у\. А. ВАМНШТЕЙМ
ТЕОРИ Я
ДИФФРАКЦИ И
И М ЕТОД
Фа кто р и за ц и и
ИЗДАТЕЛЬСХВО
«советское
«VI ООКВА* I96G

УДК 621.371.167:621.372.81
Книга представляет собой монографию, посвя-
посвященную теории диффракционных явлений в волново-
волноводах. Она написана на основании работ автора, в
которых с помощью метода факторизации (метода
Винера — Хопфа — Фока) и его обобщений получены
строгие решения ряда диффракционных задач, отно-
относящихся к волноводам; в ней отражены также ре-
результаты, полученные другими авторами.
Книга предназначена для научных работников—
физиков и радиоинженеров, а также студентов стар-
старших курсов и аспирантов, специализирующихся по
электродинамике сверхвысоких частот. Часть книги
представляет интерес для специалистов по акустике.
3—4—1
£-66

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга состоит из двух частей. Первая часть является
в сущности вторым изданием книги «Диффракция электромаг-
электромагнитных и звуковых волн на открытом конце волновода», вы-
вышедшей в 1953 г. Математический метод, развитый в этой книге
и .позволивший получить строгие решения, был применен также
к ряду других задач, имеющих физический и технический инте-
интерес и по своему характеру примыкающих к задаче о диффрак-
ции волн на открытом конце волновода. Этим задачам посвяще-
посвящена вторая часть книги, в которую включены также некоторые
результаты, полученные с помощью приближенных методов.
Более детальное представление о содержании книги дает
введение к каждой части и оглавление. В конце каждой главы
приведены задачи (с решениями), облегчающие проработку
основного текста и дополняющие его; в частности, ряд задач
посвящен расчету открытых резонаторов простейшей формы.
В конце книги помещен краткий обзор работ, на основании ко-
которых написана данная книга.
Я пользуюсь возможностью выразить здесь свою благодар-
благодарность М. А. Леонтовичу и В. А. Фоку за интерес к моим рабо-
работам, результаты которых вошли в эту книгу, и за советы при
их проведении.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДИФФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И
ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА ОТКРЫТОМ
КОНЦЕ ВОЛНОВОДА

О ВОЛНОВОДНЫХ ДИФФРАКЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
Первая часть этой книги посвящена диффракции электромаг-
электромагнитных и звуковых волн на открытом конце волновода: получено
строгое решение задач о плоском и круглом волноводах с от-
открытым концом, причем рассмотрены все возможные типы элек-
электромагнитных и звуковых волн.
Задачи о диффракции электромагнитных волн в волноводах
принадлежат к кругу диффракционных проблем, постановка
которых вызвана развитием радиотехники сантиметровых волн.
Большинство этих проблем имеет качественные особенности,
отличающие их от диффракционных задач оптики. К числу осо-
особенностей волновода как излучающей системы относятся соиз-
соизмеримость размеров излучающего отверстия с длиной волны,
а также сложность структуры электромагнитной волны, испыты-
испытывающей диффракцию на открытом конце волновода. Эта слож-
сложность обусловлена тем, что волна приходит к концу волновода,
распространяясь внутри него. С помощью точного решения уда-
удается выяснить, как эти особенности влияют на диффракционное
поле.
Диффракционные задачи, рассматриваемые в данной книге,
заслуживают внимания прежде всего потому, что волноводы
широко используются «как для -передачи, так и для излучения
радиоволн. Однако эти задачи представляют и более общий
интерес. Отмеченные выше особенности волноводов как диф-
диффракционных систем характерны для ряда других радиотехни-
радиотехнических устройств, в частности для рупорных антенн, строгая
теория которых в настоящее время отсутствует. Так как рупор
можно рассматривать как волновод с постепенно расширяющим-
расширяющимся поперечным сечением, то многие результаты и выводы стро-
строгой теории могут быть перенесены, по крайней мере качествен-
качественно, с волноводов на рупоры.
Заметим также, что в рамках рассматриваемых нами диф-
диффракционных задач весьма просто решается ряд вопросов,
имеющих значение для общей теории диффракции, например
вопросы об излучении из больших отверстий, о пределах при-
применимости «принципа Гюйгенса» и т. д.
Метод, применяемый Для решения поставленных задач,
в простейшем случае заключается в сведении задачи к инте-
7

тральному уравнению для поверхностной плотности тока на
стенке волновода. Это интегральное уравнение решается в квад-
квадратурах. В других случаях приходится решать не интегральное,
а интегро-дифференциальное или функциональное уравнение,
или систему таких уравнений. Таким образом, метод развит,
в сущности, для решения граничных задач электродинамики.
Однако этот метод после небольшой модификации позволяет
также получить точное решение соответствующей граничной
задачи акустики, а именно задачи о звуковых колебаниях в от-
открытых трубах. Это решение также приведено. Оно позволило
произвести точный расчет открытых акустических резонаторов,
в дальнейшем с помощью полученных решений удалось рассчи-
рассчитать открытые резонаторы для электромагнитных волн.
Этот же метод во второй части данной книги будет 'применен
к ряду других диффракционных задач, относящихся к волно-
волноводам.

ГЛАВА I
ПЛОСКИЙ ВОЛНОВОД
§ 1. Постановка задачи. Сведение задачи к интегральному
(или интегро-дифференциальному) уравнению
Рассмотрим плоский волновод с открытым концом, состоя-
состоящий из двух полубесконечных тонких пластин у=±а, z>0
(рис. 1). Пластины будем считать идеально проводящими и на-
настолько тонкими, что их толщиной можно пренебречь. Зависи-
Зависимость от времени берем в виде e~Llot (o=ck). Электромагнитное
поле в любой точке пространства может быть вычислено с по-
помощью векторного потенциала
Г
/'2а
Рис.
Плоский волновод с от-
открытым концом.
Здесь интегрирование производится
по обеим пластинам и j означает
поверхностную плотность тока, при-
причем можно не различать токов, те-
текущих по обеим сторонам одной и
той же пластины, и под j понимать
суммарную плотность тока.
В бесконечном плоском волноводе могут распространяться
волны, поля которых не зависят от координаты х (двухмерное
электромагнитное поле). Их можно разделить на четыре типа
е зависимости от направления вектора поверхностной плотности
тока, имеющего компоненты /х(а, z), /г(а, г) на верхней
и jx{—#, z)> jz(—#, г} на нижней пластинах волновода:
1. /х(а, z)=jx(— а, z), /z=0—волны Я01, Яоз,..
2. Л (а, z)=—jx(—a, г), /z=0—волны Я02, Я04,..
3. /2(а, z)~jz(—a^z), /я=0—волны Ео1, /Г08,...
4 1 (/у />'\- / / /у /у\ 1 О Rf> TTT-IT^T Р Р
магнит-
магнитные
элект-
электрические

У волн первых двух типов отличны от нуля составляющие
Ех, Ну, Нг, а у волн последних двух типов — составляющие
Подходя к открытому концу, распространяющаяся волна со-
сохраняет соответствующую ей симметрию распределения тока,
поэтому среди отраженных волн присутствуют волны только
того же типа.
Для волн 1-го типа, обозначая
jx(a,z) = f(z), A.02)
в силу соотношения
— 00
получаем
о
i д/П)
A.04)
Для полей имеем выражения
Ex=lkAX9 Hy = d~§~,Hz=:-d^-. A.05)
Граничное условие
Ех = 0 при у = ±а% z >0
приводит к интегральному уравнению для / (г)
со
\ J [Н^ (k | z - С |) + Я1" (Л 1/^ + (г-СJ)] / (С) dC - 0 (при 2>0),
О
где d = 2a — расстояние между пластинами.
Это уравнение может быть записано в виде
J/ (г — С)/(С) rfC = 0 (при z>0), A.06)
о
где l(z — С) — ядро, являющееся четной функцией разности z—С.
При решении интегрального уравнения A.06) основное значе-
значение имеет функция
L(w)= I eiwzl(z)dz, A.07)
—-00
10

получаемая преобразованием Фурье ядра l(z). Для волн 1-го типа
и
L(w)= l +*iVd , A.09)
где
v = yk2 — ад3; Imt;>0. A.10)
При вычислении функции A.09) мы пользовались соотношением
Для волн 2-го типа получаем интегральное уравнение того же
вида A.06), причем функция f(z) определена формулой A.02),
A.12)
В случае электрических волн обозначаем
}г{а, z) = f(z) A.13)
и получаем выражение для Аг в виде% аналогичном A.04), и поля
Граничное условие
=±а, z>0
приводит, в отличие от магнитных волн, к интегро-дифферен-
циальному уравнению для тока. Это интегро-дифференциальное
уравнение имеет вид
'/(*-С)/(С)Л=О (при^>0), A.15)
причем для волн 3-го типа функция l(z) дается формулой
A.06), а для волн 4-го типа — формулой A.11). Оператор
-^-j-fe2 в нашем случае нельзя вносить под знак интеграла,
И

поэтому интегро-дифференциальное уравнение iA.15) не может
быть сведено к интегральному уравнению вида A.06). Заметим,
однако, что метод решения уравнения A.15) вполне аналогичен
методу решения уравнения A.06).
Для электрических волн решение интегро-дифференциально-
интегро-дифференциального уравнения должно удовлетворять условию
/(+0)=0, A.16)
выражающему исчезновение составляющей \г полной плотности
тока на краю пластин *.
Заметим, что после фактического определения суммарной
плотности тока f,(z) можно определить векторный потенциал
и магнитное поле в любой точке пространства и, в частности,
тангенциальные составляющие магнитного поля на внутренней
и внешней сторонах стенок волновода. Последние позволяют
определить плотность тока на каждой стороне пластин (см. § 6).
§ 2. Исследование интегрального и интегро-дифференциального
уравнений
Начнем с магнитных волн. Для них задача сведена к инте-
интегральному уравнению A.06). Если бы мы имели не полубеско-
полубесконечный волновод, а волновод, бесконечный в обе стороны, то
пределы интегрирования в уравнении A.15) были бы — оо
и оо и возможные решения имели вид
f(z) = Ae±iWn*> . B.01)
где Л — произвольная постоянная, a wn — корень уравнения
1(ад)=|0. B.02)
Числа ±wn суть, очевидно, волновые числа волн данного типа
(распространяющихся и затухающих), могущих существовать
в бесконечном волноводе. В дальнейшем для волн всех типов
будем обозначать через wn волновые числа, соответствующие
распространению и затуханию в направлении +z, тогда волно-
волновые числа —wn будут соответствовать волнам, распространяю-
распространяющимся и затухающим в направлении —£.
При решении интегрального уравнения будем считать k
имеющим исчезающе малую положительную мнимую часть;
к пределу Im& = 0 перейдем только в окончательных формулах.
Тогда разрезы функций L(w), вычисленных для волн 1-го и 2-го
* Невыполнение условия AЛ6) означало бы наличие линейного заряда
на краю, что привело бы к бесконечно большой энергии поля в конечном
объеме (у края); в силу условия A.16) эта энергия конечна (см. задачу 3).
1.2

типа в § 1, расположены в плоскости комплексного перемен-
переменного w на кривых, Imy=O [см. формулу (НЛО)], и на них .нахо-
.находятся корни wu дог,.» (на разрезе k—+ioo) и корни —wu —Дог,—
(на разрезе —к —►—ioo) уравнения B.02), являющиеся волно-
волновыми числами волн в беско-
бесконечном волноводе. Эти разре-
разрезы схематически изображены
на рис. 2.
Теория интегральных урав-
уравнений того же вида, что и
A.06), дана Винером и Хоп-
фом [2] (см. также [3, 4]) и с
более общей точки зрения —
Фоком i[l]. Она может быть
применена к решению уравне-
уравнения A.06) после небольшой мо-
модификации, необходимость ко-
которой вызывается тем, что
уравнение A.06) первого ро-
рода (в то время как в указан-
указанных работах рассматривались только интегральные уравнения
второго рсда), а нули функции L(w) располагаются на ее раз-
разрезах.
Обозначим через h одно из чисел wu w&, ..., переходящих
в пределе при Imfe = 0 в вещественное положительное число.
Пусть по направлению к открытому концу в волноводе распро-
распространяется волна с волновым числом —h. В этом случае пол-
полный ток f(z) следует искать в виде
B.03)
Рис. 2. Плоскость комплексного пе-
переменного.
где первое слагаемое, соответствующее „падающей" волне тока
с амплитудой Л, при г—► оо стремится (если Im&>0) к бес-
бесконечности (так как Imft]>0), в то время как второе слагаемое
соответствует току, образующемуся в результате действия от-
открытого конца на падающую волну; второе слагаемое, очевидно,
должно исчезать при z~~> оо и разлагаться в обычный интеграл
Фурье
f(z)= С eiwZF(w)dw.
B.04)
Если выполняется требование:
I. Функция F (w) голоморфна в нижней полуплоскости Im^<
всюду, за исключением точки w = —ft, где она имеет
простой полюс с вычетом, равным Л, причем в нижней пло-
плоскости функция F(w) стремится равномерно к нулю при |ш|—♦
13

—+оо, то, применяя лемму Жордана [5] к интегралу B.04) при
2<0, получим
7(z) = — Ae~ihz B.05)
или по формуле B.03)
/(г)=0 (при z<0). B.06)
Искомая функция f(z) действительно должна удовлетворять
соотношению B.06), так как плотность тока отлична от нуля
только при г > 0, где расположены стенки волновода.
Учитывая соотношение B.06), можно написать
и если в правую часть этой формулы вместо функции / (г) под-
подставить ее выражение B.03), то первое слагаемое Ae~ihz даст
нуль, так как —h есть корень уравнения B.02), а вместо вто-
второго слагаемого f(z) можно подставить его выражение в виде
интеграла Фурье B.04). Перемена порядка интегрирования при-
приводит к соотношению
j= J eiw*L(w)F(w)dw, B.07)
6 —00
из которого видно, что выражение B.04) удовлетворяет урав-
уравнению A.06) при z>0, если выполняется требование:
II. Функция L(w)F(w) голоморфна в верхней полуплоскости
1тш^0 и стремится в этой полуплоскости равномерно к нулю
при |до|—*оо.
Следовательно, задача свелась к нахождению такой функ-
функции F(w)j при которой выполнялись бы требования I и II;
найдя ее, мы сразу с помощью формул B.03) и B.04) получаем
функцию f(z)j удовлетворяющую условию B.06).
Рассмотрим теперь электрические волны. Для них задача
сведена к интегро-дифференциальному уравнению A.15). Воз-
Возможные решения для бескЬнечного волновода имеют по-преж-
по-прежнему вид B.01), где волновые числа ±wn суть корни уравнения
вида B.02), но функция L(w) имеет другой вид. Она связана
с функцией l(z) в уравнении A.15) соотношением
L(w) = {k2 — w2) J eiwzl(z)dz, B.08)
—00
так что для волн 3-го типа
w(l + &d), B.09)
а для волн 4-го типа
L{w)=v{\—eivd). B.10)
14

Для электрических волн мы также ищем такую функцию
/(г), при которой имели бы место соотношения B.03) и B.06).
Тогда с помощью новых функций L(w) левую часть интегро-
дифференциального уравнения A.16) можно преобразовать
к виду, подобному B.07),
ОО
= f eiwZL(w)F(w)dw. B.11)
Во всех случаях поставленная в § 1 задача может быть
сведена к построению функции F{w), позволяющей вычислить
плотность тока по формуле B.04) и удовлетворяющей функцио-
функциональным уравнениям
00
J e*»*F(w)dw= — Ae~ihz (z<0) B.12)
)dw=0 (z>0). B.13)
Для магнитных волн функция L(w) определяется формулами
A.09) и A.12), а для электрических — формулами B.09) и
B.10). При этом функциональное уравнение B.1,2) есть просто
переписанное с помощью интеграла Фурье B.04) условие отсут-
отсутствия тока при z<0 [см. формулу B.05) или B.06)], а функцио-
функциональное уравнение B.13) эквивалентно (при выполнении пре-
предыдущего соотношения) соответствующему интегральному или
интегро-дифференциальному уравнению для тока.
Если нам удастся найти функцию F{w), отвечающую требо-
требованиям I и II, то она тем самым будет удовлетворять уравне-
уравнениям B.12) и B.13).
Определение функции F(w) производится из следующих
соображений. Пусть известно разбиение данной функции L(w)
на множители (факторизация):
L{w) =iw2—h2)L+{w)L-{w), B.14)
где L+(w)—функция, голоморфная в верхней полуплоскости
imw^O и не имеющая там нулей, a L-(w) — функция, удовлет-
удовлетворяющая тем же условиям в нижней полуплоскости 1пш<0.
Тогда естественно взять
KL+ {w) B 15)
F(w)—
L{w)
где постоянная К выбирается так, чтобы амплитуда тока
падающей волны равнялась А [формула B.03)], и мы получаем
L{w)F(w)=KL+(w). B.16)
15

В этом случае требования I и II в отношении голоморфности
функций F(w) и L(w)F(w) на соответствующих полуплоско-
полуплоскостях удовлетворяются, но их поведение при \w\—>oo нуждается
в специальном рассмотрении, которое целесообразно провести
вместе с вычислением L+(w) и L-(w).
Так как функция A.10) легко разбивается на множители:
v= /кш — w9 =/k + wyk^wf B.17)
голоморфные соответственно на верхней Aпш>0) и на ниж-
нижней (Im^<0) половинах плоскости комплексного переменного
wf то основной задачей является разбиение (факторизация)
функции
B.18)
(для волн 1-го и 3-го типа) и
• B.19)
(для волн 2-го и 4-го типа) на множители так, чтобы |+
и <p+(w) были голоморфны и не имели нулей в толу-плоскости
ImoJ^O, а я|)_(ш) и <р_(до) обладали теми же свойствами в по-
полуплоскости 1пш<0. После этого определение L+(w) и L-(w)
в формуле B.14) не представляет труда (см. ниже).
Вычисление вспомогательных функций я|э+(до), if>_(oy),
Ф+(ш), <р_(а>), входящих в разбиения B.18) и B.19), будет
дано в следующем параграфе. Эти функции дают возможность
построить функцию F(w), удовлетворяющую поставленным
выше условиям, и таким образом получить искомое решение
задачи. Однако перед тем как перейти к получению и исследо-
исследованию решения, отметим кратко иные пути подхода к решению
интересующего нас круга проблем.
Прежде всего отметим, что полная плотность тока f{z) при
выполнении требования I может быть записана в виде контур-
контурного интеграла
$, B.20)
где С есть контур, изображенный на рис. 2 и состоящий из
вещественной оси и бесконечно узкой петли, охватывающей
точку w — —h.
Интеграл по этой петле дает как раз первое слагаемое в вы-
выражении B.03), соответствующее току набегающей волны,
Л.
а интеграл по вещественной оси — второе слагаемое f(z).
В виде модифицированного интеграла Фурье B.20) можно
искать не только поверхностную плотность тока, но также и
16

векторный потенциал и напряженность электрического и маг-
магнитного поля в каждой точке пространства. Таким образом мы
приходим к следующим функциональным уравнениям для
функции F(w):
^ eiwZF (w) dw = 0 (z<0). B.21)
с
f eiwZL (w) F (w) dw = 0 (z > 0). B.22)
с
Первое из этих уравнений есть не что иное, как условие B.06),
а второе получается приравниванием нулю тангенциальной
составляющей электрического поля на стенке волновода. Этот
метод подхода к задачам будет подробно рассмотрен в гл. Ill
и IV в связи с его применением к круглому волноводу. Заме-
Заметим только, что уравнения B.21) и B.22) только формой записи
отличаются от уравнений B.12) и B.13) и полностью им экви1
валентны.
Также интересно отметить, что рассматриваемый круг задач
имеет непосредственное отношение к так называемой задаче
Гильберта в теории сингулярных интегральных уравнений [6J.
В самом деле, требования I и II означают, что если в верхней
полуплоскости Irriay>0 определить функцию Ф(т) с помощью
формулы
<&{w)=<L(w)F{w), B.23)
а в нижней полуплоскости 1ггш<0 — с помощью формулы
^ B-24)
то $){w) будет в соответствующих полуплоскостях голоморфной
функцией, причем на вещественной оси 1тш = 0 функция ф(ш)
имеет различные граничные значения в зависимости от того,
приближаемся мы к вещественной оси сверху или снизу.
Обозначая граничные значения функции ф сверху через
а снизу — через Ф~(ш), получаем соотношение
Ф+И=1(а>)[ф-(а>)+ 2л/(^ + й)] (при 1ша>=0), B.25)
приводящее к задаче Гильберта для кусочно-голоморфной
функции ф(ш).
Связь функциональных уравнений B.12) и B.13) с задачей
Гильберта можно показать более непосредственным образом.
А именно, умножим соотношение B.12) на e~iuz (при 1ггш>0)
и проинтегрируем от —оо до 0, а соотношение B.13) умножим
2-75 17

на e~~iuz (при 1тщ<0) и проинтегрируем в пределах от 0 до оо.
Изменяя порядок интегрирования, получим соотношения
f F{w)-u =1^Гн ("Ри 1ти>0), B.26)
—00
Г L(w)F(w)dw п , т .т /Ооп
J wla = ° (ПРИ 1ти<0). B.2/>
—оо
Определим кусочно-голоморфную функцию Ф(^) формулами
— (при Imw>0), B.28)
B.29)
тогда в силу соотношений B.26) и B.27) граничные значения
функции ф(т) на вещественной оси 1тдо=0 равны
B.30)
B.31)
_,
что опять приводит к задаче Гильберта B.25).
В дальнейшем мы не будем использовать связь проблем, рас-
рассмотренных в этой книге, с задачей Гильберта и ограничимся
указанием на существование этой связи.
§ 3. Вычисление вспомогательных функций
В этом параграфе мы вычислим вспомогательные функции,
входящие в формулы B.18) и B.19). Займемся сначала функцией
<|>(до). Она голоморфна в полосе —ko<lmw<kOi где
0< fe0 <: Im^, и не имеет в этой полосе нулей. Поэтому мы обо-
обозначаем (ср. [1], стр. 9—10)х(^) = 1пф(ш) и раскладываем х(ш)
на сумму:
+ И, C.01)
так, чтобы x+(w) была голоморфна при 1тш> — kQJ a X-(w)—
при lmw<k0. При этом в выражении для функции x(w) ветвь
логарифма выбирается таким образом, что при | w \ —> сю в пре-
пределах полосы —ko<lmw<ko функция х(ш) стремится к нулю.
Так как ф (w) есть четная функция,
ФИ = ф(-ш), C.02)
обращающаяся в единицу при Re ^ —^dzoo, то такой выбор
ветви логарифма возможен.
18

Одно из возможных разложений функции x(w) на сумму C.01)
производится с помощью формул (см. [1], стр. 7)
у ч If У (^) ^до / \ 1 f X (w) dw
*•+v ' 2ni. J ш —tt > A"v 7 2л/ J w — ti'
—ik0—oo ik0—oo
Вспомогательные функции
ф+ (w) = e1+ w , ф_(до) = ех" ^ , C.04)
получаемые с помощью соотношений C,03), обладают следую-
следующими свойствами: произведение их дает функцию ф(ш) [форму-
[формула B.18)], между ними существует связь
ф_ (до)= ф+ (—w) C.05)
и каждая из них стремится к единице на бесконечности в той
полуплоскости, где она голоморфна, т. е. функция ф+ — в по-
полуплоскости Imw^z — £0, а функция ф_ — в полуплоскости
lmw<kQ. В этих же полуплоскостях соответствующие функ-
функции не имеют нулей. Как раз такие функции оказываются нуж-
нужными для построения решения нашей задачи.
Преобразуем формулы C.03). Введем безразмерные перемен-
переменные
, wd , ad f vd /о л^
и параметр
а = —=4-, C.07)
где Я — длина волны в свободном пространстве, соответствую-
соответствующая частоте u> = ck\ тогда, например,
ik'o+cc ^ i к' о+оо
<**- 1 С dw' dm, Г e«w ш,^,
:- = L Г ^ш' dw' _ Г
^ 2« J ~(и>'-«')= J
ik'0—Qo ikf0—oo
ut kod
где A 0 = 2^-.
Деформируя путь интегрирования так, чтобы он охватил
верхний разрез подынтегральной функции, разбиваем интеграл*
* Можно показать (доказательство аналогично доказательству леммы
Жордана [5]), что интегралам .по полуокружности достаточно большого ра-
dx-
диуса, опирающейся на первоначальный путь интегрирования для « ,
можно пренебречь, по крайней мере, если эта полуокружность не проходит
dx~
через полюс подынтегральной функции для j • Тогда законность преоб-
разования -^ к виду C.08) вытекает из того, что исходный интеграл мож-
можно рассматривать как предел интеграла от iko—V до iko+V, где V стре-
стремится к бесконечности, пробегая дискретную совокупность значений.
2* 19

на сумму вычетов относительно полюсов, расположенных в ну-
нулях функции ф (uj), т. е. при wr =="{п==-~-9 где
(ImYn>0)
C.08)
и сумму главных значений интегралов по разрезу, распростра-
распространенных от wn_1 до wn (считая wo — k),
da'
п=\
J<* wdw
v (w — и)
C.09)
Интеграл (в котором нужно считать Re v > 0) легко берется
с помощью подстановки
w = ksint, v = k cost, w = &sina, C.10)
а именно:
Г wdw С sinzdx , . Г dz
J v (w — и) ^Jsinx — sin о * J sin ^ —sin о
sin
= T 4- tg о In
cos—2~-
Интегрированию по нижней стороне разреза k—+ioo в пло-
плоскости w соответствует интегрирование от ~ до /оо в пло-
плоскости т, причем точка а находится под путем интегрирования;
поэтому
/оо
1
sin т — sin a " cos о
In.
sin
к/2 COS "
COS О
ln(/ei0) —lnl]=i
Выбор ветви логарифмической функции проверяется вычислением
значения интеграла при ar=0; в этом случае путь интегрирова-
интегрирования проводим по вещественной (от ъ = --£~ До т;=0) и мнимой
(от т = 0 до т = /оо) осям (интегралы по ним взаимно уничто-
уничтожаются), огибая точку т = 0 по четверти окружности, интеграл
по которой дает четверть вычета, т, е. г-|~-
20

Подставляя вычисленные интегралы в C.09),
da' —
или после интегрирования
-j- ty Г (-^- +*Л cos z — sin il -[- const, C.12)
где in определяются соотношениями
n = Yn, %=-^-- C.13)
Окончательно получаем для ф+ и ф_ следующие выражения
в виде бесконечных произведений:
ft
ft
C.14)
где
; т cosi-fsini, М_ (т) = ( -^- -]- т) cos т — sin т,
У V z /
C.15)
а остальные обозначения объяснены в формулах C.06), C.07),
C.08), C.10) и C.13).
Функции %+ и %-, определяемые формулами C.03) однознач-
однозначно, обращаются на бесконечности в нуль, а функции г|)+ и я|х_,
определяемые также однозначно формулами C.04), обращаются
на бесконечности в единицу. Однако при преобразованиях полу-
получилась для %+ и х- неопределенная аддитивная постоянная [см.
формулу C.12)], следовательно, для функций гр+ и ч|)_ — неопре-
неопределенная мультипликативная постоянная. Значение мультипли-
мультипликативной постоянной может быть определено из соотношений
B.18) и C.05) [что и сделано при выводе формул C.14)], но
только с точностью до множителя ±1; нахождение этого мно-
множителя, т. е. уточнение знака квадратного корня в C.14), не
представляет интереса, так как все физические величины оказы-
оказываются не зависящими от выбора этого знака.
21

Принимая во внимание разложение в бесконечное произве-
произведение
1
легко проверить непосредственно, что функции C.14) удовлет-
удовлетворяют соотношению B.18). Отсутствие нулей и голоморфность
в соответствующих полуплоскостях также видны непосредст-
непосредст\\
oc
венно, однако заключение о поведении функции при \w\
можно сделать только на основании общей теоремы (см. [1],
стр. 7).
Аналогично для ф+(до) и ф_(до) имеют место выражения
в виде бесконечных произведений
X
n=l
)—У ~
iqM_ (г)
w)a e X
C.16)
ХЩ1-^
где обозначения те же, что и в C.14), однако у„, соответ-
соответствующие нулям функции <р(до), в отличие от C.08), равны
Так как
п>0, /г=1, 2,...).
C.17)
. vd vd sinGij) ГЦ /1
a;'2
Я=1
то соотношение B.19), а также голоморфность и отсутствие
нулей у функций C.16) в соответствующих полуплоскостях
проверяются непосредственно. Стремление их в соответствующих
полуплоскостях к ml при |до|—+оо следует из общей теоремы.
В окончательных формулах будем считать k и q вещест-
вещественными. Представление функций ф+, ф_, 9+ и ?- в виде бес-
бесконечных произведений имеет то преимущество, что при ве-
вещественных значениях w, заключенных в пределах
C.18)
22

выражения для абсолютных величин этих функций получаются
в замкнутом виде. Например, при— <<7<-|-, когда все у„,
кроме Yn чисто мнимы, т. е. может распространяться одна
волна 1-го или 3-го типа, имеем
C-19)
где А = —Yj — волновое число распространяющейся волны.
Аналогично при 1 < q < 2 получаем
—WW—
C.20)
где A = -^-y1 [формула C.17)], и при 0<<7<1
Wo, \
C.21)
С помощью функций 4ч, 4-, Ф+ и ф- не представляет труда
разбить рассмотренные выше функции L(w) на сомножители,
как в формуле B.14).
§ 4. Выражение для плотности тока
Исследуем выражение, получающееся для тока при решении
интегрального или интегро-дифференциального уравнения. Не
конкретизируя типа волны, предположим лишь, что разбиение
функции L(w)y определяемой формулами A.07) или B.08), на
множители B.14) известно. При этом, поскольку l(z)=l(—z)f
будем иметь L(w)=L(—w) и можно считать L+ и L_ выбран-
выбранными таким образом, что
L+{w)=L-(—w). D.01)
Функции L+ и L_ для волн различных типов будут в явном
виде приведены в § 5 и 6.
23

Решение интегрального уравнения дает формула B.04),
причем F(w) следует взять в виде |[см. формулу B.15)]
F(w)— — -2()
Здесь —h есть волновое число набегающей волны, т. е. волны,
распространяющейся внутри волновода по направлению к от-
открытому концу [формула B.03)]. Иначе говоря, h есть одно из
волновых чисел wn [формула B.01)]; будем считать, что набе-
набегающая волна имеет индекс /:
h = wi. D.03)
Деформируя путь интегрирования в интеграле B.04) наверх,
преобразуем интеграл B.04) к сумме вычетов относительно
полюсов wn и в интеграл по разрезу, который целесообразно
провести от точки w = k параллельно мнимой оси. Тогда1 для
плотности тока f(z) получаем по формуле B.03) выражение
D.04)
Здесь
Q (A
Ri n=- о 2hL+(h) {1фп)\ D.06)
^L^^. D.07)
Контур С\ для интеграла Q показан на рис. 2. Суммирование
в D.04) распространено по всем волнам данного типа, сущест-
существующим в бесконечном плоском волноводе. В их число для волн
4-го типа следует включить Еоо\ интеграл по контуру Cj в этом
случае надо понимать в смысле главного значения.
Выражение D.04) принимает простой вид на больших рас-
расстояниях от открытого конца волновода, где можно пренебречь
всеми затухающими волнами (чисто мнимые wn), а также сла-
слагаемым Q, убывающим обратно пропорционально некоторой
степени г (мы уже считаем Im&=0). Здесь выражение для тока
сводится к сумме падающей и отраженной (с коэффициентом
отражения по току Ru) волн и идущих от открытого конца вол-
волновода незатухающих волн того же типа (если они существуют)
с амплитудами ARi,n и другими волновыми числами. Коэффи-
Коэффициент Ri,n можно назвать коэффициентом трансформации по
току 1-й волны данного типа в п-ю волну.
24

Интересно отметить поведение коэффициентов отражения
и всего выражения для тока при уменьшении частоты. Если ча-
частота стремится к критической частоте падающей волны, то
h—*0 и, как видно из D.05), /?м-»—1. Амплитуды отражен-
отраженных волн с другими волновыми числами при этом стремятся
к нулю [Ri,n~*0, см. формулу D.06)], а также стремится к ну-
нулю слагаемое Q, дающее, как мы увидим ниже, поверхностную
плотность тока, возбуждаемого набегающей волной на внешней
поверхности стенок волновода.
Таким образом, волна, распространяющаяся в волноводе по
направлению к его открытому концу при частоте, близкой
к критической, отражается почти полностью с коэффициентом
отражения по току, близким к —1. Излучение при этом исче-
зающе мало.
Здесь мы имеем обобщение известного положения теории
передающих линий. В самом деле, интегральные или интегро-
дифференциальные уравнения для тока, подобные написанным
выше, можно вывести не только для плоского волновода, но и
для круглого, а также для полубесконечной двухпроводной ли-
линии, и получить выражение для тока в форме D.04). Отмечен-
Отмеченные свойства коэффициентов отражения при стремлении часто-
частоты к критической будут иметь место и здесь; в частности, для
основной волны в двухпроводной линии, критическая частота
которой равна нулю, коэффициент отражения по току будет
равен —1, если частота достаточно мала. (Практически это озна-
означает, что длина волны должна быть велика по сравнению с по-
поперечными размерами линии (ср. § 44).
§ 5. Магнитные волны
Для волн 1-го типа функция L(w) определяется выражением.
A.09), Поэтому
* - /ф, (w) —/ф (ш)
L+(w)=-=±=- , I (w)= r — E.01)
+ Vk + w{w + h) Yk w(wh) ;
Аналогично, для волн 2-го типа функция L (w) имеет вид A.12)
и, следовательно,
Ы , (w) — iv (w)
^,L (aQ== —-• E.02)
В тех долуплоскостях, где L+(w) и L__(w) голоморфны, они
ведут себягпри \w\—>оо, как —щ> ибо функции ф+, ф1_,'?+ и
<р__ стремятся здесь к отличной от нуля постоянной (zbl). Поэ-
Поэтому, определяя F (w) согласно B.15) или D.02), будем име1ъ
~] при \w\—>op в нижней полуплоскости 1тЪ<0
1* J
25

и L (w) F(w) = 0(—щ-) при \w\—*oo в верхней полуплоскости
\ w J
1тш>0, так что требования I и II (§ 2) будут удовлетворены
полностью. Отметим, что оценка F(w) = O[—Г72/ ПРИ w-^zLoo
(на концах вещественной оси) приводит к тому, что интеграл
B.04) представляет разрывную функцию при z=0, так как он
при z = 0 не сходится равномерно. Поэтому полная плотность
тока f(z) терпит разрыв в точке z—0.
Коэффициенты отражения и трансформации различных волн
по току, определяемые формулами § 4, суть, вообще говоря,
комплексные числа. Положим
Rltn=: — \Ritn\eiQl'n E.03)
и назовем \Rit7l\ абсолютной величиной, a 0/,п — фазой соответ-
соответствующего коэффициента отражения или трансформации. Наи-
Наибольший интерес представляют абсолютные величины коэффи-
коэффициентов отражения и коэффициентов трансформации одних рас-
распространяющихся волн в другие. Интересно отметить, что для
этих абсолютных величин получаются простые выражения. Так,
при у<<7<-?г» когда из волн 1~г0 типа м°жет распростра-
распространяться только волна Но1 (а //вз, Н^ъ,... затухают), абсолютная
величина ее коэффициента отражения равна
E.04)
[см. формулы C.19) и D.05)]. Через у здесь и в дальнейшем бу-
будем обозначать безразмерное волновое число падающей волны,
На
равное y=—•
При 1<<7<2, когда из волн 2-го типа может распростра-
распространяться только волна //02, коэффициент отражения для нее ра-
равен
|#ы1 = е- (Y = Vf — !)• E.05)
Используя представление функций г|э+, ^-, ф+ и ф_ в виде
бесконечных произведений C.14) и C.16), нетрудно найти
в замкнутом виде выражения для \Ri,n\ [соотношения D.05) и
D.06)] в тех случаях, когда в волноводе может распространять-
распространяться несколько волн данного типа.
На рис. 3 и 4 дана зависимость \Ri,n\ (индексы / и п прини-
принимают значения 1 и 2) от параметра q для волн 1-го и 2-го типа.
26

При этом, например, на рис. 3 7?1>2 означает коэффициент транс-
трансформации волны Яо1 в волну Яоз (по току), а на рис. 4 — коэф-
коэффициент трансформации волны Я02 в волну Я04.
Для фаз QifU коэффициентов отражения и трансформации
получаются выражения в виде бесконечных рядов, которые бу-
будут исследованы в § 9.
0,5
0.8
0,6
OS
Ojt
0.3
42
Ф1
ufuo
006
005
0,03
A02
POt
008
fl DHK
UtUUO
OOQty
0,003
Ц002
0001
\
\
\
1,1
\
\
\
\
\
\
\
\
\—
Y\
\
\
\
\
\
\
>
\
\
\
\
\
\
f
^>
\
\
\
\
\
\
ч
\
4
V
1
\
\l
\
\
/f
\
\
\
\
\
V
\
\ \
\
tfi
2.0
Рис. З. Абсолютные величины коэффициентов отражения и трансформации
(по току) волн 1-го типа.
27

48
OR
Q3
12
(U
0Д8
ом
0,06
0,03
ом
6,0f
OJOS
HII I
L
1
\
\
\
\
1
1
\
A
\
V
у
\
\
\
\
\
\
s
и
\
\
\
\
\
\
ч
\*,
1
1
z
\
\
\
\
И-Л—
X
N >
ч
4
\
\
s
|
4
>
V Л
s
s
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
1
ч
\
1,5
2,0 .
2.5
Рис. 4. Абсолютные величины коэффициентов отражения и трансформации
(по току) волн 2-го типа.
Для вычисления векторного потенциала в точке у, г надо
в выражение A.04) подставить плотность тока f (z), определяе-
определяемую формулами B.03) и B.04). Используя тождество
Я(о!)
= 2
Jv \у+а\
28

изменением порядка интегрирования получаем для векторного
потенциала волн 1-го типа выражение
4- e '^ 1
р e^F(w)dw9 E.06)
где С есть тот же контур, что и в интеграле B.20); он изобра-
изображен на рис. 2.
Внутри волновода, т. е. при —а<у<а и
^
Легко видеть, что подынтегральная функция в этом интегра-
интеграле не имеет разрезов выше С, поэтому этот интеграл распа-
распадается на бесконечную сумму вычетов, соответствующих зату-
затухающим и распространяющимся волнам в выражении D.04)
для тока. Это свойство сохраняется, как легко проверить, и для
волн других типов, поэтому вообще можно сказать, что поле
внутри полубесконечного волновода всегда может быть пред-
представлено как суперпозиция волн, существующих в бесконечном
волноводе. Отсюда, в частности, следует, что ток, текущий по
внутренней стороне стенок волновода (пропорциональный тан-
тангенциальной составляющей магнитного поля внутри волновода
вблизи стенок), выражается в виде ряда вычетов и не содер-
содержит слагаемых типа Q(z) в D.04). Более того, ряд вычетов
в выражении D.04) и дает весь ток, текущий по внутренней по-
поверхности.
Действительно, векторный потенциал E.06) вне волновода,
например, при у>а, выражается в виде интеграла
о ; г*
Ах=-^- \ ei^z+'v^-a^L(w)F(w)dwJ E.07)
с
где функция L(w) определяется формулой A.09).
Для волн 2-го типа получаем точно такое же выражение,
но функция L(w) берется по формуле A.12). Для электриче-
электрических волн аналогичное выражение получается для компоненты
Аг векторного потенциала. Вследствие требования II (§ 2)
подынтегральная функция в выражениях вида E.07) для век-
векторного потенциала имеет выше С только разрез (ввиду нали-
наличия v в экспоненте), а полюсов не имеет совсем. Отсюда сле-
следует, что естественное с математической точки зрения разбие-
разбиение выражения для тока f(z) на ряд (вычеты) и интеграл (раз-
(разрез) имеет простой физический смысл и соответствует току на
внутренней и внешней поверхностях стенок волновода.
Подынтегральная функция E.07) полюсов не имеет, поэто-
поэтому путь интегрирования можно деформировать любым образом
29

(перемещая соответственно разрезы), не пересекая, однако, то-
точек w=^±k. В частности, делая подстановку C.10):
и вводя полярные координаты (см. рис. 1)
z=rcos<p, у — a = rsin<? (о<<р<-^, E.08)
можно привести E.07) к виду
АХ=Ц- fe^rsin(T+cp)I(feinx)F(fesinT)fecosTdT, E.09)
причем для вычисления поля в волновой зоне (т. е. при kr^> 1
вне волновода) целесообразно путь интегрирования в плоскости ъ
провести через точку перевала *с=-н—? под углом — к ве-
вещественной оси. (Здесь можно считать k чисто вещественным
числом.) Применяя обычные оценки, получаем следующее выра-
выражение для векторного потенциала магнитных волн в волновой
зоне:
Ах=&$-L(kcas?) F(k cos<p)ksin<f- ■= , E.10)
с ykr
откуда
Ех = H^-\A-2\f2ML+{h) L+ (^cos ?)sin?-p
E.11)
Таким образом, от открытого конца уходят цилиндрические
волны с определенной зависимостью амплитуды и фазы от угла
ср. Обозначая через S(y)dy мощность на единицу длины оси ху
излучаемую в пределах элементарного угла d<p, т. е. определяя
видим, чтр характеристика излучения £(<р) выражается через
\L+ (k cos <p)|2 и поэтому сводится согласно предыдущему к эле-
элементарным функциям. Так, характеристика излучения волны Но1
1 3 /
при у <С # <С "о" Дается формулой ( у =
(nq sin у) . у
sin^ Sln Тэ
30

а характеристика излучения волны Н02 при 1<<7<2 дается
формулой (у = |/"^2—1)
71 1 #2 Sill2 у Г
Здесь у= безразмерное волновое число падающей волны,
я Р — мощность (на единицу длины оси л:), приносимая к откры-
открытому концу падающей волной и связанная с амплитудой набе-
набегающего тока А [формулы B.03) и D.04)] следующим образом:
P=±kha*\A\* (дляЯ01), , EЛ4)
P=JLkha*\A\* (дляЯ02).
Выражения в волновой зоне получены первоначально лишь
для у^>а, 0<^<р<^т: [см. формулу E.08)], но, как легко ви-
видеть, формулы для S(<p) остаются справедливыми и при у<^—а,
, где вместо формул E.08) имеем
2 = rcos9, y-\-a=rsin<?. E.15)
Специальное исследование интеграла E.06) при z<0, —
основанное на оттягивании пути интегрирования вниз и оценке
интеграла по разрезу —k—+ — k — /оо при 2— — оо, показывает
применимость формул для S(^) и в этой области пространства
вне волновода на больших расстояниях от его конца.
Подсчитывая полную мощность излучения (на единицу длины
оси х) Г S(<p)d<p, мы легко берем интеграл для функций E.12)
о
и E.13) подстановкой t — qet4> и ^ = qe~tip и преобразованием
интеграла в плоскости комплексного переменного 5. При этом
для функций £(<р), определяемых формулами E.12) и E.13), по-
получаем
* P(l-|/?|i), E.16)
где/? — соответствующий коэффициент отражения E.03) и
E.04).
Этот результат, дающий баланс энергии излученной и от-,
раженной волн, можно было предвидеть без вычислений; его
мож.но рассматривать как проверку выражений, полученных вы-
выше для величин |7?i,i| и 2(<р).
31

§ 6. Электрические волны
Для волн 3-го типа функция L(w) выражается в виде B.09),
поэтому
Аналогично для волн 4-го типа в силу формулы B.10) имеем
i^^, L.(w)=,Vk^^=^-^. F.02)
Здесь функции гр+, ч|э_, q>+ и ср_ — те же, что и для магнитных
волн [см. C.14) и C.16)]. Поэтому, например, коэффициенты от-
отражения и другие величины для электрических волн просто свя-
связаны с соответствующими величинами для волн магнитных.
Определив функцию F{w) по формуле D.02), мы имеем
следующие оценки при \w\ •+ оо:
0 /-4-Л (Im w < 0),
w2
L{w)F{w)-=0(—T-\ Aтш>0).
w2
Поэтому требования I и II (§ 2) для функций B.15) и B.16)
удовлетворяются. Кроме того, для электрических волн более
быстрое, чем для магнитных волн, убывание F(w) при w-+ ±оо
ведет к тому, что интеграл B.04) для них сходится равномерно
при z = 0 и поэтому является непрерывной функцией z; посколь-
поскольку /(—0)=0, то и f(+0)=0. Иначе говоря, -полученные с по-
помощью функций F.01) и F.02) решения интегрального уравне-
уравнения для. электрических волн удовлетворяют дополнительному
условию A.16), выполнение которого необходимо из физиче-
физических соображений.
При 72<<7<3/2, когда из волн 3-го типа распространяться
может только волна £*,оь коэффициент отражения для нее по
абсолютной величине равен
F.03)
При. 0<#<1 в плоском волноводе может распространяться
из всех волн. 4-го типа только «основная» волна Е^ с волновым
числом Wo = k. Вообще при q < 1 рассматриваемый нами пло-
плоский волновод является двухмерным аналогом обычной, двух-
двухпроводной или коаксиальной линии, в которых отражение ос-
32

новной волны от открытого конца происходит с коэффициентом
отражения по току JR = — 1 (ср. § 4). При увеличении q начи-
начинают постепенно проявляться «волноводные» свойства системы.
Так, при 0<д<1 незатухающие волны того же типа отсутству-
отсутствуют, однако коэффициент отражения основной волны £Ою, как
следует из C.21), равный по абсолютной величине
|Я...1 = е-4, F.04)
при q~\ может быть заметно отличен от единицы. При
1<<7<2 сановная (волна £оо, преходящая к открытому концу
с амплитудой А, возбуждает отраженную волну Ет с амплиту-
амплитудой А/?о,о и, кроме того, волну Е02 с |волнавым числом wx и
амплитудой A/?io,b распространяющуюся в направлении возра-
возрастания координаты г. Из C.20), D.05), D.06) и F.02) сразу
получаем, что при l<ig<2
|tfo,|=|±Ii e-14 F.05)
F.06)
Если же при KigKi2 на открытый конец набегает волна £о2
с амплитудой тока А, то отражаются волны £оо (амплитуда
ARii0) и Ео2 (амплитуда Л7?1}1), причем
id ,_? + Т1Л-«Т1 (бв07)
г —Yi
1«м1 = Т./2}±1;е'тA + Т11. F-08)
Здесь Y1==—^— = l/q2—1 — безразмерное волновое число волны
тс
На рис. 5 даны кривые для абсолютных величин коэффи-
коэффициентов Rii7l (I и п принимают значения 1 и 2) для волн 3-го
типа в пределах изменения параметра q от 0,5 до 2,5, а на
рис. 6 — такие же кривые для волн 4-го типа (основной волны
£оо с индексом 0 и ее пер'вой гармоники Е02, имеющей индекс 1),
построенные по формулам F.04) — F.08) в пределах 0<д<2.
Сравнивая между собой рис. 3—6, обращаем внимание на
однотипный ход абсолютных величин коэффициентов отражения
и трансформации при изменении безразмерного параметра q,
пропорционального частоте. В частности, коэффициент отраже-
отражения данной волны монотонно убывает по абсолютной величине
3-754 33

при возрастании частоты от критической частоты этой волны
(где коэффициент отражения равен —1) до критической часто-
частоты следующей волны этого же типа. При переходе через кри-
критическое значение параметра q, когда появляется новая распро-
распространяющаяся волна того же типа, монотонность убывания
коэффициента отражения предыдущей волны нарушается, и кри-
кривая претерпевает характерный излом.
0.8
0.6
ОК
ОХ
01
0,08
ops
0,05
Oflk
W
001
\
\
\
\
ы -
\
\
\
\
\
\
А
\
ч
ч
\
/
й
\Р
(I
J
Ц
V
\
ч
ч^
[\
\
ч N
ч>
\
J4.
1
1
^ч>
ч
V
05
t.s
9
Рис. 5. Абсолютные величины коэффициентов отражения и трансформации
(по току) волн 3-го типа.
Также обращает на себя внимание быстрое убывание до
малых значений коэффициентов отражения магнитных волн,
в особенности волны Нт. Коэффициенты отражения (и транс-
трансформации) электрических воли убывают при .возрастании ча-
частоты более медленно.
Однако с качественной точки зрения ход всех кривых один
и тот же. У круглого волновода он также сохраняется, по край-
крайней мере для симметричных электромагнитных и для звуковых
волн (см. ниже гл. II и III). Лишь для несимметричных элек-
электромагнитных волн в круглом волноводе характер кривых не-
несколько иной (гл. IV).
Переходим к полю излучения электрических волн. Вектор-
Векторный потенциал в любой точке находится так же, как и для маг-
34

юитных волн. В частности, вместо формулы E.07) для электри-
электрических волн получаем
^ Г
г=^ Г е
dw9
F.09)
где L (w) определяется выражением B.09) и B.10).
К формуле F.09) применимы все рассуждения из § 5. В вол-
волновой зоне поле определяется выражением
= , F.10)
откуда с помощью соотношения
сразу получаются выражения для распределения излучаемой
fin
¥
PR
0,0
0.5
'4
0,2
0.1.
ope
006
Ofti
fifllj
0,03
0,01
ЛЛ/
U,UT
ч
w
\
\
\
\
n
n
\
/)
1
\
5
\
x—
4
V
\
\
\
\ I
\
\
\
R
., d
/
f
1
10
\
4
N
'n,
4
f
\
4
\
\
20
Рис. 6. Абсолютные величины коэффициентов отражения и трансформации
(по току) волн 4-го типа.
3* 35

мощности по направлениям. Так, для волны £(qi при72<#<3/2
имеем
где Т=]/^-1.
Характеристика излучения волны Я,, при 0<<7<1 опреде-
определяется формулой
' (., in,) . FЛ2)
при 1<;^<2, когда среди отраженных волн имеется незату-
незатухающая волна Е02, характеристика излучения волны Еоо будет
выражаться более сложной формулой:
е -тс* е-*? cos <? sin («q sin у) (у + q cos y)« ,fiiq.
где у = ^2 — 1 — безразмерное волновое число волны Е02.
Характеристика излучения волны Е02 определяется выраже-
выражением
В этих формулах Я означает мощность приходящей волны,
выражаемую через амплитуду А следующим образом:
Р=^1^\А\> (для волн Е01 и EJ F.15)
Я=—а|Л[2 (для волны f00). F.16)
с
Производя вычисление полной излученной мощности по фор-
формулам F.11) и F.12), получаем соотношение, аналогичное E.16),
где R — соответствующие коэффициенты отражения F.03) и
и F.04). Для выражения F.13)
F.17)
о
а для F.14)
fs(T)d? = p/l-[|^.1|2+Yl/?bol2]}- FЛ8)
0
36

Как легко видеть из формул F.15) и F.16), выражения,
стоящие в квадратных скобках F.17) и F.18), суть не что иное,
как коэффициенты отражения волн Е^ и £02 по мощности. За-
Замечательно, что
-^o.^yI^J2. F.19)
В общем случае можно сказать, что если набегающая вол-
волна / мощности Р возбуждает среди отраженных волн волну п,
уносящую с собой мощность Рг^п, то при падении волны п
с мощностью Рг должна возбуждаться среди других и отражен-
отраженная волна /, уносящая обратно мощность Р'гп>и причем
ri,n = rn,i. F.20)
Соотношения (E.20) непосредственно следуют из принципа
взаимности (см. [7]). Формула F.19) есть частный случай фор-
формулы F.20).
Заметим, что формула F.10) дает возможность оценить
убывание плотности тока, затекающего изнутри на внешнюю
поверхность стенок волновода, на больших расстояниях от кон-
конца (т. е. убывание слагаемого Q(z) \в выражении для плотности
тока D.04) (при больших г]. Для электрических волн, таким
образом, плотность тока на внешней стороне волновода убывает
обратно пропорционально j/z (при больших г) и оказывается
связанной с расходящейся от конца цилиндрической волной.
Наоборот, для магнитных волн 2=0 при ср=О; затекающий
ток в волновой зоне практически исчезает, так как он убывает
с возрастанием z быстрее. Более точные оценки можно получить
непосредственно из выражения D.07) для Q(z).
§ 7. Звуковые волны
Выше мы не отмечали явным образом того существенного
обстоятельства, что решенная с помощью интегрального или
интегро-дифференциального уравнения двухмерная задача
о диффракции электромагнитных волн на открытом конце пло-
плоского волновода сводится к двухмерному волновому уравнению
+
для скалярной функции Ф. Для магнитных волн Ф = Ех и на
стенках волновода ставится условие Ф = 0. Для электрических
волн Ф=//х и граничное условие имеет вид --^—= 0, где ^
производная Ф по нормали. Считая в последнем случае Ф по-
потенциалом скоростей, получаем также строгое решение анало-
аналогичной задачи акустики, если пренебречь трением и считать
стенки волновода абсолютно жесткими.
37

Таким образом, мы получили одновременно решение задачи
о диффр акции звуковых волн на открытом конце плоского вол-
волновода. В частности, волна EQQ (соответствует основной (поршне-
(поршневой) волне, которая только и представляет интерес для акусти-
акустики, поскольку обычно длина
волны настолько велика,
что волноводные 'волны рас-
распространяться не могут.
При этом нужно иметь
в виду, что для акустики
функция /(z), пропорцио-
пропорциональная скачку потенциала
скоростей на стенке волно-
волновода, не имеет четкого фи-
физического смысла и являет-
является вспомогательной матема-
математической величиной. Однако
основные результаты пере-
переносятся на звуковые волны
без труда. В частности, фор-
формула F.04) дает абсолют-
абсолютную величину коэффициен-
коэффициента отражения основной вол-
волны от открытого конца,
а формула F.12)—угловое
Рис. 7. Диаграммы направленности, распределение мощности
концу с мощностью Р.
Обе формулы пригодны при 0<.<7<1, когда при отражении
поршневой волны от открытого конца других распространяю-
распространяющихся волн не появляется.
На рис. 7 изображена функция
определяющая угловое распределение мощности, излучаемой
при различных значениях параметра q основной звуковой вол-
волной. Функция G((j>) нормирована следующим образом:
G.03)
так что площадь, ограниченная каждой из кривых рис. 7, одна
и та же.
Кривые рис. 7 применимы, разумеется, также и к электриче-
электрической волне fioo-
38

Данная книга посвящена в основном электромагнитным вол-
волнам в волноводах. Аналогичные акустические задачи возникли
в теоретической физике гораздо раньше. Однако, несмотря на
целый ряд работ в этом направлении, строгого решения задачи
о диффракции звуковых волн на открытом конце трубы получе-
получено не было. Пользуясь методом, первоначально развитым для
решения граничных задач электродинамики, оказалось возмож-
возможным решить соответствующие акустические проблемы.
Ниже, в гл. III, мы рассмотрим теорию звуковых колебаний
в круглой трубе с открытым концом. В то время как задача
о звуковых волнах в плоском волноводе полностью сводится
к задаче об электрических волнах, теория звуковых волн в от-
открытой круглой трубе, хотя и имеет точки соприкосновения
с теорией электромагнитных волн в таком же волноводе, но
к ней не сводится.
§ 8. Сравнение точной теории с методом Кирхгофа
(«принципом Гюйгенса»)
В тех случаях, когда диффракционное поле не поддается
точному вычислению, для (приближенных расчетов обычио при-
применяется так называемый принцип Гюйгенса.
Как известно, поле излучения можно выразить через поля
на отверстии волновода и на внешней стороне его стенок (прин-
(принцип Гюйгенса в формулировке Кирхгофа). Для двухмерной диф-
•фракционной задачи, сводящейся к волновому уравнению G.01),
это выражение имеет вид
Ф(у, г)=—Щф^#|
(см., например, [8], стр. 62), где контур интегрирования Г в пло-
плоскости у, z затягивает открытый конец волновода и проходит
по внешним сторонам стенок; п есть нормаль к этой кривой,
направленная внутрь волновода; R — расстояние между точкой
наблюдения у, z и элементом длины ds кривой Г.
Затем следует положить (приближенно) поле в отверстии
равным полю набегающей волны в бесконечном волноводе, в част-
частности считать —т— = — /ЛФ, а поле на внешней стороне стенок —
равным нулю. Опуская несложные выкладки, приведем выраже-
выражения для характеристик излучения ^(ср) различных волн из откры-
открытого конца плоского волновода, получаемые методом Кирхгофа.
Для волны Н01 имеем
cos (nq sin <p)l2
Y
т ,. (8-02)
39

а для волны Н0
cos?+ —
(8.03)
Эти формулы (не изменяющие своего аналитического вида
при изменении q) нужно сравнить соответственно с формулами
E.12) и E.13) строгой теории.
На рис. 8 произведено сравнение диаграмм направленности,
т. е. приведенных к общему максимуму функций Si(q>) (сплош-
Рис. 8. Диаграммы направленности
для волны #oi при различных значе-
значениях q:
вычисленные по формуле E.12);
по формуле (8.02).
Рис. 9. Диаграмма направленно-
направленности для волны #02 при #=1,1:
— вычисленная по формуле
E.13); по формуле (8.ОЗУ.
ная кривая) и 2i(q>) (пунктир)
для волны #01 при различных
значениях параметра q, на
рис. 9 то же сделано для волны #02- Расположение соответству-
соответствует рис. 1. Значение стрелок будет объяснено ниже.
Характеристики излучения электрических волн по методу
Кирхгофа получаются следующие:
для волны
sin
sin
40

для волны £■„]
S,(?) = <
и для волны Еп,
1 Г sin у cos
n у)
cos<f + — -
l Г sin у sin (^ sin у)
^7 z
cos¥ + —
(8.05)
(8.06)
Их нужно сравнить с точными характеристиками F.11) — F.14).
Ш рис. 10—12 даны шримеры такого сравнения. Р(ис. 11 и 12 мю-
Рис. 10. Диаграмма направленности
для волны £01 при q=\:
• вычисленная по формуле F.11);
по формуле (8.05).
Рис. 11. Диаграмма направленности
для волны £оо при <7=0,1:
вычисленная по формуле F.12);
по формуле (8.04).
гут служить примерами наи-
наиболее сильного расхождения
диаграмм направленности, по-
полученных по принципу Гюйген-
Гюйгенса и по строгой теории; это
расхождение связано с силь-
сильным излучением назад, плохо
ютоображаемым приближен-
приближенным методом Кирхгофа.
В большинстве случаев, одна-
однако, соответствие получается более полным, особенно при удале-
удалении частоты от критической.
Представляет интерес выяснить, в какой степени метод
Кирхгофа передает абсолютную величину поля излучения. Мак-
Максимум излучения волны £юо находится при ср=я. Оказывается,
что в этом направлении формула (8.04) при любых q дает пра-
правильную величину излучения волны £"юо:
21(я)=2(я)=Р,<7, (8.07)
в то (время как рри диффракции ,на щели шириной d в плоском
экране метод Кирхгофа при малых значениях параметра ^ = -т-
дает, как известно, неправильный порядок величины поля диф-
фрагированной волны.
41

Для волны #ш, максимум излучения которой также нахо-
находится при ф=я, из E.12) и (8.02) получаем
STR (</ + y) V ^ 4j/
Зависимость этого отношения от параметра q, 'представленная
на рис. 13, показывает, что при стремлении частоты к критиче-
критической (т. е. при у-+Ъ) метод Кирхгофа дает слишком большую
1,0
0,5
I
1 1 \ 1
1 t I I
-
1 1 1 1
0,5
1,0
0
ч
Рис. 13. Зависимость отноше-
отношения (8.08) от параметра д.
Рис. 12. Диаграмма
направленности для
волны Eq2 при #=1,1;
- — вычисленная
по формуле F.14);
по формуле
(8.06).
интенсивность излучения. Однако при ча-
частоте, превышающей критическую на 5%,
он уже может применяться для количе-
количественной оценки абсолютной величины поля
излучения.
Как обобщение соотношения (8.07) можно сформулировать
следующую теорему.
Пусть в плоском волноводе по направлению к открытому
концу распространяется волна с волновым числом —/г, несу-
несущая (на единицу длины оси х) мощность Р, <и пусть ее поле
не зависит от х (изученные выше волны Яо? и Eqi). Тогда в двух
направлениях, составляющих с осью z тупые углы щ опреде-
определяемые из соотношения
k cosq>/ = —h (h = Wi)j (8.09)
излучение по строгой теории и излучение по методу Кирхгофа
совпадают, причем
Jl(tfl) = j:i((fl)==[P^-9 (8.10)
где yz=— — безразмерное волновое число набегающей волны.
42

Можно также показать, что совпадают не только амплитуды
поля излучения по строгой теории и по принципу Гюйгенса, но
совпадают и их фазы.
Это утверждение может быть проверено на всех приведенных
выше формулах для 2(ср) и 2i(xp). Общее его доказательство
можно получить из выражений F.10) и (б.М) для полей в вол-
волновой зоне (см. § 10). Оно позволяет выразить отношение мак-
максимумов излучения через приведенные к общему максимуму
диаграммы натравлены ости jF(cp) и jFii(q>) (ino мощности):
(8.11)
На приведенных нами диаграммах направленности направ-
направления, определяемые соотношением (8.09), отмечены стрелками.
Эти направления суть не что иное, как направления распростра-
распространения двух «парциальных» 'плоских волн, на 'которые разла-
разлагается волна, распространяющаяся в волноводе. С помощью
стрелок на рис. 8 можно более наглядно представить зависи-
зависимость, изображенную на рис. 13.
В дальнейшем будут представлять интерес следующие выра-
выражения для цилиндрических волн, излучаемых волнами различ-
различных типов из открытого конца плоского волновода согласно
принципу Гюйгенса. А именно, волнам 1-го типа соответствует
поле излучения
(* - т)
_ , (8.12)
(8.13)
<? с r cosy — cos <pz Ykr
1
е
cos <p — cos
волнам 2-го типа —
cos <р — cos <pj ykr
волнам 3-го типа —
и, наконец, волнам 4-го типа
17
г;-?.:;.17 ^
В этих формулах cos^i определяется соотношением (8.09).
Заметим, что из них могут быть в частных случаях получены
формулы (8.02) —(8.06).
43

§ 9. Фазы коэффициентов отражения.
Поправка на открытый конец
Если распространяющаяся в волноводе с волновым числом
—h волна отражается от открытого конца с комплексным ко-
коэффициентом отражения
R = -\>R\eie (9.01)
и других незатухающих волн при этом не возникает, то фаза ©
определяет положение узлов и пучностей электрического и маг-
магнитного полей внутри волновода. На достаточно больших рас-
расстояниях от конца, где затухающими волнами можно прене-
пренебречь, зависимость всех полей в волноводе от координаты
z (z>0) дается множителем
а зависимость их средних по времени квадратов — множителем
s BAz+6),
показывающим, что распределение узлов и пучностей внутри
волновода таково, как если бы при z = —а был бы первый узел
или первая пучность; величина а — так называемая «поправка
на открытый конец» — связана с фазой 0 соотношением
6 = 2/щ. (9.02)
Для основной волны Ет согласно D.05), F.02), и C.16)
имеем
'Л-ед^п %n'l) (9.03)
откуда при 0<<7<1 следует выражение F.04) для \R\, а для в
при тех же значениях q получаем
п—\
или
I Q 7 1 I Q " и/1' \*/
где
С = 0,5772... =Нш|
есть постоянная Эйлера.
44

Пользуясь разложением в ряд
00
arcsin х = У А2т+1х2т+\
7+1'
т=0
1 3
где Ах = 1; А3=-^\ Л5=—, легко преобразуем выражение (9.04)
к виду, удобному для расчетов,
(9.05)
где
— 7\
п=1
причем S8 = 1,202, S6 = 1,037 и т. д.
Наряду с фазой представляет интерес отношение поправки
на открытый конец а к расстоянию d между пластинами волно-
волновода. Для основной волны Еоо
При q <^ 1 выражение для поправки на открытый конец упро-
упрощается:
а 1
Таким же образом могут быть получены выражения для фазы
коэффициентов отражения других волн. Для волн Но1 в преде-
1 3
лах -2"<?<Су имеем формулу
ij— 27 arcsin~
оо
~S [тагС81п"утЬ^У~^Т"]}' (9-08)
п=2
где Y=V q2 — -г—безразмерное волновое число волны Н01.
Подвергая формулу (9.08) такому же преобразованию, что и
формулу (9.04), получаем
i}--i-arcsin|-
-i- arcsin -fe
00
- J] A2m+1Sml2m ), (9.09)
45

где
00
л=3
причем St =0,123, S2 = 0,014 и т. д. Из формулы (9.02) для
нашего случая получаем
Во всех выписанных выше формулах фаза 0 выражается в от-
отвлеченной мере. На графиках приводятся значения 0 в граду-
градусах. На рис. 14 даны фазы коэффициентов отражения и транс-
'У
1—
1
1
/
1
/
с
-——
\
\
\
у
\
\
f /
/
W22
1
f
\
\
1.0
15
90й
60'
30*
Рис. 14. Фазы коэффициентов отражения >и трансформации волн 1-го и
3-го типов.
формации (по току) для волн 1-го и 3-го типа. Как легко пока-
показать, фазы для волн этих типов при данном значении q одни
и те же, в частности формулы (9.08), (9.09) и (9.10) в равной
степени относятся как к волне Нои так и к волне £01. На рис. 15
46

даны фазы коэффициентов отражения и трансформации волн
2-го типа.
Наибольший интерес представляют фазы коэффициентов
отражения и трансформации волн 4-го типа, в число которых
входит волна J^oo, соответствующая (см. § 7) поршневой акусти-
акустической волне. Эти фазы изображены на рис. 16.
ол
-
/
/
{
\
t
/
/
/
•
IS
|
\ 1
\
К
е,
\
' /
й
V
/
7
—
1
ч
V
\
3
01т
Рис. 15. Фазы коэффициентов отражения и трансформации волн 2-го типа.
Кривые для фаз, приведенные на рис. 14—16 (так же как
кривые для абсолютных величин, приведенные на рис. 3—6),
охватывают интервал частот, в котором имеется как одна, так
и две распространяющиеся волны. В том интервале частот, где
может распространяться только одна волна, для нее дана также
поправка на открытый конец [точнее, отношение -j\ В том ин-
интервале частот, где могут распространяться две волны, вычисле-
вычисление фаз и абсолютных величин коэффициентов отражения и
трансформации большей частью произведено с помощью фор-
формул § 10.
Полученную из строгой теории поправку на открытый конец
интересно сравнить с результатами Рэлея [9] для звуковой вол-
волны в двухмерной органной трубе (т. е. в том же плоском вол-
волноводе с открытым концом). Из анализа Рэлея можно получить
при <7<1 выражение
(9Л1)
47

По своей форме оно похоже на выражение (9.07), но приводит
к гораздо большим значениям а. Расхождение вызывается тем,
что для упрощения математической трактовки Рэлей решал,
в сущности, другую задачу, а именно он предполагал, что вол-
волновод снабжен бесконечным плоским фланцем и устье волново-
Рис. 16. Фазы коэффициентов отражения и трансформации волн 4-го типа.
да загорожено подвижным поршнем. Эти факторы, как можно
показать, увеличивают поправку на открытый конец более чем
вдвое.
Сам термин «поправка на открытый конец» взят из акустики
(см. ниже гл. III и особенно § 23). Мы будем его применять,
в соответствии с формулой (9.02), и к электромагнитным вол-
волнам.
§ 10. Приближенные формулы
В предыдущих параграфах рассматривалась диффракция на
открытом конце плоского волновода. Приведенные там форму-
формулы позволяют в принципе определить характеристики излучения
волн различных типов, распространяющихся в волноводе по на-
направлению к открытому концу, при любых значениях параметра
A0.01)
48

(d — 2a — расстояние между пластинами, Я — длина волны в сво-
свободном пространстве). Так, при N—у<С9<С^+у (N — целое
число) для волны //в1 имеем
-«q cos ? cos ( sin j sin2 _£
n(<jf + Y) 1—4^2sin2^ ^
X П Yl + Yn ^C0Sy+Yn . A0.02)
11 Ti — Y^ 4 cos <f> — 7n v '
Ti Y^ 4 cos <f> —
/2 = 2
Здесь Е(9)^9 — мощность, излучаемая в направлениях 9» +
Я — мощность волны, приходящей к концу волновода (на единицу
длины оси х)\ Tn=|/ q2 — In — yj-
Точное выражение для характеристики излучения волны Еоо
при iV<;g<iV-|-1 имеет вид
N
_р_!_е-™?A+созф) sin (тт^ sin у) Г| ^ + Yn q cos у + Тп
тс sin «р И^ Y ^cos <f Y
sin р
n—l
A0.03)
где уп:=:К^2 —^2.
Из этих примеров видно, что при больших q точные формулы
содержат большое число множителей, весьма громоздки и не
наглядны. Поэтому интересно установить ту предельную форму,
которую асимптотически принимают точные выражения при
q—+oo, и выснить таким способом характерные особенности
поля излучения волновода при больших значениях параметра q.
Для этого будем исходить из полученных в § 5 и 6 выраже-
выражений для полей. Для магнитных волн, электрическое поле кото-
которых имеет только составляющую Ех, в волновой зоне согласно
E.11) имеем
, _ ()
Ех= —у 2 y2i:Ak2hL+ (h) L+ (k cos 9) sin 9 e , A0.04)
где г означает расстояние до края ближайшей полуплоскости,
т. е. если г есть расстояние от начала координат у = <г = 0, то в
волновой зоне можно считать
r = r'=f—asinq> при 0<<р<я,
A0.05)
r = r" = r+a sin ф при <<2
a L+ (w) =
4—754 49

При этом в знаменателе -fkr формулы A0.04) и аналогичных
ей нет надобности различать величины /, г" и г*.
Для волн 1-го типа (//01, //03,...)
-ik0+co
X (w) dw
sini:—cos <
A0.06)
где путь интегрирования Г в плоскости комплексного перемен-
переменного % идет
от *с= ^—|-foo к ^=-| *°°
и огибает отрезок вещественной оси
снизу.
Обозначим через
е) ,
' 7 sin т—,
Го
A0.07)
интеграл, аналогичный A0.06), но взятый по пути Го, проходя-
проходящему через точку т=0 под углом ^- к вещественной оси
в направлении быстрейшего стремления к нулю логарифмической
функции под интегралом (Го симметричен относительно точки
* = 0). Если 2тг^>1, то с помощью оценок, аналогичных при-
применяемым в методе перевала, можно вместо A0.07) получить-
приближенное выражение
=2Й fln(l + e'2in4"TJ ^Ц-, A0.08)
■ i IT
IT
~°° t-se 4
где 5 = |/2Tr^cos9. A0.09)
* Заметим, что при больших значениях параметра q понятие волновой
зоны необходимо уточнить в том смысле, что в ней должно выполняться
не только условие kr^>\t но и условие kr^>(kdJ. Последнее условие ха-
характеризует диффракцию Фраунгофера и в нашем изложении следует из
того, что при вычислении интегралов вида E.09) подынтегральную функцик>
L(k sin t) F(k sin t) можно считать медленно меняющейся и выносить за
знак интеграла только при выполнении обоих выписанных выше условий.
50

Деформируя путь интегрирования Г и превращая его в Го,
получаем
X+(£cos<p) = V при cos ср > 0, A0.10)
х+ (k cos cp) = V + In (I + еИя*isin ф|) при cos <p < 0.
Для краткости будем обозначать через Vz значение интеграла
A0.07) для угла ср = тс — <pZl где угол 9z определяется волновым
числом набегающей волны по формуле (8.09). При условии
2^>1, • A0.11)
когда применимо выражение A0.08), можно написать
Vl = V(sh q); • A0.12)
где
Si = —у 1ъц COS У/ = \2щ-г (Ш. 16)
есть ^положительное число, которое можно также записать в виде
С помощью формул A0.10) для поля излучения в заднем
полупространстве (при cosq>>0) можно написать
¥
sin ~y (cos <p — cos yi)
в то время как в переднем полупространстве (где соэф<0)
COS <р — COS <
A0.16)
Эти выражения — точные, если под V 'понимать функцию
A0.07), и приближенные, если взять функцию A0,08). В пе-
переднем и заднем полупространствах лоле излучения согласно
формулам A0.15) и A0.16) имеет различный аналитический
вид. Нужно гпри этом иметь в виду, что наличие V в правой
4* 51

части формул A0.10) обеспечивает непрерывность поля вблизи
граничной плоскости 2 = 0. Действительно, при5=±0
A0.17)
так что поля A0.15) и A0.16) непрерывно переходят одно в дру-
другое.
Заметим, что в выражениях A0.15), A0.16) и следующих за
ними предполагается, что угол <р изменяется в пределах 0<9<2п:,.
а угол 9z выбран в пределах -~2~<i9i<C7:- Только при таком со-
соглашении синусы от половинных углов дают в этих формулах
правильный результат.
Для волн 2-го типа (Я02, //04,...) вместо V будем иметь
функцию
Го
или при 2i:q > 1 .
'-« ' A0.19).
где аргумент s определяется формулой A0.09).
Подставляя в формулу для поля в волновой зоне выражения
X+{kcos<?) = U при с(»<р>(Ц по 20)
Х+ (k cos 9) = (/ + In A — ei2lt? |sin ¥l) при cos ? < 0,1
получаем в заднем полупространстве (при 0<9<-^-J поле из-
излучения в виде
slnf ,(,Г+■=-) + £/ +и,
f
sin -у (cos <р—cos
а в переднем полупространстве / -^ < ?<С-2~)
. A0.22>
sin—
2^4
<&l COS <p — COS
sin -5-

Здесь Ui есть значение интеграла A0.18) для угла q>=jt—q>i или
при условии A0.11)—значение функции A0.19) от аргумента
A0.14).
Заметим, что точные функции U A0.18) и V A0.08) для
волн различных типов не сводятся одна к другой. В противо-
противоположность этому функции /7.E, q) и V(s, q), дающие при усло:
вии A0.11) приближенные выражения для поля излучения, свя-
связаны простым соотношением A0.19).
Это обстоятельство, как будет показано в дальнейших гла-
главах нашей книги, не является случайным. Поле излучения
различных волн из круглого волновода также выражается через
универсальную функцию U(s, q), определяемую интегралом
A0.19). Эта же функция входит в ряд других формул.
Для электрических волн в плоском волноводе, магнитное
поле которых имеет только составляющую Ях, напряженность
магнитного поля в волновой зоне определяется формулой
F.10), которую перепишем в виде
yA0.23)
где
w + h
а функции У-+{ш) те же, что и для магнитных волн. Подставляя1
выражения A0.10) для Х+, получаем формулы для поля излуче-
излучения волн 3-го типа (E01J EQiJ...):'
в заднем полупространстве, при 0<9<-тг,
sin\ cos-f l (kr + T
rW л р
COS <p — COS <
и в переднем полупространстве
+ v +vt
Нх~ 2 V2HA = A0.24>
х с cos у — cos (fi y kr
■Ш-Ь- . . . . /(*r+i)+ir + vf
fj __loi/ol/i 2 sin у cos (^ sin у) е
x c * v *n у cos<p — cos^pf Ykr
sin о
A0.25)
Аналогично для волн 4-го типа (£00, Е02,...) с помощью соот-
соотношений A0.20) получаем:
в заднем полупространстве, при
Нх~2 V2*A ^— т= э A0.26)
С COS <f — COS <fi V kr
за

в переднем полупространстве, при cos 9 <С О,
И Х о,/о"л 2 sin у sin (яс7 simp) е - • ПП97\
С г С|> COS <f> — COS <рг У &Г
siny r
Вопрос о физическом смысле полученных в этом параграфе
формул для поля излучения будет подробно разобран в гл. V.
Здесь эти формулы приведены потому, что они дают возмож-
возможность легко производить вычисления, если при этом пользо-
пользоваться приведенными в приложении таблицами функции U{s, q).
Здесь мы только отметим интересную связь формул A0.16),
A0.22), A0.25) и A0.27) для поля излучения волн различных
типов в переднем полупространстве согласно строгой теории
с формулами (8.12) — (8.15) для поля излучения по принципу
Гюйгенса. А именно, поле излучения по строгой теории отли-
отличается от поля излучения по принципу Гюйгенса простыми мно-
множителями:
для волн 1-го типа этот множитель равен
<р
—4reV+Vl> A0-28)
sin-j-
для волн 2-го типа
eU+Ul, A0.29)
sin-g-
для волн 3-го типа
^.'♦"- «0.30,
Siny
и для волн 4-го типа
sin -
sin 2
A0.31)
Заметим теперь, что как точные интегралы A0.08) и A0.18),
так и функции U(s, q) и V(s, q) являются нечетными функция-
функциями cos ф, г. е. меняют знак при замене ср на я—<р. Так как Ui
54

и V/ суть соответственно значения U и V при ср=я—фг, то мно-
множители A0.28) для углов
<р=|фг, ф=2я—фг A0.32)
обращаются в единицу. Иначе говоря, в направлениях A0.32)
принцип Гюйгенса дает совершенно точные результаты как в от-
отношении амплитуды, так и в отношении фазы излученного поля,
о чем уже говорилось в § 8.
Следует также обратить внимание на то, что множители
A0.28) — A0.31) во всем переднем полупространстве y^^^
принимают конечные и отличные от нуля значения. Поэтому
направления нулевого излучения в переднем полупространстве
принципом Гюйгенса передаются правильно. Существование
этих направлений определяются существованием других распро-
распространяющихся волн того же типа. Если при данной частоте на-
наряду с набегающей волной, имеющей волновое число —wu су-
существуют еще другие волны того же типа с вещественными
волновыми числами ±хюп{пф1), то, определяя углы фп из соот-
соотношений, аналогичных (8.09),
= —Wn A0.33)
будем иметь
2(J(H (ф1) A0.34)
Других направлений нулевого излучения, кроме направления
Ф=фп и ф = я, не существует. Таким образом, положение побоч-
побочных лепестков в переднем полупространстве передается принци-
принципом Гюйгенса правильно.
В заднем полупространстве положение совершенно иное: как
можно видеть из § 8, характеристики излучения, вычисленные
по принципу Гюйгенса, в заднем полупространстве весьма дале-
далеки от истины. Так например, по строгой теории в заднем полу-
полупространстве излучение всюду отлично от нуля, и только в на-
направлении ф>=0 излучение магнитных волн обращается в нуль.
Однако по принципу Гюйгенса в заднем полупространстве по-
получаются «ложные» лепестки. Далее, для магнитных волн прин-
принцип Гюйгенса дает 2i@)^0, а для электрических 2i@)=0,
в то же время как по точной теории дело обстоит как раз наобо-
наоборот: для магнитных волн 2@) =0, а для электрических 2@) ф0.
Такое положение вещей легко понять аналитически, если
взглянуть на приведенные в этом параграфе формулы для поля
излучения различных волн в заднем полупространстве. Физиче-
Физический смысл этих формул будет разобран в гл. V, но уже беглое
знакомство с ними показывает, что они (в отличие от формул
для переднего полупространства) не имеют ничего общего
с формулами по принципу Гюйгенса.
5S

Коэффициенты отражения и трансформации Ri, n также мо-
могут быть выражены через функции U и V. А именно:
для волн 1-го типа
===e ' n, A0.35)
для волн 2-го типа
RUn = — i— * =- eUl+Un , A0.36)
для волн 3-го типа
д. =_iV^ + ti)(^ + u) eVl+Vn A0.37)
2я (y« + Yn)Yn
и для волн 4-го типа
___.1
A0.38)
Здесь для волн 1-го и 3-го типов Yn=|/ qs — ( п — у] t а для
волн 2-го и 4-го типов -\n = J q*- — tf\ при условии A0.11) Vn
и £/„ выражаются через функцию U(s,q) следующим образом:
(Ю.39)
В этой форме записи коэффициентов Rit n можно аналити-
аналитически понять поведение этих коэффициентов при росте пара-
параметра <7, которое можно наблюдать на рис. 3—6 и рис. 14—16.
Лредэкспоненциальные множители, монотонно убывающие при
возрастании qy показывают, что коэффициенты отражения и
трансформации магнитных волн убывают с ростом q быстрее,
чем соответствующие коэффициенты электрических волн. Изло-
Изломы кривых \Ri,n\ и в/, п в «'критических» значениях q (полуце-
(полуцелых для волн 1-го и 3-го типов и целых для волн 2-го и 4-го
типов) и немонотонный ход кривых \Ri,n\ вблизи этих критиче-
критических значений вызывается функциями и и V в экспонентах.
Колебания кривых ©^ п около предельного значения у также
обусловлены функциями U и V, ибо, например, для волн 1-го
и 3-го рода имеем
56

Так как с ростом параметра q все безразмерные волновые
числа yi nyn распространяющихся волн также растут, прибли-
приближаясь друг к другу и к параметру qy то во всех фазах QjtV для
волн данного типа зависимость от индексов / и п постепенно
ослабевает, и все кривые сливаются в одну кривую, как это
можно проследить на рис. 14—16. У электрических волн абсо-
абсолютные величины коэффициентов Ri, n постепенно должны утра-
утрачивать свою зависимость от индексов I и п — эту тенденцию
можно усмотреть уже на рис. 5 и 6. Что же касается магнитных
волн, то у них величины \Ri,n\ при возрастании постепенно те-
теряют зависимость от индекса / — номера набегающей волны, но
зависимость от индекса п — номера возбуждаемой обратной
волны — остается.
Формулы A0.35) — A0.39) использовались для построения
кривых \Ri,n\ и вг, п при тех значениях параметра qy когда мо-
могут распространяться по крайней мере две волны рассматривае-
рассматриваемого типа.
§11. Заключение. Прямоугольный волновод
Изложенная выше строгая электродинамическая теория плос-
плоского волновода с открытым концом интересно как пример при-
применения к простейшему случаю метода, позволяющего решать
аналогичные задачи и для других систем, например для круг-
круглого волновода, коаксиальной или двухпроводной линии и т. д.
Полученные результаты представляют и самостоятельный
интерес. Действительно, плоский волновод является простейшей
с геометрической точки зрения системой проводников, обладаю-
обладающей свойствами передающей линии. В плоском волноводе могут
распространяться волны #Оь #02> • • •> тождественные соответст-
соответствующим волнам в прямоугольном волноводе, и волны Ет, £"оь-
£"о2, • • -, аналогичные волнам (основной волне и ее гармоникам)
коаксиальной линии. Поэтому решение простейшей задачи поз-
позволяет выяснить ряд вопросов, относящихся к более сложным-
системам.
Выражения для коэффициентов отражения (§ 5, 6) позво-
позволяют сравнить способность различных волн к излучению. Из-
Известная из эксперимента хорошая излучательная способность,
волны #oi (и в меньшей степени других магнитных волн) нахо-
находит здесь теоретическое объяснение (см. рис. 3).
Этот метод дает возможность вычислить не только абсолют-
абсолютные величины, но и фазы коэффициентов отражения; последние
определяют положение узлов и пучностей внутри волновода.
Они выражаются в виде рядов, которые могут быть легко при-
приспособлены для численных расчетов (§ 9).
Излучение из открытого конца представляет собой в сущно-
сущности диффракционное явление, возникающее при падении на от-
отверстие волны, распространяющейся в волноводе. Расчет излу-
57

чения производится обычно с помощью принципа Гюйгенса —
метода приближенного решения диффракционных задач,
предложенного Кирхгофом. Этот метод отличается исключитель-
исключительной гибкостью, позволяющей легко охватывать сложные случаи,
не поддающиеся точному анализу; однако его применимость
к волноводам, у которых размеры отверстия порядка длины
волны, не является очевидной. Получив для плоского волновода
строгое решение диффракционной задачи и найдя в явном виде
характеристики излучения волн различных типов (§ 5, 6), мож-
можно установить границы применимости принципа Гюйгенса для
расчета излучения из волноводов.
Как показано в § 8, принцип Гюйгенса дает при вычислении
диаграммы направленности надежные результаты, по крайней
мере в переднем полупространстве, куда излучается обычно
большая часть мощности. Излучение назад отображается этим
методом довольно плохо, однако резкие противоречия имеют
место лишь при частотах, близких к критической частоте дан-
данной еолны, а тогда излучается наружу относительно малая
часть мощности.
Несколько неожиданным оказывается применимость метода
Кирхгофа для количественной оценки интенсивности поля излу-
излучения уже при частотах, всего лишь на несколько процентов
превышающих критическую частоту (рис. 13).
В этой главе приведено строгое решение задачи о диффрак-
ции на открытом конце плоского волновода, в дальнейших гла-
главах то же будет сделано для круглого волновода. Эти задачи
поучительно (с методической точки зрения) сравнить с задача-
задачами о диффракции на бесконечной прямой щели и на круглом
отверстии в плоском экране. Для бесконечно тонкого и идеально
проводящего экрана последние задачи, как известно, решаются
методом разделения переменных в криволинейных координа-
координатах— эллиптических и сфероидальных; решения имеют вид
сложных рядов, члены которых выражаются через специальные
функции. Эти ряды оказываются пригодными для вычислений
d ,<
только при умеренных значениях -^ (d — ширина щели или диа-
диаметр отверстия, Я — длина волны).
В противоположность этому метод, которым решены наши
задачи, позволяет без труда получить как формулы, пригодные
для вычислений при умеренных значениях-у (ср. § 5, 6 и 9),
так и формулы для больших значений gr = -=- (§ 10).
Задача о диффракции на прямоугольном отверстии в плос-
плоском экране не поддается строгому решению с помощью извест-
известных в настоящее время методов математической теории диф-

фракции. Подобно этому строго решить задачу о прямоугольном
волноводе, открывающемся в свободное пространство, также
оказывается невозможным.
Ввиду большого практического значения прямоугольного*
волновода следует отметить, что задача о прямоугольном вол-
волноводе с открытым концом, зажатом между двумя параллель-
. У\
/////////////////////л
'У/////////.
*
у///////
и»
X
Рис. 17. Прямоугольный волновод
между горизонтальными плоскостями.
Рис. 18. Прямоугольный
волновод между вертикаль-
вертикальными плоскостями.
а сам волновод зажат
ными плоскостями (рис. 17 и 18), сво-
сводится к задаче о плоском волноводе
и поэтому решается строго. Пусть, на-
например, в прямоугольном волноводе по
Направлению к открытому концу рас-
распространяется простейшая волна HOh
между параллельными идеально проводящими плоскостями
(рис. 17), которые можно рассматривать как продолжение верх-
верхней и нижней стенок волновода. В этом случае пара горизон-
горизонтальных плоскостей перпендикулярна электрическому полю,
и к этой системе применима вся теория магнитных волн в плос-
плоском волноводе с расстоянием между пластинами d (см. рис. 17).
В частности, формула E.03) дает абсолютную величину коэф-
коэффициента отражения волны от конца волновода, формула
(9.09) — фазу этого коэффициента отражения, формула E.12) —
характеристику излучения из открытого конца.
Если же волновод зажат, как показано на рис. 18, между
парой вертикальных бесконечных идеально проводящих плоско-
плоскостей, которые можно считать продолжением боковых стенок
волновода, и в нем распространяется к открытому концу волна
#ю, то этот случай также можно рассчитать вполне строго, сво-
сводя его к рассмотренной задаче о плоском волноводе. Легко по-
показать, что волна #10 в системе, изображенной на рис. 18,
эквивалентна основной волне Ет в плоском волноводе с рас-
расстоянием между пластинами, равным D, но при этом волновое
число k должно быть заменено на
где D — большая сторона прямоугольного волновода.

Если сделать эту замену, то формулы F.04) и (9.05) будут
определять коэффициент отражения от конца волновода, а фор-
формула F.12) —характеристику излучения.
В обоих случаях из открытого конца волновода расходятся
не сферические, а цилиндрические волны, распространяющиеся
между параллельными плоскостями, поэтому нельзя судить по
результатам решения задач, относящихся к системам, приведен-
приведенным на рис. 17 и 18, о прямоугольном волноводе, открывающем-
открывающемся в свободное пространство. Заметим, в частности, что в систе-
системе, показанной на рис. 17, открытый конец волновода ведет себя
как индуктивная нагрузка, а в системе рис. 18 — как емкостная.
Это легко усмотреть из рис. 14 и 16. Таким образом, располо-
расположение добавочных плоскостей коренным образом меняет харак-
характер отражения от конца волновода. У обычного прямоугольного
волновода (без добавочных плоскостей), как известно из экспе-
эксперимента, открытый конец является по отношению к волне #oi
емкостной нагрузкой, как в системе ,на рис. 18.
Дальнейшие главы будут посвящены круглому волноводу
с открытым концом.
Задачи к гл. I
1. Вывести формулу B.17), пользуясь общим методом § 3.
2. Доказать непосредственно, что функции C.14) и C.16) стремятся
к единице при \w\ -* со в тех полуплоскостях, где они голоморфны.
Решение. Задача сводится к исследованию бесконечного произведения
л=1
в котором для функции <р+ (w) при л->о© можно положить
Yn = m. xn = iln —, т„ —т„-1 = —.
.Бесконечное произведение
оо iw
Р. (») = П (Ч-Sr) е " - Т^с^,
Л=1
где г = — iw,C — 0,5772 ... — постоянная Эйлера — Маскерони, Г (г) — гам-
ма-функция, позволяет записать р (w) в виде
-т+Сг-г1пТэ
^ (w) = ро (w) r (w) e
где
w
r(w)
60
00
~1Я w ~*V sin(nq)
п=\ 1 + •

При | w | -► со в верхней полуплоскости
n 2z
iqM+ (%) = -y w — z + z In —,
поэтому, применяя к гамма-функции формулу Стирлинга
2Я - !„ - г-
доказываем, что
Аналогично исследуется поведение функции ф+ (w).
3. Исходя из формул E.07) и F.09) и пользуясь оценками, данными
в начале § 5 и 6, показать, что для магнитных волн .
H^-JT'
•а для электрических волн
где
F ^ F
есть расстояние от края верхней полуплоскости. Эти оценки справедливы при
г -* 0 и характеризуют поведение поля у острого края.
4. Исходя из формулы EЛ0) и аналогичной формулы для интеграла
{6.09), показать, что соотношения (8Л2) — (8.15) можно вывести, полагая
F(w)= 2ni(w
ИЛИ
f(z)=Ae~ihz при z>0,
f(z)=O при z<0
и учитывая при этом соотношения A.05) и A.14). Исходя из формулы (8.01),
обосновать (путем деформации контура Г) этот способ вывода формул для
поля излучения по принципу Гюйгенса.
5. Вычислить собственные частоты «двухмерного открытого резонатора»,
образованного двумя отрезками —L<z<L, —оо<#<оо параллельных пло-
плоскостей у = ±а, при условиях
где X — длина волны, соответствующая собственной частоте.
Решение. При условии А ^> а между пластинами у = ±а может распро-
распространяться только волна £оо с волновым числом k, коэффициент отражения ко-
которой от концов волновода z=±L согласно формулам F.04) и (9.07) равен
Так как R^—1, то в данной системе возможны двухмерные колебания,
слабо затухающие вследствие излучения из открытых концов и подобные зву-
61

ковым колебаниям в открытых трубах (органных и т. п.). Пренебрегая иска-
искажением поля у концов (при 2~±L), можно написать для плотности тока вы-
выражения
f(z)=Acoskz {a)
и
f(z)=Asinkz. (Ь)
Первое из эт*их выражений можно переписать в виде
причем множитель e~2ikL должен быть равен R — коэффициенту отражения
от конца волновода z=L. Приравнивая эти две величины, получаем
k== 2L + (^ + i)a (/=1,2,...).
где нечетные значения j соответствуют формуле (а), в четные—формуле (Ь\).
При вычислении £ достаточно положить & = ~2Z/ слагаемое (^+i)a опреде-
определяет как поправку на открытые концы, так и затухание вследствие излуче-
излучения, из-за которого частота со = с/г становится комплексной.
6. Показать, что при условиях
q = l—~2 + Р Для волн 1"Г0 п 3-го типов,
q = / + Р Для волн 2-го и 4-го типов,
где
/^> 1 и /7^1,
и при дополнительном условии
точные формулы A0.35) —A0.38) можно заменить одной приближенной фор-
формулой
p) + U(sn, p)}
d __
H^-~l (Sl+sn)sn
в которой
Sl = У4пр, sn = V4n (I — n + p).
Пользуясь формулами (В. 15) и (В. 17) приложения В, показать, что при
\Р\ « 1
i$(i+l)sl
Аг,г = — е ,
где
0,824.
Уп
1. Вычислить собственные частоты двухмерных открытых резонаторов,
рассмотренных в задаче 5, при условиях
q ^ п — у или q^n, п > 1.
62

Соответствующее собственное колебание представить в виде стоячей волны
ЕОп или #оп, возникающей в результате отражения от обоих концов (коэф-
(коэффициент отражения Rn,n~—1; при отражении появлением волн других номе-
номеров пренебречь).
Решение. Полагая
f{z)=A cos wnz (a)
или
f{z)=A sm wnz (b)
и рассуждая, как в задаче 5, получаем в случае формулы (а) характеристи-
характеристическое уравнение
— 2iw L
е п = Rn n
определяющее собственные частоты. В. этом уравнении через р обозначена
малая величина
( Х\
или Р = с1—
Пользуясь выражением для Rn,n, полученным в задаче б, приходим к соот-
соотношению
/2&L2
в котором /= 1, 3, ... для формулы (а) и / = 2, 4, . . . , для'формулы (Ь).
Величина р, определяющая комплексную собственную частоту со = ск =
2пс
=="^~" д> получается равной
Р-
Сделанные аппроксимации законны, если последняя формула дает \р\
8. Исходя из представления поля в виде
)
и из волнового уравнения
А
показать, что задача о диффракции волны Ни в системе, изображенной
на рис. 18, сводится к двухмерной задаче о диффракции волны £Оо с волно-
волно/П2
k2— -jy£ (см.
вым числом fc* = I/ k2— -jF^r (см. конец § 11).
9. С помощью метода, примененного в приложении А для решения зада-
задачи о диффракции плоской волны на полуплоскости, составить функциональ-
функциональные уравнения, аналогичные уравнениям B.12) и B.13), для плоской волны
{a)
или
Н°х = Яоег* (г cos ?° + у sin ч*\ (Ь)
падающей на полубесконечный плоский волновод (рис. 1).
63

Решение. Искомые функциональные уравнения имеют тот же вид, что
и уравнения B.12) и B.13), однако входящие в них символы имеют другой
смысл, в частности /i=—к cos ср0. Функция f(z), связанная с функцией F(w)
соотношениями (Л.07) и (Л.08), для волны (а) определяется формулой
f(z)_M«.*)±M-a,*)t
тогда
L (w) = ' ^,е °
А=~^-Ео sin <p0 (eika sin ?o + е- <*а sin %).
Для волны F) имеем:
= v{\ ±eivd),
A =]-^- Ho (eika sin *° qF e~ £*a sin ?0).
В этих формулах фигурируют двойные знаки: это значит, что нужно для каж-
каждой из плоских волн (а|) и (Ь) решать две системы функциональных уравне-
уравнений (с верхними и нижними знаками) и затем комбинировать эти решения.
Функциональные уравнения для.падающих плоских волн решаются так
же, как в § 2 решаются уравнения для набегающих волноводных волн, по
крайней мере при Im/i>0.
10. Решить до конца задачу 9 при фо=О.
Решение. Беря для волны (а) уравнение с верхними знаками, по-
получаем
Ft ^ А
и при <р0 -+ 0
_ 2icE9 Ф+ (- k)
Выбирая в уравнении (а) нижние знаки, придем при фо«->0 к нулевому ре-
решению. Для волны F) при выборе нижних знаков имеем
F^= 2ni(w
так что при любых знаках
F (до) -»■ 0 при <р0 -* 0.
Смысл этого результата заключается в том, что волна, поляризованная пер-,
пендикулярно пластинам, не испытывает какого-либо возмущения.
64

ГЛАВА II
КРУГЛЫЙ ВОЛНОВОД.
СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 12. Интегральное и интегро-дифференциальное уравнения
для плотности тока на стенке круглого волновода
Рассмотрим круглый волновод радиуса а, открытый с одного
конца. Стенка волновода (будем считать ее идеально проводя-
проводящей и бесконечно тонкой) расположена при r=a, z>0, где г, ср,
z суть цилиндрические координаты
(рис. 19). В круглом волноводе, как
известно, могут существовать симмет-
ричные магнитные (волны #0 (т. е. #Оь
#02, ...) и симметричные электриче-
электрические волны Ео (т. е. £оь £о2, • • •)» элек-
электромагнитные поля которых не зави-
зависят от угла ф. Рис. 19. Круглый волновод
Если известна поверхностная плот- с открытым концом,
ность тока j на стенке волновода, то
электромагнитное поле может быть вычислено с помощью век-
векторного потенциала
^ A2.01)
где интегрирование производится по поверхности стенки.
Волны #ю имеют только азимутальную составляющую по-
поверхностной плотности тока
/9=f(z) A2.02)
и составляющие £?, Яг, Hz векторов поля. Векторный потен-
потенциал полубесконечной трубы, внутри которой по направлению
5-754 65

к открытому 1ковду распространяется одна из волн Яо, имеет
только составляющую
—2ra cos
пГ п> JkV(z — l)*+ r*+ a* —2ra cos ?
A (r,z)=-\/(C)rfC\ rj ,-cosyrf?. A2.03)
о -о
Используя соотношение
^_ z_ — l \ H*(vD)eiwZdw A2.04)
i/"£J_J-. 22 2 J
—00
где //0 = //|I) есть функция Ханкеля, а
t> = l/ й2 — w\ 1тг;>0, A2.05)
и теорему сложения бесселевых функций
^ V [J*>Г^Ш\ )е^\ A2.06)
Li [Js(va)Hs(vr)j
s(va)Hs(vr)
о=—00
где верхнюю строчку в фигурной скобке следует брать при
а нижнюю — при r>a, без труда получаем А^ в виде
^^w. A2.07)
Для полей имеем выражения
Граничное условие на стенке трубы
£ф=0 при г = а,
дает для плотности тока f(z) интегральное уравнение
00
$/(z —C)/(C)dC=O при 2>0, A2.09)
О
где
66
= -|- Г У,(оа)Я, (oa) ef«*da». A2.10)

Функция
оо
L{w)= J eiw2/(z)dz, A2.11)
—ОО
получаемая преобразованием Фурье ядра 1{г) интегрального урав-
уравнения A2.09), для волн Но равна
L{w) = naJl{va) Ht(va). A2.12)
Волны Ео имеют только продольную составляющую поверх-
поверхностной плотности тока
• 1г = № A2.13)
и составляющие векторов поля Н , Br, Ez. Векторный потен-
потенциал имеет только составляющую
л lr ^-JLUrJu**-^**»-*^ и. A2.14)
J J У(*—CJ+r2+a2—2mcos<f
о о
или
причем электрические и магнитные поля выражаются через Аг
следующим образом:
Граничное условие
£2 = 0 при г = а,
дает интегро-дифференциальное уравнение для плотности тока
A2.13). Это уравнение имеет вид
= 0при г>0, A2.17)
причем функция l(z), фигурирующая в этом уравнении, опреде-
определяется формулой
=-|- [ju{va)Hu{va)eiwZdw. A2.18)
—00
Таким образом, в случае круглого волновода задача сво-
сводится к интегральному уравнению A2.09) или интегро-диффе-
5* 67

ренциальному уравнению A2.17). Эти уравнения имеют такой
же вид, что и уравнения A.06) и A.15) в теории плоского вол-
волновода, причем 1{г) является четной функцией. Решения этих
уравнений находятся так же, как в гл. I, причем при решении
интегрального уравнения вида A2.09) основное значение имеет
функция L(w), определяемая формулами A2.11) и A2.12), а
при решении интегро-дифференциального уравнения вида
A2.17) такую же роль играет функция L{w), определяемая
формулой
A2.19)
Для волн Ео в круглом волноводе эта функция равна
L(w) =nv2aJ0(va)Hv(va). A2.20)
Отличие от плоского волновода состоит в том, что в теории
плоского волновода [формулы A.09), A.12), B.09) и B.10)]
функции L(w) выражались через элементарные функции, и
окончательные расчетные формулы были поэтому простыми.
В случае круглого волновода расчетные формулы оказываются
более сложными: Сама же постановка задачи, а также большая
часть математических преобразований остаются прежними.
В частности, без изменения остаются почти все рассуждения
§ 2. Мы ищем функцию f(z) в виде
, A2.21)
где первое слагаемое — ток волноводной волны, набегающей на
открытый конец, а второе слагаемое — ток, возникающий в ре-
результате действия конца волновода. При 1га &>0 и г—>оо второе
А
слагаемое f{z) исчезает и поэтому может быть представлено
в виде
f(z) = [ eiwz F (w)dw. A2.22)
Выражения A2.21) и A2.22) для тока на стенке имеют физи-
физический смысл только при 2>0. Считаем, что
f(z)=O при г<0, A2.23)
и определяем f(z) так, чтобы формула A2.21) была справедли-
справедлива при всех г. Поскольку значение w = —h есть корень уравне-
уравнения
L(w)=0, A2.24)
68

то мы, как и в § 2, приходим к следующим функциональным
уравнениям для интересующей нас функции F(w)\
00
J e^zF(w)dw = — Ae~ihz при z<0, A2.25)
eiwZL(w)F(w)dw = O при z>0. A2.26)
Эти функциональные соотношения выполняются, если функ-
функция F(w) удовлетворяет следующим требованиям: 1) сама
функция F(w) голоморфна при 1тдо<0 всюду, за исключением
точки w = —ft, где она имеет простой полюс с вычетом Л, и
стремится в этой полуплоскости равномерно к нулю при
\w\ —* оо; 2) произведение L(w)F(w) голоморфно при imw^O
и стремится в этой полуплоскости к нулю при \w\ —>оо.
Функцию f(z) можно записать короче:
f{z) = \eiwZF(w)dw, A2.27)
с
где путь интегрирования С в плоскости комплексного перемен-
переменного w состоит из вещественной оси и бесконечно узкой петли,
охватывающей точку w = —ft (ср. гл. I, рис. 2).
Пользуясь этой формой записи, выражение A2.07) для век-
векторного потенциала волн #ю можно представить в виде
F(w)dw, A2.28)
а выражение A2.15) для векторного потенциала волн Ео —
в виде
)F(w)dwt A2.29)
\jo(va)Ho(vr)j
Следует заметить, что выражения A2.28) и A2.29) естест-
естественно получаются, если для векторного потенциала (декартовы
составляющие которого удовлетворяют волновому уравнению)
получить сначала разделением переменных в цилиндрической
системе координат систему частных решений, зависящих от па-
параметра w. Различный аналитический вид частных решений при
г<а и г># связан с тем, что при г-*0 поля должны быть не-
непрерывны, а при г—+оо — удовлетворять принципу излучения.
Образуя суперпозицию этих частных решений (такую, при кото-
которой векторный потенциал непрерывен при г=а), получаем соот-
соответственно выражения A2.28) и A2.29). Если вычислить по
формулам A2.08) и A2.16) скачок тангенциальной составляю-
составляющей магнитного поля при г = а, то оказывается, что выражение
69

A2.27) дает поверхностную плотность тока на цилиндре г=а.
Требуя, чтобы поля, получаемые из A2.28) и A2.29), были не-
непрерывны при r=a, z<0, т. е. на продолжении стенки волново-
волновода, приходим к условию A2.23) и, следовательно, к уравнению
A2.25). Полагая тангенциальную составляющую электрическо-
электрического поля равной нулю на стенке волновода, получаем уравнение
A2.26). При этом для волн Яо функция L(w) получается в со-
соответствии с формулой A2.12), а для волн Ео— с формулой
A2.20). Таким способом удается прийти ко всем основным соот-
соотношениям более просто — минуя составление интегрального
уравнения для тока. Этот путь был нами намечен еще в § 2.
Ниже, в гл. III и IV, будет показано, что этот путь быстро ве-
ведет к цели.
§ 13. Вспомогательные функции
Займемся теперь вычислением вспомогательных функций,
которые входят в решение интегрального или интегро-диффе-
ренциального уравнения для круглого волновода. Эти функции
имеют другой, более сложный вид, чем соответствующие функ-
функции для плоского волновода.
Введем для сокращения письма безразмерный параметр
х = йа = ^ A3.01)
равный отношению периметра трубы к длине волны в свободном
пространстве, и безразмерные волновые числа волн в волноводе
yn = wna (Im<Yn>0 при Irn&>0). A3.02)
При этом безразмерное волновое число волны Нт определяется
по формуле
y^F~7nJ A3.03)
где Jin есть п-и корень уравнения
Ji(|i)=0 A3.04)
(^ = 3,832; ^ = 7,016; |i3= 10,173; ...).
Для волны Е$п
4n = V *2-vl> A3.05)
где\'п есть п-и корень уравнения
/o(v)=0 A3.06)
(v! = 2,405; v2 = 5,520; v3 = 8,654; .. .)■
Введем безразмерные переменные
wr = wa, v' = va = J/V— w12 A3.07)
70

и будем на протяжении этого параграфа вместо до', v' писать
просто w, v. Задача определения функции F(w) из функциональ-
функциональных уравнений A2.25) и A2.26) сводится к такому разбиению
функций
-ф(до) =nvHi(v)Ji(v) =«ф+(до)'ф-(до) A3.08)
(для магнитных волн Но) и
Ф(до) =яуЯ0(г;)/о(о) =ф+(до)ф_(до) A3.09)
(для электрических волн £о), чтобы я|>+(до) и срч-(до) были голо-
голоморфны и не имели нулей в верхней полуплоскости lm w^ 0
а я|,\_(до) иф_(до) имели те же свойства в нижней полуплоскости
1тдо<0. При lmk>0 сами функции о|э(до) и ф(до) голоморфны
и не имеют нулей в полосе
—хо<1тдо<хо, где хо<1тх. A3.10)
Эти функции имеют разрезы при Ima —0; на разрезах
расположены нули функций: х, ух, у 2, ... (на разрезе х-—>/оо) и
—х, —Yj, —у2> ••• (на разрезе —х—> — юо). Функции ф(до) и ср(до)
стремятся к единице равномерно, если |до|—^оо и |"~Ь
+ г < arg до «< -| г или -у + е <Carg^ <C ~y — 8» Где е — малое
положительное число.
Разбиение функций дается формулами (ср. § 3)
X+W=i \ *£?, X-(«) = -i- J -^?- A8.11)
—ix0— oo tx0— oo
причем в случае A3.08) нужно взять
<|>_(до) = е^ ', A3.12)
а в случае A3.09)
Х(до)=-1п?(до), <р+(до)=е+ , <р_(до) = ех~ A3.13)
(ветвь логарифма выбирается так, чтобы %—*0 при |до|—-оо).
Дифференцируя, получаем, например,
dx- {и) (i In ф_ (а) 1 С dx (w) dw
.= L^r
da da 2ni J dw w — a
■q—OO
w dw
71

Деформируя путь интегрирования наверх так, чтобы он охва-
охватил разрез х—Woo, и вычисляя вычеты подынтегральной функ-
функции и интегралы по противоположным сторонам разреза, мы
используем то обстоятельство, что если на нижней (левой) сто-
стороне разреза величина v имеет некоторое положительное значе-
значение (v>0), то в соответствующей точке на противоположной
стороне разреза ее значение есть —v=etwv. Используя соотноше-
соотношения обхода для функций Ханкеля
Нх (v) =Л (v) +iNx (v), HY (-v) =JX (v)-tNx (v),
A3.15)
HQ(v) =J0(v) +iN0{v), H0(—v) =—J
получаем
<ЛпФ-(ц)_ 1 1.Ш 1 i_! f dQ{v) dw
da \^\
1 i_! f dQ{v) dw 1
п~-Чъ * J dw w— пУ
где \v определяется формулой A3.02), Yo^x и интеграл берется
по нижней стороне разреза (а>0), а
'>£U-£ A3.17)
есть непрерывная функция аргумента v, удовлетворяющая условию
0^)=^. A3.18)
Преобразуем члены ряда A3.16) интегрированием по частям:
f
1
находим отсюда <|>_(н) и ф+(м), пользуясь тем, что
ф.(") = Ф+(-"), A3.20)
в результате чего получаем
где
f
1
72

причем не зависящие от и числа &п должны быть выбраны так,
чтобы ряд сходился. Вводим обозначение
тогда
где
сф)=О(») —Q(Hn_,) При {bi-iO
A3.22)
есть функция, терпящая разрыв в корнях уравнения A3.04). С по-
помощью тождества A3.08) получаем
M(w) \
ф„(ш) =4Лс(и — ш)Я1(о)У1 (о) е 2 . j
Вместо Л1(ш) удобно ввести функцию S(o;) по формуле
N
жи=2 in-^±|-+«И. (I3-24)
л=1
где Л/" означает число волн, распространяющихся в волноводе
при данном к.
В окончательных формулах мы будем считать Imx = 0 (тогда
Ть Y2, • • •» \n переходят в вещественные положительные числа,
Tjv+i, yN+2, ••• — в чисто мнимые) и интересоваться главным
образом вещественными значениями аргумента w в пределах
A3.25)
Для таких w можно написать
S(w)=X(w)+iY{w), A3.26)
причем вещественная часть равна (интеграл для X понимается
в смысле главного значения)
~\ 1 2 1/ 9 9
71 J v2 — vi К x2 — v2
о
A3.27)
73

а мнимая часть при 0 < w0 < к равна
м
Г g(^) ^ 1
J w — w0 J '
A3.28)
Подставляя выражение A3.24) в формулу A3.23), получаем
1 п, . )
. N
п=1
/'■'
A3.29)
i
причем S(ffi)) конечна при вещественных значениях w.
Аналогично, функция <p(w) для волн Ео, определяемая форму-
формулой A3.09), разбивается на множители
= /«(х
<? _ (w) = V г(х - w) H0(v)JB(v) e
A3.30)
где M(w) определяется той же формулой A3.24), в которой
теперь
*Щ+4, A3.31)
A3.32)
Q (vn) = яте,
<a(o) = Q(o) — Q(vn_,) при vn_,<o<vn, "I
A3.33)
С помощью соотношения A3.24) приходим к более удобным
выражениям:
г ■
?+И=1/ ■x(x + w)H<)(v
У
<f_(w) =1/ 7г(>с — w) H0(v
N
A3.34)
/2=1
74

причем S(w) определяется формулами A3.25) — A3.28), в ко-
которых под Q(v) следует понимать функцию A3.31), а под
уп— безразмерное волновое число волны ЕОп [формула A3.05)].
При вычислении %(w) по формуле A3.27) мы пользовались
таблицами функции arg#0 и aгgЯl, приведенными в книге Ват-
сона [10]. Вычисление Y(w) облегчается тем, что функцию
A3.17) при fl^3^ можно приближенно заменить выражением
О^^о-^+А, A3.35)
после чего интеграл в формуле A3.28) легко вычисляется. Так,
например, при jii<>c<jjj,2 имеем
М
— Ylarcsin Yl 1. A3.36)
Функцию Cl(v), определяемую формулой A3.31), можно счи-
считать при v^vl равной
Q@)==0 + Jl—и"» A3.37)
поэтому для волн Ео при y1<^x<^v2 получаем
м
+21ira rXi-ln^-V] arcsin
Покончив со вспомогательными функциями, перейдем к вы-
вычислению величин, представляющих физический интерес.
§ 14. Исследование выражения для тока
Для волн #о введем функции
^*а, L_{w)= -ЦС"*)
а для волн Ео — функции
Эти функции удовлетворяют соотношениям
L+{w)=L_{-w),
75

причем —h — —wt есть волновое число волны #oz или EOiy рас-
распространяющейся в волноводе по направлению к открытому
концу [формула A2.21)]; при lmk = 0 волновое число h вещест-
вещественно и положительно.
С помощью функций L+(w) и L-(w) можно определить функ-
функцию F(w), удовлетворяющую всем сформулированным выше
требованиям. Соответствующие выражения полностью повторя-
повторяют формулы § 4, поэтому нет необходимости их здесь приводить.
Заметим, что функции L+{w) и L-{w) для магнитных и электри-
электрических волн в круглом и плоском волноводах ведут себя при
]до| —>оо одинаково. В частности, для электрических волн про-
продольная составляющая тока на кромке волноводной стенки ис-
исчезает:
f(+0)=0. (I4.04)
Электромагнитное поле внутри волновода (т. е. при г<Сау
г>0) является, как легко видеть из формул A2.28) и A2.29),
суперпозицией набегающей волны и волн всех номеров, идущих
от открытого конца внутрь волновода; амплитуда и фаза каж-
каждой из этих волн однозначно определяются соответствующей ей
плотностью тока на стенке. На больших расстояниях от конца
остаются только распространяющиеся волны, поэтому наиболь-
наибольший интерес представляет вычисление коэффициентов Ri,n, кото-
которые определяются по формуле D.04) амплитуды распростра-
распространяющихся от конца волн, имеющих вещественные волновые чис-
числа wn. Обозначим, как и раньше,
Ri,n = -\Ri,n\eei'n. A4.05)
При tui<x<|i2, когда из всех волн НОп в трубе может рас-
распространяться только волна #оь абсолютная величина ее коэф-
коэффициента отражения равна
|ДЬ1| = еХ(Т1) A4.06)
и фаза коэффициента отражения
вы = У(и (Н.07)
где Y(y\) дается формулой A3.36), которая легко может быть
преобразована к виду, удобному для вычислений (ср. § 9).
Если из всех волн ЕОп может распространяться только волна
Eqi (что будет при vi<x<V2), то ее коэффициент отражения
имеет абсолютную величину
l*...l = -Sre*Tl) A4.08)
и фазу
eipl = r(Ti) A4.09)
76

to
0,8
0,3
0,1
0.08
O
ш
0,03
0,02
ОМ?
0,008
0006
0,005
OOOb
b
000.
1
I
8
10 //
9€
Рис. 20. Абсолютные величины коэффициентов отражения и
трансформации (по току) волн Яо.
—
s
\
\
1
\
Ш
\-
\
И
1
Ч, У
\
N
N
—-**
Ш
-^
^
0,8
06
fa
03
02-
0.1
0,08
006
tios
003
002
Ofil
S
6
8
Рис. 21. Абсолютные величины коэффициентов отражения и транс-
трансформации (по току) волн Eq.
77

a_
a
0,2
01
, >L
i—1
/
/
\
a. 4
\\
\
>
A
J
у
ft.2
(
-
л
1
ISO'
60'
Ю
Рис. 22. Фазы коэффициентов отражения
трансформации волн Яо.
[см. формулу A3.38)]. Из общих формул D.05) и D.06) нетруд-
нетрудно получить расчетные формулы для коэффициентов Ri, n при
других значениях параметра к.
На графиках приведена зависимость \Run\ и 0/,п от парамет-
параметра х для распространяющихся волн и тех значений х, при кото-
которых в волноводе могут
распространяться одна
или две волны данного
типа '(^1<х<|1з на
рис. 20 и 22 для волн
Яо и vi<>c<V2 на рис.
21 и 23 для волн £о).
Эти графики пока-
показывают, что фазы 0z,n
при изменении пара-
параметра >с от одного кри-
критического значения к
другому. изменяются
у магнитных и элек-
электрических волн при-
примерно одинаковым об-
образом и в одних и тех
же пределах. Характер
изменения \Ri,n\ в за-
зависимости от >с также
одинаков, в частности
ход \Ri,n\ 'При переходе
параметра х через кри-
критическое значение \i2
или V2, когда появляет-
появляется вторая распростра-
распространяющаяся волна, у маг-
магнитных и электриче-
электрических волн аналогичен.
Однако абсолютные ве-
величины коэффициентов
отражения и транс-
трансформации Ri,n магнит-
магнитных волн быстро спа-
спадают до малых значе-
значений — гораздо мень-
меньших, чем соответствующие величины для волн электрических.
В этом проявляется та общая закономерность, согласно
которой магнитные волны излучаются лучше электрических.
Другой интересной особенностью коэффициентов трансформа-
трансформации является стремление всех Rt} n к Rn,n при увеличении %.
Иначе говоря, амплитуда тока у волны определенного номера,
распространяющейся от конца волновода, зависит практически
78
Рис. 23. Фазы коэффициентов отражения
трансформации волн Ео.

лишь от амплитуды тока набегающей на конец волны, но не от
ее номера, если частота значительно выше критической частоты
как возбуждающей, так и возбуждаемой волн (ср. § 10).
Между коэффициентами \Ri, n для волн одного и того же типа
существует ряд точных соотношений. Так, для волн Но
\Rl>n = lL.Rnii A4.10)
и для волн Е
о
Для распространяющихся волн (уп и Y/ — вещественные положи-
положительные числа)
e,,w=e''' + e""' =e«.i A4.12)
ri.n = rntl. A4.13)
Здесь ritn означает коэффициент трансформации 1-й волны в п-ю
по мощности, т. е. л, п есть та часть мощности набегающей вол-
волны /, которая тратится на возбуждение обратной волны п. Тот
факт, что величины вг,п и г^п всегда симметричны относительно
своих индексов, следует из общих соотношений взаимности [7].
Отмеченные свойства коэффициентов отражения и трансфор-
трансформации повторяют закономерности, имеющие место в плоском
волноводе (гл. I).
На рис. 22 и 23, наряду с © = 61,1, дано отношение поправки
на открытый конец а (см. выше § 9) к радиусу трубы а для тех
значений х, когда в трубе распространяется только одна волна
данного типа.
Слагаемое Q(z) в формуле D.04) определяет ток, возбуж-
возбуждаемый на внешней поверхности стенки волновода. Для волн Яо
при достаточно больших z, т. е., точнее, при
2>а и &г> 1, A4.14)
имеем
Q(z) ^ -~ikhaL+(k)L+(h) ~. A4.15)
Этот результат легко понять, так как плотность тока, имею-
имеющая в этом случае только азимутальную составляющую, связана
с продольной составляющей магнитного поля, убывающей
в волновой зоне обратно пропорционально квадрату расстоя-
расстояния. Что же касается волн £0, то они возбуждают на внешней
79

стороне волновода ток, определяемый при условиях A4.14)
выражением
(h) ikz ? e-ds ihL+(k)L+(h)
e )
2iz
A4.16)
(y= 1,781 ...). Закон убывания тока получается в этом случае
таким же, как в теории возбуждения бесконечно длинной одно-
проводной линии — идеально проводящего цилиндра — с по-
помощью сторонней э. д. с, направленной по оси [см. [11], фор-
формулу B0)].
§ 15. Принцип Гюйгенса
Прежде чем перейти к рассмотрению точных формул, опре-
определяющих поле излучения из открытого конца круглого волно-
волновода, остановимся на принципе Гюйгенса, с помощью которого
обычно производится приближенный расчет диффракционного
поля.
Наиболее рациональная формулировка принципа Гюйгенса
в электродинамике заключается в том, что поле излучения
выражается через поле на поверхности S, затягивающей отвер-
отверстие волновода и продолжающейся далее по внешней стороне
его стенки. Полагая поле на отверстии волновода таким же, как
поле распространяющейся вЪлны в бесконечном волноводе, а
на остальной части поверхности S — равным нулю, следует
пользоваться выражением, учитывающим разрыв поля на 5
(см., например, [12]). Приближенный расчет излучения волно-
волноводов по этому способу можно найти в статье Чу [13]. Поле из-
излучения волны Hoi в волновой зоне имеет следующий вид:
__я —2паЛ 7l(xsin^ е
Л L ПчОП
— л cos 0 -cos 9, R • Uo.Ulj
а поле излучения волны Eoi —
и р _J^ л sin О/о (х sin 0) eikR ПЯ 02)
п<о— п&— с cosO — cosOz R' V ' J
Здесь /?, &, cp — сферические координаты с центром в начале ко-
координат (г = 2 = 0), угол &z определяется из соотношения
kcosbl = — h, A5.03)
А — амплитуда тока; —h = —wL — волновое число набегающей
волны [формула A2.21)].
80

Второй возможный способ приближенного расчета поля из-
излучения основан на том обстоятельстве, что задача о симмет-
симметричных волнах в круглом волноводе с открытым концом сво-
сводится к волновому уравнению
для функции П = П(г, г), равной продольной составляющей
магнитного (для волн Но) или электрического (для волн £0)
вектора Герца и удовлетворяющей на стенке волновода опре-
определенному граничному условию. Используя для функции П фор-
формулу Кирхгофа и делая обычные аппроксимации, легко вычис-
вычислить поля в волновой зоне. Для волны #0/ таким путем прихо-
приходим к формуле
Е = -Нь=&А**\\ '*<****) ? V ', A5.04)
<р & с sin2dz cos 0—cos 0/ R v '
а для волны £"oz возвращаемся к формуле A5.02).
Сравнивая эти два способа расчета, нужно иметь в виду, что
в качестве «вторичных источников» в принципе Гюйгенса более
естественно брать электрическое и магнитное поля, а не вспо-
вспомогательные функции, не имеющие непосредственного физиче-
физического смысла и определяемые заданным полем неоднозначно.
С этой точки зрения первый способ предпочтительнее. Его пре-
преимущества выявляются наиболее четко три рассмотрении не-
несимметричных волн (гл. IV).
§ 16. Поле излучения
Из выражений A2.28) и A2.29) нетрудно получить с по-
помощью метода перевала электромагнитное поле в волновой зоне
вне волновода, точнее там, где не только
й/?>1, A6.01)
но и
JW?sin2ft>l. A6.02)
Для волн Яо имеем
откуда
с
Обозначим через
6—754 81

мощность, излучаемую в пределах элементарного телесного угла
dO = sinftd&d<p. Для волн Но распределение излучаемой мощ-
мощности по направлениям связано с полем Е9 в волновой зоне со-
соотношением
*(b)=±\E^R\ A6.05)
а мощность волны #о/ в волноводе выражается через амплитуду
ее тока А следующим образом:
ги_щг^ (Ш)б)
Мощность Р приносится набегающей волной к открытому
концу волновода; часть ее отражается обратно в волновод, а
часть излучается в пространство. Из написанных выше общих
выражений нетрудно получить формулы для характеристик из-
излучения волн Н01 при любых значениях параметра к. Например,
при jLii<i%<ji2, когда из всех волн Яо может распространяться
только волна Яои имеем для нее
Y,
cos» 0-cos»
l '
Это точное выражение полезно сравнить с тем, которое полу-
получается на основании принципа Гюйгенса: первый способ [формула
A5.01)] дает для волны Hoi
а второй [формула A5.04)] приводит к несколько иному распреде-
распределению излучаемой мощности по направлениям
=^*)- <16-09>
Полная излучаемая мощность, равная
1С
S (b)dO = 2^ J S (ft) sin 9d», A6.10)
о
легко вычисляется с помощью замены переменного интегриро-
интегрирования до'= х cos 0- и преобразования пути интегрирования в пло-
плоскости комплексного переменного w\ Таким образом, из A6.07)
получаем
ЧЯыР)- A6.11)
82

Эта формула дает баланс энергии излученной и отраженной
волн [|/?м|берется по формуле A4.06)].
На рис. 24 сплошной линией показано отношение мощности,
излучаемой из конца волновода, к мощности Р набегающей
волны #01 по формуле A6.11) в зависимости от отношения
-~—~ (отношения рабочей частоты со к критической частоте
(Оо волны #oi). Пунктирная кривая рис. 24 дает примерный ход
отношения мощности, излучае-
излучаемой согласно принципу Гюй-
Гюйгенса [первый способ расчета,
формула A6.08)] к той же
мощности Р; она построена по
расчетам Малова [14], пытав-
пытавшегося с 'помощью таких вы-
вычислений установить границы
применимости принципа Гюй-
Гюйгенса. Мы видим, что вблизи
критической частоты принцип
Гюйгенса дает совершенно не-
неправильную оценку излучаемой
V
10
од
Рис. 24. Баланс энергии волны //Oi-
величина -р~ (v) ^d
, вычисленная по
МОЩНОСТИ, НО При увеличении Формуле A6.11); величина-^
ЧаСТОТЫ ПОЛОЖеНИе быстро ВЫ- полученная по расчетам Малова [14].
правляется (ср. выше рис. 13).
На рис. 25 для сравнения приведены точная характеристика
излучения волны при и = 4,023= 1,05^1 и характеристики, полу-
полученные по принципу Гюйгенса. Из рис. 25 видно, что второй спо-
способ расчета по принципу Гюйгенса, приводящий к формуле
A5.04), дает худшие результаты, чем первый способ, т. е. фор-
формула A5.01).
Переходим к электрическим волнам Ео. В волновой зоне ![т. е.,
точнее, там, где выполняются условия A6.01) и 16.02)] имеем
Л2 =
^/0(>csin&)F(/ecos&)-
_^}_а L+(h)L+(k cos ft)
ck sindrto (xsinti)
A6Л2)
A6ЛЗ)
Угловое распределение мощности, излучаемой волнами Ео, на-
находится из выражения для поля Н^ в волновой зоне по фор-
формуле
2(&) = g?-|#J2#2. A6.14)
Мощность Р волны Eoi связана с амплитудой ее тока А фор-
формулой
"~2~2^№ A6.15)
83

Из этих выражений нетрудно получить характеристику излу-
излучения любой волны Eoi. В частности, для волны Ео1 при усло-
условии vx<;^<;v2, когда может распространяться только одна эта
волна, получаем
\LOAO>
2 |//o (x sin 0I cos2 0 —cos2 0,
Подсчитывая по этой формуле полную мощность излучения,
приходим опять к A6.11), где |t/?n| уже дается формулой
A4.08).
0,3
{
1
I
ft0,1
>
ч
\
»•«
4
1
j
I
f
/
/
f
••
/ ^
►
••
1
\
\i
\|
\
\
1
\
\
V
i
\
\
30° 60° 90° 120° 150° 180°
Рис. 25. Характеристика излучения волны /7Oi при
х = 4,023:
р— , вычисленная по формуле A6.07);
-Ц)— • вычисленная по формуле A6.08); ••• —2 , вычислен-
вычисленная по формуле A6.09).
На рис. 26 сплошной кривой дана характеристика излуче-
излучения волны £*о1 при х = 2,552. Интересно, что
S@)=oo.
Электромагнитное поле волны £*Ог при условиях A6.01) и
A6.02) и дополнительных условиях
х sin & < 1, cos &
A6.17)
84

(т. е. в направлениях, составляющих малые углы со стенкой
волновода) выражается весьма простой формулой:
(k)L+(h)
JkR
sin 0 In-
R
A6.18)
21
Такое же поле получается при сосредоточенном возбуждении
идеально проводящей однопроводнои линии (ср., например, [11]).
Таким образом, сильное излучение волн £ш назад вызывается
направляющим действием внешней поверхности волновода.
ого
008
0,06
QtOb
002
1
\
\
\
1
У
IKE
— \
ч
ч
^
.г
f
/
А
/
1
1
is
г
/
/
/
\
\
\
\
\
\
\
\1
\
\\\
\\
V
\—
30°
60°
SQ*
ПО9
150*
1В0*
Рис. 26. Характеристика излучения волны Е0\ при
х = 2,552:
s (■&)
, вычисленная по формуле A6.16);
Si (ft)
, вычисленная по формуле A6.19).
Это — эффект концентрации излучения вдоль оси однопроводнои
линии, появляющийся при любом способе ее возбуждения,
в частности при возбуждении «изнутри» симметричной электри-
электрической волной.
Пунктирная кривая рис. 26 построена по принципу Гюйгенса
A5.02), дающему для волны Еы
sin 0 /р (х sin 0)
cos Ь — cos
{3V
A6.19)
Она почти совсем не передает действительного распределения
излучения по направлениям. Это связано с сильным обратным
излучением волн £0, заметным даже при большем значении па-
параметра к на снятой грубо экспериментальной диаграмме на-
направленности (см. [15], рис. 2).
Следует обратить внимание на то, что в направлении $=1дч>
определяемом выражением A5.03), формулы A6.04) и A6.13)
85

и формулы по принципу Гюйгенса (§ 15) дают для поля излу-
излучения одну и ту же амплитуду и фазу (особенно ясно это видно
из формул § 17). При этом для волны Hqi
^^ A6.20)
а для волны Eoi
S (»,) = ?,(»,) = Я-g-J>,). A6.21)
Если в волноводе могут распространяться несколько волн
данного типа, то излучение одной из этих волн в направлении
й=Фп, соответствующем другой волне, равно нулю. Характе-
Характеристика излучения может обращаться в нуль только в этих на-
направлениях (если не считать направлений /&=0 и Ф = л;). В том
случае, когда существует только одна распространяющаяся вол-
волна данного типа, ее характеристика излучения при 0<Ф<л;
нигде не обращается в нуль (ср. рис. 25 и 26).
Заметим, что знание поля излучения какой-нибудь волны
позволяет без труда с помощью соотношений взаимности [7]
найти, с какой амплитудой возбуждает в волноводе эту волну
плоская волна, распространяющаяся в свободном пространстве.
§ 17. Приближенные формулы
Расчет характеристик излучения и других величин по точным
формулам требует для круглого волновода довольно большой
вычислительной работы. Что же касается принципа Гюйгенса,
то он во многих отношениях (см. рис. 26) дает неудовлетвори-
неудовлетворительные результаты. Поэтому возникает важный вопрос о вы-
выводе таких приближенных формул (в первую очередь для поля
излучения), которые, с одной стороны, давали бы надежные
результаты, а с другой стороны, были бы более просты для рас-
расчетов.
Этот вопрос связан с общей проблемой уточнения прибли-
приближенных методов теории диффракции. Здесь ограничимся тем,
что выясним, какой вид принимают выведенные выше точные
формулы при условии, что периметр трубы велик по сравнению
с длиной волны, т. е. при
х>1. A7.01)
Такое исследование уже было проведено для плоского вол-
волновода в § 10. В случае круглого волновода также приводим
выражение A3.11)
—/х„+оо
J J sin z- cos 9
—ix0— oo Г
86

к виду
7 + (>с cos&) = £/ при cos&>0,
cos &) = х (и cos &) -f- f/ при cos & ■ " л r
где
есть тот же интеграл, что и A7.02), но взятый не по пути Г, рас-
расположенному в плоскости комплексного переменного т слева от
ломаной(—"-j-jco, —£-, ~, -|—/оо), а по пути Го, проведен-
проведенному через точку % — 0 в направлении быстрейшего стремления
функции х (к s*n т) к нулю (путь Го симметричен относительно
точки т==0, поэтому функция U меняет знак при замене cos&
на — cosft).
Пользуясь этими соотношениями, получаем из A6.04) поле
излучения симметричной магнитной волны Hoi в виде*
sin—
_2паА ' 2 /l(xsind)
0z cos 0—cos 0г
sin—9-
при -^-<С^<7Г> в переднем полупространстве) и
sin -n- cos-7f (cos 0 — cos bt) Hi (x sind)
A7.06)
[при 0<С^<С-^- в заднем полупространстве ]. Здесь Ui — значе-
значение интеграла U [формула A7.04)] при & = *л; — Ь1} где угол &*
определяется волновым числом набегающей волны по формуле
A5.03).
Формулы A7.03) — A7.06) точные. Однако при условии
A7.01) в интеграле A7.04) существенна только окрестность
точки т^О, а там вместо точной функции yv = lnij), вычисляемой
по первой формуле A3.12), можно взять
A7.07)
* При условии A7.01) формулы для поля излучения в волновой зоне
круглого волновода применимы только при выполнении дополнительного
неравенства kR^> к2 (ср. примечание к стр. 50).
87

Исследуя интеграл A7.04) с учетом условия A7.01) так же, как
в § 10, можно свести его к функции
^)^' (Ш)8)
-°° t — se
где
^ cos 0; q = -i- Q (и), A7.09)
причем функция Q определяется формулой A3.17). При вычис-
вычислении функции Cl(v) вблизи точки v — u мы считали, что прибли-
приближенно можно положить
Таким же образом поле излучения волны Eoi представляется
при у << $ < тс в виде
sin -^ cos ~y Jо (х sin 0) ikR+u+ut
n<?— с cos 0 — cos 0, Л ' U'-au;
апри
Sln 2 JkR+U + U,
*7k5«<>
sin -у (cos %■ — cos bt) HQ (x sin 8-)
Эти формулы вполне точны, если под U понимать интеграл
A7.02) с функцией х = 1п<р по формуле A3.13).
При условии A7.01) этот интеграл приближенно выражается
через функцию U(s, q) от аргументов
5 = /2xcos&, ? = -i-Q(x), A7.12)
где функция Q(x) дается формулой A3.31).
Приближенные формулы такого же вида были ранее при-
приведены для поля излучения плоского волновода (§ 10). В эти
формулы также входила функция U(s, q), определяемая ин-
интегралом A7.08).
При преобразовании интегралов A7.04), имеющих различ-
различный вид для волн разных типов, к универсальной функции
U(s, q) использовалось условие A7.01). Для применения при-
приближенных формул важно знать их точность при различных
88

значениях параметра х. Чтобы выяснить это, мы вычислили ха-
характеристики излучения волн #Oi и £Oi по приближенным фор-
формулам с функцией U(s, q) для тех значений параметра х, где
имеются результаты вычислений по точным формулам.
В случаях, представленных на рис. 25 и 26, частота взята
соответственно лишь на 5 и 6% выше критической частоты волн
#01 и £"oi, т. е. наименьшей частоты, при которой в волноводе
еще может распространяться волна данного типа. Однако даже
при таких умеренных значениях параметра х расхождение меж-
между точным [по формулам A6.07) и A6.16)] и приближенным
[с функцией /7E, q)] распределением излучаемой мощности по
направлениям не превышает 2—3%'. Это значит, что условие
A7.01) почти не является ограничением: его можно считать
выполненным, если только в волноводе существуют распро-
распространяющиеся волны.
Приближенные формулы для поля излучения круглого вол-,
новода имеют более сложный физический смысл, чем соответ-
соответствующие формулы для поля плоского волновода; этот вопрос
будет разобран в гл. V. Полезно иметь в виду, что формулы
с функцией U(s, q) дают для поля излучения круглого волново-
волновода при '&= ~ небольшой скачок, быстро сглаживающийся при
увеличении параметра х и показывающий степень приближения,
даваемого этими формулами.
§ 18. Замечания
Результаты, полученные выше, во многом дополняют выво-
выводы, сделанные ранее при анализе плоского волновода. Волны
в обеих системах имеют много общих черт: в частности, волны
#oi и Ео] в круглом волноводе напоминают соответственно вол-
волны #02 и £*01 в плоском. В общем, магнитным волнам присуще
излучение, в основном направленное в переднее полупространст-
полупространство; их коэффициент отражения при удалении частоты от крити-
критической быстро спадает до малых значений. Электрические же
волны отражаются от конца сильнее и дают менее направлен-
направленную характеристику излучения; в стороны и назад они излучают
относительно больше. Последние свойства особенно резко вы-
выражены у волн Ео в круглом волноводе.
Метод, развитый нами первоначально для двухмерной диф-
фракционной задачи о плоском волноводе с открытым концом,
оказывается непосредственно применимым к симметричным вол-
волнам в круглом волноводе в силу следующего обстоятельства:
при диффракции волны #о, у которой Ez = 0y возникает электро-
электромагнитное поле, у которого также отсутствует продольная со-
составляющая Ег электрического поля. Аналогично, волна Ео,
диффрагируя на открытом конце, не возбуждает продольной со-
составляющей магнитного поля. Иначе говоря, симметричныеэлек-
89

трические и магнитные волны в круглом волноводе с открытым
концом существуют и могут рассматриваться совершенно неза-
независимо друг от друга. Для несимметричных волн такое незави-
независимое рассмотрение уже недопустимо.
Задачи к гл. II
1. Показать, что формулу A5.01) можно вывести, полагая в формуле
A6.03)
F(w)= 2ni(w+h) '
т. е. полагая
f(z)=Ae~ihz при
0 при
Вывести формулу A5.02), используя формулы A6.12) и A2.16) анало-
аналогичным образом.
2. Представить коэффициенты Ri,n для волн #о и Ео в круглом волново-
волноводе в виде, допускающем их исследование при х^>1 (ср. конец §10), и про-
произвести это исследование (ср. задачу 6 к гл. I).
Решение. Для волн #о получается выражение
а для волн Ео
Смысл величин Ut и Un тот же, что и в § 17. При условии х ^> 1
/~2~ 1
— Yn. q = —Q(x),
где U(s,q)—универсальная функция, табулированная в приложении В.
При условиях
+ или к=\'1
dQ(x)
имеем
q
и при дополнительном условии
\1-п\<1
как для волн Яо, так и для волн Ео получим приближенное выражение
mexp[U(si, p) + U(sn, p)]
Rl>n===~~l (Sl +sn)sn '
в котором
s, = /4S]5i sn = /471 (/ — n + /?).
90

При условии | р | <^ 1 имеем
Rltl = — e'PA + i)si , P = 0,824,
и
Rl,l -*— 1 При /?-*0.
3. Вычислить комплексные собственные частоты симметричных электриче-
электрических и магнитных колебаний в открытой с обоих концов трубе длиной 2L
и диаметром 2а (в «открытом цилиндрическом резонаторе») при условиях
%^[1п ИЛИ Х«Л?Л.
Эти колебания НОп} и EOnj искать в виде стоячих волн с волновым числом
wn <^ k.
Решение. Рассуждая,'как в задаче 7 к гл. I, для величины
Р Я Р 71
получим выражение
2^' (а)
где значения ;=1, 3, ... соответствуют распределению тока по формуле (нача-
(начало координат взято в центре резонатора)
/(г) =Л cos wnz,
а значения /=2, 4, ... — по формуле
/B)= Л sin wnz,
где
wn = ■
2L
Эти формулы для распределения тока не учитывают распространяющихся и
затухающих волн других номеров, которые возникают с малыми амплитуда-
амплитудами при отражении от концов и в дальнейшем отражаются слабо: они обу-
обусловливают «мелкую рябь», накладывающуюся на функции coswnz nsmwnz.
Полученные формулы тем точнее, чем меньше получается величина р по фор-
формуле (а).
4. Вычислить комплексные собственные частоты симметричных электриче-
электрических и магнитных колебаний в «полуоткрытой» трубе длиной L и диаметром
2а (при 2=0—металлическая перегородка, при 2=L — открытый конец) при
тех же условиях, что и в задаче 3.
Решение. В таком открытом резонаторе существуют колебания HOnj
с четными / и колебания EOnj с нечетными /; эти колебания HOnj и EOnj
такие же, как в открытой трубе длиной 2L (задача 3), т. е. они имеют те
же частоты и характеризуются (при 0<z<L) теми же функциями.

ГЛАВА
КРУГЛЫЙ ВОЛНОВОД. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
§ 19. Введение. Постановка задачи
Звуковые колебания в трубах, открытых с одного конца, бы-
были теоретически исследованы еще Гельмгольцем [16] и Рэлеем
[17]. Трудность этой задачи связана с необходимостью учета
диффракции на отверстии трубы, так как волна, распространяю-
распространяющаяся в трубе по направлению к открытому концу, отражается,
излучая часть своей энергии в пространство. Для облегчения
теоретического анализа этого вопроса указанными авторами
были сделаны некоторые искусственные допущения (в частности,
предполагалось, что труба оканчивается бесконечным плоским
фланцем), не соответствующие действительности и ставящие
под сомнение количественную применимость полученных ими ре-
результатов в обычных случаях. Однако диффракционные задачи
такого типа могут быть решены вполне строго. При этом, наря-
наряду с другими величинами, вычисляется и (комплексный) коэф-
коэффициент отражения волны в трубе от открытого конца, опреде-
определяющий характер звуковых колебаний, устанавливающихся
внутри трубы при ее возбуждении источником колебаний опре-
определенной частоты.
Введем цилиндрическую систему координат г, ц>, z и будем
считать, что бесконечно тонкая стенка трубы находится при
г—a, z>0. Рассмотрим прежде всего случай, когда в такой по-
полубесконечной цилиндрической трубе в направлении отрицатель-
отрицательной оси z (к открытому концу) распространяется одна какая-
нибудь волна. Беря зависимость от времени в форме e~lwt и
ограничиваясь сначала для простоты волнами, симметричными
относительно кр, мы должны решать волновое уравнение
г дг
92
*)+£+**=<>

для потенциала скоростей Ф (k= — , с — скорость звука)
с граничным условием
^ = 0 при r = a, z>0. A9.02)
В бесконечном акустическом волноводе радиуса а сущест-
существуют симметричные волны, потенциал скоростей которых дается
выражением
Ф = —
где А — постоянная, a \in — корень уравнения
/i(|i)=0 A9.04)
(fxo = O; juii = 3,832; ji2 = 7,016; ...). Волну с потенциалом скоро-
скоростей A9.03) будем для кратности называть волной АОп. Заме-
Заметим, что волновое число wn волны АОп связано с волновым чис-
числом k в свободном пространстве и радиусом трубы а так же,
как волновое число магнитной волны ЯОп в радиоволноводе.
Значение п = 0 соответствует основной («поршневой») волне ЛОо,
распространяющейся всегда со скоростью с (эта волна не имеет
аналога среди электромагнитных волн в трубах).
Итак, мы считаем, что одна из симметричных волн A9.03)
(назовем ее Аы) набегает на открытый конец трубы, и вычис-
вычисляем возникающее при этом диффракционное поле, решая гра-
граничную задачу A9.01) — A9.02). Для этого сначала замечаем,
что уравнение A9.01) допускает частное решение
Ф(г, z, w) = i27z2aF(w)eiw*v Н0^ H°(vaA, A9.05)
\fo(va)Ho(vr)\
зависящее от параметра w. Здесь Jo и Н0 = Н^) суть функции
Бесселя и Ханкеля; в фигурной скобке верхнюю строчку следует
брать при г<а, а нижнюю—при г>а, и
v=</k*—w\ Ima>0 при Im/e>0, A9.06)
причем выбор знака v диктуется принципом излучения. Функция
F(w) в формуле A9.05) пропорциональна скачку функции Ф (г,z,w)
при г —а:
, z, w) — Ф(а — 0, z, ш)= 4nF(w)eiwZ. A9.07)
93

Будем искать суперпозицию частных решений вида A9.05)
Ф(г, 2) = |ф(г, z, w)dw A9.08)
с
или подробнее
f
J
A9.09)
где С есть некоторый контур в плоскости комплексного пере-
переменного w, чтобы: 1) потенциал скоростей Ф бы непрерывен
при т = а, 2<0 [непрерывность -ч- уже обеспечивается тем, что
мы выбрали частное решение в виде A9.05)]; 2) удовлетворя-
удовлетворялось граничное условие A9.02). Требование 1) приводит к сле-
следующему соотношению для искомой функции F(w):
§ = 0 при z<0, A9.10)
с
а требование 2) дает
)dw = 0 при z>0, A9.11)
где
L(w) = i:v2aJ1(va)H1(va). A9.12)
Образуя величину
f(z)= J eiv>xF(w)dw, A9.13)
с
в силу соотношения A9.07) получаем, что
, г) — Ф(а — 0, z)==4ic/(z). A9.14)
Будем считать сначала Im&>0. Тогда функция f(z) должна
иметь вид [ср. формулу B.03)]
}(г) = Ае-*ь*+Т(г)> A9-15)
где первое слагаемое соответствует набегающей волне Аы с вол-
волновым числом —h = —wt [ср. формулу A9.03)], а второе слагае-
слагаемое— звуковому полю, возникающему в результате диффракции
набегающей волны на конце трубы. Так как на продолжении
стенки трубы (т. е. при r=a, z<0) потенциал Ф непрерывен, то
f(z)=O при z<0. A9.16)
94

Этим функция f(z) определяется при z<0; она стремится
к нулю при г —-*±оо и может быть разложена в интеграл Фурье
оо
7(z)= f eiwZF (w) dw, A9.17)
—00
в то время как первое слагаемое в формуле A9.15) при
г—^ + оо неограниченно возрастает Aтш/>0 при 1т&>0).
Если F(w), как функция комплексного переменного до,
удовлетворяет требованию:
I. F(w) голоморфна в нижней полуплоскости (при Im w < 0)
всюду, за исключением точки w =—ft, где она имеет простой
полюс с вычетом Л, и в этой полуплоскости при \w\-+oo равно-
равномерно стремится к нулю, то для функции f(z) вместо A9.15)
и A9.17) можно написать выражение A9.13), если контур С
состоит из вещественной оси и петли, охватывающей точку
W = —.ft.
Разрезы функции L(w) [формула A9.12)] в силу условия
A9.06) расположены на кривых Imy = 0 (как показано на
рис. 2), и на этих разрезах находятся корни уравнения
L(w)=0 A9.18)
(wQ = k, wu ©г, ... на разрезе & —/оо и —wo = —k0, —доь —до2,...
на разрезе —k—>—гоо), являющиеся волновыми числами сим-
симметричных акустических волн A9.03), могущих существовать
внутри трубы. Поэтому функция L(w)F(w) при Imoy<0 имеет
только разрез —k—>—too, а полюсов не имеет, и функциональ-
функциональное уравнение A9.11) можно переписать так:
00
f eiwZL(w)F(w)dw = 0 при z>0, A9.19)
—оо
если петля контура С, охватывающая точку w = —Л, бесконечно
узка.
Если, далее, выполняется требование:
II. Произведение L(w)F(w) голоморфно в верхней полуплос-
полуплоскости (т. е. при Imoy^O) и при \w\—+oo в этой полуплоскости
равномерно стремится к нулю, то соотношения A9.11) и A9.19)
удовлетворяются. Эти соображения определяют однозначно фор-
форму контура С (см. рис. 2). Что же касается функции F(w), то
она также однозначно определяется требованиями I и II.
Примененный здесь метод, по существу, эквивалентен све-
сведению задачи к интегро-дифференциальному уравнению для
плотности обобщенного (волнового) потенциала двойного слоя,
расположенного на стенке [ср. уравнение A.15)]. Функция f(z)
есть не что иное, как плотность двойного слоя [ср. формулу
A9.14)], а соотношение A9.11) эквивалентно упомянутому ин-
95

тегро-дифференциальному уравнению. С помощью интегральных
и интегро-дифференциальных уравнений были рассмотрены ра-
ранее (гл. I и II) электромагнитные волны в плоском и круглом
волноводах с открытым концом. В этой главе, однако, мы приш-
пришли ко всем основным соотношениям, сразу записывая искомый
потенциал скоростей в виде модифицированного интеграла
Фурье A9.09). Мы выбрали здесь этот подход не только пото-
потому, что он быстрее ведет к цели, но также и потому, что для
других задач он может оказаться более общим (ср. ниже гл. IV).
§ 20. Общее решение. Волны внутри трубы
Рассмотрим функцию
1[}(£ш) =jivaHi(va)Ji(va), B0.01)
связанную с функцией L(w) соотношением
. B0.02)
Для краткости введем, как и ранее в гл. II, безразмерный
параметр
x = te = ^, B0.03)
равный отношению длины окружности трубы к длине волны, и
безразмерные волновые числа волн
при Imx>0), B0.04)
а также обозначим
.w'—wa, v'=--va=yK2 — w'2. B0.05)
Функцию F(w) можно найти, если известно разбиение функ-
функции B0.01)
голоморфной в полосе —г v.0<Im w'<*0 (xo<Imx), на множите-
множители г|)+ и г|)-, такие, что функция г|)+(до') голоморфна и не имеет
нулей при Im w'^—хо, а функция г|)_(до') обладает теми же
свойствами при \mwf <x0. Такую задачу нам уже приходилось
решать в теории симметричных магнитных волн в круглом вол-
волноводе с открытым концом (см. § 13), поэтому достаточно лишь
указать на формулы A3.08) и A3.17) —A3.29).
Образуем функции
L+ И = Vk + ^Щ^$- ,L_(w) = I/ k=¥ ■=£*££, B0.07)
96

Они удовлетворяют соотношениям
L(w) = (w2—h2)L+{w)L-(w),
B0.08)
L+(w)=L-(-w).
Функция F(w), определяемая требованиями I и II § 19, по-
получается в виде (ср. § 4)
B0.09)
причем в верхней полуплоскости функция F(w) убывает при
|ш|—^оо как —дуг", а произведение L(w)F(w) убывает в нижней
полуплоскости при \w\—> оо как —щ. Подставляя выражение
B0.09) в формулу A9.09), получаем строгое решение сформули-
сформулированной выше задачи.
Исследуем прежде всего акустическое поле внутри трубы.
Деформируя путь интегрирования С в формуле A9.09) наверх,
получаем для потенциала скоростей при r<a, z>0 следующее
выражение:
/
,п
')
)
e*v 1
J'
B0.10)
B0.11)
(A =
есть коэффициент отражения набегающей волны Ло/ от откры-
открытого конца, а величину
2^\ B0Л2)
можно назвать коэффициентом трансформации волны Аш в вол-
волну АОп. Таким образом, поле внутри трубы является суперпози-
суперпозицией набегающей волны ЛОг, распространяющейся в направле-
направлении отрицательной оси z, и волн ЛОп, возбуждаемых набегающей
волной и распространяющихся или затухающих в направлении
положительной оси z\ коэффициенты /?z, n позволяют вычислить
комплексные амплитуды этих волн.
Коэффициенты Rt, n суть, вообще говоря, комплексные числа.
Мы обозначаем, как и в предыдущих главах,
/?i.n = —|/?1.п|е-'в|-я B0.13)
7—754 97

и приводим на рис. 27 и 28 зависимость абсолютных величин
|/?in| и фаз Qitn коэффициентов отражения и трансформации
(для распространяющихся волн) от параметра и при 0<^<Clv
Расчетные формулы, на основании которых построены кривые
рис. 27, таковы:
ПрИ 0 < % < {Xj
1Л> 1 = еад, B0.14)
а при
» I ^1,0 I
B0.15)
Для фаз в(>„ имеем выражения
^, B0.16)
позволяющие рассчитать кривые рис. 28.
Наибольший интерес представляет коэффициент отражения
основной волны: он определяет при отсутствии других распро-
/
07
05
03
02
0.1
о/г
005
ml
0
п
\
J
ч
г
N.
\
?
s
\
J
\
г
V
"Л
ЬА
]
N
ч
to
t
1,Л
L
н
7
Рис. 27. Абсолютные величины коэффициентов отраже-
отражения и трансформации симметричных волн Аоп»
страняющихся волн характер волнового поля внутри трубы.
Обозначим /?о,о Для краткости просто как
Я = _|Я!е£в. B0.17)
При всех частотах
Я = _еМ(*>, B0.18)
98

поэтому
QRe M(x)
2 f со (]/V-
B0.19)
31 J
-dy.
B0.20)
Поправка на открытый конец а, связанная с фазой 9 коэф-
коэффициента отражения B0.17) соотношением
2fcz = 9> B0.21)
определяет положение узлов и пучностей внутри трубы (§ 9).
Для теории звуковых колебаний более существенным является
то обстоятельство, что поправка на открытый конец определяет
собственные частоты цилиндрических резонаторов, открытых
с одного конца, в то время как абсолютная величина коэффи-
коэффициента отражения B0.17)
определяет декремент зату- i?
хания таких резонаторов
(см. ниже § 23). При доста-
достаточно низких частотах, ког-
когда выполняется условие
*<1, B0.22)
из формул A20,20) и B0.21) 03
получаем
01 -
/
1
ОС
ч
I
/
/
\
/
/
л
Z
/
\
V
3
\
\
л
/
И
ч
4
7
/
6
1
^^
\
у
& о.о
впг1
8
SO*
60*
to*
те
B0.23)
Теоретическое значение Рис. 28. Фазы коэффициентов отраже-
отражения и трансформации. Поправка на от-
-=0,613
фр р
крытый конец.
близко к числу 0,60, которое дают более новые опыты [18], [19],
и значительно ниже чисел 0,785 и 0,82, полученных теоретиче-
теоретически в старых работах [16, 17], предполагавших наличие фланца.
На рис. 28, наряду с фазой в, изображена зависимость отно-
отношения -j от параметра и для 0<^х<^1. Как видно, значение
— для к —0 [формула B0.23)] является максимальным, и при
росте частоты поправка на открытый конец уменьшается сна-
сначала медленно, потом почти линейно,, а. при ^^^ весьма
быстро» :
7* 99

Мощность Р распространяющейся волны АОп согласно фор-
формуле A9.03) связана с ее амплитудой А соотношением
Р = 8nsp0ca2kwn | А |2, B0.24)
где р0— плотность среды.
Коэффициент трансформации волны AQt в волну АОп по мощ-
мощности равен поэтому
rln = ^L\Rltn\\ B0.25)
Это есть та доля мощности набегающей волны Ло*, которую
она передаст волне ЛОп, распространяющейся от открытого кон-
0J
0.5
03
02
0J
007
6,05
0,03
0,0Z
0,0/
0007
0003
0.00Z
6
1
Uv
;
ч
\ j
ч.
\
ч
>
3
\
\\
—4
Г
к—
0.1
1
Т
г
4
\
"Ч
ч
V-,
*\'
ч ^
6
\
N» V
\
7
X
Рис. 29. Коэффициенты отражения и трансформации
по мощности симметричных звуковых волн АОп.
ца. Коэффициенты rUn дают более наглядное представление
о преобразовании одних волн в другие, чем величины \Ri,n\,
дающие для волн различных номеров отношение амплитуд дав-
давления у стенкр. Из этих формул получаем
ri,n = rnth Qitn = ®n,i. B0.26)
Эти соотношения непосредственно следуют из принципа
взаимности.
Полный коэффициент отражения 1-й волны по мощности ра-
равен
N
B0.27)
п=0
причем суммирование производится по всем распространяющим-
распространяющимся волнам. На рис. 29 изображены коэффициенты отражения и
100

трансформации (п}П) и полные коэффициенты отражения по
мощности для волн Л0о и Aqi. Значения параметра х взяты та-
такими же, как и на рис. 27 и 28.
Сравнение рис. 27 и 28 с соответствующими графиками для
плоского волновода (гл. I, рис. 6 и 16) показывает, что суще-
существует близкое сходство между волнами А00 и А01 в круглом
волноводе и волнами £оо и Е02 в плоском (напомним, что элек-
электрические волны ЕОп в плоском волноводе могут быть одновре-
одновременно интерпретированы как акустические). Сходство теряется
лишь при очень длинных волнах: в частности, в предельном слу-
случае бесконечно длинных волн поправка на открытый конец для
круглой трубы имеет конечное значение B0.23), а для плоского
волновода — бесконечное [формула (9.07)].
§ 21. Излучение
От открытого конца трубы расходится сферическая волна,
уносящая с собой часть мощности набегающей волны. Потен-
Потенциал скоростей в волновой зоне дается формулой
JkR
os&)^-. B1.01)
Здесь /?, ф, Ф—сферические координаты с началом в центре
отверстия трубы (Ф есть угол между радиусом-вектором и
осью г, так что Ф=0 есть направление вдоль трубы, а направ-
направление Ф=я соответствует геометрическому продолжению трубы).
С помощью формулы B0.09) можно переписать выражение
B1.01) в виде
) *4(*cosO) e"*
m 02)
k sin dtfi (х sin 0) R (Zl.UZ)
Наибольший интерес обычно представляет угловое распре-
распределение мощности, излучаемой данной диффракционной систе-
системой. Мощность 2 ('0, ф), излучаемая на единицу телесного угла
в направлении Ф, ф («характеристика излучения»), связана
с потенциалом скоростей Ф в волновой зоне соотношением
£(», ?)= 4Ро^2|ф|2#2. B1.03)
При 0<x<jxi, когда из всех симметричных волн Л0п может
распространяться только основная волна ЛОо, ее характеристика
излучения дается выражением (для симметричных волн пишем
2(Ф) вместо 2(#, ф), так как зависимость от ф отсутствует)
v /л\ р «MxsinO) X(xy\-x(x cos ft) Г91 04\
* { > ~~И ^ sin* 0 | Я, (х sin d)| * 1 '
101

Эта характеристика излучения нигде не обращается в нуль.
Как легко показать, она удовлетворяет соотношению
B1.05)
где |До,о| определяется формулой B0.14), а Р означает мощ-
мощность набегающей волны [см. формулу B0.24)].
При |Lii<x<ji2 характеристика излучения волны ЛОо дается ■
несколько усложненной формулой:
В этом интервале частот может распространяться также
волна Лоь Для характеристики излучения которой имеем фор-
формулу
tg Т \ Jx (•/ sin 0) ех (Tl)+ X(x cos ^
0" |//i(xlSin»)| cos*ft-cos^or- B1.07)
Здесь и ,ниже под Оп понимаем угол, связанный с волновым
числом wn волны в трубе соотношением
k cos ftn = —wп. B1.08)
При этом для волны Аоо имеем wo=k, и поэтому $о = л.
Полная мощность, излучаемая волной Аоо согласно формуле
B1.06), как легко показать, равна
B1.09)
а мощность, излучаемая по формуле B1.07) волной ЛОь равна
-^l^.ol2]}J B1-10)
где величины [Rifn\ взяты в соответствии с формулами B0.15).
Выражения в'квадратных скобках формул B1.09) и B1.10)
суть полные коэффициенты отражения волн Лоо и Л01 по мощ-
мощности [см. выражения B0.25) и B0.27)].
На рис. 30 дан пример углового распределения мощности,
излучаемой волнами ЛОо и А0\ при одном и том же значении
102

Наибольший интерес представляет излучение основной вол-
волны при тех сравнительно низких частотах, когда распростране-
распространение в трубе других волн невозможно. При 0<>с<!я1 угловое рас-
распределение мощности излучения основной волны можно харак-
характеризовать с помощью функции
у> B1.11)
где величину 2 (ft) следует брать по формуле B1.04) а величи-
величину №?о,о| — по формуле B0.14).
Определенная таким образом функция G(ft) удовлетворяет
соотношению
или
* 2тс
И
о о
B1.12)
B1.13)
На рис. 31 изображены функции G(ft) для различных значений
параметра n=ka от х = 0 до п = \ц = 3,832. Функция G(ft) при-
принимает максимальное
значение при <б>=я: наи- Ц -^
большее излучение основ- §
ной волны имеет место ^
в направлении ««прямо *
вперед». Величина
G=G(jt) B1.14)
коэффициент
010
008
на-
V
30' 60' 90* /20е
/SO9 180*
&
Рис. 30. Характеристики излучения волн
Ао и Aoi при х = 4,023:
1)
ог; 2)—~- для
есть
правленности излучения
основной волны. На
рис. 32 дана зависимость цдг
величины G от перемен-
переменного х. Отсюда следует,
что при х = 0 имеем G = l
(изотропное излучение,
ср. кривую х = 0 на руне.
32), а при увеличении х
коэффициент направлен-
направленности G монотонно растет,
Поучительно произвести сравнение точной характеристики
излучения с тем, что дает принцип Гюйгенса в формулировке
Кирхгофа. Поле излучения основной волны Л00, вычисленное по
методу Кирхгофа, оказывается, как легко понять, таким же, как
и при ^диффракции плоской волны, падающей нормально на
плоский экран с круглым отверстием радиуса а. Распределение
103
для Аоо
в увеличенном масштабе.,

излучаемой мощности по направлениям согласно приближенно-
приближенному методу Кирхгофа таково:
[l]2 <21Л5>.
Для того чтобы дополнить представление о характеристиках
излучения основной волны при различных частотах, полезно
также рассмотреть три „главных" направления: &=0, &=-£-
/
У
/
/
1
1
1
1
-
-
-
-
30* 60* SO* ?20* ISO9 180й
г^'-м-г^ рис. 32. Коэффициент направлен-
Рис. 31. Функция G^) при различных ности как функция параметра
значениях x=ka. x=ka.
и &=:7г. Оказывается, что излучение „прямо вперед" (при &=7г)
для основной волны по строгой теории и по методу Кирхгофа
одно и то же, причем при любых частотах
Далее
sm =
Я, (х)
n
где \R\ определяется формулой B0.19).
По методу Кирхгофа
B1.16)
B1.17)
B1.18)
104

На основе формул B1.17) и B1.18) построены кривые
рис. 33. Мы видим, что у волны Лоо излучение назад (Ф=0)
всегда больше, чем излучение перпендикулярно трубе (& = -^-)•
В этом сказывается направляющее действие внешней поверх-
поверхности круглой трубы на волны, излучаемые открытым концом
(ср. рис. 30), — эффект, не имеющий места в плоском волноводе.
0.05
0,04
0,03
0,01
001
2 3
1
1
1/
А
У ^
/
is
\
X
\
к
ч
dt
Рис. 33. Излучение основной волны Аоо в на-
нате
правлениях 0 = 0 и 0 = -^-1
1) ; , вычисленная по формуле B1.17);
— по фор-
2) —^ по формуле B1.17); 3) —
муле B1.18).
Этой особенности, равно как и всего излучения в заднее полу-
полупространство! 0<О< ~) , принцип Гюйгенса передавать не мо-
может, что легко понять физически. Принций Гюйгенса не передает
также изотропности излучения при малых значениях парамет-
параметра х, что также понятно, ибо он в общем случае приспособлен
к расчету диффракции на отверстиях, размеры которых значи-
значительно превышают длину волны.
§ 22. Несимметричные волны
Теория несимметричных акустических волн в круглой трубе
с открытым концом может быть развита аналогичным образом.
Внутри круглой трубы радиуса а могут существовать несиммет-
несимметричные волны, характеризуемые двумя индексами. Будем обо-
обозначать через Атп волну, потенциал скоростей которой (после
105

соответствующего выбора начала отсчета угла <р) дается выра-
выражением
B2.01)
где fxn>0 есть /г-й корень уравнения
Д„(р)=0. B2.02)
Для краткости ,мы пишем, например, вместо \£™] просто \inf
считая индекс т во всех последующих рассуждениях фиксиро-
фиксированным.
Заметим, что у звуковой волны Атп связь между волновым
числом wn в волноводе, волновым числом k в свободном про-
пространстве и радиусом волновода а такая же, как у магнитной
волны Нтп в круглом волноводе.
Пус;гь в' трубе бежит по направлению к открытому концу
волна Ат\ с волновым числом •—h = —w\. Тогда зависимость по-
потенциала скоростей Ф от угла ср в каждой точке пространства
определяется, как и в самой бегущей волне B2.01), множителем
cos mq>, причем Ф удовлетворяет уравнению
B2.03)
и условию A9.02) «а стенке трубы. Решение этой граничной
задачи дается формулой
J'm(va)Hm(vr)
где функция F(w) должна удовлетворять соотношениям
A9.10) и A9.11) или, что то же самое, требованиям I и II
(§ 19) с тем лишь изменением, что функция L(w) для волн Атп
имеет вид
L(w) =nv2aJ'm(va)H'm(va). B2.05>
В этом случае приходится разбивать на множители функцию
ty(w') = w/#'w (£>')-f'm (£>')• B2.06)
106

[В формулах B2.06) —B2.09) мы пользуемся, как и в § 20, без-
безразмерными переменными w', v\ введенными формулой B0.05).]
При т= 1, 2, 3, ... функции <ф+ и я|з_ таковы:
N .
я=1
EЦ-до') Я'™ (о')
Yn—^ c 2^
Yn+ a;'
/2=1
B2.07)
где N означает число распространяющихся роли Атп, a S(w)
определяется формулами § 13, если взять функцию Q(v) равной
так что
Q@) = 0,
{22.09
С помощью функций 1(з-}- и я|)_ мы образовываем функции
B0.07) и получаем выражение B0.09) для функции F(w), даю-
0J5
о.з
ол
0.1
—ч
h^.—
S
м
Рис. 34. Абсолютная величина коэффициента от-
отражения Р волны Ли.
щее решение поставленной граничной задачи. Отсюда нетрудно
найти величины, имеющие физический интерес. Так, для волны
Ат1 в том интервале частот (щ<х<|х2), когда из всех волн Атп
распространяется только она одна, коэффициент отражения
равен
# = —es(Tl). B2.10)
Несимметричные звуковые волны представляют незначитель-
незначительный интерес. Однако ради полноты мы приводим на рис. 34
107

а
а
и 35 некоторые результаты для волны Л1Ь имеющей среди всех
волн Атп наинизшую критическую частоту ^если не считать,
разухмеется, основной волны ЛОо, у которой критическая частота
равна нулю). На рис. 34
изображена абсолютная ве-
величина, а на рис. 35—фаза
коэффициента отражения R,
определяемого формулами
B2.10) и B0.17). Рис. 34 и
-git | j |__yf | | | \\\ | 35 охватывают интервал
03
02
—
/
/
1
1
■
/
/
а
00)
s
s
\
V
\
1
\
•
90*
SO0 причем (для т=\)
30°
На рис. 35 дано также от-
отношение поправки на от-
открытый конец а к радиусу
трубы а для волны Ли.
Потенциал скоростей в
волновой зоне поля излуче-
излучения волны Amt дается выра-
выражением, формально отли-
отличающимся от B1.02) толь-
только множителем cos тер.
Угловое распределение мощности, излучаемой волной Ат\ из от-
открытого конца, дается при |Lii<x<j|Li2 характеристикой излучения
ЕГа т) -Р2^ J'™ (» sin °) eX Ь
Рис. 35. Фаза коэффициента отраже-
отражения волны Л ц.
S^' ?) - Р 1ЙГ | Н'т (х sin 0)| cos* d
где Р — мощность, приносимая волрой Ат\ к открытому концу.
Мощность Р несимметричной волны Атп связана в общем слу-
случае с ее амплитудой А соотношением
тг3 9oca2kwn A —
Из выражения B2.11) следует, что
2и и
о о
Кроме того,
и
108
S@, <p) =
J'm (у)
B2.12)
B2.13)
B2.14)
B2.15)

Сопоставляя точную характеристику излучения с приближен-
приближенной характеристикой волны Ат\ по принципу Гюйгенса
2щх[ 1— -~~\ L cos 0 —cos i
ВИДИМ, ЧТО
, B2.16)
B2.17)
Для симметричной волны АОг в формулах B2.16) и B2.17)
надо положить т = 0, но вместо cos2m<p взять */2. Таким обра-
образом, принцип Гюйгенса всегда правильно описывает излучение
для одного значения угла 0 = 0/ в переднем полупространстве
[| <&1<л, см. определение B1.08) . Кроме того, принцип Гюй-
Гюйгенса правильно указывает направления нулевого излучения
в переднем полупространстве; число этих направлений тем
больше, чем выше значение параметра х. Поэтому по мере уве-
увеличения параметра к поле излучения в переднем полупростран-
полупространстве все более точно передается формулами, получаемыми по
приближенному методу Кирхгофа.
§ 23. Возбуждение колебаний в открытых трубах
В предыдущих параграфах, в сущности, были исследованы
задачи о собственных колебаниях полубесконечной открытой
трубы. Вынужденные колебания открытой трубы под действи-
действием, например, точечного источника определенной частоты, по-
помещенного внутри или вне трубы, можно было бы исследовать
вполне строго с помощью теории неоднородных интегральных
уравнений частного вида (ср. конец § 19), к которому приво-
приводится эта задача; теорию таких интегральных уравнений дал
Фок [1].
В некоторых частных случаях вынужденных колебаний мож-
можно непосредственно использовать теорию собственных колеба-
колебаний. Так, если источник расположен внутри трубы на достаточ-
достаточно большом расстоянии от ее конца, то возбуждаемое им внутри
трубы поле вблизи конца состоит из одной или нескольких рас-
распространяющихся волн, набегающих на открытый конец с опре-
определенными амплитудами и фазами. Открытый конец действует
ка эти волны так же, как если бы они приходили из бесконеч-
бесконечности, так .что здесь все сводится к задаче о собственных коле-
колебаниях. Если же источник звука расположен вне трубы на таком
расстоянии от нее, что испускаемую им волну можно' считать
вблизи открытого конца участком плоской волны, то возникает
задача о падении плоской волны, распространяющейся в свобод-
109

ком пространстве, на открытый конец трубы. В последней зада-
задаче наибольший интерес вызывает вычисление амплитуд волн,
распространяющихся в трубе от открытого конца. Амплитуды
(а также фазы) этих волн с помощью соотношений взаимности
(ср. соответствующий вывод для электромагнитных волн [7])
могут быть просто связаны с решенной нами ранее задачей
о свободных колебаниях.
Пусть в пространстве распространяется плоская волна опре-
определенной частоты. Сосредоточим свое внимание на какой-нибудь
одной волне Лтп, могущей распространяться в трубе при данной
частоте. Падающая плоская волна возбуждает в общем случае
также волну Атп, которая уносит с собой внутрь трубы часть
мощности плоской волны. Мощность волны Лтп, возбуждаемой
в трубе плоской волной, направление распространения которой
определяется углами я—Ф, 2я—q> (эту волну можно рассматри-
рассматривать как порожденную удаленным источником, расположенным
в направлении Ф, ф), удобно характеризовать парциальным по-
поперечником возбуждения 5(^,ф). Площадь S (Ф, ср) по определе-
определению равна величине площади (мысленно выделенной в плоско-
плоскости фронта падающей волны), поток энергии через которую
как раз равен мощности волны Лтп, возбуждаемой в трубе.
- Если нам известна мощность 2@, <р), излучаемая в единицу
телесного угла в направлении Ф, <р той же волной Атп, распро-
распространяющейся с мощностью Р внутри трубы по направлению
к открытому концу, то парциальный поперечник возбуждения
этой волны равен
?) = Я» Sy , B3.01)
где Я = --^ есть длина волны в свободном пространстве.
При к< 1,841 из всех волн Атп может нести энергию толь-
только волна Аоо, поперечник возбуждения S(O) которой не зависит
от ф. Заметим, что из формулы B1.16) для основной волны Аоо
всегда имеем
S(n)=nd2. B3.02)
Это соотношение выражает тот тривиальный факт, что плос-
плоская волна, распространяющаяся в направлении положительной
оси г, бесконечно тонкой стенкой трубы не искажается совсем
и продолжает свое распространение внутри трубы в виде основ-
основной волны Aqq. Поэтому поперечник возбуждения последней
оказывается равным площади поперечного сечения трубы. Отсю-
Отсюда же следует, что для всех других волн
5(я, ф)=0 и 2(я, |ф)=0. B3.03)
Имеющееся решение задачи о собственных колебаниях полу-
полубесконечной открытой трубы позволяет также произвести де-
110

тальное исследование свободных и вынужденных колебаний
открытых труб конечной длины. Рассмотрим трубу, на расстоя-
расстоянии L от конца которой помещен отражающий поршень Р
(рис. 36). Благодаря этому поршню труба приобретает сильно
выраженные резонансные свойства и целый спектр собственных
частот. Как простейший пример вынужденных колебаний такого
резонатора рассмотрим
его возбуждение с по-
помощью плоской волны
B3.04)
определенной частоты со= Рис 36. Цилиндрический резонатор с от-
= ck, распространяющей- крытым концом,
ся в пространстве в на-
направлении положительной оси г. Часть этой волны, огра-
ограниченная стенкой трубы и образующая волну Лоо, отражается
с коэффициентом отражения, равным единице, от поршня, идет
обратно и отражается от открытого конца с коэффициентом от-
отражения R, определяемым формулой B0.17), опять идет к порш-
поршню и отражается от него и т. д. Это рассмотрение является,
очевидно, приближенным, поскольку при отражении обратной
волны Лоо от открытого конца возникают волны ЛОь Л02, ...,
которые здесь не учитываются. Однако эти волны имеют замет-
заметные амплитуды только вблизи открытого конца резонатора и на
его резонансные свойства практически не влияют — если часто-
частота не слишком высока и длина резонатора L не слишком мала.
В результате внутри трубы устанавливаются колебания с потен-
потенциалом скоростей
Ф(г) =
JlikL
B3.05)
В качестве меры резонанса возьмем величину
2В
B3.06)
равную отношению амплитуды давления на поршне Р к ампли-
амплитуде давления у бесконечной плоской стенки при нормальном
отражении от нее плоской волны (в отсутствие резонатора). Из
формулы B3.05) получаем
или
8 =
0
Vl
B3.07)
B3.08)
ill

откуда видно, что максимум функции g достигается вблизи зна-
значений параметра и, при которых косинус равен мину!: единице,
т. е. при х = хп, где
Z (Д==о, 1, 2, ...)• B3.09)
^L + -
a a
Соответствующие длины волн равны
4
Таким образом, резонансные частоты цилиндрического резо-
резонатора оказываются связанными с поправкой на открытый ко-
конец, вычисленной нами в § 20. Отметим, что -^ зависит от х,
так что формулу B3.09) следует рассматривать как уравнение
относительно кп (отношение — берется здесь при х = х,;).
Логарифмический декремент затухания <&п связан с кривой
резонанса (если она достаточно остра) формулой
|'1 , B3.11)
где con — резонансная частота, соответствующая максимуму
амплитуды колебаний, а о/п — ближайшая к ней частота, соот-
соответствующая амплитуде, в 1/2 раз меньшей.
Определяемый таким образом декремент оказывается со-
согласно формуле B3.08) приближенно равным
•n)V\R\
B3.12)
где \R\ есть абсолютная величина коэффициента отражения при
х=хп [формула B0.19)].
Так как обычно для акустических резонаторов выполняется
условие B0.22), то в формуле B0.19) можно считать
о@)~-^Г, Re-M(*)~ —^ B3.13)
откуда
■у, |#[2^1— х2. B3.14)
П2

Поэтому в первом приближении основное (п = 0) колебание
цилиндрического резонатора имеет декремент
ft=x2. B3.15)
Малый декремент B3.15) определяет также затухание (вследст-
(вследствие излучения) собственного колебания резонатора.
Следует заметить, что по теории Гельмгольца [16] декремент
основного колебанид равен
® = 2к2, B3.16)
что вдвое превышает значение B3.15). Это расхождение свя-
связано не с ошибочностью той или другой теории, а с тем, что
эти теории относятся, строго
говоря, к разным системам: 9
формула B3.15) выведена
для трубы без фланца, а
формула B3.16) справедли-
справедлива для открытий трубы с
фланцем.
Действительно, поль-
пользуясь тем, что при условии
* < 1 движение среды вбли-
вблизи открытого конца должно
быть приблизительно таким
же, как течение несжимае-
несжимаемой жидкости (ср. [17],
стр. 197—199), можно свя-
связать амплитуду колебаний
внутри трубы с амплитудой
сферической волны, расхо-
расходящейся от конца, вычис-
вычислить излучение и вызы-
вызываемое им затухание. Если
цилиндрический резонатор
переходит при z = 0 в бесконечный рупор в виде конуса с телес-
телесным углом — (s^l), то декремент затухания основного коле-
колебания такого резонатора получается равным
# = sx2. B3.17)
При 5=1, что соответствует рассмотренной нами открытой
трубе, из выражения B3.17) получается формула B3.15), а при
5 = 2, т. е. для трубы с бесконечным фланцем в плоскости от-
отверстия, рассмотренной Гельмгольцем, получаем формулу
B3.16). Физический смысл соотношения B3.17) ясен: чем мень-
меньше угол раствора конуса, тем лучше согласование трубы с ру-
рупором и тем больше излучение.
8-754 113
70
SO
30
20
10
7
5
3
г
1
07
J
—fl—
м
1
/
\
^\—
1
А
\\
'\
—г\
/
д
/\
' о oj- ог о,з о** 0,5 ots 07 08 0,3 f,o
Рис. 37. Резонансная кривая цилин-
L
дрического резонатора при —=7,82.

На рис. 37 изображена теоретическая [по формуле B3.08)]
резонансная кривая цилиндрического резонатора с отношением
— = 7,82. Эта кривая построена применительно к опытам Вирца
[19], снимавшего резонансные кривые открытых труб, возбуж-
возбуждаемых снаружи, по давлению на поршне, в качестве которого
служил конденсаторный микрофон. Сравнение теории и экспе-
эксперимента приводит к таким результатам: 1) максимумы экспери-
экспериментальной резонансной кривой слегка смещены относительно
теоретических; 2) экспериментальная резонансная кривая шире
теоретической; 3) декремент затухания, найденный по резонанс-
резонансной кривой и измеренный непосредственно по затуханию собст-
собственных колебаний резонатора, для основного колебания больше
теоретического значения B3.15) и близок к значению B3.16).
По всей вероятности, все три отмеченных обстоятельства вызы-
вызываются одной и той же причиной — наличием добавочных потерь
в резонаторе, не учитываемых теорией.
Ниже приведена таблица величин ~ и £@, к) в зависимо-
зависимости от параметра х; функция £@, х) позволяет вычислить аб-
абсолютную величину коэффициента отражения по формуле
|Я| = <
B3.18)
Эта таблица облегчает расчет теоретических резонансных
кривых по формуле B3.08).
X
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
а
а
0,613
0,612
0,611
0,608
0,604
0,601
0,598
0,594
0,590
0,586
0,581
Е @, х)
0
0,0245
0,0485
0,0719
0,0948
0,117
0,139
0,160
0,180
0,200
0,219
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
а
а
0,576
0,571
0,565
0,560
0,554
0,549
0,544
0,538
0,533
0,527
Е @, х)
0,235
0,251
0,266
0,281
0,296
0,311
0,325
0,338
0,351
0,364
Задачи к гл. III
1. Вывести формулу B2.16), пользуясь выражением
д
eikR
аналогичным выражению (8.01) для двухмерных волновых полей, и вводя
те же аппроксимации, что и в § 8. В формуле (а) интегрирование произво-
114

дится^ по поверхности S, затягивающей открытый конец волновода и прохо-
проходящей по внешней стороне его стенки, п — нормаль к поверхности S, направ-
направленная внутрь волновода, \R — расстояние между точкой наблюдения и точкой
интегрирования.
Показать, что тот же результат получается (при т=0) из формулы
B1.01), если в ней положить
■Обосновать этот результат непосредственно, деформируя поверхность 5 в фор-
формуле (а).
2. Вывести соотношение B3.17), следуя указаниям, данным в тексте.
3. Исходя из формулы B2.04) и оценок, данных после формулы B0.09),
показать, что вблизи края трубы (при р-*0) функция Ф ведет себя следую-
следующим образом:
ф
где
(r — а)*
есть кратчайшее расстояние до края трубы.
4. Показать, что при граничном условии
Ф = 0 при r=a, z>0
задача о диффракции звуковых волн на открытом конце такой трубы сводит-
сводится к функциональным уравнениям A9.10) и A9.11), причем
<р (wa) = nvaH^ (va) Jm (va).
Построить функцию F(w) и вычислить коэффициенты RiiU\ последние
привести к виду, удобному для исследования при х^>1.
Решение. Функция F(w) получается в виде
2m (w2 — I
откуда, пользуясь тождеством
k — w
вытекающим из выражения для определителя Вронского функций Jm и
^, получаем
или при x ^> 1
*,.„ = -/ еР'*Ч (а)
2Gi+Y»)T»^(«+Yi)(* + Y»)
8* • 115

л/~2 1
n = U(sn, q)\ sn= y -Ynl <7=—
где
Yn = wna = Y
Q (x) = arg //£> (x) + -f-; Q (vn) = me.
См. также задачу 9.
5. Преобразовать выражение B0.12) для звуковых волн Лтп при гра-
граничном условии A9.02) к виду, удобному для исследования величин Ri,n при
х> 1.
Решение. Пользуясь формулами B0.07) и тождеством
вытекающим из уравнения Бесселя и выражения для определителя Вронско-
Вронского, получаем
2(Yz+Yn)Yn( 1 ——а")
или
где Un определяется теми же формулами, что и в задаче 4, но
а функция Q(k) определяется формулами B2.08) и B2.09). См. также за-
задачу 9.
6. Применяя формулу Грина
Г
(ф,Дф2 - ф2Дф,) dV = j, (фг -^- - Ф2 "^- ^
где *S — поверхность, «ограничивающая объем V, п—внешняя нормаль к-ней,
вывести соотношение B3.011).
Для этого в качестве Ф\ взять решение задачи об излучении волны Атп
из полубесконечной трубы, а в качестве Фг — решение задачи о диффракции
плоской волны на такой трубе (или о диффракции сферической волны, испу-
испускаемой удаленным источником).
7. Вычислить комплексные собственные частоты колебаний в открытой
с обоих концов трубе длиной 2L и диаметром 2а при условиях
116

Решение. При этих условиях в трубе возможны только колебания
/4ooj, причем коэффициент отражения R от. открытого конца согласно фор-
формулам \B0.21), B0.23) и B3.14!) можно представить в виде
Рассуждая как в задаче 5 к гл. I, придем к соотношению
2k {L + ос) = щ — / ~ (/ = 1,2,...);
комплексные собственные частоты равны со = c/ej, где
щ
k> = 2 (L + а)
а декремент затухания колебания с индексом / равен
2
При /=1, 3, ... потенциал скоростей внутри трубы определяется формулой
Ф=Л coskjZ,
а при / = 2, 4, ... — формулой
Ф=Л sin kjZ,
где начало координат взято в центре трубы.
8. Вычислить комплексные собственные частоты «полуоткрытой» трубы
длиной L и диаметром 2а (при 2=0—отражающий поршень, при z=L — от-
открытый конец) при тех же условиях, что и в задаче 7.
Решение. Поскольку на отражающем поршне должно удовлетворять-
удовлетворяться граничное условие
дФ
~^Г = 0 при z=0,
то в полуоткрытой трубе возможны лишь колебания Лоо^- с нечетными /.
Полагая в формулах (а) и (Ь) задачи 7 /='2/г+1 (п = 0, 1, 2, ...), получаем
соотношения, эквивалентные соотношениям B3.09) и B3.15), выведенным при
анализе вынужденных колебаний такого открытого резонатора (см. рис. 36).
9. Формулы с функцией U(s, q), полученные в задачах 4 и 5, выведены
в предположении, что при у~и функции Jm(v) и Hm(v) можно заменить
асимптотическими выражениями Ханкеля
где приближенно
Тогда
и аналогично
ф (w) = 1 - е2'8 (">,
117

и мы приходим к полученным ранее формулам типа
Асимптотические формулы Халкеля применимы при условиях
v ^> 1,
поэтому при больших азимутальных индексах \т они справедливы лишь при
весьма больших v и х. При условиях
1
)
етужно применять асимптотические формулы Дебая
в которых
К 1~" V2
f Г т2 п
Q(v) = Vv* — m2 — marcsiny 1— ~^r+j>
так что
dQ _i/t_ m2 T
Исходя из этих формул, вывести выражения для q>+(w) и if+(o;), пригодные
при у. ^> 1 их >т, и обобщить формулы (а) задач 4 и 5.
Решение. Пользуясь безразмерными переменными w и и, можно запи-
записать функцию ф(Ф) в виде
j __ e2f9 (и)
Знаменатель правой части разбивается на множители элементарно, а при раз-
разбиении числителя используем соотношение
W2 \ W2
JQ()i9
где
n dQ(x) л Г т2 т
sin 9= ,v } = I/ 1 —-г» cos9=
ах г х2 х
Таким путем получаем выражение
в котором
118
/2 sir
2 sin 9
5n

Асимптотические формулы Дебая для производных легко выводятся диф-
дифференцированием формул (а). Они имеют вид
где функция Q(v), определяемая формулами B2.08) и ('22.09), приближенна
равна
Q (v) = Yv2~m2 — tfzarcsinl/ l_ —— — >
и по-прежнему
dv V у2
Для функции
получаем
где
1 / sin 9 1
5n= J/ —Г"^' Q=-^
sin 9 = у 1 — -^-» cos 9 = —•
В задаче 4 коэффициенты Ri>n можно записать следующим образом:
Ri,n =
"" sh q) + U {sn, c
<
2 (Y« + Y») Tn /(x sin 9 + yi) (x sin 9 + Yn)
а в задаче 5 i
У(х sin 0 + yO (x sin 9 + Yn)
71
При 9=^~9" (т- е. при у.^> т) эти выражения переходят в формулы (а) за-
задач 4 и 5.
10. Найти выражения для коэффициентов Ri>n при условии
Х^=М-1^>1 ИЛИ X^Vj^>l,
причем
Yn<x
и на значения т ограничений не накладывается.

Решение. Пользуясь результатами решения задач 4, 5 и 9 и полагая
Х = * + Ш итх^" + Ш
где
Г т2 /" /я 2
sin 9 = 1/ 1—— или sin9 = "|/ 1 -
У Ъ V v/ э
получаем
R __ .exp[[/(s/t jp) + t/(sw, /7)]
где
и, в частности,
Si = Укр.
При достаточной малости последней величины имеем (ср. задачу 6 к гл. I)
#м = — е'РA+ Os'f p = 0,824.
Этим выражением можно пользоваться в наиболее интересном случае, когда
т. е. когда волна испытывает сильное отражение от открытого конца; при
этом волны других номеров возникают с малыми амплитудами. Сильное от-
отражение приводит к появлению добротных высокочастотных колебаний в от-
открытых трубах (см. задачу 11).
11. Исследовать слабозатухающие колебания Amnj в открытом цилиндри-
цилиндрическом резонаторе (открытой с обоих концов трубе) длиной 2L и диаметром
2а при условиях
kL ^> 1 и ka ^> 1.
Решение. Отыскивая потенциал скоростей внутри трубы в виде
Ф = / т (—^- г) cos my cos wnz ■ (а)
cosm ysinwnz, (b)
где —L<z<L, и пользуясь выражением для Rn,n, полученным в предыдущей
задаче, приходим к соотношению (ср. задачу 7 к гл. I)
где значения /=1, 3, ... соответствуют формуле (а), а значения /=2, 4, ...—
формуле (Ь).
120

Комплексные частоты со = с/г этих колебаний определяются формулой
пр
ka = \xn-\-~-r-y sin 9 =
где
12. Исследовать колебания в полуоткрытой трубе (см. задачу 7) при тех
же условиях, что и в задаче 11.
Решение. В полуоткрытой трубе могут быть колебания Amnj с нечет-
нечетными индексами / (/=1, 3, ...).
13. Исходя из формулы (а) задачи 9 и формул (а) и F) задачи A1), дать
геометрическое толкование колебаний Amnj (в частности, при т^> 1) и выяс-
выяснить смысл угла 9, лежащего в первом квадранте и определяемого соотно-
соотношениями
/т2
sin 9 = 1/ 1 — — , cos 9=^=-
Решение." Формулы
®^Jm[-4r r )eim* cos
в поперечном сечении 2= const определяют семейство лучей, касающихся
т
окружности г = а — = a cos 8 и отражающихся от окружности г = а по
закону: угол падения равен углу отражения, т. е. углу-^" —9. В случае
экспоненты etmv эти лучи обходят кольцо a cos9<r<;<2 в положительном
направлении, в случае экспоненты е~1Пг(? — в отрицательном. Если потенци-
потенциал Ф пропорционален cos ту или sinm<p, то поле представляется в виде
наложения лучей обоих направлений. Благодаря множителям cos wnz и
sin wnz лучи не лежат точно в плоскостях z = const, а составляют с ними
малые углы.
Симметричные колебания ( т = 0, 9 = -у ) представляются в виде ради-
радиальных лучей, проходящих через центр г = 0. Чем больше т, тем слабее
(при фиксированном п) волновое поле данного колебания вблизи центра*
при г =5=0. При больших т и умеренных п волновое поле „прижато" к стен-
стенке трубы г —а и представляется в виде лучей, для которых угол 9 мал.
Это — так называемые волны шепчущей галереи.
121

ГЛАВА IV
КРУГЛЫЙ ВОЛНОВОД.
НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 24. Введение
Задача о несимметричных волнах в круглом волноводе с от-
открытым концом ставится так же, как и для симметричных волн
{гл. II): мы рассматриваем полубесконечную цилиндрическую
трубу, боковая поверхность которой определяется соотношения-
соотношениями ir = a, 2>0 (в цилиндрической системе координат г, ср, г).
Внутри трубы по направлению к открытому концу, находяще-
находящемуся при z=-0, распространяется электрическая волна Emi или
магнитная волна Нш\. Нашей целью является вычисление элек-
электромагнитного поля, возникающего в результате диффракции
такой волны на открытом конце волновода. Несимметричные
электрические и магнитные волны (т=1, 2, 3, ...) отличаются
от симметричных волн (т=0), рассмотренных в гл. III, тем, что
диффракцконное поле несимметричных волн характеризуется
двумя скалярными функциями (функциями Герца). Необходи-
Необходимость введения двух функций будет ясна из последующего изло-
изложения, пока же будем предполагать, что продольная составляю-
составляющая электрического вектора Герца равна
[Пг = sin (то + ?0) П (г, г), B4.01)
а продольная составляющая магнитного вектора Герца
П2 = cos (m<e + <Р0) П (г, г). B4.02)
Наличие двух функций Герца усложняет нахождение реше-
решения, поскольку нельзя свести задачу к одному интегральному
уравнению (как в гл. I и II). Однако точное решение может
быть получено путем некоторого обобщения метода, применен-
122

ного в гл. III. Электромагнитные поля выражаются через функ-
функции П и П следующим образом (ср. [20], гл. 8):
ет = sm
д2П
—г u)'
Я
/mife тт
B4.03)
т
)
Постсянный угол фо определяется поляризацией волны, набе-
набегающей на открытый конец.
Заметим, что применяя формулы B4.03) к пространству
внутри трубы (г<а, 2>0), получаем электромагнитные поля
волн Етп из электрической функции Герца П, а электромагнит-
электромагнитные поля волн Нтп — из магнитной функции Герца П. При
этом оказывается, что несимметричные волны Em(Emi,Em2,.,.)
и Нт(Нти Ят2,...) нужно для каждого данного значения т
(т=1, 2, 3, ...) рассматривать совместно, так как при отра-
отражении от открытого конца они трансформируются друг в друга.
Из несимметричных волн в круглом волноводе наибольший
теоретический и практический интерес представляют волны
с азимутальным индексом т=\.
Важность волн с индексом т—\ объясняется различными
причинами. С точки зрения распространения эти волны имеют
наибольший интерес потому, что в их число входит волна #ц,.
являющаяся при условии
1,841<%=/ш<2,405
единственной распространяющейся волной (k — -j- волновое
число, а — радиус волновода).
Поперечный элементарный диполь, находящийся на оси круг-
круглого волновода, возбуждает в нем только волны Е\ и Н\. Плос-
Плоская волна, распространяющаяся в свободном пространстве
в направлении оси волновода, также возбуждает только эти
волны. Отмеченные особенности возбуждения волн Ех и Нх тесно
1-23

связаны с особенностями их излучения. Из всех электромагнитных
волн в круглой трубе только волны Ех и Нх дают отличное от
нуля излучение «прямо вперед» — в направлении й = я. Хотя
излучение волн Е\ в этом направлении весьма незначительно,
но зато характеристика излучения волн Н\ имеет при <& = я
острый максимум. Поэтому характеристики излучения волн Н\
из круглого волновода аналогичны остронаправленным харак-
характеристикам конического рупора или параболоидального рефлек-
рефлектора (т. е. систем, обладающих симметрией вращения), электро-
электромагнитные поля которых зависят от азимута ср по тому же за-
закону, что и поля волн Е\ и #i в круглой трубе.
Поэтому ниже мы будем приводить численные результаты
только для волн Е\ и Яь в то время как формулы будут выво-
выводиться для произвольного целого т. Заметим, что наши общие
формулы будут пригодны и для частного случая т=0, поэтому
ниже мы иным способом выведем формулы для симметричных
волн, полученные в.гл. II.
§ 25. Общее решение задачи
Функции П и П, входящие в формулы B4.01) и B4.02),
должны быть решениями уравнения
B5-01)
и, кроме того, при г = а (т. е. на идеально проводящей и беско-
бесконечно тонкой стенке трубы при z^>0 и ее геометрическом про-
продолжении при г<^0) должны быть непрерывны П и -^-, как это
следует из связи функций П и П с электромагнитным полем.
Поэтому мы ищем функции П и П в виде
j'm(va)Hm(vr)]° j
Здесь С есть контур в плоскости комплексного переменного до,
который, как в гл. III, мы проводим в основном по вещественной
оси, огибая снизу точки, соответствующие волновым числам на-
набегающих волн (см. ниже). Формулы B5.02) можно написать на
основании тех же соображений, что и в § 19.
124

Вектор поверхностной плотности тока на стенке трубы имеет
составляющие
/ = cos (гщ + 9о) \ eiwZ G (w) dwy I
C } B5.03)
}
)
Неизвестные пока функции F(w) и G (w) можно определить из
следующих соображений. Во-первых, тангенциальные составляю-
составляющие Н% и Н9 магнитного поля должны быть непрерывны при
г=а, £<0, т. е. на продолжении стенки трубы должно быть
!9 = jz = 0. B5.04)
Это дает соотношения
\eiwZG(w)dw=0 при 2<0, B5.05)
Ъ
; = O при z<0, B5.06)
причем последнее должно быть справедливо и при 2=0, так как
составляющая jz поверхностной плотности тока на краю стенки
(при г=+0) должна исчезать в силу отсутствия линейного за-
заряда. Заметим, что непрерывность тангенциальных составляю-
составляющих Ео и Ez электрического поля при г=а обеспечивается уже
самими выражениями B5.02) для функций П и П, написанными
с учетом этого требования.
Во-вторых, на стенке волновода, которую считаем идеально
проводящей, должны выполняться граничные условия:
Е^Е^О при r = a, z>0, B5.07)
приводящие нас к соотношениям
*«* о<р (wa) F (w) dw=0 при z > 0, B5.08)
w = Q при z>0, B5.09)
с
где y(wa) и ф(ша) суть функции
<р (ша) = тшаЯ ™ (ею) Ут (оа), I ^25 щ
ф (ев;а) = nvaHTm (va) I'm (va). J
125

Покажем, как найти функции F(w) и G(w), удовлетворяю-
удовлетворяющие системе функциональных уравнений B5.05), B5.06),
B5.08) и B5.09), к которой сводится наша задача. Решение
этой задачи имеет более сложный вид, чем для симметричных
волн в гл. II, так как там была лишь одна неизвестная функ-
функция. В сущности, сама задача сложнее тех, которые мы рас-
рассматривали в предыдущих главах.
Для общности рассуждений предполагаем, что в трубе к от-
открытому концу бегут две волны: одна — электрическая с ампли-
амплитудой А и волновым числом —h и другая — магнитная с ампли-
амплитудой В и волновым числом —h. Контур С проводим так, чтобы
он охватывал бесконечно узкими петлями точки w = —h и
w — —% снизу. Для определенности считаем во всех рассуждени-
рассуждениях Im&>0, к пределу 1пт& = 0 переходим только в окончательных
формулах.
1. Соотношение B5.05) будет выполнено, если функция G(w)
в нижней полуплоскости ( т. е. при 1пш<0) голоморфна всюду,
за исключением точки w =—й, где она имеет простой полюс
с вычетом В, причем при \w\—>oo в этой полуплоскости функция
G(w) равномерно стремится к нулю.
2. Если функция G(w) имеет указанные выше свойства, то
для выполнения соотношения B5.06) функция F(w) в нижней
полуплоскости 1пш< 0 должна быть голоморфна всюду, за ис-
исключением точки w = —/г, где оиа должна иметь .простой полюс
с вычетом Л, и точки w = —k, где она также должна иметь про-
простой полюс, причем, когда ш—*оо в нижней полуплоскости, про-
произведение wF(w) должно равномерно стремиться к нулю.
3. Соотношение B5.08) будет выполняться, если произведе-
произведение V($(wa)F(w) голоморфно в верхней полуплоскости (при
1пш^Ю) и стремится в этой полуплоскости при \w\—>oo рав-
равномерно к нулю.
4. Если произведение vq>(wa)F(w) обладает указанными
свойствами, то для выполнения соотношения B5.09) достаточно,
чтобы произведение G(w) было голоморфно в верхней
полуплоскости всюду, за исключением точки w = k, где оно име-
имеет простой полюс, причем, когда w—+oo в верхней полуплоско-
полуплоскости, это произведение равномерно стремится к нулю.
Приведенные выше соображения заставляют искать функции
F(w) и G(w) в виде
ф_ (wa) \w+
где cp-(wa) и ty-(wa)—функции, входящие в разбиение функ-
функций B5.10) на множители [см. ниже формулы B6.05)]; они го-
голоморфны в нижней полуплоскости 1пда<0.
126

Выражения B5.03) для поверхностной плотности тока долж-
должны при 2>0 иметь вид
=•cos (m* + ?о) (В еТ*** + ...),
B5.12)
где выписанные члены соответствуют набегающим волнам,
а многоточия означают ток, возникающий в результате диф-
фракции на конце. Поэтому постоянные F\ и G\ в формулах
B5.11) связаны с амплитудами А и В плотности тока соотно-
соотношениями
s ^^ B5.13)
где
?+(tc;a) = 9_ (—wa)> ф+(^^) = ф- (—wa) B5.14)
суть функции, также входящие в разбиение B6:05).
Постоянные F2 и G2 определяются из требований: подынтег-
подынтегральная функция в уравнении B5.06) >яе должна иметь полюса
при w — —к, а подынтегральная функция в уравнении B5.09) не
должна иметь полюса при w = k. Это дает два алгебраических
уравнения:
F2-kA( ^ )
2^ )
k~~h B5.15)
где
2ka t+(ito)
Отсюда получаем постоянные F2 и G2:
kh B5.17)
Формулы B5.11), B5.13), B5.16) и B5.17) дают искомое
решение системы функциональных уравнений и этим самым —
решение поставленной электродинамической задачи.
В дальнейшем будем рассматривать только те случаи, когда
внутри волновода к открытому концу бежит какая-нибудь вол-
127

на — электрическая или магнитная, и поэтому будем полагать
одну из постоянных F\ или G\ (т. е. А или В) поочередно рав-
равной нулю. При этом по формулам B5.17) обе постоянные Р2 и
G2 оказываются всегда отличными от нуля (для несимметрич-
несимметричных волн), так что сложное электромагнитное поле, возникаю-
возникающее при диффракции несимметричной электрической или маг-
магнитной волны на открытом конце волновода, всегда имеет" как
электрическую, так и магнитную функцию Герца. Поэтому сре-
среди волн, идущих от конца в глубь трубы, присутствуют все
электрические и магнитные волны с той же азимутальной зави-
зависимостью, что и поле набегающей волны. Симметричные волны,
у которых '/л = 0, являются в этом отношении исключением, по-
потому что для них Д'=0 и /72=G2 = 0, так что электромагнитное
поле имеет лишь одну функцию Герца.
Появление другой функции Герца, отсутствующей в поле
набегающей волны, связано с математической точки зрения
с тем, что с помощью одной функции F(w) или G(w) удовлет-
удовлетворить всем четырем функциональным уравнениям, т. е. всем
граничным условиям задачи (включая условие /z=0 на краю
стенки), невозможно. Поэтому мы с самого начала искали элек-
электромагнитное поле, имеющее обе функции Герца B4.01) и
B4.02).
§ 26. Свойства вспомогательных функций
При исследовании ■ разбиения функций B5.10) введем, как
в § 13, безразмерный параметр х A3.01) и безразмерные пере-
переменные w, v A3.07), которыми и будем пользоваться в этом
параграфе.
Обозначим через vn (я=1, 2, ...) п-и корень уравнения
/m(v)=0, B6.01)
а через \хп (л=1, 2, ...) —п-\\ корень уравнения
" /'m0i)=0, B6.02)
причем положительные числа vn и \in считаем расположенными,
в порядке их возрастания (вообще следовало бы писать v^m) и
jj^m), но для облегчения письма опускаем индекс т, считая его
фиксированным). При т=\, 2, ... взаимное расположение кор-
корней vn и |in следующее:
Корни vn и \хп соответствуют критическим значениям пара-
параметра х, при которых появляется новая распространяющаяся
волна. При т=1 имеем
vi = 3,832, v2 = 7,016, v3=10,174... B6.03)
128

(критические значения для волн Е1П) и
pii=l,841; ,i2 = 5,332; |i3 = 8,536;... B6.04)
(критические значения для волн Н\п).
Общее решение интересующей нас задачи выражается (как
и в предыдущих главах) через вспомогательные функции q>+,
Ф_, г|з+ и г|)_, которые получаются при разбиении функций
B5.10) на множители
= тоЯт (v) Jm (v) = 9+ И?- И,
Функции q>+(tw) и г|5+(м;) должны быть голоморфными и не
иметь нулей в верхней полуплоскости 1ггш^0, а ф-(^) и
г|)_(г<у) —обладать теми же свойствами в нижней полуплоскости
1пш<0, они определяются формулами A3.11), A3.12) и
A3.13). Заметим, что с разбиением функции ty(w) мы имели
дело ранее [см. формулы B2.06) и B2.07)], а функция cp(w)
встречалась при значениях т=0 и т=\.
Поэтому, не вдаваясь в подробности, перечислим основные
свойства вспомогательных функций.
Функция ф(ку) обращается в нуль при w=±yn, где
Tn = |//x2-v^ (ImYrz>0 при Imx>0) B6.06)
есть безразмерное Еолновое число волны Етп, а функция ty(w)
исчезает при w—±4n> гДе
7n = ]/x2— v?n (ImYn>0 при Imx>0) B6.07)
есть безразмерное волновое число волны Нтп. Обычные волно-
волновые числа wn (для Етп) и wn (для Нтп) определяются фор-
формулами
В окончательных выражениях мы обычно считаем пара-
параметр к вещественным положительным числом и интересуемся
значениями функций от вещественных значений w в пределах
и. B6.09)
9—754 129

Для этих значений w целесообразно вычислять вспомогатель-
вспомогательные функции <р+, qp_, г|л+ и ч|?_ по формулам
(w) = ?. (- ш) = l/ * (и+а;) Ят (о) /ж (о) П J^ e2
B6.10)
ф+ (tei) = ф. (— ш) = V ^(^~w)Hrm(v)fm(v)U^±^ejS{W\
B6.11)
Здесь N означает число волн Етп, могущих распространяться
в волноводе при данном к, а N—число распространяющихся
волн Нтп. Иначе говоря, считаем, что
Входящая в выражение B6.10) функция S(w) определяется
формулами A3.26) — A3.28), причем под функцией S(w) нуж-
нужно теперь понимать функцию, определяемую соотношениями
Q@) = 0, Q(vn) = n*,
а под уп — безразмерные волновые числа волн Етп [формула
B6.06)].
Заменяя в формулах A3.26), A3.27) и A3.28) функцию
Q(v) на функцию Q(<u), определяемую формулами
B6.13)
5@) = о, о(цп) = (л-1Oс,
и соответственно заменяя vn на \лп, уп на уп и Af на JV, полу-
получаем функцию S(w), входящую в выражение B6.11).
Отметим, что при v > 1 (и v^> т2) для функций Q(v) и
Q(a) имеют место асимптотические формулы
1
Q(t;) = o ^-^+ 9п '
Q(v)=v
130

откуда вытекают приближенные формулы для корней vn и \хп
высоких номеров:
2я2
U
2т +
—
2/и+1\
-Г-)
B6.15)
Лу
у"
Приведенные формулы позволяют вычислить функции ф+,
qx_, i|)+ и а|)-, входящие в решение задачи об электромагнитных
волнах в открытой трубе, построенное выше в § 25. Заметим,
что соотношения B5.14)
вытекают непосредствен- 2Т
но из формул A3.11).
На рис. 38 приведена
(для т = 1) зависимость
от параметра n = ka абсо-
абсолютной величины функ-
функции Л [определяемой фор-
формулой B5.16)], умножен-
умноженной на 2^, и ее фазы
argA. Эти кривые колеб-
колеблются соответственно око-
около значений m=l и -s-,
V
О 1 2 3 ** 5 6 7 8 9 10 11
Г
Рис. 38. Величина А как функция пара-
метра к.
претерпевая изломы при
«критических» значениях
параметра к, когда ка-
какая-либо волна Етп или
Нтп из затухающей ста-
становится распространяю-
распространяющейся; амплитуда этих колебаний с ростом х медленно спа-
спадает. Такой же своеобразный характер имеют другие вспомо-
вспомогательные функции, благодаря чему кривые, определяющие ча-
частотную зависимость различных физических величин для волно-
волновода с открытым концом, имеют изломы,
§ 27. Плотность тока на стенке. Коэффициенты отражения
и трансформации
Если на открытый конец трубы набегает электрическая волна
Ети распространяющаяся в трубе с волновым числом —h = — wl%
то по формулам § 25 получаем
9* ' Ш

k—w<t-(wa)
~2A
( 1 A!
\w+h l+A*k
Составляющие поверхностной плотности тока на стенке трубы
получаются в виде
п=1
00 ~
B7.03)
Здесь
(Yi)
+( + Y0(+Y)
B7.04)
есть коэффициент трансформации волны Ет\ в волну Етп по
току (причем Riti есть просто коэффициент отражения волны Emi
от открытого конца), а
1 i.n— 14-Д2
назовем коэффициентом трансформации волны Emi в волну Нтп
по току.
Рассмотрим теперь другую возможность, когда к открытому
концу трубы приходит магнитная волна Hmi с ам'плитудой тока В
и волновым числом —% = —Wh В этом случае
Д2
и составляющие поверхностной плотности тока при z>0 равны
132

00 ^
B7.07)
Здесь Ritn.-^- коэффициент трансформации волны Hmi в волну Н
по току — определяется выражением
— l/x —Ь Ф+ (Yi) [1 ; А2 МТг+'Тп) 1
* *+Y* (Y/+Yn)*'-(Yn) L l + Д2(х_Тг) (х_ Yri)J
2
B7.08)
причем Riti есть просто коэффициент отражения волны Hmi
конца трубы. Величину
1,/ ^ =
(х - yO (x+Yn) V (х + yi) (x - Yn) T'- (Yn)
естественно называть коэффициентом трансформации волны
Hmi в волну Emi по току.
Коэффициенты Rjt7l nTln дают комплексные амплитуды
продольной составляющей плотности тока у электрических
волн, идущих от открытого конца и возбуждаемых набегающей
волной, а коэффициенты 7\ п и Rln определяют комплексные
амплитуды азимутальной составляющей плотности тока у маг-
магнитных волн, уходящих от конца внутрь трубы.
На рис. 39 приведены абсолютные величины коэффициентов
отражения и трансформации по току для электрических волн
Еи а на рис. 40 — те же величины для магнитных волн Н{.
Эти коэффициенты показывают соотношение между амплиту-
амплитудами поверхностной плотности тока падающей и отраженной
волн, причем для электрических волн сравнение производится
по продольной, а для магнитных волн — по поперечной (ази-
(азимутальной) составляющей плотности тока.
Отметим, что у электрических волн токи текут лишь в про-
продольном направлении, а магнитные волны имеют как продоль-
продольную, так и азимутальную составляющую плотности тока. Вбли-
Вблизи критической частоты данной магнитной волны азимутальная
составляющая плотности тока преобладает над продольной,
однако при увеличении частоты они сравниваются, и при часто-
частотах, значительно превышающих критическую, преобладает про-
продольная составляющая.
133

В некоторых отношениях более наглядны коэффициенты от-
отражения и трансформации по продольной составляющей тока.
Пусть, например,.по направлению к открытому концу бежит
/
0.8
06
05
0}
03
02
{if
006
0,05
0,03
0,02
001
от
0006
000.5
0,004
0,003
OfiOZ
finnt
1
-Vr
/
/
R \
\
ч
\
N
5
\
\
\
4
\
V
j
i
6
\
\
\
1 ^
\
44
7
ч
n
1
I
\
^ -
-
hA
К
\
8
—
1
1
In
' ft 7 1 '
7*,,
9
Ж
Рис. 39. Абсолютные величины коэффициентов отражения и транс-
трансформации электрических волн Ец по току.
волна Ет\ с волновым числом —h = —щ. Тогда продольная со-
составляющая плотности тока может быть записана в виде
B7.10)
m\
mn
134

где согласно формуле B7.03)
?itnz=zRitn\ *itn — ii
B7.11)
Если же на открытый конец набегает волна Hmi с волновым
числом —h= — Wu то продольная составляющая плотности тока
согласно формуле B7.07) равна
й.» e'-^
где
0.1
0.0S
№
0,05-
0,0k
0.03
0,02
СМ!^-
0,006
ом
0,005
0.003
рпог
€.001
М ml tl
2 ~
l4 Ь
B7.12)
B7.13)
\
К
\
/I
\
V
\
V
ч,
ч
I
/
/
i
I
s
m
\
\
\
4
I
\
\
\
/
-I-
i
I
\
I
I
\
\
I
V
Л
s
\
6
\
\
\
\
V
\
\
4
\
\
\
f
с
r'
7
v
4.,
.» —
\
i
=
\
■—~.
—
\*
■\*
■ I
z\
z\
" 1
g
Рис. 40. Абсолютные величины коэффициентов отражения и транс-
трансформации магнитных вол!н Нц ло току.
315

Преимущества новых коэффициентов, определяемых формула-
формулами B7.11) и B7.13), видны из рис. 41, где изображены абсолют.
ные величины коэффициентов трансформации р^п и zttn различ-
различных волн в электрические волны Е1П, и из рис. 42, где приве-
приведены абсолютные величины коэффициентов трансформации pj>n
и -nz#n в магнитные волны #1П, Мы видим, что, в общем, коэф-
0,3
0,08
0,06
op
ОМ
0.03
0,01
1
ч
ч^
^\
i
ч\
I—
5
1
1
\
\
\
\
Ч
ч
\
ч
\
I
6
\
ч
!
\
г,
—р
п
1
7
\
2
X
|"т;?'
в
и*
л
О
\Р,\
9
Рис. 41. Абсолютные величины коэффициентов трансформации раз-
различных волн в электрические волны Е\т по продольной составляю-
составляющей тока.
фициенты трансформации в данную волну по продольной состав-
составляющей тока слабо зависят от номера и типа набегающей волны,
причем эта зависимость при увеличении параметра к все более
и более сглаживается.
Коэффициенты отражения и трансформации определяют
электромагнитное поле внутри волновода. Обычно представляют
интерес только распространяющиеся волны, которые уносят на-
назад, внутрь трубы, часть энергии, приносимой набегающей вол-
волной, и определяют поле внутри трубы на достаточно больших
расстояниях от конца, где затухающими волнами можно пре-
пренебречь. Поэтому на наших графиках приводятся только коэф-
коэффициенты отражения и трансформации для распространяющих-
распространяющихся волн. Графики охватывают значения параметра к в преде-
пределах
|11 = 1>841<х<8,536 = |13, B7.14)
136

в которых могут распространяться магнитные волны #ц и НХ2
и электрические волны Ец и Е^
Наиболее наглядно трансформация одних волн в другие
представляется коэффициентами трансформации по мощности.
Обозначая, например, через (£т/, Ншп) ту часть энергии падаю-
падающей волны Emh которую уносит с собой обратная волна Нтп,
будем иметь для коэффициентов трансформации по мощности
следующие выражения:
/г? г? \ *in | Г) |2 Yn I |2
[tmu £™n) = —\t<i,n\ = —|Рг,п| ,
y Нтп)
rnl, Птп) — 2 ^TI^J."! —~ 2
I*/ "^i
2
n)— ~ "
2 <*^
н t 1 it 12 Y*Yn
B7 Л 5)
Из выписанных выше общих формул для коэффициентов
отражения и трансформации по току следует, что для распро-
распространяющихся волн будут выполняться равенства
(Р 1 р \ (р р \ (j-f , иг \ (и и \
yj-^mly *—тп) — У^тпу *^"ml)> \Hml> * * тп) \ii(m.n> iiml)-,
yi^miy limn) — \* •* mrty •—ml) \£1 •l\J)
И
&rgRi n — arg Rn i, atgRi n = argRn i, arg T% n = arg7\l i. B7.17)
Эти соотношения симметрии аналогичны принципу взаимности.
Они должны выполняться в общем случае (см. [7]) при любом
нарушении однородности волновода (за исключением волновод-
ных узлов с нелинейными или гиротропными веществами).
На рис. 43, 44 и 45 изображены фазы коэффициентов отра-
отражения и трансформации (для значения т=1). Мы определяем
эти фазы с помощью формул
причем
»,#п=»п§|| Ъип = ЪпЛ, ЬвП=^пЛт B7.20)
137

08
06
0.5
ОМ
т
02
т
0.08
0.06
005
00k
0.03
0.02
0.01
от
0006
0005
от
0003
0001
0001
—
w\
\
\
\
\
—М
\
\
\
ч
1
>Y
\
1\
1
<
t
1
\
\
\
[
\
f 1
—1——J_ "^ "^
у
\
V-
л
! . ^
1
1
f
1
1
1
\
к
-
\
t
\
\
\
\
V
\
\
\
ч
1
г
г/
/
V
■'-
\
-■
\
—■
гГ
2./
\
1—S:
s
1
1
1
к/-
1
Рис. 42. Абсолютные величины коэффициентов трансформации раз-
различных волн в магнитные волны Н\т по продольной составляющей
? тока.
При v,,<;>c<;v2, когда из всех волн Elt может распростра-
распространяться только волна Е119 приводим для нее на рис. 43 также
отношение —, где а
поправка на открытый конец, связанная
соотношением
с фазой
При {х2 <[ % < [х2 приводим также на рис. 45 отношение —
для волны Яп — единственной распространяющейся из волн Нх%
в этом интервале частот. Поправка на открытый конец а связана в
этом случае с фазой 8ltl соотношением
Полезно отметить, что при больших значениях параметра к,
достаточно удаленных от критических значений для пары рас-
рассматриваемых распространяющихся волн, их взаимные коэффи-
138

ct
a
OJ
4,
©
a
1
4
/
У
L
/
\
\
1
\
\
\
\
/
/
Y 1
II
1
!
I
4
У
у
f
5
7
90°
60°
зд°
Рис. 43. Фазы коэффициентов отражения элек-
электрических волн Еп и Еп и коэффициентов их
взаимной трансформации. Поправка на откры-
открытый конец для волны Ец.
1
*/
/
/
/
/
, /
/
/
—V,
1
L
V
/
ц
•
А
4
90'
60"
30'
J f <f в 7 8 J
X
Рис. 44. Фазы коэффициентов трансформа-
трансформации электрических волн в магнитные.
139

a
a
0.1
0,0
V
0,t
0.3
Op
\
®
\
2
\
\
3
\
\
\
\
\ !
\
t
\
\
\
v
У
1
3
/
У
y
1
i
6
>
A
s
7
1
i
I
i
1
У
\^uz
t
r
i
-
S
■ -».
\
P
-180е
rh.
150°
-no9
goc
60°
ж
-30°
-60°
-90°
-15О9
-180°
Рис. 45. Фазы коэффициентов отражения волн Нп и Я!2 и
коэффициентов их взаимной трансформации. Поправка на
открытый конец для волны Нп.
циенты трансформации определяются приближенными выраже-
выражениями
i 1
B7.21)
/к2
Для симметричных волн
и при больших значениях и приближенно можно написать
B7.22)
140

Последняя формула указывает, что для волн Но коэффици-
коэффициенты Rit п стремятся при х-^оо к нулю значительно быстрее,
чем для всех других волн. Это явление связано с тем, что волны
#о—единственные, у которых отсутствует продольная состав-
составляющая плотности тока. Заметим попутно, что аномальный ход
затухания волн Яо (см., например, [20], § 11.4 или [26], § 55)
связан с той же их особенностью.
Приближенные выражения B7.21) и B7.22) вытекают из
формул § 31.
Слагаемые <2ф, Qz, Q^ и Qz в формулах B7.03) и B7.07)
выражаются в виде интегралов по петле, охватывающей раз-
разрез k—+ioo. При больших значениях z эти интегралы убывают
обратно пропорционально некоторой степени г. Они дают, как
легко показать, поверхностную плотность тока на внешней
стороне стенки волновода, в то время как остальные члены
представляют плотность тока на внутренней стороне стенки,
непосредственно связанную с волнами внутри трубы.
§ 28. Сравнение коэффициентов отражения различных волн
До сих пор мы приводили численные результаты по коэф-
коэффициентам отражения различных типов волн в каждой главе
отдельно. Полезно произвести теперь сопоставление всех ре-
результатов, полученных для электромагнитных волн, чтобы иметь
возможность сделать общие выводы.
Если строить кривые, дающие зависимость коэффициентов
отражения и трансформации от частоты (или от пропорциональ-
пропорциональных частоте параметров q или х), то можно заметить, что для
абсолютных величин и фаз этих коэффициентов характерно бы-
быстрое изменение вблизи критических частот, при которых появ-
появляются новые распространяющиеся волны с той же азимуталь-
азимутальной зависимостью, и плавное изменение в промежутках между
критическими частотами. Такой характер частотной зависимо-
зависимости должен повторяться и в других, более сложных системах.
При сравнении абсолютных величин коэффициентов отраже-
отражения и трансформации различных электромагнитных волн оказы-
оказывается, что волны, имеющие только поперечную составляющую
плотности тока, отражаются от конца волновода значительно
слабее, чем волны, несущие продольные токи. К такому выводу
можно придти, сравнивая имеющиеся в гл. I и II результаты
для магнитных и электрических волн. Этот вывод может быть
выражен в более общей, но менее строгой форме, а именно мож-
можно сказать, что продольные токи гораздо сильнее отражаются
от края волновода, чем поперечные.
Это различие в поведении продольных и поперечных токов
при наличии края имеет общий характер. Так, например, при
диффракции плоской волны на полуплоскости продольный ток
141

(см. [24], рис. 63) образует подобие полустоячей волны, а попе-
поперечный ток (см. [24], рис. 64) практически сводится к току бегу-
бегущей волны, за исключением непосредственной окрестности края,
где абсолютная величина плотности тока, перед тем как начать
неограниченно расти, испытывает несколько весьма слабых ко-
колебаний.
Исходя из этих соображений, можно предсказать, что не-
несимметричная магнитная волна, несущая как поперечные, так
и продольные токи, при отражении от открытого конца круг-
круглого волновода возбуждает в основном электрические волны,
так как отражение должно привести к сильному повышению
удельного веса продольных токов. Наоборот, несимметричные
электрические волны, несущие только продольные токи, почти
не должны создавать обратных магнитных волн. Вычисление
коэффициентов отражения и трансформации (см. предыдущий
параграф) подтверждают это; особенно наглядное подтверждение
получается, если рассмотреть коэффициенты отражения и
трансформации по мощности. Этот результат указывает на то,
что «обрывание» продольных токов может приводить к сильным
отражениям.
Приведенные в гл. I и II графики для фазы коэффициента
отражения (и для поправки на открытый конец) показывают,
что (при наличии только одной распространяющейся волны
данного типа) открытый конец является в эквивалентной схеме
для магнитных волн индуктивной нагрузкой, а для электриче-
электрических — емкостной. Этот результат имеет, очевидно, тот физиче-
физический смысл, что при отражении магнитной волны появляется
на краю скопление поперечного тока, благодаря чему на конце
преобладает магнитное поле, как если бы к концу была при-
присоединена индуктивность. Наоборот, при отражении электриче-
электрической волны на крае должен быть узел продольного тока
(/z=0) и пучность заряда, вследствие чего на конце преобла-
преобладает, как при наличии емкости, электрическое поле. Графики
§ 27 показывают, что то же имеет место и для несимметричных
электрических волн. Несимметричная магнитная волна #ц
имеет, однако, весьма своеобразную зависимость fl^i и а от ча-
частоты (см. рис. 45), которую можно объяснить так: вблизи кри-
критической частоты у волны'#ц преобладает поперечная состав-
составляющая тока, которая обусловливает индуктивный характер на-
нагрузки, заменяющей в эквивалентной схеме открытый конец.
При росте частоты быстро начинают сказываться продольные
токи, придающие этой нагрузке емкостный характер, который
она и сохраняет в дальнейшем.
Следует отметить, что коэффициент отражения любой вол-
волны высокого номера при частоте, близкой к ее критической ча-
частоте, имеет одинаковый характер изменения; то же относится
к коэффициентам трансформации этой волны в волны соседних
142

номеров. Это единообразие допускает аналитическую формули-
формулировку и следует из выведенных в книге строгих формул (см. за-
задачу 5); рассмотренное выше своеобразие волн различных ти-
типов реализуется лишь для волн низших номеров (п=\ или
я = 2) и при частотах, значительно превышающих критические.
§ 29. О принципе Гюйгенса
Наиболее рациональный путь расчета излучения по прин-
принципу Гюйгенса заключается в применении приближенного вы-
выражения, связывающего поле излучения с электромагнитным
полем волны, набегающей на открытый конец. Таким способом
поле излучения электрической волны Етг получается в виде
с
B9.01)
где А — амплитуда продольной составляющей плотности тока
волны Emi, a &z — угол, связанный с волновым числом —h =
= —Wi этой волны соотношением
Для магнитной волны по этому способу получаются более
сложные формулы, а именно для волны Hmi в волновой зоне
имеем поля
/ = —/i. B9.02)
= — Н^ = — cos (m?+?)(i)m+I Я ^^
()
c cosO—i
B9.03)
причем В означает амплитуду азимутальной составляющей
плотности тока волны НшХ [см. формулу B5.12)], а угол fy свя-
связан с ее волновым числом —-А = — tiz^ соотношением
£cos&i = —А. B9.04)
Здесь введены сферические координаты J?, ф, -& с тем же цен-
центром, что и у координатной системы г, <р, z\ Ф=0 есть направле-
направление положительной оси z (вдоль трубы), а 0=л соответствует
продолжению волновода.
Возможны также иные способы приближенного расчета по-
поля излучения, основанные на применении формул Кирхгофа
143

к потенциалам электромагнитного поля. Используя электриче-
электрический вектор Герца, для электрических волн получаем в точно-
точности те же формулы B9.01), что и раньше. Применяя формулы
Кирхгофа, к магнитному вектору Герца, получаем поле излуче-
излучения волны Нт1 в виде
/'m(xsin5) eikR
@ Я~L
с sin* 0, cos 0— cosdj R
B9.05)
При сравнении обоих способов расчета для симметричных
волн (§ 15 и 16) мы отметили, что первый способ следует пред-
предпочесть по соображениям однозначности; произведенное сравне-
сравнение характеристик излучения волны (рис. 25) также подтвер-
подтверждает преимущества первого способа. Для несимметричных
волн совершенная непригодность второго способа очевидна уже
без всяких вычислений. Во-первых, формула B9.05) для харак-
характеристик излучения волн Нц дает провал при 0=от, что не соот-
соответствует истине. Во-вторых, при условии к^> 1, когда от прин-
принципа Гюйгенса только и можно ожидать хороших результатов,
поля Е^ = Н согласно формуле B9.03) гораздо сильнее полей
Е^ = — Нь , причем этот результат находится в согласии со стро-
строгой теорией. Однако по формуле B9.05) поля £^ = //^ = 0.
Эти результаты заставляют и для других задач отвергнуть
принцип Гюйгенса в форме, использующей потенциалы элек-
электромагнитного ноля. Эта форма является излишней, когда она
приводит к тем же результатам, что и принцип Гюйгенса для
полей (первый способ), а если она дает другие результаты, то
они совершенно ненадежны. Поэтому в дальнейшем под прин-
принципом Гюйгенса будем понимать первый способ расчета. Сра-
Сравнение принципа Гюйгенса с точным решением мы приведем
ниже.
Надо иметь в виду, что вывод формул B9.01) и B9.03), хо-
хотя и простой по идее, связан с довольно утомительными вы-
выкладками (которые приведены, например, в § 89 книги B5]).
К тем же результатам, но, более коротким путем, приводит сле-
следующий способ. Будем считать, что плотность тока на стенке
такая же, как в случае волны, распространяющейся внутри бес-
бесконечно длинной трубы (т. е. при z>0 дается выписанными
членами формулы B5.12)], а на продолжении стенки (т. е. при
г<0) равна нулю. Функции F(w) и G(w), соответствующие
такому распределению тока, равны
F^)-4u^Th' °И-0 B9.06)
144

ДЛЯ ВОЛНЫ Emi И
ДЛЯ ВОЛНЫ Нт\.
Отсюда легко находим поле излучения. Подставляя функ-
функции F(w) и G(w) в формулы C0.02) и C0.03) следующего
параграфа, получаем опять формулы B9.01) и B9.03) принципа
Гюйгенса. Эквивалентность обоих методов (не только для вол-
волноводов, но и для других излучающих систем) может быть лег-
легко доказана в.общем виде. С физической точки зрения эта экви-
эквивалентность почти очевидна, поскольку в обоих случаях излу-
излучение вычисляется по одной набегающей волне, без учета отра-
отраженных волн и тока, затекающего на внешнюю поверхность
стенки.
§ 30. Характеристики излучения
В волновой зоне, точнее вне волновода на таких расстоя-
расстояниях Л от его конца, что
£/?>1 и &/?sin2ft> 1, C0.01)
мы получаем из точных выражений B5.02) методом перевала
следующие формулы для функций Герца:
П = — (— г)™+1 -Чг- Jm (x sin Ь) F (k cos ft) V"'
R '
От открытого конца волновода расходится сферическая волна,
электромагнитные поля которой имеют составляющие
:«=# = — sin(m? + <po)£2IIsin&,
* ' C0.03)
Распределение излучения по направлениям определяется
в волновой зоне функцией
так что
L(ftf
10—754 145

есть мощность, излучаемая внутри элементарного телесного
угла dO. Из формулы C0.03) следует, что
L (ft, ?) = a (ft) sin2 {nvf + <fo) + * (&) cos2 (т<? + <р0), C0.05)
и сг(#) зависят только от
причем положительные функции
угла Ф. Так как
C0.06)
то a (ft) можно назвать электрической, а <т (Ф) —магнитной ха-
характеристикой излучения. Эти функции дают соответственно
угловое распределение излучаемой мощности в «электриче-
«электрических» и «магнитных» плоскостях <р=const набегающей волны;
при т—\ эти плоскости взаимно перпендикулярны.
При #=0 и ft=m функция 2(#, <р) не должна зависеть от <р,
поэтому между электрической и магнитной характеристиками
существует связь:
S@, <р) = 0(О) =
C0.07)
Соотношения C0.02) — C0.07) можно применять и для раз-
различных приближенных расчетов. Будем отличать характеристи-
характеристики излучения по принципу Гюйгенса от точных символами 2Ь
01 и о\. Из формул B9.01) получаем
/од
1 ^ } —
rsinft/m(xsinftn
[ cos § — cos fl< J
где
с х
C0.08)
C0.09)
есть мощность волны Emi (m=l, 2,...). Аналогично из формул
B9.03) для волны НтХ имеем
/m(xsin0)
2*Yil*i A -—
2я»т* I ' ~—I cos * — cos *'
J''
^
C0.10)
146

где
C0.11)
есть мощность волны #mZ.
Для волн Яи
в то время как согласно принципу Гюйгенса для всех других
волн имеем
З.КлО = М*)=М*) = 0. C0.13)
Возвращаемся к исследованию точных выражений для поля
излучения. Излучение электрической волны Emi из открытого
конца получаем, подставляя в формулы C0.02) выражения
B7.01) и B7.02) для функций F и G. Отсюда .нетрудно получить
конкретные расчетные формулы. Так, при v/<x<v2 имеем ха-
характеристики излучения волны Ет\ в виде
C0.14)
X
причем для Vj < к
2А2
1A1
vv
cos ^— cos yt
t.) + 7 (x cos *)
C0 15)
а для
COS 0 +
последнее выражение надо еще умножить на
cos 0 — cos 02
COS 0 + COS 1Г2
C0.16)
При любых значениях параметра к характеристики излуче-
излучения волны Епц удовлетворяют соотношениям:
= в1(вп) = 0 (при пф1),
Ю*
147

Из выражений C0.14) и C0.15) следует баланс энергии
2п ъ к
d<f \ S (&r <p) sin &d& = « \ [о (ft) + з (&)] sin frd& =
0 0 0
= Р{1 - [(Emit Eni) + (Emi9 Hmi)]}9 C0.18)
где (EmU Emi) и (£mb #wi) суть введенные выше [см. формулы
B7.15)] коэффициенты отражения и трансформации по мощ-
мощности.
Формула C0.18) пригодна при У\<к<щ, а при |i2<x<V2
функция а($) имеет добавочный множитель C0.16), благодаря
которому в формуле C0.18) добавляется слагаемое (EmU Hm2).
Если же к открытому концу приходит волна Hmi, то мы по-
получаем поля в волновой зоне из выражений C0.02) и C0.03),
подставляя туда функции F и G по формулам B7.06). Из общих
формул для волны Нт\ при |11<и<|Л2 имеем магнитную харак-
характеристику
_ п
(х sin 0)
— COS»^!
2А2 cos 0 — cos oi
C0.19)
X
Что же касается электрической характеристики, то при
<vb когда электрические волны той же азимутальной зависи-
зависимости вообще распространяться не могут, она равна
п
/m(xsin0)
1+Д2|2 sin2d|tfm(*sind)| e '
а при vi<x<|i2, когда может распространяться волна Ети в вы-
выражение C0.20) нужно ввести множитель
cos 0 —cos О, .„ 01
cos 0 + cos h • ^U-21^
Полная мощность излучения по формулам C0.19) и C0.20)
равна
J rf7 J S @, у) sin fo/& = тг J [a (ft) +? (»)] sin ftrfft =
0 0 0
= Я{1-(#те1, Яш,)}, C0.22)
причем при vi<x<|i-2 в формуле C0.22) благодаря множителю
C0.21) вместо (Hmli HmX) стоит сумма (НтЬ Нт1) +
+ {Нт\, Ет\).
148

Характеристики излучения магнитных волн Hmi при всех ча-
частотах подчиняются соотношениям
(при пф1),
(л=1, 2, ...).
C0.23)
Отметим в заключение, что для функций Герца в волновой зоне
выполняются соотношения
~ \
lim П sin & = Hm П sin &,
■&-►*
lim П sin & = — lim П sin &.
C0.24)
Эти равенства влекут за собой выполнение соотношений C0.07).
Они показывают, что формирование волнового поля с отлич-
отличным от нуля излучением в направлении O=jt возможно только
Рис. 46. Характеристика излучения волны Еп при и=4.
149

при наличии как электрической, так и магнитной функции
Герца.
На рис. 46—48 изображено отношение величин <з(в)иа;(&)
к мощности Я, приносимой набегающей волной к концу волно-
волновода. Пунктиром изображены те же отношения ^ ' и gl^ ^,
вычисленные по принципу Гюйгенса.
V.I
0.3
ax
OJ
t
T
V
/ p
JO9
ЯШМ
_.
-^—■
в ■
--
i—*
60°
SL
--■
•
1°
У
\/
У1
/
У
о
Hi
/
7
1
h
J/
i
V
/50°
Рис. 47. Характеристика излучения волны Нц при и=2.
..На рис. 46 даны характеристики излучения волны ЕХ1 при
х = 4. По принципу Гюйгенса магнитная характеристика излуче-
излучения всех электрических волн тождественно равна нулю:
излучение прямо вперед отсутствует:
(Ti(jt)=O.
150

Согласно строгой теории магнитная характеристика отлична
от нуля, хотя и мала по сравнению с электрической почти для
всех направлений, за исключением близких к Ф=0 и Ф=я; излу-
излучение прямо вперед также отлично от нуля, хотя и мало.
//
V
1.0
0,9
0,3
OJ
0,6
0.5
О!*
03
01
0.1
&
[*)
X
V
•
^=
7\
Ps
■ —
LJ
/
--*
/
1
■
>'/
0.03
o.oz
0,01
1 ^
\
i
I/
t>
|;
1,
/'
/
JLLl
i
i /г
//
Air
lit
1
1;
p
i
w
0° 30° 609 SO'
Рис. 48. Характеристика излучения
120* 150° ISO0
волны Ян при х=4.
Вообще следует признать, что принцип Гюйгенса плохо
передает ненаправленное излучение электрических волн. С таким
положением мы уже встречались раньше (см. рис. 26).
Рис. 47 и 48 изображают соответственно характеристики
излучения волны Яц при х=2 и х=4. Эти направленные харак-
151

теристики (их направленность растет с увеличением парамет-
параметра х) передаются принципом Гюйгенса гораздо лучше.
Согласие между принципом Гюйгенса и строгой теорией
становится более полным, если перейти к диаграммам направ-
50° W М°20ш Ю°0° 10Ч0°30° **0° SO0
Рис. .49. Диаграмма направленности волны Нц
при х=2.
ленности, которыми обычно пользуются в экспериментальных и
теоретических исследованиях. На рис. 49 (повторяющем в иной
форме рис. 47) изображены в полярной системе координат
функции
(сплошными линиями), а пунктиром — те же отношения по
принципу Гюйгенса.
На рис. 46—48 обращает на себя внимание однотипный ход
характеристик излучения при #—0. Это — как раз те направ-
направления, где угловая зависимость поля излучения определяется
внешней поверхностью идеально проводящей стенки волновода,
а не структурой электромагнитного поля на конце волновода.

Рис. 50. Излучение волны Нп прямо
вперед.
Приведем также графики, дающие зависимость излучения
в направлениях Ф=0 (назад), #= -у (вбок) и Ф = я (вперед) от
параметра х. На рис. 50 и 51 дано излучение магнитной волны
Ян, которое обладает наибольшей направленностью по сравне-
сравнению с излучением всех других
волн круглого волновода. На
рис. 50 приведено отношение
мощности излучения вперед по
точной теории к той же вели-
величине, вычисленной с помощью
принципа Гюйгенса. Мы ви-
видим, что вблизи критической
частоты принцип Гюйгенса
дает ошибочное представление
об интенсивности излучения,
однако при увеличении часто-
частоты положение выправляется и
указанное отношение прибли-
приближается к единице. На рис. 51
даны графики для излуче-
излучения в других направле-
направлениях р=~! и &=0 ]. При пользовании ими нужно иметь в виду
соотношения C0.07) и аналогичные им для характеристик
2i, в\ и огь рассчитанных по принципу Гюйгенса.
На рис. 52 изображено излучение волны Еп в тех же направ-
направлениях в зависимости от параметра х. Здесь следует отметить
относительно сильное излучение назад (Ф=0), свидетельствую-
свидетельствующее о направляющем действии стенки волновода на волны, из-
излучаемые его концом.
§ 31. Эффективная поглощающая поверхность
Рассмотренные выше характеристики излучения охватывают
свойства открытого конца волновода как передающей антен-
антенны. Свойства открытого волновода как приемной антенны мож-
можно характеризовать поперечником возбуждения (или, как часто
говорят в радиотехнике, величиной «эффективной поглощающей
поверхности»). Представим себе, что в свободном пространстве
распространяется в направлении (я—#, 2я—ф) плоская волна.
Она возбуждает в полубесконечном волноводе, вообще говоря,
все волны Етп и Нтпу но лишь те из них, которые могут рас-
распространяться при данной частоте, уносят с собой внутрь вол-
волновода часть мощности падающей волны. Поперечник возбуж-
возбуждения iSi®, ф) какой-нибудь из распространяющихся волн по
определению равен величине площадки (мысленно вырезанной
в плоскости фронта падающей волны), поток энергии через ко-
153

торую равен мощности волны, возбуждаемой в волноводе. Если
JE(#, q>) есть характеристика излучения этой волны в случае,
когда она распространяется с мощностью Р внутри волновода
к его открытому концу, то поперечник возбуждения этой волны
£(#, ф) связан с характеристикой излучения (см. [7]) соотноше-
соотношением
C1.01)
2ти
где ^ = -г есть длина волны в свободном пространстве, а х —
угол между плоскостью поляризации падающей волны и пло-
плоскостью поляризации сферической волны, характеристика кото-
которой есть 2(&, <р).
005
0,0f
I J
0.0 it
0.03
m
0,0/
Г
i i
у
4 >
N
2 J if 5 6 7%
Рич:. 61. Излучение волны Нп в направлениях Ф^^о" и д = (
154

Рис. 46—52 дают возможность вычислить поперечник воз-
возбуждения волн Ец и #ц. Особенно интересны поперечники воз-
возбуждения для #=л;, когда плоская волна распространяется
в направления оси z и возбуждает внутри трубы только волны
Е\п и Hin, а волн с другой азимутальной зависимостью (т =
= 0, 2, 3,,..) не возбуждает. На рис. 53 изображено отношение
поперечника возбуждения &(я) магнитных волн в направлении
Ф = я к площади поперечного сечения волновода яа2. Попереч-
Поперечники возбуждения электрических волн, как легко подсчитать
с помощью рис. 52, оказываются весьма малыми и поэтому на
рис. 53 не изображены.
Интересно отметить, что поперечник возбуждения волны Н\п
при прямом падении стремится к пределу
s-£htt <31-02>
*№)
<* 5 б 7
OQOZ
000/
орог
0001
* 5 6 7 X 1> 5 6 ~7~~к
тс
Рис. 52. Излучение волны Еп в .направлениях Ь = тс, Ъ=~2 и #=
155

Эта формула может быть получена с помощью принципа Гюй-
генсй. Она показывает, что поперечник возбуждения волны #и
в достаточно широкой трубе составляет в случае прямого паде-
падения около 84% площади сечения трубы, поперечник возбуждения
ВОЛНЫ #12 — ОКОЛО 7%,
волны #13 — около* 3%
и т. д. Рис. 53 показыва-
показывает, как согласно строгой
теории происходит при-
тгаг
иг
л л
0,8
0,6
0,4
0.2
г
— -,
Ни
ближение к этим
дельным значениям.
Заметим, что
пре-
пре■=1. C1.03)
/ г з
s б
в 9 Ю 11
Рис. 53. Поперечники возбуждения магнит-
магнитных волн Н\п.
Это равенство означа-
означает тот физически очевид-
очевидный факт, что при х—*оо,
т. е. «в предельном случае
геометрической оптики,
полный поперечник воз-
возбуждения волновода (пропорциональный полной мощности, за-
захватываемой волноводом из набегающей на его открытый конец
плоской волны) оказывается дери прямом падении просто рав-
равным площади поперечного сечения волновода.
В заключение приведем строгое математическое доказатель-
доказательство формулы C1.03). Функцию J\{x) можно представить в ви-
виде бесконечного произведения
п=\
X2
C1.04)
Образуя логарифмическую производную от обеих частей этого
разложения, получаем
J'lW
C1.05)
или, пользуясь уравнением Бесселя для функции /i(jc),
1
Soy. х lK > ^ V
V?n-x* J'i
-Til'ii*)
C1.06)
что приводит при х= 1 к искомому равенству C1.03).
J56

§ 32. Приближенные формулы
Исследуем, какую форму принимают выведенные выше точ-
точные выражения при условии
n=ka> 1, C2.01)
т. е: для достаточно больших (по сравнению с длиной волны)
излучающих отверстий. Используем формулы
(при cos8
In <p+ (и cos &) = In <p (к cos &)+ f/1
V при cos&<0,
In ф+ (x cos ») = In ф (x cos &)-f f/J
(cp. § 17), где
Г7_ 1 Г 1П У (X Sin X) ,
u ~ 2iw J sin т —cos 0 " '
C2.03)
2iw 1 sini: — cos I
g=^rjf'°!""''.'idt.
Интегралы берутся по контуру Го, проходящему в плоскости
комплексного переменного х через точку т=0 в направлении
быстрейшего возрастания вещественной части функции cost.
Так как.контур Го симметричен относительно точки т=0, то U
и U суть нечетные функции cosi-O, терпящие разрыв при cosft^O.
Если cos $ФО и х-+оо, то функции U и U стремятся к нулю.
С помощью формул C2.02) для поля излучения волны Етг
(f
в переднем полупространстве ( ^-<С^<С<1Ч получаем выражения
1 +Д2
tg-o-^2
sin-o- _4 \tg-o-/ /л/г+с/+с/,
0 cos 0— cos bt I + Да
sin-y
C2.04)
157

а в заднем полупространстве, при 0<^d<C-n- —выражения
2 sin~2~ l
^ ^ с£3 0 sinfltf(*sin&)(cosd—cosflz)
if / ;\т+1 2 Л
1 + Д2
C2.05)
—- -
1 +Д2 0f О
sin-g- sin -у sin* $Я'т (х sin 0)
Здесь f/г есть значение функции [/ при д=я—fy, т. е. при
[см. формулу {29.02)], а величина Д, определяемая форму-
формулой B5.16), равна
д=|1е^% C2.06)
где Uo и Г70 суть значения функций U я U при Ф = 0.
Диффракционное поле волны Hmi в волновой зоне может
быть представлено аналогичным образом. В переднем полупро-
полупространстве, т. е. при у<С^<С7С> функции Герца этого поля даются
выражениями
ck2 a2 1 + Д2 sin20 X
x-1-* .
u = -(-i)™+*2™B^~ 7-(xsin0) „ X C2.07)
rb2 % sin» (cos d — cos d,) V
2 / . eikR+U+Ul
^ 1 +Д2
158
-»

а в заднем полупространстве—выражениями
1 4.2 д sinT
^ . ^ cos ~y sin* fltfm(* sin d)
e l
X « ' C2.08)
nj-g- cos -g" sin 0Я'т(х sin 0) (cos 0 — cos
1 +Д2
причем f/f является значением функции U при &=т: — &;f т. е.
при
Поле излучения волны Hmi в переднем полупространстве,
получаемое из формул C2.07), интересно сравнить с полем той
же волны B9.03), рассчитанным по принципу Гюйгенса. Точные
выражения для полей Е^=Н отличаются от B9.03) множи-
множителем
2 sin f sin T ^Uo^+U+Ui
1 + COS $i COS 5
а для полей Е = — НА — множителем
sin y
sinf-
1 +Д*
]
V
l+A
ц
2
159

При больших значениях параметра х и при углах & и &ь близ-
близких к тс, эти множители близки к единице, благодаря чему
принцип Гюйгенса для излучения вперед должен давать хорошие
результаты. В частности, из точных формул получается пре-
предельное соотношение C1.02).
Делая такое же сравнение для электрической волны Emi, мы
видим, что поля Е^ — Ну по формулам C2.04) отличаются
от этих же полей, рассчитанных по принципу Гюйгенса B9.01),
множителем
Ь_ 1 +Д2 е ,
обращающимся в бесконечность при * = я. Наличие в поле излу-
излучения магнитной функции Герца (т. е. полей /?ф=—//ft) не пе-
передается принципом Гюйгенса; впрочем, при условии C2.01)
магнитная функция Герца мала (почти для всех направлений)
по сравнению с электрической, что легко усмотреть из форму-
формулы C2.07). Вообще излучение электрических волн (отличаю-
(отличающееся малой направленностью) должно хуже отображаться
принципом Гюйгенса, чем излучение магнитных волн.
Поле излучения в заднем полупространстве принципом Гюй-
Гюйгенса не передается совершенно. Физический смысл выражений
для поля в заднем полупространстве при условии C2.01) мы
разберем в гл. V.
Приведем также формулы для коэффициентов отражения
и трансформации в виде, аналогичном виду формул этого пара-
параграфа:
~_ " _. 2x(y,+Yn)
2(Y/+Yn)Yn
Т1п = т^—Л/ !L31Ijl_^_ —, C2.09)
l*n 1 4- Д2 V x + Yi ~ /. m2 \ v J
160

Если в этих формулах фиксировать индексы / и п и увели-
увеличивать параметр х, то безразмерные волновые числа 1-я и
/1-й волн будут стремиться к величине х, а экспоненциальные
множители типа eUl + Un—приближаться к единице.. Таким
путем из выражений C2.09) получаем оценочные формулы
B7.21) и B7.22).
Если под U и U понимать интегралы C2.03), то все выписан-
выписанные выше формулы — точные; вычисления по ним довольно
сложны. Однако при выполнении условий C2.01) интегралы
C2.03) сводятся к универсальной функции U(s, q), введенной
нами выше в § 10 и 17, а именно:
U = U(s, q), £/ = £/(*,?), C2.10)
где
i л/ i -»•
тс л
Формулы C2.10) дают обычно вполне достаточное приближение
уже при умеренных значениях х. Так, при х=4 формулы C2.06)
и C2.10) для функции Д (при га=1) дают погрешность менее
одного процента. Нужно, однако, иметь в виду, что при больших
значениях т (т = 2, 3, 4,...) замена C2.10) дает хорошие ре-
результаты лишь при х>т, а при %^/гг нужно пользоваться
другими, более сложными формулами.
Формулы этого параграфа были неоднократно использованы
для построения различного рода графиков, приведенных выше.
Эти формулы также полезны и для вывода различных соотно-
соотношений, например формул C0.17) и C0.23).
На этом можно считать теорию несимметричных волн в круг-
круглом волноводе законченной. Результаты этой главы позволяют
вместе с результатами гл. II создать полную картину диффрак-
ции электромагнитных волн на открытом конце круглого волно-
волновода. В следующей главе мы выясним, какой физический смысл
имеют приближенные формулы для поля излучения волновода.
Задачи к гл. IV
1. Показать, что функции F (w) и G (w), определенные в § 25, при
| w | —»оо в нижней полуплоскости ведут себя следующим образом:
1 1
Т Т
w w
Показать также, что составляющие / и jt поверхностной плотности тока на
стенке волновода при z-»0 (.т, е. вблизи рая стенки) ведут себя следу-
следующим образом:
I _
П-754 161

2. Пользуясь формулами B4.03) и B5.02) и результатами задачи 1, по-
показать, что при р —► 0, где
т. е. вблизи края стенки, для функций П и П можно получить оценки
п -х, р YV, п -ч, р уу,
откуда
нт *\- нг *v -_ f яф ~ Vр.
Такое поведение составляющих поля обеспечивает конечность электро-
электромагнитной энергии вблизи края (так называемое «условие на остром крае»)«
Оно вытекает из поведения составляющих поверхностной плотности тока при
z -► 0 и в конечном счете следует из условия
/2=0 при 2=0, (а)
поставленного при решении задачи [см. формулу B5.06)]. Таким образом, ус-
условие (а) есть простейшая форма «условия на остром крае».
3. Исходя из формулировки принципа Гюйгенса для электромагнитного
поля (см. [25], гл. XV), доказать эквивалентность обоих способов расчета
поля излучения по принципу Гюйгенса (§ 29). При доказательстве использо-
использовать прием, указанный в задаче 4 к гл. I.
4. Пользуясь результатами задачи 9 к гл. III, показать, что формулы
C2..09) применимы при условии 0^-п", где угол 8 определяется формулами
m
cos 8 = —»
х
или же при условии
Переписать эти формулы в более общем виде, при условиях
3
m \ 3
т. е» при произвольных значениях 8
Решение. Обозначая
/ cos 9
А ^2 1+sine ехР
где
162

имеем:
Yn)
= ~' Z ~ ~ / m1; I IT
2 (Y(+ Yn) Y» I 1 - — ) (x + Yi) (x + Y»)
X [1 + _^! 2»G, + ь) "I exp [y (~ t ~
L J
где
2 sin 6~
—7— Yn-
При 9 =^r -Tjr .эти формулы переходят в формулы C2.06) и C2.09).
5. Пользуясь результатами задачи 4, показать, что при условиях
коэффициенты Ritn можно записать в приближенном виде
г> • е*р[бЧ$г, p)+U(sn, P)]
где
5П = и 4 sin 9 (х — vrt), Si = y47ipt sin 9 =
а коэффициентами rz>n можно пренебречь. Получить аналогичную формулу
для коэффициентов Ri,n, оценить Ti,n и дать приближенные 1вы,ражения для
Riti и Riti при р -*0. Произвести сравнение полученных результатов с резуль-
результатами для других волн (задача б к гл. I, задача 2 к гл. II, задача 10
к гл. III).
Решение. Коэффициенты #z,n при условиях
163

можно представить в виде
я- . exp[£/(st. р)+Щ?я, P)]
Аг,п = — t ~Z ~Z Z
(st + sn) sn
где
sin 8 = "г/ 1—^2",
srl=K4sin9(x — Pn), Si—y47ip, sin
а коэффициенты Ti,n малы (по крайней мере в У* раз меньше коэффициен-
коэффициентов Ri>n). При р <^ 1 имеем
Ri,i = — е'? ° + ° *', р = 0,824
и аналогичное выражение для Л,*.
Таким образом получается, что поведение волноводной волны высокого
номера при частотах, близких к ее критической частоте, не зависит от поля-
поляризации этой волны: скалярные (звуковые) и векторные (электромагнитные)
волны отражаются от открытого конца и трансформируются в волны близких
номеров одинаковым образом ввиду тождественности формул для коэффи-
коэффициентов Ri,n. В частности, трансформацией электромагнитной .волны ъ волны
другой поляризации (трансформацией волн Етп в волны Нтп и наоборот)
можно пренебречь.
Оказывается, что выписанные выше формулы для Rijn и Лг>п сохраняют-
сохраняются для волноводов с фланцами, со стенками конечной толщины, а также при
любой форме внешней поверхности стенок. Благодаря этому обстоятельству
мы получаем возможность рассчитывать колебания в открытых резонаторах
простейшей формы.
6. Вычислить комплексные собственные частоты слабозатухающих коле-
колебаний Emnj и Hmnj в открытом цилиндрическом резонаторе (открытой тру-
трубе); длина резонатора 2L, внутренний диаметр 2а. Выписать выражения для
плотности тока на внутренней поверхности резонатора.
Решение. Для колебаний Emnj при у'=1, 3, ... плотность тока имеет
продольную составляющую
\г=А sin(m(p+'(po)cos wvz,
а при /=2, 4, ...
jz=A sin(mq)+(po)sin wnz.
Здесь значения z=±L соответствуют концам трубы, а
тс/
, м
{-У a sin
sin0*
Комплексная частота со=0& определяется формулой
7С/7
где
П
Для колебаний Hmnj плотность тока имеет азимутальную составляющую
/ф = В cos (/я<р -f <p0) cos wnz при / = 1, 3, . . .,
/ф = В cos (т<? + <р0) sin wnz при / = 2, 4, ...
164

Имеется еще небольшая составляющая /z, которой при ka^\\xn можно пре-
пренебречь i(qp. стр. 133). Для wn и р получаются те же выражения, что
и выше, а
Приведенные формулы справедливы при условии, что по формуле (а)
получается \p\<^l'f они выводятся так же, как в задачах 5 и 6 к гл. I.
7. Исследовать слабозатухающие колебания в «полуоткрытом» цилиндри-
цилиндрическом резонаторе диаметра 2а и длины L |(при z=Q проводящая перегород-
перегородка, при z=L открытый конец).
Решение. В таком резонаторе возможны колебания Emnj с нечетными /
(/=1, 3, ...) и колебания Hmnj с четными / (/ = 2, 4, ...), где Emnj и Hmnj —
колебания в открытом резонаторе длины 2L, изученные в задаче 6.
8. Исследовать распределение полей колебаний Emnj и Hmni, рассмотрен-
рассмотренных в задачах 6 и 7.
Решение. Внутри цилиндрического резонатора, т. е. .при г<а и
—L<z<L (или при 0<z<L для полуоткрытого резонатора, рассмотренного
в задаче 7), функция П для колебаний Emnj приближенно равна
cos wnz
или
П = CJт ( ~т~ т J sin wnz,
где С — постоянная.
Лучевая трактовка соответствующих волновых полей та же, что и в за-
задаче 13 к гл. III. Электрическое поле имеет составляющие Ег, £ф и Ez, но
первые две малы по сравнению с Ez\ магнитное поле имеет составляющие Нг
и Нф того же порядка, что и Е2.
Для колебаний Hmnj имеем
r j cos шп
П = С/тГ^- A Sin WnZ.
Электрическое поле этих колебаний имеет составляющие Ег и £ , магнитное
поле — составляющую Нг того же порядка, что Ег и £ф, а кроме того —
малые составляющие Нг и //
При условии 9 С 1 колебание Emnj представляет собой волну шепчущей
галереи, поляризованную (в основном) по оси г, а колебание Hmnj — волну
шепчущей галереи, поляризованную в плоскостях z = const. Поле этих коле-
колебаний сосредоточено в кольце a cos 9 <, г <^ а, окружность г = a cos 9 является
каустикой, ее касаются лучи, заполняющие кольцо. За каустикой, при
r<C#cos0, поля убывают экспоненциально при удалении от нее; поля особен-
особенно слабы при г^гО, т. е. вблизи центра.
165

ГЛАВА V
ДИФФРАКЦИЯ НА БОЛЬШИХ ОТВЕРСТИЯХ
§ 33. Излучение из плоского волновода
При рассмотрении диффракции электромагнитных волн на
открытом конце волновода в каждой главе приводились прибли-
приближенные формулы для поля излучения (см. § 10, 17 и 32). Эти
формулы тем более точны, чем больше размеры поперечного
сечения волновода по сравнению с длиной волны. В этой главе
мы покажем, что эти приближенные формулы имеют довольно
простой физический смысл.
Плоский волновод с открытым концом, излучение из которого
мы рассмотрели в гл. I, состоит из пары параллельных полу-
полуплоскостей. Любая волна, которая распространяется в плоском
волноводе, т. е. между двумя параллельными плоскостями
у=±а (см. рис. 1), и имеет поля, не зависящие от координатыху
может быть представлена в виде суммы двух плоских волн.
Пусть волна какого-нибудь типа (см. гл. I) и номера I распро-
распространяется к открытому концу, имея зависимость от координа-
координаты z в виде e~ihz (h — w{>Q есть волновое число 1-я волны).
Тогда направления распространения двух парциальных плоских
волн, на которые разлагается волна в волноводе, составляют
с осью z углы щ определяемые из соотношения
k cos cpt^—h. C3.01)
Обозначим через <р? тот угол, который лежит во втором
квадранте (у<?^<*Л и соответствует волне, движущейся
к верхней пластине у = а. Другой угол, соответствующий волне,
которая движется к нижней пластине у = -—а, равен [2п— срг-
Если пластины, образующие волновод, далеко отстоят друг
от друга, точнее, если выполняется условие
2тг<7>1, C3.02)
166

где
C3-03)
есть отношение расстояния между стенками волновода к длине
волны в свободном пространстве [см. формулу C.07)], то каж-
каждая из полуплоскостей должна рассеивать падающую на нее
плоскую волну в первом приближении так, как если бы другой
полуплоскости не было. Поэтому формулы теории диффракции
на конце плоского волновода должны при условии C3.02) пере-
переходить в формулы теории диффракции на полуплоскости. Ре-
Результаты § 10 позволяют проследить этот переход.
При диффракции на полуплоскости плоской волны, падаю-
падающей под углом <рг и имеющей «магнитную» поляризацию, возни-
возникает цилиндрическая волна
C3.04)
sin — (cos cp — cos <pz) V k
Вывод этой формулы дан в приложении А [см. формулу (Л.34)].
В формуле C3.04) А означает амплитуду тока, возбуждаемого
данной плоской волной на бесконечной плоскости [см, форму-
формулу {Л.ОЗ)], г — расстояние от края полуплоскости.
Для излучения магнитных волн в заднее полупространство
были в § 10 выведены формулы, весьма похожие на выражение
C3.04). А именно, из формулы A0.15) для волн 1-го типа имеем
поле излучения в квадранте 0<ф><-2", равное
. C3.05)
в квадранте
i -==
sin _L (cos у — cos срг) f к
тс поле излучения дается выражением
sin|
sin_L(cos<p — cos
C3.06)
В силу формул A0.05) выражения для Е'х и Е"х суть ци-
цилиндрические волны, расходящиеся соответственно от края верх-
верхней и нижней пластины волновода. Эти цилиндрические волны
отличаются от цилиндрических волн C3.04), рассеиваемых изо-
изолированной полуплоскостью, только наличием множителя
t+\
C3.07)
167

Для волн 2-го типа имеем в тех же квадрантах цилиндриче-
цилиндрические волны
Sin|
, C3.08)
sin | (Ц
C3.09)
=
— cos <fj) '
отличающиеся от волн C3.04) множителем
eUWl. C3.10)
Как показывают формулы A0.16) pi A0.22), поле излучения
в переднем полупространстве (т. е. во втором и третьем квад-
квадрантах, где ~^ <C?<Cy) полУчается в виде суммы цилиндриче-
цилиндрических волн, расходящихся от верхнего и нижнего края волновода;
а именно, результирующее поле равно
ЕХ=Е'Х + Е"Х, C3.11)
где Егх и Е"х для волн 1-го типа даются формулами C3.05) и
C3.06), а для волн 2-го типа — формулами C3.08) и C3.09).
С физической точки зрения ясно, что волна Е"х, расходящая-
расходящаяся от нижнего края, не проникает в первый квадрант потому,
что она задерживается верхней полуплоскостью. Вследствие
этого в первом Квадранте имеется только волна Е'х, порождае-
порождаемая верхней полуплоскостью. В этом смысле можно сказать, что
направление ? = y есть геометРич^ская граница тени для волны
Е"х и, аналогично, направление <р—~^~ есть геометрическая гра-
граница тени для волны Е*х.
Описанный синтез поля излучения изображен на рис. 54.
' Рассмотрим теперь множители C3.07) , и C3.10). Кроме
параметра q, эти множители зависят от величин
C3.12)
первая из которых является аргументом функций
U = U(s, q) и V = £/(*, <7-4),
а вторая — аргументом функций
Ui = U(sl3 q) и V^
168

причем универсальная функция U(s, q), через которую выража-
выражаются множители C3.07) и C3.10) при условии C3.02), опреде-
определяется интегралом A0.19). При условии C3.02) величины C3.12)
являются, вообще говоря, большими числами, за исключением
тех случаев, когда косинусы углов <р или щ близки к нулю. Если
же выполняется условие s > 1, то, как показано в приложении В
[формула E.23)], функцию U(s, q)
можно приближенно вычислять по
асимптотической формуле
q) =
Ao(q)
C3.13)
Рис. 64. Формирование поля
излучения плоского волновода.
показывающей, что функция U(s,q)
близка к нулю.
Таким образом, при условии
C3.02) множители C3.07) и C3.10),
которыми поле излучения волново-
волновода отличается от диффракдионного
поля полуплоскости, оказываются,
вообще говоря, близкими к еди-
единице.
Функции U и V имеют при условии C3.02) конечное значение
лишь при малых значениях coscp, когда угол <р близок к -^ или
— . Это значит, что функции U и V существенны вблизи «гео-
«геометрических границ тени» для волн Е'х и Е"х. Заметим, что
функции U и V терпят скачок при 5 = 0, причем величина скачка
как раз такова, что поле излучения в заднем полупространстве
непрерывно сопрягается с полем излучения в переднем полу-
полупространстве. Таким образом, множители еи и ev определяют
переход от заднего полупространства к переднему, связанный
с переходом от «тени» к «свету» для цилиндрических волн вида
C3.04), расходящихся от каждого края.
Множители е 1 и е 1 влияют на масштаб характеристик из-
излучения, но не отражаются на диаграмме направленности. Эти
множители показывают, что при сравнении волноводной волны,
диффрагирующей на конце волновода, с плоской волной, падаю-
падающей на край полуплоскости, амплитуду плоской волны нужно
'брать не равной амплитуде А волны в волноводе, а равной Ае 1
или Ле 1. Впрочем, множители е * и е 1 при условии C3.02) за-
заметно отличаются от единицы только при малых значениях cos?z,
т. е. только для волн высоких номеров при частотах, близких
к их коитическим частотам. В этом случае множители е
их критическим частотам.
1
е 1 по абсолютной величине
этом случае
меньше единицы,
что
указывает
169

на уменьшение излучения, связанное с отражением набегающей
волны от конца волновода.
Нагляднее всего диффракцию на открытом конце плоского
волновода можно представить себе так: диффракционные волны
вида C3.04), непосредственно порождаемые каждым краем^
испытывают «вторичную» диффракцию на стенках волновода,
создавая цилиндрические волны, претерпевающие в свою оче-
очередь диффракцию, и т. д. Эта цепь сложных явлений и приво-
приводит к появлению множителей C3.07) и C3.10). Заметим, что
эти множители обращаются в единицу при ср = фг и ф=2я—щ.
Приближенные формулы для поля излучения электрических
волн из плоского волновода имеют тот же физический смысл.
Эти формулы следует сравнивать с формулой (Л.3!5), получен-
полученной в теории диффракции на полуплоскости; формулу (Л.35)
перепишем в том же виде, что и формулу C3.04), а именно:
sin *f cosf
C3.14)
Согласно формуле A0.24) поле излучения волн 3-го типа
в первом квадранте равно
, C3.15)
а в четвертом квадранте
sin^cos^ ( )
= — 2 1^2* Л — . C3.16)
с ' cos у — cos <f i Ykr
cos у — cos <
Для волн 4-го типа согласно выражению A0.26) в первом квад-
квадранте имеем
_ sin^C0S ( )
2]/2^ 1 , C3.17)
а в четвертом квадранте
l _ sin^-cos-f J(*»+)
± = . C3.18)
Таким образом, и в случае электрических волн формулы
для поля излучения отличаются множителями C3.07) и C3.10)
от цилиндрических волн C3.14), расходящихся от изолирован-
170

ной полуплоскости. В переднем полупространстве поле излуче-
излучения получается сложением волн, расходящихся от каждого края:
#х==#'х + #"т. C3.19)
Подводя итоги исследованию волн всех типов, мы должны
отметить, что во всех случаях поле излучения выражается через
универсальную функцию U(s, q). Свойства и таблицы комплекс-
комплексной функции Ъ (s, q) .приведены в приложении В, так что ее
можно" считать известной. При этом нужно иметь в виду, что
м
UL
О 30 60 SO ПО 150 Щ Z10 Ш 170 300 330 360°
Рис. 55. Характеристика излучения волны £02 при
711
пользоваться функцией U{s, q) вместо точных интегралов U и V
можно уже при достаточно умеренных значениях параметра q,
например при q>\,5 или даже при q>\.
Самое грубое приближение получаем, пренебрегая вообще
функциями £/, V, UihViB показателях строгих формул, а именно
полагая множители C3.07) и C3.10) равными единице. Физи-
Физически это означает, что мы берем цилиндрические волны C3.04)
или C3.14) от каждой из полуплоскостей без каких-либо попра-
поправок, т. е. считаем, что в переднем полупространстве они скла-
складываются без искажений, а в заднем полупространстве одна
из волн полностью экранируется. Иначе говоря, считаем, что эти
цилиндрические волны распространяются по законам геометри-
геометрической оптики. Это грубое приближение дает характеристику
излучения, разрывную при ? = уИ(р = | и заметно отличаю-
отличающуюся от истинной вблизи этих направлений. Для других же
направлений это приближение лучше передает диффракционную
картину, чем принцип Гюйгенса. Так, из рис. 12 видно, что точ-
точная характеристика волны Е02 при <7 = 1,1 плохо отражается
принципом Гюйгенса. На рис. 55 воспроизведено
^~- по точной формуле F.14) сплошной линией, а штрих-пунк-
штрих-пунктиром дано то же отношение, полученное из формул C3.17),
C3.18) и C3.19), если в них множитель C3.10) заменить едини-
171
плохо отражается
отношение

цей. Обе кривые рис. 55 почти совпадают всюду, за исклю-
тс Зтс
чением значении <р ^ -у и 9 ~ -у.
Сделаем в заключение несколько замечаний. Диффракцион-
ное поле плоской волны от полуплоскости, как известно, наряду
с цилиндрической волной содержит и плоские волны. При излу-
излучении из плоского волновода плоские волны, как легко прове-
проверить, во внешнем пространстве взаимно погашаются. Одновре-
Одновременно полное поле излучения, в отличие от отдельных слагае-
слагаемых Е'х, Е"х, Н'х и Н"х, остается конечным при всех q>.
Отметим также, что многолепестковая структура характе-
характеристик излучения волновода при больших значениях параметра^
обусловлена тем, что поле излучения есть результат интерферен-
интерференции двух волн [формулы C3.11) и C3.19)]. При этом все на-
направления нулевого излучения (кроме направления q>=0 для
магнитных волн) расположены в переднем полупространстве,
а в заднем полупространстве, где имеется только одна волна,
характеристика излучения монотонно убывает при приближе-
приближении к стенке волновода и нигде внутри интервалов 0<l<f<i^-
и y^^^^71 не обращается в нуль.
§ 34. Излучение симметричных электромагнитных волн
из круглого волновода
Исследуем теперь физический смысл приближенных выра-
выражений для поля излучения симметричных волн из открытого
конца круглого волновода. Эти выражения выведены выше в § 17.
Симметричная электрическая волна Eot имеет в заднем полу-
полупространстве 0<&<-у поле излучения [см. формулу A7.11)]
C4-01)
sin
Здесь & означает угол между осью z (осью волновода) и ра-
радиусом-вектором /?, так что & = 0 соответствует излучению
назад, & = ти — излучению прямо вперед, а плоскость 8=-^-
отделяет переднее полупространство от заднего.
Поверхностная плотность электрического тока волны, прихо-
приходящей к открытому концу волновода, предполагается равной
Ae~lhz, причем фигурирующий в формуле C4.01) угол О/ связан
с волновым числом h = Wi волны Eqi соотношением
k cos $i = —wi. C4.02)
172

Как известно, всякая волна, распространяющаяся в бесконеч-
бесконечном волноводе, может быть представлена как результат супер-
суперпозиции пучка плоских волн. Определяемый формулой C4.02)
угол ®i есть угол между направлением распространения плоских
волн, образующих набегающую на открытый конец волну £Ог>
и осью z.
Безразмерный параметр
х = £а=^, C4.03)
пропорциональный отношению диаметра волновода 2а к длине
волны X, будем считать большим числом:
х>1. C4.04)
Тогда стоящие в показателе формулы C4.01) функции U и Ui
выражаются через функцию f/(s, q) следующим образом:
U=U(s, q), Ui=U(slt q),
где по формулам A7.09)
<7=-1q(x). C4.05)
Поля излучения других волн также могут быть выражены
в аналогичной форме, причем функции Ханкеля Нт=Н{^ и их
производные Н'ш при выполнении условий
к sin Ь> 1, и sin fl> m2 C4.06)
могут быть заменены своими асимптотическими выражениями
х sin ft
после чего эти формулы приобретают физическую наглядность.
Так, при условии
l, C4.08)
т. е. во всем заднем полупространстве, за исключением направ-
направлений О~0, соответствующих излучению назад вдоль внешней
поверхности трубы, формула C4.01) дает
_ Sin-тр COS 4" l {k(R-a sin
р COS 4 f
R •
C4.09)
173

Если в этом выражении выделить и опустить множитель
то оно переходит в формулу для цилиндрической волны, рассеян-
рассеянной краем полуплоскости при падении на эту полуплоскость
(под углом Ог) плоской волны, магнитное поле которой имеет
единственную составляющую //? вдоль края этой полуплоско-
полуплоскости. При этом стоящее в показателе выражение R — a sin О есть
в волновой зоне просто расстояние от края. Множитель
показывает, что при удалении от края волновода эти первичные
цилиндрические волны постепенно «развертываются» и превра-
превращаются в сферические. Множитель
C4.12)
имеет, очевидно, тот же физический смысл, что и для плоского
волновода.
При условии х > 1 неравенство C4.08) может нарушаться
лишь при тех значениях углов Ф, при которых
sin&<l. C4.13)
В заднем полупространстве зависимость поля излучения от
угла О для таких направлений определяется функцией
характеризующей направляющее действие внешней поверхности
стенки волновода на волны данной симметрии и поляризации,
излучаемые открытым концом. Эта зависимость получается при
любом внешнем симметричном «электрическом» возбуждении
идеально проводящей цилиндрической поверхности: с помощью
«магнитного кольца» [23] или сосредоточенной э. д. с. [11].
Так как при условии C4.04) области применимости нера-
неравенств C4.08) и C4.13) перекрываются, то поле излучения в зад-
заднем полупространстве можно характеризовать как сферическую
волну, получившуюся в результате развертывания цилиндриче-
цилиндрических волн и их искажения стенкой волновода при Ф—>0. Эти два
фактора отражаются формулами C4.11) и C4.14), причем на
симметричные электрические волны внешняя поверхность круг-
174

лого волновода оказывает особенно сильное направляющее дей-
действие (по сравнению со всеми другими волнами круглого волно-
волновода).
В переднем полупространстве (-^КйКл) волны от различ-
различных участков края интерферируют, создавая сложную сфериче-
сферическую волну. Поле излучения здесь определяется формулой
Я« = ТА cos 0-cos ^ Л • C4Лб>
В аналогичном виде получаются поля излучения других волн
(см. ниже § 35). В формулы для переднего полупространства
входят функции Бесселя Jm и их производные J'm от аргумен-
аргумента х sin Ф. Эти функции всегда возникают в результате сложения
волн, испускаемых источниками, которые распределены по
окружности радиуса а. При выполнении условий C4.06) имеют
место асимптотические формулы
4 Л,
J
. / f _ 2m-l \ . / _ 2m—1
—I [ х sin ■& 3 it I I x Sin ■& 3
C4.16)
Подставляя [при условии C4.08)] асимптотическое выраже-
выражение функции /o(xsinft) в формулу C4.15), приходим к выводу,
что поле излучения в переднем полупространстве может быть
почти для всех направлений формально сведено к суперпозиции
двух сферических волн. Действительно, первое слагаемое в асим-
асимптотической формуле C4.16) для функции /0 дает сферическую
волну C4.09), а второе слагаемое — аналогичную волну, расхо-
расходящуюся от противоположного края стенки.
Эта наглядная картина оказывается непригодной лишь для
направлений, близких к направлению Ф = я. С точки зрения
геометрической оптики это объясняется тем, что в направлении
/0<=я фокусируются лучи от всех точек края, а во всех других
направлениях интерферировать могут только параллельные лучи
от противоположных точек края (так как лучи, посылаемые
каждым элементом края, перпендикулярны к нему). При этом
все интерферирующие в переднем полупространстве элементар-
элементарные волны не могут проникать в заднее полупространство, так
как эти волны [за исключением одной волны C4.09)] задержи-
задерживаются стенкой волновода.
175

Подобный же физический смысл имеет поле излучения сим-
симметричной магнитной волны #oz. При условии C4.08) форму-
формула A7.06) для этой волны принимает вид
sin »
e
Sill-—- >
с V bt cos ft— cos bi V k sii
sin ~2~
sin ft
C4.17)
В этом выражении мы легко узнаем сферическую волну, развер-
развернувшуюся из цилиндрической волны вида C3.14), от которой
сферическая волна C4.17) отличается множителем C4.10).
При условии C4.13) зависимость поля излучения A7.06) от
угла Ф определяется функцией
/М,'чп»Г C4Л8)
Эта функция отображает влияние внешней поверхности волно-
волновода на волны, излучаемые его концом. Такая зависимость полу-
получается при любом симметричном «магнитном» возбуждении
внешней поверхности идеально проводящего цилиндра, напри-
например, с помощью круговой щели, на которой отлична от нуля
составляющая Еф электрического поля, а составляющая Ez=0.
Поле излучения волны Ны в переднем полупространстве обра-
образуется по формуле A7.05) в результате интерференции волн
вида C4.17), рассеянных краем трубы, причем при условии
C4.08) эта интерференция сводится к сложению двух волн.
Приведенный анализ показывает, что та форма теории
диффракции, в которой вторичные источники считаются располо-
расположенными на краю отверстия, приводит к более глубокому пони-
пониманию диффракционных явлений, чем обычный принцип Гюй-
Гюйгенса, согласно которому диффракционная картина рассматри-
рассматривается как результат сложения волн от вторичных источников,
заполняющих все излучающее отверстие.
§ 35. Излучение несимметричных электромагнитных волн
из круглого волновода
При сравнении поля излучения несимметричной волны из
круглого волновода с диффракционным полем от полуплоскости
нужно иметь в виду, что в гл. IV мы ввели в качестве потенциа-
потенциалов электрическую и магнитную функцию Герца по формулам
B4.01) и B4.02). Так как
sin (т? + ?о) -4 [е"х"(Wo) - е'
cos (rn9 + 9о) = 1 [е"' (™} +
176

и экспонента е 'шср соответствует множителю elkxco*^ в задаче
о диффракции на полуплоскости [см., например, формулу (А47)],
то в волновых зонах нужно сравнивать введенные в прило-
приложении Л функции П и П с функциями Пи — /II круглого вол-
волновода для электрических волн (при <ро = ^Л и с функциями /П
и II круглого волновода для магнитных волн (при <ро = 0). При
этом следует приравнять
cosp=:-^=-g:. C5.01)
Нужно также учесть, что развертывание цилиндрических
волн в сферические происходит в случае несимметричных волн
более сложно, чем в случае симметричных. Пока волна отошла
от края трубы на расстояние, малое по сравнению с радиусом
трубы, и еще не успела превратиться в сферическую, каждая из
составляющих Е^ и Я? определяется обеими функциями П и П.
Лишь на расстояниях, больших по сравнению с радиусом трубы,
имеем простые формулы C0.03) для сферической волны:
£ь = #? = — sin (m<f + <р0) k2 П sin &,
Е^ = — И^ = cos (ту -f- <p0) k2 П sin ft.
По этой причине следует сопоставлять в волновых зонах
полуплоскости и трубы не электромагнитные поля, а функции
Герца.
Функции Герца для поля излучения несимметричной электри-
электрической волны Emi определяются в заднем полупространстве фор-
формулами C2.05). Мы интересуемся излучением из больших отвер-
отверстий, для которых выполняются условия
к > 1 и к > т\ C5.02)
Если к тому же выполняются условия C4.06), то для волны Emi
при 0<&«< y имеем
k (R-a sin $)+ —
x- _J , C5.03)
12—754 177

COS "о"
X
sin&
X? , C5.03)
причем во второй формуле вместо множителя А1 подставлено его
выражение C2.06). В силу соотношения C5.01) и второго из;
условий C5.02) мы должны сравнивать формулы C5.03) для
круглого волновода с формулами (Л.56) для полуплоскости, вы-
выведенными при условии соэр<1. Производя очевидное с физи-
физической точки зрения отождествление обозначений в формулах
C5.03) и (Л.56):
<ф = О, -фо= fy, Р = R—a sin О, C5.04)
видим, что формулы C5.03) отличаются от формул (Л.56) мно.-
жителями
C5.05)
1 +Д2 V Rsinb *
1 +Д2
а также тем, что в показателях формул (Л.56) стоит kp cos Cr
а в формулах C5.03) — просто kp. Последнее обстоятельства
объясняется тем, что по мере развертывания цилиндрической
волны в сферическую фазовая скорость в радиальном направле-
направлении убывает от >- до с, причем при малых значениях cos(J
получающийся за счет этого изменения скорости набег фазы
оказывается пренебрежимо малым вследствие второго условия
C4.06).
Сравнение формул C5.03) с более точными формулами (Л.52)
для полуплоскости показывает, что члены порядка Д2 (т. е. по-
порядка cos»2 P) и выше для волновода и полуплоскости уже разли-
различаются. При пренебрежении этими членами формулы C5.03)
дают сферическую волну, получившуюся в результате развер-
развертывания конических волн, возникающих при диффракции пло-
178

ской волны на полуплоскости; угол раствора конических волно-
волновых поверхностей мал, так что эти волны являются почти цилин-
цилиндрическими.
Такой же характер имеет поле излучения несимметричной
магнитной волны Hmh для которой были ранее получены фор-
формулы C2.07) и C2.08). При выполнении условий C4.06) функ-
функции Герца имеют в волновой зоне заднего полупространства
следующий вид:
ш=
Г, _ .
cos — sin $i cos-g- sin
i \k(R-
sin
i+д.' - ■ C5-07)
sin -g- cos-g (cos 0—cos
Сравнивая эти формулы с выражениями (Л.57) для полуплоско-
полуплоскости, на которую падает «магнитно поляризованная» плоская
волна, и отождествляя
C5.08)
видим, что формулы C5.07) имеют добавочные множители
.09)
1+д2 • I
имеющие тот же физический смысл, что и в предыдущем случае.
Рассмотрение поля излучения в переднем полупространстве,
а также в заднем полупространстве при Ф—>0 приводит к тем
же физическим выводам, что и в случае симметричных волн.
12* 179

Как мы видели, исследование физического смысла формул
для поля излучения позволяет нарисовать наглядную картину
формирования поля излучения из широких отверстий.
К сожалению, сравнение с полуплоскостью не дает возмож-
возможности получить в точном виде множители
1+Л2 \-4-\ и 1+да —4- , C5.11)
могущие иметь существенное значение для направлений вблизи
$=л ий = 0 или в том случае, когда угол Ф/, определяемый вол-
волновым числом набегающей волны Нпй, близок к я. Эти множи-
множители обеспечивают для поля излучения волновода выполнение
важных соотношений C0.24), которые в случае полуплоскости
места не имеют.
Приближенные формулы C5.07) позволяют рассчитывать
поле излучения волн НтХ при х§>1. Наиболее интересна здесь
волна #л, излучение которой обладает самой сильной направ-
направленностью; для нее формулы C0.03) можно переписать в виде
C5.12)
cos (
где в силу первой формулы C0.24) функции РЩ и F($) можно
выбрать так, чтобы
F(«) = ?(iu) = l, C5.13)
тогда постоянная М будет определять излучение прямо вперед,
в направлении & = ти, а функции F и F — диаграммы направлен-
направленности. На рис. 56 приведены абсолютные величины этих функ-
функций при х = 8,735 Г-|- = 2,78 V причем в заднем полупростран-
полупространстве Гпри 0<&<-^- j для ясности они повторены в масштабе,,
увеличенном в 10 раз. Такие диаграммы являются типичными
для направленных антенн, как волноводных, так и рупорных^
причем при увеличении ka направленность увеличивается.
При /0<|=0, т. е. в направлении стенки волновода, функции F
и F удовлетворяют соотношению
F@)=-f@), C5.14)
180

вытекающему из второй формулы C0.24). На рис. 57 дан график
функции
^@I 1^@1 C5.15)
определяющий отношение излучения назад к излучению вперед,
(по полю). Величина 6 уменьшается с ростом х, однако эта
уменьшение происходит не монотонно, а на него накладывается
характерная «зигзагообразная» периодичность (ср. рис. 38 и 51).
0,5
\0/F(i9)l
\
^—
У
—-i—■
У
/
i
0,5
1
ho£
\
i
/т/1
j
30° 60° 90° 120° 150° 180° 0 30° 60° 90° 120° 150° 180°
Рис. 56. Диаграммы направленности волны Нц
щри фс8735
i
0,08
Q06
0,05
0,0*4
Q03
Ц02
\
\
\
I
\
/
s
\
Л
У1
\
>
\
V
ю
15
20
Рис. 57. Зависимость величины 6, характеризующей из-
излучение волны Н\\ назад, от параметра х.
§ 36. Связь поля излучения с коэффициентами отражения
и трансформации
Выше, в § 10 и 32, были приведены приближенные формулы
для коэффициентов отражения и трансформации [формулы
A0.35) —A0.38) для плоского волновода и формулы C2.09) для
круглого волновода]. Исследование физического смысла этих
формул оказывается излишним, так как между полем излучения
и этими коэффициентами имеется простая связь.
181

Рассмотрим сначала плоский волновод. Введем угол ф'п,
связанный с волновым числом wn для д-й волны данного типа
соотношением
k COS ф| п = ^п- ( ОО.01)
Угол ф'п дает направление распространения одной из двух пло-
плоских волн, образующих я-ю волну, распространяющуюся от
конца плоского волновода. Так как направление q/n соответ-
соответствует заднему полупространству, поле излучения в направлении
и Ф = ф/п имеет вид цилиндрической
волны, расходящейся от края
ближайшей пластины 'волновода,
а цилиндрическая волна, рас-
расходящаяся от другого края, от-
отражается 'поочередно от каждой
стенки (см. рис. 58) и дает на-
начало n-й обратной волне. Отсюда
естественно предположить, что
коэффициент трансформации Ri^
1-й волны в п-ю просто связан
с излучением 1-й волны из откры-
Рис. 58. Формирование отражен- того конца в направлении ф'п.
ной волны. Такая связь, действительно,
имеется для всех волноводов.
Для плоского волновода она непосредственно вытекает из фор-
формулы E.10) и аналогичных ей формул, в которых поле излуче-
излучения пропорционально произведению L(k cos<p)F(k cosф); а имен-
именно, в силу формулы B.02) угол ф'п является простым корнем
уравнения
L(£cos?)=0, C6.02)
в то время как функция F(kcos<p) имеет при 9 = ?'п простой
полюс, дающий слагаемое ARi9neWn* в формуле D.04). Поэтому
=-йгЯ*.«, C6-03)
откуда произведение L(kcosq>)L(kcos.q)), а следовательно, и все
поле излучения оказывается при ф=ф/п пропорциональным ве-
величине Ritn (причем коэффициент пропорциональности выра-
выражается через элементарные функции).
Аналогичные соображения применимы и к круглому волно-
волноводу. Вводя углы ф'тп и d'mn, определяемые волновым чис-
числом wmn волны Етп и волновым числом wmn волны Нтп по
формулам
kcosb'mn=wmn, kcos§rmn=wmn, C6.04)
182

видим из формул C0.02), что в волновой зоне электрическая
функция Герца оказывается при ft^fi'mn пропорциональной
амплитуде обратной волны Етп, распространяющейся от откры-
открытого конца, а магнитная функция Герца при #'=tKmn пропорцио-
пропорциональна амплитуде обратной волны #mn.
Заметим, что в то время как амплитуды обратных (отражен-
(отраженных) волн определяют излучение в избранных направлениях
заднего полупространства, амплитуды набегающих волн опре-
определяют излучение в избранных направлениях переднего полу-
полупространства. Вводя углы $тп и ^п по формулам
kcOsKn = — Wmn, k COS Kn=~Wmn} C6.05)
легко показать, что если электромагнитное поле имеет векторы
Герца согласно формулам B4.01) и B4.02), то в волновой зоне
значение функции П при & = &mn пропорционально амплитуде
набегающей волны Ewn, а значение П при Ь = Ьтп пропорцио-
пропорционально амплитуде набегающей волны Нтп. Этот результат сле-
следует из формул C0.02).
Если к открытому концу волновода приходит только одна
какая-нибудь волна Ет\ или Hmi, то в направлениях C6.05)
для всех других волн (кроме набегающей) излучение равно ну-
нулю. Этот результат уже содержится в формулах C0.17) и
C0.23).
Принцип Гюйгенса по существу заключается в том, что при
вычислении поля излучения мы берем в выражении для тока на.
стенке только член, соответствующий набегающей волне (см.
конец § 29). В силу отмеченных закономерностей для указан-
указанных выше избранных направлений переднего полупространства
принцип Гюйгенса дает то же излучение, что и строгая теория.
Это важное обстоятельство неоднократно подчеркивалось на
протяжении всей книги.
§ 37. Об условиях применимости принципа Гюйгенса
В заключение сделаем несколько общих замечаний относи-
относительно применения принципа Гюйгенса для расчета излучения
из больших отверстий.
Принцип Гюйгенса в электродинамике строго формулируется
в виде выражения, связывающего поле излучения с электриче-
электрическим и магнитным полем на замкнутой поверхности 5. Эту по-
поверхность 5 обычно проводят так, что она затягивает излучаю-
излучающее отверстие и затем продолжается по внешней («теневой»)
стороне стенки. В диффракционных задачах радиотехники так
выбирают поверхность S при расчете излучения из волноводов,
рупоров и т. п. систем (ср. § 8, 15 и 29).
183

. Затем при вычислении с помощью этого выражения делают
следующие допущения. Во-первых, считают, что поле в излучаю-
излучающем отверстии такое же, как у набегающей волны, т. е. прене-
пренебрегают полем,- возникающим на отверстии вследствие диффрак-
дии. Во-вторых, считают, что поле на «теневой» стороне стенки
равно нулю, т. е. пренебрегают током, затекающим на внешнюю
поверхность стенки.
Эти допущения ведут к достаточно точным результатам при
расчете поля излучения из отверстий, поперечные размеры кото-
которых велики по сравнению с длиной волны. Объяснение заклю-
заключается, очевидно, в том, что диффракционное поле имеет харак-
характер волн, расходящихся от края, и потому на расстояниях от
края, намного превышающих длину волны, оно значительно
слабее поля набегающей волны, и им можно пренебречь. Поэто-
Поэтому площадь той части поверхности 5, где диффракционное поле
существенно, по порядку величины равна произведению пери-
периметра отверстия на длину волны и, следовательно, мала по
сравнению с площадью отверстия. Пренебречь же диффракцион-
;ным полем на этой части поверхности S можно с тем большим
правом, чем более направлено излучение, т. е. чем больший эф-
эффект дает сложение полей, посылаемых по принципу Гюйгенса
различными элементарными площадками излучающего отвер-
отверстия. Таким образом, мы приходим к выводу, что «принцип Гюй-
Гюйгенса» хорошо передает, как правило, только излучение, в основ-
основном направленное вперед. Этот вывод подтверждается сравне-
сравнением с результатами строгой теории для излучения из волно-
волноводов.
Иначе можно сказать, что если характеристика излучения
по принципу Гюйгенса в основном направлена вперед и дает
.лишь небольшое излучение назад, то такая характеристика
должна быть близка к истинной, по крайней мере в переднем
полупространстве. Если же принцип Гюйгенса дает сильное
излучение назад, то в этом случае результатам, даваемым прин-
принципом Гюйгенса, вообще нельзя верить — ни для переднего, ни
для заднего полупространства, так как эти результаты противо-
противоречат исходному предположению о том, что полем в «теневой»
области можно пренебречь.
Таким образом, применимость принципа Гюйгенса опреде-
определяется не только отношением размеров излучающего отверстия
к длине волны, но и также — в значительной степени — структу-
структурой диффрагирующей волны, поскольку от нее зависит характе-
характеристика излучения и затекание тока на внешнюю поверхность
стенок. (При этом принцип Гюйгенса совершенно не отображает
излучения в заднее полупространство, что вполне понятно, ибо
излучение назад определяется затеканием тока на внешнюю по-
поверхность стенки и амплитудами волн, отраженных от конца
(§ 36), а эти эффекты вовсе не принимаются во внимание при
приближенном расчете по «принципу Гюйгенса».
,384

§ 38. Диффракция на широкой щели и метод краевых волн
В связи с проблемой диффракции на больших отверстиях,,
рассмотренной в этой главе применительно к волноводам, оста-
остановимся кратко на классической задаче о диффракции плоской
<Ро
Рис. 59. Диффракция плоской волны на
щели.
волны на щели. Пусть на щель ширины 2/, образованную двумя1
полуплоскостями # = 0, z>l и у = 0, z<—l (рис. 59), падает
плоская волна единичной амплитуды
фо _
* k (г cos
n ф0)
C8.01)
направление распространения которой составляет угол ф0 с пло-
плоскостью у = 0 (О<фо<я).
Нас будет интересовать диффракционное поле в верхнем
полупространстве при условиях
<2 (у>0), C8.02)
f72 C8.03)
где
— расстояние от центра щели, а
C8.04)
— основной параметр данной задачи.
В оптике говорят, что условия C8.02) соответствуют диф-
диффракции Фраунгофера, в радиотехнике говорят о «дальней зо-
зоне». При условиях C8.02) поле имеет характер цилиндрической
волны
= ф(а0, а)
C8.05)
185

где функция i|j зависит от направляющих косинусов
C8,06)
н от параметра х; при этом «о определяется падающей волной
C8.01), а а — положением точки наблюдения
z= r cos ф, r/=ir sin ф. C8.07)
Для достаточно широкой щели, удовлетворяющей условию
х>1, C8.08)
-функцию г|)(ао, а) можно приближенно вычислить с помощью
принципа Гюйгенса — формулы (8.01). Вводя аппроксимации,
указанные в начале § 8, приходим к приближенному выражению
Ф. К. «) = / (/Г=^? + VТ=Щ sina^-a'), C8.09)
которым обычно пользуются в оптике.-При выводе этого выра-
выражения не использованы граничные условия на полуплоскостях,
►образующих щель, — предполагается лишь, что они являются
полностью непрозрачными. Выражение C8.09) удовлетворяет
условию
Ж, *) = *(-*, -*в). C8-10)
•соответствующему принципу взаимности: меняя местами точку
наблюдения (с полярными координатами г, <р; г—»-оо) и удален-
удаленный источник, в пределе дающий плоскую волну C8.01) и имею-
имеющий полярные координаты г0, тс-|-<ро(го—>оо), получаем то же
поле излучения C8.05).
Ту же диффракционную задачу можно рассматривать как
граничную задачу для волнового уравнения G.01), если ввести
определенное граничное условие на полуплоскостях, образую-
образующих щель. Введем простейшее граничное условие
Ф = 0 при у = 0, \г\>1, C8.11)
соответствующее идеально проводящим полуплоскостям и элек-
электромагнитной волне, поляризованной параллельно щели (в этом
случае Ф = ЕХ, см. начало § 7). Ясно, что формулу C8.09) нель-
нельзя считать решением этой граничной задачи. Правильное реше-
решение поставленной граничной задачи при условиях C8.02) долж-
должно иметь вид цилиндрической волны C8.05), но функция яр в си-
силу граничного условия C8.11) должна удовлетворять условию
•ф(а0, ±1)=0. C8.12)
Кроме того, должно удовлетворяться условие C8.10).
Вследствие того, что функция C8.09) не удовлетворяет усло-
условию C8.12), она не дает — сколь бы велик ни был параметр к—
186

удовлетворительных результатов при ср~О и cp^jt, т. е. вблизи
полуплоскостей. Этот вывод вполне естествен, поскольку для
волноводов принцип Гюйгенса не отображает излучения в зад-
заднее полупространство (§ 37) и становится весьма неточным при
подходе к плоскости, отделяющей переднее полупространство от
заднего. Для щели переднее полупространство отделяется от
заднего не воображаемыми, а реальными полуплоскостями, на
которых принцип Гюйгенса не применим вовсе.
. Можно модифицировать принцип Гюйгенса так, чтобы он
давал диффракционное поле, удовлетворяющее граничным усло-
условиям C8.11) и C8.12). Для этого (см., например, [26], § 34)
нужно заменить формулу (8.01) формулой, в которой вместо
функции H^}{kR) фигурирует функция
>, — zr)\ C8.13)
а контур Г есть прямая у=+0 в плоскости у, z. Функция G есть
функция Грина для полуплоскости у^О, она удовлетворяет
условиям
G=Q при #' = 0;
dG dG
dtl иу „,_п иу « у'=0
, C8.14)
поэтому
^l^ -z>)\ C8.15)
Делая те же аппроксимации, что и при использовании форму-
формулы (8.01), т. е. полагая в интеграле C8.15) Ф=Ф° и переходя
к дальней зоне, получаем выражение вида C8.05), в котором
функция \[) равна
C8.16)
Эта функция удовлетворяет граничному условию C8.12), однако
не удовлетворяет принципу взаимности C8.10). Поэтому нельзя
считать, что функция я|J соответствует более точному решению
граничной задачи, чем функция -фь
Следует иметь в виду, что поставленная граничная задача
имеет строгое решение, полученное методом разделения перемен-
переменных в эллиптической системе координат (см., например, [27]).
Это решение имеет вид рядов по функциям Матье, пригодных
для вычислений при %<10; для таких значений имеются табли-
187

цы функций Матье и родственных им функций, и вместе с тем
число членов в рядах не слишком велико. Наличие строгого реше-
решения не снимает вопроса о построении приближенного решения
при условии х ^> 1, но облегчает это построение, поскольку позво-
позволяет проверить точность различных приближенных решений
в интервале 5<х<10.
При условии х > 1 для построения приближенного решения
«естественно применить «метод краевых волн», вытекающий из
результатов § 33. В самом грубом приближении этот метод сво-
сводится к сложению волн, расходящихся от краев полуплоскостей.
Действительно, плоский волновод с открытым концом также
^образован двумя полуплоскостями, и формулы C3.11) и C3.19)
дают для него более точные результаты, чем принцип Гюйгенса.
Складывая краевые волны для щели (рис. 59), получаем для
функции \[) выражение
ф(°)(а0, а) = 4'0(а0, а) е-/ха + Т0(—ав> —а)е'ха, C8.17)
где
C8.18)
Первое слагаемое в правой части C8.17) дает цилиндрическую
волну (А.32), расходящуюся от края г/='О, z = l, второе слагае-
слагаемое— такую же волну, рас-
расходящуюся от края у=®,
z=—I (см. рис. 60).
Как показал Уфимцев (см.
[28] и [29] или [30], гл. I и V),
формула C8.17), предложен-
предложенная Шварцшильдом еще
в 1902 г., более точно передает
Рис. 60. Формирование поля излуче- диффракционное поле, чем
ния из щели. формула C8.16); заметим, что
результаты Уфимцева относят-
относятся к диффракции на ленте, к щели нетрудно перейти, используя
принцип двойственности (см., например, {25], § 92). Основным
преимуществом формулы C8.17) по сравнению с формулами
{38.09) и C8.1,6) является отсутствие в ней «улей: функция i|)(°>
имеет вблизи тех направлений, где ^1=^2=0, глубокие миниму-
минимумы, соответствующие поведению точной функции яр, вычислен-
вычисленной с помощью строгого решения. Недостаток функции C8.17)
в том, что для нее не выполняется граничное условие C8.12),
в силу этого обстоятельства функция C8.17) iHe передает пове-
поведения точной функции \|з (при (ф|^0 и icp^jt. Условию взаимности
C8.10) функция C8.17) удовлетворяет.
188 •

Формулу C8.17) можно уточнить так, что она станет удовле-
удовлетворять и условию C8.12). Для этого нужно учесть (ср. § 33),
что волна, расходящаяся от края левой полуплоскости, диффра-
гирует на правой полуплоскости, и наоборот. Учитывая «вторич-
«вторичную» диффракцию, Уфимцев с помощью простых физических
соображений получил формулу, уточняющую формулу C8.17).
В наших обозначениях ее можно записать в следующем виде:
+ *М-ав, -a)G(x, -ao)G(x, а)еЬа, C8.19)
где функция G выражается через интеграл Френеля:
{k, a)=l/ le Г е ds. C8.20)
Симметрия формулы C8.19) обеспечивает выполнение условия
C8.10). Функция G при *> 1 близка к единице, поскольку
v\
_ . тс_ 00 . £»
e '* fe'2 ds = l, C8.21)
поэтому функция гр, вообще говоря, мало отличается от функции
C8.17). Однако
G(x, 1)=0, C8.22)
благодаря чему выполняется условие C8.12). До некоторой сте-
степени функция G(>c, а) аналогична функции е17^) в формулах,
определяющих поле излучения из волновода (§ 33).
Сравнение функции г|) с точной функцией -ф показывает, что
в интервале 5<>с<10 различие между ними весьма незначи-
незначительно, так что соответствующие им кривые почти совпадают
(см. [29] и [30], гл. V). Таким образом, метод краевых волн при
учете вторичной диффракции дает гораздо более точные резуль-
результаты, чем принцип Гюйгенса, вместе с тем расчетные формулы
по методу краевых волн лишь немногим сложнее.
Теория диффракции на больших отверстиях и на больших
телах, размеры которых велики по сравнению с длиной волны,
неизбежно должна основываться на тех или иных аппроксима-
аппроксимациях, поскольку даже строгое решение (для волноводов, для
щели и т. д.) не может быть непосредственно использовано для
расчетов.
Одно из направлений, в котором развивалась теория диф-
диффракции на больших телах в последние годы, основано на ме-
189

тоде краевых волн, сформулированном выше применительно
к щели. Этот приближенный метод, в значительной степени опи-
опирающийся на физические соображения, позволяет (ср. книгу [30])
рассчитать диффракционные поля для тел различной формы;
при этом в некоторых случаях (для ленты и диска) необходимо
учитывать вторичную диффракцию, в других (для конечного
цилиндра и конечного конуса) ее учет необязателен, в особых
случаях (для тонкого провода конечной длины — антенного
вибратора) надо учитывать всю цепочку последовательных диф-
фракций, определяющую резонансные свойства тела.
Плодотворность метода краевых волн делает актуальным
его более строгое математическое обоснование — хотя бы в про-
простейшем случае диффракции на щели. Это было сделано в рабо-
работах C1] и [32]. iB первой из этих работ для функции i|) получено
выражение
ао, -*)еЬа, C8.23)
где
ГA)К, *) = [!+/>, «•)][!+/>, -«)] C8.24)
и
X
Г (к, а) = |/Т=Р J //<'> B0 e-2itadt, C8.25)
00
причем
Г (к, 1)= — 1 и Г{к, —1)=0. C8.26)
В работе [31] показано, что относительная погрешность фор-
формулы C8.23) порядка q2, где
'(-Я
<м-27>
есть малый параметр данной задачи, определяющий волновое
взаимодействие между краями полуплоскостей (рис. 60). Учи-
Учитывая это обстоятельство, можно функцию C8.25) заменить
функцией
Л■.
»..) = уГЩ- Г'f J* A - ,£) е" " -' ff, C8.28)
выражающейся через интегралы Френеля. Если вместо Г(х, а)
взять функцию
Г (к, a) = J~ 2Q~=^T e~l ?• f e2" a —) _Л
r « J yt
то выражение C8.23) перейдет в C8.19).
190

Для того чтобы получить представление о точности выраже-
выражения C8.23), нельзя просто дать график для функции l^1)) и
сравнить его с точной кривой для |я|)|, поскольку уже [*ф| (как
увидим ниже — гораздо менее точная) при графическом изобра-
изображении сливается с точной кривой. Поэтому вводятся величины
Ф1-Ж
1
C8.30)
определяющие относительную погрешность формул C8.19) и
C8.23) по сравнению с точными значениями |ф|, вычисленными
с помощью функций Матье. На рис. 61 и 62 приведены кривые
для 8 и 8A), заимствованные из работы [32]; на этих рисунках
взяты значения % = |/28='5,3 и к = ^80=8,9.
Рис. 61. Относительная погрешность формул C8.19) и C8.23)
при (фо=* ~-
Рис. 61 и 62 показывают, что формула C8.23) является более
точной, чем формула C8.19). Относительная погрешность 6A)
практически не зависит от углов щ и ф, а определяется в основ-
основном только параметром к. Последнее обстоятельство позволяет
путем введения в формулу C8.23) множителя, зависящего толь-
только от х, существенно ее уточнить; а именно, полагая
C8.31)
191
♦<•>(«.. «)=*т*Ё

получаем функцию, относительная погрешность которой
8») _ I Ф<2) 1 - 1 Ф 1
C8.32)
лежит за пределами точности вычислений, на основании которых
построены рис. 61 и 62. Оценка, данная в работе [32], дает
-4
Рис. 62. Относительная погрешность формул C8.19) и C8.23) при
Высокая точность формулы C8.31) объясняется тем, что в ней
наряду со вторичной диффракцией в какой-то степени учтена
вся цепочка последовательных диффракций, приводящая к по-
появлению «резонансного знаменателя» 1—q2. Действительно, мы
имеем
г^=:1 + <72 + <74 + ---. C8.33)
причем слагаемое q2n дает поле, обусловленное 2я-кратной «пе-
«переброской» волн от одного края к другому. Характеристическое
уравнение
1—<72 = О C8.34)
или
|<7=>±1 C8.35)
при условии C8.08) определяет комплексные собственные ча-
частоты щели, т. е. частоты собственных колебаний, происходящих
при отсутствии внешних источников (падающих волн) и зату-
затухающих вследствие потерь на излучение.
Такие собственные колебания могут существовать во всех
открытых системах, но это вовсе не значит, что все эти системы
являются резонансными. Известно, например, что открытые тру-
трубы в акустике (см. § 23) имеют резко выраженные резонансные
192

свойства; это объясняется тем, что ее собственные колебания
затухают весьма медленно (см. задачу 7 к гл. III). Известны и
другие открытые резонансные системы (см., например, задачи
5—7 к гл. I). К этим системам щель не относится, поскольку при
условии C8.08) мощность излучения из щели плавно меняется,
в зависимости от частоты падающей волны (или от пропорцио-
пропорционального частоте безразмерного параметра к). Это значит, что
собственные колебания щели вследствие их большого затухания
(вычисленного в работе [31]) на ее поведение в монохроматиче-
монохроматических полях (например, при падении монохроматической плоской
волны) непосредственно не влияют. Существование собственных
колебаний проявляется только косвенным образом — в том, что
благодаря резонансному знаменателю точность функции -фФ зна-
значительно выше, чем точность функции я^1).
В работе [32] исследована диффракция на щели в случае гра-
граничного условия
^ = 0 при у=0, \г\>1 C8.36)
и дано обоснование и уточнение метода краевых волн для этой
задачи. Для других задач это еще не сделано.
Задачи к гл. V
1. Показать, что если согласно § 33 записать поля излучения плоского
волновода в первом квадранте следующим образом:
Е— вл "''■"
i
e
("-*)
где согласно формулам (Л.ОЗ) и (Л.05)
Во = s«n , А—для магнитных волн,
2тс
Но = — Л — для электрических волн,
то функция г|) в соответствии с § 36 будет связана с коэффициентами Ri,n
простыми соотношениями
Ч'1' f'n) —Для магнитных волн,
Zzr- i>(fi> f'n) —Для электрических волн.
п\п
п * Sinf'n
Дать объяснение множителю т—. г для магнитных волн.
Isin y i
13—754 193

Решение. При выводе этих соотношений проще всего исходить из
формул A0.35)—A0.38) для коэффициентов i?z,n. Физическая интерпретация
этих соотношений дана в «ачале § 36 (рис. 58|). Поскольку Ri,n суть коэф-
коэффициенты трансформации по току, т. е. по тангенциальной составляющей маг-
магнитного поля на стенках, то при переходе от Ех к току возникает множитель
sin «p'n
• I , , отсутствующий у электрических волн.
2. Показать, что для широкой щели с граничным условием C8.36) выра-
выражение |Cв. 16j) заменяется выражением
Решение. При выводе надо воспользоваться формулой (8.01), в кото-
которой функция Н^ (kR) заменена функцией
удовлетворяющей условиям
G = 2Н{0{) (kR) при у' = 0,
dG
5^7=0 при у'=0
[ср. формулы C8.13) и C8.14)].
3. Используя решение задачи 2, показать, что излучение волны £Оо из
плоского волновода с фланцем определяется формулой
Л/
у
2 sin (nq sin ф) l
— Нл : = (a)
n sin ф . -шГи.. ' v /
где использованы те же обозначения, что и в формуле (8.15).
Сравнить эти две формулы, учитывая, что
Я0 = — А.
Решение. Структура поля волны £Оо, приходящей к открытому концу
плоского волновода, в излучающем отверстии такая же, как у плоской волны.
Применяя ту же систему координат, что и в гл. I, полагаем
и с помощью выражения C8.05) получаем формулу i(a). Формула (8.15) при
щ=п принимает вид
К*г~~т)
sin (д? sin у) е V ;
\
Она отличается от формулы (а) множителем sin2-о", который при у = п, в на-
направлении прямо вперед, обращается в единицу.
194

ФИЗИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ
Сформулируем основные результаты, полученные выше, и
сделаем выводы.
Мы получили строгое решение задачи о диффракции раз-
различных типов электромагнитных и звуковых волн на открытом
конце плоского и круглого волноводов. По точным формулам
были'произведены вычисления и построены многочисленные гра-
графики для величин, наиболее интересных с физической точки
зрения: коэффициентов отражения от открытого конца, коэффи-
коэффициентов трансформации этих волн в другие волны, характери-
характеристик излучения из открытого конца и т. д.
Эти численные результаты освещают диффракционные явле-
явления в волноводах с количественной стороны, позволяя пред-
предугадать основные особенности диффракции в других, более
сложных системах.
Изложенная теория позволяет вычислить коэффициенты
отражения различных во.лн, распространяющихся в волноводе
по направлению к открытому концу, а также коэффициенты
трансформации приходящей к концу волны в другие волны, рас-
распространяющиеся в обратном направлении. Эти величины имеют
практическое значение, поэтому вычисление абсолютных вели-
величин и фаз этих коэффициентов и выяснение относящихся к ним
закономерностей (см. § 28) является важным результатом
теории.
Теория звуковых колебаний в открытой с одного конца ци-
цилиндрической трубе занимает особое положение. Здесь ком-
комплексный коэффициент отражения основной («поршневой») зву-
звуковой волны от конца трубы определяет резонансную кривую
открытых акустических резонаторов (в том числе их резонанс-
резонансные частоты и декремент затухания, обусловленного излуче-
излучением). Поэтому задача о диффракции звуковых волн на откры-
открытом конце трубы ставилась в -ряде теоретических работ еще
в прошлом веке. Однако ввиду отсутствия строгого подхода
результаты, полученные в этих работах с помощью различных
искусственных допущений, оказывались ненадежными, и поэтому
сопоставление их с экспериментальными данными не могло при-
привести к вполне определенным выводам. Полученные нами точные
результаты устраняют эту неопределенность (гл. III).
Формулы, определяющие поле излучения, не только дают
возможность вычислить характеристики излучения открытого
конца волновода, но и позволяют создать наглядную картину
формирования диффракционного поля с выявлением особенно-
особенностей, остававшихся ранее незамеченными: образование волн,
расходящихся от краев, влияние внешней поверхности волно-
волновода на излучение и т. д. (см. гл. V).
Результаты, даваемые строгой теорией, позволяют установить
пределы применимости различных приближенных методов, в ча-
13* 195

стности принципа Гюйгенса, с помощью которого обычно произ-
производится приближенный расчет диффракционного поля. Сравне-
Сравнение точной теории с принципом Гюйгенса показывает, напри-
например, что по принципу Гюйгенса получаются удовлетворительные
результаты только для переднего полупространства и для излу-
излучения, в основном направленного вперед (см. § 37).
Полученные результаты приводят к следующим выводам,
существенным с точки зрения дальнейшего развития теории
диффракции. Первый вывод — это вывод о предпочтительности
той формы теории диффракции, в которой вторичные источники
считают расположенными на краю отверстия (конец § 35); этот
вывод приводит к методу краевых волн, позволяющему дать
приближенное решение ряда диффракционных задач (см. § 38).
Второй вывод — это вывод о том, что если коэффициент отра-
отражения какой-нибудь волны от открытого конца волновода по
абсолютной величине близок к единице, то отрезок такого волно-
волновода обладает резко выраженными резонансными свойствами;
этот вывод был первоначально сделан для длинноволновых зву-
звуковых колебаний в открытых трубах (§ 23), дальнейшее его
развитие позволило просто рассчитать собственные колебания
открытых резонаторов простейшей формы. В этой книге мы не
излагаем теории открытых резонаторов, поскольку она заслу-
заслуживает отдельного рассмотрения, и лишь в задачах к гл. I—IV
затрагиваются некоторые вопросы этой теории.
В заключение сделаем методические выводы. Метод, приме-
примененный выше для решения задач о волноводе с открытым кон-
концом, позволяет решать — строго и вместе с тем эффективно —
ряд граничных задач математической физики, для которых обыч-
обычные методы (например, метод разделения переменных и примы-
примыкающие к нему методы) оказываются непригодными. Во второй
части данной книги мы рассмотрим некоторые из этих задач,
не пытаясь при этом исчерпать все возможные задачи и ограни-
ограничиваясь лишь теми из них, которые представляют определенный
физический и технический интерес и для которых получены кон-
конкретные результаты.
В тех случаях, когда какой-то математический метод хорошо
освоен, часто появляется искушение выбирать задачи, исходя
не из их практической ценности, а из возможности решить их
данным методом. При работе над книгой у автора появляется и
другое искушение, не менее сильное — ограничиться теми зада-
задачами, решение которых дано им самим. При подборе материала
для второй части автор старался избежать* как первого, так и
второго искушения. Насколько это ему удалось — пусть судит
читатель.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЗАДАЧИ, ПРИМЫКАЮЩИЕ К ЗАДАЧЕ
О ДИФФРАКЦИИ НА ОТКРЫТОМ КОНЦЕ
ВОЛНОВОДА

МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ И ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ
ЭТИМ МЕТОДОМ
Метод, которым в первой части были решены задачи о полу-
полубесконечных волноводах, обычно называют методом Винера—
Хопфа — Фока или методом факторизации. Действительно,
в фундаментальных работах Винера и Хопфа [2] и Фока [1] дан
общий метод решения интегрального уравнения с ядром, зави-
зависящим от разности переменных, и в полубесконечных пределах.
Это интегральное уравнение может быть как однородным, так
и неоднородным, но первоначально метод решения был дан для
уравнения второго рода, в то время как диффракционные задачи
сводятся к интегральному или интегро-дифференциальному
уравнению первого рода (см., например, гл. I). Однако метод
факторизации, данный в работах [1] и [2], легко переносится на
эти уравнения, а также на эквивалентные им функциональные
уравнения, которые приводят к решению задачи более коротким
путем (см. гл. II и III). Для несимметричных электромагнит-
электромагнитных волн в полубесконечном круглом волноводе (гл. IV) полу-
получается система двух функциональных уравнений. В общем слу-
случае система интегральных уравнений Винера—Хопфа—Фока или
эквивалентных им функциональных уравнений не решается, но
благодаря своей простоте эта система допускает точное решение,
несколько более сложное (см. § 25), чем для одного уравнения,
но все же достаточно эффективное — оно позволяет рассчитать
все важные физические величины.
Спрашивается: какие диффракционные задачи можно решить
этим методом? Очевидно такие, в которых имеются полупло-
полуплоскости и полубесконечные цилиндры и которые приводят к одно-
одному интегральному или функциональному уравнению, поскольку
системы таких уравнений, как было отмечено выше, решаются
лишь в исключительных случаях.
В гл. VI решены задачи о полубесконечной цилиндрической
поверхности, идеально проводящей и бесконечно тонкой, которая
вставлена в бесконечный круглый волновод или в бесконечную
коаксиальную линию так, что оси всех цилиндрических поверх-
199

ностей (бесконечных и полубесконечных) совпадают. Результа-
Результаты, полученные при решении этих задач, представляют интерес
для расчета коаксиальных резонаторов и бесконтактных порш-
поршней. В задачах к гл. VI рассмотрены в основном двухмерные
варианты систем, исследованных в тексте.
Задачи, относящиеся к двум полубесконечным цилиндриче-
цилиндрическим поверхностям, как правило, не могут быть решены этим
методом: так, задача о полубесконечной коаксиальной линии
приводит к системе функциональных уравнений, решить которую
не представляется возможным, а задача о полубесконечной двух-
двухпроводной линии может быть решена лишь при условии, что
радиус проводов достаточно мал (§ 44).
В гл. VII рассмотрены гребенчатые структуры, образован-
образованные периодически расположенными идеально проводящими по-
полуплоскостями. От этих структур можно перейти к гребенчатым
структурам конечной глубины, применяемым для замедления
электромагнитных волн (§ 48—51).
Гл. VIII посвящена задачам о волноводных диафрагмах и
о решетках частного вида, которые приводят к функциональным
уравнениям, допускающим строгое решение методом Винера—
Хопфа—Фока, хотя в этих задачах отсутствует полубесконечная
поверхность и на первый взгляд метод неприменим.
Гл. IX охватывает остальные задачи,, решение которых мо-
может быть получено применением метода Винера—Хопфа—Фока
и его обобщений. Это — задачи о полубесконечных импедансных
структурах и о других полубесконечных системах, допускающих
распространение поверхностных волн (спиральный волновод).
В этой же главе рассмотрены диффракционные задачи для тон-
тонкого проводящего цилиндра конечной длины (§ 62) и перечис-
перечислены задачи, относящиеся к прозрачным телам и допускающие
строгое решение (§ 65).
Во второй части книги суммируются результаты, которые
получены во многих работах, выполненных различными авто-
авторами (в том числе и автором данной книги): в некоторых слу-
случаях эти результаты систематизируются, в других — существенно
дополняются, в третьих — получаются новые результаты. Чтобы
не загромождать изложение беспрестанными ссылками, мы, как
и в первой части, их опускаем и вместо ссылок даем в конце
книги (стр. 422) обзор использованной литературы. При рас-
рассмотрении конкретных систем особое внимание уделяется иссле-
исследованию «низкочастотных» и «высокочастотных» свойств этих
систем; отметим, что формулы для высоких частот получаются
достаточно простыми и наглядными, если воспользоваться функ-
функцией f/E, q), введенной в первой части.
200

ГЛАВА VI
КОАКСИАЛЬНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ. БЕСКОНТАКТНЫЕ
ПОРШНИ
§ 39. Сочленение коаксиальной линии с круглым волноводом
Рассмотрим бесконечную круглую трубу радиуса ft и в ней
полубесконечный внутренний проводник в виде полой трубки
радиуса а<Ь, расположенный при г>0 коаксиально с внешней
трубой (рис. 63). Как tpy6y радиуса 6, так и трубку радиуса а
-2а—
Рис. 63. Сочленение коаксиальной линии с волно-
волноводом.
считаем идеально проводящими. Ясно, что трубка с бесконечно
тонкой стенкой ведет себя при условии ka < 1 так же, как
сплошной цилиндрический проводник того же радиуса а. Рас-
Рассматриваемая система интересна как один из немногочислен-
немногочисленных примеров сочленения двух передающих линий (коаксиаль-
(коаксиальной линии при г>0 и круглого волновода при z<0), когда элек-
электродинамический расчет может быть произведен вполне строго
и ведет к достаточно простым соотношениям.
Предположим, что при 2>0 на сочленение набегает основная
волна коаксиальной линии с волновым числом —k. Вводя
цилиндрические координаты г, ср, z и учитывая, что все токи
текут параллельно оси z, а поля не зависят от <р, мы сводим за-
задачу к решению волнового уравнения
201

для составляющей Az векторного потенциала, причем поля выра-
выражаются через Аг следующим образом (ср. § 12):
/А м p__J_^£_ H =_Mi. C
hz~ ~ Ik \д& ~* * Az)f r~~~ ikdzdr* пч> дг \°
Эти поля должны удовлетворять граничным условиям
Ez = 0 при r = b, C9.03)
Ez = 0 при г = а, z>0 C9.04)
и быть непрерывными всюду при г<Ь, за исключением стенок
трубки г— а, 2>0.
Решение поставленной задачи всегда быстрее можно полу-
получить методом, примененным ранее в гл. III. Мы ищем решение
уравнения C9.01) в виде
Az (r, z)=i( 9ттГ ( Щ
C °( Ц(va) [No(vb) Jo(vr)-J0 (vb)N0(vr)}
C9,05)
где верхняя строчка в фигурной скобке берется при г<а. ниж-
нижняя— при г>а, /0 и No суть функции Бесселя и Неймана, ком-
комбинация которых удовлетворяет условию C9.03), а благодаря
функции Jo(vr) при г->0 поля конечны. Как и в ч. I, имеем
w\ Imo>0, C9.06)
а С — контур интегрирования, в основном проходящий по веще-
вещественной оси и огибающий точку ш = —k снизу (ср. § 19); мы
считаем Im&>0 и полагаем Im& = 0 лишь в окончательных фор-
формулах.
Образуя по формулам C9.02) соответствующие поля, легко
получаем соотношение
^v>*F(w)dw, C9.07)
откуда так, текущий то внутреннему проводнику коаксиальной
линии, равен
j" w) dw. C9.08)
J{z) = j"
Будем искать функцию F (ш), входящую в выражение C9.05),
из тех соображений, чтобы: 1) Яф была непрерывна при г=а,
202

, т. е. функция C9.08) исчезала при г<0; 2) выполнялось
условие C9.04). Это приводит к функциональным уравнениям
J
eiwzF (w) dw = 0 при г < 0 C9.09)
dw = 0 при z>0, C9.10)
где
W (w) = - iva ^g [No (vb) Уо (va) - Jo (vb) No (va)]. C9.11)
Функция аЧ^ш), как легко видеть, есть мероморфная функ-
функция— отношение двух целых функций, нули которых располо-
расположены на кривых Imt; = 0. При lm(va) >l имеем
1г C9.12)
и разбиение функции 4я (w) на множители (факторизация)
xp(w) =Ч^+(ш) W-(w) C9.13)
производится так же, как в § 3 и 13. Следовательно,
_i_ | Js^fiL 1 C9.14)
~ik0—oo J
W (w) = exp —^- I ^-^ ,
ik0—oo J
где ^o<Irn k.
Вычисляя логарифмические производные функций *Р+ и Y-,
мы пользуемся тем, что интеграл
_L_f_
— и9
C9л5)
взятый по полуокружности радиуса V, опирающейся на веще-
вещественную ось, стремится к нулю, если при V—сю полуокруж-
полуокружность не проходит через полюсы подынтегрального выражения.
Поэтому, деформируя путь интегрирования для функции 4я- на-
наверх, получаем
~(и) _ 1 }у( 1_ ! | ! \—*sL9
da
C9.16)
203

где wa—находящиеся в верхней полуплоскости корни уравне-
уравнения
J0(va)=0, C9.17)
расположенные в порядке возрастания v\ w —такие же корни
уравнения
Jo(vb)=Of C9.18)
a wc соответствуют уравнению
N0(vb)J0(va)—JQ(vb)N0(va) = 0. C9.19)
Иначе говоря, wa и wn—волновые числа волн ЕОп в волново-
волноводах радиусов а и b, a wcn—волновые числа симметричных элек-
электрических волн ЕОп в коаксиальной линии. Эти волновые числа
соответствуют волнам, распространяющимся и затухающим
в положительном направлении оси г.
Последнее слагаемое в формуле C9.16), пропорциональное
величине
>4D 04^О C9-20)
возникает как предел разности между частной суммой ряда
в правой части C9.16) и суммой вычетов в полюсах, находящих-
находящихся внутри полуокружности радиуса У, при V—*оо. Формула
C9.16) приводит к следующему выражению:
. (w) = W+ (—w) = Woyl—wexp f—i^-
в котором постоянная ^Fo получается из соотношения C9.13)
при w==0 равной
Ha Тда 1^. ^ ^ (ka) - Уо {Щ Nt (ka)} ,
причем неопределенность в знаке Ч^о на окончательные резуль-
результаты не влияет.
Возьмем F(w) в виде
F(w) = £L -„' tK*+Mt C9.22)
где К — постоянная.
204

Так как контур С в основном идет по вещественной оси и
узкой петлей охватывает точку w=>—k, то уравнение C9.09)
удовлетворяется в силу того, что F(w) есть функция, голоморф-
голоморфная ниже контура С (в нижней полуплоскости Imay<0 она
имеет только полюс ш=—k) и стремящаяся в этой полуплоско-
полуплоскости при \w\—*oo равномерно к нулю. Функциональное уравнение
C9.10) удовлетворяется в силу того, что функция vW(w)F(w)
голоморфна выше контура С.
С помощью формулы C9.22) решается поставленная задача.
Подставляя функцию F(w) в формулу C9.08), получаем выра-
выражение для тока, текущего по внутреннему проводнику, а под-
подставляя в формулы C9.05) и C9.02), получаем выражения для
полей в каждой точке пространства. При этом выражения для
полей в каждой из трех областей:
1. z<0, r<b,
2. г>0, г<а,
3. г>0, a<r<b,
сводятся к своему ряду вычетов, определяющих в каждой обла-
области волны с волновыми числами, соответственно равными
1. -wbn (л=1, 2,...),
2. < (л = 1, 2,...).
3. w\ (« = 1,2,...).
В области 3 — коаксиальной линии — существует еще набе-
набегающая основная волна с током Ae~ihz, где А —постоянная, свя-
связанная с постоянной К в формуле C9.22) соотношением
и отраженная основная волна с током AReikz, где R — коэффи-
коэффициент отражения основной волны от сочленения коаксиальной
линии с волноводом, равный
* = _ exp (i ^ 7Л П 1 % $-• C9-24)
л=1
В окончательных формулах [например, в формуле C9.24)]
следует положить Im&=0 и учитывать, что затухающие волны
(имеющие чисто мнимые wn) обычно существенны лишь вблизи
сочленения, при |г|5б; они дают непрерывный переход от одной
области, с характерной для нее структурой распространяющейся
волны, к другой области. При kbt\ они определяют фазукоэф-
205

фициента отражения C9.24), в то время как распространяю-
распространяющиеся волны определяют абсолютную величину R.
Если в волноводе и коаксиальной линии при данной частоте
нет распространяющихся волн, то по формуле C9.24) получаем
|Л|=1, C9.25)
что очевидно с физической точки зрения. Если же в волноводе
радиуса Ь может распространяться только волна Ео1 с волновым
числом h = wb, а все остальные волновые числа way wbn и w°n
по-прежнему мнимы, то получается простая формула
l C9.26)
По поводу формулы C9.26) можно сделать следующее заме-
замечание. В теории длинных линий обычно вводят понятие волно-
волнового сопротивления, которое для коаксиальной линии равно
причем для перехода к практическим единицам нужно заменить
2
— на 60 ом. Волновое сопротивление позволяет вычислять
коэффициенты отражения, возникающие при сочленении различ-
различных линий; так, если линия с волновым сопротивлением W при-
присоединена к линии с волновым сопротивлением W, то коэффи-
коэффициент отражения по току равен
* C928>
Если вторая линия тоже коаксиальная с внутренним радиусом о!
и внешним радиусом Ь'у то
W = \^1F' C9-29)
Формула C9.28) хорошо известна из теории длинных линий.
При этом не всегда помнят о том обстоятельстве, что как сама
теория длинных линий, основанная на телеграфных уравнениях
для токов и напряжений, так и вытекающая из нее формула
C9.28) справедливы лишь при условии
kb < 1 C9.30)
(см., например, [25], § 36). В частности, электродинамические
поправки к формуле C9.28), как мы убедимся в § 40 на частном
примере, имеют порядок kb.
206

Теорию длинных линий применяют формально и к волново-
волноводам, если при данных условиях в волноводе может распростра-
распространяться только одна какая-нибудь волна. При этом для каждого
волновода вводят волновое сопротивление, а коэффициент отра-
отражения от сочленения двух волноводов представляют в виде
C9.28). Нужно однако помнить о том, что такое представление
является чисто формальным: так, например, если в нашей задаче
о сочленении коаксиальной линии с волноводом, в котором мо-
может распространяться только волна Еои потребовать, чтобы фор-
формула C9.28) совпадала с формулой C9.26), то необходимо поло-
положить
W = ±W9 C9.31)
где W и W — соответственно волновое сопротивление коаксиаль-
коаксиальной линии и волновода.
Так как W определяется формулой C9.27), то отсюда выте-
вытекает, что волновое сопротивление волновода W', определяющее
коэффициент отражения по формуле C9.28), не определяется
параметрами самого волновода, а зависит также от радиуса а
той коаксиальной линии, которая присоединена к этому волно-
волноводу.
§ 40. Коаксиальные резонаторы
Рассмотрим коэффициент отражения \R при условии C9.30),
когда'распространяющихся волн в волноводе нет и поле вблизи
конца коаксиальной линии имеет квазистационарный характер.
Основная волна в этом случае согласно формуле C9.25) пол-
полностью отражается от конца коаксиальной линии, причем по
формуле C9.28) получаем
/? = —1, D0.01)
поскольку
W'-»oo при а' —0 и Ь'=Ъ. D0.02)
Формула C9.24) при условии C9.30) дает
R = —em*, D0.03)
где величину а, в первом приближении равную
D0.04)
и не зависящую от частоты, можно назвать «поправкой «а откры-
открытый конец (ср. § 9 и 23). Ее зависимость от радиусов а и Ъ,
вычисленная по формуле D0.04), дана на рис. 64.
207

Отсюда следует, что фаза коэффициента отражения при
электродинамическом подходе по порядку величины равна kb,
т. е. при условии C9.30) действительно мала, что и оправдывает
в данном случае теорию длинных линий и формулу D0.01).
Однако при более точном расчете имеет смысл применять вме-
вместо формулы D0.01) фор-
фора/4 мулу D0.03); она показы-
показывает, что вдали от конца
плотность тока C9.08) на
внутреннем проводнике
коаксиальной линии рав-
равна
0,2 0,4 0,6
0,8
1
= A'sink(z-\-a),
D0.05)
Рис. 64. Поправка на открытый конец для
коаксиальной линии (рис. 63) в зависимо-
зависимости от а и Ь ( экстра-
экстраполяция) .
где
= — 2iAe
ika.
D0.06)
Таким образом, экс-
экстраполируя стоячую вол-
волну D0.05) к началу координат, приходим к выводу, что первый
узел тока должен быть расположен не при 2=0, а при г=—а.
На самом деле такая экстраполяция незаконна, и функция
C9.08) удовлетворяет условию
/( + 0)=0, D0.07)
а смещение стоячей волны
D0.05) влево на расстоя-
расстояние а по сравнению с той
картиной, которая получает-
получается в теории длинных линий,
объясняется просачиванием
поля в левый волновод.
Рис. 65. Коаксиальный резонатор.
Это просачивание описывается затухающими волнами с волно-
волновыми числами — w° (см. § 39); затухающие волны с волновыми
числами wa и wc обеспечивают выполнение условия D0.07).
Полученные результаты позволяют рассчитать четвертьвол-
четвертьволновый коаксиальный резонатор, изображенный на рис. 65. Он
состоит из внутреннего проводника длины L, свободного с одно-
одного конца, и оканчивающегося замыкающим поршнем с другого.
Обычно считают, что резонансная длина волны X такого резона-
резонатора связана с длиной L соотношением
l=4- ■ Dа08)
208

Более точное соотношение имеет вид
L = ±- -a, D0.09)
где а определяется формулой D0.04) и рис. 64. Оно выводится
следующим образом: току D0.05) соответствует напряжение
U(z)=—iWA'co9k(z+a), D0.10)
которое при 2=iL, на правой отражающей перегородке, должно
обращаться в нуль. Отсюда получаем резонансное условие
(л = 0, 1, 2,...), D0.11)
которое при п = 0 приводит к соотношению D0.09). Оно приме-
применимо при условии C9.30), а также при условии, что левая отра-
отражающая перегородка находится на таком расстоянии d от конца
внутреннего проводника, что не оказывает влияния на поля
вблизи конца; это значит, что должно быть
_ 4,81rf
е 5~<1, D0.12)
ь • 2,405
тогда волна £Oi с волновым числом w^i—g— на пути от конца
к левой перегородке и обратно ослабляется до ничтожно малой
величины. Кроме того, надо помнить, что при расчете внутрен-
внутренний проводник был взят в виде полой трубки, при переходе
к сплошному цилиндрическому
проводнику это может дать для I j
величины а поправку, которой, п) —-^
6 I I *
однако, при а<6 заведомо мож- I
но пренебречь. ___-___-
Wo
§ 41. Элементарная теория ^
бесконтактных поршней х\ ^
В литературе (см., например, ZHZZZ
[33]) описаны бесконтактные
поршни различных типов и изло- Щ
жена их элементарная теория. w | ^г~ w
Бесконтактный поршень, изобра- в) '
женный на рис. 66,а, по анало- 1
гии с [33] можно назвать емкост-
бым поршнем, изображенный на
рис. 66,6 — колпачковым порш- =j
нем, на рис. 66,в — дроссельным
поршнем. При этом нужно иметь ]
в виду, что в отличие от «чи-
«чистого» бесконтактного ПОрШНЯ, Рис 66 Бесконтактные поршни
изображенного, например, на простейших типов.
14—754 ' 209

рис. 66,г, поршни на рис. 66,а, б, в имеют контакт с внутренним
проводником коаксиальной линии. Кроме того, очевидно, что
поршни, изображенные на рис. 66,6 и в, совершенно равно-
равноценны: в силу теоремы взаимности коэффициент прохождения
волны, набегающей на поршень по коаксиальной линии справа
и слева на рис. 66,6 и в, должен быть одинаковым. Поэтому
принцип действия и теория колпачкового и дроссельного порш-
поршня одинаковы.
Рассчитаем коэффициент прохождения волны, падающей
на колпачок (рис. 66,6) слева. Обозначим через W волновое
сопротивление коаксиальной линии, через Wo — волновое сопро-
сопротивление отрезка коаксиальной линии, образованной боковой
поверхностью поршня и внешним проводником коаксиальной
линии, через W\— волновое сопротивление отрезка линии, обра-
образованной боковой поверхностью поршня и внутренним проводни-
проводником. Согласно теории длинных линий при <г<0, левее колпачка,
ток / и напряжение U в линии равны
/ = e^2+7?e-^z, U=W(eihz—Re~ihz) (при2<0), D1.01)
где для простоты амплитуда тока набегающей волны принята за
единицу, через R обозначен коэффициент отражения по току.
На отрезке 0<z<L, где расположен поршень, нужно разли-
различать ток /0 и напряжение Uo в «зазоре» с волновым сопротивле-
сопротивлением WOuc одной стороны:
/0=Ле^2 + Ве-^ Uo= WQ(Aeikz—Be-ihz), D1.02)
и ток J\ и напряжение U\ во «внутренней линии» с волновым со-
сопротивлением W\, с другой стороны:
71=C[ei*<ar-I')+e""(-"L)], Ul=WlC[eik{z"L)-e'lkix'L)]. D1.03)
Здесь Л, В и С — постоянные; выражения D1,03) написаны
с учетом граничного условия £Л = 0 на «донышке» колпачка, при
z=L. При z>L имеем
D1.04)
где Т — коэффициент прохождения волны.
Величины Л, В, С, R и Т определяются из пяти граничных
условий:
J = JO=JU u=U0+Ui при 2=0,
D1.05)
/0 = /, U0 = U при z—Ly .
первое из которых выражает непрерывность тока на внутреннем
и внешнем проводниках коаксиальной линии, а также отсутствие
210

накопления заряда на кромке поршня. Решение этих уравнений
дает следующее выражение для коэффициента прохождения:
Т ^D1.06)
—
1±- + — JtgdJ
где
» = *£; т = ^\ mi=ljfc- D1-07)
Выражение D1.06) показывает, что
Т = 0 при &='-£-, Ц-,... D1.08)
и при любых m и /nf, однако при больших значениях m и Ш\
коэффициент Т принимает достаточно малые значения в боль-
большем диапазоне значений #. Кривая, дающая зависимость \Т\2
от #, приведена на стр. 359 книги [33] ((при m,i«^=I8,6).
Если волна набегает на колпачок справа (рис. 66,6) или на
дроссель (рис. 66,в)—слева, то аналогичный расчет приводит
к той же формуле D1.06). Таким образом, эти поршни при опти-
мальной частоте (когда *=у) полностью отражают волны,
в отличие, например, от емкостного поршня (рис. 66,а), который
и при '&= -к дает некоторое прохождение волн — тем меньшее,
чем меньше зазор.
Заметим, что формула D1.06) и все следующие из нее вы-
выводы остаются справедливыми, если весь отрезок 0<z<L заполо-
заполонен диэлектриком; в этом случае нужно лишь считать $=кЬУ&
и учесть влияние диэлектрика на волновые сопротивления Wo
и W\. Боковую стенку поршня необязательно считать бесконеч-
бесконечно тонкой: она может иметь любую толщину. Если обозначить
через а и Ъ внутренний и внешний радиусы коаксиальной линии,
а через га и Гъ — внутренний и внешний радиусы боковой стенки
поршня, то в абсолютных единицах
Г. = -£=1п± Wl = ^-=ln^-, D1.09)
2
а для перехода к практическим единицам нужно заменить -j на
60 ом. При га=1/*ь = /"о и е=1 эти формулы принимают вид
We = 4In77- tfi=-rlnlT. w* + W* = W=-Tl*ir- D1Л0>
,14* 211

В дальнейшем мы будем иметь в виду этот простейший случай.
Конечную толщину стенки (rb>ra) и заполнение диэлектриком
легко учесть, пользуясь формулами D1.06), D1.07), D1.09) и
\ОZl )
§ 42. Физический смысл формул для бесконтактных поршней
Для уяснения физического смысла полученных формул рас-
рассмотрим вспомогательную задачу о разветвлении коаксиальной
линии с волновым сопротивлением W на две линии с сопротив-
сопротивлениями Wo и Wi соответственно (рис. 67). Пусть к плоскости
t разветвления 2=0, приходит
волна ino линии WOt тогда при
W 2<0 получим
J0 = eihz—Q,e~ikz,
Рис. 67. Разветвление коаксиальной
линии.
D2.01)
а при £>0
J=Peikz, U=WPeikz, D2.02)
где Q есть (коэффициент отражения, Р —коэффициент прохож-
прохождения, а величину 5 можно назвать коэффициентом поворота
волны, поскольку волна в линии Wx возбуждается путем пово-
поворота набегающей волны вокруг кромки.
Граничные условия при 2=0 дают
— 1
Если волна набегает по линии Wu то при z<0
D2.04)
а при г>0
Новые коэффициенты Q" (отражения),
(поворота) равны
D2.05)
(прохождения) и S'
В обоих случаях коэффициент прохождения Р (или Р') равен
коэффициенту поворота S (или 57); эти коэффициенты харак-
характеризуют ток в линиях (а не напряжение), и равенство их выте-
212

кает из непрерывности тока на внутреннем проводнике (рис. 67),.
поскольку при 2>0 этот ток определяется прошедшей волной,
а при z<0 — повернувшей волной.
С помощью равенства P = S можно следующим образом
объяснить действие поршня на рис. 66, #, и в частности ра-
равенство Г = 0 при & = -|-. Волна, бегущая по зазору W0J при
z = L дает начало прошедшей и повернувшей волнам; повернув-
повернувшая волна отражается от донышка 2 = 0 (без перемены фазы
по току!), приходит к плоскости 2 = Zc дополнительной фазой
2$ и при &=-^- полностью гасит прошедшую волну, поскольку
их амплитуды равны.
Если на тот же поршень набегает волна справа, или на пор-
поршень— колпачок (рис. 66,6) слева, то она прежде всего прохо-
проходит (без возмущения, если стенка бесконечно тонкая и нет ди-
диэлектрика) в линии Wo и Wu образуя там бегущие волны с рав-
равными амплитудами тока. Волна в линии W\, отразившись от
«донышка» z=L, дает начало отраженной волне в линии W,
поворачивая в линию Wo, компенсирует волну, прошедшую в эту
линию непосредственно; при &=-|- имеет место полная компен-
компенсация и отсутствие поля в линии Wo. Действительно, из формул
§ 1 в этом случае имеем А = 5 = 0.
Таким образом, принцип запирающего действия колпачко-
вого поршня заключается в «раздвоении» набегающей волны и
таком подборе разности фаз, при котором прошедшая волна
обратилась бы в нуль. Принцип действия емкостного поршня
(рис. 66,а) иной, и этот поршень не дает полного отражения.
Заметим, что при справедливости формул D1.10) величины
D2.03) и D2.06) равны соответственно
D2.07)
Элементарная теория, основанная на теории длинных линий,
приводит к выводу, что отражение от колпачкового поршня
будет полным при &=-^- и Z, = —. Опыт показывает (см. [33],
стр. 363), что оптимальное действие поршня имеет место при
несколько меньших & и L.
Это расхождение связано с тем, что мы пользовались теорией
длинных линий, дающей лишь приближенные результаты. Ха-
Характер поправок, которые должна давать строгая теория, можно
213

предсказать по аналогии с § 23 и 40: полное отражение от
поршня будет не при условии D0.08), а при условии D0.09).
Рис. 68. Зависимость а от г0 для бескон-
бесконтактного поршня.
В следующем параграфе мы покажем, что строгая теория
колпачкового поршня действительно приводит к соотношению
00.09), которое является условием полного отражения. Зависи-
Зависимость поправки на концевой
эффект а от соотношения ра-
радиусов изображена (грубо)
на рис. 68; более точно эту ве-
величину можно вычислить по
формуле D3.12).
§ 43. Строгий расчет
Рассмотрим электромагнит-
электромагнитные волны в системе, изобра-
изображенной на рис. 69,а; а — ра-
радиус внутреннего, Ь — внешне-
внешнего, 7*о — промежуточного про-
проводника, который занимает от-
отрезок 0<г<оо. Будем счи-
£) } w -—^ тать все проводники идеально
проводящими и ограничимся
волнами, токи которых текут
лишь в продольном (z-u) на-
направлении и поля которых об-
обладают симметрией вращения
и выражаются по формулам
C9.02) через единственную
составляющую Az векторного
г.ь потенциала, удовлетворяющую
волновому уравнению C9.01).
Рис. 69. Различные случаи развет- Функция Аг должна быть не-
вления коаксиальной линии. прерывна При r = iTo И ООра-
214
©
i-
©
©
г»
/я
ко
@
0
@ 1
»»
1 '
-О i-L
QD 1
@
—>»
1
С6)
@
1
—*»

щаться в нуль три г=а и r = b, поэтому по аналогии с форму-
формулой C9.05) ее можно представить в виде
л ILfp^zF(w)dw
z~~ с )
с
х o (va) - No (vr) /0 (va)\ [Jo (vb) No (vr0) - No (vb) Jo (vr0)])
\Wo (vr0)No(va)- No(vr0) Jo(va)] [Jo(vb)No(vr)- No(vb) Jo(vr)]\'
D3.01>
где в фигурной скобке следует брать верхнюю строчку при
г<Го, а нижнюю — при г>г0.
Вычисляя ток /, текущий по промежуточному проводнику
радиуса г0, получим
7=-
с
Здесь С означает контур в плоскости комплексного перемен-
переменного w, который мы в дальнейшем проводим так, чтобы он
охватывал точку w — —k снизу и затем продолжался по веще-
вещественной оси (считаем Imfe>0, а к вещественному k переходим
лишь в окончательных формулах). Через v обозначен корень
l/&2—w2, причем полагаем Imu>0 при Im&>0.
Функция F(w) находится из условия отсутствия тока на
геометрическом продолжении промежуточного проводника
\eiwZF(w)dw^0 при z<0 D3.03)
с
и из условия £ = 0 на этом проводнике, что дает
j e^zt;W (w) F (w) dw = 0 при z > 0, D3.04}
с
где
No (Va) ~No (t;/>o) /o (Ш
Wa (w) = i*i№w *iv {r°~a) Vo (vr0) No (va) - No (vr0) Jo (va)], D3.06)
Wb (W) = i*v{/br0 e^ (b-ro) [Jo {vb) Nq (Vrj _ д^о щ jq (уГо)] Dз>07>
и
Wc (W) = irJyU e^ (ь- «) [Jo (vb) No (va) - No (vb) Jo (va)]. D3.08}
215

Функции W, Way xVb и We при Imo —О стремятся к единице,
как это видно, например, из асимптотического выражения
для xY(w):
i(\%b-ro) • D3.09)
Если обозначить через wan корни уравнения 4ta(w)=-0, располо-
расположенные в порядке возрастания соответствующих положительных
чисел v* (п — 1, 2,...), ввести аналогичные обозначения: wbn и
v , wc и Vе, то числа zLwa. ±wb и ±wc будут волновыми
числами симметричных электрических волн Еш в коаксиальных
линиях а, Ь и с (рис. 69, а). В дальнейшем будем считать
\x&wa'btC >0, так что волновые числа ша'6>с соответствуют
волнам, затухающим в положительном направлении оси 2. Из
■формулы D3.09) легко получить приближенные выражения
< ^<^< D310)
которые, строго говоря, являются асимптотическими и выпол-
выполняются точно при я—оо, но фактически дают хорошие резуль-
результаты уже при п=\.
Решение функциональных уравнений D3.05) и D3.06) может
быть найдено с помощью функций W+iw) и Ф_(ш), голоморф-
голоморфных и не обращающихся в нуль соответственно в верхней
•(Imay^O) и нижней Aтш<0) полуплоскостях, произведение
которых равно заданной функции W(w). Повторяя выкладки
§ 39, получаем
(ш)=
w) ei
W
} D3.11)
,
•где
In (ro-a)-F-re) In F-r0)].
Если взять функцию F(w) в виде
D3.12)
D3.13)
:216

(К— постоянная) и контур С, как указано выше, то уравнения
D3.03) и D3.04) удовлетворятся. Чтобы выяснить физический
смысл полученного решения, вычислим токи Ja и У& на внутрен^
нем и внешнем проводниках коаксиальной линии:
7а = ^Я9(а, г) = - f е^
N" ^ ~
dm
It(vb)N,(va)-N,(vb)J,(va) "Ш>
Эти интегралы легко преобразовать в ряды вычетов. При z>0
необходимо контур С деформировать наверх и учесть полюсы
±k и аЛ подынтегральной функции, тогда
Jb=A (e~ikz—Meikz), Ja = B(e-ikz—Meihz), D3.15)
где постоянные А и В связаны соотношением
b
4^—^. D3.16)
а коэффициент М равен
k k k
" —Ч ? ?- D3Л7>
В формулах D3.15) — D3.17) уже можно считать волновое
число k вещественным; если частота достаточно низка и волно-
водные волны ЕОп в коаксиальной линии распространяться не
могут (а распространяется только основная волна с волновым
числом k), то волновые числа wan'b' ° — чисто мнимые (wn=i\wn\)
и величину D3.17) можно представить в виде
М = е2'*а, D3.18)
поскольку бесконечное произведение по абсолютной величине
равно единице. Пользуясь приближенными формулами D3.10),
217

легко представить величину а, определяющую фазу М, в виде
оо
т=1
D3.19)
Коаксиальная линия обычно применяется при условии
«C9.30), когда затухающие волны заметны лишь в области
|г|<Ь; вне этой области ими можно пренебречь, в частности
'формулами D3.15) можно пользоваться уже при z>b. Вычисляя
интегралы D3.14) при z<0 по вычетам в полюсах —wcn, лежа-
лежащих ниже контура С, получаем ряд затухающих волн, которыми
при г<—b можно пренебречь и считать, что Ja=Jb = O.
Если учесть, что напряжения Ua и Ub в линиях а и b согласно
формулам D3.15) можно представить в виде
, D3.20)
где
C = -WaB = -WbA, IFa=-|-ln^-, Wb = -^ln-^-, D3.21)
то полученное выше строгое решение электродинамической за-
задачи интерпретируется физически одним из следующих четырех
способов:
A. В системе, изображенной на рис. 69,а, справа по линиям а
и b набегают волны с амплитудами тока А и В. Каждая из этих
волн частично отражается от плоскости сочленения 2=0, частич-
частично поворачивает в другую линию. Однако в линии с волна не
возбуждается, точнее волны, возбуждаемые каждой линией а
и b в отдельности, полностью компенсируют друг друга.
Б. В линии а при z = L можно поставить идеально проводя-
проводящую перегородку (рис. 69,6). Формулы D3.15) показывают, что
если L выбрать согласно формуле D0.09), то эта перегородка
не приведет к возмущению поля (поскольку она поставлена там,
где Ua = 0). Поэтому волна, приходящая к плоскости сочленения
z=0 по линии Ь, будет полностью отражаться от нее (в резуль-
результате действия «колпачка») и не проходить дальше — в линию с
B. Ставя аналогичным образом перегородку в линии b
(рис. 69,в), достигаем полного отражения волны, бегущей по
линии а. Длина соответствующего «карманчика» b должна опять
выбираться по формуле D0.09).
Г. Если в линии поставить, наконец, сплошную перегородку
z=L (рис. 69,г), мы получим своеобразный объемный резонатор
<: высокой добротностью, собственная частота которого опреде-
определяется формулой D0.09). Данная система ведет себя как резо-
резонатор только при возбуждении ее в точках а или Ь. При одно-
одновременном возбуждении в точках а 'и b резонансная амплитуда
218

пропорциональна разности возбуждений, а суммарное возбуж-
возбуждение свободно распространяется вдоль линии с. При возбуж-
возбуждении волны в линии с она отражается от шерегородки z = L без
какого-либо резонанса. Резонатор с такими свойствами может,
вероятно, найти себе применение.
В заключение отметим, что полученное строгое решение
позволяет более точно определить коэффициенты отражения,
прохождения и поворота, вычисленные с помощью элементарной
теории в § 42, а именно коэффициенты Р и Р' оказываются
равными
Р=—1Г> Р' = —ь~> D3.22)
в полном соответствии с элементарной теорией [см. формулу
D2.07)], а другие коэффициенты приобретают дополнительный
.фазовый множитель:
Q' = S = РеШл, Q = S' = Я'е2/*а, D3.23>
приводящий к поправке а в условии D0.09). Как уже отмеча-
отмечалось, для бесконтактного поршня величина а при условии kb < 1
практически paiBHa величине а0, определяемой формулой D3.12).
§ 44. Полубесконечные линии — коаксиальная и двухпроводная
Рассмотрим две полубесконечные коаксиальные цилиндриче-
цилиндрические поверхности (рис. 70): цилиндрическую поверхность ра-
радиуса а при 2а<.г<оо и цилиндрическую поверхность радиуса
Рис. 70. Коаксиальная линия с открытым
концом.
Ь>а при zb<z<oo. Будем исследовать симметричные электри-
электрические волны в такой системе, считая поверхности идеальна
проводящими. Пусть
f а {г) = J e*»*Fa (w) dw D4.01>
219

*есть поверхностная плотность тока на внутреннем проводни-
проводнике, а
fb (z) = J e**>*Fb (w) dw D4.02)
с
— на внешнем. Будем искать составляющую Аг векторного по-
потенциала в виде (ср. § 12)
At = i ** f е'«* F'W//'(M) I Fa(w)dw +
vr)
где в первом интеграле фигурная скобка означает то же, что
в формуле A2.29), а во втором нужно брать первую строчку
фигурной скобки при r<b и вторую— при r>b.
Функции Fa и Fb должны удовлетворять уравнениям
w)dw = 0 при z<za D4.04)
Г eiwZFb(w)dw = 0 при z<zbi D4.05)
с
выражающим отсутствие токов на геометрическом продолжении
цилиндрических поверхностей, а также уравнениям
f e^v* [Jo (va) Ho (va) Fa (w) + Jo (va) Ho (vb) Fb (w)] dw = 0
при z>za D4.06)
[Jo (va) Ho (vb) Fa (w) + Jo (vb) No (vb) Fb (w)] dw = 0
при z>zbf D4.07)
соответствующим граничному условию Ez=0 на поверхностях.
К сожалению, систему функциональных уравнений D4.04) —
D4.07) не удается решить ни при каких конечных значениях
za и zbl в частности, не удается получить строгое решение зада-
задачи о коаксиальной линии с открытым концом (при га = гъ)-
Данную 'задачу можно решить лишь в предельных случаях:
1) при 2ь= + оо, когда имеем задачу о круглом волноводе
с открытым концом (см. гл. II, где мы полагали -га=0);
2) при zb =—оо, когда приходим к задаче, рассмотренной
в § 39 (где предполагалось za=0);
3) при za =—оо, когда приходим к новой задаче, в которой
без ограничения общности можно считать zb = Q.
220

Рассмотрим вкратце последнюю задачу. В ней уравнение
D4.04) не имеет значения, а уравнение D4.06) должно выпол-
выполняться при всех z, и поэтому Fa можно выразить через Fb:
1
ь
Л
L
). D4.08)
Для функции F=Fb получаем уравнения C9.09) и C9.10).
в последнем из которых функция W(w) определяется выраже-
выражением
V (ад) = — iva ^о° ((^| [No(vb) Jo(va) — Jo (vb) No (va)\. D4.09)
Решение этой системы может быть получено обычным путем.
В этой задаче отражение волны от открытого конца 2 = 0 со-
сопровождается излучением.
Перейдем теперь к полубеско- \ I
нечной двухпроводной линии р г а
(рис. 71), образованной дву-
двумя тонкими цилиндрическими
проводниками радиуса а, оси
которых находятся друг от дру-
друга на расстоянии Ь. При выполне-
выполнении О jg
&а<1, а<^.Ь D4.10) ' J
мржно пренебречь «эффектом
близости» (см., например, [25], Рис. 71. Полубесконечная двух-
§ 33) и заменить, например, по- проводная линия,
ле Ег от нижнего 'провода на
поверхности верхнего полем на оси верхнего провода. Обозна-
Обозначая через
f(z)= teiwzF(w)dw ' D4.11)
с
плотность тока )на товерхеости верхнего лровода и считая, что
плотность тока на нижнем проводе равна—f(z), можно полу-
получить для функции F(w) уравнения вида D3.03) и D3.04), при-
причем
W(w) =nvaJ0(va){H0(va)—Hu(vb)l D4.12)
Эта функция при w—*±'oo стремится к единице. Для двухпро-
двухпроводной линии функция
Ц(хю) =vx¥(w) D4.13)
по своему характеру близка, к функции B.10) для волн 4-го
типа в плоском волноводе: у обеих функций точки w=±k
являются одновременно нулями и точками ветвления. На раз-
221

резах lmv = O лежат же другие нули функций W(w) и L(w),
являющиеся корнями уравнения
/oN)=O. D4.14)
Это уравнение определяет волноводные волны EQn в каждой из
трубок радиуса а; рри (первом условии D4.10) эти волны сильно
затухают. В дальнейшем будем предполагать, что к концу двух-
двухпроводной линии приходит основная волна с волновым числом
w = —k, тогда волноводные волны ЕОп определяют просачивание
поля внутрь трубчатых проводников (заметное на расстояниях
от концов порядка а или меньших). При z>a в этом случае
для плотности тока можно написать выражение (ср. § 4)
/(г) =A[e-ikz+Reik*+Q(z)l D4.15)
где коэффициент отражения R определяется формулой D.05)
в виде
а согласно формуле D.07)
(*)j^ D4.17)
Рассуждая так же, как -в § 13, для функций L+ и L_ полу-
получаем выражения
L+ И = i V^aJQ(va)[HQ(va)-H0(vb)} е
Т
L_(w) = i V^h (va) [Я 0 (va) — Ho (vb)] e
где
ioo
M(u)= —
-±-M(w)
МРД)-М*Ь)
<o@) = 0,
Формулы D4.16) и D4.18) приводят к выражению
,#1=_е*<*>, D4.21)
аналогичному выражению B8.18) для основной звуковой вол-
волны. Поскольку двухпроводные линии обычно применяются для
достаточно длинных волн, удовлетворяющих условию
kb^l, D4.22)
222

то вычисление R существенно упрощается. Пользуясь формула-
формулами B0.17) — B0.23), можно написать
D4.23)
где а — поправка на открытый конец.
Так как
u(v)=——~~,а v2 при vb < 1 D4.24)
Re M (k)= — ki фг ~6а2) при kb < 1, D4.25)
41
то в силу второго условия D4.10) можно написать
( ^g-\. («.26)
j
а для поправки на открытый конец получается выражение
^. D4-27)
аналогичное формуле B0.23). Однако вычисление по формуле
D4.27) представляет некоторые неудобства, так как корни урав-
уравнения
J0(va)—J0{vb)=Q, D4.28)
где функция со (о) испытывает, скачок, не табулированы.
Вместо формулы D4.27) можно вывести другую, исходя из
выражения
—ik0+oo
ln*B(w)dw I /лл опч
^ ] D4-29>
Если понимать интеграл в смысле главного значения, то подоб-
подобное выражение
—lko+oo
к / v Г * С In A (w) dw ~\ /лл от
А+(ы) = ехр[^ J wKJu j D4.30)
—i^0—oo
можно написать и для функции
га)— H0(vb)l D4.31)
223

Полагая теперь &0=0, Im& = 0 и считая и вещественным положи-
положительным, получаем выражение
в котором берется главное значение интеграла также и при
w = u. Пользуясь соотношением
00
о
D4.33)
и четностью функции A(w), можно перейти к выражению
00 In а /,,ч dw-
Л+ (и) = Sк (и) ехр
■ JL f A(t
■' « J «2-
А(и)_
W2
D4.34)
в котором интеграл имеет обычный смысл. Сравнивая это выра-
выражение с первым выражением D4.18), получаем соотношение
Г
D4.35)
откуда
При
)=-^Ш|. D4.36)
имеем
D4.37)
In-
а при
функция In
^
пропорциональна v2b2; по-
этому Re M (k) *k, k2b2 в соответствии с формулой D4.25), а
1тЛ1 (*)= — —
254
Kq (wa) —- Ко (wb) j dw
b I w2
In— I
при ^6 <^ 1.
D4.38)

Вместо формулы D4.27) мы имеем теперь формулу
а
—
In
по которой и вычислена зависимость — от —, изображенная на
рис. 72. Мы видим, что обычно отношение — порядка несколь-
а
ких единиц. В связи с этим напомним, что согласно теории длин-
длинных линий должно быть R = —1, т. е. а = 0; наши результаты
[формула D4.26) и рис. 72] дают поправки к этому значению R.
10
20
40
Рис. 72. Поправка на открытый конец для
двухпроводной линии.
Для полноты следует оценить слагаемое Q(z) в формуле
D4.15). Из интеграла D4.17), в котором при w^k нужно брать
главное значение, в силу соотношений обхода A3.15) получаем
интеграл от w = k до w = k+ioot который при kz^> 1 приводит
к выражению
Q(z) = -iR-**Lr?£-, D4.40)
показывающему, что функция Q(z) при условии D4.22) весьма
мала, сто крайней мере, если произведение kz велико или по-
порядка единицы. Так как согласно формуле D4.15)
€1, D4.41)
при kz < 1,
то при малых kz функция Q\(z) также мала.
15—754
225

Задачи к гл. VI
1. Рассчитать собственные колебания отрезка двухпроводной линии дли-
длиной 2L, 'разомкнутой «с обоих концов, при условии D4.22); .найти распределе-
распределение тока вдоль проводов и комплексные собственные частоты.
Решение. Выбирая начало координат в середине отрезка 2L и задавая
ток в виде
f(z)=A coskz, (a)
или
f(z)=Asinkz, (b)
приходим, пренебрегая функцией Q(z), к характеристическому уравнению
(ср. задачу 5 к гл. I и задачу 7 к гл. III)
где R — коэффициент отражений по току, определяемый формулами D4.23)
и D4.26).
'Отсюда получаем
или
2k (L + а) — я/г — t
пп Г пп
1
где значения я=1, 3, ... соответствуют формуле (а), а значения /г = 2, 4, ...—
формуле (Ь).
/Полученные выражения применимы лри условии
Ъ
2. В системе, состоящей из полуплоскости
между двумя плоскостями
у="— а .и г/=р, —оо<г<оо (а>0, Р>0)
вывести для функции Ф = Ф(у, z), удовлетворяющей волновому уравнению
G.01), выражение, аналогичное D3.01), и функциональные уравнения D3.03)
и D3.04). Считая Ф=#ж, взять для нее граничное условие
на обеих плоскостях и на полуплоскости.
Решение. Так как производная —^— непрерывна в плоскости у = 0
при 2>0в силу граничного условия, а при z < 0 в силу непрерывности по-
полей, то функцию Ф можно искать в виде
4я Г . F(w)dw (cosv(y-irc)slnvf}
. 2) = —Je- l
С

дФ
обеспечивающем непрерывность -^—- при у = 0, а также выполнение гранич-
граничных условий при у = — а и у = § и волнового уравнения G.01). В фигурной
скобке нужно брать верхнюю строчку при у < 0, нижнюю — при у > 0. Плот-
Плотность тока f (z) на полуплоскости у = 0, z > 0 равна
f B) = ^-[Ф(— 0, z) —Ф(+0, z)] =
С
при z < 0 она должна равняться нулю, что дает уравнение D3.03). Учитьь
дФ
вая граничное условие -д— = 0 при у = 0, z > 0, получаем уравнение D3.04),
в котором
,«/ ч о- sin ya sin и?
3. Получить решение предыдущей задачи, полагая в формулах § 43
а-+ос, Го—юо, fr->oo
и фиксируя величины
а=/-0—а, р=6—г0.
Решение. Пользуясь асимптотическими формулами
из формулы D3.05) легко получаем формулу (а) задачи 2. Интегральное
представление для Ф = Нх можно получить, заменяя в интеграле для — //
F (w)
функцию F (w) на -о , поскольку F (w) согласно формуле D3.02) опреде-
определяет ток в промежуточном проводнике, а не плотность тока, как в задаче 2.
4. Показать, что решение задачи 2 одновременно является решением за-
задачи о волнах в системе, состоящей из двух полуплоскостей
расположенных между двумя плоскостями
— оо<г<оо
при условии, что на всех этих поверхностях выполняется граничное условие
дФ
ау I"/
и если, кроме того, Ф(#, z) есть четная функция у.
Решение. Если Ф есть четная функция у, то условие (а), выполняется
и при у = 0, так что в полосе 0<г/<Оа + Р мы имеем тю же уравнение и те же
граничные условия, что и в задаче 2, где та же полоса соответствовала не-
неравенствам —а<#<.р.
5. Записывая функцию 4я(w) задачи 2 в виде
15* 227

i г
i
г
L *
(X)
}
1
2a
f
и пользуясь результатами гл. I, показать, что
в двухмерной задаче поправка на открытый
конец, входящая в формулу D3.18), при
^ 1 равна
«0= — «In
Получить эту формулу с помощью предель-
предельного перехода из § 43 i(qp. задачу 3).
6. Пользуясь результатами, полученными
в задачах 2—5, найти условие полного отра-
отражения основной волны в плоакопараллельном
волноводе от бесконтактных поршней, изобра-
изображенных на рис. 73,а и б, при kd <^1, где d —
ширина волновода.
Решение. Условие полного отражения
имеет вид
= 0. 1. 2,...),
Рис. 73. Бесконтактные
поршни в плоском волно-
волноводе.
,где величина а0 приведена в задаче б.
7. Решить задачу 2 при ином граничном условии, а именно:
Ф=0
на всех поверхностях (Ф=ЕХ). Выяснить, какой смысл имеет решение для
системы, рассмотренной в задаче 4.
Решение. Ища решение в виде
_ 7 ч 4гс . Г
С
F(w)dw (sin a
для функции F(w)f определяющей плотность тока на полуплоскости у=0 по
формуле
с Г дФ дФ
[{° ){+°
получаем функциональные уравнения
J-
= 0 при z < О,
= 0 При Z > 0,
где функция 4я (ш) та же, что в задачах 2 и 5.
Для системы, рассмотренной в задаче 4, эти уравнения дают решения та-
таких волновых задач, в которых Ф=£х есть нечетная функция у.
Решение системы (а) находим обычным способом, полагая
L(w) =
и пользуясь формулами § 3—5,
228

8. Вычислить в задаче 7 абсолютную величину коэффициента отражения
R для волны, распространяющейся в волноводе ширины а, при условии, что
в каждом волноводе ширины а и d=ia + p может распространяться только
одна волна, а в волноводе ширины ,р распространение волн вообще невоз-
невозможно.
Решение. Цредставляя Ч^до) так, как в задаче 5, и пользуясь форму-
формулами § 3 и 4, получим выражение
h h h h h
где
Если все wn, кроме w* и wd , чисто мнимые, то
wd _ ш«
9. В задачах 2 и 7 плотность тока на полуплоскости у=0 при г>0
имеет вид
[^-. iwaz Ш-* ixsfiz -i
п п
где —h=—т* есть волновое число волны, приходящей по волноводу ширины
a; Ri,i—ее коэффициент отражения (см. задачу 8); Ri>n—коэффициент транс-
трансформации (по току]) в волну номера пф I в том же волноводе; Si>n — коэф-
коэффициент трансформации в волну номера п в соседнем волноводе ширины C
(или коэффициент поворота, ср. § 42).
Вывести выражения для Ri,n и Sz,n, аналогичные формулам § 10 и при-
пригодные для расчетов при условиях
и &; > 1
Решение. Согласно § A0 имеем
<?+ (w) = exp I U ( у ~£W, -2nj\ при
если
Аналогичные выражения получают при факторизации функций 1—е tva>
ш 1—e2ly^, входящих (см. задачу 5) в функцию *Р (а»). Подставляя эти вы-
ражения в формулы (ср. § 4)
2ay?Lj_ (^/°) -^+ (^a) 2ayfL^_ (^/°) -^+ (йу )
229

для магнитных волн (при Ф = Ех) будем иметь
V(W) W+ (a,)
Ю v
«, ft)],
Хехр[Па£, k) + T(w\, k)]t
где
и поэтому
2ivad 2iv*$ 2iv$ d 2iv$ a
Для электрических волн при Ф == Нх (задача 2) будем иметь
L (w) = уф (w), L+ (w) = yk + w
W -J- Wj
где функция Г(г^, ^) определена выше.
Для электрических волн целые числа / и п могут быть равны нулю *, в то
время как для магнитных волн они принимают значения 1, 2, 3, ...
10. Сравнивая коэффициенты /ft,n, найденные в предыдущей задаче, с та-
такими же коэффициентами A0.36) и A0.38) для плоского волновода ширины
2а, излучающего в свободное пространство, найти условия, при которых коэф-
коэффициенты Ri>n для обеих систем близки.
* При гс=0 выражения для Ri>n и Si n нужно умножить на Уг [ср. фор-
формулу A0.38)].
230

Решение. Выражения для Rl>n дают близкие результаты, если все
функции U (s, q), стоящие в экспонентах, малы; так будет, если все ар-
аргументы 5 велики. Поскольку для применимости этих выражений должны вы-
выполняться условия Ы^>\ и &р^>1, то аргументы 5 (велики, если w* и ад"
не слишком малы, т. е. если частота не слишком близка к критическим ча-
частотам волн с номерами / и п.
П. Написать функциональные уравнения для системы, рассмотренной
в задаче 2, при иных граничных условиях:
дФ
ду
дФ
)=z 0 при у = — а,
■ == О при у = О, z > О,
= ° при y =
дФ
ду
• = 0 при у = -
ф = 0 при у = 0,
ф = 0 при у = р.
Выяснить, какой смысл имеют поставленные задачи для системы, рассмотрен-
рассмотренной в задаче 4.
Решение. В случае граничных условий (а) функциональные уравне-
уравнения имеют такой же вид, как и для задачи 2, но функция ^(w) равна
cosyasinfB 'A 4-«2*°") A—e2i^)
B случае условий (b) функциональные уравнения те же, что и для задачи 7,
причем функция 4я(w) та же, что для условий (а). Для системы, рассмотрен-
рассмотренной в задаче 4, условия (а) соответствуют электрическим волнам (Ф = НХ),
у которых Ф есть нечетная функция у, а условия )(Ь) — магнитным волнам
(Ф=ЕХ), у которых Ф есть четная функция у.
12. Написать функциональные уравнения для системы, рассмотренной
в задаче 2, при граничных условиях
дФ
= 0 при у*= — а,
= 0 при */ = 0, z>0,
дФ
= 0 при у = $.
Решение. Функциональные уравнения имеют тот же вид, что в зада-
задаче 7, но функция ^(w) равна
. cos v* cos
*W = 2'sin,(« + P)
(l + e2/».)(i+e:
1 _ р2'» (» + Р)
231

13. Рассчитать собственные колебания тонкого провода радиуса а и дли-
длиной 2L, помещенного в бесконечный круглый волновод радиуса Ь коаксиаль-
но ему, при условиях
Решение. Рассуждая, как в § 40, приходим к выражению
Tin
k==2(L+a) '
определяющему собственные частоты ы = ск. Значениям n=il, 3, ... соответст-
соответствует распределение тока по формуле
/,(z)=/0cos kz,
а значениям п = 2} 4, ... — распределение тока
J\(z) =/0 sin kz.
В этих формулах начало координат взято в центре внутреннего проводника.
Данная система является открытой (волновод в обе стороны простирает-
простирается безгранично), однако частота колебаний получилась вещественной (зату-
(затухание во времени отсутствует), а поле каждого колебания — локализованным
в пространстве (при |z|>L имеются только затухающие волны, экспоненци-
экспоненциально убывающие при увеличении разности \г\—L). При учете омических по-
потерь частота колебаний становится комплексной (затухание во времени).
14. Вывести уравнение для определения частоты колебаний в системе,
рассмотренной в задаче 13, при условии, что при |£|<L может распростра-
распространяться только основная волна, а цри |z|>iL— только волноводная волна £Oi;
длину 2L считать настолько большой, что на ней волна £oi в коаксиальной
линии успевает полностью затухнуть.
Решение. Исходя из формулы C9.26), можно написать для коэффи-
коэффициента отражения R выражение
//2,405\2
^2— (—ъ— j *
Рассуждая, как в задаче 1, получаем уравнение
k + h
из которого в принципе можно определить k\ оно (Получается комплексным,
поскольку колебания в отрезке коаксиальной линии сопровождаются возбуж-
возбуждением волн £Оь распространяющихся от коаксиальной линии и уносящих
энергию.

ГЛАВА VII
ГРЕБЕНЧАТЫЕ СТРУКТУРЫ
§ 45. Диффракция плоской волны на периодической гребенчатой
структуре, составленной из полуплоскостей
Пусть на периодическую структуру, образованную полу-
полуплоскостями
у=Bт + \)а, z<0, m=0, ±il, ±2, ... D5.01)
(рис. 74), оадает плоская 1волна, распространяющаяся в полу-
полупространстве г>0. Требуется найти ;поле в этом полупростран-
полупространстве, т. е. столе отраженной волны и июля всех диффракционных
г
а
а
Рис. 74. Гребенчатая структура, составленная
из полуплоскостей.
волн, возникающие в результате диффракции плоской волны на
периодической структуре, а также поле между полуплоскостями
D5.01). Поскольку две соседние полуплоскости образуют полу-
полубесконечный плоский волновод, будем называть область
B/72—
г<0 (т = 0, ±1, ±2,...) D5.02)
т-м волноводом и искать поле в каждом таком волноводе.
233

Если падающая плоская волна имеет вид
Ф ° = Aeik {у sin <Ро ~~ 2 cos 9o) D5 03)
то без ограничения общности можно считать, что 0<у>0<-^-.
Полное поле Ф (у, z) имеет вид
Ф(у, г) = е*ьуф(у, z). D5.04)
Здесь
D5.05)
и Ф есть периодическая функция у:
${y-\-d, г) = Ф(у, z), D5.06)
• где d = 2a — период нашей структуры.
Соотношение D5.04) позволяет ограничиться рассмотрением
поля в пределах полосы
—а<у<а, D5.07)
на границах которой при у = —а + 0 и у = а—0 выполняются
граничные условия
Ф(а, г) = ег'ыФ(—а, г) при г>0, л
дФ , ч -ъ*~дФ , ч ^ п \ D5.08)
-^—(а, г) = ег/гсг-^—(—а, г) при г>0. | v 7
Оу ' Оу v » / г ^ j
Будем считать, что Ф — Нх, и на полуплоскостях D5.01) ста-
ставить граничное условие -^—=0. Вводя обозначение
ё{г)=^{~а,г) D5.09)
и ища функцию g(z) в виде
g B) = J e*»*G И do>, D5.10)
в силу граничного условия получим функциональное уравнение
v)dw = 0 при z<0. D5.11)
с
Если написать для функции Ф в полосе D5.07) выражение
С
~eihd
342

где v = \fk2 — w2, то оно удовлетворяет: 1) волновому уравне-
уравнению G.01); 2) граничному условию -з—= 0 при i/ = ±a и z<0
в силу соотношения D5.11); 3) второму условию D5.08). Так как
Ф(у, Z)=
D5.14)
первое условие D5.08) приводит к функциональному уравнению
iwz^LG{w)dw=0 при 2^0, D5.15)
которое нужно решать совместно с уравнением D5,11). Функ-
Функция Q(w) определяется формулой
или же
Решение функциональных уравнений D5.11) и D5.15) полу-
получается обычным способом. Функцию Q(w) разбиваем на множи-
множители (см. § 2 и 3):
Q(w)=Q+{w)Q-i(w) D5.18)
и полагаем
a-W D5Л9)
где /(— постоянная, связанная с постоянной А в выражении
D5.03) соотношением
^iha Q+ {k Cos ?0) =
cos
— cos<p0)Q+(£cos<p0). D5.20)
Контур С состоит из вещественной оси и узкой петли, охваты-
охватывающей точку w = —&icosq>o (ср. рис. 2).
' 235

Вычислим теперь составляющую (плотности тока (то оси z)
на полуплоскости у = а, равную
а-0, 2)-Ф(а + 0, *)] =
=-£[Ф(а —О, г)— ;егЛЙФ(—а + 0, z)], D5.21)
тогда получим
/ (г) — J e<u«F (to)й?ш, D5.22)
с
где согласно формулам D5.14)
F (о>)= ^eihd ^iHl G (да) D5.23)
или по формуле D5.19)
F(W)= *>+<"> , D5.24)
(до + k cos^o) yk + w
где постоянная В связана с постоянной А соотношением
В=^2 Aeiha Vk{\— coscpo) Q+ (k cos 90). D5.25)
Так как при |до|—*оо в верхней полуплоскости lmw^0 функция
F(w) = O (—ТГ79-), то на краю полуплоскости плотность тока
\ ОТ' J
исчезает:
/(—0)=0. D5.26)
Прежде чем переходить к вычислению функций Q+ и Я-
и анализу полученного решения, выясним физический смысл ну-
нулей и полюсов функции Qi(w). Как нули, так и полюсы распо-
расположены на (разрезах 1ту'=0. Полюсы определяются формулами
v = ±z^9 w=±:^4n (л = 0, 1, 2, ...), D5,27)
где
я=ъг D5-28>
они дают волновые числа волн в каждом волноводе D5.02).
Нули определяются формулами
н=2,...), D5.29)
236

где
V ^ D5.30)
Числа pn соответствуют диффракционным волнам, возникаю-
возникающим в полупространстве z>0 при падении плоской волны
D5.03) !на данную периодическую 'структуру; (при вещественных
q и г\ вещественные (Зп соответствуют плоским диффракцион-
диффракционным волнам, мнимые (Зп — поверхностным волнам. Падающей
волне соответствует значение w= -г р0.
Диффракционные волны характеризуются углами фп, кото-
которые вводятся с помощью соотношения
<7(sin<pn—sinф0) =п (/1=0, ±1; ±2, ...); D5.31)
тогда
$n = qcos<?n. D5.32)
Для плоских волн угол срп вещественный ( 1"^?™^-^-),
для поверхностных волн — комплексный hpn = =i=("-2 izn , где
, зеркально отраженная волна имеет индекс /г=0 и рас-
распространяется под углом 9о к оси z-
0,
§ 46. Исследование полученного решения
Чтобы найти выражения для Q+ и Q_, удобные для вычисле-
вычислений, воспользуемся тем же приемом, что в § 3 и 39. Вводя без-
безразмерную переменную
W=-lr. D6-01)
приходим к выражению
IN IN ' -i
V l V 2
D6.02)
поскольку внутри полуокружности радиуса V^ -^-^> лежащей
в верхней полуплоскости и опирающейся на вещественную ось,
находится ((при N ^> 1) 2N полюсов {w/=yn) функции Q(w)
и крепче точки ^/=ij30 еще Л^ «улей три w/=^n и Л^ нулей при
w'=<$_n. Перепишем выражение D6.02) ib 1ви|де
d\nQ- (w) I . 1 i i- о (ли ло\
=~++1^' D6-03)
237

где
с
В силу
имеем
lim 9
откуда
Y (
/г=1
1
до' —
1
W' —
-и
п—\
к
Л^
/2=1
1
/
предельного соотношения
л 9 J-
lim
N-+oc
со
/г=1
2N
.S
1
ш —р
2N
/2 = 1
1
1/
4"=ln2
i
1
1
to' — Tfn
- ' V
1
п ■
1
^ — Yn
<46-04»
D6.05)
D6.06)
i_ —
e-aie'ln2
Q_ (w) = Q+(—w)=i
П-~р ~-^J—t D6.07)
где постоянная Qo равна
Q0=/^QF). D6.08)
При условии
q=4±-^>\ D6.09)
функцию й+(о;) при 0<w<k можно также представить в виде
(ср. § Ю)
?, 2?)], D6.10)
где
5 = 1/ 10, _ °' | D6.11)
' ? ==flr — 7]==:?A—sin Ч^о). J
238

Пользуясь формулой (Б.20), выражение D6.10) можно пере-
переписать так, чтобы все функции U отличались только вторым
аргументом:
[ , q-)-U
D6.12)
Полученные выражения позволяют исследовать решение* за-
задачи, данное формулами D5.13), D5.19) и D5.20). При z>0 ин-
интеграл D5.13) можно выразить в виде ряда вычетов в полюсах
а;=чн-^.ро> w=z~$^_n подынтегральной функции. При
получаем
Ф = Л |
где
или
00
у
1
J
(k cos <f>0)
(cos (p0 + cos <ря) 2'_ (k cos <pn)
D6.13)
D6.14)
D6.15)
X-
■Qn(P., Pn), « = ±1, ±2,...
Здесь
-, D6.16)
?п Р-п Yn
о
причем в последнем бесконечном произведении множитель 1—|-
Pv
следует заменить единицей.
Формулы D6.15) показывают, что при Ро = <7 все коэффи-
коэффициенты Дп обращаются в нуль. Этот случай соответствует нор-
нормальному падению на гребенчатую структуру, когда волна без
какого-либо возмущения приходит в систему волноводов [ср. за-
замечание в § 23 по поводу соотношения B3.02)], не испытывая
отражения от плоскости 2 = 0, и никаких диффракционных волн
нет.
239

Если все рп и р_п (кроме Ро) мнимые, т. е. плоских диф-
фракционных волн нет и может быть только зеркально отра-
отраженная волна, и если все уп (/г=1, 2, ... ) также мнимые, т. е.
в волноводах может распространяться только основная волна,
а все остальные затухают, то 'из первой формулы D6.15)
дует, что
q
— cos уо ,. fi , _.
Поскольку ААо есть комплексная амплитуда зеркально отра-
отраженной волны, До является комплексным коэффициентом отра-
отражения. Условие применимости формулы D6.17) имеет вид
у D6.18)
При условии
W D6Л9)
все 'pn, p_n, y2, уз,. ... по-прежнему мнимые, но у\ вещественное.
В этом случае абсолютная величина коэффициента отражения
равна
Л
1 —•
1 — COS
t Л
1 — -J- COS (p0
1 + COS <p0
D6.20)
9tc
где ^=-т- есть длина волны в свободном пространстве, а А =
d
= в волноводе.
Если воспользоваться формулами D5.18) и D6.14), то полу-
получим выражение
sin -у sin-у
Дп = _ (— 1)" / — . Q (k cos ср0) О, (k COS «pn),
П V ; Ttq (COS (p0 + COS <р„) COS <pn +V TO/ + \ ттг/>
D6.21)
В КОТОрОМ ПрИ q^>\ МНОЖИТеЛИ Й+(ЙС08фо) И Q+f&COS{pn)
можно выразить через функцию U(s, q) согласно формулам
D6.10) — D6.12). При этом, если cos<p0 и cosq>n не слишком ма-
малы, то эти множители близки к единице.
Поле в каждом волноводе D5.02) представляет собой супер-
суперпозицию волн, распространяющихся от плоскости г==0 в глубь
волновода с волновыми числами
-шп=-^т« {n = l,2,...),-wo = -k, D6.22)
240

В нулевом волноводе (ш=0) из интеграла D5.13) получаем
при г<0 ряд
D6.23)
л=1, 3....
л=2, 4, ...
где
cos у0)
(Л cos у0 — о;„) aynrf Q+ (wn)
При Л = 1, 3, . . .,
D6.24)
Q+ (k cos yo)
' v u (k cos y0 — wn)wnd Q+ (wn)
при /г = 2, 4,..., *
причем параметры ^ и ц определены формулами D5.28) и
D5.30). Если воапользаваться формулой D6.07), можно пред-
представить коэффициенты прохождения Тп в виде бесконечных
произведений. Обозначим
00 1 I Р 1 I Р 1 I Y
я=1
~f D6.25)
тогда
2cosy0
+ COS уо
п—\
при /г = 1, 3,...,
1 + —
1
Тгг 1 +cosy0 Vr0' l7i/
при /г = 2, 4,...
Эти выражения позволяют рассчитать коэффициенты Го, Т\
D6.26)
и т. д.
16—754
241

§ 47. Диффракция волноводных волн в периодической
структуре, образованной полуплоскостями
Задача, рассмотренная в § 45 и 46, (представляет практи-
практический интерес в связи с применением металло-пластинчатых
линз (см,, например, C4]). Эти линзы составлены из плоских
волноводов, и решение задачи о диффракции в системе, изобра-
изображенной на рис. 74, позволяет рассчитать коэффициенты отра-
отражения и прохождения на границе свободного пространства и
металло-пластинчатой линзы подобно тому, как решение зада-
задачи о падении плоской волны на плоскую границу диэлектрика
дает коэффициенты отражения и прохождения для обычной
диэлектрической линзы.
В силу сказанного выше имеет смысл рассмотреть следую-
следующие обобщения этой задачи.
1. Исследовать диффракцию на «косой» периодической струк-
структуре, составленной из полуплоскостей
у={2т + \)а, z<Bm+\)aigx (m = 0, ± 1, ±2, ...); D7.01)
в этом случае границей металло-пластинчатой среды является
плоскость 2 = t
2. Исследовать диффракцию волн другой поляризации, т. е.
полагать Ф = ЕХ и решать задачу три граничном условии Ф = 0
на всех (полуплоскостях D5.01) или D7.01).
3. Исследовать диффракцию волн, приходящих по волново-
волноводам к границе металло-пластинчатой среды и свободного про-
пространства, в частности выяснить, как излучение из волноводов
формирует плоские волны в свободном пространстве.
В этом параграфе мы рассмотрим третью из перечисленных
выше задач. Ее решение позволяет исследовать поведение волн
на выходе металло-пластинчатой линзы и вместе с тем подго-
подготавливает почву для расчета гребенчатых структур конечной
глубины (§ 48). Мы ограничиваемся здесь рассмотрением той
же системы и той же поляризации, что и в § 45 и 46. Читатель,
интересующийся обобщениями, перечисленными выше, найдет
их в задачах, приложенных в этой главе.
Возьмем функцию F(w) по аналогии с выражением D5.24)
в виде
*\+iS=. D7.02)
(w W)V k + W
где В — постоянная, а тг — одно из волновых чисел D6.22).
Контур в интеграле D5.22) пусть будет состоять из вещест-
вещественной оси и бесконечно узкой петли, отходящей от веществен-
242

ной оси наверх и охватывающей точку w = Wi. Тогда функция
f (z) при 2<0 будет иметь вид
/г=0
где постоянные А и В связаны соотношением
НШ,
Vk+w,
D7.03)
D7.04)
D7.05)
Пользуясь формулой D6.07), получим
1 л
'+*■
X—
¥ ■-
*
1
Qn(—Yi. —Yn)
D7.06)
при /г = 1, 2,...,
где функция Q,(—Yi» —Y) определяется бесконечным произведе-
произведением D6.16), в котором множитель 1 — следует заменить
Yv
единицей.
Коэффициенты Т1%п можно также с помощью формулы D5.18)
представить в виде
г = j
- :
D7.07)
(n = U 2,...).
Этими выражениями удобно пользоваться вместе с формулой
D6.10) или D6.12).
16* 243

Задача, решенная выше, соответствует случаю, когда по
m-му волноводу D5.02) распространяется в положительном на-
направлении оси z волна Eoi, причем эта волна отличается от та-
такой же волны в нулевом волноводе (т=0) только множите-
множителем eimhd. Обозначая плотность тока, текущего по пг-и полу-
полуплоскости D5.01), через fm{z) и вводя согласно формуле
D5.30) обозначение
•П=^=<7 81П?в; ' D7.08)
имеем
fm{z) = ein2"*f(z), D7.09)
где f(z) определяется формулой D7.03).
Эти волны, доходя до плоскости z=0, частично отражаются
с коэффициентом отражения Гц, частично трансформируются
в -волны других намерюБ (коэффициенты трансформации 1\п,
пф1)у частично излучаются \в свободное (полупространство 2>0
в виде плоских волн, распространяющихся под углами <рп
к оси г согласно формулам D5.31) и D5.32). При условии
D6.18) в свободном пространстве может быть только одна
плоская волна с индексом я = 0, а в волноводах может распро-
распространяться только основная волна; согласно первой формуле
D7.06) имеем
|Г D? Ю)
Iх о.о — i_cos<p0 i^/.iV)
ь полном соответствии с формулой D6.17). Коэффициенты
отражения при падении на границу раздела г = 0 с обеих сторон
совпадают по абсолютной величине, как и должно быть с точки
зрения принципа взаимности.
Некоторый интерес представляет такая задача: волна £ог
распространяется по направлению к открытому концу г=0
только в одном волноводе, скажем в нулевом (т = 0), и в дру-
другие волноводы попадает только благодаря диффракции. В этой
задаче /m(z) —(плотность тока на m-й полуплоскости D5.01) —
определяется формулами
D7.11)
I,n ^ ' ' > • " */*
При этом имеет место соотношение
[г) (т=0, 1, 2, ...), D7.12)
244

вытекающее из того, что 1при четшых / волна Еог возбуждает на
стенках волновода токи, отличающиеся знаком, а при (нечетных
I — одинаковые токи; такой же симметрией будут обладать
токи, возникающие в системе полуплоскостей вследствие диф-
фракции. В силу соотношения D7.12)
D{~nm~l)=(— \y+1 D^\ D7.13)
Поскольку ток fm{z), текущий по т-и полуплоскости, скла-
складывается из токов, текущих по обеим сторонам полуплоскости,
и связан с полями в т-м и т+\-м волноводах, имеет смысл
представить fm{z) в виде
/mB)=yirvs(;>-^z+V(-iri5<;n+"e-^j)
L п п J
1 О
D7.14)
где 5|^, S{^n —коэффициенты поворота в 1-й, 2-й,... волно-
волновод, а■ Rttn = S{^ — коэффициенты отражения и трансформации
волн в нулевом волноводе.
Сравнивая выражения D7.11) и D7.14), получаем
;n ;n ^ D7.15)
откуда
(mj |] ««><£ D7.16)
Перейдем теперь к вычислению коэффициентов D\m)n . В пре-
предыдущей задаче токи на полуплоскостях определялись форму-
формулами D7.03) и D7.09), причем в этой задаче коэффициенты
Tin зависят от (параметра D7.08) и поэтому функция D7.03)
также зависит от него; мы будем теперь писать
f(z)=f\z,n) иГ11П = Г1,п(-п), . D7.17)
тогда формула D7.09) перепишется в виде
fm(z, 4) = e'ffl2f(z, т]). D7.18)
Можно взять любую суперпозицию этих токов при различных
значениях параметра т|, она будет соответствовать некоторому
диффракционному полю, возможному в данной гребенчатой
24S

структуре. Если мы будем считать амплитуду А не зависящей
от г] и положим
D7.19)
то в силу соотношений
1 1
\ \ D7.20)
Je"n2"Vti = 0 при да = ±1, ±2,... |
получим выражения D7.11), в которых коэффициенты
J
о о
D7.21)
удовлетворяют соотношению D7.13). Заметим, что во втором
интеграле D7.19) и D7.21) можно писать е'(ш+1J*4 вместо
е—м»н-1J*ч. эт0 СВЯзано с тем, что
Г|.п(ч) = Г1#Л(-,) = Г1§пA —i,). D7.22)
При вычислении S^ по формуле D7.16) воспользуемся этим
обстоятельством и получим
о
Согласно формулам D7.07) имеем
Г|.„(Ч) = [1 + (-l)n+1 cos Bm))] Гг>„(,), D7.24)
где величины Titn(r\) слабо зависят от параметра г\; если поль-
пользоваться формулой D6.10), то параметр ч\ входит только в аргу-
аргументы q+ и q~.
В силу соотношения
D7.25)
246

получаем
= L±M)^jei-*irIifi
D726)
и, в частности, при /га = 0 приходим к выражению
D7.27)
б б
если индексы / и п имеют одинаковую четность; если / и п
имеют равную четность (т. е. (—\I+п = — 1), то Rin = 0, как это
и должно быть по соображениям симметрии. Выражение
D7.26) в случае, когда / и п имеют одинаковую четность, при-
принимает в силу формулы D7.22) следующий вид:
Т
S "^ == 2 С cos (тЪял\) [1 -|- (—\)l+1 cos Bw/))] Tin(r\)dr\ D7.28)
о
и в случае различной четности / и п
1
Т
D7.29)
Из формул D7.26), D7.28) и D7.29) видно, что с увеличе-
увеличением m все коэффициенты S^ убывают, так как под интегра-
интегралом стоят быстро осциллирующие функции. Мы рассмотрим за-
зависимость S|^ от пг при следующих условиях. Во-первых, будем
считать, что ширина волноводов велика по сравнению с длиной
волны
q>\\ D7.30)
во-вторых, будем считать
D7.31)
т. е. что частота колебаний существенно выше критических
частот для волн с индексами I и п. Эти условия позволяют для
247

.функций Q+(wi) и Q+(wn) использовать выражение D6.12),
а функцию U<(s, q) заменить (выражением
U(s, q)=-^i-, D7.32)
4
se
выведенным в приложении В [см. формулы E.08) и (В.09)], где
Пренебрегая членами, пропорциональными — и —, можно
Sl sn
написать
Г; „ Ы) = Т
D7.34)
где величины
D7.35)
от Y) не зависят. Отсюда при т = \, 2,... получаем
тгН)' D7'36)
в то время как при щ=0 интеграл имеет гораздо большее зна-
значение, в первом приближении равное
ГГ|<вA1)^ = Г^в. D7.37)
Поэтому в первом приближении
=i=!& го ы-.,^ J=^L го D7.38)
2
и если I и п одинаковой четности, то
*i.« = r;.n. D7.39)
248

Эти результаты имеют следующий простой смысл. Коэффи-
Коэффициенты Rif7l получились в первом приближении такими же, как
при диффракции на открытом конце изолированного плоского
волнавода [ср. формулы A0.37) и (flO.38)], а коэффициенты S**1*
получились того же порядка, поскольку они определяются излу-
излучением из открытого волновода в заднее полупространство,
а это излучение соласно § 36 связано с коэффициентами отра-
отражения и трансформации.
Коэффициенты поворота S^^ y S^^ ,... оказываются гораздо
меньше, поскольку перед поворотом в соответствующий волно-
волновод волна, излучаемая нулевым волноводом, должна „перешаг-
„перешагнуть" через один или несколько волноводов. При/гг = 2, 3, ... из
формул D7.26) и D7.36) получаем
Ыт) ___ Г0
*i. n—lt.n
1 , 1 \
х
X
т
2
(m-1) (m+1)
D7.40)
если l я п имеют одинаковую четность, и
Sl
JL2xq
(я-1) (m + l)
D7.41)
если / и п имеют равную четность. Мы видим, что коэффи-
коэффициент поворота в /7г-й волновод имеет фазовый множитель
9imhd
D7.42)
определяющий набег фазы волны, излучаемой нулевым волно-
волноводом, и по абсолютной величине при т^>\ пропорционален —з~
или в исключительных случаях
j. Такая зависимость от т
(при т—+оо) должна быть и тогда, когда сформулированные
выше условия D7.сЮ) и D7.31) не выполняются; она определяется
тем, что функция ^1,пЫ) имеет характерный излом при значениях
iq, обращающих в нуль одно из чисел рт.
249-

Из того обстоятельства, что коэффициенты поворота 5(±2) ,
гораздо меньше, чем S^ и RitU, можно сделать вы-
вывод, что в данных условиях [см. выше формулы D7.30) и D7.31)]
влияние „дальних" волноводов незначительно, так что при наличии
только трех волноводов (т = 0, #г = 1 и пг = — 1) коэффициенты
поворота в первом приближении можно вычислять по формулам
D7.38). Более того, если имеется только два полу бесконечных
волновода (/га —0 и т — 1), то коэффициент поворота 5A) по-
прежнему можно оценивать по первой формуле D7.38).
§ 48. Поверхностные волны над гребенчатой структурой
конечной глубины
На рис. 75 изображена периодическая двухмерная гребенча-
гребенчатая структура конечной глубины, состоящая из бесконечно
длинных параллельных металлических лент ширины L, которые
. мы считаем бесконеч-
г * но тонкими и идеально
проводящими. Эти лен-
Г ты расположены на
расстоянии d=2a друг
от друга и укреплены
на «подложке» — ме-
металлической плоскости
z = —L, .нормально к
ней; эту плоскость мы
* также считаем идеаль-
Рис. 75. ГРе«е„„,»СГ,УРа ,»,„„„ „, п^ „ диф.
фракционных задач,
относящихся к этой
структуре, можно воспользоваться результатами, полученными
выше для гребенчатой структуры, образованной полуплоско-
полуплоскостями (рис. 74). В частности, таким образом можно рассмот-
рассмотреть диффракцию плоской волны, падающей из свободного
полупространства г>0 на структуру, изображенную на рис. 75.
Однако мы ограничимся здесь решением простейшей и вместе
с тем наиболее важной задачи о распространении поверхност-
поверхностной волны над этой структурой.
Как известно из элементарной теории (см., например, [35J
или [36]), применимой при достаточно малом d, вдоль такой
«гребенки» могут (распространяться замедленные электро-
электромагнитные волны, взаимодействующие с электронными пуч-
пучками.
Нашей целью является более точное исследование двухмер-
двухмерных электромагнитных волн в этой системе, и в частности учет
250

эффектов, возникающих при соизмеримости длины волны
с периодом структуры d.
Заметим, что при строгой постановке данная задача легко
сводится к бесконечным системам линейных алгебраических
уравнений (ср., например, [37]). Ниже мы также получаем
бесконечную систему линейных алгебраических уравнений,
которая сходится настолько быстро, что для численных расче-
расчетов достаточно ограничиться самое большее двумя уравнениями
с двумя неизвестными (см. ниже § 49). При этом даже в самом
грубом приближении мы учитываем характер поля как вблизи
острых краев проводящих лент, так и вблизи открытого конца
каждого из плоских волноводов, образуемых соседними лен-
лентами.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением двухмерных
электромагнитных волн, магнитное поле которых имеет единст-
единственную составляющую Нх = Ф(у, -г), не зависящую от коорди-
координаты х вдоль лент и удовлетворяющую волновому уравнению
G.01). Электрическое поле таких волн имеет составляющие
F 1_дф F — 1 дФ
Обозначим через h волновое число электромагнитной волны
в системе и рассмотрим бегущую волну, для которой выпол-
выполняются соотношения D5.04) и D5.06) или же соотношение
y} z) (m=±l, ±2, ...). D8.02)
В частности, если ввести функцию
™(-а, z) = g(z), D8 03)
ТО
^(а,г) = е*ь*д(г). D8.04)
Рассуждая далее, как в § 45, получаем для функции G(w),
связанной с g(z) соотношением D5.10), уравнения D5.11) и
D5.15); в последнем уравнении функция Q(w) зависит от неиз-
неизвестного волнового числа h.
Неизвестное волновое число h определяется из условия, что
система функциональных уравнений D5.11) и D5.15) имеет
нетривиальное решение G(w), при котором удовлетворяется
граничное условие на подложке
Еу = 0 при z=— L D8.05)
или
^=0 при z = — L. D8.06)
251

Будем искать функцию G(w) в виде
G(w)=
1 у k — w
D8.07)
л=0
где Rn — пока неизвестные коэффициенты, a wn — полюсы
функций Q(w) и Q-(w), расположенные при Im&>0 в верхней
полуплоскости и равные
Рис. 76. Контур С в задаче о поверхно-
стной волне.
, л = 0, 1,2,...
D8.08)
Напомним, что функция
* Q_(o;) определяется форму-
. лой D6.07), a wn есть вол-
новое число волны ЕОп в вол-
новоде, образованном со-
соседними лентами, так что
ряд D8.07) дает волны ЕОп, приходящие к открытому концу
волновода.
Если ряд Е/?п сходится (см. ниже), то функция G(w), опре-
определяемая формулой D8.07), голоморфна в нижней полуплоско-
полуплоскости 1пш<0 и при \w\—*оо исчезает как —гтп. Поэтому уравне-
ние D5.11) удовлетворяется, если даже в качестве С взять
контур, изображенный на рис. 76. Этот контур идет в основном
по вещественной оси, но огибает сверху все точки wn\ эти
точки не являются (полюсами функции G(w) в силу свойств
функции Q-(w) [ср. формулу D6.07)].
Так как произведение
1
2л*
D8.09)
не имеет особых точек выше контура С и исчезает там при
\w\—>oo как —щ, то функциональное уравнение D5.15) также
удовлетворяется.
Остается удовлетворить условию D8.06). Для этого выразим
интеграл D5.13) при 2<0 в виде ряда вычетов в точках wn и
—шп и потребуем, чтобы каждая пара таких членов при
/г=0, 1, 2, ... удовлетворяла на подложке условию D8.06).
Иначе говоря, мы требуем, чтобы любая пара волн (прямая
волна и обратная) в волноводах образованных соседними лен-
552

тами, имела узел электрического поля Еу при z = —L. Таким
путем получаем систему алгебраических уравнений для коэф-
коэффициентов Rn:
Rm —
n=Q
где обозначено
Сравнивая формулы D7.05) и D8.11), видим, что
откуда согласно формулам D7.06) имеем
_
1 n—
-m Ym
Yn 1 Yn
И — 1, Z, . . .
Если ввести обозначение
2Гте
^
D8.10)
D8.12)
D8.13)
D8.14)
то характеристическое уравнение принимает вид
Det||4mn||=0.
inn
D8.15)
При больших значениях п имеем шп~- .
вследствие чего ряд l*Rn быстро сходится. Более точно можно
сказать, что коэффициент Rn, соответствующий затухающей волне
1 2iwnL
в волноводе ширины а, пропорционален величине е , харак-
характеризующей уменьшение амплитуды этой волны на пути от от-
открытого конца волновода z = 0 до его дна z = — L я обратно.
253

§ 49. Расчетные формулы
Величины. Тп и Amni ©ходящие в характеристическое урав-
уравнение D8.15), зависят от параметра
1 = ^-. D9.01)
Поскольку волновое число h определяется соотношением
{48.02) не однозначно, а с точностью до слагаемого —г-
(т=±1, ±2, ...), то для незатухающей электромагнитной вол-
волны можно считать, что величина ц заключена в пределах
Так как изменение знака ц сводится только к изменению на-
направления распространения волны, то без нарушения общности
можно считать, что
0<yi<4"- D9-03)
Нас будет интересовать чисто поверхностная волна, все про-
пространственные гармоники которой при z—*оо затухают экспо-
экспоненциально. Для такой волны все числа j3n, определяемые пер-
первой формулой D5.30), чисто мшимы:
л = 0, ±1, ±2, ...), D9.04)
что возможно только при выполнении условий
, D9.05)
усиливающих неравенство D9.03). При этих условиях все
числа ути кроме уо = д, также мнимы:
? = i lYnl {n = \,2, ...), D9.06)
и входящие ,в формулы D8.10) и D8.14) экспоненты при
n = l," 2, ... равны
■e""-t=e-4w'T-1, D9.07)
где
r = -j D9.08)
254

есть безразмерный параметр, определяющий форму гребенча-
гребенчатой структуры. Обычно экспоненты D9.07) малы, вследствие
чего матричные элементы D8.14), за исключением элементов
нулевой строки (д = 0), практически совпадают с элементами
единичной матрицы (Amn=i6mn). Исключение составляют слу-
случаи малых г («редкая гребенка») или, быть может, малых |yi|
/при Q~~2r Оставляя пока эти случаи в стороне, вместо
уравнения D8.15) напишем простое уравнение
Лоо= 1 D9.09)
или
= 1. D9.10)
При условиях D9.05) коэффициент Го равен
Т0=е-ш\ D9.11)
где
00
+ У, f arcsin-^- — arcsin—± arcsin—q— V D9.12)
m=l
Поэтому характеристическое уравнение D9.10) можно записать
в виде
Ц=к1-ър (/7 = 0,1,2,...) D9.13)
или
5 = 8, где 6 = 4-^. <49Л4)
Для оценки применимости этого простого уравнения рас-
рассмотрим следующее приближение к точному характеристиче-
характеристическому уравнению D8.15), а именно уравнение
Л>0
= 0 . D9.15)
или в развернутом виде
D9.17)
255
Коэффициент 1\ при условиях D9.05) равен

где
» = 2arccos2<7 D9.18)
и
In |Г,] = 212|Y,| In 2— Arch lYl1 — Arsh
— Arsh
.. / l
m=2
Arsh
III! Arch lYi
— Arsh „ ITI1 =- — Arsh
. D9.19)
Если обозначить*
S^irje^'1, * = Ц;-2ътц=Ц-ЪЬ, D9.20)
то характеристическое уравнение D9.16) примет вид
sin -8=6 sin (О +(е), D9.21)
откуда при малых значениях б величина е получается также
малой и равной'
||6. D9.22)
Формулы D9.20) и D9.22) показывают, что получаемая из
уравнения D9.14) величина т) = /Ч<7»Е) ПРИ более точном под-
подходе соответствует значению \—Д|, так что мы имеем т] =
= /(?»1—Д£Ь гДе поправка Д| равна
ИЛИ
8, =4^.11^1. D9.24)
Остановимся в заключение на физическом смысле уравнения
D9.10). Поскольку Го есть коэффициент отражения по току
(для основной волны, приходящей к открытому концу каждого
волновода, при определенных значениях ^ и т|), то электриче-
электрическое поле в каждом волноводе имеет (если пренебречь зату-
затухающими' волноводными волнами) единственную составляю-
составляющую
к*). D9.25)
Учитывая граничное условие D8.05), получаем характеристиче-
характеристическое уравнение D9.10).
256

§ 50. Численные результаты и их обсуждение
При расчете распространения поверхностных волн вдоль
бенчатой структуры мы исходим из характеристического урав-
уравнения в форме D9.14) и вычисляем ряд D9.12) для различных
значений q и т|, удовлетворяющих условиям D9.05), предвари-
предварительно улучшая сходимость ряда по способу, уже применен-
примененному в § 9. (На рис. 77 и 78 представлены результаты этих вы-
вычислений, причем на рисунках мы проводим кривые для
~-в зависимости от q при фиксированных 7] (рис. 77) и в зави-
зависимости от 1} при фиксированных q (рис. 78). Поэтому согласно
формулам D9.14) по оси ординат рис. 77 и 78 отложена просто
величина £, которую будем считать заключенной в интервале
0<Е<.-у. Последнее условие не является ограничением, так
как выбором целого числа р в формуле D9.14) можно всегда до-
достичь его выполнения.
Перейдем к анализу рис. 77 и 78. Все кривые T} = const на
рис. 77 начинаются в точке q=0, l=-j и кончаются при q = r\.
Граничная кривая, соединяющая концы кривых ц = const,
изображена на рис. 77 пунктиром. Смысл лучей, исходящих из
начала 'координат, будет объяснен дальше.
Если заданы размеры гребенчатой структуры, то при данной
длине волны Я нетрудно вычислить значения q и 5. Рис. 77 сразу
позволяет выяснить, может ли данная гребенчатая структура под-
поддерживать распространение поверхностной волны или нет. Дей-
Действительно, если точка с координатами q, ? попадает в криволи-
криволинейный треугольник, ограниченный отрезком [0, — i оси орди-
ординат, криЕой f\z=z— и пунктирной кривой, то для такой пары зна-
значений q, ? можно найти значение т), соответствующее распростра-
распространяющейся при этих условиях поверхностной волне. В противном
случае поверхностная Еолна отсутствует; в частности, при
-т-<£<-«г поверхностная волна существовать не может, что со-
согласуется с результатами элементарной теории, приводящей
к формуле E0.02), выписанной ниже.
Физический смысл рис. 78 станет более ясным, если в нем
считать ? независимой переменной, а т) — зависимой, т. е. повер-
повернуть график на 90° и рассматривать т] как функцию 6. Рис. 78
дает в сущности зависимость yj от глубины гребенки L при фик-
фиксированной частоте (q = const, Я = const). Мы видим, что вели-
величина т), близкая к q при малых 6, возрастает при увеличении 5
до тех пор, пока при некотором значении £ не достигается зна-
17—754 257

to
83
0.2,
0 f 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5
%
Рис. 77. Зависимость £==-7^ от q при
т] «const.
и/гь
0.20
а 15
0,10
0,05
п
^—■
—-
((((■
q-0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
ол
0,2 0,3 ОЛ
0,5
ч
Рис. 78. Зависимость g от ц при q=const.

чение i| = —. При таком значении 5 происходит «срыв» поверх-
поверхностной волны, и при больших значениях £ она существовать не
может. Заметим, что при малых q этот срыв происходит при
£~-^-, а ПРИ увеличении q срыв получается при меньших S.
Увеличивая глубину гребенки L при фиксированной частоте,
мы периодически Г с периодом -А получаем «полосы прохож-
прохождения» и «полосы непрохождения». Ширина полос прохождения
тем больше, чем меньше q.
J*
1
o,s
0,2
0.2 0,25
Р
О 0,05 0,1 0,15
Рис. 79. Зависимость р от g при ^=const.
Распространение поверхностной волны наиболее наглядно
характеризуется не величиной г], а фазовой скоростью и или
отношением («коэффициентом замедления»)
6 — — — q
1 с — "V
E0.01)
где с — скорость света.
На рис. 79 дана зависимость |3 от \ при фиксированных зна-
значениях q. Кривые рис. 79 получены простым пересчетом кривых
рис. 78. Исключение составляет кривая # = 0 (рис. 79), которая
построена по простой формуле
E0.02)
4), так
E0.03)
непосредственно вытекающей из формул. ,D9.12) и D9.14) так
как '
при <7 =
17*

Отметим, что формула E0.02) непосредственно получается
из элементарной теории, не учитывающей периодичности гре-
гребенки. Элементарная теория, таким образом, строго применима
..лишь при бесконечно малых q, и рис. 79 позволяет судить о том,
насколько свойства гребенки при конечных q отличаются от ее
поведения при q < 1.
Величина $ определяет замедление основной in ростр аист-
венной гармоники (п=0) в сложной поверхностной волне, рас-
распространяющейся над гребенчатой структурой. Фазовые скоро-
скорости других гармоник («i=±il, ±й, ...) определяются формулой
м" = *да E0-04)
и, следовательно, коэффициент замедления — для пространст-
пространственных гармоник можно найти из соотношения
Отрицательное значение ип (при п<0) означает распростране-
распространение фазы в направлении —г. (Групповая скорость v всех прост-
пространственных гармоник одна и та же. Она равна
° = с% E0-06)
Пользуясь рис. 77 и 79, нетрудно построить для гребенок раз-
различных размеров и форм дисперсионные кривые, дающие зави-
зависимость фазовой скорости поверхностной волны от частоты.
Дисперсионные кривые приводим также в безразмерной форме,
откладывая по оси абсцисс величину g, а по оси ординат —
коэффициент замедления р. При этом мы ограничиваемся
первой полосой прохождения (т. е. считаем *<у)> вследствие
чего величина Н, ino формуле D9.14) получается равной
6 = jL = /47. E0.07)
При пользовании этими безразмерными переменными все
гребенки отличаются друг от друга только значением парамет-
параметра г D9.08), равного отношению глубины каждого из волново-
волноводов гребенки к его ширине (см. рис. 75). С помощью рис. 77
и 79 для ряда значений г были построены дисперсионные кри-
кривые, изображенные на рис. 80, причем кривая г = оо опять по-
260

строена по формуле 'E0.02), так как при конечном £ и беско-
бесконечном г по формуле E0.07) (получаем ? = 0.
Рис. 180 показывает, что при £=const и уменьшении г коэф-
коэффициент замедления увеличивается — кривая для р вдет тем
выше, чем меньше г. Все дисперсионные кривые кончаются
в некоторой точке (£0, Ро), где происходит «срыв» поверхностной
волны. При г = оо имеем go = 4 и ро=О, при уменьшении г
величина |0 уменьшается, а величина р0 увеличивается. Значе-
Значение 'р0 является (для данного г) наименьшим достижимым
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
Рис. 80. Зависимость ip от £ при r=const.
значением коэффициента замедления р, поэтому недостаточно
«частые» гребенчатые структуры вообще не могут давать боль-
больших замедлений. Так, например, как видно из рис. 80, при г<4
вообще нельзя достичь значения р=0,1.
Приближенные формулы для £0 и р0 при больших, но конеч-
конечных г легко получить из следующих соображений. Проводя на
рис. 77 лучи Ь — rq, исходящие из начала координат, по пересе-
пересечению данного луча с кривыми yj = const определяем значения ч\9
соответствующие различным значениям Е*. Координаты % и ?0
точки пересечения луча с кривой ч\ — у сразу дают координаты
50 и ро = 2<7о точки срыва (рис. 80). Если учесть, что при г>1
пересечение луча с кривой '4 = у происходит при </< 1, где
* Из картины этих пересечений нетрудно сделать вывод, что групповая
скорость E0.06) всегда положительна.
261

уравнение кривой можно приближенно записать согласно форму-
формулам D9.12) и D9.14) в виде
е=4-го9> гв = Ц1 =0,221, E0.08)
то получаем выражения
е. = 477Тм' Hsra- Ea09)
с помощью которых легко проанализировать замедляющие
свойства гребенюк,«имеющих параметр ir>4.
Рассмотрим более детально свойства поверхностной волны
вблизи «точки срыва». В общем случае поле над гребенчатой
структурой, при 2>0, имеет вид
00
■ Ф= Yi Aneik{ysin<fn+zcos<fn\ E0.10)
Л=—00
где
^ п = -^ (л = 0, =Ы, dz2, ...), E0.11)
причем в силу условий D9.04) и D9.05) все cos cpn мнимые.
Величины Дп — комплексные амплитуды пространственных гар-
гармоник— определяются формулой
00
JnDl + n) \fU(\ ro<? w \ VI Rm E0.12)
n — I '
m=0
В точке срыва
" ^ = "» sin^-n.i = — sin<pn, cos9-n-i = cos?w (/1 = 0,1,2,...)
E0.13)
и согласно формуле D6.07)
Уп) = — 1. E0.14)
Поэтому при срыве
Д_п_! = — An (я = 0, 1, 2, ...), E0.15)
в частности, (Комплексная амолитуда (—1)-й пространственной
гармоники равна комплексной амплитуде нулевой пространсг-
венной гармоники, взятой с обратным з.наком.
Чтобы понять физический смысл соотношения E0.15), вы-
вычислим комплексную мощность, переносимую через полупло-
полуплоскость r/ = const, 2>0 на единицу оси х:
р (у) - isrfa* dz= sk } ф* f **• (so-16)

Подставляя в эту формулу ряд E0.10), получаем
. 2{п—т)ку
т, п=—оо
Зависимость от у в этой формуле 'вызвана тем, что поле прони-
проникает ш (полупространство £<0 (т. е. в волноводы), однако это
явление может (привести только к зависимости ImP{у), от у, так
как в волноводы, закороченные при z =—L, )мюжет поступать
только реактивная мощность. Чтобы ,найти активную мощность,
переносимую шверхноегаой волной E0.10), всего проще произ-
произвести, усреднение функции iE0.17):
E0Л8)
—а
тогда активная мощность будет равна
п=—оо
и при срыве в силу соотношений E0.13) и E0.15) получим
Р=0, E0.20)
т. е. активную мощность волна переносить не может. Это свой-
свойство характерно для волн в периодических структурах — на
границе полосы пропускания и полосы непропускания.
В точке срыва групповая скорость v обращается в нуль, как
это следует из выражения
*=—ТЗГ E0-21)
*~ Мб
и из того, что при срыве ~ = — оо (см. рис. 80). Выражение
E0.21) легко получается из формул E0.01), E0.06) и E0.07).
§ 51. Оценка погрешности и некоторые выводы
Приближенный характер полученных выше кривых ясен не
только из их вывода, но также непосредственно из рис. 79, если
относить этот график к первой полосе прохождения [/7=0,
5=-т-). Действительно, при g = 0, когда гребенка отсутствует и
имеется гладкая идеально проводящая плоскость, должно быть
Р=1, так как над плоскостью может распространяться только
плоская волна со скоростью с. Однако из рис. 79 этого не по-
получается. Поэтому нужно себе представлять, что верхние части
263

кривых рис. 79 для первой полосы прохождения несколько сме-
смещены в сторону меньших | и оканчиваются в точке £ = 0, ($=1.
Это же относится и к рис. 77.
Количественное представление о величине смещения Д|
можно получить из формулы D9.24), которую перепишем в виде
A6 = ?80e-4v|™, 80 =-111,1 ЦМ. E1.01)
На рис. 81 изображена зависимость величины б0 (более
удобной для графического представления, чем величина 6i) от
г\ при q = const. С помощью
рис. 81 были построены кривые,
дающие зависимость Л£ от | по
формуле E1.01) при фиксиро-
фиксированных q (рис. 82) и фиксирован-
фиксированных г (рис. 83).
Рис. 82 дает /представление
о смещениях, которые претерпе-
претерпевают кривые рис. 79 при их уточ-
уточнении. Начальные точки кри-
кривых q = const лежат на некоторой
кривой, намеченной пунктиром
на рис. 82. Вблизи этой кри-
кривой ход кривых q=-const стано-
становится мало надежным, так как
при столь малых | вычисление
поправки по формулам E1.01),
как легко понять из конца
§ 49, связано с большой относи-
относительной ошибкой. Из соображе-
соображений, приведенных в начале пара-
параграфа, ясно, что кривые q — const
на рис. 82 должны начинаться
на прямой Л£ = £, идущей более
круто, чем пунктирная кривая,
и потому -при малых \ истинные
значения Д£ могут быть в 2—3 раза больше, чем вычисленные
по формуле E1.01) и нанесенные на рис. 82.
Рис. 83 показывает степень приближенности кривых на
рис. 80. Мы видим, что при г =0,25 поправка Д«| довольно вели-
велика; на самом деле она еще больше, так как при построении
кривой г=0,25 на рис. 83 приходится пользоваться точками,
лежащими на начальных участках кривых рис. 82.
Заметим, что при малых г наш метод расчета поверхностных
волн вообще неприменим, так как приводит к ошибочному за-
заключению об отсутствии поверхностных волн. Действительно,
при1 достаточно малом т лучи \=щ на рис. 77 'вообще не пере-
пересекают криволинейного треугольника, в котором лежат все кри-
264
аз
0.25
Q2
Qf5
0,1
QQ5
D
\TrV
\0.2
\\
t
-
0.25
\
\
\
0,J
\o.35
\
4
0J 0,2 0.3 0,4
0.5
4
Рис. 81. Зависимость б0 от г\ при
q = const.

Рис. 82. Зависимость А| от
q=const.
при
вые r|='const. Так как уравне-
уравнение пунктирной линии, являю-
щейся нижней стороной этого
треугольника, при q < 1 может
быть представлено в виде
T-ln2
6 = Г14Г, ГЖ ;; 0,204,
E1.02)
то наш метод не приводит
к качественным ошибкам при
г>ги хотя при г***Т\ возмож-
возможны, разумеется, большие коли-
количественные погрешности. Имен-
Именно этот случай наблюдается
при /=0,25.
Из рис. 83 видно, что 'при
г=0,5 погрешность кривых на
рис. 80 уже незначительна.
При г=1 погрешность меньше
графической точности. Поэто-
Поэтому достаточно «частые» гре-
гребенки, имеющие г ^ 1, можно 0.02
с уверенностью рассчитывать
по кривым § 50.
Заметим, что для второй и
следующих полос прохожде-
прохождения погрешность расчетов по
этим кривым получается го-
гораздо меньше, и эти расчеты,
по существу, не нуждаются
в поправках; впрочем, в силу
условий D9.05) вторая полоса
прохождения имеется только
у достаточно частых гребенок,
а именно при г>1.
Таким образом, данный ме-
метод позволяет рассчитывать
достаточно 'просто и достаточ-
достаточно точно свойства медленной
электромагнитной волны, рас-
распространяющейся над гребенчатой структурой. Его можно при-
применить и к другим задачам, например к задаче о волнах в «за-
«закрытой» гребенчатой структуре, получающейся из «открытой»
гребенчатой структуры (рис. 75) добавлением плоскости
265
Рис. 83. Зависимость Л£ от
/•=const.
при

z = Z/>0. При iHe слишком малых значениях параметра
влияние этой плоскости можно учесть приближенно, считая,
что она возмущает только нулевую пространственную гармони-
гармонику в ряде E0.Ш), поскольку остальные пространственные гар-
гармоники имеют меньшие амплитуды и затухают в направлении
оои z более быстро. Однако вблизи точш срыва необходимо
учитывать также и (—il) -ю пространственную гармонику, кото-
которая то своей амплитуде и своему затуханию по оси z сравни-
сравнивается с .нулевой.
Мы не будем останавливаться на этих вопросах и лишь от-
отметим, что подобные задачи, по существу, выходят за рамки
метода факторизации в его чистом виде. Действительно, этот
метод применительно ik задаче, рассмотренной «в § 48—50, уже
не дает окончательного решения, а приводит по существу к ее
переформулировке — к уравнению D8.15), которое решается
приближенно при определенных допущениях. В то время как
число диффракционных задач, для которых метод факторизации
дает явное решение, довольно ограничено (почти все они со-
собраны в этой книге), круг задач, допускающих применение это-
этого метода для получения частичного решения или для перефор-
переформулировки, гораздо шире, и охватить все задачи этого круга
нельзя.
Задачи к гл. VII
1. Исходя из формул D5.22) — D5.25), вычислить коэффициенты Тп
в разложении
00
п=0
и сравнить их с коэффициентами Тп, входящими в формулу D6.23).
Решение. Коэффициенты Тп и Т'п связаны соотношениями
п
Т'п = (— IJ Тп A — eihd) при /2 = 0, 2, 4, . . .,
п—1
Т'п=^ (— 1) Tft (I +eihd) при /г= 1, 3, ...
2. Исходя из формул D6.24) — D6.26), найти выражение для |Г0| при
условии D6Л8). Написать выражение энергетического баланса, используя
формулу D6.17).
Решение. Формулы D5.18) и D6.07) дают
/г=1 1 — о~~
266

При условии D6.18) отсюда получаем для бесконечного произведения
D6.25) выражение
или, раскрывая неопределенности,
откуда закон сохранения энергии примет вид
A—,|A
Множитель cos фо связан с тем, что падающая и отраженная волны рас-
распространяются под углом фо к оси z, в то время как волна в волноводе рас-
распространяется в направлении оси z.
3. Составить и решить систему функциональных уравнений, аналогичных
D5.11) и D5.15), для той же гребенчатой структуры, но при граничном усло-
условии Ф=0 на полуплоскостях D5.01), т. е. когда Ф=ЕХ.
Решение. Обозначим
и будем, искать функцию g(z) в виде D5.10). Тогда вместо формулы D5.131)
получим'
С —sin v (и — а) + eihd sin v (у 4- а)
ф^ \eiwz 1£ LJ _ 1£_J Lq /w\ rfWi
С
и второе условие D5.08) приводит к функциональному уравнению
*™2 vQ (со) G (со) dw = 0 при z > 0,
с
которое нужно решать совместно с уравнением D5.11). Здесь функция Q(w)
та же, что в § 45, поэтому функцию G(w) получим в виде
G (w) =>
(w + k cos (fо) К ^ —
если падает плоская волна D5.03). Постоянная К связана с амплитудой А
плоской волны соотношением
К = —2^г~ Vk A + cos *°)s+ (* cos ?°)-
4. Из соотношений, полученных в задаче 3, вывести выражения для
коэффициентов Ап, определяющих согласно формуле D6.13) амплитуды
дифф,р акцию иных волн, ih найти |Ао| три условиях 'D6Л8) и D6.19),
Решение. Коэффициенты Ап получаются в виде
где л=0, ±1, ±2,...
267

щ,Ш2
п
n=l
Отсюда получаем
и при п=±1, ±2,...
где Qn определяется формулой D6.16).
Для Ап можно также написать выражение
Чп
Р
cos -у cos
аналогичное выражению D6.21|).
Из формулы (а) при условии D6.18) получаем
[Ао,| = 1,
как и можно было ожидать, исходя из физических соображений: падающая
волна должна полностью отражаться, поскольку в волноводах распростра-
распространение волн невозможно и диффракционные плоские волны возникнуть не
могут. При условиях D6.19) Yi вещественно, и мы получаем
|Aol =
1 — "Г- COS <р0
1 +
Л
1 + — cos <р0
5. Вычислить фазу коэффициента отражения До при q < -^ и при
для юлн, поляризованных параллельно краям полуплоскостей (ф = Ех, см.
■задачу 4).
Решение. При q < у имеем
где
/г=1
причем
kd
Можно ввести также величину а, связанную с фазой в0 соотношением
0О = 2k*.
268

В данном случае а есть поправка на проникновение поля в волноводы; па-
падающая волна благодаря проникновению отражается не от плоскости £=0,
а как бы от плоскости z=—a. Hpng^l эта поправка равна
а == —— d cos <р0 = 0,221d cos <р0,
поскольку ряд в формуле (а) имеет порядок q3.
6. Найти коэффициенты Yi,n=Ti,n(r)) в выражении D7.03) для тока на
полуплоскости у=а, z>0 при условии, что волны, распространяющиеся по
волноводам по направлению к плоскости z=Q и удовлетворяющие соотноше-
соотношению D7.09), поляризованы по оси х (Ф=ЕХ).
Решение. При Ф~ЕХ составляющая плотности тока по оси х равна
-^-[^г(я + 0, г)-Нг(а-0, z)] =
Представляя функцию f(z) в виде интеграла D5.22) и пользуясь соотноше-
соотношениями, полученными в задаче 3, приходим к следующему выражению:
F (w) = — ~ e^d vQ (w) G (w),
связывающему функции F(w) и G(w). Если по каждому волноводу к откры-
открытому концу приходит волна ЯОг и все эти волны сдвинуты по фазе в соответ-
соответствии с формулой D7.09), то
BVk + wQ+(w)
F (w) = .
v ' W — Wi
При 2<0 функцию /(г) можно представить в виде ряда D7.03), в котором
А = — 2niBfk + wtQ+
В отличие от поляризации, рассмотренной в § 47, здесь основная волна
(л=0) отсутствует и индексы / и п принимают значения 1, 2, 3,... Коэффи-
Коэффициенты Ti>n можно представить в виде бесконечных произведений:
где Qn имеет тот же смысл, что и в формуле D7.06).
269

При условии D6.19) отсюда следует простое выражение
ср. задачу 4). Вместо формулы D7.07) теперь получаем
_ VJU 1 —(— \)" cos hd
Г'-п ' 2П(г, + Тп)Тп/(<? + Т1)(<?+Т») 2+W2+(a)') *
7. Если положить
с?
а = р = л = у, (л)
то в задачах 2 и 7 к гл. VI мы получаем функциональные уравнения, в ко-
которых
Ф (ш) == — i tg t;a == Q^ при /гс? = л,
в задаче 11 к гл. VI получаем
4s(w)= — i tgvd= Q (ш) приЫ=у,
а в задаче 12 к гл. VI
= / ctg ш = щ^у при Ы = 0.
Объяснить эту связь между функциями ¥ и й.
Решение. В задачах 2 и 7 к гл. VI по волноводам шириной а и 6
к их открытым концам приходят противофазные волны, а в задаче 12
к гл. VI — синфазные волны [если же, например, в последней задаче волны
противофазны, то они при условии (а) без какого-либо возмущения объеди-
объединяются в -одну волиу, продолжающую распространяться в волноводе шири-
шириной iCt-Ьр]. Рассматривая «отражения» полей в граничных плоскостях
*/=—а и у = $> убеждаемся в эквивалентности этих задач задаче о гребен-
гребенчатой структуре (рис. 74) при hd=TC и hd—Q. Задача 11 к гл. VI соответст-
соответствует .полубесконечному волноводу ширины 2а, вставленному симметрично
в бесконечный волновод ширины 2(a-j-ip); если волна (в этой задаче она
должна быть антисимметричной относительно плоскости у=—а, так как
Ф=0 при у=—а) набегает по внутреннему волноводу, то в результате отра-
отражений при условии (а) мы приходим к гребенчатой структуре, у которой на-
набегающая волна имеется, например, только в четных волноводах, причем
в нулевом и втором волноводе набегающие волны противофазны. Такое рас-
п
пределение поля соответствует значению hd= у
Зависимость
возникла вследствие того, что в задачах к гл. VI функциональные уравнения
формулировались для функции F,(w)9 определяющей плотность тока .на полу-
полубесконечных пластинах, а в гл. *VII — для функции G(w) определяющей
270

тангенциальное электрическое поле на геометрическом .продолжении этих
пластин; эти функции связаны соотношениями вида D5.23).
8. Обобщить формулы D7.38) и D7.39) на случай, когда к открытому
концу центрального волновода (т=0) приходит волна Ны (/=1, 2, ..»).
Решение. Формулы сохраняют свой вид, но величины Г^ теперь равны
в соответствии с решением задачи 6.
9. Пользуясь результатами § 1, составить интегральное уравнение для
тока на полуплоскостях «косой» гребенки, определенной по формуле D7.01),
и перейти к функциональным уравнениям. Считать, что гребенчатая структура
возбуждается плоской волной, падающей из свободного полупространства
и поляризованной по оси х.
Решение. Обозначая b = atg% и задавая плотность тока на т-и полу-
полуплоскости в виде
где для падающей волны
рО __ Ajk {у sin Фо—г cos cp0)
имеем
sin(<pQ-x)
h k
Обобщая формулу A.04), получаем
00
Ах=— У е*Bш+1)Лоу
т=—оо
X
—оо
Интегральное уравнение имеет вид
оо О
у VJ е*Bш+1)/ш \ H{ol){k V\ (р.—/и)> я2 + [2 (p.—m) b + z' — ?]«)f (К) dZ =
m=—оо —оо
= j^i B{а-|- I) ha — ikzf cos <p0 ПрИ ^'^0, u, = 0 + 1 +2...
Полагая
f (z)= J eiv>zF(w)dw
и считая
e^2'/7 (tw) dw = 0 при г' > 0, (й)
271

помощью соотношения (см. § 1)
оо
J + Bv6 + z' — C)«J dt. = el
—оо
получаем функциональное уравнение
JL Ae-ikz> cos <?Onpilz,<0i {b)
в котором
00
V=—00
Производя суммирование геометрических прогрессий, получаем
J e*iva
Ц ()
10. Привести функциональные уравнения {а) и F) предыдущей задачи
к такому* же виду, какой имеют функциональные уравнения задачи 3.
Решение. Положим (ср. задачу 6)
F(w) = — g^ zihdv& (to) G (ш)
В задаче 9 в качестве контура С можно взять (при Im&>0) вещественную
ось. Если к ней добавить бесконечно узкую петлю, охватывающую точку
10=—&cos<jpo> то функциональные уравнения (а) и (Ь) при таком контуре 6
можно записать в виде
f
с?ш = 0 при z' > О,
eiwz'G (w) dw = 0 при г' < 0.
Эти уравнения аналогичны тем, к которым свелась задача 3; буквальное
совпадение будет при 6 = 0 (%=0).
11. Показать, что задача, рассмотренная в § 45 и 46, для косой гребен-
гребенчатой структуры D7.01) допускает то же решение, но функция Q(w) опреде-
определяется выражением
М £2i(va + ha-wb)] П tfi(va - ha+wb)]
2(ffi)) = J ! _^iva
ИЛИ
cos 2va — cos 2 (ha — wb)
2w=' шш -•
272

12. Показать, что при условиях
2ka > 1, 0 < w
функция iQ+j(t0), возникающая в результате факторизации функции Q(w),
которая дана в предыдущей задаче, равна
+ r, q+)+U{s-r, q_)-U(V2s, 2g)],
где
ka ~~
,/. , Г 2k
r=V2nqtg1=y —
2kb*
При %='О это выражение переходит в формулу D6.10).
13. |При рассмотрении электромагнитных полей над гребенчатыми струк-
структурами (ср. начало гл. IX) часто вводят поверхностные импедансы, связы-
связывающие тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей на
границе структуры
Ey=ZiHx, Ех=—Z2Hy (при 2=0)
я учитывающие свойства структуры. Обозначая Ф = НХ или Ф=ЕХ, можно
эти «импедансные граничные условия» записать в единообразном виде
дФ
-fo=—ikZ<&, (приг = 0). (а)
Вводя эти условия, можно уже отвлечься от периодичности структуры и от
•сложного характера полей вблизи нее. Задача о поверхностных волнах над
этой структурой (§ 48—51) в этом случае решается так: ищем Ф в виде
ф = Qik (у sin ч°+г cos ^,
тогда из граничного условия (а) получаем
cos фо=—Z,
•откуда видно, что поверхностные волны возможны лишь при Z=—iX, X>0.
Задача о падении плоской волны, на структуру решается так: ищем Ф в виде
ф _ е*Л {У sin 9о—2 cos <ро) _|_ ^ Qik (у sin 90+2 cos ?o)
а находим коэффициент отражения R в виде
^COS<Po — Z
COS <р0 + Z '
Найти Z\ для гребенчатой структуры конечной глубины и Z2 для структуры
из полуплоскостей, пользуясь результатами § 48—51 и задачи 5.
18—754 273

Решение. В силу соотношения
cos?0= = «
и формулы E0,01) получаем
где р — коэффициент замедления, вычисленный в § 50.
При <7<^1, когда р определяется простой формулой E0.02),
BE)
g(E)
Полагая (см. задачу 5)
cosyo-Z2
получаем
1+е/0° во
Z2 = — Щ~ COS Ро = t Ctg -й- COS <?o
1 — e ° . z
и при
Так как Z2=iX2, X2>0, то поверхностные волны этой поляризации не
существуют.
Заметим, что лишь при q <^С 1 импедансы Z\ и Z2 не зависят от парамет-
параметров, определяющих зависимость поля от координат (например, от ф0).
14. Пользуясь импедансным приближением (см. задачу 13), вывести
характеристическое уравнение для гребенчатой структуры с дополнительной
плоскостью ;(см. конец § 51), на которой ставится граничное условие
-^- = 0 при z = V (а)
или
Ф = 0 при z = L'. (b)
Решение. Полагая
ф _ ^iky sin <p0 r^ikz cos cp0 _j_ e^ BLf —z) cos <poi
где верхний знак берется для граничного условия (а), а нижний — для гра-
граничного условия {Ь), получим уравнение
1 | e cos ф0
COS <р0 = iXiAi:
Это уравнение в случае граничного условия (а) можно переписать в виде
где р — коэффициент замедления гребенки без плоскости, £' — с плоскостью
z=L\ а параметры г, £ и г' определяются формулами D9.08), E0.07)
и E103)
z\
и E1.03).
274

Из уравнения (с) видно, что ip'<|3. В случае граничного условия (Ь)
в уравнении (с) надо заменить cth на th, и тогда ip'>!|5.
15. Показать, что точное решение задачи 14 можно получить, представ-
представляя поле в том же виде, что и для открытой гребенки [формула D5.13)
и след.], записывая функцию G(w) в виде
G (w>> =
Q(w)
" +
л=0
R'n
w H~ ^ cos
к)
и выбирая контур интегрирования С так, чтобы он охватывал точки w = wn
сверху (ср. рис. 76), а точки w=—&cos<pn снизу. Вывести бесконечную
систему линейных уравнений для коэффициентов /?п и R'n (из граничных
условий при 2=—L и z~Lr). Вывести упрощенное характеристическое урав-
уравнение, сохраняя ,в выражении для G(w) только коэффициенты Ro и R'o,
и установить пределы его применимости.
Решение' Выписанное выше выражение для G(w) удовлетворяет
функциональным уравнениям D5.11) и D5.15). Согласно формулам ' D5.22)
и D5.23) плотность тока на ленте у=а, 2<0 равна
Q (w)
G(w)dw=
п=—оо *
поэтому граничное условие D8.05) дает уравнения
' 00 00
о;-™ г /
Rm == '
2ш
k COS ута )'
обобщающие уравнения D8.10); в них mi=O, 1, 2,...
Функция g(z) при 2>0 равна
+cosym)
+ 2г'же*С0в'-
-/A2cos?n
^«=° ^ COS <f3w «=—о
COS<pn
где
17*
=/.
cosy
l+cos<pm
275

причем Г'о совпадает с величиной Ао, определяемой формулой /D6.14). Гра-
Граничные условия задачи 14 приводят к уравнениям
в которых т=0, ±,1, ±2,... и которые надо решать совместно с уравне-
уравнениями (а). Верхний знак в уравнениях (Ь) надо брать для граничного усло-
условия (а) задачи 14, нижний — для граничного условия iF) той же задачи.
Сохраняя только Ro и i?'o, получаем упрощенные уравнения
2/*L'cos <p'o __ 2Г'О cos y0e2'*L' cos ?°
0 ^ ° ^ ° 1 — COS ^o
и упрощенное характеристическое уравнение имеет вид
' COS <р'0\ __ .
Эти уравнения справедливы для граничного условия (а) задачи 14, а для
граничного условия (Ь) нужно Г'о заменить на —Г'о.
Возможность пренебрежения коэффициентом R'm вытекает из того, что
согласно уравнению (Ь)
R'm
Поэтому все R'm в общем случае меньше R'o, и только при Л— у коэффи-
коэффициенты Z^'o и <#'_! почти ра&ны (ср. конец § 51).
" 16-. Пользуясь соотношением
1
1
2q
1-cosyo ш
1 о — 1 + COS (f о
-2 2flrln2
вытекающим из формулы D9.12), и выражением
• 1-cosyo
г д
а„
вытекающим из первой формулы D6.15), где
со 1+ ^ 1
В. = е«Ро ш 2 J] __^L
11A i
есть (в силу мнимости ро, Рп, Р_п и Yn) положительная величина, преобразо-
преобразовать упрощенное характеристическое уравнение (с) задачи 15 к виду, допус-
допускающему сравнение с характеристическими уравнениями в задачах 13 и 14„
и произвести это сравнение.
276

Решение. Если ввести обозначения
х = 2kL - 9„, Ао = В.еЯМ C°S *° = Вое "**' У*=Л
то уравнение (с) задачи 15 можно переписать в виде
1 + cos ср0 Н- A — cos ?о) (Ао — е'*) = A + cos <р0) АоеЧ
откуда
1 + А0 ( Оо \
cos ?о == i 1_Ao tg {kL - -yj. (a)
При г' -* оо, для открытой гребенки, это уравнение принимает вид (ср. за-
задачу 13)
cos f0 = iXu
где
Xi = tg (kL — ~yJ = tg \2nt — ~y) ,
причем при q <^ 1 согласно формуле D9.12)
-у- = 2q In 2.
При конечных г' и Во = 1 уравнение (а) принимает вид
/ 90\ / , \
cos <ро = i tg f 2я£ — -g- 1 cth [ 2яг' у тJ -г- q2 J, F)
т. е. переходит в уравнение (с) задачи 14. Однако в общем случае Во-/»
так что в импедансной трактовке (задача 14) имеется непоследовательность.
В общем случае вместо уравнения (Ь) следует пользоваться более точным
уравнением
cos <ро = i tg Bтг£ — -у-J cth \2ъг> Vf\2— q2 ^y1 J • (c>
Выведенные соотношения справедливы для граничного условия (а) зада-
задачи 14; для граничного условия (Ь) надо в уравнении (а) заменить Ао
на —Ао, а в уравнениях \(Ь) и (с) cth на th.
17. Пользуясь результатами, полученными в задачах 15 и 16, вывести
систему уравнений, пригодную для исследования волн в гребенчатой струк-.
туре с дополнительной плоскостью z=L' (задача 14) при г\~ у, т. е. вблизи
точки срыва поверхностной волны.
Решение. Сохраняя в уравнениях (а) и (Ь) задачи 15 только коэффи-
коэффициенты /?0» R'o и /?'_! (важность последнего коэффициента при 7) =^ -у
отмечена в конце задачи 15), получаем систему линейных уравнений
i«i-\ __ j J . 1 Or ^IRL
' COS <роч __
+ 2С0Г'
1 —COS^-l COS <p0 + COS <f
277

где
1——
«Р.,Ш2 ' Р. ' Pl_J Yi
1 [ 1+
Yn
^ _P-* 2 __?-* i i LzJL
причем величина B_i положительна, поскольку при условиях D9.05)
тг5*1 и *ir>1-
Приравнивая определитель этой системы уравнений нулю, получаем харак-
характеристическое уравнение (довольно сложное). Так как в точке срыва кроме
соотношений E0.13) справедливы тождества
то
1
R'o = R'-1 при т) = ~к.

ГЛАВА VIII
РЕШЕТКИ, ДИАФРАГМЫ В ВОЛНОВОДЕ
§ 52. Ключевая задача
В предыдущих главах метод факторизации применялся для
строгого решения диффракционных задач, в которых имелись по-
полубесконечные структуры — плоские или цилиндрические. Пере-
Переход к конечным телам, разумеется, возможен, но при этом
приходится делать те или иные аппроксимации, и получаемые
результаты имеют приближенный характер (см. § 23, 40, 43,
48—51), хотя обычно точность их весьма высока. В данной гла-
главе мы рассмотрим некоторые задачи, относящиеся к решеткам
и к диафрагмам в волноводе, для которых метод факторизации
дает строгое решение, хотя никаких полубесконечных структур
в этом случае нет.
В § 53 мы будем рассматривать диффракционную решетку,
состоящую из периодически расположенных лент, которые ле-
лежат в плоскости 2 = 0, имеют конечную ширину (в направлении
оси у) и бесконечную длину (по оси л:). Ленты будем считать
идеально проводящими и бесконечно тонкими. Как будет пока-
показано в § 53, диффракционная задача для такой решетки будет
решена, если предварительно решить следующую ключевую
задачу.
Будем искать функцию Ф = Ф(#, г), удовлетворяющую вол-
волновому уравнению G.01) при 2>0 и следующим граничным
условиям на плоскости 2 = 0:
^1 = 0 при 2{md — a)<^y<C2md, 2 = 0 E2.01)
и
Ф = 0 при 2md<y<2(md+$), 2 = 0, E2.02)
где т = 0, ±1, ±2, ...
Периодическая структура с такими граничными условиями
изображена на рис. 84. На акустическом языке можно сказать,
279

что она состоит из чередующихся «идеально жестких» полос ши-
ширины 2а и «идеально мягких» полос ширины 2|3; период струк-
структуры равен 2d = 2(a+P).
(/--ОС
Рис. 84. Периодическая структура, рассматри-
рассматриваемая в ключевой задаче.
Будем считать, что в полупространстве г>0 по направлению
к плоскости 2 = 0 распространяется плоская волна
фО = е-гЬг; E2.03)
тогда в результате диффракции на плоскости 2=0 с периоди-
периодическими граничными условиями E2.01) и E2.02) возникает
поле, которое можно записать в виде
V
E2.04)
где Rn — комплексные коэффициенты, а углы q>n определяются
' соотношениями
где введен безразмерный параметр
E2.05)
E2.06)
Угол 9п может быть вещественным f—^"^'Уп^-у], тогда со-
соответствующий член ряда E2.04) определяет плоскую диффрак-
диффракционную волну, распространяющуюся под углом <рп к оси z\ так
будет при y <1. Угол 9п может быть комплексным hpn =
, тогда п-к член ряда E2.04) дает по-
поверхностную диффракционную волну; в этом случае
1.
E2.07)
280

Для нормально падающей волны E2.03) полное поле удов-
удовлетворяет соотношениям
^=0 при у = -а и у = р (г>0), E2.08)
будучи симметричным относительно линий симметрии у——а
и У = $ (Рис- 84). Поэтому ограничимся рассмотрением функции
Ф(у, г) в полосе —а<у<$, продолжая ее в другие полосы
с помощью соображений симметрии и периодичности.
Введем обозначения
f(z) =<£>{0,z) E2.09)
и представим функцию f (z) в виде контурного интеграла
f(z)= §eiwZF(w)dw. E2.10)
с
Поскольку функции Ф{у, z) и f(z) нас интересуют лишь при
z>0, можно подчинить этот интеграл условию
^eiwzF(w)dw = 0 при z<0. E2.11)
с
Представляя функцию Ф{у, г) в виде
Ф = j(e^ + е-^)CQS(/,+ a) FИ^ при -а
с
E2.12)
и
Ф =
E2.13)
где ^ = ]/ k2 — w2, мы удовлетворим как волновому уравнению
G.01), так и граничным условиям E2.01) и E2.02).
В силу условия E2.11) из выражений E2.12) и E2.13) будет
следовать соотношение
Ф(—0, 2)=Ф( + 0, г). E2.14)
Однако производные
^-(_0,2)=— f {eiwZ + е " iwz)v tg vaF {w)dw,
^ E2Л5)
\
)
281

при произвольно взятой функции F{w), удовлетворяющей лишь
уравнению E2.11), не будут равны. Условие
Щ ^, г) при г>0 E2.16)
приводит ко второму функциональному уравнению
)dw==0 при
E2.17)
которое нужно решать совместно с уравнением E2.11). К со-
сожалению, такая система в общем случае не может быть решена
обычным методом факторизации. Поэтому в дальнейшем мы
ограничимся частным случаем системы, у которой а=р.
При а = р уравнение E2.17) принимает вид
\ziwZO^F{w)dw = 0 при z>0, E2.18)
с
где
a Q(w)=i ctgt;a E2.19)
или
й£. E2-20>
и систему уравнений E2.11) и E2.18) решить уже легко. Так
как f(z) имеет вид
f(z) = e-"* + fB), E2.21)
где первое слагаемое соответствует падающей волне E2.03),
а второе — диффракционным волнам, которые при Im&>0 и
г—> оо исчезают, то контур С берется в виде вещественной оси
с петлей, охватывающей точку w = —к снизу, а функция F{w)
получается равной
F И = 25(F+5) V T=
Функции Q+ и Q_ находятся без труда. Применяя обозначе-
обозначения § 2, можно написать
E2-23)
Легко видеть, что -^ есть мероморфная функция w. Чтобы вос-
воспользоваться результатами § 2, представляем эту функцию в виде
282

отношения двух функций, имеющих разрезы. Функция E2.22)
также является мероморфной; выше «контура С она имеет полюсы
в точках w = wn, где
l/(T) л = 0,1,2,..., E2.24)
причем
lmwn>0 при 1т/г>0. E2.25)
Ниже контура С функция F(w) голоморфна. Вычисляя интегра-
интегралы E2.12) и E2.13) при z>0, получаем разложение E2.04),
в котором
w2sdV k+w2s 2+ (k)Q+ (w2s) '
где 5=0, 1, 2,.... Коэффициенты Rn с отрицательными индекса-
индексами выражаются через коэффициенты Rn с положительными ин-
индексами с помощью соотношения
R-n=i—\)nRn. E2.27)
которое можно получить также из соображений симметрии.
Коэффициенты E2.26) можно представить в виде
где при 0<^q<C~2~ мы имеем
п\еШп, E2.28)
|Я0| = 1 E2.29)
00
— 2V/arcsin——{ arcsin — j. E2.30)
s=\
Соотношение E2.29) имеет следующий физический смысл: так
как граничные условия E2.01) и .E2.02) соответствуют идеально
^ 1
отражающей периодической структуре и так как при q<^
кроме вертикально отраженной волны, других диффракционных
плоских волн нет, то из закона сохранения энергии следует, что
отражение должно быть полным. При -к<^Ц<^\У когда наряду
с зеркально отраженной волной имеются диффракционные плоские
волны с индексами 1 и —1, получаем
.' lRl{-JT7r E2'31)
283

где
/иЧ2. E2.32)
При q >• 1 можно уже пользоваться приближенными форму-
формулами (ср. § 10)
/2s+l~T v 28 + 1
E2.33)
в которых
Un=U(sn, q), Vn =
rTn. E2.34)
Из этих формул вытекают предельные соотношения
*Г°° _ 21 E2-35)
поскольку при условиях
<7>1, ?>у E2.36)
мы имеем yn~q и sn> 1; тогда величины J7n и Vn малы и по-
поведение коэффициентов Rn определяется предэкспоненциаль-
ными множителями в формулах E2.33),
Предельные соотношения E2.35) могут быть получены из
элементарных соображений, по существу эквивалентных прин-
принципу Гюйгенса (§ 8). Существует два варианта элементарного
расчета коэффициентов Rn в формуле E2.04). В первом вариан-
варианте граничное условие E2.02) сохраняется, а условие E2.01)
изменяется приближенным соотношением
Ф=2 при 2{md—a) <y<2md, z = 0, E2.37)
выполняющимися точно, если плоская волна E2.03) падает на
дФ
однородную плоскость с граничным условием -^—=0; при а =
=ф = — получаем
#2s = 0, JR2S+1 = -T^IT). E2.38)
284

Во втором варианте граничное условие E2.01) сохраняется,
а вместо условия E2.02) полагаем
^=—2ik при 2лмГ<0<2(/ж/ + Р). * = 0. E2.39)
Это значение производной получается при падении плоской
волны E2.03) на плоскость 2=0 с граничным условием Ф = 0.
Вместо формул E2.38) во втором варианте получаем
*..=0, Ru+l==^J—1^:TY E2.40)
Оба варианта (согласуются с предельными соотношениями
E2.35).
Поскольку коэффициенты Rn входят в решение диффрак-
ционной задачи для решетки из лент •(§ 53), целесообразно рас-
рассмотреть их зависимость от параметра E2.06) и, в частности,
проследить, как они стремятся к предельным значениям E2.35),
которые могут быть найдены из элементарных соображений.
На рис. 85—87 даны абсолютные значения Rn как функции q
при О<*7<4, причем мы ограничиваемся теми Rn, которые (при
данном q) соответствуют плоским волнам, т. е. диффракцион-
ным спектрам в собственном смысле этого слова. Из рис. 85 и
86 |i?| R \R\ \R\
р
86 видно, что |i?o|,
ченно убывают, a
55)
р
, \Ra\ и \Re\ при увеличении q неограни-
неограни\Rz\ и |J?s| — стремятся к предельным
у \\
значениям E2.35), ib частности:
Пт|Rx | = 0,64, lim\Rt\ = 0,22. E2.41)
q-*co q-*oo
Отметим, что /г-й диффракционный спектр «рождается» f при
q=^~\ со сравнительно большой амплитудой, которая затем
убывает, испытывая при целых и полуцелых значениях ц харак-
характерные изломы.
Величины \Rn\ — относительные амплитуды диффракционных
спектров. Величины
rn = 2cos^n\Rn\2 {n= 1,2,...) E2.42)
можно назвать относительными мощностями диффракционных
спектров (это — мощность, уносимая п-м. и (—п)-м спектром
при единичной мощности падающей волны), а величина
ГоНЯо|2 - E2-43)
есть коэффициент отражения по мощности. Величины r0, Г\, ...
285

как функции q даны на рис. 88. Они удовлетворяют соотноше-
соотношению
N
Vrn=l,
п=0
E2.44)
вытекающему из закона сохранения энергии. В этом соотноше-
соотношении принимаются во внимание лишь плоские диффракционные
волны, поэтому N есть целая часть 2q (т. е., например, при
1
0.8
о,е
Q5
Q3
0.2
Qf
Q08
0,06
0,05
пОЧ
0,03
йог
0,01
\
\
\
у
/
\
\
\
\
\
/
1
у
—\
\
V
\
s
ч
/
У
Л\
VI
ч
0,5
2,5
3,5
Рис. 85. Абсолютная величина Ro — коэффициента отражения
плоской волны от периодической структуры с граничными
условиями E2.01) и E2.02) в зависимости от q.
2<? = 3,99 имеем М=3). Из, формул E2.29) и E2.31) видно, что
соотношение E2.44) автоматически удовлетворяется при N = 0
и N=\\ оно использовалось для контроля вычислений.
Характерные изломы кривых 1на рис. 85—88 связаны с явле-
явлением, которое происходит при диффракции на любой периоди-
периодической структуре и которое в общей теории не умеют учиты-
учитывать надлежащим образом. Это явление можио назвать взаи-
взаимодействием периодов. При нормальном падении плоской вол-
волны все периоды структуры возбуждаются синфазно, и каждый
период во все стороны излучает цилиндрические волны. В нача-
286

ле координат цилиндрическая волна, приходящая от m-го пе-
e2i\m\kd
риода, очевидно, пропорциональна где 2d есть пе-
V 2\m\kd
риод структуры; :при 2Ы > 1 поле этих волн невелико и его
0,3
о,г
0,1
О, Од
0.06
О.О5
l*zl
\
\
\
\
1
\
/
/
—
\
\
\
\л
\
\
\
\
Ч
И
/
/
f
л
\
X
\\
\
\
\
у
\
ч
S
0,03
0.02
О 0,5 1.0 1.5 2.0 2,5 3,0 3,5 <i.O
9
Рис. 86. Относительные амплитуды четных диффракционных
• спектров в зависимости от q.
влиянием пренебрегают. Однако три 2Ы = 2лпу где п — целое
число, эти волны складываются синфазно, так что, хотя каждая
из этих волн слаба, их суммарное действие имеет большое зна-
значение; при этих значениях как раз «рождаются» новые диф-
2
7 1
0,3
U5
0,5
Q3
0.2
■/?/
\
** —
X
. ;
<^
1
'—
>
\
■
N.
—!
к,
1
\
4
1,Q 15 2,0 2,5
3,0 3,5
4.0
Я
Рис. 87. Относительные амплитуды нечетных диф-
диффракционных спектров в зависимости от q.
287

фракционные спектры (целые и полуцелые значения q на
рис. 85—88). Элементарная теория совершенно не передает
эффектов, происходящих при таких «критических» значениях
2Ы, и часто приводит к 'противоречию с законом сохранения
энергии. В качестве примера можно привести вторую формулу
0.5
о
г.
vs.
г
3
0,5 1.0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Рис. 88. Относительные мощности диффракционных спектров
в зависимости от q.
E2.40), по которой при q~s + l/2 приписывается Bs + 1)-mv
спектру мощность, превосходящая мощность падающей волны;
этот ошибочный результат получается при сколь угодно боль-
больших значениях q и s.
Если при 2kd > 1 взаимодействие (периодов проявляется
сильно только ори критических значениях 2kd, то три 2kd <^ 1
288

оно определяет все волновые свойства периодической структуры.
Здесь положение гораздо проще, поскольку имеются только
диффра'кционные болны поверхностного тиша, «ярилишающие»
к периодической структуре, а вдали от нее, кроме падающей
плоской волны, есть только волна, зеркально отраженная,
и (ib 'случае прозрачной решетки) штокая |вол(на, (про-
(прошедшая сквозь решетку. Мы вернемся >к этому вопросу
в конце § 53.
§ 53. Диффракция плоской электромагнитной волны на решетке
из параллельных проводящих лент
Пусть шлоская электромагнитная волна (падает нормально
на решетку из параллельных металлических лент, которые бу-
будем считать идеально проводящими и бесконечно тонкими. Эти
ленты (ширины d) периодически расположены в плоскости
2 = 0 (ри€. 89) и разделе-
разделены просветами (щелями),
также имеющими шири-
ширину d. Мы вычислим строго
диффракционное поле
как для случая, когда па-
падающая волна поляризо-
поляризована вдоль полос (£-по-
Юяризация, электрическое
лолё имеет только состав-
составляющую Ех)у так и для
случая, когда падающая
волна поляризована по-
поперек щелей (Я-поляри-
зация, магнитное поле
имеет только составляю-
составляющую Нх).
Данная система яв-
является для длинных волн
(по сравнению с d) фильт-
фильтром, отражающим £-,по-
ляризацию и пропускаю-
пропускающим.Я-поляриза'Цию, а для коротких волн—диффракционной ре-
решеткой, передающей диффракционным спектрам около полови-
половины мощности падающей волны и почти не реагирующей на по-
поляризацию падающей волны (см. ниже). При ширине щелей,
отличной от ширины лент, данную задачу решить в замкнутом
виде не удается, поскольку ключевая задача § 52 приводит
к функциональным уравнениям, к которым обьичный (метод фа-
факторизации неприменим.
Сформулируем прежде всего связь между задачей о диф-
фракции на решетке и ключевой задачей, рассмотренной в § 52.
19—754 ' 289
Рис. 89. Решетки из лент.

При этом мы не будем ограничиваться случаем a=i|$, а будем
считать (пока) а и § произвольными.
Если на решетку, ленты которой имеют ширину 2($, а просве-
просветы между ними — ширину 2la (рис. 84), падает плоская волна,
имеющая единственную составляющую электрического поля
E3.01)
то полное диффракционное поле имеет вид
! г)] при
—z)) при
E3.02)
и если вместо Ф подставим выражение E2.04), то получим
4) при
*£(*/sin<p — 2 cos ф )
Ле п п при г < 0,
E3.03)
где
=^1,4-2,...).
E3.04)
Если же на решетку, ленты которой имеют ширину 2а, а про-
просветы— ширину 2р (рис. 84), падает плоская волна, единст-
единственная составляющая магнитного поля которой равна
//°=е~^, E3.05)
то полное поле определяется выражениями
г г 1 г л
E3.06)
290
, Z)} При 2>0,
— Ф(у, —z)\ при

или
ik {у sin tp 4- z cos 9 )
при
П=—00
V4 л **@ sin© —zcos q> \
—— у Лпе п п; при
E3.07)
где Ап и 5n — те же величины, что и выше.
Проверка формул E3.02) и E3.06) производится элементар-
элементарно: проверяется, что эти выражения удовлетворяют волновому
уравнению, содержат падающие шлны E3.01) и E3.05), удов-
удовлетворяют граничным условиям на лентах
Ех = 0 при 2md<^y<d2(md-\-$)y z = 0, I
дн \ E3.08)
~ = 0 при 2(md-a)<y<2md, г = 09 )
и, кроме того, вместе со своими нормальными производными
непрерывны на просветах между лентами.
Формулы E3.03) и E3.07) показывают, что 'поля для волн
взаимно перпендикулярных поляризаций, диффрагирующих на
«дополнительных» плоских экранах, выражаются через одни
и те же коэффициенты Ап и Вп. Этот результат является част-
частным случаем принципа двойственности в формулировке Фельда
(см. [38] или [39], а также [25], § 92).
Величина AQ является коэффициентом отражения для волн
^-поляризации, величина Во — коэффициентом прохождения
(коэффициентом прозрачности решетки). Для волн, имеющих
Я-поляризацию, коэффициент отражения есть 5,0> а коэффициент
прохождения есть —Ло. Из элементарных соображений легко по-
получить следующие предельные соотношения:
limAj= — 1, lim/?0 = 0, }
q-*0 ?->0
lim А = — -£■, —
где параметр q равен отношению полупериода решетки rf== a—I-B
к длине волны Я=—.
Чтобы воспользоваться результатами § 52» положим
р d
E3.10)
Тогда формулы E3.02) и E3.03) определят диффракционное
поле для решетки, изображенной на рис. 89,а, а формулы
19* 291

E3.06) и E3.07) —для решетки, изображенной на рис. 89,6; эти
решетки отличаются только сдвигом по оси у. Коэффициенты
Rn, входящие в выражения E3.04), были найдены в § 52, по-
поэтому Ап и Вп вычислить уже нетрудно.
На рис. 90 приведены кривые, дающие зависимость \А0\
и \В0\ от параметра q = -j-. Эти кривые показывают, как изме-
изменяются \А0\ и \В0\ между предельными значениями E3.09). Мы
видим, что \А0\ и \В0\ приближаются при #->оо к значению -^
совершая при этом затухающие зигзагообразные колебания.
Рис. 90. Абсолютная величина коэффициента отражения и коэффициента
прохождения для решетки из лент в зависимости от q.
Коэффициенты Ап и Вп при п=±1 ,±2,... определяют
комплексные амплитуды диффракционных спектров. Мы не при-
приводим графиков для \Ап\ и |ВП|, поскольку согласно последней
формуле E3.04) они отличаются только множителем 1/2 от |/?п|,
для которых графики приведены ранее (рис. 86 и 87). Для ре-
решетки можно ввести следующие энергетические величины:
n\>) (п = \, 2,...),
где г'ю есть относительная мощность отраженной и прошедшей
волн, а тгп — относительная мощность четырех диффракцион-
диффракционных спектров (двух в верхнем и двух в нижнем полупростран-
полупространстве) .
292

Из формул E3.04) следует, что величины г[п связаны с ве-
величинами гп, введенными в § 5, простыми формулами
Г П = -п" ГП (# 1 » 2, . . .)>
E3.12)
причем в силу соотношения E2.44) имеем
£г'„=1. E3.13)
Из рис. 85 и 88 видно, что при значениях q>Oj около поло-
половины всей падающей мощности распределяется (приблизитель-
(приблизительно поровну) между отраженной и прошедшей волной, а другая
половина сообщается диффракционным спектрам. При этом
четырем «главным» диффракционным спектрам с индексами
n=i±'l (двум «отраженным» при z>0 и двум «прошедшим» при
z<0) передается около 40% всей мощности. Существенное раз-
различие между волнами различных поляризаций проявляется
лишь при значениях <7<0,6.
Рассмотрим теперь свойства нашей диффракционной систе-
системы при малых q. Следует отметить, что коэффициенты Ао и Во
приближенно вычислены Ламбом [40]. Метод Ламба можио еа-
звать квазистатичееки'М — ой основан на юрашении статического
решения с решением волнового уравнения и пригоден лишь при
«?<^1. Хотя в {40] этот метод применен к звуковым волнам,
перенесение его на электромагнитные волны не представляет
никаких затруднений. В наших обозначениях формулы Ламба
имеют вид
cos
причем 2а — ширина щели, 2р — ширина ленты, d=ia + p — по-
полупериод решетки. В частном случае а = р имеем
Если учесть, что при
/ж =г -^- In 2, kl1 = 2qln2. . E3.16)
== —е'в% E3.17)
293

где фаза 0О определяется формулой E2.30), то Ло и Во могут
быть представлены в виде
E3.18)
С помощью разложения
оо
^ E3.19)
A 3 \
а3 = ~тг, а5 = 4о>-") ФазУ ®о можно преобразовать к виду
~===arcsm2q — arcs'm q — q + 2qln2+\]a2s+1f:2s+1q2s+1y E3.20)
- - ш
где •
- О /O2s __ 1\ С /O2s + 1 1 \ /£Q O1 \
. 2&+1 £\£ 1 ) ^2S-f-1 \^ *■) \QO.Z,\.J
И
Sn=l+-ir + -l- + ... E3.22)
Из формулы E3.20) вытекает, что при q <^ 1
tg Щ- = 2? In 2 + О (<73), E3.23)
и точные формулы E3.18) переходят в формулы E3.14) при
пренебрежении членами порядка q3.
Для сравнения формул E3.14) с точным расчетом мы воспро-
воспроизвели на рис. 91 сплошными линиями величины |Л0| и |5о|
в интервале 0<q<l/2 (в увеличенном виде по сравнению
с рис. 90) и там же провели пунктиром кривые, вычисленные по
приближенным формулам E3.14) и E3.16). Из рис. 91 следует,
что пунктирные кривые начинают отходить от точных при ^^0,2
и дают уже (при #>0,4 грубые ошибки. Та1ким образом, метод
Ламба оказывается пригодным при ^<iO,2.
Сделанный вывод представляет интерес в связи с тем, что
«квазистатические» формулы E3.14) могут быть обобщены на
случай решеток из проводов круглого или прямоугольного се-
сечения, если период решетки / мал по сравнению с длиной волны
Л. При этом условии любая идеально проводящая решетка, об-
обладающая плоскостью симметрии, характеризуется четырьмя
параметрами /о, /ь U и k, по порядку величины равными t
(в случае конечной проводимости добавляются и другие пара-.
метры, см. [41]). Эти четыре параметра, как показано в работах
[41] и [70], появляются в результате решения четырех статиче-
294

ских задач — электростатических и магнитостатических задач
о возмущении однородных полей дайной решеткой; эти парамет-
параметры определяют (коэффициент отражения от решетки и гсоэффи-
циент (прохождения через решетку для плоской волны любой
поляризации, распространяющейся в любом направлении (см.
§ 56).
Решетка из лент ширины f
2C характеризуется парамет-
параметром /i, определяющим по
формуле E3.14) коэффициен- °»8
ты отражения и прохождения
в (выражениях E3.07), и па- ов
раметром
/о = ~1п-Лг, E3.24) по
cos
2d
О
Рис 91 Сравнение точных значений
|Л0| и |Б0| с приближенными значе-
ниями по формулам E3.14).
определяющим коэффициенты
отражения и прохождения для
той же решетки, но для вол-
волны, поляризованной парал-
параллельно лентам; остальные па-
параметры 12 и /з для такой ре-
решетки обращаются в нуль,
так как она не возмущает од-
однородных статических полей
Ez = const, Hy = const и Нх =
=iconst. Если при переходе ik другой поляризации заменить рас-
рассматриваемую решетку дополнительной [как это принято в фор-
формулах E3.03) и E3.07)], то обе поляризации 'будут характери-
характеризоваться только одним параметром E3.15); впрочем, три a = |J
параметры 10 и 1\ совпадают.
Изложенная выше квазистатическая трактовка решеток тем
точнее, чем меньше отношение у, однако оценить пределы ее
применимости, исходя из нее самой, нельзя. Из рис. 91 видно,
что для решетки из лент при а = р условие у<0,4 приводит
к тому, что квазистатическая трактовка дает графическую точ-
точность для величин |Л0| и |/?0|. Можно ожидать, что, скажем,
при у < 0,3 квазистатические формулы и для произвольной ре-
решетки будут давать примерно такую же точность.
§ 54. Диафрагмы в прямоугольном волноводе
Рассмотрим сначала прямоугольный волновод с односторон-
односторонней индуктивной диафрагмой (рис. 92). Пусть на эту диафраг-
диафрагму (со стороны z>0) набегает волна Н0\, электрическое поле
■295

которой имеет единственную составляющую поля по оси х рав-
равную ' ^
< = e-^sin^±^-. E4.01)
Здесь р —высота поперечной перегородки (диафрагмы); а —вы-
—высота зазора; а = а + р — высота поперечного сечения волновода
в. направлении, перпендикулярном электрическому полю; h =
/
р, р
Tl/ k
есть волновое число волны #01.
При падении волны E4.01) на диафрагму возбуждается
сложное диффракционное поле. Из соображений симметрии вы-
Рис. 92. Диафрагма в прямоугольном волноводе.
текает, что электрическое поле в данной системе имеет только
одну составляющую Ех> зависящую от у и z. Данная двухмер-
двухмерная задача может быть легко решена, если известно решение
ключевой задачи § 52, в которой вместо падающей волны
E2.03) взята волна E4.01), а граничные условия E2 08) заме-
заменены условиями v * ;
Ф = 0 при у=—а и </=£ (z>0). E4.02)
/с^одя функцию F(w) с помощью соотношений E2 09) —
E2.11), ищем новую функцию Ф(у, z) в виде
при — а
, z>0
E4.03)
E4.04)
при
296
, 2>о.

Условие E2.16) приводит к функциональному уравнению
W20 (ctg va + ctgop) + e"г'^ (ctg va — ctg t>P)] F (w) dw =0
E4.05)
при z>0,
которое в частном случае a = j3 = y приобретает простой вид:
)dw = 0 при z>0, E4.06)
где функция Q(w) определяется формулами E2.19), E2.20) и
E2.23).
Искомая функция F(w), удовлетворяющая системе функ-
функциональных уравнений E2.11) и E4.06), дается формулой
Контур С состоит из вещественной оси и бесконечно узкой пет-
петли, охватывающей точку w = —h. Контурные интегралы E4.03)
и E4.04) могут быть легко вычислены по теореме о вычетах,
а искомое поле определяется в виде суммы распространяющих-
распространяющихся и затухающих волн.
Если функция Ф известна, то составляющая Ех в интере-
интересующей нас задаче может быть записана в виде
при г>0л
, -2)] при г<0.)
Действительно, определяемая этими формулами величина Ех
удовлетворяет волновому уравнению, граничным условиям на
стенках волновода у = —ia и у = $ и условию Ех = 0 на диафраг-
диафрагме, т. е. при z = 0, 0<#<|3. На «окне» (при z = 0, —ia<#<0) как
£дЕх
Xf так и —^- непрерывны, так как первое слагаемое в квад-
квадратных юкойках одно и то жев'этих формулах \()П1ри2>Ои-г<0),
а второе есть четная функция z, удовлетворяющая условию
E2.01). Составляющая Ех удовлетворяет также условию излу-
излучения, которое для данной задачи формулируется так:
1Х, E4.09)
297

где Е°х есть набегающая волна E4.01), а Е1Х есть сумма волн,
распространяющихся от диафрагмы или затухающих при |z| — oo;
можно также написать условие
Е\-+0 при И]—оо и Im&>0. E4.10)
Ограничимся анализом численных результатов в случае,
когда распространение в прямоугольном волноводе возможна
только для волны #оь а все остальные (волны Нтп и £mn, ib ча-
частности волны #оь #к>2, . • • (возбуждаемые диафрагмой при
падении на нее волны #oi), затухают. В этом случае а есть
внутренняя ширина широкой стенки волновода, причем пара-
параметр
ka а /Г.1П
* = 1Г= Т' E4Л1>
равный отношению а к длине волны К в свободном пространст-
пространстве, изменяется в пределах
4-<flf<1- E4.12)
Вычисляя при этих условиях Ф(у, z) на больших расстоя-
расстояниях от диафрагмы, получаем
^f ПРИ * — °°; E4.13)
здесь комплексный коэффициент /?ю равен
или
Яо = -е'е°, E4.15)
где фаза 0О определяется рядом
[^^]'E4Л6)
причем Yi = |/<72—г* Этот ряд легко преобразовать к форме,
удобной для численных расчетов (ср. § 53).
Подставляя выражение E4.13) в формулы E4.08), получаем
;^ при
E4.17)
^- при г—► —оо.
298

Коэффициент отражения R и коэффициент прохождения Т свя-
связаны с коэффициентом R® соотношениями
^ 4E4.18)
или, учитывая формулу E4.12),
— it —
R=-^S-t. Т = '* I . E4.19)
Как показывают расчеты, при изменении q от -^ до 1 угол
~Y изменяется от 0 до 67°. Поэтому из формул E4.19) следует,
что относительное реактивное сопротивление диафрагмы
X = \ig\ E4.20)
положительно, т. е. имеет индуктивный характер. Величина X
равна поэтому
где W—волновое сопротивление линии; L — индуктивность
в эквивалентной схеме на рис. 93.
На рис. 93 изображена зависимость X от q, на рис. 94 —
зависимость В от q, где В есть относительная реактивная про-
проводимость диафрагмы, определяемая формулой
в- L
х
и часто употребляемая вместо X.
Кривые на рис. 93 и 94, построенные по точным формулам,
позволяют проверить результаты, полученные другими автора-
авторами с помощью различных приближенных методов. Наиболее
полные данные приведены в книге [42]; на рис. 94 точками нане-
нанесены значения 5, снятые с кривых, приведенных в [42]. Мы ви-
видим, что приближенные данные хорошо ложатся на точную кри-
кривую.
На рис. 95 мы приводим также абсолютные величины R и Т,
вычисленные по формулам E4.19).
Перейдем теперь к расчету емкостной диафрагмы. Односто-
Односторонняя диафрагма, изображенная на рис. 92, является емкост-
емкостной, если на нее падает волна Ню, составляющая Нх которой
равна
° ^ /"^у E4.21)
299

Так как в направлении оси х волновод ограничен стен-
стенками х = |-ил: = ~-, то составляющая Нх (как падающей
волны, так и полного поля) зависит от х посредством множи-
множителя cos^-. Поэтому Нх удовлетворяет двухмерному волновому
уравнению
и граничным условиям
дНх
^=0 приО<у<р, 2 = 0.
E4.22)
E4.23)
. Легко видеть, что задача о емкостной диафрагме эквивалент-
эквивалентна рассмотренной в § 53 задаче о решетке, на которую падает
плоская волна E3.05), но при этом надо заменить волновое
пб 0,7 0,8 0,9 W
0,5 0,6 0J 0,8 0,9 Ю
Рис. 93. Относительное реак- Рис. 94. Относительная реак-
реактивное сопротивление индук- тивная проводимость индук-
индуктивной диафрагмы в зависимо- тивной диафрагмы в зависи-
сти от q. мости от q.
число k на волновое число h [см. формулу F4.21)]. Поэтому
не будем входить в подробности решения и приведем только
окончательные результаты. Введем вместо величины E2.11)
безразмерный параметр
ha
X \2
300

где а и Ь — стороны прямоугольного поперечного сечения вол-
волновода (см. рис. 92). Если единственной распространяющейся
волной является волна Ню, то а есть малая, b — большая сторо-
0,5 пб 0,7 0,8 0,9 W ,„
Я
Рис. 95. Коэффициенты отра-
жения и прохождения для ин-
дуктивной диафрагмы в зави-
симости от ц.
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Ч
Рис. 96. Относительная реак-
реактивная проводимость емкост-
емкостной диафрагмы в зависимости
от д.
на поперечного сечения, причем параметр q заключен в преде-
пределах
1
E4.25)
7^
При этом условии получаем
Hx = (e-ihzjrReihz>)C0S?fL при
Hx = Te-ihzcos7^- при г —*-— оо,
I
E4.26)
где коэффициенты отражения и прохождения соответспвенно
E4.27)
®0
/ctg-j-
а 0О определяется формулой E2.30).
Относительное реактивное сопротивление диафрагмы
E4.28)
301

отрицательно, т. е. имеет емкостной характер. Эквивалентная
схема данной диафрагмы приведена на рис. 96, причем
где W — !волнавое сопротивление линии, С — емокость.
Вместо X удобнее пользоваться относительной реактивной
проводимостью диафрагмы
В= — -^ = со(Ж E4.30)
Кривые на рис. 96 представляет зависимость В от q, вы-
вычисленную по формуле
B = 2ig\. E4.31)
Точками на рис. 96 отмечены значения В, снятые с прибли-
приближенных кривых (см. книгу [42]). Из рис. 96 видно, что прибли-
приближенные значения довольно близки к точным, откуда можно сде-
сделать вывод о надежности соответствующих приближенных
методов расчета (лишь при q=]1/2, т. е. при критической частоте
волны Нц, по [42] величина В получается с погрешностью око-
около Ю%). Аналогичные приближенные данные приведены также
в книге [43].
Заметим в заключение, что симметричная (двухсторонняя)
емкостная диафрагма эквивалентна односторонней диафрагме
в волноводе половинной высоты. Для индуктивных диафрагм
подобной эквивалентности нет.
§ 55. Общие замечания
Ключевая задача, рассмотренная (в § 52, легко .сводится к си*
стеме линейных уравнений для коэффициентов Rn. Действитель-
Действительно, подставляя выражение E2.04) в условия E2.01) и E2.02),
получаем соотношения
lRne~=l при —а<у<0 E5.01)
= —1 при 0<у<р, E5.02)
где
Ляпу
d
р»=1/ i-f£) =^\/ i-m • E5-03)
302

,2-кту
Умножим соотношение E5.01) на е , а соотношение E5.02)
_/ <2-'ктУ
на е р (w = 0, dz I, dt2, ...) и проинтегрируем в тех пределах,
в которых справедливы эти соотношения. При а = р получаем
систему уравнений
n 2'*1TV cos <рп г> *
E5.04)
в которой /n=0, ±1, ±2, ..., символ V' означает суммирование
по всем нечетным п — положительным и отрицательным, а 6от—
символ Кронекера (воо= 1. 601 = 602=. - . = 0).
Систему уравнений E5.04) в принципе можно было бы ре-
решать численно, заменяя ее конечной системой уравнений. Одна-
Однако эта замена не приводит к хорошим результатам, так как
коэффициенты 7?п при |/г|—*оо убывают довольно медленно. Из
формул E2.33) следует, что при s—>oo
V -P
поэтому ряд в первом уравнении E5.04) сходится как /l-^-
Из соотношения
Ё^ <5506)
следует, что уже для получения весьма скромной точности, рав-
равной 1%, нужно взять примерно 40 000 уравнений E0.04)! Иначе
говоря, система E5.04) непосредственно для численных расче-
расчетов непригодна.
Этот вывод является вполне естественным, если учесть, что
вблизи краев каждой ленты, образующей решетку (см. § 53),
поля неограниченно возрастают, причем эти особенности полей
полностью сохраняются в ключевой задаче § 52. Однако в каж-
каждом члене ряда E2.04) никаких особенностей нет, они получа*
ются при суммировании ряда как результат его плохой сходи-
сходимости. Но плохая сходимость ряда как раз и препятствует не-
303

посредственному численному расчету коэффициентов Дп с по-
помощью системы E5.04).
Тем не менее система E5.04) имеет вполне определенный
математический смысл и может служить исходным пунктом для
решения ключевой задачи. В частности, можно показать, что
коэффициенты i/?n, представленные по формулам E2.26) и
E2.27) в виде бесконечных произведений, удовлетворяют систе-
системе E5.04). Для проведения численных расчетов эту систему
необходимо как-то преобразовать, чтобы улучшить ее сходи-
сходимость. Поскольку в данном случае имеется аналитическое реше-
решение, система E5.04) сама по себе не представляет интереса и
лишь позволяет разобраться в вопросах, имеющих более общий
характер. Так, например, при а=И=р ключевая задача не допу-
допускает явного решения, но для нее легко написать систему, обоб-
обобщающую систему E5.04) и непосредственно не пригодную для
расчетов.
Следует отметить, что все задачи, решенные в гл. VI — VIII,
могут быть сформулированы в виде бесконечной системы ли-
линейных уравнений для величин, определяющих комплексные
амплитуды волн в различных областях (например, волн в коак-
коаксиальной линии и в круглом волноводе, диффравдионных воли
в свободном полупространстве и волноводных волн между ме-
металлическими пластинами и т. д.). Можно сказать, что всякий
раз, когда по методу факторизации задача сводится к фактори-
факторизации мероморфной функции, эта задача может быть сформули-
сформулирована в виде бесконечной системы линейных уравнений, при-
причем можно получить явное решение этой системы — неизвест-
неизвестные амплитуды волн могут быть выражены через бесконечные
произведения.
Последнее - обстоятельство вызвало появление ряда работ,
в которых метод факторизации в явном виде не применяется,
а задача сводится к упомянутым выше бесконечным системам
линейных уравнений, которые удается решить, используя при-
примерно те же приемы теории функций комплексного (переменного,
что и при решении методом факторизации. В частности, таким
путем были решены задачи, рассмотренные выше в гл. VII, при-
причем решения совпали с теми, которые получены методом факто-
факторизации. Появление работ, опирающихся на бесконечные си-
системы линейных уравнений и не использующих метода факто-
факторизации в явном виде, в значительной степени стимулировалось
надежной решить таким шутем задачи, 'не,поддающиеся решению
методом факторизации. К сожалению, эта надежда не оправда-
оправдалась: хотя (Многие диффракциоиные задачи могут быть сведены
к бесконечным системам линейных уравнений, но эти системы
удается решить аналитически только тогда, когда можно приме-
применить метод факторизации.
Гораздо более плодотворным оказалось другое направление,
в котором бесконечную систему линейных уравнений преобра-
304

зуют так, чтобы обеспечить лучшую сходимость, и затем ре-
решают численно, заменяя новую бесконечную систему системой
с конечным числом уравнений. Первые шаги в этом направле-
направлении были, по существу, сделаны при расчете диафрагм, приве-
приведенном в книгах '[42] и ![43]. Этот расчет основан на том, что ква-
квазистатическое решение (ср. § 53) охватывает особенности поля
вблизи решетки и что в это решение при длине волны, сравни-
сравнимой с периодом решетки, для получения более точных резуль-
результатов нужно ввести динамические поправки. Метод системати-
систематического введения этих поправок был развит в работах Аграно-
Аграновича, Марченко и Шестопалова [44] и Малина [45], где решена
задача о диффракции ллоокой волны на решетке из лент \(юм.
§ 53) при произвольном соотношении ширины лент и ширины
щелей между ними. Этот метод позволил решить некоторые
другие задачи, он является значительно более общим, чем ме-
метод факторизации. Его недостаток заключается в том, что он
обычно требует проведения довольно громоздких вычислений;
вычисления просты лишь при малых отношениях периода ре-
решетки к длине волны, когда динамические поправки несущест-
несущественны и применима ивазадстатичеекая теория решеток (ср. конец
§ 53). В «квазиоптической» области, когда период решетки
велик по сравнению с длиной волны, этот метод практически
неприменим, в частности он не позволяет рассчитать влияние
взаимодействия периодов (см. конец § 52) на оптические свой-
свойства диффракционных решеток. Для квазиоптической области
необходим новый метод, который использовал бы принцип Гюй-
Гюйгенса и вместе с тем асимптотически учитывал бы взаимодей-
взаимодействие периодов. Можно надеяться, что строгие решения, полу-
полученные в § 52 и 53, помогут разработке этого метода.
Задачи, решенные в этой главе, в свое время возбудили на-
надежды (на то, что метод факторизации удастся попользовать для
строгого решения более широкого круга диффракционных задач.
И эти надежды, к юожалению, не оправдались; (более того, ока-
оказалось, что ключевая задача § 52 при а = |3 решается методом
факторизации 'потому, что она эквивалентна задаче о бесконеч-
бесконечном волноводе с полубесконечной вставкой в плоскости его сим-
симметрии (см. задачу б ниже).
В предыдущих главах мы рассматривали диффракционные
задачи для систем, образованных идеально отражающими по-
поверхностями. Можно юказать, что ib этих главах исследованы
практически все известные системы такого типа, которые под-
поддаются строгому расчету методом факторизации. Однако целый
ряд новых задач может быть поставлен и решен, если от иде-
идеально отражающих поверхностей перейти к поверхностям, на
которых выполняются граничные условия импедансного типа.
Такие задачи будут рассмотрены в следующей главе, причем
в простейших случаях можно решить диффракционные задачи,
относящиеся к прозрачным телам (§ 65).
20—754 305

Задачи к гл. VIII
1. Решить ключевую задачу § 52 для случая, когда падающая волна
имеет вид
Решение. Полагая
ф=
для функции Ф! получаем волновое уравнение
Wdz 1г = °' kl = k cos Т1
и те же граничные условия, что и для Ф в § 52. Поэтому Ф] получается
из Ф путем замены k на k\. Таким же путем решается задача о емкостной
диафрагме (§ 54), в которой k\=h и вместо экспоненциальной зависимости
пх
от х выделяется множитель cos ~"g"~'
2. Составить функциональные уравнения для ключевой задачи §, 52
.в случае, когда падающая волна имеет вид
Для этого ввести функции
ф@, z) = f (z) = С QiwzF(w) dw,
Ф (-— 2a, z) = g (z) = \ QiwzG (w) dw
С
и, воспользовавшись соотношениями
(-2a, г).
где /z = &sin?0 и c? = a + f, вывести уравнения для функций F (w) и G (w).
Перейти к случаю .а = р.
Решение. Полагая при z < О
ау = О и j eiU7ZG(t<y) c?^ = 0, F)
С
при — 2<х <[ г/ < 0, г>0 можем искать Ф в виде
sin v BcL-{-y)-F(w)—sinvy>
С
а при 0<#<2jJ, z>0
306

Условие E2.16) и второе условие (а) приводят к системе функциональ-
функциональных уравнений
J е<«0 [(ctg 2va + ctg Щ) F (я,) - (^2^ +Шщ) ° <ю> J
) <> J dw
1 tfihd
Jе""° [ {Ш2^ +Шщ) F («О - (ctg 2t» + ctg Щ) G (w) J <*ш +

которые должны выполняться при z ^> 0. При а = р = -^- эти уравнения при
€шмают вид
Г г i
J е*«*о ^ctg^-f (и;)- 2slnod
1 e2ihd
i
F(w)ctgvdG(w)^ dw
e- 2ihd
iwz<> 2sint»d
Они допускают решение
причем F(w) должна удовлетворять уравнению
\ eiw*vQ(w)F (w) dw — sinhd \ e~iu;z-T——jF(w)dw = Q
с с
при 2>0, где функция Q(w) определяется формулой D5.16). |Это уравнение
вместе с первым уравнением (Ь) можно решить методом факторизации
только при sinhd=0.
3. Показать, что функция Ф в ключевой задаче § 52 при г-►О, где
г =
удовлетворяет соотношениям
-- дФ дФ 1
к ду dz yr
4. Показать, что решение ключевой задачи § 52 есть одновременно реше-
решение задачи о полубесконечном плоском волноводе (z>0) ширины d=a+$t
на стенках которого ставятся граничные условия
-^- = 0 при у = — а и 0 = р,
20* 307

а на поперечной перегородке 2 = 0 — граничные условия
дФ
-г- = 0 при — а < у < 0,
Ф = 0 при
причем к этой перегородке приходит основная волна E2.03). Представить
функцию Ф, определяемую формулой E2.04), в виде суперпозиции волно-
водных волн.
Решение. Эквивалентность обеих задач следует из граничных условий
E2.01), ,E2.02) и E2.08). Искомое представление имеет вид
«=1,3,
+ 2 J] ^
где волновые числа wn определяются формулой E2.24).
5. Показать, что задача 2 к гл. VI сводится при а=р к тем же функ-
функциональным уравнениям, что и ключевая задача § 52 (также при а=|3).
Представить решение задачи 2 к гл. VI в виде суперпозиции волноводных
волн для случая, когда по обоим волноводам, расположенным при <0
к плоскости 2=0 распространяются противофазные основные волны.
Решение. 'В задаче 2 к гл. VI при а= р
Полагая в этой задаче
k + w Yk-w v
где . _
кс V2k
А
при z ^> 0 получим
00 -1
S2sny iw9 г I
Afe cos —з— e ,
s=0 J
L s=0
где знак «+» надо брать при —а<у<0, а знак «—» брать при 0<у<\а. При
2<0 имеем
Ф =
5=0
где волновые числа wn определяются формулой E2.24), а коэффициенты
Ms и Afe — формулами
2/ ЛГ 2k
V
2k_
308

При этом Ф есть нечетная функция у:
Ф(у, 2)=-Ф(-г/, z).
6. Показать, что Фк — решение ключевой задачи § 52 — можно пред-
представить в виде
где Ф—Ф(у, г) есть нечетная функция у, рассмотренная в предыдущей'
задаче, а Ф'=Ф'(#, z)—четная функция у.
Подбирая функцию Ф' и пользуясь решением задачи 4, выразить Rn,
через коэффициенты Ms и N8, найденные в задаче 5, и сравнить эти выра-
выражения с формулами E2.26).
Решение. Положим
m
2sny —iw28z
f.cos d e
или
Ф'(у, 2)==Ф(— | У |, — z) При 2>0.
Тогда Ф^ = Ф + Ф' удовлетворяет граничным условиям
-^- = 0 при —а<#<С0, 2 = 0,
фк = 0 при 0<#<<х, 2 = 0
и имеет при z < 0 вид
00
00 00
cos e 2в+21^^1п
5=0 S=0
Сравнивая Фл с функцией Ф в задаче 4, получаем
Ф(у, г) = Фь(у, —z),
причем
Ro=Mo, R2&=-^M8 (s=l, 2,...),
Эти выражения полностью согласуются с формулами E2.26).

ГЛАВА IX
ДИФФРАКЦИЯ НА ИМПЕДАНСНЫХ СТРУКТУРАХ
§ 56. Граничные условия импедансного типа
В электродинамических задачах, рассмотренных в предыду-
предыдущих главах, мы предполагали все поверхности идеально прово-
проводящими. Так, если плоскость у = 0 принимается идеально про-
проводящей, то на ней ставятся граничные условия
£z = 0, Ех=0 при у = 0. E6.01)
Естественным обобщением этих условий являются граничные
условия импедансного типа. Если электромагнитное поле рас-
рассматривается в полупространстве у>0, а полупространство у<0
имеет большой комплексный показатель преломления:
n = V^, E6.02)
тде
e='e' + ie", |x=-/+l/// E6.03)
—диэлектрическая и магнитная комплексные проницаемости
нижнего полупространства, то на его границе вместо условий
E6.01) ставятся граничные условия Леонтовича
EZ = —ZHX, EX = ZHZ при у = 0, 'E6.04)
^связывающие тангенциальные составляющие электрического и
магнитного полей. В этих условиях комплексный параметр
Z = y -f E6.05)
играет роль (относительного) импеданса нижнего полупростран-
полупространства. В теории распространения радиоволн (§ 62) применяется

также граничное условие для нормальной составляющей элек-
электрического поля
Щу. = _ ikZEy при у = 0, E6.06>
которое легко получить из граничных условий E6.04), если их
продифференцировать и воспользоваться соотношениями, выте-
вытекающими из уравнений Максвелла:
дЕх ■ dEz дЕу ' .
дх •" dz ~~~ ду '
E6.07>
дНг _дНх_ .ьр
~дх~ W~ Пу'
В отличие от условий E6.04), условие E6.06) справедливо,,
только когда в полупространстве #>0 можно считать е=1.
Приближенные граничные условия E6.04) применимы, если?
глубина проникновения поля в нижнее полупространство
E6.08>
мала по сравнению с теми расстояниями, на которых поле
в верхнем полупространстве претерпевает заметное изменение
(т. е. по сравнению с длиной волны в верхнем полупространстве,,
с расстоянием источников поля до плоскости раздела и т. д.,
см. например [25], §25).
Если на идеально проводящей плоскости у = 0 лежит тонкий
плоскопараллельный слой вещества с проницаемостями е и ау
толщина которого равна б, то при условии
ку~ц& < 1 E6.09>
граничные условия E6.01) легко переносятся с плоскости у = О
на плоскость у=б — внешнюю границу слоя, в результате чего
получаем *
при у = Ь — 0. E6.10>
Для того чтобы получить граничные условия при у = 6 + 0, надо
учесть, что если в верхнем полупространстве е= 1, то
* При переносе применены уравнения E6.22), в которых ik заменено
на ik\i, и условия EZ=EX=Q при у=0.
31Ь

•поэтому
при # =
E6.12)
Перенося эти условия обратно на плоскость у=0 (в предполо-
предположении, что при 0<у<8— пустота), получаем окончательные
граничные условия
{дЕу
dz
при 0 = 0, E6.13)
учитывающие наличие тонкого слоя.
Граничные условия E6.12) целесообразно применять в слу-
случае системы, изображенной на рис. 97,а, а граничные условия
456.13)—в случае системы, изображенной на рис. 97Д Они
дают одинаковую точность, в чем можно убедиться, рассматри-
рассматривая, например, распространение поверхностной волны вдоль
тонкого диэлектрического слоя, лежащего на идеально проводя-
проводящей плоскости. Полагая (ср. [25], § 64), что вне слоя эта волна
имеет единственную составляющую электрического вектора
Герца
nz=Aeihz-Py, р = Y h2 — k2 , E6.14)
где Л — постоянная, и пользуясь первым условием E6.12), по-
пк
лучаем характеристическое
уравнение
Ш///////////Ш1
E6.15)
Первое условие E6.13) приво-
приводит к уравнению
1 ПЛ E6.16)
W////////////M,
Рис. 97. Тонкий слой на идеально
проводящей плоскости:
'Л —граничные условия E6.12); б—гранич-
б—граничные условия E6.13).
312
в то время как точное харак-
характеристическое уравнение имеет
вид (ср. формулу F4.07)
в книге ([25])
E6.17)

из него видно, что дополнительный член, которым уравнение
E6.16) отличается от уравнения E6.15), не дает в общем слу-
случае более точных результатов. Действительно, точное уравнение-
E6.17) можно представить в виде
в то время как из уравнения E6.16) получаем
т. е. при 8=^=3 поправочные члены различные.
Аналогичные граничные условия имеют место и для гребен-
гребенчатых структур. Ограничиваясь для простоты гребенчатой
структурой с бесконечно тонкими зубцами (рис. 75), при усло-
условиях
E6.18)
(L — глубина, d — период структуры) можем написать для нее
граничные условия
,дЕь
Ех = _
при у = —
E6.19).
где (в отличие от рис. 75) ось у направлена параллельно лен-
лентам так, что подложка совпадает с плоскостью г/=-—L, а концы
лент расположены в плоскости у = 0, ось z перпендикулярна
лентам, а ось х направлена вдоль лент. Эти граничные условия,
по существу, содержатся в первой работе [41], величина 6,
удовлетворяющая условию &6<^1, может быть выбрана произ-
произвольно (например, 6 = 0 или 6=^L), а параметр /г определяется
формулой
1
/2 =
In ch -j- = L — a,
где
E6.20)
E6.21)
Пользуясь уравнениями
l+e
E6.22>
313.

>и полагая
6 = /2, L—б=а, E6.23)
можно преобразовать граничные условия E6.19) к более про-
простому виду:
Ez=—ikl2Hx, £x = 0 при у = —а. E6.24)
Зти условия показывают, что гребенчатая структура является
анизотропной. Если относить граничные условия к плоскости
у = —а, то для поля, поляризованного вдоль лент, она эквива-
эквивалентна идеально проводящей плоскости (Z=0), а для поля, по-
поляризованного поперек лент, она имеет [при условиях E6.18)]
'чисто индуктивный импеданс
Z=—ikl2 = —ik(L—a), E6.25)
способный поддерживать распространение поверхностной волны.
Характеристическое уравнение поверхностной волны, определяе-
определяемой составляющей E6.14), имеет вид
p = k2(L—a). E6.26)
Это уравнение можно сравнить с результатами § 48—51,
где задача о распространении поверхностной волны решалась
в более общих предположениях, без использования условий
456.18.). В частности, при условии
e d < 1 E6.27)
было выведено простое характеристическое уравнение D9.10).
Величину Го в силу формул D9.11) и D9.12) можно представить
в виде
. Р
E6.28)
где
171=1
U hd
V 7l
E6.29)
Характеристическое уравнение D9.10) можно теперь переписать
в виде
p = ktg(kL-^y E6.30)
314

откуда
(\y E6.31)
Характеристические уравнения E6.26) и E6.30) и выражения
для импедансов E6.25) и E6.31) совпадают, если одновременно
выполняются условия E6.18) и E6j27). Следует иметь в виду,
что импеданс E6.31) в общем случае зависит не только от ча-
частоты и от размеров гребенки, но и от параметра г), т. е. от
волнового числа h электромагнитной волны; подобная зависи-
зависимость называется «пространственной дисперсией». Зависимость
Z от т] пропадает при выполнении условий
<72<1. т\*<1> E6.32>
когда вместо выражений E6.25) и E6.31) можно написать
«гибридное» выражение
u), E6.33)
в котором а определяется формулой E6.21). Соответствующее
характеристическое уравнение
p = kigk(L—u) E6.34)
применимо вместе с уравнением E6.26) и тогда, когда условие
E6.27) не выполняется, оно позволяет исправить ход кривых,
приведенных на рис. 79, при малых J-.
Заметим, что поверхностные волны того же типа могут су-
существовать и над плоскостью с граничными условиями E6.04).
Исходя из формулы E6.14) и первого условия E6.04), прихо-
приходим к характеристическому уравнению
р=Ш13 E6.35)
откуда
h = kV I—Z2. E6.36)
Формула E6.35) определяет поверхностную волну (поле которой
убывает при у—-оо), если
Rep>0, ImZ<0. E6.37)
Формула E6.36) определяет медленную волну (фазовая ско-
скорость которой меньше с), если
ReA>ife. E6.38)
Для немагнитной среды, у которой
e = |e|eiA, ц = 1, E6.39)

-согласно формуле E6.05) имеем
Z = !Z|e~'\ |Z|=^= E6.40)
т при малых \Z\ можем написать
E6.41)
Условие E6.38) выполняется, если
E6.42)
т. е. при
J E6.43)
волна является медленной; в частности, при А = л она ничем не
отличается от волны над диэлектрическим слоем или над гре-
гребенчатой структурой. При 0<(Д'< ^ волна обычно является
быстрой; такова, в частности, поверхностная волна Ценнека,
фигурирующая в теории распространения радиоволн (см. § 58)..
Выше мы рассматривали «односторонние» граничные усло-
условия импедансного типа. Для тонких полупрозрачных слоев или
для частых решеток можно ввести «двухсторонние» граничные
условия, учитывающие как отражение волн, так и их прохожде-
прохождение через слой или решетку. Для тонкого плоскопараллельного
слоя толщиной 26 при условии E6.09) вместо односторонних
граничных условий E6.13) можно написать двухсторонние гра-
вичые условия *:
Е+ — Е~= — ik (A — 1) Ь (#+ + Н~) + ( — — 1) 8 -£-(Е+
E6.44)
* Эти условия можно вывести так же, как условия ^ббЛЗ), а можно
и написать сразу, исходя из условий E6.13) и учитывая законы отражения
в идеально проводящей плоскости.
.316

в которых, например, Е* есть значение Ег при у = -\-0, а Ег —
при у = — 0. Вторую пару граничных условий
E6.45)
получаем, заменяя Е на Н, Н на —Е, е на \х и \х на 8.
Для решеток, период и толщина которых достаточно малы по
сравнению с длиной волны, справедливы аналогичные гранич-
граничные условия. Если относить, как выше, значения составляю-
составляющих к 'плоскости симметрии у = 0 рассматриваемой решетки,
состоящей из идеально проводящих стержней в пустоте, то со-
согласно первой работе [41] граничные условия, аналогичные усло-
условиям E6.44), имеют вид
E6.46)
X X 2 \ 2 * Z д JC
Вторая пара граничных условий
E+-\-E~ = — ikUH+-
E6.47)
несколько отличается от условий E6.45); первое условие E6.47)
учитывает анизотропию решетки, т. е. то обстоятельство, что она
образована проводящими стержнями, параллельными оси х, и
поэтому оно не похоже на первое условие E6.45).
Параметры /0, l\9 h и /з, входящие в условия E6.46) и E6.47),
вычислены (см. [41]) для решеток, образованных периодически
расположенными стержнями кругового и прямоугольного сече-
сечения. Для решеток из бесконечно тонких лент, лежащих в плос-
плоскости у = 0, параметры /0 и 1\ определяются формулами E3.24)
и E3.15), а параметры ,/2 и k равны нулю; для таких решеток
граничные условия E6.46) и E6.47) несколько упрощаются.
О фактических пределах применимости этих граничных условий
сказано в конце § 53.
Если поперечные размеры стержней, из которых сделана ре-
решетка, малы по сравнению с ее периодом, то параметры /ь /2
и /3 малы по сравнению с /о [в частности, при [5 < d по форму-
317

лам E3.15) и E3.24) получаем h < /0], и граничные условие
E6.46) и E6.47) можно упростить следующим образом:
E6.48)
В этих граничных условиях наиболее четко проявляется ани-
анизотропия решетки: по тонким проводникам токи могут течь
только в продольном направлении, т. е. в направлении оси х,
поэтому составляющая Нх непрерывна, а составляющая Hz тер-
терпит скачок.
Если в граничных условиях E6.48) величина /0 удовлетворя-
удовлетворяет условию
й/0<1, E6.49)
то, пренебрегая членами порядка kl0, получаем упрощенные гра-
граничные условия
Е+=Е~~=0 1
E6.50)
в которых отсутствуют какие-либо параметры, относящиеся
к решетке. Эти условия соответствуют плоскости у = 0 с анизо-
анизотропной проводимостью. Эта плоскость — идеально проводящая
для поля, поляризованного по оси х, и не воздействует на поле,
поляризованное по оси г.
§ 57. Береговая рефракция радиоволн
При распространении радиоволн над земной поверхностью
большое значение имеют свойства почвы. Хотя импедансный
параметр E6.05), характеризующий различные почвы, обычно
мал, он оказывает весьма существенное влияние на распростра-
распространение (см. ниже § 58), и электромагнитное поле над. плоскостью
с граничными условиями E6.04) существенно отличается от
электромагнитного поля, создаваемого теми же источниками
над идеально проводящей плоскостью с граничными условиями
E6.01). Непостоянство Z на трассе радиоволны также влияет
на характер ее распространения. Чтобы разобраться в происхо-
происходящих здесь явлениях, рассмотрим следующую задачу.
Пусть вертикально поляризованная волна создается верти-
вертикальным диполем, расположенным в точке, хо, уо, ^о (го<О).
Функция Ф=£"г/ удовлетворяет волновому уравнению
= 0 (при у>0) E7.01)
318

и граничным условиям
дФ
при у = О, z < 0 E7.02)
^ = — ikZ<& при у = 0, z > 0. E7.03)
Таким образом, мы считаем, что при г<0 и при г>0 имеются
разные импедансы, например при г<0 волна распространяется
над морем, а при г>0 — над сушей, и исследуем «береговую
рефракцию» — распространение радиоволн по трассе, пересе-
пересекающей «берег» г = 0.
Если бы граничное условие E7.02) было справедливо на
всей плоскости у = 0, то соответствующая функция
фо=уо(у, г) eikr E7.04)
определяла бы распространение вертикально поляризованной
радиоволны над однородной плоской землей с импедансом Zo.
В выражении E7.04)
-*oJ E7.05)
есть расстояние от диполя до точки наблюдения, взятое по зем-
земной поверхности; основная фазовая зависимость поля опреде-
определяется множителем eikr, а функция Уо, удовлетворяющая гра-
граничному условию
d-^ = -ikZ0V0 при у = 0, E7.06)
является медленно меняющейся функцией.
Если выполняется условие
^-, E7.07)
т. е. интересующие нас точки наблюдения расположены гораздо
ближе к началу координат, чем диполь, то можно положить
1
x. \ E7.08)
= -^- J
', E7.09)
где
V°(y, z') =V0(y, ro + z') e^o. E7.10)
В задаче о береговой рефракции формула E7.09) опреде-
определяет волну, набегающую на линию раздела г = 0 в плоскости
319

у—0 под углом фо. Рассмотрим сначала простейший случай
<fo = O, когда z' = z и набегающая волна E7.09) от координаты х
не зависит. В этом случае полное поле Ф также можно считать
ие зависящим от координаты х и искать его в виде
l ^ - — x и? -dw, E7.11)
- J v -j* kl о
с
где
v = \f k2— w2\ Imt;>O при Im&>>0, E7.12)
a /■'(до)— неизвестная функция. Выражение E7.11) удовлетворяет
волновому уравнению E7.01) и при выборе знака v согласно фор-
формуле E7.12) — условию излучения при V y*-\-z2—юо. Из гранич-
граничного условия E7.02) получаем для функции F(w) уравнение
iiwZF (w)dw = 0 при z<0, E7.13)
с
поскольку функция Ф° удовлетворяет этому граничному усло-
условию. Граничное условие E4.03) приводит ко второму функцио-
функциональному уравнению
^eiwZW(w)F{w)dw = — g°{z) приг>0, E7.14)
где
E7.15)
есть функция, стремящаяся при [ш|—>оо к единице, а
g°{z) =k{Z—Z0)O°@, z) =k{Z—Z0) V°@, z) eikz. E7.16)
Функцию g°{z) обычно можно заменить экспонентой
g°{z)=Aeikz, • E7.17)
пренебрегая зависимостью V°@, z) от г. Это безусловно можно
сделать, если Z0 = 0; тогда для вертикального диполя с момен-
моментом ру, находящегося на поверхности земли (//о = О),
E7.18)
>] ^ E7.19)
в результате чего приходим к выражению E7.17), в котором
А — постоянная величина.
320

Решение системы функциональных уравнений E7.13) и
E7.14) легко написать, если известно разбиение функции
E7.15) на множители
4?(w) =W+{w)W-(w), E7.20)
где функция W+{w) голоморфна и не имеет нулей в верхней
полуплоскости Imw^O и стремится в этой плоскости при
\w\— >oo к единице, а функция W-{w) обладает теми же свойст-
свойствами в нижней полуплоскости 1тш<0. Оно имеет вид
'
а контур С можно провести по вещественной оси.
Если ввести функции
y(w) = l+%t фо(ш) = 1+^, E7.22)
подобно функции W(w) стремящиеся при |ш|—>оо к единице,
то будем иметь
E7.23)
)
Поэтому задача сводится к факторизации более простой функ-
функции ty(w), так как tyo(w) получается из ty(w) заменой Z на Zo;
кроме того, W(w) =я|)(ш) при Z0 = 0.
При вычислении функции %-(w) =1пг|)_(ш) мы исходим из
формулы (ср. § 3)
iko+<x>
^-(«) L f kZ wdw tb ^лть\ E7.24)
da =as
в которой деформируем путь интегрирования наверх, так, чтобы
он охватил разрез k—+ioo с обеих сторон. Так как точка и на-
находится ниже пути интегрирования и так как обычно ImZ<0,
то при деформации контура пересекается полюс подынтеграль-
подынтегральной функции — корень уравнения
O. E7.25)
Если положить
C<-f, E7.26)
21—754 321

то этот полюс будет при w=ksin£, и v =— &cosC. Если, как
это обычно бывает, |Z|< 1, то С ^ ~ и корень уравнения E4.25)
находится вблизи точки ветвления w = k. Кроме того, полюсом
является сама точка ветвления.
В результате деформации пути интегрирования интеграл
E7.24) преобразуется к виду
где
too
. kl С wdw Z_ Г sin zdz
^J v(v2 — k2Z2)(w— a) nik J (sin2x — sin2 £)(sin x — sino)'
k - _^_
2
причем мы воспользовались подстановкой C.10). С помощью
тождества
^ 2sinx 1 / 1 1 \ ,
sin2 х — sin2 £)(sin x—sin a) sin а — sin Z>\ sin x — sin a sin x — sin KJ *
+ ! / ! l—\
1 sin а + sin ^ sin x—sin a sinx-j-sin^y
приходим к интегралам (ср. § 3)
1С
Т ■ -
Г dz =i
J sin x — sin a
о
f dz —i
] sinx — sin^
cos a
f
J sinx
0
cos К cos ^
J + sin^ cos^
0
причем второй из них отличается тем, что точка т = £ (в отличие
от точек т=(т и т = —?) лежит выше пути интегрирования. От-
Отсюда
I i |V2' 7"v" ' ' \ 2 SJcosa
sina —
1 sin a
322
E7-28)

и с помощью тождества
sin2 а — sin2 С = sin (а — С) sin (а -f- С)
приводим / к виду
к + а-.g I
sin (тс + а — ?) J * V ' '
sin
Интегрируя выражение E7.27) с учетом условия
и пользуясь тождеством
) =<$-(—w),
приходим к окончательным формулам
E7.30)
E7.31)
[i Г
Г
т + С—тс
sin$ — sinx Г •
exp[-^T
Г
T J
tdt
E7.32)
которые легко проверить непосредственно. Во-первых, при Z = 0
и £ = -?- получаем, как это и должно быть, ф+ = ф_ = 1. Во-
вторых, вследствие тождества
-с—С т—С + тс
1 Г С Ш , Г ^^ "] 1 С dt __ 1 . cos т +
2зГ[ J ^ГпТ *" J "sinTj"~T J sliO^T lncosx —
dt 1 ^ cos z + cos $
cos £
имеем
E7.33)
По существу, последняя проверка вместе с проверкой соотно-
соотношений E7.30) и E7.31) является вполне достаточным обосно-
обоснованием формул E7.32). Однако мы провели все вычисления,
чтобы показать, как производится факторизация функций, по-
подобных функциям E7.22).
В теории распространения ра-
радиоволн функции я|)+ и я|)-, по
существу, не нужмы, поскольку
в силу малости параметра Z можно >
сделать значительные упрощения. u
Прежде чем учесть малость Z, „ ЛО _
X Рис- 98. Путь интегрирова-
преобразуем полученное выше стро- ния с, в плос£ости комплексно-
гое решение задачи, справедливое Го переменного с;.
21 * 323

при любых Z. Ограничиваясь для простоты случаем Z0 = 0 и
«/ = 0, согласно формулам E7.11) и E7.21) получаем
Из тождества
? / ч E7.35)
видно, что подынтегральная функция имеет полюсы в точке
w = k (вычет в этом полюсе равен — -^-) и в точке aj=£sin£.
Деформируя путь интегрирования так, чтобы он охватил разрез
k—+ioo, на котором у меняется от +оо до —оо, и беря в качест-
качестве переменной интегрирования v, получаем
P4gdv, E7.36)
где путь интегрирования С в плоскости v изображен на рис. 98;
он охватывает точку v = —kZ=—&cos£ сверху и проходит по
вещественной оси, причем при v = 0 берется главное значение ин-
интеграла.
При условии kz > 1 в интеграле E7.36) существенна только
окрестность точки v = 0, поэтому в экспоненте и разности k—w
можно положить
w=k-0^, E7.37)
а в остальных функциях подставить просто w = k. Тогда полу-
получаем
Ф = ^.фе^\ E7.38)
E7.39)
где интеграл
с помощью тождества
легко преобразовать к
г
г kZ С
с
виду
е
\-kZ
kZ
2k
dv
+ kZ)
— i ——■
E7.40)
C'
324

поскольку главное значение интеграла
/
2k
—i —
е dv
E7.41)
равно нулю. Нетрудно показать, что интеграл E7.40) удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
йф , ikZ2
которое можно привести к виду
где через
kZe
E7.42)
E7.43)
E7.44)
обозначено численное расстояние. Решение уравнения
E7.43) получается в виде
АV"* • п
E7.45)
itt
it
и благодаря условию
ф= 1 при z=0
получаем
ф = ф (р) =
E7.46)
E7.47)
Условие E7.46) выводится из интеграла E7.40), который при
£ = 0 деформацией пути интегрирования преобразуется к инте-
интегралу вида E7.41).
Существенно, что функция ф есть универсальная функция
переменного E7.44), которая при р<1 обращается в единицу.
Если |Z|<$1, то формула E7.47) аппроксимирует интеграл
E7.36) не только при &г>1, но и при любых положительных г.
Не вдаваясь в математическое доказательство этого утвержде-
утверждения, отметим лишь его физический смысл, после чего оно станет
очевидным. При Z = 0 мы будем иметь 0=1, поскольку первич-
первичная волна Ф° без каких-либо возмущений проходит в область
z>0; при |Z|<1 и kzSl все равно практически должно быть
Ф=1, поскольку в этом случае влияние Z может заметно ска-
сказаться лишь в результате накопления малых возмущений при
325

распространении на большие (по сравнению с длиной волны)
расстояния. Так как при |Z|< 1 и kz~\ величина E7.44) мала,
а функция E7.47) близка к единице, то отсюда вытекает приме-
применимость формулы E7.47) при любых г и р.
Возвращаясь к общему случаю, когда набегающая волна
E7.09) зависит от х, мы вводим функции Ф° и Ф1? независящие
от координаты х, по формулам
Ф° = Ф° eikx s/n r'\ ф = Ф1е^Л8П1^°. E7.48)
Эти функции удовлетворяют волновому уравнению
E7.49)
и тем же граничным условиям E7.02) и E7.03). Отсюда вы-
вытекает, что формула E7.38) для произвольного угла сро прини-
принимает вид
+ я'51пТо), E7.50)
где ф есть та же функция E7.47) от переменной
p=^^fe. E7.51)
г 2 cos <р0 \ г
Содержание данного параграфа основано на работе Грин-
Гринберга и Фока. Мы остановились так подробно на задаче о бе-
береговой рефракции, довольно далеко отстоящей от тематики
этой книги, по нескольким причинам. Во-первых, задача о бе-
береговой рефракции явилась, по существу, первой диффракциои-
ной задачей, к которой был применен метод решения инте-
интегральных уравнений, развитый в работе [1]. В этой задаче
впервые была проведена факторизация с помощью дифферен-
дифференцирования и последующего интегрирования, т. е. использован
прием, к которому мы прибегали на протяжении всей книги.
Во-вторых, эта задача после небольшой модификации позволя-
позволяет рассчитать диффракцию поверхностной волны на конце по-
полубесконечной импедансной структуры, поддерживающей рас-
распространение этой волны (§ 60). В-третьих, решение задачи
о береговой рефракции, полученное при достаточно частных
предположениях, позволяет разобраться в более сложных во-
вопросах, относящихся к распространению и диффракции волн.
Последнее обстоятельство придает задаче о береговой рефракции
особое значение, поэтому мы продолжим ее рассмотрение
в § 59.
326

§ 58. Параболическое уравнение в теории распространения
радиоволн
Как уже говорилось в § 57, импедансный параметр Z в зада-
задачах о распространении радиоволн над земной поверхностью
всегда мал. Это происходит потому, что магнитную проницае-
проницаемость всех почв, а также пресной и соленой воды можно счи-
считать равной единице, поэтому по формулам E6.02) и E6.04)
получим
Z=4- E8.01)
Поскольку граничные условия E6.04) и E6.06) применимы лишь
при | п ] > 1, то должно быть | Z | < 1.
Вследствие малости Z распространение радиоволн на неболь-
небольшие расстояния происходит так же, как если бы было Z=0
(идеально проводящая поверхность земли), и влияние малого Z
сказывается лишь на достаточно больших расстояниях, таких,
при которых «численное расстояние» E7.44) конечно или ве-
велико.
Смысл численного расстояния р виден из следующих про-
простых соображений. Уравнение E7.25) определяет полюс под-
подынтегральной функции E7.36) и E7.40), который расположен
в точке
A - Ц-\ E8.02)
W8 =
Вычет в этом полюсе дает так называемую поверхностную вол-
волну Ценнека, зависимость которой от координаты z определяется
экспонентой
eWsZ = elkz~\ E8.03)
где р дается выражением E7.44).
Из формулы E8.03) видно, что влияние неидеальной прово-
проводимости земной поверхности должно сказываться лишь при ко-
конечных или больших р, поскольку при малых р экспонента
E8.03) неотличима от экспоненты eikz, характерной для верти-
вертикально поляризованной плоской волны, скользящей вдоль иде-
идеально проводящей плоскости.
Результаты § 57 подтверждают эти простые соображения
в части, касающейся роли численного расстояния. Однако по-
поверхностная волна Ценнека E8.03) не играет решающей роли
в процессе распространения. Действительно, хотя формулу
E7.47) можно переписать в виде
^(р)-е"Ч^е-р [fdt E8.04)
327

и назвать первое слагаемое поверхностной, а второе — простран-
пространственной волной, но последней можно пренебречь только при
К~р<1, тогда ф(р)?**1. В силу соотношения
dt = l , E8.05)
У п,
i
функцию ф (р) можно представить в виде
ф (р) = —4= е~р I е**сИ, E8.06)
/оо
откуда
при Р> 1. E8.07)
Таким образом, при больших численных расстояниях зависи-
зависимость поля от расстояния совершенно иная, чем для поверхност-
поверхностной волны.
Мы решили задачу о береговой рефракции довольно слож-
сложным путем. Чтобы найти более простой и физически наглядный
метод, позволяющий решить и более сложные задачи, рассмот-
рассмотрим сначала простую задачу о распространении радиоволн над
однородной плоской землей. Пусть излучателем является вер-
вертикальный электрический дилоль с моментом ру, находящийся
на поверхности земли, в точке x=^y = z = 0. Будем искать состав-
составляющую Ф = ЕУ, удовлетворяющую волновому уравнению
E7.01) и граничному условию E6.06), в виде
r)eikr. E8.08)
Тогда функция V будет удовлетворять уравнению
p^^l^(rd^Jr2ik^^-~V=0 E8.09)
и граничному условию
дУ
= 0 при у = 0. E8.10)
Введем безразмерные переменные
i.
~~~2
в которых уравнение E8.09) примет вид
Z=iZky, ?--^~kry E8.11)
, dV\ . dV
328

а условие E8.10)
^-+V = 0 при С = 0. E8.13)
Благодаря подстановке E8.11) малый параметр Z исчез из гра-
граничного условия и вошел во второй член уравнения E8.12).
Пренебрегая этим членом, приходим к параболическому урав-
уравнению
d2V , dV , 1 лт А /ro i .ч
-iv+^+W ' E8Л4)
которое в исходных переменных имеет вид
Решение этого уравнения при условиях
Р<1, у<г E8.16)
согласно формуле E7.18) должно иметь вид
2
Вводя новую функцию V\ по формуле
V=_^Vlf E8.18)
получаем для нее уравнение
граничное условие E8.13) и соотношение
V kr
0 при р — 0. E8.20)
Прежде чем решать сформулированную выше математиче-
математическую задачу, остановимся на ее физическом смысле. Параболи-
Параболическое уравнение E8.19) является в сущности уравнением диф-
диффузии
с мнимым коэффициентом диффузии
0 = i, E8-22)
329

а импедансное граничное условие E8.10) означает, что проис-
происходит необратимое просачивание поля в почву. Вследствие этого
просачивания поле у поверхности земли ослабевает и поэтому
происходит как бы диффузионное выравнивание поля. По мере
распространения волны от источника происходит диффузия
в вертикальном направлении (сверху вниз), причем роль вре-
времени играет переменная г — горизонтальное расстояние от ис-
источника. Этот диффузионный процесс (несколько своеобразный,
поскольку коэффициент диффузии мним) определяет главные
закономерности при распространении радиоволн. При переходе
от эллиптического уравнения E8.09) к параболическому урав-
уравнению E8.15) был отброшен член, определяющий аналогичный
диффузионный.процесс в радиальном направлении — в направ-
направлении распространения волн; этот процесс оказывается несуще-
несущественным, и пренебрежение им позволит сильно упростить реше-
решение задачи '(ср. [46]).
Уравнение E8.21) имеет при г>0 частное решение
G(r, y — y') =
которое удовлетворяет соотношениям
где 6 {у—у') есть дельта-функция, и
00
'(Л y — y')dy= 1.
E8.23)
E8.24)
E8.25)
При условии E8.22) это решение («функция Грина») прини-
принимает вид
G(r, y-y') =
E8.26)
Отсюда видно, что соотношение E8.20) является в сущности
начальным условием и может быть записано в виде
^^е 8 (у) при г = 0.
E8.27)
Решим параболическое уравнение E8.19) при граничном
условии E8.10) и более общем начальном условии
Vx=f(y) при г=0 и у^О. E8.28)
Это решение получается известным способом (см. [21], стр. 661):
функция Vi представляется в виде
1= ]0(r, y-t/)f(tf)dtf.
E8.29)
330

Начальное условие E8.28) определяет f(y) при положительных
у, а при отрицательных у эта функция определяется условием
E8.10), которое можно переписать в виде
оо
r, y)]f(y)dy
—оо
00
J G (г, у) [f (у) + ikZf (у)] dy = 0. E8.30)
Поскольку G(r, у) есть четная функция у, интеграл обратит-
обратится в нуль, если
П~У) +ikZf(-y) =-[f'(y) +ikZf(y)l E8.31)
Отсюда
f(-y) = eikzy | jV^ [f (t,) + /&Z/ (t])] dT] + f @I E8.32)
или
У) - / (У) + 2i*Ze'K* | е-''*2'1/ (^) ^. E8.33)
|
0
Переходя к условию E8.27), получаем
= 2-+р-е U (у) при
} E8.34)
[Hy)i-ikZe-ikZl/\
откуда
^Ze'4 j G(r, у - t/) e'lkZyi dt/. E8.35)
Если ввести обозначения
* v % /* kr .г— * у 1 / kr
E8.36)
Vp ' )
то формулу E8.35) можно переписать в следующем виде:
W = 2—4ае ^ ей, Eо.о7)
ioo
331

Согласно формуле E8.06) можно также написать
W = 2 + 2/ у™ф ((а + тJ), E8.38)
а согласно формуле E8.07)
W = ~-x при |а-Н>1. E8.39)
Формулу E8.37) обычно называют формулой Вейля — ван
дер Поля. Первое слагаемое в правой части этой формулы
(двойка) определяет поле над идеально проводящей плоскостью,
второе слагаемое (пропорциональное функции ф) связано с ко-
конечной проводимостью почвы и исчезает при Z—>0.
Согласно формулам E8.08), E8.18) и E8.36) функция W
входит в выражение для вертикальной составляющей электри-
электрического поля
JkR
Ey^-PpyW^-, • E8.40)
где
r7 ^ <г) . E8.41)
есть расстояние от диполя. Для однородной земной поверхности,
рассмотрением которой мы ограничивались в этом параграфе,
можно было исходить из вертикальной составляющей функции
Герца, для которой окончательное выражение имеет вид
JkR
?ir , E8.42)
где W — та же функция E8.37).
Это выражение пригодно при любых у, что видно уже из
того, что в пределах применимости формулы E8.39) оно при-
принимает вид
9 me A JkR I „nc q 7\ JkR
FT -. ^ COS 17 е „111 COS u Z/ \ с /го ЛО\
U» = P»-^¥Tz^ = pAl + ^4^)-ir • E8'43>
где
C0S& = ^. E8.44)
Выражение E8.43) полностью соответствует геометрической
оптике: поле представляется в виде суммы прямой волны, излу-
излучаемой диполем, и волны, отраженной от плоскости раздела
(с коэффициентом отражения CQS d T z ) -
Метод параболического уравнения, изложенный выше, пред-
предложен Леонтовичем и развит в работе Леонтовича и Фока. Сами
332

функции V, V\ и W, для которых выводятся параболические
уравнения, называются функциями (или множителями) ослаб-
ослабления; они являются медленно меняющимися функциями коор-
координат (по сравнению с экспоненциальными функциями eihr и
eikR).
Учитывая формулы E8.39) и E8.44), можно выражение
E8.37) переписать в виде
^-, E8.45)
+
где функция
-j-тJ) E8.46)
зависит только от суммы «т+т^В выражении E8.45) первое сла-
слагаемое, пропорциональное W, можно назвать поверхностной
волной, а второе, соответствующее геометрической оптике, —
-Л —
-л—I
Рис. 99. Пространственная волна по Нортону.
пространственной волной. Такое разложение предложено Норто-
Нортоном (см. [47], стр. 197), причем поверхностная волна Нортона
существенно отличается от поверхностной волны Ценнека, рас-
рассмотренной в начале § 58.
На рис. 99 схематически изображены поверхности равных
фаз, соответствующие пространственной волне E8.44); толщина
линий дает представление об амплитуде поля. Вблизи поверх-
поверхности земли сферические волновые фронты (рис. 99,а) можно
333

считать приближенно плоскими (рис. 99,6). Поверхностная вол-
волна возникает вследствие диффузионного выравнивания распре-
распределения поля, соответствующего пространственной волне. Это
выравнивание происходит в вертикальном направлении и из-за
мнимости коэффициента диффузии E8.22) сопровождается за-
запаздыванием по фазе.
§ 59. Распространение над электрически неоднородной
плоской землей
Рассмотрим задачу о береговой рефракции при тех упрощаю-
упрощающих предположениях, которые привели к формулам E7.38) и
E7.47). Мы считали, что при 2<0 импеданс Z0 = 0 и что источ-
источник расположен над морем достаточно далеко от берега z = 0.
Поэтому можно считать, что к границе раздела 2 = 0 приходит
вертикально поляризованная плоская волна. Ограничиваясь для
простоты случаем нормального падения (случай косого падения
сводится к нему с помощью элементарных соображений, см.
конец § 57), можно записать приходящую волну в виде
Ф° = В e'fez, E9.01)
где В — постоянная.
Будем искать функцию Ф при г>0 в виде
, г) eikz, E9.02)
тогда соображения § 58 приводят к параболическому уравнению
т£+2*£ = 0, E9.03)
граничному условию
~ +ikZV = 0 при у = 0 E9.04)
и начальному условию
1/=1 при 2=0. E9.05)
Мы ищем функцию V в виде [см. формулу E8.29)]
V (у, г)= Jg (z, у-у') I (у1) dy' E9.06)
—оо
и получаем по формуле E8.33):
f(y) = l при у^0, \
№=1+2(*-4и>-1)щпу<0. I @9-°7)
Поэтому
V = 1 + 2 J G (z, у - у') (е";***' -\)dy' E9.08)
—ОО
334

или
@0
где
V = 1 - ~= f e*ctt +-^L e-°'-2" j z*dt, E9.09)
a=e 4Zl/ =?=1
[ E9.10)
x=e Jl/Ц. !
. те
'г
При z/ = 0 в соответствии с формулами E8.05) и E8.06) полу-
получаем
V=g6(p), E9.11)
как это можно было ожидать.
Метод параболического уравнения позволяет эффективно ре-
решать и другие, более сложные задачи. Пусть, например, плос-
плоская волна E9.01), распространяющаяся (при z<0) над идеаль-
идеально проводящей плоскостью, попадает на трассу, состоящую из
нескольких участков с различными импедансами:
— ZY при
=Z2 при гх
— Zz при z2
E9.12)
Рассуждая, как выше, на первом участке 0<z<Z\ найдем функ-
функцию V в виде E9.09), причем надо считать Z = Z\. На втором
участке функцию V(y, z) находим, решая параболическое урав-
уравнение E9.03) с граничным условием E9.04) при Z = Z2 и началь-
начальным условием
V(y, z1 + 0) = V(y, zi-0), E9.13)
т. е. в качестве начального распределения функции V на втором
участке надо брать вертикальное распределение этой функции
на конце первого участка. Пользуясь формулами E9.06) и
E8.33), нетрудно найти функцию V над вторым участком в виде
квадратур, а затем таким же путем определить ее над следую-
следующими участками.
Задачи такого типа решались в теории распространения ра-
радиоволн Фейнбергом [47] другим методом — с помощью инте-
интегрального уравнения для поля на земной поверхности. Метод
интегрального уравнения и метод параболического уравнения
математически эквивалентны, однако с физической точки зре-
335

ния метод параболического уравнения предпочтительнее, по-
поскольку он дает четкую физическую картину распространения и
выявляет роль различных областей пространства. В частности,
легко объясняется усиление поля при удалении точки наблюде-
наблюдения от источника, если точка наблюдения находится над почвой
с хорошей проводимостью, а значительная часть трассы между
источником и точкой наблюдения имеет худшую проводимость.
Это усиление обусловлено тем, что вблизи поверхности земли,
где происходит «утечка» электромагнитной энергии в почву, по-
поле восполняется благодаря постепенной диффузии из более вы-
Z=0
-Л-
-Л-н
1*0
Рис. 100. Распространение волны над электрически неоднород-
неоднородной плоскостью.
соких слоев (см. § 58); когда волна переходит на участок с луч-
лучшей проводимостью, утечка уменьшается, но поле достигает
своего максимального значения не сразу, а на некотором рас-
расстоянии от границы раздела.
Сказанное поясняет рис. 100, имеющий весьма схематический
характер: плоская вертикально поляризованная волна, распро-
распространяющаяся над идеально проводящей плоскостью при 2<0,
при прохождении участка 0<z<zu на котором она поглощается
(ReZ>0) и замедляется (ImZ<0), испытывает нарастающее
возмущение — фазовые фронты изгибаются и амплитуда поля
падает, причем это возмущение захватывает точки простран-
пространства, лежащие все выше и выше над землей. Если при z>Z\
плоскость является идеально проводящей, то структура поля,
соответствующая исходной плоской волне, постепенно восстанав-
восстанавливается.
Сделаем в заключение несколько замечаний.
Мы считали, что импеданс Z может меняться скачком [см.,
например, формулу E9.12)]. Это ведет к скачкообразному изме-
изменению составляющих поля, что противоречит условию примени-
применимости импедансных граничных условий, согласно которому поле
должно мало изменяться на расстояниях порядка б, где б опре-
определяется формулой E6.08). Поэтому следует считать, что пере-
переход от одного импеданса к другому происходит в пределах по-
полосы шириной Лг, где
Аг>Ь. E9.14)
336

Если при этом удовлетворяется условие
!—р£.£Дг<^1, E9.15)
то выведенные выше (также и в § 57) формулы остаются спра-
справедливыми, хотя они не передают тонких деталей волнового по-
поля в переходной полосе.
Решение, полученное в § 58, не передает особенностей вол-
волнового поля вблизи диполя, в ближней и промежуточной зонах.
Это связано с тем, что переход к параболическому уравнению
возможен только при kr^> 1. По этой причине на функции V и
Vi нельзя наложить [как при решении исходного эллиптического
уравнения E8.09)] какие-либо условия в непосредственной
окрестности диполя, а вместо этого приходится пользоваться
условием E8.20), пригодным при р < 1 и kr ^> 1.
Метод параболического уравнения, рассмотренный выше,
можно представить в более общем и точном виде (см. [46]).
Изложим модификацию этого метода применительно к задаче
о береговой рефракции плоской волны E9.01)-.
Введем полярные координаты г, ср по формулам
z=r cos ф, t/=irsin<p E9.16)
и будем искать функцию Ф в виде
O = Bi[e2<fez+\F(r, q))eiftr]. E9.17)
Эта запись соответствует физическому представлению о том, что
диффракционное поле, за вычетом падающей волны E9.01),
имеет вид цилиндрических волн, расходящихся от границы раз-
раздела — оси х\ такое представление подтверждается формулами
E8.07) и E9.11). Для функции IF получаем уравнение
1 д
Т~д7
которое при kr ^> 1 заменяем параболическим уравнением
Параболическое уравнение E9.19) записано в лучевых коор-
координатах *, которые в данном случае совпадают с полярными
координатами г, ф, в то время как параболические уравнения
E8.15) и E9.03) записаны в координатах, являющихся лучевы-
лучевыми лишь приближенно — вблизи плоскости у = 0, где происходит
* Действительно, линии г = const суть фазовые поверхности цилиндри-
цилиндрических вот а линии ср = const — лучи, им соответствующие.
22—754 337

наиболее интенсивный диффузионный процесс. Как показано
в работе [48], уравнение E9.19) позволяет найти в весьма про-
простом виде волновое поле, возникающее при диффракции плоской
и цилиндрической волны на идеально проводящем клине. Это
решение является приближенным, но при kr—+oo его относи-
относительная погрешность стремится . к нулю несмотря на то, что
вблизи ребра клина, при kr < 1, решение сильно отличается от
строгого решения той же задачи.
Параболическое уравнение в лучевых координатах позволяет
получить решение задачи о диффракции на выпуклых телах
(см. [49] и [50]) более полное, чем решения, построенные с по-
помощью других методов. Однако для интересующих нас задач
(см. § 60 и 61) уравнение E9.19) не привело к сколь-нибудь
значительным упрощениям по сравнению с исходным волновым
уравнением и поэтому пока не дало заметных преимуществ.
§ 60. Импедансная ступенька
К задаче о береговой рефракции, рассмотренной в § 57,
примыкают задачи о диффракции поверхностной волны на им-
импедансной ступеньке и на импедансной полуплоскости.
Ниже мы будем считать все импедансы реактивными, т. е.
имеющими вид
Z=—iX, F0.01)
где X — вещественное число. В этом случае параметр £, входя-
входящий в формулу E7.26), имеет вид
y ^=sh£, F0.02)
а уравнение E7.25) имеет корень
который при Х>0 (£>0) соответствует медленной поверхност-
поверхностной волне (см. § 56), а при Х<0 (£<0) лежит на другом листе
плоскости комплексного переменного w, и его во внимание при-
принимать не следует.
Плоскость у = 0 с граничными условиями E7.02) и E7.03)
можно назвать импедансной ступенькой. Пусть справа к границе
раздела импедансов приходит поверхностная волна
Ф° = Ве~1кг ch l"ku sh \ F0.03)
тогда задача о диффракции этой волны на ступеньке сводится
к тем же функциональным уравнениям E7.13) и E7.14), где
g° (г) = Ae~ikz ch *; A = k{Z — Zo) В. F0.04)
338

Функция F(w), определяющая волновое поле по формуле
ф _ Гег {wz+vy) -IA~ dw, F0.05)
с
получается в виде
г/ ч А У + (kohl)
F И = -
а контур С должен охватывать точку w^—kohl снизу. При
z>0 можно деформировать контур С наверх и получить фор-
формулу
<$> = B[e-ikzch^kvshtJrReik2Cht-k*sht + Q1(yi г)], F0.07)
где Qi есть интеграл
Vi (J/, 2) —
+^ch6)r_eM^+^)g+(tt;)rftt;
J 1w + k ch £) (u - ta sh 5)
по контуру Сь изображенному на рис. 2. Коэффициент отра-
отражения /? получится равным
hg (AchS)< FO.o9)
^ 2Л ch е>ЗР'_ (Л ch Б) 2ch£
Так как в силу первой формулы E7.32)
1 £Н). FОЛО)
то абсолютная величина коэффициента отражения имеет про-
простой вид:
JL FОЛ1)
В этих формулах величина £0 определяется формулой
Xo = shgo, F0Л2)
где ^о — реактивное сопротивление полуплоскости г<0.
При z<0 интеграл F0.05) следует деформировать вниз, и
при ^о>О (£о>О) мы получаем
® = B[T?rikz^-kyshbJrQz(y, г)]ъ F0.13)
где интеграл
Q2(y, z) = — -ь ^ x
ег (гуг + т;г/) dw Г60 14)
22* 339

взят по контуру С2, охватывающему вертикальный разрез
—k—>—k—£00, а
T=
можно назвать коэффициентом трансформации поверхностной
волны. Если ?о<О, то в выражении F0.13) поверхностная волна
отсутствует, и поле сводится к интегралу F0.14). Если £ = £о, то
Т=1, как это и должно быть.
В силу формулы
-1 &)Fai6>
и формулы F0.11) мы получаем для абсолютной величины ко-
коэффициента трансформации простое выражение:
(Ш7)
Делая подстановку C.10) и вводя полярные координаты
E9.16), мы преобразуем интеграл F0.05) к виду
ф Ге,-Ь-51п(т+?)^ЗШ.)СО5* 0
J COS 1 + COS So '
и вычисляем его при kr^> 1 методом перевала (ср. § 5). В ре-
результате получается цилиндрическая волна
F (&cos <p) sin <p
sin <р — /sh^o V kr ' v '
причем соответствующая ей характеристика излучения имеет
элементарный вид. Действительно, по второй формуле E7.32)
имеем
1 — cos <р
tdt
1 Г
} F0.20)
I go — COS <f j
Прежде чем переходить к физическому анализу полученных
результатов, нужно установить связь функции Ф = Ф(#, г),
удовлетворяющей уравнению E7.01) и граничным условиям
340

E7.02) и E7.03), с составляющими электромагнитного поля.
Это можно сделать, положив
«Я-Ф, ty- ik дг. tz- ш ду
EZ = —ZHX при y = 0,
тогда Z есть импеданс, причем идеально проводящая плоскость
имеет Z0 = 0. Если же взять другой вид поляризации и положить
F ф И ±- И - 1
£* — v, пи- ik dz > п*- ik оу>\ F0.22>
HZ=ZEX при у = 0, J
тогда Z есть адмитанс плоскости у = 0 ( ее импеданс равен у )•
Так, из второго условия E6.13) получаем
z= м*-оа' F0-23>
а из второго условия E6.19)
z=W=b- (ба24>
Идеально проводящая плоскость имеет Z0=oo.
Здесь функция Ф отождествляется с горизонтальной состав-
составляющей Нх или Ех, в то время как в § 57 мы считали Ф = ЕУг
что позволило решить и трехмерную задачу о береговой рефрак-
рефракции [формула E7.48) и следующие]. Однако переход от гранич-
граничных условий E6.04) к условию E6.06) возможен, строго говоря,,
только при Z = const, а при переменном Z условие E6.06) тре-
требует дополнительного обоснования (см. [47] § 40), которое мож-
можно дать только при медленном изменении Z (ср. § 59). Гранич-
Граничные условия E6.04) также нельзя считать применимыми вблизи
прямой г=0, где Z переходит в Zo, поэтому «строгое» решение
в этой области ненадежно. Однако судя по результатам работы
[48] (см. конец § 59), это обстоятельство не должно приводить
к ошибкам для поля, вычисленного вдали от линии раздела
импедансов, которая аналогична острому ребру при диффракции
на клине.
Если исходить из формул F0.21) и F0.22), то мощность
приходящей поверхностной волны F0.03) на единицу оси х бу-
будет равна
ос
р=- 8^ |ф0* "w йУ =ш IB I2 cth S> <60-25>
341

мощность отраженной волны
* п л А =
44 I —л (shg + sf
и мощность трансформированной волны
^ — ^cthg 'y I —^ (sh$ + shbJ • [ п
Обозначая, как в § 5 и 6, через
2(ср) = -^-|Ф|2г F0.28)
мощность цилиндрической волны F0.19) на единицу оси х и
единицу угла ф, с помощью формул F0.06) и F0.20) получаем
— Р sh e (sh 6 ~sh -oJ
— г п (ch 5 + ch go)
sin2y
F0 29)
Л (сН —cosy) (ch£ +cos <рJ(сНо +cos <р) •
Полная излученная мощность равна
F0.30)
Делая подстановку r] = cosi(p и деформируя путь интегрирования
в плоскости комплексного переменного т), возьмем интеграл
F0.30). При £о>О шолучаем
Sh g - Sh SoJ - Sha g (Ch g - Ch g
и закон сохранения энергии примет вид
Pr + Pt + P* = P- F0-32)
При ^о<О получается несколько иное выражение:
Р Р Ch2 6 (Sh 6 + Sh SoJ - Sha 6 (Ch 6 - Ch go)»
Я = Я
и вместо соотношения F0.32) имеем
Р* + Р* = Р> F0-34)
поскольку в данном случае PT = Q.
342

Формула F0.29) упрощается при £0 = 0, когда
Z(y) p sh6(chg —1)l-cos?
В этом случае максимум характеристики излучения расположен
при ф = л, причем
dh F0-36>
Коэффициент направленности определяется формулой
(ср. § 7 и 21), откуда видно, что
G -*• 1 при 5—«-оо,
O. F0-38>
4
sh
при
Таким образом, при больших замедлениях излучение стано-
становится ненаправленным, а при малых замедлениях коэффициент
направленности может быть сделан сколь угодно большим. Фи-
Физически этот результат очевиден: вертикальная протяженность
набегающей поверхностной волны F0.03) равна
<баз9>
поэтому коэффициент направленности
^- F0.40)
в соответствии со второй формулой F0.38). Вместе с тем, при
£0 = 0 и I—>0 мы получаем PR—>0. Поэтому импедансная по-
поверхность, поддерживающая распространение поверхностной
волны с достаточно большой поперечной протяженностью, мо-
может быть использована как направленная антенна, дающая излу-
излучение в виде одного главного лепестка.
Правда, мы рассматривали довольно идеализированную си-
систему, но ясно, что и в более сложных системах это свойство
поверхностной волны сохраняется.
Сравним импедансную ступеньку при Z0=0 (рис. 101,а) и
открытый волновод (рис. 101,6), у которого одна из пластин
343

продолжена. Если высота волновода взята в соответствии с фор-
формулой F0.39) и если в волноводе возбуждена основная волна
(см. рис. 101,6), то коэффициенты направленности обеих антенн
примерно равны. Однако ха-
характеристики излучения этих
систем (при большой направ-
направленности) сильно отличаются:
характеристика волновода име-
имеет много лепестков, в то вре-
— мя как функция F0.35) имеет
только один максимум (ф = я)
и 'при уменьшении ф монотон-
монотонно убывает. Это отличие вы-
вызывается тем, что в достаточно
широком волноводе может
распространяться много волн,
а)
i i!
Рис. 101. Импедансная ступенька
{при Z0=0) и открытый волновод.
в то время как импедансная
поверхность поддерживает рас-
распространение только одной
волны. Практические ограни-
ограничения, возникающие при осу-
осуществлении антенн поверхностной волны (см. ниже § 65), имеют
также свои особенности.
При go==0° формула F0.29) также упрощается и принимает
вид
2 (ф^ = Р - - (fiO 41^
VT; те (chS — cos?)(ch£ + cosyJ ' \v\j.iij
В этом случае S(tc) = 0, характеристика излучения при S <^ 1
имеет максимум в направлении <р ^ % — 5, причем этот максимум
тем острее, чем меньше 6. Так как при ?0=оо формула F0.26)
принимает вид
PR = Pth*b-»O, если 6^0, F0.42)
то и в этом случае можно получить эффективное направленное
излучение.
Задача об импедансной ступеньке допускает ряд обобщений,
например можно рассмотреть импедансную ступеньку в волново-
волноводе. Простейшую систему такого типа мы получим, если к плос-
плоскости с граничными условиями E7.02) и E7.03) добавим парал-
параллельную ей идеально отражающую плоскость у=а (см. задачи
8 и9).
§ 61. Импедансная полуплоскость и импедансный клин
Будем считать, что на импедансной полуплоскости (# = 0,
г>0) ставятся граничные условия
при y =
F1.01)
344

2£-=ikZ<b при y = — 0, z>0. F1.02)
Это значит, что обе стороны полуплоскости имеют одинаковые
импедансы Z. Такие граничные условия мы будем иметь, если
плоская волна, поле которой не зависит от координаты ху диф-
фрагирует на металлической полуплоскости с граничными усло-
условиями E6.04); это видно из формул F0.21) и F0.22).
По отношению к задаче об импедансной полуплоскости за-
задача об импедансной ступеньке, рассмотренная в § 60, является
ключевой в том смысле, в каком это слово употреблялось
в гл. VIII. Действительно, если мы знаем решение задачи о диф-
фракции поверхностной волны F0.03) на импедансных ступень-
ступеньках с тем же значением Z, что и у данной полуплоскости, и со
значениями Z0 = 0 и Z©=oo, то легко получим решение интере-
интересующей нас задачи об импедансной полуплоскости.
Обозначим через Фе решение задачи об импедансной сту-
ступеньке при Z0=0, а через Фш—такое же решение при Z0 = oo.
Таким образом, функции Фе и Фт содержат одну и ту же па-
падающую волну F0.03), удовлетворяют граничному условию
F0.01), а также граничным условиям
^=0 при у = О, z<0 F1.03)
Фт = 0 при у=0, г<0. .F1.04)
Искомое волновое поле для полуплоскости определяется про-
простыми выражениями
/, z)\ при
F1.05)
1 =-^- [Фе (—у, г) — Фт(—у, г)] при #<0.
Так как функция tyo(w) при Zo—>0 обращается в единицу, а
kZ
при Z0-->oo может быть заменена функцией—^-2-, то из формул
F0.04) —F0.06) получаем
^е — 2izl ^+
2т T+ v" W1 ч' J у (ш + Л ch 6) ф. (w) '
с
фш = ^r ^v-^-v f, /A ch $) Г eM»»+^0jg; ^ 06)
^" J V k — w (w 4- k ch E) ф. Гш)
345'

Вычисляя эти интегралы методом перевала, получим две ци-
цилиндрические волны, фазы которых отличаются на у и мощно-
мощности поэтому просто складываются. Таким образом, искомая ха-
характеристика излучения равна
S(?) = |[Se(?) + S»,(?)], F1.07)
где функция 2е(<р) определяется формулой F0.35), а функция
■2т (ср) —формулой F0.41), или
s±L ' , F1.08)
P
4rc ch2 g — p
.Максимум этой характеристики реализуется при ф=я.
Коэффициент отражения поверхностной волны от края полу-
полуплоскости согласно первой формуле F1.05) равен
R=Y(Re+Rm), F1.09)
и в силу соотношения
мы имеем
Поверхностная волна проходит (заворачивает) на нижнюю сто-
сторону полуплоскости (#<0, е>0). Коэффициент поворота поверх-
поверхностной волны согласно второй формуле F1.05) равен
S=±(Re-Rm), F1.12)
откуда
IS|H*| (ii3)
Так как характеристика F1.08) симметрична относительно
плоскости у=0:
2Bя—<р)=2(<р), F1.14)
то в силу соотношений F0.34), F1.11) и F1.13) мы шолучаем за-
закон сохранения энергии
^ = P(l-\R\*-\S\*) = P^r. F1.15)
0
.•346

коэффициент направленности
О = 2ъ 2/Gг)—=cth6 F1.16)
при малых g вдвое меньше коэффициента направленности
F0.37) для импедансной ступеньки. Этот результат объясняется
тем, что согласно формуле F1.07) характеристика излучения
полуплоскости есть наложение двух характеристик с несовпа-
несовпадающими максимумами.
Задача о диффракции плоской волны
, $o=jBe-^Bcoscpof,sincp0)? Q<cpo<^, F1.17)
на импедансной ступеньке и на импедансной плоскости ре-
решается аналогично. Решение мы получим, если в формулах
F0.06) и F1.06) заменим ch£ на cos*p0, т. е. I на i <р0.
Интересно отметить, что задача о диффракции на импеданс-
импедансной полуплоскости, в свою очередь, является ключевой задачей,
позволяющей легко написать решение более сложной задачи
о диффракции на прозрачной полуплоскости с двухсторонними
граничными условиями импедансного типа
Ф(+0, г) = Ф(-0, г)=^[%.{+0, г)-™- (-0, г)]
при z>0. F1.18)
Действительно, положим
*г(у, г) = ~[Ф(у,г) + Ф(-у,г) + Ф1)(у,г)}, F1.19)
где Ф(у, г)—решение задачи об импедансной полуплоскости
при падающей волне Ф°(у, г), а
ФоО/, г)=Ф°(у, г)-Ф°(-у, z), F1.20)
в частности, для плоской волны F1.17)
Фо (у, г) = — 2iBe~ikz cos ?0 sin (ky sin ?0). F1.21}
Покажем, что функция Ф1 дает решения о диффракции той же
волны Ф° на прозрачной полуплоскости. Поскольку из формул
F1.19) и F1.20) видно, что в выражении для функции Ф]
остается только приходящая волна Ф°(у, г), а приходящая вол-
347-

на Ф°(—у, г) сокращается, то нужно лишь проверить выпол-
выполнение граничных условий F1.18). При z>0 имеем
, г)-Ф(-0, г)],
±Ф'О,
F1.22)
где использованы условия G1.01) и F1.02) и обозначено
Ф'0=^(±0,г), ' F1.23)
в частности, для функции F1.21)
Ф'в == — 2ik sin ?0Be~ikz cos <Po. F1.24)
Из формул F1.22) видно, что граничные условия F1.18) удов-
удовлетворяются.
Полученное решение соответствует нескольким электродина-
электродинамическим задачам. Если волны поляризованы параллельно
оси х, то
Е =ф И = J_^ // —-Д-— F1.25)
и,полагая
Z=4r* F1.26)
мы получим решение для полубесконечной решетки с гранич-
граничными условиями E6.48), а полагая
Z=— Ik (в—1N F1.27)
найдем решение для тонкого диэлектрического слоя с гранич-
граничными условиями E6.44) и jut = 1. В последнем случае возможно
распространение поверхностной волны, которая будет возбуж-
возбуждаться плоской волной и может быть взята в качестве падаю-
падающей волны. В случае импеданса F1.26) поверхностная волна
отсутствует.
Выше были рассмотрены двухмерные электродинамические
задачи для импедансной ступеньки и импедансной полуплоско-
полуплоскости. Трехмерные электродинамические задачи, например задача
о диффракции плоской волны, направление распространения ко-
которой составляет произвольный угол с осью х, также могут
быть решены для этих импедансных структур, однако соответ-
соответствующие решения имеют весьма громоздкий вид (см. [51]), и
мы их рассматривать не будем.
348

В последнее время появились работы по диффракции на
идеально проводящей плоскости, находящейся в гиротропной
плазме (см. [52]). Эта диффракционная задача также решается
методом факторизации; она несколько напоминает задачу об
импедансной полуплоскости, окруженной изотропной средой,
тем, что в обеих системах возможно возбуждение поверхностных
волн.
Задачи, рассмотренные в этом и предыдущем параграфах
являются частными случаями общей задачи о диффракции на
импедансном клине. Если ввести полярные координаты г, (р и
рассмотреть двухмерное волновое поле Ф(г, ф) в области
0<f<oo, 0<ф<.а, F1.28)
то граничное условия формулируются так:
1 дФ
при <р = а.
F1.29)
Импедансную ступеньку мы получаем при а = я, а импедансную
полуплоскость — при а = 2я и Z0=Z.
Задача о диффракции плоских и поверхностных волн на им-
импедансном клине допускает строгое решение (см. работы [53], [54]
и [55], а также статьи [56] и [57], в которых рассмотрена диф-
фракция цилиндрической волны на импедансном клине). Это ре-
решение является в общем случае довольно громоздким, однако из
него можно получить ряд численных результатов и простые фор-
формулы для величин, имеющих физический интерес. Так, при ра-
равенстве реактивных импедансов граней
= Z0 = —/ sh
F1.30)
абсолютная величина коэффициента отражения поверхностной
волны получается равной
1X2
\R\ = -
cos
2оГ
sh-
п2
F1.31)
-ch2— + cos2-2^sh2 —
а абсолютная величина коэффициента поворота поверхностной
волны на другую грань клина равна
sin
1X2
2а
и б
sh —
1X2
ix£
1X2
а~
F1.32)
349

При а = 27: отсюда получаем
что находится в полном согласии с формулами F1.11) и F1.13).
Кроме того, имеем
\R\ = l, |S|=0 при а = -^-, F1.34)
где л=1, 2, ...
Вычислены также характеристики излучения поверхностных
волн с ребра клина, соответствующий коэффициент направлен-
направленности зависит от вертикальной протяженности поверхностной
волны примерно так же, как для импедансной ступеньки и им-
педансной полуплоскости. Для металлического клина рассчита-
рассчитано диффракционное поле плоской волны и произведено сопостав-
сопоставление с экспериментом [54].
Ограничимся этими краткими сведениями о диффракции на
импедансном клине, поскольку детальное изложение соответст-
соответствующей теории завело бы нас слишком далеко.
§ 62. Тонкий проводящий цилиндр
Рассмотрим тонкий цилиндрический проводник радиуса а, на
поверхности которого ставится граничное условие
EZ=ZJ (r = a), F2.01)
где J = J{z)—полный ток, текущий через сечение z = const
в направлении оси z — оси провода — и связанный с составляю-
составляющей магнитного поля //ф на его поверхности соотношением
F2.02)
а % — погонный импеданс провода. Если применимы граничные
условия E6.04), то
—\ S=-?-Z. F2.03)
Однако гЬаничное условие F2.01) применимо для тонкого про-
провода и в том случае, когда глубина проникновения E6.08) поля
в проводник не мала по сравнению с радиусом проводника а.
В этом cj/учае погонный импеданс % нужно вычислять по общим
формудшм теории скин-эффекта в цилиндрическом проводе (см.,
например, [25], § 27).
350

При теоретическом рассмотрении тонкого цилиндрического
проводника, удовлетворяющего условию
k\a<l, F2.04)
возникает ряд упрощений, благодаря которым можно дать
достаточно полное решение задач, имеющих практическое зна-
значение. Прежде всего, по тонким проводникам текут практически
только продольные токи, распределение которых по круго-
круговому сечению проводника симметрично, т. е. не зависит
от координаты <р. Эти токи возбуждаются продольной
составляющей Е* внешнего (стороннего) поля, причем если это
поле зависит от <р (например, для плоской волны, возбуждающей
цилиндрический провод), то его можно взять на оси провода или,
усреднив по <р, считать составляющую Eez не зависящей от <р.
Если через Ez обозначить продольную составляющую поля, со-
созданного токами и зарядами на самом проводе, то граничное
условие F2.01) примет вид
Для идеально проводящего цилиндра надо считать % = 0у и гра-
граничное условие имеет вид
Ег + Е*г = 0 (r = a). F2.06)
Кроме того, при условии F2.04) различие между сплошным ци-
цилиндрическим проводником и трубкой того же радиуса и той же
длины исчезает (ср. начало § 39), и мы можем ставить на конце
проводника простое граничное условие / = 0 (ср. конец § 1).
Полагая
/ (г) = J eiwZF (w) dw, F2.07)
по формулам A2.16) и A2.29) получаем
Ег = —^[ eiwZv2J0 (va) H{^(va) F (w) dw. F2.08)
с
При условии F2.04) можно произвести замену функции /0 и Я(о2)
их приближенными выражениями при малых аргументах
J0(va) = l, H[l)(va) = — ^ln-^- (у = 1,781 ...), F2.09)
351

тогда выражение F2.08) принимает вид
где
Ez = j е*ЛГ (w)F(w) dwy F2.10)
с
= ^r-v2 In—. F2.11)
Пользуясь выражением F2.10) вместо выражения F2.08),
мы фактически пренебрегаем тонкими деталями распределения
тока по оси z (на расстояниях Az<a), связанными с такими
значениями wy для которых |до|а>1. Это следует из того, что
замена F2.09) законна лишь при |ш|а<1. Используя выраже-
выражение F2.10), получаем «сглаженное» распределение тока F2.07).
Если на полубесконечный провод @<г<оо) падает под
углом п—Оо к оси z плоская волна:
F2.12)
где Е° — амплитуда ее электрического поля, то эта диффрак-
ционная задача сводится к функциональным уравнениям
eiaZF(w)dw = 0 при z<0 F2.13)
ez=0 при г>0. F2.14)
Если провод имеет конечную длину, то получаем те же функцио-
функциональные уравнения, но уравнение F2.14) должно выполняться
на самом проводе, а уравнение F2.13) —на его геометрическом
продолжении.
В подобных задачах важно знать, какое влияние имеет им-
импеданс % и при каких условиях провод можно считать идеально
проводящим и полагать в уравнении F2.14) % = 0. Вопрос
о влиянии конечного, но малого импеданса на распределение
тока в проводнике, аналогичный вопросу о влиянии конечного
импеданса земной поверхности на распространение радиоволн,
проще всего решить следующим образом (см. начало § 58).
Рассмотрим уравнение
M(w)—Z = 0, F2.15)
которое имеет корень w = w8, при Im %<0 соответствующий
поверхностной волне Зоммерфельда, распространяющейся вдоль
352

тонкого провода (см. [21], гл. XXII или |[25], § 62). С помощью
формулы F2.03) это уравнение можно переписать в виде
V In JL = iZka, ri = Yw]-k2a, F2.16)
при Re% = 0 и Im%<0 оно дает вещественные значения ws и
/ц. Зависимость поверхностной волны от координаты z вдоль
провода определяется экспонентой
е'ш-* = е'*«+\ 9 = (Ws-k)z, F2.17)
где р играет роль численного расстояния.
Поскольку волна тока, бегущая вдоль идеального провод-
проводника, зависит от z как eihz, то конечный импеданс провода не-
несуществен при малых р и становится важным при конечных
и больших значениях р. Иначе говоря, импеданс влияет на рас-
распределение тока лишь в достаточно длинных проводах, длина 2L
которых удовлетворяет условию
\ws — k\2L>l. F2.18)
Оценки показывают, что металлические проводники имеют
столь малые погонные импедансы %, что условие F2.18) вы-
выполняется только для очень длинных проводов (для медного
провода при а= 1 мм и Я=30 см должно быть 2L> 100 м). При
желании % можно увеличить, и тогда импеданс будет сказы-
сказываться в более коротких проводах. Мы начнем с того, что рас-
рассмотрим идеально проводящий тонкий провод и лишь в конце
вернемся к импедансному проводу.
Заметим, что если для двухпроводной линии, удовлетворяю-
удовлетворяющей условию D4.22), в функции D4.12) произвести замену
F2.09) и, кроме того, положить
то мы придем к формуле F2.10), в которой
M(w)=^v2ln^> F2.19)
откуда
F2.20)
Эта связь между электрическим полем и током в линии сразу
ведет к телеграфному уравнению, позволяющему дать прибли-
приближенный расчет распределения тока в любом отрезке линии (не-
23—754 353

которые уточнения такого расчета были даны в § 44). В одно-
проводной линии — тонком цилиндрическом проводе — связь
между электрическим полем и током более сложная, поэтому
соответствующая электродинамическая теория тоже гораздо
сложнее.
Чтобы разобраться в основных закономерностях, решим
уравнения F2.13) и F2.14) для плоской волны F2.12). Мы по-
получаем (при % = 0) функцию F(w) в виде
FG0)\ —el !
r\w) 2я/(ш — wo)M+(wo)M- (w)~ 2izi (w—wo)M-(wy
где
5 = -вд <62-22>
и
M+ (w)=y^(k + w)X+ И, jVL (w) = Y7k (* - ^)x- И.
F2.23)
а функции Х+иХ. возникают в результате факторизации лога-
логарифмической функции
X (ш) = In ^ = Х+ (Ш) X. (а»). F2.24)
Окончательное выражение для тока имеет вид
w F2-25)
или
-j \ I ( —— Ta^Z—) у—ГТ ' F2.26)
с
где контур С охватывает точку wo снизу, а контур С — сверху.
Первое слагаемое в квадратной скобке F2.26) определяет
ток, который возбуждается плоской волной F2.12) на бесконеч-
бесконечном проводе (—оо<Сг<оо), а интеграл — краевую волну тока,
бегущую от конца провода z=0 в положительном направлении
оси z. Из физических соображений ясно, что краевую волну
можно представить в виде произведения медленно меняющейся
функции z на экспоненту eikz, поэтому в интегралах такого типа
можно, не делая большой ошибки, положить
In = In-
, х.(а,) Щ^, F2.27)
354

тогда при w—>±k соотношение F2.24) удовлетворяется точно,
а для других значений w — приближенно; так, например, точ-
точные функции Х+ иХ. при <^ = Q должны быть равны
^-. F2.28)
в то время как функции F2.27) дают
F2.29)
где
^ ^' <62-30>
т. е. относительная погрешность формул F2.27) порядка -^.
Относительная погрешность при вычислении тока в общем слу-
случае гораздо меньше. Вводя новую переменную интегрирования
и = ka2 (w — k) и обозначая
ln 42q(w0) Г г 1
¥
можно переписать формулу F2.26) в виде
J(z) =S[eiw^—^(z—wQ)eikzl F2.32)
Контур Г в интеграле F2.31) охватывает точку ветвления
и = 0 снизу, а точку и=—2q(wQ) — сверху. Чем больше координа-
координата z, тем большее значение имеет в интегралах F2.26) и F2.31)
непосредственная окрестность точки ветвления {w — k и w = Q),
тем большую точность дают формулы F2.27), в силу которых
мы пришли к функции if(z,—Wo); поэтому точность формулы
F2.32) для тока неограниченно растет при увеличении kz. С дру-
другой стороны, как легко показать,
0, wo)=-l, F2.33)
поэтому
/@)=0, F2.34)
как и должно быть. Наибольшую погрешность (порядка -^-j
формула F2.32) имеет при конечных значениях kz.
23* 355

Функция ty{z} wQ) возникает и в других задачах, относящих-
относящихся к тонкому проводу. Если, например, бесконечный провод
(—oo<z<oo) возбуждается сосредоточенной электродвижущей
силой
Ег=$Ыг), F2.35)
то
— 00
Полагая под знаком логарифма
v = Y2k{k — w) при г > О,
и = К2£(£ + оу) при 2 < 0, F2.37)
из выражения F2.36) получаем приближенную формулу
^|,Л)е'*1*1, F2.38)
точность которой примерно соответствует точности формулы
F2.32). Основание для замены F2.37) заключается в том, что
функция /(z) ~е'*|г|, и поэтому в интеграле наиболее сущест-
существенны значения w^k при г>0 и w**—k при z<Q; замена де-
делается только под знаком логарифма, значение которого слабо
зависит от его аргумента. Можно показать, что через ту же
функцию i|)(z, k) выражается волна тока, возникающая в ре-
результате отражения «первичной» волны F2.38) от концов конеч-
конечного отрезка провода или краевой волны —я|)(г,—wo)eihz от дру-
другого конца провода. Так получается потому, что, например, волна
тока i|)(|z|, k)etklz] набегает на конец, расположенный при z<0,
практически с той же зависимостью, что и волна е*ш°г—при
Wo——^ так как функция г|) меняется медленно.
Покажем, что этот результат получается математически.
Если сосредоточенное стороннее поле F2.35) возбуждает полу-
полубесконечный провод —L<2<°o, то текущий в нем ток можно
искать в виде
J(z) = j eiw{L+z) [F(w)+F0 (ш)] dm, F2.39)
где функция
F2.40)
л ov"/— 2n M{w)
определяет согласно формуле F2.36) ток в бесконечном прово-
проводе, а функция Fq(w) —краевую волну тока, возникающую при
356

отражении этого тока от конца z=—L. Эта функция должна
удовлетворять уравнениям
^ еш{L+Z)[F(w) + F0(w)]dw =0 при L + z<0 F2.41)
с
eiw{L+z)M(w)F(w)dw = 0 при L + z>0. F2.42)
Согласно работе [1] эти уравнения можно решить следующим
образом. Из уравнения F2.42) следует, что произведение
M(w)F(w), а следовательно, и произведение M-(w)F(w) го-
голоморфны в верхней полуплоскости imw^O и исчезают там
при \w\ —>оо. Из уравнения F2.41) следует, что сумма F(w) +
+ F0(w), а следовательно, и произведение M-(w)[F(w) +F0(w)]
голоморфны в нижней полуплоскости 1тш<0 и исчезают там
при \w\—>oo. Если заданную функцию
H(w)=M_(w)F0(w) = — ^ e~l+W(Lw) F2.43)
H{w) =H+(w) +H-{w), F2.44)
. ч 1 Г H (ад) dw u / ч 1 f H (ад) dw mo Лс\
")=2^Г J ад-^ ' Я-И = -^7 J ад^^ F2в45)
—ika—oo £^0—°o
суть функции, голоморфные соответственно в верхней и ниж-
нижней полуплоскостях и исчезающие в них при \w\—>oo, то, по-
полагая
разложим на сумму
где (ср. § 3)
—ik0+oo ik0+oo
M* L Г
будем иметь
0(w) = -^-^y M(w)F(w) = -M+(w)H+(w). F2.47)
Из формулы F2.46) следует, что при строгой трактовке от-
отраженная волна имеет более сложный вид, чем падающая; если
провод имеет конечную длину (—L<z<L), то эта отраженная
волна в свою очередь порождает новую отраженную волну, рас-
распространяющуюся от конца провода z = L в отрицательном на-
направлении, и т. д. Последовательно возникающие волны выра-
выражаются все более и более сложным образом, поэтому без
введения каких-либо аппроксимаций такое решение является
чисто формальным.
Эти аппроксимации вводятся следующим образом. Во-пер-
Во-первых, функции М+ и М_, определяемые формулой F2.23), выра-
357

жаются через приближенные функции Х+ и Х_ [см. формулу
F2.27)]. Тогда функция Н+ принимает вид
' () — — л/г—1к°^°С
eiwLc
8
2i (k+u)X+(u)
и, следовательно,
Во-вторых, полученное выражение для F(w) упрощается путем
замены ty(L, w) на i|?(L, к) и Х+(ад) на Х+(А). Это также оправ-
оправдывается тем, что функция F(w) определяет волну тока, бегу-
шую со скоростью света в положительном направлении оси zr
поэтому в ней существенны значения w^k.
В результате этих аппроксимаций формула F2.39) прини-
принимает вид
= g [f (| z Ik) eik'г' -1» (Z, А) ф (L + г, ft) егй BL+2)] F2.50)
в соответствии со сказанным выше.
Если мы имеем конечный отрезок провода
—L<z<\L, F2.51)
возбуждаемый сосредоточенной электродвижущей силой
Eez = gb{z-z,l -L<zo<L, F2.52)
т. е. передающий вибратор, то ток в нем по предыдущим сооб-
соображениям можно представить в виде
F2.53)
г).
= 0 при z=±L, F2.54)
где функция ij)'B, k) для краткости обозначена через г|>(г).
Постоянные Вх и В2 находятся из граничных условий
а именно:
В г =~ ML + z.) - ф B1) ф (Z - г0) е
ML + z) ф B1) ф (Z ) я* (L"Z») ] ея*(L
№ (Ь - z) - <!> B£) ф (Z + z) e2'*(L + г<))] e2ift (t-z»>, F2.55)
358

где
= I — фа BL) е F2.о6)
есть резонансный знаменатель, определяющий резонансные свой-
свойства вибратора. Ток F2.53) зависит от г и г0, причем эта зави-
зависимость симметрична:
J (z, Zq) =J(zo, z) , F2.57)
как это и должно быть согласно принципу взаимности.
Если конечный отрезок провода возбуждается плоской вол-
волной F2.12), то ток в таком пассивном вибраторе согласно фор-
формуле F2.32) следует искать в виде
(L-z) eik{L~% F2.58)
во второй строчке стоят волны тока, обусловленные дальнейши-
дальнейшими отражениями «первичных» краевых волн от концов вибра-
вибратора. Постоянные
^ F2.59)
где D есть резонансный знаменатель F2.56), получаются из
граничных условий F2.54).
Согласно принципу взаимности характеристика излучения пе-
передающего вибратора пропорциональна функции F2.58).
Эти результаты показывают, что характеристика рассеяния
плоской волны на пассивном вибраторе, т. е. функция F( #)
в выражении для рассеянного поля
JkR
V
Е^ = //, = - E*F (», К) V'
где *R есть расстояние от центра вибратора, должна также вы-
выражаться через функции -ф.
Соответствующие выражения были выведены Уфимцевым
(см. [58] или [30], гл. VII) методом краевых волн, в значительной
мере опирающимся на физические соображения и поэтому при-
приводящим к менее точным результатам, чем полученные выше;
а именно, точность выражений Уфимцева соответствует точности
приводимых ниже приближенных формул для функций -ф.
Формулы F2.53) и F2.58) для тока в передающем и пас-
пассивном вибраторах мы вывели, делая аппроксимации в форму-
формулах, полученных методом факторизации. В оригинальных рабо-
359

тах те же формулы выведены иначе — с помощью аппроксимаций
при решении интегрального уравнения для тока. По-видимому,
ту же задачу можно решить методом параболического уравне-
уравнения (ср. § 58 и 59) и получить эквивалентные результаты.. Фор-
Формулы F2.38), F2.53) и F2.58) имеют различную точность на
различных участках провода. Так, формула F2.38) имеет по-
погрешность порядка -fe при z = Q и исчезающе малую погреш-
погрешность при &z>l, а формула F2.58) наибольшую погрешность
(порядка -да-) имеет при z~*±L. По этой причине характеристи-
характеристику рассеяния ^(Ф, Фо) в формуле F2.60) нецелесообразно вы-
вычислять, интегрируя ток F2.58): во-первых, точность получен-
полученного выражения будет определяться точностью на «худших»
участках формулы F2.58) и, во-вторых, это выражение не будет
удовлетворять соотношению
*), F2.61)
вытекающему из принципа взаимности.
Следует отметить, что вычисление функций я|э по формуле
F2.31) требует довольно значительного труда. Поэтому сущест-
существенное значение имеют более грубые формулы для функций я|\
выражающие их через табулированные функции. Эти формулы
выводятся с помощью вариационного метода, который для
функции i|)(z, k) дает выражение
^F2.62)
или
где х
с
1пт~
определяется формулой
-I--
—оо
F2.31),
т М (w) dw
V*
а
F2.63)
F2.64)
Функция i|)(z, Wo) получается, если в правой части формулы
F2.63) заменить q на величину q(Wo), определенную по форму-
формуле F2.31).
360

Отметим, что при 2qx = 2kz^> 1 формула F2.63) упрощается
к виду
ФB, *);=-^. F2.65)
ш —
Как видно из формулы A4.16), такая зависимость тока от коор-
координаты z имеет место (при kz -> со) и для цилиндров с произ-
произвольным значением ka.
Выражение для функции F(b9&0), полученное Уфимцевым,
удовлетворяет соотношению F2.61) и при ft=fte = -y (когда
волна падает нормально на вибратор и точка наблюдения нахо-
находится в плоскости z = 0), принимает вид
). F,66,
На рис. 102 пунктиром изображено отношение
F2'67)
вычисленное по формуле F2.66), а сплошной кривой — то же
отношение, вычисленное на электронной вычислительной машине
путем решения точного интегрального уравнения для тока
в трубчатом цилиндрическом проводнике. Отношение длины ви-
вибратора к его диаметру взято равным
—=452, 21п—=15. F2.68)
Мы видим, что формула F2.66) прекрасно передает ход кривой
всюду — как при больших, так и малых значениях kL, за исклю-
исключением окрестности точки &L = y, где она слегка преувеличивает
значение максимума кривой. Величину а обычно называют эф-
эффективной площадью отражения (или рассеяния).
Если провод нельзя считать идеально проводящим, то функ-
функции ф определяются иначе, а именно в вариационном выра-
361

жении F2.62) нужно заменить M{w) на M(w) — Z nv4=(k2—w2J
на (w2 w*yf Где Ws есть корень уравнения F2.15). В резуль-
результате вместо формулы F2.63) получаем
In
Здесь
F2.69)
— ws)a
1,
T (z)= 1 —A — ip) E Bkz)e-2ikz +:A + i?) E (— p) e'p, F2.70)
причем
F2.71)
где р есть численное расстояние F2.17).
При р < 1 формулы F2.63) и F2.69) практически совпадают,
при р > 1 формула F2.69) принимает вид
ф(г, &)= 3 е''р—\т[г). F2.72)
Г
0,8
0,6
0,5
0,4
0,2
0,1
0,08
Щ
0,05
0,04
0,03
}\
и
\
—г—\
1 \
1 \
1
1
Н~ j
У]
<
i
1 3 4 5 6 7 8
KL
Рис. 102. Зависимость эффективной поверхности отражения вибра-
вибратора от его длины при нормальном падении плоской волны:
машинные вычисления; вычисленная по формулам
F2.66) и F2.67).
362

где первое слагаемое в правой части есть поверхностная волна,
а второе слагаемое — пространственная волна.
Если р вещественно, то на достаточно больших расстояниях
поверхностная волна является преобладающей, поскольку
Т(г) = ± при Р>1. F2.73)
Если же ws комплексно, то при Imp> 1 становится преобладаю-
преобладающей пространственная волна, хотя обычно имеется достаточно
длинный участок, где преобладает поверхностная волна (этот
результат был впервые получен Владимирским [11] примени-
применительно к бесконечному проводу).
Таким образом, в отличие от поверхностной волны Ценнека
(см. § 58), поверхностная волна (Зоммерфельда имеет сущест-
существенное значение при распространении волн вдоль тонкого ци-
цилиндрического проводника. Объясняется это тем, что поверх-
поверхностный характер волны Зоммерфельда выражен гораздо более
четко: она локализована вблизи поверхности провода более
сильно, чем волна Ценнека у плоской поверхности раздела.
Если же плоскость имеет конечный индуктивный импеданс
F0.01), то она поддерживает распространение поверхностной
волны, которая хорошо возбуждается различными антеннами
(ср. § 64) и сама дает направленное излучение (§ 60 и 61).
Заметим, что если мы имеем отрезок линии, разомкнутой на
концах и подчиняющейся телеграфным уравнениям, то формулы
F2.51) — F2.59) к нему полностью применимы, причем функция
t|)(z, w0) не зависит от wo и равна
<|ф) = е'р. F2.74)
Здесь численное расстояние определяется формулой F2.17),
в которой ws есть волновое число в линии с учетом конечного
импеданса ее проводов; в двухпроводной линии ws определяется
уравнением F2.15), причем функция M(w) имеет вид F2.19).
Как видно из формул F2.63) и F2.65), функция я|>(-г) для
идеально проводящего тонкого цилиндра существенно отличает-
отличается от экспоненциальной функции F2.74). Для импедансного ци-
цилиндра согласно формуле F2.72) экспоненциальная зависимость
имеет место лишь приближенно, в определенном интервале чис-
численных расстояний, причем множитель перед экспонентой е1р
существенно меньше единицы.
В этом параграфе мы не ставили своей целью дать полное
изложение электродинамической теории тонких цилиндрических
проводников, поскольку эта теория выходит за рамки метода
факторизации. В ней делаются аппроксимации двоякого рода:
одни связаны с приближенной факторизацией и ведут к при-
приближенным соотношениям того же типа, что и при использо-
363

вакии параболического уравнения; другие связаны с применени-
применением вариационного метода и метода краевых волн и дают более
грубое приближение *. Читатель, интересующийся этим кругом
вопросов, должен обратиться к оригинальным работам (см. так-
также задачи 10—20 к этой главе).
Трудности, возникающие при переходе к импедансному ци-
цилиндру конечного диаметра (произведение ka конечно), хорошо
видны на примере статьи [59]; факторизацию здесь надо произ-
производить строго, причем получаются довольно громоздкие выра-
выражения. Если рассматривается не трубка, а сплошной цилиндр,
то учет его торца ведет к дополнительным осложнениям, кото-
которые удается преодолеть только численными методами. Если же
стороннее поле не обладает симметрией (например, падает под
произвольным углом к оси z плоская волна), то диффракцион-
ное поле представляет собой ряд Фурье по координате кр, каж-
каждый член которого даже для полубесконечного идеально прово-
проводящего круглого волновода (ср. [60]) является весьма сложным
выражением.
§ 63. Спиральный волновод
Рассмотрим полубесконечный спиральный волновод, образо-
образованный проводом (любого сечения), ось которого является по-
полубесконечной винтовой линией. В цилиндрической системе
^ координат г, ф, z уравнение
У h — L~ J этой винтовой линии имеет вид
Рис. 103. Спиральный волновод.
F3.01)
где а — радиус волновода; d—
его период по оси z (рис. 103).
Если поперечные размеры
провода малы по сравнению
с размерами а и d и длиной
волны, то по нему (ср. начало § 62) течет только .продольный
ток, для которого можно написать интегро-дифференциальное
уравнение. Это уравнение может быть решено методом Вине-
Винера— Хопфа — Фока, однако ввиду сложности факторизуемой
функции из этого решения трудно получить какие-либо конкрет-
конкретные результаты. Поэтому в дальнейшем мы введем те же упро-
* Недавно Фиалковский [711], используя приближенную фактори-
факторизацию F2J27), вывел формулы Уфимцева аналитическим путем и показал,
что их относительная погрешность порядка -qF- Оказывается также, что от-
относительная погрешность формул F2.62) и F2.63) того же порядка. Точ-
Точность формул F2.133) и A62.58) для тока (при kL > <1 выше (ino крайней мере,
вдали от кондов вибратора z=±L и от точки возбуждения z=z0).
364

щения, которые вводятся при исследовании распространения
волн в бесконечном спиральном волноводе (см. {25] гл. XIII) *.
Будем считать для простоты, что спиральный волновод обра-
образован лентой, намотанной по винтовой линии F3.01) и имеющей
нулевую толщину и малую ширину 2А. Эта лента покрывает
часть боковой поверхности цилиндра г=а, удовлетворяющей
неравенствам
^^i ^ F3-02)
ИЛИ
^^+з, F3.03)
где б есть «угол намотки» винтовой линии (угол между осью
провода и плоскостью 2—const), определяемый соотношением
А
2nd sin $
А
d cos 3 *"
F3.04)
F3.05)
В практически интересных случаях угол б мал.
Предполагая ленту узкой, можно не учитывать поперечной
составляющей плотности тока, полагая
/«=0, F3.06)
и представлять продольную составляющую в виде
/в = / Лр — ^Л Г e^V(iei) dw, F3.07)
с
где периодическая функция /(>ф>) определяет распределение тока
на ленте. Эта функция отлична от нуля в интервале —е<хр<е
и может быть разложена в ряд Фурье:
/(*)=£ fin**"". F3-08)
m=z—oo
Контурный интеграл в формуле F3.07) определяет полный ток,
проходящий по ленте, если функция f(<p) нормирована следую-
следующим образом:
* Основные результаты здесь принадлежат Когану [69]; в работе ,гб9]
уже была использована (но не отмечена явно) возможность выделить глав-
главное слагаемое в характеристическом уравнении (см. ниже стр. 368,).
365

Составляющие js и jt любого вектора j (при г=а) определяются
по формулам
js = j cos6+/zsin5, 1
* ^ i F3.10)
it=— /9sin8 + /zcos8. J
Введем продольные составляющие электрического и магнит-
магнитного векторов Герца:
П2= V elm*Um(r, г),
/72=—00
П — V егш?Йт(л г),
F3.11)
т =—оо
причем, в отличие от § 24, введем экспоненциальную зависи-
зависимость от <р (е1/71ср), соответствующую геометрическим свойствам
данной системы. Вместо формул B4.03) мы теперь имеем:
~~2j
дЛт., дПт
Simip f im дЛт ., дНт \
6 \~Т~дГ~1'г~дГ]'
it \^ Jm<?(;,
дШт
F3.12)
Будем искать, как и в § 25, функции Пт и Пт в виде контур-
контурных интегралов:
F3.13)
ck J
С
г (ота) Ят (утг)
^т (VmO) Hm (Vmr]
где
366
2пт
d ' r"
F3.14)

причем
при
F3.15)
Интегралы F3.13) обеспечивают непрерывность составляющих
Е и Ez при г = а. Своеобразная запись этих интегралов (вве-
(введение величин wm и vm) диктуется формулами F3.06)—F3.08),
поскольку формулу F3.07) можно переписать в виде
F3.16)
Пользуясь выражениями
Jz —
p< p
m (wm)\dw9
F3.17)
вытекающими из формул F3.12) и F3.13), получаем
F3.18)
Gm(wm)=fmJ(w) cos о.
Полагая js=-0 на геометрическом продолжении волновода,
получаем для функции J(w), определяющей распределение тока
по длине ленты, уравнение
) eiwZJ(w)dw=0 при г<0. F3.19)
с
Второе функциональное уравнение получается из граничного
условия на ленте; поскольку распределение тока поперек ленты
задано функцией /(<р), наиболее удобно брать усредненное гра-
граничное условие в виде
-0. F3.20)
Выражая Es через J(w) и интегрируя по q>, после ряда выкла-
выкладок (ср. [25], § 74) приходим к уравнению
eiwZL (w) J (w) dw = 0 при z > 0,
в котором
L(w)=
fm\*Lm(w)
F3.21)
F3.22)
367

(w) = — Гфт (wm) cos2 Ь -j- -^- <pm (wm) sin2 81,
K)=^~ [УГ/2.x (yma) #m„x (vnta) + Утп+i (ama) Яш+1
?m (wm) = KvmaJm (vnta) Hm (vma). у
F3.23)
Функция L(w) в виде ряда, подобного ряду F3.22), полу-
получается для любого спирального волновода, в частности образо-
образованного проводом кругового сечения, навитого по винтовой ли-
линии. Сложность функции L(w) обусловлена тем, что ток, теку-
текущий по проводу, возбуждает в пространстве поля со сложной
азимутальной зависимостью, которые представляются в виде
рядов Фурье F3.12). Возможность упрощения функции L(w)
возникает благодаря тому, что в наиболее интересных случаях
одно из слагаемых в рядах F3.12) и F3.22) является главным,
а остальные имеют характер поправок.
Уравнение
L(w)=0 F3.24)
определяет волновые числа волн в спиральном волноводе. Эти
волны бывают двух типов: медленные (поверхностные) и бы-
быстрые (волноводные). Для поверхностных волн уравнение
F3.24) в первом приближении можно заменить более простым
уравнением
L±m(w)=0 (/72=0, 1, 2, ..,), F3.25)
которое применяется для однозаходной спирали (состоящей из
одного провода, как показано на рис. 103) при условии
(см. [25] § 75). Это характеристическое уравнение получается,
если в рядах F3.12) воспользоваться только одним членом
(с индексом т или —т) и на боковой поверхности г=а беско-
бесконечного спирального волновода поставить граничные условия
I I F3.27)
аналогичные условиям E6.50). Эти условия соответствуют за-
замене спирального волновода цилиндрической поверхностью
с анизотропной проводимостью (идеальная проводимость вдоль
витков, отсутствие проводимости поперек витков). Для анализа
волноводных волн уравнение F3.25) и граничные условия
368

F3.27) недостаточны: в ряде F3.22) надо учесть (хотя бы при-
приближенно) все члены, а в качестве граничных условий взять
такие, в которых учитывается просачивание поля через решет-
решетчатую боковую поверхность (см., например, работу Смирно-
Смирнова [61]).
Оставляя волноводные волны в стороне, для поверхностных
волн при условии F3.24) мы можем ввести вместо функции
F3.22) функцию
L(a) + L(a'). F3.28)
которая факторизуется значительно легче.
Для симметричных волн (т — 0) имеем
F3.29)
<P0 (w) = %vaJ0 (va) Ho (va).
При а—*оо и Imu>0 функции Фо и фО стремятся к единице и
функция L(w) принимает вид
W2
L(w)=——, F3.30)
где
F3.31)
есть волновое число поверхностной волны, распространяющейся
у анизотропно проводящей (решетчатой) полуплоскости, в ко-
которую спиральный волновод обращается при а —оо. Эта волна
распространяется в направлении оси z, составляющей с провод-
проводниками решетки угол -^—б, и имеет фазовую скорость
u = csmb, F3.32)
тем меньшую, чем меньше угол 6. Функция F3.30) легко раз-
разбивается на множители B.14), причем
так что коэффициент отражения поверхностной волны от края
полуплоскости равен
L
(h)
24—754 369

По этой формуле, как и по формулам § 60 и 61, «коэффи-
«коэффициент отражения тем меньше, чем ближе фазовая скорость по-
поверхностной, волны к скорости света в свободном пространстве.
Характеристика излучения поверхностной волны ,на анизотроп-
анизотропно проводящей -полуплоскости определяется формулой
cos 3 sin S 1 — cos у
2л A+sin5) 1— sin*a cos2?'
Сравнение с формулой F1.08) показывает, что эта характери-
характеристика отличается только постоянным множителем от характери-
характеристики излучения поверхностной волны, распространяющейся
с той же фазовой скоростью над полуплоскостью.
При конечных значениях а, т. е. собственно для спирально-
спирального волновода, факторизация функции La(w) ведет к довольно
громоздким вычислениям, которые дают следующие результаты.
Симметричная поверхностная волна, существующая в спираль-
спиральном ;волноводе при условии
ка 4 F3.34)
cos 5 ^- 2 9
ори малых значениях угла 6 сильно отражается от открытого
•конца -волновода. Характеристика излучения этой волны имеет
вид
где Рг—полная излучаемая мощность (ЯЕ < Р).
Эта характеристика приближенно соответствует характери-
характеристике излучения элементарного 'магнитного диполя, шричем это
соответствие тем точнее, чем меньше ka и 6. Оно объясняется
тем, что при ka <^ 1 в симметричной волне преобладает магнит-
магнитное поле, близкое к однородному магнитному полю в соленоиде
(см. [25], стр. 394), которое на конце спирального волновода
создает потоки рассеяния, определяющие магнитное дипольное
излучение.
Из несимметричных волн наибольший интерес представляют
поверхностные волны с азимутальным индексом т=1, создаю-
создающие направленное излучение с максимумом при <в1 = я (ср. §24).
Эти волны существуют в интервале
4<4-- <63-36>
Всего имеется, как впервые показал Коган [69], три такие вол-
волны, но наибольший практический интерес представляет одна из
этих волн, которая существует во всем частотном интервале
F3.36) и обычно используется в антенной технике в той часги
370

интервала F3.36), где две другие волны отсутствуют (если
ctg 6=10, то будет распространяться одна волна при £а>0,83,
см. [25] § 74). Эта волна 'весьма слабо отражается от открытого
коада и дает направленное излучение, причем диаграмма на-
направленности в переднем полупространстве (-^"«Кя.} хоро-
хорошо передается принципом Гюйгенса. Излучение получается тем
более направленным, чем больше протяженность поля волны
в поперечном сечении z = const.
Таким образом, полубесконечный спиральный волновод мож-
можно рассматривать как модель спиральной антенны. Результаты,
полученные методом факторизации для полубесконечного спи-
спирального волновода, подтверждают закономерности, найденные
ранее эмпирически или с помощью приближенных расчетов.
Аналогичным методом была также решена задача о диф-
фракции электромагнитных волн на стыке спирального и обыч-
обычного круглого волноводов, имеющих один и тот же радиус а.
Следует отметить, что все задачи о спиральном волноводе от-
отличаются значительной сложностью, особенно для несимметрич-
несимметричных волн; в частности, факторизация функции F3.28) приводит
к громоздким вычислениям, которые в силу условий F3.34) и
F3.36) упростить не удается.
§ 64. Возбуждение поверхностных волн открытым
концом волновода
В § 60, 61 и 63 были решены задачи о диффракции поверх-
поверхностной волны в полубесконечных импедансных структурах.
Естественный вопрос, который возникает в связи с этим, —
это вопрос о возбуждении поверхностной волны «в чистом ви-
виде». Этот вопрос далеко не тривиален, поскольку, например,
поверхностная волна Ценнека при распространении радиоволн
над земной поверхностью не возбуждается совсем (см. § 58),
а поверхностная волна Зоммерфельда в результате конкурен-
конкуренции с пространственной волной преобладает лишь при опреде-
определенных численных расстояниях (§ 62).
Чтобы разобраться в этом круге вопросов, рассмотрим сле-
следующую двухмерную задачу. Пусть над бесконечной импенданс-
ной плоскостью (у=0) расположена идеально отражающая по-
полуплоскость (у = а, z>0); таким образом, мы имеем при 2>0
плоский волновод с одной импедансной стенкой (рис. 104), и
при 2<0 — импедансную полуплоскость, возбуждаемую откры-
открытым концом плоского волновода.
Обозначим через Ф = ф(у, г) функцию, удовлетворяющую
волновому уравнению G.01) и граничным условиям
Щ при у = 0 F4.01)
24* ' 371

и
или
Ф = 0 при у = а, z>iO
дФ
-^• = 0 при у = а, z>0.
F4.02)
F4.03)
В случае граничного условия A64.02) Ф=£ж, а в случае гранич-
граничного условия ,F4.03) Ф=НХ. Будем для определенности считать
Рис. 104. Плоский волновод и им-
педансная плоскость.
Ф = НХ и пользоваться граничным условием F4.03). Искомое
поле можно искать в виде
с
Iе"
при
при
F4.04)
тогда автоматически будет удовлетворяться уравнение G.01),
условие F4.01) и условие непрерывности -т- при у = а. Плот-
Плотность тока на полуплоскости у —а будет равна
f (г) = ^-[Ф(а — 0, г) —Ф(а+0, z)] = ^eiwZF(w)dw, F4.05)
г!
и условие непрерывности Ф при у =а, г<0 дает функциональ-
функциональное уравнение
5 eiv*F(w)dw=.Q при г<0, F4.06)
а граничное условие F4.03)—второе уравнение
^eiwZL(w)F(w)dw = 0 при z>0, F4.07)
с
372

в котором
где функции
kZ
F4.09)
при |^|—*оо стремятся к единице. Факторизация функции г|з(ш)
была произведена в § 57 [см. формулу E7.32)]; факторизация
функции Q(w) проводится так же, как факторизация функции
B.19), в которую она переходит при Z—>0, и приводит
к выражениям
-7—г"
F4.10)
где
?~ "'I F4.11)
а шп (я = 0, 1, 2,...) — корни уравнения
Q(w) = 0, F4.12)
удовлетворяющие условию
при 1тй>0 и ReZ^O. F4.13)
Остальные обозначения в формуле F4.10) те же, что и в фор-
формулах C.14) и C.16).
Уравнение F4.12) нетрудно привести к виду
tgya = Z^- F4.14)
или
т] = Утг — k2a. F4.15)
При t\ > 1 оно имеет корень
шо^йКГ^г^, F4.16)
37а

соответствующий (при ImZ<0) поверхностной волне, распро-
распространяющейся над импедансной плоскостью и мало возмущен-
возмущенной наличием полуплоскости у = а. При у\ <^ 1 этот корень равен
' + ^ F4.17)
он соответствует основной волне £Оо плоского волновода, слегка
возмущенной импедансом нижней стенки у=|0. В промежуточ-
промежуточных случаях волновое число w0 нужно находить, решая уравне-
уравнение F4.15) численно. Волновые числа w\, w2f ... получаются
из уравнения F4Л4), причем для корней высоких номеров (та-
(таких, что правая часть уравнения мала) мы имеем
•■-!/*■-(")■.
F4.18)
т. е. такие же волновые числа, как и при Z=0. Если
Z = — iX, X>0, F4.19)
то все wn либо вещественны, либо чисто мнимы, благодаря
чему абсолютные величины функций F4.10) при вещественных
X могут быть найдены в явном виде (ср. § 3).
При больших значениях параметра q функцию Q+(w) мож-
можно выразить через функцию U(s, р). Рассуждая, как в § 10, и
полагая
1—Z
/
—е
приходим к выражениям
где
при w > 0,
при ш<0,
'2а_
Если набегающая волна определяет плотность тока
f(z)=Ae-lw"+ ...,
то, полагая
L±(w) = L
w+k Ф+ (w)
F4.20)
F4.21)
F4.22)
F4.23)
F424)
и h = Wo, получаем искомое решение задачи по формуле D.02).
Прежде чем приводить основные результаты, введем без-
безразмерные волновые числа волноводных волн
_woa
То— Г"» In-
F4.25)
374

и поверхностной волны
F4.26)
причем точки w=±ws являются полюсами функции L(w)\ при
условии F4.19), которое мы будем далее считать выполненным,
эти полюсы лежат на вещественной оси.
Если в волноводе может распространяться только одна вол-
волна (yi, 7,2> • • • мнимые), то ее коэффициент отражения от откры-
открытого конца получается по абсолютной величине равным
Yo+Y*
-«То
F4.27)
Го-Я2
При Х—+0 эта формула переходит в формулу F.04), как это
и должно быть. Таким образом, если по волноводу приходит
мощность Р, то отражается мощность
р =p\R\2 = p ,fro + <7)(Yo —Y*) е-2*То FА28\
R ' ' "(Ye — Я) (Ye + Y.) ' v • /
В поверхностную волну трансформируется мощность, равная
Рт= /^.,(Т' + У)(Т'ГУ). е"«>~^Х\ F4.29)
Эти энергетические величины приведены на рис. 105, где
р р
даны отношения ~ и -=—^— в зависимости от ka = i:q при
Х = 0,5 и -ЛГ= 0,1; кривые обрываются при таких значениях kay
которые соответствуют появлению второй распространяющейся
волны в волноводе (т. е. при которых 0^ = 0).
Рис. 105 показывает, что при Х|=0,5 (т. е. при фазовой ско-
скорости поверхностных волн, равной 0,8с) система, изображенная
Рт
Рис. 105. Возбуждение импедансной плоскости плоским волноводом:
Рт рт
а — отношение -р— в зависимости от ka; б —отношение —
от ka.
в зависимости
37S

на рис. 104, весьма эффективно возбуждает поверхностную
волну, если ka^2. При уменьшении ka и уменьшении X эф-
эффективность возбуждения уменьшается.
В § 60 и 61 было показано, что поверхностная волна, подхо-
подходя к краю импедансной плоскости, создает излучение тем более
направленное, чем меньше X. Это излучение является в сущно-
сущности краевым эффектом и практически не зависит от пути, прой-
пройденного поверхностной волной перед тем, как попасть на край
{при условии, что этот путь не слишком мал).
Если приблизиться к реальной антенной системе и учесть,
что поверхностная волна возбуждается вместе с пространствен-
пространственной волной, то для практического осуществления теоретической
характеристики излучения, обусловленной одной поверхностной
волной, необходимо, чтобы антенная система имела достаточ-
достаточную длину. На этой длине поверхностная волна должна «очи-
«очиститься» от пространственной волны. В рассматриваемой систе-
системе (рис. 104) это происходит вследствие того, что поле поверх-
поверхностной волны имеет постоянную амплитуду, а поле простран-
пространственной волны убывает (на больших расстояниях от конца
волновода) пропорционально—щ.
Если X—+0 при фиксированном ka, то согласно формуле
F4.29) Рт—*0, и поэтому для получения чистой поверхностной
волны нужны все большие длины. Если же брать малые X и
Рт
большие ka (такие, чтобы отношение —р- было постоянным, ска-
скажем равным 0,7; для этого вместо излучающего волновода на-
надо брать рупор), то длина системы все равно должна быть боль-
большой, поскольку пространственная волна начинает убывать толь-
только в дальней зоне, т. е. на расстояниях порядка ka2 или больших.
Таковы практические ограничения, которые следует иметь в ви-
виду при использовании поверхностных волн в антенной технике.
§ 65. Диффракция на прозрачных телах
С помощью факторизации можно получить строгие решения
диффракционных задач для систем, изображенных на рис. 106.
Зти системы состоят из плоскопараллельных пластин и идеаль-
идеально проводящих плоскостей с одной полуплоскостью или же
с двумя полуплоскостями, расположенными симметрично (как
на рис. 106,в|. Пластины могут иметь любые постоянные про-
проницаемости е и \х. В предельных случаях эти системы переходят
в более простые. Так, например, при малой толщине пластины
или при малости величины E6.08) -поверхность пластины на
рис. 106,а превращается в импедансную плоскость, и эта си-
система становится эквивалентной той, которую мы рассмотрели
в § 64. Если на рис. 106,2 полуплоскость лежит на плоскости
раздела и если нижнее полупространство имеет такие прони-
376

цаемости е и ji, что применимы граничные условия E6.04), то
мы возвращаемся к задаче о береговой рефракции или об им-
педансной ступеньке (§ 57 и 60).
Вместо однородной прозрачной пластины можно взять не-
несколько параллельных; во всех случаях для тока на полуплоско-
полуплоскости получается интегральное или инте-
гро-дифференциальное уравнение, кото-
которое в принципе решается путем факто-
факторизации. От двухмерных систем можно ^
перейти к системам, обладающим сим-
симметрией вращения, например рассмо-
рассмотреть полубесконечную цилиндрическую
поверхность, охватывающую коаксиаль-
коаксиальный бесконечный диэлектрический ци-
цилиндр или проводящий цилиндр с ди- б)
электрической оболочкой; при этом воз-
возможность получения строгого решения
сохраняется.
iB настоящее время решены только
простейшие задачи этого типа (см., на- в)
пример, [62] и [63]), причем полученные
результаты несколько расширяют наши
внания о возбуждении поверхностных
волн. Более сложные системы -приводят,
естественно, к более сложным функциям, ^
подлежащим факторизации, и к более
сложным выражениям для диффракци- Рис ш Двухмерные
онных шолей. Это обстоятельство за- системы, допускающие
трудняет извлечение каких-либо конкрет- решение диффракцион-
ных результатов из полученного строгого ных задач методом Ви-
решения — как количественных, так и ка- нера—Хопфа—Фока,
чественных. Однако при современном
уровне развития вычислительной техники эти трудности вполне
преодолимы, и судьба этих задач зависит от того, в какой мере
их решение позволит дать ответы на важные теоретические или
практические вопросы и выявить новые физические закономер-
закономерности. Простое же вычисление волновых полей в системах, не
имеющих непосредственного применения на практике, как пра-
правило, не представляет большого интереса и не оправдывает тру-
труда, затраченного на это вычисление.
Задачи к гл. IX
1. Исходя из граничных условий E6.04), показать, что при Z=const вер-
вертикальная составляющая магнитного поля удовлетворяет граничному
условию
дНу ik
-faj- == —J- Ну при у = 0,
аналогичному условию E6.06).
377

2. Показать, что при Zo=0 функциональные уравнения (E7.13) и E7.14)
эквивалентны интегральному уравнению
00
о
Решение. Полагая
f (z)= \ eiwzF (w) dw
с
и считая f(z)=Q при z<0 согласно уравнению E7ЛЗ), в силу тождества
(см. § 1)
00
приходим к уравнению .E7.14).
3. Заменить (приближенно) интегральное уравнение (а) задачи 2 урав-
уравнением Вольтерра, полагая
z и
где P(z) есть медленно меняющаяся функция, и вводя функцию
= - х [Я<" (х) - !//</> (х)] е««,
лс
Решение. Переписывая интеграл в уравнении (а) задачи 2 в виде
со г
о
оо
*** j Я^ (Л (? - z)) eift (С~2)Я (?) «,
2
производя в последнем интеграле интегрирование по частям
00 00
г г
и пренебрегая интегралом, содержащим Р'(£)> мы приходим к интегральному
уравнению
2
(\ - ^Л Р (z) + Ц- Г Н(о]) (k (z - К)) e~ik B-С)Я (?) Л = — А (л)
о
Z
4. Заменяя в интегральном уравнении (а) задачи 3 множитель 1— —
единицей и полагая
378

показать, что решение полученного интегрального уравнения
-'т.
выражается через функцию E7.47)
Решение. Нам достаточно показать, что функция P(z) удовлетворяет
дифференциальному уравнению, аналогичному E7.42). Для этого продиффе-
продифференцируем уравнение \{а) ло z, пользуясь тождеством
г
А
dz
о о ' о
и воспользуемся условием
Я@)=—Л,
вытекающим из уравнения \(а). Тогда для производной P'l(z} получаем
уравнение
Г P(Z)(K _ d CPjz — ri) dri^ P (Q) , r P> (g) dK
J Vk(z-K) dz J уЩ — ykz "^J УЛB-
а для функции
— уравнение
которое в силу тождества
г 1
dt
о —1
имеет, как легко убедиться, решение
—* ~4
kZe
ynkz
откуда
Так как согласно формулам E7.11) и E7.03) при z>0 и Zo = 0 имеем
дФ ^ .
0,2),
то полученная формула полностью согласуется с формулой E7.38).
379

5. Исследовать поведение интегралов F0.08) и iF0.il4) при г/ = 0
И j|2|| -юо.
Решение. Объединяя интегралы по обеим сторонам разреза в один
интеграл и вводя новую переменную интегрирования s по формуле w =
=k+is, получим при £->оо
00
г - eihz
Qi @, z) ~ eihz I e~ez Ys ds ~ Г •
° г
Аналогичную оценку (с заменой z на —z) получаем для Q^@, z). Эти оценки
согласуются с тем, что по формуле F0.29) имеем (при § и £о отличных от
нуля)
2@) =0 и Я(я)=0,
т. е. поле излучения при г->оо и ф=0 или ф = я должно убывать быстрее,
6. Составить функциональные уравнения для импедансной полуплоско-
полуплоскости, у которой граничное условие F1.02) заменено условием
дФ
—щ~= — '1к1Ф при г/ = — 0, z > О,
т. е. нижняя сторона имеет» импеданс —Z, отличающийся знаком от импеданса
верхней стороны. Для этого исходить из контурных интегралов
ф= \ е* (wz + vy)f1 (tiy) dm при у > О,
ф= \ ег' (w2-vy)f2^) dw при t/<С О
и считать, что к краю полуплоскости приходит поверхностная волна F0.03),
существующая при у>0. Решить полученные функциональные уравнения,
беря Z в виде F0.01) и F0.02).
Решение. Вследствие того, что функция
дФ
Ф = -g- + №Ф (а)
при у=0 непрерывна (при z>0—в силу граничных условий, при 2<0 —
в силу непрерывности полей), функции Fi и F2 выражаются через одну функ-
функцию F:
F(w) F (w)
Г» / Ч \ / г-1 /„„Л V /
для которой получаются функциональные уравнения
1 eiwz k*Z*—v* F (Ш) ^ = 0 при z
с
(из условия непрерывности Ф при г/=0, z<0) и
w = 0 при z > 0
(из граничного условия при y=Qt z>0).
380

Если положить
то эти функциональные уравнения решаются так же, как уравнения F3.19)
и ,F3.21) с функцией iF3.30), в которой положено
В частности, получается простая формула
_, . В chg
и выражения, аналогичные формулам F3.32) и F3.33). Таким образом,
задача об анизотропной полуплоскости и данная задача оказываются эквива-
эквивалентными.
7. Решить задачу о диффракции плоской волны F1.117) на полуплоскости,
рассмотренной в задаче 6, не составляя функциональных уравнений, а обра-
образуя функцию W по формуле (а) задачи 6 и пользуясь результатами, получен-
полученными в приложении Л.
Решение. Поскольку функция W удовлетворяет волновому уравнению,
граничному условию W=0 на обеих сторонах полуплоскости и содержит
падающую волну
Wik{Z—sin фо)Ф°,
то она выражается в виде интеграла (Л. 18), в котором надо положить
£0 = ik (Z — sin ?о) В, h = k cos y0,
а искомая функция Ф получится, если в подынтегральную функцию ввест*1
множитель . ,^£ ^_ v (знак „+" берется при #>0, а знак „—" при #<0).
Таким образом, диффракционные задачи для импедансной полуплоскости
данного типа легко сводятся к задачам для идеально отражающей полу-
полуплоскости. Такой же прием позволяет построить решение для прямоугольного
/ З\
импедансного клина U = y и а = ") с помощью решения для идеально
отражающего клина с тем же углом а.
8. Составить функциональные уравнения для импедансной ступеньки
в плоском волноводе, т. е. в системе, где наряду с граничными условиями
E7.02) и E7.03) ставится условие
Ф=0 при у = а (а)
или
дФ
-^ = 0 при у = а (Ь)
и поле рассматривается в полосе 0<у<а. Считать, что справа (при z>0)
падает одна из волн, могущих распространяться в волноводе.
Решение. В случае граничного условия (а) мы пишем для функции Ф
вместо интеграла F0.05) более сложный интеграл:
F(w)sinv(y — а)
v cos va — ikZо sin va w
381
ф _ I

и приходим к функциональным уравнениям iE7.13j и E7.14), в которых
v cos va — ikZ sin va
Kw) — v cos va — ikZosinva & \z)
В случае граничного условия (Ь) пишем
F (w) cos v (у — а)
piwz ■ Htq)
v sin va + ikZo cos va
С
и получаем несколько иную функцию:
v sin va -f- ikZ cos va
v ' v sin va -f- ikZ0 cos va '
которая выражается через функцию Q(w), исследованную в § 64, следующим
образом:
Решение этих уравнений определяется формулой F0.06), в которой надо
заменить &ch£ на /г — волновое число приходящей волны.
9. Пользуясь результатами задачи 8 и формулой F4.10), вычислить [для
граничного условия (Ь)] абсолютную величину коэффициента отражения
волны от ступеньки при условии, что импедансы Z и Zq чисто реактивные
и что в обоих волноводах может распространяться только одна волна.
Решение. Коэффициент отражения по абсолютной величине равен
I Я I = ■'*""■Л§|
h+hQ '
где h и ho — положительные волновые числа соответствующих волн.
10. Показать, что если в отрезке двухпроводной линии, удовлетворяю-
удовлетворяющей условиям |D4.10) и |D4.22), токи на обоих проводниках равны (а не про-
противоположны по знаку, как в § 44), то в электродинамическом отношении
такая линия эквивалентна однопроводной линии (одиночному проводу, рас-
рассмотренному в § 62) радиуса VаЪ и той же длины.
Решение. При равенстве токов вместо формул D4Л2) и (D4.13) мы
будем иметь
L(w) =Kv2aJ0{va)[H0i(va) +H0(vb)].
Делая аппроксимации F2.09) и F2.18), мы придем к функции
отличающейся от функции F2.11) только заменой а на УаЬ. Поскольку эта
функция определяет по формуле F2.10) связь между током и полем [при
условии, что интеграл F2.07) выражает полный ток в линии, т. е. удвоенный
ток, текущий в каждом проводе], то отсюда следует эквивалентность двух-
двухпроводной и однопроводной линии.
382

11. Показать, что связь между током и составляющей Ег электрического
поля на поверхности провода, определяемая формулами F2.07) и F2.10),
может быть записана в виде
где
L
А [/, г) = \ In ' д ^'sgn (z - Q 55-t7 (?) е ! ] Л
sgnje = 1 при
= — 1 при .г<0.
Решение. Подставляя в интеграл AU, z] выражение F2.07), которое
мы будем считать применимым и на геометрическом продолжении провода
(при H>iL) и равным там еулю, приходим к интегралам вида
00
— i(k — w) I In ег (h-w)xdx = \n „(k___w\a (y == 1,781 .. .),
6
откуда получаем
2/
и формулу F2.10). Интегралы (а) сходятся при Im&>0 и выражаются (при
произвольном нижнем пределе) через хорошо изученную функцию F2.64).
12. Рассмотреть задачу о возбуждении бесконечного идеально проводя-
проводящего провода сосредоточенной электродвижущей силой F2.35) методом, при-
примененным в задаче 3, т. е. представить искомый ток в виде
где S — медленно меняющаяся функция. Получить, используя результаты
предыдущей задачи, интегральное уравнение Вольтерра для S'(z)—произ-
S'(z)—производной функции S(z) по z.
Решение. Полагая
и, рассматривая это соотношение как дифференциальное уравнение относи-
относительно A[J, z], .получаем формулу
A[J, z\ = о0е , оо— 2 »
в которой мы опускаем слагаемые Poeiftz+ Qoe-iftz, существенные только
в случае, если ток испытывает отражение от концов. Вычисляя левую часть
последнего соотношения при z ^ 0, получим
о
• A {S4k I « ', z) = е«» J In 2{Z~K) £ [S (- К) e~2'«] # +
383

Вводя функции
/ (z) = f In Ц- e**b*dt, f' (z) =- In Ц-
г
[ср. формулу F2.30) и формулу (а) задачи 11], можно путем интегрирова-
интегрирования по частям преобразовать выражение для Л{/, z] при z ^ 0 к виду
2
A [Seik ' г К z] = g @) S B) е**« + ^ (z) 5 @) е<*« + е**« Г In 2 (^~" } 5' (?) с??,
г
f In 2 (Z~?) 5'
где опущены интегралы, содержащие произведение 5' и 5" на осциллирую-
осциллирующие функции е±2'**.
Таким образом, для функции S(z) получается интегро-дифференциаль-
ное уравнение
г
которое в силу тождества
дает искомое интегральное уравнение для S' (z)
г
2l!Z~Z) g(z) S@).
При г=0 получаем
2g @) 22 J
поэтому можно положить
Ф @) =
причем для функции ф (z) получается уравнение
г
J
о
13. (В предыдущей задаче было получено выражение для тока
имеющее такой же вид, как и выражение F2.Э8), причем функция ty(z),
удовлетворяющая условию г|?@) = 1, есть решение уравнения (а) зада-
задачи 12. Показать, что функция г|>(г) совпадает с функцией л|?B, k) в выра-
384

жении F2.38), определяемой формулой F2.31). Для этого решить уравне-
уравнение (а), представляя его решение в виде
= f ei*>*
iw
С
и считая при z < 0 равными нулю производную
ziwH(w)dw
[eiwz
и правую часть уравнения (я). Воспользоваться тождеством
г
in
вытекающим из определения g(z) и ^@), данного в задаче 12.
Решение. Пользуясь формулой (а) задачи 11, преобразуем уравне-
уравнение для i|?'(z) iK виду
Представляя правую часть в виде
2
g@) — gB) = —2t* fin 2^(^-g) e-2ffeCdg=: Ге*««
о с
обращая интеграл Фурье и .применяя формулу Дирихле для двойных
интегралов, получим
= _ SL j e- Wz | ln
о о
о с
Функция Н (w) в выражении для ф (г) получается равной
н,
2^' V ш
_М_±_(_±
2 ~2^' V ш 2k+w) 2
ln у2^^2
а контур С надо выбирать так, чтобы интегралы при вычислении D(w)
сходились и чтобы было \р @) = 1. Сходимость интегралов будет обеспечена
при 1пш>0, т. е. когда путь интегрирования немного выше вещественной
оси; в этом случае
-ш J ^г Dг-2^Ьг)dw = °при г > °
25—754 ' 385

)
In
Y2to#2
с
причем здесь контур С может огибать точку ш=0 снизу, а в остальном про
и
ходить по вещественной оси. При замене w= -j—2 это выражение переходит
в выражение F2.Ш) для функции я|>(г, k) и при 2=0 обращается в еди-
единицу (при 2=0 интеграл легко вычисляется и сводится к вычету в полюсе
w——2k).
14. Решить интегро-дифференциальное уравнение (а) задачи 12 прибли-
приближенно, считая функцию ty(z) мало отличающейся от единицы и ограничи-
ограничиваясь лервым поправочным членом. Сравнить полученное 'выражение с фор-
формулой F2.63).
При оценках считать параметр Q = 2g @) = 2 In —r— большим.
Решение. Уравнение (а) задачи 12 можно переписать в виде
H.)_1_g(^)-g(Q) i_ fln 2^(^-^) vmdi
о
В первом приближении можно положить
i>(z) = \--8{z)~e{0\ (a)
поскольку при подстановке этой функции в интеграл появятся члены порядка
•qTT . Так как функцию g (z) интегрированием по частям можно преобразовать
к виду
22
g(*) = ln— +e
2
где функция В{у) определяется формулой F2.64), то формулу F2.63) мож-
можно переписать в виде
2g (°)
°Г е2'лс 2г
I __d?=ln_ —
и при ^(г)^1! она совпадает с формулой (а). Формула F2.63) является
более общей, поскольку она пригодна и .при таких 2, когда я|? сильно от-
отличается от единицы [см., например, формулу F2.65)].
Разность
g(z) — g @) = In-1!— - Е Bkz) e-zib* (b)
зависит только от 2kz, а от радиуса провода не зависит.
15. Идеально проводящий тонкий цилиндр (вибратор) в свободном про-
пространстве является примером открытого резонатора, т. е. системой, имею-
имеющей собственные колебания, слабо затухающие из-за потерь на излучение.
Комплексные частоты этих собственных колебаний, как легко показать, опре-
определяются уравнением
D = 0,
где D —резонансный знаменатель, определяемый формулой F2.56) и вхо-
входящий в формулы F2.55) и F2.59).
386

(Вычислить комплексные собственные частоты тонкого вибратора, поль-
пользуясь приближенной формулой \(а) предыдущей задачи.
Решение. Поскольку уравнение D=0 можно переписать в виде
Ш- = ±1, (а)
то при г|}=1 в нулевом приближении получаем
&L = ^T (/2= 1, 2, .. .),
причем значение п=0 соответствует статическому распределению заряда на
вибраторе. В первом приближении, пользуясь формулой (а) задачи 14, по-
получаем
ы _!_
kL ~ 2 ~~ l 2Q *
пп
в поправочном члене можно считать kL = —^-. Иначе можно написать [см.
формулу (Ь) задачи 14]:
ln?i™ ЕBпл)
27Z
Если ввести функцию
у
у
Н (У) = J —7 <И = Di (у) - iSi (у) = In If- - Е (г/),
о
то выражение, определяющее &L, можно записать более компактно:
пп Н
Собственные частоты из этого выражения определяются элементарно (со =
= ^).
16. Найти распределение тока, соответствующее д-му собственному ко-
колебанию, частота которого была вычислена в предыдущей задаче.
Решение. Ток при собственных колебаниях есть наложение двух
краевых волн, переходящих друг в друга при отражении от концов г—
= ±L:
J(z) = A [Ф (L + z) eik {L+Z) + Ф (L — z) eik {L~%
Граничное условие J(±L)=O приводит к уравнению (а) предыдущей зада-
задачи. В нулевом приближении
iznz
J (z) = В cos -g-jf— при /1=1, 3, . . . ,
tzjiz
J (z) = B sin -^ при n = 2, 4, . . . ,
а в первом приближении появляются поправки к этим выражениям.
25* 387

17. Пользуясь результатами задач 10 и 15, найти собственные частоты
однотактных колебаний отрезка двухпроводной линии (-когда токи в обоих
проводах равны). Сравнить затухание этих колебаний с затуханием двух-
двухтактных колебаний (когда токи в проводах отличаются знаком), вычислен-
вычисленным в задаче 1 к гл. VI. Объяснить различие в порядках величин.
Решение. Комплексные собственные частоты однотактных колеба-
ний определяются формулой (Ь) задачи 15, в которой вместо а надо под-
подставить УаЬ. Затухание двухтактных колебаний, помимо различия в чи-
численных коэффициентах, содержит малый множитель (kbJ, т. е. оно
гораздо меньше, чем затухание однотактных колебаний. Различие объясняет-
объясняется тем, что излучение двух близких проводов, несущих токи противополож-
противоположного знака, гораздо меньше, чем излучение проводов с одинаковыми то-
токами.
18. Пользуясь формулами F2.53), F2.55) и F2.56), вычислить входной
импеданс симметричного вибратора (длины 2L)
z=
• / @, 0)
при условии, :КО!Гда длина вибратора равна нечетному числу полуволн, т. е.
kL=— (/2=1, 3,. . .).
Применить приближенные формулы, полученные в задаче 14.
Решение. (Входной импеданс симметричного вибратора при произ-
произвольном kL определяется формулой
__ 22 1 + ф BL) z2ikL
~~~ с 1
откуда при kL = -у , когда
получаем
с 1-фB
Если применять формулы (а) и (Ь) задачи 14, то знаменатель в этом вы-
выражении можно заменить двойкой, и эта формула примет простой вид:
Если воспользоваться функцией Й(г/), введенной в задаче 15, и перейти
к практическим единицам, заменяя — на 30 ом, получим
Z=iR—1\Х=30НBял) [ом],
откуда
tf=.3QDiBmz) [ом], X=30SiBmz) [ом].
19. Найти длину симметричного вибратора, приближенно удовлетворяю-
удовлетворяющую соотношению
388

при которой его выходной импеданс является активным, т. е. Х=0 (см. пре-
предыдущую задачу). Сравнить .полученный результат с формулой (Ь) зада-
задачи 15.
Решение. Полагая
где б — малая величина, из формулы \(а) задачи 18, пренебрегая произве-
произведениями малых величин, получим
I Г 21L
|2»ln
I Г
Считая X = О, приходим к выражениям
Si Bnn) nn SiBnn)
о kL
2L ' ки— 2 2L
2 In —— 4 In
Это значение kL практически совпадает с вещественной частью значения kL,
вычисленного то формуле (Ь) задачи 15. Физический смысл полученного
результата очень .прост: чтобы получить чисто активный входной импеданс,
нужно возбуждать вибратюр на его собственной частоте (равной веществен-
вещественной части комплексной частоты его собственного колебания); это утвержде-
утверждение тем точнее, чем выше добротность собственного колебания.
20. (Поле излучения передающего вибратора, возбуждаемого сторонним
полем F2.52), определяется формулой
Применяя теорему взаимности к элементарному диполю, находящемуся
в волновой зоне передающего вибратора, и к самому вибратору, получить
соотношение
где l{z0) — ток в таком же вибраторе, но пассивном, возбуждаемом пло-
плоской волной
которую можно считать исходящей от элементарного диполя. Написать вы-
выражение для характеристики излучения Fffi).
Решение. Ток J(z0) определяется формулами F2.58) и F2.59), в ко-
торьих нужно заменить z на z0 и w0 на w. Преобразовывая формулу F2.58)
так, чтобы явно выделить функции г|>B:, ±w), зависящие от угла Ф, полу-
получаем следующее выражение для функции /'(О)
@) =
x e/A (L+z0) A + cos *) _ [ф (L _ z^ w) __ M {2Lrw)] elk (L-z0) A-cos b) }j
где В\ и B2 — постоянные (G2.55).
21. Составить функциональные уравнения для задачи, рассмотренной
в § 64, при граничном условии F4.02).
389

Решение. Полагая
2nk С F (w) ( . v — kZ.\.
^ ___ I eiwz — ( Q-xvy ^. ___ег»у J zi
С
При 0 <^ у <^ B,
2тс£ f i7 (ш) / у — ifeZ \
= — г- I eiu?z ^— ( Q-iva -|. ■ егиа j ^i
С
при а < f/ < оо,
получим составляющую -поверхностного тока по оси я на полуплоскости
#=0, 2>0 в виде
с Г дФ дФ 1
С
и функциональные уравнения F4.06) и F4.07), причем
v — kZ
+2
= 1 + — + ^ 1 - —) е»*»«.
22. Оценить пространственную волну в системе, рассмотренной в § 64,
при у=0 и 2->— оо.
Решение. Вычисление поля три Z-»—оо приводит к формуле, ана-
аналогичной формуле F0.13). Оценка слагаемого Q2 производится так же, как
в задаче 5, и приводит \к аналогичному результату:
Q@.
При получении этой оценки множители e±tva в интеграле заменяются едини-
единицей, что законно при условии
т. е в волновой зоне открытого конца волновода.
390

О МЕТОДАХ, ЗАДАЧАХ И ПЕРСПЕКТИВАХ
Перспективы дальнейшего развития теории диффракции на
основе метода Винера—Хопфа—Фока определяются как воз-
возможностями расширения самого метода, так и наличием важ-
важных диффракционных задач, которые могут быть решены суще-
существующим методом.
Метод Винера—Хопфа—Фока замечателен тем, что он сво-
сводит граничные задачи математической физики (электродинами-
(электродинамики, акустики и т. д.) к граничным задачам теории аналитиче-
аналитических функций, причем эти функции находятся путем факториза-
факторизации, т. е. сравнительно просто. Главное здесь не в том, что
составляются функциональные уравнения и накладываются
определенные условия на функции комплексного переменного w
(это можно сделать для задач гораздо более широкого класса),
а в том, что эти функции можно эффективно построить. Хоро-
Хорошим примером является «ключевая задача» § 52, которая при-
приводит к функциональному уравнению E2.17), в общем случае
не позволяющему найти функции F(w), и лишь при а=р оно
допускает явное решение E2.22).
В работах Фельда [64, 65] решены электродинамические
задачи для полубесконечных периодических структур, образо-
образованных дискретными элементами (решетки из тонких прово-
проводов). Эти задачи также решаются путем факторизации, но
области, где функции голоморфны, иные. Если период струк-
структуры уменьшается, то она переходит в непрерывную, поэтому
метод, развитый в работах [64, 65], в принципе должен быть
более общим, чем метод Винера—Хопфа—Фока. Однако факти-
фактически для решеток удается довести до конца лишь немногие
задачи, и в частности проследить за переходом в непрерывную
структуру пока нельзя. Методы, посредством которых решается
задача о диффракции на импедансном клине (см. конец § 61),
можно в каком-то смысле также считать обобщением метода
Винера—Хопфа—Фока.
Возможности, заложенные как в самом методе Винера—
Хопфа—Фока, так и в его обобщениях, упомянутых выше,
к настоящему времени почти исчерпаны, если иметь в виду при-
применение этих методов «в чистом виде» для строгого решения
диффракционных задач. Действительно, осталось очень мало
систем, поля в которых могут быть рассчитаны методом
Винера—Хопфа—Фока и для которых это еще не сделано;
в основном это — системы с прозрачными пластинами и про-
прозрачными цилиндрами, перечисленные в § 65 и приводящие
к довольно сложным соотношениям. Конечно, и для хорошо
изученных систем, например для полубесконечного круглого
волновода, можно тем же методом решать более сложные за-
задачи, скажем, о падении плоской волны, о возбуждении системы
точечным источником, находящимся на конечном расстоянии, и
391

т. д. (ср. § 23 и 31); своеобразным рекордом сложности являет-
является здесь расчет излучения точечного заряда, пролетающего
через открытый конец круглого волновода параллельно его оси
[66, 67], и решение аналогичных двухмерных задач [68].
Таким образом, положение сейчас существенно иное, чем
15—20 лет назад: метод Винера—Хопфа—Фока прочно вошел
в арсенал математической физики и приобрел большую популяр-
популярность; одновременно количество нерешенных диффракцион-
ных задач, для которых он позволяет дать строгое и полное
решение, сократилось до минимума. .Поэтому можно считать,
что в дальнейшем применение этого метода будет расширяться
по трем направлениям:
1. Переформулировка диффракционных задач с целью по-
последующего применения других методов или введения аппрок-
аппроксимаций (см. § 48—51).
2. Приближенная факторизация, которая может быть при-
применена не только к одиночному вибратору (как в § 62), но и
к более сложным системам: к вибраторам и щелям в волново-
волноводах, многовибраторным антеннам, штыревым замедляющим
системам и т. д.
3. Выявление на конкретных примерах физических законо-
закономерностей, позволяющих разработать методику приближенного
или асимптотического расчета (ср. § 38 и 59)
Не исключено, что в будущем появится новый- математиче-
математический метод, который значительно расширит возможности стро-
строгого и эффективного решения диффракционных задач. Однако
какие-либо прогнозы здесь невозможны, тем более что значе-
значение любого нового метода выясняется не сразу, а постепенно,
по мере накопления результатов, получаемых этим методом.

ПРИЛОЖЕНИЕ А
ДИФФРАКЦИЯ НА ПОЛУПЛОСКОСТИ
При исследовании физического смысла выражений для поля
излучения волноводов (гл. V) приходится пользоваться основ-
основными формулами теории диффракции плоских электромагнит-
электромагнитных волн на идеально проводящей полуплоскости. Чтобы
избежать ссылок на литературу, где нужные нам результаты
приведены в иной форме, мы дадим здесь новый вывод этих
формул с помощью метода, использованного нами выше для
волноводов.
Пусть на идеально проводящую полуплоскость у = 0, г>0
падает плоская волна, направление распространения которой
составляет с осью х (краем полуплоскости) прямой угол,
а с осью z — угол ф0 (см. рис. 107). При таких условиях следует
различать два случая поляризации падающей волны, которые
мы будем условно называть «магнитной» и «электрической»
поляризациями. Магнитной поляризацией назовем такую поля-
поляризацию падающей плоской волны, при которой ее электриче-
электрическое поле параллельно краю полуплоскости. Составляющие
поля падающей волны в этом случае равны:
р® р ik B cos сро+г/ sin ф0)
*■* х — ^ос »
и® р nnc m Jk (г cos фо+# sin ф0)
(А01>
;
Электрическую поляризацию мы будем иметь, если магнитное
поле падающей волны параллельно краю полуплоскости, пр»
этом составляющие поля падающей волны равны:
ттО 1_/ е*& (г cos eQ + y sin cp0)
E0y = -H0cos9oeik{2COS
рО jlj Q1-n ik (z cos фо+# sin ф0)
L. I I 0 5Ш y0C ,
(A02>
зэа

Введение этих наименований для поляризаций объясняется
тем, что в случае (Л.01) плоская волна имеет такую же поляри-
поляризацию, как и магнитная волна в плоском волноводе, а в случае
(Л.02) поляризация та же,
что у электрической волны
в плоском волноводе (см.
гл. I). Более того, магнит-
магнитная волна в плоском волно-
-**£ воде может быть представ-
представлена в виде суммы двух
магнитных плоских волн
(Л.01), а электрическая
волна в плоском волново-
волноводе—как сумм а двух электри-
электрических плоских волн (Л.02).
Постоянные множители EQ и #0 в формулах (Л.01) и (Л.02)
определяют амплитуду плоской волны. Эти множители целесо-
целесообразно выразить через амплитуду поверхностной плотности то-
тока, который плоская волна возбуждала бы при падении на иде-
идеально проводящую плоскость у = 0у неограниченно простираю-
простирающуюся во все стороны. Магнитная волна (Л.01) возбуждала бы
на такой плоскости плотность тока
Рис. 107. Полуплоскость.
(Л.ОЗ)
где введено сокращенное обозначение
—ft = £coscpo. (Л.04)
Электрическая волна (Л.02) возбуждала бы поверхностную
плотность тока, равную
= 0. i° = Ае~{НгЛ
(Л.05)
где величина h также определяется формулой (Л.04).
В нашей задаче мы имеем не плоскость у=0, а полупло-
полуплоскость у=0, «г>0. Плотность тока на этой полуплоскости будет
приближенно определяться выражениями (Л.ОЗ) или (Л.05)
при больших положительных z, где наличие края сказывается
слабо вследствие его удаленности.
В дальнейших рассуждениях мы считаем \mk > 0. При
9~<С?о<С7и» когда направление распространения плоской
волны составляет (как на рис. 107) тупой угол с осью г, имеем
ImA>0. (Л.06)
394

Обозначим через f{z) составляющую плотности тока jx при
магнитной поляризации и составляющую jz при электрической
поляризации. Тогда при условии (Л.06) можно (как в § 2) за-
записать функцию f(z) в виде
f(z) = Ae-^*+J(z), (Л.07)
где первое слагаемое согласно формулам (Л.ОЗ) и (Л.05) есть
ток, возбуждаемый падающей волной на идеально проводящей
плоскости у=0, а второе слагаемое есть ток, возникающий
в результате диффракции на крае. Первое слагаемое в силу
условия (Л.06) неограниченно растет при z—>oo, а второе сла-
слагаемое остается ограниченным и может быть разложено
в интеграл Фурье:
/(z)= Г eiwZF{w)dw. (Л.08)
—00
В силу условия
/(z)=0 при z<0. (A.09)
должно иметь место функциональное уравнение
00
С e^zF(w)dw = — Ae^ihz при z<0. (АЛО)
—00
Диффракционное поле нашей задачи мы ищем в виде
(Л.И)
где Е°, Н° есть первичное поле падающей волны [формулы
(Л.01) или (Л.02)], а Е1, Н1 есть вторичное поле, порождаемое
токами на полуплоскости. При этом должны выполняться гра-
граничные условия:
Е°х + Е1х = 0 при у = О, z>0 (Л.12)
для магнитной волны и
= О, г>0 (Л.13)
для электрической волны.
Так как поле от первого слагаемого в выражении (Л.07)
для тока на полуплоскости погашает соответствующую танген-
тангенциальную составляющую электрического поля падающей волны
на всей плоскости у=0, то условие (Л.12) эквивалентно для
магнитной волны требованию, чтобы электрическое поле, полу-
получающееся из векторного потенциала
00
Х{У, г) = ^- jЯ<"(kVtf + (^-тf(ОЛ, (Л.14)
395

само удовлетворяло условию Ех = 0 при #=0, z>0. Подставляя
в формулу (Л.14) выражение (Л.08), получаем
00
АХ = Ц- Г eiiwz+vi!>l)-^rF(w)dw, (A 15)
—оо
откуда и выводим второе функциональное уравнение:
00
Г
F(w)dw = 0 при г>0. (Л. 16)
Уравнения (Л.10) и (Л.16) аналогичны уравнениям B.12) и
B.13) в теории плоского волновода. Функция, входящая в урав-
уравнение B.13), для уравнения (Л. 16) равна
Здесь она настолько проста, что разбиение ее на множители
с помощью формулы B.17) получается совершенно элементар-
элементарно. Функция F(w) по формуле D.02) получается равной
(А17)
Подставляя это выражение в формулу (Л. 15), получаем вели-
величину А1х. Если в интеграле (Л.15) в качестве контура интегри-
интегрирования взять не вещественную ось, а контур С, охватывающий
точку w = —h снизу (см. гл. I, рис. 2), то он будет включать
векторный потенциал, происходящий от тока Ae~ihz9 и давать
все вторичное поле Е1, Н1. Таким образом, получаем вторичное
поле в виде
^[ d(Л. 18)
-.
У k + w (w + h)
с
Аналогичным путем в случае электрической поляризации
получаем вторичное поле в виде интеграла:
)
с
где
sgny=l при
= — 1 при у<0.
Покажем, что выведенные нами формулы (Л. 18) и (Л. 19)
эквивалентны формулам Зоммерфельда, получившего решение
396

этой задачи совершенно другим методом. Для этого введем
полярные координаты г, <р по формулам
(Л .20)
новую переменную интегрирования т — по формулам
и будем считать Im& = 0. Тогда при 0 <<р< л интеграл (.4.18)
принимает вид
____^о_ Г e<fersin(T+g
—sin %У\ + cos у0
sin-с—cos «о
где контур С% изображен на рис. 108. Вводя переменную
преобразуем интеграл (Л.21) к виду
Ео_ С ikr
или
'IT Т "
sin —g— cos ~~2~
COS (y -j- <p) — COS fo
■+■
i sin
6 + ¥ — fo
sin
2 aiu 2
где контур С& изображен на рис. 109.
Рассмотрим интеграл
ikr (cos £—с
sin
£+©'
(Л.22)
d5, (Л.23)
(Л.24)
Рис. 108. Контур Сх. Рис. 109. Контур Q. Рис. ПО. Контур D.
397

в котором путь интегрирования D (см. рис. 110) слегка укло-
уклоняется от мнимой оси для обеспечения сходимости интеграла.
В силу соотношения
-+ lT—=—f -
°> . — 5 + © cos £ — cos со
sinMr~ sin
интеграл (Л.24) может быть представлен в виде
со • £
sin -n~ £2? cos -пг d£
X = 4- e'*r (cos ^cos "> —£-: . (Л.25)
m .) cos £ — cos со ч 7
0
Последнее выражение легко сводится к интегралам Френеля.
Вычислив производную
2/^rsin2^-
е sin-x-
найдем саму функцию в виде
К27Г J
Нижний предел взят равным ±оо в зависимости от знака
sin-н-; благодаря этому выполняется соотношение
X—>0 при kr—> оо,
вытекающее из определения D-24).
При ф>фо путь интегрирован С^ может быть деформирован
в путь D без пересечения полюсов, и из формулы (Л.23) полу-
получается
Е\ = Ео [eikr cos ^Х (г, ? - 9о) + e'*r cos <¥+?(>)Х (г,
или
398

, e/*rcos(*+«pe)e_^ Г e'z dt • (A.27)
Формула (Л.27) дает окончательное и притом общее реше-
решение 'поставленной задачи. Она применима и при <р<фо, потому
что добавление вычета в полюсе |=фо—q>, пересекаемом при
деформации пути С^ в путь D, и изменение нижнего предела
в интеграле Х(г, ф—ф>0) на оо взаимно компенсируют друг
друга. Хотя при выводе формулы (Ai27) мы считали у>0, она
оказывается применимой для любых у, если только в ней
считать
0<!ф<2я. (Л.28)
В самом деле, при изменении у на —у (т. е. <р на 2%—<р)
cos(<p — 9о) переходит в cos(<p + <p0) и наоборот, д sin у ~ у° пе-
переходит в siny 2° и наоборот; следовательно, первое и второе
слагаемые в формуле (Л.27) меняются местами, в результате
чего Ех не изменяется, что и должно быть согласно исходной
формуле (Л. 18). На угол <р0 в формуле (Л.27) также не накла-
накладывается никаких ограничений, за исключением того, что он
должен быть выбран в интервале (Л.28).
Полное поле в случае магнитной поляризации может быть
записано в виде
-i} 2>Trsin*=p f,
Jkr cos (<p—c?0) 5
—( —
V*k
J
Исследуя таким же образом интеграл (Л. 19) для электри-
электрической поляризации, вместо формулы (Л.23) получаем при
выражение
Я1 n° ikrcosl 1 \ * ( л or\\
■Z= Г" l С I —; z—; : \ U4, l/l.OU}
I sin g sin 2 /
39»

■откуда полное поле получается в виде
'
"'Г
(Л.31)
причем формула (Л.31), равно как и формула (Л.29), дает
общее решение задачи. Эти формулы полностью совпадают
■с формулами Зоммерфельда, поэтому их физического исследо-
вания мы здесь проводить не будем (см., например, [22]).
Отметим только, что в силу асимптотических формул
1
e 2 dt=*-
(при — 5 > 1),
<£
( = * (при S>1)
мы получаем из формул (Л.29) и (Л.31) при условиях
-и 0<<р<фо следующие приближенные выражения:
COS
E = £
COS <f — COS <fo
(Л.32)
sin -f- cos 4" r~Y
(АЗЗ)
Эти выражения показывают, что от края полуплоскости расхо-
расходятся во все стороны цилиндрические волны. Эти цилиндриче-
цилиндрические волны имеются при любых значениях ф, но при
<ро<Ф'<2я—ф0 к ним добавляется еще падающая плоская волна
(Л.01) или (Л.02), а при 2тс—ф>0<ф<2тс — также и отраженная
плоская волна.
Цилиндрические волны (Л.32) и (Л.33) являются, как пока-
показано в гл. V, основными элементами, из которых образуется
поле излучения волноводов. Для удобства сравнения с выраже-
выражениями, полученными в ч. I, перепишем формулы (Л.32) и
(Л.33), вводя в них вместо Ео и Яо амплитуды токов Л по фор-
400

мулам (Л.03) и (Л.05). Тогда в случае падения 'плоской вол-
волны с магнитной 'поляризацией получаем цилиндрическую волну
в виде
(А34)
sin ~y (cos <p — cos <p0)
а в случае электрической поляризации цилиндрическая волна
имеет вид
„„Jte.co.-i- '(* + f)
Нх = — 2V2KA = - = (А35)
С r COS <р — COS <р0 l^yfer
Рассмотрим теперь более общий случай, когда на полупло-
полуплоскость у = 0, 2>0 падает плоская электромагнитная волна, рас-
распространяющаяся в произвольном направлении. Будем считать,
что составляющие электрического и магнитного поля этой
волны по оси х (вдоль края полуплоскости) равны
рО ____ р ik (x cos p + у sin p sin ф0 + z sin p cos ф0) ч
1 (Л.36)
г/0 lj ik (^cos p + г/ sin р з1пф0 + 2 sin р cos фо) [ 7
Здесь £0 и Яо — постоянные, |3 — угол между осью х и направ-
направлением распространения волны, г|)о — угол между осью z и
проекцией направления распространения на плоскость у, г.
Зависимость диффракционного поля от координаты х будет
выражаться множителем e***cosp, как и в падающей волне (Л.36).
Поэтому составляющая Ех удовлетворяет двухмерному волно-
волновому уравнению
и граничному условию
Ех=\0 при у = 0, г>0; (Л.38)
составляющая Нх удовлетворяет тому же уравнению
m*?Hx=0 (Д.39)
и граничному условию
Щ* = 0 при у = 0, г>0. (АЛО)
26—754 401

Остальные составляющие поля выражаются через Ех и Нх
следующим образом:
1
(Л.41)
F — * {соъЪдЕх дНх\
Поэтому условия (Л.88) и (Л.40) приводят к тому, что на
идеально проводящей полуплоскости у=0, г>0, действительно,
будем иметь
р _ р _ и _Г) (Л Д9\
Выше мы получили решение задачи о диффракции на полу-
полуплоскости при р = -£-. Случай произвольного угла р, как видно
из формул (Л.37)—(Л.40), сводится к частному случаю р = -^->
если в последнем в качестве волнового числа k взять величину
&# = &sinp. (Л.43)
В частности, вместо формул (Л.32) и (Л.ЗЗ) при произволь-
произвольном р будем иметь выражения
Фо . Ф
■f sini" _/—$j— '(
cos Ф — cos ф0 У я^р sin p
sin ~2~ cos -?j~- у ^ i (kx cos р + kp si n p + —
// = // —
° COS ф — COS Фо
/ 2 i f^y cos p + ^p si n p + ^"j
r ii&psinB !
Здесь мы ввели новые обозначения риф для полярных коорди-
координат в плоскости г, у:
t/= psin ф, (Л.45)
причем углы ф и ф0 выбраны в пределах
0<ф<2тс, 0<<|>в«2гс. (Л.46)
Формулы (Л.44) показывают, что от края полуплоскости во
все стороны расходятся конические волны, при Р= у вырож-
вырождающиеся в цилиндрические.
402

Для сравнения электромагнитных полей полуплоскости и
волновода удобно и в случае полуплоскости ввести векторы
Герца — электрический П и магнитный П,—имеющие только
составляющие
Пг ,
'Щу, z), \
РЙ(г/, z), J
(Л.47)
которые дают составляющие Ez и Hz по формулам
(А48)
В конической волне (Л.44) функции Пи И получаются
в виде
Фо Ф Фо
, cos Pcos -g- cos ф sing-—Яовш-у sin Ф cos Ф
A — sin2 p cos2 Ф) (cos Ф — cos <l>0)
X
X
£о cos—2" sin Фб^-^
ф
psin-^-cos
A — sin2 p cos2 Ф) (cos Ф — cos Фо)
X
V Tc^psir
/ (kp sin P + ~
(Л.49)
Выразим теперь постоянные Ео и #0 через амплитуды по-
поверхностной плотности тока, возбуждаемого этой же волной на
идеально проводящей плоскости, неограниченно продолжаю-
продолжающейся во все стороны, подобно тому, как это было сделано
в формулах (Л.03) и (Л.05). Мы рассмотрим отдельно электри-
электрическую поляризацию и магнитную поляризацию падающей
плоской волны.
Электрическая поляризация характеризуется тем, что в па-
падающей волне #2 = 0. Тогда
/° = 0, /° = Aeik {х cos р + 2 sin р cos фо), (Л.50)
х г
причем Ео и #о выражаются через амплитуду Л плотности тока
следующим образом:
2п я л '-' #0=^Л. (Л.51)
26*
403

Выражения (Л.49) для электрической поляризации падаю-
падающей волны принимают вид
/2
. Фо
Sin -7f~
ф COS ф — COS'
sin ~7г
-X
X
sin p A + cos2[Jctg^)
V2
cos
sin
Фо sin p A — sin2? cos2 <p)
X
X-
(Л.52)
Магнитная поляризация падающей волны характеризуется тем,
что в падающей волне £*2 = 0. В этом случае
/О п ib (x cos р + г sin p cos ф0)
J = /5е ,
.0 n Sin P COS p COS фо ik (x cos p + z sin p cos 40)
* г ~~П 1—sin^COS^o
йричем Ео и #0 выражаются через амплитуду В плотности тока
с помощью формул
1 —
г, 2п ту sin p cos p cos Фо
0 = с 1—sin2pcos2^0'
(Л.54)
В конической волне (Л.49) функции П и П для магнитно-
поляризованной падающей волны даются формулами
X
1
A _ Sin2 p cos2 Фо) A — sins p cos2^)
5
Фо Ф- COS ф — COS фс
si n тг sin тг
•X
X
(Л.55)
404

Введенные здесь наименования поляризаций оправдываются
тем, что в круглом волноводе с осью, параллельной оси г, элек-
электрическая волна может быть представлена в виде пучка
плоских волн с электрической поляризацией, а магнитная вол-
новодная волна — в виде пучка плоских волн, имеющих магнит-
магнитную поляризацию.
Заметим, что при угле р, близком к у, когда cos p можно
считать малой величиной, квадратом которой допустимо пре-
пренебречь, формулы (Л.52) можно переписать в упрощенном
виде:
sin
Фо
п=
ck2
2
1
sin~2~
cos ф — cos
Vk?
i^2it/lc0SP — Фо
sin -n-s
Й = -7^2* Л cos |
(Л.56)
а формулы (A.55) принимают вид
sin <
то . у
) cos—?,- sin фсоз ~2~
-x
Фо Ф
sin -y- sin -o- (cos Ф — cos Фо)
X
(Л.57)
Таким образом, (при диффракции на полуплоскости плоской
волны, имеющей одну функцию Герца — электрическую или
магнитную, — появляется и другая функция Герца, пропор-
пропорциональная cos p.
405

ПРИЛОЖЕНИЕ В
ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИИ U(s, p) *
Свойства функции U(s, р)
Функция U\(s, q) определяется формулой
00 . t2
1 Г 1 f л H 2 \ at
Переменные s и q предполагаются вещественными. Заметим,
что U(s, q) является периодической функцией q с периодом 1,
откуда при целом N имеем
U(s,N+p) = U(s,p). (В.02)
Поэтому, представляя q в виде
где [q] есть целая часть q, достаточно табулировать функцию
(УE,р) для значений параметра р в пределах
0</?<1. (Д.04)
Так как
Ui-s,p)=-U(s,p), (fi.05)
то достаточно знать функцию U при
0<5<оо. E.06)
При 5 = 0 функция терпит разрыв:
U (+0, р) = 4~ In A - е|2Г), £/ (-0, /?) = \Щ\- е'2").
(Л .07)
При 5> 1 для вычисления функции можно применить асимпто-
асимптотический ряд
* Это приложение написано на основании работы П. А. Азрилянт и
автора.
406

где асимптотические коэффициенты Um(p) определяются так:
n=l
(В.09)
Асимптотические коэффициенты U0(p) и Ux{p) вычислялись
нами с помощью формул квадратур с ординатами в корнях
полиномов Эрмита 6-й и 7-й степени. Вычислительная работа
значительно уменьшается, если учесть соотношения
{где знак * означает комплексно сопряженную величину),
а также вытекающие из формул E.09) и E.10) соотношения
E.11)
где С (z) означает дзета-функцию Римана.
Дифференцируя обе части равенства E.01) по s, получаем
2 л л 4
— I г —— ср
где U'0(p) есть производная асимптотического, коэффициента
Ua(p), равная
\(p) = V2v^^=2*iU_l(p), (ВАЗ)
л=1
причем определяемая этим соотношением величина U „х(р)
удовлетворяет соотношениям (В. 10) и (В.11) (при т =—1),
позволяющим производить непосредственное вычисление U'0(p)
(которое мы выполняли по формулам суммирования Эйлера)
лишь для части значений р в интервале (В.04).
В интеграле, выписанном в .правой части формулы (В. 12),
мы преобразуем (считая s>0 и р>0) путь интегрирования
407

в плоскости комплексного переменного /, первоначально совпа-
совпадающий с вещественной осью, в полуокружность бесконечно
большого радиуса, расположенную в нижней полуплоскости и
опирающуюся своими концами на вещественную ось. Вычисляя
интеграл по этой полуокружности (дающий слагаемое —
ди \
в выражении для -т-\ и вычеты в точках
= —е 4 sm и t=e 4
где
(m — P) ("г=1, 2,...),
и переходя от ^— к U с учетом первого из соотношений (В.07),
получаем окончательно следующее выражение для функции:
U(s, p) = ±-\n(l-ei2'l
s, P), (ВЛ5)
где
В этих формулах можно положить /?=+0, и мы получаем
*4 ,
e <
E.17)
Если обе величины sup малы, то
E.18)
где члены, обозначенные многоточием, имеют порядок s2,p или
s YР<> а Р есть положительная постоянная, равная
В = ъЛА^Ь^^ 0,824. E.19)
i/" iT" » v /
408

Выражения (В. 15) — {В. 17) могут быть применены для вы-
вычисления функции U(s,p) при изменении s от нуля до тех зна-
значений, когда асимптотический ряд (£.08) дает достаточную точ-
точность. Основную трудность представляет вычисление ряда
U(s>p) [формула (В. 16)], которое можно произвести либо
прямо с помощью формулы суммирования Эйлера, либо, вы-
вычислив первые несколько членов, сумму остальных преобразо-
преобразовать в ряд по степеням s, причем коэффициенты этого ряда
(также выражающиеся в виде рядов) легко могут быть вычис-
вычислены по формуле Эйлера, после чего вычисление по степенному
ряду не представляет затруднений.
Пользуясь соотношением
4) > 2/?), (£.20)
вытекающим из определения (В.01), достаточно знать U для
-о-, чтобы иметь U во всем интервале (В.04).
Заметим в заключение, что функция U для чисто мнимых
значений аргумента s=isf может быть получена из соотношения
U(is\p)=U*(s\l—p). {В 21)
В волноводных диффракционных задачах функция U(s,p)
играет примерно ту же роль, какую в теории диффракции на
лолуплоскости играют интегралы Френеля. Полезно отметить,
что функция U(s,p) связана с интегралами Френеля следую-
следующим образом:
• (с s2 \
.тс l п { 2кр I /2
— i - оо у * 2 ) оо i il
e I e 2 dt
Vn
Объяснения к таблицам
В табл. II дается действительная часть U(s, p) для 0
<4,5 (через 0,1) и 0</?<Ч /через -yg-J, а в табл. III дается
мнимая часть U(s, p) для тех же значений s и р. Ввиду труд-
трудности интерполяции в случае, когда обе переменные s и р малы,
левый верхний угол табл. II воспроизведен в иной форме
в табл. I, где дана величина Re U(s, p) — ln(s + Y^p), имею-
имеющая при малых sup плавный ход.
Для облегчения интерполяции по переменной р в табл. I и
II вставлены дополнительные столбцы между теми столбцами
р==-г^-(т — 09 1, 2, ..., 15), где велики вторые разности по р.
409

Значения /?, соответствующие этим столбцам, для отличия
взяты в фигурные скобки (например, ч-тУ Это обстоятель-
обстоятельство при пользовании таблицами необходимо иметь в виду.
Вычисление U(s,p) при s>4,5 (часто уже при s>4) следует
производить по первым двум членам асимптотического ряда
(В.08), которыми удобно пользоваться в виде
U(s, /?) = -^--j—L-£-,
LL-}-4ii£2, E.23)
В табл. IV даны значения асимптотических коэффициентов
Ао и Ах.
Здесь р означает дробную часть q [формула (Б.03)]. Если
надо вычислить U для s<0, то следует воспользоваться нечет-
нечетностью U относительно переменной s [формула (В.05)].
Столбцы p = -j$ (т = 0, 1,..., 7) табл. II и III вычислялись
непосредственно [см. пояснения к формулам (В. 14) — (В. 16)], по-
погрешность в них не превышает единицы третьего знака после
запятой. Столбцы р = ~ при т = 8, 9..., 15 вычислялись
с помощью формулы E.20), а дополнительные столбцы—путем
интерполяции по р там, где функция U при изменении р изме-
изменяется медленно, после чего применялось соотношение (В.20).
Погрешность в этих столбцах несколько выше и, вероятно,
в отдельных местах может достигать двух-трех единиц третьего
знака после запятой. Для построения графиков характеристик
излучения, коэффициентов отражения и других физических ве-
величин эта точность оказывается вполне достаточной.
Таблица I
N. Р
S N.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
0
—0,347
—0,388
—0,429
—0,470
-0,510
—0,550
—0,590
—0,629
—0,668
—0,706
—0,744
—0,780
—0,816
ReU (s,p)—h
l
IT
—0,347
—0,390
—0,431
—0,470
—0,510
—0,551
—0,593
—0,634
i (s+V 4tzP)
l
—0,348
—0,391
—0,433
—0,474
—0,514
—0,555
3
64
—0,349
—0,392
—0,433
—0,475
—0,518
l
Тб
—0,350
—0,393
—0,437
410

Таблица II
p)
^\ p
s \.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
€,9
1,0
Г,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
<2*,3
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
0
—oo
—2,691
—2,038
—1,674
—1,426
—1,243
—1,101
—0,986
—0,891
—0,811
—0,744
—0,685
—0,634
—0,589
—0,550
—0,515
,0,484
—O',456
—0,431
—0,409
—0,388
—0,369
—0,352
—0,337
—0,322
—0,308
—0,296
—0,285
—0,274
-0,263
—0,254
—0,246
—0,238
—0,231
—0,224
—0,217
—0,211
—0,205
—0,200
—0,195
—0,190
—0,185
—0,180
—0,176 '
—0,172
—0,168
{ж}
—1,161
—1,000
—0,872
—0,767
—0,681
—0,610
—0,551
—0,500
—0,455
—0,416
—0,382
—0,352
—0,325
—0,302
. —0,281
—0,263
—0,246
—0,231
—0,218
—0,205
—0,193
—0,183
—0,174
—0,166
—0,158
—0,152
—0,146
—0,139
—0,133
—0,127
—0,122
—0,118
—0,114
—0,111
—0,107
—0,104
—0,101
—0,098
—0,095
—0,093
—0,090
—0,087
—0,085
—0,083
—0,081
—0,079
—0,815
—0,710
—0,623
—0,550
—0,488
—0,436
—0,392
—0,354
—0,321
—0,292
—0,267
—0,245
—0,224
—0,206
—0,191
—0,177
—0,165
—0,154
—0,144
—0,135
—0,128
—0,121
—0,114
—0,108
—0,102
—0,097
—0,092
—0,088
—0,083
—0,080
—0,077
—0,074
—0,071
—0,068
—0,066
—0,064
—0,062
—0,060
—0,058
—0,056
—0,054
—0,053
—0,052
—0,050
—0,049
—0,048
—0,613
—0,534
—0,467
—0,411
—0,363
—0,322
—0,287
—0,257
—0,231
—0,208
—0,188
—0,170
—0,154
—0,141
—0,129
—0,118
—0,108
—0,100
—0,093
—0,087
—0,081
—0,075
—0,070
—0,067
—0,063
—0,060
—0,056
—0,053
—0,050
—0,047
—0,044
—0,042
—0,041
—0,039
—0,037
—0,036
—0,035
—0,033
—0,032
—0,031
—0,030
—0,030
—0,029
—0,028
—0,027
—0,026
l
16
—0,471
—0,407
—0,354
—0,308
—0,263
—0,236
—0,208
—0,183
—0,162
—0,144
—0,128
—0,114
—0,102
—0,091
—0,082
—0,074
—0,066
—0,060
—0,054
—0,049
—0,045
—0,041
—0,037
—0,034
—0,032
—0,029
—0,027
—0,025
—0,023
—0,021
—0,020
—0,019
—0,018
—0,017
—0,016
—0,015
—0,014
—0,013
—0,012
—0,012
—0,011
—0,011
—0,010
—0,010
—0,009
—0,009
411

Продолжение табл. II
\. p
S >v
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
{4}
—0,272
—0,229
—0,191
—0,158
—0,132
—0,111
—0,092
—0,075
—0,061
—0,049
—0,039
—0,030
—0,023
—0,017
—0,011
—0,006
—0,002
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,013
0,014
0,015
0,015
0,016
0,016
0,017
0,017
0,017
0,017
' 0,017
0,017
0,017
0,017
0,018
0,018
0,018
0,017
0,017
0,016
0,016
0,016
0,016
Re U
l
—0,134
—0,102
—0,076
—0,054
—0,035
—0,020
—0,007
0,004
0,013
0,020
0,026
0,032
0,036
0,039
0,041
0,043
0,045
0,046
0,047
0,047
0,047
0,047
0,047
0,047
0,047
0,047
0,046
0,046
0,045
0,045
0,044
0,043
0,042
0,041
0,041
0,040
0>040
0,040
0,039
0,038
0,037
0,037
0,036
0,035
0,034
0,034
E, P)
3
16
0,053
0,068
0,081
0,091
0,099
0,105
0,109
0,111
0,113
0,114
0,115
0,115
0,114
0,113
0,111.
0,109
0,107
0,105
0,103
0,101
0,099
0,096
0,094
0,092
0,090
0,088
0,086
0,084
0,082
0,080
0,078
0,076
0,074
0,072
0,071
0,070
0,068
0,066
0,065
0,063
0,062
0,061
0,060
0,059
0,058
0,057
l
0,173
0,179
0,182
0,184
0,185
0,184
0,182
0,180
0,177
0,173
0,169
0,165
0,161
0,157
0,153
0,148
0,144
0,140
0,136
0,132
0,128
0,124
0,121
0,117
0,114
0,111
0,107
0,105
0,102
0,099
0,096
0,094
0,092
0,089
0,087
0,085
0,083
0,081
0,079
0,077
0,075
0,073
0,072
0,070
0,069
0,069
5
0,254
0,252
0,249
0,245
0,240
0,234
0,228
0,222
0,215
0,208
0,201
0,194
0,188
0,181
0,175
0,169
0,163
0,157
0,152
0,147
0,142
0,137
0,133
0,128
0,124
0,120
0,117
0,113
0,110
0,107
0,104
0,101
0,098
0,095
0,093
0,091
0,088
0,086
0,084
0,082
0,080
0,078
0,076
0,075
0,073
0,072
412

Re U
Продолжение табл. II
^S\ p
s \.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
3
8
0,307
0,299
0,290
0,281
0,272
0,263
0,253
0,243
0,233
0,224
0,215
0,206
0,198
0,190
0,182
0,175
0,168
0,161
0,155
0,149
0,144
0,139
0,134
0,129
0,125
0,120
0,116
0,112
0,109
0,106
0,103
0,100
0,097
0,094
0,092
0,089
0,087
0,084
0,082
0,080
0,078
0,076
0,074
0,073
0,071
0,070
7
"Тб"
0,337
0,324
0,311
0,298
0,285
0,272
0,260
0,248
0,236
0,225
0,214
0,204
0,194
0,185
0,176
0,168
0,161
0,154
0,147
0,141
0,135
0,129
0,124
0,119
0,115
0,111
0,108
0,104
0,100
0,096
0,093
0,090
0,087
0,084
0,082
0,079
0,077
0,075
0,073
0,071
0,070
0,068
0,067
0,065
0,064
0,063
i
2
0,347
0,330
0,313
0,297
0,280
0,264
0,250
0,236
0,223
0,210
0,199
0,188
0,177
0,167
0,158
0,150
0,142
0,135
0,129
0,123
0,117
0,112
0,107
0,103
0,098
0,094
0,090
0,086
0,082
0,079
0,076
0,073
0,071
0,069
0,067
. 0,065
0,063
0,062
0,060
0,059
0,057
0,056
0,055
. 0,053
0,052
0,051
9
16
0,337
0,316
0,296
0,277
0,258
0,240
0,224
0,209
0,195
0,182
0,169
0,158
0,148
0,138
0,129
0,121
0,113
0,107
0,101
0,095
0,090
0,085
0,080
0,076
0,073
0,070
0,067
0,064
0,061
0,058
0,056
0,054
0,052
0,050
0,048
0,047
0,045
0,043
0,042
0,041
0,039
0,039
0,038
0,037
0,036
0,035
5
8
0,307
0,282
0,259
0,238
0,218
0,199
0,182
0,166
0,151
0,138
0,126
0,114
0,104
0,095
0,088
0,080
, 0,073
0,067
0,062
0,058
0,054
0,050
0,047
0,043
0,040
0,037
0,035
0,033
0,031
0,029
0,027
0,026
0,026
0,025
0,024
0,023
0,021
0,020
0,019
0,019
0,018
0,017
0,017
0,017
0,016
0,015
413

Продолжение табл. II
\v Р
S >v
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4 •
4,5
11
16
0,254
0,227
0,202
0,179
0,157
0,137
0,120
0,105
0,091
0,078
0,066
0,056
0,047
0,039
0,034
0,029
0,024
0,020
0,015
0,012
0,010
0,008
0,006
0,003
0,001
0,000
0,000
—0,002
—.0,003
—0,004
-4), 004
—0,004
—0,004
—0,004
—0,005
—0,006
—0,006
—0,006
—0,006
—0,006
-,0,006
—0,007
—0,008
—0,008
—0,008
—0,008
Re U {
3
0,173
0,144
0,117
0,092
0,070
0,051
0,034
0,020
0,008
-.0,003
—0,012
—0,019
—0,025
—0,031
—0,035
—0,037
—0,039
—0,042
—0,044
—0,045
—0,047
—0,048
—0,048
—0,047
—0,047
—0,047
—0,046
—0,045
—0,044
—0,043
—0,042
—0,042
—0,042
—0,041
—0,040
—0,039
—0,039
—0,038
—0,037
—0,037
—0,036
—0,035
-.0,035
—0,034
—0,034
—0,034
[s> р)
13
16
0,053
0,021
—0,007
—0,031
—0,052
—0,069
—0,083
—0,095
—0,104
—0,110
—0,114
—0,118
—0,120
—0,120
—0,120
—0,120
—0,119
—0,117
—0,116
—0,114
—0,112
—0,109
—0,107
—0,103
—0,100
—0,098
—0,096
—0,094
—0,092
—0,090
—0,087
—0,085
—0,083
—0,081
—0,079
—0,078
—0,076
—0,074
—0,072
—0,071
—0,069
—0,067
—0,066
—0,065
—0,064
—0,063
7
8
—0,134
—0,167
—0,194
—0,216
—0,232
—0,244
—0,251
—0,254
—0,255
—0,253
—0,249
—0,244
—0,239
—0,234
—0,229
—0,222
—0,215
—0,208
—0,201
—0,194
—0,188
—0,182
—0,176
—0,170
—0,165
—0,159
—0,154
—0,149
—0,144
—0,140
—0,136
—0,133
—0,130
—0,127
—0,124
—0,120
—0,117
—0,113
—0,110
—0,107
—0,105
—0,103
—0,101
—0,099
—0,097
—0,095
{Щ
—0,272
—0,305
—0,330
—0,348
—0,360
—0,366
—0,366
—0,362
—0,355
—0,346
—0,336
—0,326
—0,315
—0,304
—0,293
—0,282
—0,271
—0,260
—0,250
—0,241
—0,232
—0,223
—0,215
—0,207
—0,200
—0,194
—0,187
—0,181
—0,176
—0,170
—0,165
—0,160
—0,156
—0,151
—0,147
—0,143
—0,139
—0,135
—0,131
—0,128
—0,125
—0,122
—0,119
—0,117
—0,114
—0,112
414

Re U (s, p)
Продолженае табл. II
^Ч\ р
S \«v
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
15
16
—0,471
—0,502
—0,523
—0,533
—0,533
—0,526
—0,513
—0,497
—0,478
—0,460
—0,442
—0,423
—0,403
—0,383
—0,365
—0,349
—0,333
—0,319
—0,304
—0,291
—0,278
—0,266
—0,256
—0,247
—0,239
—0,230
—0,222
—0,214
—0,206
—0,199
—0,193
—0,187
—0,182
—0,176
—0,171
—0,166
—0,161
—0,157
—0,153
—0,149
—0,146
—0,142
—0,139
—0,136
—0,133
—0,130
{Щ
—0,613
—0,642
—0,658
—0,662
—0,652
—0,633
—0,610
—0,583
—0,556
—0,529
—0Д03
—0,477
—0,451
—0,427
—0,406
—0,386
—0,367
—0,350
—0,334
—0,319
—0,305
—0,292
—0,280
—0,269
—0,259
—0,249
—0,240
—0,231
—0,222
—0,214
—0,207
—0,201
—0,195
—0,189
—0,183
—0,178
—0,173
—0,168
—0,164
—0,160
-0,156
—0,153
—0,150
—0,146
—0,143
—0,139
—0,815
—0,839
—0,845
—0,833
—0,804
—0,767
—0,727
—0,688
—0,648
—0,609
—0,572
—0/538
—0,506
—0,476
—0,449
—0,425
—0,403
—0,383
—0,365
—0.348
—0,332
—0,317
—0,303
—0,290
—0,278
—0,267
—0,258
—0,248
—0,239
—0,231
—0,223
—0,216
—0,209
—0,202
—0,196
—0,190
—0,185
—0,181
-0,176
—0,172
—0,168
—0,164
—0,160
—0,156
—0,153
—0,149
— 1,161
—1,174
— 1,149
—1,094
— 1,023
—0,952
—0,881
—0,815
—0,755
—0,700
—0,650
—0,606
—0,566
—0,580
—0,498
—0,469
—0,443
—0,419
—0,397
—0,377
—0,359
—0,342
—0,327
—0,313
—0,300
—0,288
—0,277
—0,266
—0,256
—0,247
—0,239
—0,232
—0,224
—0,217
—0,210
—0,204
—0,198
—0,193
—0,188
—0,184
—0,179
—0,175
—0,171
—0,166
—0,162
—0,158
415

Таблица III
Im U fs> p)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
1,1
,2
,3
,4
1,5
1,6
1,7
1.8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
0
—0,785
—0,746
—0,708
—0,672
—0,639
—0,608
—0,579
—0,552
—0,526
—0,502
—0,479
—0,458
—0,439
—0,421
—0,403
—0,386
—0,371
—0,357
—0,343
—0,330
—0,318
—0,307
—0,296
—0,286
—0,277
—0,268
—0,260
—0,252
—0,245
—0,238
—0,231
—0,224
—0,218
-0,212
—0,206
—0,201
—0,196
—0,191
—0,187
—0,182
—0,178
—0,174
—0,170
—0,167
—0,163
—0,160
{32}
—0,736
—0,698
—0,662
—0,627
—0,595
—0,565
—0,537
—0,511
—0,486
—0,463
—0,442
—0,422
—0,403
—0,386
—0,369
—0,353
—0,338
—0,325
—0,312
—0.300
—0,289
—0,278
-0,268
—0,259
—0,250
—0,242
—0,234
—0,227
—0,221
—0,215
—0,209
—0,203
—0,197
—0,191
—0,186
—0,181
—0,177
—0,172
—0,167
—0,163
—0,160
—0,156
—0,153
—0,150
—0,146
—0,143
1
16
—0,687
—0,650
—0,614
—0,581
—0,550
—0,522
—0,495
—0,470
—0,446
—0,424
—0,404
—0,385
—0,367
—0,350
—0,335
—0,321
—0,307
—0,294
—0,282
—0,271
—0,261
—0,251
—0,242
—0,233
—0,225
—0,217
—0,210
—0,203
—0,197
—0,191
—0,185
—0,180
—0,175
—0,170
—0,165
—0,161
—0,157
—0,153
—0,149
—0,145
—0,142
—0,139
—0,136
—0,133
—0,130
—0,128
1
8
—0,589
—0,554
■ —0,521
—0,490
—0,462
—0,436
—0,411
—0,388
—0,367
—0,347
—0,329
—0,312
—0,297
—0,282
—0,269
—0,256
—0,244
—0,233
—0,223
—0,214
—0,205
—0,197
—0,189
—0,182
—0,175
—0,169
—0,163
—0,157
—0,152
-0,147
—0,143
—0,138
—0,134
—0,130
—0,127
—0,123
—0,120
—0,117
—0,114
—0,111
—0,108
—0,105
—0,103
—0,101
—0.099
—0,097
416

Продолжение табл. Ill
Im U E, р)
^\ P
S ^v.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
,0
,1
1,2
,3
1,4
1,5
,6
1,7
1.8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
3
ш
—0,491
—0,458
—0,428
—0,400
—0,374
—0,350
—0,328
—0,308
—0,289
—0,272
—0,256
—0,241
—0,228
—0,216
—0,204
—0,194
—0,184
—0,175
—0,166
—0,158
—0,151
—0,144
—0,138
—0,132
—0,127
—0,122
—0,118
—0,113
—0,109
—0,105
—0,102
—0,098
—0,095
-0,092
—0,089
—0,086
—0,084
—0,082
—0,080
—0,078
—0,076
—0,074
—0,072
—0,070
—0,069
—0,068
1
Т
—0,393
—0,363
—0,335
—0,310
—0,287
—0,266
—0,247
—0,229
—0,213
—0,198
—0,185
—0,172
—0,161
—0,151
—0,142
—0,133
—0,125
—0,118
—0,112
—0,106
—0,100
—0,095
—0 091
—0,086
—0,082
—0,079
—0,075
—0,072
—0,069
—0,066
—0,064
—0,062
—0,059
—0,057
—0,056
—0,054
—0,052
—0,051
—0,049
—0,048
—0,046
—0,045
—0,044
—0,043
—0,042
—0,041
5
Тб"
—0,294
—0,268
—0,244
—0,222
—0,202
—0,184
—0,167
—0,152
—0,138
—0,126
—0,115
—0,106
—0,097
—0,089
—0,082
-0,076
—0,070
—0,065
—0,060
—0,056
—0,052
—0,048
—0,045
—0,042
—0,040
—0,038
—0,036
—0,034
—0,032
—0,030
—0,029
—0,028
—0,026
—0,025
—0,024
—0,023
—0,022
—0,022
—0,021
—0,020
—0,019
—0,019
—0,018
—0,017
—0,016
—0,015
8
—0,196
—0,173
—0,152
—0,133
—0,116
—0,101
—0,087
—0,075
—0,065
—0,056
—0,048
—0,041
—0,034
—0,028
—0,023
—0,019
—0,015
—0,011
—0,008
—0,006
—0,004
—0,002
—0,001
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,005
0,006
0,006
0,007
0,007
0,007
0,007
0,008
0,008
0,008
0,008
0,008
0,008
0,008
0,008
0,008
0,008
27—754
417

Im U (s, p)
Продолжение табл. III
^ч. Р
S >v
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
, 3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
7
16
—0,098
—0,079
—0,061
—0,045
—0,032
—0,020
—0,010
—0,001
0,006
0,012
0,018
0,022
0,026
0,029
0,031
0,033
0,035
0,036
0,037
0,037
0,038 .
0,038
0,038
0,038
0,038
0,037
0,037
0,037
0,036
0,036
0,035
0,035
0,034
0,034
0,033
0,033
0,032
0,031
0;031
0,030
0,030
0,029
0,029
0,028
0,028
0,028
1
2
0,000
0,016 -
0,030
0,041
0,050
0,058
0,065
0,070
0,074
0,077
0,079
0,081
0,082
0,083
0,083
0,082
0,081
0,080
0,079
0,077
0,075
0,074
0,073
0,072
0,071
0,069
0,068
0,066
0,065
0,064
0,063
0,061
0,059
0,058
0,056
0,055
0,054
0,053
0,052
0,051
0,050
0,049
0,048
0,047
0,046
0,045
9
16
0,098
0,110
0,119
0,125
0,130
0,135
0,138
0,139
0,139
0,138
0,137
0,136
0,134
0,131
0,128
0,125
0,122
0,119
0,116
0,113
0,110
0,107
0,104
0,101
0,09?
0,095
0,092
0,090
0,088
0,086
0,083
0,081
0,079
0,077
0,075
0,073
0,072
0,070
0,068
0,066
0,065
0,064
0,063
0,062
0,060
0,059
5
~8~
0,196
0,203
0,207
0,209
0,209
0,208
0,205
0,202
0,198
0,193
0,188
0,183
0,178
0,172
0,167
0,162
0,156
0,151
0,146
0,142
0,137
0,132
0,127
0,123
0,119
0,116
0,112
0,108
0,105
0,102
0,099
0,096
0,094
0,091
0,089
0,087
0,085
0.083
0,081
0,079
0,077
0,075
0,073
0,072
0,071
0,069
418

Im U (s, p)
Продолжение табл. III
. 0,0
. 0,1
• 0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
li
16
0,294
0,293
0,292
0,288
0,282
0,275
0,267
0,259
0,250
0,242
0,234
0,225
0,217
0,209
0,200
0,192
0,184
0,176
0,169
0,162
0,156
0,150
" 0,144
0,139
0,134
0,129
0,125
0,121
0,117
0,113
0,110
0,106
0,103
0,100
0,096
0,093
0,091
0,089
0,087
0,085
0,083
0,081.
0,079
0,077
0,076
0,074
3
4
0,393
0,385
0,375
0,363
0,350
0,337
0,323
0,308
0,294
0,281
0,268
0,254
0,241
0,229
0,218
0,207
0,197
0,188
0,180
0,172
0,165
0,158
0,151
0,144
0,138
0,133
0,128
0,124
0,119
0,115
0,112
0,108
0,104
0,101
0,099
0,096
0,093
0,091
0,088
0,086
0,083
0,081
0,079
0,077
0,076
0,074
3
16
0,491
0,473
0,453
0,431
0,408
0,386
0,363
0,341
0,320
0,300
0,282
0,265
0,249
0,234
0,220
0,207
0,195
0,184
0,174
0,165
0,156
0,148
0,141
0,135
0,129
0,124
0,119
0,115
0,110
0,106
0,102
0,099
0,095
0,092
0,089
0,086
0,083
0,081
0,079
0,077
0,075
0,073
0,071 .
0,069
0,067
0,065
7
8
0,589
0,554
0,517
0,480
0,444
0,408
0,375
0,344
0,315
0,288
0,264
0,242
0,222
0,205
0,190
0,176
0,162
0,150
0,139
0,130
0,122
0,115
0,108
0,102
0,097
0,093
0,088
0,084
0,080
0,076
0,072
0,069
0,066
0,064
0,062
0,060
0,057
0,055
0,053
0,051
0,050
0,048
0,047
0,046
0,045
0,043
27*
419

Продолжение табл. Ill
s
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2,
2,
2,
CS|
CSI
CSI
2,
2,
2,
2,
CO
CO
3,
3,
CO
3,
3,
3,
3,
3,
4,
4,
4,
4,
4,
4,
p
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
.7
,8
,9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
* o,
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
o,
0,
0,
o,
o,
0,
0,
o,
0,
0,
0,
o,
0,
,638
,591
,541
,492
,445
,400
,359
,322
,289
,260
,233
,209
,188
,170
,154
140
127
,116
107
099
091
085
080
075
070
066
062
058
055
052
049
046
043
041
040
038
036
035
034
033
031
030
029
028
027
026
0
- 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
o,
0,
0,
o,
0,
0,
0,
0,
o,
0,
0,
o,
0,
o,
0,
0,
0,
Im
15
16
,687
,618
,547
,480
,418
,362
,312
,268
,230
,198
,170
,146
,125
,108
,093
081
070
061
054
047
041
036
031
027
024
021
018
016
014
012
Oil
010
009
008
007
006
006
005
004
004
003
003
003
003
002
001
U
{s, P)
m
0,712
0,625
0,538
0,457
0,383
0,320
0,266
0,219
0,179
0,146
0,118
0,095
0,076
0,061
0,048
0,037
0,029
0,023
0,017
0,011
0,006
0,002
—0,001
—0,004
—0,007
—0,009
—0,010
—0,011
—0,012
—0,013
—0,014
—0,015
—0,015
—0,015
—0,015
—0,016
—0,016
—0,016
—0,016
—0,016
—0,016
—0,016
—0,016
—0,016
—0,016
—0,016
/31\
0,736
0,619
0,507
0,406
0,319
0,246
0,186
0,138
0,099
0,068
0,043
0,023
0,007
—0,006
—0,016
—0,023
—0,029
—0,034
—0,038
—0,041
—0,043
—0,045
—0,046
—0,047
—0,048
—0,048
—0,048
—0,048
-0,048
—0,048
—0,047
—0,047
—0,046
—0,045
—0,044
—0,044
—0,043
—0,042
—0,042
—0,041
-0,040
—0,040
—0,040
—0,039
—0,038
—0,038
/63\
0,760
0,580
0,416
0,281
0,176
0,096
0,037
—0,006
—0,038
—0,063
—0,081
—0,093
—0,102
—0,110
—0,114
—0,116
—0,117
—0,117
—0,116
—0,115
—0,114
—0,112
—0,111
—0,109
—0,107
—0,105
—0,103
—0,101
—0,099
—0,097
—0,095
—0,093
-0,091
—0,089
—0,087
—0,085
—0,083
—0,082
—0,080
—0,078
—0,077
—0,075
—0,074
—0,073
—0,071
—0,070
420

Таблица IV
Асимптотические коэффициенты
р
0
— ==0,015625
-— = 0,03125
-g|- = 0,046875
-—- = 0,0625
{~ = 0,09375 }
ПГ = 0.125
— = 0,1875
-]§- = 0,3125
-~ = 0,375
-^ = 0,4375
■—- = 0,5
-]|- = 0,5625
-|- = 0,625
•^- = 0,6875
—1- = 0,75
4g~ = 0,8125
-4- = 0,875
{-§- = 0,90625 \
4|- =0,9375
-|j- = 0,953125
-|i- = 0,96875
■||- = 0,984375
1
Re Ло
—0,7368
—0,3346
—0,1923
—0,0934
—0,0170
0,0956
0,1751
0,2734
0,3200
0,3303
0,3137
0,2742
0,2158
0,1409
0,0512
—0,0517
—0,1674
—0,2941
—0,4320
—0,5044
—0,5798
—0,6179
—0,6572
—0,6968
—0,7368
Re At
—0,378
—0,424
—0,449
—0,463 '
—0,467
—0,459
—0,432
—0,341
—0,225
—0,093
0,032
0,148
0,245
0,315
0,353
0,352
0,311
0,218
0,078
—0,015
—0,120
—0,179
-0,241
—0,308
—0,378
Im Ao
—0,7368
—0,6968
—0,6572
—0,6179
—0,5798
—0,5044
—0,4320
—0,2941
—0,1674
—0,0517
0,0512
0,1409
0,2158
0,2742
0,3137
0,3303
0,3200
0,2734
0,1751
0,0956
—0,0170
—0,0934
—0,1923
—0,3346
—0,7368
Ira Ax
0,378
0,308
0,241
0,179
0,120
0,015
—0,078
—0,218
—0,311
—0,352
—0,353
—0,315
—0,245
—0,148
—0,032
0,093
0,225
0,341
0,432
0,459
0,467
0,463
0,449
0,424
0,378
421

ОБЗОР ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Для того чтобы уменьшить количество ссылок в тексте, мы даем здесь
краткий обзор литературы, использованной при написании каждой главы.
Если изложение данного вопроса в этой книге менее лолное, чем в ориги-
оригинальной работе, мы отмечаем это и указываем наиболее существенные ре-
результаты, имеющиеся в оригинальной работе и отсутствующие у нас.
<В (Первой части книги главным образом суммируются результаты, «полу-
«полученные автором на протяжении 1947—il950 гг. Эти результаты в основном
опубликованы в виде отдельных статей и кратких сообщений. Так, гл. I
написана на основании нашей работы1, гл. II — на основании статьи2, гл. III
повторяет содержание нашей работы3, предварительное сообщение о кото-
которой было напечатано ранее4. Гл. IV является результатом переработки двух
статей5 и сообщения6. Наконец, гл. V содержит результаты наших ра-
работ 7 и 8.
Следует отметить, что наше сообщение4 поя-вилось в печати, когда ни-
никаких данных о возможности точного решения задач о диффракции на конце
волновода в литературе не было. 'В этом предварительном сообщении на
примере звуковых волн в круглой трубе изложен метод решения- диффрак-
ционных задач для волноводов и приведены простейшие результаты, полу-
полученные этим методом. Уже после этого сообщения появилась обширная
статья9, посвященная звуковым волнам в открытой круглой трубе. После
вь;хода из пе*чати наших работ 1 и 7 по теории плоского волновода с откры-
открытым -концом появились статьи 10 на эту же тему; значительно позднее была
еще опубликована заметка11 об электромагнитных волнах и статья12 о зву-
звуковых волнах в плоском волноводе с открытым концом. iB методическом
отношении эти работы не дают ничего нового по сравнению с нашими, но не-
некоторые численные результаты в них заслуживают внимания. Для полноты
изложения мы включили в гл. I график из 12 |(рис. 7), а в гл. III — два
графика из 9 .(.рис. 31 и 32). Все остальные численные результаты первой
части являются оригинальными. Рис. 56 и 57 заимствованы из нашей рабо-
работы 13, в которой излучение из открытого конца круглого волновода в зад-
1 «Известия АН СССР», сер. физическая, «1948, т. 1B, № 2, стр. 1144.
2 ЖТФ, 1948, т. 18, 1№ 10, стр. 4543.
3 ЖТФ, -1949, т. 19, № 8, стр. 912.
4 «Доклады АН ОХР», 1947, т. 58, № 11, стр. 1957.
5 ЖТФ, 1951, т. 21, № е, стр. 828, 346.
6 «Доклады АН СССР», il950, т. 64, № 3, стр. 485.
7 «Известия АН СССР», сер. физическая, 1948, т. 12, № 2, стр. 166.
8 «Доклады АН СССР», 1950, т. 64, № 4, стр. 909.
9 Н Levin e, J. Schwinger. Phys. Rev., 11948, v. 73, p. $83.
i° A. E. Heins. Quart. Appl. Math., 11948, v. 6, № % p. 1957; 1948, v. 6,
№ в, р. 215.
11 L. L e wi n. Nature, 11949, v. /164, p. 311.
12 W. Chester. Phil. Mag., 1950, v. 41, p. 11.
13 Л. А. В а й н ш т е й н, М. Г. Белкина. «Радиотехника и электро-
электроника», 1959, т. 4, № 4, р. 566.
422

нее полупространство сравнивается с излучением круглого отверстия в ме-
металлической сфере, которая сильно уменьшает излучение назад. Б первой
части заново написан § 38. Ряд задач к гл. I—IV, относящихся « расчету
открытых резонаторов, основан на работах автора 14-16.
(В настоящее время имеется ряд книг 17~20, в которых рассматривается
задача о дифракции на открытом конце волновода. Книга 17 содержит
много численных результатов, относящихся к полноводным диффракционным
задачам самого различного типа, в том числе к задачам, рассмотренным
в этой книге; ниже нам еще придется на нее ссылаться. Книга 18 является
полезным введением в круг математических вопросов, связанных с приме-
применением метода факторизации, и содержит обширную библиографию; однако
решение частных задач в ней не доведено до .конца — численные результаты
и физические выводы отсутствуют. Наша книга преследует совершенно иную
цель, а именно получение и систематизацию конкретных результатов, пред-
представляющих физический и технический интерес и обладающих определенной
законченностью. В связи с этим ряд вопросов, затронутых в книге 18, ока-
оказался за пределами нашей книги, и наоборот. ;В книгах 19 и 20 интересую-
интересующие нас задачи разобраны довольно бегло, но эти .книги позволяют получить
представление о (Месте, занимаемом .методом Винера—Хопфа—Фока среди
других методов математической физики, и в частности (Среди методов, при-
применяемых для решения волноводных диффракционных задач.
\Тл. VI написана на основании работ автора 21 и 22, причем рис. 64 заим-
заимствован из книги 17, где также имеются числовые -данные, иллюстрирующие
точность формул D3.10). В книге 17 приведены также результаты, относя-
относящиеся к полубесконечной коаксиальной линии с бесконечным центральным
проводником [(§ 44, формулы iD4.08L и iD4.09)] и к волноводным развет-
разветвлениям (полубесконечная вставка в бесконечном волноводе — плоском или
прямоугольном, см. задачи 2, 3, 5, 7, 8, 11 и 12 к гл. VI). Результаты § 44,
относящиеся к двухпроводной линии, по-видимому, являются новыми.
Теория диффракции на периодической гребенчатой структуре развита
в работах 23~25, где рассмотрена косая система полуплоскостей D7.01). Ряд
численных результатов, относящихся к «прямой» системе полуплоскостей'
D5.01), приведен в книге 17. Интересная задача о гребенчатой структуре,
только в одном волноводе которой имеется набегающая волна, решена
в статье 2б, где, в частности, получены выражения, эквивалентные формулам
D7.28) и D7.29). Однако выводы, сделанные из них в статье 26, ошибочны;
правильное рассмотрение дано в § 47.
В первой половине гл. VII (§ 45—47) дан вывод основных результатов,
полученных для «прямой» системы полуплоскостей; некоторые другие ре-
14 ЖЭТФ, 1963, т. 44, № 3, стр. 4050.
15 ЖТФ, 1964, т. 34, № 2, стр. 193.
16 '«Электроника больших мощностей», сб. 3. Изд-во «Наука», 1964
(стр. .176).
17 Оправочиик по волноводам. Изд-во '«Советское радио», 1052.
18 Б. iH о б л Метод Винера—Хопфа. Изд-во иностранной литературы,
1962.
19 Л. Левин. Современная теория волноводов. Изд-во иностранной
литературы, 1954.
20 Ф. М. Морс, Г. Ф е ш б а х. Методы теоретической физики. Изд-во
иностранной литературы, 1960.
21 «Доклады АН СССР», 1948, т. 59, № 8, стр. 1421.
22 «Электроника больших мощностей», сб. 2, Изд-во АН СССР, 1963,
(стр. 83).
23 J. F. Carlson, А. Е. Heins. Quart. Appl. Math., 1946, v. 4, № 4,
p. 313.
24 A. E. Heins, J. F. Carlson. Quart. Appl. Math., 1947, v. 5, № 1,
p. 82.
25Д. E. Heins Quart. Appl, Math., 1950, v. 8, № 3, p. 281.
26 E. В. Бакланов. «Доклады АН СССР», 1963, т. 153, № 3, стр. 570.
423

зультаты приведены в задачах к гл. VII. Вторая половина гл. VII (§ 48—51)
написана на основании работы автора 27; метод, примененный в этой работе,
используется на протяжении всей главы.
Следует отметить, что имеется ряд работ, в которых теория гребенча-
гребенчатых структур строится, исходя из бесконечной системы линейных уравнений
{ср. § 55). В работе 28 это сделано для прямой гребенчатой структуры,
а в работе 29 — для косой системы полуплоскостей, причем в последнем слу-
случае вывод системы линейных уравнений, связывающей комплексные амплиту-
амплитуды диффракционных спектров и волноводных волн, не является тривиальным
и производится с помощью особого приема (применения формулы Грина
для искомой функции и для системы вспомогательных функций); в рабо-
работах 28 и 29 рассматриваются волны, поляризованные параллельно краям по-
полуплоскостей; для таких волн приведено много численных результатов.
В работе 30 с помощью бесконечной системы линейных уравнений решается
та же задача, что в работе 27 и § 48—51. Полученное в работе 30 характери-
характеристическое уравнение эквивалентно нашему уравнению ;D9.113), а численные
результаты .(менее полные, чем у нас), согласуются с нашими; работы 30
и 27 выполнены независимо.
В гл. VII не удалось охватить все вопросы, относящиеся к гребенчатым
структурам, поэтому за дальнейшими подробностями отсылаем читателя
к работам 17> 23-25> 28> 29.
Гл. VIII написана на основании двух работ автора 31 и 32. При подго-
подготовке данной книги автор познакомился с работой м, в которой методом
факторизации решена та же задача, что и в работе 32; однако в работе 33
отсутствуют приближенные (асимптотические) формулы E2.33) и некоторые
численные результаты. Надо сказать, что еще в статье 34 отмечена возмож-
возможность точного решения задачи о решетке, рассмотренной в § 53; а именно,
исходя из системы уравнений, эквивалентной E5.04), показано, что коэф-
коэффициенты /?<?*+1 можно представить в виде бесконечных произведений.
Эквивалентность ключевой задачи § 52 и задачи о гребенчатой струк-
структуре или о волноводном разветвлении показана в статье 35, где рассмотрены
и другие случаи эквивалентности диффракционных задач. Задачи 5 и 6
к гл. VIII навеяны статьей 35; они показывают, что задача 2 к гл. VI яв-
является ключевой по отношению к ключевой задаче § 5B.
Рис. 90 изменен по сравнению с первоначальным рисунком, приведенным
в статье 32. Изменения произведены (в интервале 1<^<'2) на основании чи-
численных результатов, любезно предоставленных автору В. П. Шестойалювьгм*.
Гл. IX охватывает ряд работ, принадлежащих различным авторам.
В § 57 довольно подробно изложена работа Гринберга и Фока 36, а в § 58—
27 ЖТФ, 1956, т. 26, № 2, стр. 385.
28 F. Berz. Ргос. НЕЕ, 195A, v. 98, part. НИ, № 51, р. 47.
29 Е. А. N. Whit eh e ad. Proc. IEE, 11951, v. 98, pt. Ill, № 55, p. 133.
30 R. A. Hur d. Canad. Journ. Phys., 11954, v. 32, № 12, p. 727.
31 ЖТФ, 1955, т. 25, № 5, стр. 841.,
32 ЖТФ, 1956, т. 25, № 5, стр. 847.
33 G. L. Baldwin, A. E. H e i n s. Mathematica Scandinavica, 1954, v. 2,
№ 1, p. 103.
34 В. С. Иг натовский. .«Доклады АН СССР», 1934, т. 22, № 1,
стр. 21.
35 S. N. Karp, W E. Williams. Proc. Cambr. Phil. Soc, 1957, 53,
pt. 3, p. 683.
* Следует отметить, что при расчете [Ло| и \В0\ для q ^0,9 в работе32
допущена элементарная ошибка, устранение которой приводит к многократ-
многократному пересечению кривых для \Ай\ и \В0\.
36 Г. А. Гринберг, В. А. Фок. Исследования по распространению
радиоволн, сб. 2, под ред. Б. А. Введенского. Изд-во АН ОССР, 1948,
стр. 69—96.
424

часть работы Леонтовича и Фока 37; при решении задачи .Коши для парабо-
параболического уравнения в § 5'8 использован однако иной прием, основанный
на формуле E8.29) и позволяющий легко перейти к распространению над
электрически 'неоднородной плоскостью (§ 69). В § 60 изложена работа 38,
§ 61 базируется на работах 39 и 40; следует отметить, что в работах 38 и 39
имеются многочисленные графики, иллюстрирующие ряд формул § 60 и 61
и не приведенные в этой книге. Основные соотношения в § 61 выведены
иначе, чем в работах 39 и 40, где каждая задача решалась с самого начала
(составлялись функциональные уравнения, производилась факторизация
и т. д.). Формулы F1.30)—'F1.34) взяты из статьи 4l, где имеется ряд чи-
сленнык результатов для коэффициентов отражения и прохождения (также
и для случая, когда импедансы граней различны) и для характеристик из-
излучения, а также некоторые (экспериментальные результаты.
(В § 62, посвященном теории тонких цилиндрических л р о водников, изла-
излагаются главным образом результаты, полученные в работах автора 42 и 43,
однако в несколько ином виде, а именно показано, что все результаты мож-
но получить путем аппроксимации логарифмической функции iF2.24) и функ-
функций, возникающих из шее при факторизации. Следует отметить, что в ста-
статьях 44 и 45 методом факторизации [построено строгое решение граничной за-
задачи для вибратора конечной длины, в .котором волны, возникающие при
каждом отражении, выражаются через новые, все более сложные функции.
Сложность этого решения делает его чисто формальным, не пригодным для
каких-либо расчетов.
Теория .полубесконечного спирального волновода изложена в § 63 по
статьям Миказана 46, § 64 основан на статье Таланова 47 (аналогичная за-
задача о возбуждении импедансного провода открытым концом коаксиальной
линии рассмотрена в статье 48, при Z = 0 она переходит в задачу, рассмот-
рассмотренную в § 44).
Обширная библиография по поверхностным волнам и импедансным
структурам приведена в обзорной статье 'Миллера и Таланова 49 и в книге
Барлоу и Брауна 50. Из статьи4-9 заимствована формула .F1.05), из книги50—
рис. 105; эта книга была также ишользована три написании § 60 и 64.
37 iM. А. Л е о н т о в и ч, В. А. Фок. Исследования по распространению
радиоволн, сб. 2, под ред. Б. А. Введенского. Изд-во АН СССР, 1948,
стр. 13—39.
38 Н. Г. Тренев. «Радиотехника и электроника», 1958, т. 3, № 1,
стр. 27.
39 iH. Г. Тренев. «Радиотехника и электроника», 1:958, т. 3, № 2,
стр. 163.
40 А. Е. Безменов. «Известия вузов», Радиотехника, 1958, т. 1, № 3,
стр. 271.
41 Р. П. Старовойтова, М. С. Бобровый к о в, В. Н. Кисли-
ц и н а. «Радиотехника и электроника», 1962, т. 7, № 2, стр. 250.
42 ЖТФ, 1959, т. 29, № 6, стр. 673 и 689.
43 ЖТФ, 1961, т. 31, № 1, стр. 29 и 47.
44 Е- Н alien. Trans. Roy. Inst. Technology, 19611, № 183. Stockholm.
45 O. Einarsson. Trans/ Roy. Inst. Technology, 1963, № 216,
Stockholm.
46 П. С. М и к а з а н. «Радиотехника и электроника», 1960, т. 5, № 3,
стр. 404 и № 4, стр. 597.
47 В. И. Таланов. ЖТФ, 1958, т. 28, М> 6, стр. 1275.
48 Н. А. Арманд. «Радиотехника и электроника», 1959, т. 4, № 10,.
стр. 609.
49 М. А. Миллер, В. И. Таланов. «Известия вузов», Радиофизика,
1961, т. 4, № 5, стр. 795.
50 Н. М. Barlow, J. Brown. Radio surface waves, Oxford, Clarendon
Press, 1962.
425

Задачи >к гл. IX представляют самостоятельный интерес. Задача 2 (ре-
(результат взят из работы аь) вместе с задачами 3 и 4 дает в весьма упрощен-
упрощенном виде представление о существующей теории распространения радиоволн
над электрически неоднородной .плоской землей; эта теория опирается на
интегральное уравнение для множителя ослабления на земной ловеркности.
Задачи б, 6 и 7 содержат некоторые результаты работ 38 и з9, а задачи 8
и 9 основаны на работе 51; аналогичные задачи рассмотрены в книге 20
(т. II, стр. 484—490) для прямоугольного волновода и в статье 52 — для
круглого волновода
Далее следует серия задач, относящихся к теории тонких антенных ви-
вибраторов и поясняющих связь соотношений, выведенных в § 6'2, с резуль-
результатами известной работы Леонтовича и Левина 53 и других работ. В частно-,
сти, в задаче Ш показано, что функционал A{J, я], выведенный в работе 53,
приводит к той же связи между током и .полем, которая взята за основу
в § 64. В задачах 14—19 отдельные результаты теории тонких вибраторов bS
выводятся из общих формул § 62 при единственном предположении, что
функция я|э(г), являющаяся своеобразным .множителем ослабления для волн
тока в тонком проводе, близка к единице '[формула (а) задачи 14]. 4исло
таких задач можно при желании увеличить во много раз; в § 4 первой
работы 42 показано, что в первом приближении .при г|)(г)~1 всегда полу-
получается совпадение с теорией тонких вибраторов, использующей разложение
по обратным степеням логарифма, в частности с общей формулой Халлена 54.
Задачи 12, 13 и 20 содержат некоторые результаты работ 42.
Надо сказать, что примерно половина задач в этой книге относится
.к числу трудных и требует от читателя определенной усидчивости.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. ;В. А. Фок. «Математический сборник», 1944, т. 14, стр. 1.
2. N. Wiener, Е. Н о р f. Uber eine Klasse singularer Integrailgleichun-
gen, Berlin 1934.
3. В. И. Смирнов. Курс высшей .математики, т. IV, стр. 224—229.
Гостехиздат, 1941.
4. Е. Т и т ч м а р ш. Введение в теорию интегралов Фурье, стр. 429—432.
Гостехиздат, 1948.
• 5. В. И. Смирнов. Курс высшей .математики, т. III, стр. 224—226.
Гостехиздат, 1950.
6. Н. И. Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения.
Гостехиздат, 1946.
7. М. Л. Л е в и н. ДАН СССР, 1948, т. 61, стр. 787.
8. В. В. В а к е г, Е. Т. С о р s о п. The mathematical theory of Huygens
principle. Oxford, 1939.
9. Rayleigh. Scientific (Papers, v. V. Cambridge '1912, p. 206.
10. Г. Н. В а т с о н. Теория бесселевых функций, ч. II. Изд-во иностран-
иностранной литературы, 1949.
11. В. В. Владимирский. «Известия АН СССР», сер. физическая,
1944, т. 8, стр. 139.
12. Д ж. А. Стрзттон. Теория электромагнетизма (гл. VIII). Гостех-
Гостехиздат, 1948.
51 В. И. Таланов. «Известия вузов», Радиофизика, 1958, т. 1, № 3,
стр. 64.
52 М. С. Б о б р о в н и к о в и В. Н. К и с л и ц и н а. «Известия вузов»,
Физика, 1964, № 5, стр. 1115.
53 М. А. Леонтович, М. Л. Левин. ЖТФ, 1944, т. 14, № 9,
стр. 481.
54 Е. Н alien. Noya Acta Upsala 11938, v. 4, p. 11; Trans. Roy. Inst.
Technology, 1947, № 13, Stockholm.
426

13. L. J. Chu. Journ. Appl. Phys., 1940, v. Ill, p. 603.
14. H. H. M а л о в, ЖЭТФ, 1944, т. .14, № 6.
15. W. L. В а г г о w. Ргос. IRE, 1936, v. 24, p. 1298.
16. <Н. Helmholtz. Wissenschaftliche Abhandlungen, 1882, Bd. 1,
p. 366.
117. Рэлей. Теория звука, т. 2, стр. 183 и 469, Гостехиздат, Л944.
18. S. А. Н i g g s, L. ,C. T у t e. Phil. Mag., A927, v. 4, 1099.
19. P. Wi rz. Helv. Phys. Acta, 11947, v. 20, p. 1.
20. Б. А. Введенский и А. Г. А р е н б е р г. Радиоволноводы, ч. 1У
Гостехиздат, 1946.
121. Ф. Франк и Р. М и з е с. Дифференциальные и интегральные урав-
уравнения математической физики. ОНТИ, Д937.
22. М. Б о р н. Оптика. Государственное научно-техническое издатель-
издательство Украины, (Киев—Харьков, 1937, § 67.
23. F. N о е t h е г. Sow. Phys., 1935, v. 8, р*. ll.
24. А. И. Поте,хин. Некоторые задачи диффракции электромагнитных
волн. Изд-во «Советское радио», 1948.
25. Л. А. В а й н ш т е й н. Электромагнитные волны. Изд-во «Советское
радио», 1957.
26. А. 3 о м м е р ф е л ь д. Оптика. Изд-во иностранной литературы,
1953.
27. Н. IB. М а к - Л а х л а н. Теория и приложения функций Матье. Изд-во
иностранной литературы, 1949.
28. П. Я- Уф им це в. ЖТФ, ,1967, т. 27, № 8, стр. 1840.
29. П. Я. У ф и ,м ц е в. ЖТФ, 1958, т, 28, № 3, стр. 569.
30. П. Я. Уфимцев. Метод краевые волн в физической теории диф-
диффракции. Изд-во «Советское радио», 1962.
31. М. Д. Хаскинд, Л. А. В а й н ш т е й н. «Радиотехника и электро-
электроника», 1964, т. 9, № 10, стр. 1800.
32. А. Т. Ф и а л к о в с к и й. «Радиотехника и электроника». 1966, т. 11„
№ 2, стр. 178.
33. «Техника сверхвысоких частот», т. II, стр. 357—372. Изд-во «Совет-
«Советское радио», 1963.
34. «Антенны сантиметровых волн», т. II, стр. 71—80. Изд-во «Совет-
«Советское радио», 1950.
35. В. М. Лопухин. Возбуждение электромагнитных колебаний и
волн электронными потоками. Гос. изд-во техн.-теорет. лит. 1953 (стр. 187).
36. «Лампа с бегущей волной», стр. 49. Изд-во «Советское радио», 1952.
37. А. И. Ахиезер и Я. Ъ. Ф а й н б ер г. УФН, 11951, т. 40, стр. 356.
Вв. Я. <Н. Ф е л ь д. «Доклады АН СССР», '1948, т. 60, стр. 1Ш5.
139. Я. Н. Фельд. Основы теории щелевых антенн. Изд-во «Советское
радио», 1948.
40. ,Г. Лам б. Гидродинамика i(§ 306—307), И947, Гостехиздат.
41. Л. А. В айн штейн. «Электроника больших мощностей», сб. 2,
стр. 26 и 57. Изд-во АН СССР, 1963.
42. !«Справочник ло волноводам», стр. 226, 232—233; Изд-во «Советское
радио», 1953.
43. к<Теория линий передачи сверхвысоких частот», ч. I, стр. 177. Изд-во
«Советское радио», 1954.
44. 3. С. Агранович, В. А. Марченко, В. Л. Ш е с т о п а л о в.
ЖТФ, .1962, т. 32, №4, 381.
45. IB. (В. Малин. «Радиотехника и электроника», 1963, v. 8, № 2>.
стр. 211.
46. Г. Д. М а л ю ж и н е ц. УФН, 1959, т. 49, № 2, стр. 321.
47. Е. Л. Ф е й н б е р г. Распространение радиоволн вдоль земной по-
поверхности. Изд-во АН СССР, 1961.
48. |П. Я. Уфимцев. «Радиотехника и электроника». '1965, т. '10, № 6,
стр. 101,3.
49. Г. Д. М а л ю ж и н е ц, Л. А. Вайнштейн. «Радиотехника и элек-
электроника», 1961, т. 6, № 8, стр. 1247; 1961, т. 6, № 9, стр. 1491.
427

50. В. А. Фок, Л. А. В а й н ш т е й н. «Радиотехника и электроника»,
1963, т. 8, № 3, стр. 365 и 377.
■ 51. Т. В. A. Senior. Appl. Sci. Research, section В, И959, v. 8, № 1,
,p. 35.
52. E. V. Jull. Canad. Journ. iPhys., 1964, v. 42, № 8, p. 1455.
53. Г. Д. Малюжинец. «Доклады АН ССОР», il958, т. ,121, № 3,
стр. 436.
54. W. E. Williams. Ргос. Roy. Soc, ser. A, 1959, v. 252, № 1270,
p. 376.
55. H. H. Лебедев, И. П. С к а л ь с к а я. ЖТФ, 1962, т. 32, № 10,
стр. М74.
56. И. П. Скальская. ЖТФ, 1963, т. 33, № .11, стр. 1378.
57. М. С. Б о б р о в н и к о в, Р. П. Старовойтова. «Известия вузов»,
Физика, 1963, № 6, стр. 167.
58. П. Я- Уфимцев. «Радиотехника и электроника», 1962, т. 7, № 2,
стр. 260.
59. Гуань Дин-хуа. «Доклады АН СССР», 1959, т. 124, № 3,
стр. 559.
60. J. D. Pearson. Piroc. Cambridge Phil. Soc, 11953, v. 49, p. 659.
61. H. H. С м и р н о в. ЖТФ, 1958, т. 28, l№ 7, стр. '1495.
62. С. M. Angulo, W. S. С Chang. IlRiE Trans., 1959, v. AP-7, № 4,
p. 359.
63. В. И. Таланов. «Известия вузов», Радиофизика, 1959, т. 2, № 6,
стр. 902.
64. Я. Н. Фельд. «Доклады АН СССР», 1955, т. 102, № 2, стр. 257;
1956, т. A06, № 2, стр. 215.
65. Я. Н. Фельд. «Радиотехника и электроника», 11958, т. 3, № 7, стр. 883;
1964, т. 9, № 6, стр. 950.
66. Б. М. Болотове кий, Г. В. Воскресенский. ЖТФ, 1964,
т. 34, № 4, стр. 711.
67. Б. М. Бол ото в с кий, Д. М. Седракян. «Радиотехника и элек-
электроника», 1964, т. 9, № 12, стр. 2184.
68. Б. М. Болотов с кий, Г. В. Воскресенский. ЖТФ, 1964,
т. 34. № 4, стр. 704. Успехи физ. наук. ,1966, т. 88, № 2, стр. 209.
69. С. X. Коган. «Доклады АН СССР», 1949, т. 64, № 5, стр. 867.
70. А. Н. С и в о в. «Радиотехника и электроника», 1961, т. 6, № 1,
стр. 58—66; 19611, т. 6, № 4, стр. 483—495.
71. А. Т. Ф и а л к о в с к и й. ЖТФ (в печати).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие „ 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДИФФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И ЗВУКОВЫХ ВОЛН
НА ОТКРЫТОМ КОНЦЕ ВОЛНОВОДА
О волноводных диффракционных задачах 7
Глава I. Плоский волновод 9
§ 1. Постановка задачи. Сведение задачи к интегральному (или
интегро-дифференциальному) уравнению 9
§ 2. Исследование интегрального v и интегро-дифференциального
уравнений 12
§ 3. Вычисление вспомогательных функций 18
§ 4. Выражение для плотности тока 23
§ 5. Магнитные волны 25
§ 6. Электрические волны 32
§ 7. Звуковые волны 37
§ 8. Сравнение точной теории с методом Кирхгофа («принципом
Гюйгенса») 39
s § 9. Фазы коэффициентов отражения. Поправка на открытый конец 44
§ 10. Приближенные формулы 48
§ 1-1. Заключение. Прямоугольный волновод 57
Задачи к гл. I ; 60
Глава II. круглый волновод. Симметричные электромагнитные волны 65
§ 12. Интегральное и интегро-дифференциальное уравнения для
плотности тока на стенке круглого волновода « 65
§ 13. Вспомогательные функции 70
§ 14. Исследование выражения для тока 75
§ 15. Принцип Гюйгенса 80
§ 1'6. Поле излучения 81
§ 17. Приближенные формулы 86
§ 18. Замечания « . 89
Задачи к гл. II 90
Глава III. Круглый волновод. Звуковые волны 92
§ 19. Введение. Постановка задачи 92
§ 20. Общее решение. Волны внутри трубы 96
§ 21. Излучение >.•...*.'... 101
429

§ 22. Несимметричные волны 105
§ 23. Возбуждение колебаний в открытых трубах 109*
Задачи к гл. III 114
Глава IV. Круглый волновод. Несимметричные электромагнитные волны 122
§ 24. Введение 122
§ 25. Общее решение задачи , . 124
§ 26. Свойства вспомогательных функций 12&
§ 27. Плотность тока на стенке. Коэффициенты отражения и транс-
трансформации 131
§ 28. Сравнение коэффициентов отражения различных волн . . 141
§ 29. О принципе Гюйгенса 143-
§ 30. Характеристики излучения 145
§ 31. Эффективная поглощающая поверхность 153-
§ 32. Приближенные формулы 157
Задачи к гл. IV 161
Глава V. Диффракция «а больших отверстиях 166
§ 33. Излучение из плоского волновода 166
§ 34. Излучение симметричных электромагнитных волн из кругло-
круглого волновода 172
§ 35. Излучение несимметричных электромагнитных волн из круг-
круглого волновода 176
§ 36. Связь лоля излучения с коэффициентами отражения и транс-
трансформации 181
§ 37. Об условиях применимости принципа Гюйгенса . . . . 183
§ 38. Диффракция на широкой щели и метод краевых волн . . 185
Задачи к гл. V ,193
Физические и методические выводы „ 195
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЗАДАЧИ, ПРИМЫКАЮЩИЕ К ЗАДАЧЕ О ДИФФРАКЦИИ
НА ОТКРЫТОМ КОНЦЕ ВОЛНОВОДА
Метод факторизации и задачи, решаемые этим методом . 19&
Глава VI. Коаксиальные резонаторы. Бесконтактные поршни . . 201
§ 39. Сочленение коаксиальной линии с круглым волноводом . 201
§ 40. Коаксиальные резонаторы 207
§ 41. Элементарная теория бесконтактных поршней .... 209
§ 42. Физический смысл формул для бесконтактных поршней . . 212
§ 43- Строгий расчет 214
§ 44. Полубесконечные линии—коаксиальная и двухпроводная . 219
Задачи к гл. VI 226
Глава VII. Гребенчатые структуры 233
§ 45- Диффракция плоской волны на периодической гребенчатой
структуре, составленной из полуплоскостей 233
§46. Исследование полученного решения 237
§ 47. Диффракция волноводных волн в периодической структуре,
образованной полуплоскостями * 242
§ 48. Поверхностные волны над гребенчатой структурой конечной
глубины ,....., 250
§ 49. Расчетные формулы - 254
430

§ 50. Численные результаты и их обсуждение п 257
§ 91. Оценка погрешности и некоторые выводы 263
Задачи к гл. VII . 266
Глава VIII. Решетки. Диафрагмы в волноводе 279
§ 52. Ключевая задача 279
§ 53. Диффракция плоской электромагнитной волны на решетке из
параллельных проводящих лент 289
§ 54. Диафрагмы в прямоугольном волноводе 295
§ 55. Общие замечания 302
Задачи к гл. VIII 306
Глава IX. Диффракция на иМпедансных структурах . . . . 310
§ 56. Граничные условия имледансного типа 310
§ 57. Береговая рефракция радиоволн 318
§ 58. Параболическое уравнение в теории распространения радиоволн 327
§ 59. Распространение над электрически неоднородной плоской
землей 334
§ 60. Импедансная ступенька 338
§ 61. Импедансная полуплоскость .и импедансный клин . . . 344
§ 62. Тонкий проводящий цилиндр 350
§ 63, Спиральный волновод 364
§ 64. Возбуждение поверхностных волн открытым концом волновода 371
§ 65. Диффракция на прозрачных телах 376
Задачи к гл. IX « 377
О методах, задачах и перспективах 391
Приложение А. Диффракция на полуплоскости 393
Приложение В. Таблицы функции U(s, р} 406
Объяснение к таблицам 409
Обзор использованной литературы 422
Цитированная литература « 426