/
Текст
....
1,
, '1
1 '
,J 1 1 '1
Q.'
!
l ' "Ш .
LD
j
!
; \ ' I w
:' 95 f
. i j ',!
J J ' , " ,
's' ,(
'1
1 '
,. ,J'i
с. в БРАНОВИLJJ<АЯ
"V Ъ, МЕДВЕДЕВ J I
К/ я ФViAПКQВ , I
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
· МАТЕМАТИКА
. t1"x.w ии . .
и" L1М ч q<p\1 :
.. ' . 'олоrии '
. '1\0,
,#,
,
L
I )(
, JJ
1 1'
'111 11 1,1
! J 11111 11
I ',1:1
l' ,
11
" ,
j.. '
;\
f.j,;
,
..,..-
!
\
1i;c,'
i ",
- - - :!'" ,
1!"
. ,\.,... .'
.;"\,.....
'. : { "" ..: - ,
, ,,' A ':" \,_ ,!. -.... --..... #-
.,:-
, , ;'"'
..- }.
.
с. В. БРАНОВИЦКАЯ
Р. Б. МЕДВЕДЕВ
ю. Я.'ФИАЛКОВ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
МАТЕМАТИКА
В хиМии
, "'"
и ХИМИЧЕСКОИ
ТЕХнолоrии
.
...
Допущено МнннстеРСТ80М
высwеrо н среднеrо
спеЦНlIл..ноrо обрвзовання УССР
. качестве учебннке
ДЛЯ студентов < хнмнко технолоrнчесtCнх
сne,цнал"ностен вузов
!
*1114"' ' II!ь.J:::.
(' 8 а "' б -,'r,or"'''", ,
, _ аУК08 7. J.. , t.,,-..
> Uи1вс:ькоrо pЦ,,1Н1 Лt\.;,"Ы
l1iэ.....ехаlчfl<>N! lи 1' "'''''ТУ ;
'. , ,
КИЕВ
rОЛОВНОЕ И3ДА ТЕЛЬСТВО ИЗДА ТЕлЬскоrо
ОБЪЕДИНЕНИЯ '
« ИЩА ШКОЛА.
1986
, /
"- . '"
f ' ..,.',!
!- i
', :;;
- ':ii: '>-ti
. """ ,. ,
........... ---' C : _
Af}4?;:Jl/Y;;p>.3 ,, i . /] :)
73 j'
, .19я
Б87
y.д.к M : 54 + 66.017 (075..8)
/1 /)6: &1. з(о -:-
1
,
. .. 'хи.ми. It хиМвiJetkO А техноло-
вычислитeJIЬНIUI матема1'и&а , '" " 1Р" SI. ФИaJIКОВ.
I С В В Р ' ановиuкая, Р. В. Мi, 21 6",
I'ии .' r пА из ".во t . "..". ,
К . Вища ШК. олОВи...... .. , .-.. ,
. . 1'... , ue'lOJ.bl вычиСЛeR)lВ поrреш:
В учеб1l1lКе pa нюt нелинеАиы:it 8J1Rбраичес.
ноетей, п =ыrn;равш ний, аппроксим : ж:
J{ИХ н:roД u.ироваIШJi и. ИilтerРи : :Я аблюдений,
=тистичeciafe.' метОДЫ' : : lIботка 9ксперимен-
в частиОСТИ, первичиая , ии корреляции.
тальных даиныХ. ЭJlемен:r ы p иложению метоДОВ прибл и -
Большое виимание yд eHO пр й аботкИ данных к раз'
ий и стl!'t1lCТическо IVVI'
жен}\ыХ вычислен химическоj\ теХНQлоrи и ..
личным вопросаМ хи ии и е ы расчеТов; таблиuы' НС.
'Приведены конкреtlIые ПР:МJработ ке данных, описание
З у емые при СТ!!fИСТИЧеско ' мето ды приближенныli
ПOJlь ующих oeHOB ыe ЭВМ ' ,
подпроrрамм, реал из ф()рТРАН.IV дЛЯ ,ЕС . " тей
вычнслений на языке технолоrических ,специальное
Для студентоВ ХIIМИКО- <:',
вузов. ' О
Т б 63 Ил 24. Виблиоrр.: 1 назв.
ал. . .
.' химическиХ науК професС р
р е U. е н з е н т ы: доктор й .ru>JlитехническИй институТ"
Н Л й р ым-Аеаев , (Доиецки Ю r Ион,ов (Днепро-
. .,., , наук доцент .' ,
кандидат техниqеСК ХХf\Oлоrический институт)
петровский химико- е
А
4i
;'
i
"
'"
;
:...
: :
,
1
"....
:
'-'!
'"
'..
"
-;,;
-i"t'.
:'''-? ..
о химии химической технолоrии..
РедаКu. ия литератуРЫ n ,
rориоМУ делу И металлурrии
.aB. реJl,аКllиеА Т. С. Aн,moн.eн,кo
'.,(' .
!it
..'
*;
. .
"... ';... - ...". ...
L.f' '*:: '
,Ip :\'
'-; I f. :
{-..::r.-....
"';,
'1 i ,:,
i
;- ..
ПРЕДИСЯОВИЕ
,}
}
\' \'
:",
1 J
.f .
'
.
1,
.,'
.( Деятельность иЩ!( нера-химика в условиях со-
времеиноrо I.IроИ ВQДсtва сопряжена с постоянной
необходимостью проведения различ ых, нередко
весьма сло-жны.. расчетов. Обработка эксперимен..
1; ..(алJ>ныx данНых в исследовательской лаборатории,
'расчеты по ура неНflЯМ теоретической и экспери-
меjfтальной хими". обоснование и выбор оптимаJJЬ-
ных УСJIOIЩЙ' {Iроцедеиия имцческоrо процесса,
, ' опt>еJJ.ел и ус (Щий цодачи ирасхода сырыl' расчет
1 Bы o.!a ХИМJIЧЩЖOfо продук!а все это лишь не.:
,'"'' ' иачительная част ,задач, стоЯщих .перед химиком.
.. ,
.; , :, "'Широкое внедреНИе в нсследqвательскую. и "ро-
,) "':мышленную химию методов, математцческоrо мо-
,.' ЙF1tелирования и ЭВМ, не только не освоБОЖД;ает хими-
: , J,?: ка от необ одимрсти yr лубленноrо изученuя матема-
, ;,.; тических методов применительно к задачам, которые
ему приходится решать, но и, напротив, .делает это
изучение однЙм из обязательных этапов и элементов
IJ одrОТQВКИ cOBpeMeHHoro инженера-химика и' хи-
'о,:
МИRа-ИССJl дователя .
Инженер-химик на производстве постоянно стал-
кивается с необходимостью проведения приближен-
ных вычислеliий различной степени сложности и
раЗЛИЧliоrо назначения. 'Так, приближенное реше-
ние нелинейных уравнений позволяет быстро Ii с
достаточной точностью определять выходы химиче-
ских продуктов, Р8;ссчитывать балансы сырья в
сложных химических процессах и, т. п. Приближен-
.......
.- .
....
,
",
i f
'.5-
:.."
. .,.,
..
;r
...
. !
I t
1 t" '!'
..
C;
";':
. ;... '"
{,:! 1:
L .:r > . !t
' 1 . '
, '
: (",
2801000000 OO7 246 88
)) М21 {(o ) 86
ИздащьсltOi! ,Qбъeдииен е
@, «вища шkо.ла», .1986
1_
01'
\- ]о"
'.
'.,
j
. -
" ,)
.",
/.
, '--... ,<:
. " "
-
..' "'
1-
а
...'..
,. '. ......,.";.;...... - ....".i>"'-=Io'>.... .;\. ...
-"..$
f/
.., ..............' ............ ...... '-:. ... -- "....1,.
;
!
1
ное дифференциррвание и интеrpирование обыкно-
венных дифференциальных уравнений и уравнений
в частнцх производных особенно важны при полу
чении и' практическом исп()льзовании данных по
кинетике химических рроцессов.
" Творческое владение элементами теории вероят-
ностей и статистическими методами обработки ре-
зультатов наБЛJОДений обязательно как для химика-
исследователя, так и для химика технолоrа. Первый
не сможет обойтись без этих методов 'при статисти-
ческой обработке данных эксперимента, расчете
поrрешностей и т. п; инженер-технолоr на основании
статистических методов й оценки параметров pac ,
пределенИя должен определять качество поступа-
ющеrо на процесс сырья или полупродуктов, а
'l'afQКe rотовой продукции.
Приводимые в учебйике примеры призваны не
'l'олько иллюстрировать излаrаемые положения,
но и дать набор тех конкретных задач, кото-
рые особенно часто встречаются в практической
деятельнрсти хиМика. С этой же цельЮIВ приложе-
НJ{И приводятся сведения о стандарТ!lЫХ nporpaM ax
решения основных вычислительных задач в соответ- ,
'ствии с рассмотренными методами;
"
i
{j.
!
!
:t.
lj
<У;
,
'!
ф-
>
- ,
..
<
i
\
,С
}
i:- ':
./
;.
1:
/
"
i.. .
;;...r,
O;
.;;
.' -.".,: ,
, i ':,!!:" _ ._.::"'
"
,J\. _
l'
' :4:.
.
:fi
, .
.
"
' .
,
Ч,-
;'-\";-
..:, !
ч.сты
МЕТОДЫ ПРИ6i1ИЖЕННЫ ВЫЧИСЛЕНИА
:/-
i:
rila88 '. ,ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ поrРЕWНОСТЕЯ
:. :' .
: --
,:\1'-.
.t. ПРИ&JIИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕJJИЧИН. ИСТОЧНИКИ
nOfPEWHOCTEA. КЛАССИФИКАЦИЯ поrРЕШНОСТЕА
:.,!
При решении задач химии и химической технолоrии обычно
оперируют с приближенными значениями тех или иных вели-
чщJ (приближенными числами).
(lриблuженным называется число, незначительно отличаю-
.. щееся от точноrо и заметtющее ero в вычислениях. Приближен-
:llоечисло имеет практическую ценность лиш}) тоrда, коrда мож-
но указать степень ero точности, т. е. оценить ero поrрешность.
, Источниками поrреiпностей MorYT являться: ,
1. Неточное математическое описание реальных процессо13.
2. Не'Точное задание исходной информации. Исходныеве-
личины являются в ОСновном экспериментальными данными,
поэтому степень их точности зависит от совершенства измери-
тельных приборов и надежности операции измерения.
, 3. Применение для решения задач приближенных методов.
Получение точноrо решения задачи часто связано с большими,
ИНQrда и непр одолимыми трудностями, поэтому приходится
прибеrать к приближенному решению. .'.,
4. Конечная аппрqксимация бесконечных математических
процессов. Например, при вычислении е Х (либо sin х, cos х,
{п х др.) путем разложения в ряд
Х х 2 х3
е ::=1+х;!-- 2Т+зт-+
11 качестве приближен оrо значения е Х принимают сумму ко-
нечноrо числа слarаемых, допуская при этом поrрешность.
5. Окруrление иСходных данных, промежуточных или
окончательных результатов.
6. Выполнение действий над приближенными числами при-
IIОДИТ к приближенному числу. ' '
Поrрешности; возникающие во всех указанных случая х,
можно подразделить на следующие rруппы:
1) неустранимые (случаи 1, 2, 6), т. е. такие, которые не-
контролируемы в процессе решения задачи и MorYT быть умень-
'
..
,
".
. :
':>'
, ,
. ,, ,_ , ..... v.' . W
.z:';\o; ';j
., ,
"
5
"л..i "",1
.,: T«"i"
"!", .> случае равное ей). т: е.
. ':. l\ == I х а I ЛО' {1.З) .
, , 'Отсюда следует. что точное ЧИСЛО]с заключено в rраницах:
", , а ЛО :;;;;; х :;;;;; а + ло,
. , rде а 110 прибnиженное. значение чисJIа, х по HeДOCTaT
",' , I<У, а + 110 по избытку. Пр именяют также следующую форму
" записи:
...
;t
!.
..- -.......... .............. .'" ...... " ,'. -
.....
.f
fi
шены только за счет более точноrо математическorо описания
задачи и исходных данных. Исследование неустранимой по-'
rpешности может быть полезно ДJlЯ снижения предъявляемых
. :rpебований J{ точиости применяющ ося метода: не елесообраз-
но применять метод решения задачи с п,оrрешностью, сущее'f-
венно меньшей, чем величина неустранимой поrрешности;
2) поrрешность метода (случай 3);
3) поrрешиость усечения (случай 4); ее назыВают еще п . .....
rрешностью цrраничения, или остаточной пQrрешностыь;
4) вычислительная поrрешность, или поrрешность окруrле-
ния (случай 5). '"'
При решении KOHKpeTHQ(I задачи те или ииые поrрешности
r.40rYT отсутствоваТI:; либо оказывать ничтожно малое влияние.
Однако в общем .1:лучае для полносо анализа поrреШJюстей не-
.обхQДИМО учи ва:rь все их виды.
t".1. 6СопЮТНАЯ 11.0ТНОСКТЕпЬНАSI поrРЕwнос:rи
Пусть х точное число (истинное значение величины).
.а приближенное число (-приближенное зиачение величины),'
'ПОi!решн:остью. или ошuбкой, l1а приближенноrо числа а
Н8зываercя разность между точным числом х и ero приблщкен-
ным значением а, т. e.
l\a==x a. (1.1)
Если х < а, та !!J.a< О; еtли х:> а; 1'0 l1а> О. в тех
- случаях, коrда знак поrрешности иепредставляет интереса.
точность характеризуют аБСОЛЮТНQЙ пorрешностью.'
Абсолютной noaрешностью 11 приближенноrо Чl:lсла а на-
зывается абсолютная величина разности между точным ч.ислом
х И ero приближенным значением а:
,l\==lx al. (1.2)
Найти абсолютную поrрешность 11 по формуле (1.2) eBcer-
да возможно, так как точное .число х чаще Bcero бывает неизвест-
но. ОАнако можно указать число. оценивающее св. РХУ/8бсолioт
ную поrрешность приБЛИЖeн+lоrо числа а, т. е. rраницу абсо-
лютной поrрешности. Например, при измерения температуры
тела ,мы можем СУДИТ,:> о ТОЧfЮСТ,И зафиксированной темпера-
туры. лишь оценивая точность измерения. Если<м убежде ы.
, что поrрешность при измерении темпераrуры не БОльше 0,1 С.
ТО' можно считать, что абсолютная поrpeiiIность f!. не превышает
0,1 ос. Эrо число и ЯВ.1!яется rраницей абсо.Лютной поrреш;ности
и называется предельной абсолютной nozрешноетью.
. Следовательно, предельная абсолютная поrрешность 110
iipиближенноrо числа а это положительное число, заведо-
мо превышающее аБСОЛЮТ!lУЮ поrрешность (или в крайнем
\
'1
:1',.
"1,
"
',j
f_ j
,
,
;
1,:
". )
"
.> i
.
н
, i
;, I
" i
'.'
',-.:
,'"
\;
6
,,,,
. . ......... '
:1
-
:;.
-..'-.1:...............
:',
х == а::!: ЛО' (1;1)
, При м е р 1.1. Определить абсолютнуlO и предельную абсолютную по-
..решности числа а == 0.67, взятоrо iI качестве приближеJiноrо значения числа
".== "'8'
, . Ре.шен.ue. Абсолютную поrрешность 11 находим по фор-
муле (I.'2):
==lx al==J ; o 1== 3 O .
в кач тве предельной абсолютной поrрешности 110 из всех
чисe.n, удовлетворяющих 'HepaB HCТВY (1.3)-,- обычно выбifрают
ожнаменьшее и простое по записи. -
'0.":.' 'в нaIlieM примере за предельную абсолюmую поrрешность
AoMO HO 1ф НЯТЬ ЧИСЛО 11300 и 'любое большее число. В деся--
тичнои 3аписи буд м иметь 1/300 == 0.0033.... Заменяя 'это
число большим и ОЛ простыIM по записи. примем: 110 :с 0,004.
Мсолйrt:ная и предельная а:бсбЛЮ1ная поrр'ешно<:ти являют-
я числами,именованными: они выражаются в тех же еДИlIицах
(раз ерностях), что и определяемая велич.ина. '
Знания абсолютной (или предельной абсолютной) поrреш-
ности недостаточно ДЛЯ харак:rеристики точности измерения
'IIЛИ вычисления. Например, если при взвешивании двух тел
n учен.ы результат а] == 1000 ::1:: 1 r и а 2 == 10::1:: I r, то.
'несмотря на совпадение предельных абсолютных поrрешностей
11.. == 110. == ] r, TO!fHOCTb взвешивания в первом случае выше
eM во втором. TaK r:! образом, след ет учитывать. Величину
отношеция аБС<>1ЮТНОИ или предельн-ои абсолютно поrреШflО-
CТ к измеряемои величине. которая носит название относитеЛь-
нои или предельной относительной nоrрешности.
- Оп:я ОСU 111i!ЛЬн.ой f'tоzрешностью б приближепноrо числа а
наЗЫ8аетс отношение абсолютной поrрешностй 11 этоtо числа
к модулю соотв ствующеrо точнdrо числа i (х =1= О). т. е.
., б == ',:, ' (1.5)
Поскольку точное число обычно неизвестно. eto заменяют
IIриближеННl;>lМ числом. Тоrда "
l\
б== .
. ' - I а I
Отсюда 11 == б [ х 1. или .1 == б I а 1.
,
Jt
"i'
"
it" .
,
.1
,,
\
:..;;.
,.,
.,;.
.
,
,.
. ')
...
.1
,
. .
.'!
,:
'}:
(1.6)
"',i:
: \
\.
...
"
....:.........."-.......- ..:.
'"" ._ . "" Y' .o.. ..,, 't'-J.'&-"--,"- ": - i' :.:.:..-
!",",
Tj
"'''-'.."
;x
7
_ ,." -...... .l;-....
:".;..
--aat <
{
.. ,............ "" --...... ..., .... ,. .: ' ',:...
,. ,;,"'- . - '.
r
На практИке обычно имеют дело с пред ьной отн<!ситель-
ной поrрешиостьЮ ба' представляющей собои число, заведомо
превышающее относительную поrрешность (или в крайнем слу-
чае равное ей): ( 1 7)
. б ба_ .
Предельную ОтИосительну поrрешност!> ба можио считать
равной отношению предельнои абсолютнеи поrрШЩiOсти!1 а к
модулю точноrt> (или приближенноrо) числа:
б Л а Н.8) ,
а == -тxr '
или
\:
i:
.I'!
('
,,1,
)i'
" Л а
ua == -тar .
Отсюда !1 а == ба 1 х \, или Аа == Б Q \ а 1. ' .' \
Относительная и предельная относител ная поrрешности \
не, зависят от единиu измеренйя соответствующих величин и
выра,жа,ЮТСЯ часто в проиентах.
л' р и м е р 1.2. Определить предельную отн сительную 1I0rрешность
. измерения плотности бензола при температуре 20 С, если в результате из-
ереИИЯ получено
(1.9)
, ,
н
" 1
..
'j
Р == 0',88::1:: 0,005 (r/cM 3 ).
Решение. Для определения пред ьноЙ относительной ПQrрешности б р
"воспользуемС:" формулой (1.9): '
l) == :!: 0,00 88 5 == 0,0057, б р -= 0,57 %.
j) 'РI о,
,.,
;t
J/
',, 1 '
",,
t.J. ВЕРНЫЕ ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ при&лииg:нноrо ЧИСЛА
· Степень точности, приближеннрrо числа характеризуется
числом ero верных значащих uифр. '
Значащими цифрами числа называют все uифры в ero запи,
,J::И,' 'начиная спервей кенулевой слева. Например, числа
0,003064 и 0,00 306400 имеют соответственно 4 и 6 значащих
ц ифр (lJод черкнутьtе uифры значащие).
Известно что всякое положительное число а может быть
предстцвлен в виде крнечной или бесконечной десЯ'l:ичной
дроби: ' ' .
а== а1 . '10т + а 2 . 1om 1 + ... + а п ' lOт +l + ..., (1.10)
rAe (1" (i == 1,2,'.:., n, ...) цифры числа а, причем (1,1 =1= O ,
т некоторое uелое число, равное степени числа 10 старшеrо
"разряда числаа. Например; число а == О,О2345,еоrласио (1.1О),
запишется так:
0,02345'== 2'.. 1 0 2 + :3 . lO З +- 4 . 1O 4 + 5 . 1O 5 .
здесь т == 2; (1,1 == 2..
\ 8
"
' f;
'::,i'
l'
N,
'1'
; "
: ti
: 1
"
о,. -
, '.
"
'. :
"
1:
J
"
'
;
"-,
.!
t;t
,
-i
&,
2'
y ,
,i:
..
f.?i .
::
" r
, *i:-
..!,
,.
'..
, -'
'"
\iii'
...,.
f;
<
"."'-
.,:
Ь7
и
t,
"
"'<
,
"
--
...
ИЗ записи (1.10) видно, что значение единиuы n ro десятич
Horo разряда равно IOm n+l.
, Приближенное число а содержит n верных значащих цифр
tJ узком смысле. если абсолюТная поrрешность !1 этоrо числа
не превышает половины единицы десятичноrо разряда, Bыpa
жаеМОFО n й значащей цифрой (считая слева направо), т. е.
если вьщолняется неравенство
Л О,5 .'1Oт п+l. (1.11)
Приближенное число а содержит n верных значащих цифр
,в'широком смысле, если абсолютная' поrрешность !1 этоrо числа
не riревышает еДI:IНИUЫ десятичноrо разряда, выражаемоrо n,.й
значащей цифрой (считая слева направо), т. е. если выполня
ется неравенство
Л 1 . 1Om n+l. (1.12)
При м е р 1.3. Определить количество верных значащих цифр (в уз-
OM И широком смЫсле) в числе а == 0,04318, если' известна ero абсолютная
,.цorрешность Л == 0,2 . 10........
Решение. В силу (1.11) имеем:
...
. Л == 0,2 . 1O 4 < 0,5 . 1O 4,
,Т. е. для цифры 1 числа а условие (1.11) выполняется; следовательнQ, она
явля я верllОЙВ узком e. Все значащие цифры, предшествующие
единице, тоже верные. Таким образом, число верных зна,чащих цифр в узком
смылее n == 3 (4, 3, 1), '
В лу (1.12) имеем:
Л == 0,2 . 1O 4 < 1 . 1O 4,
Т'.. е. как в предыдущем случае, цифра 1 верная. в широком смыле.. Следо-
вательно, число BepНblx значащих ци 'р в широком смысле также равно трем
(4,8.. 1). .
Цифры" не являющиеся верными. называются со:мнumель-
IШJ.Щ. В примере 1.3 сомнительной будет uифра 8.
: ,
t.4. ПРАВИЛА окруrЛЕНИЯ ЧИСЕЛ
, Чтобы oKf>yr лить число, точное или приближенное, до n зна
чащих Ll:.ифр, отбрасывают все uифры, стоящие справа от n-й
значащеи цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов,
заменяют их .нулями. При этом:
1) если первая из отбрасываемых uифр больше 5, ''то цослеk
IIЮЮ из оставшихся цифр увеличивают на единиuу. Например,
окруrляя число 67,382 до десятых долей, получим 67,4;
2) если первая-,из отбрасываемых uифр равна 5 и среди сл
дующих за ней uифр имеются отличные от нуля, то последнюю
изоставшихся uифр увеличивают на единиuу. Например, ок-
руr яя число 46,2501 до десятых долей, получим 46,3;
},
'
\
..'
"
t
'i
:\
'l . '
,.,.....F. '.Jet""'"'" ..,.. ........ Т".......-Т"; ,- - ...
g" _ t. ..--- ...... .:..::.:.
., . h.i>:
"''''''',,7'_'
;,:
9
''''''
-,
{,"..
.:
:"',
"t'. I
...,.
"'.:
,..
.....
\, :
>;'
1\1-
( ,
(,,]
t '"
"
:,
. .....
r '1
l'
, д
, J
: "
ti' }
",
, '
, :
/
.\
"
. 'i
\.}
"
,.'
.1-'
1 ,'
!
;,{'
, ,
1
(,
'f
',<
\ ;
'"
..
.,.... ... ",..
/
: .
"
'3) если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и за ней
следуют нуJIИ, то последняя из оставшихся цифр сохраня тся
н изменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если
она нечетная (правило четной цифры). Нiшример, при окрут-
ленин чнсла 13.,6500 до десятых долей получим 13;6, а при ок-
руrлении числа 13,7500 до десятых долей. получим 13,8;
4) если 'первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то остав-
,шиесS! цифры не изменяются., Например, окруrляя число
..81,2347 до сотых долей, ПОo!lучим 81,23. '
При соблюдении этих правил абсолютная поrрешность
Qкруrления не превосходит половины единицы разряда, оп ре-
деляемоrо последней оставленной значащей цифрой.
При окруrлении.приближенноrо числа.а получаем OBoe
приближенное число ан предельная абсолют8ая п6rрешность
Koтoporo... равна сумме.. предельной абсолютной поrрешности
числа а, и поrрешноСТИ окруrления, т. е.
Л а . == Л а + Л окр , (1.13)
Л р..и м е. р 1.4. Масса навески, найденная взвеШИJ!.анием на аН8J1ИТИ-
че,СКиХ весах, равна 0,6794 ::1:: 0,0002 r. Окруrлить СQмнительные цифры
полученноrо результата и Qпределить ею пр'едельную абсолютную поrреш-
иость. .., ." .
Решенuе. ПриблиЖенное число а == 0,6794 имеет ,три верные цифры
в узком смысле: 6, 7, 9, так как Л а == 0,0002 <{),ООО5. Применяя четвер-
TQe правило окруrления, найдем приближенное значение al == 0,679.
Тоrда, "'в силу (1.13), Л а . == Л а + Л окр == 0,0002 + 0,0004 =;= 0,0006.
Поэтому в 8аписн числа al все цифры верны (в широком смысле).
t.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ КОЛИЧЕСТВОМ ВЕРНЫХ цифр
'И поrРЕWНОСТЬЮ ПРИ&ЛИЖЕнноrо ЧИСЛА
ПО количеству верных значащих'цифр приближенноrо чИ,сла
леrко )ПреД I:IТЬ ero предельную абсолютную поrрещность.
,ВОСЩ)JIьзовавшись неравенствами (1.11), (1.12). '
л р и м е р 1.5. Определить предельные абсолютные поrрешности Л q
и ЛЬ приблнженных чисел а == 68,347 и Ь == 3,64, если они содержат"I'ОЛЬ-
ко верные цифры в узком и широком смысле COOTBeтcTвeHHQ. '
Реше/:lие. Поскольку для числа а == 68,347 последняя цифра 7, стоящая
в разряде тысячных долей, является верной значащей цифрой в узком смыс-
ле, то в силу (1.11) ..
. Л O,5 . 10....3' т. е. Аа == 0,5 . 1O 3. "
.....
ПоследНЯЯ верная в ШИРОКОМ, смысле цифра 4 приблнжеllJюrо '1исла Ь ==
::--- 3,64 сtоит'в разряде сотых /{Олей. В силу (1.12)
Л 1 . 1O 2, т. е. ЛЬ == 1 . 1O 2.
По известноЙ абсолютной поrрещности приближенноrо чис
па, используя неравенства (1.11), (1.12), можно Qпределить
число верных значащих цифр (в узко и щироком смысле) (при.
мер 1.3). .
, 1"0
,
l;
"
"
По числу верных значащих uифр приближенноrо числа 4
можно определить ero пред.ельную относйтельнуюlпorрешн9СТЬ, '
,воспользовавшись формулами: ,
1 .
lia == 2' n ' (если цифры верны в узком смысле)
а) . 10
1
lia == I (еСЛIf цифры верны в широком смысле), (1.15). '
аl . 1On
,
rде 0:1 первая значащая цифра приближенноrо числа; п
количество верных значащих цифр.
. л р и м е р 1.6. Плотность вещества равна 0,82 r/CM B . В этом числе две,
вериые в узком смысле цифры. Найти ero предельную относительную по-
rрешность.
Решение.. По условию а == 0,82; al == 8; n == 2. По формуле (1.14)
1 1
lia 2al' lOn 1 t--8':tO .". 0,006 == 0,6 %.
Если известна пред ьная относительная поrрешность приб-
лиженноrо числа а, можно cД aTЬ заключение о количестве
верных цифр этоrо числа: число верных цифр равно, по мень-
шей мере, s + 1', если s наибольшее численное значение по-
казателя, при котором выполняется неравенство
(аl+1)liа tО-::-s. (1.16)
. При м е р 1.7. O ъeъ; V rаза в реакционном сосуде, равный 711 мВ,
наиден сотносительнои поrрещностью liv == J %. Опреllелить число вер;
ных цифр приближенноro числа V. '
-Решение. ПОДСТ8вив в неравенство (1.16) а 1 == 7, liv == 0,01, получим:
(7 + 1) . 0,01 1O s: 0,08 ..1O s. Наибольшее значениеs, для котороro
выполняется 9ТО неравенство, равно 1. Тоrда число вериых цифр n == s +
+ 1 == 1 + 1 == 2.
(1.14)
и
\"
("
Из неравеиства (1.16) следует, что если б а , то число
10n '
а заведомо имеет n верных десятичных знаков в ши р оком cMыс-
. 1
ле; если же ба ' tI ' то ЧИС.110 а имеет n верных знаков
. ,2. 10
в узком смыСЛе.
Приближенные числа принято записывать так, чтобы вид
числа показывал ero абсолютную поrрешность, т. е. в записи
числа сщраl!ЯЮТ 'rолько верные значащие цифры. Например;
ес и в результате- измерения температуры HeKoтoporo тела
'наидена величина 46,2 ос, то это означает, что температура
определена с точностью до 0,05 c. Е ли же измерения произ-
водили с точностью до 0,005 ОС, то следует сч'итать, что изме-
ренная температура равна 46,20 ос. .-
Обычно приближенные числа записывают в. виде произве-
дения двух сомн жителей, например, 3 560 000 == 356.. 10' ==
11
: ......
- _.! _.,
, _. ....._-,'''' . :..'" "". .,' ..}':' .7.', '.
<..
j
J
:,,'
, , ;
'"
/, I
1: :
: I ' 1
""j,
?i
Н
," 1
( i '
:) \
.
i '
[' ; I
;\:
i _\
.;\ 'l! .
" .
,.
.
!
! "
: J 1
j !
'"
( . <
i .'
l
1;'
,
\ .(,
':f
',\\
<:"'i
:J:
j Q,
...!.'
,1
'!f
'о:}
...
,"\
f,'
\, :.
.... '
." '............""" O>.... ",," ::;.., .. ... .......,...
....... ,..../' .......... ...... -
........----: .
,
:
('
,
--
3,56 . 106. Причем, если в числе 3 560 000 верными являются
nишь две первые цифры, то ero следует записать так: 3,6 . '106;
если' верны три цифры, то 3,56 . 106; при четырех верных
цифрах 3,560 . 106. ЧИCJIо 0,00061 записывается 6,1 . 1O 4.
если в нем две верные значащие цифры, 6,10 . 10.....4 при
трех верных значащих цифрах и}. п. При такой форме записи
коnичество верных значащих цифр прибnиженноrо чисnа равно
копичеству верных lUfфр nepBoro сомножителя, который обыч
но записывается так, что запятая ставится после первой слева
значащей цифры, а предельная абсоnютная поrрешность при.'
ближенноrо числа равна произведению абсолютной поrрешнcr
сти первоrо сомножителя на 10 в соответствующей степени.
Например, если а , 1,27. 1O 4, то /1а == -+ . 0,01 . 1O 4 '.
== 0,005. 1O 4. ,
На практике предельная абсолютная и предельная отно-
сительная поrрешности часто называются просто абсолютной
и относительной поrрешностями, так как.с истинными значе-
ниями абсоnютной и относительной поrрешностей почти не'
прих дится иметь дело. В записи абсолютной и относительной
поrрешносте обыч о сохраняют одну или две значащие цифры.
'1i
.
"
:
,
..6. поrРЕWНОСТИ СУММЫ, РАЗНОСТИ,
ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАстноrо, СТЕПЕНИ и' КОРНЯ
ПРИ&IIИЖЕННЫХ ЧИСЕII
При выполнении действий над приближенными числами
ролучают также приближенное чисnо.
Рассмотрим некоторые праВlfла, позвоnяющие определить
предельную абсолютную и предельную относительную поrреш-
ности резуnьтата действий над прибnиженными чисnами.
1.6.1. Поrреwность СУММЫ
Предельная абсолютная nоzрешность алzебраиЧl!СКОЙ суммы
нескольких приближенных чисел равна сумме предельных абсо-
лютных nоzрешностей слazаемых.
Пусть ll]" а 2 , ...,а п данные прибnиженны числа; /1а,.
-/1а., ..., /1а их предельные абсолютные поrрешности, а и ==
. п
== tti + а 2 + аз + ... + а п ,алrебраическая сумма этих чи-
сел, тоrда
!J. ===!J. + !J. + ...+!J..
u о. 02 . Оп
(1.17)
Зная преД€i1IЬНУЮ 'абсолютную поrрешность /1а суммы и.
можно оцределить ее предельную относительную поrрешность
12
.
'-"'." ; '].': k -'&t'i-ЧL "F"'>" "-""!""... -';':7': : .. . ,',' '_": '.... \.... ; '; *'ТOI . ...................
"i ,-
.
\
:':]
1'.:
J,1.
I
, \
'
1. '
ба по формуле
б а == .
lиl
"
(1.1.8)
ПОЛОЖIIМ, ll]" а 2 ,..., а п десятичные дробные числа с раз-
личным количествОм верных знаков после запятой. Для Toro
чтобы при их сложении не производить вычислений с nишними
знаками, не оказывающими влияния на точность результата,
целесообразно поступать следующим образом:
1) выделить числа с наименвшим количеством знаков после
запятой, т. е. имеющие'наибольшую абсолютну поrрешность,
и оставить их без изменеНIJЯ;
2) остальные числа окруrлить таким образом. 'чтобы сохра-
нить в них на 6ДИН знак больше,. чем в выделенных числах;
3) произвести сложение данных чисел, учитывая все сохра-
ненные знаки;
4) полученный результат окруrл!{ть на-QДИН знак. Для оцен-
ки точности результата следует найти: а) сумму предельных
абсолютных поrрешностей исходных данных /11 == /1а, +
+ /1а + ... + /1а ; б) абсолютную величину суммы поrрешно-
· п ,
стей (с учетом их знаков) окруrления слаrаемых (/12); в) по-
rрешностъ окруrления результата (/1з),
Тоrда полная поrрешность р.езультата будет равна: /1а ,
== /11 + /12 + /13.
л р и м е р 1.8. Найти суммарную массу колбы с rазообразным хлором,
если массы колбы и хлора соответственно равны 3Z7,4 и 3,0854 r (в записи
ЧIjСел все цифры верны 'в широком смысле). '. .
Решение. Поскольку в данных числах все цифры верны (в широком
смысле), то их предельные абсолютные поrрешности соответственно pa HЫ
0,1 и 0,0001 r. Число 327,4, как менее точиое, оставляем без изменении, а
второе чнсло 3,0854 окруrляем таким образом, чтобы coxpaH Тb в нем на
{)ДИН знак больше, чем в первом. Тоrда получим 3,09. Наидем сумму:
327,4 r + 3;09 r == 330,49 r.
Полученный результат окруrляем до 0,1. Суммарная масса будет равШi:
и == 330,5 r. Оценим точность этоrо результата, для чеrо вычислим:
\
!J. 1 == 0,1 +0,0001 0,1001. (r);
!J. 2 1 3.09 3,08541 == 0,0046 (r);
\
!J. з т 1330,49 330,51 == 0,01. (r);
4а == !J. 1 + !J. 2 + !J. з == 0,1001. + 0,00(6 + 0,01 == О,1I47 (r);
!J. u <O,2 r.
:'4'
Окончательно получим: и=:, 330,5 :t: 0,2 r.
Таким образом, величина полной поrрешности /1а опреде-
nяется в основном предельной абсолютной поrрешностью наи-
менее точноrо из заданных чисел, равной 0.1 r.
'-
I
i
,;=
j
13
1
(; ;
'»
?,
1.:.
?
";.
,
:-1',
'\', .'
i .
>' j
'i':, ':
. ., '!
>' , I
:.1 I
,. ,\ 1
: ," '
п
('
'
.";.t r
J"{:
'J"o'
1)! ;
! ; , "
",
;'4
' I
'.
j j
I .',: i
,. 4-
11.
t':,
f.,'
, ,
, .
.,
:.r
i: }
't;f
",",
'-,,").
I ,
IJ, "
, (
'1:.
;,
I
',"\
f,.'I
,!
I .\
7 ...... .... E. ..........,. ""....'"
.. .. " ,-,;r--- ,
.".,
,.<
:. .
t.-6.1. Поrреwнос'Пt pa3HOC"
. J1YCTba 1 и а 2 заданные IJриближенные числа, да, и 6. а2
их предельные аБСОЛЮ1Jlые nоrрешности. Тоrда предельная
aбi:олютная nozрешность разности и .:... al а 2 будет равна
:сумм.е предельных абсолютных nоzрешносtiieй уменьшаемою
:и 6ЫЧumaeм.ozo:
Ли <= Л а , + Л а ..
(1.19)
'. ,
, .
Предельную относительную поrрешность 6 и разности и
'Определяют по формуле
., ,Ли
ии -тит .
(1.20)
Л р и м е р 1.9. При электрооса'Ждении меди на катоде взвешиванием на
8налитнческих весах найдена суммарная масса катода и меди,' равная
13,8476 r. Рассчн'I'8ТЬ, сколько меди осадилось при элеКТРОЛl:lзе, если из-
вестна масса катодной пластины, равная 12,18 r (в записи чисел все цифры
верны в широком смысле).
Решение. Обозначим чйсло 13,8476 r через Ql, 12,l8 r й.. Так как
по условию в этих числах все цифры верны в широком смысле, +о их предель-
ные абсолютные поrрешности Соответственно равны: Л а , <= О,СООl r, Л а . ==
== 0,01 r. Для вычитания чисел йl и й. с различными поrрешностями Л а , и
Л а . ВОСПQльзуемся праВИЛОl\f, сформулированным в п. 1.6.1. Число Ila ос'
тавим без нзменений, как менее точное; в числе йl, пользуясь npавипами o -
руrления, оставим на один десятичный ЭЩlК болыiI,, чем в й., пселе чеrо по-
лучим йl <= 13,848 r (при этом аt:!солютная величина поrрешности oKpyr-
пения числа йl равна: Л окр <= 113,848 13,84761 <= 0,0004 r).
Вычислнм.разность и <= 13,848 12,18.<= 1,668 (r). Окрyrляя до двух
:ДесятиЧных !lHaKOB, получим и == 1,67 r. "
Полная поrрешность этоrо. числа складывается из трех слаrаемых:
1) cy ы предельныХ абсолютных поrрешиостей исходных данных:
Л i == Л а , + Л а . == 0,0001 + 0,01 <= 0,0101;
2) абсолютной величины поrрешиости окруl'пения, йl:
== Л окр == ooo 04;.
3)' заключительной поrрешности,окруrления резуJl6тата "1
Л, == 11,668 1,671 == 0,002.
Следовательно, '
Ли == Л 1 + Л s + Л Л == 0,0101 + 0,0004 + 0,002 == 0,0125 < <>,02.
'Таким образом, окончательно нмеем:
, и. ==.I,67:t: 0,02 r.
Справедливо утверждение: при вычитании приближенных
чисел в езультате следует сохранить столько десятичных
3HaKOB скрлько их в наименее точном числе. '
При вычитании близких чисел предельная относительная
ftоrрешнос-ть разности будет значительно превышать предель-
н. ые относител Ные поrреwности уменьшаемоrо и вычитаемоrо.
н
".
1:
/
.':"
Таи, в пример 1.9 имеем.
a. == I Л ;; I == 3 7 0,0007 %r
Л . ' 0,01,
ба. == -тa;r == '12,18 0,08 %;
6 20
и 'UI . 1,67 1, ,
т. е. ,,> ба. в 15 раз и б" > ба, в 1114 раз.
. Поэтому 80 избежание потерь точности при вычислениях не
следует npименять формулы (если это возможно), в коТорые
входит разность близких чисел. В противном случае следует
по возможности увеличить точность исходных данных, т. е.
брать И с достаточным числом запаснpri верных знаков: если
известно, что при вычитании чисел a 1 и а 2 первые т знача-
щих их цифр пропадут, а результат необходямо получить G
n верными значащими цифрами, то следует взять al и йа С т +
+ n верными значащими цифрами.
1.6.3. Поrр WНОСТIt пронзвеА8НИJI
П fJfI&льная относительная nooрешность nf?Ouзвeдения I{е-
скольких приближенных чисел РЩlна сум.м.е предельных относи-
тельнььх nooрешносmей СОМНо:Jftителей:
б и == ба + ба + ... + б , (1.21)
а 8 а п '
rде и"-= а 1 а 2 а з ...а п .
Зная пр дельную относительную поrрешность б" произв
дения -и, можно определить ero предельную абсолютную пcr'
rрешность 6." по формуле ,
, Ли == I и I би. (1.22),
Л Р и м е р 1.10. Определить количеC'rВО молей вещества, содержаще-
rося в 34,5 мп раствора с концентрацией 0,0715 М (J! записи чи<:ел все цифры
верны в ш.ироком смысле). ,
Рещени.е. Обозначим .чиCJIО 34,5 через йl, 0,0715 череа Ila, ис омыц ре-
зультат (количеСтво молей вещества) через и. Поскольку в исходных даli-
ных все цифры вериы в широком смысле, можем определить их предельиые
относительные поrрешности ба. и ба.' воспользовавшись форму,nой (1.15):
. == ,. oп l 3 . \Oi. "" 0,33 %; ,
.. == J 1 01 %
и а 1 1 1 . ,4 о. .
· аl'Шn " о.
В соответствии с формулой (1.21)
.u =='бо. + б,. == Q,47 % o,5 ,
Поскольку.б и == 0,5'. 1O 2 <:1 . 10 2 (см. 1.5), 'IO lJроизведение и
будет иметь по меньщей мере две верных значащих цифры в 'широко,l'\
....
'?
.....
--,.,
j)
i t
i
I
'15
?
" ,
(:.
,";""
.- '
"",
:'
ii
ё: j
j
,..'
'\
k
f1 i
,]
','.( 1;
,I\
: I
1 1 '
\1 ..
..... j
: ;-\ '1
/'
/, ,
". '
f '.
.' .
...
. E i
',ol.
4 1
I ',;
: ,-; -
'j" :
/ 1:1
! - '.
" "
:"j j
( '1
,.
. : :
i
!{ -;
!',\
, ,)
, j
"
."
[';'
i
l
. 1
"
\.'''
!,....
,
.. ,/i I
,е, 1,
'-1 '?
11
,'j!.
"
,
f<'
f..' .\,
, I
I
,
.,
r'''''''' ,........1' ...... ..:=:::. .
- - -
,
.......(" """..
- l,. , .
'.
8Uысле:'
и == 34,5. 0,0715 2,47.
По формуле (1.22) вычислим предельную аБСОЛЮ1:НУЮ поrрешность про.
изведения: '
6. и == I и I б и == 2,47. 0,005 0,01,
TorAa
".== 2,47 ::!::: 0,01 моль. "
Если каждый 1;13 n. (n. 10) сомножителей а 1 , , ..., а п
имеет т (т> 1) верных значащих цифр, то число верных зна-
ков проиэведения на одну или на две единицы меньше т.
в примере 1.10 сомножители а 1 и аз имеют одинаковое KO
'личество верных значащих цифр, равное трем. В произведении
-и две верных в широком смысле значащих цифры. Таким обра
30М, чтобы в произведении обеспечить т верных знач<JЩИХ цифр,
необходимо каждый И3 сомножителей взять с т + 1 или т + 2
значащими цифрами. '
При перемножении чисел с ра3ЛИЧQЫМ .количеством верных
значащих цифр рекомендуется поступать следующим образом:
1) выделить число (или числа) с наименьшим количеством
верных значащих цифр (наименее точное);
2) окрyrлить остальные сомножители так, чтобы каждый
И3 H!lX сод ржал на одну (или две) значащую цифру больше,
чем количество верных значащих цифр в выделенном числе;
3) в результате умножения сохранить, столько значащих \
цифр, сколько верных цифр имеет выделенное (наименее точное)
число.
Если И3 n. перемножаемых чисел а 1 , , ..., а п только одно
является приближенным, например а 1 , а остальные точные,
то, соrласноформуле (1.21), предельная относительная по-
rрешность их произведения и совпадает с предельной относи-
тельной поrрешностью приближенноrо числа а 1 :
б и == ба,,'
В частности, при умножении приближеНliоrо числа а на
точный множитель k предельная относительная поrрешность
произведения и == ka равна предельной относительной поrреш
ности приближенноrо числа а (б и == ба)' а предельная абсолют-
ная поrрешность /1 и в I k I раз больше предельной абсолютной
поrрешности числа а:
, 6. и == I k l6. a .
..... 1.6.4. Поrреwиость qастиоrо
Предельная относительная поарешнОсщь' частн.оzо от деле-
ния двух n.риближенных чисел равна сумме n.редельных относи-
,тельных n.оzрешностей двлu.моzо и делителя.
16
','
",
I
>
{'}
, ',r"
.\
':>' ..
' " , .
,
'.
-! "
:::.
. .. '. ,.
_. ......' ,. - . .- <>- .
-':-,c _
Если и ==.!!L то
а 2 '
б и 0'= ба, + ба.' (1.2:})
Зная предельную относительную поrрешность ба частноrо
и, л rко определить предельную абсолютную поrрешность /1"
по форм ле
6. и == I и I б и . (1.24}
! При делении приближенных чисел следует пользоваться
пр'аВИЛами, сформулированными для умножения.
" Пусь а 1 -и 1 первые значащие цифры чисел а 1 и аз, име-
ющих по n. верных значащих цифр. Тоrда, соrласно формулам
(1.14), (1.15) и (1.23), за предельную относительную поrреш-
ность частною и может быть принята в ичина
б и == -} ( 1 + 1 ) ( 110 y :.
если цифры верны в узком смысле, и
б и == ( ..2... + ..2... ) ( ..2... ) n l.
' 1 1 10
если цифры верны в широком смысле.
Отсюда следует правило: 1) есЛИCt 1 2 и 1 2, то частное
и имеет по меньшей мере n. 1 верных значащих цифр; 2) если
а 1 == 1 и 1 == 1, то' частное и заведомо имеет n. 2 верные
значащие цифры.
При м е р 1.11. Рассчитать плkность р ЖИДКОСТИ, если ее масса Р
равна 1,8468 r, а объем V == 1,24 см 3 (в записи чисел все цифры верные в
широком смысле), найти предельную абсолюТlIую и предельную относитель-
ную поrрешности результата.
Р 1,8468
Решение. Р == V == 1,24
Поскольку в делимом пят верных значащих цифр, а в делителе три.
делимое окруrляем до четырех значащих цифр и производим деление:
Р == 1,847: 1,24 1,49 (в результате оставляем столько значащих цифр.
сколько имеется в числе с меньшим их количеством).
Предельну!р относительную поrрешность частноrо Р вычислим по' фор-
муле (1.26), так как делимое и делитель содержат верные ,цифры в широком
смысле; n == 3, т. е. раВно количеству верных значащих цифр в менее точ-
ном числе; 0:1 == 1; 2 == 1. Следовательно,
б == ( ..2...+ ) . 1 ( + ) . .....!........ == 2. 1O 2 == 2 %.
р 0:1 1 1Oп l 1 1 102
Определнм предельную абсолютную поrрешность частноrо Р по фQрму-
ле (1.24) .
6. р ;"" I р I б р == 1,49 . 0,02 0,03.
Окончательный результат следует записать так:
р == 1,4 ::!::: 0,03 (r/cM 3 ).
(1.25)
j
(1.26)
..t.<- .....,,___"""";""...
Наукова бiбjl1vТ '
::!.1!ItВC:hKoro ердt;И8 Лi;", ..,]
: .,,"'JlITe lIi,,";joI''' арстО'""""
17
.
....
(
"
,
i
.
, .
,
л
!" ...
,
.; Л.
е
,С
'oi-"
;; !
i
1.
\ I
1-
-,
1d' ..
" J
: "
;: ' f
.') }
". .'
)\ '
,1; !
/! !
." ' I '
r: '
\;{ ,
",1 '1
;: i
:;!, ' 1
"" I
:j:.
{, ' {I
. ( I
,1
i:::
r t
:,,! '1'
i
f :'i ' I
i
I,f{
" ,
'; ,
I. _;
,
J'
>ii
I'
:
..i I
. ., i', I
!'
. i
,,:'( ( 1.,
1,.'
,;1
'" '
'>'
..
,.,.,мc, 'r """
, ,, : ...... ,, :, "'''Н".p_ : ,.. -....:.? --=-.L :........._ .......... .. {'- ............ . ....,.
\
Следует отметить, что цифра сотых долей является сомнительной, по-
скольку Л р == 0,03> 0,01. сли записать результат только с верными циф-
рами, то необходнмо ero окруrлить и учесть поrрешность окруrлеНИII
Аокр' ==,11,5 1,491 == 0,01.
Тоrда р == J,5 ::!::: 0,04 (r/cM 3 ).
1.6.5. Поrреwность степенм
n редельная,относиmе/lьная nоzрешность n й cтe ви npи
ближенноzо числа (n натуральное число) равна nроизведенuю
noказателя степени n на предельную относите.(lЬНУЮ nоzреш
ность основания. '
Пусть и == а n . Тоrда
l)u == nl)a. (Ц7)
При возведении. приближеНllOrо числа в степень в резуль
тате следует оставить столько значащих ,циФР, сколько верных
значащих циФр содержится в основании ст пени.
Предельную абсолю'П:IУЮ поrрешность степени определяют
по формуле
Ли == l)u I а n 1. , (1.28)
Л Р' и м е р 1.12. Известно, что длнна ребра кубическоrо реактора I>l:jВ
иа 2,34 ::!::: 0,01 м. Найти объем реактора, пре-дельные uтносите.n:ьнуio и аб-
солютную поrрешности.
, Решение. Обозначим: а == 2,34; Л а :== 0,01; V == а 3 == 2,343 12,8 мВ.
Определим предельную относительную '(юrрешность основания степени:
l) 6а 0,01
а == М == 2,34 0,004.
Тоrда по формуле (1.27) найдем:
l)y == 3l)a == 3 . 0,004 == 0,012.
, По формуле (1.28) определим предельную абсолютную поrpешность
епени: '
Л у '== l)y IV I == 0,012 . 12,8 0,2.
Окончательный ответ можно записать так:
V == 12,8::!::: 0,2 м 3 .
1.6.6. Поrреwность КОРН.
Предельная относительная nоzрешносmь корня h й степени
из nрuближен.нozo числа равна предельной относительной nо-
2решнotти noдкopeHHOZQ числа, деленной на nоказатель степени
я. '
, n
Пусть и == jI а. Тоrда
... l)a
"и== .
п
(1,.29)
1& ,
,<
"
ft
; i
J l
,
.. .;
, ..
"
I
.э
1::'
' ,\ .
"
'"
{.
" J:
.,
'"
:
\ I ;:a
'-' ,
'_ .ftJ' 1
при извлечении. корня n-й степени из приближенноrо числа
в результате следует брать столько значащих циФР, сколько
l!eRHblX начащих цифр имеет подкоренное число.
л р и м е р 1.13. С какими предельным!! относительной и абсолютной
поrpешностями следует определить длнну ребра Itубическоrо реактора,
объем Koтoporo должен быть равен V == 12,8::!::: 0,2 м 3 ?
, r:: r
Решение. Обозначим: а == 12,8; Л а == 0,2; и == J' а == }' 12,8 2,34.
Определим предельную относительную поrрешность подкоренноro, числа
(l == 12,8: \
., . Л а 0,2 О 015 '
иа == --тат ""т2.8 "'", .
По формуле (1.29) найдем;
l)u ='" == 0, 15 == O,Q05.
Предельную абсолютную norpellIHOCTb 'корня определим по формуле
Ли == l)u I и 1"';" 0,005 . 2,34 "'" 0,01.
Таким образом, и == 2,34 ::!::: 0,01 м.
1.6.7. I!ычмспенм. ПО формупе
На практике часто приходится оценивать поrрешность при-
ближенноrо значения веЛичины, Iюлучениоrо в результате
вычислении по формуле, которая содержит не одно, а несколькО
действий. Для решения такой задачи н-еобходимо последова
тельно применять сформулированные выше правила опреде-
ления поrрешностей простейших дейстВий над приближенными
(
числами., .,' -
Л р и м е р 1.14. Тепловой эффект (ЛН т ) химической реакции образо-
вания n моль вещества, протекающей при a6wлЮТ'Ной температуре Т,
равен:
ЛН т == [ЛН 298 +- Cp (Т '" 298. 15)] n, (1.30)
rAe ЛН 298 тепловой эффект химическоli,реакции образования 1 МQЛЬ при
298 К; ЛСр изменение теплоемкости системы в результате химической ре-.
акции.
Рассчнтать ;rеПJjОВОЙ эффект реакции образования 0,247 моль АИСИЛИ
ката натрия.при Т == 700 К:
Na2COa + 2Si0 2 == Na 2 Si 2 0 S + СО 2 ,
считая;, что ЛСр не зависит от температуры, и оценить поrpешность р:езуль-
-raтa, если нзвестно. что '
ЛН 298 == 56,1 ::1:: 0,2 (кДж/моль); Лер == 5,3 . lO З ::!:::
::!::: 0,1 . lO З (кД /моль . К); ,
n =$ 0,247 ::!::: 0,001; Т == 700 ::!::: 0,1 К.
Решение. Для удобства вычислений введем обозначения:
Х==ЛН т ; d==ЛН 29s ; Ь==Ле р ; (l==T 298,15.
, I
:
'1] .,
.' ! J',
"
18
J
j
,,('
" ,
,
...;
.
..' ,
,',
:,
:'. !
, I
:; I
,,'
,', J
,'\:
( .
",
,,' t
('
.t. '
: j
" .
r !
1"
, ,
; {
.
t _ '
",: I
"
/:; :1
: J
f!:
";, I
':'
:'
;I 't
':! J
' :
;,,;; '1 '
. /
< ; -<
I. 1
:\ :. ,
,'.)
с
-:';
; t
",.' f
,t ;
;
.
;
l
t...
' . ' '",-".....
, i
по условию, I1d == 0,2 кДж/мол , ЛЬ == 0,1 . 10--:3 кДж/(моль . К):
l1a == I1T == 0,1.
Пользуясь правилами вычисления поrрешностей простейших действий
над приближенными числами, найдем:
lJ б + б I1 d +ba l1 п I1d + I1 ba 11
X d+ba п== Id+bal +lIiТ== Id+bal + I I ==
I1d + Б Ьа I Ьа I I1 n I1d + (б ь + ба) I Ьа I +
Id+bal +1iiТ== Id+bal lпl ==
=ж I1d + ( + ) 'Ь.а I l1 п
I d+ bql + тпт-.'
I1b 0,1 . 1O , 0,1
I Ь I 31 0,02; I L ."" 0 , 2 . 1O
== I 5,З. 1O а 401,85 .
I Ьа I "" 2,13; I d + Ьа I == 54,0;
Б Х == 0,2 + (0,02 + O, . 1O 3) .2,13 0,001 "" О 008 == 08 % .
54,0 +. 0,247 ' ,о,
Х == [56, 1 5,3. 1O 3 (700 298,15)] . 0,247 "" 1'з,3;
': I1x == б х I Х 1== 0,008. 13,3"" 0,01.
В<><!вращаясь к обозначениям условия задачи, запишем окончательный
TвeT:
ыf т ,;, 13,3 :t: 0,1 (кДж).
rnau 1. ПРИ6ЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕАНЫХ
УРАВНЕНИЙ
2.t. О&ЩИЕ СОО&РАЖЕНИII
В якое уравне ие с ОДНИМ неизвестным может б IТЬ записано
в ВИДе
...'
f (х) == О. (2.1)
В зависимости от вида функции f (х) уравнение (2.1) будет
алrебраическим или трансцендентным. Например, уравнение
вида
аох п + alx'l l + a2x'1 2 + ... + an lx + п == О, (2.2)
rде а о , а 1 , ..., а п любые действительные числа, а n нату-
ральное .число, ,является ал2ебраuческuм. Если в запись урав-
нения (2.1) входят трансцендентные функции (показательнаи
а", лоrарифмическая loga х, триrонометРИЧiCкие tg х, ctg х и
др.), то уравнение называется трансцендентным.
Решение уравнения (2.1) заключае я в нахождении корней
т. е. тех значений х, которые обращают уравнение в тождес'i'IЮ:
\
1Z0
;;' - .... , ,. , -
;'"
f
", 'l'
-j.
.,'
" ..1,
:. ,.ff
: :;Ij
,',
"
.;:..
. .
/", "
, .
. ,
..
"
i:
J4;
,
.!.\:'
.
...."-
" .
1:
...: ':<;:. '.
Корни .уравнения MorYT быть действительными и комплексны
МИ. В дальнейшем будет идти речь только о вычислении дейст
вительных корней.
Точное решение как алrебраическоrо, так и TpaHcцeHдeнт
Horo уравнения далеко не всеrда возможно. Доказано, 'что.
нельзя построить формулы для нахождения корней ,алrебра-
ических уравнений степени выше четвертой (исключением M
rYT БЫТЬ"частные случаи: двучленное уравнение uxn===Ь, Tpex
членное уравнение ax 2n + bxf1 + с === О и некоторые друrие).
, fIa практике часто нет необходимости в точном решению
!равнения. Достаточно найти корни уравнения с заданной CTe
уенью точности. Поэтому большое значение приобретают
методы приближенноrо решения уравн ния (2.1). ,
Ыроцесс нахожден я приближенных корней уравнения (2.1)
состоит из двух этапов:
1) отделение корней, т. е. разбиение области определению
функu.ии f (х) на отрезки, в каждом из которых содержится одию
и только один корень уравнения (2.1);
2) уточнение приближенных корней, т. е. доведение их до>
заданной степени точности.
2-2. МЕТОДЫ ОТДЕЛЕНИII КОРНЕЯ
Отделение корней можно производить двумя способами
rрафическим и аналитическим.
1.1.t. rраф"ческии Me oд отделени" корнеи
Пусть требуется отделить корни уравнения (2.1). Построим
rрафик фущщии у === f (х). Абсциссы точек пересечения этоrо.
rрафика с осью Ох и будут приближенными значениями корней.
Если уравнение (2.1) не имеет корней, близких по значению, то.
леrко указать отрезки, в которых находится только по одному
корню. "
Однако час'iО бывает удобно заменить уравнение (2 1) равно-
сильным ему уравнением вида
(jJl (х) == (jJ2 (х), (2.3)-
rде <Рl (х) и Ч'2 (х) функции более простые, чем f (х), и их леrко. 1.
представить rрафически. Построив rрафики функций у === Фl (х)
И у === fl!2 (х), получим приБЛ,иженные значения искомых KOp
ней, как абсциссы точек пересечения этих rрафиков.
Л р и м ер 2.1. Отделить rрафически корни уравнения,r x == о.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде е Х == х ll . Построим rpa
фики функций У == еЖ и у == хll (рис. (). Из рисунка видно, чtо rрафики пе-
ресекшотся в точке М, абсцисса которой принадлежит интервалу
!
2,1
t
"r ,\, "..'.; "-::-'"' <-у.--- . , j,':" . Т;:,,, ;.:"' """:-. - JI'
,
f
;
I
i
"
\-
,(
I .
\,f
;... -
', :
;",' l'
i
. :
,. -1'-
" I!
,.. l'
;': f:'
,> I
:} ,
t:t , j
.., '
;ii. : i,
{, , '
\' .
;; : '
;
:,/...1 !
','
,
"
.'
; j
\ ..
(. '
,,,!
"'
: ,
,
" f
.", 1'"
!,).- ;
(i. ;
, f
' ,.'
. '
r: :. :
:,) .
:" 1
l. ,
t .
,i, !
f
.
;
..,t.
:t
,' l. '
!I
. А ,
....r
(:---1; O,5). Следовательно, уравнение "ex' х' == О имеет единственный
J\еАстви'reJ!ЬНЫЙ хорень, которыА Jlежитв интеРВЗJlе ( l; ,5).
fрафический метод отделения корней позволяет rрубо оп
ределить интервалы изоляции корней уравнения (2.1). Для
Toro чтобы убедиться Б том. что отрезок
[а. Ы. найденный rрафически или исходя
из реаЛl>ноrо смысла задачи (как эт(j час-
то бывает в задачах химии и химической
,технолоrии). действительно содержит ко-
рень и I:IРИТОМ еДИFlС,твенпый. следуef BOC
пользовать я известным СВОЙСТВОМ' не-
прерывных функций: если функция f (х)
непрерывна и монотонна на отрезке
[a bJ и на ero концах имеет разли'{ные
.t ,Х знаки ({ (а) f (Ь) < О). то между точками
Рис. 1. rрафнческое от- а и, Ь имеется только один корень урав-,
деле!lие корней уравне- нения (2.1). Признаком МОНОТонности
,"ия еЖ х 2 == О. , функции f (х) на рассматриваемом отрез-
, _'. e служит условие зцакопостоянсТвапро-
, воднои f (х). пр,", { (х) > О функция {(х) возрастает. при
I (х) < О убывает. ' ' ,
2.2.2. Анаnитическ й мето'! отдеnения корнед
Этот метор. основывается "8-- сформулированном выщe (см.
п. 2'.2.1) своистве непрерывных функций и предполarает сле.-
, дующий порядок действий:
1) нахождение f' (x). ервой производной;
2), рещение уравнениЯ, { (х) == 0..'1'. е. определение корней'
ПРOliЗВоДНой (или близких к ним значений); ,
3) Составление таблицы знаков функции { (х) 'в rраничных
точках области ее существования и в точках. нулевыx значений
ее производной (или близких к ним точках); ,
, 4) выделение в табпице знаков -1 (х) интервалов. на кондах
которых функция { (х) принимает значения Противоположных,
знаков. Внутри этих интервалов содержится п(j 'Одному и толь-
({о одному корню. т. е. ,ЭТО и есть искомые интервалы. "
На практике аналитическим методом уд9бно пользоваться
8, тех случаях. коrда СУЩ'е;Ств.ует непрерывнзп производная
f (х) и корни уравнения {' (х) == О леrко вычисляются.
, Следует ПQМНИТЬ. что алrебраическое уравиеиие n-й степени
аоХ" -+ аl.жп 1 + ... + а п == О (а о * О)
'ИМ не -более n действительных корней. Поэтому. если для
8коrо уравнения получили n + 1 переМену знаков, то все ero
iКорни отделены.
:22
-;::'';;;'''' .. '-;::;.s ' --'.' ,- ,
' i
" """-"' '"'r ' ':'
--, ......
,,'
f'
' ,'I ': . ' . : ,
"
, {j
;,
,.
}:..'
"; :
" i
!O
'(.-
-;'-у
"
,<
,
"
},
!
<
о:'
v-
(
...
.
J1;{
;.....
)
-,',
,
.
:'.:
. -
р
,",'!,
; , -
Л р и м е р 2.2. В закрытоu сосуде протекает peaKIUUI
.
2Н а + ss =i 2H a S.
Исхо.в.ные КQнцеНТРIJu,ии КQNПОJJенТ9В реакции равны сощветственно>
С н ., C.s.., C'н.s' константа равнов,есня проnесса Кс. В результате уста-
новления в системе состояния равновесия концентрация сероводорода из
меннлась на х моль/дм S . Уравнение, связывающее названиые величины..
имеет следующий вид: "
0.5K + х 2 (1 l(cCS.,.....KcCH.) + х (2С пaS + 2К,Рн. С s. +.
;.: O,9/(cC .) + C H . S l(cC .Cs. == О. (2.4) ,
"
Найти значение, х' с точностью Е == 1O......з оолы , если к8JO == .113,7..
С н == 0,840 моль/л, C s == 0,170 моль/л, С Н s == 0,005 моль/л.
· ,. · 800
fешенue. Подставив в ypaBHeHlIe (2.4) !!аданные значения величин Кс .
С н ., C s ., CH.s н сделав необходимые преобраэования, ПQЛУЧИ!04 уравне-
ние вида
х3 2,ОО2х 2 + 1,277х 0,240 == О. (2.5)-
Буде отделять кории уравнения (2.5) аналитическим MeTOД . Обо-
значим '
, '! (х) == х3 2,ОО2х 2 + 1,277х 0,240. '
Область опре.целення функции, f (х) вся числовая. ось. Найдем пер'
вую ПрОИЗ80ДНУЮ: '
" (х), == Зх2 4,ОО4х + 1,277.
Приравняем эту производную иулю И вычислим корни полученноrOlo
уравнения:
(2.6).
Зх2 ,OO4x + 1,277 == О.
Приближенные значения корней буд;ут: Xl ci' 0,808; Х2' "" 0,527.
Составим таблицу знаков функnии f (х), полаrая х равным rраничным-
значениям области определения функции f (х) и значениям. близким корням-
ура нения (2.6): '
x ' I
Знак i (х)' 1. ,1
О, 1; 0,3 I 0,4 1 0.5 I 0.6 / 0,8
1 ' I + I + 1 '+ / +
1+00 I
/'+ ,
Из таблицы ви.дим, что происходит одна перемена знака функции f (х).
Следовательно, уравнение. (2.5) имеет один действительный корень на про.
межутке [0,3; 0,4): Уточнить этот корень до Е == 1O......з можно любым из pac
cMOTpeHньrx ниже (п. 2.З 2.7), методов.
1.3. МЕТОД ПРОI
:
Пусть каl{ОЙ Либо корень S уравнения {(х) == О отделеа
на отрезке f :Ь)..Тр уется найти значение корня S,C точностыQo
дО Е, rде Е положителl;tНое достаточно малое число.
Выберем на отрезке [а. Ь] какую-либо roчку а 1 . котораЯ!
разделит ero на два отрезка: [а. а 1 ], и [аl.:Ь]. Если {(а 1 ) == О,.
230
l'-: '
..
.....-... "
.,.1 ""--' ;,:--';.
-.,"0; , ..... _.""',.... :""'--,-.. ...
,,.,' : ,
,
.
!
i
1
.....i
I
-' j
,!
.
1.",- ,
':\ ,
' "
.)0"',
.. ,
I
..i,
, : .
;;' i
:' , '
( . i
, , :
'. ,i
'i "
,\
"
, :t
, ,
: А .
J ...:
, .'
. .
"
'-.'
I
,< ,
! f; (
1 f
"'1 I
">' I
, i l '
"
"
;/ I
\,"
:' !
t
i
. !
'\ t
'.'1 r
t '
}! '
t..1
.,
"
то S == а) является K pHeM уравнения. Если f (а.) =1= О, то BЫ
()и аем из двух отрезков тот, на концах Koтoporo функция f (х)
принимает значения разных знаков. Пусть это будет отрезок
lа, а.]. Внутри этоrо отрезка произвольно выберем точку а 2
и будем' повторять наши рассуждения до тех пор, пока длина
()Трезка, которому принадлежит искомый корень, не станет
меньше" или равна заданной 'точности 8. Корень S можно при
пять равным среднему арифметическому концов найденноrо
суженноro отрезка. Поrрешноtть в этом Gлучае не превыша
OfТ 8/2. ...
На практике обычно предпочитают как исходный отрезок,
так и все последующие делить пополам. В этом случае метод
fIроб называют методом цоловинноrо деления.
При м е р 2.3. Методом половинноrо деления уточнить до 8 == -10.....3
;j) Hb уравнения (2.5), ра:положенный на отрезке [0,3; 0,4) (см. пример
Т-аблuца 1. Результаты решения уравнения (2.5) методом ПQ.JIовинноrо
.;целения
I
OQ
а Ь +"" "" >t<:
n 11 "' >t f (X h )
n n "" ...
о ...
>t<: 11 "'<: о с'!,
>t ".;
О 0,3000 0,4000 0,3500 0,0429 0,2452 0,4470 0,0047
1 0,3000 0,3500 0,3250 0,0343 0,2//5 0,4150 O,O022
2 0,3250 0,3500 0,3375 0,0384 0,2280 0,4310 0;00/4
3 - 0,3250 0,3315 0,33/2 0,0363 0,2/96 0,4230 О,оооз
4 0,33/2 0,3375 0,3344 -0,0374 0,2239 0,4270 0,0005.
5 0,33/2 0,3344 0,3328 0,0369 0,2217 0,4250 0,0002
6 0,33/2 0,3328 0,3320 0,0366 0,2207 0,4240 О,оооз
7 0,3320 0;3328 0,3324 0,0367 0,2212 0,4245 0,0000
-
Решение. Для удобств в'Ычислений составим, табл цу (табл. 1). По-
ольку длина последнеrо полученноro отрезка [а" Ь,) равна Ь, а, ==
0,3328 0,3320 == 0,0008 < 8, то процесс вычислений прекращаем и
.считаем, что искомый корень : .
-
х == S == 0,332::1: 0,001 моль/л.
1.4. МЕТОД ХОРД
Метод хорд известен под названиями «метода пропорцио-
нальных частей», «метода линейной интерполяции» и «метода
..ложноrо положения». . '
, Пусть требуется уточнить до 8 корень ура нения f (х) =='0,
расположенцыи на отр езке [а, Ь]. Функция f (х)
e?pepЫ Ha на отрезке [а, ь] вместе со сВоими производными
f \х).и f (х). на ero концах принимает значения разных зна-
24
.. ". .::,.,._. .: I"-:::':;"'"" ,,,,;:.! ";,",_ .;'i:.:. , ,A:. "'"""":..... ,_ . "..,':_ . .. _....
-!
.. :.. ._, ........
I
J
" ,;
ков (! (а) f (Ь) < О), f' (х), f" (х) СОХРS1няют ПОСТОЯННый знак на
всем отрезке.
Метод хорд основан на допущении, что на достаточно малом
отрезке [а, ь] функция у == f (х) изменяется линейно. Тоrда
кривую у == f (х) на, таком отрезке можно заменить хордой и в
качестве приближенноrо значения корня принять точку пере
сечения хорды с осью Ох.
Для лучшеrо уяснения сути метода хорд рассмотрим четыре
случая расположения дуrи кривой у == f (х) (рис. 2).
i
в
!J
А
,
!
i
i
.
,
о о "
А В.
а I
11 !J
А
о
6
о
А
z
Рис. 2. Уточнение корня уравнения f (х) == О, отделенноrо на отрезке
(а, Ь); методом хорд для различных случаев расположения rрафика функ-
цни У == f (х).
, .
Т,
,!
. .
Вначале рассм<?Трим случай, коrда f' (х) и f" (х) имеют оди
наковые знаки, т. е. {' (х) f" (х) > О (рис. 2, а, 6). .
Пусть, например, f (а) < О, f (Ь) > 01 f' {х) > О, f" (х) > ()
(рис. 2, а). [рафик функции у == f (-х) Itpоходи:r через точкW""
А (а. f (а» и В (Ь, f (Ь». Искомым корнем уравнения f (х) :J:'{)
является абсцисса s точки пересечения rрафика с осью, Ох.
Замеюш кривую у == f (х) хордой АВ, примем абсциссу х. точки
пересечения этой хорды с осью Ох за прlrбл'иженное значение
корня.
, I
2ft -:--
\ " j
....... ' "; ......--- "....... ....-,:' "':'">" .. - ............,"-'-у;;' "'- -'''' :...::- ' .,
,: ,
<: ,, ,;
:: ! i
:; il
, 'f,
',:. :!-,
.... '
X I ;
,\: +
>',
-: f
.. :. : f.
; 1 i, .-
,:' I
,', "
2' 'р
\) if,
j ,1
,1.1 '
,'\ t
i i
t,
:
t ;:
..'1
, ' I
, ,' , "
'.
, '
, ,
f,;, ..,
't " ,
,
}
.:1; I
, '
, .'
, ';: :-
, ; к
' . l'
"' , ' "
l ,'"
: ,;; 1
!'};:
'. ' 1 '
.
', ; t l ,
,;
',<
, .
-{ f
1; t
' ':
"
f'I' ;
,
,
\
Уравнение хорды. проходящёй через точки А И' В . им е-
ЕТ BWI:
Y Ha) X a
f (Ь) ......./ (а) '== --Б-=tJ .
Отсюда найдем Х == Х 1 . положив У == о:
Х 1 == а I (а) (Ь а)
f (Ь) {(а) . (2.7) ,
Эта формула. наэываемая. формулой щтодахорд. дает БОЗ-
tdожность ВЬ lИслить ry.риближенное значение корня. Если зна-
ение Хн наиденное по формуле (2.7). НЕЩостаточно точно. эту
.же формулу применим к отрезку [х 1 . Ы. заменяя а на х х на
2' Тоrда получим:, ' 1. 1
f (Xt) (Ь "1)
".=="17
, НЬ) { (Хд
Продолжая этот проuесс.находим
]с " '(X2)(b X2)
3 2 {(Ь) { (Х.)
tf В общем виде
Х Х f (Х п ) (Ь Хп>
п+' п , f (Ь) {(Хп> (2.8) ,
Последова:rельные приближения ]С'== а х У- х
()б р аз у ют or p о о. 1. '''11' .... п' ...
аниченную M0I!0ТOHHO возрастающую послеДQ-
ательность, причем ХО < Х 1 < Х 2 < ... < х < х < <
< s < Ь (конец Ь отрезка [а. bJ JIеподвижен): п+1 "',
, По формулам (2.7), (2.8) ВЫЧИc.IIЯIQТ корни с требуемой точ
fЮСТЬЮ и В случае. коrда { (а) > О {(Ь) < О {'(х) < О { ", ( ) <
< о (рис. 2. 6). " · · х
, 'Теперь, paCCMOТp случаи, коrда " (х) и f" (х) имеют раз-
fI e знаки. т. е. r(x) { (х) < О (рис. 2,8. е).. ' "
,Пусть. наПРИ}dер. f (а) >'0. {(Ь) < О. " (х) < О. {" (х) >0
( ис. 2.'8). Проведем хорду АВ и запишем ее уравнение:
Y T(b) , x b
{ (Ь) { (а) ь=а .
Отсюда найдем х == Х 1 . поло ив У == о:
"1 ==---.Ь f (Ь) (ь а)
{(Ь) { (а) , (2.9)
Последующие значения х.'. ха. . .. х п . ... цахо.им по формуле
f (Х n ) (Х п а)
X n + I '== Х я f (х,.) f (о) . (2.10)
Пoc.iIедоватеЛьные приближения ]с == ь х ]с
-об р аз у ют о 1) · 10 .0 .... х п . ...
, , rраниченную монотонно убывающую ПOCJlедователь-
6 "
'
. , {'..iL:";..I ............... ...:._ ---,-:_ .:,.--<..
.' .....--.---."..... - . ,.::,
' .,
ность, причем а < < ... <:: Хn+1 < х; < ..., < хl < o. (ко!-
. нец а отрезка [а. bJ неподвижен).,
По формулам (2.9). (2.10) вычисляют приближенное значе
нне корня и в случае. коrда {(а) < о, f (Ь) > О, {' (х) > о,.
{" (х) < О (рис. 2. е).
, Таким образом, если на отрезке [a bJ ,производные {' (х) и
{" (х) имеют одинаковые знаки ({' (х) {" (х» о). следует поль.
зоваться формулами (2.7), (2.8). если разные (f' (х) '" (х) <
< О) формулами (2.9), (2.10). ·
ыбор фОрмул можно осyiцествлять и по-друrому: 'непоДВИ
жен тот OHeц отрезка [а, Ы, дЛЯ KOToporo знак ФУНКЦИИ {(х)
совпадает со знаком второй производной {" (х); еслИ!'
{ (ЬН" (х) > о; то неподвижен конец Ь. а все приближения Х,.
к корню лежат со стороны конца а (формулы (2.7), (2.8»
если.! (а) f" (х) > О, то неJюдвижен конец а, а все приближении
х п к корню S лежат со стороны конца Ь (формулы, (2.9), (2.10».
Абсолютную поrpешность прнближенноro значения х п , еслJt
известны два последовательных приближения Xп 1 И xn; можно
оценить п формуле
, M т
I nl т ' IXп Xn ll, (2Л)
rде М ' тах I {' (х) 1; т == ,min 1 {' (х) 1.
хЕ[а.Ь] хЕ[а,Ь]
Если ВЫПОЩIЯется условие '
М 2т, (2.12)
то при оценке поrрешнОСтиприближения х п можно польэоватlт
c формулой
ts "яl I Хп Хn ll. (2.13)
/Таким образом, процес вычисления,последовательных при..
ближений Хl, Х:2' ..., х п , .., по формулам (2.7), (2.8) или (2.9)..
(2.10) можно прекратить, как только будет выполнено неравен-
ство
I х п ....,.. xlJ 11 < Е, (2.14)
Л Р и м е р 2.4. Методом хорд уточнить ДО 8 == 0,001 ,корень уравне-
ния (2.fV. расположенный на отрезке [0,3; 0,4) (см. пример 2.2). . .
Решение. Проверим, выполняется ли условие (2.12) на заданном отрез.-
ке [0,3; 0,4): '
{' (х) = 3х2 4,ОО4х + 1,277;
м == mах I {' (Х) I == I {' (0,3) I == 0,3458:
[0,3;0,4] ,
т == min I " (х) I == I (' (0,4) I =='-(),1554;
[0,3;0,4]
М> 2т, т. е. условие [2.12) не выполняется. '
Возьмем середину отрезка [0,3; 0,4), т. е. точку Х == 0,35, которая pa:t'
делит ero на два равных отрезка [0,30; 0,35) и [0,35;0,40). Корень будет
"! ; ,
-
}
.; !
.. /
'
l ,
','
, 'f'
. '
I
)i.;,
, ,
I :
... ..
, .;
-' >.'
27
,,'
.
,) ,
_ _ ..........._ ._ "" _.-.. " .k':-"":::".J:.:" ... ,,'..... t,... ..' '---::. .-'.."". . :; :,:;;;;.. -; f :,,/
i ,...
,.<
'
' r
, ; -
, l i , '
, r
:il
'. -.
l ii
,: [
" tc
... 1,
: ; r f ,'
. .,.
" I
'J
: r
'-
',
'.. '\
,?;
,;j
;,
, '
C
:>, ' ..
-
f \ ,t
f;
. : ' ;
, 1,
,'* <
! l,'
','
1
...;: "
; ' .
. \;i
j--)]
"
,l J : , " " :'
Jf. '.
;",
, .'
.,
"'1 1.
ft' ,
.,!' .
-" '..
" ......
flаходиться на отрезке-IО,3; 0,35], так как "(0,3) == ,O101 < О и f (0.85)
== 0,0047:.> о. Проверим, выполняется nи условие (2.12) для отрезка
(0,30; 0,35]:
м == rnaх I " (х) I == I " (0,3) I == 0,3458;
[0,3;0.35]
m == miп I " (х) I == I " (0,35) I == 0,2431;
[0.3;0,35]
м < 2т, следовательно, условие (2.12) выполнено.
Таким обраЗ0М, для оценки поrрешносТй npнблнженноrо значения KOp
tlя, находящеrося на отрезке [0,3; 0,35), можно пользоваться формулой
Таблица 2. Результаты решении уравнении (2.&) методом хорд
'g' ; f'
%п %3 '(%п) ....
,п п I
O: .. t: о:
с'о I t!
:3 ..о:
.,.,; I
О 0,3500 0,0429 0,2452 0,0047 0,0500 0,0148 O,O159
1 0,3341 0,0373 0,2235 0,0004 0,0341 0,0105 O,OOI3
2 0,3328 0,0369 0,2217 0,0002 0,0328 0,0103 O,OO06
3 0,3322 0,0з67 0,2209 0,0000 0,0322 0!010l 0,0000
4 0,332,.2 , ,
(2.13), т. е. процесс последовательноI'tl приближения к КОрНЮ будем про-
должать до тех пор. пока не будет выполнено условие (2.14).
Определнм, по какой формуле следует пронзводить вычисления, для'
caero установим знак '" (х) на отрезке (0,3; 0,35). Находим:
, r (х) == 6х 4,004;
'''' (х) < О на всем отрезке [0,3; 0,35], f (0,3) < О, f (0,3) r (х) > О.
Следовательно, за неподвижныА конец отрезка берем х == 0,3 и выис--
ление роизводим по ФОРtdулам (2.9), (2.10):
'(Ь)(b a) -
хl == Ь ' f (Ь) f (а) ; Х п + ' == х п
"де а == 0,3; '(а) == o,OI01; Ко.== Ь == 0,35.
Все вычисления представим в табл. 2. Из таблицы Видно, что t %.
xs t == 0,0000 < 0,001, поэтому окруrляя Х4 дО тысячн х долей, полу-
чим х == , 0,332 моль/n.,
{
f (х,,) (Х п а)
H ") I (а) ·
2.5. МЕТОД НЬЮТОlfА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ.
Пусть корень S ураВцения f (х) == О отделен на' отрезке
[а, Ь), причем {' (х) и {" (х) н прерывныи сохраняют постоянные
знаки при а х Ь. Требуется найти ero приближенное зиа-
- ченце с точностью до 8. '
Возможные расположения rрафика функции f (х) на отрезке
ra, ь] представlЩ. на рис. 3.
28
". , :i re5--:;';;:.i>. ," '.
,. J "
,'ос:',
,' !
Пусть, например" на рис. 3. а или 3, б кривая расположена
так же, как на рис. 2, а или 2, б. Искомы корень s есть абсцис-
са точки пересечения. кривой и оси Ох. Проведем касательную
к кривой у == f (х) в точке Во (В; f (Ь» и найдем абсциссу х.
точки пересечения эroй касательной с осью Ох. Запишем ypaB
нение касательной в точке Во:
y f (Ь), == " (Ь) (х Ь).
Полаrая у == о их == Xt, получим:,
НЬ)
Х 1 == Ь " (Ь) . (2.15)
4'
!I
о о
;i:-- А
11 8о
В !I
Ао
В
о
А .
8
Ао
z
Рис. 3. Уточнение корня уравнения' (Х) == О, отделенноrо на отрезке
(а, Ь), методом касательных для различных случаев расположения
rрафика функции у == f (х).
Это и есть формула метода касательных.
Если значение Х 1 не удовлетворяет требуемой точности 8,
то Вычисляем абсциссу Х 2 точки пересечения касательной к кри-
вой у == I (х) в ТОЧКе В 1 :
f (Хl)
XI=? /'(хд .
29
"
I!
11,
I
i
: I
,
;
!
: j
i
' 1 '
I
1,
11,
I
, '
;
, 1 \
: I
,[
, !:
, l'
I
'
\!
,
11
f
I
!
:"-"
(
-:-€.-
) -
"' :;!
;!J
;j
, I
.' ,
"','
\ ;
,''':
\ '.
,
,'1
.
f \
i
, ;
, ;.
"' t
.
:'$ t
: f
" I r
"
" f
" , ,
i
'\ .
t
f
I с I
"
I
'/ !'
, i
I
,
, .. r
,
" ;
':.-:
:, " ,r , . , :
:t
] .
1:
.. -
i' ; i'
.: .'""
, .,..... ..... , -
.
. ' ..---.. .!7::-
Рассуждая аналоrично, для приблиЖения Xn+l получим,'}
формулу
( .16>, >
f (х п )
Х п + 1 =;..Хп " (Хп> .
Последовательные приближениях о == Ь, ХlуХ:!, ..., Х п , Xn+l,...
образуют' оrраниченную монотонно 'убывающую последова-
тельность, причем а <s < ... < Хп+l < Х п < ... < Х 1 < Хо. ,';
т. е. получаются приближенные значения .к рня s с избытком.
Рассмотрим теперь расположение кривои,.как H РИС.-,2, в
или 2, 2 (рис. 3, в, 2). Проведем касательную к кривои У == f (х)
. в точке Ао (а; f (а» (если провести касательну в точке В, то .,
она пересечет ось Ох точке, не принадлежащеи отрезку [а, Ы. '
Ilзапишем ее уравнение:
. у f (а) == {' (а) (х 'a).
Полаrая у == О и Х == Х 1 , получим:
" f (а)
Х 1 == а " (а) .
Затем проводим касаiел иую к ривой У == f (х) в точКе А 1 ;
абсциссу Х 2 точки перес енИЯ касательной с осью Ох Jlайдем
по формуле '
(2.17)
f (Х 1 )
Х 2 == Х 1 {' (Х 1 ) ,
и так далее; (п =+ 1)-е приближение вычисляем по формуле ,
1 (х п )
Х п + 1 == Х п {' (х п )
Пос.nедовательные приближения ХО == а, Х 1 , XII'''' Х п . ,<
Xn+l,..' образуют оr,раниченную монотонно возрастающую "
последовательность, uричемх о <Хl <Х II < ... -< Х п <,Хп+l <,
< ... < s < Ь, т. е. по уча тся приближенные начения К9Р-
ня s С недостатком.,' .,' .
На основе сказанноrо Можно сформулировать следу ее
правило нахождения кор я по методу касательных: последова-
тельные пр иб,1J,ижен ия' Х 1 , Х 2 , ..., Х п , ... находим по формуле .;
(2.18), rде п == О. 1,2, ...,l1ри ЭТОl;! в-кач тве начал ноrо при- ,
ближения ХО берем а, если f (а) f (Х) > о, и Хо == Ь, если .'
I (b)f" (Х) > О. ;
Если ПРОИЗВо/'l.ная f' (х) мало изменя.ется отрезке [а, Ы,
,ТО в формуле (2.18) можно положить:
{' (х п ) {' (Х о )'
ToiAa для корня s получим последовательные приближения.
по формуле' ,
f (Х п )
Х п + 1 == Х п . j'(xj .
(2. 18) ,!;'
(2.19)
i 30
'"
,'t
""'1,\
,
"';'
': х.:
! .
/ Для оценки поrрешности n-ro приближеНИЯ,Х п можно вое-
1I0лЬSЬваться 'формулой
1 Х п I 11 (х п ) I
[11
тде т == min I " (хН.
. [а,Ь) ,
" Если отрезок [а, Ь) настолько узок, что справедливо нepa
венство М 2 2тli rде М 2 == тах I (" (х) 1, а тl == II1in I " (,х) 1.
.[о.1>] . [а.Ь]
то точность приближения на п M шarе оценивается следующим
образом: если I Х п Хп---l I < 8, то I s Х п I < 82. '
, л р и м е р 2.5. Методом касательных уточнить до 8 == 0,001 корень
равнения (2.5), расположенный на отреЗКЕ: [0.3; 0,4) (см. пример 2.2).
Решение. Определим, какой из концов отрезка [0,3; 0,41 выбрать в ка-
честве начальноrо прнБJiижения:' ,
{" (Х) == 6х 4,004 < О на отрезке [0,3; 0,4);
f (а) == ,ОlOl < о; f (а} ,. (х) > О. '
Следова1'eflЬЩ>, _
хо 'F Jl == 0,3; {' (Х) == 3х2 4,ОО:4х + 1,277. '
Для удобства все ,вычисления сведем в таблицу (табл. 3). Из таблицы
видно, что I ХЗ""- %21 < 0,001, поэтому Х == "" 0,33:2 моль/л.
Таблица 3. Результаты решения уравнения (2.5) методом 'кacaтe.nьныx
п 1&п ' , f( w : I
"'\f .
п .. }.
"" 8
8 ,
ci ..; 1,
О 0,3000 0..0270 fI,1802 O,O101 0,2700 1,2012 0,3458 0,0292
1 0,3292 ' 0,0357 0,2170 O,OO09 0,3251 .1,3181 0,2840 0,0032
2 0,3324 0,ОЗ67 0,2212 0,0000 0,3315 1,3309 0,2776 0,0000
3 0,3324
.
.
2.6 КОМ&ИНИРОВАНН А МЕТОД ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ
Пусть корень 'уравнения '(Х) ===0 отделен на отрезке [а, Ы.
Требуется найти ero приближенное значение с з.аданной точ-
ностью (; 1<0мб(jнироваiIным методом хорд и касательны1С ,
Рассмотрим четыре типа rрафика функции у == (х) (см.
п. 2.4 и 2.5).
Если " (x)f" (х) > О (рис. 4; а. 6), :со метод хорд дает при-
ближения корня s по недостатку. а метод касательных по
избытку. Положим ХО == а, X == Ь. ВЬJчислим ПРlfближенные
значения Х 1 , Х 2 , ..0, х п . .';. по методу хорд (Хl < Xj! < ... <
-< Х п < ...):
%п+1 == %n'
. f (х п ) .
(Х п Хп> (п == о, 1,2, .,.) (2.20)
f (x,J ...:.. f (x,J \
,.'
:l,
3J
"\
i\\
1).
!! ':
1,
i
r I
, j
i
I
i'
: J
11
111
11
11
11,
. I .
, ,
I H
. l'
,[
. i!
:1
.11 .
I: I ! ;
'1 ,)1
1,'
i: ' ,
" !,
:i
!
1
\
I
'i'
('/' ;
'1
;,1
2
;:1
'
,
"
,
i, ;
\}
,О,
i!_.
................... --
"; ...........' .... (,
L_ T_. ..
/
, I
И одновременно по методу к!-сательных значения X t , Х 2 , ...
... . Хо ... (Х 1 > Х 2 > ... > Х п > ...):
, (Х п )- 012 )
х X (п== , ' , , ' .....
п+l п " (Х п )
Если же f' (Х) {" (х) < О (рис. 4,6,2), то метод касательных
дает приближенные значения корня по HeДOCTaT y, а метоД
(2.21)
у
у
' -
о
' <.
'.
,:
, !
i;
. {
о
А
а
t А
;,1 У
, ,
.
l .::-
j ,
, ,.
, '
.!, ...:.. ,
: , r
'1 :l [
, ':::: I
I " ',' t
., . , ' f
, f,
':- ; 'f i
<: t
I f
:"
.'
j" I
.. " I
t .... r
' .
"
t /
,;$ .
.) !
! E ;
" \
,
,' f
. ,i,
в
I
у
,8
11
J
о
8
А
z
,
Рис. 4. Уточнение КОрНЯ уравнения f (х)'== О, оТдеJtеннorо на отрезке
[а, Ь), комбинированным методом хорд и касательных для различны
случаев расположения rpафика функuии У == f (х).
-
хорд по избытку. Тоrда' значения X 1 ; Х 2 , ..., Х п вычисляем
по методу касателЬНЫХ, приняв Хо == а:,
Х п + 1 == Х п :. ;J (п == О, 1, 2" ...) (2.22) . :
и о;новременно находим X 1 , x , .;., Х п , ... по методу хорд, при- ,
няв XiI == Ь:
,
" (Х п ) (Х п хп>' (п='О, 1,2, .. .). (2.23)
хn+l == х п f (х п ) f (х ll )
Для любоrо значен я h справедливы неравенства Х п < <,
<х n иО < s Х N <: Х n X". '.
32
' :" ",
"i
!; J",
. ':'\0
Следовательно, np.оцесс ВЫЧИCJl!ний можно прекратитъ,
как только выполнится неравенство Х N Х п < е.
За приближенное значение корня лучше Bcero взять сред- ,
нее арифметическое полученных последних знач ннй:
1 '
== Т(К п +K,J.
"
"""":
л р и м е р 2.6. Комбинированным методом хорд и касательных YТ01J4
ннть ДО 1\ == 0,001 корень уравнеиия (2.5), расположениый на OTpe Ke (о,ЗI
0,4) (см. пример 2.2). '
Решение.
f' (х) == 3х 2 4,ОО4х + 1,277;
,'(0,3) == 0,3458> 0";
" (0,4) == 0,1554 > о; ,-(К) == 6х 4,004 < О на отрезке (0,3; 0,4).
Таблица 4. резулJ>та'fы реwеиии ура8вении (2.5) комбииированным
методом ХОРА и касателloНЫХ
I I ,OO2X I . /Х п +l
Х п '(Х п ) АХ п
п '..+!
о: .... ....
't з 2, I
Х п I Х п f (Жп) I: I 6.Хп
I
....
0.3000 0,0027 I 0,1802.1 O,0I01 11, 02 21 0.3292
о 0,1000 0,3458 0.0246
0.4000 0,0640 1, О,З203 I 0,0145 o,0589I, 0.34il:
.
0,3292 0,0357 1 .2170 I O,OO9 0,00321 0,3260
1 0,0119 0.2840 0.0033
0,3411 0,0397 I 0,2329 I 0,0024 , O,00871 0,3324
0,3260 . 0.0346 I 0,2128 I 0.0019 0,0065 I 0.3 25
2 0,0064 0,2905 0,0019 "
0,3324 0,0367 I 0.2212 ''''''О.()()()02 , 0,0001 1 0.3325'
0,3325 ' j
3 0.0000
0,3325
-
,7:'<!'
..;
:.:;
',:,
; :,
:; i(:
"
{ ;""
..
,
.'
Для расчетов применяем ,формулы (2.22), (2.23), положив х;; == 0.3;
Ко == 0,4 и обозначив
'
Ах == НКп> . л иХп)(Х п хn)
п " (к п ) , U:;n == , (xп>' f (Х п )
Вычисле ия удобно предста ить в внде таблицы (табл.
следует, что ха ,xa == о. След:овательно, , 0,332.
2 5 1772
4), KOTOpoA
R
,
',<ot"
,.,
, 'j\
\
,: I
I f
!
j
I
i
11
! '
, ,
'1
I '
......,
:;
"
"'- 1I
'. ! 1\
, \\
,
,1
,!" ' ,
!i' j
11. \,
'! "
8з
/1
'!
::: ;1
Ч'
,, '
. t . ,
"
.' "
!!"
\ ';
, >
1.\
i "
(' t
1,'
,1 ,.
'i
, f
L
t;
, '
1
t 1
[-:
r ,
i
- 1;
',: . - !
['
!,.
f
", I
". I '
, t.l,
"; f" '
,1 ;l
; .
IJ'
f 1,0 ,
, i r
t (! _, ;
-, ;
1
,
.\ r '-
.
:'} 1,
,{:, : 1 "
! f ,:
, ;
,.( :
,, .
i'.. \' f-
',: ,
- . ,
/- ", ,'.... - _.I! -'..-,
, ,
: i '," -. ..-:'
, E
, ,J.7. МI1'OД иYW...циА (МЕТОД ПОСдЕД08АТЕJIWtWX
при&яижЕ:Ний}
. ' 'Пусть дан.о уравнение \
f (х) '=' О, (2.24) ..
, rде f (х) . цепрерывная функция. Требуетс айти с ТОчн.остью '
д.о 8 к.орень S эт.оr.о уравнения. отделенныи на отрезке.Ja. Ы.
Решение таКQЙ задачи метод.ом итераций следует начинать с
пр и веден ия уравнения (2.24) к виду .'
I Х =т ср (х). (2.25)
Так.ое преобра30вание всеrда м.ожн .осуЩ ствить различнl;tI.
мn сп.особами; Например, уравн€ ие Jtd 2:i , -3 == О м.ожн.о '
заменить следуIPЩИМИ равн.осильными уравнеI:lИЯМИ. написан-
ными в И)1.е (2.25): " '
- Х == lY 2x + 3 [ср (х) == jY 2x + 3 ]; ,
x x3 Х"",;",3 [cpN == х 3 x 3); ,
" 1 1
х ==""2 (х3 3) (ср (х) ==""2 (Х З 3)].
В качестве rруб.о приближеннor.о значения иск.ом.оr.о к.орня .
-в.озьмем любую точку хо Е [а, Ы.'кот.орую будем называть на-
чальным приближением. Для п.олучения следующеrо прибли- i
жения Xt В правую часть уравнени "'<2.25) вмест.о Х подставим, \
Хо. так что
"
Далее нах.одиМ:
Xi == ер (х о )'
Х 2 == ср (х 1 );
ха == ср (х&>;
Х п == ср (xIJ I)'
Таким .образ.ом п.олучим n.оследовательность чисел Хо. 'Х 1 !
'Х2' .... Х п . ..., кот.орая м.ожет СХ.одиться. т. е. иметь предел. ,
являющийся корнем уравнения (2.24>, или расх.оди'fЬСЯ. т, е. ' ,
не'иметь предела, тоrда мет.од итерации не,ПРИВОДИТ к ели. ;,
, След.овательно. 'для практическ.оr.о применения метода ите-./ ,:
раций необх.одим.о знатЬ достат.очные условия сх.оди ости r'
итераци.онн.оr.о пр.оцесса. K.oTqpble выражаются следующ и Teo-', ,
рем.ой (прив.одим ее без д.оказателМ1:ва). '
, Теорема. Пусть на отрезке [а. bJ нах.оди единственный р,
" корень уравнения Х -:-' ер (Х) И в.о всех TOI{KaX эт.оr.о 9трезка .'
пр.оизв.одная tp' (х) уд.овлетв.оряет неравенству ;.
,ср' (х)/ q < 1. (2.26) "
Если при эт.ом все значения ,ер (х) при адлежат [а. Ы. т.о
шерационный пр.оцесс сх.оДится. причеft\ за нулев.ое приближе-
:Ie Х, МОЖНО взять тобое число иа отрезке (а, Ы. . ,.1
'; '
,>,
Сх.одим.ость пр.оцесса итерации будет тем быстрее. чем мень-
ше числ.о q. уд.овлетв.оряющее неравенству (2.26) (м.ожн.о при-
нять q == шах I ер' (х)!). ' '
[а,Ь]
Если для всех Х Е la. bJ пр.оизв.одная ер' (х) с.охраняет п.осто-
янный знак и вып.олняется нtфавенств.о (2.26). т.о при ер' (х) > О
итераци.онная п.ослед.овательн.ость Хо. Х 1 . х 2. .... Х п . .... будет
м.он.отонн.ой (в.озрастающей или убывающей). а при ер' (х) < О
нем.онот.онн.ой (двустор.оннее приближение к к.орню s).
П.оrрешн.ость приблщкенн.оr.о значения х п можн.о .оценить.
в.оспользовавшись PMY лой
. q \
16 х п , 1 q ! Х п Xп 1 /. (2.27)
откуд? следует. что неравенств.о
с- 1 xnl B '(2.28)
справедлив.о тольк.о при вып.олнении неравенства
, i q q xn xп ll E.
или'
,
l q ,
I !'п xIJ i I в. -------Ч---. , (2',29)
Из сказзнноr.о следует taKoe практическ.ое правило приМе-
нения Мe'f9даиtераций: ' , ' . ' ,
1) пре.образуем уравнение (2.24) к виду (2.25) таким обра-
з.ом. чтобы ! ep (х) ! уд.о JI.ецюря,nа: усл.овию '(2.26). Наприм р.,
м.ожн.о искать Фу-нкцию ер (х) из с.о.отн.ошения ;
fP (х) == х f (х).. (2.30)
k '
"
п?ичем k следует выбрать так. Ч'rOбы \,k [> ; . rде Q-==
=== шах'! f' (х) r и 'знак k с.овпадал бы с.о знак.ом f' (х) на Iа. Ь);
{а,Ь}
2) qисляем rioc.itед.овательные риближения п.о' формуле
, Х п == ср (xIJ I) ('! == 1, 2, . . .) (2.31)
'.. (прин в за начальное приближение Хо любое числ.о из .отрезка
[а. Ь]) Д.о тех П.ор. n.oKa для двух послед.овате.7!ЬНЫХ приближ .
ний не будет 8ып.о I:Iен.о неравенство (2. ). '
Т.оrда, с.оrласно (2.28).' получим:
== х'; :1: е.
Рассм.отрим еометрический смысл итераци.они.о .о пр.оцесса
Постр.оим rрафики функций у == ep (х) "11 == х (рис. 5). Иско-
мым к.орнем s уравнения (2.1) явл1rется абсцисса 1'Оt1КИ М
пересечения кривой у.'== ер (х) 'с биссектрис.ой координатн.оr.о
уrла. ' '. .
2*
.'
85
;?"
"
i
,:1
}I
"
i
,1 I
i !
!
I
, .
, ,
! !
' 1 1'
l'
1 1
'1
1,
l' ·
I '
I
i
I
I ' ,
1:
J \1
,1
i
&
,1
,.
1,
"
;1
;J--
, ; \
;,
'>"i!
;
,. "
.
,
, .:;1
"
" [,;
I;.{ j'-'
" ,::\
1 ;'
j :
, ' t','
, -: i'
r
, : 1"
; "f1;
.-i; (.
"' , ' : "L.
, T'
. 't
,:.: ,
; J ','
:; Н:'
, ".,
, :
,) j
, ,",
't t
.. / , ' , ' . ,
, "ij
':',
,
, :: t
.1.;
,;; ;'l'
: {,
,
:" [
",'4 :
/':;:'( , >
., \" \! ---
' -::':' '_:'*"' : 7::: - '!' "" \;;: ;: .__ 7:;::-'>. :"::;-::'"
-";'< ....,.--. ,,
. "; . .:.::: """ , ...---:-.; - .
" ,'" "
" J'
1,
!" 11
,
.[ J ,
, J.i,.t;,
. J'
"' .
t.
? -t;
А'.
' Q
11
I
,':1
r
g
; ' ,
'.,
t-i
p
r" '
.
"
'Jr
х
6 , ,
Рис. 5. rеом трическое ,представление метода итер ций ДЛ,я: а) 0<1,
< ер' (х) < 1; б) 1 < ер' (х) < о; в) ер' {х) > 1; 2) ер ) < 1.
. ,Возьмем на оси ОХ произвольную точкУ, О абсциссой Хо.
проnедем через нее прямую, параллельную оси.оll. до пересече-
ния с кривой в точке Ао. Через точку Ао проведем rориsон-
тальную линию до пересечения с прямой у ==" в точке, 8 1 }
через точку 81 "..... вертикальнущ , прямую . до пересечения 01,
. кривой у == ер (Х) в точке А 1 . получим значеНJIе Хl == ер (Х о ).
Процесс продолжаем в направлении. указанном СТРt;Iками.
На рис. б,а изображе а кривая. для которой О < ер (х) < 1.
В этом случае ПQCледователЬНЫ,е ЗlJачении х сходятся к Х == Sf
причем итерационная последовательность х о , Хl' Х 2 . .... Х n ' ...
явля GЯ монотонно возрастающей (если xo < s) ИЛ монотон"
IJO УбываlOJ!i.ей (если Хо> ,). 'т. ,е. наблюдаетс односторон-
нее приближение. _ ,
...
з6
-'о ,,'\
,/ ..
,
"
.,'
"'s,- '--
' У
, ,
,.
. ]J.ля КРИВОЙ -у == ер- ( ) на рис..5. б сnра едливо выражение
1 <: f( (х) < О;' итерационная последовательность Хо, Х 1 .
Х 2 . .... Хп. ... неМонотонна: члены последовательности. ббль
шие 6,/н мtЩьшие s. чередуются; аблюдается двус'ЮроRП,
' приближевие к корню S. ;,< :,,-' ,{,
На рис. б; :8, ? в окресmости корня I ер' (х)/ > 1. Очеви.iuю;"
что наско..ько -блl!ЗКО k корню не был бы взят Х о , члeЩi, :.",
рационной последовательности Х о , Х.. Ха. ... Хn. ... будут уда-._
ляться от ,корня и для нахожд ния значения' Корня S -меТод
итер цнй неприменим.
При м е р '2,7. Методом ит.ера иА уточнить до Е == 0,001 корень урав-
нения ( .5).рac.noложен ый на отрезке 10,3; О.4] (см. пример 2.2).
, Решение.Лрnве.цем 'данное уравнение к вИду Х ер (х) так, чтоБЫ'
1 ер .(х) J < I-:JlРИ 0.3 х 0,4. Функцию ер (х) будем искать из соотно-
шення (2.30)
Нх);" х3 2,ОО2х 2 + 1,277х 0,240; ,
. " (х) == &2 4,ОО4х f1,2.!';,
Q == rnах 1 " (х) 1 == " (O == 0,3.458;
[0,3:0.4] , " :" "
. . "(х»О при O,3 H,;o,4. ,
, 'Q "
Считая,l что I k 1;> '"2!, пр ем 'k=;:: 0,2,>6" Т. е: 'ЗИЩ< k совпадает
со знаком " (х) на отрезке [0'з; O,4J.
Torдa
.. '(х) , .
. , .. ер (х) == "'"'"'F""' == х
X3- 2.002xll+ 1,277x O,240 == 5x3 + 10 0 1'2 5 38 1 .
0,2' ' "х, х + ,20,
ер' (х) == 15х 2 + 20!02x, 5,88;
ер' (0,3) == O,73; Ч>' (0,4) == fr,
ПРИ,мем )
q == rnах I " (х) 1 == I ер' (6,3) I 0,73 < 1.
,[0,3:11.4] , '
СледоваТeJIЬНР, У<7l0вие (2.26) сходимости ит"ерационноrо процесса вы-
ПОлняется. ПоЭТОМУ находим ПOCJIедовательные приближения по формуле
':\ . 2 '. ..
, Х п == 5xn,,:, + 10,0 IXn l ,G&п l + 1,20, ;
приняв за Н8Ч8Л Jt , ное-приближение Х =:..0,3. Вычисления удобнq представить
в ви е таблИЦьt (табл. 5).. Но прежде определим, пользуясь ФО МУЛОЙ (2.29),
ка кои ДОЛжна быть разность между двумя последовательныии 'приБЛиже-'
IIИЯМИ Xn 1 и Х т чтобы ДОСТичь заданноА,ТОЧНОСТИ 8: ,
I ' 1 0,00 1 . (l о; 73) О 4 10 00003 (
я Xn 1 ' 'о 73 " '. , "-
' , '/ \ ,
Так как I х. .tli 1 =; I 0,3335' 0,33391'== 0,0004, то. требуемая
ТОчиость вычислений достиrнJ.:I'8. '
fIoэтому можно С'1итать. '1ТО, 3,333 :f: 0,001.
37
, , ;h..,, ':::.'., _, -'-------.1.'-.,"
, .- -:.
. . "..
<.:.' . llt'
'!
: I
\
I
, !
,
;. : t
-'} \. -, ?
;;'-? .!
.. i 1
' I
J
;. 11
ii
!I
)1
I
1,
'1
l.
.
\'
.
,,- ,
..
1;; l'
ii
.4.."';t, ": ,
'т" ! '
,
,$ 1:
, ('
: 1"
. . ! i '
.'
it
ji; :.
i:'
[:)
, [
;; 11:
:i f:
, 1 ';
."!" "..,
Щ;
' , ' '
),/'t,;'
'i .. J . '
, i " [;
.
.;;' ': -
,);. " '
" ,
<t
.... . \
.; ;'.:'
, "
:н:,;
.-> \'. '
, \ I : :
i ." I "
,! : 't
;f., }
...> :'-:.:' "_:: ';;""" >' ....''""':..--.".......... .. ...: ':':;: v.\ ... ...-:'';... , ,....
..,;_: ;:. -'-w.
1(";
.
Таблица 5. Результаты решения уравнення (2.5) методом итераций
,
.\
11 I %п 5% IO,Ol ф(%п)==%n+ 1
О 0,3000 o, i35Q 0,9009 I 0,351'9
1. 0,3&19 O,2179 1,2396 0,3285
2 0,3285 O,I772 1.0802 0,3357
3 0,3357 O,1892 1,1281 0,3328
4 ' 0,3328 O,1843 1,1087 0,3339
5 0,3339 ..... O.1861 1,1160 0,з335
6 0,3335 !
..
[,
[,!
1.8. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ УТОЧНЕНИЯ КОРНЕИ
Каждый из рассмотренных выше методов уточнения корu ей
обладает определенными достоинствами и' недостатками.
Метод, проб (в частности, метод половинноrо деления) ал.
rоритмически прост, но объем' вычислений будет тем больше.
чем с большей точностью требуется найти корень. Поэтому этот
метод удобно применять для rрубоrо нахождения корня (на-
пример, на этапе отделения корней), а также в сочетании с дру-
" rими методами (например, с методом хорд для суж ния интер-
вала изоляции корня).
Остальные методы меТQДЫ хорд, касательных, комбини-
рованный M TOД хорд и касательных, M OД итераций объ-
единяет то, что все они являются итерационными, так как в
каждом из них производится последовательное уточнение пер-
ВО,llачальноrо rрубоrо приближения. Общим свойством итера-
ционнЬ!х методов является то, что при их практическом исполь-
зовании ошибка oKpyr ления не накапливается в силу Toro, что
шобое приближение можно рассматривать как новое начальное
приближение. IJo этой, причине ошибка, допущенная при вы-
числении какоrо-либо приближения, не оказывает влияния на
оконч.атеJiьный ре;iультат. В худшем случае 'Щl.lибка приведет
к увеличению объема вычислений.. Что касается общей ошибки
окруrления, то она равиа ошибке, возникшей'в последней ите
рации., \
Из всех paccMoTpeHHbIx итерационных методОв вЫчислитель-
ная схеМ8 метода итераций цаиболее проста, что делает eJ'o очень
удобны t как для расчетов вручную, так.и для проrраммирова-
;, ния на ЭВМ. Однако сходимость метода может быть rораздо
медленнее, чем сходимость друrих методов (см. примеры 2.4
2.7), что уве.rшчивает объем вьfчислений.
СХОДIlМОСТЬ метода Ньютона (I<асателы ых) rораздобыстрее..
чем M oдa итераций, ио при ero использовании на каждой
38/
'- ' ,
,'..
,...,
_ - .:: .i"';':;,,,, _",--, ..
1', -. ., < ''i.
J
итерации. требуется вычислять не только функцию 'но и ,
ПрОИЗВОДную, что бывает часто затруднительно, а ин rftа и не:.
ВОЗМОЖНО (например, коrда f (х) задана таблично и производ-
ная не существует в некоторых точках). '
Поэтому при выборе метода следует учитывать кою( етный
вид функции f (х), выпqлнение условий применимости K oro'
из методов (они указаны при описании методов ) б
димости. " " ыстроту схо-
(nаВ8 1. ,РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРА8НЕН"А
3.t. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕJilНЫХ АлrЕ&РАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЯ: '
1.1.1. ПосТановка нда..и'
Дана система п Линейных алr р аических А
неизвеСТНItJМИ.: ,уравнени с п
аl1 Х l + а 1 .х. + ... + й.nХп == b f ;
й21 Х l + a2aX + ... + Xn =:' Ь.;
......11.-.....
. . . .
a lXl + a nra + ... + аnпх n == Ь n . (3.1)
Требуется ,найти ее решение, т. е. такую совок у пность зн а -
чении неизвестных х х
д' 1, l' ..." Х п , которая при подстановке в
анную систему обращает все уравнения в тождества
Систему (3.1) можно записать Б матричНQ..Й форме:' : '
АХ == В,
rде
А == ( ::: ::: ,:: ) ;
..... ..
а п1 а n 2" " а nn
Х Квадратн я матрица А называется матрицей системы (31)
Ц вектор-стол(jцом неизвестных системы, В векто р -сто б
ом свободных, членов системы.
Известно, что если матрица А' неособенная, т. е.
а 1 1 а12 a 1n
.. ( Хl ) ( 1 \
Х::;:; В== :1:
.... detA == ааl й.s 42п
*0,
. . " . . . .
!lnl ' а n2 " . а nп
\,
:" '$
39
jl
: i
I
: t
!
I
,
I
t
1>
' 1 '\
, I
,1
11
I1
,1
1!
'
i
'1
!I
:
, : ",., , ,"",
I,
,:,,;-:,
..
, ;
;1
'\
' 'i '
, r .,
" ,
"
,
", f
;:< ,"1
"
, ,> ;, i:
i t, . I
:; ':', ..','
,: J;
1', ;. f:,
r';'
:
" [;"
[:,
: I fi "
"
'.3 :, ::.
":; I ;:f
,} f : 'i,
:.. '
'.; ',' 'F
1>1\. ,
I if '.
,; i! ';
, "; ;: .. 1
:';',.' t
. ' .
. ."
',: ': i,
.' .;.
! ., '
( ! t
' . '
' ., "' t ',
. . '
. ...,
;: .:
\ 'i .'.'
....., ... ..-...- """ ' "" .""".. _. , 'r- ",.... ,.,...... , ,.
- - . -.
.. '. , . ""., ,.
.
...
'
->--,..
,;
,' '--1
то систеr.,:а (3.1) имеет решение и притом едиНСТ13енное; если же
\ det А :;:= О, то система либо не имеет решения, либо имеет бес-
численное множество решений (в этом случае систему линейных
уравнений называют вырожденной). ,
Существующие методы численноrо решения систем линей-
ных уравнений можно разбить на rр.уппы: прямые (конеч-
ные) и итерационные (бесконечные). Прямые Me Ды позволяют
получить решение с помощью конечноrо числа'арифметических
операций (отсюда название «конечные»); причем это решение
будет точным, если вычисления производИЧ'ь !fОЧНО (без oKpyr-
лений). Поэтому прямые методы называют еще и точными. Ите. ,
рационные-методы поз оляют получить решение систеМ!>I с
заданной точностью пуreм сходящихся бесконечных процессов
(отсюда название «бесконечные»). '
(V. t.1. Метод raycca. Схема единственноrо деПения
\J.''\ M TOД raycca (метод последовательноrо исключения неиз-
вестных) является одним из наиболее известных и ШИjlОКО при-
меRЯемых прямых методов решения систем линейных уравие-
,ний. Рассмотрим ero сущность на примере системы из трех
уравнений с. тремя еизвестными:
a ll x i + al ; + a1 3 x. == Ь1." 1
a21xi + al2xI + d зхз == b :'"
аЗIХ1,+ tl з zXl + а.аХ. == Ь а .
Пусть ан '4= О (ведущий элемент). (Еми al1 -== О, то уравне-
ния можно переставить, так, чтоб коэффициент при Х 1 в пер-
вом уравнении был Ьтличеп от нуля.) Разделив первое уравне-
lIие системы (3;2) на ан, получим . .
,
'-"
а12 + ' аiз " Ь 1
Xl+ XII X8== '
ан а ll ,а11
O '" llt2. а 1з . А 'h-t
\:JUЗlIачив а 12 , ct 1з . , t'l, , уравнение,
,ан ,t;lll , а 1 1
,(3,3) запишем в виде ' ",
(, '''-
' fl+ аirи + C.ttзXs == "J,.') (3.4)
............ . " . .,- -' ","
'ИСКЛЮЧI:IМ неизвестную Х 1 из'второrо и тpeтьerQ уравнений "
системьЦз.2). С этой целью умножим уравнение (3.4) на а 21 1:1 "
вычтем ero из BToporo уравнения системы (3.2), затем "---- на :'
'llзi и ычтем из TpeTьero уравнения В рesультате получим т
(а12 аl и а.l) Ха + (au C.tt.ail) ХII == b l , lIl а lН }
. ,
(а31 ttisйal) Х В + (а88 аlз'l31) х... == б. "l а 31 i
: ц"emы пр" Х, p881ibl нулю). I
.....
'.4'!";'.
(3.2)
(3.3)'
...,
Обозначим
а а a (1). а а ' a (I).
IИ 11 11 22' 23 13 21== 23'
а ' а Щ' а а а щ
зи ll, 31 32' за 13 31 == 33;
Тоrда система '(3.5) примет вид
а(\)х + a(l} ьй) }
.,221 23,3 2
а(\)х + " аЩ; b(l) .
322 333 3
Ь 2 "lal1 ==b I ;
Ь з f11a81 == b I).,
(3.6)
Если a 1J '4= О, разделим первое уравнепиесистемы (3.6) на
«ведущий лемент» a (если a ::= О, то снова перестаЩIМ
уравнения системы (3.6) так, чтобы аШ, быJIO отлично от нуля'
(\) О (1) , '
еrли же Щ2 == и а32 ::= О, то система вырождена).
Получим уравнение '
, a(l) b(l)
+ 23 а ,2
Х. (i)X == (i).
а 22 ' а 22
a(l) ь Щ
Обозначив ct 23. R 2
8З (i) ? ,t'JI == """(i) , запишем уравнение
а22 а 22
(3.7)
(3.7) в виде
Х. + C.ttaX. == "2; (3.8)
Исключим Ха из Bтoporo уравнеlUlЯ системы (3.6), для'чеrо
умножим ypaBHeц e (3.8) на a ) и 8ычтем ero из BToporo урав-
нения системы (З.6). Получим ,
(а У аut4 )хз == b l) "Ia
(коэффициент при Ха стал равным иулю).
Обозначив аМ) ctaзU ) == ag>; b l) Paa == b 2), запишем
уравнение (з.9) в виде
.. ,
/' (з.9)
(2) ....:. Ь (2)
азз, х з 3 .
(3.10)
Отсюда
у равнения
стему
, (2)'
ь з
Х. == == "..
0(2)
з3
(3.4), (3.8) и {з.Н) .образуюттреуrольную си-
(з.11)
xt + al2x + а1аХ , . == Jil' j
. х и + а&з х . == "1'
);3 == "8'
эквивалентную исходной системе (3.2). Из этойсистeмbl «Об-
ратным,х;одgм:t.,определим ' '
. Ха == "., j
Х И 4 "И авз"и,
Х 1 == "1 а 1 2 (". а&з"а> :.... аlsPз'
(з.l
(3.13)
'.
41
, ,
I
'(
.
,1
. t'l
'1
(
"
"-;;;;- ? ' ,'"
..
.:. i; ,-
: ! (.
, I
"
"
. r .
L r:::
- ,.,
: , L ,
.
':"t f '['
. l.
"
t
, "
" .
} :
[:;,
'.. j<:
. (, i
, ;':'
: ';r "
I ,..t , :{
1 i,;!
, { .,;
!'. ji
'.J'- I
: ... . .1.-'
; ! '
i ' 1::,
. '"' ,"
':'
< [ ;':"
. ; i' >
, .. ):.
'.,:, ' :-:"
\ . "
["
'; , "
i",}
';:+, ,
. .'.: f
, ,,:..'1
.> ;
!t
, " :
: ,-j
\.
,
ТatJлица 6. Схема ед.инственноrо ДeJI НИЯ
, I КоэФФициенты I Свободные 1.
с ", контрольные суммы "
>< d) , х, I ' х. I х. члены
.
'. '''1 J. .
. Di. а.. ь, .с, == а.. + йu + Q,. + ь,
а . au а.. Ь. . ,С. с;= а....:!:- а.. + 'a . + ь.
а.. а.. а.. Ь. с. == ;, + а.. + а.. + ь.
I ' I .
I
I== .../ '.. . '" == .Е1.. == 1 + а.. +
<Xt.:::::........ al -= 11. == .....!i. а1l -
/ _ "а" '. а l1 - . а 1l а"
- , +а,. + fI.
a(l) аЩ (1) .
л 22 == 23 == (1 ) С 2 == с. ....... Q8.Vt ==
, "2 == Ь.
== о.. ....... == "13 ........ a(l) + a(l) + ,,(1)
, " й.,f1,
'Ч,а.. ...... а...а18 , 22 23 2 '
a(i) ..:... а(l)
32'....... 33 b IJ == Ь. c l) ,== с. a..v, ==
со == о.. ....... == 33 ...... a..f1, а(\) + а О ) + ЬЩ
\0 11 Й' 1 <Х 11 .......aat l
:Е 32 333
'" .
'" '
i:: 1== а.. ==
аЩ a(l) ь(\) c(l)
2 2
22. 23 . == "']i) '" == щ== 1 + а.. + JI.
==щ ==""li) а 22 а 22
а 22 а 22 ,
а(2) -\" t ,\I, .''J,!.,.
33
а(О
33 a f1. " == a -+ ь 2'
(1) "
111 , аЗ2 а.. ,
I I
ь(2) с(2) - .
3 З
I 1'. == {2) '1'. == -:(2j"' == + 11.
, -а(2)
33 а зз , а зз ,
,
1 I х. == 13. , ,х. ==v. == 1 +' .
х. == f1} , х.== ''1'. а..х. == 1 + х.
.. IV , I а.оХ.
..
'" х, ==v, a, x., a,. .
X,==f11
1 ...... a.l' . ...... <Х 11 Х' == 1 +'х, 1
,
.
r
Таким образом, процесс решения систе ы'лииейных уравне- ,<
ний, по методу raycca делится на два этапа: ' , '
1) приведение системы (3.2) к TpeyrOJlbHoмy виду (3'.12). \',
(прямои xoд); !, _ ','
) ОJIределение нензвестных п()\ формулам (3.13) (обрат- х'
ный ход).
МетодТаусса, Qписанный для системы (3:2), леrко обобща:,'
е1'СЯ для системы из n уравнений с n неиз тными.
42
. . . ,- , ';""i;
, .:;-' ).t , ,I.i,Р ::"" t. ..t' ' ...:.c..} , :, Е , ;"'- .,. ;;'4 :_;; _
.',
I
i
1
t
t
!
I
.
?
I
На практик ВЫЧllсления по методу raycca удобно произво- ,
дить, пользуясь схемой, представленной в tабл. 6 и назы-
ваемой «схемой единствеиноrо деления».
Рассмотрим порядок заполнеция табл. б.с одновременным
существлением контроля вычислений.
Прямой ход. 1. Записываем коэффициенты ан (i == 1, 2, 3;
j == 1, 2, 3) при неизвестных Х, и == 1, 2, 3) и свободные
члены Ь ' (t == 1, 2, 3) данной системы (3.2), т. е. заполняем
первые три строки этапа 1 (в общем случае число таких строк
равно числу' n уравнений системы). '
2. Суммируем элементы каждой строки и результат C i ==
З. ' ,
== all + b l (i == 1: 2, 3) записываем в соответствующую
i==1
строку С'fолбца «Контрольные суммЫ».
3. Делим все числа, сТояnytе в первой строке, на all и ре-
зульта записываем в соотвеТСТВУЮlЦие столбцы четвертой
строки этапа 1. ,
4. Вычисляем '\'1 == 1 + а 12 -+ а 18 + 1 и сравниваем с у; QS
== , найденным в 'пункте З. Если эти числа райны, то',
ан
переходим к пункту 5; в противном случае следует проверить
действия ,пSТнкта 3.' , .
5. Вычисляем коэффициенты а1}) (i""" 2, 3.; j == 2, 3), b l) (i"'" .
== '2,3), с1 1 ) по формулам, запцсанным в первой и второй строках,
этапа 11.' .
1). Проверяем правнльность вычислений на' этапе 11: cyм a
. 3
элементов каждой строки с1 1 ) == Щ ) + 611) (1 == 2, З) должна
, .I=='J'
быть равНа с1 1 ) == с;.......::. аН'\'1 (i == 2, 3). В противном случае
проsеряем действия .пуикта 5. ' , ,
7. Делим все элементы первой строки этапа i 1 на аШ и ре-
зультаты записываем в третью Строку Этапа ft,'(эта строка на-
чинается с единицы).. '
, . 'c(l)
8. Вычисляем '\'. == 1 + a g + . и сравнива м с '\'. == I) '
. "22
,найденным в- пункте 7. Если эти числа равны, то ,переходиы
К пункту 9.. в ,противном случае следует проверить действия
пункта 7. .
9. Переходим к этапу 111. Вычисляем а:, b ), c 2 ПО фор-
Мулам, записаиным в первой. строке этоrо этапа.
10. Делаем проверку: значения c 2) == c ) аШ'\'8' и C ) ;::z
== a '1.*,b т, Должны б :rь равны. В противном случае ПрОБе- '
ряем действия пункта'9.
. '
!
[\
,1
\'
'1
!!
'1
!'
:1
.'1
о,!
43
.... ,_ :;- E .;,)
.;. i, ' ' 11. деЛим":элементы п ,рвой'стр()ки,этапа 111 на ag>, резуль
':' , таТы записываем вч вторУю строку. Этоrо этапа (строка, начи-
' f' нающаяся с единицы). .
: ' 'i , ,12. Проверяем правильность вычислений: если значения
. ' '(2) ,
" \ : ., . ", 'l'a'=:Z C 2) и Уа == 1 + a равны, то переходим к этапу IV (об-
i' paTHЫ 3 OД). В Противном СЛУЧ,ае проверяем действия пункта 11
":"ttjY" Обратный ход. При обратном ходе использ.уются только по-
, i',:' следние строки этапов 1, 11, IП (назовем их «m:меченными»,
.' ';,' поскольку они примечательны тем, Ч'!9 начинаются с единиIU>I).
1. На этапе IV, записываем единицы в столбцы, соответ-
ствующие переменным Х 1 , Х 2 , Ха, как это указано в табл. б
(они помоrают найти дЛЯ Х, (i z= 1, 2, 3) коэффициенты- в «от-
меченных» строках). . '
2. Из последней строки этапа 111 находйм Ха == l3а; значе-
ния Х 2 и Хl находим соответствен'но из «отмеченных» строк 11 и I
этапов (формулы приведены в столбце «Свободные члены»
этапа IV). .
3. Определяем значеf[ИЯ Ха, Х 2 , Хl по формулам, приведен-
ным в столбце «Контрольные суммы» на этапе IV и полученным '
из «отмече,нных» строк этапов JII, 11, 1. Если. числа Х з , , Х:&
будут соответственно на единицу боль.ше чисел Х 1 , X2 Ха (ваз-
можно, снекоторой незначительной поrрешностью), то MO M
-быть уверены, что найденное решение заданнай системы верно.
Таким образом, вычисJIение Ха, Х 2 , Х 1 производится для контро-
JIЯ обратноfо хода. '.
Пр,ямой ход делится на столько этапов, сколько неизвест
, ных В З,!Jданной системе. Обратному ходу соответствует один
ЭТаП (8 данном случае IV). . "
Схема единс енноr(). делери удобна для решения систе 1
Jlинейпых уравнений ручным способом: она 'позволяет произ-
водить ВЫЧlfсления механически, без обдумывания существа
каждоrо .шаrа. '
Метод., [аусса дал еко не всerда позволяет получить точное
реш ние линейной систеМы, хотя ero и относят к чис;лу точных
методов: на практике каэффициенты при неизвесtнЫх и сво-
бfщные члены системы часто получены в результате эксперимен-
та:и дотому ЯВJIяются приБJшженныии чиСлами,:. действия над
ними' выполняются риБЛАженно-(с окруrлением}, в итоrе ре-
шение системы будет приближенныI.. Поrрешнасть TaKoro ре-
шения складывается из неустраIlИМОЙ поrрешности исходных'
" данных и поrpеlUНОСТЯ окрyrления, КО1Х)рая может быть зна
чительной и учесть ее заранее очень трудно. Паэтому целесооб- _
разно ВЫЧИС,ления ПО схеме faytca ВЫПО./JнЯть с 1 2 зап ными
"
: , Н
" 1 "
,i ';,
.' I ::;t
; ,t}, , _
'1..1,.:
i ..', J:i,,,
, , ,.1
" '. "
I" ':
,;:,: 1;,,,
J 1
"; r:;'i
':\ ,;
':" j'"
: ' Ji '
, '" : '
..
"
', 'F ,
, l' ';,
., ','"
" l'
! ::' I
J:f
. ':- t,
,. :"
'4\ f
,}1,
, '
\)!
',..,' ..: ,....;
l .' ' '
....... \"
[,'
' I .
! -r !.
44
'> -'
'-" \
';; '
:<
,
;)
"
1 i ,
,
';}
f
цифрами, а затем окончательный резуJtЪтат окруrлить на 1 2
цифры. ' '.
Достоинство метода [ay ca заключается в том, что он коне-
чен и теоретически ё ero ,помощью можно решить любую иевы
рожденную систему уравнений'. При это},{ проверка вырожден-
ности системы производится а,втоматически в процессе решения.
л р и м е р 3.1. ЭКl;периментатор', установил, что при определ нной
постоянной температуре суммарное давление смесей паров бензола (1),
дихлорпана (2) и хлорбензола (3) в однофазной системе равно значениям,
представленным в табл. 7. Найтlt значения давления пара чистых компонен-
тов.
з
РешеНIle. По закону ,Дальтона Р == ,ptNJ' В соответствии с этим
t 1
и на основе данных табл. 7 запишем систему Jlи'нейныхалrебраичеСКИ111
Таб.llица 7, Экспериментальные ,ll.анные
L
Состав СМ СИ. МОЛ. ДОЛИ '/ Давленне
Н. I Н. I Н. Р, Па
.
! 6,'10 1840
0,80 0,10
0,20 0,70 0,10 1860
0;05 0,05 0,90 236
,
I
l'
Таблица 8. Рещенне снстемы (3.14) по схеме' e,ll.1JHCTвeHHoro ,ll.eJleНИJI
,
' r :в I Коэффнциенты при t GвоБОДные члены f Контрольные
!::
I , суммы
ro х. х. х.
0,80 ' 0,10 I fo' 1840 1841
Пря- 0,20 ,0,70 0,10 1860 1861
мой I 0,05 0,05 0,90 236, 237
1 I 0,125 I 0,125 ,. 2300 I 2301,250
1. 0,675 I o, ti, 1400 r 1400,750
II 0,0438 0,894 121 121,938
I 1 " O;fll'l 2074,074 I 2075,18!)
1111 1 . I 0,889 I 30,156 I 31,045
I ' 1 I ,92! I 34:921
Об. 1 хз==33,921 Х8==34,921
рат- IV 1 ' x:I==2070,309 2071,309
ный .. 1 . x 1 ==2036,971 х}==2037,971
, ,,
,",о,
";-,,,-
'! ' "
' "
, .
I
,
.1
:; :
I
., 1\
11
,1
\
з1
"
,
,
:'1
-;1
-'
"
"
'\
, 1
,'I(
1 -: i.t} с'
, ,'r(
, ; , ;:а:
f;a
A1! t
{'
.; ; '"
, 1tl;
, . f;
. ...
": ;{
, ' t,
'; r ;f: '
" >,
, ! ,
"f
t, '
,;,t.1
. 'СМ'
, ./ 1 "
, \', ,,-
" .! .,
;; '. i ;'
. -
w "
\ i' ;
,; ...
! t
: ;' , '
j! '
/ "..,
f"
'Ч,
i:
' [,
" t .
t
, \;i. ,
"V,
. :.,
'.';''' .-
,:;i'-
.<J,.
."{
- J'
.;'
" ;t'
УР8вненнй, обоэиа ив предварительно Х:{ "'" Рl; Ха... Р);,к, =:1 Ра !
O,80Xi + 0,10%. + 0,10% , 8 =:1 1840, }
0,20%1 +0,70%. +О,IОХ 8 == 1866,
O,05%i +o, . + О,90 Х8 == 236.
Вычислення будем ВЫПOJiнятъ по описанной выше схеме единствеННО,rо
деления (табл.8).
(j) \ кончателЬНЫА: ответ: Рl ""! 2037 Па; Р. ""! 2070 Па; Р3 ""! 34 Па.
, 3.1.3. НтерационньUi метод faycca 3еiдеnя
Сущность меТОДа raycca Зейделя изложим на примере
системы (3.2). Предцоложим, что йи =1= О. й.. =1= О. llзa =1= О. и
. перепишем систему в таком виде:
I '
xi (Ь 1 аllХ. а I8 х 8 );
ail .
(3.14)
t '"
(3. (5)
..
1
х. ... (Ь 2 ..,.. а.1Х1 DF'>;
й21
1 ..
Х 8 =:1 (Ь 8 a81xi п з2 ха).
ап
(3.17)
(3; 16)
'Пусть (xfO). x O). х1 0 » некоторое i'pубо приближенное ре_
шение системы. Назовем эту сdвоку.пность чисел' начальным
приближением. В качестве начальноrо, приБЛижения MorYT
быть' приняты nyJreBble зиачения' переменных x 1 . х.. Ха (xfO)
zz x O) ==; x O) """ О)' или значения свободных ч енов xfO);:= ...!!!....
ан
Х (О) ЬВ (О) Ь 8
. ,.2 а.. · хз -='а;;:
Подставив нулевое приближение в (3.15). найдем хР)..
... О) 1(0) (О)
Х 1 == (Ь 1 a 1 .x 2 аl:rз ).
al1
Подставив в (3.16) ВЫчисленное значение хр) и началыtе
значение Х;О). найдем x I): '
.41) ==.....!..;., (Ь 2 a21 p) й.8X 0»'
й а .
Наконец. ПОДста ив только что выиёленныыe 'значения x{l)
и X I) В (3.17). найдем X I): '
(1) I (1):' (1)
ХЗ == (Ь 8 a81 x l Л82Х.2)'
,ап
Таким образом. получили пе р вое П р лижение ( :хР) i 2 1)
(1\ , . , .
хз '). На этом заканчивается первая итерация. Аналоtично
4i
.
7'
'
. :..
, . '"
I
i"
I
} "
'-1 " ,
. ,}
I
,
.находим второе. третье и пОСледующие приближения. В общеv
случае k e приближение определяется формулами:
, }
(k) I (k l) (k I» 1
Х ' == (Ь 1 а 1а Х 2 l:rз '
ан
(k) 1 (k) (k 1 » t
Х 2 == (Ь 2 aS1x 1 а. з х з ' f
2 I
x k) == .....!....... (Ь 8 a81x k) азsх k».
а зз ,
Итерационный процесс продолжается до тех пор.' пока не
будут выполняться HepaBeHcTBa
I x( l k) x(k l) I 8 (i == 1, 2, 3),
& .
rде X k), и X k l) два' последовательных приближения;
заданная точность. .----
, Приведем без доказательства достаточные условия сходи
мост" итерационноrо метода raycca Зейделя: если для си-
. стемы (3.2) модули диаrональных коэффициентов каждоrо урав-
, нения больше суммы .модулей всех остальных коэффициентов
(не считая свободных членов), т. е. если выполняются неравен-
ства
(3.)8)
(3.19)
I ааl > :Е I a1jl (i. j == 1. 2. 3), (3.20)
i+l
ТО итераЦИОННЫЙ'процесс сходится единственному решению
системы независимо от выбора Н,ачальноrо приближения.
При' м е р 3.2. Итерацнонным методом raycca 3ейделя решить сн-'
стему (3.14), приведенную' & примере 3.1. с точностью до 1 Па.
Решение. Для данной системы условия (3.20) сходимостн щерационноrо
процесса выполняются: . ,
10.801 >10,101 + 1 0.10.1; ,
IO,7QI > 1 0,201 + 1 0,101;
10.901> 10,051 + 10,051.
Разрещим первое уравненне системы (3.20) относительно Хl. второе
относительно х.. третье относнтельно х.: '
Хl ==...2...... (1840 O,IOx. О,lOхз);
,0,80
X2'== O, 0 (1860 O,29Xl 0.10X8);
1
Х 8 == 90 (236 О,ОБХi 0,05%.)
О.
илн. выполнив деление, получим
хl == 2300.0000 O,1250x. O,J250%8' }
х. == 2657,1429 о,2-857Хl 7'Q,I 29x8'
3 == 262.2222 0.О556х 1 0.055Ша.
(3.21)
47
, ,
I
!
!
\ ,
1\
I
:1
II
i
"
.'1
,
.!,',
';'
, ,-! .
:" Ъ
С< ,1,
. . ; _.
;.': :i;f '
: ,'-j
t i,JJ
:т;
, ,
: [:
. :,.'
. t
:: . r .
: : t l.
, . ('
,i ct ' '
'. i . -'; r j:
;'::i:k
" 'i'I'1
1-, М!,;
,> р'"'
< ;' < <
" '
, 1"" ;--
j ! !'
<;':} .':
;:' "',
> '1:
, :,;-';
',1',.". '
"
<; :,
;1,Т:
: ' f '
" '.
. >.
. ;:....
, t
\ ;. f
<; r <'
.i.
"
.,"
\':j
, ,
'-.,
.. ;С'
,
'За рулевые прнбnнжения возьмем соответствующие значения свобож.
ных ЧJlенов системы (3.21): к1 0 ). == 2300,0000; X O) == 2657,1:429; x O)..'
-= 262.2222. _
, Найдем первые приближения, пользуясь формулами (3.18):
, . ,
ХР) =='23OO.OOOO 0.125046) 0.1250x O) == 1935,0795;
х!l) == 2657.1429' 0,2857хР) O,1429x O) == 2066,8192;
x l) == 262,2222 0,0556.tP) O.0556x ) == 39,7166.
.!.
ТаБАU'fа 9., П'OCJIеДовательные' приближения
opнeA системы (3.14)
Ho ep I %, I х. "
итерации к-
О 2300,0000 2657,1429 , 262.2222
1 1935.0795 2066,8192 39,7166
2 2036,6831 2069,5871 33,9136
3 2037,0625 2070,3080 33,8524
Вторые приблнжепия:,
х1 2 ) == 2300,0000 0.1250x l) 0.1250х1 1 ) == 2036,6831;
х!2) == 2657,1429 0,2857х1 2 ) .......e.i429x l) ==2069,5871;
x 2) ==; 262,2222 0,0556xf2) 0,0556x 2) == 33,9136
и т. Д.
Последующие прнближення представ ены в Т,абn. 9. Из таблнцы видим.
что ДЛя нтераци 2 нЗ ВЫП()лняются неравеНСТВI! З.19):
I X 3) x 2) I 1 (i == 1, 2, 3).
ОкончателЬНi!lЙ ответ: Xi 2037' Па; ха 2070 Па; Ха 34 Па.'
, ,
Итерационный метод raycca Зейделя (если только он
сходится) обладает следу щими преимуществами по сравне-
нию с методом послеДовательноrо ИСКЛючения неизвестных
(методом raycca): . '
1) отличается малой ошибкой окруrления: ошибки окруrле-
ния не накапливаются;
2) является самонсправляющимся, т. е. ОШИС?К8 в вычисле-
ниях не отража ся на окончательном результате: ошибочное
приближение можно рассматривать как новое начаЛьное при-
БJfиЖение' .' ,
, 3) иск ючительно удобен для использования на ЭЦВМ;
4) особенно удобен для систем, имеющих значительное коли- .
чеСтво нулевJ>{Х, коэффнциентов (такие системы появляются.
,напри ер, при решении уравнений в час,ТНЫХ ПРОИЗВОДНI:iХ).
48
, , , '1. . : , ,_
I
" ,1,
,
,
,
; ,
"
':'
,J
В силу тoro ЧТО 'рассматриваемый итерационный метод яв-
ляется приближенны , поrрешность приближенн?rо ,решения
системы уравнений будет состоять из ,неустранимои поrрешнос-
ти исходных данных, поrрешности окруrления .и поrрешности
метода. !,
3.1. ПРИ&ПНЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕПИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИП
3.2.1. Метрд итерации ДJUII сметем... ДВУХ ур..иениlii
Пусть задана система двух уравнен й с двумя Нf!ИЗВестныl'4И:
Р. (х, у) == О. } (3.22)
, Ра (Х. у) == О. .
Требуется найти действительные корни с нужной степенью
точности. ....
Представ систему (3.22) в виде
, , 'х :zz ер. {Х. у). } (3.23)
y==epi(x. у).
, Пусть хо и Уо ...:... начальные' приближения корней, по учен-
вые rрафически или каким-либо друrим способом, напр .мер
rрубой прикидкой. Подставив в правые части уравнении сис-
темы (3.23) вместо х и у начальные значеник хо И Уо' получим
ХЕ == ер. (Ко. ilо);
Yi == ер. (Х о , yJ. (3,24)
Аналоrично построим последовательные приближения
ха == ер. (Х.. у.); Уа == ера (xi . Y.);
ха == ер.'(Х а . yJ; Уа ";"ер. (Х.. иz);.
..................
Х п == ерЕ (X I' gn l); Уп == СР. (xn---l' gn, l): (3.25)
Если итерационный poцecc (3.25) сходится, т. е. существу-,
ют пр елы , '
х. == Нт Х п ; у. == 11т Уп'
n-+ОО n....оо
то предельные значеНия х*, у* являются корнями системы,
(3.23); а следовательно, и системы (3.22). ..
Приведем без доказате.цьства теорему об условиях сходи-
мости итерациониоrо процесса. '
Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности R (а
х:::;;;;; А, b 'y В) имеется одно и только одно решение
х == х*, у == у* системы (3.23). Тоrда, если: ,
1) функции (j>l (х, у) И СРа (х, у) определены и непрерывно
_ дифреренцируемы в R; , " -
. , .
49
.,.-.;
J
I1
11
(1
, !
,
1\
1;
i
,
:1
..,.
' i
,
j :fl
:h)
: ;;W
f :il.
;:, ' , '11
"- 'i
;" ;!t.'\
.,
I ! I :
'Е ,
1"
. ' J .
. .
'1 f
I {il
') !
, if.{
--: " "
, r - i
. }"
. . .Ij
f 'i y '
; ;rl
,..ff. , .
r ""
[ t l ?
1 :;
,>
[ '
- ft;
1:
.
, ,; I
,,;
;
.j.;, :.
, $
_ t
\и,
' !.;
i ;;; i'
t.::: '1
' H
:';] , 'i,
i ' ,
"i.
, 'r,
-!:t
'\4'f
; ( i
.''' .;
, ,
t ;
,. "; '.-
,, 'i
.
2) начальные приближения Хо, Уо и все последующие при-
ближения Х п , Уп (n == 1,2, ...) прина.длежат R;
3) в области R выполнеН!>1 неравенства
I i I + I дд 2 l ql < 1,
' -дд 1+ I . I ч. < 1 (3.26)
или неравенства
I 1+ I 1 I qi < 1,
I I + I . J ч. <' 1, (3.27)
то процесс последовательных, приближений (3.25) сходится
к решению Х == х*, у ::...... у*.
Оценка поrрешности n-ro при($лижения определяетСя не-
равенством
I х. Х п I + I 11* Уn I 1 М ( I Х п х n ":' l I + I Уn Yn 1 1), (3.28)
, rде М наибольшее из чисел ql и q2' входящих В HepaB CT-
Ба ( .26) или (3.27). При М < 0,5 сходимость метода итера-
u u П м 1
ции считается хорошеи. ри этом 1 М < , так что если
в двух последовательных приближениях совпадают, например,
первые три десятичных знака- после запятой, ,то поrрешность
последнеrо приближения не превосходит 0,001. .
п р н м е р 3.3. Найти с точностью е == 1O 4 равновесные концентрации
ионов водорода, нс.д, и C.O в растворе щавелевой кислоты с концепт-
'рauией С== 0,100 ,моль/п, 'если первая константа диссоцнации Н.С 2 О. '
н+ + НС.О4' К 1 == '6,5 . 1O 2 моль/л,IIТОРая константа днссоциацни
H 04' н+ + t.oi К. == 6,1 . 1O 5 мОЛь/п.
Решение., Обозначим равновесную концентрацию ионов нс.о4' через х.
ВOIIOВ C. через у. Torдa, 'как следует нз схем диссоциации .
Н С О .... н+ + НС O ' К == (н+) [H 04)
2 . 4 .... . 4' 1 [ Н. С 2 О 4 ]
[н+] [CaO: J
ИСаО. +! н+ + C.O ; к.. ==
[НСаО.)
а'\lновеСН8Я концентрация ионов водорода будет равна Х + 2u, а молеку" '
лярной формы кислоты с Х у.
00
;.,, ,.,
\
f.
:'
,
,"'.,!
, "
,,'
'-......
Отсюда составляем cRC'reмy ур внений:
К 1 == (х + 2у) х
C X Y
. I
к 2 == (х + 2у) у
х
или после преобразований:
'х ' + 2ху + к 1 х + KJ.y K1c =:,0, }
ху + 2y К,.Х == О.
, . ..
Подставив 'в эту систему значения констант диссоцивцин и нсходные
концентрации кнслоты из УCJIовня задачи, придем к сЛедующей системе
уравнений: I
ха + 2Ху + 6,5 . 1O 2x + 6,5 . 1O 2 , '6,5. lO з == о, } (3.29)
)су + 2 у ' 6,1 . 1O 5х == О.
Поскольку концентрация анионов не может превышать нсходную кон-
центрацию кислоты, то очевидно, что 0< Х < 0,1 и О < У < 0,1.
Приведем сист ему (3.29) к ВI!ДУ
.5. 10 З 8,5. 1O 2y I
х== 2 &i'Pl(X, У)"
, x+6,5.10 '
6,1 . 1O 5х' . f
У == х :+- 2у !ЕЕ 'Р. (Х, у).
Пр,оверим, выполняются пи УСЛОIIИЯСХОДИМОСТИ итерацнонкоrо процее-
са в области R.(O < х < 0,1; О < у:< 0,1): .
д'Рl 8,5. 1O 2y 6,5. 10 З
ах == (х + 6,5. 1O 2). :
д!р1. ,и. 10",;,"2 (х + 6,5. 1O 2)
ду (х + 6,5 . 1O 2),
дq>2 13. .lO 5y . д'Рl 13 . 1O 5x
ах (х.+ 2у)2 ' -дУ (х + 2 у)'
,
"
Вычислим значения этих производных в ПРОИЗ80ЛЬНОЙ точке (хо == 0,05;
110 == 0,05) области R:
д!J'1 :::ос О J7' д!J'i == 074'
дх " ду , ,
д'Р2 == О 3-. lO з. д'Ра == 0 , 3 . lО з.
ду , 'дх
Следовательно,
I 1 1+1 2 r, 0,17 < 1; '1 дд l 1+1 I I 0,74< 1.
51
..
I
,
t
. ,
, i
1\
.1
i
t,
i
,1
:.1
.,:" r
;
;" \
i!, ,"
't 1'1
. , 1'
,;": 1,
-r
, ; Jli'
: i m
..":, j t}
:t: i " , '
, I '
..". r
.:.- ..,
$с. !I""
; !
, tti
, I
: ,
: ,.
,
.. , \,
"\,' .." :.. 1"
Условия СХОДИМОСТИ (3.26) ВЫПОЛНяются. Последовате.т.ные прибянже-
пия будем нахОДНТЬ по фоРМу'лам:
6,5 . 1O 3 8,5 . 1O 2Уп
+1 2"
Х n + 6,5 . 10
6,1 . 10 5.жn
Уn+1 =:= К n + 2уn
I Таб./lица /О. ВычнслеНИR ПО методу итераций
. I "n IIn Х п + 6,5 Х I "IO Х n + 211n
.. . 2 2
. х 10 8.5.1O IIn
О 0,0500 . 0,05 0.115 0,00225 0,15
1 0,0196 ' 0,2 . 1O .. 0,085 0,0065 0,01,96
2 0,0765 0,6. ю 4 0,142 0,0065 0,0766
3' 0,0458 0,6. 1O 4 <>,111 0,0065 O;0 59
4 0,0586 0,6 . '10 4 0,124 0,0065 0,0587
0,0524 0,6 . 1O 4 0,117 ,,' , 0,0065 0,0525
S.
6 0,0556 0,6 . 10 4 0,121 . 0,0065 0,0557
7 O,O537 .0,6 . 10 . 0,119 0,0065 0,0538
8 0,0546 О,6. 1O 4 0,120 0,0065 0,0547
9 0,0542 0,6 . 1O 4 0,119 0,0065 0,0543
Пу ть Хо'=' 0,05, Уо 0,05 начаЛЬНbIе приближения искомыx кор-
неА. Вычнсления последовательных приближений удобно представить в ви.
де таблицы (табл. 10).
'Такнм образом, равновесные концентрации
HC 2 0 i'"ESK 0,054; C2<>i ar;y 0,6 .1O 4;
н+ Е:!! Х + 2у' 0,054; H S C.0 4 ES С ..,.. К У 0,046 моль/л.,
3.1.1. Метод HIJIOTOH8 дпя cHtTeMbl двух YP8BlteHHii
Пусть дана система дВух lравнений с двумя неизвестными:
,(К, у) =;: О, } '
ер (KJ у) == О,
rде f (х, у) 1{ fj> (х, у) HeI!PepblBHO Дlfфференцируемые функ-
ции.
Находим 'rрубо приближенно (rрафически у прикидкой и
Т. д.) нача,льные приближения х о , уо. Последующие рибли-
жения ВЫЧИС-1!яем по ФОрмУ.лам: I
Хn+1 == КN т hn: уп+1 == YII-"+ In (п .(), 1, 2 . . .), (3.30)
62
'\
>-
.. ..".,.
" ?
---?:
;::;
;,
"
:;, ,
!
..."
':
' '?::
j
3.
-
.
Таблица 11. В....НслеНИ8 по методу', Ньютона,
j
!
,
"n '(хn' IIn) ': ("n' ' ("n' А(п) h n
lI п ) IIn) ,Х _
п Аn
IIn I ф ("n' 11 n) I . (х '11) I Ф (Хп' , А(п) I l '
х n' n lI п ) у , п
0,05 I 0,0075 10,265 I 0,165 t. O,OO06 71 O,OIIO
О , 0,058
0,05 I 0,0075 1 0,0499 10,250 , ,",-:0,001614 I ,0278
0,0390 I 0,000701 I О,1t17 ' 10,143 0,000171 I 0,0083
1 0,0206
0,02221 0,00182 0;0219 10,127 0;0063251 O,OЦ;8
0,047з1 O,OOOI6В 1 0,172 J 0,160 , 0:7.10 41 О,ОО6]
0,0115 ,-
2 0,00641 0,000382 f 0,0063 /0,073 0.67. 1O 41 O,O058
о,05341 0.8.JО-...4I ;173 10,172 I j 0,7. JO I О,OOj!I
3 0,0006 1 0,3. 1O 41 O,OOQ5 I 0,056 0,0096 l
O,5. ю----: 5 O,OO05
0,0534/ о.2'10 З,\ O,17 10,172 0;1.IO 41 0,0011
4 O;Q092
0,00011 O,2..I0 5 \ 0.4.1O 4Iо, 8 O,1 .10 f) I O : OOOl
rде
,..
I '(К n ' y,J , (Х n : уn) I
ер (xn. уn) ep"JKn, y,J
h n I .J (Хn, y,J. . , (Х т п , ) I
' ,ер: (Кn> уn) ерll (Х"п' Уп>.
I ': ( п, Уn) .......: , (К п , YII) I
ip х (Кт У n) ер (К п , Уn)
I ,: (Хn> Уп> ' (Kт y,J I
ер: (Кn, Уn) ep (Кn' и.,J
причеМ 9пределитель /)." должен быть отличен от нуля.
Процесс вычисленнй пе формулам (З.30) продолжаем до
тех пор, пока разность двух последовательных пр ближений
по модулю не будет меньше"И И равна заданной точности.
n р н м е р 3.4. РешиТь методом Ньютона снстему (з,29) (см. пример
3.3) с точностью до lO f. . . " .
(п)
х.
== ;
.
In
(п)
.....JL......,
п '
..
'[
53
, .
. ,:".. .;. ".,' .,;".-.:,
">.:"",\
.
i
I
<'1
;1
"
'1
..1
,
::-
;
1 .
"
'
. .
,.:! [, r
:. 11,
" 1':
l I
;
. ?
\"'З!
i
' I
:-;14,
!: , ; .
; ,
;,.;:, f l
. ;.1
<iJ.
(.j
:! t
, ll
. (.
О,, (.
н
,:. f ,,'
,:.';
i (,""
'; 1"
1
, ":1
,j"-
,:{!:
. ,;tl', ;:.....1
I
Решение. За начальное прнБJJншие прим м х, == 0,05; Уо == 0,05.
Обозначнм
. f (к, 1/) == к ' + 2ху + 6,5 . 10 2K + 6,5. 1O 2у 6,5 . 1O 3;
ер (k, у) == ху + 2 у ' 6, 1 . 10....sK.
Найдем
' == 2х + 2у +6,5 . 1O 2; ' == 2х + 6,5 . 1O 2;
ep:==Y 6,1.. 1O 5; 'ep == к+4у.
П'следовательные прнближении будем искать по формулам, (3.30).
Вычисления удобно П'редставщь в виде таблнцы (табл. 11)\
Такнм образом, равновесные концентрации
H O. == х 0;053; C20 == у 0,1 . 1O 3;
н+!!Е Х + 2у 0,053; Н 2 С 2 О 4 Е! С Х У 0,047 'WlJль/л.
':'
. ;;
":
rn.... 4. ПРН&JIИЖЕНИЕ ФУНКЦИЯ
4.t: ПОСТАНOIКА ЗАДАЧИ ОПРИ5ЛИЖЕНИИ ФУНКЦИИ
Задача о приближении функции ставитqя следующим об-
разом: 'дАнную функцию f (х) требуется заменить обобщенным
мноrочJIеном m-ro порядка
Р т (к) == аоеро (к) 1-\ 01ерl (к) + '" ':f= атерт (к) (4. ()
(а(l' al ..., а т постоянные коэффициецты; СРо (х), ..., СРт (х)
заданная на некотором множестве Х система функций Достаточ ",
но rладких, например, непреРЫВ}lО дифференqируемых) так,
чтобы отклонение (в извесТlI'ОМ СМЬJ,Cле) f (х) от Р т (х) на ука-
занном множестве Х было наименьщим,. При этом мноrочлен
Р т (х) В общем случае называют аnnроксимирующим., .
Если множество Х состоит из отдельных точек хl, х 2 , ..., Х n '
, то приближение называется точечным, если же Х отрезок
, (а х Ь), TQ при лижение называется интеzральным. u
Для практики весьма важен случай, коrда СИСТ<а1а фущщ.,и
ЧJ" (х), ..., СРI1l (х) представляет собой последовательность це-
лых неотриц тельных степеней переменной х, т. е.
еро (к) == 1; 'р1 (х) == к; ер2 (х) == х 2 ,_ .. . , ерт (к) == кт, ..:
и, следовательно, Р т (х) является обычным Мноrочленом сте.
. пени т:
Р т (х) == а о + а 1 х + 02"2 + ... + атXn. (4.2)
,в зависимостн от Toro, что понимают под' отклонением двух
ФУНКЦИЙ, получают различные типы sадач теории riриБJIИЖ -'
пnй: интерполирование, среднеквадратичное приближение,
равномерное приближение и др. '
е .
""
1
I
,;1
I
1
,!,
,,'
.r...
..2. интEPnОJlИРОIАНИЕ ФУНКЦИЯ
4.1.1. Постановк. 3.Д."Н ннпрпоnнров.ния
Пусть некоторая функция у== f (х) задана таблицей
ко
I
1
,Уn
к]
Х 2
х n
Уо
Уl
У2
т. е. при значениях арrументз х :;:::: хО'l х], ..., х п функция f (х)
принимает cOOTBeтCrвeHUO значения У", Yl; ...., У n '
Требуется ,найти, мноrочлен Р n (х) степени 'n, Принимаю-
щий 11 заданных точках x 1 (i:;:::: О, l 2, ...., п) те же значения,
что и f (х), т. е. такой, что
Рn (к;) == 1( K i) == YI (i == е, 1, 2, ... , п). (4.3
Такую 'Задач)' называют зада!lей nараболичеСКО20 иHтep
noлирования (или интерnoлячии), функцию f (х) интерпо-
лируемой функчueй, мноrочлен Р п (х) интерnoлячион.ным
МНО20Членом, формулы для ero построения интерnoлячи
онными формулами, точки х", х 1 , ..., х п ....:: узлами интерnоля
чии, процесс вычисления значений функции "(х) в точках х,.
отличных, от узЛов интерполяции, интерnолированием функ- .
ции f (х). При этом различают интiрnолированue в УЗКОМ C.IItbt(;-
ле, коrда х находится между х" и х n , И экстраnолирование..'
коrда х находится вне отрезка интерщ>лирования [»8' х n ]' ,
Замена функции f (х) ее интерполяционным мнorочлеJ:IОМ
Рn (х) может потребоваться H TO ЬKO тоrда, кбrда известна
лишь таблица ее значений, но и коrда аналитическое выра- '
жение для f (х) известно, однако является слишком сложным
и неудобным для дальнейших математических преобразований
(например, для интеrрирования, дифференцирования и дp.):
. ИноrДil рассматриваются задачи ТРIif6нометрическои ин-
терполяции .(интерполирующая функция :rриroнометр че-
ский полином); интерполирующей может быть также рацио
пальна", функция. . .
Доказано, что в приведепной постановке заДача интерло-
лиjюваНИЯ.всеrда имеет единственное решение.
Возможны раЗЛИЧНые формы записи инт рполяционноrо
мноrочлена Р n (х), Ifмеющие те или иные вычислительные oco '
бенности. Рассмотрим интерполяционные мноrочлены Лаrран
жа и Ньютона.
55
.
<}
I
1.
I
.,
!
, - . I
.! i
, \
,
I
I
,!
I
:.1
, :1
<.
"
'1
i
=Н:
t ':
J{:i
1/ :
,',
'. f . '
I ',
!,::
.;r 1:' .
, .1;,
:cjit'
,' 1ft;
,,: i1i"
.; '1J
, ,Ц
" t.
, I f
2 ;
' '!
'f ! {
, ",'
j '1: ,
1 -'
." ;с.
Н! , :"
; H'
' 'i 1,
.' J"
ttfl.
' :"! ',
)Ч
,.. . ,
')
,;P (!, :'
", t /
( , '
.' -J ,
. ,
'., I
<
-::,фп -'<,
,
, , ,
'
f
. ' с
4.1.2. Jotнтеpnоnяционн.я формуn. Jlarранжа "
Наиболее общей формулой' параболическоrо интерполи-
рования является интерполяционная формула Лаrранжа.
Рассмотрим сначала' частный случай задачи параболиче-
CKO O интерполирования: построим мноrочден Рl (х) такой, что
Р, (Xj) == О прн i"F1 и Рi(хд == 1 (/, J :=00, 1,2, ... , п).
Так как искомЫй Мllоrочлен р, (х) должен обраЩаться в
нуль в n точках Х о , Х 1 , ..., Xl l, 'Xl+H' ..., Х n ' то ero можно пред-
ставить в виде .
/!' (Х) == С 1 (х ХО) (Х:---- х]) . .. (х Xl l) (х "Xl+l) . о. (х -:-- х n )' (4.4)
еде C 1 'посто нный коэффиццент. по.лаrая Х :Z::: Xl В форму-
e (4.4) и учитывая, что Pl'(X,,) == 1, получим
С 1 (Хl Хо) (Хl Хl) ... (Хl Xl д (х, x1.fl) ... (Хl Хп> == 1.
Отсюда
, 1 '
С 1 == " , '
,.... (Хl ХО) (Хl Х 1 ) ... (Хl Xl l) ( ' X 1 + 1 ) . . . (Х, Хп>
После подстановки этorо выраЖения в формулу (4.4) мно-
I'О9лен Рl (х)'примет вид ,
(х -:--- хо> (х Х 1 ) : ',' (x, Xl l) (X 'x +l) . '.. (х Х п )
,Pl(X) ( ) ( ) (" ) ( ) ( .)
Xt X.(J x, X ... X' Xl lXl Xt+l ','" Xl Xn
.. .. .. (4.5)
'.Теперь переЙдем ,к отЫсканию мноrочлена Р n (х), удовлет- ,
, lюряющеrо условиям (4.3), т. е. принимающеrо в "заданных
точк,ах Х == х ' (i == О, 1,,2, '..., n) заданные значения Yl;
.Лerко проверить, что такой мнorочлен будет иметь следую-
щий вид:
t
n
Рn (х) == Р; (х) YI.
'1==0 ,
ействительно, при фиксированном j (j == О, 1, .... n)'имеем
(4.6)
n
Рn (хЙ == ,Рl (ц) Уl == Р' (ц) У/ == У/,
1==0
Т. 'е. выполняются условия (4.3). Степень же мноrочлена Р п (х),
()чевидно, не'вышеn.
Подставив в, формулу (4.6) выраженitе (4.5), получим
Р п (х) ==
(x xo)(x., Xl) ',0 (X Xl l)(X Xl+l) .;. (X Xп)
""" i:o (Х, ХО> (xi xJ .;. '. x; xi I)(Xi x-l+I) .. о (Х; Хп> Yio.
.. (4.7)
56
, ,'\' 11. JJ .-,'f'!f"L.: ".;;, ..../,.'.'1._. , -
<-'
, ""«",
-у
':1
.'
': I
<.
\,
'i
,
" :t.,\ .
Это и есть 'интерn()Ляционная формула /!а2рoJtжа.
Запишем ее в развернутом виде:
Р ( '(х Xt)(X х 2 )(х......; ХВ) .'.. (х Х п ) +
п Х, Уо ) ( " ( ( )
(ко Х 1 ХО Х 2 ) ХО Х В ) .... Х. Х п
+ (X Xo) (X X2) (X XB) . . . (x xп> +
Уl (Х 1 .9 (Х 1 Х 2 ) (кl Х В ) '. : . (Х 1 Х п ) ,/, .
'(X XO)(X Xl)'" (X Xi l)(X Xl+l)'" (x x;;)
... + Yi ' + ...
(Х, ХО) (к; Х 1 , . . . (х, Xi l) (х, X i + 1 ) . . . (Xi Хп>
(х ХО) (х Х 1 ) (х Х2) .. . (х xn l)
+% -
(Х " Х р ) (Х п Хl) (Х п Х2) .. . (Х п Xn l)
При n == -1 формула Лаrранжа приобретает вид
, X Xl X Xo
Р! (х) == ХО Хl УО + ' Х 1 ХО Уl (4.8)
и называется' формулоЙ линейной .интерnоляции.
При n == 2 получим формулу ЩJадратичной, интерnoляциu:
; ( ,\ (X Xl)'(X Xa) + (x ХО) (х ха)
а Х, (Xo' Х 1 ) (х о К2) УО (Х 1 ХО) (Хl Ха) Уl +.
+ (х ХО) (х х 1 )
(Х2 -;-- хо> (Х. '---' Хl) У2' (4.9)
ИнтеРЦОЛЯIlИОННЫЙ мноrочлен Лаrранжа можно построить
при любом расположении узлов' интерполяц"и..
Л р и м е р 4.1. Объ-еJl Kr метана изменяется в з виснмостн от давле-
ния при Т == 273 К следующим образом:
" Р, па I 0;960. 1(1) '/ 0,7 0. 1(1) I 0,360: 10'
.
. -/.. I I
У. м 8 1,477 1,891 3,939
,
Определить объем 1 кr .метана при' давленин Р == 0,830 . 10' Па.
Решен.ue. Обозначим к == P == 0,830 . 10', ,ко == 0,960 . 1(1)4 1 ==
== 0,750 . 1011,. Х2 == 0,360 . 10', УО == 1,411.. Уl == 1,891, У. == 3,939.
Поскольку 'число узлов интерполщr.ии рав.но трем, воспользуемся фор,-
МУJЮЙ (4.9) квадратичной интердоляции. После подстановки в нее исход.-
ных да!lНЫХ и сокращеl}ИЯ дробей на 1010 получим '
f2 (0.830 . 10')-== (0,830 О, 750)(0,830 0,360) . 1.477 +
(0.960 0,750) (0,960 0,360)
+ (0,830 0,960) (0,830 0,360) . l' 891 +
' (0,750 0.960)(0.750 0,360) ,
, (0';83O ' 0,960) (0:830 0,750) ,
+ (0.360 0,960) (0.3(10 0,750) . 3,939 ,1,676.
Таким образом, объем 1 Kr метана при Р '== 0,830 . 106 Па равен
1,676 м 8 .
. ''',
"
61
,...::..:'
I
, i
,
: I
.: \
I
!i
1\
,\
.'
}i
I
ti
'1
i
.'!
:1
i
:
!'-
,
.}
: , : ' ii1: , :
'-
:
,
, .
-"<- '.
....
t.,
< ,t
. -..' ,
, ;'1
,Jli
' 1
.,
{
:. I
, !t<,
--! ;'I
: .
I ,
-, .
"
'-. ,[
; : J\
'. ,
'. .
'I; '1
f .....
i J
i,/
'
11'
i'
,jr :
;и"
" ! "
: ;)
" ': ,
-.,:-\ t
1;.'
? 1
:-..:. i'
-{
.t l '!
{' [
у: '
k
y,
!
irt
'!': i' 1-
",
'
;,tt
, i
./
4.2.3. Пон.тме о KOHe'ltHWX разностях р8зпнчных порядкоЬ
.-
ПостроеНl1е интерполяционных формул значительно упро-
щается, коrда узлы интерполяциих о . Xi.. ....Х п равноот-
. стоящие. т. е,.' шaz uнтер!IOЛЯЦUU h == XI+l X 1 == const (i =-
==().I,...,n I). ''\
Прежде чем перейти к выводу интерполяционных формул
. ,
, для равноотстоящщ узлов интерполяции, познакомимся с' по-
нятлем конечных разностей. '
Пусть функция У == f (Х) задана своими значениями Уо =;:
== f (х'О)' Yl ' f (xJ. .... Уп == f (х п ). прич м Х 1 == хо + h, ха ==
== хо + 2h,.... х п == хо + пh. [де h == Х 1 ХО == Ха Х 1 ==
== ... == Х п Xп l. ,
Назове конечной разностью nервоео noрядК4 разность между
значениями функции' в оседних узлах интерполяции:
111 Уо == !!Уо: У2 Yi == !!1113 ... Уп Yп 1 == !J.yn l'
Из крнечных разностей первоro порядка можно получить
конечные разнОСти emOpOZIJ noрядка:
!!2уо == !!Уl !!Уо: !!2У1 == !!У2 !!У1: . . . !!2!/п 2 == Ayп 1 !!Yп 2'
Конечные разности n-ео порядка определяются формулами
!!п уо == !!n IYi !!п lyo: !!п У1 == Aп IYa !!п 1 Yi: ... !!n Y1 "7
. '
..п } ..п 1
== L1 Yl+l L1 1/1', . . .
, Раз ости различных порядков MorYT (5ыть выражены ,не-
посредственно через значения функции: .
, l).YI,"= Yi+l Yi:
f!1"Yi == !!Yi+i !!Yi == <и;+2 Yi+l) (u i + 1 YI) == YI+2 2Yi+l + YI: '
I
,A8YI"=. !!2 y /+J. !!2Yi ==.(YI+3 2YI+2+ У/+1) (У/+1 2Yi+l + Уд ==
, "= b'i+3 3y1+2 + 3у/+l У/.
Нетрудно доказать. что для любоrо т
т(т 1)
!!т У / == Уi:.т тYi+m 1 + 21 YI+m 2
т(т 1) (т 2) 1 т 1 ) т
31 / 'lJl+т З+ ... +( ) тYI+l + ( 1 Yi.
{4.IO)
Конечные разности различных порядков удобно распола-
, raTb в форме таблиц: rоризонтальной (слева) и Диаrональной
, (справа):
.5&
" !
!. ,
I
;
. '
("
"
(
.,
I у I d I d' I d'y
Хо Уо !!Уо !!2уо 6,8уо
Х 1 Уl' !!Уl !!2Уl
Х 2 У2 !!y
Х8 У8
х 1, у I dy I d'y I d.y
ХО Уо !!Уо
Х 1 У.. !!Уl !!2уо .' !!3Уо
Х 2 У2 !!У2 !!2Уl
Ха У8.
4.2.4. Первая интерПопяционнаll'фор упа HItIOToнa
дп.я р8вноотстоящих уЗnов интерполяции .
Будем искать мноroчлен Р п (х) степ ни n. удовлетворяю
щий условиям (4.3). в виде,
== + + +
+ а8 (х хо) (x xl) (х X2'> + ... + а п (х Xo) (х """"Xl) . . . (x Xп I).
(4.11)
[де Хо. Хl. .... п заданные значения arpYMeHTa х. причем
X l XI 1 == ,h =7 const (i == 1. 2, .... n). 'коэффициенты а в .
а 1 . .... а п нам неизвестны. Будем их определять. исходя из
УСЛОвий {4..3). '
Положим в формуле (4.11) Х == Хо. Тоrда Р п (Хо) == а в .
Однако. в силу условий (4.3). Р п (Х о ) == Уо. Следовательно.
а в ==Уо. '
.,. Для определения а 1 по аr,аем' в (4.11) Х == Х 1 . после чеrо
п лучим
Р п (х.,) == а о + й 1 (Х 1 х о )'
Учитьmая. что Р n ,(Х 1 ) == Уl. а о == ХО. Х 1 Xo , h. можем з!l-
, h ' ' Yi Уо ' О
писать Уl'== Уо + а 1 . OTKY a 1 == . днако Уl 'Yo == ,
== /).Уо конечная разность I-ro порядка. следовательно.
а 1 == !!%о .
Далее. ПQJIаrая Х == Х 2 . получим
' " '
+ +
Так как Р п (х 2 ) .:..... Уа. €lo '== o. a 1 == !!%о , 2 Хо == 2h.
Х 1 . Хо == h. запишем: ,
У2 "= Уо + !!Уо 2h + a2 2hh :
h
отсюда
У2 Уо 2!!уо
а 2 .....== 2hZ'
.
.'
59
''7'
. I !
, ;
!
i I
I
,: I
I
j'
I1
,
.\
\
:
'1
с,
"1
'..
"
iJ(:. " -' :', ; ,; . ,
' ,
..._ I1__....... ,
'>:.
, l _,:$"--
..>
,
. k
, I
f
. f "
,
:l
,
-
i
$; , i,
'. ,,'
if,
( .
j *! l
. ,
',' .
Ы C
' .
' '!
у :'
j :
J
Ш,
,;; ',.
:: t'
, '"
,.;
\i
t.',\
i
!'" .
" .
: I f
t;, ,
:" .
:,;' {
'" 1;
"
- I!. -,
',Ь" (1
;; '
!\' "
, rj
"J
; .
,' '!;
':j; t
" !
Но Y. == Уl Уо,.. ПОЭТОМУ 'А"
Уа Уо 2/1уо == У. :---- Уо 2 (Уl .,.... Уо) :0= У2 2У1 + Уо Уо'
С-ледовательно,
. А2уо
й. ,== 2fi2" . ,
.{
Аналоrичные дальнейшие' вычисления (с учетом ч !зм;=
(4 10) выражающей разности р зличных ПОРЯДКОВ фф Ренты'
"'Че ия' функции) позволяют записать .осталь ые коэ ици, , .
k А'"
А ЗА' у ' , А Y .........J!L .
а!lо 'о a k == ' .... йп h "
lIЗ == 3Jh3 · й, == 4Ih'. у ... , klh k ,' n'
Под вив найденные выражения коэффициентов в формулу
(4.11), ПОЛУЧJiМ .'
/ Р" (х) == Уо + . А: о (х =: + ;h (х Хо)(Х:""'" х 1 ) +
+ А3уо ( x (x xv(x x.>+ ...
Зlh
.... + А"Уо (X XO)(X Xl) ... (x x,, I)' (4.12)
nlh" ,
, . ,l". р м' у л.а Н ьютона
это и есть первая uнтерполяционная об'
Ее можно 'представить в несколько ином воде, более уд -
IЮМ дЛЯ практическоrО- использ вания. озна им
.
X o' q .'
, '
Тоrда
(x xl)' x (Хо +h) == q 1;
== h
h
X X,, I =q n+!
X X2 ==q 2; .,,:":; h
h
, If формула (4.12) приобретает ВИf1 ,
q(q l) "А? + , ' q(q l)(q 2) A3'yo+.. +.
Р" (х) == Уо + qAyo + .' 21 . Y.. . 31
q (q' l)(q 2), . . . (q .n' + 1) Апуо. (4.13)
+ - n'
Ф , (4 13) целесообразно-использовать для интерпо-
jlиро::J: эк раП2 а Лч: : ИЯ)r::К:;о п о , lб Л:Л К :
пости начальноrо зD . О, .
.лич в 'фОРМУАе (4. 3) принЯТА п == 1,'ПОЛУЧИМ формулу
линейноео интерполиpol/llНия:
Рl x) == Уо + qAyo.
iiO
.,
-,
"
"r'
::!'
'"
."
"
'4./'" --,
, , ".,........., -- ..' -..... . . ".. -: ,", ........
При n' == 2 будем иметь фор лу парlюоличеСКО20. или квоо.
ратиЧft020. интерполированr:я:.
Р. (х) == у, + qAyo + (q 2-; 1) А.уо.
При применении первой Иf:Iтерполяционной формулы НьюТ<r
на удобно пользовать-fЯ rоризонтальной таблицей конечных раз.
ностей. так как тоrда Нужные значения разностей функции
находятся в соответствующей rоризонтальной строке таблицы.
стenень п мноrочлена Р п (х) 'на практике желательно вы-
бирать так, чтобы конечные разности /J.пy, были практическ.и
постоянными. За начальное значение Хо можно принимать лю-
бое табличное значение aprYMeHTa х.
/ .
4.1.5. Втора.. ннтерПОП.RЦНОННilJi Формупа ИЬJOтона
дtl.. Рil8НООТСТ .RЩНХ узпов JlнтерПОJl.RЦНН
Получим формулу, которой удобно пользоваться для ин-
терполироваljИЯ (экстраполирования) функции У == f (х) в
конце таблицы. '
Напишем искомЫй интерполяционный мноrОЧлен Р п (х)
В виде
Р" (х) == йо + а1(Х Хп) + й. (х п) (х Xп () +
+ аз (х хп> (х x,, I) (х Xп 2) + .<..
.;. +Йп(Х Хп) (x x,, I) '" (x xJ)' (4.14)
Коэффицие,нты а о , аl' ..., Q.,z определяем из тoro же'условия
(4.3): Р п (х,) == У, (i == О, 1,2, ..., п). -
llоложим В (4.14)х == х". Тоrдаllo == У". "
Теперь пусть Х == xп J, Учитывая, что Р" (X,, I) . Yп;""l,
а о == Уп. Xп 1 Х п h; можем записать:
Yп 1 == Уп a 1 h.
Отсюда
:<
Уп Yп 1 / J'j,Yп 1
йl== 'h == #h
'ДаJIее, полаrая в (4.14) Х == X'1 2 И заменяя найдеНные
коэффициенты а о . а 1 их значениями, полУчим
у" 2Yп 1 + Yп 2 ' J'j,2Yп 2
й. == ""'2h . == . 21h a
Продолжая аналоrичные вычцсления, получ ,Вl:>lражения
для остальных коэффициентов:
A3Yп AkYп k А"уо "
йз :== 31hll .. . . 1 ak == klh k .. . . . a,, , nlh" .
I
61
(1
, f\
"
'.i
' "
:1
:1
,1
I'!
I "" " ,
i'1 ;'
t J(
.:. ,)..
_ rt
':' i1
t
_ . ;t
' 11;'
: .tf
> "\
t f :!
1' ; '; ,{'
, " .J' .,
j,' 1 : 1 '
j" [ .
,.' .
, ,
t f,'r-
< It
! ;t
, i (1
. .i:- ,f;
:; \ ff'
> ' 1 f "'.
'.: . t
,
, ,
; J t
't
.
dl ,
f
,!
1 r,
4' ; :
,: il.
'И ,[
: I r:'
1.' 1:, I
': f \' t'
:" ;:1-
'<1. Й, ' '
ч:
,'rt It
,fr' t
<{ ,t
:: i '
[.
' ' J ,t.
J
: . " _" :,;,;,;, _ ::' ''; : ., ., ., , Li: _.,,,.",, o-".,
"
"- ' """7-' " " ""'--'----'" .......... ...
После подстановки '8 (4.1-4)
циентов формула примет вид
t:чJn l
Рn(Х) ==Уn + h (x xп> +
найденных значений коэффи.
A2Yп ').
21h 2 (х ...... хп> (х Xп l) +
,;
АЗуn з'
+ 31h a (х хп> (х xn l) (х .xп + ....
+ '(х х n ) (x X l) . .. (х хl)'
(4.15)
Это и e TЬ вторая uнтерnQЛЯЦионная формула Ньюrrzо.на. ,
Запишем в виде, более удобном для практическOI;'О ис
Об 'x x
,пользования. ,означив h n == q, получим:
х Xn 1
h
x (xn h)
h
x (Xп 2h)
h
== q +2;
q+ 1;
х n 2
h
....,
x xl X [Xn (n 1) h] .
h h , ==я+n 1.
после подстановки этих значений в (4.15) формула' приоб
ретает вид' - .
q (q + 1)
Pn(x)=='yn+qAYti l+ 21 A2Y,! 2+
+ q{q+I)(Il.+2) АЗ ' + ... + q{q+I)....ш+n l) Аn
31 u Y[l 3 . n' U Уо'
, (4.16)
Л Р и м е р 4.2. Вязкость воды '1') зависит от температуры Т следующим
образом:
l 283,15 " I I - I . I
т, К 286,15 289,15 292,Ш 295,15
.
, мП :с t 1,308 \ 1,203 I 1,111 1 1,030 1 0,958
.
'\
ОпределиТЬ, K&KOBIJ вязкость воды прн:' а) Т == 293.15 К; б) т ==
== 285.15 К; в) т == 282,15 К. ,
Решение. ПОСТРОИfd rоризоитальную таблицу (табл. 12) конечных раз-
ностей. обозначив: Т == х; '1') == У.
. Как следует из :rаблиц'ы, конечные разности третьеrо'порядка постоян-
ны. поэтому оrраннчимся ИМИ и в'формуле (4.16) положнм n == 3.
а) Так как х == 293,15 ближе к концу таблицы, воспользуемся второй
ннтерполяционноА 'форМУЛОЙ Нь:отона (4.16), приняв Х N == 295.15; !/n ==
62
'1
,,
,
,
-<i",
\
{
"
.'
Таблица 12. I{онечные раЗности
.
к " I - I I I
у Ау А"у
А"у
28З.l 1,308 ,
О,105 0,013
286,15 Т,2О3 Q,092 0,011 O,O02
289,15 I.Ш О.О81 O.O02
292.15 1.030 0,009 ,
O,072 ======-
29.5,15 0,958
-
== 0.958. Найдем
,
h == 3,
293,15 295.15
3
Подставнв из табл. 12 в фо , рм у л у 4 I
2 ( . 6) дважды подчерkнутые раэ-
tЮСТИ н значенне'q == .з' получиы
q==
X Xn
h
2
, :,_3 .
Р з (293,15) =='0' , 958 + ( 2 ) . ( 0072 ) + ( 2 ) 1 1 .
\ , 3 .' T 'Т '2:0,009+
+ ( 2 ) 1 4 1
3 '3'3'6' ( O,002)== 1.
Следовательно вязкост
1,005 мПа . с' " ь BOдJ>l1j при температ ур е т == 29 " 3 15 и " '<
,_ , ., равна
б) поскольку х == 285 15 б .'
первой формулой Ньютона' {4.1З),И н в Ч 8за[&ицы. Воспользуемся
'Найдем q';" x xo == 285.15 28З.15' ,О 2 ' ,!/о == 1.308; h ' 3.
h з, .Т'
Подставив из 'l'абл 12 в thn
. 2 . рмулу (4.13) подчеркнутые Р 'азнос ти И
че ние q зна.
з' получим
Ра (2 85.1 5) == 1,308 + 2 . { o 105\ + 2. ( 1 ) ,1
, 3 ' 1 3 , 3 '"2' Q.Ql3 +
. .
+ ( 2 ) ( ( . 4 ) 1
3 3 J 3 . 6 . ( 0.002) == Ц37..
Таким образом вязкост '
1,237 , мПа. с' " ,ь BoJ(ы '1) при температу р е т == 285 15 и
) , ' ., равна
в значенне х 282 15 "
== 283,.15. Поэтому буд н я за пределамн табл. 12. ближе Их ==
Для экст.еаполирования. В этомслуча: ТЬ первую формулу Ньютона' (4 13)
q-=
X Xo
h
282,15 .28з.пr
3
I
3"
6з
\ .
'1,
.! '
---'-
I
I
.\
l'
,
f
;1
"-i
"1
,1
I
',1
,1
11 '
1
i: {
. ;i
":;>- J
'. r Ht
, ir
'1.
.j ,;
" ,
:} Т....
T ' , " ' , ' ; , I b ' , '
; I ': '
"': . ,
:- "; ,
.- < <:
; H
""[
'.; :1
llf:
{i , ;::f.
:; ,[
1 ',
i
't '
Л: i
! .} ,;
' {'
f , :.,
> <}. rl
! t
, : t
) ,!-.;}
'" "
А! !
p f
\ 1 '1'1
/r1 it
'Jt 1
:с f "
\
(:
..
T.\:,
. !:-:
Подставив ЗТО зиачеине q и подчеркнутые разнОСти из таБЛ. 12 в форму-
'lIу (4.13), получим
.Ра (282,15) == 1,308 + ( +) . ( O,105) ( + ) . ( . : ) . + х
х 0,013 + ( +) ( +) . ( ) . +( o,002) == 1,346.
Сиедовательно, вязкость воды '1') прн температуре Т == 282,15 К равна
1,346 мПа . с.
4.2.6. ОценlCИ norpewHocTelii нтерnОПRЦИОНИЬlХ
формуп ЛвrрВНЖ8 и HIdOTOHB . I
о оrрешности, возникающеЦ, при замене функции у == "
=== f (х) ее интерполяционнЫм мноrочлеНОl\1 Р n (х), можно cy
дить по ,величине осmatnOЧНOZо члена
Rn (х) == f (х) Рn (х).
Если ДЛЯ функции f (х) известно аналитическое выражение ,:,
и можно найти ее производные до (п + l)-ro порядка включи-
тельно' в рассматриваемой области а х Ь изменения х, co .
.держащей узлы интерполяции хо, Х1' ..., Х n ' T величину OCT.a
точноrо члена R n (х) для интерполяционной ФОРМУJ1hl Лаrран
жа (4 7) определяют следующим образом:
, f(n+11.( "
Rn (х) == , (п + 1) ': ( ко) (к кl)' . . (х x,J,
rде зависИт от х и лежит внутри отрезка [а, Ы.
, Обозцачив через
М == тах I f(n+l) (х) I ,
n+1 a x b
пЬлучим (щенку для абсолютной поrрёшности интерполяцион-
. ной формулы Лаrран а: ' , \ \
М п + 1
IRn(K)f (n'+I)I" (x xO)(X Xl) ... x""x,Jl. (4.18)
Л р и м е р 4.3. С какой точностью можно вычнслнть V 111 с помощью
интерполяциоииойфОРМУJIbl Лаrранжа для. функцин у ==:tx, выбрав узлы
интерполнровання КО == 100, хl == (21, ха == 144j1
Решение. Найдем
1
1 2
у' ==.......... к
" 2
(4.11) . '.
1 2 3 ..!.
y"== Tx2.. 'УЮ==в Х 2
Отсюда
3 1 3 5 '
Ма "= тах I уЮ' == . == 8 . 1O при 100 Х 144.
8 у 1006
\
64
....
$
.',
.'
'",,"
., \
,
4 . ................. ...... . "'- ---->"'- . ._ ".''' ''''''... _ _ ..
.
На основаннн формулы (4.18) получим
, 3 1 .
I Ra I '8 . 1O 5. 3т I (117,..... 100).(111 121){111 144) ,-=
1
== lji' 1O 5 .11.4. 21 O,1 . 1O 2.
ПР :iУ Л и; теР П h ол ( .и ро в о аН I ИЯ 2 ХО, Х1' .... х n рав оотстоящие,
+ 1 t , , . ..., п 1), то, полаrая ,
x xo
q:: '
h '
на основании фор м у л ы (4 17) П ' w
; , ,. олучим ОС11/.Ш17,()ЧН.ы.и член первой
uнтерполячuон.ной фор.мулы Нью.тона: ' .
R n (х) == h n + J q (q 1) (q 2) ... (q п) (n+l)
. (n+l)l. f ( , (4.19).
rде некоторое промежуточное значение между У злами ин-
терполирования' х х u
А о. 1,"" Х N И рассматриваемои точкой х,
налоrично, полаrая в формуле (4.17)' , .
X Xп
q== ,
получим остаточный и л"н emo'fIO W '
Ньютона: 'J'o''''' и uнmeрполячшщной формулы'-
Rn (х) =;h п + 1 q(q + J)(q + 2) '. .\. (q + п) (n+l) .
(11 + 1) 1 f (i). (4.20)
В практически';' 'расч таi ан литичес ий вид функции не
всеП8 и естен. Тоr;щ, предполаrая, что в таблице конечных
остеи для функции у === f (х) разности (п + I)-ro ПОрЯДка
что у ПОЧТИ постоянны и h достаТОЧНQ мало, а также учитывая,
r п + l ) (х) == l' А п +l у
h hnt- J '
приближенно можно положить:' .
,(n+l) ro Аn+lуо
hn+1
фо " В этом н случае остаточныЙ член первой нтерпол}щиоиной
рмулы ыотона равеи: ' ,
, Rn (x), q (q"7' 1) '" (q ,п) п+1
(1]+ 1) 1 А уо,
а для второй интерполяционной формуilы НьютОна
Rn (х) q (q + 1) .:. (q +л)
(п + J) 1 l\n+J....n.
,
".-
1"
3 5 1772
65
" ,
!
'i
I
:\
j "
:.]
"1
:'1
i
/
:С
.J \.
'''!Y '
i:l '
t .
""
;
;::'
:
,
Н'
: il
: J't
, ' , :'!J'
'} -1
; ' -
! :
}. , :>
"- ,;
'!" :.
" . ..,: -; '
:, ,у
, I:, 't'
' 1 i
- .
,'С
1f. .
,1'
1:'; "
1и
!'f:
'1", il
J t
. J! ,:..
t :(
h' 'f
hl
' I :' ' ',
J i:' j
' ft' J
", ; ,
1. \ :
,
. }"
':;..'; : '
:ili: -
. .:
Пусть функция у == f (х) задана таблично. Задача обратною }l
'uнтерnoлирования ззкточается в том, чтобы по заданному зна- 1 :
чению функции у определить соответствующее значение ар- {
rумента х. . :!
/ ,Если у'ЗJlbl интерполяции Хо, хl' ..., х n неравноотстоящие, У:
задача леrко решается с помощью интерполяционной формулы':.'
, Лarранжа (4.7). Для этоrо достаточно принять у за 'Независи. ,
мую neременную, а х считать функцией. Тоrда получим '.
, .ё, (g YO}(g Yl) ...(g YI l)(Y Yi+l) ...(Y Yn) : ;
- ,
1==0 .Wi УО> (и, Уl) . . . Wl---:- Y' l) (g, YI+l) . . . (g, y ) . , ,
(4.21) :,,;,
' .,
При... -е р 4.4. Данные по ЩlОТНОСТИ р водных растворов хлорида Mar- ;,:
ния в зависимостн от ero концентраu.ии С при температуре 293 К ПРИllедеи )
в таблице: .
4.2.7. Обратное и"терпопироваиие ,
t l' " I .1 "
,;
С, % 2,00 4,00 8.00 16,00 .(:0.
1
р, r/cM'S '1 1,0146 1,0311 1, 1,0646 I 1.1342 i
Z'
"
.\.
Определить, прн какой концентрац.ии плотность раствора хлориДа ar.:::
пия будет равна 1',1031 r/CM 8 .. ' ,:,
Решение. Обозиа,ЧИМ х С, У р. По фоРМУJlе-(4.21) 'находим:
(1;..1031 1;0311) 0,11:>31 1,.0646)(1,1031 1,1342)
K OO, +
(I,OI 4 Q 1,03I1Hl,OI 6 I,004 (l/ I46 1;1342) .
+ 4,00. (1,1031 1,0146) (1,1031 1,0646) (1,1031 1,1342) +,
(1,0311 1,0146) (1,,0311 1,0646)(1,0311 1,1342)
+8.00. (1,1031 l,OI46)(1,1031 1,0311)(1,1031 1,1342) +
(1'0646......1.0146) (1,0646...... 1,0311) (I,0646 .,1342)
",
+ 1600. (l,rоз! I,Q146) (1,1031 1,0311) (1,1031 1.(646) 1 2 48'
'. (1.1342 I,OI46)(1.1342 1,03ll)(I,I342 I,0646) · ..'
Таким образом, р 1,1031 r/cM 8 при'С 12,48 %. .
, ..
Рассмотрим теп рь задачу обратноrо интерполирования '
.nля с.лучая равноотстопщих узлов интерполsщии.' '
Предположим, что функция f (х) монотонна и данное З&8-;
чение у содеРжится' между уо == f (х о ) и Yl == f (х 1 ). ::':.
Заменяя функцию ,у первым иJtтерполяциOfШЫМ мноrочл , ;
ном Ньютона! получим: /
, q (q 1) q (q 1) . . . (ч n + 1) .,
У == Уо + qL\yo + 21 _ L\l yo + ... +, ' n 1 А"Уо',,;
66
1:
'
,
.
.\,
,.'," ",'e".," \
"
Отсюда
q ==.1!..=J!!!.. ASyo А n
Ауо 21 LЩ О . q (q 1) q (q 1) ...
n 'Ауо
. . . (q. n + 1),
т. е. q == ер (q).
б Величuину q определяем методом последовательных при -...-
лижении как предел последовательнос'FИ: .
.Q == liт q"
1....00
rде qj == (q' l) (; :с:: 1,2, ...).
За начальное ПР,иближение принимаем
q У НО
O . 1, 422
, Ауо \. ),
Дляi-rо приближения имеем:
/' '
. Alyo ( , Аn
q. qo ---: 21 " qi 1 \qi l 1) ... .........J!!l.. q . (q 1 ) .
u!lo '. n ,1 L\yo . l i l , . '. .
, . .,,(ql l п+ 1). (4.23)
I-!a практике процесс итераций . продолжают ДО тех по
пока не установятся цифры, соответствующие TN>I: й' ! ,
. нос ти, причем полаrают q' r е .....:. !,... yeмo точ-
денных ,приближений'. ' qт, Д qm последнее из най-
Найдя q; опред яем х по формуле,
K Xo
==ч,
I
I
. I
li
1,
:,\
"
"
"1
откуда
к == Ко + qh. , ' (4.24)
мы применили 'метод ит рации для реmения задачи об ат-
r инт:рнолирования, дользуясь первой интерnoляцио ой
р уло ьютона. Аналоrичн.о можно применить этот спОСОб
и КО второй формуле.Ньютона:
y Yn qL\y '+ q(q+ 1} А"" + .
n 1 21 5n 2'"
+ q (q + 1) . . . (q + п 1 ) .
, А п
.. п 1'" Уо'
Отсюда
Ч У-:---Уn ч(ч+ 1)
' Hn"";:l 21 L\yn l L\ S Уп.7"2
... q (Ч + 1) . . (q + n 1)
n 1 AYп l" L\ yo'
3*
67
,; . . 1",
':;
-f
;- :;1"
i , } i"'
,!.,. I
': '
",
Ii
l'
f
J
:c.
: !
,',' 1.
:- ' 1
:.:i. ;
: ;1
:fi'. .
',;"-
!. ;, .
'\, i."
, ];,
. I,: :t:"
<i "
t' ,
:.. t
j" ,
. i
i ' I
J; f f-
'it f
\i;; Ir
H t
tЧt 1
i"! " if
j','i
if
,:б .
',Z :,--[ I
.', .:....'-.; .....
',' , ',;: -
. .
;:A'1'
' I :
i', : ,
;
, l:-
'
Обозначим' qp == Уп ' М!чальное приближение.
Yn 1
ДЛjf i ro приближения . имеем:
Л2у ""'2 Ап уо
Ч'==Чо , 21А q,(q,+I) "' nl!:t. q,(qi+ l )...
Уn4 Yп )
. . . (ч, + n 1). . (4.25)
Найдя q == liт q,.' определим Х по формуле
' .
t == х n + qh. (4.26)
при м ер 4.5. Пользуясь табл. 12 прнмера 4.2 определить. при какой
температуре вязкость воды равна 1,262 мПа . С. .
РеШен.uе'. Заданное значеиие У == '1 == 1.262 содержится между Уо ==
== '10 == 1.308 и Уl == lJl == 1.203. Поэтому за начальное значенне у пр ннма-
ем Уо == 1,308. По формуле (4.22)
у -:-- Уо 1,262 1.308' ' 438
Чо== J ==0..
Ауо o 05,
. Далее. пользуясь формулой (4.23). находнм последовательные прнбли-
жения q, (; == 1. 2. ...):
, . ?!.2уо А 8 уо
ч. == ЧО 2 I А!lо ' lh (qo 1) 3 I АУ6' q(f'(qo 1) (qo 2) ==
, 0.013 (""'""': 0,002)
==0'.438 2 .'( 0.105) "О'.4З8(0.4З8 1) 6. ( O.I05) .0.438 Х
Х (0.438::'" 1) (0.438":'" 2) == 0.438 O.OIS ,OjOOI == 0.422;
А 2 у А 3 у, ,
qz==qo q. (q. 1) q. (Чl I)(ql 2) ==
2Ауо 6ауо
0013 ( O,OO2)
== 0.438 '. . 0,422 .(0,422 1) Х
2. ( О,105) 6. ( O.105)
Х 0.422(O.422 1)(0.42 2) ==O,438 o,OI5 O,OOI ==0.422;
q ==.ч. == 0.422.
Теперь по форму е (4Jf4) получим
х..... хо + qh == 283.15 + 0.423 . 3 284,42.
Следовательно. '1 == 1.26 мПа . С при Т == 284.42 К.
С.). ТОЧЕЧНОЕ КВАДрАТИЧНОЕ при&пИЖЕНИЕ ФУНКЦИА
Решение задачи о приближении функций путем построения
интерполяционных мноrочленов. которые в тоЧности ВОСПро-
изводят значения данной функции 8 узлах интерполяции. не,
всеrда OPpa дaHO: заданные в отдельных точках X Q . Хl. ...-: Х п
значения уь,"у(, .... Уп получены обычно в результате наблю-
дений ил,И "3М Рf ИЙ и. Iследо а1'eJIЬНО. являются приближен-
нымн чи<;:лами. ПОЭТОМУ нет необходимости стремиться к тому.
чтобы приближающий мноrочлен в точ ах Ха. Х 1 . .... xn при-
68,
,"--:'" ....
..
, .!
- ','
<"'.
,'!,'
"'1
\',
,
.
1.
'е,
'.
<-
'.
/
,..'
',.
./
,.\
нимал те же значения. что 'и заданная функция. Кроме Toro,
степень интерполяционноrо мноrочлена с' увелнчениеМ числа'
точек Ха. ХН ..., Х п В общем увеличивается. что может 'атруд-
нить дальнейшие' вычислительньrе операции с таким MHoro-
......
членом. "
ВОЭМОЖeJI иной подход к решеНИIO,зздачи о приближении
функций. основанный JIO использовании метода наименьших'
квадратоВ. соrласно кОТорому З3 меру отклонения приблвжаю-
щerо мноrочлена
Р т (х) == а о + йlХ + а.х 2 + ... + amX", . (4.27)
степень т KOToporo значительно меньще числа точек Хо. Хl. ..:
.... Хn. от заданной функции f (х) прицимают величину
'n
S == !Рт'(х,) f (x{)]z. (4.28)
,Oi=O . .
равную сумме квадратов отклонений мноrочлена Р т (х) от
функции {(Х) на заданном множесnе .точек Хо. Хl..... )бп Н
называемую k8aдратичнц.м отК/ЮН.енue,м,.
Упитывая (4.27). выражение (4.28) можно ilаписать в виде:
п
S == (а о + йlХ, + ari + ... + a m 1lf !/д 2 . (4.29)
,==о
Очевидно. что величина S ЯМJIется функцией коэффициен-
тов йо. а 1 , а 2 . .... а т . которые нужно подобрать так. чтобы она
была минимальной.
Процесс построения приближающеrо (аппj>оксимирующеrо)
для данной функции f (х) мноrочлена Р т (х) называется tnOЧeЧ-
ной квадратичной аппроксимацией. .'
Для решения задачи точечной квадратичцой аппроксима-
ции ВОСIЮЛЬЗУемся необходимым условием экстрем:ума функции
несКOJIькнх переменных. Найдем частные производные функ-
ции S (ао. а.. .... а т ) по ао. llt. ...,. а т и приравняем их нулю.
Получим так н:азываемую нормаЛЬНХk> систему т + 1 урав-
нений с т +. I неизвестными йо. й., а 2 . .... а т : .
== 2 f (а о + tlIXi + \Й2X + ... + 4 т Х: 11,)2 . 1 == О. j .
да о {==о '
дS '2 .т
== 2 (а о + аlХ{ + а"х, + ... + атJO( 11,)2 Х, =- О, (4.30)
да. {==о .
. '2i. ( ';a: '.:. .;, ' y -';' . 01
дат '1==0 . , ,
Решив систему (4.30) и вестнымц методами (формулы Кра- ,
мера.. схема единственноrо деления raycca и,др.). найдем .IЦ!Э,Ф--
69
'>.,';
,'., \
/"
,!
. ' \
' ,
, , \
'1
,"
:1
f i{i -;<
, :'
i' "
-..
{
,.;;
4 I'" _'
:, ;If.;
.; " ; .
. i 'r . .
- i : "
'!!'
,}, ,
- "".
, ,
>; -, ,
.;---\
',:!'
i'"
'
; :::f,
:П
! [
,
j, ..
'1
i'
" ,
i
";';
J
1
].
11
,\ f:
, J?
j:,
, и
,j",
' :
,.', .t
:;},
.;
"
.',
11'
1,
, ,
i:
:
t,
'фициеН1?I ао,91, .... й т мноrочлена (4.27), которыi\ будет .обла-
дать минимальным квадратичным отклонением Smln. .
Если т == п. то аппроксимирyioщий мноrочлен Р т (х) сов-
падает с мноrочленом Лаrранжа на множестве"точек Хо, X l ....
.... Х т . причем Smln О.
Таким образом. аппроксимирование фущщий представляет
собой более общий процесс. чем интерполирование.
'Рассм<?трим простейшие случаи точеttной, квадратичноir
аппроксимации.
. 4.3.1. Линейная аппроксимация по Me:rOAY
- наимен.wих К8аАР.Т08
./ Пусть функция у == f (х) задана своими значеНИЯМИ-Уl ==
== f (Xl)Y У2 == f (xJ. .... Уn == f (Х n )' '
'Требуется найти аfiпроксимирующий мноrочлен первой
степ'ени ,/ . ' ..
Р] (х) == а о +: al :) (4.31)
такоi\. чтобы квадрат лонение
. :/'" n ' ' "..... \, /
, S == (Р] (Xl)' f (Xi)JI t rf.:'.. (4.32)
1==1 '
было минимальным. ' . ' - ,
Запишем в.6Jражение (4.32) в B e
n
S ".;, {Оо + alx, 'gl)S,
'=;:I ....... .
Нормальная система для определения йо и lZt. будет иметь
такрй вид: '
,. дS n
д ,== 2 (а о + a 1 x l Yд 1 == О, )
а п 1==1
S n ,
д == 2 (40 + а]х, уд Xl ==0.'
аl 17"1 ,
Сделав простейшие преобразования, получим
, n. n
,оon + а] 111 == !l.l, I
1==1 i==1
ппп
, -ao xl, + щ 'Х: == L X.lYl'
i==1 i==1 i==l,
(4.3З?
Систему' (4.33) удобно решать с использованием формул
Крамера. Найденные значения коэффициентов llo ий) подстав-
ляем в выражение (4.31) и. таким образом, получаем конкрет-
'ный 'вид аППРОКС!;lмирующеrо мноrОЧ :fна Р 1 (х). '..
10
!.'
...
,-!::....,. :;7 t'Зt ..,.
.' ,' ::' ". ., -:-z-. ' , .
, :J
.
'
4 ir
;
,:t.
':,.
"
:
,1.'
"
---o:: ,
, ."
it;
,-
_...,... ""'1;> о;; ,..' . \
'/
Таблица 13. ВычиепенИ- коаффициеитов еиетемы (4.33)
1 .'/ Т; / 111 I II, /' ' I 11,111
1 зоо О .70,35 О, О,
2 400 1 75,38 '1 ,75,38
3 500 2 86,53 4 161,06
4 600 3 85,81 9 257,43
5 700 4 91,26 16 . 365,04
, 6 800 ё 96,83 25 484,15
7 - 900 6 102,53 36 6'15,18.
8 I 1000 7 108..2 49 757,89
'Суммы -1 28 l' 7Ю,96 '/ 140 I 2716 13
л р н М е р 4.6. 3авнсимость теплое1ltКости С fJ фторидц маrннй от тем-
пер:атуры т выражается следуюuiнми данными: ,
Т, К
/300 I 400 I 500 / 6 "700 / 800 / 900 '11000 {,
170'35/75'38/80'53185'81 /91'26/96'83 /102,5 108,27
С р '
Дж7(моль' К)
Аппроксимнровать 9Ти данные мноrочленом (4.31)-, н оценить поrреш.
ность аппрокснмации. .
Решение. Для вычисления коэффнциеllТQ.В нормальной системы (4.33)
. составляем табщщу (табл. 13). Чтобы не оперировать с большими числами,
вводим в качестве арrументз
T 300
х == 100
ФунКJtИю С р обозначим у. .. '
Теперь запишем 1I0рмальнyw, систему уравнений:
" IIfI 8а о + 1 == 710,96, и \
, 112/ 28а о + 4Pfl == 2716,13
Найдем йо н йl ПQ формулам Крамера:
I 7, 28 . I 8 710,96 t
' 2'W'1,13" 01 '== 282716,13 ==64 2
,00 ' 1 8 . 28 ' 1 == 69,89; I 8 28 1 ,.
28 140 28 140
СледоВательно, искомый аппроксямирующий мноrоч.nен имеет вид
у == 69,89 + 5,42х. (4.34)
Возвращаясь к HcxoдJtыM обозиаченням, ОКОВ'lателы!:р. получнм
T 300
С р == 69,89 +5,42 . 100
ели после простейших преобразованнй: _
, С р == 53,62 + 5,42 . 1O 2T.
'
7Т
,
\.
-'ь,'
'.....
"
. \
"
:'j
"1
',1
L{ ,.
; i f
,: "i1<'
1r'
" t
1'1
, 'i .
':'1
:.- !
i:f
, '}
I !: '
.;,.!
\
I ; '
'<1'<' ,
: t; I ,
, ;..;! "
f
:У :
11 "
"' ;
;I:"
.
J ' : , :
, ,
i:
t'.
'i.
;
' .
'Е
\ .
" ;,
, I
{'r\.I.
'Ч'
";-
i
Ii
.,
-
; ;
_'
,1'.'
i ,
!,!
'_J,
J."
( ,
"!
"Таб.лuца и. Оценка точности Лllпе.ной аппроксимации по мe'FOAY
наименьших кваАР8roв . .
, J х, I У, , ,.
У, , 1I' Yf
I
,
1 О 70.35 .
69.89 0.46
2 1 75.38 . 75.31 007
3 2 80.53 8О.и , 6,21
4 3 85.81 86.1-6 0.35 .
5 4 . 91.26 91. 0.32
6 . 5 96.83 97.00 0.11
7 6 102.53 102.43 \ ""'O.JO
8 1 108.27 107.85 0.42
Сравним табличные з ачения у, (i == 1. 2 . .... 8) с соответ-
ст ующими значенl,JЯМИ у/. вычислеННIiМИ по формуле (4-.34).
K K видно из табл. 14. мноrочлен (4.34) дает rрубое приближе-.
ние опытных 'данных. Аппроксимируя эти Же данные MHoro-
членом (4.35) (см. П{Jимер 4.7). получим хорошую соrласован-
ность опытными значениями С" (см. табл. 17).
4.3.1. П8ра и..еск.я аппроксимация по методу
наимеНltwих КВадратов
На практике нелинейную зависимость у от х 'часто аппрок-
симируют мноrочленом второй степени '
Р2 (х) == а о + а1Х + a .
(4.35)
rде llo. йl. й:il --'-- коэффициенты. под.лежащие определению.
. ,Квадратичное отклонение в этом случае будет иметь вид
n ,
S == (aO+alx,+a2x1 Yl)2.
,...1
Запишем !Iорма.льную си тему для определения' llo. йl. :
aS n I
дёl"'== 2 L (Во + аl Х ' + a уд 1 == О.
о '=-I
as n, }
== 2 (а о + alx, + a:ilx Уд Х, == О.
tia 1 ,....1 ' ,
as .;" 2 2 I
""'д == 2 (а о + аl Х , + а 2 х, 11,) xj == О.
а 2 ,-=1 , J
72
"
'- : "' .:7" ':_T..--м-_ .._,,",
;:: .'
k
,
':'
,
\1:(
t:
f ;,,'
':'
"' ""'"""" \
Та :лuца 15. Вычислении коэффициентов снС1емы (4. 6)
, I I I I I 1. I , I
Т, Jt , f1, .{ х з х. xiyt x'fy,
, ,
1 300 О 70.35 "О О О ' О О
2 400 1 ,7б.38 1 . 1 1 75.38 15,38
3 500 2 80.53 4 8 - 16 161.06 322.12
4 600 ' 3 85.81 9 27 81 257.43 772.29
5 700 4 91,26 16 64 256 365.04 1460.16
6 800 5 96,83 25 125 625 484.15 2 20. 75
7 900 6 102,53 36 216 1296 615.18 ' 3691.08
8 1000 7 108.27 49 343 2401 757.89 5305.23
Суммы I 2R I 710,96' 1140 /784 \46761 2716.13 /14047.01
.'
Пос.ле преобразований' получим:
aon+al x'+9!f Xi
' I - . I ' /
ппп n
'\:' 2 '\" з '\:'
'йо х, +а1 х , +а 2 х, == ХШi.
'==I ' I ,==1 ' I
(4:36)'
ппп n
'\:'1 2 + '\:' з '\:'1 4 '\:'1 2
а п х, аl х, + а 2 х, == х,у,.
' I ' I ' I ' I
)
Решив систему (4.36) (например. по схеме единствениоrо
деления или дрyrим методом) и .подставив найденные коэффи-
циенты llo. йl. й 2 В (4.35). получим конкретный вид аппрокси-
мирующеrо мноrочлеН8. !
Пр Н Mf! Р 4.7. Для данных прнм;ра 4.6 найтн по методу нанмень-
ших квадра{ов прнблнженн-ую функцию в виде ..
У == а о + аlХ + "llsX 2 (4.37)
. : ( т зОо )
н оценить по решность аппрокснмации \11 ==' (;". Х == 100 .
Решенш. ДЛjl вычисления к03ф<l)НJ.(Jiеитов нормальной системы (4.36)
составляем таблицу (табл. 15).
Запишем нормальную систему уравнений:,
"
вар + 28ai + 140а 2 == 710.96. !
28а о + 140а1 + 78402 ==271'6.13,
140а о + 784а1 + 461 2== 14047.01.
Решим систему (4.38) по схеме единственноrо деления (таБJr. 16),
Подставив найденные 8начення ао. аl. а2 в уравнение (4.37) н прнняв' ,
прежние обозначения (Т и С,,). получим
( T 300 ) ( T 300 ) 2 '
.'С р 70,39 +4.93 100 +0.07 100 .
\
'1
':i
::\
I
:1
'1
\
. I
_...;
\
(4.38)
73
\'
..\
:.(
, " ''-
j '. , : t'"
, ,,
, t ,1"
" t+.
" ' t,
т [ [
' J.
'<,. f
.. ( "
: !. t >
1' .,
!l t
,. 't"
" 1
:,
, '.
'
'5
,:)1'-
. i'
;,:.,
J .
;;:
j; f,':
Jt'
:
-(11;'
Н1
f
i '"
, ,
i f
:
; i i,'
. "
<1
i,
; ; .
: [,
.'
/"'1
: '
\:,
,.'
.1
{
р
);
' ;
1 , /
-
:j,
j;'.
'-'1'
;
'.
"\
Тjlб.IШч а 16. Решение CIIстемы (4.38) по схеме еАИНСтвенноro ДeJIенн.
)Сод /Этапы [ Коэффициенты прн I Свободные / Контрольные
а. I 'О, I а. члены " суммы
8 I , 140 j 710,96 886,96
28 ' 140 784 2716,13 3668,13
1 140 784 '4676 14047,01 19647.01
Пря-
мой 1 . 1 3,5 1 17.5 I 88.87 :1 110,87
I 42 t 294 / 227,77 I 563,77
11 294 2226 1605.21 4125,21
1. 1 i 7 I 5:42 - I 113.42
I 1 1 I I .
. ш 168 11.73 179.73
.
I \ I 1 I 0.07 I 1,07
. .
Об- '1 .. аа == 0;07 a == 1,07
РIIТ- IV 1 а} == 4,93 а},== 5,93
ный
1 йо == 70, 9 llo == 71,39,
Таб.лuч а 17 Оценка т ти РаболическоА аппроксимации по методу
наименьших кваАРаТО8 , , ' '
.
i I т , I с ! I с ! 1.4 Ci ci
Р Р .Р Р
1 300 70,35 70,39 '0,04
2 400 75,38 75,39 ( .0,01
3 500 O,53 80,53 О
4 600 85,81 85,81 О
5... ,70{) 91.26 91,23 O,O3
6 800 96.В3 96,79 o,04
7 900 102,53 102,49 0.04
8 1000 108,27 108,33 0,06
После простейших преобразованнй аппроксимнрующнй мноrочлен ОКОН-
чательно примет вид .
С'! .... 56,23 + 4,il . 1O 2T + 0,7 . 1O 51'1. (4.39)
Сравним исходные значения для 'С р с соответствующими
знаЧ НИЯМI!-Ср. полученными из приближенной ф<?рмулы (4.39).
Соответствующие резУЛJ;>таты прнведены в табл. 17. .
.......
74
' . -
..
, .
" .J '
.
/ '
,
, '.
" ,о
.'... "__Т;-- , '." т.-, ..' i..: i...."
4.3.3. Аппроксимация по ме,оду наимеНltWИХ квадра,ов
в виде ПОК8З8'еnЫfОЙ ипи с".пенной функции
,
Пусть мы предпо.лаrа м выразить зависимость между у и х
13 виде пок&зат.ельной функции '
G; (4.40)
Лоrарифмируя (4.40) будем иметь
19,y == Ig А + kx Ig е. (4.41),
Введем ОбозначеНИЯ:,lg у === fJ;lg А == go; k'lge::::; аl; х == .
Тоrда 4.41) примет вид
,. 'fJ == а п + al ' (4.42)
Это. уже мноrочлен первой степени, коэффици нты йо, lZt
определим по методу наименьш х квадратов (см. п. 4.3.1).
Возвращаясь к прежним оБQзначениям, получим конкрет-
ный вид апiIроксимирующей функции (4.40).
Аналоr-ично поступаем со степенной функцией
у == AXIX. (4.43)
Пролоrарифм ровав (4.43).. получим .
'lgy == 19 А + a.lgx. (4.44)
Введя обозначения Ig iJ === ; l А === йо; а == а 1 ; Ig х ===
можем записать (4.44) в виде
'I'J 00+ a .
Снова получили линейную фу кцию.
р' р и м е р 4.8. 3аl\НСИМОСТЬ давления насыщенноrо пара бензола от
температуры выражается следующими экепернмеirrальными данными:
Т. К
I ;70'512...80.812 8.612.99.21315'4,j ззз.8/ 353,2
10.026710.053з10,0800 I 0.1333\ 0.26671 0,5ззз11.0133
, p. 0 5: Па
, Аппрокснмировать экспернментальные данные Фу нкцнеА вида
а
р ==Ье Т .
(4.45)
Решение. Лоrарифмнруя формулу (4.45)" будем иметь
а
Igp == Igb,+ т Ig е.
Отсюда, полаrая у 19 р, ао == Ig Ь, х == 1fT, 'al'== а Ig е, получнм лнней
пуi9 зависимость
у == lle + 111 Х '
, \
75
I
"
I
tl
\
"1
"!
{
'.. i
t "
; (jt;;,
:. k:J. ' ::: " ' ,,
1 [, >
ч ,У 'f;
Hi
'1"'
,/
;\
1 " j
!
t, ..
i r' ,
'1!
i
J'; ,
I'i ! :
,О, .
7:';' l
'11 ) : ,
; , !
п 1 ;
'.!' !
. :' I
.' J
_!, ..
11; ;
; !I
'! ;
'11..
'(
.' 1
р'
: ; '
r } t' J
, .,i
J : "
;i,
;;'
,. .
1 t i
, '
';, !
;
\ r
"
"1
. ,
' .
1"
Та БАUЦЙ 18. Опре).еление коэффициентов системы (4.33)
П т, I" IP'I " I " .'" -1 I
"IYi
,
270;5 O,O036 7 0,0267 I,57З5 ' 1,367 .10 5 5,817.JO 3 ,
1
2 280,8 0,003561 0,0533 1,2733 1 268.10,"":"5 4.534. 1O 3
3 288,6 0,003465 0,0800 1,0969 1:201.10:"'5 3,801.1O 3
4 299,2 '0,003342 0,1333 O,8752 1,) 17 .1O 5 2;925.1O 3
5 315,4 О,ОО3171 0,2667 O,5740 I,006.1O 5 1,820.1O 3
6 338,8 0,002952 0,5333 ,2730 8,714.1O 6 060. 1O 4
7 353,2 0,002831 1,0133 0,005738 8,ОI5.1O 6 1:6 4'.1O \'
Суммы 0,02302 5,6602 0,7632. JO 4 0,01969
, Та6 uча 19. Оценка точнОсти формул.. (4.46)
I Tl I 1Jl "Pi no формуле (4. 6)'
Р; ,P;
I 270,5 0,0267 0,0291 0,0024
2, 280,8 О,05:!3 0,0505 0,0028
8 288,6 0,0800 0,0748 О,{Ю52 '
4 299,2 0,1333 0,1233 О,ОlOО
5 315,4 0,2667 0,2471 0 19
6 838,8 0,5333 0,6039 o, 706
7 .353,2 1,0183 0.9857 0,0276
", .
3начення Yl == Ig ';1 н Xl == l/T 1 прнведены в табл. 18:-- ,.
Составляем нормальную систему уравненнй (4.33):
7а о + О,?2302а. == 5,6692. }
0,02302а о +0',7632 , 1O 4щ == 0.OI91.
Решив эту систему, НЩlример, ПО формулам paMepa, найдем а о ==
== 4,998; 4. ъ: 1767,4.
, ПоскоЛьку. в сн,лу введенных нами обозначений, ай == Ig Ь, то Ь ==
, ' ' аl 1767,4 '
==:'99471,8; а.;= а Ige, то а == ==: 343 == 4069,5.
Ig е 0,4 , ,
Подставив Haiiдeнныe значения а и Ь в формулу (4.45), получнм оконча
тельный вид аППРОКСИМирующей функции:
....... 4069,5
, Р == 99471,8 . e (4.46)
Данные та()л. 19 показывают соrласованн,ОСТЬ полученной
аппроксимирующей ФУЩЩИИ с опытными даиными.
4.4. ПРИ6ПИЖЕНМЕ ФУНКЦИИ по. СПОСО&У ЧЕ&ЫWЕВА
Особенно ть решения задачи аппрокси ирования заданной
функции у == f (х) на множестве rочек Х., Ха. !.., Х п мнorочле-
OM (4.1) данной степени"т (т значительно меньше п) по спо '
16
{ ,
. '
I
"
'''\'
;.,
ir:,
....,
"
,.,'
;;Jr:! :
. " ,,, .....-'-> ; ' '-;'.':Y ' ' " '\1: '""=" ,,1 ...... .\
сМу Чебышева состоит в том. что функции СРо ( ), IJ>. (Х). ...
.... IJ>т (х) мноrочлены, удовлетворяющие условиям
п
' fPj (Xl) fPk (Xi) == О и =1= k),
1 1 '
.. .<) I
(4.47)
1.
(fP. (Xi)]2 =1= О и ==: О, 1, 2.
1 1 J 'J
и называемые OpmOZOlla/lbllblMU. М,IlOZОЧ/lеllамu Чебышева.
Доказано. что при задаННых точках х.. Xa. "', Х п opтoro-
нальные мноrочлены Чебышева Moryт быть последовательно
получены и записаны в виде
qJo (х) == 1,
fP. (4 ==: Х + а.,
fP2 (Х) == х2 + a l)x + a 2).
.. fPa (Х) ==: ха + al')x l + a1 2 )x + a 3).
I
J
.... (.) х;+ "J"x ' + "?,x ' + . . . + "Jry. I
" .
Рекуррентная формула. позволяюЩая вычислять с едую-
щий мноrочлен по.двум предыдущям,. eт вид
fPr+1 (х) ==: (х + r+l)'fPr (х) + Vr+tfPr 1 (х) . (т == 1, 2: . . . т 1),
, "
rAe коэффициенты !+I и '\'т+' ВЫЧИСЛSIlОТСя...по формулам:
(4.48)
. . . . . . . . . . . . . . . .
п п,
xl (fPr (Xl)]2 , I XlfPr 1 (Xl) fPr (хд
l ' t;;. (4.50)
r+1 == , п 1'т+, == п
L (fPr (Xi)P [fPr 1 (t'j}j2
[ ' 1';"1
Для Qпределения РТ+I И,\,r+1 noформулам (4.БО) надо только
знать суммы степеней X 1 :
'n n п п
(fPr (хд]2 == x r + a l) L x. r 1 + ... + a l) .X ; (4.51)
' ' ' ' [=:' [ '
п "., ппп
'\' ) 2r + (\) 2r 1 + + a r {r) '\' xr . . . ,
Xi(}'r 1 (Xl) fPr (Xl, == Х 1 а , I-J, Xj " . ..
.
(4.52)
\ n ',11 п !1
'XI [fPr (X;)J2 == :Е x T+1 + a l) x r -+ ... + а!Т) x +1 +
1 1 ' ' I t 1 . I
[ п, п п ]
+ a l) xfr + a l) L xY 1 + ... + аУ) L xi "
l 1 [==1 t 1
(4.53)
77
,\
'1
J
:'
.\} "',
Hir- -
Н;;
I ' t. ': ' , "
.
, '.
н)':
11!
''! {п
j{ 1 ;
J
J ,
i It
f
'i
} !I,
,;:/i!
, l
1:'1
;;(
) ' '.;
j "
f '!У
. ,
, 11
:1;--
, r .-
! I
,i t
, rif '
i !j'
НI J
, i
.]1,'
. " i .'
",,t .
, l' . '
.'
'..Л
' !
; t
i i :. ,
, j
.,
.: t J
, i
: {
о,' \:'-:.
Построим мноrочлен второй степени <1'2 (х) по формуле
(4.49). Учитывая. что <1'0 (х) === 1, на основе первоr6 из у-словий
(4.47), положив в нем j === О, k -=== 1, для мноrочлена <1'1 (х)
получим ...,
n
, . L СР1 (Xi) =i= О. (4.54)
i 1
ПОСКОЛЬi{У, соrласно '(4.48). <1'1 (х) -==х + OG 1 , то (4.54) мqж-
но переписать в виде '
n
.Е (Xi + а1) == О,
' !
n
Хl
i 1
или OG 1 === ""'(I'"" .
n
откуда хl + nа 1 О,
1
Окончательно получим
1 n
СР1 (х) == Х хl'
n 1==1
'Выра им теперь <1'2 (х) через <1'0 (х) и <1'1 (х):
СРI (х) == (х + I) CPt (х) + 'I'2СРО ( ),
rде, в силу формул (4.50),
(4.5?>
(4.56)
Р.==
.n
, Xi [СР1 (хдJ2
i 1
n
L [ср} (ХI)J1
' 1
'1'2 ==
n
.Е Хl% ( i) Ч'i (Xi) n
' ) .' 1
n ' == ---'- Х'СР1 (Xi).
n
L {СРо (XI)J2 '==1
'",,1
(4.57)
На основании формул (4.51) (4,,53) запишем:
ппп }
I [СРl (Xi)J2 == L X + Х"
t' "'''' (Хд i'x1 + '" f"'XI' . \
' 1 ' 1 '==1 '
t;rl["(Хд]' t <1+", t,x1+"'ft,x1+'" ...Ц (4.60)
Аналоrично по известным мноrоч енам <1'1 (х) и <Р2 (х)
можно построить мноrочлен третьей степени <1'3 (х) и т. д.
. Чтобы получить КО!lКРетны;й вид апПр'оксимирующеrо мно-
rочлена (4.1), необходимо найти коэффициенты llo, йl, ..., й т .
, У С1'ановлено, что наиболее вероятные,' значения .этих коэффи-
(4.58)
'(4.59)
78
''".-..,> :- ,- _<."",.". ,"
"/
..'
.
' "
"
, , " \
. ];
......
.,...:
'.;R
,>,,_...._ .,, . ,.. ": JI.. ;-" :' :: ". .:.. ;"
, ",, l.--
циентов определяюl'СЯ по формуле
n
YiCPr (х,)
a r == i n I, ( 4.61 )
(, == О, 1, 2" . . . . т).
[ep':(X,)J2
'==1 .
,", Вычисление знаменателя этой формулы производится В со-
ответствии с (4.51), а числителя '---- следующим образом: ,
ппп n
У,СР, (Xi) == 1I'К; + a. I) y,x -:-1 + ..: + a!.r) I У,. (4.62)
i 1 . ' 1' 1 ==1 '==1
Подставив найденны таким образом коэффициенты ilo,
йl' .... й т И мноrочлены <1'0 {х), <1'1 (х), ..., <l'т (х) в (4.1) и сде-
лаз простейшие пр'еобразования, получим искомый аппрокси-
мирующий мноrочлен т й степе,НИ. '"
Если точность, д тиrнут;,iЯ мноrочленом т й степени, нас
не удовлетворяет. можно построить мноrочлен (т + 1)-й
степени.. Для этоrо необходимо по формулам (4.49) и (4.50)
построитlo мноrочлен !рт+l (х), по формуле (4.61) вычислить
коэффициент йт+l, на ти их произведение йт+l<1'т+l (х) И
прибаВИ1Ь ero КJIравой 9аст.п (4.1). после чеrо получим
Р т+l (х) == qoCPo (х) + а1СР1 (х) + ... + ЙтСРт (х) + а т +1СРт+l (х).
Таким образом, процесс перехода от мноrочлена т й
степени к мноrочлену (т + 1) й степени по способу Чебыше-
ва rораздо проще, чем по методу ,наименьших квадратов, в со-
ответствии С которым помимо вычисления коэффициента Йтf.l
потребовался бы f.Jересчет КОЭФ<РflЦиентов йо, йl. ..., й т .
Л р -и м е р 4.9. Найти аппрокснмирующнй МНOI:очлен, flриблнженно
выражающий завнсимостЬ теплоемкостн С р этана от температуры, .заданную
chе;хующей таблицей: ,
KI I I I 1 I I
ДЖ/ Ь'I<.) /52.44/ ,86178.0зI89,02198:911107,i611 15.621122,56
T 298
. Решен.ш:. Обозначим Х == 100 . У. == Ср' Будем искать аппроксими-
рующий мноrочлен, прнблнженно выраЖ8ЮЩНЙ зависимость между Х и У
по значениям, приведенным в табл. 20.
Построим сначала мноrочлен первой степенн:
11 == а п % (х) + а}чi{(х). (4.6З}
В снлу (4.48) Ipo (х) == 1. ерl (Х)'== x + аl' Поскольку n == 8, то а} ==
,1 1 '
':"" n ,Xl == "--- ""8 . 28 == З,5. Тоrда СРl (х) == Х 3,5. Найдем тепе р . ь а.
<
,.;:.
,. "
', -"
.: \
"
J;
- I
1
'1
'1
'1
"\
79
,F 1J
;'!
.,,
' I f/"
.: /<
Н " " , ':'
' /
'-1':
j
4..J
:,1st 1
,!,
j '\ o 'i
;:;
;: ,'
, ,,
't
" , 1,
\
. !.
! ;:
, :' J:'
: L.
.rt
H
, чl '
" tI
; ',r-
t J:
. ; ! :',
'y; :
', "
,Ц',
;if:i
,i ;, }
.1-- ,
J; ,
'1 '
;1:
\ '
\f.
,'1.'
{:_,
"' , ,
.:! I !
t \
"'............
"
"
Таблица 20. ВWЧИCJIенlUI iю способу Чебышева
С,
1 ТI I Х 1 I I K I к1 I I I I K1Y 1 I I ,<
{ У 1 ",5 к 6 II K III ФI
{ 1
,
1 298 О 52,44 О О О О (} 2749,95 О О О
2 398 1 65.86 1 1 1 I 1 4337.54 65,86 65.86 65.86
3 498 2 78,03 4 8 16 32 64 6088,68 156.06 312,12 624,24
4 598 3 89,02 9 27 81 243 729 7924.56 267.06 801,18 2403.54 "
5 698 4 98,91 16 64 256 1024' 4096 9783.19 393.64 1582,56 БЗЗО,24'
6 798 5 107,76 25 125 .625 3125 1562':; 11612,21 538,80, 2694,00 13470,00
7 898 6 1115,62 з6 216 1296 7776 46656 1З36Ц18 693.72 4162.32 24973.92 .
8 998 7 122,56 49 3 3 2401 16807 117649 15020.95 857.92 6005,44 42038,08
C': I !" I "'''1 но 1...1""!"..I,M820 I ю.." 1'""" I ''''''' I "'''.88 .
и аl по формуле (4.61) '(длJ.l Простоты записи индексы суммирования писать
не будем): " , .
YI'Po (хд 1
а о == , )]2 == . 730,20 == 91,275; "
['Ро (ХI , 8
YI'Pl (хд
а1 == , rде... соrласно .<4,58),-
['Рl (х;)]2
}; [ 1 (х;)]2 == x + a1 XI == 140 + .< 3,5) . 28 == 42,
а в силу, (4.62)
YI'P1.(X;) == };.Ylxl + al Yi == 2975,96 + ( 3,5) . 730,20 == 419,36.
419,36
Torдa а! == 42 == 9,985.
Аппроксимирующий миоrочлен (4.63) примет вид У == 91,275-1:-
+ 9,985 (х 3,5), или
У == 56;328 + 9,985х. (4.64)
На йДем сумму $1 квадратов отклонений OtIЫТных значений УI от значе-
ний YI, вычисленных по формуле (4.64), для чеrо составим таблицу
(табл. 21).
"
"
"
ТаБA}lца 21. Оценка точности формулы (4.64)
1 I I " I I
1 КI IJI 111 , 111 УI (Yi 11,,) 2
1 О 52,44 56,33 3,89 ' 15,13
2 1 65,86 66,31 O,45 0,20
3 2 78,03 76,30 1.73 2,99
4 3 89,02 86,28 2,74 7,51
5 4 98,91 96,27 2,64 6,97
6 5 107,76 106,25 1,51 2,28
7 6 115,62 116,24 0,()2 0,38
8 7 ' 122,56 126,22 3,66 13,40
, Ч\
l
q\
I Сумма Sl
i
48,86
БО
,.'\
- " :'- ;! ' -' .
ПОС'фоим теперь аППРOJttнмнрующнй мноrочлен второй степени:
11 == ao'l.:o (х) + а 1 'Рl (х) t йа'Р2 (х), (4.65)
для чеrо найдем 'Р2 (х) н а2'
Мноrочлен 'Р2 (х) постронм, воспользовавшись рекуррент ой форму-
лой (4.56). .
Вы.ч ислим Р2 И '\'2 по формулам (4.1)7), предварительно определив по
формулам (4.58), (4.60) ,
; J'Pl ( i)r == XI'Pl (х;) == и + al XI == 42;
l ['Р!: (xI)Js ==. + al X + al xi'Pl (хд ==,
== 784 + ( З,5) . 140 + (...::.. 3,5) . 42 == 147.
Теперь
, ....:.. XI ['Р1 (хд]2 == == 3,5;
Р. (СР1 (х;)]2 ' 42
XlfJ>l (XI) :=; == 5,25.
'\'. == n 8
Подставив в' (4.56) Найденные sнач ни" Ра, '\'2 н 'Рl (х) == Х 3,5, по-
лучим
"
'Ps (х) == (х....., 3,5) (х 3,5) 5,25 == х 2 7х + 7.
Формула (4.61) для ВЫ lИсления йа будет иметь вид
:tYi'P. (xI)
а. == [q>s (xд] .
На основе (4.62) найдем: .
:ru1'PS (х;) YIX + a I) YIXI +' a; 2) 1' (4.68)
Сравнивая (4.66) с выражением для 'Ра (х) H (4.48), видим, что a ) ==
== 7; a 2) == 7. Подставив эти значения'н суммы И3 табл. 20 в (4.68), п лу-
чим: YI Ч'2( д == 1562з,48 + ( 7) . 5,06 + 7. 730,20 == 90,54.
,В силу (4.51)
. 1:..[1/12 (хд]2 == 1+ a I) 4 + a 2) x 2) :=;
== p76 + ( 7) ; 784 + 7 ' 140 == 168.
ПО формуле (4.67)
(4.66)
.
(4.67)
90,54
168
Таким образом, приближающий ноroчлеи (4.65) равен
У;'" 91,275 + 9,985 (х 5) 0,539 (x , 7х + 7),
или после алreбраических преобразованнй
У == 52,555 + 13,75& 'O,539x2. (4.69)
ВЫЧИСЛИМ сумму S. квадратов отилоне!lИЙ опытных значеиий Yi от зна-
ченнй Yt, Нl;lйденных по формуле (4.69),.для чею составим таблицу (табл.22).
Q>авннвая точность приближения опытных данных мноrочл..ами (4.64)
и (4.69), ви м, что мноrочлен (4.69) дает более точное пр ближение (S <
а2'==
.O,539.
'.
81 "
>
't'
..
:1
, ./
i'
: ' { '"
t!
(};"
; j " 1
,'.. '
т
; l'
'I
: '
;:'!
,:1
щ
; J J j ',;.'
.\ ,-
' ...
[
) !
'1.:.1-
. -
,./
'-1'1
'/ t
, : i
!- 1
: f r}:
>'j
, '
"t.;'
'J,I
j'[
'1
[
,!
.,
, ,
,;;л
Таблица 22. Оценка 'I'ОЧНОСТИ формулы' (4.69)
, l' х; t
УС
,
и, и,
r (У, У;)а
У,
1 О
2 1
3, 2
4 3
5 4
6 5
7 6
8 7
Сумма 81 I
'52.44
65.86
78.03
89.02
98,91
107.76
'115.62
'122.56
52.56
65.71
77.92
.98
98.96
107.87
115.70
122.45
0.12
0.09
0.11
0.04
....{).ОБ ' ,<
\ 0.11
0.08
0.11
О.OI4
0.008
0.012
0.002
0.002
0.012
0.006
0.012
ft068
< 81)' I!сли дос;иrнутая ТОчиость не удовлетворяет. MO HO построить ап-
проксимирующии мноrочлен трез-ьей степени ' t::
..t,.
..'
У == йо'Ро (х) + а 1 'Рl (х) + аl'Рl (х) + аз'Р8 (х). (4.70)' .;r
Для Moro нужно найти выр ение для мноrочлена 'Р. (х) коэффиЦи-
ента ":1. ,
По рекуррентной формуле (4.49) получим выражение ДЛЯ'РI (х);
'Р. (х) => (х + f}.) 'ps (х) + 'У8'Рl (х).
По фQpмулам (4.50) имеем:
118 == 1: х , ['Ра (х,))I . 1:х,'Рl (х,) 'Ра (XI)
', 1: ['РI (XI))2 . '\'. . 1: [СРl (X,}JI
Пользу сь формулами (4.52). (4.53) и данными таб.n, 20. ,иайдем:
1'Pl (XI),'PI (х,) == &1 + a I!1:4 + a 2)1:x == 168;
1:х, [Р2 (X,)J2 ;, 1:x + a I)&1 + a 2)1:x + a l) [1:х1 +
+ a I)& + a 2)1::;] == !!Ю08 + ( 7) .4676 + 7 . 784 + ( "7). 168 == 588;
1: ['Рl (X,)JI == 42; 1: [СРа {X,)J2 == 168
(эти суммы ВЫЧ,исл'ены ше).
, Тоrда. соrЛ,асно (4.72).
588 168
fJS == 168 == 3.5; '\'. == 42 == 4.
ПOlЦставнв ми значения и выражения ДJl!! 'Рl (х) И СРI (х) В (4.71) полу-
ЧИМ, '
(4.71)
(4.(2)
'Р3 (х) == (х 3,5) (х l 7х + 7) 4 (х ,3,5).
или после алrебраических преобразований
СР. (х) == ха 1O.5х 2 + 27.5х 10.5.
CorпacHo (4,61). для вычисления ":1 запишем формулу
а 1:u,CJ!8 (х,) '
3 1: [СРз (х,)]а .
\
:',
J."...
t..
:.,
,
"
;,;
,
;}
- '\.
;
,,",
<И,
-
,iJ
',1:.
...
'1. '.-
"
'r
(4.73} ,
"
(4.74) ..
82
..,,....... "'.,. .,.......--:r--- .,. .. -t " .'
.' " "c':':':";:;' ;: ; ;;5' "j'>': ;:' I
..
Таблица 2 . Oцellka точности ФОРмУ... (4.75)
' I I I
, ", У, 11, yt У! \ (11, Yi)2
. .
1 О 52.44 52.44 '0.00 О
2 1 65.86 65.86 0.00 О
3 2 78.03 78.03 0.00 О
4 3 89.02 89,03 ' O.OI 0.1.10"'-3
5 4 98.91 98.92 0.01 0.1 . 10.....:3
6 5 107,76 107.77 O,OI 0.1.1O 3
'7 ,6 .. 115.62 р5.63 0.01 0.1 10----3
8 7 122,56 ' 122.58 O,02 0.4. 1O 3
..
Сумма 8з I I O,8.1O 3
в соответствии с (4.()2) найдем:
1:u,!P8 (Х,) 'f.y,x1 + a 1)1:YIX2 + a 2) lxI + a 3)1:y, ==
== 89905'.88 + ( 10.5) . 15623. 8 + 27.5 . 2975,06 +
+ ( 10.5) .730.20== 6.43
(a l) == 1O,5; a 2) == 27,5; (1 3 ) == 1O.5':"" коэффициеНТЬf м оrочлена
(4.73».
По формуле (4.51)
1: [СРз (X,)JI :;;:> 1:х1 + (11)& + a 2)1:x1 + a 3)1:x ==
"'" 184820+ ( 10,5) 29008 + 27,5 . 4676 10.5 . 784 ==с 594.
После подстановки найденных значений 'в (4.74) получим:
6.43 О
а 8 == 594 == 0,01 8.
, ,Теперь можем записать конкретный вид приближающеrо мноroчлена
(4.70):
у == 91.275 +9,985 (x 3.5) 0.5З9 (x2 7х 4- '7) + О,ОlOв..х
х (х 2 1О.5х 2 + 27.5х 10.5).
или окончательно:
у";' 52.442 + 14.055х :"":':'0. 652х 2 + 0.0168х 8 . (4.75),
.Вычислим су;мму 8 8 'квадратов отклонениЙ опытиых значеииЙ у, от зна.;
чений y , найденных по фОрмуле (4.75). для чеrо соСтавим таблицу (табл. 23).
Так 'Как 8. == 0.8 . 1O 3 < 8а < 81. то В качестве искомоrо прибли-
жающerо мноrочленапримем мноr..Qчлен (4.75). Запишем ero ,в исходных
обозначениях: " ..' ,
. . , ( т 298 ) ( т 298 ) 2
С р == 52.442 + 14.055, '100 0;652 100 +
, , ( т 298 )
, + 0!01О8 100 .
,после преобразоваиий окончательно получим
С р == 4.494 -+ О.1823Т 7.486 . 1O 5T2 + 1.08 . l.9 8T3.
, .;, ,
, j)}
t-I
"::{.
{
'\
83
: ,
. ;
.. 1: ,'с.
. ;; '
i !.,: ',>,
ii. ,;:
! , "
j i. :
01' '
i'
, '
;' 1 '
";,'
;, :
: ' .
"
' t
:. ,;,
, , '"
"
. :j,
{.
\,:.::,
;' f '< , ':'
j (. .- '
'f.
,lk
. ,
1:'1
, !: !
;: '
i ,}
1 1 '"
.' t '
' I
'.;, . ,.
: .1" '
t
','/ :,'
j !
1 1 1
.\. :
't.
, !
!' , :
; ::
, J{'
I
1\ .
'\
;
.
4.5.i. ПОСТ8НО8Кil38Д8ЧИ
.t.5. ЭМПИРИЧJ;СКИЕ ФОРМУЛЫ
Пусть опытным путем получены значения некоторой вели\
чины У для заданных значений веЛIiЧИНЫ Х 11 представлены
в виде таблицы (табл. 24).
На основании этих данных обычно ПрИХодится решать сле-
дующие задачи:
. 1) формула. выражающая ФУ КЦIюнальную зависимость
У от х. известна; требуется определить численные значения
параметров. входящих в... эту фор_
мулу; '.'
2) характер функциональной За-
висимости .между величинами У и Х
неизвестен; требуется найти анали
тическое выражение зависимости
между х и, У. которое принято Ha
'зывать эмпирической -ФОРМУЛОЙ.
Решение первоЙ задаЧIi paCCMaT
ривает<;я в п. 4.3.
Построение эмпирической! фор-
мулы делится на ДВа OCHOBH X ЭТа-
па: нахождение общеrо вида этой
формулы и определение наилучших
, ее параметров. .
fеометрически зад ча построения ЭМПирическоЙ формулы
состоит в проведении такой кривой (или прямой) (рис. 6). IЮ-
торая была бы достаточно близко расположена к опытным
точкам (XI' Yi) (i == 1, . .... п). Что значИ1 «ДОСlаточноблизко
расположена». в каждом кон-
кре1ном случае следу ука- Таблица 24. ОПЫТНI,Ie данные
зывать (например. в cooтвeTCT Х I I I
вии С методом наименьши Х 1 Х! Х п
: : Вд З: аJ ;:О::и: и 11 Уl I У! I ... I Уп
мальным). I
11'
о К, Х, К. Jt
Рис. ,6. ТОчечный rрафик. по-
строениый по опытным дан-
ным. н rрафнк функции У ==
== f (х), -приближенно выра"
,жающей ЗI\ВИСИМОСТЬ между У
н х.
4.S. . Выбор 8ида ампирической формуnы
Для определения вида эмпирической формулы необходимо
по пытным данным построить точечный rРilФИК (более удоб-
но на милл.иметровой бумаrе). Затем eдyeT провести (на rлаз)
плавную JIИНИЮ (рис. 6) такую. чтобы точки' rрафика были
близки J( ней и располаrались по обе стороны от нее (HeKOTO
рые точки MorYT' оказаться на линии). Эrо и будет rрафик
84-
.j
:'f:
!
"
::.'
1
, ..{
<
\,
.
',r,
; i.
.;
>'
., :
....: -: > ".:- ..;.;..:;.... : :.' .:, . .,.,.-,.
.... --..-, . ---
функции. приближенно выражающей зависимо ть между Be
личинами У и х, а уравнение построенной таким образом ли
нии будет искомой эмпирической формулой. Если проведен
цая линия прямая. то естественно предп ложить. что за
висимость между х и У линейная: "
У == ах + Ь.
rде а и Ь постоянные. ;,
Для не.[IинейноЙ зависимос,"И вид формулы можно опреде-
лить путем сравнения построенноji кривой с известными кри
BЫM (некоторые типичные кривые и соотвеlствующие им фор
мулы приведены в пр ил. B).u u, u '
, Существует аналитически и критерии для проверки линеи
ной,зависимости между Х и у: по опытным даН!lЫМ определяют
; ==X i + 1 xI; IJ.Yi == Yi+l Уё;' k l ==lJ.y;1 1 (i == 1. 2. .... n 1);
если k 1 ,..,,; k'l. ... kn l. то точки (Х;. YI) расположеНN при
мерно на прямой: в частности. если !J.X 1 == const. т. е. значе:'
ния Х, равноотстоящие, то ДQCтаточно убеДJiТЬСЯ. что ,!J.Yl
являются также постоянными (или почrи постоянными).
л р и м ер 4.10. Пользуясь аналитнческlht критерием. провернть.
будеТ ли линеЙИQЙ зависимость теплоемкостн С р метана {при ro1.3 кПа)
от температуры Т, предстаменная cJ1едующей таблицей:
т. I< I 200 1 400 I 600 l' 800 '1 1000 I 1200
Ср' Дж! 1 , 1 J . 51.37 f 60.83 '1 70.31 1 79.16
(ЦQлъ.l() 32.47 41.90
,
Решение. Поскольку 8начения ТI равноотстоящие !I. следовательно.
IJ.T, == Т'+l ТI ""' 200 =- const. обознаЧНlI У == Ср. составим таблицу
lJ.y, == У'+l I!l (i == 1. 2. .... 5):
1 1- 2 3 , 4 I 5 t
I t ) .1
1J.1I1 9.43 .47' 9.46 9.48 9,45
Так как значения IJ.VI близки между собой. можно С1fитать. что заВИСIf-
мость линейная. '
При анализе и описании закономерностеЙ химических "
физико.химических процессов и явлений эмпирическую фо -
мулу наиболее часто приходится выбират среди функции:
1) У== ах + ь (линейная); 2) У == 00" (показательная); 3) У ==
== 1 . (др ' обно-- р ациональная)'; 4) У == а Iп Х + ь (лоrа
ах+Ь . .
рифмическая); 5) 11;:= аХЬ (степенная. при ем при Ь > О
85
\
'$:,
'
Hr
iI ?:
, ,
, " 1
1,
J -
[
11
, <..
{4 _
iiJ , ;
"1 р
f ifr
, :' I П
"
1i
,,!
t.
, i '
H I '
.
: 1 f
,,} I
,Li ;'
\,п
::.;. , '
."
!i 1"
);; l'
i (:
1, ,
''; ,
'1,
1
I
I
. ..
i "
J(
"
"'! .,
зависимость параболическая. при Ь _< О rиперБОЛИЧЕ:ская);
6) у а + : ' (rиперболическая); 7) 11 == ах Ь (дробно-рацио-
нальная).
Чтобы определить. какая из 'этих функций лучше Bcero
опи($rвает ОПl;>lтные данные. необходимо выполнить следу,.
ющие вычисления:
1. По данным табл. 24 найти:
Х 1 +Х п '
Хар == 2 (среднее рнФметическое Х 1 и Х п );
\ r
, X reoм == , ХI Х п (среднее rеометрическое);
\
2х 1 Х п
X rapM == (среднее rармонияеское):,
Хl +Х п
Уа р == Yl t Уп : Y reoм ==' YYlYn ; Y rllpM
2УIУп
У1.+Уп .
, 2. По приближенно построенному rрафику искомой функ-
ции. BOKpyr KOToporO rpуппируются опытные точkи (x i . Yi)' - .
, б24 v ...
или ,по данным, та л. нанти значения Уар. YreoM. -Уrарм.
соответствующие значениям Хар. X re OМ. rapM' 'При этом. ес-
ли. например. Х ар (или X reoM . X raPM ) совпадает с табличным
X i . то соответствующее значение, У:Р (или У;еом. 'У;арм) ..будет
равно Уl; в противном случае У:Р 'МОЖНО 'определить. поль-
ЗУ,ясь формулой линейной интерполяции: .
· . + " !/1+1 Уl
У ар У, 'х Х (Х ар хд.
, 1+1 1
тде Х l . ХНI значения данных табл 24. между которыми
наХ ДИТСЯ'--Хар (Х 1 < Х ар < Xl;f-I); Уl < Y < Уl+! (i == 1. 2. '"
-. . .. n 1).. ,
, 3. !iайти ВeJlI'!ЧЩ Щ :. 81. == J У:р Уар". 811 == 1 У:Р YreoM 1.
fOз== '.Yap YtapM 1. 8" '" I !lreoм Уар '. 86 == I У;еом Yreoм 1: 86 ==
== I YrapM Уар 1. 87 == I YrapM YrapM I и среди них определить
минимальное значение 8 == min { 8. Е о }
, .L' 2, ..., Cl7 .
4. Выбрать эмпирическую фОрмулу среди функций 1 7.
ИСlЮмая эмпирическая ФОРМУ.JIВ будет иметь 'вид
'}. 1) У == a + ь. ес И 8 == е\:
2) y, аЬ". если 8 == 82;
1.. ,
3) У == . еслИ'е == е.'
ах + ь ..
4) У == а Iп Х + Ь. есЛИ 8 == е,;
(4.76)
f!6
..
,: .
-
..,
,'
, !;,;,
' !
"
"'/,
'.
, '
'. ;
,
-'",
,'-'
"',
t .
'';'<
' ' ' :, "L:.',\ '::r ' ' .. ' ' :- , '
5) У == аХ Ь . ,если е ==, еli:
- Ь. '
6) У == а + ; если е == е6:
, х
х
7) У== ах+Ь . если е==е 7 .
Следует учитцвать. что функции 1 7 монотонны. и.
следовательно. отвечающие им опытные упорядоченные дан-
ные (х.. Yi) при АХ 1 == Xi+1 Х 1 > О (i '== 1. 2. .... n 1)
должны иметь постоянный знак приращения. В противном
случае зависимости 1 7 nроmuвonoкaзf1НЫ. ,
Такой способ выбора вида эмпирической формулы являет-
ся rрубо ориентировочным. поскольку он не учитывает пове-
деНие 'всех. промежуточных данных (x i . Yi)' Кроме TOI'(>; l'4. 0 -
жет случиться. что переменные х и У подчиняются друrой
закономерности. И. тоrда вид эмпирической формулы будет
отличаться от функций 1 7. ' "
При м ер 4.11. Определить вид ЗМПИРИ'Iеской ФОРМУЛЫ. отвечающеА
ОПЫТНЫМ- даННЬil!l.примера 4.10., '<
РеШ4НШI. Будем искать' эмпщ5нчеСl(УIQ формулу сред" 88ВНСИмостей
1 7. Обозначим Х.... Т. У == <;;:-}Jозьмем в качестве Хl зиачение Т == 200;
в качестве Х л sначение Т == 1200. соответственно Уl == '32.47; Уп == У6 ==
== 19,76.
, HaA eM:
Х. + Х п 200 + 1200 == 700;
Хар == 2 2
X reoM == УХ;Х;; == у 200 . 1200 490; ,
2ХIХп 2.200 . 1200 '
It == , :::::: 343' .
rap... Хl' + Х " 200 + 1200'
У],+ Уп . 32.47 + 79.76 56 12 '
Уа" "" .' .
'" _ 2 - 2,
II reOМ == Y!i&a == )fЗ2,47 . 79,76 50..89;
, 2у.у" 2, . 32,47 . 79,76. ,: 46 15
Y rapu Уl + lIп 32.47 + 79.76. ..... . .
.Н
.. .
/ Теперь, найде", ЗИ2!ченнlI. У ар ' Yre M' Y rapM ' соответствующие вычислен-
ныы Хар. X reoM ' X rapм . пользу сь формулой линеilной-ннтерполяции (4.76).
Так КIlК 600 < Х ар < 800. то 51.37 :< U: р < 60.83. TorAa
. 6О.83 бl.37 -'
У ар == 51.37 + 800 600 (700 600) =--56.1;
, 400 <x reolil < 600 ; 41.90 <1I;еом-<51.37;
. 51.37.....:41.90
Nreo.. == 41,90+ 600 4OO (490 400) == 46.16;"
<,
,'.
/' ""
,..!)
'
/
,
87
i
[:
i ':
, ,
f,i,
:., .
f ':
,! ;.
) ji'
11"
ff i
: 1 .;
,f
.
it,
1 i ' '
rJ,
!: j '
!
.
',
1'1
1.
"н
""1""
}! .,'
'!
':
"
I
,
:1
',1
;1'
1'''-
'
'о,
у
f'l1;.'
,,!"
'j':!
" 1
;!
:'1
, r
.
200 < X rapM < 400; 32,47'< У rap.. < 41,90;
. 41,90 32,47
Y rapM 32,47 + 400 200 (343 ЮО) '0= 39,21.
Вычислим величины:
Е{ == I У: р У ар I == J 56,1 :---: 56,121 == 0,02;
82 I У: р ....... У;еом 1== 156,1 50,891 == 5,21;
.
Е8 == 1 У ар Y rap .. J == 56,1 46,151 === 9,95;
Е4 == I У;еом У ар ( == J 46,16 56, 121 == 9,96;
85 ('1[;eo ""': Y reo .. J == 146, 16 50,89 ( == 4;73;
Е8 ==> 1 У;арм Y p J == 13 21 56, 121 == 16,91;
, Е7 == I У;арм Y rap . , J == 139,21 46,151 == 6,94.
11,
Минима:Jiыtым среАИ Ei (i == 1,2, ...,7) является 8 == 81 == 0,02. Таким
. образом, иском я. Эмпирическая ФО,::мула будет нметь вид
у==ах+Ь.
,,\
,i
(4.77) ,
/'
4.5.3. Опредеnеиие парамеУРО8 эмпирической формулы
После Toro ка« вид эмпирической формулы выбран, реша-
ется задача определенflя наилучших коэффициентов (парамет-
ров), входящих в эту формулу. Для этоrо обычно применяIOТСЯ
три метода: метод выбранных точек, метод средних и метод f
наименьших квaдpaTO . Последний метод (см. п. 4.3) наибо-
лее точный, однако н наиболее rромоздкнй. Поэтому ero нс-
пользуlPТ при обработке опытных данных. высокой точности,
коrда необходимо также получить весьма 'fочные значения п&
раметров.
Рассмотрим ДВа друrих более простых метода, однако даю-
щих менее, точные результаты.
МетОД выбранных точек. Пусть эмпирич ск.ая формула име-
,ет вид (4.77). Требуется найти значения коэффициентов а и Ь.
Наносим На координатную плоскость опытные точки (X i ,
Yi)' как можно ближе к этим ТQ'}Кам проводим прямую (при-
ближающая прямая). На этой прямой выбираем две \00 числу
{Jараметров)'произвольныеточ N 1 (х;, Y ) и N 2 (х;, У;), необя
зательно совпадающие с тоЧками (X{J Yi) и как можно больше
удаленные друr от друrа., I(оординаты этих точек подставля-.,
ем в YP BlieHHe- (4.77), получаем систему: '
yj == ах; + Ь, } /
У2 == ах; +Ь.
Решая ее, находим а и Ь.
88
>- .-:\
, ,. ; < ,"-.
:.- '.,
, ;: .
, ;& !
.'
1;,
;'
/" '
., :
""',:..
;>,
,'r::
':j
;
:
.
'.:с
-:',!;
::'!
, -.
- ',
'с
"
\ -
"..../
"j'
\
1f:
, .-
':1,
. { :
"
, ",-r
". .
f
",
" "':
1\.. ""if,..W- :<
. ... :,,,'[
Пр и м е р 4.12. Определить по мето-
ду выбранных, точек параметры а и Ь эмпи"
рической форму.лы (4.77), наЙ.l{енной,в п{>и-
мере 4.11 и отвечающей опытным .u.aHHblM
прнмера 4.10.
T 200
Решение. Оооэначим, х == 200
У == Ср, Нанесем точки (Xi. уд (i:::;: 1, ....6)
на координатu плоскость R проsедем
приближающую прямую (рис. 7).
Выберем на прямой ПРОИЗllOльны точ-
.., .. #:.....
ки N] (х., У.) и N. (Х 2 . У2)' как моЖноvv.
лее удалениые одна от друrой. Координа-
, , '. · 5 · 32 47
ты этих точек (Х. == О; Х 2 == ; У. == , ;
У; == 79.80) подставим в уравнение (4.77),
I получим сист му:
N,ri;. y:'J
Рис. 7. Точечный rрафик, со-
ответствующий опытНым дан-
ным' примера 4.10. и fрафик
приближ.ающей прямой.
. "
откуда' найдем Ь == 32,47;
примет вид
32,47 == О.. а + Ь. }
79,80 == 5 . а + Ь,
а F 9,46. TorAa эмпирическая формула
(4.77)
(4.78)
У == 9.46х + 32.47.
В там: 25 приведены значения {Ii, вычи енные по формуле (4.78)
в сравнении с опытными значениями YI. . ,
Таблица 25. Оценка ТО'lносrи формуJIы (4..78)
I I I 1.
1 Jt l yt lJi IJI Y'
.
, 1
, 32,47 О
1 О 32,47' 0,03
2 1 41,90 41,93
3 2 51,37 51, 0,02
4 3 60,83 60,85 0,02
5 4 70,31 70.31 ,О
6 5 79,76 79,77 0,01
.
,
,
.>
Метод средних. Пу ть эмпирическая ФОрмула 'имеет вид
(4.77). Подставим в нее вместо Х и У опытные значения .
YI' Так КёЩ левая часть ф: мулы обычно не равна пр.авои,.
ПQ8УЧИМ ,систему уравнении. '
аХ 1 + b У] =='Еl;
ах 2 + ь У2 == 2;
..........
аХ п + Ь Уп == l!no
Fде 81, 82' ..., 8 п неВ зк.!f (уклонения), MorYT быть как
'положительными, так н отрицательными., , '
Соrласно методу средних, за наl:lлучшее положение эмпи-,
рической линии (прямой или кривой) принимается то, Д.'IЯ
g,
-,
.:;..':-
",\
i
I
I
. [
,
:'\-" . .
1.';'.
, <: :
I..,
! , i::; -
i .'
! ,
i t
1 I
:: !
l' i
-'i! t
11," ,
, ,
;: 1 '1/
; i [ '
.,'
" ,i,
j "
!\
1
,
"
,
,
«
'" '
I!>
l' .
i:
, !
'\i! l i,
;; : .
:) , j ' .
JT!
l'
"
,;у
"' ! )'7.
: i
'. \.
": i
,/
.""
ш.?ТDро о ,алrе раическая сумма всех невязок равна нулю.
т. е. 81 == О.
' 1 '
Для определения параметров а и Ь формулы (4.77) разде-
лим все уклонения на две rруппы (kоличество rрупп равно
,количеству параметров). содержащие примерно одинаковые
количества уклонений. Для каЖДQЙ rруппы найдем алreбра-
ическую сумму входящих в нее уклонений и приравняем ее
нулю. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестны-
м,И '!- и Ь. (В, йб-щем случа количество уравнений равно KO
личеству неизвестных параметров). Решив эту систем у най-
дем а и О. . · .
л р _им е р 4.13. Определить по методу ср дних параметры а н Ь 9МПИ-
рическои формулы (4.77). отвечающей опытным дщшым примера 4.10. .
Р, П T, ,200" '
ешение. ОДставляя Х, == 200 . ' == C в- формулу (4.77>., полу-
чим выражения для соответствующих уклонений:
81 == О . а + Ь 32,47; 11. == 1 . а + Ь , 41.90;
lIa == 2 . а + Ь 51.37; 11, == 3 "а + б 60,83;
.е& == 4. а + Ь 70,31; 11, == 5. а + ь.:.... 79,76.
Разобьем. все УКЛQнения 'на две rруппы. Объединим, например. в пер-'
вую rруппу уклонения 111. 112. 118' во вторую 11" 11&, 11...
TorAa получим систему:
lIt + 11. + lIa == О, }
. , е, + 11& + 116 == О,
или
3а + 3ь == 125'14' }
12а + 3Ь == 210,90.
Решив эту систему, найдем: а == 9 46; Ь == 32.45.
СлеДОВ8те.71ЬНО. ЭМПИРИЧе<;кая формула (4.77) имеет. вид
У == 9.46х+ 32,45. (4.79)
Сравним значения ,У" выIислеiшыыe по формуле (4.79),
с опытными значениями у, (ё == 1.2. ,.... б), для чеrо составим
таблицу (табл.26): .
Таблица 26. Оценка ТОЧНОСТи ФОрму.пЫ (4.79)
1 I х, I ", I "1 I
yt "1
.
1 ' О 32,47 " 32. ......0.02
2 1 41.90 4'1,91 0,01
3 .2 51,37 51,37 О
4 3 60,83 .' 60,83 О
5 4 70,31. 70.29 O.O2
5 79,76 79.15 0.01
.90
, . .-", . ...0:;. ..,:
". . :t..
.
\
::I.
',,;
,..'
;',
"
t
О'
.f"",
i
-""!'.1-
. 1:
.'
: .
,tf
:, i
"1:.'
.
;(
";,
;:
.....
1 ".
; ,
,;)
:. .......,............................. .
."
"...:.........:...,
Мы рассмотрели простейшиеспособы определения пар.амет-
ров эмпирической формулц. и еющей вид у == ах + Ь. Нели
нейные зависимости 2 7 (см. п. 4.5.2)преобразованием KOOp
динат. леrко свести к линейной
1) !i == аЬ%; лоrар"ифмируя, ПОJ1'учим Ig у == х Ig Ь + Ig а;,
полаrаем Ig а == ao Ig Ь == а 1 , Ig у == Z, Х == q. Т6rда в IJЛОС-
кост}] qOz/ получим уравнение прямой z == а о +a 1 q;
1 ' ,
2) у == ах + Ь ; найдем обратную зависимость
=== ах + Ь и введем нОвые переменные q == х, z == I/y.
получим линейную зависимость z '==' aq + Ь;
3) У == a-I.n х +.ь; обозначим q == 1п х, z ==- у; ПОЛУЧ!lМ
линейную заВИСIfМОСТЬ z == aq + Ь;
4) У == Ьх а (а. > О, ъ > О);. лоrарифмируя, находим 19 у ==
== Ig Ь + a1g х; 'обозначим z == Ig у, q == Ig х, а о == 19 Ь;
тоrда получим z == а о + aq;
5) у== а + Ь/х; обозначИв I/x == q, У == z, получим z ==
==a+qb; С'.
б),У == ax Ь ; запишем фУЩ<ЦИЮ"обратнуюданной I/y ==
== а + Ьтх; обозначив I/y == z, x == q. получим линейную
зависимость z == а +bq. '
l/y ==
Тоrда
i'na.. '5. чиспЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИ.РОВАНИЕ
И ИНТЕrРИРОВАНИЕ
5.'. ЧИСJlЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.
ФОРМУJlЫ ЧИСJlЕнноrо ДИФФЕРЕНЦИРОВAJfИй. I
ОСНОВАННЫЕ НА ИНТЕРПОJlIIЦИ ННыХ ФОРМУЦАХ НЬЮТОНА
Задача численноrо дифференu.ированиSl ставится следующим
образом; Функция у == f (х) задана на отрезк [а, bJтаблицей.:
I
l'
I
Требуется найти ПРОИЗВОДf.lые <,у'::::; f' (х), у" =:s f".(x).
Для решения этой задачи строится ин:rерполяционный
мноrочлен Лаrранжа' или. Ньютоиа, от Koтoporo находится
производная.
Пусть узлы И,нтерполяции, х о , хl' ..., х п равноотстоящие.
Заменим приб.iIllженно функцию у интерполяционным MHoro-
91
хо
. Уо
Уп
I Хl
"/' 1
х"
у
.''''.
",_ ., ' _ ?.o>, '.. "",, "'J,.. . ....";.:,,;
" .
..,
:'
t "...,...#
['1
(,
' '.'. 'членом Ньютона, построенным для системы узлов Ха, Х 1 , ....
,J .: , '_ . .... Xk (k п).
'". .' ' .. 1'оrда
"ii.i\' '( х ) + А + ч(ч 1) А2 + ч(ч IНч 2) АЗ +
f, ,... уо q уо 21 ' Уе 31 ио
J (, , q (ч 1)iч 2)(ч"':' 3) ,
i ;. + 41 А уо +
j : , t . .r , ; ,Ч (ч ')(ч 2)(ч 3) (ч 4)
, f ".'-" .7 5' , Аlуо + ..., (5.1)
-:;;ч < ">.. 1 h Хt+l x, (i О, 1, 2 ..., n 1).
.-;.' Ilерепишемioрмулу (5.1) в Виде
ч" ч ч3 Зq2+2ч
f ( ) уо + чАуо + 2 А"уо + . 6 ' А3уо +
, .
1.
,
'i.
i '"
I .'
1
"
1
,
" "
! "
.
11
i .
i I :
" .
, I
,
:
" ;,' : ;
. ,'
::,1/;
J!
i:}.
<' ;\' ,
;' ! lt.}-
,;, ,,....
;. ,j
1!
1>-
J
t
.,"
+ qI бqs + Il q " 6q А' у,о + чl 10qC + 35q3 5Oq2 + 24 АI
24 u 1 2<J 41 Уо' -
(5.2)
Так \ как
. -
'То
df (х) df (х) dq 1 df (х) I
""dX"''''''' 'IiX''''h. .
" (х) . [ Ауо + 2q 1 А2 уо + ЗQI + 2 АЗ Уt +
. 2qЗ 9ч2 + 1Iч 3
, + 12 МУо +
+. '511' ОqЗ + 110:1 lОOq + 24 АВ уо + ...].
Учитывая, что
fW (х) == d (f' (х» ..:.. d (/' (х» . dq
dx dq dX' ,
можем записать выражен е для второй производной:
1 [ ' . бq2 18q + 11
r (х) '"h2 А"уо + (ч 1) АЗ уо + 12 'МУо +
+ 2ч3 12ч2+ 21ч 10 J
' ' 12 Al\yo+ ... .
-
" Аналоrичне можно найТи npоизводные функции f (Х)
более ВЫСОКИХ порядков.
При нахождении производных " (х), [: (х), ,... в зада.l1 Н ОЙ .
тЬчке х в качectве Ха следует принимать ближайшее !аблич-.' ;:"
ное значение aprYMeHTa. :
Для прибли-женноrо вычисления производных функции
f (х) в узлах интерполяции, т. е. при х == Ха (в качестве Ха'
(5.3)
(5.4)
92
, .
"- .:".,- ' ", '
.r....
'- _:st,..
'-, "!>,"
\'
),:
i.'f
,','
...
'
(
,..
"
!,'
t'.
. i
\<-.'
: J
'1
<
:=. -,"'-',, ,':".": :...;;..-:->! ::,
, ,_ : __ . "H!.. ."b::.. : ... -:. .. '
МОЖНО взять любое табличное значение aprYMeHTa), леr'ко
получить упрощенные формулы, по.лОiкив в (5,3)-, (5.4)'q, о:
\, I А2уо .. h.3Yo ' ;;'4y -' Iyo , " у
j ! o) :, 7i" [A O """2"""} + . ... ] ;! (5.5)
1" (х о ) [А2 уо A y: + ;" : : Аlуо + У.']' "(5.6)
Чтобы определить значение производной в Точке распо-
ложенной ближе, к концу таблицы, следует восполь оваться
второй интеРПОЛЯЦlfОННОЙ формулой ньютона:
{(х) !l + чАу + q (ч -f 1) А2 + q (ч + 1') (ч + 2) АЗ
n .n 1 21 Yn 2 31 Yn +
+ q(q+ 1) (ч+2)(ч+3) А- +
41 Yn 4
+ ч(ч+ Щq + 2}(q+3}(q+ 4) А& +
51 u Yn 5 ...,
rд; q ,., х h х n / Формулы, для р.нближенноrо Вычисления
{' (х); '''{х)' будут ,иметь вид
)' (х) [ t. У I + ' 2q + 1 А2 'У + ЗQ2 + бq + 2, A1 'Y +
h 2. 6 п
+ 2q3 + 9q2 + 11ч + 3 ' ,
12 , А уп---4 + '
+ Бq' + 4Dq3 + 105q2 + 1()0q + 24 ' А& ' J
120 ' u Yn 5 + ....; (5.7)
r (х) ' [A2Yп 2 + (i/+ 1) A3yn + бq2 + ; + 11 A'Yп 4 +
. .
2q3 + 12q" + 21q + 10, ]
+ 12 A&Yn 5 + ... . , (5.8)
При х == х n q == О и формул (5.7), (5.8) УЦРОЩ8юrся:
l' (х n )
'{ \ J.. [ A,J ' + A2Yn 2 + А3уn з + A4Yn 4 + A&Yn 5 + ] .
t'J'I'j h :lп 1 2 3 4 '5 _' . . ,
(5. )
r .... [ 2' 3 11 .. 5 ]
(х n ) h 2 А Yn 2 + А Yn + Myn + 6 A'Yn 5 + '" .
(5. (0)
Формулы, численноrо диффереНЦирования дЛЯ l1РОИЗВОД-
HЫ выше Bтoporo ПОрЯДКfI на практике пр-именяютсs редко,
так Kak с ростом порядка -произtюдной обьtчно резко падает
точность числе ноrо дифференцирования. . . .
93
,
' :'
,
,t
i- f' "
,"
,.....
:\
"! ,;; .
'i
fJ
1t
..1;: '
i l r.
,'! i ;,
i! l'
1iП
p .
1-'
,a""
' I 'f
;. r
' 1 " ' , ;
, f
")
, , 'l
, :
11
,
t ,
I i
' 'i
',(
1 {
" :'t'
, .
i.
:\<
{,
,
i
, "
'':1 ;
. r
", '
j , .
\-.
' '
.. .
'Поrрешность ПРОИЭВОДНОЙ интерполирующеrо мноrочлена
P k (х) равна .прОИ3ВОДНОЙ от П9rpеiIIНОСТИ этоrо мноroчлена:
R (х) =о " (х) P (х),
rде R (х) производная поqэеШil СТИ
Rk (х) =о f (х) Pk' (:ж)
,мноrочлена P k (х),сод ржащеrо ра311ОСТИ I).Yo, 1).2yo, ..., I).kyo.
То же самое справедливо И!1ДЯ ПРОИ380ДНЫХ высших по-
рядков. '
Поrpешность' для форМулы (5.5) 'оценивается величинон
k
/' ' k h (k+l) 5 11)
Rk.iXo) =о J I) ,k + 1 f ( )', ( .' ,
,
тде находится в интервале (х о , k)' Поскольку f.k+ 1 ) Ш обыч ,
НО трудно оценить. то при M8,tIOM ,h Щ>иближенно ПОJ1аrают: .;
л k + 1 '
t<k+l) (;) hk+;O ,
Тоrда формула (5.11) приобретает вид
, ( I)k tJ.k+lyo
Rk (х о ) h k + 1"
. ,
Л Р и м 'е р 5.1. 3ави имость ВЯЗКОСТИ ('1) нитробензола 'ОТ температу-
ры выражается следу{Ощими 'экспериментальными данными:
"
(5.12)
Т.,К t 283,15129з.15\30з,-15 \ 313,15\323,1 1 ,15134 .15
.
''1, мПа.с \2.509\2.013 1;682\1,43811'251 ',1. 4- t 0.970
Н,айти абсолютныli Температурный кО9ффицНент вязкости дтjlaT 'пит- 1.
робензола при: а) Т =о 288,15 К; б) Т =о 293,15 К; 'в) Т =о 343,15 К.
Решение. CocтaB M таблицу (табл. 27). Шаt интерполяции h == Т 1+1
Т ! == 10 (i == 1,2, ..., 6). В нашем поимере '1 == у, Т,"" х.
а) ПосКОЛЬКУ заданиое значение Т == 288.15 К находится ближе к
,иачалу т бл:27 (То < т < T 1 ), то для нахождения значения производиой
Таблица 27. Конечнwe разности
1 " Т 1 I '11 I 1\111 I 1\1111 \ 1\1111 1 ''11 \ ''11 I 1\8'11
О 283.15 2,509 0,496 0,165 O,078 0,048 O,045 0,072
1 293,15 2,013 0,331 0,087 о,ОЗО 0,003 0,027
2 303,15 1,682 , 0,057 0,027 0,030 /
3 13, 15 1,438 0,030 0,003
4 2З,15 1,251 0,lp7 0,033
I> 333;1:5 1,{)94 , (!I'124
6 , ,15 0,979 .
.
94
'",
, "...'.
". I '
.-
;;
"" ,..' ".... .....:.. . ..-"--?..,!:.;,i, --"'-c' ..,:..., .. ..';>'.. ) ' ,
.. I
\ ' ,
дr)laT при r == 288,15 К воспользуемся формулой (5.3):
== 1... I Л'n + 2q 1 Л + Зq2' 6q + 2 tJ. 3 'n' +
дТ h '10 '2 ' , "10 .. 6 '18 ..
+ 2rj' 9q1 + l1q 3 /:1. + 5qt 40qЗ + lOБQ2 ЮOq + 24 А6 +
, 12 , p 120 .. .. '10
'. + бq&""": 7 . + 340rj' m67fui' + 54Бq .:.... 120 Л6 ]. '(5.13)
. Т Т 288,15 283,15
Подставив в (5.13) 'l == о "': 0,5-, h == 10,
h 10 '
значения конечНЫХ разностей Л'lо, ЛZrJо.::. (из первой строки табл. 27) и
выполнив арифметнчески .,действия, получнм '
(дтj/д1)T 288.16K == 0,048 Па . с/К;
б) так как значение Т.... 293,15 К совпадает с ,табличным (Т == T 1 ),
то дЛЯ вычисления, Urj(aT воспользуемся формулой (5.5), приняв в качест-
ве начальноrо значення Т. 8наченне Tl == 293,15 К:
дтj == ..!.... [ tJ.'no tJ.2'10 + . Л3'10 лtтю + ' tJ.1i'l' ] ( 5.14 )
. дТ h 'IU 2 3' 4' 5 .
ПодстаВИII 'в (5.t4) -ЗНачения конечных разнОстей из второй CTP()K)I
табл. 27 и h == 1О,...JIолучим ,
( дтj ) ==...!..., [ ( ,331) 0,087 + ( 0,030)
дТ T 293.15K 10 2 3
0, 03, + 0, 27 ] ==: 0,037 Па. . с/К;
В) значение Т =; 343,15 К совпадаer с таблич ым (Т == 'Т..), расположен-
t1Ы\ll в конце табл. 27. Поэтому производную дтjlaт будем HaXOAllTb по фор-
м:уле (5.9):
д,! 1 [ tJ. + ; tJ.2rj. + Л3'1з _ + ' tJ.4'11 + tJ.6fJt + tJ. 6 '10 ] ( 5.15\
дТ .;::: h '15 ""'""'2'"' ----б----., . 1
Подставив в (5.15) подчеркиутые значения конечных разностеll из
табл. 27. получим
( дтj ) 1 [ .. 0,033 0,003
дТ ==10 ( 0,124)+ + з +
Т==343,15К
+ o, 30 + 0. 27 + 0, 72 ] == 0,008 f1ao'clK.
,!
j"'"
S.2.ЧИСJlЕННОЕ ИИТЕrРИРОВАНИЕ-
5.2.t. По.ст8НО.....3аА.ч
Требуется 'найти определенный интеrрал
ь
I == S {(х) dx.
а
(5.16)
.
И38естно. что если функция {(х) непрерывна,на отрезке
(а. 11], то ннтеrpал (5.16) может быть найден по формуле
95
"1.
"'":.... "
.; t'
:! 1
j .
!'
r1 :
1;. :
: 1'. .
J; r
"{ ...
'1'
,!
;, .
:1 ';
> i j ' '
'1 <,
:1" ,
1 ,1
.,,)
; .)!
; '], I 1 ,:
(1 :' - '
: l i , ,
,:1,' '
::f; k
'. I , ,.:
,п;;
t ''' , '' ,
.:.,"; ::
. } .,.
..,.,\ .
'.' t,
,С.'-!
"
:'1'
'! . -; F--
z
Tj
, r-$i;'
,: -.! !.1'i' I
fJ[:'. "
, .1 '
'\ '
. - "
;'i!i
"; i '!l
: ' '!f' '.
. , , ' .."
:.
. :. 1.
:l'
, :t '
. ; /
"'-'::....
НЬЮТ9на Лейбница:
Ь'
S f (х) dx F (ь) F (а).,
О.
.' rде F (Х) первообразная ДЛЯ функции f (х).
Однако На практике формула (5.17) не. всеrда- может быть
,ИСПOJIьзована: первообразная функция}' F (х), либо слишком
СЛОЖJIа, либо ее отыскание вызывает большиt! трудности;
кроме Toro, функция f (х) часто задается таблично. Поэтому
болыl}е Зl{ачение приобретает прибл.3женн "й в первую оче
редь численное ин,!,еrрирование.,
Задача числеННОrQ интеrpировшщя состоит в нахождении
приближенноrо "значения интеrpала (5.16) по заданным или
вы'чсленRыыM значениям 'ПОДblнтеrральirой функции f (х)
в некоторых точках (узлах) отрезка [а, 'ь).
, Численное определение ,однократноro интеrраЛji Щ13ывает
ся .мехоничесrroй квадратурой, а сООтвеТСТВYJQЩие формулы
численноrо интеrрирования квадрamУ/lными. Рассмотрим
простейшltе из них.
5.1.1. ФОрмуna тр. ецмji
.';<"
Вычисление определеннorо интеrрв.л.а (5.16) rеометриче-
ски св<?дится к ВЫЧИслеНН.ю ПJlощадн криволинейной трапеции.
в оrpаниченной rрафиISОМ'подынтеrрвль
ной функции f (х). отрезком [О, Б] оси
абсцисс и ПрЯЩ>Iми Х --:-- а их::!:: Ь
(рис. 8). Заменим дуrу АВ стцrиваю-
щей ее хордой, получим прямолиней
ную трапецию аАВЬ; площадь KOTO
рой примем за приближенное значе
ние интеrр а (5.16):'
lt
S f (х) dx (Ь а) f (а) + f (Ь)
, 2
CI
9
.
, Это и есть фор.мУМ трапеций.
/ Поrрешность формулы траПеЦflЙ
I (5.18) это р аЗ 60СТЬ 'тоЧноrо и при
\ б.1I нжeuноr<? з аченн.й нтеqэала: '
R == f f ( dx (Ь a ' f (а) t f (Ь) !Ь 2 а)В fW (6), (5.1 )
fJ
о 11 . 6 х
Рис. 8. rеометрическая ил-
юстрация формулы тра-
пеций.
,
rде а < < ь (на рис. 8 величина поrрешности R p BHa пло-
щаДи заштрихованной об.11асти).
-96
""
. .. "'''''"-0,. ..;:..i-:';,...:,........п'--;__.:..:c:: ' . 71-';!.- ..- .,,' ... .. 4 , ,
'i;: -"
'.
,'-I'';(i
;. :; ; '.
< '.
-"'-
'1
(5.17) , .
"
, .
...
i
(5.18)'
.'
.
J
'
""J',
. А .. ?r'
-f.'.-i'» ; { \#
....
t'..e, "I..o u 11..":' С. 1;; ",
\.
Для ПОВЫЧIения точности вычислений.' цел. соо разно от-
резок ,[а,' bJ разделить ,на несколько частен {рис. 91'Iочками
a==XO<Xl<X.<. <хn==,Ь ,
и применить формулу (5.18) к КЮlЩому частичJtому отрезку
[ Х ] ( ; О l ' N 1\- ТоrП , :а численное знач.ение ин
Х Е ' Е+l · , ,... 1....
теrрала на отрезке [Х Е , ХН-l] равно " I ' А." '8
Ч ' ' A А \IJl 1
«it 1 f ( ) + f (X1-i-l) , . . ) А I I ' . ' 1
J НХ) dx 2 {Х'+l х, , 1 1 I I 1 r
1" , .' 11. I 11.
1fl 1 'l l. ," 1
а ' на вс ем от р езке [а, bJ t ,111 I!I. I ·
1. ,1 I . I I
Ь ' 1 1 ' ' I I
1 n l 1 t t 1 I 1
J f ( ) dx Z . o (f (х,) + ',D ж,:,;/ ;2, I .:., .:b z
+ f (XP'J)](Xi+l .:..... xд , (5.20) Рис. 9. rеоfoAетрRческа!!
'Т' иmnocтрация обобщенной
Формулу (5.20) назьmают oбoбщe1t- формулы трапеций;
НОЙ фоpJ.i.улой трапеций'. , , .
Поrpешность формулы '(5.20) равна ве.л ;ине таТ9чноrо
члена: . n l . -'
R ....!... t (ХНl Xl) r ' ), .. (5.21)
12 Е;=() '..-
'rде Х, < st <ХН1. . ; , [ bl
Для прqcтotЬС в числений удобно _ делить отрезок а,
на равные части. '@. этом, слу :ае д ина каждоrе нз n отрезк:в
раз и ния постоянна, равна "ft' и называется ШllZOм иH ep -
р ния Об?ЗIЩ НВ' п ' ь па , ,Уо == 1 (хь), Yl ,== 1 (Xl)' '
., у == 1(x rJie Хо --;- а, Xl == Хо + h, Х2 == ХО + 2h, ...
:::: х п n Хо '+n,ili Ь, получим обобщенную формулу трапеций,
в виде- '
{: S f (Х} dx h ( Уо t Уn + Уl. + УI + ... + n l)."
\ CI
Оста:rочный член примет вид
, tI l
R , Е hSfW (М {ХЕ < i < xi+l)'
, 12 . l;=()
Рассмотрим среднее арифмети ескcie значений второй про-
нзводной 1" (t> (i == О, 1, ..., n 1) на отрезке Ja, bk
(5 . 22)
(5.23) "
;......"', f,,:
n
r(M
i==1
(5.24)
р.==
п,
4 б 17n
WI
....
, .. :
,
I
. \,
\'-:
01
',\
jy
.{
".. ,. . .1
,,"
i.l . ,';,r
'I< -
; =i' i
j <
11-'
! J
. . , !".
; -,.
".1 '
= I
11 C .
i/} ;
( r
: , ' 1.
;,,1::
I,
. .
11/
i 1 "
,! ",
! J:f
1:': i
:' ' ,\
-'1'
, ,'
,- 'и
j:
!
Й:
!. ; t
, I
i J
f (
; .,[
.' if
:lrf
;[11
i ,'
, ,{'
' о;"
, I
-:'
. ;.
, ,;
4
I t ; , '\
.' f
-{;
1; .
, "'
.
i ;'-:! ' \
. .;!
( Jl
'?
Обозначим т 2 и М 2 соответственно наименьшее- и наиболь.: f. ,,'
шее з ачения r (х) на отрезке [а, Ы, тоrда очевидно, что ".,'.'
т 2 :Е;;; Jt :Е;;; М 2 . \ .
слli {" (х) непрерывна Шf отрезке [а, ь), то ее значения )у
заключаются между т 2 и Mj! и, следовательно, найдется такая '
'точка S Е' [а, Ы, что J.I. == {" (s). Torдa ,1
п 1
'" ( i) == nf" (6)
{ o
и формула (5.23) приобретает вид
nh 3 (Ь a) h 2
R '"12 '" (s) ==о 12' {" ( ),
rде а < 6 < ь.
Формула трапеций дает точное значеиие интеrрала коrда
подынтеrpалЬНЗJl функция f (х) линейна, так ю к в этом случае "
'" (х) == О и {" ( ) == Q. , ' '
Если '" (х) кусочно непрерывна на отрезке [а, Ь], то oц .
нить поrpешность формулы (5.22) можно следующим образом:
. b a
IRI 12h2M8'
rJte М 2 == max I '" (х) 1.
. f [а,Ь]
Для случая, крrда IJ.x{ == Х{+I Х ' * const (i. == О, 1, ...
..."n 1), оценк& поrpешности (5.26) справедлива, при ЭТО,М шаr
h == тах (Х{+I x i ). '
Если подынтеrpальная функция f (х) 'Задана rрафически
или таБЛично (что чаще Bcero бывает на практике), то для
оце ки поrрешности можно применять формулы, выражен-
ные через крнечные разности:
b a
R A2y,
12
Fде, 1J.2y среднее арифметическое значение разностей вто-
poro порядка, ИЛИ, п?лаrая. в формуле (5.26)
, , тах /А2у I
М 2 h 2
'.
(5.25) ..!;,
(5.26)
(5.27)
" получим
b a '
. / R / :Е;;; I2 max I А2у 1. (5.28)
Формулы (5.27) и (5.28) можно также испольЗ<5вать при ана.
литическом задании функции f (х) во избежание rромоздких
вычислений ПРОИSводной 1" (х). . ;
Для вычисления интеrpала (5.16) с. заданной точностью
е на практике обычно используют следующий прием. Находят
98
-.... .- '. .....
?"., -
" .
:
,
t,
\'",
"
1 делении отрезка. [а, Ы' нв ".
значение 1 п интеrрала при оличество частичных отрезков
частей; эатем уДВaIIвают к . ьшается' в два разв) и
(шаr интеrрярования ; при Т:;; л МJ Если 1 1 п 1 2п 1 е,
вычисляют ЗН l а Н l ие п r р IНОСТЬ 12n не превосходит числа
то полаrают 2n.
\lп' /2n' Есл и же 1 1 ......., /2n I > '8, то количество oт / .
IJ. . п
3 В качестве начальноrо шаrа можно
резков снова у аивают.
принять h. уе.
5 2 Мольная теплоемкОСТЬ оксида уrлерода (11) выражает-
Прнмер .,
<Л:7 "j:' I 650\ 800 950 1100 1250 I
с" дж/(ммь-1<) \29,,. \ 30,80 \ 31.00 \ 32,72 \ 33,48 34,15_
:1
'",
"
Т, К \ 1400
С р ' Дж/(моль'К) \ 34,69
11550 1 . 1700 11850-\
\ 35,15, \' .53 \ 35,82 \
35,99
2000
(Н Н при переходе от ТО 500 К
Найти измеиение'9нтал пни 2000 1100 ,
ДО Т 10 == 2000 К. вызванное'иЗменением температуры от
Решение. Изменеиие энтальпии, об азом'
1', Д О Т, будем определять следующим Р .
,,о 10' Т,о,
Н H T == r CpdT.
Т.. . J
Т.
(5.29)
ности функции
Таблица 28., Конечные раз I 1 \ \
1 I I1Yi I1"У{ I1"У{ 11'/li
Xi ,Щ
,.
101 o,Ol 0,07 0,01
О 500 29,79 1:00 0,08 O,08 0;01
1 650 ЗО,80 0,16 0,07 0,11
800 31,80 0,92 (),04 0,09
2 0,76 ,09
3 950 ' 82,72 O,13 0,05 0.05
4 1100 33,48 0,67 0,08 0,00 0,0l
5 ,1250 34,15 0,54 O,08 o,Ol 0,02
6 1400 34,69 0,46 0,09 0,03
7 1550 35,15 0,38 0,12
8 1700 35.53 0,29
9 '1850 35,82 , 0,17
10 2000 35;99
,
J9
4.
.
j':'--.
, I
"
'- ' , _......
... "$:-:;
',1'
' 1 :1 "
' ,
: 't >
.
J,; ;. :
!, ,
j '>'
I : '
! 1 "
'и' .
1 !,f..: (
I! I i
I 1
. r: I,;
' r ,
1 "
I " 'fi-
J :
t {1 :
1" '
, H ,
' I ' :
i 11'"
: . ,
J ',.'
i I i
,. i
't '; i
1:" 'tt.: i '
:it
i i
'r't
,".;!
" .
,н,
;{
t f.
!
iJ '
; ii
i _
t, ,"
, '.,
.
, ,
',;i
j \
! :\j \
'} >
I '!
'.
;, l
j.
!
. "'" "-.
jt
Прдынтеrральная функция f2p задана таблично. Значения Ti (1 =- '
&:: О. 1. .... 10) равноотстоящие. Поэтому в качестве r,цara интеrрирования
возьмем h == Т'+l Ti == 150, количество частичных отрезков n == 10. .->
Будем вычислять 'IIнтerрал (5.29) по формуле трапеций (5.22). Поскольку
110 z=.. С р (То), == Се (500) == 29.79., У1 == С р (Т 1 ) == С р (650) == 30.80.... " у
.... У10 == С р (Т 10 ) == Со (2000) == 35. . то
2000
( 2979+3599", "
s CpdT 150 . 2 . +30.80+31.80+32.72 + 33.48+
БОО .
+ 34 15 + 3 .69 + 35.15 +35.53+ 35.82) 50554.
Следовательно. H jjooo Н ыю == 50 554 Дж/моль. ,
Для оценкн поrреwностн составиМ таблицу конечных разностей 'ДЛЯ
заданной функцнн (табл. 28) и воспользуемся фор улой (5.27). Среднее зна-
084 '
)ШIие разностей BТOPQrq порядК ASy == 9' .... 0.09. поэтому
. 2000 ---" 500
R , , 12 ( O.09) Н.
5.2.3. Формуn_ nарабоn Iформуnа Симnсон_.
Разобьем отрезок [а. Ь) на четное число п p' BHЫX отрезков
Ь",,"""а .
ДЛЩfЫ h == ----по Точки' деления (концы астичных' отрезКQВ)
ХО == а. Х 1 , ,Х о + h. Ха . Хо + 2h. .... Х n == Ь == хо + пh; значе-
ния функции у == f (х) в точках деления обозначим соответ-
BeHHO Уо. Уl' Уа. .... Уn' , '
На каЖдых двух 9астичных отрезках заменим данную
функцию f (х) интерполяциОННым мноrочленом Ньютона BT<r
рой степени:
) Ауо ASyo
[Ко, к!! : Ps (к) == уо + '"""71 (к ко> + (к хо) (к кд;
" Ау. A2ys
[Ks. К4] : ,P s (к) == Ys + т (к KIJ + (к Ks) (х --:. Ка);
. .
. . . . . . .
z
........
IKn 2' KnJ: Ps (к)==
Л ' AS .
+ "'Yn 2 Yп 2
== 1In 2 {К-:--- xn :J + h S (к K 2) (K, Xn I)'
Torдa
." ь , iI «. . i1C n
,'S f (к) dx я::; S Р...{Х) dx == J. Р. ( dx+ S Ps (х) dx + ... + S 'Ра (к) dx.
iI cz 3(. 1:.
(5.30)
J.()O.
\ !
, l' ,
,
-(
' .
,
;
.:\
...
!:'
, .
Вычислим интеrрал на отрезке [хо. XaJ:
«. 'ж. [ Ау ASy ]
Р. (к) dx == S .но + т (к ко) + Ь. о (к ко)(к к 1 ) dx. (5.31)
Ха ' Х.
Представим этот интеrрал в виде суммы трех интеrралов
(на основании одноrо из свойств 'оiIpеделенных .интеrраЛО8)
и вычислим каждый из них в отдельности:
'.
ж.
S odx == Уо (Ks КО> .,; 2Ьуо;
3(.
к.
S Ау, Ауо (к. ко).
(х ко> dx ==
h , h 2
х.
Ауо (2Ь). , b .
==2 а.Уо;
/J 2
3(. Ж.
S ;o (к ко) (к к 1 ) dx == I o (к ко) [к (Ко + Ь)] dx ==
«. 2 ) 3
S А2у & Уо r (Ks Ko
== h S о [ K"'-'XO)S (K X Ь] dx == 2ЬВ _ 3
«. .
(Ks ко)2 J .
Ь==-
2
'\
"
А2уо [ - (2h)a (2h)S h 1 == ASyo 4h 3 ==.!:. ASyo.
2h S 3 2::J 2h s 6 3 ,
Подставив полученные выраження в (5.31). получим
.. ж. . h
S Ра (к) dx == 2Ьуо + 2Муо +-:з ASyo ==,
111:. '
== h [ 2уо + 2 (У1 уо> + {-(АУ1 АУ..)] ==
f Ys У1 ' Yi + Уо ] h
== h 2уо + 2У1 2уо + 3. ' == з [у. + 4 1 + yoJ.
Аналdrично находим
111:. Ь-
S Р.,(К) dx == 3 [y + 4уз + Ys);
«.
. . ! . . . . . . . . : . .
"n
S. Ps (к) dx == :' [Уn + 4Yn 1 + Yn 2]'
Жn 2
После подстановки найденных выражений в (5.30) получим
ь' ь h h
lf(K)dX S P.(K)dx== з[у.+4У1+lIо) +T lY ,+ 4,. +11.) + ...
. а
101
\
, 1'"
:
\1
" 1
I i
;;
,1;.
1
l'
,
i
I
1
, ,
J:-
.,'LJ
'lk.
-(\.. 1
, "/
,
! i.,
!
] и: {
,< [ ;
:; 1 r
I ' ,
;'
, J , :
r;
,1:,,:
tt ': :
I r z .'
',\1;:
. ,(,.1,
. ,1 ' , 1:1 , ' , '1' , '
; .
,Лii
1 :'11;
::H:il
i '-;- t"i '- '.'
; ;'f'<
I ,-r,'
',1,
:Н'
if :..
:11, ,
" r ' '
, :! '
, !!
.'.'tt! i
, .}]
.' .
f'- I.!,
, ,. t
1.
., ;, '.
,, }: ,.
. .
r :::\ , (
,
\
1
, , ..< ...>...- .,
h
+ '"'3 [Уп + 4y,, ! + Yп 2] ""',
" ;<
if-;.,;
!};, '
h
== з [Уо + Уп + 4 (Уl + Уз + ... + Yn 1) -+.. ,2 (YIl + У4 +
. Таким образом, фор.мула СИМnCОllа имеет вид
ь h '
S f (х) dx "3 [Уо + Уn + 4 (y + Уз + У5 + ... Yn 1) +
а
+ 2 (У2 + У4 + Y 2)]' (5.32)
rеометрическая иллюстрация формулы Симпсона состоит ,'.
в том, что на каждом из сдвоенных частичных отрезков зам
' няем данную' кривую у == f (х)па-
раболой второй степени.. проходя :'
щей через точки А о (х о ,уо),А 1 (X 1 'Yl)' :!'
А 2 (х 2 , У2) дЛЯ отрезка [Х О , x 2 J. че- ....:::
рез точки An 2, An 1, ,В для oт ,..\ !,
резка [Xn 2, Хn] (рис. 10).,<,
Площадь криволинейной трапе : , . .
ции аА08Ь будет прибл!fженно равна ':7
сумме площадей так наЗываемых
параболических трапеций. Поэтому ,
формулу Симпсона называют также формулой 1Шрабо.ii.
Поrрешность 'приб.iIИженноrо значения определенною ИН-
теrрала, вычисленноrо по формуле Симпсона, равна величине
ос!аточноrо члена, определяемоrо по формуле
(b a)h4
R "'" 18{) , fIV ( , a< < Ь.
Для таблично заданной функции остаточный член имеет вид
b a ........
R A4 y
180 '
арифметическое конечных разностей чет-
+ Yn J: f
, \;
D Хо.' Х"2 XII 2 Хл ' .lл.Ь х
Рнс. 10. rеометрическая ил-
люстрация формулы парабол.
(5.33)
rде /14у среднее
BepToro порядка.
Для оценки поrpешности. формулы Симпсона можно ис-
пользовать прием, опи'санный выше для формулы трапеций,
удвоение числа Qтрезков п, руководствуясь при ЭТОМ следу
ющим IIраКI'ическим правилом: количество верных значащих
цифр в 12n на единицу больше количества совпадающих цифр
в In и 1 2п . ПоrрешнQCТЪ 12n не превосходит числа
J12n lnl
11 15 .
, л р и м е р '5.3. Вычислить ннтеrрал (5.29) ПРJfмера 5.2 по формуле
Симпсона при n "'" 10 и оценить поrрешность вычислеиий.
102
...
/
,
. ч:.}
(:'
Таблица 29. Значения Yi == f (X i )
I Зиачеиия Yi при
t "; l' I че-rиOfd t
t О И t 10 иечетиом i
,
.
500 29,79 ,
о
1 650 30,80 -
2 ' 800 31,80
3 950 " 32,72
11,00 '. 33,48
4
5 1250 . 34;15
6 1400 34,69
7 1550 35,15
8 1700 35,53
9 1850 . 35,82
10 2000 35,99
. i I ' I -,
Суммы, 65,78 168,64 135,5
Решение. Для удобства вычнсленнй по формуле Снмпсона составим аб-
лнцу значеннЙ Yi (табл. 29) подынтеrральной фУI К lИИ в то.чках Xi ( "'"
"'" О, 1, .... 10).
По формуле (5.32) имеем;
2000 150
S CpdT::::: ---з (65, 8 + 4 . 168,64 + 2 . 135,5] == 50 567.
500 '
Следовательно, Н 2IЮо Н 500 ::::: 50567 Дж!МО.1!ь,
Для оценки поrрешнос'l'И наЙдем среднее арифметнческое конечных раз-
ностеli четвеRтоr(} порядка 71 4 у из табл. 28:' '
1
11 4 y == "7' 0,12 0,017
и подставнм ero в формулу (5.33). Тоrда ПQЛУЧНМ
R== 2OO0 500 o,OI7::::: o,14.
180 '
Формула Симпсона дает более точное чнсленное значенне определен-
нorо ннтеrpала (5.29).
fna.8 6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕrРИРОВ НИЕ ОБ КНОВЕННЬ.Х
?' . с t' '...
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ YPABH H"R '
' ..,-,
Классически методы решеflИЯ обыкновенных дифферен-
циальных уравнений часто на практике либо приводят к слож-
ным решениям, либо вообще неприменимы (коэффициенты или
функции в дифjJeренциальном уравнении с держат существен ,
иые рeJiИl!ейности либо заданы в виде таблиц эксперименталь-
ных данных).
,
(
\,
'
,.
103.
\ ,
-..... I '
/'"
!'
<!
, ! .
'\ ',.
,; ;!'
, i
. :t; ,
: t'-;i; . ,
\'{i
. t i'
rt, '
l' !
: rk,!,i
:IT
; 1 1' :i
j . ,;'I , i(
, ,>,"tc
1 : ,! Vr ., II!
: { 1:: '
, "f
: :F f;l:
.'!1;r!
, ., t Ьfl
. "I f
i f : "
! : ; i :,
p
f :i '
f' ' f ;.
, t "
1 :
J"i;
I ,iJ
, I
"k
t <;
' 'F , i; ,i
, '
.'"__' i
п' : l
: !
it[, '
:11" j"
Ih:
J , .
t 3:
I '
;ifi "
f!I _ :
\ ;,1,
1.
,
,
,
....' "
!.:,
!;f
j .'
. ,,,О
:y ;..
1
'\
., r
;
Поэтому большое значение приЬбретают методы приб.nи. ,.
женноrо интеrрирования дифференциальных уравнений, ко-; :'
торые в зависимостн от формы представления решения можно; . '
разделить (условно) на три rруппы:'"
1) а..налuтuческие. дающие приближенное решение диффе-;:', '
ренциальноrо уравнения в виде аналитическоrо выражения;:
2) ерафuчel:кие. дающие приближенное решение в виде rрафика;i
3) чuслеННble. дающие приближенное решение в виде таблиЦbl.
Рассмотрим некоторые числеftные методы решения обык
iювенных диффер.енциальных уравнений. ; ,
6. . ПОСТАНО КА ЗАДАЧИ
Дано' обыкновенное дифференциальное уравнение перво": i ",'.
ro порядка . , i'
'у' == f (х.. у). (6.1):, 't,::/
Тре6уется найти решение У == У '(х) этоrо уравнения, YДOB-
летворяющее начальному условию
,
у (х о ) == Уо' (6.2)
TaKa задача называетс эagачей Коши , fеометрический
,смысл решения этой' задачи состоит в Нllхождении интеrра.ль-
ной 'кривой у ==У (х), прохо- ' .
дящей через заданную точку
Ао (Х О ' уо) (рис. 11). I 11.,I.J
Численное решение задаЧи
.........
,
".
{1o.g,]
о. Ко, :: 1t
Рис. 11. rрафик интеrрлль- fJ х. 6, 61 1tJ Х. Z .
ноЙ кривой У == У (х). про-
ходящей через заданную Рнс. 1'2. Лом ная Эйлера.
точку Ао (ко, 1/JI)' , ' .,I--Ч ;., (11 , " '
, , . '\. ,.' I
Коши состоит в, на:ХQждении значений Yl' Yi' ..., Уп В ТОчках
Х 1 :::;: Хо + h, Х! == Хо + 2h, . -.1 Х п == Хо + ,пh отрезка [а" Ы,
rде h шаr интеrpирования, Хо == а, Х n == Ь.
Нанеся Т01lки (Х о ; Уо), (x 1 , Yl)' ..., (Х n ' y,J на координат-
HY плоскость и соеДЦНИВ ,Н?, оТреЗками прямой, ПOJIучим
ломаную линию, Н8зы"аемую , 'ЛО.м.шюй Эйлера, приблlJiCен..
ное из ражение интеrральной кривой (рис. 12). ..
104
'"
.i.. -';-::;".--';
,
, 111
'._ : >,
6.2. МЕТОД ЭJilПЕРА
Обозначнм t!.Yo == Уl Уо, t!.Yl == У2 "'7' Ун .. ; t!.Yn 1 ==
== Уn Yn l; , t!.x; == Xl+1 "7' Xt ' h (i == О, 1. 2. ..., п, 1).
Заменив производную в, уравнении (6.1) отношением конеч-
ных разностей, запишем:
'Ау ,
Ах =:=, f (х. у),
откуда t!.y == i (Х, \ У) t!.x,
При Х:;::: Хо будем иметь
, == f (ко, Уо), l1yo == f (х о ' Уо) Ах.
"ли Уl Уо == f (x , Уо) h.
След6вательно, Уl == Уо + hf (хо,Уо).
При Х == Х 1 уравнение (6.3) примет вид
!1yl == f (Kl' Yl) Ах.
или Ув Yl == hf (Ki. Yl)' Ув == Yl + hf (К 1 . Yl)'
Аналоrично на:ХоДИМ:
У8 ==. Ув + hf (Х в ; Ув); ,
У4 == У8 +hf(xs. Y ;
(6.3)
............
\ YI+1 == У, + hf (xl' Yi);
,r, У;'; ;n 1 +'hi (;rt l: ;n I)' "-
МеТод' ЭЙлера:простейший и сравнителрно rрубыfl числен-
ный метод интеrрирования обыкновенных диффереНЦlJальных
уРавнеJlИЙ, применяется в основном дJIя ориентировочных
-расчетов. .' , .
При м е. р 6.1. VpaBHeнHe СКОрОСТИ' последовательно протекающнх
реакций А !!.!.. Р .!!!... с ",. '\
запиФвается следУющим обр-азом:
, d!P) == 14. [Аеl e---:#l1 t ka [PJ. (6.4)
dt
rAe [Р) концентрация соедннения Р. к моменту временн t от начал: реак-,
'ции; k 1 KOHC'rI!ma скорости первой стадин процесса. равная 5. 1O 1J)d8 Х .
. х моль l . мис l ; ka константа скорости .второй стаднн последователь-
ной реакцИи, равНая 6, . 1O.....з дм, . моль I . мин l; [Ао] нсходная кон-
центрация соединен я А. ' "
Найтн, чему будут ,равны значения [Р] спустя 2. 3, ..., 10 мин после
начала реакции, еслн при t == О [Р] == О. а [Ао] 1.
, РeшJ!нue. Обозначим, У == [Р], к == t. TorAa ypaBHelЦle (6.4) прнмет вид
(вместо .k 1 и ka ПОJl.ставим их чнсленные значення):
rAe dy == O.05e O,o5x О.ОО6$у. (6.5)
dx ' '
f (К. у) ::. О.О5е""О. 05х .:.....О.ОО65у.,
. ,<
,
-. , "$--'
'. , '
.' \
" .(
j'"
.!
....
.,
J :.."it:Ji'
Н)5
.".
'..
I ;
j"
!
.-, # .... ...
rJf'
1:!
,
", :
J. }\
:-=:Т
\ >"1
J ;
tf'
;
({I
"':,t,
' f r,;,;
, ,
, 1 1,;
: l{
, f,:;'
fl!
. , j
," .i,
' r , ;;rl'
, ы!';"
!:;
. ;:1:1
: >- f:',:
T i
'. blt
n::
t :iJ"
'iH<
. т ,,::;
.. '.
."""
1 ,ij
f ; , '
- -',1
: t '
" J r:
" ,
I
t';
;}
"'!
t:
l
,"
v Таблица 30. Инт rpирова ие уравнения (6.6) меТОАОМ Эйлера
1 l ' I I
,о
yt
1" (
' о . \")
!
,4"", ."'4""'/
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
о
0,1
t1
, 4
5
t 6
.. 7
8
9
10
о
0.05
0.0973
0.142
0.184
0.224
0.262
0.297
0.330
0.361
0.391
1
0.951
0.905
0.861
0.819
0.779
0.741
0.705
0.670
0.638
0.05
0.0476
0 0452
О.()4зо
0.0410
0.0390
0.0370
0.0352
0.0335
0.0319
({%i'Y')
0.05
0.0473
0,0446
0.0421
0.0398
0.0375
0.0353
0.0333
0.0314
0.0296
I Ау, hf Iz, и,> .
0.05
0.0473
0.0446
0.0421
0.0398
0.0375
0.0353
0.0333
0.0314
0.0296
Для удобства вычсленнй" составнм таблнцу (табл. 30) (заполняем е«!
по строкам). "
Решение задачн совокупность зиаченнй У, (1 == О. 1. 2. .... 10).
Метод Эйлера' может быть применен к решению систем
диффер нциальных уравнений. Пусть.. щ!{аНа система двух
уравнений первоrо орядка
, ,y == 11 (х. 'У;' z). }
, z' == 12 (х. У. z)
С начаJIЬНЫМИ условиями У (Х о ) == Уо. Z (Х о ) == Zo.
Приближенные з ачения У (x i ) у" Z (х,) Z, находятся
по формулам:
rде
У,+l == У, + YI; z,+1 == z, + 2i.
Y' == h/ 1 (Xl. Yl. 2,); 411 == hl 2 (Xl. Yl. 2/)
6.3. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЗАпЕРА
(1 ==0. 1. 2. .. .).
6.Э.t. УсовершенствованныА метод ЭАnера
ПоследоватМьность действий при решении уравнения (6.1)
с iначальным условием (6.2) усовершенствованным методом
Эйлера следующая:
1. Разобьем отрезок [а. Ы. на котором требуется найти
решение у == У (х) уравнения у' == f (Х. У). на n' равных
' частейточкаМИХ 1 == Хо + ih(i == 0,1.2; ..., п), rдеh == ь n а
шаr интеrpирования. Хо == а. Х п == Ь.
2. Найдем Х,+",. == Х 1 + Ы2. '
106
,. - - --, " -.. . , ,<
", '\I',. :"' , ....................,.... -;. >,,",, ...._.... .'...
.> -i ,"j, !_....,,'t"', \;..\. \L_.'- , ,.,. . ,..
"1 I
,
:.. " J
,. '
' iC r J
1. '
,
;)
i"
/ 1
" :'!
Эйлера
Ih вepmeHCTвo'ВaHНЫM методом
Таблица 31 Решение уравнения (6'''1 'jW
",
f"
2 10 и есть искомое решение
Совокупность значений У, (t ,.o, 1. . ....,
IYравнення (6.5). ' u и
3 Вычислим вспомоrательное значение искомои функци
У == 'У (х) в точке Xi+ 1 /.: h
У Yi+ I(Xl' Уд.
/+1'. 2"
4. Находим" У;+I/. == f (Xl+l/.. /+"/.).
5. Определяем Yl+l == Уl + hУ tl вторяем. нач.цная с пун -
. Далее весь процесс В!>I И ен найдены Yl для всех точек
2 до тех пор. пока не удут
(i ' 1. .... п)'отрезка a. b oд Эйлера является более тoq.:
Усовершенствованны и м
ным чем метод Эйлера. ' Эй
· . шеиствованным методом .
При м е р 6.2. ПроинтеI'pнров ( а 6 т ) у ( :е р имер 6.1) с'начальным уело-
а льиое ур авненне.'5' . .
лера ди еренцн [о' 10] шаr h == 1.
вием: у ( ) == О. на отрезке '. й приведены в табл. 31.
Решение. Результ ты вычнслен
.' . н";й метод Эйnера Коши,
6 Э 1. Усовершенствован
. . , , u КOluи
Сущность усовершеНС'rвованноrо метода Эилера ,
состоит в следующ.ем: [ Ы H п равных частей точками
1. Разбиваем отрезок а. Ь a Х == Ь.
. 2 ) . h == ХО а. п
v. + ih { i == 1, .' ..., п., n'
Х, "'11 ' .
, н м вспомоrательную веЛlIЧИНУ YI+l =+ У, + hYl.
2. аходи . 107
1 %1
1/1
У; ,(%,.
У,)
u ..:\0..
+
+
. ;; 11
.0:1""
.!Ь+
+
;;: 11
h ,
"211t.
о' о .0
1 1 0.04Ь6
2 2 0.0945,
3 3 0,138
4 4 0.179
5 5 0.218'
6 6 0,254
7 7 0.288
8 8' 0.320
9 9 0.351
10 10 0.380
0.05
0.0473
0.0446
0;0421
0,0398
0.0376
0.0354
0.0333
0.0314
o.
0.025
0.0236
0.0223
0.0211
0.0199
0.0188
0.0177
0.0167
0,0157
, 0,0148
0,5
15
2:5
3.5
45'
5:5
6.5
7.5
8.5
9.5
0.025
0,0722
0,117
0,159
0.199
0,237
0.272
0,305
0,336
0,366
.
-
......
ILt -
........ ......
=l-ч:: =1-
. ;;; 11 ;;:
0,0486
0,0459
0,0434
0.049
0,0386
- 0.0364
0.0344
0,0324
0.0305
0.0287
, ,
=1-
, ...
.о:
0,0486, '
0,0459 ,
0,0434
0.049
0.0386
0.0364
0.0344
0,0324
0.0305
0,0287
i
,
,
1
1
j'
,..... , ,r---...i
i \ '
, ,
",
.
11
ii
" ;, I
>;;н:
;' :
i;;'
i'{f,
f ; I
t" ,р
t [ ;
t ;,:
М"
: ({;,;
t 1, ;
i!/ ;
: : ;'Ii .;
, "\,,,n
: ' i
: ,1!Ji
.. ;1 !:
"!'Н'
;f"
1';f'
: 'i :1 r
i 1h""
i lт,
,1\ J 1,'
'. 1 " :::1 , !l ' ','
.: Ir:
, .. ,1:
;1:;';
/:;'./;
: "i'
H '
j, ;,
; ;:
{
,
j
, ч
1,
;. 't.
tj,
!
\.
'
Таб,/l1,ща 32. Решение уравнеНИJl (6.5) усовершенствоваииым меТОJlОМ
Эйлера I(оши
"
+
....
- + ""
1 %1 1/1 ЬУ; + +
S - ..... ....
..
11 n +
.... . ' . ... + n
n + "", +t::;;-
+ OI:!
1::;;-, + . ... -:;:
." .. 1"" ... <1
О О О 0,05 0,05 1 0,05 0,0473 0,0473 0,0486
1 1 0,0486 0,0473 0,0473 '2 0,0959 o,g:g 0,0446 0,0460 ,
2 2 ,0,0946 0,0446 .. 0,0446 3 O,1 9 0,04 1 0.0421 0,0434
з- а 0,138 0,0421 0,0421 4 0,180 0.0398 0;0398 0.04 Н)
4 4 0.179 .0,0398 0,0398 5 0.219 0.0316 0,0376 , 0.0381
5 5 0.218 0.0316 0,0376 6 0.256 0.0353 0.0353 0,0364
6 6 0,254 0,0354 О,оз.:>4 7 0,289 0.0333 0.0333 0.0344
7 7 0.288 0,0333 0.0333 8 0,321 0,0314 '0,0314 0.032j
8 8 0.320 0,0314 0,0314 9 0.352 0.0296 0.0296 0,0305
9 9 0.351 0.0296 0,0296 10 0.381 0,0219 0,0219 0.0281
10 10 0.380
..
З. Вычисля м Y;+I == f{XI+I' YI:f-I)'
4. 'У; + ;;+1
Определяем YI+I == У, + h 2
Пункты 2 4 повторя м д'О тех Пор, поКа I{e будут найдены
значения у, ВО всех точках Х , ( ,== 1,2. .... п) отрезка [а. Ы.
л р н ,м е р 6.3. Пол зуясь усовершенствованным методом Эйлера
Коши. Проннтеrрировать дифференциальное уравненне (6.5) примера 6.1.
Решение:РезУЛЬ1'аты вычислений представлены в т.абл. 32.,
6.3.1, УсоверwеиствоваИИЫIi метод Эliпера Коwи
с посneду еji..н1'ерациоииоli 06р боткoIi
Сущность усоверinенствованнщо метода ЭЙJIера..,...... Коши
с посл дующей итераlЩонной обработкой состоит в CJIедующем:
1. Делим "Отрезок [а, Ь] на п ,равных частей 'fO ками Х , ==
== ХО + ih (; == 1. 2. "', п), rде 1i == ь n 11 , ХО == 'а, Х п =='Ь' 1
2. Выбираем rрубое приб.лижение
ul l== и, + hf (Xi. Yi) (; == О. 1. 2. ... n 1).
З. l;:Iаходим посЛедовательные приближения
Y ! ==и+h 2f/(ХI. Yi)+f(x , + I . y1 j J /(k== 1,2, .. .). (6.7).
' .
ВЫЧИCJIения по фоРМУJIе (6.7) ПРодолжаем до тех ПОР. fюка
некоторые ДВа поспед.овательных приб.лижения Y I н 'iA'f.,1)
( .6)
J()8
',. '::---.: ...:'" . ......'''','''..... I" .." .
. ",,;:.-;. J'
,-," j ,
:...
"
i
J
; ,
"j t 1
I
не совпадут в срответC'rВующих деl:ятичных знаках. Пос.ле. .
этоro полаrаем Yi+1 y ""il) (; == О. 1. .... п 1). .
' ЕсЛи пос.ле трех четырех итераций при выбранном значе-
нии- h не происходит совпадения нужнoro ЧИCJIа знаков. то
CJIедует уменьшить шаr N. , . ,
л р н м е р 6.4. Пользуясь )'совершеНС'i'!.QваннЬ1М методом Эйлера
"Коши с последующей итерациоиной обработкой, най и с точностью трех
.совпадающих знаков значения У1 == У (1) и У2 == и (2) решения .!!. У (X
дифференциальноrо уравнення (6.5) с наЧ,альнЬ1М условнем У (о) О (при
нять h == 1). " фо ( 66 ) е-
Решение. Учнты r , ч1!О h == 1, ХО == 0.90 == (). по рмуле . опр
деляем у(О) == Уо +jV (Хо, Уо) == 0.05.
.riал . пользуясь нтерационной фоРМ}rnой (б.7). последовательно на-
ходим: " , '
и1 l ) == ио + h/2 [f (Хо. Уо) + f (Х1; yfO») == 0.5 [0 05 +. O,q473) == 0,0486;
и12) == ио + h/2 [1 (Х о ; ро) + f (х 1 , Ofl») == 0.5 [0,05 + О.О473] == 0,0486.
Два поСледовательных прнближения СОВПадаюТ. Поэтому прнннмаем
111 == 0.0486.
Аналоrцчно HaXOДH У8 == У (x ):
и O) =z: Уl + h/ (Xi. .01) == ОД486 + 1 : 0,0473 == 0,0959;
и ) == Уl +М2 If ( 1' иl) + f (X2'Y O»] ==
== 0,0486 + 0.5 [0.0473 + О.О446] == 0.0945;
(1).. ,
и 2) == иl + h/2 f/ (Х.. Уд + НХа. и2 '/] ==
== 0.0486 + 0,5 [0'.0473 + О,044б] .".; 0.0945. f
r =а
два последовательных приближения совпалн. поэтому полаrаем УI
== 0;0945.
Метод Эйлера'. К ши ситерационной обработкрй Я JIЯет-
h ёя бо.л ТО'ЧI ым . че ранее pa cмoтpeНHыe MeT ДЫ.
6.1.4. Меlо,q--P,иrе Ну"а
Пос.ледоватеп ность вычис.лений по методу PYHre Кутта
следующая:
1. Разбиваем отрезок [а. Ы на п равных частей, точками
/J( == хо -+ ih (1 == 1. 2. ..., п). ,rде h == ь ;а . ХО == а. Хп:С:: Ь.
2. НаХОДНМ ДЛJl кажд rо i (; == О. 1. 2...., п) значения
, '4 ' } == Ь! (Х,. Yi); ,
11/) ==, h/ (Х, + Ь/2. и, + kf') /2);
, Llfl'
141) == hf (xl + h/2. и, + 2 /2);,
k ) == hf (Х, + h. и, + 141».
,i,
З. Вычис.ляем
!!.У' ' 1/. (kf" + 2k ') + 2k ) + kl' .
;'-..
" l'
,
'i"
, ;+
, 1
:;:
,
j
\
\
1
1,
"
;!
!',
(
i
I
,
109
\ ;
: T
! \ I
:... VТаб ча 99. Схема метода PYHre Кутта
11
; !: :
-:tt .
.t. I
. [ 'r<::
1-.',
.
,; .
u. ., :".' ,
!, t
: . t "t" ", , !:
\' t' i
.. I I .'
'Е' ;.1
, f}r , ';:'
: t,!4 i
: l ' I I '. , ;
,I'ii
. 1,
j' !t .:
, ..
1 -i,i "
; I ' ;i
'.i1 , (;
'V "
'l ,:
.:"Ч;: ,
.. A.i
:' 1',
4 .: (i,
: !!I
'f
! ' :..!
! 1.iJ' '
, 1.'! '
. "-1::"/
:!!'i'
f:1 ,4"
l: "
" .;l '.
,'I1, j '
I: [,
:J.';
;i:, !:
:i
, \,
1.., .
'rj
. !
1, :
i I Х I у I ( у' == f {Х, у) I k == h/ (Х, у) I Лу
\
О Х ОО I oo .b I / (Х о , Уо) , I k(O) J k(O)
1 I
, r I
Хо + h/2 Уо + klO) /2 / (Х о +Ь/2, k(O) 214°)
Уо + klO) /2) 2
.. {
Хо + h/2 Уо + kЬО)/2 / (Х о + h/2, k(O)
Уо + 14°)/2) 3 2'4°)
I
Ко +h '" УО + '40) I / (Ко + h, Уо + k O» , k(O) , МО)
4 4
I I I I 1 2..." ..
6 о
1 , Х! , Yl == Уо + I / (x 1 , Yl) , k(l) I kCl)
+ЛУО 1 1
Х! + h/2 " + "")121 / (Xi.f- h/2, MI)
Yi + kl 1 ) /2) 2 2k 1)
X 1 + h/2 У! + k I)/2 / (Xi + h/2, k(l)
У! + k )/2) 2k(l)
3 3
, Х; +h , У! + kg) ,/ (хl + h, У! + k I»' \"Ml) I Ml)
4 4
I I ,1 I I + == ЛУ.
2 r Х 2 1; У2 == У! + , " 1
' +ЛУi, ,
.,
4. Определяем rюследовательные значения Yt (i ==
== 1.. 2, ..., п) скомой функции У == У (х):
Yt+l == Yt + ЛУt.
Для выполнения вычислений по метОду PYHre Кутта
удобно ПOJIьзовать<;я схемой, приведеннЬй в .табл. 33
.;Метод PYHre Кутта является одним из методов п вышеli
ои 1 0 ЧНОСТИ Н, несмотря на свою трудоемкость, широко исполь
зуется ри численном решении дифференциа.lIЬНЫХ уравнений.
1I0
"
,.,..-==:....... . ,......
, .' ..1.
,. .,,:;, . ..., ... -
,),
.
:,
I
'\
J: /,_
.'
л р и м р 6.5. Методом PyiIre Куттанайтн решение днфФереи
циальноrо уравнения (6.&,) с начальным условнем 'У (О) == О.. на отрезке
[О; 3] с шаrом 11 == 1. .J
Решение. Результаты ВЬ1численнй представлены в табл. 34.
ТабlШца 34. 'Интеrpирование дифференцнальноrо уравнения (6.5) MeтoДOM
Руиre YTTa
! I ,-.: . . , I I
" g у' f (х, у) k := !,' (х. у) l1.y
'. 1
О О 0,05 0,05 0,05
О 0,5 0,025 0,0486 0,0486 0,0972
0,5 " O,02 0,0486 0,0486 0,0972
1,0 0,0486 0,0473 0,0473 ' 0,0413
I I I I . I 0,0486
,
1,0 V 0,048& 0,0473 0,0473 0,0473
1 1,5 0,0722 0,0459 0,0459 ' 0,0918
1,5 0,0716 0,0459 0,0459 , 0,0918
2,0 0,0945 0,0446 0,0446 0,0446
I I I I I 0,0459
2,0 0,0945 0,0446 0,0446 0,0446
2 2,5 0,1168 0,0433 0,0433 '0,0966
2,5 0,1161 0,0433 , о,04ЭЗ 0,0866,
3,0 0,1378 0,0421 0,0421 0,0421
! I I I I 0,0433
3 I 3,0 I 0,1378 I 1 . .1'
,
Искомые значения решення у '=;:: у (х) ДНфференцнальноrо уравнення
(6.5) на отрезке [о; 0,31: Yl == 0,0486; У. == О,0!}45; У. == 0.1378 (11 табл. 34
подчеркнуты). :.
, ,
Метод PYHre'....... Кутта ожет, быт также применен для
,приближенноro решениSj систем, обыкновенных дифференци
альных уравнений. "
Пусть дана.система дифференциальных "уравнений первоrо
поряд-ка
у' == / (Х" ' z), }
t' :;:::: ч1 (х, у, z)
с начальными условиями' х , х., у (хо) -= Уо,
Задавшись шаrом h, найдем:
. kl'} == h/ (Х" У" z,);
l ) == hq> (Х" Yt, z,)J
2 (хо)== 20'
. ,
,'...
'1 ,
)
,.i-t
. 1
:,l\
:. '
'
i
I
I
I i!
! !
i
:
. j I
I
,
!
I
"
;
, i
','
"
ii
!
!
I i'
\
I
I I
li
-.
1:1'
,,1
't :/
ii
: l'
t'.'1
' "\; I '
. t, I':}
t'T
:.j;,"
'{i"
3 ,;,: , ;
' \ Н;.
, !
" I
fit: .
, ', I
'
; "
:1 1 ': I
A"t:>;it /
;i j, '
11"
:4fi/
HI
',' i '
:!,нl
.
, 1, ': '
, "1' ' '
j""
=зj,
[1411
, '1';','
; ;Jil
, '1"1
>1I
" ! I .
,..
,1;
" '1
' (
i:'1
j "J (
i !,'
\ ,
,
"
k ') == hf (]Се + h/2, У/ + k{'}/2, %е t 1{'}/2):
l } == hlp (]Се + h/2, У, + k11}/2, Zi + 4 е )/2);
k } == hf (]Се + h/2, У, + k )/2т Z, +1 '72);
, 6f} == hф (]Се + h/2, и, + k ) /2, Z, + t$J} /2);
k1 / } == hf (]Се -f h, у, + k1l), Z, + 1 e});
, 4/) == hlp (]Се + h, Уе + k ), Z, + 1!f}).
. Теперь можем определить: '
'АУе == 1/8 (kI / ) + 2М}) + 2 ) + k1'});
м, == 1f8 (1{/) + 21 ') + 21 /) + 11i»;
[,'/+1 == У, + A!I/; :'+1 == %/ + lщ , (1 == О, 1, 2,' ... , п 1).
rna.8 7. ПРИ&лнна:ННОЕ РЕWЕНИЕ ЛИНЕЯНОЯ КРАЕВОЯ
ЗАДА"И ДJISI О&ЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
7.t. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть дано ЛlfНейное Дlfфференциалыюе уравнение второ-
ro ПОрЯДка ,
, у" + р (]С) У' + q (]С) У == f (]С), (7.1)
rде Р (х), q (х), t (х) известные непрерывные на отрезке
[а, bJ ФУНкции.
Линейная краевая задач для уравнения (7.1) соcroит в на-
Хождении функции у == у (х), которая 'внутри отрезка Са, Ы
удовлетворяет уравнению (7.1), а на ero концах':"" линейным
краевым УСЛОВИям
аоУ (а) + lXty"(a) == А, }
lJoY (Ь) + fllY' (Ь) == В, (7.2)
r.дe сх о , СХ 1 , lJo, 1J1, , В задаНные 'постоянные, причем ао,
СХ 1 , lJo, 1J1 не равны одновременно нулю (1 сх о J + 1 СХ 1 J =1= о;'
11J1/ + I f}zl=l= о). ,
Если, А == В== О, то жраевые УСЛовия (7.2) называются
одн.ородн.ыми.
Линейная краевая ,задача называется однородRОЙ, ,если
()дн,ородны, дифференциальное уравнение (7.1) (j (х) == о)
и краевые условия (7.2). '
в Противном случае краевая задача (7.1),11.2) называет.
C н.еодн.ородн.ой. ПОСКOJIьку УСЛовия (7 2) дОлжны ВЫполнять-
ся в двух Точках на ,концах интервала [а, Ы, их называют
Оеуxmoчeч/ШМ,и крa.etJШtи, УСЛ и краевую задачу
двg й Краевой вадачей. . '
Ч
'\
..,'* . '.... ' '
' ""
/'
'.,.,C ' c ""' """C: ',,'
, , ..\
Точное решение краевой задачи возможно в редких случаях.
Поэтрму ,на практике часто ИСПQ.Льзуют приближенные методы
решения линейной краевой задачи, которые можно разбить
на две rруппы: 1) разносmные и 2) аналиmические. Рассмотрим.
один из разностных, методов метод коНечных разностей.
7.1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ Р ЗНОСТЕА _
'Одним из наиболее простыи методов решения линейной
краевой задачи (7.1), (7.2) является сведение ее к системе ко-
нечно-разностных уравнений. ь о
Разобьем отрезок [а, Ь).на n равных частеи'длинои h (ш r),
rде "
b a
h== .
п
Обозначим точки деления отрезка [а, Ь] хО == d, х п .....: Ь,
xi===xo+ih (i'==I, 2, ..., n:--;1); P/===P(;l), Q,==q(X,), {,==
=== t .(х,), g (х/) =;: УЕ, У' (х/) == У'" 11 (х,) == У,. .
Заменим riриближенно в каждой В!fутреннеиточке x 1
отрезка [а, Ь) nJ:iоизводные У' (х , ) If У" (х,) конечно-разностны
ми отношениями:
, y,+t, Yl
у,== , h ',
, (7.3)
.. о У/н"""" 2У'+1 + у/
у, == hfJ.
, Для rраничнык, 'ТОчек х; == а It' х п == Ь положим'
" У! Уо. ., Уп Yп 1
уа == h . У п h
Используяформулы (7.3) И (7.4), приближенно заменим
уравнение (7.1) и краевые условия (7.2) ,системой n + 1 ли-
нейных алreбраических' уравиений с ПО + 1 н известным
У У У У ' П р е д ставляюЩИМИ собои значения искомои
О, l' l' ..., n" , ,
фу кции У == У (х) в точках хо, , ..., х п : '
" \
У,+2 /+1 + У/ + Ре Yl+lh у, + ql!l/ == "
, (1=0, 1, 2, ... , п--:-2),
У! Yo А
аоуо + lXi h ==,
, 'Yп Yп . В
oYп + 1 ь ' ==. J
l"еШI:IВ y систему, 'если это возможно, получим таблицу
приблнженныхзначеilий,искомой функции у == у (х).
(1 == 1, 2, ... , п 1).
(7.4)
'(7.5)
11,3
,,;.;
, .
'1
;
..
t:-
, !
I I
!,l
'1
i 1-
I J
I : ' ,{
11 .
11
"
'\
,
I
I
,
I 1.
, 1 ,'
:!
'1'
11, I
i ;' I \
!j': j:,
: I
';
\
l' ,.
;'i,\ ':'
I ' \ .'
, '!, '
' 1 11 !
' 1 1,
,',
J : 1'1; :
1,11'
)!
.'
4', '11
: :, :;.
,,-; '1
.1"
1f:i
j'''<
).
i t ::
· j l :t:
: ,(
) r. ,
Н '
i l l , : ,, '
. .'!
: I " '!
. ",
. ,tl
: 'f ::
:'I ; I
: '
, i;i"
; ,1 1
!,";Ч: ,
j:.
3;' !
.'{'i:
'i'.
.,(
';;Ч'
}I..;
1'i,
J.' .j.:
1;'1\1
J..!i.'..j
;:Ч
,,,:' . ; ' J
.' ; .,
I
',,1
': !I
, \.. -
I '
..' l'
:1 r ,
', \ i
! '. t
;"'\
. ";r
..\
На практике часто производные у' (X i ) и..... у" (x i ) во 'BНYT
ренних точках X i отрезка [а, Ь] замеияют цеитрально-разност
»ыми ОТНошениями
, Yl+l Yl l
УI == 2h
п Yl+l 2Уl + Yi l
Yl == h 2
а для rраничных точек ХО == а и Х п == Ь по-прежнему спра-
ведливы формулы (7.4). TQrдa система уравнений для опреде-
ления уо, Уl,"', у,; приобрет.ает вид
Yl+l 2Yl + Yl l + Yi+l Yi 1 ,
h 2 Pl . 2h + Q;Yi == 11
" (i =='1, 2, ... , n 1), f
Yt Yo Yn Yп l
аоуо + аl h == А; РоУп + Рl h == В.
ДЛЯ оценки поrрешности метода конечных разностей на
практике'обычно применяют, следующее приближенное pa
венство:
(7.7)
. 1.
I Уе у (х;) I I Уе Yel,
3
rде у (X i ) значение точноro решения краевой задачи в точ
ке Х == X 1 ; Уl значение приближенноrо решения, вычислен
ное в точке Х == X j с шаroм h; у; значение приближенноrо
решения, вычисленное в точке Х == Х l С ,шаrом h/2..
Чтобы найти приближенное решение краевой задачи с за-
данной точностью е, необходимо произвести вычисления с ша
roM h и Ы2 и сравнить полученные результаты. Если I у;
.
Yi I < 3е. То, следовательно, I Уl 11 (X 1 ) I < е и значения
, у; {i == 1,2, ..., t9 Можно принять за искомое решение краевой
задачи.
л р и м е р 7.1. Методом конечных разностей найти решение краевой
8адачи с точностью е == lО з: "
У" + 2хУ' У == 4, }
У (1: 2) == 0.8,
У (1, 5) + У' (1. 5) == 3.
(7.8)
Решение. Выберем шаr h == 0,1 и разобьем отрезок [1.2; 1,5) на частн,
получнм четыре узловые точки хо == 1,2; хl == 1,3; Х 2 == 1,4; ХЗ == 1,5, нз
которых две точкн (Хl == 1,3 н Х 2 == 1 ,4) внутреннне, а две друrне rpa-
Инчные.
Данное уравнение во внутренних точ х 'заменим конечно-разностным
равнением .
Yl+l 2Yl + Yl l + 2х, 'Yl+l Yl l
h>l 2h Yl == 4, (; == 1. 2).
114
(7.6)
,
,:-"
,
l'
В rраНИЧНblХ точках имеем:
Уо == 0.8, }
Уз Уf.
Уз + h == 3. ,
. НА
Дамная краевая задача СВОДИТСЯ к решl!нню системы ур \ авнен
Уо == 0.8,
2у +у , Y2 YO , 4
У2 1 О + 2. 1,3. Уl .
0,01 0,2
2 . +Y ' Уз Уl 4
Уз У2 I 2. 1,4. У2 == .
. , 0.01 0,2 I
Уз Уе 3
Уз + 0.1 ==. ,
для определения нензвеСТl1blХ Yt,
Bb :r ; ПЕ= g: :а::: б : :ИХ уравненнй - _
У2' Уз, 0.402Yl +0,226Y2== 0.1312. ) ,
О, 172Уl 0,402Y2 + 0,228уз == 0.008. (7.9)
Ув + 1,lуз == 0.3. ' ( б 35\
HCTBeHHoro делення та л. ".
Решнм эту систему, используя схему едн
, . мы (7 9) по схеме единственноrо деления
Таблица 85., Решение систе .
I Э;: I Коэффициенты прн I Свободиые I Контрольные
I члены суммы
ХОД Уl I У. У.
,
\1 .'021 0.226 о \ .1312 0,3072
- 0,906
0.402 0,228 0,008
0,172 0.3 0.4
1 О 1 1,1
,1 .5622 1 О 1 0,3264 1 0,7642
1
l' ,30531 0.2280 J .0481 I 0.1254
IЧIря- I 1.1 0.3 0.4
МОО 11
1 0 7468 I I 0,4107 -
--1 1 0.1575
\ .. \1, 0.3532 i I 0,4575 I 0,8107
111 I 1, I 1.2953 I 2,2953
1
1 Уз 1,2953 Уз 2.2953
Об- У2 == 1,1248 .и--; == 2.,1248
рат- IV I У). == 0,9588 ' ih. == 1.9588
ный 1 ,
. Нflчений
зто совокупность 8
Таким образом. решение краевои задачн 295
1/0 == 0,800; 01 == 0,959; У. == 1,125; Уз == 1, . '.
111
," c.,. ,
\. ... ..
. ,-11<
',
"
, I _ (,
:. I
;.;
',;,..'.
,
( :.
1"
i "';
[' "
I :
,
,, \
\, i'
"
,
, '
"
" j
;
. \ ."
i
I ;:: ; \
,[ "
1, <
I 1,
'1
" ;,\
-;
" I
1:
,1
il
I
i!
i\
!:
l'
I
- I i i
:
"
, ,
i ;
'rJ
1('
1,
f:
,
I
1
:1
iЧ!!
1,'1'
" 1
1
,\....-
.; ,'.
; ,Cj
.,.,
. 1
, . J .
;:-.;
c:ij
. \
,
"
7.3. MET Д пРоrонкн
При большом п непосредсtвеняое '
(7',7) tтаНQВНТСЯ ДОВОЛьно rр моздкнt u;ние систем (7.5).
-еазр бorsвhый специальн() для- ' . ассмотрим метод,
и получивший назВание '.ме Ш НИЯ систем TaKoro вида
, Пусть имеем систему (7.5); РасtмООО отр Н/Ш.
уравнение: им первые п 1
lIi+2 211,+1 + 11,
h 2
11,+1 11,
+ р, h ..". qш, == 1,
(i==O, 1,2, ..., n 2).
После ростейlUИХ преобразований получим:
11,+2 + ( 2 + hp,) 11,+1 + (1 hp, + h1q,) 11; == hil,.
Введя обозначення
т, == 2 + hp,; k; == 1 hPi + h1q,
(i == О, 1, 2, ... , n 2),
.апишем (7.10) в виде
11,+2 +тШ'+1 + kш, == h21,.
Разрешая (7.12) отн итмьно ' У б
'+1, _ удем иметь:
Н2 1 .
11,+1 == I' II' k,
т, . т, ,+2 --;;; 11,. (7. ]3)
Нетрудно убедитЬся в Том что' -
(7.13) с помощью краевых усло" сключив .У, из ура8нения
9То ypaBHeHl!,e в виде: вии системы (7.5). I'!Ьлучим
11,+1 == С, (d, II, + (i == О 1 2 ' 2 '\
, , ,..., n 1 (7.14)
rде п с"r d, некоторые коэффициенты '
усть, наприм ер l ......:. О , Т "
.вид · '., o дa уравнение (7.13) примет
(7.12)
- h 2 1
Yl ' ko
lo III y,
-' то _ 1110 то О'
Найдем из краевото условия а у, + а 111 У,
, о о 1 h,
Ah
УО== ,
aJa ......;; al
И Подставим это выражеНие
ииА Получим: .
(7.15)
==А
al
aJa а 1 111
В (7.1.5). После ПРеобразова-
),16
.JIl == ' a 1 -:-- aJl, [ ( koAh )
т,{а. aJl) +Цхl аl cJa ,+h 2f o УI].
(7.10)
(7 Il) ;:
;
<\
,...;---'-"""'c.,"".z:: '... ' _.'
. '
Обозначим.
ai aoh
с ,
о 1110 (а. aJI) + koGJ.
d o == k,Ah + h'o.
al aJl
На основании (7.14) заПИ,шем:
У',== c' 1 (d' 1 YHI)'
Подставнв это, вi.Jраженне в 'уравиение (7.12).
, Y'+2:t тШ'+1 + kfC' 1 (d' 1 11,+1) ;= h 2 1,.
(7.16)
получим
.
ОТКУАа
(h 2 f, k,c' ld' I) 11,+2
11
,+1 1nt 'ktc' 1
Сравнивая/(7.14) и (7.17), 'получим .для определения С,
и d, рекУРрентные формулы:
1
С, == d, == h 2 1, k'Ci ld' 1
. т; kiC' 1
(i == 1, 2, .. . , n 2).
На основании фоРМУJI (7.16) определяем коэффициенты Со.
d o , затем, послеДоватепьно примепяя рекуррентные формулы
(7.18), получим значения ,c,.-d, (i == 1. 2. ....п 2) (прямой
ход). '
Обрат1Шй ход начинается с ОПР'едепения Уn' ИСlIOJIЬЗУЯ
второе краевое' У€JIовие системы (7.5) и формулу (7.14) при
i ==п 2, запншем систему -двух уравнений:
А . + А, Уn =--. IIn 1 В'
...o1I" t'1 h ,
II n :"'1 == С n ':'2 (dn 2 y,J.
Решив эту систему относитепьно Уn' получим
IJICn 2dn 2 + Bh
II" == lJi (1 + Cn + IJJI .
Подctавив в gry формулу уже найденные прямыM ходом. "-
значения C 2. dn 2. определим Уn' Затем ВЫЧИCJIим Yn 1. '
Yn 2. Yn......ld. .... Yl. пОспед ватепьно применяя рекуррентную
ФОРМУJIУ (7.14): ' -
1In 1 .... Cn 2 (dn 2 II,J;
Yn 2 == Сn з (dn з !ln I); ,
(7.17)
(7.18)
I
(7.19)
(7.20)
(7.21)
. . . . . . . . . . ., . . .
111 == со (d o II .
1,11
" ''''\'
, '1
,;1
i, \.,
, .,
,
f '
,"
1.
! \
I 1
'1 '
I \ '.,
! j ;
, \ i': : \
I .
I
'1
1
'1
i
"
,
i;
"
ii
,
l'
,
i
,1
li
11
1"
, ! '
Р
i \:
I ! '
:1 i':
;
,
, r
I
f
t
;
j
'1
. il'.
, J
, .
11:
::;1'
tl
',("
;;Е
»
, '1;:
j 1: '
;J
;- ;
' .
.;
, \
. -
"'1 "
lt
, r
t:
,ij:'i;
fi!
",,'t!
t;
,?J !
-
t, j'
.;;
....-...';
Таб-шца 36. Схема MeT "a проrонки
, I
о I
1 /' "i
2 >'/
... /
n 21
n 11
n I
1&1
т l
I
I т 1
I
I
I
/
/'
"n '
/
I
/
... I
,-
I
I
"о
то
"2
,
т 2
'.
"n 2
тn 2
"п
I
J
I
... I
I
/
I
ko
k i
k 2
kn 2
k,
11
" П :ой I
С, _
/ со/
I ci /
I С 2 I
I '" I
I Cп 2 I
I ' /
/ I
, .
Обратны!!: ХОД
4,
d o
d 1
d
dn 2
I
I
I
I
I ...
I
I
I
9,
110.
Уl
У2
Yn 2
Yn '
У n
Значение Уо находим по формуле
(1.1Уl .Ah
110== '(1.1 (1.oh . (7.22)
полученной из первоrо краевосо условия системы (7.5).
Вычисления удобно располаrать в виде таблицы (табл.'36).
Одним из достоинств метода проrонки 'является то, что
ошибки ,окруrления не вызывают неоrpаниченноr.о возраста-
ния поrpешности решения.
,Л р н м е р 7.2. Методом проrонки найти прнближенное решение кpae
вой задачн из прнмера 7.1 с тоЧностью 8 =='1O 3. , '
Реuшн.ие. В нной краевой задаче ао == l' (1.i == О. Р == l' д 1.;
А == 0,8; В == 3. ' 'о.. 1'1
Возьме h.== 0,05. Узловымн точками будут: ко == 12' " == 12:)'
"2== 1,3; ,,_,==,1,35; "4== 1,4; "11== 1,45.; "0== 1,5. "1, ,
. I<оэффнциенты р, == 2х,; q, == 1; /, == 4 (i == О, 1, 2, ..., 13); т, ==
. 2 +hp, == + 0,05. 2х, ==- 2 + 0,1 "'; k, == 1 hp, + k2ql ==
== 1.......(),05 . 2ХI + 0,0025 . ( I) == 0,9975 О,1ХI (i == О, 1, 2, 3, 4).
Заполняем табл. 37 в следующем порядке. '
Прямой xo Записываем в табл. 37 ЧJlсла '" == "о + ih' вычисляем
величнны т" kl,f, == 4 (i == О, 1,2,3, 4); находнм Со Hdo пофо улам (7.16).
Вычнсляем последо атеЛЬНОСI н dl при i == 1, 2, 3, '4 по формулам
(7.18). Например:
1 . 1
1 == mi Co ( 1 ,875)" 0,8!2? " ( 0,5319) == o, 7088;
d 1 == h 2 fi kJ,Codo == 0,0025 . 4 0,8725 (.......0.5319) . ( O,692)== О,Зll1.
1l
/0
/i
/2
/п 2
,
"
""
,', ':":":::::: ,
ТаБAIЩ481. Решение краевой задачи (7.8) методом проroнки с warOM
h == 0,05
- Прямой ХОД Обратный
1 1&, тl k: 1, ХОД
- J
ci I d l У,
- 0,8775 4 O,5319 O,692 0,8000
О 1,20 1,880
1 1,25 1,875 0,8725 " 4 0,7088 О,3111 0,8760
2 1,30 1,870 0,8615 4 O.7967 O,1813 0,9550
3 1,35 1,865 0,8625 4 O,8490 O,1146 1,0362,
'4 1,40 1,860 0,8575 4 O,8834 O,0734 1,1193
5 1,45 1,20,18
6 1,50 1,2893
Полученные значения Ci, di запнсываем в столбцы прямоrо хода
табл. 37. r,'
Обратныl ХОА. ПО формуле (7.20) находим Уа:
PIC4d4 + Bh 1 . ( 0,.8834) . (.:.... 0,0734) + 3 . 0,05
116 == Pl (1 + cJ + Poh 1 . (l o,8834) + 1 .0,05
== 1 !2893.
Далее последовательно вычнсляем значения УI (i ;:::: 5, 4, З, 2, 1) по фор
мулам (7.2i) и заполняем сннзу вверх столбец У, обратиоrо хода табл. 37.
Так, при i == 5, и i == 4 будем иметь:
Y/I == С 4 (d 4 116) == ( O,8834) . [(....0.0734) 1.2893) ::;1 1,2038;
114 == СВ (dB УII) == ( O,8490) . [( O.1146) 1,2038) == 1 ll93 и т. Д.
3начеЩiе Уо иаход"м по ф?рмуле (7.22)
.. O,8 . 0,05 О 8
УО == I. 0.05 ..
Решим теперь краевую задачу (1.8) методом проrонки с шаrом h == 0,1.
Реэу.vьтаты вычнслений представлены в Ta .IJ' ;38.
Сравниваи соответствующие значения У, и yl прн" == 1,2; 1,3; 1,4; 1,5,
получеlIные в табл:- 37 н 38, внднм, что их разность не превьtшает 0,002,
а слеJl.овательно, пorрешность более точноrо решения с шarом h ;:::: 0,05 не
. >" превышает 0;002/3. Таким образом, значения 11; из табл. 37 MorYT быть прн-
.Таблица 98. Решение краевой задаqи (7.8) методом проroнки с шаrом
h == 0,1 "
1 ПРI\NОЙ ХОД Обратный
1'l те 1q 1I КОД
1
С' I 4, / У,
О 1,2 1,76 0,75 4 O,5682 O,5600 0,8000 .
1 1,3 1,74 0,73 4 .......0,7546 .......0,1923 0,9532 ,
2 1,4 1,1176
, 1,2887
3' 1,5
119
'''''
'1 i'
\:<:1
;, ''01
f
i-
":
,]
,\
,l
,:\
- ,
1
: J: '\,
,
; i
" \
1,'
, '1
l' 1,
;1 :t
I 1;
I \
1 . '!
.'
I i i
\ \
1.
I 1
;:
\
:. l ' i
1, '
.' '
,',/
i
,1
',..:. '"
il
1 :' , 1 ,
"
1
'.1
!t I
I
f
I
,
j
1 1
: (
> '"
': 1 '
\ 5 '
, '!
: , f ;1 , '
. ,>!-;,
"Т'
.
't
,{ f
" .
, '.
.1 :G
O,J',.
j, .
" :
: , .
:'..'.
пяты в качестве искомоrо решedия крае.
. '..о вой задачи (7.8). '
.;.:.:.:.:.:;:;:
:::::::::::::::::: При N е р 7.3. Процесс окислении
.................. 9тНiIеиа в ОКись 9ТНлена в псевдоожи,
::::::::::::;::::
................. женном слое катализатора осуществля.
:::::::::::::::: етсSl в реакторах. rде теплоносителем
:.:.:.:.:.:.:.:.:. являеТСJl реакционная смесь (рис. 13) 1.
........,.,.,',......, в 9ТИХ аппаратах реаКЦИОlIнаsr.
p,allt/UDHHaJ ,. . смесь, преQе чем попасть в лсевдоожи-,
САва С"'&6 ........ женный ,слой катализатора (такой. rде
'(llтIlАиЗllтеро /(fJтиuз.тера частнчки катализатора хаОТllчески пе.
Рис. 13. Схема аппарата с про- ремешаНbl в процессе взанмодействия с
сты и противоточными трубками. текущим Через IUIх rазом или жид
, костью), наrревается в трубках за счe'r
теплоты реакцин, одновременно отводя теплоту из реакциоиной зоны.
Процесс описывается системой уравненнй
1 : ::( +"'(g) (g " ..
dx +aJl(Y z} O
" ,....' ,"!I
:::::::::.:::::::
..........:.......
.:::::.:.:.::::::.
:::::!::::::::::;
, :::::::::::::::::
. :::: ::::::::::;
..... ..................
i
i
1
. (7.23)
" с краевыми, условиями
( d g ) . d g /
dx ' %'=0 == Pe 'х==о: dx %==1 == О,
I'де'х длина слоя катализa:roР ..Jбезразмерная координата: начало коор-
динат отсчитывается от точКн входа реакционной смеси в слой каталнзато.
ра); g концентрация реакционной смеси на входе в слой каталнзатора;
% то же на выходе из слоя катализатора; Ре параметр продольноrо пе-
р еН 9 са ; а, Il кО9ффициенты, характеризующие поток.
Рассмотрим решение,системы для случая с линейной функцией (J) (у) ==
== 1 У и коЭФФициентом Il == О. в этом случае второе уравнение eHCTeМJ>l
принимает вид : == О, соответствующнй Постоянной концентрации ,реак-
цис;>нноА смесн на выходе из слоя каталнзатора.
Следовательно, получим уравнение'
I tPy dg
Ре . tJX2 , dx + k (1 У) == О (7.24)
е краевымн условиями
;t /%==0 == Реу i%==o; ;t %==1 '""' О. (7.25)
Для ero решения воспользуемся методом конечны:IO разностей. ,
Решение. l(онечно-разностное выражение и краевые Уc:.llовия для 9TOro
t'»8Внения запmиyrcя, Следующим образом:
I и' 1 2y, + и,+1 У'+1 g' 1 +k(I ' ) :.... о .
"""h'"" . 11 у, ,
, У. h ' 2h. ,
(7.26)
i == 1,
т . h 1. . , 01. Уо.
...., == , h
' т
Р еУо: 'Oт+1 == Ут.
. 1 Пример взят из КЩlfН «Методы моделировання каталитических процес.
сов на аналоrовых и цифровых вычислlfтельных машннах» ,Под ред.
М. r. СлиНько....... Новосибирск: Наука., 1972. 150 с.
120
'.
01'
<,'
,
, '
. .
"f.!
,
.....
;.
.,
t.
(7 . 27) по схеме еJ,ИRственноrо Jl.eJlения
Таблица 99. Решение' системы
>< o I d) :I! .. I Коэффициенты при I Свобод- I Контроль-
t: JIIoIe чле. ,ные cyы-
У. I У. I У. " I У. I У. ны ыы
\ I о I О 0.4OO
:ggg , , 4:r J: .OO g =i::
g g' .ooo : ' km 0.400
1 I .3451 О I о I о I
' 1 3'365 1 '1.000 I 0 1 000 I
3 000 4.4OO .
о' 3 000 4.4OO
О . о' 3,000 ,
11 ' .2971,o 10
, \ : \ :: I J:m I
1. I 1 1 o.2771 о I
I I I : g I k 08 t k
I I I 1 I 0;280 1
I I I I 2.660 I
I I I I 1 I У.
I
0.138 I
I
0.242 I
1.126' \ '3.734
0.4OO 0.800 .
0.400 0.800
0.312 . l' 1.035
I 3.905
'......0.800
0.374 I
1.522 I
0. 941 У. 1.594
...
о
"2
11:
Q.
t::
11
о
.0
-1.000
3,4OO
0.814
0.4OO
0.400
.400
111
,W \
V 1 ',
.
2.300
0.8OO
0.8OO
0.800 .
0.8OO
0.793
3,179
0.8OO
0.8OO
0.800
Ii.9 5
1.094
У. 0,540 У. 1.540
VI 1 У. == 1.461
. У. == 0.461
..., 1 :У. == 1.378
:11 1 У. == 0,378
:; U. == 1.268
.. У. == 0.268
.. 1
Q. .
Таблица 40. Результаты решения краевоЙ задаqи
(7.24), (7.25) /
-: Решение
f ,
Прибли иное Точиее
, I
0,268 0,270
0,378 I 0,391 .
0,461 I '0,483
I 0,552
0,540
0,594 Т 0,583
,
/
,
I
\
i
. \ .
4.082
, ,
,.0...
"'. \'"
I
. )
I'o ..
I ::W
i')
''i':
i'
\t?,
1",.
1,
.\
"1
.....
1 \
I
I
.'
i 1. 1
.\
i :
" ',;
,
;, ,
i
!'
i
il
: ,
р
\
i
/ ,
i
, \\
I I ;
I
I "
I .
i ,
J
,
I l
С'
:t:
,:.t",
,.:' J
Для Ре == 5; k == 1; т == 5 система уравнений (7.26) примет вид
2,9Уl + У2 + 0,4 == О, }
ЗУl 4,4Y2 + Уа + 0,4 == О,
Зу2 4,4Уа + 0,4 == О, (7.27)
ЗУз 4,4У4 + УII + 0,4 == О,
4 3,4У5 + О,4..=: О. '
в первое и п<,?следиее уравнения системы (7.27) введены к аевые ело-
аия. Решение этои системы по схеме единственноrо деления (t БЛ 39{дает
результаты, отличающиеся от Точноrо решения, которое может быт получе-
но в аналитическом виде, не более чем на 5 % (табл. 40). Точность Е == 1O .
J .;.
t
'.! 1 ,
,i
.i
:;.
J
(1'
I J
I 'ti
',!
(' ;
I
..
rпaBa 8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УР,А,ВI-IЕНИА В ч,А,стныx
ПРОИЗВОДНЫХ .
8.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Дифференциальными ура.внения.ми 8 частных производных
Н8зываютсядифференциаЛJ>ные уравнения, в которых неизвест-
HЫ функции ЯВЛяются функциями более чем ОДНОЙ независи-
мои переменной.
Дифференциальное уравнение в частных Производных вто-
porrp ПОрЯдка с двумя независимыми переменными в общем сл у - '
,чае 1, имеет вид -
F (к, У, и, их; и у , и хх , и ху , и уу ) == О, (8.1)
тде х, у неза исимые, переменные; и искомая функция;
и Х1 и у , и хх , и ху , и уу ее первые и вторые частные производ-
ные по aprYMeHTaM х и у (для удобства запнси пРоизводНых
штрихи опускаются).
) ешением уравнения ,(В.1) называется функция и == и (х
!I, обращающая это уравнение в тождество. '
" Уравнение (B.I) называется линейным, или вполне л нейным
если оно первои степени О1'носительн<У Искомой функции и Bce
ее ПРОизводных и не содержит их Произведений. Такое уравне-
ние можно заrIИсать в ,виде ' '
д 2 и д 2 д 2
A +''2В u u ди ди
, дк 2 дхду + с ду2 + а ах + ь ду' + си == F (х, У), (8.2)
'де коэффициенты А, В,' С, а, Ь, с MorYT зависеть" только от х
(В ) Если же КQЭФФI:lЦИ НТЫ не зависят от х, у, то уравнение
. называ ся линеuны.м" дифференциальнЫм уjЮ8нением
в частных производных' с 'nосmoянными к6эффицUeнтами.
Ура ие (В.2) принадлежит к еиneрболиЧеско.му типу
если дискримишщт уравнения D == АС 82 < о; К парабо:
.лическому , типу, если D == о, и {к : млиптическом у т ипу
.еслр D > о. _
'122
i !
: 1 :1
1',
: I '
:
, - . ,
i,
1;.
,;0;'
J I
:
1)
.!!
j ;,
,-
1,
>.
, ,
, ,
'>,
.
/
Задача отыскания решения == и (х, у) уравнения (8.2),
удовлетворяюrцеrо начальным условиям
u (к, Уо1 == ер (х), " о (к, уо) == ер1 (к), (8.3)
называется задачей Коши, а условия (В.3) носят название на.
чВльных данныIx Коши.
Одним из самых распространенных в настоящее время ме-
тодов численноrо решения уравнений в частных производных
является .метод сеток, или иначе .метод конечных разностей. '
8,2. МЕТОД СЕТОК
Суть метода сеток заК,JJючается в следующем.
1. Область G с rраницей r (рис 14), в которой требуется
найти решеJ.l е, покрывается сеткой, состоящей из одинаковы
клеток (квадратных, прямоуtольных и .др.); контур сеточнои
области следует выIиратьь тан:, чтобы он как можно лУ,чше ап
ПРОКСИМИР,9в.ал контур r заданной оБJ;Iасти О. Сеточная об-
ласть (Ptlc. 14), приближающая
заданную область О, получена g
путем построения на плоскости
хОу двух семейств параллельных
прямых:
к == Ко+ ih (i == О, :1:: 1, :1:: 2, .. .);
y==yo+kl (k==O, :1::1, :1::2, ...),
rде h шаr сетки в направле D
нии ,оси Ох, 1 шаr сетки в Ha Рис. Н. Сеточнац область, при
правлении оси Оу. Точки пере- ближающая заданнуюобластьG.
сечения этих прямых называют
узлами. Два узла назыв8.IOТСЯ соседними, если они н аходятся
друr от друта в направлений оси Ох или Оу на расстоянии,
равном h или 1. Обозначим через М множество узщ)в, принаk
лежащих области G + r и не принадлежащих этой области,
lЮ расположенных на расстоянии меньшем, чем шаr h или 1,
от rраницы Т. Тоrда 6HyтpeHHU,Ми называются узлы, все
четыре соседних узла которых принадлеж.ат множеству М (узел
Р, рис. 14). Узлы множества М, не являющиеся внутренним-и,
называются ераничными (узлы N, Q, рис. 14). .
, 2. Заданное дифреренциальное уравнение заменяется в уз
лах построенной сетки соответствующим конечно-разностным
уравнением; обозначим значения иском?й функции и == и (х,
у) в узлах сетки через Utk == и (х() + lh; Уо + kl); в каждом
внутреннем узл (х() + ih, Уо + kl) заменим: чаСТJlые произ
водные разностными, ОТ!lошениями
( ) U , +l.k и' l.k ( ) == U ' ,k+l u',k l (8.4)
дк lk 2h 'ду ,,, , 21
lflЗ
. ,
\\'(
, )
l.f:I
"
1,
1"
; ,
- " .
, ,
;" .
,t'Y
\.
",
1,'
,I
, 1
,
, .1 1
\11
1,
,
"
1': !
с(
I
, ,)
i ( I
i:
Н
!I
I ;?
1\
\ t
\
I
, '!
i
,
I
!
\ t
я
: J
I I r.
I
,
, '"
:i
.-.;
.1 -
, I .
'!i'
. '.
, "
r'
' 1 "
"
н
11
t
\.
i-,I'
tJ"
",J;!
{t!!
;J.!
l l 'I , '
,
:i i
'1'
в rpаничных точках
( ) "= " 1 + 1 ,k " 1k ( ди ) "= U 1 . k + 1 U 1k
,. дх Ik h 'ду ik, . 1 .
еперь З,аменим частные производные BTOpOro порядка:
, ( д ' 2и ) . U1't-t,i; .2Ulk + "l l.k
"'7fj?i"' Ik"= 'h 2 ;
(д 2 и) и 1 2u-l-.u
',,= 1.""" Ik. l.k 1 '8.6\
д у 2 Ik' , 12 . \' 1
Формулы (8.4) (8.6) позво-
ля заменить ди ренциаль-
ное уравнение в частных произ-
водных систеМQЙ конечно-разн
стных уравнений, т. е. системой
линейных алrебраических урав-
нений. Решив СИСТ IУ, найдем
значения искомой ФУнкции в уз-
лах ceт l!. таким образом полу-
чим численное решение -задан-
/ HOro уравнения.
Рас мотрим метод сеток для урайнения параболическоrо
типа. Пусть дано уравнение теплопроводности для однород-
HorO стержня О ;]с s:
.дl,l ;а-
дt а дх2 , (В. 7)
['де и. == u (х, t) температура; t время; а постоянная
з ави с щая от физически свойств стержня. Введя новое BpeM
't' а t, Получим приведенное уравнение теплопроводности
ди/дт: == д 2 и/дх 2 . ,
Для простоты будем считать, что в уравнении (8.7) а == 1.
Тоrда урав.нение (8.7) примет вид ,
ди/дt == д 2 и/дх'. (В.В)
Треб ется на ти ф НIS:ЦИJР- u '(х,' 1), удовлетворяющую
уравнению (8:8), начальному условию
и (х, О) == f (х) (О x .s)
И краевым УСловиям r
и (O,'t) == q> (t), U (s, t) == 1jJ (t),' , (8.10)
т. е. требуется найтираспр деление температуры и::='и (х) t)
вдоль стержня в любой момент времени t. Будем решать эту
смешанную зада.чу методом сеток.
Bu полуполоее t о, О х s (рис. 15) построим два
семеИСтва параллельных прямых:
х == ih (; == О, 1, 2, ... ,;, (== jl а'== 9. 1, 2, ...).
.. .. .
(В.5)
t
I}l h
о I I
Рис. 15. Сеточная, област , ПО-
крывающая полуполосу t О,
o x s.
(8.9) ,
Н!4
....."... _........ " . ... . -...,._ __ 1...
rде h == s/n (n целое) шаr вдоль оси Ох; 1 == oh 2 (о
постоянная) шаr вдоль оси Ot (о численном значении а'
скажем ниже).
ОБОзначим x 1 == ih; t, == j1; Ис/ == и (х l " t,). каждом
внутреннем узле (х l , t;) приближенно заменим производную
д 2 и/дх 2 разностным отношением п/-IJ
' д 2 /д 2 ) ,UI+ 1 . 1 2U 11 + и' I./
\ и х '/. . h 2 /
\
, 1
t
#-
j
(В,I1) [
проиэводную du/dt одним из двух
разностных отношений и-1,П П,Д ({Фfl/I
> (ди/дt)l; "'" и;';+1 " i / (В. 12) 11
1 (Н,Д (; /l (M,II
1',
'.'"
'..
"
::
. J."
и 1 ; "l./ 1
(ди/дt)ij "= 1 (В. 13)
Теперь уравнение (8.8) заменим ко-
нечно-разностным уравнением
иЦ*] иlj &, и'+I./ 2и l / + иl I,1
ah 2 , u h 2
или
(В.14)
(l,Ni
I /
Рис: 16. Схемы узлов:
а явная; б ней'8Н8Я.
и l / ЦЦ 1, иl+ 1 . 1 2u i / + и' 1.1
oh 2 == h"
,(8.15)
"
Запишем уравнения (8.14) и ( 15) в виде
" 1 . 1 + 1 == ои':"'I./ + (1 2а) иц + oU'+I.,; (В. 16)
(1 + 2<7) ин о (и'+I,, U, I./) "I,/ 1 ==J). (В. 17)
Формула (8.16) позволяет по известным значениям,функции
u (х, t) в точках j-ro слоя t == j1 Вычислить значения (.I'(x,
t),B точках следующеrо U. + 1)-1'0 слоя t == и + 1) 1; при этом:
использу ся четыре соседних узла, расположенные как ука-
заио на рис; 16,.а (явная схема). Для уравнения (8.17) исполь-
зуется неЯВИ8Я схема узлов (рнс. 16, 6). '
Вычислениям по формуле (8.16) предшествует определен е
значений u (х, t) для начально['о 'СЛоя t::= О, исходя.из на-
чальноrо условия "
U (Х/, О) == f (ХI) (1 == О, 1,2, ... . n),
rpаничные УСловия (8.10). определя значения функции.
' и (х, t) в rpаничных узлах (о. t,), (s, t,) (j == о, 1, ..;):
и(о, 1,) q> (1,); и (s, 1,) == 1jJ (I}). ,.
R'
125
.j
,!
!
:t
, I
I ": "
l' .
i '.
,
I l
, '\
,
! :
;: ,1
I
1; I
1
,
I I1
.1 ir
i
i
!
; ,
,
.
t
,
'1
, I I ч
I ;.
I '
)Р
if
I
1;
11,,"
:i ,:
ja;,
j",;
:t;
" !
j
j'f
f
.'1,
( If
,.
j
! .
!;
! I
'1;
'j
j
I
"
н
: i
: i
, 1"
"
Н
,l ,
'"
i(
1,
i
,
.. '
, .
"
,"
{ ,
, . - i
l'
" !
l'
"t
.
Используя эти значения, по формуле ( .16) последовательно
вычисляем и (x i , ' 1 ); ц (x l , t 2 ); и (x l , t з ) ... (i == О, 1, ,..., п),
т. е. находим значения искомой функции и (Х,. t) во всех уз
пах полуполосы. '
, При выборе величины а в уравнениях (8.16), (8.17) ис
ходят из требования, Ч'1'обы, во-первых, поrpешность при заме 1 0
не дифференциа ьноrо уравнения (8.8) конечно-разностным ·
была наименьшеи; во-вторых,' разностное уравнение должно
быть устойчивым, т. е. при неоrраниченном увеличении номера:
текущerо слоя малые vпоrpешности вычислений (наripимер, '
поrрешности окруrлении) не должны увеличиватЬся.
р-оказано, чт,ь уравнение (8.}6) устойчиво при О < а ,
/2' а урав ение (8 17) при любом .а. Приняв а == 1/8
И а == 1/0' получим 'уравнение .(8.17) в виде, наиболее у-до().. ':
ном для практическоrо использован;ия: '
lll I,1 + "1+1.1
U 1 ,1+1 == 2 (при о ==1/.J; (8.18),;
и Ц + 1 ==. 1/6 (UI I,1 + 4UII + "I+l) (при 0== Ч 6 ). (8.19)'..
При выборе уравнен я для решения конкретной задачи;\
следует учитывать;----что уравнение (8.18) требует меньшеr.,'
объема вычислений, имеет более простой вид, однако обеспе i
чи:вает меньшую точность решения, чем уравнение (8.19).';,
Преимущества уравнений (8.18) и (8.19) перед уравнением'>
(8.17) состоят в том, ЧТО они позволяют вычислять значения',
функции и (Х" у) на каждом слое по явным формулам через '::
значения v на предыдущем слое; уравнение (8.17) (неявная схема) :;
этим СВОИС'l'вом не обладает. ;'.
..
При м е р 8.1. Используя раЗlfостноеУflавнение'(8.18), найти прибли-
женное решеиие уравнения
ди/д' == д 2 и/дх 2 ,
(8.20)
/,
довлетворяющее условиям
u (к, О) == (к + 1) к, и (О, t) == О, u (0,5; t) == t + 0,75
, (О K, 0,5; О t 0,025). (8.21) .,
, Решение. Выберем по aprYMemy к шаr h == 0,1. Поскольку о == 1/2' " ,
по aprYMeнTY t получим шаr 1 == h 2 /2 == 0,005. Запишем в та6л. 41 началь-
ные и краеВые значения.
Значения функции u (К, t) на первом слс;>е находим по формуле (8.18),
используя значения на начальном слое и краевые условия при i == о:
U " 1 + 1 . O' + ul I,O'
l1 2
Так, при i == 1 "Н == и2,О' t "0.0' 0= 1/" (0,24 + О) == О, 12,
из,О' + иl.О-
' при '; == 2 u,,1 == 2
'-
-$,-..
1/2 (0,39 + 0,11) = 0,25 и т. д.
126
'1'''''",.. 41. ..1!-д (8."", (8.2'1 ........ Z /7)
о' 1 2 3 4 5
-
о' 0'.1 0',2 0',3 0'.4 0',5
I
.
б , 0,750
О О 0,11 0,24, 0,39 0,56
1 0,005 О 0,12 0,25 0,40 0,51 0,755
2 0,010 О 0,125 0,26 0,41 O,5775 0,760
3 0,015 О 0,130 , O,2Q?5 0,4188 0,5850 0,765
4 0,020 О 0,1338 0,2744 0,4262 0,5919 0,770
5 0,025 О 0,1372 0,2800 0,4332 0,5981 0,775
-Затем переходим к вычислению значений u (х, [) на втором слое при i'" .
== 2,ИСПОЛЬЗУЯ формулу {8.18): '
, U 1 + 1 . 1 + ul I,l
u l2 == 2 '.
Т ; == 1 и2,1 + и О' ,,1 0,25 + 5> О 125 #
ак, при. ui2 == 2 2 > , t
4 и 3 .1 + иl,l 0,40 + 0,12
при J == и 22 == ' 2' 2 0,26 и т. д.
Аналоrич , но вычисляем значение и-(х" t) при t == 0,015; 0,020; 0.025 и
заполняем последовательно соотв тствующие Строки табл. 41.
При м е р 8.2. При изучении rидродинамических свойств псевдо',
ожиженноrо слоя катализатора применяется так называемый метод трас-
сирующеrо rаза. На вход слоя подается инертный rаз, ,концентраnия ко.'
Topor9 изменяется во времени по изве т!:,ому закону {извесrная входная
функция), на выходе С)lимается ,выходиои сиrН8JI. Изменение формы выход- ,
Horo сиrнала', относительно' входнorо является источником информации о
происходящих в слое процессах. При эт6м в слое химическая реакция, не
протекает. Урцвнения, 'описывающие этqт процесс, подобны уравнениям
(7.23Нсм. пример 7.3). Однако в иих нет,члена"описывающеrо химическую
реакцию:
I ду . I д 2 у ду
А , т == Ре дх2, дх (у z) =:= О,
az "ai ..'
"т== дх +afHy zJ==O
(i.. константа, характеризующая дисперсиость слоя).
КpaeB e и начальные условия следующие:,
а ду L z::: Реу (О, [); а ду. I == о;
'х ==0 'х х==1
У (к, О) == 1.; z (к, О) ==-1.
Найти распределение инертноrо rаза на ,ВЫХоДе СЛОЯiКатализатора По
отношению к 'ero распределенню на входе.
Решение. Решим систему (8.21) Для случаJ,l f} == о (см. пример 7.3).
1l0ЛУЧИМ одно уравнение
л ду о=,'..!... д 2 у ду
I д' Ре дх2 дк
с краевыми и начальнымн условияuи (8.22).
(8.21)
(8.22)
(8.23)
127
\
\\"
i 'J,
l\r
1)
'\о'с"
:1:.
[.,:
( :
""
.1
, I
'1
\\j
\
I
j
.. '
I
: 11
1.'
, ",1
'; J
i
I \ ..
,
"
ii
: ,
I
i i
i
1 \ ll
I
!
;.,
I
j
(
,,' .....
i
l
,t
.
114
,.1 '1,
1:
I 'I! ,
, ! '
i '.,'
И;
;1, '
.,' !
jl: I
1\ t
! ,
"
I '
1 1 ':
'
'.'
) ,
"!' .
" .(
,)
' , I
! ,
'
'1
, i
: t.
i.
,
t r с
,
, . .. .
Таблица 42. Результаты решения уравнения (8.2.5)
, I О 1 2 3 4
О 0.1 0,2 0,3 0.4
';
о о 1 0,8825 О, П90 0,6873 0,6065 .'
1 0,005 1 0,8895 0,7849 0,6928 0,6113
2 0,010 1 0,8924 0,7912 0,6981 0,6161
3 0,015 1 0,8956 0,7953 0,7036 0,6209
4 0,020 1 0,8977 0,7996 0,7081 0,6258 '>,
5 0,025 0,8998 0,8029 0,7127 O,U302
6 0,030 0,9014 0,8062 0,7165 0,6346 > ,--.,
."
7 0,035 1 0,9031 0,8090 0,7204 0,6385 f'
8 0,040 1 0,9045 0 8118 0,7237 0,6424
9 0,.045 1 0,9059 0,8141 0,7271 ' О,645&-
10 0,050 1 0,9071 0,8,165 0,7300 0,6493
11 0,055 I 0,9082 0,8185 0,7329 0;6522
12 0,060 1 0,9093 0,8206 0,7353 0,6551 ..
13 0;065 1 0,9103 0,8223 O,737Q 0,6576 ;,I!'-
14 ОЩ0 . 1 0,9111 0,8241 О,ЩЮ 0,6602 1,
15 0,075 1 0,9120 0,8256 0,7421 0,6623 '
16 0,080 1 О,912{! 0,8271 0,7440 0,6645
17 0,085 1 0,9185 ' ' 0,8284 0,7458 ' 0,6663
18 0,090 1 0,9142 0,8295 0,7473 0,6682 ;'.."
19 0,095 1 , O, H48 0,8308 0,7489 0,6697
20 0,100 1 0,9154 0,8319 0,7502 0.6712
Таблица 43. Результаты решения ,уравнения (8.23)
N О 3 4
О 0.3 0.4
,
О О 1,0 0,6873 0,4725 0,3247 0,2231
1 0,005 0,9876 0,6841 0,4702 0,3232 0,2221
2 0,010 0,9753 0,6779 0,4680 0,3216 0,2211- -!V
3 0,015 ' 0,0032 0,6718 0,4646 0,3201 0,2200
4 0,020 0,9512 0,6655 0,4613 0,3182 ,0,2190
5 0,025 0,9394 ,0,65.83 _ 0,4575 0,3163 0,2178
6 0,030 0,9277 0,6513 , 0,4537. 0,3140 0,2166
7 0,035 0,9162 0.6444 0,4496 0,3118 0,2152
8 0,040 ' 0,9048 ' 0,6374 0,4455 0,3093 0,2138
9 0,045 0,8936 0,6304 0,4412 0,3069 0,2123
10 0,050 0,8825 0,6234 - 0,4370 0,3043 0,2108
11 ,0,055' 0,8716 0,6165 0,4327 0,3017 0,2091
12 0,060 -0,8607 0,6095 O,4284 0,2990 0,2074
13 0,065 0,8500 0,6026 0,4239 0,2963 0,2056
14 0,070 0,8395 0,5957 0,4196 0,2934 0,2039
15 0,075 0,8290 0,5889 0,4151 0,2906 0,2020
16 0,080 (}.8187 0,5820 0,4107 0,2877 0,2002
17 0,085 0,8086 0,5753 0,4062 0,2849 0,1982
18 0,090 0,7985 0,5685 0,4018 0,2819 0,1963
19 0,095 0,7886 0,5619 0,3914 0,2790 0,1943
20, 0,100 0,7788 0,5552 , o, 930 0,2760 0,1923
\28
I 5 6 7 8 9 10
I "
.
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 '
0,5353 0,4724 0,4169 0,3679 0,3246 0,2865
0,5394 0.4761 0,4202 0,3708 0,3272 0,2829
0,5437 0,4798 0,4234 0,3737 0,3269 0,2794
'0,5479 0,4836 0,4268 - 0,3752 0,3266 0,2760
0,5523 0,4874 0,4293 0,3766 0,3256 0,2725
0,5366 0,4908 - 0,4320 0,3775 0,3246 0,2691
0,5605 0,4943 0,4341 0,3183 0,3233 0,2658
0,5&45 0,4973 I 0,4363 0,3777 0,3220 0,2625
0,5679 0,5004 0,4380 0,3792 0,3206 0,2592
0,5714 0,5029 0,4398 0,3793 0,3192 0,2560
0,5744 0,5056 0,4411 0,3795 0;3176 0,2528
0,5774 0,5078 0,4425 0,3794 0,3161 0,2497
O,5 00 0,5100 0,4436 0,3793 0,3195 0,2467
О 5826.. 0,511-$ 0,4447, 0;3791 0,3-130 0,2435
0:Ш7 0,&136 0,4454 0,3788 0,3113 . 0,2405
0,5869 0,5151 0,4462 0,3783 0,3097. 0,2375
0,5887 , 0,5166 0,4467 0,37.59 0,3079 0,2346
0,5905 0;5177 0,4478 0,3773 0,3063 0,2317
О,59:Ю 0,5189 0,4475 0,3768 0,3045 0,2288
О,59З5 0,5198 0,4478 0,3760 0,3028 0,2259 '
0,5947 0,5207 0,4.479 0,3753 0,3010 0,2231 I
6 7 8 9 10
I 0,5 ' 0,6 0,7 0,8 0.9 1,0
0,1534 0,1054 0,0725 0,0498 0,0342 0,0235
0,1526 0,1049 0,0721 0,04955 0,03406 0,02293
0,1519 0,104:4 0,07176 0,04932 0,03360 0,02237
0',1512 0,1039 0,07143 O,04890 0,03315 0,02182
0,1505 0,1034 0,07097 0,04849 0,03264 0,02128 .
0,1498 0,1029 0,07052 ,0,04799 0,03214 0,02075 -
O,!.J90 0,1023 0,06999 0,04750 0,03161 0,02024
0,1482 0,1017 0,06946 0,04696 0,03110 0,01974
,0,1472 0,1010 ' 0,06887 0,04643 0,03058 0,01925
О, 1463 0,1003 0,06829 0,04587 - 0,03006 ' 0,01878
0,1452 0,09936 0,06765 0,04532 0,02953 . 0,01831
0,1442 0,09874 ' 0,06702 0,04475 0,02904 0,01786
0,1430 0,09794 0,06634 0,04419 . 0,02853 ' 0,01743
0,1419 0,09706 0,06568 0,04361 0,02804 0,01699
0,1406 0,09620 0,06497 0,04304 0,02754 0,01657
0,1394 ' 0,09528 0,06428 0,04245 0,02706 0,01616
0,.1381 0,09437 0,06355 0,04188 0,02657 0,01577
0,1368 0,09340 .0,09284 0,04129 0,02610 ,. 0,01538
0,1354 0,09245 0,06210 0,04072 0,02563 0,01500
0,1341 О,()9146 0.06137 0,04013 0,02517 O,Q1462
0,1327 (),0904R 0,06061 0,03956 0,02470 0,01426
.
5 5 1772
129
J
\ .
': .,
' ,
"
_.
'.'.
,
, i\:
:' i'.1
,
; i:'"
. ! S
Щ
: \:t'.
' '
..
:' 'f
"
,Т,
, 1.'Ii-
i..
l'
i 1
Н., '
' \"
,. ,
' (, ,
,
'\
I "
1, "
J .:
!II '
,
.
"
: \ .J
j , I
i , ,
I .
;
, ;
I
,
.
i;
\
l'
i'
,
i
t
I '
i :
,:
:t r ,
,j ,
'1 .
,
l' '
J
1
Н
ii'
fl:
1 1 r.',.
1"
,
jr..
'
(
I
\ .'
,;
К'
(
..
....... .-. ......
'\
Для Toro чтобы привести уравнение (8.23) к параболическому виду (8.7).
используем искусственный прием по замене переменных:
у == и ехр (Jtl.. + pt). (8.24) ;,
rAe fJ. == Pe12; р == PeI41...
Следовательно, получаем уравнение
"
:->
"
J'
дц ) д"и
7ft == 'АРе дх2 (8.25)
с краевыми (8.27) и начальными (8.26) условиями, для решення Koтoporo BQCo
пользуемся методом сеток: '
и (х, О) == ехр ( e х);
,
и(0,9==1; U(I,t)==exp ( Ре 1.."':' Ре t )
. 2 41..
1..==0,5; O x l; 0 t, 0,1; Ре==5.
Результат.ы решения с точностью 11 == 10..004 представлены в табл. 42.
Для возврата к исходной переменно у (К, t) используем выражение
у (к, t) == ехр ( J:!... к t J и (к t) (8.28)
2 41.. 1 ,. , '
Подставив в (8.28) значен я U (х, t) из табл. 42, получим окончатеАьное, '
.,ешение. представлеllНое в та л. 43. . , "
(8:26) :
....
:
(8.27)
..
/
'\.
Часть 11
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 06Р А60ТКИ
РЕЗУЛЬТА ТОВ НА6ЛЮДЕНИА
fn8B8 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
.'
9.t. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей 'изучает з8кономерности,В случайных
явления х. .
Случайным называется ямение, goтopOe при неоднократном
воспроизведении опыта каJКДЫЙ раз протекает несколько по-
иному.
СлуW1ЙНblJ,t событием (или просто событием) называется
всякий факт, который в результате опыта MOJКeT произчйти
или не произойти. Например, в опыте «бросание монеты»
MOJКeт произойти (или не произойти) событие А «выпадение
rерба».
Вероятность события""';""'" эточислепная мера 'степени объ-
ективной ВОЗМОJКностц этоrо события.
Достоверным называется такое событие, которое в данном
опыте непременно произойдет. Например, «выпадени не более
шести O'lKOB при бросании ,иrpальной к.ости» событие досто-
верное;
Невозможным назDiвается событие, которое в данном опыте
не MO eт произойти. Пример невозмшкноrо события появ-
ление 12 очков при бросании одной иrральНОЙ кости.
Собьrrия называют несовместными в данном' опыте, 'если
появление одноrо из них исключаеr появление друrих.
Собьiтия называют равновозможныJrtи в данном опыте, есJП{
ни ОДНС;> ИЗ них не я яется объеI<ТИВНО более воз ожным,
чем друrое.
Несколько событий в данном опыте образуют полную еруп-
пу, если В реЗУЛЬ'I8те опыта' обязательно появится х<ля бы
ОДНО ИЗ них.
События, образующие полную.rруппу,' являющиеся несов-
местными и равновозможными, называются случаями, а' об
опыте tоворят, что он сводится к схеме случаев. Например,
опыт «бросание монеты» сВОДИТСЯ, к схеме случаев, так как
события А 1 выпадение rерба, А 2 выпадение решки
несовместны, образуют полную rруппу и равновозможны.
5*
131
\ , ."
'. ",:-.,.
!
,11
, .,>1
, I tl
''t,
, .,
"
; . .
\ .'
, '
['",,;,
I ;'
, [: I
1"',
1.'
l
,
\
(
.
, ;{
, ,
1
.
,
'.
,
i
i
I
i
I
}
,
)',
. '
."} I
,'.
'1
, J
н
, !
l' ,'/
. ,
, ,
;f ;
р,;
,,'
i l4 ::
:J j ' ';
1;1' :
!t,i
!
1{ !,
."
" l
jl
.' ;
I '
:f' r .-
1 ,' > .
1" !,
.' '
,'1"
t! '.,
I
, ',;
" .-
!' 'i'
4j,
" I
i'
,[
(:- -
:
,,1
1 ,
,
,.
1
,:;
1'.
I
i, '
i j ...'
I ' ,
.r
н
. ;
,\
Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность люб<r
ro события А в этом опыте может быть подсчитана как OTHO .
шение числа случаев, блаrоприsiтных событию А, к "общему
числу случаев:'
т.
Р(А) == , " (9.1)
n
rде Р (А) '7" вероятность события А; тА Чи jlO случаеВ t
блаroприятных событию ,А (обеспечивающих ero появление);
п общее число случаев. .
Л Р и м е р 9.1. Известно, что среди 10 препаратов, предназначенныXl
для испытаниц, имеются четыре, действне которых безусловно отвечает ус-
ловиям эксперимента. Какова вероятностЬ. Toro, что среди семи наудачу
выбранных препаратов трн будут удовлетВОРЯТЬ..9тим условиям? "
Решение. Обо'зна1fИМ через А событие, состоящее в том, что 3 из 7 вы-
бранных наудачу препаратов будут удовлетворять услоВиям эксперимента.
Общее число СЛу'чsев, очевидно, равно С о числу сочетаний:из 10 препаратов
ПО 7. Подсчитаем число бла.rоприятствуюш.их событию' А случаев: 3 препара-
II'З'NОЖНО взять ИЗ 4, УдОвлетворяющих условиям !!ксперимеита', q способа-
ми; при это!" остальные 7 ,3,== 4 препарата, действие Km::oPbl не удовлет-
воряет условиям эксперимента, можно взять/Из 10 4 == 6 препаратов
с4 б Сl!особами; Следовательно, число блаrоприятных событию А случаев
tnА== qC:. '
Искомая вероятность
", тА c q 41 . 61 . 11 . 31
Р (А) == == == 31.11..41.21.101 == 0,5. (
10
Из формулы (9.1) следует, что вероятность случайноrо
события есть положитeJtыюе число, заключенное между HY
лем и еДИlJицей: О <: р (А) 1. Причем Р (А) == О, если А
событие невозможное (число блаrоприятствующих ему слу-
ч ев тА == О) и Р (А) == 1, если А событие достоверНQе (число
блаrоприятствующих случаев тА == п .
На праКТИl{е обычltо имеют дело не с достоверными и не-
возможными событиями, а с практически достоверны..ми,
вероятность которых не в точности раВна единице, а весьма
близка к едицице, и с событиями практически невоз.можным.и,
вероятность КОТОРЫХ ,не в точности ра.вна нулю. а весьма близ-
ка к нулю.
Если вероятность HeKoToporo события А в данном опыте
.весьма мала, можно быть прак ически уверенным в том, что
при однократном выполнении опыта событие А не произойдет
{пpиHЦuп пршwшческой уверенности). Достаточно малую ве-
роятность, при которой (8 конкретноЙ задаче) событие МОЖЦО
считать практически неВOSМОЖIlЫМ, называют уровнем значи-
.мости и принимают обычно paBHым от 0,01 до 0,05. '
Если вероятность HeKoToporo события А в данном опыте
близка к еди, нир.е. практИ,чески можно считать. что IJР-И OДHO
132
, .
,
"
"
.
'О;
\:
I{ратно выполнении опыта событие А произойдет . Вопрос
Q том, какую...веРОЯТНОСТli считать близкой к едцнице, как и в
предыдущем случае, решается в.., каждоМ крнкретном случае
в зависимости от важности исследуемоrо явления (это. может
()ыть 0,95; 0,955; 0,99; 0,995 'и др.).
Относительной .tlClCmOmo(r. события в серии из N, опытов
называется отношение, числа опытов, в которых это событие
произошло, It общему числу проведенн х опытов.
Относительную частоту события, или стаmистичес!'ую
вероятность, определяют по Ф9рмуле
'М А
Р* (А) == "'""N' (9.2)
I'дe N общее число опытов; МА число опытов, в которых
IЮЯВИЛОСЬ событие А. .
Вычисление вероятности события по форму:}е (9.1) не тре- .
tбует проведения опыта, в то время как формулои (9.2) можн
воспользоваться толькg. после опыта, получив необходимыи
статиСтический материал. ' "
Различают события зависим.bie и независим.ые. Два события
называюТсsr независи.м.ым.и. если появление одноrо ,из них не
влияет на вероятность появления друrоrо. Несколько собь,ти
называются независи.мым.и в совокупности. если каждое из
них и любая комбинаlJ;ИЯ остальных соб IТИЙ (содержащая,
JIибо все, остальные события, либо часть из них) есть события ".
независимые. Дра события называют зависимыми. если вероят-
'ность появления одноrо из них зависит <;>т наступления или не
наступления друrоrо. Вероятн тЬ одноro события (В), ' вы-
численная в предположении, что друrое событие (А) произ()оо
шло, называется условной вероятностью события В и v обоэна-
чается Р А (В) или Р (В/.(!). ДЛЯ независИМЫХ событии Аи В
справедливы равенства: .
Р А (8) == Р (8): и Р в '(А), == Р (А),
'Т. е. условные вероятности независимых событий -равны их
безусловньщ вероятностям. "
Случайной называется. величина, которая в результате опы-
'Та может принять то или иное значение, "причем заранее He
IIЗВестно, какое именно. '
Случайные 'величины, принимающие лишь отделенные друr
-()'f друrа какими-то интервалами знач ния, которые можно
"Заранее перечислить, называются дucкpeтны..м.и. или прерыв-
.Itbli.ш. Например, число выпавших очков при бросании. иrра.ль-
ной кости дискр ная случайная величина (ее возможные
значения: 1, 2, 3, 4, 5 и 6). "
, Случайные величины, возможные значеl!ИЯ которых непре-
рывно заполняют не оторый промежуток, называются непрерыв-
13.3
\ -
;"..
:1.
,:..:
1 ,
\' .
" 'Ж;'
, 1'>$
.
.,
\;"
, t;)
; 1
,
1'.'
,"-
!:..
"r.;
"
, i
;
'
.
1:, :',
.'
,"\
,
.;
I
I
I
,
I
;
1\
J ,
, ,
.(
.,;:
р,(
П,i "
t- ;
1'1'
t,j
!'"
1,
li!
]; ['
:11
; 1
Jt, !
,;:
If;
,:'
, '
j!l:
I T> 1 . '
;' I '
i '
, i
) l' '.
; ! j
Н,
1:. '
4 i '
i :';
Щ;,
11 !
' 1 ' '
11' :
,I
(
1;
,
,
i "
1 J
!
,.
I
, ,
1:".
11
:f'
i
1:
,i
НblMи. Например, ошибка, возникающая при взвешивании тела
на аналитических Becax, непрерывная случайная ЛИчина.
Будем обозначать случайные величины прописными бук
вами латинскоrо алфавита, а их Возможные значения COOT
ветствующими строчными (например, случайная величина Х.
ее возможные значения Х 1 , Х 2 , Х З , ...).
Большое значение для практики имеют особоrо типа случай-
ные величины, которые практически MorYT рассматриваться
как не случаiiные. Примером такой «почти не случайной» Be
личины может служить относительная частота события при
большом количестве опытов. При малом количестве опытов от-
носительная частота события носит случайныif характер
и может заметн.9 изменяться от одной rруппы опытов к друrой.
Однако при увеличении количества ОПI?IТОВ относИтельная час
тота события проявляет тендеНЦИЮ.{:.'tабилизироваться, колеб-
лясь только в очень узких пределах вблизи вероятности co
БыIия.. Такие «почти не случайные» величины позволяют преk
сказьmать численный результат опыта, несмотря на наличие
в нем элементов случайности. '
9.1. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСJEА.
ИХ СЛЕДСТВИЯ
Формулы (9.1) и (9.2) далеко не Bcer'na MorYT быть исполь-
зованы на практике: не каждый опыт сводится к схеме случаев.
проведение опытов ,для вычисления вероятности событий час
то затруднительно ИЛИ вообще невозможно. Поэ'fОМУ широкое
практичес.кое применение нашли так на3Ываемые косвенные
методы, позволяющие по вероятностям одних событий опреде
лять вероятности друrих, с ними связанных. Эти методы oc
НОВЫваются на правил ах сложения и умножения вероятностей
и их следствиях.
Правил() сложения вероятностей. Вероятность moёО, что
nрouзойдеJЛ одно из нескольких нecoвMecтныic событий (безраз
лично, какое имещю), равна сумме вероятностей этих событий.
В виде формулы это правило запишется так:
р (А. иЛИ А 2 или . .. или Ап> == Р (Ад + Р (А 2 ) + ... + Р (.1n),
rде Аl,:А2, ..., А" несовместные события.
,Из этоrо правила вытекают важные ДЛЯ практики сле.l.СТВИЯ.
С л е Д т в и е 1. Если события Аl' А2' ..., Аn нес<;>в-
местны и образуют полную rpуппу, то сумма их вероятностей
раJ,Зна единице:
Р (А 1 ) + Р (А 2 ) + ... + Р (Аа> == 1.
ел е Д с т в и е 2 (частный случай сле4,СТВИЯ '1). Сумма
вероятнос ей противоположных событий равна единиЦе:
I р (А) + Р (А) == 1, (9.3)
\
134
. : "
":,
'!
.'
"
"де А некоторое событие, а А противоположное ему
(состоящее в непоявлении А). ,
На практике формула (9.3) используется в случаях, К9rда
вероятность соБыIияя А вычисли значительно трУдн.ее, M
I1ротивоположноrо ему события А. Torдa вычисл ют Р (.4).
а затем Вычитают ее из единицы: Р (А) == 1 Р (А).
Правило умножения вероятностей. Если события А и В
Ю!зависимы, то вероятность, их совм.естНОёО появления равна
произведf!нию вероятностей этих событий (Р (А и В) ==
;::: Р (А) Р (В», если же события А и В зависимы, то вероят
носmь их совместНОёО nоявлеl:lия. равна nроuзведению 8еРОЯf1JНОС
ти ОднОёО иЗ них на условную вероятнocmь дРУёОёО, вычuслен
ную в - nредnoложении, что первое событие уже 1iроuзйшло
(Р (А и В) == Р (А) Р А (В».
С л е Д с т в и е 1. Вероятность cOBMeCТHoro появления
нескольких событий Аl' А2' ..., Аn, независимых со окуп
ности, равна произведению вероятностей этих событий:
Р (А. н А 2 и ... и Аn) == Р (Ai) Р (А 2 ) '... Р (Аn). (9.4)
С л е Д с т в и е 2. Вероятность совместщ>ro появления
скольких зависимых событий равна произведению вероят
'НОСТИ одноrо из них на условные вероятности всех остальных
в предположении, что все предыдущие события уже произошли:
l' (А; и А 2 и .. . и Аn) == Р (A.) Р А, ( 2) Р А,А. (Аз) . .. Р A,A....Aп 1 (Аn),
{'де Р A, ....Aп 1 (>4п> вероятность события Аn, вычисленная
13 предположении, что события Аl' А2' ..., Aп 1 произошли.
Л р и м е р 9.2. Вероятность радиоактивноrо распада в течение
10 мин трех атомов различных радиоактивных элементов составляет для
1 элемента 0,3, для .п 0,55, для 111 0,25. .Определить вероятность
распада атомов трех элементов в течение 10 мин.
Решение. Рассмотрим события: Аl' А 2! .Аз соответственно радио-
.активные 'распады в течение 10 мин одноrо атома 1, 11 и 111 элеNентов. ,
По у,словию Р (А.) == 0,3; Р (А 2 ) == 0,55; Р (Аз) == 0,25. Поскольку co
(jытия А., A; Аз независимые, то, пользуясь формулой (9.4), получим
Р (А. и А 2 И Аз) == Р (А.) Р (А 2 ) Р (Аз) == 0,3 . 0,55 . 0;25 "" 0,041.
Л Р и м е р 9.3. На основании предварительных иссле.щ>ваний установ-
J\eHo, что продукт, выходящий нз ректификационной о колонны" в 91 %
слу»аев удовлетворяет требованиям rOCTa, причем в 85 % слу.чаев концент-
..-рация продукта максимальна. Найти вероятность тoro" что очередная пар-
'Тия, будет состоять из продукта только максимальной концентрации.
Решение. Событие А выход продукта, удовлетворяющеrо требовани-
:ям rOCTa; событие В выход продукта максимальной конценТрации.
События А и В зависнмые: событие В может появиться лишь при усло
1IИН появлеl;1ИЯ' события А. По условию Р (А) == 19 == 0,91; Р А (8) ==
== 0,85. Пользуясь правилом умtiожени,Я вероятностей зависимых событий,
135
\\
,
: '
.,
I
A;
%'t ,
!!,'
>, :
"
..1[..
\'.1
'! (,
, ,
; i J
, 1',
J
i ;
..
!-
) \
.
.]
. ,!
,
!'
;
j I
.
'\ :'
1
,:
, "
, ,:,
,j,
;! i )
Ц) ,:
: ,,1
! - -;
.1
'f :
'.
i ! ' . ;
.j: '
,11 .
') 'I .с
1:! ;J
;:,\ "
;! . '
! I I '
" 1
t 10 :
j' !
: I '!
11
ji ';!
l' ,1
i 1 '. f
, '
i'
1(
;::А :!
;;' / '
Ч'
ч; 1
I!: - "
31 ,
JI'
!I; I
1" 1
Н i
1 I
,!\
" !
',' i
;( t
;1 t
'I! !
" ;
'., i
1" I
. I .... f.
;' I
:f' ;'
J '
'i i
1, !
};
, найдем:
Р (А и 8) == Р (А) Р А (8) == 0,91 . 0,85 ::::. 0,77,
т. е. вероятность TO O, что очередная партия' будет состойть из продукт/!
только маКСИМI!JIЬНОИ концентрации;равна 0,77.
,На практике при решении задач часто приходится COBMeCT
:но применять правила сложения и умножения вероятностей
Пусть события А], А 2 , ..., А" неЗависимы в совокупности,
причем Р (А]) === р], р (А 2 ) == Р2, ;.., Р (А,,) === p ; пусть
в результате опыта MorYT появиться все n событий или неко-
торые из них (в частнос и, только одно ИЛИ ни одноrо). '
В роятность события А, состоящerо в появлении хотя бы
. .,одноrо из событий А],А;, ' ... Aп незави имых в совокупности,
pa Ha разности между единицеи и пgоизвед ием BepO THOC
теи' противоположных событий А], A2 .... '11,,:
.P(A)'==I ,qlq2...qn>' (9.S)
rде ql === 1 р]; q2 === 1 Р2, ..., qn === 1 р".
в частности" ,если Р (А]) === Р И2) == ... === Р (А ) === Р
то " ·
" Р (А) == 1 iJ1. (9.6)
Л Р и м ер. 9.4. Устрой<;тво содержит два независимо работаЮII,W
:эле ента. Вероятщ)(:ти отказа 9Лементов соответственно равны 0,05 и 0,08.
Наити вероятность отказа устройства, если для этоrо достаточно, чтciбы ОТ-
казал хотя бы один элемент. '
. Решение. с.обытия А 1 (отказ nepBoro элемента),'и А. (mаз BToporo эле-
мента) независ ы. По условию .р (At> == Рl =:.0,05; Р (AJ == Ра == 0,08.
Тоrда Чl == (Al) == 1 Рl == 0,95 и ч. == P(AJ == 1 Ра=='1 О 08 == '
== 0,92. " ' . ·
BepOJlTH?CTb события А, состоящеrо в отказе ,ХОТЯ бы oAHoro из двух
элементов, определнм по формуле (9.5): ,
'р (А) ==.1 qlq. == J.: O,95 .0,92 == 0,126.
" Л Р и м е р 9.5. Полнота охвата периодическоl)' лнтературы в т е1С
реферативных изданиях равна cOQTBeTCTBeHf!O'O,7; 0,75; 0,90. Какова в:'о-
ЯТIIQСТЬ Toro, что необходимая статья будет реферйрована: а) только в' одном
издании; б) только в ДВУХllздаIlИЯХ; в) во всех трех изданиях? '
Решение. Рассмотрим события: А необходнмая статья будет рефери-
рована толь о в одиом издании; А 1 , А2' Ав статья реферирована соответ-
ственно в первом, втором и третьем изданиях' .4., А 2 , :t события про-
тивоштожные бытиям Аl' А2' Аз. ", '
Появление событ 'i равносильно' появлению одноrо из трех несов-
местных событий: Аl' Аа, А8 (статья рефе.Е.ир ана в п"рврм и не реферирова-
на во втором и третьем изданнях). ибо АIА.А. (CТIJ.TЫI реферироваиа во вто-
ром И не реферИрОВана в первом и третьем 'изд"аниях). пибо AiAIIAз (ё'l'атья
реферирована 8:'третьем и не рефер"рована в первом R втором изданиях).
а) Применяя совместио правила сложения и умножения 'вероятностей
н пользуясь O!CТВOM п ти полож х собы:rий (р + 'ч == 1), находим:
Р ,(А) Р (А 1 А 2 А з ) t. Р (А 1 А 2 iз) + Р JAIA.A.) == Р (А 1 ) Р (AJ Р (.4;) +
+ Р (А 1 ) р (А2) Р (Аз) + Р (At> Р (Аа) Р (А.) == 'РIЧаЧ. +q1PIIQ2 + Q]ql\Ps.
136'
. 0"
'
"
1': ;
,..1
!"
:,
"
,
.,
:;'
-;..
, :
.>
.'
,',
Так как по условию Р (А 1 ) == Рl == 0,7; ,Р (А.) == Р? ==0,76,
p (Аз) == Р3 == 0,90, то Qi == I Рl == 0,3; 92 == 1 Р2 == 0,25; qз == 1
Ра == 0,10.
Torдa окончательно получим
Р (А) == 0,7 . 0,25 .0.1 + 0.3 . 0,75 . 0,1 + 0,3 .0,25.0,9::::. 0,11;
б) обозначим через А событие, состоящее в том, что необходнмая статья
будет реферирована только 1t двух изданнях, тоrда появление соб'!.,тия А
равносильно появлению одноrо из трех HecoBMeCTHЫX событнй: ,АIА2А. ,
(статья реферирована во В'IOpом и третьем и не реферирована в первом нзда- ,
нии); АIАilА8 (статья реферирована в первом ,Tpeтьeм -изданиях н не рефери-
рована, ВO BтopOM); АIА;48 (статья рефёрирова в первом и во втором
изданиях и не реферироваиа в третьем): .
1: (А) == Р ( АаАз) + Р (Аl Аз) + Р (А 1 А 2 .4;) == Р (А;,) Р (А 2 ) Р (А з ) +
+ Р (А 1 ) f1A2) Р (А.) + Р (А 1 ) Р (AJ Р (А.) == qlР2РЗ + Plq2Pa +
+ PIP2Q8 == 0,3.0,75.0,9 + 0,7.0,25.0,9 + 0,7.0,75.0,1 ::::. 0,41;
в) обозначим через А событие, состоящее'в том, что н'еоi5ходнмая статья
'реферирована во всех трех изданиях. Тоrда, пользуясь правилом умножения
вероятностей независимых собыТИЙ, получим
Р (А)' == Р (,4'1) Р (А 2 ) Р (А з ) == 0,7 . 0,75 . 0,9 ::::. 0,47.
Следствием правил сложения и умножения вероятностей
является так называемая форм,ула полной вероятности: Be
. роятность события А, которое может наступит6 лишь при yc
JIOВИИ 'fiOявления 'одноrо ИЗ' несовместных событий (шпотез)
8], 82'....' 8п' образующих полную'rруппу, равна сумме про--
изв ений вероятностей ка>кдой из rипотез на соотйетствукr'
щую условну вероятность соб тия А:
, "
р (А) == Р,(8 1 ) Р в . (А) +,Р (8J Р В -. (А) + ... + Р (8,,) РВп (А), (9.7)
, I
('де Р (81) + Р (82) + ... + Р (8,,) === 1..
. Л р и м р 9.6. В аналитической лаборатории и",еется восемь фото- '\
9лектроколориметров и два спектрофотометра, Вероятность TOro,. что за вре-
мя проведения анализа 'фотоэлектроколориметр не выйдет нз строя, равна
0,98; вероятность Toro, что за то;же время не \lыйдет из строя спектрофото-
метр, равна 0.9. Анализ ПрОВ,одится на произвольно выбранном приборе.
Найти вероятность Toro, что за время проведения аJlализа прибор. не выйдет
IiЗ с'tроя. ' . . ' '
Решение. Обозначим через А событне, состоящее в том, что за время
,.fIроведения анализа прибор не выйдет нз строя; 81' для проведения ана-
лиза выбран. фотоэлектроколориметр; 82' для проведения анализа выбран
спектрофотоме р. Тоrда
р (81) :;= 8/10 , 0,8; Р (82) 2/10 == 0,2.
Условная вероятность тoro, что за время проведения анализа фото-
электроколорнметр не выйдет из строя, Р В . -(А) == 0,98.
Условная, вероятность Toro; что за время' проведения анализа спектро-
фотометр не 8ыйдет из строя, Р в . (А) == 0,9.
,Искомая вероятность тoro, что за'Время проведения анализа прибор не
'выйдет из строя, по формуле полноЙ вероятности (9.7), равна:
Р (А) == Р (81) Р В . (А) + Р (82) Р В . (А) r= 0,8.0,98 + 0,2.0,9::::. 0,96.
131
\
\ " .
I
I
I t,
'5;1
"
'$
.'
!,'.
i\:
1ft'''"
: !i;;
, \,'"
,
1""
, r "
'j!
i) j
:;
;, "
, '
\
.'
i: \
;: \;'
I '
1>.
\ ,i
I
"
.
:, "
)
,
, 'j
1
:
11
-j
;! ):
J r
'" I
, ,
I .,
! '; i"
,
iJ I
!!
{I
i ' '1
.и
j:J f,
)' i
:1; '1
i j T,'
.! I I
\ 1 '"
;1, :;
, ,
, "
1; , ' !
il '1,
'jl
"
;1
'f "
d
, f', i
;:. ; "
!i'
. I \ , ' '
':1
;f,
'(j"
fl/ ,
j('1
J; i
11 !
'! i
. :
. i
,( /
,. j
i', ]
" I
' t : f
! I ._ !
,, A !
"'._ t
j
'1; j
[', I
;1'
J:
1 i' ,
J
, '
J I
it :'
;i 1! -.
Следствием правилз- умножения и формулы полной вероят.
насти является так называемая формула Бейеса. Пусть собы
тие А, может нас.тупить лишь при УСЛовии появления одноrо
из несовместных событий (rипотез) В1' В2' ..., Вn, образующих
,полную rруппу. Вероятности этих rипотез-..До опыта известны
'.
I't' равны соответственно Р (В 1 ), Р (В 2 ), ..., Р (вn)' Проведен
опыт, в результа.те KOToporo появилось событие А. Требует.
ся определить вероятности rипотез в связи с появлением co
бытия А, т. е. необходимо найти условные вероятности
Р А (B 1 ), Р А (В 2 ). ..., р А (Вn)',
Правило умножения вероятностей зависимых событий поз.
воляет записать:
P(ABд==P(A)PA(Bд==P<Вi)P B (А) (i==l, 2'...' п),
., l !
или, отбрасывая левую часть, получим
Р (А) Р А <Вi) == Р <Вi) Р в (А) (i == 1, 2, ,.. , п),
l
откуда
, Р (B i ) Р в . (А)
Р А <Вi) == Р (A)t
Заменив Р (А) по формуле
лучи м формулу Бейеса
полной вероятности (9.7), по'"
(i == i, 2, п).
Р (В;) Р в (А)
Р (В-) l
А t Р (В 1 ) Р В. (А) + Р ЩJ Р в. (А) +
+ Р (Вn) Р В (А) , (9.8)
n
позволяющую переоценить вероятнЬсти rипотез после Toro
как становится Известным результат опыта,В итоrе KOToporo
появилось соБЬfтие А.
л р, н 1\1 'е р 9.7. Два аналитика разной квалификации проводят анализ
одноrо и Toro же образца. Вероятность Toro, что первый аналитик допустит
ошибку, равна 0,02; для BToporo веРШJ1'НОСТЬ допустить ошибку равна 0,1.
Контролем 'было обнаружено, что анализ выдан неверно. Найти вероятность
выдачн HeBepHoro анализа первым аналитиком. '
Решение, Событне А контролем обнаружено, что анализ выдан .не-
верно; можно сделать два предположения (rяпотезы): В 1 анализ проведеп
' первым аналlj1'ИКОМ; В 2 анализ проведеl(JВТОРЫМ аналитиком.
Вероятности rипотез Р (В 1 ) == Р (В 2 ) == 1/2' _
Условная вероятность Toro, что первый аналитик допустит ошибку
по условию равна Р В . (А) =;= 0,02. Условная вероятность тщо, что Второк
аналитик допустит ошибку. Р в . (А) == 0,1.
ИСКЩlЗя вероятность Toro, что неверный анализ выдан первым аналити.
ком, по формуле Бейеса (9.8) равна:
11
Р А (В 1 )
Р (8.) Р в. (А)
Р (В 1 ) Р В . (А) + Р (В 2 ) Р в . (А)
"'" 0,14.,
0,5 . 0,02
0.5.0,02 + 0,5. 0,1
138
[ '
I
..
"-,
,:
\ '
, "
'\
9.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧААНОА ВЕЛИЧИНЫ,
ФОРМЫ ErO ВЫРАЖЕНИЯ
Законом распределения случаЙной величины называется вся
кое соотношение, устанавливающее связь между возможными
значениями случайной величины и соответствующими им ве-
роятностями; ero можно задать таблично, rрафически и анали-
тически (в виде формулы).
L
9.3.1. Ряд раcnр депения. Мноrоуrопьник
расnредепения
Простейшей формой задания закона распределения дискрет
ной Случайной величины Х является ряд еаспрei)еАения
:rаблица состоящая из двух -.строк: вверхнеи перечисляются
все воз южные значения случайной величины (Х 1 , Х 2 , ..., Х n ).
в нижней соответствующие им вероятности (Р1' Р2' ..., Рп):
. "'i
11 Х 1
1\' Р1
Р2
Рп
Х 2
Х п
Р;
Каждая ,вероятно ть Pi (i == 1, 2, ..., п) есть не что ииное.
как вероятность события, состоящеrо в T M, что случаиная
величина Х примет значеНИ,е X l : Р, I' ,
Р1 == Р (Х == Хl)' Р2 == Р (Х == х 2 ), .1 I
. . . , Рn == Р (Х == х n ), р. 11.. 11. 11. 11.
1, (' II 1. l'
причем Pi == 1. I I . l ' I
i l I 1'.' ,
с целью Har лядности закон о х, х} Xs х. Х, ",
распределения дискретной слу- Рис. 17. Мноroуrольник распре-
чайной величины можно изобр - деления.
зить rpафически, для чеrо в пря-
моуroльной системе координат необходимо построить точки
С координатами (Х 1 , Р1)' (Х 2 , Р2)' ..., (Х n ' Рп) '1 соединить их от-
.резками прямых. Полученную ф rуру называют МНО20УiЮЛЬ-
ником распределения (рис. 17).
9.3.1. Функция расnpедепения
Одной 'из форм закона распределения как дискретных, так
и непрерывных случайных величин является функция pacпpe
деления F (х), определяющая для ка оп> значения Х вероят-
ность Toro, что случайная величина Х примет значение, мень-
шее х, т. е.
f. (х)== Р (Х < х).
139
' \::
I
!I
,.\
':fJ;
',;0;.'
. .
'<i;
=>"
.- '
):..
; 'i '1;
f l P
1"
!:'
",,",,
а i
;(
;
' ::=
1;
;:
, 1: .
i
,
,
I
;
'; ,>
:' ,
i :.
i i'
,'.
\'
I
!
..
;, 'i
;1
!
1, '.
i '!'
I
i: j
\
i' ,
/
,
,
'.
,
, J
I
I I
ц
[i,
!' "
" I
j; :
, ;
' 1 '
k '
! ,1
fJ :f ) 4
"
j
'; ; '
,1
,:f.
"
f:,
Функцию распределения F (х) называют также ин"пе2Рал
ной функцией распределения. или инmezралышм. законом. pac
nредел.ения.
Функция распределения обладает следующими свойст,.
вами:
1. Значения функции распределения принадлежат отрез
ку (О; 1]: О :::;;; F (х) :::;;; 1.
'2. F (х) неубывающая функция, т. е. при Х 2 > Х..
F (х 2 ) f (х 1 ).
FM пх]
1 1
as
0,2
-if
I
';i
..;. n
111
' :
'1 :r
-i'1
] E ,I ' ,
l' '
1i:
'!
. ' ;I
, Ч
,
' I: '
':. I
=' ,!
,::
:',,-,
: t
3'
;'
=t ' /
(',
....... 11
&..,
' 'j
J t
J,l:
J!
! \
:f' i
/t
} " I I
, "
:''''.
"
У' ,
l'
! '
а' х 1 2 3 4 х
а 5
Рис. 18.- rрафики интеrральной функции случайной
величины:
,а Ilепр,ерывно!!; (j дискретно!!.
с л е Д с т в и е 1. Вероя'l'НОСТЬ Toro, ЧТО -случайная ве-
'ЛИЧИНа Х примет значение, Э-8ключенное в интервале (а, b)
равна приращt:нию функции распределения на этом интервале: '
р (а < < Ь) == F (Ь) p (а).
С е,д с т в и е 2. Вероя;rность тощ, что непрерывная
случаиная величина Х примет одно определенное значение
например х 1 , равна нулio:
Р(Х == Xv == 0:.
3. Еслй все вооможные значения случайной величины Х
принадлежат интервалу , (а, Ь), то F (х) == О при х a
F (х) == 1 при х> Ь. '.---=:: ,
С е с т в и е. Если возможные значения непрерывной
слу.чаинои величины расположены на всей оси Ох, 'то СПравед
ливы следующие предельные соотнощения:""
liт F (х) == о; liт F (х) == 1.
x.. oo Х-++оо
rрафик функции распределения яепрерыйной учайиоЙ
веЛичины, ПОС1'роенный на основе свойств 1 3, представлен
на рис. 18, а.' , .
,Для дискретной' сЛучайнuй ,величины Х функция распре-
деления' f (х) pll B Ha сумме вероятностей Р, тех ее значений
Х ё , которые мен ше х: '
F (х) ==, t Pl.
,xi<X .
140
;
....I:
"
"
I
.;
'
i.,
,к.
,
" ",.Ji:'
...
,Например, для С.JIучайной"" величийы Х, аданной рядом
, ра пределения'
х, 1 2 3
Р, 0,2 0,3 0,5,
функции распределения имееr ,шд
" 1 о при х 1,
F (х) == 0 0' ,, 2 5 при 1 < х 2,
при 2 < х .3
1 при х>3.
Ее rрафик представляет собой ступенчатую функцию
(рис. 18, б). , ..
. В точках хl == 1, Х 2 == , Х З == 3, функция' F (х) меняется
скачкообразно, причем величина скачков равна вероятнос-
тям: Рl == 0,2; Р2 == 0;3; Рз:;':; 0,5.
9.3.3. ПnОТНОСТIt р.спредеneНИА
Одной из форм закона распределения, которая cyiцecтвy
ет только для непрерывных случайных величин, является
плотность расnределеяия f (х), равная первuй производной
функции распределения F (х): .
f (х) == Р' (x)
Функцию f ( ) называЮт также дифференциальным зако
ном. распределения случайной l3еличины Х, .,!!-ли дuфференцu-
'l1:/lbной функцией распределения.
ПЛотность распределения обладает следующими свойствами:
1. f (х) О. это слwеr из Toro, QTO функция распределе-
ния F (х) есть цеубываlQЩая функция, следовательно, ее про-
ИЗВО.I.Ная F' ( ) == " (хТ есть функция нegтpицательная.
rеометрически это свойство означает, что rрафик плотнос-
ти распределеНlfЯ (кривая распре ения) расположен не ни-
же оси абсцисс. . ,
2. несобственный интеrрал от плщнuсти распределения
в беск.онечных пределах равен единице:
00
,S f(x) dx == 1.
OO
r.еометрически это ОЗначает, что полная пJlOщадь, оrрани-
ченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
В частности, есЛИJ3се возможные значения CJ.lучаиной ве-
/.Iичины принздлеЖ8Т liнтервалу (а, Ь), то ,
ь
S H ) dx == 1.
11
14)
"
"
'\ "
, 7./
,
i 1t
"
{ I!I
.; .
, j '
; l'
: , ' '
. \" "
! .
..,
'.
;'?!
::-
,1'"
'. 1'.. ,
I
I i
",
" i'
!! ')
; 'i"
.i !,
Н .
,! ';,1
"
!\;
"
1," .
I
I
i j
I i'
1: 1'::
.,
; - ! :
i!
r,
1.
I i .J
, ,.!
i
"
i
'
t
'\j
i
1) il
'!!
J ,.
J
,1 '1
"
1 : , ;! , '
'1. .
;1' "
';
,; ',
111
;1 >1
I 1:'
,11: ,
'1" ,';'
: : t, ' '1
; 1 i 'I
: . :! '
:1 l , j
i I .,
; I :.
,'!, .
;! i(. '
"j, '
1!! :1
:!pj
! !!
J ! , ' f
'! .
4 1 ' , .
: ,
I '
f,' ,:
. )
,IU'
;!
:1 '),
;i '1,
i l'
,!
, .1:
. r ;;
Н,
;t
1,
I 1:
,i' 1
; j;
:: !
'!'.
\", '1
1"(
'1 J
i', '
;
Вероящость Toro, что непрерывная случайная величинв-.Х
примет значение, при надлежащее интервалу (а, Ь), равна оп.
ределенному интеrралу от плотности распределения, взятому
в пределах от а до Ь: \
ь
р (а < Х < Ь) == J f (х) dx.
а
, ,.,
Зная плотность распреде.ления f (х), можнонаiilll функцию
распределения F (х) по формуле '
х
F (х) == S f (х) dx.
oo
9.4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Закон распределения является исчерпывающей характерис.
тикой случайной величины. Однако на практике зачастую
более удобно описывать случайные велИЧиlIы числами, харак.
теризующими те или иные особенности распределения случай.
\IЫX величин (например, среднее значение случайной величи.
ны; рассеяние возможных значений случаiiной величины 130-
Kpyr среднеrо значения и др.). .
Пусть дискретная случайная величина Х принимает зна.
чения X 1 , Х 2 , ..., Х п С вероятностями Pl, Р2, ..., Рn' f(айдем
«среднее 6звешеНИDe» всех возможных значений величины Х
(с «весами», равными вероятностям этих значеций), характе.
ризующее 'noложение случайной величины на числовой оси
и называемое .математическим ожиданием случайной вели.
чины (будем обозначать М (Х) или т х В'зависимости от удоб-
СТВа записи той или иной формулы):
м (х) == x 1 Pi + X2fJ! + ... + ХпРn
Рl+Р2+ О' Рп
п
L XiPI
',i 1
n
L PI
' l
п
Так как L PI === 1. то
' l
.
n
М (х) == L х,Р,.
1==1
Таким образом; математическим, ожиданием, дискретноц
случайной величин.ы Х назьюается СУМАШ nроuзвeдений всех
вОЗЖJЖ1iblХ значений случайной величины. на вероятности этих
Зrlй'ШШЙ.
(9.9)
142
I
<
',А
;'
,
,
"
.
Нетрудно убедиться в том, что при досrаточно болыпмм чис.
пе опытов м.ате.матическое ожидание nрuближ нно рав!,'о peд-
IleAfY арифм тичесКfJМ!/ наблЮдаемых значении случаинои ве.
личины. v
Пусть проведено n независимых опытов, в которых случаи-
ная еелИЧIIна Х приняла nl раз значение Хl. n2 раз знач ие
Х 2 , '.... пk раз значение X k , причем + n2 + ..: + nk n.
Вычислим среднее арифметическое Х значении Х 1 . Х 2 , ...
..., X k :
Х Жl"l + Х2 n ! + ... + Xknk == Х 1 ..!!:L + Х!..!!!.. + ,... + Xk ':: "
n fl n
/"
Учитывая. что nl/п === W 1 относите.пьная частота зна-
чеЩiЯ Хl. п 2 /n == W 2 относительная частота значения Ха
И, т. д.. можем записать: ,
X==X 1 W i +X!W a + ... +XkWk" (9.10)
ОДlJaКQ при увеличении количества 'опытов nотноситель.
ная частота W k с практической достоверностью приближается
к вероятности Pk появления события Х === Xk' 'С. е.
W 1 !::< Рl' W! '" Р!, ... . W k <::< Pk'
Заменив в выражении (9.10). относительные частоты W 1 ,
W 2 , .... W k соответствуlO ИМИ вероятностями, получим
Х !::< Х 1 Рl + x2fJ! + ... + xkPk'
Учитывая формулу (9.9). имеем
Х !::< М (х).
Для непрерt>lвной случайной ивеличины Х м тематическоа
ОЖидание выража ся не суммои, а интerралом.
00
м (Х) == S х! (х) dx,
oo
'.)
['де f 'х) плотность распределения вели:ины Х:. и
' Если возможные значения непрерывнои случаинои вели;
чины Х принадлежат отрезку [а. Ь 1, то
ь
М (Х) == s xf (х) dx.
а
- Рассмотрим без доказательства некоторые свойства мате-
матическоrо ожидания. и '
1. Математическое ожидание постояннои величины равно
самой постоянной: М (С) == С.
, 2. Постоянный множитель можно выносить за знак мате-
матическоrо ожидания: М (СХ) == СМ (Х).
"
\..
143
" : \
I{
; "Y :.
'j' .
t 1,1,
, '
: !t::
, ,
I ; ,
..<
l'
,
; 1 ,
' \ ;;
,
, i i:
\II(
;! i'::i
tl .;
,1,
j Е , \
' 1 " ,..,'
,: :
!
11 '
:' '
i{
l' ..
,. '
,
.'
I :J i:?,
i :.:
i
,
i j
t .,l
')
: I .
! , l'
i;' ,
j
,
"
I
' , ' I '
J '
, ,
,
.!
i
r.
'i;'[:
:,' i r ,
j' ,;'
а . f
i': '1
" ,'j
J 1 ';1
:1,
;; }. -
t.
у; ;il
I ' ,
1" "
i I i
'i<.f
"
'. ';,
,;'1
',,: "
;;: [1
,:t. :; , ' ,
j 1'"
jP;;I: I "
:! 1; ;,
,',. '11
" '11
:1 i ' .
,
,! i
: i;
I
I ' I
i t!
: J :
} i!
;! f
:; '1;
'1 ',
,1 '!i
I./ 11
!(r -j:; .
. ;
I:f: ;1
" I
j;
,( I
I il
i Н
. f'
!I: _ т
, ;
;,
" ',!
'J
f
: :
З. МатематическО'е О'жидание прО'изведения нескО'льких
БзаИМIiО' независимых' случайных величин ,равнО' ПРО'И3$еде
пию их математических О'жиданий:
М [ П Xi ] == ii м (Х,).
' I ' I
. 4. Математич к,Ре О'жидаиие суммы двух или более, слу-
ч йных велцчин равнО' сумме математических О'жиданий этих
величин: '
М (Х 1 + 2 + ... + X,J == М (Х 1 ) + м (Х.) + ... -+ М (Х п ).
Это свО'ЙСТВО' справедли О' как ля независимых. так и для
зависимых случайных' величин.
,К характеристик ам пО'лО'жения, случайной велЙЧЩIЫ крО'ме
математическО'rО' О'жиданий О'тносятся также 'меда и медиана.
Модой дискретной случайной величи/Ш назывae'IСЯ ее зна-
r,reние, ,имеющ наибольшую верО'ятнО'сть.
Мрдой неnрерbllJНОЙ случаЙНQЙ величи/Ш называется такое
ее значеиие, при кО'торО'м ее плотносТь распределения имеет
максимум. , . ,
Если мнО'rО'уrО'льник распредмения (кривая распределе-
ния) имеет БО'лее однО'rО' ма1<симума, распределение называет-
ся «полимО'дальным».
Распределение, котО'рО'е имеет минимум, НО'. не имеет макси ' - ,;;
мума, называется «аНТЙмО'дальным».
Медианой случайнО'й величины цазывают такое ее значение
Ме, для KO'TO'PO'rO' справедливО' равенствО
Р(Х < Ме) == Р(Х > Ме),
Т. е. одинакО'во верО'ятнО', О'кажется лц случайная величина.Х
меньше или БО'льше Ме. ,
Если распределение мО'дадьное и симметриЧнО'е, ТО' матема-
тическое О'Жидание, мО'да н медиана сО'впадаЮт.
ЧислО'вО'й характеристикО'й рассеяния вО'змО'Жных значе-
ний случайнО'й велИЧИl!Ы BO'Kpyr ее математ ческО'ro О'Жида-
ння ЯВЛ ется дисперсия. '
Дисперсией случайнО'й величины называют математическО'е
Ожидание квадрата О'тклО'нения случайнО'й величины О'Т ее
математическО'rО' О'ЖИJI,ания:
D (Х) == М [Х М (ХЛ2.
Если Х дискретная случайная величина, то
п
D (Х) == t [х, М(Х))2 Pi, ,
, ' I
, I
['де x i ВО'ЗМО'жные значения случайнО'й величины Х;, р, .......
X сО'ответствующие !3ероя:rности.
144
..' '...',
. .
,.
,.t '
'.
"
; ...
,.'
:-,'
.'J" ,
3
, "
?t
,
f
,,,.. ' , ' ' ". .. ' , "\
Для непрерывных случайных величин дисперсия вычисля
ется ПО' формуле
00
D (Х) == S [х М (х»)2 f (%) dx,
oo
I'де f (х) 'плотность распределения .
Если вО'змО'жные значения Х при надлежат О'трежу [а.
bJ, то
ь
D (Х) == S [х il . (Х)Р f (х) dx.
а
Дисперсию как дискретных, так и непрерывных случай-
ных величин более удО'бнО' вычислйть ПО' формуле
П(Х) == М (Х2) [М (Х»)I!.
п
..де М (Х2) == x'fPi, если Х дискрет ая случайная вели
' I
, Ь
чина, М(Х2) == S х 2 ! (х) dx, еслй Х епрерывная случаЙfI Я
а '
величина.
Дисперсия имеет размернО'сть квадрата случайнО'й величи-
IIbI' ЧТО' частО' делает ее неудО'бнО'и:цля практическО'rО' испО'ль-,
зО' аlIИЯ. ПО'этому величину р ссеяния вО'змО'жных з ачеН!lЙ
случайнО'й веля'Чины BO'Kpyr среднеrО' мо'жI:lо' О'характеризовать'
средним квадpamИЧi!СКИМ опucлoнение,М
(J (Х) == у D (Х),
1<oтoPO'rO' сО'внадает с размерностью случайнО'й
размерlЮСТЬ
величины>
ОБОБщением ,OCHO'BHЫ числО'вых характеристик случай-
ных велвчин яв.тIЯется цонятие мО'ментО'в мучайнО'й величины
(на'чалыlхx и цеuтрат>НЬJХ). 'u u
НачальНы'м ,Моменто,М k-rО' пО'ряд а СЛУЧ8ИНО'И ,величины
j( нззывается,матемаrическое О'жидание k-й степени этой слу-
чайнО'й величины "
"k == м (Xk).
, Если Х "':"""дискретная случайная. величина, тЬ
п
"k == L X:Pi'
' I
Если Х непрерывная 'случайная вел чина, ТО'
00
, "k == S xkf (х) dx.
...
145
.'
?:
. I
...
.;
:""
;,:
! ("
, \"С
1 i;. '
\'
: ,
, y"
'-ii"
)i4i
! ,',
! ""
. ....
: t ,
, , ,
< 1;
\ .,
, \ }:;
,i , I
I j l:; ,
I "
:! I
\1"
, t : ," !
: 1; . \
р"<
\,t ,
t i1-.
\,: J
, ' ,
} \ :.
I (' .!
I \ 1>
:1
r "
,
i N
\
f
,]\
,
"
"
';
.,
j
.
J
: i
!
11I
')::,1
с:. '1
{' !
:!
} ' .
I
,.:,
1:1 "
'11' ;!
" (t !
, "
!-, :i
)1
" J J!,
; I
, I
; ': f ' :
.; (,
, i l ;' 'i:
,j, : 1
' ! '4 '
. I1 1
' "
:)I' '
,'1, ' 1
',1
) '" j.,
. I ' .
': ;
':
'I:r
.;.
'< lJ
'Ч
" ' I '
, .\
, .,
, : <. I '
: 1 1' 1
{,1.
" ,"
j,'--,;;\
y ч
'11 [1,
;[<"i
:'" ,' / '
',' I
,- 1,
. Ч
1.
.."
.( 1;:
[': ;1
;;:1.:
" ' 1 '
'1'; ,
< ,
,"l!t;,;
, .
!h..,-r
,I," !
, ,
! '. +
;
,'J
Математическое ожидание Х есть не что иное, как началь-
ный момент первоrо порядка:
\/1 == М (Х).
ЦентрироваННОtf случаЙНОЙ величиной. соответствующей
величине Х, называется отклонение случайной величины Х
от ее математическоrо ожидания: Х == Х м (Х).
Моменты центрированной случайной величины носят на-
звание центРальных моментов.
Центральным моментом k-ro порядка случайной величи-
ны Х назьщается математическое ожидание k-й степени соот-
ветствующей центрированной случайной величины:
J.tk == М (Xk) == М [Х М (X)]k.
В ч стности, J11 == М (Х) == м [Х М (Х)] == О; J12 ==
== м (Х2) == М [Х м (Х)]2 == D (Х), т. е. дисперсия слу--
чаЙI10Й величины' Х есть центральный момент BToporo порядка.'
Если Х дискретная случайная величина, то
n
J.tk == [ХЕ":"" м (X)]k РЕ'
ido1
Если же Х непрерывная случайная величина, то
со
J.tk == S [Х М (X)Jk f (х) dx.
oo
fIользуясь свойствами математическоrо ожидания, леrко
получить соотношения, связывающие начальные и центральные
моменты:
J.t2 == "2 "1;
J.t3 == "3 3"1"2 + %vf;
J.t. == \/. 4"3"1 + бv 2 'y З"1.
Моменты более высuких порядков' применяются редко.
Центральный момент тpeтbero порядка служит для харак-
теристики скошенности, или асимметрии распределения. '
Асимметрией распределения называется отношение цент-
ральноrо момента тpeтьero порядка к кубу среднеrо квадра-
тическоrо отклонения:
As == J.tз/08.
Центральный момент четвертоrо порядка служит ,для ха-
рактеристики островершинности или плосковершинности рас- .
предел ния. Такой характеристикой является 9ксчеССI опреде-
ляемыи равенством:
Ek == ...../01 3.
146
<
..(
"
"'"
, {"
'" ,
!4'I
, ,
у
,.,\
"".!'
"
( ,
'..
;( I
::
'
.-;
,/
/
\
Рассмотренные моменты называются теоретическими.
На практике приходится оперировать нормированным"
случайными величинами.
НормироваkНОЙ случайной величиной (Т} называют цент-
рированную случайную величину, выраженную в долях cpek
Hero квадратическоrо отклонения:
'<
т == == Х м (Х) .
... о(Х) о(Х)
Математическое ожидание нормированной случ йной вели-
чины М (Т) равно нулю, а дисперсия D (Т) равна е]J.инице.
9.5. НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАRНых ВЕЛИЧИН
9 5.t. &иномиальное распределение
риномиадьным называют распределение вероятностей дис- '/'
кретной случайной величины Х 'числа появ.iIений некото-
poro события А в n независимых ИСПblтаниях, в каждом из ко-
торых вероятность появления обытия постоянна и равна р,
определяемых по формуле Бернулли:
р. n (k) == C pkqn k.
rде k О, 1, 2, ..., n; Р п (k) вероятность Toro, что собы-
тие А в n незаВИСI!МЫХ испытзltИЯХ появится 'ровно k раз;
q == 1 р веРОЯТНQСТЬ непояв.ления собы:rия А в каждом
k ' n I u
испытании; Сп == k I (п k) I (число сочетании из n элементов'
по k).
Биномиальный закон распределения в табличной форме
имеет вид:
хl о I 1 2 1...1 k 1...1 n
Р I с.?'рОс!' I C 1qn J , c p2q" 21...1 C':.Pkq" k 1. ..1 C:fJlIqo
Математическое ожидание случайной величины Х. подчи-
няющейся биномиальному закону распределения, равно, про-
изведению числа испытаний n на вероятность р пщшления со:
бытия в каждом испытании: lИ (Х) == пр.
Дисперсия и среднее квадраТИЧе<'кое отклонение бином»-
альноrо распределения определяются по формулам:
D (Х) == npq;
о (х) == у;Ц;Ч:
147
'\ Ь'
. '.1,
i1(
1:'1
iA!
t : -
,,: ,1
, }>,
' .
,
!
'.I A
!
'} .
".
; ;;:
. 11-
, I i
; 1<,
1:: !у'
I1 :'.
:! I
[; '.
;i ;,1
I,'i
It:
; 1'
1.' .'
1 t
, '.
! i , "
1\'/ .-'
i' ,,'
i ,:
.<
! ' '
, (
(
1.
, '! '
.
t f
11 '1'
А
1
1
I
.11 ,
"
j
J
, I -
I
J
i I
,
I
I1 J
,;' f
j ,
{
:; I : .
,
,j;:
'
11, ,'"
.; ! '",
::1' 1 11, .
'. f1 .
: f
; ': ,'
'11
;i;' ,: f :
,;
;,; 1,
..".\1
:,j
, i t .
'
. :;,. "
, '1 .
;; j '"
; 1'" j ---:r---
,. ,;
:;....' I
, i
j 1 t
ii' ;j
iC ::
" '1
, "
.'!;
. !
.;.' i: [ \
'; l'
;;< ! \' -
". _; , '
, ,
i' n:,
,!. Ii'
" jij
: , ' .
',.[
Показателн асимметрии и эксцесса для биномиальноrо рас-
пределения имеют вид
А q p
S ynpq
Е 1 брq
k npq
9.5.1. Распредепенме Пуассона
Пуассоновскuм называют распределение вероятностей дис-
кретной случайной величины Х числа появления события
в п независимых испытаниях (п достаточно велико}, в каждоМ
из которых ,вероятность появл ния события постоянна и равна
р (р 0,1), определяемых по асимптотической формуле Пуас
сона: -
,,} '"
Р п (k) == :1 '
rде л == пр (среднее число iюявлений события в n испытаниях;
k == О, 1, 2, n чщ:ло появлений события й n независимых
испытаниях). . '
Это распределение зависит от' одноrо параметра Л.
Закон' Пуассона в табличной форме имеет вид:
х' о I ) / ,"2 -1.. / k -. /.. .1 n
,
pl e '" '1 f }HI' . '. :1 ,
л '" 1..2. '" л k 1 Л N '"
e e e e
11 21 kl n'
, ,
Особенностью распределения Пуассона является равенство
математическоrо ожидания' и дисперсии: М (Х) == D (Х) ==
:ос: Л == пр.
Пока,зателl;l асимметрии и эксцесса имеют, вид
А. == 1/J!I'; Ek == 1/1...
9.5.3. Показатепьное распредепенме
Показаmeльным (эк.сnoненцuальны-м) называют распределе-
ие вероятностей непрерывной случайной величины. Х, KOТcr
рое описывается дифференциалыюй функцией
L ,
f (х) == { Опри x< ,
, Ле u, при х;>о,
I'де л постоянная положительная величпна.
Показательное распределение определяется одним парамет-
ром л. '
148
, f'
,.
..;"
',.
'1-.'
.
(.:;t,
., ............... . ... . ................."
. ,
, , .
ИIiтerральная функция показательноrо распределения име
ет вид
, { О' прн х < О,
F (х) == 1 e l% прн x О.
Математическое ожидаIiие показательноrо распределеllИЯ!
равно обратной величине параметра л: М (х) == l/л. \&
Дисперсия показателЬНОFО ,распределения D (Х) == 1/А.
Среднее квадратическое отклонение равно математическ
му ожиданию: (J (Х) == М (Х) == l/л. ""
Показателн асимметрии и эксцесса показательноrо pac
пределения при любом' значении параметра л имеют посrояН
ные знач ния: А. == ; Ek == 9. ..,'
Показательное распределение. находит ширькое примене
ние в при-,!ожениях, в ч стности в теории надеЖНQСТИ.
jOO
9.5.4. Равномерное распредепенме
PaвHOM pНЫM называют распределение вероятносrей не.
прерывной случайной величины Х, если на И!iтервале (а, Ь)..
которому принадлежат щ:е возможные значения Х, плотност
р спределения сохраня QОСТОЯНJlое значение (' (х) == Ь 1 а)"
вне этоrо ИIiтервала f (х) ==. О. , .
'Дифференциальная и интеrральная Ф:ункции равномерноro,
распределения име вид
. ' f о при х < а, О
1 'х:----а
Нх)== при а:;:;;х:;:;;Ь, Р(х)== b a при а:;:;;х:;:;;Ь..
о' при х> Ь; I при х>Ь;
:Математическое ожидание равномерно .распределенной слу
чайной величины Х М(Х) == (а + b)l2. " 2
Дисперсия случайной величины Х /) (Х) == (Ь а) /1;
Среднее квадратическое отклонение о' (Х) == (Ь а)/2У 3.
В силу симметричности рзвномерноrо распределения Ав ==
'::::: О, медиана Ме == М (х) == (а + Ь)/2; коэффициент эк<:цес
са Ek_ , l, 2; МОДЫ равномерное распред ение не имеет.
9.5.5. HopManbНoe распредепенме
Нор.маЛьны-м' называют распр еление вероятностей не-
прерывной случайной величины ?<-' если дифtJeренциальнаи.
функция имеет вид
при х<а,
1
f(x) == !J У 2"
(%......[1).
е '"""'2ij8"""
149
" Ь
. '.
.. .
}' .
i
I i
i ,-;,
t .;,
" 4
II '
i " .
! \ \
I
( I
I \ .
';' ' ')
:\ ,'t.'
! IS.
' ..,
;\ (1
" ,(..
1 1 i ;'
1,'
'1 i'
;; :'.;
'\ ; \
1. ,
I Н ii.
\; r
.'
1 f
' ,$
J i '.
I 1, .
1'; .'
'
, 1..;
j"
f.
J ,!
1
, i
! !
,:
:,
l' j
:
' 1 "
- "1
,
-/
j
'! .:
1 l
J ' ' '
_, ,
,1 :
, ,
.., i
1 :1!
}!
l' i
,"1 '
;! '
\ \'
'! I
, ',; ,а
,;;;,
.'
j 1 i 1.' r
: .
:I( i
,
i' '"
"
'.: ,
'1' '
. : , ,
1"
';::I I i' ,
; l
, :
: : J '
'1)
. "
, ' ' 'I
i , "
:' '. i
! ' t1
:r I
.!
, ' 1
'.
"ii
1, Н
1, '1
i. "
, .
.' "
i I J ;'
!i , "
- .
':С ,, i'
,.
....
ii
, ,
, , j
: -
!.
Нормальное распределение определяется двумя параметра-
(ми: а L...... математическое ожидание, о" среднее квадратиче-
.ское отклонение.
fрафик дифференциальной функции нормальноrо распре-'
.деления, называемый НОР.мд./lьной кривой (кривой raycca).
.раСllоложен над осью абсцнсс, симметричен относительно пря-
мой х == а; при х == а ФУНКЦlfЯ f (х)
имеет максимум, равный 1/0" V 2n ; точ-
ки rpаФИJ<а (a O", I/O" V2ne) и (a O":
1/0" У 2ne) являются точками перетиба; ,1
при х ::1:: 00 кривая асимптотически
приБЛ!1жается к оси абсцисс (рцс. 19).
J< РасhоJiожение нормальной кривой
вдоль оси абсцисс изменяется с изме- .'
нением параметра а; форма нормаль-,
ноо кривой меняется при изменении -- .
.лараметра о" (с возрастаниеl'tf о" максимальная ордината кривой .'
уменьшается, а сама кривая становится более полоrой; с умень- \'.
З1Iением о" кривая становится более «островершинной»). ;
Асимметрия, эксцесс, мода, медиана нормальноrо распре- ,
.деления ?DTBeтcTBeHHo равны:
As == о; Ek == о; Мо == а; 'Ме == а. ,..,
Нормированным называют нормальное распределение с па- t
iPаметрами а == О, о" == 1. ' ",t'
Дифференциальная функция нормированноrо распределе- , ' ,
.ния имеет вид
ер (х) == ../ e x'/2.
2п
Эта функuия табулирована.
На практике часто приходится вычислять вероятность то-
,со, что нормально распределенная случайная величина'! Х
i!Iримет значение, при надлежащее интервалу (а, ), с исполь-
ованием равенства
р (а < Х < fJ) == ф ( fJ о а ) ф ( а а ).
iIC
, 1 S
If'де Ф (х) == у 2п e z'/2dz функция Лапласа, значения
u о
.которои находят по таблице (приложение 1), причем в таб-
.лице приведены значения Ф (х) для о:::;;;; х :::;;;; 5, для х < О
lIОЛЬЗУЮТСЯ той же таблицей (функция Ф (х) нечетная, т. е.
.ф ( x) , ф (х), для х> 5 можно ПРIJНЯТЬ Ф (х) == 0,5.
иBep? THOCTЬ отклонения нормально распределенной слу
'Чаинои величины Х от ее матемаrическоrо ожидания а на
J50
-', ...,
,:1.,
""( ....... ' -- . -
величину, меньшую заданноrо положительноrо чиСЩ! б, оп
ределяю'f, пользуясь равенством Р (1 Х а I < б) == 2Ф ( )_
Положив' {:j == O"t, получим Р (1 х а I :::;;;; O"t) == 2Ф (t).
При t == 3 имеем: Р <1 Х а I < 30) == 2Ф (3) == 2 Х
х 0,49865 == 0,9973, т. е. можно считать практически досто-
верным событие, состоящее в том, что случайная величина Х.
подчиненная нормальному закону, примет зна ение на интер
вале (а 30, а + 30'). в этом суть правила трех СUZ,М: если
случайная величина распределена нормально. mo абсолютнан
величина ее отклонения от .маmeАtaтическоzо ожидания не
. превосходит утроен1ЮZО среднесо квtlдрапшческоGO отКЛQнени!l.
Этим правилом можно воспользоваться, коrда необходим()
определить, имеет ли. изучаемая случайная величина нормаль
ное распределение. Если условие, указанное в правиле, вы-
полняется; то случайная величина распределена нормально
в противном случае распределение случайной величины нор-
мальным не будет .
Если о распределении случайной величины н известно ни
чеrо, кроме диапазона ее случайных отклонений, то на OCHOBa
нии'правила трех сиrМ можно ориентировочно оценить сред-
нее квадратическое отклонение: сл дует 'взять максимальное
практически возможное отклонение случаjfной величины от ее
среднеrо значения и разделить это Ьтклонение на Т , ри. L
Особенность НОрМЗJJьноrо закона распределения fОСТОИТ
в том, что он является предельным для друrих зако ов .распре
деления.
9.5.6. Распредепен..е "/.2
Пусть X i (i == 1,2, .... п) нормальные независимые слу
чайные вели:чиныI' каЖдая из которых имеет нулевое математи
ческое ожидание и единичное среднее квадратическое откло-
..ение. Рассмотрим случайную величину У, которую опреде-
.пим <;JIедующим образом: "
,;
'.<;..
"
n
у == 1: X .
i 1
Тоrда У подчиняется распределению ')(;2 (<<хи квадрат»)
с k n степенями свободы.
Дифференциальная функция этоrо раСПр'еделения имеет вид.
I о при x O.
f (х) == 1 e x/2X<k/2) 1 . при х > О
2 k / 2 r(k/2) ,
,
151
"
. \,
t .
. ,
;l;.
';
"';.
,е'
i (i
'; i".',
:1 \'
j '{;,
' , " '
.
: .;
1\ j,:
l ;
i\ 1:
, ,{
' ,<
' 1 1 ,
! ;;
:!t'
I >fj'
.,;
'1
'1: 1;
I j ,
: I! ,
I р ".
! i
i
.
1, I' ,
"'1
;,
,
;)
! I
,' ! , .
,о, f'
: 1 '
"
, '1
I !
>,
" ,
"
i i. !:
! I ,f
:.' i
,:;'
, . !
i'
'!r:::f "
,j,
;:- .J
': .
I ,
, ,
'i"' l '"
;' I
о'......' I
j'
',' fi,
:;:: ,
· 1
'
(' .
" t
!. :.
;' , '"
, "
:t ' ,
:' ---
"
i'
..
... '"i",
, (
.
'.
00
rде' rамма функция r (n) == S e 1txn ldx. При n,> 2 для опре "
_ о
.деления ,значений функции пользуются соотношением r (n)
== (n 1) r (n 1); rn 1 == (n 1) 1. если n целое по-
.ложительное число. '
, Распределение Х 2 определяется одним параметром , чис
.лом степ,еней свободы k.
Математическое ожидание распредел ния l2 с k степенями
.свободы равно k, дисперсия 2k. Распределение несимметричНО.""
С увеличе lИем числа степе ей свободы распределение Meд -, "'
.ленно цриближается к нормальному. \,
! t .
....'
9.5.7. t.Распредепеиие с;тыоентаa ,'»1",
Пусть, Х 1 случайная величин , имеющая НОР, льное';!:
распределенце. причем М (Х 1 ) == О. а (Х 1 ) == 1. а Х 2 He j'
зависимая от Х 1 c.fIучайная величина. ПОДЧИНЯ10щаяся pac
(Jределе ИIQ Х 2 ,С k степеням" свободы. Тоrдаслучайная вели
'Чина Т == XiV X 2 /k имеет .t распределение Стьюдента с k ",
оСтепенями свободы. " ,
Дифференциалы ая функция,такоrо распределения имеет вид
;..}
( k 1 ) 1 .
.r + 2(k+l),
Нч + ( 1 '( ') (1+ ) . ( <x< ).
,k r 2' r, 2
t-Р спределение симметрично отнОсите.(Iьiю CpeдHero. paB i).
lюrо нулю. ero дцсперсия равна k/(k 2). ":;
Для больших значений числа стеоеней свободы k (k > 30)
раСQределение Стьюдента стремится к нормальному с нулевым ' ,
математическим ожиданием, и единичной дисперсией.
'.
t....,'"
"17;
-.!
\')
'i\
9.5.8. F .Распредеneние Фиwера CH дeKop.
Пусть Х 1 и Х 2 независимые сл}!:чайные величин . им
ющие распределение Х 2 со степеЩIlУIИ " вободы k 1 .If k 2 соответ':
<:твенно.
т v ' F ,Xl/ki
оrда лучаиная велич на ==, X 2 1k 2 имеет F-распреде
.ление со степенями свободы k и .
Дифференциальная функция TaKoro распределения имеет вид'
r ("k. + ') , .1!L' 1 .
I(x) "'"' ri+) :( ) ( ) , . х' (О"х.;щ.
( t k.X ) 2
Ц-',
"
152
,
Математическое ожидание F распределения равнр k 2 2 .
2k (k. + 2)
дисперсия составJ\яет k. (k 2 2)2 (k 2 '4) (kj! > 4).
Рас ределение несимметрично. о ределяется двумя пара
метрами 'k. и k 2 (числами степенеи свободы).
, F-распределение широко использует я В реrpессионном и
дисперсионном анализах.
rO.8a tO. ЛЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЁСКАЯ О&РА'60ТКА
ЭКСПЕРИМЕI:IТАЛЬНЫХ AHHЫX
И.1. ПРОСТАI СТАТИСТИЧЕСКАI СОВОКУПНОСТЬ
Пусть для изучеlЩЯ H KOTOpO» случайной величины Х про- .
изводитея п независимых рпытов (наблюд ний). в каждом И3
которых Х принимает определенное зна.?ен е. COBOKY HOCТb
ЗЩ1ЧЕШИЙ Хl' Х.. .... Х N ' принятых случаинои величинои Хв:
n опытах. ,назыв.! s.!!.!] а.й r.таШUС(пuч.et;КРЙ сово1<JJn. остью
иди 'nрРСты-м, статистически-м рядо-м. Обычно проc:rая стати
стичеокая совокупноs:ть оформляется в вцде аблИЩ>I. в первом
столбце КОТОР9Й укаэыuается номер опыта 1. во втором Ha
бщодаемое значение иучайной величины,-
Л р и м ер 10.1.' Путем отбора средней пробы различных. партий
руды- и последующеrо анализа были найдены значення Х; случаиной Be
личюiы Х содержаниа меди в ; й пробе (табл.44).
riро .той статистический ряд представляе соб й пеРВИЧНУI()
форму записи g-8тистическоrо материала и может быть обра
ботан различными спо<;обами. '
. Если необходимо исследовать достаточцо бол.ьщую СОВОКуПr-
ность' однородных объектов относительно HeKoтop ro коли,..
ч ственноrо или качествещюrо признака Х, случаи но отби,.
Таблuца 44: Простой статистический ряд
'
; I Х;. % ; I "Х;, % ' I I ";' %
.
1 , 18,7 ,8 21 4 15 21,4
2 19,6 9 20,5 16 18,7
3 11,4 10 19,6 17 19,6
4 20,5 .lI 17;4' 18 16,3
,5', , 16,З 12 ЩЗ 19 '19,6
6 14,2 13 20,5 20 :20,5
7 18,7 14 19,6
,
15&
-"';'*'"...."' " ; .............--,... .
, "
" " ,
, : :)
t .,
,,
,"-
, I:
('...
, I l..i
!I!:
i '?:.
' ;,
i I .;;
, I{. I
: j \
'\ : ,
' 1 iiii
I ;
'. ,
ii (
J I i
' ! Ii;.
! I '
, I ,
'"
1' \ !i, , i.
,$"
1;", '
. :;!,
, '"
' \ "
I
!! :;
l i 7 \
".
., ,
\;
"
.' "
! '
! '..
i ,
!
{; ,
'.
'
. "
1.
t\
': !
t .;1
, "','
'}\
'
,
:
',1
I
r,
: :
.,
t:,,' :
"/,
','
li,
(
"
,
1:
,1.:'
"
l'
i
['
' ,
' r
";
!j
:.' ' ,.
,'I
::'[
рают из нее оrpаниченное количество объектов и подверrают
ях изуЧению_ Такая совокупность случайно отобранных
<>бъекто называется .i1ыfjgрочной совС! уп1ЮСтью., или просто
еыборкои. Т а обширная совокупность "ббъектов, из которой
производится выборка, на:р,rвается zeн.еральной совокупностью
Обu.4tом СОвокупности (выборочной или rенеральной) Н8зыва
ют число бъектов этой СОвокупности (объем, п выборки преk
ставлен нои в табл. 44, равен 20). '
В дальнейшем будем мысл нно рассматривать проведенные
n опыт в как ,«выборку» из некоторой чисто условной «rehe--
р нои совокупности»; СОстоящей из бесконечноrо числа воз
МО ных опытов, которые можно было бы 'провести в -данных
условиях.
I
, !
1 '
?
'Ц-:
-,
f 2. С!АfИСfИЧЕСКQE'АСПРЕДЕПЕНИЕ
Пуvсть v имеется выборка объема п, в которой значение Х
с.лучаинои величины ХнаблюдалоСь п Р аЗ Х п 1
х п Р аз П Р + ., 2 ! раз, ':'
k k , И этом п. п 2 + ... + п" == п. Распощ>жим ;;'
значения Х., Х 2 , ..., Х" В порядке возрастания. Эта опер щия
называется ран:нсированием статистических данных. Значения
х., ,Х 2 , ..., Xk !lазываl<!f вариантами; последовательность Ba
риант, записанных в возрастающем порядке вариационны.м
(ранжированным) рядо.4t; п., п 2 , ..., n k ча::тота..чи В8риант
х., Х 2 , .., X k ; отн?шение п/п == W l (i == 1, 2, ..., k) относи /
1l'ельнои частотои варианты )(1' ';
, Статистическим распределением вЫборки называют пере-
чень вариант Х , и соотв тствующих им частот n l или относи"
тельных частот W{ и представляют обычно в виде таблицы:,
1!:
.
'"
'iii:
"
:
J Х; 11 Х. I Ха Х"
п , 11 п. I п 2 , п"
(статистнческое распределение частот);
, ;.'
, ' "
.
11
I
I
f
I
I
I
(статнстнческое распределение' относительных ЧдСТОТ)
Л Р И М е р 10.2. Найти статирическое распределе ие частот и OTHOCH
1I'eJlbHblX частот по данным табл. 44.
Р шение. Случайная Вt'личина Х в 20 опытах ПрИЩlЛа 7 различных зиа
"',ений. значение 14,2 наблюдалось оАин раз; 16,3 три раза; 17,4 два
Х,
Х.
Х 2
Х "
W i
W.
W a
W"
154
I '1 / 1. ..1 I ;..1 f "
/j Х 1 ; Х 2 Х 2 ; Х з х,; Х'+l Kk; Х"+l
т; I т 1 I т 2 1. ..1 т, 1... .1' т"
15Ь : 1: .
- --"----,,,,-... ,
...
Таблица 45. Статистическое распределение aCТOT
Вариаиты Х! I 14,2 I 16,3 I 17,4 I 18;7 I 19,6 I 2Q,5 I 21'4 1
Част<YrЫ п , I 1 I 3 I 2 I з '1 5 ! 4 I 2
.
.
']
,
Таблица 46. Статистическое распределение относительных частот
Варианты Х! I 14,2 I 16,3 I 17,4 l' 18,7 I 19,6 I 20,5, 21,' \
Относительные I 0,05 1. 0,15 1. 0,10 I 0,15 1/0,25 J 0,20 0.10 ,
частоты W t I
,, ":! ,
. '
раза и Т. д. Запишем эти значения (в порядке возрастания) и СQответствую-
щие им 118СТОТЫ в виде таблнцы (тa{iл. 45).
Сумма частот n, равна п == 20 (объему выборки).
Определив относительные частоты W, == щ/п (i == 1,2,..., 1), запишем
их в таблицу (табл. 46).
7
Нетрудно видеть, что Wl == 1.
' 1
Статистическое распределение можно также з дать в.виде по
следовательности интервалов и соответствующи'х им частот (в Ka
чес1lве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму
частот вариант, попавши'х в этот интервал), Такое распределение-
часто называют интеfJ8альны.4t статистическим распределением.
Чтобы получить интервальное статистическое распределе-
ние, необходимо весь диапазон значений х, случайной вели
чиньrХ разделить на интервалы и подсчитать количеётво т ,
значений X i , приходЯщихся на i й интервал, а 'l.'акже найтИ'
отнO€ительную частоту W 1 == т/п (i == 1, 2, ..., k), cooтвeT
ствующую i-MY интервалу.' I .
Число интерва лов не должно быть слишком большим илw
слишком малым. Практи ески rруппировка,В интервалы реко-
мендуется при n > 30; при п:>т- 100 рекомендуемое числО'
UItтервалов составпяет 10 Ю, при п <,log 6...:"" 8. Длины
интервалов MorYT быть как одинаковыми, так и различными.
. Для удобства вычислений предпочитают длины интерващ)в
брат!;> одинаковыми. 'Однако если опытные данные распреде-
лены неравномерно, то в области наибольшей плотности pac
предедения можно брать интервалы более узкие, чем ,в области
малоЙ' плотности.
Интервальное статистическое распределение представля-
ют в виде таблицы
,
,
.'
," i ';,
'а '>
I ','
\' !,'t.;.
I
"
!; '
!. \ I
. '1
;, : ",'
: II ' '
: .
[' 1 \ i -'I
! 1
I !;;!;
( j!.-'
I 1..\
I ' "
. I f '::'
,
. 1"
1,'
I!
\! : .
.!
'i
:', 't-
!i 1:,
,. ;.
,: t.
r )
'\
I.;]
I
!
,
;'4
, I
I! I
j l' !
' i
i'
I
- i.
, ,
';1 :?
!' I
(
,- i
I ;
;;, :'
.1, ,
i ' '
,
! ,
i
,
!
',' t,
", ' f
i"
; ,; '
. t
! .,
;
'''J',
-7'-'
l' ; .
, ;
.
. '
!
:
.:' t
, ,.
I'де 1, обозначение i ro интервала; X i ; Х{+1 rраницы
i ro интервала; m i соответствующая частота; k число
(
tштервалов.
Такую таблицу называют ещ е ста.:rистиqе СКIiм..lНЩ2 . '
. ' '?, -...
При м е р 10.3. В теченне рабочей C HЫ был пронзведен аиа;; s
150 проб продукта. Результаты анализа представлены в табл. 47.
Здесь /{ (i == 1.2. .... 10) интервалы. на которые разбита совокуп-
>IIOCTb значений случайной' величины Х содержання продукта в пробе;, .;
Таблица 47. Интер ьное статистическое распределение
/{ I 75; /77'5; I 80; /82'5; I 85; /87.5; I 90;' 92.5; I 95' I 97,5
77.5 80 82.5 85 87.5 ,90 92.5 95 97,5 100
т{ 1, 2 110 I 15 I 18 I 20 I 22 l' 24 I 20 I 6
W. <..., j o.tоо 0.1зз1 0.147
t
, т{ln.. 0,013 0,120 0,160 0.IЗ3 0,087 0,040
: '
"
- '
;;,1<,
-tr',
i. \'
т{ колнчество проб. в которых содержание продукта соответствует i-MY' :
1Iнтер.валу; W{== miln (n == 150) относител ные частоты. соответствую:';;::;'
lЦие t-MY интервалу.
'.
'.
tO.J. rРАФИЧЕСКОЕ ИЗО&РАЖЕНИI: СТАТИСТИЧЕскоrо
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
-.....{
i;.;;;; "
rрафичес ое изобра>кение статистическоrо распределения
fIОЗВОЛs'iет, представить закономерности изменения значений "
(;ЛУ9айной величины Х в наrлядной форме.
Пусть имеем статистическое распределение частот:
--..
,.',
"':; .
;(.
1 Варианты X i ".
Частоты n{ n.
/
I
I
n k
I
1,
Х 2
Xk
n 2
Нанесем точки (Х 1 , nl). (XI!.,n 2 ), .... (Xk. nk) на координатную
:плоскость и соединим их отрезками прямы-;; получим ломаную,
, Iкоторая называется !19J!. 1!5!..A!., ftl()т.
л р и м е р 10.4. Построить полнrон ч стот по данным, приведенным
'8 табл. 45. ' ' .
Решение. Отложим на оси абсцисс варианты Х{, а на оси ординат со-
crветствующие им частоты n{; соединив точки' (Х,. n{) отрезками прямых.
..uолучим искомый попнrон частот (рис. 20. а).
Полиzоном относuтeЛЬRblX ч.астот называют ломаную. oт
резки которой соединяют точки (Хl' W 1 ), (XI!' WI!)' ..., (Xk' WJ.
еде W, == n;ln (i == 1. 2, ..., k).' ,
, J56
/
rt р If М е р 10.5. Построить
полнrон относительных частот по
данным. приведенным B та"бл. 46.
Решение. Отложнм на оси
абсцисс варианты Х{. а на оси ор-
дннат соотвеТСТВУIQщие отно-
сительные чаСтоты W {. Соедниив
точки (Xi. W д отрезками прямы..
получим нскомый полиrон отно-
сительных частот (рис. 20. 6):
ИнтервальнОе стати и
ческОе распределение rpa-
фически изобрз>кается в ви
де так называемой еисто- 0,20
ераммы.
rисmozраммой частот 0,10
называют ступ.енчатую фи-
rypy. состоящую из прямо-
уrольников. основаниями
которых слу>кат интервалы
длины h; а высоты равны-от-
НОШ }IИЮ..... m/h (плотность
частоты; mj сумма чаp:rот вариант, попавших в t-и интер
B . " ,
Площадь rистоrраммы частот равна объему вы орки п.
r ucmo?раммой, относительных часmoпt называют ступенча
тую фиrуру. состоящую из прямоуrольников., основаниями
которых слу>кат интервалы длины h. а высоты равны отноше-
/,'", i . нию W /h (плотность относительной
".",: / частоты):.
IJ Площадь rистоrpаммы относи
тельных частот равна YMMe cex oт
носительных ч стот; т. е. единице.
.. Л Р и м е р 10.6. Постронть rистоrрам-
, 3 мы частот и относительных частот по дан-
2 Hы.. приведеиным 'в табл. 47. .
I Решение. На оси абсцисс отложим за-
.1 ' IQ 5 во данные интервалы длнны h == "2.5. Над зтн-
а ми интервал и проведем от езкн. парал-
лельные оси абсцисс. на расстоян н mih.
для чеrо найдем:
m./h == 212.5 == 0.8; т2/'" == 10/2.5 == 4;
та/'" == 15/2.5 ==-6; , т"'" == 18/2.5 == 7.2;
m,,/h-== 20/2.5 == 8; те/'" == 22/2.5 == 8.8;
",,11& == 24/2.5 == 9.6; пiJ1& == 20/2;5 == 8;
т./'" ==)3/2.5 == 5.2; т.oI'" == 6/2.5 == 2.4.
Искомая rистоrрамма частот изображе-
иа 'на рис. 21. а.
Для построеliия rнстоrрзммы относи-
тельных частот найдеМ их ПJ,lотности:
,
,
.;t
О,
о
75' 'ао а5 б 90 95 _ 100 xl
Рис. ,21. rистоrрамма частот
(а)'и относительных частот (6).
/',
.п.
..
2
о 14
16 '
'д '
а
20'
22 Х,
Wi
о 14 16 18 5 20 2. Х,
Рис. 20. Полиrон частот (а) и относи-
тельных частот (6).
.157
, r '\.r.,"'(,' ',
, '
'.'--O<;7r' '" .... 't"......,...,"'";...- ....". -r --
, "
.1
c \i;
;!! \Е"
'.::"
Z
".
", ' '
'.
,
\ь '
l' ' .'
'blf
, 'Ij{,
: , ' ', '
, j,!
:, i;f,'
'4'
' \ i1 ,
, r:
. )
, , ,
1 ::' i
11 ;[;'
' 1 :
'р
1\,
' 1 1 ; \
, ! "\ ,,
:\ / ,
, : ' .
,i
" .
" '
;:
ji, i
l'
i ,
'\
'.'
,..
"
;; " ,:
, " )
1
, l'
.
,
,;
, "
:' :1
00, 1, -
; . ,}
" ,1"
; :,
, .-
r k....
f'
1.. :'
f'
;::f: .
" 1
, fi'
! I ":'
: ; ;,
(,'"
{
,
-(
,'\
'1.';
W1/h == 0.013/2.5 == 0.005; W 2 1h == 0.067/2.5 == 0.027; wзlh == 0.100/2.5 =-.
== 0,04; Wih == 0.120/2.5 == 0,048; woIh == 0.133/2.5 == 0.053; WJh ==
== 0.147/2.5 == 0.059; W?lh == 0,160/2.5 =='0.064; Ws!h == 0.133/2.5 == 0.053;
W 9 /h == 0.087/2.5 == 0,035; W10lh == 0.040/2.5 == 0,016. .
ОТJlОЖИМ на оси абсцисс заданные интервалы. Проведем над этими ин-
тервалами отрезки, параплеЛЬНpIе оси абсцисс. на расстоянн,! Wt/ h .
Искомая rистоrрамма относительных частот изображена ца Pl!.c. 21. б.
.' ...., /'
i'
tO.4. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Одним из способов обработки статистических данных яв.тiя
ется построение эмпирической функции распределения сл -
чайной.величины.
Пусть щшестно статистическое распределение частот:
"
:,"
Х{
11
11
.1......... Х 2
1 n 2
IJk
Х\
X k
n{
nl
,\
....;,
Обозначим: n х число опытов. в которых величина Х
приняла значение. меньшее. чем х; n общее число опытов
(объем выборки).
l ' ,Эмпирической функцией распределения (функцией распре-
деления выборки) наЗЬJвают функцию Р* (х). определяющую
r r } н-. < а:к r:.Q... ! ...x. OT 1!ц .: C.: события
\', . ," r n;l
' . '.H " !.:*(Х)==Ь
Эмпирическая функция обладает следующими свойствами:
1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку
[О; Н; 2), Р* (х) неубывающая функция; 3) если Х 1 на-'
именьшая варианта. а Xk наибольшая. то Р* (х) == О при
х х. и Р* (х) == 1 при х> Xk'
rрафик эмпирической ФУнКЦИИ' распределения Имеет сту-
пенчатый вид. Величины скачков в точках Хз., Х 2 . .... Xk paв
ны частотам n.. n 2 . .... n k . ,
'" Доказано. что при увеличении чиС'ла опытов n при любом
! Х относительная частота события Х < Х пр ближается к ве-
роятностиэтоrо события. СЛедовательно. эмпирическая функ-
ция распределения Р*, (Х) nриб.тiижается к интеrральной
функции Р (Х) == Р (Х < х). которую частонвзывают теоре-
; тической функцией распределения; rрафик Р* (х) в этом слу-
: чае будет неоrpаничещю приближаться к плавной кривой
: Р (х). Таким образом, эмпирическая функция распределения
, выборки служи для оценки, теоретической функции распре-
lделеиия rенеральной совокупности.
Л р и м е р 10.7. Построить эмпирнч кую функцию по статнстическому
раСПРeJ.eJ1ению частот. предст ленному в ,табл. 45.
158
"
,.
'.jf
i ,
",
r.
..4('
-,(
'J
\
:f
"
'"
...1
/
Решение. 'Наименьшая варlЩнта равна [*'xj
14.2. следовательно. Р. (х), == О при х:о:;;;; 14.2.
Значение Х <'16,3. а именно: Xl == 14.2. 10
наблюдалось один раз; следовательио. Р. (х)==
== 1./. == 0.05 при 14.2 <х:о:;;;; 16.3. '
,Значения ,Х < 17.4, а нменио: хl == 14.2
н Х. == 16,3, иаблюдалнсь 1 + 3 == 4 раза.
'СЛедовательно, Р. (х) == "10 == 0.2 при 16.3 <
< х :о:;;;; 17.4;
Значення Х < 18.7. а именно: хl.....'14.2;
х2 == 16.3,и Хз == 17.4. наблюдались 1 + 3 +
+ 2 == 6 раз; следовательио. Р. (Х) == 8/10 == 14 16 16 20 22 х
== 0.3 при 17,4 < х:о:;;;; 18.7. ' Рис. 22. Fрафик эмпifри-
Значения Х < 19.6, а именно: хl == 14.2; ческой функции распреде-
Х. == 16.3; Ха == t1.4 и х. == 18.7. наблюда- ления дискретной случай-
лись I + 3 + 2 + 3 == 9 раз; ::ледовательно. ной величины Х.
Р (х) == 8/10 == 0.45 при 18.7 < х:о:;;;; 19.6. .
Значення Х < 20.5. а именно: Xl == 14.2; XjI == 16.3; хз == 11.4; х. ==
== 18,7; Х5 == 19.6, наблюдались 1 + 3 + 2 + 3 + 5 == 14 раз; следователь-
но, Р. (х) == 14110 == 0.7 JlРИ 19.6 < х:о:;;;; 20.5.
Значения Х < 21.4.11 именио: Xl == 14.2; Ха == 16.3; хз == 11.4; х. ==
со 18.7; Х5 == 19.6; х. == 20,5. иаблюдались 1 + 3 + 2 + 3 + 5 + ,4 ==
== 18 раз; следовательно. Р. (х) == 18/20 == 0.9 при 20.5 < х:о:;;;; 21.4.
Поскольку Х, == 21.4 наи(Юльшая варианта. то Р. (х) == 1 при х >
t> 21.4.
Напишем искомую
\'
0.6
116
114
0.2
""
эмпирическую функцию:
I О при х:о:;;;; 14.2
0.05 при 4.2 < х:о:;;;; 16.3
0.20 при Щ3. < х:о:;;;; 17.4
0,3 прн 17,4 < х:о:;;;; 18.7
Р (х) ==
0 45 прн 18.7 < х:о:;;;; 19.6
0.7 прн 19.6 < ,х,:о:;;;; 20.5
0.9' прн 20.5 < Х :о:;;;; 2-1.4
1 , при Х> 21.4
rрафик этой ункции нзображен на рис. 22.
tO.5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИК СТАТИСТИЧЕСКorо'
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть по выборке объема n построено статист ческое РрС-
Пl?еделение частот:
ХЕ
1(1
'Х 2
,1
I
nk
X k
n,
nl
n.,
Найдем выборочную среднюю
n 1 Х 1 + n2 Х 2 + ... + nkxk
х... == n
(10.1)
rде п == n 1 + + ... + n k .
159
..........
' 1 ,
..<
!)
li
" I (
" W 1
. ': I
'\1 '
l ' kl;
;! tt:,
i I
'1 ',.
I "
,/
",
I
I t,
; \
;
\ .:
"i
I '\
i.
"
!f
",
11
!: ;
;
;
1"
'1
i
" "
,!
t
I
i
e'I;:'
" ,
i'
).
i
.....,
,
, ", r
,
, (
,
. , .
, "-
' .
1. : - I
",
, ;:.
., I
,,;-
I
:1
i
. !.
:(
1....
.
.,..
;:
, '
(
;:.
,
ний Х{; (Х)2 'trnадр.z;,среднеrо значений Х" вычсленноrоo по ';"
фор уле (10.1). , ) , у;
л р и м' ер 10.8. По данным примера 10.1 иайТи: а) средНее содержание /:
меди в руде; б) дисперсНI& содержания медн в руде. t'
Решение. а) По статистическому распределению частот (см. табл. 45), "
пользуясь формулой (10.1),. наЙJ(eМ:
1.14,2+3.16,3+2.1r,4+3.18,7+5.19,6+4.20,5+
+2.21,4
(: 1, !: , O, '
, ....... [:" 1 == 18,8; "', ., (:
/( .#... -1 _.,....
б) по формуле J ;2) найдем: )М; ,
1 (14,2 18,8}1II + 3 (16,3 18,8)111 + 2 (17,4 18,8)111 +
+ 3 (18.7 18,8)111 + 5 (19,6 18,8)111 + 4J20,5 18,8)2 + "
D п == + 2 (2 : ,18.8)111 l' ' ';'" 3,6
, Таким.образЬм. среднее содержание меди 11 руде равно 18,8 %'; дисtIер-
сия"'содержапия меди в руде равна 3.6. , ;
Предположим, что все значеНИJ! sлучайной величины Х
разбиты на несколько rрупп. Рассматривая каждую rpуппу как
самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю ариф-
метическую.
rpynnoooa средней называют среднее арифме1ичесtюе зна-
чений величины Х, принадлежащих' rруппе.
Вblборочная средняя есть средняя взвешенпай значений слу- '
чайной еличины Х с весами, равными с<?Ответствующим час- .
.
Характеристикой рассеяния {)пытных значений ,Х , BOKpyr
cBoero среднеrо значения Х В является вbl!5ороч.ная дue"!рсu;я
средняя взвешенная к!.адратов ОТКJЮнений значеиии Х, ОТ
их среднеrо значения Х В с весами" равными соответ вующим }
частотам:
v
k
'\' 2
n{ (Х, Х В )
D п == ( )
n
Выборочным средним квадратическим отклонениеж ",
(стандартом) называют квадратный корень из выборочноА"!r'.
дисперсии: 'v , :
ОП == , .
На практике для вычисления дисперсии используlOТ форму-;::
лу, более удобную, чем (10.2), :;
D B == х 2 .(Х)2, (1O.
. 2' 2 ' 2 '
n]х) + n 2 Х 2 + ... +nkX"
rде х2 == . среднее квадратов значе.
n
Х В ==
. i; "
T-> t -
160
'.
'" " .;\\, L
'е 'k,
:'
'...: ...,.
<;.
-.{
(10.2) !'
.'
---- # L 'i
,},
7} I
..Ч 1 1
---.;.. ,\
-':.- L
:tt
, .:.
, I
Зная rpупповые среднне п объемы rрупп, можно наАти
щую среднюю: общая средняя (х) равна средней арифмe'rИЧ
ской rpупповых средних, взвешенной по объемам rруhп;
, Л Р и м е р 10.9. Найти rрупповые и общую средние выборочной сово-
купности (см. табл. 44), разбитой на три rруппы (табл. 48).
Р,ешенuе. aAдeM fрупповые средние:
х 1. 14,2 + 3. 16,3 + 2. 17,4" .
1 6 1 &
3. 18,7 + 5. 19;6
К. == 8 19,3;
Х& == 4. 20,5 t . I,4 == 20,8.
Найдем общую среднюю по rрупповым средним:
х == Н;Хl + Н.х. + н;Х& 6. 16,3 + 8. 19,3 + 6-. 20,l!
N] +N 2 +N a 20 == 18,8.
Таблuца 48. ОПIIIТiIЫe ..анНЫе
"
rрущиi l ' ;_ ' I ( 2 .1 /' 3
Знач ния х; I 14,2 I 16,3 I 17,4 I 18,7 I 19,6 I 2.0,5 I 21,4
Частоты' n{ I 1 I 3 I 2 t 3 I 5 I 4 I 2
Объем... I " I
rpуппы j.. N] == 1 3+ 2== 6 N 2 == 3+ 5== 8/ N&==4+2==
';"6
" u rp!jnnoвoa дисперсией называют дисрерсию ЗН3.'Jений слу
чаинов 'величины ?<' принадлеЖ8ЩИХ rруппе, относительно
rруцповой средней:
".."-'
D , (Х, хп 2 ( 10.4 )
/I'P Н'
rде n, част{)та.3!18чения X i ; j номер rpуппыI; Xj":"'" rруп
ловая g>едняя I:И rpуппы; N; == };n. объем rруппы j.
При м р tо.Щ. Най'!'и rpУПl'lовые дисперсин совокупности, состоя-
щей ИЗ трех rрупп (см. табл. 48).
Решение:. О елим rрупповые дисперсии по фОРМУ,ЛI: (10.4). rруппо-
вые ср ие Хl, Х., Ха найдены в примере '10.9.
D ) rn == 1. (14,2 16,3)111 +3. (16,! 16,3)2 + 2 (17,4;' 16,3)2
'r u 1,1;
3 (18,7...19,3)111 + 5 (19,6 19,3)111
D 2 I'P== 8 O,2;
4 (26,5 20, )8 +2(21,4 20,8)111
Dзl'Р == 6 . 0,3.
6 5 )772
161
/
- . 1.
, :'
" .
! "' !
l'\t
:
, ,
I :.
{
" !
: ! -5-Ф
I ..'
\1f,
$
\ Н!
I '1
,.'
;
, ]
I \
\1
{l
'.
il"
'/.0:.
"
,,::-1
-;,.
.,---
.:..
I
.,
"
,
I
,
; }
'.. 1"
-'! . i
':! ;'
!
I
и
)
I '
,
,
, ,
, '
/: "
, .
f "
1.' '1-::
, '
,
, "
(,
1'-'..
'1'11:
:
1 ,"
: :: I
!'
,: ...."
:jt "
Зная дисперсию каждой rруппы, можно найТИ их средню «{
арифметическую. , ' <
BHyтpUZpynnoвoa дисперсией называют среднюю арифмети. . . ' , , ' . , ' .. ' , ' , . : : , . " , ! , f . . ,. ,." ' , :
ческую rрупповых диtперсий, взвешенную по ощ.емам rpупп: ,:"
'r,N jD jrp .:;;1
D BHrp == п (10.5) . Ij "
'
rде N j объем j.й rруппы; D;rp rрупповая дисперсия : \ е
k '''''. >',
j.й rруппы; п =='t N. объем всей совокупности; 'k ' .,
t i ==l 1 ' i'4.":;
число rрупп. . ;.! ,
таБЛ 48. И м е р 10.11. Найти внутриrpупповую днсперсию по данным :' ,<'
Решение. Искомая внутриrрупповая дисперсия равна: ' ,}r \
N 1 D 1rp + N 2 D 2rp + NsD зrр 6. 1,1 + 8. 0,2 + 6.0,3 == О 5';f:. ',',
D BHrp == n == 20 ' . 'f;....
Зная rрупповые и общую средние, можно найти дисперсию. :) "
rрупповых средних относительно общей.::!'f..
, Межzрупповой дисперсией называют дисперсию rрупповых ","'j.
средних 'ОТносительно Qбщей средней:
D == 'r,NJ (XJ........ х)2 (10.6)' '
межrр n
k
rде rt == .:Е N j объем всей совокупности; Х общая cp д.
, l ,
няя; N J объем j.й rруппы; Х/ rрупповая средняя j.й
rруппы.
При м е р 10.12. Найти межrрупповую дисперсию по данным примера
10.9 (см. табл. 48).
Решение. Учитывая, что в предыдущих примерах найдены ;1 == 16,з;'
;2 == 19,3; ха == 20,8; i == 18,8, по ФОРМУJIе (10.6) вычислим:
D == 6 . (16,3 18,8)2 + 8 . (19,3""':' 18,8)2 + 6 ' (20,8 18,8)2 3 t
межrр 20 , .
t ,
t
Можно доказать, что если совокупность состоиf из не.
скольких rрупп, то общая дисперсия равна сумме внутриrруп.
повой и межrрупповой дисперсий:
D общ == D межrр + D B1Irp .
Мы убедились в шраведливости TaKoro утверждения на
примере: наиденная в примере 10.8 общая дисцерсия (D B ==
== 3,6) равна сумме' внутриrрупповой (D BHrp == 0,5, пример
10.11) и межrрупповой (Dмежrр == 3,1, пример 10.12) диспер.
сий.
162
На практике помимо рассмотренных числовых характе.
ристик оориационноrо ряда (выборочная средняя и дисперсия)
применяются и друrие характеристики.
Модой Мо называют варианту, которая имеет tIаибольшую
частоту. Например, для ряда, представленноrо в табл. 45, мода
Мо == 196.
Медианой Ме называют варианту, KOTopaJ! дeJIИТ вариаци-
онный ряд на две части, раllные по числ.у вариант. Если, число
вариант четное (п == 2k), то Ме == (Xk + xk+l)/2. Например,
для ряда 4,6,8, 10 медиана равна (6 + 8)/2 == 7. Если же число
вариант нечетное (п == 2k + 1), то Ме == XHl. Например,
для ряда, представленноrов табл. 45, Ме == 18,7.
,ПростейшеА характеристикой рассеяния вариационноro
ряда является. размах варьирования' R разность между
наибольшей и наименьшей вариантами. Для ряда из примера
10.2R == 21,4 14,2.== 7,2.
Для ха акте ист к ассеяни в и oHHor я а можно
использовать величину, называемую средним абсолЮniным от-
клонением е и определяемую как среднее арифметическое аб-
..
солютных отклонении:
е == 'r,ni I Xi Ко \
n
'\
Так, для ряда из примера 10.2 имеем:
1'114.2 18.81 +3116.3 18,8\ + 2117,4 18.81 + 3118,7 .
18.81 + 5\19,6 18,8\ + 4120,5 18,81 + 2\21,4 18,81
== w .
== 1 ;56..
.1<О'lффЧЦyeJl!1JA М вщ}uali ии V назы OТHo e вы!>ороч
Horo среднеrо квадратическоrо отклонения к вы РОЧНQИ сред-
ней, выраженное в процентах:
V === OB/x B . 100%.
Например, для ряда из примера 10.2
O == m == у з,6 === 1,9; Ко == 18.8;
, V == 1,9/18,8. 100 % Ь 10,1%.
....
Если требуется сравнить два вариационных ряда по вели-
чине рассеяния, то после lIычисления для каждоro из них коэф-
фициента вариации можем утверждать: большее' рассеяние
имеет тот ряд, у ,KoToporo коэффициент вариации больше.
Для более пол ой характеристики статистическоrо распре.
деления используют моменты начальные и центральные, '
которые в отличие от т€оретических моментов (CM rл. 9).
, . .
ш
I! '
i!i",
! j ;
i:.
i' 1:
, t',
,1,1
, ,
! ' ;
,:;1'
.!. ')
:1 '
\
I ,
,i
:i
I
'1
:I I '
, .'
.\ !
f
I
J
J
,
.,.- J
< ,
"
Jj. ..
,
j.:
!;,
, '
}
"
(f'
"
.
называют эмпирическими и определяют по формулам:
tic
M k == _ n начальный эмпирический момент порядка ..k;
/
n; (Xi ха)", '
т == п центральный 9мпирнческий момент порядка k.,
начальны'й эмпирический ....момент nepBoro порядка равен
выборочной средней (Мl == Ха); центральный эмпирический
момент вторorо ПО'ряд а равен выборочной дисперсии (тз .
== D B ). ' ,
)Jля опенки отклонения эмпирическоrо распределения от
нормальноrо НСПOJlьзуют такие характеристики, как асиммет-
рия и экспесс. ,
,Асимметрия эмпиричеСКО,rо распределения
равенством
','
1 ;
. 'f
" ,о
:; '. '
:Т'
:,.. :s. :
i 'i',:
" ?;-.,..
, ..."
-< ; ,;-)
определяется:;:;,1
" i ;
Экспесс эмпирическоrо распределения определяется .pa- '
венством ': , ';;
ek == тio:, 3. '
й в == тiй:.
rna.8 11. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ "
tt.t. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть извеС1НО, что случайная величина Х распреttелена,
например, по нормальному закоlIу, т. е. ее дифференциальная
функция имеет вид ", /".. ' _., ..
, \... _/ (x
( f (х) == 1 е 20'. . /
','.. , ...." аУ .: . _.....-/'... ' ,
Параметры а и u неизвестны. Требуется найти их прибли-
жеННh!е значения (ста.:rистические оценки) по данным оrрани-
ченнои статистическои совокупности {выборки). Если извест-
но, что CJJучайная величина Х имеет показательное распреде-
ление,. то возникает необходимость оценить неизвестный
параметр Л.
начим через е параметр еоретическоrо распределе-
ния, ЧИCJJовое значение кorорor-о неизвестно, 6* статисти-
ческую оцен,ку для параметра е. .. ..'
Очевидно, е* является CJJучайной величиной, так как на-
ходится ,по. случайной', выбор.ке. и, CJJедовательно, ее можно
описать, sакоиоМ: распреде.'lfНИЯ и ЧИCJJовыми характеристи-
164
gами. )Jля Toro Ilтобы оценка е* давала дост'аточно хорошее
приближение оцениваемоrо парамеТР,а е, ltе одИМО, чтобы
она обладала свойствами несмещенности, эффективltости и со-
стоятел.ЬноСТИ.
НесмещенноЙ называют статистuческую оценку е*, мате- '
матическое ожидание которой равно оцениваемому парамет-
ру 8 при любом объеме выборки, т. е. М (6*) , 6.
Если. М (6*) =t= е, то оценка е* называется смещенной.
Эффективной называют статистическую оценку, I\оторая
(при заданном объеме выборки п) имеет наименыl1юю возмож-
ную дисперсию.
СостоятельноЙ 'называют статпстическу,? оценку; которая
при п --+ 00 стремится по вероятности к оцеИliваемому пара
метру. Иными CJJовамИ, с увеличением объема выборки п с ве-
роятностью, близкой к единице, можно утверждать, что раз-
ность между е* и е по' абсолЮТНОЙ величине будет меньше
сколь уrодно малоrо поло,Жительноrо б, или
р (\ е* ;--- е I < б) > 1 8,
rде 8 положительное число, близкое к нулю.
Статистические оценки MorYT быть точечнымИ и интерваль-
ными.
tt.2. ТОЧЕЧНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЦЕНЮ4
\
т вают ,статистическую оценку. которая опре-
деЛЯеТСя одним,. числом.
Несмещенной точе..чной оценкой r-енеральноf.j средней е-
не r но CJJужит вы рочная средняя
(х в )' '
Не
ж т исп
,.
более удобна ,формула
(11.1)
n l'
( niХi ) З
' 1
n
(11.2)
k
nif
. i l
SQ ==
n 1
.
,.,
"
Для оценки среднеr квадратическоr.ошклонения rенералn-
doA совокупности исndльзуют «испрввлеиное» реднее квадра.
тичecrФe отклонение, которое равно кв a:дpaTHOМY корню из
6b
\ )
\,'
"
" i .;
"
l' \
, :1
i t "
, :1,
i
I
i '\
I :,
i
, "
'\'
'" \1
"
, j.
1
'i
\
I
11 ,"
.'\-'
<-!">
,"
j
I
I :
:1
I
:
I i:
, "
;:
,
I
, ,
i
,. '
:.
,; У.,
l' '; <
: t'
, /'Ь
, \,
, "
, .
)
"
; -
,
исправленной дисперсии:
{ t nl (ХI Хв)1
S == , I
С n 1 (11 .3)
равнивая формулы (10 2) и ( 11 1 )
чаются лишь знаменателя . . ,видим, что они отли-
пользуются при об1.еме 'B: a прак;;ке формул й (11.1)
выборо ная и исправленная 11 < . с увеличением n
Если' первоначальные ва и дисперсии различаются мало.
для упрощения Вычислений ранты X i большие числа, то
варианты одно и то же числоц еСООбразн В Iчесть из каждой
Р иантам и Х С ( 'т. е. переити к условным B a
i . в качеств С б
равное выборочн й средней или б е удо H принять число,
лиз кое к неи), Torдa
k
' . L niЩ
Х В == С+' i 1
n
D B (Х) ==
k
L nlU '
{ I
п [ t'п Щ J
т. е. дисперсия не изменится при пе р еходе к усл '
там. . ,овным вариан
П '
Р и м е р 11.1. При проведении п о
поступающеrо сырья выход OCHoBHoro р цесса в зависимости от качества
sоставил, %: 92,4; 82,S; 96,7; 79;4' 87 7?родукта в серии экспеp1tментов
rенеральной средней и дисперсии. ' "Q.9.1. Найти несмещенные оценки
Решение. Несмещенной оценко. .
ная средняя и rенеральнои средней является выбороч-
Х В == 92.4 + 82.5 + 96,7 + 79.4 + 87,7 + 90, 1
. ,6' . == 88.1.
J(ля оценки дисперсии найдем и
по формуле (11.1), которая, всилу Tor H f ( оr0 2 ЧНУЮ дисперсию
вид 1 t I "'''' 6). приме'I'
k
I (ХI х в )2
,.2 ==
n 1
(92.4 88.1)2 + (82.5 88.1)2 + (96. 7 88 1)2 +
+(79.4 88.1)2+(87.7 88.1)2+(90,1 '88 1)2
5 '
40,7.
tt..J. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Т очечные оценки н u "
MorYT знаttительно тл: : :Iео о выборкам малоrо об'Ьема,
В этом случае следует пользоваться e:e : :IM a ::e: =:
166 '
"
"
Интервальной называют оценку, которая определяется
двумя числами концами интервала. покрывающеrо оцени
ваемый параметр. \
Пусть е оцениваемый параметр, е* ero статисти-
ческая оценка. Если б некоторое положительное число
(такое. что I е е* I < б), то, очевидно, чем меньше б, тем
меньше I е е* I и. следовательно, тем точнее е* определяет
параметр е. Таким ..образоМ, б характеризует точность оценки.
Доверительной вероятностью (надежностью) ,оценки е
по е* называют вероятность ,\" с которой осуществляется не-
равенство I е е* I < б. ,
доверителыJ яя вероятность обычно задается, причем в ка-
честве '\' берут число, близкое к единипе: 0,95, 0,99,0,999 и др.
Число а == 1 '\' называют уровнем значимости.
Доверительным называюТ интервал (8* б, е* + б), кото-
рый ,С заданной надежностью '\' по рывает оцениваемый 'пара-
метр.
11.3. f. Доверитеnьный инт рваn дnя оценки
математическоrо ожидания HopManbHoro распредеnения
Пусть случайная величина Х распределена нормально,
причем среднее квадратическое отклонение а этоrо распреде-
ления известно. Требуется оценить неизвестное математиче.
ское ожидание а по выборочной средней Хв, т. е. найти дове-
рительный интервал, покрывающий параметр а с надеж-
ностью '\'. .
ДОI(азано, что искомый доверителЬНblЙ интервал имеет вид
(Х В to/yli; ХВ + to/Yn),
"де ta/Vn == б....... точность оценки; n объем выборки; t
такое значение aprYMeHTa функIiии Лапласа Ф (t) (см. прил. 1).
при котором Ф (t) == ,\,/2.
л р и м е р 11.2. Среднее содержание OCIIOBHOro продукта анализиру.е-
МЫХ образцах по четырем независимым сериям анализа составляет 87,5 %.
, Поrрешность анализа равна 2,3 %. НаЙТИ С,надежностью 95 % довеРl/тель-
вые rраницы, внутри которых лежит истинное значение содержания опре-
деляемоrо продукта. '
Решение. Истинное значение измеряемоЙ случайноЙ величины со-
держание определяемоrо продукта, равно ее математическому ожиданию.
Поэтому задача сводится к оценке математическоro ожидания (при извест-
ном о =- 2,3) при помощи доверительноrо интервала
Х В to/yli < а < Хв, + to/yli (11.4)
(при этом предIiолаrаеМi ч'{о случайная величина Х ,Еаспределена нор-
мально). '
Пользуясь таблицей (прил. 1), найдем t: из соотношения 2 Ф (t) ==
== 0.95..ролучим Ф (t) == 0,475, тоrда t == 1,96.
\,
.
',
i ':.;.
! ,
: \ i',
I
I j& \
, i ,
! с I:
j,; '
I ,"
I .
I ,
! \:
, ,It.
I -..'1
:, .'
, I ,!А
i ; ! . \
i1t'.
I ,
! J:
'f'.:
i' ! ' \
, :i
I l , ::
i
,
.,.
r\
.,
: ,;
.
..
.J'
,'1
: 1: .
i .
\ I \
1\.
"
"
., :'"
.1 ' 1
,
, -('
I
,
.,'
.
167
i
!.
.'
.}' I
,
'- {
. !.:{
, ..
:
, i"
';,}-
. J
:,
")
Подставив Х В == 87,5; о == 2,3; n == 4; t == 1,96 в (11.4) и' выполнив
арифметнческие действия, получим, что с надежностью 0,95 истинное зна-
чение измеряемой величины заключено В доверительном интервале 85,3 <
<а<89,8. '
Смысл задаННОЙН8дежности V == 0,95 состоит В следующем: если произ-
ведеио достаточно большое число lIыборок, то 95 % из них определяет такие
доверительные интервалы, В которых параметра деАс'i'витеJiыIo заключен,
и только в 5 % с;лучаев он может выЙти за rраницы доверктельноrо интер-
вала.
Из формулы
'. k
,.,
"
" f
l) :== to/Yn, (11.5) "','
опреДеляющей ТОЧН()(:ТЬ оценки, следует, что: 1) с увеличени'ем .'..)
объема -выборки n ЧИ,сло 6 уменьшается и, следовательно, точ ,f}
ность оценки увеличивается; , ,.
2) с увеличением надежности '\' оценки 8* увеличивается _"
t (,\,) == 2Ф (t), Ф (t) ФУНJщия возрастающая, '8 следоваТель , ,
но, и l}; иными словами, увеличение надежности оценки вле .. .н.,
чет за собой уменьшение ее точности (доверительный интер ; ':;;
вал увеличивается); ,
3) при заданных точности 6 и надежности '\' оценки 8* МИ-:;;:,
нимальный объем выборки, обеспечивающий эту точность,-. '
раВен n::;:= t 2 0 2 /6 2 . ,"..',
Л Р им е р 11.3. По Ь!борке п == 1()О) рёЗУJfьтатов анализа, проведен- ,}
Horo автоматическим rsЗQ1lЫМ аиализэТQром, Вbfчпслена вьtборочная сред- ':?
ния содержання аммиака. НаЙти с надежностью V == 0,-95 точность l), с ко- '"
торой выборочная средняя Х В оценИВает математическое ожидание со.цержа- '.,
ния аммиака, зная, что среДнее квадратическое отклонение содерЖания ero !'
В пробах (1 == 0,0025 KMOJib/M8. "
Решение. Точность l) определим по формуле (1 t.5), найдя предваритель-
но t. Из соотношения 2Ф (1) == 115 11.0ЛУЧИМ Ф {I) == 0,475. По таБЛИllе
(прил. 1) находим'l == 1,96. .,..,.
Тбrда искомая точность
-l) == tolVn == 1,96 ',0,0025/100 #I:S 0,5. 10---3 кмоль!м3.
Для оценки математическоrо ожидания а НОР1dально рас-
ределенной случайной величины Х по выборочной средней
Х В при неизвестном среднем квадратическом отклонении о
rенеральной совокупности служит доверительный интервал"
Х В t'l's/Yn < а < х в + t'l'sIVn,
rде s исправленное среднее кв<щратическое отклонение;
t, находят по таблице (прил. 2) по заданным n и V.
I
'"
Л Р и м е р 11.4. По интервальному ст.аrистичесКОI\У распределению,
IIреДС1flвлеННОА!У В :raбл. 47 (пример 10.3), оценить с надежностью 0,95
при помощи Довернтельноro интервала математи'1еск.ое -ОЖИДание НорМаль-
но распределенной случайной величины Х содержания ПРОДУКjа в п,86е.
Решение. Приняв В качестве вариант К, середины flитервалов, sanншем
dатистнческое распределение В ВиДе
168
,
. I 76,25 \ 78,75 \ 81,25
Варианты Х;
\ 2 \ 10 \ 15
Частоты n,
\ I 88,75 \ 91,25 I 93,75
Варианты К;
\ 22 , 24 \ 20
ЧаСТОТЫ n;
I 83,75
I '18
\ 96,25
I
/ ( \
I 86,25
\ 20
\ 98,75
\,
\:= 6
\
,Определим выборочную среднюю
10
n,К, 2 . 76,25 + 10 . 78,% +
t 1 " 150
КВ .
n ение 'найдем по формулEt
Исправленное среднее квад ратическое откло н
, (11.3): .. { 10' .
11
n, (К, 'KB)' ,
, 1
Б== " 'n 1
-. r '2 (76,25 88,35)& + ... + б . (98,75 88,35)2 ... 5,6.
== У 149 1 96-
\., ,'о == 0,95 и n == 1.50 находиМ 1'1' == ·
Польз у ясь таблицей {прил. 2), п у ,
, Й tire р вал имеет вид
. Искомый доверительны и
, t ..slvn<a<KB+t'l'sIY n.
' '1'
. . == 1,96; 5, == 5,61; n == 150 и выполнив ариЧ'
ПодстаВив КВ ==,88,35. t'l' пол '111М доверительныЙ' интерВaJf>
метические действия, окоичател;Н атеМ8iическое ожидание а с надеж
87,45 < а < 89,25, ПОКРЫВ I9ЩН
ностью У == 0,95.
"-
tne nЫ АJlЯ оценки
t 1.3.2. Аоверитеnltнwе :ro откnонеимя норМВЯWlоrо
cpeAНero lC8адр8ТИ'lеск
p.cnpe"eneнмw
ич.ескоrо отклонения (J нор--
Для оценки среднеrо -квадра! u 8еличины Х с надеж
1IелеНRОЙ CnУ"8ИНОИ ' че
малЬНО распре,... В Iборочному средцему квадрати
ностью '\' по исправпеННО ат довериТельные интервалы
СКОМУ откпонению s слу
8(1 q) <о <8 (1 + q) (при' q < 1);
с' 0<0<5(1 +q) (пр q> 1),
абпиrie {прил. 3} по заданным п и ,\,.
rде q находяТ по т
+ 6: 98,75 == 88,35.
,1
t
--
\Н
1[-. ,
i
11'
\ \',
,
.
.1(
"
I
I
i
I >"
, ; 1
, ,-)
{'
. \ ' \
;."
, )
:
.'
"1.;>!
, .
...<'",.
,;.--'
f .'
I , .
:!
i
! ,
.,
)i
., ; "
, 1
I
, "
I
I 1
I
169'
,
"j:.
:', ' : :
: '.
" .'
',- .
',,-<
, "
,. .
: 1 f
' .1
, ;'1
: '1,
. _ .!
, ,',.о
, : ' ; .
} '"
; -1
i '.
'};
"о.
: j: I
: ,
:i
,"<- '1;
:
./""
. '- ...--
, :i ,
( :
,--
, !
, При м е р 11.5. С помощью oAHoro и тoro же моста сопротивления (что
flСключает приборную систематическую ошибку) проведены 12 измерений
электропроводимости одноrо образц.а раствора. причем исправленное сред- ,
tlее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерен'ий оказалось
равным 0.4 . 10"---3 См . м 2 . Найти точность прибора с надежностью 0.95.
Решение. Точность прибора характеризуется средним квадратическим
отклонением и случайных ошибок измерений. П:03JОМУ задача -сводится к ,
()Тысканию доверительноrо интервала, покрывающеrо и с заданной, надеж-
flОСТЬЮ V == 0,95.
По данным Y,r'= 0,95 и n == 12 по таблице (прил. 3) найдем q == 0,55.
Поскольку q < 1', доверительный интервал будем искать в виде s (l q) <
< и < s (1 + q).
Подставив s == 0,4 . 10---3 и q == 0.55, получим искомый доверительный
flнтервал 0,4 . 1O 3 (1 0,55) < и < 0.4 . 1O 3 (l + 0,55). или
0,18. 1O 3<и<о,62. 1O 3.
! i
':1
" l'
,
I
,t ,1
,;
rп...a 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ
<"
t1.t. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ,
,/',
. .
;
<'--:-"-,.,
При исследовании химических яВлений и процессов час . .':С
то возникает необходимость в анализе связи между различными .',
,колич твенными или качеств нными признаками. Две слу-
чайные величины MorYT быть связаны функциональной или ' I " " , . " , ..
стаmстической зависимостью либо быть независимыми. При
функцщшальной связи каждому значению одной величины "
(aprYMeHTa) соответствует вполне определенное значенйе дру_
сой величины (функции).
СтатuстuЧеской наЗЫJ3ают зависимость, при которой:
1) каждому значению одной из величин (например, Х) со-
ответствует ряд распределения друrой (например, У);
2) с изменением Х закономерно изменяются статистиче-
ские характеристики рядов распределения У: положение, ря-
ДOB распределения, рассеяние, степень асимметрии и т. п.
(Статистическую зависимость называЮт корреляцuонн'ОЙ,
, если при изменении одной из величин изменяетс-я среднее зна-
\. чение друrой. Таким образом, корреляционная зависимость
1 это частный случай зависимости статистич ской. Любая кор-
) релящюнная зависимость является статистической, но
( не всякая' статистическая зависимость будет'корреляци-
нной. .
Пусть опытные данные, полученные для изучения зависи
мости между случайными величинами Х и У. таковы, что каж-
дому значению Х соответствует несколько значений У. На-
пример, при Х == Х величина У приняла значения Yl. У2' ...
.... Yk' Найдем среднее арифмеТИCJеское этих значений и обо-
" ,
I
i
i
170
A'
I
,значим ero Ух' Torдa
Уl + У2 + ... + Yk
Ух == k
называется УСЛОВН,ОЙ средней. U средней" корреляционную
Используя понятие УСЛОВНО=Делить как функциональную
зависимостЬ У от Х можно пр , . .
о й ср е д неи у от Х.
зависимОСТЬ условн" (12.1)
У (х) == f (х).
" , неН,ие.м pezpecC11U У Н,а Х
Уравнение (12.l) называют урав сией У Н,а Х (У Ю Х),
(или У по Х); функ ю f { ии e:faex (У по Х).
а ее rрафик лu"!-uеu pezpe елить корреляционную ,зависи-
Аналоrично можно опред ьн у ю за8И ИМОСТЬ условной
, Х от У как функционал u Х
мость ' е а ифметическое, значении "со-
средней Ху (Х у средпе
р.тветствующих у == У) OT , у. (12.2)
Ху==ЧJ(у). У
авН,еН,ие-м peipeccuu Х Н,а
Уравиение (12.2) называют ур ей Х Н,а У (Х по У), а ее
(Х по У); 'функ ию q> (у) реzт: с ; (Х по У).' ,
rуJiфик лuН,uеu pezpeccuu Х язи между случайными вели.
(. Наличие (или отсутствие) (тесноту)' связи характеризуют
fчинами Х и У, а также силу ый представляет собой отно-
i коэффuциен'то-м коррел!].цUU, котор П р оизведению,средни квад-
r яционноrо момента к
i шевие каррел u этих величин:
Р атических отклонении ,
. , Кху (12.3)
L 'xy== '
. k («моментом связи», или
КорреЛЯЦИQННЬ М моментом » сiучайных величин Х и У
ковариацией cov {Х, У), {cov xy ние произведения центриро-
называют математическое ожида
ванных величин:
К == М [ХУl == м [(Х т х ) (У ту»).
, ху u О
u ' еличин корреляционныи м -
Для независимЫХ случаИНЫХи иент коррел щии). paB H ну-
мент (а следоваТ ЬНОt и коэZfы называют неiroррелuрован'н'Ы-
лю. Такие случаиные велич ют сл чайные величины,. если
-ми. Коррелuрован'Нt;t.мu наЗЫ { Ва значи и коэффициент корре-
их корреляционныИ момент " _
ляции) отличен .от нуля. u HbIx величин следует их некоррели-
из независиМОСТИ случаи и ованiюсти не всеrда сле-
роваНiЮСТЬ, однако И3 неК::че:н Р(для нормально распреде-
дует независимостЬ ЭТиХ в анности вытекает их незави-
ленных величин из некоррели две пеличины зависимы, то
сим ость). Друrими словами, е
111
'.
',",
.:..:;;
Ч(
_;11
..." -
....---- .' - ... ......- ' >." ' ','"'I'
' I I
,1 I
i i::
I '
)
I ',
1 ';'_
:
.(,..
i;
. ":
::; !
\,1
.;,
'.1\
I t \
l ' ' ;
(',
l ' ,', '
.
с
);,,'
<.
*
'"
;
i
',j ;
,
"\
1j.
' , ',
:1 ;;
'1 '
:*,
;
i
I
-t".
'!j.....
'
,; .
,,'
. "
i, j;
," о !:
'<
r j'
\
, .
; t
"}:
,, '.}'
.-
--
J '" "
I. -' ji
, ;;: ,
JI,;t'
' ' . " '
1 1: '1,
:" "
t i.
'): , '
. \?
','
"
. :< !'
'\
, :J,
..'
):!
"-.,,1;
: !!
': 1!
,
1
они MOrYT быть как коррелированными, так и не оррелир()-
ванными. ;
Коэффициент к<:)рреляции бе Rаз рная величина при- " :'
- чеМТ'r;уТ Т' служит для оценки тесноты:только ..nинеЙIЮЙ
связи между велIjч.lшам" Х н ,У:. чем ближе абсолютная вели-
,чин.а:.:.коэффициента 'корреляции к еДИшще, тем связь сильнее; ,
чемtmижеl r xy 1 к нулю, 'reM связь CJi'абее. Если случайныIe Be
личииы Х и' У связаны.точной линеiiной функциональной a- ,"
--nисимостью
у == аХ + Ь,
то rxy' == :1:: 1 (знак «+» или '« » берется в зависимости от
Toro, а > О илн а < О).
Если r xy > О, rоворят о nоложител,ЬНОЙ 1ЩРреляцuиХ и У ,'
(при возрастании одной из величин дру.rая имеет тенденцию
в среднеМ,В Q. С':I'.ать); если Т ху <'O , об отрицательной кор';
реляции'(прй возраСТани одной из величин друrая имеет TeH >
денцию в среднем убывать). '
!J !I !I ...
t .
'
.';
. .
. .
.. .
. .. ..
.......
... . ..
. . .
. .....
:'=.:.: .::' .
!1
. "
. l' 8 .. .
.... .
.. .. .
". .:.. t ..:
. . . .
.. '
. .,.
..
.:.
.:::.
".
...т..
:.;::.
.
.. '. .
. .
. . . . .
. .8.. ,.
. . .
.. ..... .;:,
. ".-... t:
'-.
о " х ОХ, о
а I
Рис. 23. Поле корреJIЯЦНи.
Q наличии или отсутствии .корреляции между величинами
,Х и У можно судить в первом приближении по виду noля кор.
реляции изображения в виде точек. всех полученных 1:13
опыта пар значений случайных величин. Например, харак-
тер расположения точек на рис. 23,а 8идетеЛЬС'Fвует о нали-
чии положительной корреляциимежду велИчинами Х и У;
на рис. 23, б о сильной положител,ЬНОЙ линейной корреля-
ции, близкой к 'линейной функциональной завщ:имости; на
рис. '23, в показан случай слабой отрицательной корреляции;
,на рис. 23, е практически некорре ирова н-ые случайные
величины.
Задачей корреляционноrо анализа является устаНОВJfeние
формы корреляционной связи, т. е. вцда функции реrрессии
(линейная, квадратичная и т. д.), и оценка силы (тесноты) связи.
"
х о ... .... х
'Z
- ,
. j
t(;,
' ,
:; :;
,;
. ;: f
t.2..2. ЛИНЕЯНАSI КОРР.ЕЛSlЦИSl
Предположим, .известно, что случайные величины Х и У
связаны линейной корреляционной зависи остью (обе_ линии
реrрессии прямые). Требуется по опытным данным найти урав-
172
. ... ,...,........,.,...
у на Х и Х на У и оценить
'я П р ямых линий реrрессии u - -
нени u u Р еляционнои связи. ..
силу линеинои кор' . '6' .ший случай коrда в результа-
Рассмотрим снач ла про е ол чена со окупность n пар
те независимыХ опытов была (I( ждая пара чисел наблюда:,
чисел: (Хl' Уl)' (Х2' У2) ... (х n ) , tt;) rда искомое уравнение прямои
Л ась только по одному разу. о еть ВИД '
- У Х б у дет,им .
линии реrрессии на ь' (12.4)
У == РухХ + .
u оэффициент рerреССИJI у на Х;
rде рух выБОР ::: ва т выБОРQЧНЫМ ур внением прямо
Уравнение. _ Х 1в дем находить параметрt,>I рух и
линии реrрессии у на' . y а методе наименьших квадра-
уравнения (12.4), основываясь :ВЩ.атов отклонений опытных
тоВ т. е. такими, ч1'обы y Ma ( . 1 2 п) вычисленных по
на ений у, от значении 1 t 'о.' ..., ,
, ( 12 4 ). была мFI1fимальнои.
уравн нию .
n
2'
(Yi YI) ==mш.
1 1
Система нормальных уравнений для определения Рух и
Ь имеет вид
.J
( ) p Х + ( Х' ) Ь == f хш" )
1 У ' 1 ' I
' I - ,
( f x Рух +,пЬ == У,.
' I [) ' I.
y систем , найдем искомые параметры:
ппп
n L. Х,У, L х, L у,
1 I ' I '=;,I
n f X ( t XI ) 2
'==1 ,==1
n' n n
f х2 L У, L х, L Х,У,
b ' I . .. '(t :):
, 1
' I 1== ,
б ное У рftвнение прямой
Аналоrично можно найти вы ор ч
линии реrрессии Х на У: _
х == РхуУ+ с,
, u оэффициент реrрессии Х на У.
rдe Рху выборо' ныи К линейной корреляционной связи
Для характерист х ики y : QПЫТНЫМ данным находим вы60-
меЖдУ величинами и
173
(12.5)
Рух
(12.6)
(12.7)
4
"'-',. . -........... ,...". ._:,. .. -
' '1 "
'11'. I
I
""(о,
: ,1
:;; I
' :.t:
> ,;
.".
',>
::,
!i: '
"',;.1
I{\
: \
: ::
'i-;
I
-.'-ff
i:;'
"
: '
.;<
._ 1::'
\ 5
': 'i
j
,
"
:i
:1 .
.-
".
\
,
,
,
I
"
; , :'
:;} 1
" 1::
!'
;1:
> i
, С
, И
, t
,
"
,'1, i
',', }
j\:'
: "; ; .,1
'; 1 ;
' 1 '" ' .
(.' :
;1 ;
::'i
,:'
.
"
"
,
..; '\':,"
(12.8) I
"
t
."]
'Р,..
I
явля- ;
,.
(12.9) -; , <
рочны коэффициент и:
n ''-------- ---=-...............
/ L (Х, х) (у, у> "\
=: '
пsxSy " /
1 n 1 n'
rAe Х == n L Х,; У == L Уе: Sx, Sy
e 1 n i==1 .
выборQ...ЧRЫe СР едНие квадра тичесl\l{е OI клонени.я: '
( f'(Xi X)2 { f (ye Y)2
5 e 1 . 1
\ х == . в t
n 1 'II n 1
ДЛЯ'-fl .иcnoJIЪзов.ания более удобными
ются формулы: . , ,
"
n .
n 1 'n' n
L (Хе x) (у, у) == L XeY'..:.... L 1'е L 'Yi:
e ). , i 1 ,n i 1 ' i 1
5х .. j' ti 1 1 [ X + ( t хе ) 2 ] ; (}2.1О)
V ' t 1 t 1
Ji 1 [ 'n 1 ( " ) 2 ] '
8у == n 1 Y n L Уе. (12.11)
e 1 е==1
П р н м е р 12.1. Термодинамнчес не характер стики rидратации ионов
в растворе 9Н'I'альпня J).Hh и 9НТРОПНЯ J).Sh для ряда цонов имеют значе-
ния, представлеl:lные в табл. 49 (У == J).Hh; Х == J).Sh). Найти зависимост
9нтальпии У от 5НТРОПИИ Х И вычислить выборочный ко""""ициент ко рр е-
ляции. "'t'Ч'
РешеН:tе. Представим в табл. 49, кроме мсходных данных результаты'
вычнслении коэффициентов системы (12.5). '
Подставив из табл. 49 вычисленные суммы в (12.5) и (12 6) найдем зна-
чення 'Рух == 10,96 и Ь == 2 ,58. Следовательно, искомое 'ур внение 'per-
рессии У на Х .будет иметь вид: У == 1O,96Х + 260,58.
Выборочныи коэффициент корреляцин найдем по формуле (12.8) пред-
варительно Вычислив по формулам (12.9) (l2.1l):' "
10 '10 Ю 10 '
(Xi X)(ye Y)== XtYi ,Xi L Yi== 1376297,4;
' 1 I I i l' i== 1
}I 1 [ 10 ... 1 ( 10 ) 2 ] ,
Bx "9 x; 1O t xi == 118,13;
t 1 1==1
}I 1 [ 10 1 ( 10 ) 2 ]
Sy== "9 Y; У, == 1325,9;
t 1 10 i 1 '
1376297,4
'в == 10 . 118,13. 1325,9 "" 0,88.
\
174
. _ 4"""""""' , ,<о-';'.":' ш! .
.' .1
, ,'
\.,"-.1!
, ,
л
; 1;.
,...... .,.
Таблица 49. Исходные данные Jf результаты вычислениА коэффициентов
системы (12.5)
.
1 ИОВ х,' У,. II "е У /
Дж/(МОЛЬ' К) КДЖ/М.ЛЬ
1 Ва 2 + 134 1329 17956 1 766241 178086
2 Ве 2 + 239 2516 57121 6 330 256 601 324
3 Са 2 + 184 1613 33 856 2 601 769 296 792
4 <::02+ 258 2041 66 564 4 165681 526 578
5 cfi+ 422 4618 178 084 21 325924 1 948 796
6 FеЗ+ 418 4476 174724 20 034 576 1 870 968
7 In 3 + 394 4194 155 236 17589636 1 652 436
8 La 3 + З64 3328 132 496 11 075 584 1 211 392
9 рь 2 + 130 1516 _ 16900 2 298 256 197 080
10 Sr 2 + 17t .....:1503. 29241 2 259 009 257013
Суммы I 2714 I 27 134\ 862 178 18944693218740465
'.
Рассмотрим теперь более общий -случай, коrда в, п незави
симых опытах одно и то же зна.tение х'наблюдалось' x раз,
значение у п"РЗЗ. пара чисел (х, у) п"у раз. Такие дaH
ные rруппируют. т. е. подсчитывают частоты п", п у , пX!l
и представляют в виде таблицы, которую называют корреля
ЦUОННОЙ,
При м tI Р 12.2. В n-== 16 независимых опытах были получены следую-
щие данные,' выражающие зависимость плотности водных растворов бро
мнстоводородной кислоты HBr от ее концеНТDации при 25 ОС:
Концентрация HBr. I 15 I 15 I 15 115 ,116 I 16 I 16 I 16
% (мас.) .
,(, 11.11 11.1211.11/1'11 11'12/1.1211.131.1.12
"' J Плотность, r/cм 3
,1"
,
;"f.
:... Коицентрация HBr, . i 17 I 17 I 17 I 17 I 18 I 18 I 18 I 18
% (мае.)
Плотность. r/cM /1,lзl'1.I 2 1 1,1з1 1.13 11,1411.1з11.1з11,14
Представить эти данные в виде корреляционной таблицы.
Решение. На пересечении строк и столбцов (табл. 50) находятся частоты
n xll ' Например, частота 3, стоящая на пересечении первой строки и первоrо
175
2
;
У1\
\ '"
'1
'1.,
.,
I
:-1
..,
.'
.'
.;,
.::
"
:;;''Р
'.' I
'.
,.:/
,'"',
t.t \
'
, ,
1,"
s-
'\. ,:
.,.:
'.
"
K.
"
t ...
i
'; i
l'
l' ,
, ,!!
r: t.. 1
; _;,J
,.\ .
: " 'k
J
, J:
· u
' п
" ' .
1
t 1. 0_ .....
'i:
,
;,
>"!
l ' ;
i,'
lf, '
, 1 5'J
'i i
,k'j'
;, !
\11 'f
f; ,!
. ' f
(,: .
:j:
-. '!
, ...'
,
,""t. ,-
,.::
: 'j '
; :;:
,f\
, /;,
Таблица 50. КорреЛJlЦИОННЦ тамица
Значения УС (плотность. Значения Ж i (концентраu.ия HBr. % (мае.»
r}CM S ) I I I I CnlJ
15 16 17 18
1,11 I ii( I ,1 1 1 3
1.12 I I I з I I 1 . I 5
1,'13 I I 1 . I 3 I 2' \ 6
1,14 I I I I 2 I 2
с9 I- I , , I == 1
4 4 4 4
I .
столбца, указывает, что пара чисел (15; 1,11) наблюдалась в 16 опыТJt;fР,
'Три раза. ' ;:-'1,'; ,.}
в последнем столбце записаны суммы частот с!трок, которые указbIВ8lO'J'. ;;;. 11
..сколько раз наблЮдllЛОСЬ значение Ус CJIучайной величины у в сочетаннн':'f;'.,;
различными значениями случайной величииы Х. В последней строке заQи-,;,''.f
еаны суммы частот столбцов, они указывают, сколько раз значение ХС ве- !y
.личины Х наблюд8ЛОСЬ с различными значенияМИ величины У.
В нижнем npaвol,l утпу записана сумма всех частот (общее число n про- :
'8еденнЫХ опытов). Очевидно, nx == n'y == n.. , " ,;,:'
в нашем ПI имере пx == 4 + 4 + 4;- 4 == 16 н п/l == 3 + 5 + 6 'f;:{,
+ 2 == 16:""
'х
Выборочное уравнение прямой .Jщнии реrpессии у на Х,;,'"
полученное по сrpУППИР08 НН М данным. будет 1iMeтb вид ,; %:
Уж==Рgr+ Ь (12. >, :
(здесь уже используем понятие условной средней Ух)' : ' " 1
Учитывая, что имеют место равенства ' ,
, I
ППП !
t ХС ус X O / t : , '
x== ; у== п '. п
<>ткуда
n n
Ус== Yn; x ==nX2!
C I C I
, n
ХС == хn;
C I
а также то, что каждая пара чисел (х, у) наблюдалась в попы-
тах п жу раз ( XY == пxyXY). формулы (12.6) и (12.7) для опре
деления Рух и Ь можем запи ать 'в виде
nxyXY пху
Рух == 2
n (х 2 Х )
nX 2 у X X/lXY
Ь == , 2
n(x2 x)
176
2 2
:х 2 х == ах, то
. nx,r!l тy,
Pyx, во! .
"
Умножим обе части этоrо равенства на дробь a)agl
xIl'Y пiy
рхуи,/и и ==
1ЮxfJg
Таким образом, получили выражение для выборочноrOt
ко нциента корреляции
l nжtfУ:"""" nXY
rB == '(12.13;
nихОу
и формулу, связывающую выборочный ко ициент perpec-
сии у на Х рух и выборочный коэффициент корреляции 'в:'
"ЛИ ' PIIX V'(I..-' Z:(d З)( Ц;)4 )О
i'< == ra . v< З s.'t
, tJ (12.15)-
Преобразуем уравнение (12.12) к, виду, наиболее часто ис
п.ольэуемому на практике.С этой целью.во второе уравнение-
n ' n
системы (12.5) вместо хс подстщJИМ nX, а вместо YI
C t 1==1
пу, после чеro разделим обе части уравнения' на п и цай-
ll.ем, Ь:
, ь;"'y Xpyx'
Подставив правую часть этоrо равенства в (12.12) вмеСТ()
Ь, получим
Поскольку
Ух == РухХ + g ХРух'
или'
,
уж"""':у == Рух '(Х х).
'\ ' '
Воспользовавщись paBeHCТВO (12.15), ,ОI<ончательно по-
лучим, выборочн уравнение прямой лииии реrpессии У на Х
В'ви '
Ug'
,Уж У ==r... (x X). (12.16}
, {J , - ,,'"
Аналоrично 'можцо: найти ,выборочное уравнецие прямоi
линии реrpессии Х на У:
и х
Ху Х == rB (g у).
и у .
'л р н м е р 12.3. На основании выполиеиных в течение длительноrо вре-
мени анализоВ содержания меТ8Jlла (Х) в поступающей на переработку руде
..
7 5 1772
I ", /
117 -
" ,......
..,--',
"'С;),
'-':
:
.
-':1
, "
.!:
;i
't.
i
I
:' 1 't>
'
\ А
! :';,
I
.,f-
,1>{; " .; .', ." ,,.
. k
,
,' . ,
,Ji"
: <
.' П,
: ! f
,-"1
!. i ,1:
'; 1r
"< {
, .
1:
.,
J,['
f::
\ '
_! !
l ' !: i
" ::: 't
!Рl
l' :,
!, j
!: \
i' f
) 1." i
t
! ;-
'
': ' .,
: (с
..i.'
I ...y __
\"
.,
т
,
.
: .
1
11 данных по проценту извлечения металла (У) при цеховой обработке РУДЬ1
ОС'l\авлена корреляционная таблица (табл. 51). Найти выборочное уравне-
flие 'Прямой линии реrрессии У на Х. '
Решение. Будем искать' уравнение в ВJlде (12.16). Сначала вычислим
<:выбоР9 ЧНЫЙ коэффициент корреляции 'в' Результаты вычислениЙ удобно
аПИСЬIlЩТЬ в две вспомщательные таблицы, расположенные справа и снизу
Таблица 51. Корреляционная и вспомоrательные (<<правая» и «нижняя»)
таблицы
' J I ! '" ot) ... о>
... т т т т т " ..",
I !:; '" '" '"
ot) а- ,., '" '" '"
72 76 I 21 1 I I I 11 з11741 I 91 27 I B124
. 76 80 I 1 I 1 I 21 I 11 4 781 2 I I IЬ I 5110
80 84 I I з1 "2 41 I 9 11821 1 I 91 1 8 I 8
84 8j! I I I з 8 I 51 11 16 11 61 о _1 о I I t I о
88 9.21 I I 2 6 1 4 I 11 1211' о I I I 12 1 12 I 2 I 2
92 9ti I I I I 2 I 1 з11. h 11941 2 I 12 I 24 1 1з126
96 100 I I I , I I 2 1 11 3 981 3 I 91 27 I 7 121
n х I з I 5 I 7 20 I 11 I 3 41153 П I 7 1115 I 191
х l' 61 81 10 12,1" 14 I 16 18 I I I I
u I з I 2 1: 1 0.1 1 I 2 з1 I I I 1. "'
nх" I 91 101 7 '0 I 11 I h 1211 3 I I I I l'
n х и 2 I 27 I 20 I 7 О I н I 12 36 11113 I I 1 I I I
t I k I 81 о 2 I . I I 911 I I I I I "1
I
tu I 24116 I О 01 8116 I 27 11 91 I I [ I I
.от исходной корреляционной таблицы (будем их называть «правой» и «ниж-
неЙf таблицами). 1;3 качестве значений У, величины У примем середины ин-
тервалов: Уl == 74 (середина интервала, 72 76), У2 == 78 (середина.' интер-
вала 7 80) и т. д. Запишем эти значения в столбец У правой таблицы; AHa
,.лоrично определяем значения Xi величины Х: Хl == 6; Х 2 == 8; ХЗ == 10
fl т. д. И запишем их в строку Х нижней таблицы. Чтобы упростить вычисле-
ния, перейдем от первоначальных вариант Х! и Yi (i == 1,2, щ' 7, j == 1,2, ...
..7) к условным врриантам:
il Ci, Yi 'C2
щ== иVj==
h 1 hr&
,.де h1 == Xit1 Х! == 7 5 == 2 (i == 1,2, .." 6); h ll == УНl Yj == 76
72 == 4 (j == 1, 2, .... 6),
178
в качестве С1 возьмем вариа ту х == 12, имеющую наибольшу ' час
'I'оту n" 20; в качестве C II возьмем варианту У == 86, имеющую наиболь I
шую частоту nу 16. Найденные таким образом условные варианты иЕ
и v I запишем соответственно в строку u нижней таблицы и в столбе1\. о'
правой таблицы. Элементы строки n,," равны произведениям соответствую-
щих элементов строк n" и и; элементы столбца nуо равны произведенияМ\
соответствующих элемеhТОВ столбцов nу и v; аНaJlоrично заполняем строку
nzu ll и столбец nyv 2 .
ТаБЛUЦQ 52. Сравнение условных средних, вычисленных по уравиению
(у;) и IIO данным табл. 51 '(Ух)
I I Ii; I .
Х ! ух У" УХ
, ,
6 75,3 76,7 1,4
8 79,6 79,9 " '0,3
10 86,0 83,1 2,9 ,
12 85,6 86,3 0,7 I
14 88,9 89,5 0,6
16 ,96,7 92,7 4,0
18 95,0 95,9 0,9
1
Каждый элемент столбца q равен сумме произведений частот n uv ' стоя-
щцх в соответствующей строке исходной корреляционной таблицы, на co
ответствующие элементы строки и; например, q == 8 (первая строка»
найдено следующим образом: 2 . ( 3) + 1 . ( 2) == 8; q == == 1 Х
Х ( 3) + 1 . ( 2) + 2 . О и т. д.
В строке t каждый элемент равен :сумме произведений частот n uv '
стоящих в соответствующем столбце корреляционной таблицы, на cooтвeT
ствующие элементы столбца о; например, t == 8 (первый столбец) найдено>
'1'ак: 2. ( 3) + 1 . (.2) == 8; t == 8 (второй столбец): 1. ( 3) +
+ 1 . ( 2) + 3 . ( 1) == 8 и т. Д.
В пОследнем столбце qv каЖдый элемент равен" проиЗВедению соответ-
ствующнх элементов столбщ)в q н о, в последней строке каждый элемент pa
вен щroизведению соответствующих элементов строк t и . Равенство CYMr.to
'I:.qv 1:.tu ==,-91 служит контролем правильносТИ вычислений.
Далее последовательно находщ!:
1:.n х и 3 1:.nуО 7
U == ...". == 53 0,057; v == == 53 == 0,13;
. f 1:.nхи 2 f 113 '
Ои == JI ' ( )2 == JI' 53 (0.057)2;== 1,46;
f n о 2 f 115
0v== JI 1:. y ( )2== JI/ 53 (o,13)2==I,47.
Учитывая, что 'l.qv == 1:.tu == 1:.n uv ut1 == 91; найдем выборочный ко--
еффициент корреляции:
'в==
1:.nuvuv пии
nOuov
,/
9 53. 0,057.0,13
. 53. 1,46. 1,47 0,797.
7.
119>
,
:
., ,
"
.
J
'"1
:.
..
...
и I
....,..;.
}.,\ :( ': ": , . . ""'. " .,' '
(),'
С'}
. ,;'
l '
J1 "
li:I':,
- ;;1 '1
l
, i,li '\
J' [!
'; J
. п
р.:
f, '
{!
(
j j
1;. '1
1':\1
., f
:j' !
, j
j' i
I ' I
J t'
Jl'
I !
"1: . "
i'
. _C
, '10'
l'
10-
fk
. j f'
I 1.;
\
A'€
';
1',
1 ;
Т ЙеРЪ 'и,IIАеМ:
. ..., i.lt 1 + С 1 . == 0,051 .2 + 12.... 12, Il:
v == 'vh. + С 1 =='0,13 . 4 + 86 == 86,52; ,
." '""" oJt1:'== 1;46 . 2 == 2,92;
О." == ОЛ 1 , 1 . 4 == 5,88.
Подставив найденные величЦНЫ 8,(12.16)" получим искомое ,уравнеНИel
' 588.
y,, 86,52 ==0,797. -i-----(Jt 12.l 1 ),.
r ,92'
4fJIИ окончательно: у" == l,бж +,67,1.
Сравним условные средние, вычисленные по этому уравнению и данным
Jtорреляциоииой таблицы (табл. 51), для, чеrо составиы таблицу
бл. . .
2 . 74 + 1 . 78 1. 74 + 1 . 78 + 3 . 82
11. == 3..... 75,3; У. == , 5 ,
2 . 8f + 3 ; 85 + 2 . 90 , 86'
1110 . 7' . '
2.78+4,82+8.86+6.90
1111 == 20 85,6;
';; 1 '== 5.S6+4.!.Ю+2. 94 =z,sзg. 1.94+2.98
.... 11 "Yl' 3
V18 == 3.94 + 1.98 == 95.
4 ' .
79,6}
:z: 96,7,
t).3.. НЕIIИН,ИНАI КОРРЕJJIЦИI
,;
Корреляцию И3ЗЫ8ают иелинейноЙ, если rрафик реrpессии
У1I -== f ( ) или х. === q> (У) изображается кривой линией. На-
:l1ример. функции реrpессии У на Х MorYT иметь вид:
, а1
11" == 00 + (корреляция rиперболическая);
х,
у",== йо+а 1 х + а2 Х ' (параболическая коррелямя Bтop ro порядка);
ух == t10 аlХ + 2 + a (параболическая корреляция TpeTbero порядка). _
Для Ilахождения неизвестных параметров уравнения ре-
rрессии, как и в случае линейной корреляции. используют ме-
'Тод наименьших квадратов. Пуст!:>. например. Требуется найти
!Выборочное уравнение реrрессии У на Х вида
'у" == 'а о + 1:I 1 x + ',
'l'де а о . йl. й2 неизвестные параметры.
- Система линейных алrебраических уравнений для опреде-
.ления а о , а 1 . а 2 . полученная на основе метода наименьших
(12.17)
180
.ша):фаТО8. имем вид
( nx } а. + ( "x3) ai + ( "x2} ав == InxYx x '. }
Q:п"x3,) а. + ( n"x') аl + ( ltx'X) -lle == nxy"x, ,
(:Ел"х') а2 + (:Ел"х) аl + nао == n"y".
Для оценки тесноты нелицeifной корреляции служит вы-
борочное корреляционное 6ТНОШЩiИе.'
Выборочны.м корреAJЩUO'НftШt -оrтюшeнием у к Х называют
отношение межrрупповоrо среднеrо квадратическоrо отклоне-
ния к общему среднему Кв8JJ.Ратическому отклонению случай
ной величины У:
(Jмежrр
'1"" == 4t oilщ ·
или в друrих обозначениях:
a
'1 ' ==.....!ж..;
У" Ор
' у о::=:. V D&" (ух у)2
O == межrр ==
"" . n
Оу == V Dобщ'== V :ЕлУ(уn у)2 , (12.20)
тде у обща,я средняя величины У; у,,""":" условная средняя
величины У; n" частота значения х величины Х; n!/
Ч;,lС1'ота зна ейия у велИ'rины У; n объем выборки '(сумма
Brex частот). .
Аналоrично определяется' выборочное корреляционное oт
ношение Х к У:
(12.18)
'"
(12.19)
(J
"ч
'1xи== '
. 0,\
Выборочное корреЛяционное otltОU1ение (ДЛя простоты
записи будем обозначать..еrо 'I'}) обладает с.ледУЮЩИМII свойства-
ми (пр 8едем их без доказательства):
1. O 'I'} 1. '
2. Если '1'} == О. то У с Х К-орреляционной зависимостью
не связаны.
3. 'Если '1'} == 1. то величины У и Х связаны функциональ
ной зависимостью. ' '
4. Выборочное корреляционное ОТНQшение не меньше абсо-
лютной величины выборочноrо коэффициента корреляции:
rI > I 'в 1. ' '
" 5 . Если 'fJ == I 'в 1. 1'0- имеет местоточиая линейная корре:
ЛЯЦИОНil:ая зависимость.
...
..........." ....
.
it.
I
-",'
,
1
i
.1 i
I
. \
':1.
'1 I "
,
t
I
I
,
I '
1\'
, I
18!
I
\
I
.. 1
, .> '" '. j'" '
i1
, , :
j";
; 'k
I '}
",
I ";j'
, ;,
.:\i'
, .,;,::i '
.: f t
, 'l '1
, . i '!
, ,ij! 1
,; , ' \ ' ,
"]
1:-
, ! It
l ' :' . ' , '
, ;,.
{!
'1' r
. \, 1
,1.:;: !
I :" , !
j" I
j}'!
)'t jt
\' 1
" 1:'1
,! ii
j !;;} i
(>" l'
. ,
. '
1 ',-
,- "
'.: '.
. ',
1'::
"
, ',''-
, +::
\'
I '.
, .
, \1 ,
I r;
.
,
'Преимущество выборочноrо корреляционноrо отношен
перед коэффициентом корреляции состоит в том, что 'f) служит
мерой тесн6ты связи любой ф6рмы, В том числе и линейной, в
то время как коэффициент корреляции r в оценивает тесноту
только линейной зависимости.
При м е р 12.4. Найтн выборочное корреляционное отношение по
данным корреляционной таблнцы (табл. 51)_
"f.nyY
Решение. Найдем общую среднюю У ===,.............. ===
.. n
== 3.74+4:78+9.82+16.86+12.90+6.94+3.98 86,5.
53
Определим общее среднее кв адратическое от клонение:
{ ' "f.ny (у у)2
. ау === n
3 (74' 86,5)2 + 4 (78, 86,5)2 + 9 (82 86,5)2 + .
+ 16. (86 86,5)2 + 12. (90 86,5)2 +
+ 6 . (94""":'86,5)2 + 3 . (98 86,5)2
53
Для нахождення межrрупповоrо среднеro квадратическоro отклоненни
'воспол зуемся формулой (12.19) (УСЛОВН,?Jе средние УХ при х === 6 8; 10;
12; 14; 16; 18 найдены примере 12.3):
.. ' { r. n..xJ YX у)2
а
ух n
3 . (75,3:""" 86,5)2 + 5 . (19,6 86,5)2 + 7 х
х (86 86,5)2 + 20 . {85,6 86,5)2 + 11 х
х (88,9 86,5)2 +'3 (96 86,5)2 + 4. (95 86.5)2
4,95.,
53
{
=== 5,87.
Искомое выборочное корреляционное отношение
., === a /а у === 4,95/5,87 === 0.8-
. 'ух ух
. СР,авннвая корреляцнонное Ьтношение '1ух === 0,8 с коэффнциентом кор-
реляции тв!::::!. 0,8, вычисленном в примере 12.3, вндим, что они ,равнЫ между'
собой, что подтверждает (свойство 5 корреляционноrо отношения) наличи ..
точной линейной корреляционной зависимостИ между лнчннами У и .
рассматриваеМ,?IМИ в примере 12.3. '
J
fп.B. 13, СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРО8ЕРКА'
СТ А ТИСТИ ЕСКИХ rИПОТЕЗ
0.1. оСНОВНЫЕ п нятня н ОПРЕДЕЛЕнна
СтатNстической называют rипотезу о виде неизвестноrо
распределения rенеральной СОВОКУП;RРСТИ или о значениях
, параметров известных' распределений. апример, предположе:.
182
,;.
#х...,
"
иие о том, что 'rенеральн ая совокупность имеет нормальное
рйспределение, есть статистическая rипотеза.
Предположим, известно, что случайная величина Х pac
пределена по нормальному закону, параметры KOToporo а
о неизвестны. Тоrда предположение о том, что а === а о или
()' === 00 есть также, статистическая rипотеза.
Нулевой (основной) называют 'выдвинутую rипотезу и обыч
но обозначают ее символом Но. '
, Конкурирующей (альтернативной) называют rипотезу Н 1 ,
противоречащую нулевой. Например, если выдвnнутая (нуле
,вая) rипотеза есть предположение
9 TO , что среднее квадратическое
стклонение о нормальноrораспре-
деления равно 2, то конкурирующей
rипотезой может быть предположе
ние о том, что о =1= 2. Сказанное мож
но записать так:
Но: а == 2; Н 1 : а =F 2.
Альтернативных rипотез может
, быть несколько.
Статистическим критерием Рис. 24. Критическая область.
(или просто критерием) называют случайнУЮ величину К, точ
ное иJiИ приближенное распределение которой известно и кото-
u ·
рая служит для проверки нулевом rипотезы.
", Обозначим Кр значени критерия, вычисленное по BЫ
бор кам. Множество всех возможных зцачений критерия К
можно разбить на .два непересекающихся подмножества: oд
но из них представляет собой совокупность значений критерия,
при которых нулевую rИПО'l'езу OТBeprafOT, и называется Kpи
тической ,об-!ШСтью; друrое совокупность значений крите-
рия, при которых rипотезу принимают, называется областью
nриняmuя еиnотезы.
Основной принцип проверки статистических rицотез со-
стоит в следующем: если вычисленное по данным выборки 3Ha
цение критерия К принадлежит критической области, то нуле-
вую rипотезу отверrают; если Кр принадлежит области приня
тия rипотезы, то ее принимают.
Точки, отделяющие критическrю область от област при
нятия rи, потезы называются критическими (k Kp ). '
Критическая область может быть односторонней (право-
сторонней или левосторонней) или двусторонней. "
Правосторонней называют критичеСКУIq область определя
с. емую неравенством К > k Kp , rде k KP > О (рис. 24, а).
Левосторонней называют критическую область, определя
емую неравенством К < k KP ' rде k Kp < О (рис. 24, б).
,
о
A11J/ff
8., .
.
8.,
.
о
D
.
К.,
I
О
6
.A1lIll:
8'; .
.
""' ' ........
.
183
I
,1
"
i
11
['
clJ
;,:: Ir -"-'''::''"'<'.i ;:'' "
1/1','
, j"
! , ' . ;
' 'F
11.
" " !i'
;f,
f ' ,', '1
;:" f : " '
-,t
,. l'
:.j .J!
',:1: ;:,
, ;, j I11
.. t i,1
" ,
f 11-
t::. f
':-: ;
ji, t
.: ".':' t
1(1
[О,
1: f
JI, ! '
;" t
,1 _,
i ;,!{ ",
j I
1:.; i
J.)
'-: .,
ч "
, ... ":
\
: ,' ,
: ' ;"
1';
4"
':!"
1_
j'
j
l
, ' J
ДвусnWропней называют критическую область, Qпред ие.
мую неравенствами К < k KP ., К > ., ;fДe k > kq..
в частности, если критич-еские точки симметричны QТноси-
тельно НУ Щ, то д.вУСТОРОiIЩIЯ критическая область определs-
ется неРal енствами (в предположе u.и, что k Kp > О):
К < k KP ; К > k KR , ИЛИ равносИJ1 ЫМ неравенством I к I >
> kv,p' (рис.' 24, 1I). /
При статистической проверке нулевой rипотезы (она МQжет
оказаться правильнq или неправильной) MorYT БЬ1ТЬ ДQ.пуще-
,ны оцшбки д.вух РОДОВ. '
Ошибка neрвоео рода ит в хом, что отверrается п авиль.
ная rипотеза.
Вероятность такой ош"бки назывaJOТ уровнем значимости,
оБQзначаютоБычно а, иНl>Iд ВЫРl!Жают в' процентах и чаще
Bcero принимают рав{!ым 0,Р5(5%.) или 0,01 (1 %). Если, Ha
пример, а == 0,05, это означает, что МО,ЖНО совершить ошибку'
первоrо рода в пяти случаях из ста. Выбор уровня значимо.
сти определяекя решаемой задачей. ,
Ошибка вmopozo. рода состоит в том, что принимается HeI1pa-
вильная rипотеза.
.....
0.1. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ДИСПЕРСИИ НОРМАПЬНЫХ ,
-rЕНЕРАпItНЫХ .СО80КУПНОСТЕИ
Пусть из rенеральных совокупностей Х и У, имеющих нор-
мальнre распределение, ИЩiлечены независимые выборки.
объемы которых ftt и n 2 ; по этим выборкам найде.ны исправ
ленные выбороЧные диеперсии s и s . Требуется. qри задан-
н,Ом уровне значимости а проверить.нулеВУIQ fl1потезу, состо-
ящую в том, что reнеральные дисперсии рассматриваемых
совокупиостей равиы между собой:
но: D (Х) == D (У).
Иными словами, требуется проверить, значимо (существен
но) или незflачимо различаются исправленные дисперсии
22'
(обычно Sx =1= Sy).
В качестве критерия проверки нулевой rиrtQТeЗЫ Но примем
случайную величину F отнощение больщей исправленной
дисперсии к меньшей: F == S;, н еющую при справедли-
вости нулевой rипотезы распределение Фищера Снедв..
кора (см. п. 9.5.8) со степенями своБОДЫ k 1 ,== nl 1 и k 2 ==
== n2':' 1, rде ftt и n 2 ,COOТBe're:rвeHHo. Ьбъемы выборок,
по которым вычисл ы ООльшая'и меньшая исправленные дис-
, персии.
Найдем .отношение большей исправленной диспеРСН1f к
меньшей и обозначим ero Рр (Р расчетное). Критические точ
, 184
:t'
. ;-, ....
\
,-fI,'.:!::
, ..... . .,., ..,.''"'". . .... ............., ',.....''' '
, '
i ,
;,
'
ICи бу.дем н'аходить по табдиЦе .распределения ФRUIef'а 'Сне.
декора (см. прил. 4) I! зависимости от вида щ>нкурирующей rи,
_ потезы Н 1 : при Н 1 :..D (Х) > D (У) критическую точку
Р кр (а, k 1 , k 2 ) находим по aдaHНOМY уровню значимости а
н числам етепеней свободы k 1 И, kz.; при Н 1 ; D (Х) SF lJ (У)
Р кр (а/2.. k 1 , k 2 ) находим по уровНЮ фiцчимости a,/r;. (вдвое
меньше заданноrо) ,Н числам crепенеi'Ц вобоДbI k 1 Ji ,k;. 3q.ТЩ
СР_ Jiниваем Рр и f..q,: e<;JIИ Рр< Екр, то нет .осНОJJаНJ:JЙ ОТ-.
BeprHYTb .,пулеву rliПQТезу; ect1 Р р :::> ,fир" ТО, нулевую
tипотезу , от ерFают'. , . '"
: .
Л р и м е p,13.1. Требуется сопоставить точнос химическоrо аН8Jlиза
1;13 двух , приб-орах А \i В прибор В явлпетс , ' я <!9fl., .cP , B P ':H , ' J>JМ.." чем: , lIР , И , " ,
бор А)" На приборе А выцо.цнено семь а З1ЛНjjOв 1:1 Jio Y'!el! .Р 'у "тащ;:
Кl'= 84,4; К 2 == 84,6,; 3 ==85,1; К, == 84,9; Ка == '85;2; X ьd 84,8; X-z',=='85;6:
Результаты пяти анализов; выполненных на приборе В, следующие: y,l.'::d,. ..
== 83,9; У2 == 84,1; Уа == 84,8; у, == 85,3; У. == 85,8. ..
Можно ли считать, что фа прибора .обеспечивают oДHHaKO y ТO 1I0CТb.
если принять,уровень значимОсти.а == O,J? Лредnoлаrается, 'что'резуiiьтаТЬ1
Щlализов распределены' нормадЬНО 'И выrs.opки неза1iиснмы, '
Решение. Будем СУДН1'ь о точности пРиС50ров..по величинам, ,IlИCflерсиА:
о евидно, точнее тот прнбор, который обеспечивает м ньшее рассеянне
результатов изм рений. СлеДОllательно; нулевая rипоте lfМeeт вид
НО : D (Х) l)(Y). . ., '
Il качестве КОlJкурирующеЙ" 'Примем' Fипотезу Н 1 : D (х) :#- D (Y)
9.uр делим. испра:вленные в""борочные дисперСilи sk и 4: ' '.
B .;.. п. e (Х) ==
пl.,.....,1
7, ( ' 7 ' ) 11 .
' 1: Xl
11. [ ..... l 1 ] :;::1;
....... 1 п 1 '. ri1
1
.,
,
1 r 7, ( l ) 2 ] ,
== " ' K 1 1 . == ...!.... [ 50507 98"": (594,6)2 ] == .
п 1 I nl 6 " 7-
l 1 '
1
==, . 0.96 == 0,16;
6 '
[ t,q
== II:! р в (У) == n ll 1==1
п. 1 .. ,11J l п ll ,
.
.,
(t )' ] ",=,
п 2
2
1
с: п2 .I
[ '5 ( f у/у ] . .
!li / 2 -= { : [35940'79
1 .
.... .........., 2,55 0.64;
,4 '
....:
1".
(42 9)1I }....
8 5 1772-
"
......
, ',,-
" ' 1
-
;\If
.
'4
, s
,
j
>.
;7
,,f'
1.
1,
!"
"
I
I
, \'
r -:..
".
i ',),1-.
,/1,'
" Н.
у ; , J
f , ""f , t ,
f. .+-
о .. r!1 -1 ..'"
".! .[:'
, ' 'J "
.Ч t
,Ч 1;
1 ; 1
.', i '
" i '
.&', l'
I : j !
j: , J'
, j .' ,
, , ' , ' '1 ,1 i;
; . :' ф'
i, ,'1 ,'..
'
j!
j'!
! i',
,. I ,
0'1; ; .., ' :. о:
:, .
" '
I I,' '
\
. '
(' o j
J ' '
,...
.' 1
. \-0
"
j'"
J ; ,
i
"-:''i\ ,:,..-.:--:"". ,о,. "';.',
........................, -.... '" .
. '-..О;.....
.." ,, ,
На",,_ OТВOUJellRe 6W.meA иеправлевноl JlиСdeреии . ыеиьшеD
..2
.х:
Рр 0== /sk == 0.64/0.16 4.
по таблиnе (сы; прitл. 4) по у.ровню ана'lИМОСТИ. вдвое меиьmеЗЗ.J;анноro
(a./!' 0.05). н ЧИCJIам степенеii, С:ВОБОАЫ k 1 == па 1 == 4 (ЧИCJlО степеней
с:вЬбодн больш 'дисперСНИ) И ki == nl '1 z:: 6 нахоАНМ 'критическую
1'ОЧку F кр (0,05; 4; 'бr 4.53. " " ,,',.,'
. ПОСКОЛЬку F р < F ИР. jНeT основаИRЙ отверrиуть иулевую rипо1'е3у о
равенстве вера.llЬНЫХ днcnерснА. Иными-еловами. исправленные АНcnерсИ)l,
отличаются Незначимо и, <СЛедовательно, оба прнбора обеспечивают ОАlJиа-
ковую точность измерений. '
На npакти е' задача. сравнения дисперсий возникает, кот;'
. Аа требуетсЯ авиить1'ОЧНОСТЬ приборов, ,метод.ов измерений
. ДР.' "
tu. 'ОAIНЕМИЕ iы&o.ОЧИОА СРЕДНЕЙ
-, -- -
С rипотПмЧЕскоJi rEНЕР.....ИOR СI'EДИЕИ
морм.uu.иоя СОВОКУПНОСТИ
"'.' ., .... ..... , ' /'
Пусть.Х rе еральная COBO JIIioctЬ, имеющая 'Н9РММЬ-
вое распределение; из нее 'tfзвnечена выборка объема n, но .
которой найдена выоорочная среднИя Х;' rенеральная средняя ;,'
а неизв а, 'но есть, <>qIования предnолаrать, .что ОНа 'p H.a
,rnпO'ri#rическor.iу (предполаrаемому) значению ,llo' Требуется
n o зад ному уровню'значимocm 'а провериt"ь,нулевую, ПШО-
тезу' Но: а ==о а о . Иными словами. .!!ео()ходимо установить, ,1
значимо или незначимо раЗличаются х и ао- ' :'
Будем проверять rипотезу Н о в предnоложениИо что дис-
персия JlерЩIЬНОЙ совокупности lf. неизвестна. .
'в Ka e крит рия проверки нулевой rипотезы ПрflНИ
мают случайную величи у
т == (Х а,> Vn/s,
имеющую распределение Стьюд нта (см. п. 9.5.7) с k n
' I степеиями свободы; s испраВ.Ilенное среднее кв<щрати ,
ческое от,клонение; определяемое по .выборке.
По данным выборки ВЫЧИСЛI;fМ значение критерия Т и обо-
значим ero через" Тр (Т расчетное): .
т р == (х a,J Yn/s.
'Критическая область строится 'в зависимости от вида KOH
I<урирующеи rипотезы Н 1 :
1) при Н 1 : а =F йо по т блице критических точек распреде- .
. l1еция Стьюдента (см. ПI>ИЛ. 5), no заданному УI?ОВНЮ значи
.J.86
..
'..
o ""_ ..,- "":-. i",ч>...:-t> --..' o' "
. "", , ,
. i--;/ ..;,. "."0 ,_ : :...'
,)
'\
, ;
< ,.
.-
...,.. o..... .;,
,
, . . ........... ...........
" '
, '
мОСти ft,. помещеннОму ,в Bepx e cтPo e iаблиiЩ ,И tiиclIY
степеней свободы k == n"7"" I находим' критич кую '('ОЧКу
t ир (а, k) двусторонней критической области. Сравниваем
TpJl tj(p: если.1 Тр L < tкp, то He ОСlюваний отверrН}'1'Ь нул
вую rипотезу; если I Т р I > t ир , тЬ нулевую rипотезу, oтвepraeM;
'. 2) 'при Н 1 : а > ао по ровню Щlачимости а. помещенно-
, : му В нщкней строке таблицы (см. прил. 5), и чиcJiу степеней
'свободы k ::с: n I находим критическую точ1,{ tKp(a, ,k) пра-
восторонней критической области. <;равниваем Т.,' и t xp :
если Т р < t ир , ro нет оснований oтвeprHYTb lJулевую rипоте.
зу; если . Т р. > t ир нулевую rипотезу отверсаем; ,
: 3) при, Н 1 : а < ао сначала Н8)Содим «вспомоrательнyIO»
'крцтическую точку t ир (а, k), как указаНQ в случае 2, а затеи
полаrаем rpаницу левосторонней КРИ'l'Ической области t:ф ===
=:;;. tир {:равниваем Тр и t p: Wrи. T > t P"7" нет HQ '
ний отверrиУть uулеВУЮ,rипOteЗу; если Тр. <.t P! то нулевую
nmотезу. oтвeprae14., ' , .
л р и м ,е р 13.2. pH-метров б ли 'откалнбровары по стандартно-
му раствору с рН== 3.07 Дли квждоro pH-метра бblщt найдены следующие,
показании: 3,00; 3,05; 3,07; .2.97;.3 10;.з.0l;'З;О4; 3;12; 2,99; 3.02; ТрtбуeТCJi
(прu уровне значимости 0,05) проверить нулевую rипотезу о том, 'ч1'О сред+.
ee по Bы pKe ro pH-метров незначимо отлнчается QТ стаIiАартиоi'в,ели.
чины llo == 3,07. ', ' .
, Решение. Нулевая I1fПoтtзa имеет вид Но : (l == flo == 3,,07. В качестве
конкур.ирующей примем rйпотезу Н 1 : а -=1= 3.07, ,
Найдем среднее х по 8ыборке 10 pH-метров:
. X == ( %1 ) /10 з,о+ з.О5+з,О7 2,97 + 3,10+ 3,Оl + 3,0.+
i 1 ,
+ 3; 12 + 2,99 + 3,02) : 10 3.037.
В чнслнм, исправленн ое среднее ,квадратическ оц ло
, У ' . [ I ( ' %I ) a J '
- 1 "., 2 i 1
s== %i "",'
. n 1 i==) . n
== V J92025 .....::.92,23} 0,04;.
!fайдем расчетное значенне КJ>итерwi Т: -
, т . (3,037 3;07) У'ю ' 2 ' 2 ,<j'
. ..1> O,O 7, , .
'......., <
Л()еltольку конкурируюЩэяrипотеза ИМ Т вИд Н 1 : а =1= ао, то критн..
ческам' рблacrЬ дв.усторонняя. По'таблнue крнтических точек PflспределеННJ(
СтьюдеJt'f8 (см. прил. 5). по уровИIO значимости 0., == 0,05, помещенном{
8*
187' .
,..'.
- " Ч,- ...
'. .....;, ':'
'. I i
,
, \
i;,
, ,
1,
"
J
.!!
I
!.
"
I
I
I
1
,r-:: ...:.
: ; f. ,;
:k '
i.:t,
1;1 .',
"I J :(
1;.; 1" I
.1!. .r
;. \ 'I;'
'''
:!
J !: (..
.':i ' ,:.
t о.' ;
f ' , ' , j t , ; ,
' ! ,r -
Jt i :' ':
.
, ; r:,
1:.1
.; i
,; t '.
j'; f
1J' ,f
;' 1
!,i'\,,' I
".
i
'
. '1 "
:. 'l
i
j ,
j';
)
." . . '
l ';.. ,,!.
i, ;
'0', ,
'\'
. .
f '
j ; ,
,.
i: ", '.
, j'
(:
1. .
i
\
"":: -;..".
-- .' ;:.'.-
" . " 'Ч" '""",,,,,,,,,><, ,,, ,,,, ,.,,
1. """
.в,.цеР:JSнеА cniQxe тaб.lIищ, и ПО 'Iислу степеней свобоJ1ы k == ... ,1 == '10 .
....:. ,I == 9 ахьJtим ,критнtJесkую точку' tкp (0,05; 9) ==,2,26.
,' ' . Так .kЗХ ., Т р 1 < t ,нет осно анийотверrнуть нулевую rипотеэу,
tpeJi.)lee В!) выборке 10 P\i.l>! OB незначllМО отличае1'СЯ ОТ стандартной ве-
;Jtичины tro == З,07.
ПусТь теперь требуе1'СЯ проверить., ,н л вую iипотезу', Но:
а , а о в предпОЛ()жении..'ТО дисперсия (12 reнеральной СОВО-
купности известна.' ,/
В качеС1Ве критерия проверIЩ нулевой rипотезы принима
ют случайную , величину U ==(х .......ao)Vn/O, имеющую нор-
малыше распределение. : , ' . , '
< :'.По дaH ЫM выборки ншr:од р счетное значенОе критерия и!
",.'. . . . ИР (х 7" )lrnIG. ,
, 'Критическая 'область сТроится в зависимости от вида OH .
.'с,' о о - ." ,
курирующей rипотезЫ: ." , '
','1) при Н 1 а::/= а о по таблице функции Лапласа' (см.
прил 1) находим критическую точку иКР Д13усторонней крити-
еской об.ластияз рЗВ,енства Ф (и КР ) == (1 а)/2.
,;,CJl@ "Baet.1 l.!.t> н ИкР: если I и р I < UKptto не,. оснований
arвepr"HYТЬ нулenую rипотезу;, если f IJ р I > икр, то нулевую ;:.
mшотезу oтвepraeM; .
.2}спри В 1 : а'> 'йо IФИrnЧескую Точку правосторонней кри,;
! ческоii ОЩIа'Сти находим из равенСтва Ф (икр) == (1 2а)/2.'
,Срзвниваеы и p и Uр:.если и р < икр,,-ТО нет оснований
отверrнуть нулевую rипотезу; если и р > икр, то ну.ле!3ую
rlJпотезу oтвepraeM;
,.3) при Н.: а < а о наХОДИМ сначала вспо!.юrательнуюкрй-
тическую точку икр, как укаЁано в случае 2, а затем полаrаем
rраницу левосторонней критической области и p == иK;'
Сравниваем и р и и : если. Ut> >, иKp., то нет оснований
OТBeprHytb н,упевую rипотезу; если и р < ЦKP' то нулевую
rипотезу OТBep.raeM ' , ......
...
t3... СРАВНЕНИЕ ДВУХ СРЕ НИХ НОРМАЯЬНЫХ
rЕНЕРАЯЬНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ
С НЕИЗВЕСТНЫМИ ДИ(ЛЕРСИ5IМИ (ЗАВИСИМЫЕ BЫ&OP I
На практике .ч сто возникает НeQбходимость сравнения ре-
зультатов цзмерени одной и той же величины, B одном I'J том
же порядке двумя приборами ИJlи двумя методами, либо одним
и. тем же методl)М r но двумя различными лабораториями (ла-
. барантами) и т. п. Например, если X 1 '(; == 1, 2, ..., п) ре- '
.зульт ты измеренийil:екот.оройвеличины первым прибороf,f,
а, Yl результаты измерен й этой)Не величины" произведен-
188
:rt'..:!:. .
ItblJC в том же порядке, вторым прибором,то X 1 И УЕ :попарНо
завИСИl,Jы. Поскольку обычно 1', =1= Yt, возникает н ходи",
tdОСТЪ установить, знаЧ!iМО или незначимо различаются пары
этих чисел. ' ' .
Пусть из reнеральil:ых совокупностей Х и У, ,имеЮЩJlХ
нормальное раСiIределение извлечены зависимые выборки
()динакрвоro объема, варианты которых равных, и YI (диспер.-
сии совокупностей Х и У неизвестны). ,
Требуется при ,заДанном уровне з ачимости а проверить
нулевую rипотезу Но: М (х) == м (Y) o равенсТве reнераль
НЫХ средних нормЗJlьных совокупностеи с еизв тными c
(1ер иями; при КЩlкурируюш.еii r шотезе Н 1 : М (Х) =1= М (У).
, Введем следующие обозначения: d l == X 1 У, раз <r
"
(:ти, вариант 5 одинаковыМИ омерами; d == п---- средня
разност ей вариант с одинако,выми номерами; 54 .
== ." f .....!.... [ tВ 'd,)2 ] испр вленное среднее квадратиче-
V n 1 , n'
ское ОТКJIонение.
Вычисляем расч.етное значение критерия Т (см. -0.--13.3):
.;,
т р == iiVn/Sd'
По 'таблице критических точек распределения С т ьtOденТ8!
(10 заданно у уровню значимОСТИ а, помещенному в' верхнеи
C:rP 0Ke таблицы и чиСлу ,степеней свободы k == п 1 нзх,?дим
критичес ую точку tкp (а, k) двусторонней критическ?и o '
Л8crи. ' ,
ЕсJ.Щ I Т р I < t Kp ; то 'нет оснований oTBeprHYTb нулевую'
,сипотезу; если I т D I > t KP нулевую rипотезу OТBepraeM.
; - ."
. 'п р и М Р Ш.3. После проведеиия двумя мecroдами в ,ОДНОМ и ТОМ же
порядке химич коrо анализа' десяти проб полученц следующие результа
Ы: '\
. , , , \ I \
Xt 94,5 93.4 93.9 95,2 .. 95 4
Yt I 94,2 1 92,8 , ' 94,1 t 94,8 r 95,1
, i
;,
i
I
,
"
f,
;'f:-
:.i1',
, ,
"
,..
, .
'
1 ;'
:
1,
1.
:"
l х .... 94,6 I 96,4 I 95;5 I 95.8 96,1 .
,Yt 95,3 1 95,9 '1 96,2 ' I 96,4 95,7
.
I
189
I
" ..... J
""'., , . ,' ,,,............. . ' ,,.,
.Й .
> ' 1 "'"
: . : t fr
<: i
; , ,
. "
, , ,
, . ft f о
!!f
, > ; "I'
' , :,..:
l' '
. 1. I
..' , .
J " .
j " r
\ ./1,
i,,\J';'-.J-
1: 1 l
, "
i, f. ii'.
! ' ,,),
j f;'
f:" f '
':. ч
;. f'"
,; а
," , 'l ",
J {tt ,.
I'! i
} : i {
': I l'
j' t
.:,J f
j '! r-
( ! .
J."t t
I" ( h.
" I "
j ," t' J';
( I ' O : , '.,
" .' [,
'j; J,\
i ,'ti
I)t t: .....
! I ';'
1 " 1, -
i.J 1-,0
) , \",
;,'" '''i,"
"
:\
,
.
,
1 ;
С i
J " "
..
i "
1 "
j t,
1
. "''''-'''''''''''''-''''';'<' .. .......,..... .. "!"'".,..,............." ,,.....'
:F- : ., "
, (:x,' значения, по;лученцы первым метоJ1Oм; У, аиачен.иll, UOJlученнЫ.,
"торым leТOAOМ). ' ', >. ,>
Требуетс.я (при уровне зиачимости.О,05) установить, зиачимо или не,.
8начимо раЗJJнчаются, средние результаты 8Jlалнзов. в предположении. 'что
они раСIlределены нормальио. ' ,,'
, РешенlJ,e: Найдем разнOC1II 11,1 == 'х! Yl; tl J == 0.3; da ==. 0,6; da == ......(),2;
d. == 0.4; d. == 0,3; 4. == .7; 4,.== 0,5; d, == ,7; d. == ,6: 11,11 == 0.4.
ОпредeJ.IИМ выборочную .средню :' , ' .
,а == };dtlп == 0,3/10 == 0,03. , '
Найдем исправленное cpe Hee квадратическое ОТКЛ9не ние Sd'
.. -./ [ f4 ( dJ ] ==
JI 'п " '==1' ,п
.' == {/+ [2,49 Oi 9 ] 0.5 ,
Найдем расчетное iiачение критерия:
Тр == а Jfb/Sd == 0.Q3 . iO/O,52:': р,,18.
По таблице критичеСких точек распределення Стьюдента (Ct,I. при.n. 5).'
по уровню зна имости 0,05, помеЩенному в верхней строке таблицы; и ЧI!С-
y степеней <:вOOOДbl k == п. 1 == lo. ,1 == 9 находим кри:rическую то,ЧКУ
t'f(P (0',05; 9) == 2,26. " ' '.
Поскояьку Тр< {"р' ие оснований отвер!нуть нулевую rИПОТезу.
I1:ными сло амн,резУЛЬ1'атЬi. аналнзов различа ся нез ачимо.
O. ПРОВЕРКА rМnOТE3bl 01I0PMAJlItHOM
РАСПРЕДЕЯЕНИИ пHEPAIIЬНO СОВОКУПНОСТИ.
КРИТЕРИА соrllАСИЯ ПИРСОНА
:Пусть Х исследуемая cJiучаЙная величин . закон рас-,
пределения котороЙ неизвестен; есть ос ования .преДПOJ1<r
жить, чТо Х име .1 Jiормальное (или любое друrое) распреде-
ление. ' ,
К1JитериЙ ПрОJ;\ерки rипотезы о предполаrаемом .законе H -
известноro распределения называe.tся ,xpuтepue.м сооласия.
Существует несколЬКО 1<ритериев соrласия: Х 2 (<<хи кв ад-
раТ»),ПИРСОН8? KOJ1MOrOpOBa, Смирнова и, ДР', '
Критерий Х 2 Пирсона наиболее чаcrо употреб.:tя.емый
цапрактике. Расй49ТРИМ применение .этоrо критерия f1./l.Я про-
Bep rипотезы'о нормалЬном распределении нераль.юи C BO-
КУПНQ!:ТИ. Сле ователЬНfi, -rребу.ется при заданном уровне,зна-
чимости Пр08ерИ'!'Ь нулевуюrицотезу но: re еральная сово.
. КУ 1НОСТЬ 'распределена нормально.' , ,'.
Для решения этой ада чИ неоБХf)ДИМО , v
1. По выборке объемаn, извлеченной 'из r'енераЛЬНQИ совоа
купности, построит,h :iмцирнческое распредe.r(ение в виде' по-
x.
';"
:,,1;> O
.
слеАовательностИ рэвноотстояЩИХ вариант и соответСТВyюi.u.их
им чаСТот либо' в виде последовательности интервалов' (Х,; Xt+l)
и соответствующих им частот n, «(J, сумма частот, поравших
. i.й интервал):
t Варианты' Х, I 'Х 1 I Ха '1 ' , . I Xl
(а)
Частотьi п,. I Rt' ,1 па I "1 n
с \< ' (Xi; X I (Х.: x:J J I (X I 7""I; Xl) 1
I I ... I (б)
n1 п. n,
2. Если эмпирическое распределение вида (а), то следует:
. а) вычислиТь выборочную среднюю Х: и выборочное среднее
квадратическое откл<?не"ие 0'&;
. б) ВЫч!fсл ';Ь Т 7е.тИ 1
п,,== ов q>(щ). .../
rде n объем рки (n =:= n 1 + n. +: + 11.,), h шar
(pa H Ь между соседними ваРl!ацтами);
(,
"1
2
ut == (Xl "iB)/a; q>(и) == (I/Jf 2л:) е
(см.' прил. 9;,ч> ( x) ='=, ч> (Х». .. ",
, 3aтeM 8ЫnОЛНЯТЬ пункт (Д). , ', ,
Если эмпирическое р аспределеяие имеет вид (6). 'tp \lеобх<r
ДИМО: а) найти серединЫ частичных интерв ов (,кif Xl+I):'
x7 :::= (Х,,+ xi+I)/2 и записать статистическре' распределение
, ,} t j
. . . .
./ Х, х. X;z Xt
п, ,п, > п. ,'1 I ,Щ
190
0'/ \"
:.;'-;... :;
"
,1,.:
б) вычислить рыборочнуЮ среднюю х* И ыборочное cp д-
нее квадратнческое щкnонение 0'*;
в) пронормироватъ Х, T. е.neрейти к случайной величине
Z == ()( Х*)/О'* 1I ВЫЧИСЛИТЬ концы интервалов z, ==
== (Х; Х*)/О'*. %'+1 "':' {X'+I ;.... Х*)/О'*, причем наименьшее
зиаченИе %,. т. е. %1, ПOJlarают равным oo, а наибольщее, т. е,
2,. по.лarаlO'i равным()(); .
'(1
f
'1
,j
": .
19J.
i
" J
$",.:;....-... ., -
.' .,,-
,-О, '-
, . -'
c.>: '..::.. , o,_ ' :?i .., ,J,,;, .
'. io : : fl t' -:; ,
.' !-.., >.- .;: <
.
, ,
:i t ,:,'
, , ", ,
i; " , , ! f: , .
::' >
i 1 ;
! ' "
I 't
i l :
BJ,i
j :\.1,.);
1 ;.1 ,)
jp
! ,
JfJi
1 , ' I ,
J \ r
I. i1
, .. ')
i 1 .
l' f
j !!
;' j l'
':j:
и 1 ;.
j)', '.
I ; l '" "
:t :.
:: 1 : ;r:'
I ,',,:
't :.;
....,
i ".Т :
! ..:f '
J . {,
j { ,.:.
I
; \
{<
f ';
:.
'4 ;:\..
U. '
!; ".
4 .-!
,.
j
, I
J
j
,
",< J. . "
r) вычислить теоретические частоты
п == пP i .'
rде 1t. объем выборки (n === п.. + n 2 +....+ n,); Р, =-
=== Ф (21+1) Ф (Z,) вероятность попадания Х в' интерВaJJ
(х,; Xi+l) (Ф (2) функция, Лапласа);
- . д) сравнить эмпирические частоты n, с теоретическими
п; с помощью критерия 1'2 Пир сон а: \
(п, п;)2
')(2 == '
, , . ;
для чеrо необходимо "aji и расчетное значение критерия Х\!:
, 2-
2 (ni ----: n , ) /
')(p . .
n,
а затем п() таблице криr"ческ,ИХ точек распр деления Х2 по
данному уровню значимости а и числу степеней свободы
k == s 3 (5 число различных вариант либо число различ
ныхинтервалов выборки)' найти, критическую точку X p (а: k).
Если' Х: < X , то нет Оснований oTBeprHYТb. нулевую
rипот-езу; если X > X P!,T() нулевую rиnoтезу следует от-
BeprHYTb.
n р н м е р (3А.'Используя критерий Пнрсона. при уровне значимости
0.05 провернть. соrласуется ли rипотеза'о нормальном распределении I;eire.
ральиой, совокупности Х с эмпирич Itим распределеНJiеМ выборки, объема
п == ,150. I1риведенным в табл: 47. " '
Решение. 1. Найдем.середины X части.чньtx интеРВlrJQВ(Хl; x'+I) задаи-
Horo Itнтервальноrо э пирическоrо распределения и запишем Рf\спределQ-
ине равноОт.стоящих вариант (частorы Щ == т,).
,1 : [ \ I t
", . 76,25 78.75 81.25. 83.75 86.25
Х{
. I ', 'I 1 '1 I ,
n{ 2 10 15 .18 20 '
.. '1 88,75' I 91.25 1 93.75 l'
х,
n/ 1 22 I 24 1 20 I
1 2 "
.... '
,.
96.2 .\ ,98,75
13 I 6
-- ,/ ,.
I
' .....,..- - --.........'"........-:-.: ;: ......... ' .' '.
..
- Таблицеi 53. В..чиспевие иитервалов <, i i+I)
......
" .. .
rраи Цbl ии- rраикц НRTepBaпa
терВaJl8 I"+I
i \ Х{+l х, :x. x'+1 %. x. x.
2. ....L.......... X'+I x. ,
Х,. & о. .- 0.'
1 75 77.5 . .....:.10.85 oo 1.94
2 77.5 80.0 10.85 8.35 1.94 1.49
3 80.0 82.5 --=-8.35 5.85 1.49 1.05
4 82.5 85.0' "':'5 85 3.35 1.05 0.60
5' '85.0 87;5 3.35 0.85 , O.60 0.15
6 87,5 90.0 0.85 1.65 ' 0.15, 'Q.30
7 90.0 92.5 1.65 4.15 0.30 0.74
8 92.5 95.0 4.15 6.65. 0.74 . 1.19
9 95.0 97.5 6.65 9,15 1.19 1.64
10 97.5 100.0 .- 9.15 1.64 00
Таблица 54. Вычиспение теоретических частот
I r WЩ' 1 P,
, В8,[18 . , ф(,{) , ф (2,+1) Ф(2'+I) п; 15QP,
, 21 1._ 2i+1 Ф (2{)
I . ..
1 oo 1.91 0.5000 O.4738 0.0262 3.93
2 1.94 1,49 0.4738 ' .4319 0;0419 6.28
3 1.49 I,05 .......().4З19 0,,3531 0.0788 11.82 -
.4 1.05 .......().60 0.3531 0.2257 0.1274 19.11
5 .......().60 0.15 0.2257 .......().0596 0.1661 24.92
'6 ---'-0.15 ,0.30 ---:0.0596 9.1179 ОД75 26.62
7, 0.30 Q,74 0.1179 0.2700 0.1524 22.86
8 0.74 1,19 0.2703 0.3830 0.1127 16.90
9 1.19 1.64 0.3830 0.4495 0.0665 9.98
10 1.64 00 0;4495 {),5О6Р 0.0505 '7,58
I I t \
Суммы' " 1 150 ,
I
'J'аблица 55., ВЫчисление :,
l I , I , I ' I " п 2 \ 2 '
, п, п, It, 11, I/I. ",)8 (п , п,)8{It, , It,/n ,
3.7249' . 1.0178
'1 2 -3.93 """:1.93 0.9478 '4
2 10 "6,28 '3.72 13.8384 2.2036 100 _ 15.9236
3 15 11.82 3.18, 10.1124, 0.8555 225 19.0355
4 18 19.11 1.1 1.2321. 0.0645 324 16.9545
5' 20 24.92 4.92 24.20?4, 0.9714 400 16.0514
.. .
I
{
1;
193
"'.:,'
(i. "
'1&'
I ; jf
, :._,! 1
:J' i
, ' ..
j '
J " "
: ' , J
! .f, f'
. f. J.
i ..t l
", ч
! ,>
. ,
" '
I t (
i ";
, : , : . '
: '1'
('
. j
\,'
.' f
i : / t,
" (:,:
.1
f :
'f ;
.. ..
.,: ' ;.'
!
,'?'Т'
i '
/.'
!,''',
J" ,
:; 1
,"! ' 1
: '
i
;', f. :
j': I
, "
i '
':; {
ПродОАЖенщ таБА 55
."
'"," 1 1 ;
п, . . 1 . J (п , ";).i f п -, -
n, n , n (nl 11,)" 2 .
n,ln,
6 22 26,62 . ,
4,,62 21.3444_ .
7 24 22,86 1.14 t.299б 0.8018 484 18,1818
8 20 16;90 " ,0.0568 576 25,1968
9 13 9,98 3.10 9,6100-- 0.5686 400 23,6686
10 6 7,58 3.02 9.1204 ,0.9139 169 16.9339
, . I,58 2,4964 0.3293 36 4,7493
:lI ' j , "/157'7132'
::Е '1.2
::Е 150
» p
s) == 7,7132
, .
"
2. ВЫЧИСЛИМ выборочную ере , * ,
аое отклонение 0*: днюю х и выборочное среднее I(вадратиче. '
. .... ./
g* ==
10
\.' .
,L;, л,х. ,
' I'
n
13252,5
== 88,35; ,
150 .
{ I(J' ,
, п, < , Х; х*):I
0* == J I, V 4688,5
, 'п . 1 0- == 5.59.
3. Найдем интервалы (z z ) ' " .
'4 О /. '+1' для чеro составим табдИЦ У (табл С:Й ) '
, , . пределим теоретические ве " ' . '-'Q . '
;; 1J , == пР, == I50P ДЛ ' . .роятности Р, И теоретнческие чаc'ro'rы
, 1- я зтоro составим таблиц ( б 54 ) 3 ,-
ции Ламаса Ф (z)' находим по табли' у та л. . ( начення функ.
5. Сравним эмпирИЧеСкие и ' це, с"" прип. 1). ,'"
крп1leрия ха Пкрсона. Для вычи теореТИЧескне чаС1'ОТЫ с использованием"
,составим таблицу (1абл 55) п сления расчетнorв"значения критерня..х&
контроля числений:' , осле ние два столбца которой служат .
n "
1: п == 157.7132 150 == 1 7132 ==-R
,п, ', ' .' , р'
, По таблиц; крнтнческих точек '8 .' " ' " .
ню значимости а == О 05 Р спред ения Х.,(СМ. nрил. 6) по уРо&-
== 10 3 == 7 (s ' 10 ' и числу степеней свободы k == s ' 3
число инте р )
x p (0)95; 7)== 14,1. валов находим критическую точку
ПОСJ(ОJlЬКУ 1.2- <:: х 2 ' , . . ,
м.a.I!ЬНОМ рцспред е"н:р ::,,::::;:::ерrнуть нулевую rипотезу <tH P
, .рические и теоретические qaCТOTIoI Р азл ичаю ' упиocтu. Иными словами.' 9МПИ
. тсв незIJ8ЧИМО.
194 .
:-
,\ "
> \,о', ," ,. ;.., ... .-...
.
.'.\ .,_' f .,..
. , - ::,
- ,,'
,-:1 ., " .
.. """,:,": ' '':""'................ -:::. . ' ........... ,
, . ,. . I
"',
nPИJlОЖЕНИSl
.
ПРt:ЛJженut' 1.
110'
ТQблицй 1. 3наqения ФУЮЩIIИ .ф(х) == . s e :r'/2dz
, ' . t' 2п о
'.
.'
1 Ф( ) . I I I .
1& 1t Ф,(Х) 1t; Ф(х) Ф(х)
I ,
0.00 ' .0,0000 I 0;31 0,1217 0.62 0,2324 0,93 ' 0,3238-
-0,01 0;0040 \ 0,32 0,1255, 0,63 0,2357 0,94 0,3264
0.02 0,0080 0,33 0,1293 0,64 0,2389 0,95 0,3289
0.03 0.0120 I 0,34 0,1331 ' 0,65 0,2422 0.96 0,3315
0,04 0,0160 I 6;35 0.1368 O, 0,2454 0,97 ' 0;3340
0.05 0;0199 I 0,36 ' .0,1406 0,67 0,2486 0,g8 ' п,33Р5
0.06 0,0239 i' 0.37 0,1443 0,68 0.2517 0,99 0,3389
0 O7 0,0279 I O, . 0,1480 '0,69 - 0,2549 '1,00 0.3413
0,08 0.0319 0,39 ' 0,1517 0,70 0,2580 1:01 0,3438, ,
0,09 0,0359 0.40 0,'1554 0,71 0,2611 1,02 ' 0,3461 _
0,10 0,0398 0,41 0,1591 0,72 0,2642 1,03 '0',3485 ;
0,11 0,0438 0.42 0,1628 0,73 0,2673 1 04 0,3508-
.0,12 (),0478 0,43 0,1664 0 74 0,2103 1,05, 0,3531
Q.13 0,0517 0,44 0,1700 0,75 0.2734 . 1,06 0,3554
0,14 , ,0.0557 0,45 0,1736 0,76 0,2764 1.07 0,3577 '
0 15 0,0596 0,46 0,1772 0,77 0,2794 1,08 0,3599 '
0,16 0,0636 ' 0,:41 ,0,1808 ,0,78 0,2823 1.09 "0,3621
0,17 0,0675 0,48 0,18« 9.79 0,2852 1,10 0:3643
0,18 0,0714 0,49 0,1879 0,80 , 0,2881 1,11 0,3665
Р,19 «,0753 0.50 0,1915- 0,81 , 0,2910 1,12 0,3686
0,20 0,0193 0.51 0.1950 0,82 0. 39 , 1,13 0,3708
0.21 0,0832 0.52 0.1985 0,83 0,296'1 1,14, ' 0,3729'
0,22 0,0871" 0,53 0.2019 . ' 0,84 . '0.2995 1,15 0,3'749
0,23 0,0910 0.54 0.2054 0,85 ' 0,3023 1,16 0,3,770
0,24 0,0948 0.55 0.2088 0.86 0,3051 1,17 0,3790
0,25 0,0987 0;56 0.2123 0,87 0.3078 1,18 0,3810
0,26 0,1026 0157 0,2157 0,88 .. 0,3106 '1.19 0.3830
0,27 0,1064 0,58 , 0,2190 ' 0,89 0,3133 1,20 0,3849
0,28 0,1'103 0,59 0.2224 .0,90 0,3159 1,21 0,3869
0,29 0,1141 0,60' 0.2257 / 0,91 0,3186 1,22 0,3883
,О.3(} 0,1179 I 0,61 O,l29 1 ,0,92 0,3212 1,23 0,3907
I
#,
...
.,
1!!s
"
. ' ,', .,. .:. \-"' ',",.. "
. ,
> , :-" -"..,', t,'"'-
" ,,: .
: , , ' , , ..
,11,
'-:1 ';
. , ,
' ,1 ,
, .'
. : '.1 ;
; ' I : :i
; у
i ,,!!,
i f l ' , '
( ' } .
;}, \
1 J: 1:.
"'-, -'
: /4
;, JI
1
j. i
,
; ,
j ,,
:,).. 1,
1: ! ! .
;: k
.,
i
! : ; '
; }
.' #."
, " !..
, f ;
"
П л:нсение nрuл. 1 .
.
, ' " (;) I I 11' I
" " Ф (") " Ф (,,) " Ф(Х)
1,24 0,3925 1,58 0,4429 1;92 0,4726 2,112 0,4941
'1,25 0,3944' 1,-59 ' 0,4441 1,93 0,4732, 2,54 0,4945
1,26 0,3962 1,60 0,4452 1,94 0,4738 2,56 0,4948
],27 0,3980 1,61 0,4463 1,95, 0,4744 2,58 0,4951
1,28 0,3997 1,62 0,4474 1;96 0,4750 2,60 0,4953
1,29 0,4015 I 1,63 0,4484 1,97 0,4756 2,62 0,4956
1,30 0,4032 1,64 0,4495 1,98 0,4761 2,64 0,4959
1,31 0,4049 1,65 0,4505 1,99 " 0,4767 2,66 0,4961
1,32 . O,4Q6!> 1,66 0,4515 2,00 0,4772 ' 2,68 0,4963
1,33 0,4082 ],67 O,452Q 2,02 0,4783 2,70 0,4965
],34 0,4099 1,68 0,4535 2,04 0,4793 ' 2,72 ' 0,4967
1,35 0,41]5 ' ЦJ9 0,4545 2,06 ' 0,4803 2,74 О,496!1'
1,36 0,4131 1,70 .0,4554 2,08 0,4812 2;76 0,4971
],37 0,4147 1,71 0,4564 2,10 0,4821 2,78 0,4973
1,38 '0,4162 '1 1,72 0,4573 ' 2,12 0,4830 2,80 0,4974
1,39 0,4177 ],73 0,4582 2,14 0,4838 2,82 0,4976
1,40 0,4192 i 1,74 0,4591 2,16 0,4846 '2,84 0,4977
-1,41 0,4207 1,75 .0,4599 2,18 0,4854 ' 2,86 0,4979
1,42 0,4222 1,76 0,4608 2,20 0,4861 2,88 0,4980
],43 0,4236 1,77 0,4616 2,22 O,48 2,90 0,4981
1,44 0,4251 1,78 0,4625 2,24 0,4875 2,92 0,4982
1,45 0,4265 ],79 0,4633 2,26 0,488] , 2,94 0,4984
],46 0,4279 1,80 0,4641 2,28. 0,4887 2,96 0,4985
1,47 0,4292 1,81 0,4649 2,30 0,4893 2,98 0,4986
],48 0,4306 1,82 0,4656 2,32 0,4898 3,00 0,49865.
1,49 .0,4319 1,83 0,4664 2,3,4 ,0,4904 ' 3,20 0,499;31 ,
1,50 0,4332 1,84 0,4671 2,,86 6,4909 3,40 0,49966
1,51' , ,.,0,4345 "1,85 0,4678 2,38 0,4913 3,60 0,499841
1,52 0,4357 1,86 0,4686 2,40 0,4918 3, 0,499928 .
1,53 0,4370 ' 1,87 0,4693 '2,42 ' 0,4922 4,00 0,499968 '
1,54 0,4382 ],88 . 0,4699 2,44 O,1 27 4,50 0,499997 '
1.55 0 4394 1,89 0,4706 .2,46 0,4931 5,00 0,499997 '
1,56 0,4406 , ],90 0;47]3 2,48 ' 0,4934
1,57 0,4418 1,91 ' 0;4719' 2,50 0,4938
Прuложенuе 2
" -
, ': I '.'!j аблuца 2. ЗначенИJI t v == t (у, )
(- ;
\' ,
l' 1-
k
I
I
! . 1:
:
: w
,.,1 f,;:
i
'! ! .
( )
! '1 "
i ,,,
'1 "
t
.
..
-
\1 0,95 0.99 0.999 1\ 0,95 '0.99 0,999
5 2,78 4,60 8',61 20 2,093 2;861 3,883
'6 2,57 4,03' ,86 25 2,064 2,797 3,745
7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659
8 2,31 3,50 5,41- 35 ' o032 2,720 3,600 .
9 2,3] 2,36 5,04 ' 40 . ' 2,023 2,708 3,558
10 2,26 3,25 4,7i' 45 2,016 ,2,692 3,527
196
" ,',
, .. ,
' .. .
.
, ......,-
. ' ""'-:'",.,a """' :, ;. "'7 --:-- : .:-.. . '", .
', ,
Продол:Nce nрил. 2 r.w
...../
.
\j I \t
0,95 0,99 0,999 0,95 0,99- 0,999
"
. .
11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502
12 2,20 .3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464
70 '1,996 2,649 3,439
13 2,18 3,06 4,32 2,640 3,418
14 2,16 3,01 .4,22, 80 1,001
15 2,15 2,98 4,14 00 1,987 2,633 3,403
100 1,984 '2,627 3;392
16 2,13 2,95 4;07 ' '1,980 2,617 3,374
17 2,12 2,92 4,02 120
1,9QO 2,576 3,291
18 ' 2,11 2,90 3,97 00
19 2,10 2,88 3,92 ,
,
.
.
Прuложенue 3
'т б ица 3 3иаlleНИR q q (,\" n)
а л
\1 I ' О,99? '\' 0,95 0,99 0.999
0.95 0,99
, .
, , 1,37 2,67: 5,64 20 0,37, 0,58, 0,88,
5 .
. 3,88' 25 0,32 O, 9 0,73-
6 1,Q9 2,01
0,43 ,', 0,63
7 0,92 1,62 2,98 30 0,28
{,38 2,42 35 0,26 0,38 0,56
8 0,80
0,71 1,20 ' 2,06 40 0,24 0,35 0,50
9
0,65 1,08 1,80 45 0,22 0,32 0,46,
10
'0,59 ' 0,98 1,60 50 0,21 0.30 0,43
11 ' .,
0,55 0,90 1,45 6Q 0,188 ' 0,269 0,38
12
0,52 0,83 1 33 70 0,174 0,245 0,34 .
13
0,78, 1,23 .80 Q,161 0,226 O 31
14 0,48
.. 0,151 ' 0,211 '0,29
15 0,46 0,73 1,15 90
0,70 1,07 109 0,143. 0,198 O, 7
16 0,44 ,
0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,211
17 0,42
0,63 0,96 200 O, 0:136 Q,i85
18 0,40 .
0,089 п,120 0,162
19 0,39 0,60 0,92 250
1
,
I
I{
1I
1t1;
- : '\ '
'. ..,.,
41ii,:'-
(
: 1 ' ; , ,:
, 1- jt
;.. t;
"j 1!
i
,i '
{I _
: :
!: I
, :t :.
, J
i !:: !t
J";' r'
i; t
i f ,
:r
, ; : ::
'"
,ОС ('
,* :t:_
, ....,
' , о
!,
...
' .
t:'
"
J J ,
.:
->
, ,-С, . ' O..
..
i
1,
...
, ,
,
-"J
.-\;
;
1
..
,
.
: :
I ,,1
'\' <
, :1 r
_o ;
'!f '
'!
'_i
I . ":;"0
о .:'>- . . . t" .'
...
I 8-
t;: I
..
.1.
f
011
u
0111
&!
eI
Ij
I
::r
I
...
СО'
с:а..'
'eI
I
.',
I
..
'..
.'
i
t
СО
А.
:1:
!Ii
.....
:0:1l1li
u5
' tr о
1111:
I-U
11:==
r<{
-=
.3
;,
I
--
f,
,>
t
k
:: -
!
.'
,1 8.
...
.
C1D
ё5
.
с>
11
..
..
u
О
=*
..
...
'"
..
со
.а
111
о>
..
О
""
»
: ....< - '.;' "' ' ; ,.
..... ,'.-
i! . t5 = ::" s! ф о "10 10'
...... ... .. .. .. .. .. .... .,,' .. Q).OO ц) 1.0 ..
ф О)"ф1Q1О"".""
!::
; Ш ф ф
о . . . . ... . "":. о «1 f'o- (Q ,1:0
Ф 'O)" ф 10.0... ..,.,..;...;
..
2 '$
з Ф ...roro ro
'A $ 8
55 з Ф .о,,;,,;.,,;.
1
О "ф""ОО""ОфО) ,
00 . _ _ -:. , q"":. q ",10 о 00 1'--
ЗООф(Q1О1О..";";";
....
8 : i8
$ З Ф.о.о,,;,,;,,;.,,;,,;
'"
O) o; t5!:::: s! ::1)." ф о о
. '. _ . "';. . .' _ о 00 ф ..,.
ЗОО"(Q.о.s.о -,,;.,,;."\I'
Il)
, , '
(5, f?! !;; It: 8 (ь' Jg $ :' .
з Фф'О'О'О....;..;
..
10 10 :::-' s!!! о> 1010 , 0):" ,о ,О)" "
с"!. , . .... 00 о ..,. фф ..,. о 00" ф
Ф.о.о.о .о..,,;
t')
, '.
!::: $ 8 -g: ;!"$ , .
.ъ ggf ' Ф ФФ.О оё'.о.оan,оё
со
S 8 ФО О Фro
d d
-ф ('t) ..... .......... . .
5:!' ;!: C3
. Ф бd w
о) C"I ..... .... ...... ..... ...... .... .. ......, ..
'.... ..,.1Оф....СОфО... ..,.1Оф "
.... -.......................... ....,
;- -
.. - .,0 _'\ ';-0
, ';! "
..,_ ...r.
<,
"
{j1'_ .."'. "'7':7: '. .; -;":::": ,:,:. ."- ----:.,,-ц--,
"';" --
'<77........ ,:... .: .
:
"
.
<t
::s
:1:
'"
"t
Q
'8
Q.
t::
, " ,
.'
> ..,. ' 8 ft; .... m 55 fa со ФI,
... .. ..,.
: <J. ... ..,. " Q) о) eoi ci ...- eoi
, со rЮ .о ..; ..; с.) ci ci ci
,"
. "
..
о а 2 ё; Q (J; &! ;Q. 11'> :.
... М О Ф с') " .,
::: .... ..,. f'o- Ф " .... ci eoi ci
со 00 ..0 . ..; c.i ci ci ....
.
..
..,. 8 ..,. !;; . t5 S :8 ,(1) 10
r-- с') ..,. ..,.
..,. .... 00 ui '... ..; с<) с.) ci ci С;' d' ci e.i' ci ci
'
.. .
, .
,
';- :g .... ,
.. ,00 8 со з ф g8
,r-- 10
'1. r-- ('1). ci
... ..,. 00 <б . ../et5' CO).ci ci ci ci ,IN rN
C'I
, ;
10, ..,. 10 " о cr. Il)
'" . ..,. о) .... r-- al) Il)
о ... .... ,
С1, о) ..; c-i et) ci ci ci c.i ci ci eoi
е C1D с') Ф ф ;,;
со .
R ,
tJ
'" Ф S , .... ' ,, с; , .... " о
о) 00 " "
" c'f ,C? ci .ci ci cf ёi ci
.. ... CiS . , "M
'... ,
Q .
Z
'" , "s- 1O. ,
:or а; <D 10 . ':8 r-- о со
... .. о) о ф ,СО '
.. ф ф ф ф . ..; 1:'5, ci cicicici
111
..
, , .
.. о ф r-- о) 00 . 8 Il) .1
... О СО 00
"!: а (1) (Q ..,.. 1:'5/ со) ci ci ci ci
, -..; . ... . , ef ф .о to),
..
«) .
R- . 1O.... C'I 00 8 ё5
»' 10 ... ....'
. , со) м ci
, .. CI> Ф .о ..; ..;
C'I
" '(J) ....
ф ею о> <D 10 Ф .... $ ar .... ,
<D C'I 10 'st' " 00 r-- .... ..,. с<) 1:'5
.' , ф' ф оё . ..; ..; со) с<) .с<) 1:'5
, "
о 10 a;. :е: ;! со ф 00 rt $
, .... о)
о о 10 со- .1l'J 11) ..; -f ..; . со) сб
!'о О ai
C<I ..
., . .... о) $ ф 10 " S ,О> 'Il)
;п со о) r-- ф ..,. ..,.
" о) ..; ..; ..; .
s r: ф .Q .n-;- .& оё ..; ..; ..; ..;
.
х
... ..,. iQ (Q,r-- СО ф .з ... , ,..,. 10 "
.... .... ....
, - .
"
.. .
I
I
I
.
,
'.
, \
\
,
11
\
'!
"
"
,1
,
: I
"
... > .,:. . ... . _.:;_ !-: ,. i': :' .'
_"-"--:"w'. ;: ,_' ""."
'>' \-,.. - :_,,'!-;:, <,' , . ,
s.<- 'Л(.. o
;.;!: "
"i }.
'1\ ,"
.i .."
'!' . ,
. '., ,
, ' 1
. I, ,
"1 :!
. il'
. l'
;1'! f
.':1 I
, .'
,. ,
i,
: r
'i' ,
, !
; f
'J
:/
'; 1...'
':1 j " , } , '
.: .,
\;' , . [-.\
: /
,[ ,:1,
, f t
:,: ..)f':
j ,1>
- ::'"] ;
;, .
I!
j ' . : .
!
- i:
"
--;'r
.,If'
n '-
;: t i-
' ,
'. j! ..
,) !.
:1
! 1
,...',
'<1<.
:: ."
;.-
'"
"при.мжение $
Таблица 5. кРитические ТO'IКи' раcnpe еленмн СТЬ1ОАента
"
;
'
I ' .Уровеи!>' зваЧНIIОСТИ а., (ДВ тОр нняя КритнщкаR обмет..)
ией' olloды ..
k 1 " '.
0.10 0.05 I 0.02 I 0.01 I 0.002 1. 0.001
1 6,31 12,1 31,82 63,7, 318,3 637;0
2 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,6
3 2,35 3,18
4 4,54 5,84 10,22 12,9
2,13 2,78 3,75.
5 4,60 1,17 8,61 ..
6 2,01 2,57 3,37 '4,03 5,89 6,86
7 1,94 2,45 3;14 8,71 5,21 5,96
1,89 2, 6 3,00 3,50 4,79 5,40
8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04
, 9 1,83 2,26 2,82 ''3,25 4,.эо 4,.78
]0 1 81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59
11 ,1,80 2,20 2,72 3,11 4,03 4,44
12 1,78 2,18 2 68 3,05 ',. 3,93 4,32
3 1,77 2,16 2,65 -В,Ol " 3,85
4,22
'14 1,75 2,14 ,62 ' 2,98 3,79
15 4,14
1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,01
;16 1,,75
2,12 2,58 2,92 ' 3,69 4,01
17 1,74 2,11 2,57 2.90 3,65
3.96
18 1,73 2,10 2,55" 2,88 3,61
19, 1,73 2,09 3,92
" 2,54 2,86 3,58 8,88
20 1,78 2,09 2, 2,8!> 3,55
21 1,72 3,85
2,08 2,52 2,83 3,53 3,82
22 .
1,72 '.i.,fJ7 2,51 , ,8 3.51 3,79
23 , 1,71 2,07 . 2,50 2,81 3,49 3,77
24 1.71 2,06 2,49 2,80 . 3.47
3,74
25 1,71 2,06 2.49 2,79 3.45 3,72
26 1.,71 .2;00 2,48 2.78 3,44 3,71
'-7 1,71 2,05 2,47 2,77 3.42 .3,69
28 1 70 2,05 .2,46 2,76 3,40 3,66
29 1,70 '2,05 2,46 2,76. 3,40 3.66
..30 , 1,70 2,04 2,46 2,15
3,З9 3,65
40 1,68. ,02 2,42 2,70 3,31 .3,55
60 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46
120' 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17 3,37
,
Q,:) 1, 1,96 2,33, 2,58 3 09 3,29
.- I o. 25' I ..... " . I
" 0,05 0,01 0,005 0,001 I ,0,0005
Y вeHЬ значНIIОСТИ а (ОДllоеторOlПl"Я I(РJf1ичеекая область)
O
.......
::.. .
... . - '", .
....,. -, ,.
.::
"
"
J '!'.
. \,
'-;
о':)
. "1> - .": ,__О ......... . 7:,; ';;" ; ".. :;;;-,;;:: ,,: :"''''\'f<;. :'' '.:-'",
, ..,..'C ,
....
<,
ПPU.llожение j;
. . . - , - ,.
.' Та8АtЩfJ 6. Критические точки расn,eАелеии. X
Уровень значимости а ,
/
Чис.nо cтene 1 . \ .\ .. \ /
ней еаобо.ца / '1
./. "k 0.01 0,025 0,05 .. 0,95 0.975 0.89
'1 6,6 ' 5,0 3.8 0,0039 0.00008, 0,00016
2 9,2 7,4 6,0 0,103 ,0,051, 0,020
3 11,3 9,4 7,8 .. 0,352 , . 0,216 0',115
4 13.3 11,1 9-,5 0,711 0 484 0,'297
5 15,1 12, 11,1 1,]5 0,831 0,554
6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 ' O,87
7 18,5. , 16,0 14,1 2,17 1,69 1.24
8 20.1 'i7,5 15,5 2,73 2,18 1.65
9 21.7 . 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09
10 23,2 20,5 18,3 3;94 3,25 2.56
Н 24,7 .21 9 19,7 4,57 3,82 3,05
12 26,2 23,3 21,9 ' 5,23' 4,40 3,57
13 27,7 24,7 22,4 5.89 5,01 .4,11
14 ,1 26,1 23,7 6,57 5.63 4,66
-15 30,6 27,5 25,0 7.26 6,26 5,23
16 32,0.< 28,9' . 26,3 7,96 6,91 5,81
11 ,4 30,2 27,6, 8,fil 7;56 6,41,
18 34.8 31,5, 2.8,9 ' 9,39 8,23 7,01
19' 36,2, 32,9 30,] 10,1 8,91 . 7,63
'20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26
21 38,9 35,5 32;7 11,6 10,3 , 8,90
22 40,3 ' 36,8 33,9 12.3 11,0 .9,54
23 '41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2
43.0 39,4 " ' ЗQ,4 13,8 12,4 .10;9 "
25 44,3. 40,6 . 37,7 14,6 13,1 11,5
26 45,6 41,9 38,9 15.4 13,8 .12,2
zl 47,0 43,2, 40,1 16,2 14.6 12,9 ."
28 . 48,3' 44,5 41.3 (6,9 15,3 13,6
29 49;6 45,7 42,6 17,7 16,0 14;3
30 50,9 ' 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0
'\
. .. При.llожение 7
OiIнсана. IIOAПроrрамм,' реализующих ОСIЮ8Нble --мето.... пр8lблИJКеиных
.....ислеНиil и СТ8ТИСТИllескне Mt:ТOAbl' обработки реЗу",,,таТ01l наlSлlOдениА,
lt:Моженные в'учебнике' " .., ."
Прнложение сОставленd на рсновании па кета научныlt подnроrpамм на
Я:iыке ФОРТРАН-IV Едннон серии 9лектронных . ВЫ 1 IИСЛИтельных машин
Э . .
Для удобства пользования подпроrраммы раСlЮJJожены в соответстВии
, с rЛавами, у ебника.
r п 8 в а 2.,
Подnporрамма RTWI t'точнения корНя итерационным Memp ,
'- Назначение. Решение нелиillЩНЫХ 'УраВllений вида, Х == РСТ '(Х) с по- .
мощью итерационноrо. метода. ,,' '.. .
Обращение. .CALL RTWI (Х, VAL, FCT,XST," EPS, IEND; 'IER).
Параметр РСТ описывается оператором EXTERNAL. '
. O1tисание napli.4fempoil. x ' вычислениЫh. корень, уравнення Х =:о
=:a.FCT ( ); VAL..... зitач liие(Х fC"F (X ) ''8 корне Х; РСТ ими
201
I
.(
l'
j
,
....
."-......
...::.";/
..
!: J '
о..' :i
< , '
"
< ti ,
'if
i\'
, '
:: 1
; : .
;
"
" ,
;.
!.;.
t
",
\\'
'
;;
'1.,,'
i} ri
;!' J;
:;;- [,;
· {' .,
' 1. ,
, t
л: 1 :'
" J
:'1 f ' , ' "
':j' ,
,Ь
.[
<
, <.,
, -
. .
1ICПOJlьзуемоI виешией подпporраммы-фУ1'КЦИН; XST значеиие начаnьноro
приБJlIOКeНИЯ корня Х; EPS значение поrрешности; IEND максималь-
ное .IIСЛО. З8А8ииых ,итерационных шаroв; ЩR инднкатор ошибки;
IER == О нет ошибки;, . .
IER == 1 нет сходимости за .IEND итерациоиных шatов;
lE .==.2 процесс прекращается', так KalS нарушены условия схо-
, > , . димости модуль 'производНQЙ {)'I" FCT (Х);;;;' 1:--
ВСfI!JJlЬ3JIeJШ.e пoдпpoepa.ftACbl u nt)дпроеРOJUlы.фун.кции. Внешния под.
прorpамма-фун!щня FCT (Х) составляется .пользователем. , '
, r л а в а 3. .' ' .'
, ПоAJlPOFpaМм.. GELG решени. системы динеil.НЫХ urе6раИllеских ура_иени.
, общеr«? .иц с правыми lIаСТRМИ мe:iOAOМ ИСКJllOllеиия raycc:a '
. Нщначенuе. Решение системы 'линейных уравнений общеrо вида
А , Х == В. ' .
. ,ОбраЩение. CALLGELG (R, 'А, М, N, EPS, IER). . .
l!nUCa1lиe пapa.ftempoв. R матрица, правых частей размерносТJI
М. Х N; А матр ца.КОэффИЦII ТОВ размернQCТИ М. Х м (в ходе вычисле-
,"нй изменяется); 'м число урав иий в системе; N 'чнсло правым
Ч8Стей 'системы;, EPS относительная поrрешность вычислений; IER
инАикатор ошибки: . .. ;
IER == О нет ошибки; , . . ,
IER == 1 fJ зультат не МQжет быть получен, так как ли(SQ М < i.
. либо на каkом-то.шаrе исключения .rлавный 'злеме,"
. ра,вен нулю; :
IER == К сообщение, указывающее,' что на К + 1 шаrе ИCКJIюче.
нии возr.tOжнапотеря"точности, так как rлавныА элемент.
оказался меньше ми равиым EPS, уМноженной иа tlая-
больший по .мо,!{улю элемеJlТ матрицы А. ;
Замечания. Входные матрицы R и А преДПОJlаi'ают я раСПОJlоженНbtМИ
по столбцам в М . N и М .. М последо.Qaтель'Rыx адресах памяти. Получае-
tdble решец,ИЯ Х размещаются на выходе на месте праВbfХ' частеЙ R.
ИСnOАьэуеАШе подпР02раАСАСЫ и подпроеptlACAlbl-фуНlЩuи. Не;.
ПОАПРОrpaмМа RSLМC решеиия системы линейНых уРавнениА
, IC итерациOllНblМ УТOllнеинем
Назначение. ,Решение 'системы Линейиых уравиеиий А. Х == В. '
Обращение. ,CALL RSLМC (А, ЛF.13 Х, N. EPSI, IER. IA, V, PER)'.
,. ()Jjшание naраАСетроо. А исходная матрнца; AF ",ассиJS СОСТоя-
щий II 9леl>!ентOis .uвyx TpeyrOJ1bИblx матриц, на которые разлаr ется НС-'
XOДH матрица A в вектор правых частей q,cтeMbl; Х вектор, со-
держащий решеИИI\! иц ,выx дe; N порядок системы EPSI "":'" относитель-
ная пor.l! tlость ВЬ1ЧНCJlений; !ER инднкатор ошибки: ,
I == О. и каждая компонеща Х удометворяет точностн EPSI;
JER == 1. еслиТOJ!Ы(), норма Х удовлетворяет этой точиос'l1l;
IER == 2. если точность НОР,МЫ'вычисленноro решения ниже, чем EPSI;
,V,:"," рабочий вектор. Размерность V Должна быть больше или равна N'
PER вектор, в котором запомнены перестаиовки строк матрицы. Размер:
иость V должна быть больше или равна N: ' . ,
3tuteчtlнU1I. Прежде чем .войти в эту {)oAnpOrpa MY, матрицу системы
нужно разложить. на Мl!ОЖнтели с помощью подпроrраммы FACТR !I c-
сиве AF.. . " .' .' ,
Нижний треуrольиый множитель ДQлжеи иметь Мнничную днаro"аль.
EPSI изменяется, если 'IER == 2. ' .
НеnOllb8уеАСые подпрfЩJ!UIACЫ u подпроерOJUlЫ-фУНКЦUU. Нет.'
Merпoд. Сначала ВЫЧIIСЛЯЮТ пробное решение" затем поправки.
.rЛ8ва 4. '
IIoAПJIOl'рамма, ALI IlllТepПWIИРО8lUlи ФУIIКЦlIИ . noмоЩItJO
, uтepnouЦВOIIIIOrollllOroouaeна Лаtpaижа' .
.202
,.0 >.. ...-/- .-. '-., L ;.-
'.o . .;; >,
--, :'«
,-, - -"'" :.-:.,;. .
J: >' ' .
','-:
:1
:
1-
_-i-,.
!-'
.
. {, -'-. >i ; ".
71' """':""::' ""' :-"" m.. ;;;; : :-: ;",:. i. -:--;;"..i -::\,. .- '!':' J;...., ----:i;., ,",
.......- .--<;. "
.. '.
' ;:',1j.,
"<
,., Назначение. Интерполировзние зн чения фуикции У для зцанноrо
8Иачеиия aprYMeHтa Х по заданной таБJIице sначений apryr,reHT08 it ФУнкции.
", Обршцеltие. CALL ALI (Х, ARG,'VAL. У. NDIM. EPS" IE ). -
Описание параМетpoli. Х входное'эначеиие.аР.rYмента; ЛRО вход-
иой вектор значений...арrумента размериости NDIM (сохраняетСЯJ1OCJ[е вы-
, хода нз подпрorpаммьr); VAL ВХОllНОЙ вектор значений ФуикЦии размер-
tкЮТИ. NDIM (ие сохраняется после выхода из подпроrраммц); У вычи -
. ленное иитеРnОЛЯЦИОИllое значениt? функции; NDIM размерность век- .
'торов ARG и, VAL; EPS -:--" верхняя rpaHHцa абсолютной поrреШи ти;
. IER .,.... инднкатор ошибки. ' ' ,
, . ' Зшсеча1шя. ТаБJIиЦа (AR.O, VAL) представляет ОJUl03l1ачную функцию
и заполняется таким образом. что разности ABS (AR G (1) Х) 8Oiраста-
ют с ростом индекса 1. '
ИнтерПOJlJЩИЯ прекращается при выполнении однрrо из следующ1fх,
Ъ'словнй: '
если разность между двумя последовательными интеРПОЛJfЦИОННЫМИ
зиач.еииями по модулю меньше EPS; , '
-:.... если абеопЮТНmI велll'lИна этой разности перестает .уменьшаться;.
через NDIМ I ЦJarQB;: '
если подnроrpаlllма обиаружит два ОДинаковых значенця aprYMeHтa
. в векторе ARG. -:-- " ..
. ' В зависимости от 9ТИ:JI. 'четырех условий индикатор ошибки может прн-
IIнмать следующие значения:
lER == О требуемай Точность достиrаеТСJl, ошибки 'нет;
IER "'= 1 требуемая точность. не достиrается вследствие поrРfШ-
ноетеА окруrления;, '
IER ::; 2, невозможно.- проверить точность, так как NDIM < 3,
" или требуемая точность не достиrается для заданной
таблицы A&iIHblX.NDIМ следует увеличить;
IER. == 3 подпрorрамма обнаружила два одинаковых значения ар-
rYMeHTa 'в векторе AR О. .
ИСnOllb8уе.мые пoдпP02P(lМACЫ u подпроераМАСЫ-фУНКЦUU. Нет.
Подпроr;aмма 'Sш:t сrJUlЖИвания. функции, задаиноА таблицей знаllениi
, .,. Iiepa$ltOO1'СТОИЩИХ ТOIIкax с ПОМОЩЬЮ МIIO!О'Шена первой степеви,
noстроениоro по трем nOCJleAOвaTeJlbИblM ТOIIKaM метоАОм
- наимеиьших uaдpaТOB ,
Назнлчен.ие. Вычисление вектора сr.n'аженных значений функцин. .
$8;Ц8IJНОЙ.векторами j!начений aprYMeiIТa и cooтseТcтвУlOЩихзначений функ-
ции. За исклlO'h!нием точек "1.И XNDIM' каждое сrлаженное значение. Z,
получается путем вычнсления в Х, мноrочлена первой степени, ,пос;'роен-
flor() по трем ПQCJJe,II,овательным т<JЧ ам (X i + k , Yl-+:k)' k == 1.. О, 1 мето-.
, ,цом наименьших KBaдp ТOB. '
Обращение. CALL SGl3 (Х, У, Z, NDlM, IER),
01UШi.tние ilЩJtiмemров. Х ",,",,:вхоДной вектОр 'значений aprYMeHT8 раз-
, t.lерности, NDlM; У I!ХОДНОЙ ктop соот тетв ющи значени Функцни
р'азмерАОСТН ,NDlМ; z выч ' Jlсленный'Вектор crлаженныхзначений: Функ-
ции размерности NDIM; NDIМ размерность веКТОRОВ Х. У. Z; JER.
индикатор ошибки: "
IER == 1 ND1M < 3;
lE'R == О ошибки нет.
3аА1ечания. и lER == I,тo вычислений нет. Z 'может сОвпэд'!iть с Х
или У. Если Х или У не совпадают с z, то они сохраняются.
rлава . ,
. Подnporpамма QТЮ' иитеrpнpoa1qlu функЦИИ, sадаоной 1'аблllltеА
значений . иера_иоотстоищRX точках по метоДу трапеЦий .
" !fаЭн.ачение. Вычисленне вектора зна еНJfЙ нитеrраJIOВ ОТ, фун ции, за-
.IUhIНОЙ таБJIицей' значеинй в иер,авноотстояЩИХ' ТО'lк х: , ','
15
.
1/ ;
'f _
',.1\
2о.а.
-,
,. -',
.'
. ':..-
<...,.
.'...
'..- ..
! _,_ i,i,:.;i. '!> . ,. . .' '" L. '.
- ,
'" ' -' . r-1........
, ,' I
:I
:,i
'
. ,$
i'
, ..
j
.'(
;
,:1
't: j
; Ir
r .
, i
,! '.
I
; 4 {,
;! J
Н
;i J
:t ,
. < i"
\-, '
jf .
,!I ,.1
;"t
. ОбраЩеН ,fАLL QTFG (Х, У, Z, NDIM). " .
-: Olwcaниe пара.иетров. Х ' входной вектор значений арrумента; У .....
входной вектор ЗIЩчении функции; Z вычисленный вектор значений UHTer-
.ралоВ, можетсовпадатьсХ или У; NDIM размерность векторов Х,.У, Z.
а..!I!f'Ю1ще. При NDIM < 1 происходит выход из i1oдhporpaMMbl.
rлава6..' ,
Подпроrpaмма RK2, Решения оБЫкЖ..веиноro АИффе ИЦИ8Л..ноrо уравиени
..Uервоro'порядкll методом Руиre Кутта с выдачей таб.пицы
значений решен"я . .
Назнач.ение., Решение обыкновенноrо дифференциальноrо равнёнЮI
nepвoro порядка dyldx =:' FUN (Х, У) с начальными УСЛОВИJJМИ методом Рун-
re Кутта четвертоrо порядка с 'выдачей таблицы 8начений р шения.
Обращение. C ALL ...RK2 (FUN, Н, XI, YI, К. N, VEC).
Оnш;ание параметров. FUN подпроrpамма-функция с аprументами
Х, У для ВblЧи<;ления dy/dx, составленная !Iользователем; Н размер шаrа; ,
XI Щ!чалЬНQе значение Х; YI начальное-значение У; К целое'чис
ло, определяющее интервал между :щ чениями рrумента Х, дЛЯ кото-
рых нахаllJlиваЮТСЯ"значения У fуказанный интерВ8JI равен К. Н), N ...:...
чнсло uакапливаемых значений; VEC результнрующий вектор размер-
ности N, _ .
Исnoльзуе,Мые подnроера,М,Мы и noдnроера.и'мы фун.кции. Подпроrр мма
Ft]N, зависящая от двух aprYMeHTo , для вы'1ИСJ1ения dy/dx == FUN (Х, У)
должна быть составлема пользователем.' ВызыВtlющая проrpамма должна
описать имя подпроrрамlvJЫ'ФУНКЦИИ FUN, упомннаемой в обращении к
. K2, оператором EXTERNAL. .
ПОJ(nporрамма RKGs реш ния системы обыкновенных АИффере циал'ьиых '
. Уpl1-иeний первоfO РЯАКа методом Руиr Кутта
Нaзнt:?;чение. ,Решен е систеМbl обыкновенны}!: дифференциальных
уравненни первоrо порядка с заданнI,IМИ начальными значениями. .
OfJращенuе. c.ALL RKGS (PRMT: У, DE Y, NDIM, IHLF, FCT,
'. оитР, Аих). . _ '
Параметры FCT и оитр доджны бы:rь описаны оператором
EXTERNAL., '
,Описание пара.иетров. . PRMT вектор входных и выходных данным
с размерностью;;а. 5, КОТОРJiЙ определяет, параметры интервала ннтerрирова-
ния и ТОЧНОСТН"служит для связи подпроrраммы вывода (составленной поль-
зователем) с подпроrpаммой RKGS. , ,
l{омпоненты вектора: P MT (1) нижняя rраница интервала ИН-'
'l:еrpИрОВJ:lНИЯ (входной параметр); P MT' (2) верхняя' rраинца
,,,нтервала Jlнтеrpирования (входной параметр); P MT (3) на-
чалЬный шar интеrрироваНИJj (входной параметр); PRMT (4) верх-
няя. rpаница поrрeiuности (входной параметр). ЕсЛи абсолютная
поrрешность бо.цьше, чем PRMT ( ), шar интеrриро}Jания делится'
ПOlIолам. Ш1;lr. интеrрироваНИЯ'удванвается, если становится' мень.: ..
ше, чем PRМT (3) и абсолютная поrрещность меиьше. чем' PRMT
(4)/50; PRMT (5) не является ,входным параметром. '
, {10дпроrрамма R К GS р()Лзrает PRMT (5) =;:: .о. Если пользоватеЛь же-
лает закончиТь подпроrрамму RKGS в любой точке из интервала ин-
\fеrрирования, он ДОJlжен изменить PRMT (5) на ненулевое значен'ие
при помощи подпроrраммы оитр;, _
у входной вектор начальных ЩiЧений (не сохрзняется). Позже У
. становится результирующим.в , ектором зависимых переменных, вычисленныlО
в промежуточных точках Х;. DERY входной вектор в.есовых коэффици-
ентов поrрешности ( e сохраняется). Сумма ero компОнент должна быть РIIБ-
Ha единице. Пощке DERY становнтся Вектором производиых функции У
'. . В точке Х; NDIМ ,входное значение"определЯJQщее число уравнений си-
стемы; IНLF резУ'!Il!тирующее 8I1ачеН\iе. определяющее ЧИСЛQ делеllUЙ
":1,
1:
I. :
"
" '
O4.
/
, .
" ,
,
>f.., .
.0 \ '
I
>
"
..'
"
.-
?" ,
й'
.J: ,.;)-
"';'" ....: ,,'. ""::FМ.... 1; .-} ".;.--.:w..):; f.& о:...J. -.:. . .I'l, .-,,\', .:, ..',f, : :.... ..-:.
'.'77'1j.,
, '..'
пoDОJl8М 'начапьiюrо шаrа; РСТ имя внешней используемо&\ подпроrpам8'
.ш. эта подпроrрамМ8 вычисляет'правы& 118С1Н DERY сиетемы для AaHНЫ
вначениЙ Х и У. 'Ее сш{Сок параметров должен. быть. Х. x DERY;
OUTP имя внешней используемой подпроrрамМR вывода. Ее список па
раметров должен быть Х, У, DERY, IHLF, NDIМ, PR T; AUX вспо--
моrательиый 'массив памяти размерности 8 Х NDIМ. .
3tUle'ШНUЯ. Процесс прекращается н передает УПР ВJlение в ОСНОВНУЮ<
(вызывающую) проrрамму. если:
, требуется более чем 10 делений пополам наЧ8Л.ьноrо шаrа для TorOo
. , чтобы получить достаточную точность;
начальный шаr равен нулю или имеет неверный знак;
проинтеrрировался 'весь интервал; ,
""7 подпроrр!\мма оитр измеНlЫIа, PRMJ (5) на неИУJlеl'оезначение.
ИС1lQльзуеАШе noдnp02pa.мм.ы и noдnрOZfЩ#Мbl-фун1СЦUU. Внешние под-
проrраммы FCT (Х" У, DERY) и OUТP (Х, Y,'DERY, lLF,.NPIМ, PRMT)
JЮ.iIЖ}lЫ' быть составлены пользователем.
r. л а в а 10.
Подпроrpaмма Т ALL У' выЧИCJleИИJl IIИСJlOllWX харuтеристик
с:татистичес:коrо ряда ,
Назначение. ВЫЧJreJlе!lие суммы значений, вы(Юроч оrО,среднеrо, ВI;>Iбо-
РОЧI!ОI'О стандартноrо отклонения, МИНИМ8льноrо и_ максима ьноrо, З!f8че-
ний ДJUI каждой перe;.tенной множества наблюдении. .
, Обращение. CALL TALLY (А, Б; TOTAL, AVER, SD, VMIN, VMAX..
NO, NV).' .' ...
Описание nара.иеmров. А входная матрица наблюдении размерностlt
<, (NO, Х NV};'S входной 'вектор размерности .NO, указывающий paCCMaT
риsаеМое ПОДМНОЖе,СТВО из А. В это подмножество включены все наблюде:
ния, АJ1Я. которых соответствующие коып еНТЬ1 ве!,<тора S не равны иулю,.
ТОТ AL выходной вектор сумм значении каждои переменной. Pa ep .
ность .вектора NV; А VER выходной вектор выборочных сре них. Раз
мер.ность вектора NV; SD BblXOAHOif вект6р выбоРОЧJl!"Х стандартных oт
клонений. Размерность. вектора NV; VMIN "':" выходнои вектор минималь
ных значений. Размерность вектора NV; VMAX..,,; выходна. й вектор мак:
еимальцых значений. РазмеР.ность вектора NV; NO число наблюдений,.
NV число переменных. .
И€noльэуе,Мые noдnp02paм,Мы и noдnроерaAUtbl-ФУН1Сции. Нет.
r л а в 'а 12.
. ПОАПроrрамма CORRE вычисления коэффициента корреляции
Назначение. Вычисление выборОЧ!lЫХ среДНИ]t, выборОЧНЫl[ aндapT
ных отклонений,' выборочных ковариаций и коэффициентов ко!>реляции.
Обращение. CALLCORRE.(N, М, ID, Х, BA.R, STD, X, R, В, D, n. .
Оnисан.иl!'пара.иетров. N число наблюдении; М число nеременных,.
ID выбираемый к6д для входных данных (О если дaHHЫ должны БЫТD
IIрочитаны из устройства IIвода специальнвй подпроrрамм й DATA; 1 ,
если все данные в памятн); Х вводимая матрица, содержащая данные раз-
мерности N Х М.. если lD == 1; если lD == О, то значение Х == 0.0;
XBAR выходной 9ектор размерности М, содержащий выборочные .cpeд
иие значения; STD выходной вектор размерности. М, содержащий BЫ
борочные стандартные отклонения; RX выходная матрид!l. М Х M...I::D-
.' держащая выборочные ковариации, т. е., Sjh; R выходнои массив раз-
мерности М (М + 1)/2, содержащий верхний треуrольник симметричной
MaTpHцы ,м Х м выбор.очных коаффициентов корреляции;-,В выходноА.
вектор разыерности' М, содержащий диаreнальные элементы матрицы ко.
вариаций, т. е. Sjjt D:"'" рабочий вектор размерности М; т --:: рабочий век.
"'I'OР размерностиМ.
Нсnoльзуе,Мые noдnpoepaмМ!lo. noдnр02ра,М,М",-фун.1Сции. DA т А (М, D)
8Т ПО 110rpамма д лжна быть составле.на пользователем. Е(:JIИ ID == О.
O5-
,
.,.
;i,lj: : ,',:'
:j:"
'.,. )
",1,
,): '
:>
.,
о:,
...
.,< :'
'!
: I
. !
";,'
,
t
:} "
, #;t о"'''
; ;' ':
" i 'f
,; { i;'
'"
JI
.j ':
:1 "-
,11 ,.
/ I "
},
"
"' t; , ;':
1 -:
't, ,f'
, >.
,
/ - < ...
._. ,. :;: ... '
,.1'>'
"
. :
пре.Ф1OJJаrаем, что эта подпроrрамма вызывает наблю;аения в KTop D нз :,:
.нешнеrо уСтройства ввода.J;ели 10::;= 1, подпрorрамма не НCnОJlЬЭУeтtll'!,.
'. CORRE, тOrдa она ДOJJжна быть задана в ввде
. SUBROUТlNE ОАТА (М, О),
RETURN '
END.
no.....porpaNИa MISR III!I'IНCJlени. коэффициентов корреJlJIЦИИ
, '. 'Н линий реrрессин r .
Назначение. Вычисление ВЫ JIOчных средних, выбоРО'.lн х стан-
. ..дае,тных отклонений. выборочноro к ициента асимметрнн, выооррчиоro
.. коЭффициента 9Ксцесса. выборочныx коэффицнентов корреляции, коэф-
, .фициентов реrрессйи и стандартнш ошибок коэффициентов рerрессии.
коrда имеются недостающие данные.
, Пользователь указывает lIедостающие дaiflffi1e посредством чнслеННОrQ
fЮда. Значеция, f!меющие этот код, пропускаются прн ычисленин характе-
1>Щ:ТИК. При ВЫЧIlCo(Iении выборочных !iоэффициенТо8 корреляцин люба.
пара значений пропусхаeroя. если OТC BYeт 'любое из двух, значеиий.
, ОбращеНие. CALL MISR (NO, М, Х, СООЕ, XBAQ. 5ТО, SKEW,
oCWT, R, N, А, В, S. IER). .' ,
Описание пapaмeтfXJfI. NQ чнсло наблюдений; M' число перемен- "
. lIЫ ; Х В:!tодная матрица данных (NO ХМ); сооЕ BXOДH A век1'Ор >
-размерности М; содержащий численный код недостающнх для каждой ,(:
.nеремениой данных. Любое на6людение для каЖдой перемеJНюА. имеющееj'>
:значенне, равное коду, при вычисл нии будет опущено; XBAR BЫXOД" ?;,
ной векТоР. размеРJ:lОСТИ М. содержащий выборочные, средние . звачеНIiЯ; з'"
'STD выходиой вектор размерности М, содержащий выборочные ct8Ндарт- ., .
'flble отцонения: SREW вых дной вектор размерн ти М, содержащий '
1IЫборочный коэффициент асимметрии; CVRT выходной вектор размер- i,
-ности М, содержащий' выборО'lilЫй коэффициент эксцесса; R 1Iыjюдной'>
'ЮIсс'нв размерности М (М + 1)/2..содержащий верхннй тр уrольник симмет-
1>ИЧНОЙ матриnы М )( М выборочных ко9ффициентов коррелЯЦIIИ; N ....>.. BЫ '
ХОДная 'Матрица ЧI;fсла пар наблюдений, ИСПОд.hзуемык. при выч-ислении вы- \
оООрQЧНЫХ коэффициентов корреляцин. Дана только в1!рхняя треуrольная ','
"Ч СТЬ матрицы; А вщюднаJl матрица (М Х' М), содержащая свободные ,,:,
'Члены (А) линиА.реrp сии внда У == А + в . Х. Первый индекс этой. мат- i',
1>ИЦЫ отн.осится К независимой, второй к зависнмой переменной. Н при ','
'fdep: А (f, 3 содержит свободный член линии реrрессни для двух пер,емен- /
HbIX, rдe перемеfUlая, 1 независима , перемеlПlая 3 ЗjlВиснм3!I. Матр.ица А ,
, 'Хранится в векторной форме; е ВЫХодная маrpица (М Х М), содержащая '".'
.коэффициенты рerрессии (В), соответствующие значеци мсвободных членов.;
.(А),соДержащихся B вщс:однойматрицеА; S выходная М8ТРlща (М ХМ), ;.
." осодержащая стандартные ошибки коэффициентов реrрессии, COO1'ВeJствую- ""
.щие ,коэффициентам ,8 выходной матрице В; IER ИlЩикатор ОIЩlбкн:, ":
IER == О нет {>щибки,. :
IER == 1, если число непропущенных.данных д'ля I-й пер: еIIНОЙ "
меньше нли равно АВум. В-зтом случае STD (J), SKEW <
(j) и CURT (j) по;Лаrаются равными 107&. Все значения :
R, А, В и Э, связанные с 9ТОй переменной, такЖе пола. ,
, rаЮ'fСЯ равными ,107&;" .
IER == .2, еслй диспеРсия'i-й переменноil:меньше, qeM IO 20. В этом ';,
случае STO (jj, SREW (j) и CURT (j) полаrаются рав-
ными . Н)7&. Все зuачения R, А. В н Э. связанные с 9ТОЙ
, Пере1dениоЙ, также 'полаrа я равными 107&. , .
Ва.иечан.uя. Подпроrpaмма не может различать пробел и нуль. ПоЭ1'Qo ':,
ому, если пробел указывает код. недостающих данных в картах ввода, он рас-
! .оематрнваетса как нуnь. ... _
ИСnOllbЭуе.'подnPО;;f1iUU1Ь1 и noдпроц1 'Ф1lнкчии. H T. '
I
6
,, , ,.'
. " "-1 "
;.r
, )
..,-'\r'
',/ '\
.
:. :;'
#.,
0/.. _
...........,.... .;z- .... . y;;.... ., 1 ..,,".; ,:,;.. ,: --:-:' ...., i ,
_' . ' , '",":.,:, . : . :; , :,D ' '5<''' ;jjf ;'* '...::&-r::, ':::" " : "' \'"''
...',., ". -. ..
"
"',
/'
" ,:' ЛР;'N»IUtiиe 8
". .t"ir6АfЩ/2 7. Типи'lllWe' крИ8IIe 11 СООТ8еТС1'8у1OЩ1Ie 11М форму..
."
<,
Т.:и.кwe кривые 1
k
ФQРМУ.llВ
g==J,
. , 'СпОСоб I
Выр8ВииваВIIJI
.,Х == Ig к;
. у== Igy;
· (rрафИJ< il.аи у =:=.Ig а + X
дЛЯ а == сопst)
" .
.
о .
..il
h
, ,.
2 '
/
.l.-_.:,
,.
у :. ае ЬХ
(rрафик дан
:.nля.а == c6nst)
1
'у== а+Ьх
х
у== а+ ЬК
""
у==с+ах"
, ., ,",.
. у == Ig у;
у= Iga+
+ Ьх Ige==
== Ig а +
+ 0,4343I1к
у == I/y.,',
Y-=а+Ьх
к
Y== '
У'
-Y==ц+Ьx
Если Ь нзвеСт-
o Х ....:. жЬ,
У :: с + аХ; ,
Если Ь неиз.
вестно, iIаХОДЯ1
с (см. прим.),
TorAa Х == Ig к;
g == '(ну c);
y, Ig а +
+ЬХ
r
, ..-:!
ПримечаИВR
;.............,.
> t
..
, !
'
.
;"1
Для onреАеления
с на заданной кри-
вой берут две точ- ,
'кн С пронзволь-
ными абсциссами
К) и Ка,' соответ'
ствениыми ор-
динатаМII у1 и Уа,
Tp 1'O'IKY с
абсциссой Ка, ,
- r"""""""" - ..
== ' Jf JXz И орди-
натой Уа: '
2
С'==. YJY. Y3,
'Уl +y. 2YI'
"
.j;
,f.'
;..}
T
" . !.i ;i\' { ;'l # O '.
, !';,;
:.'!о
::]
.1
i'
o : ,
, I
,;j"
). :'
'""- ,
, ,
1 . ,
"
*
\',
:
,
r.
". ,О,
о ".{ --
:': .
:!
.: , ; , ' , '"
1 :
j ' ,
,':f
, С,,' ,I;o
: ; :
' , "
j j,
. : ." '
-) "
'.t . 1 '
,"1, "
'} ,
1 ;
' : .'
.
\' :,1
i 1-,
"1-
,..;'f" ,
,
/'
типиIJные кривые I
--.
""
.,
д
. ,
208
, О" ,
Формула
у==с+ае ЬХ
(rpафик дан
дли 'с == const
И а < о),
,
у==а+Ьк+
+ск 2
. а+Ьк
y==
c+dx
--"..,
"
, . СпосОб
выравнивання
Находят е (см.
прим.), TorAa
у == Ig (у е);
у == Ig а +
+ 'Ьк Jg е -=
== Jga +
+ О,4343Ьк
.
.
.
у== y YJ.
K X '
У == (Ь + 1
+ ек 1 ) + '
+ ек, rAe кl
и Уl коорди-
наты ПI}ОИЗ-
вольиой точки
'3аданноЙ
кривой.
при выборе
значенhЙ Х, об-
разующих ,
арифметическую
проrрессию. с
разностью h,
у ос Ау
"7 Yl+1 .;... Yl;'
у ==(ЬЬ +
+ сЬ!) + 2сЬх
K Kl
У == ,
y Уl
rAe.x. и Уl
.координаты
произвольн.ой
точкн задан-
ной кривой
у == А+Вх
п родОАжен,ue nриА. 8
(lрнмечания
Дл опреДеления
с на заданной кри-
, вой берут Две 1'оч-
ки с ПРОИЗ)lОЛЬНЫ-
ми абсll.нссаМh х.
и Ха, cooтвeтcTвelI-
ными <1рдинатами'
У. и У2' третью
точку с абсциссой
Х1+Х.
Ха== 2. И
ордннатой Уз:
- . УIУ! ""--
с== . ,
Уl + У2 2Уа
После оnределе-
НhЯ Ь И С находят
а по уравнению
!'у== nа+ Ь!,х+
+c!'x',r n .
чltCJlо заданных
значений х "
,
Вместо' коэффици-
ентрв а, Ь, 'с и d
определяют А, В
и представляют
эмпирическую
формулу 'в виде
x xl
У==Уl+ А+Вх
...'
I '
.. '
./
: '
'i'
i
. ,
i"
,
"" " "'{I\' ...:,;. ;t-:,,'J( .;:t':'-:' :. Ii..:;':. . '-il7{;:".:. -1\JШ )......
,,;,,;::;»;;
.п родолжен,ue npиJl 8
/
I I
Типичные крнвые Формул'" Способ "
выравнивания Примечання
.
, Введением НОJrОЙ
У 0== перемеНRОЙ ,Z ==
t oc ' '" "'" Х/у прнх.одят К
а+Ьх+сх' -- формуле
. ""' ' у== а+ Ьх+ ск'
.. ... ._...,
п pr!ложен.ие f)
'"
, " I .../2
7' а .ли Ц а 8. 3наllеии" ФУНКЩIИ q>(X)== , Y3n е
..
t о 1 1 , 2 1 э ," I 4 1" 6 1 6 I 7 \ 8 \ 9
0..0. 0.,3989 , 8989 3989 3988 3986 3984 3982 3980, 3977 3973
0..1 3970 3965 3961 3956 3951 3945, 3939 3932 3925 3918
,0.2 3910. 3902 3894 з885 3876 3867 3857 3647 з83б 3825
о:з :j/!14 3802 . 3796 3778 ' 3765 3752 3739 3726 i3Ji2 ;i697
0.,4 3683 3668 3652 3637 3621 З6О5 3589 3572 3555 3538
0..5 .. 3521 З5О3 3485 3467 3448 3429 ' 3410.' 3391 3372 3352
" 0..6 3332 ' 3312 3292 3211 3251 3230. 320.9 31'81 .3166 31'Н'
0..7 31 3101 . 3079 30.56 ЗОО4 ЗDН 2989 2966 2943 2920
0..8 28' . 2850 282'1 2803 2780 2'156 2732 270.\1 ,,268А
D.9 2661 2613 2589 2565 2541 2516 2492 ,2468 2444
1.0 0.2420. . 2396 2371 2347 2323 2299' 2275 2251 2227, 2203
1.1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2005 20.12 Ю89 1966
1.2 1942 1919 1895 1872 ' 1849 1826 1801 1781 1758 1736
1,3 1714 1691' 1669 '1647 1626 160.4 ; 1582 1561 1539 1618
1.4 1497 1476 1456' 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1.5 , 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 II 1145 112'i'
1.6 1109 1092 1074 1057. 10.40. 1023 1006 0989 0913 0957
1,7 0940. 0925 ' 0909 0893' 0878 0863 0848 0833 0818 0804
1.8 0190. 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0.694 0681 0669
1.9 0656 0644 0632 0620. 0608 0.596 0.584 ор73 0.562 0551
2.0. 0..0540. 0529 0.519 ' 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2.1 0440. 0431 0422 0413 0404 039&-" 0.387 .0379 031'1 0З63
2.2 ,8355 0347 0339 0.332 0325 0317 0310. 0303 0297 0290.
2.3 0283 0Z17 8270. 0264 0.258 0.252 0246 ' 0.241 '0235 0.229
2.4 022...- 0.219, 0213 0.208 020.3 0.198 0.194 0189 0.184 ' 0.180
2.5 0175 0171 0.167 0.163 0.158 0.154 0.151 0.147 0.143 0.139
2.6 01З6 0.1'32 0.129 0.126 0.122 6Н9 DН6 0113 ' 0.110. .0.107
2.7 0.104 010.1 0099 009') 0093 0091 0088 '0086 0.084 0081
2,8' 0079, 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 -0061
2,9 0060. 0058 0056 0055 0053 II051 0050 0048 '0047 0046
3.0. 0.,0044 0043 0042 0040. 0039 0038 0031 0036 60035 0034
3.1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 «m1 0026 0025 0025
3 2 0024 0О2З 0022 0022 0021 0020. 0020. 001,9 0018 0018
3.3 ею17 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
3,4 1012 0012 0012 ООН 0011 0010. 0010. 0009 0009
3.5 0009 0008' 0008 ' 0008 0008 0007 0007 0007 0006
3.6 \ 0006 0006 0006 0005 ' 0005 ,Q005 0005 0005 0005 0004
3.7 IlOO4 0004 0004 0004 0004 0004 оооз оооз 0003 0003
'З.8 0003 0003 ' 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 41002
3.9 0002 0002 0002 .. 0002 0002 0002 0002 OOO 0001 0001
"
.1
:, 1 i
'"
'.
200
.,
,f
, "-J
'-...: .... .
.., ,..... ,.... ... 4 ,;. " t!\ ""' V7"';;""
," .
"о _'_
. '
!
"' 4./" ,' '" ",""i: -:'
t
""'
j ;
1,[:
' I I(
'l,:
, r
:I.
1: '
1
,
:;
,{' '
'[":'
;. -;.:C- . .
, [i
:: ..,
.':
t
JI I '-
.. " ,
, >,
..! <
, '1 r "
' : . . " . , .
!"!
} ' 1 ,
'j ,
; , '. . . j ;.r , ':'
;i t
J ь
. , F;.
',,; :
, ,
". , --..,""
< .7\'.'
, СПИСОК,РЕкоJ,tЕНДУЕМОА JI E.ATYPЫ
'. Дежuдович Б. П.. Марон И. А.. Основ"" ВЫfJИСЛDТeJlЬJIоА
математики. М. : Наука, 1970. 664 С. , .
2. Дежuд08uч Б. П.. Марон И. А.. Шу8аАОВа Э. З. Числен-
. flые методы аН8Jlиза. M -: Наука, 1967. ,368. с.
:3. rgmep Р. С.. ОвчUIUЖUЙ Б. В. Эпе!\lенТЬ1 числеииоrо аиа-
, .лиза. и математической обработки результатов оп та.
,м, : Наука, 1970. 32 с. . '. .
-t. r"ЧIPЖOJt В. E Теории вероятностей и математическая
. статистика. М. : Бысш. ШК., 1977. 479 с.
. Вентце;ц,'. Е. С. 'Теория вероятностей. М. : Нау:ка,
1969. 576 с. , ' .
1() МедведеВ Р. Б-.... 'Бран08Uцкая:С. B. /(одесникова Р.. Н.
.. IЧИСЛе8Що1е методы для !инжеиеров химиков-техноло-/,
.. roв....... К. : -КПИ, 1976; 80 со. ':,'
"l. /(ОflНelЮ8a Н. B' i Марон И. А,. Вычислительная математи-
ка в примерах и аадачах, М. ': Наука, 1912. 368 с.
. -rжgрАШН В. Е. Руководство к решению задач по теорflИ
верdJпностеА и математической статисmке. М. : Бысш.
, шк., 1975. ЗЗ3с." . ' .
'9. Батунер Л. М.; Позuн. М. Е. Математические методы в хи-
мической теХНИkе. Л. : Химия, 1971. 82з с. '. .
10. Д3lCOНCOH К.. Численные методы в химии. М.: МJIP. '
1983...:... 503 с. .
.
....
'\.-,' ,,':
'
..
. ,
2t; . ..: :
'
"." J" .
с" \ " ;t
,.,
# ;
'
. ,,',
А
" T
';
, (,
[ ;.
t.:'
.,
"
;
" #--."
- .-"т(
.; ; :
1fJa. ;P :1 ". ' ' .:Y ; : '5 T ;;- ' :: " " "< ,,"
},
:;:j;:. ' ,
' ';.- '-
Л3-:::
( : '"
;:
hPEДмtTHWA УКАЗА'ЕА
"1
:
'
'.
; <
',:
. .... ..
-
:{
':.
'Асимметрии 146, 164=
.
.' 'ВаРИilнта 154 сл
. условная 166
J3l,1риtl1UiОflНЫЙ ряд 15.
Величина случайная 133
дискретная 133
веnpepывная 133
.нормиреванная 147
центрнрованйа.ц 146
, БелИIJИНЫ случайные
.., коррелЩ>ованные 171
1, ,,' некоррелированные 17.1
'..', Верные sначаiu. цифры
" ' ,узкО'М .смысле g.......ll
': "в' шцроком t.мысле 11
Вероят.ность 131 сл.. ,
. доверiiтельная (надежно ть) 167
, , c.rатиСТнческая 133
" уСлОвиая 133
J ыборка 154
, Выборочное' кор'Реляционное отно-
с'"'";" ЦJ lIl1 181, 182
Выбороч.ный коэффициент perpec-
сшj'l73
.
;
.
j:
" :
ъ.
., fиnоiеза стаmстическая 182'
КОНКУРИРУЮlЦаи . (альтернатнв.
иая) 183
осн ная (нулевая) 183 -
,rи амма 151, 158
"
- -
"'. .
Диcn'I!рсия 144, 162
, ВИ'утриrрупповая 162
выборо,!наи 160
. ,-
.....
\....!..:.} :..-:
"f1',
.....:- "
I
I
.,,[
'.
дискретной случайной величн-
ны 1....
межrpуппоt'ая 162
вепрерывной случайиой величи
ны 145
обlЦаJl 162 .
Дифференцирование численное 91
Дов"еРИТeJJЬНЫЙ интервал ,167
\k
Задача
Коши для диффёренцнальноrоо
уравнення ,
, в частных производных 123
, обыкновенноro пер80rо по
. рядка'J04
краевая для обыкновенных диф
фереНЦИ8ЛЬЩWX. уравнений .112
д хточечная..J 12 ,
линейная Н"2
Закон распредедення случаАноА
величины 139
3начаиiая цифра 8
",
i
::f"
Интеrрнрование численное 95. 96
обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений 103, 104
Jiнтерполированне 55
в узком смысле 55 - .
лбратное 6
параб()JIИческ...Qe 55
Интерполяnиоиная форМУJIa
Лаrранжа 56, 57
Ньютона
вторая 61 64
пеi>вая 59 61
"':t
1I
'- .,.. <..:
- - ."...., .
h ';J:
" ; "
. . .' '
" '..-.IIL 'r ;;'" i,....:ц.if;.- '4, -i,j::.J ..\} *-
!К
:, i I
41' '
! .
1>/
.. I
I;
I
,
"
J
,'<1
,
"
"
>t.-
.} ..
"
\
;
,1
J
,.1.t:
:
л
J
,'!
;1 (
! I "
:. ' '
н
, ," ,
.". ...
'. ,,'
,О!. ".
-,
1(онечпые разности 58. 59
'I\орреляционная зависимость 171
J(орреляционная 'l'аблица 175
.корреляция
линеiiиая 172 180
нелинеЙная 180 182
f<оэффицнент
вари.ации 163
корреляции 171
I(ривая нормальиая (кривая rayc-
са) 150
I(ритерий ,
cor ласия Пирсона 190.
статистический 183
I(ритические ТОЧКИ 183
Линня ре!,рессни 171
Математическое ожидаиие случай-
JIIOЙ 'величиры 142 сл. . .
дискретной'142.143
непрерывной 143 ,
Медиана 144. 163
Метод
аналитическИЙ 22
выбранных точек 88. 89
Таусса 3ейделя 46 ел.
. rрафический 21. 22
>итераций з4 ел.
для нелинейной CHcтt1nl
уравнений :49. 52
касатеJlЬНЬ!Х 28
оКомбинированный хорд и каса-
тельных 31' сл.
'l<оиечных разностей 113 еЛ.
.нанменьшнх квадратов 69. УО;72
1fьютона для нелинейной систе-
мы двух уравнений 52 54
ilОЛОВИННorо ,деления 23, 24
последовательноrQ исключения
!НеизвестныХ (метод [аусса) 40 '
46'
,проб 23, 24
'JlpOrOHKH 116 ел.
PYH KYTT!I 109 сп.
.ceтol< 123, 124 .
средних 89, 90
усовершеис ванныli ЭйJltра
Коши 107 109
хорд .24 сл. ,
Эйлера 104 107
.мноrоуroльник . распре еления 139
Мода 144; 163 - '
Момент .
корреляuионный 171
иачальный теоретич,еский 14,5
' эмпирнчески 164
'/
,21
: c"" ,_,:-
центральный теоретнческий 146
эмпнрический 164
Область
критическая 183
принятия rппотезы 183
Объем совокупности 154
Окруrление 9, 1{)
Отделение корней 21 сл. .
Ошибка
BToporo рода 184
первоrо рода 184
Оценка поrpешности для интерпо- .t
ляционной формулы .
Лаrранжа 64, 65
Ньютона
второй 65
первой 65
,
"
{ ,
Плотность распределения 141
Поrpешность 6 '
абсолютIOlЯ 6
предельная 6, 7, 12
разности 14, 15
суммы 12, 13
неустранимая 5, 6
окруrления5. 6' ,
остаточная 5, 6
отноСитеJfЬнай 7, В
предельная 8, 12, 15, 1'6. 18
Полиroн частот 156, 157
Полная rруппа событий 133
Правило (а) .о"
слож,ния вероятностей 134 ,
трех сиrм 15} . ' "
N умножения вероятностей 135' 1
риБЛИЖение функций 54 . ;'
в I!де показательной лн 'Сте:. :
пенноii Фуикцци 75, 76 "
по способу Чебышева 7 83 ;,.,
точечное 54
квадратичное 69, 70
.....:. линейное 70 72
ПриближеннОе число 5 '-'"
Прщщип. практической yвepeitllOo /
сти 132 '
:,
. ,!,
Размах варьированая 163
Распределенне"
бнноuиальное 147, 148
нормальное )49 151
,показа'reЛЬНое .(экспоиенциат..,
ное) 148, 149 : ;'-
Пуассона 148 . ,
"---',
.;. ::
>jJ"
, ;: : .- ,.'".:} , r,ь m ,я, .,:"k . . >:".. "
'.
t. равномериое 149
If:. статистическое 15" .56
ic c . 152, 153
; , «хи квадрап 151, 152
Реrpecсия 171
Ряд
раt;пределения' {39
статистический 156
'.
обытие (я),
достоверное 131
зависимые 133
невОзможное 131
. . независимые 133
'> в совокупности 133
. несовместные 131
равиовозможные 131
елучаЙНQе 131
.. овокупность
,Y выорочнаяя см: Выборка
rенераЛЬН8Я 154'
простая статистЙческая 153
Сомннт.ельная цифра 9
С]>Е:днее otKJlOHealtt
абсQЛРТНое .l6S
'квадратическое 145
( выборочное 160
исправленное 165, 1.66
€ред,няя выборочная 160
rенеральная 165'
rРУlJповая 160
общая 161
условная 171
CX Ma
..
"
, '
"
'\
.
,.'
,.s.:' ,
-!' ""
;..---)
';
. . ,1.
......
.
еДIIнственноr елення 46
случая 131
ТQЧНОСТЬ Qценки 1'67
paBHeHHe' .'
аJД'ебраическое 20 22
.дифференциальное 1!2'
8 lIaCTHblX пронзводных 122
. лииейное 122
,реrрессии 171
'трансценденти 20, '21'
Ypo ь 6аЧl.'м?С:rи. 132, 184
формула (ы) .
Бейес'8 138 . ,.о
Бернулли 147
парМ'OJ! 100 103
полной .вероятности 131 ."
трапеций 96 100
ЧНСJiеIDlOrQ , дифференцировання
91 95 - ,
эмrtирltческая .84.
выбор вида 84 88
определеllие параметрО8 8
91 . . , '
Функция раСПI'еде.лення 139
дифференцнальная СМ. 'П,М,Т1tость
'расnределения
интеrральная 140 .
эмп рnческа}J 158, Hij}
Частота варианты 154'
отН,осителъная' -154
Эксцесс 146, 16+.
'.
.
...,
. ,
i t )' ' f(;;'ij.{ :' ;',: y ,::';''{'E ':
. .
1/;'
;, / ! ,
, '
I
I ' ! ;;'
.:\ '.
, ':
" ,
6 .
. -\.
:
!
.!
i,]
J
",
i
'.
.
11
1&
. \i. ,
,
i:i 'o;
or"U-И
. t :;:;: : : ;:fi!'''$.: 'f. / '7' ,.> ";'< '>1. " :': .. ', :i [ $ k":;,., ,:, 7' ":' ? \:;: ч :\!& !
" , :; f", . ,', : ':.. l1 ИЖ ФУJI..ЩИЙ , Ча Т ТJI011РП! 8, . "
" , :"]: .'cnOOOБY чtC\lllliIeаа . .. 7t):V МЕТо.....о&.АIiOтКIf.сэ А". ' '
" .(6. ЭмnаJt8ческме ЛЫ 84" 'lАТО,\ QА IOДЕИ :\, .; · . . 131
" t; J 4 5.1- ПOCUJlовка з8Jl,3 И ., 84 .
'. 3 rдаuЗ. РеШ'енiIe TeM ' :' . ,,\, 4.S.2.Выбор ВИА8 змпиричес- . си r.uвa ,9. 'з..име 1lТЫ теории и-
HeH!lA ..... .' ,, ' , . " з9 { tl:oi фЬРмуЛЬ1 .... _ . " ..п po !eI ,....... 131
5 3.1. . Решение ,си ,.цнiIei.." ., 4.5д .()пpQ ение паракет- 88 9.1. Основные' ПОНИ ,1ИЯ1'еОP/fи
ВыХ аJlreбраическИх 'уравие ',. ЗМrЦIрпчеекоА рмуЛЬ1 . вероятнОС'.еА ' 131
ииА ... 39 !; . . ....... . 9.;. OcHO np a' p
3.1.1. Пост.ан ., :,ада и . 39,;:,:", I'.S. lItМIt.иое). " " 91 вероиткостеА. иХ TB"fi 134
3.1.2. М-етод raycca. Схема :{, о " не 11 lIи .е 9.3. 3акOll распреш еНИIJ сду'
eдHHcтвeHHOro делеlfиЯ . . . Чire.rleJtиое J.I.IIФФeре чаАио велИЧИНI!I. формы ero
3.1.3. ,Итер8ЙиоНilыА метод r . ' ' . фор"уJIы' вЫрjlЖ ии. . . .. . . . . 139
'.., 5 r.aycca .".,3еАделя ..... 4&',', роваиия..1ОС1tQJU. 9.3.1. РВА' распptAепения;.
3.2'. , Приблю'ltеiflj.Oe решение ' _118 ниЩ>'nOJJfI ЫХ p- мноroуrO.пьil1 К :.распрч еле Н1fii 139
6 иcтeu нелин н"х ураВнений . x.HыI)тoII8 о... . ... 91 9.3.2. Фуик$ирасl'l еи и 139
. ' 3.2.1. Метод ИТt!рши мя си- .5.2. Чщ:леRИ "'втerр,ирова- 9.3.3. ПпOТJЮCТЬ раcrфеделе-
8 creмы двух уравнений . _ .:;"'(g , 1I1Iе '. .. . , .. ; '.' . 95 ния. . . . --::. . . . , ., 141
3.2.2. MeroJt HbIOТOJla для си'" '. 5.2.\. l)оетаИ01lf8 8ЩЧИ ,о.. 95 9.4. ,Числоаые.харaJt'tepJlC1'ИКИ: .
9 стемы двух ураененвй,' .. ..: ':,; . Формула пеЦi!Й -. 96 CJlучаАиы J!e,т\'lИ1t " '. " . ..' 14
r.ilaвa 4.. ПрНб..и:ж:ен.... фу НК-," , . $i,t.З. ФОрмула араС\оЛ .(фор- 100 ' 9.5. Не заJtOllw..:щ пре- ,
ц А " '-' . ... . , OiiIOла ЯМl1сома )l.eленiiи уча:nн , JIeJI 41
10 ' н , ..... '; . ., ..... '. "';.54 ': ,;':' :: " . ,'. '." . 9.5,1.l)ииоМН8JlЬtюe распре-,
. 4.1. fkx:т , " RЭ ' " ' .RЭ дачи " О , прlf- : .;....;.1._ .... ЧИCJItНиое'_ , '.'" " . ' 147
. ,ближеиИJl .ф)1йUum .. м' ::/' '" 11'...... .. ...«.................1:"...... ДeJIще " . ", .,'.., . . : .
4.2. fhiтер'пОлнроваиие: ФУ ;" '.:..;. i , .......C , _ ,' " , 103 9.5.2. Распределение Пуассо.
циА ' ,,' '. 1::'" ' 1.. ,)' .... ." на. . : . . . .' . . . . 148
" ' 4.2;1. П ;а о.к -з;;'а н ;н= 'iIO .,, t.:ПOciаН08Jtа,задачи... '9.5.3. Показa;reлыюе распре-" .
14 Поли ния ..... 55- t 'p\,. .t,; Мето.в. ЭИлера . .".,. деаение ' .......;; .у148
, 4. .2. ,ИlI'Щ)noляциоииая ФОр=' "''6;1. МОJUlфtt6a1J.И!l .......мe:roдa 106 9.5.4. Равномерное' распрeiе. .
М 4 tn з 8 JUtrP ' "' '. 56 .,к; 1'1' ЭАлера,,' !'...... Й ,., леки . . . . . . . . . 149
15 ."', " . ' е;"' , 11'''''''''''''''''' , .' , , ' . раз, - .,' " ,'" ;3.1. ,...соверщенс11lOВанны '-
16 ,., ................... 106 9.5.5; НО Р М8JlЬНое: ра nреяе- ,, ,'
8 ностях разлll Х,"IJОр"ilКОв .' {)8 ,; ' , '< " , o , 'i , / ,,: ,мещ&' ЭАлёра, ' . . . " . , . 14 9
, 1 4.2.4. ПерваJi ' пoМiiiион-.. :,. > \i J,; 2. УСовершенствованный "ление о . . . .. . . ,'. ,
1,8 и....... Н . Jiit1'Q Эйлера Коша 107 9.5,6: рacnpeдeл , '" епие'Х 2 ..<" '151>
ая. рмула ДnIl.JJa.. ' , ' ; \ fir,: .. ".i;", iI! '7' . . ;., .; \
НOQТCТоящих узлоа.инteРПОЛJl ,'.... 'l: АЗ... 'У<:овершенС1'ВОва.ни п 9:5,7. t-Распрцелеиие 'Стью-,'
19 Ц1«и О"' .'. . . .'''; .,...;; _ '59,'. ,. ii'ti.NeroA ЭАлера...... Коши с n деи . . . , . . :' '" ,152
4.2.5. ВтoP871' JlнreрпQЛЯЦиoi!-. . ': ! .\ .:">1c:::!Jедующей !lтерационн()ji обра- . 9.5;8. : F:Распре.п.eJlение фише-
20 на!! ФОРМУЛ8 НЬЮТОна АЛЯ рав- " ,?', \ ' Ъ':"; A ... ". , . '. " .. ра CHeд кopa .. ;.. - . 152
20 но<>тстоящих умев иитерпо.'lV' ; .( .J 4.,MeТoA Руиre KYТТ .'
ЛJlЦИИ ... '. . . . . .. ,61 '" " " ' ' .
4.2.6. Опенки riorpelJIH'bCreii . "';, ",'....1. ПриUмжеиноереше-
21 интерполи ониых ,формул 'i, ' "'::, .""', JПlиеIНО краево' 'эaцqн
21 Лarранжз' JI, Ньro:J:oR , ',' .' . . 'fif. l'}, ! . , OtiIiUaIO
.4.2,1. Обр'81'Ное иит рполи ро- ',' ':-";:'>;;!! о:' '.',,:,' , . ,...-
ванне . . . ,. ' ,: о,::" ! '.'.,., " ,
' , 4 3 ' Т , . .... . . . . . .'.. 66 "'"", '"';, , ' :' [ ' 11 ' ...... ост . , а ' н о , В к а еМ....... . '.
"' ' очечное ааДР .' ...'" .. " ".." .. 11' ....... n
23 пр е .Аат ч . ;!,;/:! '. '1 .'.. 13.: МетоJl конечнЫJt разНОС-
24. 43 I ..... Ан ,' ,,"".., . ТtA ......... -. 113
... ...п е ая. аnnро.ксима- , "0"':' 73' м' ;" 116
ЦНJl ,помeroду. НЩlNeIlЬШНХ .., " -.;:" :.' етоА Пt'оrонки ....
28 :;здратой .. '.. ;.' '" m..;. y . , ' 1'_ 8. ч.. Rое реше не
.' ,. .. П , а Р аб<щичесК8Jl lI ПП Р ОК- ' :,( , ' _ __.. ,. npoи . 3IJOA-
1 сима.и по lfeТOДY 'иаtIменЬ- " i.'; . . \ , ............ .
ШНlо атов, .... 72}:' ' :;: ,...:. .-.:" >. . . : 122
4.3.3. АПJiРОКСИМация по ме. '..ii'::' ,:.', R...... Осковные попятии н
З4 тоду наимеftWJих квадрат.оlJ в; :,:::;" , ,:r' i: , :' ення . . , '"
З8 BQдe nоказаТМl>fюА ИJlИ.. С1'е"" < '}, ;;;' :,-,:,;" " 't сеток ......
пенвя фунlЩИ1I 15.,. '"О' ">
:
l :', ' ,:,. .'
\":. . " t
,( ,'
. ...., .,;ilt' '''
;'-«f
::. ....... '1" 1
" ,
,
Предисловие . '. .
Чаi1'J, 1. МЕТОДЫ' 'прив.nН.
ЖЕННЫХ 8ЫЧIICJIЕнНА . . :
r..... 1. З-мевты тео;ни'iJo..
rpellJJlO4::l'eI , ," .' . ....' .
1.1. Лриближенные зма ении
велич!".' I1сточиики поrрeцj-
носщ.. Классификация 'по-
rрешносteй ..'..,...
1.2. .Абщлютная и ЩНOCJfтe.fIь-
ная -ПОI'pбllНОСТН ...:.,
1:3. Вep ыe значащие цифры
приблнжеиноrо ЧнСЛа
I. . UраИИJf8 }>крyrпенЩ; . и:
сел' .
1 . ...........
.5. Свя !>, кOJiИЧеётiЮМ
. верны"! ЦIIфP' и ,J1QI1ещи«:тЬю '.
приl)JtIOКёf(иorо _ела ''',
1.6. Пorpennюcти. c .p'"a;'
НОСТИ., nVOIiЗ8e,1I,енИЯ;,IJ8CТJ[QI'O.
степени и корня nрМблНЖеи '
" ных ЧRCeJI' '
1.6.1. n: '.c
1.6.2. norpeшность разности
1.6.3. ПоrpeulИOCТЬ' промзве-'
деняя ' '
1.6.4. norp . ч ;и
1.6.&. nOrp,ешIf6сть степеви
1.6.6. Лоrрещ осТькория
1.6.1 Вычисления ПО ФОР'м у - '
ле" .
. . .,. . . . . .,. .
fлава 2., ПриБJtиЖeJI"ое ре';;-
Ане' иеАнwх уравнений
2.1. c:o:<iбpaжеиия .
.2. Метрды' отДt;Ления .-ер-
. ей . '. . . .' .' .
2.2.}. rР Rческ i д e:
лен..! корней ...
2.2.2. ЛнaтlтИческиii Mtry'OA
. ot ия корнеА .
. 2.3. Метод rip6б", ,'. : : : :.
2 4.., Метод' хорд ..... '
2.5. Мс!тод. НЫО:тона (метод
'J{8CaтeaRblx),' ,
" . :, 2.6, RоМбиии й' д.
. хор... и каса1'елыf.ы:." '..,.
2.7. eY<?Д , итер ЦifЙ (метод'
последовательных' flрнб.(IIOItе-
ний) ... :....
2.8. Сравнение MeYOJlQ8 yrOч-,
lIении корн,ей . . , . ,
,2J4
"
. , :>. :::: .;: !,.; ', }; ':i:
rяа_"' : Перенllll8tl статисти.
lIedta. .oбpaбcrrкa 8It cпepнмett ,
TaJI1>lII!IX 'АаКНЫХ . > ,,:;.. 153
10.1. !lростаА статнСти'J
совокупнос'l:Ь :-......, 153
'JО.2.С:raтистичес 0е p8Cl1pe-,
деление . .... . .', . . . 1,54 '..
tO.3. I:Рафическое , e-
.flЩ! СТ8'fи.СТИЧ 1t.oro е- .
пеН!lЯ ., ,; . _,"" ' .:il t . ,.56
10.4. Эмпириq .кая_ Я '
, распре.п.ел ениsr ' . ," ..,. 0',;, "!58
10.5. чйслg8ыe 'характерасти:" "
122 ки ста1'НСТJIЧecf(,Ol'Q расп рм е-. 59
123, леНII Я ...,.,. .,.
112
JI2
.
:'
. . :Y", . .
'.; +
..
:
.. , '"
j;;;:; ;::: iJli i f.i
-"" ,,-," ... - J.
' .t'. .
',):1,;-'".
. ' "' .,." '-
:J< . .1:
. "
E)
"::- "'...o..;\<, ' ' . -
.#..:/:::...,
<""..r:. '"
"
. '
215
< ..... '- .....
j
,I' , ;",;:
. ?'. . '1; ... .k >: , :. ;:t: :e' -< " ...i?u..... -.,{..-
f/'.>" " ',. ::': " '=: , .
f. <
L
, ,,'
jj .
J 1
111
I '1
i 1>
t l :
1;' ' t .
r ,',
j ' ;
'
i ".;"-
? , ': '.
,1 .
":,-
3
,.
f
;
il
';'1
:1 '"
ч , "
; ! . . 1
. ",',
. ,;
:
1 ;1
1,
J, : ' .,"
;. ]'
.O .,;. .
rJlaвa 11. С"ат,иС"ическое оце-
НИllAние параметро8 распре=,
НИII ..' . .. .
11.1. Постаitовка задачи
11.2.. Точечные статиетичесКl\е
оце:нки. ....... ,, ..
".3: J1нте,рвальные оценки
11.3.1. :ДовеР.ителыiый ивтер-
ваJl для оценки матемаТIlЧеско-
..ro ОЖИ.llания иормальноrо рас-
пределения . ',' . "','
11.3.2. Доверительные интер-
в лы JI,JIЯ оценкИ cpeдHero ква-
дратическоrо ОТЩlOненliЯ нор-
мальноrо распре.р.е.ления
rлава .2. Элемеиты' теории кор-
..ш ицки . . . . .., '.'
12.1. Основные понятия и
опре.в.еления . . . . . . . .
12.2. Линейная корреляция
12.3. J:IелинейiIаJt 'КCi»релJЩИЯ
Cnaвa MK'op08Ha '&раМ08ицкit.
Po"',.JI "'. &рDИИСn8..0 И'I Медаеде8
pмA IIk08m-ич ФмаRК08
,..... :.::"::-.....".. ;:,
; :..,;:"""; ."'ii'
; " \о
164
164
::]
184'
165
166.
rJlalla 13 Ста'fИсти.ческаи .
верка ,стаТИСТИllecllИХ rиiЮ'rез
13.1. Осиовные'. ПОЩIТИfl' И
определеиия .......
13.2. Сравнение двух диспер,.
.сиА норышных' rеиерадьиых
совокупностей ......
13.3. Сравнение ВЫ РОЧНQА
сре.цней с rнпотетическоА re-
неральной среднеА нормаль-
ной совокупности .'..... 186
13..4. Сравненне дву.х' среднltх
нормаillьных'teиералыlblx С<>во-
купностеА с пеизвестнымt днс'\;
перСIIЯМИ (зависимые выбор-
ки) ...........; ... 188-
13.5'. Проверка i:ипотеэы о
HopMa.nbНOМ рВСпр 6IIенин_rе.
нерзльнвй совокуп . Кри-
терий .соtJlЗСИ! ПИ'рСОна .. 100
Приложення .. . 195
Список . рiщомендуёмой Jlf!Te-
ратуры ..... .. . 210
l}редметный укаэател 211
.'
167-
169
170
170
172
180.
.
\ '-
,
,
ВЫЧИСЯИJЕЯЬНАI МАТЕМАТИКА
В х ,.,"tИ И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОпorии
Редактор Л. Е. Канцвец. Переплет художника Л. А. Кацнельсона.
Художественный редактор А. д. БондареНКQ.. Технический редактор
Т. и: Трофимова. Корректор, Т,. А. РемезовсКiJЯ .
ffuформ. бланк Ng 11335 . \
Сдано в вабор 22.03.85. Подп. 8 печаТlo 13.11.85. БФ 02203. Формат 84Хl08I/...
Bpmra типоrр...NIt 2. ЛИТ. rари. Вые. печаТь. Уел. печ. л. 11.34. Уел. Kp.-on. 11.6-
Уч.-из,ll;. л 12.43. Тираж 4000 ;kз. И;tд. Н. 67115. Зак. 5----t172. Цева 60 к. .
rОЛ08Иое .издательство издатiшьскоro' объединения "Внща школа,.. 252054.
I<иев-54, ул.rоroлеаекая. 7 ' .
.. . ...
Отречатано е матриц rоловноrо п дприятия реепублиК8И Кoro ПрОИЗВОДС18енноrо
с::и ::Ф.rиФмИi ха ; :з ' У ве :=: я. 16. з : im КОА .,i\
\',
. ,; '" r.. "- ' :::'!bli 6 \....i \.j; . 17;..t. .""t 7*' :;. r:r .,;- ,:,;- ' -: ""V';,:: %.:-._ :;"z.".. ...... ........ l:"", ".'. .;
\.Uh.L i
,
.
"
-;(
J}
.:
"
"
.'
, '
I
;
,
tf
, t,
':?!
. .
L ""
"'. . . -'.- ;,., ""