/
Текст
Г. Н. Б Е.РМАН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО KVPCV
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
10O ДЛ1'С UtfcllHOI If» \А ГКЛ1.С1 JtO
ТГЛПШКО TbOVKTIiMF ГКО И ЛИ1ГГдТУРМ
■Ш'ККд IM4
Инж. Г. Н. БЕРМАН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО КУРСУ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Под редакцией проф. А. Ф. БЕРМ АНТ А
Допущено Главным управлением высшего
образования Министерства культуры СССР
в качестве учебного пособия для высших учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА —1954
1J 5-2
Л Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа
Редактор С. И. Лукомский.
Техн. редактор М. Д. Суховцева. Корректор А. Н. Нарежная.
Печать с матриц. Подписано к печати 3 I 1954 г. Бумага 84 X Ю8/„. Фнэ. печ. л. 33.
2> слови, леч. л. 27,00. Уч.-иад. л. 25,42. Тираж 50 000 ака. Т-00201. Цена кнкги 8 р. 60 к.
Закаа 1014.
Государственное издательство технико-теоретической литературы.
Москва, Б. Калужская ул., 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союэпопнграфпрома Глав-
надата Министерства культуры СССР. Москва, Валовая, 28.
♦
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к третьему изданию 8
Глава L Понятие функции 9
§ 1. Функции и способы их ваданил 9
§ 2. Символика н классификация функций 11
§ 3. Простейшее изучение функций 15
§ 4. Простейшие функции 19
§ б. Степенная, показательная н логарифмическая функции 28
§ 6. Тригонометрические и обратные тригонометрические
функции 30
§ 7. Вычислительные вадачи 35
Глава II. Понятие предела 3?
§ 1. Основные определения 37
§ 2. Бесконечные величины. Правила предельного
перехода 40
§ 3. Непрерывные функции 44
§ 4. Сравнение бесконечно малых. Вычисление предельных
значений функций 46
Глава III. Производная и дифференциал.
Дифференциальное исчисление 55
§ 1. Понятие производной. Скорость изменения функции 65
§ 2. Дифференцирование функций 60
§ 3. Понятие дифференциала. Дифференцируемость
функции 80
§ 4. Производная как скорость изменения (дальнейшие
примеры) 85
§ 5. Повторное дифференцирование 93
1*
* ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Исследование функций и кривых линий ... 99
§ 1. Поведение функции «в точке» 99
§ 2. Применение первой производной 101
§ 3. Применение второй производной 111
§ 4. Дополнительные вопросы в исследовании функций.
Решение уравнений 116
§ 5. Формула Тейлора и ее" применения 125
§ 6. Соприкосновение кривых линий. Кривизна 128
§ 7. Вычислительные задачи 133
Глава V. Определенный интеграл 135
§ 1. Понятие определённого интеграла 135
§ 2. Основные свойства определённого интеграла .... 137
§ 3. Основные свойства определённого интеграла
(продолжение). Формула Ньютона-Лейбница 142
§ 4. Вычислительные задачи 147
Глава VI. Неопределённый интеграл. Интегральное
исчисление 149
§ 1. Понятие неопределённого интеграла и неопределённое
интегрирование 149
§ 2. Основные методы интегрирования 153
§ 3. Основные классы интегрируемых функций 156
Глава VII. Определённый интеграл (продолжение).
Несобственные интегралы 164
§ 1. Вычисления интеграла 164
§ 2. Приближённое интегрирование 173
§ 3. Несобственные интегралы 176
Глава VIII. Применения интеграла . . . 182
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики 182
§ 2. Некоторые задачи физики 200
Глава IX. Ряды 213
§ 1. Числовые ряды 213
§ 2. Функциональные ряды 217
§ 3. Степенные ряды 222
§ 4. Некоторые применения рядов Тейлора 224
§ 5. Вычислительные задачи 228
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава X. Функции нескольких переменных.
Дифференциальное исчисление 230
§ 1. Функции нескольких переменных 230
§ 2. Простейшее изучение функиии 233
§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких
переменных -237
§ 4. Правила дифференцирования. Дифференцирование
сложной функции 243
§ 5. Повторное дифференцирование 247
Глава XI. Применения дифференциального исчисления . 251
§ 1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких
переменных 251
§ 2. Элементы векторного анализа 257
§ 3. Кривые линии. Поверхности 263
Глава XII. Многомерные интегралы и кратное
интегрирование 2G9
§ 1. Двойные и тройные интегралы 269
§ 2. Кратное интегрирование 271
§ 3. Замена переменных 274
§ 4. Применения двойных и тройных интегралов .... 277
§ 5. Дальнейшие вопросы интегрального исчисления . . . 288
Глава XIII. Криволинейные интегралы и интегралы по
поверхности 296
§ 1. Криволинейные интегралы по длине 296
§ 2. Криволинейные интегралы по координатам 299
§ 3. Интегралы по поверхности 305
§ 4. Связь между интегралами различных типов 307
§ 5. Элементы теории поля 309
Глава XIV. Дифференциальные уравнения 315
§ 1. Уравнения первого порядка 315
§ 2. Уравнения первого порядка (продолжение) 329
§ 3. Уравнения второго и высших порядков 333
§ 4. Линейные уравнения 338
§ 5. Системы дифференциальных уравнений . 345
§ 6. Вычислительные задачи 348
6 ОГЛАВЛЕНИИ
Гла ва XV. Тригонометрические ряды 851
§ 1. Тригонометрические многочлены 851
§ 2. Ряды Фурье 852
§ 3. Метод Крылова. Гармонический анализ 855
Ответы 856
К главе I 856
К главе II 367
К главе 11^ '.'.'.'.'.'. 871
К главе IV '.'.'.'. 892
К глаье V ".".!". 415
К главе VI ! ! ! ! 418
К главе VII ] 438
К главе VIII ! . ! ! 444
К главе IX ! . ! ! 451
К главе X , ! ! ! ! 458
К главе XI !..!.]." 474
К глав» XII ! ! ! ! ! 484
К главе XIII . ! ! ! 495
К главе XIV 501
К главе XV '..'.'.'. 524
*
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
К настоящему изданию «Сборник* подвергся весьма
значительной переработке, вызванной как существенными из-
мснениями, произведёнными в новом издании (1950 г.) моего
«Курса математического анализа»*), так и необходимостью
исправить различные недочёты, замеченные в первом издании.
Принципы, положенные в основу выбора и расположения
задачного материала, остались прежними. Задачи и
упражнения систематически подобраны в полном соответствии с
теоретическими разделами указанного выше курса, и
пронумерованная рубрикация «Сборника», за небольшими
исключениями, совпадает с рубрикацией нового издания этого «Курса».
О существе переделок и изменений, которыми отличается
настоящее издание «Сборника», писать нет необходимости, —
внимательный читатель их легко обнаружит. Отметим лишь
следующее нововведение: там, где только было возможно,
в конце главы даётся набор так называемых
«вычислительных задач», цель которых — развить на базе изученного и
проработанного материала главы квалифицированный навык
соответствующих расчётов. Опыт показывает, что такое
расположение вычислительных задач методически целесообразно.
Как п в первом издании, теоретические сведения и справки
о необходимых формулах не помещаются; имеется в виду,
что читатель может их найти в соотве iствующих пунктах
«Курса» или какого-либо другого учебника по
математическому анализу. Большинство параграфов «Сборника» для
удобства пользования подразделено на более мелкие части,
не обозначенные номерами. Группам задач с однородным
заданием предшествует общее указание. Перед задачами
*) А. Ф. Б е р м а и т, Курс математического анализа, Гостех-
нздат, ч. I, изд. 6-е, ч. II, изд. 4-е, 1950. В тексте «Сборника» этот
учебник сокращённо обозначается словом «Курс».
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
физического содержания даются нужные справки по физике.
Никаких иных формул и разъяснений в тексте аадач нет. Если
же 8а1ача более или менее трудна, то указания даются
в ответах; такие задачи отмечены 8вёздочкой (*). Типичные
задачи, использованные в качестве иллюстрации в «Курсе»,
а также все другие задачи, рассмотренные в «Курсе», в
«Сборнике» не дублируются. Нумерация вадач проведена сквозная
по всему задачнику.
Переработка «Сборника» была проведена без его автора
Георгия Николаевича Бермана, скончавшегося 9 февраля 1949 г.
после продолжительной и тяжелой болезни, полученной в
результате ранения на фронте Великой Отечественной войны.
Коллектив, принимавший участие в переработке,— в основном
многолетние товарищи Г. Н. по совместной работе — с тСп-
лым чувством глубокого уважения вспоминает здесь об этом
талантливом педагоге, выдающемся популяризаторе
математики, человеке большой культуры, советском патриоте и
замечательном товарище.
Подготовка «Сборника» к настоящему изданию была
проведена: И. Г. Арамановичем, А. Ф. Бермантом, Б. А. Кор-
демским, Р. И. Позойскнм, М. Г. Шестопал.
Все задачи были заново перерешены Р. Я. Шостаком,
которому авторы выражают свою благодарность.
А. Ф. Бермант
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании выверены ответы ко всем задачам
и исправлены замеченные опечатки.
А. Ф. Бермант
ГЛАВА I
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Функции и способы их задания
I. Сумма внутренних углов плоского выпуклого
многоугольника является функцией от числа его сторон. Какие
числа могут быть значениями аргумента?
Задать аналитически эту функцию.
°« Некоторая функция дана следующей таблицей:
Независимая переменная х
Функция у
Независимая переменная х
Функция у
-1,5
-1,8
0.5
— 1
-2,8
б
0
1
0
7
1,1
1,5
3,2
8
1,4
2
2.6
9
1,9
3
о
10
2,4
Построить её график, соединив точки какой-нибудь
кривой, и по графику «уплотнить» таблицу, определив
значения функции при * = 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5;
8,5; 9,5.
3. Функция дана графиком, изображенным на черт. 1.
Перевести чертёж на миллиметровую бумагу, выбрать
масштаб и некоторое количество значений независимой
переменной. Снять с чертежа значения функцим, соответствующие
выбранным значениям независимой переменной, и составить
таблицу этих значений.
10
ГЛ. I. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[4-В
4. Функция дана графиком, изображённым на черт. 2.
По графику ответить на следующие вопросы:
а) При каких значениях независимой переменной
функция обращается в нуль?
Черт. 1.
б) При каких значениях независимой переменной
функция положительна?
в) При каких значениях независимой переменной
функция отрицательна?
5. Зависимость силы взаимодействия двух
электрических эарядов от расстояния между ними выражается функ-
у. цпей (закон Кулона)
Положив е, =*= et = 1 и s =» 1,
составить таблицу значений
данной функции для г=1,
2, 3, ... , 10 и построить её
график.
6а Некоторый налог
определяется следующим
образом. При заработке до 100 р.
включительно налог не
уплачивается. При заработке
р. (искл.) до 200 р. (вкл.)—1 р. При заработке от
(искл.) до 500 р. (вкл.) — 3 р. При заработке от
(искл.) до 1000 р. (вкл.) —8 р. При заработке
Черт. 2.
от 100
200 р.
500 р.
7—13] Ц. СИМВОЛИКА И КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ П
свыше 1000 р. — 1в/0 от заработка. Начертить график
функции, определяющей зависимость величины налога {у) от
заработка (х). (Масштабы для координатных осей следует
взять неодинаковыми.)
7. Составить функцию, выражающую зависимость
радиуса г цилиндра от его высоты h при данном объёме
V(=l). Вычислить значения г при следующих значениях Л:
0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5. Построить график
функции.
8. Написать выражение для площади равнобочной
трапеции с основаниями а и b как функции угла а при
основании а. Построить график функции при а = 2, Ь=\.
9. Написать выражение для объёма V конуса как
функции от его высоты Л при данной постоянной образующей
/( = 2).
10. Выразить зависимость длины b одного катета
прямоугольного треугольника от длины а другого при постоянной
гипотенузе с(=5). Убедиться, что графиком этой функции
служит четверть окружности.
§ 2. Символика и классифчкация функций
Си м волика
11. Даны функции
Найти: /(0); /(1); /(2); /(-2); /(-у): f(VT);
|/(т)|: ?(°); *№ ?<2): ?(—2); *<4); »и-
12. Дана функция
/(а) = в> —1.
Найти: /(1); /(а); /(в+1); /(а— 1); 2/ (2а).
13. Даны функции
F(z)==2*-2 и y(z) = 2"l-2.
12
ГЛ. I. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[14—23
Найти: F(0); F(2); F(S); F(—\); F(2,5); F{— 1,5) и
*p(0); v(2); <?(—!): (pW; ?( — IJ + H1).
I4B Дана функция
ф(г)=< -я'.
Найти: ф(0); ф(1); ф(—1); ф(4); ФМ Ф( —*)■
15. <р (г) = *•+!. Найти: у (/а) и |'f(0|3-
16. F(x)=x* — 2х*-{-5. Доказать, что Г(а)=Г(—я).
17. Ф(г) = г8 — 52. Доказать, что Ф(—-*) = —Ф(г).
18. (0=2/" + |- + 4- + 5/.Доказать|что/(/)=/^у) .
19. /(*) = sin*— cos*. Доказать, что/(!)]> 0.
О. 6(A-) = lgjt. Доказать, чго ф(л-) + ф(*+1) =
= ф|дг(дг4- ПЬ
21. ^(zjssra*. 1) Доказать, что при любом z
справедливо соотношение F( — z)-F[z)—1=0. 2) Доказать, что
F(x)'F{v) = F(x-\-y).
. Дана таблица некоторой функции f(x):
Не.кшиснмая
переменная X
Функция / (л:) . . .
-3
27
8
-2
9
4
— 1
3
2
0
1
1
2
3
2
4
9
3
8
27
4
16
8!
Проверить, что для табличных значений имеет место
равенство / (*,) • /(хг) =/ (х} -f- -*"з)- 1,i,nT" аналитическое
выражение функции, если заранее известно, чго оно имеет
вид / (дг) = тх\ построить график.
Черт. 3.
3. Даны график функции у=/(х) и знпения а и b
независимой переменной х (черт. 3). Построить на чер-
Й4— SB] 0 2. СИМВОЛИКА И КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ 13
теже /(а) и /(b). Каков геометрический смысл отношс-
пни i-i_i—i-L_' ?
о — а
24. Показать, что если любая хорда графика
функции y=zf(x) лежит выше стягиваемой ею дуги, то имеет
место неравенство
1ЩЖ >/(*+*) Для „сех „*,,.
25. Дана функция /(*). Указать корень уравнения
26. /(х) = х2— 2jc-J-3. Найти все корни уравнений
а)/(*)=/(0); б)/(*)=/(—1).
27. f(x)=z2xA — 5дга— 23д\ Май hi все корпи
уравнения /(*)=/( —2).
28. F (х) = х2 -\- 6; <р(л;)=:5л\ Найти все корпи
уравнения F(x) = \<p(x)\.
29. f(x) — x-{-\; u>(x)=:x — 2. Решить уравнение
|/(*)+¥(*>Ы/(*)|+Ы*)1-
Сложные функции
30. Дано: д/ = 2а, г = дг-|- 1. Выразить д> как функцию дг.
31. Дано: у= \ z-\-1, 2 = tg3jc. Выразить .у как
функцию дг.
2. Дано: j> = 23, * = \/ х-\- 1, jcssrfl'. Выразить _у
как функцию /.
33. Дано:_у ==sin а:; г/ = 1^3/; и = VT-f- ^э- Выразить я
как функцию дг.
3 ■ Дано:у = 1 -|- дг; z = cos^; г> = У1 — г3. Выразить v
как функцию дг.
35. Следующие сложные функции представить с
помощью цепочек, составленных из основных элементарных
функций:
\) у=г*\п* х\ 2)у^= 1/(\+х)г; 3)jy = lgtg>;;
4)>/ = sm8 (2*-j-l); 5) j/ = 5<3jf + 1>J.
3 ./(*) — л:8 — х\ <р {х) = sin 2л:. Найти
а)/Ки)]: б) vL;f(1)1: в) vI/(2)1; r) /[?(*)1:
Д) /I/WJ; е) /{/[/О)]}-
14 ГЛ. I. ПОНЯТИВ ФУНКЦИИ [ST—41
87- Найти вначения а и Ь в выражении функции
/(*)--в**-И*+ 5, «ели /(лг+1)—/U) = 8jc + 8.
Указать значения х, удовлетворяющие уравнению
/и-/(ёт).
39. Убедиться и справедливости следующего способа
построения графика сложной функции yK=*f[y[x)]=i*F{x)
по известным графикам
составляющих функций:
y=f(x), y=*v(x). Иj
точки А графика
функции у(х) (черт. 4),
соответствующей данному
значению независимой
переменной х,
проводится прямая,
параллельный оси Ох, до пересече-
•*"* ния в точке В с
биссектрисой первого и
третьего координатных углов;
не точки В проводится
прямая, параллельная оси Оу, до пересечения с графиком
функции /(х) в точке С. Ордината точки С и будет
изображать значение сложной функции F{x). Если из точки С
провести прямую, параллельную оси Ох, то точка D ее"
пересечения с прямой NN' будет точкой графика
функции F{x)t соответствующей взятому значению х.
Классификация функций
40. Написать в явном виде функцию у, неявно
заданную следующим уравнением:
1) *«+У=1; 2) 5-£в1; 8) x*+y* = a*i
4) хуш=С; б) 2*"«5; 6) lg *-f lg (>>-f 1)=45
7) 2***{х* — 2)«=дг, + 7; 8) (1 +x)cosy — *» = 0.
41. Перейти к явному вячлиию двузначной функции у,
неявно определяемой уравнением хг—у' -\- Ьх -{-у 4" 2 ^^
42—48] §3. ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ 1/5
2. Написать явные выражения для однозначных
ветвей многозначной функции у, неявно определяемой
уравнением (у9— 16)а = 25 — х3. Построить графики этих ветвей.
43*. Показать, что при *>0 графиком функции у,
сланной уравнением у-\-\у\ — х — \х\ = 0, является
биссектриса первого координатного угла, а при х<0 эта
функция многозначна и еб «графиком» является
совокупность точек третьего координатного угла (включая и его
граничные точки).
§ 3. Простейшее изучение функций
Область определения функции
44. Составить таблицу значений функции
целочисленного аргумента у = -т для 1^лг<6.
5. Значение функции целочисленного аргумента
«=/(«) равно числу простых чисел, не превосходящих п.
Составить таблицу значений и для 1 я < 20.
46. Значение функции целочисленного аргумента
п=/{п) равно числу целых делителей аргумента,
отличных от 1 и
самого п. Составить
таблицу значений и для
К п < 20.
47- И.1 трёх
отрезков в 1; 2; 1 единиц
длины, вес которых
соответственно ранен
2; 3; 1 единицам веса, составлен брус (черт. 5). Вес
переменною отрезка AM длиною х есть функция х. При kjkhx
значениях х определена эта функция? Составить еб
аналитические выражения и построить график.
48. Башня имеет следующую форму: на прямой круглый
усеченный конус с радиусами оснований 2/? (нижнего) и R
(верхнего) и высотою R поставлен цилиндр радиуса R
и высоты 2R; па цилиндре — полусфера ридпуса R.
Выразить площадь 5 поперечного сечения башни как
функцию расстояния х сечения от нижнего основания конуса.
По:троить график функции S*=f{x).
Черт. 5.
16 _ ГЛ. I. ПОНЯТИИ ФУНКЦИИ 149—52
49. В шар радиуса R вписывается цилиндр. Написать
функциональную зависимость объёма V цилиндр,! от его
высоты х. Найти область определения этой функции и область
определённости соответствующего аналитического выражения.
50в В шар радиуса R вписывается прямой конус.
Написать функциональную зависимость площади боковой
поверхности 5 конуса от его образующей х. Найти область
определения этой функции и область определённости
соответствующего аналитического выражения.
В задачах 51 и 52 указать области определения
следующих функций:
51. I) у=\— \gx; 2) j/ = lg(*-|-3);
3) у = К5 —2jc; 4) у = 1 — V 1 — *а;
\2) y = iogx2; 13) ^ = arcsin(Ar — 2);
______ О Лу
14) у = arcsin \Г2х\ 15) у = у'д— jc-(-arcsin—g—;
х з
16) > = arcsin—-| lg(4 — дг);
17) y = Vx+ J^~^-lg(2*--3);
19) у—У m\X-\- У 16 — x2; 20) y=\gs\nx;
21) ,v = arccos 24^: 22) y^V"11^ (P>0).
52. 1) ^yss-arccosO—2x); 2) y=.arcsin -j-;
5) j, = ^-^ + lg(*>_*); 6) ^=-4= + J^n^;
4 — л* У sin x
i
53—56] | 3. ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ 17
7) y=V7^i+2VT^+V'^4:ri
8) >==}/T=M;
11)^/^=^+2 + ^-=^;
' it
12) .>/=(*» + *+1)~2 I
13) y^giV^t + V&^Y,
14) > = lg[l —lg(A;a — 5jc-f- 16)].
53. Придумать пример аналитически заданной функции:
1) определённой только в интервале —2^jc^2;
2) определённой только в интервале —2<^jc<^[2 и
не определённой при лг = 0;
3) определённой везде, за исключением х = 2, х = 3,
* = 4.
54. Найти области определения однозначных ветвей
функции у=-у (л:), заданной уравнением:
1) y_i_|-loga(A:-l)=:0;
2) у* — 2ху2-{-х3 — аг = 0.
Элеме ты поведения функции
ее X2
55. /(*) — j~_r-£_ I а) указать область определения
функции /(х); б) убедиться, что эта функция
неотрицательна; в) какова совокупность значений функции /(*)?
56. Найти интервалы знакопостоянства и нули
следующих функций:
1) у = 3х — 6; 2) у=х* — 5дг + 6; 3) .у = 2*-*;
4) ,y=_*8 — 3*a-f 2x; 5) > = |4
-■ Г. П. Берман
18 гл. I. понятие функции. [57—62
57. Какие из указанных ниже функций четны, какие
нечётны, какие — не являются ни чётными, ни нечётными?
1) у = х* — 2х2\ 2) у = х— х2; 3) y = cosx',
4).у = 2*; 5) у = х-^ + ^; 6) y = slnx;
7) у = sin х — cos л:; 8) у=\—х2\ 9) y — lgx\
10) ,=8-* U)y=a-l±fZ. ,2) ^=!!^;
58. Каждую из следующих функций представить в виде
суммы чётной и нечётной функций:
1) >r = jc2-f-3jc-f-2; 2) у=\—х* — х* — 2х*;
3) ^ = sin2A:-|-cos^-|-tgA:-
59. Показать, что f{x)~\-f(—х) — чётная функция, а
f(x) —/(— х) — нечётная функция.
60. Представить в виде суммы чётной и нечетной
функций следующие функции:
1) у = ах; 2) >^ = (1 -f-лг)100 (см. задачу 59).
61. Доказать, что произведение двух чётных функций
есть чётная функция, произведение двух нечётных —
чётная функция, произведение чётной и нечётной — нечётная
функция.
62. Какие из нижеследующих функций будут
периодическими?
1) yz=sln2x; 2) у = sinх2\ 3) y = X'COsx;
4) ^ = sin4: *. 5) .y=l+tg*;6) ,у = 5;
7)у = Е(х); 8) у = х — Е(х).
(Функция Е(х) определяется так: если х — целое число,
то Е(х) = х. Если х не есть целое число, то Е(х) равно
наибольшему целому числу, меньшему чем л:. Так, Е(2) = 2;
£(3,25) = 3; Е(— 1,37) = — 2.)
63—67]
в 4. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
19
~-х
63. Построить график такой периодической функции с
периодом 7=1, которая на полуоткрытом интервале (0, 1]
задана формулой:
1) у=2х; 2) у=х2.
64. Указать
интервалы возрастания
и убывания и
интервалы постоянства функ:
цпй
1)^=1*1:
2) jf = |jc|—jc.
65. Указать
наибольшее и
наименьшее значения
функций
1) у = $\п2х\
2) ^ = cosa:8;
3) у= 1 —sin л:;
4).у = 2*а.
66. С помощью
графического
сложения построить график
функции
у=Дх)-{-<р(х): Черт. 7.
1) для графиков, изображённых на черт. 6;
2) для графиков, изображённых на черт. 7.
§ 4. Простейшие функции
Линейная функция
67. Дано, что при напряжении Е=2,4 в сила тока
/ = 0,8 а. Выразить аналитически, используя закон Ома,
зависимость между силой тока п напряжением; построить
график найденной функции.
2*
*-%
20 ГЛ. I. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ |в8—Тв
68* В сосуд произвольной формы налита жидкость. На
глубине h = 25,3 см давление р= 18,4 г\см%.
а) Составить функцию, выражающую зависимость
давления от глубины;
б) определить давление на глубине Л=14,5сл;
п) на какой глубине давление станет равным 26,5 г}смг7
69* Известно, что некоторая сила F при ускорении
та/= 12 см\сск% на пути 5=15 см совершила работу
А = 32 эргам. Написать функцию, выражающую зависимость
данной силы от ускорения.
70а Определить линейную функцию у = ах-\-Ь по
следующим данным:
1) х\2 2) х \ у 3) х 1 у
О
3
4 2-
С -1,6
4,3 2,5
О 3,2
7,2
6,8
71а Некоторое количество газа нанимало при 20° С
объем 107 смц\ при 40° С обьСм стал равным 114сл8.
а) Написать функцию, выражающую зависимость
объема V газа or температуры t. б) Каков будет объем
при 0° С?
72. Равномерно движущаяся точка через 12 сек. после
начала движения находилась на расстоянии 32,7 см от
некоторой начальной точки; через 20 сек. после начала
движения расстояние стало ранним 43,4 см. Выразить
расстояние 5 как функцию времени t.
73. Напряжение в некоторой цепи падает равномерно
(по линейному закону). В начале опыта напряжение было
равно 12 в, а но окончании опыта, длившегося 8 сек.,
напряжение упало до 6,4 в. Bupa.ni гь напряжение V как
функцию времени t и построить график этой функции.
7 а Определить приращение линейной функции
V = 2a: — 7 при переходе независимой переменной х от
значения *| = 3 к значению дга = 6.
75. Определить приращение линейной функции
у = —Зле —(— 1, соответствующее приращению независимой
неременной Дд; = 2.
76. Функция у = 2,5х-\-4 получила приращение Ду= 10.
Определить приращение аргумента.
77—83] % 4. простейшие функмии 21
77. Даны функция y=atZL& и иа,'альн°е значение
независимой переменной хх = а— Ь. При каком конечном зил-
1 ,
ченнн аргумента Ау = -д _ b г
78а Функция <р{х) задана так: у(х) = -^х-\-2 при
— оо<дг<2; (р(х) = 5 — х при 2<дг<-{-оо. Найти
аналитически и графически корни уравнения <р(х) = 2х— 4.
79а Построить график функции:
>).у=1*+1| + 1*-Ч:
2) ^ = |*_3|-2|л:-[-1| + 2И-лг4-1.
80*. Решить неравенство
1/М + ¥(*)К1/(*)| + М*)|.
если /(х)=х — 3, а у(дг) = 4—х.
81*а Решить неравенство
|/(*) —¥(*)1>1/(*)1Н9(*)|.
если f(x)=x, а <р(лг) = лг — 2.
82. Функция определена следующим образом: в каждом
из интервалов я<лг<л-[-1, где п — целое
положительное число, /(дг) меняется линейно, причем /(я) =—1,
/( я-}--х-) =0. Построить график этой функции.
Квадратичная функция
83. Построить график функции:
1) у=~хг; 2)^=jc»—1; 3)^=1— *а;
4)^=|jca—1|; 5) у = хя— AT-j-4; 6) у = х — х*.
84. Построить график функции у — хг-\-\\ на том же
чертеже получить без дальнейших вычислений графики
функций:
■) У = ^1(х + 2Г-\-4]; б) j,e 1 (*»+1).
85. Построить график функции:
1) jf=2jc»-f-3; 2) у = 2х* — 6лг+4;
3) у = — 3**4-6*— J,
22 гл. I. понятии функции (06—95
86. График некоторой однозначной функции,
определенной в интервале (—со, (>], состоит:
1) из точек оси Ох с абсциссами, меньшими числа —3;
2) иj точек параболы, симметричной относительно оси
Оу и проходящей через точки А (—3, 0), В (0, 5);
3) из точек о грелка CD с концами С(3, 0) и Л ((5, 2).
Составить аналитическое выражение дли этой функции.
87- Определить наибольшее значение функции:
1) V = --2*a-}-Jc—1; 2) у = — х* — 3* + 2;
3)^ = 5 — х2; 4) у = —2х*-\-ах — аа;
5) у = агх — Ь*х*.
88. Определить наименьшее значение функции:
1) _у = д:а_|_4А: — 2; 2) у = 2*a — 1,5*+ 0,6;
3) у — 1 — 3* + б*2; 4) у — а2х* — я4;
5) у = {ах-\-Ь){ах — 2Ь).
89. Представить число а в виде суммы двух слагаемых
так, чтобы произведение их было наибольшим.
90. Представить число а и виде суммы двух чисел так,
чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.
91. Около каменной стенки нужно сделать деревянный
забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли. Общая
длина забора равна 8 л. Какова должна быть длина части
забора, параллельной стенке, для того чтобы аабор охватил
наибольшую площадь?
92. В треугольнике ABC угол А =30°, а сумма сторон,
заключающих этот угол, равна 100 ел. Чему должна быть
равна сторона АВ, чтобы площадь треугольника была
наибольшей?
93. Какой из цилиндров с данным периметром осевого
сечения />=100сл имеет наибольшую боковую
поверхность?
94. Какой из конусов, периметр осевого сечения
которых равен Р, имеет наибольшую боковую поверхность?
95. Тело представляет собой прямой круговой
цилиндр, на который поставлен конус (с тем же
основанием). Угол при вершине конуса 60°. Периметр осевого
сечения тела 100 см. Каков должен быть радиус цнлин-
96-—102] g 4. простейшие функции 23
дра, для того чтобы боковая поверхность тела была
наибольшей?
96. В равнобедренный треугольник с основанием а и
высоюй h вписан прямоугольник, как показано на черт. 8.
Какова должна быть высота прямоугольника, для того чтобы
O.i имел наибольшую площадь?
97- В данный прямой конус вписан цилиндр так, что
плоскости и центры круговых оснований цилиндра и
конуса совпадают. При каком
отношении радиусов
оснований цилиндра и конуса
цилиндр будет иметь
наибольшую боковую
поверхность?
98. Дан прямой ко- Черт. 8.
нус, радиус основания
которого R, а высота И, причем //^> R. В данный конус
вписан цилиндр так, что плоскости и центры круговых
оснований цилиндра и конуса совпадают. Каким должен быть
радиус индикара, для того чтобы полная поверхность
цилиндра имела наибольшую величину? Как будет обстоять
дело в том случае, когда /У</??
99. Каков должен быть радиус круга, для того чтобы
сектор, периметр которого равен данному числу р, имел
наибольшую площадь?
100. Окно имеет форму прямоугольника, который
сверху заканчивается правильным треугочышком.
Периметр окна р. Каково должно быть
основание а прямоугольника, для
тою чтобы окно имело
наибольшую площадь?
101. Окно имеет форму
прямоугольника, который сверху
заканчивается полукругом. Каково дол-
Черт. 9. жио быть основание
прямоугольника, для того чтобы при
периметре, равном 2 м, окно имело наибольшую площадь?
102. Из листа картона прямоугольной формы
размером 30X^0 см3 нужно вырезать уголки так, чтобы,
согнув лист по пунктирным линиям (черт. 9), получить
L
24
ГЛ. I. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[103-109
г-лЛЛАЛЛп
Черт. 10.
коробку наибольшей боковой поверхности. Найти размеры
вырезаемых уголков.
103. Ил проволоки длиной 120 см нужно сделать
модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным
основанием. Какова должна быть сторона основания, для
того чтобы полная поверхность параллелепипеда была
наибольшей?
10 ■ Кусок проволоки длиной а см нужно разрезать
на две части; ил одной сделать квадрат, из другой —
правильный треугольник. Как нужно разрезать проволоку,
„ чтобы сумма площадей
полученных таким образом фигур была
наименьшей?
_ 105а Найти на прямой у = х
(в прямоугольных декартовых
координатах) точку, сумма
квадратов расстояний которой от
точек (— я, 0), (а, 0) и (О, Ь) была
бы наименьшей.
108. Найти на прямой у = х-\-2 точку, сумма
квадратов расстояний которой до прямых За:— 4_у-|- 8 = 0 и
За:—у—1=0 была бы наименьшей.
107. Электрический ток силою J распределяется по
двум ветвям с сопротивлениями г, и га (черт. 10).
Показать, что наименьшие потерн на нагревание проводника в
единицу времени соответствуют распределению токов,
обратно пропорциональному сопротивлениям ветвей.
(Исходить из закона: выделившееся тепло Q = 0,24 J2Rt.)
108. Начертить параболу у-=.х2 и использовать ей для
графического решения следующих уравнений:
1) х* — х — 2,25 = 0; 2) 2хг — Злг — 5 = 0;
3) 3,1л-а— 14x-f5,8 = 0; 4) 4а:3 — 12д: + 9=0;
5) За:3 —8л:+ 7 = 0.
109» Показать графически, что при Ь2— 4яг^>0
уравнение ах2 -|- Ьх -\- с = 0 имеет два действительных
различных корня, при Ь* — 4ас = 0 имеет один
(двукратный) корень и при Ь2— 4ас<[0 не имеет действительных
корней.
НО— И7| § 4. прострйшип функции 2'
110. Функция <р (я) задана так: <р (х)=-^х — -^ при
— оо<АГ<у; <р(л-)=1+лг при у<*< +оо- Найти
аналитически и графически все действительные корни
уравнения [у (а:)]3 = 7а:-|-25.
111. Указать область определения функции
у =r Ig (ax2 -\-bx-\-c).
112. Найти /(*-]-1), если дано, что /(* — 1) = 2дг3 —
— За-+1.
х* -|- 2х 4- с
113*. Показать, что функция f(x) = f T^ _i_ зё ПРИ"
ннмает любое действительное значение, если 0^с<1.
Кубичная функция
II ■ Построить график функции:
\) у = ±х*; 2) у = — -а:»; Ъ) у = х* + 3х2;
4) у = х*—х+\; 5) у = — а-«4"2аг — 2.
115. Найти по графику наибольшее и наименьшее
значения функции в заданном интервале:
1V 2дс« — б.*2 — 18л; , „ АЛ
1) У = 15 [-2; 41;
2) у = 3х— х* [—1; 1].
116. Начертить кубическую параболу у==х* и
использовать ей для графического решения следующих уравнений:
1) а-в4"* — 4 = 0, 2) аг8 — За-3 — *-{-3 = 0;
3) дг« —6лг34-9л: —4 = 0; 4) а:8 4" З*3 + 6а* + 4 = 0.
117. По данному условию составить уравнение и решить
его графически:
1) Квадрат какого числа равен самому числу, сложенному
с его обратной величиной?
2) Деревянный шар с радиусом, равным 10 см, и
плотностью, равной 0,8 г\смь% плавает на поверхности воды.
Найти высоту сегмента, погружённого в воду.
3) Деревянные куб и пирамида с квадратным
основанием весят вместе 0,8 кг. Ребро куба равно стороне
•
26
ГЛ. I. ПОМЯТИГ ФУНКЦИИ
[118-124
основания пирамиды, высота пирамиды равна 45 ел. Найти
ребро куба. Удельный нес дерева 0,8.
118. Периметр осевого сечении цилиндра равен 00 см.
Графически найгн радиус г цилиндра, при котором обьбм
цилиндра будет наибольшим.
Дробно-линейная функция
||9. Написать функцию, длинную зависимость объёма
газа от давления при / = const., если известно, что при
давлении в 700 мм объем газа равен 2,3 л. Начертить
график этой функции.
I О. х обр.тю пропорциональна у; у обратно
пропорциональна z\ z в свою очередь обратно пропорциональна V.
В какой зависимости находятся х н v7
l°l. x обратно пропорциональна у; у прямо
пропорциональна г\ z прямо пропорциональна «; и обратно
пропорциональна v. В какой зависимости находятся х и v?
122. При электролизе количество выделяющегося на
электроде вещества пропорционально силе тока; сила
тока пропорциональна проводимости электролита;
проводимость пропорциональна концентрации электролита;
концентрация при данном количестве вещества обратно
пропорциональна обьбму растворителя. Как количество
выделяющегося па электроде вещества зависит от объбма
растворителя?
123. Построить график дробно-линейной функции:
V У = 7=2' УУ = 3=х' ^У^Зх^ПГЬ'
л\ х сч .. 4 —3*
4) у = р-; 5)^ = ГГ2Г2.«-
]—2*
1° . Найти по графику наибольшее и наименьшее
значения дробно-линейной функции в данном интервале;
1) y=j П. 51:
2> У = 27Ь К1'*
•
125-1261
t 4. ПРОСТЕЙПШР ФУНКЦИИ
27
125. Доказать: 1) если абсциссы четырех точек /И,(*,;.?,),
М2(х2\у2), Мь(хь\ уь), МАх4; Уд графика функции у = ~
(черт. 11) составляют пропорцию — = -г, т0 "римолнней-
Х2 Л4
—X
Черт. 11.
ные трапеции MKM2N2N\ и MaM4/V4/VB равновелики;
2) если точки Af, н Mz лежат на графике функции
В,
\v \щ
h
0
.-"■ :•- %
^ S
JS.4V444XV
м2
А, А2
Черт. 12.
3/=~ (черт. 12), то площади фигур АХМХМ2А2 и ВХМХМ2В2
равны между собой.
126. С помощью графического сложения построить график
функции у==—П—!.,
28 гл. I. понятие функции (127—135
§ б. Степенная, показательная и логарифмическая
функции
127а Построить график степенной функции:
\)у = 2х>; 2) у = ±х*; 3) у = х™;
4) у=х^\ 5) у = х<>&; 6) y==z-Lx-°'7;
7) у = 5х-*-\
128. Графически найти приближенные значения
действительных корней уравнения л:-}-3 = 4 у/х~*.
129. Найти функцию, обратную данной:
1) у = х; 2) у = 2х; 3)^=1— 3*;
4)у = х*+\; 5)^ = 1; 6) ^ = т:1_;
7) у = х* — 2х; 8) ^= J/J^fT.
130- Убедиться в том, что функция у==^ц^ обратна
сама себе. Привести ещй примеры таких функций.
131. Убедиться в том, что если /(дс)= ~" то функ-
цией, обратной данной, будет также /(х).
132. Показать, что если /(.*)={/« — хп, лг>0, то
/\/(х)\=х. Найти функцию, обратную /{х).
133. Какой пил имеет график функции, тождественной
со своей обратной?
134. Дана функция у = хп, лг>0. При каких значениях х
эта функция имеет значения, большие .значений обратной
функции, и при каких — меньшие?
135. Вычертить график функции:
1).у= — 2х; 2).у = 2*+в; 3)^ = 1.3*;
4)^=1-3^»;5)^ = (1),л|; 6)^ = 2-*;
7) у = 2х-2-*
136—144] % б. стьпенная, показат. и логарифм, функции 29
136. Построить график функции у =2*. На том же
чертеже получить без дальнейших вычислений график
функции:
1) y = Y2'2^' 2) У = 2х~и' 3) У=\'2Х~+\'
137. Показать, что графиком функции y = k'ax(ky>0)
служит та же кривая, что и для функции у = ах, только
сдвинутая параллельно оси ординат.
138. С помощью графического сложения построить на
миллиметровой бумаге график функции:
1) у = х* + 2х; 2) у = х* — 2х.
139. Графически решить уравнение 2х—2л* = 0.
140. Построить на миллиметровой бумаге фигуру, огра-
1 -4- х
ничейную линиями у = 2х, у = --*—- и дг = 3. По графику
определить приближенно координаты точек пересечения
данных линий.
141- Определить наибольшее возможное значение л, при
котором 2хУ>хп для всех х2»100 (я — целое).
142. пусть £i±£if ==/,,(*), «*-«"=*«(*); дока.
Зать следующие тождества:
а) 1_-Г^£>1а= ! .
' LaiWJ 1Л.И12'
б) hl(x+y)=hl(x)hl(y) + hi(x)hi(y).
143. Построить график функции:
1) y=z—\og2x; 2) У=к™'>
3).y=1+lg(JC + 2); 4)j = loft|l — x\;
5) у = e»w; 6) у = \ogx 2.
144. Построить график функции y=\ogx. На том же
чертеже получить без дальнейших вычислений графики
функций
80 гл. i. понятие функции (143—152
145. Указать области определения функций y=\gx2
и y—2\gx. На разных чертежах построить графики этих
функций. Для каких значений х справедливо тождество
)gx2 = 2\gx?
146. Найти функцию, обратную данной:
I) j-=10'+>; 2)>-=l+lg<* + 2);
3) _V = logjt2; 4) У-j^; 8) ,=j£=J£|+I.
147. Функция у от х задана уравнением у2—1-J-
-f-log2 (а:—1) = 0. Найти область определения данной
функции и записать функцию, обратную дайной.
148. Найти функцию у (х), обратную функции у =—^ ,
где а^>0. Доказать, что график функции <р(х) симметричен
относительно оси Ох. Построить графики прямой и обратной
функций при а = 2.
149. Показать, что график функции y=\ogn (х-\-}^х2-\-\)
симметричен относительно начала координат. Найти обратную
функцию.
150. Дана функция у=х -\- \g —. С помощью [графи-
ческого сложения построить график данной функции и по
графику найти наименьшее значение этой функции в
интервале (0,2].
151. Доказать, что графики функций y = logax и
у z= log nx получаются один из другого изменением всех
ординат в отношении 1 : —.
§ 6. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
Тригонометрические функции
852. Построить график функции:
1) y=z —sin*; 2) у= 1 —sin jc; 3) у = 1 —cosat;
4) .у = sin 2л:; 5) y = sin~ ; (>) y=—2sin-j;
7) y = cos 2x; 8) ,y== 2siu f x—у J ;
153—158] § 6. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОЛ1. ФУНКЦИИ 3l
U) у
13) У:
Щу
■2*\п(ъх-\-^\ ; Ю) _y = -isin(2TOt — 1,2);
= 2 + 2sin(^ + -g-); 12) .y = 2cos^p;
= | sin jc |; 14) y = \cosx\\ 15) 3/ = | tg jc |;
:|ctgjd; 17) у = sec x\ 18) ^ = cosecjf.
153.
строить
угла х,
область
мента х,
большей.
154. Указать амплитуды и периоды следующих
гармоник:
1) yz=sin3x; 2) .y = 5cos2.*; 3) y=4sinnx;
Стороны треугольника равны 1 а и 2 см. По-
графпк площади треугольника как функции
заключённого между данными сторонами. Найти
определения этой функции и то значение аргу-
нри котором площадь треугольника будет наи-
4) у =2 sin у; 5)j/ =
sin
Ых
6) ,y=3sin
5х
8
155. Найти амплитуду, период, частоту и начальную
фазу следующих гармоник:
1) у= 2 sin (Здг + 5);
2) ,у=—cos^V-^'
3) >/==15т2я((о —1); 4)^ = sin^±l.
156. Точка движется равномерно по окружности радиуса
R с центром в начале координат против часовой стрелки
с линейной
скоростью v см/сек. В
начальный момент
времени абсцисса этой
точки была а. Написать
уравнение
гармонического колебания
абсциссы точки.
■5*7. Точка равномерно движется по окружности
х |— _va ===== 1. В момент /0 её ордината была у0, в момент tx
ордината равнялась ух. Найти зависимость ординаты точки
от времени, период и начальную фазу колебания.
158. На черт. 13 изображён кривошипный механизм,
"аднус маховика R, длина шатуна а. Маховик вращается
Черт. 13.
32 гл. i. понятие функции [159—164
равномерно по часовой стрелке, делая п оборотов в секунду.
В момент * = 0, когда шатун и кривошип составляли одну
прямую (смёртвос» положение), крейцкопф (А) находился
в точке О. Написать зависимость смещения х крейцкопфа {А)
от времени t.
159. Пусть /(*) = a-cos фх-\-с). Найти постоянные с,
b \\ с из условия, что /{х-\-\)—/(л:) = sinx.
160. Сложить графически функции:
1) ^ = 8injc и у = ссях;
2) y=siu2nx и .yssslnSnjr;
3) у = 2 sin у и у = Ъ&\п~\
4) у = х и y = slnx;
Ь) у =2* И y=Q.QSX.
161. Графически решить уравнения:
l)jc = 2sin*; 2) * = tgjt; 3) х — cosjc = 0;
4) 4sln*=4— х; 5) 2-* = cos*.
162. Найти периоды следующих сложных гармоник:
.1) ,y=2sin3A:4-3sin2jc; 2) у = sin / + cos 2t\
3) ^=slny + sinT;
4) >>= ьш (2^4-^4-2 sin (Зпг + ^+З sin 5я/.
163. Сложить аналитически следующие пары простых
гармоник с одинаковыми периодами:
1) y=slnx-\-cosx;
2) j>=slnjt + 2sln(*+-g-)«
164. Обосновать следующий графический приём
сложении гармонических колебаний. Пусть даны гармоники
i4,sIn(WA:-|-<f>i) и At sin (шг -f- у2)«
Построим векторы Ах и А3 под углами <р, и <р, к
горизонтальной оси длиною соответственно Ах и А2 (черт. 14).
165—IB7J § в. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИТОНОМ. ФУНКЦИИ 33
Сложив векторы Ах и А3, получим вектор А длиною А,
наклонённый к горизонтальной осп под углом ф; А и
Черт. 14.
f будут соответственно амплитудой н начальной фазой
суммы:
A sin (aw -f- 9) = At sin ((ojc -|- <p,) -f~ «^2 sm ((№ДР ~\~ Фз)-
165*. Указать период функции и построить её график:
1) _у=| sfn дг | -|-1 cos а: |;
; •y~~ 2 [ cos* "T"|cos.*|J '
166. Найти область определения п указать вид графика
функции:
1) ^ = lgslnx; 2) y=V lgslnAr;
Обратные тригонометрические функции
167. Построить график функции:
1) ^==arcctgAr; 2) >> = 2 Arcsin-^ J
3) у = 1 -f- Arctg 2x; 4) у=-|- — arccos 2x;
5) y = arcslnL=^.
3 Г. Н. Бермаи
34 гл. i. понятиь функции (168—173
168. Круговой сектор с центральным углом а
свертывается в конус. Найти зависимость угла ш при вершине
конуса от угла а и построить график.
169. Картина высотою а м висит на стене наклонно,
образуя со стеной двухгранный угол <р. Нижний край
картины на b м выше уровня глаз наблюдателя, который стоит
на расстоянии / м от стены. Найти зависимость между
углом у» П°Д которым наблюдатель видит ьартину, и
углом 9*
170. Для кривошипного механизма (см. черт. 13,
задачу 158) дать зависимость угла а поворота кривошипа от
смещения х крейцкопфа.
171. Найти функцию, обратную данной:
1) >f=2siii3jc; 2) -y = l+2sinj^j ;
3) ^=4 arcsin У'\— л:3.
172. Функция у от х задана уравнением _уа —J- sin3 jc —
~—у-\-2 = 0. Найти функцию, обратную данной.
173. Выяснить, в какой области оси Ох справедливо
тождество:
1) arcsln *-}-arccos jc =у;
2) arcsin К*-f-arccos ]/х — -^ ',
3) arccos J 1 —х2 = arcsln х;
4) arccos V 1 — х2 =—arcsln a:;
5) arctg x = arcctg — ;
G) arctg x = arcctg я;
7) arccos ~ г = 2 arctg x;
1 jk*
8) arccos р-т—j = —2 arctg a:;
1 4-х
9) arctgx-J-arctg 1 = arctg {_x ;
1 4-х
10) arctgx -f- arctg 1 = rr-{- arctg j_x'
174—I82J 17. вычислительные задачи 35
174. Пользуясь тождествами задачи 173, найти область
определения и построить график функции:
1) у = arccos У Л — х2\
2) у = arcsln ]/l —х -(- arcsin Vх\
3) у= arccos ytTx\ • 4) ^=arctg x — arcctg — .
175. Построить график функции у = arcsln (sin x).
Убедиться в периодичности функции.
176. Построить график функции у = arccos (cos a:).
177. Построить график функции j/ = arctg(tgAr).
178. Построить график функции:
1) у = х — arctg (tgjc); 2) у=х — arcsln (sin a:);
3) у = х arcsin (sin a:);
4) у = arccos (cos a:) — arcsln (sin a:).
§ 7. Вычислительные задачи
179. Начертить график функции у = хй-\-2х2— 4л:-\-7
па интервале [ — 4, 2| по значениям х через 0,2; по оси
ординат выбрать масштаб в 20 раз меньший, чем по оси
абсцисс. По графику найгп наибольшее и наименьшее
значении функции в интервале [ — 3, 2]. В какой точке функция
переходит от возрастания к убыванию? Найти нуль функции
в интервале [ — 4, 2]. Точность —0,1.
180. При изучении вопросов рассеивании шрапнели в
теории стрельбы требуется построить график функции
y — eAco»4i. £15=2,718. Выполнить построение при А = 2,
давая а значения от 0 до 90° через каждые 5°. Вычисления
вести с точностью до 0,01.
181.. Даны три точки: Ж,(1, 8); Ж, (5, G); Жв(9, 3).
Провести через них параболу у=ах2-\-Ьх-\-с. Найти нули
функции ах2-\-Ьх-\-с. Точность 0,01.
182. Из углов квадратного листа жести размером
30X30 см2 нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы
"з оставшейся части можно было согнуть коробку емкостью
1600 см*. Какой длины должна быть сторона х каждого
вырезаемого квадрата? Точность 0,01.
3*
{
36 гл. I. понятие функции [183—185
183. Проверить, что если в уравнении
х* -\-рх2 -\- qx -\-s = О
положить х2 = у, то это уравнение заменится системой
уЗ у
(У—Уо)' + (х — *о)* = г*>
где
Уо=—тр; *о= — у и r2=yo-\-xQ— s.
Пользуясь этим приёмом, решить графически уравнение
х* — З*3 — 8д: — 29 = 0.
Точность 0,1.
184. Графически найти корни уравнения
e*sln*=l, е^2,718,
заключающиеся между 0 и 10; указать приближённую
общую формулу значений о'стальных корней. Точность 0,01.
185. Построить график функции (в полярной системе
координат) по значениям ф через -^. Вычисления вести с
точностью до 0,01. Постоянное а]>0 выбрать
произвольно.
1) р = а<р (спираль Архимеда);
2) р =— (гиперболическая спираль);
3) p = ea*(e=i: 2,718) (логарифмическая спираль);
4) р = a sin 3<p (трёхлепестковая роза);
5) р = a cos 2<p (четырёхлепестковая роза);
6) р = а (1 -— cos <p) (кардиоида).
ГЛАВА II
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА
§ 1. Основные определения
Функции целочисленного аргумента
186. Функция целочисленного аргумента принимает
значения
и, = 0,9, «, = 0,99, «в = 0,999, ... ,«л = 0,999 ...9.
л раз
Чему равен lim un? Каково должно быть п, для того
п-ко
чтобы разность между ип и её пределом по абсолютной
величине не превзошла 0,0001?
187. Функция ип принимает значения
Ut 1, tt2 -^-, W8 -g-, ... , Un ^з . ...
Найти Ит ип. Каково должно быть п, для того чтобы
п-*оо
разность между ип и её пределом была меньше заданного
положительного числа е?
188. Показать, что ип = —-щ стремится к 1 при
неограниченном возрастании п. Начиная с какого п,
абсолютная величина разности между ип и lim an не прево-
И-+0О
СХОДИТ 10~4?
189. Функция vn принимает значения
я Зтс пя
COS тг COS тг COS -тг
2 cos я 2 2
«1 =——» г,а = -2~"' v8=~3~ » ••• » г;л=—^—1 •• •
38 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА |!9С—193
Найти limv„. Каково должно быть я, для того чтобы
/ь+оо
нечетное число, и ■ ^--, если я—четное число
абсолютная величина разности между vn и се пределом
не превзошла 0,001?
Принимает ли vn значение своего предела?
190. Общий член иа последовательности «1 = у,
5 7 17 2я—1
и2 = —, «в="8"' "«—fti' ... имеет вид—jj—, если я —
2М-1
2"
Найти linw/„. Каково должно бить я, для того чтобы
л-*оо
разность между ип и её пределом по абсолютной
величине не превзошла 10~4? произвольно заданного е?
191. Показать, что последовательность и„ — -ъ-т~Т-п-
п 3/1* -f- 2
при неограниченном возрастании я стремится к пределу,
4
равному -S-, монотонно возрастая. Начиная с " какого я,
' 4
величина т.- — «„ "б превосходит произвольного
положительного е?
192. Показать, что «„ = -~— при неограниченном
возрастании я имеет пределом 1. Начиная с какого л, вели-
а |1—ип\ не превосходит произвольного
положительного е? Какой характер имеет предельное изменение
последовательности ап (возрастающая, убывающая или
колеблющаяся)?
193*. Функция vn принимает значения («биномиальные
коэффициенты»)
„ _,„ „, _гп[т~\) _ даря — 1)(w — 2)
v,—in, v2——Г72—» vb— fTo^j » ••• i
m(m — l)(m — 2)...r,m— (я — 1)1
V«-~ 1.2-3...л • ••"•
где m — целое положительное число. Найти \\mvn.
л-к»
Начиная с какого я, абсолютная величина разности
между vn и lim vn не превосходит произвольного поло-
Я-*00
жительного числа е?
19 —202] Я t. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
39
194. Дан правильный треугольник со стороной а; из
грСх высот его стронься новый правильный треугольник
и гак л раз. Найти предел суммы площадей всех
треугольников при л—*»оо.
195. В круг радиуса R вписан квадрат, в квадрат
вписан круг, в этот круг опять квадрат и так л раз. Найти
предел суммы площадей всех кругов и предел суммы
площадей всех квадратов при я—► оо.
19 ■ Доказать теорему: если последовательности
аь «а, ... , «„, ... и г/,, г/2, ... , vn, ... стремятся к
общему пределу а, то к тому же пределу стремится и
последовательность и,, т>,, и2, г/2, ... , un, vn, ...
Справедлива ли обратная теорем*!?
197. Доказать теорему: если последовательность
«,, «2, ... , ип, ... стремится к пределу а, то к тому же
пределу стремится любая ей бесконечная
подпоследовательность (например, и,, и8, и6, ...).
Функции непрерывного аргумента
198. Дано у = а:3. Когда х—»-2, то у—»-4. Каково
должно быть й, чтобы из \х — 2|<^й следовало \у — 4|<^
<е = 0,001?
199. Пусть j/=fL=i. При л;-—2 v—^~, Каково
I 3
должно быть t$, чтобы из \х — 2|<& следовало \у =■ <^
<0,1?
j? — i i
200. Пусть у= ■ При х—»3 имеем: у—+-т .
Каково должно быть &, чтобы из \х — 3|<^t5 следовало
1 '<0,01?
4
—у
i
201. Доказать, что sin х стремится к 1 при х—►-
2 '
Каким условиям должен удовлетворять х, чтобы было
|1— sin*|<0,01?
202. При неограниченном возрастании х функция
У= . ■ стремится к нулю: lim -j-r-r = 0. Каково дол-
жно быть N, чтобы из |jc|>*V следовало .у<е?
40 ГЛ. II. ИОИЯТИ1 ПРЕШЛА (203—210
„а __ i
203. При ДГ--ЮО j>= —»1. Каково должно
бить N, чтобы из | х | > Л/ следовало \у — 11 < е?
§ 2. Бесконечные величины. Правила предельного
перехода
Бесконечные величин ы
204- Функция хп принимает значения
Xi=3o, дг2 = 5, х^г=*=7, ... , ха = 2п-\-\, ...
Убедиться в том, что при я—юо хп — бесконечно
большая величина. Начиная с какого я, хп становится
больше N7
205. Доказать, что общий член ип любой
арифметической прогрессии есть величина бесконечно большая при
л—► оо. (Когда она будет положительной и когда
отрицательной?)
Справедливо ли это утверждение для произвольной
геометрической прогрессии?
206. При х —►() имеем: у — —^ юо. Каким
условиям должен удовлетворять х, чтобы имело место
неравенство \у\^> W4?
207. Убедиться, что функция у = т бесконечно
велика при х—»-3i» Каким неравенствам должен
удовлетворять х, чтобы \у\ было больше 1000?
208. Когда х стремится к 1, функция y = r——-j$
неограниченно возрастает. Каково должно быть Ь, чтобы
из |*—1 |<$ следовало ,—3~,-j2>N= 104?
209. Функция у = бесконечно велика при
х—»-0. Каким неравенствам должен удовлетворять х,
чтобы |д>| было больше 100?
210. При х—»-со y = \gx—»-со. Каково должно
быть М, чтобы из х^>М следовало y^>N= 1U0?
211-219]
ft 2. LhCKOIIliMllblL ВЕЛИЧИНЫ
41
211. Какие из основных лементариых функций
являются ограниченными во всей о >ластн их определении?
212. Являются ли функции Igsln* и Igcosx
ограниченными?
213. Будет ли бесконечно большой неограниченная
функция: 1) /(*) = — cos 4" ПР» х—*0; 2) /(x) = tg-
при д: —0; 3) f{x)=xtgx при х—юо; 4) /(jr) = xarctgjf
при х—юо.
214. Функция хп пр мает лтчення
__ 3 _ 4 -_£±i
Х\ *» #2 *4" » ХЬ у ХП л2 » • • •
со хк — бесконечно малая
Убедиться в том, что при п
величина.
215. Функция ип принимает значения
_ 1 _1 _1
«1 — — 7, U2 — «Г'^э — 27 ' U* — 8'"*
Убедиться в том, что при я-
иелнчнпа.
X
и.
«3 — 8
я— лЗ ' "•
со и„ — бесконечно мачая
216. Убедиться, что jf = j-j-j —► О прп ^"~*°- Как,,м
условиям должен
удовлетворять х, чтобы
имело место неравенство
М<ю-4?
°17. Показать, что
при х—►■ со функция у =
= Vx -{-1 — J/'*"
стремится к 0. Каким дочжио
быть N, чтобы при x^>N
было |v|<Ce?
Черт. 15.
8. В
218. В равнобедренный прямоугольный треуголь
ник ABC (черт. 15), основание которого разбито на 2л
равных частей, вписана ступенчатая фигура, как показано
на чертеже. Убедиться в том, что прп неограниченно
возрастающем п разность между площадью треугольника и
площадью ступенчатой фигуры бесконечно мала.
219. Следующую функцию, имеющую предел при
х—► со, представить в виде суммы постоянной величины
4° гл. п. поиятир предела (£20—241
(равной пределу) и некоторой функции; убедиться в том,
что эта функция при х—>-оо бесконечно мала:
V У=*=-у 2»->' = 2^R: 3)y=V+*-
Нахождение пределов
Найти:
х-*2х —6 х-+0\ ■* — '* /
222. lim_-^L_ . 223. lim J\~~* ..
224. Inn 5—-Е—. 225. lim—3 —гг •
"Й^^- шп-шЛёп
"7
228. Иш-,*'+*-» , ■ 229. itai=^£.
230. lim *+* ^ 23!> *L-^.
233. lim <-' . 33. Hml+*"3t>.
234-Lnl(r^~T^) • 235-Jt (га-27тг)
236. lim я "" , (w н я — целые числа).
037 i»~ (дг-f !)" + (*+2)'<>+...-H*+100)10
238. lim к "Г , . 239. lim v„ 9 .
240. и» '^i+'l » |.Иш<^Т[±.^.
JT-+00
242—2S3J §?. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 4J
242.П.Л ,+T+T + - + ^
243. liml(l-f2 + 3 + ... + «).
2 <й('+,+Д+,-+"-1)-
245. lim /i-a+a-4+..-ал
26^(lL2 + 2^ + ---+(^)-
247"„,-i«(Ь8 + О + • • • + (2^ГТ)Т2ЙЙТ)) '
248. Hm*L*. 249. lim™**.
250. liinarcsin*. 253. lim * sin 1.
Признаки существования предела
252*. un принимает значении
1 1 , 1 1.1.1
..., «„=jq7}+зпр7 +•••-!-щг]»•••
Убедиться в том, что при я—»-оо ип стремится к
некоторому пределу.
53. ип принимает значении
„ __ 1 1 . 1 1.1.1
«.—у, «2— у + 2^. и8 = -2-Н-^4 + 2^6. •••
— J-4--L J , 1
••• • «л— 2^2-4"'~,,*^:Г477Г(2лУ •"
Убедиться в том, что при л—* оо ип стремится к
некоторому пределу.
44 гл. п. понятии предела |234— 5В
254. Доказать теорему:
Если разность между двуми функциями при одном н том
же измене сзависпмой переменной бесконечно мала,
причем одна из функций возрастает, другая убывает, то обе
стремятся к одному и тому же пределу.
255. Заданы два числа: «0 и vQ(U0<v0). Члены
последовательностей ип и vn задаются формулами:
„ — "» + <*> -, -цо + 2^о.
'/1 = —2—* *'""" 3 '
2 » ">"" 3
2 » va—- 3
« —"i + ^i « — gi+2t>i.
1*2 — 71 t v2 и »
вообще
*Л
'л 3
Доказать на основе теоремы, приведенной в предыдущей
аадаче, что обе последовательности ип и vn стремятся к
одному и тому же пределу, заключенному между и0 и v0.
§ 3. Непрерывные функции
256. Функция определена следующим образом:
д»==0 при х<^0
у = х при 0<дг<1,
д» = — хъ-\-*х — 2 при 1<*<3,
^ = 4— лг при лг^вЗ.
Будет ли эта функция непрерывной?
257. Три цилиндра, радиусы оснований которых
соответственно равны 3, 2 и 1 м, а высоты одинаковы и равны 5 м,
поставлены друг на друга. Выразить площадь поперечного
сечения получившегося тела как функцию расстояния сечения
от нижнего основания нижнего цилиндра. Будет ли эта
функция непрерывной? Построить ее" график.
258. В каких точках терпят разрывы функции у==——=
и У = , , 2|2? Построить графики обеих функций. Выяснить
разницу в поведении этих функций вблизи точек разрыва.
239—267J § з. непрерывные функции 45
259. В каких точках функция у== lgslnjir разрывна?
(См. задачу 160.)
260. Исследовать на непрерывность функцию, заданную
так: у = -^ при лг^О, у = 0 iipiuc = 0. Построить график
этой функции.
261. Функция /(х) = -jzri ие определена при лг=1.
Каким должно быть значение /(1), чтобы дополненная таким
образом функция стала непрерывной при дс=1?
262. Функция /(лг) = arctg — не определена в точке д: = 0.
Можно ли так доопределить функцию /(х) в точке х = 0,
чтобы функция стала непрерывной в этой точке?
26а. Построить график функции, определенной так:
/(*) = sin^ при хфО, /(0) = 1.
Исследовать эту функцию на непрерывность.
264. Построить график функции, определенной
соотношением /(x) = .x:sin — при лг^О. Какое значение должно
иметь /(0), чтобы функция /(х) была везде непрерывной?
1
265. Исследовать характер разрыва функции у = 2~2
в точке *=1. Можно ли так определить у при х=\,
чтобы функция стала непрерывной при х=1?
266. Исследовать характер разрыва функции у =
в точке х = 0.
267. Функция /(х) определена следующим образом:
f(x) = (x+l)2 Vl'l *; iipiuc^rO и /(0) = 0. Убедиться
в том, что в интервале — 2^лг^2 функция /(х) принимает
все без исключения значения, содержащиеся между /(— 2) и
/(2), и что она вей же разрывна (в какой точке?). Построить
график.
4G гл. П. ПОНЯТИЕ предела |2В8—275
63. Функция определена следующим образом: если
х—рациональное число, то /(дг) = 0; если
х—иррациональное число, то /(лг)=д\ При каком значении х эта функция
будет непрерывной?
269. Исследовать на непрерывность и построить график
функции (см. задачу G2):
1) у = х-Е{х), 2) д, = _^-, 3) .y = (-l)BW.
270а Используй свойства непрерывных функций,
убедиться в том, что уравнение хь—3*=1 имеет но меньшей мере
один корень, заключенный между 1 и 2.
271. а) Показать, что любой многочлен нечетной степени
имеет по меньшей мере одни действительный корень, б)
Показать, что если многочлен четной степени принимает хотя бы
одно значение, противоположное по знаку коэффициенту
при его старшем члене, то он имеет по меньшей мере два
действительных корня.
272. Показать, что уравнение #.2*=1 имеет по
меньшей мере один положительный корень, меньший 1.
?73. Показать, что уравнение х = a sin x -\- bt где
0<^а<^1, />^>0, имеет по меньшей мере один
положительный корень и притом не превосходящий Ь-\-а.
27 ■ Показать, что уравнение—Ц--1 Ц--1 Ц-=0,
где «i]>0, a2^>Qt аь^>0 и X,<^Аа<Ов, ,,мсет оба корня
действительные, заключенные в интервалах (Х1( Л3) и (Х2, X,).
§ 4. Сравнение бесконечно малых.
Вычисление предельных значений функций
Сравнение бесконечно малых
275. Бесконечно малая величина ип принимает значения
_ 1 \ __ 1
111 — 1, tl2 — -,£ , tt8 — -j-, . . . , tln n t • • . ,
а бесконечно малая величина vn — соответственно значения
.11 1
ф1=1» V* — Дъ ^8 = 3"ji ••• I Vn — n'l' •••
2Т — 81]. § 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 47
Сравнить ип и vn; какая из них высшего порядка малости?
276. Функция ип принимает значения
__п — 3 _8 —HLzl
"i — У, wa — -g-, «8 — ^y, ... , un — nj , ... ,
а функция vn — соответственно значения
__o —. б "_10 ___"а-т-1
v{ — /, v2 — -g-, va — ^, ... , vn— -g , ...
Сравнить эти бесконечно малые величины.
277. Бесконечно малая величина ип принимает значения
__п — х —-2 _л—1
Ui ^» и2 — "4"» #8 "д"» ••• » И/| п2 , ... ,
а бесконечно малая величина vn—соответственно значения
Q 5 7 2л-И
vl=6t v2 = f, vB=-j- va = —jp—, ...
Убедиться в том, что ип н vn — бесконечно малые одного
порядка, по неэквивалентные.
278а При х—»• 1 функции y = j-r— 11^=1 — х бес-
конечно малы. Которая из них высшего порядка?
279. Дана функция y = xs. Показать, что Дд» и Ддг при
Ддс—»-0 являются, вообще говоря, бесконечно малыми о пюго
порядка.
При каком значении х порядок малости приращений будет
различен?
При каком значении х приращения Дд> н Ддг будут
эквивалентными?
280а Убедиться в том, что при Хг—*\ бесконечно малые
величины 1—х и 1—ух будут одного порядка малости.
Будут ли они эквивалентными?
281. Пусть х—-О. Тогда 1 а-\-х* — \ Ti (я>0) будет
бесконечно малой величиной. Определить порядок ее
относительно х.
48 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ ПРИДЕЛА (282—296
*~82. Определить порток относительно х функции,
бесконечно малой при х—»-0:
1) *• + 1000*», 2) l/x* — \ *,
283. Убедиться, что приращения функций у = аух
и v=bx2 при х=£0 и при общем приращении Да:—► О
будут одного порядка малости. При каком значении х они будут
эквивалентными (а и Ь отличны от пуля)?
284. Показать, что при х—►• 1 бесконечно малые
величины 1—х и а{\ — £/х) {афО, k — целое положительное
число) будут одного порядка малости.
При каком значении а они будут эквивалентными?
Нахождение пределов
В задачах 285—292 найти пределы:
287. Нш 12ЕЫ .
«-♦о У jc»-f-16 — 4
289. lim*rT J.
X-+l\ X—l
291. lim V±±>Lzl.
X-+-0 x
293. Как изменяются корни квадратного уравнения
ах2 -\- Ьх -\- с = 0, когда b и с сохраняют постоянные значения,
а а стремится к нулю?
,11 задачах 294—31G найти пределы:
294. lim () х~-Еа — \Пс)-
х-* со
95. inn (I j^fT — Ух^л).
х-+оо
296. Ilm (V х2-\-1—*). (В примерах, где указано
x-+«fcoo
х—»-±оо, следует отдельно рассматривать случаи х—* -}-<х>
II *_—ОС.)
286.
288.
290.
29 .
Х-+0 ■*■
JC-+6 Х~~ °
^i+Jt_^i_,
дг-+0 Х
297—319] $ 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 49
97. Urn а:(/*2+~Г_-х).
298. Inn (У(* + а)(* + £) — *).
X-txi-oO
99. lim (J^(A:+l)a— }Л* — l)a).
3^
300. lim Jt2 ( /x» + I — У> — 1 ).
x-»oo
301. Ilm^if. 302. lim^.
303. Ilm -^£. 304. Ilm а
ж-*о51П0-* «-*o \ 1— cos а
303. lim ——-in и m — целые положительные числа)
306. lim—5 . 307. lim —>—■. —.
3U8. lim = — . 30 . Ilm —— .
Olrt i sin» a — sin» p «el .. cos*
3ID. lim ПЛ5—- • «SI. lim д —.
■-** * P ж_1 /(I- sm jc)«
■"■■!?.£&■ 3ra- ".n(i_,W.
*"7
314. llm-2111.. 315. i,m(l—*)tg£.
«fcita(-.V-*s)-
317. Убедиться, что при x—*^r функции sec л:— tgx и
л— 2а: будут бесконечно малыми одного порядка.
Будут ли они эквивалентными?
В задачах 318 — 346 найти пределы:
318. lim Cos(a->-•*) — cos(a — х)
го, Hm°,!n;gt<!";'ni<a"J-
4 Г. tl. Бгрман
ГЛ. И. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА (320—343
320. Urn cos*-;Sln*. 321. 11m N "Л
. cos 2x щ 1 "I
*->т Х^Т ~2 cos*
322. urn О^ЕШ*.
ж-,0 8И1 *
323. Ilm ГГПП^-Т l-sio*. •
x^O У
324. Ilm /l+^in<-Tc's2r-
X^U ^ *
*яп~ и 1 — crsd-—cos jr)
32j. Ilm - '-.
X-+0 X
326*. lim (cos^ • cos-^-... cos^j.
n-»oc\ ^ '
■"-.'life)'- ^-^('-t)'
329. lira (i+4)™. 330. Inn (j^-i)""1.
33,. £(-±{)- «.^(^j)'
335. Ilm (l+-Y\ 33 . lim (1-fsin *)"»<**.
337. lim(cos*)'^. 338. rmi'nla4"f "lng.
339. hm { x[\n(x-\-a) — In a*]}.
Х-ЮО
3 0.11»^. 341. Пп./-^Г
X
-eln2x_.elnx __ _ лож ebx
342. Mm - -1—*-. 343. lirn
x-*0
л-»0 л
344—ЗЯО]
« 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
51
344. Ilm л; (в*— 1).
-00
345. Ilm -£-
X-rOO * I **
(в>0).
3 в. Ilm аХПа х (в>0).
►00
ах
347. Убедиться, что при х—►О бесконечно малые
величины е3х — е* и sin 2х— sin jc будут эквивалентыми.
3 8. Определить порядок относительно х функции,
бесконечно малой при х—»0:
1) у I + 3 1-1,
У?
3)
„sin х
-1,
ь)ъЦУ\ + х\
7) cos*— COS a:,
2)« -I,
4) ln(l4-K^sniA:),
G) е* — COSx,
8) sin (УТ+х~— 1).
Некоторые геометрические задачи
349. В равнобедренном прямоугольном треугольнике,
катет horoporo ранен a, rimoieiiyja разделена на п
равных частей и из точек деления
проведены прямые, параллельные
картам. При =ном получается
ломаная AKLMNOl'QRTB (черт. Щ.
Длина этой ломаной при любом п
равна 2а, значит и предел её
длины равен 2а. Но, с друтй
стороны, при неограниченном
возрастании п ломаная неограниченно
приближается к гипотенузе
треугольника. Следовательно, длина ninoie-
нузы равна сумме длин катетов.
Найти ошибку!
350. Отрезок АВ длиною а
разделен п точками па равные
части, и нз этих точек проведены лучи пот углами
s- (черт. 17). Найти предел длины получившейся ломаной
лш при неограниченном возрастании я. Сравнить с
результатом предыдущей задачи.
Черт. 16.
4*
52
ГЛ. II. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА
(351—355
351. Отрезок АВ длиною а разделен на п равных
частей. На каждом частичном отрезке построена дуга
окружности, равная — радиан (черт. 18). Найти предел
длины получившейся лш при п—►оо. Как изменится
,ЛЛЛЛЛЛЛЛЛ/у
h——а 4
В
Черт. 17.
Черт. 18.
частичном отрезке будет
результат, если на каждом
строиться полуокружность?
352. Окружность радиуса R разделена я точками
на равные части. Из каждой такой точки проведена дуга
окружности радиуса г до
пересечения с дугами,
построенными в соседних
точках (черт. 19). Майгн
предел длины получившейся
замкнутой липни при
неограниченном возрастании п.
353. Два круга с
радиусом /? и г {Ry>r)
касаются в начале
координат оси Оу и расположены
правее неС (черт. 20).
Какого порядка О1носщельно
х, при х—► 0, будут
бесконечно малый отрезок ММ'
и бесконечно малый угол а?
3 ■ Центр окружности соединён огрелком прямой ОР
с точкой Р, лежащей вне окружности. Из точки Р
проведена касательная РТ к окружности и из точки Т
опущен перпендикуляр TN на прямую ОР. Доказать, что
отрезки АР и AN, где А — точка пересечения прямой ОР
с окружностью, эквивалентные бесконечно малые при
Р— А.
355. В конечных и в средней точках дуги АВ
окружности проведены каса1ельные и точки А и В соединены
Черт. 19.
356—359] fi 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
53
хордой. Доказать, что отношение площадей
образовавшихся при stom двух треугольников стреми 1ся к 4 при
Черт. 20.
неограниченном уменьшении дуги АВ.
Гиперболические функции
356. Доказать справедливость следующих
соотношений (см. «Курсэ, п°29):
a) ch1* — sh*x=1, б) cha x + ьпа х = ch 2лг,
в) 2 sh х ch jc = sh 2jc,
r) sh(a4rp) = sliachp4rshpcha,
д) ch (a Hr (i) = ch a ch ^ ± sh a sh p.
357. Доказать, чю
1 — th3* = -=4- и 1—ctha* = -L-.
chax shJ x
358. Доказать, что t1ue есть функция, ограниченная
на всей числовой осн. Найти предел th* при х—► -}-оо
и х—►— оо. Построить график функции _y = thjr, используя
графики функций у = ъ\\х и у=.с\\х (см. «Курс», п°29).
Вычислительные задачи
359. Исходя из эквивалентности при х—*0 функций
Kl-t-*—1 и itX, вычислить приближенно:
1) УШ, 2) УШ, 3) \ 2С0, 4) УТШ.
54 ГЛ. П. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА [360—361
ЗБО. Показать, что при х—*■ 0 функции £/l-|-*—1
и —х — бесконечно малые эквивалентные. Воспользоваться
п
этим для приближённого вычисления корней:
1) У~НН7, 2) J/8T44, 3) {/7Л 4) { То80.
Найти значения этих же корней с помощью
логарифмических таблиц. Сравнить результаты.
35L Использовать эквивалентность In (1 —{— at) и х
при х—»-0 для приближенного вычисления натуральных
логарифмов следующих чисел: 1,01; 1,02; 1,1; 1,2. Найти
десятичные лотрпфмы эгнх же чисел и сравнить с
табличными данными (см. «Курсэ, п°4У).
ГЛАВА III
ПРОИЗЗОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Понятие производной. Скорость изменения функции
Некоторые понятия физики
3S2. Дано уравнение прямолинейного движения
точки
Определить среднюю скорость движения: а) за первые
(J секунд, б) за промежуток времени от конца 3-Й до
конца 0-й секунды.
363. Точка М удаляется от неподвижной точки А
так, чго расстояние AM растит пропорционально
квадрату времени. По истечении 2 мин. от начала движения
расстояние AM равнялось 12 л. Найти среднюю скорость
движения: а) за первые 5 мин., б) за промежуток
времени от / = 4 мин. до / = 7 мин., в) за промежуток
времени от t = t\ до t = tz.
364. Дано уравнение прямолинейного движения
Найти среднюю скорость движения за промежуток
времени от f = 4 до f = 4-f- Д/, полагая Д/ = 2; 1; 0,1; 0,03.
3S5. Свободно падающее тело движется но закону
s = *jj-, где g ( =980-—-J} есть ускорение силы тяжести.
Найти среднюю скорость движения за промежуток
времени от / = 5 сек. до (/-(-АО сек., полагая Д/=1 сек.;
56 гл. in. производная и дифференциал |ЗВВ—372
0,1 сек.; 0,05 сек.; 0,001 сек.; найти скорость падающего
тела в конце 5-й секунды; и конце 10-Й секунды.
Получить формулу для скорости падающего тела для любого
момента времени t.
366. Имеется тонкий неоднородный стержень АВ.
Длина его L = 20 см. Macoi orpejKa AM растит
пропорционально квадрату расстояния точки М от точки й,
причём известно, что масса отрезка AM =2 см равна 8 г.
Найти: а) среднюю линейную плотность отрезка стержня
AM —2 см, б) всего стержня, в) плотность стержня
в точке М.
367. В тонком неоднородном стержне АБ длиной 30 см
масса (в г) распределена по закону
/и = 3/а + 5/,
где / — длина части стержня, отсчитываемая от точки А.
Найти: 1) среднюю линейную плотность стержня, 2)
линейную плотность: а) в точке, отстоящей от точки А
на расстоянии /=5 см, б) в самой точке А, в) в конце
стержня.
368. Количество тепла Q, необходимого для
нагревания единицы массы воды от 0 до /°С, определяется
формулой
Q = / -f 0.00002/3 + О.ООООООЗ^8 (кал\кг).
Вычислить теплоемкость воды для / = 30°, /=100°.
3 9. Угловую скорость равномерного вращения
определяют как отношение угла попорота к соответствующему
промежутку времени. Дать определение угловой скорости
неравномерного вращения.
370. Если бы процесс радиоактивного ^)пада
протекал равномерно, то под скоростью распада следовало бы
понимать количество вещества, разложившегося в единицу
кременн. На самом деле процесс протекает неравномерно.
Дать определение скорости радиоактивного распада.
371. Дать определение скорости реагирования некоторого
вещества в химической реакции.
372. Сила постоянного тока определяется как
количество электричества, протекшее через поперечное сечение
373—378] 11. производная, скорость измышния функции 57
проводника в единицу Бремени. Дать определение силы
переменного тока.
373. Термическим коэффициентом линейного
расширения стержня называют ирнрашепие единицы его длины
при повышении температуры на 1°С, если предположить
равномерное 1Ь теплового расширения. Па самом же деле
процесс протекает неравномерно. Пусть /=/(/), где
/ — длина стержня, / — темпере» тура. Дать определение
коэффициента линейною расширения.
374. Коэффициентом рас1яжепня пружины называют
приращение единицы длины пружины под действием
единичной силы, действующей на каждый кнадрашый
сантиметр сечения пружины. При этом предполагаем
пропорциональность растяжении дейавующему усилию (закон
Гука). Дать определение коэффициента растяжения k
в случае уклонения от закона Гука. (Пусть / — длина
пружины, 5 — площадь поперечного сечения,
Р—растягивающая сила и / = <р (/>).)
Производная функция
375. Найти приращение функции у = х* в точке
лг, = 2, полагая приращение Ах независимой переменной
равным: 1) 2; 2) 1; 3) 0,5; 4) 0,1.
376. Найти отношение -г- для функций:
у = 2х* — jca + 1 при *=1, Д* = 0,1;
у=— при jc = 2; Дх = 0,01;
у = \/г~х при а: = 4; Дл: = 0,4.
Показать, что при Дл:—*-0 это отношение стремится в
первом случае к 4, во втором к —-j-, в третьем к -д.
377а Дана функция у = х3. Найти приближённые
значении производного числа в точке x = S, последовательно
полагая Ддг равным: а) 0,5; б) 0,1; в) 0,01; г) 0,001.
378. /(*) = *»; найти / (5), /' (- 2), /' (- ±) .
58 гл. т. производная и дифференциал 1379—390
379. /(*) = **; найти /'(1), /(0), /'( — ]/2),
-Г(т)-
380./(*) = **. В какой точке f(x)=f'(x)?
33J. Проверить, что для функции /\х) = х2
справедливо соотношение f (a-\-b)—f (a)-{-/'(b). Будет ли
это тождество справедливым для функции /(х)=ха?
382. Найти производное число от функции y = slnx
при х = 0.
383. Найти производное число от функции y = \gx
при х=1.
384. Найти производное число от функции у=10х
при х= 0.
385. К какому пределу стремится выражение =—^ при
*—*0, если /(0) = 0?
386. Доказать теорему: если /(х) и у(х) при * = 0
равны нулю: /(0) = 0, <р(0) = 0, а <f>' (0)^0, то
"ГоТИ <р'(0>*
387. Найти производную от функции:
1) х*; 2) дг»0; 3) х7; 4) |/л:2; 5) Vic;
6) ДГ8; 7) -1; 8) y^l; 9) * J/Ij 10) 0,7 *«;
ll)^*'2; 12)слГ'; 13) {/*; 14)£; 15) ca: ».
Геометрический смысл производной
388. Найти угловой коэффициент касательной,
проведённой к параболе у = х2: I) в начале координат, 2) в
точке д: = 3, 3) в точке х = —2, 4) в точках
пересечения её с прямой у — Зх — 2.
389. В каких точках угловой коэффициент касательной
к кубической параболе у = х3 равен 3?
390. В какой точке касательная к параболе у = х2:
1) параллельна оси Ох; 2) образует с осью Ох угол
в 45°?
391—402] б 1. ПРОИЗВОДНАЯ. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 59
391. Может ли касательная к кубической параболе
у=х3 составлять с осью Ох тупой угол?
392. Под каким углом пересекается парабола у = х2
с прямой Здг—у—2 = 0?
393. Под какими углами пересекаются параболы
у — х2 н у2=:х?
394. Под какими углами пересекается гипербола
у=— с параболой у = Vx7
395. Написать уравнения касательной и нормали,
проведённых к кривой у = х3 в точке с абсциссой 2. Найти
подкасательную и поднормаль.
396. При каком значении независимой
переменной касательные к кривым у = х2 и у = хв
параллельны?
397. В какой точке касательная к параболе у-=х2\
1) параллельна прямой у = 4х — 5; 2) перпендикулярна
к прямой 2х — 6у-\-5==0; 3) образует с прямой
3jc— v+ 1 =0 угол в 45°?
398. На параболе у = х2 взяты две точки с
абсциссами jci = 1, jc2 = 3. Через эти точки проведена секущая.
В какой точке параболы касательная к ней будет
параллельна проведённой секущей?
399. Через фокус параболы проведена хорда,
перпендикулярная к оси параболы. Через точки пересечения
этой хорды с параболой проведены касательные.
Доказать, что эти касательные пересекаются под прямым
углом.
400. Написать уравнения касательной и нормали
к гиперболе у=— в точке с абсциссой х==—^. Най-
ти подкасательную! и поднормаль.
401. Показать, что отрезок касательной к гиперболе
У— —, заключённый между осями координат, делится
в точке касания пополам.
402. Показать, что для гиперболы ху = а площадь
треугольника, образованного лкУюй касательной и
координатными осями, равна площади квадрата, построенного
на действительной полуоси.
60 гл. ш. производная и дифференциал [403—407
403я Показать, что подкасательная к параболе л-го
порядка у = хп равна — части абсциссы точки касания.
Дать способ построения касательной к кривой у = хп.
404. Найти подкасательные и поднормали к кривым
у=.хв; y2=zxz; дсуа ===== 1. Дать способы построения
касательных к этим кривым.
405. Написать уравнения касательной и нормали к
параболе лса = 4су в точке (х0,у0) данной параболы;
показать, что касательная в точке с абсциссой х0 = 2ат имеет
уравнение х = — -\-ат.
§ 2. Дифференцирование функции
Дифференцирование суммы, произведения
и частного степенных функций
406. Продифференцировать функцию (*, у, z, t, U,
v — независимые переменные; с, Ь, с, т, п, р, q —
постоянные):
1) За:3 — 5jc + 1;
2) д;4_1д;8_|_2,5а:2 — 0,3jc + 0,1;
3) ax*-{-bx + c; 4) y/I-f V^
5)2V7—I+J/3; 6) 0,Sl/j-£+±;
-. х , л , л* , т2 . Q. тх* , nxVx p У~х .
д\ mz* + nz + 4p . ш О 1 Г"5" 5'2 I 2'5 •
11) (* —0,5)3, 12) /!(*■ —V^+1);
13) (г»+l)2(v— 1); 14) 0,5 — 3(а — х)*;
ах* + Ьх>+с frrur+ny
' (a-\-b)X ' ' \ р J
407. /(*)==3* —21/1. Найти: /(1); /'(1); /(4);/'(4);
Дя3);/>3).
408—427J s 2. дифференцирование функций С1
408. /(О = tz^ll. Найти: /(-1); /'(- 1); /'(2);
409. /М=,^-»' + УГ-1. Найти: /'(I).
410. /(л-) = 4 — 5jc-|-2jc8 — jc5. Показать, что
В задачах 411 — 429 продифференцировать указанные
функции (х, у, z, t, и, v, s — переменные, а, Ь, с, d, m —
постоянные).
411. 1) у = (х* — Злт + З) (л:3+ 2*— 1);
2) у = (х* — Злг-f 2)(х* + х*~- 1);
3)j> = (V^+l)(pL--l);
4)^(^-/3) (4,^1 + ^);
5)jf=({/I+2x)(i + f дг34-3дг);
6) у = (д:2—1)(jc2 —4)(jc2 —9);
7) jf = (l+]/5(l+l^)(l+/£?).
4B-y=ii|. 413.^ = ^. 414. 5 = ^±1.
415.0 = ^=^7. 4!6.д,=^.
v2 -f- v -f-1 -r cjc-f-rf
417. г=^^ + (*3-1)(1-л:). 418. «=^Г2.
419. ^==1^-. 420.;, = ^.
42l.a = t;2Tt,t1. 422. ^-1~л8
423. *==
1
f + t-f-Г
1 лп~ 2jH
424. s=w=±nl.. 425. > = ^.
428.,=^!. 4».> = (,_^,.^,.
62 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ (428—442
428. у = ЩМ 42Э.,г=:„ *wht ,.
^ am -f bin2 (x — а) (х — Ь) (х — с)
430. /(*) = (.*> +*+!)(■*■ — лг-f-1); найти: /'(0)
и/ (1).
431. F(x)==(x— l)(x — 2)(х — 3); найти: Г (0), Г(1)
и Г (2).
432. r(jc)==Ji^ + pq7I; найти: Г(0) и Г(—1).
433. s(0=^~ + jS найти: *'(°) И 5'(2)-
434. у(х) = {\-{-х*)(5—±\, найти: /(1) и у'{а).
435. Р(?) = -Гз^; найти: р'(2) и р'(0).
43S. ср (г) =£-=-?; найти: у'(\).
437. г (/) = (VT* + 1W; найти: г' (0).
438. Точка движется по прямой так, что ей
расстояние s от начального пункта через t сек. равно
$ = !<« — 4/3-|-16Я
а) В какие моменты точка была в начальном пункте?
б) В какие моменты её скорость равна нулю?
439. Тело массой в 3 кг движется прямолинейно по
закону g—i+t + p.
s выражено в сантиметрах, t—в секундах. Определить
кинетическую энергию (-5-) тела чеРез ^ сек* после на_
чала движения.
4Э. У юл а поворота шкива в зависимости от
времени / задан функцией a = t2-\-'St — 5.
Найти угловую скорость при /==5 сек.
441. Колесо вращается так, что угол поворота
пропорционален квадрату времени. Первый оборот был
сделан колесом за 8 сек. Определить угловую скорость о
через 32 сек. после начала движения.
442. Угол 0, на который поворачивается колесо через
t сек., равен 0 = e*> —M + *.
где a, bt с — положительные постоянные. Определить уг-
443—455] 12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 63
ловую скорость о) движения колеса. Через сколько
времени угловая скорость будет равна нулю?
443. Количество электричества, протекшее через
проводник, начиная с момента времени / = 0, даётся формулой
Q = 2/2 + 3/ + 1 (кулонов).
Найти силу тока в конце пятой секунды.
444. /{х) = х2-{- Ьх-{-с. Найти b и с, зная, что
/(0) = 3 и /'(0)=г—1.
445. На кривой у = х*[х — 2)2 найти точки, в
которых касательные параллельны оси абсцисс.
446. Показать, что кривая у = хь-\-Ъх—12 во всех
своих точках наклонена к оси Ох под острым углом.
447. В каких точках кривой у = х3-\-х — 2
касательная к ней параллельна прямой у = 4х—1?
448. Написать уравнения касательных к кривой
у — х в точках её пересечения с осью абсцисс.
449. Написать уравнение касательной к кривой у =
= хй-\-Зх3— 5, перпендикулярной к прямой 2х — 6>'-|-
+ 1=0.
450. Хорда параболы у = х2 — 2л:-{-о" соединяет точки
с абсциссами лг, = 1, лг2 = 3. Написать уравнение
касательной к параболе, параллельной хорде.
451. Написать уравнение нормали к кривой
х* _ з* 4- 6
у=—*
в точке с абсциссой дг=3.
452. Написать уравнение нормали к кривой у =
= — I л*-}-2 в точке её пересечения с биссектрисой
первого координатного угла.
453. Написать уравнение нормали к параболе у =
= х2—блг —|— 6, перпендикулярной к прямой, соединяющей
начало координат с вершиной параболы.
454. Показать, что нормали к кривой у = х2— л:-f- 1,
проведённые в точках с абсциссами х1 = 0,.хя=.—1 и
jc8 = -j, пересекаются в одной точке.
455. В точках пересечения прямой х—у-\~1—0 и
параболы у = х3 — 4х -\- 5 проведены нормали к параболе.
64 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [456—463
Найти площадь треугольника, образованного нормалями н
хордой, стягивающей указанные точки пересечения.
456. Показать, что касательные, проведённые к кривой
■* — 4
у = 7) в точках ей пересечения с осями координат, па-
раллельны.
457. Провести касательную к кривой у = "Г- так,
чтобы она прошла через начало координат.
458. На кривой у = . , 2 найти точку, в которой
касательная параллельна оси абсцисс.
459. Найти уравнение касательной к кривой х2(х-\-у)=
= c2(jc—у) в начале координат.
460. Доказать, что касательные к кривей у = -.~\_ ,
проведенные в точках, для которых у=1, пересекаются
в начале координат.
461- Составить уравнение касательной и нормали к
кривой У — -Г7Г1 в точке MQ(x0, yQ) этой кривой. Найти длину
подкасательной и поднормали в той же точке.
Дифференцирование степени от функции
462. Переходом от п к л —|— 1 получить формулу
дифференцирования произведения любого числа k функций:
(UV...W)', где и, г/, ..., w — данные функции х.
Полагая u — v= ... = wf доказ<1Ть, что (и*)' = kit*"1 • и'*
В задачах 463—478 продифференцировать данные
функции, используя формулу предыдущей задачи (считая ее"
справедливой для любого /г):
463. I) {х — а)(х— b)(x — c)(x — d);
2) (Jt2-f 1)«; 3) (1 — дгр; 4) (1 +2д:)30;
5) (1—дг2)10; 6) (5*s-f*3 — 4)6;
7) (*»-*)«; 8) (7*2-1 + б)в;
9) 5=(,з__1 + 3)<; 10) ,= (j±i)a;
*Б4—*9IJ | г. дифференцировании функций 65
466. ^ = I±Xf.. 4Q7. ^L^f-Д.
14-1 1х * \+У2х
468. y=VT^x*. 469. у= \\ — 2л:7)*.
470. «=(^)т. 471. у-р^р.
474. v=-7=L==. 475. у=-1±^=-
Vl-x* — x* V\—x
476. y = —x 477. u= „
478. y= l -J 5
\/2x—\ J/V + 22)8'
479. tf{v) = {v*-{-v-{-2)2i найти; tt'(l).
480. _y(*) = j/j^-j; найти: /(2).
Дифференцирование тригонометрических
функций
В задачах 481—495 продифференцировать данные
функции:
481. .у = sin л: + cos*. 482. y = -t—- .
1 у \ — COS X
483. у=-^. 484. р = ф sin у -f cos cp.
85 —sina | а
а ' sin а
487. V— *
^ sin д: -|- cos х
488 i— xs[nx
шо- ^ —1 + tRt-
490. >» = ^-tg4A:.
5 Г. Н. Берман
488. *== f1' ..
1 -f- cos /
48Э. v=cos8*.
491. у = cos x —
66 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФГРЕНЦИЛЛ [492—314
92. у = 3 sin8 дг—sin8 х. 493. у = ~ tg3 x—tg x + х.
94. у = х sec8 х — tgjc. 495. ^ = sec2 x -\- cosec2 x.
Дифференцирование обратных
тригонометрических функций
В задачах 496—508 продпффсренцпроиать данные
функции:
498. у = х arcsin х. 497. у=SS^JL.
98. у = (arcsinjc)2. 499. у = хarcsinjc+]Л—jc2.
500.^=^^1^. 501. >f=jlrslnArarctgjf.
502. .у = ^-с^* 503. у = 1 * • arctg jc.
504. д> = (arccos х -}- arcsin jc)n.
505. у = arcsec л:. 506. у = ^ — arctg л:.
en? arcsin д: СПо *2
507. у = —. . 508. v = —г—,
л I 1— л:2 ^ J'ctg л:
Дифференцирование логарифмических
функций
В задачах 509—520 продифференцировать данные
функции:
509. у = х3 log8 х. 510. у = In2 jc.
611. у==х \gx. 512. у=уТгйс.
513. у=jj^r. 614. у = х sin х In .v.
815—S4S] | 2 ДИФФЕРЕНЦИРОВАННО ФУНКЦИЙ 67
i
515. ^-^ 518.^ = ^.
517-^=1^. 518.,,=
1+1.1*' -г — \+х*'
519. _y=jcnlnjc. 520. ,у=] 1 -|- 1падг.
Дифференцирование показательных
функций
В закатах 521—539 продифференцировать длшыи
функции:
521. у=2х. 522. у = 1 О*.
523.^=1. 524..у = £.
525. у = х 1О*. 526. .у=хе*.
527.^=4- 528. >=^L.
529. у = ех cos jc. 530. v = -^- .
' ' bin х
531. ^ = с-~ . 532. у = 2 "^.
533. .у=jc8 — 3*• 534. ^ = \/}+е\
535. ,y=(jc2 — 2* + 3)е* 538. y=l±£.
539. ^/ = xex (cos jc + sin jc).
Дифференцирование с л d ж и ых ф у н кц и Й
В задачах 540—589 продифференцировать данные
функции:
540. у == sin 3jc. 5- I. у = a cos ^- •
О
542. ^=3sln(3jc + 5). 543. y=tg±±i. *'
544. ^ = ln (1 — 2jc). 545. y=] l-f-2tgjc
5 8. y-~
5 S.y=
550. y=
552. y=
554. >,
558. y-~
558. y.
5 0. yz
562. ,V:
584. >- =
568. _y
588. ^
570. ^
572. .y
57 . у
576. v
578. ,v
580. jr
582. ^
584. v
585. >/
587. ^=
588. ^
589. у
гл. iii. Ш'оилюдиля и Диффьрпшилл (546—509
i
547. дг = arcsln (jc— 1).
2x — 1
102* °.
549.-y = arccos:
I 3
: arctg x2.
In sin *.
arcsln — .
X
: sin (sin л:)
In tgje.
: COS3 4X.
■ In arc cos 2x.
= sin] l-j-jc3.
„arcsln ?дг
= arctg3 —.
= (1 -j- In sin л:)".
551. y = In (л* — ix).
553. v = sin —.
^ X
555. j/ = log3 {x2 — 1).
557. v==siu(2r).
559. _y = arcsln (sin x).
561. y='#lax.
583.^=| tgi.
565. y = a'1"'*.
567. y^=ctg I 1+x3.
569..y = (l+- sin2*)4.
571. <y= In4 sinx.
573. .y = arctg [In [ax-\-b)\
575. j=j/l+tg(*44)
+ -*"
= 1 1—(arc cos л:)3. 577. _y = arcsln l/ г
: log, [log» (IogeJc)!. 579. <y = ^^.
: sin (<?■*'+ 3*-2). 581. v = cos3i^-4.
* 1 + 1if
: 101 —8,,,,Ч 583. >> = Iii arctg К 1+*а.
:arcsin2|ln(fl3-f-*8)].
= .^и«*- + ** + с). 586. >> = J/Лп sin ^i^.
sin3 (cos Здг).
: J_ r/ arcsin \ x* -\- 2x.
= In sin arctg e3*.
590—618] 12. ЛИФФРРЕПШ1Р0ВЛИИЕ ФУНКЦИЙ blJ
Дифференцирование гиперболических
функций
В задачах 590 — ПОЗ иротлфференцпровать данные
функции:
590. jrsssh'x. 591. j/ = lnc!i*.
592. у = arctg (th х). 593. _y=tti (1 — х3).
594. .у=sh2 jc -j- ch3 х. 595. у = ch (sh x).
596. .у = } ch7. 597. j,=<"«■*
598. у = th (In x). 599. >>=* sh * — ch x.
600. ^=J/(l + th2A:)3. 601. jfssliii^-^tii»^.
cno 1 4i i 1^2* i 1+...1 2!Iijc
603. V = -Trth X 4- -5- In —! —= .
Логарифмическое д и ф ф e p e и ц и р о n a u и е
В задачах G04—618 продифференцировать данные
функции, используя правило логарифмического шфферен-
цпрованпя:
604. у = х*\ 05. у = дгТ.
606. у^х**- * . х у
608. у= (sin*)«»*. 609ш у— \7+л) '
6fl0. .у = (In*)*. 611. у = 2х*х.
612. ^ = -J/(jc+1)3. 613. у = (х*+\)*ь*.
61 . у = \ор\а. 615. у= у (уа_1)а-
616. у =—гг- •
17. у=у хsinjc | 1 — сх.
618. v= 1 1~arcsillx.
70 гл. in. производила и дифференциал [619—831
Дифференцирование разных функции
Н задачах 619 — 722 продифференцировать данные
функции:
619. ^ = (1 + |3/^я. B2Qmy = ats(j + bY
621. у = ]/ 1 Ч- ^ 2рх. 622. .y=arctg(jt3—3*4-2).
G23. y = \g{x — cosx). 624.^=3 cos3jc — cos:i л.
625. y = 5ig4 + t*l. B2Bmy^-T-=L==^.
x \ *+\ x
627. у = sin -j • sin 2 x. B2S y = s.n x u eC0B ^
G29.y = x^ x*^S. 630. > = *-*■ In*.,,
631. У = (у^+Л=у\ Ь32.у = arctg£±».
633. у=е^'Ых^ — х-\-^).
34.^ = 2^
•^ cosZ*
635. ^ = Д^_ arctg ** л . 636. у = — .
\ '6 1-х» ' *
«•« > 9 x ± x ..—_ ъ 4jts4-2
637. 3; = sin2 - ctg у. 638. у=JL-з~-.
639. y = \n (x+Y^+P). 40. ^=*arctg | 7.
641. ^ = |i + tg2* + tg*jc. 642. у = cos 2jc In*.
643. ^ == 3- arctgx + у arctg y-^.
4. j/ = arcsln (л sin x). 645. 3/ = arcsln 1'sin*
646. у = ~ slnfl 3* — ^ sin8 3jc.
647. у=x — У \ — x2 arcsln x.
648. >/ = cos 2HjILf. 649. jr = ]Лс+1 *+J /
650. .y = arccos] 1—Злг. 651. ,y = s!na (Ц^) .
652—681] 12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 71
652. у = log8 (x2 — sin x). 653. >/ = arctg }/"{Щ.
654. >> = In "*" . 55. у = л: arcsin (In *).
656..y = tgJ-=^. 657..y = coSA:J/l4-sm2A\
658. y = 0,4 (cos 2£±J — sin 0,8 *Y.
659. y = x-\QVT.
660' "^t^- б®1- ^ = lnarctg j-j-j.
662. v = ln \ . 663. y — \/~\+x\ x+jT
664. y = x2}^l + V7. 665. v= ! =.
"^ ' ^ T 1+Ып«л-
666. .у = x8 arctg*». 667. у = т£~х •
668. y = arcsinjc+ V\—x*.
*si»o arcsln 4 v
6Б9.>. = -ГГ-4Г.
i
670..y = clnx. 671. ^ = lnL=^.
672. у = 10х «* *. 673. .у=sin2 л*. sin x2.
674. .у = --==:. 675. у = х i r-j-^ .
\ cos2jc ' 'т■*
67«J. у=-£ In p^j-j — -^ arctg a-.
677. y = 2lHX.
678. у =1 (a —jc) (* —fc) —(a —tyarctgj/ ~^.
679. j, = ~1^-. 680. у = У Ьг^
681. _y == 1/"л^а — о2—oarccos —.
ГЛ. HI. ПРОИЗВОДИЛИ И ДИФФЕРСНЦИЛЛ (68 —703
682. ve|^?qpi-i„(l+ j T+IJ.
83. у г- 9|п'-* I cos'-*
84. v = In (л: + Vx*^\j =Д= •
685. ^y = ea* (asm a- — cos x).
6 6«>ys=jce|-eo1*.
687.^=_i_.
688. ^ = <?•* (sin 3a — 3 cos 3a).
689. у *= За8 arcsin x + (a3 -f 2) 1 1 — a» .
690.^=.*=.
691. ^= 2 arcsin :^=J—1 2 + 4a—a3.
692. д> = In (<••* cos a -|- *-х sin ■*)■
693. v^'+^^gf. 694. y = —r-1 1.
V ПЕ72 ^ cos (a — cos a)
695. .y == e* sin a cos8 a. 696. у = J/ 9 + 6 |/a» .
697. ,y=.A—In (2<?*-f 1 +|/t?2Jf_J_4tf.v_j_ J).
698. v«= «"to ^П^ТОТЗ)
698. д>«= •"«в»/"» + "и(2* + а)
69 . y- e"
700. ^ = lntg-j —CtgAln(l-fsinA)—A.
701. .y = 2 1n(2A — 3]/l— 4a2) — 6 arcsin 2a.
702.^^L=i-f-ln) F+73 + arctgA.
703. у = -i (3 — a) j/1 — 2a-a2 -f- 2 arcsin ^U .
704—721] § а. диффкренциронапиь функций
у = In (ASiriA ]71 A3) .
y = x\ 1 —|—at3 sin л:.
У
73
04.
05.
'06.
07. у:
r08.^ =
,f
_Va + 2(3-a)«
(*+l)8
0*J-»Ktrf Jf+i-lllJf + l #
09. y=
sin a ■ 3sin v . 3 . 1_l"t{'T
4 COS4 A ' 8C0SaA
I 4 X
AP-* «irCtg ДГ
fnT* *
7K. =
О. у.
к. у = х (a2 -f a3)" + *-*- ]/a3 -f a» +
(1 — A2) P'U-I COS A
(iifCCOSA)8
+^4in(A+j iqrzr).
a (arcsin a)3 — 2a -|- 2 \ 1 — a3 arc jin a.
ex— — x
3. у
4. >> = In cosarct^
5. у
2
=^агс,е('""/т)-
• У =
7.y =
8. .y =
20. у
I. JT:
I
In
A-f-1 i 1 , 2t—1
! = 4 . «irctg =- .
1 I-f-A-h ) i-A ' & Г 1+А
:(tg2A) 2. 71 ->=-|/ ТГ7
=ini^4±£+;+
Г A» — A -f- 1 ~
A —5
A*+4
1 2 1^3
A2" — 1
arccos-a7qrT.
(•
1 '—W+^tt)
74 гл. т. производная и диффгренциал [722—780
722- у—rrci+и1п г^Ше+ir ■"* ТГ •
723. Убедит! ся о том, что функция у= In -p—
удовлетворяет соотношению
их ,
724. Убедиться в том, что функция
удовлетворяет соотношению
2у = ху'-{-\пу.
Обратные ф у и к ц и и
725. Допустим, что правило дифференцирования
степенной функции установлено только для целого
положительного показателя. Вывести фо) мулу дифференцирования корня,
используя правило дифференцирования обратной функции.
dv
726. х = еа1Сь1аУ; найти выражение -^ через у; через х.
ds
727. f = 2 — 3s + su; выразить ■ через 5.
728. и = у In _]v; проверить соотношение
da dv «
dv' du '
71.Э. Зная, что функции arcsin \ х и sin3*— взаимно
обратные функции и что (sin2 jc)' = sin 2лг, пай ш
(arcsin \ X)'.
730. Обозначим функцию, обратную
степенно-показательной функции у = хх, символом а{х), т. е. положим, что из
у = хх следует: x=.aty). Найти формулу для производной
от функции у = а(х).
ч
731—738] §2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 75
731. Функции, обратные гиперболическим, обозначаются
символами Arslu:, Arcluc, Artlijc. Найти формулы для
производных от этих функций.
Ф у н к 11 ни, зада н н ы е неявно
732. Убедиться, что производные от обеих частей
равенства
sin3A:= 1 —cos2 a:
тождественно равны между собой, т. е. что это равенство
можно дифференцировать почленно. «Можно» ли
дифференцировать почленно равенство siiiJC=l—cosjc?
733. Убедиться в том, что равенство
2 sin- х — 1 ■ cos x (2 sin x -j- 1)
cos x ~l 1 -f- sin x ®
можно дифференцировать почленно.
73 . Какой должна бить функция у=/(х), чтобы
равенство
cos4 х -J- 2 sin3 х cos3 at —J— _y3 = 1
можно было дифференцировать почленно (т. е. чтобы
производные от обеих частей равенства били тождественно
равны между собой)?
735. Что следует понимать под ,v, для того чтобы
производные обеих частей равенства
х2-\-уг= 1
были равны между собой, т. е. чтобы можно было это
равенство дифференцировать почленно!*
738. Чему равен угловой коэффициент касательном к
окружности
(л:— l)a_|_(j,_J_3)a=17,
проведанной в точке (2, 1)?
В задачах 737—750 найти производные заданных неявно
функций:
73-/. £+£=i. 73s. i+>=i.
76 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [739-—760
739. je8-f\y3 — 3а*у = 0. 740. у2 cos x = я3 sin За-.
741. у3 — \\у -\- 2ах = 0. 742. v3 — 2ху -f ft» = 0.
7 3. л* =.у\ 744. у = cos (jc +;•).
745. cos(a-^) = jc. 7 ■ лс3 +д^" =ол.
747. у=\+хсУ.
748. jcsinj/ — cosy-{-cos 2_y = 0.
749. у sin jc — cos (x — v) = 0. 750. у = x -f- arctg_v.
751. Убедиться в том, что функция у, определенная
уравнением ху — ]цу=\г удовлетворяет также
соотношению
у* + {ху- 1)^ = 0.
Геометрические применения
8 задачах 752—7J55 написать уравнения касательной и
нормали к данным кривым линиям:
752. _у = sin л: в точке А1(х0,уп).
753. у = \пх в точке А/(>-0, у0).
754. v = T-r-;—; в точке с абсциссой х = 2а.
Лаг -f- х3
755. у2 = .,—— (циссоида) в точке Л/(л-0,_у0).
756.. Провести нормаль к кривой у = х In x параллельно
прямой 2л- — Чу -|-3 = 0.
757. Найти расстояние от начата координат до нормали
к кривой у = егх -\-jc3, провстСчшой в точке л: = 0.
758. Построить график функции .y = sin(2Ar——\ и
найти точку пересечения касательных к графику, если одна
касательная проведена через точку его пересечения с осью
Оу, а другая — через точку (j' 1).
759. Показать, что у кривой y=nchx (a, b, с —
постоянные) полкасагетьная имеет ноаоянную дтпну.
7 0. Показать, что поднормаль кривой у = х\п{сх)
(с—произвольная копе ran га) в любой точке данной кривой
есть четвёртая пропорциональная к абсциссе, ординате и
сумме абсциссы и ординаты этой точки.
•/* ——* I.U ~— i •
попо-
76I—772J § 2. ДИФФЕРП1ЦИР0ВЛ11ИЕ ФУНКЦИЙ 77
761. Показать, что любая касательная к кривой
1 \г /•;
У~-п\ х — 4л:2 пересекается с осью ординат в точке,
одинаково у длённой от точки касания и от начала коортннат.
762. Показать, что касательная к эллипсу -j-bftT^*
в точке Л/(л*0, у0) имеет уравнение ^+'-^-=1.
763. Показать, что касательная к гиперболе ~ — fV,- = 1
в точке М(х0, yv) имеет уравнение
764. Доказать, что нормаль к
лам угол между
радиусами-векторами (черт.
21). Вывести отекла
способ построения
касательной и нормали к
эллипсу; решить
аналогичную задачу для
гиперболы.
765. Составить
уравнения касательных к
гиперболе ^ —"-=- = I,
перпендикулярных к
прямой 2х-\-4у — 3 = 0.
В задачах 76G—771 найти углы, пот, которыми
пересекаются данные кривые липни:
76В. x*+y* = S п у* = 2х.
767. л-з-рд'3 — 4л: =1 н л:3+v2 + 2^ = U.
768. л:3— ^3 = 5 и ^+Й=1.
769. л:3 4-у3 = 8«л: н _у3 = --^—.
1 •* -' 2«— х
770. л:3 = 4лу н у=^£Ааа.
771. .у = sin л: п y = cosx (0<jc<tt).
772. Составить уравнение касательной н нормали к
кривой ( — J -}-( -J =2 и точке с абсциссой, равной а.
х
Черт. 21.
78 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФГФЕНЦИЛЛ |773—-770
773. Доказать, что сумма отрезков на осях коорди-
-L _L _1
пат, образуемых касателпюй к параболе х2 -\-у~ =а* ,
для всех ей точек равна а.
774. Показать, что отрезок касательной к астроиде
.1 1 1
хл -\-ул =я3, заключённый между осями координат, имеет
постоянную длину, рапгую я.
775а Доказать, что отрезок касательной к трактрисе
а , а -4- Va* — х2 лг—1 j
* а — | а* — х2
заключенный между осью ординат и точкой касания, имеет
постоянную длину.
776. Показать, что для любой точки М(х0, у0)
равнобочной гиперболы х2—у2 = а3 отрезок нормали от точки
Черт. 22.
М до точки пересечения с осью абсцисс равен радиус-
вектору точки М.
777. Показа гь, что отрезок, отсекаемый на осп абсцисс
касательной в пронзиочьиой точке кривой —-J-—=1,
пропорционален кубу абсциссы точки касания.
778- Ордината любой точки кривой 2хгу*—х*=с
(г — произвольная константа) есть средняя
пропорциональная между абсциссой п суммой абсциссы и поднормали,
проведенной к кривой в той же точке. Проверить!
770—702) § 5. дифференцирование функций
79
770. Доказать, что у эллипсов -j-\~ij=l* У которых
ось 2я— общая, а осп 2Ь различны (черт. 22),
касательные, провеценные в точках с одинаковыми
абсциссами, пересекаются в одной точке, лежащей на оси
абсцисс. Воспользовавшись
этим, указать простой
прием построения касательной
к эллипсу.
780. Показать, что
кривая у = ekx sin mx касается
каждой из кривых _у ==?**,
у = — ekx ro всех общих
с ними точках.
781. Для построения
касательной к цепной линии
У=Т['я+е ") У,ЮТРС- Черт. 23.
бляется следующий способ:
на ординате MN точки М, как па диаметре, строится
полуокружность (черт. 2\\) и огкчадыпаетси отрезок NP=a;
прямая MP будет искомой касательной. Доказать это.
Графическое дифференцирование *
782. Измерение температуры обмотки электромагнита
мотора при прохождении электрического тока даю
следующие результаты:
Бремя t мин ....
Температура 0°С . .
Бремя t мин . . . .
Температура 0° С . .
0
20
?0
52.5
5
26
35
54.5
10
32,5
40
56.5
15
41
45
58
20
4fi
50
59,5
25
49
55
(П
Построить приближенный график непрерывной зависимости
температуры от иремени. Выполнив графическое дпфферен-
V
а
rf\
X.
t
i
X
•>
80 гл. ш. производная и дифференциал (783—787
цнрованне, построить график скорости изменения
температуры от времени.
783. На черт. 24 изображена кривая подъема
впускного кл.11Ш1.| цилиндра паровой машины (низкого давлении).
О 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 ОД 0.14 сен
Черт. 24.
Построить кривые скоростей и ускорений графическим
дифференцированием.
§ 3. Понятие дифференциала. Дифференцируемость
функции
Дифференциал
784. Дана функция у = *3 -|- 2х. Найти значения
приращения и его линейной главной части, соответствующие
изменению х от х = 2 до л; =2,1.
785. Какое приращение получает функция у = ?>хг — х
при перехоле независимой переменной or значения л* = 1
к значению д-=1,02. Каково значение соответствующей
линейной главной части? Найти отношение второй величины
к первой.
786. Дана функция у=/(*). В некоторой точке л-дано
приращение Длг = 0,2; соответствующая часть приращения
функции оказалась равной 0,8. Найти производное число
в точке jc.
787. Дана функция /(х) = дг*. Известно, что в
некоторой точке приращению независимой переменной Ддг =
= 0,2 con гнете шует главная часть приращения функции
df{x) = — 0,8. Найгн начальное значение независимой
переменной.
30
S 20
мм
Ю
_ __- «Ь_ -^ ^— _— —. _ М
2у
Srr~
— —« ш—ш — —. — ~— .J >—«
788—794] | з. понятие дифференциала 81
788. Найти приращение и дифференциал функции
y — xt — х при лг=10 и Д* = 0,1. Вычислить
абсолютную и относительную ошибки, которые получаются при
замене приращения дифференциалом. Сделать чертеж.
789. Найти приращение и дифференциал функции
_у = уТпрн * = 4 и Да: = 0,41. Вычислить абсолютную и
относительную ошибки. Сделать чертеж.
790. у=*8— х. При х = 2 вычислить Ду и dy, Д-i-
вая Ддг значения Дд:=1, Ддг = 0,1; Длг = 0,01. Найти со-
отиигаиующне значения относительной ошибки
&y — rtv\
$=
|АУ|
791. Найти графически (сделав чертеж па
миллиметровой бумаге в большом масштабе) приращение,
дифференциал и вычислить абсолютную и относи кчп.пую
ошибки при замене приращения дифференциалом дли функции
у = 2* при х = 2 и Дл: = 0,4.
792. Сюр на квадрата равна 8 см. Насколько
увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить па:
а) 1 см\ б) 0,5 см; о) 0,1 см. Найти линейную главную
часть приращения площади этою квадрата и оцепить
относительную ошибку (в процентах) при замене приращения
его главной частью.
793. Известно, что при увеличении стороны данного
квачрата па 0,3 см линейная главная часть приращения
площади составляет 2,4 см*. Найти линейную главную
часть приращении площади, соответствующую приращению
каждой стороны на: а) 0,6 см; б) 0,75 см; в) 1,2 см.
794. Найти дифференциал функции:
1)0,25/7= ViQ-; 3)^; 4) ±,: 5) _!
11) [Х>+4х+\)[х>—\ I): ^)%^\: Ч) г=Т':
I
И) (!+■* — л:2)"; 15) tg**; 16)5'»**; 17)2 «»*;
2\ х
m-\-nd
>*
I
6 Г. И. Герман
83 гл. in. производная и дифферышнал [793—803
18) In tg (!-:!); 19) ^; 20) Ка7с1п77+ (arctg*)»,
21) Загс»ш jc — 4 arctg х -f- -^ arccos х — 3у arcctg x\
22) 3 «• + Здг" — 41/*-
795. Вычислить значение дифференциала функции:
1) ^= при изменении независимой переменной от
■*=■£- до ^ — чТм; 2) ,y = cosa^ при изменении <р от 60°
до С0°30'; 3) -y = sin2(p при изменении у от -г- до ;iw ;
4)<y = sin3y при изменении <р от -£- до ^ttq I 5) ys=sin-^
при изменении 0 от £- до ~.
796- ИаЙгн приближенное значение приращения
функции y = s\nx при изменении х от 30° до 30°Г. Чему равен
sin 30° I'?
797. Найти приближенное значение приращения функции
y = lgx при изменении л: от 45° до 4*5° 10'.
798а Пай in приближенное значение приращения функции
1 -f cos х ъ « , 1
-y^i-cos* "Р" ",ме"е1|И" * 0Т^Г до Т+Т05-
799- р = £| cos2f; найти dp.
COO. ,у = 3* -f 2^+6V *• Вычислить dy при х=1 п
Лс = 0,2.
801. Ви-шслить приближенно sln60°3\ slnG0°18'.
Сопоставить полученные результаты с табличными
значениями.
802. Убелпться в том, чго функция у = ——-.— удо-
X —™ JC 111 JC
влетворяет соогношеншо
2x2dy — (xiyi-\-\)dx.
803. Убедиться в том, что функция у, определенная
уравнением arctg — = In \ x*-\-y*t удовлетворяет
соотношению х {dy — dx) —у (dy -{- dx).
804—811]
в 3. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
804. /(х) = е°П*0-*>. Очевидно, /(1) = 1
приближенно /(1,03).
805. Вычислить arctg 1,02; arctg 0,07.
83
Подсчитать
/ (2 UiJ7)2
805. ВЫЧИСЛИТЬ Приближенно у /TyjJyV^
1
(2.037)» +Г
807. Вычислить приближенно arcsin 0,4983.
808. Если длина тяжелой нити (провоза, цепи)
(черт. 25) равна 25, полупролёт — /, а
/, то имеет место
приближенное равенство
стрелка провеса —
I
се стрелки провеса / на вели-
а) Иодсчиыть, какое
изменение произойдет в
длине нити при изменении
чину df.
б) 1:слн учесть изменение длины провода ds
(например, от изменения температуры пли нагрузки), то
как изменится при этом стрелка провеса?
809. Сравнить noipeiiiiiocTH при определении угла
по его тангенсу и по его синусу с помощью
логарифмических таблиц, т. е. сопоставить точность определения
угла х по формулам Ijj sin дг=_у и lgtg* = z, если у и г
даны с одинаковыми погрешностями.
810. При технических расчетах часто сокращают тт и
УЬ (g — ускорение силы тяжести), когда о ню из этих
чисел стоит в числителе, а другое — в знаменателе.
Какую относительную погрешность делают при этом?
811. Выразить дифференциал сложной функции через
дифференциал независимой переменной:
1).у=3 jt3 + 5jt, x = t* + 2t+li
2) s = cosa2\ z=—j—',
3) 2 = arctg x/,
4) i/ = 3 *,
v =
1
x = lntgs;
6*
84 гл. ш. производная и дифференциал (812—820
5) * = **, z=.*_\n^ /=^2aa —Зи+1;
6) у = In tg -~; ft = arcsln v, v = cos 25.
Днфференцнруемость
ф у и к ц и й
812. Функция _У = |.*| непрерывна при любом х.
Убедиться, что цри лг = 0 она недпффсренцнруема.
813. Исследовать непрерывность и днфференцнруемость
функции _y = |jca| при х = 0.
814. Функция /(х) определена 'следующим образом:
/(х)=\ -\~х для jc<0; равна х для 0<*<1; равна
2—х для 1<*<2 и раина Зх— хг для х>2.
Исследовать непрерывность f(x) и существование н
непрерывность /' (лг).
15. Функция _у = | sin л: | непрерывна при любом х.
Убедиться, что при х = 0 она нсъифференцнруема. Имеются
ли ещё другие значения независимой переменной, при
которых функция недпфференцирусча?
815. Исслечоиать непрерывность п днфференцнруемость
функции у = е~ I*1 при х = 0.
817-/(*) = *»sin—при лг^О, /(0) = 0. Будет ли
функция /(х) дифференцируемой при д: = 0?
818. /(j:) = L£±i-ZLL„p„ хф{), /(0) = 0. Будет ли
\ х
функция f{x) при лг = 0 непре ывной и
дифференцируемой?
81Э. Дана функция у (а-) = 1 —|— -f (л; — I у . Показать,
что при лг=1 из приращения функции нельзя выделить
линейную глапную часть, н полому /(х) при *• = 1
не имеет производной. Истолковать результат
геометрически.
820. /(*)=*arctft-^ при х ф 0, /(0).—0. Будет ли
функция f{x) при лг = 0 непрерывной и дифференцируемой?
Истолковать результат геометрически.
821—829J | 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ 85
§ 4. Производная как скорость изменения
(дальнейшие примеры)
Относительная скорость
821. Точка движется по архимедовой спирали p = rt*f.
Найгн скорость изменения рачпус-вектора р относительно
полярного угла <р.
822. Точка движется по логарифмической спирали
p==en't. Найти скорость изменения радиус-вектора, если
известно, что он вращается с угловой скоростью о).
823. Точка движется по кругу p = 2rcosf. Найти
скорости изменения абсциссы и орчнпаты точки, если
радиус-вектор вращается с угловой скоростью о). Полярная
ось служит осью абсцисс, полюс — началом системы
декартовых координат.
824. Круг радиуса R катится без скольжения по
прямой. Центр круга движется с постоянной скоростью v.
Найти скорости изменения абсциссы х и ординаты у для
точки, лежащей на периферии круга.
825. Барометрическое давление р изменяется с
высотой h в соответствии с функцией
где через р0 обозначено нормальное давление. Па высоте
5540 м длпепне достигает половины нормального;
определить скорость изменения барометрического давления
с высотой.
826. j/ связан с д: соотношением _уа= 12 л:. Аргумент л:
возрастает равномерно со скоростью 2 единицы в секунду.
С какой скоростью возрастает у при лт = 3?
827. Ордината точки, описывающей окружность
дга -\-у2 = 23, убывает со скоростью 1,5 см\сек. С какой
скоростью изменяется абсцисса точки, когда ордината
становится равной 4 см?
828. В какой точке эллипса 16л:2-|-9уа==400 ордината
убывает с такой же скоростью, с какой абсцисса
возрастает?
829. Сторона квадрата увеличивается со скоростью
v CMJceK. Какова скорость изменения периметра и пло-
W> ГЛ. III. ПГОИЗВОДИАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [830—838
щади квадрата в тот момент, когда сторона его равна
а см?
830. Радиус круга изменяется со скоростью v. С
какой скоростью изменяются площадь круга и длина его
окружности?
831. Радиус шара изменяется со скоростью v. С
какой скоростью изменяются обь(?м и поверхность шара?
832. При каком значении угла синус изменяется вдвое
медленнее аргумента?
833а При каком значении угла скорости изменения
синуса и тангенса одного и того же угла одинаковы?
834. Скорость роста синуса увеличилась в п раз.
Во сколько раз при этом изменилась скорость роста
тангенса?
835. Предполагая, что объем ствола дерева
пропорционален кубу его диаметра и чго последний равномерно
увеличивается из года в год, показать, что скорость роста
объема, когда диаметр равен УО см, в 25 раз больше
скорости, когда диаметр равен 18 см.
Функции, заданные параметрически
83Б. Как проверить, лежит ли заданная декартовыми
координатами точка на кривой, уравнение которой дано
в параметрической форме? а) лежит ли точка (5, 1) на
окружности х = 2 -j- 5 cos /, у =—3 —|— 5 sin /; б) лежит ли
точка (2, | 3) на окружности je = 2cosf, y = 2smf.
837. Построить по точкам графики функций, заданных
параметрически:
а) л: = 3 cos г, y = 4slnt\
б) * = /» —2f, y = t* + 2t;
в) jc = cos/, j/ = / —|— 2 sin /;
г) л: = 2<-\ jf= 1(^+1).
838. Из уравнений, параметрически задающих
функцию, исключить параметр:
1) д:==3/, >1 = 6/ — <*; 2) x = cosr, .у = sin 2/;
3) jc == /8 —|— 1, y = t2; 4) лг = <р — sin у, у=\—cosy;
5) j? = tgf; _у = sin 2/ + 2 cos 2/.
839—834] | 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ
87
839. Найти значение параметра, соответствующее
заданным координатам точки на кривой, уравнение которой
дано в параметрической "форме:
1) * = 3(2cosf — cos20, у = 3(2sint — sin2t);
(-9,0);
2) * = f»-f 2/, j, = <» + *; (3,2);
3) x = 2 tg /, у = 2 sin3 / -f- sm 2/; (2, 2);
4) л: = /a — 1, y = tn — t; (0,0).
В задачах 840 — 849 найти производные от у по jc:
840. х = a cos 9, _y = ftsin'f.
8 I. jc = ocos8,p, _y = ftsin°cp.
842. x = a{y— sln<f>), y = a(\ — cosy).
843. x=l—/a, y = t — t\
плл '4-1 t— 1
844. x=—J—, y = —j—.
8 5. * = ln(l-4-/a), y — t — arctg/.
846. x = у (1 — sin у); у— у cos tf.
847. x = Fr-rt J/==-_T.
848. jt = e'sin/, y = e'cost.
В задачах 85,0 — 833 найти угловые коэффициенты
касательных к данным кривим линиям:
850. х = 3 cost, у = 4sin/ в точке (Ц-^-,2> 2J . •
851. х = t'—ti, у = Р — t* в точке (0, 0).
852. jc = /8-fl, ^ = /3 4_f_|_i в точке (1,_1).
853. л: = 2 cos/, y = sint в точке f 1, п~J •
854. Убедиться в том, чго функция, заданная
параметрически уравнениями
* = 2/-|-3/3, у = Р-\-2Р,
удовлетворяет соотношению у=у'*-\-2у'й (штрихом обо-
вначено дифференцирование по а:, т. е. y'=z-S\,
88 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [839—8В0
85D. Убедиться в том, что функция, заданная
параметрически уранменпями
1 + t 3,2
удовлетворяет соотношению
*/•->+/ (/-§?)■
856. Убедиться в том, что функция, заданная
параметрически уравнениями
at n> 4P +1
х=*грр' ^в^Г,(ITi,i|,
удоплетпоряст соотношению
857. Убедиться в том, что функция, заданная
параметрически уравнениями
удопетпоряет соотношению
„ Г+у1=У (У=е).
858- Убедиться в том, что функция, заданная
параметрически уравнениями
— l±j£l v._3 + 2lnf
удовлетворяет соотношению
уу = 2ху*+\ (У=^).
850. Найти угли, под которыми пересекаются кривые
линии:
1) у = х3 и jc = yCOS г, y = -^s\nt;
(х = a cos y>,
Я0 ' ЛИ Я*
J/ = «SHVf И *=_£, Jfrs-j-™
860. Показать, что при любом положении произво-
тшЦего круга циклоиды касательная и нормаль в соогвег-
881—07IJ § 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМГНЕПИЯ 69
ствующей точке циклоиды проходят через его высшую п
низшую точки.
881. Найти длины касательной, нормали, подкасателыюй
и поднормали к кривой линии (кардиоида)
*r=a(2cos/ — cos2/), >/=:a (2sinf — sfn2*)
в текущей точке.
882. Найти длины касательной, нормали, подкасателыюй
поднормали к кривой линии (астроида)
Ar = osin8/, y = acosBt.
8 3. Проверить вычислением, что касательная к
окружности х2-\-у3 = а2 служит нормалью к кривой линии
(эвольвента круга)
х = a (cos г -\-1 sin /), у=a (sin / — /cos г).
8С ■ Найти длины касательной, нормали,
полкасательной и поднормали эвольвенты круга (см. уравнения последней
в предыдущей задаче).
885. Показать, что касательная к циклоиде
перпендикулярна к примой, проходящей через точку касания и точку
касания производящей окружности с прямой, но которой она
катится.
П задачах 8G6 — 869 написать уравнения касательной и
нормали к да jm кривым:
86S. лг==2е'; у = е~* прн/ = 0.
837. jt = slnr, _y = cos2* при / = ■£-.
868. * = 2lnctgr-{-l, ,y = tgf-|-ctg* при г = £.
8 Sat Sat*
■ х — г+р« У—т+ё прп /==2,
Скорость изменения радиус-вектора
кривой л и и и и
870. Дана окружность p = 2rsin<p. Найти угол 0 между
радиус-вектором н касательной и угол а между полярной
осью и касательной.
871. Убедппся в том, что у параболы p = aseca-r- сумма
углов, образованных касательной с радиус-вектором и с
90 гл. ш. производная и диффгрпщиал [872—882
полярной осью, равна лпум прямым. Использовать это свойство
для построения касательной к параболе.
872. Дана кривая линия p = csln8-j (конхоида);
показать, что а = 40 (обозначения — те же, что в задаче 870).
873. Показать, что две параболы p = flseca-~ и
p=£?coseca-!j- пересекаются пол прямым углом.
874. Найти тангенс угла между полярной осью и
касательной к кривой р = я sec2 (р в точке, в которой р = 2а.
875. Найти ташенс угла между полярной осью и
касательной в начале координат: 1) к кривой p = sin8y>,
2) к кривой p = sin3'f.
876. Показать, что две кардиоиды, р = я (1 -j-coS'^) и
р = а(1—cos<f), пересекаюiси под прямым углом.
877. Уравнение кривой в полярных координатах задано
параметрически: р=/, (/); у — /2((). Выразить тангенс
угла 0 между касательной и раднус-векюром о функ*
цпн /.
878. Кривая задана уравнениями р = я/п, у> = £>/3. Найти
угол между радиус-векгором и касательной.
879. Дан эллипс х = a cos/, y=b sin/. Выразить
радиус-вектор р и полярный угол <р как функции параметра t.
Использовать полученную форму задания эллипса для
вычисления угла между касательной и радиус-вектором.
Полярной подкас а тельной называется
проекция отрезка касательной от точки касания до el1
пересечения с перпендикуляром, восставленным к радиус-вектору
в полюсе, па этот перпендикуляр. Аналогично
определяется полярная поднормаль. Учитывая это, решить
задачи 880 — 884.
880. Вывести формулы для полярной подкасательной и
полярной поднормали кривой р=/(^).
881. Показать, что длина полярной подкасательной
гиперболической спирали р = — постоянна.
882. Показать, что длина полярной поднормали
архимедовой спирали p = af постоянна.
683—897] % 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ 91
883. Найти длину полярной подкасательной
логарифмической спирали р = я*.
884. Найти длину полярной нощорма/ш
логарифмической спирали р = я?.
Скорость изменения длины
В задачах 885—895 через s обозначена длина дуги
соответствующей кривой линии.
885. Прямая ах-\-Ь. Найти ~.
886. Окружность х*-\-у* = г2; j- = ?
887. Эллипс -; + тг = 1; V = ?
а2 ' b* dy
888. Парабола у2 = 2/>лг; ds = ?
889. Полукубическая парабола у3 = ах*\ ~ = ?
890. Синусоида y = slnx; ds = ?
891. Цепная линия у = ^-31—1 {у = cli д:); / = ?
** llX
892. Окружность л: = г cos/, у = г sin/: — = ?
dt
893. I (иклоила х = а (/ — sin /), у = а (1 — cos /); у = ?
894. Астроида .* = ocosn/, y = as'\riit; ds = ?
895. Архимедова спираль x = at sin /, у —at cos /; ds = ?
Скорость движения
898. Лестница длиной в 10 л одним концом
прислонена к вертикальной стене, а другим опирается о пол.
Нижний конец отодвигается от стены со скоростью 2 м\мпн.
С какой скоростью опускается верхний конец лестницы,
когда основание ей отстоит от степы на 6 м? Как направлен
вектор скорости?
897. Поезд и воздушный шар отправляются в один и
тот же момент из одного пункта. Поезд движется
равномерно со скоростью 50 км\час, шар поднимается (тоже
равномерно) со скоростью 10 км/час. С какой скоростью
они удаляются друг от друга? Как направлен вектор
скорости?
92 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ II ДИФФЕРЕНЦИАЛ (890—902
898. Человек, рост которого равен 1,7 л, удаляется
от источника света, находящегося на высоте 3 м, со
скоростью 6,34 км/час, С какой скоростью перемещается тень
его головы?
899. Лошадь бежит по окружности со скоростью
20 км/час. В центре окружности находится фонарь, а по
касательной к
окружности в точке,
откуда лонмчь начинает
бег, расположен
забор. С какой
скоростью перемепыстся
тень лошади вдоль
забора в момент, когда она пробежит '/g окружности?
900- На черт. 2(> изображён схематически
кривошипный мех.ппмм паровой машины: А—крейцкопф, ВВ'—
направляющие, АР—шатун, />—палец кривошипа, Q —
маховое колесо. Маховое колесо равномерно вращается
с угловой скоростью
W, радиус его R,
длина шатуна /. С какой
скоростью движется
крейцкопф, когда
маховик повёрнут на
угол а?
901. Разорвалось
маховое колесо,
делавшее 80 обороюв
п минуту. Радиус
колеса 90 см, центр Черт. 27.
приподнят над полом
на 1 и. Какой скоростью будет обладать обломок,
отмеченный на черт. 27 буквой А, при падении на землю?
Процессы органического роста
902. Капитал ■ 1000 руб. отдан в рост из шести
сложных годовых процентов, причем начисление процентов
производится каждый месяц. Чему будсг равен капитал через
3 года 5 месяцев?
♦
903—934] 15. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 93
903. Решить предыдущую задачу, предполагая, что
проценты начисляются непрерывно.
904* Дана функция у = Ае~кх. Выразить dx о
функции у и dy.
905. Разложение некоторого химического вещества
протекает в соответствии с уравнением m = mue~ktl где т —
количество веществ.» в момент времени /, w0 — начальное
количество вещества, А — положительная константа. Найти
скорость v процесса в функции количества вещества м.
§ 5. Повторное дифференцирование
Функции, заданные в явном виде
008. у = хг — 'Ах + 2; у = ?
907. у=1 —х* — х*; у" = ?
Ы*Я. /(*) = (*-f Ю)«; /'"(2) = ?
909. /(*) = *• — 4*з-f 4; /-'v(l) = ?
910. _y = <jra-f- 1)»; у" = ?
911. у = cos3 х; У" == ? £12. / (лг) = <?**"»; /" (0) = ?
913. /(х) = arctg дг; /" (1) = ?
9. u/ix) = rLJe;f{x) = 7
915. у = л* In х; уv = ? 910. /(л) = £; у" (х) = ?
917. р = a sin 2?; ?* = ? 928. у = J-^I; У") = ?
В задачах 919—928 найти вторые производные от
функции:
га
919. у = хех\ 92Э.у =
1 + лг»'
921. у = (1 -f х2) arctg х. 922. у = ]/ «3 — х\
923. _y = ln(A;-f l Г+х^). 924. у
25. у = / \ 928. у = 1 1 — л3 arcsin x.
J ■ J' = arcsin (asinjc). 9—8. у = хх.
% В задачах 929—938 найти общие выражения для пронз
водных порядка п от функций:
929. у =«.«. 930. .у = в"*. 931. у = sin a* -f cos Ьх.
932. y = sin3*.933..y = Jtt'v.93 ,y=x\nx.
94 ГЛ. HI. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [933—948
935. у = loge х. 93S. у = -^1.
937" У = ^-L + 2 • 938" ^ = Si"4* + C°S4 *'
939. Убедиться в том, что функция y = exs\nx
удовлетворяет соотношению у" — 2у'~\-2у = 0, а функция
у = е'х sin л: — соотношению у" 4- 2у' —|— 2_у = 0.
940. Убедиться в том, что функция у = _■_.■
удовлетворяет соотношению 2у'8 = (у — 1)у.
941. Убедиться в том, что функция у=\/г2х—х2
удовлетворяет соотношению _у3_у" —|— 1 = 0.
942. Убедиться в том, что функция у = е4х -f- 2е~*
удовлетворяет соотношению /" — 1 Ъу' — 12у = 0. _
943. Убедиться в том, что функция у=е х -\-е~
удовлетворяет соотношению ху"-\--^у' — -^_у = 0.
944. Убедиться в том, что функция _у = cos e*-f-sine*
удовлетворяет соотношению у" — у' -\-уегх = 0.
945. Убедиться в том, что функция
у = A sin (со/ -}" о)0) -\- Б cos (со/ -j- шо)
(А, В, о, со0 — постоянные) удовлетворяет соотношению
948. Убедиться в том, что функция
а1е"Х ~\~ а2е~ПХ ~\- ай C0S ПХ -\~ °4 Sm ПХ
(я,, а2, ай, с4, п — постоянные) удовлетворяет соотношению
d*y 4
dxk -*
947. Убедиться в том, что функция
^/ = sin (n arcsinjc)
удовлетворяет соотношению
(1 — *3)/' — ху' -f п2у = 0.
948. Доказать, что выражение
У' 2 \у)
1
не изменится, если заменить у на —.
* у
®*9—966] g в. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 95
Функции, заданные в неявном виде
949. b*x* + a*y* = aW; Й = ?
959. *3+у = л3; ^=?
e5l.y=te(x + ^); jg = ? 952. 5=1+/^; g = ?
953. _y8_j_^3_3rtJC>,_0. y==?
Q54, ;> = sin(*-f ^); y = ? 955. **+> = jey; /=?
956. Вывести формулу для второй производной функции,
обратной данной у=/(Х).
957. еУ-{-ху = е; найти у" {х) при лг = 0.
958. у* = 2рх; определить выражение £ = Г у .
■■ ' t a i _ tn.fi
959. Убедиться в том, что нз у* -\- лг3 = /?J следует:
Л = ±1, где k=-7=JLr~.
960. fe= v" =; наитие*.
1 (1+У'г)8 dx
961. Доказать, что если
ах2 -}- 2/л*у + су3 -\- 2gx + 2/у -f Л = О,
то
rfv ОД: -f- 6у 4" #
die bx -f- су -f- /
и
</Л* ~~~<kv ^-Cy-f/)3'
где у4 — постоянная (не зависящая от х и j>).
Функции, заданные параметрически:
9S2. x = at\ y = bt*; ~ = ?
' 9S3. * = acos/, ^ = csin/; 1& — 7
964. * = ccos/, v = 6sin/; Й = ?
pS5. ^ = c(f — sinf), .y = c(l — cos?); ^==?
966. л: = a cos8 /. у = a sin3 /; — = ?
cU3
96
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [967—978
967. * = ccosar, y = asln4; %£ = ''
d2v
метрическими
pip
968. х = at cost, у—at suit; ^ = ?
969. Убедиться, что функция y=J(x), заланная пара-
уравнениями у = е* cost, x — e* sin/,
удовлетворяет соотношению у"(х-\-у)2 =
= 2 [xv'~ у).
970. Убедиться, что функция
у—/(х), заданная параметрическими
уравнениями y—3t— f8, х='Мл,
удовлетворяет соотношению
Жу"(у—[ 3jc)=x + 3.
Ускорение движения
971. Точка движется
прямолинейно, причём s = — ta
О
W/' "у^'^Мш/.
Черт. 28.
t-\-5. Найти
ускорение а в конце второй секунды
\s выражено в метрах, / — в
секундах).
972. Прямолинейное движение
происходит в соответствии с формулой
5 = /а — 4*-[-1;
973. Точка
2 . irf ,
определить скорость и ускорение
движения,
движется прямолинейно, причем s =
Найти ускорение в конце первой секунды
(s выражено в см, t—в сек.).
974. Точка движется прямолинейно, причём s — }ft.
Убедиться в том, что движение—замедленное и что
ускорение а пропорцноналпю кубу скорости v.
975. Тяжелую балку длиной 13 м спускают на землю
так, что нижний её конец прикреплен к ваюнетке (черт. 28),
а верхний удерживается канатом, намотанным на ворот.
Канат сматывается со скоростью 2 mjmuh. С каким ускорением
976—982] § б. повторное дифферпщированиё 97
откатывается вагонетка в момент, когда она находится на
расстоянии 5 м от точки О?
976. Баржу, палуба которой на 4 л ниже уровня дока,
подтягивают к нему при помощи каната, наматываемого на
ворот со скоростью 2м\сек. С каким ускорением движется
баржа в момент, когда она удалена от дока на 8 л (по
горизонтали)?
977. Точка прямолинейно движется так, что скорость её
изменяется пропорционально квадратному корню из
пройденного пути. Показать, что движение происходит под действием
постоянной силы.
978. Дано, что сила, действующая на материальную
точку, обратно пропорциональна скорости движения точки.
Доказать, что кинетическая энергия точки является линейной
функцией времени.
Формула Лейбница
979. Применить формулу Лейбница для вычисления
производной: 1) [(x2-\-l)smxYa°); 2) {e*s\nx)W.
980. Доказать, что
{е>* sin ^)(") = ё" [ sin $х ( ап — П(П~'> аП-а $* +
+п(п~|)(%72)(п"3)^"^4+->-)+
+ cos [U (ла«-' р-я(п-^П~2)а"~81*8 + -- •)] .
981. Доказать, что
W'^x) =(-1)п£гп-
982. Показать, что функция .y = arcsin* удовлетворяет
соотношению
(1 — х2)У = ху\
Применяя к обеим частям этого уравнения формулу Лейбница,
найти: у)(0)(л^2).
7 Г. Н. Берман
98 гл. ш. производная и дифференциал [983—993
983. Применяя формулу Лейбница п раз, показать, что
функция
_y=cos (/warcsinjc)
удовлетворяет соотношению
(1 — дг2) У+а) — (2л -|- 1) *У(Л+1} ~ ("*3 — я2) Уя) = 0.
984. Если _y = (arcslnJt)3, то
(1— дг3)У+|)_(2я— 1 )*/«)_ (Я— 1)зуп-1)_0#
Найти: / (0); У (0),...,/") (0).
Дифференциалы высших порядков
985. у= \/~х\ d2y = ? 986. ^==дг'л; <Яу = ?
987. у = (х+1)Цх— I)3; fifSy^?
988. ,у=4-*а, ^=?
989. ^=arctg(Atgjc); <р.у = ?
9Э0. y = V\n2x — 4; fiPy = ?
991. _y = sin2.*:; сРу=?
992. p2cos8cp —c2sins<p = 0; tf2p = ?
JL 1. JL
993. jc3 + / —a3; rf3^ = ?
994. ,У=1пу-г-^; * = tgf; выразить сРу через: 1) x
и d*r, 2) / и dt.
995. _y = sin2r; z = ax; jt = /3; выразить <Яу через: 1) z
и dz, 2) x и tf*, 3) / и rf/.
ГЛАВА IV
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ
§ 1. Поведение функции «в точке»
996. Дана функция у.
100
т^ш+т- Постр°»ть
график этой функции, давая х значения 0;" 1; 2; 3; 4.
Соединив полученные точки какой-нибудь кривой, найти
графически у при * = -=-. Вычислив точно у при х=-^-,
найти ошибку (абсолютную и относительную).
997. Построить по элементам график функции, заданной
таблицей
X
У
У'
0
0
1
4
1
1
1
9
3
0
3
2
3
2
4
1
— 1
5
1
1
6
4
4
998. Построить по элементам график функции
у = Злг< — 4*з — 12х + 1.
999. Исходя непосредственно из определения, показать,
что функция у=х* — Здг-}-2 возрастает в точке лг1 = 2,
убывает в точке дг3 = 0, достигает максимума в точке
дг8==—1 и минимума в точке х4=\.
1009. Исходя непосредственно из определения, показать,
что функция ^ = cos2л: возрастает в точке х1 = -,убывает'
7*
100 гл. iv. исслсдов. функций и кривых линий [IOOI—I006
в точке х3 = -г, достигает максимума в точке jt, = 0 и
минимума в точке jt4 = ~.
1001. Пользуясь признаками поведения функции в точке,
показать, что функция у = In {х2-\- 2х— 3) возрастает в точке
jc, = 2, убивает в точке jc2 = —4 и пс имеет стационарных
точек.
1002. Выяснить поведение функции
^ == sin jc -J- cos jc
в точках jcj = 0, д;а=1, jc8 = тг и *4 = 2.
I 03а Выяснить повеление функции
у = х— In jc
в точках х, = у, х2 = 2, xt = е и х4 = 1 и показать, что
если данная функция возрастает в точке х = а^>0, то она
убывает в точке х' = — .
1004а Выяснить поведение функции
y = xaiclgx
в точках *i=l, х2 = —1 и л:8 = 0.
№05. Выяснить поведение функции, заданной так:
У =
( sin* ,_
— при хфО,
1 при jc = 0,
в точках xi = -7Т, хг = —j и jc8 = 0.
ЮОба Выяснить поведение функции в точке л; = 0:
1) у = 1 -х*; 2) у= Ух; 3) у= J<?;
4)^=1 -{/7«; 5)^ = |tgjc|;
6) „у = 1 —I— | JC» | — дг8; 7).у = <ГИ;
S) y=\ x*-]-x*.
1007—I0I6J | 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЫЧЮЙ ПРОИЗВОДНОЙ 1°1
§ 2. Применение первой производной
Теоремы Ролля и Лагранжа
1007а Проверить справедливость теоремы Ролля для
функции у=х*-\-4х2 — 7х—10 в интервале [—1, 2].
1008а Проверить справедливость теоремы Ролля для
функции y=\nshix в интервале -тр -g-1 .
1009а Функция у——j— принимает равные значения
на концах интервала [—1, 1]. Убедиться в том, что
производная от этой функции нигде в интервале [ — 1, 1) в нуль
не обращается, и объяснить такое уклонение от теоремы
Ролля.
1010а Функция дг = |д-| принимает рапные значения на
концах интервала [ — а, я]. Убедиться в том, что
производная от этой функции нигде в интервале [ — а, а] в нуль не
обращается, и объяснить такое уклонение от теоремы Ролля.
1011а Доказать теорему: если уравнение
а^хп -\- а{хп~1 -{- ... -{- nn_iX = О
имеет положительный корень x = xQt то уравнение
па^"'1 -{- (л — 1) аххп~г + • • • + an-i = °
также имеет положительный корень и притом меньший х0.
1012. Дана функция / (jc) = 1 -j- jcm (л:— 1)", где т и п —
целые положительные числа. Не вычисляя производной,
показать, что уравнение /'(jc) = 0 имеет по крайней мерс
один корень в интервале [О, 1].
1013а Показать, что уравнение х% — Зх-\-с = 0 не
может иметь два различных корня в интервале [О, 1].
1014а Не находя производной функции
/(*) = (*— 1)(лг — 2){х — 3)(* — 4),
выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение
/'(.*) = О, и указать интервалы, в которых они лежат.
1015а Показать, что функция f{x)=zxn-\-px-\-q не
может иметь более двух действительных корней при четном п
и более трбх — при нечётном п.
1016а Проверить справедливость теоремы Лагранжа для
функции y=zxn в интервале [0, а].
102 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВ ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ 11017—1022
1017а Проверить справедливость теоремы Лагранжа для
функции у = \пх в интервале [1, е].
1018. Доказать с немощью формулы Лагранжа
справедливость при а^>Ь неравенств:
nbn-x(а — А)<ап — Ьп<па"-* {а — Ь),
если л^>1, и неравенств противоположного смысла, если
л<1.
1019. Доказать неравенства ^—!r4<t£a — teB<^~-,
cos8 р ь v cos' а '
если 0<[J<a<~.
1020а Доказать неравенства
а — Ь | а_ а — Ь
если 0<£<а. а ь ъ
1021. Рассмотрим функцию /(х) = х%sin — при х^О,
/(0) = 0. Эта функция дифференцируема при любом х. При-
меннм к ней формулу Лагранжа дли интервала [0, х\:
/(лг)-/(0) = */*($) (0<&<>).
Будем иметь:
х2 sin — z=x (2Z sin -s cos4) t
откуда cos-j = 2£ sin -7 jesin —. Заставим теперь х
стремиться к нулю; тогда будсг стремиться к нулю и £, и мы
получаем: limcos-r-sO.
Объяснить этот парадоксальный результат!
1022а Применяя в интервале [I; 1,1] к функции
/(A:) = arctgjf формулу
/(*о + Д*) * /(*о) +/' (*о + т) Дл:'
найти приближенное значение arctg 1,1.
В задачах 1023—1027, используя формулу
Дх0 + Ьх) =* Дх0) +/' (л:0+ ^) Длг,
вычислить приближённые значения данных выражений.
1023—1034] J 2. ПРИМЕНЕНИИ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ЮЗ
1023. arcsin0,54.
1024. l£ 11. Сравнить с табличным значением. (См.
«Курс», п° 49.)
1025. 1п(*+1 1+дг2) при дг = 0,2.
1026. Ig7, зная lg2 = 0,3010 и lg3 = 0,4771. Сравнить
результат с табличным.
1027. lgGl. Сравнить результат с табличным.
1028. Убедиться в том, что, применяя формулу
/(А) =/(«) +(А-в) Г(^)
к вычислению логарифма от N-\-QtO\N, т. е. полагая
lg(W+0,01W) = lgW+^^0,0W=lgW+^,
делаем ошибку, меньшую 0,00001, т. е. получаем пять
верных цифр после занятой, если только lg/V дан с пятью
верными цифрами.
Поведение функций в интервале
1029. Показать, чго функция
^ = 2дг3 + 3дг»— 12*-}-l
убывает в интервале (— 2, 1).
1030. Покапать, что функция
у=\ 2х — х2
возрастает в интервале (О, 1) и убывает в интервале (1, 2).
Построить график данной функции.
1031. Показать, что функция у=х*-\-х везде
возрастает.
1032. Показать, что функции у = arctgх — х везде
убывает.
1033. Показать, что функция у = —-— возрастает в
любом интервале, не содержащем точки х=0.
1034. Показать, что функция у = -г~—£-ту изменяется
монотонно в любом интервале, не содержащем точек
разрыва функции.
104 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ |ЮЗЯ—1064 .
С039. Доказать неравенство —-^ ^> -а-, если
Чх\ х\
0Oi<*3<-|--
1038. Определить интервалы моиогонносги функции
у = х* — Злг3 — 9jc+ 14
и построить по точкам еб график в шисрвалс (—2, 4).
1037. То же для функции
у = х*-~ 2х% — 5
и интервала (—2, 2).
В задачах 1038—1050 найти интервалы монотонности
данных функций:
1038. у = (х — 2)Ц2х~\-1)*.
1039. у = У(2х — а) (а — лг)а (а > 0).
1041. .у= 10
Ах* - 9л* 4- 6jc *
1042. у=х—ех.
1043. у=х3е~х.
104*. у=.-£-.
•^ hue
1045. ,у=2лг3—!плг.
I046..y=jf—2siiuc (0<*<2тт). •
1047. .у = 2sinjc-J-cos2* (0<лг<2тг).
1048. у=х -{- cos лг.
1049. j-= In (дг-f /Г+Г3).
1050. у = х Vax — х3 (а> 0).
В задачах 1051 — 10G0 найти экстремумы данных функций
1051. _y=2jc»—Злга.
1052. .у =2*» —б*3— 18* + 7.
1053. у=Зла + 4д: + 4 ins v — ** + *
1055—1079] §2. примепеиШ:. первой производной 103
1055. *=7ТЙ? • |05в" *« ^(^=^.
1057. ^ = дг—In(l+^)^JP58. ,y=:jc—1п(1+л:3).
1059. у={х — 5)8 J/fJc-t-1)3-
В задачах 10G1 — 1073 найти наибольшие и наименьшие
значения данных функций в указанных интервалах:
1061. у = х< — 2лг*-[-5; [—2, 2].
1082. у = х-\-2\гх; [0, 4|.
1063. у=х* — 5^ + 5jc»+1; [—1, 2].
1064. у=х* — Злг3 -j- 6* — 2; [—1, 1|.
1085. j- = /100— *3 (— Г, < лг <; 8).
!068..y=:-j-^±£ (0 <*<!).
1067. .V = J^J (0<*<4).
1068.^ = ^ + ^ (0<*<1)(«>0, Л>0).
1089. j/ = sin 2л; —л: (— -£<л:<-£)-
1070. ^=2tgjc—tg8A: (о <*<■£■).
1071. у = х* (0,1 <лт<оо).
1072. >> = §/(л:3 — 2лг)3 (0 < лг < 3).
1073. у = arctg }— (0 < л: < 1).
Неравенства
В задачах U)74 — 1083 доказать справедливость
неравенств:
1074. 2\ х>3 — 1 (*>1).
1075. «?*>1+jc (лг^О).
1076. *>ln(l+*) (jc>0).
1077. In x >-~jEr1 (ЛГ>1)*
Ю78. 2л* arctg лг> In 0_+i!l-
1079. 1+л:1п(л:+1 \+х*)**У\+х*.
Юб ГЛ. IV. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ [1080—1092
1080. ln(l+Jc)>j^j (дг^>0).
1081. sinjc<jc — ^ + y|j (*>0).
1082. slnjc + tgJc>2Ar (о<*<у).
Ю83. £+*Г>1+*.
Наибольшие и наименьшие значения
функций
1084. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы
сумма их кубов была наименьшей.
1085. Какое положительное число, будучи сложено с
обратным ему числом, даёт наименьшую сумму?
1086. Число 36 разложить на два таких множителя,
чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
1087. Требуется изготовить ящик с крышкой, объём
которого был бы равен 72 см2, причём стороны основания
^_^ относились бы, как 1:2. Каковы должны
быть размеры всех сторон, чтобы полная
поверхность была наименьшей?
• 1088. Из углов квадратного листа
картона размером 18 X 18 см* нужно
вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, со-
гнув лист по пунктирным линиям (черт. 29),
получить коробку наибольшей вместимости.
Черт. 29. Какова должна быть сторона вырезаемого
квадрата?
1089. Решить предыдущую задачу для прямоугольного
листа размером 8X5 см2.
1090. Объём правильной треугольной призмы равен v.
Какова должна быть сторона основания, чтобы полная
поверхность призмы была наименьшей?
1091. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном
объёме v каковы должны быть радиус основания и высота
цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?
1092. Найти соотношение между радиусом R и высотой И
цилиндра, имеющего при данном объёме наименьшую
полную поверхность.
1093—1101] § 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 107
1093. Требуется изготовить коническую воронку с
образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки,
чтобы её объём был наибольшим? *■
1094. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р.
Каковы должны быть его стороны, чтобы объём тела,
образованного вращением этого треугольника вокруг его
основания, был наибольшим?
1095. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р.
Каковы должны быть его стороны, чтобы объём конуса,
образованного вращением этого треугольника вокруг своей высоты
был наибольшим?
1096. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма,
который можно вписать в шар радиуса R.
1097. Найти высоту конуса наибольшего объёма,
который можно вписать в шар радиуса R.
1098. Дождевая капля, начальная масса которой m0t
падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь,
так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент
пропорциональности равен k). Через сколько секунд после
начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей
и какова она? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
1099. Рычаг второго рода имеет точку опоры в А',
в точке В (АВ = а) подвешен груз Р. Вес единицы длины
рычага равен k. Какова должна быть длина рычага, чтобы
груз Р уравновешивался наименьшей силой? (Момент
уравновешивающей силы должен равняться сумме моментов груза Р
и рычага.)
1100. Расходы на топливо для топки парохода
пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при
скорости в 10 км/час расходы на топливо составляют 30 руб.
в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости)
составляют 480 руб. в час. При какой скорости
парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет пан-
меньшей? Какова будет при этом общая сумма расходов
в час?
1101. Три пункта А, В и С расположены не на одной
прямой; ^/_АВС—60°. Из точки А выходит автомобиль,
а-одновременно из • точки В—поезд. Автомобиль движется
по направлению к В со скоростью 80 км/час, поезд —
по направлению к С со скоростью 50 км\час. В какой.
108 ГЛ. IV. ИССЛЕЛОВ. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ (1102—1113
момент премени (от начала движения) расстояние
между поездом и автомобилем будет наименьшим, если
АВ — 200 км?
1102. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС
параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь
треугольника ABC была наибольшей.
1103. Найти стороны прямоугольника наибольшего
периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.
1104. В данный сегмент круга вписать прямоугольник
наибольшей площади.
1105. Около данного цилиндра описать конус
наименьшего обьём.» (плоскости оснований цилиндра и конуса должны
совпадать).
1106. Найти высоту прямого круглого конуса
наименьшего обьёма, описанного около шара
радиуса и.
1107. Найти угол при вершине осевого сечения конуса
наименьшей боковой поверхности, описанного около данного
шара.
1108. Каков должен быть угол при вершине
равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус
вписанного в этот треугольник круга бил
наибольшим?
1109. Найти высоту конуса наименьшего объёма,
описанного около полушара радиуса R (центр основания конуса
лежит в центре шара).
1110. Какова должна быть высота конуса, вписанного
в шар радиуса /?, для того чтобы его боковая поверхность
была наибольшей?
НИ. Доказать, что конический шатёр данной
вместимости требует наименьшего количества материи, когда его
высота в X 2 раз больше радиуса основания.
1112. Через данную точку Р (1, 4) провести прямую,
ие проходящую через начало координат, так, чтобы сумма
алии положительных отрезков, отсекаемых ею на
координатных осях, была наименьшей.
1113. Найти стороны прямоугольника наибольшей
площади, вписанною в аллипс ~з~Ьй"==^
1114—1121] | J. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Ю9
1114. Найгн наименьший но площади эллине,
описанный около данного прямоугольника (площадь эллипса
с полуосями а и b равна nab).
1115. Через какую точку эллипса -y-+!fg=1 следует
провести касательную, чтобы площадь треугольника,
составленного этой касательной и осями координат, была
наименьшей?
1116. Па оси параболы у3 = 2рх дана точка на
расстоянии а от вершины. Указать абсциссу х ближайшей к ней
точки кривой.
1117. Полоса железа шириной а должна быть согну га
в виде открытого цилиндрического жёлоба (сечение
жёлоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение
центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором
вместимость жёлоба будет наибольшей.
1118. Из круга вырезан сектор с центральным
углом а. Из сектора свёрнута коническая поверхность.
При каком значении угла а объём полученного конуса будет
наибольшим?
1119. Бревно длиной в 20 м имеет форму усечённою
конуса, диаметры оснований которого равны
соответственно 2 и 1 л. Требуется вырубить из бревна балку
с квадратным поперечным сечением, ось которой
совпадала бы с осью бревна и объём которой был бы
наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?
1120. Ряд опытов привёл к п различным значениям:
лг,, jc3, ... , хп для исследуемой величины А. Часто
принимают в качестве значении А такое значение х, что
сумма квадратов отклонений его от jc,, д:3, ... , хп имеет
наименьшее значение. Найти х, удовлетворяющее этому
требованию.
1121. Миноносец стоит на якоре в 9 км от
ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца
в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу иг
ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен
на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/час,
а на вёслах по 4 KJijnac, то в каком пункте берега он
должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее
время?
ПО ГЛ. IV. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ (1122—ИЗО
1122. Прямо над центром ьруглой площадки радиуса R
нужно повесить фонарь. На какой высоте нужно это
сделать, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку,
которой обведена площадка. (Степень освещения
некоторой площадки прямо пропорциональна косинусу угла
падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстоянии от
источника света.)
1123. Па отрезке длиной /, соединяющем два
источника света силы /, и /а, найти наименее освещенную точку.
1124. Картина в 1,4 м высотой повешена на стену
так, что el1 нижний край на 1,8 м выше глаза
наблюдателя. На каком расстоянии от с гены должен стать
наблюдатель, чтобы его положение было наиболее
благоприятным для осмотра картины (т. е. чтобы угол > зрения был
наибольшим)?
1125. На странице книги печатный текст должен
занимать s квадратных сантиметров. Верхнее и нижнее поля
должны быть но а см, правое и левое — но b см. Если нри-
•* нимать во внимание только экономию бумаги, то каковы
должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
1126 ■ Коническая воронка, радиус основания
которой R, а высота /У, наполнена водой. И воронку
погружается шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объём
воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара,
был наибольшим?
1127. Для какой точки Р параболы уг=2рх отрезок
нормали в Р, расположенный внутри кривой, имеет
наименьшую длину?
1128. Показать, чго касательная к эллипсу, отрезок
которой между осями имеет наименьшую длину, делится
в точке касания на две части, соответственно равные
полуосям эллипса.
1129. В прямоугольной системе координат хОу даны
точка {а, Ь) и кривая y=.f(x). Показать, что расстояние
между постоянной точкой (а, Ь) и переменной (дс, f(x))
может достигнуть экстремума только в направлении
нормали к кривой у=/(х).
ИЗО. Сумма в А руб. разделена на две части в
отношении 1:2. Первая часть в течение 20 лет приносит 5%
сложных годовых (проценты начисляются непрерывно).
1131—1140] | з. ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОЙ ИР0И.Ш0Д1ЮЙ 111
Вторая (большая) часть равномерно расходуется (без остатка)
в течение тех же 20 лет. Когда за эти 20 лет общая
сумма будет наибольшей и когда — наименьшей? Чему равны
эти значении?
Первообразная функция
1131. Показать (двумя способами), что функции
^=1пйд; п у=\пх являются первообразными одной и
той же функции.
II2S" Т° Же Для ФУ"КЦ,,И .У =2 sin1* и у=— cos 2*.
1133. Го же для функций у = (ех -f- е~х)2 \\у = (ех е~х)л,
113 *. Показать, чго функция
у = cos3х -f cos2 (у-f- jc) — cos x cos (j + x)
есть константа (не зависит от х). Найти значение этой
константы.
1135. Показать, чго функция
3/ = 2arctgjc-j-arcsln
2х
\+х*.
еегь константа при *> 1. Найги значение этой константы.
1136. Показать, что функция
^==arccos^£±J'-2arctR ( i/TEl^A
a + b cos x """^ [У а-^Ь^ч]1
где 0<£<а, есть константа при дс^вО. Найти значение
«той константы.
1137. Убедиться в том, что функции -Г-*3*, ехъ\\х и
е*с\\х отличаются одна о г другой на постоянную
величину. Показать, что каждая из данных функций является
первообразной для функции -г—е* ■ ~.
rj си х — slur
§ 3. Применение второй производной
• Экстремумы
В задачах 1 Ы8—1146 найти экстремумы да jx
функций, пользуясь второй производной:
1138. у — хв — 2сдг2 + а2дг (я>0).
113 .р = хЦа-х)\ И40.у = х + £ („>(>).
112 ГЛ. IV. ИССЛЕД0В. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ (1141—ИЗО
1142. у = х\ 2 — jt8.
у = х2е *.
H4I. у = х+ }/Т^х.
II 3. у = еа + е °. II
1145.^=^. Ц48. у=х*.
1147. При каком значении а функция
f{x) = a sin д: -\- у sin 3*
имеет экстремум при jc = -g-? Будет ли это максимум
или минимум?
1148. Найти значения а и Ь, при которых функция
у = a In д: -|- bx2 -f- х
имеет экстремумы в точках дс, = 1 и лг3 = 2. Показать,
что при этих значениях а \\ b данная функция имеет *
d
JZ.
В
I
I
I
!*
I
1
1
I
I
Т£
Чсрг. 30.
минимум в точке *, и максимум п точке *3.
1149. .Показать, что из всех треугольников с данным
основанием и данной площадью наименьший периметр имеет
равнобедренный треугольник.
1150. Пешеход должен пройти из пункта А (черт. 30),
находящегося на одном тротуаре, в пункт В,
находящийся на другом. Зная, чго скорость движения по
тротуару в pi p.i3 (|л>1) больше, чем по мостовой,
определи ib, под каким углом <р пешеход должен пересечь
1151—ИБО] |з. ПРИМЕНЕНИЕ ПТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 113
улицу, для того чтобы совершить путь в кратчайшее
время. Выяснить, в каких случаях наивыгоднейшим путСм
является прямая, соединяющая А и В.
1151. Доказать, что в эллипсе расстояние от центра
до любой нормали не превосходит разности полуосей
(удобно воспользоваться параметрическим заданием
эллипса).
1152. Вершина параболы лежит на окружности
радиуса R-, ось параболы направлена по диаметру. Каков должен
быть параметр параболы, чтобы площадь сегмента,
ограниченного параболой и ей общей с окружностью хордой, была
бы наибольшей? (Площадь симметричного параболического
сегмента равна двум третям произведения его основания
на сстрелку» (высоту).)
1153. Конус, радиус основания которого /?, а высота Н,
пересечен плоскостью, параллельной образующей. Каково
должно быть расстояние между линией пересечения этой
плоскости с плоскостью основания конуса и центром
основания конуса, для того чтобы площадь сечения была
наибольшей? (См. предыдущую задачу.)
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
1154. Выяснить, выпукла или вогнута кривая у = х* '
— 5*8—15jc8-f-30 в окрестностях точек (1, 11) и (3, 3).
1155. Выяснить, выпукла или вогнута кривая <y = arctgjc
в окрестностях точек И, -J) и (—1, —-£■)•
1156. Выяснить, выпукла или вогнута кривая у = хя\пх
в окрестностях точек (1, 0) и (-у, -4).
1157. Показать, что график функции y = xarcigx везде
вогнутый.
1158. Показать, что график функции _y=ln(jc3—1)
везде выпуклый.
1159. Показать, что если график функции везде выпу-
клый или везде вогнутый, то эта функция не может иметь
более одного экстремума.
1160. Пусть Р[х)— многочлен с положительными
коэффициентами и четными показлелями степеней. Показать,
что график функции у = Р(х) -\-ах-j-b везде вогнутый.
.8 Г. Н. Бермы
114 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ [1IBI—1180
1(61. Кривые у = у(х) и y = ty(x) вогнуты на
интервале (а, Ь). Доказан», что на данном интервале: а) кривая
y=z'^(x)-\-^(x) вогнута; б) если у{х) и ф(д:)
положительны и имеют общую точку минимума, то кривая
у — у (дг)-ф(дг) вогнута.
1162. Выяснить вид графика функции, если известно,
что в интервале (а, Ь\\
D У>0. />0, У<0; 2) ^0, /<Г0, у>0;
3).У<0, У>0, У>0; 4) у>0, /<0, У<0.
П задачах 11G3— 1176 найти точки перегиба и
интервалы вогнутости и выпуклости графиков данных функций:
1163. v = аг8 — Г>дга + Здг — 5.
1164. у =(лг-{-1 )« + <?<.
1155. v = х* — 12дг8 -{- 48л:3 — 50.
116 . y = x-\-S6x* — 2х* — х*.
1167. у = 3лг5 — 5л:'-f Злг — 2.
1168. у = (х-±<1)* + 2х + 2.
1169. У = -^5Га (а>0).
1170. у = я — \/х~—Ь.
1171. у = е«"* ( — y<*<f).
1172. j/ = ln(l+*8).
1173. ^ = jln^ (a>0).
1174. >/ = я— {/(л: — Ь)К
1175. ^ = «»гс,к*.
1176. ^ = лг«(121пл-—7).
х 4-1
1177. Показать, чго кривая ^ = "-уптТ пмеет ТРИ точки
перегиба, лежащие па одной прямой.
117(3. Показать, что точки перегиба кривой _у = лг8тл:
лежат на кривой у (4-|~л:3) = 4л:а.
1179. Показать, что точки перегиба кривой у =
лежат на кривой у (4 —|— л:4) =4.
1180. Убедиться в том, что графики функций у = + е~*
U у = е~* sin х (кривая ватухающих колебаний) имеют
1181—1190] g з. ПРИМГ ПЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
115
общие касательные в точках перегиба кривой у=е^х sin x.
1181. При каких значениях а и b точка (1, 3) служит
точкой перегиба кривой у = ах8-|- 1>х3?
1182. Выбрать аир так, чтобы кривая х2у-\-ах-\-
—f— pLv = 0 имела точку А (2; 2,5) точкой перегиба. Какие
еще точки перегиба будет она иметь?
1183. При каких значениях а график функции у = ех-\-ах*
имеет точки перегиба?
118 ■ Доказать, что абсцисса точки перегиба графика
функции не может совпадать с точкой экстремума этой
функции.
1185. Показать, что у любой дважды дифференцируемой
функции между двумя точками экстремума лежит по крайней
мере одна абсцисса точки перегиба графика функции.
1186. На примере функции
^ = лг*4-8л*3+18лга + 8
проверить, что между абсциссами точек перегиба графика
функции может и не быть точек экстремума (ср. с
предыдущей задачей).
У-ffx)
+-х
Черт. 31.
Черт. 32.
1187. По графику функции (черт. 31) выяснить вид
графиков её первой и второй производных.
1188. То же сделать по графику функции (черт. 32).
1189. Выяснить вид графика функции но данному
графику еС производной (черт. 33).
1190. Выяснить вид графика функции по данному
графику ей производной (черт. 34),
8*
116 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ (II9I—1197
1191. Кривая палена параметрически уравнениями
лг=«р(/), yz=z<b(t). Убедиться в том, что значениям /, при
которых выражение ——~-^- меняет знак (штрихом
обозначено дифференцирование но /),
а <р' (/) ■=£ О, соответствуют
точки перегиба кривой.
I
— х
Черт. 33.
Черт. 34.
1192. Найти точки перегиба кривой дг = *а, _у = 3/-{-/8.
1193. Найти точки перегиба кривой дг = е', .у = sin Л
§ 4. Дополнительные вопросы в исследовании
функций. Решение уравнений
Формула Кош и и правило Лопнталя
1194. Проверить справедливость формулы Коши для
функций f(x)==x* и <р (*) = хя 4~ 1 в интервале [I, 2].
1195. Проверить справедливость формулы Коши для
функций /(jc) = sin;t и у (л:) = х -\- cos x в интервале
II S. Доказать, что если в интервале [а, Ь\ имеет
место соотношение |/' (дг) | > | ср' (дг) |, то справедливо
также соотношение | Д/(лг) | > [ Дф (х) |, где Д/(*) =
= f(x + bx)—/(x)t ty (х) = у(х-\-Ьх) — <р(х), а х и
jc-j-Дл:— произвольные точки интервала [а, Ь\.
1197. Доказать, что в интервале \х, -^ (х ^ 0)
приращение функции д/ = In (1 —J— jca) меньше приращения функ-
#y = arctgx, а в_ интервале l*jT»J4—наоборот:
цни
1198—1219] J 4. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ П7
Aarctg.v<^ Д In (1 -f-дг3). Пользуясь поспешим соотношением,
показать, что в интервале U-, 1
arctg х — In (1 -|- дг3) > -J — In 2.
В задачах 111)8—1238 найти предельные значения
данных функций:
Н98. l.m ^l" f^? . ||99. iimlH«±£.
120°- Vl"\iFr- i2oi. ii,„ -izl™«.
|_02. Imi ^~ . I203. Inn —==J .
1204. ton £=-g?£. 1205. lm. *Z^"S!R*
X
+0X-\gX
..... —^^ .
1206. llm ^£ . 1207. lim £n*'.
I 08. lim e*-\. 1209. l.m "-«-*
x Jq cos jc — 1 * " """■ jjl^o sin x cos дг'
iOin i a* —ft* gnu , cos ж In (л: — a)
1213. Inn . 1211. Imi , . *——-i.
л-ОДГ | 1 -Л* *-„ »»( *-*")
1212. lim ; . 1213. «lim 1
x->o x—slnx- х-ю**х~x.
1214. lim
**° c0SJC-fy— 1
1215. lim
sln« 2x
In (1 -f *)« - 4лг + 2дг2 _ 1дг5 4.д4
V|2I6. lim - ,. , _ ..—,- .
X^Q b sin x — bx -f- л*
V ini-7 i In sin 2л: tot» ,. In л:
^ 1217. lim -,—г—-. 1218. lim j—■—.
x+0 In sin л- j^^olnslnjc
219. lim ; -
*118 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ [1220—1243
1220. lim (хп- е~х). 1221. lim [(n — 2arctg*)ln;t].
ж-*+оо х-юо
1222. Jim [,*„£]. 1223. lim (^-&).
122 ' Дт„ [«*-»*> *g]. КЙ5. lim (jb-.i).
1226. lim fctgJc — -V 1227. lira
*-»0 \ «* / x-*l nx
1
cos-j^Ml-*)
1228. lim[J/(« + jc)(/> + A-)(c+jc) —a:J.
1229. lirn Ц«* — 1)J. 1230. lim [х*е"\.
ЛГ-ЮО X -+0
1231. llm(tg *)**-". 123?. lira xilnx.
« лг-*0
1233. lim *,n(*'-lT. 1234. lim (i-Y".
1235. lim ( x + x)T. 1236. lim (2 — f)
. lUf
x^O x-*a
1237. Цт(1+Лу.
•• .. sin jc
1239. Убедиться, что lim , , существует, но не
x-H»x-rs"lx
может быть вычислен по правилу Лоинталя.
1240. Какая функция (при достаточно больших
значениях х) растёт быстрее: ахха или дс*?
1241. Какая функция (при достаточно больших
значениях х) растит быстрее: /{х) или 1п/(х), при условии,
что / {х) —► оо при х—*■ сю.
1242. Пусть х—+0. Доказать, что бесконечно малая
i_
е—(l-f-je)"*—первого порядка относительно х.
1243. Пусть х—+0. Доказать, что бесконечно
малая In (1-}-■*) — e\i\\n{e-\-x) — второго порядка
относительно X.
1244—1252] | 4. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ. PUUJLHHE УРАВНЕНИЙ Ш
1244. К окружности радиуса г проведена касательная
в точке А (черт. 35) и на ней отложен отрезок AN,
длина которого равна длине душ AM. Прямая Л/Л/
пересекает продолжение диаметра АО в точке Б.
Установить, что
г (a cos а — sin а)
sin а — а '
ов=-
где а — раднанная мера
центрального угла,
соответствующего дуге AM, и показать,
что lim 0Ii = 2r.
«-♦о *
Асимптоты
Черт. 35.
1245. Проверить, исходя
непосредственно из определения, что прямая у = 2х-\-\
есть асимптота кривой
2£4-£4Ll_
1246. Проверить, исходя непосредственно из
определения, что прямая х-^~у=0 есть асимптота кривой
х*у-\-ху*=\.
1247. Убедиться в том, что кривые у= \ хв-\~'6х2
и у=——? суть асимптоты друг относительно друга при
х—►Нг-оо.
1248. Убедиться в том, что функции
/(д:) = I/ дг» -f- 2jc4 -|- 7лга f-1 и <р (л:) = дгв + х
асимптотически равны друг другу при х—►со.
Воспользоваться этим обстоятельством и вычислить приближенно
/(115) и /(120). Какую погрешность сделаем, положив
/(100) = <р (100)?
В задачах 1249—1265 найти асимптоты данных кривых:
1249. £—^= 1. 1250. ху=а.
1251. У^я^Ъф. 1252., = , + ^,.
120 гл. iv. исследов. функций и кривых линий [1253—1270
1253. 2у (х + 1 )8 = х*. 125 . у* = а*>—х\
1255. у* = 6х* + х*.
1256. у*(х*-\~\) = х*{х*— 1).
1257. ху' + х*у = а\
U58. .у (д:3 — ЗЬх + 268) = *3 — 3«л:8 + «3.
I 59. Су+л:+1)»=л:2 + 1. '
U6Q. y = x\nle-\-~\
1261. у=*хЛ 1262. >> = */+1.
1263. ^ = jcarcsecjf. 1264.>» = 2л:-f-arct^-^- .
1265. у = х'у~!~а% где f(x) — многочлен (а=^=0).
126 ■ Кривая задана параметрически уравнениями
x = <p(t), y = ty(t). Убедиться в том, что асимптоты, ие
параллельные ни одной из осей, могут быть тольки при тех
знамениях t = t0, при 'которых одновременно
limy(/) = oo н liin<b(/) = oo.
t-*t0 t-*t0
При этом, если уравнение асимптоты есть у = ах-^-Ь, то
fl==lim!n7i' * = 1"и|И0—«?<0Ь
Как найти асимптоты, параллельные координатным осям?
I 67. Найти асимптоты кривой:
_ 1 _ t
х— t , У — qrj.
1268. Найти асимптоты кривой:
_ 2е* _ te'
x—t-v У—~г
1269. Пайги асимптоты кривой:
_ 2f _ Р
Х—1 _ /а » У—l—fl'
1270. Найти асимптоты декартова листа:
1271—I306J § 4. ИССЛЬДОВ. ФУНКЦИЙ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 121
1271. Найти асимптоты кривой:
_ f-8 3
■^ — ^ — 4' У~~ t(t*-4) *
Исследование функций и кривых линий
В задачах 1272—1338 провести полное исследование
данных функций и начертить их графики:
1272. у = ^. 1273. у = р±,.
1274. jf-^.
1275. Ллг—1)(л; —2)(лг —3) = 1.
1276. у=^г-г ПП.у = (х>-\)'.
1278. у — 32х'(х' — 1)".
1279. j/= \-4хг («трезубец» Ньютон<|).
ЮЯО.у-#+±. I28I. У=£^т.
1282.>=^. 1283. ,-jp^.
1284. j/(jc— 1) = jc8. 1285. у (х* — 1) = *«.
I2B6 у— (*-'>' IOR7 ,,_£l±2^±If=?
IJBb. j/ _ —j-^. IZB7. .у= ^ .
1288. jcy = (jca— 1)(л: — 2).
12 9. (j/ — лг)*4 + 8 = 0.
1291. y = x*e-*. |2g2 v__«i
1293.з/ = д:-^1п(а:+1). *"—* *
1294. >/ = In (at2-J- 1>.
1295. у=*»«-**. 1296. у = jt8e~*.
1297. > = «■?. 1298.^=^.
1299.^ = ^+1^, I300.^=(l+1)*.
1301. 3/ = * + sin x. 1302. >> = * sin x.
1303. .y = In cos x. 1304. .y= cos x — In cos x,
1
{305. ^v = x -— 2 arctg *. 1306. у = е*'-4**3.
»
12 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ 11307—1343
1307. у = еч1пх—slnx (без отыскания точек перегиба).
1308. у = Ух* — х. 1309. у = *8 (л:8 — 4)8.
1310. (Зу-f л:)8 = 27*.
1311. ,у=^+ I)8— V*+L
1312. ^==(лг —1)3(д:+1)а.
1313. у» = 6*8— л;8.
1314. (j' — лг)8 = лЛ 1315. (у—лг8)« = х».
1316. v8 = хя -f 1. 1317. у = л:8 — *.
1318. > = л: {х — 1 )8. 1319. у = дга (* — 1).
1320. у = ^=^. I32i. *8д/ -|-ху2 == 2.
1322. у==л;8£±£ (строфоида) (а>0).
1323. 9у = 4дг8 — х«. 1324. 25у=лг8(4— х*)\
1325. у=л8 — х*. 1328. л:2У == 4 {х — 1).
1327. у (2а — х) = х* (циссоида) (а>0).
1328. лг2у8 = (дг—1)(дг —2).
1329. х*у* = {а-\-х)*{а — х) (конхоида) (а>0).
1330. 1бу = (л:а —4)8(1— х8).
1331. у = (1— л:2)9.
1332. у2х* = (л:» — 1 )8. 1333. У = 2ехе~*х.
1334. ,у=е* — л\
1335. ,у=^\ |336./(jc) = ~i,/(0) = l.
!__!_
1337. у=1 — лге И * при хфО; у=1 при jc = 0.
1338. у = х* — 4|*| + 3.
В задачах 1339—1343 исследовать кривые, заданные
параметрически:
1339. jc = /9-f 3/-f 1. у = 1* — 3/-f 1.
1340. х = /8 — Зтт, #у = /8 — barctg/.
■* i _ 3* _ 3f
|л ■■ х — Г+ТЗ» ^—1 -ft3 •
1342. x = te', y^te'1.
1343. Ar = 2rtcos/ — acos2/; ^ = 205^/ — asin2/
(кардиоида).
1344—1360] § 4. ИССЛЕДОВ. ФУНКЦИЙ. РЕШЕНИЕ УРАПНГИПЙ 123
В задачах 1344—1351 исследовать кривые, уравнения
которых заданы в полярных координатах:
13 4. p = asin3'f (трсослеиестковая роза).
1345. p = fltgcp.
1346. p=fl(l+tgcp).
1347. р = а (1 -f- cos cfi) (кардиоида).
13 8. p = a(l-)-£cos'f) (a>0, 6>1) (улитка).
1349. p== ] — (жезл).
1350. p = -arctg-£-.
г я ^ я
1351. p = > f^73; 9 = arcsIn/ + Vrb=T2.
В задачах 1352—1355 предварит ел ьио привести
уравнения кривых к полярным координатам. Исследовать
и построить кривые:
1352. (д:8 -4- у)8 == 4«2*зу.
1353. (*8+У) х = а*у.
1354. jc4-f-y = fl8(jc3 + y).
1355. (х8 -f У) (х3—У)2 = 4лгзу.
Решение уравнений
1356. Проверить, что уравнение
х3 — х3 — 8x-f 12 = 0
имеет одни простой (однократный) корень xt =—3 и один
двукратный корень х8 = 2.
1357. Проверить, что уравнение
дг4 _|_ 2л;8 — Зх3 — 4х -f 4 = О
имеет два двукратных корни: jct = l и х3 =— 2.
1358. Убедиться в том, что уравнение xarcslnx = 0
имеет только одни действительный корень лг = 0 и
притом двукратный.
1359. Показать, что корпи уравнения at sin д: = 0 имеют
ннд x = &rc(ft = 0, zbU ±2, ...), причем значению k — 0
соответствует двукратный корень. Какова кратность
остальных корней?
13 О. Показать, что уравнение х8— Зх8-}-6х—1=0
имеет единственный действительный простой корень,
124 * ГЛ. IV. ИССЛВДОВ. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ Ц361—1365
принадлежащий интерпалу (0, 1), и найти этот корень
с точностью до 0,1, пользуясь методом проб.
I3SL Показать, что уравнение х4-\-Зх*— х — 2 = 0
имеет два (и только два) действительных простых корня,
принадлежащих соответственно интервалам (—1,0) и (0,1).
С помощью метода проб найти эти корпи с точностью
до 0,1.
I3G2. Показать, что уравнение /(х) = аф0, где
f(x) — многочлен с положительными коэффициентами,
показатели степеней всех членов которого нечётны, имеет одни
и только один действительный корень (который может быть
и кратным). Рассмотреть случай, когда а = 0. Найти с
точностью до 0,01 корень уравнения
*8-|_з*— 1=0,
комбинируя метод проб с методом хорд.
1363а Доказать теорему: для того чтобы уравнение
л:8 -\- рх -\- q = 0 имело три простых действительных корня,
необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты р и q
удовлетворяли неравенству 4/>8 —|— 27<уа <^ 0. Иайгн с точностью
до 0,01 все корни уравнения
д;8_9д;-^2 = 0,
комбинируя метод проб с методом хорд.
1384. Показать, что уравнение
jt4_|_2jta — 6д: + 2 = 0
имеет два (и только два) действительных простых корня,
принадлежащих соответственно интервалам (0,1) и (1,2).
Комбинируя метод хорд с методом касательных, найти эти
корни с точностью до 0,01.
1365а Показать, что уравнение
jc» + 5д: + 1 = 0
имеет единственный действительный простой корень,
принадлежащий интервалу (—1,0), и найти этот корень с
точностью до 0,01, комбинируя метод хорд с методом
касательных.
*
В задачах 13G6—1371 приближённые значения корней
уравнения следует находить комбинированием трёх методов:
метода проб, меюда хорд и меюда касательных. (При
1366—1373] % Б. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ 125
необходимости следует пользоваться таблицами значений
функций, входящих в уравнение.)
136 * Показать, что уравнение хех = 2 имеет только
один действительный корень, который принадлежит интервалу
(0, 1), и найти этот корень с точностью до 0,01.
1367а Показать, что уравнение х\пх = а не имеет
вовсе действительных корней при а<^ , имеет одни
действительный двукратный корень при я = , два
действительных простых корпя при <^а<^0 и один
действительный простой корень при с^0. Найти корень
уравнения л:In* = 0,8 с точностью до 0,01.
1368а Показать, что так называемое уравнение
Кеплера х = в s\n x-\-а, где 0<^в<^1, имеет один простой
действительный корень, и найти этот корень с точностью
до 0,001 при е = 0,538 и а=1.
13С9а Показать, что уравнение а* = ах при я^>1
всегда имеет два (и только два) действительных и
положительных корня, нричСм один корень равен 1, а второй
корень меньше, больше или равен единице в зависимости
от того, будет ли а больше, меньше или равно е. Найти
с точностью до 0,001 второй корень этого уравнения
при с = 3.
1370а Показать, что уравнение Ar8«Trctgjc = o, где
афО, имеет один действительный корень. Найти с
точностью до 0,001 корень этого уравнения при о=1.
1371а При каком основании а системы логарифмов
существуют числа, равные своим логарифмам? Сколько
таких чисел может быть? Чему равно это число (с
точностью до 0,01) при а=~?
§ 5. Формула Тейлора и её применения
Формула Тейлора для многочленов
1372. Разложить многочлен х*— 5л:8-|-л:8 — Зл:-[-4
по степеням двучлена х — 4.
1373. Разложить многочлен jc8-j-3jcj — 2дг-|-4 по
степеням двучлена дг-J-l.
126 гл. iv. исследов. функций и кривых линий [1374—1888
1374. Разложиib мпоючлен л:10— Зд:5-}-1 по
степеням днучлена х— 1.
1375. Функцию f(x) = {x2 — Зле —|— 1 )в разложить по
степеням л1, пользуясь формулой Гейлора.
1376. f(x) — многочлен четвертой степени. Зная, что
/(2)=—1, /'(2) = О, /" (2) = 2, /'"(2)=— 12, /Iv(2)=24,
вычислить /(— 1), /(0), /"(1).
Формула Тейлора
1377. Найти формулу Тейлора при х0=—1 я-го по-
рядка для функции у=—.
1378. Найти формулу Тейлора при *0 = 0 (формулу
Маклорепа) я-го порядка для функции у = хе*.
1379. Найти формулу Тейлора при х0 = 4 я-го порядка
для функции у=] х.
1380. Найти формулу Тейлора при л*0 = 0 2я-го порядка
е* 4- е—■*
для функции у = —^ .
1381. Найти формулу Тейлора при дг0=1 я-го порядка
для функции у=х*\\\х.
138 . Найти формулу Тейлора при д:0 = 0 2я-го порядка
для функции v = sin8Jf.
1383. Иайгн формулу Тейлора при дг0 = 2 3-го порядка
для функции у = —— и построить графики данной
функции и ей многочлена Тейлора 3-й степени.
1384. Найти формулу Тейлора при лг0 = 0 2-го порядка
для функции y = igx и построить графики данной функции
и еС многочлена Тейлора 2-й степени.
1385. НаЙ1И формулу Тейлора при х0 = 0 3-го порядка
для функции _у = arcsin jc и построить графики данной
функции и ей многочлена Тейлора 3-Й степени.
1386*. Доказать, что число 0 в остаточном члене
формулы Тейлора 1-го порядка
/(а + Ь)=/(а) + Н/'(а) + ^/"(а + Щ
стремится к -г- при я—*0, если /'"(*) непрерывна при
х = а и Г"{a)^kO. Обобщить этот результат.
1387—1399] § е. формула теЙлора и rli применения 127
Некоторые применения формулы Тейлора
В задачах 1387—1392 выяснить поведение данных
функций в указанных точках:
1387. у = 2х« — *8-|-3 в точке * = 0.
1388. у = х" + Ъх*-\-\ в точке * = 0.
1389. у = 2 cos х -f- х3 в точке х = 0.
1390. ^ = 6^* — 2*8-f 9л;а — 18* в точке x = U
1391. у = 6 sin х-\-х* в точке х=*0.
1392. у = 24ех — 24л;— 12л:2 — 4л:8 — х* — 20 в точке
лг = 0.
1393. f(x) = x" — 3x* + x*-{- 2. Найти первые три
члена разложения по формуле Тейлора при jr0=l.
Подсчитать приближенно /(1,03).
1394. /(л:) = л:8— 2х1-\-5х6 — л:-}-3. Найти первые три
члена разложения по формуле Тейлора при л:0=а=2.
Подсчитать приближенно /(2,02) и /(1,97).
1395. /(лг)=лг80 — л:40-}-л:80. Найти первые три «пена
разложения f(x) по степеням х—1 и найти приближённо
/(1,005).
I39S. f(x)=xb— 5л:8 -]- х. Найги первые три члена
разложения но степеням х — 2. Вычислить приближённо
/1(2,1). Вычислить/(2,1) точно и найти абсолютную и
относительную ошибки.
1397. Убедиться в том, что при вычислении значений
функции е* при 0<л:<1 по приближенной формуле
допускаемая погрешность меньше 0,01. Пользуясь втим,
найти [ е с тремя верными цифрами.
1398. Убедиться в том, что для углов, меньших 28°,
ошибка, которая получится, если вместо зшл: взять
выражение х — зр-Ь^Г* бУдет меньи,е 0,000001. Пользуясь этим,
вычислить sin 20° с шестью верными цифрами.
13 ■ Найти cos 10° с точностью до 0,001. Убедиться
в том, что для достижения указанной точности достаточно
■зять соответствующую формулу Тейлора 2-го порядка.
128 гл. IV. исследов. функций и кривых линий [1400—!409
Многочленные приближения Че б ы ш е в а
В задачах 1400—1405 найти в указанных интервалах для
данных функций наиболее отклоняющуюся линейную функцию
(р(х) и наибольшее возможное ее* отклонение й:
1400. /(х) = х2 — Здг-f 7 в интервале [1,2].
1401. f(x)=x9 в интервале |0, 1].
1402. f(x) = Vx в интервале (О, 1].
1403. / (д:) = -L в интервале [1, 4].
1404. /(х) = \пх в интернале [\,е\.
I 05. f(x) = slnx в интернале 0, у •
1406. Найти многочлен 7-й степени, наименее
отклоняющийся от нуля в интервале [— 1, 1], и его наибольшее
отклонение.
1407. На интервале [О, 1] дана функция у = ех. Найти
линейное приближение к этой функции но формуле Тейлора
(в точке х = 0) и по формуле Чебышева. Указать, в какой
части интервала лучшее приближение даёт формулу Чебышева
и в какой части интервала лучшее приближение даСт формула
Тейлора.
1408. На интервале 0, у дана функция y = xslnx.
Найти линейное приближение к этой функции по формуле
Тейлора ( в точке * = у) и по формуле Чебышева.
Указать, в какой части интервала лучшее приближение даСт
формула Чебышева и в какой части интервала лучшее
приближение даёт формула Тейлора.
§ 6. Соприкосновение кривых линии. Кривизна
Соприкосновение кривых линий
1409. Показать, что кривая д» = 1пд; и гипербола
д>= ~ имеют при дг=1 соприкосновение 1-го порядка.
Убедиться в том, что разность ординат данных кривых, со-
1410 -1417] f в. СОПРИКОСНОВ. КРИПЫХ ЛИНИЙ. КРИВИЗНА 129
ответствующнх общей абсциссе х, есть бесконечно малая
второго порядка относительно 1х = х—1, если Д*—>-0.
1410. Показать, что кривые y = tgx и _y = arctgjt имеют
при л: = 0 соприкосновение 2-го порядка.
1411. Найти кубическую параболу вгиа у = х8 -J- ах -J- Ь,
имеющую с кривой у= х при х = 0 соприкосновение 1-го
порядка.
1492. Найти параболу с осью, параллельной осп Оу,
имеющую при х = 0 с кривой у = хех соприкосновение 2-го
порядка. Убедиться в том, что разность ординат обеих
кривых, соответствующих их общей абсциссе х, есть бесконечно
малая величина 3-го порядка относительно бесконечно малой
абсциссы х.
1413. 11айтн синусоиду вида у = A sip (ах -\- Ь) (А ]> 0),
имеющую при х = 1 с параболой у = \ х соприкосновение
2-го порядка. Убедиться в том, что разность ординат
параболы и синусоиды, соответствующих их общей абсциссе х,
есть бесконечно малая величина 3-го порядка относительно
бесконечно малого приращения \х = х—1.
1414. Показать, что синусоида _у ==siii л: и эллипс
2 ( х — y) +4 (у ^-J =1 имеют при ■* = -£-
соприкосновение 3-го порядка.
1415. Показать, что окружность
x*-\-y*—l8x—\8y-\-<J0 = 0
и парабола V^-j-T у = 2] 3 имеют при х = 3
соприкосновение 3-го порядка.
1416. Показать, что циклоида
f x = a(t — s\nt),
\ y=za(\ — cos/)
и эллипс 3(лг —Tfrt)34-4(^-f я)8 = ЗСаа имеют при х — па
соприкосновение 4-го порядка.
1417. Найти параболу 4-го порядка, имеющую при # = 0
с цепной линией y = -jlea -\-е а\ соприкосновение 4-го
порядка.
9 Г. Н. Берман
130 i л. iv исслэдов. функций и кривых линий II4I8—1438
1410. Найти соприкасающуюся окружность параболы
у=х* в точке (1, 1).
1419. Найти соприкасающуюся окружность гиперболы
^=1 в точке (1, 1).
1420. Найти соприкасающуюся окружность кривой у = ех
и точке (О, 1).
1421. Найги соприкасающуюся окружность кривой #y = tgx
в точке (-г, 1 ].
I 22. Найти соприкасающуюся окружность циссоиды
{х*-\-уг)х— 2ау2 — 0 в точке (а, а).
Кривизна
В палачах 1423—1430 найти кривизну данных кривых
1423. Гипербола лгу = 4, в точке (2, 2).
1424. Эллипс -y-\-jz- = \, в вершинах.
I 25. у = хк— 4л:8—18л:8, в начале координат.
1426. .у2 = 8*. в точке (~, з).
1427. у = \пх, в точке (1, 0).
1428. у = \п(х-\-\ 1 -\-х2), п начале координат.
1429. ^==sin* в точках, соответствующих
экстремальным точкам функции.
1430. Декартов лист х*-\-у* = Ъаху, в точке [-^а, -%а) •
В задачах 1431—143С найти кривизну да jx кривых
в произвольной точке (х, у):
1431. ,ш.л 1432. £-£ = 1.
1433. у=In sec x. 143 . jc3 +. у* = я3.
X I V * • я пл* _ * X
I435. £, + £,„ = I. !436. j=a ch £
В задачах Й37—1443 найти кривизну данных кривых:
1437. лг = 3/3; y = '6t — P при f=l.
1438. х = a cos8/; .y = asin8f при t = tx.
1439—I454J $ е. соприкоснов. кривых линий кривизна 131
I 39. A; = a(cos/ 4~*s,nt); ,y = c(sin/— tcost) при
1 2 "
1440. x = 2 л cos t — a cos 2/; д/ = 2а8ш/ — а sin 2/ в
произвольной точке.
1441. р = а* в точке р = 1, у=*0.
1442. р = яу в произвольной точке.
1443. p = o'f* в произвольной точке.
1444. I Гаити радиус кривизны эллипса -j -f- yj = 1 в
той его точке, в которой отрезок касательной между
осями координат делится точкой касания пополам.
1445. Показать, что радиус кривизны параболы равен
удвоенному отрезку нормали, заключенному между
точками пересечения нормали с параболой и се" директрисой.
14 6. Показать, что радиус кривизны циклоиды в
любой ее" точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
1447. Показать, что радиус кривизны лемнискаты
p8 = a3cos2^ обратно пропорционален соотнетсгвующему
радиус-вектору.
В задачах 1448—1451 найти вершины (точки, в
которых кривизна принимает экстремальное значение, см.
«Курс», п° 93) данных кривых:
1448. V^+VJ=}^. 14 9. у=\пх.
1450. у = ех.
1451. * = fl(3cosf-f cos3/); y~a(Sslnt-\-smSt).
1452. Найги наибольшее значение радиуса кривизны
кривой p = asin8^-.
1453. Показать, что кривизна в точке Р кривой
У=/(х) равна |y'cos8 а |, где а — угол, образуемый с
положительным направлением оси абсцисс, касательной к
кривой в точке Р.
1454. Показать, что кривизну кривой в произвольной
точке можно представить выражением К= —7-— , где а
имеет то же значение, что и в предыдущей задаче.
Ь*
132 ГЛ. IV. ИССЛЕД0В. ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ ЛИНИЙ [1455—1464
1465а Функция f(x) определена следующим
образом: в интернале — <х><дг<1 f(x) = xB; в интервале
1 <^jc<^oo f(x) — ax*-\-bx-\-c. Каковы должны быть а,
Ь, с для того, чтобы кривая у=/(х) имела везде
непрерывную кривизну.
1456. Дани (черт. 3G): дуга AM окружности с
радиусом, равным 5, и с центром в точке (0,5) и отрезок ВС
. , прямой, соединяющей точ-
У ;С(">66) кп Д (1,3) и С (11,66).
Требуется точку М
соединить с точкой В дугой
параболы так, чтобы кривая
АМВС имела везде
непрерывную кривизну.
Найти уравнение искомой
параболы (взять параболу
5-го порядка).
(0,5)
*s
/
/? (1,3)
м
Черт. 36.
В задачах 1457—Н61
найти координаты центра
кривизны и уравнение
эволюты для данных кривых:
1457а Парабола л-го порядка у = х",
1458а Гипербола —г — т*=1.
112
(459. Астроида хъ-\-у3 = о3.
1460а Полукубнческая парабола у* = ах2.
1461. Парабола x = 3t; у = Р — 6.
1462. Показать, что эволюта трактрисы
х = — a Mntgy-)-cos /J; y — aslnt
есть цепная линия.
14 За Показать, что эволюта логарифмической спи-
■рали р = я* представляет собой точно такую же спираль,
только повернутую на некоторый угол. Можно ли так
подобрать о, чтобы эволюта совпала с самой кривой?
146 а Показать, что любую эвольвенту окружности
можно получить путем поворота одной из них па
соответствующий угол.
f *
1465—I474J §7. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Ш
1465. Показать, что расстояние некоторой точки
циклоиды от центра кривизны соответствующей точки
эволюты равно удвоенному диаметру производящего круга.
1466а Эволютой параболы у? = 4рх служит
полукубнческая парабола
ГУ* = £7(х — 2/;)».
Найти длину дуги полукубнческой параболы от острия
до точки (х, у).
1487а Найти длину всей эволюты эллипса, полуоси
которого равны а и Ь.
1488. Показать, что эволютой астроиды Jt = flCos8/;
y:=asln8tf является астроида вдвое больших линейных
размеров, повернутая па 45°. Воспользовавшись этим,
вычислить д'ншу дуги данной астроиды.
1469 *а Показать, что эволюта кардиоиды
х = 2а cos t — a cos 2i\ у = 2а sin t — я sin 2t
есть также кардиоида, подобная данной. Воспользовавшись
этим, найти длину душ всей кардиончы.
1470 :'а Доказать теорему: если кривизна дуги некоторой
кривой либо только возрастает, либо только убывает, ю
круги кривизны, соответствующие различным точкам этой
дуги, не пересекаются и лежат один внутри другого.
§ 7. Вычислительные задачи
I47L Найш минимум функции у = х*-]-х2-{-х-J- 1 с
точностью до 1.
I 72а Найти максимум функции .у = х-\-\пх — дг8 с
точностью до 0,001.
1473а Найти наибольшее и наименьшее значения
функции у =ss х2 -(- 3 cos х в интервале О, -J1 с точностью
до 0,01.
1474а Найти наибольшее и наименьшее значения
функции у=х— ех3 в интервале [0,2; 0,5] с точностью до 0,001.
134 гл. iv. исследов. функций и кригых линий (1475—1478
1475. Найти координаты точки перегиба кривой
у = е^(х* — Сх2-{-19х—-30) с точностью до 0,01.
1476. Найти координаты точки перегиба кривой
у = 6х3 \nx-\-2x*— 9дг8 с точностью до 0,01.
1477. Найти с точностью до 0,0001 кривизну кривой
У=~Ъ в точке ей пересечения с прямой у = х—1.
1478. На кривой у = \пх найти с точностью до 0,001
координаты точки, в которой радиус кривизны данной
кривой в три раза больше абсциссы этой точки.
;
!
1
ГЛАВА V
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Понятие определённого интеграла
1479. Выразить с помощью интеграла площадь,
ограниченную следующими линиями:
1) осями координат, прямой д; = 3 и параболой
У = х*+\,
2) осью абсцисс, прямыми х==*а, х = Ь и кривой
jf = e» + 2(ft>e),
3) осью абсцисс и дугой синусоиды у = $'тх,
соответствующей первому полупериоду.
1480. Скорость v радиоактивного распада является
заданной функцией времени: v=.v{t). Выразить количество
т радиоактивного вещества, разложившегося за время от
момента 70 до момента 71: а) приближенно — суммой;
б) точно — интегралом.
1481. Скорость нагревания тела является заданной
функцией времени ф(0. На сколько градусов 0 надеется тело
за время от момента Т0 до момента T{i Выразить решение:
а) приближенно — суммой; б) точно — интегралом.
1482. Сила / переменного tokj является заданной
функцией времени / = /(*). Выразить (приближенно — суммой к
точно — интегралом) количество Q электричества, протекшее
через поперечное сечение проводника за времи Г, счшам от
начала опыта.
1483. Напряжение Е переменного тока является
заданной функцией времени Е=*<р (/); сила тока /—тоже жданной
функцией времени /хф(1). Выразить работу А тока за
время от момента 70 до момента Тх\ а) приближенно —
суммой; б) точно — интегралом.
13G
гл. v. oiiPi-д! лНпный mm п*ал |1484—149Я
148 ■ Прямоугольная стенка аквариума, до край»
наполненного водой, имеет основание а и высоту Ь,
выразить силу Р давления ночи па нею сгеику: а) приближённо —
с помощью интегральной суммы; б) точно — с помощью
интеграла.
1485. Фигура ограничена осью абсцисс и прямыми
у = '2х, х = 4, Jt="6. Найти площади «ходящих и
выходящих я-стуиенчатых фигур ( лестниц»), разбивая
интервал [4, (i| на равные части. Убедиться, что оба
полученных выражения с гремя гея при
неограниченном возрастании п к одному и
тому же пределу 5—площади
фигуры. Найти абсолютную и
относительную погрешности при замене
данной площади площадями
входящих и выходящих л-стунеича i их
«лестниц».
148 ■ Криволинейная трапеция с
ось ванпем [2, 3| ограничена
параболой у=х2. Пай гп абсолютную и
относительную погрешности при
замене данной площади площадью
входящей 10-стуиенчагой «лестницы»,
площадь фигуры, ограниченной иа-
jc = 3, jc = 6 и осью абсцисс.
Черт. 37.
1487.
Вычислить
х2
раболой у = —, прямыми
1488. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого
прямой ,v = 2л:-4- 3 от параболы у=х2.
1489. Вычислить площадь параболического сегмента
с основанием я =10 см и стрелкой я = С см. (Основанием
служит хорда, перпендикулярная к оси параболы,
черт. 37.)
1490а Материальная точка движется со скоростью
г/ = 2/-{-4 см/сек. Определить путь, пройденный точкой
за первые 10 сек.
1491. Скорость v при свободном падении равна gt.
Найгн путь, пройденный за первые 5 сек. падении.
1492. Скорость движения, пропорциональная квадрату
времени, в конце 4-Й сскущы р.шиа 1 CMtcetc. Чему ранен
путь, пройденный за первые 10 сек.?
1493—I498J §2. СВОЙСТВА ОПРЕДЬЛЁИНОГО ИИГО'РАЛА 137
1493. В цепь равномерно вводится напряжение. В
начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты
напряжение достигает 120 в. Сопротивление цени равно
100 ом. Самоиндукцией и емкостью пренебрегаем. Найти
работу тока в течение одной минуты.
§ 2. Основные свойства определённого интеграла
Вычисление интегралов суммированием
19а Непосредственным суммированием и поел еду ю-
1
щпм переходом к пределу вычислить интеграл I e*dx.
о
(Интервал интегрирования делить на п равных частей.)
I 95. Непосредственным суммированием и последую-
2
щпм переходом к пределу вычислить интеграл
Cdx
.IT'
1
(Интервал интегрирования делить на части так, чтобы
абсциссы точек деления образовывали геометрическую
прогрессию.)
2
1498. Для интеграла I ^£ составить интегральную
J х
1
сумму, разбив интервал интегрирования на п равных
частей. Сравнив с результатом предыдущей задачи,
вычислить:
.|^(т+гп+;гЬ+-+к)-
1497*. В,,,„сл„ть j^(l+n-^+n-£-2 + ...+ I)
{а — целое число). Подсчитать приближенно
Vloo + ПИ+Т02 + * • • +5uOJ-
I 98*. Найти Urn P + 2*nt;r + "*) при *>0. Вы-
числить приближенно 1ь —J— 2В —|—...-{- 1005.
138 гл. v. определённый интеграл [1499—150*
1499*. Непосредственным суммированием и
последующим переходом к пределу вычислить интеграл:
а а Ь
1) [xexdx; 2) fin* At; 3) fllf dx.
Ola
[В 1) разбивать интервал интегрирования на равные части;
во 2) и 3),— как в задаче 1495.]
Интегрирование степени и суммы степеней
В задачах 1500—1505 вычислить данные интегралы:
л+2 10 3 я
1500. 1) ( dx; 2) ГлгАе; 3) [ xdx; 4) \ x*dx;
a —2 0 —2 a_
2
2.3
5) f X*dx.
-4.1
3 * m
1501. 1) ГблгЛе; 2) Г {b2 -f a2) x dx; 3) ('2-*J**;
2 о Vt
4) J***.
a
a m
1502.
2,6
1) Г(3д;3 — x+l)dx; 2) f*8+ "»'</*;
2,6 b
f (2jc+1)3Ac; 4) Г(аг —a)(jc —^)Jjc;
1 о
0 1
5) f (fL±^dx; 6) [(^j/),<to-
—а о
2 3
1503. 1) §x*dx; 2)§£dx.
n i
1304—1512] $ 2. свойства определённого интеграла 139
9 4
1504. 1
) ^Vxdx; 2) j|£; 3)J££;
1 1 4
2 9
4) ^x+i.ydx; 5)^Vx(\+Vx)dx;
Г dx
6) J" (O>0;ft>0).
1,2 2
1505. 1) J fx2 + 3x+^\dx; 2) f(l/5—J/J)A«r;
0,8 1
4 —3,3 2a
3) Р-у + б^; 4) Г Ц*.'^; 5) Г. dX '
2 —5 a
4 г, 9
Y2ax
6) ГЩ« 7) Ur-z-Wdz; 8) Г-^« „,.
Tf " { JVJ' + I '
1506. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой у — хг — 4дг—|— 5, осью абсцисс и прямыми д: = 3,
х = 5.
1507. Определить площадь фигуры, ограниченной ду-
гамн парабол у=—х2 и ^=3—=".
1508. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
yz=x* — бдг-flO и у = 6х — х2.
1509. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболами У=х2 и у = \^х.
1510. Вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кубической параболой y=zxB, осью абсцисс и
прямой х — а (о^>0).
1511. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболами
X*
у = хг и }>=-$.
1512. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
у=х(х—I)3 и осью абсцисс.
140
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ (1513—1523
1513. Вычислить площадь, заключённую между
параболой у = х3— 2х -|- 2, касательной к ней в точке (3, 5), осью
ординат и осью абсцисс.
1514. Из физики известно, что сила,
противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её
(закон Гука). Растягивая пружину на 4 см, произвели
работу в 10 кгм. Какая работа будет произведена при
растяжении пружины на 10 см?
1515. Чтобы растянуть пружину на 2 см, нужно
произвести работу в 20 кгм. Насколько можно растянуть
пружину, затратив работу в 80 кгм?
1516. Электрическая цепь питается батареей
аккумуляторов. В течение 10 мин. напряжение на клеммах равномерно
падает от £"0==60 в до £"=40 в. Сопротивление цепи
R = 20 ом. Определить количество электричества, протекшее
через цепь за 10 мин.
1517. Напряжение электрической цепи равномерно падает,
уменьшаясь на а =1,5 в в минуту. Первоначальное
напряжение цепи £"0=120 в. Определить работу тока за 5 мин.
Сопротивление цепи /? = 60 ом.
Оценка интегралов
ю
1518.
о
I. Доказать, что интеграл I х Лх меньше, чем JL .
J jf3 -f-16 6
о
2
1519. Доказать, что интеграл f e*— * dx заключен
между -jj^z. и 2е3.
Vе
В задачах 1520—1525 дать оценку интегралов:
1520. |^. «*15$5^.
1.5 0
Б* 5
4 2
1522. J (1 + sin* *) dx. 1523. J _*_ dx,
n i
4
1324—1531] § 2 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА HI
VT в
1524. \ xarctgxdx. 1525. f x*e~* dx.
VT 1
~T e
1526. Убедившись в справедливости неравенств
4
—^>lnjc^>l (х^>е), показать, что интеграл t 3/—
з *
меньше 1, но больше 0,92.
1527. Доказать соотношения
1
2,33 < С (e*+ e~x) dx < 3,09.
(Воспользоваться результатом задачи 1083.)
1528. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов
больше:
112 2
1) ^x2dx или ^xBdx? 2) Г х2 dx или ^xBdx?
1529. Выяснить, какой из интегралов больше:
1 1
1) Г2*3Ле или [2**dx? 2) С 2х2 dx или Г 2х* dx?
2 2 4 4
3) \\tixdxvum \ (In лг)2 dx? 4) {\nxdx или С (\nx)2dx?
ii зз*
i
1530. Доказать, что I у 1 -\-x3dx<^}_A (воспользо-
о
ваться неравенством Буняковского). Убедиться, что
применение общего правила даёт более грубую оценку.
1531. Доказать, исходя из геометрических соображений,
следующие предложения:
а) если функция f(x) в интервале [а, Ь] возрастает и
имеет вогнутый график, то
ъ
{Ь-а)/{а)<^/(х)&<(Ь-а)*ЩШ;
142 гл. v. определённый интеграл [1532—1530
б) если функция f(x) в интервале [а, Ь] возрастает и
имеет выпуклый график, то
ъ
(b-a)f(a) + fib)<§f(x)dx<(b-a)f(b).
а
3
x2dx
1532*. Оценить интеграл I , 2.
J
2
1
■Г:
1533. Оценить интеграл I }'1 -|- хА dx, пользуясь:
а) основной теоремой об оценке интеграла;
б) результатом задачи 1531;
в) неравенством 1/1-J-а:4 <^ 1 -{-"о" »
г) неравенством Буняковского.
§ 3. Основные свойства определённого интеграла
(продолжение). Формула Ньютона-Лейбница
Теорема о среднем. Среднее значение
функции
153 ■ Вычислить среднее значение функции у =
= 2а:3 -|- За: -j- 3 в интервале [1, 4].
1535. Вычислить среднее значение функции у = \гх
в интервале [0, 10].
о
1536. Вычислить среднее значение функции у = ^ -
V*7
в интервале [1, 8].
1537. Вычислить среднее значение функции у=
= \/Гх-] =т в интервале [1, 4].
> х
1538. Исходя из геометрических соображений,
вычислить среднее значение функции у=уа? — хг в
интервале [ — а, а].
1539—1549J § з. свойства определённого интеграла 143
1539. Сечение жёлоба имеет форму парабсшческого
сегмента. Основание его а—\м, глубина Л =1,5 л
(черт. 37). Определить среднюю глубину жёлоба.
1540. Напряжение электрической цепи в течение
минуты равномерно увеличивается от f0=100 в до Ех =
= 120 в. Определить среднюю силу тока за это время.
Сопротивление цепи 10 ом.
1541. Напряжение электрической цепи равномерно
падает, убывая на 0,4 в в минуту. Начальное напряжение
в цепи 100 в. Сопротивление цепи 5 ом. Найти среднюю
мощность тока в течение первого часа работы.
1542. Исходя из геометрических соображений,
определить среднее значение непрерывной нечётной функции на
интервале, симметричном относительно начала координат.
В задачах 1543—1547, пользуясь обобщённой
теоремой о среднем, оценить следующие интегралы:
1543. f-^L. t
J £/i+*7 1544. r*8tgjt<
dx.
J ~
1545. (x*exdx. \
.548. Jf±>.
1547*. \V7\nxdx. °
f/Jln
Интегралы с переменными пределами
1548. Найти выражение для интеграла с переменным
верхним пределом:
X
1) (x*dx; 2) [x*dx\ 3) (V*dx; 4) \~r=-
a a 0 1
1549. Скорость движения тела пропорциональна
квадрату времени. Найти зависимость между пройденным
расстоянием 5 и временем /, если известно, что за
первые 3 сек. тело прошло 18 см, а движение началось в
момент / = 0.
144 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ [1550—1557
1550. Сила, действующая на материальную точку,
меняется равномерно относительно пройденного пути.
В начале пути она равнялась 100 динам, а когда
точка переместилась на 10 см, сила возросла до 600 дин.
Найти функцию, определяющую зависимость работы от
пути.
1551. Напряжение электрической цепи равномерно
меняется. При t = tx оно равно Еъ при t = t3 оно равно Е2.
Сопротивление R постоянно, самоиндукцией и ёмкостью
пренебрегаем. Выразить работу тока как функцию
времени t, прошедшего от начала опыта.
0552. Теплоёмкость тела зависит от температуры
так: с = с0 -j- at -f- fi/3. Найти функцию, определяющую
зависимость количества тепла, полученного телом при
нагревании от 0 до /, от температуры t.
1553. Криволинейная трапеция ограничена параболой
у = х2, осью абсцисс и подвижной ординатой. Найти
значения приращения Д5 и дифференциала dS площади
трапеции при а: =10 и Да: = 0,1.
1554. Криволинейная трапеция ограничена кривой
у = Yх2 ~Ь 16, осями координат и подвижной ординатой.
Найти значение дифференциала dS площади трапеции при
х = 3 и Дл: = 0,2.
1555. Криволинейная трапеция ограничена кривой у = а:8,
осью абсцисс и подвижной ординатой. Найти значения
приращения Д5 площади, её дифференциала dS, абсолютную (а) и
относительную (^=^с) ошибки, возникающие при замене
приращения дифференциалом, если дг = 4, а Дат принимает
значения 1; 0,1 и 0,01.
1556. Найти производное число функции
х
р \ _ 14-t2
y = ]rft+T^t прм х=\.
и
X
1557. Найти производные числа функции у = I sin х dx
при а: = 0, *=-т- и а: = -^-.
1658—1565j g з. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 145
1558. Чему равна производная от интеграла с
переменным нижним и постоянным верхним пределом по
нижнему пределу?
1559. Найти производные числа функции
y = ^y\-\-x*dx
я
при аг = 0 и * = -|-.
1560* Найти производную по х от функции
2х
Г 8in X A
X
1561. Найти производную по х от функции:
1) y-^dz; 2) Ппаг^аг.
2*
1562*. Найти производную по х от функции f In1 x dx.
1563. Найти производную у' по х функции, заданной
неявно:
Г <?'#J_f costdt = 0.
1564. Найти производную от у no x функции, заданной
параметрически:
t t
1) х=\ sm tdtt y=\costdt;
f l
2) x=\ tlntdt, y = ^t*\ntdt:
1565. Найти значение второй производной по z от
ж*
Г dx
функции у= j-p-p. при 2=1.
о
Ю г. Н. Берман
14(i ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [15Б6—1в71
1586. При каких значениях х функции
ж
J(x)=[xe-"dx
имеет экстремумы?
1567. Найти точки экстремума и точки перегиба графика
функции
2)*dx.
1568. По графикам функций, данным па черт. 38,
выяснить вид 1 рафиков их первообразных.
Черт. 38а. Черт. 386.
1569. Найти кривизну кривой
х
^=f(l+/)ln(l+0^
в точке (0, 0).
1570. Найти многочлен Р{х) наименьшей степени,
имеющий максимум, равный G, при дг=1 и минимум, ранний 2,
при х—'З. (Предварительно выяснить Bin производной от
этого многочлена.)
0571. Найти многочлен Р(х) наименьшей степени, график
которого имеет три точки перегиба: (—1, —1)), (1, 1) и
точку с абсциссой 0, в которой кривая наклонена к оси
абсцисс под углом в G0°.
1572—I578J 14. вычислительные задачи Н7
Формула Ньютона-Лейбница
1572. Зная, что производная от arctg* равна . , л>>
1
С dx it
показать, что I i . a =-r*
1573. Зная, что производная от arcsin* равна г -■, ■ ,
1/ 1 —ж»
1
вычислить среднее значение функции у = ——> в интер-
вале [1, -А].
1574. Зная, что производная от In cos* равна —tgx,
n
7
вычислить \ tg л* dx.
о
1575. Функция f(x) обращается в нуль в точках х = а
и х — Ь и имеет непрерывную производную. Чему равен
ь
^f'(x)dx?
а
1576. Касательная к графику функции y=f(x) в точке
с абсциссой х = а составляет с осью абсцисс угол -я- и в точ-
о
ке с абсциссой х = Ь угол -j .
ъ
Вычислить J /" (x) dx {f" {x) предполагается непрерывной).
о
§ 4. Вычислительные задачи
13 задачах 1577—1582 при нахождении пределов
интегрирования необходимо воспользоваться методами приближенного
решения уравнений (см. «Курс», п° 85).
0577. Найти площадь фигуры, ограниченной дугами
парабол у = х* — 7 и у= —2jc24-3jc и осью ординат.
1578. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
у = х* и прямой у = 7 (х ~\- 1).
10*
148
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИПТ1 ГРЛЛ
[1379-158Я
1579. Определить площадь фигуры, ограниченной
параболой у=з\6 — х2 и полукубнческой параболой у= — \/' х2.
1580. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
.у = 4— х* и у= \/~х.
1581. Для определения работы пара п цилиндре паровой
машины вычисляют площадь индикаторной диаграммы,
представляющей собой кривую, выражающую р
зависимость между давлением пара в
цилиндре и ходом поршня.
На черт. 39 изображена
индикаторная диаграмма (упрощенная) паровой
10
35
Черт. 39.
70
-V
машины. Исходя из размеров, проставленных на чертеже (в ли),
вычислить площадь ABCDO, если известно, что уравнение
кривой ВС', jy^7 = const, (кривая ВС называется
адиабатой); Y^l.3; АВ — прямая, параллел! ная оси Ov.
1582. На черт. 40 представлена индикаторная диаграмма
дизельного двигателя. Отрезок АВ соответствует процессу
сгорания смеси, адиабата ВС — расширению, отрезок CD —
выпуску и адиабата DA — сжатию. Уравнение адиабаты
ВС: pv*>* = const.; уравнение адиабаты AD: /л>',86 = const.
Исходя из размеров, проставленных на чертеже (в лих),
определить площадь ABCD,
11
i
ГЛАВА VI
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Понятие неопределенного интеграла
и неопределённое интегрирование
В задачах 1583—1733 найти указанные простейшие
неопределённые интегралы:
1583. (\Gdx. 1584. fm x^dx. 1585. Г ^ .
1586. [\0*dx. 8587. fe-VAc. 1588. f -^-.
I5B9. f-45U. 1500. [з,4лГ0,,7Лс.
1591. ^(1— 2u)du.
1592. J (J x+l)(x — Vx+\)dx.
■593. fi^-y + ^rfr.
8594. f (2л-1,2 + Зх~ о,» — 5дг°,88) dXt
1597. ]&=p*c. 1598. }^±^.
1599. f^-2'/^+2^. I 00. fUSil*.
150 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТГГРАЛ [1603—1848
1603. [\+2**dx. 1604. [™* dx.
J 1+cos2jc J cos»aл:-sin2л
8605. ^tg*xdx. 160 . ^ctg*xdx.
1607. j2sm»^. 1608. l-gb-ax.
v 1609. С (arcsin x + arccos x) dx. 1680. f sin x d{sin x).
1681. lix+\)»dx. 1612. J(2l^3)T-
1613. J-^-(^l). 1614. jf/(8=3^^.
1615. (УГ^Лс. 1686. f ,x m </*.
1617. f cos Зл: dx. 8618. f (cos a—cos 2л-) rf*.
8619. f sin (2x — 3) dx. 8620. j" cos (1 — 2x) dx.
1628. f [cos (2* — x)]~V 8622. f a**dx.
8623. J «-* dx. 8624. J c~ 8*+' dx. 8S25. J (e*+1)»Лс.
I626- H^ l627- J^I ' l628- {«£«■
B629. Г rf* - 8630. f J"2 tf*.
J>3-3jr» J^2+2.ta
8638. Г-*U. 1632. f . dx . 8633. Г —,.
J 1 -И*а J /1 - 25** J 1 4 _ jei
1637. }*£. №38.}^. 1639. Jj££.
86 0. Ugxdx. 8 48. CctgArd*. 8642. С igZxdx.
8643. j ctg (2x + 1) d*. 8644. £ 2л- К** -f 1 dx.
8645. j * VT^x^dx. 8646. j *3 l/x^+2dx.
1
.«
1647—1686) e 1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 151
8647. [.xdx 8 48. f-4^-. 8649. f-^^.
8650. f ^~b)dx , 8S58. r;2tT3^.
8652. f sin» x cos * dx. 8653. f ^£ .
8654. f^L^. 8655. f cos8 x sin 2* Лс.
J ^/S1.12JC
VI656. ^dx. 8657. J^A*. «658.j^
8659. f f3r;grf^ . 86 О. Г-
dx_
x
dx
(nccsln jtjsi i —Xя
1661. Г dx (662. 1>л:</л:.
Jcos'JTl I +tiX J
1663. \ e~**x'ilx. 1664. f <?•'"* cos-cite.
1665. (V (sin «*)<&. 1666. f-^±2 d*.
,667- Itt^- № B- .№"•
,6C9-jVi!<*- гМгй=А
1675. f§±**. 1676. fS^S.
1677. } *±» л. «78. j^\ ax.
,679. J^ te 1680. ]•££ .
,6W- J7&- ,682-I^T4- ,683-I^r-
168. Г*£. .685. j^. .686.]^.
152 гл. vi. неопределенный интег рал (1687—1733
1695. j^. 1698. j^^L- 1697. Jyfej.
I98-jW£+5- |вЭ8-/,/1-Х+ая-
1700. f "* 1701. Г йх
1702. (cos'xrf*. 1703. f sln>*d*. 170 . С ,—^— .
J J J 1— cot*
1705. f-гД—. 1708. [\=«±*dx.
J 1 -f- sin x J 1 -f- cos Jt
1707. [\±$£dx. 1708. j(tg3* + tg<*)a*.
1709. j cos л: sin 3jc rfjc. 171 . I cos 2x cos Зл: d*.
1711. Г sin 2x sin 5jc rfjr. 1712. I cos x cos 2дг cos 3jc dx.
1713. C-*L. 1714. fi^l^^. 17b. [*^dx.
J cos* J cos л: J ccsJt
J «I»4-* J 1 cos a J cos**
1719. [cos*xdx. 1720. [tg*xdx. 0721. \sln*xdx.
1722. ^sin^rfjc. 1723. Jtg»**/*. 172 . ^-^^.
1725. [*'*+*</*. 1726. ^e^+^dx. 1727. jclutd*.
17 8. [shxdx. 1729. f-#-.
1730. J (ch2 ax + sh2 яд:) rf*. 0731. j" th« д: d*.
173 . [ch*xdx. 1733. Г , c*'** .
1734—I767J e 2. основные методы интегрирования 153
§ 2. Основные методы интегрирования
Интегрирование по частям
В задачах 1734—1783 найти неопределенные
интегралы:
1734. \ х sin 2х dx. 1735. \ х cos x dx.
1738- [xe-'dx. 1737- \x3xdx.
1738. ^xn\nxdx(n^ — 1). 1739. jjtarctgjrdA:.
17 0. [arete л: tf*. 1741. ( arccos дгяд:.
1742. f arctg J^rf*. 1743. I" •**==■ dx.
1744- \ д: tg3 x dx. 1745- \ x cos3 x dx.
1746. [ x sin x cos x dx. 17 7. I -^^- djc.
1748. f^fed*. 1749. Г bn^jL? dx.
1750. j !i£* rfA, |75|. j jtB^^.
1752. ] In (x-+ 1) dx. 1753. J (T^ У
1754. f -4^. - 1755. f ХЛ^ -.
J> 1+-*» ^ J 1 1+2дг
1758. [ x2 In (1 -|- x) dx. 1757. f x4~* dxV
8758. f x*e* dx. ^ 1759. f x3ax d*. •
1760. С Ar'coswjcr/A-.- 1781. (Ar'sIiuerfA^4^
1762. [ x2 cos3 x dx. I7S3. ( In3 x dx\.
178 . J^d*. I7"5. Je^Ad?
17 . Гг-^дг^дг. 1787. f (arcshiA-)2*/*'.
154 гл. vi. неопределенный интеграл [1768—1790
1768. j (arctg х)2 х dx. V 1769. f e* sin x dx.
1770. [ eBx (sin 2x — cos 2x) dx. 1771. С eax cos nx dx.
1772. \ exs\n3xdx. 1773. \s\n\nxdx.
1774. J cos In л: d*. V Y/1775. [l^ ,/*.
1778 f *dx V 1777 f x2fIx
l77e- J (i + ^ • w l777- J pf=3 •
1778. ft "^+3^ ^- 1779. f y== dx.
dx.
17 2. I' =-arctgjerfje. 1783. I xzex sinxdx.
Замена переменной)
В задачах 1784—1790 найти неопределенные интегралы,
применяя указанную подстановку:
1784. I ==- (подстановка jc-|~ 1 = г3).
1785. t . : (подстановка ех4- 1= z*).
J J <?*+! '
1786. I —r=—:р-— (подстановка x = z9).
J V X— ' X
1787. s* f подстановка дг = — ].
J jc \ x- — 1 \ г)
1788. I— (подстановка л; = a sin г).
J \ яа—jca
1789. \ ____ (подстановка x = tgz илм x = s\\z)
1790. | dx [подстановка x — —^
= a ch z j.
— ИЛИ Jf:
*
1791—1826] { 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 155
В задачах 1791—1837 найти неопределенные
интегралы: ^
17 I. Г / d±_ . 1792. [xVT+xdx.
J х\ x+l J
1793. f -*** 87 . f -4^L,. 1795. f -4S,.
J(t-l)» J 12+4.* J>JC-1
1796. f_£±L=</jt. 1797. Г dx -.
J JC» JC —2 Jl + I JC
1798. ЦД-Лс. 1799. f Z^,, </*.
J x-\-\ J -*(jc-Hj
1800. f —£-=— . 1801. fS^Urf*.
1802. \sin |^^. 1803. JJf^A^
1804. jKi+cos2jc• sin 2x• cos 2xdx. 1805. j ^^ .
1806. f ^ dr. 1807. f ■ rfl_ .
1808. (V'^-V*. 1809. f-%^-^.
J J In sin x
I8!0. f /"** dx. 1811. fU±2i5^.
J SlllJCCOSJC J Sin JC
1812. [-t£M=. 1813. f-i^L. 181 . [r*£L-t .
J > fl« _ x* J (1 +*'/» J (x* — 4p
1815. ГДД* 081 . Г-±£_лс.
B8B7. [l^EZdx. 1818. f lr
1819. f -_^L_ .. 1820. f—Й=*
J ^ («»+*=Я J JC3),^_
Л--4-1
9
1Щ2*. «*J-
1321.
J *' J x^ Г+*8
Я823. f " . 1824. f l^pS Лг.
J 1 (■** - a2;3 J •**
1825. J * lx+l*x ix. 1828. J« ^ *dx.
156 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТГГРАЛ [1827—1850
1827. r.'fl+^J**. 1828. (V?rzrTdx.
Ю29. Г 4L=. "830. ГЩШл*.
1831. f J^L,, 1832. Г =£=.
1833. f 'd* 0834. (х^^хЧх.
П задачах 1838—1840 найти неопределенные пптегралы,
сделав сначала замену переменной, а потом интегрируя но
частям:
1838. f arcsln* л* 1839. f^ardgjr^.
§ 3. Основные классы интегрируемых функций
Д р о б н о-р а ц и о п а л ьн ы е функции
1) Знаменатель имеет только действительные
различные корни.
В задачах 1841 —1855 найти неопределенные интегралы:
1841. Г££. 184 . J(x + ^+|).
1851—1881] § а. сенов, классы иитьгрирурмых функций 157
ц«е>1 С 32лг dx | цеп Г Д? ялг
WD1" I <2jc-1)(4a'-1G*+15) * ЮЭА I л«-Зл*+2 *
юсе Г (2-«» — Здг3) rfjc
2) Знаменатель имеет только действительные корни;
некоторые корни — кратные.
В задачах 185G—1869 naiirn неопределенные интегралы:
МВ.Г£±§Л. 1857. У*-*?+Уп-
J (л:—2)3 J х (х*-{■ 2х-\-\)
1858. f __££__ 1859. Гт±4лс.
3) Знаменатель имеет комплексные различные корни.
В задачах 1870—1881 найти неопределенные интегралы:
Ю70. J *£. 1871. J-*--. 1872. J fa .
1873. Г-**£ 1874. Г/^ГУ"/^ .
J* — 1 J (а--1)(л* —2* + 5j
J 1— ■«* J (■* +l)(x»-{ x)
«877. j-,^^. ,87«,J'^±^-.
«881. )x-^dx.
158 гл. vi. иропредглённып интытлл (1882—1903
4) Знаменатель имеет комплексные кратные корни.
В задачах 1882—1887 найти неопределенные
интегралы:
«82. j^i<*. ШИ.Г,££!£.
.88 . jlr^r. .887. J^.
5) Метод Остроградского.
В задачах 1888—1895 найти неопределенные интегралы:
1888. Г flg + g)'** . |889. Г -у7 + 2 rf,
J (л:*—Зл: + З)3 * J (л* + ■* + I)8
1ВЭ0" J <l+*)(l+*y ' 18Э1" J (Jr-l^+lf *
1892. f ft**1.^. 1893. Гт-т^.
J j* — 2x* -\- xJ J (jt4 — I)2
iBQi Г ^*
.oqc Г Jfi — x* — 2йл* — 24* — 25 .
Некоторые иррациональные функции
В задачах 1896—1930 найти неопределенные интегралы:
V~*dx .опт Г их
1898. Г _ "' ... . 1899. f __£!__
1900. f ™=. 1991. Г ^ r.
J(X+l)Z +(X+1) Л
1902. f -=^ . 1903. f Щ& dx.
J \ ax + b±m J x2
1904—1934] t з. осноп. классы имтытируемых функций 15!)
"■^IjTjrfew ,907' I^WTf
Г dx
1908. Г *» J/(l +xr<tx. .909. J , i+j>, •
19Ю. Г_*£-. MIL f^=T-
.gut. f-^Ц-. «зга. Г-я$г-.
1914. f Jx -. 1915. fl *(l+3 *)«<**.
,916. fJL^L ifx. 1917. f *' .
J j[/ д; J | УХ -bX + 2
1918. Г rft 1919. f t dx
J > 12*-9*2—2 J ^ 12v-9*--4
1920. f ll±5=dx.H92L Г «*-'>"
J J 9**4-0*-J-2 JT jc> -b 2jc -f- 2
.924. f *** ■ .925. f , a' •
J ) 1—2JC-JC2 J * | *' + * И
1926. Г .^f 1927. [[ x* — 2x—\dx.
J x *'4-4*— 4 J
1928. f)'3*a — 3*+ld*.l9 9. J1 ** + *dx.
1930. f-4^£tLdr.
J > **-f 2л:+ 2
Тригонометрические функции
В задачах 1931 —1958 iiallrii неопределенные интегралы:
1931. [sm*xcos*xdx. 1932. j^tf*.
1933. f$¥dx. 193 . Г tdxl , .
J cos," a: J cos» x sin» *
160 гл. vi. неопределенный литытлл [1935—1969
1Э35. f . /* . 1938. f-£L. 1937- f-^L.
J sin4 x cos* x J siuJjc J sin» x
1938. j cos» x dx.Vj 193 - j ctg« jc dx.
1940. jV*</*. 1941. j.*-.
19 2. f-r—£ • i943. f H
J Sill X + COS X J « COS JC+ * gill* '
1946.
Ar
j4^- ■«■jfiSU
fte V
1948. ("_J*—. 194Э. fc .
1952. f , dxt . 1953. Г-, H-
J 1 — sm« jf ***" J a*s№x + Pcofx"
COS JC </jt
sinSjc —coj> x *
095 . [p$JL±***dx. 1955. f.
J COS» X _ siu^ x "*"*" J ,
1958. f- ■*'.._■■. 1957. f / **~* .dx.
J J 1 —Sill** J SlnATCOSJC
1958. j J/ 1 -j_ cosec x dx.
Гиперболические функции
В задачах 1959—1969 найти неопределенные
интегралы:
1959. ^ctbfxdx. I960. ^sh*xdx. I96I. \th*xdx.
1962. jsh«*ch»*Ac. 19 3. J cth«*d*.
"«■Jiinrar;. •905.J^L..9BS.j(T^.
1967. J J, Шах. 1988. f-ig.. 1969. f-££ .
1970— I994J | з. ОСНОВ. КЛАССЫ ИНТЫТИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ И'I
Рациональные функции от х и Уах*-\-Ьх-\~с.
В задачах 1970—1986 найти неопределенные интегралы:
(8jc — 11)//jc
1970. Г xdx 1971. fi
J T Jjc»-1U + 2 J 1
l972. f rfy 1973. f =^=
l974. fiiGEM^. 1975. f ** i .
5 + 2x—x2
x^
dx
1976. f , "* ■. 1977. f
J x I «2 - д?» J
1978. f '" I97D. f £
'980-{с^тЬг -Мтрй^
.982. J4P*. .983. j^^—.
1986.
i
(2* + Я)Ле
(л* + 2* + 3) У at»+ 2A:-f4
Разные функции
В задачах 1987—2046 найти неопределенные интегралы.
»87. j^. гавв.^,^,.
1989
■ 1т^- '990-1тр<*-
.991. f. *£ .992. \¥-!£lux.
Jx—V*-\ J Vx
1993. j * J^P to 1994. j" „^.
11 Г. Н. Бермам
162 >л. УкмЕоиггдЕлЁнный интглтлл 11995—2020
199 .^*Ш*-. 19 e.j> + 3*+5)cos2*d*.
Ю97. j ** sh х dx. 1998. J arctg (1 -f ]/х) dx.
199 . j J£«|£*L. 2000. j"« '^ rfx
aOOf. J xi- V" ,ix. 0 . f (*» — 2x* + 5) в» dJe.
2 08. jj l + sliucrf*. 004. \ sin J *rfjr.
aoos. ' rft
I ^-p. 200S. f £l_.
J^. 2010. J
L-, "?.- 2014. f
J J о cos <p -}- sin <p J
(JC-1)
2007
009.
Oil.
dx
sin 2jc — 2 sin jc "
dx
co&Jjc"
cos 7.x dx
1 -f" Sill X COh JC
rft
1+Jt«
. \^±-ldx. 2016. J^
17. f*ln(l+*')rf*. 2018. fiilLLzil^
J J In1*
l9' J "> C^-if dX' 2020e \x2ex™sxdx.
202!. J jce- (*■ + l) dJc. 2022. f -
20 ,[-- ** 2024. Г
J J/ StU3 X COb* JC J
20Э5. f fV^ . 2026. f —
J Cos?* + Stn*JC тлятятш i ^ ^_
6lnbJCCOS,6^r '
Sin JC + COS JC '
oa7- JItsi dx- 202B- J ^ w+2./,.
• 029—2046] § 3. оспой, классы hi цитируемых функций 163
20 8L f—£»-"^
J X \ X
2031. ^
2033.
' arctg x'dx
035.}^,,*.
2039. jnr^^.
2041. Г<я+-"*<*,<'*
20 3.
2045"
2046.
1
(1+**)»
dx
sin* jc -j- cos4 jc
dx
. 2030.
2032.
034.
2038.
2038.
2040.
2042.
2Э44.
1
1
I
1
dx
(2jc — 3) ) 4jc—a:-5
xe* dx
£nrct^£
I 1-н** + «2*
sxrfixdx.
х*-Ъх + 1
(jc*-3*—IOj*
(jc -f- sin x) dx
1 -J- соь x
dx.
f es,n*
-H 1 у J + .4'
JC COS* JC — Sin X
COS2 JC
dx.
11*
ГЛАВА VII
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ПРОДОЛЖЕНИЕ).
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Вычисления интеграла
Применение формулы Ньютона-Лейбница
В задачах 2047—2073 вычислить определенные
интегралы:
2047. jVlT^. 048. ]'(ТГ^.
—2
я
-13 т
2049
т
L [тт==г 2050. fi±*Urf«.
J У(&—*)* J cos,a
""■JbE3(»>">«>>. 2054. j-^.
2055. J I±£fc* ax. 05G. |l^£ .
■ ter". 058. f -S£L.
2057
—i
2059—2074J $1. вычисления иптьгвллл 105
2059.
7
2
'•I.TT^- 20G0- |*(т-*)л
T 7
206,и f 1-f^sjg* 2062. fcossjcsin2A:rfA:.
"7
IB 7
°63" VT4~U - 1 ~x ' 206*" J К cos a: — cos* xdx.
2
к
2065. '
». I cosa -|- r/<p. 20 6. \ sin2 (tax -f- <p0) Лс.
о
2 3
2067
■ J(X _ Я)(д; _2a) ' UQO" J2аг»-т-Зд:-2 *
Л~«« f *rf* «л-.л f cos»* rfx
г069\)гтт*- 207°- J Fins-
1 *_
""'I
« JL
7 4
2071. f cos t sin (2* — -j) dt. 2072. [ctg* у d<j>.
2_
"•.slnJL
073
nb\\\ —
-)-^-dx.
2074. Вычислить \ у'(х) у" (x) dx, если cp'(6)=a н
106 гл. vii. определышый и ш'соб. интегралы (2075—2005
2075. Определить среднее значение функции
/(х)=х3 ' в интервале [1; 1,5|.
2076в Определить среднее значение функции
/(#) = cosdjc в интервале (0, тт].
2077. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
х
/(*)= )jfl*lx,ldx в шпервале |0, 1J.
6
0.R
2078*. Показать, что 0,5< Г --dx - <-£-:*: 0,52 (п *> 1).
и
2079*. Показать, что
1
Д- ^ 0,523 < f dx < * ^ 0,555.
Определённое интегрирование по частям
В задачах 2080—2090 вычислить определенные
интегралы:
1С
1 2~
2080. ^хе~* dx. 2081. \ х cos x dx.
1С
8*
2082. jjjl. 2083. f *» sinxdx.
a-jife. 2083. J
2084.
4
Г
\ * loft л: tf*. 2085. I In (a* + 1) dx.
2086—2099] §i. БЫЧИСЛ1ПИЯ ИПТ1ТРАЛЛ 107
20ввфп(*+У^?=7')</*. 2087. Jj^^p-
fl о
я 2
2088. Wa* — x2dx. 2088. fe2* cos a: dx.
в
2090. jln° а: аГд:.
l
В задачах 2091—2093 вычислить определенные
1С
2"
интегралы, пользуясь формулами для \ cosnxdx и
1С
2
\sinnxdx (см. «Курс», п°118).
S
к п
091. f sin5xdx. 2092. \* cos8, dx.
1С
2
2093. f sin11 ArrfAT.
0
2094. Составить рекуррентную формулу для J xnexdx.
—i
2095. Используя неравенство sinA-^зл:— -^-,
справедливое при аг^О, и неравенство Бундовского,
показать, что
1С
2~
1,098< \УхШхdx < 1,25<3.
8
1GN ГЛ. VII. 0ПР1ДЕлИ|||!ЫЙ И Ill'COh. ИПТ1 ТРАЛЫ [2096—2113
Замена переменной в определенном
интеграле
В зплачах 2096—2118 вычислить определённые
интегралы:
2096.
s 1
xdx
Шт**- 0Э7Я
4 О
8 1
' xdx
2098. l-4Sr. 2099. Г xdx
* о
1
1
«ml пта- 2ioi. Г *£
1пГ> еч
2102.
2104.
Jsg?<* щ^
I+lllJC"
S? 3 7 2
ax
Г <*-^ 2103. f-=
J3+J (jc-2)» jj) *+l
*+l+l (*-M)a
«
я у
2106. Г llx . 2Ю7- Г sin x ens xdx
a2 соьа x-^-b* sin x'
2108.
f_*L_. 2Ю7. f.
J A > X*+5X+1 l
1С
2110. f^fe 2111. j'%^*
2
2 1
2112. \Vx'~l <*x. 2113. [К(1^=7»Г8^
I 0
2114—2122] § l. вычисления интеграла К»'.)
1 —!n2
114. [x*VT^7* dx. 2815. С V\—e**dx.
. f ^ .. 2117'. fsln-i^.
116
it
T
}
2118*. \ cos^xdx.
2119. Найти среднее «значение функции
f(x)—#r+i в »»"тср»а^ [°»2J.
2120*. Доказать справедливость равенства
1 X
jr&»-Jr&> <*>°>-
2121*. Убедиться н том, что \ xf(s\nx)dx —
1С 1С
Т "2
= у f/(sin л:) dx = ~ • 2 • f/(sin л*) </лг = тс f/(sln at) Лкг.
и й б
Применить полученный результат к вычислению
интеграла
1С
х sin х .
--dx.
J
1 -{- coi8 д:
2122. Дли интеграл \ /(л:) dx; указать такую линей-
ную подстановку x-=-az-\-b, чтобы пределами
интегрирования по z были 0 и 1, Всегда ли задача разрешима?
170 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБ. ИНТЕГРАЛЫ [2123—2126
2123а Доказать справедливость равенства
ъ ь
j f(x)dx=^f{a-{-t? — x)dx.
в а
21 4- Убедиться в том, что
~2 2
\/(cos x) dx = \/(sin a:) dx
Применить полученный результат к вычислению
интегралов
« и
2 2
\ cos3**/* н \ slrfxdx.
2125. Доказать справедливость равенства
1 1
—x)mdx.
[хт{\ —x)ndx=z\ хп(\ —-х)т,
2л
2126а Интеграл U—Д легко берется с помощью
J О — о COS X
о
подстановки tgy=z. Имеем:
2п 0
15 —3cos* ) : 1 _jv—°«
* «(1+^(5-31-^)
Но, с другой стороны, —3<— 3 cos х < -|- 3, значит,
2<5-3cos*<8 „1>J_^__> j. Отсюда
2n 2r л
1тл>1г=У553>]т*.
0 0 О
2*
л следовательно, J 5 ,. j *ua-s > т • Найти ошибку.
п
127—2I38J § 1. иычислшия иитпгрлла 171
Разные задачи
Н задачах 2127—2134 вычислить указанные определён-
иыс интегралы:
о
2.27. j^. 2128. j^
1 —а
1 УГ
2129. \*|/2дг + ^а cfjc. 2130. [x*yTFJ*dx.
2131. f £ . 2132. [{ms\nx)*dx.
2133. Lclg/F^T^. 213 . f (3* + 2)<V
* 6(ж'-|-4л:-|-1)2
IT
7
niop f | aft | dx n
2135. Показать, что }a*cottx + fls№xs=''f* rAe
b
я и Л — любые действительные числа, отличные от нуля.
В задачах 2136—2139 убедиться в сиранедшвости
данных равенств (см. «Курс», п° 119):
к
If
2136. \ x">s№xdx=:0.
т
2IW. I J tfjr = 0.
J CO!»3 X
-1
1 1
2138. f ecoa *dx = 2 [ ecoa * dx.
172 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ПЕСОБ. ИНТЕГРАЛЫ [2139—2145
]+х
2139. Г
1
2
</л: = 0.
cos х In l — х
1
2
1
(' dx
Zr ■ <0,^3, восполь-
b
зовавшись для оценки снизу неравенством 1 -j-je4<^(l -f--*2)2»
а для оценки сверху — неравенством Буняковского.
214(*. а) Показать, что если f(t) — функция нечётная,
X X —X
то \ f(t) dt — функция чётная, т. е. что \ f(t) dt = \ /(/) dt.
а а а
х
б) Будет ли \ /(/) dt функцией нечётной, если /() —
л
функция чётная?
21 2*. Показать, что если fix) — функция периодическая
Т
с периодом Т, то \ f(x) dx не зависит от а.
а
2143 ■ Доказать справедливость равенства
х х* х t*
\etxe-*'dz = e* \e 4 dz.
Т
214 *. Пусть /„= Г tg"xdx(n^> 1 и целое). Проверить,
о
что ^4~Ai-3=;^i7T • Доказать, что
1
2145. Вычислить интеграл \ (1—х2)" dx, где п —
целое положительное число, двумя способами: разлагая степень
двучлена по формуле для бинома Ныоюна и с помощью
подстановки jf = sin^.
2146—2130J | 2. ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЗ
Сравнив результаты, получить следующую формулу
суммирования (С* — биномиальные коэффициенты):
« C\iCl С1 , ... , (-!)"_ 2-4-6...2я
i~~T'l Т"Г "Г27ГгТ"~ 1-3-5... (2л -И)*
2148. Вынести рекуррентную формулу
С dx х . 21—3 Г dx
J (1 -f- jc2)« 2(Л-1)(1+х2)я-1 "T2(rt-l)J (l+x*)n-i
и вычислить с её помощью интеграл
2147. Составить рекуррентную формулу для вычисления
f sin*.
интеграла I slnmx cosn x dx (m и п — целые, положительные
числа; исследовать частные случаи чётных и нечётных
значений m и я).
1
21 8*« Найти \ л^(1—х)ч dx (р и q — целые
положительные числа).
21 9 . Доказать, что 11m -i^l— (<о>0, Л>0,
I e*v>wdx
а
Ь^>0) равен 0, если х<^Ь, и равен ос, если х = Ь.
§ 2. Приближённое интегрирование
В задачах 2150 — 2152 вычисления вести с точностью
до 0,001.
2150а Площадь четверти круга, радиус которого равен
единице, равна 4-. С другой стороны, взяв единичный круг
174 гл. vii. отдалённый и ш.соб. иптьгралы [2151—2156
с центром в начале координат, уравнение которого х2 -[-дА=
= 1, и применяя для вычисления площади четверти этого
круга интегрирование, получим:
1 »
~ = С /1 — x2dx, т. е. тг = 4 \\ \—x2dx.
Пользуясь правилами прпмпуголышков, трапеций и
Снмпсона, вычислить приближенно число тт, разбпиая интервал
интегрирования [0, 1] на 10 частей. Полученные результаты
сравнить между собой и с табличным значением числа тт.
1
2151. Зная, что \ * г2=-т* вычислить приближенно
числи тг. Результаты, полученные но различным правилам,
при разбиении интервала интегрирования на 10 частей
сравнить между собой и с результатами предыдущей задачи.
ю
—, используя правило
Снмпсона при я =10. Найти модуль перехода от натуральных
логарифмов к десятичным. Сравнить с табличным значением.
В задачах 2153 — 2158 вычислить приближенно,
пользуясь формулой Снмпсона, указанные интегралы, которые не
могут быть найлепы в конечном виде с помощью
элементарных функций. Число (л) частичных интервалов задается (в
скобках).
fyi—x*dxt (10). 2154- f I 1
2153. \У\—хЧх, (10). 2154- \\ 1 + **dx, (10).
Я|55- J-&. <с>- 2|5в- J
з
Kcosiptf'f, (10).
2157—2161] | 2. ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТШРИРОВЛНИЬ
175
1С
J
2157. \Vl— Q,\sm*'fd?, (6).
2158.
sin x
i!x, (10).
2159. Вычислить по формуле Снмпсона интеграл
1.3Б
\ f{x) dx, пользуясь следующей таблицей значений фуик-
1,05
ими /(х):
X
/(•*)
1,05
2,36
1,10
2,50
1,15
2,74
1,20
3,04
1,25
3,46
1,30
3,9В
1.Л5
4,60
2160. Прямая линия касается берега реки в точках
А и В. Для измерении площади участка между рекой и
прямой ЛВ провешены 11
перпендикуляров к ЛВ or А g,0° . ff
реки через каждые 5 м
(следовательно, прямая АВ ^'
имеет длину G0 м). Длины д£
этих перпендикуляров
оказались равными 3,28; 4,02; Аа
4,64; 5,26; 4,98; 3,62; 3,82; .
4,68; 5,26; 3,82; 3,24 м. Че- 4
му равна искомая площадь? Jig
2(61. Вычислить
главный шпангоут парохода '
(т. е. сечение в наиболее д7
широком месте судна) при
следующих данных (черт.
41): AAl=A]A3 = A2A:i = AnAi—AtAb = AlAt=A(iA7 =
=0,4 м; АВ=3 м\ H,Z?l=r=2,92 м; А2В2жг=2,7Г> м; АиВв=
= 2,52 ж, И4Д4 = 2,30 м\ И6£6=1,84 м; Л«Д, = 0,92 м.
Черт. 41.
170
ГЛ. VII. ГПРГДЕЛЬПНЫЙ И IILCOD. ИНТГГРАЛЫ [2I62-—2164
2162. На черт. 42 изображена индикаторная диаграмма
(см. задачу 1581) паровой машины. Ординаты точек кривых
ЛВС н ED, соответствующие абсциссам х0, xv х2 х10,
даны следующей таблицей:
Абсциссы
Ординаты крииой АНС
Ординаты кривой LD
1
Е
0
х0 х,
h
*3
Jl
.
*4
*S
*6
.
*7
*а
*9
С
Р. ■
*//
Черт. 42.
Вычислить с помощью формулы Спмпсона площадь
ABLDE. Ординаты даны в миллиметрах. Длина 0/г=88,7 мм.
§ 3. Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами
В задачах 2163 — 2186 вычислить указанные
несобственные интегралы (или установить их расходимость):
00
nJ63. f£,
00
216
Jdx
7*'
216В—2187] $ з. 111- coiiCTBEi111ык интегралы 177
со со
2163. f«n«</*(e>0). 2166. f^tpf.
6 -co
i о t
00 00
2173. f dx, - 2174. fjcr-*1!/*.
Oi 0
oo oo
2175. f x4~*dx. 2176. [x sin x dx.
и (x*e~**dx. 2176. f.
00 00
К [e~v*dx. 2178. Г,
00 00
2179. te-a*zo%bxdx. 2180. f^L**/*.
0 —oo
00 00
2183. f ^ dJC 2184*. f—£_ (я _ целое
положительное число).
00
2185. \xne~~xdx {n — целое положительное число),
о
00
2186. I jc2"+1 e~~**dx (n — целое положительное число).
00 00
2187*. Доказать, что Jr^r= [п^=57Г
о 5
12 Г. Н. Берман
178 ГЛ. VII. ОПРРДКЛЙН. И НГСОБСТВ. ИПТПРАЛЫ |2188—2199
В задачах 2188—2194 исследовать сходимость данных
интегралов:
Оо
2188.
2190.
A' -f 1
dx.
2189.
00
1-
д:я4-1
dx.
о
00
ДГ»
1
00
(tb _|_ ЛГЗ -|- I )Я
dx. 2I9I.
j!"J£fcJ>dr.
о
00
00
2592. 1 xe^xdx.
о
00
2fl93. [i^BLdx.
о
19 .
f/ЛГ
л: In In jf
2195. Функция /(х) в интервале fc, оо) непрерывна и
оо
при х —► со / (х) —► А =£ 0. Может ли интеграл \ f(x) dx
сходиться?
00
2396. При каких значениях к интеграл I x*x~^ nx dx
будет сходящимся?
е 197. При каких значениях k сходится интеграл
00
]
dx
дг* In х
В задачах 2198 — 2207 вычислить ллнные интегралы,
00
пользуясь формулами I e x2dx = ^j- и I
оо
' Sill X . П
— dx=-rr
х 2
(см. с Курс», п° 122).
00
00
2198. (е-™^х(а>0). 2199. (Lid.
X.
2200—22I5J | з. IIECObCTBLHHUE ИНТЕГРАЛЫ
17У
00
2200*.
(x2e~xidx. 2201. Г х*пе-**
о о
dx
(п — целое положительное число).
00
2202
•J
sin 2л-
оо
dx.
2203.
Г sin а к ,
J —"•
00
2204
. Г*«£»**л („>0,*>0).
00
2205*.
Ь
00
Г sin» л: .
00
2206 . (^A-dx.
2207. \*^-dx.
Интегралы от функций с бесконечными
разрывами
В задачах 2208 — 2220 вычислить данные несобственные
интегралы (или установить их расходимость):
2208. С^г±Д**. 2209. f- 4L-.
2210.
2212.
о
2
I
dx
Ж 1П Jt *
dx
л?-4*4-3 •
2211.
22J3.
С х dx
J \ ЗГ-Л *
1
00
О
J* \
dx
1 ъ
2214. (xlnxdx. ' 2215.
L. I х In.
X — l
dx
J V(x — и )\р — л;
(*<0).
12*
1Ь0 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁН. И НЕСОБСТВ. ИНТЕГРАЛЫ 12216—2227
***■ fyu-^-x) {а<Ь)- т [(Xax)"ix
a v
(л— целое положительное число).
00
arc'gl* — \)dx
22l8> ] "Vv-1*4
1
2219*. \ ^ , при т: а) чётном, б) нечётном
(т>0).
2220* \ "7— dx (л— целое положительное число).
i Vx
2221. При каких значениях k сходится интеграл
ь
2. Можно ли найти такое k, чтобы интеграл
00
xkdx сходился?
2223. При каких значениях k и t интеграл
I
00
ж*
I
—.—j dx сходится?
1-J--K'
2
2224. При каких значениях т интеграл \ ^ сл:
сходится? о
2225. При каких значениях k интеграл \ к ■ схо-
.дится?
В задачах 2226 — 2231 исследовать сходимость
данных интегралов:
1 i
2226
с v~~ Г *Лх
2228—2237] § 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181
8" J Т^л' 22Э" J 7^1 •
0 о
к
1 1
2230. J sfz^. v 2231. J -yfdx.
о v о
X
2232*. Положим (p(x) = — \ In cos у dy. (Этот пнте-
5
грал называется интегралом Лобачевского)
Доказать соотношение
?(*)=** (т+у)-2? (т-т)-^1п2-
Вычислить с помощью па icimoro соотношения
к
<р(у) = — J In cosydy.
(Величину (р (-7?) «первые вычислил Эйлер.)
В задачах 2233 — 2237 вычислить данные интегралы:
к
2233. f \nslnxdx. 223 *. j x In sin л: dx.
*о о
к
"2 1
2235 *. j х ctg х dx. 2236*. j ^^ dx.
2237.
о о
1
\\\xdx
) 1-х*
0
ГЛАВА VIII
ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики
Площади плоских фигур
2238а Вычислить площадь фигуры, ограниченной крп-
nu м и v = ext y=ze~x и прямой х=\.
2239. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции
с основанием \а, Ь\, ограниченной линией _у= Inx.
б) Вычислить площадь фшуры, ограниченной линией
_V = In jc, осью ординат и прямыми у = \г\а и
у=\пЬ.
2240. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями, уравнении которых у2==2х-\- \ и х — у~\=0.
22 I. Вычислить площадь фигуры, заключенной между
1 х*
кривой у = j и параболой у—-^-.
2242. Нлйти площадь фшуры, заключенной между
параболой у =—х* -\- 4х — 3 и касательными к ней в
точках (0; —3) и (3; 0).
2243. Вычислить плошадь фигуры, ограниченной
параболой у2 = 2рх и нормалью к пей, наклоненной к оси
абсцисс под углом в 135°.
224 . Окружность xi-^yi==Q разделена параболой
х3 '
у = — на две части. Найти площади обеих частей.
2245. Найти плошадн фигур, на которые парабола
у2=.§х делит окружность jca-j-ya=10.
2246. Вычислить площадь фигуры, охраипчешюй
параболами у2 -\- Ъх = 1С и у2 — 24х = 48,
2247—2260J §1. нькоторьш задачи tfojvutphh и статики 183
° 7. Окружность х2-\-у2 = а2 разбивается
гиперболой л:3 — 2у*=-- на три части. Определить площади этих
частей.
2248. Найти площадь ч.ктп фигуры, ограниченной
кривыми ут = хп п у,=дгот, где т и п — целые
положительные числа, расположенной в первом квадранте.
Рассмотреть вопрос о площади всей фигуры в зависимости
от харлктера четности чисел т и п.
49. а) Вычислить площадь криволинейной
трапеции, ограниченной осью абсцисс и кривой у =
= х—х2\ х.
б) Определить площадь фигуры, ограниченной двумя
ветвями кривой (у—х)2=*хь и прямой х = 4.
2250. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой (у— х — 2)2==9jc и осями координат.
2251. Определить площадь фшуры, ограниченной
замкнутой кривой у' = х* — л:4.
2252. Определить площадь петли кривой у2 = х(х—I)2.
2253. Определить площадь фигуры, ограниченной
замкнутой кривой у2 = (\—а:3)8.
2254. 11.1ЙГП площадь фигуры, ограниченной осью
ординат и кривой х-=.у2{у—1).
2255. Найти плоны п> фигуры, ограниченной замкнутой
кривой (v — arcsinAr)2 = Jc — хг.
225£. Най ги площадь фигуры, ограниченной замкнутой
кривой х* — ах*-\- а2у2 = 0.
2257. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = sin" дг —|— cos3 х и отрезком оси абсцисс, соединяющим
те последовательные точки пересечении кривой с осью
абсцисс.
2258. Определить площадь конечной части фигуры,
ограниченной кривой х2у2 = Цх—1) и прямой, проходящей
через её" точки iicpernoj.
2259. Найти площадь фигуры, ограниченной одной
аркой циклоиды x — a(t—_sin/), y = a(l—cos /) и осью
абсцисс.
2250. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
астроидой х = и cos3 /, у = ajbinJ t.
184
гл. viii. примгли-ния ииттграла [22BI—2270
2261. Найти площадь фигуры, ограниченной
кардиоидой x = 2acost — a cos 2/, у = '2а sin t— a sin 2/ (см.
задачу 1343).
2262. Определить площадь фигуры, ограниченной:
1) эпициклоидой, 2) гипоциклоидой (см. сКурс», п° 94), при
условии, что радиус катящейся окружности в п раз
меньше радиуса R неподвижной (я— целое число).
Если радиусы неподвижной и катящейся окружностей
соответственно равны R и г, то уравнение
эпициклоиды— x=(R-\-r) cost— г cos f—^—t\y=s(R-\-r)s\nt —
— г sin (—-*-—Л, и гипоциклоиды x — (R— r)costf-f-
^ГС05 (JLzJLi}, y—(R — r)sinr — rsin (JtzL tjt ripiI
условии, что начало координат совпадает с центром
неподвижной окружности, а параметр t означает угол
поворота радиус-вектора, проведённого из центра неподвижной
окружности в точку касания.
2263- Найти площадь петли кривой:
1)дг = 3/а, ^ = 3/ —*3; 2) x = t*—\, y—t* — t.
64> Вычислить площадь, описываемую радиус-век-
гором спирали Архимеда р = я:р при одном его обороте,
если началу движения соответствует у = 0.
2265- Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
р =^= a sin 2<p.
2266- Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
p = asin/j<p (n — целое положительное число).
2267а Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
pa = flacosw'f (я— целое положительное число).
2268а Показать, что площадь фигуры, ограниченной
любыми двумя радиус-векторами гиперболической спирали
ру = а и её дугой, пропорциональна разности этих радиусов.
2 69а Показать, что площадь фигуры, ограниченной
любыми двумя радиус-векторами логарифмической спирали
p=zaemf и её дугой, пропорциональна разности квадратов
этих радиусов.
2270а Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
p = ctg^(a]>0) и прямой ^ = тт/4. *
2271—2282] 11. шжотогьп задачи геомгтрии и статики 18Я
2271. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой
Паскаля p = 2a(2 4-cos<p).
2272". Найти площадь фигуры, заключённой между
внешней и внутренней частями кривой p = asin8-jr.
2273. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой р = )Л —Р, (p = arcsmt-]-Vl — t2 (см. задачу 1351),
В задачах 2274 — 2277 удобно перейти предварительно
к полярным координатам.
2274. Найгп площадь фигуры, ограниченной кривой
(х*-\-у2)2— а2х2— Ь2у2 = 0 (так наз. сподэра эллипса»).
2275. Найти площадь фигуры, ограниченной
лемнискатой Перпуллп (х2-\-у2)2 = а2 (х2— у2).
2276. Найти площадь части фигуры, ограниченной
лемнискатой Пермуллн (см. задачу 2275), лежащей внутри
окружности х2 -{-у2 = -к-.
2277а Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
(х2 +.V3)8 = 4я3 ху (х2 —у2).
2278а Вычислить площадь фигуры, заключённой между
1
кривой у= . : а и её асимптотой.
2279а Найгн площадь фигуры, заключённой между
кривой у = хе 2 и её асимптотой.
2280. Найгп площадь фигуры, содержащейся между
циссоидой y2=z— и её асимптотой (см. задачу 1327).
2281. Найти площадь фигуры, заключённой между
кривой лгу2 = 8 — 4х и её асимптотой.
2282. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой у = х2е~х1 и ее" асимптотой.
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
,Курс>,
у2 = хе 2Х.
(Воспользоваться
п° 122.)
тем,
00
что | е-** (tx= £- ; см.
0
186 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА [2283—2291
2283. Найти площадь фигуры» ааключОннои между
трактрисой x = a(cost-\-\ntg-y)1 y = asmt и осью
абсцисс.
COS *^*-0
2284. Для кривой р = —— найти плоиыдь петли и
г г COS^
площадь фигуры, заключенной между кривой и ее асимптотой.
Дли ни дуг плоских кривых
2285. Вычислить длину дуги ценной линии
у — п? (е°-\-е~ °) (от х1 — 0 до хг =Ь).
(Злссь и дальше в задачах на вычисление длин дуг
в скобках указывается интервал изменения независимой
переменной, соответствующий спрямляемой луге.)
2286. Вычислить длину дуги кривой
у=±[хУхТ=Г\—\п(х 4-/^Л)|
(от jc, = 1 до xz = a-\-l).
2287. Найти длину дуги кривой
v = ln^t-! (от *,=а до х2=вЬ).
2288. Найти длину дуги кривой
у—\—In cos* (от хх = 0 до *3=s-£-J.
2289. Определить длину дуги кривой
2290. Найти длину дуги кривой
yz=\n{\—x*) (от дг! = 0 до *a = yj.
2291. Найти длину дуги кривой
yz= In X (ОТ Xl=V^ ДО Х2=\ в).
229 —2303] 11. некоторые задачи геометрии и статики 187
2292. Вычислить длину дуги полукубнческой параболы
,2 х
У=-г(х—1)я, заключенной внутри параболы д>а=-^-.
2293. Найти длину кривой у = ] х—х2-\- arcsfnV х".
2294. Определить длину дуги параболы у2 = 2рх от
вершины до ей точки Л1(х, у). (Взягь в качестве
независимой переменной у.)
2295. Найти длину кривой {у—arcsinx)a=l—хг.
2296. Па циклоиде x—a(t — sin/), y=za(\—cos0
найти точку, Koiоран делит первую арьу циклоиды по длине
в отношении 1:3.
2297. Дана астроида jc=/?cos8/, y = Rsln*t и точки
на ней: А (А», 0), В (О, R). Найти на ду1е АВ такую
точку А1, чтобы длина дуги AM составляла четверть длины
дуги АВ.
298 ■ Пайгн длину кривой
2299. На йти длину дуги трактрисы
х = а(cost-\-\ntgY) » y = aslnt
от еб точки (0, а) до еС точки (х, у).
2300. Найти длину дуги эвольвенты круга
х = R (cos / -J-t sin 0. y = R{sint — tcost)
(от /,=0 до /8 = тг).
2301. Вычислить длину дуги кривой
х = (/а — 2) sin / -}- 2/ cos /, у =■ (2 — Р) cos t -f 2/sin /
(от /, = О до /а = тт).
2302. Найти длину кривой
Ar = acosB/, у = а$1п*и
2303. По окружности радиуса а, вне и внутри еб с
одинаковой угловой скоростью катится (без скольжения) две
окружности с радиусами, равными Ь. В момент t = 0 они
касаются своими точками Мх и Мг точки М неподвижной
окружности. Показать, что отношение путей, проходимых
188 гл. viii. применения интеграла [2304—2314
точками Ж, и М2 за произвольный промежуток времени t,
постоянно равно а _. (см. задачу 2262).
2304. Найти длину петли кривой x = t2, y = t—-j.
2305. Доказать, чго длина дуги кривой,
параметрические уравнении которой суть:
л: ==/"(/) cos/+/'(0 sin/,
у = — f (0 sin t -}-/' (0 cos t,
соответствующей интервалу (/,, /а), равна [/(/)-b/'(0]L* •
2306. Применить результат предыдущей задачи к
вычислению длины душ кривой .* = e'(cos/4"-SU1')»
^ = *'(cos/— sin0 (от /,=0 до t2 = f).
2307. Найти длину кардиоиды р = д (1-j-costf).
2308. Найти длину кривой p = asin8-~.
2309. Найти длину дуги архимедовой спирали р = ац
от начала до конца первого завитка.
2310. Доказать, что дуга параболы >' = s-х2, соот-
ветствующая интервалу 0<дс<д, имеет ту же длину,
что дуга спирали р=ру, соответствующая интервалу
2311. Вычислить длину дуги гиперболической спирали
р<р=1 ^от «р,=т до (ра=^-).
2312. Доказать, что длина кривой p = aj>inw~ (m —
целое число) соизмерима с а при т чётном и соизмерима
с дпнной окружности радиуса а при т нечетном.
2313. При каких значениях показателя k длина дуги
кривой у = ахк выражается в элементарных функциях?
(Основываться на теореме Чсбышсва об условиях
интегрируемости в конечном виде дифференциального бинома, см.
«Курс», п° 114).
2314. Найти длину кривой, заданной уравнением
X
у=. \ У COS X UX.
К
2
2319—2323] | 1. HI КОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 1Ь9
2315. Вычислить длину дуги кривой
* t
f COS * . Г Sin * .
x==\—dz' *=)—dz
от начала координат до ближайшей точки с вертикальной
касательной.
2316. Убедиться в том, что длина дуги синусоиды
у = ыпх, соответствующей периоду синуса, равна длине
эллипса, полуоси которого равны | 2 и 1.
2317. Показать, что длина дуги «укороченной» или
«удлинённой» циклоиды x = mt — я sin/, у = т — «cos/ (//»
и п — положительные числа) в интервале от /1 = 0 до
/, = 2п равна длине эллипса с полуосями а=т-\-п,
&=|/л— п\.
Объёмы
2318. Вычислить объём тела, ограниченного
поверхностью, образованной вращением параболы у1 = Ах вокруг
своей оси (параболоид вращения) и плоскостью,
перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы на
расстояние, равное 1.
2319. Эллипс, большая ось которого равна 2а, малая —
2Л, вращается: 1) вокруг большой оси, 2) вокруг малой
оси. Найти объёмы получающихся эллипсоидов вращения.
В частном случае получить объём шара.
2320. Симметричный параболический сегмент, основание
которого а, высота А, вращается вокруг основания.
Вычислить обьём тела вращения, которое при этом получается.
(«Лимон» Кавальерп.)
2321. Фигура, ограниченная гиперболой х%—у* = а*
и прямой x = a-{-h(hy>Q), вращается вокруг оси абсцисс.
Найти объём тела вращения.
2322. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой
у = хех и прямыми х=1 и у = 0, вращается вокруг оси
абсцисс. Найти обьём тела, которое при этом получается.
2323. Цепная линия у=—Щ.— вращается вокруг оси
абсцисс. При этом получается поверхность, называемая
катеноидом. Определить объём тела, ограниченного
190 гл. vni. применения интьгрллл [2324—2333
катеноидом и двумя плоскостями, отстоящими от начала на
а и b единиц и перпендикулярными к оси абсцисс.
2324. Фигура, ограниченная дугами парабол у-=.х2
и у* — х, враиичется вокруг оси абсцисс. Вычислить объём
тела, которое при этом получается.
2325. Найти объём тела, полученного вращением
вокруг оси абсцисс трапеции, лежащей над осью Ох и
ограниченной кривой {х—4)у2 = х(х— 3).
2326. Найти объём тела, полученного от вращения
криволинейной трапеции, ограниченной кривой ^ssarcsin дг
с основанием [0, 1], вокруг оси Ох.
2327. Лемниската (х2-\-у2)2 = а2 (х*—у2) вращается
вокруг оси абсцисс. Найги объём тела, ограниченного
поверхностью, которая при этом получается.
2328. Вычислить объём тела, образованного
вращением покруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривой:
1) х*4-у = а2х2; 2) х*-{-у* = х9.
2329. Одна арка циклоиды x = a(t — sin f), у=*
= a(l—cos/) вращается вокруг своего основания.
Вычислить объём тела, ограниченного полученной
поверхностью.
2330. Фигура, ограниченная дугой эволюты эллипса
с1 с2
х=—cos8/, у = — -г-sin8/, лежащей в первом
квадранте, и координатными осями, вращается вокруг оси
абсцисс. Чему равен объём получающегося при этом
тела?
2331а Найти объём тела, полученного при вращении
2. ! 1.
астроиды х3 -\-у* =сР вокруг своей оси симметрии.
(Частный случай предыдущей задачи.)
332. Вычислить объём тела, которое получится от
вращения вокруг оси ординат криволинейной трапеции,
ограниченной дугой синусоиды y = s\nx, соответствующей
полуперноду.
2S33. Фигура, ограниченная аркой циклоиды х =
= a(t — sin/), y=sa{\—cos/) и её основанием,
вращается вокруг прямой, перпендикулярной к середине
основания (ось снммефнн). Найти ооъём получающегося при
этом тела.
2334—2342] | 1. шжотопыь задачи гьометрии и статики 191
2334. Вычислить объём тела, которое получится от
вращения вокруг прямой у — х сегмента параболы
Ух-\-VУ = 2, отсекаемого прямой х-\~у = 4. (Принять
ja новые оси координат прямые у = х и у-\-х = 4.)
2335. Вычислить обьём тела, ограниченного
поверхностью бесконечного веретена, образованного вращением
кривой y=j- 2 вокруг её асимптоты.
233 . Кривая у2 = 2ехе~2х вращается вокруг своей
асимптоты. Найти объём тела, ограниченного поверхностью,
которая получается в результате этого вращения.
2337. а) Фигура, ограниченная кривой yzzze**1 и её
асимптотой, вращается вокруг оси ординат. Вычислить об;ём
тела, которое при этом получается.
б) Та же фигура вращается вокруг осп абсцисс. Найти
объём получающегося тела. (Воспользоваться тем, что
1 *
e^dx--^-, см. сКурс», п°122.)
о
2338. Вычислить объём тела, ограниченного
поверхностью, получающейся при вращении кривой у = х2е~**
вокруг своей асимптоты. (См. указание к предыдущей
задаче.)
339. Фигура, ограниченная кривой у = и осью
абсцисс, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить
обьём получающегося тела. (Воспользоваться тем, что
00
sin jc ., _ я ,, 0
00
I
1
dx = -z-, см. сКурс», п° 122.)
234-0*. Найти объём тела, ограниченного поверхностью,
х2
производимой вращением циссоиды у2 — * (я>0) но-
круг её асимптоты.
2341. Найти объём тела, ограниченного
поверхностью, получающейся при вращении трактрисы х =
= rtf cos/-f-lntg — J, y = as\nt вокруг её асимптоты.
2342 ■ Определить объём тела, отсечённого от
круглого цилиндра плоскостью, проходящей череа диаметр осно-
192
гл. viii. примем*пня интьграла [2343—2346
вания (сцилнндрнческнй отрезок», черт. 43). В частности,
положить /?=10 см и Н = 6 см.
2343. Параболический цилиндр пересечён двумя
плоскостями, нз
которых одна
перпендикулярна к
образующей.
В результате
получается тело,
изображенное на
черт. 44. Общее
осноианне
параболических сег-
менюва= \0сл,
высота
параболического
сегмента, лежащего в
Л = 6 см. Вычислить
Черт. 43. Черт. 44.
Я=8 см, высота тела
основании, ..
объём тела.
2344. Цилиндр, основанием которого служит эллипс,
пересечен наклонной плоскостью, проходящей через
малую ось эллипса. Определить объем
тела, которое при эюм
получается. Линейные размеры
указаны на черт. 45.
2345*. На всех
хордах круга радиуса R,
параллельных одному
направлению,
построены симметричные
параболические сегменты
постоянной высоты Н.
Плоскости сегментов
перпендикулярны к плоскости
полученного таким образом тела.
2346 . Прямой круглый конус радиуса R, высоты Н
рассечен на две части плоскостью, проходящей через центр
основания параллельно образующей (черт. 46). Найти
объемы обеих частей конуса. (Сечения конуса плоскостями,
параллельными образуюи;ей, суть параболические сегменты.)
Черт. 45.
окружности. 11айти объем
2347~~2Se0J • 1- НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГТОМЕТРИИ И СТАТИКИ 193
2347. Центр квадрата перемещается вдоль диаметра
круга радиуса а, причём плоскость, в которой лежит квач-
рат, остаётся
перпендикулярной к плоскости круга, а две
противоположные вершины
квадрата перемещаются по
окружности. Найш объём
тела, образованного этим
движущимся квадратом.
2348. Круг переменного
радиуса перемещается кчкнм
образом, что одна из точек
его окружности остаётся hj
оси абсцисс, центр движется
по окружности х2-\-у3 = г*,
а плоскость этого круга
перпендикулярна к оси
абсцисс. Найти объём тела, которое при этом получается
2349. Оси двух равных щмнпдрон пересекаются
прямым углом. Найти объём теля,
составляющего общую часть цнлнпчрои (па
пот.
Черт. 47.
Черт. 48.
1
черт. 47 изображена -g- часть тела). (Рассмотреть сечения,
образованные плоскостями, параллельными осям обоих
цилиндров.)
2350. Два круглых цилиндра имеют одну и ту же
высоту Н и общее tepxnee основание рачиуса R, а нижние
основания их соприкасаются (черг. 48). Найти объём общей
части цилиндров.
13 г. Н. Перман
194 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 12351—2359
Площади поверхностей вращения
2351. Найти плопыль поверхности, образованной
вращением парчболи у* = 4ах вокруг оси абсцисс от вершины
до точки с абсциссой лг = 3а.
2352. Вычислить площадь поверхности, образованной
BpauienneM кубической параболы Зу— *8 = 0 вокруг оси
абсци:с (от хх = 0 до xz = a).
2353. Вычислить площадь катеноида — поверхности,
образованной вращением цепной липни ^=-=- (еа -\-е °)
вокруг оси абсцисс (от л:, = 0 до х3 = а).
2354. При вращении эллипса -1+:Г2 = 1 вокруг
большой оси получается поверхность, называемая
удлиненным эллипсоидом вращения, при вращении вокруг
малой—поверхность, называемая укороченным
эллипсоидом вращения. Найти площадь поверхности
удлиненного и укороченного эллипсоидов вращения.
2355. Вычислить площадь веретенообразной
поверхности, образованной вращением одной аркн синусоиды у = sin x
вокруг оси абсцисс.
235 . Дуга ташеисоиды ,y = tgjc от ей точки (0, 0)
до её точки [~, 1} вращается вокруг оси абсцисс.
Вычислить площадь поверхности, которая при этом
получается.
2357. Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси абсцисс петли кривой 9а_уа =
= дг(3л— х)*.
2358. Дуга окружности хг-\-у* = а2, лежащая в
первом квадранте, вращается вокруг стягивающей её
хорды. Вычислить площадь получающейся при этом
поверхности.
2359. Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси аоецнес дуги кривой
jc =re'sin^, y = elcost (от /, = 0 до /a = yJ.
360—2369J | 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ Юд
2360. Найти площадь поверхности, образованной
вращением астроиды х = асьь* t, y^an'm^t вокруг оси
абсцисс.
2 I. Арка циклоиды вращается вокруг своей оси
симметрии. Найти площадь иолучаклцейсн при этом
поверхности. (См. задачу 2333.)
2362. Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг полярной оси кардиоиды р = я (I-}-cos'f).
2363. Окружность р = 2л simp вращается вокруг
полярной осн. Найти площадь поверхности, которая при этом
получается.
236 ■ Лемниската pa = «2cos2p вращается вокруг
полярной осп. Найти площадь поверхности, которая при этом
получается.
236 ■ Бесконечная дуга кривой у = е~*,
соответствующая положительным значениям х, вращается вокруг оси
абсцисс. Вычислить площадь поверхности, которая при этом
получается.
2368. Трактриса х = а ( cos/-j- In tg-rr)' ^==rtS'11'
вращается вокруг осп абсцисс. Найти илоща хь
получающейся бесконечной поверхности.
Моменты п центры тяжести*)
2367. Вычислить статический момент прямоугольника
с основанием а и высотой // относительно его основания.
2368. Вычислить статический момент прямоугольного
равнобедренного треугольника, катеты которого равны а
относительно каждой из его сторон.
2369. Доказать, что имеет место следующая формула:
ъ ь
\ (ах + Ь) Дх) dx=*(al + b)§/ (x) dxt
а а
где Б— абсцисса центра тяжести криволинейной трапеции с
основанием [я, f)], ограниченной кривой у=/(х). (Правило
Верещагин а.)
*) Во всех задачах этого рллела (2367—2407) плотность
принимается равной 1.
13*
196
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА * (2370—2380
2370. Найти центр тяжести симметричного
параболического сегмента с основанием, равным а, и высотой h.
2371. Прямоугольник со сторонами а и b разбивается
на две части дугой параболы, вершина которой совпадает
с. одной из вершин прямоугольника и которая проходит
через его
противоположную вершину (черт. 49).
Найти центр тяжести
обеих частей 5, и S2
прямоугольника.
2372. Найти
координаты центра тяжести по-
"* луокружностн
Черт. 49. у = \ г2 — х\
2373. Найти координаты центра тяжести полукруга,
ограниченного осью абсцисс и полуокружностью
у = \ г2 — хг.
2374. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса R,
стягивающей центральный угол а.
2375. Найгп координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной осями координат и параболой К * 4~ к .У ^ I fl-
2376. Найти координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной координатными осями и дутй эллипса
х2 , у* .
-j-Tp—*» лежащей в первом квадранте.
2377. Найти статический момент дуги эллипса
-утт| = 1, лежащей в первом квадранте, относительно оси
абсцисс.
2378. Найти координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной дуюй синусоиды ^у == sin д: и отрезком оси абсцисс
(от л-, =0 до ха = п).
2379. Найти статический момент фшуры, ограниченной
2
кривыми y — j-T^—t » „v = *a относительно осп абсцисс.
2380. То же для кривых у = sin jc и у = -гг (одного
Сегмента) относительно оси абсцисс.
881—2389] 11. нгкоторыг задачи teomi трии и статики 197
2381. То же для кривых у — хг и y — V~x
относительно оси абсцисс.
2382. Найгн координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной замкнутой кривой у* = ахъ — х*.
2383. Найти координаты центра тяжести дуги ценной
£. _£.
липни у = ^(еа -\-е °), содержащейся между точками с абс-
цнесамн дг, =—а п лг3 = я.
2384. Доказать теорему: статический момент
произвольной дуги параболы относительно оси параболы
пропорционален разности радиусов кривизны в конечных точках
дуги. Коэффициент пропорциональности равен -г, где р —
параметр параболы.
2385. Найгн координаты центра тяжести первой арки
циклоиды .
x = a(t — sin/), y = a(l — cost).
2386. Найти координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной первой аркой циклоиды (см. задачу 2385) и осью
абсцисс.
2387. Найгп координаты центра тяжести дуги астроиды
Af = acos8/, ^=asin8/, расположенной в первом
квадранте.
2388. Найти координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной осями координат и дугой астроиды (в первом
квадранте) (см. задачу 2387).
В задачах 2389—23!)fi предполагается, что начало системы
декартовых координат совпадает с полюсом полярной системы,
а положительное направление оси абсцисс — с направлением
полярной осп.
2389. Доказать, что абсцисса и ордината центра тяжести
сектора, ограниченного двумя радиус-векторами п кривой,
уравнение которой дано в полярных координатах р = р(:р),
выражаются так:
|* р8 cos ip d<? J* рв sin ip rf?
__ * ф, __ 2 «p,
198 гл. viii. примгсисния иштгрллл 12390—2401
2390* Найти декартовы координаты центра тяжести
сектора, ограниченного одним полувнтком архимедовой спирали
p = «f (от ср|=0 до 9з = тт)-
2391. llaflrn центр тяжести сектора круга радиуса R
с центральным углом, равным 2а.
2392. Найги декартовы координаты центра тяжести
фигуры, ограниченной кардиоидой р = а(1-{-cos<f).
2393. Найти декартовы координаты центра тяжести
фигуры, ограниченной правой петлёй лемнискаты Бернулли
р2 = a2 cos 2'f.
2394. Показать, что декартовы координаты центра
тяжести душ кривой, уравнение которой даио в полярных
координатах p = p(tp), выражаются так:
?i »»
J" р cos <р Л р2+р'а </<р J р sin <p У р» -f Р'2 d'i
j FV+P'2</<P J T р' + Р'а<*Р
2395. Найти декартовы координаты центра тяжести
дуги логарифмической спирали р = ае* (от <р,=-тг до
2396. Найти декартовы координаты центра тяжести
дуги кардиоиды р = а(1 -f-costp) (от <f>,=0 до 1р2 = тт).
2397а На каком расстоянии от геометрического центра
лежит центр тяжести иолушара радиуса R?
2398. Найти центр тяжести поверхности полусферы.
2399. Дан прямой круглый конус; радиус основания
его /?, высота //. Найги расстояния от основания конуса
до центра тяжести его боковой поверхности, полной
поверхности и обьёма.
2400а Па каком расстоянии от основания лежит центр
тяжести тела, ограниченного параболоидом вращении и
плоскостью, перпендикулярной к его оси? Высота тела И.
2401а Вычислить момент инерции отрезка АВ = 1
относительно оси, лежащей с ним в одной плоскости, зная,
что конец А отрезка отстоит от оси на а единиц, конец/? —
на b единиц.
2402—2412] § 1. пькоторыь задачи геометрии и статики 199
2402. Вычислить момент инерции круга радиуса г
относительно любого из его диаметров.
В задачах 2403—2407 вычислить моменты инерции
относительно оси вращения:
2403а Цилиндра, радиус основания которого R,
высота Н.
2404. Конуса, радиус основания которого R, высота И.
2405. Шара радиуса R.
2 Оба Удлинённого и укороченного эллипсоидов
вращения (см. задачу 2354).
2407. Параболоида вращения, радиус основания
которого /?, высота И.
Теоремы Гюльде на
2408. Правильный шестиугольник со стороной а
вращается вокруг одной из сторон. Найги обьСм тела, которое
при этом получается.
2409. Эллипс с осями ААх-=2а и НВ1=2Ь вращается
вокруг прямой, параллельной осп ААХ и отсгоящей от нее"
па расстояние ЗЬ. Найти объём тела, которое при этом
получается.
2410. Астроида вращается вокруг оси, проходящей
через два соседних острия. Найти объём и поверхность тела,
которое при этом получается (см. задачи 2260 и 2298).
2411а Фигура, образованная первыми арками циклоид
x = a(t — sin/), y = a(\—cost)
я
x = a(t — sin 0, у = — а(\—cost).
вращается вокруг оси ординат. Найти объём и поверхность
тела, которое при этом получается. (См. задачу 22.19.)
2412а Квадрат вращается вокруг оси, лежащей в его
плоскости и проходящей через одну из его вершин. Пра
kikom положении оси относительно квадрата объём
получающегося тела вращения будет наибольшим? Тот же вопрос
для треугольника.
200 гл. vui. ПГИМ1ЫМ1ИЯ интытллл 12413—2417
§ 2. Некоторые задачи физики
2413* Скорость тела лаСтся формулой v = \ l-\-t м]сек.
Найти путь, пройденный телом за первые 10 сек. после
наччла движения.
2414. При 1армоннческом колебательном движении но
оси абсцисс около начала координат скорость -г- дается
формулой
dx 2rt /Ы , \
di=Tcos{-T+V°)
(t—время, Т—период колебания, <р0 — начальная фаза).
Найш положение точки в момент времени t2, если
известно, что в момент tx она находилась в точке x = xt.
Сила / взаимодействия двух точечных масс определяется
но формуле f=k— J-, где m и М — массы точек,
г—расстояние между ними, a k — коэффициент
пропорциональное! и, ранний в системе CGS 6,(Н>«10*"8 (замш Ньютона).
Учитывая это, решить задачи 2415—2423. (Предполагается,
что плотность постоянна.)
2415а Стержень АН, длина которого /, масса М,
притягивает точку С массы /и, которая лежит на его
продолжении на расстоянии а от ближайшего конца В стержня.
Найти силу взаимодействия стержня и точки. Какую
точечную массу нужно поместить в А, для того чтобы она
действовала на С с той же силой, что и стержень АЮ
Какую работу совершит сила притяжения, когда точка,
отстоявшая от стержня на расстояние rlt приблизится к нему
ла расстояние г2, двигаясь вдоль прямой, составляющей
продолжение стержня?
2416. С какой силой полукольцо радиуса г и массы М
действует на материальную точку массы /л, находящуюся в его
центре?
2417. С какой силой проволочное кольцо массы М,
радиуса R действует на материальную точку С массы /л,
лежащую па примой, проходящей через центр кольца
перпендикулярно к его плоскости. Расстояние от точки до
центра кольца равно а. Какую работу совершит сила прн>
2418—2426J § 2. никоторые задачи физики 201
тяження при перемещении точки из бесконечности в центр
круга?
2418а Используя результат предыдущей задачи,
вычислить, с какой силой плоский диск, радиус которого
равен R, масса — М, действует на материальную точку
массы /л, которая лежит на его оси на расстоянии а от центра.
2419а Используя результат задачи 2418, вычислить, с
какой силой действует на материальную точку массы m
бесконечная плоскость, на которой равномерно распределена
масса с поверхностной плотностью о. Расстояние от точки
до плоскости равно а.
2420а Радиусы оснований усечённого прямого круглого
конуса равны R и г, высота Л, плотность у- С какой
силой действует он па материальную точку массы /л,
помещённую в его вершине (воспользоваться результатом
задачи 2418)?
242L С какой силой материальная ломаная у =
== f -жг | —|— 1 притягивает материальную точку массы /л,
находящуюся в начале координат? (Линейная
плотность =Y.) х
2422а Доказать, что материальная ломаная ^у = а | Jt; | —f—
—|— 1 (а«Х)) притягивает материальную точку, находящуюся
в начале координат, с одной и той же силой, независимо
от а, т. е. независимо от величины угла между сторонами
ломаной.
2423-а Два одинаковых стержня (длины / и массы М
каждый) лежат на одной прямой на расстоянии / один от
другого. Подсчитать силу их взаимного притяжения.
2424а Капля с начальной массой М па чает под
действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя
ежесекундно массу, равную /л. Какова работа силы тяжести за
время от начала движения до полного испарения капли?
(Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
2425а Какую работу нужно произвести, чтобы
насыпать кучу песка конической формы, радиус основания
которой равен 1,2 м, а высота 1 м? Удельный вес песка
2 г/см* (песок поднимают с поверхности земли).
2426а Размеры пирамиды Хеопса приблизительно
таковы: высота 140 м, ребро основания (квадрата) 200 м.
Удельный вес камня, из которого она сделана, приблнзн-
202
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА (2427—2431
телыю равен 2,5 г\смь. Вычислить работу, затраченную при
ее" постройке на преодоление силы тяжести.
2427. Вычислить работу, которую необходимо
затратить для того, чтобы выкачать воду, наполняющую
цилиндрический резервуар высотой
/Уг=5 м, имеющий в основании круг
радиуса /? = 3 м.
2428. Вычислить работу,
которую нужно затратить, чтобы выкачать
жидкость удельного веса d нз
резервуара, имеющего форму обращенного
вершиной вниз конуса, высота
которого равна И, а радиус
основания R. Как изменится результат,
если конус будет обращен вершиной
кверху?
2429а Вычислить работу,
которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду, наполняющую полусферический сосуд радиуса
Я = 0,6 м.
2430. КотРл имеет форму параболоида вращения
(черт. Г)0). Радиус основания /? = 2 м, глубина
котла А/= 4 м. Он наполнен
жидкостью, удельный вес
которой d = 0,8 ZjCM*.
Определить работу, которую нужно
произвести, чтобы выкачать
жидкость нз котла.
2431а Определить работу,
которую нужно затратить,
чтобы выкачать воду из
корыта, которое имеет
следующие размеры (черт. 51):
Черт. 50.
а = 0,75 м, Ь = 1,2 м, И= 1 м.
1 louepxnocTb, ограничивающая
лин др.
•" Черт. 51.
корыто,— параболический ци-
Кпнетпческая энергия тела, вращающегося вокруг не-
Лодвижной оси, равна ^- J(o2, где ш — угловая сьорость,
2432—2437J 12. некоторые задачи физики 203
a J — момент инерции относительно оси вращения. Зная
это, решить задачи 2432—2437.
2432. Стержень А/3 (черт. 52) вращается в
горизонтальной плоскости вокруг оси ОО' с угловой скоростью
(о=10тт сек."1. Поперечное сечение стержня 5=4 см2,
длина его / = 20 см, плотность материала, нз которого он
изготовлен, у = 7,8 г\см'л.
Пайгн кинетическую энер- ^__ »--| _
гню стержня. г"" \д """""Л/?
2 33а Прямоугольная \^
пластинка, стороны
которой я = 50 см и b = 40 см,
вращается с постоянной
угловой скоростью со =
= 3тт сек.-1 вокруг стороны а. Найти кинетическую энергию
пластинки. Тол пиша пластинки rf = 0,3 см, плотность
материала, нз которого сделана пластинка, у = 8 г{смп.
243 а Треуюльная пластинка, основание которой
я = 40 см, а высота Л = 30 см, вращается вокруг своего
основания с постоянной угловой скоростью (о = 5я сек.""1.
Найти кинетическую энермно пластинки,
если толщина ее" d = 0,2 см, а
плотность материала, из которого она
изготовлена, у = 2,2 г/си".
2435а Пластинка в форме
параболического сегмента (черт. 53)
вращается вокруг осп нараполм с
постоянной угловой скоро:тью (•) =
Черт. 53. = 4л сек.""1. Основание сегмента я =
= 20 см, высота Л = 30 си, толщина
пластинки rf = 0,3 см, плотность материала у = 7,8 г/сля.
Найти кинетическую энергию пластинки.
243 а Круглый цилиндр, радиус основания которого
равен R, а высота Н, вращается вокруг своей оси с
постоянной угловой скоростью (о. Плотность материала, нз
которою сделан цилиндр, равна у. Пайгн кинетическую
энергию цилиндра.
2437. Полукольцо радиуса R и массы М вращается
вокруг осп ОО', проходящей через его концы, делая п
оборотов в минуту. Определить кинетическую энер! шо
204 гл. viii. применения интеграла [243В—2444
полукольца. Вычислить кинетическую энергию, если осью
крашения служит касательная в средней точке полукольца.
2438. а) Определить силу Р, с которой вода,
наполняющая аквариум, давит на одну из его стенок. Стенка
имеет форму прямоугольника. Длина её а = 60 см, а
высота ft = 25 см. б) Разделить горизонтальной прямой стенку
аквариума так, чтобы силы давления на обе части стенки
были одинаковы.
2439. Пластинка в форме треугольника погружена
вертикально в волу так, что ее" основание лежит на
поверхности води. Основание пластинки а, высота И. а) Подсчитать
силу давления йоды на каждую из сторон пластинки; б) во
сколько раз увеличится давление, если перевернуть пластинку
так, что па поверхности окажется вершина, а основание будет
параллельно поверхности воды?
24 О. Квадратная пластинка погружена вертикально
в воду так, что одна из вершин квадрата лежит на
поверхности воды, а одна из диагоналей параллельна поверхности.
Сторона квадрата равна а. С какой силой вода давит на
каждую сторону пластинки?
2441. Вычислить силу, с которой вола давит на плотину,
имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание
которой а = 6,4 м, нижнее ft = 4,2 м, а высота //=3 м.
2442. Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину
погружена в жидкость (вертикально), так что одна из осей
(длиной 2ft) лежит на поверхности жидкости. Как велика сила
давления жидкости на каждую из сторон этой пластинки,
если длина погруженной полуоси эллипса равна а, а
удельный вес жидкости d?
2443. Прямоугольная пластинка со сторонами а и ft
(а]> ft) погружена в жидкость иод углом а к поверхности
жидкости. Большая сторона параллельна поверхности и лежит
на глубине Л. Определить давление жидкости на каждую из
сторон пластинки, если удельный вес жидкости d.
2444. Прямоугольный сосуд наполнен равными по
объему частями воды и масла, причём масло вдвое легче воды.
Показать, что давление на каждую стенку сосуда уменьшится
на одну пятую часть, если вместо смеси будет взято одно
масло. (Учесть, что всС масло будет находиться сверху.)
43—2449] 12. некоторые задачи физики 205
При решении задач 2445—2446 следует опираться на
закон Архимеда: подъемная сила, действующая на
погруженное в жидкость твердое тело, равна весу вытесненной им
жидкости.
2445. Деревянный поплавок цилиндрической формы,
площадь основания которого 5 = 4000 см2, а высота //==
= 50 см, плавает на поверхности воды. Удельный вес
дерева d = 0fizjCM3. а) Какую работу нужно произвести, чтобы
вытащить поплавок из воды? б) Вычислить, какую работу
нужно затратить, чтобы поплавок погрузить в воду нацело.
2446. Шар радиуса R с удельным весом 1 погружен
в воду так, что он касается поверхности. Какую работу
нужно затратить, чтобы извлечь шар из води?
Задачи 2447—2452 связаны с явлением истечения
жидкости из малого отверстия. Скорость истечения жидкости
даётся так называемой формулой Торичелли: v=*{ 2gh, где
Л — высота столба жидкости над отверстием, g— ускорение
силы тяжести*). (См. «Курс», п° 128.)
2447. В дне цилиндрического сосуда, площадь
основания которого 100 см, а высота 30 см, имеется отверстие.
Вычислить площадь этого отверстия, если известно, что
вода, наполняющая сосуд, вытекает из нею в течение 2 мин.
1 2448. Вода наполняет коническую воронку высотой
#=20 см. Радиус верхнего отверстия Af=12 см. Нижнее
отверстие, через которое вола вытекает из воронки, имеет
радиус г = 0,3 см. а) В течение какого времени уровень
воды в воронке понизится на 5 см? б) Когда воронка
опорожнится?
2449. В дне котла, имеющего форму полушара радиуса
# = 43 см, образовалась пробоина площачыо 5=0,2 см2.
Через сколько времени вода, наполняющая котёл, вытечет
из него?
*) В данной влесь форме яакон Торичелли применим только
к идеальной жидкости. Для этой идеальной жидкости и даны ответы
к задачам 2447—2452. Практически пользуются формулой v = ^V2gh,
где ц — коэффициент, завысивши от вязкости жидкости и характера
отперстия, ил которого происходит истечение. Для воды в
простейшем случае ц = 0,Ь.
206
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА [2450—2453
2450. Котёл имеет форму эллиптического цилиндра
горизонтальной осью. Полуоси эллиптического сечения
(перпендикулярного к оси
цилиндра) равны b (горизонталь-
у пая) и а (вертикальная); об-
^ разующая цилиндра равна L
I (черт. 54). Котёл наполнен во-
*- дой до половины. В какое
время во та вытечет из котла че-
Черт. 54. рез отверстие в дне его,
имеющее площадь S?
2451. В вертикальной стенке призматическою сосуда,
наполненного водой, проделана прямоугольная вертикальная
щель, высота которой равна h, ширина Ь. Верхний край
щели, параллельный поверхности воцы, расположен на
расстоянии Н от поверхности. Какое количество воды вытечет
из сосуда за 1 сек., если считать, что уровень во ты
поддерживается всё время на одной
высоте? Рассмотреть случай Н—0 (задача
о водосливе).
2452. Сосуд, наполненный до
краёв водой, имеет форму
параллелепипеда с площадью основания 100 си2.
В боковой стенке ею имеется узкая
щель высотой 20 см и шириной 0,1 см
(черт. 55). За какое время уровень
воды в сосуде понизится на а) 5 см?
б) 10 см? в) 19 см? г) 20 см?
(Использовать результат предыдущей задачи.) Черт. 55.
Уравнение состояния идеального газа имеет витpv = RT,
где р—давление, v — объём, Т—абсолютная температура
и R — посюянная для данной массы газа. Решить задачи
2453—2455, считая газы идеальными.
2453. В цилиндрическом сосуде, площадь основания
которого 10 см3, а высота 30 см, заключён атмосферный
воздух. Какую работу необходимо затратить, чтобы вдвинуть
поршень на 20 см, т. е. вдвинуть его так, чтобы он
остановился на 10 см от дна цилиндра (черт. 56)? Атмосферное
давление равно 1,033 кг/см2. Процесс протекает изотерми-
2454—2457] § 2. некоторые задачи физики
207
п
i i
i i
i i
ТТ-—
-=-Тг
чески, т. е. при постоянной температуре. (Чтобы величину
работы получить в кгм, следует давление брагь в кг\м2 и
объём в л3.)
2454. В цилиндрическом сосуде, поперечное сечение
которого 100 см2, заключён воздух при атмосферном
давлении. В сосуде имеется поршень. Первоначальное расстояние
его от дна сосуда равно 0,1 м. ^ 30ся_
Цилиндр помещён в пустоту,
благодаря чему воздух в нём
расширяется, выталкивая
поршень. 1) Вычислить работу,
совершаемую воздухом в
цилиндре, когда он подымает
поршень на высоту а) 0,2 м\ Ь госм-
v)) 0,5 м; в) 1 м. 2) Может Черт. 56.
пи эта работа неограниченно
увеличиваться при неограниченном расширении газа?
(Процесс, как и в предыдущем примере, проi екает изотермически.)
2455. В цилиндрическом сосуде объёма v0 = 0,\ м*
находится атмосферный воздух, который подвергается сжатию
быстрым вдвиганием поршня (считаем при этом, что процесс
протекает без притока пли отдачи тепла, т. е. адиабатически).
Какую работу надо затратить, чтобы сжать воздух в сосуде
до объёма г> = 0,03 м3? (Атмосферное давление равно
1,033 kzjcm2.) При адиабатическом процессе давление и
объём газа связаны соотношением pvi=p0vj (уравнение
Пуассона). Для двухатомных газов (а также для воздуха) у ^ 1,40.
По закону охлаждения Ньютона скорость охлаждения
тела пропорциональна разности между температурой тела и
температурой окружающей среды. На основании этого закона
решить задачи 2456—2457.
2456. Тело, температура которого 25°, погружено в
термостат (температура его поддерживается при 0°). За
какое время тело охладится до 10°, если за 20 мин. оно
охлаждается до 20°?
2457. Тело, температура которого 30°, за 30 мин.
пребывания в термостате, температура которого 0°, охладилось
до 22,5°. Какова будет температура тела через 3 часа после
начала опыта?
2t)8 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА [2458—2463
2458а Наэлектризованное тело теряет постепенно свой
заряд вследствие несовершенства изоляции. Считая, что
скорость разряжения тела пропорциональна заряду, найти заряд
как функцию времени. (Первоначальный заряд равен Е0,
а коэффициент пропорциональности равен k.)
Сила взаимодействия двух электрических зарядов равна
еге2
■j-f дин, где е, и е2 — величины зарядов в
электростатических единицах, г — расстояние в ел, а 8 — диэлектрическая
постоянная (закон Кулона). На основании этого закона
решить зааачи 2459—24С1.
2459. Бесконечная прямая равномерно заряжена
положительным электричеством (линейная плотность
электричества о). С какой силой действует эта прямая на единичный заряд,
находящийся в точке А на расстоянии а от неё?
Диэлектрическая постоянная среды равна 1. (См. «Курс», п° 128.)
2460. Два электрических заряда: <?, = 20
электростатических единиц и ?2 = 30 электростатических единиц,
находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Разделяющей их
средой служит воздух. Сначала оба заряда закреплены
неподвижно, затем заряд е2 освобождается. Тогда под
действием силы отталкивания заряд ег начнёт перемещаться,
удаляясь от заряда ех. Какую работу совершит сила
отталкивания, когда заряд ег а) удалится на расстояние 30 см?
б) удалится в бесконечность?
2461. Два электростатических заряда <?, = 100
электростатических единиц и <?2=120 электростатических единиц
находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Каково будет
расстояние между зарядами, если мы приблизим второй к
первому, затратив при этом работу в 1800 эргов? (Разделяющей
средой служит воздух.)
24 S 2. Напряжение на клеммах электрической цепи
г; =120 в. В цепь равномерно вводится сопротивление со
скоростью 0,1 ом в секунду. Кроме того, в цепь включено
постоянное сопротивление г =10 ом. Сколько кулонов
электричества пройдёт через цепь в течение двух минут?
2463. Напряжение на клеммах электрической цепи,
равное первоначально 120 в, равномерно падает, убывая на
0,01 в в секунду. Одновременно с этим в цепь вводится
£464—2467] g 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ФИЗИКИ 209
сопротивление тоже с постоянной скоростью, именно 0,1 ом
в секунду. Кроме того, в цепи имеется постоянное
сопротивление, равное 12 ом. Сколько кулонов электричества
протечёт через цепь за 3 мин.?
24 4. При изменении температуры сопротивление
металлических проводников меняется (при обычных температурах)
по закону: /? = /?0(1 + 0,004 ft), где R0 — сопротивление при
0°С и Ь — температура по Цельсию. (Этот закон справедлив
для большинства чистых металлов.) Проводник,
сопротивление которого при 0° С равно 10 ом, равномерно нагревается
от 0! = 20° до 03 = 200° в течение 10 мин. В это время
по нему идёт ток под напряжением в 120 е. Сколько
кулонов электричества протечёт за это время через проводник?
2 55. Закон изменения напряжения обычного
переменного тока (городского), имеющего 50 периодов в секунду,
даётся следующей формулой: E — E0s'm 100 тг/, где Е0—
максимальное напряжение, a t— время. Найти среднее
значение квадрата напряжения за 1 период (0,02 сек.). Показать,
что при постоянном сопротивлении переменный ток выделяет
за 1 период столько же тепла, сколько постоянный,
имеющий напряжение, рапное V(E2)cp. (Ввиду этого выражение
Y(E~%~ называют эффективным напряжением переменного
тока.)
246S. Напряжение синусоидального электрического тока
даётся формулой
а вила тока — формулой
/ = /0sin^y? — <p0J,
где EQ н /0 — постоянные величины (наибольшие значения
напряжения и силы тока), Т—период, а <р0 — так
называемая разность фаз. Вычислить работу тока за время от
fj=0 до ta=T и показать, что наибольшее значение эта
работа будет иметь тогда, когда разность фаз ср0 равна нулю.
2437. Найти время, в течение которого 1 кг воды
надеется электроприбором от 20 до 100° С, если
напряжение тока 120 в, сопротивление спирали 14,4 ом,
температура воздуха в комнате 20° С и если известно, что
14 Г. Н. Берман
210 гл. viii. ПРИМП1СПИЯ шпегтллл [2468—2472
1 кг волы остывает от 40 до 30° С за 10 мин. (По закону
Джоули-Лемца Q = 0,24/3/?/, где Q — количество теп:и
в малых калориях, / — сила тока в амперах, R —
сопротивление в омах и / — время в секундах. Кроме этого
воспользоваться законом Ньютона об охлаждении; см.
вадачу 24Г>6.)
2468. Воздух, наполняющий сосуд вместимостью в 3/,
содержит 20°/0 кислорода. Сосуд имеет две трубки. Через
одну из них в сосуд начинают впускать чистый кислород,
через другую вытекает наружу столько же воздуха, сколько
притекает в сосуд кислорода. Какое количество кислорода
будет содержаться в сосуде, после того как через него
протечёт 10 л газа? В каждый момент концентрация
кислорода в сосуде при помощи перемешивания сохраняется
одной и той же.
2469. Воздух содержит с°/0 (= 8°/0) СО,; он
пропускается через цилиндрический сосуд с поглотительной
массой. Тонкий слой массы поглощает количество газа,
пропорциональное его концентрации и толщине слоя, а) Если
"воздух, прошедший слой в Н см (=10 см) толщиной,
содержит b°j0 ( = 2°/0)СО2, то какой толщины Н1 должен
быть поглотительный слой, для того чтобы, выходя из
поглотителя, воздух содержал только с°/0 (=1°/0) углекислоты?
б) Сколько углекислоты (в °/0) останется в воздухе,
прошедшем поглотитель, если толщина поглотительного слоя будет
равна S0 см}
2470. Если при прохождении через слой воды
толщиной 3 м поглощается половина первоначального
количества света, то какая часть этою количества дойдет
до глубины 30 м? (Количество света, поглощенного при
прохождении через тонкий слой воды, пропорционально
толщине слоя и количеству света, падающего на его
поверхность.)
2471. Если первоначальное количество фермента 1 г
через час становится равным 1,2 г, то чему оно будет
равно через 5 часов после начала брожения, если считать,
что скорость прироста фермента пропорциональна его
наличному количеству?
2472. Если через два часа после начала брожения
наличное количество фермента составляет 2 г, а через три
2473—2476] | г. некоторые задачи физики 211
часа 3 г, то каково было первоначальное количество
фермента? (См. задачу 2471.)
2473. 2 кг соли растворяются в 30 л воды. Через
5 мни. 1 кг соли растворяется. Через сколько времени
растворятся 99°/0 первоначального количества соли?
(Скорость растворения пропорциональна количеству нерастворёп-
ной соли и разности между концентрацией насыщенного
раствора, которая равна 1 кг па 3 л, и концентрацией
раствора в данный момент.)
Задачи 2474—2479 посвящены химической кинетике
(см. «Курс», п° 136).
2474. При нагревании раствора днбромянтарной кислоты
она разлагается по уравнению
Н2С4Н3Вг204 = 11аС4НВЮ4 -(- НВг
(реакция первого порядка). При температуре в 50° С коп-
сганта скорости равна 0,000261. Первоначальная
концентрация раствора днбромянтарной кислоты была 0,025 моль\л.
а) Какова будет её концентрация через три часа после начала
опыта? б) Через какое время после начала опыта разложится
99,9°/0 кислоты (т. е. практически реакция дойдёт до
конца)? в) Когда разложатся все 100°/0 кислоты? (Время в
секундах, концентрация в моль\л.)
2475. Перекись водорода разлагается при нагревании
или в присутствии катализаторов так:
Н303 = Н30-}-0.
Через 10 мин. после начала реакции концентрация Н3Оа
была 0,276 могь/л, через 20 мин.— 0,165 мочь\л. Подсчптагь
константу скорости реакции, считая, что эта реакция —
первого порядка. (Время в минутах, концентрация в моль\л.)
2476. В закрытом сосуде над жидкой серой
находится водород. Первоначальное его количество 1 г. Через
12 час. остаётся 0,832 г водорода. Сколько водорода
останется через 24 часа? (Реакция протекает так: H2-f-S =
= H3S. Полученный H2S поглощается, так что реакцию
можно считать необратимой. Концентрация паров серы
постоянна благодаря наличию жидкой серы, и поэтому можно
считать протекающую реакцию реакцией первого порядка.)
14*
212 гл. viii. применения интеграла (2477—2479
2477. Реакция омыления уксусно-этилового эфира едким
натром идёт по уравнению
СН3СООСаН6 + NaOH = CH3COONa -f C2H6OH
(реакция второго порядка). В начале опыта раствор эфира
имел концентрацию а = 0,01 моль\л, а едкий натр
присутствовал в концентрации £ = 0,002 молъ\л. По
истечении 23 мин. концентрация эфира уменьшилась на Ю°/0
первоначальной величины. В какое время она
уменьшится на 15°/0?
2478. Реакция между хлорным железом и хлористым
оловом протекает по уравнению
2 FeCl8 + SiiCla = 2 FeCl2 + SivCl4
(реакция третьего порядка). В начале реакции
концентрация SnCl2 равнялась 0,06250 моль\л, а концентрация
FeCl8 — 0,12500 моль)л. Через 1 мин. после начала опыта
концентрация S:iCl2 равнялась 0,04816 моль/л. Какова будет
концентрация SnCl2 через 11 мни. после начала реакции?
2479. Обратимая химическая реакция протекает по
схеме А -\- В tZ^ С -\~ D. Начальные концентрации А и В
соответственно равны а и Ь, начальные концентрации
С и D равны 0. Составить дифференциальное уравнение
хода реакции, считая её реакцией второго порядка.
Г ЛАБА IX
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
Сходимость числового ряда
В задачах 2480—2489 для каждого ряда: 1) найти
сумму п первых членов ряда (Sn), 2) показать, пользуясь
непосредственно определением, сходимость ряда и 3) найти
сумму ряда (S).
2480".- I L_i_ _L L__l
2482- Г4 + 4Т7+- ' • + <Зп_2ИЗя-П) + - " *
2483-п+2-5+---+пта+---
2484в Ь7 + 3^ -Ь • ' + (2л — I) (2л -f 5)
1.1. . 1
2485. 1.2.з + 2-3-4~Ь", + п(л + 1Ил + ^~Г'"
OART 5_L13_1_ I 3я 4-2" ,
2488. -Э- + 225+- * ' + (2/1 — 1/» (2/i-h 1Я~^~" * •
2489. arctgl + arctg-I-f... +arctg ~5+...
214 гл. IX. ряды (2490—2507
Ряды с положительными членами
В задачах 2490—2502 вопрос о сходимости данных рядов
решить с помощью теорем о сравнении рядов:
24Э0" Г2 + 313+*' • + (2л-1)-^Л-1 + " • •
491. sin-y-}-sin-J--|-.. .-j-sin^i-f-... I
2492. l + -j-qp25+---+irpr»+--'
2493" 2Т5"Ьз^ + -' -+(п-г- 1)(л-г-4) +* * *
Я4К. *•£ + *£+...+ *£ Ь-
24 в.т+т+--- + ягп+"'
2497. т + у+- • - + Щ1Г\ +• • •
2498" Iu~2+ПТз +• • -+ПГ(ЙГГ)+' *'
■4№SV=irFV 2500. "£° (£$'•
И = 1 ' П = 1 х ' '
л = оо л = оэ
-.501. У -_!=. 2502. У "5^.
В задачах 2503—2510 доказать сходимость данных рядов
с помощью признака Даламбера:
25СЗ. -+J- +• • •+(2Tqpijl+- • •
2504. ^-}-25*-|-« • *~Г jp ""!"• • •
2505. tg| + 2tgl4---+«tg2^1+-..
0«И1Я 2,2-Г> , , 2-5-...-(Зя — 1) ,
Z5°*e Т~ТТЪ"г* •■+1-5.....(4/1 -;4)-Ь"
. 2507.1 + 1 +...+£+...
900—2522J 11. числовые ряды 215
окоп ! I 1-3 I , ЬЭ-...-(2л-1) ,
2509. siny+ 4 sin -J+.. .-4-rt2sIn^+...
ОЧ1П 2 I 23_1_ J_^ + 1)1 I
В задачах 2511—2514 доказать сходимость данных рядов
с помощью признака Кош и:
25И" 1Л+Ш+"-+П?>+Т)+---
2512.1+(4у+.-+(2-4п)"+-1
2513-arcsIn 1 4-arcslnal+... -farcsln"--f...
fly - (п+Ляа
1 . iilj... .4-i-ftU-
2514 2 | V2/ i I V "
B задачах 2515—2518 вопрос о сходимости данных
рядов решить с помощью интегрального признака сходимости:
2515в ТО7 + ЗГП?Т+'••+<« +|)Ип4- 1)~Ь"
2516" 2ТпТ+Шз+"-+ЯТо^+---
25"- (т*Ц'+(ЭД^ ■•+№)'+■■•
Л = 00
I i.n + 1
2518. £ ^-£±1.
л = 2 ' л
В задачах 2519—2532 выяснить, какие из данных рядов
сходятся, какие расходятся:
2580. |+|+-+S=T+- .
2521. /7+ |/|+- • •+ \/Щг +■ ■ ■
ЮЮ.1+Д+...+£+...
216 гл. iv. ряды [2323—2337
2523.2 + А+... + '^Ь2+...
2524. y^0l +2001 +• • '+1000/7 + 1"Ь ''
2525. —p-f- j^pya +...+ г-^ +• • •
252б.1+А+...+2Д^
За -Г* • '"Г з'
2527. arctg 1 + arctg* 1 -}_... + arctg" 1+...
2528. 2 + 1+...+ £+...
252Э" ГЗ + ГГ7+-' • + (5я-4)(4л-1)+- *'
2530.1+1+...+^+...
2531.1+^+...+*+...
2532. sIn^-+sln^-+... + sIn|j+...
(Воспользоваться формулой
sin ' a sin — й
Sina + sin2a+. .. + sin ka= ,
s,nY
2
см. сКурс», n° 98, или неравенством sinjc^>— x, если
0<лг<у, см «Курсэ, п° 76.)
В задачах 2533—2537 доказать каждое из
соотношении с помощью ряда, общим членом которого является
данная функции:
2533. Iim ^ = 0. 2534. Пш (2"? = 0 (в>1).
п -* оо т п -+ оо и '
2535. 11т ,~==0. 2536. Ит "" —0.
2537. Нт ^? = 0.
Л -♦• 00 П"
2330—2333] | 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 217
Ряди с произвольными членами.
Абсолютная сходимость
В задачах 2538—2547 выяснить, какие из данных
рядов сходятся абсолютно, какие не абсолютно, какие
расходятся:
2538. i_^+...+ (-i)-+i-Jri+...
2539. i_^+...+(-1)^-1^-1^+...
25 0Mf2-ii!i+---+^1)n+,TnTrVr)+---
2541. ^ + ^+...+^+...
2542.1-1.!+...+(-1Г+'44'+---
3 , . , 1ч„4-1«+1
25 3. 2 —4+...+ (-1Ги —
25 4. -i + i-,if-... + (-l)-^+...
254S.1—1.+...+ (-1)-+»^+...
Л = 00 Л = 00
*!546. V 1-111. 2547. У ^(-1)л+1.
Л=1 Л=1
§ 2. Функциональные ряды
Сходимость функциональных рядов
*Ч В задачах 2548—2559 определить области сходимости
данных рядов:
25 8. 1+*+...+*"+...
254 . lnx + ln2;e+...+ ln',* + ...
2550. * + *«+...+*»'+...
2351. * + £+...+£+...
2552. *+*+...+ *!+...
F z 1 я
53- fq^+rqfrr,+. • .+7^7^+- • •
218 гл. IX. ряды [2534—2566
дг> , , хп
2554. { +л|Ц-_--]-.. .-j- j +лг2я
2555. sin-^-l-sin-j-(-.. .-f-sin р-)-...
2556. *tg£ + *atgT+"- + *"tg!?+-"
2557. smx + s-^+....' *Ъпх
22 I •■■ I „2
OREO COS.* , COS2JC , , CCS Я* i
2559. —-J- — -J-...-J-__[-...
Равномерная сходимость
В задачах 2560—2563 убедиться, что данные ряды
равномерно сходятся на всей оси Ох:
2560.1+^+... + ^+...
2561.
П = 00
1
2-. „41
/1 = 1
+ С-*)2] '
fff ~™ ^Vl
2562. Ц'.-^i. 2563. Ё^.
. п = 1 я = 1
2564. Показать, что ряд . , , , ™А- * ■ , / u-
1+l'fWl2 ' 4 -f- [9 (л:)Р
-j— 2 : . /упаЧ"'" сходится равномерно в любом
интервале, в котором определена функция у(х).
2565. Показать, что ряд -| 4-...
Т 1+* ' 2> 1+2* '
.. .4-- -- , . . =-!-• •» равномерно сходится на всей
1 2"-i> \+пх ' к
положительной полуоси (0^л:<^оо). Сколько нужно взять
членов, чтобы при любом неотрицательном х можно было
вычислить сумму ряда с точностью до 0,001?
2566. Показать, что ряд l!}Jl^ + ln{l^2x)+.. ■
...-) -~» г*" равномерно сходится в любом
интервале 1 ~{-<а <:*<^оо, где w—-любое положительное
2567—2570] § 2. функциональные ряды
219
число. Убедиться, что при любом х из интервала (2 *^х*^ 100)
достаточно взять восемь членов, чтобы получить сумму ряда
с точностью до 0,01. (Воспользоваться неравенством
ln(l-f-a)<a.)
2537. Функция /(х) определяется рядом
/w- Z
п = оо
cos пх
10" •
п=1
Показать, что функция f(x) определена и непрерывна
при любом х. Найти /(0), f(i) и /(-jr). Убедиться в
том, что для вычисления приближённых значений
функции f(x) при любом х с точностью до 0,001 достаточно
взять три члена ряда. Найти с указанной точностью /(1) и
/(-0.2).
25S8. Функция /(х) определена так:
п=оо л=оо
/(дс)=гт^+^11-нЛжо)* +Siii-hx-h»i» (a)>0)-
Показать, что функция f(x) определена и иепрерыпна при
любом х. Убедиться, что /(х) — периодическая функция
с периодом (о.
Интегрирование и дифференцирование
рядов
2569. Показать, что ряд х2 -J- х* -f- ... -f- xin~2 -J- ...
равномерно сходится в любом интервале — 1 -J-<о < л: «^ 1 —ш,
где (о — любое положительное число, меньшее 1.
Интегрированием данного ряда найти в интервале (—1, 1) сумму
ряда
у + у+ • • • +4^=П + ' *'
2570. Найти сумму ряда
_,**, t х*п-* ,
220 гл. IX. РЯДЫ |2571-2575
2571. Найти сумму ряда
1-2 2-3^*" 'l ' n(n + l) " •'•
2572. Функция f(x) определяется рядом
/(*) = е-* + 2^~2Jf4- • • • + л«~п* + ...
Показать, что функция /(х) непрерывна на всей положи-
1пЗ
тельной полуоси Ох. Вычислить С f(x) dx.
„_. In 2
2573. Функция f{x) определяется рядом
/(*) = 1 + 2-3* + ... + /i3"-» jc"-i+ ...
Показать, что функция f(x) непрерывна в интервале
0.126
( — у • -j ) • Вычислить I f(x) dx.
2574. Функция f{x) определяется рядом
it
т
Вычислить Г f(x) dx, предварительно убедившись в
я
6"
том, что функция f(x) непрерывна в заданном
интервале интегрирования. (Использовать соотношение
Cosycos-j-... -cos 2?,... =: , см. задачу 326.)
n—oo
2575. Функция f(x) определяется рядом/(jc) = ^Г' . ..
h=i
Показать, что функция f(x) непрерывна на всей числовой
оо
оси. Вычислить \ /(х) dx. (Воспользоваться формулой
л=1
2576—2580] § 2. функциональные ряды 221
1
2576. Исходя из соотношения \ хп dx = —т—г , найти
.) л + 1 '
о
сумму ряда.
(-!)« + !
J) J 4 "t""- г зя —2
5 -Гя"~г 4л — 3
00
2577. Исходя из соотношения \ - — —г.. найти сум-
2
му ряда Т72 + 2Т22- + • • • +7^'+ *''
2578. Исходя из соотношения
л
"2
к (2л — \)(2п — 3)...3:[
I
cos2n xdx — —
2 ' 2л (2л —2) ...4-2
б
(см. «Курс», п° 118), найти сумму ряча
L_H-L,,,-|-(-ip'b3-(2,1"1)
2 2-4 ' ••' I * "' 2-4...2л
2579. Убедиться, что ряд
s1n2Tt.y . sin 4-xx , . sin 2пъх
2 i 4 Г'-'П 2й
равномерно сходится на всей числовой осп. Показать, что
этот ряд нельзя почленно дифференцировать ни в каком
интервале.
2580. Исходя из прогрессии 1 -J- x -J-л:3 -j- ... =
= . ■■■ (|лг|<М), просуммировать ряды 1 -j- 2х-J-Зл:2-f-
+ ..-+л*"~1+... я 1 -f-3*-f- ... -j-w (rt +V~'-f- ...
и показать, что ряд 1 —J— 2аг —|— ... —J— nxn~l -J- ... равномерно
сходится в интервале [-*-р, р], где |pj<M.
222 ГЛ. IX. РЯДЫ (2581-2598
2581. Убедиться, что функция у=/(х), определяемая
Х^ хп
рядом х -\- х2 -4- тг| -|~ • • • 4~ 7 Тй 4~ • • • i удовлетворяет со-
отношению ху =у{х-\-\).
§ 3. Степенные ряды
Разложение функций в степенные ряды
2582. Разложить функцию у=.\пх в ряд Тейлора в
окрестности точки д:=1 (при дг0= 1, см. сКуро, п° 143).
2583. Разложить функцию у = У1с9 в ряд Тейлора
в окрестности точки х=\.
2584. Разложить функцию у = — в ряд Тейлора в ок-
рестности точки х = 3.
2585. Разложить функцию y = sin-j- в ряд Тейлора в
окрестности точки лг = 2.
В задачах 2586 — 2590 разложить данные функции в ряд
Тейлора в окрестности точки х = 0 (ряд Маклорена):
2586. у=ех\е~х . 2587. у=хЧ*.
2588. у = cos (x -f а). 2589. у = е* sin x.
2590. у=cos х ch x.
В задачах 2591—2595 написать первые пять членов
ряда Тейлора для данных функций в окрестности точки л: = 0.
2591. у= In (1 -f ex). 2592. у = есоа *.
2593. у =* cos" х. 2594. у= — In cos x.
2595. у=(\-\-х)\
В задачах 2596 — 2609, пользуясь формулами
разложения в ряд Тейлора функций e*t sin*, cos*, In(, 1 —J— jc) и
(1 -|- лг)т, разложить функции в окрестности точки * = 0:
2596. у = е**. 2597. у = е~*\
2598. ^(^"Р"*^0'
1 при х = 0.
2599—2615J § з. степенные ряды 22*
2хь Г,РИ дг^°.
1 при х — 0.
2599. у==
2600. у=sin £. 2601. у=cos3 х.
X
2
/'sin х
2602. у=
при х=£0, ____
< * F ^ * 2803->'==(д:—tgA:)cosA:.
1 при* = 0.
2604. ^ = In(10 + х). 2605. у = х\п{\-\-х).
2606. .y = yi-{-*3. 607. ,y==J/8—дг3.
2608. у= ГХ . 2609. .у= *2
1 1 х
2610. Разложить в ряд Тейлора функцию у==- . _ 3
в окрестности точки л: = 0. Воспользовавшись этим
разложением, найти сумму ряда 1 -J- -^ -\- ... -\- -^—^ "4" • • •
2611. Пользуясь разложением] функции в ряд Тейлора,
найти значение:
1) седьмой производной от функции у= . , 2 при* = 0,
2) пятой производной от функции y==x2l/l-{-x при
х = 0,
3) десятой производной от функции у==хвех при х = 0,
4) кривизны кривой у = х [y/(l-\-x)*—1J в начале
координат.
В задачах 2612 — 2618, пользуясь разложением функций
в ряд Тейлора, вычислить пределы выражений:
2612- 11т * + 1п(У7Т*-*»а
2613. lim 2"g*-ff*>--*'.
2614. |Jin(i+^ + ^ + infl-r+H)|
2615. llm[A:--A:aln(l+7)].
224 ГЛ. IX. РЯДЫ [2616—2632
Интервал сходимости
В задачах 2619 — 2630 определить интервалы сходимости
данных степенных рядов:
2619. 10дг-|-100д:а4-... + 10пА:п4----
2620. л:-^+.-.+(-1)п+1^+---
2621. *+20+ ••• ~h^7io"iri~b"*
2622. 1-\-х-{-...+п\хп+...
2623. 1 + 2дга + • • • + г"-!*2*"-1) +...
2624. X — 3^j+ •••+(— 1)П + 1 (2л_ 1).(2/1— 1)1+" '
2625. 1 +3д:+ ... + (я— 1)З"-^"-1 + ■ ■ •
2626. т^+^з-Н hW(iT+i)+'"
2627.* + ^+...-} (™'"
2! I ••* I я!
2628. х-f-4*J-]-... +(я*)" +•• •
2629. !^^+^+...+1^1)х-+14-...
2630.2,+ (|,)Ч... + [(Ч11)П-]Ч...
§ 4. Некоторые применения рядов Тейлора
Вычисление приближённых значений
функций
2631. Вычислить приближенное значение уе, взяв три
члена разложения в ряд Тейлора функции /{х) = ех, и
оценить погрешность.
2632. Вычислить приближённое значение sin 18°, взяв
три члена разложения в ряд Тейлора функции /(*) = sin*,
и оценить погрешность.
2633—2652] § 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ТЕЙЛОРА 225
2633. Вычислить приближённое значение |/"10, взяв
четыре члена разложения в ряд Тейлора функции /(х) = (1 -\-х)т%
и оценить погрешность.
В задачах 2634 — 2641, пользуясь формулой разложения
в ряд Тейлора функций е*, sin* и cos*, найти:
2634. ег с точностью до 0,001.
2635. уе с точностью до 0,001. ш
2636. — с точностью до 0,0001.
е
2637. -j-jzz с точностью до 0,0001.
Vе
2638. sin 1° с точностью до 0,0001.
2639. cos 1° с точностью до 0,001.
2640. sin 10° с точностью до 0,00001.
2641. cos 10° с точностью до 0,0001.
В задачах 2642—2648, пользуясь формулой разложения в
ряд Тейлора функции (l-j--*')'ni найти с точностью до 0,001:
2642. {/30. 2643. {/70. 2644. {/500.
2645. УШК 2646. {/250. 2647. j/l29.
2648. 1УТШ.
В задачах 2649—2651, пользуясь формулой разложения
в ряд Тейлора функции In . _х, найти:
2649. 1пЗ с точностью до 0,0001.
2650. 1£* = щ-[у- с точностью до 0,000001.
265la lg5 с точностью до 0,0001.
Решение уравнений
2652. Дано уравнение ху-\-е*—у. Пользуясь методом
неопределённых коэффициентов, найти разложение функции
У в ряд Тейлора по степеням *. Решить задачу, определяя
коэффициенты ряда Тейлора последовательным
дифференцированием.
1Б Г. Н. Берлин
226 гл. IX. РЯДЫ 12653—2662
2853а Дано уравнение у = \п(1—х)—ху. Пользуясь
методом неопределённых коэффициентов, найти разложение
функции у в ряд Тейлора по степеням х. Решить задачу,
определяя коэффициенты ряда Тейлора последовательным
дифференцированием.
В задачах 2654—2656 решить данные уравнения
относительно у (найти явное выражение для у) с помощью
ряд* Тейлора двумя способами: методом неопределённых
коэффициентов и последовательным дифференцированием:
2654а у*-\-ху=\ (найти три члена разложения).
2855а 2sinх-\-s\ny = x—у (найти два члена
разложения).
2856а е*—еУ=ху (найти три члена разложения).
Интегрирование функций
2657а Функцию у=\п(х-\-у \-\-х2) разложить в ряд
Тейлора в окрестности точки л: = 0, исходя iu соотношения
и указать область сходимости полученного ряда.
2658* Функцию у = \п \/ . _ разложить в ряд
Тейлора в окрестности точки дг = 0, исходя из соотношения
" YW.-U
dx
л**
о
и указать область сходимости полученного ряда.
В задачах 2659 — 2668 выразить в форме ряда данные
интегралы, используя разложение в ряд подиитегральных
функций; указать области сходимости полученных рядов:
2659. §~dx. 2830. \^-dx.
2661.
fedx. 2~". fedx.
2663—2677] § 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ТЕЙЛОРА 227
X
2663. [e~*dx. 26S4. J*£%*.dx,
о о
X X
26S5. Г ,/±L_ . S. \VT+x*dx.
* x 4
2в87. \г^. 2SS8. K'+f~'d*.
JrS.- ~ J.
В задачах 2669 — 2673 вычислить приближенные
значения данных определенных интегралов, взяв указанное число
членов разложения в ряд нодннтегральной функции; указать
погрешность:
«. 1
4 "?
2669. J-^rf* (3 члена). 2S70. j" «-*</* (3 члена).
я
6~
2
71- f dx . (2 члена). 2872. Г ~dx(6 членов).
VT
12673. I x*arclgxdx (2 члена),
о
В задачах 2674 — 2677 вычислить с точностью до 0,001
данные интегралы:
02 о,3
2674. J^tf*. 2Б75. \ ^-dx.
0,1 О
О,? 0.5
2676.
\x"s\nxdx. 2^77. jj-T^.
15*
гЛ гл. ix. ряды (2678—2687
2678. Показать, что в интервале (— 0,1; 0,1) функ-
10
х
ция \ e~xidx отличается от функции arctg*— jr. не боль-
-•
ше чем на 0,0000001.
2679- Принимая во внимание тождество
| = 4arctgl —arctg^L,
вычислить тт с 10 верными знаками.
2680. Разложить в ряд Тейлора функцию у=
X
= **' \ e~x*dx двумя способами: путбм непосредственного
о
вычисления последовательных производных при x = V н
путем перемножения рядов.
2681*. Вычислить интеграл [x*dx.
\'
§ 5. Вычислительные задачи
0,6
6С2. Вычислить \ e*laxdx с точностью до 0,0001.
Я
2683. Вычислить I У cos x dx с точностью до 0,001.
о
2684. Вычислить площадь, ограниченную кривой у*=*
= х%-{-\, осью ординат и прямой x=z — t с точностью до
0,001.
2685. Вычислить площадь овала х*-{-у*=\ с
точностью до 0,01.
2686. Вычислить длину дуги кривой 25у2 = 4х* от
острия до точки пересечения с параболой 5у=х2 с
точностью до 0,0001.
687. Вычислить длину одной полуволны синусоиды
yxssiaxc точностью до 0,001.
2688—2691] | в. вычислительны» задачи TJ»
2688. Фигура, ограниченная кривой y=*tTctgx, осью
абсцисс и прямой х = -гг, вращается вокруг оси абсцисс.
Вычислить объбм тела вращения с точностью до 0,001.
2689. Фигура, ограниченная кривыми у* — jc8=l, 4y-f-
-|-а:в = 0, прямой yz=.— w осью ординат, вращается вокруг
оси ординат. Вычислить объём тела вращения с точностью
до 0,001.
2690. Вычислить координаты центра тяжести дуги
гиперболы у = —, ограниченной точками с абсциссами *1 =
— Т и х* — ~о* с точн°стыо до 0,001.
2691. Вычислить координаты центра тяжести
криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=-. , прямыми
дг= 1,5 и лг==2 и осью абсцисс, с точностью до 0,01.
ГЛАВА X
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ HEPFMEHUblX.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Функции нескольких переменных
**692. Выразить объём z конуса как функцию его
образующей х и высоты у. ,
2693. Выразить площадь S треугольника как функцию
его трёх сторон х, у, z.
2694. Пайш зависимость образующей z усечённого
конуса от ею объёма v и радиусов х и у его нижнего и
верхнего оснований.
2695. Составить таблицу значений функции z—2x —
— Зу-\- 1, давая независимым переменным значения от 0 до 5
через единицу.
2696. Составить таблицу значений функции г=\^х2-\-у'л,
давая независимым переменным значения от 0 до 1 через 0,1.
Значении функции вычислять с точностью до 0,01.
2697. Найти частное значение функции z= | агс. ,* v| i
l+V'd 1-13
при * = -——, у==—g—.
2698. Дана функция z=, ""*},"" v\. Пусть значения
r (u—y)(v — x) J
независимых переменных х, у, и, v (в указанном порядке)
образуют арифметическую прогрессию. Показать, что в этом
случае значение функции равно 4. Пели же значения х, у,
и, v образуют i еометрнческую iipoi рессшо, то личенне функции
положительно, но меньше 2.
2699—2705J § 1. функции нескольких переменных 231
69 . Да„а функция F(X, у^^Ж^ЩМ. 1Шя
г(а, —). В частности, положить <р(«) = «3, <|>(и) = «3 и
подсчитать F ( а, — ).
2700. Дана функция F(x, у)=ух— ~пхУ- ^сл" х " У
меняются с одинаковой скоростью, то какая функция при
x = 'S, у =2 растёт быстрей: та ли, которая получается пз /•'
при фиксированном у (меняется только х), или же та,
которая получается при фиксированном х (меняется только у)?
2701. Дана функция у(х, у, z)=y2 — {ycosz-{-
у+»
-\-zqos у)х-\-хУ—*. Переменные у и z сохраняют
фиксированные значения у0 и z0, причём y0 = 3z0. Что представляет
собою график функции i> = 'f (x, v0, z0)7 Является ли ^ {х, у, z):
1) рациональной функцией от у} от г? 2) целой функцией
от х?
270 ■ Функцию z=f{x, у), удовлетворяющую
тождественно соотношению /{мх, ту) = тк/(х, у), называют
однородной функцией /г-10 измерения. Показать, что однородная
функция /г-го измерения z=f{x, у) всегда может быть
представлена в виде г = хн Fl — ).
2703. Однородность функции любого числа независимых
переменных определяется аналогично функции двух
переменных: например, f{x,yt z) — однородная функция £-го
измерения, если /(тх, ту, rnz) = mhf(x, у, z). Также- имеет
место свойство /(х, у, z)=xkF(—, —J. Доказать.
2704. Показать, что функция z = F(x, y) = xy
удовлетворяет функциональному уравнению
T[ax-\-bu, cy-\-dv) =
= acF(x, у) + bcF (и, у) -f adF(x, v) -f bdF(tt, v).
270 r. Показать, что функция z = F(x, y) = \nx\ny
удовлетворяет функциональному уравнению
F{xy, uv) = F(x, a) + F{x, v) + F{y, u)-\-F(y, v).
232 ГЛ. X. ДИФФЕП-НЦИЛЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [270В—Я714-
2708. Из уравнения -5 -f- ^~ -f- -j =■* 1 определить х как
явную функцию х и ,У. Будет ли эта функция однозначной?
2707. Дана сложная функция z = ttv, где а = х-\-у,
v—x—у. Найти частное значение функции: 1) при лг = 0,
у=\\ 2) при jc=1, у=\\ 3) при х = 2, ^ = 3; 4) при
х=0, у = 0; 5) при х = — 1, у = — \.
2708. z==* "*" ; u = tiy'; v=w~'; w = \fx-\-y;
t = 2(x— >>)• Выразить * непосредственно в виде функции
от х и ^у. Является ли г рациональной функцией от и н ф?
от то? от f? от л: и у?
2709. Убедиться, что сложная функция
gsssF(!L=*t £=£)
Vu-.V* v— .уУ
не меняет своего значения, если значения всех четырёх
независимых переменных изменяются в одном и том же
отношении. Если xt у, и, v образуют (в указанном порядке)
арифметическую прогрессию, то функция имеет одно и то же
значение, какова Си пи была эта прогрессия.
2710. Дана сложная функция z = nw-{-ги* ^v, где н==
г=х-\-у, v = x — у, w = xy. Выразить z непосредственно
в виде функции от х и у.
2711. «_<8+ч)'-е-*; S=^±^; ч = ^;-
а = \п(х2-{-y2-\-z2); y = 2\n(x-\-y-\-z). Выразить и
непосредственно в виде функции от х, у и z. Является
ли и целой рациональной функцией от Б и т)? от ш и у?
от х, у, z?
2712. Сложную функцию *=(£±^^)*' + *а+У
представить н виде «цепочки» зависимостей из двух звеньев.
2713. Исследовать методом сечений график функции
г = -тг(х2—у2). Что представляют собой сечения
плоскостями х = const.? у = const.? z = const.?
2714. Исследовать методом сечений график функции
z = xy. Чю представляют собой сечения плоскостями
х = const.? у = const.? « = const.?
8715—27S7J § 2. ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИИ 233
2715. Исследовать методом сечений поверхность «ш
2718. Исследовать методом сечений поверхность
z* = ax*-\-byt (я>0, £>0).
2717. Исследовать методом сечений: о) поверхность
z* = y* — хь\ б) поверхность z = (х*-{-у2)2 — 2{х2—у~).
Начертить схематически эти поверхности.
§ 2. Простейшее изучение функции
Область определения
В задачах 2718 — 2737 найти области определения дчн-
ных функций:
2718. z == j/i-£—§. 2719. z = In {у2 - 4x + 8).
2720. z = Iia_lx2_yt. 2721. z = V FfJ+|/I=o?.
2722. *=-7=L=+-4=. 2723. z = arcsln^i.
Vx + y ' T x—y = *
2724. z = \nxy. 2725. z = j/x— Vy.
2726. z = arcsin^i-^-j-arcsec(A:a-|-y).
27 7 -- * 4^7' 2728 * — i/SSE
2729. z = xy+ lA^^+^^Tv^1^.
2730. z=ctg тт {x-\-y). 2731. z = j/sm n (л:2 -f->>*).
2732. z=|/xsm^. 2733. z = lnAr —lnsin^/.
2734. z = ln[*ln()> —*)].
735. z = arcsin|2>y(l-}-A:a)—1].
2738. u = -L ' ! ' l
] jc > j> > ж
1
2737. tt = J tfa —*a—.у-* —za
\ x*+y2-\-z* — r*
-34 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [2738—2744
2738а Областью определения функции z=f(x, у)
служит параллелограмм со сторонами ^ = 0, у = 2, у=—х,
у= — х—1; граница параллелограмма исключается. Задать
эту область неравенствами.
2739. Областью определения функции z=f(x, у)
служит фигура, ограниченная параболами у = х3 и х=у2
(включая границы). Задать эту область неравенствами.
2740а Записать с помощью неравенств открытую
область, являющуюся правильным треугольником с вершиной
в начале координат, со сторонами, равными а, причём O'liia
из них направлена но положительной полуоси Ох.
2741а Область ограничена бесконечным круглым
цилиндром радиуса R (границы исключаются) с осью, параллельной
оси Oz и проходящей через точку (а, Ь, с). Задать эту
область с помощью неравенства.
2742. Записать с помощью неравенства область,
ограниченную сферой радиуса R, с центром в точке (а, Ь, с)
(включая границу).
2743а Вершины прямоугольного треуюльннка лежат
внутри круга радиуса /?. Площадь 5 треугольника является
функцией его катетов х и у:
S—y(x, у). Каковы: а)
область определения функции у;
б) область определённости
соответствующего аналитического
выражения?
2744а В шар радиуса R
вписана пирамида с
прямоугольным основанием, вершина
которой ортогонально
проектируется в точку пересечения
диагоналей основания. Объём v
пирамиды является функцией
Черт. 57. сторон х \\ у её основания.
Будет ли эта функция
однозначной? Составить для неё аналитическое выражение. Найти
область определения функции и область определённости
соответствующего аналитического выражения.
\
2749—2757] § 2. простейшее изучение функции 235
2745а Квадратная доска состоит из четырёх квадратных
клеток, попеременно чёрных и белых; сторона каждой из
них paFiia единице длины. Рассмотрим прямоугольник,
стороны которого х и у параллельны сторонам доски и опии
нз углов которого совпадает с чёрным её углом. Площадь
чёрной части этого прямоугольника будет функцией от
х и у. Где эта функция определена? Записать её
аналитически (черт. 57).
Понятие предела. Непрерывность функции
В задачах 2746—2751 вычислить пределы данных
функций, полагая, что независимые переменные произвольно
стремятся к своим предельным значениям:
2746. lim r -у2 + '3 . 2747. Hm V^f!~ ' ■
x-*qYx* + v2-f 1-1 . *-о х2+У2
©749 lim зМ^+Я 2749 Нп.*-«*(* +О
у-+0 у-*0
1
1
2750. lim е-тт-г. 2751. lim (1 +*У)*+>\
*_>о х 1-тУ *->о
у-*0 у-*0
X I V
2752. Убедиться, что выражение и= _ • при х—>»0,
у—►О может стремиться к любому пределу (в зависимости
от того, как стремятся к нулю х и у). Привести примеры
таких изменений х и у, чтобы:
a) lini«=l, б) lim и = 2.
2
2753. Найти точки разрыва функции z = , 3. Как
ведёт себя функция в окрестности точки разрыва?
2754. Найти точки разрыва функции * = 5Ш« ЯЛГ + sill3 ^ •
2755. Где будет разрывна функция z = ——■?
х у
2756. Где будет разрывна функция z = -^-^ + -г^ ?
2757. Где будет разрывна функция z =•■ _ 2 у ?
236 гл. х. дифференциальное исчисление [2758—27В9
Линии и поверхности уровня
2758. На плоскости дана точка А. Расстояние
переменной точки М от точки А есть функция координат точки М.
Найти линии уровня этой функции, соответствующие
расстояниям, равным 1, 2, 3, 4.
2759. Дана функция z=f(x, у) = а. Построить
Xr -J- у
линии уровня этой функции для г=1, 2, 3, 4.
2760а Функция z=f(x, у) задана следующим образом:
в точке Р(х, у) её значение равно углу, под которым виден
из этой точки данный в плоскости хОу отрезок АВ. Найти
линии уровня функции /(х, у).
В задачах 2761—2764 начертить линии уровня данных
функций, придавая z значения от —5 до -f-5 через 1:
276!. z=xy. 2762. х=х*у-\-х.
2763. *=y(*»+l). 2764. * = £Lzi.
2765. Начертить линии уровня функции z = (x2 -j-У2)2 —
3 1
— 2(х2—у2), придавая z значения от —1 до -j через -^.
2766. Начертить семейство линий уровня функции z,
неявно заданной уравнением
(4)ж[(*-5)"+<у»1 = (4)'[(дР + 5)1+/1.
давая z значения от — 4 до 4 через 1.
2767. Начертить семейство линий уровня для
функции z, заданной неявно уравнением у* = 2~*(х — г), давая z
значения от —3 до 3 через -^-.
2788. Функция u=f(xt у, z) задана следующим
образом: в точке Р(х, у, z) её значение равно сумме
расстояний этой точки от двух данных точек A (xlt _>»,, z,),
В(х2, у3, z2). Найти поверхности уровня функции /(х, у, z).
2769. Найти поверхности уровня функции
в=ь,1±£322.
1 — Ух*+у*±*г
2770—2772] % з. производные и дифференциалы
237
2770. Найти поверхности уровня функции
х*-\-у2
и =
2771. На черт. 58 изображены линии уровня функции
г»
I I 2 4816
Черт. 58.
z=.f[x, у). Начертить график функции:
1) z=f(x, 0), 2) z=/(x, 4), 3) г=г/(1, y)t
4) z=/(-5, у), 5) *=/(*, 3*), 6) z=/(x, x%
§ 3. Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных
Частные производные
2772. Объём газа v является функцией его
температуры и давления: v=f(p, T). Средним коэффициентом
расширения газа при постоянном давлении и изменении
температуры от Г| до Тг называют выражение —~, —-.. Что
следует назвать коэффициентом расширения при постоянном
давлении при данной температуре TQ}
238 гл. х. диффгп-шдиалыюе исчисление [2773—2797
2773. Температура в данной точке А стержня Ох
является функцией абсциссы х точки А и времени t\
0=/(аг, /). Какой физический смысл имеют частные про-
изводи ые -vr п -ч- ?
at ox
2774. Площадь S прямоугольника выражается через
основание Ъ и высоту h формулой S=bh. Найти -^j, ~rr
и выяснить геометрический смысл полученных результатов.
2775. Даны две функции: и = У а2 — х2 (а —
постоянная) и z—Уу2 — х2. Найти -г- и у-. Сравнить
результаты.
В задачах 277G—2808 найти частные производные
данных функций (по каждой из независимых переменных):
2776. z = x —у. ч 2177, z = x*y—y*x.
2778. Ъ = ахе~*-\-Ы (a, b — постоянные).
2779. *=£ + •£. 2780. *=4±^-
2781. z=(5x2y—/+ 7)8. 2782. z=*]/7+t£= .
2783. z = ln(*+K*4-72)- 2784. z = arctg-.
2785. *=—I—. 2786. * = *>.
arcty —
ь x
2787. *= In (**+/).
278B. 2=lnLg^. иве. ,=arcsinl^.
2790. *= In tg-f. 2791. z = e"1
2792. * = In (*-f In,v).
2793. « = arctg^±^'. 2794. *=sin^cos £.
2795. *= (|)*. 27S8. z= (1 + *yj'.
2797. z = xy In (at -f- д/).
2798—2824] § з. производные и дифференциалы 239
2798. г — ххУ. 2799. ti — xyz.
2800. u = xy-\-yz-\-zx.
2801. и=\ x2-\-y2-\-z2.
2802. и = х*+ yz2-\-3yx — x-\-z.
2803. w = xyz -f- j/я; -(- zvx -\~ vxy.
280 . u = e*l*+r+*>.
2805. и = sin (дг2+f + *2).
280S. « = In (jc + д/ + 2:). 2807. u — x*.
2808. h=*/.
2 9. f{x, y)=x+y — } x2+y2, найти /х(3; 4).
2810. *=1п(*+|Л найтн ^=Г
J = o
В задачах 2811—2824 найти частные производные дан
них функций (по каждой из независимых переменных):
2811. z={2x+y)2x+y. 2812. z = (l + \ogyx)\
28J3. z = xye«" "*У. 28J4. z = (*2 +.y2) |7*,-!4" *
1 -f- r •*" ~T
У
2815. z = arctg V^. 2816. * = 21/ |—J^.
У i + yxy
2817. * = In |_*y2+yx2 + V1 + (*V2+^2)21-
2818. *= /i-^),+arceln.*+^-
v
. j arctg -—1
2819. z = arctg( arctg-M — -, £ arctg^-.
^ x* arctg^+1 *
2820.^ = ^+J/t + z2)2- 282J.« = arctg (*_;,)*.
2822. й = Д 2823.,ft = lni7f-*2+y + *'
2824. w=~ tg2 (jc2/ + z V — .кугг') +
►j- hi cos (л:2^2 -J- z2v2 — xyvz).
240 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [2828—2886
2825- a = cos(?-f> Найти: (%) .
*=4
4
да ди
2826. u = Vaz* — Ы\ Найти значения ^ и -^ при
z = b, t = a.
non-v jrcosv — vcosjc и * dz dz ..л
2827. z=t—.—: ~:—. Найти -г- и ч- при x=y=Q.
l-f-sinjt-|-sln^ ox ду г ^
2828. « = ]/sin2 a: -f- sin2 у+sina * Найти: (aj)
rO
ж
2829. и = 1п(1+а:+У + 2г8). Найти их + иу + иг при
л;=^/ = ;г = 1.
2BZO. f{x, у) = х*у—у*х. Найти: М^—^
\дх ' ду/х=1
у=2
Дифференциалы. Приближённые вычисления
2831. г=Ух-{-у*. Найти djs при * = 2, v = 5,
Ду=0,01. х
2832. z = V\nxy. Найти */,* при *=1, ^=1,2,
Да: = 0,016.
2833. u — p — ^-\-Vp-\-g-\-r. Найти d^ при р=1,
? = 3, г=5, Др = 0,01.
2834. Какой угол образует с положительным направ-
( = = *+*
лением оси абсцисс касательная к кривой 4
I ,У = 4
d точке (2, 4, 5)?
2835. Какой угол образует с положительным
направлением оси касательная к кривой
в точке (1,1, 1^3)?
( z = V\+x*+y*
\ х=1
2836—2855] § з. производные и дифференциалы 241
283S. Под каким углом пересекаются плоские кривые,
получающиеся в результате пересечения поверхностей
v2 j(Z J- V2
z = x2-\-Zr и * = ■—!p- плоскостью .у = 2?
В задачах 2837—2840 найти частные дифференциалы
данных функций по каждой из независимых переменных:
2837. г=ху* — 3х*у> + 2у*. 2338. z=Vx*+y>.
283Э. z = ~^—2. 2 40. и = 1п(л-з-{-2У»—*«).
В задачах 2841—2851 найти полные дифференциалы
данных функций:
2841. z = x2y*— у*х*-{- х*у2.
2842. z = 1 In (л-2 -|- j*). 2843. г = arctg 2.
2844. « = J±|. 2845. z = arcsin |.
2845. z = sin (xy). 2847. 2 = arctg *+v .
SBn-* = xl±$- 2 9. *=arctg(^).
2850. z=y\ 2851. « = *>*
Применения к вычислениям
2852. Найти значение полного дифференциала функции
z—x-\-y—J, хг-\-у* при х = 3, у = 4, Длг = 0,1,
Д.У = 0,2.
2853. Найти 3nj4enne полного дифференциала функции
z = exv при х—1, у—\, Длг=0,15, Л_у = 0,1.
2854. Найти значение полного дифференциала функции
z = jT=rp ПР" * = 2. У=1' Д* = 0.01, Д^=0,03.
2855. Подсчитать приближённо изменение функций 2 =
= -~~ при изменении л: от хх = 2 до лга = 2,5 и .у от
>»i = 4 до у% = 3,5.
16 Г. Н. Берман
242 ГЛ. X. ДИФФЕРЕИЦИЛЛЬНОЬ ИСЧИСЛШИЕ (2856—286
2856а ВЫЧИСЛИТЬ ПрнблИЖСПНО
lntJ/Toa+^o^B —1).
2857. Подсчитать приближенно 1,04а>03.
2858. Найти длину отрезка прямой х = 2, у = 3,
заключенного между поверхностью z = x2-\-y* и ей
касательной плоскостью в точке (1, 1, 2).
2 59. Тело взвесили в воздухе (4,14; 0,1 г) и в в°Де
(1,8 ±0,2 г). Найти удельный вес тела и указать
погрешность подсчета.
2 ВО. Радиус основания конуса равен 10,2 ±0,1 см,
образующая равна 44,6 ±0,1 см. Найти объем конуса и
указать погрешность подсчета.
2 SI. Для вычисления площади 5 треугольника по
стороне а и углам 13, С пользуются формулой
„ 1 я sin/? sin С
Л~2° 5йГ(Я+С)"
Найти относительную погрешность b's при вычислении S,
если относительные погрешности данных элементов равны
соответственно &', 8' $'.
«' IP С
28 2. Сторона треугольника имеет длину 2,4 м и
возрастает со скоростью 10 CMJcetc; вторая сторона длиной
1,5 м уменьшается со скоростью 5 cMJceic. Угол,
заключенный между этими сторонами, равный 60°, возрастает со
скоростью 2° в секунду. Как и с какой скоростью изменяется
площадь треугольника?
28S3. В усеченном конусе радиусы оснований равны
/?=30 см, г = 20 см; высота Л = 40 см. Как изменится
обьВм конуса, если увеличить R на 3 мм, г на 4 мм,
Л на 2 мм?
2 ■ Показать, что при вычислении периода Т
колебания маятника по формуле 7 = тг I/ — (/—длина маят-
пика, g—ускорение силы тяжести) относительная
погрешность равна полусумме относительных погрешностей,
допущенных при определении величин / и g (uce погрешности
предполагаются достаточно малыми).
2863—2876] § 4. ПРАВИЛА ДПФФЫЕМЦИРОВАНИЯ
243
Производная по направлению
865. Найти производную функции г=Зх*-^~х\>-{-уъ
в точке М(1, 2) по направлению, образующему с
положительным направлением оси Ох угол в 135°.
2 6. Найти производную функции z=x* — Ъхгу-\-
-f- Злу3 -\- 1 в точке М(3, 1) в направлении, идущем от этой
точки к точке (6, 5).
28 7. Найти производную функции z = arctgxy в точке
(1, 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного
угла.
28 8. Найти производную функции a = xy2-\-zz— xvz
в точке М{\, 1, 2) в направлении, образующем с осями
координат углы соответственно в С0°, 45°, 60°.
2869. Найти производную функции w = xyz в точке
А (5, 1, 2) в направлении, идущем от этой точки к точке
Я (9, 4, 14).
2 70. Найти производную от z = \п (е*-\-еу) в начале
координат в направлении а.
2871. Найти производную от функции 2 = In (x-\-y)
в точке (1, 2), принадлежащей параболе у2 = 4х, по
направлению этой параболы.
2872. Найти производную от функции 2=arctg-^-
в точке (у; ■—-), принадлежащей окружности х2-\-у2—-
—2# = 0 по направлению этой окружности.
§ 4. Правила дифференцировании.
Дифференцирование сложной функции
«.873. и = е*~*У, где х = sin /, у = /8; ^=?
2874. u = z*-\-y2-\-zy\ z = sin/; y=ef; ^=?
2875. z=arcsin {x — у); х == 3/; у = 4/a; ^ = ?
2876. z=x2y — yax, где x = и cosv, y = uslnv;
dz .> dz .>
д-а=? дГи=?
16*
244 гл. х. дифф1-рн1ЦИалыюе ИСЧИСЛ1НИЕ 12877—2890
2877. *=*Чп,, * = £, jr-S—2u. j£=? £ = ?
2878. tt = ln (ех~\-сУ); £;=? Определить —-, если
у = х*.
2879. z==arctg (лгу); найти -т-, если у=ех.
28 О. tt = arcsinj, где *s= j/^*"^;—==?
2881. * = tg(3/ + 2rf—.у), * = |, jf = ]/l; g = ?
28B2. e=»^=^, ;> = 0sin*, *=«»*; £=?
2883. g=s*v«tg^+*+v) & ? <fc? dz==7
Jt-f-У <>■* чУ
2884. ж = {#+/)е *У ; £ = ? | = ? </*=?
2885. *=/(*'-.у V*>); ^=? ^ = ?
28 8. Убедиться, что функция 2 = arctg —, где дг =
= u-\-v; у = и— v, удовлетворяет соотношению
дг . дг и — v
д~й *d~v и*-}-"1 "
2887. Убедиться, что функция z = —±—, где х =
= и cos f, y=us\nv, удовлетворяет соотношению
дг t дг 2г
■5 И Ctg V v- = ТГ •
do 6 c)u cos2u
2883. и = sin x-f-/'(sin ^ — sin x); убедиться, что
J^ cos x-\-~ cos у = cos х cos ^ какова би ни была
дифференцируемая функции F.
2839. г=^; убедиться, что i^ + ig.==£ ,
какова бы ни была дифференцируемая функция /.
2890. Показать, что однородная дифференцируемая
функция нулевого измерения z = F (~) (см. задачу 2702)
дг , дг Л
удовлетворяет соотношению х -.—r^J'^"*
2891—2906) • 4. правила диффгрпширования 215
2891. Показать, что однородная функция Л-го измерения
tt=xkF[-~; -^j, где F—дифференцируемая функция,
удовлетворяет соотношению
ди , ди I да .,
892. Проверить предложение задачи 2891 на функции
fi = A-6sln^-/?.
л3
2893. Дана дифференцируемая функция /(дг, у).
Доказать, что если переменные х, у заменить линейными
однородными функциями от X, К, то полученная функция F(X, Y)
связана с данной функцией соотношением
Неявно и параметрически заданные
функции
В задачах 2894—2904 найти производную ~ от
следующих неявно заданных функций:
289 . х*у—у*х=а*. 2895. х*у*—х\—у* = а*.
289S. хе*+уе* — ехУ = 0.
2897. (х3+У*)Ш — аг(ха—у*) = 0.
2898. sin (ху) — е** — х*у = 0.
1 1 1
899. х3 +у*г=*а*. 2900. ху—\пу=:а.
2901. arctg^i^ — £=0. 2902. ух*=*&.
2903. j«f* -f^ = 0. 2904. у = л*.
2905. F(xty) = F(y,x). Показать, что производная от
у по х может быть выражена с помощью дроби, числитель
которой получается из знаменателя перестановкой букв
у и х.
2906. а:э+^э — 4лг— 10^/-f-4 = 0; найти — при *=г6,
> = 2 и при jc = 6, у = 8. Дать геометрическое
истолкование полученным результатам.
216 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛШИР [2907—2920
2907. jc4_v —{— агд/4 — ах2у* = аь; найти ~ при х=у=а.
2908* Доказать, что из х2у2-f-х2-\-у*—1=0 следует:
dx . dy __q
Vl—*V l-У*
2909. Доказать, что из а-\- b (x-\- y)-\-cxy=m{x—у)
следует:
dx dv
а + 2bx + ex2 ~~ a -f 2by + су2 *
2911. *»_2j-» + z» — 4*+2г—5=0; ^=? *|=?
2912. * + 3*j*=o'i |=? |- = ?
2913. «._,„=<>; *-? |=?
°914. Показать, что, каком бы ни была
дифференцируемая функция <р, ил соотношении у(сх — az, су — bz) = 0
dz , .dz
следует: a-d- + b0- = c.
2915. Найти полный дифференциал функции z,
определяемой следующим уравнением:
cos2 х -\- cosa у -\~ cos3 2=1.
2918. Функция z задана параметрически:
x = tt-\-v, y = u'—v; z = uv. Написать z как явную
функцию от х и у.
2917. x=u-\-v\ y = u2-\-v2\ z = H°-f-t/8; написать z
как явную функцию х и у.
2918. x=uzosv\ y = uslnv\ z = kv; выразить z как
явную функцию х и у.
В задачах 2919—2922 найти -А, -г- » dz m данных
ох оу
функций:
2919. х=^±^, 2920. х = V^ (sin и + cos v),
У=*" 7} , y=ya{cosu — sin*;),
z=r-uv. z=\-\~ sin (« — v).
2921—2930] I б. повторное дифференцирований 247
2921. x = u + v, 2922. x=eu cos t>,
.у=и — v, #y=c°sint>,
2; = ti2v2. z = «v.
2923. Соотношения u=f(x, y), v=F(x,y), где / и
F—дифференцируемые функции х и у, определяют х и у
как дифференцируемые функции от и и v. Доказать, что
(ди dv ди ди\ (дх dv дх dv\ .
\Sxby~ tjy5x)\dudv дИдй) '
В задачах 2924—2925 найти полные дифференциалы
данных функций:
2924. jc = ttcosv, у = и sin v, z=u3,
2925. x=vcosu — ttcostt + sfntt,
yz=v sin и — и sin и — cos и,
z—(u — v)2.
2926. и и v являются функциями л:, у, z,
удовлетворяющими соотношениям uv = 3x — 2y-\-z\ v2=x2-j-yi-{~zz.
Показать, что
ди , ди , да
хТх+Уду- + *Ъ:==0-
2927. Пусть y=/(x,t), F(x,y,t) = 0. Показать, что
д/ dF^dfdF
dv_ "ЬхдТ ШЫс
dx д/dF dF '
dldy+dT
§ б. Повторное дифференцирование
2928. z=x*-\-ху2—-5ху*'т-у6. Убедиться, что
&г_
д*г
ох~ду дудх'
2929. z=xy. Убедился, что JZ*=**
пол * дхдУ дТдх*
a*U. z=e*[cosy + xs[ny). Убедиться, что
д*г д2г
дхду дудх*
248 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (2931—2940
293l.* = arctg^. Убедиться, что ^,-^=£—,.
д2г д*г дгг
В задачах 2932-2939 найти %?> Щ}" ф от да,шыч
функций:
2932. z==-hV-}-.V3)n.
2933. г = \п(х + \'х*-]-у%
2934. г = arctg ^Ц. 2933. г = sir.2 (я* + by).
2936. z = X. 2937. г = ^.
2938. г=У»,дг. 2939. г — ,\тсып(ху).
2940. « = /*• + >■ + *» —2д«; ^ = ?
2941. , = «** 2^ = ?
2942. *=In (*» + /); 57^ = ?
29 3. z = sin*y; 377^ = '
29 4.^ = ^; гЦтг^7
2945. v=xmynzP; ttio?==?
29 .*= In («* + ''); Убедиться, что ^ + ^--1 »
что тл,»^— лтж; -~и#
2947.^ = ^7=^; показать, что
2940. г=Vх*-\-У2 ~*т г*'г показать' что
2949—29B7] § е. повторное дифферыщировahие °19
2949. z = yaJaaxi; показать, что ^ = о2^а.
2950. v = 1 1 ; показать, что
х—у • у —z ' г —л:' '
1b*~T~dy*~T~0z*'~r* ^57^">dyl7'T"uru^J —и'
2951. ^=^> (л: -(- p./) -f-ф (л: — jx/); показать, что
d*v 2&у
0~fl ~ ** дл*'
каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции
ф и ф.
2952. и = <р (аг) + ф (у) + (х—у)'У {у); показать, что
(л:—j/),-- = — (tp и ф — дважды дифференцируемые
функции).
2953. г=уу{х*—уэ)\ показать, что
1 дг , 1 дг г
~х~дх~* ~уЪ~у у*
(<р— дифференцируемая функция).
2954. r = x<p{x-\-y)-\-yty{x-\-y); показать, что
Ъ1?~2дхд~^~^"д~р==0 ^ " Ф —дважды дифференцируемые
функции).
2955. z=f[x-\-y{y)\; показать, что
дг д2г дг д*г
д~х дхду ду дх*
(ф — дифференцируемая, а /—дважды дифференцируемая
функции).
2 5S. и = хеУ-\-уех\ показать, что
д*и . дЪ^ р д*и ■ дям
5Jc3 » (Трз лгЭ73у"а~' •^аса'Зу'
Э 9
2957. и = In ——— ; покаjaTb, что
дЪ , <Р« _ <Уц с)ч« 2 / J J_\
250 гл. х. дифференциальное исчисление [2958—2967
В задачах 2958—2962 найти дифференциалы второго
порядка от данных функций (аг, у— независимые
переменные):
2958. z = ху* — х*у. 2959. z == In {x—у).
2960. г=щ~угу 2961. z=xsin*y.
2962. z — e*?.
2963. u — xyz {x, у, z—независимые переменные);
2964. z = sin (2х -\-у) (х, у — независимые
переменные); d*z = ?
2965. и = sin (x-\-y-\-z) (jc, yt z — независимые
переменные); d2u = 7
хг v2 ,i
2966. -T+U- +—=1 (*i У — независимые перемен-
ные, z — их функция); d2z = 7
2967. z* — 3xyz = a*; d*z = ?
ГЛАВА XI
ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Формула Тейлора.
Экстремумы функций нескольких переменных
Формула Тейлора
2968. /(*, у)=х3-\-2уа — ху; разложить функцию
f{x-\-ht y-\-k) по степеням h и k.
2969. /(х, у) =х* -\-у* — бху — 39х-{- \Sy-\-4; найти
приращение, которое получает функция при переходе
независимых неременных от значений х = 5, у = 6 к значениям
x = 5-\-h, y = 6-\-k.
2970. /(х, у) = ?£—ух* + £1—2х + 3у — 4; найти
приращение, которое получает функция при переходе
независимых переменных от значений х=1, у = 2 к
значениям лг = 1 -|- Л, у = 2-\- k. Ограничиваясь членами до
второго порядка включительно, вычислить/(1,02; 2,03).
2971. / (х, у, z) = Ах3 + Вуг + Cz* + Dxy+Еуг + Fzx:
разложить f{x-\-h, y-\-k, z-\-l) по степеням Л, k и /.
2972. Разложить г = sin x sin .у по степеням (х £-)
и (у — -7-J. Записать члены 1-го и 2-го порядка и R2
(остаточный член второго порядка).
2973. Функцию z = xy разложить по степеням
(х—1), (у—1), выписав члены до 3-го порядка
включительно. Использовать результат для вычисления (без
таблиц!) 1,1Ь03.
252 гл. xi. применения диффер. исчисления [2974—2992
2974. /(х, y) = e*s\ny; разложить f(x-\-h, y-\-k) no
степеням h и к, ограничиваясь членами" 3-го порядка
относительно h и к. Использовать результат для вычисления,
с0.1 sin 0,49 тт.
2975а Написать несколько первых членов разложения
функции <?*sinv в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0).
2976. Написать несколько первых членов
разложения функции evln(l-f-^) в ряд Тейлора в окрестности
точки (О, 0).
В задачах 2977 — 2980 разложить в ряд Тейлора при
лг0 = 0, >>о = 0 данные функции:
2977- * = -= —г— . 2978*. 2 = arctgT^-.
1-х—y-\-xv bl-\-xy
2979. z = ln (1 — x) In (1 — у).
1 —x — у
2981*. Найти стационарную точку функции z =
= 2ху— Злга— 2у2-\-\0. Убедиться, что найденная точка
есть точка максимума.
2982. Найти стационарную точку функции z =
= 4 (л:—у) — х2—у2. Убедиться, что найденная точка есть
точка максимума.
2983. Найти стационарную точку функции z = x2-\-
-\- ху -\- уг -f- х — у-\-1. Убедиться, что найденная точка
есть точка минимума.
В задачах 2984 — 2992 найти стационарные точки
данных функций:
2984. z = 2х* + xf -f 5лга + уа.
2985. z = e2x(x +у2-\~2у). 2986. z=xy(a— х—у).
2987. z = (2ах — х2) (2Ьу — у2).
2988. z = sin x -(- sin у + cos \x-\-y) (о<х<-£-,
0<^<^-V 2989. * + »*H-^ .
2990. z=yVT+lc-\-xVl^fy.
2991. u = 2x2-\-y2-\-2z — xy — xz.
2992. fl = 31n*-|-21n.y-}-51nz4-ln (22 — x—y — z),
2993—2999J § i. формула тейлора. экстремумы 253
2993. На черт. 59 изображены линии уровня
функции z—/(x, у). Какие особенности имеет функция в
точках А, В, С, D и на линии EF?
2994. Функция z задана неявно:
2x2 + 2y2-\-z2 + Zxz —z + 8 = 0.
Найти её стационарные точки.
2995. Функция z задана неявно:
Ъх2 -J- 5 уа -f- 5z* — 2xy — 2xz — 2yz — 72 == 0.
Найти её стационарные точки.
Черт. 59.
299S. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции z = x2—v2 в круге х2-\~у2^4.
2 97. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции z = x2-\-2xy— 4лг-|-8у в прямоугольнике,
ограниченном прямыми х — 0, у = 0, х=\, у =2.
2998. Найти наибольшее значение функции z=
= х2у{4— х—у) в треугольнике, ограниченном прямыми
х = 0,у = 0, х-\-у = 6.
2999. Разложить положительное число а на три
положительных слагаемых так, чтобы произведение ил было
наибольшим.
254 ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕР. ИСЧИСЛЕНИЯ [3000—3013
3000. Представить положительное число а в виде
произведения четырёх положительных множителей так, чтобы их
сумма была наименьшей.
3001. На плоскости хОу найти точку, сумма
квадратов расстояний которой от трёх прямых д: = 0, у = 0,
#-{-2 у—16 = 0 была бы наименьшей.
3002а Через точку [а, Ь, с) провести плоскость так,
чтобы объём тетраэдра, отсекаемого ею от координатного
трёхгранника, был наименьшим.
30 3. Даны п точек: At(xlt ух, *,), .... Ап{хп,уп, z„).
На плоскости хОу найти точку, сумма квадратов расстояний
которой от всех данных точек была бы наименьшей.
3004. Даны три точки: И (0, 0, 12), В (О, О, 4) и
С (8, 0, 8). На плоскости хОу найти такую точку D, чтобы
сфера, проходящая через А, В, С и Д имела наименьший
радиус.
3005. Убедиться, что наиболее экономичные размеры
прямоугольного бассейна получаются в том случае, когда
основанием служит квадрат, а глубина равна половине
стороны основания.
300S- В данный шар диаметра 2d вписать
прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма.
3007. Убедиться, что функция z = x3-{-xy-\-y2-\-
, я3 , а8 а
_| j имеет минимум в точке х = у'== -377= •
3008* Убедиться, что при х = У^% у = — \НГ
функция z = х* -\- у* — 2х2 — 4ху — 2у2 имеет минимум.
3009. Убедиться, что при л: = 5, ^ = 6 функция
z = xs-{-y2— бху— 39лг -|— 18^/-{-20 имеет минимум.
3010. Найти стационарные точки функции z =
= xBy*(l2—х — у), удовлетворяющие условию х^>0,
у^> 0, и исследовать их характер.
Условные экстремумы
В задачах 3011—3016 исследовать данные функции на
экстремум:
ЗОН. z=xm+ym(m>\) при лг+.у = 2(аг^0, у^О).
3012. z = xy при л?-(-у = 2с2.
30J3.Z-1 + 1 при 1+^ = 1.
3014—3026J § 1. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ЭКСТРЕМУМЫ 255
3014. z=a cos2 x -f- b cos3 у при у—х—~ч
3015. u = x-\-y-\-z при —| 1—=1.
чтя / 0 *-Ну+/==5,
ЗОЮ. и = хуж при | 2) ху + хж+уж=Ви
3017*. Доказать справедливость соотношения
*\ + *2 + ~- + *1 ^ (хх + хг + ...+хп\ъ
Задачи 3018—3035 удобнее всего решать как задачи на
условный экстремум.
30IC На плоскости Зл: — 2z = 0 найти точку, сумма
квадратов расстояний которой от точек А(1, 1, 1) и
В (2, 3, 4) была бы наименьшей.
3019. На плоскости х-\-у — 2z = 0 найти точку, сумма
квадратов расстояний которой от плоскостей л: —J— 3^ = 6 и
^у-j— 3z = 2 была бы наименьшей.
3020. Даны точки А (4, 0, 4), В (4, 4, 4), С (4, 4, 0).
На поверхности шара x2-\-y2-\-z2 = 4 найти такую точку S,
чтобы объём пирамиды SABC был: а) наибольшим; б)
наименьшим. Проверить ответ элементарно-геометрическим
путём.
3021. Найти прямоугольный параллелепипед данного
объёма V, имеющий наименьшую поверхность.
3022. Найти прямоугольный параллелепипед данной
поверхности S, имеющий наибольший объём.
3023. Найти объем наибольшего прямоугольного
параллелепипеда, который можно вписать в эллипсоид с
полуосями а, Ъ и с.
3024. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на
него конической верхушкой. При каких соотношениях между
линейными размерами палатки для её изготовления потребуется
наименьшее количество материала при заданном объёме?
3025. Из всех прямоугольных параллелепипедов,
имеющих данную диагональ, найти тот, объём которого
наибольший.
3028. Определить наружные размеры открытого (без
крышки) ящика формы прямоугольного параллелепипеда
256 гл. xi. примгнения диффир. исчисления 13027—3033
с заданной толщиной стенок а и объёмом v, чтобы на него
пошло наименьшее количество материала.
3027. Найти наибольший объём параллелепипеда при
данной сумме 12а всех его рёбер.
3028. Около данного эллипса описать треугольник с
основанием, параллельным большой оси, площадь которого
была бы наименьшей.
3029. Найти стороны прямоугольного треугольника,
имеющего при данной площади S наименьший периметр.
3030. В прямой эллиптический конус, полуоси
основания которого равны а и b см, высота И см, вписана
призма с прямоугольным основанием так, что стороны
основания параллельны осям, а пересечение диагоналей
основания лежит в центре эллипса. Каковы должны быть стороны
основания и высота этой призмы для того, чтобы её объём
был наибольшим? Каков этот наибольший объём?
3031. Найти правильную треугольную пирамиду
заданного объёма, имеющую наименьшую сумму рёбер.
3032. На эллипсе даны две точки; найти на том же
эллипсе третью точку так, чтобы треугольник, имеющий
вершинами указанные точки, был наибольшим по площади.
3033. К эллипсу —-{-— = 1 провести нормаль,
наиболее удалённую от начала координат.
3034. На эллипсоиде вращения ^-\~y2~\-z2 = \ нау\ти
точки, наименее и наиболее удалённые от плоскости
Здг-4-4у+ 122 = 288.
3035. Даны плоские кривые /(х, у) = О и <р (х, у) — 0.
Показать, что экстремум расстояния между точками (а, р) и
($, 7j), лежащими соответственно на этих кривых, имеет
место при выполнении следующего условия:
(дА (-*)
\дх)х=* \дх)х=[
а — * У=У У=Ъ
(д1) "(дл\ '
\ду)х=* \ду)х=ь
P-V
Vay._ a
y=V у=ч
Пользуясь этим, найти кратчайшее расстояние между
эллипсом хг-\-2ху-\-Ьу2— 16^ = 0 и прямой х-{-у — Ъ = 0.
$036—3043] § 2. элементы векторного анализа 257
§ 2. Элементы векторного анализа
Векторы. Векторная алгебра
w03G. Показать, что |д-[-*1<1а1 + 1Н' |д — 6|5»
>|ja| —16|. Выяснить геометрический смысл указанных
неравенств.
30J7. Вырашть векторы, составляющие диагонали
параллелепипеда, через векторы а, Ь и с, составляющие
его рёбра и имеющие общее начало.
3038*. Доказагь, что из медиан данного треугольника
можно построить треутльннк. Если из медиан этого нового
треугольника построить треугольник, то этот последний по-
3
добен исходному и коэффициент подобия равен -j-. Доказать.
3039. Доказать, что равнодействующая трёх ch.i
ОА, ОБ и ОС равна ЗОЛ/, где М — центр тяжести
треугольника ABC.
3040. Пусть iW„ Мг, Мг, Л/4, Мь, М6 — точки,
делящие окружность на шесть равных частей; доказать, что
3041. Определить угол между вектором и осью, если
модуль вектора равен 8, а его проекция на ось равна —4.
3042. Какие углы образует вектор MN с осями
координат, если точки М и N имеют координаты
М (4, 1, -5J/2), ЛЧ-1, 6, 0)?
3043. Найти геометрическое место концов векторов,
имеющих общее начало О и общую проекцию а на
направление данного вектора п.
3044. Доказать соотношение
{а + Ь)* + (а — Ь)г «= 2яа + 26»
и выяснить его геометрический смысл.
3045. Выразить скалярное произведение АН-АС через
длины сторон треугольника ABC,
17 Г. Н. Берман
258 ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕР. ИСЧИСЛЕНИЯ [3048—305В
/ч
/
/
D
/
*i
/
В
Черт. 60.
3046. Найти угол (тп), если: 1) т2 = 4, па = 9,
тл = 3, 2) т2 = 8, я2 = 6, тп = 6.
3047. На черт. 60 векторы ЛЛ,, уШ, HD
составляют правую систему. Как ориентированы тройки векторов
А~ДХ, "лЖ, ЛИ? CD, CCi. С/*?
3048. Если векторы а, Ь и
-* — ' с составляют правую систему,
то какую систему составляют
Af—I (Bi I векторы Ь, с, а? а, с, Ы
3049. Пусть три вектора
/, j, k составляют правую
систему. Какую систему составляют
векторы i-]-j, l-\-k, j-\-k?
3050. Доказать, что:
1) {аХЪ)2-\-(аЪ)* = а2Ъ2.
2) (о —Ь)Х(в + *) = 2(оХ*)-
3051. Найти векторное произведение:
1) (5х-у)Х(4х + 2у), 2) (i-\-j+k)X(i — 4У+2Л).
3052. Вычислить смешанное произведение
{a + b){a — b){a — 2b-\-c).
3053. Доказать соотношение
(а + Ь) (Ь + с) {с + а) = 2afo
и выяснить его геометрический смысл.
3054. Найти координаты трёх единичных векторов,
направленных по биссектрисам углов, образованных
ортами /, У, k.
3055. Даны точки А (6, 2, 4), В(— 2, 4, 5), С(2, —2,
—2) и D(3, 1, 0). Показать, что векторы АВ и CD взаимно
перпендикулярны.
3056. Найти внутренние углы треугольника с
вершинами в точках А (2, —5, 1), Д(6, —3, 5), С(6, —4, 9).
Используя векторное произведение, найти площадь этого
•087—-306S] 11. елЕМЕНТЫ векторного анализа ' 259
треугольника. Проверить полученный результат с помощ1 ю
формулы S=-^AB-AC-sin^/BAC.
3057. Найти вектор, нормальный к плоскости,
проходящей через точки А(— 1, 2, 3), В{0, 2, 4) и С(1, — 3, 1).
3058. Найгл объём тетраэдра ABCD, если:
А~В{4, —2, 0}, СЛ{—3, 6, 3}, CD{1, 4, —5}.
Векторная функция скалярного аргумента.
Дифференцирование
3059. Дано г = /"(/). Haflrn производную -rr (r3).
3060*. Дано, что при всех значениях t векторы r(t)
и -j- коллннеарпы. Доказать, что и векторы -г-2, -^-, ...
dnr
..., -jTf коллннеарпы вектору г (/).
3061. Доказать, что если модуль |г| функции r(t)
остаётся постоянным для всех значений t. то тг I г.
at -J-
(Каков геометрический смысл этого факта?) Имеет ли место
обратная теорема? ■
3 622*. Пусть функция r(t) определена, непрерывна
и дифференцируема в интервале (/,, t2), причём /•(/,) =
=г(/2)- Применить теорему Роллн к функции а-r, где а —
произвольный постоянный вектор. Ооъяснить результат
геометрически.
3G63. Дан радиус-вектор движущейся точки —
г {a sin/,—a cost, bt2\ (/—время, а и b— постоянные).
Найти годографы скорости и ускорения.
3064. Показать, что векторы A{t) и Тг7Г~\~~77 (ж)
взаимно перпендикулярны, каково бы ни было значение
параметра /.
30 5. Материальная точка движется но закону
{Г — ра'шус-всьтор этой точки в момент /; vn и {*—злтл.ч-
ные векторы). Показав, что: 1) живал сн.;а ызи.лга.^но.
17*
260 ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕР. ИСЧИСЛЕНИЯ 13066—3077
точки есть квадратичная функция времени; 2) v0 — начальная
скорость (т. е. значение вектора скорости в момент f = 0);
3) движение происходит с постоянным ускорением, равным
вектору g; 4) движение происходит по параболе (если только
векторы v0 и g не коллннеарпы), ось которой параллельна
вектору g.
3066. Закон движения материальной точки задан
формулой
г=a cos t -(- b sin i-\- с,
где векторы а и ft взаимно перпендикулярны. Определить
траекторию движения. В какие моменты скорость движения
будет экстремальной? В какие моменты ускорение будет
экстремальным?
Г р'а д и е н т
3057. ф(А:, у)=хг— 2ху-\-Ъу—1. Найти компоненты
градиента в точке (1, 2).
3068. иz=:5xzy — Ъху*-\-у*. Найти компоненты
градиента и произвольной точке.
3069. z = jt2-}-/. Найти gradz в точке (1, 2).
3070. г=|/4 + А-2+/. Найти gradz в точке (2, 1).
3071. z = arctg—. Найти grad* в точке (х0, у0).
3072. Найти наибольшую крутизну подъема
поверхности г = 1п(*2-|-4у2) в точке (6, 4, In 100).
3073» Найш наибольшую крутизну подъёма
поверхности z=-xy в точке (2, 2, 4).
3074. г = orcsin - . . Найти угол между i радиентами
этой функции в точках (1, 1) и (3, 4).
3075* Даны функции z = V х* -{-у* и z=x— 3>>4"
-\-\ Ъху. Найти у юл между градиентами этих функций
в точке (3, 4).
3076. Найти точку, в которой градиент функции
*=1п(*+7) равен / — jj.
3077. Найти точки, в которых модуль градиента функ-
ции г = (х*-{-у2)2 равен 2.
3078—3089] | 2. ЭЛЕМ1НТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 261
3078. и(х, у, г)?=хьу2г. Найти компоненты grad и в
точке {х0, у0, z0).
3079. и(х, у, z) = Vx2'{-yi'{-zi. Найти grad//.
3080. Показать, что функция и = \п(х2~{-у*-\-г2)
удовлетворяет соотношению и = 2 In 2 — In (grad ы)2.
3081. Доказать, что если х, у, z суть функции от t,
то
&/{x.y, *) = grad/.£,
где
r^xt+yj+zk.
3082. Использовать доказанное в предыдущей задаче
соотношение для нахождения градиента функции:
1)/=г2, 2)/=|г|, Ъ) f=F{r\ 4)/=(аг)(6г),
где а и b — постоянные векторы.
3083. Доказать следующие соотношения!
grad (у f- <];)== grad <p + grad ф,
grad^» =<j>gr«id'{>4-T'grat,<r>»
grad/(у) =/"(^)grad-f,
где /(f) — произвольная дифференцируемая функция скаляр-
ною аргумента у.
Расходимость и вихрь
В задачах 3084—3086 вычислить расходимость и вихрь
заданных векторных функций:
3084. A{P) = xi+yJ+zk.
3085. А (Р) = (у3 -f- г3) i + (z2 + x2) J + (л:2 -f у2) k.
3036. А (Я) == x*yzl -f xy*zj 4- xvz3k.
3087. Вычислить divgrad(jc24->', + 2'2).
3088. Векторное ноле образовано силой, имеющей
постоянную величину F и направление положительной оси
абсцисс. Вычислить расходимость и вихрь этого поля
3089. Плоское векторное поле образовано силой, обратно
пропорциональной квадрату расстояния от точки её
приложения до начала коорчнпат и направленной к началу
координат. (Например, плоское электростатическое ноле,
образованное точечним зарядом.) Определить расходимость и внчрь
этого поля.
2Г>2 гл. п. примригнтп лиффгр. исчислгии* [8000—ЗООТ
0 О. Определить расходимость и вихрь
пространственного поля, tcnn силы поля подчинены тем xct условиям, что
и в задаче 3089.
3091. Векторное поле образовано силой, обратно
пропорциональной расстоянию от точки со" приложения до оси Oz,
перпендикулярной к этой оси и направленной к ней.
Вычислить расходимость и вихрь этого поля.
3092. Векторное поле образовано силой, обратно
пропорциональной расстоянию от точки еб приложения до
плоскости хОу и направленной к началу координат. Вычислить
расходимость этого поля.
3093. Вычислить d\v(a-r), где а — постоянный скаляр.
3094. Доказать соотношение
dlv (<рЛ) = у div Л + (Л grad <p),
если ю=г9(дг, у, *) — скалярная функция.
3095. Вычислить div Ь (га) и dlv г (га), где л и ft —
постоянные векторы.
309 . Вычислить dlv(oXr). ™e a — постоянный
нсктор.
3097. Не переходя к координатам, вычислить
расходимость векторного поля:
1) A(P) = r(a-r) — 2ar2,
309 . Вычислить расходимость векторного поля
Л(Л)=/(|г|)г^.
Доказать, что расходимость поля равна нулю только
тпгд.1. когда /(|г|) = ~, если поле пространственное, и
г
/(|г|) = р-т, если поле плоское, где С — произвольное
постоянное число.
3099. Доказать, что
rot [Л, (Р) + А% (Р)\ = rot Л, (Р) + rot Л, (Р).
3100—3116] | а. КРИВЫЕ ЛИНИИ. ПОВЕРХНОСТИ
3100. Вычислить rot [<рЛ (Р)], где <р = у(*, у, z)—
скалярная функция.
3101. Вычислить rot г Л, где г — расстояние от точки до
начала координат, а А — постоянный вектор.
3102. Вычислить rot(aXr)i гДе о, — постоянный
вектор.
3103. Твердое тело вращается с постоянной угловой
скоростью <о вокруг осн. Пайгн расходимость и вихрь ноля
линейных скоростей (см. «Курс», п° 178).
3104. Доказать, что
rot rot Л (Р) = grad div Л (Р) — ДЛ (Р),
где
ДЛ (Р) = ТУЛ (Р) = VM (Р) = ДЛх + Му + М,
(относительно обозначений см. «Курс», п° 178).
3IG5. Доказать соотношение
л (grad (An) — rot (Л X «)) = dlv Л,
если п—единичный постоянный вектор.
§ 3. Кривые линии. Поверхности
Плоские кривые линии. Особые точки
В задачах 310G—3109 написать уравнения касательной и
нормали к длшым кривым в указанных точках:
3106. хяу-\-у*х = 3—-х2у2 в точке (1, 1).
3107. а2(х4-\-у*) — х*у° = 9а* в точке (а, 2а).
3108. cos ху = х -\- 2у в точке (1, 0).
3109. 2х* — х2у-\-Зх2-\-4ху—Ьх — 3^ + 6 = 0 в
точке её пересечения с осью Оу.
В задачах 3110—3116 найти особые точки данных
кривых линий:
3110. у*=:х*(х— 1). 3111. а2х2 = (х2 + v2)y2.
3112. у2 = ах2 + Ьхь. 3113. у3 = х (х - а)2.
2 2 2
3114. ^4--V3=flT.
3115. х*-\-у* — 8х2— Ю^э+ 1G = 0.
3116. х* + 1 2а:8 — С/ -J- 36л:2 + 27у2 — 81=0.
264 гл« Х|- применрния лиффгр. исчисления [3117—>3120
Огибающие
3117« Найти уравнение огибающей семейства прямых
у=^ах-\-/(а). В частности, положить /(а) =» cos a.
3118. Найти огибающую семейства прямых уш*
= 2тх-\-т*.
3119. Найти огибающую семейства парабол Уят
г=а{х — а).
3120. Найти огибающую семейства парабол
ах2-\-а2у=\.
3121. Найти огибающую семейства кривых
х1 -f- ay1 = a8.
3122ч Найти огибающую семейства эллиисоа
Si + iT131
при условии, что сумма полуосей каждого эллипса
равна (1.
3123» Радиусы окружности проектируются на два «б
взаимно перпендикулярных диаметра и на проекциях, как на
полуосях, строятся эллипсы. Найти огибающую полученного
семейства эллипсов.
3124. Найти огибающую семейства окружностей,
имеющих центры на параболе у=*Ьх* и проходящих через
её вершину.
312э. Прямая движется так, что сумма длин отрезков,
отсекаемых ею на осях координат, остаётся постоянной и
равной а. Найти огибающую полученного семейства прямых.
3 2 • Найти огнбаюигую диаметра круга, катящегося
без скольжения но данной прямой (радиус круга R).
3127. На хордах круга (радиуса R), параллельных
заданному направлению, как на диаметрах, описываются
окружности. Найти огибающую этого семейства
окружностей.
3128. Прямая движется так, что произведение отрезков,
отсекаемых ею на осях координат, равно постоянной
величине а. Найти огибающую этих прямых.
3 9. Показать, что всякая кривая является огибающей
семейства своих касательных.
3130—JI4IJ • 8. кривые линии, повг рхности 203
3130. Показать, что эволюта кривой является
огибающей семейства её нормалей. Найти эволюту параболы
у* = 2рх как геометрическое место центров кривизны и как
огибающую семейства нормалей. Сравнить результаты.
3J3I. Доказать теорему: если крниаи (А) есть
огибающая семейства прямых х cos / -j- у sin t — /(/) = 0, то эволюта
кривой (А) является огибающей семейства прямых — xsinl-f-
4-.ycos/—/'(0 = 0.
3132. Радиус-вектор ОМ произвольной точки М
равносторонней гиперболы ху—\ проектируется на асимптоты
гиперболы. Найти огибающую эллипсов, построенных на
проекциях ОМ, как на полуосях.
Пространственные кривые
В задачах 3133—3140 написать уравнения касательной
прямой и нормальной плоскости для данных кривых в
указанных точках:
3133. Ar = acos/, ys=ias\nt, z=—f в точко
/aVT aVT k\
\ 2 » 2 ' 8/'
3134. x=*at, y=m,±at*t z*=^at* в точке (ба,
18я, 72a).
3135- x ==t—sin/, y=x\—cos/, z = 4sln-j в точко
(1-1,1,2/2).
3136. У» + 2:' = 25, х* + у»=\0 в точке (1, 3, 4).
3137. 2a:»-f-Зу* + *а = 47, *» + 2у* = * в точке (—2,
1, 6).
3138. х*4-у*=г%, x=y в точке (jc0, y0, z0).
3139- r\-Tt -g-i -o"> в произвольной точке.
3140. х9-\-г* = аш, y*-\-z* = b* в произвольной точче.
В задачах 3141—3143 составить уравнения
соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали к данным
кривым в указанных точках:
3141. у2=х, x* = z в точке (1, 1, 1).
266 гл. xi. примгмгния Диффер. исчисления [3142—3154
3142. х* = 2az, у3 = 1Ьг в произвольной точке.
3143. г{е\е~\ /]/£} в точке {е, е~\ /2).
В задачах 3144—3147 составить уравнения касательной
прямой, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся
плоскости, главной нормали и спрямляющей плоскости к
данным кривым линиям в указанных точках:
3144. лг = /2, у=\ — t, z = t* в точке (1, 0, 1).
3145. x2+y*-\-z* = St х2+у* = 2 в точке (1, 1, 1).
3046. г {sin/, cost, tg/} в точке Г-£-, ^у-, П.
3147. r{t* —1* — 5, 3/2-f-l, 2/8 — 16} в точке,
соответствующей значению параметра /==2.
3048. Показать, что кривая
r{2/ + 3, 3/—1, t2}
имеет во всех точках одну и ту же сопрнкасаюпгуюся
плоскость. Объяснить этот факт геометрически.
3149. Доказать, что линия
r{alP+blt + eu af + bj + ct, <Va + V + '8}
плоская, и составить уравнение той плоскости, в которой оня
расположена.
Длины дуг пространственных кривых
В задачах 3150—3156 найти длину душ данных кривых:
3150. х2=3у, 2xy = Dz от точки (0, 0, 0) чо точки
(3, 3, 2).
3151. z* = 2ax, 9y3=16jcz от точки (0, 0, 0) до точки
3152. 4ax = (y-\-z)2, 4х* -|- Ъу* = Ъг* от начала
координат до точки (х, у, z).
О/т
3153. у=.у'2ах — л:2, z=a\n^-^—- от начала
координат до точки (х, у, z).
3054. y=aarcsln—, г = -тп\т\ —^— от начала коор-
у а ' 4 а — х г
(a an a . в\
"2"* "5"' Т J *
8139— 3I70J | 3. КРИВЫЕ ЛИНИИ. ПОВЕРХНОСТИ 267
3053. г {a cos /, a sin /, a In cos /} от точки (а, О, 0) до
точю, (Ц1, SJ.L, _-,в2).
3156. r{e'cos/, e'sln/, ef) от точки (1, 0, 1) до точки,
соответствующей параметру /.
Трехгранник и формулы Френе
3157. Выразить векторы TJf vx, $\ через производные
dr <*r
~di* "dP РаЛ1,Ус"вект0Ра точки па крнпой r=r(t).
3058. Как выразится кривизна пространственной кривой,
заданной уравнениями д; = <р(лг), z—ty(x)?
3059. Показать, что касательные, главные нормали и
бинормали кривой r{*'cos/, e'sin/, e*) составляют
постоянные углы с осью Oz.
3JS0. Найги радиус кручения кривой
г {cos/, sin/, cht].
Поверхности
В задачах 3161—3170 для данных поверхностей найти
уравнения касательных плоскостей и нормалей в указанных
точках:
3160. г=2лг2 —4v2 в точке (2, 1, 4).
308 . z — ху в точке (1, 1, 1).
3163. 2 = 5—!— в точке (а, а,—a).
3064. z = ] x3 -\-y2 — xv в точке (3, 4, — 7).
3065. z = arctg — в точке (1, 1, -J-).
«•се x* , ya , г2 . /a] JT ft Уз" сУзЛ
3067. x*-\-y* + z*-{-xyz — 6 = 0 в точке (1, 2, —1).
3068. За:4 — 4y"z-(-4z3xy — 4z*x-\-\=0 в точке
(1, 1, 1).
3069. (z2 — x*)xyz — y* — 5 в точке (1, 1, 2).
3070. 4 + 1 x2-\-y2 + z2 = x-\-y-\-z в точке (2,3,6).
268 ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕР. ИСЧИСЛЕНИЯ [3171—8101
3171. К эллипсоиду хг~\-2у*-\-г%=\ провести
касательную плоскость, параллельную плоскости
х— д;-)-2г==0.
3172. К эллипсоиду ^j-|-|r-(-^j= 1 провести
касательную плоскость, отсекающую па положительных полуосях
координат равные отрезки.
3173. Показать, что поверхности д:-}-2<у — 1пг-|-4==0
и хг — ху — 8jc-J-z-}-5 = 0 касаются друг друга (т. е. имеют
общую касательную плоскость) в точке (2, —3, 1).
3174. Доказать, чтТ) все плоскости, касательные к
поверхности z^xfl — ), пересекаются в одной точке.
3175. Написать уравнения касательной плоскости и
нормали к гиперболическому параболоиду
r{a(u-\-v), b{u — v), uv)
в произвольной точке г0{х0, у0, г0}.
3176. Докалить, что поверхности х2-\-у* -\-г* = ах и
х% ~\~Уг ~\~ *3 — by ортогональны друг к другу.
3177. Показать, что касательная плоскость к поверхности
xyz = a* в любой ей точке образует с плоскостями
координат тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем.
3178. Показать, что касательные плоскости к
поверхности 1 *-|-]/д>-|-1/2:==} а отсекают на координатных осях
отрезки, сумма которых раина а.
3179. Показать, что для поверхности хг -\-y*-^-z3=y
длина отрезка нормали между поверхностью и плоскостью хОу
равна расстоянию от начала координат до следа нормали на
ьгой плоскости.
3180. Определить геометрическое место оснований
перпендикуляров, опущенных из начала координат на
касательные плоскости к параболоиду вращения 2pz = x2-\-y2.
3181. Найти геометрическое место оснований
перпендикуляров, опущенных па начала координат на касательные
плоскости к поверхности xyz = a9.
ГЛАВА XII
МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Двойные и тройные интегралы
3182. Тонкая пластинка (ей толщиной пренебрегаем)
лежит в плоскости хОу, занимая область D. Плотность
пластинки является функцией точки у = у (Я) = у (х, у).
Определить массу пластинки.
3183. На пластинке задачи 3182 распределен
электрический заряд с поверхностной плотностью а — а{Р)=:а(х,у).
Записать, чему равен полный заряд пластинки.
3184. Пластинка задачи 3182 вращается вокруг осп Ох
с угловой скоростью (о. Записать выражение для кинетической
энергии пластинки (см. задачу 2432).
3185. Удельная теплоемкость пластинки задачи 3182
меняется по закону с = с (Р)=с (х, у). Занпсать количество
тепла, полученное пластинкой при ей нагревании от
температуры /, до температуры /,.
318 . Тело занимает пространственную область Q; его
плотность является функцией точки: у = у (Р) = у (л:, у, z).
Определить массу тела.
3187. В теле задачи 3186 неравномерно распределен
электрический заряд; плотность заряда является функцией
точки й = й(аг, у, z). Найти полный заряд тела.
В задачах 3188—3195 оценить данные интегралы:
3188. \\ {х-\-у-\-10) da, где D—круг х*+у*<4.
р
3189. \[ (х* + 4/ + 9) da, где D — круг х2-\-у%<4.
270 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (SltO—SIBt
3190. ЭД {х + у-\-\) do, где D — прямоугольник
D
0<х<1, 0<_у<2.
3191. \\ {х-\-ху— хг — у2) da, где D — прямоугольник
0<лг<1, 0<>><2.
3192. f f ху (х-\-у) da, где D — квадрат 0<д;<2,
0<>><2.
3193. ff (Ar+l^f/a, где D —квадрат 0<лг<2,
0<>><2.
3194. ГС (д:3 4-^2 —2 KJ^Rv5 + 2) <*з, где D —
квадрат 0<лт<2, 0<>><2.
3195. С^ (дг2-|-у — Ах — 4у+Щ da, где D —область,
ограниченная эллипсом х2-\-4у* — 2х—16у-|-13 = 0
(включая границу).
3196*. Найти среднее значение функции z=*Y R2—*2—У2
в Kpyie А"2 -|- у1 < R2.
3197. Найти среднее значение функции £=12— 2х—
— Зу в области, ограниченной прямыми 12 — 2х—8д> = 0,
* = 0, У=0.
3198. Доказать, что если в области D функция
9 (л-, у) > 0, а функция / {х, у) непрерывна, то
\\/(*, У)9 (*,У) da=/ (5, ч) f f у {х, у) da,
где £ п jj — координаты некоторой точки, лежащей в
области D (ср. «Курс», п° 102).
В задачах 3199—3201 оцепить данные интегралы:
3199. Щ {x*-\-?-\-z*)dvt |дс 12 — шар х*-\-у* +
3200—3211] е 2. КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 271
3200. CfC {x+y-\-z)dv, где fl —куб *>1, .у>1,
ъ
*>1, *<3, >><3 *<3.
3201. Jf J (jc + V—z+10)dv, где 0—шар **+/ +
-j-z3<3.
§ 2. Кратное интегрирование
Двойные интегралы. Прямоугольная
область
В задачах 3202—3211 вычислить данные двойные
интегралы, взятые но заданным прямоугольным областям
ншутрирования D:
3202. [[xydxdy (0<л-<1, 0<>><2).
V
3203. [\ VTydxdy (0<jc<o, 0<y<ty.
"D
3204. \\ xsinydxdy (\<x<2, 0<^<-j-) .
3205. ff e^+J'dArdv (0<л:<1, 0<>><1).
32m.Nr£-idxdy (0<*<1, 0<.у<1).
3207. [\ ggfr (3 < x<4, 1<^ 2).
3208. у ^^ (0<*<1,0<,<1).
3209. ff vdxdy „■ (0<*<1, 0<^<1).
3210. ff *>*' Лс dy (0 <лг < 1, 0 <>>< 2).
3291. j J Jtlv cos (* v3) dxdy (o ** x < J, 0 <>> < 2) .
272 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [8812—8 &
Двойные интегралы. Произвольная область
В задачах 3212—3222 найти пределы двукратного
интеграла \\ / (х, у) dx dy при данных (конечных) областях
интегрирования D.
3212. Параллелограмм со сторонами
дг = 3, * = 5, 3^ — 2^ + 4 = 0, Зх — 2у+1-«0.
3213. *» + >>»< 1, *>0, у?*0.
3214. х+у<:\, x—y*z\, аг>0.
3215. у > х2, у < 4—хК
3216. £+£<1. 32l7.(x~2)» + Cv-S)»<4.
3218. D ограничена параболами у = х% и ^==1^3?.
3219. Параллелограмм со сторонами у=х, уя=вх-\-$,
д/ = — 2л-+1, у = — 2*-{-5.
3220. ,у —2лг<0, 2.у — хХ), *у<2.
3221. ^2<8jc, ^<2дг, у-\-4х — 24 <0.
3222. D ограничена гиперболой ^у* — a^ssI и
окружностью х2-\-уг = 9 (имеется в виду область, содержащая
начало координат).
В задачах 3223—3228 переменить порядок интегрирования
в данных интегралах:
3223. С dx J / (*, у) dy. 3224. С d> J / (*, >>) rfje.
1 Vl—л* г V'Jrx—**
3225. \dx f f(x,y)dy. 3226. f rt* j/(jc,,y)d>.
3227. Л Г / (a:, jf) rfy.
A i ,
2 в-*
3 28. \dx f f(x,y)dy.
3229—8237J § 2. кратиор иптргриропанир 273
3229. Переменив порядок интегрирования, записать
данное выражение в виде одного двукратного шшмрала:
1 х 2 1-х
1) \te\t (*, У) dy+\ dx С / (*, j) dy.
2) fd*f/(*,.y)«0'+U* f f(x,y)dy.
2
1 ж^ 2 1—V4x—*»—i
3) С rfjc Г/(дг,>) <V+f </* j f{xty)dy.
В задачах 3230—3235 вычислить данные интегралы:
о КТ 4 2* 2 In у
3230. 1) Г Ja: [ dy; 2) [dx^L dy; 3) f dy \ exdx.
3231. \ f *V f/д: d>, D — круг at» + y2 < Я3.
YT
3232. \\ (x*-\-y) dx dy, D — область, ограниченная па-
раболамн y=x2 и у2 = х.
3233. \ \ -3 dx dy, D — область, ограниченная прямыми
d У
дг=а2, у = х и гиперболой ху=\.
3234. \ \ cos {x-\-y) dx dy, D — треугольник,
ограниченный прямыми х=0, д> = тг и у — х.
3235. С\ Vl— х2— у2 dx dy, D — четверть круга
#*4-у2<1, лежащая в первом квадранте.
3236. И;|йти среднее значение функции z — 2x-\-у
в треугольнике, ограниченном осями координат и примой
3237. Найти среднее значение функции z = x^-6y
в треугольнике, ограниченном прямыми у = х, у = 5х и
18 Г. Н. Берм&н
274 ГЛ. XII. МН0Г0М1 ГНЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (3230—3247
Тройные интегралы
В задачах 3238—3245 вычислить указанные трёхкратные
интегралы:
1 2 Э
3238. С dx С dy [ dz.
а Ь с
3 39- j dx \ dy Г {x-\-y-\-z) dz.
0 ff 0
a x v a x xy
3240. f dx f dy \ xyz dz. 3241. f dx \ dy \ x*y*zdz.
0 — 1 в—Х — \ X+V + t
3242. f dx \ dy \ , '"^7^-v) dz.
3243. lM d*dvdz
их ay at tx „
{x+y + z + l}' a~ тетраэдр, ограниченный
плоскостями * = 0, д> = 0, 2 = 0, *-}-)>-}-£= 1.
3244. \ \\ xy dx dy dz, Q — область, ограниченная
гиперболическим параболоидом z = ху и плоскостями д;4-у=1
и * = 0(z>0).
3245. \\ \ у cos (z -\- x) dx dy dz, ii — область,
ограниченная цилиндром у = \ х и плоскостями ^ = 0, z = 0 и
§ 3. Замена переменных
В задачах 3246—3250 данные двойные интегралы
преобразовать к полярным координатам:
Я Ун*—х*
3246. frf* j" /{x, у) dy.
2Я \1liy — у»
3247Л dy \ /(x,y) dx.
3248—3260] |з. 3AMiна hipemfhhux 275
3248. [[ / {х, у) dx dy, где область D определяется не-
3./2
равенствами *>0, у > 0, (*'-}-/)9 < 4a2*3/
3249. \dx ^ f{x*-\-y*)dy.
о о
р
В задачах 3251—3255 вычислить с помощью перехода
к полярным координатам данные интегралы:
R VH'—*1
3251. f dx С In (1 -f x*+/) dy.
3252. I l/ j 7*1X^1 <** ^» где o6;1JCTb D опреде-
D
ляется неравенствами хг-\- у2<\, *>0, д>>0.
3253. С С (Л — 2л:—Ъу) dx dy, где D — круг *8 + / < Я2.
3254. ff^tf3 — x3 — v3 dxaV где D— круг *2-|->>2<tf.*;.
3255. (Tarctg— dx dy, где D — часть круга Jf,+<y2<l>
D
лежащая в первом квадранте.
В задачах 3256—3259 найти функциональные определители
(якобианы) данных преобразований:
3256. x = u + v, у = ™. 3257. *=*=fta — v\ y = 2uv.
3258. х = arctg—, 3259. * = ар cos" <p,
3260. Преобразовать по формулам х = ар cos" <р,
^sT^psi'i"^, выбрав наилучшим образом а, Л и п%
двойной интеграл:
18*
276 I Л. ХИ. МНОГОМЕРНЫЕ И КРАТ11ЫВ ИНТЕГРАЛЫ [2361—3267
1) М f (х, у) dx dy, где область D о1ранпчена эллип-
х3 . v3 ,
2) f f / {х, у) dx dy, где D — область, ограниченная крн-
вой Г*1+ ^У = **>>.
3261. Вычислить интеграл \\ xydx dy, где D — область,
•у
х3 у2
ограниченная эллипсом —-|-^ = 1 и лежащая в нервом
квадранте.
3262. Вычислить интеграл \ \ Vx~y dx dy, где D — об-
ir
ласть, ограниченная кривой ("п""1з) =-^и лежащая в
первом квадранте.
В задачах 3263—32G7 вычислить с помощью перехода
к. цилиндрическим или к сферическим координатам данные
интегралы:
1 VT^lfl а
3263. J dx J dy C dz.
3264. \dx \ dy[z\ x*-\-y* dz.
-f R VR*—x* Vli'—x'—y*
3265. \dx [ аУ \ (x2-\-y2)dz.
-R -vtfz^p о
1 УПЗ? Vl — x»— y*
3260. \dx \ dy С V** + ? + * dz.
3267. \ С f (лг2-^^1) tfJC dy d*, где область й определяется
неравенствами z^>0, га< x2-\-y2-\-z2<kR2.
3268—3281] j4. приммпшия крчтпых штгрллоп 277
§ 4. Применения двойных и тройных интегралов
Обь 6 мы. I
В задачах 3208—3294 наЛтп двойным интегрированием
объёмы тел, ограниченных данными поверхностями:
3268. Плоскостями координат, плоскостями х = 4 и
у =z 4 и параболоидом вращения z = х*-\-у2-\- 1.
326Э. Плоскостями координат, плоскостями х = а, у=^Ь
хг , у2
и эллиптическим параболоидом я—-^—г "о-•
3270. Плоскостмо ЬтгН ==^ " координатными
плоскостями (пирамида).
3271. Плоскостями у = 0, z = 0, Здг +.У = Г), Зл: + 2у=\ 2
и л;4-.у-}-г = 6.
3272. Параболоидом вращения г = л:3-}-.У2|
координатными плоскостями и плоскостью х-\-у=\.
3273. Параболоидом вращения z = x2~{-y2 и
плоскостями 2 = 0,^=1, у=2х и ^ = 6 — х.
3274. Цилиндрами y=\rx, у = 2\ x и плоскостями
* = 0 и x-\-z — b.
3275. Координатными плоскостями, плоскостью
'2х-\-Зу—12 = 0 и цилиндром z = —у5.
3276. Цилиндром z = 9—у3, координатными плоско*
стямн и плоскостью Зх-\-4у=\2.
3277. Цилиндром z = 4— х2, координатными
плоскостями и плоскостью 2х-\-у — 4.
3278. Цилиндром 2у3 = х, плоскостями -4"4-^Ч"
-Ьт=1 "z = 0.
3279. Круглым цилиндром рядиуса г, осью которого
служит ось Ординат, координатными тоскостямн и нло-
х , v .
скостыо = 1.
3280. Цилиндрами x2-\-y2z=R3 и х2 -\- z* = R2.
3281. Цилиндрами z = 4—у2, у=^~ н плоскостью
* = 0.
278 ГЛ. XII. МНОГОМГРНЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 13282—3295
3282. Цилиндрами х2-\-у2 =■■ R2, z==:—i и плоскостью
г = 0 (дг>0).
3283а Гиперболическим параболоидом z = x2—ух и
плоскостями * = 0, jc = 3.
3284. Гиперболическим параболоидом г=ху,
цилиндром у = ] х и плоскостями х -4-^ = 2, у = 0 и z = 0.
3285. Параболоидом z = х2 -\- у2, цилиндром у = х2 и
плоскостями у=\ и г = 0.
3286'". Цилиндром jca-4-.ya = 4, плоскостями * = 0 и
ж = х+у+\Ъ.
3287, Эллиптическим цилиндром -2-{- —=1 и
плоскостями у= — х, у = 0 и z = 0 (дг> 0).
3288.Цилиндромх2-\-у2 = 2ах, параболоидомz = '•*'■
и плоскостью г = 0.
3289. Параболоидом г = =—- и плоскостью
* = 0.
3290. Сферой х2-\-у2-{-z2 = R2 и параболоидом
3291. Конусом —-\-^r-==z2 и параболоидом 2z = у+з" •
3 92. Гиперболическим параболоидом 2-=—,
цилиндром х2-Ь-у2 = ах и плоскостью г = 0 (*>0, у^О).
3293. Вычислить объемы частей, на которые эллип-
соид _4-p + 7S==1 рассекается конусом _--{-2L = ^.
3294. Определить объём, ограниченный геликоидом
(«винтовая лестница») r = /iarctg — , цилиндром Jta-|-_ya = /?2
и плоскостями лг = 0 и z = 0 (jc^»0, ^>0).
Площади плоских фигур
В задачах 3295—3299 определить двойным
интегрированием площади:
3295. Треугольника, ограниченного прямыми х = 0,
>' = 0, х + у=\.
3296—3309] § 4. иримгнения кратных интмталоп 279
329G. Треугольника, ограниченною прямыми у = х,
у = Ьх, х= 1.
3297. Эллипса ^ + ^=1.
/л
, 3298. Области, заключенной между параболой у2 =—х
и прямой у = — х.
3299. Области, ограниченной параболами у = \ х,
у = 2Ух и прямой х = 4,
В задачах 3300—3302 определить площади, вычисляя
соогветствуюише двойные интегралы при помощи замены
переменных так, чтобы пределы интегрирования были
постоянными:
3300 . Области, ограниченной гиперболами xv = a,
ху — Н и прямыми х = а, х = Ь .(О^ск^р, 0<^а<^Ь).
Зо01. Области, ограниченной прямыми х-^-у = а,
x-\-v = b, y = kx и y = mx.(0<^a<^b, 0<А<ш).
3302. Области, о1раниченной гиперболами ху = а,
ху = р и параболами у2 =рх,'у2 = qx (0 < а < ^, 0 <р <. Ф-
В задачах 3303—3312 найти площади данных областей,
вычисляя соответствующие двойные интегралы при помощи
замены переменных по формулам вида х = ар cos" <p, ^у =
= bp sin" у (параметры a, ft, с считать положительными):
3303. Области, ограниченной кривой (х2-\-у2)2 = 2ах*.
3304. Области, ограниченной кривой [хг-\-уг)ь =
= *«+/.
3305. Области, ограниченной кривой {х2-\-у2)2 =
= 2аа (х2—у2) (лемниската).
"о 3308. Области, ограниченной кривой (-|+м) s=~f«
3307. Области, ограниченной кривой (— -f" тг) =
3308*. Области, ограниченной кривой rg + jrr = •*'•
3309. Области, оф.шнченпой кривой x%-\-yz=s=2xyt
лежащей в первом квадранте! (петля).
280 ГЛ. XII. МНОГОМ1ФМЫЕ И КРАТМЫГ ИНТЕГРАЛЫ (3310—3327
3310. Области, ограниченной кривой (х-\-у)3 =: ху,
лежащей ■ первом квадранте (петля).
3311* Области, ограниченной кривой (x-\-y)b=ix2y2,
лежащей i первом квадранте (петли).
3312*. Области, ограниченной кривой f—-("Т") ~~дГ*
лежащей в первом квадранте.
Объемы. II
П задачах 3113—3329 вычислить тройным
интегрированием объемы тел, ограниченных данными поверхностями
(входящие в условия вадач параметры считаются положительными):
3313*. Сферой х* -\~yl -\- z2 «= 4 и параболоидом
x2+y* = 3z.
3314*. ~5-{-~-\'^а = 1 и плоскостью z-\-c=.0,
3313. 5+I. + 3-1-
33IA- (5 + S)' + S-l.
Уг
3317. (х2
3318. (х2-\- у"
33J9. (х2—у2
■ z2)2 = a*x.
z2)2 = axyz.
•*2)9 = а2*4.
3320. &+Уг + Ф=-яг$?-
3321. {х2-\-у2-\-г2)ъ — а2(х2-\-у2)2.
3322. (x2+y2)2 + z* = anz.
a323.x* + y2-{-z*=\tx2+y2-{-z*=\6, г2=х*+у2,
х — 0, у = 0, 2 = 0 (дг^О, j/>0, 2>0).
При решении ладач 3324—3327 удобно ' положить
jc = «pslnO cosy, ,у ±= Лр sin 0 sin <р, z = cpcosb при
соответственно выбранных я, b и с.
ав4.(3+£+5)*=*-
3325. (*'+£+?6)'=*»г.
3326. (*+£ + *)'«ft\
3328—33 2) | 4. пгимиигния кратных интегралов 281
При решении зад.и 3328—3329 удобно положить
* = apsinaOcos2<p, j=/>psin3Osin2'f, * = t-pcosaO.
З328- (-J+V + f)'=7+f *-0. ^-». *=°
(лг>0, д>>0, 2 2*0).
3329. ($+$+£)•=£, -*-о. ,-о, ,=о
(аг>0, ^0, 22*0).
Площади поверхностей
3330. Вычислить площадь той части плоскости
Gx-L-3.V-f- 2г = 12, которая заключена в первом октанте.
3331. Вычислить площадь той части поверхности
z2 = 2xy, которая находится над прямоугольником, лежащим
в плоскости 2 = 0 и ограниченным прямыми х = 0, у = 0,
jc = 3, у = 6.
3332. Найти площадь части конуса z2 = x2~\-y2t
лежащую над плоскостью хОу и отсечённую плоскостью
В задачах 3333—3346 найти площади указанных частей
данных поверхностей:
3333. z9 = x2-j-y2, пырезанной цилиндром z9 = 2py.
3334*. y2-\-z* — x2, лежащей внутри шынндра
х2-\- v9 = R3.
3335. y9-\-z9 = x2, вырезанной цилиндром х2—у2 = а*
и плоскостями у = Ь и у = —Л.
3336. z2 = 4x, вырезанной цилиндром у2 = 4х и
плоскостью х= 1
3337. z = xy, вырезанной цилиндром x2-\-y2 = R9.
3338. 2z = x2-\-y2, вырезанной цилиндром х2~\-уг= 1.
3339. x9-\-y9-\-z2 = a2, вырезанной цилиндром
x*-{-y2 = R2 (R<a).
3340. x2-\-y2-\-z2 = R2, вырезанной цилиндром
хг-\-y* = Rx (задача Внннапн, см. «Курс», п° 191).
3341. x9-{-y9-\-z2 = R2t вырезанной поверхностью
{x2Jry2)2=*R2(x2—y2).
3342. z = -1T g, вырезанной поверхностями
х9-\-у2=1, х9-\-у2 = 4 и лежащей в первом октанте, ,
282 гл. хп. MticTOMi pimje и кглтные интегралы [3343—3355
3343. —(-£-== 2*, вырезанной поверхностью
334 *. -j7 -f- -о- = 2г. вырезанной поверхностью
3345. (х cos a -\-у sin а)г -\- гг = а1, лежащей в первом
октанте (а<Ст) •
334S. -, -\-|j = 1, отсеченной плоскостями 2 = 0 и
2 = кх, *>0 («цилиндрическая подкова»).
3347*. Вычислить пло1Ц(1дь части земной поверхности
(считая её сферической, при радиусе R =а 6400 км),
заключенной между меридианами у = 30°, <р = 60° и
параллелями 0 = 45° II О = 1Ю°.
33 8. Вычислить полную поверхность тела,
ограниченного сферой хг-\-уг-\-гг = 'даг и параболоидом х2-\-у* = 2аг
(z>0).
3349. Оси двух одинаковых цилиндров радиуса R
пересекаются под прямым углом. Найти площадь части
поверхности одного из цилиндров, лежащей в другом.
Моменты и центры тяжести
В задачах 3350—3354 найти двойным интегрированием
статические моменты данных однородных плоских фигур
(плотность у= 1):
3350. Прямоугольника со сторонами а и b
относительно стороны а (ср. с задачей 2367).
3351. Полукруга относительно диаметра.
3352. Круга относительно касательной.
3353. Шестиугольника относительно стороны.
335 ■ Доказать, что статический момент треугольника
с основанием а относительно этого основания зависит только
от высоты треугольника.
В задачах 3355—3359 найти двойным интегрированием
центры тяжести данных однородных плоских фигур:
3355. Фигуры, ограниченной верхней половиной эллипса,
опирающейся на большую ось.
3356—3373] ft 4. ПРИМЕНЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 283
3356* Фигуры, ограниченной синусоидой y = slnxt
осью Ох и прямой ^ = 71,4.
3357. Кругового сектора, соответствующего
центральному углу а (радиус круга R) (ср. с задачей 2391).
3358. Кругового сегмента, соответствующего
центральному углу а (радиус круга R).
3359. Фшуры, ограниченной замкнутой кривой у2 =
= *а — х*{х>0).
В задачах 3360—3370 найти моменты инерции данных
однородных плоских фигур (плотность y=1):
3360. Прямоугольника со сторонами а и b
относительно стороны а.
3351. Полукруга относительно его диаметра.
3362. Круга радиуса R относительно касательной.
3353. Эллипса относительно его осей.
336 . Квадрата со стороною а относительно вершины.
33S5. Круга относительно центра.
3366. Эллипса относительно центра.
3367. Прямоугольника со сторонами а и b относительно
точки пересечения диагоналей.
3368. Равнобедренного треугольника относительно его
вершины (основание треугольника а, высота Л).
3369. Круга радиуса R относительно точки, лежащей
на окружности.
3370. Сегмента параболы с хордой, перпендикулярной
к оси, относительно вершины параболы (длина хорды а,
сстрелка» h).
3371. Доказать, что момент инерции кругового кольца
относительно центра в два раза больше момента инерции
относительно любой оси, проходящей через центр кольца
(лежащей в его плоскости).
3372. Доказать теорему: сумма моментов инерции
плоской фигуры F относительно любой нары взаимно
перпендикулярных осей, лежащих в одной плоскости с этой
фигурой и проходящих через неподвижную точку О, есть
величина постоянная.
3373*. Доказать, что момент инерции плоской фигуры
относительно какой-нибудь оси равен Md*-\-lc, где М-*
масса, распределенная на фигуре, d— расстояние от оси
284 гл. xii. миогодшрные и крлтиые иитыралы (3874—3387
до центра тяжести фигуры, а /с — момент терции
относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр
тяжести фигуры (теорема Штейнера).
В задачах 3374—3376 найти статические моменты
данных однородных тел (плотность у»!):
3374. Прямоугольною параллелепипеда с рёбрами a, b
и с относительно его граней. з j «
3375. Верхней половины эллипсоида -j~bn -f""3== 1 от"
ноентелыю плоскости хОу.
3378. Прямого круглого конуса (радиус основания R,
высота Н) относительно плоскости, проходящей чероа
вершину параллельно основанию.
В задачах 3377—3386 найти центры тяжести данных
однородных тел:
3377. Полушара радиуса R.
3378. Шарового сектора (радиус шара R, центральный
угол осевого сечения 2а).
337 ■ Усеченной прн.шы, ограниченной плоскостями
л = 0, у = 0, ,r = 0, jc = 2, ^ = 4, х-\- y + z = 8.
3380* Тела, ограниченною параболоидом вращения,
радиус основания которого R, высота И (ср. с задачей 2400).
3381- Части тела, ограниченного эллипсоидом
J3+'ta + S = 1t Для которой дс>0, ,у>0, *>0.
3382* Тела, ограниченного координатными плоскостями,
плоскостью 2х-\-Зу—12 = 0 и цилиндром 2 = —_у3.
3383. Тела, ограниченного цилиндрами у = х,
у:=2} X И ПЛОСКОСТЯМИ 2 = 0 И *-}-2 = 6.
3384. Тела, ограниченного параболоидом 2az = x2-\-y2
и сферой *а-{-У + 2а = За2 (z>0).
3385- Общей части шара х3-\-у2-\-z2 ^ R2 н конуса
x2*£y2-\-z2 (*>0).
3386- Тела, ограниченного поверхностью (*3-f->'2-{~
-\-z2)2 = a*z.
В задачах 3387—3389 найти центры тяжести данных
однородных поверхностей:
3387, Части сферы, .заключённой в первом октанте.
3380—34OI] | 4. ПРИМЕНЕНИЯ КРАТНЫХ ИИТРГРАЛОВ 285
D2
3388. Части конуса хг-\-у2=.~ z2t отсеченной
плоскостью z=//.
3389. Части параболоида x2-\-y2=^2z% отсечённой
плоскостью z=l.
В задачах 3390—3396 найти моменты инерции данных
однородных тел с массой, равной М:
3390- Прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b
и с относительно ребер.
339L Параллелепипеда предыдущей задачи относительно
его центра тяжести.
3392. Шара относительно касающейся его прямой.
3393а Эллипсоида —j—|—^j-—J— ~ = 1 относительно трех
его осей.
3394а Прямого круглого цилиндра, радиус основания
которого R, высота Н, относительно диаметра основания.
3395а Прямого круглого цилиндра относительно диаметра
его среднего сечения (высота цилиндра И, радиус R).
3396а Полого шара внешнего радиуса R, внутреннего г,
относительно диаметра.
В задачах 3397—3400 вычислить моменты инерции
указанных частей данных однородных поверхностей (масса
каждой части раина М):
3397а Боковой поверхности цилиндра (радиус
основания R, высота И) относительно его оси.
3398. Части конуса х2-\-у2 = ^ z2, отсеченной
плоскостью 2 = //, относительно его осн.
3399. Сферы радиуса R относительно диаметра.
3400. Части параболоида x2-{-y2 = 2czt отсеченной .
плоскостью z = ct относительно оси Oz.
Разные задачи
3401. Найти массу квадратной пластинки со стороною
2а, если плотность материала пластинки пропорциональна
кладрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на
углах квадрата равна 1.
286 ГЛ. ХИ. МНОГОМЕРНЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТ1--ГРЛЛЫ (3402—3410
3402. Плоское кольцо ограничено двумя
концентрическими окружностями, радиусы которых раины R и г (R^>r).
Зная, что плотность материала обратно пропорциональна
расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца.
Плотность на окружности внутреннею круга равна 1.
3 03. Па фи i у ре, ограниченной эллипсом с
полуосями а и Ь, распределена масса так, что плотность ей
пропорциональна расстоянию от большой оси, причём на
единице расстояния от этой оси она равна у« Найти всю массу.
3 04. Тело ограничено двумя концентрическими
шаровыми поверхностями, радиусы которых равны г и R(R^>r).
Зная, что плотность материала обратно пропорциональна
расстоянию от центра сфер и на расстоянии, равном 1,
равна -у, найти всю массу тела.
3 05. Вычислить массу прямого круглого цилиндра
радиуса R, высоты /У, если его плотность в любой точке
численно равна квадрату расстояния этой точки от центра
основания цилиндра.
3406". .Определить массу круглого конуса, высота
которою равна Л, а угол между осью и образующей
равен а, если плотность пропорциональна я-й степени
расстояния от плоскости, проведённой через вершину конуса
параллельно основанию, причём на единице расстояния она
равна у(Л!>°)-
3407. Определить массу шара радиуса R, если
плотность пропорциональна кубу расстояния от центра и на
единице расстояния равна у.
3408*. Плотность шара x2-\-yl-\-z* < 2Rz в любой
его точке численно равна квадрату расстояния этой точки от
начала координат. Найти координаты центра тяжести шара.
3 09*. Найти статический момент общей части шаров
хг-\-у*-\-z2 < R£ и хг-\-у2-\~ z2 <1Rz относительно
плоскости хОу. Плотность в любой точке тела численно равна
расстоянию этой точки от плоскости хОу.
3410 . Доказать, что момент инерции тела относительно
какой-либо оси равен Md2-\-lc, где М — масса тела,
й — расстояние от оси до центра тяжести тела, а 1С —
момент инерции относительно оси, параллельной данной и
проходящей через ценф тяжести тела (|еорема Штейнера;
ср. с задачей 3373).
3411—3414] 14. применения кратных интьгралов 2S7
3411*. Доказать, что давление жидкости на плоскую
площадку, произвольным образом погружённую в жидкость,
равно весу цилиндрического столба этой жидкости,
находящегося над площадкой, при условии, что она лежит
горизонтально на глубине своего центра тяжести.
Центром давлении называется точка приложения
равнодействующей всех сил давления на данную плоскую
поверхность. (Все силы давления перпендикулярны к
поверхности.) При определении координат центра давления
исходят из того, что статический момент
результирующей силы (т. е. давления на всю площадку) относительно
любой оси равен сумме статических моментов отдельных
сил относительно той же оси. Опираясь на это, решить
задачи 3412—3414.
3412. Найти центр давления прямоугольника со
сторонами а \\ b (a"^>b), у которого б&пыпая сторона
расположена вдоль свободной поверхности жидкости, а
плоскость прямоугольника перпендикулярна к этой
поверхности.
Показать, что положение центра давления не изменится,
если плоскость прямоугольника будет наклонена к
поверхности жидкости под углом а(а^= 0).
Как изменятся предыдущие результаты, если бблыиая
сторона а расположена не на поверхности жидкости, а
на глубине h (оставаясь параллельной поверхности)?
3413. Треугольник с высотой h расположен в
плоскости, наклонённой под углом а к свободной поверхности
жидкости. На какой глубине лежит центр давления этого
треугольника, если:
а) основание треугольника лежит на поверхности
жидкости?
б) вершина лежит на поверхности, а основание
параллельно ей?
3414. Найти центр давления эллипса с полуосями а
и b(a^>b) при условии, что бблыпая из осей
перпендикулярна к поверхности жидкости и верхний конец
этой оси находится ил расстоянии h or поверхности.
288 ГЛ. XII. МПОГОМГРНЫЕ И КРАТНЫЕ ИИТНРАЛЫ [3415—3427
§ 5. Дальнейшие вопросы интегрального исчисления
Несобственные двойные и тройные
интегралы
В задачах 3415—3422 вычислить данные
несобственные интегралы или установить их расходимость:
—оо —оо —оо —оо (1 -f- д* -f- уг)1
00 00
3417. ] j e-ixl-Mdxdy.
—00 —00
00 00
3418. С Г (л: + У) е-^+У) dx dy.
00 00
3419. Hxye-t'-y'dxdy.
00 00
3420 . I" (e-W+^yw'+Wdxdy.
00 00 °°, °°.
3421*. \ dx [e~r dy. 3422". f dx f xe~v ^ dy.
ox i ix
В задачах 3423—3426 выяснить, какие из данных
несобственных интегралов, взятых по кругу радиуса R
с центром в начале координат, являются сходящимися:
3423. f [ In Vx' + y* dx dy. 3424. f f «-*-■»" dx dy.
V V *2 +Уг
3425
D
3427. Можно ли так выбрать число т, чтобы
несобственный интеграл ( Г 1Х1у- — распространенный на всю
J J У Ua + y'),B
плоскость, был сходящимся?
8428—-3438] | е. дальнейшие вопросы интегр. исчисл. 289
000000 000000
000 00 0
В задачах 3428—3430 вычислить данные несобственные
интегралы:
000000 000000
3428.
о'
00 00 00
3430*. \ \ {e-^-r-'dxdydz.
Ъ> ш) Л*
—00—00—00
В задачах 3431—3433 выяснить, сходятся лн данные
несобственные интегралы, взитые по шару И радиуса R
с центром в начале координат:
3431. J"]} """""
'а'
/(*" + У2 + *2)3 1» Vх2 + У'г + *2
3432.(fj'!4|S?d*rf-y^
О
3433. j f j р+У+ф <*х аУ dz-
о
3434. Вычислить интеграл \ \ \ In {x2-\-ya-\-z2)dxdydzt
u
где область S2 — шар радиуса R с центром в начале
координат.
3435 . Определить объСм тела, ограниченного
поверхностью г=[х2-\-у2)е—(х*+У) и плоскостью г = 0.
3436. Вычислить объём тела, ограниченного
поверхностью z = x2y*e~ ****+& и плоскостью 2 = 0.
3437. Вычислить объРм тела, ограниченного плоскостью
2 = 0 и частью поверхности z=xe—t**+yr), лежащей над этой
плоскостью.
Дифференцирование и интегрирование
интеграла по параметру
3438. Найти область определения функции
1
rtz
ь \ **-*-**
19 Г. Н. Берман
290 1Л. XII. МНОГОМЕРНЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТШ'АЛЫ 13439—3444
2*
3439. Найти кривизну кривой у= I ~^</а в точке
к
с абсциссой jc= 1.
ъ
3440. Используя равенство ( . * = — In (1 ~\-ab),
о
получить иутСм дифференцировании но параметру
следующую формулу:
ъ
ъ
3441. Исходи из равенства 1 ■ ^-_^ ■, === — arctg —, вы-
b
ъ
С их
числить \W+W'
ь
00
/I J„ -р
3442. Исходя из интеграла I , , ■„■ = ,у- , вычислить
о
во
i . а , г.я (я—целое положительное число),
b
00
3443. Вычислить значение интеграла I e~axxn~xdx
Ь
(п — целое положительное число) при а^>0, найди иред-
00
00
иарнтелыю [e~cxdx (см. задачу 21G5).
3444*. Исходя иj интеграла (см. задачу 2135)
3443—34SS] | в. дальнейшие вопросы нитей», исчисл. 291
В задачах 3445—3457 вычислить с поминаю
дифференте
00
i
30
ft —ал-
Ц^а-</* (0>-1).
цироваиня по параметру данные интегралы
00
3445. [^=^dx («>-!).
хе*
-ох»
о
1
7. Г ""IggLrf*.
J х \ 1 — ж»
о
3448.ri"(lZ^!fl^ (*'<!).
)х*\ 1-х» ^
и
3 49-Т^Е&!т1Лс.
6
3450. flHiL^£!)^(fl3<1).
о
к
3451. fln(l+acog *»</*<*'О)-
5
к
345Я
Г /1 4-flSlnjc,\ rf*
) ,n [l-asinxj Шх (fl3 < !)-
5
00 ...j 00
(• I om~ax'i (• -
-—J—dx (a>0), зная, что *-**'</.* =
= -i l/£ (a>0) (см. задачу 2198).
3454*. 2 _« dx (o>0, *>0).
и
00
34э5*. I e «* dx (a > 0)
о
19*
292 ГЛ. XII. МНОГОМЕГИЫЕ И КГАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [3456—3461
3456. Т e-<»cosbx-cascxdx (e>0).
ь
3457*. [ In (аа cos8 x + b* sin» *) dx.
к
2"
J
к
т
3458. Вычислив интеграл \ arc R■ а к*' ^, найти с по-
К
2"
мощью предельного перехода интеграл \ t, x dx.
Н
3459. Доказать, что (см. предыдущую задачу)
к к
Г 2
\ In sin x dx = — \ -— dx.
к
2*
(Другой метод вычисления интеграла \ lnsinjcrf.* см.
в задаче 2233.)
3460"'. Используя равенство I x"dx = —-r-j, вычис-
1
f'*P-
} "■
00
3461. Используя равенство 2а ( е"а"х2 dx=yr^ (см.
1
лить интеграл 1 * ."""*" dx (o>—1, 0>—1).
задачу 3453), вычислить интеграл
00 Я» ft*
Г/, *'_ * *'W
3462—8466] | в. дальнейшир вопросы иитргр. исчисл. 293
'00
/» т/ _
3 62. Из соотношения I e~*dz = —^— вывестл равеи-
о
00
ство -= = .--= I e-*xdz (*>0) (см. задачу 3453) и
о
использовать его для вычисления интегралов (интегралы
диффракцнп):
00 00
v Г cos х dx ,. С sin x dx
О О
Разные задачи
3463. Пусть функция /(х) непрерывна при л*^0 и
при х—»»оо /(х) стремится к конечному пределу /(оо).
00
Пусть, далее, интеграл \ /' (ах) dx равномерно сходится
S
при 0<^я<а<£. Доказать при этих условиях, что
со
j-/(»)-/(»*)dJC=[/(cc)_/(0)]ln«.
6
В задачах 3464—3465 вычислить данные интегралы,
пользуясь результатом задачи 3463 (tf^>0, b^>0).
3464. Т arctg^JarctR&y dx.
Ь
3465. Г? ^ dx (я>0).
6
3 68 . Пусть функция /(х) непрерывна при х^О
00
и (i-^- dx сходится при любом А ^> 0.
294 гл. хп. многом! гные и KPATiiur интртралы [3467—3472
Доказать при этих условиях, что если а]>0 и £>0,
то Г / <д*) ~ / №•*) dx==/(0) In -j . (Ср. с задачей 34G3.)
В задачах 3407—3471 вичислить данные интегралы,
пользуясь результатом задачи 34G6 (я^>0, Ь"^>0):
*0 м.
п „—ах —ох
3407. \- = dx.
I
3 GB.lco*ax-co*bxdx.
:
3469-Т ****'**** дХш
i
во
sin» к
...п С b ulnar— л sin bx , 9 .,.* Psln»t .
3470. I -g dx. 3 71*. I -jj- d*.
3472 > Функция Лапласа Ф(*) определяется так:
• X
ф (*)=--= I ё~и dt (эта функция играет большую роль
в теории вероятностей). Доказать соотношения:
Г e-eV-l
1) Ф (яг) dz = =г-^ + х Ф (fljc);
J в I я
о
00
2) jfl-Ф(*)]<**==-=
3473—3474| | 6. ДАЛЬНЕЙШИЕ В0ПГ0СЫ ИИТЕГР. ИСЧИСЛ. 295
3473*. Функции si {x) if с! {х) обычно определяются так:
00
Si . .
X
00
(*) — — f — dt («интегральный синус») и cl(*) =
х
00
_— ГSI^Li ^/ («интегральный косинус»). Доказать, что
X
оо ее
x)dx = — T.
f sin д: si (х) г/л: = f cos лг cl (
3474*. Функция /„(*), определяемая так:
к
7
y0(jc)=-|j cos (д: sin 0) rfO,
называется функцией Бесселя нулевого порядка. Доказать, что:
1) ].—yoWd«nL3(«>o).
и
( |, если а>1,
2) f2!2£fy0(*)*/* = J arcslna, если |в|<1,
° I —-^-, если а< — 1.
ii
ГЛАВА XIII
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Криволинейные интегралы по длине
Вычисление интегралов
В задачах 3475—3481 вычислить данные криволинейные
интегралы:
3475. I , где L — отрезок прямой у=-т? х — 2,
L
заключенный между точками А (О, — 2) и Б (4, 0).
3476. \ xyds, где L — контур прямоугольника, образо-
L
ванного прямыми х = 0, у = 0, дг = 4, у = 2.
3477. \ yds, где L — дуга параболы y3 = 2pje от
i
точки (0, 0) до точки (дг0, у0).
3478. \ (х2-\-у2)п ds, где L — окружность x = azost,
i.
y = aslnt.
3479. \ xyds, где L — четверть эллипса ^j-|-^-= 1,
i
лежащая в первом квадранте.
3480. \ \ 2у ds, где L — первая арка циклоиды
L
x=a{i—sin/). У=а(\ —cosr).
3481—2490) 11. криволишйные интегралы по длине 297
3481. \ -^-5—г, где L — первый виток винтовой линии
x = azo%t, y = as\nt, z = at.
3482. Указать формулу для вычисления интеграла
\ F(x, у) ds, если кривая L задана уравнением p = p(f)
i
('fi < <р < <р2). в полярных координатах.
3483 . Вычислить \ х\ хг — y2ds, где L — крнпап,
заданная уравнением (х2 -\-у2)2 = а2 {хг—у2) (х^О)
(половина лемнискаты).
Применения интегралов
3484. Найти массу участка кривой у = \пх между
точками с абсциссами х{ и х2, если плотность кривой в
каждой точке равна квадрату абсциссы точки.
3485. Найти массу участка цепной линии у =
= -х-\са-{-е а) между точками с абсциссами лг, =я0 и
х2 = а, если плотность кривой в каждой ее" точке обратно
пропорциональна ординате точки, причём плотность в точке
(О, я) равна Ь.
3485. Найти массу четверти эллипса x = acost,
y = bs'mt, расположенной в первом квадранте, если
плотность в каждой точке кривой равна ортинате это.'! точки.
3487. Найти массу первого нитка винтовой линии
x = (iQost, y = aslr\t, z = N, плотность которой в каждой
точке равна квадрату радиус-вектора этой точки.
3488. Найти массу дуги кривой x = ef cost, y = e'sintf,
z = e* от точки, соответствующей t = 0, до произвольной
точки, если плотность дуги обратно пропорциональна
квадрату радиус-вектора и в точке (1, 0, 1) равна 1.
В задачах 3489—3493 вычислить площади частей
данных цилиндрических поверхностей, заключенных между
плоскостью хОу и указанными поверхностями:
3483. x2 + y2 = R2, z = R-\-~.
3 ЭСР. у2=2рх, г=У'грх — 4х2.
298 гл. xni. криволинейные интегралы [3491—3498
3 91. у* = ±(х-~\)*, * = 2-l/Z
3492. дг> + У3 = Я2. 2Я* = ху.
3493. y=VW** *=У и *=|-Р-
3494. Чему равна площадь поверхности, которую
вырезает из круглого цилиндра радиуса R такой же цилиндр,
если оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом?
(Ср. с задачей 3349.)
3495. Найти площадь части поверхности цилиндра
x*+y* = Rxt
заключенной внутри сферы х* -\-у* -\- z* = R?.
Согласно закону Бно-Савара элемент тока действует
на магнитную массу /л с силой, равной по величине
т I sin a ds . .
-= , где / — сила тока, as — элемент длины провод-
ника, г—расстояние от элемента тока до магнитной массы,
а — угол между направлением прямой, соединяющей
магнитную массу и элемент тока, и направлением самого
элемента тока. Эта сила направлена по нормали к плоскости,
содержащей элемент тока и точку, в которую помещена
магнитная масса; направление силы определяется
правилом «буравчика». Опираясь на этот закон, решить
задачи 3496—3501.
3496. Определить силу, с которой ток / в
бесконечном прямолинейном проводнике действует на точечную
магнитную массу /л, находящуюся на расстоянии а от
проводника.
3497. По контуру, имеющему форму квадрата со
стороной а, течет ток /. С какой силой этот ток
действует на точечную магнитную массу /л, находящуюся в центре
квадрата?
3498. Показать, что ток /, текущий по дуге кривой,
уравнение которой в полярных координатах имеет вид
р = р(<р), действует на точечную магнитную массу,
находящуюся в полюсе, с силою /=/л/
Ь-
3499—3505J % 2. кринолин, интегралы по координатам 299
3 99. С какой силой ток /, текущий по замкнутому
эллиптическому контуру, действует на точечную магнитную
массу /л, находящуюся в фокусе эллипса?
3530. С какой силой ток /, текущий по бесконечному
параболическому контуру, действует на точечную магнитную
массу т, помещённую в фокусе параболы? Расстояние от
вершины до фокуса равно -^.
3501. С какой силой ток /, текущий по круговому
контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу /л,
помещённую в точку Р, лежащую на перпендикуляре,
восставленном в центре круга, па расстоянии h от плоскости
круга?
При каком значении R эта сила будет наибольшей при
заданном л?
§ 2. Криволинейные интегралы по координатам
Вычисление интегралов
В задачах 3502—3517 вычислить данные криволинейные
интегралы:
3592. \ xdy, где L — контур треугольника, образован-
L
ного осями координат и прямою -^-{-yrsrl, в
положительном направлении (т. е. против движения часовой
стрелки).
3503. I xdy, где L — отрезок прямой —-{-^. = 1 от
точки пересечения еС с осью абсцисс до точки пересечения
ей с осью ординат.
3504. \ {х2—y2)dx, где L — дуга параболы у = х2 от
L
точки (0, 0) до точки (2, 4).
3505. \ ydx, г^е L — контур прямоугольника, образо-
L
ванного прямыми х = 0, у = 0, х = 2,у = 4 в
положительном направлении.
300 гл. хш. криволммгйиые интегралы [3508—3513
3506-\ {х*-{-у2)<1у, где L — контур прямоугольника,
L
образованного прямыми х=\, у=1, х = 3, у = 5 в
положительном направлении.
О.})
3507. \ xydx-\-{y— x)dy вдоль кривой: 1) у = х,
(0",0)
2) у = х2, 3) / = х, 4) у — х*.
(1.D
3508. \ 2xydx-\-x2dy вдоль кривой: 1) у — х,
(0,0)
2) у = х2, 3) _у = л:8, 4) у2 = х.
3509. f д; rfjf-}-jc dy, где L — четверть окружности
L
x = Rcost, y = Rslnt, от tt=sO до /а= —.
3510. \ ydx — xdy, где L — эллипс x = azost,
L
y = bs\nt в положительном направлении. •
яиц CvdK — xdv . .
35jI. I —, , 2 , где L — окружность х = a cos /,
L
у = a shit, в положительном направлении.
(",2n)
3512. \ —x cos у dx-\-у sin x dy вдоль отрезка, co-
(0*0)
слиняющего точки (0, 0) и (тт, 2тт).
3513- \ (2а—y)dx — (а—y)dy, где L — первая (от
L
начала координат) арка циклоиды х—а (/— sin/),
у = п(\ —cos/).
Qcf. Г *2 d v — v8 rf* .
Зэ24. I g j5—, где L — четверть астроиды
J х~*+у*
x — Rcosnt, y = R sin3 /, от точки (/?, 0) до точки (О, R).
3515. \ х dx-\-у dy-\- (х-\-у — 1) dz, где L — отрезок
/.
прямой, от точки (1, 1, 1) до точки (2, 3, 4).
3516—3524J | 2. криволии. интегралы по координатам 301
351 . \ yzdx-{-z] Rz —у2 dy -j- ху dz, где L—дуга
L
винтовой линии x = Rcost, y—Rsint, г ==?>-, от тдчки
пересечения кривой с плоскостью г = 0 до точки еС
пересечения с плоскостью z = a.
(4 4, 4)
3517. ' *<tX+ V dy+±Al пппль прямой линии.
(1.1.1)1 # + у' + гЪ-х-у + 2г
Работа и площадь
3518. Поле образовано силой, имеющей постоянную
величину F и направление положительной осп абсцисс. Найти
работу поля, когда точка массы т пробегает дугу
окружности х2 4- у2 = ft2, лежащую в первом квадранте.
35)9- В каждой точке М эллипса ;c = rtcos/, y = bs'mt
приложена сила /\ равная по величине расстоянию от точки М
до центра эллипса и направленная к центру эллипса,
а) Вычислить работу силы Г при перемещении материальной
точки Р массы т вдоль дуги эллипса, лежащей в первом
квадранте; б) найти раооту, если точка Я обходит весь эллипс.
3520. Ноле образовано силой, обратно пропорциональной
расстоянию точки сё приложения от плоскости хОу и
направленной к началу координат. Определить работу поля
при лвнженпп точки массы т по прямой x = at, y=bt,
z = ct от точки Л1(а, Ь, с) до точки N {2а, 2Ь, 2с).
3521. Силы поля обратно пропорциональны расстоянию
их точек приложения от оси Oz, перпендикулярны к этой
осп и направлены к ней. Найти работу поля при движении
точки массы т по окружности a: = cos/, y=l, z = sin/
от точки Л1 (1, 1, 0) до точки /V(0, 1, 1).
В задачах 3522—3528 вычислить при помощи
криволинейного шнеграла площади фигур, ограниченных данными
замкнутыми кривыми:
3522. Эллипсом х = a cos г, y = bslnt.
3323. Астроидой л: = я cos0/, _y = «sin3/.
3524. Кардиоидой х = 2а cost— a cos 2/, у = 2а slat—
— a sin 2/.
»i02 гл. хш. кгиволингйные ингыталы 13525—3540
3525*. Петлёй кривой (лг-f у)* = ху.
3526. Петлёй кривой (х -{-у)* = х2у.
3527*. Лемнискатой (*а-Куа)а = 2а2 (ха — у2).
3528*. ПетлсЧ» кривой [_у x-\-Yу)12 = ху.
Независимость интеграла от контура
интегрирования
В задачах 3529—3536 убедиться, что данные интегралы,
взятые по замкнутым контурам, равны нулю:
3529. f Чху dx-\-x* dy. 3530. \ у {х) dx -f ф (у) dy.
1 L
3531. [ /{xy){ydx-\-xdy).
L
3532. I хУ { — dx-{-hi xdy) (контур L лежит в правой
L
полуплоскости).
oeofx Г xdx4-ydv .
3533. I —гтГг— (начало координат лежит вне кон-
L
тура L).
*%*=*%м Гxdv-\- vdv ,
3534. \ — ' ■ ■ (начало координат лежит вне кон-
тура L).
п.ч. С х dx 4- v dv 4- z dz ,
3535. I — (начало координат лежит вне
J у ха 4- у* -f- jfl
контура L).
3536. \ yzdx-\-zxdy-\-xydz.
L
В задачах 3337—3543 найти функции по данным
дифференциалам:
353/. da = x*dx-\-y2dy.
3538. da = 4 (х2 - у2)(х dx — у dy).
3S39.du^ix^v)llxtvd\
(х h v)1
ое.п , xdv — v dx
3540. du=—3-;—a—.
35*1—3553J | 2. криволин. интегралы по координатам ЗОЙ
3541. da = (2x cos у—f sin x) dx -f-
-J- {2y cos x—x2 sin y) dy.
3543. rfa=s(3v-^y + (V"^)<y.
(х+У)л
3544. Подобрать число л так, чтобы выражение
—"~ у'( а . .V" у было полным дифференциалом; найти
соответствующую функцию.
3545. Подобрать постоянные а и b так, чтобы выра-
(y* + 2Ay + ax*)dx—(x*-\-2xv-\-by*)dy .
женне ^—-—£-£—; . , * ~ ; у было полны».
дифференциалом; найти соответствующую функцию.
В задачах 3546 — 3550 найти функции по данным
дифференциалам:
3546.^=^ + ^+^.
x + y + z
3547.da = xd*+vdv + *dz.
35 *.da=yzttx + xzdv + xvdz.
1 -j-x^jfl
3549. аа = Ч**4У + хУ*'-У***и
(x—yzf
3550. du=d±=*dv- + *v^dz.
z ' z*
Применения интегралов
3551. Граммоль идеального гала переводится полнтро-
пнчески (т. е. в согласии с уравнением pvk = const.) из
состояния (/?,, 7",) в состояние {р2, Т2). Вычислить
количество тепла Q, поглощённого газом. Считли, чго T2^Tit
выяснить, при каких значениях k — Q будет положительно
(см. «Курс», п° 206).
3552. В условиях предыдущей задачи вычислить работу
расширения газа.
3553'. Вычислить работу, совершаемую одним
граммолем идеального газа при следующих круговых процессах:
1) Процесс протекает по двум изо!ермам и двум
адиабатам (цикл Карно) (черт. 61).
304
ГЛ. ХШ. КРИВОЛИНГЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(3554
2) Процесс протекает но двум кривым одинакового
давления и двум адиабатам (черт. 62).
3) Процесс протекает по двум кривым равного объёма и
двум поли тронам (черт. 63).
р
О
W,p,)
АВ и ПП- пяптяпл,
^b(vz,pz)
—^Щ,р3)
ВС и DA- адиабаты
Черт. 61.
Wi.V B(V2,Pt)
nkr-r\ ^Ф3,Рг)
D(^.P2)
ВС и DA-адиабаты
Черт. G2.
4) Процесс протекает по схеме, изображенной на черт. 64
(кривая НС—политропнаи кривая). (Упрощённая схема
работы воздушного компрессора.) Показать, что вели-
Р\
A(V,,P,)
4W
В(уг,рг) *Ш
с(уг,р3)
А(0,Р,)
АВ и CD-политропныв кривые
Черт. 63.
Ф2,Р2)
ВЫ)
-~V
ВС-политропная крива,#,
Черт. G4.
чина работы сжатия будет наименьшей, если кривая
ВС— изотерма.
3554. Уравнение Ван-дер-Ваальса для реальных газов
имеет вид (p + ^J (v~ $) = RT, где а и {$ — константы (см.
«Курс», п° 80). Показать, что количество тепла, погло-
3555—3561] 19. интытллы по поверхности 305
шейное газом при переходе из состояния (р,, t/,) в
состояние (ра, va), может быть вычислено по формуле
Q-*'$[p,V>,-to-P, («.-?> + « (^ —s;)-
где а — термический эквивалент работы, a L — диаграмма
процесса.
§ 3. Интегралы по поверхности
Интегралы по площади поверхности
D задачах 3555—3563 вычислить данные интегралы:
3555. \ \ (г-|-2х_|__"У\ ^ где s — часть плоскости
~ 4- zr -\- 4- = 1, лежащая в первом октанте.
3555. \ \ xyzdq, где 5 — часть плоскости x-\-y-\-z*=:\t
лежащая в первом октанте.
3557. \\ xdq, где S — часть сферы x*-{-yi-\-z2 — R',
лежащая в первом октанте.
3558. ^)ydg, где S— полусфера z = V R* — л2 — /.
3559. ^VR2—-x2—y2dq, где 5—полусфера
g==yW — х*— у\
3560. \ \ x2y2 dq, где S — полусфера z = У /?а — х2—у\
V
3561. мЦ| где S — боковая поверхность цилиндра,
5
ограниченного цилиндрической поверхностью x2-{-yi = Ri и
плоскостями z = 0 и z — H, а г — расстояние от точки
поверхности до начала координат.
20 Г. Н. BtpMiH
ЗОО ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫ!! ИИТГГРЛЛЫ [3562—3369
3562. 11-^, где S—поверхность шара х*-\-у*-\-z* ~
= R2, а г—расстояние от точки поверхности шара до
фиксированной точки Я(0, 0, с) (c^>R).
3563. II—t где S — часть поверхности
гиперболического параболоида z = ху, отсеченная цилиндром а:2 -\-у2 = R2,
а г — расстояние от точки поверхности до оси Oz.
3564-*. Найти массу поверхности шара, если его
поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию
этой точки от некоторого определенного диаметра шара.
3565а Найти массу поверхности пира, если его
поверхностная плотность в каждой точке ранна квадрату расстояния
эгой точки от некоторого определенного диаметра шара.
3566*- Найти массу поверхности эллипсоида -j-j-rjf-f"
-|—— ===== 1, если поверхностная плотность в каждой точке А/
равна Ь = -т—т-, где г — расстояние от центра эллипсоида
до касательной плоскости, проведенной в точке Л/.
Поверхностные интегралы по координатам
В задачах 3567—3573 вычислить данные поверхностные
интегралы:
3567. I \ xdydz-\-ydxdz-\-zdxdy, где S — положн-
тельная сторона поверхности куба, ограниченного плоскостями
х = 0, у = 0, г = 0, х=\, у=\, 2=1.
3568. I I x2y2z dx dy, где S—положительная сторона
нижней половины сферы x2-\-y2-{-z2 = R2.
3569. I I zdxdy, где S—внешняя сторона эллипсоида
3570—3S76] | 4. связь мржду интегралами 307
3570. I I z2dxdy, где S—внешняя сторона эллнисо-
3571. I I xz dx dy -f- ху dy dz -f- yz dx dz, где S — bhciii-
s
ияя сторона поверхности пирамиды, ограниченной
плоскостями x=Qty = 0, z = 0ux-\-y-\-z= 1.
3572. {{yzdxdy-\-xzdydz-\- ♦*-
-f- ху dx dz, где S—внешняя
сторона поверхности, ограниченной
цилиндром х2 -J-у2 = R2 и плоскостями *=О,
у = 0, 2 = 0 и z = H.
3573
- \\y2zdxdy-\-xzdydz-\-
-\-x3ydxdz, где S — внешняя У
сторона поверхности, расио- х
ложенноЛ в первом октанте и 'С1)Т# ""•
ограниченной параболоидом
вращения z = x2-\-y2, шмнндром х2-\-у*=\ и координатными
плоскостями (черт. 65).
§ 4. Связь между интегралами различных типов
Формула Грина
В задачах 3574—3575 криволинейные интегралы по
замкнутым контурам L, взятые в положительном направлении,
преобразовать в двойные интегралы но областям,
ограниченным этими контурами:
3574. U\—x2)ydx-\-x{\-\-y2)dy.
3575. [ {ех> + 2х cosy) dx -f- {еху — х2 slny) dy.
3576. Вычислить интеграл задачи 3574, если
контуром интегрирования L служит окружность x2-\-y2=zR2.
20*
308 гл. xiii. криволинейные интегралы [3577—3581
3577. Вычислить интеграл | {ху -\-х + у) dx + (ху +
i
+ x-.y)dyt где L — 1) эллипс £ + £=1; 2) окружность
х2-\~уг = ах. Интегрирование ведется в положительном
направлении.
3578. Доказать, что интеграл
Г (ухь _|_ еУ) dx + (*/ + хвУ — 2у) dy
У
равен нулю, если L — замкнутая кривая, симметричная
относительно осей координат.
3579. Показать, что интеграл
\
{х cos [N, x)-\-y sin (N, x)} dS,
где (N, х) — угол между внешней нормалью к кривой и
положительным направлением осп абсцисс, взятый по
замкнутому контуру L в положительном направлении,—ранен
удвоенной площади фигуры, ограниченной контуром I.
Формула Стокса
3580. Интеграл
'{у* + z2) dх + (аг> + *2) ^У + (х2 + ?) dz,
[
взятый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать
с помощью формулы Стокса в интеграл по поверхности,
снатянутой» на этот контур.
3581. Вычислить интеграл I х2уь dx-\-dy-\-zdz, где
контур L — окружность x2-\-y2 = R2t * = 0: а)
непосредственно и б) используя формулу Стокса, взяв в качестве
поверхности полусферу z = ] R* — x2 — у2. Интегрирование
по окружности в плоскости хОу ведется в положительном
направлении.
8582—3589] | 6. элгмгнты теории поля
309
Формула Остроградского
В задачах 3582—3583 поверхностные интегралы по
замкнутым поверхностям преобразовать с помощью формулы
Остроградского в тройные но обьСмам тел, ограниченных
этими поверхностями:
3582. II х* dy dz -f- у2 dx dz -\- z2 dx dy. Интегрирование
•v
ведется по внешней стороне поверхности S.
3583. fW/*4-.yi4-*1{C0S (W, a:)t-cos(.V, y)+zos(N,z)} dz,
ff1
где N — внешняя нормаль к поверхности 5.
358 ■ Вычислить интеграл задачи 3583, если
S—поверхность шара радиуса R с центром в начале координат.
35В5. Вычислить интеграл
Я'
\хь cos (N, х) -{-у* cos (N, у)-{-zB cos (N, z)] rfj,
где S — поверхность шара радиуса R с центром в начале
координат, а N — внешняя нормаль.
3586. Вычислить интегралы в задачах 3571—3573,
применяя формулу Остроградского.
§ 5. Элементы теории поля
Потенциал
3587. Векторное поле образовано постоянным
вектором А. Убедиться, что это поле имеет потенциал, и
определить его.
3588. Векторное поле сил образовано силой,
пропорциональной расстоянию от точки приложения до начала
координат и направленной к началу координат. Показать, что
это ноле — консервативное, и найти его потенциал. Найти
работу А сил поля при перемещении точки массы т из
точки (*,, ух, *,) в точку (x2t va, га).
3589. Силы поля обратно пропорциональны расстоянию
точек нх приложения от плоскости хОу и направлены к
началу коораннат. Будет ли поле консервативным?
310
гл.
3590 Снл1>хш# криволинейные интегралы (8590—3595
iimi точек пх i
к началу коордш' ПШ1Я пропорциональны квадрату расстои-
3591 Некхог'Рчложепия от оси аппликат и направлены
ционалыюй расе,ат- БУДСТ лн |,оле консервативным?
пернеидпкулярно(5мое поле образовано силой, обратно пропор-
что это поле ко|гои""ю точкп с6 «филожепня от оси Ozt
3592 Векто* к это^ осп н ,,г,,,Р',влсн,,°й к иеМ- Показать,
точек твердого «сервативпо, и найти его потенциал.
это поле 110тснц|Р,юс пш,с образовано линейными скоростями
3593.
называемое
цпал поля
\2
Силы
тела, вращающегося вокруг оси. Имеет ли
1ал? (См. задачу 3103.)
цс,г1 поля задаются так: А{Р)=/(г)— (так
грированиое поле). Показать, что лотеп-
раве!
Черт. GG.
указанному на Ч(
дуга В Л будет
i в(дг, у, 2) = j/(r) <ir(r = Vx*+y*+z*).
Получить отсюда как частный
случай потенциал поля сил
притяжения точечной массы и потенциал
поля задачи 3588.
3594в Найти работу сил поля
А (/>) = xyi -f- yzj-\-xzk при
перемещении точки массы т но
замкнутой тиши, состоящей из
отрезка прямой д--{-2=1, у = 0,
четверти окружности х2 -\-у* = 1,
2 = 0 п отрезка прямой y-\-z=\,
jc = 0 (черт. GG) по направлению,
Как изменится величина работы, если
фтеже.
Поте заменена ломаной BOA или отрезком ВА1
3595. Дан ||ЦМал снл,и притяжения*)
длины 2/ с л»
оси Ol ciiMMeipi" плоскости £Otj однородный стержень АВ
а) 7|айти цот,,1ей,,ой плотностью S, расположенный па
«"»■" относительно начала координат.
*) Здесь (в зешпыл и(х, у) стержня,
жести, действующ;
теициал массы», галачах 3595—3608) везде имеется в виду сила тя-
объекте, для кратзя по закону Ньютона. Вместо выражения «по-
>асп«)Л1>жсн11ой на (или в) данном геометрическом
кости мы говорим «потенциал данного объекта».
3596—3603J § 6. эл1 mi пты Ti ории поля 311
б) Показать, что проекции X и Y силы притяжения,
действующей на точку Р массы т с координатами £=лг,
*1=у, равны
у—„,и>( • М v тШСИ. АС\
и результирующая сила R по величине равна /? =
2mki . 1 / | о» . ,~
=—— sin у (a -f- р), где k — постоянная тяготения (С—
проекция точки Р на ось 01, а — угол АРС, р — угол ВРС).
3596. Найти потенциал окружности x2-\-y3 = R'Jt
2 = 0 в точке (/?, 0, '2R), если плотность в каждой точке
равна абсолютной величине синуса ума между
радиус-вектором точки и осью абсцисс.
3597. Найти потенциал первого витка однородной
(плотность Ь) винтовой линии x = acost, y = asintt z = bt
в начале координат.
3598. Найти потенциал однородного квадрата со
стороной а (поверхностная плотность Ь) в одной из его вершин.
3599. Па плоскости хОу распределена масса с
плотностью д, убывающей с расстоянием р от начала координат
но закону $=■.... Найти потенциал в точке (О, О, Л).
(Рассмотреть три случая: Л<1, Л=1 и й>1.)
3600*. Вычислить потенциал однородной боковой
поверхности прямого круглого цилиндра:
1) в центре его основания,
2) в середине его оси (радиус цилиндра R, высота И,
поверхностная плотность I).
3601. Вычислить потенциал однородной боковой
поверхности прямого круглого конуса (радиус основания R,
высота И) в его вершине.
3602*. Дан прямой круглый однородный цилиндр
(радиус основания R, высота Н, плотность 6).
1) Найти потенциал в центре его основания.
2) Найти потенциал в середине его оси.
3) Пай in силу, действ>юнiyio на точку массы ш,
находящуюся в центре основания цилиндра.
3603. Дан прямой круглый однородный конус (радиус
основания R, высота /У, плотность &).
1) Май in потенциал конуса в его вершине.
312 ГЛ. ХШ. КРИВОЛИШЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (36СМ—3610
2) Вычислить силу, с которой конус притягивает точку
массы /и, помещённую в его вершине.
3604. Найти потенциал однородного полуимра х2-\-
_|_д>2.|- Zi<tRi (2>0) С ПЛОТНОСТЬЮ Ь В ТОЧКС Л (0, 0, d).
(Рассмотреть два случая: a^R и о</?.)
3605*. Найти потенциал однородного тела,
ограниченного днумя концентрическими сферами с радиусами
R и г {R^> г) и плотностью Ь в точке, удалённой от
центра шара на расстояние я. (Рассмотреть три случая:
a"2*R, a<>r и г<а<7?.) Показать, что если точка
находится во внутренней полости тела, то сила притяжении,
действующая на эту точку, равна 0.
3606. Доказать, чго ньютонова сила взаимодействия
между дпумн однородными шарами такова, как если бы массы
шаров были сосредоточены в их центрах.
3607. Найгн потенциал неоднородного сплошного шара
х2-\-у2-\-z2 <, R2 в точке Л (О, О, а) («]>/?), если
плотность & = Хга, т. е. пропорциональна квадрату расстояния
точки от плоскости хОу.
08. Дли неоднородный сплошной шар радиуса R,
плотность которого 3 связана с расстоянием от центра г
соотношением i = o— />г(я^>0, Ь^>0).
а) Определить константы а и Ь, если известно, что
средняя плотность шара раина й(, а плотность на
поверхности шара равна &0.
б) Найти потенциал шара.
в) Вычислить силу притяжения шаром точечной массы ш,
расположенной на поверхности шара.
г) И какой точке величина силы притяжения шаром
материальной точки будет наибольшей?
д) При каком соотношении между ас и а0 наибольшая сила
притяжения будет для точки, лежащей на поверхности шара?
Поток и циркуляция (плоский случай)
3 9« Вычислить поток и циркуляцию постоянного
вектора А вдоль произвольной замкнутой кривой L.
10. Вычислить ноток и циркуляцию вектора А (Я) = аг,
где а — постоянный скаляр, а г — радиус-вектор точки Р
вдоль произвольной замкнутой кривой L.
S6II—Зв10| | в. ЭЛЕМЕНТЫ ТГ0РИИ ПОЛЯ 313
3611в Вычислить поток и циркуляцию вектора А(Р)=я
=xl—vj вдоль произвольной замкнутой кривой L.
3612. Вычислить поток и циркуляцию вектора A(P)=s
= (х*—у) i-{• (Уь-\-х)J вдоль окружности радиуса R с
центром в начале координат.
3613- Потенциал поля скоростей частиц текущей
жидкости равен и = \пг, гд.ег=Ух2-\-у2. Определить количество
жидкости, вытекающей из замкнутого контура L,
окружающего начало координат, в единицу времени (поток) и
количество жидкости, протекающей в единицу времени вдоль
этого контура (циркуляция). Как изменится результат, ее ш
начало координат лежит вне контура (и не на нём)?
3614а Потенциал поля скоростей частиц текущей
жидкости равен « = <р, где <p = arctg —. Определить
поток и циркуляцию вектора скорости вдоль замкнутого
контура L.
3615а Потенциал поля скоростей частиц текущей
жидкости равен а (х, у) = х (х2 — Зу2). Вычислить обьбм жидкости,
протекающей за единицу времени через отрезок прямой
линии, соединяющей начало координат с точкой (1,1).
Поток и циркуляция
(пространственный случай)
3616а Доказать, что поток радиус-вектора г через
любую замкнутую поверхность равен утроенному объёму
тела, ограниченного этой поверхностью.
3 17в Вычислить ноток радиус-вектора через боковую
поверхность круглого цилиндра (радиус основания R,
высота //), если ось цилиндра проходит через начало
координат.
3618. Пользуясь результатами задач 3616 и 3617,
установить, чему равен ноток радиус-вектора через оба
основания цилиндра предыдущей задачи.
3639*. Вычислить поток радиус-вектора через боковую
поверхность круглого конуса, основание которого находится
на плоскости хОу, а ось совпадает с осью Ог. (Высота ко-
н)са 1, радиус основания 2.)
814 гл. хш. криволинейные интегралы [3620—3624
3620. Найти поток иектора A(P) = xyl-\-yzJ-\-xzk
через границу части шара х2 -j-у2 -f-z* — 1» заключенной
в первом октанте.
3621*. Найти поток иектора А (Р) = yzl -\- xzj-\-хук
через боковую поверхность пирамиды с вершиной в точке
5(0, 0, 2), основанием которой служит треугольник с
вершинами 0(0, 0, 0), И (2, 0, 0) и В (О, 1, 0).
3622. Вычислить циркуляцию радиус-вектора вдоль
одного витка АВ винтовой линии jc = ccos/, y = asintt
z = bt, где А и В — точки, соответствующие значению
параметра 0 и 2тт.
3623а Твёрдое тело вращается с постоянной угловой
скоростью о) вокруг оси Oz. Вычислить циркуляцию ноли
линейных скоростей ндоль окружности радиуса R, центр
которой лежит на оси вращения, а плоскость окружности
перпендикулярна к оси вращения в направлении вращении
(см. задачу 3592).
362 *в Вычислить поток вихря поля векторов Л(Я) =
=yl-\-zj-\-xk через поверхность параболоида вращения
2 = 2(1—х2—у2), отсечённую плоскостью 2 = 0.
ГЛАВА XIV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнения первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
В задачах 3625—3634 найти общие решении данных
дифференциальных уравнений:
3625. (xy2 + x)dx-\-{y—x2y)dy = 0.
3S26. хуу' = 1 — х2. 3627. у/ = ^=^.
36.8. y'igx—у = а. 3629. ху'-\-у=у2.
3630. у+1 £Ё5 = 0.
3831. V\—y*dx-\-yV\—x2dy=zO.
3632. е-'(\ +|£) ==1. 3633. у = 104'.
3634. /+sin ~-= sin ^L.
3635. Зависимость между скоростью v снаряда и
пройденным путём / в канале орудия устанавливается в балли-
aln dl
стике следующим уравнением: v = , „ , где v = -~ и п <" 1.
Найти зависимость между временем / движения снаряда и
пройденным расстоянием / по каналу.
3636* Если х—количество йодисто-водородной
кислоты Ш, разложившейся к моменту времени t, то Cho-
рость разложения f^-J определяется дифференциальным
уравнением ^ = £, (—^j— К (£)', где klt k2nv —
постоянные. Проинтегрировать это уравнение.
316 ГЛ. XIV. ДИФФЁРЕНЦИАЛЫШГ УРАВНЕНИЯ (3637—3849
В задачах 3637—3640 найти частные решения
дифференциальных уравнений, удовлетворяющие данным
начальным условиям:
3637. y'slnx=y\ny;
1±£.
х"2
3638. у = уф^; у\яш0=*\ш
3639. sin у cos xdyz=. cos у slnxdx; ^1 х - о = -J •
36 О. у — ху' = Ь(\+хУ); у\х_^ = \.
38 I. Найти кривую, проходящую через точку (2, 3)
и обладающую тем свойством, что отрезок любой ей
касательной, заключенный между координатными осями, делится
пополам в точке касании.
3642. Найти кривую, проходящую через точку (2, 0)
и обладающую тем свойством, что отрезок касательной
между точкой касания и осью ординат имеет постоянную
длину, равную 2.
3643. Найти все кривые, у которых отрезок касательной
между точкой касания н осью абсцисс делится пополам в точке
пересечения с осью ординат.
3544. Найти все кривые, у которых нодкасательная
пропорциональна абсциссе точки касания (коэффициент
пропорциональности равен k).
38 5. Найти кривую, проходящую через точку (а, 1)
и имеющую постоянную нодкасательпую (==а).
38 8. Найти кривую, у которой длина нормали (отрезок
ей от точки кривой до оси абсцисс) есть постоянная
величина а.
3347. Найти кривую, у которой сумма длин
касательной и нодкасательной в любой ей точке пропорциональна
произведению координат точки касания (коэффициент
пропорциональности равен к).
3848. Найти кривую у=/{х) (/(*)> 0, /(0) = 0),
ограничивающую криволинейную трапецию с основанием
[0, х], площадь которой пропорциональна (я —|— 1 )-й степени
/(х). Известно, чю /(1)=1.
3- 9. Материальная точка массою 1 а движется пря-
моппиейпо под действием силы, прямо пропорциональной
времени, отсчитываемому от момента / = 0, и обратно
8650—3854] 11. урлой! имя ш гоого порядка 317
пропорциональной скорости движения точки. В момент
t=\0 сек. скорость равнялась 50 см\сек, а сила—4
динам. Какова будет скорость спустя минуту после начала
движения?
3 *50. Капля волы, имеющая начальную массу Л/0 г и
равномерно испаряющаяся со скоростью т г\сек, движется
но инерции с начальной скоростью v0 см\сек. Сонротнвченне
среды пропорционально скорости движения капли и ей*
радиусу. В начальный момент (/ = 0) оно равно /0 дин. Найти
зависимость скорости капли от времени.
3659. Материальная точка движется прямолинейно,
причем так, что её кинетическая энергия в момент t прямо
пропорциональна средней скорости движения в интервале
времени от 0 до /. Известно, что при * = 0 путь s = 0.
Показать, что движение равномерно.
3652. Моторная лодка движется в спокойной воде
со скоростью v=\0 км\час. На полном ходу ее" мотор был
выключен, и через / = 20 сек. скорость лодки уменьшилась
до ^, = 6 км/час. Считая, что сопротивление воды
движению лодки пропорционально ей скорости, найти скорость
лодки через 2 мин. после остановки мотора; найти также
расстояние, пройденное лодкой в течение одной минуты после
остановки мотора.
3853. В дне цилиндрического сосуда с поперечным
сечением в S см2 и вертикальной осью имеется малое круглое
отверстие площадью q см2, закрытое диафрагмой (как у
объектива фотоаппарата). В сосуд налита жидкость до высоты Л.
В момент f = 0 диафрагма начинает открываться, причём
площадь отверстия пропорциональна времени и полностью оно
открывается за Т сек. Какова будет высота // жидкости в
сосуде через Т сек. после начала опыта? (См. задачи 2447—2452,
а также «Курс», п° 128.)
3 . Скорость охлаждения тела пропорциональна
разности между температурами тела и среды. В задачах
245G—2458 мы считали коэффициент пропорциональности
постоянным. При некоторых расчйтах считают, что он
линейно зависит от времени: k — k0{)-\-at). Найти при этом
предположении зависимость между температурой тела 0 и
временем t, полагая, что при / = 0, 0 = 0о, а температура
окружающей среды 0Х.
818 ГЛ. XIV. ДИФФ1ТГ11Ц11ЛЛЬ1!ЫЕ УРАВНЕНИЯ (3655—3671
3655 ■ Скорость роста площади молодого листа
виктории-регии, имеющего, как известно, форму круга,
пропорциональна окружности листа и количеству солнечного света,
падающего на лист. Последнее в свою очередь
пропорционально площади листа и косинусу угла между
направлением лучей и вертикалью. Налги зависимость между
площадью S листа и временем /, если известно, чго в 6 часов
утра эта площадь равнялась 1GU0 см2, а в 6 часов вечера
того же дня 2500 см*. (Полагать, чго наблюдение
производилось на экваторе в день равноденствия, когда угол между
направлением лучей солнца и вертикалью можно счпыгь
равным 90° в 6 часов утра и в 6 часов вечера и 0° —
в полдень.)
13 задачах ЗС56—3658 при помощи замены искомой
функции привести данные уравнения к уравнениям с
разделяющимися переменными и решить их:
3856. У = cos(х—у) (положить и = х—у).
3657. у' = Зх — 2у-\- 5."
365 ./1 \+х+у = х + у—\:
Однородные уравнен им
В задачах 3659—3670 решить уравнения:
3 59. У-5-8. V 36S0. /=£.
3 61. /=±±£. v 3SS2. xdy—ydi — ydy.
^ У
3 63. y=-J£*L. 366 . у =*.+£.
3865. ху'—у=\ х*-\-у*. 3666. у* + х*у = хуу.
867. у' = £ + ~ • 3668' *У =У1п ~ •
ЗбвВ. (*/_.y)arctg£=*. 3 70./=£ + -W
3671. (у* — 3x9)dy-\-2xydx = 0; найти решение,
удовлетворяющее условию у\хт0=1.
V
3672—ЗВ88) | 1. УРАВНЕНИЯ ПСРПОГО ПОРЯДКА 319
3872. y=:*'aTnXV'ZX2' найгп решение,
удовлетворяющее условию у\ =—1.
3673. Привести уравнение у=— + <р(—) к
квадратуре. Какова должна быть функция ^ (— )• чтобы общим ре-
шепнем данного уравнения было: yz=i-r—\—г?
3674. Найти кривую, у которой квадрат длины отрезка,
отсекаемою любой касательной от оси ординат, равен
произведению координат точки касания.
3675. Найти кривую, у которой начальная ордината
любой касательной равна соответствующей поднормали.
3678. Найти кривую, у которой длина радиус-вектора
любой еб точки М равняется расстоянию между точкой
пересечения касательной в точке М с осью Оу и началом
координат.
3677*. Какую форму имеет зеркало прожектора, если
лучи света, исходящие из точечного источника, отразившись,
направляются параллельным пучком?
Линейные уравнения
В задачах 3678—3687 решить уравнения:
3678. у -|- Ь = 4jc. 3679. у' + 2ху=хе~*\
3680. у'+L=**ysssi. _
3681. (1+х2)у' — 2ху = (\-\-х*)*.
3682. y'+y = cosx. 3683. у'-{-ау = етх.
3 84. 2yclx + {y* — Gx)dy=0. 3885. /=£-L-z.
36 7. / -f /I»' (*) — Ф (х) Ф' (х) = 0, где ф (х) —
заданная функция
В Задачах 3688—3691 найти частные решения уравнений,
удовлетворяющие указанным начальным условиям:
3689. у'— vtg* = sec.*:; y\ =0.
I ХтО
320 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЬНИЯ [3669—8687
3389. ху'-{-у— * = 0; у
хжа
= 1.
дг=0
3690. ху' — -jqrf= x'• У
3891. t(l-\-t*)dx = (x-\-xt* — P)ilt; *|^«— ~.
3692. Пусть ух и у% — два различных решения
уравнения
а) Доказать, что y=yl-\-C(yt—ух) является общим
решением того же уравнения (С—константа).
б) При каком соотношении между постоянными аир
линейная комбинация аух + р„Уа будет решением данною
уравнения?
в) Доказать, что если уь — третье частное решение,
v» — У\
отличное от ух и д>а, то отношение ~_—& — постоянное.
J В J \
X
3693. Доказать тождество (см. задачу 2143): \ <?z-*~*adz =
= еА \е~~ * dz, составив для функции / (л:) = \ е**~*dz
дифференциальное уравнение и решив его.
369 . Найти кривую, у которой начальная ордината
любой касательной на 2 единицы масштаба меньше абсциссы
ТОЧКИ К<1СсШИИ.
3 95*. Найти кривую, у которой площадь
прямоугольника, построенного на абсциссе любой точки и
начальной ординате касательной в этой точке, есть величина
постоянная ( = о3).
3696". Пай in кривую, для которой площадь
треугольника, образованного осью абсцисс, касательной и радиус-
вектором точки касания, постоянна ( = а2).
3 97. Точка массы т движется прямолинейно; на неб
действует сила, пропорциональная времени (коэффициент
пропорциональности равен Л,), протекшему от момента, когда
скорость равнялись нулю. Кроме того, точка испытывает
сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффн*
8698—3702] § 1. уравнения ш-рвото порядка 321
инент пропорциональности ранен k). Найти зависимость
скорости от времени.
3698. Точка массы т движется прямолинейно; на неё
действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего
с момента, когда скорость была v0 (коэффициент
пропорциональности = к). Кроме того, точка испытывает
противодействие среды, пропорциональное произведению скорости
и времени (коэффициент пропорциональноеin = &,). Найти
зависимость скорости от времени.
3699. Кайля с начальной массой М г, свободно падая
в воздухе, равномерно испаряется, теряя ежесекундно т г.
Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости
движения капли (коэффициент пропорциональности ==/;).
Найти зависимость скорости движения кайли от времени,
протекшего с начала падения капли, если в начальный
момент времени скорость капли равнялась пулю. Считать,
что k^=2m.
3700. Решить, предыдущую задачу для капли
сферической формы, предполагая, что сила сопротивления
воздуха пропорциональна произведению скорости капли и
площади ей поверхности. Плотность жидкости у- (Привести
к квадратурам.)
3701. Начальная температура тела 0°С равна
температуре окружающей среды. Тело получает тепло от
нагревательного прибора (скорость подачи тепла является
заданной функцией времени: cf(t), где с — постоянная
теплоемкость тела). Кроме того, тело отдаёт тепло
окружающей среде (скорость охлаждения пропорциональна разности
между температурами тела и среды). Найти зависимость
температуры тела от времени, отсчитываемого от начала опыта.
Решить задачи 3702—3703, учитывая, что если
переменный электрический ток силой 1 = 1 (t) течСт по
проводнику с коэффициентом самоиндукции L и сопротивлением /?,
то падение, напряжения вдоль проводника будет равно
L.dl+R.i (см. сКуро, п° 233).
370 ■ Разность потенциалов на зажимах катушки
равномерно падает от /70 = 2 в до Е, = 1 в в течение 10 сек.
Какова будет сила тока в конце десятой секунды, если
21 Г. Н . Берлин
322 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВПГПИЯ |3703—3721
2
в начале опыта она была 16 -q-a? Сопротивление катушки
0,12 ом, коэффициент самоиндукции 0,1 генри.
3703. Найти силу тока в катушке в момент /, если
сопротивление еС R, коэффициент самоиндукции L;
начальная сила тока /0 = 0, электродвижущая сила меняется по
закону e — E0siinat.
Разные задачи
(Уравнения с разделяю щ и м и с я
переменными, однородные и линейные.)
В задачах 3704—3719 решить уравнения:
3704- у = Л'2+У +у\3705.х* dy+(3-2xy)dx=0.
3708. х (*а +1) У +у—х (1 + *2)2-
3707- у =У±±. 3708- у' = '+/,..
* х s xy (1 + Jf2)
3709. (8у-)- 1О*) dx -\- (Зу -\-7x)dy = 0.
3710. х*у'=у(У + х*). 3711. Z2-=£ = tg ±.
3712. (х—у cos ^\dx-\- xcosv?dy=0.
3713. у' = е*х — е*у. 3714. ж Ах , . = ...^ ru.
37IS. &
dx дгеоь ,y-f- sin 2,y"
3716. (л: — 2дг.у—y)dy+/dx = 0.
3717. у -[-^ cos x = sin л: cos x.
3718. (агД-1)/ — лд/ = ^(д:+1)п+1.
3719 ■ yy sin л; = cos л: (sin*—у3).
3720. Убедиться в том, что интегральными кривыми
уравнения (1—х2)у'-\-ху = ах являются эллипсы и
гиперболы с центрами в точке (0, а) и осями, параллельными
координатным осям, причем каждая кривая имеет одну
постоянную ось, равную 2.
В задачах 3721—3722 найти частные решения уравнений,
удовлетворяющие указанным начальным условиям:
3721.^=^4 = 2; у\ =1.
3*22—3733J 9 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 823
3723. Убедиться в том, что только прямые y = kx и
гиперболы ху = т обладают следующим свойством: длина
радиус-вектора любой их точки раина длине касательной,
проведанной в этой точке.
372 . Найти кривую, у которой длина нормали
пропорциональна квадрату ординаты. Коэффициент
пропорциональности равен k.
3725. I hnlтн кривую, у которой любая касательная
пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной
от точки касания и от начала координат.
3726. Найти уравнение кривой, пересекающей ось
абсцисс в точке лг=1 и обладающей таким свойством:
длина поднормали в каждой точке кривой равна среднему
арифметическому координат этой точки.
3727. Найти кривую, у которой площадь трапеции,
образованной осями координат, ординатой произвольной точки и
касательной в этой точке, раина половине квадрата абсциссы.
3728. Найти кривую, для которой площадь, заключенная
между осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна
из которых постоянная, а другая — переменная, равна
отношению куба переменной ординаты к переменной абсциссе.
3729. Найти кривую, для которой абсцисса центра
тяжести криволинейной трапеции, образованной осями координат,
прямою х = а и кривой, была бы равна -j при любом а.
3730*. Найти кривую линию, все касательные к
которой проходят через данную точку (л*0, у0).
3731. Найти линию, проходящую через начало
координат, все нормали к которой проходят через данную
точку (д:0, у0).
3732. На тело действует сила, пропорциональная времени.
Кроме того, тело испытывает противодействие среды,
пропорциональное его скорости. Найги закон движения тела
(зависимость пути от времени).
3733. Частица надает в среде, сопротивление
которой пропорционально квадрату скорости частицы. Пока-
* dv . „
зать, что уравнение движения будет: -р =g—kvzt где
21*
824 гл. xiv. диФФЕГГИциллышк уравнения 13734—3738
k — постоянная, g—ускорение силы тяжести.
Проинтегрировать это уравнение и показать, что v стремится к
у ~ при /—оо.
3734. Замедляющее действие трения на диск,
вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости
вращения:
1) Диск, начав вращаться с угловой скоростью «3 оборота
в секунду, через 1 мин. вращается с угловой скоростью
2 оборота в секунду. Какова будет сто угловая скорость
через 3 мин. после начала вращения?
2) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 5
оборотов и секунду, через 2 мин. вращается с угловой
скоростью 3 оборота в секунду. Через сколько времени после
начала вращения он будет обладать угловой скоростью,
равной 1 обороту в секунду?
3735. Пуля входит в доску толщиной Л = 10 см со
скоростью г>0==200 mJcck, а вылетает из доски, пробив
ей, со скоростью г>,=80 м\сек. Принимая, что сила
сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату
скорости движения, найти, сколько времени продолжалось
движение пули через доску.
3736. Естественный прирост населения большого города
пропорционален наличному количеству жителей и промежутку
времени. Кроме того, население города увеличивается бла-
I одари иммиграции: скорость прироста населении этим путём
Пропорциональна времени, отсчитываемому от момента, когда
население города равнялось А0. Найти зависимость числа
жителей города от времени.
3737. Дне жидкости кипят в сосуде. Найдено, что
отношение количеств их, переходящих в пар, в любой момент
времени пропорционально отношению количеств, находящихся
ещб в жнисом состоянии. Коэффициент пропорциональности
равен k. Доказать, что эти количества х и у связаны
соотношением y=.Cxk (С—константа).
3738. В резервуаре, объСм которого 100 л, находится
рассол, содержащий 10 кг растворенной соли. В резервуар
втекает вода со скоростью 3 ajmuh, а смесь с такой же
скоростью перекачивается во второй резервуар емкостью
также 100 л, первоначально наполненный чистой водой,
3739—3750J § 1. уравнения первого порядка
823
О
С D
I
В
Черт. 67.
in которого избыток жидкости выливается. Сколько соли
будет содержать второй резервуар по прошествии часа? Каково
максимальное количество соли во втором резервуаре? Когда
это максимальное количество достигается? (Концентрация
соли в каждом из резервуаров поддерживается равномерной
посредством перемешивания.)
3739. Напряжение и сопротивление цепи равномерно
меняются в течение минуты соответственно от 0 до 120 в
и от 0 до 120 ом (см. задачи 0
3702— 3703). Самоиндукция цепи
постоянна (1 генри). Начальная
сила тока /0. Найти зависимость
между силой тока и временем ,_,_
в течение первой минуты опыта. * I 1 ■
37 О1. В узкой горизонталь- г— Л —-ш^*-
ной цилиндрической трубке АВ,
герметически закрытой, заключён
газ. Трубка равномерно вращается
вокруг вертикальной оси ООх
(черт. 67), проходящей через один из еб концов, с угловой
скоростью (о. Длина трубки / см, поперечное сечение S см2,
масса заключённого в ней газа М г, давление в
покоящейся трубке (постоянное вдоль всей трубки) /э0. Найти
распределение давления вдоль трубки, т. е. р, как
функцию от х при вращении трубки.
Другие примеры уравнений первого порядка
В задачах 3741—3753 решить уравнения. Замена
переменных приводит данные уравнения к уравнениям линейным
или однородным:
3743. (x+y4-\)dx = (2A:-f-2^—l)d>.
3744 ,.'— Цу + W 37Д5 t/ —
874В./ = 5щЗггз*)-
3748. (лгу— 1)/+ 2*^ = 0.
У2 — X
2у(х+1)'
3747. (\-\-y*)dx = xdy.
3749. уу + х=± (f~2-2)8. 3750. х/ +1 =Л
«25 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [3751—3770
3751- (x*+y*-\-\)dy + xydx^O.
3752. xdx-\-ydy-\-x(xdy —ydx) = 0.
3753. (х* -f-y+у) dx = x dy.
В задачах 3754—37G3 решить данные уравнения Бериуллн:
3754./ + 2*у=2*у. 3755-/+Дгт+/ = 0-
3758. у~> {ау'+у) = х. 3757. xdx= (-—у) dy.
3758. ху' -\-у=у* In а 3759. у — ^ tg *+У cos *=0.
3760-У + 2^=|^. 3761. лгу-^-^Ч^-О.
3762. ^-f^^:. 3763.y = ^lMz^,
• где у(х) — задашим функция.
3764. НаПтн кривую, у которой отрезок, отсекаемый
на оси ординат (или абсцисс) касательной в произвольной
точке кривой:
1) пропорционален квадрату ординаты (или абсциссы)
ТОЧКИ KdCIHHil,
2) пропорционален кубу ординаты (или абсциссы) точки
касания.
3765. Найти кривые, заданные уравнениями вида
p=/('f), для которых площадь секторов, ограниченных
кривой и радиус-векторами постоянной точки (р0, ср0) и
переменной точки (р, ф) кривой, пропорциональна произведению
полярных координат р и <р этой переменной точки.
Коэффициент пропорциональности = к.
9
Уравнения в полных дифференциалах
В задачах 37G6—3773 решить данные уравнения:
3766. (2дг° — xy*)dx-\-(2y* — x2y)dy*=0.
3767. ^-(^-i)*.
3768. сУ dx 4- (хсУ — 2у dy = 0.
3769. ухУ~4lx-\-xy\nxdy = 0.
Э770 Xlix^~v ,lv V(lx — x <1У
3771—378G] | 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
327
3771. У +sln * ;cof (^> dx + -* dy + sin у dy д 0.
coy* (j:v) l cos2 (jrj») ^ l ^ y
3772. (l+*J х'+д'О^ + С—l+V«1+/)>'<(y=0.
Интегрирую m ий множитель
В задачах 3774—3778 илйтн интегрирующий множитель
и решить данные уравнения:
3774. (x2+y)dx — xdy=0.
3775й. y(\-{-xv)dx — xdy = 0.
3776. {x*+y* + 2x)dx-{-2ydy = 0.
3777. ^dx-\-(y*--hix)dy=0.
3778. (л- cos у—у sin у) dy -f- (л- sin у-\~У cos ^) ^* — ^-
3779. Убедиться, что интегрирующим множителем лнней-
dv jP{x)dt
ного уравнения -j--\-Р (х) у = Q (х) служит функппп е
3780. Найти интегрирующий множитель уравнения
Бериуллн
y + P(*)-y=yn-Q(*)-
3781. Найти условия, при которых уравнение
X(x,y)dx+Y(x,y)dy = 0
допускает интегрирующий множитель вида At = F(x-\-y).
3782. Найти условия, при которых уравнение
X(x,y)dx+Y(x,y)dy = 0
допускает интегрирующий множитель вида M = F(x-y).
Разные задачи
В задачах 3783—3804 решить данные уравнения:
3783. у=ах + Ьу + с. 3784. а/ + by+с/* = 0.
3785. /Hr±£Ev 3786. /=* + ™~*.
S28 гл. xiv. дифференциальные урчвнения [3787—3808
3787. у = r-4-э. 378 . у (у* - х) =у.
3789. 2^5+^^=0.
3790. (2^ + дгУ) dx-\-{x-\-x*y*)dy = 0.
3791. ('2д:>' + дг3<у+т)^ + (^+/)</>, = 0-
3793. xdy-\-ydx-\-y3(xdy—ydx) = 0.
ЭТ9ЧЬА]**+[^-7]"'=°-
3795. У=д:} >> + 3^^.3796.^sinx+y'cos№l,
3797. у'—у-\-у*cosx = 0.
3798. y^cos^ny-ftg»*
3799. *y'cos ^- =>>cos |-—л:.
3800. (xcosj-\-ysln£)ydx-{-
-f- (a:cos — —.ysln £)xdy=»0,
3801. у =.-£-_ tg-y.
•^ cos.y '
3802. .y—у' cos a: =y cos x(\ — sin *).
3803.2^=3 6 * +£-ХЛ. — 2л\
3804. (l + ^)rfjt + ^(l--j)dy==0.
3805. Найти кривую, у которой поднормаль в любой
точке так относится к сумме абсциссы и ординаты, как
ордината этой точки к её абсциссе.
3806. Найти кривую, обладающую тем свойством,
что отрезок касательной в любой её точке, заключённые
между осью Ох и прямой у = ах-{-Ь, делится точкой
касания пополам.
3807—3813] | 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 329
3807. Найти кривую, для которой отношение расстояния
от нормали в любой точке кривой до начала координат
к расстоянию от той же нормали до точки (а, Ь) равно
постоянному k.
38J8. Найти кривую, для которой расстояние от начала
координат до касательной в произвольной точке кривой равно
расстоянию от начала координат до нормали в той же точке.
38ЭЭ . Найти кривую, обладающую следующим
свойством: ордината любой её точки есть средняя
пропорциональная между абсциссой и суммой абсциссы и поднормали,
проведённой к кривой в той же точке.
о
3810. В электрическую цепь с сопротивлением /? = -х-олг
в течение двух минут равномерно вводится напряжение
(от 0 до 120 в). Кроме того, автоматически вводится сачо-
иилукцпя, так что число генри в цепи равно силе тока,
выраженной в амперах. Найти зависимость силы тока от
времени в течение первых двух минут опыта.
§ 2. Уравнения первого порядка (продолжение)
Поле направлений. Изоклины
3811. Дано дифференциальное уравнение у = .
а) Построить поле направлений, определяемое данным
уравнением, б) Выяснить расположенно пектор-поля относительно
радиус-вектора любой точки поля, в) Определить вид
интегральных кривых уравнения, исходя из поля направлений.
г) Найти интегральные кривые, решая данное уравнение
обычным методом (разделяя переменные), д) Указать
семейство изоклин данного уравнения (см. сКуро, п° 222).
3812. Написать дифференциальное уравнение,
изоклинами которого служат:
1) равнобочные гиперболы ху = а;
2) параболы у1г=.2рх\
3) окружности x3-\-y3 = Ra.
3813. Найти изоклины дифференциального уравнения
семейства парабол y=zax3. Сделать чертёж. Истолковать
результат геометрически.
330 ГЛ. XIV. ДИФФГРЕНЦИЛЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [8814—3822
3814. Убедиться, что изоклинами однородного уравнения
(и только однородного уравнения) служат прямые,
проходящие через начало координат.
3815. Указать линейные уравнения, изоклинами которых
являются прямые.
381 . Пусть ylt у2, уъ — ординаты трйх любых изоклин
некоторого линейного уравнения, соответствующие одной
абсциссе. Убедиться, что отношение Уг~Vl сохраняет одно и
Уь~У\
то же значение, какова бы ни была эта абсцисса.
Приближённое интегрирование
дифференциальных уравнений
3817. Дано уравнение У = ^-^р . Построить
приближенно интегральную кривую, соответствующую интервалу
1<£л:<5, проходящую через точку Ж(1, 1).
3818. Дано уравнение у'— х2 , i> Построить
приближенно интегральную кривую, соответствующую интервалу
0,5 < х «^3,5 и проходящую через точку (0,5; 0,5).
3819. Дало уравнение у = лгу8-f-*а. Вычислить у
способом Эйлера при х=\, если у — частное решение,
удовлетворяющее начальному условию у\хт.о = 0. Вычислить у
с двумя десятичными знаками.
3820. Дано .уравнение у = |Лс«У+1. Вычислить у
способом Эйлера при лг = 2, если у — частное решение,
удовлетворяющее начальному условию у\Хя.1=:0. Вычислить у
с двумя десятичными знаками.
3821. Даны уравнение у = -~ и начальное условие
у\Хш0=\. Решить это уравнение точно и найти значение у
при л; = 0,9. Далее, найти это значение при помощи
приближенного метода, разбивая интервал (0; 0,9] па 9 частей.
Указать относительную погрешность последнего результата.
382*.. Даны уравнение У=--ГХ—XI " ||а'|алыюе
условие у\х„1 = 0. Это уравнение можно решить точно. Если
3823—3844] | г. уравнения первого погядка (прсдолжтнип 331
же точное решение покажется затруднительным, то, пользуясь
прнблпж1ч1ным методом, вычислить значение х при у=\.
3823. у' =у3-\-ху~{-ха. Найти по методу
последовательных приближений второе приближение для решения,
удовпетворяющего начальному условию y\Xm.Q=l.
3824. y'sssxy*—1. Найти значение при х=\ того
решения данного уравнения, которое удовлетворяет
начальному условию .У^-о — О. Ограничиться третьим
приближением по методу последовательных приближений.
Вычисления вести с двумя десятичными знаками.
В задачах 3825—3832 найти несколько первых членов
разложения в степенной ряд решений данных уравнений при
указанных начальных условиях:
3825. У = у8 —х] у\хт0=г\.
3826. у' = х*у*—и .у|,.в=1.
3827. /=**"—у; ^1,-0 = 0.
3828. y=L^!+i; ,vU-o=i.
"»-/ = Tqfe! ^U-o = 0.
3830. / = еУ + ху\ ^1^.0=0.
3831. у = sin у — sin*; у\х^0 = 0.
3832. y=l-|-*+*a — 2y; y\x-i=\.
Особые решены я.
Уравнения Клеро и Лагранжа
В аадачах* 3833—3844 решить данные уравнения
(Лагранжа и Клеро):
3833. yzxsxy'+y'K 383 . у=х/ — Ъ/\
3835. у «■= ху'+1. 3838. у=ху' + ]Л +/3.
3837. у = ху' + sin у'. 3838. у = 2*у + /У8.
3839. у=у'*(х-\-\). 3840. 2уу'=х(у^ + 4).
3841. у=уу* + 2х/. 3842. у=х (1 +у') +У2.'
38431 y=*y + ?L. 3844. у=У{х+\)+у*.
332 гл. xiv. диффгр*цциллыШВ уравнения [3845—3857
В задачах 3845—3849 найти особые интегралы данных
уравнений, применяя тот же приём, какой используется
в случае уравнений Лагранжа и Клеро:
3845. у*—у/ + е*=0.
3846. у=рх + аУТ^]$, где P = j~.
3847. *а/а — 2 {ху — 2) /+у = 0.
3848. у (у' — 2дг) = 2 (у—*2).
38 9. *== vf-ra
3850. Доказать теорему: если линейное
дифференциальное уравнение является уравнением Клеро, то
семейство его интегральных кривых представляет собой пучок
прямых.
3851. Площадь треугольника, образованного касательной
к искомой кривой и осями координат, есть величина
постоянная. Найти кривую.
3852. Найти кривую, касательные к которой отсекают
на осях координат отрезки, сумма которых равна 2а.
3853. Найти кривую, для которой произведение
расстояний любой касательной до двух данных точек
постоянно.
385 . Найти кривую, для которой площадь
прямоугольника, имеющего сторонами касательную и нормаль в любой
точке, равна площади прямоугольника со сторонами, равными
по длине абсциссе и ординате этой точки.
3855. Найти кривую, для которой сумма нормали и
поднормали пропорциональна абсциссе.
3858*. Найти кривую, для которой отрезок нормали,
заключённый между координатными осями, имеет
постоянную длину а.
3857. Скорость материальной точки в произвольный
момент времени отличается от средней скорости (от начала
движения до этого момента) на величину, пропорциональную
кинетической энергии точки и обратно пропорциональную
времени, считая от начала движения. Найти «зависимость
пути ог времени.
dy
ГДе pssa-f-,
dx
838—3874] | з. уравнения второго и высших порядков 833
Ортогональные и изогональные
траектории и эвольвенты
В задачах 3858-—38G3 найги траектории, ортогональные
данным:
3858. Эллипсам, имеющим общую большую ось,
равную 2а.
3859. Параболам у* = 4(х — а).
38 О. Окружностям х2 -\- у3 = 2олг.
38SI. Циссоидам (2а— х)у2 = х*.
38о2. Равным параболам, касающимся данной прямой,
причём для каждой параболы точкой касания служит её
вершима.
3853. Кругам одного радиуса, центры которых лежат
на данной прямой линии.
3 • 4. Найти семейство траекторий, пересекающих под
углом а = 60° кривые х2 = 2а(у — д:Кз) (а — параметр).
3885. Найти изогональные траектории семейства
парабол у* = 4алг, угол пересечения о = 45°.
38 6. Найти линии распространения мука по плоскости
от неподвижного источника звука, лежащего в той же
плоскости, если вдоль какой-либо прямой, проходящей через
источник звука, дует вегер в одном направлении с
постоянной скоростью а.
В задачах 38G7—3870 найти эвольвенты данных кривых
(см. «Куро, п° 93):
38 7. Окружности xt-\-y3 = R2.
3888. Цепной линии у = а ch —.
3859. Эвольвенты круга x = a{cc&t~\-ts\nf),
у = а (sin t — t cos t).
3870. Полукубнческой параболы д> = 3/а, х =— 2iK
§ 3. Уравнения второго и высших порядков
Частные случаи уравнений 2-го порядка
В задачах 3871—3894 решить данные уравнения:
3871. у = дг -f sin x. 3372. / = arctg л:.
3873. / = In x. 3874. ху" =/.
334 ГЛ. XIV. ДИФФГ.РГНЦИЛЛЫ1Ь1Е УРАВНЕНИЯ [3875—3303
3875- /=/ + *. 3876- /=*£ + *■
3877. (!+**)/ + (/)*+1=0. 3878. ху=у ln-^.
3879- (уу=у. 3880. 2ху'у = {у')2 + 1.
3881. (х + а)У' + х(у')*=у'.
3882. лу-^-(У')3 —/ = 0.
3883. 1 + (У)2 = 2у/. 3884. (/)а + 2>У'=0.
3885. о2У — v=0. 3886. у = —U=.
С887. у + у4- (Яа = 0- 3888. у у -f (У )2 = 1.
3889. у у = (У?а. 3890. ЧуУ — 3 (У)2 = 4у*.
3891. .у(1 —1п<у)у + (1 + 1п<у)(У)8 = 0.
3892. у = 2;>у.
3893.cos,.g + sin,(g)3=g.
3894\,уУУ==(У)» + (У')\
В задачах 3895—3899 решить данные уравнения при
помощи подходящей подстановки: уу'=р; (у')2=р; ху'*=р\
У
<- =р и Т. П.
3895. хуу + х (У)2 = 3;>у. 3896. ху—у' (су — 1).
3897. уу + (У)2 = х. 3898. / + ± у' — £,=0.
3899.^g-(*£-,)'=0.
В задачах 3900—3910 найти частные решения данных
уравнений при указанных начальных условиях:
3900. у(лг2+1) = 2*У; y\x_0==\t у|х_0==з.
3901. ху + х (У)а — у == 0; у | ,_2 = 2, у' \ х_2 = 1.
39С2. у=4+7; ^U-2=o, yu-2=4.
3903. 2У=ЗУ; ^U 2=1, yU—2 = -l.
3904. уу>=:1У)* — (/)»; ^1^1 = 1, У|х-1=1.
3905. уу = -1; ^1,-1 = 1, yU-i = 0-
3906—39IS] g з. yPAMiFHHfl второго и высших порядков 335
к
3908. / —уу = 1; <V|X.0 = V^ yU-o = ~
3907. y = *V; ^1^ = 0, yU.o=l.
ЗЭ08. 2(У)2=У'(^~ 1); .yU-i = 2, у|,в1 = -1.
3909 . ху = (у-хуГ; ^1*..»= 1. yU-i = l-
3910. у'=ух+у+\; y\x.0=\t У U-o = 0.
3911*. Какая кривая обладает тем свойством, что радиус
кривизны в любой её точке пропорционален длине нормали?
Принять коэффициент пропорциональности Л = —1, -4-1,
— 2. 4-2.
3912. Найти кривую, для которой проекция радиуса
кривизны па ось Оу есть величина постоянная, равная а.
3913. Найти
кривую, проходящую через
начало координат, у
которой площадь
треугольника МТР (черт. 68),
образованного
касательной в какой-нибудь
точке М кривой, ординатой
зтой точки MP и осью
абсцисс,
пропорциональна площади ОМР
криволинейного треугольника.
3914. Найти кривую,
длина дут которой, отсчитываемая от некоторой точки,
пропорциональна угловому коэффициенту касательной в
конечной точке дуги.
3915. Точка массы m вертикально брошена вверх с
начальной скоростью v0. Сопротивление воздуха равно kv2.
Поэтому, если принять вертикаль за ось Оу, то при движении
вверх имеем:
mj£ = — mg—kv\
»*• х
Черт. 68.
а при падении:
dv
m
j£ = -mg + kv*,
где v = -.r. Найти скорость, которую будет иметь тело в тот
момент, когда оно падает на землю.
336 ГЛ. XIV. ДИФФПЧ ПЦИЛЛЬНЫЕ УГЛШПИИЯ (391В—3030
3916. Тонкая, гибкая и нерастяжимая нить подвешена
за оба конца. Какую форму в равновесии примет нить под
действием нагрузки, равномерно распределяющейся по проекции
нити на горизонтальную плоскость? (Собственным весом нити
пренебрегаем.)
3917. Найти закон прямолинейного движения, если
известно, что работа действующей силы пропорциональна времени,
протекшему с момента начала движения.
3918*. Луч свега из воздуха (показатель преломления т0)
надает под углом а0 с вертикалью в жидкость с переменным
показателем преломления. Последний линейно зависит от
глубины и постоянен в плоскости, параллельной горизонту; на
поверхности жидкости он равен ///,, а на глубине h он равен т2.
Найти форму светового луча в жидкости. (Показатель
преломления среды обратно пропорционален скорости
распространения света; см. «Куро, и° 78.)
Частные случаи уравнений высших
порядков
В задачах 3919—3928 решить данные уравнения:
3919. у" = 1. 3920./" = cos 2х. 3921./*)= «.
3922. *у" = (у)«. 3923. *y<v> ==у(т.
ЗЭ24. у = (у")*. 3925. у у = 3 (/')а.
3926. уу'"—уу = 0. 3927.у"'[\ +(/)J]=;3y,(/)».
3928. <Г)»-.//"=(£)2.
Приближенные решения
3929. При исследовании колебания материальной системы
с одной степенью chooohj встречается дифференциальное
уравнение вида у =/, (х) +/t (у) -f-/« (У)-
Решить это уравнение графически, если:
1) /,(*) = 0; /a(v)= —Vy\ /8(/) = 0,5/ и
,yU-o=/U-o=o.
2) /, (х) = — Х\ и (у) = 0; /■ (У) = — о, \у—о, i/« н
^|jc-0=V'|.t.0=l.
3930-У^УУ—*а; Я*-о=1, У1г-о=1.
393I-—3936] | з. урлвш пня второго и высших порядков 337
1) Решить данное уравнение графически.
2) Найти несколько первых членов разложения решения
в степенной ряд.
3931. Найгн 6 первых членов разложения в ряд решения
v' ' 1
дифференциального уравнении/ = - , удовлетворяю-
у х
щего начальным условиям ^|jt.i = l, У|*-1=:0-
3932. Найти в форме степенного ряаа частное решение
уравнения y" = xslny't удовлетворяющее начальным условиям
>|л=1=0; у' |х-1= ./. (Ограничиться шестью первыми
членами.)
3933. Найти 7 первых членов разложении в ряд
решения дифференциального уравнении уу"-\- у' -\-у = 0,
удовлетворяющего начальным условиям у | Хя.о = 1; у' \ XwmQ = 0. Какого
порядка малости будет при х—»-0 разность у — (2 — х — е~х)7
3934. Найти 12 первых членов разложении в ряд
решения дифференциального уравнения У'-\-уу'—2 = 0,
удовлетворяющего начальным условиям у\ Хи.0 = 0; У|х-о==0* Ви-
1
числить интеграл I ydx с точностью до 0,001. Вычислить
У|*-о,в с точностью до 0,00001.
3935*. Электрическая цепь состоит из последовательно
соединённых самоиндукции Л = 0,4 генри п электролитической
ванны. В ванне находится литр воды, почкнелённой
небольшим количеством серной кислоты. Вода разлагается током;
при" этом меняется концентрация, а следовательно, и
сопротивление раствора в ванне. Напряжение на клеммах
поддерживается постоянным (20 в). Количество вещества, выделяющееся
при электролизе, пропорционально силе тока, времени и
электрохимическому эквиваленту вещества (закон Фарадея).
Электрохимический эквивалент воды равен 0,000187 г\кулон.
Сопротивление раствора в начале опыта /?0 = 2ол, начальная
сила тока 10 а. Найти зависимость в форме степенною ряда
объёма воды в сосуде от времени.
оЭЗб*. Электрическая цепь состоит из последовательно
соединённых самоиндукции Л = 0,4 генри и ьлекгролшнческой
22 Г. Н. Берман
S38 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (38S7—3942
ванны, первоначальное сопротивление которой 2 ом. В ванне
в литре воды растворено 10 г хлористого водорода. Кислота
разлагается током, при этом меняется концентрация раствора
(ср. с предыдущей задачей, где количество растворйнного
вещества не менялось, а менялся объём растворителя).
Напряжение на клеммах цепи 20 в, электрохимический эквивалент k
хлористого водорода ранен 0,000381 г\кулон, начальная сила
тока 10 я. Найги зависимость (в форме степенного ряда)
между количеством соляной кислош в растворе и временем.
§ 4. Линейные уравнения
3937а Функции л;0 н л:4 удовлетворяют некоторому
однородному линейному дифференциальному уравнению 2-го
порядка. Показать, что они образуют фундаментальную систему,
и составить уравнение.
ЗЭ38. То же для функций ех и х3ех.
3939а Функции аг, дг8, ех образуют фундаментальную
систему решений линейного однородного уравнения 3-го
порядка. Написать это уравнение.
3940* Функции л;3 и л;8 образуют фундаментальную
систему решений линейного однородного уравнения 2-го
порядка. Найги решение этого уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям у\Хшяу==\; y|Aeil = 0.
3941а Функции cos3 а: и sin2 а: удовлетворяют некоторому
линейному однородному уравнению 2-го порядка:
а) проверить, что они составляют фундаментальную систему
решений;
б) составить уравнение;
в) показать, что другой фундаментальной системой этого
уравнения являются функции 1 и cos 2лг.
3942*а Если ух есть частное решение уравнения
/+/P(x)+yQ(x) = 0,
то
Л
= СуЛе~1Пх)*Х(± (С-постоянное)
тоже является решением. Показать это тремя способами:
1) непосредственной проверкой; 2) заменой #у=у12г;
3) из формулы Остроградского (см. «Куро, п° 230).
3943—3955] 14. лмнг.йныг: уравнения 339
3943а Пользуясь формулой задачи 3942, найти общее
решение уравнения (1—ха) у"—2ху'-\-2у = 0, зная его
частное решение у1=:х.
о
3944а Решить уравнение у"-|—y'-\-yz=Ot зная его
sin дг
частное решение #у,= .
3945. Уравнение (2лг—л;3)/+(х2—2)/+2(\—х)у = 0
имеет решение у = ех. Найти решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям у\хят^=0; у'\Хят\ = \.
3946'". Найти необходимое н достаточное условие для
того, чтобы уравнение У-\-у'Р(х)—yQ(x) = 0 имело два
линейно независимых решения ух и у2, удовлетворяющих
условию Viy2 = l.
3947*. Найти общее решение уравнения
(1 __л:а)у_д.у_^9^ = 0,
если его частное решение есть многочлен третьей степени.
В задачах 3948—3950 легко подобрать одно частное
решение (не считая тривиального у = 0) для данного
уравнения. Найти общие решении эгнх уравнений:
3948-у—tgx-y' + 2y = 0. 39 9. /—/-f^ssU.
395 - у" Д-v'-l — = 0
щу х* + \у ^л-2-f-i
395L Найти общее решение уравнения
ху _ Зл-у 4- блг/ — 6> — О
зная частные решения yt=zx и ^2=г=лг3.
3952*. Преобра.ювать уравнение
* а(х — b)*y*-\-a(x — b)/-\-x{x — 2t>)yz=:0 (я>0)
к уравнению Весселя хзу-\-х/-\-{х2 — п*)у = 0.
В задачах 3953—3955 найти решения данных
неоднородных уравнений:
3953. л:3/ — лу = 3лг».
3954. у'--^/ +-J-!^*-!.
3955. (Злг-f 2л-3)/— 6(1+л:)/4-6у = 6.
22*
840 гл. xiv. диФФЕРГНЦилльньт уравнения (3958—3975
3958. Уравнение (1 -{-х*)у" + 2х/ — 2yz=4x%-\-2
допускает частное решение у = х2. Найти решение этою
уравнения, удовлетворяющее условиям
дН*—1 = 0; /и—1 = 0.
3957. Найти 9 первых членов разложения в степенной
ряд решении дифференциального уравнения: у = х2у—у',
удовле гворнющего начальным условиям у | *„о = 1 ■ У | *»о ==: 0.
3958. Записать в виде степенного ряда частное решение
уравнении /' — ху'-\-у — 1 =0; ,у | ж_0 = 0, /|^0 = 0.
3959. Записать в виде степенного ряда общее решение
уравнения у"=у-ех. (Ограничиться шестью первыми членами.)
Уравнения с постоянными коэффициентами
В задачах 3960—3970 решить данные уравнения:
3960. у" -\-у' — 2у=:0. 3961. у — 9у = 0.
3982. у — 4v' = 0. 3963. у—-Чу' — у=0.
3 8 . Зу—2у —8^ = 0. З965.у+^=0.
3968. у -f бу + 1 \\у = 0. 3967. 4/ — 8у -f 5;/ = 0.
3968. у — 2у 4-^ = 0.
3969. 4^ — 20^ + 25* = 0.
at* at '
3 70- 2y4-y + 2sina15°cos315°.>/=0.
В зачачах 3971—3973 найти решения данных уравнений,
удовлетворяющие указанным начальным условиям: ■
3971. / —4/ + Зу=0; у,-о = 6, у|,.0 = 10.
3972. y + 4y + 29^ = 0;^U_o = 0, У1Л.0=15.
3973. 4у + 4у + #у=0; у\х-о = 2, У|л.0 = 0.
3974. Дано частное решение некоторого линейного
однородного уравнении 2-го порядка с постоянными
коэффициентами ух z=emx. Дискриминант соответствующего
характеристического уравнения равен нулю. Найти частное решение этого
дифференциального уравнения, обращающееся вместе со своей
производной в единицу при лг = 0.
3975. Найгн интегральную кривую уравнения у -|- 9у = 0,
проходящую через точку М (к, — 1) и касающуюся в этой точке
прямой у-^-\=х— п.
8976—39B8J g 4. линейные урлвш ния 841
3976. Найти интегральную кривую уравнения у -}- ky = 0,
проходящую через точку М (лг0, у0) и касающуюся в этой
точке прямой у—у0 = а{х — лг0).
В задачах 3977—3991 данные неоднородные уравнения
решить, определяя частное решение либо подбором (см. «Курс»,
п° 233), либо методом вариации произвольных постоянных (см.
«Курс», п°231), либо применением общей форм) лы (см. «Курс»,
п°234):
3977. 2у+у— у=2ех. 3978. / + а*у = е*.
3979. y' — 7/-\-6y=xslnx.
3980. у+2у + Ьу = — y cos 2х.
3981. у —бу + 9^ = 2д:а—аг + З.
3982. у — Чу' + 2у = 2х. 39ВЗ- /+4у' — 5у=\.
39 ■ у — Зу' -\-2у=/(х), если /(аг) равна:
1) Юс"*; 5) 2е*со8^; 9) Чех — е~2Х;
2) Зс3х; G) х — е~2х-\-\; 10) sin a; sin 2а;;
3) 2 sin*; 7) ех{3 — 4лг); 11) sh л:.
4) 2л:8 — 30; 8) За;-}-5 sin 2a;;
3985. 2y"-{-5y'=/(x), если f(x) равна:
1) 5x2 — 2x— 1; 5) 0,\е~*,*х — 25 sin 2,5 jc;
2) ex; f>) 29л: sin a:;
3) 29 cos a:; 7) 100* • e~x cos л:;
4) cos3*; 8) 3-chyJt.
39 J. у — 4y-\-4y =/(*), если f(x) panna:
1) 1; 5) sin a; cos 2a:; 9) ьп x -\- sfn x;
2) e~x\ 6) sin» x; 10) ex — sh (* — 1).
3) 3e*x; 7) 8 (a;' -f- e*x -f sin 2x);
4) 2 (sin 2* + *); 8) s1i2a;;
3987. у-\-y=f{x), если f{x) равна:
1) 2xB—x -\- 2; 3) cos x\ 5) cos д: cos 2x\ 7) ch x.
2) —8 cos 3a:; 4) sin x — 2e~x; 6) 24 sin* at;
3988. 5y — 6/-t-5y=f(x), если f(x) равна:
- La
1) be**; 3) ^4-2at« —jc4-2; 5) e* '-sln-i*;
4 3 x
2) sin T x; 4) Д * • cos jc; 6) 13c* • ch x„
342 гл. xiv. диффдоиЦИАЛьпые угАППЕИИЯ [3989—4002
е*
3989. /+у + ctg» д: = 0.3990. /'—2/+У=jqn •
3991*. /—/=/(*), если /(х) равна:
1) ** ■ 2) е*хУ \— е2х; 3) e2xcosc*.
1 -j- e
В палачах 3992—3906 найти решения данных уравнений,
удовлетворяющие указанным начальным условиям:
з
399 . 4/+1С/ + 15у=4е 2 . д/|лг_0 = 3,
У1*-о=—5,5.
3993. У — 2/ + 1Оу = 1 Ох2 +18л- + 6;
,vU-o=l, /|*-o = 3,2.
3994. /—/ = 2(1— jc); ^U-o=l, yU-o=b
3995. у — 2у' = ех(х*-\-х — 3);^U-o = 2,yU-0 = 2.
3996. /+,y + s!ii2* = 0; у\х^=у'U-* = 1.
3997*. Показать, что частное решение J уравнения 2-го
порядка с постоянными коэффициентами с правой частью Ае?х
(р „ /\ — действительные или комплексные числа) имеет вид
— А
v — J—.ePx, если я не является корнем характеристического
^ ?(;>)
уравнения f(r) = v4¥ + "2 = °; ','==Фг(pjв/'*, еслп/'~~
простой корень характеристического уравнении; y=s^j-fP*t
еслн р — двойной корень характеристического уравнения.
В задачах 3998—4001 решить данные уравнения Эйлера
(см. «Курс», н° 230):
3998. JC2/' — 9лу + 21;, = 0.3999.л:аУ+л;у+>/=*.
4С0Э.у-£ + £=|-
40CI. лг3у —2д:у + 2^-Ьдг —2дгв = 0.
400 ■ Если ось вала турбины расположена горизонтально
II если центр тяжести диска, насаженного па вал, не лежит
на оси, то прогиб у (черт. G9) оси вала при его вращении
определяется уравнением
4003—4006] § 4. лшпйпыг урлшП'.иня 343
где т — масса диска, а — постоянное число, зависящее от
рода закрепления концов А и В; (О — угловая скорость
вращения, е — эксцентриситет центра тяжести диска. Иайгн
общий интеграл этого уравнения.
4003. Материальная точк i массы 1 г отталкивается вдоль
прямой от некоторого центра с силой, пропорциональной ей
расстоянию от этого центра (коэффициент пронорциоиаль-
Цвнтр тшести диет •- —
Черт. G9.
ностн = 4). Сопротивление среды пропорционально скорветн
движении (коэффициент пропорциональности = 3). В начале
движения расстояние от центра равно 1 ел/, а скорость —нулю.
Найти закон движения.
4004. Частица массы 1 г движется по прямой к точке А
под действием некоторой силы притяжения,
пропорциональной расстоянию ее" от точки А. На расстоянии 1 см
действует сила 0,1 дины. Сопротивление срелы пропорционально
•скорости движения и равно 0,4 липы при скорости 1 см/сек.
В момент t=0 частица расположена на 10 см правее точки А,
и скорость ее" равна нулю. Найти зависимость расстояния от
времени и вычислить это расстояние для * = 3сек. (с
точностью до 0,01 см).
4005. Материальная точка массы т движется по прямой
из А в В под действием постоянной силы F. Сопротивление
среды пропорционально расстоянию тела от Вив начальный
момент (в точке А) равно/(/<^F). Начальная скорость точки
равна нулю. Сколько времени точка будет двигаться из А в В?
(АВ = а.)
4000. Тело массы 200 г подвешено на пружине и
выведено из состояния покоя вытягиванием пружины на 2 см,
после чего отпущено (без начальной скорости). Найти
уравнение движения тела, считая, что сопротивление среды
344 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛ bHUF УРАШШНИЯ (4007—4010
пропорционально скорости движении. Пели течо движется со
скоростью 1 cMJcetc, то среда оказывает сопротивление 0,1 г;
сила напряжения пружины при растнженни ей на 2 см
раина 10 кг.
Весом пружины пренебрегаем.
■07*. Деревянный цилиндрический чурбанчик (S=«
= 100 см2, h = 20 см, y = 0,5 г/сл3) погружен нацело
в Боду н отпущен бе j начальной скорости. Считая, что
сила трения пропорциональна высоте погруженной части,
выяснить, каков должен быть коэффициент
пропорциональности k, чтобы в результате первого подьйма над
поверхностью воды показалась ровно половина
чурбанчика?
Сколько времени (/,) будет продолжаться первый
лодъБм?
Какоио будет уравнение движения при нервом
подъёме?
4008*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной
угловой скоростью (о вокруг перпендикулярной к ней
вертикальной осн. И начальный момент на расстоянии а0
от оси внутри трубки находился шарик массы т. Считая, что
в начальный момент скорость шарика относительно трубки
была раина нулю, найгп вакон относительного движения
шарика.
4009. Решить предыдущую задачу в предположении,
что шарик прикреплен к точке О пружиной. Сила дей-.
стния пружины \\л шарик пропорциональна деформации
пружины; сила k дин вызыв:ет* изменение длины
пружины на 1 см. Длина пружины в свободном состоянии
равна я0.
4010. Разность потенциалов на обкладках конденсатора
равна V в, емкость его—С фараъ. Обкладки конденсатора
соединяются цепью, сопротивление которой — R ом,
самоиндукция— L генри (см. задачи 3702—3703). Зная, что
при равномерном процессе изменение заряда
конденсатора равно его емкости, умноженной на изменение
разности потенциалов (// = —CV), написать
дифференциальное уравнение разряда конденсатора, выяснить, в каком
случае разряд будет периодическим, и найти период
разряда.
4011—4033J | 4. ЛИШ'ЙИЫВ УРАВНРНИЯ МЬ
Уравнения высших порядков
13 задачах 4011—4023 решить данные уравнения;
4011. /"-|-9/ = 0.
4012. /,v> — 13/' + 36>=0.
4013. /,v> = 8/ — 16>.
4014. yWz=lGy.
4015. /' —13/ — 12^ = 0.
016. /" — з/-|-3/-^у = 0.
4017. у,у) + 2у+/ = °- 4018" Уя> =/""*>.
40J9. /,v> -\-у=0.
4Р20. 64/v,11>-j-48/v,>-|- 12y<IV>-f-/=0.
4021. /«) +, i/«-i) + ?^=-V«-'> +.. .
4022. /'= — у';у\^ = 2, y|jr=o = 0,y'U=0 = ~l.
4023. ^)=у'; у\х=о = 0, У|^о = 1, /U=o = 0,
У" U=0 = 1. Уlv> | ,с=о = 2.
О задачах 4024 — 4032 данные неоднородные уравнения
решить, определяя частное решение либо подбором
(см. с Курс», п° 233), либо методом вариации произвольных
постоянных (см. сКурс», п° 231), либо применением общей
формулы (см. сКурс», п°234):
4024. у" — 4/ + Ъу' — 2у = 2х + 3.
4025. у" — Зу -|- 2у = €~* (4л;3 + 4х — 10).
4026. у■ v) -}- 8/ + 16> = cos х.
4027. yVv)-\-2ay-{-a*y=:cosax.
4128. yv)_j-y" = A;3 —1.
4029. y«v)— y = xe* + c6sx.
4 30. yv> — 2y+y = S (r* + *-*) + 4 (sin x + cos x).
4031. /' + 2/ + / + 2e~** = 0; у | л0 = 2;
/|*=o = l; /1^0=1.
403 . У"-У==3(2-л:»);^и-_о=Уи.о=Уи.о=1.
4033. Решить уравнение Эйлера хьу'"~\-ху'—,у = 0.
346
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 14034—4043
§ б. Системы дифференциальных уравнений
4034.
03
4037.
?7Г='-7*'
4035.
{dx _
dt ~~У*
и» у у
'£ + 2* + 5v = 0. \^ = ,+ ,'+,-'.
£ = 2у-5* + *<,
у2/=х (/ = £), 403В. f/ = *-¥,
х--у
У
dx
z—y
dv
4039.-^ = -^-=
dz
x—z y—x
В задачах 4040 — 4042 найгн частные решения систем
дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным
начальным условиям:
4о4Э.
4041.
4042.
dv
и» —
Тх — х^=Тг' ^U-0—1.
dj_^zjx±y) j _,#
dx x*—yz 1ДГ
dx . 2x . , __J_.
- = * + .* — j,
£«+* + *.
д:|/-о=1:
4043.' Найти пару кривых, обладающих следующими
свойствами: а) касательные, проведённые в точках с
одинаковыми абсциссами, пересекаются на оси ординат," б)
нормали, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами,
пересекаются на оси абсцисс; в) одна из кривых проходит
через точку (1, 1), другая — через точку (1,2).
4044—4048J §ь. систгмы диффгргнциальных уравньний 347
40 ■ Даны кривые: у=/(х), проходящая через точку
х
(О, 1), и у = \ f(x)dxt проходящая через точку (0, —) .
— 00
Касательные, проведенные к обеим кривым в точках с
одинаковыми абсциссами, пересекаются на оси абсцисс. Найти
кривую y=J{x).
4045. Найти кривую в пространстве, проходящую через
точку (О, 1, 1) и обладающую следующими свойствами:
а) след касательной на плоскости хОу при перемещении
точки касания вдоль кривой описывает биссектрису угла
между положительными направлениями осей Ох и Оу;
б) расстояние этого следа от начала координат равно
координате z точки касания.
4046. Два шарика, каждый массою т, соединены
весьма лёгкой пружиной (удлинение сё пропорционально
растя! нпающей силе). Длина Иерастяиутой пружины /0.
Пружина растянута до длины /,, а затем в момент t = 0
оба шарика, расположенные вертикально один над другим,
начинают падать (сопротивлением среды пренебрегаем). По
истечении Т секунд длина нити сокращается до /0. Найти
закон движения каждого из шариков.
40 7. Горизонтальная трубка вращается вокруг
вертикальной оси с угловой скоростью 2 радиана в секунду.
В трубке находятся два шарика с массами 300 и 200 г,
соединённые весьма лёгкой упругой нерастянутой
пружиной длиной 10 см, причём более тяжёлый шарик дальше
от оси вращения. Сила в 24 000 дин растягивает пружину
на 1 см, а центр тяжести системы шариков удалён от
оси вращения на 10 см. Шарики удерживаются в указанном
положении некоторым механизмом. В момент, который
считаем началом отсчёта времени, действие механизма
прекращается, и шарики приходят в движение. Найти
закон движения каждого шарика относительно трубки.
Трением пренебрегаем.
40 8. Скорость роста культуры микроорганизмов
пропорциональна их количеству и количеству пигат"ц>пмх
веществ (коэффициент пропорциональности = £). Скорость
убывания питательных веществ пропорциональна наличному
количеству микроорганизмов и времени (коэффициент пропор-
348 гл. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УГЛШШШЯ (4049—4031
ннональностн = /г,). В начале опита п сосуде имелось А0 г
микроорганизмов и В0 г питательных веществ. Найти занпсн-
мость количества А микроорганизмов и количества Б
питательных веществ от времени.
049. Два цилиндра, основания которых лежат в
одной плоскости, соединённые внизу капиллярной трубкой
наполнены жидкостью до разной высоты (//, и Н2).
Через трубку в единицу времени протекает объём жидкости,
пропорциональный разности высот, т. е. равный а.(Л,—Л2),
где а — коэффициент пропорциональности. Найти закон
изменения высоты жидкости н сосудах над капиллярной трубкой.
Поперечное сечение сосудов Sl и S2.
§ 6. Вычислительные задачи
4050а 1 кг воды, теплоёмкость которой принимается
(.6. кал\ Л
1 — ], а начальная температура равна 00,
нагревается погружённым в воду электрическим прибором,
сопротивление которого R зависит от температуры 0
линейно: /? = /?0(1-f-0,004 0), где /?0 — сопротивление приО°С
(закон, справедливый для большинства чистых металлов).
Термоизоляция сосуда настолько хороша, что
теплоотдачей пренебрегаем. Найти зависимость между температурой О
и временем t в интервале 0<f<7\ если:
1) напряжение Е вводится равномерно от Е=0 до
Е=ЕХ в в течение Т секунд. Вычислить с точностью до 1°,
на сколько градусов повысится температура воды к концу
10-й минуты, если О0 = 0°, £, = 110я, Я0 = 10 ом и 7 = 10 мин.
2) Ток переменный и напряжение изменяется по закону
E = E0sin\00nt. Вычислить с точностью до 1°, на сколько
градусов повысится температура поды к концу 10-й минуты,
если О0 = 0°, £0==110 в и Я =10 ом.
051. Литр воды нагревается спиралью,
сопротивление которой 24 ом. При этом вола отдаёт тепло
окружающей среде, имеющей температуру 20° С (скорость
охлаждения пропорциональна разности между температурами
тела и реды). Известно также, что если ток выключить,
то температура воды понизится с 40° до 30° за 10 мин.
Начальная температура воды 20°С. До какой температуры
нагреется вода за 10 мни., если:
40S2—4058] § е. вычислительные задачи
849
1) напряжение вводится равномерно от £0==0 до
£, = 120 в в течение 10 мин.? Точность — 0,1°;
2) ток переменный, и напряжение изменяется по
формуле ЛГ ===== 110 sin 100 тт/? Точность —0,1°.
4052. Дано уравнение у'=~—х3. Составить
таблицу значений решения, удовлетворяющего начальному
условию у\Хшя-1=1, давая х значения от 1 до 1,5 через 0,05.
Вычисления вести до третьего десятичного знака.
4053. Вычислить при х=1 значение того точного
решения дифференциального уравнения у'=у-\-х,
которое соответствует начальному условию у\Хяя^ = 1.
Вычислить затем первые пять приближений ylt y2, уя, уА, уь (до
четвёртого десятичного знака) по методу
последовательных приближений. Сравнить результаты.
405 • Известно, что интеграл \ e~x*dx не берётся
в конечном виде в элементарных функциях. Пользуясь
X
тем, что функция д> ==«■*• \ e~xtdx является решением урав-
е
нения у = 2ху-\-\ при начальном условии у\л-о = 0,
0.6
вычислить \ е~**(1х. Воспользоваться методом
последовать
тельных приближений, ограничиваясь пятым приближением.
Сравнить результат с приближённым значением,
вычисленным по правилу Снмнсона.
4055. у=/(х) является решением
дифференциального уравнения у'~у2— х при начальном условии у\Яшя0 = \.
Найти по методу последовательных приближений
четвёртое приближение (д>4), ограничиваясь таким количеством
слагаемых, которое необходимо, чтобы вычислить ук (0,3)
с тремя десятичными знаками. Найти затем несколько
первых членов разложения /(jc) в степенной ряд;
вычислить /(0,3) также с тремя знаками после запятой и,
считая /(0,3) более точным результатом, оценить погрешность
значения V4 (0,3).
056. у=/(х) является решением дифференцн-
v' 1
альм ого уравнения у = при начальных уело-
ЗГ)0 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [4057—4039
виях ^|д-1=-1, /|л-1=.0. Найти /(1,6) с точностью
до 0,001.
4057 ■ y=f(x) является решением
дифференциального уравнения у"=у'—У~\-х ПРИ начал ьних условиях
>^|jr—1 = 1, /|*-1 = 0. Найти /(1,21) с точностью до
0,000001.
4058'. у=/(х) является решением
дифференциального уравнения у = ху'—у-^-е* ПРИ начальных условиях
д>|л„0 = 1,/|*-о = 0. Найти /(у) с точностью до 0,0001.
059. Кривая задана уравнением у=/(х). Найти
разложение функции /(х) в ряд, зная, что она удовлетворяет
дифференциальному уравнению у" = ху и начальным
условиям у\Хят0 = 0, y'\XwmQ=sl. Вычислить с точностью до
0,0001 кривизну кривой в точке с абсциссой 1.
ГЛАВА XV
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
§ 1. Тригонометрические многочлены
4060. Пользуясь формулами сЖлера cos* = ^
и sinх =е*~? *, доказать, что функции sin".*; и cos"*
могут быть представлены в виде тршоиометрнческнх
многочленов я-го порядка.
4061. Доказать соотношения
2к 2* 2п
\ sin" х cos mx dx=\ sin" x sin mx dx =. \ cos" x cos mx dx =
2*
= \ cos" x sin mx dx = 0, если m ]> я (in ил — целые числа).
6 • ■
4062. Показать, что всякий тригонометрический
многочлен я-ro порядка, составленный из одних косинусов,
можно представить в виде P(cosy), где Р(х) — многочлен
я-й степени относительно х.
40S3. С помощью формул Эйлера (см. задачу 4000)
доказать соотношение
. п п-\-\
sin — 9 cos —~- 9
cos <р -f- cos 2'f -f-... -f- cos /rf =
4064. Доказать соотношения:
Bini
sin 2л i
1) cos<p + cos3'f-|-...-f-cos(2rt— i)v==:JLj£Jt
352 гл. xv. тригонометрические ряды (4068—4070
sin у 9 sin —J- ?
2) sin cp -J- s!n 2<f> -|-... -f- sin л-f = .
sin |
4065. Определить нули тригонометрических
многочленов
sin <p -f- sin 2ip -}-... -|- sin /zp
и
cos у -|- cos 2'f -}-... -\- cos яр
в интерпале [О, 2тт].
4 ■ Показать, что тригонометрический многочлен
. . | sln2? | . sinnm
в интервале [0, тт] имеет максимумы в точках • ■ у»
Зп . |, ..., (2q—I) ^ЦГТ и минимумы в точках —,
2«—, ..., (q— 1) —, где q = ~, если п — чётное, и
я + 1
q——~—t если п — нечетное.
4067*. Доказать, что тригонометрический многочлен
без свободного члена
*^п (?) = а\ cos ¥ + b\ sin <р -}-... -f- ап cos щ -\- Ъп sin яу,
не равный тождественно нулю, не может сохранять для
всех у постоянною знака.
§ 2. Ряды Фурье
4068. Убедиться, что функция y=x*s\n— при лг^О
и >> = 0 при х = Ов интервале [— тг, тт] непрерывна вместе
со своей первой производной, но не удовлетворяет
условиям теоремы Дирихле. Можно ли ей разложить в ряд
Фурье в интервале |— тг, тт)?
v 4069. Разложить в ряд Фурье функцию, равную — 1,
в интервале [—тг, 0J и 1 в интервале (0, тг).
V 070. Разложить в ряд по синусам функцию
.У =4—у в интервале (0, тг).
4071—40U0J § 2. ряды фурье
35.»
4071. Разложить функцию ^=»-^ у в интервале
(О, тг) в ряд но косинусам.
4072. Используя результаты задачи 40G9 и 4070, ПОЛу-
lt — X г\
чить разложения для функций у=х и у = 2 .
Определить интервалы, в которых полученные формулы будут
справедливы.
Решить задачи 4073—4077 в предположении, чш /(*) —
непрерывная функция.
I/ 4073. Функция /(х) удовлетворяет условию
/(* + п) = -/(*).
Доказать, что все её чётные коэффициенты Фурье равны
нулю (я0 = «а ==''г-^ я4 === ^4 ==: • • • = 0).
у, 074. Функция /(х) удовлетворяет условию
/(* + *)«/(*).
Доказать, что все её нечетные коэффициенты Фурье равны
нулю.
^ 075. Функция /(х) удовлетворяет условиям
/(-■*)=/(*) и /(* + *) = -/(*).
Доказать, что Л,=^ = /'а = ... = Оис0 = а1=:й4 = .,. = 0.
i/* 076. Функция f(x) удовлетворяет условиям
/(-*) = -/(*) н /(* + *) = -/(*).
Доказать, что «0 = я, =а3 = ... = 0 и Л, = А»4 = Лв = ... = 0.
»/ 4077. Функция /(аг) удовлетворяет условиям:
V а) Д—х)=/(х) и /(* + *)=/(*),
б) /(-*) = -/(*) и /(лг + тт) =/(*).
Какие из ей коэффициентов Фурь» обращаются в нуль?
И задачах 4078—4093 разложить в ряд Фурье данные
функции в указанных интервалах:
у 4078. Функцию у = хг в интервале (—тг, тг).
4079. Функцию у = х2 в интервале (0, 2тг).
4080. Функцию у = хг в интервале (0, тт) в ряд
синусов.
23 г. Н. Бауман
354 ГЛ. XV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [4081—4093
</ 4081. Функцию у=.хг в интервале (—тг, тт).
%/ 82. Функцию /(*), равную 1 при —тг<л;<0 и
равную 'Л при 0<^jc<^tt.
4083. Функцию /(*), рапную 1 в интервале (О, А) и
равную 0 в интервале (А, тт), в ряд косинусов (0<[А<[тт).
4084. Непрерывную функцию /(х), равную 1 при
лг = 0, равную 0 в интервале (2A, тт) и линейную в
интервале (О, 2А), в ряд косинусов (°<Л<4-).
V 4085. Функцию ^ = 1^1 в интервале (—1,1).
4086. Функцию у = ех—1 в интервале (0, 2тт).
4087. Функцию у = ех в интервале (— /, /).
4088. Функцию ,y=cosc;c в интервале (— тт, тт) (а не
равно целому числу).
ч/ 4089. Функцию y = sinax в интервале (— тт, тт) (я не
равно целому числу).
4090. Функцию у = sin ах {а — целое число) в
интервале (О, тг) в ряд косинусов.
4091. Функцию ,y = cosa.x; {a — целое число) в
интервале (0, тг) в ряд синусов.
ч/ 4092. Функцию _у = sh а: в интервале (— тт, тт).
4093. Функцию y = chx в интервале (0, к) в ряд
косинусов и ряд синусов.
409 . Разложить функцию у = х(п— х) в ряд
синусов в интервале (0, тт). Использовать полученный результат
для нахождения суммы ряда
33 i 53 73 • •"' • (2л- 1)ЗТ"*
4095. Дана функция у (л:) = (тт2 — х2)2.
а) Убедиться, что имеют место равенства
<р( — тг) = <р(тт); <р'{ — тг) = <р'(тт) » ¥"(—*)=?'»
[но */"(-тт)=^">)].
б) Используя задачу 4078, получить разложение
функции ^(д:) в ряд Фурье в интервале (—к, тт) (см. «Курс»,
п°244).
в) Вычислить сумму ряда
2« ~ 6* 4* * ' " * п* * '' *
096—4I00J § з. ЛШТОД КРЫЛОВА. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 355
§ 3. Метод Крылова. Гармонический анализ
В задачах 4096—4099 улучшить сходимость данных
тригонометрических рядоц, доведя коэффициенты ряда до
указанного в скобках порядка (А).
00
4096*. X Я5ТГ sin ллг (4)*
л—1
00
4097". £ (- 0я"1 ;£Фу sin л* (2).
и—1
00
098 . X mcos nx W-
л-0 ~Г"
00 л sin —
4099 . ^ w-f cos nx (5).
4100. Функции /t(x) (/=1,2,3) задшы в интервале
[О, 2тг] следующей таблицей:
X
AW
/2U)
/«(*)
0
27
0,43
2,3
к
"б"
32
0.87
3,2
я
35
0,04
2,1
я
30
0.57
1,6
2п
3
26
0,28
-0,4
5я
6
20
0
— 0,2
1С
18
—0,30
-0.4
7я
6
22
—0,64
0,3
4я
3
26
-0,25
0,7
Зтс
2
30
5п
3
32
0,04 0,42
0,9
1,2
Птс
6
36
0,84
1.6
Найти приближенное выражение этих функций в виде
тригонометрического многочлена второго порядка. (См.
сКурс», п°250.)
23*
ОТВЕТЫ
К главе I
I. Все числа п натурального ряда, кроме л = 1 и л = 2.
Если сумма умов S, и число сторон я, то £=тт(я— 2).
4. а) При лг =— 2, лг=1, дг = С функция обращается
в нуль;
б) при *<—2; _2<х<1; jc>6 функция
положительна;
ь) при \<^х<^6 функция отрицательна.
7-г==тЬ'8" s=za±ir^a-
9. У=±тгА(/з_ А') = 1ттЛ(4 — Л»). 10. ft = /25 —в».
II. /(0) = -2; /(1) = —0,5; /(2) = 0; /-2)=4;
/(-7) = -5; /</*) = -0,242 .... |/(±) =1;
9(0) = 2; ^(1) = 0,5; <р(2) = 0; <р(-2) = -4;
9 (4) = 0,4; <р(а) = £^ прн ^g и у(а)=|^прн а<2.
12. /(1) = 0; /(л)==а»—1; /(a-fl)=a»-f3aa-|-3a;
/(а— 1) = а8 — За8-[-За — 2; 2/(2а) = 16а» — 2.
13. /?(0)=1; F(2) = l; F(3) = 2; /*(-1)=:1;
/='(2,5) = 1/2; F(-lt5)=:_L=; ¥(0) = 1; <р(2)=1;
V (— *) = "J ; <Н*) = 2*-а прн л:> 0 и <р (х) = 2-*-» при
*<0; 9(~ 1) + ^(1) = 1.
14.ф(0) = 0;ф(1) = а;ф(-1)=-1;^1)===а-??;
ф(а) = а*+ь ф(— а) = — а1-а.
IS—43] отпрты к глапг i ЗГ)7
13. <р(/2) = /° + 1; ['f(/)]a = /в + 2/з-|-1%
22. /(*)== f-|V. 23. ^~ а<0) равно тамгенсУ Угла
между секущей, проходящей через точки (а, /(«)) и {b,f(b))t
и положительным направлением оси Ох.
25. х = а. 26. а) *, = 0; лг, = 2; б) *, = — 1; *а = 3.
/■ ДГ(=— Z\ Х% — О', Х$ — —— -jr •
28. лг,=—3; *2 = — 2; *8 = 2; л-4 = 3.
29. дг< —1 II х>2.
30. ^(де+1)». 31. ,у=^.
32. .у = ^(a'+l)3. 33. к=1 1 + (1к sin *)а.
34- v = sin(l-f-*)- 35. 1) y = v*, v=sin*;
2) y=Vv, v — uz% r/ = jf+l; 3) v = ltft', v = tg*;
4)J> = «\K = sInt\ v = 2jc-|-1; 5)^ = 5", « = «*, v = 3*+l.
36. a) — -!•; 6) 0; в) sin 12; r) — sin 2x cos3 2x;
о
д) лв_з^7^_з^8_2лга + л:; e) 0. 37. a = 4; A>==— 1.
38.4 11 —2. 40. 1) j/eiVl— *'; 2) ^ =
«4-4-V^^T»; 3)>;=v3/aTir7a;4);;==C 5)^ = !i^;
6) ^li^-1; 7) ye|ogl(jc» + 7) —lofo(*» —2)-*;
8) >> = Arccos j-T^.
41. >>= — (*+l) и у = х-\-2.
2. ^ = ^16+J'25— jc2; д> = —|/*H) + 1 25—лг'7
д,=г|Лб —1 25—JC2; д, = —^16 —К 25—*".
43*. Пусть jc>0 и >>>0, тогда ^+^—*— * = 0;
^ = jc (график — биссектриса первого координатного угла).
Пусть jc>0 и ,у<0, тогда >>—у—х — * = 0; д: = 0
(график — отрицательная полуось Оу). Пусть х<^0 п
у>0, тогда у-\-у—-jc + j: = 0; д> = 0 (график
—отрицательная полуось О*). Пусть х<^0 и у<^0, тогда д>—у —
— х-\-х = 0 (тождество; сграфнк» — совокупность точек
третьего координатного угла).
358
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ I
[44-31
44.
45.
j
46.
X
У
п
и
п
и
1
1
2
1
2
3
1
6
4
1
24
5
1
6
1
7215
1
0
2
1
3
2
4
2
5
3
6
3
7
4
8
4
9
4
10 11 12 13 14 15
4 .
5 5
6
6
Ь
16 17 18 19 20
6
7
7
8
8
1
0
2
0
3
0
4
1
5
0
6
2
7
0
8
2
9
1
10 11 12 13 14 15 1G 17 18 19 20
2 С
) 4
0
2
2
3
0
4
0
4
47. Если у (*) — вес отрезка AM, то у (х) = 2jc при
0<*<1; <р(*) = 2 + |(д: — 1) при 1 <*<3; ?(*) =
= ■*:-{-2 при 3<[[д;<4. Функция определена при
0<*<4.
48. При 0<*</? 5=тт(2/? —л:)2;
при /?<д:<3/?5=тт/?3;
ирнЗ/?<А:<4/? 5=тг ((>/?* — л:2 — 8/?3).
Пне интервала [0, 4/?] функция S=<f>{x) не определена.
49. К==юс(/?2~); 0<лг<2#; —сч><лг<-}-оо.
50. S=^~\ 4R* — x'; 0O<2/?; — 2#<*
51. 1) лг>0; 2) *> — 3; .3) *<-£; 4) —1
2/?.
Si;
5) пся числовая ось, кроме точек # = ±1; 6) вся
числовая ось; 7) вся числовая ©сь, осроме точек х=\ и а: = 2;
8) —сю<^дс<1 и 3<лГ<^оо; в интервале (1,3)
функция не определена; 9) —'с©.<^ х <^ 1 и 2 <^л:<^сх); в
интервале 11, 2] функция не определена; 10) не определена только
при х = 0, *== — 1, дг4?1; 11) 1<л:<4; 12) 0<лг<1
и
1 <*<ои; 13) 1
3;
и) о<*<4-;
52—62] ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ I 4 9
15) — 1<л:<3; 1С) 1<jc<4; 17) -|<х<2
и 2<><оо; 18) ~2<л:<0 и 0<л:<1;
19) ~4<л:< —тг и ()<а:<7т; 20) 2£тг<><(2ft-J- Птт,
где /г — целое число; 21) 2/гтг < л: < (2Л -|~ !)7Т» Где"Л — це"
лое число; 22) —oo<^jt<0.
52. 1) 0<х<1; 2) — 4<лг<4; 3) — -jr<*<|-'
4) —oo<^jc<^0 и 4<лг<оо;
5) — 1<><0 и 1<><2; 2<><оо;
6) 2Ля<А:<(2/г+1)к,
где k — целое число; 7) область определения состоит только
из одной точки: х=\; 8) —1<л:<1; 9) 4<л"<5 и
в<^л:<^оо; 10) нигде не определена; 11) —1<^*<1
и 2 < jc <^ 3; 12) вся числовая ось; 13) 4 ч£ х < 6;
14) 2<л:<3.
53. 1) Например, .у = ] 4 — л;2; 2) например, у=г
54. 1) 1<jc<3; 2) 0<*<-{-со для двух ветвей
и 1 <" х <^ -\- со для двух других ветвей.
5.J. ««) —оо<^л:<^ео; в) все числа, заключенные между
нулем и 1, включая нуль.
56. 1) >>>0 при л:>2; >><0 при *<2; у — 0
при д; = 2; 2) >»>0 при *<2 и *>3; ,у<0 при
2<*<3; >> = 0 при дс, =2 и *3 = 3; 3) ,у>0 в итер-
пале (—оо, оо), функция нулей не имеет; 4) у"^>0
в интервалах (0, 1), (2, -{- по); у<0 в интервалах (—со, 0)
п (1, 2); v = 0 при *, = 0, х2=1, хя = '2; 5) д>>0 при
а:=5^0; ^ = 0 пои д;=0.
' 57. 1), 3), 8), 10), 11), 15) —четные; 5), С), 9), 12),
14) —нечетные; 2), 4), 7), 13), 10) — ни чётные, ни исчбтиые.
58. \)у=(х*-\-2) + Зх;2)у = (\ — a:*)4-(-Jcd — 2**);
3) у = (sin 2x -\-tgx)-\- cos —■.
во. i) y=ei±fl+-L=fl, 2),=с+*)™+о-*>™+
, (1+лг)'°о-(1 — jc)"»
-I - .
62. Функции 1), 5), 6), 8).
ЯРО
ОТВЕТЫ К ГЛАИР I
[63—70
63. Графики см. ил черт. 70, 71.
64ш 1) В интервал* (*- оо, 0) убывает; в интервале
+-х
Черт. 70.
(0, + со) возрастает; 2) в интервале (—оо, 0) убывает; в
интерпале (0, + оо) сохраняет постоянное значение — нуль.
65. 1) Наибольшее =1; наименьшее =0; 2)
наибольшее = 1, наименьшее =—1; 3) наибольшее =2,
наименьшее = 0; 4) наибольшего значении не имеет;
наименьшее = 1.
67. /=§. 60. а)р = 0,727Л; б) 10,5 г\см\ в) 36,4 см.
69. F=^w. 70. 1)^=-~аг+4; 2) ,у=1,195*4
+ 1,910; 3) у = — 0,57.*+ 8,63. 71. а) V =100 + 0,35/;
б) 100 см*.
72. *= 16,6+ 1,34/. 73. К=12 —0,7/.
74. Д.у = 6. 75, Ду = —6. 76. Дл: = 4.
77. Конечное значение аргумента х3 = '2а.
78. дг = 3; при графическом решении ищется точка
пересечения графика функции уху(х) и прямой j/ =
= 2* — 4.
ВС—IOI]
ОТВЕТЫ К ГЛЛВР I
.461
80*. f(x) и 'f (л:) должны иметь противоположные
знаки; рассматривай два возможных случая, получим:
лг<^3 и jc^>4. Можно решить палачу пут11м построения
графиков функций Ф (л-) = \/(х) + ср (л-) | и ф (х) = | f(x) \ +
+ Ы*)|.
81*.. jc<^2. См. укааанне к решению па чачи 80.
86. С 0 на интервале (—оо;—3),
у==] -4*а + * > > 1-3; 3],
[ 1х — 2* » [3;0].
87. 1) у= — y при х = -4-; 2) у = -^ при * = _-;
3) у=Ь при х = 0; 4) >» = jj- при *= 4-; 5) y = j^
я»
пр.. *=2^.
88. 1) ^ = — 6 при л: = — 2; 2) v = 0,31875 при
*=-§■: 3) ;=А при JC=j; 4) у = — а* при л: = 0;
5) у== — ~fca при ^ = 2^. 89. «=-^ + у.
90. а = |+~. 9J. 4 л. 02. 50 см.
93. Тот, у которого осевое сечение — квадрат.
9*. Чем меньше высота конуса, тем больше его
боковая поверхность; функция достигает наибольшего значения
пр.. радиусе основания, равном -г , т. е. тогда, когда конус
вырождается в плоский диск. 95. 12,5 см.
9S. Высота прямоугольника должна быгь равна половине
высоты треугольника.
97. Радиус цилиндра должен быть равен половине
радиуса конуса. 98- Радиус цилиндра должен быть равен
7Г77Т—rrl при //</? полная поверхность вписанного цн-
лнндра будет тем больше, чем больше радиус его
основания. 99. -{-. 100. «=-£--=• НИ- 7ЛГ4-
4 Ь-).3 я + 4
S62 •
ОТВЕТЫ К ГЛЛШ. I
[102—113
102. Сторона
рона основания и
104. Сторона
За
уголка должна
боковые рёбра
трсуюлышка
иметь 10 см. 103. Сто-
должны иметь но 10 см.
должна быть равна-
9 + 4| 3
105.
•= см.
Искомая
106. Искомая
108. 1) дг, ^2,1,
точка -г
точка —
2)л-,=^, *2 = -l;
3
8) х, %4,1, ^=5:0,5; 4) х1=х2 = -^', 5) не имеет
вещественных корней.
НО. ЛГ|== — 3; jca = 8. При графическом решении
ищется точка пересечении графика функции у = <р(х) и
параболы д/а = 7дг-|- 25.
111. Если Ьг — 4ас^>0 и я^>0, то функция определена
на всей числовой оси, кроме интервала л,«^л:<л'2, где
д:! и х3— корни трСхчлои. При Ь2 — 4ас^>0 и я<^0
функция определена только при а*, <^ х <^ х2. Если
Ь% — 4яс<^0 и а^>0, то функция определена h.i всей
числовой осн. Если Ь2 — 4ас<^0 и я<0, то функция нигде
..„ ~ Наконец, при /;а — 4яс = 0 функция
всей числовой оси, кроме одной её
х = — ,т£, если я^> 0, и нигде не определена, если а<^0.
112. /(*+1) = 2л:2-|-блг+З.
ИЗ - гь,,~. ^-\-2х-\-с
не определена
определена на
будет
точки:
Пусть
; = ///, где m — любое лейстип-
дга -f- 4x -f Зс
тельное число, тогда (/я—1) х*-\-2 (2т — 1) х+с (3/л—1) = 0
Аргумент х тоже должен быгь действительным
числом, следовательно, (2/// - 1 )i _ {т _ ,) {;imc _ f > > 0 „ли
(4--Зг)ш» + 4(г— 1)и-(г-1)>0; по так как т-
любое действительное число, то это
очередь справедливо лишь при'условии,
неравенство в свою
что
отсюдд
{
4 —3с>0,
4 (с— 1)»+(4 — Зс)(с
0<с<1,
1)<0;
US—I39J
ОТВЕТЫ К ГЛАВС 1
3G3
,, д> = — — наибольшее
значение,
115. 1) При jc==— 1,
при jc = 3, у = — 3,6—наименьшее значение;
2) при аг = —1, у = — 2 — наименьшее значение, при
jc==1, y=z2— наибольшее значение.
116. 1) JC!5sl,4, остальные корни мнимые;
2) *, = 1, *2 = — 1. *а = 3:
3) Jf|=4, ЛГ2 = Л?8=1;
4) дг,=—1, остальные корни мнимые.
117. 1) 1,465...; 2) =5г 14,26 см; 3) почти 6,8 ел.
118. г— 10 ел. 119. pi/=1748.
120. х обратно пропорциональна v.
121. х прямо пропорциональна v.
122. В условиях задачи количество выделяющегося
вещества обратно пропорционально объему растворителя.
124. 1) при дг=1, у = 4— наибольшее значение,
- 4
при х = 5, у= ■? наименьшее значение;
2) при х =—1, y = j—наибольшее значение,
при jc = 2, у= — 2 — наименьшее значение;
3) при х = 0, у=1—наибольшее значение,
3
при дт = 4, у = — -= наименьшее значение.
I 8. лг, =5= — 0,5; д'а=1; *8 =*= 54,5.
129. 1) у = х; 2) у = ^; 3) У = ^:
4) у = ± Vx~=\-t 5) ;/ = !; 6) .У=~р;
7) y=l±VxT\; 8) ^ = ±1 х*=1.
132. Данная функция обратна сама себе.
133. Кривая, симметричная относительно прямой у = х.
134. Если у1=хп, у2= {/*, то
|0<л:<1 |1<х<оо.
п>1
й<-1
139. х1 = \; хг — 2.
У\<У*
У\>У*
У1<Уг
У\>Уг
У\>Уг
У1<У*
У\>Уг
У\<Уг
364 ОТВГТЫ К ГЛАВЕ I
[I40—IB9
МО. Точки пересечения: (1, 2); (3, 8); (з, 4Л ;
(—1,5, 0,3). 141. п = 15.
145. Область определения функции y^=z\gx*—
совокупность всех действительных чисел, кроме х = 0;
область определения функции y = 2\gx— совокупность
чисел, бблыинх нуля. Тождество справедливо только при
х>0.
I - О У = к ^; 2) ^=-2+10*-'; 3) у**2*\
147. 1<дг<3; <у=1+2'-*а.
148. y = \oxa(x±V*=T). 149. у=*я*~Гя .
J50- Л«„м ^ 0.8 при х ^ 0,4.
153. Область определения (0, тг). Площадь будет
наибольшей при * = ~.
2
85 . 1) И=1, 7 = 4^. 2) Л=5, 7=тт; 3) А=4,
8
7 = 2; 4) Л = 2, 7 = 4п; 5) Ия1, 7=|; 6)^ = 3,
Т—16тт
Г=ттт.
155.1)2;^;!; 5; 2) 1; 4п; 1; ^1; 3) j; 1;
i;-|;4)i: Gn-^;^.
658. л: = Я sm(^ +£ + «'"<*£) .
157. ^ = sln L-^JLfarcsln.y, — arcsin^) -f arcslnj'0l;
y-— 2*(*i--fo) * t arcsln j/n — tQ arcsln у,
aicsin.)», — arcsln^o* ™ач ti — tn
ISQ. x=R(I — cos<p) + a— Va* — A?3sin3<p, где <p =
= 2ттяг.
159. fl = — 2gin^g или, так как sin 0,5 =5r 0,48, то
a ^ — 1,04; b=\ и с = — ~.
111—166] ОТВЕТЫ К ГЛАЫ1- 1 3Gb
161. 1) ^ = 0, jcm=^±1,9; 2) * = 0; ±4,5; ±7,72;
далее со значительной точностью можно считать х *&
^±(2п + 1)п (я>3), 3) *^0,74; 4) ^=0,9, *а = 2,8Г>,
х8 = 5,8; 5) корней бесчисленное множество; л-, = 0, хг
немного меньше -£ , хг немного больше 'у и т. д.
162. 1) 2тт; 2) 2тт; 3) 24; 4) 2,
163- 1) 4v=lyr2sln^+-j);
2) y=c-y/^5-\-2\r~^s\n(x-\-^0), где <p0 = arcsin-^
1
5 + 2» 'л
165 . 1) Период ~. Па интервале [0, 2л] функция
может быть представлена так:
^= sin*-}-cos л: на интервале I 0, -— ,
Г* I
у = sin х — cos х » > IY' к '
I 3*1
д>=—sin л:—cosj:> > Иг, у I,
^=1 — sin лг-j-cos х » » у , 2тт L
2) Период 2тт. На интервале [о, 2гт] функция можег быть
представлена так:
y = tgx на интервале
у = 0 » »
^ = — tg х > »
д> = 0 > »
166. 1) Область определения состоит из
бесчисленного множества интервалов вида (2ттл, (2it -f-1) тт), где
/1 = 0, ±1, ±2,...; ни чСтнаи и ни нечётная;
периодическая, период 2тт. В интервале (О, у] синус возрастает
от 0 до 1, следовательно, lgsinJt, оставаясь
отрицательным, возрастает до 0. В интервале (у, тг J синус убывает
or 1 до 0, следоиательно, убывает и lgsiiiA:. В инiepw.it;
366
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ I
(168—179
(тт, 2тг) синус имеет отрицательные значения,
следовательно, функция lgsin* неопределенна. 2) Область
определения состоит иэ отдельных точек вида х = -у-\- 2ття,
где я = 0, ЧМ, ±2,... В этих точках у — О. График
состоит мл отдельных точек оси абсцисс. 3) Функция
определена на всей числовой оси, кроме точек дг=тгя, где
л = 0, ±1, ±2, ...
168. ю = 2 arcsln —.*
2п
.nirtr g(/cos<p-f-frslny) .
dIt lK p -f /a -f a (b cos <p - / sin <p) *
169. у
l70.a = arccos[.-lffi^^-.].
«.. 1 r ] + Arcsln
171. 1) y = ± Arcsln £; 2)y =
x-\
1 —Arcsln
X- 1
3) ,y = ±cos^ (0<д:<2тг).
172. у = Arcsln Ух— л:2 — 2. 173. 1) — 1 < л: < 1
2) 0 <лг<1; S) 0<*<1; 4) — 1<лг<0; 5)0<\к<оо
6) —-оо<х<0; 7) 0<д:<оо; 8) —оо<дг<0
9) _оо<аг<1; 10) 1<><со.
174. 1) —!<*<!; 2) 0<*<1; 3) —с^<л:<оо
4) определена всюду, кроме х = 0.
175. Период 2тт. График см. на черт. 72.
arc sin(5lnx;
Черт. 72.
'^®" Утил ^ 15» Ляпм^5»'^! функция переходит от
возрастании к убыванию при х = — 2. Нуль функции:
X Ъа —3,G.
181—202] отпг.ты к главе и 867
181. ,y = .^(2G7— 10* — л:2), или у = — 0,0312л;2 —
— 0,3125* -f-8,344, пули функции: xl ss — 22,09; х2 ss 12,09.
Чтобы получить корни с точностью до 0,01, надо
коэффициенты в.»ягь с точностью до 0,0001.
182. xt =s 2,GO см; х2 as 7,87 см. \
183. х^— 2,3; *3 = 3.
184. хх s= 0,59; х3 =s 3,10; дг8 as 6,29; xi as 9,43; вообще
X =5= ЯТС (Я > 2).
К главе II
188. 11т ип = 1; л ^ 4. 187. 11т «я = 0; л > —■= .
188. «=19999.
1*19. 1111)^ = 0; /i^s 1000. vn то болыиа своего прс-
л-»оо
дела, то меньше, то равно ему (последнее при л = 2Л-|-1»
где k — Q, 1, 2, ...).
190. limr//l=l; я^14; я^1о&Д.
/I +00
191. п^>у |/ —-—, если е^-тг; я = 0, если e>-g- •
192. /z^s—— ■■ ; последовательность убывающая.
193 '■ Птт»я = 0; г;я достигает своего предела при
/1-ЮО
л = т-|-1, гак как, начиная с этого значения п, г//| = 0.
194. а*\ 3. 195. 2тг/^; 4R\
196. Обратная теорема справедлива.
198. г<ТА4 + е — 2; г <0,00025.
199. $<2-П 200. «<1.
201.
202
^ а: I < ^ drcsiu V 0,005 as 0,142.
'. Л/ ^ l/ -j- — 1, если е < 1; Л/=0, если е> 1.
3C8
OTBFTbl К ГЛАВЕ II
|2ОЗ—240
203. W> |/"i—з, если е<~;М=0,еслн e>~.
04. //>—^—.
205. ut—положительная бесконечно большая величина,
если разность прогрессии </>0, и отрицательная, если
</<[0. Для геометрической прогрессии утверждение
справедливо только тогда, когда знаменатель прогрессии но аб-
солюгной величине больше 1.
~wm" им + 2 ^ ^ 10< - 2 *
пП7 3000 . . 3000
1
01.
ОН. 8<^ = 0,01. 209. log, 0,99 <*< log, 1,
210. Л/>10"=10,0°. 211. sin*, cos* и все обратные
трнгономет рпчеекпе функции.
212. Ист. 213. 1), 2) и 3)—нег; 4) —да.
Oi _ I yf ^ 1
2.7. „„(^!)\
<*) ,v=
220. 9.
22 . 0.
228. со.
232. 1.
230. HL .
240. — 1.
2 -1
1 1 Н-ЛГ2 "
221. 1.
225.-1.
229. — 1.
3 . — 1.
237. 100.
241. 4.
.24г. -1.
222. оо.
226.-1.
230. 0.
23 . —1.
238. 1.
242.1.
223. 0.
227. G.
231. со.
235. 1.
239. 0.
243. 1.
246—284] отвгты к r;i.\BF и ' ОУ
I 1 1
246*. 1. Заменить, чк
{а— \)л я —1 п
247. т/. 248. 0. 2 9. 0. 250. 0.
251. 0. 25 *. Сравнить ин с суммой членов
геометрической прогрессии
-у-t -у" • • • • » уя ■ • • 25о. Да.
257. /(Аг) = 9ттнрн0<л:<5;/(.г) = 4тт при 5<*<10;
/(jc) = тт при 10<л;<15. Функции разрывна при х = 5 и
при jc=* 10.
258. л:=2; д:=—2.
259. л: = /<тт (Л = 0, Чг1, ±2, .. .).
В интервалах 1(2Л + 1) тг, (2^ + 2)ttJ (k — 0, ±1, ±2, ...)
функция не определена.
260. Функция разрывна при х = 0.
1 1С
261. -7. . Нет. При Л-—+0 справа /(*)—*-т> при
л:—>0 слева /(х)—►—гт •
*
263. Функция разрывна при а* = 0.
264. 0. 2 5. Нет. При х—- 1 справа у —> 1, при
л:—► 1 слева у—► 0.
266. При х—>0 справа у — *1, при х— *0 слева
д»—►— 1. 267. Функция разрывна при jc = 0.
268. При лг == 0 функция непрерывна, при х^О
функция разрывна.
269. Нее три функции разрывны, копа х равен
целому числу (положительному или отрицательному) или
пулю.
275. vn высшего порядка малости. 276. ип и vn —
эквивалентные бесконечно малые. 278. Одного порядка.
279. При х = 0 порядок малости различен. При
lT
x=^z~- by и Дд; жвнвалентные.
280. Нет. 281. Третьего порядка.
282. 1) 2; 2)1; 3) 1; 4) Ю.
283. x = ±-yf£?. 284. а =*.
24 Г. Н. Ссрман
J70 ответы к главе и [285—348
285. 0. 28S. cv*. 287. 4. 288. 4-.
4
289. 3. 290. -Л=. если **>0; оо. если х = 0.
2} х ^
291. -j. 292. ^ • 293. Один корень стремится
к — ~, другой —к оо. 294. 0. 295. 0.
296. 0. если х—»--|-оо; оо, если х—►— оо.
97. -=-> если х—»-4-оо; —оо, если х—►— оо.
298. ^Г£ -, если х—»--|-оо; оо, если х—*■ — оо.
299. 0. 300. 1.
301. к. 302. j. 303. ■}. 304. \<г2.
305. О, если п^>т; 1, если п = т\ со, если п<^т.
306. у. 307.1. 308. Р-Ц^. 309. ±.
310. ^. 311. оо. 312. —-|. 313. 1.
314. 4.- 315. I. 316. — -. 317. Нет.
4 tt Л
318. — 2 sin а. 319. cos3 л. 320. \^. 321. 2.
322. -U. 323. 1. 324. 6. 325. ~.
4/2 «
328*. . Умножить и разделить на sin — .
327. i. 328. -. 329. **. 330. е\
331. А 332. 0. 333. 0. 334. 1.
335. оо. 336. е. 337. 1. 338. -. %
а
339. а. 340. 1. 341. 2. 342. 1.
343. а—Ь. 344. Г
3 5. О, если д<^1; —, если а=1; 1, если а^> 1
3 6. —1, если а<^1; 0, если e=l; i, если о]>1.
348. 1) -г-; 2) y'» 3) эквивалентная бесконечно малая;
348—376] ответы к главг ш 371
4) эквивалентная бесконечно малая; 5) 1; 6) эквивалентная
оесконечно малая; 7) 2; 8) 1.
349. Из того, что ломаная стремится слиться с прямой
(в смысле сближения их точек), не следует, что длина
ломаной стремится к длине отрезка.
350. а. 351. а; ™.
352. 2тт (/?+г). 353. И отрезок и угол имеют
порядок y*
358. lira thx=l; liin thjc= — 1.
359. *1) 10,25; 2) ЗО.гГзГ 16,125; 4) 40,4.
360. 1) 10,16; 2) 20,12; 3) 1,02; 4) 4,04.
361. In 1,01 sfe 0,01, In 1,02=^0,02, In 1,1 «s 0,1,
In 1,2 =5= 0,2.
К главе III
362. a) 5; 6) 5.
363. а)г>=15 —; б) г> = 33—; в) 3(r, + /2)—.
' MUH * ' MUH ' ' W I Я' MUH
36 . 75,88; 60,85; 49,03; 48,05.
365. 53,9 — ; 49,49—; 49,25—; 49,005-^-;
• сек' сек' ' сек' ' сек *
v6 = 49,0—; г»10 = 98,0—; t> = 9,8/ —.
0 ' сек' 10 ' сек' ' сек
366. а) 4—; б) 40—; в) 4/ —, где / — длина от-
' см* ' см* , см*
резка AM.
367. 1) 95 — ; 2) а) 35—; 6)5 —; в) 185—.
см' ' ' см ' см* ' см
368. 1) 1,00201; 2) 1,013.
369*. Внести среднюю угловую скорость, затем путём
перехода к пределу получить искомую величину. (См. «Курс»,
п° 50.)
373mk = jr—t где k — коэффициент линейного
расширения.
374. А'=$£_^>. 375. 1)56; 2)19; 3)7,625; 4) 1,261.
37 . 1) 4,52; 2) —0,249; 3) 0,245.
24*
372 отлеты к гллце ш 1377—400
377. a) 6,5; б) 6,1; и) 6,01; г) 6,001; lim ^ = 6.
378. /'(5)= Ю; /'(-2)=-4; /'(_-|)=_3.
379. 3; 0; 6; ~. 380. *, = 0; *a = 2.
381. Дли функции /(лг)=ха — не будет.
3 .1. 383. 0,4343. 384. 2,303.
385. Предел равен /'(О).
3 -v .. 2 1
387. 1) 5*'; 2) И)*»; 3) j х 7; 4) -ф=; 5) —
1
0-|: 7)_1: 8)-^; 9) 5£; .0) 3.5*<;
6
11) лг"; 12)-^13)-^; 14)-£; 15)-4«
388. 1) 0; 2) 6; 3) —4; 4) Л, = 2, As3 = 4.
389. (1, 1); (-1, -1). 390. 1) (0, 0); 2) (1, -1) .
391. Me может.
392. a1 = arctgy; аа = arctg—.
393. ах = \; a, =r arctg -^.
394. arctg3. 395. ^=12*—16; x-\-12> —98 = 0;
3
linil V ——?
2
подкасательная раина ir; поднормаль раина 90.
о
2
3 S. При л: = 0 и при х = -тг.
3 7.
1) (2,4); 2) (-А, -I); 3) (-1,1) и(|. ^).
8. (2, 4).
400. у + 4л:-f-4 = 0; By—2х-\-\б = 0; подкасагель-
иая равна ~^\ поднормаль раина —Ь.
404—414) отш ты к гллш' m 373
40 ■ Подкасательние ранни соотпетстпенно: —; ^—
Зл*
л — 2х\ поднормали раины соответственно: —Зл"п; —.Ц—
л»
1
405. у=*(х-$); у-у0=-2^{х-х0).
408. 1) 6л: —5; 2) 4л:8 — л:а +5л: — 0,3; 3) 2ах-\-Ь;
-.1 я , 2л: 2ма 0. 8 ,/- ,7 в/- , 1 1
9)~~^; Ю)—Г5'"4-7,28/^--^; ,1) 2л—1;
12) З.Злг2/* — 1 + —U=; 13)3f3 + 2v—1; 14)6)(а —л:);
£. \ X
407. /(1) = 1; /'(0 = 2; /(4) = 8; /»(4) = 2,5;
/(с«) —Зл« —2|в|; /•(в») = 3—yiy.
408. /(-1)=-5; /'(_1)=_8; /i(2) = |? «
40 .13. 411. t) 4л-я — Зл-3 — 8л-+ 9;
2) 7*в—10л:« + 8л:8—12л:а + 4л* + 3;3)—_Ц=(1 +1Л .
. 9 ;Ул*+ Юл: ? Я~+ 36t ?/л*
Н ? - ^W1 " ; 6> 2л:(3л:« —28л-2 + 49);
3 jj/л*
7) 1 +1^2 +Уз + 2 У^ + 2 1^57+гт^бу + зл: УТ
2\~х
1 " "~(7="1?* *W" (1+*»,»' (f -1)» "
374 отпеты к ГЛАВЕ Ш [41В—458
415 *4-2t* + 5i>»-2 -|В ad-be
417. -,^+1 + 2*-3*э. 418.*$^.
л no Зха JBOO 2'"tl
24 3~2' 425 W^»-*8)
49R 1+2-У-т-Зл:а-2лгЗ-л:* «27 6л: (1 4-Зл: - 5л*)
428. -5±m-
«i (я -f- от)
429 "2^2К-* - b)(x -c) + (x- c)(x - я) 4- (.у - я)(лг - b)\
(л: — a)* (jt — b)* (x — c)*
430. /'(0) = 0; /'(1)=C.
431. Г(0) = П; Г(1) = 2; Г(2)=—1.
432. Г(0)=-1; Г(—1)=1.
433. 5'(0) = ^; 5'(2) = ||.
434. У(1)=1С; y(a)=l5a» + jjj—1.
435. р'(2) = -§-; р'(0) = 1. 36. </(l) = -^±i.
437. г'(()) = 1.
438. а) /, = 0, f2=8; б) /, = 0, *а = 4 и /8 = 8.
439. 181,5-103 эрг.
0.(0=13^. 441. а = 2тт^.
сек сек
. (о = (2а/ — ^^*» скорость обрятится в нуль че-
рез *=-^сек. 443. 23я. 444. £>= —-1; с=3.
445. V 0); (1, 1); (2, 0). 447. (1, 0); (—1, '—4).
448. у = 2х — 2; ^ = 2^ + 2.
449. Зх-\-у-\-6 = 0. 50. 2лг—<у4-1=°-
451. 27л: —3,у — 79 = 0. 452. 2л:—д>—1=0.
53. 4л: — 4у—21=0. 455. 3,75.
57, х-\-25^=0; х+у=0. 58. (0,1).
450-488]
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ III
JTI
459. у=х. 61. v-v0= -2У-*-^ •
(Г+^Р
2-г0
d-h^'
^0 ^ЛГ0 ' (1+*<[)'
463. 1) 4*8 — 3s*(a + b + c + d) + 2x(ab + ae + ad +
+ bc-\-bd-\-cd) — {abc-\-abd-\-acd'\-bcdyt 2) 8л: (лга -J- 1 )8;
3) —20(1— х)19; 4) 60(1+2л:)з»; 5) — 20лг(1 — х2)»;
6) 5(15*2 +2*) (5*8-[-лг2—4)4; 7) 6(3л:>—1)(лг« —лг)»;
8)6(14д;+р)(7^-г+6)в:
9)4(3/2+^)('8-,Т+з)8;
10)
4 (ж 4-1)
П)
5(л*4-2лг— 1)(1+лга)<.
(лг-1)»» "' (1 +лг)0
12) 24(л:2 + лг+1)(2л:8-|-Зл:2 +6л;+1)8.
464.
66.
467.
469.
471.
473.
475.
477.
478.
(.* + 2)(* + 4)
1-/2
2 х(1 4-1 2ж)а
4
465.
(3 — t) ft
(i -1>*
3j/4^(l + J/2i)«-
4(l-2)/1)8
4(2лг-1)
~(j^-Jt-f-J)3'
2*
"s J/(i 4-*¥'
3-лг
468.
470.
472.
2У(Г—лг)а'
— £±1235
я» /а2 4- v*
2
(1 — vp+f
x
474 ,^_t^.,
^■^« .. / -. 1Л HUT I I, ,
У (1 -jc« — jty»
лг(лг24-2я»)
У^ + я^
47
15л:
3j/^-]/
80. у (2) =
VT
82.
8
1—со$х—хъ\х\х
(1— cos л:)» '
27/^T27'
481. cos*—sfnJc.
83 -*-~sln jemsj:
479. и'(1)«=9.
X1 СОЪа JC
484.
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ Ш | 4—328
ycos-f. 485. (acosa~slna)(-8—-J^J.
on 1 0— sin x -f- cos x 4- a (sin a — cos a)
ISO. ■;—: -. Of. :—; ;——- .
1 -f-cosf 1 -f-sin 2x
.QO (1 -f- tg x) (sin x -f- Д cos л) — x sin x sec' a
(\+tgx?
489. —sin2л-. 90. tK8Jtsec2Ar.
491. — sin8 x. 92. f sin 2x (2 — sin л-).
93. tg« a. 494. 2*-^Д . 95. - 1^1?
ь cos» д: sin" 2a
496. arcsinx + — __= . 97. ■ *_,,.
1 1 — a3 2 (nrccos a)21 1 — Jt»
98. 2£££__S. 499. arcsin x. 500 '
J I—Jfi (.irOSin -V)2 ) 1 — A3
501. Sill A'-arctgA -f--*" COS A • а ГС tgA -j- ■ a.
сцо дг-f- arcccsjt'1 1 — л8 ело nrctgA . 1 a
. » i 1 -» ' Г1 I T ^
д>| J -дг2 . 2» x ' 1 + a»
504. 0. 505 I—. 508. — тг^-г*.
a) a»- 1 (1-h^
rn7 ] 1 — a» 4,- x arcsin дг ». 2дг дга
°U " ) (1 =^-fi ' ^щх~~ 0 +*3) (."ctiTF
509. 2.vl,R8x + ff3. 510. 2J££. 511. ^+1.
Bl2- «та- Б13.л.п,-,+.1п2|
514. sin д-In л: 4-л* cos л-In v4-slnx. 515. n—•
Rife 1-я In a Rrj 2 r;|Q 1 4~a* — 2a3In a
5Ю- л-и 517> -ж(1+1пд)»- б,В- л(1+^—•
519. *»-»(* In л: 4-1). 520. ' Х1Х
х \ 1 4-1п2дг
521. 2* 1н 2. 5 .10* In 10. 523.—^|.
524. 4~*(1— л- In 4). ' 525. 1О* (1 + х In 10).
520. е'(1+дг). 527. Lr*. 528. Lziid^zif.
Б2С—5G5J отпьти ь главе ш 377
529. /'v(cos jc— sin а:). 530. -r^J— (siruc — cos a*).
' sin* x * '
531. — si"*4-co8A Б32_ (in x -Din 2 2nf;
** * ' 1112 A
533. 3*» —3*ln3. r34. —Д=-. 535. #*(jt>4-l).
2} TT7*
536 2pr ЧЧ-7 2-10Чп10 сер е*{%-\?
539. x (cos a- -|- sin x -j- 2a* cos at).
5 0. 3 cos 3*. 541. _4si„*
Б42. 9 cos (За- -f 5). 543. L_.
2cos2^±-
В 4. —t-V,. 545. ' .
1 ~lX ) l-r-2tgAC0S*Ar
546. — e~\ 547. ' .
\ 2к-x*
548. 2 • 103*"8 In 10. 549. ^
f 1+2*-2a»
Б5°- гиг* 551. ^^4
1
_.»- C0S —
552. ctg a. 553 ~1.
554 2= . 555. ?£_
jtljca-4 **' (AJ-l)Jn3#
еИ*ТТ
555. - _. . 557. 24n2.cos(2*).
558. cos (sin x) • cos x. 559. --£££..
I COS A I
Б60' SrIIJ' 581' 3"П Г cos *'ln 3
62. — 12 cos3 4a sin 4a
563 _____ 564. 2
4 J tg-J-cos^* 0icrue2t| 1-4a»
565. 3sin3A-cosA--o8,n,-rlnfl.
378 отпеты к главе ш (866—563
566. *™У}Т*.
5 7 2х
3slri» {/l-f-Jt5- j/(l-f-xty'
n-arcsln4
FT —4л*
5G8. -^ . 569. 4(1 + sin» л-)8 sin 2x.
2 arctg —
570. ГТ^"* 57|и 4,n8sin**ctg*-
572. 2-.3-ln2.ln3. 573. {ax + b) {i+ ЫЦах + b)V
57 . л (1 + In sin Ar)"-1 ctg at.
575. "-1
2л*cos* (ж-fi-) j/l+tg^-f-1)
arccos л
\ 1 -~jt':,yrl — (.iiccosjc)3
1
576.
577.
(l-f-л-)! 2x{\ — л)
r*fO 1
л logs jc log;, (logb x) In 2- In 3-ln 5"
579. e
2xV\hx'
580. cos (e*i+8*-i).e*a+B«-i (2* + 3).
\ 1+1 jc/
581.
sin
4-
Vx (1 -f- \rx)% '
582. — 12.10'~"п4,и1п10.81п33л:со8 3л\
583.
arctg V 1^Ь^-(2-г-л*)|/*ПЬл5'
e^arcslnllnfc8-}-*3)!
(a8 -f- л") /l—ln'laa-fjc») *
585. (2ах + Ь)еУ1а(°хЧь*Ю
' 2 (ал3 + bx -f c) У in («л* -f to -f- c)'
386—612] ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ III 379
Ctg—X-
586. 4
12 j/ In» sin ^-i-3
587. — 3 sin 3x sin (2 cos 3*).
588. *+}
8 |/ (arcsln | x2 -f- 2л:)» V (1 — 2л — л*) (л8 4~ 2л)
589 ctgy^arc^^- 9x
' (1 -f^)j/|arctg(^ja*
590. 3sh2xchx. 591. til a:.
594. 2sli2x. 595. sh (sh at) ch x.
596. -4^=. 597. **>* sh 2jc.
2 VchJf
BBB- xJ(inx)' 599. л:ch*.
600 т££=-~. 601. -JL_.
602. ' _. C03. j-JL^.
604. л-*3+,(21пл-+1). 605. л;* (1—lnjc).
606. Ji^.Wln»* + ln* + lY
607. *s'«*(cosJcln*4-s-~Y
608. (sln*)«»*(^ —slnjcJnslnjp).
—•{&)'№* + *&)•
610. (Injc^^ + lnlnjc).
611. * 2"(2 + 1плг).
v v ~ ' |*(*4-i) J? J
Л80 ОТШ'ТЫ К ГЛАВЕ III {683—637
613. (x*+\yb*[?£^+cosx\n(x'+l)j.
614. тт--
ШЭ" За(1-а<) К TF=Tf
57л» — 302* -f- 361 (* -Н Я |/^=~2
20 (а - 2) (а - 3) {/(а - 6?
617. i-l^sinA:) 1-e^l + clgJC-lj^;).
«.А 1 , Г 1 — arcsin х
У\ —х* ((arcsin л)а — 1J У 1 ■+■ afcsln jc '
619. С + *С*У. 620. £ г.
» *' AcosM-£+»J
*"■ WTTVWTW*'622" i+(^+4'-
623- (,I£SU- к ■ 4 ■ta2*<w«-А
625. scc>£. 626. L+21^
— 3
Gl Jti U-ы л)4
627. 2 sin ^- cos 2дг + -г c°s у s,n 2jf•
628. /»co,Jf(cosJC — sin8 a:).
62Э. ^"4°). 630. e~*> (1 - 2x In x).
x} x \ \ x)
632. — -.—j—-a.
1 -f-jc*
633. 8A-». 634. |*g.
A«R 1+J* ПОД 2(АСГЗА +Sin*)
637. |ctg^sln2^—I sin» £ esc» |.
638—6S9J ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ ill
638. — «<■"*+'«>
27а»*/(4а'-+. 2)8'
41. te-gj'+itK'tL
38 J
COS2 A J 1-f t^Jt-f tj;<JC
642. £2^f_2sin2*ln*.
JC
6 3. i±f-4
644. "cos ■* e 5. С°8ДГ
» 1 - лз sin* л 2 J siti x — sinfjc '
646. sin8 3* cos» ,5*. 647. хатЫпх
1 l-JC» *
648. — ±siiii22!!L£ !
2 2 ) T^T*'
649. 1+21/"л7+4Т/^^ a+i 7
8 VxVx + \xyx+Vx +Tx~'
650 Lr-. 651. 1,IJf-2sin[ 2Г1"1"^!
652. 2*-cos-*_ fi*o I
65 . '
хУ^-хЧр + Ух-л*)'
655. arcsin (In x) -| —-
У 1 —III» A
656. — scc'(L=J?\
657. — 2sir'8*
> 1 -j- Sill" A
658. — 0,8 (cos 2-Z±l — sin 0,8*)X
X(sin 2JLT^ + 0.8 cos 0,8лЛ
659. 10^(1+1^1ц 10 V
ответы к главе ш [660—688
660и ts2JCSiu>2jca
661. !—
(а2 4- 2jf-b2)drctg j-Lj
662. =J=. 663. * + 2
)^-i' "2/jt+av^d+Jtv a4-3)*'
664. *(Я + 91 J). 665. *Xn2x .
4V 1+» x 2V(l+sin2^
cce „ - . s 1 3a» -- ctgAlncosA4-tKAlnstnA
666. За' arctg a' + y^. 67 ^^ .
68. " x~x
\ YTx'
669.
(1 - 4a)2
1
(^!Т^+аГС51п44
670. —-^U-. 671. '
672. W»**lnl0(tg* + ^j).
673. 2 sin x (x sin a* cos x2 -f- cos a- sin x2).
67 2sinJf
cos 2л- \ cos 2a
IT7fc 2 - За - a" , /1 - x
0#0и 2(1 - a) (1 4-а2) К IT*5 ■
676. т^ъ. 677. 2* *!2j^i In 2.
678. /Щ.
лта 2(2со8эа+1) enn 1 „r i+*.
681. I3E2. 682. Lit!.
683. —cos 2a. 684.
V (a» - U»
685. (a2 + 1) sin а^« 686. е1-"" * (1 + a sin a).
687' il+<-%Z*e-*<r- 6B ' W*"*-
689—709] ответы к главе hi 383
-V7
689. 9A2arcsinA. 90.
41 ж К о+,-»*)»
691. * 692 <cns •* — s<n *) (g*+g~*)
} 2 -}_ 4jc — я»' * ex cos a -f- *-* sin a
693 «""Ctg А 69Л 8ttl (A — COS A) •( 1 4" Sin A)
) (1 +A2)8" " COS»2 (A — COS A)
695.
69 .
697.
698.
ex sin a cos8 a (1 -|- ctg a
54 f x*
551
У^л
(9 -f- G {/»">
1
4-4**4-1
^arctgKl-fin еде
-3tgA).
+3)
(2a 4- 3) |2 4- In (2a 4- 3)J ) 14- In (2a 4- 3)
699" {ex + e-xf l2* («* + *'*) ~ («* " о"*))-
700. -,n (1 + 8,n x)
701.
Sill2 A
40
2a-3) 1— 4a»
702. *5+1
*M*"+1)"
703. ■*■
У 1 - 2a - a2
704. JL- * +dg*.
705.
A 1 -A»
(1 4- 2Л?) Sin A 4- A (1 4- A2) COS A
\TTx*
(a2-32a-73)(3-a)3 ,n- 3^'(2 4-)^)
706. i«--«~-'«MPjzjr. 707. -,
2(.+ «.v*+a ,„• „+Л,1?Я
д?»-агс!8х4--|Пд;4-1
708. а*-т£.)'—
709.
1 A
1
CO!»6 А *
ЗЯ4
ОТВЕТЫ К 1Л\В1' III
[710—734
7|П еv arctg х Till ■* 5
7IUe ~~f7rf~L , + v + (T + *WB*'~~i^
,хгз-2ж—зж» . з I
"[ 1 — л" L'* •" > TZT^aiccosJc]■
7|| (1—-у8) 3jc-iCosjcf3—2дс—Зж8
(arccos ж)3
712. 41 (x* + (*)\
713. (arcsln*)2.
71 .
716.
e-*-\-e*'
1
jt°-f-l '
715.
l
aew + ber***
717.1
1 -x
X N
2rtn-T
719.
720.
721.
8«*4-|0r + 20
15(^+4)^ (*_5)2jA» + 4'
1
jc4 + Aa_|_i-
2ял«-1
— rzn -i- i » есл" я — чётное число, и
2лж«
, если л — печатной число.
!-*1(Аа»+1)
24ж:>
722
726. l^ ГГр» *-"""*' и c-^-f.
1
727.
3(s»-l)*
729.
2) х — х3
730. а (х) = -г, *_-,.
х ' jc|1+liia(jc)|
731. (АгсьИлг)'
> i+ж» v } ж»-1
(Arcth*)' =
1-х»"
732. Равенство sin х =а 1 — cos x не является
тождеством; его нельзя почленно лнфференцнронать.
734. y—/{x) = s\n2x.
735—7871 огйнгы к гллш. ш 383
733. v = 4- Г^ЗсГ 7 .—-i.
' — 4
737. -»*. 738. - /Z.
739. 4*=*. 7 0. 3fl'cof+^sl"\ 741. тп^.
j'2 — аж 2.ycosx 3(1 — ул)
742. -*_. 7 3. »-*У>«У . 744. -,*"£ + Г>
745. _L±JJJtat^o 7 . _i I. 747. /-.
7дв sin у 7A9 .У cos * + sIn (* — v>
' 2sill2>' — Sin J/ — ЖС03.У ' " Ы11(Ж — у) — Sill Ж
750.
1+.У3
У^'
752. Касательная: д/—y0 = cosx0(x — х0); нормаль:
y — VQ = — sccx0{x — x0).
753. Касательная: х0(у—у0)=х — х0; нормали
(У—Уо)+Хо{х—х1)) = 0.
754. Касательная: х-\-'2у=-4а; нормаль: у = 2х—'da.
7ке ir хо № ~хо) . ч
/ЭЭ. Касательная: v—у0 = —гГ) гяу* — х0); нормаль:
У о (*-" — ■* о)
Жц Jdrt — Ж(,)
75 . * — .у — Зе-2 = 0. 757. -V 758. (l +*5-; l).
765. 2дг — д» ± 1 = 0. 766. arctg H. 767. 45°.
768. 90°. 769. 45° и 90°. 770. arctg 3.
771. arctg (2 )/2).
772. При нечётном п: касательная: 1—г- = 2,
нормаль: а*— Ьу = а2 — £2-
При чётном я: касательные: — ±т- = 2,
нормали: ах±Ьу = а2 — Л2.
784. &у= 1,461; </у=1,4.
785. Ду = 0,1012; ф» = 0,1; ^=0,9880.
7 . 4. 787. —2.
25 Г. Н. Бсрман
386
ОТВСТЫ К ГЛАВЕ Ш
«Ту =1,9;
[788—794
Ду —dy = 0,01;
788. Ду = 1,91;
^1 = 0,0052.
Ау
789. Д.у = 0,1; rfy = 0,1025; Д.у — г/у = — 0,0025;
^=^ = -0,025.
Ау
790. Лл:=1
Ду=18,
rfy = ll,
Ду— rfv = 7,
*=^ = °,39,
791. Ду=*1,3;
Ау
0,1,
1,161,
1.1,
0,061,
0,0526,
dyssU;
0,01,
0,110601,
0,11,
0,000601,
0,0055.
Д.У — rfy =5=0,2;
792. а) ф/ = 16, ^^ % = 5,88%;
6)dy = 8, ^.Т^о/о==3,030/0;
в) </у = 1,6, ^^о/о==0,62о/0.
793. a) rfv = 4,8c,u2; б) </у = 6,0сл3; в) rfy = 9,6ota
794.1)^*; 2)^; 3) -±£; 4)-£;
5)
dx
1 х
-; G)
rft
Ъпх j' jc
= ; 7)
dx
— •
2 (я + b) | ж
(»i -\-ri)dx m
' q* ' JC1'1 2x у x
П) Г(2д; + 4)(^ — ) *) + (*2 + 4*+l)f2* — ;г^1<**;
2)*Л
»2)~(|^; 13) ц2^; 14)3(l+*-^s(l-2*)^;
is) |^^ 1G>5'nKi!^
17) -2-=bln2^v; 18)--^;
2 sin -„-
780—814] ответы к главе hi 387
ЮЛ (■*'-- 1) Sin ДГ + 2.Г COS ■*,,„.
iyj ___ ax%
20) f ' ] 2,arltgfV-
\2) dicsinjt > 1-х3 ' !+■** /
*> (ггЬ-гЬ)т' 22) (3"',4-1»3+^~
LW 795. 1) —0,0059; 2) — 0,0075;
3) 0,0086; 4) 0; 5) 0,00287.
796. Ду=^0,00025, sin30°r=5:0,50025.
797. 0,00582.798. —0,0693. 799. do = — -£SMdy.
800. 0,3466. 801. sin 60° 03'= 0,8665; sin60°18' =
= 0,8686. 804.0,995. 805. arctg 1,02^0,795;
arctg 0,97=5:0,770. 806. 0,782. 807. 0,52164.
808. а) Изменение длины нити: 2ds = ~-.df; б) пз-
мененпе стрелки провеса: r// = ~</s. 809.
Погрешность при определении угла по его синусу: &xs = tgx• 1у;
погрешность при определении угла по его тангенсу:
ДлГу. = y sin 2х• Дг (где by, \z— погрешности, с которыми
v Д-*Ч 1
даны величины у и г). д-* =—г~»' точность
определении угла по логарифму его тангенса выше, чем при
определении но логарифму его синуса.
810. 0,30/, „„. ,) dyss (2Р + 4* + 7КаР + 2)*
' а 3) |(^-f-2^-fl)(^ + 2^ + b)J3
2) ds = — -^ sin ^-=^ rf/; 3) dz = — </s;
,, . 21n3 rf.v
4) */v =—; Г-П-;
7 i_ sin 2* *
3lut*'\n*tgs
5)ds= C4«-8)iftt 6)^^^^;
2) ДО —3u-J-l C()s2*
813. Непрерывна и дифференцируема.
814. f(x) непрерывна всюду, кроме точек jc = 0 и
х = 2; /'(х) существует и ненрерымна всюду, кроме
точек д: = 0, 1, 2, где она ие существует.
25*
388 отш'ТЫ к главе ш [815—847
815. При л: = /гтт, где k — произвольное целое число.
816. Непрерывна, но нелнфференцпруема.
817. /(0) = 0.
818. Непрерывна, но иеднффсрспцируема.
819. Ду и Ajc—величины различных порядков малости.
820. Непрерывна, но иеднффсренцнруема.
821. а. 82— атп'К
823. Абсцисса изменяется со скоростью vx =— 2r<o sin 2'f;
ордината изменяется со скоростью vy = 2гшcos2'f.
82 .Скорость изменения абсциссы vv = v(\ -}-cos<p);
скорость изменения ординаты v = г; simp ('f — угол между
осью ординат и радиус-вектором гочкп).
825. -§* ъ -0,000125/,.
828. 2-^- в точке (3, С) и — 2— в точке (3, — G).
сек. л ' сек.
827. 2— d точке (3, 4) и —2^- в точке ( — 3, 4).
С€К СсК
Р28. Б
точках
(».¥)-(-". -Vе)
СМ п CMZ
9. 4г> — „ 2яг> — 830. 2ти/ и 2-nrv.
сек сек
83f. 4nr3t/ и 8тгт 832. При jc = 2тгЛ ± -^- и при х =
= 2ттЛ±у. 833. При л: = 2п/г. 8 . В -1 раз.
838. а) да, б) не г.
838. 1) *2—18л: + 9у = 0; 2) f = 4л:2(1 — *2);
3) / = (* — 1)а;
4) Ar = Arccos(l— ^^рУг^у—у2;
5) д,^1+■*-•*'). 8«9. 1) г = (2Л+1)тт;
2) f = l; 3) t = ± + nk; 4) *, = 1; f2 = —1.
840. --^-ctgy. 841. ~«gv. 842. ctg-|.
8 3. 2^1. . —l. 845. L.
nin COS <p — <pSifl tp p 4 1 -f-**
1 — 8in у — у соьу t {2 -f- it — r>)
848—886] отпп и к гллпп ш
851. О и т. 85 ■ Не существует.
О
389
1 3
853. -7г-. 859. 1) Кривые пересекаются в двух точках
под углами а1=аа = arctg vs= 87° 12'; 2) кривые перссе-
каются в трсос точках под у1ламн а, = оа = 30° и а8 = 0°.
861. Длина касательной: 7=
ЛГ=
cos t
•In у*
; длина подкасателыюй: Sr
; длина нормали:
.vctg у /
; длина
поднормали: S^v = [уtg-)-f .
88
8
C(>Sf
V
suit
У
9\\\t
, \y\gt\ и |.yctg/|.
йЬ . l^clB'l " l-Vte* | -
86S. * + 2y—-4 = 0; 2*—^ — 3 = 0.
867. 4^4-2^ — 3 = 0; 2* —4;/-|-1=0.
868.^ = 2; x—\. S9. 4JC-f-3y—12я=0;
Злг—4_у+б« = 0. 870. 0 = <p; a = 2?. 87 . —1.
875. 1) 0; 2) 0; | 3; — У'Л.
877.
879.
2
/iW
tgO. 878. arct -=-W2 = arctgyy.
p = ]/aacos2*-f-/>2sin3/; у = orctg (~ tg Л ;
гаигенс угла между касательной и радиус-вектором равен
ЧаЬ
(Р — «2) sin 2t~ *
880. Полярная подкасательиая: 5г = у-; полярная под-
._<*Р
</?
нормаль: Sm = j£. 883. j^-. 884. pin я.
885. \ 1-f с». 886.
Vr» — ж» j'
390 ОТПЕТЫ к ГЛАВЕ ш [887—92S
887> щ+х? „ад. /Г£1л „л„ Щ£ах.
Ь-х V ' 2х у
889. |/i4- — • 890- Kl+cosa*rfA:.
891. £±£1?=^ 892. г. 893. 2л sin ^-.
894. За cos t sin tdt. 895. a \ T+lFdl.
896. т; , вектор скорости направлен вертикально
ВНИЗ.
897. 101 2G=5=51 —:— , вектор скорости параллелен
гипотенузе прямоугольного треугольника, одни катет которого
горизонтален п равен 50 км, а другой нергпкален и ранен
10 км.
898. 14,03 км час. 899. 40 км\час.
900. Яш (sin а Н *_" 2а_ __Л. 901. 9,43 м\сек.
\ '21 P—IVsm*a) '
902. 1226 р. 90 к., если при вычислении пользоваться
семизначными таблицами логарифмов, и 1227 р. 40 к., если
при вычислении пользоваться пятизначными таблицами
логарифмов.
903. 1227 р. 50 к. 904. dx = — ^.
r ky
905. v = — km. 908. 2. 907. —24*.
9С8. 207 3G0. 809. 3G0.
910. 6 (5*4 + б*2 + 1 )• 911. 4 sin 2х.
912. -. 913. -^.
914. „ 5\п . 915.-.
(1 — х)* х
016. пя^+1). 917. 16а sin 2?.
"«■Т^ТЖ1- 921.^ + 20^,.
922. д' 923. *
1 (иа_л2)Я* /(l-b^)3"'
924. ■_+"?_,• 025. '"^Г".
4х\ х(а+Ъ xf 4*) *
826 -976] отвьты к главе ш 391
дне arcsln х -\- хЛ 1 — a* wn effl1 — 1) sin л-
J (l"*?}' ' " Т (1 — 11* *\V?xf '
Э28. **I (In * + 1 )з -|- JL] . 029. а"е°х.
930. (— 1 )"£?-*.
931. a" sin [ах + п |Л + ft" cos ( />лг + я у) .
932. 2"~» sin [2* -f (п — 1) у] . 933. в* (л: + л).
934. (- 1)- М (я > 2). 935. <- 1 )«"• J^'J..
936. (— 1)"—Г ^—4- ' 1
937. (— 1 )"/*![, Iz-rr т—nl .
1 ' |(лг —2)«+« (* — l)rt+ij
938. 4"-> cos ( 4x + я4V W9. - 4^,.
950. -££. 951. - 2'3"' + ^"' + 5>.
95.<|r^f. 953.-^^3.
954 У 955 j/|(r-i^ + fv-i)2l
rf2v
958 =/1=. 960. Г"Р+У)-ЗуУ» .
> tva-f-^2)3 A
962" "~9^Г- 963' — Т3 =
934. -4тт7. 865. ! .
в'sin*/ we%" я(1—cos?)3
966в ^W/s,,"»f' 967" °. так как *+У=а.
96в- «(cc'tLy 97L 16 */<**
972. v = 2* -4; а = 2. 973. -^«/<г«А
075. - 0.0015 м\сск*. 976. -1 фен*.
о
'9* отппты к гллвп iv [079—100
979. 1) (л:2 — 379) sin х — 40л: cos x,
п
2) ^£с*81п(* + Ц).
*-0
9 2. у-») (0) = 0; /2/1+1) (0) = [ 1 • 3 • 5... (2я +1 )]8-
9 . /2Я-1)(0) = 0; /2rt>(0) = 2[2.4.6...(2rt —2)]2.
5. i^L. 996. m(« — 1)(m —2) *■-»</*■.
9.r j x
•7. 4 (лг-f-1) (5л:2 — 2л; — 1) dx2.
4-х*• 2*ln 4 • (2л:2 In 4 — 1) dx2.
аЬ{а* — &)я\п2хНх*
(и'соь2х + Ь* sltia jr)« "
4 In x — 4 — 1пялг . -
■ -Л*2-
л»1 (In* л: — 4J»
991. — 4 sin 2xdx°.
9 2. i-^if^l-l-Stg2^2. 93.
4 у tg <p
/
_2
а3(/л?
L —
994. 1) d2y=^d2x-*g±?fidx2,
2) d2v = — 4scc22/rf/2.
995. 1) d2'y — c sz&z —sin zdz3,
2) d2y=»vc s (ax) In • rf2A: —
— a* In2« (яv sin я* — c#s ev) dx2f
3) d2y = aii In л [cos fl':' (й/ + 9t* In «) —
— •'8sln«'8Wlr.*]d/3.
К главе IV
I . В точке л:, = • возрастает; в точке л"2=1
убивает, в точке хл = — -х- возрастает и в точке л*4 = 2 убывает.
О
I 3. Убывает в точке х{ — -£, возрастает в точке
ч л*2 = 2 и хя — е; лг4=1—точка минимума.
I 94. Возрастает п точке лг, = 1, убивает в точке
л*а = — 1; л*8 = 0 — точка минимума.
1005—104В] ОТВЕТЫ К I71ABF IV 3911
1005. Убывает в точке л:, — у> возрастает в точке
*2 = — у; Хъ = 0 — точка максимума.
1006. 1) Точка максимума, 2) возрастает, 3) точка
минимума, 4) точка максимума, 5) точка минимума, С) точка
минимума, 7) точка максимума, 8) точка минимума.
1014. Три корня, принадлежащих соответственно
интерпалам (1, 2), (2, 3) и (3, 4).-
1021. При х—►() £ стремится к нулю, принимай не все
промежуточные значения, но лишь такую их последователь-
j *
ность, при которой cos ■=- стремится к 0.
I 22. 0,833. 1923. 0,57. I .1,0414.
1925. 0,1990. I 26. 0,8449. 27. 1,7853.
1936. (—со, —1) возрастает, (—1, 3) убывает,
(3, оо) возрастает.
1937. (—ои, —1) убывает, (—1, 0) возрастает, (0, 1)
убывает, (1, rv) возрастает.
' 3 I (-\, ""г") B°3paCTdeT» ("~у« Та) УСывает»
(\\ \ v '
V 18 * °° J П03Растае г-
1939. [ — оо, у) убывает, (у, — <Л возрастает,
(у о» a J убывает, (a, ^\j) возрастает.
19 9. (—оо, —1) возрастает, (—1, 1) убывает, (1, со)
возрастает.
I 41. (—оо, 0) убывает, (О, у J убывает, Гу, П
возрастает, (1, оо) убывает.
1942. (—оо, 0) возрастает, (0, оо) убывает.
1943. (— оо, 0) убывает, (0, 2) возрастает, (2, оо)
убывает.
1944. (О, 1) убывает, (1, е) убывает, (е, «х>) возрастает.
19 5. (О, у) убывает, (у, со J возрастает.
i е. (о,!-) убывает, (-*-, ^ возрастает, (у, 2я)
убывает.
394 ответы к гллвг iv [I047—I07I
1047. Го, -jr) возрастает, Г|-, у) убывает, (у, -£\
возрастает, (^, у) убивает, (у, 2тг J возрастает.
1048. Монотонно возрастает.
IC49. Монотонно возрастает.
I 50. (О, -j а] возрастает, [-та, а\ убывает.
1051. >Wc = 0 при х = 0, ymm = — 1 при л: = 1.
1052. ушкс = 17 при х= — 1, -умнн = — 47 при* = 3.
1053. ,yMJKC =4 мри х=0, yml„ = Y "рп * = —2.
1054. д;мш, = — 2 при х=— 1, >\,акс=2 при *=1.
,АГС У'21).г) 12
1055. ,yM:iKC =JTo- "P" х=-$-
1056. ^MJKc = J^c4 »рп * = 0, .ум,,,, = 0 при х = ±а.
1057. ^мин = 0 при х = 0.
1058. Монотонно возрастает.
1059. yvaHC = ^J/l8 при х — -, умш = 0 при * =
= — 1 и при дг = 5.
1060. Если яЛ<;0, экстремумов нет. Если оЛ]>0 и
о>0, то<ук,ня=2У«Л 'ф" Л==2~1п"« ' есл" а^>°" а<С°>
то умам= — 2\ аЬ при *=-!п —.
1061. 13 и 4. I 62. 8 и 0. 1063. 2 и — 10.
1064. 2 и -12. 1065. 10 и 6. 1068. 1 и S-.
1067. -g- и -1.
1068. Наименьшее значение равно (а-\-Ь)2,
наибольшего — нет.
1069. у " -|.
1070. Наибольшее значение равно 1, наименьшего — нет.
1071. Наименьшее значение равно (~)*» наибольшего—
нет.
•072—И14J ответы к главе iv 395
1072. J/9 и 0. 1073. i и 0.
1084. 4 и 4. 1085. 1.
1088. 6 и 6. 1087. 3, 6 и 4 см.
1088. 3 см, 1089. 1 см
J090. \/Av.
1091. Радиус основания = высоте = 1/ —.
1092. // = 2/?. 1093. ^^-см.
1094. Боковая сторона =^г > основание = у .
1095. Боковая сторона ==>-, основание = £.
1096. 2*{2. 1097. ^ ^
«5 о
1098. ^сек. 1099. |/^.
1100. 20 км;час, 720 руб.
27
1101. Через 1 vrj часа ss 1 час. 38 мин.
1102. Расстояние хорды от точки А должно равняться
j- диаметра окружности.
1103. —ъ
и -5- .
1104. Высота прямоугольника равна "*"/'——-,
где h — расстояние хорды, стягивающей дугу сегмента, от
центра, a R — радиус круга.
1105. Радиус основания конуса должен быгь в полтора
раза больше радиуса цилиндра.
1108. 4/?. 1107. -^ 49°.
1108. 60°. 1109. R\ 3.
"Ю- *R. III2. £+£=1.
1113. а \П и *КЪ
III ■ Площадь прямоугольника = — V площадь эллипса.
396 ответы к гллнр iv [1115—1139
II 5. Через точку (2, 3).
III . х = « — />, если «>/>; х = 0, если а<р.
1117. Сечение желоба имеет форму полукруга.
1118. 2тг| -H-^293°5G'.
1119. Длина балки = 13- и. сторона поперечного сече-
21^2"
иия = —q— м.
1120." Искомое значение равно среднему арифметическому
результатов измерений:
п
1121. И 3 км от лагеря. 112 . Па высоте -~—.
1123. Расстояние от источника силы 1Х равно
—^ —g ; иными словами, расстояние / делится искомой
точкой в отношении j/7]: у /2.
1124. 2,4 м. 1125. 2&+ |/^ " 2а + УГТ'
112 . • L __ [ L , 2Ji , где Л — образующая конуса.
Принять во внимание, что разность между расстоянием от
центра шара до вершины конуса и радиусом шара равна
разности между высотой конуса и высотой погруженного
сегмента.
1127. Р(/), ±р1/~2).
ИЗО. Наибольшая при / = 0 равна А. Наименьшая при
/ss 13 лет 10 мес. 10 дней равна 0.871А
1134*. ~. Так как функция есть константа (У = 0), то
чиаченне этой константы равно значению данной функции
при любом значении х, например при * = 0.
1135. тт. 1136. 0.
1138. Утк = 27аЬ ПрИ * = ir; У""" — 0 ПрП х — а-
1139. д/макс = -^ при * = £-, .Ум„н = 0 при д: = 0 и при
х = а.
1140—II67J ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ IV 3J7
1140. ^1КС = — 2а при х— — а, уыт1 = 2а при х = а.
5 3
II I- .Умакс=-4- ПРИ Х = -^.
1142. ^„акс=1 "Р" Х=\, ,VM„„ = — 1 ПРИ Х=— 1.
1143. _уМ11н = 2 при х = 0.
1144. yuaM=— up» х — 2, ^„„„ = 0 при х = 0.
1145. ymw=ze при х = е.
1146. yubKQ= у/7 Iipil Afrrs*'.
II 7. При с = 2 максимум.
1148. а=-4- *= —■/«-.
||СЛ 1 Г^Ч-л3
1150. <p = arccos— ; когда }х = -г1—.
1152. £. 1153. £.
115 ■ Выпукла в окрестности точки (1, 11), вогну га в
окрестности точки (3, 3).
1155. Выпукла в окрестности точки (1, -j-j, вогнута в
окрестности точки ( — 1, —~г) •
1156. Выпукла в окрестности точки (-$, —--jj,
вогнута в окрестное ш точки (1, 0).
1183. Точка перегиба (-j, — 2!L]. Интервалы:
выпуклости — (— со, -Т7- J, вогнутости — f -S-» °° ) •
1164. Точек перегиба нет, график вогнутый.
1165. Точки перегиба: (2, (>2) и (4, 200). Интервалы:
вогнутости — (—со, 2), выпуклости — (2, 4), вогнутости —
(4, ее).
1168. Точки перегиба: (—3, 294) и (2, 114). Интервалы:
выпуклости—(—со, —3), вогнутости — (—3, 2),
выпуклости — (2, оо).
1167. Точка перегиба: (1, —1). Интервалы:
выпуклости— (—оо, 1), boi ну гости — (1, ос).
308 ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ IV [1168—1203
1168. Точек перегиба ист. График вогнутый.
1169. Точки перегиба: ( — За, — —■ V (0,0), (за, -"Л .
Ишерналы: погнутости — (— с», —За), выпуклости —
(—За, 0), вогнутости — (0, За), выпукюстн— (Зя, оо).
1170. Точка перегиба: (Ь, а). Интервалы: выпуклости —
(— оо, Ь), вогнутости — (Ь, оо).
1171. Точки перегиба: (arcsin -—5—» в 2 /• Иигср-
валы: вогнутости — ( — у, arcsinl—r— J, выпуклости —
1172. Точки перегиба: (±1, In 2). Интервалы:
выпуклости— (— оо, — 1), вогнутости — (— 1, 1), выпуклости (1, оо).
/ JL з --\
1173. Точка перегиба: ( ас 2 ,4гв 2 J. Интервалы: выпу-
клости — (0, ае 2 ), вогнутости — (ае г , оо ).
1174. Точек перегиба нет. График вогнутый.
1175. Точка перегиба: 1-^-, е 2 ). Интервалы:
вогнутости— ( —°° *-т)' выпуклости — (^» °° )•
1176. Точка перегиба: (1, — 7). Интервалы:
выпуклости— (0, 1), вогнутости — (1, оо).
1181. e=—-j}, Ь=\.
1182. о= я-, Р=-~-. Точками перегиба будут также
точки (—2, —2,5) и (0, 0).
А
1183. При а«^ —— и при а^>0.
1192. Точки перегиба: (1, 4) и (1, —4).
1193.. Точки перегиба при / = -^-^-Лтт (As == 0, 1, 2,...).
1198. -4--. 1199. 0. 1200. 1.
1201. 4J-. 1202.1. £203. -4-.
14—1264]
1204. -1.
i a
,пт
1207. _±.
1 с
1а -р
d
1210. In у.
1213. 1.
1216. 16.
1219. —2.
1222. а.
1225. —1.
1228.п + * + с.
1231. 1.
1234. 1.
1237. 1.
ОТВЕТЫ К ГЛЛВЬ IV
1205. 2.
1208. —2.
1211. cos а.
1214. 1.
1217. 1.
1220. 0.
1223. у.
1226. 0.
1229. 1.
1232. 1.
1235. с\
1238.1.
1206. -2.««-*
п
1
1209. 2.
1212. 2.
'215. 11>у.
1218. 1.
I22J. о.
1224.^1.
1227. ^и
1230.00.
1233. е.
2
1235. «\
399
1240. хх растет быстрее, чем аххп.
1241. f(x) растОт быстрее, чем \п/(х).
1248. /(115) =5= 1 5201)90; /(120) =*= I 728 120;
°лг-1оо =г= 0,03 (абсолютная погрешность.
1249. у = -Ь-лг. 1250. л: = 0; v = 0
1251. .у = о. 1252. х = Ь; у = с.
1253. х=— 1; y = Lx—\. 125 . х+у=0.
1255. ^=л: -f- 2. 1256. у = ±х.
1257. д: = 0; ^ = 0; jt-f-;/=0.
1258. x = b; x = '2b; у = х-{-3(Ь — а).
1259. у + 1=0; 2дг -i-^v-1-l =0.
1260. лг=—L; v = *-J i-.
1261. л: = 0; д» = лг.
1262. jc = 0; #у = д:4-3.
1263. ;/ = -£*—1. 126 . у=2х±^.
400 отпьты к главе iv |1263—1277
1265. у = х, если f(x) не есть тождественная
постоянная.
1266. Если lim <p(r) = oo, a lim ф^/) = Л, го у = Ь—
/ -+10 t-*t0
асимптота; если lim (1>(<) = сч>, a lim у (/) = «, то ^ = в —
/ -+1„ t-*te
асимптота.
1267- х=— 1, у = 0. 1268. y=-jx + e.
1269. у=±у x—j. 1270. х+у + а = 0.
1271. х=2; 2x4-Sy-{-l=0; Ъх — 40у-{-9 = 0.
1272. Определена везде. График симметричен относи-
1 1 1
телыю начала. yMaKf: = у при х=\; умии = —у при
х = —1. Точки перегиба графика: ( —\ 3, j-J , (0,0)
11 [У^, ^7~}' Асимптота ^ = 0.
1273. Определена везде, кроме значений jc = 4hl.
График симметричен относительно оси ординат.
Максимумов нет. д»мин = 1 при дг = 0. Точек перегиба нет.
Асимптоты: дг = ±1, у = 0.
1274. Определена везде, кроме значений лг = 4;1.
График симметричен относительно начала. Экстремумов
нет. Точка перегиба (0,0). Асимптоты: дг= — 1, дг=1, у=-0.
£275. Определена везде, кроме значений х=1, дг = 2
и х = Ъ. умкс^ —2,60 при х = 2,58; ywm =s: 2,60 при
д:=5:1,42. Точек перегиба нет. Асимптоты: * = 1, л: = 2,
* = 3, _v = 0.
1276. Не определена при дг = ± !■• График
симметричен ОТНОСПТеЛЬНО ОСИ ОрДННаТ. <Умакс = 0 "Р" Х = 0.
Минимумов нет. При дг<^—1 возрастает, при а: ^> 1
убывает. График не имеет точек перегиба. Асимптоты: х = -Ь- 1,
у=1.
1277. Определена везде; график симметричен
относительно оси ординат. утш ——1 при # — 0; (1,0) и
(—1,0) — точки перегиба графика с горизонтальной
касательной. (zfci-=~, —Тог)—точки перегиба. Асимптот
нет.
1278—1285] отпгты к гллвг iv 401
1278. Определена везде; график симметричен
относительно оси ординат. д>мгкс = 0 при лг = 0, ywm =
27 1
= при Jc=db-T* Точки перегиба графика с горн-
аонтальной касательной (4;1, 0). При лг=:4;0,7 и
дг=:4;0,26 — ещё четыре точки перегиба графика.
Асимптот нет.
1279. Определена везде, кроме л: = 0. ^..„„ = 3 при
дг = —. Максимумов нет. Точка перегиба графика
( —"Ц~"» О). Асимптота дг = 0.
1280. Определена везде, кроме х = 0. График
симметричен относительно осп ординат. утш=2 при x = -h 1.
Максимумов нет. График не имеет точек перегиба
Асимптота л: = 0.
1281. Определена везде, кроме дг=1. умт=—1
при а- = 0. Максимумов нет. Точка перегиба графика
[ ^ , —-ц\. Асимптоты: лг=1 и у — 0.
1282. Определена везде, кроме * = 4:1/3. График
симметричен относительно начала. <ум„кс=—4,5 при
лг=3, ^мии = 4,5 при дг=—3. Точка перешба графика
(0, 0).'Асимптоты: л;=4:1 3 и лг4-,у==0.
1283. Определена везте, кроме х =—1. Минимумов
3
нет. умакс =—3-тг при х=—3. Точка перегиба
графика (0, 0). Асимптоты: *= — 1 и у=-~ х—1.
1284. Определена везде, ьроме х=\. Максимумов
27 3
нет. утп1 — — при * = у. Точка перешба графика (0, 0).
Асимптота х=. 1.
1285. Опредеаена везде, кроме лг=1. ^„„„. = 0
при л: = 0, ^Miiii = -gK 4 "P" Jf=j/4. Точка перегиба
графика ( —j/2,—y/2j. Асимптоты: *=1 и у = х.
26 Г. Н. Берман
402
ответы к главе iv [1206—1293
о
1286. Определена везде, кроме х— — 1, %акс = 97
при дг = 5, <умин = 0 "рн х=\. Абсциссы точек перегиба
графика 5 + 21 3. Асимптоты: #=—1 и у — О.
1287. Определена везде, кроме х — 0. Ума—тт "Р11
*=1, Умакс= — "g- ПрИ Х=—3, Уыын=-ц ПрИ Х = 2.
9
Абсцисса точки перегиба графика -=•. Асимптоты: # = 0
и y=jX+\.
1288. Определена везде, кроме лг = 0. Максимумов
нет. yMilH =ы —0,28 при л: =5=1,46. Абсцисса точки пере-
з ——
гиба графика—)/2. Асимптота х = 0.
1289. Определена везде, кроме х = 0. уткс =—2,5 при
х——2; минимумов нет. График не имеет точек перегиоа.
Асимптоты: х = 0 и у = х.
1290. Определена везде. ушкс = — при х=\. Мини-
мумов нег. Точка перегиба графика (2, — )• Асимптота
у = 0.
1291. Определена везде. ^/MaKC=-j при лг = 2,
^„„„ = 0 при лг=0. Абсциссы точек перегиба графика
2±]/'2. Асимптота у — 0.
1292. Определена везче, кроме х = 0. y„m = e при
х=1. Максимумов нет. График не имеет точек перегиба.
Асимптоты: х = 0, у = 0.
1293. Определена при *]>—1. ^„„„ = 0 при лг = 0.
Максимумов нет. График не имеет точек перегиба.
Асимптота х =* — 1.
1294. Определена везде. График симметричен
относительно оси ординат. ^„,,„ = 0 при * = 0. Максимумов
нет. Точки перегиба графика: (4;1, In 2). Асимптот нет.
1295. Определена везде. График симметричен
относительно оси ординат. yvaKC = — при *=:±:1, <Vmhh==0
v
1296—1303) ответы к главе iv 403
при * = 0. Абсциссы точек перегиба графика
-4- ^—. Асимптота у = 0. t
27
1296. Определена везде. ушкс — -$ при лс = 3.
Минимумов нет. Абсциссы точек перегиба 0 и 3 -4- к 3.
Асимптота у = 0.
1297. Определена везде. График симметричен отно-
1 , 1
сительно начала. .>Wc —~т= ПР" -*=1. Утт =—=-=■
У е 1 е
при х= — 1. Точки перегиба' графика: (0, 0),
\У%УЪе-т) " (_>^3, — iTe-^J- Асимптота у = 0.
1298. Определена везде, кроме дг=0. Экстремумов
нет. График не имеет точек перегиба. Асимптоты: х = 0,
у = 0 и у= — 1.
1299. Определена при дг^>0. Экстремумов нет. Точка
е* , е* -\-—е~т\. Асимптоты: дг = 0
и у = х.
1300. Функция определена при — оо<^дг<^—1 и при
0<^х<^оо. В интервале (—оо, — 1) возрастает от е
до оо; в интервале (0, -|- оо) возрастает от 1 до е. График
состоит из двух отдельных ветвей. Асимптоты: у=е и
х = — 1.
1301. Определена везде. Экстремумов нет. При х = -f- /гтт
(&=1, 3, 5, ...) стационарна. Графчк симметричен
относительно начала координат, не имеет асимптот; точки
перегиба: (&гг, &тс) {k = 0, 4: 1, ±2, ...); в точках перегиба
график пересекает прямую у = х.
1302. Определена везде. График симметричен
относительно оси ординат. Точки экстремума удовлетворяют
уравнению tg лг == —х. Абсциссы точек перегиба
удовлетворяют уравнению лг tg дс = 2. Асимптот нет.
1303. Определена в интервалах [—~-\-2kT, — -f-
где k = 0, zhb lb 2, ... Пернот. 2rc. График
симметричен относительно оси ординат. .)Wc=0 при
26*
*
404 ответы к гллвс IV [1304—1311
л; = 2/гя График не имеет точек перегиба. Асимптоты:
* = -|-}-А:тт.
A3 . Определена в интервалах (—^--j-2/етг, -~-~Ь
где &=0, +1, +2, ... Псрнот 2тт. График
симметричен относительно оси оришат. ^„„„==1 при
x='2kn. График не имеет точек перегиба. Асимптоты;
x = Y-\-кlx^
1305. Определена везде. График симметричен
относительно начала. утк = -2— 1 "Рн х==—1» ;Wi —
= 1—~ при л*=1. Точка перегиба (0,0). Асимптоты:
у = х-\-тх.
1306. Определена везде, кроме а*=1 и лг==3.
vMaKC=— при х = '2. Минимумов \\сг. График не имеет
точек перегиба. Асимптоты: л;=1, * = 3 и у=\.
1307. Определена везде? Период 2тт. ушш=^ "Р"
л-==/т, где /г = 0, ±1, ±2, ...; ^макс = в — 1 »Р"
jc = ^4-2h н Умам=М "Р" * == «-тт + 2Лтт. Аснмн-
2. " t! *•
тот пет.
4 8
1308. Определена везде. ,Ум..м = .77 "Р" -«• = .jy;
умт=0 при х = 0. График не имеет ни точек перегиба,
пи асимптот.
1309. Определена везде. График симметричен
относительно оси ординат. д>макс = 0 при # = 0, умш=г—3
при лг=;4=1. График не имеет ни точек перегиба, ни
асимптот.
6310. Определена везде. График симметричен относн-
2 2
телыю начала. уыаНс=-^ "Р" х=\, )>мнн=—у 1,Р"
х —— 1. Точка перегиба графика (0, 0). Асимптот нет.
1311. Определена вез те. .Умам = 2 при дг = 0,
_уМ1Ш=0 при дг=—1. Точка перегиба графика
( —y» 0- Асимптота у=\.
i
i
1312—1319] OTBF-ТЫ К I ЛАВЕ IV 40г>
7
1332. Определена везде. д»макс =^ 2,2 при *=ту,
д>М1Ш = 0 при дс ===== 1. Абсциссы точек перетба графика: —1
7rt3l 3~ .
и — . Асимптот нет.
з —
1313. Определена везде. уМ1»м=2> 4 при дг = 4,
д»М11И = 0 при дг = 0. Точка перегиба графика (6, 0).
Асимптота jc-|-у = 2.
1314. Функция определена при х^О, двузначна.
Функция у = х -\-} хь (верхняя ветвь графика) монотонно
возрастает. Функция у = х— Yxh (нижняя ветвь графика)
J 20
имеет максимум при * = -*-£—. График не имеет ни точек
о
перегиба, ни асимптот.
1315. Определена при лг^О, двузначна. Функция
у == д-з-|-}/Jcb (вермт ветвь графика) монотонно возрастает.
Функция у — х*— ] хъ (нижняя ветвь графика) имеет
максимум при .* = -=. Абсцисса точки перешба нижней ветви
графика jprp. Асимптот нет.
1316. Определена при x&s — 1, двузначна. Экстремумов
нет. График симметричен относительно осп абсцисс, имеет
точки перегиба (0, 1) и (0, —1). Асимптот нет.
1317. Определена в ннтервапах (— 1, 0] и [1, по],
двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс.
1,У|м8кс =-±-^— при х = — . Абсцисса точек перегиба
графика l/ 1-U — . Асимптот нет.
1318. Определена при д-^гО, двузначна. График сим-
9
метрнчен относительно оси абсцисс. !,у|мам =-к~ при
х ==— . График не имеет точек перегиба. Асимптот нет.
1319. Определена при д- = 0 и при х^ 1. Начало
координат—изолированная точка. График симметричен
40G ответы к главе iv [I320—I326
относительно оси абсцисс. Экстремумов нет. Точки перегиба
графика f-яг, 2+3—4—). Асимптот нет.
1320. Определена при х <^ 0 и при х ^ \/l1
двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс. |#у|макс= 1
при х =— 1. График не имеет точек перегиба. Асимптоты:
ж = 0 ,, у=±^-.
1321. Определена при #<; — 2 и при лг^>0, двузначна.
График симметричен относительно прямой у = *. умакс =—2
при дг=1. График не имеет точек перегиба. Асимптоты:
х — 0, у = 0 и х-\-у = 0.
1322. Определена при —а*^.х<^а, двузначна.
График симметричен относительно оси абсцисс. |<у|Макс==
— °]/ 2 г,ри Х:== — Y^ ^ — ')• Точек перегиба
нет. Асимптота х = а.
1323. Определена при 0а^лга^4, двузначна. График
симметричен относительно оси абсцисс. | .У |макс = V^ при
* = 3. Абсцисса точек перегиба графика 3—Уз . Асимптот
нет.
1324. Определена при —2^дг^2, двузначна.
График симметричен относительно осей координат.
/"о"
8 1 л
|>*|макс ==~к— ПРИ Х — -Е.\- Точки перегиба графика (О, О)
и (zh]/3~, zb -f-) • Асимптот нет.
1325. Определена при — 1 а^ х <^ 1, двузначна.
График симметричен относительно осей координат.
1 l/"2"
|.у|макс =у ПРИ ■^ = rb^o~« Точка перегиба графика (О, О).
Асимптот нет.
1326. Определена при х^\, двузначна. График
симметричен относительно осп абсцисс. |^ |макс = I при
х = 2. Абсцисса точек перегиба — ■» —• Асимптота
и
у = 0.
1327—1335) ответы к главе iv 407
1327. Определена при 0 <; х <[ 2а, двузначна. График
симметричен относительно оси абсцисс. Экстремумов нет.
Точек перегиба нет. Асимптота х = 2а.
1328. Определена при х<^0, при 0<Jta^l и при
.0=2, двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс,
имеет асимптоты х = 0 и y=.-^r\ и две точки перегиба.
Экстремумов нет.
1329. Определена при — а^х<^0 и при 0<лг<а,
двузначна. График симметричен относительно осп абсцисс.
Экстремумов нет. Точки перегиба графика: а (]/3 — l) , zba 1/ **-1 .
Асимптота лг = 0.
133 . Определена при —1а^лг<;1 и при х*ж-±;2,
двузначна. График симметричен относительно осей
координат и имеет две изолированные точки: (НЬ2, 0).
|#у|макс=1 при jc = 0. Точек перегиба и асимптот нет.
1331. Определена при—1^лг^1, двузначна. График
симметричен относительно осей координат. |#у|макс=1
при х — 0. Точки перегиба графика: ( zb ■— ; zb -т- ) .
Асимптот нет.
1332. Определена при х^,—1 и при дг^1,
двузначна. График симметричен относительно осей
координат. Экстремумов нет. Точки перегиба графика:
(zhV^ , rfc —J. Асимптоты >» = :£; л:.
1333. Определена при х ^ 0, двузначна. График
симметричен относительно оси абсцисс. |>*|макс=1 при
# = —. Абсцисса точек перегиба графика »—.
Асимптота у — О.
1334. Определена везде, кроме х = 0. Экстремумов
нет. Точка перегиба графика (—-j, e~~2~\~Y)'
Асимптоты: л: = 0 и х-\-у=\.
1335. Определена везде, кроме #=-—-f-^тг, где
k = 0, zh 1 i dz 2, ... Экстремумов нет. График не имеет
точек перегиба. Асимптоты * = — -}-&тг.
408 отпрты к гллпг iv [I336—I843
1336а Определена везде. График симметричен оiноси-
дельно осп opuinai. Точки эксiремумоп удовлетворяют уран-
пению x = tgx. Лсимиюга ^ = 0.
1337. Определена везде. Эксгремумоп пег. График не
имеет точек перетба. При дг<0 функция тождеаиенио
раина линейной функции у = 1—х. Асимптота л:-1-^ = 3.
(0, 1) — угловая точка графика с дв)ми различными
касательными.
1338. Определена везде. График симметричен
относительно ОСП Ординат. ,Умакс = 3 "Р" *=0, Ум,ш = — 1
при дг = -^-2. График не имеет ни точек перегиба, ни
асимптот, и правая его чаем, представляет собой часть
параболы у = х2—4дг—|— J, лежащую правее оси орлппаг.
(0, 3)— угловая точка графика с двумя различными
касательными.
13 ■ Существует и непрерывна при любом/; (—3, 3)—
максимум, (5, —;!) — минимум, (1, 1) — точка перегиба.
Лспмпют ист. При х—► сч) )Го.т наклона графика к оси
абсцисс стремится к 45°.
1**40.. Существует и непрерывна при любом t.
Асимптоты: у — х и у = х-\-0п. (—1—Зя, —' Ч~"т) —
максимум, (1 —Зтт, 1—-^) — минимум, (—Зя, 0)—точка
перегиба.
134-1. С)шествует при всех значениях /, кроме г=—1.
Асимптота х-|-у-|- 1 = 0. (0, 0) — точка самопересечения.
Касательными в этой точке служат оси координат. Точек
перегиба пет. И первом кватранге— замкнутая петля.
1342. Существует при всех значениях /. При х<^
у как функция х не определена; при <^ х <^ 0 эта
функция двузначна; при лг^>0 — однозначна. Кривая
симметрична относительно прямой х-\~у = 0. Максимум —
(<?, — ]. Имеются две гочкн перегиба. Координатные оси
служат асимптотами.
1343. Существует при всех значениях t. Кривая
симметрична относительно оси абсцисс и представляет собой
замкнутую кривую с точкой возврата (а, 0).
1344—I350J огвг.ть! к гллвыу 4(Ю
1344. Замкнутая трбхленестковаи роза. Полюс —
тройная точка самопересечения, в которой кривая касается
полярной оси и прямых и = -тт- и а>=— —. Экстремумы
о о
при <р = -г-, (Р = -^ " У ="5' • Достаточно исследовать
кривую при 0а^^<^я. В дальнейшем она накладываете!
сама па себя.
13 5. В интервале [0, 2тт] существует при всех
значениях у, кроме <P = tj- » У = '.г. Симметрична относи-
Ш aW
гелыю полярной оси и прямой 'f = —. Полюс — точка са-
аМ
мокасапия с полярной осью в качестве двойной
касательной. Прямые х==— а и х — а— асимптоты*).
1346. В интервале [0, 2тг] существует при всех
значениях у, кроме у=="Т " т9== •>-• Полюс — точка самока-
сания с прямой <р = -'-я н качестве двойной касательной
Асимптоты: х = а и х =— а.
1347а Существует при всех значениях <р. При у> — 0
максимум = 2а; при <р = я— минимум = 0. Кривая замкнута,
симметрична относительно полярной осн. Полюс — точка
возврата.
I34P. Существует при псех значениях (р. При <р = 0 —
максимум = а (1 -\-Ь). При ^ = тт — мпппмум = «(1—Ь).
Полюс — точка самопересечении.
1349а Сущее iByer при <?У>0- Точка перегноа
(V 2я, 0,5). Полярная ось является асимптотой. Кривая
спирально завивается вокруг полюса, асимптотически
приближаясь к нему.
1350а Существует при всех значениях (р. При у^*0—
спираль, исходящая iu полюса и асимптотически
приближающаяся к окружности р=1. При у<^0—предыдущая
кривая, зеркально отраженная от прямой ц = -^.
*) В этой и следующей задачах асимптоты лапы в декартовой
системе кооргчит, v которой осью абсцисс сложит полярная ось,
л осью ординат — перш пднку тр к полярной оси, проходящий через
НО 1ЮС.
410
OTBKTU К ГЛ\ПЕ IV (1351—1371
1351. Существует при — К*<1. расположена
целиком правее оси ординат. Замкнутая кривая. Максимум
при / = 0 (9 = 1 радиану, р=1). Точек перегиба нет. При
f = -i-l касается оси ординат.
1352. Четырёхлеиестконаи роза. Начало координат—
двойная точка самоприкосновения. _
л1 '2 .
1353* Кривая целиком лежит в полосе %- *«*
<a:<^Z. Симметрична относительно начала. Лснмп-
тота * = 0. (0, 0) —точка перегиба с осью абсцисс в
качестве касательной. Имеются еще две точки перегиба.
1354. Симметричная относительно четырёх осей х — О,
V = 0 y = x у = —х замкнутая кривая с четырьмя точками
вешра'та: (в, *0), (0, а), (-а, 0) и (0, -а). Начало коор-
динат— изолированная точка.
1355. Симметричная относительно осей координат и
биссектрис координатных углов кривая. Асимптоты:
(*±;/)э = —. Начало координат —четырёхкратная точка
самопересечения, в ней ветви кривой касаются
координатных осей. Кривая имеет форму «мельницы».
1359. Остальные корни простые.
1360. 0,1 О<0,2.
1361. -.0,7<дг,<-0,6 и 0,8<л'2<0,9.
1362. 0,32 < х < 0,33. ^ппп
1363. -1з,П<>,<-3»10. 0,22 <*,< 0,23 и
2,88 <^дг8< 2,89.
1364. 0,38 <*,< 0,39 и 1.24<дг,<1,25.
1365. -1 0.20 <><-0,19. 1366. 0.84 <*< 0,85.
1367. 1 63<*< 1>>4. 1368. 1,537 <Г х<- 1,538.
1369. о',826<х<0,827. 1370. 1,096<х< 1,097.
1371. 0,64 <*< 0,65. При 0<д<1 существует
единственное действительное число, равное своему
логарифму, притом меньшее 1. При 1 <а<е~> существуют
два различных числа, равных своим логарифмам: owo iu
интервала (1, е), другое из интервала (е, + оо). При
а = е* существует единственное число, равное своему лога-
1372—I384J otbi ты к главе iv 411
рифму: число е (оно является двукратным корнем
уравнения lg x = x). Наконец, при е'<«<оо не сущест-
вует действительных чисел, равных своим логарифмам.
1372. (дг — 4)< + И (х — 4)8 + 37 (* —4)а + 21 (х—4>—
-56. 1373. (д:+1)«-5(дг+1) + 8.
1374. (х— 1)10+10(*— 1 )е-+45(а: — 1)»+-120<лг— 1 )'+-
+ 210(лг—1)« + 249(jc — 1)»>+195 (*_ 1)< + 90(х — 1)3+
4- 15 (дг — 1 )а — 5 (а: — 1) — 1.
1376. лг« — 9дгв + 30л:« — 45дг» + 30ха — 9* + 1.
1376. /(—1)= 143;/'(0) = — 60; /"(1) = 26.
1377. — 1 - (х+ 1) - (х+ I)3— ... - (х+ 1)" +
+(-')■*' i,,!;y+V'где o<0<,•
Ш8. * + f+ £+-.•+<^ +
+ £^№ + п+1)**. где О<0<1.
I47Q 9_i.^-4 (-^-4)3 ■ (л--4)-ч ,
■ „-i (2я - 2)Клг - 4)" . дп)](х-4)п + 1
~Г{ ' /,|(л-1)!24"-2 "Г22"+,Ы(« + 1)1 | (4 -f- 0(j*r — 4;j-"+"1 '
где0<0<1.
1380.
()<0<1.
И81.(*-1) + |<дг-1)» + 1|(дг-1)" + ^(*-1)Ч-...Ч-
(—1)Я6(Л:-1)П (— l^+^fJtT— 1)"+1
+(я — J) (rt — 2) (л — J> л "Т" (л—2> (/I — 1) л (п -4- 1) £1 -+- в (-г— 1 jj'1"2 *
где О<0<1.
1382 ^_^+^-^+ -м-п*-!2—х- +
MtK. ~ 4! ^ б! ШТ""^ lj (2«;| +
+ <£+S sin2Q*'где °<°<1-
1383. 2 - (*- 2) + (*-2)'-(*- 2)» + ^^^^ ,
где О<0<1.
«.«^ , *3 1+2 sin» влг л . л . .
1384. * + У'-~оЖГ-' гдс О<0<1.
1380. 1+- + ~ + ... + (^ + (^-П]Т— ,гдс
412 отпеты к гллт iv [I385—I402
5- х + -^+т—-—Г' где °<°<1-
(1 — O^JC2) ■
13 В\ llmQ = , „. В силу существования третьей
производной имеем:
/(в + Л)=/(л) + А/'(в) + ^/-(я) + ^Г'(« + 0,Л).
Сравнивая с выражением в тексте, получаем:
Л о
Остается соиершнть предельный переход по Л—*■().
1387. Функция убывает. (0,3) — точка перегиба
графика.
1388. Функция имеет минимум, равный 1.
138 ■ Функция имеет минимум, ранний 2.
1390. Функция имеет максимум, равный —11.
1391. Функция возрастает: (О, О)—точка перегиба
графика.
139 . Функция возрастает. (О, 4) — точка перегиба
графика.
1393. /(лг)=1 — 0(л-— 1) + (*— 1)3+ ...; /(1,03) ^
=5=0,82.
1394. /(х) = 321 + 1 °87 {х — 2) -f-1648 (х — 2)3 -f-...;
/(2,02) =*= 343,4; /(1,97) ^ 289,9.
13Э5. /(*) = 1 +г>° (*— 1) + 2570(Jf— l)a+- ••:
/(1,00'>) =5= 1,364.
1396. /(>•) = —6 + 21(дг —2) + 50(jc —2)3 + ...;
/(2,1)^—3,4; /(2,1) = —3,36399; « = 0,036; «'аь 0,011 =
1397. 1,65. 1398. 0,342020. 1399. 0,985.
14СЭ. у(*) = 4,875; 8 = 0,125.
1401. <p(*)=*-l/; Ъ = Ц.
I 02. у (*)=* + !; '& = -'
1403—1 34] отвыи к niABhiv 41J
1403. »w=-|+|.; г=1.
1404. ^Л)=-^т_^._£-1+||п(е_1);
^ (дг) =в 0,582* — 0,520; г = 0,062.
1405. <p{x)=zO,G'A7x + 0,№. J—-0,105.
I О . Г,и=*'-^+т''-й« «=й-
1407. По формуле Тейлора у= 1 -\-х. По формуле Чебы-
шева у =:= 1,718л: -f- 0,894. 1-я формула даОт лучшее
приближение на интервале (0; 0,39), 2-я — на интервале (0,39; 1).
0408. По формуле Тейлора v = Jt. По формуле Чеоы-
шева у zzz х — 0,084. 1-я формула даёт лучшее
приближение на интервалах (0; 0,044) и (l,3l7, ~Y 2-я — па
интервале (0,044; 1,317).
1411. у = х» + х+\. £412. у = х*-\-х.
1413. у^ 2 -п(£+1=2). I 37. ,=,£, b£+,
1418. (x + 4)a+(v-l)a = ^.
1419. (* —2)a + (,V — 2)3 = 2.
I 20. (*+2)* + 0>—3)*=8.
,42,. (,_-!£)•+(,_.)._«.
«22-(-+^)J+(.-40),=Hvi4=.i^.
142 . £; £. !425. 36. I42u. 0,128. I 27. L*".
8|Т . , fir
1428. 0. I 2 . 1. f430. Ц-L. I I.
(l+9vV
1432. *» . 1433. cos*. I 34
(*U»-f a*y')7 6 ' "■*>
414 отвиты к главе iv [1433—1470
х
1433. {т—1){аЬ)2т(ху)т-* j gg^ 1
1437. i. I 38. -—^r 1439.1. 1440. $—
о da sin iti w» „ . f
8a sin у
1441. ' . 1442. 2 + * .
> 1 + In8 a jl
«(l-f<pV
1443. . ? + ** + * ! в (fl» + ftg)'
«"■■(*. *).И4в. (*?. -44
1450. ^ —l|n2, 1^). 1451. При /=Ая.
1452. -|a. 1455. а==з, b = —3, r=l.
1458. #y= — л*—0,6**-}-4,5л:8-}-0,1 *a.
1458. $=l2l±JU£' (*' + У)г'.
(«5)" —(*ij)"*"=(e» + A«)"3'. I 59. S=*-f зДД*
ч=^+а*\у\- (5+ч)1+(5-чГ==2«\
1461. *=-!,*, Чя«.-4; Р-Й(Ч + Т)'-
I4G3. Да, можно.
'e6-2'[l Wf-ll "<"-4-^-
I 8. 6ff.
Мвд1". 16л. Получив параметрические уравнения
эволюты, преобразовать их к новым координатам и
параметру, положив дг = — *,, у=уи / = /,-}- гг.
1470". Воспользоваться зависимостью между длиной
эволюты и приращением радиуса кришинм.
1471—1484] ответы к гллвв v 415
1471. 233. 1472. 0,073.
I 73. (3,00; 2.4G). 14 4. (-0,773; —0,841).
1475. (1,38; 4,99). I 76. (0,57; —3,62).
1477. 0,0387. 1478. (2,327; 0,845).
К главе V
а * «
I 79. 1) f (агэ -|- 1) dx; 2) J (ех + 2) dx; 3) f sin x dx.
О и О
I 80. о) да, = "jj *($,)(/,+,-/,), /о = 7-0. 'л =7',;
/-0
С) ni=:\tr (/)<№.
«О
1481. а) 0e=s2tft)(//t,-V, '0=7-0, /„=7,;
/-о
i=U(/)<//.
б) o=U(o
'о
I 82. ft="S/(У (/,«-/,). /0 = 0, /л = 7-;
<?= Г/(/)л.
I 83. а) Ия = "2 <р (У ф (У (/,+ ,-/,). 'о^о. '„ = 7-»;
1-0
б) и=\ у(/)ф(0Л-
1484. а) Л^Е <£,(*,+!-*,), *o = U. *я=*г
б) Р= [axdx.
41G отш ты к iviAiiL v [I403—I5IO
1485.20—1 м 204-1; a=~; o = l.
I486. a = ^ =s 0,218. Ь =*= 0,030.
1487.31,5. 1488. 10-|. 148 . 1аЛ = 40сл3.
<490. 140 см. 1491. 12,5^=ur 122,6 см.
1492. 20 lew. I 93. 2880 джоулей. I 4. e— 1.
1495. In2. I49S. In2. I 97*. Inn, ln3%l,l.
См. задачи 1405 n 1496.
1498 . т-г-7; =s 1,67.10м. Записать выражение, предел
«-f- 1
которого ищется и виде /;-й интегральной суммы некоторой
функции.
1499*. 1)л «-if«+l;2)eln«--fl+l; З)^^^^-2.
Выражение q~\-2tf -\-.. . -\-nqH находится при помощи *
дифференцировании суммы «менов геометрической
прогрессии.
1500.1)4; 2)50; 3)2,5; 4)^; 5)^27,03.
1501.1)15; 2)£^-; 3)i/i + //; 4) I ah\
1502. 1) а [ я» — J+ ») : 2) $-'«: 3> З1.г»:
4,ЦЙ; 5)*; O'il^^l. 1503. 1) *; 2) 1б£.
1504. 1) 52; 2) -? ; 3) - ^; 4) 4 J ; 5) 45 1;
«> 3(г«-гт)-
1505. 1) ^2,02; 2) =5:0,08; 3) 1,2'); 4) = 7.KJ;
2 2
5) 2-1 7; С)б}; 7) ^-j-5 —-J U *?~ *o >+*«-**
8) 71. 1506. 101. 1507. 8.
1508. 211. 1509.1. 1310.^.
1311—1999] ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ V 417
1511.21. 1512.^. 1513.21.
1514. 62,5 кгм. 1515. 4. 1516. 1500 кулонов.
1517. =гг67 600 джоулей. 15*0. 8</<9,8.
1521. 3</<5. 1522. тт</<2к. 1523. |°</<1.
1524. |</<|. 1525. ^</<^.
1528. 1) Первый; 2) второй.
1529. 1) Первый; 2) второй; 3) первый; 4) второй.
1532*. 0,85 <^/<^0,00. Воспользоваться результатом
задачи 1531.
1533. а) 1</<1 2=5= 1,414; б) 1 </< ^~= 1,207;
в) 1</<1,1; г) 1</< j/J^ 1,095.
1534. 24,5. 1535.1^~ . 15 . 1.
1537. 2 1. 1538. S. 1539. 1 А = 1 м.
1540. 11 а. 1541. % 1558 ватт. 154?. О.
1543. 0,079</<0,001. 1544. 0,0021тт«</<
<0,0037k-» (0,20</<0,30). 1545. -£</<-f •
1546. ,7<'<{j. I547+" 1<*<Ъ "^1,65. Вое-
пользоваться результатом задачи 1490 (2).
1548.1)^; 2>*Tj£; 3)|Л 4)2(1/1-1).
15 9. s=-|'3, 1550. Л = 100s + 25s3 эргов, s —
путь в см. 1551. A==^(?t*-\.a$P+?t\, ™е
«=^f: P = ^^.l552.Q=C0/ + l/3+l^
1553. £/5=10, Д5= 10,ЮОЗЗ... 15 . dS=U
1555. Д* Д5 dS а Ь
1 92,25 64 28,25 0,442
0,1 6,644 6,4 0,244 0,0382
0,01 0,6424 0,64 0,00^4 0,00376
27 Г. Н. Берма II
s з
ел ел ел
со ш со
н ел S
Sслспсл ел ел ел
eon со .-» о
2*
1 ~N±
?-*!SlS
+ +
со ш
N Р
+
' I -
*|~ *1
* +
— о |
со оо_ с.
ел сп ел
-- .8 8 8
I
fc3
о
о
5Г
ел ел ел
w со со
со ел
*
•I
as
Сл| (О
Г, s- +
1 +
*■ 3
с*;
ОС
3
О
it
+
i ^ tj I 5 14
•6 в)
^
Цел ел
i i
I— Ol
"со *S»
- н ? 5 ш
. +35 я 1 j-r:
ел
со
Ю
to
ю
ел
о
о
~ »t
£2.
5"
к:
м aa»
СЛ
СЛ
&K
^
V
*
Ю
I
5"
СЛ
СЛ
CD
a
0)
■
СЛ
ел
о
•J а
l Wl
*> СЛ
Ю
*
0) 0) CD Cff CO Cff 0)
•в £ w ro ю w =
CO CO * W Г О P
CO
s
V i 1111
00
H!
S2.
3
4
CO
+
- о
о
(Л
+
I I
О О
его" ofS" н*1
* н -
I I "="'
* # +
СО
ю|«
сл сл сл ел сл
(О СО СО СО СО
со со ел * со
I I
+ -
N9
3?
сс| to
в
*1
+
+
со
Kl
N3 N
* I
I
to
to
со s со со со со со
Q S о о о о е
S* Г СО •*! СЛ СО Г
■ ■ а ■
? ~ + 2L | v Ч
*|-
оП1 +
+ II Л . .
Р I« , +" I
со со
СО *!
ю| *!, -^|<п
+ ti
I
+
Г5
*s.l
I
+
со
•я
ю
a
0D
420 ОТВЕТЫ К ГЛА13Е VI (1630—1667
1630. '»2.ln(*+l '+*> + С.
1631. -Iarctg3* + C. 1632. у arcsln 5л: + С.
1633. arcsln -J + С. 1634. Д= arctg tl x JL С
3V 2
l635.i-arcsi.]^ + C. 1636. ±ln(*»+l) + C.
1637-~-1п|дг»+ 1 l + C. 1638. ln(e*+ 1) + C.
1639. -i In (e2* + a2) + С 1640. С—In | cos x \.
1641. hi | sin x | + С 16 2. С—^ In | cos 3* |.
I643.iln|sin(2;c+I)| + C. 1644. lyftlfty+c.
1645. C-j\ (1— дгЗ)з. 16 6.^£/V + 2)<» + C.
1647. J ^»+l _|_ c. 1648.11/4+Ic _|_ c>
16 9. g-'|W+l)2 + C. 1650. V Зд:2—5ДГ + 6 + С.
1651. In (x* — Зд: + 8) -f С1652. i- sln< x + C.
1653. sec л: + С. 1654. 3 J/siTTje + С.
1555. С—| cosB x. I65S. 1^(ПГ^-{-С.
1657. i£|i£+С 1658. In I In * I + С
1659. ^^." + C 1660. C-^-l--.
о ' 2 (drcsm лг)
1661. 2\ l+tgx + C. 1662. 0,5e*a+C.
1663. С — -i *-*■*. 1664. e«'"* + С
1665. С — cos(e*).
1666. 21 Т+^ + ЗЫ^ + ТТ+л^ + С.
16 7. arcsln л:—\ \—x2-\-C.
ОТВ1ТЫ К ГЛАВЕ VI
1668—1701]
1668. I In (*» + 9) — у arctg I + С
1669. arcsln д:+ I 1—*2 + C.
1670.-^-[2/9^^=4 —31п|3дг + /9д:2 —4|] + С.
£571. x — 4ln|* + 4| + C.
421
1672.
1873. ^
*-iln|2Ar+l|
In I bx -f- a\
a
T
+ C.
+ C.
1674. дг + 1п(1+дг2) + С. I 75. С—* — 6In13— дг|.
1676. 2*+3 In |a:—2 |+C. 1677. ^ x+^\n | 2дг-1J +C.
1678. *—2arctg* + C.
1679. C—l*4_ijt» —1**—* —ln|l—*|.
1680. у arctg д:* + С 1681. -^ arcsln £ + С
1682. 1 arctg ^ + С 1683. | In (** +1 ^eZTD+C.
с
1684. у arctg ^ + С. 1685.
arcsln 2*
sin a
1686. -£ arctg ^p + С 1687. In
hi 2
JC-1
fc.
1688. In
1690.
X
b-a
ДГ+1
In
x
2jc-3
+ C.
-j-C. |689.-^ln|^f+C.
6-ЛГ
169 . -j hi
1694.1 In
°J=£\ + C 1691. л: + In
=|| +С 1693. у In
£—5
X
2x — 3
jc-2
1
4- С 1695.-^ In
1 2> 6
JC- 1
+ C
+ C.
Г2+дг11
2-* + 3 ' 2> 6 1 2-vtJ 3
1696. 1 arctg ^f-! +C. 1697. ^arctg^ + C
1 , 2t-(-l , л «*>лл 1
+c.
1698. -^ arctg ~P + С 1699. -j arc sin (2л: -f 3) + С
1700. С —arcsln
1 —jc
1701. C—hi [1 —JC-4-V5 — 2at + jcj].
422 отпеты к главе vi [I702—I738
1702. £ + !il2f+C. 1703. |-^+ С.
1704. С - ctg |. 1705. tg (| - Л) + С.
l706.2tg|-* + C. 1707. 2tg (± + ^-x + c.
1708. | tg* * + С. 1709. С — (^ + cos 2* J.
1710. IsinSjt + lslnx-f-C.
1711. Irsln3x — 1 sin 7л-4-С.
о 14 '
1712. j ( 2д: + sin 2* +1 sin 4x +1 sin Г>лЛ + С.
1713. 1„ |tg (£+*)| +с
1714. in(i-f 81па:)-}-С. 1715. Sl|-i —lnJcosjcl + C.
™-^-ШгЛС' 1717.2^оГа(с^-1)+С.
1718. tg * -f 1 tg8 * + С. 1719. sin x — ^ -(- С
1720. ItgSjc —tgjc + AT+C.
1721. С—cos x -f-1- cos8a: — -i- cos" л:.
1722. lx — ±-sln2x-\-±sin4x+C.
1723. Itg2jc-f ln|cosAr|-fC.
1724. С—ctg x — j ctg» x — j ctgB x.
1726. j^ + C. 1727. shAT + C. 1728. ch*-f C.
1729. thAT+C. 1730. ^бЬ2ялг + С.
1731. x —th x + C. 1732. sh x -f -i sh8 a: + C.
1733. x + C. 1734. 1 sin 2a: — у jc cos 2a: + С
1735. x sin a: + cos x + С 1736. С — e~* {x + 1).
1737—1760] ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ VI
1737. ^(л;1пЗ-1) + С.
1738. f£(ln, -я-£т) + *
1739. £±! arctg *-£+С.
1740. a: arctg _ 1 In (1 + л») + С.
1741. ArarccosA:
1742. a: arctg 1 ~x — V~x + arctg K* + c-
I7434 2 Vx + 1 arcsin a: + 4 /T^* -j- С
1744. A:tgjc —^4rlnJcosA:|4rC.
1745. £+ljesln2*-ficos2*-|-C.
1746. ~ sin 2a: — 4- x cos 2a: 4- С
8 4 '
1747. c-^fcOcl 7).
1748. 1 1+a:3 arctg a:—In (a: + ]/1 -f x2) -f C.
1749. 2(/x — Т/Г=Г7arcsin 1 x)+a
1750. lnjcln In x — In* +C. 1751. gv3(^-1}-f С
1752. A:ln(A:a-fi) — 2a:-f 2arctgA:-f С
1753. С-^ф^ + i-arctgA:.
1754. jc»T T+P —l/(i+jc»)» + c.
1755. x j/T=pEc -1 ]/(l + 2*)8 + С
1756. U'+Dln(l+,)_^+^.+c
1757. С—с-г(2 + 2а: + а:3).
1758. **(a;8 — 3a:3 + 6a: — 6)-fC.
1760. ~ [(w3*2 — 2) sin <ол: + 2wx cos (од:] + С.
4°1 отпеты к гллвг vi [I76I—I784
1761. С — л:3 cos х -f- З*3 sin x -(- 6х cos л: — 6 sin x.
1762. i jc8 + j х2 sin 2x +1 д: cos 2л: — 1 sin 2* + С.
1763. л: (In2 д: — 2 hi д: + 2) + С.
17 4. С —-(ln° * + 31n2*+6ln* + G)-
I7S5. <*1^*-*# + %х-%)+С.
176«\ С—]-е~*\х* + 2х* + 2).
1767. д-(.1 resin*)3 + 2arcslnjc-Vl — *3 — 2х-\-С.
1768. £±i (arctg*)3 — д: arctg д: + у'" (1 + *2) + С.
1769. «'М"-^-"™ *> + <:. l770.^-(sln2*_5cos2jt)+C.
1771. /"* ., {п sin их -\- a cos nx) -{- С.
177 ,g(l-"n2t + co'2*) + C.
1773. ~ (sin In дг — cos In л:) -J- С.
177 ■ Ч, (cos liiAr-f-sIn 1плг)-}-С.
17 5. tgjr>ln(cos.*)-|-tgx— дг-j-C.
17711 г -у3 Зле | 3 arctg л:
■//о. с т^_р_^2 ______ _.
1777. С—-£>' 1 —лг2-{--—arcsin a:.
1778. ~ \ «2+jt3-f<£ 1п (*_|_]/лз_|_лз) + с.
1770. д: — ) ПГ7з arcsin д: -f С. 17 О, J=| е * + С.
[ к
17 • у[(*3—l)sin*—(*—l^cosA-j^-fC.
1784. 2 [j^Tp — In (1 + V^FDJ + С.
1785—1810] otim.tu к гллш vi 425
1785. gjr(3e« —4) J (^+I)3 + C.
1706.д:+Цг1 + Цг1 + П^+3? * +
+ 6{/* + 6ln| J/J—1| + C.
1787. C— arcsin -Jr.
1788. ^arcsin ~ —£l a3—*3 + C.
1789. 1 (arctg* -^рт) + С
1790. Vr*3_fl2+a.arcsin~+C. 1791. In !^±fc!-|-C.
jc ) дс-f-l+l
1792- ^ (3* — 2л) /(а+д:)8 + С.
I7Q4 Г ! ' 179 Т'Г2Т41(г-1) , г
1793. С——{-2{х_1?. 179 g НС.
1795. 2>Ад5""1 (5*3 -f с*3 + 8* + 16) + С.
1798. 2> I^I+V^arctg |/f-=^ + c-
1797. 211 * — In (1 + V'x)] + С
1798. 2 (V^ — arctg V *)+C.
179Э. 2 arctg) * + C.
1800. 3 f I+31n|v *—l|+C.
1801. 2 sin I ~x-\-C.
1802. 2 (sin } * — 1 * cos K*) + C.
1803. sin * — arctg sin x-{-C.
1804. 0,4 V( 1 + cos2 jc)8 (3 — 2 cos2 дг) + С.
1805. In J2-J + С. 1806. 2 In ( Л + Г "*) + С
1807. In^^-t. + C. 1808, ■ amXb"X + C.
1809. In | In | sin x || + С. 18Ю. ~ [In | tg *| ]3 + С
OTULTbJ К ГЛЛВЬ VI
(1811—1036
1811. V2
1812. С—ln|tg-J +C.
1813. -jU^l a* — x*(2a> + x*).
1814. fLmd+^ + y^j + C.
1815. 4[Ji-^1 + 41n|^_4| + c.
1816. ^.Ц/*1 —»n(J/P+l)] + C.
1817. c-/*i+ 2 '^ + 2 Ч g^i- 111 +С
1819. ^^-arcsin J. 1810. С-Ш].
=з + С. 1820. I2EEI + C.
аЧ
9л:
1821. С—^Т7?
1822. In—Цг^ +,п (* + №+*).
: + С. 1823. С
Ч
ла |/"д* _ fla *
1824. С—> F+~I
1825. 21/г!^?.
^a*r' + lB*-|»|ln*| + 2in|/nfE7_i|+c.
1827. 0rcsin(/x_l) + C.
1828. а^и./ГГЗВ + с.
1829. i J/FZTT _ 2 arctg К?=Т + С.
1830. *+'^Fiji_3>/jqrT+3in(I+j/jq^+c
1831. 2 arcs», ГТТ + 4Ь(КПрг-1)+С.
1832. ln_n,/7+c
|8*«- T<*'tg КТ+^+С-
1835. arccos- 2) К« — *'+ 2 nrcsfn -| + С.
1837—I8S8J
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ VI
427
1837*. С — yln»|l+-U- (Подстановка и = 1+~А
1838. ^S^ +1 InII— *»|+ С.
> 1-л* ^ 2 ' ' '
1839. х arctg * — 1 In (1 -f л;2) — у (arctg х)* + С.
1840. In ■ *■ i — - arctg x — - (arctg л:)' + С.
> 1 -\-x2 x 2
1841. £_£+*_ ln|*+l| + C.
1842. lni£±il+C. 1843. ilnlii^il + C.
V2x+\ ' 3 (л:-2)3 T
I844.1n[4^+C. 1845. iln[(* — 2)H/2£R|+C.
-t
1846. C—In | 2л:а—Здг-f-l |. 18 7. In
(.t- !)«(•*-4)B|
(Ч-ЗЯ
+ C
1848. А1п|3*+1| + |.1п|2*-3| — lln|j:| + C.
m.Q Jt8 , Jt2 , . , . Jta(.t —2;B
1849. -+т + 4* + 1п (; + 2)t
з
+ C.
l850.|jc + ln|*|-^ln|2*-l|-lln|2*+l|+C.
1851. In| 2л: — 11 — 6 In | 2лг — 3J +5ln| 2jc — 5|-J-C.
1852. In|/fH5+C.
1853.
i , x-V'i
,/■7
21 2 jc-H |
2 ~2j 3 jc-f-| ;j ~
1854. у + In
*(у-2НЯ*-!)(* + !)*
+ C.
1
1855. С—~ln| l+Здг»—xe|.
1856. c—2(JC_^ —j^.
С
1857. In|^|+ 6
k +
Л+1
1в5в.^+1п|*+1| + С.
428
CTDLTbl К ГЛАВЕ VI
[1839—1879
18в0- С-Т^Лщ^+ Ч*-2|.
+ С.
1881. 1+1 in 1^=4
*4-2
л| + бл: + 8~1~и'
1862. 2 In
,863-2l7^+lnl*--5| + C.
I864.^1n,,+ l|-94t№
+т|п1*+Ч+с.
+ c.
1
1866. ~ In
4
x-2
" Jt V1 +2jcJ 2(jt-2)+C'
1867. «cigjc+i-^ + c. 1868. С-(]^.
1869 . g—-—_|-C. (Удобна подстановка х = sin a.)
1870. t—^ + arctg* + С 1871. In I*1 -f C.
1872. 1 In JfLtDL + J,, are* 2^+ С
|В7. , ТЛt» - 2x4-5)-» ,1 4 x—l . „
1874. In _TjLJ.+_ arctg -y—f С
1
l+Jt
1875. ~ In.,
4 11 — jc
1876. 4- In
■-я- arctg *-f C.
T^ + l)^ + l)"arctg* + C
1877. ±ln|*-f l| — iln(*a+l)
1878
-II1",1
л*+1
л*
1870. £ — 2л;
2
arctg x
(x
2(jt+1) ^ *"
+2 In (jc'4-2*4-2)—2arctg (*-f l)-f c.
1880—1896]
OTBFTU К ГЛАВЕ \ I
429
1880.
I8BI.
1882.
1883.
1884.
1885.
1886.
1887.
I88B.
1889.
1890.
1891.
1892.
1893.
1894.
1895.
1896.
77T *>-x\ 2+i+~arctbi-^ + c
± arctg *» —i In (jc« + 1) + C.
2 e 4
2 —д: , 1п(л-з + 2)
l
,, „--.->*- i - arctj* -т-г-Ц-С.
4(*2 + 2) ' 2 4 1 2 Ь^2 ~
13дг— 150 , 53 , х — 3 , п
8 (ж*-6*+13) +16 аГс1ь -2- + С
_ X j X
и\ "Т 30 (** -|- 9)а ' 618"'~"ь 3
216 (л;»+ 9)
1
618
flu 1/7+1+С
Ь«кагс^1г+С-
15^ + 40^ + 33* . 15 ,
48(Грр Г м arLt- * Т-С'
I /2дгв —Зл;2 , 3 .
-Г+у1п
т(
13*-24
л:» —1
*a+l
f^?-tg
) + с.
2л:-3
С.
3(*>-3x+3) ' 3| 3 " | 3
гЙ1П-т1п1*+,1+т1"'1+^+с-
12*2 — 5jc— 1
(дг_1)(*а+1)
дг —1
C_6ln — 2t*»-^)
3 x 3 , jc
■8arctS*-4(Srz7j
3 i
1
ж+1
1 Г . дг+1 , 3(дг+1) ,
ТнГс12з+х* + 2х + 10-Ь
+ C
648
+
18(t +
•io^J+c-
(*a + 2jt +
x 2*+5 1_ . x_
C — 8(л>» + 4)"~ 2 (ж2 + 4лг + 5) lb g 2
— arctg (л: + 2).
In —n~7= "a ~f С
(JA+1)6^
430 ответы к главе vi [I897—I9IO
1897. l„_L^ + ^-^ + ;i^
173+ G
_ _ 2V*
1898. 21 £_4{/дг + 41п(1_+/дг)4-С.
1899. 2/* —3 У~х — Ъ J/jc + 6 "/7+48 \2/7+
+ 31п(1+^7) + |1п(У7-^7+2)-
171 t 2\2/^-l
i/7 ь П ~
1900. y(* + I)8 — 3 (* + I)3 +3 In 11 + f/I+Tl+C-
1901. 6 [1(*+1)Т-{ (* + 1)^+4 (v+if -
-T<*+i)+T<*+,)T-:f(*+»)']+C.
1902. ^[K^I+T, — /л1п|КяГ+^ + ш|1 + С.
1903. r_LgTJ+ln/27+7-1
* V 2jc + 1 + 1
1904. lnj^~^~* + 2arctg/IZf.i.c
1 1+jr+Ki-jc^ hV 1+лг+С-
1905. (Vx~— 2)1 1— * — arcslnl/к + С.
1906** у "J/ ^ I ^-|~ С. Умножить числитель и
знаменатель дроби на у/х—1 и вывести множители за знак
радикала.
1907. iln (Vx^-fl — 1) — iln l3/(Jt* + 1)2 +
1908, if (1+дг8)8-4 8 (1+*»)» + £
йлпл 1 1 ъ^-М' + д: 1 I4 TTU , Л
190Э- т1п ут+*-х-2 ■««*Чг-+с-
I9I0j 1(jc2—1)/i+2jc3 + C.
1911—I92GJ ответы к главе vi 431
1911. (-J.*»-.® *)l ^^Л + 41п(л:4-1 ^R) + C.
5 j „i + tt+p5 ь > 3 '
где ft = 8 1 + д:5.
1915. |^^ + 2^ J/* + f§*» У?+т*У* +
1916. .*$/*+** {/7+2*» ?+l*»J/r+c.
1917. -iln(3AT—1 + 1 У** — Gjc + 2) + C.
1918. larcsin^-2+C.
1919. При действительных значениях х подынтегральное
выражение мнимо.
1920. 2 \ 9л;а + 6аг + 2 + -- In (дх+ 1 +
+ 1 Уд* + С*+ 2) +С.
1921. 31 д:а + 2д:+2 — 41п(*+1 +
4-1 *а + 2л; + 2)-}-С.
1922. С— /2 + 4* — *а + 2 arcsiu ^-=== .
1923. 1 (а — л:) (л: — Л) — (а — b) arctg j/jLl^-f С.
1924. ~(3 — *)K"l — 2дг — ** +2 arcsin^ti+.C.
1925. 1п
\сх\
2 + дг + 2^+Д:+1 '
I92S. iarccos2-^i+C.
2 л| 2 '
432
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ VI
[1927-1043
1927. \(х— \)Vx2— 2x— 1 — 1п|дг — 1 +
+ 1 *а — 2л: — 1 | + С.
19 8. ^(х-£\УЪх*-ах+\ +
+
8|Т
In
/Здга — Зд:4-1+^~-(2л— 1)
+ С.
1929. \n\x4-\+V2x-\-x*
1930. (~^-|%Ar + ~)v^a + ^ + ^ +
+ С.
5
+ iln(*+l+l ла4 2лг + 2) + С.
1931. -p=cos8A:(3cosaA:—5) + С.
1932.
I
С.
3 COS8 X COSJC
1933. tg д: +1 sin 2x — у х -(- С.
1934. -(te2*— ctgajc)+21n|tgjif| + C.
1935. (tfi'^-nctg^+lOtK'-y+D | c
3 tl>3 Jt I *
1938. С
cos л:
3tij3jc
1
2 sin2 x
Tln
*B75
1937. С— ctgjt — |-ctg3jc — ус^дг.
1938. AAr4_^sln2jC(cos^ + |-cosaA: + ^) + C.
1939. * — lctg^ + ctgA:-f C.
1940. -J-tg** —Itg»* —1h|cosjc|4 С
1941. x—^ctg'* + lctgs*-yctgB*4-ctg*4C.
1942.
¥4*(fHf)|+c
1943.
Ya*-\-t>-
ln
tg
дг4агс1Й
+ c
1944—1966]
1944. С
2
ОТВЕТЫ К ГЛАВВ VI
433
1 + tg*-
1945. у [jc4- In | sin x-\- cos *| ] 4- C.
1946. ±{\&x + \n\tgx\) + C.
1947. In | sin x 4- cos x | + C.
1948. ±arctg(2tg|)-[-C.
2 5tsf + 4
1949. iarctg ^ }-C.
1950 1— 4- С 1951. -1= arctg (VTtg *) 4 C.
2-tgf ^
1952. ltgA:4-^arctg(Vr2tgA:)-}-C.
1953. 1 aretg^ + C.
1954. | In
4
1955. In
b
f tgx-l
4~ -j s^n *cos x 4- c.
vT.M# 2ta*+l
J/VJf + tgJr + l
5-jrctg
УЗ"
+ C.
I95S. -Lln(K2tgA:4/l4-2tgaAT) + C.
1957. 2} tg x -f С 1958. 2 arcsln Ksin x-\-C.
1959. д: — cth x + C. I960, -j- ch8 x — ch д: 4- C.
1961. *— thjc— yth8*4-C.
1962. 1 sh8 jc4--3-sh8 д:4. C.
1963. In I sh x I — -i- ctli* д: — i- cth* д: 4- С.
1964. In | th* 14-С. 1965. in | thj +C.
I9S6. itli4 —ith«4-f C.
2 J О 2 •
28 Г. Н. Берман
OTBLTbl К ГЛАВЕ VI
(1987—1984
1937. ilnrI±3^ —arctgVflhS+CL
2 11 - |/ tii x | l
1968. a: tli at — In ch x 4- C. I&S9. С—*-^j- .
1 3 ah* x
1070. JH3*«~lU+2 + riifl„|*-IJ +
JC-1
1971. С — 8У54- 2дг — л:3 — 3 arcsin ^-^ .
1972. arcsin £-тД-Ь С.
^2"
} 2-M-*»-f VT
+
2V 2
1973. С — In
/2
1974. K*a4-2*4-in|*4-.i4-^4-2jt|4-c.
1975. С
1^-fa»
1
, . 1976. - In £
агх а о + Уа^-л1
л:»
+с.
1977. - „
9} л» + 3 27 V (**+3)«
1978. С 3
■fC.
_lln |2*~1-Г
2 (2jc —1—21 *г2 —. jc-^- 1) ^
— 2 V'jca — *4-4-f 21п|дг— V*? — *+ll-
1979. In
X+\ X*+\
ут+*
4-с
1980. у [д*3 - К (*a — l)3]— *4-C.
1
f 1п(дг4-]/л-а4-1)4-С.
1981.
> *»+i
1982. -i^ln^SF-^^4-ln(Jc4-K^4:rr) + C.
2 К 2 I 2 + 2jH + л: ' ' ' '
1983. >-^T+2TT2 +
4- in (jc +14- Vx^+^Tpu) 4- c.
У 2x* - 2x 4-1
198 .
4-c.
1985—2003]
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ VI
435
1985. xVx* — 2*4-5—
— 5 In (д: — I-)- Vx* — 2д:-|-5)4-С.
l986.1nJ7^^B^_J=arctgLSZg£±i)_hc.
Vx» + 2x + 4+l |2 s x+l ~
IQR7 Q ! ! \ 1
1 8{х—\р 3(jf-l)'J 10(дг-1)"> 11(л-1)Ч'
1П I - ' 7 I -L. ^_
2
1*+И
1989.-lln |{±f| + ^arctgJ,4-C,
1990. ^-aicsltix — £±2 J/i"Zr^T4_ c.
1991. 1(*» 4_ ^ (*i_i)«j 4- с
1992. .|-{^"-2174-С.
1993.
1994.
3(4д:-3л),8 («-4-jc)*
28
fC.
1995. 2Vrj:4-l|ln|jc-,rl| —214-C.
1996. (1д:4-|-)со8 2л-4-(1д:3-}-1д;4-^81п2*4-С.
1997. д-2 ch д: — 2* sh_x 4- 2 ch д: -f С.
1998. *nrctg(1-H a-) — /74-1п|дг4-2 1^4-214-0.
19Э9. In
I -) 1-л>
arcsinjc
С.
2000. Я*^*(J/7' — 2Vx~+ 2)4-C.
2001. ъУ\у*—ь {/7*4-20*—go j/7'-f-
4-120^7—120) 4-C.
2002.^(^»-^ + |^4-^+С.
2003. 2f sin ^ — cos у J 4~ С для значений дг,
удовлетворяющих неравенству sin £- + cos 4" > О,
и
28*
436 отвьты к главе vi (2004—2019
— 2 ( sin ~ cos-^-)-}-C для значений х, удовлетворяю-
щих неравенству sin -^-\-zos-^-<0.
2004. 3 [(2 — У?) cos Ух~+ 2 yTsIn У~х\ + С.
2005. тУ+т^^^
2006. |!+|/inrT_|in|^_|.Vr^=T| + c.
2007. 3[1п|и| —1п(1+/Т^й"2) —arcslntt] + C, где
2008. In J"2"1' + /3"arctgI±£ + С,
где"=К п^-
200Э. 1 fjLl„ <*-'>' __уТагс^2-ЙД1 +С.
где г = д:5.
1
2010. С—i-ln
4
«В-т
8sln*£
2011.
« arctgfe + C.
/2 Л 2 '
1
2012. ,,-hr^
v- si» 2i
sin (a — x)\ i ~ _ „ „ло а
sin
^M)| + C- где a = arccosT,
если аа<ГЬ2; -——arctg —^-4-С, где a = arccos—,
^ a^ sin a b sin a * a
если a3]>£3.
2013. i.|„|,g(i+|)| + c.
2014. In (2+sin 2л) + С.
2oi5. ^+ут+^-1й1^а-1й^^
-TH±*.+ c.
£017—2035] ответы к главе vi 437
2017. i*«In(1+*»)—-i*i+.J.in(*»—x+\) —
-lln|,+ l | + 0:arctg y=* + C.
2018. ji+C.
2019. arctg Vx* - 1 _ ^i^ + с
2020. !**[(*»--l)cos*+(A:—l)»sInA:l + C.
2021. ^ + C. 2022. .|.£*^2 + С.
2 l 6 У^х l
2023. 4/t£1 + С
2024. i- (tg« x — ctg« at) + 2 (tga x—ctg» a:) -f-
-[-6 In | tgATJ + C-
2025. arctg (tg* x) + C. 2026. In 11 + tg ^ I -f C.
2027. In (2 + cos x) + J= arctg ( J= tg £) + С
2028.1^[arctgF1^=+
+ ln(l/F2 + lg»* + lgjif)l + C.
2029. ln^+l+T^ + 3^ + l +
X '
jt-t-6-f-lA>0r- 15дг*
2030. С—-i=in
К15Ш
2031. гА + С.
l-f-л '
2л:-3
2032. 2xVT+P — 4VTT? — 2\n^l±fl~]4-C.
2033. lln l±£-^*+c.
b x3 3jcj bxa •
QflTJ r arctg.* | arctg лг , лт
U 2(1+л-)"1 4 Г 4(1+д*) '
2035 JLinJiL+l1 arctE* ' 1 r
438 OTBFTbi к главе vn (2036—2068
203 - л: — 1о£а(1—2*)4-
~т~ПП> |l—2* ' 2(1 — 2^"т"3(1— 2V>«J ~TC'
037. arctgfc* — е~х)-\-С.
2038. 1пУ1±!1±^-^4-С. '
V 1 + ** + «** —«*+1 '
2039. дг-^arctgii^i+C.
я040- mx-Tsin2x+msln4x+ksln'2x+
+mslnSx+c-
2041. l^+^in(1+^a)+(T_I_ + c.
2042 8 27 , 30 ,.. |jc — 5 , „
"m*a 4У^-5^ 4У(л + 2)"Т"343Ш|^:Р "*■
2043. С—l^-arctg (} Tc\g2x). 204 . xtg^ + C
2045 . -руarccos* -|-С. (Разделить числитель и
внаменатель на х3 и применить подстановку х-\— = г.)
«.О 6. eitn*(x — sec*)-}-С.
К главе VII
2047. 4 (/Г—1). 2048.^. О 9 5(^Тб— I).
205Э. 2 —|.. 051. £±. 2052. 0,2(* — 1)».
2033. 31п~^. 293 . i-. 2055. i+±\oge.
05 . в —VI. 2057. 4—3In3=^0,704... 2058.-.
205 . i. 2060. ^cosf0. 2081. 2. 20 2. ^.
2083. 12. 20 ,1 20 5. -i. 20SB. JL.
2067—2104] ответы к главе vn 439
2067. Inl. 2068. 0,2 In 1. 206 . llnl±^.
2070. —0,083... 2071. — J— .
072.'4 + T~a+Cjfe"-ctga. 207*. 1.
2074. £=^. 2075. =* 0.3G48. 2076. 0.
2077. /(0) = 0 — наименьшее значение /(П==-~=—
наибольшее значение.
078*. Очевидно, что Kl— *3<Kl— *2n<l при
я>1. Отсюда l<-1^<rrL==r.
2979*. При 0 < дг < 1 справедливо неравенство
4 — *3>4 — *а — х95»4 — 2*а.
2080. 1-~. 208!. 4-1.
.*с
е
2
2082. «P-fV^) _l i in \. 2083. п» - Стт.
АО * 2 2
20М- 2-Жг- 2085- '•
2085. jcln|jr-f- Vx»—а'\ — V*2 — "' — а\п\а\.
2087.1114^. 2088.^.
е-^. 2090. 6 —2е. 2091. ^
7-5-3-1 я л „пл ллй4 10-8-6-4-2 2Г)б
209 . ^|-0,429. 2093.^1-=^.
209:.(-l)^![l-l(l+(-^1+...+l+l)].
209 . 7 + 2In2. 20Э7. 2—~. 2098. у.
2099. А_21л2. 2300. Д. 2101. Ine + } ' + ".
3 32 1 ^_ j/lf
2102. 4-тт. 2103. 2. 210 . 8 + 1^тт.
440 ОТВРТЫ к главе vii (2I03—2I4I
2105- |. 2108. In I±|£I e |07в _J__ ,п | а_
2108. JLarctg Ду. 2109. £.
2112. VT-4. 2113. £тг. 2114. "
V?
У — 16 "' 16*
2115. 11±+1п(2-Уз). 2118. -1.
117*. 4". Полагая дг = 2,гг, преобразуем данный ии-
16
теграл в 2[s\n*zdz. (См. «Курс», п°118.)
6
2118". £. Положить дг = 4-
2119. =^ 0,283. 2120. Положить * = у.
2121*. Положить лг = тг— г. Интеграл равен -^.
122. * = (*а— jc,) лг-j-jTi; задача разрешима всегда,
если АГ| ^хг.
212 . Каждый из интегралов равен -^.
2126. Подстановка * = tgy незаконна, потому что
функция tgyiipn х — п разрывна.
2127. 1 In £. 2128. а3 [1 Г— In (/2+ 1».
2129. /Г-1 In (2+ /3). 2130. f§.
2131. у/?- 2132.^-Зя» + 24.
16* Л,Л7Г OI9* ]^ 1_
2133. i?-2 VT 2134. g
- *г о. 27 ^ т-
2141*. а) Заменить переменную интеграции по формуле
*=— дг, разбть интервал [ — а, — *] »»а два интервала:
J— а, а] и [а, — дг], и учесть, что интеграл от нечетной
2142—2190] ответы к главе vii 441
функции на интервале [ — а, а] равен нулю, б) Нет, если
с^=0; да, если а = 0.
2142*. Разбить интервал интегрирования |я, a-j-7'l на
интервалы: [а, 0], [О, Т\ и \Т, о-\-Т\, затем, пользуясь
свойством f{x)=f{x-\-T), показать, что
а а + Т
[/(x)dx = С /(x)dx.
2143 ■ Заменить переменную интеграции по формуле
jr-4-f
* = —2~ и учесть свойство интеграла от чётной функции
(см. «Курс», п° 119).
2144*. Для оценки /я использовать, что /я убывает по
мере увеличения п.
9|лс 2-4-6...2я огде П | ок
*'*Э" Ь3.5...(2л + 1) • *°' 48 + 64'
2147. Jmi „ = г7Г^ У,Л| n_a = ^-q^ Л|-2, п.
Если л—нечётное, то
. _ (n-l)fn-3)...4-2
*•" (m -f- n){m -f л — 2).. .(tn -f 3)(m -f 1)J
вели от — нечётное, то
. {m—\){m — 3)...42
*"»>* (m + /i)(//i + n —2)...(n-f3)(n-f 1) •
если m — чётное, п — чётное, то
, (rt — \){n — 3)...3.1 -(m —\){m — 3)...3-1 я
Jmtn {m-\-n)(m-\-n — 2)(/п + л-4)...4-2 "T"
148..—, , .... Положить x = sin1 z и использовать
V> + ?+ 1)1
результат задачи 2147.
2149 ■ Заменить переменную интеграции по формуле
z = km2x2 и применить затем правило Лопнталя.
2150. По правилу прямоугольников тг ^г 2,904 (с
недостатком) н тг =5= 3,303 (с избытком). По формуле трапеций
п яь 3,104. По формуле Снмпсоиа тт ^ 3,127.
442 ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ VII [2191—2193
2151. По правилу прямоугольников тс = 3,04 (с нело-
сталком) и тт =5= 3,24 (с избытком). По формуле трапеций
тс =а= 3,140. По формуле Снмисона п=г 3,1416 (верны все
8IIJKH).
2152. In 10 =5:2,31, М= J-L-45 0,433.
2153. =0,837. 215 . ="l,09. 2155. =2,59.
215 . =0.950. 2057. = 1,53. 2158. =0,985.
2159. = 0,957. 16 . = 239 м2 (но формуле Снмп-
coii.i).
21 1. = 11,7 м2 (по формуле Снмпсоиа).
2J5 . = 1950 мм3.
2!63. 4-. 2IC . Расходится. 2165. —.
S а
2166. Расходится. 2167. тт. 2168. Расходится.
1
(А- 1ДШ 2)*"
2169. /==,.. ..,,„■,,*—!' еслп л>^ расходится, еслв
Л<1.
2170. 1 — In 2. 2171. у. 2172. у.
2173. In /57+7+1 • 2174. 1. 175. I.
2176. Расходится. 2177. 2. 2178. у.
179. ■■,-? joi ссл" д^>°» расходится, если а<0.
2180. Л + i'" 2- 2181' ~2^ • 2382- т •
^ * з ^ з z
21ВЭ !Д-Л 2 * 1-3-5...<2я-3) «
«ЛВД. Ц-ГТ* * ' 2-4-6...(2л-2)2^п-1#
См. задачу 2147.
2С85. л! 218В. у. 2187*. Воспользоваться тожде-
1-М1 1 ( \ | 1_\
2188. Сходится. °i39. Расходится.
2190. Сходится. 2193. Расходится.
2d '. Сходи 1 си. 193. Расходится.
2194—2225] ответы к главе vn 443
2194. Расходится. 2195. Нет.
2198. При /г<^—1 сходится, при k —1 расточится.
197. При &/>1 сходится, при /г< 1 расходится.
2198. у | ~. 2199. ) ттТ
2200 ■ ~~. Интегрировать по частям.
01. b3.5.(2n-l)V^t 2202в «^
2203. у, если а > 0; 0, если а = 0; — у, если а < 0.
2204. у» если а^>Ь; -£-, если а = £; 0, если а<^Ь.
2205*. —. Интегрировать по частям.
2206*. ~. Представить числитель в виде разности
синусов кратных дуг.
2207*. —-. Воспользоваться методами решении задач 2205
и 2206.
2208. 7у. 2209. у. 2210. Расходится.
22». 4- 2212- Расходится. 2213. тт.
2214. —1- 2215' *• |S- YTr(fl + ^)-
2217. (—1)"л! 2218.3 + ^Итг — у1п2.
о Iа ,\ (m-l)(m-3)...3-l к ш (/n~-l)(w-3)...4 2
* ,И ' 3j w(m-2)...4-2 2 ' °' т (т - 2). ..3-1 '
Заменой переменной сводится к задаче 2147.
2220*. 2,,. ? ," ~—'.',' ' , . Заменой переменной сво*
(2л-}-1) (2л—])...3-1 г
днтся к задаче 2147.
2221. При А?<[1 сходится, при &> 1 расходится.
2£22. Расходится при любом Л.
2223. Сходится при совместном выполнении неравенств
Л>— 1 и />Л+1.
2224. При м<^3 сходится, при м^аЗ расходится.
2225. При £<[! сходится, при £^»1 расходится.
44 ОТВЕТЫ к главе VH! [2226—2248
2226. Сходится. 2227. Расходится.
2228. Сходится. 2229. Сходится.
2230. Расходится. 2231. Сходится.
2232*. Полагая У—Ч —г* приводим <р(х) к виду
«
Г"*
tf(x)= \ \nslnzdz. В соответствии с формулой sin 2 =
я
а"
= 2 sin у cos-г- разбиваем интеграл на три, из которых
один находим непосредственно. Два других интеграла при
помощи замени переменной сводятся к интегралам типа
первоначального; <р (-£ J = -£ In 2.
2233. — yln2. 234*. — у1л2. См. задачу 2121.
2235*. -гг In 2. Интегрировать по частям.
236*. -£-1п2. Заменой переменной сводится к предыду-
щей задаче. 2237. —^- 1п 2.
К главе VIII
2238. «+Т"~2- 2239. a) b(\nb— 1) — a(lna — 1);
б) Ь—а.
2240. 14- 2^41. -£ —-г- 2242. ~. 2243. ^РК
6 2 6 4 Зг
4 . 2л-|-у и 6л —у. 2245. у(4л + /3) и
±(8л—/Щ.
2246. f Уб. 2247. с» [| — ^ In (VT+ V^] :
а* [т~ Ч-,n 0^+ ^] "с3 [т+Ч-,и <1/Т+ ^] •
2248.
/71 — Л
/Л —Л
4| , " , если /и и я — оба чСтны;
/л -f- л |'
/71 — Я I
m-f-л
если m и л—оба нечётны;
m-J-я I'
m и /1 — разной чСгпосгн.
Ill -f- Л | *
если
2258
49— 04] ОТВЕТЫ К ГЛАВЬ УШ
2249. а) 1;б)73у. 2250. 1 (фигура состоит из
двух частей, площади которых равны между собой).
2251. 4- 2252. Д. 2 53. ^я. 2254. ^.
2255. \. 2256. *|-3. 57. | V 2.
■ 8 ( }/l+-£/3-arctg j/"l -| |/3].
2259. Зла2. 2260. ~^а\ 2261. Слоа.
о
62. 1)^(л + 1)(« +2), 2) ^(л-О^-г).
2263. 1) у^З, 2) ^. 226 . ул»аа.
2265. ~. 2268. ^. 2207. аК
4 4
2270. £(4—тг). 2271. 18шЛ 2272*. о'—+^Т/у.
Для построения кривой следует рассматривать
изменение ^ от 0 до Зтт. 2273. -£-. 2274. y(a3-f£3).
75. а*. 2276. a*(l-f£ —1^1 2277. a».
2278. л. 2279. 2.
2280. Зла3. 2281. 4л.
2 I 2 *
ь ь.
fl(g + 2)
2
2282. 1) 1~, 2) /г?. 2283. ^\
2284. 2-| и 2 + £.
2285. ^(е«—е~°\ 228
2287. 1п^1^а. 2288. lntg^ = ln(/2+ 1).
22В9. <Ц^ j/"1. 2290. In 3 - i-.
2291. 1 -j-1 In i . 2292. | (| /"f-l).
2293. 2. ■ 294. ^/ЧТЧ ^1uv+^2 + ^.
ответы к главе via (22 5—2842
2295. 8. 229 . При *=у. [* = а(|—^у-
y=j]. 2297. При /=|. (лг = ^Я, ,у = 4
2298 . 4 а -Ь^ + у . Положить х = a cos» f, у = £ sin» /.
2299. a In i. 2300.?-/?. 2301.^'.
30 . 5c[l-| Ц=1п(2 + К3)1. 230 . 4/3.
23Э6. 2(е' — 1). 2307.8а. 2308. у яа.
2309. тш1Л + 4п» + ~ 1п(2я + У1+4п»).
2311. lnf+'l.
»«•« . 2Л/4-1 2Л/
2313. k должно иметь вид ■ .^- или ^^j, где
/V — целое число. 2314. 4.
23J5. In у. 2318. 2тт. 2319. 1)уяа*>»; 2) |яа3*.
2320. р5 яЛ3а. 2321. Щ- (За + Л). 322. £ («»— 1).
2323. ^[£!i^^£!l^+2(^-a)].
2324.^. 3 5. у (15— 16In2).
2326. п(£-2). 327. ~?[l/21n(l+/2)—|].
23*8. 1) -|яа8, 2)-^. 2329. 5я»а8.
2330. r,G^,. 2331. Йпа». 2332. 2я3.
2333. яа"(^—|). 2334. 4я/2. 2335. у.
233 . 1те. 2337. а) я; б) я i/"y. 2338. Ц^
* ■
2339. я3. 2340*. 2я3а8. Удобно перейти к параметри-
_ . „, 2rtsln*»*
ческому заданию положив jf = 2asnrf, У = cog^ •
2341. |toA 23 2*. §/W=400 см\
£843—2373J ответы к гллие viii 447
Принять за ось абсцисс ось симметрии основания и прписсти
решение задачи к формуле v= \ s (x)dx.
х,
343. 1аЛ/У=128 см\ ^34 . 4а^=13з4- см*.
15 3 3
о
2345*. -TrtiRt/i. Площадь симметричного нараболнче-
О
2 v
ского сегмента равна у ал, где а — основание сегмента, а
А — «стрелка». (См. «Курс», п° 95.)
234 .^(я + 1) и '™(я—i). (См. указание
к задаче 2345.)
2347. |-в«. 2348. |яг8. 2349. у/?8.
2350. -i/W. 351. |?яа3.
2352. £(/(1+<!«)■—1).
2353. ^-2(еа — ^-a>j_4). 2354. 2я/Р-f-^ arcsln в и
2яа3-1 in —L_, где б — эксцснтрнснгш эллипса.
2355. 2я|| 2-h In (1 -f-1 2)J.
235В. я [ /5 - V2 +1» 2-1Д±2]. о-37. Зяа3.
2358. яа»К2^2 —у). 2359. 2ЦЛ(е« —2).
2360. j яа». 2331. 8яя3 ( я —J ) • 23Б2. ^ яа3.
23 3. 4я3г3._ 23S4. 2яа2(2 —J 2).
2JS5. я|> 2+1п(14-^ 2)|. _
2365. 4я«3. 2387. *£. ~ . £, £, 2!^.
2370. Центр тяжести лежит на оси спммсфин сегмента
2 ,
на раесгояннп -=-Л от основания.
2371. Дли St: $ = !<!, ч = 4А;для5а:5 = ^в,Ч = |*.
372. £ = 0, , = £. 2373. £ = 0, ч=£.
центра.
448 ОТВЕТЫ к ГЛАВЕ vui [2374—2406
374я Центр тяжести лежит на биссектрисе централь-
ного угла, стягивающего дугу, на расстоянии 2т от
ра.
375.S = .£., = f. 2376. %=%, ,-•
_—— bl i ab
37/я -K--J-^arcsins, где 8 — эксцентриситет эллипса.
2378. & = £, ч = |. 2379. |+±'
2380. ^ + L8-. 2381. i. 2382.a = |-«, т] = 0.
2383. £ = 0, 4 = «*±*LjlJ. 23В5Л=™, ,= ««.
2388. £ = гга, т) = -|с 2387. £ = -|a, y) = |a.
2388. S-fjg. ,-*£. 2390. S=^.
Т) = j—-. 391. Центр тяжести лежит на оси симметрии
2 г sin a
сектора па расстоянии -я- от центра круга.
о d
392. 6 = 4 е. т] = 0. 2393. а = ^тта, у) = 0.
ИДО Э. & —. — •g- j-, Ч —- 3 T" •
2 '2
239 . £=4а» Ч=4«- 2397.4^.
2398. Центр тяжевти находится на оси симметрии на
г»
расстоянии — от центра.
1L "УК 4-Я» Л 04ПО. *
1
2399." _£L2L±£™§ 4. 2400. .
'ft •
2401. JL{a* + ab + P). 2402. £. 2403. утт/№.
24 . InW/. 2405. ^пЯ». 2408. ^тш£* и
т^пи4^, где a — большая полуось.
2 07—2433] ответы к главк vui 449
2 07. \ Tf/W. 2408. |-тю». 240Э. 6л W.
2410. Объем —iLiLn'o8, поверхность —6^2 тгаа.
24!1. ОбъСм — 12тг8д8, поверхность — 32тт2а*.
2432. Ось вращения должна быть перпендикулярна
к диагонали квадрата; ось вращения должна быть
перпендикулярна к медиане.
2413. =5=23,7 м.
2414. Jc, = *, + sIn(^ + Vo)- 81п(2Й+у0).
-iK . kmM a-\-l .. kmM. гх(гг-\-Г) , 2*mAf
41Э. —; !—тх, /И, —-—III —; г—7 . J ■ -г— .
n.(— km Ma kmM cos >q>
' 2417. — = =—■», где <p — угол между пря-
) (К--fa2)3 a» ' т '
mumh, соединяющими точку С с центром кольца и с люоой
kmM о «аа 2kmM/. a \
из точек кольца: —гг-• 2438. -,.,—( 1 ■ .
2419. 2тт/г/из." 2420. 2ттЛ/луЛ (1 = = ) =
= 2яЛ/луЛ(1 — cos о), где a — угол между образующей
конуса и его осью. 2421. 2/с/лу. 2423 ■ —=■ In -~.
Сначала подсчитать силу взаимодействия элемента As
первого стержня со вторым стержнем (воспользоваться
результатом задачи 2415), а загсм найти всю силу
взаимодействия.
"424. £■—эргов (мптвг.,яв~2Л. 2425. =^754л:гл.
24 ■ . % 1,03- 10м кгм. 2427. 353 250 кгм.
о«on и/Я»//» TtdR&H* „ -
24SB. —pr—, —2—. Величина работы в ответах
к задачам 2428—2431 получится в кгм, если брать
расстояние в метрах, а удельный вес в кг/л*8.
4 9. т^ «в 101,8 кгм. 2430. ^S^ ^20 800 кгм.
4 о
2431. «<faW/« =*240 кгм. 2 32. ^* =5* 4,1-10' ар-
ID D
гов =* 0,418 кгм. 24S . ~^£ =* 1.1G л*л.
20 Г. Н. Бармам
450 ОТВЕТЫ к главе vin J24S4—24В7
2434. ^£*U 0,05 кгм. 2435. i!^:* 0,015 кгм.
2 36. kR4"w*1 эргов. (R и И в см, у в фм\ ш в \jctK.)
2437- -аЙАГ ЭРГ0В« зйоо ' вргов (У? в '*
УИ в г).
2 38. а) -т,-= 18,75 #г; б) прямая должна бить проведена
на расстоянии —= =г= 17,7 см от поверхности.
2439. а)^8; б) в два раза. 2440. !^^Х
244!. 22,2 т. 2442. jda4. 2443.cfo/(«+|slnaY
2445. а)^р = 32 кгм; б) 1ОТ (1 — </)» = 2 /«л.
24 . 1 ттЯ*. 2447. ^ 0,206 см*.
2 48. а) ^= 33,2 сек.; б) =^ 64,6 сек.
49. % 1 час 6 минут 53 секунды.
2450.^p-S(2> 2-1).245Ь^51^Г(//+Л)Т-/Д1,
— з
при //=0: ^12ih'i=^^-SVht где S— площадь
щели: 2452. а) =*г 2,4 сек.; б) =5= 6,3 сек.; в) =5г 53 сек.;
г) при / —оо. 2453, =а:3,4 кгм. 2454. 1а) =5=7,16 кгм;
б) =s 16,6 кгм; в) 5=23,8 кгм; 2) при неограниченном
расширении газа работа неограниченно увеличивается.
2455. % 1000 кгм. 245 . % 82 минуты.
2457. Немного больше 5°. 2458. £=£0«-*'.
2459. -. 2460. а) 40 эргов; б) 60 эргов. 2461. 5 см.
2462. =5=946 кулонов. 2463. % 1092 кулона.
2464. =г= 5110 кулонов. 2465. ~. Эффективное на-
пряжение переменного тока равно —==.
6. %£>Т cos w 2 67. ^ 7 мин. 2 сек.
2468—2 91] ответы к главе ix 451
2468. =5*2,915 а. 2469. о) /у, = // Ill£-=^|. ^ 15 ел;
б) =sr0,125%. 2470. ttvtt 0T первоначального количества.
2471. =5= 2,49 г. 2 72. £ *• 2473. = 37,3 минуты.
2474. а) =г 0,0238 моль/л; б) ^7 час. 20 мин.;
в) Ю0°/0 не разложится никогда (теоретически реакция до
конца не доходит). 2475. k =г 0,0513. 478. =5:0,09 г.
2477. =s47 мин. 50 сек. 2478. =* 0,0214 моль\л.
2479. ^=k (a — х) {b — jc) — k^\
К главе IX
2480й. Sn=\ -т-r, 5=1. Представить каждый
член ряда в виде суммы двух слагаемых.
2481. 4=I(l--^), 5=4.
24В2.5л = |(1-зТТ1)'5=Т-
2483. ^==1(1+1 + 1-^-^-^),
^-"18*
2 84. 5я = 7(1+т + з-—g^j — g^p'-s^),
6_УО*
2485. -^л= ifLlT („-4-1)(п4-2)J* 5=SB?•
2486. 5Я=1 + - — -- — ^7^71, £=-£.
2487. 4=1-^,5=1.
2488. ^«Ifl-^jl^], .9=1.
2489. 5„ = arctg-47, 5=4.
л bn-f-l' 4
2490. Сходится. 91. Сходится.
29*
ответы к главе пс 12492—2587
2493. Сходится.
2495. Расходится.
2 97. Расходптся.
2499. Сходится.
2501.
2515.
2517.
2519.
2511.
2492. Расходится.
24!f4. Расходится.
2496. Сходится.
2498. Расходптся.
2500. Сходится.
2502. Сходится.
251S. Расходится.
2518. Сходится.
2520. Расхошгся.
2522. Сходится.
252 ■ Расходится.
2526. Сходится.
2528. Расходптся.
2530. Расхоашся.
2532. Расходится.
2538. Сходится, по не абсолютно.
2539. Сходится абсолютно.
°540. Сходится, по не абсолютно.
2541. Сходится аосолютио.
2542. Сходится абсолютно.
2543. Расходится.
2544. Сходится, но не абсолютно.
2545. Сходится абсолютно.
2548. Сходится, но не абсолютно.
2547. Расходится.
2548. _1<дг<1. 25 9. -<*<<?.
Расходится.
Сходится.
Сходится.
Сходится.
Расходится.
2523. Расходится.
2525. Расходится.
2527. Сходится.
2529. Сходится.
2531. Сходится.
2550.
2552.
2554.
2555.
2556.
2557.
2558.
2559.
2565.
х^=±\.
При любом х.
-2<*<2.
При любом х.
д:>0.
11 членов.
2551. -Кдг<1.
2553. д:<—1 и *>1,
2Е87. /(0) = 1, /(1)=-^. /(1)=Ш<
/(1) = 0,049, /(-0,2) = 0,108.
2969—258!!] ответы к главе ix 453
2569. IlnJ4™4arctgA:-
2570.-iarctg* + i.hi!±J..
2571. (jc+ l)ln(jc-f-1) — x.
2572. i. 2573. 0,2.' 2574. ln-i. 2575. £.
2576. l){(l„2 + JL:);
2)jlj[ln(l+>2) + |].
* 577. In 2. 578. 2~2lT.
2579. Данный ряд нельзя почленно дифференцировать
ни в каком интервале. Действительно, общий член ряда
производных имеет вид тт cos (2" тхх). Сколь бы мал ни был
интервал (а, (J) и где бы па числовой осп он ни лежал, всегда
' * к
внутри него найдутся числа вида —$, где k — целое, а N —
достаточно большое целое положительное число. Но при
дг = -77 Р"Д производных расходится, так как для всех п ^> N
члены его становятся равными тт.
2580. yr-i-L и '
(1_ж) (1-ж)3-
2582. (д:—1)_<^3_L>f _|_... ц_(__ iy.+i(£j=_I2^+...
_!_/ iw,l-3...(2n-5)(JC- 1)" | I
25M. ^-i^+fc-ffi-...+(_,r+.fcg2+...
■4-(i)V+-
...+(_lr».f.)«i-a^+..;
ОТШ ТЫ К ГЛАВЕ IX - |2 В— 60
2586. !+£,• + ... + р„_2)| + -"
ию.*+^2+...+£^+...
588. cosa[l-f+ £+...+(-1)»+'^+...]-
_slna^_|+f.;+...+(_,ri^L+...j.
2589. х+х>+Щ-%+... + 1 **,«.£+...
2590 1—1^ ^4- | | м-» 4"~'^'"-" |
а£эаи- ' 41 а, +■••+(—') т (4n-4jl +•••
2591. 1„2+^ + £—j£ + ...
2592. ,(i _* + £_...).
2593. i_^+±!Lri!! *« + ...
25*94. -к- -[- т^ -|-...
2595. 1+*' —£+^+...
2596. 1 + 2*+!^+...+ <^Г1 + ...
2597. 1_лз+|!_... + (_1г+,|^1+...
2598. 1+£+|+... + ^f'+...
г*00- |-ага+-+(-1^'»*-^'-:d!+-
«"■ '-р-^+-+(-')"+1?9Г+-]-
2602. 1—* + ... + (-!)"«^Лг+...
2603—2 2 ] ответы к главе гх 455
СИЗ -it? , 4д*__ | / п„ 2я*"И
2604. !nl0+[g-5^ + ... + (-ir+«^+...
8О5.л;3-| + -.. + (-0я^ + ...
•"" * *' 2-4...(2л-2)2л • "•
«И-I-2[|(j)'-^(fУ + ...
260В.1-[1*.-^ + ...
"■+Hr1,4,M"V+...
09. *>+[*■ *< + ^*» + ...
. | 1-3... (2/1-1) аях, ,
10. 1 + 2aJt- +... + л8дгя-» +..., 5=12.
2SII. 1) -71, 2)^, 3)-^ и<)|.
2812. i. 2S13. ^ 28J .1.
Ь 4
2SI5. 1. 2816. |. 2517. I.
2 18. gg.
2819. _^<*<^. О. -1<*<1.
2821. — 10<л:<10. 2В22. л: = 0.
2623.-^<*<!^-. 4. -о©0<оо.
4W ответы к главе ix 12625—2658
2625. ~~0<4-« 262Se — К*<1-
*»о27. —1<дг<1. 528. * = 0.
2629. —1<*<1. 2630. _±0<±.
2631. 1,39, погрешность 0,01.
263' . 0,3090, погрешность 0,0001.
2633. 2,154, ногрешисЛть 0,001.
2 3 . 7,381). 2635. 1,649.
35. 0,3679. 2837. 0,-7783.
*- 38. 0,0175. 2639. 1,000.
26 О. 0,17365. 2841. 0,9848.
2. 3,107. 2543. 4,121.
25 . 7,937. 25 5. 1,005.
26 S. 3,017. 28 7. 5.053.
2548. 2,001. 2549. 1,0986.
2650. 0,434294. *' 51. 0,6990.
2652. 1+2*+-!**+
255 ях-±*+*1#-кк%
«54.1-■£-+£+... *
2655. —±. + ™+...
2656. л: — л-3 + 2л:«+ ....
57. a: ' xi ' l'*x*
2 3 ~r2-4 5
■••"H-i) . 2". л! 5T-FT+'--
(-1<АГ<1).
Е658.ж+^+...+2^+... (-!<*<!).
£659—2668] ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ IX 457
12Я+1Д2Л4-1)!
2659. С4-х —4- | / пш.1 -*8"*1 |
^ . 3-3! -Г-"И »> (^4-1Д2л+1)1 "Г •
(—оо<^дг<^оо).
8660. С+\п\х\~-£г+^-...
— +(-')"-25W+---(-00<-e<° »°00>-
661. С+1л|*|+*+-ЙЧ-...+-н=Г+...
(—оо<дг<0 и 0<х<оо).
'"2662. c-4-+'»l*l+T+W+ —
• • « _
2683. ,_4+w—'•■+(-'»"*,вг&1+-
(— оо<дг<оо).
(-1 <*<!).
. 1-3 ... (2л-3) ж'*-» . 1^.-^11
' "*"> 2 4 2-4*Т" ' *'*
| / п„ »-3...(2я-5) jrte-» . i-c^^-n
-••+(—") ~2*=Ч^=Ж"ЗТГГ^"Г • • • (-КЛГ<1).
пае? I Г^т0 г •*" I I Jt0"-* I
(-К*<1).
83.1. i Li 4.
4 3 4-8 7 « '••
+ / 1.П4.1 3-7...(4л—5) xin~-i .
4"8
ne
2$"t>9. 0 3S отпеты к главе х [2669—2894
2670. 0,'24
2571. 0 49^' погрешность 0,0001.
2572. з 5^488, погрешность 0,00001.
лета о'о/^» '|0|РС11|||°сть 0,0001.
2674* 32 i^' погрешность 0,001.
76* 0 0(^' Л°1 решность 0,001.
2S7S" Vlwl- 2S75. 0,487.
2S7S'3'Hi. 677.0,494.
2680. x-\U 592654.
""ьз^ + ьзТ *'+•••
nfl—t
2681*. 1- ""^ 1-3-5 ...(2/1-1) * +""•
Представит-Jg + ^j.- ... + (-ly+i 1 + . ..
НИМ *ln* J \ •* ^^"
268 Cb x в Ф°Рме e i разложить в ряд по сте-
2ВП5* q 71' npniiniei рмронать выражения пила jcnlnnjt.
; ' 1,6449. 2683. 0,511. 2684. 1,015.
(.' А/ . Вычислять площадь посредством формулы
и ° -х*с1х неудобно, потому что
соответствующий ряд при 3 * J J
площадь сект«
биссектрисой к = * сходится медленно. Следует вычислить
быстро гходяи^Р'1' oipaiiipieiiiioio кривой, осью ординат и
686. ("ервою' коордииатпою угла. Это даСт ряд,
2fiB9 1 99М,,ИСЯ-
-wo». ^^2Л05 S87- 3R2K 268B. 0,119.
. 690. (0,347; 2,996). 2691. (1,71; 0,94).
„_ К главе X
269 . £ =
269 . 5*=у(*1У—/)•
li/7-
=in=
.*+;'+*)(*+.>' — *)U+*-- *)(*+*— .у)-
2695—2696] ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ X 455
2695.
N. X
У \^
0
1
2
3
4
5
0
1
—2
-5
—3
-11
— 14
1
3
0
—3
-G
—9
— 12
2
5
2
— 1
—4
—7
-10
3
7
4
1
—2
-5
-8
4
9
6
3
0
-3
-6
5
11
8
5
2
—1
—4
ал
N. X
у \
0
0.1
0,2
0.3
0,4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.00
0,10
0.20
0.30
0.40
0,50
0,60
0.70
0.80
0.90
1,00
0,1
0.10
0.14
0.22
0.32
0.41
0.51
0.61
0.71
0.81
0,91
1,00
0,2
0.20
0.22
0.2.S
0.36
0.45
0.54
0.63
0.7J
0.82
0.92
1,02
0,3
0,30
0.32
0.36
0.42
0.50
0.5S
0 67
0.76
0.85
0.95
1.04
0,4
0.40
0.41
0.45
0.50
0.57
0.64
0.72
0.81
0 89
0Л8
1,08
0,5
0,50
0.51
0,54
0.53
0.64
0.71
0,78
0.86
0.94
1.03
1,12
460
ОТВСТЫ К ГЛАВЕ X
(2697—2713
N. Х
У \
0
0,1
0,2
0,3
0.4
0.5
0,6
0.7
0.8
0,9
1
0,6
о.со
0.61
о.бз
О.Ь7
0.72
0.78
О.НГ)
0.92
1.00
1.08
1,16
0,7
0,70
0.71
0.73
0.76
0,81
0.86
0.92
0.99
1.06
1.14
1.22
0,8
0.80
О.М
0.82
0.85
0,8')
0.94
1.00
1.06
1.13
1.20
1,28
0,9
0,90
0,90
0.92
0.95
0,98
1.03
1,08
1.14
1.20
1,27
1,34
1
0,00
1.00
1.01
1.04
1.08
1Л2
1.16
1.22
1.28
1,34
1,41
97.
G99 TW г\<*1.„ 1
функция не будет
10* ~ ?(1ЖП
2700. Вторая функция изменяется быстрее.
2701. Парабола второго порядка; 1) нет, 2) нет.
2706- z=±c ]/:
однозначной.
707. 1)1; 2) 1;3)4-; 4) не определена; 5) 1.
о
2708. г — (х+у)*-У-\-(х-{-у)у-х(х-\-у>0); z будет
рациональной функцией от и u v, но не от w, t, x и у.
* 2710. z = {x+y)*y + [xy)**.
2711. u = (x*+y*-\-z*)' — x''h*4 + *2\(x'+y* + z')* +
_|_ з (х -\-у-|- *)АЪ и является целой рациональной
функцией относительно £ и ij, х, у п z, по не относительно
о) и <р.
2732. z=^^Y + a; a=*x*+f; v = xy.
2713. x = const.— парабола; д/^const.—парабола;
£ = cont>t.=r=0 — пшсрбола; z = 0 — пара прямых.
2714—2727] ответы к главе х 461
27(4. Ar = const., <v = const.— прямая, * = const.=^0 —
гипербола, z = 0 —пара прямых.
2715. х = const.— параоола, у = const.— кубическая
парабола, z = const.=^0 — кривая 3-го порядка, z = Q— полу-
кубпческая парабола.
271 . z = const > 0 — эллипс, х = const иу = const —
кривые 3-го порячка (при дг = 0 и у = 0 — полукубическне
параболы).
2717. a) z—0 — парабола лг=д>3; дг = 0 — парабола
t^zhy^l у = 0 — полу кубическая парабола г3 = — х*;
б) г = 0 — лемниската Бернулли; г = const.^ 0—овалы
Кассппп, ;с = 0 и у — 0 — параболы 4-го порядка.
2718. 4 + 4-<1.
2719. у*>>4х — 8.
2720. Вся плоскость, за исключением точек окружности
jc'+v' = /?3.
2*721. Внутренняя часть правого вертикального угла,
образованного биссектрисами координатных углов, включая
сами биссектрисы л
х-\-у^0, х — ^""-0.
2722. То же, что и н задаче 2721, но без границ.
2723. Внутренняя часть правого и левого вертикальных
углов, образованных прямыми у=\-^-х и у=. 1—jc,
включая эти прямые, но без точки их пересечении:
1 —x*zy<Z\-\-x (х>0),
(при # = 0 функция не определена).
2724. Часть плоскости, лежащая внутри первого и
третьего координатных углов (без границ).
2725. Замкнутая область, лежащая между положитель-,
пой полуосью абсцисс и параболой у = х2 (включая границу):
х£*0; у^гО; х*~^у.
' 27 > ■ Кольцо между окружностями хг-\-у2=-\ и
*,-4-д>э = 4, включая сами окружности: 1 ^х2-\-у3^4.
2727. Часть ^ плоскости, лежащая внутри параболы
у* = 4х, между * параболой и окружностью x2-\-yi=^\t
о'
ответы к главе х [2728—27S8
включая дугу параболы, кроме ее вершины, и исключая дугу
окружности.
2728а Часть плоскости, лежащая вне окружностей
радиусов, ранних единице, с центрами в точках (—1, 0) и
(1, 0). ^Точцп нерпой окружности принадлежат области,
точки второй — не
принадлежат.
2729. Только точки
окружности х2 -\-у3 = R2.
«.730. Ней плоскость,
за исключением прямых
(п — произвольное целое
число, положительное,
отрицательное или нуль).
2731. Внутренность
круга х2-\-у*=с=1 и колец
(п — целое число), включая
границы.
Черт. 73.
•"732. Если *>0, то \
2лтг < у ^ (2л -f- 1) тт; I n — целое
если х<^0, то ( число.
(2/1-[-1)тг<3'<(2л-|-2)тг; J
2733. х>0; 2пл<^у<С,2(п^-\)тт{п — целое число).
2734. Открыта область, заштрихованная на черт. 73.
при х^>0, уУ>х-±-1,
при х<^0, х<[у<[х~\- 1.
2735. Часть плоскости, заключенная между локоном
у = . , t и ею асимптотой, включая границу.
273 . х>0; >/>(); г>0.
2737. Часть пространства, заключенная между
сферами х2-\-у2-\-г2 = г2 и x2-\-y2-\-z2 = R2, включая
поверхность внешней и исключая поверхность внутренней сферы.
{
2738.
0<О<2; -1<>,-^<о.
£739—2760] ответы к главе х 4G3
2739. *3 <>></*.
2740. 0<У<х\ "З; у<(а — х)] I.
2741. (х — а)*-\-(у — t>)2</p; -oo<*<oo.
2742. (х — я)3 -\-(у — b)2 4-(z — с)2 < R2.
2743. a) AT^-f У<4^3;
б) —oo<^jc<[oo; —го^Д'^оо.
2744. v — lxy (2R±VW'~x2—y2); функция дву-
8начпа. Область определения функции х2 -}-у9 < 4/?3; *>0;
у"^>0. Область определенноегн апалншческого выражения
x*+y2<4R2.
2745. При 0е£*<1, 0<>/<1, S — xy;
при 0<дг<1, \*^y, S=x;
при 1е^лг, 0е^д/<1, 5=д/;
при 1 < д: ^ 2, 1 < ;/*£ 2, £—*>>—* —-д/ -f2;
при 1<*е^2, 2<>, 5 = дг;
при 2*£х, \^у^2, S — y;
при 2е^лг, 2^ у, 5=2;
функция не определена при х<^0 и v<T0.
2748. 2. 2747. 0. 2748. 0.
2749. Функция не имеет предела при л:—+0, у—► ().
2750. 0. 2751. 1.
2752. а) у = 0 или у = х* {а > 1), х—»>0по пронзволь-
ному закону; б) y = —-t х—*-0 по произвольному закону.
2753. Точка (0, 0); пблнлп этой точки функция может
принимать сколь угодно большие положительные значения.
2754. Все точки с целочисленными координатами.
2755. На примой у = х.
2756. На прямых x = m, y = n (m н п — целью
числа).
2757. На параболе у2 = 2х.
2758. Окружности с центром в точке А радиусов
соответственно 1, 2, 3, 4.
2759. Окружности с центром в начале координат
радиусов соответственно 1,—-, ——, —-.
2760. Окружности, проходящие через точки А и В.
464 ответы к главе х [2768—2782
27**8. Эллипсоиды вращения с фокусами в точках
А и В:
+ V(x — х2)* 4- U — Уг)2 + (г — *2j> = const.
2769. Сферы дгЗ^->* + *»= (—-})', где с>1.
277 ■ Параболоиды вращения x3-\-y2 = cz.
2772. 1^ при Т=Т0.
2773. ^— скорость изменения температуры в данной
точке; ч скорость изменения температуры в данный
момент времени по длине (вдоль стержня).
2774. - =6 — скорость изменения площади в зави-
dS .
спмости от высоты прямоугольника; Tjt — '*— скорость
изменения ающади в зависимости от основания
прямоугольника.
™ &-!■? = -'■
2777. ^1=3^-^, *=*_8у*.
2778. £ = ае~\ | = - «*-' + ft.
97RO ^ _.)H+3jcV —2tv»
* ou" d*~~ (дс" + уЧ»
d£_ y*-\-3r*v» — 2x*v
Oy — (л* -f >y
2781. ^ = 30*у(5л;Ъ' —У» + 7)»,
^. = 3 (5л:>y —Уг + 7)а (5дг« - 3^).
783—2797J отнгты к главе х
2783. д'- ' - = ^-7—•
q.q. Л* у дг х
2/ь*■5лт-~3?T7, ¥"~ ^Ч7?'
1G"
2785. £- =
дх
(^+V2)(arctg^y
х
'** Ua + ya)(«ctg£)"
2786.^=^^«, |- = *>ln*.
Of 117 0* 2х йг 2у
a7e7e SF—:?T?» ¥^^ЧЬ?'
2708 дг — 2 ** —- 2*
Я1В9 &--—^LOL_ * *T,2
*#OSf" <£ — (jca + y2) i ;jnTyi' aj/ (*» +M x* - У
97ПП дг - - 2 a* _ 2*
27ЯП. gj ——"aJ. $T— и2,,2дг-
у У
2791. ^ = -ie"7, *=5Г7.
07QO дг — ] дг — '
*#вА dT — A-'-f Uiy* c5T ^(Jc-f-luj/)-
07Q.4 <>"_ w du — v
a7e4.^=iccsicosi+^sinisini,
Яв5.&-£э-*|пЗ.£=.-18-*Ь8.
27в6.^=У(1+*Ж~1.
д£=ху{1 +хуУ~, + (1+хУ)у1«(* +*?)■
* .„In<*+»+;%.
30 Г. Н. Верман
466 отшты к главе х [2798—2810
2798. ~ = х*у хУ-i (у !л х + 1), ^=0х*уIn»x.
2800. *-, + *. *« + ,, £ = *+,.
2801. ^-=-=4= ди— у
дх \ х*+у*+#* °У у jct^.y^^*
ди_ к
Oz -~ | JSZfyi^fJt'
2802.^ = 3^ + 3^-1, 0=*« + Злг, *'=2v*+1.
2803.^=yx-\-vz-{-vy, -^ = xz-\-zv-\-vx,
dw . , dw ,.
^^xy+yv + vx^^yz + xz + xy.
2804. ^ = (Злг> +^>+ z*) <?*<*+*+*■>,
p.z=2xyexW+y4't>, ^ =2jcz«*(*'+^+«i).
2805. ^ = 2x cos (a:2 +>» + z'),
g- = 2^cos(^+^ + 2»)t
«гот*. wjc ^ ^ jt^j,^.,*
280 .д£=у'хУ*~\ $ = гу*-*хУ'\пх,
^z^y'xy'lnxlny.
2809.}. 2810. 1.
S8H—28I0] ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ X 467
2811. |£ = 2(2л:+>0»*+>[1+1п(2*+.У)],
^«=(2д?+Я8^[1 + 1п(2д:+^)].
2812.
аг_ 3 / . ■ 1плЛ» дг 31п*Л | lnjf\»
а*
2813. j~=j*eln *** (1 + пху cos njcy),
«— = дге8,п «у (l + nxy cos тгду/).
2814. ^ = l-^-v'-l^+72jCt
dz _1~л*-^-1 F+7 2
815. ^
»1 .*> а* V
лг-Ппл:
a* 2*0+*y av 2(i+^)'
2816. *i=-- Д
ал: (l-И xy)Vxy — x*y*
dz x
a7 ~~ (i + V*y) V*y-xay*'
817. a* — у*+ъ*у
" a* -^i4.(jc^4-^jc«)» '
dz __ x* + 2xy
dy ~~ Vl+^' + y^ *
2818. £.=-4, l/^H£E5,
дх x* V xy + x + y'
dz JL -\fxv ~ x— v
ду у* У ху±х + у *
2819. * = 4(1 + агс^^)' + 2агс<1
" ^ <-*a +У) (1 + arclg» ^) (1 + arctg £)* '
' ^ (^+>а) (l+ arctg'£) (l-f-arctg £)'"
30*
408 ответы к главе х 12820—2835
да Akx
dJ— (jca + yi+^ja-
9R9I да — '(*—У¥~Х да — *<*— v)'~l
лоли dx ~~ 1 -И*—у?* * 0и ~~ 1 +(*— .у)2*'
дм (х— у)*\п[х—у)
Ъ~г~~ \+{x—yf* '
2822.^=^-/?, ^ = л%. £ = -^Л
d* г ' ду г oz z*
да да да
2823. ^=5:=5= °
у г г (г1— 1)'
где r = V х2-\-уг-\-z2.
2824. ^=(2лу»—,vw)tg"of
~ = {2x*y—xzv)lg*a,
d£=(2zv* — xyv)tg*a,
dJ? = (2z2v-xyz)tg*d,
где a = x2y2-\-z2v2— xyzv.
2825. 2 У2.
*=л
/<)u\ __ Зя.,/ aft
28 7. 1 и -1. 2828- 1^. 2829. f.
2830. - У. 831. ^. 2832. ^ 0,0187.
2833.^. 2834. 45°. 2835. 30°.
°836—28S2] ответы к главе х 4t>'.)
2838. arctgy.
2837. axz={y*--<jxy2)dx,
dyz= (6xy2 — 6x2y + fry») dy.
2838. JJC* = -74iL=l dvz= VJ*.
2B39.dz=y{yt-xi}dx
л *<■*-■ y»)rfv
6уЗ</у
V — j^y»-*»'
w„__. — ЗгЦг
* Jt3-f-2v8 —г»*
2841. ху |(2у — Зд:/ + *х2у) dx -+-
+ (4y»*-3y** + 2*V.rf.
2В42.Х ^~у v
л-'-т-У •
2843.^=4^.
ОЯА 2(sdt — tds)
8 5.ydx-xdv.
yVy2 — x*
2846. (* dy+>></*) cos (*y).
2847. r^+r^.
28 8 ^ (xdv — y dx)
(x2 - y»)*
2849. *f+jf .
2850. y*~l iy\nydx + x dy).
2851. x'y-4yzdx + zx\nxdy4-xy\nxdx).
-852. 0,08,
i
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ X |2.в03~2.877
2853. 0,25с. 2854. ^. 2855. % 7,5.
2856. % 0,005.
2857. % 1,08.
2858. 5.
2859. 1,8 ±0,2.
2860. 4730+ЮО.
2ЯВ1 2^fL 4- MsInC . УС sin В
*OUI. а -ТЛаВsln ijj + Q-r sm csin (Я4-С) •
862. Нозрастает со скоростью 444 см*[сек.
2863. Ня =%: 2575 ел». ,
2865.-1^.
2866. 0. 2867. ^. 868. 5.
2869. у-з.
2870.cosa|slna.
2871. 1^.
2872. - I
2873. с»'"'-«"(cos/ — 6/2).
2874. sin 2/ + 2ezt + «' (sin / -f cos 0-
2875. 3-12/2
V 1 — (3f — 4/-V
2876. ,- = 3«3 sin v cos z> (cos г; — sin v),
da л
«£ = tt9 (sin v 4~ cos v) 0 — 3sInvcost>)
far 2и", ;., „ . 2a»
й=- тгln <J" - 2t,> - ?рг=зд •
2878—2900] ответы к i лаве х 471
78.
ди^ t* du g* + 3 x*x*
дх e* + eyt dx e*-{-e
X»
2в7в.£=££+±>.
dx I -+- хЧг*
880. £!=* !
81. £=(3-±- ' Wfa + l-j/TV
<// V '3 2 V f / V P J
du „r i
28 3. л = ^f."1B4^+4W
■ xvHyfl)dx + (x+])dvl
2884. ^ - [(/ — д:« + 2*y8) * <y +
-f-(*4 — y* + 2x*y)ydx].
2894.$^.
2896.
jre*' — e* — xexy'
2897. -£ 2(^ + v2)-a»
J' 2 («■+>•) +a»'
•^ . 2ж 4-tf ^ — cos -*У
л cos дсу — e*J' — jc
900. j
v1
472 ответы к главе х (2901—2 25
2901. т-5-я. 2902. —2Цт. 2903.
(^ТуГ JC1V—1>" -J-1-
290 . •у2111-*-1
М06-Ш)1=т. (S).-—4»
у=2 у=8
касательно к окружное!и в эгпх точках наклонена к осп Ох
под одним и тем же углом.
2907. —1.
ЛИ|' 3^ — FTT' ду~ — ^1'
2912. f ^== :£-,,
&г хг
5у ~ *У -f- *»'
^И' Ш — x{z-iy Vy- — y{z-\y
29i5. ^=-sin2*rf*+;ln2-^.
sln2*
2916. z=£^ . 2917. z = ^f-A-.
4 J
2918. * = £arctg^.
2919. </z=^-^.
2920.<fc=^+£*v.
a > a
2921. dzz=V^(xdx—ydy).
2922. dz = e~u [(v cosv — u bin г>) dx +
-}- (« cos v -\- v sin г>) dy].
29 . 2(jtJjt-f>;rfy).
29 r, 2(xdx-\-ydy).
2932—2958] отпеты к главе х 47а
293 . ** = ** +<у3 ffl* = ** + 2У* t?2-g
' dx* T *Ч-Р ' 3V* 1 x*+y* ' d*:dy ~"
xv
) Jr»+va
2933. — = — _£_ g« дг»-К^-у»)Т FTi*
2934.~ = -~2£_ **_ 2v ** n
2935" 5F == 2дЭ cos 2 (« + ДО. £4 = W cos 2 (a* + до,
a3*
dj^^2abcos2(ax + by).
2937.^= 1* f2!i—_il_ л _2(*-vi
2938. И = '"Hinv-i) , ln
дуй .»» e •
V
d3* III j»: In у 4- I , ,
ЛсЗу лгу 6
d3* *У8 _ d3* x*v
2939.^1 =
a*8 i' (i —л?уф * dy3 } (Г— хшуг^
&z I
дхду ) (l — лгу»)»
2940. [*Г-*)У
2941. 2у(2+лу)^\ 29 3. -x(2sinxy+xycosxy).
2942' 4^3+^»2) • 2944- (*У*3 + a*y* + 1) ev.
2945. mn (n — 1) (n _ 2) p (p — l) Ar"»-iyi-8zp-a#
953. — 2ydx3± 4 (.у — л:} f/.v^/y -J- 2xdy\
474 ответы к главе XI 12939—2972
2959. _<4*zz^£.
(X— У)8
2960 (3jt* ~ r2)^xa + 8jrv rf* rfy + &y* ~~ xi) dyX
C*8 + У2)» '
2961. 2 sin 2>> dx dy + 2x cos 2>> rfya.
2962. е*У \(ydx-\-xdy)2-\-2dxdy\.
2963. 2 (2 dx dy+Д' </л: dz -f- * dy </*).
2984. — cos (2x+y) (2 dx -j- dy)8.
985. — sin (a:+у -f z) {dx -f- dy + rfz)a.
2966.
2987.
**|_\аа ' c8/tf8 ' a8!»8 ^ ' \^ c ' b" J
2г | лгу8 </л2 -f- (л:2у» -f 2 гуга — z*) dx dy + x*y dy2]
К главе XI
2968. Ar8 + 2/ —^+Л(3л;а—>/) +Л(С/ —д:) +
_|_ ЗлгЛ* — hk -f bykr + Л8 4- 2ЛП.
2969. Дг=15Л2 —СЛА + ^'-И8-
2970. 1г = — 2Л -|- 7А — 4Ла -f 4ЛА -f"2А8 — 2Л8 —
— h*k + ^ hh* + -j Л8 — Л"/е + j Л3Аа + -J- ЛАЯ,
/(1,02; 2,03) =%= 2,172(5.
2971. Ах2 + By* + Cz3 + Dxy + Eyz -f- Fzx +
-f (2Ax+Dy-\-Fz) h + (2By -f- Dx -f- £z)A -f- (2Сг-|-
+ Ey + Fx)l-{- Ah2 -f ЯА^-С/^/ЭЛ А+£А/ +/7*/.
«я. .«4+| (,-j)+|(, ~|.)-
-t[(-t)*-K-t)x
X(.-|) + (^-iy]-|[ccs5sM(,_ i)" +
+ 3 sin 5 cps т) (x — -£y(y —^ -j- 3 cos 2 sin tj (x —J) X
X (.V — -J)2 + 9*n £ cos 7) (y —j)8].
2978—2992] ответы к главе xi 475
2973. *=l+(x — 1)4-(дг— \)(у— 1) +
+ -^(лг— 1)»CV— 1) + ..., *,*» 1,1021.
2974. e*Tsin;/-|-Asln<y+Acoe.y-f-
-f- -j (л* sJn у + 2ЛА cos д/ — A1 sin .у) -f-
+ -g- (Л8 sin >/ -4- ЗЛаА cos^y — ЗЛА1 sin д/ — A8 cos .у) +•••»'
zx ъ 1,1051. 2975. y + xy + jx*y—£-/ + ...
2976. у + ^ (2*y -r°) + -gi (З^3;' - 3*уа + 2у>) +...
977. i + {x+y) + ..t+x"^2yyrt+'+•■•
2978. д:— j,— -jC*8 — у)+|(л:« — /)~...4-
+ 'й^(А;3''+1-->'зл+1) + -"3амет,,ть» что arctS TT^^*
»arctg д: — arctg у.
«я-(£?)(£?)-£ £^-
980ш £(*+,)*-ля-^. 2981 . (О, 0). Чтобы убе-
я-=2
днться, что найденная точка есть точка максимума,
достаточно представить функцию в виде *=«10 — (д:—у)2 —
~2ха— у.
2982. (2, — 2). 2983. (— 1,1). 2984. (О, 0), (— j, о),
(- 1, 2), (- 1, -2). 2985. (|, -l) . 986. (О, 0),
(О, а), (а, 0) ,(|, £) . 2987. (О, 0), (0, 2b), (a, b), (2«, 0),
(2а, 2Ь). 2983. (£ £). 2989, (f £) .
О. (--1, -|j. 2991. (2,1, 7). 99 . (О, 4, 10).
476 отвиты к главе xi [2993—30I5
2993. А и С—максимумы, В — минимум; в окреа-
пости D поверхность имеет вид сседлаэ, вдоль EF
функции сохраняет постоянное значение.
2994. (-2,0), (^, о). 2995. (1, 1), (-1, -1).
°996. Наибольшие и наименьшие эначення лежат на
границе области; наибольшее: z = 4 в точках (2, 0) и (—2, 0);
наименьшее: z-=.— 4 в точках (0,2) и (0, —2).
Стационарная точка (0, 0) не дает экстремума.
2997. Наибольшее значение 2=17 в точке (1, 2);
наименьшее значение z==—3 в точке (1,0); стационарная
точка (— 2, 4) лежит вне заданной области.
2998- Наибольшее значение г = 4 в стационарной
точке (2, 1) (эта точка является, таким образом, точкой
максимума). Наименьшее значение г = —64 в точке
(4, 2) — на границе.
2999. Все слагаемые равны между собой.
3000. Все множители равны между собой.
3001. (f«). 3002. £ + £ + f=3.
п я
2-*/ %yi
зооз. х^^г%у=Щг.
3004. (3, К39. 0). (3, — ]/39, 0).
3006. Куб. ЗОЮ. В точке (6, 4) — максимум.
ЗОН. В точке (1, 1) — минимум, z = 2.
3012. [а, а) или (—а, —a), z = a2 (максимум), (а, —а)
или (—a, a), z =— а* (минимум).
3013. (— aV% —aVZ), *= — — (минимум),
(а 1^2, аУ~2), z = ¥— (максимум).
3014. Стационарные точки: х = — -к- Arctg —-,
^=TArctgf-
3015. (3, 3, 3), и = 9 (минимум).
3016—3037] ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XI 477
I
ЗОЮ. Две из переменных равны каждая 2, третья
равна 1 (минимум, равный 4); две из переменных равны
4 7 / „ 112\
каждая -г, третья равна -^ ( максимум, равный -=- J .
3017*. Исследовать на минимум функцию
при xl-\-xi-\-...-\-xn = A. Вообще
справедливо соотношение *~* >('*■*'— I , если Л>1.
ЗОЮ. (?1, 2, jjjj). ЗОЮ. (3,-1,1).
3020. а) (—2, 0, 0), б) (2, О, О).
3021. Куб. 3022. Куб. 3023.
Habc
3) 3 "
3024. Если R — радиус основания палатки, И —
высота цилиндрической части, h — высота конической
верхушки, то должны иметь место следующие соотношения:
3025. Куб. 3026. Стороны основания равны каждая
2a-{-i/2v, высота вдвое меньше: (я-Ьт %v J.
3027. а* (куб). 3028. Наименьшая площадь равна
3V^Jib. 3029. Стороны треугольника V2S, ) 2S и
2/5.
3030. Высота у, стороны основания —^— и —-z—,
о
объйм v = ^abH.
3031. Тетраэдр.
3032. Нормаль к эллипсу в искомой точке должна
быть перпендикулярна к линии, соединяющей данные
точки.
3033. Нормаль провести в точке с координатами
[±а /^, ±Ь /£*) 303 . (9, I, 4),
(-9, -1, -1). 3935. 2| 2
3037. a + b + c, a-}-b — c,a-\-c — b, b-\-c — a.
478 ответы к главе XI |3038—3059
3038. Если (черт. 74) А~В = с, ДС«=а, CA=bt то
ИЙ'«=с-|-1а, ВВ'*=а-\-^Ъ% CC' = b-{--jC и,
следовательно, АА' -{- М' + СС = -| (а -f- Ь + с).
Учитывая, что а-}-Ь4~Гас=0» получим: ИЛ'-}-##'-Ь
4-СС'*=0, т. е. условие замкнутости ломаной линии,
построенной на векторах АА\ ВВ' и СС. Векторы,
составляющие медианы этого
треугольника, будут равны:
3 . 3 3
3041. 120°. 3042. 120°, 60°, 45°.
3043. Плоскость, проходящая
черел конец вектора an (начало
которого в точке 0) и перпендикулярная к вектору п.
3044. Сумма квадратов длин диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратны его сторон.
304s.;wac=^-^,+c'4'.
3046. 1) G0°, 2) 30°. 3047. Правая; левая.
3048. Правую; левую. 30 9. Левую.
3051. 1) 14(*ХзО. 2) G/—/—5Л. 3052. — 2 {аЬс).
3053. Объем параллелепипеда, построенного на
диагоналях (выходящих из одной вершины) трех граней
данного параллелепипеда, равен удвоенному его объему.
3056. £А я= arccos ^, ^/ 5=arccos ( Ц] ,
^С«=агссоб -~=; 5 = 21^26. 3057. 5/-J-4/—5k.
3058. 24. 3059. 2r.g = 2|r|.^fl.
3060—3079J ответы к главе xi 479
3060*. Из равенства -=a{i)r следует:
d2r d* , dr /da . Л 0 ...
3061. Дифференцируя равенство г'= const. (см.
задачу 3059), получаем: Г'-тг = 0. Касательная к
сферической крнной (т. е. к кривой, расположенной на сфере)
перпендикулярна к радиусу сферы, приведенному в точку
касания. Обратная теорема также имеет место.
3062*. Из равенства а-^~ = 0, где f"i<*<fa.
следует, что на замкнутой (в силу равенства г(/,) = г (/а))
кривой найдётся точка, в которой касательная
перпендикулярна к любому наперед заданному направлению.
3063. Годограф скорости v {a cos /, a sin /, 2bi\ —
винтовая линия;
годограф ускорения w{ — a sin r, a cost, 2b} —
окружность.
3066. Эллипс. Скорость будет максимальной в момент,
когда материальная точка будет в конце малой полуоси,
и минимальной, когда точка будет в конце большой
полуоси. Ускорение будет максимальным (минимальным) в
момент, когда скорость будет минимальной (максимальной).
3067. { — 2, 1}. 3068. {\Оху — Зу»,5х*—9ху + 4у\.
3069. 2/+4/ 3070. у (2/ +/).
3071. ~yf+^. 3072. tgy=*r 0,342, у^18°52'.
хо~\~Уо
3073. tg <p з= 4,87, <р =sr 78°24\
3074. cos а ^ 0,99, а =*= 8°.
3075. coso^ —0,199, o=blOI°30'.
307e.(--L.i).(i,-i).
3077. Точки, лежащие на окружности х*-\-у3ж-^.
3078. {3xlylz0, 2xly0z0, x\yl}.
8079' пЙЙт^^^' ГД6 г""Рлд^с-вект°Р-
480 Отвзгы к главе xi (3082—3120
3082. 1) 2r, 2)£], 3) 2ГИг, 4) a(br) + b(ar).
3084. dlVi4 = 3, roti4 = 0. 3085. div A — 0,
wiA = 2[(y — z)l+(z — x)j + {x—y)k).
3086. div A = 6xyzt rot A = x \z2—y*) i -f
+ V(^~ «*)/+* (>■ — **)b.
3087. 6. 3088. dlvd = 0, rot Л = 0.
3089. dlvi4 = -j, где Л — коэффициент
пропорциональности, г—рлсстоянне от точки приложения силы до началл
координат, rot А = 0.
3090. div Л = О, rot 4 = 0. 3091. div A = О,
rot A = 0. В точках оси Oz поле не определено.
3092. div Л = к -. где Л —коэффициент
г М +■ у» -Ь г»
пропорциональности. В точках плоскости дгОд/ поле не
определено.
3093. За. 3095. div Ъ (га) = (aft), div г (га) = 4 (га).
3098. 0. 3097. 1) 0, 2) О, 3) 0.
3098. div А = 2Ш -J-/'(г), если поле
пространственное, div Л=—-{-/'(r)i если поле плоское.
3100. «prot ^-{-(grad«pX^). 3I0I. £j£p
3102. 2а. 3103. 2шп°, гдг п° — единичный вектор,
параллельный оси вращения.
3106. х + у = 2, у = х.
3107. х — у-\-а = 0, х-{-у — 3я = 0.
3108. лг-|-2>/— 1=0, 2лг—.у — 2 = 0.
3109. х— ^4-2 = 0, лг-4-^ — 2 = 0.
3110. (О, 0). 3111. (О, 0). 3112. (О, 0). 3113. {а, 0).
3114. (О, а), (0,— а), (а, 0), ( — а, 0).
3115. (2,0), ( — 2,0).
3118. (0,3), (—3,0), ( — 6,3).
3117. лг= —/'(а), >=/(а) — а/(а); у = хarcslnx-f-
-|-l/l —лгз. 3118. 1 С/ + 27*4 — о.
3119. у=~ и.у=-|. 3120. .y=-j.
3121—3I40J отняты к главе xi 481
I 1 1 3123. 4 прямые *±.у=:±:Я.
3122. *3 +>3 =^ 3124. 2^(jc2 4-y) + ^ = °-
3125. Парабола \lc-\-VУ=\^а.
3126. Циклоида аг = ^-(/ — sin/), ,у = ~(1—cos*).
3127. Эллипс **-f^ = /?a. 3128. Гипербола ху = ^.
3130. Эволюта параболы У = ;jy-(дс—/э)9. 3132. Ги-
перболы дгу = -тГидгу = — — .3133. f=^ = 7=—=
= —1, -jc-J-j,-! ^=г=:—£-=. 3134. *-6а==
я
= >L-I8fl==1;-72af *+6.у + 36* = 270&1.
3135. ""f + J = ^ = ^-2J2",
3136. £^i=^=lZ_4, 12*_4>/-{-Зг-12 = 0.
3137. i+iel^iel^, 27лг + 28у + 4* + 2 = 0.
3138. х"хо==У"Уо==ж'"^ i±JL i £ — 2
/4 /8 /2
*~Т У"Т '"""у"
3139. _-1=_т1 = _г^,
3140. £гЭ= у-"о— *-'«
2 2 ^2 2 2 2 •
Уо zo Хц х0 — xQ yQ
^ Т 2 _2 V'
Xq y0 MQ
81 Г. Н. В«рм«н
482 ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XI (3141—3146
3(41. 6лг-8у — z + 3 = 0, :L^=^=i==i=i,
HJT =^J = ТГ2• 3142'l F^x~xo) ~ 1 «"СУ"Л> = О,
} F — > а 0 ' > 2l^0 J 2^ — (" + Ь)'
3143. l-x — ey—V2z + 2 = 0,
1
у
jc — е е
1
*-} 2 jr-g__y g _ г - У 2
1
— > 2 sh l
3144.
31 5.
X — 1
2
Jt — I
3
x — 1
8
Jt — 1
1
Jt— 1
0
Jt — 1
= T] = L7-, 2*-.y + 3z-5 = 0,
|2" ' 1
£—1
3"
= |=^=i, 3jc + 3#y-z-2 = 0,
= T7„=f£if. 8^-11^-^+1=0.
V-l *—1 л
— о — i • z '
3f 6.
Jt —
it
v—?
1 2
* —1
> 2
—J- = L=lty2x-\ 2,+4z=4;
IT
*—-o
>-
>T
z-1
T 2
p^- = ^p, 1 2* + 3J 2д/ + *-5 = 0;
X —
V2
У-Ч
)T
z-\
I'd
— 3
-41 2 *
- 13jc + 3^ + 4Vr2z + Vr2=0.
3147—3165J , ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XI
3147. * + 1 —■у-13—*
483
2* + Зу + Сг = 37,
6jt + 2y — 3z = 20,
3jc — 6> + 2z = — 81.
3148. Для любой точки кривой урависмие
соприкасающейся плоскости 3jc — 2у—11=0, т. е. кривая целиком
лежит в этой плоскости.
3149. Соприкасающаяся плоскость одна и та же для
всех точек кривой. lie урапнеине
2
6 "
3 "
3 — 6 '
V—13 г
2 ~~ —3
V—13 г
-6 ~~ 2 »
х у z
я, а2 ай
«I л2 аь
Ьх Ьг Ьл
Cj Са ^8
Ьх Ь2 bz
3150. 5. 3151. 4а. 3152. z УТ
3l53.fllnlJ±lS-. 3154. "fi+4-lnsV
Т 2а — ) jt 2 V ' 2 У
3155. aln(l+V 2) = alntg|\
3156. 1 З(е'—1).
г'
fXr"
3157. т,—pj-, Pi = |r/yr.,. v.
3158. tf= ./(уУ-г'У')»+ .''» + *"»
(г* У г") У г*
|г'|-|г'Хг"| в
3160. !¥1.
slit
х — 2
3l6l.8*-8.y-z = 4, ^=^=
8
-1 *
г— 1
1 *
3162. *+>/-*-i=o, £=r-L=^f1
3163. z + a = 0, x = at y = a.
3164. 17*+1 ly + 5z = 60, £=3=^ = 1+2,
3165.д:->/ + 2г_|=0> £=
jt—I у—1
— 1
2
81»
484 отнрты к главе хи (3166—3188
3166. * + £ + -is=Vra,
3187. д-+П^ + 52г —18 = 0, 1^1=^12 = 1+1.
3168. Злг_2у--2*+1=0, £rJ=J^J=£^i.
3169. 2x+y+Uz-25 = 0, lrJ=-t^! = l=i.
3170. 5^ + 4^+z-28 = 0, f^-2=^_3 = l=i.
3171. дг—^ + 2* = | У ii л:—j + 2*=r- j/^.
3172. x+y+z=Va»-{-h*-{-c2.
3174. Все плоскости прохолят через начало координат.
3175. *Ь-№ = 2Кг + ж& а (хГ^ = - ^=^ =
* — *о
3177. |ая. 3180. 2z(x*+y*-\-z*)+p{x*+y*) = 0.
3181. (Ar2+/ + *»)8==27a8jtyz.
К главе XII
3182. М = [J"у(jc,у)do, 3183. Е=^о(х,у)йз.
%D D
3184. 7-=-jcd»Jjyy(jc,j0*.
3185. Q= (/а — г,) j j с (л, .у) у (*, у) da,
3186. Af = | П у (дг, yt z) dv.
3187. Е=|||& (дг, >, *)dv.
в
3188. 8тт(5—'К2)</<8к(5+К2).
3189—3217] ответы к главе хи 485
3189. ЗСтг < / < 1 ООтг. 3190. 2 < / < 8.
3191. -8</< £. 3192. 0</<64.
3193. 4</<36. 3194. 4</<8(5 — 2\П).
3195. 4я</<22я. 319Б .-| R. Рассмотреть простеП-
шсе цилиндрическое тело, объСм которого выражается ннтегра-
ff У R* — x*—fdi.
лом
3197. 4.
3199. О < / < А я/?8. 3200. 24 < / < 72.
3201. 28ттК^</<52я/з". 3 0.1.
3 03. ~ {abf. 3204. -|.
3205. (е— 1)». 3206. ^. 3207. In~j.
3 08. In A. 3209. \nl±}-L. 3210. 2.
3* + 4
S 2
3211. -Д. 3212
3 Зх|
IB- *MX- \ax \ f{**y)dy.
1 Vl—jt» 1 1-х
3213. \dx J /(*,j04y. 321 . frfJf J /(*, .у) ^
V2 4—jt»
3215. j dx j /(*,>>) <V.
2 2 * *
3216
" j'7* J /(*»»<У.
"' -f-iTO
4 3+^4дг-^
3217. frt* J /(jc. >) d>.
• 8- К47=Г?
48C» ответы к главе хн [3218—3225
1 У~х
3 18. j*Jjt j f(x,y)dy.
О ж»
1 2
а х+з з дг+з
3219. §dx J /(*.>)</?+J** j /(Jf.»d>+
_2_ 1—2* 1_ *
1 6—2*
+ J</* [ /(*,.v)^.
2 x
3" 1
12* 2 jc
3220.
f^J/(Jf.^)d>+frf*J,/(Jf,»rfy.
T 2*
2 2* 2 2Vv*
3221. [dx J /(A:,^)^+[rfjc J f{x,y)dy +
о -2V2S 2 -2V2*
8 24 — 4лг —2 Vu — x*
+ \dx j /(*,.v)4y. 3222. § dx j /(*,.y)4H-
и. — 2V2X —3 -Ув^Т?
2
2 Vl+ж» 3 V9 — x*
-2 _vt+3? 2 -vr=rj?
2 у 4 2
3223. jrfy \f(x,y)dx + §dy^f(xty)dx.
11 a Z
2
1 X
3224. frfjtj/(jt,.y)rfy.
0 **
1 V l -y«
3225, J"d> j /(*,>>) rfx.
3226—3250] ответы к главр xii 487
3226. "
\Ady j f[xty)dx.
VT VI±2PS
3227. J rfy j* /(*,;')<'*
-V5" -V4-2/
4 2 б в—у
4 2 « о—у
3228. j rfy j* /(*, jo dx + j d> j /(*, .v) rf*.
0 0 4 0
1 2—у 1 3—2y
3229. 1) Jrfy J f{x%y)dx\ 2) Jrfy J /(*,.V)</*;
3) fd> j f{xty)dx. 3230. l) I вГ 2) 9, 3) 1.
3231.0. 3232. й- 3233. |. 3234. —2.
140 4
3235. ~. 3238. 3. 3237. 12-|. 3238. 6.
3239. flfec(fl + fe + c). 3240. |. 3241. ^.
3242. 2e — 5. 3243. ±(ln2—|). 3244.^.
к
"2 R
3245. y6—4"- 3246. j <ty [/(poos?, psin<p)p</p.
« bo
2 2/? sin 9
3247.
I <ty 1 /(P cos 9» Ps,n ?) P <*?•
к
2~ oeln2<p
32 8. j rff 1 /(p cos <j>, p sin <f>) p dp.
3249. | f /(p^) p dp. 3250. |3 j f(tg y) rff.
о о
488 otbftu к гллио хн [3231—3290
3251. | [(1 + R') In (1 + R') - R2]. 3252. l£f%.
3253. яЯ3Л. 3254. f (it -1). 3255. £.
3256. ^. 3257. 4(«» + г/а). 3258. 2.
3259. abn p cosn-,<p sin и~| <p. 3260. I) *=2pcos<p,
2n 1
^ = 3p sin <f>, /= 6 I dtp j /(2p cos 'f, 3 p sin у) р */p,
2) *==pcos<p, y = V3pslnyt
f=V3\d'f \ /(pcosy, VUpsInffOprfp,
3261. ij£. 3 6 . -Lj. 3263. f.
3264.4 a'. 3265. i ттЛ'-'. 3268. |.
3267. ^ я (/?»— r5). 3268. 186 у.
3269. £(£ + £). 3270. ^. 3 71. 12.
3272. 1. 3273. 78 ^. 3274. ? V (Г.
3275. 16. 3276. 45. 3277. 13^. 3278. 161.
3279. аг*(|—I). 3 80. у/?3. 3281. 121.
3282.^.3233. 27. 3284. |. 3285.—.
3286 ■ 40я. При вычислении объёма удобно
воспользоваться цилиндрическими координатами.
3287. jabc. 3288. ~ па». 3289.^-°.
3 90. т|яЯ3. 3291. 8я. 3292. |[.
3293. | ъаЬс (2 — V~2) и Чг-^nft^' 3294- 11Г •
3295 ' 3296.2. 3297. тта*. 3298. ~.
3299—3343J oibetu к главе хп 489
3299. j. 3300м. (J — a) In ^. Положить ху = и,
* = *. 3301.^, /-* „. 3302.-Ц^ In*
3303. 4 тта>. 3304. 4 тт. 3305. 2а>. 3306. ~.
39 г—
3307. ^ тт. 3308>* 12л} 2. (При вычислении интеграла
подс1ановка tg<p = z8 приводит к задаче 2187.)
3309. - 3310. - ЗЗН. -?- .
3312*. —j^- (см. задачу 2147).
19
3313 ■ -g- тт. Перейти к цилиндрическим координатам.
3314*. 2nabc. Положить х = ар cos 'f, y = bp sin у, z = г'.
3315. jiiabc. 3316. yate. 3317. lira3.
3318. |gj. 3319. lira3. 33 0. ~тта8.
3321. ^na3. 332-^-. aa28-2lg7^4.
3324.|^.. 3325. 32n. ЗЗ^б. 1.
. 3327.4-^. 3328. | abc.
3329. i. 3330. 14.
3331. 36. 3332. Sit. 3333. 2]/2тт/Л
3334'". 2п#2. Проектировать поверхность на mu>
с кость yOz.
3335. *V~2ab. 3336. ^(1^8—1).
n
3337. £|(i4-/pjir —i}. 3338. ^(l/8—i).
3339. 4па(л —J a2 —/£>). 3340. 2/?3(я —2).
3341. 2Д3(я + 4 —4^2).
3342. ^3/2-1^5-1^ la 2 + 1/2 ln(/3 + K2)}.
3
3343*. -^— u 1 + c3)* — 1 >. При вычислении двойного
интеграла положить JC = apcos<p, y = bpslt\f.
490
otbftli к гллвг хн [3844—3873
3344"'. y (20— Зтг). См. указание к предыдущей задаче.
33 5. J^. 3346. *„(„ + £ ,„£±£), где ,=
= Уи2—Ь2. При а — Ь S = 2ka2.
3347*. ^(КЗ — ^ =5= 3,42-108 кмъщ Перейти к сфе-
i в
рическнм координатам. 3348. -тт^я3.
3349. 8Яа. 3359. ~. 3351. |/?«. 3352. я/?».
3353. -тав. 335 ■ Статический момент равен -г-.
3355. Центр тяжести лежит на малой оси, на
расстоянии £- от большой оси (Ь — малая полуось).
3358. S = (l-|)(VT+l),
1=т(у-1)(2+п»-
3357. Центр тяжести лежит на биссектрисе угла а, на
4 в1пТ
расстоянии -5- R от центра круга.
3358. Центр тяжести лежит на биссектрисе угла а, на
4 sln8 Т
расстоянии —7? _ от центра круга.
3359. 6=jg. ч = 0. ЗЗВО. ^\ 3361. ^.
3362. | пЯ«. 3363. ~ аЪ* и ■£ to". 3384. | Л
4 4 4 о
3365. ~. 3366. ~ (а» + *3).
3367. <Щ±П. 3388. ^ («2 +12А>).
3369. *£\ 3370. ah (^ + S)"
3373". Выбрать систему координат так, чтобы начало
координат совпало с центром тяжести фигуры и одна из
координатных осей была параллельной оси, относительно которой
ищется момент инерции.
3374—33981 OTBFTbi к главе хп 491
мча а*Ьс а№с abc2 поте пл,&г3
3374. ~y , -тр и —. 3375. —^-.
3376. —т—. 3377. Центр тяжести лежит на оси сим.
мстрии, на расстоянии ^ R от центра шара.
о
3378. Центр тяжести лежит на оси симметрии сектора,
3
на расстоянии ^-R (1 -f- cos а) от центра шара.
3379. *_{«. ,_», е=|.
3380. Центр тяжести лежит на оси параболоида, на
И
расстоянии -q- от основания.
3381. £=^-я, 7) = -g-/>, С = -§-с.
M82.Hr. Нг- Н'
3383.е=*. ч=}?1 е. :=у.
3384. £==0, i) = 0, С=Й(6^3 + 5).
3335. 6 = ^(2 + 1/2), ч = 0, С = 0.
3388. 6 = 0, ч = 0. с = ^-
3387. е=£, 4=1' И-
3388. £ = 0, 1) = °. С = -|а/.
3389. £ = 0, 4 = 0, с=5Ц|г^
3390. i- Л/ (&а + с2), -1 Af (ca -f- я2), 1М (а2 + Ь2).
3391. ±М(а2 + Ь2-{- с2). 3392. ~ Л*/?».
3393. j M {b2 -f- с2), ~- М (с» -{- л2), i- Ж (а» + *3)-
492
ОТВЕТЫ К ГЛАВР XII |3394—8413
3394. М (5 + !£) . 3395. '21 (//«+ 3/?').
339 --g-iW^-^. 3397- Ж/?3. 3398. ^MR\
3399. |-Л1/?». 3400. 55 + 9Гз"^а. 3401. ±а*
3402. 2ттг (Я — г) 3403. у уяб».
340 . 2тгу (R* — г2). 3405. ~^(3R3 + 2Яг).
340 ". ~q-.— . Если за ось Ог принять ось конуса,
а за начало координат его вершину, то уравнение конуса
будет: дг»+У — z*lg*a = 0. 3407. |-тгу/?в.
3408*. £ = 0, 1) = 0, ^ = — R. Перейти к
цилиндрическим координатам.
59
3409 . т^л^/?5. См. указание к предыдущей задаче.
3410 ■ Выбрать систему координат так, чтобы начало
координат совпало с центром тяжести тела и одна ил
координатных осей была параллельна оси, относительно которой
ищется момент инерции.
3411 ■ Выбрать систему координат гак, чтобы одна
из координатных плоскостей совпала с плоскостью
пластинки и одна из осей — с линией пересечения понерхностн
жидкости с плоскостью пластинки.
3412. Центр давления лежит на осп симметрии
прямоугольника, перпендикулярной к стороне а, на расстоянии
2
~Ь от стороны, лежащей на поверхности. Во втором случае
(сторона а расположена на глубине И) расстояние центра
2d 2
давления от верхней стороны будет равно -j . . t) , где
t.
/ = -j—. (При l^>b центр давления почти совпадает с
центром прямоугольника.)
h Ч
3413. a) -j sin а, б) -j ft sin а.
3414—8453] отвьты к главе хп
493
3414. Центр давления лежит на большей оси эллипса,
а2
на расстоянии g-f- от её верхнего конца.
3415. Расходится. 3416. 2л. 3417. 4. 3418. 2.
3419. 4-. 3420*. гг4—. Перейти к полярным коор-
4 2 sin a
динатам.
3421*. -тт. Переменить порядок интегрирования.
3422*. -^. См. указание к предыдущей задаче.
3 23. Сходится. 3424. Расходится. 3425. Сходится.
3426. Расходится. 3427. Нет. 3428.-.
3429. ~. 3430*. ттУ^т?; воспользоваться интегра-
00
лом \e-*2dx = ¥£-. 3431. Расходится. 3432. Сходится.
3433. Расходится. 3434. -~ттЯ» (in/?—-1-) .
3 35*. гг. (См. указание к задаче 3430.) 3436.-?-.
3437. —2—. 3438. Определена всюду, кроме х = 0.
3439. 3„. 3441. ,»,{£ + «*+.!> «*т}-
плло 1-3-5...(2я — 3) it , ^ 1V ni.« (n— 1)1
3444*. , Тц . Продифференцировать по а и по £ и
результаты сложить. 3445. 1п(1-{-а).
3446.-iIn(1 + а). 3447. |In (a + VT+tf).
3448. тт(>Т^"а—1). 3 9. £1|1(1+«),еслиаХ>;
— |-1п(1—а), если а<0.
3450. ттш1*^1""12 . 3451. irarcstaa.
3452. narcsina. 3453. \ тю.
1,4 ответы к главе хп {3464—3472
3454*. уп(]/Т—V~a)- Дифференцировать по а или
no Ь.
3455 . агс^L — arctg j = arctg a%~£ .
Дифференцировать no b или по с. 345 . 41" fl! 1" *?.
3457 . тг1п ^ Дифференцировать по а или по Ь.
3458. £ In (1+а), если а>0; — .£h,(i—с), сслп
«<о; [5ТЛс=/(,)вт1п2- 3460*в 1пГ+^ И11те"
о
грировать по параметру л, в пределах от а до р.
34SI. \ if (ft —а).
-,е«, fcos.rrf.r_ Г sin.*<**__ /-—
J |J "J >J ~Г Г- <См- зада"
чу 2187.) 3464. ~ In £. 3465. I In - .
J ' 2 b na
3466 . /=llm \\lb*-***ldx\ = !tm Г fiibttf,-
■-►о LJ * J ,-^oL J x
■
00 *•
3470. ab In A .
a
— I-—'rfjt =llm I-—-dx. Применяем к последнему нн-
тегралу обобщенную теорему о среднем (см. сКурсэ, п° 102)
и переходим к пределу. 3467. In — .
3 68. In-. 3 69.4-lnl^i-?
а 2 I a — b
3 71*. -jln3. Представляя sin8 дс в виде разности
синусов кратных дуг, сводим задачу к предыдущей (при
соответствующем выборе а и Ь).
3472 ■ Для доказательства можно использовать два
метода: 1) HHTeipiipo анпе по частям; 2) изменение порядка
интегрирования в двойном интеграле, получающемся после
подстановки интеграла вместо Ф (az).
3473—3502J ответы к главе хга *95
3473 ■ См. указание к задаче 3472.
3474*. Воспользоваться вторым метолом решения
задачи 3472. При доказательстве второго соотношении
необходимо исследовать ннторал
sinrtjccnsfjc sin 0) .
X
о
при |л|>1 " |я|<* (см- задачу 2204).
К главе XIII
3 75. Vb In 2. 3476. 24.
3477. 1 {(yl+p4-Ps } • 3478. 2та»-+«.
3479. 2*ЩЬ£+Й. 3480. 4™ Va.
3481.
Ъ(а+Ь)
8flit»T 2
9«
3 82. I F (р cos <p, p sin (р) V? + р'3 dy.
*' я лГ~
3483 ■ : —. Перейти к полярным координатам.
о
8484-1 {(*i+D*-(*?+l)7}. 3485. Ьа.
3486. -я- + V- arcsin e, где в — эксцентриситет.
3487. (гпа' + ^К^Н2-
3488. (1-Г')1 3. 3489. Зтг/?а. 3490. -£'.
3401. у. 3492. Я». 3493. gp». 3494. 8Яа.
3495. 4RK 3496. ^. 3497. «^j££.
3499. tl^lB, где а и ft — полуоси эллипса. 3500. -~
oJ . /*
3501. W/? з • ПР" Я=ЛК2. 3502. 3.
(Л»4-Я^т
496 отпеты к главе хш [3503—3545
3503.^. 3504. — g. 3505. —8. 3506. 32.
3507. l)|;2)^:8)g: 4)-£.
3508. По всех четырёх случаях интеграл равен 1.
3509. 0. 3510. — 2nab. 3511. —2тг. 3512. 4тт.
3513. па». 351 . j|k/? У if. 3515. 13. 3516. 0.
3517. ЗКзГ 3518. mFR. 3539. a) ^IzJ!; б) 0.
осот H'n' + ^ + c'i о
3520. ^ ■— In 2, где k — коэффициент пропор-
цпоиальностн.
3521. -^\n2t где k — коэффициент пропорциональности.
3522. nab. 3523. £ттаа. 352 . 6яа>.
о
35 5*. rv. Перейти к параметрическому заданию,
положив y = fx. 352 . 5Jq.
3527 . 2а2. Положить y = xtgt.
3528'. gr. Положить y = xt2.
3537. « = :£±£8+С. 3538. « = (*» —Я' + С
3539. l„|Jf+J,|--.-£-+c.
3540. arctg£ + C.
3541. Aracos^-i-yCosA; + C. 35 2. £-=J_J-c.
3543. x~y J. г
2
3545. a = £ = _i, f/ = ,*-J' i г
3544. /f=l, и = 11п(дг» + д;»)-|-arctg^--(-C
*■+>•
3546— 5611 ответы к главе хне 4У7
35 6. u = \u\x+y + z\ + C.
3547. u = Vx*-t-y* + z*\-C. 3 8. »rctLxy -f С.
354 .-if_ + c. 335 . i^ + C.
3551. Q=(Tt — Tjlc, — -~\ где Я —газовая
постоянная, cv — теплоемкость при постоянном об1ёме и а —
термический «эквивалент работы. При k = c-P-t где с —те-
cv р
плобмкость при постоянном давлении, 0 = 0
(адиабатический процесс). При Л = 1 Q = aplvl\n& =aRT\n-^±
Pi V|
(Л = T% = Т) (изотермический процесс).
<?>0 при Л<1 и при Л>-£>1.
353 . И = г-^.(Га — 7,) при Л^1,
Л = ЛТ1п£! = ЯГ1п^ при Ы.
3553*. 1) A = R{TX — 72)ln^i.
Л
3) ^ = T^(7'D-7'c-f-7'i,-7'A).
[дли адиабаты (k=&\ А = с-£ (Гв — Тс),
для изотермы (Л=1) i4 = /?nn ^1.
Воспользоваться результатом задачи 3551.
3555. 41/ёГ- 35 . jj. 355 . **-. 335В. о.
3559. к/?». 35i0. ^. 33 1, 2™rctg£.
32 Г. Н. Берм ш
4. ; отпртп к гллпе хш [3562—3390
3' ■ ^[(^--(ТТ/И "р" пф2-
In —-., при л = 2.
f С — /v'
С563. ix\RYRa+\ +ln(/? + V/?»+l)].
35 ** тт3/?:1. Воспользоваться сферическими
координатами. 35 5. .гтг/?4.
35 *. 1. Сначала доказать соотношение rdq —
с2 и
= -dxdy, где dq — элемент поверхности эллипсоид,!. При
вычислении интеграла положить лг = яр cos <p, y — bps\ny.
35 7. 3. 3568. Hfjf. 3569. Атайг. %
3570. 0. 3571. 1. 3572. /w^ + t)*
3573. |. 357 . (j^ + Я^^-
3575. \^(у — х) с*у dx dy. 3576. —.
3577. 1) 0, 2) _^.
35 О. 2 [[ (х —y)dxdy + (у — г) dy dz-\-(z — x)dxdz.
У
35BI. — ~. 3582. sJV^ (jc + > + лг)rfjcrfy«te.
3583.^^-4^4^^^^. 3584.0.
3585. -ттЛ*. 3587. «(a:, v, г) = я*-{-/;;>4-<;г + С,
t)
\jw a, h и с — проекции вектора А па оси координат, а
С — произвольная нос гояннаи.
3588. e = -i k[x*+y*-\-*) + Ct
3589. Пет. 35 . Пет.
3391—ЗС04] отвгты к главг хш 499
3591. и = — -}- In (л8 -г-д/З) -}- С.
3592. Нет. 3594. |, |, 1.
3595. Шп*ШШЗ±±=*.
3596. 4Л(| «J—1).
3597 **"* а' + Р. 2xb + Va» + 4r№
b a
3598. 2лЫп(1+1!Г). 3599. -4^=-о arccos д,
если Л<1, 2тс/г, если Л= 1, —Ш=- 1п(Л + ) Л2— 1),
если Л ^> 1.
3800*. 1) 2Лл/?оЧпШ^±?£2,
2) ЛктхНо In —!—'т^— . Разделить цилиндр понол«1М
сечением, параллельным основанию, и вычислить потенциал
боковой поверхности цилиндра как сумму потенциалов боковых
поверхностей обеих его половин, применяя результат пункта 1.
3S0I. 2&тг/&
3602 = . 1) ш[н\ Jv+TP-W+R* In // +1 ~* + -] .
^[//Т/4ЙПрГ»-/Я +W In "^^j; см. ука-
2)
Clinic к задаче 3000. 3) 2ъктЪ (R-\-H—\ R2+ /У-').
Сила направлена по осп цилиндра. 3603. 1) ъкЪН (/ — //),
2) -L^.—(/ — //)t ,-де / — образующая конуса.
■о.._»*й[(,+£)*_(;)*_а+,]
при a£»R;
при я</?; «=^!3(4> 2—3) при a = R.
32*
500 ответы к главе хги [3605—3824
3605*. « = 1^ (/?э — гп) = ^ {М — масса тела)
при a^>R;
« = 2Ы(/?3 —г3) при а<г;
uz=*J?p-lab--r*)-\-2knb{R*--a?) при r*Z.a<,R.
ли
Провести концентрическую сферу радиуса а и применить
результаты перкых днух случаев.
3807. ^ [S-+T (I)'] . ™е Л/-масса шара
3608. a) fl = 4j,-3j0l Ь = ±(зс—а0);
6) u = —j- (у—-»= — (где Л/ —масса
шара) пр.. r^R- и=^ъкг* (у — а) + 4кЛ (т* ~ If)
при Г<Я; в) -3^/?Jtf=^T; г) при г = -^;
д) при 0f=7j-oo. 3609. И поток и циркуляция равны 0.
3610. Поток равен 2aS, где S—площадь области,
ограниченной контуром L. Циркуляция равна 0.
3 II. И поток и циркуляция равны 0.
3612. Поток -z-nR4, циркуляция 2тт/?э.
w6I3. В случае, когда начало координат лежит внутри
контура, поток ранен 2я, в противном случае поток
равен 0. Циркуляция в обоих случаях равна 0.
3 14. Циркуляция равна 2л, если начало координат
лежит внутри контура, и равна 0, если вне контура. Поток
в обоих случаях рзнен 0. 3615. 2. 3617. '2jxR2H.
3618. nR3H. 3819*. 4тг. Вычислить поток через
основание конуса и воспользоваться результатом аадачн 3616.
3620.-.... 36 I*. -гг. Воспользоваться формулой Ост-
рогралского и вычислить поток через основание пирамиды.
3622. 2тт2Да. 3823. 2тш/?з. 3824*. —тт. Применить
теорему Стокса, взяв в качестве контура L линию
пересечения параболоида с плоскостью хОу.
3623—3659] oiBLThi к гллвр xiv 501
К главе XIV
3625. 1+>3 = С(1— х3). 362 - х3+у* = In Сх\
3827. у=* с+Зх — Зх*. 3 28. у = СбЫх—а.
3629. Сх=£=+. 3630. х\ Т^У*+уУТ^Т*=С.
3631. }/T=7» = arcshiA:-f-C. 3632. е* = С(\ — е~а).
3633. 10*4" 10~->' = С 3634. In tg^j =C—2sin^-.
3 35. <=4(<+^) •
3636. /= -JL= in l^MLziL±£lA..
3637. у = 1. 3638. v = !-±£.
-* * 1 — x
363Э. cosx = VTzosy. 3640. y=£±£.
3641. Гипербола ху = 6.
2 - У 4 - ж»
x—a
a
3642. Трактриса
3643. Парабола y* = Cx.
3" . y* = Cx. 3 5. y=
3646. (* — C)8+/==«». 3647. > =1 In|C(k*x*-1)|
8. x=y. 36 9. ^ 269,3 ~.
3350. ^^(l-^j'e'Sr^'iV,
3652. 0,467 ~; 85,2л.
' нас'
3653. H=^Vh — ^qTJ\
3654. ln|y^| = ^(2/ + «/2). 3*55*. Если
/-время, отсчитанное от полуночи и выраженное в часах, то
502 отпеты к главе xiv (3li5G 3GCO
дифференциальное уравнение задами имеет вид
160 000
dS . nit— \2) ,. с
_= = «cos—...— dt, отсюда о==— ., ,,, 1я л
s}s и |9_sl„l!L^iilja*
Функция S(t) определена при 6a^f<18.
3656. A- + ctg^-^ = C. 3657- 4у — Ga:— 7 = Се-**.
3658. x + C=2u + j\n\u— 1|— j In (и+ 2), 1дс
и = V\-\-x+y. 3659. у — 2x = Cjc° [y + x).
3 60. y* — x* = Cxaya. 3 "I. arctg£= In cVx*+y*.
3C 2. ln#v + - = C, 3663. jc>-|-y = Cv.
3 64. y = ±x\ TbCx. 3665. л:8 = С3 + 2Су.
2L JL
3666. «?* = Cy. 3687. In|C*| = — e~ *.
У у
3688. ^ = jee« + c*. 3869. Vx*+ya = C-e* mtg * .
3670. С* = у (7 ) ■ 3671. у =y — *3.
3672. y = -x.
3873. Если £=«, то H^f-rfv;*^)»--*1
3674. дг = Се*2^ *. 3675. дг=^1п|Су|.
3676. Агэ = 2Су+С3.
3677*. Форму параболоида вращения. Пусть плоскость
х(Ъ>— меридианная плоскость поверхности зеркала; в этой
плоскости лежит искомая кривая; дифференциальное
уравнение получится, если приравняем тангенсы углов падении и
отражения, выраженные через xt у, у'.
3 1Вш у = ОГ**-\-2х—\.
3679. у=с-* ( С+~ ) . 3S8C. у =z Сх'Г* + х*-
SGOf—37C2J oriiiiTii к П1ЛШ. xiv 5O0
38BI. ^ = (аг + С)(1+^3)-
Я Ъ2в у = Се x + ~{cosx + sU\x).
3 33. Если т - — а, то у = Се~ах4- -.—; если
т = — а. то у = (С -f- .ф'" v.
3£Е4. v3 — 2* = СУ».
3 ВВ.х = Сё» + ±у+}2у+±.
3588. ^=^1111^1+—.
3687. ^ = Се-фм + Ф(А:) — 1. 3888. ,у = -^-.
3839. ,у=/У +"*-'".
s х
3SDO. Не существует решения, удовлетворяющего
указанным начальным услоппям.
38Э1. * = -- /arctgf.
3892.6) a + jj=l. 3- 4-^ = Cjc —jcln|jc| —2.
389 '. y = Cxzb .,— • Дифференциальное уравнение
задачи: |jty—д:2У| = аа.
,,з
3896 "■ x = Cy-±z — • Днфферснцнапыюс уравнение за-
ху — у3 - - = 2ft3.
sew. „=*-(«--£+£.-*).
3893. v=(t-„+/')C-fl,J г-*(й/3-1). где а=2т, b^ ^ .
699. ^S^(A*.-«0[(1-^0"",-,J"
3760. i; = — ek#h Г ^i<?*,,x,','dt*
0
ЗЛ я /"On
где u. = /W — /я/, *! = — у ^з-
3701. 0— 0o = <?~*'WlO**'^- 37° ■ 9-03fl-
0
3703. 7 = ,, ,0„, •[co/.g T4-/?slnw/ — oleosa)/1.
дачи:
504 огм-гы к главе xiv [3704—3736
3704. х = Се"** *". 3705. у = Сх* + ~ -
370 ay=tL\f^\+{l+£l. 3707. у = Сх—\.
3708. (1+Ar2)(l+/) = C^'.
3709. (д:4- У)*(2х+у)* = С.
3710. л: = Се" V. 3711. sin -^ = Сх.
х
3712. sln-£ + ln|je| = C. 3713. у = С—• + •*— 1.
3714. ^(^—2а:)« = С(>' —л:)3.
3715. л: = С*,,п У—2 (\+sin у).
371 . jc=^(l-f-C^). 3717.д;==Се-«,п* + я,пл:—J-
3718. у = (С + е») (1 + *)". 3719*. / = |sm*+да - .
Привести к уравнению, линейному относительно z=*y*.
3721. arctg^ + lii(jc«+y) = |. + ln2.
37 .y = j\ \^[2 + xVT^* + arcsinx].
3724. ^=i[e^+C-}-e-(^-fqj. 3725- jc>+/au
3726. (^ — а:)2<д:-{-2>') = 1.
3727. Параболы: ^ =» * + Cx2.
3728. (2y* — xa)» = Cjc2. 3729. у *= С*2.
3730*. Пучок прямых y—y0 = C(x — xQ).
Дифференциальное уравнение у—у0=у'(х— х0).
3731. Окружность с центром в точке (х0, у0);
х*+у* = 2(хх0+уу0).
3732. Если путь 5, а время /, то S=,S0 4-(>-*•' —
b Ь
—7Г Ч"^'8» где ^о — начальный путь, a /s, и kt — коэф-
Ко В
фнцпенты пропорциональности.
3734. 1) •§- оборота в секунду; 2) через б мин. 18 се*.'
3735. 0,00082 сек.
8738—3744) отпеты к главе xiv ДО-*»
3738. 2,97 кг соли. Максимум достигается при
t = 33 -*г мин. и равен 3.6S кг.
3739. /=14-(/0— \)е~*.
3740*. Р = ^ , где *=^-.
О
Практически важен случай, когда (о очень велико
(центрифуги). Вместо того чтобы вычислять интеграл в 8на
менателе (он не выражается в элементарных функциях),
полагают юзе сю, точнее говоря, вычисляют Нгп/?. Это даёт
как раз задачу 2149. Рассуждая, как при выводе
барометрической формулы (см. «Курс», ч. 1, п°135),
получим дифференциальное уравнение sdp=zwaxdmt где dm —
масса элемента CD. Далее, y = 2kp (одна из форм закона
Войля — Марпотта; коэффициент пропорциональности
обозначен через 2k для упрощения записи в дальнейшем);
dm = ysdx=.2kpsdx. В результате получится уравнение
с разделяющимися переменными: ~ = 2k(u3xdx.
Интегрирование его даОт: р = Сеы,хш, где С—константа интегра-
м I
цнн. Далее: М= f dmx=C-2ks- f еЛиЛг1 dx, откуда
определяется С. Имеем:
Р = , но Уо = 2^0 = х, к=-щ-£
2ks f tk«*"dx
Ь
и окончательно:
Г* e^'dx
3741. {х+у— 1)» = C(jc—> + 3).
374 . a:2—.jcy-J-/-}-* — ^==C.
743. * — 2у-\-\т\\х-\-у\ = С.
374*5. "'"^^"^ССУ+г)
606 отш гы к главе xiv [3743—37СО
С "
3745. у = *+(*+1)1п jqpf]. 3746. уЬ"* = С.
3747. ^ == tg In | Сх |. 3748. jcy + 1 = Су.
37 9. Сх=\ — -фр. 3750. (14-ед^=1.
3751. У + 2лгу + 2уа = С. 3752. л;*-f/ = С (.у — 1)
3№&. y = xt&{x + Q. 375 а -L = Ce™+x2-\-!s
3755. j> = (i+jr)|c + i,i|i+jr|j *
-пх
3756. пу = Се " -\-nx-a.
3757. д:3 = У(С—У). 3758. д>(1+1п|*| + Сл-) = 1
3759. ^(^4-0 = sec л:.
в7Сп / С-4—lii lens .г| | . \а
3760. у=( ^ х - + tsxj .
37В!. у = ~ \п2\Сх\. 37 2. у = Се *—£.
3763. j = -*£U.
37^ . 1)—+ — = 1; 2)4 + Л = 1-
3765.-£^ = (Ро~^)<р. 3766. **—*у + / = С.
Р Р.,?о
3767. *-f-arctg£ = C. 3768. хсУ—у2 = С.
3769. *х = С. 3770. |/]^+7»-f^-=C.
3771. tg (.vy) — cos x — cos у = С.
3772. у1Л*2+Я3 + *--у/ = С.
3773. sin У- — cos— + a: = С.
3774. лг — = С. Интегрирующий множитель р. (л:) = -j.
3775 ■ jc8-] = С. Искать интегрирующий множитель
в виде функции Д(у). 3776. (х2 •-{-д/2)е* = С.
3777. ^ + J4£i = C.
3778. (л- sin у-{-у cos v — sin у) е* — С.
3780. ^у-'е-*-**™**.
3781—3808] otbftu к гллвс xiv 507
У' —X1
3781. Выражение -* _^ должно бить функцией от
(*+У).
у' —х'
3782. Выражение —х —- у~ должно быть функцией
от лгу.
3783. abx + Ь2у + я + Ьс = СеЬх-
Г (w—W* I i
3784. y= Се а — ~ 1~m.
3785. л:3 -f 2.vy—у2 — 4л: -}- 8у = С.
87в6.-^-+1п|*+^|+31|1|.у —jc| = C.
3787, x+yz^aigfc + ^Y 3788. у» —Зл:^ = С.
378 . х2— у2 = Суп. 3790. Зл;3;/+ л-У = С
3791. у (х2 + у У) = Се~*.
3792. ln|l+j,|—±±1==с.
3793. у2— 1-\-Сху = 0. 3794. -^—[-In ~|=С
3795. 3 ,v = Cv/Jc^rT + A:3_i.
3796. у = sin л: + С cos л:.
3797. ^=~ ^ . 3798. tgx—i^=C.
3799. хе1п т = С. 3800. jcy cos -^ = С.
3 01. sIn.y = A-— 1+Ce-*. 3802.^=tg/ + ;ccj:,
С* -•г* Sill X
х*+У х
3803. 1п|Слг| = — е * . 3804. х-\-уе~У=С.
3805. ^ = х In | Сл: |. 3806. у2 —by—аху=С.
3807. Окружность х2-\-у— (ay -|~ by) = С
(Л^—1) или окружность х2-\-у2——— - (ах -\- by) = С
(k=fi\); если k = —1 пли Л=1, то прямая ax-\-by — t.
3808. ЛогаитЬмпческне спноалп
3808. Логарифмические спирали
Ух2-{-у2 = Се
*3Ktg
У
508
ответы к главе xiv (3809—3830
j_4 I г«4
3803. у2 = —-~—. Дифференциальное уравнение
задачи: у* = х(х—уу').
3810. / = у.
3811. Вектор ноли в каждой точке перпендикулярен
к радиус-вектору точки. Интегральные кривые — семейство
концентрических окружностей с центром в начале координат.
Уравнение семейства л:1-}-у2 = С. Изоклины — семейство
прямых, проходящих через начало координат.
3812. 1) у=/{х.у); 2) /=/(£); 3)/=/(*'+/)•
3813. Прямые у = Сх. Результат может быть высказан
в форме следующей геометрической теоремы: если семейство
парабол, имеющих общую ось и общую вершину, пересечь
прямой, проходящей через вершину, то касательные к
различным параболам в точках пересечении их с прямой будут
между собой параллельны.
3815. y = 2L±* + C; y=*ay + hx + C.
3819. При Д* = 0,05 ^=5= 0,31.
3820. При \х = 0,05 уъ 1,68.
3821. Точное решение: у = е* =/(лг); /(0,0) = 1,2244.
Приближенное решение: /(0,9)= 1,1942. Относительная
погрешность равна % 2,5°/0.
3822. д:5= 1,727.
+ ти**+я*4- 3824- -1-28-
18 » 63
3825. у= 1 +jc + *3 + 2*" + jx* + ...
38 e.^l-* + £-i+Tr + "-
3828. у=1-{-2х — х*+±& — 4^4+...
3829. у=0. 3830. ^*+£ + х+Й^ +
3831—3895] отвиты к главе xiv 509
3831. i,= -^L-^i-il_
У 21 31 51
3832.^=l + (^l)^^ + 2J~rI4
,'4U-1)« | f)0(jy-5)' ,
П 4! 1 5! ""•••
3833. у = Cx-f- Ca; особый интеграл лг3-|-4у = 0.
3834. y~=Cx— ЗС"; особый интеграл 9у± 2л: [/* = ().
3835. у==Сх-\--рг; особый интеграл у2 = 4х.
3836. y = Cx-\-Vl-{-C3\ особый интеграл л;э-{-.уЗ=1.
3837. y = Cx-\-sin С; особое решение:
у = х(тс — arccos x) -f-} 1 — лЛ
3838. у2 = 2Сх + С*; особый интеграл 27/ + 32л-о = 0.
3839. _у == (к дс —|— 1 +С)3; особое решение у = 0.
3840. у==Сх2-\--^\ особый интеграл у* — 4л;а=*0.
3841. 2Сх = С2—у2; особого интеграла пет.
384... х = Се~Р-\-2{\ —р); у = х(\ +р)-\-р2; особого
интеграла нет.
3843. ех(у — С) = С; особый интеграл у2 + 4** = 0.
384 ■ у = Сх-\-С-{-С2; особое решение:
.У = -1-(*+!)'.
j» я з
3845. у — 4**=0. 3846. у*— х* =а*.
3847. ху—\. 3848. 2у — х2 = 0.
3849.^ — 4^=0. 3851. Ранпобокая гипербола
4ху = ^Н а2, где а2 — площадь треугольника; тривиальное
решение — любая прямая семейства у = Сх -f- a Yc.
3852. 0/—JC — 2а)2-\-Ъах. 3853. Эллипсы п
гиперболы.
3854. Х = с<~^«+Г*, y=c-dt,
pi * s р
или
х = У* + \)Г -СУр
3855. у2 = Сх * +"5*qrr.
510 ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XIV (3856—3068
3856 - J ) а \
A: = slna (а — С — sin3 a J.
В полученном дифференциальном уравнении положить
-r- = tga; затем ныра.шть х через у и параметр а; найти
(1х, заменить dx через ~— н решить получившееся
дифференциальное уравнение, считая у функцией а.
3857. S=nt2, где о — некоторая определенная
константа.
X
3858. х2-f/»= 2яа In I Сх |. 3859. ^= Се 2.
3860. у==С(х2+у^). 38SI. (*a+.y2)a==C(.y2-f-2*3)-
3862. Если параметр парабол ранен 2р и прямая взята
в качестве осп ординат, то уравнении траекторий будут:
„ , 2 ,/2*3
у=с+тУТ'
3863. Трактрисы. 3864. Отсчптыпап угол а в одном
из двух возможных направлений, получим уравнение
семейства ху jj— (х2 -\- у2) = С.
38 5. Отсчитывая угол а в одном из дпух возможных
направлений, получим уравнение семейства
In (2*> + ху + у») + -S'-. arctg ^Ш = С.
3866. x=c(cos?+£)(*£f\
^=C8in¥(tg|) \
где Т'0 — скорость звука в воздухе, у—параметр.
38 7. * = Csint-\-R(cos/ + 'sin/).
д> = — С cos t-\-R (sin / — /cos /).
3868. *=^+e(Z-th/), ^ = Cth/ + ^7.
3869—9891] отпиты к главе xiv 511
38 9. Ar = «(cos/ + /siii/) —cos/(y + C^,
у = a (sin / + / cos /) — sin / ("£ -f- c).
3870. Ar = Csin/ + 2tg/, д> = tf3/ —Ccos/ —2.
3871. y = ~- — sin a: + C,a: + C2.
3872. д,=2ЦЧ* (JCi _ i) _ ± in (l + *3) + Cxx + C3.
3873. ^=4 [ln|*|- :]] +С,л: + Сг.
3874. <у = С,д:э4-Са. 3 75. у = Схех-\-Сг — * — у .
3B7S. .у—1агп + С,а:2 + С2.
3877. д;==(1 -f-C=)In| jc + C, | — Схх + Сг.
3878. .у=(С,* - Q «с.+'+ с3.
3879. y=±ix + Ct)* + Cv
388Э. .у=4:^-1 (C,,v — 1)3 + C8.
3881. <уг=1п|дг» + С1| + -Г%=1|| ТТТ^1 + C*
| -—с, х+ у — 1
если С,<0, и /y=ln(A:2+C,) + -2'7-arctg-^- + C2. есл"
l^ Q 1 С\
С,>0.
3882. ^ = C,a:(jc —C,)-f-^a " особые решения:
у = £+С. 3883. (аг4-С2)3 = 4С,(^ —С,).
?. £ _ —
388 . <у = С, (д:4-С3):1. 38 5-д^С.^+Сл* я.
3885. д:=у(У—2С,)1 ,уа+С, + Сз-
3887. y==Z±Q. 38 8. (а: + С2)2— У = С,.
3889. ^==С,ес^. 3890. ^cosa(C,±jc) = C3.
3891. (дг-|-С2)1п<у==д: + С1.
SI 2 ответы к главе xiv {3892—3912
ЗВЭ2. В зависимости от знака произвольной
постоянной, вводимой первым интегрированием, получаются два
выражения для общего решения: у = Сх tg {С,х -\- С8) и
У= С» ! , ж^ + о = - С, th (Сгх + Q).
1+е<
КгУ + С*
ь 2
3893. Ar = C, + cosC2ln
3894*. После
подстановки у =р уравнение распадается на два, из которых
одно — типа Клеро. Его общее решение:
y — Ct H-C3ec'*, а особое решение: у—»,_ .
3895. y = ClX* + C2. 3896. у = \п СуХ\.
3897. .у = y/ljc»+ с^+Са. 3898. у = Схх + ^.
38Э9. .у = Сххе х 3900. ^ = д:3 + За: -}- 1
3901- ^ = 2-f-ln|. 3902. ^=|-а:2К^—-^.
3303. j = jJLq. 3904. j,=*.
3905. y=V'2x — х*. 390S. ,у = 1Л +«а*
• 3907. у=-\п\\—х\. 3908. ^==£±1.
3909*. jr = а;. Сделать подстановку у=их.
1-х'
3910. .у = 2* * __i.
3911*. Дифференциальное уравнение кривой dx =
sb« —..-- —!-, где Л — коэффициент пропорциональности.
К (С,»Т-1
Если k=l, то у= ^г[ес^х-с^-^-е—с^х~с^]; это — цепная
линия. Если & = — 1, то (a: -f- C2)z+У ==: С?; это —
окружность. Если k = 2, то (д;-[-С2)8 = 4С, (.У— С,); это —
парабола. Если k= — 2, то dx =— ; это — днфферен-
У у—С\Уг
циальное уравнение циклоиды.
у
3912. е~= С3 sec (~ + Ci) .
3913—3926J ответы к главе xiv 513
3913. Сх—fk-*(k>^\. 3914. Цепная линия.
г tng-\-A
3915. »=|/ =-~. 39Ю. Парабола.
39I7.5=S[/(f< + c)3-Kc»].
3918*. Пусть ось абсцисс направлена вертикально
вниз, начало координат — на поверхности жидкости, урав-
1. v it * sin a
пение луча y=zf{x). На глубине а: имеем: -. . , . .=
m 4- dm -
=—! , где m — показатель преломления на глубине х,
d а — угол между вертикалью и касательной к световому
лучу. Очевидно, tga равняется у'. Из уравнения m sin a =
= (m -j- dm) (sin a cos da -\- cos a sin da), раскрыв скобки и
отбросив бесконечно малые порядка выше первого, получим:
mda — — dtntga, откуда ~р =—yjf^yry Интегрируя
это уравнение, найдём у' как функцию ш. Подставляя вместо
тп его выражение через а: и интегрируя вторично, получим
ответ:
"где ,„=(""-""»* + ""*.
h
3919. .у == a:3 In 1 а7 + С,а:2 + Сгх + С8.
3920. ^ = — -g- sin 2a- -{- Схх2 -f С3аг + С8.
3921. <у=-^--|-Р9 (Р0 — полином 9-й степени
относительно х с произвольными коэффициентами).
3922. y==Cl^+Czx+Cs — Ci(x^.Cl)\n\x~{-Cl\.
3923. .у = CiX* + Qa* -f- СаАга + С4аг + С6.
3924. у = 1 (С, - 2*)Т + Са* + е..
3925. аг^=С,/-}-С3^ + С8. 3926. Решения можно
записать в трёх формах:
у = С, sin (C2a: + С„), или .у = С, sh (С2х -|- С8), или
^ = CiC1i(C2a: + C8).
33 Г. Н. Бсрлшн
514 ответы к главе xiv (3927—3938
3927. (* + С3)» + 0,-К8)2 = с;.
3928. у=С2 (хес>* — » еС* ) + С8.
3930. 2)^1+, + | + ^+^ + ^+/Ь
3931. ,в1_^_У^ + Ы^ + .„
3932.^^(,-1)+^+^-^-
4 (jc — 1)& ,
5! I"***
3933. ^=1-2Г + 5Г~4Г + -5Г—ёг + -'-; пятого-
8934,^ = ^-1^ + 1^-^*» + ...; 0,318;
0,96951.
3935*. Дифференциальное уравнение задачи Е =
t(PQ . dQ V0-kQ _
= jL 77*t+-w7 ^z—-i где Q — количество электричества,
протекшее через цепь за промежуток времени от начала
опыта до момента /. Выразив Q через V (V—наличное
количество воды# в сосуде в момент г) и определив из
условий задачи коэффициенты, придём к уравнению
V + aVV'-\-b = 0, где 0 = ^ = 0,003, £ = ^ = 0,00933.
Интегрируя его при начальных условиях: V0=1000 смв,
Ко = —А/0 = — 0.00187 смв'сек, получим ряд 1/=1000 —
— 0,00187/ — 10-» • [2,91/3 — 3,64/< + 3,64/» — 3,04/° +
+ 2,17/7 —...]. Ряд — знакочередующийся, коэффициенты,
начиная с шестого, убывают, стремясь к 0, что удобно для
вычислений.
3936*. Дифференциальное уравнение задачи имеет вид
rWidQ *, F
** dfl "Г dt ' M0-fiQ~C'
Взяв в качестве искомой функции количество у
хлористого водорода, не разложившегося к м тенту /,
приведём уравнение к виду yy-\-ay'-\-by = 0, где а =
=-j-=50, Ь=-~ =0,0191. Интегрируя это уравнение
8937—3947] ответы к главе хгу 515
при начальных условиях y0 = /W0=10; д^звя—kf0*=—0,00381,
получим ряд
у= Ю — 0,00381/ + 10-,0/8.(1,21 — 1,52/ + ...).
3937. ху — 6л:/ + 12.у = 0.
3938. х/ — (2л:'4-1)у + (д:+1)^ = 0.
3939. (хй — За:2 + Здг) /"— (а:8 — За: + 3) /—
— За-(1—дг)У + 3 (1—^)^ = 0. 3940. у=3х2 — 2л*.
3941. а) ^£фconst; б) /sin2л: — 2/cos2л:«0.
3942*. 3) По формуле Остроградского
У\ У2
У\ У'ч
= C-eSpW**t
или, раскрывая определитель (вронскиан): yty2— д^у3 =
= CeSpWdx. Делим обе части уравнения на у\\ тогда
-г- ( —) = —z-e~SpWdx, откуда и следует искомое соотно-
ах \У\/ у\
шеипе.
3943. -y=sc1jcln|}-i^| — 2С, + Сад:.
3944. ^с,—+ Са^. 3945. д«*"—**-«.
3946*. Функции Р и Q должны быть связаны
соотношением Q' + 2P«Q=0. Подставить у{=— в формулу (выте-
каюшую из формулы Остроградского) задачи 3942; полученное
соотношение продифференцировать дважды и /Jt д£
подставить в данное уравнение.
3947*. у — Сх (4а:3 — За:) + С3 VT^x1 (4а:2 — 1).
Полагаем согласно условию ух = Ахъ + Вх* + Сх + D.
Подставляя ух в данное уравнение, получим: £ = 0, D=0,
4
A'-C — ZZz' или i4 = 4&, C= — 3k. Следовательно, частное
решение будет: yl=k(4xB — За*). В соответствии со
свойством линейного уравнения можно принять k = 1, тогда
33*
516 ответы к главе xiv [3948—3972
_у, = 4дг3 — Злг. Зная одно частное решение, обычным пут£м
находим второе и составляем общее решение.
3948. j; = c,sinjc + C2 [l—siiucln|tg(~ + -f)|] •
3949. y=Clx + C2x§^.
3950. y=Clx + C2{x* — 1).
3951. <у = С1лг + С2л:2 + С3д:3.
3952*. tA+t^+t^^-y^O. Применить
подстановку х — b = tV~a.
3953. д/ = д:Я + С,а:2-|-С2.
3954. у = Схех + Сгх — х* — 1.
3955. y = CiXa + C2(x-\-\)—x.
3958. ^=2 + Зл: + *(~-|-2arctgA:)+**-
QAe, . , 2jc* 2л- , 2л* 2x1 , 62ль
8851.^=1+-^ — -gp + 'ei"—тг+-а ...
3958. у=^+
"•" [41 ' 6! ~Г" 8! "I"' '' ~Г (2я + 2)! i"-J'
3959. y=Ci (l +*+£+*+£+)+
-f-C2 ^ + -^ + 12 + 30 + -••]•
3960. у^С^-\-Сге~гх. 3961. ^ = C1e3Jf + C3e-3*.
3962. yr=zde*x-\-C2. *
396 . .y = C,^1 + ^2)*_f_сас(»-^*.
3964. .y = Qe2* — C2e 3 *.
3965. ^y=C, cos Jt -f- Ca sin x.
3966. j; = e~*x (C, cos 2a: -f C2 sin 2a:).
3967. ^ = e* (c, cos'y + C2 sin -J) .
3968. y = ex (C, + С2л:). 2369. л: = (Cx + C20 e2»cf.
l
—r-x
3970. .у^^ + едс 4
3971. y=4ex-{- 2e*x. 3972. .y = 3c"2* sin 5л\
3973—3984] ответы к главе xiv 517
x_
3973. v = e 2(2 + at). 3974. ,y=[l + (l—ю)л-]ет*.
3975. ^2= cos 3a: sin 3a:.
3976. Если £>0, to y = y=- sIn[VT(jr — д:0)] +
+^ocos[]/F(a: — a:0)]; если £<0, то
где А, = — 6.
3977. <у = С1в-* + С,вт'+в*.
3978. ^у=С» cos ел- -f- C2 sin ад- -)- Л .
3979. у=С,*»* + Сае*+5 sm ж +7 cos ж _
3980. у = е~х (С, cos 2л: + С2 sin 2л:) —-i cos 2a:—
— 2 sin 2л-.
3981. J, = (Cl + C1*)«"+!.*«+1!* + ii.
3982. y = e*[Clcosx-\-Ctsmx) + x + L
3983. ^ = C,e* + C^-6* — 0,2.
3984. у—С1ех-\-Сгегх-\-у, где ,y равно:
1)|«"*; 2) Злг*2*; 3) |-сое * + 1 sin *;
4)л-3-|--л-2 + та-_ т;
5) —|.e* [cos-J+ 2 sin ^]:
8) |-A: + -^(94-3cos2Ar — sin 2a:);
9) — 2л*?* — Хе~**:
it
10) zqCOsx- ^тх + щСюЗх + ^ЫЗх;
11) _^е-«_^л
618 ответы к главе xiv [3989—3987
Б
3985. ^=С,+ С2е~* +у, где у равно^
3) 5 sin л; — 2 cos л:;
4)lQx+mSin2x—Tlcos2x'
5) cos 2,5л:-f sin 2,5л: — 0,02л:е-3.8*;
6>(-5*-*i)C0S*-(2*-i)staJc:
7) е-'ЦЮх+ЩаЫх — (20л:+ljcos*];
e>uft.**-»-*').
3986. y^^iCt + C^+y, где J равно: 1) 1;
2) 4е"': 3)|№; 4) 1 cos 2jc+!* + !;
5) ш (~гsln 3*+6 cos Зл:) ~~ т <3sin *+4 cos ХУ>
з
6) ^(SsInAr-f 4cosл:)-f
+g^(5sinЗл:— 12 cos За:); 7) 2а:2-f 4л: + 3-f
+ 4л:2еа* + cos 2х; 8) i- (х*е*х—1 «-«Л ;
9) Т (** —В" е~*) + ^ 3 Sln * + 4 cos *>:
3987. v=-C, cos л; -}- Са sin л; -{-.у, где д> равно:
1) 2дс8—13дг + 2; 2) cos3*; 3) i-л: sin л:;
4) — -jл: cos* — e"*; 5) ^- fxslnx— ~ созЗлЛ ;
С) 9-|-4 cos 2x — 0,2 cos 4x; 7) 0,5 ch*;
8) 0,5-f-O.l ch 2x.
3988—4001] ответы к главе xiv 519
3988. у = er *Yc, cos j x -f Casin -^х)-\-у, где J
равно:
3 1—4
4) —jj-cos at •**"*; 5) — тхе6 *cos-r*;
*?•
С) 0,5в"+1,3.
3989. <y = 2-}-C1cosJt-|-C3sin*-f cos* In
ЗЭ90. у — e*(C, -f C3x — In j/>+l+ л:arctgл:).
3991*. 1) y = e*{x + Cx) — (e*+l)\n(e*+\) + Ct;
2) y—^ex[arcsine* + e*V\—#* + С,] +
+ 1у(1-е»*)» + С,; 3) д, = С,е* — cose' + C,.
Все три примера легко получаются с помощью общей
формулы (см. с Курс», п° 234).
3992. ^=(1+*)е **+2г 2*-
3993. д/= «* (0,16 cos За:-]-0,28 sin За:)-f х* + 2,2х-\-
+ 0,84.
3994. у = е*-\-х*. 3995. д;=^(^ — л:3 — *+1).
3996. y = -^s\n2x — -jSinA: — cos л:.
3997*. Дифференцировать указанные выражения для
у дважды; подставить в уравнение^, у' и у—получится
тождество.
3998. у = х*{Сх + С2х%
3999. ^—■£+ С, •о* In | х | -\- Сг sin In | х J.
4000. д; = a: fd + Ca In | д: | + ln21 д: | ].
400J. <у = а:1п|д:1 + С1д: + С3а:34-^8-
520 ответы к гллвь xiv [4002—40I0
4002. Если — > to2, то у = Сх cos
IJT £bfl 1
-лГ=^зС05^ + Ж' где ^3==:^-ш2-
Если ~<jd», то^^С^ + С,^-*' —p^coserf-
et°2 --- " -■• .J
тл
^з", где Aj3 = о»2 — J-.
4003. j = l(4c' + e~4').
4004. 5 = e-o,2/[10cos(0,2450 + 8,16sin (0,245/)];
4005. /= лП^\арЛЛЩЕЬ..
4006. s = e-°,a<B' [2 cos (156,6/) + 0,00313 sin (156,60].
4007*. £ = 3з1 — = Зз4--£- —; / = 0,38 сек.;
6 см 6 ь см
высота погружённой части чурбанчика х =
= 5 [3-}-cos (8,160]. При составлении уравнения считать
#=1000 см/сек9.
4008*. r = y (&°*-\-е~ы). Всё происходит так, как
будто трубка неподвижна, но на шарик действует сила, равная
/шо2г (г—расстояние от оси вращения до шарика).
4009. Если 6>та>2, то
«о
k — wo)2 cos f / l/-£ — a)8 ] ;
Л — /mo2
если k = mvi2, то
r=a0(l+4'2);
если A5<^wg)2, то
'= jsfcs Г'""™1 (' /^1) -*] •
~ 4zLC
4011—4034] ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XIV
521
4019. >=Л(с,е«^+01й1^) +
+ . vT(c8CoS]-^ + C4sinr^.
4020. .у = (С,+ С3л: + Q*2) cos | +
+ (С4 + Съх + С0л:2) sin .£ + С,* + Св.
4021. ^ = e-^(C, + C2Ar + C8A:2+...4-^"-J).
4022. .у = 1 -f- cos лг. 4023. у=ех + cos * — 2.
4024. .у = (С, 4~ C2jc) e* -f- C8e2Jf — jc — 4.
i. y=(C1-l-C2x)ex-j-Clie-^-\-(xz-{-x— \)e~*.
\. y= (C, -|- C2x) cos 2a: -f (C8 -\- CAx) sin 2дг -f-
-|- -у*cos ■*•
4027. .v=(C,-1-C2at) COS ЙЛГ -[" (^8 4~ £4*) Sm flA:
x2 cos дл:
I» _* •
4024
4025. ,
4026. v
л- tu!» ил
128. j, = ^*-^*i + Cl* + Ct*+Ci +
-f- C4 cos лг -|- Q sin л:..
129. .у = C,e* + С2е-^ + C8 sin x-f- C4 cos x -j-
. at2_3jc _ 1
-| g— ex — -j- x sin x.
(C, -f Сал: + лг2) e* + (C8 4- C,x + д:2) e~ * +
4~ sin x 4- cos x.
4 — 3*~* -J- «Г2*. 4032. j' == e* 4- a:».
4028,
4029. у
4031. j/ = 4 — 3e~x -}- «Г2*. 4032. у =
4033. ^ = аг(С,4-С21п|л[+С81п2|аг|).
4034 / x = e~8' <Ci cos ' 4- c2 sin 0,
U**" 1 j^=^e4(ca4-Q)cos/4-(ca-
c,) «■-1.
522
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XIV
[4033—4049
4035.
403S.
4037.
4038.
х = С,е* - С2е-' - \ (е* + О -f { / (*'-*-'),
у = Схе* -f С2<Г' + It (f'+ «Г').
х = С,*"*' + С,*"" +10 е* +1*-",
.гу
Ji j-a г
Т 6',+л*
In
ЛГ + J ** + £,
039. { Х-+У + *=7С*'.
040 i * = *—.V.
4041.
* — 3 •
3 '
*=Ч е-' + -б-«а'+7 <■"''•
4042. {v
1 -'
з
i
i .-„
ле ^ IT 2 •
~—5-^ +
1
.i/
4043- Кривые л = ££^ИЛ=-5<^
ваданных начальных условиях получаются гиперболы
3 —дг» __34-*«
4С44. .y=«3t.
[ x—y + z = Ot
4045. Плоская крявая • х=='\ *'"М
{ — у 2
При
4046-4052J
ОТПЕТЫ К ГЛАВЕ XIV
523
4046. { Х \
У^-2
> + (/|-'o)(l-cos^)],
047.
'jc=10cha-Acosl4' + ^)i
j=10ch2/ + ^cos14'-^-
Здесь х—путь более тяжелого шарика, а у — более
легкого.
4о«а—£[.-(£{-г)1. —«да.
где а
Sy+5,
4050. 1) 0 — О0 + 0,002 (0> — 03) == 0,00008 ^-^; на 53°;
2) о - о0+о.оог (0» - о;)=_£, х
Х(200пг — sin 200тг/); на 7G°.
4051. 1) 44.5°; 2) 46,2°.
4052.
X
У
1.00
1.000
1,05
1,000
1,10
0,997
1,15
0,992
1,20
0,984
1.25
0.973
X
У
1.30
0.959
1,35
0.942
1,40
0,923
1.45
0,901
1,50
0.876
624 ОТПЕТЫ К ГЛАПЕ XV [4053—4060
053. .у|,з1= 3,43640...
У\ | Уг
2,5
3.1GG67
Ул v*
3,37500
3,42500
Уь
3,43472
уь дяёт относительную погрешность порядка 0,1°/0.
054а 0,46128; то же даёт формула Симпсона при
2л =10. Все знаки верные.
jsnrzrz it , л* , 2л* . 7** . 5д* , 16 «в
4055. л==1+д:+-.+ —+ --+_-+ 75" " т'д-:
^(0,3)^1,543;
* i ~\ it i * i 2*5 , 7лг* , 11л* , 22лг« ,
/(*)=,+* + Т + Х+Т2-+-20 +"45 + " Т' Д/»
/(0,3)^1,545.
Погрешность менее, чем 0,2°/0.
056. 0,808. 4057*. 1,001624. Результат получается
всего быстрее, если искомую функцию искать сразу в виде
степенного ряда.
4058 ■ 1,0244. См. указание к предыдущей задаче.
4059. ,=*+ (**+££*+... +2^f^ X
X*8n+I + ...; ft = 0,2297.
К главе XV
4060. sin2** = -^ + ^~- (cos 2kx-C\k cos(2ft-2)*+
+ <%ь cos (2/г — 4) а: —...+(— 1 )^С1ГХ cos 2л:].
sln3*+1 *=Ц^*. [S|„ (2A+1)jc —qA + 1 sin (2/s— 1)jc +
+ (%k + i sin(2ft-3)Ar- ...+(— l)*C*M.isinj»rJ.
cos2* л: = ~ + -^jjrj- [cos 2£* + Cj* cos (2ft — 2) x-\-
+ CL cos (2A ~ 4) д:+ ... + СуГ1 cos 2x).
cos2*+,Jtr=-^[cos(2Aj+l)A: + C2A + icos(2A— \)x +
-\- (%k +1 cos (2ft — 3) * -f- • • • ~h C*ft + icos jc].
4062—4080] ответы к главе xv 525
4062. cos nx = cos" x — C?, cos""3 x sin3 x +
-f-C?, cosn~4 * sin4 *...
Так как sin л: входит только в чСтных степенях, то cos л*
можно рационально выразить через cos .v.
065. 9 = v— и 9 = v—f-г, где v = 0, 1, 2,...,n.
<p = v—, где v=l, 2,...,я—1 при л нечетном
и v=l, 2 л при п четном и ^ = (2v — 1) --Х-7 i гл-е
v=l, 2 л + 1.
2it
4067 . Заметигь, что I Фп (<р) df = 0.
о
4068. Да, так как функция удовлетворяет условиям
первой основной теоремы (см. «Курс», п°243).
оо
пса 4 V sin (2я 4-1)*
059. -2-—2^н—•
«=0 '
00 00
.Л7п V sln2/u: П7| 2 V со5(2я + П-у
4070. 2и -5Г * U/l" Т -Ц, (2л + D3 '
й = 1 л^О х ' '
00
4072. * = 2^(-1Г1^(-тт, тт),
^=V£!lH(0l 2тт).
4077. а)^! = ^з = Л8 = ... =0 и а, = аа = лв=.. .=0.
б) a0 = al=a3=z ... =0и£, = />8 = £6=.. .=0;
00
л = 1
07 . ^ + 4 V ££1^_4ттУ !!1«*.
л = 1 л = 1
4080. 4 V ( - i)-+i {£ + |l(- 1)л ~ !]} sln**•
« = 1
626
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XV
(4081—4090
4081.
408°.
083.
08 .
085.
408 .
4087.
!,<-<>-¥)-
ллг.
оо
2+4Z
sin (2/;-f 1)jc
я = 0
00
2ЛГ1 , v «1""Л 1
TLT+2- -Яй-со8«дг|.
#1=1 J
2Л Г 1 . V / sin я/Л» I
_{_ 4/ у. ^ I / 1
2 «■ x-«
/ia=0
e*« — I Г 1
00
•— 1 fi__i Y4 fccsjtx n sin rur\ 1
1.
e' — e-t
J30, ( — l)"cos
mu:
И s= 1
oo (_l)n-l„slti—-—
+«C-OE „+«,« -
BSl
00
4088.
4089.
2 sin
я
2 sin на / sin x
T + 2Z(-D»
/cos—-. irnsln —j-
«—l
/2-f/lW J"
In яд / 1 . gcosjc a cos 2* . \
In яд / slnjc 2 sin 2x , 3 sin 3jc __ N
( Aa Г cosjc i cos3* , cos5r . "1
к |лггт-1"ЯПГз»-г в» —5» "" ••• I
4G90. sin «=■ ?7ГНОе,,о
4я Г J . cos 2лг . cos Ax ■ 1
« [>2 ~*~ «»- 2« Tflj _ 41 T" • • • J
, (a — нечетное).
4091—4098] ответы к главе xv 527
4091. cos ax =
( 4 Г slnjc . 3sln3x . 5 sin 5л: , I
I к [d»-12"ra3__ja-raTZr52-r---J
(a — четное),
4 [ 2 sin 2л: , 4 sln4c , 6sin 6x , 1
"" Т[а^=^=«"1"аа"^45Т"а»-02"Г * * * J
I (a — нечетное).
00
2shrttt\4 .
sin nx.
4092. iSLS^V (- 1 )«-i-"
Л = 1
4093.4"fl+2V(_ir^];
L Л = 1 ' J
00
2 >n l-f-l)nchr
— 2^ r-r-r П Sin ПХ.
4094. £ £
It *-■ 1+Л
/1=1 Г
00
8 v sln(2n — \)x я8
*■* (2л—])<« ' 32*
л = 1
00
8
4095. б) £тг«-48 £ (-1)"C-^.
л = 1
В) ^ТГ«.
00
я — x v1 sin лдт
4096 . ifi- S^ (см. эиа.,, 4072).
00
4097*. | + X (- * J""1 тг^Гй sln "* (см- зада-
Л=1 \ I J
чу 4072).
00
noon (it —jc)» я8 i V n1 — 1
098*. —t-L - n + 2- й^т+ljcos "*'
л = 1
Продифференцировать ряд и воспользоваться решением за-
оо
дачи 4072 и тем, что У d -^ = ~.
я = 1
528 t'lnuLi к главе xv |40B9—4100
г» , к кх* 0 , v "П^ cos «jc
(~7<*<f)-
°^ sin— /
Воспользоваться рядом -r= j^ coswjc ( см. зада-
« =i ^
чу 4083 при Л = |) н тем, что ^Iz^Tl^J*.
(см. задачу 4094).
I О. /, (х) ^ 27,8 -f 6,5 cos дг — 0,1 sin x — 3,2 cos 2x -|-
+ 0,1 sin2jc;
/a (jc) ч= 0,24 -f 0,55 cos x + 0,25 sin x — 0,08 cos 2x -
— 0,13 sin 2*;
/a (jc) =5= 0,12 + 1,32 cos jc -|- 0,28 sin jc — 0,07 cos 2x -f
+ 0,4(3 sin 2.v.