-1 + е2 + е-2 = — і. о
Это уравненіе разрѣшимо въ квадратныхъ р^Далахъ;
именно, если положить <0"
то
(з)
§ 41- ПОСТРОЕНІЕ ПЯТИ- И ДЕСЯТИУГОЛЬНИКА.
201
и для у получится уравненіе
(4) У2 — і = о.
Корни этого уравненія суть:
У\ = 1 + і Ѵз
и
Уг = — 1 —1/5-
Путемъ подстановки ух въ уравненіе (3) получается
® =1(1/5—і+ц/іо+2 14)-
Задача алгебраически рѣшена.
2. Мы прежде всего изслѣдуемъ геометрическое зна-
ченіе ух. Какъ извѣстно,
2Я . . . 2Я
€ = СО8----Н г 81П — ,
5 5
такъ что
. . 2Л-
Я-1 = СО8 - — I 81П — ,
5 5
поэтому
. , 2^ . / Л 2Я\ . Л
у = 8 4- Я-1 = 2 СО8-= 2 81П I--------- I = 2 81П-= 5^ ,
5 V 5 / ІО
уравненіе (4) имѣетъ два корня — одинъ положительный и
одинъ отрицательный; положительный корень будетъ, та-
кимъ образомъ, стороной вписаннаго въ окружность десяти-
угольника. Съ помощью правильнаго десятиугольника легко
построить пятиугольникъ.
Но можно также безъ труда вычислить 55 на основаніи
формулы (§ 38, 2)
2 —/4—=5^
Отсюда выводится извѣстное соотношеніе:
$8 = 1 (іо — 2 У5) = і + 5І20.
П • к
3. Для построенія правильнаго десятиугольникаКа вмѣ-
стѣ съ тѣмъ и правильнаго пятиугольника мы дружны раз-
рѣшить геометрически уравненіе С У
(4) У2 ~\~У — т=о.
202
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Мы выполнимъ рѣшеніе этого уравненія съ помощью
различныхъ средствъ рѣшенія.
а) Рѣшеніе уравненія (4) съ помощью циркуля и линейки.
Мы построимъ въ этомъ случаѣ корень
У 5ю — 4-
Радіусъ окружности равенъ і. Опишемъ окружности А (О)
и С (В) (фиг. 142). Отрѣзокъ ОЕ равенъ сторонѣ десяти-
угольника, а ВЕ — сторонѣ пятиугольника.
Замѣчаніе. Это построеніе да-
етъ также и стороны шестиугольника,
треугольника и четырехугольника.
Уравненіе у2 -]-у — і = о можно
написать также въ видѣ
ѵ: (і — у) = т:у,
т. е. у есть большая часть радіуса,
раздѣленнаго въ крайнемъ и сред-
немъ отношеніи.
Ь) Построеніе правильнаго пятиугольника путемъ проведенія
однѣхъ лишь прямыхъ линій при пользованіи Штейнеровой вспо-
могательной окружностью.
Съ этой цѣлью мы должны разрѣшить уравненіе
у2-Ку—і=о по методу, изложенному на стр. 171.
Въ нашемъ случаѣ р — — і и д = — і; поэтому на ка-
сательныхъ въ точкахъ А и В откладываемъ соотвѣтственно
отрѣзки — 4 и -|-1 (фиг. 143). Если соединить другъ съ
другомъ полученныя такимъ образомъ точки и спроектиро-
вать точки пересѣченія этой соединительной прямой съ
окружностью изъ точки А на нижнюю касательную, то на
ней получатся искомые корни уравненія. Такимъ образомъ,
(фиг. 143) длина отрѣзка ВЕ равна ух = 510; сторона пяти-
угольника равна отрѣзку Е0\ задача рѣшена.
Фонъ-Штаудтъ (ѵоп ЗіансЩ также указалъ^оПень
изящный способъ нахожденія вершинъ правильнаго штеуголь-
ника съ помощью точекъ С, Н (фиг. 143), при чем^^М/_І_ АВ*
Въ § 41, 2 мы доказали формулу 2 соз
он= —
такъ что
2
2
§ 41- ПОСТРОЕНІЕ ПЯТИ- И ДЕСЯТИУГОЛЬНИКА.
203
слѣдовательно,
ьом= мсм= ™.
Съ помощью аналогичныхъ разсужденій найдемъ, что-
ОС = со8 —, поэтому РОС = — , чѣмъ и оправдано по-
5 ' 5
строеніе Штаудта.
с) Построеніе правильнаго пятиугольника съ помощью одного
только циркуля мы уже привели въ § 15.
й) Построеніе правильнаго пятиугольника съ помощью одной
линейки (о двухъ параллельныхъ краяхъ) требуетъ построенія
выраженія, содержащаго радикалъ. Выполнить это.
е) Построеніе правильнаго пятиугольника съ помощью подвиж-
ного прямого угла представляется особенно простымъ.
Съ этой цѣлью мы должны разрѣшить уравненіе
У2 Ч~У — і=о исключительно съ
помощью прямого угла; это выпол-
няется по указанному въ § 32 ме-
тоду.
Построеніе производится слѣ-
дующимъ образомъ: въ окружно-
сти, въ которую долженъ быть впи-
санъ правильный пятиугольникъ
или десятиугольникъ, проводятъ два
взаимно перпендикулярныхъ діаме-
тра АВ, СБ (фиг. 144) и опредѣля-
ютъ точку Е такъ, что ЕВУ.0В
и ЕБЛ_0Б\ если затѣмъ располо-
жить прямой уголъ въ плоскости
204
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
его стороны проходили черезъ точки С и А, а вершина
лежала на прямой АВ, то отрѣзокъ ОВ равенъ $10 и ВС = 8Ь.
§ 42. Правильные семи- и девятиугольникъ.
і. Правильный семиугольникъ.
При дѣленіи окружности на семь частей вопросъ при-
водится, согласно вышесказанному, къ рѣшенію уравненія
е -I- е2 -|- е3 -|- е4 = — I-
Такъ какъ е7 = і, то е6=8“4, е5 = е-2, е4 = Е-3; поэтому
разсматриваемое уравненіе можетъ быть представлено въ видѣ
8 + 8~1 + е2 -Ѣ- е~2 Ц- е3 + 8 ~3 = — і.
Если для рѣшенія этого уравненія положить
ТО
б24-е-2=у — 2,
И
83 + е-3=у — зу
для опредѣленія у получаемъ кубическое уравненіе
у* ~Н'2 — — і = о •
Отъ этого уравненія зависитъ, такимъ образомъ, по-
строеніе правильнаго семиугольника. Но уравненіе это (§ 36)
неразрѣшимо въ квадратныхъ радикалахъ. Слѣдовательно,
построеніе правильнаго семиугольника не можетъ
быть выполнено съ помощью циркуля и линейки.
I Ізслѣдуемъ еще геометрическое значеніе у:
2Л^ . . . 2Л?'
СО8-----Н 4 8111—
7 7 ,
2 л;
СО8-----
. 7
. . 2л;
г 8іп —
7 .
= 2 С08 —— .
7
Итакъ, если соединить хордой двѣ вершинь^^миуголь-
ника, раздѣленныя одной изъ вершинъ, то р^^тояніе этой
2Я у
хорды отъ центра есть со8 — = —.
7 2
§ 42- ПРАВИЛЬНЫЕ СЕМИ- И ДЕВЯТИУГОЛЬНИКЪ.
205
2. Правильный девятиугольникъ.
Правильный девятиугольникъ требуетъ нѣсколько иной
постановки вопроса. Именно, его можно построить, если
раздѣлить окружность на три равныя части, а затѣмъ каж-
дую треть снова раздѣлить на три равныя части.
Такимъ образомъ, если е есть корень девятой степени
изъ единицы, то е3 есть корень третьей степени. Для корней
девятой степени выполняется поэтому равенство
(е3)2 е3 і = о
или
(і) е6 + е3^і=о.
Но такъ какъ е9 = і, то е6 = е-3; послѣднее уравненіе по-
этому переходитъ въ слѣдующее:
(2) і =о.
Если положить
8Ц-8-!=;у,
ТО
684-8-3=У — ЗУ ,
и для у получается уравненіе
(з) У—ат+і = о.
Это уравненіе, по § 36, неразрѣшимо въ квадратныхъ радика-
лахъ. Поэтому построеніе правильнаго девятиуголь-
ника не можетъ быть выполнено съ помощью цирку-
ля и линейки.
Уравненіе (3) имѣетъ корни:
206
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
И
. . л / 8л . . . 8л\ , / 8л . . 8л\
Уз —I | СО8--I , 8т | | СОЗ---------I 8Ш I
\ 9 9 / \ 9 9 /
8 л л
= 2 СОЗ--= — 2 СОЗ — ,
9 9
въ чемъ можно убѣдиться, подставивъ значенія корней
у2 = 82-]~8~2 и^з = е44~е~4 въ уравненіе (3) и воспользо-
вавшись равенствомъ (2).
Уравненіе (3) имѣетъ, такимъ образомъ, три вещест-
венныхъ корня: два положительныхъ и одинъ отрицательный;
ух притомъ будетъ наибольшимъ изъ положительныхъ
корней.
Корни ух и у2 имѣютъ геометрическое значеніе, кото-
рымъ съ удобствомъ можно воспользоваться при построеніи
правильнаго девятиугольника.
Именно,
Уі 2 л
—' = СО8---
2 9
и, слѣдовательно, равно разстоянію отъ центра той хорды, ко-
торая соединяетъ двѣ вершины девятиугольника, раздѣленныя
одной изъ вершинъ.
Далѣе,
4л . /л дл\ . л
у =— 2 СОЗ -— = 2 81П (------I = 2 8111 ~
у 9 \2 9 / іо
равно сторонѣ правильнаго восемнадцатиугольника.
§ 43. Построеніе правильнаго семнадцатиугольника.
і. Гауссъ (Стаизз) доказалъ, что это построеніе
выполнимо циркулемъ и линейкой.
Задача зависитъ отъ рѣшенія уравненія .
А1' — 1=0,
которое, какъ будетъ показано, разрѣшимо
ныхъ радикалахъ.
Если положить
квадрат-
8 = соз
§ 43- ПОСТРОЕНІЕ ПРАВИЛЬНАГО СЕМНАДЦАТИУГОЛЬНИКА. 207
то корнями семнадцатой степени изъ единицы (§ 40) будутъ
і, е , е2 ... г10
или также
і, 8 , 82, я3... е8 , 8~8 , 8~7 ...е-1 ,
такъ какъ
е17~к = 8~к .
Уравненіе, изъ котораго должны быть опредѣлены
корни семнадцатой степени изъ единицы, какъ извѣстно,
таково:
(і) ₽ + е2 + е3+...е8 + е-8-р-7+ — і.
2. Въ цѣляхъ рѣшенія этого уравненія положимъ
| 8 82 -|- 88 Я-1 4" 2 4~ “4~ е~~8 “ V
{2^ І 83_|_ев_|_е-5_|.е7_|_е-3_|_8-6^_г.5_|_е-7==??1.
Оба равенства вмѣстѣ содержатъ всѣ комплексные корни
17ой степени изъ единицы. Лѣвыя части равенствъ слѣдуютъ
тому закону, что каждый изъ ихъ членовъ есть квадратъ
предшествующаго.
Если составить сумму лѣвыхъ частей этихъ равенствъ,
то она должна равняться —і (равенство (і)), такъ что
=— і •
Если составить произведеніе тѣхъ же количествъ, то
каждая степень числа 8 получится четыре и только четыре
раза, въ чемъ можно убѣдиться вычисленіемъ; поэтому
(равенство (і))
= —
Отсюда вытекаетъ, что щ и суть корни слѣдующаго
уравненія:
(3) У2 4- х — 4 = 0.
Такимъ образомъ, ?; =— и |
Теперь положимъ
I 8 -[-г44-е-14~е~4 = з
. ) е24-е8-4е-24-е-8 = ^
(4) і еЗ+е--5+е-3 + е5 =
I I е7 +е-6 I е-7 = ^.
208
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Эти четыре равенства содержатъ снова всѣ комплексные
корни 17ой степени изъ единицы. Замѣчаемъ, что въ лю-
бомъ изъ этихъ равенствъ каждый изъ членовъ есть четвер-
тая степень предшествующаго.
Сложеніемъ и умноженіемъ этихъ равенствъ убѣжда-
емся въ справедливости слѣдующихъ равенствъ:
такъ что г и суть корни уравненія
(5) х2 — Г]Х— т=о.
Изъ системы равенствъ (4) получаются также равенства
^ + *з= Ѵі
И
^2 • *3 = — I ,
такъ что и суть корни уравненія
(6) х2 — 72, х — 1=0.
Положимъ, наконецъ,
| е^е-1=3,
(7)
I е^е-4 ==у(;
откуда найдемъ, что
у+уі=2,
гдѣ я есть положительный корень уравненія (5), и
Уі -У=*-і,
гдѣ з2— положительный корень уравненія (6).
Слѣдовательно, у и ук будутъ корнями уравненія
(8) х2—-|- <^2=°; ^44
у больше, чѣмъ^. °^°
Если, наконецъ, подставить значеніе у въ ^^авненіе
то получится уравненіе, изъ кото|рѣ> можетъ
быть вычислено значеніе е:
у г________ Уу
§ 43* ПОСТРОЕНІЕ ПРАВИЛЬНАГО СЕМНАДЦАТИ УГОЛЬНИКА. 209
Этимъ доказано, что корни 17ой степени изъ единицы мо-
гутъ быть выражены съ помощью квадратныхъ радикаловъ.
Мы укажемъ еще на геометрическое значеніе ух (мень-
шаго корня уравненія (8)):
(8л; , . . 8л;\ . / 8л; . . 8л;\
соз--ь-гзіп— 14-(соз——і зіп— *
17 1 17/ V т7
8 л; . (тс 8л \ . л;
= 2 СОЗ-= 2 81П (---I = 2 8Ш- ,
17 \2 ^У 34
поэтому у1 есть сторона вписаннаго правильнаго 34-уголь-
ника.
3. Построеніе правильнаго семнадцатиуголь-
нпка.
а) Съ этой цѣлью рѣшаютъ построеніемъ послѣдова-
тельно квадратныя уравненія:
х2--\~х— 4 = 0, имѣющее корни = — 4 + 11/<І7г
<о;
х2— цх— 1 = 0, имѣющее корни +
^>о, <о;
(Б) 0^ _____
ѵ х2—т^х —1=0, имѣющее корни , ;~3 =-^ + 4 и ~І~4>
^2>о, г3<о;
х2—2х-]-я2==о, имѣющее корниту, ух = +4]/г2—4^„
^>4і-
уг есть сторона вписаннаго 34-угольника; далѣе, у = 4 1
2Л; . V 2Л
= 2 соз —, слѣдовательно, = соз — есть разстояніе отъ
центра той хорды, которая соединяетъ двѣ вершины сем-
надцатиугольника, раздѣленныя одной изъ его вершинъ.
Рѣшеніе этой системы квадратныхъ уравнесц^р
будетъ произведено четырьмя различными сі^^о-
бами: А) при неограниченномъ пользованіи цирк^йриъ и
линейкой (построенія Серре-Бахмана, Шуберта (8ег-
геі-ВасЬшапп, Н. ЗсйиЬегі)), В) путемъ провёрейія однѣхъ
прямыхъ линій при помощи Штейнеровой ^^ужности (ІІО“
Теорія геометрическихъ построеній. 14
210
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
строеніе Штаудта (Зіаисіі)), С) съ помощью одного лишь
циркуля (построеніе Жерара (Стёгагсі)), В) съ помощью
прямого угла.
А) Построеніе правильнаго семнадцатиугольника съ помощью
циркуля и линейки.
і. Строятъ по порядку корни системы (5).
Съ этой цѣлью чертятъ прямоугольный треугольникъ
съ катетами 2 и тогда гипотенуза этого треугольника
равна І/17.
Если вокругъ точки пересѣченія катета съ гипоте-
нузой описать полуокружность радіусомъ то на гипоте-
нузѣ получатся значенія т} и , при чемъ отрѣзокъ дол-
женъ быть взятъ съ отрицательнымъ знакомъ.
Построивъ, далѣе, прямоугольный треугольникъ съ
катетами, равными — /соотв., — | и единицѣ и описавъ
2 \ 2 /
полуокружность радіусомъ I соотв., | , получимъ на ги-
зокъ (*3) долженъ быть взятъ съ отрицательнымъ знакамъ.
Если, наконецъ, начертить треугольникъ съо щЭётами
и то отсюда получатся искомыя значенія^Я1 Уг
Если теперь на радіусѣ окружности, о^ёанной раді-
и возставить въ
усомъ і, отложить отъ центра отрѣзо
полученной такимъ путемъ точкѣ птй4нДикуляръ, то онъ
§ 43- ПОСТРОЕНІЕ ПРАВИЛЬНаГО СЕМНАДЦАТИУГОЛЬНИКА. 211
пересѣчетъ окружность въ двухъ вершинахъ правильнаго
семнадцатиугольника, отдѣленныхъ другъ отъ друга одной
изъ его вершинъ.
Такимъ образомъ, для рѣшенія требуется построить
четыре прямоугольныхъ треугольника. Если ихъ надлежа-
щимъ образомъ сочетать, то можно будетъ обойтись безъ
нѣкоторыхъ линій.
Это достигается въ построеніи Серре-Бахмана.
2. Пусть О А = і будетъ радіусъ данной окружности, ко-
торая должна быть раздѣлена на 17 равныхъ частей (фиг. 145).
Перпендикулярно къ ОА проводятъ прямую § и выбираютъ
на ней положительное направленіе.
Строятъ
ОВ = —
тогда
ВА = ] V17.
Затѣмъ описываютъ окружности В(А), С(А) и С'(Л); тогда
имѣютъ мѣсто слѣдующія соотношенія:
ОС=ОВ + ВС= — I — 1Г17 = ^~,
0С' = 0В+ВС' = —1 + 1 У17 = -^,
ОВ' = ОС' + СВ' = +1/ (^у+і = г,
0О=0С+СІ)=| + |/ ^у+і=^.
Дѣлаютъ, далѣе,
ОЕ = — і,
строятъ на ЕВ, какъ на діаметрѣ, полуокружность и чертятъ^
ЕС = ^бВ'.
Если описать окружность С(Е), то получатся точки+^Іі Н'\
при этомъ
— 077+ 077'= /777' = ъСН' = бВ'
— ОН- ОН' = бГ* = — 6Ё-бб^,
212
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
такъ какъ
— ОЁ = і.
Сумма двухъ отрѣзковъ — ОН и ОН , такимъ обра-
зомъ, равна г, а произведеніе ихъ равно ,г2. Слѣдовательно^
эти отрѣзки будутъ корнями у, ух уравненія
х2—зх -|- = о .
При этомъ у = НО и Ѵі = ОН .
По вышесказанному,
2
2
2Л
соз —
17
\но
и ОН есть сторона правильнаго 34 - угольника.
Строятъ, наконецъ,
оь=^он
и возставляютъ въ Ь перпендикуляръ къ ОН', этотъ пер-
пендикуляръ пересѣкаетъ данную окружность въ точкахъ.
2,27 искомаго семнадцатиугольника.
3. Шубертъ въ своемъ сочиненіи „Аизіезе аиз шеі-
пег Ппіеггісйіз- ипсі Ѵогіезип^зргахіз" также даетъ,
простое построеніе правильнаго семнадцатиугольнпка; си-
стема уравненій (5) при ртомъ снова -разрѣшается съ по-
мощью прямоугольныхъ треугольниковъ, которые распола-
гаются возможно болѣе удобнымъ образомъ другъ отно-
сительно друга.
В) Построеніе правильнаго семнадцатиугольника по Штаудту.
і. Построеніе правильнаго семнадцатиугольника про-
изводится путемъ проведенія прямыхъ линій при пользова-
ніи начерченной окружностью.
Въ качествѣ этой вспомогательной окружности мы мо-
жемъ выбрать именно ту окружность, которая должна быть
раздѣлена на семнадцать равныхъ частей.
Рѣшеніе этой задачи выполняется путемъ графщтескаго
рѣшенія уравненій системы (5) съ помощью наШЙсъ тепе-
решнихъ средствъ построенія.
Въ § 32, і было показано, какъ можфэ найти корни
квадратнаго уравненія, проводя однѣ адць прямыя линіи,,
если дана начерченная окружность.
§ 43- ПОСТРОЕНІЕ ПРАВИЛЬНАГО СЕМНАДЦАТИ УГОЛЬНИКА. 213
Этимъ способомъ мы и воспользуемся въ настоящемъ
случаѣ. Но для того, чтобы не прерывать нашего изложе-
нія позже, мы должны доказать здѣсь еще двѣ леммы, имѣю-
щія значеніе для послѣдующаго.
і. лемма. Пусть АВ будетъ діаметръ окружности К
съ радіусомъ і и С — произвольная точка окружност и К
<фиг. 146); треугольники ЕАВ и АВВ подобны, такъ что
поэтому
АЕ\АВ = АВ\ВР,
АЁ • ВЁ) = ^
лемма. Пусть ЕЕ и СН (фиг. 146) будутъ двѣ про-
извольныя прямыя, которыя пересѣкаются въ точкѣ Р пря-
мой АВ\ тогда
АЕ\ВЕ^АР\ВР^АН\ВС,
поэтому
АЁ-ВС = ВЁ-АН,
по абсолютной величинѣ и по знаку.
2. Итакъ, прежде всего рѣчь идетъ о рѣшеніи уравг^
ненія
Сравнимъ это уравненіе съ уравненіемъ
х2 — рх + ч = о,
рѣшеннымъ на фиг. 137, и замѣтимъ, что вткйжііемъ случаѣ
/> = —і, <? = —4.
214
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Поэтому МЫ ОТЛОЖИМЪ,
соотвѣтственно на касатель-
ныхъ въ А и В (фиг. 147) от-
рѣзки
| = -4И^ + 4,
соединимъ полученныя точки
прямою и точки пересѣченія
этой прямой съ окружностью
будемъ проектировать изъ.
точки А на касательную /2,
въ результатѣ чего получимъ
корни и
Теперь мы должны рѣ-
шить слѣдующее уравненіе:
х2 — і/х— 1=0.
Для него
р = Г] и (} = — і .
Теперь на и /2 откладыва-
ются отъ точекъ А и В соот-
вѣтственно отрѣзки
4=4-и|=--.
Р V Р V '
Откладываніе этихъ обоихъ
отрѣзковъ съ помощью на-
шихъ леммъ (фиг. 146) произ-
водится съ поразительной про-
стотой.
Именно, если спроектиро-
вать точку пересѣченія прямой
а съ окружностью К из® на
іх, то на іх получится врѣзокъ
4
(по первой леі\^гр%
Если соединить точки Ц-1
и — 4, задачъ полученную
такимъ Л^емъ точку Р пря-
§ 43- ПОСТРОЕНІЕ ПРАВИЛЬНАГО СЕМНАДЦАТИУГОЛЬНИКА. 215
мой АВ соединить съ раннѣе построенной точкой 1 на ,
то на /2 получится (по второй леммѣ) отрѣзокъ — 1.
Но теперь
1=1 И_І=1.
V р V р
Поэтому, если спроектировать точки пересѣченія пря-
мой Ь (фиг. 147) съ окружностью К изъ А на /2, то полу-
чатся корни 2 И .
Для того, чтобы рѣшить теперь уравненіе
х2 — 71х — 1 = °,
откладываютъ отрѣзки
Р Чі Р Чі
Это дѣлается точно такъ же, какъ и при рѣшеніи пред-
шествующаго уравненія.
Если спроектировать точки пересѣченія получаемой
при этомъ прямой с (фиг. 147) съ окружностью К изъ А,
то на /2 получатся корни 22 и г3.
Наконецъ, подлежитъ рѣшенію еще уравненіе
х2 — 2Х г2 = о.
Для него
р = % и 7 = .
Такимъ образомъ, требуется на 4 и /2 отложить со-
отвѣтственно отрѣзки 1 и .
Съ этой цѣлью проектируютъ точку пересѣченія пря-
мой Л (фиг. 147) съ окружностью К изъ В и получаютъ
(согласно первой леммѣ) на отрѣзокъ 1 по абсолюд^эй:
величинѣ и по знаку.
Если соединить прямою точку 4-4 на съ Дюйкой
на /2 и полученную такимъ путемъ точку 0_ на^Гсъ точ-
кой 1 на іх, то эта прямая е (фиг. 147) (ссОасно второй
216
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
леммѣ) отсѣчетъ на /2 (вправо отъ В) отрѣзокъ-^ . (Это вы-
текаетъ изъ пропорціональности получаемыхъ отрѣзковъ,
ибо имѣетъ мѣсто пропорція 4 : і ~-.)
Но теперь
4_4 и ^і= 7
х р г р'
Поэтому, если спроектировать точки пересѣченія прямой е
съ окружностью К изъ А на /2, то получатся корни у и ух
послѣдняго уравненія.
ух , какъ извѣстно, будетъ стороной правильнаго
34-угольника ; по ней ужъ можно построить сторону семнад-
цатиугольника.
По у также можно опредѣлить сторону правильнаго
семнадцатиугольника; извѣстно (§ 43, 2), что
2л
у = 2 СО8 -.
17
Такимъ образомъ, если черезъ О провести прямую к
параллельно іх и продолжить ее до пересѣченія съ прямою
Ау въ точкѣ Ь. то перпендикуляръ къ к въ точкѣ В пере-
сѣчетъ окружность К въ вершинахъ 2 и /7 правильнаго
семнадцатиугольника.
С) Построеніе правильнаго семнадцатиугольника съ помощью
одного только циркуля.
Рѣчь идетъ о рѣшеніи системы уравненій (5) (стр. 209)
съ помощью этого ограниченнаго средства черченія, т. е.
о построеніи радикальныхъ выраженій, которыя могутъ быть
написаны въ слѣдующемъ видѣ:
§ 43- ПОСТРОЕНІЕ ПРАВИЛЬНАГО СЕМНАДЦАТИУГОЛЬНИКА. 217
Для того, чтобы найти эти выраженія съ помощью од-
ного циркуля, поступаютъ по Жерару (Сегагсі) слѣдую-
щимъ образомъ:
Пусть будетъ дана окружность $ (фиг. 148), радіусъ
которой равенъ единицѣ. Берутъ на данной окружности
произвольную точку А , строятъ
АВ = ВС= СВ=і,
и описываютъ окружности А(С), тогда
Описываютъ вокругъ И окружность радіусомъ , въ
результатѣ чего получаютъ точки Р, Р, и окружности
Фиг. 148.
и С (2?), пересѣкающіяся въ точкѣ Н, при чемъ точкЩ
6, С лежатъ въ пересѣченіи окружностей А(Р) и
тогда
ОН=НА,
Вокругъ полученной такимъ путемъ точки Н ст^Йтъ окруж-
ность радіуса і, которая пересѣкаетъ данную окружность
218
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Представимъ себѣ теперь, что въ основаніе всей фи-
гуры положена прямоугольная система координатъ (фиг. 148).
Точка К имѣетъ координаты
4 V іб
Если описать вокругъ точекъ А"и К9 окружности радіусомъ
Ѵ2, то онѣ пересѣкутся въ двухъ точкахъ оси Х-овъ, ко-
торыя мы обозначимъ черезъ X и Ху.
Разстояніе точки X отъ прямой КК' равно ф /17 , какъ
въ этомъ легко убѣдиться изъ соотвѣтствующаго прямо-
угольнаго треугольника. Слѣдовательно, отрѣзокъ
равнымъ образомъ, находимъ, что
2 ’
по абсолютной величинѣ и по знаку.
Теперь путемъ проведенія однѣхъ окружностей стро-
ятъ точки Е, Е' съ абсциссой и ординатами + і, кромѣ
того опредѣляютъ такую точку У, для которой имѣетъ мѣ-
сто соотношеніе
Тогда
ЕУ= Е'У = ХЕ.
ибо
и
,е всего
Для того, чтобы опредѣлить г2, строятъ
точки 7И, М9 съ координатами + і и оп^^^йяютъ точку
X такъ, что о\\
§ 43- ПОСТРОЕНІЕ ПРАВИЛЬНАГО СЕМНАДЦАТИУГОЛЬНИКА. 219
Тогда
02 =
ибо
О=|/(^)‘+2,
такъ что _
при чемъ слѣдуетъ замѣтить, что <о.
Остается еще построить лишь у.
Съ этой цѣлью опредѣляютъ точки уѴ, А' такъ, что
Ш = ОА = АТ = УѴУ = Л2.
Абсциссы точекъ УѴ, А' равны Ординаты точекъ А,
/ г2
равны + (і-1- г2)2——, въ чемъ можно убѣдиться изъ
разсмотрѣнія соотвѣтствующихъ прямоугольныхъ треуголь-
никовъ.
Теперь, наконецъ, опредѣляютъ точку Т такъ, что
№=ТГТ = 2В.
Тогда
ОТ=у,
Дѣйствительно, точка В имѣетъ координаты — |1 , а ко-
ординаты точки 2 суть ^2,о. Поэтому
Теперь описываютъ вокругъ Традіусомъ і окружность,
которая пересѣчетъ данную окружность въ двухъ верши^
нахъ 2 и 77 правильнаго семнадцатиугольника, ибо
ОТ
2Л
СО8---.
2
2. Впрочемъ, можно идти и многими дрторйГи путями
при построеніи семнадцатиугольника съ помощью одного
только циркуля. ,
220
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Въ главѣ III мы показали, какъ можно выполнить всѣ
геометрическія построенія съ помощью одного лишь цир-
куля, если ту фигуру, которую необходимо начертить при
неограниченномъ пользованіи циркулемъ и линейкой, пре-
образовать въ фигуру, состоящую изъ однѣхъ окружностей,
съ помощью инверсіи относительно надлежаще выбранной
основной окружности.
На стр. 2і2 и слѣд. было показано построеніе правильнаго
семнадцатиугольника съ помощью Штейнеровой окруж-
ности. Коль скоро дана окружность вмѣстѣ съ ея центромъ, это
построеніе выполняется путемъ проведенія однѣхъ лишь
прямыхъ линій, такъ какъ и касательныя къ окружности и
отрѣзки і, 4 могутъ быть построены съ помощью прове-
денія однѣхъ лишь прямыхъ линій, согласно главѣ II.
Если теперь представить себѣ, что построеніе пра-
вильнаго семнадцатиугольника выполнено по этому спо-
собу и что начерчена фигура, обратная найденной, то эта
обратная фигура будетъ состоять только изъ окружностей,
проходящихъ черезъ центръ данной окружности.
207. Предлагается построить семнадцатиугольникъ по
этому способу съ помощью циркуля, пользуясь разъяснені-
ями главы III.
208. Въ § 43, А) мы показали построеніе семнадцати-
угольника съ помощью циркуля и линейки. Само постро-
еніе кромѣ окружностей содержитъ лишь двѣ прямыя линіи
(фиг. 145).
По главѣ III можно опредѣлить точки пересѣченія пря-
мыхъ линій съ окружностями путемъ проведенія однѣхъ
лишь окружностей. Предлагается выполнить построеніе
§ 43, А), не проводя прямыхъ линій, и сравнить его съ
даннымъ построеніемъ Жерара.
О) Построеніе правильнаго семнадцатиугольника съ пом^ПЦЬю
прямого угла.
Рѣчь идетъ снова о рѣшеніи слѣдующихъ ураненій:
а2-\-х—4 = 0 имѣющаго корни , ^ , при чем'
хг — — I = о
X2--7]1Х--1=0
х1 — %х -4- = о
Г>о,^<о
^>0,^4 < О
^2 О , < О
% У ? П
Ъ.7і»
§ 43- ПОСТРОЕНІЕ ПРАВИЛЬНАГО СЕМНАДЦАТИУГОЛЬНИКА. 221
Рѣшеніе этихъ уравненій съ
можетъ быть выполнено по § 32.
помощью прямого угла
Чертятъ прежде всего ломанную линію АВСВ (фиг. 149),
при чемъ
АВ=ВС=т
СБ = ±
на прямой ВС, Такимъ путемъ получаю’
Затѣмъ располагаютъ прямой уголъ въ плоскости чертежа
такъ, чтобы стороны его проходили черезъ А и а вер-
шина его лежала
корни г) и
Если теперь провести черезъ точки щ и (ФВД^49)
прямыя
^ = 1, ТцЕ =
то ломанная линія АВцЕ будетъ
дъ триномъ
92^ — 1.
222
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Для опредѣленія и и г3 не изображены на
чертежѣ) помѣщаютъ прямой уголъ въ плоскости чертежа
такъ, чтобы стороны его проходили одинъ разъ черезъ
А и , другой разъ—черезъ А и Г и чтобы вершина его
оба раза лежала на ВС. Получаются корни # и
Теперь въ точкѣ перпендикулярно къ ВС проводятъ
отрѣзокъ
(фиг. 149). Составленная такимъ образомъ ломанная линія
АВгС представляетъ триномъ хг — ях-\-%2.
Если теперь помѣстить прямой уголъ въ плоскости
чертежа такъ, чтобы стороны его проходили черезъ А и С,
а вершина лежала на ВС, что можно выполнить двумя раз-
личными способами, то получатся корни у, у,.
Большій изъ нихъ у начерченъ; отсюда ужъ немед-
ленно вытекаетъ построеніе правильнаго семнадцатиуголь-
ника, ибо
у 2 л
— = СО8 — и т. д.
2 Ту
§ 44. Теоремы о возможности построенія правильныхъ
многоугольниковъ.
і. Дѣленіе окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, ю, 12 рав-
ныхъ частей было извѣстно уже въ древности, равно какъ
и дѣленіе пополамъ произвольной дуги, что даетъ возмож-
ность построить 24-угольникъ по 12-угольнику и т. д.
Было извѣстно также и дѣленіе окружности на 15 ча-
стей; такъ какъ
то окружности можетъ быть получена, если изъ % отауж-
ности отнять 4 ея. . ѵ
Вообще справедливо предложеніе: „Если п ес^ произ-
веденіе двухъ взаимно простыхъ чиселъ а и ілжг
I _ X у
гдѣ х и у суть цѣлыя положительныя $@:ла“.
§ 44- ВОЗМОЖНОСТЬ ПОСТРОЕНІЯ прав. многоугольниковъ. 223
Дѣйствительно, неопредѣленное уравненіе
ау — Ъх=і
всегда разрѣшимо въ цѣлыхъ положительныхъ числахъ,
если а и Ь суть взаимно простыя числа.
2. Гауссъ въ своемъ знаменитомъ сочиненіи „Біз-
•диізіііопез агіііішеіісае" впервые расширилъ доставшіяся
намъ отъ древнихъ свѣдѣнія относительно возможности
дѣленія окружности на равныя части, при чемъ имъ было
доказано слѣдующее предложеніе:
„Если р есть простое число вида/> = 22"і, то
дѣленіе окружности на р частей возможно; для каж-
даго же другого простого числа и для каждой сте-
пени простого числа, основаніе коей больше двухъ,
дѣленіе окружности съ помощью циркуля и линейки
невозможно".
Если положить (въ цѣляхъ ближайшаго разсмотрѣнія
этой теоремы) п = о, то р = 21 -|~ і = з будетъ простымъ чи-
сломъ; если положить 7/ = і, то / = 224~і = 5 снова есть
простое число ; если положить п = 2 , то р = 222 -|- і = 17.
Дѣленіе окружности на 17 частей въ силу теоремы
Гаусса возможно. Мы выше его выполнили.
Если 7/ = з, то/ = 223-}~і =257. Такъ какъ 257 есть
простое число, то дѣленіе окружности на 257 равныхъ ча-
стей выполнимо съ помощью циркуля и линейки.
Ришело (Кісйеіоі) опубликовалъ относительно этого
•объемистую работу (СгеІІеДоигпаІ, В. 9, 1832) въ приложе-
ніи къ Гауссову сочиненію.
Если положить п = 4, то р = 224 і = 65537. Это число
снова оказывается простымъ; уравненіе а05537 — і=о раз-
рѣшимо поэтому въ квадратныхъ радикалахъ, для чего
Гауссъ указываетъ необходимые методы.
Для п = 5, 6, 7 число р = 22** -|-1 не будетъ простй^;
для 77 = 8 получается число, о которомъ неизвѣстно^^Йро-
стое ли оно, или нѣтъ. ^7
Изъ теоремы Гаусса вытекаетъ также, чт^для каж-
дой степени простого числа дѣленіе окружностцневозможно,
коль скоро это простое число больше двухъ?
224
ГЛАВА VII. ДѢЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Поэтому оказывается невозможнымъ раздѣлить окруж-
ность, напр., на 9, 25, 27 частей.
3. Такимъ образомъ, возможно дѣленіе окружности на.
2> 3> 4, 5> 6> 8- ІО> І2> *5. іб, 17, 20, 24 (й = і~I). Зорав-
пыхъ частей и невозможно — на 7, и, 13, 19, 23, 29 частей,
такъ какъ это простыя числа, не могущія быть предста-
вленными въ видѣ 22” і; равнымъ образомъ, невозможно
раздѣлить окружность на 9, 25, 27 частей, такъ какъ 9, 25,.
27 суть степени простыхъ нечетныхъ чиселъ.
Невозможно, далѣе, раздѣлить окружность на 14, 2іу
28, 18, 22 равныя части, ибо, если бы, напр., можно было
раздѣлить окружность на 14 частей, то можно было бы
раздѣлить ее и на 7 частей, чего однако нельзя сдѣлать.
Аналогично этому нельзя раздѣлить окружность на 18,22
части, такъ какъ невозможно раздѣлить ее соотвѣтственно
на 9, и частей 112).
VIII. ГЛАВА.
Геометрическія построенія третьей и четвертой
степени.
§ 45. Удвоеніе куба (Делійская проблема).
Если 5 есть сторона даннаго куба, 5 — искомая сто-
рона куба двойного объема, то
53 = 253 ,
такъ что
5 = 5]/ 2.
Знаменитая задача объ удвоеніи куба приводитъ, та-
кимъ образомъ, къ построенію выраженія V о..
Эта задача есть частный случай слѣдующей задачи,
которая много разъ разсматривалась древними 113):
Даны два отрѣзка а и требуется построить
два среднихъ пропорціональныхъ, т. е. два отрѣзка
х}у, которые удовлетворяли бы уравненіямъ
а__ х у
х~ у~~ Ь *
Изъ этихъ равенствъ вытекаетъ, что
з
х = )/ а~Ь
з
у = У Ра.
и если, въ частности,
а = і , Ь = 2 ,
15
Теорія геометрическихъ построеній.
226 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
ТО
3 3 _
.-ѵ = рТ, у = Ѵ^.
3
Удвоеніе куба требуетъ построенія выраженія V2 или
графическаго опредѣленія корней уравненія
х3 — 2 = 0.
Это уравненіе третьей степени не имѣетъ раціональныхъ
корней и поэтому неразрѣшимо въ квадратныхъ радикалахъ
з _
(§ 36). Выраженіе V 2, такимъ образомъ, не можетъ
быть построено циркулемъ и линейкой.
Для рѣшенія этой задачи необходимы коническія сѣ-
ченія или еще высшія кривыя, которыя могутъ быть начер-
чены по точкамъ или съ помощью инструментовъ.
і. Графическое рѣшеніе съ помощью коническихъ сѣченій.
а) Если разсмотрѣть параболы
х2 = ау,
у2 = Ьх,
то координатами точки ихъ пересѣченія (не совпадающей съ
началомъ) будутъ числа
3 3 _
§ = V а2Ь , // = Г аЬ2.
р) Если построить два коническихъ сѣченія
х2 = ау,
ху = аЪ,
то точка ихъ пересѣченія, не совпадающая
имѣетъ координаты
з___ з _
§ =]/а2Ь, ц^^аЪ2.
съ началомъ,
у) Если разсмотрѣть окружность
и параболу
то точка ихъ пересѣченія, отличная отъ начала, имѣетъ ко-
ординаты
з
з
§ 45- УДВОЕНІЕ КУБА (ДЕЛІЙСКАЯ ПРОБЛЕМА). 227
Во всѣхъ трехъ случаяхъ нахожденіе обоихъ среднихъ
пропорціональныхъ сводится, такимъ образомъ, къ опредѣ-
ленію точекъ пересѣченія двухъ коническихъ сѣченій 114).
Если, въ частности, а = т , Ь = і, то
з __ з _
§ — , 7] = т .
3 _
Для опредѣленія Vж можно, слѣдовательно, примѣнить
одинъ изъ трехъ способовъ а), /9), у).
Для Ъ = і третій методъ является практически наибо-
лѣе удобнымъ. Въ этомъ случаѣ уравненіе параболы имѣ-
етъ видъ
У ==х;
она, такимъ образомъ, не зависитъ отъ т и можетъ быть
поэтому начерчена разъ навсегда 115).
Координатами центра окружности тогда будутъ числа
Ь і а т
2 2’2 2
Такъ какъ окружность проходитъ черезъ начало, то
нѣтъ необходимости вычислять ея радіусъ.
Сообразно съ этимъ, слѣдующій способъ оказывается
практичнымъ, если нужно графически опредѣлить большое
число корней третьей степени.
На бумагѣ, разграфленной на квадратные милиметры
(можно имѣть бумагу, которая разграфлена весьма точно),
чертятъ параболу Р (у = х), отыскиваютъ точку М съ аб-
сциссой и ординатой , помѣщаютъ въ нее одну ножку
размѣрнаго циркуля и раздвигаютъ его до начала коорди-
натъ. Затѣмъ опредѣляютъ точку пересѣченія съ параболой
окружности, проходящей черезъ начало.
Это можетъ быть произведено размѣрнымъ циркулемъ^
весьма точно безъ проведенія самой окружности. Непосред-
ственно получаемая ордината точки пересѣченія и ^датъ
корнемъ третьей степени изъ т.
2. Рѣшеніе съ помощью конхоиды НикомедаД&оло 150
года до Р. Хр.).
а) Никомедъ нашелъ чрезвычайно просто строющуюся
высшую кривую, которая можетъ быть прц|іУнена не только
15*
228 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ третьей и четвертой степени.
для графическаго удвоенія куба, но также и для трисекціи
угла и для графическаго рѣшенія уравненій третьей степени..
Сама кривая получается слѣдующимъ путемъ:
Пусть будутъ даны точка Г (фиг. 150), прямая § и отрѣ-
зокъ 5. Проводятъ черезъ Г произвольную прямую к и откла-
дываютъ на ней отъ точки Н ея пересѣченія сь «• отрѣзокъ 5.
Полученныя такимъ образомъ точки при измѣненіи прямой
к образуютъ нѣкоторую кривую с: конхоиду Никомеда. ?
Точку Г называютъ полюсомъ кривой, прямую §—
ея основаніемъ, отрѣзокъ 5 — интерваломъ.
Нетрудно построить механизмъ, съ помощью котораго
можно было бы чертить такого рода кривую.
Уже Никомедъ построилъ такой механизмъ; послѣ
циркуля онъ является древнѣйшимъ инструментомъ для вы-
черчиванія кривыхъ линій.
Ь) Мы прежде всего выведемъ уравненіе этой кшщой.
Изъ подобныхъ треугольниковъ КНМ и /Ж^(фиг>
150) вытекаетъ, что АА
ТШ
ктГкм
ИЛ И ___ А)
]/л'2-і-Ѵ2 _ У
5 //
§ 4^- УДВОЕНІЕ КУБА (ДЕЛІЙСКАЯ ПРОБЛЕМА). 229
Положеніе системы координатъ при этомъ ясно изъ фигуры
150; р есть разстояніе полюса Е отъ основанія §,
Изъ уравненія видно, что кривая — четвертаго порядка,
имѣетъ точку Е своей двойной точкой и состоитъ изъ двухъ
частей, имѣющихъ основаніе общей асимптотой. Кривая
сверхъ того проходитъ черезъ двѣ мнимыя циклическія
точки.
с) Теперь покажемъ, какъ съ помощью этой кривой
опредѣлить оба среднихъ пропорціональныхъ между двумя
отрѣзками а и Ь:
Два взаимно перпендикулярные отрѣзка АВ и АС
(фиг. 150) пусть будутъ соотвѣтственно равны а и Ь] далѣе,
пусть
АС = а,
Е будетъ серединой отрѣзка АВ и прямая ЕЕ будетъ перпен-
дикулярна къ АВ, такъ что
Проводятъ затѣмъ прямую ЕС и параллельно ей черезъ
точку В прямую &. Если построить теперь конхоиду с, ко-
торая имѣетъ полюсъ Е, основаніе $ и интервалъ $=-^-,
до она пересѣчетъ прямую АВ въ точкѣ АГ116), откуда не-
медленно получается точка Е съ помощью четвертой вер-
шины В прямоугольника АВСВ.
Теперь съ помощью вычисленій нетрудно доказать
что ВК и СЬ будутъ двумя средними пропорціональными
между отрѣзками АВ и АС, Для краткости мы не станемъ
здѣсь вдаваться въ это доказательство *).
Если, въ частности,
а = і, Ь = 2 , ур
ТО О &Е
3 ___ 3
С/= Ѵ4.
б) Если желательно опредѣлить два средни^р пропор-
ціональныхъ, то нѣтъ необходимости въ ікѣрроеніи всей
*) См. К Епгідиез, „(^иезііопі Кі§иагсіатдгЕа Сеогпеігіа
Еіешепіаге", Болонья, 1900, стр. 423—427. ЪСрѵ
230 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
кривой; достаточно начертить ту ея часть, которая по пред-
положенію содержитъ точки пересѣченія.
Самое точку пересѣченія на практикѣ удобно находить
съ помощью бумажной полоски, на которую нанесенъ отрѣ-
Ь
зокъ 8 —— и которую надлежащимъ образомъ передвигаютъ.
з
Заслуживаетъ упоминанія, что это опредѣленіе У 2 съ
помощью бумажной полоски ни въ коемъ случаѣ не будетъ
лишь приближеннымъ рѣшеніемъ задачи (§ 22) 117).
3- Рѣшеніе съ помощью циссоиды Діоклеса(околоі5ог.доР.Х.)
а) Діоклесъ нашелъ для рѣшенія разсматриваемой
задачи кривую, которая хотя и не можетъ быть построена
помощью столь простого механизма, какъ конхоида, но
зато тѣснѣе связана съ рѣшаемой
задачей.
Пусть АВ (фиг. 151) будетъ дан-
нымъ отрѣзкомъ, имѣющимъ длину
і. Проведемъ черезъ его концы пер-
пендикуляры и ^2 и возьмемъ
на произвольную точку Рг. Этой
точкѣ Рг мы на отнесемъ такую
точку Р2 , для которой
ар2 = врі
(АВ принимается за единицу). Та-
кимъ образомъ, если положить
ВРг = 5 , то
А Р2 = 53 .
Теперь проведемъ прямыя АРХ и ВР2\ онѣ пересѣкутся въ
точкѣ Р, которая при измѣненіи 5 опишетъ нѣкоторую
кривую, циссоиду Діоклеса.
Ь) Мы прежде всего выведемъ уравненіе этой
(фиг. 151).
Уравненіе прямой АРг есть -Ду*
а уравненіе прямой ВР.г: 0 V*
у = —53 (х— I). <0°
§ 45- УДВОЕНІЕ КУБА (ДЕЛІЙСКАЯ ПРОБЛЕМА). 231
Исключивъ 5 изъ обоихъ уравненій, мы получимъ
2
=-------и
I -х
— уравненіе циссоиды.
с) Выведемъ еще одно свойство этой кривой, которое
можетъ быть использовано для ея построенія:
Съ этой цѣлью построимъ на АВ полуокружность и
положимъ уголъ ВАРХ = а (фиг. 151); пусть прямая АРг
пересѣкаетъ полуокружность не только въ А , но еще въ
нѣкоторой точкѣ Р3; тогда АР = РгРх.
Для того, чтобы это доказать, достаточно обнаружить
только, что оба отрѣзка имѣютъ равныя по длинѣ проекціи
на прямой АВ.
Проекція отрѣзка Р2РХ на АВ есть
і — со82 а = 8Іп2 а.
Проекція отрѣзка АР (абсцисса точки Р) можетъ быть най-
дена, если въ уравненіи циссоиды положить у = и
опредѣлить затѣмъ х.
Мы найдемъ, что
ж = 8Іп2 а ,
чѣмъ и доказывается теорема.
4. Рѣшеніе Аполлонія (около 200 г. до Р. X.).
Пусть АВ и АС будутъ двѣ смежныя стороны прямо-
угольника АВСР и Е—центръ его.
Если на продолженіяхъ сторонъ АВ и АС опредѣлить
двѣ точки X и У такъ, чтобы онѣ равноотстояли отъ Е и
чтобы прямая, ихъ соединяющая, проходила черезъ Р, то
будутъ имѣть мѣсто соотношенія:
Ж _ ВУ_СХ
ВУ СХ АВ*
Для краткости мы не станемъ вдаваться въ доказательство
этихъ двухъ равенствъ*), и замѣтимъ лишь, и У
должны лежать соотвѣтственно на продолженіямъ сторонъ
АВ и АС въ сторону точекъ В и С.
Е. Епгідиез, тамъ же, стр. 435—437.
232 ГЛАВА ѴШ. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
• 5- Рѣшеніе съ помощью двухъ прямыхъ угловъ (Платонъ,
около 400 г. до Р. X.).
Пусть будутъ даны двѣ взаимно перпендикулярныя пря-
мыя / и пусть А будетъ произвольная точка на / и
АВСБ— прямоугольная ломанная линія, выбранная такъ,
что А и С лежатъ на /, а В и Б — на (фиг. 152). Тогда
а: х = х: у = у \Ъ,
т. е. х и у будутъ двумя средними пропорціональными между
а и Ъ.
а) Если а и Ъ даны, то, согласно вышесказанному, х и
у можно опредѣлить, построивъ прямоугольную ломанную
Фиг. 152.
линію АВСБ. Двѣ вершины ея А, Б даны, а двѣ другія
В, С должны быть построены.
Этого можно достигнуть приближенными методами,
построивъ кривую ошибокъ ДЛЯ ТОЧКИ В ИЛИ С.
Съ этой цѣлью проводятъ изъ А произвольнуи^йря-
мую г, въ точкѣ ея пересѣченія съ возставляютдОгь ней
перпендикуляръ 2 и опускаютъ изъ Б перпендМуляръ на
2. Его точка пересѣченія Сх съ прямой 2 естшточка кривой
ошибокъ. Аналогично опредѣляютъ и втАбую точку С2.
Всегда можно точки Сх и С2 опредѣлитъ такъ, чтобы
онѣ лежали вблизи прямой /. Тогда н^йвую ошибокъ на
§ 45- УДВОЕНІЕ КУБА (ДЕЛІЙСКАЯ ПРОБЛЕМА).
233
этомъ короткомъ разстояніи можно разсматривать, какъ
почти прямую.
Ь) Если имѣются въ распоряженіи два подвиж-
ныхъ прямыхъ угла, то задача можетъ быть строго
разрѣшена.
Нужно лишь оба прямыхъ угла расположить въ пло-
скости чертежа такъ, чтобы они соприкасались вдоль одного
катета (фиг. 152) и чтобы второй катетъ одного угла про-
ходилъ черезъ А, а второй катетъ другого угла — черезъ
/9; далѣе, вершина перваго угла должна лежать на а
второго — на / 118).
Правильнаго расположенія угловъ достигаютъ послѣ
короткаго передвиженія, въ результатѣ чего получается
строгое рѣшеніе предложенной задачи (§ 22).
Если, въ частности,
а = і,
то
з 3
х =Ѵь , у = Уі2.
Такимъ образомъ, если
а = і, Ъ = 2 ,
6. Приближенный методъ Буонафальче (ВиопаГаІсе) *).
Пусть АВС будетъ прямоугольный равнобедренный
треугольникъ съ катетами АВ и АС\ дѣлятъ гипотенузу
на шесть равныхъ частей и строятъ на катетѣ АС (отъ С
къ А) точку О такъ, что
СП=іВС.
3 /
Тогда ВО приблизительно равняется АВ ]/2 .
Доказательство. Пусть АВ будетъ равно і^Догда
/- ж
ВС = Ѵ2
*) ЕпгідпеБ, тамъ же, стр. 439.
234 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
И
АВ=т — Ц,
о
поэтому
=I•25863,
между тѣмъ какъ
з
1/2 = 1-2599.
3
Такимъ образомъ, ВВ есть приближенное значеніе ]/з;
ошибка не превосходитъ 1 0200.
7. При практическомъ черченіи нерѣдко требуется
3
строить .
Методы двухъ послѣднихъ параграфовъ могутъ быть
тогда непосредственно примѣнены съ пользою.
§ 46. Трисекція угла.
і. Уравненіе, къ которому приводитъ трисекція угла а.
Для нашей цѣли мы развернемъ выраженіе
/ а । . . а V
I СО8---к- I 8Ш — I
V з з/
сначала по теоремѣ Муавра, затѣмъ по строкѣ бинома
и получимъ
/ \ з
/ а ... а \ ...
I СО8-к-1 8Ш — I = СО8 а 4- г 8ш а
V з з/
(і)
а . а
СО82 —81П------81П
3 3
/ о « а . .
= I СО83----3 СО8 — 81П
V з з
Отсюда слѣдуетъ, что
оа а . 9 а ч а
СО8 а = СО83---Ч СО8— 81ГГ — = 4 СО8 3 СО8— .
3 3 3 3
Пусть а будетъ даннымъ угломъ, а прои^^^ьный отрѣзокъ
— единицей длины; тогда можно разс^^)°ивать соз а, какъ
§ 46. ТРИСЕКЦІЯ УГЛА.
235
данный, а соз — — какъ искомый отрѣзокъ. Если положить
2 соз а = а,
а
2 соз - = х .
3
то изъ равенствъ (і) получится уравненіе
(2) %3 — з х — а = о.
Когда это уравненіе для нѣкотораго даннаго а разрѣ-
шимо въ квадратныхъ радикалахъ, то трисекція соотвѣт-
ствующаго угла выполнима при помощи циркуля и линейки;
и наоборотъ: если для даннаго угла выполнима трисекція,
то соотвѣтствующее уравненіе (2) должно быть приводи-
мымъ.
Разсмотримъ ближе этотъ вопросъ.
А) Углы, трисекція которыхъ выполнима съ по-
мощью циркуля и линейки.
а) Такими углами будутъ, напр., уголъ въ 90° и въ 450
/_______90° \
I — I; для этихъ угловъ величина а въ уравненіи (2) со-
отвѣтственно равна нулю и Ѵ2.
Само уравненіе соотвѣтственно принимаетъ видъ
и
х3 — 3 х = о
х3 — з % — V 2 = о.
Первое уравненіе имѣетъ корни о, Ѵ3,—Ѵ3 , а корнями вто-
рого будутъ У2+Ѵз, —Ѵ2,—^/2 — Уз , что вполнѣ со-
гласуется съ дѣленіемъ угловъ 90° и 450 на три части.
Ь) Можно легко указать еще безчисленное множество
угловъ, для которыхъ трисекція выполнима съ помощыа
циркуля и линейки. г
Именно, если раздѣлить пополамъ уголъ въ 450, йэйіо-
лучится уголъ, трисекція котораго возможна; этс^йГимѣ-
44°
етъ мѣсто и для угла к и т. д. Вообще возмржщі трисек-
щя каждаго угла вида —, гдѣ п—цѣлое поучительное число-
236 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Можно найти еще другіе углы, трисекція которыхъ
производится при помощи циркуля и линейки:
Пусть 5 будетъ отрѣзокъ, который при помощи цир-
куля и линейки получается изъ единицы посредствомъ нѣ-
котораго, впрочемъ, совершенно произвольнаго построенія.
Если положить
2 СО8Н = 67 = 53-35,
то можно построить со8 а, а вмѣстѣ съ тѣмъ и уголъ а.
Соотвѣтствующее уравненіе
гз — д г — а _ о
имѣетъ корень 5; поэтому
т. е. трисекція этого угла и линейки съ помощью циркуля
возможна.
В) Углы, трисекція которыхъ невыполнима при
помощи циркуля и линейки.
Такихъ угловъ можно указать безчисленное множе-
ство.
Пусть, напр., а будетъ равно і, такъ что
СО8 а = і и а = 6о° ;
соотвѣтствующее уравненіе
а3 — за — 1=0
не имѣетъ раціональныхъ корней, ибо таковыми могли бы
быть только -|-1 и — і (§ 36); поэтому уравненіе нераз-
рѣшимо въ квадратныхъ радикалахъ (§ 36).
Такимъ образомъ, уголъ въ 6о° не можетъ быть
раздѣленъ на три части съ помощью циркуля и ли-
нейки; уголъ въ 20° (а, слѣдовательно, и уголъ $ъ
40°) не можетъ быть построенъ съ помощью этъ
средствъ рѣшенія.
Это совпадаетъ съ однимъ изъ раннѣе <(§^2) полу-
ченныхъ результатовъ: центральный уголъ, <^&твѣчающій
сторонѣ правильнаго девятиугольника сложитъ именно
40° и потому этотъ уголъ въ такой же мѣржне можетъ быть
построенъ, какъ и самъ девятиугольш^М
§ 46. ТРИСЕКЦІЯ УГЛА.
237
Можно указать еще безконечное множество значеній я,
для которыхъ соотвѣтствующее уравненіе неразрѣшимо въ
квадратныхъ радикалахъ. Существуетъ поэтому безконечное
множество угловъ, трисекція которыхъ не можетъ быть
выполнена при помощи циркуля и линейки.
2. Трисекція угла съ помощью коническихъ сѣченій.
Трисекцію угла можно произвести, вычертивъ кониче-
ское сѣченіе и найдя точку его пересѣченія съ окружно-
стью.
Мы укажемъ два метода такого рода.
а) Методъ Шаля (Сііазіез).
Пусть требуется раздѣлить уголъ АОВ (фиг. 153) на
три равныя части.
а) Описываютъ вокругъ О произвольнымъ радіусомъ
окружность К и въ А проводятъ къ ней касательную /.
Затѣмъ при О строятъ на ОВ произвольный уголъ со
А на / — тотъ же
уголъ со , но въ (йУоти-
(фиг. 153) и при
воположномъ направленіи.
Получаемая такимъ путемъ
(фиг. 153) при измѣненіи со описываетъ нѣкот<
— гиперболу Шаля.
фъченія Р
Іо кривую к
точка п<
238 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Если X есть одна изъ точекъ пересѣченія гиперболы к
съ окружностью К, то
^ВОХ = ^ВОА;
именно, если Рх и Р% суть точки А", отвѣчающія точкѣ Р,
то всегда (фиг. 153)
^АОР* = ^ВОРХ.
Если теперь точки Рх и Р2 совпадаютъ въ одной точкѣ X, то
<^АОХ = ъ^ВОХ.
р) Изучимъ ближе кривую к.
Она получается изъ двухъ пучковъ О и А. Каждый
лучъ, исходящій изъ А опредѣляетъ нѣкоторый уголъ со, и
ему соотвѣтствуетъ поэтому совершенно опредѣленный лучъ
пучка О, и наоборотъ.
Въ частности, лучу 5 пучка О (со = о) отвѣчаетъ лучъ
і пучка А', лучу пучка А (60 = 90°) отвѣчаетъ тотъ лучъ
пучка О, который перпендикуляренъ къ 5. Если же отне-
сти % къ пучку О, то ему отвѣчаетъ лучъ т пучка Л,
при чемъ лучъ т долженъ быть параллеленъ лучу I.
Биссектрисы угла О (фиг. 153) обозначимъ черезъ кх
и Л2; положимъ, что 1іА составляетъ съ 5 (и съ /) уголъ а.
Если построить теперь такой лучъ пучка О, который
съ 5 образуетъ уголъ а, то соотвѣтственный лучъ пучка А
будетъ параллеленъ первому лучу, такъ что точка ихъ пере-
сѣченія безконечно удалена; это же имѣетъ мѣсто, если раз-
сматриваемый лучъ пучка О параллеленъ биссектрисѣ Л2.
Оба пучка лучей съ центрами въ точкахъ О и А кон-
груентны, слѣдовательно, проективны, но имѣютъ противо-
положное направленіе угловъ. Оба пучка поэтому опредѣ-
ляютъ равностороннюю гиперболу119), которая прохо^тъ
черезъ 0А(2, въ О имѣетъ касательную I и въ А о ^Ьетъ
касательную т.
Такъ какъ касательная I параллельна т , ф^Й^ередина
М отрѣзка О А есть центръ гиперболы.
Асимптоты гиперболы параллельны ітршгымъ кх и Л2.
у) Для практическаго выполненія прС^роенія слѣдуетъ
прежде всего построить точку М и асимптоты. Для
§ 46. трисекція угла. 239
опредѣленія точекъ Х,Х,А выгодно воспользоваться слѣ-
дующимъ свойствомъ гиперболы: „Для точекъ пересѣченія
прямой / (фиг. 153) съ гиперболой и асимптотами имѣетъ
мѣсто соотношеніе
7Т=05“.
Далѣе, нѣтъ необходимости строить всю гиперболу:
достаточно начертить лишь часть ея вблизи предполага-
емыхъ точекъ пересѣченія съ окружностью к; это быстро
и точно достигается съ помощью линейки, раздѣленной на
части (масштаба).
Не считая точки А, гипербола пересѣкаетъ окруж-
ность еще въ трехъ точкахъ X, У, онѣ образуютъ вер-
шины равносторонняго треугольника, въ чемъ легко убѣ-
диться. Поэтому и
3 <К ВОХ = з ВОХ-ф-3600 = ВОА + 3600.
(5) Углу АОВ отвѣчаютъ, впрочемъ, двѣ гиперболы
Шаля. Одну изъ нихъ мы нашли, проводя касательную къ
окружности въ точкѣ А. Если же провести касательную къ
окружности въ точкѣ В и поступать затѣмъ по предыду-
щему , то два пучка лучей О и В опредѣлятъ вторую равно-
стороннюю гиперболу.
Ь) Мы упомянемъ еще объ одномъ методѣ трисекціи
угла съ помощью коническаго сѣченія и окруж-
ности*), не входя однако въ его детальное разсмотрѣніе.
Намъ для этого нужна извѣстная легко доказуемая
теорема:
„Пусть I будетъ данной прямой и А—данной точкой,
не лежащей на I.
Геометрическое мѣсто всѣхъ точекъ, для которыхъ раз-
стояніе отъ А вдвое больше разстоянія отъ /, есть гипер-
бола, имѣющая точку А своимъ фокусомъ, прямую I—ди-
ректрисой; второй фокусъ, центръ и асимптоты легко мо^
гутъ быть найдены". °^°
Пусть АОВ будетъ уголъ, который требуется^^дѣ-
лить. Представимъ себѣ, что тѣ двѣ прямыя, котр^до про-
ходятъ черезъ О и дѣлятъ уголъ на три рав|Йія части,
уже найдены. оѴѵ
*) Р. Епгідией, тамъ же, стр. 451—453.
240 ГЛАВА ѴЦІ. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ II ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Опишемъ вокругъ О окружность и возьмемъ точки
А, С у В, В ея пересѣченія съ этими исходящими изъ О
четырьмя прямыми. Пусть теперь I будетъ биссектрисой
угла АОВ.
Изъ получающейся фигуры явствуетъ, что искомая точка
С отстоитъ отъ А вдвое дальше, чѣмъ отъ I. Вслѣдствіе этого
точка С лежитъ на гиперболѣ и есть точка пересѣченія
этой гиперболы съ окружностью.
3- Трисекція угла съ помощью бумажной полоски.
Пусть (фиг. 154)
АВ = ВО = ОС = ВВ = г
и
^ВАО=а\
тогда
ОВС = за, СОЕ = 3а
(при этомъ
ОВВ = 90° — а ,
т. е. отрѣзокъ ОВ перпендикуляренъ къ прямой АО).
Изъ этого замѣчанія вытекаетъ простой методъ три-
секціи угла СОЕ—методъ, который проще всего можетъфъіть
осуществленъ съ помощью бумажной полоски
Пусть будетъ данъ уголъ СОЕ (фиг. 154). О^йшемъ во-
кругъ О произвольнымъ радіусомъ г окружномъ К, кото-
рая пересѣчетъ стороны угла въ точкахъ Е.
Нанесемъ теперь на край бумажнойоу^лоски отрѣзокъ
АВ=г и помѣстимъ бумажную полосой въ плоскости чер-
§ 46- ТРИСЕКЦІЯ УГЛА.
241
тежа такъ, чтобы край ея проходилъ черезъ С, точка А
лежала на § и точка В на К.
Тогда уже
САЕ = ^СОЕ.
Правильное положеніе бумажной полоски удается найти съ
полной строгостью послѣ нѣкотораго перемѣщенія бумажки.
Трисекція угла указаннымъ путемъ выполняется строго
(§ 22).
Методъ же не только практически полезенъ, но пред-
ставляетъ и теоретическій интересъ, такъ какъ изъ него
можно вывести цѣлый рядъ методовъ для трисекціи угла.
Мы ихъ приводимъ ниже.
4. Трисекція угла съ помощью Никомедовой конхоиды и
Паскалевой улитки.
а) Для того, чтобы придать бумажной полоскѣ 5 (фиг.
154) правильное положеніе, можно поступить слѣдующимъ
образомъ:
Край ея прикладываютъ къ С, точку А помѣщаютъ на
прямой § и передвигаютъ бумажную полоску до тѣхъ поръ,
пока В не упадетъ на окружность К. При этомъ пере-
движеніи точка В опишетъ конхоиду г, для которой С
будетъ полюсомъ, % — основаніемъ и г — интерваломъ (§ 45).
Точка пересѣченія с съ К и будетъ искомой точкой
В 120). Отсюда ясно, какъ можно воспользоваться конхоидой
для трисекціи угла:
На фиг. 154 чертятъ еще прямую ЕС, параллельную §.
Пусть теперь данъ будетъ произвольный уголъ ЕСО
= 3«-
Откладываютъ на сторонѣ СО произвольный отрѣзокъ
г, получаютъ такимъ образомъ точку О и проводятъ че-
резъ нее прямую § параллельно ЕС. /Т
Затѣмъ описываютъ окружность К вокругъ точкй^2),
какъ центра, радіусомъ г и строятъ конхоиду, имЖдаую
точку С своимъ полюсомъ, прямую &— основаніемъ, отрѣ-
зокъ г—интерваломъ. Точка В пересѣченія этрЙ^жонхоиды
съ окружностью К и опредѣляетъ искомуюо\гретью часть
угла з а. ^0 °
Теорія геометрическихъ построеній.
16
242 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Легко видѣть, что для каждаго даннаго угла нужно
чертить конхоиду, въ силу чего этотъ методъ, конечно,
имѣетъ только историческій интересъ.
Ь) Вообразимъ теперь бумажную полоску располо-
женной въ плоскости чертежа такъ, что край ея проходитъ
черезъ С и точка В лежитъ на окружности К\ это можно
осуществить безконечнымъ множествомъ способовъ. Точка А
описываетъ при этомъ нѣкоторую кривую />, такъ называ-
емую, Паскалеву улитку (фиг. 154).
Изъ чертежа ясно, что, наоборотъ, съ помощью Па-
скалевой улитки можно произвольный уголъ раздѣлить
на три части:
Пусть будетъ дана начерченная Паскалева улитка
/>, сверхъ того точка О на ней.
Если требуется раздѣлить уголъ на три части, то про-
водятъ прямую ГС (фиг. 154) такъ, чтобы уголъ ГСО рав-
нялся данному углу. Если теперь провести черезъ О пря-
мую § параллельно СГ, то & пересѣчетъ Паскалеву
улитку въ нѣкоторой точкѣ Л, при чемъ, какъ видно изъ
чертежа,
^ГСА=І^ГСО.
Итакъ, съ помощью разъ навсегда начерченной Пас-
калевой улитки можно дѣлить на три равныя части
произвольный уголъ.
Это достигается тѣмъ, что Паскалева улитка, напр.,
вырѣзывается изъ дерева или вычерчивается на прозрач-
номъ матеріалѣ.
5. Инструменты для дѣленія угла на три части.
Для выполненія этой задачи были изобрѣтены многіе
инструменты. Одинъ изъ нихъ есть тотъ, которымъ Нико-
медъ пользовался для черченія своей конхоиды (§ 45).
Другимъ примѣнимымъ инструментомъ былъ бы тотъ,
который вычерчивалъ бы Паскалеву улитку, что <еЬю
достигается. °^°
Укажемъ вкратцѣ еще на нѣкоторые инструменты та-
кого рода:
а) Если на фигурѣ 154 помѣстить Г) такъ, что
ВВ = ѵ, то, какъ мы знаемъ изъ пункта с^т°чка & будетъ
лежать на прямой 1і, перпендикулярность'^ въ точкѣ О.
§ 46. ТРИСЕКЦІЯ УГЛА.
243
На этомъ замѣчаніи основаны два метода, дающіе воз-
можность произвести трисекцію угла съ помощью бумажной
полоски.
а) Можно, во-первыхъ, нанести на бумажную полоску
отрѣзокъ
ВВ = г
и помѣстить эту полоску въ плоскости чертежа такъ, чтобы
край ея проходилъ черезъ точку С и чтобы точка В полоски
лежала на окружности К, а точка В — на прямой к.
Можно также отложить на бумажной полоскѣ отрѣзокъ
АВ = ъг
и расположить полоску въ плоскости чертежа такъ, чтобы
край ея проходилъ черезъ точку С, точка А лежала на пря-
мой а точка В—на прямой к.
Въ обоихъ случаяхъ оказывается найденной третья
часть угла СОЕ .
На послѣднемъ методѣ основывается устройство инстру-
мента для трисекціи угла, который былъ указанъ Амадори
(Ашасіогі) *).
Инструментъ сдѣланъ изъ металла, состоитъ изъ
окружности 7Г, прямыхъ к и металлической полоски, на
которую нанесены точки А и В на разстояніи 2г одна
отъ другой; точка А можетъ двигаться только вдоль прямой
, а точка В — вдоль прямой к.
Способъ пользованія инструментомъ непосредственно
вытекаетъ изъ фигуры 154.
Мы не станемъ подробнѣе его разсматривать, такъ какъ
инструменты для трисекціи угла имѣютъ только теоретиче-
скій интересъ.
Ь) Фельдблюмъ **) предложилъ для трисекціи угла
инструментъ, который получается изъ указаннаго въ § 2
инструмента для дѣленія угловъ пополамъ.
Имѣемъ (фиг. 120): о
АВ = ВС=СВ=ВА,
далѣе,
ВЕ= ЕЕ=ЕС — СВ.
*)Епгічиез, тамъ же, стр. 457—459.
**) ЕеШЫит, „Зпаи^игаІ-ПіззегіаНоп
244 ГЛАВА ѴІП. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Всѣ входящія въ составъ фигуры линіи представимъ
себѣ сдѣланными изъ дерева или металла и подвижными во
всѣхъ указанныхъ точкахъ.
Тогда ВВ постоянно будетъ биссектрисой угла АВСГ
а СВ—биссектрисой угла ВВС, поэтому
^АВВ = ^ВВС.
Инструментъ можетъ быть примѣненъ для трисекціи про-
извольнаго даннаго угла 121).
155), соединить ее съ точкой
Присоединяя новые ром-
бы можно построить инстру-
ментъ, который можетъ быть
примѣненъ» для дѣленія лю-
бого угла на 4, 5,..., п
частей.
с) Пусть АВВ будетъ-
полуокружностью, / — каса-
тельной къ ней въ точкѣ.
А и
СА = АО=ОВ==г.
Если теперь взять на і
произвольную точку Р (фиг.
С и провести изъ нея каса-
тельную РВ къ полуокружности, то найдемъ, что
^СРА = ^ ОРА = ^ОРВ = І^СРВ.
Въ инструментѣ, устройство котораго основано на этой
теоремѣ, полуокружность, касательная і и отрѣзокъ СА
сдѣланы изъ дерева и неподвижно прикрѣплены другъ къ
другу.
Если требуется теперь раздѣлить на три части пф^йз-
вольный, но не слишкомъ большой уголъ СРВ, тор^рістру-
ментъ помѣщаютъ въ плоскости чертежа такъ, ч’^^ы каса-
тельная і проходила черезъ Р, точка С лежала «^Родной изъ
сторонъ угла, а другая сторона касалась полуокружности
въ точкѣ В.
Тогда уголъ СРА будетъ искомойжретьей частью.
§ 47- ГРАФИЧЕСКОЕ РѢШЕНІЕ УРАВНЕНІЙ.
245
47. Графическое рѣшеніе уравненій третьей и четвертой
степени.
Геометрическая задача третьей или четвертой степени
приводитъ къ уравненію третьей или четвертой степени
Геометрическое рѣшеніе задачи будетъ поэтому и графиче-
скимъ рѣшеніемъ нѣкотораго уравненія третьей или чет-
вертой степени.
Мы займемся въ этомъ параграфѣ именно графиче-
скимъ рѣшеніемъ уравненій третьей и четвертой степени.
I. Приведеніе биквадратнаго 122) уравненія къ кубическому.
Рѣшеніе уравненія четвертой степени можетъ быть,
какъ извѣстно, приведено къ рѣшенію уравненія третьей
степени.
Пусть требуется рѣшить уравненіе
(і) а4 -ф- ах2 -ф- Ъх2 -ф- сх -ф- сі = о.
Положимъ прежде всего
а
х = у----
4
и преобразуемъ уравненіе (і) въ уравненіе
(2) ^фѵ2 -ф- Ву -ф- С = о.
Теперь положимъ
2у = и -ф- ѵ -ф- а,
гдѣ и, ѵ, суть величины, которыя еще должны быть опре-
дѣлены. Можно ихъ подчинить двумъ условіямъ:
//2 • ф- ѵ2 -ф- гА = — 2 А ,
и ѵ гѵ = — В
и найти затѣмъ г/2, а2, а»2, какъ корни уравненія
.(з) г3 + 2^? + (^-4С)г-В2 = о123).^'
Если суть корни этого уравн^р^ которое
называется резольвентой биквадратнаго уравненія (і), то
для корней уравненія (2) выполняются соодщошенія:
246 ГЛАВА ѴШ. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
2^’і = Ѵ^і + Ѵ^+У^,
2Уг — — У — У,
2.Уз “ УД У~2-і У2з>
2>’4= — У*1 —Уг~2+У^3-
Такимъ образомъ, корни уравненія (і) могутъ,
быть получены съ помощью раціональныхъ опе-
рацій и извлеченія квадратнаго корня изъ корней
резольвенты.
Поэтому общее уравненіе (і) разрѣшимо или нераз-
рѣшимо въ квадратныхъ радикалахъ въ зависимости отъ-
того, разрѣшима ли или неразрѣшима въ квадратныхъ ра-
дикалахъ его резольвента (3).
2. Рѣшеніе съ помощью коническихъ сѣченій.
Мы дадимъ здѣсь лишь важнѣйшіе методы для гра-
фическаго рѣшенія уравненій третьей и четвертой
степени.
Съ этой цѣлью можно идти двумя различными пу-
тями: можно, во-первыхъ, искать коническія сѣченія, раз-
рѣшающія данныя уравненія; во-вторыхъ, можно, взявъ два
коническихъ сѣченія, искать разрѣшаемыя съ ихъ помощью
уравненія.
Разъяснимъ это на двухъ примѣрахъ:
і. примѣръ. Пусть будетъ дано уравненіе
(і) х3 ах2 -ф- Ъх -4- с = о.
Оно разрѣшается съ помощью коническихъ сѣченій
(2) х2 =у
и
(з) ху+ ау-\-Ъх-\- с = о,
ибо исключеніе у изъ уравненій (2), (3) приводитъ ^^урав-
ненію (і).
Уравненіе (2) представляетъ въ прямоуго^^ыхъ коор-
динатахъ параболу, имѣющую параметроіѵгь^Яі не завися-
щую отъ коэффиціентовъ разрѣшаемаго ^р^вненія; она мо-
жетъ быть начерчена разъ навсегда. лАГ
§ 47- ГРАФИЧЕСКОЕ РѢШЕНІЕ УРАВНЕНІЙ.
247
Уравненіе (3) представляетъ равностороннюю гипер-
болу, асимптоты которой параллельны осямъ координатъ;
центръ гиперболы имѣетъ координаты — я, — Ъ.
Для рѣшенія уравненій третьей степени можно на ос-
нованіи сказаннаго поступить слѣдующимъ образомъ:
Чертятъ параболу съ параметромъ і, всего удобнѣе —
на бумагѣ съ милиметровой сѣткой, затѣмъ асимптоты ги-
перболы и сверхъ того еще одну точку гиперболы, напр.,
точку ея пересѣченія съ осью х-овъ или съ осью ^у-овъ.
Послѣ этого можно уже весьма точно найти точку пересѣ-
ченія гиперболы съ параболой, не чертя всей гиперболы
(ср. § 46, стр. 239.)
2. примѣръ. Мы теперь возьмемъ два коническихъ
сѣченія—окружность К\
(4) (х—7я)2 (у — 7?)2 = г2
и параболу Р:
(5) / + х = о.
Исключая х изъ обоихъ уравненій, получимъ:
(6) у4 4“ (і 4~ 2т)У 2 ну 4~ (ж2 4- ?72 Г2) = О .
Такимъ образомъ, съ помощью этихъ двухъ коническихъ
сѣченій можно рѣшать уравненія вида
(7) 4- ^2+4- с=°.
Для этой цѣли нужно лишь положить
I 4- 277? = а ,
---<2П = Ъ ,
т2 4~ 7/2 —Р — с.
Парабола (5) не зависитъ отъ коэффиціентовъ уравне-
нія, подлежащаго рѣшенію, и можетъ быть начерчена на бу-
магѣ съ милиметровой сѣткой разъ навсегда. Координата^
центра окружности К служатъ числа
а—1
777 = ---. П =----,
2 2
радіусъ же удовлетворяетъ соотношенію
248 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Такимъ образомъ, центръ и радіусъ могутъ быть легко най-
дены, именно, съ помощью милиметровыхъ дѣленій, нане-
сенныхъ на бумагѣ.
Полезно также не описывать самой окружности К, но
пользоваться для опредѣленія точекъ пересѣченія Р и К
размѣрнымъ циркулемъ.
Непосредственно отсчитываемыя величины ординатъ
точекъ пересѣченія будутъ корнями уравненія (7).
Слѣдуетъ указать, что этотъ методъ не только прак-
тически примѣнимъ, но имѣетъ также и теоретическій
интересъ.
Опредѣленіе корней биквадратнаго уравеенія (7) (въ
формѣ (7) можетъ быть представлено съ помощью раціо-
нальныхъ операцій каждое полное биквадратное уравненіе)
требуетъ, кромѣ пользованія постоянной параболой, только
употребленія циркуля и линейки. Итакъ, для рѣшенія
биквадратныхъ уравненій мы нуждаемся, кромѣ ок-
ружностей и прямыхъ, только въ постоянномъ ко-
ническомъ сѣченіи.
Уравненіе (7) можетъ принимать и частные виды.
Если, напр.,
с = о,
то уравненіе (7) переходитъ въ уравненіе
Ь = о;
рѣшеніе этого уравненія также можетъ быть произведено
по вышеупомянутому методу. При этомъ можно обойтись
и безъ вычисленія г, ибо окружность К должна проходить
черезъ начало координатъ.
Если, далѣе,
а =о,
то уравненіе (7) получаетъ видъ
г? -р Ъ = о.
Корни этого уравненія также могутъ быть найдень^съ
помощью параболы и размѣрнаго циркуля. Анамйічно
можно разрѣшать квадратныя уравненія, огіредфляВь квад-
ратные корни и т. д.
3- Графическое рѣшеніе уравненій третьей и четвертой сте-
пени съ помощью произвольнаго начерченнаго кт^ескаго сѣченія.
Теперь мы покажемъ, какъ съ помшйѣю произвольнаго
даннаго коническаго сѣченія можно нашить корни каждаго
§ 47- ГРАФИЧЕСКОЕ РѢШЕНІЕ УРАВНЕНІЙ.
249
уравненія третьей и четвертой степени, слѣдуя при этомъ
методамъ, указаннымъ Шалемъ (СЬавІез, „Сотріез
гепсіиез", 1880).
Съ этой цѣлью мы должны предварительно сдѣлать
нѣкоторыя замѣчанія, связанныя съ новой Геометріей и
графическимъ исчисленіемъ.
а) Пусть К будетъ начерченное коническое
сѣченіе.
Возьмемъ въ плоскости кривой К прямую линію и
на ней такъ размѣстимъ обыкновенный рядъ чиселъ, чтобы
каждой точкѣ прямой отвѣчало положительное или отри-
цательное число, измѣряющее разстояніе этой точки отъ
нѣкоторой произвольно выбранной на $ начальной точки.
Возьмемъ теперь на К произвольную точку О и во-
образимъ, что къ каждой точкѣ Р кривой К отнесено такое
число, которое отвѣчаетъ точкѣ пересѣченія прямой съ
лучомъ РО.
Каждой точкѣ Р кривой К отвѣчаетъ при этомъ одно
совершенно опредѣленное число, и наоборотъ — каждое
число отвѣчаетъ одной лишь точкѣ кривой К\ въ частности,
точкѣ О на К отвѣчаетъ число, относящееся къ точкѣ пе-
ресѣченія прямой и касательной въ точкѣ О къ кривой К.
Число безконечность отвѣчаетъ точкѣ пересѣченія К съ
прямой, проведенной черезъ О параллельно
Можно также сказать, что при этомъ рядъ чиселъ
на проектируется изъ О на коническое сѣченіе.
Въ послѣдующемъ мы будемъ разсматривать два та-
кихъ ряда точекъ на К. Точки и отвѣчающія имъ числа
перваго ряда всегда будутъ обозначаться черезъ §, а точки
(И
и числа второго ряда — черезъ т].
Совпадающимъ точкамъ обоихъ рядовъ отвѣчаетъ
одни и тѣ же числа.
Ь) Пусть теперь требуется съ помощь^того
постояннаго коническаго сѣченія К рѣшилр?'слѣду-
ющее уравненіе:
а4 + ах* + Ьх2 4- сх = оЛСх
250 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Мы разсмотримъ съ этой цѣлью соотвѣтствіе между
точками обоихъ рядовъ на К, устанавливаемое равенствомъ
(2) (4- ат/) Ц- су 0) = о.
Каждому числу какъ вытекаетъ изъ равенства (2),
отвѣчаютъ два числа и наоборотъ—каждому числу т?
отвѣчаютъ два числа
Слѣдовательно, каждой точкѣ § перваго ряда на К от-
вѣчаютъ двѣ точки т) второго ряда и каждой точкѣ у вто-
рого ряда на К отвѣчаютъ двѣ точки § перваго ряда.
Можетъ также случиться, что нѣкоторой точкѣ перваго
ряда въ силу соотношенія (2) отвѣчаетъ та точка второго
ряда, которая съ нею совпадаетъ и, слѣдовательно, опредѣ-
ляетъ то же число, что и она.
Эти двойныя точки могутъ быть найдены, если поло-
жить въ уравненіи (2)
І = V =
При этомъ изъ уравненія (2) получается уравненіе (і), и ста-
новится яснымъ, что всего существуетъ четыре такихъ
двойныхъ точки и что отвѣчающія имъ числа суть корни
уравненія (і).
Такимъ образомъ,рѣшеніе уравненія (і) сводится
къ построенію этихъ двойныхъ точекъ.
Съ этой цѣлью мы должны однако ближе изучить
соотвѣтствіе, устанавливаемое равенствомъ (2) меж-
ду точками двухъ рядовъ на К.
с) Пусть т[ будетъ произвольной точкой второго ряда
(или соотвѣтствующее ей число) на К, а и —отвѣчаю-
щія ей точки (числа) перваго ряда.
Тогда изъ уравненія (2) вытекаетъ, что
Точкѣ % отвѣчаетъ въ силу уравненія (2) не т^й^ко
точка ?/, но еще и вторая точка г}". Равнымъ образоЛ^гочкѣ
кромѣ ?/, отвѣчаетъ еще другая точка втопжг ряда, и
это должна быть именно точка ц", такъ какъ^Чфавненіе (2)
содержитъ только $2, слѣдовательно, имѣад^одинъ и тотъ
же видъ для величинъ и , которыяджличаются лишь
знаками.
§ 47- ГРАФИЧЕСКОЕ РѢШЕНІЕ УРАВНЕНІЙ.
251
Итакъ, двѣ точки и перваго ряда, которыя
отвѣчаютъ нѣкоторой точкѣ т}' второго ряда, отвѣ-
чаютъ также и одной и той же второй точкѣ .
Равнымъ образомъ, очевидно, что двѣ точки
т)' и т}'\ которыя отвѣчаютъ одной точкѣ должны
отвѣчать также и одной и той же точкѣ
Такимъ образомъ, равенствомъ (2) не только опредѣ-
ляется соотвѣтствіе между рядомъ точекъ и рядомъ точекъ-
но также устанавливается соотвѣтствіе между точками
ряда равно какъ и соотвѣтствіе между точками ряда
А именно, двѣ точки % и ряда § отвѣчаютъ другъ
другу, если онѣ отвѣчаютъ одной и той же точкѣ т) вто-
рого ряда.
Но такъ какъ между обѣими этими точками % и
должно существовать соотношеніе
г=-^,
то имъ опредѣляется инволюція, т. е. всѣ прямыя, сое-
диняющія точки съ соотвѣтственными точками ^"у
проходятъ черезъ одну и ту же постоянную точку 5124).
Двѣ точки и т)" ряда 9? отвѣчаютъ одна другой, если
онѣ отвѣчаютъ одной и той же точкѣ § перваго ряда. Изъ
уравненія (2) очевидно, что и соотвѣтствіе между т}' и ?і'г
опредѣляетъ инволюцію и что поэтому прямыя, сое-
диняющія точки съ соотвѣтственными точками т}"у
проходятъ черезъ постоянную точку 5'.
(3) Такимъ образомъ, уравненіемъ (2) опредѣляются
два пучка 5 и 5', расположенные въ плоскости кривой К,
Каждый лучъ у пучка 5 пересѣкаетъ К въ двухъ
точкахъ и которыя отвѣчаютъ одной и той же точкѣ
ряда?/. Но онѣ (по предыдущему) отвѣчаютъ также и
одной и той же точкѣ ту" второго ряда; у' и т)” лежатъ на
лучѣ 5' пучка 5'.
Легко видѣть, что къ каждому лучу пучка 5 такимъ обр^
зомъ отнесенъ одинъ и только одинъ лучъ пучка 5', и на^э-
ротъ. Лучи обоихъ пучковъ сопряжены одно-однозна^|і>імъ
соотвѣтствіемъ, которое, какъ явствуетъ изъ ураі^нія (2),
опредѣляетъ проективную зависимость мелсіЖйИми.
Поэтому пучки лучей 5 и 5' опредтаі^гіотъ кони-
ческое сѣченіе пересѣкающее К въ^тырехъ точкахъ,
І52 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
которыя будутъ искомыми двойными точками дву-двузнач-
наго соотвѣтствія между точками двухъ рядовъ $ и у на К.
е) Для опредѣленія Кх поступаютъ слѣдующимъ обра-
зомъ: въ уравненіе (2) вмѣсто подставляютъ какое-
нибудь опредѣленное число, напр., о; такимъ путемъ полу-
чаются два значенія прямая 5, соединяющая точки
и есть лучъ пучка 5. Теперь подставляютъ въ
уравненіе и опредѣляютъ изъ него у".
Если соединить прямой точки и у", то получится
соотвѣтствующій лучъ 5' пучка 5'. Такимъ же способомъ
строятъ еще два луча пучка 5 и отвѣчающіе имъ лучи
пучка 5'.
{) Этимъ показано, какъ можно разрѣшить общее урав-
неніе четвертой степени съ помощью единственнаго даннаго
начерченнаго коническаго сѣченія.
Точки пересѣченія Кх съ К можно опредѣлить, по-
строивши кривую Кх по точкамъ или слѣдуя пути, который
будетъ указанъ въ слѣдующемъ пунктѣ.
4- Результаты работъ Кортума и Смита относительно гео-
метрическихъ задачъ на построеніе третьей и четвертой степени.
Кортумъ и Смитъ въ двухъ сочиненіяхъ, увѣнчанныхъ
Берлинской Академіей въ 1866 г. преміей Штейнера,
показали, что каждая геометрическая задача третьей
и четвертой степени можетъ быть строго рѣшена
путемъ проведенія окружностей и прямыхъ линій,
коль скоро въ плоскости дано начерченное отличное
отъ окружности коническое сѣненіе.
Для краткости мы не станемъ излагать этихъ работъ
и упомянемъ только о слѣдующемъ:
Обѣ эти работы имѣютъ высокій теоретическій интересъ
въ томъ отношеніи, что онѣ представляютъ собой непосред-
ственное продолженіе изслѣдованій Штейнера. Шщнно,
Штейнеръ (глава II) показалъ, что всѣ построенИ второй
степени могутъ быть выполнены путемъ проведенщпрямыхъ
линій, если дана для пользованія окружность ^ъстѣ съ ея
центромъ. Такимъ образомъ, необходимы^ для рѣшенія
квадратныхъ задачъ средства высшаго гшрядка Штейнеръ
свелъ къ минимуму. И
§ 4& РѢШЕНІЕ СЪ ПОМОЩЬЮ ДВУХЪ ПРЯМЫХЪ УГЛОВЪ. 253
Для рѣшенія задачъ третьей и четвертой степени, пактъ
мы знаемъ, недостаточно однѣхъ окружностей, ибо опредѣ-
леніе точекъ пересѣченія окружностей приводитъ къ урав-
неніямъ лишь второй степени.
Для рѣшенія такого рода задачъ нужны коническія сѣченія
или высшія кривыя, и снова возникаетъ вопросъ о сведеніи
къ минимуму числа неизбѣжно присоединяемыхъ кривыхъ.
Кортумъ и Смитъ и показали, что одного только-
начерченнаго коническаго сѣченія достаточно для рѣшенія-
всѣхъ задачъ третьей и четвертой степени.
Въ предыдущемъ пунктѣ мы пришли къ такой задачѣ
Именно, было дано начерченное коническое сѣченіе К, и
второе коническое сѣченіе Кх было задано пятью его точками
(или двумя проективными пучками лучей); искомыми были
точки пересѣченія этихъ двухъ коническихъ сѣченій. Для
этой цѣли нѣтъ надобности строить кривую Кх по точкамъ;
по Кортум}^ и Смиту точки пересѣченія можно получить,,
описывая окружности и проводя прямыя, при условіи поль-
зованія начерченнымъ коническимъ сѣченіемъ.
Впрочемъ, мы уже на стр. 248 видѣли, что всѣ задачи
третьей и четвертой степени могутъ быть рѣшены цир-
кулемъ и линейкой при помощи единственнаго коническаго
сѣченія.
Парабола Р на стр. 247 нисколько не зависѣла отъ
разрѣшаемаго уравненія четвертой степени; само рѣшеніе
уравненія тамъ выполнялось путемъ присоединенія къ па-
раболѣ Р окружностей и прямыхъ линій.
§ 48. Рѣшеніе уравненій третьей степени съ помощью двухъ
прямыхъ угловъ.
і. Пусть будетъ дано уравненіе
(і) а{}х^-\-ах х*-\-а2х-\-— &,
гдѣ я0, , а2, суть раціональныя числа. Мы чертим^>
прямоугольную ломанную линію А ВСРЕ у стороны ко'^^эй
по порядку равны а0, ал , а2,
Первыя двѣ стороны а0, ах должны быть взадайо пер-
пендикулярны, въ остальныхъ же отношеніяхъ могутъ
быть расположены произвольно. Для слѣдуідшихъ же сто-
ронъ должно быть соблюдено слѣдующее тавило:
254 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
„Двѣ параллельныя стороны ломанной линіи
одинаково или неодинаково направлены въ зави-
симости отъ того, имѣютъ ли соотвѣтствующіе ко-
эффиціенты уравненія противоположные или оди-
наковые знаки".
На фигурѣ 156 отрѣзки АВ и СО одинаково направлены,
слѣдовательно, а0 и а2 имѣютъ различные знаки. Равнымъ
образомъ, одинаково направлены отрѣзки ВС и ВЕ; отсюда
можно заключить, что и имѣютъ различные знаки.
Ломанную линію АВСВЕ называютъ ломанной, пред-
ставляющей лѣвую часть уравненія *).
Въ послѣдующемъ, мы для опредѣленности будемъ счи-
тать коэффиціенты и аг положительными; тогда а2 и а3, въ
соотвѣтствіи съ чертежомъ, должны быть отрицательными.
2. Строимъ при А произвольный уголъ СО (фиг. и
чертимъ новую ломанную АЕСН; тогда
ЕВ = = а0 х,
если .
= х.
*) Сгешопа, ,.6гар1і. Са1си1“.
§ 48. РѢШЕНІЕ СЪ ПОМОЩЬЮ ДВУХЪ ПРЯМЫХЪ УГЛОВЪ. 255
Далѣе,
ЕС = а0 х 4-- ах,
СС = (я0 х -|- ^і) *,
ВС = а0 х2 4- ах х 4~ а2
(а2 есть отрицательное число). Наконецъ,
ЕЕ1 = а0 х3 4~ х2 4- а2 х 4- •
Если точка Н совпадаетъ съ Е, то
ЁН=о,
такъ что
является корнемъ уравненія, подлежащаго рѣшенію.
Изъ приведенныхъ разсужденій ясно, какъ рѣшить
уравненіе (і): нужно лишь опредѣлить уголъ со такъ, чтобы
ломанная линія АЕСН заканчивалась въ Е.
Такого рода разрѣшающую ломанную линію легко
построить съ помощью двухъ прямоугольныхъ треугольни-
ковъ I и П (фиг. 156), какъ это явствуетъ изъ чертежа.
Вмѣсто одного изъ прямоугольныхъ треугольниковъ въ
иныхъ случаяхъ употребляется прямой уголъ, какъ напр.,
на фигурѣ 157125).
3. Если съ помощью двухъ прямоугольныхъ треуголь-
никовъ найдена разрѣшающая ломанная, то необходимо еще
изслѣдовать, удовлетворяетъ ли уравненію 4~ или — ,
т. е. нужно установить, въ какомъ направленіи со дол-
женъ считаться положительнымъ. На этотъ счетъ можно
установить общее правило, но удобнѣе въ каждомъ част-
номъ случаѣ произвести небольшое изслѣдованіе относи-
тельно того, должно ли найденное значеніе х брать съ по-
ложительнымъ или отрицательнымъ знакомъ.
Если
йд = 1у
то корень х выражается отрѣзкомъ ХВ.
Замѣчаніе. Этимъ показано, какъ съ помощью двухъ
прямыхъ угловъ можетъ быть рѣшено каждо^Уравненіе
третьей степени, а вмѣстѣ съ тѣмъ и каждое уравненіе
четвертой степени. <^/0°
256 ГЛАВА VIII. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Само рѣшеніе ни въ коемъ случаѣ не будетъ лишь
приближеннымъ, но совершенно строгимъ (§ 22).
Отсюда замѣчаютъ, что прямой уголъ есть наиболѣе
могущественное изъ обычныхъ средствъ построенія; онъ
могущественнѣе циркуля, ибо даже съ помощью нѣсколь-
кихъ циркулей нельзя рѣшать задачъ степени выше второй.
Въ черченіи нерѣдко приходится рѣшать задачи третьей
и четвертой степени. Для строгаго ихъ рѣшенія часто пред-
лагается присоединить къ обычнымъ средствамъ рѣшенія
еще высшее, напр., параболу (у2-|-^ = о). Но изъ выше-
сказаннаго явствуетъ, что въ этомъ нѣтъ необхо-
димости.
§ 49. Построеніе правильнаго семиугольника и девятиуголь-
ника съ помощью двухъ прямыхъ угловъ.
і. Построеніе правильнаго семиугольника.
Фиг. 157.
Построеніе правильнаго семиугольника ’^^^етъ рѣ-
шенія уравненія (§ 42, і)
(і) У+У—ъу —1 =
Чертятъ ломанную линію АВСл
іиг. 157), предста-
§ 49- ПРАВИЛЬНЫЕ СЕМИУГОЛЬНИКЪ И ДЕВЯТИУГОЛЬНИКЪ. 257
вляющую уравненіе (і) и, согласно вышесказанному, строятъ
разрѣшающую ломанную АХУЕ. Тогда
ХВ=у.
Затѣмъ отыскиваютъ (§ 42, і) середину Н отрѣзка ХВ
и возставляютъ къ нему въ точкѣ Н перпендикуляръ.
Этотъ послѣдній пересѣкаетъ окружность К въ вершинахъ
2 и 7 вписаннаго семиугольника (фиг. 157).
2. Построеніе правильнаго девятиугольника.
Построеніе правильнаго девятиугольника зависитъ отъ
рѣшенія уравненія (§ 42, 2)
(2) у — ЗУ + 1=0.
Это уравненіе, какъ извѣстно, имѣетъ два положительныхъ
корня и одинъ отрицательный, при чемъ большимъ изъ
положительныхъ корней будетъ
у = 2 СОЗ- > I .
9 '
Для рѣшенія уравненія (2) чертятъ (фиг. і58ѣсротвѣт-
ственную ломанную АВСВЕ и разрѣшающую^жоманную
АХУЕ, при чемъ о\\
у = ВХ>т.
Теорія геометрическихъ построеній.
17
25 8 ГЛАВА ѴШ. ПОСТРОЕНІЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Исходя изъ середины Н отрѣзка ВХ, находятъ, какъ и
прежде, вершины 2 и у вписаннаго въ окружность правиль-
наго девятиугольника (фиг. 158).
§ 50. Визуальныя задачи третьей и четвертой степени.
Таковы задачи, не содержащія никакого измѣренія
слѣдовательно, не мѣняющія своего словеснаго выраженія
при проектированіи на произвольную плоскость и приводя-
щія къ уравненіямъ третьей или четвертой степени, если
рѣшать ихъ вычисленіемъ.
Новая Геометрія знаетъ большое количество визуаль-
ныхъ задачъ третьей и четвертой степени. Основной за-
дачей четвертой степени является слѣдующая:
„Два коническихъ сѣченія заданы каждое пятью
опредѣляющими его элементами; опредѣлить точки
встрѣчи этихъ сѣченій".
Эта задача, какъ извѣстно, можетъ быть сведена къ
задачѣ третьей степени:
„Дана общая точка двухъ коническихъ сѣченій
и сверхъ того еще по четыре точки каждаго изъ нихъ;
опредѣлить остальныя три общія точки коническихъ
сѣченій".
Послѣдняя задача является основной задачей третьей
степени.
Всѣ графическія задачи третьей и четвертой
степени могутъ быть сведены къ этимъ двумъ зада-
чамъ.
Важную задачу третьей степени представляетъ^/^бою
опредѣленіе двойныхъ точекъ плоской коллинеаціи,° задан-
ной четырьмя парами соотвѣтственныхъ точекъ:^йа можетъ
быть сведена къ основной задачѣ.
Каждая задача третьей степени имѣфѣь, по меньшей
мѣрѣ, одно вещественное рѣшеніе, само^же большее—три,
соотвѣтственно тому, что каждое уржр^ніе третьей степени
§ 49- ПРАВИЛЬНЫЕ СЕМИУГОЛЬНИКЪ и ДЕВЯТИУГОЛЬНИКЪ . 259
съ вещественными коэффиціентами имѣетъ всегда одно,
самое же большее—три вещественныхъ рѣшенія.
Результаты работъ Кортума и Смита могутъ быть
примѣнены и къ визуальнымъ задачамъ третьей и четвер-
той степени. Мы, однако, не можемъ ближе входить въ
разсмотрѣніе этихъ задачъ и вынуждены сослаться на
учебники новой Геометріи.
17*
IX. ГЛАВА.
Историческія замѣчанія относительно квадратуры
круга; приближенное выпрямленіе окружности;
правила для увеличенія точности построеній.
§ 51. Историческія замѣчанія относительно квадратуры
круга.
і. Квадратура круга требуетъ построенія квадрата,
равновеликаго данному кругу.
Этотъ квадратъ можно найти, если начертить прямо-
угольникъ, имѣющій основаніемъ половину окружности
круга, а высотою — радіусъ его, и затѣмъ преобразовать
этотъ прямоугольникъ въ равновеликій квадратъ.
Итакъ, вопросъ сводится къ тому лишь, чтобы постро-
ить полуокружность, т. е. къ выпрямленію полуокружности.
Если радіусъ окружности равенъ і, то длина полуокруж-
ности равна л;; поэтому задача можетъ также быть
сведена къ построенію отрѣзка, длина котораго въ
точности равна л.
Рѣшеніе этой задачи представляетъ собою изстари зна-
менитую проблему. Уже въ „Папирусѣ Ринда" (2000 лѣтъ
до Р. X.) разсматривалась задача о преобразованіи круга
въ равновеликій квадратъ и для этой цѣли было дано слѣ-
дующее правило:
„За сторону квадрата слѣдуетъ взять діаметра".
Такъ какъ
и (1ѵ6)2 = 3.і6)
то, какъ легко видѣть, это правило не такъ ужт^Жточно
и, во всякомъ случаѣ, удовлетворяетъ всѣмъ ігЫЙіъ земле-
мѣрія.
У грековъ квадратура круга вмѣстѣѵ^ь' вычисленіемъ
л является часто разсматриваемой зададщц Для ея рѣшенія
были нѣсколько разъ найдены кривы^кХ
§ 51- ИСТОРИЧЕСКІЯ ЗАМѢЧАНІЯ.
261
Архимедъ опредѣляетъ число л; съ помощью много-
угольниковъ, вписанныхъ въ кругъ и описанныхъ около
него. Его методъ былъ обработанъ Гюйгенсомъ (Ниу-
§Ъеп8). Около того же времени (ібоо) Рудольфъ ванъ
Цейленъ (ѵап Сеиіеп) вычислилъ число я съ 20 знаками;
оно по сію пору носитъ даже его имя.
Спустя сто лѣтъ при построеніи Дифференціальнаго
и Интегральнаго исчисленій были даны многочисленныя
формулы и ряды для вычисленія л;.
Особенно замѣчательны—формула Валлиса (УѴаІІіз):
л 224466
2 1 з У У’У’У * ’ ’
и рядъ Лейбница:
л; і , і і , і
— = і------------------.. .
4 3 5 7 9
Были даны также ряды, позволяющіе легко вычислить
лг. Въ настоящее время лг вычислено съ 700 десятичными
знаками.
Первые десять десятичныхъ знаковъ лг таковы:
^ = 3’ 1415926535...
Ламбертъ (БатЬегі) показалъ, что л; есть число
ирраціональное; Лежандръ (Бе^епсіге) доказалъ, что и л;2
есть ирраціональное число *).
Но лишь въ позднѣйшее время впервые была выяснена
природа числа лг и вмѣстѣ съ тѣмъ была вполнѣ разрѣ-
шена задача о квадратурѣ круга.
2. Различаютъ алгебраическія и трансцендентныя
числа. Число называется алгебраическимъ, если оно
есть корень нѣкотораго алгебраическаго уравненія съ ра-^
тональными коэффиціентами. о
Если же число не можетъ быть корнемъ такого ^|Йв-
ненія, то его называютъ трансцендентнымъ числбОгь.
*) Г. Кидіо, „АгсЬітесіез, Ниу^ііепз, ЬатЬеѴѴ^Ее^епсІге.
Ѵіег АЫіапс11ип§еп йЬег сііе КгеізтеБзип^", Лейпцигъ^,1892.
262
ГЛАВА IX. ВЫПРЯМЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
Ліувилль (Ьіопѵіііе) въ 1844 году впервые доказалъ
существованіе трансцендентныхъ чиселъ. Георгъ Канторъ
(Сеог^ СапЁог) въ основной своей работѣ „ІЗЬег сііе
Еі^епзсѣаНеп сіез ІпЬе^гіПз аІ^еЬгаізсѣег 2аЫеп"
(Сгеііе ф Всі. 77, 1873) обнаружилъ существованіе трансцен-
дентныхъ чиселъ значительно болѣе простымъ путемъ.
Предположеніе, что лг есть такого рода, число пред-
ставлялось весьма вѣроятнымъ.
Эрмитъ (Негтііе) доказалъ (Сотрі. г. 1873), что е
есть трансцендентное число. Линдеманнъ (Ьіпсіетапп) въ
своей работѣ „ІІЬег сііе ХаЫ (МаШ. Али. 20, 1882) на
основаніи работы Эрмита впервые доказалъ, что и л—
трансцендентное число.
Разсужденія Линдеманна были значительно упрощены
сначала Вайерштрассомъ (ХѴеіегзІгазз), затѣмъ Гильбер-
томъ, Гурвицемъ (Нпглѵііг), Горданомъ (МаЙі. Апп. 43),
такъ что въ настоящее время доказательство можетъ быть
дано въ совершенно элементарномъ видѣ 126).
Этими работами задача о квадратурѣ круга вполнѣ
исчерпывается, т. е. строго доказывается, что ея конструк-
тивное рѣшеніе невозможно.
Этимъ не только доказано, что невозможно съ по-
мощью циркуля и линейки начертить прямолинейный отрѣ-
зокъ, равный длинѣ полуокружности даннаго круга, но
также и то, что задача эта не можетъ быть рѣшена и съ
помощью эллиптическаго циркуля, конхоидальнаго циркуля
или, вообще, инструмента, чертящаго алгебраическія кривыя.
Рѣшеніе ея можетъ быть получено только съ
помощью инструмента, чертящаго трансцендентныя
кривыя.
Оказывается не труднымъ изобрѣсти аппаратъ, ^по-
пощью котораго можно было бы чертить надлежащ^ю^тран-
сцендентную кривую (напр., _у = агс8Іп .г) и в®^Йстѣ съ
тѣмъ построить лг.
Аппаратомъ, который служитъ для дфД1 и еще для
иныхъ цѣлей, является особенно тщаіфпъно устроенный
интеграфъ Абданкъ-Абакановича. ^Этотъ инструментъ
§ 52- ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫПРЯМЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ. 263
позволяетъ по данной (такъ называемой, дифференціальной)
кривой
У =ЛХ>
чертить интегральную кривую
/(х)<іх.
§ 52. Приближенное выпрямленіе окружности.
Для практическихъ цѣлей важно имѣть методы по-
строенія простымъ путемъ отрѣзка, приближенно равнаго
окружности даннаго круга.
Такого рода методы и были даны въ большомъ числѣ.
Ниже будутъ указаны нѣкоторые изъ нихъ, наиболѣе важ-
ные; сначала же мы сдѣлаемъ одно замѣчаніе.
і. О точности выполненнаго построенія.
а) Ни одинъ изъ употребленныхъ для построенія ин-
струментовъ не совершененъ.
При установкѣ ножки циркуля въ данной точкѣ, при
прикладываніи линейки къ данной точкѣ, при описываніи
окружности, при черченіи прямой линіи въ построеніе вно-
сятся ошибки даже и въ томъ случаѣ, когда все это дѣла-
ется съ величайшей тщательностью.
Слѣдуетъ замѣтить, что при описываніи окружности
получается меньшая погрѣшность, чѣмъ при проведеніи
прямой линіи. Дѣло въ томъ, что употребляемая линейка
никогда не бываетъ на всемъ протяженіи точно ограничена
прямой линіей; затѣмъ, пишущій штифтъ при черченіи пря-
мой линіи не сохраняетъ постояннаго разстоянія отъ ли-
нейки, во-первыхъ, потому что онъ притупляется, во-вто-
рыхъ, въ виду незамѣтнаго вращенія его вокругъ оси во
время черченія прямой линіи.
Ь) Каждая точка построенія опредѣляется пересѣчешЧ
емъ двухъ линій; но каждая изъ послѣднихъ имѣетт^рд-
нечную ширину, такъ что математическая точка .і^ріитъ
внутри нѣкотораго параллелограмма, который мояйуъ быть
разсматриваемъ, какъ ромбъ. Отсюда снова тірристекаютъ
погрѣшности въ построеніи при прикладыОши къ этой
точкѣ линейки или при помѣщеніи въ не^ИнЪжки циркуля.
264
ГЛАВА IX. ВЫПРЯМЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
с) Можно принять, что при черченіи отрѣзокъ въ ^тт
еще можетъ быть различаемъ и измѣренъ и что поэтому
погрѣшность при помѣщеніи ножки циркуля въ уже най-
денную построеніемъ точку (площадку) или при прикла-
дываніи линейки къ такой площадкѣ, а также ширина тон-
кой построенной линіи (ширина штриха) и діаметръ пло-
щадки не превосходятъ о,і шш.; предполагается тщательное
вычерчиваніе.
Ф Для практическаго черченія чрезвычайно важно
было бы изслѣдовать, въ какой зависимости находится
окончательная погрѣшность въ результатѣ построенія отъ
частныхъ погрѣшностей, допущенныхъ при отдѣльныхъ
основныхъ построеніяхъ, и какъ должно выполнять все по-
строеніе, чтобы вѣроятная ошибка была возможно мала, а
точность результата—возможно велика.
Такого рода изслѣдованія, которыя на основаніи опыта
должны быть произведены по методу наименьшихъ квадра-
товъ, впервые были выполнены въ частномъ случаѣ у Хр.
Винера (СНг. АѴіепег) въ его „Пагзіеііепсіе Сеошеігіе"
(часть I, стр. 187—190). Ф. Клейнъ (Г. Кіеіп) настойчиво
указываетъ („Атѵепсіип^ бег Пійегепйаі—ипсі Іпіе^гаігесѣ-
пип§- аи( Сеошеігіе", стр. 358 и далѣе) на важность теоріи
ошибокъ для начертательной Геометріи.
Въ связи съ этимъ въ позднѣйшее время были опу-
бликованы работы, трактующія объ этой теоріи ошибокъ;
таковы диссертаціи Ф. Гэйера (Г. Сенег, Біе Сепані^-
кеіі ^еошеігізсЬег 2еісѣпип§;еп, ЬеѣапсІеИ пасѣ сіеш
Сан^зсѣеп Аиз^ІеісНип^вѵегІаѣгеп, Фрейбургъ 1902),
П. Бемера (Р. ВбЬтег, ОЬег ^еотеігівсЬе Арргохіта-
Ііопеп, Геттингенъ 1904), К. Нитца (К. Кііх, Аплѵеп-
с1ип§;еп сіег ТНеогіе сіег ГеНІег іп сіег ЕЬепе аиі Коп-
зігикНопеп шіі 2ігке1 ипб Ьіпеаі, Кенигсбергъ 1905).
Послѣдняя работа содержитъ подробную литературу ^Йго
вопроса. °А°
2. Мы примѣнимъ сдѣланныя указанія къ і^уйлижен-
нымъ построеніямъ для выпрямленія окружности. /К
Такъ какъ невозможно построить отрѣзокъ, длина ко-
тораго въ точности равнялась бы длинѣ^окружности, то
каждое построеніе, производимое съ эЫй° цѣлью, является
§ 52. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫПРЯМЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
265
приближеннымъ и полученный съ его помощью результатъ,
даже при идеальномъ совершенствѣ чертежныхъ инструмен-
товъ, будетъ отличаться отъ искомаго результата на нѣко-
торый отрѣзокъ /і, который можетъ быть вычисленъ.
Къ этой теоретической ошибкѣ /і при производ-
ствѣ самого построенія присоединяется еще чертежная
ошибка /2. Полная ошибка /, такимъ образомъ, равна
Для того, чтобы ошибка / была наименьшей, недоста-
точно сдѣлать возможно малой только , нужно также
уменьшить вѣроятную величину ; /2 вообще тѣмъ больше,
чѣмъ больше число примѣненныхъ чертежныхъ операцій.
Такъ, существуютъ приближенныя построенія, кото-
рыя даютъ я; съ теоретической точностью до десятаго
десятичнаго знака, такъ что /х меньше единицы десятаго
десятичнаго порядка. Но такъ какъ эти построенія чрезвы-
чайно сложны, то величина /2 можетъ быть доведена лишь
до единицы второго десятичнаго порядка. Такого рода по-
строеніе поэтому не имѣетъ никакой практической цѣнности.
Приближенное построеніе лишь тогда практи-
чески цѣнно, когда оно требуетъ возможно малаго
числа чертежныхъ операцій; при этомъ достаточно, чтобы
ошибка была меньше о • і шш.
а) Приближенное построеніе, по большей части
достаточное для практическихъ цѣлей, вытекаетъ
изъ теоремы, что длина окружности приближенно
равняется 3* діаметра.
Такъ какъ
37=3'142806,
то достаточно прибавить еще
= 3'1416 .
чтобы получить
Если діаметръ окружности имѣетъ
близительно равняется шш., такъ что
266
ГЛАВА IX. ВЫПРЯМЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
радіусы коихъ меньше 5 сш., это построеніе вполнѣ доста-
точно.
Ь) Цѣлесообразный методъ для выпрямленія
дуги окружности состоитъ въ откладываніи неболь-
шихъ равныхъ хордъ вдоль по дугѣ и на прямой.
При этомъ снова сталкиваются съ двумя ошибками—
съ теоретической /і, которая слагается изъ разностей
между дугами и хордами, и съ чертежной ошибкой
зависящей отъ неточности переноса и возрастающей вмѣ-
стѣ съ числомъ операцій.
Отнюдь не рекомендуется откладывать очень малые
отрѣзки; для окружности, которая имѣетъ, напримѣръ, ра-
діусъ въ 5 сш., слѣдуетъ взять хорду приблизительно въ
5 шш., т. е. такую хорду, которая во всей окружности уло-
жилась бы отъ 20-ти до 25-ти разъ.
с) Кромѣ этихъ приближенныхъ построеній суще-
ствуютъ еще нѣкоторыя особенно замѣчательныя по-
строенія, которыя непосредственно даютъ отрѣзокъ, при-
ближенно равный всей окружности, ея половинѣ или
четверти.
Мы упомянемъ прежде всего построеніе Маскерони
(§ 20). Оно позволяетъ съ помощью одного только циркуля
построить отрѣзокъ у, равный 1’5711996, т. е. отрѣзокъ,
который приближенно воспроизводитъ четвертую часть
окружности
-^=1-5707963.
Теоретическая ошибка достигаетъ при этомъ тт^о;
построеніе поэтому вполнѣ достаточно для окружностей,
радіусы которыхъ меньше 50 ст.
Такъ какъ оно до конца можетъ быть просто ^пол-
нено съ помощью одного только циркуля, то егО(е&ГБДуетъ
отнести къ числу лучшихъ извѣстныхъ медаовъ для
выпрямленія.
(1) Шпехтъ (Зресѣі) даетъ (СгеІІ^Ѵ^Ъа. 3) методъ,
приводящій къ очень точному результата
§ 52. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫПРЯМЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ. 267
Пусть будетъ дана окружность К съ центромъ О и
радіусомъ г. Проведемъ діаметръ ОА (фиг. 159), касатель-
ную въ точкѣ А и построимъ на этой касательной точки
В и С такъ, чтобы выполнялись равенства
АВ^г,
ВС = 4
г.
Затѣмъ опредѣлимъ на діаметрѣ О А такую точку 2?, для
которой
АВ=ОВ,
и проведемъ черезъ Е прямую, параллельную ОС-
Отрѣзокъ АЕ приближенно равенъ окружности круга.
Именно,
О/? = у/і46,
АС=™г.
Поэтому
АЕ = т4б = г .6' 283184,
между тѣмъ какъ вычисленная длина окружности равн
и = г. 6 • 283185 .
Слѣдовательно, теоретическая ошибка^у" есть —6 .
Этотъ методъ теоретически доставляетъ. <$^°имъ образомъ,
268
ГЛАВА IX. ВЫПРЯМЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
очень большую точность; лишь при радіусѣ въ юо ш. ве-
личина достигаетъ Т шш.
е) Укажемъ еще одно простое приближенное
построеніе.
Пусть К будетъ окружность, подлежащая выпрямленію
и АВ — одинъ изъ ея діаметровъ (фиг. ібо).
Проведемъ касательную къ окружности въ точкѣ Л,
опредѣлимъ точку С такъ, чтобы выполнялось равенство
СО А = 30°,
затѣмъ построимъ на касательной такую точку В, для
которой
СР = 3г.
Тогда ВВ приближенно воспроизводитъ половину
окружности круга.
Именно,
и
лс=!~ Ѵ5,
О
поэтому
ВВ=г
§ 53- ПРАВИЛА ДЛЯ УВЕЛИЧЕНІЯ ТОЧНОСТИ ПОСТРОЕНІЙ. 269
между тѣмъ какъ
и
- = Т.3-141593,
Такимъ образомъ, теоретическая ошибка равна
члппппгг> такъ что достигаетъ величины ^тш. лишь для
радіуса въ 2 т.
§ 53. Правила для увеличенія точности построеній.
і. Положимъ, что двѣ точки А и В, входящія въ
составъ нѣкотораго построенія, должны быть сое-
динены прямою § (фиг. ібі); точки А и В при этомъ
Фиг. 161.
(стр. 262, Ь) заданы пересѣченіемъ какихъ - нибудь двухъ
линій одинаковой конечной ширины.
Поэтому каждая изъ этихъ точекъ лежитъ въ нѣко-
торой области, которую — въ виду нашей цѣли — можно
считать кругомъ.
При прикладываніи линейки къ обѣимъ точкамъ ей можно
придать не одно, но очень много положеній; ее можно пе-
редвигать въ нѣкоторой области, большая часть которой
ограничена двумя касательными іх и /2, которыя могутъ
быть разсматриваемы, какъ полоски шириною въ о • і шт.
Точка пересѣченія ^другой прямой а съ начерченной
такимъ образомъ прямой % будетъ расположена внурэ^
отрѣзка аа', если прямую а на мгновеніе считать беадЪ-
нечно тонкой.
На этихъ соображеніяхъ основаны слѣдующіфйва пра-
вила, которыя должны быть принимаемы во^з^дааніе при
точныхъ построеніяхъ (ХѴіепег, „ВагзІеПежІе Сеоше-
ігіе", Всі. і, стр. 190).
270
ГЛАВА IX. ВЫПРЯМЛЕНІЕ ОКРУЖНОСТИ.
а) Если прямая на всемъ своемъ протяженіи
должна быть опредѣлена возможно болѣе точно, то
опредѣляющія ее точки А и В слѣдуетъ брать воз-
можно болѣе отдаленными другъ отъ друга.
Ь) Если точка 5 пересѣченія двухъ прямыхъ
& и а должна быть опредѣлена возможно болѣе точ-
но, то слѣдуетъ эти прямыя опредѣлить п*ри помо-
щи точекъ, по возможности болѣе близко лежа-
щихъ къ искомой точкѣ 5.
2. Пусть будутъ даны двѣ начерченныя прямыя и
&2; ихъ точка пересѣченія 5 расположена въ ромбѣ, ши-
рина котораго равняется ширинѣ начерченныхъ линій.
Если эти прямыя пересѣкаются подъ прямымъ угломъ,
то этотъ ромбъ переходитъ въ квадратъ; если же они пе-
ресѣкаются подъ очень острымъ угломъ, то этотъ ромбъ
становится очень растянутымъ.
Если эту точку пересѣченія нужно соединить прямой
съ другой точкой Р, то оказывается, что эта прямая лишь
тогда можетъ быть опредѣлена точно при произволь-
номъ положеніи точки Р, когда уголъ &2 близокъ
къ прямому; наоборотъ, если уголъ &2 будетъ очень
острымъ, то прямая РЗ лишь въ томъ случаѣ можетъ
быть начерчена точно, когда точка Р лежитъ внутри
остраго угла.
Отсюда вытекаетъ правило, которое также должно
быть принимаемо во вниманіе при точныхъ построеніяхъ.
с) Если точка 5 пересѣченія двухъ прямыхъ
линій и &2 должна служить для точнаго опредѣ-
ленія дальнѣйшихъ прямыхъ, то прямыя и ^2 дол-
жны пересѣкаться подъ угломъ, мало отличающим-
ся отъ прямого. Двѣ прямыя и , пересѣка-
ющіяся подъ острымъ угломъ, также могутъ ^іу-
жить для точнаго опредѣленія другихъ прямыхъ
линій, если послѣднія образуютъ съ и ^жеболь-
шіе углы. <^7
Можно, вмѣстѣ съ Винеромъ (см. выш^ установить
еще одно заслуживающее вниманія правцЛ^^ерченія.
в) Слѣдуетъ производить построенія съ рас-
творами циркуля, меньшими б^^ѵтакъ какъ при
§ 53- ПРАВИЛА ДЛЯ УВЕЛИЧЕНІЯ ТОЧНОСТИ ПОСТРОЕНІЙ. 271
большемъ растворѣ циркуля въ результатъ (благо-
даря ножкамъ циркуля) вкрадывается неточность.
3. Принимая въ расчетъ эти правила, Винеръ (тамъ
же) выполняетъ нѣкоторыя элементарныя построенія.
Мы приведемъ лишь одно изъ нихъ вновь:
„Раздѣлить пополамъ отрѣзокъ АВ возможно
точнѣе ".
Возьмемъ отрѣзокъ, не на много большій, чѣмъ АВ,
опишемъ имъ окружности вокругъ точекъ А и В и соеди-
нимъ прямой полученныя такимъ путемъ точки пересѣченія
и 52.
Точки и 52 лежатъ близко другъ къ другу; по-
этому соединяющая ихъ прямая на всемъ своемъ протя-
женіи опредѣлена не точно; но ея точка пересѣченія съ
отрѣзкомъ АВ опредѣлится съ полной точностью (пра-
вила Ь и с).
X. ГЛАВ А.
Геометрографія.
§ 54. Допущенія Лемуана.
і. Въ концѣ предшествующей главы были указаны
нѣкоторыя правила для производства точныхъ построеній»
а передъ тѣмъ было сказано нѣсколько словъ относительно
вѣроятной погрѣшности построенія, выполненнаго въ дѣй-
ствительности.
При этомъ было упомянуто, что послѣдній вопросъ,
практически столь важный, началъ разрабатываться лишь
въ послѣднее время, несмотря на то, что геометрическими
построеніями занимаются уже въ теченіе длиннаго ряда
лѣтъ.
Причиной этого, главнымъ образомъ, служило то об-
стоятельство, что постоянно (какъ это дѣлали еще древніе)
считали построеніе выполненнымъ, коль скоро было пока-
зано, какимъ образомъ оно можетъ быть сведено къ раз-
смотрѣннымъ уже задачамъ; само же построеніе во многихъ
случаяхъ вовсе не выполнялось. Поэтому простота и точ-
ность геометрическаго рѣшенія задачи не играли никакой
роли.
Яковъ Штейнеръ былъ первымъ, который (въ своей
книгѣ „Піе ^еошеігізсѣеп Копвігикііопеп, аиз^еіцѣгі
гпіиеіз сіег ^егасіеп Ьіпіе ипсі еіпез іезіеп Кгеі^ез")
опредѣленно указалъ на то, что выполненіе постро^йій въ
дѣйствительности, т. е. съ инструментами вт^ітсѣ, есть
нѣчто совсѣмъ отличное отъ выполненія иха>,|какъ онъ вы-
ражается, лишь съ помощью языка.
Онъ говоритъ: „Легко сказать, я < іаю это и это, а
затѣмъ то; но затруднительность илфф;аже, какъ можно
§ 54- ДОПУЩЕНІЯ ЛЕМУАНА.
273
сказать въ иныхъ случаяхъ, невозможность дѣйствительнаго
выполненія очень сложныхъ построеній требуетъ, чтобы
для каждой предложенной задачи было тщательно взвѣшено,
какой изъ различныхъ способовъ полнаго ея рѣшенія явля-
ется простѣйшимъ, какія изъ операцій, которыя нѣсколько
легкомысленно выполняются языкомъ, могутъ быть обой-
дены, коль скоро дѣло касается устраненія излишнихъ труд-
ностей и достиженія наибольшей точности.
Однимъ словомъ, рѣчь идетъ о разысканіи способовъ,
при помощи которыхъ геометрическія задачи могутъ быть
разрѣшены теоретически или практически наиболѣе просто
и точно “.
Часть его пожеланій выполнена.
Теорія чертежныхъ инструментовъ, т. е. изуче-
ніе вопросовъ, какія задачи могутъ быть разрѣшены съ по-
мощью одного только циркуля, одной линейки, одного пря-
мого угла, какъ мы видѣли въ предшествующихъ главахъ,
нѣкоторымъ образомъ закончена.
Вопросъ о простотѣ построенія будетъ разсмо-
трѣнъ въ настоящей главѣ.
2. Предположимъ, что одна и та же задача можетъ
быть разрѣшена построеніемъ различными способами; тогда
возникаетъ вопросъ, какой изъ нихъ будетъ простѣйшимъ.
На это немедленно можно отвѣтить: тотъ, который
при дѣйствительномъ рѣшеніи требуетъ проведенія мень-
шаго числа линій.
Часто на самомъ дѣлѣ прибѣгали (АѴіепег, Вагзіеі-
Іепсіе Сеошеігіе, Всі. і) къ указанію числа начерчен-
ныхъ окружностей и прямыхъ въ рѣшенныхъ задачахъ.
Лемуанъ (Ьетоіпе) идетъ нѣсколько дальше; онъ
опредѣляетъ не только число начерченныхъ линій, но/
подсчитываетъ еще подготовительныя операціи, под^’
которыми онъ разумѣетъ прикладываніе линейки къ т^КѢ
и помѣщеніе ножки циркуля въ данную точку.
Онъ принимаетъ, что каждое произвед^ѣое съ
помощью циркуля и линейки построеніАсоставля-
ется изъ четырехъ элементарныхъ о^ф^іцій.
Теорія геометрическихъ построеній.
18
274
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
Этими элементарными операціями являются слѣдующія:
і. Прикладываніе линейки къ данной точкѣ.
Лемуанъ называетъ ее операціей Е\ и обозначаетъ
символомъ ор: (7?г). Прикладываніе линейки къ двумъ дан-
нымъ точкамъ онъ обозначаетъ поэтому символомъ ор: (27?^.
2. Помѣщеніе ножки циркуля въ данную точку
или въ произвольную точку данной прямой.
Онъ обозначаетъ эту операцію символомъ ор: (С^. Со-
гласно съ этимъ, помѣщеніе обѣихъ ножекъ циркуля въ
двѣ данныя точки онъ обозначаетъ символомъ ор: (2(4).
3. Проведеніе прямой линіи по линейкѣ.
Символъ этой операціи—ор: (Т?2).
4. Описываніе окружности или дуги окруж-
ности.
Эту операцію Лемуанъ обозначаетъ символомъ
ор: (О-
Въ соотвѣтствіи со сказаннымъ, къ каждому выпол-
ненному построенію относится нѣкоторое выраженіе вида
4 7?і 4 ^2 4~ ^4 ~ /п2 ^2 •
Лемуанъ называетъ это выраженіе символомъ по-
строенія.
Кромѣ того, Лемуанъ составляетъ суммы
4 4~ 4 4” 4- ^2= ?
4 4~^і =
и называетъ число 5 (Зітріісііѳ) коэффиціентомъ простоты,
степенью простоты или—коротко—простотой построенія,
а Е (Ехасйшбе) — точностью построенія.
3. Мы разъяснимъ допущенія Лемуана на задачѣ.
„Пусть уголъ будетъ заданъ его сторонами;
требуется построить его равнодѣлящую"^
Съ этой цѣлью обыкновенно идутъ слѣ^^эщимъ пу-
темъ: одну изъ ножекъ циркуля помѣщаютъ^въ вершину
О (і С\) и описываютъ произвольнымъ раѣуСомъ окружность
(іС2), которая пересѣчетъ стороны угламъ точкахъ А и В.
Затѣмъ, помѣщаютъ ножку циркуля ^р^>чку А (і и тѣмъ
§ 54- ДОПУЩЕНІЯ ЛЕМУАНА.
275
же радіусомъ описываютъ дугу окружности (і С2), помѣщаютъ
послѣ того ножку циркуля въ точку В (і Сх) и, сохраняя
тотъ же растворъ циркуля, описываютъ дугу (іС2), которая
пересѣчетъ дугу, имѣющую центръ въ точкѣ Л, въ нѣко-
торой точкѣ В. Наконецъ, прикладываютъ линейку къ точ-
камъ О и В (2ВХ) и проводятъ прямую ОВ (і /?2).
Лемуановъ символъ для этого построенія имѣетъ
видъ:
ор: (2/Л+7?2 + зС1+зС2) = (9;5)
(і прямая, з окружности).
Символъ даетъ совокупность всѣхъ примѣненныхъ
операцій, но не указываетъ послѣдовательности, въ которой
онѣ примѣнены.
Число 9, измѣряющее количество всѣхъ примѣненныхъ
элементарныхъ операцій, Лемуанъ называетъ простотой
построенія. Число 5, показывающее, сколько было примѣ-
нено подготовительныхъ операцій, и равное суммѣ коэффи-
ціентовъ при 7?і и , Лемуанъ называетъ точностью этого
построенія.
4. Съ каждымъ построеніемъ Лемуанъ связываетъ
символъ его, числа 5 и А, затѣмъ — число начерченныхъ
прямыхъ и число начерченныхъ окружностей.
Если задача можетъ быть рѣшена построеніемъ раз-
личными способами, то Лемуанъ называетъ геометро-
графическимъ то изъ этихъ рѣшеній, которому отвѣчаетъ
наименьшее число 5.
Разыскиваніе такого рода рѣшеній и составля-
етъ главную задачу Геометрографіи Лемуана*).
§ 55. Критика и распространеніе допущеній Лемуана.
і. Лемуанъ называетъ число 5 всѣхъ элементарныхъ
операцій, примѣненныхъ при выполненіи даннаго постро-
енія, простотой построенія. о
Это предполагаетъ, что всѣ упомянутыя выше элемен-
тарныя операціи разсматриваются, какъ одинаково ітпад+ыя;
относительно этого однако можно быть различныхъ<^шѣній.
*) Е. Ьетоіпе, „Сёотёіго^гаріііе ои агі сіеисііоп8
^ёотёігідиезРагіз, „Зсіепііа" Иг. 18. ЛА
18*
276
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
Большинство чертежниковъ, напр., считаетъ проведе-
ніе прямой линіи менѣе простымъ, чѣмъ прикладываніе ли-
нейки къ точкѣ.
Опытъ не даетъ возможности рѣшить, какія изъ че-
тырехъ операцій (стр. 274) являются простѣйшими, такъ что
можно вмѣстѣ съ Лемуаномъ считать ихъ одина-
ково простыми.
Можно поэтому поставить въ связь съ простотой по-
строенія число 5, принявъ, что изъ двухъ конструктив-
ныхъ рѣшеній одной и той же задачи простѣй-
шимъ является то, которому отвѣчаетъ наименьшее
число 5.
2. Число Е подготовительныхъ операцій, т. е. сумму
коэффиціентовъ при 7?г и Сх въ символѣ, Лемуанъ на-
зываетъ точностью построенія.
Это допущеніе ни въ коемъ случаѣ не можетъ быть
оправдано. Оно ставитъ точность построенія въ зависи-
мость только отъ прикладыванія линейки къ точкѣ и
помѣщенія ножки циркуля въ точку; такимъ обра-
зомъ, допускается, что только эти двѣ операціи вводятъ въ
черченіе погрѣшность и что остальныя примѣняемыя опера-
ціи—проведеніе прямыхъ линій и описываніе окружностей—
не вводятъ никакой погрѣшности.
Мы однако знаемъ изъ предыдущаго, что въ особен-
ности черченіе прямой линіи, по многимъ причинамъ, вво-
дитъ въ результатъ черченія погрѣшность, большую той,
которая проистекаетъ изъ описыванія окружности, и, вѣ-
роятно, большую также и той погрѣшности, которая имѣ-
етъ своимъ источникомъ прикладываніе линейки къ точкѣ
или помѣщеніе въ данную точку ножки циркуля.
Поэтому число Е не можетъ быть поставлено
въ связь съ точностью построенія; оно для цр^роенія
не имѣетъ никакой практической цѣнности. Въ^ослѣду-
ющемъ мы постоянно будемъ его игнорирова^^/
3. Лемуанъ въ отношеніи черченія ішркулемъ разли-
чаетъ двѣ подготовительныхъ операціи
і. Помѣщеніе ножки циркуля въ^/данную точку.
§ 55- РАСПРОСТРАНЕНІЕ допущеній лемуана.
277
2. Помѣщеніе ножки циркуля въ произвольную точку
прямой.
Онъ обозначаетъ эти двѣ операціи различными сим-
волами.
Ради простоты мы обозначили ихъ однимъ и тѣмъ же
символомъ С1 *).
4. Выше было упомянуто, что уже давно установилось
обыкновеніе разсматривать число начерченныхъ линій, какъ
мѣру простоты построенія.
Но нужно признать, что лишь благодаря иниціативѣ
Лемуана появился общій интересъ къ такого рода геоме-
трическимъ вопросамъ; на самомъ дѣлѣ стали вычерчивать
рѣшенія задачъ, начали устанавливать символы и опредѣ-
лять степень простоты этихъ рѣшеній, возникло стремленіе
получить наиболѣе простыя построенія.
При этомъ подтвердились слова Штейнера, что вы-
полненіе построенія на дѣлѣ есть нѣчто совсѣмъ отличное
отъ выполненія на словахъ.
Оказалось, что даже дошедшія до насъ основныя пла-
ниметрическія построенія подчасъ могутъ быть упрощены
или даже замѣнены болѣе простыми, конечно, въ предполо-
женіи, что слово простота понимается въ вышеопредѣлен-
номъ Лемуановомъ смыслѣ.
И въ отношеніи болѣе сложныхъ построеній нерѣдко
случалось, что построенія, которыя вообще считались наи-
болѣе простыми и изящными рѣшеніями задачи, при ихъ
дѣйствительномъ выполненіи, послѣ точнаго опредѣленія
ихъ символовъ оказывались стоящими по простотѣ ниже
другихъ построеній, считавшихся раннѣе менѣе простыми
и изящными. х
Такъ, напр., приведенное въ § 7 Жергоново рѣшеці^
Аполлоніевой задачи о касаніи считается вообще наи^^ѣе
простымъ и изящнымъ. Если же выполнить пострс^^е, то
обнаружится, что отвѣчающее ему число 5 болыЙЬ, чѣмъ
(* Равно какъ Рэйшъ (.1. Кеизсіі, „РІапітеітд^Тіе Копзігик-
ііопеп іп §еотеіго§гарЬІ8скег Аи8Гй1ігипе1‘^іеф2І§ 1904).
278
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
тѣ числа, которыя связаны съ рѣшеніями повидимому менѣе
простыми ").
5. Кромѣ циркуля и линейки при черченіи упо-
требляется еще линейка о двухъ параллельныхъ
краяхъ и подвижной прямой уголъ (напр., изъ дерева).
Если, напр., нужно провести двѣ параллельныя, но
произвольныя прямыя, то ихъ не строятъ, но просто про-
водятъ линіи вдоль краевъ двухсторонней линейки, въ ре-
зультатѣ чего и получается желаемое.
Если требуется — для другого примѣра — въ точкѣ Р
начерченной прямой возставить къ ней перпендикуляръ,
то не выполняютъ этого построенія съ помощью циркуля
и прямой линіи, но прикладываютъ надлежащимъ образомъ
подвижной прямой уголъ (прямоугольный треугольникъ) и
немедленно получаютъ искомую прямую.
Чтобы получать точные результаты, двухсторонняя
линейка и прямой уголъ должны быть при этомъ возможно
точными чертежными инструментами; это требованіе, впро-
чемъ, должно предъявлять къ каждому чертежному ин-
струменту.
Какъ линейка о двухъ параллельныхъ краяхъ, такъ и
прямой уголъ достаточны въ отдѣльности для рѣшенія
каждой задачи на построеніе второй степени; это было
установлено въ IV главѣ. Построенія съ помощью двух-
сторонней линейки имѣютъ особенное значеніе для многихъ
цѣлей, напримѣръ, для землемѣрія; прямой уголъ, какъ мы
видѣли въ § 48, является чрезвычайно мощнымъ чертеж-
нымъ инструментомъ, такъ какъ съ помощью нѣсколькихъ
прямыхъ угловъ могутъ быть конструктивно строго рѣшены
и задачи третьей степени.
*) Что касается литературы этого предмета, то, о^^умѣ уже
упомянутой оригинальной работы Лему а на и сжатой тЖЖе указан-
ной уже работы Рэйша, можно назвать еще: Р. Гюнтг&ё^К. бйпізсйе),
Веііга°е хиг Сеотеіго^гарИіе, АгсЪіѵ Г. М. и. РЬ. 3 жте, 3. и. 6. Всі;
отчеты засѣданій Берлинскаго математическагс^НрНества. 1902; 7еіі-
есйгіЕі Г. шаій. ипсі паіигѵѵ. ПпіеггісЪі 1903; Ѵі^ЙттсИізЫаііег Гйг Маій,
ипсі Ъіаі. 1902; Г. Боденштедтъ (Восіеп^І^і), ПпіеггісйізЫаНег Гйг
Маій, ипсі Иаі. 1904.
§ 55- РАСПРОСТРАНЕНІЕ допущеній лемуана.
279
Поэтому рекомендуется не ограничиваться основ-
ными операціями, связанными съ употребленіемъ
односторонней линейки и циркуля, но распростра-
нить ихъ введеніемъ въ употребленіе двухсторон-
ней линейки и подвижного прямого угла, такъ какъ
и эти инструменты употребляются при дѣйствительномъ
построеніи.
Согласно съ этимъ, мы дополнимъ Лемуановы
элементарныя операціи слѣдующими:
А) Съ помощью линейки о двухъ параллельныхъ
краяхъ можно выполнить еще слѣдующія двѣ новыя эле-
ментарныя операціи:
а) Можно расположить двухстороннюю линейку
въ плоскости чертежа такъ, чтобы одинъ изъ ея
краевъ совпадалъ съ начерченною уже прямою. (См.
задачу ібб, фиг. 98.)
Мы будемъ эту операцію считать равнозначущей при-
кладыванію линейки къ двумъ даннымъ точкамъ и потому
будемъ обозначать ее знакомъ ор: (аТРД
Ь) При нѣкоторыхъ построеніяхъ (см. задачу 165)
бываетъ необходимо расположить двухстороннюю
линейку въ плоскости чертежа такъ, чтобы одинъ
изъ ея краевъ
то время какъ
проходилъ черезъ данную точку, въ
другой край проходитъ черезъ дру-
гую данную точку.
Эту операцію мы разсматриваемъ также какъ равно-
значущую прикладыванію линейки къ двумъ даннымъ точ-
камъ и обозначаемъ ее поэтому знакомъ ор: (2 7?^.
В) Съ помощью прямого угла (напримѣръ, изъ де-
рева) можно выполнить слѣдующія три новыя элементарныя
операціи:
а) Можно расположить прямой
бы одна изъ сторонъ его лежала
уже прямой — ор:
Ь) При рѣшеніи нѣкоторыхъ
уголъ такъ, что-
на начерченной
задачъ (дааетъ
необходимымъ расположить прямой уголъ4^ъ плос-
кости чертежа такъ, чтобы каждая изъ ед^сторонъ
проходила черезъ одну изъ данныхъ дву\рь точекъ —
ор: (2 7?!).
280
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
с) Иныя задачи (см. задачу 176) требуютъ такого
расположенія угла, чтобы вершина его лежала на
начерченной линіи.
Эту операцію мы обозначаемъ символомъ ор: (И^).
Если прямой уголъ помѣщаютъ въ плоскости
чертежа такъ, что вершина его совпадаетъ съ дан-
ной точкой Р данной прямой а одна изъ сторонъ
его совпадаетъ съ то эта операція, въ силу ска-
заннаго, изображается символомъ ор: (7?1-|-Я/1).
С) Наконецъ, мы допустимъ, что необходимо
расположить прямой уголъ такъ, чтобы вершина
его находилась на нѣкоторой прямой или кривой
линіи, и сверхъ того, что положеніе вершины дол-
жно быть отмѣчено нѣкоторой добавочной точкой.
Эту операцію мы обозначимъ символомъ ор: (Р^.
4. Разъяснимъ эти допущенія примѣромъ.
Пусть въ цѣляхъ рѣшенія нѣкоторой геометрической
задачи на построеніе (напримѣръ, задачи 176) прямой уголъ
помѣщенъ въ плоскости чертежа такъ, что одна изъ его
сторонъ проходитъ черезъ данную точку А, другая сто-
рона— черезъ данную точку 23, а вершина лежитъ на пря-
мой линіи и пусть положеніе вершины должно быть
отмѣчено.
Тогда символъ построенія имѣетъ видъ:
ор: (2/?, + +
(пунктъ 3) мы при-
далѣе всѣ эти по-
Эти элементарныя построенія
соедимъ къ построеніямъ Лемуана,
строенія мы будемъ считать равно значу щи ми и число
ихъ 5 будемъ разсматривать, какъ мѣрило простоты вы-
полненнаго построенія.
Замѣчаніе. Невозможно доказать равнозна^&ть
этихъ операцій, ее можно лишь допустить.
При введеніи обозначеній для элементарцьрж^операцій
мы старались вводить какъ можно меньше^вдвыхъ сим-
воловъ.
Здѣсь предполагается также, что
чертежные инструменты для кажцато Тіредложеннаго по-
§ 56. ПРИМѢРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ. 281
строенія имѣютъ надлежащую величину, т. е. не слишкомъ
велики и не слишкомъ малы. Тѣ же допущенія дѣлаетъ и
Лемуанъ относительно своихъ чертежныхъ инструментовъ.
Нерѣдко однако дѣйствительное выполненіе построе-
нія посредствомъ обычно употребляемыхъ („нормальныхъ")
методовъ дѣлается затруднительнымъ или невозможнымъ
вслѣдствіе неблагопріятныхъ соотношеній расположенія;
какъ помочь въ этихъ случаяхъ указываютъ: А. Виттигъ
(\ѴіШй^), Стеотеігізсйе Копзігпкііопеп, іпзЬезопсІеге
іп Ье^тепгіег ЕЬепе (Рго§т. Ыг. 564, Супіп. 2. И. Кгеиг.,
Эгезсіеп 1899) и Пауль Цюльке (Раиі 2йЫке), АизГйЬ-
гип§- еіетепіаг - ^еотеігізсііег Копзігикііопеп Ьеі
ип^йп8Іі§-еп Ьа§-еѵегЬа11пІ88еп (Рго§г. 150, ОЬеггеаІ-
8ски1е 2П СѣагІоІІепЬиг^, Озіегп, 1906) 126).
§ 56. Примѣры и задачи для упражненія.
і. Въ слѣдующихъ примѣрахъ и задачахъ для упраж-
ненія не только циркуль и односторонняя линейка,
но и линейка о двухъ параллельныхъ краяхъ и пря-
мой уголъ должны быть разсматриваемы, какъ равно-
цѣнные чертежные инструменты, что и имѣетъ мѣсто
на практикѣ.
Подлежитъ рѣшенію слѣдующая основная задача:
„Выполнить всѣ простыя и важныя построенія
при пользованіи всѣми чертежными инструментами;
опредѣлить для каждаго построенія его символъ и
простоту, и, въ особенности, отыскать такія по-
строенія, для которыхъ степень простоты возможно
мала".
Такого рода геометрографическія построенія имѣ-
ютъ дѣйствительную практическую цѣнность.
2. Въ послѣдующемъ будутъ выполнены только
торыя изъ простѣйшихъ построеній при пользованш^Йъми
чертежными инструментами, при чемъ будетъ опр^^Ьіяться
символъ построенія и, въ частности, степень егои^рстоты 5*.
Число 5*! , помѣщенное при нѣкоторыху изъ этихъ
задачъ, указываетъ самую меньшую степеъффростоты, до-
282
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
стигнутую до сихъ поръ въ отношеніи этихъ построеній,
если, вмѣстѣ съ Лемуаномъ,* допускать въ качествѣ чер-
тежныхъ инструментовъ только циркуль и линейку.
3. Вспомогательныя построенія.
209. Построить двѣ произвольныя взаимно пер-
пендикулярныя прямыя..
Рѣшеніе производится съ помощью прямого угла
ор: (27?2), 5 = 2; (5і*) = 8).
2іо. Даны прямая и на ней точка Р] требуется
возставить перпендикуляръ х къ въ точкѣ Р.
Это выполняется съ помощью прямого угла.
ор: (7?!Ч-Т?2 + , 5 = з; (5,*) = 8).
2іі. Данъ отрѣзокъ АВ] возставить перпенди-
куляръ къ нему въ его серединѣ.
Классическое построеніе. Описываютъ окруж-
ности В(г) и соединяютъ полученныя точки пере-
сѣченія С и В.
ор : (2 + 2 С, 4- 2 с2), 5 = 7 .
Это дошедшее до насъ, такъ называемое, классиче-
ское *), построеніе есть вмѣстѣ съ тѣмъ и наиболѣе
простое.
(Въ § 23 мы показали, какъ раздѣлить отрѣзокъ по-
поламъ съ помощью двухсторонней линейки, а въ § 24,
какъ раздѣлить отрѣзокъ пополамъ съ помощью прямого
угла; предлагается установить символъ для этихъ обоихъ
построеній и опредѣлить ихъ простоту.)
212. Даны прямая § и внѣ ея точка Р\ требуется
опустить изъ Р на § перпендикуляръ а.
Рѣшеніе производится съ помощью пряй
прикладываютъ къ и подвигаютъ до тѣх'
у>ла: его
іръ, пока
*) Рэйшъ, тамъ же.
**; Символъ А (г) означаетъ окружное;
діусомъ г.
центромъ А и ра-
§ $6. ПРИМѢРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ.
283
вторая сторона его не коснется Р, и проводятъ затѣмъ
искомый перпендикуляръ.
ор : (3 + 7?2), 5 = 4; (5\ *) = 9).
213. Требуется провести двѣ произвольныя па-
раллельныя прямыя.
Это выполняется съ помощью двухсторонней линейки.
ор: (2 7?2), 5 = 2; (5'1*)=8).
214. Даны отрѣзокъ с/ и прямая требуется
провести прямую х параллельно $ на разстояніи сі
отъ нея.
Съ помощью прямого угла проводятъ произвольный
перпендикуляръ къ & откладываютъ на немъ
отъ точки его пересѣченія съ & отрѣзокъ съ помощью
циркуля (3 С\ -ф- С2) и черезъ полученную такимъ путемъ
точку съ помощью прямого угла проводятъ искомую па-
раллельную прямую х (-ф- /\\ -ф- /?2); всего имѣемъ:
°Р (З^і + з^г+зСі+Сг+И7!), 5 = ю; (8/) = і5).
215. Даны прямая и точка Р; провести че-
резъ Р прямую, параллельную прямой
Мы прежде всего приве-
демъ два построенія, кото-
рыя до сихъ поръ были
геометрографическими *):
а) Описываютъ вокругъ Р
окружность Р(г) достаточно
Фиг. 162.
большого радіуса (фиг. 162),
затѣмъ окружность А (г), въ
результатѣ чего получаемъ точку С. Если описать окруи^
ность С'(г), которая пересѣчетъ окружность Р (т^|йъ
точкѣ Р, то РГ) и будетъ искомой линіей х.
Рэйшъ, тамъ же.
284
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
Ь) Описываютъ произвольную проходящую черезъ Р
окружность К (фиг. 163), которая пересѣчетъ въ точкахъ
А и В] если теперь сдѣлать съ помощью циркуля
ВС=АР,
то РС есть искомая прямая х.
ор: (27?,+ /?24 С,2 С2), 5 = 9.
Съ помощью прямого угла поступаютъ слѣдую-
щимъ образомъ:
Располагаютъ уголъ въ плоскости чертежа такъ, что-
бы одна изъ его сторонъ совпала съ а другая сторона
проходила черезъ Р (3Р1), проводятъ черезъ Р перпенди-
куляръ п къ § (Р2), прикладываютъ затѣмъ прямой уголъ
къ п такъ, чтобы вершина его совпадала съ Р, и чертятъ х.
ор: 5 = 7.
216. Даны прямая и на ней точка Р; требуется
черезъ Р провести прямую, которая съ ^Образо-
вала бы уголъ въ 30° или 45°.
а) ::) Проводятъ черезъ Р окружность^? произволь-
*) Рэйшъ, тамъ же.
§ 56- ПРИМѢРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ. 285
наго радіуса г и затѣмъ описываютъ окружность А (г), въ
результатѣ чего получаютъ точку В (фиг. 164); тогда
ВРА = ^
ср: + + + 5 = 7-
Фиг. 164.
Ь) Съ помощью прямого угла чертятъ прямую п
(фиг. 165), перпендикулярную къ на произвольномъ раз-
стояніи отъ Р (зТ?! Ц-Т?2); затѣмъ вокругъ точки О съ по-
мощью циркуля описываютъ окружность О(Р); прямая АР
образуетъ съ & требуемый уголъ въ 450.
ор: (4 У?, 4- 2 Т?2 + 2 С, 4- С2), 5 = 9 (до сихъ поръ 5/*) = 13).
217. Даны прямая § и внѣ ея точка Р] черезъ
требуется провести прямую, составляющую с^^
уголъ въ 30°.
Описываютъ окружность Р (г) произвольным^ѣо до-
статочно большимъ радіусомъ (фиг. ібб), затѣ^О? окруж-
*) Рэйшъ, тамъ же.
286
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
ность А (г), которая пересѣкаетъ Р(г) въ точкѣ В, и, на-
конецъ, окружность В (г), опредѣляющую точку С]РС есть
искомая прямая х.
ор:(27?1 + /?2 + 3С1 + зС2), 5 = 9").
(Предлагается рѣшить эту задачу для случая, когда
прямая х составляетъ съ % уголъ въ 450 или 6о°, упо-
требляя всѣ чертежные инструменты.)
218. Данъ уголъ а, сверхъ того прямая § и на
ней точка Р, требуется провести черезъ Р пря-
мую х такъ, чтобы уголъ (я;^) равнялся а.
Классическое построеніе является въ этомъ случаѣ
также и геометрографическимъ; оно имѣетъ символъ
ор: (гЯі + ^Н-з^ + зС;), 5=и.
219. Данъ отрѣзокъ АВ\ требуется опредѣлить
4, т» і* ••• этого отрѣзка Д.
§ 56. ПРИМѢРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ. 287
вольнымъ, но достаточно большимъ радіусомъ и получаютъ
точки Б и Б'. Затѣмъ чертятъ прямую АБ и на ней точки
Бх, Б2, Б3, ... такъ, что
^/> = ^ = ^^ = 2)^3= .. .
Отсюда, соединяя прямыми точку Б' соотвѣтственно съ
точками Бх, Б2, . . ., получаютъ точки , Х2. . .; при
этомъ
ХВ = $АВ, ХхВ = ±АВ, Х2В = $АВ...
Предлагается 'установить символъ построенія послѣ-
довательныхъ точекъ Ху , Х2, Х%, . . . и сравнить это по-
строеніе съ указаннымъ въ задачѣ но (фиг. 57).
220. Даны отрѣзокъ АВ и два произвольныхъ
отрѣзка т и п\ требуется построить на прямой АВ
такія точки X и У, для которыхъ выполняется про-
порція
АХ: ХВ = т: п
или
А У: В У = т : п.
Съ помощью двухсторонней линейки проводятъ черезъ
А и В двѣ произвольныя параллельныя прямыя кл и к2
(фиг. 168) (2 7?1-]~2 7?2)- Затѣмъ съ помощью циркуля
откладываютъ отрѣзки т и п (послѣдній дважда) и полу-
чаютъ точки С, Б, Е (6 С2). На коледъ, проводятъ
288
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
прямыя СВ и СЕ у въ результатѣ чего находятъ точки X и У.
ор: (67?^4^2+6 С+2 СД 5 = і8; (5, = 20)*).
22і. Даны три точки Л, X, В нѣкоторой пря-
мой линіи; требуется построитъ точку У, кото-
рая гармонически отдѣлялась бы точкой X отъ
точекъ А и В.
До сихъ поръ степень простоты достигала 13*).
Предлагается понизить эту степень при условіи пользова-
нія всѣми чертежными инструментами.
222. Къ тремъ даннымъ отрѣзкамъ т, п, р тре-
буется построить четвертый пропорціональный.
Предположимъ при этомъ, что
Р
и.
А) Мы прежде всего приведемъ рѣшенія, бывшія до
сихъ поръ геометрографическими, т. е. тѣ, которыя
выполняются съ помощью только циркуля и линейки.
і. построеніе.
Чертятъ произвольную,
но достаточно большую окруж-
ность К (фиг. 169), берутъ
на К произвольную точку А
и описываютъ окружности
А (гі) и А (р—п), при чемъ/>—п
опредѣляется съ помощью цир-
куля по даннымъ отрѣзкамъ
Ь и п: Точку В пересѣченія
окружности А (р — п) съ К
соединяютъ съ А, въ результатѣ чего на окружности А (п)
получаютъ точку С, Затѣмъ отыскиваютъ на К такую точку
О , для которой
и проводятъ прямую СР, которая пересѣкаетъ во вто-
рой точкѣ Е. Тогда
ЕС=х, АР
*) Рэйшъ, тамъ же.
§ 56. ПРИМѢРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ.
289
ибо, по теоремѣ о сѣкущей:
т-х = п-р.
ор : (4 + 2 Т?2 +ІО Сі' і~ 5 О» 5 = 2і.
2. построеніе.
Оно вытекаетъ изъ слѣдующей теоремы:
Пусть ЛВС будетъ вписанный въ окружность К
треугольникъ (фиг. 170); пусть, далѣе, прямая АВ
будетъ параллельна ВС,и
АХ— произвольная прямая,
проходящая черезъ А и
встрѣчающая К сверхъ
того еще въ точкѣ У.
Тогда:
АХ- ВУ=АВ -АС.
(Доказательство этой теоремы
получается изъ подобныхъ тре-
угольниковъ ВВУ и АВХ).
Фиг. 170.
окружность К (фиг. 170),
Для построенія х чертятъ
берутъ на ней точку А и строятъ:
АВ—п, АС=р, СВ — АѢ^ ВУ = т .
Если провести теперь АУ, то отрѣзокъ АХ и будетъ
искомымъ четвертымъ пропорціональнымъ.
ор: (47?і+2/?2 + іоС1 + 5С2), 5 = 2і.
Отмѣтимъ, что оба построенія имѣютъ одинъ и тотъ
же символъ, одно и то же число 5.
В) Если въ качествѣ чертежнаго 'инструмента допу-
стить еще и линейку о двухъ параллельныхъ краяхъ,,
то это число 5 можетъ быть понижено.
Проводятъ съ помощью линейки двѣ произвольэд^
параллельныя прямыя (2 7?2), берутъ на одной изъ ,них'і>
точку А (фиг. 171) и опредѣляютъ съ помощью Жртуля
точку В такъ, чтобы отрѣзокъ АВ равнялся //|>затѣмъ
проводятъ прямую АВ и строятъ (опять съ пАрѣіью цир-
куля) ВС равнымъ т и СВ равнымъ р.
Теорія геометрическихъ построеній.
19
290
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
Если, наконецъ, соединить С съ /9 и продолжить эту
прямую до пересѣченія съ проходящей черезъ А прямой,
параллельной ВО. то отрѣзокъ ОЕ и есть искомый х.
ор: (47?і+4 7?24-9С1+зС2), 5 = 20.
Отмѣтимъ, что съ помощью этого чертежнаго инстру-
мента число 5 удалось понизить на і.
(Постараться найти съ помощью расширенныхъ средствъ
черченія такія построенія, для которыхъ 5 было бы еще
меньше.)
С) Для построенія четвертаго пропорціональ-
наго х къ тремъ отрѣзкамъ т, п, р будутъ далѣе
указаны методы, которые чрезвычайно просты, но имѣ-
ютъ одинъ только тотъ недостатокъ, что они требуютъ,
чтобы отрѣзокъ 2 т былъ больше каждаго изъ двухъ сред-
нихъ членовъ пропорціи
т'.п=р\х.
Мы изложимъ теперь эти методы.
і. Прежде всего мы упомянемъ объ указанномъ въ
§ і8 построеніи Маскерони для опредѣленія четвертаго
пропорціональнаго. Оно имѣетъ символъ
2. Другое построеніе при исключител^Ъмъ пользо-
ваніи циркулемъ Лемуанъ выводитъх^ь слѣдующаго
предложенія: ° Д?
§ 56. ПРИМѢРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ.
291
„Въ каждомъ треугольникѣ произвёденіе двухъ
сторонъ равно произведенію удвоенной высоты,
опущенной на третью сторону, и радіуса описаннаго
круга".
(Это предложеніе есть частный случай той теоремы,
которая была примѣнена при второмъ построеніи (стр. 289)).
Сообразуясь съ этимъ, построеніе четвертаго пропор-
ціональнаго къ т, , р производится слѣдующимъ обра-
зомъ:
Описываютъ окружность радіуса т и берутъ на ней
произвольную точку А (фиг. 172). Затѣмъ описываютъ
окружность А(п), которая пере-
сѣчетъ К въ точкѣ В, и окруж-
ность В (/>), встрѣчающую К въ
точкѣ С. Если, наконецъ, по-
строить окружность С(/>), кото-
рая пересѣчетъ окружность А (и)
въ точкѣ 29, то
АВ = х,
ибо ВВ есть удвоеннная высота
треугольника АВС.
ор: (9^1 + 4^). 5=із.
п, р, х фигуры;
Нѣтъ надобности проводить линіи
очевидно, что вся фигура можетъ быть построена съ по-
мощью одного Циркуля. Но она требуетъ, чтобы 2 т
было>/>.
3. Гюнтше даетъ (тамъ же) замѣчательное графическое
рѣшеніе разсматриваемой задачи. Оно вытекаете изъ слѣ-
дующей теоремы:
19 й
292
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
„Пусть Ки К' (фиг. 173) будутъ двѣ окружности ра-
діусовъ, соотв., т и р\ если черезъ одну изъ общихъ
точекъ этихъ окружностей (А) провести произволь-
ную прямую, которая пересѣчетъ К въ точкѣ X, а
К'—въ точкѣ Х\ то постоянно
ВХ.ВХ' = т\р,
при чемъ В есть вторая общая точка окружностей К и К'“-
(^ВАХ есть уголъ, вписанный въ обѣ окружности; по-
этому треугольникъ ВМХ подобенъ треугольнику ВМ'Х'.)
Построеніе, вытекающее изъ этого свойства, имѣетъ
символъ
ор: + у Сі + зС2), 5=13.
Предлагается выполнить построеніе.
223. Даны два отрѣзка т и п\ требуется опредѣ-
лить третій пропорціональный х этихъ двухъ отрѣз-
ковъ; отрѣзокъ такимъ образомъ, долженъ удовлетво-
рять слѣдующей пропорціи:
т : п = п : х.
Предлагается примѣнить методы, указанные выше, и
отыскать геометрографическое построеніе.
224. Даны два отрѣзка т и п\ требуется опре-
дѣлить средній пропорціональный этихъ двухъ от-
рѣзковъ. Такимъ образомъ, должна быть графически раз-
рѣшена пропорція
т : х = х \ п.
Всегда можно предположить, что т >> п.
Мы прежде всего приведемъ рѣшенія, бывшія до сихъ
поръ геометрографическими; второе изъ нихъ есть лишь
простое видоизмѣненіе перваго.
і. построеніе. о
Проводятъ прямую берутъ на ней произвольную
точку А (фиг. 174) и описываютъ окружностьЛ^;;^), кото-
рая пересѣчетъ положимъ, въ точкѣ 5^Шатѣмъ опре-
дѣляютъ съ помощью циркуля точку С чтобы отрѣ-
зокъ ВС равнялся п, и ищутъ такую^очку В, для кото-
§ 56. ПРИМѢРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ.
293
рой СВ равно т. Наконецъ, если описать окружность 2)(С),
то отрѣзокъ СЕ (или ВЕ} будетъ искомымъ х .
При этомъ не лишено важности слѣдующее замѣчаніе:
При построеніи точки С одна изъ ножекъ циркуля нахо-
дится въ В] затѣмъ должна быть опредѣлена точка В, для
Фиг. 174.
каковой цѣли удерживаютъ одну ножку циркуля въ В, а
другую одновременно помѣщаютъ въ А; этимъ путемъ вы-
брасывается одна элементарная операція.
Построеніе имѣетъ символъ
ор: (Т?24-9 Сі + 4С2), 5 = 14.
Доказательство примѣненной теоремы.
Разстояніе а точки Е фигуры отъ прямой § есть %%
а =
поэтому
гі*
тп-----4~ ’
т п.
294
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
2..п остроеніе.
Снова проводятъ прямую берутъ на ней произ-
вольную точку А (фиг. 175) и чертятъ окружность А (т) ,
которая встрѣчаетъ % въ точкѣ В\ затѣмъ описываютъ
окружности В(п), С(п) и соединяютъ полученныя точки
В, Е. Отрѣзокъ В Е есть х.
ор: (27?1 + 27?2 + 7С1 + зС2), 5=14.
225. Построеніе обратной точки относительно
данной окружности.
Пусть будутъ даны окружность А" (фиг. 176) и точка Р,
допустимъ, внѣ окружности. Если найти поляру р точки Р
относительно К, то точка Р пересѣченія ея съ централь-
ной линіей ОР будетъ обратной точкѣ Р въ отношеніи
окружности К (§ 20).
а) Классическое построеніе.
Проводятъ ОР, дѣлятъ пополамъ этотъ отрѣзокъ въ
точкѣ М, описываютъ окружность М(0) и соединяютъ по-
лученныя точки пересѣченія В, и В2 (фиг. 176).
Ь) Можно выполнить построеніе съ
ного только циркуля (§ 20, і).
Тогда символомъ построенія будетъ
эщью од-
§ 56. ПРИМѢРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ. 295
с) Построеніе съ помощью прямого угла.
Помѣщаютъ прямой уголъ въ плоскости чертежа такъ,
что его стороны проходятъ черезъ О и Р, а вершина ле-
житъ на К, и отмѣчаютъ положеніе вершины; это по-
строеніе выполняютъ дважды.
Прямая, соединяющая отмѣченныя точки, есть поляра р;
слѣдовательно, точка ея пересѣченія съ центральной линіей
есть искомая точка Р'.
ор: (87?! 4-2 7?2Ц-2 іі\ -\-2 Р2), 5=14.
Построеніе это ни въ коемъ случаѣ не приближенное,
но строгое. (Ср. § 22, і.)
Также и съ помощью лишь двухсторонней линейки
можно опредѣлить точку 73', обратную данной точкѣ Р.
Предлагается найти это построеніе.
Найдено, что построеніе съ помощью одного только
циркуля будетъ геометрографическимъ даже въ томъ
случаѣ, если въ качествѣ инструментовъ для черченія до-
пущены и двухстороняя линейка и прямой уголъ.
226. Построеніе поляры точки Р относительно
окружности К.
а) Классическое построеніе.
ор: (67?1 + з7?2 + 4С1 + з С2), 5=і6 *).
Ь) Построеніе поляры съ помощью прямого
у гл а.
Поступаютъ совершенно такъ, какъ въ предшеству-
ющемъ пунктѣ, только нѣтъ надобности въ вычерчиваніи
центральной линіи.
. ор: (б^ + ^г+2 И/Г1-\-2Р^, 5=11.
227. Построеніе центровъ подобія двухъД^руж-
ностей.
--.#
*) Ср Рэйшт, тамъ же.
296
ГЛАВА X. ГЕОМЕТРОГРАФІЯ.
Для этого построенія Лемуанъ въ качествѣ наимень-
шаго значенія 5 находитъ число 17. Послѣднее можетъ
быть уменьшено при пользованіи линейкой о двухъ парал-
лельныхъ краяхъ.
Пусть будутъ даны двѣ окружности Кх, К2 вмѣстѣ
съ ихъ центрами Оі,О.г. Проводятъ прежде всего централь-
ную линію обѣихъ окружностей; затѣмъ располагаютъ
линейку въ плоскости чертежа такъ, чтобы одинъ край ея
проходилъ черезъ 0х, а другой черезъ 02, и проводятъ
параллельныя линіи вдоль краевъ линейки. Обѣ эти линіи
пересѣкаются съ окружностями въ точкахъ, которыя, бу-
дучи надлежащимъ образомъ соединены прямыми (фиг. 177),
опредѣляютъ искомый центръ подобія.
ор: (8/?, + 57?г), 5=13.
228. Основная задача.
Изъ немногихъ приведенныхъ примѣровъ ясно, что
при пользованіи прямымъ угломъ и двухсторонней линейкой
Фиг. 177.
могутъ быть найдены другія и часто болѣе щЖыя по-
строенія, чѣмъ при пользованіи только циркул&ъ и одно-
сторонней линейкой.
А такъ какъ прямой уголъ и двухсторонняя линейка
на практикѣ примѣняются въ качествѣ? инструментовъ чер-
ченія такъ же, какъ и циркуль и ^Посторонняя линейка,
§ 56. ПРИМѢРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ. 297
и изслѣдованія этой главы вообще только въ томъ
случаѣ имѣютъ значеніе, если они ставятся въ
связь съ дѣйствительнымъ выполненіемъ построенія,
то возникаетъ задача:
„Выполнить всѣ простыя или важныя построенія
снова, при пользованіи всѣми чертежными инстру-
ментами, установить ихъ символы на основаніи
вышеупомянутыхъ распространенныхъ допущеній,
опредѣлить степень ихъ простоты; въ особенности
же — отыскать геометрографическія рѣшенія".
ПРИМЪЧННІЯ.
г) Изъ ряда терминовъ — визуальный, дескриптивный,
графическій —, употребляющихся въ русскомъ языкѣ, мы
сочли возможнымъ остановиться на терминѣ автора.
2) Имѣется русскій переводъ перваго сочиненія: Ф.
Клейнъ, „Лекціи по избраннымъ вопросамъ элементарной
геометріии, Казань 1898, и нѣмецкій переводъ второго: Г.
Епгідиез „Ега^еп сіег Еіетепіаг^еотеігіе", Ьеіргі^ 1907.
3) Съ формальной точки зрѣнія, черченіе играетъ
лишь вспомогательную роль. См. Введеніе редактора.
4) Это обычное подраздѣленіе конструктивныхъ задачъ
на опредѣленныя, неопредѣленныя и переопредѣленныя
обыкновенно не проводится съ надлежащей послѣдователь-
ностью. Такъ, напримѣръ, построеніе треугольника, сто-
роны котораго проходятъ черезъ три данныя точки и имѣ-
ютъ данныя длины, есть задача опредѣленная, но и задача
о построеніи треугольника по тремъ даннымъ сторо-
намъ разсматривается, какъ задача опредѣленная въ томъ
смыслѣ, что всѣ треугольники, удовлетворяющіе требова-
ніямъ этой задачи, конгруентны. Такъ какъ эта классифи-
кація задачъ для послѣдующихъ теорій не имѣетъ важности^
то мы на ней останавливаться не будемъ.
5) Условія, отвѣчающія употребленію циркулз^^лп-
нейки, см. въ Введеніи.
6) Въ тѣхъ случаяхъ, когда говорится бфь^траженіи
точки 7? въ данной прямой 5, на мѣстѣ прямой предпола-
3О2
ПРИМѢЧАНІЯ.
гается плоское отражающее зеркало, и изображеніе въ немъ
точки 7? строится по извѣстному закону, т. е. изъ точки 7?
на прямую 5 опускается перпендикуляръ и на немъ по дру-
гую сторону отъ прямой 5 строится точка О, отстоящая
отъ 5 на такомъ же разстояніи, что и 7?.
7) Легко усмотрѣть, что точки К, Ь, М лежатъ на
биссектрисахъ соотвѣтствующихъ угловъ, въ пересѣченіи
же биссектрисъ находится точка О.
8) При этомъ РВ = ВЁ=у, РВ = ВЁ= і.
9) Если данныя прямыя параллельны, то геометричес-
кое мѣсто сводится къ прямой, параллельной даннымъ и
равноотстоящей отъ нихъ.
10) Кромѣ изображенной на чертежѣ дуги, къ геоме-
трическому мѣсту принадлежитъ и симметричная ей дуга по
другую сторону отрѣзка АВ.
п) Точки Р2 дѣлятъ отрѣзокъ АВ соотвѣтственно
внутреннимъ и внѣшнимъ образомъ въ отношеніи т\ п.
Если точка Р удовлетворяетъ поставленнымъ условіямъ,
т. е. если АР\ ВР= ш : п = АР.: ВР. = АР2: ВР2, то пря-
мыя РР. и РР2, очевидно, являются биссектрисами соот-
вѣтственно внутренняго и внѣшняго угловъ треугольника
АРВ, слѣд., РР. [ РР2 и точка Р лежитъ на окружности,
построенной на отрѣзкѣ Р.Р2 , какъ на діаметрѣ. Для до-
казательства обратнаго утвержденія мы возьмемъ произволь-
ную точку Р на окружности и проведемъ ЕВ _]_РР. (при
этомъ ЕВ\\РР2). Изъ подобія треугольниковъ легко полу-
А ВРі А, АР. 1і ~ВР. АР.
чимъ, что - = — , — = — , откуда — = = : — = і,
к ВР2 к АР2 к. ВР2 АР2
к = к.\ изъ равенства треугольниковъ РЕР. и РТ^Т^за-
ключаемъ, что РР. есть биссектриса угла АРВ, что
ВР ВРІ >1
12) Окружности К'.К'2 описаны радКсами, которые
получаются изъ радіусовъ окружностей^Ж, К2 увеличеніе
ПРИМѢЧАНІЯ.
3°3
емъ или уменьшеніемъ ихъ на длину радіуса окружности К3
(на чертежѣ въ обоихъ случаяхъ радіусы увеличены).
13) Искомые центры лежатъ, такимъ образомъ, въ точ-
кахъ пересѣченія двухъ изъ упомянутыхъ коническихъ сѣ-
ченій; обратное невѣрно. Задача вообще имѣетъ 8 рѣшеній-
14) Означимъ черезъ О искомую точку; тогда ОВ есть
биссектриса угла АОС, ОС—биссектриса угла ВОВ] слѣд.,
ОА^АВ ЪВ = ВС
ос~вс' ОВ~ТИ
15) Говорятъ, что окружности пересѣкаются подъ уг-
ломъ а, если подъ угломъ а пересѣкаются касательныя къ
этимъ окружностямъ въ точкѣ ихъ пересѣченія.
Равнымъ образомъ, подъ угломъ прямой съ окруж-
ностью разумѣютъ уголъ между прямой и касательной къ
окружности въ точкѣ пересѣченія прямой и окружности
Если окружности пересѣкаются подъ прямымъ угломъ,
то центръ каждой изъ окружностей лежитъ на касатель-
ной къ другой окружности въ точкѣ пересѣченія окруж-
ностей. Рѣшеніе задачи іо. сводится къ построенію точки,
изъ которой ко всѣмъ тремъ окружностямъ можно было бы
провести равныя касательныя.
16) Говоря объ углѣ, подъ которымъ видна изъ дан-
ной точки данная окружность, имѣютъ въ виду уголъ между
касательными, проведенными изъ точки къ окружности.
17) Въ составъ геометрическаго мѣста входятъ три
прямыя, проходящія черезъ точку пересѣченія данныхъ пря-
мыхъ и обладающія тѣмъ свойствомъ, что каждая изъ нихъ
вмѣстѣ съ данными прямыми и прямой, соединяющей точку
ихъ пересѣченія съ точкой Р, составляютъ гармоническій
пучекъ лучей.
Такимъ образомъ, предложенная задача имѣетъ
рѣшенія.
18) Другое, болѣе простое рѣшеніе этой задачи осно-
вывается на слѣдующемъ предложеніи: „Если^отжи А и В
лежатъ на противоположныхъ сторонахъ .л^адрата, точки
3°4
ПРИМѢЧАНІЯ.
С и 77 на другихъ двухъ его противоположныхъ сторонахъ
и если АВ_сСВ, то АВ=СВ“.
19) Пусть вершинами четырехугольника будутъ точки
А, В, С, В и пусть удалена будетъ сторона СВ. Изъ то-
чекъ А и В проводимъ двѣ прямыя, каждую — въ одномъ
изъ данныхъ направленій. Точки М и Ы пересѣченія пер-
вой съ прямой ВВ и второй съ прямой АС соединимъ пря-
мою, которая и является искомымъ геометрическимъ мѣ
стомъ.
12° ) Ср. § і, 3., і примѣръ.
21) Если М есть середина стороны а и вписанный кругъ
касается этой стороны въ точкѣ О, то ъМО_ = Ь—с(Ъ>с).
Пусть 7Ѵ будетъ подошва высоты положивъ МХ = д,
имѣемъ Ъ2—с2 = 1— + <?) — I —— 7І = 2/77- Сверхъ того,
(а -|- Ь -|- с) г = ака, поэтому М0_ = дг: (ка — г).
22) Пусть С будетъ середина, В какая либо другая точка
разсматриваемой дуги. Изъ С радіусомъ СА опишемъ
окружность. Тогда ломанная АСВ равна діаметру, а ло-
манная АВВ равна хордѣ этой окружности.
23) Изъ центровъ О ы Ох опустимъ перпендикуляры
Оо и Охох на прямую 7И7Ѵ, проходящую черезъ точку пере-
сѣченія этихъ окружностей. Тогда вообще оох<ООх и только
въ случаѣ, когда МЫ\\ООи будемъ имѣть оо^=ООѵ
24) Прямая, соединяющая середину отрѣзка Р^ съ точ-
кой О, пересѣкаетъ данныя прямыя соотвѣтственно въ иско-
мыхъ точкахъ X, У.
25) Отрѣзокъ РК изъ точекъ X, У виденъ псй^угломъ
і8о°—а. .
26) Въ окружности, описанной радіусо^ѣ 7?, строимъ
хорду, которая видна изъ центра подъ уююмъ за; эта хор-
да равна сторонѣ а. Далѣе, см. задач.3032.
ПРИМѢЧАНІЯ. 305
27) На прямыхъ а, Ь въ положительномъ направленіи
откладываемъ отрѣзки, равные 5, и построенныя такимъ
образомъ точки А', В' соединяемъ прямыми соотвѣтственно
съ точками В и А. Прямая, проходящая черезъ точку пе-
ресѣченія этихъ прямыхъ и точку О, пересѣкаетъ прямыя
а, Ъ соотвѣтственно въ точкахъ X, У.
Если точка О равноотстоитъ отъ данныхъ прямыхъ,
то задача оказывается либо невозможной, либо неопредѣ-
ленной.
28) Уголъ между линіей центровъ и искомой хордой
данъ. Переносимъ хорду параллельно самой себѣ такъ,
чтобы одинъ изъ ея концовъ проходилъ черезъ центръ
даннаго круга.
Предположимъ задачу рѣшенной; пусть трапеція
АВСВ (фиг. 178) будетъ искомой. Отложимъ отрѣзки ВН
и СВ, равные АВ\ тогда АВ = ВН, АС=ВВ, кромѣ того,
АВ\\ВН и АС\\ВВ, такъ что <іВАС=<~НВВ, отсюда
В\ВАС= В\НВЬ и НВ=ВС. Такъ какъ НК=ВЕ, то
__ __ ___ __ __ __ ___ о (&)0
КВ—ВІВ—НК=ВС—ВЕ=ЕС=ЕН. Проведемъ изъ точШ'АГ
касательную КМ къ окружности В(Н) и изъ точкц>^ ка-
сательную ВИ къ окружности В(Е)\ тогда ВИ^^^В. ЕВ,
КМ*=ЕК.НК, но СВ=ЕК (ибо КВ=ЕС), сЛ^вательно,
ТВ: НК=В№ : КМ\ откуда
Теорія геометрическихъ построеній.
20
з°6
ПРИМѢЧАНІЯ.
ГН: НК= — (Ь№—КМ*) :КМ\
такъ какъ ГН=КЬ==^- (ГЬ—НК).
Замѣтимъ, что каждая изъ касательныхъ КМ, РЕ,
какъ катетъ нѣкотораго прямоугольнаго треугольника, коего
Фиг. 179.
гипотенуза и другой катетъ
даны, можетъ быть постро-
ена непосредственно по дан-
К нымъ отрѣзкамъ, такъ что,
исходя изъ послѣднихъ, мож-
но построить два отрѣзка
Д </, отношеніе которыхъ рав-
но отношенію ЕН\НК. Ес-
ли построенъ треугольникъ
ЕЕК (фиг. 178), то легко
можетъ быть построена и
искомая трапеція; такимъ
образомъ, мы свели предложенную задачу къ слѣдующей:
„даны отрѣзки /, Л, /?, />, </, требуется построить треуголь-
никъ ЕЕК, для котораго ЕЕ = /, ЕК = к, ЕН = Л, при
чемъ Н есть точка, въ которой отрѣзокъ РК дѣлится внут-
реннимъ образомъ въ отношеніи Рѣшеніе же послѣд-
ней задачи усматривается изъ фигуры 179 (сначала строится
треугольникъ ЕЕС).
Изложенное рѣшеніе принадлежитъ г.г. Шейнфинкелю
и Рѣзницкому.
30) При этомъ пользуются теоремой: „Отрѣзокъ, соеди-
няющій середины двухъ сторонъ треугольника, параллеленъ
третьей сторонѣ и равенъ ея половинѣ". •
31) Отъ середины О отрѣзка А А' = а отложиай^йа немъ
отрѣзокъ 00и равный гипотенузѣ прямоуг. ^^^ольника,
котораго катеты равны “ и “ • Окружност^^^исанная изъ
О радіусомъ , пересѣкаетъ прямую кф^комыхъ точкахъ.
ПРИМѢЧАНІЯ.
3°7
32) См. фиг. 17. Точка С въ настоящемъ случаѣ ле-
житъ на ВВѴ
33) Пусть будутъ даны (фиг. 17) отрѣзки АВ и ВС и
уголъ между ними; строятъ сначала треугольникъ Б^СВ,
изъ элементовъ котораго извѣстны двѣ стороны ВС и СВХ
и уголъ ВСВХ.
34) Такимъ образомъ, отрѣзокъ 0'2Р является гипоте-
нузой прямоугольнаго треугольника, катеты котораго из-
вѣстны (касательная и радіусъ круга К^. См. геометриче-
скія мѣста а, е.
35) Сперва строятъ заштрихованный треугольникъ (фиг.
21). Центръ окружности лежитъ въ пересѣченіи биссек-
трисъ двухъ его внѣшнихъ угловъ.
36) Откладываемъ дуги РХС= АР = АР3 и Р2В = РХС =
— РР = АР3. Тогда /? есть середина дуги А@С, а есть се-
редина дуги СаВ и у есть середина дуги ВуА.
37) Если X есть пересѣченіе прямыхъ ВХА и а У
точка на то ломанная АХВ= прямой АХВІУ а ломанная
А ТВ = ломанной А УВѴ
38) Треугольникъ АВС вращеніемъ около стороны СВ
приводится въ положеніе АХСВ. Въ свою очередь, этотъ
треугольникъ вращеніемъ около АгС приводится въ поло-
женіе АІВ2С. Точки Р, ХуУѵР2 располагаются на прямой и
отрѣзокъ РР2 равенъ периметру треугольника ХРУ.
39) На фиг. 25 точки В2 и В суть точки М и X
40) Двѣ конгруентныя фигуры, лежащія въ одной пло-
скости, одинаково направлены, если% для приведенія ихъ
въ совпаденіе нѣтъ надобности выводить одну изъ нихі?
изъ плоскости. Два прямоугольныхъ треугольника, котодірй)
гипотенузы служатъ діагоналями прямоугольника и іютбрые
имѣютъ общій катетъ, неодинаково направлены. лДвѣ по-
добныя фигуры одинаково направлены, когда уложеніемъ
одной изъ нихъ на нѣкоторое число, мы получимъ фигуру
конгруентную другой и одинаково съ неюл^равленную.
20*
3°8
ПРИМѢЧАНІЯ.
«) «Зс АОА2 = ВОВ2 и ААЪО = АЗО = ВВ^О,
поэтому треугольники АОА2 и ВОВ2 подобны. При пово-
ротѣ перваго около О на уголъ АОА2 — а точки А и В
расположатся соотвѣтственно на прямыхъ ОА2 и ОВ и
прямая АВ станетъ параллельна прямой А2В2.
42) Это есть частный случай предыдущей задачи.
43) Изъ точки Р, лежащей внѣ круга О, проведемъ къ
нему двѣ касательныя РРА и РР2. Проведемъ также прямыя
РО и РХР^ пересѣкающіяся въ точкѣ и прямую ОЛО^
проходящую черезъ точку Р параллельно прямой РХР2.
Прямыя РХР2, и называются соотвѣтственно полярами
точекъ Р \\ О относительно круга О. Точки Ри ^соотвѣт-
ственно называются полюсами прямыхъ РХР2 и (Л<22 отно-
сительно круга О.
44) Если между точками двухъ покрывающихъ одна
другую системъ установленно соотвѣтствіе такого рода,
что, коль скоро точкѣ Р первой системы отвѣчаетъ точка
Р' второй системы, то и точкѣ Р' первой системы отвѣ-
чаетъ точка Р второй системы, то говорятъ, что обѣ си-
стемы точекъ находятся въ инволюціи или образуютъ
инволюцію.
Такимъ образомъ, система точекъ Р прямой и си-
стема имъ обратныхъ точекъ Р покрываютъ сдна другукъ
образуя инволюцію.
45) Такъ какъ ^О@Р'= ^Р'РО>) то <^Р'Р(2-|-
Р'^2 = 26. Точки Р, Р, (), & лежатъ на одной окруж-
ности. Если д есть длина касательной къ ней изъ точки О,
то д2 =0Р. ОР1 = г2, д = г.
46) Приведемъ болѣе строгое доказательство. Обозна-
чимъ черезъ М точку пересѣченія кривыхъ Сх и. че~
резъ центръ инверсіи О проведемъ прямую а, которая пе-
ресѣчетъ кривыя Сх и С2 соотвѣтственно въ ^^кахъ Ах и
А2. Образы, обратные разсматриваемымъ, будемъ обозначать
тѣми же буквами со штрихами. Согласно33, А\М'А’2
= ^.А1МА2у при вращеніи луча а по^н^травленію къ пре-
дѣльному положенію 0Му точки приближаются къ
ПРИМѢЧАНІЯ.
309
7И, точки А\х А'2 — къ Мх\ уголъ АХМА^ при этомъ стре-
мится, какъ къ предѣлу, къ углу а между касательными къ
и С2 въ точкѣ М} уголъ же А\М'А'2 стремится къ со-
отвѣтствующему углу а7; изъ постояннаго равенства угловъ
АХМА2 и А\М'А\ вытекаетъ равенство ихъ предѣловъ а
и а'; касательныя къ кривымъ Сх и С2 въ точкѣ М пересѣ-
каются подъ тѣмъ же угломъ, что и касательныя къ кри-
вымъ С\ и С'2 въ точкѣ М'.
47) При этомъ каждая точка оси имѣетъ одну и ту
же степень въ отношеніи всѣхъ разсматриваемыхъ окруж-
ностей.
48) Т. е. точка Р въ отношеніи этой окружности имѣ-
етъ степень />2.
49) Діаметры пересѣкаютъ концентрическія окружности
подъ прямымъ угломъ. См. конецъ пункта 3, ф.
50) Окружность К отвѣчаетъ сама себѣ; окружность
К\, обратная КХУ пересѣкаетъ К въ тѣхъ же двухъ точкахъ,
что и Кх, кромѣ того, такъ какъ Кх пересѣкаетъ К подъ
прямымъ угломъ, то и обратныя имъ кривыя К' х и К также
пересѣкаются ортогонально (см. предложеніе въ концѣ 3, 6);
слѣд., окружности Кх и К' х совпадаютъ.
51) Съ формальной точки зрѣнія вещественная окруж-
ность Кх и мнимая окружность инверсіи К пересѣкаютъ
другъ друга подъ прямымъ угломъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть
О будетъ центръ окружности Кх. Положимъ 0Р = I и озна-
чимъ черезъ г радіусъ окружности Кх. Если примемъ О за
начало прямоуг. системы координатъ и ОР за полож. напра-
вленіе оси лг-въ, то окружности КХ} К и окружность, постро-
енная на ОР, какъ на діаметрѣ, будутъ соотвѣтственно
имѣть уравненія
х2-]-у2—г2=о;
Ь—о.
Третья окружность проходитъ черезъ мМ^гыя точки
пересѣченія первыхъ двухъ окружностей, какъ^это вытекаетъ
изъ тождества:
Зіо
ПРИМѢЧАНІЯ.
=о.
Уголъ ОіРу котораго мнимая вершина находится на
окружности, имѣющей ОР діаметромъ, будетъ прямымъ.
Вмѣстѣ съ тѣмъ ОіР есть одинъ изъ угловъ пересѣченія
окружностей Кх и К.
52) Обратными фигурами являются двѣ параллельныя
прямыя.
53) Объ осяхъ подобія см. § 7.
54) Въ двухъ дѣйствительныхъ или мнимыхъ точкахъ,
въ чемъ легко убѣдится, написавъ уравненія какой-либо
окружности К и двухъ въ отношеніи ея взаимно обратныхъ
окружностей.
55) Инверсія относительно центра Оп замѣщаетъ точку
X точкой У, затѣмъ инверсія относительно центра 02 при-
водитъ ее въ точку X, дальнѣйшія инверсіи совмѣщаютъ ее
послѣдовательно съ точкой О и, наконецъ, съ нею же са-
мою.
56) На фигурѣ зз означимъ соотвѣтственно черезъ г,
р, Р радіусы окружностей К, К\ и /4, черезъ О, ю, Ох —
ихъ центры; положимъ также 00 = /, 0@ = т, 00г = а,
Осо = а (на прямой 00г выбирается положительное напра-
вленіе, опредѣляющее знаки чиселъ ООѴ Осо). Проведя ра-
діусы и 0&, имѣемъ /.т = г2,
поэтому
(і)
___ аг% . __ 7?2г2
а~ а2—7?2 ’ 9 — а2—/?2
Пусть теперь О3(В3) будутъ триокруж-
ности, а о>1(91), ^2(^2), ^з(^з)—окружности имъ ршітныя при
инверсіи 0(г). Если точки сои со*, со3 лежатъЛ|а прямой /г,
то к есть (выродившаяся) окружность, ортогональная отно-
сительно окружностей о)^), ю2(р2), ^(ЫМоэтому фигурой,
обратной прямой к, будетъ окружно^^йГ, проходящая че-
ПРИМѢЧАНІЯ.
ЗИ
резъ центръ инверсіи О и ортогональная въ отношеніи
окружностей О2(К2\ О3(2?3). Наоборотъ, если центръ
инверсіи О лежитъ на упомянутой окружности К, то обрат-
ной ей фигурой будетъ прямая Л, ортогональная въ отно-
шеніи окружностей со2(^2), а>з(@3) и проходящая поэто-
му черезъ центры а>2, а>3. Всегда можно при помощи ин-
версіи замѣнить три данныя окружности тремя окружно-
стями, центры коихъ лежатъ на одной прямой к. Пусть
О2(Т?2), О3(2?3) будутъ такими именно окружностями. Для
того, чтобы при инверсіи относительно О(г) центры а)ѵ со2,
со3 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно выб-
рать центръ инверсіи О на той прямой к, на которой ле-
жатъ центры Ои 02, 03. Предположивъ это условіе выпол-
неннымъ и выбравъ на к по произволу положительное на-
правленіе, мы положимъ аг= ОО1У а2—ОО2, а3=ОО3,
= О(о1У а2 = 0а>.2, а3 = Осо3, въ силу равенства (і), имѣемъ:
а.г2 а3г2
п -- --*____ • (Т - —_-_ - - ‘ (Т - -—____ *
1 2 а2-Кг2' 2 а2—К2'
__ К^г2 ________ К2г2 _________ К3г2
~ «г-/?/: ?2- : 03 _ «32-7ѵ’з2 ’
Если положить, далѣе, ОѵО2 = с3, О2О3 = сх (принимая
во вниманіе знаки), то
(2) сі2 —- 63, а2 а3 —
при чемъ г3, сх не зависятъ отъ положенія центра инверсіи.
Коль скоро изъ трехъ центровъ о)п со2, 0)3 послѣдній равно-
отстоитъ отъ первыхъ двухъ, а± -ф- а2 = 2а3, т. е.
(з)
। 67*2 2СІ>3
=а^К2*
жно
(4)
Наконецъ, если желательно, чтобы было = @2, то до.
выполняться равенство
я/—/?/ а/—У?22
Іакимъ образомъ, для замѣны—путемъ интарсіи—трехъ
окружностей 0/2?!), О2(Т?2), О3(2?3) тремя ^фужностями фи-
312
ПРИМѢЧАНІЯ.
ГУРЫ 3 необходимо удовлетворить четыремъ уравненіямъ
(2), (3), (4), располагая тремя величинами аѵ а2, а3. Отсюда
видно, что авторъ ошибается, утверждая, что задача Апол-
лонія путемъ двухъ инверсій приводится къ частному слу-
чаю фигуры 3.
°7) Окружность М± въ этой инверсіи соотвѣтствуетъ
окружности ТИ2.
58) Точка Аѵ очевидно, является внѣшнимъ центромъ
подобія окружностей такъ какъ черезъ нее прохо-
дятъ и обѣ внѣшнія общія касательныя этихъ окружностей.
59) Полнымъ четырехсторонникомъ называютъ плоскую
фигуру, составленную изъ 4-хъ неограниченныхъ прямыхъ.
Полный четырехсторонникъ имѣетъ 6 вершинъ. Каждые
двѣ, не лежащія на одной сторонѣ, называются противопо-
ложными.
60) Предложеніе это носитъ названіе теоремы Дезар-
га (Пёзаг^иез), по имени открывшаго его въ XVII вѣкѣ
французскаго геометра.
61) Точки О, О' и, напр., А, А' лежатъ въ плоскости,
опредѣляемой двумя пересѣкающимися въ точкѣ Л" прямы-
ми О А и ОА'.
с’2) Принявъ за плоскость ху прямоугольной системы
координатъ плоскость, въ которой лежатъ основанія кону-
совъ Рг и Р2, за начало координатъ—центръ О1, за ось
гг-овъ—линію центровъ и означивъ черезъ тх и г2 ра-
діусы основаній конусовъ, найдемъ, что эти конусы выра-
жаются соотвѣтственно уравненіями:
г = — ]/ х2 & = г2 — У(4 — -|~у\
гдѣ б/=ОіО2. Исключивъ имѣемъ уравненіе:
('1 — + П + Г2] = — 2Х + 4)
плоскости, въ которой лежитъ кривая пересѣченья конусовъ.
При я = о это уравненіе есть уравненіе Лжщкальной оси
окружностей 01 и 02 и вмѣстѣ съ тѣм^Ауравненіе слѣда
разсматриваемой плоскости на плосіш^тМХУ.
ПРИМѢЧАНІЯ.
313
63) Въ силу гармоническихъ свойствъ поляры.
64) Четыре прямыя, проходящія черезъ точку пересѣ-
ченія данныхъ прямыхъ.
65) См. задачу 70 (стр. 40) и примѣчаніе 47.
66) Въ обоихъ случаяхъ кривая лежитъ въ плоскости,
проходящей черезъ линію центровъ и перпендикулярной къ
плоскости чертежа. Если за ось х-овъ принять линію цен-
тровъ, а за ось ^-овъ—перпендикуляръ къ ней въ точкѣ
пересѣченія ея съ радикальной осью пучка, то уравненіе
кривой имѣетъ видъ—въ первомъ случаѣ:
у2— х2 = а2,
во второмъ случаѣ:
х2 —у2 =р\
при чемъ а есть половина отрѣзка между основными точ-
ками, р—степень начала въ отношеніи всѣхъ окружностей
пучка.
Итакъ, въ обоихъ случаяхъ кривыя суть равнобочныя
гиперболы, имѣющія оси координатъ своими осями.
Въ первомъ случаѣ рѣшеніе можно получить проще,
исходя изъ примѣчанія 68.
67) См. задачу 70 (стр. 40—42).
68) Геометрическимъ мѣстомъ пространственныхъ изо-
браженій окружностей, проходящихъ черезъ данную точку,
является коническая поверхность, имѣющая своей вершиной
данную точку, при чемъ всѣ ея образующія наклонены къ
плоскости чертежа подъ угломъ въ 45°. См. задачу 94 и при-
мѣчаніе 71
Искомой кривой являются двѣ гиперболы, лежащія вД
пересѣченіи двухъ коническихъ поверхностей.
69) Двѣ плоскости, проходящія черезъ данную <^^ямую
подъ угломъ въ 45° къ плоскости чертежа.
70) Двѣ параболы, симметрично расположенныя отно-
сительно плоскости чертежа и лежащія срОффтственно въ
34
ПРИМѢЧАНІЯ.
двухъ плоскостяхъ, пересѣкающихъ плоскость чертежа по
данной прямой подъ угломъ въ 450. См. примѣчанія 68 и 69.
71) Двѣ прямоугольныя коническія поверхности, отвѣ-
чающія данной окружности (см. фиг. 47).
72) Двѣ гиперболы, по которымъ пересѣкаются отвѣ-
чающія даннымъ окружностямъ прямоугольныя коническія
поверхности. См. фиг. 47.
73) Мы считаемъ полезнымъ подчеркнуть, что прибли-
женными способами задача не рѣшается, но лишь произ-
водятся нѣкоторыя чертежныя операціи, практически за-
мѣняющія рѣшеніе.
74) Эти средства рѣшенія отвѣчаютъ, очевидно, поль-
зованію (кромѣ постулатовъ I, II, VI) постулатомъ III (см-
Введеніе). Слѣдуетъ замѣтить, что въ настоящей главѣ авторъ
часто пользуется произвольными образами, которые не
могутъ быть замѣщены построенными (напр., по точ-
камъ Д, В, А’ фиг. 53 не можетъ быть построена ни одна
точка внѣ прямой АВ); какъ мы указывали въ Введеніи,
право пользованія такими произвольными образами дол-
жно быть обосновано спеціальнымъ условіемъ. Въ §§ 9, іо,
іі, 12 къ средствамъ рѣшенія, указываемымъ авторомъ,
можно присоединить, напр., еще слѣдующія условія.
а. Можетъ быть считаема построенной про-
извольная точка плоскости внѣ данной прямой.
р. Можетъ быть считаема построенной про-
извольная точка на данной прямой, не совпадаю-
щая ни съ одной изъ уже построенныхъ на пря-
мой точекъ.
75) Доказательство основывается на гармоническихъ
свойствахъ полнаго четырехугольника.
76) Всякій разъ, какъ рѣчь идетъ о лежанш^ъ въ „не-
доступной части плоскости чертежа" геометрическихъ обра-
захъ, съ формальной точки зрѣнія дѣло сводится къ тому,
что добавочными условіями мы ограничиваемъ свое
право пользоваться раннѣе заклкъте^ными условіями.
ПРИМѢЧАНІЯ.
315
Хотя въ силу постулата III (см. Введеніе редактора),
считается построенной точка пересѣченія данныхъ прямыхъ
а, Ь, въ силу же постулата I могла бы уже считаться по-
строенной прямая, соединяющая эту точку съ данной точ-
кой Р, мы однако лишаемъ себя права пользоваться послѣд-
нимъ условіемъ именно въ этомъ случаѣ.
Практическое значеніе такого рода ограниченій ясно
само собою.
77) Точнѣе: числитель и знаменатель не больше пре-
дыдущихъ, при чемъ, по крайней мѣрѣ, одинъ изъ членовъ
дроби меньше соотвѣтствующаго члена въ предшествую-
щей дроби.
78) На основаніи § іо, 4, по этимъ даннымъ можно по-
строить параллелограммъ, и наоборотъ.
79) ОС=НВ=ХЁ), ЁС=ЁЁ\ <^ССР = <К^РР= 450;
Д(№дЖ ^СЕС = ^ХЕЕ. Такъ какъ ^І)ЕС +
+ ^СРС=сі, то и ^ХЕС=^ХЕЕ+^)ЕС==(1
80) Ибо Ь и с суть биссектрисы угловъ между прямы-
ми а и
81) Въ настоящемъ параграфѣ сохраняются постула-
ты I., II. и III. (см. Введеніе). Вмѣсто постулатовъ IV. и V.
вводятся слѣдующіе:
IV'. Считается построенной нѣкоторая ок-
ружность К и ея центръ О.
V'. Считаются построенными точки пересѣ-
ченія данныхъ или построенныхъ прямыхъ съ
окружностью К,
Слѣдуетъ замѣтить къ тому же, что относительно
произвольныхъ элементовъ, кромѣ условій а., р. примѣ-
чанія 74, можетъ быть заключено еще условіе: /А
у. Можетъ считаться построенной
вольная точка на окружности К, не совг^;аю-
щая ни съ одной изъ уже построенныхѣѵна ней
точекъ.
82) Это мѣсто съ достаточной ясность^міоказываетъу
насколько практическая точка зрѣнія Шшаетъ выясненію
ПРИМѢЧАНІЯ.
сущности вопроса. Выдѣленныя авторомъ основныя опе-
раціи, производимыя циркулемъ и линейкой, практически
покрываютъ одна другую, именно, 2-ая и 3-я совпадаютъ съ
первой, 5-ая и 6-ая — съ четвертой. Гораздо болѣе удоб-
нымъ является изслѣдованіе вопроса съ формальной точки
зрѣнія, съ точки зрѣнія принятыхъ постулатовъ (см. Вве-
деніе редактора); фактически, конечно, и авторъ имѣетъ
ихъ именно въ виду, что выясняется изъ сопоставленія опе-
раціи і. съ постулатомъ I., операціи 2. съ постулатомъ III.,
операціи 4. съ постулатомъ II., операціи 6. съ постула-
томъ V., наконецъ, операцій 3. и 5. съ постулатомъ IV.
83) Иначе говоря, если вмѣсто постулатовъ I., II., III.,
IV., V. установлены другіе постулаты, то для того, что-
бы доказать, что съ ихъ помощью разрѣшимы всѣ задачи
второй степени, необходимо и достаточно обнаружить, что
первые постулаты удовлетворены, когда послѣдніе
приняты.
84) Оставаясь на практической точкѣ зрѣнія, нѣтъ
основаній считать окружность построенной, коль
скоро построены нѣкоторыя ея точки. Въ дѣлѣ постро-
енія окружностей циркуль не можетъ быть замѣненъ
никакимъ другимъ инструментомъ, не предназначеннымъ для
описыванія окружностей. Такимъ образомъ, слѣдуетъ оста-
вить циркуль спеціально для этой цѣли (операція 4), но
лишь не употреблять его при построеніи точекъ (операція
5-> 6.).
Относительно формальныхъ условій, отвѣчающихъ
этимъ ограниченнымъ средствамъ построенія, см. примѣча-
ніе 8і.
85) Системы точекъ Кх и К имѣютъ точку А центрамъ
подобія и отношеніе МР’.ОР' отношеніемъ подоЙнр°При
томъ же центрѣ и томъ же отношеніи подобія^^^оизволь-
ной точкѣ Н прямой § отвѣчаетъ точка Н' пшімЪй ,
83) Истинное содержаніе теоремы Штайнера выясняет-
ся примѣчаніемъ 8і. <
ПРИМѢЧАНІЯ.
Зт7
87) Въ окружности строятъ (см. зад. 112) двѣ прямыя,
параллельныя одной изъ сторонъ параллелограмма, и двѣ
прямыя, параллельныя другой сторонѣ (смежной съ первой).
Въ двухъ полученныхъ такимъ образомъ трапеціяхъ про-
водятъ прямыя, соединяющія точки пересѣченія діагоналей
съ точками пересѣченія непараллельныхъ сторонъ; въ пере-
сѣченіи этихъ прямыхъ и находится искомый центръ (ср.
теорему, § іо, і.).
88) На этотъ разъ изъ обычныхъ постулатовъ сохра-
няются лишь постулаты I, II, V и VI.
Хотя авторъ и упоминаетъ объ исключительномъ поль-
зованіи циркулемъ, но для построенія прямыхъ линій необ-
ходимо оставить линейку (операція і. стр. 84; ср. примѣча-
ніе 84); запрещается лишь пользоваться ею въ цѣляхъ по-
строенія точекъ (операціи 2. ш 3.). Разумѣется, указанныя
выше условія лучше характеризуютъ сущность сдѣланныхъ
ограниченій, нежели замѣчанія относительно употребленія
тѣхъ или иныхъ инструментовъ черченія.
Спеціальныхъ условій о правѣ вводить произвольные
образы не приходится теперь заключать, ибо всѣ произволь-
ные образы, коими пользуется авторъ, могутъ быть замѣ-
нены построенными (слѣдуетъ принять во вниманіе заклю-
ченное въ Введеніи условіе задавать всѣ геометрическіе об-
разы системами точекъ).
89) Отрѣзокъ КН опредѣляется изъ треугольника КОС,
въ которомъ <^/?ОС = 6о° (ибо треугольникъ КОС—равно-
сторонній).
90) Буква К (КесШз) есть знакъ прямого угла.
91) Способъ, примѣненный въ задачѣ 142 (см. фиг. 73)
для построенія ;/-ой части даннаго отрѣзка, можетъ бытъ
примѣненъ и къ построенію третьяго пропорціональнаго
отрѣзка; онъ, впрочемъ, почти совпадаетъ съ указаньямъ
въ текстѣ методомъ, но требуетъ одной окр^^юстью
меньше.
92) Съ формальной точки зрѣнія, всѣ ра^ясненія на-
стоящаго пункта недостаточно убѣдительдяж,
ПРИМѢЧАНІЯ.
Мы говоримъ, что задача можетъ быть рѣшена строго,
если искомые ея объекты могутъ быть построены, осно-
вываясь исключительно на заключенныхъ условіяхъ
или установленныхъ постулатахъ. Наоборотъ, задача
не рѣшена строго, если въ результатѣ нашихъ умозаклю-
ченій оказались построенными не искомые объекты задачи,
а какіе-либо другіе.
Что же касается того, какія именно условія заключать,
то это, конечно, относится всецѣло къ области нашего усмо-
трѣнія. Обычно заключаются условія, указанныя во Введе-
ніи, но задача будетъ рѣшена не менѣе строго, если при
рѣшеніи ея пользовались какими-либо другими предвари-
тельно заключенными условіями. Положимъ, напримѣръ, что
принятъ слѣдующій постулатъ:
Если построены прямая и двѣ точки внѣ
ея, то считаются построенными тѣ (2) точки
прямой, изъ которыхъ отрѣзокъ между данными
точками виденъ подъ прямымъ угломъ.
Тогда искомая точка X предложенной въ текстѣ за-
дачи должна считаться построенной непосредственно въ силу
этого условія; этимъ задача разрѣшена вполнѣ строго.
Въ области черченія упомянутое условіе и отвѣ-
чаетъ тому передвиганію прямого угла, которое описано въ
текстѣ.
93) См. примѣчаніе 83.
94) Ср. примѣчаніе 84.
95) Мы приведемъ формальныя условія, которыя отвѣ-
чаютъ употребленію линейки о двухъ параллельныхъ кра-
яхъ (отстоящихъ одинъ отъ другого на разстояніи а).
Прежде всего сохраняются постулаты I, II, III и VI
Введенія; кромѣ нихъ устанавливаются еще слѣдующі&^у
Если дана или построена прямая счи-
таются построенными двѣ прямыя, і^раллель-
ныя § и отстоящія отъ нея на разст^Йіи а.
Если даны или построены дыйг точки, раз-
стояніе между которыми не ме^^е а. то счита-
ются построенными двѣ п^р&° параллельныхъ
ПРИМѢЧАНІЯ.
319
прямыхъ, отстоящихъ одна отъ другой на раз-
стояніи а и проходящихъ соотвѣтственно че-
резъ данныя точки.
Первому постулату отвѣчаетъ въ области черченія
прикладываніе линейки однимъ краемъ къ данной прямой;
второму же соотвѣтствуетъ помѣщеніе линейки въ плоско-
сти чертежа такъ, чтобы одинъ ея край проходилъ черезъ
одну изъ данныхъ точекъ, а другой—черезъ другую точку;
это можетъ быть выполнено двумя различными способами
(см. фиг. 97).
Относительно произвольныхъ элементовъ остаются въ
силѣ условія а, $ примѣчанія 74.
96) См. также Е. Епгідиез. Ега^еп сіег Еіетепіаг&еошеі-
гіе, стр. 135.
97) Сохраняются обычные постулаты I., II., III. и VI.
Кромѣ нихъ вводятся слѣдующіе.
Считается построенной прямая, перпенди-
кулярная къ данной или построенной прямой
и проходящая черезъ данную или построенную
точку.
Считается построенной лежащая на даннной
или построенной прямой точка, изъ которой
данный или построенный отрѣзокъ виденъ подъ
прямымъ угломъ.
Первое изъ этихъ условій отвѣчаетъ хорошо извѣст-
ному чертежникамъ пріему, при которомъ прямой уголъ
одной стороной прикладываютъ къ построенной прямой и
заставляютъ его скользить по ней, пока другая сторона не
придетъ въ соприкосновеніе съ построенной точкой. Вто-
рое же условіе осуществляется слѣдующимъ мало употре-
бительнымъ пріемомъ: стараясь, чтобы стороны угла про-^
ходили черезъ концы отрѣзка, передвигаютъ уголъ по пл«ф
скости чертежа, пока вершина его не упадетъ на постйжн-
ную прямую.
Относительно произвольныхъ элементовъ з^ш.чючаемъ
условіе:
Считается построенной произвольная точка
внѣ построенной прямой. ЛОІ
320
ПРИМѢЧАНІЯ.
Необходимость заключенія условій относительно про-
извольныхъ элементовъ (коль скоро угодно, чтобы новыми
средствами рѣшенія были разрѣшимы всѣ задачи второй
степени) ясна, напр., изъ того, что безъ такихъ условій, съ
помощью однихъ только указанныхъ выше постулатовъ, не
можетъ быть раздѣленъ пополамъ заданный концами отрѣ-
зокъ, ибо не можетъ быть построена вообще ни одна
точка, кромѣ данныхъ концовъ отрѣзка.
98) Можно преположить уголъ а отличнымъ отъ 90°
(этотъ частный случай разсмотрѣнъ въ предыдущемъ па-
раграфѣ).
Соотвѣтствую щіе инструменту постулаты совершен-
но аналогичны указаннымъ въ примѣчаніи 97. Опускается
лишь условіе относительно произвольныхъ элементовъ, ибо
въ немъ сейчасъ нѣтъ надобности: всѣ произвольные эле-
менты, упоминаемые въ настоящемъ параграфѣ, могутъ
быть построены.
") Сохраняются обычные постулаты 1., II., III., VI.
Кромѣ нихъ заключается условіе:
На данной или построенной прямой считается
построенной точка, которая отстоитъ на разстоя-
ніи а отъ другой, лежащей на прямой и данной или
раннѣе построенной точки (а есть длина эталона).
Наконецъ, относительно произвольныхъ элементовъ
заключается обычное условіе—см. примѣчаніе 97.
10°) Употребленію биссектора отвѣчаетъ слѣдующій
постулатъ:
Если пос троены двѣ пересѣкающіяся прямыя,
то считается построенной и разнодѣлящая угла
между ними.
101) Символъ /\указываетъ на проективную завцсикюсть.
102) Послѣднее обстоятельство не трудно^Ітановить
на основаніи равенства
5Л7 в&'^Х
ПРИМѢЧАНІЯ.
321
103) Въ этомъ можно убѣдиться, если разсмотрѣть
рядъ точекъ пересѣченія этихъ лучей съ прямой, парал-
лельной одной изъ биссектрисъ, и примѣнить только что
сдѣланное въ текстѣ замѣчаніе.
104) Выберемъ на разсматриваемой прямой произволь-
ное начало и произвольное направленіе и обозначимъ абсцис-
сы точекъ А, А', М, М', X, X' соотвѣтственно черезъ а,а! ,т,т\
х,х'. Тогда, по свойству точекъ Х,Х', будутъ имѣть мѣсто
соотношенія:
АХ АХ' XIX МХ
----=-------и ------=------->
АХ АХ' МХ МХ'
или
х — а х’— а х — т х'—т
----==-------,------— _ ,
х— а1 х'—а' х—тг х'—тгі
откуда нетрудно усмотрѣть справедливость сдѣланнаго въ
текстѣ утвержденія.
105) Вполнѣ строгое обоснованіе понятія о безконечно
удаленныхъ элементахъ можно найти въ книгѣ Е. Л. Бу ни ц-
каго.
„О безконечно удаленныхъ элементахъ въ
геометріи положенія" (Одесса, 1903).
і°6) дто отвѣчаетъ принятію постулатовъ I., II., III., VI.
и еще слѣдующаго:
Считаются построенными точки пересѣче-
нія данныхъ или построенныхъ прямыхъ съ ко-
ническимъ сѣченіемъ К.
107) См. Е. Епгіднез. Ега^еп сіег Еіетепаг^еотеігіе,
стр 119 —122.
108) Число 5 = ]/2|}/'7| — 2 не принадлежитъ разсматри4^^
ваемой области уже потому, что число со, опредѣляемо^^-
венствомъ ]/2Іу^|—2=^1 + со2, будетъ мнимымъ.
109) Уравненіе третьей степени съ раціоііальш^ми коэф-
фиціентами называется неприводимымъ, еслйиоио не имѣ-
етъ раціональныхъ корней.
Теорія геометрическихъ построеній.
21
З22
ПРИМѢЧАНІЯ.
110) Авторъ неявно допускаетъ, что различнымъ точ-
камъ плоскости должны соотвѣтствовать неравныя комплекс-
ныя числа.
1П) Это предложеніе въ текстѣ доказано только для
того частнаго случая, когда е = со8---ы 8іп—. Но не-
іі и
трудно его доказать и въ общемъ предположеніи, что ь —
=со8^^-|-/ 8Іп-— (гдѣ р есть любое изъ числъ о, і,
п п
2,... п — і). Въ самомъ дѣлѣ, тогда = со8 _|_
п
і 8Іп по теоремѣ Муавра. Такъ какъ, по той же
и
теоремѣ, (еА)и = со8 2ркп-\-і 8Іп 2ркл—т, то есть корень
72-ой степени изъ единицы.
112) Пусть к = ааі/с7... гдѣ Ь, с,... I—различныя про-
стыя числа, а, /5, у,... Л—натуральныя числа. Числа а \ Ь\ с‘\ ...I7
будутъ взаимно простыми. Изъ предложенія, формулирован-
наго въ пунктѣ і, вытекаетъ, что для того, чтобы было возмож-
но дѣленіе окружности на к частей, достаточно, чтобы воз-
можно было дѣленіе ея на бГ, Ь\ ... частей (необходи-
мость этого условія ясна сама собою). Если же въ отноше-
ніи чиселъ имѣть въ виду указанную въ пунк-
тѣ 2. теорему Гаусса, то придемъ къ слѣдующей общей
теоремѣ:
„Для того, чтобы возможно было раздѣлить ок-
ружность съ помощью циркуля и линейки на к частей,
необходимо и достаточно, чтобы число к имѣло видъ:
к--2 рі р.} . . . рт ,
гдѣ г = о, і, 2, з,...; р^р^ •. • рт суть различи
стыя числа, каждое изъ которыхъ имѣетъ вй
113) На то обстоятельство, что зд
ПРИМѢЧАНІЯ.
323
задачи, впервые указалъ (по утвержденію историковъ) Гиппо-
кратъ Хіосскій (вторая половина V вѣка до Р.Х.).
114) Изъ трехъ указанныхъ методовъ а), /3), у), первые
два принадлежатъ греческому геометру Менехму (около
300 г. до Р. X.), а послѣдній — французскому математику
Декарту.
115) Въ этомъ случаѣ мы имѣемъ слѣдующее формаль-
ное допущеніе: считается • построенной парабола у2 = гг, а
также и точки ея встрѣчи съ построенной окружностью,
проходящей черезъ начало и имѣющей центръ въ точкѣ
116) Пользованіе конхоидой для построенія искомыхъ
точекъ отвѣчаетъ формально слѣдующимъ постулатамъ:
Конхоида считается построенной, коль скоро
построены ея полюсъ, основаніе и интервалъ.
Считаются построенными точки пересѣче-
нія построенной конхоиды съ построенной пря-
мой (окружностью).
117) Въ соотвѣтствіи съ этимъ методомъ практическаго
построенія постулатъ, приведенный въ предыдущемъ при-
мѣчаніи, можетъ быть, если угодно, формулированъ иначе:
Если даны или построены точка Р, прямая
прямая (окружность) к и, наконецъ, отрѣзокъ
5, то считаются построенными соотвѣтственно
на и к двѣ точки, лежащія на одной прямой
съ Р, разстояніе между которыми равно 5.
Это (нѣсколько громоздкое) условіе вполнѣ отвѣчаетъ
практически вдвиганію отрѣзка (полоски бумаги, линейки
съ нанесеннымъ на ней отрѣзкомъ) 5 между прямой и
прямой (окружностью) к такъ, чтобы продолженіе его прс^
ходило черезъ Р.
Коль скоро принятъ приведенный постулатъ, щгдается
(см. примѣчаніе 92) излишнимъ доказывать, что і^строенія
съ его помощью будутъ точными, а не приблйж^нііьіми.
Какъ указываетъ историкъ МатемаШки Цэйтенъ
(ХеиШеп, ОезсЬісйіе сіег МаіЬетагік іщ^ДжетІит ипб Міі-
324
ПРИМѢЧАНІЯ.
Іеіакег), у древнихъ грековъ долгое время такого рода
вдвиганіе отрѣзковъ было въ такой же мѣрѣ употреби-
тельнымъ средствомъ рѣшенія задачъ, какъ и циркуль и
линейка (см. Епгідиез, Ега^еп ѵоп Еіетепіаг^еотеітіе, ТеиЬ-
пег 1907, стр. 204, 205).
118) Съ формальной точки зрѣнія этотъ пріемъ отвѣ-
чаетъ условію считать построенными точки В и С, коль
скоро построены точки А, В и прямыя /*.
119) Геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія соотвѣт-
ственныхъ лучей двухъ проективныхъ пучковъ есть кони-
ческое сѣченіе. Что въ данномъ случаѣ мы имѣемъ равно-
стороннюю гиперболу, можно элементарно обосновать
на томъ соображеніи, что въ пучкахъ А и О имѣются двѣ
пары взаимно параллельныхъ соотвѣтственныхъ лучей,
вслѣдствіе чего кривая имѣетъ двѣ дѣйствительныя без-
конечно удаленныя точки, и асимптоты кривой, соотвѣт-
ственно параллельныя лучамъ и 1і.ІУ взаимно перпенди-
кулярны.
120) См. примѣчаніе иб.
121) Употребленіе этого инструмента, очевидно, отвѣ-
чаетъ непосредственному условію считать построенными
прямыя, дѣлящія данный уголъ на 3 части.
122) Терминъ „биквадратный" употребляется для обо-
значенія уравненія четвертой степени вообще, а не въ томъ
узкомъ смыслѣ, какой ему придается обычно въ русскихъ
учебникахъ.
123) Такъ какъ 4у2 = и2 ф- ѵ2 ф- іѵ2 ф- 2(^7/ ф- игѵ 4“ то
иѵ ф- игѵ ф- ѵгѵ = оу2 ф- Л,
поэтому, возводя въ квадратъ, имѣемъ
и2ѵ2 ф- гі2іѵ2ф- ѵи2гіѵ2 ф- (оуф- А)2 — оиѵа) (и ф-ѵф-гр^Жд2у2-ф А)2ф-
+4Дѵ=4 (ѵ^Ау2^Ву^А2=А^^,
124) См. книгу ТЬ. К.еуе „Віе <С&тіеігіе сіег Ьа§е“
(Ьеіргі^ 1886), I, стр. 138—139.
ПРИМѢЧАНІЯ.
325
і25) дто отвѣчаетъ простому условію считать построен-
ными точки X и У, коль скоро построены точки А, В,
С, О, Е.
12В) См., напр., книгу Вебера и Велльштейна „Энцикло-
педія элементарной математики", Томъ I (Одесса 1907), стр.
525-535-
127) Ср. Введеніе редактора, „Геометрографическія рѣ-
шенія".
БИБЛИОТЕКА
ИаТвЯашеЖ йн-та
Акад. Наук_С, С С Р -
мАТЕЗИСЪ
Книгоиздательство научныхъ и попу-
лярно-научныхъ сочиненій изъ обла-
сти физико-математическихъ наукъ.
Одесса, Новосельская 66.
Вышли въ свѣтъ слѣдующія изданія:
АРРЕНІУСЪ, СВ. проф. Физика неба *). Перев. съ нѣм. подъ ред. прив.-доц.
А. Р. Орбинскаго. VIII—(—250 стр. 8°. 66 черн. и 2 цвѣти, рис. въ тек-
стѣ. Черная и спектральная таблицы. 1905. [Ц. Р. 2 —
Научность содержанія, ясность и простота изложенія и превосходный пере-
водъ соперничаютъ другъ съ другомъ. Русская Мысль.
А БРАГАМЪ, Г. проф. Сборникъ элементарныхъ опытовъ по физикѣ *)
Перев. съ франц. Подъ ред. прив.-доц. Б. II. Вейнберга.
Часть I: ХѴІ-|-272 стр. 8 ”. Свыше 300 рис. 2-е изд. 1909. Ц. 1 р. 50 к.
Систематически составленный сводъ наиболѣе удачныхъ, типичныхъ и поучи-
тельныхъ опытовъ. Вѣстникъ и Библіотека Самообразованія.
Часть II: 4344~ЬХХѴ стр. 8е. Свыше 400 рис. 2-е изд. 1910. Ц. Р. 2. 75 к.
Мы надѣемся, что разбираемый трудъ станетъ настольной книгой каждой
физической лабораторіи въ Россіи. Русская Мысль.
УСПѢХИ ФИЗИКИ *). Сборникъ статей подъ ред. „Віьстн. Опытной Фи-
зики и Элементарной Математики", у-е изданіе. ѴІП-|-148 стр. 8°,
41 рис. и 2 таблицы. 1910. Ц. 75 к.
Нужно надѣяться, что послѣднее... послужитъ къ широкому распространенію
этой чрезвычайно интересной книги. Русская Мысль.
АУЭРБАХЪ, Ф. проф. Царица міра и ея тѣнь *). Общедоступное изложеніе
основаній ученія объ энергіи и энтропіи. Пер. съ нѣм. Ѵ'111-4-56
стр. 8°. 4-е изданіе. 1910. Ц. 40 к.
Слѣдуетъ признать брошюру Ауэрбаха чрезвычайно интересной. И\.М. Н. Пр.
НЬЮКОМЪ, С. проф. Астрономія для всѣхъ *). Перев. съ англ, подъ ред.
прив.-доц. А. Р. Орбинскаго. ХХ1Ѵ-|-286 стр. 8'. Съ портретомъ автора,
64 рис. и 1 табл. 1905. Печатается 2-е изданіе. Ц. Р. 1. 50 к.
И вполнѣ научно, и совершенно доступно, и изящно написанная книга... пе-
реведена и издана очень хорошо. Вѣстникъ Воспитанія.
ВЕБЕРЪ, Г.иВЕЛЫПТЕЙНЪ, I. проф. Энциклопедія элементарной алгебры*).
Т. 1. Перев. съ нѣм. подъ ред. и съ примѣч. прив.-доц. В. Ф. Нагана.
Х1Ѵ-|-623 стр. 8Ѵ. Съ 38 чертеж. 1907. Ц. Р. 3. 50 к.
Вы все время видите передъ собой мастера своего дѣла, который съ лю-
бовью показываетъ великія творенія человѣческой мысли, извѣстныя ему до
тончайшихъ подробностей. Педагогическій Сборникъ.
ДЕДЕКИНДЪ, Р. проф. Непрерывность и ирраціональныя числа *ѣ Перев.
съ нѣм. съ примѣч. прив.-доц. С. О. Шатуновскаго; съ присоедине-.
ніемъ его статьи: Доказательство существованія трансцендентныхъ
чиселъ. 2-е изданіе. 40 стр. 8°. 1909. Ц.о4^іс
Небольшой по объему, но, такъ сказать, законодательный по содср/Кшіію
трудъ...___________________________________________Русска^^^ркола.
іЙ^съ англ.
Ц. 60 к.
не цеховой
ѵ при его попу-
гохоръ - Троцкій.
ПЕРРИ, ДЖ. проф. Вращающійся волчокъ *;. Публичная лекція.
Ѵ111-|-96 стр. 8°. Съ 63 рис. 2-е изданіе. 1908.
Книжка, воочію показывающая, какъ люди истиннаго зн:
только науки, умѣютъ распоряжаться научнымъ матеріа.
ляризаціи. Русская Школа.
*) Изданія, отмѣченныя звѣздочкой, Учен.Цом. Мин. Нар. Пр.
признаны заслуживающими вниманія при пополненіи ученическихъ
библіотекъ среднихъ учебныхъ заведеній.
КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО „МАТЕЗИСЪ".
ТТТЕЙДЪ К. Химическіе опыты для юношества. Перев. съ нѣмецк. подъ
ред. лаборанта Е. С. Елъчанинова. ІѴ-|-192 стран. 8°. Съ 79 рисун-
ками. 1907. Ц. Р. 1. 20 к.
Превосходная книга, какой намъ давно не хватало. Всюду въ книгѣ сохра-
няешь благотворное чувство, что находишься въ совершенно надежныхъ
рукахъ... учитъ серьезной наукѣ въ болѣе легкой формѣ.
Аеіізсіггі/і /йг Беіігтіііеічмезеп гіпсі раЛа^о^ізске Ыііегаіиг.
ВИХЕРТЪ, Э. про). Введеніе въ геодезію ). Перев. съ нѣмецк. 80 стр. 16°.
Съ 14 рисунк. 1907. Ц. 35 к.
Излагаетъ основы низшей геодезіи, имѣя въ виду пользованіе ею въ школѣ
въ качествѣ практическаго пособія... Изложеніе очень сжато, но полно и
послѣдовательно. Вопросы Физики.
ТТТМИДЪ, Б. проф. Философская хрестоматія*). Пер. съ нѣм. Ю. А. Говсіъева
“ подъ ред. и съ пред. проф. Н. Н Ланге. ѴШ-|-172 стр. 8°. 1907. Ц. Р. 1. —
... Для человѣка, занятаго самообразованіемъ и немного знакомаго съ фило-
софіей и наукой, она (книга) даетъ разнообразный и интересный матеріалъ.
Вопросы философіи и психологіи.
ТРОМГОЛЬТЪ, С. Игры со спичками. Задачи и развлеченія. Пер. съ нѣм.
146 стр. 16’. Свыше 250 рис. и черт. 1907. Ц. 50 к.
ВЕТГЭМЪ, В проф. Современное развитіе физики*). Пер. съ англ, подъ ред.
проф. Б. П. Вейнберга и прив.-доц. А. Р. Орбинскаго. Съ прилож.
рѣчи А. Бальфура-. Нѣсколько мыслей о новой теоріи вещества.
VIII—|—319 стран. 8°. Съ 5 портрет., 6 таблиц. и 33 рисунк. Ц. Р. 2. —
Старается представить въ стройной и глубокой системѣ всѣ явленія физи-
ческаго опыта и рисуетъ читателю дѣйствительно захватывающую картину
грандіозныхъ завоеваній человѣческаго генія. Современный Міръ.
УШИНСКІЙ, Н. проф. Лекціи по бактеріологіи. ѴШ-|-135 стр. 8°. Съ 34
черными и цвѣтными рисунками. 1908. Ц. Р. 1. 50 к.
РИГИ, А. проф. Современная теорія физическихъ явленій*) (іоны, элек-
троны, радіоактивность). Пер. съ 3 итальянск. изданія. Ѵ11І-|-146
стр. 8°. Съ 21 рис. 1910. Второе изданіе. Ц. 90 к.
Книгу Риги можно смѣло рекомендовать образованному человѣку, какъ луч-
шее имѣющееся у насъ изложеніе новѣйшихъ взглядовъ на обширную об-
ласть физическихъ явленій. Педагогическій Сборникъ.
КЛОССОВСК1И, А. проф. Физическая жизнь нашей планеты на основа-
ніи современныхъ воззрѣній *). 46 стран. 8°. 2-е изданіе, испр. и до-
поли. 1908. Ц. 40 к.
Рѣдко можно встрѣтить изложеніе, въ которомъ въ такой степени соединя-
лась бы высокая научная эрудиція съ картинностью и увлекательностью рѣчи.
Педагогическій Сбо^Іиръ.
ЛАКУРЪ, П. и АППЕЛЬ, Я. Историческая физика *). Пер. съ нѣм,подъ ред.
„Втьстн. Опытн. Физики и Элементарн. Матем.“ ВѣЙ^-хъ том.
большого формата, 892 стр. Съ 799 рис. и 6 отдѣльшыж" цвѣтными
таблицами. 1908. Р. 7. 50 к.
„Нельзя не привѣтствовать этого интереснаго изданія... Кфшкчитается легко;
содержитъ весьма удачно подобранный матеріалъ и обилъф^набжена хорошо
выполненными рисунками. Переводъ никакихъ замѣчай® чіе вызываетъ*...
Ж-М.Н.Пр.
АРРЕНІУСЪ, СВ. проф. Образованіе міровъ *). Пер. гъ нѣм. подъ ред. проф.
/(. Д. Покровскаго.ѴІІІ-|—200 стр. 8°. Съ обрис. 1908. Ц. Р. 1.75 к.
Книга чрезвычайно интересна и богата содержаніемъ. Педагог. Сборн.
КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО „МАТЕЗИСЪ".
КАГАНЪ, В. прив.-доц. Задача обоснованія геометріи въ современной
постановкѣ. Рѣчь, произнесенная при защитѣ диссертаціи на степень
магистра чистой математики. 35 стр. 8°. Съ 11 чертеж. 1908. Ц. 35 к.
ЦИММЕРМАНЪ, В. проф. Объемъ шара, шарового сегмента и шарового
слоя. 34 стр. 16°. Съ 6 черт. 1908. Ц. 25 к.
Распространеніе подобнаго рода элементарныхъ монографій среди учащихся
весьма желательно.Русская Школа.
РИГИ,А. проф. Электрическая природа матеріи*). Вступительная лекція.
Пер. съ итальянскаго подъ ред. „Вѣсти. Опт. Физ. и Эл. Мат“
28 стр. 8°. 1908. Ц. 30 к.
Эта прекрасная рѣчь обладаетъ всѣми преимуществами многочисленныхъ
популярныхъ сочиненій знаменитаго проф. Болоньскаго унив. /І\- М. Н. Пр.
ЛЕМАНЪ, 0. проф. Жидкіе кристаллы и теоріи жизни. Пер. съ нѣмецк.
П. В. Казанецкаго. ѴІ1ІЦ-43 стр. 8”. Съ 30 рис. 1908. Ц. 40 к.
..весьма кстати является краткая сводка главныхъ фактовъ, сдѣланная
проф. Леманомъ. Педагогическій Сборникъ.
ГЕЙБЕРГЪ,!. проф. Новое сочиненіе Архимеда*). Посланіе Архимеда къ Эрато-
сѳену о нѣкоторыхъ вопросахъ механики. Пер. съ нѣм. подъ ред. и съ пре-
дисл. прив.-доц. И. Ю. Тимченко. ХѴ-(-27 стр. 8°. Съ 15 рис. 1909. Ц. 40 к.
Математикамъ... будетъ весьма интересно познакомиться съ новой драго-
цѣнной научной находкой... Образованіе.
ВЕЙНБЕРГЪ, Б. П. проф. Снѣгъ, иней, градъ, ледъ и ледники*)
ІѴ-{-127 стр. 8°. Съ 138 рис. и 2 фототип. табл. 1909. Ц. Р. 1.
МаіЪезіз можетъ гордиться этимъ изданіемъ. А/. Н. Пр
КОВАЛЕВСКІЙ, Г. проф Введеніе въ исчисленіе безконечно-малыхъ *).
Перев. съ нѣмецкаго подъ редакц. и съ прим. прив.-доц. С. О. Ша-
туновскаго. VIII—|—140 стр. 8°. Съ 18 черт. 1909. Ц Р. 1.
Книга проф. Ковалевскаго, несомнѣнно, прекрасное введеніе въ высшій
анализъ... Русская Школа.
ірОМПСОНЪ, СИЛЬВАНУСЪ, проф. Добываніе свѣта *). Общедоступная лекція
• для рабочихъ, прочит. на собраніи Британск. Ассоціаціи 1906. Перев.
съ англ. VIII—|—88 стр. 16°. Съ 28 рис. 1909. Ц. 50 к.
Въ этзй весьма интересно составленной рѣчи собранъ богатый матеріалъ
пэ вопросу добыванія свѣта. 77С М. Н. Пр.
ПЛАБИ, А, проф. Резонансъ и затуханіе электрическихъ волнъ. Пер. съ
нѣм. подъ ред. „Вѣстн. Опыт. Физ. и Элемент. МатемУ. 41 стр.
8°. Съ 36 рис. Ц. 40 к.
ПН АЙ ДЕРЪ. проф. Картина міра въ свѣтѣ современнаго естествознанія.
Перев. съ нѣм. подъ ред. проф. В. В. Завьялова. ѴІІІ-|-193 стр. 8°. Съ
16 отдѣльными портретами. 1909. Ц. Р. 1. 50 к.
Книга касается интереснѣйшихъ вопросовъ о природѣ. Педагог. Сборникъ.
РАМЗАЙ, В проф Благородные и радіоактивные газы. Пер. подъ ред^
„Вѣстн. Он. Физ. и Эл. МатУ 37 стр. 16°. Съ 16 рис. 1909. Ц. 2Д^
БРУНИ, К. проф. Твердые растворы*). Пер. съ итал. подъ ред.„/?;ьс^Йг5и.
_____Физ. и Эл. МатУ 37 стр. 16°. 1909. к
БОЛЛЪ, Р. С. проф. Вѣка и приливы. Пер. съ англ, подъ р^^йрив.-доц.
А. Р. Орбинскаго. 104 стр. 8°. Съ 4 рис. и 1 табл. 190$^> Ц. 75 к.
..настоящее изданіе „МаіЬезіз" слѣдуетъ привѣтствоватьЛартвнѣ съ про-
чими, какъ почтенный, заслуживающій распространенія серьезнаго вни
манія, вкладъ въ русскую науку. Русская Школа
СЛАБИ. А. проф. Безпроволочный телефонъ. Пер. "ХЗіѢм. подъ ред. „Вѣстн
Оп. Физ. и Эл. Мат.“ 28 стр. 8б. Съ 23 рис. 1909. Ц. 30 к.
КНИГОИЗДНТЕЛ ЬСТВО „МЛТЕЗИСЪ".
ПИН ДЕМАНЪ, Ф проф. Спектръ и форма атомовъ. Рѣчь ректора Мюн-
хенскаго университета. 23 стр. 16°. Изд. 2-ое. 1909. Ц. 15 к.
КУТЮРА, Л. Алгебра логики. Перев. съ французскаго съ прибавлені-
ями проф. И. Слеишнскаго. ІѴ4-107-|-ХІІІ стр. 8°. 1909. Ц. 90 к.
ВЕБЕРЪ Г. и ВЕ ЛЬ ШТЕЙНЪ I., проф. Энциклопедія элементарной геометріи..
Томъ И, книга I. Основанія геометріи. Пер. съ нѣм. подъ ред. и съ
примѣч. прив.-доц. В. Ф. Кагана. ХІІ-|-362 стр. 8П. Съ 144 черт. и 5
рис. 1909.________________________________________________Ц. Р, 3.
ТГОРЕНЦЪ Г. проф. Курсъ Физики. Пер. съ нѣм. подъ ред. проф. Н. П. І\а~
У* стерина
Т. I. ѴШ4-348 больш. стр. 80. Съ 236 рис. 1910. Ц. Р. 2. 75 к.
Т. II. ѴТІІ4-466 стр. больш. 8°. Съ 257 рис. 1910. Ц. Р. 3. 75 к.
Съ появленіемъ этого перевода русская литература обогатилась превосход-
нымъ курсомъ физики_________________ }І\. М. Н. Пр.
рЕРНЕТЪ В. А. Объ единствѣ вещества. 46 стр. 16°. Ц 25 к.
ЗЕЕМАНЪ. П. проф. Происхожденіе цвѣтовъ спектра. Съ причоженіемъ
статьи В. Ритца. „Линейные спектры и строеніе атомовъ**. 50 стр. 16°.
________________._________________________________________ Ц. 30 к.
НЬЮКОМЪ С. проф. Теорія движенія Луны. (Исторія и современное состо-
__________________________________________________________яніе этого вопроса). 26 стр. 16°._Ц. 20 к.
КЛОССОВСНТЙ А. проф. Основы метеорологіи. XVI 527 стр. больш. 8°
Съ 199 рис., 2 цвѣтн. и 3 черн. табл. 1910. Ц Р. 4.-
Честь и слава „Маіііезіз* за изданіе этой прекрасной книги, которою можетъ
гордиться русская наука!Ж- М. Н. Пр.
КЭДЖ0РИ, Ф. проф,Исторія элементарной математики (съ нѣкоторыми ука-
заніями для препод.)*) Перев. съ англ, подъ ред. и съ примѣч. прив -
доц. И Ю. Тимченко. VIII—1-368 стр. 8°. Съ рис. 1910. Ц. Р. 2.50 к.
Книга читается съ большимъ интересомъ и весьма полезна.. Мы настоя-
тельно рекомендуемъ „Исторію элемент. мат.“ Кэджори. Віъст. Воспгіт^
РАМЗАЙ. В. проф. Введеніе въ изученіе физической химіи. Перев. съ
______англ подъ ред. проф. П. Г. Меликова_________стр. 16°. 1910. Ц. 40 к>
РОУ. С. Геометрическія упражненія съ кускомъ бумаги. Пер съ англ.
__________________________________________________XVI—[-173 стр. 16°. Съ 87 рис. и чертежами. 1910._Ц. 90 к.
ТОМСОНЪ, Дж. Дж. проф. Корпускулярная теорія вещества. Переводъ съ
англійск. I. Левинтова, подъ ред. „Віъст. Оп. Физ. и Эл. Мат.“
ѴШ-4-162 стр. 8°. Съ 29 рис. 1910. Ц. Р. 1. 20 к
ГРАФФЪ, К. Комета Галлея.*) Пер. съ нѣм. ѴШ+71 стр. 16°. Съ 13 рис.
и 2 отд. табл. Изданіе второе исправл. и дополненное 1910. Ц. 30 к.
Брошюра Граффа хорошо выполняетъ свое назначеніе. Педагог. Сборникъ,.
НИМФЮРЪ Р.. Воздухоплаваніе. Научныя основы и техническое развитіе.,
______Пер. съ нѣм. ѴІ1І-Р161 стр. 8°. Съ 52 рис. 1910.________Ц. О^к
Галлеева Комета въ 1910 году. Общедоступное изданіе. Со/щр^аніе:
О вселенной—О кометахъ—О кометѣ Галлея. 32 стр. 8та)'Съ 12
______иллюстраціями.. 1910._______________________________12 к.
Т/АЙЗЕРЪ Г. проф. Развитіе современной спектроскопіи^фер. съ нѣм.
** подъ ред пВпстн. Оп. Физ. и Эл. Мат“ 45 стр. 1^4910. Ц. 25 к.
ГАМПСОНЪ-ШЕФЕРЪ. Парадоксы природы. Книга дя^юношества, объ-
ясняющая явленія, которыя находятся въ прсМворѣчіи съ повсе-
дневнымъ опытомъ. Пер. съ нѣм. ѴШ4-193 стр. 67 рис. Ц- Р. 1 20 к.
ВЕБЕРЪ и ВЕЛЫПТЕЙБПЬ, проф. Энциклопедія Элементарной математики
Т. II, кн. 2 и 3. Тригонометрія, аналитическій геометрія и стереометрія
Пер. съ нѣм. подъ ред. прив.-доц. В. Кагана. ѴШ4-321 стр. 8°.Съ 109 рис.
1910. Ц. Р. 2. 50 к.
КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО „МАТЕЗИСЪ“.
АГАВЪ В. прив.-доц. Что такое алгебра? 72 стр, 16° Ц. 40 к.
ПУАНКАРЕ, Г. проф. Наука и Методъ. Пер. съ франц. И. Брусиловскаго
______подъ ред. прив.-доц. В. Нагана. ѴШ+384 стр. 16° 1910. Ц. Р. 1. 50 к.
ЛЁБЪ. Динамика живого вещества. Переводъ съ нѣм. подъ ред. прсф.
В. В. Завьялова. ѴПІ-|-352 стр 8”. Съ 64 рис 1910. Ц. Р. 2. 50 к.
АДЛЕРЪ, а. Теорія геометрическихъ построеній. Перев. съ нѣмецкаго
подъ ред. прив.-доц С. О. Шатуновскаго. ХХІѴ-|-325 стр. 8°. Съ 177
рис,—1910._______________________________________________Ц Р. 2. 50 к.
ПО ДЛИ Ф. проф. Радій и его разгадка. Пер.съ англ, подъ ред. лаборанта Ново-
V росс. универс. Д. Хмырова. ѴІІ-|-190 стр. 8°. Съ 31 рис. 1910. Ц. Р. 1. 25 к.
Имѣются на складѣ:
ЖУЛЬТОНЪ, Ф. проф. Эволюція солнечной системы. Перев. съ англійск.
1Ѵ4-82 стр. 16°. Съ 12 рис. 1908. Ц. 50 к.
Изложеніе гипотезы образованія солнечной системы изъ спиральной туман-
ности съ попутной критикой космогонической теоріи Лапласа.__________
ЕФРЕМОВЪ, Д. кандид. матем. наукъ. Новая геометрія треугольника
3344-ХПІ стр. 8°. 1902 Ц. Р. 2.-^
Печатаются и готовятся къ печати:
КОВАЛЕВСКІЙ Г., проф. Курсъ дифференціальнаго и интегральнаго
_____исчисленій. Пер. съ нѣм. подъ ред. прив.-доц. С. Шатуновскаго.
КЛЕЙНЪ. Лекціи по элементарной математикѣ для учителей. Пер. съ
нѣм. подъ ред. прив.-доц. В. Кагана.
ПСТВАЛЬДЪ, В. проф. Натурфилософія. Съ двумя дополн. статьями. Пер.
Ц съ нѣм. подъ ред. прив.-доц. Страсбург. Универс. Л. Мандельштама.
ТРЕЛЬСЪ'ЛУНДЪ. Небо и міровоззрѣніе въ круговоротѣ временъ. Пер.
съ нѣмецкаго.
ЛОВЕЛЛЪ, П. Обитаемость Марса. Пер. съ англ. Со мног. рис.
ШУБЕРТЪ, Г. проф. Математическія развлеченія. Пер. съ нѣм. подъ
______ред. „В. Оп. Ф. и Эл. Мат.“.__________________________________
БОРЕЛЪ, Е. проф. Курсъ математики для среднихъ учебныхъ заведеній.
Въ обработкѣ проф. П. Штэккеля. Пер. съ нѣм. и фр.
МАРКОВЪ, А. акад. Исчисленіе конечныхъ разностей. Въ двухъ ча-
стяхъ. Изд. 2-ое.
ДНДУАЙГ проф. Курсъ астрономіи. Переводъ съ французскаго.
ФУРНЬЕ ДАЛЬБЪ. Два новыхъ міра (Инфра-міръ. Супра-міръ). ПерЙр^
_____съ англійскаго.___________________________________________
СПѢХИ ФИЗИКИ. Сборникъ статей подъ ред. „Вѣсти. Оп. Эл.
_____Мат.“ Выпускъ второй.___________________________________________
СМИТЪ, А. проф. Введеніе въ неорганическую химію. Пер<английскаго
подъ ред. проф. П. Меликова.___________ А'Су ___________________
МАМЛОКЪ, Л. проф. Стереохимія. Переводъ съ нѣмецкаго подъ рёд.
______проф. П, Меликова.________________________, _________________
ВИНЕРЪ, 0. проф. Цвѣтная фотографія. Переводъ съ нѣмецкаго подъ
ред. проф. Н. Цастерина-
КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО „МАТЕЗИСЪ"
ГАССЕРТЪ, проф. Изслѣдованія полярныхъ странъ. Пер. съ нѣм. подъ ред.
проф. Г. Танфилъева.
РУДІО. Архимедъ, Гюйгенсъ, Лагранжъ и Ламбертъ о квадратурѣ круга.
Пер. съ мѣм.
БРАУНЪ, Ф. проф. Мои работы по безпроволочной телеграфіи и по
электрооптикѣ. Пер. съ рукописи. Съ 25 рис. и портретомъ автора.
ПОДЖЪ Оливеръ, проф. Міровой эѳиръ. Пер. съ англ, подъ ред. лаборанта
Л Новороссійскаго университета Д. Хмырова.
МОРЭНЪ, проф. Физическія состоянія вещества. Переводъ съ француз-
скаго.
ДЗЮБЕКЪ, проф. Курсъ аналитической геометріи. Въ 2 част. Пер. съ
нѣм. подъ ред. преподав. С.П.Б высш. женск. курсовъ В. I. Шиффъ.
Русская математическая библіографія въ 1908 г. Подъ ред. проф.
Д. Н. Синцова.
КЛАРКЪ, а. Исторія астрономіи XIX столѣтія Пер. съ англ, подъ ред.
прив. доц СПБ. универсситета В. Серафимова.
ШТОКЪ-ШТЕЛЕРЪ. Практическое руководство по количественному неор-
______ганическому анализу. Пер. съ нѣм. подъ ред. проф. П Меликова.
ДЕРИГО, Б. Ф. проф. Основы общей біологіи. Около 30 печатныхъ листовъ.
Выписывающіе изъ главнаго склада изданій „Піате-
зисъ“ (Одесса, Новосельская 66) на сумму 5 руб. и боль-
ше за пересылку не платятъ.
Подробный каталогъ высылается по требованію без-
платно.
Отдѣленія склада изданій „МатвЗИСЪ":
Въ Москвѣ—Книжн. магазинъ „Образованій, Кузнецкій мостъ, 11.
Въ С.-Петербургѣ—Книжн. магаз. Г. С. Цукер.мана Алексан.пл.,5.
Въ Варшавѣ —Книжный магазинъ „Оросъ", Новый Свѣтъ, 70.
ОБЪЯВЛЕНІЕ-
ВѢСТНИКЪ ОПЫТНОЙ ФИЗИКИ Выходитъ 24 раза
----------- и ------- отд. вып., не меньшеестр.
«--------------------каждый<е&<
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ йодъ ред. пр.-доц^^рчф. ){агана.
Подп. цѣна съ пер. за годъ 6 р., за Ѵ2 года 3 р. Учащіе_да^ низшихъ учи-
лищахъ и всѣ учащіеся платятъ за годъ 4 р , за .^Жгода 2 р.
Пробный номеръ безплатно.
Адр:. Одесса. Въ редакцію „Вѣстника Опытной Физики и Элементарной
Математики“. Э
****
Тмл. Акц. Южнорусскаго
Общества Печатню Дѣля,
Одесса, Пушкинская, 18.