УДК 22.31
ББК 537.8
В 58
Власов А. А. Макроскопическая электродинамика. — 2-е изд.,
испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 240 с. - ISBN 5-9221-0560-4.
Учебное пособие по макроскопической электродинамике на основе кур-
курса лекций, прочитанных выдающимся физиком-теоретиком А.А. Власовым в
Московском университете в 50-х годах прошлого столетия. Во второе издание
внесены некоторые исправления.
Первое издание — 1955 г.
Для студентов университетов и педагогических институтов.
Учебное издание
ВЛАСОВ Анатолий Александрович
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Редактор О.В. Салецкая
Оригинал-макет: М.В. Башевой
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 18.01.05. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 15. Уч.-изд. л. 15,0. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0560-4
7в592205606
ISBN 5-9221-0560-4
© ФИЗМАТЛИТ, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию		5
Предисловие		6
Глава I. Основные величины макроскопической электроди-
электродинамики	7
§ 1. Заряд, напряженности поля Е и Н в вакууме		7
§2. Напряженности полей в веществе. Векторы D, В, Р, М, j . .	10
§ 3. Уравнения состояния		15
§ 4. Силовые линии в криволинейных координатах		20
Задачи		22
Глава П. Основные уравнения электродинамики как обоб-
обобщение опытных фактов	23
§ 1. Закон взаимодействия между точечными зарядами и его
обобщение		23
§ 2. Обобщение опытного закона электромагнитной индукции . .	30
§ 3. Обобщение опытных данных о магнитном поле		34
§ 4. Опытный факт, подтверждающий отсутствие магнитных за-
зарядов, аналогичных электрическим		37
§ 5. Исходная система уравнений электродинамики		38
Задачи		44
Глава III. Общие следствия основных положений электро-
электродинамики	45
§ 1. Закон сохранения заряда		45
§ 2. Закон сохранения энергии. Теорема Умова и Пойнтинга. ...	48
§ 3. Теорема единственности решений уравнений электроди-
электродинамики 		52
§ 4. Пограничные условия		55
Задачи		60
Глава IV. Электростатика	61
§ 1. Свойства электростатического поля в проводящих и диэлек-
диэлектрических средах		62
§ 2. Потенциальность электростатического поля		65
§ 3. Потенциалы в диэлектрических средах		68
§ 4. Случай разрыва потенциала		71
§ 5. <5-функция в электростатике		73
§ 6. Дифференциальные уравнения для потенциалов		75
§ 7. Прямая и обратная задачи электростатики		77
§ 8. Метод решения дифференциального уравнения для потенци-
потенциала с помощью интеграла Фурье		81

Оглавление
§ 9. Краевые задачи электростатики		83
§ 10. Энергия электростатического поля		86
§11. Силы в макроскопической электростатике		96
Задачи		102
Глава V. Основы магнитостатики	103
§ 1. Физические и математические основы магнитостатики		103
§ 2. Основные задачи магнитостатики		107
§ 3. Влияние магнитной среды на магнитное поле, вызываемое
токами		114
§ 4. Магнитное поле в сверхпроводниках		124
§ 5. Энергия поля для магнитостатических явлений		128
Задачи		132
Глава VI. Квазистационарные явления	133
§ 1. Область квазистационарных явлений		133
§ 2. Уравнения для квазистационарной области явлений		135
§ 3. Квазистационарные явления в линейных проводниках		137
§ 4. Энергия и силы в области квазистационарных явлений ....	145
§ 5. Скин-эффект. Аномальный скин-эффект при низких темпе-
температурах 		151
Задачи		158
Глава VII. Проблема излучения	159
§ 1. Общие замечания		159
§ 2. Дифференциальные уравнения для потенциалов		159
§ 3. Частные решения уравнений для потенциалов		162
§ 4. Метод решения неоднородного волнового уравнения, опира-
опирающийся на формулу Грина. Формула Кирхгофа		166
§ 5. Запаздывающие и опережающие потенциалы как решения
задачи Коши		171
§ 6. Излучение от электрического и магнитного момента		180
§ 7. Излучение дипольных волн. «Игольчатое» излучение		193
Задачи		198
Глава VIII. Распространение электромагнитных волн	199
§ 1. Плоские волны в неограниченной однородной непроводящей
среде		199
§ 2. Распространение волн в неограниченной однородной прово-
проводящей среде		205
§ 3. Отражение и преломление волн на плоской границе раздела
двух сред		209
§ 4. Свойства направленных поперечных волн		218
§ 5. Распространение направленных продольно-поперечных волн	224

Предисловие ко второму изданию
Настоящее второе издание практически полностью соответствует
первому изданию книги, вышедшему в 1955 г. Внесены лишь исправ-
исправления замеченных опечаток и незначительные правки редакционного
характера.
Следует отметить, что книга впервые вышла в свет 50 лет назад, по-
поэтому авторские замечания о «современном состоянии» науки относят-
относятся к уровню полувековой давности. Некоторые особенности изложения,
использование абсолютных электростатической и электромагнитной
систем (СГСЭ и СГСМ) единиц физических величин, а также ссылки
на классиков диалектического материализма — дань тому времени.

Предисловие
Эта книга излагает первую часть двухсеместрового курса электро-
электродинамики, который я читал несколько лет для студентов физического
факультета Московского университета. Первая часть курса посвяща-
посвящалась изложению макроскопической (феноменологической) электроди-
электродинамики, в которой в основном не затрагивались вопросы атомизма
электричества (во второй части курса рассматривались основы мик-
микроскопической электродинамики).
При подготовке лекций к печати я сознательно избегал дополне-
дополнений, чтобы подчеркнуть объем знаний по этой главе теоретической
физики, предъявляемый в настоящее время к студентам-физикам, вне
зависимости от их узкой специализации.
А. Власов

Глава I
ОСНОВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 1. Заряд, напряженности поля Е и Н в вакууме
Приступая к изучению электромагнитных явлений, выделим пре-
прежде всего основные величины, характеризующие эти явления. Такими
величинами являются следующие три категории величин: а) электри-
электрический заряд е и напряженность электрического поля Е, магнитный
заряд га и напряженность магнитного поля Н, б) векторы электриче-
электрической и магнитной индукции D и В, в) векторы электрической и маг-
магнитной поляризации Р и М и вектор плотности тока j.
Дать в физике определение физической величине, свойствам изу-
изучаемого объекта, — это значит установить связь, взаимоотношения
изучаемых свойств, величин с другими свойствами и с другими вели-
величинами. При этом «свойства данной вещи не создаются ее отношением
к другим вещам, а лишь обнаруживаются в таком отношении. . .»
(К.Маркс и Ф.Энгельс, соч., т. 27, с. 66). Установление такой связи
опирается на опыт или на обобщение опытных данных. Определение
физической величины должно включать в себя также анализ экспери-
экспериментальных возможностей ее количественного выявления. Абстракт-
Абстрактное определение тех или иных свойств вне связи с другими свойствами
является метафизическим.
Мы будем считать ясными такие понятия, как наэлектризован-
наэлектризованное или намагниченное тело, подразумевая под этим то состояние
вещества, которое может быть получено известными элементарными
опытами.
При определении величин е, Е; га, Н макроскопическая электроди-
электродинамика опирается на силы, действующие между наэлектризованными
(намагниченными) телами, т. е. определяет эти величины через посред-
посредство статических сил взаимодействия между ними.
Пусть имеется некоторое наэлектризованное тело А и несколько на-
наэлектризованных пробных телец а, 6, с, . . ., в отношениях с которыми
мы изучаем свойства интересующего нас тела и положением которых
мы можем распорядиться, не нарушая заметным образом состояния
электризации изучаемого тела. Опыт показывает, что силы Fa и F&,

8	Гл. I. Основные величины макроскопической электродинамики
действующие со стороны изучаемого неподвижного тела на два в раз-
разной степени наэлектризованных тельца, последовательно помещаемых
в одну и ту же точку пространства, одинаковы по направлению, но
различны по величине, так что
Fa
¦=?- = скаляр.	A-1)
Если те же тельца поместить в другую точку пространства, то получим
силы F^, F^ (т.е. сила F есть функция пространственных координат),
но отношение этих сил останется прежним:
Fa	К	(, 2)
Таким образом, скалярная величина не зависит от координат, а опре-
определяется только свойствами пробных телец.
Соотношениям A.1) и A.2) можно удовлетворить, полагая
Fa = eaE(x, у, z), Fb = eb(x, у, z),	A.3)
где еа и еъ — постоянные, не зависящие от координат, но определяемые
свойствами пробных телец, а Е — векторная функция пространствен-
пространственных координат, не зависящая от свойств пробных телец. В таком
случае имеем:
?ь = ?•	<L4>
Постоянные еа и еь называются зарядами пробных телец. Если одну из
этих постоянных принять за единицу, то тем самым выбирается мера
определения заряда любых других тел.
Соотношения A.3) приводят к определению напряженности элек-
электрического поля
Е=^	A.5)
как силы, действующей на единицу положительного заряда.
Отношение A.4) допускает существование как положительных, так
и отрицательных зарядов, поскольку оно может иметь как положи-
положительный, так и отрицательный знак. Опыт подтверждает такую воз-
возможность: наэлектризованные тела имеют или положительный, или
отрицательный заряд. Положительными зарядами принято называть
те заряды, которые появляются на стекле при натирании его шелком
или фланелью.
Аналогичным образом можно выявить и магнитные характеристи-
характеристики. С помощью магнитных пробных телец (каковым, например, может
служить один из концов намагниченной спицы, настолько длинной,
чтобы можно было пренебречь силою, действующей на другой конец)
мы устанавливаем величину «магнитного заряда» т и напряженности

§ 1. Заряд, напряженности поля Е и Н в вакууме	9
магнитного поля Н, определяемых аналогично электрическому заряду
и электрической напряженности. Основное соотношение здесь будет:
Н=^.	A.6)
т
Вопрос о природе аналогии и разницы между Е и Н, е и т не может
быть решен лишь на основе приведенного способа выявления свойств
полей и требует дополнительного анализа.
Сделаем следующие замечания к приведенным характеристикам
электромагнитных явлений.
а)	Сам факт существования величин е, Е; m, H не требует строгой
фиксации какого-либо вполне определенного закона взаимодействия
между заряженными частицами, так как при выявлении этих величин
мы не пользовались законом Кулона. Эти величины могут отображать
свойства электромагнитного поля и в случае отступления при извест-
известных условиях закона Кулона от действительного закона взаимодей-
взаимодействия. Значение этого обстоятельства заключается в том, что понятия
заряда, напряженности поля могут иметь место для различных физи-
физических полей, не только электромагнитных. Например, в ядерной фи-
физике имеется понятие «ядерный заряд» — величина, характеризующая
интенсивность взаимодействий уже не электромагнитной природы.
Заметим, что до тех пор, пока не известен закон взаимодействия
между зарядами, соотношения A.4) и A.5) не дают возможности
установить размерность заряда. Заряд в указанных соотношениях есть
величина новой размерности (в сравнении с силой — исходной вели-
величиной в рассмотрении). Однако о численном значении заряда можно
сделать вполне однозначное заключение путем сравнения с величиной
заряда, принятой за единицу.
б)	Поскольку Е и Н суть функции координат и не зависят от
природы пробного тельца, хотя и обнаруживаются с помощью этого
тельца, можно утверждать о существовании электромагнитного поля
как объективной реальности, которая обнаруживается в каждой точке
пространства или электрической напряженностью Е, или магнитной
напряженностью Н, или тем и другим вместе.
Вопрос об инерциальных свойствах заряда остается на данном
этапе изложения открытым, так как выше устанавливались свойства
заряда по отношению только к статическим силам взаимодействия
между покоящимися зарядами.
Очевидно, что в отношении к силам взаимодействия покоящихся
тел электрический заряд и магнитный заряд — величины равноправ-
равноправные, разница между ними выявляется только в отношениях к другим
явлениям.
в)	Введение основных величин, характеризующих электромагнит-
электромагнитные явления, связано с определенными ограничениями. Прежде все-
всего, пробные тельца должны обладать особыми свойствами. Так, они

10	Гл. I. Основные величины макроскопической электродинамики
должны иметь точную локализацию в пространстве координат (и ско-
скоростей), т.е. обладать строго фиксированными значениями координат
и скоростей и, следовательно, не быть подверженными флуктуациям
в положениях и скоростях. В противном случае они потеряют свое
назначение — определение напряженности полей как вполне опре-
определенных векторных функций координат. Пробные тельца должны
обладать также насколько возможно малым зарядом, ибо в противном
случае они будут менять распределение зарядов на исследуемом теле,
и равенство A.2) будет нарушено.
Ясно, что столь сильные ограничения оставляют открытым вопрос
о том, насколько развитые представления о поле могут быть пере-
перенесены в область порядка пространственных размеров элементарных
частиц, где исследование поля с помощью таких пробных телец про-
противоречит самой природе явлений.
Условия, накладываемые на пробные тельца при обнаружении
свойств поля и выраженные в определении основных величин, ха-
характеризуют своеобразную черту электродинамики: электродинамика
формулируется как проблема, по крайней мере, двух тел, из которых
состояние одного (пробного) всегда строго фиксировано.
Однако в какой степени указанные обстоятельства ограничивают
саму теорию или присущи только ее форме, является одним из не
вполне уясненных вопросов электродинамики.
§ 2. Напряженности полей в веществе. Векторы D,
В, Р, М, j
Выше даны были определения напряженности полей Е и Н в ваку-
вакууме. Понятия напряженности поля в веществе должны быть дополни-
дополнительно рассмотрены. Детализация смысла напряженности электриче-
электрического поля в веществе требует дополнительных данных о структуре
диэлектрической среды и о некоторых общих свойствах поля как
результата данных опыта. В электродинамике принимается, что ди-
диэлектрическая среда в каждой пространственной точке состоит из по-
положительных и отрицательных зарядов, точно компенсирующих друг
друга в неполяризованном состоянии среды. При наличии внешнего
поля возникает взаимное смещение зарядов, обусловленное действием
этого поля: диэлектрик поляризуется.
Заряды в диэлектрике, появляющиеся при поляризации, принято
называть «связанными зарядами»; они принадлежат самой диэлектри-
диэлектрической среде. Заряды же, возникающие на телах при их электризации,
называются «свободными зарядами». Обозначим плотность связанных
зарядов через рсв, а напряженность поля, создаваемую связанными
зарядами, через Есв.

§2. Напряженности полей в веществе. Векторы D; B; P; M; j 11
Существует опытный факт, что общая напряженность поля, созда-
создаваемая разными источниками поля, всегда равна сумме напряженно-
напряженности полей, создаваемых каждым источником порознь. Этот опытный
факт носит название принципа аддитивности полей и лежит в основе
электродинамики. На основании этого принципа определим напря-
напряженность поля в веществе как сумму поля, создаваемого внешними
источниками, Ер и поля, создаваемого связанными зарядами поляри-
поляризованного диэлектрика, Есв:
Е = ЕР + ЕСВ.	A.7)
Важно установить экспериментальную возможность определения поля
Е, так как процесс измерения потребует нарушения диэлектрика путем
вырезания полостей для помещения пробного заряда. Измеряемое поле
Еизм = Е + JE,
где JE — искажение поля, обусловленное наличием полости. Опреде-
Определим условия опыта, при которых JE можно сделать как угодно ма-
малым. Это достигается выбором игольчатой г) полости, параллельной
направлению поляризации, так как в этом случае возможное искаже-
искажение поля будет обусловлено только концами игольчатой полости, на
поверхности которых появятся при поляризации заряды, принадлежа-
принадлежащие самой диэлектрической среде. На боковой поверхности игольчатой
полости не будет нормальных составляющих к поверхности полости
смещений связанных зарядов и по этой причине боковая часть поверх-
поверхности не внесет искажений в поле. При достаточно длинной игольчатой
полости влияние связанных зарядов на ее концах может быть сделано
сколь угодно малым (т.е. EЕ —>• 0). Поэтому измерения в игольчатой
полости дают нам возможность измерить напряженность электриче-
электрического поля в диэлектрической среде без заметного искажения всего
поля.
Иное имеет место в случае дискообразной полости. Сила, действу-
действующая на единицу положительного заряда, помещенного в дискообраз-
дискообразную полость, перпендикулярную направлению электрического поля
в диэлектрической среде, не будет, очевидно, равна напряженности
электрического поля, поскольку на параллельных плоскостях диска
выступят связанные заряды противоположных знаков, поле которых
остается конечным при уменьшении толщины дискообразной полости.
Обозначим силу, действующую на единицу положительного заряда
в такой дискообразной полости, через D (вектор электрической ин-
индукции). Можно установить, что эта сила является функцией напря-
напряженности электрического поля, причем эта функция в определенных
условиях имеет очень простой вид. В самом деле, воспользовавшись
х) Здесь и далее имеется в виду иглообразной. (Прим. ред.)

12	Гл. I. Основные величины макроскопической электродинамики
разложением
причем D@) = 0, так как при Е = О нет связанных зарядов, выраже-
выражение A.8) можно записать так:
D{E) = eE,
где
г
FD\ I (d2D\
При малых полях Е, можно считать коэффициент е не зависящим от
поля. Для изотропных сред, очевидно,
D = еЕ.	A.9)
Поскольку размерности величин D и Е одинаковы, постоянная е
является безразмерным коэффициентом, характеризующим среду, он
называется коэффициентом диэлектрической проницаемости или про-
просто диэлектрической постоянной.
Совершенно аналогично для силы, действующей на единицу маг-
магнитного заряда в дискообразной полости, вырезанной в веществе, бу-
будем иметь:
В = /iH,	A.10)
где В носит название вектора магнитной индукции, а \± — коэффици-
коэффициента магнитной проницаемости.
Состояние поляризации диэлектрической среды можно характе-
характеризовать некоторым вектором, отнесенным к единице объема. Пусть
рсв — связанный заряд одного знака, приходящийся на единицу объ-
объема диэлектрической среды. Тогда, по определению, электрический
момент, возникающий в элементе объема Ат, равен Ар = рсвАт?,
где ? — вектор смещения связанных зарядов. Относя электрический
момент к единице объема, определим вектор поляризации:
Р= Hm ^.	A.11)
Ат^о At	v y
Полный электрический момент некоторого объема V будет выра-
выражаться через вектор поляризации следующим образом:
р=
V
Аналогично вектор намагничивания М определяется формулой
М= lim ^,	A.12)
Дт->0 Дт '	V	У

§ 2. Напряженности полей в веществе. Векторы D; B; P; M; j 13
где Am — вектор магнитного момента объема Дт.
Установим связъ между двумя типами векторов, характеризующих
состояние среды, а именно между В и М и между D и Р.
Дискообразная полость играет роль плоского конденсатора (рис. 1)
с поверхностной плотностью заряда асв. Тогда поле внутри полости
складывается из поля Е и поля Есв, созданного связанными зарядами.
В плоском конденсаторе
Есв = 4тгасв и, таким обра-	_|
зом,
D = Е + 4тг<тг
A.13)
Убедимся теперь, что числен-	*^
но <7СВ = Р. Для этой цели
рассмотрим поляризацию ци-	*^ 4
линдрического элемента объ-
объема с основанием dS на по-
поверхности дискообразной по-	Рис. 1
лости и с образующей, равной смещению ? связанных зарядов. Элек-
Электрический момент этого объема равен dp = P dr = pCB dr^ а так как
?рсв = сгсв, то dp = P <ir = сгсв б/т и, следовательно,
Р = сгсв.
Таким образом, если учесть направление вектора поляризации, то
связь между вектором электрической индукции и вектором поляриза-
поляризации диэлектрика выразится так:
4ttP,
A.14)
т. е. вектор электрической индукции есть сумма двух физически раз-
разных векторов.
Только использованный выше способ определения D как силы,
действующей на единичный положительный заряд, помещенный в дис-
дискообразную полость, позволил объединить их в один вектор.
Ранее мы выяснили, в какой мере сам факт существования величин
е, m, E, H определяется конкретизацией закона взаимодействия меж-
между зарядами. Поставим аналогичный вопрос о соотношении A.14). При
получении этого соотношения была использована формула для напря-
напряженности электрического поля в плоском конденсаторе Есв = 4тг асв.
Это значит, что принят был закон Кулона для взаимодействия между
зарядами. Выясним, в какой мере изменится соотношение A.14) при
изменении этого закона.
Опираясь только на сам факт зависимости <тсв от Е и считая
возможным разложение функции <тсв в ряд по степеням Е, имеем:

14	Гл. I. Основные величины макроскопической электродинамики
откуда, учитывая, что в отсутствие поля асв = 0, получим при ма-
малых Е
<тсв = аЕ,
где а(х, у, z) — коэффициент пропорциональности, который только
для закона Кулона не зависит от координат и равен 4тг.
Таким образом, в любом случае произвольного закона сил взаимо-
взаимодействия между электрическими зарядами нужно писать
D = Е + асгсв,
а так как связь между <тсв и Р не требовала конкретизации этого
закона (<тсв всегда численно равна Р), то окончательно имеем:
D = E + oP.	A.15)
Аналогично можно установить связь между вектором магнитной
индукции В и вектором намагничивания М:
В = Н + 4тгМ.	A.16)
Плотность тока определяется формулой
r AJ
где AJ — сила тока, проходящего через перпендикулярное ему сече-
сечение AS. В изотропных средах направление тока совпадает с направле-
направлением напряженности электрического поля. Предполагая возможность
разложения функционадьной связи j = j(E) в ряд, имеем:
Учитывая, что в отсутствие поля j@) = 0, и ограничиваясь только
линейным приближением, получаем
j = <тЕ,
где а — коэффициент электропроводности, который должен заим-
заимствоваться из опыта. Принимая во внимание отмеченную выше связь
между направлениями j и Е, окончательно имеем:
j = <тЕ.	A.18)
Это соотношение, имеющее место в каждой точке любой изотропно
проводящей среды, соответствует известному из общего курса физики
выражению связи между током J и разностью потенциалов ср2 — ipi'.
j	У2 -<pi p	1 I
JR

§ 3. Уравнения состояния	15
где а — коэффициент удельной электропроводности. Такая связь,
однако, справедлива только для однородных проводников цилиндри-
цилиндрической формы. Но в неоднородном проводнике произвольной формы
мы можем выделить бесконечно малый цилиндрик и написать
или
Если учтем, что в изотропных средах векторы j и Е совпадают по
направлению, то
j = <rE.
Таким образом, действительно, соотношение, связывающее j и Е,
полученное с помощью разложения в ряд A.17), соответствует закону
Ома, известному из курса общей физики.
Полученное соотношение A.18) представляет собой связь между
током и полем, которая имеет место в каждой точке проводящей
среды. Поэтому это соотношение часто называют дифференциальной
формой связи между током и электрическим полем, справедливой
и для неоднородной среды и для переменного во времени поля.
§ 3. Уравнения состояния
Назовем соотношения, в которые входят постоянные, характеризу-
характеризующие свойства сред, уравнениями состояния сред. Такими уравнени-
уравнениями являются следующие три уравнения:
D = еЕ, В = /iH, j = crE.	A.19)
Разложения в ряд A.8) и A.17), приведшие к установлению этих
уравнений, не накладывают каких-либо ограничений на поля и ха-
характеристики сред в смысле зависимости их от координат и времени.
В общем случае характеристики сред могут быть функциями коорди-
координат и времени:
е = е(х, у, z, t), II = /х(ж, у, z, t), a = а(х, у, z, t).
Первые два уравнения для сред могут быть выражены через вектор
поляризации Р и вектор намагничивания М: D = Е + 4тгР, В = Н +
+ 4тгМ, с другой стороны, D = еЕ, В = /iH. Следовательно,
P = ^f^E, M = ^f^H.	A.20)
Поставим вопрос: как, ограничиваясь линейным приближением ис-
исходных уравнений для сред, учесть анизотропию в диэлектрических,

16	Гл. I. Основные величины макроскопической электродинамики
магнитных свойствах или в свойствах электропроводности? Услож-
Усложнение, очевидно, в случае анизотропии заключается в следующем.
Например, в изотропном случае Dx есть функция только Ех:
Dx = DX(EX).
Для анизотропной же среды этого уже не будет:
Dx = DX(EX, Ею Ez).
Разлагая в ряд по степеням Ех, Еу, Ez и ограничиваясь линейными
членами, получим
аналогично
+ ?32ЕУ + e33Ez.
Таким образом, вместо диэлектрической постоянной е, т.е. одного
скаляра, анизотропная диэлектрическая среда характеризуется вели-
величинами, составляющими трехрядную матрицу
?п ?12 ?13
?21 ^22 ^23
?31 ?32 ?зз
Совершенно аналогичным образом обобщаются на анизотропный слу-
случай остальные два уравнения состояния.
Важно отметить, что значение величин ?^, \iik-, &ik зависит от
ориентации осей координатной системы относительно так называемых
кристаллографических осей решетки твердого тела — диэлектрика,
магнетика, металла, — обладающего анизотропными свойствами.
Как показывает опыт, электрические токи в проводящей среде
могут быть вызваны не только электрическим полем, но и други-
другими причинами. Например, в случае разности концентраций зарядов
возникают токи диффузионного происхождения, в случае разности
температуры — токи термического происхождения. В этих или по-
подобных случаях причина, вызывающая ток, может быть отображена
дополнительным полем «сторонних» сил ЕСТор, вообще говоря, неэлек-
неэлектрического происхождения. Разлагая в ряд функциональную связь
j = f(E-\- ECTOp), получаем обобщенный закон Ома:
j = <r(E + ECTOp),	A.21)
справедливый и для тех точек проводящей среды, в которых действу-
действуют сторонние силы. Например, при наличии разности концентраций р
или температур Т имеем:
. ^стор = _b gmd т

§ 3. Уравнения состояния
17
где D — коэффициент диффузии, b — термический коэффициент.
Сделаем следующие замечания к уравнениям состояния:
а)	В уравнениях A.19) среда и вакуум представляют собой одну
и ту же физическую субстанцию, поскольку эти среды отличаются
лишь численным значением основных констант (для вакуума ? = 1,
\i = 1, а = 0). Вопрос о соотношении свойств среды и вакуума —
центральный и принципиальный вопрос электродинамики. Как мы
увидим далее, на разных этапах развития электродинамики этот во-
вопрос решался различно. Вакуум как пространственное вместилище,
полностью оторванное от материи, неприемлем с позиций диалектиче-
диалектического материализма, согласно которому пространство и время являют-
являются формами существования материи и «без материи суть ничто, пустые
представления, абстракции, существующие только в нашей голове».
(Энгельс Ф. Диалектика природы. — Госполитиздат, 1950. С. 187.)
б)	Может показаться, что уравнения состояния A.19) получены
только при одном предположении о линейности связи между вели-
величинами, характеризующими среду, (D, В, j), с напряженностями поля
(Е и Н), так как при их получе-
получении использовалось только разло-
разложение в ряд Тейлора по величине
напряженности поля. Такое заклю-
заключение является, однако, неправиль-
неправильным. В самом деле, сам факт пред-
предположения о функциональной зави-
зависимости, например вида j = f(E),
является ограничением, так как тем
самым предполагается, что плот-
плотность тока зависит от поля в той же
точке пространства. Этим предполо- /у
жением, вообще говоря незаконным,	рис 2
исключаются, например, зависимости плотности тока от значения на-
напряженности в сколь угодно близких точках пространства. Матема-
Математически такие зависимости определяются не функциями, а функци-
функционалами. В случае «изотропных» зависимостей связь между j и Е
в разных точках пространства будет определяться только расстоянием
между этими точками. Если в элементе объема drf = dxf dyf dz' на-
напряженность поля равна Е(г'), то это значение обусловливает в точке
г плотность тока <ij(r) = K(\r — r/|)E(r/) drf (рис.2), где коэффициент
пропорциональности К(\г—г'|) определяет интенсивность связи между
j и Е в разных точках пространства. Полное значение плотности j
в точке г определяется полным вкладом от полей во всех других
точках. Таким образом, имеем:
= J
= JA-(|r-r'|)E(r')dr'
A.22)

18	Гл. I. Основные величины макроскопической электродинамики
Связь такого типа носит название линейного функционала.
В частном случае, когда напряженность поля не зависит от коор-
координат, имеем:
V
Для всех точек, достаточно удаленных от границ по сравнению
с радиусом сферы действия функции К(\т — г'|), можно при интегри-
интегрировании по точкам г' положить V —» оо, так как вклад от интегри-
интегрирования по области, большей указанной сферы действия, будет мал.
Поэтому
оо
I* К(\т - r'|) dr' = 4тг f K(R)R2 dR
V-Юо	О
и, следовательно,
оо
j = Е-4тг f K(R)R2dR,
о
что совпадает с законом Ома, если положить
<т = 4тг f K(R)R2dR.
о
При дополнительных предположениях линейный функционал
может быть заменен соотношением между величинами в одной точке,
содержащим, однако, производные сколь угодно высокого порядка.
Вводя новую переменную интегрирования R, = г — г7, можно написать
?7(г') = Е{т - R) = ?7(г) - J> - х'{)-?- Е(г) +
(хг -х, х2= у, х3 - z);
после подстановки в A.22) и интегрирования получим
(* К(\г - т'\)Е(г')с1т' = аЕ + а2АЕ + а4А2Е + ...	A.23)
д2 | д2 | д2
дх2 ду2 dz'

§ 3. Уравнения состояния	19
где
а = К(\г — rf\) dr', G2 =
Отсюда заключаем, что замена функциональных связей алгебраи-
алгебраическими является оправданной только в случае полей, не особенно
быстро изменяющихся в пространстве, когда высшими производными
по координатам можно пренебречь. Такое ограничение соответствует
предположению, что поле мало меняется на протяжении характерной
длины го, определяющей «сферу действия» функциональных связей:
- K(s)s2ds
г20АЕ
Г
(То
K(s)ds
о
Вид ядер К(\г — г'\) в феноменологической теории должен быть за-
заимствован из опыта. В микроскопической электродинамике эти ядра,
как и значения постоянных сг, /i, e, должны определяться из динамики
микрочастиц. Ограничиваясь только двумя членами в разложении
A.23), получаем
'	A.227)
в) Особо следует оговорить обобщение уравнений состояния на
случай полей, переменных во времени. Поскольку классические урав-
уравнения состояния не учитывают наиболее общих свойств инерционности
всех величин, связанных с электрическим и магнитным состоянием
сред (если исчезает Е или Н, то по уравнениям состояния мгновенно
исчезают Р, j, M), то макроскопические уравнения состояния могут
претендовать на правомерность только в случае не очень быстро
изменяющихся полей, когда роль инерционных свойств не является
существенной. Положение здесь вполне аналогично предыдущему слу-
случаю. Введение функциональных связей позволяет ввести «трение»,
«инерцию» и другие эффекты.
Если, например, необходимо учесть эффекты трения при электри-
электризации или намагничивании, вводят так называемые гистерезисные свя-
связи между величинами. Поскольку необратимые явления существенно
отделяют прошлое от будущего, полагают
D(t)= K(t-T)E(r)dT,	A.24)

20	Гл. I. Основные величины макроскопической электродинамики
тем самым причинно связывая D в момент времени t с Е во все преды-
предыдущие моменты времени; ядро K{t — r) определяет интенсивность этой
связи.
Вводя новую переменную интегрирования t—r = s и ограничиваясь
случаем дифференцируемого векторного поля Е, имеем:
t	оо
f K(t-r)E(r)dr= I* K(s)E(t-s)ds =
^	n=0	n=0	^
Функциональную связь A-24) можем записать теперь так:
п=0	' {
Соотношение A.25) содержит как четные, так и нечетные производные
по времени и поэтому явно представляет необратимую связь между
D и Е в наиболее общей форме. Это указывает на ограниченность
классических уравнений для сред, а именно на тот случай, в котором
характеристики сред (е, /i, а) являются недостаточными.
§ 4. Силовые линии в криволинейных координатах
Векторные поля могут быть охарактеризованы семейством линий,
которые в каждой точке касаются вектора, характеризующего поле
(Е, Н, D, В и т.д.). Такие линии носят название векторных или
силовых линий. Найдем дифференциальные уравнения силовых ли-
линий в произвольной криволинейной ортогональной системе координат.
Пусть ei, е2, ез — единичные векторы, определяющие направление
криволинейных координат, вообще говоря, разные для разных точек
поля (<7ь #2, <7з)- Криволинейные координаты, координатные линии
которых в каждой точке поля взаимно перпендикулярны: (е^е^) = 0,
при г ф к называются ортогональными.
Квадрат бесконечно малого расстояния между двумя точками в ор-
ортогональных координатах выражается квадратичной формой:
dl2 = Н2 dq\ + Н2 dq\ + Н2 dql	A.26)
где Hi(qi, g2, <7з) — метрические коэффициенты, определяющие кон-
конкретный вид ортогональных криволинейных координат.

§ 4. Силовые линии в криволинейных координатах	21
Рассмотрим, например, приращение радиуса-вектора r(gi, q2, q%)\
dr = —- dq1 + —- dG2 + ^— d<73-
а<71	ag2	<?<7з
Составим производную ——. Поскольку при дифференцировании по q\
oqi
координаты q2 и g3 считаются постоянными, вектор перемещения
—— dq\ направлен вдоль координатной линии q\ и, следовательно,
oqi
дг
где Hi(qi, q2, ^з) — длина вектора ——. Таким образом, имеем:
oqi
dr = Hi dqiei + H2 dq2e2 + Я3 dqse3.
Возводя в квадрат и учитывая условие ортогональности (е^е/,) = О
(г ф к) и нормировки (e^e/g) = 1 (г = /с), получим для квадрата длины
выражение A.26). Итак, величина бесконечно малого перемещения
вдоль криволинейной координаты qi равна
dl1 = H1dq1;	A.27)
аналогично
dl2 = H2 dq2, 6//3 = Я3 dq%.
Для прямоугольных координат q± = x, q2 = у, q% = z элементарные
перемещения вдоль координатных осей равны dx, dy, dz, следователь-
следовательно, Hi = Н2 = #3 = 1.
Для цилиндрических координат р, (р, z имеем:
dli = dp, dl2 = pd(p, dls = dz\ Hp = 1, H^ = p, Hz = 1
и
Для сферических координат г, #, 99 имеем: dli = dr, d/2 = rdO,
dl3 = r sin в dip и поэтому
Яг = 1, He = г, Нр = г sin 0;
отсюда
d/2 = dr2 + r2 d(92 + r2 sin2 в dtp2.
Рассмотрим вектор
а =
Этот вектор направлен так же, как вектор dr, если отношение их
проекций постоянно; таким образом, дифференциальные уравнения

22	Гл. I. Основные величины макроскопической электродинамики
силовых линий в произвольной системе криволинейных ортогональ-
ортогональных координат должны иметь вид
Hi dqx _ Н2 dq2 _ Я3 dq3	,.. ~о\
а\	п2	аз
Например, уравнения для силовых линий в прямоугольной и цилин-
цилиндрической системах координат имеют вид
dx	dy	dz
Ex(x,y,z) Ey(x,y,z) Ez(x,y,z)'
dp	_ pd(p _	dz
Ep(p, <p, z) ~ E(p(p, <p, z) ~ Ez(p, <p, z)'
A.29)
A.30)
Задачи
1.	В какой мере основные величины электродинамики e,m,E,H,D,B,j,
Р, М и соотношения D = Е + 4тгР, В = Н + 4тгМ связаны с конкретизацией
закона электрических (магнитных) взаимодействий?
2.	В определении каких величин электродинамики использован принцип
аддитивности электрических (магнитных) взаимодействий?
3.	Какие физические ограничения имеют в виду, предполагая функцио-
функциональную связь между D и Е, В и Н, j и Е?

Глава II
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ КАК ОБОБЩЕНИЕ
ОПЫТНЫХ ФАКТОВ
§ 1. Закон взаимодействия между точечными
зарядами и его обобщение
Одним из фундаментальных опытных законов, лежащих в основе
современной электродинамики, является закон взаимодействия между
зарядами (закон Кулона). Этот закон формулируется для предельного
случая точечных зарядов, под которыми понимают заряженные тела
с линейными размерами, весьма малыми в сравнении с расстоянием
между телами. В атомной физике на основании опытов по рассеянию
а-частиц на атомных ядрах установлена справедливость этого закона
вплоть до расстояний порядка 10~12 -т- 10~13 см.
Математически этот закон записывается следующим образом:
F» = "-Ч-	B-1)
Найдем обобщенную форму этого закона, справедливую для простран-
пространственно протяженных (объемных) зарядов, для неоднородной среды с
е = е(ж, у, z) и для переменного поля. Этого мы можем достигнуть,
переходя от закона, выраженного в конечных разностях, к дифферен-
дифференциальной форме закона.
Заметим, что к исходному опытному факту относится не только
соотношение B.1), или в векторной форме
D = 4r, E=5 = ^r,	B.2)
г	? ег
но и так называемый принцип аддитивности полей: в случае несколь-
нескольких зарядов
т.е. закон B.1) справедлив вне зависимости от наличия или отсут-
отсутствия других зарядов в пространстве. Для поставленной цели важно
выразить опытный закон в интегральной форме, позволяющей осуще-
осуществить в последующем переход к дифференциальной форме закона.
По определению, под потоком вектора электрической индукции через

24
Гл. П. Основные уравнения электродинамики
произвольным образом ориентированную площадку ds (рис. 3) будем
понимать выражение
dN = D ds = Dds cos(D ds),
B.4)
т. е. скалярное произведение векторов D и ds *).
Проекцию вектора нормали площадки на на-
¦D	правление вектора D обозначим через ds' =
ds = ds cos(D ds). Поскольку величина D известна
на основании B.2),
dN = 4'
г
B.5)
\ ;	где dft — элемент телесного угла, под которым
1, /	видна площадка из точки, где находится точеч-
\ I	ный заряд.
\ I	Если интересуются потоком через замкнутую
\ I	поверхность, то нуж:но различать два случая:
\ I	а) точечный заряд находится вне замкну-
\1	той поверхности и б) точечный заряд находит-
_^е	ся внутри поверхности. Случай, когда точеч-
рис з	ный заряд находится на поверхности, приводит
к неопределенности выражения для потока, по-
поскольку на поверхности индукция принимает бесконечное значение.
В первом случае, как видно из рис. 5, Л —>- 0 при стягивании всей
поверхности к замкнутой, для второго случая
Таким образом, для потока вектора индукции через замкнутую
поверхность имеем:
О,	если заряд находится вне замкнутой поверхности,
4тге, если заряд внутри замкнутой поверхности.
На основании принципа аддитивности полей это соотношение должно
иметь место независимо от того, присутствуют ли в пространстве
другие заряды. Поэтому в случае нескольких заряженных точечных
х) Установление положительного направления нормали к элементарной
площадке ds производится в связи с направлением обхода по контуру,
ограничивающему эту площадку. Связка этих двух направлений считается
положительной (см. рис.4), если она соответствует известному правилу бу-
буравчика, и называется правовинтовой связкой или правовинтовой системой
координат, которая принята в этой книге.

§ 1. Закон взаимодействия между точечными зарядами	25
частиц мы можем написать для каждой частицы:
Далее,
Но на основании того же принципа
и, следовательно,
N —
s
B.6)
где Y1 ег представляет всю сумму зарядов, находящихся внутри по-
i
верхности S.
Ids
Рис. 4
Рис. 5
Теперь можно перейти от точечных зарядов, с которыми мы опе-
оперировали в качестве исходного опытного факта, к пространственно
протяженному распределению с некоторой плотностью р = р(х, у, z)
Ve; -> \ pdr.
Для этой цели вместо заряженных точек введем малые объемы Аг^
с зарядом в каждом объеме Ае^ = рАт^. В результате для полного
заряда в некотором объеме V получаем: J^pAr^. Заменяя в пределе

26	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
суммирование интегрированием, имеем:
cj)Dds = 47rcj)/?dT.	B.7)
S	V
Если теперь наложить условие дифференцируемости на векторную
функцию D внутри объема V, то можно от интегральной формы B.7)
перейти к дифференциальной, воспользовавшись теоремой Остроград-
Остроградского о преобразовании поверхностного интеграла в объемный для
произвольной дифференцируемой векторной функции D:
)Dds= fdivDdr,	B.8)
s	v
где
A Dds
divD = lim —	=	 -\	 -\	-.
С помощью B.8) соотношение B.7) можем переписать так:
г
div D dr = 4тг р dr.
v	v
Поскольку равенство имеет место для произвольных пределов инте-
интегрирования (объема V), то
divD = 47rp.	B.9)
Это уравнение представляет собой одно из основных уравнений элек-
электродинамики.
В качестве примера вычислим div а в произвольной ортогональной кри-
криволинейной системе координат. Имеем (см. гл. I, § 4)
dli = Hidqi,	B.9')
где Hi(qi, #2, <7з) — метрические коэффициенты, определяющие конкретный
вид криволинейных ортогональных координат. Площади граней бесконечно
малого параллелепипеда будут
ds\ = Н2Н3 dq2 dqs, ds2 = H3H1 dqs dqi, dss = H2H1 dq2 dqi,
а объем его равен
dV = H1H2H3 dqi dq2 dqs-
Подсчитывая суммарный поток через боковые грани, найдем:
J	t dqx	dq2	dqs )
опуская высшие члены разложения, откуда
diva= J-Lds= l	l
At]	Я1Я2Я3 \ dqi	dq2	dq3 J

§ 1. Закон взаимодействия между точечными зарядами	27
Для цилиндрических координат ребрами бесконечно малого криволинейного
параллелепипеда являются
dli = dp, dli = pd(f, dls = dz.
Сравнение с формулами B.9/) показывает, что
Нр = 1, Н(р = р, Hz = 1.
Для сферических координат
dh = dr, dh = г d6, dls = r sin в dip
и, следовательно,
Hr = 1, Нв = г, Н,р = г sin0.
Таким образом, выражения diva в цилиндрических и сферических коорди-
координатах имеют вид
div а = I
dp
d(r2ar)
р dp	p дер dz
1 d(r2ar)	I d(smOae)
rs'mO 00	rsin9 dep '
Сделаем несколько замечаний относительно уравнения B.9). Пре-
Прежде всего заметим, что дифференциальная форма закона Кулона,
выраженная уравнением divD = 4тгр, отличается от интегральной
г
формы cpDds = ^4тгвг тем, что последняя остается справедливой
J	г
и в том случае, когда закон Кулона в исходной форме D = -^ г
г
видоизменен вблизи г = 0, в то время как первая форма требует его
действительности всюду, в том числе на сколь угодно малых расстоя-
расстояниях. Полагая для указанной цели D = —^ /(г), где функция f(r) = 1
г
при г > Аи произвольна при г < Л (Л — характерная длина, отра-
отражающая линейную протяженность области, в которой закон Кулона
видоизменяется), находим
D ds = 4 f(r) ds = ef(r) <m,
r
D ds = e cj) f(r) du = e i du = 4тге,
откуда
s
если поверхность s расположена всеми своими точками на расстояниях
от зарядов, больших величины Л. В то же время равенство
divDdr =
v
= 4тг pdi
справедливо только в случае осуществления закона Кулона всюду.
Мы получили уравнение B.9), основываясь на выражении Е =
= —25 гДе было предположено, что е = const. В итоге мы получили
ег

28	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
математическую форму связи между D и р B.9), которая не теряет
смысла и в том случае, когда среда неоднородна, т.е. е = е(х, у, z).
Это дает основание для предположения, что найденная связь между
D и р имеет место и для неоднородных сред. В этом предположении
заключено обобщение непосредственных исходных данных опыта.
Далее, вывод B.9) основывался на экспериментальном факте о вза-
взаимодействии зарядов для статического случая. Формально уравнение
B.9) удовлетворяется и при р и D, явно зависящих от времени. По-
Поскольку же не имеется никаких особых указаний против применимости
этого уравнения в случае изменяющихся во времени полей, примем,
что это уравнение пригодно и в общем случае, когда поля и заряды
зависят от времени.
Правильность сделанных обобщений должна проверяться практи-
практическими следствиями, на основе вытекающих из теории результатов.
Можно думать, что переход от точечных зарядов к объемным
является только математической процедурой, не вводящей каких-либо
физических гипотез. Однако это не так. Переход к непрерывности
может быть оправдан, если каждый из точечных зарядов заменяется
пространственно протяженным «облачком» с непрерывной простран-
пространственной плотностью заряда р(ж, у, z). Такая замена, однако, предпо-
предполагает, что внутри каждого «облачка» силовая связь между зарядами
та же, что и между отдельными «облачками», в то время как исходный
опытный факт (закон Кулона) основывался на взаимодействии между
отдельными зарядами, которые заменялись их математическими точ-
точками без каких-либо предположений о структуре самих зарядов.
Указанное предположение о сохранении закона Кулона и внутри
областей, заменяющих точечные заряды, было использовано при вы-
выводе соотношения B.9), так как требовалось, чтобы равенство
Г	Г
div D dr = 4тг pdr
имело место для любых (в том числе сколько угодно малых) объе-
объемов V. Таким образом, переход от точечных зарядов к пространствен-
пространственно протяженным связан с весьма радикальной физической гипотезой
о сохранении прежней связи зарядов с полем на сколь угодно малых
интервалах.
Эта гипотеза приводит к тому, что каждое пространственно про-
протяженное «облако», заменяющее точечный заряд, приобретает соб-
собственную потенциальную энергию, обусловленную взаимодействием
отдельных элементов заряда между собой. С уменьшением размеров
«облачка» собственная энергия вследствие сближения зарядов растет
и делает невозможным непрерывный обратный переход от протяжен-
протяженных зарядов к точечным. Точечные заряды имеют только силовую
связь между собой (и следовательно, энергию взаимодействия); только

§ 1. Закон взаимодействия между точечными зарядами	29
из этой силовой связи мы исходим как из фундаментального опытного
факта. Поскольку экспериментально известно, что закон Кулона яв-
является неверным на расстояниях порядка 10~12 -=-10~13 см, то отсюда
следует, что использованная гипотеза, приводящая к установлению со-
соотношения B.9), также является неверной. Возникает вопрос, в какой
мере соотношение divD = 4тгр чувствительно к изменению закона
Кулона на малых пространственных интервалах? Этот вопрос мы
рассмотрим в § 5.
Важно заметить, что рассмотренная физическая гипотеза, связан-
связанная с переходом от точечных зарядов к непрерывно протяженным,
не является единственной. Переход к непрерывности может быть осу-
осуществлен с помощью введения гипотезы о статистическом характере
распределения зарядов.
Если /(ж, у, z, vx, vy, vz, i) обозначает функцию распределения,
определяющую вероятное число частиц в элементе фазового объема
dx dy dz dvx dvy dvz = dr dv:
dn = /(r, v, t) dr dv,
то вероятная плотность заряда будет
г
р(х, у, z,t) = e I /(r, v, t)dv,
(оо)
где е — заряд каждой частицы. В этом случае дифференциальную
связь заряда с полем получим в форме
divE = 47re /(r, v, t) dv.
(оо)
Это уравнение имеет уже другой физический смысл. Оно не вводит
каких-либо предположений о внутренней структуре заряженных ча-
частиц и придает уравнению divE = 4тгр статистический характер.
В заключение отметим, что закон Кулона дает возможность устано-
установить единицы измерения для всех электрических и для всех магнитных
величин в электродинамике.
Именно: исходя из соотношений
_ ье1е2 р _ Lm1m2
Г е — II 25 гm — гь	2'
er	/j,r
где коэффициенты h и к зависят от выбора единиц измерения е и m
и, обратно, полагая, что, во-первых, h = к = 1, во-вторых, е и \± —
безразмерные коэффициенты, мы можем определить единицы измере-
измерения е и m по известным единицам измерения г и F. Такая система
единиц носит название абсолютной или гауссовой системы измерения

30	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
электромагнитных величин. Размерности обеих величин е и т будут
Единицы измерения напряженностей Е и Н получаются как следствие
из формул
F	F
Е=-, # = -;
е	т
Такую же размерность имеют D и В, поскольку D = еЕ, В = /iH, a e
и \i — безразмерные коэффициенты.
§ 2. Обобщение опытного закона электромагнитной
индукции
Опытный закон электромагнитной индукции (Фарадея) является
вторым из фундаментальных законов, лежащих в основе электродина-
электродинамики. Как известно, опыт дает, что в замкнутом проводнике индуциру-
индуцируется электрический ток, когда изменяется поток магнитной индукции,
проходящий через поверхность, ограниченную кон-
		туром проводника (рис.6). Количественные соотно-
шения в этом явлении таковы:
--, «-jJde,	B.10)
S
где (9 — электродвижущая сила индукции, J — сила
Рис- "	индуцируемого тока, R — сопротивление провод-
проводника, с — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора
единиц измерения величин, фигурирующих в формуле B.10).
Оказалось, что направление индукционного тока так связано с на-
направлением возрастания потока индукции Ф, что составляет с этим
направлением левовинтовую систему (см. рис.6). Поэтому, если поль-
пользоваться правовинтовой системой, надо ввести знак «минус», учиты-
учитывающий направление индуцируемого тока:
JR=-A\Bda-	BЛ1)
S
Как подчеркивалось ранее, закон Кулона для электрических и маг-
магнитных зарядов дает возможность установить единицы измерения для
электрических и магнитных величин. Размерности силы тока и плот-
плотности тока в абсолютной (гауссовой) системе единиц следующие:
2; [j} =

§ 2. Обобщение опытного закона электромагнитной индукции	31
Размерность коэффициента электропроводности а определяется из
формулы j = <jE, откуда [а] = Т. Размерность сопротивления
[R] = — — = L~XT. Для потока магнитной индукции [Ф] = [BS] =
1о~ о J
Таким образом, электрические и магнитные величины в формуле
B.11) имеют определенные единицы измерения и, следовательно, ко-
коэффициент пропорциональности с не может быть произвольным. Под-
Подставляя размерности величин в правую и левую части, легко находим
размерность этого коэффициента: [с] = LT~l, совпадающую с размер-
размерностью скорости. Численное значение коэффициента с, полученное из
опытов по электромагнитной индукции, оказалось равным 3-Ю10 см/с.
Придадим формуле B.11) другой вид, выразив силу индуцируемого
тока (следствие явления) через первопричину — напряжение электри-
электрического поля, только при наличии которого согласно закону
и может возникнуть ток в однородном проводнике.
Для элемента длины контура dl
HR г dl
dR=*AS>
где AS — площадь сечения проводника. Тогда
J = jAS = crEAS.
Следовательно,
S*	ТВ i ТЛП i Т dl
g = JR = (bJ dR = (bJ
Таким образом, электродвижущая сила JR выражается посредством
контурного интеграла (циркуляции) от напряженности электрического
поля вдоль всего контура проводника. Экспериментальный результат
B.10) можно поэтому сформулировать так:
с dt
L	S
Считая контур и поверхность s неподвижными и вводя поэтому про-
производную под знак интеграла, получим
Е<Л= —
Поскольку интегральное соотношение B.12) уже не содержит в себе
ограничивающую специфичность — характеристик проводника, оно

32	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
сохраняет свою силу для произвольного контура, находящегося в про-
произвольной среде, включая и вакуум. Очевидно, такое понимание B.12)
есть обобщение самого экспериментального факта, так как историче-
исторически индукция токов была открыта по измерению самих токов, а не
электрической напряженности поля.
Переход к дифференциальной форме осуществляется с помощью
математической теоремы Стокса, гласящей, что для произвольной
дифференцируемой векторной функции Е имеет место равенство
Edl= rot Eds.
-J
Проекция rot E на нормаль к поверхности ds определяется формулой
Eds
rotr,E= lim ^~
as^o AS
в декартовой системе координат
i j k
rotE= A A A
ox oy oz
Ex Ey Ez
Применяя теорему Стокса к соотношению B.12), имеем:
|rotErfs = -IJ dt
S	S
а поскольку равенство имеет место для любых пределов интегрирова-
интегрирования, то
rotE = -If.	B.13)
Таким образом, закон электромагнитной индукции представлен
в дифференциальной форме. Он показывает, что вихревое электриче-
электрическое поле всегда связано с изменением во времени вектора магнитной
индукции.
В качестве примера вычислим проекции rot а в произвольных ортого-
ортогональных криволинейных координатах </i, ^2, <7з- Определим проекцию rota
на координатную линию q\; для этого рассмотрим циркуляцию по бесконеч-
бесконечно малому криволинейному прямоугольнику, ортогональному к q\. Участок
циркуляции по ребру, параллельному #2, дает в точке с координатой qs:
adl =

§ 2. Обобщение опытного закона электромагнитной индукции	33
в точке дз + dqs
аналогично выясняются циркуляции на участках криволинейного прямо-
прямоугольника параллельно оси q^\
I dq2	dqs )
Деля это выражение на площадь бесконечно малого прямоугольника (см.
задачу на с. 26) со сторонами dq<i dqs, т. е. на
ds = Я2Я3 dq2 dqs,
получаем
H2HS У dq2	dqs J
и аналогично
Можно заметить, что компоненты rot а представляют собой разложение
детерминанта:
tfii tf2j Я3к
1
rota =
#1#2#3
H2CL2
В цилиндрических координатах Н± = 1, Н2 = р, Нз = 1, так как ребрами
бесконечно малого параллелепипеда являются dq\ = dp, dq2 = pd(f, dqs =
= dz и поэтому проекции rota в цилиндрических координатах запишутся
так:
1 daz dam	dap daz
rotp a =	—,	rotco a = —	,
p dcp dz	*	dz dp
1 d(pa,n) 1 dao
rot. a = -
p dp	p dp
В сферических координатах dl2 = dr2 + r2 d62 + r2 sin2 ^ rf(/?2 и, следова-
следовательно, Hi = 1, H2 = г, //з = rsin#. Проекциями rota в сферических
координатах будут:
1 d(a<n sin в)	1 dag	1 даг 1 dira^)
rotra=	^ 'rot0 a =	V^
rsin#	dO	rsmO dtp	rsinO dtp r dr
1 d(rae) 1 dar
r dr	r d6
Формулы для проекций вихря в криволинейных ортогональных систе-
системах координат можно использовать для соответствующей записи второго
уравнения электродинамики B.13) в этих проекциях.
При получении B.13) были сделаны следующие обобщения:
а) предположено, что B.13) имеет место для произвольной точки
поля, не обязательно связанной с проводником;
2 Власов А. А.

34	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
б) предположено, что соотношение B.12) имеет место для произ-
произвольной магнитной среды (как неоднородной с /i = //(ж, у, z), так
и ферромагнитной). Лишь дополнительные экспериментальные факты
могут внести ограничения или изменения в соотношение B.13), так как
по своей структуре оно имеет смысл и для перечисленных случаев.
Может возникнуть вопрос о существовании прямой или какой-либо
косвенной связи между двумя законами:
1 <9В
rotE =	-—, divD = 47rp.
с dt
Поскольку при их получении были использованы независимые экс-
экспериментальные факты, пока нет каких-либо даже косвенных ука-
указаний на существование связи между ними. Поэтому закон Кулона
может быть применен без автоматического изменения закона электро-
электромагнитной индукции.
§ 3. Обобщение опытных данных о магнитном поле
Из общего курса физики известно, что прямолинейный ток создает
магнитное поле, величина напряженности которого зависит от рассто-
расстояния R от прямолинейного тока:
Я = М'	BЛ4)
а направление определяется правилом буравчика. Этот простейший за-
закон положим в качестве первого опытного факта о причинах создания
магнитного поля. В формуле B.14) Н и J измерены в абсолютной си-
системе единиц; стало быть, абсолютная единица напряженности (гаусс)
в два раза меньше напряженности поля на расстоянии, равном 1 см от
прямолинейного тока силы J = с. Численное значение постоянной с,
как показывает опыт, совпадает со значением коэффициента с в законе
электромагнитной индукции и равно 3 • 1010 см/с.
Так же, как и прежде, попытаемся представить этот закон в такой
форме, которая не содержала бы ограничивающую особенность исход-
исходного опытного положения. Для этой цели умножим правую и левую
части соотношения B.14) на 2ttR:
2ttRH = —J.
с
Учитывая, что вектор напряженности магнитного поля направлен по
касательным к окружности, получим
dl = —J,	B.15)

§ 3. Обобщение опытных данных о магнитном поле
35
где циркуляция магнитной напряженности берется по кругу, охваты-
охватывающему прямолинейный ток. Хотя соотношение B.15) есть иная за-
запись соотношения B.14), однако в этой записи нет «прямолинейности»
контура и нет ограничений на форму траектории, по которой берется
циркуляция. Это дает некоторое основание для обобщения соотноше-
соотношения B.15) на случай произвольных контуров, охватывающих один или
несколько токов, с суммарной силой J и произвольной диэлектриче-
диэлектрической или магнитной среды, заполняющей пространство между токами.
В таком понимании фундаментальность соотношения B.15) для
электродинамики становится очевидной.
Другой опытный факт, указывающий на иную причину создания
магнитного поля, помимо токов проводимости, установлен Максвел-
Максвеллом. В современной экспериментальной физике его нетрудно реали-
реализовать в наиболее простом случае. Представим себе электрическую
цепь с конденсатором. При на-
наличии в начальный момент
времени зарядов на пластин-
пластинках конденсатора в такой цепи
появляется электрический ток
вследствие разрядки конденса-
конденсатора (рис.7). Опыт показыва-
показывает, что разрыв электрического
тока проводимости вследствие
разомкнутости цепи не сопровождается, однако, разрывом магнитного
поля. Дело происходит так, как если бы магнитное поле продолжало
создаваться и внутри конденсатора некоторым током, природа кото-
которого уже не может быть связана с током проводимости, поскольку
такового нет внутри конденсатора.
По указанной причине необходимо обобщение самого понятия плот-
плотности тока как причины создания магнитного поля. Может быть
поставлен опыт, количественно конкретизирующий величину цирку-
циркуляции магнитного поля по контуру, охватывающему силовые линии
электрического поля внутри конденсатора. Как показывает подобный
опыт, циркуляция магнитного поля здесь связана с быстротой измене-
изменения потока электрической индукции через поверхность, охватываемую
контуром, т. е.
Рис.7
Udl= -±-
с at
B.16)
Соотношению B.16) можно придать форму, вполне аналогичную
B.15). Ввиду неподвижности контура L и поверхности S внесем
производную под знак интеграла; тогда справа мы будем иметь поток

36	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
вектора jCM:
=^- fjCMds,	B.17)
s
. _ 1 ш
Jcm — ~j 7ГГ •
Если записать соотношение B.15) для объемных токов ( J = j ds
s
так:
Hdl=— jCMds,	B.18)
с
то сравнение B.17) и B.18) показывает, что помимо токов проводимо-
проводимости с плотностью j магнитное поле (циркуляция вектора напряженно-
напряженности Н) создается также «током смещения» по точно такому же закону.
Объединяя оба исходных факта о причинах создания магнитного
поля, можем написать
lHdl=M(j+JcM)ds	B.19)
L	S
и, используя формулу Стокса
г
Hdl= rotHds,
L	S
приходим к третьему фундаментальному уравнению электродинами-
электродинамики:
связывающему токи проводимости и токи смещения с интенсивностя-
ми вихрей магнитного поля.
В цилиндрических координатах уравнение B.20) имеет вид
1 dHz дН^ _ 4тг . 1 dDp
р д(р	dz	с	с dt
~dz	~dp~ ~ ~^ Jtp + с dt '
>) 1 ая. 4тг . 1 d?>2
р dp	p д(р	с	с dt

§ 4. Опытный факт об отсутствии магнитных зарядов	37
а в сферических координатах
1 d^^sinO)
г sin в dO
г sin в dcp
г dr
1
г sin в
г
г) 1
г
дН$
dcp
гНр)
dr
do
4тг .
с
4тг .
с
4тг .
с
1 !
С
1
с
1
с
dD
dt '
at '
dt
Заметим, что уравнение B.20) связано с законом Кулона через
закон сохранения электричества. В самом деле, применив операцию
div к правой и левой частям уравнения B.20) и используя векторное
тождество div rot = 0, имеем:
Если теперь воспользуемся уравнением divD = 4тгр, то получаем
правильное уравнение непрерывности:
Таким образом, нельзя видоизменять независимо уравнения B.20)
и B.9), так как они связаны между собою требованием закона сохра-
сохранения электричества.
§ 4. Опытный факт, подтверждающий отсутствие
магнитных зарядов, аналогичных электрическим
Как показывает опыт, в макроскопической физике нельзя выделить
свободные магнитные заряды, аналогичные свободным электрическим
зарядам. Этот факт может быть количественно сформулирован неко-
некоторым дополнительным условием. Поскольку заряд в электрическом
случае вполне определяется потоком вектора электрической индукции
= 4тге,
s
то искомое дополнительное условие должно иметь вид
Bds = 0,	B.21)
s
тогда, используя теорему Остроградского, получим:
= | divBdr, divB = 0.	B.22)
s	v

38	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
Легко убедиться, что условие B.22) не противоречит уравнению
Действительно, применяя к левой и правой частям уравнения B.23)
операцию div, получим:
div rot Е = О
и, следовательно,
дВ _ д
откуда
divB = /(ж, у, z).
Таким образом, дополнительное условие B.22) совместимо с уравне-
уравнением B.23), поскольку функция / — совершенно произвольна. Факт
отсутствия магнитных зарядов требует, чтобы / = 0 хотя бы для
некоторого начального момента времени, ибо тогда, благодаря неза-
независимости / от времени, / = 0 и для любого момента времени.
§ 5. Исходная система уравнений электродинамики
Выпишем теперь в качестве результата основные уравнения элек-
электродинамики как в дифференциальной, так и соответственно в инте-
интегральной форме:
rotH =
rotE =
divD =
div В =
1
с
-
4
0
dt +
1 дВ
с ~dt'
1
4тг .
с '
L
L
s
s
= ~~clh
s = 4тге,
s = 0.
+ jCM)ds,
fBds,
s
B.24)
Первое из уравнений — обобщение опытных сведений об источни-
источниках вихрей магнитного поля, второе — обобщение закона электромаг-
электромагнитной индукции, третье — обобщение закона Кулона, четвертое вы-
выражает опытное подтверждение отсутствия магнитных зарядов, ана-
аналогичных электрическим. Назовем эти уравнения уравнениями поля.
Кроме того, имеются еще три уравнения:
D = еЕ, В = /iH, j = <т(Е + Естор),	B.25)
играющие роль уравнений состояния для сред, поскольку в них входят
характеристики сред — постоянные е, /i, a.

§ 5. Исходная система уравнений электродинамики	39
Запишем уравнения Максвелла в прямоугольных, цилиндрических
и сферических координатах.
Прямоугольные координаты:
dHz dHy _ 4тг . 1 dDx
dy	dz	с	с dt
dHx _ dHz _ 4тг . 1 dDy dhy _ dHx _ 4тг . 1 dDz
~dz	d~x~~~^Jy ~^~оТ' Ike	o^y~~~^Jz ~c~dT'
dEz dEy _ 1 dBx dEx dEz _ 1 dBy dEy dEx _ 1 dBz
dy dz ~ с dt ' dz dx ~ с dt ' dx dy ~ с dt '
dDx , dDy , dDz ,_	dBx | dBy | agg = Q
аж а?/ а^	аж dy dz
Цилиндрические координаты:
1 dHz dHv _ 4тг . 1 a?)p dHp	dHz _ 4тг . 1 а?>^
p a<? az с с ot oz	op с с ot
1 д	( is \ ! ^яр _ 47Г • x ^D^
p ap	p a<?> с с dt
l а?;г аяс. i авр а^о а^	1 ав^
p a^	az	с dt	dz	dp	с dt
dEp _ 1 dBz
p dp V	*' p dip с dt '
i a v l ai)^ aD2 1 a	1 ав^ авг
p ар p dip dz p dp	p dip dz
Сферические координаты:
д (u • d\ dHe] 4тг . 1
с J с
rsinO [d9y *	} dip \ с J с dt '
i аяг
r |_sin# dip	dr \ с	с
аяг1 4тг . 1 dDp
г Idr v ' d9
rsinfl
1 Tj_a?,_^_	1 __1^,
r [sine dv dr[ vjj " с a< '
r Le;(pBe)"
J A BD) +
A (D, sin
dt V
J_ A (rDr) + ^_ A (D, sin e) + _J_
r2 dry	J r sin 6> dt V	У rsin6>
r2 ^r V ry ^ r sin 6> at V	7 rsin6> av?
Сделаем несколько общих замечаний относительно основных урав-
уравнений поля и уравнений состояния для сред.

40	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
Последняя пара уравнений B.24) отличается от первых двух тем,
что в них не входят производные по времени. В некоторых задачах
неизвестными являются шесть величин: по три координаты векторов
Е и Н. Тогда первые два уравнения, включающие тоже шесть уравне-
уравнений для координат векторов, дают возможность при заданных токах
определить эти неизвестные, но ввиду того, что уравнения в частных
производных допускают разные решения, последние два уравнения
выбирают из комплекса решений первых двух именно те, которые
совместимы с условиями divD = 4тгр, divB = 0. По этой причине
вторая пара уравнений поля играет роль дополнительных условий,
накладываемых общими законами на поле.
Уравнения поля и уравнения для сред — линейные. Поэтому в них
автоматически выражен принцип аддитивности в его наиболее общей
форме: результирующее поле, создаваемое несколькими источниками,
равно сумме полей от каждого источника порознь. Это есть следствие
того свойства линейных уравнений, что сумма их частных решений
есть тоже решение.
Обсудим, в какой мере основные законы электродинамики конкре-
конкретизируют свойства источников поля — зарядов и токов.
В основных уравнениях выражено лишь то обстоятельство, что
заряд и токи являются характеристиками тех точек пространства,
в которых divD / 0 и rotH ф 0. О каких-либо других свойствах
заряда, например об инерционных свойствах, уравнения ответа не
дают, поскольку дополнительных условий на поведение зарядов мак-
макроскопическая электродинамика не накладывает.
Далее, следует остановиться на вопросе о временной обратимости
или необратимости уравнений электродинамики. Как известно, урав-
уравнения считаются обратимыми во времени, если входящие в уравнение
операторы не меняют знак при изменении t на —t.
К типичным необратимым уравнениям физики относится урав-
уравнение диффузии —— = DAn, указывающее на односторонний ход
at
процесса во времени: процесс идет только в сторону выравнивания
концентраций в пространстве. В противоположность этому волновое
уравнение —\ = с Aip определяет такое движение, при котором
значение (р может как уменьшаться, так и возрастать.
Рассмотрим прежде всего общие законы электродинамики в отсут-
отсутствие проводящих сред (<т = 0). Легко заметить, что в этом случае
основные уравнения не меняют своего вида (остаются инвариантны-
инвариантными) при замене или t —> — t и одновременно Н —>• —Н, или t —>• —t
и одновременно Е —> —Е ир4 —р. Необходимость одновременного
изменения знака Н при изменении знака t может быть объяснена тем,
что магнитное поле пропорционально первой степени тока; плотность
же тока связана со скоростью перемещения зарядов (в случае, если

§ 5. Исходная система уравнений электродинамики	41
имеются так называемые конвекционные токи: j = pv) и поэтому
также меняет свой знак при изменении t на —t. Второй тип инвари-
инвариантности связывает изменение знака времени со знаком заряда. При-
Природа этого типа инвариантности не выяснена в современной теории.
Для проводящих сред (j = сгЕ) инвариантность при замене t —>
—>• — t нарушается, что математически и отображает необратимость
электромагнитных процессов в проводниках, обусловленную наличием
в них сопротивления.
В исходных уравнениях в качестве системы отсчета неявно предпо-
предполагается система, связанная с экспериментальной установкой (лабора-
(лабораторная система отсчета; пробное тельце требует для своей фиксации
в пространстве систему координат, естественно связанную с экспе-
экспериментатором). Вопрос об инвариантности исходных уравнений от-
относительно инерциальных систем рассматривается в релятивистской
электродинамике, и здесь мы его касаться не будем.
Остановимся теперь на причине отсутствия симметрии между пер-
первым и вторым уравнениями электродинамики (в законе электромаг-
электромагнитной индукции отсутствует слагаемое, аналогичное плотности элек-
электрического тока). Для выяснения этого вопроса введем плотность пока
неизвестного тока jm во второе уравнение электродинамики:
Выясним его физический смысл. Подействовав операцией div на B.26),
получим
Если мы теперь введем плотность свободных магнитных заря-
зарядов рт, вполне аналогичную плотности электрических,
divB = 47rpm,	B.28)
то тогда плотность тока jm должна обозначать плотность тока сво-
свободных магнитных зарядов, поскольку имеет место из B.27) и B.28)
уравнение непрерывности
divjm = -°j±.	B.29)
Приходим к заключению, что система уравнений электродинамики
содержит в себе внутренне непротиворечивую возможность включения
свободных магнитных зарядов и соответствующих им токов.
Только опытные подтверждения отсутствия свободных магнитных
зарядов, имеющиеся в настоящее время, ограничивают указанную
возможность требованием рш = 0, а также jm = 0, что и вносит
указанную асимметрию в основные уравнения электродинамики.

42	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
В заключение этой главы рассмотрим вопрос о чувствительности
основных законов электродинамики по отношению к возможному из-
изменению закона Кулона при сближении заряженных частиц. Для от-
ответа на этот вопрос надо было бы исходить из реально существующих
законов взаимодействия между элементарными частицами, которые
естественно должны переходить в закон Кулона на расстояниях, до-
достаточно больших в сравнении с размерами элементарных частиц. Од-
Однако имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные не яв-
являются достаточными для указанной цели. Желательно на основании
какой-либо общей идеи о характере взаимодействий соответственно
обобщить основные уравнения и уже после этого выяснить условия
перехода к обычным уравнениям.
На одной такой идее мы и остановимся. Заметим, что закон Кулона
для электрического поля есть следствие не только уравнения
divD = 4тгр,
но и уравнения состояния
Видоизменяя только классическое уравнение состояния, мы тем
самым меняем закон Кулона не для электрической индукции D, а для
вектора Е.
Классическое уравнение состояния D = ёЕ указывает, что индук-
индукция в какой-либо точке пространства зависит от значения поля Е
только в той же точке и не зависит от значений поля даже в беско-
бесконечно близкой окрестности. Если мы хотим отказаться от указанного
ограничения, мы должны по аналогии с рассмотрением на с. 18 ввести
связь между D и Е в виде функционала
D= [
или в общем случае
Г
D = К(\г-г'\)Щг'
J
" К(\т - г'| + |г - г"|)Е(г')Е(г") dr' dr" + ...
Ограничиваясь линейным функционалом и случаем дифференциру-
емости подынтегральной функции Е(г') вокруг точки г (см. с. 20),
можно написать
D = V^A2sE(r),	B.30)

§ 5. Исходная система уравнений электродинамики	43
где
,2s
A2s =
дх1
и т.д.; следовательно, имеет место равенство
divD = К(\т — y'\) divE(r') dr'\
ограничиваясь только первыми двумя числами в B.30), имеем:
4тгр = /с0 div Е + к2 A div Е = еA ± г2 A) div E,
где положено, что е = /со и г2, = —.
Величина г2, = — имеет размерность квадрата характерной длины
«радиуса действия функциональных связей». Таким образом, условие
перехода к обычной теории будет:
oAdivE о Ар ^ 1
Другими словами, если на расстоянии порядка характерной длины го
относительные изменения плотности заряда малы, является правомер-
правомерной обычная теория. Уравнение, заменяющее приближенно обычное
условие 4тгр = divD, позволяет выяснить характер отступления от
закона Кулона благодаря учету нового члена г2, A div Е. Полагая р
сосредоточенным в одной точке и вводя потенциал (р по формуле
Е = — grad (p, приходим к уравнению
которое можно записать в двух равносильных видах:
= 0;
отсюда сразу находим частные решения:
<р=-.
у*
При этом должно выполняться следующее условие: при г —> 0 по-
потенциал долж;ен быть конечным, при г Ч сю он должен стремиться
к нулю. Отсюда находим решение двух видов:
^ = е- A - е-^'^), v = -г A - cos(r/r0)).	B.31)

44	Гл. П. Основные уравнения электродинамики
Эти формулы ясно указывают на то изменение закона Кулона, которое
обусловливается введением функциональных взаимодействий, а так-
также дают ответ на поставленный вопрос о степени чувствительности
основных уравнений электродинамики к изменению закона Кулона на
малых пространственных интервалах.
Общий результат можно сформулировать так: основные уравне-
уравнения макроскопической электродинамики малочувствительны к изме-
изменению закона Кулона на малых интервалах — порядка размеров эле-
элементарных частиц. Только в областях пространства с относительно
значительным изменением плотности заряда на расстояниях порядка
радиуса элементарных частиц необходимо переходить к обобщениям
исходных уравнений.
Задачи
1.	Вывести из основных уравнений поля исходные опытные положения:
закон Кулона, закон электромагнитной индукции для линейного проводни-
проводника, магнитное поле прямолинейного тока.
2.	Показать, что уравнение div D = 4тгр может быть выведено из уравне-
^ __ 4тг . , 1 Ш
ния rot rl = — j -\	—, принципа сохранения заряда и дополнительного
с	с ot
условия, которое требуется определить.
3.	Показать, что уравнение div В = 0 может быть выведено из уравнения
1 ^В
rot hi =	— и дополнительного условия, которое требуется определить.
с at
4.	Ответить на вопросы: к какой системе координат отнести исходные
уравнения; обратимы ли уравнения электродинамики; какова физическая
природа асимметрии между первым и вторым уравнениями; связано ли
первое уравнение прямо или косвенно с законом Кулона?

Глава III
ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ОСНОВНЫХ
ПОЛОЖЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 1. Закон сохранения заряда
Закон сохранения заряда принадлежит к фундаментальным зако-
законам как макро-, так и микроэлектродинамики. С точки зрения системы
уравнений B.24) он может рассматриваться как следствие первого
и третьего основных уравнений электродинамики:
4тг . 1 $Е)
rotH = —j H	—, divD = 4тгр.
с с at
В самом деле, применив операцию дивергенции к первому уравнению,
имеем:
4тг . 1 дТЭ
div rot H = 0 = — divj -\— div ——,
с	с at
но поскольку
divD =
получаем уравнение непрерывности
-f = divj-	<зл)
Интегрирование по произвольному объему дает
де
= ^pdr.	C.2)
S	V
Подчеркнем следующее обстоятельство. Основные уравнения тео-
теории, в особенности уравнения состояния, обобщаются и уточняют-
уточняются в микроскопической электродинамике; экспериментальные данные
о поведении элементарных заряженных частиц требуют иных теорий
для своего объяснения, чем классическая электродинамика. Однако
закон сохранения электричества остается нерушимым, т. е. он оказался
более фундаментальным, чем исходные предпосылки рассматриваемой
теории (хотя в ней он получается как следствие основных ее уравне-
уравнений).
Зададим себе следующий вопрос. Плотность тока входит, помимо
закона сохранения заряда, также в уравнение состояния j = сгЕ.
Спрашивается: в какой мере эти соотношения внутренне непротиворе-
непротиворечивы? Подставляя для указанной цели выражение j = <тЕ в уравнение

46 Гл. III. Общие следствия основных положений электродинамики
непрерывности, получим
-|^ = adivE + E grader,	C.3)
ОТ
что в сочетании с соотношением
dwsE = 47rp	C.4)
приводит к двум уравнениям для определения риЕв проводящих
средах. Хотя в общем случае двух уравнений недостаточно для опре-
определения четырех величин (/?, Ех, Еу, Ez), сам факт наличия произвола
указывает на отсутствие противоречия между C.2) и C.3) и на необхо-
необходимость для решения задачи привлечь систему исходных уравнений,
чем мы и будем заниматься в дальнейшем.
Заметим, что в частном случае а = const, e = const имеем:
-|f=47rjp, p(r,t) = p(r,0)e-^, r = ^,	C.5)
т. е. в проводящей среде плотность заряда экспоненциально убывает
со временем в каждой точке пространства, причем с тем большим де-
декрементом затухания, чем больше коэффициент электропроводимости
и меньше значение диэлектрической постоянной.
На первый взгляд кажется, что формула C.5) указывает на отсут-
отсутствие закона сохранения заряда, из которого она выведена, поскольку
имеет место монотонная убыль заряда с течением времени в одинако-
одинаковой мере во всех точках пространства. Однако согласование с законом
сохранения действительно имеет место, если учесть, что плотность
тока отлична от нуля даже в тех областях пространства, где р = 0.
В самом деле, рассмотрим поток электричества через поверх-
поверхность S, проведенную внутри проводящей среды так, что в точках
поверхности р = 0 (рис.8). Та-
Такая поверхность может быть
проведена даже в том случае,
-> j ф 0 если внутри этой поверхности
р ф 0, ибо на основании фор-
формулы C.5) заряды рассасыва-
рассасывает ~~~	ются с течением времени, но
Рис. 8	г	„
так, что объем, занятый заря-
зарядами, не изменяется. Полагая j = <тЕ и используя формулу для потока
напряженности электрического поля, получим
6
S	S

§ 1. Закон сохранения заряда	47
где е — полный заряд внутри объема V, ограниченного поверхно-
поверхностью S. С другой стороны, на основании формулы C.5) имеем:
де	д Г , 4тгсг Г , 4тг<т , ч
— -— = —-— оат = 	 \ о ат = 	em.
at dt ]н	е у	г w
Таким образом, обнаруживается полное согласование с интегральным
законом сохранения. Поток через указанную поверхность отличен от
нуля и, действительно, равен изменению заряда, находящегося в объ-
объеме, ограниченном выбранной поверхностью.
Определим время релаксации объемных зарядов в проводящей среде
с уравнением состояния
j = |а-(|г-г'|)Е(г', t)dr'.	C.6)
V
Замечая, что для точек г, достаточно удаленных от границы, справедливы
равенства
АГ(|г-г'|)Е(г', t)dr'= [ AT(s)E(s-r, t) ds,
(оо)
divj = f K(|r-r'|)divE(r', t) drf.
(оо)
4тг
Используя уравнение непрерывности, а также соотношение divE = —р,
приходим к уравнению для определения р:	?
(оо)
Полагая р ~ e~Af, получаем:
4тг Г	/ /	/
? J
(оо)
Будем искать решение этого уравнения в виде егкг.
Имеем:
оо
[ К(\т - r'|)eik(r-r'W = 4тг \ K(s)8^^- s2 ds.
(оо)	О
Следовательно,
Л=^—— K(s)—	s ds.
e J	ks
о

48 Гл. III. Общие следствия основных положений электродинамики
Эта формула связывает величину Хек. Для малых значений к, ограничи-
ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд, получаем
Л =
где введено обозначение
^ I K(s)s4ds
2 __0
го = SB
K(s)s2ds
о
го назовем «радиусом действия дальних связей» между j и Е. При к2 = —^
го
Л = 0. Таким образом, функциональные уравнения состояния приводят к от-
отсутствию релаксации объемных зарядов определенного пространственного
периода в проводящей среде.
§ 2. Закон сохранения энергии.
Теорема Умова и Пойнтинга
Закон сохранения энергии, связывающий различные формы энер-
энергии, автоматически не может быть выведен лишь из уравнений элек-
электродинамики, поскольку последние описывают только электромаг-
электромагнитную форму движения материи. Поэтому надо рассмотреть связь
электромагнитной формы движения материи с другими формами дви-
движения и убедиться, что законы электродинамики обеспечивают коли-
количественное сохранение энергии при переходе одной формы движения
в другую. Эта связь может быть получена из опыта или из теории,
использующей новые предпосылки, помимо тех, которые заключены
в основных уравнениях электродинамики.
Опыт дает следующую известную связь (закон Джоуля—Ленца)
между количеством тепла Q, выделяющимся в проводнике с сопро-
сопротивлением R в единицу времени, и проходящим в проводнике током
силою J:
Q = J2R.	C.8)
Выразим эту связь прежде всего в наиболее общей дифференциаль-
дифференциальной форме, так как соотношение C.8) справедливо только для провод-
проводников цилиндрической формы. Выбираем в произвольной неоднород-
неоднородной среде бесконечно малый цилиндрик. Тогда для этого цилиндрика
R = —, а количество выделяющегося в нем тепла в единицу времени
as
равно Q = -— s = — V. Количество тепла, выделяющегося в единице
а	а

§ 2. Закон сохранения энергии. Теорема Умова и Пойнтинга	49
объема, равно
q ~ V ~ ~а ~ а
В теле произвольной формы, где а может быть функцией координат,
имеем:
Q= \J—dr= \aE2dr= [jEdr.
J a	J	J
V	V	V
Теперь, используя уравнения электродинамики, попытаемся найти
уравнение, выражающее баланс энергии (S — вектор Умова-Пойн-
тинга):
ds,	C.9)
что является общим выражением всякого закона преобразования энер-
энергии из одной формы в другую: появление энергии, определяемое коли-
количеством тепла Q, равно уменьшению энергии другой формы W во всем
рассматриваемом объеме и потере этой энергии через поверхность,
ограничивающую рассматриваемый объем V.
Для указанной цели выразим количество тепла Q только через
характеристики поля Е и Н. Подставив в выражение
v
плотность тока из уравнения
j = -^ rotH- ^-^,
4тг	4тг at
получим
f .	с [	1
J	47Г J	^ъ
v	v	v
На основании векторного тождества
div[EH] = Н rot Е - Е rot H
имеем:
Q = -Ajdiv[EHHr-Aj(E^+Hf)^
V	V
причем здесь использовано уравнение поля

50 Гл. III. Общие следствия основных положений электродинамики
Таким образом, окончательно имеем (полагая D = еЕ и В = /iH):
Г с	д Г 1
Q = - ф — [EH] ds - ^- \ — (еЕ2 + /iH2) dr.	C.10)
J 4тг	at J 8тг
S	V
Итак, действительно, мы получаем формулу, имеющую вид баланса
энергии, что дает право отождествить объемный интеграл
8тг
V
со значением энергии электромагнитного поля, распределенной в про-
пространстве с плотностью
w = — (sE2 + /iH2).	C.11)
8тг
Выражение баланса приводит к введению понятия потока электромаг-
электромагнитной энергии через замкнутую поверхность
— [EH] ds.
4тг L J
S
Отсюда поток через единицу поверхности равен
S = -^-[EH].	C.12)
4тг
В частном случае пространственно замкнутой системы, под кото-
которой мы будем понимать, по определению, такую систему, на границе
которой Е = Н = 0 для всего рассматриваемого промежутка времени
выражение закона сохранения энергии приобретает вид
dW_ _
т. е. тепло выделяется за счет убыли W. Именно этот частный случай
прямо обосновывает отождествление W с полной энергией электро-
электромагнитной формы движения материи.
В другом частном случае, когда внутри рассматриваемого объема
отсутствуют проводящие среды, так что Q = 0, так как j = 0, имеем:
S
т. е. количество электромагнитной энергии может меняться только за
счет потока энергии, проходящей через ограничивающую поверхность.
Этот частный случай дает нам право отождествить выражение векто-
вектора Умова—Пойнтинга
S = — [ЕН]	C.13)
4тг

§ 2. Закон сохранения энергии. Теорема Умова и Пойнтинга	51
с выражением и представлением потока электромагнитной энергии.
Теорему Умова—Пойнтинга, выраженную формулой C.10), можно,
очевидно, записать так:
t
V
dr = - \ div -^ [EH] dr - |- [ — (sE2 + /itf2) dr.
J 4тг	at J 8тг
Ввиду существования равенства для любых объемов интегрирования
мы можем сделать переход к дифференциальной форме теоремы:
L = divS - ^, S = ± [EH], w = ^ (е?2 + МЯ2). C.14)
Прежде всего ответим на следующий вопрос. Приводит ли макроскопи-
макроскопическая электродинамика к однозначному толкованию вектора S как пото-
потока электромагнитной энергии через единицу поверхности, расположенной
перпендикулярно к направлению потока энергии? Ответ на поставленный
вопрос обычно дается отрицательный, поскольку интегральная форма ба-
баланса, к которой мы пришли, не изменится, если под знаком поверхностного
интеграла добавить вихрь произвольного вектора А, так как
rot Ads = 0.
s
Таким образом, с помощью теоремы Умова-Пойнтинга поток энергии
S определяется неоднозначно — с точностью до вихря от произвольного
вектора:
S = -^ [EH] + rot A.
4тг
Часто эта неоднозначность обосновывается физически тем, что якобы на
опыте при проверке теоремы всегда приходится иметь дело с замкнутыми
поверхностями, не позволяющими поэтому сделать по указанной причине
однозначного заключения о потоке энергии через единицу поверхности.
В указанной неоднозначности видят часто путь решения следующего па-
парадокса.
Q
В статических полях формально существует вектор — [ЕН], поскольку
существуют статические источники как электрического поля, так и маг-
магнитного поля (заряды и магниты). Поэтому применение вектора Умова-
Пойнтинга к статическим полям приводит к существованию потока элек-
электромагнитной энергии в пространстве. Так как в статическом поле j = 0,
— = 0, то имеет место циркуляция энергии по замкнутым путям, ибо на
ОТ
основании C.10)
Г
(bSds = 0.
s
Поскольку же опыт никогда не указывал на наличие подобных переносов
энергии в статических полях, то решение этого противоречия и видят обычно
в неоднозначности определения вектора Умова—Пойнтинга. Всегда можно

52 Гл. III. Общие следствия основных положений электродинамики
подобрать произвольный вектор так, чтобы вектор -— [EH] + rot А точно
обратился бы в нуль.
Заметим, что приведенная аргументация о существовании неоднознач-
неоднозначности выражения вектора Умова—Пойнтинга не является вполне основа-
основательной. Прежде всего, ссылка на принципиальную интегральность теории
Умова—Пойнтинга не является правильной, так как дифференциальная фор-
форма имеет не меньшую общность
j2	1. о Ow
^— = — div S	—
a	dt
и также содержит неоднозначность. Это указывает на то, что природа
неоднозначности необязательно заключается в замкнутости поверхности.
Существует физический пример, позволяющий точно установить, одно-
однозначен или неоднозначен вектор Умова—Пойнтинга. Это — случай потенци-
потенциального потока энергии в поле. Если окажется, что в этом случае вектор
Q
-— [ЕН] потенциален, то, следовательно, rot A = 0; если не потенциален,
4тг
то rot А ф 0 и должен быть выбран так, чтобы точно скомпенсировать
Q
непотенциальную часть вектора — [ЕН].
Известно, что для плоских волн вектор Умова-Пойнтинга потенциален,
и в этом случае поток энергии также является потенциальным.
Последний факт экспериментально всегда учитывается, в особенности
в так называемом приближении «геометрической оптики», когда длины волн
значительно меньше линейных размеров отверстий или диафрагм, выделяю-
выделяющих локализованный световой пучок. В этих случаях никогда не получается
конфликта между теоретическим значением потока -— [ЕН] и выражением,
например, количества тепла, в которое переходит световой поток, проходя
через щель.
Что касается трудности с применением вектора Умова—Пойнтинга к ста-
статическим полям, приводящим к циркуляции энергии по замкнутым путям,
которая, однако, никогда не наблюдалась, то нужно иметь в виду, что
в статическом случае ( — = 0, j = 0 ) теряет смысл весь вывод теоремы
\ot	J
Умова-Пойнтинга, ибо при выводе заранее предполагалось, что j ф 0.
Таким образом, мы приходим к заключению, что теория приводит к од-
однозначному выражению вектора потока электромагнитной энергии в ви-
виде вектора Умова—Пойнтинга. Кажущаяся неоднозначность продиктована
в переменных полях безосновательным отказом от случая потенциальных
переносов энергии, а в статических полях — неучетом качественного скачка
при переходе от динамического случая к случаю статическому.
§ 3. Теорема единственности решений уравнений
электродинамики
Как мы увидим ниже, уравнения электродинамики не принадлежат
к какому-нибудь одному типу изученных в математической теории
дифференциальных уравнений с частными производными (например,
к эллиптическому, гиперболическому или параболическому типу), —

§ 3. Теорема единственности решений уравнений электродинамики 53
они в частных случаях превращаются в них, не исчерпываясь, однако,
ими. Поэтому возможны несколько теорем единственности решений, в
зависимости от постановки задачи.
Единственность решений в той или другой постановке задачи нуж-
нужно исследовать каждый раз отдельно. Необходимость анализа теоремы
единственности диктуется двумя соображениями: во-первых, эта тео-
теорема должна установить степень полноты системы уравнений поля,
так как в противном случае потребовались бы новые физические
посылки для устранения неоднозначности; во-вторых, имеется прак-
практическая потребность в теореме, поскольку только благодаря ей мы
получаем гарантию, что решение задачи, полученное тем или иным
частным способом, является достаточным. Здесь рассмотрим так на-
называемую смешанную задачу Коши, когда заданы начальные условия
для некоторого момента времени и некоторые граничные значения для
всего рассматриваемого интервала времени.
Пусть в рассматриваемом объеме V заданы при t = 0 напря-
напряженности полей Е(ж, у, z, 0) и Н(ж, у, z, 0), а на границе заданы
тангенциальные составляющие: либо Et(x, у, z, 0), либо Ht(x, у, z, 0)
для 0 ^ t ^ Т. Докажем однозначность решения при указанных
условиях. Для этой цели будем исходить из интегральной теоремы
Умова-Пойнтинга:
где W = — {eE2-\~iiH2) dr — существенно положительная величина.
8тг J
V
Правая часть уравнения может дать нам суждения о знаке производ-
производной по времени от VK, откуда мы можем судить и о подынтегральном
выражении, т. е. об искомых величинах Е и Н внутри объема.
Пусть есть два решения указанной задачи: Ei, Hi и Е2, Н2. На ос-
основании линейности уравнений поля можно утверждать, что разница
этих решений
Е = Ei — Е2,
Н = Hi — Н2
есть также решения, но с начальными условиями
Е7 = 0, Н' = 0 для t = 0
и с граничными условиями
Е[ = 0 либо H't = 0 для 0 < ? < Т.

54 Гл. III. Общие следствия основных положений электродинамики
Подставим это решение в C.15); в поверхностном интеграле появится
величина
[Л/ ±1 \п = (П[И/ Л JJ,
где п — единичный вектор нормали к поверхности, ограничивающей
рассматриваемый объем. Поскольку циклическая перестановка век-
векторов не изменяет величины скалярного векторного произведения,
имеем:
Второе выражение пропорционально Et, а третье пропорционально
Ht\ следовательно, на основании граничных условий [Е'Н7]™ = 0.
Таким образом, из C.15) имеем:
tg—tf*™ (з-17)
v
Далее, так как полная энергия W' не может быть отрицательной, и на
основании начальных условий при t = 0 полная энергия равна нулю,
следовательно, случай —-— < 0 отпадает.
dW'
Первая возможность —-— > 0
Wit)	°t
(рис.9) исключается условием C.17),
третья возможность —-— < 0 — по-
ot
лож;ительностью выраж;ения W' для
любого времени и остается, следова-
i	^ тельно, только вторая возможность
* для произвольного t ^ 0:
W' = —
О7Г
V
Это возмож:но ввиду полож;ительности подынтегрального выражения
во всех точках области интегрирования лишь при условии
Е7 = Н7 = 0.
Таким образом, теорема об однозначности 1) задачи Коши для исход-
исходных уравнений доказана.
Важно отметить, что теорема однозначности не требует полного
знания всего электромагнитного поля Е и Н на границе, достаточно
потребовать знания тангенциальной компоненты только одного (лю-
(любого) из векторов Е или Н.
х) Имеется в виду единственность решений. (Прим. ред.)

§ 4. Пограничные условия	55
§ 4. Пограничные условия
Исходные уравнения электродинамики имеют место для произволь-
произвольных неоднородных сред, так как основные постоянные, характеризую-
характеризующие среды (е, /i, сг), могут быть произвольными функциями координат.
В случае наличия поверхностей раздела сред удобно говорить о разры-
разрыве величин ?, \i или а. Однако в случае разрыва ?, \± или а лишается
смысла дифференциальная форма исходных уравнений, требующая
существования производных величин D, В. Для установления поведе-
поведения векторов на границе можно воспользоваться интегральной формой
исходных уравнений, которые сохраняют свое значение и в случае
разрыва подынтегральных выражений.
1. Пограничное условие для нормальных составляющих
вектора магнитной индукции. Для установления граничных усло-
условий используем четвертое интегральное уравнение
ds = 0.	C.18)
Выбирая за объем цилиндр, частью расположенный в одной среде,
частью — в другой, с положительным направлением нормали во вто-
вторую среду, подсчитаем величину потока магнитной индукции через
поверхность, ограничивающую цилиндр (рис. 10)
В ds = B2nS2 - BlnS1 + ~BSnh = 0.
s
Здесь мы предположили, что цилиндр настолько мал, что можно во
всех точках основания цилиндра выбрать одно значение вектора В,
а именно, на верхнем основании В2п и на нижнем В\п. Величина В
обозначает среднее значение нор-
нормальной компоненты на боковой	\ >
поверхности цилиндра (Sn — пе- \ п
риметр по сечению цилиндра, h —
высота цилиндра).
Переходя к пределу h —> 0
и учитывая, что при этом Si —)¦ $2,
находим:
В2п-В1п = 0.	C.19)
Таким образом, нормальные составляющие вектора магнитной индук-
индукции на границе произвольных двух сред всегда непрерывны.
Пограничное условие C.19) представляет собой условие, в которое
вырождается уравнение
divB = 0

56 Гл. III. Общие следствия основных положений электродинамики
при наличии поверхности раздела. Поэтому это условие иногда назы-
называют поверхностной дивергенцией:
DivB = B2n-Bln = 0.
2. Пограничное условие для нормальных составляющих
вектора электрической индукции. Поскольку, в отличие от
предыдущего случая,
г
D ds = 4тге,
получим
D ds = D2nS2 ~
DSnh =
где psh есть величина заряда, находящегося в объеме цилиндра. Учтем
так называемые поверхностные заряды при помощи условия
lim ph —у <т,
/О—>-ОО
где сг, очевидно, обозначает количество заряда, приходящегося на
единицу поверхности раздела
двух сред.
Итак, полагая h —у 0 и,
следовательно, $2 —У Si —у S,
имеем:
D2n - Dln = 4тгсг,
C.20)
т. е. нормальные составляю-
составляющие вектора электрической
индукции непрерывны в от-
отсутствие поверхностных зарядов и при наличии таковых терпят раз-
разрыв. Величина разрыва определяется плотностью поверхностных за-
зарядов ст.
3. Пограничные условия для тангенциальных составляю-
составляющих вектора электрической напряженности поля. Выберем на
этот раз контур, частью расположенный в одной среде, частью в дру-
другой, с положительным направлением во второй среде (рис. 11). Исполь-
Используем формулы для циркуляции электрической напряженности поля:

§ 4. Пограничные условия	57
Тогда, раскрывая левую и правую части, имеем:
(дВ\ .	/0В\
где I —— I обозначает среднее значение величины ( —— 1 на площад-
\ о* )п	\ ut /п
ке, ограниченной рассматриваемым контуром.
При h —>• 0 части контура, расположенные в разных средах, будут
прилегать к поверхности раздела. Участки циркуляции, пропорцио-
пропорциональные /г, исчезают, и в результате получается непрерывность танген-
тангенциальных компонент напряженности электрического поля на границе
двух произвольных сред:
E2t - Elt = Rot E = 0.	C.21)
(&Б\
При этом только предположено, что величина I -j— I является
V / п
ограниченной, и, следовательно, полученный результат о непрерыв-
непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля верен для
произвольным образом меняющегося со временем электромагнитного
поля, включая и статический случай.
4. Пограничные условия на тангенциальные составляю-
составляющие напряженности магнитного поля. Так как
тт,м 4тг Г /. , 1 <9D\ ,
Н dl = — (j + — — ) ds,
с J V 4тг дп )
S
L	S
то, выбирая контур интегрирования так же, как и в предыдущем
случае, имеем:
H2th - Huh +y2Hh = — (j + ±^-)lh.	C.22)
^-^	с \ 4тг дп /п
Нужно различать два случая:
а)	Случай отсутствия поверхностных токов. Тогда при h —>• 0
I2 —)- li —> I все члены, содерж;ащие /г, исчезают, и мы получаем
H2t ~ Hlt = 0,	C.23)
т. е. условие непрерывности тангенциальных составляющих напряжен-
напряженности магнитного поля в случае раздела двух сред.
б)	Случай, когда ток проводимости при h —>• 0 отличен от нуля:
lim jh = /,
где / — поверхностная плотность тока, проходящего через единицу
длины линии на поверхности раздела, проведенной перпендикулярно

58 Гл. III. Общие следствия основных положений электродинамики
к направлению тока. Тогда вместо C.22) мы получаем из C.23)
H2t -Hlt = ^ /,	C.24)
( 1
(
\4тг
(	\
причем здесь предположено, что величина (	—- ограничена, так
\4тг оп/п
что ток, содержащий произве-
^ >	^	дение этой величины на /г, при
	>	h —> О выпадает из вычислений.
	> "¦	Полученный результат о
	(J (J (^J) (J	 разрыве тангенциальных ком-
Н	понент напряженности маг-
~+		нитного поля при наличии
A) ++		поверхностных токов особенно
Рис. 12	очевиден для плоского случая.
При наличии поверхностного
тока, проходящего по пластине в направлении за плоскость чертежа
(рис. 12), поле вектора Н одинаково по величине как в первой, так и во
второй среде, направлено вдоль плоскости, но по разным направле-
4тг г п
ниям, т.е. имеет место разрыв, величина которого равна — 1. Пусть
с
rii, ti, Ii — единичные векторы ортогональной системы координат на
поверхности раздела, тогда пограничное условие для тангенциальных
составляющих может быть записано в векторной форме:
-[nH]i = ^I.	C.25)
В самом деле, приняв во внимание, что
Я, = Ш1=Н[11п]=11[пН],
т I	4тг Т
где li = —, условие ri2t — tilt = — * можно записать так:
Сокращая на Ii, действительно, получаем условие C.25).
Мы получили четыре граничных условия соответственно четырем
основным уравнениям электродинамики. Граничные условия для Еп,
Нп и Dt, Bf, jt, 2ni a также для компонент векторов РиМ получаются
как следствие основных четырех пограничных условий.
Так как D = еЕ, то для скачка нормальных составляющих вектора
Е при переходе через границу имеем соотношение
п = 47ГСГ.

§ 4. Пограничные условия	59
АнаЛОГИЧНО /i2^2n — HlHin = О ИЛИ —— = —.
Воспользовавшись непрерывностью тангенциальных компонент
вектора напряженности электрического поля и соотношением
Dt = eEt, получаем условие для скачка тангенциальных компонент
вектора электрической индукции:
Pit _ ?i_
Pit ~ ?i'
Аналогично
Ви Mi
(при отсутствии поверхностных зарядов).
Пограничные условия для плотности тока j = сгЕ будут следующи-
следующими:
Для тангенциальных компонент прямо получаем
Jit	O~2^J2t	O~2
jit	CTiEu	<7l
Для нормальных составляющих необходимо воспользоваться зако-
законом сохранения электричества
де
S
откуда по аналогии с интегральным соотношением
вытекает условие
где а — поверхностная плотность заряда.
Условие для тангенциальных составляющих вектора поляризации
и вектора намагничивания вытекает из определений
P=s-^±E и М=^1н,
4тг	4тг
откуда
Pit ?1 — 1 M.2t l^i — 1
t
J
S
32п -
Dds
~ Jin
= 4тге
да
~ dt'
Pit	?i~V Mit	/il - 1 '
Условия же для нормальных составляющих вектора поляризации и
вектора намагничивания мы рассмотрим несколько позже, поскольку
прежде полезно установить связь между дивергенциями от этих век-
векторов и плотностью связанных зарядов.

60 Гл. III. Общие следствия основных положений электродинамики
Характерным для всех четырех основных выше установленных
пограничных условий является их общность в той мере, как и общ-
общность исходных уравнений электродинамики. Общность же следствий,
использующих уравнения для сред, меньшая, поскольку, как подчер-
подчеркивалось, уравнения для сред в большей степени ограничены, чем
основные уравнения для поля.
Задачи
1.	Показать, что при релаксации зарядов в проводящей среде ток смеще-
смещения точно компенсирует ток проводимости, так что магнитное поле в про-
процессе релаксации не создается.
2.	Вывести из пограничных условий закон преломления векторов Е и D,
Н и В и j на границе раздела сред.
3.	Показать, что количество выделяющегося тепла в цилиндрическом
проводе кругового сечения точно соответствует потоку энергии, втекающему
в проводник через боковую поверхность, на основании теоремы Умова-
Пойнтинга.

Глава IV
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Покажем прежде всего, что электростатику можно выделить из
всего многообразия электромагнитных явлений, характеризуемых, как
правило, органической связью между электрическими и магнитными
явлениями.
Область электростатических явлений определяется, во-первых,
требованием независимости всех величин от времени (т. е. равенство
нулю всех производных по времени), во-вторых, требованием полного
отсутствия движения зарядов (т.е. j = 0).
Исходные уравнения и граничные условия электродинамики в этом
случае вырождаются в следующие:
rotH = 0,	rotE = 0,
divB = 0,
D.1)
(H2t - Hlt = 0,	(E2t - Elt = 0,
В2п ~ В1п = 0), D2n - Dln = 4тгсг).
Как видим, уравнения разбиваются на две независимые системы —
в одну из них входят только магнитные величины, в другую — только
электрические.
Интегральные законы электростатики имеют вид
Edl = 0, JDds = O.	D.2)
L	S
Уравнение состояния для сред записывается в форме D = е~Е или
P	E.
4тг
Итак, ввиду полной независимости уравнений для магнитных
и электрических величин можно выделить электростатику для обособ-
обособленного рассмотрения: следует подчеркнуть, что уравнения электро-
электростатики не являются какими-то приближениями исходных уравнений
поля, а точно соответствуют определенному частному случаю (j = 0).
Таким образом, точные решения уравнений электростатики од-
одновременно являются точными, но частными решениями исходных
общих уравнений электродинамики.

62	Гл. IV. Электростатика
§ 1. Свойства электростатического поля
в проводящих и диэлектрических средах
Так как по определению электростатики j = 0, а в проводящей
среде
j = <rE,
то, следовательно, могут быть два случая:
а = 0, ноЕ^О (вне проводников),
а ф 0, но Е = 0 (внутри проводников).
Таким образом, электрическое поле внутри проводников отсутству-
отсутствует, а следовательно, также отсутствует и вектор электрической индук-
индукции и вектор поляризации, поскольку эти величины пропорциональны
электрической напряженности поля:
D = ?E = 0, P = ^—^Е = 0.
4тг
Замечания. 1. Так как D и Р тождественно обращаются в нуль
при любом значении ?, то, следовательно, нельзя характеризовать про-
проводящую среду (оставаясь в рамках электростатики) определенным
значением диэлектрической постоянной. Значение диэлектрической
постоянной проводящей среды не может поэтому влиять на какой-либо
результат электростатики.
2. Так как D = 0 во всех точках внутри проводника, то, следова-
следовательно,
divD = 4тгр = 0.
В электростатическом случае внутри проводника не могут существо-
существовать объемные заряды.
На границах проводника граничные условия должны быть получе-
получены из общих граничных условий для электрического поля:
D.3)
E2t - Elt = 0,
но так как внутри проводника Е\ = 0, то
?2
Напряженность электрического поля у поверхности проводника
4тгсг
направлена нормально к последнему и равна 	, где е —
диэлектрическая постоянная среды, окружающей проводник (рис. 13).
В диэлектрических средах определяющим является поведение век-
вектора электрической индукции или вектора поляризации. Установим

j1. Свойства электростатического поля
63
связь вектора поляризации с плотностью связанных зарядов, появля-
появляющихся в процессе поляризации (связь между Р и рсв). Так как
D =
4тгР,
то основное уравнение электростатики divD = 4тгр можно написать
в виде
div(E + 4тгР) = 4тгр,
или
= 47r(p-divP).
Сравнивая с уравнением для пустоты
divE = 4тгр,
D.4)
о =
/77777?
7777777
0
Рис.
i
ПТГ
13
п, Е
замечаем, что поле в диэлектрической среде отличается от поля в пу-
пустоте дополнительным членом в правой части, изменяющим плотность
исходных зарядов. Если в пустоте плотность за-
заряда есть /?, то в диэлектрической среде она
равна р—div P. Таким образом, величина — div P
играет роль дополнительных зарядов, изменяю-
изменяющих поле в сравнении с полем в пустоте. Ранее
мы эти заряды назвали связанными, теперь мы
можем написать выражение их плотности через
вектор поляризации:
A)
= -divP.
D.5)
Отсюда получим интегральное соотношение (используя теорему
Остроградского)
Р ds = — рсв dr.
S	V
D.6)
Физический смысл соотношения D.5) очевиден, поскольку истоки
вектора поляризации предполагают наличие области возникновения
вектора Р, всегда связанного с зарядом (отрицательного знака), а сто-
стоки предполагают наличие области сосредоточивания концов векто-
вектора Р, связанного, по условию положительности направления электри-
электрического момента, с зарядом положительного знака (рис. 14).
Диэлектрическая среда в целом не является заряженной, если сво-
свободные заряды располагаем вне диэлектрика; поэтому должно быть
рсв dr = О,
D.7)
где интегрирование ведется по всей области диэлектрика.

64	Гл. IV. Электростатика
Следует ли это условие из исходной системы уравнений электро-
электростатики? Выбирая поверхность S вне диэлектрика (Рп = 0), получаем
и, следовательно, соотношение D.6) гарантирует выполнение условия
D.7). Каково будет поведение вектора поляризации на границе двух
диэлектрических сред? Граничные условия для нормальных состав-
составляющих получаются сразу же, исходя из аналогии в структуре инте-
интегральных соотношений для вектора электрической индукции и вектора
поляризации. Именно, соотношение
г
cpD ds = 4тге
s
привело к условию
Don — Din = 4тгсг.
div Р > 0	div Р < 0
рев < 0	Рев > 0
Рис. 14
г
Соотношение фР ds = — есв по аналогии должно дать условие
s
Р<1п ~ Pin = -<7св,	D-8)
где, как и ранее, положительная нормаль проведена во вторую среду.
В частном случае границы между диэлектриком и вакуумом имеем
(Р*п = 0):
Рп = стсв-	D.9)
Разрыв тангенциальных составляющих на границе двух диэлектри-
диэлектрических сред, как мы видели, следует из связи вектора поляризации
с напряженностью электрического поля и из условия непрерывно-
непрерывности тангенциальных составляющих напряженности поля Е: так как
4тг
lt

§2. Потенциальность электростатического поля	65
§ 2. Потенциальность электростатического поля
Исходное дифференциальное уравнение электростатики
rot Е = О
всегда имеет решение
/. дф . дф д
Е = -grad<^ = - 1—	bj —	Ь к—
V дх ду д
поскольку
rot grad ф = 0.
Скалярная функция ф = ф(х, у, z) называется потенциалом. Ясно,
что определение потенциала неоднозначное, с точностью до произволь-
произвольной постоянной.
В качестве примера выразим grad ф в произвольных криволинейных
ортогональных координатах qi, Q2, #з с единичными векторами ei, ег, ез.
Очевидно, имеем:
дю	дю	дю
grad<p(gi, q2, qs) = -^— grad q\ + -— grad q2 + -^— grad<?3.
oqi	oq2	Oqs
Ввиду того что элементарное перемещение вдоль криволинейных осей коор-
координат есть
dli = Hi dqi [i = 1, 2, 3),
то
grad qi = -—ei.
Отсюда получаем
. ei дф е2 дф ез дф
grad ф =	h	h	.
В частности, для цилиндрических координат (Нр = 1, Н^ = р, Hz = 1)
дф е^> дф	дф
а для сферических координат (Нг = 1, Н$ = г, Hv = rsin#)
дф ев дф е^ дф
3r~dr +7?+ rsmO ~ду'
Выразим теперь потенциал через напряженность электрического
поля. По определению,
dф = grad ф сД,
где d\ — бесконечно малое векторное расстояние между точками,
отличающимися на потенциал dф. Так как
йф = -Edl,
3 Власов А. А.

66	Гл. IV. Электростатика
то разность потенциалов между точками Pq и Р, находящимися на
конечном расстоянии, будет:
Поскольку подынтегральное выражение есть полный дифференциал,
то последний интеграл не зависит от формы пути, определяясь лишь
начальной и конечной точками кривой, по которой ведется интегриро-
интегрирование.
В тех случаях, когда можно положить в бесконечно удаленной
точке потенциал равным нулю (как мы увидим ниже, это будет иметь
место для всех случаев, когда заряды расположены в ограниченном
участке пространства), то
Р	оо
(р,Р) = - [ Edl= [Edl.
J	J
(оо)	Р
В этом случае потенциал можно интерпретировать как работу поля
при перенесении единицы положительного заряда из данной точки
в бесконечно удаленную. Для потенциала точечного заряда получим
D.10)
В этом частном случае мы убедились непосредственным вычислением,
что потенциал в бесконечно удаленной точке —
Ft
Ввиду аддитивности поля, создаваемого различными источниками,
например системой точечных зарядов, можно написать
D.11)
перестановка суммирования и интегрирования законна, по крайней
мере, для конечного числа зарядов.
Перейдем теперь к непрерывно распределенным зарядам. Такой
переход не может быть автоматически выведен из аддитивных зако-
закономерностей, так как обычные правила перехода к интегралам от сумм
требуют ограниченности функций, а потенциал любой системы точеч-
точечных зарядов обращается в бесконечность в каждой из точек, где рас-
расположен заряд. Здесь требуется новая физическая и математическая

§2. Потенциальность электростатического поля	67
предпосылка — отказ от «точечное™» с одновременным сохранением
закона Кулона на сколь угодно малых расстояниях.
Полагая de = pdr, можем ввиду D.11) для непрерывно распреде-
распределенных зарядов написать
v
или в более подробной записи
f	p(x',y',z')dx'dy'dz'
ip(x, у, z) — —.	D.13)
J y/{x - x'f + (y - y'f + (z - z'Y
Взяв векторную производную grad от обеих частей равенства D.13)
и учитывая, что Е = — grad у?, получаем выражение для напряженно-
напряженности электрического поля:
E=-JPgrad(I)dr'.
V
Так как для функции —.	имеет место
у/(Х - X'J + (у - yfJ + (Z- ZfJ
равенство
получаем
Е = I pgrad' ( — ) drr.	D-14)
Представление потенциала и напряженности поля с помощью интегра-
интегралов D.13) и D.14) требует анализа условий их сходимости, поскольку
подынтегральные выражения обращают-
обращаются в бесконечность, когда точка наблюде-
наблюдения ж, у, z лежит в области интегрирова-
интегрирования. Для этой цели окружим точку ж, у,
z, находящуюся по условию внутри объ-
объема V, где расположены заряды, сферой
некоторого радиуса (рис. 15). Тогда потен-
потенциал и напряженность поля от зарядов,
расположенных вне сферы, будут являть-
являться непрерывными функциями, поскольку по условию точка наблюде-
наблюдения расположена вне области интегрирования. Необходимо показать,
что потенциал и напряженность поля, создаваемые зарядами, рас-
расположенными внутри сферы, являются ограниченными величинами,
причем исчезающими при стягивании сферы в точку. Предполагая, что

68
Гл. IV. Электростатика
р имеет верхнюю границу, можно написать для потенциала ip' и на-
напряженности Е' от зарядов, находящихся внутри сферы объема V7,
следующие неравенства:
Е <
J
V
pdr
pgrad —
Ro
Г dr_	Г
Рмакс	о — Рмакс
J Я	J
4тгЯ2
"Я =
л Г dr (^R
dr < рмакс — = рмакс
J н	J н
V	О
н
где Rq — радиус выделенной сферы.
Таким образом, потенциал и напряженность поля внутри сферы
действительно ограничены, причем становятся исчезающе малыми при
Яо ->0.
Следовательно, в пределе (Rq —>• 0) интегралы сходятся и, таким
образом, потенциал и напряженность поля являются определенными
функциями положения как вне, так и внутри источников. Кроме того,
фигурирующие здесь интегралы равномерно сходятся 1) при условии
ограниченности плотности заряда р (р < рмакс = С), что гарантирует
их непрерывность всюду, включая и точки разрыва функции р (на-
(например, на границе области заряженных тел).
§ 3. Потенциалы в диэлектрических средах
Отличая диэлектрическую среду от вакуума наличием связанных
зарядов (как объемных, так и поверхностных), можем написать выра-
выражение потенциала в диэлектрической среде так:
Я
dr +
Я
ds,
(А 1Кч
D.15)
где
рсв = - divP, <тсв = Pln - Р2п-
В выраж;ение потенциала входит интеграл
divP
R
¦dr.
D-16)
^См., например, Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математиче-
математической физики. — Гостехиздат, 1951. С. 326-333.

§ 3. Потенциалы в диэлектрических средах
69
Ввиду векторного тождества
Р 1
- = - divP
/1
Pgradf-
Этот интеграл (благодаря наличию dw(P / R)) включает поверх-
поверхностный интеграл. Поэтому при на-
наличии в исходной формуле потенци-
потенциала D.15) другого поверхностного
интеграла:
R
содержащего те же аргументы,
необходимо их сопоставление. Для
этой цели ограничим среду дву-
двумя поверхностями: S' проводится
так, чтобы охватить диэлектриче-
диэлектрическую среду, т. е. проводится в вакууме, так что на поверхности S' имеет
место Р = 0. Поверхность S" охватывает все поверхности S разрыва
вектора поляризации (рис. 16). Тогда
рис
|de-Jpgrad(±)rfr.
S' + S"	V
Учтем, что j) 	 = 0, так как по условию Р = 0 на поверхности Sf,
и проанализируем оставшийся поверхностный интеграл по S". Прове-
Проведя положительную нормаль к поверхности S из первой среды во вто-
вторую и учтя направление нормалей на охватывающей поверхности Sn',
получим
Pds f Plnds Г P2nds
R
R
R
где S" — часть поверхности Sn', проведенной в среде A) и S% — дру-
другая часть поверхности S", расположенная во второй среде. Переходя
к пределу, будем стягивать поверхность S" к поверхности разрыва S,
тогда получим
R
R

70	Гл. IV. Электростатика
Заметим, что в исходной формуле для потенциала D.15) поверхност-
поверхностный интеграл, содержащий нормальные компоненты вектора поляри-
поляризации, совпадает с только что полученным. Учитывая наличие знака
в D.16), заключаем, что два поверхностных интеграла сокращаются,
так что получаем
V	S	V
Таким образом, влияние диэлектрической среды на значение потен-
потенциала свелось только к объемному интегралу. Для того чтобы дать
физические истолкования его структуре, найдем потенциал диполя
(Р = el)
1 1 \ R+- R- el cos в pR
it_|_ it		it	it
Заметим, что непосредственное дифференцирование приводит к сле-
следующим формулам:
1 _	, 1 _ R
R	R R3'
где символ grad без штриха обозначает дифференцирование по коор-
координатам точки истока, а со штрихом — дифференцирование по точке
наблюдения. Таким образом, потенциал диполя имеет вид
Если в элементе объема dr наводится электрический момент
dp = P <ir, то потенциал, создаваемый всеми электрическими распре-
распределенными диполями среды, определится так:
jQ^ dr,	D.18)
v
что точно совпадает с результатом в формуле D.17).
Выражение для потенциала D.17) представляется наиболее общим,
поскольку мы не специализировали уравнение для сред и не наклады-
накладывали каких-либо ограничений на характер диэлектрической среды.
По аналогии с непрерывностью напряженности поля
Г	( 1Л
Е= pgrad - ) dr
v
при условии, что р — ограниченная функция, скалярный потенциал
в диэлектрической среде будет непрерывной функцией положения,
если векторная функция Р(ж7, у'', zf) ограничена всюду в области
интегрирования.

§ 4. Случай разрыва потенциала
71
§ 4. Случай разрыва потенциала
Прежде всего рассмотрим ход потенциала в плоском конденсаторе.
Так как вне неограниченного плоского конденсатора поле отсутствует,
а внутри напряженность равна 4тг<т, то ход функции ip(x) представ-
представляется ломаной с отрезками, параллельными оси х вне конденсатора.
Изменение потенциала при переходе через конденсатор равно 4тг<т/.
Если теперь
lim al = m,	D.19)
а—>-оо
то ход потенциала в этом случае представляется разрывной функцией
(рис. 17). Такой предельный случай носит название двойного электри-
электрического слоя.
I 4тгсг/
4тгт
Рис. 17
Физические примеры реализации двойного слоя разнообразны. На-
Например, на границе вакуум — металл имеется двойной слой, обуслов-
обусловленный частичным выходом электронов из металла. Обобщим резуль-
результат о разрыве потенциала, полученный лишь для плоского двойного
слоя, на двойной слой, расположенный на поверхности произвольной
формы.
Элемент поверхности ds характеризуется электрическим моментом
dp = al ds = т ds,
где т — так называемая мощность двойного слоя. Потенциал, созда-
создаваемый этим моментом, равен
dpH m dsYi m ds cos в	,_
R2
= т <
где dQ* — элемент телесного угла, под которым видна площадка ds
двойного слоя из точки наблюдения (рис. 18). Для конечного участка

72
Гл. IV. Электростатика
поверхности
Г dsR Г
т
где мощность двойного слоя может быть функцией точки на поверх-
поверхности. Эта формула дает возможность определить скачок потенциала
при переходе через двойной слой в наи-
наиболее общем случае — для произвольной
формы двойного слоя.
Рассмотрим два случая: двойной слой
на замкнутой и незамкнутой поверхно-
поверхностях. Пусть для первого случая точка на-
наблюдения находится внутри и для второ-
второго — вне двойного слоя; тогда в первом
случае
ds
рис#
ft = 4тг и ip = 4тгга при га = const,
причем га > 0, если положительные за-
заряды расположены на внутренней части
поверхности, и га < 0 в противоположном случае. Рассмотрение,
следовательно, приводит к постоянству потенциала во всех точках
внутри замкнутого двойного слоя.
Если точка наблюдения находится вне замкнутой поверхности, то
?1 —} 0 (см. рис. 5) при уменьшении просвета и, следовательно, потен-
потенциал вне замкнутого двойного слоя во всех точках равен нулю.
Рассмотрим теперь незамкнутую поверхность двойного слоя. Если
замкнем заданный двойной слой добавлением нового слоя с потенциа-
потенциалом (pi, то общий потенциал будет (pf:
ф' — Ф + <?i-
Разность потенциалов между точками А и В на основании свойств
потенциала, создаваемого замкнутым двойным слоем, равна 4тгт:
<Рт — <Рп = ±4тгг7г
Ч>\ - Ч>\\
1, i - Pi, п) =
где разность (р^ \ — <р^ ц представляет собой разность потенциалов
вспомогательной поверхности. Пусть теперь точки Aw В сближаются,
оставаясь каждая вне и внутри замкнутой поверхности, тогда
i -

§ 5. S-функция в электростатике	73
так что в пределе остается только скачок, создаваемый исходным
незамкнутым двойным слоем:
<pj — (ри = ±4тгт.
§ 5. S- функция в электростатике
Во всех тех случаях, когда приходится иметь дело с конечным
изменением физических величин на бесконечно малых интервалах,
удобно использовать J-функцию (так называемую дельта-функцию).
Определение ^-функции обычно дается интегральным соотношением
D.20)
где / — любая непрерывная функция. Из определения видно, что из
всех значений f(x) J-функция удерживает только одно, соответствую-
соответствующее х = 0. Это может быть осуществлено, если на любом, сколь угодно
малом интервале (—?, + е), содержащем внутри точку х = 0, имеет
место
f(xM(x) dx = /@) 6(х) dx =
Таким образом, получаются два условия, для того чтобы функция
была решением D.20):
1)	сосредоточенность значений ^-функции в нуле:
оо, ^ = О,
0, хфЪ
2)	нормировка J-функции на единицу:
6(х) dx = 1.
Примером E-функции может служить следующее выражение:
+к
Six) = — hm elkx dk = - hm
V У 27Г K^oo J	7Г
hm e dk	hm,
27Г K^oo J	7Г	X
-K
поскольку сосредоточенность функции у нуля будет все большая с уве-
увеличением К. Расстояния от х = 0 до точек хп, где 6(х) = 0, опреде-
определяется условием
Кхп = птг (х = ±1, ±2, . . .).

74
Гл. IV. Электростатика
Следовательно, с ростом К имеет место хп —> 0 для всех конечных
значений п. Условие нормировки выполняется, поскольку
lim — —
K^oo 7Г J
sin Кх
dx = 1.
Производная от J-функции может быть найдена в явном виде, если
распространять правило интегрирования по частям и на E-функцию:
оо	оо
[ f{xM'{x)dx = f{xM{x) - \ f'(x)S(x)dx=-f'@).
J	— оо J
— оо	—оо
Отсюда в качестве следствия имеем (рис. 19):
5f(x)dx =
= 0.
В то время как <5(ж)-функция должна быть четной:
6{х) = 8(-х),
D.21)
6(х)
х = 0
х = 0
8'(х)
Рис. 19
производная E(ж)-функции всегда
нечетна:
Я'(т\ — _Я'( — т\	(Л 99^
Запишем в качестве примера
применения J-функции результат
о распределении зарядов и изме-
изменение потенциала и напряженности
поля в двойном электрическом слое.
Ввиду сосредоточенности как поло-
положительных, так и отрицательных
зарядов в двойном слое получаем
р{х) = а5(х + /) — сг5(х) = &15'(х) = mSf(x).
Потенциал при переходе через двойной слой равен нулю для х < 0
и равен 4тгга для х > 0, поэтому можно записать потенциал как
функцию х с помощью ^-функции:
<р(х) = 4тгга
О	для х < О
4тгга для х > 0.

§ 6. Дифференциальные уравнения для потенциалов	75
Напряженность электрического поля в двойном слое получаем, диф-
дифференцируя (р(х):
Ех = — —— = 4:7гт5(х).
ох
Заметим, что математические понятия, связанные со строго ограничен-
ограниченными геометрическими образами, — разрывы функций, линии, не имеющие
толщины, и т. п. — не вполне строго адекватны действительности. Скачки
имеют в действительности только относительный характер для того круга
явлений, в который всегда имеющая место некоторая «протяженность»
скачка не является существенной, ^-функция, если она понимается не как
в пределе строго разрывной, а несколько протяженной, в большей мере
отображает действительность. Поэтому имеется основание в непротиворе-
непротиворечивом использовании E-функции только при условии ее принципиальной
сглаженности. Предельное ее значение только лишь упрощает результаты,
делая их более простыми в вычислениях.
Заметим также, что у функций, имеющих разрывы, ^-функция отбирает
полусумму значений слева и справа от точки разрыва, т. е. в определенном
смысле сглаживает разрыв:
оо
?( /\г/ /\ j ' v 1 Г ?( /ч sin/f (ж — ж') ,
f(x)S(x- x)dx = hm — fix)	-	-dx =
K^oo 7Г J	X - Xf
§ 6. Дифференциальные уравнения для
потенциалов
Рассмотрим прежде всего поле в вакууме, обусловленное наличием
свободных зарядов. Для вакуума основные уравнения электростатики
имеют вид
rot Е = 0,	E2t - Elt = 0,
divE = 4тгр,	Е2п - Е1п = 4тгсг.
Перейдем от напряженности к потенциалу, положив Е = — grad ip.
Тогда уравнение для вихря удовлетворяется, поскольку же
д2<р д2р д2р
получаем дифференциальное уравнение для потенциалов:
A if = — 4тгр.
Выразим оператор Лапласа в криволинейных ортогональных координатах.

76	Гл. IV. Электростатика
Пользуясь выражениями в криволинейных ортогональных координатах
для компонент градиента и для diva:
1 dip
=
) () д(агН1Н2)\
dqi	dq2	dq3 J'
находим
1 f д (Н2Н3ду\ д /Я3Я! <9уЛ д /Я1Я2Эу
V Я1ЯаЯз\вдД Ях 0gj 0д2\ #2 д</27 9</з V #з dq
В частности, в цилиндрических координатах
dl2 = dr2 + p2 dO2 + dz2, Их = 1, Я2 = р, Я3 = 1,
а в сферических координатах
dl2 = dr2 + r2 dO2 + r2 sin2 0 da2, #i = l,	#2 = r,
_J__^/2^\ 1 fl /	^\
V ~ r2 dr \r Or ) r2 sin в дв \	дв )
г2 дг V дг ) г2 sin в дв V дв) г2 sin2 0 <9а2 '
К этому дифференциальному уравнению, являющемуся основным
в теории потенциала, нужно добавить условие непрерывности потен-
потенциала и его производных. Мы видели, что за исключением двойных
электрических слоев потенциал на границах раздела заряд — вакуум
всегда непрерывен: (ip)i = {фJ- Так как тангенциальные составляю-
fd<p\ fd<f\ тт
щие электрического поля неразрывны, то I -j— I = I -7— I . Нормаль-
ные ж;е производные могут испытывать скачок:
2
В диэлектрической среде основные уравнения электростатики
rot Е = 0,	E2t - Elt = О,
divD = 4тгр,	D2n ~ Dln = 4тг<т
также дают возможность найти уравнение для потенциала, не предпо-
предполагая однородности диэлектрической среды. Имеем:
P	E,
4тг
= 47r(p-divP) = 4тг(р + рсв).	D.23)

§ 7. Прямая и обратная задачи электростатики	77
Выразим рсв через р, ip и е:
рсв = — div	е~Е =	div D — sE grad
4тг?	4тг?
5-1	_	_
=	/? + е grad у? • grad
е
Подстановка результата в D.23) дает
.. _ 4пр	1	1 е —
div .Ь =	Ь ? grad у? grad
g у g
Окончательно получаем следующее дифференциальное уравнение для
потенциала в произвольной диэлектрической среде:
4тгр 8 — 1
А(р =	е grad (^ grad	.	D.24)
В частном случае однородной среды е = const получаем:
4тгр
е
Таким образом, потенциал в однородной диэлектрической среде по
сравнению с потенциалом в вакууме при том же распределении свобод-
свободных зарядов уменьшается в е раз и соответственно плотность зарядов
при одинаковом значении потенциалов должна увеличиться во столько
же раз.
Граничные условия на границе раздела диэлектрических сред та-
таковы:
1. ifi = if2 (непрерывность потенциала, исключая двойные слои);
2.	( —— J = I —— I (непрерывность тангенциальных составляю-
\ ot )\ \ ot ) 2
щих напряженности электрического поля);
{ д(р\	( д(р\
3.	?\ -г— — ?2 \ -тг~ = 4тгсг (разрыв производных потенциала
\dnj1	\dnj2
по нормали к поверхности раздела).
§ 7. Прямая и обратная задачи электростатики
Рассмотрим сначала обратную задачу как наиболее простую: по
заданному потенциалу как функции координат определить распреде-
распределение заряда в каждой точке пространства.
С первого взгляда кажется, что задача всегда разрешима и сводит-
сводится к процессу дифференцирования, так как
Е = —grad у?, р = — divE = — — Ар,
4тг	4тг

78	Гл. IV. Электростатика
однако это будет верным только в том случае, если нет особенностей
в поле (точечных зарядов, двойных электрических слоев), приводящих
к неопределенному значению производных в точках разрыва. Для того
чтобы это подчеркнуть, рассмотрим следующую задачу. Пусть дано
е _
распределение потенциала в виде ш = — е~аг. имеющее особенность
г
в точке г = 0, и требуется определить распределение заряда, соответ-
соответствующее заданному потенциалу. Вначале определим распределение
зарядов дифференцированием на основании формулы р = — -—Ар,
4тг
не обращая внимания на существование особенности. Получаем
1 1 d ( 2^</Л	еа2 1 _аг а2
4тг г2 dr \ dr J	4тг г	4тг
Заметим, следовательно, что потенциал <р = — е~аг удовлетворяет
г
уравнению A if + а2(р = 0.
На основании полученного выражения для р определим, какой
заряд сосредоточен в окрестности г = 0:
г
Г	е Г 1
er =	pdr =	а2 \ - е~аг4пг2 dr = e{e~ar(l+ar)-l}; D.25)
J	4тг J r
4тгг3	О
3
пусть г —>• 0, тогда и ег —>• 0. Таким образом, в особой точке нет
точечного заряда. Применим, однако, для решения этой же задачи
определения заряда в особенности интегральную форму основного
уравнения электростатики:
)Е ds = 4тге, Еп = Ег = — — =
s
Интегрируя по сфере с особенностью в центре, находим
Еп ds = Ег4:7гг2 = 4тге(аг + 1)е~аг,
s
стягивая сферу к особенности г —>• 0, получаем
Таким образом, в особенности расположен точечный заряд, равный е,
что противоречит результату, полученному на основании дифферен-
дифференциального уравнения.
Этот пример указывает, что для решения обратной задачи нельзя
ограничиться дифференциальным уравнением: в местах особенности
оно теряет смысл и может приводить к неправильным заключениям

§ 7. Прямая и обратная задачи электростатики	79
о действительном распределении зарядов. Дифференциальное уравне-
уравнение может выявить только непрерывное распределение зарядов, но не
выявляет точечных зарядов. В рассмотренном выше примере полный
заряд непрерывного распределения
находится из D.25) при г —>• оо:	_	_
Таким образом, решение задачи — ~~ _ ~~ _ ~~ —
таково: точечный заряд окружен ат- _ _ -Г" ~_ _ _
мосферой непрерывного распреде- _ _ _ _|_ _ _ _
ления отрицательного заряда с пол- _ ~~ —	— ~~ _
ным зарядом атмосферы, равным _ ~_ ~— _^" _7" _
— е. В целом система, воспроизво-	— —	— —
димая приведенным выше потенци-	— ~~ _ "" —
алом, нейтральна (рис. 20).	—	—
В прямой задаче электростатики	—
требуется по заданному распределе-	?пс. 2^
нию зарядов определить распределение потенциала. Рассмотрим два
метода решения этой задачи.
Метод сведения дифференциального уравнения к инте-
интегральному, пользуясь интегральными формулами Грина.
Воспользуемся известной формулой Грина
\{<рАф + V<?VV>) dr = | <р|^ ds,	D.26)
имеющей место для двух произвольных, но дважды дифференцируе-
дифференцируемых функций, или другой ее формой:
дф д(р\
(р—	ф-^~ ds	D.27)
on on J
(получающейся из предыдущей). Положим А(р = — 4тгр, а ф = -;
г
функция ф удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = 0 всюду, за
исключением точки г = 0. Выделяя сферой Sf особенность функций ф,
можем написать
L	[ ( 9 /1 \ 1 dtp 1
- А^ dT =	\ (р— I — ] —	/ ds.	D.28)
S+Sf
Интеграл по поверхности Sf сводится к виду
1 1 , 1 1 д(Р J
-г- ф (р as + - ф —— as,
гА ]	г j or
S'	S'

80	Гл. IV. Электростатика
причем здесь мы учли разный знак при дифференцировании по нор-
нормали п и по радиусу г:
dip _ dip д /1\ _ д /1\ _ 1
дп дг' дп \г) дг \г) г2
Применим теорему о среднем для определения правой части D.28) при
стягивании сферы к точке:
— &)(pds + -(b—!-ds = —Щтгг1 + - -^
гА ]	г ) or	rz	г or
S'	S'
dip
В пределе г —>• 0 получаем 4тг(^, причем учтена ограниченность ^ и ——
во всех точках рассматриваемого объема. Таким образом, формулу
Грина со вспомогательной функцией ф = — можно написать так:
г
1 ГА^	1 Г Г 0	/1\ 1 д<р\
<р = -—- 	dr - — ф <^ <р—	I	— Ws.	D.29)
4тг J г	4тг J [ 9п	\гу г дп)
v	s
Пока мы не конкретизировали функцию у>, она только должна обла-
обладать производными до второго порядка включительно. Пусть теперь
(р есть потенциал, удовлетворяющий уравнению
1 [ pdr 1 Г Г д	A\ 1 й^\
=	^- N ^^-	- --т- Us. 4.30
sj г 4тг J ^ дп	\г J г дп)
v	s
Тогда
Поскольку искомая функция входит под знак поверхностного интегра-
интеграла, то мы свели задачу решения дифференциального уравнения Aip =
= —4:7гр/е к решению интегрального. Если, однако, известно значение
ip на границе и значение производной по нормали к границе, то урав-
уравнение D.29) может рассматриваться как решение дифференциального
уравнения при указанных условиях на границе.
С другой стороны, если ограничить себя определенным классом
функций, наложив требования о характере убывания функции ip при
г —>• оо, то интегральное уравнение сразу дает решение задачи, если
эти требования гарантируют исчезновение поверхностного интеграла
и если, конечно, эти требования не будут противоречить полученному
решению.
Такой путь решения интегрального уравнения осуществим. В са-
самом деле, предположим, что потенциал убывает в бесконечности
как 1/г, тогда, удаляя каждую точку поверхности S в бесконечность,

§ 8. Метод решения дифференциального уравнения для потенциала 81
получаем для первого члена в выражении под знаком поверхностного
интеграла
— (
дг \г,
и для второго
г дг г3
Ввиду того что при росте г поверхность увеличивается как г2, а подын-
подынтегральное выражение в поверхностном интеграле убывает как 1/г3,
приходим к заключению, что условие, накладываемое на решение,
устраняет поверхностный интеграл и мы получаем решение для бес-
бесконечной области:
Согласованность поставленных требований с полученным решением
сразу проверяется, поскольку для зарядов, расположенных в конечной
области пространства, асимптотический ход потенциала при удалении
точки наблюдения в бесконечность
е
—
действительно убывает как 1/го-
Важно подчеркнуть, что потенциал вида D.31) требует обязательного
распределения зарядов в конечных областях пространства, поэтому выра-
выражение D.31) не эквивалентно исходной формуле D.30), содержащей поверх-
поверхностный интеграл, которая не предполагает указанного ограничения. С точ-
точки зрения общих уравнений электростатики формула D.31) выполняется при
дополнительном условии о свойстве поля в бесконечности и, таким образом,
включает новую предпосылку помимо тех, которые содержатся в основных
уравнениях электродинамики (постулат о локализации зарядов).
§ 8. Метод решения дифференциального
уравнения для потенциала с помощью интеграла
Фурье
Если ограничиться такими задачами, в которых заранее известно,
что функции if и р интегрируемы во всем пространстве, причем
\(р\ dr < оо, \р\ dr < оо,
то разложение этих функций в интеграл Фурье сводит задачу решения
дифференциального уравнения к решению системы алгебраических

82	Гл. IV. Электростатика
уравнений для амплитуд Фурье. В самом деле, полагая
где амплитуды Фурье <^к и Рк равны
и подставляя выражения D.32) в уравнение Aip = — 4тгр, получаем
Г	Г
иэ\<Аегкг dk = -4тг pv^kr dk,
J	J
или
г	г
<?к(-&2)егкг dk = -4тг ркегкг dk.
J	J
Умножим обе части последнего уравнения на е~гкг и проинте-
проинтегрируем по г. Если считать, что функции удовлетворяют условиям
перестановки пределов интегрирования, то приходим к следующему
интегралу:
)r^
оо	оо
оо
k'v)y d ± [ ei(k,-k'z)z dz =
2тг J
2тг J	2тг
— оо	—оо	—оо
= д(кх - к'хЩку - k'y)S{kz - k'z) = д(к - к').
В связи с этим уравнение приобретает вид
(-к2M(к - к') dk = -4тг рк#(к - к') dk.
J
Далее, на основании основного свойства ^-функции
оо
f(xM(x — a) dx = f(a)
— оо
получим
Итак, окончательно
_ 4тг
Таким образом, неизвестные амплитуды Фурье потенциала вы-
выражаются через амплитуды Фурье распределения зарядов, которые

§ 9. Краевые задачи электростатики	83
могут считаться известными. На основании исходной формулы Фурье
получаем решение задачи в виде интеграла:
Например, для случая точечного заряда р(г) = е5(г)
р	Airр Г рг
Г	1
I с* / \ 	i\cr 1
д(г)е dr=
В сферической системе координат
гкг	°°	П	°° +1
J= l^dk = 2ir \^k2dk leikrcosesm0d6 = 27r \ dk f eikrx dx,
01
0	0	0-1
где обозначено х = cos^, получаем
J =
и окончательно
oo
0
sin
к
(f -
kr
r
e
r
_2тг2
r
§ 9. Краевые задачи электростатики
Рассмотрим задачу о распределении потенциала в пространстве
при наличии заряженных проводников.
Поскольку
- p =- [
0 J
и в проводниках Е = 0, то внутри проводников и на их поверх-
поверхности (р = const. На поверхности проводника, как мы видели ранее,
1 дш
Еп = 4тгсг, а так как Е = — grad о?, то а =	-т—, т.е. поверх-
4тг on
ностная плотность заряда выражается через производную потенциала
по нормали к поверхности проводника. Вне проводников потенциал
удовлетворяет уравнению Лапласа
В первой краевой задаче электростатики задается потенциал на
каждом из проводников <^. Требуется определить потенциал всюду
и вне проводников путем решения уравнения А(р = 0. Во второй

84	Гл. IV. Электростатика
краевой задаче задан заряд на каждом из проводников:
1 Г dip
e =	ds
Si
вне проводников потенциал удовлетворяет уравнению Aip = 0.
Теорема о единственности решения этих задач имеет практическое
значение. Действительно, найдя каким-либо специальным методом
частное решение задачи, мы будем иметь гарантию, на основании
теорем однозначности, что это решение и есть искомое решение, по-
поскольку других не существует.
Докажем единственность решения первой задачи. Пусть имеется
два решения: ipi и у>2, удовлетворяющие уравнению Лапласа и од-
одним и тем же граничным условиям. Тогда разность этих решений
if' = ipi — ip2 также удовлетворяет тому же уравнению Aipf = 0 и гра-
граничным условиям ipf = 0 на поверхности каждого из проводников.
Докажем, что tpf = 0. В формуле Грина
А	I 9^ A
dr = ф<^-^— ds
J дп
v	s
положим if = ф = ipf. Тогда
где поверхностный интеграл вычисляется по поверхности всех провод-
проводников. Так как на поверхности каждого проводника у/ = 0, то
v
/J
Далее, может быть только (V<//J ^ 0, а поскольку интеграл от этой
величины равен нулю, то, следовательно,
откуда
(pf = const.
На поверхности проводников tpf = 0, следовательно, и всюду (pf = 0,
что и требовалось доказать.
Докажем теперь единственность решения второй краевой задачи.
Пусть имеется два решения этой задачи, удовлетворяющие граничным
условиям
-— —ds = ei
4тг J дп
Si

§ 9. Краевые задачи электростатики	85
и уравнению
Следовательно, разность этих решений ip' = <^i — (?2 удовлетворяет
нулевым граничным условиям
' = 0.
Si
и уравнению
Применяя опять интегральную формулу и используя условие, что
потенциал на поверхности проводников постоянен, находим
ds.
on	J on
V	S	S
Но на основании граничного условия ф —— ds = 0 получаем
J дп
s
отсюда
(pf = const;
таким образом, решения y>i и (р2 могут отличаться только на по-
постоянную. Если потребовать сохранение нормировки для потенциала
(в какой-либо точке потенциал должен иметь раз навсегда выбранное
значение), то
Рассмотрим некоторые приложения теорем единственности.
1. Существование емкости уединенного проводника. Только
при условии независимости отношения заряда к потенциалу от вели-
величины заряда [ — = — = С I понятие емкости имеет смысл. Поэтому
\<р ^ J
нужно показать, что законы электростатики предусматривают эту
независимость. Положим, что во второй задаче
заряд увеличен в т раз. Покажем, что автоматически и потенциал if
увеличится в т раз, т. е. если е' = гае, то (pf = пкр. Действительно, (pf
удовлетворяет уравнению Лапласа и граничному условию, посколь-
поскольку (р удовлетворяет этому условию. Следовательно, у/ есть решение

86	Гл. IV. Электростатика
второй задачи, а так как решение второй краевой задачи может быть
только единственным, то, следовательно, увеличение заряда в т раз
изменяет потенциал также в т раз, чем и обосновывается понятие
емкости.
2. Существование электростатической защиты. Покажем,
что из законов электростатики вытекает независимость распределения
поля внутри полости с металлическими стенками от распределения
зарядов вне полости.
На поверхности внутри металлического слоя, охватывающего по-
полость, справедливо соотношение
Eds = 4тге = О,
так как Е = 0 внутри проводника. Следовательно, индуцированный на
поверхности заряд всегда равен полному заряду ^2 еь находящемуся
внутри полости, но противоположен ему по знаку, т.е. равен — ^е^.
Обозначим поверхностную плотность зарядов на внутренней поверх-
поверхности через <т, тогда указанный результат можно записать так:
a as =	ф -— as = — > е^.
4тг J дп	^-^
S	S
Таким образом, неизменной остается величина
*-!:' <4-34»
— заряд на внутренней поверхности металлической полости. Посколь-
Поскольку эти условия совпадают с условиями единственности второй задачи,
то последнее обстоятельство определяет независимость поля внутри
замкнутой поверхности металлической полости от зарядов вне этой
поверхности.
§ 10. Энергия электростатического поля
Из общего выражения энергии электромагнитного поля следует,
что в случае отсутствия магнитного поля энергия равна
= -*- [ sE2 dr = -1- f ED dr,	D.35)
8тг J	8тг J
W
V	V
причем интегралы вычисляются по всей области пространства, где
Е ф 0. Особо характерным для выражения энергии D.35) является

§ 10. Энергия электростатического поля	87
непрерывное распределение энергии в пространстве с плотностью
еЕ2
w = 	.
8тг
В электростатике, оказывается, можно дать для энергии другое вы-
выражение, характеризующее пространственную локализацию энергии
только в тех областях, где находятся заряды. Для этой цели выразим
энергию непосредственно через объемные и поверхностные заряды,
воспользовавшись основными уравнениями электростатики:
Е = - grad <p, div D = 4тгр,
а также векторным тождеством
div (pT> = <р div D + D grad (p.
Получим
W =	D grad <p dr =
8тг J
v
If If If
= — ((p div D — div y?D) dr = — ip div D dr	ф (pD ds =
8тг J	8тг J	8тг J
V	V	S
If	If
= - (ppdr	ф (pB ds. D.36)
2 J	8тг J
V	S
Рассмотрим поверхностный интеграл. Поверхность S должна ограни-
ограничивать все поле и места разрыва вектора D (двойной слой исключаем),
т. е. заряженные поверхности.
Для зарядов, сосредоточенных в конечной области пространства,
поверхностный интеграл по бесконечно удаленной поверхности S ис-
исчезает, поскольку для этого случая
(р ~ -, ?)~—, S ~ г2
г	rz
и, следовательно,
г
ds —> 0.
Интеграл по поверхности S", включающей в себя поверхность разрыва
вектора D, при стягивании этой поверхности к поверхности разрыва
выражается через значения нормальных компонент на этой поверхно-
поверхности:
Г	Г	Г
ф u?D ds = (p(Din — Z?2n) ds = — \ (рАтга ds.
J	J	J
Sf	S	S

Гл. IV. Электростатика
Таким образом,
\	\<pds.	D.37)
Особенность этого выражения заключается в том, что интегралы
в D.37) в отличие от исходной формы D.35) распространены только на
пространственные области, содержащие заряды, так как в других об-
областях пространства подынтегральные выражения исчезают. Поэтому
с точки зрения D.37) можно говорить о пространственной локализации
электростатической энергии.
Таким образом, можно получить две различные физические интер-
интерпретации. Вторая физическая интерпретация сводится к утверждению
о том, что электростатическая энергия есть энергия взаимодействия
зарядов. Действительно, поскольку
pdr
г
v
то для объемно-распределенных зарядов получаем:
D.38)
2 J J	\r-r*
V V
Ввиду того что заряды могут быть разделены пространством, не со-
содержащим зарядов, вторая точка зрения допускает взаимодействие
через области пространства, не содержащие энергии [см. D.37)]. Эта
точка зрения носит название «принципа дальнодействия» в отличие
от «принципа близкодействия», согласно которому такая возможность
исключается. Точка зрения, лежащая в основе «принципа дальнодей-
дальнодействия», если ее понимать как утверждение о возможности взаимодей-
взаимодействия через «ничто», для диалектического материализма неприемле-
неприемлема, так как отрывает материю от пространства.
Попробуем разобраться, действительно ли выражения D.35) и D.37) со-
совершенно математически эквивалентны, как это часто утверждается. Преж-
Прежде всего заметим, что выражение для энергии D.35) мы получили из теоремы
Умова-Пойнтинга, не предполагающей какого-либо закона взаимодействия
между зарядами (при выводе этой теоремы были использованы только два
первых уравнения поля
rot Н = — j H	— и rot E =	—
с	с dt	с dt
формулы же D.37) и D.38) основываются на уравнениях электростатики.
Поэтому можно говорить только о конкретизации выражения D.35) при
новых дополнительных условиях на поле, заключенных в уравнениях элек-
электростатики и, вообще говоря, не содержащихся в выражении D.35). Кроме
того, при переходе от D.35) к D.37) мы опустили поверхностный интеграл

§ 10. Энергия электростатического поля	89
ф <?>D ds и этим ограничили себя определенным типом поля, достаточно
быстро убывающего с расстоянием. Конечно, важно, что это условие не
находится в конфликте с полной системой уравнений электростатики, но
и не менее важно, что оно не является автоматическим следствием этих
1 п г	х
законов, поскольку при установлении условии ю ~ —, и ~ —- мы треоо-
г	г2
вали сосредоточенности зарядов в конечной области пространства — факт,
который не может считаться следствием этих законов. Поэтому о матема-
математической эквивалентности можно говорить только с учетом этих двух об-
обстоятельств. Отметим, что вопрос о локализации энергии связан с вопросом
о пространственной локализации заряда. Отбрасывание поверхностного ин-
интеграла может рассматриваться как условие пространственной локализации
заряда и это же условие приводит к локализации энергии в зарядах.
Приходим к следующему заключению: а) формулы D.35) и D.37) ма-
математически не эквивалентны; б) физический факт о пространственной
локализации энергии в областях, где имеются заряды, мы, строго говоря, не
вывели, а ввели с помощью дополнительного принципа локализации зарядов
только в конечных областях пространства. Другими словами, простран-
пространственная локализация зарядов привела к пространственной локализации
энергии.
Следует отметить, что формула D.38) не находится в соответствии со
статистической механикой, описывающей поведение многих частиц, взаимо-
взаимодействующих между собой по произвольному центральному закону. В самом
деле, в классической статистической механике вводится функция распре-
распределения D(qi, . . . , qN, pi, • • • , Pn), зависящая от координат </i, . . . , qN
и импульсов р\, . . . , pn всех частиц и нормированная на единицу. С по-
помощью этой функции вычисляются средние величины. Для аддитивных
N
величин, т.е. имеющих вид ^ w(qi, Pi), например плотности, кинетической
г = 1
энергии и т.п., имеем:
	 п N
W = \^2 W(qi, pi)D(q1, . . . , qN, pi, . . . , pN) dq\ dpi, . . . , dqN dpN.
ii
D.39)
Для одинаковых частиц функция D(qi, . . . , gw, pi, • • • , Pn) должна быть
симметричной при перестановке координат (и импульсов) частиц. Поэтому
интегрирование в D.39) дает:
W = N \ W(q, p)f(q, p) dq dp,
где f(q, p) = D(q1, . . . , qN, pi, . . . , pN) dq2 dp2 . . . dqN dpN — функция
распределения одной частицы. Для так называемых бинарных величин,
имеющих вид ^2 W(qi, Рг, qj, Pj) (например, потенциальной энергии вза-
гфз
имодействия между частицами), имеем:
^	...,qN,pi, . .., pN)dqidpi ...dqNdpN

90	Гл. IV. Электростатика
или
W =	 W(qi, pi, 92, P2)/(9i, Pi, 92, P2) dqi dpi dq2 dp2,
N(N-l)
где множитель —	 обозначает число сочетании из N элементов по
два. Функция /(91, Pi, 92, Р2) есть функция распределения пары частиц.
В случае если бинарная величина W(qi, q2) не зависит от импульсов ча-
частиц, а зависит только от их координат, можно перейти к новой функции
распределения:
p{qu 02) = /(9ь Pi, 92, Р2) dp! dp2.
Тогда
	 7VGV - 1) Г
W = —к-—	 W(qi, 92)^(91, 92) dqi dq2.
В случае закона Кулона среднее значение потенциальной энергии электро-
электростатических сил взаимодействия системы частиц выражается формулой
2	J |П-Г2Г "
Сравним эту формулу с формулой, получаемой в электростатике:
1*1 -Г2|
здесь р обозначает пространственную плотность заряда. Для удобства срав-
сравнения с формулой D.40) введем плотность местоположения частиц, норми-
нормированную на единицу: p(r) = e7Vp+(r), | p+(r) dr = 1, тогда
:—-dridr2.	D.41)
|Г1-г2|	V }
Замечаем, что формулы D.40) и D.41) даже для 7V ^> 1 существенно
различны, так как p(i*i, r2) ф p(i*i)p(r2). Решение задачи о причинах
несоответствия заключается в разной модели частиц в электродинамике
и статистической механике. Именно статистическая механика предполагает,
что частицы — строго точечные, и «непрерывный» способ описания до-
достигается посредством введения ансамблей состояний с помощью функций
распределения. Формулы же электростатики основываются на переходе от
энергии точечных частиц
2
к объемно-распределенным зарядам, т. е. вводятся не точечные, а протя-
протяженные частицы. Приходим к заключению, что электродинамический ме-
метод введения непрерывности принципиально отличается от статистического.
В статистической физике вероятность местоположения одной из частиц
в объеме dr\ зависит от того, есть ли другая частица в объеме dr2. Име-
Имеет место статистическая зависимость в вероятностях положения частиц
в пространственно разобщенных объемах (рA, 2)dri dr2 / p(l)pB) dr\ dr2).
В электродинамике совершен переход от точечных зарядов к протяженным,
при этом пред пол ожено, что распределение плотности заряда в каждом

§ 10. Энергия электростатического поля	91
«облачке», заменяющем точки, осуществляется независимо от распре-
распределения заряда в других «облачках».
Рассмотрим теперь несколько частных случаев общего выражения
энергии в электростатике.
Энергия системы заряженных проводников. Поскольку по-
потенциал на поверхности каждого проводника имеет постоянное значе-
значение, а объемная плотность заряда внутри проводников равна нулю, то
(Tds = -^2 eWi-	D-42)
7	7	7
1 Si	l	Si	l
В итоге получается, что энергия системы проводников определяется
только зарядом и потенциалом каждого проводника (причем явно не
зависит от распределения зарядов).
Для изолированного проводника
W =-е<р,
или, с учетом введения емкости проводника С = —,
Таким образом, емкость проводника определяет величину энергии про-
проводника при заданном заряде.
Если под конденсатором, по определению, будем понимать систему
проводников, обеспечивающих наличие области пространства, поле
в которой не будет зависеть от расположения внешних зарядов, то
е
понятие емкости введем как отношение 	, где <р\ — if 2 пРеД~
ставляет собой разность потенциалов между внутренним проводником
и внешним, играющим роль электростатической защиты. Для энергии
конденсатора имеем:
1	1	1 е2
От формы проводящих поверхностей зависит только коэффициент
С — емкость конденсатора.
Собственная энергия и энергия взаимодействия. Рассмот-
Рассмотрим два наэлектризованных тела. Поскольку в каждой точке про-
пространства Е = Ei + E2, то
W = — [ Е2 dr = — [ El dr + — [ El dr + ^- [eiE2 dr. D.43)
О7Г J	О7Г J	О7Г J	4ТГ J

92	Гл. IV. Электростатика
В то время как напряженность поля является аддитивной функцией
полей, создаваемых каждым отдельным источником, энергия системы
зарядов складывается из энергии отдельных зарядов энергии взаимо-
взаимодействия:
1 Г
Wi2 = — grad у?! • grad (р2 dr.	D.44)
4тг J
Рассмотрим энергию взаимодействия на простейшем случае взаимо-
взаимодействия точечного заряда с заданным внешним полем. Пусть y>i —
потенциал внешнего поля, tp2 — потенциал заряженной точки. Преоб-
Преобразуем D.44), используя формулу Грина
dr = cb^i—— ds.
v	s
Так как A(p2 = 0 во всех точках, за исключением области, ограничен-
ограниченной сферой $, содержащей точечный заряд, то в выражении энергии
взаимодействия
W12 = — VVd
4
4тг J	4тг J on
S
(где V — объем всего поля, за исключением объема выделенной сферы)
выпадает второй член, и мы имеем:
1 Г диэ2	1 Г д(р2	1
(p&ds =	P$ds = —
4
(pi&^ds ^Pi$^yds
4тг J on	4тг J on'	4тг
s	s
(где nf = -n, --Q-7 = E).
Поскольку, однако, cpEds = 4тге, имеем окончательно:
s
W12 = e(p,
где (р — потенциал внешнего поля в месте нахождения точечного
заряда. Обобщая этот результат на систему зарядов во внешнем поле,
имеем:
W12=Yiem-	D-45)
г
Хотя форма D.45) близка к форме D.42), однако смысл этих выраже-
выражений, очевидно, существенно различен. Энергия системы проводников
включает как собственную энергию, так и энергию взаимодействия.
В формуле же D.45) значение потенциала (fi не содержит в себе по-
потенциала, создаваемого каждым зарядом ei рассматриваемой системы.

§ 10. Энергия электростатического поля	93
В случае если система точечных зарядов занимает область про-
пространства, внутри которого потенциал внешнего поля сил меняется
лишь медленно, энергию взаимодействия можно представить в более
удобном виде. Пусть точка ж, у, z выбрана внутри объема системы.
Тогда
Е
, У + 1u z + (i) =
dip . dip	dip
Ed(p ^-^	dip ^-^	dip
D.46)
Коэффициенты при первых производных представляют собою не что
иное, как компоненты электрического момента системы:
Это определение электрического момента относительно произвольной
точки не противоречит данному ранее (р = el, где 1 — вектор, прове-
проведенный из центра тяжести отрицательных зарядов к центру тяжести
положительных). В самом деле, для центра тяжести положительных
зарядов мы имеем:
следовательно,
В случае, если система зарядов в целом нейтральна:
Е-
получаем
Следует отметить, что без условия нейтральности выражение электри-
электрического момента

94
Гл. IV. Электростатика
зависит от положения системы координат. Действительно, полагая
г = г7 — а, имеем:
только в случае
определение электрического момента не зависит от выбора системы
отсчета. Первые два члена энергии взаимодействия, следовательно,
имеют вид
^2	= Ч> ^2 ei ~ рЕ'
Для нейтральной системы получаем
W12 = -рЕ,
если ограничиться первым неисчезающим членом разложения.
В третьем члене выявляется роль асимметрии в распределении
зарядов более высокого порядка, чем та, которая может быть охаракте-
охарактеризована электрическим моментом. Эта асимметрия характеризуется
матрицей из девяти коэффициентов:
Е<
из которых различными являются только шесть. Система с распреде-
распределением зарядов, характеризуемая третьим членом разложения в D.46),
носит название квадруполя, а все последующие члены разложения
более высокого порядка называются мультиполями.
Простейшая форма распределения точечных зарядов, приводящая
к первым четырем членам разложения, схематически представлена на
рис.21.
Заряд Диполь Квадруполь
Рис. 21
+
Октуполь
Рассмотрим собственную энергию и энергию взаимодействия то-
точечных зарядов между собой.

§ 10. Энергия электростатического поля	95
Поскольку Wi2 = ei<^, то энергия взаимодействия двух зарядов
(^2 \
ip = 	 1
Wl2= Г12
Собственная энергия каждого из зарядов с радиусом а будет зависеть
от характера распределения заряда по шару. Для зарядов, располо-
расположенных равномерно по поверхности,
О2
= - l
1 Г	2
s = - (р \а ds = —,
равномерно по объему —
w
2
для общего случая — какого-либо другого закона распределения —
можно считать
е2
Wn = a — ,
а
где а — численный коэффициент, различный для разных законов
распределения.
Таким образом, полная энергия двух заряженных телец с заданным
радиусом а равна:
2	2
W = a— + a— + ^.	D.47)
a	a ri2
В этой записи есть, очевидно, непоследовательность: третий член
имеет место только для точечного представления исходных зарядов;
однако при 7*12 ^> а поправка будет мала. Переход к точечным зарядам
(а —>• 0) дает
т. е. получили, что собственная энергия точечного заряда бесконечно
велика. Этот факт имеет для современной электродинамики принци-
принципиальное значение, так как указывает, что точечный образ приводит
к прямым трудностям. Точку нельзя наделить конечной количествен-
количественной величиной энергии, могущей подвергаться изменениям в зависи-
зависимости от внешних условий. Трудности теории особо остро выступают
в вопросах динамики точечных заряженных частиц, так как напря-
напряженности полей (Е и Н), создаваемые точечными зарядами, в точке
нахождения каждой частицы обращаются в бесконечность. Поэтому,
например, точное значение сил (включая собственное поле частицы)

96	Гл. IV. Электростатика
в месте, занимаемом самой точечной частицей, теряет смысл *). Ука-
Указанное обстоятельство препятствует объединению электродинамики
с механикой «материальных точек». Возможные пути преодоления
указанной трудности мы рассмотрим в микроскопической теории во
второй части курса.
Заметим, что формула D.47) указывает на отсутствие непрерыв-
непрерывного перехода между основными дифференциальными уравнениями
электродинамики и исходными посылками теории. В самом деле, мы
исходили из закона Кулона для точечных зарядов, который в своей ос-
основе не содержал какой-либо собственной энергии, а только конечную
энергию взаимодействия, переход же к точкам, исходя из непрерывно-
непрерывного распределения зарядов, привел, как мы видели, к существованию
нового качества — к собственной энергии заряженных частиц. Причина
отсутствия непрерывного перехода заключается в том, что сам переход
от точек к континууму имеет скачкообразный характер. Этот переход,
как отмечалось ранее, связан с введением нового фактора — эффекта
взаимодействия между отдельными элементами, составляющими за-
заряд протяженной частицы. Этот эффект при переходе от протяжен-
протяженного образа к точечному простым уменьшением размеров частицы,
естественно, не устраняется, а только увеличивается, что и указывает
на отсутствие непрерывного перехода.
§ 11. Силы в макроскопической электростатике
По аналогии с определением напряженности поля мы можем ввести
выражение сил, действующих на заряды в вакууме:
F= \ pEdr = [f dr,	D.48)
v	v
где f — сила, действующая на единицу заряженного объема.
Выясним возможность сведения объемной силы D.48) к поверх-
поверхностным силам типа
х) Точнее, значение силы в месте нахождения точечной частицы неопреде-
неопределенно; оно зависит от того, по какому закону совершается переход к пределу
в формуле
lim E(r +Ar, t + At).
По этому поводу см., например: Вентцель Г. Введение в квантовую теорию
волновых полей. — Гостехиздат, 1947.

§11. Силы в макроскопической электростатике	97
Для этой цели выразим подынтегральное выражение в D.48) только
через поле Е. Так как о = —- divE, то
4тг
F = — EdivEdr.
4тг J
v
Воспользуемся векторным тождеством
AcdivA - [Arot А]х = -^ (а1 - *f) + |- (АхАу) + ? (АхАг).
Другие компоненты вектора A div A — [A rot А] получаются цикличе-
циклической перестановкой. В результате имеем:
т
) +&<«¦*>+ я <«¦*>}•
Введем матрицу
(т	т т
1 хх	1 ху 1 xz
Тт	т т
1 ух	1 уу 1 yz
т	т т
1 zx	1 zy 1 zz
с элементами
Tik = — ( Е{Ек	Sik] ,	D.49)
4тг V	2 У
где
-{
0,	гфк
1,	i = k.
Очевидно,
В микроскопической электродинамике, в наиболее общем случае
(не трехмерных, а четырехмерных образований), мы убедимся, что
элементы Т^ составляют тензор второго ранга. Элементы тензора
определяются при помощи определенного закона преобразований —
линейного и ортогонального, к которому, в частности, принадлежит
операция поворота систем координат.
Введем векторы Тж, Ту, Tz с компонентами
(Т Т Т ) (Т Т Т ) (Т Т Т )
\± хх") ± ху> ±xz)'> V± yxi ±уу> ±yz)'> у-1 zx"> ± zy> ±zz)
4 Власов А. А.

98	Гл. IV. Электростатика
соответственно. Тогда
fx = divT,, fy = divTy, Sz =
Эти три выражения можно записать в виде одной формулы, вводя
понятия дивергенции тензора (divT) как вектора с компонентами
divTV,, divTy, divTz, тогда
f = divT.	D.50)
Используя для каждой из компонент вектора f теорему о преобразова-
преобразовании объемного интеграла от дивергенции к поверхностному интегралу,
имеем:
Г	Г
Fx= \ fxdr = i>Txds и т.д.
v	s
Вводя, далее, понятие проекции тензора на нормаль как вектор Тп
с компонентами
тжп = тххпх + тхуПу + Txznz = сад,
Т% = Тухпх + Туупу + Tyznz = (Туп),
Т? = Tzxnx + Tzyny + Tzznz = (Tzii),
где пж, пу, nz — проекции единичного вектора нормали к поверхност-
поверхностному элементу ds, можем записать окончательно
F= \pEdr = lTnds.	D.51)
V	S
Таким образом, доказана возможность сведения электростатических
объемных сил к поверхностным силам и найдено выражение плотности
поверхностных сил.
Важно отметить, что направление поверхностных сил не совпадает
с направлением нормали к поверхности. В общем случае отличны
от нуля как нормальные, так и тангенциальные компоненты. Поэто-
Поэтому о давлении можно говорить только в частном случае отсутствия
тангенциальных компонент поверхностной силы. Тензор с элементами
D.49) носит по указанной причине название тензора натяжений элек-
электрического поля; в более общем случае переменного поля (см. мик-
микроскопическую электродинамику) он называется тензором натяжений
электромагнитного поля.
Покажем, что сам факт сведения объемных сил к поверхностным
гарантирует выполнение в электростатике третьего закона Ньютона
о равенстве действия и противодействия. Разделим пространство про-
произвольной поверхностью на две системы I и П. Тогда сила, с которой

§11. Силы в макроскопической электростатике
99
вторая система действует на первую, равна
а сила, с которой действует первая система на вторую, равна Fn, i =
= фТп ds. Поскольку нормали п и п' отличаются лишь знаком
(рис.22), а поверхность одна и та же, подынтегральные выражения
отличаются только знаком. Возможных
разрывов напряженности электрического	'п
поля всегда можно избежать надлежащим
выбором поверхности S ввиду произволь-
произвольности ее проведения. Таким образом,
Fi} п +
= 0.
Рис. 22
Рассмотрим в качестве примера натя-
натяжение на поверхности заряженного про-
проводника. На поверхности проводника
Е = 4тг<тп.
Поэтому имеется только давление (касательные компоненты силы от-
отсутствуют). В самом деле, исходя из общей формулы
выберем оси координат к элементу поверхности так, чтобы вектор п
имел компоненты A, 0, 0); тогда члены в Тп: Тху и Txz исчезают, так
как содержат произведения ЕхЕу и EXEZ. Остается
(Т„п) = Тхх, (Т>) = 0, (Tzn) = 0,
где
Так как давление определяется как сила, действующая на единицу
поверхности, имеем окончательно:
	 ГТ1 		/Т7 	 Отг/т 	 /т Т-Р	(Л ^0^
Итак, приходим к следующим выводам. Давление на поверхность
проводника численно равно плотности электростатической энергии
у поверхности. Давление на поверхности проводника равно только
половине произведения напряженности электрического поля на заряд

100	Гл. IV. Электростатика
единицы поверхности. Причина последнего обстоятельства заключает-
заключается в неоднозначности значения поля на самой поверхности ввиду раз-
разрыва: в ближайшей окрестности внутри проводника поле равно нулю,
а вне поверхности оно равно Е = 4тг<т. Естественно, что в этих случаях
значение функции получается равным полусумме ее предельных зна-
0 4
0 + 4тг(т
чении, т.е.Е = 	 = 2тг<т. В самом деле, в случае напряженности
поля на границе металла мы имеем Ех = 4тгсг S(?) d?. На самой гра-
— оо
О	оо
Г	Г
нице Eq = 4тгсг <Н?) d?,, поскольку же #(?) = S(—?), <К?) ^? = 1?
J	J
— оо	—оо
О	оо
получается, что 5(?) d? = 5(?) d? = -. Другими словами, при
-оо	О
условии сглаженности распределения зарядов на поверхности металла
средняя напряженность поля по всей области сглаживания равна по-
половине максимального значения поля на границе.
Рассмотрим теперь выражение сил
в диэлектрической среде. Выше мы ви-
видели, что потенциал в диэлектрической
—еЕ	/	среде может быть выражен через по-
потенциал непрерывно распределенных
электрических моментов самой среды.
рис# 23	Подсчитаем величину силы, действую-
действующей на диэлектрическую среду, исходя
из этого обстоятельства. В неоднородном электрическом поле сила,
действующая на диполь, может быть подсчитана так (рис.23):
где обозначено
<9Е
F = е(Е' - Е) = el— = (pgrad)E,	D.53)
9	д	д
{pgr&d)=Px—+Py-+Pz-.
Используя векторное тождество
grad(pE) = (pgrad)E+ [protE]
и свойство потенциальности электростатического поля
rot Е = 0,
получим
= grad(pE),	D.54)

§11. Силы в макроскопической электростатике	101
или в развернутом виде
_ дЕх	дЕу	dEz
дЕх	дЕу	dEz
ду	ду	ду
ЗЕХ	дЕу	dEz
F	+	+
D.55)
здесь мы учли, что рж, ру, pz не зависят, по определению, от ж, у, z.
Теперь совершим переход к непрерывному распределению электриче-
электрического момента. Электрический момент малого объема есть
dp = P dr.
Введем плотность силы
f _ dF
Тогда получим
fx = Рх	~ + Ру	~ + Pz	~ и т-Д-	D.56)
На основании связи поляризации с полем
окончательно имеем:
f=^gradi?2.	D.57)
Формула D.57) указывает на независимость силы, действующей на
диэлектрик, от направления напряженности поля Е. Это объясняет-
объясняется тем, что при изменении направления на противоположное элек-
электрическая поляризация также меняет знак, и поэтому направление
действующей силы остается прежним. Эта сила всегда направлена
в сторону возрастания плотности электрической энергии (диэлектрик
всегда втягивается в конденсатор). Необходимо отметить два обстоя-
обстоятельства. Прежде всего переход от формулы D.55) к формуле D.56),
связанный с введением непрерывности в распределении электрических
моментов, вносит нечто новое. Если до этого перехода коэффициенты
при производных в D.55) не зависели от координат, то после перехода
коэффициенты в D.56) оказались функциями точек, поскольку и Е и е
в общем случае — функции координат.

102	Гл. IV. Электростатика
Заметим также, что формула D.57) не учитывает явлений электро-
стрикции, для учета которых требуется конкретизация связи поляри-
поляризации с упругими свойствами диэлектрических сред.
Задачи
1.	Определить распределение потенциала и напряженность поля для
равномерно заряженного плоского слоя, цилиндра, шара и эллипсоида.
2.	Определить распределение потенциала для ребристого плоского слоя,
цилиндра, шара (и эллипсоида), предполагая ребристость малой.
3.	Определить распределение потенциала в кристаллической решетке,
предполагая, что заряд ионов кристалла задан в виде троякопериодического
ряда Фурье.
4.	Показать, что в пространстве, где отсутствуют заряды, потенциал не
может принимать максимальные или минимальные значения.

Глава V
ОСНОВЫ МАГНИТОСТАТИКИ
§ 1. Физические и математические основы
магнитостатики
Электростатические явления были выделены из всего комплекса
электромагнитных явлений условиями —- = 0, j = 0. Область магни-
тостатических явлений выделяется условиями
тогда из общих законов имеем:
II.	E.1)
Отсюда заключаем, что если известно j = j(:z, у, z), то система I, по
крайней мере при \i = const, достаточна для определения Н, поскольку
известны вихри поля и его источники. Плотность тока входит, однако,
в систему П. Возникает вопрос, достаточна ли совокупность систем I
и II для определения величин во всех точках как вне, так и внутри
проводников в случае заданных токов? Ответ должен быть отрица-
отрицательным, в чем можно убедиться на следующих трех примерах.
1) Используем для наших условий теорему Умова-Пойнтинга
9W
дГ ~Q
Для замкнутой системы, на границах которой (по определению зам-
замкнутой системы в электродинамике) исчезает поле, имеем:
i[EH] ds = 0.

104
Гл. V. Основы магнитостатики
Кроме того, в магнитостатике, по определению, —- = 0. Таким обра-
ot
зом, из теоремы Умова-Пойнтинга получаем
Q =
= 0,
что противоречит, однако, другому условию магнитостатики,
Таким образом, условие стационарности —- = 0 и наличие посто-
янного во времени электрического тока j ф 0 являются требованиями
противоречивыми, указывающими на недостаточность исходных пред-
предпосылок магнитостатики. Причина указанного противоречия заклю-
заключается в том, что баланс энергии учитывает потерю энергии за счет
выделения тепла в проводни-
проводниках, в то же время исходные
уравнения не включают ис-
источников, поддерживающих
постоянство токов. Поэтому
возникает задача о допол-
дополнении исходной схемы уче-
учетом стационарно действую-
действующих источников электриче-
электрического тока.
2) Рассмотрим, как на-
+
Е
/
+
Рис. 24
правлено электрическое поле
и электрический ток в разных точках электрической цепи в случае
электрического элемента (рис.24). Во внешней цепи электрическое
поле совпадает с направлением электрического тока:
в пространстве же между электродами электрическое поле направлено
от положительно заряженного электрода к отрицательному. Электри-
Электрический ток между электродами направлен в противоположную сторо-
сторону вследствие замкнутости электрической цепи:
div j = 0.
Таким образом, здесь имеет место противоречие: направление тока
и электрического поля внутри элемента не соответствует уравнению
состояния

§1. Физические и математические основы магнитостатики	105
Причина этого противоречия та же, что и в первом случае: противо-
противоречие относится к области, занятой источником тока, последний же не
учитывается в исходных уравнениях.
3) Рассмотрим распределение пространственного заряда в электро-
электролите, индуцированного помещенным в электролит зарядом. Наличие
теплового движения не позволяет ионам электролита под влиянием
сил электрического взаимодействия полностью скомпенсировать заряд
пластины. Поэтому в электролите должно существовать некоторое
стационарное распределение объемного заряда, обусловленное разни-
разницей концентраций положительных и отрицательных ионов, т. е. внутри
электролита Е ф 0. Между тем электролит — проводящая среда, для
которой имеет место соотношение
Поскольку же замкнутой цепи нет, то j = 0, а следовательно, Е = 0,
т. е. опять возникает противоречие.
Таким образом, приходим к необходимости изменения соотношения
j = <тЕ путем учета действия источников, поддерживающих постоян-
постоянство электрического тока, или же инородных причин, компенсирую-
компенсирующих действие сил электрической природы.
Для этого будем считать, что помимо электрического поля
Е(ж, у, z) на заряды действует поле другой природы Естор(ж, у, z).
Назовем это поле полем сторонних сил, так что ток в общем случае
определяется суммарным действием двух полей:
Такое обобщение прежнего уравнения для сред не требует обяза-
обязательного физического уточнения природы сторонних сил. Подобная
задача ставится в микроскопической теории. Полем сторонних сил
могут быть описаны действия различных источников тока: источников
химической природы (электрические элементы), термоэлектродвижу-
термоэлектродвижущих сил и т. д.
С учетом указанного обобщения электрические свойства изотроп-
изотропных сред могут быть охарактеризованы не тремя, как ранее, а четырь-
четырьмя функциями:
е = е(х, у, z), \i = /j,(x, у, z), a = а(х, у, z),
Естор =
Это обобщение устраняет рассмотренные выше противоречия.
В теореме Умова—Пойнтинга добавляется новый член, связанный
с работой сторонних сил.

106	Гл. V. Основы магнитостатики
В самом деле, теорема Умова-Пойнтинга, записанная в форме
dW
dt
E.2)
не требует конкретизации уравнения состояния j = j(E), так как при
выводе E.2) приходится пользоваться только лишь двумя уравнения-
уравнениями поля:
с хх 1 дВ дВ
] = — rotH	-—, —— = —crotE.
J 4тг	4тг dt ' dt
Полагая
имеем:
dW
Е = - - Естор,
а
dt
= - I J—dr + I jECTOp dr-L-^ [EH] ds.	E.3)
Новый член jECTOp dr должен отображать работу сторонних сил,
v
8W
например в частном случае стационарного режима, —-— = 0,
Г с
и ф —- [EH] ds = 0, количество выделяющегося тепла в системе
J 4тг
s
равно работе сторонних сил:
Q= \3—dT= [jECTOpdr.
Во втором и третьем случаях противоречия снимаются самим фак-
фактом обобщения уравнения состояния.
Докажем теперь основное свойство поля сторонних сил — непотен-
непотенциальность этого поля, чем оно существенно отличается от электро-
электростатического поля.
Для магнитостатических задач в каждой точке пространства
divj = 0. Поэтому силовые линии тока всегда замкнутые. Выделим
тонкую замкнутую трубку тока, состоящую из пучка замкнутых
силовых линий вектора плотности тока j. Рассмотрим циркуляцию
полного поля Е + Естор по всей трубке. На основании потенциальности
электростатического поля cpEdl = 0. Следовательно, используя

§ 2. Основные задачи магнитостатики	107
соотношение — = Е + Естор, имеем:
¦ Естор) dl = I Естор dl = I ^ dl.
L	L
Так как
-dl= —— -dl = J dR,
a	AS a
где dR — элемент сопротивления трубки тока длины d/, получаем
окончательно
PECTOpdl= JR.	E.4)
L
Эта формула указывает, что для существования тока (J ф 0) необхо-
необходимо, чтобы поле сторонних сил было непотенциальным, т. е.
rotECTOp/0.
В частности, поле сторонних сил не может быть электростатическим
полем.
В заключение сделаем следующее замечание. Мы видели, что в магнито-
магнитостатике необходимо привнесение поля сторонних сил неэлектростатического
происхождения. Без этого дополнительного поля невозможно существование
стационарного тока, а следовательно, и стационарного магнитного поля.
Таким образом, магнитостатика есть, по крайней мере, теория трех полей —
электростатического, магнитостатического и стационарного поля сторонних
сил. Поскольку макроскопическая теория не претендует на вскрытие при-
природы одного из трех полей, содержащихся в ней, постольку нельзя говорить
о примате электрических явлений над магнитными, хотя это довольно часто
необоснованно делают.
§ 2. Основные задачи магнитостатики
В магнитостатике возможна постановка двух основных задач:
1)	определение электростатического поля по заданному полю сто-
сторонних сил (Естор = Естор(ж, у, z))\
2)	определение магнитного поля по заданному распределению то-
токов в однородной магнитной среде.
Рассмотрим первую задачу. Из уравнения
rotH = —j
с
следует
divj = 0,

108	Гл. V. Основы магнитостатики
но
j = cr(E + ECTOp).
Отсюда получаем уравнение для определения Е:
divcrE = -div<rECTOp.
Мы имеем еще дополнительное условие:
rot Е = 0
или
Е = — grad <р.
Таким образом, для потенциала электростатического поля имеем урав-
уравнение
А(р + - grad а • grad <р = - div <тЕстор,	E.5)
(Т	G
которое дает возможность определить распределение потенциала, если
известно Естор(ж, у, z) и <т(ж, у, z).
Рассмотрим частный случай а = const. Тогда
p.	E.6)
Решение этого уравнения имеет вид
CTOp
v
(для тех случаев, когда источники сил распределены в конечной об-
области пространства). Значение потенциала дает возможность опре-
определить плотность непрерывного распределения зарядов. Для среды
с е = const уравнение E.1) дает:
и, таким образом,
=	Q1V Hi	.	(О.о)
4тг
Физически это соотношение означает, что в тех местах пространства,
где имеется расходимость поля сторонних сил, возникают объемные
электрические заряды.
Важно подчеркнуть стационарность зарядов даже при наличии
электропроводящей среды. В рассмотренном ранее случае проводящей
среды без сторонних сил всегда имеет место рассасывание этих зарядов
по закону

§ 2. Основные задачи магнитостатики	109
Заметим, что выражение потенциала E.7) указывает на отсутствие како-
какого-либо влияния самой металлической среды на распределение потенциала.
Подчеркнем, что этот результат обусловлен специфичностью закона Ома
(j = сгЕ). В тех случаях, когда связь между плотностью тока и полем
задается в виде линейного функционала (см. с. 18)
j = f К(\г - r'l)E(r') dr = сгЕ + сг2АЕ + <т4Д2Е + . . .
проявляется и влияние среды, если не ограничиваться только первым чле-
членом разложения. Коэффициент сг2 может иметь как положительное, так
и отрицательное значение, смотря по тому, являются ли ядра К монотонно
или осцилляторно убывающими. Удерживая два члена разложения и поль-
пользуясь условием div j = 0, получаем
j = «тA ± г^Д)Е + «тЕотор, rl = ^,
j ( ^)	, l	,
а
<тA ± г2 A) div Е = -a div Естор,
где сгЕстор обозначает плотность тока, обусловленную действием сторонних
сил. Воспользовавшись потенциальностью поля, получаем новое уравнение
для потенциала:
Д<?±г2ДД<? = div Естор.
Частные решения, соответствующие сосредоточенному полю, имеют вид
const const -— const . г
	, 	е го , 	 sin—,
г	г	г	го
где во втором решении — = — |го|2, а в третьем — = г2,. Постоянная г о
характеризует среду. а	G
Во втором решении проявляется эффект «экранирования» потенциала
проводящей средой, в третьем потенциал осцилляторно убывает от «точеч-
«точечного» источника.
Перейдем к рассмотрению второй задачи магнитостатики. По-
Поскольку по условию \i = const, можно написать в качестве исходных
уравнений:
rotB = —/ij, divB = 0.	E.9)
Для решения системы E.9) введем вспомогательный вектор А
(векторный потенциал):
В = rot A.	E.10)
Тогда уравнение div В = 0 автоматически удовлетворяется, так как
div rot = 0. Подстановка в первое из уравнений E.9) дает:
4тг
rot rot А = — /ij.	E-11)
с
Соотношение E.10) неоднозначно определяет вектор А, так как оно
не изменяет своего вида при добавлении к векторному потенциалу А

110	Гл. V. Основы магнитостатики
градиента произвольной скалярной функции ф
A + gradV> = А7.	E.12)
Воспользуемся этой неоднозначностью векторного потенциала для
упрощения уравнения E.11). Докажем, что если векторный потенциал
А таков, что div А ф 0, то всегда можно подобрать такую скалярную
функцию, что div А7 = 0, где А7 = A + grad ф. В самом деле, действуя
на обе части соотношения E.12) операцией дивергенции, имеем:
div A7 = div A + div grad ф = div A + Аф.
Вопрос о существовании функции ф с указанным выше свойством
сводится к вопросу, имеет ли это уравнение решение, если div А ф 0,
но div А7 = 0.
Уравнение относительно ф
Аф = — div A
имеет уже изученный ранее вид. Это уравнение имеет по крайней мере
одно решение
и, таким образом, действительно можно найти такое ф, чтобы всегда
divA7 = 0.
Поэтому будем просто всегда считать, что вводимый векторный потен-
потенциал подчиняется условию div A = 0. Тогда уравнение для определе-
определения векторного потенциала
4тг
rot rot A = grad div A — А А = — ш
с
упрощается:
AA = -^j	E.14)
или в компонентах
4тг/л .	4тг/х .	4тг/х .
АЛж = ГJa:' у = ГЗу' z = rJz'
Ввиду полной аналогии этих уравнений с уравнением для скалярного
потенциала А^ = —4тгр имеем:
л М ГЗх dr
Ах = — \ 	 и т.д.
с J г
V

§2. Основные задачи магнитостатики	111
Таким образом,
"М—.	E.15)
С
V
Как мы уже говорили ранее, это решение имеет место при усло-
условии пространственной ограниченности источников (в данном случае
распределения плотности тока). Формула E.15) решает поставленную
задачу об определении поля по заданному распределению токов, по-
поскольку магнитная индукция В определяется дифференцированием
векторного потенциала, а напряженность магнитного поля отличается
от В на постоянный множитель —.
Применим теперь полученное решение задачи об определении маг-
магнитного поля по заданным токам к случаю линейного проводника.
В формуле E.15) имеется выражение j dr. В каждом сечении линей-
линейного проводника, ввиду малости сечения, плотность тока является
приблизительно постоянным вектором по сечению. Поэтому
_ J
J	AS
Полагая d\ = d/ji, где ji — единичный вектор вдоль тока, имеем:
j dr = J d\.
Так как полный ток J одинаков в различных сечениях проводника, то
из E.15) получаем
А=—ф—,	E.16)
где интегрирование свелось от объемного интеграла по всему объему
проводника только к контурному интегралу вдоль линейного тока.
Формула E.16) позволяет вычислить векторный потенциал всюду
в пространстве (за исключением точек, лежащих на самом контуре)
по заданной форме контура линейного тока. На самом контуре подын-
подынтегральное выражение в E.16) имеет особенность, что указывает на
необходимость в этом случае пользоваться общей формулой E.15).
По заданному векторному потенциалу выразим вектор магнитной
индукции В = rot А явно через характеристики линейного проводни-
проводника. Имеем:
llJ Г d\ iiJ Г d\
= rot -— ф — = ф t
^	А	llJ Г d\ iiJ Г d\
В = rot A = rot -— ф — = -— ф rot —,
с ] г с ] г
L	L
где rot обозначает пространственное дифференцирование по коорди-
координатам точки наблюдения (ж, у, z).

112	Гл. V. Основы магнитостатики
Замечая, что для произвольных вектора а и скалярной функции и
имеет место векторное тождество
rot u8l = и rot a + [grad и а]
и что в нашем случае а = cQ, причем rot d\ = 0, так как d\ не зависит
от точки наблюдения, получаем:
С
L
Далее, учитывая, что
1
г
где г — радиус-вектор, проведенный к точке наблюдения, имеем окон-
окончательно:
В = — ф^-	E.17)
с ] г6
L
Эта формула позволяет вычислить магнитную индукцию по заданной
геометрической форме линейного тока.
Отсюда можно прийти к дифференциальной формулировке маг-
магнитной индукции, создаваемой элементом линейного тока длины d\
(рис.25):
dB
/	^
с г*
или для абсолютных величин
d\
с
Рис. 25
Заметим, что переход от интеграль-
интегральной формы E.17) к дифференци-
дифференциальной неоднозначен, так как интегральная форма не меняется от при-
прибавления к подынтегральному выражению градиента от произвольной
г
функции, поскольку ср grad ф dl = 0. Исторически этот дифференци-
L
альный закон был положен в основу электродинамики Ампера, исхо-
исходящей из представлений о дальнодействии. Таким образом, помимо
неполноты этого закона для электродинамики, в основу теории было
положено нечто такое, что не может непосредственно быть проверено
на опыте, так как в этой области явлений оперируют с замкнутыми
токами, рассмотрение же незамкнутых токов выводит нас из схемы
магнитостатики.

§2. Основные задачи магнитостатики	113
Рассмотрим теперь вопрос об эквивалентности поля замкнутого
линейного тока и поля двойного магнитного слоя, расположенного на
произвольной поверхности, охватываемой контуром тока, с подходяще
подобранной величиной для мощности двойного слоя.
Как мы видели, потенциал и напряженность электрического двой-
двойного слоя равны:
Г dsr	Г [dsr]
J И	J г6
S	L
для всех точек, кроме точек самой поверхности, на которой располо-
расположен двойной слой. Сравнение с выражением магнитного поля замкну-
замкнутого тока
с
L
выявляет количественную эквивалентность магнитного поля замкну-
замкнутого тока и поля магнитного листка, если положить мощность двой-
двойного слоя равной
J
т = —.
с
Необходимо иметь в виду, что утверждение об эквивалентности услов-
условно по следующим причинам: 1) поля замкнутого линейного тока и маг-
магнитного листка указанной мощности совпадают только для точек, не
лежащих на выделенной поверхности; 2) эквивалентность имеет место
только в идеальном случае линейных токов; 3) поле магнитного листка
имеет потенциал, в то время как поле тока непотенциально. Только
условным приемом — запретом пресечения площади, ограниченной
контуром тока, — можно ввести требование потенциальности и для
магнитного поля тока.
Потенциал двойного слоя выражается так:
= т а\1 = т ——.
J	J г*
где Л — телесный угол, под которым контур двойного слоя виден
из точки наблюдения. Для расстояний г, значительно превышающих
линейные размеры контура, имеем:
<р = т —
г6
I*.
г Г , mSnr
Г
s
где обозначено
Sn = I ds.

114	Гл. V. Основы магнитостатики
При указанном условии потенциал двойного слоя определяется
полным моментом слоя, так как
mSn = <тт?1 = pm,
где pm — полный магнитный момент двойного слоя.
Поскольку т = J/c, можно характеризовать магнитное поле за-
замкнутого тока на расстояниях, превышающих линейные размеры кон-
JSn
тура, магнитным моментом контура рт = 	, так что потенциал
с
и напряженность поля определяются в этом случае выражениями
щг н=ЗЦг)?_р^
что вполне аналогично выражениям для потенциала и напряженности
электрического поля, создаваемого электрическим моментом.
§ 3. Влияние магнитной среды на магнитное поле,
вызываемое токами
В магнитном отношении среды разделяют на следующие группы:
парамагнетики, для которых \± > 1, диамагнетики с \± < 1, ферромаг-
ферромагнетики, характеризующиеся нелинейной зависимостью В от Н или М
от Н, и наконец, сверхпроводники с особым поведением в магнитном
поле.
Для пара- и диамагнетиков имеет место уравнение состояния
В = /iH, в случае однородных сред (/i = const) мы можем отобра-
отобразить свойства магнитного поля в таких средах двумя равносильными
группами уравнений поля:
4тг .	_ 4тг .
rotH=—j,	rotB = —/ij,
с	с
divH = 0,	divB = 0.
Уже сам вид этих уравнений определяет один важный результат: в од-
однородной магнитной среде напряженность магнитного поля, создавае-
создаваемого токами, не зависит от магнитной проницаемости среды. Величина
же магнитной индукции В увеличивается в \i раз в сравнении со
значением для вакуума при том же распределении плотности тока.
Отметим, что этот результат получен при весьма сильном огра-
ограничивающем предположении: магнитная проницаемость должна быть
одинаковой во всех точках пространства, включая и точки внутри
проводящих сред, где имеются токи.
Наличие ферромагнитных сред вносит большие физические и ма-
математические усложнения. Во-первых, ословное свойство ферромагне-
ферромагнетиков — достижение насыщения уже в малых полях — отображается
в уравнении состояния В = В (Л) нелинейной зависимостью В от Н.

§3. Влияние магнитной среды на магнитное поле	115
Во-вторых, для поликристаллических ферромагнетиков имеет место
явление гистерезиса, связанное с необратимым характером процесса
намагничивания благодаря переходу части энергии магнитного по-
поля в тепло. Наконец, ряд явлений, сопровождающих процесс намаг-
намагничивания: магнитострикция, возникновение внутренних натяжений
и других, еще более усложняют задачу. Поэтому поставим себе зада-
задачу, выяснить лишь некоторые общие свойства поведения магнитных
сред в магнитном поле, не конкретизируя вида уравнения состояния.
Специальный случай сверхпроводников рассмотрим позже.
Уравнения состояния могут быть выражены двояким образом. Так
как В = Н + 4тгМ, то под уравнением состояния можно понимать или
связь между М и Н: М = М(Н), или между М и В: М = М(В).
Оказывается возможным выразить и уравнение поля или в терми-
терминах только Н, или в терминах только В. В самом деле, уравнения
магнитостатики могут быть представлены в виде двух систем:
rotH = —j,
с
divH = -47rdivM, M = М(Н),
или
4тг
rot В = — (j + crotM),
с
divB = 0, M = M(B).
Конкретный вид уравнений состояния, как всегда в макроскопической
электродинамике, должен быть заимствован из опыта.
Мы имеем, таким образом, две замкнутые возможности описания
магнитных явлений. Предполагая однозначную разрешимость уравне-
уравнений состояния относительно Н или В, эти два способа равноправны,
поскольку, разрешив одну систему, с помощью В = Н + 4тгМ мо-
можем перевести результат на язык другой системы. Однако механизм
влияния магнитной среды на магнитную индукцию с одной стороны
и на магнитное поле существенно разный. С точки зрения первой
системы уравнений механизм влияния среды на поле Н заключается
в появлении отличной от нуля дивергенции вектора Н, играющей роль
связанных электрических зарядов:
Рев = -divP.
По аналогии можем ввести представление о фиктивных магнитные
заряды
pm = -divM,	E.19)

116	Гл. V. Основы магнитостатики
отличающихся от свободных зарядов р тем, что для В имеет место
всегда условие
f divBdr = cj)Bds = O,
V	S
т. е. никогда нельзя выделить из объема намагниченной среды магнит-
магнитные заряды одного знака.
С точки зрения второй системы механизм влияния магнитной сре-
среды на вектор магнитной индукции иной. В уравнениях выступает
дополнительный член (crotM), изменяющий интенсивность вихрей
магнитной индукции. Так как дополнительный член входит аддитивно
с плотностью токов проводимости, можно говорить о наличии свя-
связанных токов, возникающих в магнитной среде, или о молекулярных
токах, плотность которых определяется соотношением
Jmcwi = CFOtM,
так как тогда
_ 4тг ,. . ч
rot В = — (j+Jmcwi)-
В макроскопической электродинамике оба представления законны,
так как они отвечают на разные вопросы. Первая система отвечает
на вопрос о причинах влияния среды на напряженность поля, т. е.
на силу, действующую на единицу магнитного заряда, помещенную
в игольчатую полость (см. сноску на с. 11), вторая же система опре-
определяет влияние среды на силу, действующую уже в дискообразной
полости.
Недостаточность макроэлектродинамики в этом пункте заключает-
заключается в том, что близкие по идее опыты требуют столь разной физической
картины. Здесь возникает вопрос: что является физической первоос-
первоосновой — «молекулярные токи» или «магнитные заряды». В микроско-
микроскопической электродинамике этот вопрос решается в пользу первых.
Рассмотрим в качестве иллюстрации механизм изменения В в одно-
однородной парамагнитной среде. Для этого необходимо знать распределе-
распределение молекулярных токов jM(WI? вихри которых и обусловливают наличие
изменения В в среде по сравнению с пустотой.
Представим себе прямолинейный ток, пространство вокруг ко-
которого заполнено парамагнетиком. Ограничим пространство, запол-
заполненное парамагнетиком, цилиндром некоторого радиуса. Поскольку
divjMOJ1 = 0, ток необходимо представлять замкнутым в произвольно
малой пространственной области. Уподобляя каждый элементарный
ток линейному контуру, мы можем приписать каждому элементарному
току магнитный момент Js/c. В немагнитной среде моменты распре-
распределены хаотически и в целом не возникает вектора намагничивания,
а следовательно, и токов. При наличии магнитного поля происходит

§ 3. Влияние магнитной среды на магнитное поле
117
ориентация магнитных моментов вдоль поля. На рис. 26, а показана
картина распределения элементарных токов в плоскости, проходящей
через заданный ток.
Для точек вдали от границы элементарные токи компенсируют
друг друга. Только на границах — на поверхности проводника и на
поверхности цилиндра — возникают некомпенсируемые молекулярные
токи, причем на поверхности проводника они направлены вдоль тока,
а на поверхности цилиндра — в противоположном направлении.
Поверхностные токи на внутренней поверхности цилиндра не
создают поля, поскольку поле внут-
внутри цилиндра, по поверхности которо-
которого течет ток, равно нулю. Молекуляр-
Молекулярный ток у поверхности проводника
увеличивает ток проводимости и, сле-
следовательно, увеличивает магнитную
индукцию в среде в сравнении с пу-
пустотой. Эта картина находится в со-
согласии с количественными соотноше-
соотношениями. Для парамагнетиков
ioao
\\{
}
рис 26
м	н
4тг
и> следовательно, для плотности мо-
молекулярного тока имеем:
__ а — 1 __ Г j U —
Jm<wi = с rot М = с—	 rot И + с grad
4тг
4тг
И
это указывает на то, что молекулярные токи возникают или в об-
областях неоднородности среды, где вектор grad \i не равен нулю и не
параллелен Н, или там, где есть токи проводимости j = — rot H.
4тг
Тот факт, что магнитное поле Н, возбуждаемое токами в однородном
магнетике, не зависит от наличия магнитной среды, интерпретируется
уже другой физической картиной. Механизм влияния среды на поле Н
заключается в возникновении связанных магнитных зарядов. Однако
магнитные диполи среды, ориентируясь вдоль замкнутых силовых
линий Н, не создают дополнительного поля, так как заряды диполей,
расположенных в виде замкнутых цепочек (см. рис.26, б\ компенси-
компенсируют друг друга. Имеем:
рсв = - div М =	div Н + Н grad	,
4тг	4тг
в однородной среде divH = 0 и, следовательно, получаем, что рсв = О
не только в однородной среде, но и на границах среды, где векторы Н
и grad \i взаимно перпендикулярны.

118	Гл. V. Основы магнитостатики
В пространстве вне цилиндра, так как для В молекулярные токи,
текущие в разных направлениях, полностью компенсируют друг друга,
нет причин изменения В, а поскольку же divM = 0, то во всех точках
пространства вектор Н также не изменится.
Почему, с точки зрения представления о молекулярных токах, для
измерения магнитной индукции требуется выделять дискообразную
полость, в то время как для измерения Н — игольчатую полость вдоль
направления силовых линий? Для ответа на этот вопрос рассмотрим
распределение молекулярных токов в среде при наличии этих поло-
полостей.
При наличии дискообразной полости (рис. 27, а) элементарные токи
компенсируют друг друга и не создают дополнительного поля. По-
Поэтому наличие дискообразной полости не вызывает каких-либо новых
токов в среде. Именно с этим фактом связано использование дискооб-
дискообразной полости для измерения В.
00
00
00
о
00
00
000000
0000000
б
Рис. 27
Другой результат получается для игольчатой полости (рис. 27, б).
На поверхности игольчатой полости возникают некомпенсируемые мо-
молекулярные поверхностные токи. Направление магнитной индукции
внутри полости, создаваемое этими дополнительными токами, обратно
направлению магнитной индукции в среде.
Плотность молекулярных токов находится из граничного условия
на поверхностях для тангенциальных составляющих вектора намагни-
намагничивания:
M2t ~ Mlt = -JMOJI.
с
Для вакуума (полости) М = 0 и, следовательно,
«/мол = cMt = сМ.
Но в цилиндре с поверхностными токами J, текущими перпендику-
перпендикулярно оси цилиндра, имеется дополнительная магнитная индукция,
равная
4тг
В' = Н = — J = 4тгМ.
с

§3. Влияние магнитной среды на магнитное поле	119
Полное значение величины индукции в игольчатой полости равно:
В-В' = В-4пМ = Я,
так как В — 4тгМ совпадает с Я на основании их определения.
Таким образом, мы видим, что игольчатая полость приспособлена
не для измерения В, а для измерения Н.
Рассмотрим теперь частный случай задачи о распределении маг-
магнитной индукции в пространстве при наличии заданных токов и посто-
постоянных магнитов, для которых вектор намагничивания можно считать
приближенно не зависящим от поля.
Итак, пусть известно j = jo (ж, у, z) и М = Мо(ж, у, z). Требуется
определить В = В (ж, у, z). Из условия
divB = 0
находим
В = rot A,
причем, как и прежде, положим
divA = 0.
Уравнение магнитостатики имеет вид
4тг
rot В = —(jo + crotMo).
с
Подстановка в последнее уравнение В = rot А и div A = 0 дает
АА = —^(jo + crotMo),	E.20)
с
откуда
Jo + crotM0 ^	E 21)
А |	^	E 21)
V
Таким образом, поставленная задача определения поля по заданным
токам и заданным постоянным магнитам решается формулой E.21).
Пусть теперь токи и постоянные магниты сосредоточены в конеч-
конечной области пространства, наблюдение же магнитного поля произво-
производится в точках, расстояние до которых велико по сравнению с линей-
линейными размерами области, занятой источниками поля.
Тогда разложим функцию

120	Гл. V. Основы магнитостатики
в ряд по степеням ?i, ?2, ?з:
R r ^ дх.
Используем это разложение в интегральном выражении векторного
потенциала, ограничиваясь первыми двумя членами разложения, тог-
тогда получим
v	v
Для замкнутых токов, с которыми только и приходится иметь дело
в магнитостатике,
divj^ = О,
и первый член в E.22) исчезает. В самом деле, разобьем токи на
замкнутые трубки тока. Для элемента длины d\ такой трубки
Jtt dr = Jn dl,
тогда (суммирование проведено по замкнутым трубкам тока, на кото-
которые разбит весь ток)
г.	v^ Г ,
К dr = > Jk ф d\ = 0,
1/	к	Т
V	Lk
поскольку всегда
L
Преобразуем второй член в правой части E.22):
v
Воспользуемся векторным тождеством
?grad (i) J dl = i [Krfl]grad (;)] + ^ j^grad (^
Замечаем, что циркуляция от полного дифференциала исчезает, так
что
Lk

§ 3. Влияние магнитной среды на магнитное поле	121
Поскольку
grad ( 5 ) =	з>
или
А = m	E.23)
где
к
Переходя обратно к непрерывно распределенным объемным токам
с плотностью j, т. е. полагая
Jkd\ = jdr,
получим
ЯЯ = — [?j] dr.	E.24)
Эта величина, характеризующая распределение токов в системе, опре-
определяет по формуле E.23) векторный потенциал в точках на больших
расстояниях от системы.
При аналогичных условиях скалярный потенциал системы опреде-
определяется выражением
= рг
г3 '
где р — вектор электрического момента системы:
г
р= rpdr,
V
причем
Г pdr = 0.
Поэтому по аналогии введем вектор магнитного момента ЯЛ E.24) при
условии

122	Гл. V. Основы магнитостатики
Таким образом, первый неисчезающий член в разложении векторного
потенциала в точках, достаточно далеко расположенных от источни-
источников, выражается через величину магнитного момента этих источников
по формуле
А = М.	E.25)
Сравним теперь выражение E.24) для магнитного момента с выраже-
выражением магнитного момента линейного замкнутого контура
рт = — S = — ds.
с с J
S
Для линейного тока объемный интеграл в E.24) преобразуется к кон-
контурному, если учесть, что ]dr = J d\
Поскольку теперь — [? dl] есть не что иное, как площадь, образуемая
векторами ? и сЯ, имеем:
и, следовательно,
^b	-\ds=-S = pm.	E.26)
с )	с
L	S
Таким образом, формула для магнитного момента E.24) содержит
в себе прежний результат как частный случай.
Проверим, что вектор намагничивания, а также магнитный момент про-
произвольной системы не зависят от координат, поскольку они характеризуют
внутренние свойства системы.
Для этого покажем, что ЯЯ не изменяется при переносе начала координат,
т. е. при преобразовании г' = г + а, где а — произвольный вектор смещения
системы координат относительно начального положения. Тогда
ш'= h 1[(г+а)' i]dT = h I[rjl dT + h I[ajl dT-
V	V
Возникающий дополнительный член
Г Г
[aj]dr = a \}dr
v	v
равен нулю на основании условия замкнутости токов:

§ 3. Влияние магнитной среды на магнитное поле	123
Таким образом,
что и должно было получиться в случае внутренне непротиворечивой тео-
теории.
Перейдем от непрерывно распределенных токов к одному или несколь-
нескольким точечным зарядам, движение которых создает ток. Для этой цели
выразим р и j через ^-функцию:
Подставляя выраженную таким образом плотность тока в формулу магнит-
магнитного момента, получим:
V	V
Полученное выражение не удовлетворяет, однако, свойствам инвариант-
инвариантности относительно смещения системы координат, поскольку
2>vi] Ф о.
Таким образом, приходим к результату, что переход от интеграла к сум-
суммам, от непрерывности к дискретности в магнитостатике также связан
с качественным скачком. В данном случае меняются скачком инвариантные
свойства величины магнитного момента системы.
В связи с этим выясним, возможно ли путем усреднения во времени
процесса движения точечных частиц получить непрерывно распределенный
в пространстве ток.
Рассмотрим случай периодического движения заряженных частиц, на-
например по кругу с некоторым периодом. Тогда можно было бы предпо-
предположить, что величина магнитного момента от совокупности движущихся
точечных зарядов — У" еЛг^Л после усреднения во времени соответствует
2с
«макровеличине»
Однако это не так, ибо это приводило бы к результату, что из неинвари-
неинвариантной величины относительно смещения системы координат можно было
бы процессом временного усреднения получить величину, инвариантную
относительно того же преобразования координат. Помимо того, это означало
бы, что для исходных неусредненных во времени величин нельзя было бы
вводить магнитный момент и, следовательно, основная характеристика маг-
магнитных свойств теряла бы смысл для времен, меньших времени усреднения.
Опыт, однако, не дает нам указаний о потере магнитных свойств для доста-
достаточно малых времен. Из этого факта необходимо сделать заключение, что
физическую природу объединения непрерывности и дискретности в элек-
электродинамике нельзя видеть в движении точечных зарядов и усреднении
процесса движения во времени.

124
Гл. V. Основы магнитостатики
§ 4. Магнитное поле в сверхпроводниках
К одному из наиболее важных экспериментальных фактов относит-
относится эффект экранирования магнитного поля сверхпроводниками. Опыт
показывает, что силовые линии магнитного поля, проходящие внутри
нормального металла (/i ~ 1), помещенного во внешнее магнитное
поле, при достижении критической температуры перехода в сверхпро-
сверхпроводящее состояние сразу исчезают внутри сверхпроводника (рис.28);
глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник примерно
равна 5 • 10~6 см, а в остальной области сверхпроводника магнитное
поле практически равно нулю. Вблизи поверхности, в области суще-
существования магнитного поля, циркулируют сверхпроводящие поверх-
поверхностные токи, энергия которых не растрачивается на джоулево тепло.
Ясно, что классические уравнения состояния j = сгЕ, В = /iH не
могут отобразить указанного явления. Возникает вопрос: возможно ли
такое уравнение состояния, которое правильно отобразило бы эффект
экранирования и его исчезновение при критической температуре?
А А А А А А А
А А
Т >ТК
Рис. 28
Современные теории сверхпроводимости разделяют электрический
ток в сверхпроводниках на две компоненты — нормальный ток jn
и сверхпроводящий ток js, так что j = jn + js. Для нормального тока
полагают обычное уравнение состояния. Иное должно иметь место
для сверхпроводящего тока js. Заметим, что алгебраической связи
между js и Н быть не может, так как Н — аксиальный вектор,
a js — полярный. Если ограничиться линейной дифференциальной
связью, содержащей производные по координатам не выше первой, то
представляются две возможности:
rotH ~ js и rotjs ~ H.

§4. Магнитное поле в сверхпроводниках	125
Первое соотношение входит в уравнение электродинамики и нового ни-
ничего не даст. Поэтому следует проанализировать второе соотношение
между током и магнитным полем.
Предположим уравнение состояния для сверхпроводников в форме
rotjs= \K(\r-r'\)n(r')dr',	E.27)
где о свойствах ядра К(\г — г'\) мы должны сделать заключение из
опыта, сопоставляя следствия, получаемые из E.27) с опытом.
4тг .
Комбинируя E.27) с уравнениями магнитостатики rotH = —js
с
и divH = 0, находим
-АН
4тг Г
= — K(\r - r'l)H(r') dr'.	E.28)
Это уравнение и должно определять поведение магнитного поля
в сверхпроводниках. Для выявления свойств этого уравнения рассмот-
рассмотрим плоскую границу сверхпроводника. Пусть ось z направлена внутрь
проводника, а ось х — параллельно плоскости раздела. Будем искать
решение в виде экспоненциально убывающего поля (Hx(z) = e~pz,
Ну = Hz = 0). Для точек г, достаточно удаленных от границы,
можем заменить в интеграле пределы бесконечными. Тем самым пред-
предполагается, что ядро К достаточно быстро убывает с ростом г — г'.
Подстановка дает
K(\r-r'\)e-pz' dx'dy'dz' = K(z-z')e-pz' dz' =
— OO
Z	OO
= I K(z - z')e-pz' dz' + I K(z' - z)e-pz' dz' = I
{K=j j K{\Y-v'\)dx'dy').
— OO
Вводя новые переменные: в первом интеграле z — z' = 5, во втором
z' — z = s, получаем
оо	оо
/= f K(s)e-p(<z-s)ds+ f K(s)e-^s+z)ds.
о	о
Подставляем функцию e~pz в левую часть уравнения E.28). Сокращая
на множитель e~pz слева и справа, получаем условие разрешимости

126	Гл. V. Основы магнитостатики
уравнения E.28) в следующем виде:
р2 =	K{s)(eps + e~ps) ds.	E.29)
*s J
0
Это уравнение дает возможность вычислить величину р, связанную
с глубиной проникновения 5 магнитного поля в сверхпроводник 5 =
= 1/р, если конкретизовать вид ядра К.
Для того чтобы уравнение E.29) имело решение, необходимо
K(s) < 0 и чтобы функция K(s) убывала с ростом s не медлен-
медленнее, чем экспонента. Введем понятие интенсивности дальних связей
4тг °°
Л =	J K(s) ds. Тогда уравнению E.29) можно придать вид
с о
оо
р2 = \1 K+(s)(eps + e~ps) ds,	E.30)
о
где ядро К+ нормировано на единицу:
Уравнение E.30) имеет решение, если только Л не превышает
некоторого критического значения. В самом деле, правая часть, рас-
рассматриваемая как функция р, монотонно возрастает и при достаточно
большом значении Л будет расположена вне параболы р2, что и будет
указывать на отсутствие решения уравнения E.30) при достаточно
большом Л.
Найдем критическое значение Л в трех простейших случаях.
1. Предположим, что ядро К+ таково, что интеграл в E.30) схо-
сходится, если р не превышает некоторого максимального значения рМакс,
и расходится при р > рмакс- Ядро вида e~OLS будет удовлетворять этому
условию, причем рМакс = ск- В этом случае
ГJ	ГJ
\ —	<Г	<" 2
оо	оо	Рм&кс'
ds	K+(s) ds
2. Предположим, что K+(s) = S(s — so). Тогда максимальное
значение определяется решением трансцендентного уравнения

§4. Магнитное поле в сверхпроводниках	127
3. Предположим, что ядро настолько быстро убывает с ростом s,
что можно ограничиться первыми тремя членами в разложении гипер-
гиперболического косинуса в ряд по степеням ps. Тогда
откуда
2 _
Р -
Критическое значение
Л = 	-.
В итоге приходим к заключению, что уравнение состояния
rotjs =
при весьма общих предположениях о свойствах ядра К(\г — г'|) пере-
передает экспоненциальное убывание магнитного поля в сверхпроводнике
и предусматривает существование критического значения величины,
определяющей переход из сверхпроводящего состояния в нормальное,
при котором исчезает эффект экранирования магнитного поля сверх-
сверхпроводником.
Заметим, что функциональное уравнение можно представить в ви-
виде соотношения между rot js и Н в одной и той же точке пространства.
Разложим Н(г') = Н(г — (г — г7)) в ряд Тейлора по степеням (г — г').
Тогда аналогично результатам гл. I, § 3 получим
К(\г - r'l)H(r') dr' = -ЛA + rgA)H	E.31)
(если ограничиться первыми двумя неисчезающими членами разложе-
разложения), где
оо
-Л = I К(\г - г'|) drf = 4тг I K(R)R2 dR.
о
Таким образом, в этом приближении уравнение состояния принимает
вид
'	E.32)
В случае го = 0 мы приходим к известному уравнению Лондона
rot j = -АН.	E.33)

128	Гл. V. Основы магнитостатики
Вместо уравнения E.28) в приближении E.31) мы получаем
АН = A(l + rgA)H,	E.34)
или
АН - р2И = 0,	E.35)
Р2 = _\ 2 ¦	E-36)
1 Лг0
Это уравнение наиболее просто передает экспоненциальное убывание
поля в сверхпроводнике, если \г$ < 1, и уничтожение этого эффекта
при условии Лгр > 1.
§ 5. Энергия поля для магнитостатических явлений
Общее выражение магнитной энергии в магнитостатике имеет вид
W = — \~HBdT,	E.37)
8тг J
v
причем интегрирование распространено по всей области пространства,
где Н ф 0. При некоторых условиях это выражение может быть сведе-
сведено к энергии взаимодействия токов. В самом деле, полагая В = rot А,
имеем:
W = — [ Н rot A dr = — [ div[HA] dr + — [ A rot H dr, E.38)
8тг J	8тг J	8тг J
где
div[HA] = H rot A - A rot H.
Поскольку для пространственно ограниченной системы токов по-
потенциал и напряженность поля в бесконечности асимптотически изме-
изменяются как
1	1
то мы можем опустить интеграл
div[HA]dr= i [HA]ds;	E.39)
выражение [НА] убывает быстрее, чем растет поверхность при удале-
удалении ее в бесконечность.
4тг .
Учитывая, что rot H = —j, из выражения E.38) получаем
с
w = h \Aj dT-	E-40)
v

§5. Энергия поля для магнитостатических явлений	129
Полученное выражение в отличие от исходного E.37) указывает на
пространственную локализацию энергии только в тех объемах, где
находятся токи, поскольку интегрирование в E.40) можно ограничить
только областями пространства, где j ф 0.
Так как теперь
A=?[j-*1,
С J Г
V
то
" fML^i;	E.4i)
W
т. е. с точки зрения указанного представления магнитная энергия сво-
сводится к энергии взаимодействия между отдельными объемами токов.
В связи с переходом от формулы E.38) к формуле E.40) или E.41)
следует иметь в виду те замечания, которые были сделаны в аналогичном
случае в электростатике. Строго говоря, мы не вывели картину локализации,
а ввели ее с помощью условия о поверхностном интеграле. Поэтому равен-
равенство нулю поверхностного интеграла можно рассматривать как определение
локализации (сосредоточенности) всех электродинамических величин.
Выразим магнитную энергию для системы линейных токов. Для
этого разобьем всю область, занятую токами, на замкнутые трубки
тока Jk- Полагая, как и прежде, j dr = Jk d\ для каждого участка
трубки, можем написать
1 п	Г
W = — 2_^ Jk Ф А сЯ,
k=i lk
где криволинейный интеграл берется по замкнутому контуру линей-
линейного тока. Поскольку
i Adl =
Lk	Sk
где Ф/g — поток магнитной индукции через поверхность к-ro контура,
имеем:
к=1
В частном случае одного линейного проводника
W = ^- J<&.	E.43)
Итак, магнитная энергия определяется силой тока в проводнике
и потоком магнитной индукции через поверхность, ограниченную са-
самим контуром линейного тока.
5 Власов А. А.

130	Гл. V. Основы магнитостатики
Выразим магнитную энергию через конфигурацию проводников
посредством введения коэффициентов самоиндукции и взаимоиндук-
взаимоиндукции. Для этой цели разобьем каждый ток на сумму замкнутых токов
Тогда
А — —
г
i = l
2с2 JJ r
w
2с J °	2c *-
V	к V
Для одного проводника
W =
Введем коэффициент
w
не зависящий от общей силы тока, поскольку, например, увеличение
силы тока J в два раза (без изменения конфигурации проводника)
увеличивает плотность тока также в два раза и, следовательно, не
изменяет Ьц. Величина Ьц зависит только от сечения, длины и кон-
конфигурации проводника. Выраженная с помощью этого коэффициента
энергия проводника пропорциональна квадрату общей силы тока, про-
протекающего в нем:
M/=^LnJ2.	E.44)
Коэффициент Ьц является мерой магнитной энергии проводника при
заданной силе тока.
В связи с ролью этого коэффициента в квазистационарных элек-
электромагнитных явлениях (которые мы рассмотрим в следующей главе)
этот коэффициент получил название коэффициента самоиндукции.
Иногда численное вычисление этого коэффициента может быть упро-
упрощено использованием выражения магнитной энергии в общей форме:
W = — | НВ dr.
8тг

§5. Энергия поля для магнитостатических явлений	131
В таком случае
Для системы проводников общая энергия магнитного поля выражает-
выражается билинейной формой относительно сил токов в проводниках. Дей-
Действительно, имеем:
к
Введем коэффициент
А*
j -^г
который для случая к = i совпадает с коэффициентом самоиндукции,
тогда формула E.45) сводится к билинейной форме
к г
Например, для частного случая двух проводников имеем:
w=Ъ(Ln Ji2+2Li2 Ji j2+L22j^-
Здесь первый и последний члены представляют собственную магнит-
магнитную энергию проводников; средний же член выражает магнитную
энергию взаимодействия двух проводников. Коэффициент L\2 назы-
называется коэффициентом взаимной индукции. Коэффициент взаимной
индукции допускает переход к линейным токам. Полагая
ji dn = Ji dli, j2 dr2 = J2 dl2,
получаем
/i	Г Г dh d\2	II dh d\2
L12 = -—— J1J2 Ф Ф 	= /i ф ф 	.
J1J2	I I r	I I r
Переход к линейным токам в коэффициенте самоиндукции не имеет
смысла:
Ln = L22 = lim ф ф 	 = ос,
12 J J г
так как собственная магнитная энергия линейных токов бесконечно
велика. Это обстоятельство находится в полной аналогии с электро-
электростатикой, где переход от протяженных зарядов к точечным также при-
приводил к появлению расходящихся выражений в величине собственной
электростатической энергии точечных зарядов.

132	Гл. V. Основы магнитостатики
Электродинамика, оперирующая с дифференциальными уравнениями,
является теорией пространственно протяженных источников поля, не до-
допускающих непрерывного перехода к точечным зарядам и линейным токам.
Сам же факт протяженности источников вносится в теорию извне. Именно,
делается пред пол ожение, что законы, имеющие место для пространственно
разобщенных точек, сохраняются без изменения для бесконечно близких
точек внутри источников поля.
Поэтому неудивительно, что это предположение не устраняется при
обратном переходе от протяженных объектов к точечным простым приемом
стягивания протяженных тел к точечным.
Установим теперь связь коэффициентов самоиндукции и взаимоин-
взаимоиндукции с потоками магнитной индукции. Магнитная энергия системы
токов может быть выражена как через потоки магнитной индукции,
так и через коэффициенты самоиндукции и взаимоиндукции:
k	k	i
Сравнение этих двух выражений дает искомую связь:
kiJi.	E.46)
В частном случае одного изолированного проводника имеем:
Ф = - L J,	E.47)
с
т. е. коэффициент самоиндукции может быть охарактеризован величи-
величиной потока магнитной индукции, пронизывающего контур проводника
и рассчитанного на единицу силы тока в последнем.
Установленная связь дает возможность вычислять величину коэф-
коэффициентов в тех случаях, когда соответствующие потоки магнитной
индукции могут быть вычислены заранее.
Задачи
1.	Решить простейшие задачи о распределении магнитного поля в случае
заданных токов в пластине, для сплошного и полого цилиндра, внутри
соленоида, по оси кругового тока.
2.	Определить распределение магнитного поля и тока в сверхпроводя-
сверхпроводящей пластине и цилиндре, если внешнее магнитное поле в обоих случаях
направлено вдоль образующих.
3.	Вычислить магнитный момент равномерно вращающегося заряженно-
заряженного шара, если плотность заряда и плотность массы предполагаются внутри
шара постоянными.
4.	Определить характер изменения в скорости капиллярных волн на
поверхности парамагнитной жидкости под влиянием внешнего магнитного
поля.

Глава VI
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 1. Область квазистационарных явлений
Из всей области электромагнитных явлений можно выделить так
называемую квазистационарную область явлений, в которой для неко-
некоторых величин —- = 0 и для других —- ф 0.
at	at
В отличие от магнитостатики и электростатики, где производные
по времени от всех величин равны нулю, при выделении квазистацио-
квазистационарной области, очевидно, поступают непоследовательно, что оправ-
оправдывается определенными критериями приближения и результативно-
результативностью практического применения в широкой области явлений. В част-
частности, электротехника переменных токов относится целиком к области
квазистационарных явлений.
С точки зрения общей теории возможны два допущения:
дВ	дВ
—- Ф 0, но —- = 0,
at	at
дВ	дВ
—- = 0, но —- ф 0.
at	at
Первое допущение теоретически возможно для случая аномально
больших значений диэлектрической постоянной сред и не нашло еще
приложений. Исследуем условия, когда допустимо второе пред пол оже-
ние.
Для этого рассмотрим области внутри проводящих сред и выясним,
при каких условиях в случае переменных во времени полей можно
пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости.
Напомним выражения для этих токов:
• __L^ •
JcM ~ 4тг dt ' Jnp ~
Оценим их максимальные значения в случае монохроматических полей
Е = Eq cos cot. Тогда
_е_ (дЕ\
(Лм)макс = 47
=	=
(^пров)макс	СГ^макс	47ГСГ

134	Гл. VI. Квазистационарные явления
Таким образом, если
4тг а
то можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводи-
проводимости.
Для чистых металлов а ~ 1017 ед. СГСЭ; полагая е ~ 1, получаем
cj <С Ю17 с. Следовательно, пренебрегать токами смещения допусти-
допустимо вплоть до ультрафиолетовых длин волн. Следует, однако, иметь
в виду, что поскольку уравнение состояния мы использовали исходя
из статических представлений, нет оснований (в макроскопической
теории) распространять их до столь большой области частот, они
могут рассматриваться справедливыми лишь для небольших частот,
где инерцию среды при процессах поляризации можно не принимать
в расчет. Поэтому произведенную оценку области квазистационарных
явлений можно считать только ориентировочной, требующей своего
уточнения.
Дадим теперь второй критерий квазистационарности для диэлек-
диэлектрических сред, а именно выясним, в каких случаях можно не учиты-
учитывать ток смещения в областях пространства, окружающих источник.
Как известно из общего курса физики, токи смещения обусловлива-
обусловливают распространение электромагнитного поля от источников, в которых
сосредоточены переменные во времени заряды и токи. Пренебречь
токами смещения — это значит не учитывать распространение элек-
электромагнитных волн. При каких частотах это законно? Предположим,
в точке источника создается гармонически меняющееся во времени
поле
Е = E0eiojt.
Тогда на расстоянии г от источника поле будет определяться его
значением в точке источника в предшествующий момент времени,
поскольку требуется время — для распространения поля от места
его возникновения до рассматриваемой точки. Следовательно, зави-
зависимость от времени поля на расстоянии г от источника имеет вид
Е ~ eiw(*"c).
Таким образом, квазистационарная область выделяется условием,
определяющим, когда можно пренебречь эффектом запаздывания.
Имеем

§ 2. Уравнения для квазистационарной области явлений	135
Очевидно, эффектом запаздывания можно пренебречь при условии
2тгг
« 1.	F.2)
Таким образом, во всей области пространства вокруг источника, ли-
линейные размеры которой малы по сравнению с длиной излучаемой
волны, можно пренебречь токами смещения. В этой области значения
всех электромагнитных величин можно считать меняющимися во вре-
времени синхронно, без сдвига фаз.
§ 2. Уравнения для квазистационарной области
явлений
Очевидно, в рассматриваемом случае уравнения электродинамики
принимают следующий вид:
тт 4тг .	^ 19В
PotH=-j,	rotE = -- —
divB = 0,	divD = 47rp, (	F-3)
По сравнению с электростатикой и магнитостатикой новым здесь яв-
является учет электромагнитной индукции:
с dt
или в интегральной форме
Edl =	 \Bds.
с dt J
L	S
Прежде всего выясним, можно ли при помощи этих уравнений найти
Е и Н, если заданы распределения зарядов и токов.
На основании divB = 0, здесь также можно положить В = rot A
с дополнительным условием div A = 0, поскольку уравнения магнито-
магнитостатики вошли в схему уравнений теории без каких-либо изменений;
изменения претерпели только уравнения электростатики.
Далее,
rotE = — — rot A,
с at
т. е.

136	Гл. VI. Квазистационарные явления
откуда
^ 1 дА
ЕН	— = -grad<?,
С ОТ
или
1 9А
E = -gradp--—.	F.4)
с ас
Наличие производной векторного потенциала в выражении электриче-
электрического поля отображает непотенциальность электрического поля в ква-
квазистационарной области явлений. Для того чтобы определить распре-
распределение потенциала и его связь с зарядами, воспользуемся соотноше-
соотношением
divD = 4тгр.
Тогда имеем:
div е~Е = е div Е + Е grad е = 4тгр =
j + ^d--— jgrad,,
или (так как div A = 0)
1 1 1 дА 47Г	/ ч
Н— grad р grad ? Н	^— grad е =	р.	F-5)
е	ее ot	e
Таким образом, уравнение для скалярного потенциала не получилось
изолированным от векторного потенциала. Только для однородной
среды, когда
grad e = 0,
получается прежняя связь
4тг .
Рассмотрим теперь уравнение rotH = —j. При \± = const можно
написать	с
а 4тг .
rot rot A = — j
с
или
ДА = - —j,	F.6)
С
div A = 0.
При \i = //(ж, у, z), полагая В = Н + 4тгМ, удобно первое уравнение
записать в форме
4тг
rot В = — (j + с rot M)

§ 3. Квазистационарные явления в линейных проводниках	137
или
rot В = 	 (j + JM<MI),
С
где
Jмoл —
Тогда
AA = -^(j+jMOJ1) = -^ (j + crot^—-rotA),	F.7)
где использовано соотношение
В отличие от скалярного потенциала векторный потенциал выражает-
выражается только через токи. Таким образом, система уравнений F.5) и F.7)
дает возможность по заданным токам и зарядам определить электри-
электрическое и магнитное поля как в однородной, так и в неоднородной среде.
§ 3. Квазистационарные явления в линейных
проводниках
Рассмотрим квазистационарные явления в линейных проводниках,
как замкнутых, так и разомкнутых, с включенными в них сосредото-
сосредоточенными электродвижущими силами.
Представим уравнение состояния
j = сг(Е + Естор)
в интегральной форме для линейного проводника.
Для перехода от объемных проводников к линейным положим, как
и прежде,
(Е + Естор) dl = i dl = -L- dlji = J dR,
a	aAb
где dR обозначает сопротивление элемента длины d\ линейного про-
проводника. Интегрирование по контуру проводника L^ дает
(Е + Естор) <п= ljk dRk =
1 дЛ
Поскольку теперь Е = — grad (p	^— и, следовательно,
с ot
Edl= --— | Adi,
с dt )
Lk

138	Гл. VI. Квазистационарные явления
получаем
rP^^	F.8)
где величина Шк = ср Естор d\ называется электродвижущей силой.
Вводя поток индукции
Adl= rotAds = В ds = Ф^	F.9)
и используя связь потока индукции с коэффициентами самоиндукции
и взаимоиндукции
- 1 V
с ^
г
получаем окончательно
JkRk = ^к Р ~ -^ -^ ^2 LkiJi-	F-10)
Таким образом, по заданным сторонним силам, сопротивлению и коэф-
коэффициентам индукции проводников можно определять токи в каждом
из проводников путем решения системы обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений F.10).
Для случая двух проводников п = 2 имеем из F.10):
т о	9естор 1 ^ / г 7 i г 7 \
С1 dt
^стор	1 d
Легко заметить, что если заданы Jk = Jfc@) при t = 0 и fgk (t) при
^ ^ 0, то значения токов определяются для произвольного момента t.
Необходимо отметить два обстоятельства в наших рассуждениях.
Это, во-первых, отказ от дифференциальной формулировки задачи.
Именно переход к интегральной форме уменьшает число неизвестных,
так как распределение скалярного потенциала выпало из вычислений,
ибо для замкнутых контуров
grad (p d\ = 0.
Во-вторых, переход к линейным и замкнутым токам свел задачу от
четырех переменных ж, у, z, t к функциям только от одной перемен-
переменной t.

§ 3. Квазистационарные явления в линейных проводниках
139
Важно отметить, что при некоторых	R
условиях можно от ограничения строгой	х"~~~~
замкнутостью токов отказаться и ввести	1 (
в рассмотрение незамкнутые токи, оста- с
ваясь по-прежнему в области квазиста-	2 \
ционарных явлений.	\^^
Для контура с самоиндукцией, со-	рис 29
противлением и емкостью, выбирая ли-
линию интегрирования вдоль линейного проводника от точки 1 до точ-
точки 2 (рис.29), можно написать:
2	2	2
JdR = [Edl+ [ECTOpdl.
1 дА
Так как Е = — grad tp	—, то
с at
1	1
При этом заметим, что
2	2	2
Edl = - [gradpdl-- f ^ dl.
J	с J at
- | grad (p dl = - | —- dl = (рг - <p2.
Далее,
dA	d Г
	dl = — A dl.
dt	dt J
l	l
Предположим, что щель в контуре, обусловленная наличием емкости
столь мала, что мало изменяет картину распределения магнитного
поля, так что приближенно можно считать для векторного потенциала
цепь замкнутой, т. е.
2
I Adl«iAdl.
1	L
Основанием для такого приближения является непрерывность вектор-
векторного потенциала при переходе из проводника в вакуум при условии,
что проводник имеет магнитную проницаемость, близкую к единице.
Тогда
Г	1
A dl = В ds = Ф = —- L J,
J	с2
L	S

140	Гл. VI. Квазистациопарпые явления
где L — коэффициент самоиндукции цепи. Разомкнутость цепи мы
учитываем наличием конечной разности потенциалов на концах цепи
Ф1 — Ф2- Эту разность потенциалов выразим через заряд и емкость С:
где знак учитывает выбранное нами направление обхода контура, сов-
совпадающее с направлением тока. Поскольку теперь
de	Г
t
Jdt,
о
имеем, подставляя выражения отдельных частей в формулу F.10)
и полагая п = 1:
t
г>	1 Г т А	^ dt^ 9сСТОр
С)	^^+	'
О
ИЛИ
с2 dt	С
о
Таким образом, мы получили уравнение, дающее возможность опреде-
определить токи в разомкнутом контуре при заданных начальных условиях
и заданных сторонних электродвижущих силах.
При составлении уравнения использовано начальное условие е = 0
при t = 0. Мы можем освободиться от этого ограничения, продиффе-
продифференцировав один раз уравнение F.11) по времени:
T'd2j _u RdJ +1 i - d ^стор	(а ло\
где — L = V.
с1
При решении задач электродинамики с начальными условиями
часто приходится пользоваться методом Лапласа—Меллина. Поэтому
изложим основы этого метода на примере решения уравнения F.11),
предполагая известными другие элементарные способы решения урав-
уравнения F.12).
Метод решения уравнений с помощью интеграла Фурье
оо	оо
= — [ J^eiutduj; J«= I J(t)e-iutdt
2тг I	J

§ 3. Квазистационарные явления в линейных проводниках	141
приспособлен для класса функций с интегрируемым квадратом:
оо
2dt < оо.
J J2(t)>
— оо
В случае, когда, например, в начальный момент в цепь включена элек-
электродвижущая сила, в дальнейшем не меняющаяся с течением времени
^стор	Г О	ДЛЯ t < О,
(^ (90 Для t ^ 0>
это условие не выполняется
0 стор
Г v{t)
dt = оо,
так что для подобных случаев метод Фурье непригоден.
Идея излагаемого метода заключается в представлении неизвест-
неизвестных функций с помощью интеграла Лапласа
оо
Jp= [ J(t)e-ptdt
(для сходимости интеграла необходимо Пер > 0 (р = а+гб)) и в замене
дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений для
J{t) алгебраическими уравнениями для Jp. Преобразование Лапла-
Лапласа— Меллина
a0-\-ioo
<т0—гоо
J(t) = 0	(t < 0)
дает возможность от вспомогательной функции Jp перейти к иско-
искомой J.
В формуле преобразования F.13) интеграл берется по бесконечной
прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на величину ад.
Величина ао вводится, чтобы сделать интеграл сходящимся. В оконча-
окончательный результат интегрирования ctq явно не входит. Этот метод, как
видно из формул преобразования, применим только для специальных
функций, поведение которых в «прошлом» строго предопределено:
J(t) = 0 для t < 0.
Будем решать уравнение

142	Гл. VI. Квазистационарные явления
при условии
J@) = О, <?CTOP(?) = 0 при t < О
стор	сест°Р	,	/ \ п
(^j G	const при ? ^ О,
что соответствует включению в контур с емкостью, самоиндукцией
и сопротивлением постоянной электродвижущей силы.
Умножим правую и левую части на e~pt и интегрируем от 0 до оо.
Тогда появятся следующие интегралы:
Г	А Т	Г
e~pt— dt = e~ptJ(t) + р e~ptJ(t) dt = -J(O) + pJp,
J	dt	о	J
о
oo
e-ptJ(t) dt = Jp, e~pt dt J(t) dr = I.
v
0	0	0
Изменим порядок интегрирования в последнем интеграле. Вместо того
чтобы вначале интегрировать по г от 0 до t, а потом по t от 0 до
сю (рис.30), мы можем интегрирование по площади, ограниченной
абсциссой и прямой г = t, произвести вначале от т = t до оо, меняя ?,
а потом по г от нуля до бесконечности:
оо	t	оо	оо
/ = Г e~pt dt I J(t) dr = I J(t) dr \ e~pt dt.
0	0	Or
Последний интеграл мы можем написать так:
J(r)e-pTdr
В результате получаем:
оо
I = JP le-*dZ = Jp-.
0

§ 3. Квазистационарные явления в линейных проводниках	143
Рис. 30
Остается свободный член в исходном уравнении
По условию, *ё = <f0 = const для t ^ 0. Поэтому
1 стор
Итак, уравнение для Jp имеет вид
, CTOD
Таким образом, исходное уравнение сведено к алгебраическому урав-
уравнению относительно неизвестной Jp, решение которого есть
где обозначено
стор
J = 	^0	?
р ар2 + Ьр + с'
а = Z/, b = R, с = —.
Окончательное решение получается при помощи обратного преобразо-
преобразования
р ao+ioo
^dpa
2тгг J ар2 + bp + с
сго—ioo
Для использования теоремы о вычетах находим корни подынтеграль-
подынтегрального выражения, обращающие знаменатель в нуль:
ар2
: = а(р - pi)(p - р2);
i, 2 =
a

144	Гл. VI. Квазистациопарпые явления
Таким образом, теорема о вычетах дает:
а \Pi-P2 Р2-Р1/
a(pi -Р2)
Необходимо различать два случая:
be	be
4а2 а	4а2 а
Случай
4а2 а
или
4Z/ L'C
соответствует наличию большого сопротивления цепи. Здесь
ост°Р	,	/ ГТо	\
4а2 а
Включение постоянной электродвижущей силы приводит к апериоди-
апериодическому изменению тока. В частном случае отсутствия разрыва цепи,
т.е. полагая емкость С —>• оо, имеем:
б2	с	Я2	1
Случаи —- < —, или 		< ——, соответствует достаточно
4сг	а	4/У	L'C
малому сопротивлению. Тогда
В цепи возникают затухающие колебания. Для предельного случая
R —> 0 период незатухающих колебаний Т равен:
Т = 2тг\//7С',	F.15)
что совпадает с известным результатом.

§ 4. Энергия и силы в области квазистационарных явлений	145
§ 4. Энергия и силы в области квазистационарных
явлений
Составим баланс энергии для системы линейных проводников при
наличии в них переменных токов столь малых частот, что можно
считать рассматриваемое явление квазистационарным.
Для тепловой энергии, выделяющейся в проводниках в единицу
времени, имеем:
= \'-dr.
\'-dr.	F.16)
V
V	V
Для линейных проводников мы должны положить
и, таким образом,
•2	72
J-dr = у-гттг^ AS dl = J2 dR,
a	(ASJ<j
где dR — сопротивление элемента длины dl линейного проводника,
AS — площадь его поперечного сечения.
Если имеется в наличии только два линейных проводника, то,
разбивая интеграл в F.16) на два интеграла по объему каждого из
проводников, имеем:
^—- + J2 = J2 ф dR\ + Jf ф dR2 = J2Ri + J\R*.
°\ ) oi	J	J
V	V	Li	L2
Для работы Р сторонних сил, которые предполагаются в каждом из
проводников, мы имели ранее:
Р =
v
Переходя и здесь к двум линейным проводникам и заменяя j dr на
J dl, получаем
Р=
Vi	V2
j i E7CTOP I/ , 7 I riCTOp ,,	j CeCT°P , T Op CT°P
= J\ CD tjx F a/ + J2 Ф ^2 dl = JiG1 + J2&2 i
L\	L2
_ стор	стор
где g1 и 62 — электродвижущие силы в каждом из проводников.

146	Гл. VI. Квазистациопарпые явления
Рассмотрим теперь магнитную энергию при квазистационарном
режиме:
W = — HB dr = —r- (L11J1 + 2Li2 J1J2 + L22 J2).
О7Г J	ZCZ
Учтем возможность перемещения проводников, причем будем считать,
что перемещения происходят бесконечно медленно. В таком случае
остается в силе вся схема электродинамики, развитая для поля непо-
неподвижных тел.
Обозначим через А работу сил взаимодействия между проводни-
проводниками в единицу времени. Как следствие закона сохранения энергии
должно быть:
лтд/
-А,	F.17)
т. е. в общем случае работа сторонних сил обусловливает выделение
8W
тепловой энергии в проводниках Q, изменение магнитной энергии ——
о ъ
и работу за счет сил взаимодействия между проводниками А.
Пусть положения проводников определяются обобщенными коор-
координатами gi, . . ., qn. Тогда работа за счет сил взаимодействия за время
dt равна
где Qi = Qi(qi . . . gn, J\ . . . Jn) — обобщенные силы. Таким образом,
наша задача заключается в определении обобщенных сил, исходя из
выражения баланса энергии, при условии, что нам известны все вхо-
входящие туда члены, кроме А. Мы нашли
??стор i т ястор
Основываясь на основном законе изменения сил токов в линейных
проводниках в области квазистационарных явлений:
др стор
1 d
= J\Ri H—п -j- (LiiJi + Li2J2),
сА at
gp стор 1 d
$2 = J2R2 H	ч ~з!
сА dt

§ 4. Энергия и силы в области квазистационарных явлений	147
получаем
P-Q = J1
+ J2 \J2R2 Н	о ~ТГ (^12 <Л + L22J2) — JiRl — J2
\_	cz at	\
1 (т т dJl ^ г т dJ<2 l т т dJl l г т
+ ^^	+ ^22^2
2 \	at	a?	at	at
dL12	dL12 2 dL22
+ ЛЛ	+ J
1 dt x A dt x * dt A dt
Сравнивая выражение для P — Q с выражением магнитной энергии
получаем
/я\л/\	/я\л/\
F.18)
где I —— I — производная магнитной энергии по времени при усло-
V &t ) L
вии постоянства коэффициентов самоиндукции и взаимоиндукции,
(dw\
I 	 I — при условии постоянства токов.
V 9t ) 3
Воспользуемся теперь уравнением баланса энергии
Подставим сюда соотношение F.18); тогда получим:
Работа сил взаимодействия между токами равна изменению магнитной
энергии системы при условии постоянства сил токов в ней.
Теперь найдем выражение для обобщенных сил. Имеем:
Сравнивая выражения в правых частях, получаем
Обобщенная сила, действующая на линейный ток в квазистационарной
области электромагнитных явлений, равна производной магнитной

148	Гл. VI. Квазистациопарпые явления
энергии по соответствующей обобщенной координате при условии по-
постоянства сил электрических токов во всех проводниках системы.
Важно отметить, что здесь силы направлены в сторону возрастания
энергии (положительный знак у производной), в то время как в меха-
механике силы направлены всегда в сторону убыли потенциальной энергии
системы:
Q, = -|?.	F.21)
Например, два одноименных заряда отталкиваются, два тока, на-
направленные в одинаковую сторону, притягиваются (рис.31). Причи-
Причина указанного обстоятельства заключается в существенно отличной
природе стационарных токов как
характеристик взаимодействующих
систем по сравнению с характери-
характеристиками в классической механике.
В последней характеристиками вза-
взаимодействующих систем являются
заряды и массы тел, которые счи-
считаются раз навсегда заданными. Та-
Такое задание не противоречит закону
сохранения энергии, поскольку со-
совершенно не рассматриваются процессы, связанные с изменением этих
индивидуальных характеристик взаимодействующих систем, а учиты-
учитываются только изменения их положения в пространстве. В электро-
электродинамике же поддержка постоянства токов требует затраты работы
сторонних сил, а изменение токов связано с появлением индукцион-
индукционных токов, для компенсирования которых необходима дополнительная
работа сторонних сил. Этим и обусловливается существенная разница
формул F.20) и F.21). Если бы работа сторонних сил шла только на
компенсацию потери энергии за счет перехода в тепло, то
P = Q
и баланс энергии привел бы нас к результату, аналогичному механике
fdW\
\ )
at ~ \dt)L \ at )j
Именно изменение индивидуальных характеристик взаимодействую-
взаимодействующих систем при их перемещениях радикально отличает законы взаи-
взаимодействия токов от тех, которые имеют место в механике.
Рассмотрим частный случай тока во внешнем магнитном поле
(рис.32), считающемся заданным. Положим, что силы токов в источ-
источнике и в подвижном контуре при перемещении остаются постоянными;

§ 4. Энергия и силы в области квазистационарных явлений
149
контур при перемещении не де-
деформируется; только одна из
обобщенных координат опре-
определяет положение подвижного
контура. Эти предположения
гарантируют неизменность соб-
собственной магнитной энергии
каждого из проводников. По-
Поэтому при перемещениях может
меняться только энергия взаимодействия
Рис. 32
W12 = "a ?l
отсюда
Замечая, что
Q =
J2 d
- L12 J\
с
-L12Ji =
с
где Ф — магнитный поток через второй контур, индуцированный пер-
первым контуром, имеем:
гл J d ж
Q = -—Ф,
с dq
т. е. обобщенная сила, действующая на контур, перемещающийся в за-
заданном магнитном поле, выражается через изменение потока магнит-
магнитной индукции, обусловленного изменением положения контура.
Для подсчета —— рассмотрим два бесконечно мало отличающихся
dq
положения контура. Пусть dq — вектор перемещения контура. Тогда
разность потоков магнитной индукции между первоначальным и по-
последующим положением определяется потоком через боковую поверх-
поверхность (Б.П.), вычерчиваемую контуром тока при перемещении
ДФ = Ф1-Ф2= \ Bds= \ B[dqdl].
Б. П.	Б. П.
Поскольку Aq для всех точек контура предполагается одинаковым, то
АФ = A
но из выражения обобщенной силы имеем:
d<S> = Q-dq= -Fdq.
и	и

150	Гл. VI. Квазистационарные явления
Сравнение дает
F=-|[dlB].	F.22)
с J
L
Направление силы, действующей на элемент тока сЯ, перпендикулярно
к этому элементу и направлению магнитной индукции В внешнего
поля в точке элемента d\. Переходя от линейных токов к объемно
распределенным
J d\ = j dr,
получим:
F= -
v
Следовательно, на каждый элемент объема dr проводника действует
сила (iF, равная:
dF = - [jB] dr.	F.23)
с
Отметим, что выражение силы, действующей со стороны магнитного
поля на ток, представляет собой один из фундаментальных резуль-
результатов электродинамики. Нами он получен как следствие основных
уравнений и принципа сохранения полной энергии при перемещении
токов. При изложении магнитных явлений этот закон может быть
положен в основу теории.
В случае движения точечных зарядов можно выразить плотность
тока через J-функцию:
Тогда
M 5> ?dr,
что дает ввиду сосредоточенности E-функций:
Сила, действующая на один движущийся заряд, таким образом, равна
f=-[vB].	F.24)
С
Это выражение лежит в основе классической микроскопической элек-
электродинамики. Заметим также, что основное выражение для силы,
действующей на ток, содержит не Н, а В. Таким образом, с этой точ-
точки зрения магнитная индукция является более первичным свойством

§ 5. Скин-эффект. Аномальный скин-эффект
151
поля, чем Н. Связь между силой, действующей на ток, и магнитной ин-
индукцией дает новый по сравнению с прежним определением (см. гл. 1)
способ экспериментального определения магнитной индукции посред-
посредством измерения сил, действующих на токи со стороны магнитного
поля.
§ 5. Скин-эффект. Аномальный скин-эффект при
низких температурах
Выясним распределение переменного электрического поля внутри
металла. При постоянном электрическом поле в однородном цилин-
цилиндрическом проводнике плотность тока имеет постоянное значение по
сечению проводника. Легко заметить, что при возрастании общего тока
с течением времени возникающее вихревое электрическое поле всегда
направлено так, что у краев проводника оно увеличивает первоначаль-
первоначальный ток, а в центре проводника уменьшает его. В самом деле, если ток
увеличивается, то увеличивается и поток магнитной индукции через
контур, показанный на рис. 33. Циркуляция по это-
этому контуру должна составлять левовинтовую си-
систему с направлением изменения потока индукции
и поэтому действительно увеличивает исходный ток
у краев и уменьшает его в центре.
Учитывая, что в однородном проводнике divE =
= 0, находим, дифференцируя по времени первое
уравнение электродинамики и пользуясь вторым
уравнением,
dt
1	с А 4тг д\ е <92Е
- rot -crotE =-AE= — -J + - —,
ц	№	с at с at1
или
АЕ
д2Е
с2 dt2 с2 dt'
Поскольку j = сгЕ, то, предполагая, что поле Е
монохроматически зависит от времени Е
Е
elujt, имеем:
Рис. 33
).	F.25)
Предполагая, что мы имеем дело с плоской границей металла и что
напряженность поля направлена параллельно плоскости раздела, мо-
можем положить, что существует только компонента Ех, зависящая от
глубины z проникновения поля внутрь металла. Будем искать реше-
решение уравнения F.25) в виде Ex(z) = Ex@)e~pz, для определения р
получаем характеристическое уравнение
F.26)

152	Гл. VI. Квазистационарные явления
Поскольку обычно глубина проникновения 5 = 1/Кер значительно
меньше длины волны Л = 2тгс/с<;, второй член слева можно опустить,
так как
Пренебрежение этим членом соответствует квазистационарному при-
приближению, так как его происхождение обязано учету тока смещения.
В квазистационарном приближении исходное уравнение F.25) приоб-
приобретает вид
АЕ= ^^-—я	F-27)
Полагая в характеристическом уравнении F.26) р = п + гх, нахо-
находим:
о	о	4:7TUJLL(J
п = х , 2пя =	—.
с1
Таким образом, решению можно придать вид
Ex(z) = Ex@)e~nz cos(out - nz), к = п.	F.28)
Введем, по определению, понятие глубины проникновения 5 как рас-
расстояние от границы, при котором напряженность поля убывает в е раз,
* = != "
п
С увеличением частоты, электропроводности и магнитной проницае-
проницаемости глубина проникновения уменьшается.
Для меди (а ~ 5 • 1017 ед. СГСЭ, \i ~ 1) получаем:
при
при
при
U=2^ =
v = 105 с"
v = 107 с"
103 с
1
1
6г
^ 2 мм,
^ 0,2 мм,
- 0,02 мм.
Решение задачи в виде F.28) указывает на существование затухаю-
затухающих волн с коэффициентом затухания, равным волновому числу. Это
2тг
значит, что на расстоянии, равном длине волны Л = —, практически
п
происходит полное затухание, так как амплитуда поля уменьшается
в e~2w раз. По указанной причине говорить о волнах можно лишь
условно.
Очевидно, что эта условность представлений о волнах отображает
ту важную особенность, что для области квазистационарных явлений
распространение поля не является характерным, так как мы опустили
ток смещения, являющийся необходимым элементом распространения.
Заметим, что указанная условность представлений о волнах имеет
место и для так называемых тепловых и диффузионных волн, так как

§ 5. Скин-эффект. Аномальный скин-эффект	153
уравнения, описывающие эти процессы:
того же математического типа, как и уравнения F.27).
Принципиальное отличие подобных уравнений (уравнений парабо-
параболического типа) от волновых уравнений (уравнений гиперболического
типа) заключается в том, что если в гиперболических уравнениях
затухание волн может не зависеть от характеристик распространения
волн, например от длины волны, и может даже отсутствовать, как, на-
например, в случае непоглощающей диэлектрической среды с типичным
волновым уравнением
то для параболических уравнений, как видели выше, коэффициент
затухания равен волновому числу.
Определим теперь сопротивление R, приходящееся на единицу дли-
длины проводника. Пусть Q — количество тепла, выделяющееся по всей
толще проводника. Выбрав за объем цилиндр с площадью сечения,
равной единице, имеем:
оо
Q= \ jEdz = (тЕ*(О) \ e cos2(cut - kz) dz = 	*±1
J	xK J J	v	;	4rc '
о	о
где черта сверху обозначает усреднение по времени. Полный ток J,
приходящийся на 1 см, равен:
оо	оо
J = I aE dz = cj) Ex@) [ e~nz cos(ujt - kz) dz =
о	о
aEx@) t
= —	 [nsxwujt — к cos cut),
отсюда
Определяя «скиновое сопротивление» отношением = = Я, получаем
и
п? -\- н^
R = 	. Обычно вводится так называемая «скиновая проводи-
2па
мость» Z1:
2 = ^ = ^^-	F-29)
R п2 + к1

154
Гл. VI. Квазистациопарпые явления
Как мы видели ранее, п = к =
и, следовательно,
т. е. «скиновая проводимость» пропорциональна корню квадратному
из коэффициента удельной проводимости с коэффициентом пропор-
пропорциональности, не зависящим от природы металла (при \± ~ 1).
В последние годы х) благодаря освоению техники получения санти-
сантиметровых радиоволн было сделано несколько важных эксперименталь-
экспериментальных открытий. К их числу принадлежат новые данные, указывающие
на аномальный ход основных зависимостей скин-эффекта при низких
температурах и высоких частотах. «Скиновая проводимость» XI по
рассмотренной выше теории увеличивается пропорционально корню
квадратному из коэффициента электропроводности с коэффициентом
пропорциональности, не зависящим от природы металла. Опыты, про-
произведенные при фиксированной частоте со = 10" с и при различ-
различных температурах до 10 К и ниже, показали, что XI при больших
значениях л/а стремится к насы-
насыщению, величина которого зависит
от природы вещества. На рис. 34
приведены характерные кривые
для серебра, золота, свинца. В об-
области малых значений л/а экспе-
экспериментальные точки хорошо укла-
укладываются на прямолинейном от-
отрезке кривой в полном соот-
соответствии с классической теорией
скин-эффекта. Для больших зна-
Го чений л/а имеет место насыщение.
Исключение составляет ртуть, для
которой «скиновая проводимость»
продолжает возрастать с увеличением коэффициента электропровод-
электропроводности.
В связи с этим возникает вопрос: какие физические факторы, не
учтенные в классической теории скин-эффекта, определяют характер
новых закономерностей?
Очевидно, учет тока смещения не может изменить классическо-
классического результата, так как роль второго члена в уравнении F.26) ни-
ничтожна и для новых опытных данных. При со ~ 1010 с а ~
~ 1020 ед. СГСЭ, 5 ~ Ю-3
Аи
Рис. 34
см, тогда как длина волны, соответству-
соответствующая частоте 1010 с, равна приблизительно 20 см и, следовательно,
х) См. предисловие ко второму изд. (Прим. ред.)

§ 5. Скин-эффект. Аномальный скин-эффект	155
5 <С Л. Поэтому р2 ^> со2е^/с2. Поскольку указанные аномалии скин-
эффекта имеют место и для полей с небольшими амплитудами, ясно,
что учет нелинейности соответствует совсем другим опытным данным
и к явлению аномального скин-эффекта не имеет прямого отношения.
Далее заметим, что получение закона Ома j = <тЕ основывалось на
предположении о функциональной связи между j и Е: j = /(Е). Это
предположение молчаливо допускает, что плотность тока не зависит от
значения поля в других точках пространства. Как указывалось в гл. 1,
при наличии такой зависимости закон Ома должен быть заменен свя-
связью, соответствующей функционалу:
j= fA-(|r-r'|)E(r')dr',	F.30)
где ядро К(\г — г'|) определяет интенсивность связи между значением
плотности тока в точке г и значением поля в точке г'. В частном случае
связей только в бесконечно близких точках, когда можно положить
К(\г — г'|) = а5(г — г'), где 5 — дельта-функция, линейный функционал
переходит в обычный закон Ома
j = а \ 6(г - r')E(r') drf = сгЕ.
Поскольку малые сопротивления при низких температурах должны
способствовать эффективности «дальних связей», положим в основу
аномальной теории скин-эффекта связь между j и Е в виде F.30), где
ядро К должно определиться из опыта. Тогда вместо уравнения F.25)
получим уже новое уравнение:
ДЕ + ^ Е = *™± [ K(\r - r'|)E(r') dr>.	F.31)
Для плоского случая будем и здесь искать решение в виде Ex(z) =
= Ex@)e~pz, Еу = Ez = 0. Подставляя в уравнение F.31) вместо ЕХ
функцию e~pz, получим для точек, достаточно удаленных от границы
в сравнении с радиусом сферы действия функциональных связей (по-
(полагая V —> оо):
оо
K+(z - z')e-pz' dz' + I K+{z' - z)e-pz' dz']
— оо
оо
(K+(z-z')= K{\r-r'\)dy'dx').

156	Гл. VI. Квазистационарные явления
Вводя новые переменные интегрирования: в первом интеграле z — z' =
= 5, во втором z1 — z = s и замечая, что
+(z - z')e-pz' dzf = e~pz f K+(s)epa ds,
+(z' - z)e~pz> dz' = e~pz K+(s)e~ps ds,
z	0
получаем после сокращения на e~pz характеристическое уравнение
для определения р:
О
Как видим, это уравнение отлично от прежнего
ио2еа
и, следовательно, по-другому характеризует явление.
Характер зависимости р от а мы можем выяснить приближенно,
решая уравнение F.32). Разлагая подынтегральную функцию в ряд
Тейлора, удержим член, который отсутствует в обычной теории скин-
эффекта. Тогда имеем:
Р2 + —^ = —^ (о- + а2р2),	F.33)
где
оо	оо
а = 2 \ K+(s) ds, <т2 = I K+(s)s2 ds.
о	о
Коэффициент сг2 включает новый параметр размерности квадрата
длины
оо
K+(s)s2ds
Г2 _ _0
Г0 — оо
2 \ K+(s)ds
о
Величина го определяет пространственную «протяженность дальних
связей» между исходными величинами j и Е.

§ 5. Скин-эффект. Аномальный скин-эффект	157
Таким образом, новый коэффициент а^ = Гдсг, и мы имеем из
. ч	uj2ea
F.33), опуская член —-—:
где обозначено
Разбивая р на действительную и мнимую части: р = п + гх, находим
следующие уравнения для определения пик:
п2-х2 = - °шГ° 4, 2ггх = а 4.	F.34)
Для малых значений сг, полагая сг^г2, <С 1, получаем: п2 — к2 = О,
2пя = crw, т. е.
/2тг(х;/2сг
V с2 '
что совпадает с результатом классической теории. В крайнем неклас-
неклассическом случае сгшг^ ^> 1
Подсчитаем теперь «скиновую проводимость». На основании формулы
F.28), справедливой и для п ф к, получаем в классическом случае
прежний результат: И = — ~ л/а, а в крайнем неклассическом случае
п
2па	а	с
2
п2 + к2 сгшго 4тгс<;го/л'
т.е. здесь ? не зависит от коэффициента электропроводности а. По-
Последний результат вполне соответствует новым экспериментальным
данным об аномальной зависимости скиновой проводимости от у/а при
низких температурах и больших частотах.
Заметим, что структура поля в неклассическом случае существенно
отлична от результата классической теории. При ст^г2, > 1 п < х,
т. е. преобладает периодическая структура поля, на которую наклады-
накладывается относительно слабое затухание. Величина периода совпадает
с величиной радиуса действия «дальних связей».

158	Гл. VI. Квазистационарные явления
Порядок го можно оценить, полагая ашг$ ~ 1; для со ~ 1010 с,
а ~ 1020 получаем го ~ 10~5 см.
Задачи
1.	Найти распределение электрического поля в цилиндрическом проводе
в случае нормального скин-эффекта и подсчитать количество выделившего-
выделившегося тепла на единицу длины провода.
2.	Определить количество тепла, выделяющегося в единицу времени
в толстой пластинке при аномальном скин-эффекте, беря за уравнение
состояния j = <тA + ГдА)Е.
3.	В однородном магнитном поле находится заряженный по объему
шарик. При изменении магнитного поля по величине возникает вихревое
электрическое поле. Вычислить момент сил, действующий на шарик.

Глава VII
ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. Общие замечания
Как мы видели (см. гл. 2), исходные уравнения электродинамики
обратимы во времени. Излучение же есть необратимое явление, подоб-
подобное необратимому процессу перехода тепла от более нагретого тела
к менее нагретому. Поэтому решение проблемы излучения должно
быть связано с дополнительной физической гипотезой. Выявление
и анализ этой гипотезы необходимо рассмотреть в этой главе.
В электростатических и магнитостатических задачах электромаг-
электромагнитное поле рассматривается только совместно с источниками — за-
зарядами и токами, так как оно органически связано с этими источ-
источниками и не может существовать без них. По другому обстоит дело
в случае переменных во времени полей. Здесь возникшее поле может
«отпочковаться» от источников и, таким образом, получает полную
самостоятельность существования, что указывает на новую форму
движения материи.
Основной задачей в проблеме излучения является определение
свойств поля излучения в зависимости от характеристик источников —
переменных во времени зарядов и токов.
Получаемые здесь результаты являются не только основой много-
многочисленных приложений в радиофизике, но служили и служат основой
теоретических обобщений в атомной физике, оптике и ядерной физике.
§ 2. Дифференциальные уравнения для
потенциалов
Поставим задачу определения векторного и скалярного потенциа-
потенциалов по заданным источникам поля — зарядам и токам, не накладывая
ограничений на быстроту изменения этих величин во времени.
Сама возможность введения потенциалов А и (р не очевидна, по-
поскольку ранее мы ограничивались статическими или квазистатически-
квазистатическими явлениями. Поэтому проанализируем возможность введения Аи^.
Поскольку всегда
divB = 0,	G.1)
мы можем и здесь положить
В = rot A	G.2)

160	Гл. VII. Проблема излучения
или
H=-rotA.	G.3)
Выражением G.2) векторный потенциал определяется неоднозначно:
A = A/ + gradV,	G.4)
где ф — произвольная функция координат и времени.
Подстановка вектора магнитной индукции в уравнение
т. 1 9В
rot Е + - —- = 0
с at
дает
Это уравнение удовлетворяется, если положить
1 дА
E = -grao>--—	G.5)
так же, как и в области квазистационарных явлений.
Выявим, как отражается на скалярном потенциале произвол в вы-
выборе векторного потенциала. Заменяя А через А7 по формуле G.4),
имеем:
1 дА' 1 д
- —---
1 дф\ 1 дА'	, , 1 9А'
+	j	grad^
с dt '
т. е. скалярный потенциал также определился неоднозначно:
<р' = ip H	—.	G.6)
Таким образом, преобразования потенциалов (р и А по формулам G.4)
и G.6) оставляют неизменными напряженности полей. Это свойство
уравнений поля носит название «калибровочной инвариантности».
Естественно в дальнейшем воспользоваться неоднозначностью по-
потенциалов с целью выразить задачу определения А и (р в наиболее
простейшем виде.
В случае однородной среды с е = const, \± = const уравнение
электродинамики, выраженное через потенциалы, имеет вид
1	1 , 1 л. . . АЛ е д (	л 1 дА\ 4тг .
— rot rot A = — (grad div A — А А) = --—(— grad (р	^— -\	j
\i	\i	с at \	с at J с
или
G.7)

§ 2. Дифференциальные уравнения для потенциалов	161
Аналогично, уравнение
divD = 4тгр
имеет вид
1 дА\ 4тг
ИЛИ
А(р + - — div А = —- р.	G.8)
с ot	e
Полученные уравнения для потенциалов дают возможность опреде-
определить по заданным токам и зарядам скалярный и векторный потенци-
потенциалы, поскольку имеется четыре уравнения для четырех неизвестных
функций <р, Ах, Ау, Az.
Вследствие имеющегося произвола в выборе потенциалов наложим
на них дополнительное условие
divA+^=0.	G.9)
с ot
Покажем, что надлежащим выбором произвольной функции ф, опре-
определяющей неоднозначность выбора потенциалов, можно всегда добить-
добиться выполнения условия G.9).
Имеем:
А = А' + grad-0, "J
1 дф \	G-Ю)
Действуя оператором div на первое и оператором — —- на второе из
с ot
соотношений G.10), получим после вычитания
ей д2ф 1 . ей, дю (Л . , ей, дю'
~ ~Y ~Ш = div А + — ~? -\ div А + — "?-
1 t1	t	t
с1 at1	с ot \	с
Предположим, что div А -\	— ф 0. Тогда, если уравнение
с ot
имеет хотя бы одно частное решение для ф, то это будет указывать,
что существует такая функция ф, что
В данной главе мы убедимся в разрешимости уравнения G.11); по-
поэтому можем считать заранее, что условие G.9) выполнено. Используя
6 Власов А. А.

162	Гл. VII. Проблема излучения
условие, накладываемое на потенциалы, находим:
ей д2(р 4тг
^^ ^ i^ T GЛ2)
Полученные уравнения для потенциалов совместно с условием
divA+^=0	G.13)
с ot
подлежат подробному обсуждению при рассмотрении проблемы излу-
излучения.
Отметим, что эти уравнения обобщают ранее полученные для ста-
статического случая, переходя в них при условии
Отметим также, что эти уравнения принадлежат к дифференциаль-
дифференциальным уравнениям гиперболического типа и называются неоднородными
волновыми уравнениями. Они позволяют найти распределение потен-
потенциалов А и у?, если известны токи и заряды как функции координат
и времени.
§ 3. Частные решения уравнений для потенциалов
Часто используемый так называемый истокообразный способ полу-
получения частного решения заключается в следующем. Найдем решение
от сосредоточенного в малом объеме источника. На основании адди-
аддитивности потенциалов, как и полей, для получения решения от про-
пространственного непрерывного распределения источников нужно будет
просуммировать (проинтегрировать) потенциалы от разных объемов
источника.
Поскольку уравнения для проекций векторного потенциала вполне
аналогичны уравнению для скалярного потенциала, достаточно рас-
рассмотреть только последнее уравнение.
Ввиду изотропности пространства вокруг одного сосредоточенного
источника будем искать сферически симметричное решение, т. е. поло-
положим
Для всех точек вне источника
_ d2(f 2dip_J_
V- дг2+ г дг~ V2
Полагая
u(r)
<p = —,

§ 3. Частные решения уравнений для потенциалов	163
где и(г) — новая неизвестная функция, имеем после подстановки:
д2и 1 д2и _
Решение такого однородного волнового уравнения имеет вид
где g и / — произвольные, дважды дифференцируемые функции от
г	г
аргументов t	и t -\—.
V	V
Таким образом, сферически симметричное решение для потенциала
от сосредоточенного источника имеет вид
()
+ —^	^.	G.14)
г
В полученном решении функции g и / не связаны с амплитудой
источника, т.е. с находящимся в нем зарядом pdr. Установим эту
связь, используя то обстоятельство, что поскольку исходные законы
электродинамики переходят в статические законы, когда v —>• оо, то
и точные решения уравнений электродинамики должны переходить
в статические решения при том же предельном переходе.
Полагая, например, / = 0, v —> оо, имеем из G.14):
<р = —,
г
но в статике
р dr
er
следовательно,
1
g(t) = -p(t)dr,
или
/ r\ 1 / r\
g[t--) = -P(t--) dr.
\	V/	? \	V/
Полагая g = 0, аналогично имеем:
f(t+-)=-p(t+-) dr.
\ v/ e V v/
Итак, полученное решение имеет вид
- -] dr
—^		G.15)
er

164
Гл. VII. Проблема излучения
или
sr
G-16)
Первое решение представляет собою сферическую волну, распростра-
распространяющуюся от источника, второе — сферическую волну, сходящую-
сходящуюся к источнику (рис.35). Первое решение указывает, что значение
потенциала в момент времени t
и на расстоянии г от источни-
источника определяется значением плот-
плотности зарядов, возбуждающих эту
волну в момент времени, предше-
предшествующий наблюдению: t — r/v,
где r/v — время, необходимое для
распространения поля от источни-
источника до точки наблюдения. Второе
решение характеризуется значени-
значением потенциала в момент времени,
опережающий наблюдаемое время
t на тот же интервал времени r/v. Поэтому для первого решения заряд
играет роль источника распространения поля, для второго — заряд
является местом стока поля. Первое решение называется запаздываю-
запаздывающим, второе — опережающим решением.
Помимо выражений G.15) и G.16), существуют более общие реше-
решения. В самом деле, положим
p(t--) dr
dp = Cl^	nl	+ ,
(t + -)
V v/
sr
sr
G.17)
где С\ и C2 — постоянные. Это есть решение волнового уравнения,
поскольку G.17) есть сумма частных решений того же уравнения; оно
переходит в статическое при условии
pdr
sr
h
pdr pdr
sr
sr
если
В частном случае решением задачи является полусумма запаздываю-
запаздывающего и опережающего решения

§ 3. Частные решения уравнений для потенциалов	165
Поскольку для запаздывающего решения поле распространяется от
источника, к нему не возвращаясь, излучение поля отображается за-
запаздывающим решением. Для опережающего решения заряд является
местом стока поля и, следовательно, опережающие потенциалы могут
описывать процессы поглощения.
Отыщем теперь решения от протяженных источников, учитывая
принцип аддитивности действий отдельных объемов источника. Для
запаздывающего скалярного потенциала имеем:
1ГР(*--)	IT p(x',y', z',t--) dx'dy'dz'
Ч _V	vl dT = 4 V	v)		 G 18)
?l r	?I V(x-x'J + (у-у'J + (z~z'J
и вполне аналогично для векторного потенциала
.	G.19)
г
с
V
Подобным же образом для опережающих потенциалов имеем:
!т, А = ^ [ -^	^- dr.	G.20)
е ]	г	с ) г
v	v
В заключение можно сделать следующие выводы. Исходные поло-
положения электродинамики дают возможность объяснить процесс излу-
излучения поля при помощи специальных частных, но точных решений
исходных уравнений в виде запаздывающих потенциалов.
Однако объяснение излучения не является полным, так как метод
получения решения в виде запаздывающих потенциалов не выявляет
условий выбора именно этих частных решений, а не других. Такие
условия должны существовать, поскольку излучение в виде запазды-
запаздывающих потенциалов представляет необратимое явление, исходные же
уравнения обратимы во времени.
Сама постановка вопроса — по заданным зарядам и токам опреде-
определить поле излучения — еще не предопределяет однозначный ответ, так
как задача решается неоднозначно: имеются решения в виде опережа-
опережающих потенциалов; кроме того, в такой постановке задачи отсутствует
учет обратного влияния самого излучения на распределение и величи-
величину зарядов и токов. Однако теория не включает в себя динамического
описания этого влияния и поэтому не в состоянии без привлечения
новых понятий и допущений устранить эти недостатки.
В свете сказанного очевидно, что важно выяснить основания вы-
выбора того или иного частного решения. Для этой цели мы должны
рассмотреть более последовательно методы решения неоднородных
волновых уравнений.

166	Гл. VII. Проблема излучения
§ 4. Метод решения неоднородного волнового
уравнения, опирающийся на формулу Грина.
Формула Кирхгофа
Этот метод заключается в сведении неоднородного волнового урав-
уравнения к интегральному уравнению, содержащему интегралы от неиз-
неизвестной функции и ее производных по некоторой ограничивающей
объем поверхности.
Ограничимся рассмотрением скалярного уравнения
1 д2<р 4тг
Р
поскольку уравнения для компонент векторного потенциала вполне
аналогичны.
Используем формулу Грина
dr = ф I ф	(p	 I ds,
s
имеющую место для двух произвольных, дважды дифференцируемых
функций (риф. Выберем за функцию ф частное решение волнового
уравнения в виде сферической волны, сходящейся к стоку в начале
координат:
ф = ^—
где
tf = -
всюду, за исключением начала координат, где имеется особенность.
За функцию if примем искомое решение исходного неоднородного
волнового уравнения. Проанализируем левую часть формулы Грина:
A(t) = (фА(р—(рАф) dr =	рф
v	v	v
где за объем V примем объем между внешней поверхностью S и сфе-
сферой S' с центром в особенности с координатами ж', у'', z' (рис.36). Ис-
Используя свойства E-функции, содержащейся в вспомогательной функ-
функции ф, и тождество
д2<р д2ф _ д ( д(р дф

§ 4. Метод решения неоднородного волнового уравнения
167
имеем:
оо
Г 4тг
J ?
— оо
X р(ж, у, 2
4тг Г
? J
V
поскольку
оо
Г Г 1
dt\-5{t +
J J
-оо V
оо
1 Г
:, t) dr + —
v J
— оо
p(x,y, z, -t')
r
1 Г 7 д Г/ dip дф
+ ОО
S(t + t')
= 0, IT'
= o,
второй интеграл в правой части исче-
исчезает, и мы получаем
оо
V
Перейдем к рассмотрению поверхност-
поверхностного интеграла в формуле Грина. Ин-
Интегрирование распространяется по по-
поверхностям S и S'. Обозначим
Рис. 36
причем за поверхность Sf выберем сферу.
Имеем:
Г , д(р 1 Г 1 _ / г\ д(р , 1 _ / г\ Г dip f
J an	J r V v/ on	r V v/ J an
так как на поверхности сферы г = const. По теореме о среднем
dip , d(p
~dn S = ~dn~
S'	S
где —	значение ——, взятое в некоторой из точек сферы. Переходим
on	on
теперь к пределу, стягивая сферу к точке особенности функции ф.
dip
Полагая, что 	 есть непрерывная функция во всех точках объема
on

168	Гл. VII. Проблема излучения
и что в J-функции еще не осуществлен переход к пределу (понимаем
E-функцию размытой — без особенностей; см. замечание на с. 75) так,
чтобы имело место соотношение
lim5 [t -\—
получаем
Г / 9(р . , .. , / г\ 1 д(р Л 2
lim ср W~jr~ ds = lim о (t -\— 1 - -^— 4тгг = 0.
sf
Далее, имеем:
S'	S
v / r \ v / v) ]
v / r V v / v
Переходя и здесь к пределу г^Ои используя опять те же предполо-
предположения, получим
л~ ds' = -^у(х', у', z, tN(t).
ОП
Итак,
B(t) = -4пф', у', z\ t)S(t).
Следовательно,
oo
I B(t)dt = -4тг(р(х', у', z', 0).
Объединим результат анализа левой и правой частей формулы
Грина:
4тг Г р(х, у, z, — t')	, , , ,
I ^ '^' ' -L dr = -4тгф', у', zf, 0) +
е )	г
v
Полученное соотношение представляет другую форму исходного диф-
дифференциального уравнения, и поскольку неизвестная функция стоит

§ 4. Метод решения неоднородного волнового уравнения	169
под знаком интеграла, это соотношение играет роль интегрального
уравнения. Упростим правую часть, воспользовавшись свойствами 5-
функции. Имеем выражения:
5{t + t') dip	1 \дуЛ
г on	r \_on\t=_tl
дп
оо
1 д
^6(t+r-)dt=
Г ОП \	V/
оо
г V v/ дп \v/	|_ dt \ t__t, vr дп
Здесь допущена следующая непоследовательность: мы переставили по-
порядок интегрирования по t и по поверхности сферы, что недопустимо
ввиду наличия под знаком интеграла функции, имеющей особенность
(содержащей E-функцию). Однако, как мы уже подчеркивали ранее,
приходится в таких случаях J-функцию понимать как размытую функ-
функцию, удовлетворяющую необходимым условиям непрерывности. Воз-
Возникающая здесь ситуация характерна для всех методов, использую-
использующих J-функцию. Вычисления достигают цели, если только в конце
вычислений совершать предельный переход к истинной E-функции.
Окончательно, таким образом, имеем:
( i i i п\ 1 Г р(х> У' zi ~ О ^ , 1 1/1 Г^
4>{х , у , z , 0) = - 	йт + — (Ь<- —
е J	г	4тг J [r [дп
V	S
От значения функции в момент t = 0 мы можем перейти к любо-
любому моменту времени ?, производя вычисления не со вспомогательной
функцией S[t + (tf + 0)], ас функцией 5(t + t' — г). Поэтому сместим
начало отсчета:
0 ->> 0 + t, -tr -+ -tr + t = t--.
v
Заметим в связи с этим, что исходное волновое уравнение инвариантно
относительно смещения начала отсчета времени (содержит производ-
производную по времени), как и все произведенное вычисление.

170	Гл. VII. Проблема излучения
Полученная формула может быть записана так:
г [P(x',y',z',t-r-)	г ггг Гд
4>{х, у, z,t) = - \ —^	^ dr + —- ф<^ - —
V	S
m i.*:U, ,,21)
^ J- rv vn )
где введено обозначение
9у? 9у?
т.е. функции у?, ——, —— взяты для запаздывающего момента времени
on ot
t-r-.
V
Обсудим полученный результат. Строго говоря, соотношение G.21)
не есть еще решение, поскольку неизвестная функция стоит под знаком
поверхностного интеграла.
Совершенно аналогичную формулу мы получим, если при вычисле-
S(t+r-) 5(t-r-)
нии выберем за вспомогательную функцию не	—, а	—,
г	г
, г
только всюду вместо запаздывающего аргумента t	появится опере-
v
г
жающий t-\—, а член, содержащий производную по времени, изменит
знак.	v
Преимущество изложенного метода заключается в том, что инте-
интегральное уравнение выявляет условия, при которых можно ограни-
ограничиться запаздывающими потенциалами. Для этого необходимо опу-
опустить поверхностный интеграл. Обычное рассуждение для обоснова-
обоснования такой существенной процедуры заключается в следующем. Если
мы выберем поверхность перед фронтом волны, распространяющейся
от источника, то на такой поверхности поле должно отсутствовать,
и поэтому можно положить
?].-* [?].-*
г
значения этих величин для предыдущего момента времени t — —
v
также будут равны нулю, поскольку фронт волны, не достигнув этой
г
поверхности к моменту ?, тем более не достигает ее в момент t	,
v
что и обеспечивает равенство нулю всего поверхностного интеграла.
Следует подчеркнуть, что такое объяснение мало убедительно, так как
то, что нужно объяснить — сам факт излучения и наличие фронта

§ 5. Запаздывающие и опережающие потенциалы	171
как следствие теории, здесь предполагается и кладется в основу, а не
выводится. Будет точнее считать, что существование поверхности, на
которой поля отсутствуют для любого момента времени, является
необходимым условием для появления излучения. Отметим, что это
условие радикально, так как требуется не приблизительное равенство
нулю полей на границе, а точное их исчезновение. В самом деле, если
предположить, что поля на выбранной поверхности не равны нулю,
хотя и имеют малые значения, то каждая точка поверхности может
быть рассматриваема как центр излучения новых волн, которые при
соответствующем соотношении фаз колебаний могут дать внутри рас-
рассматриваемого объема большую амплитуду вследствие фокусировки
и, таким образом, сильно смогут исказить в этой точке тот результат,
который получается при точном приравнивании поверхностного инте-
интеграла к нулю.
Таким образом, мы приходим к результату, что решение проблемы
излучения требует дополнительной гипотезы, не содержащейся в рам-
рамках исходных законов электродинамики. Эта гипотеза, в частности,
требует строгого отсутствия флуктуации поля в конечных областях
пространства, поскольку, как указывалось, требуется точное исчез-
исчезновение полей на границе, которая может перемещаться с течением
времени.
Является важным выяснение вопроса, при каких начальных усло-
условиях можно использовать только запаздывающие потенциалы.
Классический вывод формулы G.21) явно не вскрывает этих усло-
условий. Кроме того, в методе замаскировано условие, ведущее к выде-
выделению направления оси времени, поскольку, как подчеркивалось ра-
ранее, волновое уравнение симметрично относительно знака у времени,
а решение же в виде запаздывающих потенциалов предопределило
односторонне протекающий процесс.
Для устранения указанных недостатков используем другой метод
решения волнового уравнения.
5. Запаздывающие и опережающие потенциалы
как решения задачи Копей
Будем искать решение волнового уравнения
методом разложения всех фигурирующих в уравнении функций в ря-
ряды по некоторой замкнутой системе нормированных и ортогональных

172	Гл. VII. Проблема излучения
функций:
<р(х, У, Z, t) =
к	G.23)
ж у z)
к
составляющие вектора к, т.е. кх, ку, kz могут принимать только зна-
значения, пропорциональные целочисленным (как положительным, так
и отрицательным) значениям пж, пу, nz. Функции Фк зависят только
от координат и удовлетворяют условиям нормировки и ортогонально-
ортогональности
Амплитуды разложения у?к(?)? Рк(^) зависят только от времени. Физи-
Физически подобные разложения реальны, поскольку существуют приборы,
дающие возможность измерять амплитуды подобных разложений. Так,
например, спектральные аппараты разлагают функции в интеграл
Фурье с экспериментально измеряемыми амплитудами.
Выберем за функции Фк плоские монохроматические волны:
1 гкг	,
\fk — т о /о С 5	Л1 — гьх'Ь ~Г гьу У \ rvz^
-2п	- 2п	- 2п
здесь L — искусственно вводимый параметр, определяющий линейные
размеры пространственной области. В конечном результате мы дол-
должны положить L —ь сю. Такие функции Фк удовлетворяют условиям
нормировки и ортогональности:
1
L3
фкф?
dr =
L
J
0
1 е
L3
i(kx-k'x
с^х dx
)L _ 2
L3
L
. e«ky-ky)ydl
J
0
1 ei(ky-k'y)L
L
/• \eh
0
-1
I ei(kz-k'z)L _ j
L i(kx-kfx) 1 i(ky - kfy) 1 i(kz - kfz) '
.2тг
Поскольку, далее, ег(кх k'^L = ег l (Пх n^L = 1, так как пх и п'х по
условию целые числа, и пх ф п'х, находим:
фкф+ dr = 0 (для к фк').
V

§ 5. Запаздывающие и опережающие потенциалы	173
Замечаем, что использованные функции Фк суть решения краевой
задачи
ДФк + А;2Фк = 0, к2 = к2х + к2у + к2
с граничными условиями
Фк(ж, у, z) = Фк(ж + L, у + L, z + L).
Эти условия являются условиями трехмерной периодичности с перио-
периодом L. Тот факт, что использованные функции являются решением
краевой задачи указанного типа, гарантирует замкнутость системы
функций Фк и, следовательно, возможность разложения произвольной
функции (р с интегрируемым квадратом
(fif^ dr < оо
L3
в ряд по указанным функциям.
Теперь займемся преобразованием дифференциального уравнения
в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных
уравнений для амплитуд (?к(?).
Подставив предполагаемое решение в виде ряда в исходное волно-
волновое уравнение, получаем
Умножим это уравнение справа и слева на ф?, и проинтегрируем по
объему L3:
W \
к ?
dr.
Учитывая условие ортогональности и нормировки, получим
<ръ + к2у2<ръ =	pk,	G.25)
т. е. получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений для неизвестных амплитуд у>к-
Таким образом, в излагаемом методе определение поля в каждой
точке пространства и времени свелось к определению амплитуд у?к как
функций времени.
Уравнению G.25) можно дать следующую физическую трактовку:
поле представляет собой бесконечную счетную совокупность несвязан-
несвязанных осцилляторов с разными частотами (рис. 37)
(п\ + п\ + n\)v\

174	Гл. VII. Проблема излучения
где все пж, ny, nz целые как положительные, так и отрицательные
числа. Источники заряда для скалярного потенциала и токи для
векторного потенциала играют
Резервуаросцилляторов	роль внешней силы? действующей
на осцилляторы.
Такая физическая трактовка
приводит к наличию многих ре-
\ = k2v2 шений волнового уравнения в за-
зависимости от начальных условий.
Если, например, в начальный мо-
момент времени осцилляторы поля
не возбуждены: ^к(О) = О, т-е. по-
Рис- 37	ле отсутствует, то наличие внеш-
внешней силы поведет к возникнове-
возникновению их колебаний и, как следствие, к появлению поля в окружающем
источник пространстве, т. е. к излучению. Если же в начальный момент
времени осцилляторы возбуждены, то наличие внешней силы произ-
произведет перераспределение амплитуд колебаний осцилляторов и в этом
случае ясно, что ограничиться только одними запаздывающими по-
потенциалами без привлечения решений однородного уравнения явно
недостаточно.
Может случиться, что возбужденные осцилляторы в начальный
момент времени будут терять энергию колебаний за счет поглощения
ее источником; такой процесс должен описываться скорее опережа-
опережающим решением, чем запаздывающим. Уточним эту картину путем
решения системы G.25). Общее решение уравнений осциллятора, если
в начальный момент заданы ip-^ и фь при t = t$, как известно, имеет
вид
Wf A-kv2 , , sm kv(t —r)
= Akcoskvt + Bksmkvt+ \ 	Рк(т)	-dr, G.26)
} е kv
to
где члены с cos kvt и sin kvt обозначают свободные колебания осцил-
осциллятора, а член с интегралом — вынужденные колебания. Амплиту-
Амплитуды Л к и B\t определяются из двух начальных условий, налагаемых
на амплитуду осциллятора и скорость ее изменения. В случае, если
задается состояние движения осциллятора не в начальный момент
времени, а в некоторый конечный момент t = ?i, причем подлежит
исследованию весь процесс для t ^ t\, то решение имеет вполне
аналогичный вид, где только to заменяется на t\\
Wf 4тгг?2 , . sin kv(t-r)
= A^cos kvt + Вь sin kvt + 	Рк(т)	-dr. G.27)
\ e	kv

§ 5. Запаздывающие и опережающие потенциалы	175
Важно отметить, что при определенных условиях каждое из решений
(t > to и t < ti) может быть продолжено на всю область оси време-
времени, но это продолжение требует аналитичности всех фигурирующих
в уравнении функций; это является настолько сильно ограничиваю-
ограничивающим условием, что желательно его не вводить и рассматривать ре-
решения G.26) и G.27) как самостоятельные решения, приспособленные
для различных целей.
Легко проверить непосредственной подстановкой, что, помимо ука-
указанных двух решений, имеются и другие. Например, решения
t	t
Iff 4тгг>2 , ч sin kv(t — г) , Г 4ттг>2 , ч sin kv(t — г)
являются аналогом полусуммы запаздывающих и опережающих по-
потенциалов. Последнее решение в случае to —* —оо, t\ —>• +схэ удобно
для выявления периодических процессов с невыделенным начальным
моментом времени.
Рассмотрим частный случай начальных условий:
^к(^о) = 0, ф\с(и) = О
для любого значения к. Эти условия будут удовлетворены, если в вы-
выражении G.26) Лк = Бк = 0. Тогда
t
4ttv2 sinkv(t-r)
—*(т)	V	dr.
to
Следовательно,
/	\ v^ ^ f 4тг^2	. sin kv(t-r)
(p(x, y, z, t) = > Фк 	Рк(т)	dr для
J ?	kv
k
Аналогично
/	,ч v^ ж Г 4тг^2 , ч sin kv(t — т)
(f(X, y, Z, t) = > Фк 	 Pk{r)	:
k J ?	kv
{)ДЛЯ
k J ?	kv
если, конечно, теперь заданы условия ^k(^i) = 0 и ^k(^i) = 0.
Наша задача заключается в преобразовании полученных выраже-
выражений, если это окажется возможным, к обычному виду запаздывающего
и опережающего потенциалов.
Перейдем от суммирования к интегрированию. Разобьем все члены
суммы на группы с настолько близкими значениями к, что сумму

176	Гл. VII. Проблема излучения
членов в каждой группе можно считать пропорциональной числу чле-
членов группы An, так что суммирование по к ( ^2 • • • ) преобразуется
к суммированию попе учетом веса An I J^ An . . . 1, т. е. производится
суммирование уже по отдельным группам, причем под символом An
подразумевается
( L \3
AnxAnyAnz = ( — J AkxAkyAkz.
При L —» оо значения AkxAkyAkz могут быть как угодно малыми и,
следовательно, можно положить:
An "> (tK dK В- • -)kAn -> (tK f(- • -)k dk-
Выразим амплитуду Pk(^) непосредственно через функцию
р(ж, у, z, t):
р(х, у, z, t) = ^рк(?)Фк(ж, у, z).
к
Для этого умножим справа и слева на Ф^ и интегрируем, тогда
получим:
рк(*) = | р(я', j/7, z7, ^)Ф+(^, ^, z')dx'dyfdzf,
L3
причем здесь мы опять воспользовались условием нормировки и орто-
ортогональности. Конкретизируем вид функций Фк:
eikr
Тогда имеем:
(^(ж, у, z, t) =
81П kv(t - т) ,/,/,/
	р	 da;' dy dz .
Для того чтобы вычислить указанный интеграл, переставим порядок
интегрирования по к и г. Тогда задача сводится к вычислению инте-
интеграла
Л f	SinbfT) Л-	G-28)

§ 5. Запаздывающие и опережающие потенциалы	177
В сферической системе координат
dk = к2 sin в dk dO dtp,
BтгJ J	kv
0
Далее,
\eiacosesm0d0 =
2га	а
о	-l
следовательно,
oo
1 Г	dk	G.29)
BтгJ
о
Г-Г1
Замечая, что
sin kv(t — т) sin k\r — r'\ =
1	f	/	|r - r7l\	/
= - < cos kv it — r — }	 — cos kv \ t — r +
2	I	V	v J	\
имеем:
oo	oo
— cos kvx dkv = — lim e~?kv coskvx dkv = — lim —	 = — 5(x);
V J	V e^-0 J	V e^-0 XA + SA V
о	о
здесь сделана подстановка х = t — т —
V
Несобственному интегралу от cos в полубесконечном промежутке
мы придали здесь смысл предельного выражения от сглаженной функ-
функции путем введения множителя e~ekv. Такая операция, как мы подчер-
подчеркивали ранее, соответствует физическому требованию — понимать все
особенности в электродинамике как только предельные от сглаженных
функций.
Таким образом, окончательно исследуемый интеграл (?)(|г — г'|,
t — т) выражается через J-функции так:
оо
cik(r-r')sinM*-T) dk =
kv
— oo
1 1
4:7TV2 |r — Y1

178
Гл. VII. Проблема излучения
Заметим, что
Slt-T-
г-г'
имеет особенность, лежащую в прошлом относительно момента t:
= t-
г - г
тогда как вторая ^-функция
5\t-T
г-г'
имеет особенность в будущем относительно t:
г - г
Итак, имеем:
ф, у, z, t) =
t оо
= 1Г Г р(х> у', z
е] J	|г-г'
to —оо
It dx' dy' dz' (t > to),
G.30)
здесь мы опустили вторую из J-функций, поскольку ее особенность
лежит вне области интегрирования, и следовательно, окончательно
оо
¦и
р [х, у, z, t-
г-г'
г —
dx' dyr dz',
т. е. мы пришли к обычной форме запаздывающего потенциала. Для
Ч> =
:У'::Ч8 и-т
г-г'
г - г'
dr dx' dy' dz
удерживается, наоборот, только функция с особенностью, лежащей
в момент времени, больший момента ?, что и приводит к обычной
форме опережающего потенциала.
В итоге приходим к следующим выводам.
Общая форма запаздывающих потенциалов получается только как
решение задачи Коши с начальными условиями
z, у, z, 0) = 0, -?
= 0

§ 5. Запаздывающие и опережающие потенциалы	179
и для t ^ 0, т. е. отсутствие поля излучения в начальный момент
времени во всем пространстве, включая и пространство, занятое источ-
источником, дает решение в форме запаздывающих потенциалов. Ценность
полученного результата заключается в выяснении конкретных (весьма
жестких) условий, при которых в качестве решения получается излу-
излучение.
Опережающими потенциалами нужно пользоваться в тех случаях,
когда в конечный момент времени гарантируется полное отсутствие
полей во всех точках пространства:
(р(х, у, z, 0) = 0,
(кр_
~dt
= 0,
t=o
причем решение получается для t ^ 0.
Условие, обеспечивающее решение волнового уравнения в виде за-
запаздывающих потенциалов, заключается в физической выделяемое™
начального момента времени, так как необходимо, чтобы поле пол-
полностью отсутствовало в начальный момент времени во всех точках
пространства, включая и точки, где находятся источники. Последнее
условие реализуется, если при t < 0 в пространстве отсутствуют
заряды и токи и только для t ^ 0 создаются переменные со временем
источники поля за счет включения электродвижущих сил.
В технических и лабораторных условиях именно такая постановка
задачи об излучении чаще всего возникает. Другое положение имеет
место в микроскопической физике, где обычно не имеют возмож-
возможности распорядиться зарядами и токами в атомах. Однако и здесь
при известных условиях требование об отсутствии поля в начальный
момент времени может быть понято. Если допустить, что заряды
и токи в системе состоят аддитивно из двух частей — статической
части, зависящей только от координат и не зависящей от времени,
и собственно переменной части:
р = рСТ(х, у, z) + 5р(х, у, z, t), j = jCT(z, у, z) + 5}(х, у, z, t),
тогда для потенциалов соответственно можно положить:
<р = (рСт(х, у, z) + 6<р(х, у, z, t), А = Аст(ж, у, z, t) + 6А(х, у, z, t).
Если при t ^ 0 5р и 6j равны нулю, то и 6(р и 6А равны нулю во всем
пространстве при t = 0. Таким образом, условия излучения естествен-
естественно реализуются в постановке задачи о переменном поле, которое созда-
создается возмущениями в стационарном распределении зарядов и токов.
Это, однако, трудно понять в модели точечных зарядов с заданными
пространственными траекториями движения. Квантовомеханическая
задача об излучении как раз сводится к задаче возмущений в заданном
непрерывном стационарном распределении зарядов и токов.

180
Гл. VII. Проблема излучения
§ 6. Излучение от электрического и магнитного
момента
Рассмотрим две типичные задачи на определение поля излучения,
когда в качестве источника излучения выбрана система, характеризу-
характеризующаяся или электрическим моментом, например открытая линейная
антенна (рис.38, а), или магнитным моментом, например рамочная
антенна (рис.38, б). Предположим, что в обоих случаях возбуждается
переменный ток
J = Jo cos cot,
причем антенна предполагается настолько короткой, что ток считается
неизменным по всей ее длине. Такая антенна носит название элемен-
элементарной антенны.
В первом случае электрический момент р = e(t)l будет изменяться
за счет изменения заряда на одном из концов антенны (поскольку
длина антенны фиксирована), причем, очевидно,
dp _ de
— t — и t.
dt dt
Производная по времени электрического момента выражается непо-
непосредственно через заданный ток и, таким образом, электрический
момент может быть положен в основу характеристики излучения.
Рис. 38
Этот частный случай мы можем обобщить, вводя представление
о распределении электрического момента в области, занятой источни-
источником. Предположим, что в каждой точке источника известен вектор
поляризации Р(ж, у, z, i). Тогда электрический момент dp элемента
объема dr равен
dp = P dr.

§ 6. Излучение от электрического и магнитного момента	181
Полное излучение может быть охарактеризовано полным электриче-
электрическим моментом системы
однако это верно только при определенных условиях, которые необхо-
необходимо будет выяснить.
Если задана рамка, то такая система, очевидно, не имеет электри-
электрического момента, так как электрический ток в этом случае можно счи-
считать замкнутым. Переменное поле, возбужденное рамкой, может быть
охарактеризовано переменным по времени магнитным моментом т:
J
т = — sn,
с
поскольку ток J и векторная площадь рамки sn считаются заданными.
Обобщая этот случай, можно считать заданным распределение
в источнике вектора намагничивания
dm = M dr, m = M dr.
v
Итак, решим задачу определения поля излучения в первом случае
по заданному вектору поляризации Р(ж, у, z, i) и во втором случае
по заданному вектору намагничивания М(ж, у, z, t). Исходными мо-
могут служить уравнения для потенциалов, лежащие в основе решения
проблемы излучения:
через эти потенциалы определяются поля
1 дА
к, = — grad (p	—,	И = rot A.
с ot
Неудобство непосредственного применения этих формул заключается
в несколько иной характеристике источников — через заряды и токи,
тогда как в приведенной выше постановке задачи заданы вектор по-
поляризации или вектор намагничивания. Поэтому прежде всего введем
эти величины в исходные уравнения теории. Вспомним связь между

182	Гл. VII. Проблема излучения
зарядами и токами, с одной стороны, и вектором поляризации и век-
вектором намагничивания, с другой:
divP = -pCB,	G.32)
дР_ _.
~dt~icB
для первого случая и
р = 0,	G.33)
jMOJ1 = crotM
для второго случая.
Таким образом, для первого случая
1 д2
А- — — \ А --— —
с dt
и для второго случая
1 д2\
-^^JA = -47r-tM-
с at
где (р можно полож:ить тождественно равным нулю.
Сведем эти два типа уравнений практически к одному, вводя новый
неизвестный вектор — электрический поляризационный потенциал Пе
и магнитный поляризационный потенциал Пт.
Пусть для первого случая
^	G.34)
тогда подстановка дает:

§ 6. Излучение от электрического и магнитного момента	183
или
div
1д_
Отсюда видим, что эти два уравнения можно свести к одному
'д - ^ ^Л Пе = -4тгР.	G.35)
При этом условие на потенциалы тождественно удовлетворяется:
,. А 1 dip ,. 1 Ше 1 ,. дПе
div АН	—- = div	div —-— = 0.
С (J~t	С Cft	С	Cft
Для второго случая положим:
(р = 0, A = rotIIm;
тогда подстановка дает:
rot (А- — — jnm = -47rrotM,
div A = div rot Пт = 0,
или
Полученное уравнение удовлетворяется уравнением того же типа, что
и для первого случая:
Д " ^ j^i) п™ = 7гМ'	G-36)
где только вместо вектора поляризации стоит вектор намагничивания.
Проблема излучения решается, как мы видели, при помощи запаз-
запаздывающих потенциалов. Следовательно, поле излучения определено
выражениями
М
(х',у', z',t--)
V
С помощью поляризационных потенциалов напряженности полей
определяются только процессом дифференцирования. Именно, для

184	Гл. VII. Проблема излучения
первого случая
18А ( ... 1 д2 ._
raddiv-— —г Пе,
с at \~	с2 d*27	v	G37)
1
Н = rot A = rot -
с dt
и для второго случая
1 дА 1 д	Л
~~~c~dt ~~c^rOt m' I	G.38)
H = rot A = rot rot Пт.	J
Заметим, что второй случай принципиально отличается от первого
тем, что для него поле всюду, включая и области пространства, занято-
занятого источником, — чисто вихревое, так как дивергенции всех векторов,
характеризующих поле, точно равны нулю:
divE = divH = O,
в то время как в первом случае
divE/0, divH = 0.
Однако в пространстве вне источника форма записей в этих двух
случаях вполне симметрична, а именно:
1 32Пе, т
А11е, т - с2 т2 ,
причем для первого случая
Е = (grad div - А)Пе = rot rot Пе,
н = 1 rot Ше	J	G-39)
а для второго случая
Н = rot rot Пт,
G.40)
В обоих случаях поле вихревое; кроме того, напряженность электриче-
электрического поля в первом случае совпадает с напряженностью магнитного
поля во втором случае, если одинаковы поляризационные потенциалы,
напряженность магнитного поля отличается лишь знаком от соот-
соответствующей напряженности электрического поля. Этой симметрией
можно воспользоваться для определения поля в одном из случаев,
если известно поле в другом. Например, найдя распределение поля
от электрического диполя, мы автоматически находим распределение
поля вокруг магнитного диполя, переставляя местами Е и Н с после-
последующим изменением знака у напряженности электрического поля.

§ 6. Излучение от электрического и магнитного момента	185
Определим теперь в качестве важного примера поле вокруг элек-
электрического вибратора при упрощающих условиях г ^> I и Л ^> /,
где / — линейные размеры области, занятой источником, Л — длина
излучаемой волны.
Первое из этих условий является ограничением на пространствен-
пространственную область решения, второе — на характер колебательных процессов
в самой излучающей системе.
Используя первое из условий, можем написать:
ne=
If/	r\
0 I V	c/
7
V
где го — расстояние от точки наблюдения до некоторой фиксированной
точки источника. Для того чтобы воспользоваться вторым из условий,
предположим, что изменение по времени вектора поляризации осу-
осуществляется по закону
и, следовательно,
Р (х' v' z' t - -\ — Pn(V v' zMe*w(*~c)
V	C/
Тогда расстояние до любой точки источника мож:но записать в виде
г = Го + <5г,
где Eг, очевидно, не превышает линейных размеров источника.
Отсюда имеем:
е \
Если
оидг 2тг/
	 и —- < 1,
с	Л
то можно ограничиться только первым членом разложения. Тогда
Пв = - \p(x',y',Zf,t--) dT'K
r0 J V	с/
V
& — \Р [х ,у , z ,t	) dr = —pit	,
r0JV	с /	го \ с /
V
где р — полный электрический момент системы. Совершенно анало-
аналогичный результат имеет место и для магнитного вектора поляризации.

186
Гл. VII. Проблема излучения
Таким образом, получаем при условии г ^> /, Л ^> /
,, _р(Ч) „ _т(Ч)
т. е. поляризационные потенциалы представляют собой сферические
волны, распространяющиеся от источника как центра излучения.
Вычислим теперь поля
Е = rot rot Пе, Н = - rot —-—.
с	dt
В сферической системе координат для произвольного вектора имеем:
1 Г д , . Л Л дав'
rotr a =
г sin в
rot6» a = -
даг
д
г |_sin# dip дг
1 Г д , ч да,
л"~р) 1
Для нашего случая, выбирая сферическую систему (рис. 39) с началом
в центре вибратора и направляя полярную ось сферической системы
параллельно направлению электри-
электрического момента а = р, имеем:
Пг = U cos в,
Пе = -rising
П =
¦ю-
Вектор П не имеет составляющей
по (р и, кроме того, он не меняется
при изменении (р вследствие сим-
Рис- 39	метрии системы относительно на-
направления электрического момента р, поэтому имеем:
rotr П = О,
= 0,
_ 1 \_д_( . йил_д_,
г иг	ив
= -smO—-.
or

§ 6. Излучение от электрического и магнитного момента	187
Следовательно,
Яг = 0, Нв = 0, ^ = -sin0-
^	с
т. е. напряженность магнитного поля всегда направлена по паралле-
параллелям.
Составим проекции Е = rot rot П в сферической системе коорди-
координат:
„ч 2cos(9 дП
r sin в дв	^	г дг '
1 д ,	m sin^ S / дП\
Ее = -- -?- (rrot^n) =	— [г—- ,
г or	г or \ or J
Другими словами, напряженность электрического поля всегда ле-
лежит в плоскости меридиана. Следовательно, векторы электрического
и магнитного поля осциллятора всегда перпендикулярны.
Конкретизируем полученные выражения для напряженности полей
в предположении монохроматических колебаний осциллятора:
П = Ро	,
где ро — постоянный вектор, направленный по оси осциллятора. Здесь
мы предположили, что с течением времени меняется только величина,
но не направление вектора П.
В указанном случае, производя дифференцирование, имеем:
Нг = Не = 0, Н(р = — sinfl [ - + — ) П,
с	\г с )
Er = 2 cos 0 (\ + — \ П,	G.41)
\гг сг)
Ев = sin (9 (-^ + — - ^Л П, Еу = 0.
\rz cr cz )
Отдельные члены в полученных выражениях для напряженности по-
полей убывают с увеличением расстояния от осциллятора неодинаково
быстро; встречаются члены, по разному зависящие от г. Новым в срав-
сравнении со статическим случаем является появление членов, убывающих
обратно пропорционально первой степени расстояния, что характерно
для сферических волн ~ A/г) егш^г~с^; при переходе к статическому
случаю эти члены исчезают, так как они содержат о;, а в статическом
случае со = 0.
Имеется зависимость от азимута в. В направлении оси осциллятора
0 = 0 магнитная напряженность полностью исчезает. В этом на-
направлении радиальная компонента электрического поля максимальна,
а остальные две равны нулю.

188	Гл. VII. Проблема излучения
Рассмотрим два крайних случая — поле вблизи вибратора и поле
вдали от него. За меру сравнения необходимо выбрать характерную
с А
длину, входящую в указанную задачу в качестве параметра — = —,
uj 2тг
где Л — длина излучаемых волн.
Таким образом, под близкой зоной будем понимать область про-
пространства вокруг осциллятора, где г < А. Под дальней зоной, которую
называют волновой зоной, будем понимать область, где г ^> Л. Для
близкой зоны, опуская члены, содержащие Л в знаменателе, имеем:
Я, = ™В1пЛ^Д	G.42)
С	ГА
В том же приближении
р (* ¦ D=
Следовательно,
с	rz
Поскольку для монохроматических колебаний
имеем:
dp
Для линейной антенны -— = J/, где / — длина антенны, J — сила тока
dt
в антенне. Следовательно,
Н	//
или в векторной форме, учитывая, что Hr = Hq = О,
с И
Но это есть именно то выражение магнитного поля, создаваемого
элементом длины 1 тока с силою, равной J, которые мы получили
ранее для статического и квазистатического случаев.
Для напряженности электрического поля в близкой зоне
что совпадает с электростатическим полем электрического момента.
Итак, поле колеблющегося со временем осциллятора в близкой зоне

§ 6. Излучение от электрического и магнитного момента	189
совпадает с квазистационарным полем с точностью до членов поряд-
порядка г/Л.
Рассмотрим теперь поведение поля в волновой зоне. В этом случае
в общих выражениях мы должны удержать только члены, наименее
убывающие с расстоянием, т.е. члены с 1/г:
Я
Hip =
9t2	G-43)
r	c2r	dt2
	 Tj 	 rr> 	 rr> 	 r\
r — 110 — LLr — LLiip — U.
Отсюда можно сделать следующие выводы.
В волновой зоне имеются сферические волны, распространяющиеся
от источника.
Напряженности электрического и магнитного поля перпендикуляр-
перпендикулярны друг к другу, к радиусу-вектору г, проведенному от осциллятора
к данной точке поля, т. е. электромагнитные волны поперечны.
Напряженности электрического поля одинаковы по амплитуде и ко-
колеблются в одинаковой фазе.
Определим величину и направление вектора Умова-Пойнтинга
Q
в волновой зоне. Поскольку Е 1 г, Н 1 г, то вектор S = —- [ЕН]
4тг
параллелен г. Далее, так как Е1Н и |Е| = |Н|, то
4тг	4тг	4тг
Установим связь величины вектора Умова—Пойнтинга с плотно-
плотностью электромагнитной энергии в волновой зоне. Имеем:
"" " 87Г V	'	' - 4тГ	" 4тГ
Следовательно,
S = cw — .
г
Эта зависимость наиболее просто интерпретирует смысл вектора
Умова-Пойнтинга как потока электромагнитной энергии со скоро-
скоростью с.
Выясним зависимость потока энергии от угла в. Используя выра-
выражение для полей в волновой зоне G.43), имеем:
s =
47ГСзг2

190
Гл. VII. Проблема излучения
Полярная диаграмма этой зависимости (рис. 40) наглядно указывает,
что в направлении оси осциллятора энергия не излучается. Излуче-
Излучение максимально в направлении, перпендикулярном к оси осциллято-
осциллятора. Полную энергию, излучаемую осциллятором в единицу времени
во всех направлениях, мы по-
\Z	лучим, проинтегрировав вектор
|	Умова—Пойнтинга по сфере с ра-
1	диусом г:
Рис. 40
? =
с
4^
с4
Замечая, что
27Г	7Г
dip | sin3 6dO.
о о
sin3 в d6 = -,
получаем:
G.45)
т. е. полная энергия излучения определяется квадратом второй произ-
производной по времени от электрического момента системы.
Введем величину полной энергии, усредненной по периоду колеба-
колебаний поля. Полагая р = ро cosc<;t, имеем:
Далее, так как
то окончательно:
cosza = -,
Z^ ~ q^3 ^o -
Зс3'
G.46)
Излучаемая энергия зависит от частоты вибратора или длины излу-
излучаемых волн. В формуле G.46) проявляется характерная зависимость
от длины волны (l/A4).
Рассмотрим теперь поле, создаваемое переменным магнитным мо-
моментом или рамочной антенной. Как ранее было отмечено, ввиду сим-
симметрии полей, создаваемых электрическим и магнитным моментом,

§ 6. Излучение от электрического и магнитного момента	191
от одного случая можно перейти к другому, переставляя для этого
напряженности полей с последующим изменением знака. Именно для
электрического диполя мы имели:
Er = 2 cos в (\ + —) Пе,	G.47)
\г2 сг)
сг
p(t-r/c)
Производя перестановку Е —> Н, Н —> —Е и меняя в последующем
знак у напряженности электрического поля, получим:
,_,	гио . Л /1 ги; \ ^
^ =	sin0 - + — Пт,
с	\г с J
(A iuj\
Нг = 2 cos в ( — + — ) Пт,	G.48)
\r^ cry
/1 ги; cj2\
Я0 = sin 0 — +	 Пт,
\rz сг сА )
где
т (t
Пт = —^	^
Эти формулы и определяют напряженности полей переменного маг-
магнитного момента.
Итак, можно сделать выводы.
Электрическое поле всегда направлено по параллелям и исчезает
при переходе к статическому случаю ио = 0.
Магнитное поле всегда лежит в плоскостях меридианов и (в полной
аналогии с полем электрического диполя) в ближней зоне (г <€. Л)
совпадает с полем магнитного диполя:
или элементарной рамки, поскольку
JS
т =
с

192
Гл. VII. Проблема излучения
В волновой зоне
Нв =
со
m [t
G.49)
dt2
здесь выражения отличаются от соответствующих выражений для
электрического диполя разными направлениями Е и Н (рис.41).
Рис. 41
Следует еще сделать ряд замечаний.
Расчет был проведен в предположении одинаковости тока по всей
длине линейной или рамочной антенны. Если длина антенны сравнима
с длиной волны, ток нельзя считать одинаковым по величине по всей
длине антенны, что имеет место в большинстве практических случаев.
Однако, используя принцип аддитивности полей от разных элемен-
элементов источника, можно, мысленно разделяя систему на большее число
элементарных антенн и пользуясь полученными выше результатами,
получить поле излучения для антенн конечной длины.
Учет конечности размеров поперечных сечений антенн в тех зада-
задачах, где это необходимо, несколько изменяет саму постановку вопроса
об излучении. В этом случае необходимо решение задачи о распреде-
распределении токов в проводнике при заданных сторонних электродвижущих
силах и решение волновых уравнений, которое удовлетворяло бы усло-
условию непрерывности тангенциальной компоненты поля при переходе
через поверхность.
Решение всей проблемы излучения, включая и частные случаи
излучения осциллятора и рамочной антенны, было дано при прене-
пренебрежении обратным действием излучения на источник. Наличие об-
обратного действия следует уже из факта уноса энергии осциллятора
излучаемыми электромагнитными волнами. Учет обратного действия
требует конкретизации динамических законов, действующих в самом

§ 7. Излучение диполъных волн. «Игольчатое» излучение	193
источнике. Эти законы, как правило, требуют учета новых физиче-
физических факторов, помимо тех, которые учитываются в макроскопиче-
макроскопической электродинамике. Этот вопрос будет обсужден во второй части
(микроскопическая электродинамика).
§ 7. Излучение дипольных волн.
«Игольчатое» излучение
Рассмотрим некоторые свойства излучения диполей, периодически
расположенных на прямой линии. Будем предполагать, что размеры
диполей малы в сравнении с длиной волны излучения. Тогда вектор
поляризации можно выразить следующим образом:
где суммирование произведено по всем диполям в единице объема, d —
расстояние между диполями. Поляризационный потенциал
P(t-r-)dr
п=| V с)
V
характеризующий поле излучения, на основании свойств ^-функций
выразится через сумму поляризационных потенциалов, создаваемых
каждым диполем:
На расстояниях от цепочки длиною /, для которых гп ^> /, можно
рассматривать 1/гп как медленно меняющуюся функцию расстояния
и вынести за знак суммы.
Система рассматриваемых диполей с переменными во времени
электрическими моментами характеризуется совокупностью собствен-
собственных частот колебаний. Каждый изолированный диполь колеблется
с частотой ljq, но наличие связи между ними поведет к расщеплению
собственной частоты несвязанных осцилляторов, поэтому произволь-
произвольное распределение электрических моментов вдоль рассматриваемой
цепочки можно представить в виде совокупности «волн поляризации»
или дополнительных волн вида
рп(А)=р„е^*-*«),	G.51)
где к — волновое число дипольных волн, А& — их длина волны:
A/g = —, ? = nd, п = О, =Ы, dz2, ... В G.51) мы предположили, что
электрические моменты колеблются вдоль цепочки. Дисперсионное
уравнение для дипольных волн, т.е. зависимость uj = f(k), можно
7 Власов А. А.

194	Гл. VII. Проблема излучения
определить при конкретизации характера силовой связи между от-
отдельными диполями.
Не конкретизируя дисперсионного уравнения, постараемся выяс-
выяснить свойства излучения дипольных волн. Для этой цели подставим
G.51) в G.50). На больших расстояниях от цепочки можно приближен-
приближенно положить гп = г — ?cos#,
_> ... .» .. » . л. » ...	» гДе ? = п&1 ® ~ Угол между це-
ч Jq /' \	почкой и направлением к точке
\ /' \	наблюдения (рис. 42). В резуль-
\ \	тате получаем:
ч^ Если длина волны излучения
Рис- 42	А ^> d, то можно сумму заме-
заменить интегралом, так как в этом случае можно ввести физический
бесконечно малый интервал Д?, удовлетворяющий условию
Д?
A>A?>d An^
где An — число диполей в указанном интервале, и считать, что выра
жение е~г\ с cos + )п непрерывно меняется при перемещении вдоль
цепочки диполей
• ( Т.\ °°	• / ?\
11 —	¦ I С ^ с	/ &с^ —	~ О I COS t/ "т" гь I 5
га]	г	а \ с	J
— оо
G.52)
где через 5 обозначена J-функция Дирака. Появление этой функции
UJ
указывает на то, что только при условии — cos в + к = 0 излучение
с
отлично от нуля. Таким образом, приходим к результату, что из всех
дипольных волн, могущих распространяться в рассматриваемой це-
цепочке диполей, для излучения существенна только одна дипольная
волна, для которой имеет место определенное соотношение между
частотой дипольной волны, волновым числом и углом наблюдения в:
со
— cos в + к = 0.	G.53)
с
Этот факт указывает на наличие «игольчатого излучения» от системы
диполей. В отличие от излучения одного диполя, где нет подобных
избранных направлений, при которых излучение только и отлично от
нуля, для появления игольчатого излучения необходимо выполнение

§ 7. Излучение диполъных волн. «Игольчатое» излучение	195
двух условий. Размеры излучающей системы должны быть велики
в сравнении с длиной излучаемой волны и необходимо выполнение
условия излучения G.53).
При наблюдении перпендикулярно к цепочке, 0 = тг/2, условие
излучения G.53) вырождается в требование к = 0 или A/~ = оо. Та-
Такое требование означает, что оптически активной частотой колебания
является частота, которая отвечает особому случаю, когда все диполи
цепочки колеблются синхронно.
7Г
Для углов наблюдения 0 ф — условие излучения накладывает
требование на фазовую скорость дипольных волн:
кс с	uj
cost/ =	=	, г>ф = —,
L0	Уф	к
где Уф — фазовая скорость дипольной волны. Поскольку абсолютное
значение cos 0 не превышает единицы, для излучения необходимо,
чтобы фазовая скорость дипольных волн превышала скорость света.
Если окружающая среда характеризуется значениями е и /i, отличны-
с
ми от вакуумных значений, то это требование означает, что v^, >
/
От рассмотрения излучения бегущих дипольных волн в бесконеч-
бесконечной цепочке диполей перейдем к излучению стоячих волн в цепочке
длины /.
Излучение каждого элемента длины Д?, значительно меньшее дли-
длины волны излучения Л, можно рассматривать, суммируя напряженно-
напряженности полей от каждого отдельного диполя без учета сдвига фаз излуче-
излучения. Напряженности полей в волновой зоне определяются формулами
G.43). Следовательно, суммарное поле от совокупности An диполей
на длине Д? = dAn есть
2sin0
dt2) d	re1
или, интегрируя по всем элементам вдоль цепочки с учетом запазды-
запаздывания (t —> t — г /с),
eiwt \ Р@ е~1~с
= Нч, = ^ eiwt \ Ро@— е~1~с r d?.	G.54)
С	I	V
Предполагая, что наблюдение ведется далеко от цепочки, можно вы-
sinO
нести 	 из-под знака интеграла; по этой же причине производим
г
замену
г = г0 - ?cos#,

196	Гл. VII. Проблема излучения
где го — расстояние, отсчитываемое от середины цепочки. Тогда
sin
На концах цепочки нужно потребовать, чтобы величина, аналогичная
(XT)
электрическому току — = </(?), равнялась нулю, т.е.
at
iwpo@ = МО
I

= 0.
I

Этому условию можно удовлетворить, полагая
in —— t, при четном п,
t
7Tm t
	s ПРИ нечетном m.
i
Интегралы в G.54) легко вычисляются:
Sin 	 сб c	flc —	Sin 	 Sin I c —
/	J / V с
L	L
2	2
7ГП
-— I cos в ,
ZC	/
7T77l
Г	7TUI — —^ ^	/	(W	\
cos —— ?e *c^cos б/^ =	^—	^4cos( — icosO) .
J	/	/тгту /ou	у	\2с	/
~2	V / / \с	/
Следовательно, окончательно получаем при четном п:
7ГП
(т) -U
G.55)

§ 7. Излучение диполъных волн. «Игольчатое» излучение
197
при нечетном т получается аналогичное выражение, только с заменой
sin ( — / cos в J на cos f — / cos в J.
Мы видим, что в отличие от излучения диполя появляется допол-
дополнительная зависимость от углов, определяющаяся типом дипольных
колебаний, длиной цепочки и дисперсионным уравнением дипольных
волн, связывающих uj и к = —.
От рассмотрения излучения дипольных волн мы можем перейти
к излучению конечного линейного прямолинейного проводника (ко-
(конечной антенны). В самом деле, и для проводника имеет место еле-
дующая связь между током и вектором поляризации: j =
at'
где
теперь только плотность тока j обозначает ток проводимости, или
для единицы длины проводника J = —. Поэтому формулу G.54)
ot
можно считать законной и для линейного проводника. Дисперсионное
уравнение для линейных проводников в пустоте, если опустить потери
на джоулево тепло, есть uj = кс. Поэтому формула G.55) дает, полагая
I	С '
Ев = Нр = -2ip0-
его	sin в
для четного п и аналогичное выражение для нечетного га.
В этом специальном случае замечаем, что излучение зависит толь-
только от типа возбужденных колебаний, но не от длины антенны.
На рис. 43 представлена полярная диаграмма интенсивности излу-
излучения от линейной антенны конечной длины для различных тонов
колебаний.
п = 2
Рис. 43
п = 3
Задачи

198	Гл. VII. Проблема излучения
1.	Доказать, что разность между запаздывающим и опережающим по-
потенциалами есть решение однородного волнового уравнения.
2.	Доказать, что выражение для запаздывающего потенциала с поверх-
поверхностным интегралом математически эквивалентно выражению для опере-
опережающего потенциала с соответствующим поверхностным интегралом.
3.	Вычислить вектор Умова-Пойнтинга и проанализировать распределе-
распределение интенсивности излучения по углам для случая излучения от антенны
конечной длины.
4.	Разложить поляризационный потенциал в ряд по степеням 1/с и об-
обсудить физический смысл отдельных членов разложения.

Глава VIII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
§ 1. Плоские волны в неограниченной однородной
непроводящей среде
Рассмотрим прежде всего простейший случай — однородную непро-
непроводящую среду, для которой
е = const, 11 = const, a = 0.
Из уравнения непрерывности
,. . дР
dlvJ = ~m
с учетом того, что j = сг(Е + Естор) = 0, следует
p = p(x,y,z),	(8.1)
т. е. плотность зарядов не может меняться с течением времени и,
следовательно, создает только статические поля. Поэтому мы имеем
право отвлечься от статических зарядов, поскольку нас интересуют за-
закономерности распространения переменного электромагнитного поля.
При указанных условиях
-^, divE = 0,
с at
с Ж' divH = °-
Дифференцируя первое из уравнений по времени, имеем:
Ш с	^ е д2Е
rot—- = -- rot rot E = - ——.
at	ц	с at2
Но так как
rot rot = grad div —A, div E = 0,
то

200	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Совершенно аналогичным образом получаем:
АН-^^г = °-	(8-3)
Таким образом, напряженности электрического и магнитного полей
удовлетворяют волновому уравнению с одной и той же постоянной
скоростью распространения
о	С2
Сам факт получения волновых уравнений из общих законов электро-
электродинамики указывает на то, что исходные посылки электродинамики
гарантируют распространение вихревого электромагнитного поля, ес-
если оно существовало в некоторый заданный момент времени, причем
скорость распространения определяется только свойствами среды и не
зависит от способа возбуждения поля. Основными физическими фак-
факторами, обеспечивающими возможность распространения, являются
токи смещения и электромагнитная индукция. В отсутствие токов
смещения {е = 0) или электромагнитной индукции (/i = 0) будем
иметь уравнения Лапласа:
АЕ = 0, АН = 0,
которые принципиально отличаются от волновых уравнений уже тем,
что для поля, всюду ограниченного по амплитуде, а в бесконечности
убывающего, имеется только тривиальное решение уравнений Лапла-
Лапласа:
Е = 0, Н = 0.
Таким образом, законы электростатики требуют органической связи
поля с источниками. В противоположность этому волновое уравнение
имеет отличные от нуля решения, убывающие в бесконечность и огра-
ограниченные всюду. Следовательно, это уравнение допускает самостоя-
самостоятельное существование поля без источников.
Рассмотрим частное решение уравнений электродинамики в слу-
случае плоских волн, для которых, по определению, в каждой точке
плоского сечения, перпендикулярного направлению распространения,
напряженности поля имеют одинаковое значение.
Предположим, что поле меняется только вдоль одного направле-
направления, так что напряженности поля суть функции только одной ко-
координаты. Такое предположение должно оправдаться самим фактом
возможности получения такого решения. Выберем ось х координатной
системы в направлении распространения волн, тогда по условию все
производные по у и z будут равны нулю, а производные по х отличны

§ 1. Плоские волны в неограниченной однородной непроводящей среде 201
от нуля. В таком случае трехмерные волновые уравнения вырождают-
вырождаются в одномерные:
<92Е e\i д2Е	д2И e\i d2U
1)х~2~^1Н2=0' !h? ~ ~& !№ = °'
общее решение которых имеет вид
с
v =
где g и f — произвольные векторные функции. Первое слагаемое
правой части представляет собой волну, распространяющуюся со ско-
скоростью v вдоль оси х в положительном направлении без изменения
своей формы. Второе слагаемое не зависит от первого и представляет
волну, распространяющуюся в обратном направлении оси х.
Для того чтобы найти связь между Е и Н в рассматриваемом
случае, нужно обратиться к исходным уравнениям:
rotH = - —, rotE = -^ —,
с at	с at
или
дН
дх
дх
divH
с
z ?
с
~dHx
dt '
dEy
dt '
: п
9EZ
дх
дЕу
дх
divE
с
с
dt
дНу
dt
dHz
" n
ох	дх
Отсюда можно сделать следующие выводы.
1.	Составляющие поля по оси х постоянны во времени и простран-
пространстве, т. е. Ех = const, Hx = const. Это значит, что переменное поле
может быть только полем поперечным, векторы напряженности кото-
которого должны лежать в плоскости, перпендикулярной к направлению
распространения.
2.	Уравнения распадаются на две независимые пары, в которых
связаны Ez с Ну и Еу с Hz. Это указывает, что в неограниченном
пространстве поляризация волн может быть произвольной, так как
вследствие линейности уравнений произвольные линейные комбина-
комбинации найденных пар решений есть также решения.
3.	Определим теперь компоненты Н по заданным компонентам Е.
Предположим, например, что

202	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
тогда
dEz _dg du _ dEz ( 1\ _ y/FjL dEz
dx du dx dt \ v)	с dt
Но из уравнений поля имеем:
dEz и dH1t
поэтому
или
Следовательно,
dx
y/FJL dEz
с dt
rdEz
V? dt ~
окончательно:
с dt
с
dHy
dt
dt '
(8.4)
Напомним, что не зависящие от времени части поля мы не учитывали
с самого начала.
Таким образом, компонента Ez определяет только компоненту Яу,
аналогично Еу определяет Hz, причем
|Н|
Второе уравнение из пары, т. е.
dHy _ e dEz
dx ~ с ~дГ'
полученным решением автоматически удовлетворяется, в самом деле,
е dEz	с е dEz с е sfjl dHy dHy
с dt	л/Щл с dx л/Ща с у/ё dx dx
Рассмотрим теперь поток энергии. Вектор Умова-Пойнтинга
в плоской волне по модулю равен
а поскольку плотность энергии
еЕ2 /itf2 eE2
w =	Ь —	= 	,
8тг 8тг 4тг
имеем:
= V—— = vw.
4тг

§ 1. Плоские волны в неограниченной однородной непроводящей среде 203
Таким образом, значение потока энергии определяется скоростью рас-
распространения поля и плотностью электромагнитной энергии аналогич-
аналогично полученному для волновой зоны осциллятора.
Поскольку в вакууме v = с (е = \± = 1), можем ввести понятие
показателя преломления как отношение скорости света в вакууме
к скорости света в среде:
Q
п = - = у/ё]1.	(8.5)
Этот результат представляет один из основных результатов электро-
электромагнитной теории света. Для большинства прозрачных тел /i ~ 1 и,
следовательно, п « л/е.
Ниже мы перечисляем результаты, которые послужили основанием
для рассмотрения теории световых волн как раздела общей электро-
электродинамики.
1.	Совпадение экспериментально измеренной скорости света в ва-
вакууме с константой с в электродинамике, исторически определенной
на основе совершенно других явлений — как отношение электростати-
электростатических единиц к магнитным единицам.
2.	Отсутствие продольных компонент поля в электромагнитных
волнах, т. е. факт поперечности электромагнитных волн.
3.	Для достаточно длинных волн соотношение п ~ л/s удовле-
удовлетворительно согласуется с экспериментом. Наблюдаемые отклонения
объясняются уравнениями состояния, как отмечалось уже ранее.
В случае плоских монохроматических волн
Ez = E°zcosuj (t- -
или
Ez =
Из соображений удобства применяют часто запись в комплексной
форме:
Ez = ??°e*"(*-f) = E°eib>t-ikx, k = -.
V
В векторной форме при наличии произвольного направления рас-
распространения плоская монохроматическая волна изобразится так:
Е = E°eiw*-ikr, kr = kxx + kyy + kzz.
Подстановка в волновое уравнение дает:
отсюда
w2 = k2v2.	(8.6)

204	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Таким образом, волновое уравнение накладывает ограничение на
функциональную зависимость ио = со (к). Зависимость со = ио{к) носит
название дисперсионного уравнения. Это уравнение характеризует за-
законы распространения волн в средах.
ио 2тг
Величина к = — = —- указывает число волн, укладывающихся
с	Л
в 2тг сантиметров х), и называется волновым числом. Совместно с цик-
2тг
лической частотой ио = — эти две величины являются основными
характеристиками плоских монохроматических волн.
Соотношение (8.6) выражает наиболее простую линейную зависи-
зависимость между ио и к.
Фазовая и групповая скорости определяются соотношениями
ио	duo
Легко видеть, что в случае линейного дисперсионного уравнения для
электромагнитных волн в пустоте или однородном диэлектрике обе
скорости равны друг другу и не зависят от частоты:
V ф = Vrp = V =
Удобно использовать следующую комплексную форму для амплиту-
ды Е°:
Е° = ReE°-ei(p.
В такой форме записи фаза <р выделена в явном виде. Для плоских
монохроматических волн имеют место следующие равенства:
дЕ
rotE = i[kE], divE = z(kE), — = iuoE.
ot
Таким образом, уравнения для поля имеют вид
[кН] = - - шЕ, [кЕ] = - ^ • шН, (кЕ) = 0, (кН) = 0.
Последние два уравнения указывают на поперечность волн по отно-
отношению к направлению распространения к, т. е. Е 1 k, H 1 к; первые
два уравнения связывают Е и Н между собой.
Более общее решение исходных уравнений для вакуума или од-
однородной непроводящей среды мы можем получить суммированием
частных решений в виде плоских монохроматических волн. Поскольку
на частоту и волновое число накладывается ограничение в виде дис-
дисперсионного уравнения ио = vk, решение в виде суперпозиции плоских
х) Если длина волны Л выражена в см х. (Прим. ред.)

§ 2. Распространение волн в неограниченной проводящей среде 205
монохроматических волн можно написать в одной из следующих эк-
эквивалентных форм:
Е=
Е=
Е = f Ew> ke^+ikr5(lo - kv) du dk
= dkx dky dkz).
Для того чтобы вектор Е имел физический смысл, необходимо потре-
потребовать
ш(к) = -ш(-к), Ek = E*_k, ЕШ = Е*_Ш,
где звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину.
При этих условиях, объединяя подынтегральные выражения с +к
и —к, имеем:
Заметим, что для монохроматических волн последние два из урав-
уравнений электродинамики
divE = 0, divH = 0
являются следствием первых двух
rot H = - iwE, rot E = - - iuH,
с	с
так как
divrot = 0.
Это обстоятельство непосредственно ясно из того, что самим тре-
требованием монохроматичности мы исключили поля, не зависящие от
времени, для которых divE ф 0.
§ 2. Распространение волн в неограниченной
однородной проводящей среде
Выясним характер распространения монохроматических колеба-
колебаний в среде, для которой
а = const, е = const, \i = const.

206	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Используя уравнения
тт е дЕ 4тг ^
rot Н = - — + — сгЕ,
с at с
"с ~Ж
и полагая в них Е, Н ~ elujt, имеем:
*~ i 4тгсг\ _
rot Н = — [е + -— Е,
с
с
Замечаем, что отличие проводящей среды от случая идеального
непроводящего диэлектрика заключается в том, что вместо диэлек-
диэлектрической постоянной фигурирует величина
,+ — = ?..	(8.8)
100
Эту величину, поскольку она заменяет в рассматриваемом случае ди-
диэлектрическую постоянную, можно назвать комплексной диэлектри-
диэлектрической постоянной.
При использовании еш уравнения по форме совпадают с уравнени-
уравнениями для диэлектрической среды:
iuj ^
rotH = — sulh,
с
rotE = -—H.	(8.9)
с
Поэтому результаты, полученные ранее, автоматически переносятся
на рассматриваемый случай, но только с заменой диэлектрической
постоянной е комплексной диэлектрической постоянной еш. Уравнение
второго порядка получим, беря rot от одного из уравнений и пользуясь
другим:
	rot rot E = — ?ШЕ,
гио	с
или
АЕ + — ешЕ = 0
с1
и аналогично
2
АН+— 6:wH = 0.
cz
Будем искать решения в виде плоской монохроматической волны, но
только с комплексным волновым числом:

§ 2. Распространение волн в неограниченной проводящей среде 207
Подстановка в волновое уравнение приводит к дисперсионному урав-
уравнению
Исследуем ограничения, вносимые этим уравнением на действитель-
действительную и мнимую части волнового числа. Имеем:
(8.10)
Очевидно, поле можно записать в следующей форме:
Отсюда видно, что действительная часть комплексного волнового век-
вектора определяет плоскость равных фаз
(krr) = const,
а мнимая часть — плоскость равных амплитуд
(k^r) = const,
причем, поскольку
(krki) =	= kikr cos /?,
дисперсионное уравнение не приводит само по себе к однозначному
выводу относительно взаимной ориентации плоскостей равных фаз
и равных амплитуд — в решении имеется произвол (три неизвестных:
кг, к{) р, и только два уравнения для их определения).
Рассмотрим частный случай р = 0, когда плоскости равных ампли-
амплитуд совпадают с плоскостями равных фаз. Тогда имеется возможность
определить кг и к{ отдельно.
Удобно ввести новые неизвестные пик:
кг = — п, ki = — к, кг — iki = — (п — г я) = —
ее	ее
откуда
Соотношения (8.10) приобретают следующий вид:
712 — к2 = е, пк = <тТ',
где Т — период колебаний.

208	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Следовательно,
п2 = +!±А/?^
± М
2 V 4
(8.11)
поскольку п и я по условию действительны, необходимо удержать
в обоих выражениях перед корнем только один знак (+).
Выбирая ось z в направлении распространения, имеем:
Величина к характеризует быстроту убывания амплитуды; величина п
называется показателем преломления и определяет фазовую скорость
распространения:
с
^Ф = -•
п
Определяя глубину проникновения как расстояние z = <i, на котором
поле убывает в е раз, имеем:
d=—.	(8.12)
В итоге приходим к следующим результатам:
1.	Наличие проводимости а ф 0 приводит к не равному нулю
коэффициенту поглощения к.
Таким образом, причиною поглощения электромагнитной энергии
в средах является наличие в них отличной от нуля электропроводно-
электропроводности; наоборот, при а = 0 всегда к = 0.
Для металлов а ~ 1017 ед. СГСЭ, е ~ 1 для длинных волн. Таким
образом, для длин волн в пустоте в 1 микрон (Т ~ 3,3 • 10~15 с)
аТ - 103,
т.е. аТ ^> е; поэтому приближенно
п = к = V^f.
Глубина проникновения для меди а ~ 5 • 1017 с определяется при-
примерно следующими значениями:
при Л = 1 см	d ~ 2,4 • 10~5 мм,
при Л = 100 м	d ~ 2,4 мм,
при Л = 10 км	d ~ 24 мм.
2.	Поскольку

§ 3. Отражение и преломление волн	209
волны поперечны:
Е _L к, Н _L к,
и взаимно перпендикулярны: Е _1_ Н, причем векторы Е, Н, к образу-
образуют правовинтовую систему.
Вводя единичный вектор в направлении распространения к\ и учи-
учитывая соотношение
к = —
с
имеем:
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси z с Ех ф 0
и Нуф0
[kxH] = -Ну
и, следовательно,
х = (п — гк)Ех = л/п2 + к1 ег6 Ех,
Поскольку к для металлов велико, можно сделать вывод, что по
абсолютной величине напряженность магнитного поля значительно
превышает величину электрического поля. В связи с этим плотность
магнитной энергии
Я2 п2 + х2 rf
значительно превышает плотность электрической.
§ 3. Отражение и преломление волн на плоской
границе раздела двух сред
Перейдем теперь к рассмотрению распространения электромагнит-
электромагнитных волн в неоднородной среде. Прежде всего рассмотрим простейший
случай неоднородности — наличие плоской границы между двумя изо-
изотропными, однородными и непоглощающими средами. Для простоты
будем решать задачу для монохроматических полей. Отметим, что
монохроматические поля elujt и для произвольной не зависящей от вре-
времени неоднородности являются решением уравнений электродинамики
вследствие линейности и однородности этих уравнений.
Для условий, в которых длина волн значительно превышает тол-
толщину переходного слоя, можно считать границу бесконечно тонкой
и использовать пограничные условия непрерывности тангенциальных
составляющих электрического и магнитного полей.

210	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Падающую волну будем считать плоской и заданной в форме
ET^Oiut — гкг	тт ттО iuit — гкг
= Л( е	, rl = rl e
с комплексными амплитудами Е° и Н°, которые учитывают фазу
волны, причем
E_Lk, E_LH, |H| = V^|E|, |k| = -;
магнитную проницаемость для всех известных прозрачных тел можно
положить равной единице. Проведем ось z перпендикулярно к плос-
плоскости раздела в направлении падающей волны и параллельно перпен-
перпендикуляру, направленному из первой среды во вторую. Проведем ось у
перпендикулярно к падающему
f	лучу и в направлении к наблюда-
наблюдаV////
€2
телю (рис.44).
Из граничных условий в плос-
п	кости раздела
тт* 	 тр	тт 	 тт
&\t — ^Iti nlt — n2ti
1 Z
рис 44	имеющих место для любой точки
этой плоскости и для любого момента времени, следует сам факт
наличия поля во второй среде, когда на плоскость раздела из первой
среды падает электромагнитная волна. Однако удовлетворить двум
условиям, предполагая наличие только одной плоской волны, невоз-
невозможно, так как равенства
сразу можно удовлетворить только при Е\ = е2, что тривиально.
Поэтому для решения задачи нужно предположить существование,
кроме падающей плоской волны, еще, по крайней мере, двух плоских
волн — отраженной и преломленной. Таким образом, имеем:
для падающей волны	Еп = ~Е$егш *~гк г,
для отраженной волны	Еотр = ЕдТрега; 1~ъ г,
для преломленной волны	Епр = Е[]рега; 1~ъ г.
Представляют интерес следующие задачи: определение частот отра-
отраженных и преломленных волн; определение направлений этих волн;
определение соотношения амплитуд волн; определение изменения фаз
при отражении и преломлении.
Для определения соотношения частот в падающей, отраженной
и преломленной волнах воспользуемся граничным условием
^отр*-гкотрг _ г^пр ;и;прг-гкпрг	/о Л о\

§ 3. Отражение и преломление волн
211
Так как это условие должно выполняться при любом t и в любых
точках плоскости раздела, то
_ i пр
(8.14)
У У	У '
Если вектор волнового числа падающей волны лежит в плоскости
ж, z, то ку = 0 и, следовательно,
iLOTp 	 i пр 	 rj
у — у — '
т. е. волновые векторы всех трех волн лежат в одной плоскости, кото-
которую удобно назвать плоскостью падения.
Введя углы падения у?, отражения tpf и преломления ф (все три
угла изменяются в пределах от 0 до тг/2), имеем (рис.45):
™ = кп sin (
котр
Далее, учитывая соотношения
СО	(jj	(jj
К — , К — , К — .
Vi	Vi	V2
получим:
sin (
sin (р
8тф
(8.15)
Отсюда
Рис. 45
sin
?2 п2
= — = \ — = 	 = ГС12.
Знание абсолютных величин векторов &п, /сотр, кпр и их составляю-
составляющих по оси х дает возможность определить их составляющие по оси z:
к™ =
cos ip.
^ = — соъф.
V
Определим теперь фазы всех трех волн в плоскости раздела z = 0.
Имеем:
{cut - knr)z=0 = (cot - k°^r)z=0 = {cut - knpr)z=0,
т. е. в плоскости раздела все три волны имеют одинаковые фазы.
Таким образом, предположение о существовании трех плоских мо-
монохроматических волн и учет линейного граничного условия дают воз-
возможность вывести все элементарные законы отражения и преломления
электромагнитных волн.

212
Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Перейдем к выяснению соотношений между амплитудами всех трех
волн.
Целесообразно разложить вектор
напряженности электрического поля
у всех трех волн на два взаимно
перпендикулярных вектора, причем
один из них лежит в плоскости па-
падения:
Рис 46
индексы р и s относятся соответ-
соответственно к компонентам, лежащим
в плоскости падения и перпендикулярно к ней (рис.46). Тогда:
™ = Ар cos <р,
Ez = -'
^тр = -Rp cos <р,
тютр _ о
у	—	/tS,
™p = -Rp sin ip,
^ = Dp cos
;пр _ jj
— U
Напряж;енность магнитного поля выражается через напряженность
электрического поля по формуле
1 дИ
rotE =	—
с dt
или
Поскольку
[кЕ] = -Н.
с
к = ki&, k = — = —
V	С
V
i	j	k
sin ip	0	cos (p
Ex	Ey	Ez
то для каждой из волн имеем:
Нх = —
cos (
Ну = л/е (Ех cos (р - Ez sin (p),
у sin (p.

§ 3. Отражение и преломление волн	213
С точностью до фазового множителя падающая, отраженная и пре-
преломленная волны имеют соответственно следующие компоненты на-
пряженностей полей:
Aa, -Apsm(f),
Hn(/eA	/eA /^ A sin y>),
EOTp(-Rp cos p, Rs, - Rp sirup),
cos (p, y/ei Rp, л/^i Rssm(p),
Enp(Dpcos>ф, Ds, -Dpsinф),
Dscosifj,
Граничные условия, выраженные через Л, Я и D, имеют вид
(Ар — Rp) cos (p = Dp cos ф,
(8.17)
. cos^,
Здесь мы опустили фазовый множитель, поскольку, как было показа-
показано, в плоскости раздела фазы всех трех волн одинаковы.
Граничные условия дают нам четыре уравнения для четырех неиз-
неизвестных: Яр, Rs, Dp, Ds (амплитуды падающей волны Ар и As
считаются заданными). Решение этих элементарных уравнений имеет
следующий вид:
_ tgjip-ф)	_	2 sin ф cos <p
1%(р + ф)	sm(v + ф) cos(p - ф)
> ^o.loj
s\n((p — ф)	2 sin ф cos (p
ып((р + ф) s' s sin(^ + ^)
В случае нормального падения (р = ф = 0 формулы приводят
к неопределенности, так как для амплитуд получаются решения ви-
вида -. Проще всего в этом случае возвратиться к исходным уравнениям
F.17), полагая в них (р = ф = 0 (cos (р = cos^ = 1). Тогда:
Ар- Rp = Dp,	л/ё1(А8 - Rs) =
+ Яр) =

214
Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
откуда
П12 + 1
2
n12 + 1
77,12 - 1
n12
дя=-—
(8.19)
П12 =
Как видим, в случае нормального падения направления pus
эквивалентны, т. е. теряет смысл понятие плоскости падения. Далее,
при 77,12 > 1 направления векторов электрической напряженности
в падающей и отраженной волнах
противопол ожны:
Н
Е	Е
Hi
Еп =
—	_ Л
—	т^1р
~
Рис. 47
2тг
что соответствует сдвигу фазы на
тг (рис. 47). Таким образом, при па-
падении на оптически более плотную
среду (?2 > ?i) фаза вектора элек-
электрической напряженности меняет-
меняется на пол волны:
. Л
А
Далее, при п\2 < 1 фазы векторов электрической напряженности
падающей и отраженной волн одинаковы, но фазы векторов магнитной
напряженности сдвинуты на тг.
Под коэффициентом отражения г понимают отношение квадратов
амплитуд отраженной и падающей волн; пользуясь (8.19), имеем:
г = (^\ = (jp—[) •	(8-20)
Очевидно, что чем больше различаются е2 и ?]_, тем ближе коэффи-
коэффициент отражения к единице и, следовательно, тем ближе рассмат-
рассматриваемый случай к случаю полного отражения. Наличие сильного
отражения от сред с большей диэлектрической постоянной обуслов-
обусловлено наличием больших токов смещения на границе оптически более

§ 3. Отражение и преломление волн	215
плотной среды, вызывающих соответственно большие вторичные по-
поля излучения, определяющие амплитуду отраженной и преломленной
волн.
При нормальном падении амплитуда проходящей волны никогда
в нуль не обращается:
2
D	л
п12 + 1
т. е. никогда не достигается полное внутреннее отражение. По иному
обстоит дело при наклонном падении волн на плоскость раздела. Из
закона преломления
sin ip
п12
следует, что в случае п\2 > 1 ПРИ любом if существует действительное
значение для ф, но при 77-12 < 1 существует такой предельный угол (ро,
при котором
sin (ро = 77-12,
и, следовательно, 8'тф = 1, т. е. ф = 90°, так что возникает «скользя-
«скользящий» луч. При больших углах падения не существует действительного
значения ф, так что волны возвращаются в первую среду; это и есть
случай полного внутреннего отражения.
Найдем распределение поля при полном внутреннем отражении.
Полученные ранее формулы для отражения и преломления справед-
справедливы при любых значениях Е\ и E2i поскольку граничные условия
и уравнения поля не накладывают каких-либо ограничений на их
значения. Но если if таково, что
sin ю
Sin^ = 	 > 1 При 77-12 < 1,
то этому соотношению можно удовлетворить комплексным значени-
значением ф. Для выяснения физического смысла комплексности угла ф
определим амплитуду и фазу проходящей волны. Имеем:
г
Ex = Dp cos фе
/ х sin ib+z cos ib
[ t—	—
. , х sin ib-\-z cos i
*"'*-	v2

216	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Сделаем подстановку
sin (п
П12
cos^ = л/1 -sin2'?/' = ±И/П ^ - 1.	(8.21)
Тогда получим:
n2
612
и аналогично для других компонент.
Замечая, что
= V2— = vi, г = ег 2 ?
и требуя конечности значений поля, всюду имеем, удерживая только
один знак и переходя к действительной форме:
(8.22)
F1 Т
^х — L
/sin2^
V ™12
1е
>гт =
— zcz
UJ
cos c<; |
/sin2 v
V П?2
(-
0
ж sin 99^
1
1 
' 2J'
Поле, определяемое соотношением (8.22), представляет собой вол-
волновой процесс, распространяющийся во второй среде вдоль границы
раздела, оси ж, с экспоненциально убывающей амплитудой вглубь
среды в положительном направлении оси z. Поскольку составляющая
электрического поля по оси х не исчезает, волны не поперечны. Здесь
мы впервые встречаемся с фактом, что в неоднородных средах элек-
электромагнитная энергия может распространяться в виде электромагнит-
электромагнитных волн, имеющих продольную составляющую.
Таким образом, утверждение о поперечности электромагнитных
волн справедливо, вообще говоря, только в однородных средах. В §
5 этой главы мы выясним особо важную роль продольно-поперечных
волновых процессов в задаче о направленных электромагнитных вол-
волнах.
Скорость распространения вдоль границы определяется скоростью
распространения в первой среде, хотя распространение фактически
происходит во второй среде.

§ 3. Отражение и преломление волн
217
Глубина затухания этих волн определяется соотношением
d=- =
к
СО
sin2
_ i и\ si
(8.23)
71
sin (p — n
f2
Если значение корня
sin2 ip — п
\2
1,
то
d- — - —
со 2тг'
т. е. глубина проникновения имеет порядок величины длины волны
падающих волн. Для того чтобы применить формулы (8.18) к рас-
рассматриваемому случаю полного внутреннего отражения, выразим их
только через sin tp и cos <p с последующей заменой их с помощью (8.21),
тогда получим:
пB cos (p + г л/sin2 (р — п\2
п\2 cos (р
гд/sir
-z^si
sin2 (р — п
12
cos ip + гл/sin2 <р — п\2
Rs =	v,	= As.
гл/sir
cos (p — гл/sin2 <p — n\2
(8.24)
Отсюда мы видим, что действительная часть Rp и Rs совпадает
с действительной частью Ар и Л8, так как действительные части
множителей при Лр и As точно равны единице:
\RP\ =
\RS\ = \Aa
Поскольку же
г =
5.25)
то при полном внутреннем отражении г = 1, т.е. весь поток энергии
в падающей волне возвращается обратно в первую среду, что и должно
быть, поскольку мы совершенно не учитываем поглощение, а поле во
второй среде только экспоненциально затухает, не распространяясь
вглубь среды. Детально вопрос о полном внутреннем отражении впер-
впервые изучил А. Эйхенвальд в 1908 г.

218	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
§ 4. Свойства направленных поперечных волн
В практических приложениях электродинамики особо важную
роль играют способы осуществления направленной передачи электро-
электромагнитной энергии на расстояния. Возникающие здесь вопросы разно-
разнообразны и трудны. В какой мере наличие проводников, например двух-
или трехпроводной линии передачи, может способствовать созданию
направленного потока энергии? Какова структура поля в этих слу-
случаях? При изменении линий какая доля энергии останется связанной
с траекторией линии, а какая будет излучена, и т. д.
Остановимся только на двух важных вопросах.
Во-первых, выясним основные особенности распространения, когда
совокупность проводников имеет такую конфигурацию и характери-
характеристики электропроводимости, которые обеспечивают направленность
распространения поперечных электромагнитных волн. Во-вторых, ре-
решим эту же задачу для случая, когда у электромагнитного поля име-
имеется продольная составляющая вдоль направления распространения.
Связанность направления распространения поперечного электро-
электромагнитного поля с траекторией провода можно качественно уяснить
из следующих соображений. Ввиду наличия токов проводимости, зна-
значительно превышающих токи смещения в проводниках, большая часть
магнитных силовых линий охватывает токи проводимости, т. е. линии
передачи, а не токи смеще-
ния, как это имеет место
в однородной среде. Так
как мы сейчас рассматри-
рассматриваем случай поперечных
волн, электрические сило-
силовые линии должны ле-
лежать в плоскости сечения
и не иметь продольной со-
Рис. 48	ставляющей (рис.48). По-
Поэтому электрические сило-
силовые линии не могут окружать магнитные силовые линии, не имея
продольной составляющей, они должны исходить из проводников или
на них заканчиваться. Таким образом, как магнитное, так и электри-
электрическое поля органически связаны с траекторией проводника.
Для количественного рассмотрения введем следующие упрощения,
не конкретизируя форму сечения проводов и их число; будем считать,
однако, все провода параллельными; будем решать задачу в приближе-
приближении идеальных проводников а = оо 1). Теория скин-эффекта, а также
рассмотрение электромагнитных волн в металлах дает для глубины
х) По поводу учета конечной проводимости см. работу М.А. Леонтовича
в сборнике «Исследования по распространению радиоволн». М.-Л., 1948.

§ 4. Свойства направленных поперечных волн	219
проникновения следующую формулу:
с
d= -
при а —> оо пространство в проводнике, куда проникает поле, стя-
стягивается к поверхности, так что поле внутри идеальных проводников
обращается в нуль.
Далее, окружающую проводники среду будем считать однородной,
т. е. е = const, /i = const, a = 0.
Направляя ось z вдоль проводников, найдем значения Е и Н во
всем пространстве. Для магнитного поля всегда имеет место соотно-
соотношение
Н = - rot A, A = q -^	^ dr'.
II	С }	Г
Ток проводимости j направлен по проводам, так что
Зх = Зу = 0.
Отсюда следует
Ах = Ау = 0, Az ф 0,
т. е. векторный потенциал во всех точках среды, окружающей про-
проводники, направлен в сторону распространения тока (параллелен про-
проводникам). Внутри проводников А = 0, поскольку внутри идеальных
проводников Е = Н = 0.
Исключая точки самой поверхности проводников, по которой цир-
циркулируют поверхностные токи, имеем:
v2 dt2
.=
Решения этого уравнения мы должны искать в виде волнового процес-
процесса, распространяющегося вдоль оси z:
Ax = F(x,y)f(t--).	(8.26)
Волновое уравнение можно записать так:
д2Аг 1 62AZ п
Подстановка выражения (8.26) тождественно обращает в нуль раз-
разность последних двух членов:
д2Аг
dz2 v2
1 8AZ
2 dt2 ~

220
Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Таким образом, в плоскости сечения проводников поле удовлетворяет
уравнению Лапласа
= 0,
(8.27)
т. е. оно должно иметь такую же структуру, как и в статическом
случае.
Найдем по векторному потенциалу напряженность магнитного по-
поля:
1 dAz I OF
у II дх
Hz =0.
\i оу \i оу
I	OF
II	дх
$.28)
Найдем напряженность электрического поля. Из условия, связыва-
связывающего потенциалы,
имеем для нашего случая:
dAz
дер
но, поскольку
Отсюда получаем соотношение, связывающее производные по времени
векторного и скалярного потенциалов,
у/sJl dAz _ ец, дер
с дГ ~ c~~dt'
После интегрирования этого уравнения и отбрасывания не существен-
существенной здесь постоянной интегрирования получаем:
A
дх2 ^ ду2
Мы опустили постоянную интегрирования, произвольным образом за-
зависящую от координат, но не от времени, так так соответствующее
поле есть статическое поле при постоянном распределении зарядов
и токов, что мы исключили самим видом предполагаемого решения

§ 4. Свойства направленных поперечных волн	221
По скалярному и векторному потенциалам определяется напряже-
напряжение электрического поля:
дА
1
Е — — grad <р
с dt '
1 dAz _ 1 dF
дх \/~?Ц> дх
dyJ\ v)
5.29)
^	J dy
Ez=0.
Итак, можно сделать следующие общие выводы.
Существует поле, распространяющееся вдоль проводников.
В случае идеальных проводников это поле поперечное; в простран-
пространстве вокруг проводников скорость распространения поля вдоль на-
направления проводников определяется свойствами окружающей среды,
т. е.
v =
причем в приближении идеальных проводников она совершенно не
зависит от их конфигурации и размеров. В плоскости сечения поле
удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. в случае идеальных проводни-
проводников точные законы электродинамики для переменного поля приводят
к уравнению электростатики и магнитостатики в плоскостях, перпен-
перпендикулярных направлению распространения.
Таким образом, в данном случае нельзя трактовать статические
поля только как предельные случаи переменных полей.
Векторы напряженностей электрического и магнитного полей вза-
взаимно перпендикулярны, поскольку на основании (8.28) и (8.29) имеем:
Амплитуды напряженностей магнитного и электрического полей
относятся друг к другу так же, как и в неограниченном диэлектрике.
Действительно, из (8.28) и (8.29) имеем:
(Я*+ Я> = (?? + ?>
и, следовательно,
Эти результаты имеют место для произвольной конфигурации се-
сечения проводников. При решении задачи мы не использовали погра-
пограничные условия, необходимые для решения уравнений Лапласа.
Представляет интерес частный случай распространения электро-
электромагнитных волн в кабеле, состоящем из двух коаксиальных цилин-
цилиндрических проводников. В случае идеально проводящих стенок поле

222	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
сосредоточено только в пространстве между цилиндрами. На осно-
основании общего рассмотрения векторы напряженностей электрического
и магнитного полей расположены в плоскости сечения (ж, у) и удо-
удовлетворяют в этой плоскости уравнению Лапласа. Из соображения
аксиальной симметрии кабеля напряженности полей должны быть
в цилиндрических координатах функ-
функциями только радиуса. В результате
имеем:
откуда
( EL
г дг V дг
dF	dF С
dr ' dr r
Силовые линии электрического поля
на поверхности идеального проводника
гис. 49	должны быть направлены по нормали
к поверхности. Можно утверждать на основании симметрии задачи,
что во всем пространстве между обкладками кабеля остается направ-
направленной по радиусам, т. е. отлична от нуля, только составляющая Ег(г).
Общее рассмотрение, проведенное выше, показывает, что магнитное
поле перпендикулярно электрическому и, следовательно, отлична от
нуля только составляющая //а(г) (рис.49).
Таким образом,
dip	I dAz	I dF / z\ С 1
dr -y/sji dr	y/sji dr
Из граничных условий для идеального проводника
еЕг = 4тгсг
непосредственно определяется плотность поверхностных зарядов на
поверхностях внутреннего (г\) и внешнего (г2) цилиндров:
°"i = "Г" = 7- — ~F= f
sEx _ е С 1
4тг 4тг г\
sE2	e С
ft--),
( t	) .
V у/
4тг	4тг г2
Рассматривая заряд, приходящийся на единицу длины каждого из
цилиндров
ус = 2тггсг,
видим, что заряды на внутренней и на внешней поверхностях равны
друг другу, но противоположны по знаку. Важно иметь в виду, что

§ 4. Свойства направленных поперечных волн	223
поверхностные заряды движутся вдоль кабеля со скоростью распро-
распространения электромагнитных колебаний в диэлектрической среде, за-
заполняющей пространство между цилиндрами кабеля.
Определим теперь ток в кабеле. Поскольку Е1Ни
имеем:
\1
Воспользуемся интегральным соотношением
4тг
= —Ju
с
где интеграл взят по контуру, охватывающему внутренний провод.
В правой части отсутствует ток смещения, так как продольные ком-
компоненты электрического поля равны нулю. Интегрирование по окруж-
окружности дает:
4тг
и, следовательно,
Jl = су \ ~г
Для контура, охватывающего оба цилиндра, должно выполняться
условие
4тг
)Hdl= — (Ji + J2) = 0,
с
L
так как контур интегрирования можно провести внутри идеально про-
проводящих стенок второго цилиндра.
Из проведенного выше рассмотрения можно сделать следующие
выводы.
В каждый данный момент времени, в каждом сечении кабеля токи,
протекающие по внутреннему и внешнему цилиндрам, равны между
собой, но противоположны по направлению. Эти токи распростра-
распространяются вдоль кабеля со скоростью света в диэлектрической среде,
находящейся внутри кабеля.
В заключение выясним, каково будет поле внутри кабеля при отсут-
отсутствии внутреннего провода. Удаляя внутренний провод, мы тем самым
полагаем, что заряды е\ и токи J\ обращаются в нуль. Но согласно
только что установленной закономерности, е\ = — е2, J\ = — J2, т.е.
отсутствуют заряды и токи на внешнем цилиндре, а следовательно,

224	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
и во всем рассматриваемом пространстве. Поскольку же на поверх-
поверхности, ограничивающей полый цилиндр, поле равно нулю, а зарядов
и токов внутри не существует, поле тождественно равно нулю всюду.
Последний результат основан на том, что уравнение Лапласа приводит
только к нулевым решениям для полей, если на поверхности, ограни-
ограничивающей рассматриваемый объем, поле равно нулю. Заметим однако,
что уравнение Лапласа, полученное для поведения поля в сечении,
основано на предпосылке о поперечности электромагнитного поля.
Полученный результат поэтому можно сформулировать следующим
образом.
В полых металлических цилиндрах с идеальной проводимостью
стенок, внутри которых отсутствуют заряды и токи, не могут распро-
распространяться только поперечные электромагнитные поля. В следующем
параграфе мы покажем, что в этих случаях могут распространяться
продольно-поперечные поля, обязательно имеющие продольную вдоль
направления распространения составляющую либо у вектора Е, либо
у вектора Н.
Рассмотрение электромагнитного поля в кабеле показывает, в част-
частности, ограниченность обычного суждения об «отпочковывании» по-
поперечного поля от источников. Это является верным в неограниченной
однородной среде. В рассмотренном же случае мы видим, что попереч-
поперечное поле аналогично электростатическому в смысле его органической
связи со стенками цилиндра. Если на поверхности, охватывающей
объем, в котором нет зарядов и токов, поле равно нулю, то оно тож-
тождественно равно нулю в любой точке объема в полном соответствии
с электростатическим случаем.
§ 5. Распространение направленных продольно-
поперечных волн
Развитие современной радиофизики 1) поставило задачу о переда-
передаче электромагнитной энергии сантиметровых и более коротких волн по
заданной траектории, без заметного искажения спектра волн. Эта за-
задача решается путем использования полых металлических труб (вол-
(волноводов). Поглощение электромагнитных волн в трубах происходит
на внутренней металлической поверхности и поэтому является только
поверхностным эффектом, в отличие от рассмотренного ранее случая
передачи волн вдоль проводов.
В § 4 мы пришли к результату, что в полых цилиндрах с идеально
проводящими стенками не могут распространяться поперечные волны.
Рассмотрим теперь распространение в подобных цилиндрах продоль-
продольно-поперечных волн. Под этим названием мы будем понимать электро-
электромагнитные волны, имеющие компоненту вдоль оси своего распростра-
х) См. предисловие ко 2-му изд. (Прим. ред.)

§ 5. Распространение направленных продольно-поперечных волн 225
нения. Если отлична от нуля продольная компонента электрического
поля, будем называть такие волны Е-волнами, если же отлична от нуля
продольная компонента магнитного поля, будем называть Н-волнами.
С фактом существования продольно-поперечных волн мы уже
встретились при рассмотрении полного внутреннего отражения. Гра-
Граница раздела двух сред играла роль направляющей плоскости, вдоль
которой распространялись волны (убывающие вглубь оптически менее
плотной среды). Эти волны имели продольную составляющую в на-
направлении распространения. В полых металлических трубах продоль-
продольно-поперечные волны являются единственным возникающим типом
волн. Центральным вопросом теории является вопрос о граничных
условиях. Из граничных условий, которые предоставляются общей
теорией,
4тг
с
E2t — Eit = 0, Н2п — Hin = О
первые два условия не могут быть использованы, так как поверхност-
поверхностные заряды и поверхностные токи неизвестны и должны быть опреде-
определены решением задачи. В последних двух уравнениях требуется знание
поля внутри металлических стенок, которое также требует решения
всей задачи в целом. Сильное упрощение достигается предположением
об идеальной проводимости стенок волновода, коэффициент электро-
электропроводности для которых полагают равным бесконечности. Как это
уже следует из теории скин-эффекта, глубина проникновения поля
в металле уменьшается с увеличением коэффициента электропровод-
электропроводности. В пределе Е и Н внутри идеальных проводников отсутствуют,
и мы имеем в качестве возможного граничного условия
= 0.
Решение задачи показывает, что это одно условие является достаточ-
достаточным для определения Е и Н внутри волновода.
Для двух особо типичных способов возбуждения волн (либо линей-
линейной антенной, либо рамкой) имеют место уравнения для поляризаци-
поляризационных потенциалов:
1 д2П _ f
с2 dt2 ~ \
дп ~ — -i ~4?гР'
Напряженности полей Е и Н определяются через вектор П следу-
следующим образом:
8 Власов А. А.

226	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
для Е-волн
= -graddivlle - — ——, Н = rot -
cz otz	с ot
ДЛЯ Н-ВОЛН
1 дПт
E = - rot	—, H = rot rot Пт.
с at
Используем следующие упрощения задачи. Будем считать проводящий
полый цилиндр бесконечно длинным с неизменным сечением вдоль
всей его длины. Будем, далее, предполагать отсутствие каких-либо
источников в волноводе х), т. е. ограничимся рассмотрением только
собственных электромагнитных волн в цилиндре. Для монохроматиче-
монохроматических волн с неизменным направлением поляризационного потенциала
вдоль направления распространения (оси z) можем написать:
где неизвестные пока функции Ф (Фе и Фт) точек сечения волновода
должны быть определены решением задачи.
Подстановка предполагаемого решения в однородное волновое
уравнение для поляризационного потенциала приводит в обоих
случаях к одному и тому же уравне-
уравнению для определения функции Ф:
A\\j	_|_ |	h1 | \Т/	— П
r^e, m i \ о	i ei m —
\с2	)
Удобно ввести на поверхности волно-
^ П1	вода местную систему координат Zi,
ni, si5 гДе zi — единичный вектор,
направленный в сторону направле-
Рис. 50	ния распространения, ni — единич-
единичный вектор, перпендикулярный к поверхности, Si — единичный вектор
по касательной к поверхности, лежащей в плоскости сечения (рис. 50).
Тогда требование отсутствия тангенциальной составляющей равно-
равносильно условию
Е81 = 0, EZl =0 на границе
дЧ*е
E8l = —ike~l z e =0 на границе,
OS
EZ1 = (^-к2) e~ikz4>P = 0.
х) См. по этому поводу Самарский Л.А., Тихонов А.Н. // ЖТФ. 1947. № 27.
вып. 11 и 12.

§ 5. Распространение направленных продольно-поперечных волн 227
Очевидно, что оба условия выполняются, если всюду на поверхности
волновода
Фе = 0.
Таково граничное условие для Е-волн.
Во второй задаче
со	со
Е = —г— rot Пт = — г —
с	с
д
0
д
~dsl
0
д
~дг~г
и, следовательно,
.оо
Ея = -г —
Ez =0.
с дп '
Требование отсутствия тангенциальной составляющей электрического
поля Et на границе равносильно в рассматриваемом случае условию
отт
— = 0 на границе,
дп
но
Awt — ikz
следовательно,
дп
= 0 на границе.
Итак, имеем следующие уравнения и граничные условия:
для Е-волн
ш
-к'-
= 0,
(8.30)
= 0 на границе,
для Н-волн
дг\
ш--к-
дп
т=0,
= 0 на границе.
(8.31)
Задача определения Е-волн представляет собой первую классиче-
классическую краевую задачу: по заданному значению функции на границе
и уравнению колебаний определить функцию внутри области; задача
определения Н-волн представляет собой вторую классическую крае-
краевую задачу: по заданной нормальной производной функции на границе
и уравнению колебаний определить значение функции внутри области.

228	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Важно отметить, что если бы мы потребовали для Е-волн уничто-
уничтожения на поверхности не только тангенциальных составляющих, но
и нормальных *):
d2Uze	<9Ф _ikz п
Еп =	= -гк—— е = 0 на границе,
onoz	on
мы пришли бы к задаче колебаний с граничными условиями Ф = О
и —— = 0. Однако эта задача имеет решением только Ф = 0 во всей
on
области. Таким образом, одна из особенностей Е-волн заключается
в том, что они сопровождаются зарядами на поверхности проводника
(Еп = 47ГСТ ф 0).
Для Н-волн требование
Еп = ^ *т = —in ^ m e~lkz =0 на границе
oson	os
не противоречит граничному условию задачи, поэтому, смотря по ре-
решению, Еп может быть как отличной от нуля, так и равной нулю;
в то же время тангенциальная компонента магнитного поля вдоль
волновода на границе обязательно должна быть отлична от нуля.
Действительно,
OZ2	С2	\С2
обращение этой величины в нуль привело бы или к условию Фт = 0
ич^ т	г,
на границе, что вместе с граничным условием задачи 	 = 0 дало
on
2
бы только решение Фт = 0, или к условию -тг = к2, что приводит
с2
к уравнению Лапласа
ДгФт = 0,
которое вместе с пограничным условием —— = 0 опять-таки дает
on
в качестве решения Фт = 0.
Разрешимость задач (8.30) и (8.31) для произвольных форм се-
сечений, нахождение дискретного спектра собственных значений, при
которых задачи имеют решения, — все это составляет содержание
соответствующих разделов математики.
и2 9
Определим вид спектра, т. е. значения величин -^- — ки структуру
с2
волн в сечении для двух особо важных случаев — волноводов прямо-
прямоугольного и круглого сечений.
х) В дальнейших формулах множитель etujt для простоты записи опущен.

§ 5. Распространение направленных продольно-поперечных волн 229
Волновод прямоугольного сечения. Для Е-волн решение име-
имеет вид
. 7ГП . 7ГГП
= Sin 	 X Sin ——
а	о
где пит — целые числа, а и b — линейные размеры прямоугольного
сечения волновода (рис.51). Это решение удовлетворяет граничному
условию
= 0.
х = а, 0
у=ь, о
Подстановка в уравнение приводит к следующему условию, налагае-
налагаемому на частоты (или волновые числа):
¦^	/ лт-чо \ 2	/ -тг'кп \ 2
UJ2 7о /7Г77А2
с2	V а ) \ Ь )
Это условие может быть названо диспер-
дисперсионным уравнением по аналогии с усло-
условием для случая неограниченной среды,
в которое это условие переходит при а —ь
—> b —> оо
Для Н-волн аналогично имеем:
7ГП	7ТТП
а
UJ
\ a J
b '
/тгга
\~~b~
/
h
У"
b
•
У
У
.' а
У
у X
у*- т
Рис. 51
Таким образом, имеется бесконечное счетное множество волн ка-
каждого типа, соответствующих всем комбинациям целых чисел п и т,
причем для Е-волн ни одно из чисел не может быть равным нулю,
в противном случае поля тождественно обращаются в нуль, но для
Н-волн одно из чисел, но не оба вместе, может равняться нулю, по-
поскольку Ф в этом случае не обращается в нуль и в то же время не
является постоянной.
Дисперсионное уравнение приводит к существованию минималь-
минимальной частоты, начиная с которой возможно распространение волнового
процесса в волноводе. Перепишем дисперсионное уравнение так:
, ,2 , ,2
2 _ U ~ U0
где

230
Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
для ио > uoq распространение имеет место,
поскольку
,2
к2 > 0 и,
следовательно, к — действительное число, для ио2 < ио2 к2 < О
и к становится мнимым числом, т. е. появляется монотонное убывание
амплитуд в направлении распространения.
Минимальная критическая частота определяется поперечными
размерами волновода:
,2>
¦'{©¦(Ш
Если в неограниченном пространстве фазовая скорость электро-
электромагнитных волн не зависела от длины волны:
ио	duo
гъ	CL гъ
то в рассматриваемом случае
ь 2
т. е. Уф зависит от волнового числа и всегда превышает скорость света
в вакууме. Далее,
duo	с
dk	' J_ |У™У T*™L
к2 [{а ) +{ Ъ
так что имеет место простое соотношение ^фг?гр = с2.
Рассмотрим основные особенности структуры поля в поперечном
сечении. Для Е-волн отлична от нуля нормальная составляющая элек-
электрического поля к поверхности проводника, так как из общей формулы
следует:
= — ike
-ikz
х=0
х = а
dndz
7ГП 7ГТП 7ГП
COS 	 X Sin 	 у -
а	о	а
х=0
у=о
у=ь
= — ike
-ikz
7ГП
7ГГП
sin
X COS
У
тгт
j=0
j=b
Таким образом, силовые линии электрического поля начинаются и кон-
кончаются на поверхности проводника. При этом на стенках волново-
волновода обязательно индуцируются поверхностные электрические заряды,
а поскольку силовые линии электрического поля имеют продольную
составляющую, заряды меняют знаки в направлении оси волновода.
Таким образом, линии электрического поля, начинаясь на поверхности

§ 5. Распространение направленных продольно-поперечных волн 231
волновода с положительным зарядом, изгибаются в направлении вдоль
волновода и заканчиваются на проводнике с отрицательным зарядом
(рис.52).
w
Магнитные
силовые линии
Электрические силовые линии
(Волна Ец)
(Волна Ню)
Рис. 52
Магнитное поле всегда перпендикулярно к электрическому и, по-
поскольку оно не имеет продольной составляющей, силовые линии маг-
магнитного поля расположены в плоскости, перпендикулярной к оси вол-
волновода.
На поверхности волновода тангенциальная компонента магнитного
поля, лежащая в плоскости сечения, отлична от нуля:
*._-!?,*. „.__!?
с dt
Я,
Ня
= — e
x=0	С
x = a
-ikz
с dt
7ГП
COS
y=0
y=b
IUJ _., 7171
_ 	 e ikz gm
0
ж sin
ж cos
д
Js
0
7ГТП
~ь~у'
7ТГП
b У'
д
~d~z
nez

a
тгт
b
x=0
x = a
y=0
с dndt '
y
y=b

232
Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Таким образом, имеется скачок тангенциальных составляющих маг-
магнитного поля у границы. Величина скачка определяет плотность по-
поверхностного тока в направлении оси волновода.
Для Н-волн рассмотрим распределение поля в случае волны наи-
наиболее простого типа, т. е. при п = 1, т = 0. В этом случае
7Г
iJ/10 = cos — х
а
и, следовательно,
Hz =
d2Uzr
dz2
С2
ikz	ш	,9	'»	ikz
с2	а
rr	d2Uzrn	. 7Г	7Г _ik
Hx = q q = г* sin - ж • - e ,
oxoz	a a
Hy =
d2UZ7
dydz
= i/u-
dy
= 0,
7
0
с
i
д
дх
0
3
д
ду
0
Е
к
д
ILzm
'х U,
— о
Еу
— ъ
с
dUzm
дх
СО	7Г 7Г
—г— sin — х— е
с а а
-ik
У электрического поля имеется только одна составляющая Еу, так
что силовые линии электрического поля идут параллельно оси у, инду-
индуцируя на верхнем и нижнем основаниях волновода противоположные
по знаку заряды (рис.52). Эти заряды равны по величине, поскольку
х=0
(Еп=4тга).
Магнитное поле образует замкнутые силовые линии, окружающие
вертикальные токи электрического смещения. На стенках отлична
от нуля только продольная составляющая магнитного поля, индуци-
индуцирующая поверхностную плотность тока, циркулирующего только по
периферии сечения проводника. Токи вдоль волновода отсутствуют,
так как Нх = 0 у стенок, а Ну равно нулю всюду.

§ 5. Распространение направленных продольно-поперечных волн 233
Волновод круглого сечения. Для волновода круглого сечения
исходные уравнения для обоих типов волн имеют вид
{ ио2	\
АгФе + ( —- - к2 ) Фе = 0, Фе = 0 на границе,
\с2	)
п — п — \bp~ikz-
iie — и^е — ^е	5
АгФт + ( ^- - к2 ) Фт = 0, -^ = 0 на границе,
\сЛ	J	on
П_ гт — \\jp~ikz
Задачу удобно решать в цилиндрической системе координат ги^,
в которой двухмерный оператор Лапласа имеет вид
А - — -— — —
Qr2 r Qr r2 Q^2
Уравнение
имеет решение с разделяющимися переменными:
Подстановка дает для Ф уравнение:
Чтобы интеграл этого уравнения учитывал периодичность решения:
долж:но быть
что имеет место, если п — произвольное целое число.
Для радиальной функции получаем бесселево уравнение:
d2R I dR п2 п (и2
+	R+\
I dR п п (и 72 . п
dr2 r dr r2	\ с2
Это уравнение, как известно из математики, имеет решение, выража-
выражающееся через цилиндрические функции порядка п:
R = AJn U^ - кЛ + BNn U^ - кА ,
где J — функция Бесселя и N — функция Неймана.
Так как при г —> 0 функция N стремится к бесконечности, то для
нашей задачи необходимо положить В = 0.

234	Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Таким образом, решение для Ф в обоих случаях имеет вид
Ф(г, <р) = AJn
= acos(mp + b)Jn
Граничные условия здесь следующие:
С \ IT/
Они приводят к условиям:
= 0,
= 0.
г=а
со2
/СО	\
Jn [ а\/ — — k2 \ =0 (для Е-волн),
с	/
со2	\
J'n I а\1 — — k2 I =0 (для Н-волн).
Функция Бесселя Jn(x) имеет бесчисленное число значений ж, при
которых она или ее производная становится равной нулю; эти кор-
корни приводят к дисперсионному уравнению, связывающему частоту ио
и волновое число к.
Если iyni есть 1-й корень бесселевой функции порядка п, то диспер-
дисперсионное уравнение для Е-волн имеет вид
а\/ — - к* = vni или
с2
для Н-волн аналогично имеем:
где и'п1 — корень уравнения Jfn(x) = 0. Целое число п определяет
собственную функцию, зависящую от угла (р и, следовательно, измене-
изменение поля вдоль окружности, целое число / — радиальную собственную
функцию и, следовательно, изменение поля по радиусу.
Наименьшее значение частоты соответствует первому корню
функции Бесселя нулевого порядка, равному 2,405. Корни уравнения
Jfn(x) = 0 лежат выше соответствующих корней Jn(x) = 0; поэтому
?/01~волна имеет наименьшую частоту из всех возможных Е-волн
в волноводе. Наименьший корень Jfn(x) = 0 имеет место при п = 1,
/ = 1; он равен 1,84; поэтому Нц имеет наименьшую критическую
частоту из всех возможных Н-волн.

§ 5. Распространение направленных продольно-поперечных волн 235
Для Е-волн простейшую структуру имеет волна с п = 0 и / = 1.
Для нее имеем:
or
Ez =
д2П
dz2
= k2e~ikz4f = -к2 a cos bJo \r\ — - к2
Поле такой волны не зависит от угла (р. Электрические силовые линии
в плоскости сечения направлены по радиусам, выходя из плоскости
сечения в окрестности центра. Магнитные силовые линии целиком
расположены в плоскостях сечения и направлены по окружностям
(рис.53).
Электрические силовые линии
(волны Eoi)
Магнитные
силовые линии
Для Н-волны с п = 0 и / =
.и 1 дПт
Рис. 53
1 имеем:
_
— г
с г д(р
— U,
1 дПш
r or
_ ш_ ikz
	 1С.	Uq I	/
UJ
lt _ i z	k2 I TT - I ^~
^-ikz ii
R '
Ez =0, Н(р = О,
где z/qi ~~ наименьший корень уравнения Jq(x) = 0 (x = 3,83). Здесь
поле также не зависит от угла if. Магнитные силовые линии в плос-
плоскости сечения направлены по радиусам, выходя, однако, из плоскости
сечения при перемещении к границе проводника, а также к центру
трубы. Составляющая Hz у стенок трубы имеет конечное значение
'3,83
Электрические силовые линии направлены по окружностям и распо-
расположены только в плоскостях сечения (рис.54). В этом случае индуци-

236
Гл. VIII. Распространение электромагнитных волн
Линии Н
Линии Е
Рис. 54
рованных зарядов на стенке не возникает, однако органическая связь
со стенками поля не нарушается, так как существуют поверхностные
токи.