/
Текст
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ им. В. В. КУЙБЫШЕВА
Н. Н. Леонтьев, А. Н. Леонтьев,
Д. Н. Соболев, Н. Н. Анохин
ОСНОВЫ ТЕОРИИ БАЛОК И ПЛИТ
НА ДЕФОРМИРУЕМОМ
ОСНОВАНИИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Москва— 1982
ВВЕДЕНИЕ
Проблема создания метода расчета сооружений, работающих
совместно с деформируемым грунтовым основанием, возникла
в прикладной механике давно и имеет обширную литературу.
Это легко понять, так как практически все инженерные соору-
жения в той или иной степени взаимодействуют с подстилаю-
щим их основанием, причем эффект этого взаимодействия
может быть весьма значительным. К таким сооружениям от-
носятся, в первую очередь, фундаменты различных зданий,
аэродромные и дорожные покрытия, шлюзы, плотины и т. д.
Большой удельный вес этих конструкций в общем объеме
строительства и огромные затраты, связанные с возведением
строительных объектов на деформируемом основании, приво-
дят к тому, что всякое уточнение расчета существенно отра-
жается на стоимости строительства и дает заметную экономию
строительных материалов.
Однако, приступая к расчету сооружения, расположенного
па деформируемом основании (рис. 1,а), исследователь уже
с первых шагов встречается с необычным для расчетной прак-
тики затруднением: ему неизвестен закон распределения реак-
тивных давлений основания по опорной поверхности сооруже-
ния (рис. 1,6) и, следовательно, неизвестна та нагрузка, кото-
рая действует на сооружение. Действительно, реактивные
давления основания q(x) должны зависеть от деформа-
ций v(x) поверхности основания и расположенного на нем
сооружения. В то же время деформации v(x) обусловлива-
ются, естественно, величиной реактивных давлений q(x).
Подобного рода задачи, носящие в строительной механике
название контактных задач, получили свое решение для слу-
чаев, когда соприкасающиеся тела идеально упруги или когда
их физико-механические свойства хорошо описываются изве-
стными математическими зависимостями. Естественный же
грунт представляет собой чрезвычайно сложную физическую
среду, прочностные и дефомативпые свойства которой зависят
от многих трудно поддающихся учету факторов. В результате
3
этого исследователю при расчете сооружения, расположенного
па грунтовом основании, приходится прибегать к выбору опре-
деленных гипотез, характеризующих работу основания, т. е.
выбирать ту или иную расчетную схему или механическую мо-
дель деформируемого основания. Выбранная модель основа*
Рис. 1
ния определяет, естественно, и метод расчета рассматривае-
мого сооружения, а также влияет на результаты расчета.
К настоящему времени предложено значительное число
различных механических и математических моделей деформи-
руемого основания, которые могут быть положены в основу
практических расчетов. При этом ни одна из предложенных
моделей не может быть признана универсальной, отражающей
все случаи строительной практики. Каждая из них имеет свои
достоинства и недостатки и определенную область примене-
ния, в которой она позволяет получить наиболее достоверные
результаты. Однако до сих пор нет еще полного единства
взглядов на то, какая модель основания должна использо-
ваться в том или ином конкретном случае расчета.
Настоящее учебное -пособие не ставит -целью дать исчерпы-
вающие -сведения о всех тех методах расчета различных кон-
4
струкций на деформируемом основании, которые освещены в
научно-технической литературе и обширных обзорах [13], [15],
[23], [35], [56], а также в обширных библиографиях [52] [78].
Пособие лишь даст возможность читателю познакомиться с
содержанием основных методов расчета, историей их разви-
тия и теми проблемами, которые в этой области механики
требуют дальнейшей разработки и решения. При этом в посо-
бии рассматриваются только балки и прямоугольные плиты
на податливом основании при действии па них статических
нагрузок. Вопросы расчета других видов конструкций (круг-
лые плиты, плиты большой протяженности, оболочки, заглуб-
ленные в грунт сооружения и т. д.), а также другие виды воз-
действий (динамические нагрузки, тепловые воздействия и
т. д.) в пособии не освещаются. При изложении материала в
основу классификации методов расчета балок и плит поло-
жены принятые для расчета механические модели деформи-
руемого основания; модель коэффициента постели, упругого
полупространства, упругого слоя и другие наиболее распро-
страненные модели податливого основания. Основное внима-
ние при этом уделено вопросу расчета балок на упругом осно-
вании, характеризуемом 'коэффициентом постели, и на упру-
гих полуплоскости и полупространстве.
Глава 1
МЕТОДЫ РАСЧЕТА БАЛОК И ПЛИТ,
БАЗИРУЮЩИЕСЯ НА ГИПОТЕЗЕ
КОЭФФИЦИЕНТА ПОСТЕЛИ
§ 1. Гипотеза уравновешивания
и модель упругого основания, характеризуемая
коэффициентом постели
Исторически первыми сооружениями, взаимодействую-
щими с грунтовым основанием, явились массивные фунда-
менты, изгибными деформациями которых можно было пре-
небречь. В этом случае казалось естественным предположить,
что реакции грунта по опорной поверхности фундамента рас-
пределены по линейному закону, т. е. являются равномерно
распределенными при симметричной нагрузке или распреде-
ленными по закону трапеции в случае эксцентричной нагрузки
(рис. 2). Ординаты трапеции здесь определяются из условия
равновесия фундамента в виде
- Р - М _ р ( 6е
4ab~ F r W “ 1b V + 1 )’
(1.1)
где Р — равнодействующая заданной нагрузки;
е — эксцентриситет ее приложения;
1 и b — .соответственно длина и ширина фундамента.
Так появилось первое предположение о характере работы
упругого основания, которое в соответствии со своим содер-
жанием может быть 'названо гипотезой уравновешивания, или
гипотезой о линейном распределении реакций грунта. Эта ги-
потеза предлагает расчет, который может рассматриваться
как первое приближение к точному решению задачи и кото-
6
рый и в настоящее время может быть полезен для предвари-
тельных расчетов достаточно жестких фундаментов.
С развитием техники и строительства появились сооруже-
ния, деформативностью которых нельзя было пренебречь. При
расчете этих сооружений гипотеза уравновешивания уже не
Рис. 2
могла дать удовлетворительных результатов, поэтому воз-
никла необходимость в принятии новой гипотезы, учитываю-
щей податливость грунта и расположенного на его поверхно-
сти сооружения.
Такой гипотезой явилась гипотеза о прямой пропорцио-
нальности между нагрузкой, действующей .на основании, и его
осадкой, предложенная в 1867 г. немецким инженером Винк-
лером для расчета железнодорожных шпал. Позднее (в 1888 г.)
эта гипотеза использовалась в работах другого немецкого
инженера — Циммермана, в результате чего она часто назы-
вается их именами. Следует отметить, что аналогичное пред-
положение о характере работы грунта рассматривалось еще
в 1798 г. российским академиком Н. И. Фуссом для опреде-
ления глубины дорожной колеи и поэтому в некоторых рабо-
тах эту гипотезу называют гипотезой Фусса—Винклера—
Циммермана. Однако, хотя приоритет Н. И. Фусса неоспорим,
его гипотеза не имела никакого отношения к расчету конст-
рукций на упругом основании и стала применяться для рас-
чета таких конструкций лишь после появления работы Винк-
лера.
7
Гипотеза Винклера выражается формулой
qo = Cv, (1.2)
где q0 — давление на грунт, МПа;
v — осадка поверхности грунта, см;
С — коэффициент пропорциональности, МПа, называе-
мый коэффициентом постели:
Первоначально при использовании гипотезы Винклера
предполагалось, что коэффициент постели зависит только от
Таблица 1
Основание Вид основания С, МПа/м
Малой плотности Глина мокрая, размягченная 1—5
Средней плотности Песок, глина влажная 5-50
Плотное Слежавшийся песок, глина
маловлажная 50—100
Весьма плотное Песчано-глинистый грунт 100—200
Твердое Известняк, песчаник 200—1000
Скальное Твердая скала, бетон, кирпич 1000—1500
физических свойств грунта, что можно видеть, например, из
табл. 1, где приведены значения коэффициента постели С,
предложенные В. А. Флориным [73]. Позже наметились дру-
гие взгляды на определение этого коэффициента. Некоторые
из них будут отмечены ниже
при рассмотрении других
моделей упругого основания
[см., например, формулы
(3.1) и (3.6)].
Из равенства (1.2) мож-
но видеть, что осадка v -каж-
дой точки поверхности осно-
вания зависит только от дав-
ления q0, приложенного в той
же точке, и не зависит от
Рис. 3 давлений, действующих по
соседству. В результате это-
го работу грунта по этой гипотезе можно охарактеризовать
механической моделью, представленной системой не связан-
ных между собой пружин (рис. 3). Можно сказать, что гипо-
теза Винклера определяет лишь местные деформации грунта,
т. е. является гипотезой местных деформаций.
8
§ 2. Дифференциальное уравнение изгиба балки
и его интеграл
Расположенная на упругом основании балка находится под
воздействием погонных нагрузок: заданной р(х) и ’реактивных
давлений упругого основания q(x) =bq0(x) (b — ширина бал-
ки) (рис. 4). В результате этого дифференциальное уравнение
изгиба балки может быть записано в виде
d4v
EI-2-~=p-q. (1.3)
dx4
Подставляя в (1.3) значение q, определенное форму-
лой (1.2), получим
d4v
EI + kv = р,
dx4
(1.4)
где к = ЬС — увеличенный в b раз коэффициент постели.
Рис. 4
Для решения дифференциального уравнения (1.4) входя-
щие в негр функции v и р удобнее отнести к безразмерной
координате £, положив, например, g= — . Величина L, назы-
9
ваемая линейной характеристикой или характеристической
длиной балки, определяется формулой
L= j/«T (1.5)
Уравнение (1.4) перепишется при этом в виде
b4v
+ 4v =
pL4
El ‘
(1.6)
Общий интеграл однородного уравнения, соответствую-
щего уравнению (1.6), имеет форму
vi = С,Ф, (g) -J- С2Ф2(£) + С3Фз(|) + С4Ф4Ш, (1.7)
где Ci,...,C4— произвольные постоянные интегрирования, а
Ф1,..., Ф4 — гиперболотригонометрические функции, опреде-
ляемые формулами
Ф1(£) = shgcosg, Фз(е) = chgsing,) „ g.
Ф2(g)..= chgcosg, Ф4(Й = s:hg sing. J
Частный интеграл уравнения (1.6) зависит, как известно,от
вида функции p(g), стоящей в правой части. Если, например,
эта функция линейна:
р(£) = ао + aig,
то частный интеграл будет иметь следующий вид:
Vo= — (а0 + aig).
к
Комбинация частного решения и'решения (1.7) дает общий
интеграл основного уравнения (1.6)
v(g)=v,(g) +Vo(|). (1.9)
Заметим, что вид общего решения (1.9) и метод его полу-
чения во многом зависят от относительной гибкости балки,
которая обратно пропорциональна характеристической дли-
не L. В зависимости от величины отношения реальной длины
балки 1 к се характеристической длине L балки на упругом
10
основании подразделяются на три категории: жесткие, корот-
кие и длинные.
При 1 с L (точнее при 1 < 0,75 L) деформации балки столь
малы, что она может считаться абсолютно жесткой. Реактив-
ные давления упругого основания в этом случае могут опре-
деляться по формулам внецентрепного сжатия (т. е. по методу
уравновешивания), а усилия в балке — известными элемен-
тарными приемами сопротивления материалов.
При 1 >2,5 L балка может считаться длинной (или беско-
нечно длинной). Нагрузка, приложенная на одном конце та-
кой балки, це вызывает практически заметных деформаций и
усилий вблизи другого конца.
При L < 1 < 2,5 L балка считается короткой: при прило-
жении силы на одном конце такой балки деформации, вызван-
ные этой силой, существенны на всем протяжении балки. Дру-
гими словами, здесь влияние одного конца балки на другой
пепренебрежимо велико.
Следует отметить, что приведенная классификация явля-
ется несколько условной, так как расчетная категория балки
зависит не только от величин L и 1, но и от характера на-
грузки и места ее приложения. Например, если к балке дли-
ной 1 = 2,5 L на одном из ее концов приложена вертикальная
сила Р, то балка может рассчитываться как бесконечно длин-
ная. Если же эта сила будет приложена в середине пролета
балки, то расстояние от точки приложения силы до концов
балки будет меньше 2,5 L и вызванные силой деформации бу-
дут существенны на всем протяжении балки. В этом случае
балка должна рассчитываться как короткая.
I'
ft —I
Рис. 5
Наиболее простой вид решение дифференциального урав-
нения (1.6) имеет для бесконечной балки, загруженной сосре-
доточенной силой или моментом (рис. 5). Поместив начало
координат в загруженное сечение, мы получим однородное
уравнение. При этом общий интеграл этого уравнения удоб-
11
пес записать пе в виде (1.7), а через показательные функции:
v = Cie-*cosB + C2e~?sinB + Сзе^соэВ + C4e^sinB. (1.10)
Поскольку при В— оо все .статистические и кинематические
величины должны обращаться в ноль, следует положить
Сз = С4 = 0.
Для определения двух других постоянных интегрирования
в начальном сечении при | = 0 можно сформулировать следу-
ющие граничные условия, характеризующие симметрию за-
дачи:
Ф = v' = 0;
Q = —EIv"' =----— •
(1.11)
Раскрывая условия (1.11) при помощи (1.10), получим
С] — С2 —
PL*
8EI ’
после чего расчетные формулы для бесконечной балки при
нимают вид
PL’ г -
V(B) = -7zr(e-’ cosB + e ’sinB);
оЫ
PL2 с
ф(В) =— -------re ^sin£ ;
4EI
(112)
рт c
M(B) =------(e-c cosB —e ’sinB);
4
P s
Q(s) =------— e ’cosB.
Ал
Аналогичные формулы можно получить и в том случае,
если в начальном сечении балки приложен сосредоточенный
момент Мо. Заметим, что формулы (1.12) обладают свойством
линий влияния. В результате этого с их помощью можно про-
изводить расчет бесконечной балки на действие произвольной
внешней нагрузки.
12
Расчет .балки конечной длины в общем случае является
более сложным. Если заданная нагрузка не представлена
одной непрерывной функцией на всем протяжении балки или
содержит сосредоточенные силы и моменты, то расчет, прихо-
дится проводить по участкам, на которые балка разделяется
нагрузкой. Например, для балки, представленной на рис. 6,
мы будем иметь пять участков. Для каждого из этих участков
Рис. 6
запишется дифференциальное уравнение вида (1.6) (для уча-
стков I, III, IV, V эти уравнения будут однородными) и инте-
грал вида (1.9), содержащий четыре произвольных постоян-
ных. Общее количество подлежащих определению постоянных
интегрирования составит, таким образом, 4 X 5 = 20. Для их
определения послужат 20 алгебраических уравнений, из кото-
рых четыре составятся из условий, относящихся к концам
балки, а 16 — из условий смыкания рассматриваемых участ-
ков. Имея в виду, что эти уравнения очень громоздки, нетрудно
видеть, что решение в данном, относительно простом, случае
приведет к таким сложным вычислениям, которые непригодны
для практических приложений.
В результате этого в первое время, несмотря на простоту
гипотезы (1.2) и вытекающего из нее уравнения (1.4), расчет
балок на упругом випклеровом основании встречал серьезные
трудности вычислительного характера. Эти трудности удалось
преодолеть лишь в 20-х—30-х годах, когда появились эффек-
тивные методы и вычислительные алгоритмы, предложенные
в основном советскими учеными. Среди этих алгоритмов осо-
бый интерес, по-нашему мнению, представляют метод компен-
сирующих нагрузок, метод П. Л. Пастернака и метод началь-
ных параметров.
Метод компенсирующих нагрузок был впервые введен в
1889 г. Г. Циммерманом. Как самостоятельный метод он сфор-
13
мировался к 1927 г. благодаря работам Г. В. Клишевича и
позже был развит и обобщен Б. Г. Кореневым и его учени-
ками. В соответствии с этим методом расчет балки конечной
длины сводится к расчету бесконечной балки, запруженной,
кроме заданных нагрузок, еще некоторыми дополнительными
силовыми или деформационными воздействиями, позволяю-
щими обеспечить выполнение краевых условий на концах за-
данной балки.
Рассмотрим в качестве примера балку, приведенную па
рис. 7, а. Предположим, что слева и справа от своих фактиче-
ских концов А и В балка простирается до бесконечности
(рис. 7,6). Рассчитав бесконечную балку на заданную нагруз-
ку, получим значения изгибающих моментов МА, Мв и попе-
речных сил Qa, Qb >в сечениях А и В. Приложим теперь к бес-
конечной балке неизвестные силы YA, YB и моменты ZA, ZB
(рис. 7, в) и проведем расчет балки при единичных значениях
этих сил. Подбирая неизвестные так, чтобы удовлетворить
действительным граничным условиям на концах А и В задан-
ной балки, получим четыре алгебраических уравнения, кото-
рые и позволят определить неизвестные силы и, в конечном
счете, закончить расчет заданной балки.
Метод компенсирующих .нагрузок позволяет производить
расчет балок любой расчетной категории на действие произ-
вольной нагрузки. Однако, несмотря на свою универсальность
и относительную простоту, этот метод не приобрел большого
распространения для расчета балок па упругом основании.
Лишь позднее, уже в 50-е—60-е годы и в наше время обобще-
ние этого метода позволило получить ценные результаты при
решении двух- и трехмерных задач теории упругости, дина-
мики и теплопроводности.
14
Поскольку метод П. Л. Пастернака и метод начальных па-
раметров шире применяются для решения практических задач,
остановимся более подробно на их рассмотрении.
§ 3. Метод П. Л. Пастернака
Этот метод был впервые опубликован в 1926 г. [54]. Рас-
сматриваемая балка разрезается здесь по сечениям, в которых
приложены сосредоточенные воздействия или которые совпа-
дают с границами распределенной нагрузки (рис. 8). При
Рис. 8
этом заданная балка разделяется на отдельные балки, загру-
женные по концам известными и неизвестными моментами и
силами. Для определения последних используются условия
неразрывности деформаций, т. е. составляются алгебраические
уравнения, выражающие равенство прогибов и углов поворота
на концах соседних балок в сечениях, совпадающих с прове-
денными разрезами.
Для того чтобы иметь возможность составить условия сов-
местности деформаций, необходимо, естественно, заранее рас-
считать каждую из балок, загруженную по концам сосредото-
ченными силами и момен-
тами или, в конечном счете,
загруженную на одном кон-
це силой и моментом (рис.
9). Для этого случая, поло-
женного в основу рассмат-
риваемого метода, решение
нетрудно получить из диф-
ференциального уравнения (1.6). При этом в зависимости от
того, к какой категории относится балка (является ли она
жесткой, короткой или длинной), расчетные выражения бу-
дут иметь различный вид.
Рис. 9
15
Опуская промежуточные выкладки, окончательные фор-
мулы, определяющие величины увеличенных в к раз конце-
вых прогибов и углов .поворота, представим в виде:
— для жесткой балки (при 1 < 0,75 L)
к<₽0 = -у- ( Qo + 2-^-j =-кФ/,
9 / М \
kv0 = -у- (2Q0+ 3—^—1,
1 2 ( С\ JO Мо \
kvi = —j—( Qo4~3—- I;
— для короткой балки (при O,75L<1 <2,5 L)
. 2
кф0 = —
_2
L
(1.13)
kv0= —
L
kipi =
kvi =
MoP4 ;
— для длинной балки (при 1> 2,5 L);
(1.14)
(1.15)
L
В формулах (1.14) pi (i = 1, 2,..., 6) —функции, введен-
ные П. Л. Пастернаком и составленные из комбинации триго-
нометрических и гиперболических функций (1.8). Их значения
приведены в табл. 2, а также в более полных таблицах, поме-
щенных в [25], [38]. Для перемещений концов балки в форму-
16
лах (1.13), (1.14), (1.15) принять следующее правило знаков:
перемещения <р0, v0 па левом конце балки считаются положи-
тельными, если их направления совпадают с положительными
направлениями Mo, Qo, показанными на рис. 8. Перемеще-
ния <pi, V] на правом конце балки приняты положительными,
если Vi направлено вниз, a <pi—против часовой стрелки (т. е
Рис. ю
соответственно по направлению положительных поперечной
силы и изгибающего момента).
Проиллюстрируем применение приведенных формул на
примере расчета балки, показанной на рис. 10, а. Для опреде-
ления неизвестных моментов и поперечных сил Mi = Xi,
17
Qi = x2, M2 = x3, Q2 = x4 здесь могут быть -записаны следую-
щие канонические уравнения:
бцХ1.+ 6i2x2 + 613X3 + 614X4 + Д1р= 0;
621X1 + 622X2 4- 623X3 + 624X4 + Дяр= 0;
631X1 + 632X2 + 633X3 + 634X4 + Д3р = 0;
641X1 + 642X2 + 643X3 + 644X4 + Д4р = 0.
Уравнения (1.16) представляют собой канонические урав-
нения метода сил, хорошо известные из курса строительной
механики. Первое и второе уравнения выражают соответст-
венно условия равенства углов поворота и прогибов концов
балок в первом сечении, третье и четвертое уравнения харак-
теризуют те же условия для второго сечения (рис. 10,6).
Переходя к определению коэффициентов этих уравнений,
следует заметить, что первая балка относится к категории
жестких, вторая — к категории коротких и третья — к катего-
Таблица 2
к — = 1/L р. 1 Рз Р« р» Ре
0,5 24,1866 12,0266 4,0025 2,9959 0,9990 11,9681
0,6 14,1111 8,3707 3,3375 2,0778 0,8317 6,9061
0,7 9.0060 6.1736 2,8636 1,5231 0.7118 4,3283
0,8 6.1561. 4,7546 2,5098 1,1620 0,6212 2,8786
6,9 4,4487 3,7882 2,2360 0,9135 0,5504 1,9979
1,0 3,3700 3.1042 2,0189 0,7347 0,4929 1,4364
1.1 2,6602 2,6050 1,8433 0,6013 0,4451 1,0573
1,2 2,1782 2,2323 1,6991 0,4990 0,4045 0,7925
1,3 1,8431 1,9493 1,5795 0,4183 0,3693 0,6016
1,4 1,6057 1,7315 1,4795 0,3534 0,3382 0,4601
1,5 1,4354 1,5623 1,3955 0,3001 0,3103 • 0,3528
1,6 1,3121 1,4303 1,3247 0,2556 0,2849 0.2699
1,7 1,2226 1,3269 1,2650 0,2181 0,2614 0,2048
1,8 1,1573 1,2461 1,2148 0,1859 0,2397 0,1529
1,9 1,1102 1,1830 1,1727 0,1580 0,2192 0,1113
2,0 1,0762 1,1341 1,1376 0,1337 0,2000 0,0775
2,2 1,0350 1,0681 1,0845 0,0938 0,1644 0,0279
2,4 1,0154 1,0310 1,0493 0,0627 0,1323 —0,0047
2.6 1,0072 1,0119 1,270 0,0387 0,1035 —0,0252
18
рии длинных балок. В соответствии с этим и формулами (1.13),
(1.14), (1.15) коэффициенты уравнений (1.16) определяются
в виде
л - 12
6"-----ПГ
4
ГГ"Р2’’
би — 6з1------уг- рз;
L3
, _ 4
022 -----~
~—рз; бгз — бзг---— 84; 624 — 642=
Lt L*
4
Г" р«;
А - 4 j. 4
ОЗЗ------— Р2 + —ГТ
Я ____ Я ____ 2
O34 ~ O43----------77* Р1 +
2
2 2 2 2
Д1р=--~Р1Р; ^2р =-Г"РзР» S44 =“Г— Рз'Рч-4—— ;
L L L
л.р=(-^-Р. Р -—£-)₽; S--(v«+-r)p-
Вычислив эти коэффициенты при помощи табл. 2, канони-
ческие уравнения (1.16) перепишем в виде
101,70 x,/L — 20,88 х2 — 2,82 x3/L + 2,40 х4 = 3,125 Р;
— 20,88 Xj/L + 10,79 х2 — 2,40 x3/L + 1,24 х4 = 2,791Р;
— 2,82 xi/L — 2,40 х2 + 9,74 Хз/L + 1,12 х4 = — 0,401 Р;
2,40 xj/L + 1,24 х2 + 1,12 x3/L + 4,79 х4 = 3,241 Р.
Решение этих уравнений позволяет получить для неизвест-
ных следующие значения:
X, = Mi = 0,124 PL; х2 = Q, = 0,488 Р; х3 = М2 = 0,26 PL;
х4 = Q2 = 0,594 Р,
представляющие собой величины изгибающих моментов и по-
перечных сил в загруженных сечениях.
19
Для определения расчетных величин в других сечениях
заданной балки вновь могут быть рассмотрены отдельные
балки, загруженные в концевом сечении известными теперь
моментами и поперечными силами. Готовые расчетные фор-
мулы для них получаются из решения дифференциального
уравнения (1.6) и записываются, например, в виде
— для длинной балки:
kv5 = q= —
2 2 >
— МоЦз----—Qoni,
L L*
k<pg ~ TT MoTli + “Га"
= Morp + LQoTp;
о
Qj =---------Moip + QoPs,
(1.17)
где
ip = e~5 cos g, T]2 = e"’ sing,
т|з = е-' (cos g —sing), тр = e'$ (cosg + sing);
— для короткой балки:
kvg = q< -® kvoAc + kLtpoB-g —— M0Cs---------~ QoD;j,
4 4 4.
кф5 -----— v0Ds + k<p0A: —— M0B s-----------— QoC^
L L* L» ч
Mt = kL2VoCi + kL3q)oDs + MoA? 4- LQoB^
Qe = kLvoA^ -J-kLcpoBs---------~MoC> - Q©D^
s * * La L
(118)
(1.19)
20
где функции A; t Bs, С: t D; t введенные H. П, Пузыревским
и А. Н. Крыловым, имеют вид
А{ = chgcosg, Be —-^-(chg sing + shg cosg),
Cs = -1- shg sin g, D? = 4- (chg sin g — sh g cos g).
2 4
(1.20)
Таблицы для функций (1.18) и (1.20) можно найти во мно-
гих руководствах и в том числе в [25], [701, [71].
Под величинами v0, фо, Мо и Qo в формулах (1.17), (1.19)
понимаются соответственно значения прогиба, угла поворота,
изгибающего момента и поперечной силы на левом конце рас-
сматриваемой балки. При этом величины Vo и фо для каждой
балки находятся по формулам (1.14) после определения ос-
новных неизвестных Mj и Qi. Заметим, что в формулах (1.17),
(1.19) принято обычное правило знаков для всех расчетных
величин, а именно: в любом сечении прогиб и угол поворота
считаются положительными, если они направлены соответст-
венно вниз и против часовой стрелки; положительные моменты
растягивают нижние волокна, а положительная поперечная
сила дает вращение рассматриваемому сечению по часовой
стрелке.
Для жесткой балки расчетные выражения для М и Q мо-
гут быть найдены из обычных условий равновесия и представ-
лены в виде
.. — qox’ , 1 / ч х3
Мх = Mo + Qox -+ ---- — (q0 — q 1) —,
V I
1 №
Qx = Qo -F qox + —(qo — qi) — ,
i
а эпюра реактивных давлений грунта определится формулой
qx = qo + (qi — qo) ~Y~ = k(vo + V1-j — x), (1.22)
где Vo и vi находятся из выражений (1.13).
Произведя вычисления по приведенным формулам для
рассмотренного примера, получим расчетные эпюры М, Q и q,
показанные на рис. 10, в, г, д.
21
Из приведенного материала можно видеть, что метод
П. Л. Пастернака является достаточно универсальным и поз-
воляет в удобной форме проводить расчет балок, относящихся
к любой категории и находящихся под действием конечного
числа сосредоточенных сил и моментов. Не вызывает ослож-
нений в расчете и тот случай, когда на конечном участке балки
приложена нагрузка, распределенная по линейному закону
(четвертая балка на рис. 8). Под действием такой нагрузки
соответствующая выделенная из заданной системы балка не
деформируется на винклеровском основании, получая лишь
как жесткий диск поступательное смещение и поворот. В ре-
зультате этого соответствующие грузовые члены канонических
уравнений определяются от действия такой нагрузки как в
случае жесткой балки. Этим методом без дополнительных за-
труднений «могут быть (рассчитаны и балки ступенчато-пере-
менной жесткости, а также балки на упругом основании с
переменным коэффициентом постели (остающимся постоян-
ным для каждого рассматриваемого участка).
В заключение заметим еще, что метод П. Л. Пастернака
может рассматриваться как прообраз современного метода
конечных элементов. Действительно, заданная балка расчле-
няется здесь на отдельные балки (элементы), напряженное и
деформированное состояние которых от действия концевой
нагрузки заранее определено. Далее из этих элементов состав-
ляется заданная конструкция, для чего используются условия
совместности деформации, которые приводят к разрешающей
системе алгебраических уравнений. Все это имеет место и в
методе конечных элементов, представленном в форме метода
сил.
§ 4. Метод начальных параметров
Впервые метод начальных параметров был применен к
расчету балки на упругом основании в 20-е годы Н. П. Пузы-
ревским. Четкая форма этому методу была придана Г. Д. Ду-
товым, однако широкую известность метод начальных пара-
метров получил в 1930 г. после опубликования книги акад.
А. Н. Крылова [39]. Следует заметить, что родоначальником
этого метода может «считаться и французский математик Ко-
ши, который впервые ввел в рассмотрение функции, обладаю-
щие свойством единичной матрицы. В дальнейшем метод на-
чальных параметров применительно к расчету конструкций на
упругом основании и для решения других задач применялся
22
А. А. Уманским [71], В. А. Киселевым [26], В. 3. Власовым[9],
Б. Г. Кореневым [34] и др.
В основу метода начальных параметров положено .решение
однородного дифференциального уравнения изгиба балки в
форме (1.7). При этом произвольным постоянным интегриро-
вания Ci,..., С4 придается конкретный физический смысл, а
именно, они выражаются через значения прогиба v0, угла по-
ворота фо, изгибающего момента Мо и поперечной силы Qo,
заданных в начальном сечении на левом конце балки (рис. 11).
Эта операция легко •выполняется, если, использовав форму-
лу (1.7), взять от нее первую, вторую .и третью производные,
положить в полученных выражениях g = 0 и приравнять эти
выражения соответственно величинам v0, фо, Мо, Qo, называе-
мым начальными параметрами.
В соответствии с изложенным, решение однородного урав-
нения (на участке балки, где отсутствует внешняя нагрузка)
может быть представлено в виде (1.19). Заданная нагрузка
в этом методе учитывается следующим образом. Если, напри-
мер, в сечении gi = ai/L « балке приложена сила Р, то влия-
ние ее для сечений g > gi. учитывается прибавлением к выра-
жениям (1.19) членов, содержащих функции влияния, стоящие
в (1.19) при Qo. При действии на балку в сечении g2 = a2/L
сосредоточенного момента М для сечений g > g2 добавляются
члены с функциями влияния, стоящими 'в (1.19) при Мо. Так,
для балки, показанной на рис. 10, расчетные выражения за-
пишутся в виде
23
§ 5. Недостатки гипотезы коэффициента постели
и область ее практического применения
Разработка эффективных методов расчета балок на винк-
леровом основании позволила создать, стройную и закончен-
ную теорию расчета сооружений с учетом упругой податли-
вости грунта. В связи с этим проблема могла бы считаться
полностью решенной, если бы ее исходная предпосылка, т. е.
гипотеза коэффициента постели, удовлетворительно отражала
все случаи -строительной практики. Выяснилось, однако, что
гипотеза коэффициента постели заключает в себе ряд сущест-
венных недостатков, основными среди которых являются сле-
дующие.
Прежде всего, коэффициент постели С, играющий в расче-
тах по Винклеру весьма важную роль, не является для дан-
ного грунта постоянной величиной. Его значение зависит от
ряда факторов и в том числе от интенсивности передаваемого
на грунт давления, величины и формы площади, через которую
передается давление. При увеличении площади давления ко-
эффициент постели, например, понижается, в результате чего
при расчете широких балок для этого коэффициента следует
выбирать меньшие значения.
Наблюдаемые в натуре деформации оснований -носят, как
правило, не только местный характер, но и приводят к обра-
зованию осадочных лунок, расположенных вне опорной по-
верхности фундамента (рис. 15). Это обстоятельство не нахо-
дит, естественно, отражения в методах расчета, основанных
на гипотезе Винклера.
Наконец, из предпосылок теории Винклера вытекает, что
балка, загруженная по всей длине равномерно распределен-
ной нагрузкой, не прогибается, а оседает, как жесткий штамп.
Натурные же наблюдения показывают, что при -равномерных;
нагрузках значительной интенсивности балки получают суще-
ственные изгибные деформации, в результате чего расчеты по
гипотезе коэффициента постели могут привести к опасным
ошибкам.
Отмеченные недостатки гипотезы Винклера поставили под
сомнение -правомочность ее использования для расчета ответ-
ственных сооружений и сузили, естественно, область ее приме-
нения. В 40-е—50-е годы ставился даже вопрос о полном от-
казе от этой гипотезы. В настоящее время считается, однако,
что гипотеза коэффициента постели дает вполне падежные
результаты при слабых и сильно сжимаемых грунтах основа-
ния, относительно небольших опорных площадях фундаментов
26
и значительной интенсивности передаваемого на грунт давле-
ния, т. е. в тех случаях, когда характер деформации грунтов
хорошо соответствует принятой гипотезе.
Заметим, что балка па упругом основании относится к та-
ким конструкциям, для которых прочность и экономичность
во многом зависят от степени ее гибкости или величины ли-
нейной характеристики L. Более гибкие балки, допускающие
заметные прогибы без превышения напряжениями опасных
пределов, получают от грунта усиленную поддержку в наибо-
лее просевших частях, в результате чего их работа облегча-
ется. Для жестких балок, наоборот, это явление либо вовсе не
имеет места, либо проявляется в очень слабой степени. В ре-
зультате этого зачастую оказывается, что более массивные
фундаменты являются менее прочными, чем фундаменты бо-
лее' легкого типа.
Однако чрезмерно увеличивать гибкость балки также
нельзя, так как в этом случае может произойти ее отставание
от грунта между точками приложения сил. В этом случае ее
работа ухудшается и, кроме того, результаты расчета по изло-
женной теории становятся неверными, так как Bice приведен-
ные выше формулы даны в предположении, что связь подошвы
балки с основанием двусторонняя, т. е. что па линии 'контакта
могут появиться растягивающие усилия.
Для того чтобы этого не произошло, следует придержи-
ваться следующих рекомендаций. Расстояние от конца балки
до ближайшего груза не должно превышать лЬ/2 (в против-
ном случае -произойдет поднятие конца). Если конечная балка
загружена двумя равными силами по концам, то длина балки
должна быть менее лЬ. Если длинная балка загружена рав-
ными грузами, отстоящими друг от друга на расстоянии 1, то
необходимо выполнить условие 1<4,73L. При этом не про-
изойдет отрыва подошвы от основания и изменения условий
работы балки.
§ 6. Дифференциальное уравнение изгиба плиты,
отнесенной к прямоугольной системе координат
Рассматривая тонкую прямоугольную плиту, расположен-
ную на упругом основании винклерового типа (рис. 13), сле-
дует исходить из известного дифференциального уравнения
изгиба плиты
Dv2V2w(x>y) = Р(Х>У) — Ч(Х,У)> (1-26)
27
где р — заданная внешняя нагрузка, a q — реактивные давле-
ния упругого основания, определяемые гипотезой
Винклера:
q(x,y) = Cw(x, у). (1.27)
Подставляя (1.27) в (1.26), получим окончательно
VsV®w(x>y) + ~~w(x>y) = —• (1-28)
Наличие в левой части этого уравнения второго члена, ха-
рактеризующего работу упругого основания, не вносит прин-
ципиальных трудностей в нахождение его решения. В резуль-
тате решение уравнения (1.28) может быть получено при
помощи всех известных методов, применяемых в теории из-
гиба тонких пластинок.
Наиболее просто задача решается в том случае, когда все
четыре стороны пластинки шарнирно оперты. Здесь может
быть использован метод двойных тригонометрических рядов
(^метод Навье).
Решение оказывается простым и тогди, когда два противо-
положных края пластинки имеют шарнирное опирание, а два
других края — произвольные граничные условия. В этом слу-
чае целесообразно воспользоваться методом одинарных триго-
нометрических рядов (метод М. Леви). При жестком защем-
лении краев с успехом могут быть использованы различные
вариационные или численные методы.
Наиболее интересным в расчетном отношении является
случай, когда края пластинки свободны от закреплений. При-
28
ближенные решения для этого случая получены многими ис-
следователями при использовании вариационных или других
аналитических методов [53], [10], [33], [37] и др., метода конеч-
ных разностей [51], [31] и, в последнее время, метода конечных
элементов [7], [76], [2]. К сожалению, в рамках настоящего
учебного пособия эти методы не могут быть освещены и мы
вынуждены отослать читателя к указанной литературе*.
Заметим еще, что, как и в теории изгиба балок, где случай
бесконечной балки играет особую роль, в теории изгиба плит
существенное значение имеет случай бесконечной плиты.
Решение здесь может быть получено в замкнутом виде и при
использовании специальных приемов и методов (например,
метода компенсирующих нагрузок) применено для расчета
полубесконечной и четвертьбесконечной плит и плит конечных
размеров.
Г лава 2
РАСЧЕТ БАЛОК И ПЛИТ
НА УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
И НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Модель упругого основания в виде
упругой полуплоскости и упругого полупространства
Выявленные недостатки теории Винклера привели к необ-
ходимости создания новой, более совершенной модели упру-
гого основания. Такая модель была предложена в 1922 г.
Г. Э. Проктором в его дипломной работе, защищенной в Пет-
роградском технологическом институте, и независимо от него
К. Вигхартом. Большую роль в разработке и внедрении этой
модели сыграли труды Н. II. Пузыревского и Н. М. Герсева-
нова.
Новое предложение сводилось к тому, чтобы рассматри-
вать грунт как сплошное однородное и изотропное упругое
тело, бесконечно простирающееся вниз и в стороны и ограни-
ченное сверху плоскостью, т. е. как упругое полупространство
(рис. 14, а). В частном случае загружсния, а именно тогда,
когда все нагрузки в одном из направлений остаются постояв-
29
ними (рис. 14, б), упругое полупространство работает как
упругая полуплоскость в условиях плоской деформации. Дей-
ствительно, в этом случае можно ограничиться расчетом лишь
одной полосы, единичной ширины (рис. 14,6), т. е. принять в
виде модели основания упругую полуплоскость. Заметим, что
Рис. 14
основание в виде упругой полуплоскости может встретиться
и 'в том случае, если конструкция (балка) расположена на
тонком упругом вертикальном слое (степе) (рис. 14,в). При
этом упругая полуплоскость будет работать в условиях плос-
кого напряженного состояния.
Вместо коэффициента постели, характерного для гипотезы
Винклера, упругие свойства основания описываются здесь
двумя физическими величинами: модулем деформации (сжи-
маемости) Ео и коэффициентом Пуассона v0. Следует заме-
тить, что механические свойства (реального грунта существенно
отличаются от свойств идеально упругого тела. Грунт прак-
тически не работает на растяжение и, что особенно сущест-
венно, обладает значительными остаточными деформациями,
часто намного превышающими его упругие деформации. В ре-
зультате этого величину Ео, характеризующую общую дефор-
мацию грунта при сжатии, принято называть (модулем дефор-
мации, а не модулем упругости, как это делается в сопротив-
лении материалов и теории упругости. Величины Ео и vo могут
быть определены экспериментальным путем при помощи спе-
циально разработанных для этого методик. На практике мо-
дуль деформаций Ео изменяется примерно в пределах от
10 МПа для слабых грунтов, которыми являются, например,
пылеватые пески и лессовидные суглинки, до 50 МПа для
30
плотных грунтов, представленных, например, крупнозерни-
стыми песками и глинами. Значение коэффициента Пуассо-
на vo колеблется в пределах от 0,2 до 0,3 для песков и от 0,3
до 0,4 для глин.
Введение модели упругого полупространства значительно
расширило принципиальные возможности теории конструкций
на упругом основании. Стало возможным определять напря-
жения в грунте не только на поверхности контакта с фунда-
ментами, по «и внутри массива; учитывать взаимодействие
соседних сооружений; изменение модуля деформаций грунта
с глубиной; оценивать влияние касательных сил под подошвой
фундамента и т. д. Вместе с тем, решение практических задач
по этой теории стало значительно более сложным, чем по тео-
рии Винклера. Простая зависимость между нагрузкой на осно-
вание и его осадкой (1.2) заменилась здесь более сложными
соотношениями, вытекающими из решения Фламана (для слу-
чая упругой полуплоскости) и «решения Буссинеска (для слу-
чая упругого полупространства), в результате чего исходные
дифференциальные уравнения (1.3) й (1.28) превратились в
интегро-дифференциальные.
Поясним это на примере балки, расположенной на поверх-
ности упругой полуплоскости (рис. 15, а). При этом заметим,
что если рассматривается задача о плоской деформации, то
балку принято называть полосой, так как опа действительно
представляет собой полосу единичной ширины, выделенную
из заданной конструкции (рис. 14,6). Будем считать, что ме-
жду балкой и основанием возникают только вертикальные
31
силы q, т. е. условимся не учитывать сил трения и сцепления
на контактной поверхности. При этом зависимость между про-
гибом балки v, «равным осадке упругого основания, и нагруз-
кой на балку, состоящей из заданных сил Р и реакции осно-
вания q (рис. 15,6), запишется вновь в виде (1.3).
Установим теперь зависимость между нагрузкой па основа-
ние q и его осадкой v. При действии сосредоточенной силы Q
на упругое изотропное тело осадка v в некоторой точке М,
находящейся па расстоянии z от силы, определяется формулой
v = f(z) (2.1)
и имеет вид, показанный на рис. 16, а. Можно видеть, что
осадка здесь имеет место не только в точке приложения силы
(как это предполагается гипотезой Винклера), по и за преде-
лами загружения. Заметим, что в результате этого рассматри-
ваемая модель упругого основания часто носит название мо-
дели общих деформаций, в отличие от модели местных дефор-
маций, описываемой гипотезой Винклера.
В том случае, если рассматривается упругая полуплос-
кость, находящаяся в условиях плоской деформации, осадка
поверхности основания, т. е. функция f(z), будет представлена
решением Фламана:
f (z) = Qin (2.2)
лЕо z
где d — произвольная постоянная.
32
При Q = 1 функция f (z) может рассматриваться и как ли-
ния влияния осадки поверхности основания в точке К. Этим
свойством эпюры осадок можно воспользоваться для опреде-
ления осадки в произвольной точке К под балкой от действия
на основание нагрузки q, представляющей собой силы взаимо-
действия между балкой и основанием. Для этого построим
эпюру осадок f (z) от единичной силы, приложенной в точке К
(рис. 16, б), и «загрузим» ее нагрузкой q.
Осадка в точке К от элементарной нагрузки qdz составит
qf (z) dz. (2.3)
Для получения полной осадки в точке К нужно теперь про-
интегрировать выражение (2.3) в пределах от 0 до х и от О
до (1 — х), принимая при интегрировании расстояние х посто-
янным и считая нагрузку q соответственно функциями аргу-
ментов (х — z) и (х + z). При этом получим
х 1—X
v(x) = J* q (x — z)f(z)dz + J q(x -f- z)f(z)dz. (2.4)
о 0
Выражение (2.4) в рассматриваемой теории и заменяет
собой простую зависимость (1.2) теории Винклера.
Подставляя значение v в (1.3), получим окончательно сле-
дующее интегро-дифференциальное уравнение изгиба балки
(полосы) на упругом основании:
dx4
q(x — z)f(z)dz +
1—X
q(x + z)f(z)dz
о
= P (x) — q (x).
(2.5)
Для модели упругого полупространства, отнесенной к пря-
моугольной системе координат, випклеровское соотношение
(1.27) заменяется еще более -сложной, чем (2.4), интегральной
зависимостью, вытекающей из известной формулы Бусси-
иеска:
1 — Vo2 f Г
лЕ0 )J V (х — |)2 + (у — т))2 ’ (2ф6)
(F)
где F — площадь загружения.
33
Если на поверхности такого упругого основания располо-
жена прямоугольная плита и взаимодействие ее с упругим
основанием осуществляется только за счет вертикальных ре-
акций q(x, у), то дифференциальное уравнение изгиба плиты
вновь запишется в виде (1.26). Подставляя в (1.26) выраже-
ние прогиба из (2.6), получим разрешающее интегро-диффе-
ренциальное уравнение изгиба пЛиты на упругом полупрост-
ранстве:
dv-h'--’ СС 1
I лЕо J J /(x- -g)2+ (У-n)2 J
(F)
+ q(x,y) = P(x,y). (2.7)
Аналогичным образом с использованием зависимости (2.6)
строится н уравнение изгиба балки на упругом полупростран-
стве. В этом случае могут быть получены некоторые упроще-
ния за счет учета большой жесткости балки в поперечном на-
правлении и -предположения о том, что в поперечном направ-
лении реакции q(x, у) распределены равномерно.
Точное решение уравнений (2.5) и (2.7) представляет ис-
ключительно большие математические трудности. Такие реше-
ния удалось найти лишь для некоторых частных случаев, в
результате чего для практических целей используются, как
правило, различные приближенные методы. К ним относятся,
в первую очередь, получившие широкое применение и извест-
ность методы, разработанные М. И. Горбуновым-Посадовым
и Б. Н. Жемочкиным — А. П. Синицыным.
§ 2. Понятие о методе М. И. Горбунова-Посадова
Для большей простоты и наглядности проиллюстрируем
содержание рассматриваемого метода на примере расчета
балки (полосы), работающей в условиях плоской задачи.
Исходпы-ми уравнениями здесь являются уравнения (1.3) и
(2.4) или разрешающее уравнение (2.5), записанное относи-
тельно искомой функции q(x). Задача заключается в опреде-
лении закона распределения реакций q(x) при выполнении
следующих требований:
1) реактивные давления и внешняя нагрузка на балку
должны удовлетворять двум условиям статики, т. е. балка дол-
жна быть уравновешенной;
34
2) прогибы балки должны совпадать с осадкой поверхно-
сти основания.
Для решения этой задачи автор метода, перейдя к безраз-
мерной системе координат g = х/1 (1 — полудлина балки), за-
дается законом распределения искомых реактивных давлений
q(g) в виде бесконечного степенного ряда:
q(g) = а0 + ajg + a2g2 + ... + angn + ..., (2.8)
где 3j —неизвестные коэффициенты.
Подставив (2.8) в уравнения (1.3) и (2.4) и четырехкратно
проинтегрировав первое из них и однократно второе, автор
определяет выражения прогибов соответственно для балки vf)
и поверхности основания Vo также через бесконечные степен-
ные ряды:
v6 = Ао + Ajg Ц- A2g2 + ... | (2 9)
Vo = Во + В1£ + B2g2 + ... |
Исходя затем из тождества vs = v0 = v и двух уравнений
статики, М. И. Горбунов-Посадов определяет значения коэф-
фициентов aj и получает, таким образом, закон распределе-
ния реакций q(g). При этом он ограничивается приближенным
решением, рассматривая полином десятой степени, т. е. сохра-
няя в (2.8) лишь первые одиннадцать членов. Как показали
его исследования, таксе «укорочение» системы позволяет полу-
чить достаточно высокую точность решения.
После определения реактивных давлений q(g) изгибающие
моменты M(g) и поперечные силы Q(g) балки определяются
по обычным правилам статики.
Изложенный способ решения является 'Чрезвычайно трудо-
емким. Однако он еще более осложняется в том случае, если
внешняя нагрузка р(£) не задана одним аналитическим зако-
ном по всей длине балки, т. е. в случае наличия сосредоточен-
ных сил и прерывистых нагрузок. Здесь для получения анали-
тического выражения прогибов (2.9) по всей длине балки
М. И. Горбунов-Посадов вводит специальную функцию ©виде
степенного интерполяционного полинома и на этой основе по-
лучает решения для балок, загруженных сосредоточенными
силами и моментами.
Для исключения необходимости составлять и решать каж-
дый раз трудоемкую систему уравнений в книгах М. И. Гор-
бупова-Посадова [12], [13] приведены таблицы безразмерных
функций, позволяющие определять расчетные эпюры изгибаю-
35
щих моментов, поперечных сил, реактивных давлений и про-
гибов при различных загружениях балки. Использование этих
таблиц, базирующихся на решениях автора и других исследо-
вателей, позволяет максимально упростить технику практиче-
ских расчетов. При этом балки (полосы), рассмотренные в
этих таблицах, подразделяются, как и в теории Винклера, на
три категории в зависимости от их показателя гибкости, опре-
деляемого выражением
F I3
t ~ 10 --L.J—, (2.Ю)
Еб h3
где 1, h и Еб — соответственно полудлипа, толщина и модуль
упругости материала полосы.
При t<l полоса считается абсолютно жесткой, при 1 <<
10 — короткой или конечной длины, при t> 10 — беско-
нечно длинной.
Задача о расчете балки, лежащей на поверхности упругого
полупространства, т. е. работающей в условиях пространст-
венной задачи, решается путем, аналогичным изложенному.
Однако в этом случае реактивные давления под балкой изме-
няются не в одном, а в двух направлениях, в результате чего
степенные ряды, с помощью которых решается задача, из
одинарных становятся двойными:
QO ОО
q=2Sa‘lxiy1'
i_o j - о
Это приводит к значительному усложнению вычислений,
которые «несколько упрощаются за -счет предположения о том,
что длина балки значительно превышает ее ширину и что в
поперечном направлении балка бесконечно жёстка. Последнее
предположение позволило М. И. Горбунову-Посадову вновь
перейти к одинарному ряду вида (2.8) и, в конечном счете,
составить удобные таблицы для практических расчетов корот-
ких и длинных балок.
Аналогичным путем М. И. Горбуновым-Посадовым были
получены решения для круглых и прямоугольных плит, прямо-
угольных плит большой жесткости, полубескопечвых плит и
плит большой протяженности, а также для других практиче-
ски важных задач. Почти во всех случаях им составлены под-
робные таблицы, которые позволяют сравнительно просто
36
решать многие сложные задачи фундаментостроения. При
этом М. И. Горбунов-Посадов затронул и такие важные во-
просы, как учет бытового давления, влияние скального осно-
вания, учет пластических деформаций в грунте под краями
фундамента и т. д.
Заметим, что методы, близкие по идее к изложенному ме-
тоду, развивались в работах и других исследователей. Так,
в содержательных трудах В. А. Флорина [73] для получения
решения также использовались степенные полиномы -при двух
вариантах отыскания неизвестных коэффициентов. Один из
этих вариантов полностью совпадает с приемом М. И. Горбу-
нова-Посадова, а другой основан .на приравнивании осадок и
прогибов в отдельных точках. Первым же применил полиномы,
для решения задачи о жестком штампе Л. С. Бильман.
В идейном отношении близок к изложенному и приближен-
ный метод И. А. Симвулиди [60], в котором реактивные дав-
ления для балки, находящейся в условиях плоской задачи,
задаются полиномом третьей степени, в результате чего окон-
чательные расчетные формулы принимают достаточно простой
вид. /Ложно считать, что к этому (Направлению примыкают и
работы П. И. Клубина и Л. П. Винокурова: в первых — реак-
тивные давления отыскиваются в виде рядов по полиномам
Чебышева, а во вторых — в виде полиномов при интегральном
удовлетворении условий контакта.
§ 3. Метод Б. Н. Жемочкина— А. П. Синицина
Рассмотрим балку, расположенную на поверхности упру-
гого основания (рис. 15). Эпюра реактивных давлений грун-
та q будет иметь для нее в общем случае криволинейный вид,
показанный, например, на рис. 17, а/
Для получения расчетного алгоритма Б. Н. Жемочкиным
предложено заменить действительную эпюру давлений грунта
ступенчатой (рис. 17,6) и определять на каждом участке бал-
ки длиной с нс .интенсивность давления, а его равнодейству-
ющую Xj. При этом предложено также считать, что связь
балки с основанием осуществляется только в отдельных точ-
ках, совпадающих со срединами участков. Все это приводит
к тому, что балка на упругом основании заменяется, по суще-
ству, балкой на упруго оседающих опорах (рис. 1’7,в), число
которых устанавливается из соображений о желаемой степени
точности «расчета. Совершенно очевидно, что чем меньше будут
длины участков с или чем больше будет установлено опор,
37
Рис. 17
тем точнее получится окончательный результат. Авторами ме-
тода было показано, что для практических целей можно огра-
ничиваться весьма небольшим числом таких опор.
Можно видеть, таким образом, что в методе Б. Н. Жемоч-
кина — А. П. Синицина сложная задача о балке па упругом
основании свелась к рас-
смотрению обычной ста-
тически неопределимой
системы, для расчета ко-
торой могут быть исполь-
зованы известные методы
строительной механики:
метод сил, метод переме-
щений или смешанный
метод. Авторам удалось
избежать решения слож-
ного интегро-дифферен-
циалыюго уравнения и
этим придать расчетному
Рис. 18
алгоритму ярко выраженную инженерную направленность.
Для расчета статически неопределимой балки на упругих
опорах авторами метода было предложено применить смешап-
38
ный метод, позволяющий широко использовать таблицы.
Основная система при этом может быть образована удале-
нием всех вертикальных опорных стержней и введением за-
делки па одном из концов балки (рис. 18). Это приводит к сле-
дующим основным неизвестным:
Хь Х2, Хз, Xi, Vo, фо,
где Vo и фо — соответственно осадка и угол поворота балки в
том сечении, где поставлена заделка.
Для определения неизвестных запишется система канони-
ческих уравнений смешанного -метода. Так i-e уравне-
ние (в нашем случае i = 1; 2; 3; 4) примет вид
OiiXj -г 6i2X2 + б 13X3 + 614X4 — Vo — а 1 фо + Ajp—“ 0, (2.11)
где aj — расстояние от заделки до силы Xi.
Этим уравнением выражается условие, что* суммарное пе-
ремещение по направлению Xi равно нулю. Отрицательные
знаки, стоящие перед членами Vo и ф0, объясняются тем, что
положительным v0 и ф0 соответствуют перемещения против
действия неизвестных сил X.
Кроме четырех уравнений вида (2.11) сюда добавятся еще
два уравнения:
2У = 0, SMo = 0, (2.12)
выражающих условия равновесия балки.
Коэффициенты 61К уравнений (2.11) представляют собой
равлению отброшенных свя-
зей. Они состоят из переме-
щений У1К от осадки осно-
вания и перемещений viK,
вызванных изгибом балки
(рис. 19), т. е.
3iK - YiK + vIk- (2.13)
Прогибы балки V|K вы"
числяются по известной
формуле Мора
viK = P^flx- (2.14)
J EJ
где Мк, Mi — эпюры изги-
бающих моментов, построенные для консольной балки основ-
ной системы, соответственно от единичных сил Хк= 1 и Xj =-
39
суммарные перемещения по
Рис. 19
= 1. Вследствие простоты эпюр Мк и М, значения интеграла
(2.14) легко табулируются, что и проделано авторами метода
[21], [70].
Точно также вычисляются и грузовые коэффициенты урав-
нений (2.11):
Д1р = V МР dx,
F J EJ
(2.15)
где Mp — эпюра моментов от заданной нагрузки.
Перемещения от осадки основания yiK определяются мето-
дами теории упругости и зависят от характера решаемой за-
дачи: в случае плоской задачи используется решение Фла-
мана, для пространственной задачи—(решение Буссинеска.
При этом для определения этих перемещений к основанию
прикладывается не сосредоточенная сила Хк=1 (так как в
точке приложения силы перемещения бесконечно велики),
а «равномерная нагрузка интенсивности 1/с, распределенная
в пределах участка ск (рис. 19).
Исходя из этого, авторы метода получили следующие вы-
ражения для осадки основания:
— соответственно в случаях плоского (напряженного состо-
яния и плоской деформации
YiK— ~ * FiK » У1к= • FjK ; (2.16)
ЛСо Л С о
— в случае упругого полупространства
У1к ~
1—vo2
лЕоС
• F'iK -
(2.17)
Здесь FiK, F'iK —функции, зависящие от отношения х/с
(значения функции FjK приведены в табл. 2, а функции F'iK
в табл. 3); х — расстояние от точки, где определяется осадка,
до точки, где приложена нагрузка (проходит равнодействую-
щая Хк распределенной нагрузки 1/с), с — длины участков,
на которые разбивается балка для -расчета. Функция F'iK
зависит также от величины отношения b/с (что видно из
табл. 3), где b — ширина балки.
Напомним, что в случае плоской задачи решение Фламана
позволяет определять не абсолютные величины осадок, кото-
рые для полуплоскости бесконечно велики, а осадки, отсчиты-
ваемые от некоторого условного горизонта [это обстоятельство
40
характеризуется неопределенной постоянной d формулы (2.2)].
В результате этого в плоской задаче истинные осадки оста-
ются не определенными и -расчетом по формулам (2.16) и
(2.17) находятся только относительные осадки, т. е. разница
Таблица 3
х/с F х/с F х/с F х/с F
0 0 6 —6,976 11 —8,181 16 i —8,931
1 —3,296 7 —7,276 12 —8,356 17 ! -9,052
2 —4,751 8 —7,544 13 —8,516 18 ! —9,167
3 —5,574 9 7,780 14 —8,664 19 « —9,275
4 5 —6,154 —6,602 10 —7.991 15 —8,802 20 —9,378
осадок отдельных точек. Это же явление имеет место, естест-
венно, и при расчете полос по методу М. И. Горбунова-Поса-
дова. В пространственной же задаче, характеризуемой форму-
лой (2.17), находятся абсолютные значения осадок.
После определения коэффициентов уравнений (2.11) реше-
ния этих уравнений совмеетно с уравнениями (2.12) и махож-
Таблица 4
х/с с/х F'
Ь/с-^2/3 Ь/с=1 Ъ/с=2 Ъ/с=3 Ь/с=4 Ь/с=5
0 СО 4,265 3,525 2,406 1,867 1,542 1,322
1 1 1,069 1,038 0,929 0,829 0,746 0,678
2 0,5 . 0,508 0,505 0,490 0,469 0.446 0.424
3 0,333 0,336 0,335 0,330 0.323 0,315 0,305
4 0,250 0,251 0,251 0,249 0,246 0,242 0,237
5 0,200 0,200 0,200 0,199 0,197 0,196 0,193
6 0,167 0,167 0,167 0,166 0,165 0,164 0,163
7 0,143 0,143 0,143 0,143 0,142 0,141 0,140
8 0,125 0,125 0,125 0.125 0,124 0,124 0,123
9 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,110
10 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,099
11 0,091 0,091
12 0,083 0,083
13 0,077 1 0,077
14 0.071 i 0,071 I I
41
дения неизвестных сил Хь Х2,Хп и перемещений v0, <ро
ступенчатая эпюра реактивных давлений грунта строится по
ординатам Х,/с. После этого значения изгибающих моментов
и поперечных сил в балке вычисляются известными приемами
строительной механики.
При расчете симметричных балок (балок постоянного се-
чения) решение может быть упрощено за счет использования
условий симметрии. Для этого следует разложить внешнюю
нагрузку на симметричную и кососимметричную составляю-
щие и провести расчет дважды, помещая при этом заделку
основной системы на оси симметрии балки (рис. 20).
Значительные упрощения получаются и при расчете балок,
которые можно отнести к категории бесконечно жестких.
В этом случае все грузовые коэффициенты Д|р и коэффици-
енты VjK уравнений (2.11) обращаются в ноль, что позволяет,
в конечном счете, табулировать искомые решения.
Из изложенного можно видеть, что метод Б. Н. Жемочки-
на — Л. П. Синицина применительно к расчету балок конеч-
ной длины является весьма удобным для инженерных расчетов
и универсальным методом. Действительно, он позволяет рас-
Р и с. 20
считывать балки постоянной и переменной жесткости, балки
ломаного очертания в плане, без особых затруднений учиты-
вать взаимное влияние соседних фундаментов и т. д. (рис.21).
Он позволяет также рассматривать в качестве основания нс
только упругое полупространство, но и другие, более сложные
42
модели деформируемого основания. В этом случае следует
заменить только выражения (2.16), (2.17) на те зависимости,
которые характеризуют деформативность рассматриваемой
модели основания. Последнее обстоятельство использовалось
во многих исследованиях, где в качестве деформируемого осно-
вания принимались слоистые среды, среды с переменными
упругими характеристиками Ео, v0, нелинейные среды и т. д.
Рис. 21
Отмеченная универсальность метода Б. Н. Жемочкина —
А. П. Синицина Объясняется тем, что он, по существу, может
быть отнесен к численным методам, находящим в последнее
время все более широкое применение. Можно сказать даже,
что этот метод в известной мере подобен методу конечных раз-
ностей, так как в нем также проводится дискретизация за-
дачи (замена непрерывной эпюры q силами Xi), в результате
чего аналитическое решение исходного уравнения заменяется
решением системы алгебраических уравнений.
При расчете прямоугольных плит па упругом основании
общая последовательность решения задачи остается той же,
что и при расчете балок. Плита разбивается на равновеликие
квадраты, в центре которых помещаются опорные стержни
(на рис. 22 стержни отмечены кружками). При выборе основ-
ной системы опорные стержни отбрасываются, вместо них
прикладываются неизвестные силы Xi и, кроме того, в Одной
из точек плиты вводится жесткая заделка. Разрешающие
уравнения составляются обычным образом, а коэффициенты их,
как и ранее, зависят от осадки основания и прогиба плиты.
Однако при определении прогибов плиты возникают значи-
тельные затруднения, не имевшие места в случае расчета
балки. Дело .в том, что общего решения в замкнутой форме
для прямоугольной плиты, имеющей заделку в точке, не суще-
ствует. В 'результате этого центр' тяжести расчета плит на
упругом основании лежит в расчете самой плиты, учёт же
43
упругих свойств основания лишь незначительно осложняет
задачу.
Поэтому авторы метода предложили здесь приближенное
решение, заключающееся в замене-плиты системой перекрест-
ных балок, 'связанных между собой в местах пересечения их
осей общностью «вертикальных перемещений. При этом, естест-
венно, не учитываются крутящие моменты в плите, имеющие
для ее работы существенное значение. Авторами метода было
предложено и еще более приближенное решение, в котором
плита длиной 1 и шириной b рассчитывалась дважды, как балка.
Сначала, как ^балка длиной 1 и шириной b -па упругом полу-
пространстве в предположении ее недеформируемо-сти в попе-
речном направлении и равномерности распределения реакций
основания в этом же направлении. Затем, как полоса единич-
ной -ширины и длины Ь, выделенная из плиты поперечными
сечениями, на равномерную нагрузку, равную реактивному
давлению, найденному при первоначальном расчете плиты
в продольном направлении.
Существенные упрощения при расчете прямоугольных плит
получаются лишь в том случае, если плита принимается бес-
конечно жесткой. Более простым оказывается и расчет круг-
лых плит на осесимметричную нагрузку. Решения в этих слу-
чаях поддаются табулированию, что и было проделано авто-
рами метода.
Рис. 22
Приведем в качестве примера * практического использова-
ния рассмотренного метода расчет бесконечно жесткой балки,
расположенной на упругом полупространстве и несущей рав-
номерно распределенную нагрузку р т/м2 (рис. 23, а). Пусть
длина балки 1 = 9 м, ширина b = 3 м. Модуль деформации
Пример заимствован из книги [21].
44
основания для определения напряженного состояния балки не
требуется, так как она принята абсолютно жесткой.
Разобьем балку по длине на 9 участков, поместив заделку
в середине пролета. Основная система при этом примет вид,
представленный на рис. 23,6. Вследствие симметрии системы
Рис. 23
число основных неизвестных будет равно 6, из которых пять
неизвестных Хо,..., Х4 — силы, а шестое Vo •— осадка на оси
симметрии балки.
При определении коэффициентов канонических уравнений
осадки основания будем вычислять по табл. 3, используя стол-
бец, соответствующий отношению Ь:с = 3:1 = 3, и учитывая,
естественно, все 10 сил Xj, действующих ла основание. При
этом получим:
боо = 2-1,867 = 3,734;
6oi = 2-0,829 = 1,658;
6а2 = 2-0,469 = 0,938;
603 = 2-0,323 = 0,646;
б04 = 2 • 0,246 = 0,492;
611 = 1,867 + 0,469 = 2,336;
612 = 0,829 + 0,323 = 1,152;
6,3 = 0,469 + 0,246 = 0,715;
611 = 0,323 + 0,197 = 0,520;
622 = 1,867 + 0,246 = 2,113:
623 = 0,829 + 0,197 = 1,026;
624 = 0,469 + 0,165 = 0,634;
бзз = 1,867 + 0,165 = 2,032;
6з1 = 0,829 + 0,142 = 0,971;
644 = 1,867 + 0,124 = 1,991.
(2.18)
45
Разрешающая система уравнений примет теперь следукь
щий вид:
Хо xt Х2 Х3 х4 v0 1 I । Свободные члены
3,734 1,658 0,938 0,646 0,492 —1 0 /о 1СП
2,336 1,152 0,715 0,520 —1 0
2,113 1,026 0,634 —1 0
2,032 0,971 —1 0
1,991 -1 0
• 0 13,5рсу
Уравнения (2.18) симметричны относительно главной (ни-
сходящей) диагонали, в результате чего в системе (2.18) при-
ведена лишь верхняя часть матрицы единичных коэффициентов.
В соответствии с формулами (2.13), (2.17) и (2.18) неизвест-
- лЕдс
нос Vo представляет здесь увеличенную в-----раз осадку Vo.
1 — v02
Свободный член последнего уравнения равен половине нагруз-
ки, действующей на балку:
Р = 4,5cbp = 4,5 • Зс2р = 13,эре2.
Решение уравнений (2.18) дает
щие значения:
Vo = 15,102 ------
лЕос
2Х0 = 2,394;
X! = 2,514;
для неизвестных следую-
Х2 = 2,574;
Х3 = 2,721;
Х4-; 4,482,
которые следует умножить на рс2.
Разделив теперь неизвестные силы на с, получим ступен-
чатую (и в виде кривой) эпюру погонных реактивных давле-
ний qb [т/м], приведенную па рис. 24, а. Размерным множите-
лем для этой эпюры является величина рс. Этой эпюре и за-
данной погонной нагрузке pb соответствует эпюра изгибаю-
щих моментов, показанная на рис. 24, б.
46
Для сравнения на рис. 24, а, б, приведены (пунктиром) ана-
логичные эпюры, полученные для жесткой полосы тех же раз-
меров, что и рассмотренная балка, но находящейся в усло-
виях плоской деформации. При этом вновь использовался ме-
тод Б. Н. Жемочкина — А. П. Синицина при той же частоте
'е
Р и с. 24
деления полосы -на участки (с =1 м). На рис. 24, >б -показана,
кроме того (точечная кривая и цифры в скобках), эпюра из-
гибающих моментов для бесконечно жесткой полосы, найден-
ная точным методом.
Из сравнения приведенных данных можно видеть, что в
случае плоской задачи происходит большая концентрация ре-
активных давлений у концов балки, что приводит к значитель-
ному увеличению изгибающих моментов. Можно видеть так-
же, что метод Б. Н. Жемочкина — А. П. Синиципа позволяет
получить для балки и полосы достаточно точные результаты
(«различие 'в максимальных моментах для полосы составляет
всего 4—5 %).
47
§ 4. Другие методы расчета. Недостатки гипотезы
упругого полупространства
Помимо тех методов расчета балок и плит па упругой по-
луплоскости и упругом полупространстве, которые были рас-
смотрены выше, существуют и другие методы, имеющие боль-
шое теоретическое значение и нашедшие широкое применение
в практике. Так, для расчета плоских штампов (бесконечно
жестких балок и плит) многие исследователи с успехом 'При-
меняли аппарат теории функций комплексного переменного.
Решение широкого круга задач было получено при помощи
методов, основанных на интегральных преобразованиях Фурье
и Ганкеля, теории дуальных интегральных уравнений, метода
компенсирующих нагрузок и. т. д. Среди работ этого класса
следует отметить исследования В. И. Кузнецова, О. Я. Шехтер,
Б. Г. Коренева, Г. Я. Попова, А. И. Цейтлина, В. И. Травуша
и др. В последнее время для анализа работы сооружений па
упругом основании все чаще применяются численные методы
и, в первую очередь, метод конечных разностей и .метод конеч-
ных элементов (работы П. П. Винокурова, В. И. Соломина,
А. В. Александрова, Н. И. Шапошникова и др.). Эти методы,
обладая большой универсальностью, позволяют решать такие
сложные задачи, которые не поддаются строгому аналитиче-
скому решению, и, естественно, дают возможность рассматри-
вать в качестве упругого основания более сложные, чем одно-
родное упругое полупространство, модели.
Рассмотрим теперь те результаты, к которым приводит
гипотеза упругого полупространства при расчете балок и плит.
Характерной особенностью здесь, в отличие от того, что давала
гипотеза Винклера, является концентрация реактивных дав-
лений основания у краев сооружения. Теоретически эти дав-
ления непосредственно у края бесконечно велики, что можно
видеть, например, из рис. 24—26, где приведены примеры рас-
чета жесткой полосы. Это обстоятельство приводит к сущест-
венному увеличению положительных изгибающих моментов
по сравнению с данными, полученными на базе гипотезы Вин-
клера (рис. 24,6 и рис. 25), и, напротив, к снижению отри-
цательных моментов при расчете на нагрузку, приложенную
на концах балки (рис. 26,6). При этом особенно резкое отли-
чие от винклсровского расчета получается в случае расчета
полосы, работающей в условиях плоской задачи (рис. 24).
В действительности отмеченной концентрации давлений у
краев плиты не может существовать, так как грунт не может
принять давления, превышающие известный предел. В этой
48
зоне в грунте возникают пластические деформации, вызван-
ные сдвигом его частиц, в результате чего фактически 'воспри-
нимаемые грунтом давления оказываются меньше тех, кото-
рые устанавливаются по теории упругости. Подтверждением
Рис. 25
этому служат и данные многочисленных экспериментов, про-
водившихся на глинистых и песчаных грунтах (рис. 27). Так
для глинистых грунтов (рис. 27, а) реактивные давления под
краями фундамента имеют конечное значение, увеличиваясь
S)
Рис. 26
49
по мерс отхода от края и принимая затем величины, близкие
к тем, которые определяются упругим расчетом (точечная
кривая). В случае песчаного основания реактивные давления
у края всегда равны нулю вследствие пластических деформа-
ций грунта (рис. 27,6). Однако или умеренных нагрузках
эпюра давлений все же приближается к эпюре рис. 27, а, имея
Рис. 27
в целом седлообразное очертание. Лишь при больших нагруз-
ках, полностью исчерпывающих несущую способность песка,
эпюра давлений переходит в параболическую (штрихпунктир-
пая кривая).
Для заглубленных фундаментов давления у края даже для
песчаного основания иге будут равны нулю и разница в харак-
тере эпюр, соответствующих глинистым и песчаным грунтам,
сглаживается. Уменьшение разницы в эпюрах, т. е. уменьше-
ние влияния краевых пластических деформаций, происходит
и при увеличении ширины рассматриваемой балки. Заметим
еще, что для гибких полос и балок теория упругости не дает
столь резкой концентрации давлений вблизи края, в резуль-
тате чего, учет пластических деформаций для них имеет не-
сколько меныпее значение.
Появление повышенных реактивных давлений на краях
сооружения при использовании теории упругости объясняется
тем, что модель упругого полупространства завышает истин-
ную распределительную способность основания, деформируясь
под сооружением на бесконечную глубину. Это можно видеть
и по протяженной и медленно затухающей осадочной лунке,
возникающей за пределами сооружения (см. рис. 15). Такая
лунка по гипотезе Винклера отсутствует, а в реальных усло-
виях имеет весьма ограниченную длину.
Отмеченные обстоятельства привели к тому, что фунда-
менты в виде балок и плит, рассчитанные по теории упругого
50
полупространства, обладали зачастую излишним запасом
прочности, требовали (повышенного расхода строительных ма-
териалов (по сравнению с однотипными конструкциями, рас-
считанными по гипотезе Винклера и благополучно существу-
ющими) и с трудом конкурировали с другими решениями, т.е.
с фундаментами в виде отдельных опор, со свайными фунда-
ментами и т. д. В тех же случаях, когда основные нагрузки
были приложены вблизи краев сооружения (например, в слу-
чаях расчета шлюзов и сухих доков) и сооружение в средней
части стремилось изогнуться выпуклостью вверх, расчет по
гипотезе упругого полупространства мог неблагоприятно отра-
зиться на прочности сооружения.
Если добавить к этому математические трудности, с кото-
рыми связан расчет по гипотезе упругого полупространства,
невозможность нахождения истинных осадок сооружения в
случае плоской задачи, трудность и некоторую условность
в определении физических характеристик грунта Ео «и то, то
становится очевидным, что гипотеза упругого полупростран-
ства имеет ряд серьезных недостатков. В результате этого в
40-х—50-х годах эта гипотеза начала подвергаться резкой кри-
тике, как ранее гипотеза коэффициента постели, <и наметилась
даже тенденция возврата к последней. За рубежом, кстати,
подавляющее большинство расчетов сооружений на упругом
основании выполнялось и выполняется по настоящее время на
базе гипотезы Винклера.
Однако гипотеза упругого полупространства не утратила
своего значения и в наше время. При правильном ее исполь-
зовании, например, при расчете фундаментов со значительной
опорной поверхностью, при умеренных давлениях, передавае-
мых на плотные грунты, учете заглубления фундамента и дру-
гих важнейших факторов, обусловливающих работу конструк-
ции на упругом основании, она дает надежные и экономичные
решения.
Вместе с критикой гипотезы упругого полупространства
появились предложения по созданию новых, более совершен-
ных моделей деформируемого основания. Одни предложения
сводились к тому, чтобы устранить основные недостатки мо-
дели упругого полупространства, усложнив при этом матема-
тический аппарат. Так появились, например, модель основа-
ния с переменным по глубине модулем деформации, модель
упругого слоя конечной толщины, нелинейные модели и т. д.
Другими исследователями были предложены модели, сохра-
нившие простоту математического аппарата модели Винклера
и позволившие вместе с тем получить более достоверные ре-
51
зультаты (например, модель с двумя коэффициентами постели,
модель е переменным коэффициентом жесткости и др.).
На рассмотрении некоторых из этих моделей .мы остано-
вимся в последующих главах. Здесь же отметим еще, что все
модели деформируемого основания отличаются одна от дру-
гой лишь уравнением поверхности, в -которую переходит пло-
ская граница основания под действием единичной вертикаль-
ной силы, т. е. видом осадочной лунки или, другими словами,
типом ядра интегрального уравнения. Именно вид осадочной
лупки дает исчерпывающую характеристику упругого основа-
ния, если нас интересует поведение конструкции, расположен-
ной на его поверхности. Поэтому, в принципе, можно не кон-
струировать ту или иную механическую модель основания, я
задаваться непосредственно типом ядра и получать 'различные
расчетные схемы. Такой подход к расчету сооружений на
упругом основании, равносильный применению некоторой
обобщенной математической модели, характеризуемой различ-
ными ядрами, был предложен Б. Г. Кореневым [34]. Им были
рассмотрены различные семейства осесимметричных однород-
ных ядер, некоторые из которых в частных случаях переходят
в ядра упомянутых выше моделей упругого основания.
Глава 3
ДРУГИЕ МОДЕЛИ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙ
§ 1. Модели упругого слоя и упругого полупространства
с переменным по глубине модулем деформации
Смягчить отмеченные недостатки модели однородного
упругого полупространства позволила модель основания в
виде упругого слоя конечной толщины II, подстилаемого не-
сжимаемой толщей (рис. 28). Выражения типа (2.2), (2.4) и
(2.6), характеризующие осадку основания от приложенной
к его поверхности нагрузки, заменяются здесь более общими
и сложными зависимостями, полученными впервые в 1933 г.
52
К Маргерром для двух типов граничных условий на плоско-
сти контакта упругого слоя и несжимаемой толщи:
1) полное, отсутствие перемещений;
2) возможность проскальзывания, т. е. отсутствие верти-
кальных перемещений и касательных напряжений.
В дальнейшем вопросам расчета балок и плит на упругом
слое было посвящено значительное количество исследований.
В первую очередь здесь следует
отметить работы О. Я. Шех-
тер, К- Е. Егорова,
Р. В. Серебряного,
Р и с. 28
А. М. Горлова и др.
Например, в моногра-
фии [16] приведен об-
стоятельный анализ ра-
боты квадратной пли-
ты на упругом слое в
зависимости от измене-
ния расчетных характе-
ристик плиты и основа-
ния.
В математическом от-
ношении модель упру-
гого слоя является более общей, чем модель упругого полу-
пространства, так как при неограниченном возрастании тол-
щины слоя Н она переходит в модель упругого полупростран-
ства. Поэтому положительные стороны модели упругого полу-
пространства целиком присущи и модели упругого слоя. В то
же время при использовании этой модели концентрации реак-
тивных давлений у краев фундамента снижаются, в резуль-
тате чего уменьшаются деформации конструкции и связанные
с ними расчетные усилия. Естественно, что эти явления тем
заметнее, чем меньше толщина слоя И (рис. 29 и 30). При
незначительной толщине слоя (не превышающей 1/4—1/2 ши-
рины плиты или балки) результаты расчета практически сов-
падают с теми, которые позволяет получить винклеровская
модель. При этом значение коэффициента постели с может
быть установлено как среднее -между значениями, определяе-
мыми следующими формулами:
(1 — vo)Eo
с= -------------- ис= ---------*----, (3.1)
(1- vo2) Н (1 + vo)(l-2vo)H
где Ео, vo — соответственно модуль деформации и коэффици-
ент Пуассона грунта.
53
Первая из этих формул получена в .предположении, что воз-
можно 'проскальзывание слоя по жесткой толще, вторая — что
отсутствуют горизонтальные перемещения на плоскости кон-
такта с толщей.
Рис. 29
В ряде практических случаев глубина сжимаемого слоя
может быть установлена непосредственно из конкретных гео-
логических условий, например, тогда, когда под верхним слоем
грунта сильной или средней сжимаемости залегают «практиче-
Рис. 30
ски несжимаемые грунты (скала, плотная глина и т. д.)
(рис. 29,а). Если же в основании нет столь резкого изменения
сжимаемости по высоте или скальные породы залегают на
очень большой глубине, то вопрос о назначении расчетной тол-
54
щины Н упругого слоя становится спорным. По-видимому,
здесь может быть использовано понятие об эквивалентном
слое, введенное в механику грунтов Н. А. Цитовичем
(рис. 29,б).
Для того чтобы показать, к чему приводит изменение тол-
щины сжимаемого слоя при расчете сооружения, рассмотрим
примеры расчета жесткой балки (полосы), работающей .в ус-
ловиях плоской деформации (рис. 30 и 31). Из эпюр изгибаю-
Рис. 31
щих моментов, приведенных на рис. 30, можно видеть, что с
уменьшением толщины слоя Н максимальный момент под си-
лой постепенно убывает, приближаясь по величине к моменту,
определяемому теорией Винклера. При действии равномерно
распределенной нагрузки (рис. 31) влияние толщины сжима-
емого слоя II становится еще более существенным.
Аналогичные результаты получаются и при (расчете прямо-
угольной плиты. Рассматривая, например, квадратную желе-
зобетониую плиту (Епл = 2- 10е т/м2, vIW = '/6) с размерами
55
20X20 х 1 м, расположенную на упругом слое толщиной Н
и загруженную по квадратной площадке со сторонами а
(рис. 32), можно получить результаты, приведенные на рис. 33
•и 34 *. На рис. 33 показаны эпюры прогибов и изгибающих
моментов по оси плиты при а = 1 м, Ео = 3000 т/м2 и v0 = 0,35.
d)
Можно видеть, что при этом загружении толщина сжимаемого
слоя оказывает влияние в основном на абсолютные значения
осадок, которые растут с увеличением Н, и слабо сказывается
на изменении кривизны упругой поверхности плиты (рис. 33, а).
Максимальный изгибающий момент в центре плиты с увели-
чением Н от 10 до 100 м возрастает примерло на 10%
(рис. 33,6). Кроме того, при этом несколько изменяется и ха-
рактер эпюры изгибающих моментов. Если же плита загру-
жена по всей поверхности (а = 20 м), то изменение Н от 10 до
100 м приводит к возрастанию изгибающего момента в центре
плиты уже примерно на 30% (рис. 34).
Пример заимствован из работы [161.
56
Смягчить недостатки модели однородного упругого полу-
пространства и получить результаты, близкие в принципиаль-
ном отношении к тем, которые дает рассмотренная выше мо-
дель упругого слоя, позволила предложенная Г. К. Клейном
<9
г>
в 1948 г. модель упругого полупространства с переменным по
глубине модулем деформации [28], [29].
Задаваясь степенным законом возрастания модуля Ео с
глубиной, автор этой модели получил формулы для осадки
поверхности неоднородного
формулам (2.2), (2.4),
(2.6), и, используя их, по-
казал, что при расчете
балок и плит учет неодно-
родности основания по
глубине приводит к суще-
ственному уменьшению
абсолютных осадок, соору-
жения и снижению рас-
четных усилий.
В качестве примера на
рис. 35 показаны резуль-
таты расчета балочной
плиты длиной 1 = 14 м.
шириной 10 м и высотой
распределенной по закону
Pi = 1 кПа и Р2 = 5 кПа.
полупространства, аналогичные
h = 1 м при действии нагрузки,
трапеции с крайними ординатами
Модуль деформации основания у
поверхности принят равным Ео = 20 МПа, а возрастание его
57
по глубине составляет 20 кг на 1 пог. м *. Можно видеть, что
учет неоднородности основания приводит здесь к снижению
расчетного изгибающего момента в 2,16 раза. При этом осадка
плиты уменьшается примерно в 1,8 .раза.
К недостаткам модели Г. К. Клейна следует отнести то,.что
закон изменения модуля деформации Ео с глубиной является,
как правило, неизвест-
ным. Этим законом при-
_Jl_— ходится задаваться из тех
'ВинкЛр или И11ЫХ соображений и,
ь-следовательно, вносить
определенный произвол в
V? пмр>росгр^ст8<> исходные данные.
Заметим, что отмечен-
Рис. 36 ные особенности поведе-
ния сооружений на моде-
лях упругого слоя и модели Г. К. Клейна по сравнению с пове-
дением тех же сооружений на модели однородного полупрост-
ранства объясняются тем, что эти модели уменьшают завы-
шенную деформативность упругого полупространства и его
завышенную «распределяющую» способность. Осадочные
лунки за пределами сооружения для этих моделей имеют бо-
лее ограниченные размеры, чем для модели упругого полупро-
странства (рис. 36), что и приводит к снижению концентрации
краевых .реактивных давлений и уменьшению расчетных уси-
лий и осадок.
§ 2. Комбинированная модель
И. Я. Штаермана — А. П. Синицина и модель,
характеризуемая переменным коэффициентом жесткости
Под действием давлений, передаваемых фундаментом, на
основание, в верхних слоях грунта {возникают структурные
деформации, вызванные разрушением связей трения и сцеп-
ления между отдельными частицами грунта. Эти деформации
являются необратимыми и носят местный характер, захваты-
вая в основном ту область грунта, которая расположена 'непо-
средственно под нагрузкой. В связи с этим можно считать, что
непосредственно под подошвой фундамента имеется разрых-
ленный слой грунта, ниже которого расположены слои, рабо-
тающие в упругой стадии.
Пример заимствован из работы [281.
58
Эти соображения и привели к созданию комбинированной
модели упругого основания, представляющей собой упругое
полупространство с верхним винклеровским слоем (рис. 37).
Эта модель рассматривалась впервые в работах И. Я. Штаер-
мана, Б. Н. Жемочкина и А. П. Синицина [21], а затем полу-
чила мекоторое развитие в работах Г. К. Клейна и И. И. Чер-
касова [74].
Реактивные давления комбинированного основания могут
быть представлены формулой
q(x, у) = q, (х, у) + q2(x,y), (3.2)
где qi — часть реактивного давления, обусловленная дсфор-
мативностыо випклеровского основания;
q,(x,y) =cwj(x,y); (3.3)
Чг — доля реактивного давления, связанная с общими де-
формациями упругого полупространства и определя-
емая формулой (2.4).
Входящий в выражение (3.3) коэффициент постели с мо-
жет быть определен по таблицам (например, по табл. 1) или
по формулам (3.1), так как толщина h верхнего разрыхлен-
ного слоя me является большой. Например, для жестких плит
Рис. 37
меньше наименьшего
дорожных и аэродром-
ных покрытий, уклады-
ваемых непосредствен-
но на неуплотнепные
слои грунта, толщину
верхнего слоя h можно
принять 0,5—1 м. Для
крупных, массивных со-
оружений (элеваторов,
высоких домов, плотин
и т. д.) толщина этого
слоя может доходить
уже до 10 м, но при
этом она всегда остается
размера сооружения в плане.
У края фундамента поверхность основания, естественно,
терпит разрыв за счет местной деформативности винклсров-
ского слоя, в результате чего концентрации реактивных дав-
лений снижаются и реакции основания имеют всюду конечную
величину, включая и участки у .краев фундамента (рис.38,а).
Это приводит к уменьшению изгибных деформаций и сниже-
нию расчетных усилий в сооружении (рис. 38, б, в).
59
Расчет балок и плит на комбинированном основании при-
водит к тем же математическим трудностям, которые свойст-
венны модели упругого полупространства и упругого слоя.
Поэтому для решения практических задач здесь цслесооб-
<9
е)
Рис. 38
разно применить метод Б. И. Ж-емочкина — А. П. Синицина,
что и делалось в большинстве исследований,рассматривавших
комбинированное основание.
Введение верхнего винклеровского слоя не 'вызывает в ме-
тоде Б. И. Жемочкина —А. П. Синицина каких-либо принци-
60
пиальных осложнений. При вычислении коэффициентов кано-
нических уравнений здесь следует учесть лишь дополнитель-
ную осадку, вызываемую деформативиостью верхнего слоя,
т. е. вместо выражения (2.17), справедливого для упругого
полупространства, принять
_ 1 — Vo2 р 1
У1к — —~ 7~ riK-!" г >
лЕос ebe
(3.4)
где b и с', как и ранее, соответственно ширина балки и дли-
на участка, на которые балка •разделена -по длине, ас — ко-
эффициент постели верхнего слоя.
Аналогичным образом изменяются и выражения (2.16),
относящиеся к расчету балки в условиях плоской задачи. Об-
щая же последовательность метода Б. Н. Жемочкина —
А. П. Синицина остается прежней.
На рис. 38 в качестве примера приведены безразмерные
эпюры реактивных давлений, изгибающих моментов и попе-
речных сил для жесткой полосы, вычисленные для трех раз-
личных соотношений жесткости верхнего слоя и подстилаю-
щей его полуплоскости, характеризуемых параметром
1 _v 2
А = 2d ----—. (3.5)
Ео
Можно видеть, что с уменьшением л, т. е. с увеличением
податливости верхнего винклеровского слоя (с уменьшени-
ем с), комбинированное основание по своей работе прибли-
жается к випклеровекой схеме. Напротив, увеличение л при-
водит к результатам, близким к тем, которые дает модель
упругой полуплоскости. Если при этом коэффициент постели
верхнего слоя определен по формулам (3.1), то легко просле-
живается влияние выбранной для расчета толщины разрых-
ленного слоя h: при увеличении h комбинированное основание
все более приближается к основанию Винклера.
Из рассмотренного примера становятся наглядными те
основные достоинства и недостатки, которые свойственны ком-
бинированному основанию. С одной стороны, введение винк-
леровского слоя позволяет уменьшить расчетные усилия в
балке и таким образом, усовершенствовать модель упругого
полупространства. С другой стороны, влияние принятой жест-
кости верхнего слоя столь велико, что выбор коэффициента с
(или толщины h) становится ответственным и, в то же время,
спорным моментом расчета.
61
Можно отметить и еще один недостаток комбинированной
модели, носящий уже принципиальный характер. Принятие
винклеровского слоя, расположенного на пове^рхности упру-
гого полупространства, эквивалентно тому, что мы предпо-
лагаем наличие структурных или пластических деформаций
в грунте под всей опорной поверхностью фундамента. В дейст-
вительности зоны пластических деформаций в грунте, возни-
кают в основном у концов сооружения, что существенно меняет
расчетную схему.
Как своеобразная комбинация модели упругого полупрост-
ранства и винклеровской модели может рассматриваться и
основание, характеризуемое переменным коэффициентом
жесткости. Для этой модели нельзя, правда, представить ме-
ханическую схему, подобно тому, как это делалось для комби-
нированного основания (см. рис. 37). Однако и здесь исполь-
зуются основные достоинства двух упомянутых моделей, что
можно видеть из рассматриваемого ниже примера расчета
балки.
Предположим, что балка расположена на упругом осно-
вании, распределяющая способность которого соответствует
распределяющей способности упругого полупространства
(рис; 39, а). Будем считать, что нагрузка q, передаваемая бал-
кой на основание (реакция
основания), известна. В пер-
вом приближении можно
принять, например, эту на-
грузку равномерно распре-
деленной, если балка доста-
точно жестка или загружена
достаточно равномерно.
Определим теперь осадку
поверхности упругого полу-
пространства от действия
этой нагрузки, используя из-
вестные формулы теории
упругости или имеющиеся
табличные данные (напри-
мер, табл. 2 или табл. 3)
(рис. 39, б).
поверхности основания, а сле-
довательно и приближенной формы изгиба балки, предполо-
жим, что балка расположена на винклеровском основании
(рис. 39, в), коэффициент постели которого определяется по
Z ----------1
Рис. 39
После определения осадки
62
формуле (1.1) в виде
(3-6)
v(x)
где q(x)—принятое в первом приближении давление на ос-
нование;
v(x) —найденная осадка поверхности основания.
Найдя коэффициент с(х) из (3.6), мы сведем рассматри-
ваемую задачу к расчету балки на винклеровско-м основании
с переменным коэффициентом постели или, точнее, с перемен-
ным коэффициентом жесткости с, так как определение пара-
метра с здесь в принципе отлично от того, которое рекомен-
дуется теорией Винклера. Разрешающим уравнением задачи
здесь будет обыкновенное дифференциальное уравнение вида
ElvTV + с (х) v — р (х). (3.7)
Выполнив расчет, можно найти «реактивные давления осно-
вания q(x) и рассмотреть второе приближение, найти от этих
давлений осадку поверхности полупространства, уточненное
значение коэффициента жесткости с(х) и затем все расчетные
величины. Однако при удачном выборе нагрузки q (х) второе
и последующие приближения, как правило, не требуются и до-
статочная точность достигается уже в первом расчете. При
этом результаты расчета оказываются, естественно, близкими
к тем, которые позволяет получить модель упругого полупро-
странства. Отличие от данных этой модели наблюдается лишь
в отсутствии бесконечно -больших концентраций давлений под
краями сооружения и незначительном уменьшении изгибных
деформаций в средней части конструкции.
Можно видеть, таким образом, что модель, характеризуе-
мая переменным коэффициентом жесткости, по существу не
отличается от модели упругого полупространства. В ней
только математический аппарат, присущий модели упругого
полупространства, заменен аппаратом, свойственным модели
Винклера. Другими словами, вместо -решения интегро-диффе-
ренциальных уравнений здесь предложено перейти к решению
дифференциальных уравнений с переменным параметром с(х).
Заметим, что решение дифференциального уравнения (3.7)
уже не будет столь простым, как при с = const. Точное реше-
ние его в общем случае нс получено, в результате чего ав-
торы, исследовавшие рассмотренную модель, применяли для
решения численные методы, в частности, метод конечных раз-
ностей.
63
Впервые описанная выше модель применялась для прак-
тических расчетов Н. В. Никитиным. Впоследствии эта модель
и основанные на ней методы расчета балок и плит были раз-
виты в трудах С. Н. Клепикова [31], где помимо линейных за-
дач были рассмотрены различные сложные задачи, учитыва-
ющие реологические свойства естественных оснований.
§ 3. Модель упругого основания
с двумя коэффициентами постели
Появление модели упругого основания, характеризуемого
двумя коэффициентами постели, связано с «работами М. М. Фи-
лоненко-Бородича [72], П. Л. Пастернака [55] «и В. 3. Власо-
ва [11], -выполненными авторами независимо друг от друга и
в разное время.
Рассматривая вопросы расчета сооружений на упругом
основании, М. М. Филонснко-Бородич в 1940 г. предложил так
называемые ламинарную и мембранную модели, усовершенст-
вующие модель Винклера. В случае плоской задачи эти мо-
дели представляют собой систему пружин, связанную между
собой поверху балкой (ламинарная модель) или нерастяжи-
мой нитью (мембранная модель) (рис.40). Для пространствен-
ной задачи балка и нить заменяются соответственно плитой
или мембраной.
Предложенные М. М. Филонснко-Бородичсм модели спо-
собны распределять нагрузку. При этом более простая мем-
бранная -модель характеризуется двумя числовыми парамет-
рами: жесткостью пружин с
и величиной натяжения ни-
ти Н. Это позволяет устано-
вить простую зависимость
между осадкой основания и
вызвавшей се нагрузкой и
свести задачу о расчете бал-
ки или плиты к простым
дифференциальным уравне-
ниям с постоянными коэф-
фициентами.
Исходя из модели Винклера, П. Л. Пастернак в 1956 г. *
предложил помимо коэффициента cj, характеризующего же-
сткость пружин при обжатии, ввести второй коэффициент Сг,
* Аналогичное предложение, по применительно к расчету железобетон-
ных конструкций, высказывалось им также в 1940 г.
64
учитывающий силы трения и сцепления между пружинами,
т. е. учитывающий жесткость основания на сдвиг. При этом
силы сдвига будут пропорциональны первой производной от
прогиба и определятся в виде (рис. 41)
dv
s = с2 —-.
dx
Условия равновесия элементарного столбика (одной пру-
жины), выделенного из основания, запишутся в виде
dev
~С24т +civ=q- (з.8)
dx2
Уравнение (3.8) и является той зависимостью, которая свя-
зывает осадку основания с действующей на него нагрузкой и
определяет распределительную способность основания.
В работах [54], [55] П. Л. Пастернак дает рекомендации
для экспериментального определения коэффициентов посте-
ли ci и с2, а также рассматривает некоторые задачи по рас-
чету балок и плит, используя для этого метод конечных раз-
ностей.
При рассмотрении вопросов расчета тонкостенных прост-
ранственных систем В. 3. Власов [9] получает в одном из част-
ных случаев расчета балки-стенки зависимость типа (3.8) и
высказывает мысль о том, что эта зависимость может быть
использована в теории расчета сооружений на упругом осно-
вании. Позже совместно с Н. Н. Леонтьевым [10], [11] им
65
введено понятие об «однослойном основании», характеризуе-
мом двумя обобщенными параметрами, и построена теория
расчета балок, плит и оболочек, 'расположенных на таком ос-
новании.
Несмотря на различия в исходных предпосылках, все эти
модели эквивалентны в расчетном отношении, так как имеют
в своей основе соотношение (3.8). Другими словами, они
имеют одинаковые ядра: в случае плоской задачи — экспонен-
циальные функции, а в случае пространственной задачи —
цилиндрические функции Макдональда.
В дальнейшем при рассмотрении особенностей двухпара-
метровой модели упругого основания iMbi остановимся на той
трактовке, которая дана этой модели В. 3. Власовым и
Н. Н. Леонтьевым.
Рассмотрим задачу о плоском напряженном состоянии
пластинки высотой Н, отнесенной к прямоугольной системе
координат хоу (рис. 42, а). Решая задачу в перемещениях, в
первом приближении предположим, что горизонтальные пере-
мещения ц(х, у) пластинки равны нулю, а- вертикальные пе-
ремещения v (х, у) определяются формулой
v(x,y) =V(x) •'ф(у), (3.9)
где V(x) —искомая функция; ф(у) —безразмерная функция,
выбираемая в соответствии с физическими условиями задачи
Рис. 42
и характеризующая распределение вертикальных перемеще-
ний в поперечном направлении, т. е. по высоте пластинки.
Если на нижней грани пластинки отсутствуют вертикаль-
ные перемещения и высота ее Н невелика, то для функ-
66
цяи ф(у) может быть принят линейный закон, например:
(3.10)
При значительной высоте пластинки (а также при Н —оо)
функцию ф(у) можно задать более сложным выражением, по-
ложив, в частности,
(3.11)
где у — параметр, характеризующий быстроту затухания
осадки с глубиной и подлежащий экспериментальному опре-
делению.
Исхо'дя из известных формул теории упругости и выраже-
ния (3.9), для нормальных и касательных напряжений пла-
стинки получим формулы
’у-7^4- V(x)4>'(y); rxv. Ео ч У'(х)ф(у). (3.12)
J 1— Vo2 2(1+Vo)
Выделим теперь из пластинки элементарный столбик ши-
риной dx («рис. 42, 6) и рассмотрим условия его равновесия,
понимаемые гв смысле принципа возможных перемещений.
При этом за возможное примем перемещение, определяемое
функцией ф(у) при V(x) = 1.
Условие равновесия позволяет записать
1 __Vn2
rnV" + SHV= ——— qtp(o),
Ео
где
J \p26dy; sii — j +26dy;
0 0
(3.13)
(3.14)
ф(о) — значение функции ф (у) при у — 0.
Если функция поперечного распределения перемещений
ф(у) выбрана так, что ф(о) — 1, то искомая функция V(x)
будет представлять собой функцию прогибов верхней грани
пластинки. При этом уравнение (3.13) можно переписать
окончательно в виде
- 2tV" + kV = q, (3.15)
н
где к= ~ °— I T'^dy — коэффициент, характеризующий
1 Vo2 J работу упругого основания на об-
0 жатие и аналогичный в этом смы-
сле коэффициенту постели;
Н
Е С
t= -----------I T26dy— коэффициент, характеризующий
4(1 4-vo) J работу упругого основания на
0 'Сдвиг (второй коэффициент посте-
ли).
При выборе функции ¥ (у) в виде (3.10) или (3.11) эти
коэффициенты принимают соответственно значения:
к =-----, t= - -Е”-Н— (3.16)
H(l- vo2) 12(1+v0)
ИЛИ
к =-----Еоб— Y t= —ЕобН (3.17)
H(l-vo2) 12(1+vo)
где
__jH_ shyH-chyll —уН
2 ’ sh2yH
_ _3_ 1 shyH-chyH — yll
K~ 2 yH ’ sh2yH
Дифференциальное уравнение (3.15) отличается от извест-
ной зависимости Винклера наличием члена со второй произ-
водной от прогиба, которым учитывается наличие касательных
напряжений в пластинке. Если на верхней грани пластинки
расположено сооружение, то она может рассматриваться как
упругое основание, характеризуемое уравнением (3.15) и дву-
мя парагметрами (3.16) или (3.17).
68
Уравнение (3.15) позволяет весьма просто решить задачу
об осадке упругого основания под действием сосредоточенной
силы или нагрузки, распределенной на поверхности основания
по произвольному закону q(x).
Рис. 43
№
Действительно, в случае действия сосредоточенной силы
(рис. 43) задача характеризуется однородным уравнением
— 2tV" + kV = 0,
(3.18)
решение которого, при учете симметрии задачи и того, что
при х —> оо V = 0, имеет вид
V(x) =Се-ах, (3.19)
В качестве примера на рис. 44 приведены безразмерные
эпюры осадки основания, вычисленные при различных значе-
ниях параметра Н, vo = O и функции Чт (у), заданной линей-
ным законом (3.10).
Можно видеть, что влияние параметра Н на -расчетные ре-
зультаты весьма значительно. При малых значениях Н или,
что то же самое, при малых t работа основания приближается
к ©инклеровской схеме. С увеличением Н основание стано-
вится более связным и его «распределяющая» способность
увеличивается. Из формулы (3.19) можно видеть также, что
изменение параметра к влияет в основном на абсолютную
осадку основания, величина же параметра t характеризует в
основном его «распределяющую» способность.
69
.Переходя к вопросу расчета балки, расположенной на по-
верхности двухпараметрового основания (рис. 45), заметим,
что ее прогиб совпадает с искомой функцией V (х). В резуль-
тате этого уравнения (1.3) и
\Р
(3.15) могут быть рассмотрены
совместно, что приводит к ос-
новному дифференциальному
уравнению задачи:
EIVIV — 2tV" + kV = p.
(3.20)
Уравнением (3.20) выраже-
ны обобщенные условия равно-
весия слоя грунта, рассматри-
ваемого совместно с балкой.
Вследствие этого функция V (х)
представляет собой обобщен-
Рис. 44 ный прогиб, которому соответ-
ствует обобщенная поперечная
сила, равная по величине работе касательных напряжений тХу
сечениях х = const на возможном перемещении Т (у):
S =
H-|h
(\yV6dy =
oJ
— EIV'" + 2tV'.
(3.21)
Выражение (3.21) необходимо учитывать при постановке
граничных условий, так как обобщенная сила S отличается от
обычной балочной поперечной силы Q наличием члена с коэф-
фициентом 2t.
Углы поворота и изгибающие моменты балки вычисляются
обычным способом:
<р = V'; М = — EIV".
Дифференциальное уравнение (3.20) отличается от урав-
нения (1.4), вытекающего <из гипотезы коэффициента постели,
только наличиехМ члена со второй производной от прогиба, что
не вызывает осложнений при его решении. С его помощью
могут быть рассчитаны балки, относящиеся к различным ка-
тегориям жесткости и находящиеся под действием распреде-
ленных и сосредоточенных сил и моментов. При этом для
решения могут быть использованы те же методы, которые
были рассмотрены нами в главе 1.
70
Рассмотрим вначале бесконечно длинную балку, находя-
щуюся под действием силы Р (рис. 45). Отнесем ее к безраз-
мерной системе координат £ = x/L, где
L= 1 Л EI С1—Vo2) , (3.22)
у Еоб
как и в теории упругого полупространства, характеристиче-
ская длина балки.
Рис. 45
Уравнение (3.20) перепишется при этом в виде
fl’v -;-s.v=» -Eti,
d£4 d$2 EI
(3.23)
При выборе начала координат в месте приложения силы
уравнение (3.23) становится однородным:
' d4V d2V
— -... 2гг —_ j. S4V = 0. (3.24)
des d^ v ’
Если s > г, что характерно для реальных оснований, то
корни характеристического уравнения, соответствующего ура-
внению (3.24), будут комплексными:
k = ±! а ± ip, (3.25)
где
а
71
В соответствии с этим общий интеграл уравнения (3.24)
запишется в виде
V = С1Ф1 + С2Фз + С3Ф з + С4Ф<, (3.26)
где
Ф. = е " я5 sin pg; Ф 3 = е “с sin pg;
(3.27)
Ф2 = е -^cos pg; Ф4 = е“5 cos pg.
Постоянные интегрирования в выражении (3.26) опреде-
ляются из граничных условий:
при g —► 00 V = О, откуда С3 = С4 = 0;
Л 1 dV -п
прие-О <р- - —-0.
_ -2г>—1=
18 | dV J 2
Рис. 46
72
На рис. 46 приведены графики безразмерных функций q
и т, построенные для различных отношений L/Н и при выборе
функции ф(у) в виде (3.10). Можно видеть, что уменьшение
параметра Н приводит к уменьшению изгибающего момента
в загруженном сечении, что
Рис. 47
объясняется повышением
концентрации реактивных
давлений вблизи места при-
ложения силы. При L/H = 1
полученные результаты
практически совпадают с те-
ми, которые дает расчет бал-
ки на упругой полуплоско-
сти.
Рассмотрим теперь бес-
конечно жесткую балку, не-
сущую симметричную нагрузку, равнодействующая которой
составляет Ро (рис, 47,а). Осадка такой балки будет посто-
янна, т. е.
V = Со.
Исходя из формулы (3.15), выражающей зависимость
между нагрузкой на основание и его осадкой, реактивные дав-
ления под балкой определим в виде
q = kC0. (3.28)
Однако кроме равномерно распределенных давлений q по
концам балки возникнут еще сосредоточенные реакции Q1'
(рис. 47,6), наличие которых объясняется тем, что функция
осадки поверхности основания V(x)no краям фундамента не
претерпевает разрыва. Этими реакциями учитывается работа
основания за пределами конструкции.
Величина сосредоточенных «реакций Q* может быть вычи-
слена как разность значений обобщенной силы S слева и
справа от конца балки:
Q* = S0CII SgajIKH. (3.29)
Поскольку под жесткой балкой S g равна нулю (так как
V' = V'" = 0), a S0CH определяется лишь вторым членом фор-
мулы (3.21), получим:
Q* =~Qb =2«tC0. (3.30)
73
Заметим, что сосредоточенные реакции Q можно опреде-
лить и как объем осадочной лунки, возникающей за преде-
лами конструкции, увеличенный в к раз. Правомочность этого
подхода объясняется тем, что вследствие приближенности
описанного решения для упругого слоя на его поверхности,
свободной от нагрузки, возникают отличные от нуля нормаль-
ные напряжения оу, пропорциональные функции прогибов V(x)
Для определения постоянной Со, входящей в формулы
(3.28) и (3.30), используем условие «равновесия 2У = 0, в
результате чего получим
.
2 kl + 2at
Реактивные -давления для жесткой балки определятся те-
перь в виде
Р 1
q = — • ..-, Q ? = “Qn=
2 l(l+2at/kl) А 11
Р 1
-----------------. (3.31)
2 l-}-kl/2at
Сравнивая решение (3.31) с точным решением для штампа
на упругой полуплоскости, можно видеть, что бесконечно
большие ординаты эпюры .реактивных давлений точного реше-
ния заменяются здесь сосредоточенными силами Q* Эти фик-
тивные силы представляют собой тот краевой эффект, который
обусловливается работой свободного основания за пределами
балки. Именно в этом смысле и следует понимать сосредото-
ченные -реакции РФ .
На «рис. 48 приведены эпюры изгибающих моментов и попе-
речных сил для равномерно -загруженной жесткой балки,
построенные для трех отношений 1/Н. Можно видеть, что вели-
чина отношения 1/11 весьма существенно влияет на расчетные
результаты. При этом в случае 1/Н — 1 приведенное решение
практически совпадает с решением теории упругости для по-
луплоскости (пунктирная кривая и -цифры в скобках).
Расчет упругой балки конечной длины (рис. 49) занимает
некоторое промежуточное -положение между рассмотренными
случаями бесконечной и жесткой балки. Как -и в случае бес-
конечной бадки, решение задачи сводится здесь к интегриро-
ванию дифференциального уравнения (3.23). Аналогия с же-
сткой балкой раскрывается при постановке граничных усло-
вий на свободных от закреплений краях фундамента.
74
Решение неоднородного уравнения (3.23) проще всего
может быть получено по методу начальных параметров, изло-
женному в § 4 главы 1 и позволяющему производить расчет
на воздействия самого различного вида. Отличие от формул
олн
0.2S6
Рис. 48
(1.23) будет заключаться только в замене балочной попереч-
ной силы Q на обобщенную поперечную силу S и в несколько
иных выражениях для коэффициентов влияния.
При постановке граничных условий на краях балки, а сле-
довательно, при определении начальных параметрон, должна
Рис. 49
быть учтена совместность работы балки и основания. Из
рис. 49 можно видеть, что осадка V(x) определяется с точно-
стью до шести произвольных постоянных, из которых посто-
янные Ci,..., С4 относятся к участку основания под балкой,
а постоянные Db D2 — к участкам свободного основания. Оче-
видно, что для определения этих постоянных на краях балки
должно быть поставлено шесть независимых условий — по три
на каждом конце балки.
Естественным условием для каждого конца балки, свобод-
ного от нагрузки, является:
1) М = 0.
Два других условия, учитывающих неразрывность функ-
ции V (х) , могут быть представлены (в виде
2) V2(och) = Vi(6);
3) S2(och) = $1(б)>
где Si и S2 — обобщенные поперечные силы (3.21), соответст-
венно на участках I й II.
В соответствии с этим два начальных параметра опреде-
лятся в виде
Мо = 0, So = 2atV0,
а остальные два могут быть найдены из системы двух уравне-
ний, выражающих граничные условия па правом конце балки:
M(21/L) = 0, S (21/L) = S2(ocU) = -2atV(21/L).
В полученном таким образом решении будут точно выпол-
няться условия равновесия балки, контактное условие о плот-
ном прилегании балки к грунту и условие неразрывности
осадки основания. Статические граничные условия удовлетво-
ряются здесь приближенно: при равенстве нулю изгибающих
моментов балочные поперечные силы Q по краям балки отлич-
ны от нуля. Это, как и в случае жесткой балки, объясняется
особенностями двухпараметровой модели упругого основания.
При решении пространственной задачи связь между на-
грузкой на основание и его осадкой выражается, по аналогии
с (3.15), следующей зависимостью:
—2t\Z2w(x, у) -|-kw(x, у) =q(x, у). (3.32)
Если на поверхности упругого двухпараметрового основа-
ния расположена плита (рис. 50, а), то разрешающее диффе-
ренциальное уравнение задачи принимает вид
D V*V*w — ~г kw = р (х, у), (3.33)
отличаясь от соответствующего уравнения изгиба плиты, рас-
положенной па винклеровском основании, наличием члена с
76
коэффициентом 21, которым учитывается работа основания на
сдвиг.
Для решейия уравнения (3.33) могут быть использованы те
же 'методы, о которых упоминалось в § 6 главы 1. Заметим,
что задача о расчете прямоугольной плиты на основании с
Рис. 50
двумя коэффициентами постели достаточно подробно рассма-
тривалась в работах [36], [42], [51] и др.
Отметим еще, что, как и в случае расчета балки, на кон-
туре плиты возникают фиктивные погонные реакции Q* и
кроме них — сосредоточенные реактивные силы Иф в углах
плиты, которыми учитывается работа основания за пределами
конструкции (рис. 50,6). Точное определение этих реакций
более сложно, чем «в случае балки, поэтому для их вычисления
прибегают обычно к дополнительным упрощающим гипоте-
зам [10].
Заканчивая рассмотрение вопросов, связанных с расчетом
балок и плит на основании с двумя коэффициентами постели,
можно сделать вывод о том, что двухпараметровая модель
позволяет получать решения для плоских и пространственных
задач при -помощи простых математических приемов, так как
разрешающие дифференциальные уравнения, к которым эта
модель приводит, хорошо изучены и интегрируются в элемен-
тарных функциях. Четкость расчетной схемы и простота -мате-
матического аппарата делают изложенную методику доста-
точно гибкой и дают возможность решать не только основные
задачи по расчету балок и плит, но и ряд других, более слож-
ных задач. Сюда относятся, например, вопросы расчета конст-
рукций с учетом боковой пригрузки или расположенных в не-
посредственной близости других сооружений, вопросы -расчета
конструкций на основании с переменными характеристиками,
вопросы динамического расчета сооружений и т. д.
Вместе с тем, модель основания с двумя коэффициентами
постели имеет и слабые стороны. Одним из ее недостатков
является то, что расчет с се .использоваишем приводит к появ-
лению сосредоточенных реакций па краях фундамента, что
искажает картину напряженного состояния вблизи краев.
Однако наиболее существенный недостаток заключается в
том, что значения упругих параметров этой модели к и f
остаются до настоящего времени плохо обусловленными.
В трактовке П. Л. Пастернака параметры k = ki и t = к2
являются независимыми и определяются экспериментальным
путем. Такие эксперименты проводились [24], [50] и показали,
что величина параметра к2 невелика и практически не оказы-
вает влияния на значения расчетных усилий © плите или балке.
Однако с этим выводом для всех реальных оснований нельзя
согласиться, если учесть еще недостаточную надежность ис-
пользованной методики определения второго коэффициента
постели к2.
В трактовке В. 3. Власова — Н. Н. Леонтьева коэффици-
енты постели к и t выражаются через модуль деформации Ео
и коэффициент Пуассона v0 грунта, а также через параметр Н
(3.16) или у (3.17). Методика определения параметров E0,v0
остается такой же, как в теории упругого полупространства
или упругого слоя. Что же касается определения параметра Н
(или у), то вопрос здесь остается открытым. Значение этого
параметра чрезвычайно сильно сказывается на результатах
расчета, что можно было видеть из приведенных примеров:
при малых Н/1 результаты близки к винклеровским, при Н/1 =
= 1 (или у ~ 1)—к результатам плоской задачи (упругой
полуплоскости), при больших Н/1 результаты резко отлича-
ются от тех, которые позволяют получить две названные клас-
сические модели. Естественно, что под Н здесь следует пони-
мать нс толщину реального сжимаемого слоя (как в случае
модели упругого слоя), а толщину некоторого условного, экви-
валентного слоя, в пределах которого нормальные напряже-
78
иия Оу (или az) могут быть приняты постоянными, а горизон-
тальные перемещения равными пулю. В результате этого,
установление параметра Н является затруднительным. Болес
четкий физический смысл имеет параметр у (3.17), характери-
зующий скорость затухания вертикальных перемещений по
высоте основания. Этот параметр, вероятно, может быть опре-
делен экспериментальным путем. При этом входящая в фор-
мулы (3.17) величина II представляет собой уже реальную
толщину сжимаемого слоя и может изменяться в пределах от
О до оо.
Таким образом, для возможности более широкого практи-
ческого использования модели с двумя коэффициентами по-
стели необходимо внести большую ясность в методику опреде-
ления основных параметров к и t упругого основания. В на-
стоящее время эту модель можно использовать для того, чтобы
при помощи более простого математического аппарата и спе-
циального подбора характеристик к и t получать те же ре-
зультаты, которые дают, например, модели упругого полупро-
странства и упругого слоя.
§ 4. Учет анизотропии и неоднородности грунта.
Многослойная модель упругого основания
Во всех рассмотренных выше расчетных моделях упругого
основания, за исключением модели Г. К. Клейна, предполага-
лось, что грунт представляет собой однородное изотропное
тело, свойства которого во всех точках и по всем направле-
ниям одинаковы. В природе, одпако, существуют грунты, об-
ладающие анизотропией. К ним относятся, например, лессы,
ленточные глины и другие грунты, физические характеристики
которых в горизонтальном и вертикальном направлениях раз-
личны.
Для расчета сооружений, расположенных на таких грун-
тах, в качестве расчетной схемы основания было естественно
принять модель упругого анизотропного полупространства
(полуплоскости) или упругого анизотропного слоя, напряжен-
ное и деформируемое состояние которых описывается уравне-
ниями теории упругости анизотропных тел.
Одними из первых исследований в этом направлении яви-
лись работы Г. Н. Савина и Л. Л. Галина, которые рассмот-
«рели задачи о штампе и системе штампов, лежащих на анизо-
тропных полупространстве и полуплоскости, а также -работы
79
зарубежных авторов А. С. Буисмапа, К. Вольфа и II. М. Вестер-
гарда, носящие приближенный, полуэмпирический характер.
Достаточно подробно задача о балке на трансверсально-изо-
тропном полупространстве и на ортотропной полуплоскости
была рассмотрена ib 1954 г. Л. П. Портаевым в его диссерта-
ционной работе, а затем, для более общего случая, 3. Н. Ра-
дионовой [57].
Известно, что различие между изотропным и анизотроп-
ным телом состоит в том, что для последнего напряженное
состояние зависит от угла между направлением действия силы
и осями анизотропии тела, а направление максимальных на-
пряжений не совпадает с направлением максимальных дефор-
маций. Кроме того, в анизотропном теле «имеет место эффект
концентрации напряжений вдоль направлений (наибольшего
значения модуля упругости. Все это приводит к существен-
ному различию напряженно-деформированного состояния изо-
тропных и анизотропных тел и, следовательно, к заметному
различию в результатах расчета конструкций, расположенных
на их поверхности. Покажем это на примерах, заимствованных
из работы Л. П. Пюртаева.
80
На рис. 51 приведены эпюры нормальных вертикальных
напряжений az в упругом трансверсально-изотропном полу-
пространстве -при z = 1 от действия единичной силы, прило-
женной к его поверхности. Физическими характеристиками
такого основания являются: Ez—модуль деформации в вер-
тикальном направлении; Ег — модуль деформации в горизон-
тальном направлении (в плоскости изотропии); v и vi — коэф-
фициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие в
плоскости изотропии соответственно при растяжении в той же
плоскости и в плоскости, перпендикулярной к ней; g и gi —
соответственно модули сдвига в плоскости изотропии и в ради-
альной плоскости.
Из рассмотрения приведенных графиков можно видеть, что
при Ez/Er > 1 (пунктирные кривые) наблюдается концентра-
ция сжимающих напряжений под силой. К этому же приводит
и увеличение значений коэффициентов Пуассона, влияние ко-
торых более существенно п-ри Ez/E r < 1.
На рис. 52 приведены результаты расчета равномерно за-
груженной короткой балки, расположенной на трансверсаль-
но-изотропнохм полупространстве. Для расчета приняты сле-
дующие данные: длина, ширина и жесткость балки -соответ-
ственно 1 = 4,5 м, b = 1 м, EI = 1820 т/м2, модули деформации
основания Ez= 5000 т/м2, Ег = 25000 т/м2 и Ег= 1000 т/м2,
коэффициенты Пуассона v = vi = 0,3.
Можно видеть, что анизотропия основания оказывает весьма
существенное влияние на напряженное состояние балки и ее
осадку: при уменьшении модуля деформации в горизонталь-
ном направлении (Ez/Er> 1) абсолютные значения осадок
увеличиваются и вместе с этим растут значения изгибающих
моментов в балке. При увеличении Er(Ez/Er <Д) наблюда-
ется обратная картина.
Заметим, что основная трудность расчета при учете анизо-
тропии грунта заключается в получении зависимости между
нагрузкой на основание и его осадкой типа (2.4), т. е. в полу-
чении ядра соответствующего интегро-дифференциального
уравнения. Коль скоро эта зависимость получена (как, напри-
мер, для трансверсально-изотропного основания), расчет со-
оружения на анизотропном основании может быть выполнен
при помощи тех методов, которые были рассмотрены нами для
изотропных моделей основания. В частности, результаты, при-
веденные в последнем примере, получены Л. П. Портаевым
методом Б. Н. Жемочкина — А. П. Синицина.
К недостаткам анизотропной модели основания следует
отнести плохую обусловленность основных характеристик ос-
81
нования Ez, Ег, v, vi и другие, соотношение между которыми
весьма заметно влияет на результаты расчетов.
В том случае, если грунт имеет четко выраженную слои-
стую структуру, т.е. когда, например, слои песка чередуются
£2 Эпнзра осадщ см
с прослойками глин или других пород (рис. 53), в качестве
расчетной модели основания может быть принята двухслой-
ная, трехслойная или многослойная модель.
Так, двухслойное основание при -расчете ленточного фун-
дамента рассматривалось еще в 1939 г. К. Е. Егоровым [191.
Позже, начиная .с 1954 г., упругое основание в виде двухслой-
ной среды с расположенным на ее поверхности штампом раз-
биралось в работах Б. И. Когана [32]. В. 3. Власов [10], а за-
тем В. В. Власов [8] предлагали для построения многослойной
модели использовать метод начальных функций. По существу,
82
этот же метод был применен Р. М. Раппопорт [58] для расчета
слоистых оснований и расположенных на их поверхности гид-
ротехнических сооружений.
Заметим, что во всех этих исследованиях принималось, что
каждый слой представляет собой однородное и изотропное
упругое тело, характеризуемое значениями Ео, v0 для этого
Рис. 53
слоя. При этом общее решение строилось с позиций теории
упргости при выполнении необходимых контактных условий
на пэапицах слоев.
Приближенное решение для многослойного основания, по-
строенное на базе вариационного метода В. 3. Власова —
Л. В. Канторовича, было рассмотрено Н. Н. Леонтьевым [42—
45]. Им предложена так называемая многослойная модель
упругого основания, позволяющая с достаточно общих пози-
ций исследовать поведение балок и плит, расположенных на
се поверхности. На кратком описании этой модели мы и оста-
новимся ниже.
Рассмотрим упругий ортотропный слой переменной тол-
щины Н(х), расположенный на несжимаемой толще и рабо-
тающий в условиях плоской деформации (рис. 54, а). Будем
считать, что в общем случае модули упругости этого слоя яв-
ляются функциями координат х, у.
Для решения задачи применим метод перемещений, пред-
ставив искомые перемещения и(х, у), v(x, у) произвольной
83
точки слоя М в виде следующих конечных разложений:
u(x,y) = ^Uj(x)<pi(x,y),
Ь-1
(3.34)
v(x, у) — VK(x)OK(x, у).
К —1
Функции Uj(x), VK(x) будем считать искомыми обобщен-
ными перемещениями, а функции <Pi (х, у), фк(х, у)—задан-
ными функциями поперечного распределения перемещений.
Эти функции, аппроксимирующие деформированное состояние
слоя по высоте, могут быть выбраны различными способами
при условии, чтобы они были линейно-независимыми и отве-
чали физическому содержанию задачи.
Для определения функций Ui(x), VK (х) могут быть ис-
пользованы условия равновесия элементарного столбика, вы-
деленного из слоя (рис. 54,6) или условия минимума потен-
циальной энергии слоя. При этом, как показано в работе [44],
искомые функции определятся следующей системой m + п
обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами:
m
Я
(CJrV К е]К^к) *г Pj -О,
(pi, 2, ..., m)
(3.35)
m
—chiU'i -i- fhi^i) b
i- . (гЬк^к/ H thicV к shK^K^ г 4h -
(h-1,2, ...,n)
84
Здесь ajb dji,..., (ьк. shк — коэффициенты, являющиеся в
общем случае функциями координаты х и зависящие от вида
выбранных функций <р4 (х, у), фк (х, у) и характеристик упру-
гого основания. Например:
И Н
aji = J An<pJ<p1dy,..., rhK = jA446h^Kdy, ...,
о О
где Ап,, А44 — модули упругости ортотропного слоя.
В частном случае, когда сжимаемый слой имеет постоян-
ную толщину Н и постоянные или переменные только по од-
ной координате у модули упругости, уравнения (3.35) суще-
ственно упрощаются и принимают следующий вид:
^(ajiUV'bjM) i- ^ciKV'K i Pj--0 (j = 1, 2,..., m);
i—1 к-1
(3.36)
K- l
ChK^K' 8Ик^к) Qh— 0 (h — 1, 2, . . ., n),
а коэффициенты их являются -постоянными величинами. При
этом выражения для коэффициентов становятся особенно про-
стыми в случае изотропного слоя.
я
Рис. 54
Системы дифференциальных уравнений (3.35) и (3.36) опи-
сывают плоскую деформацию упругого ортотропного слоя пе-
ременной или постоянной толщины Н. При ограниченном
числе членов, принятых в разложениях (3.34), предлагаемое
86
решение можно расценивать как некоторое приближение к
точному решению плоской задачи теории упругости о слое
конечной толщины. Вместе с тем, если .рассматриваемый слой
представляет собой упругое основание .для расположенных на-
его поверхности конструкций, можно считать, что дифферен-
циальными уравненйями (3.35) характеризуется обобщенная
модель упругого основания, свойства которой зависят от коли-
чества и характера задаваемых функций <pi (х, у), фк(х, у).
Действительно, выбирая для ограниченного числа функций
Ф1 (х, у), (х, у) различные выражения, мы будем получать
из (3.35), (3.36) различные модели упругого основания, даю-
щие приближенное решение задачи с позиций теории упруго-
сти, но достаточно точно описывающие деформацию упругого
слоя для практических приложений.
Покажем па нескольких примерах некоторые возможные
способы выбора функций ерь 9к или, другими словами, приве-
дем несколько простейших моделей упругого основания, выте-
кающих из обобщенной модели (3.35).
Предположим, что рассматривается изотропное упругое
основание постоянной толщины, в котором горизонтальные
перемещения или отсутствуют, или малы настолько, что ими
можно пренебречь. В этом случае можно принять:
и (х, у) = 0; v (х, у) = J^VK(x)<pK(y). (3.37)
К —1
При этом система уравнений (3.36) будет содержать
только уравнения второй группы и запишется в виде
1 —Ур
2
где
п п
rhKV"K - 2ShKVK J = °’ (338>
к-l
Н Н
И1К - ( $h*Kdy- shK “ J 9'ь’/к<1у.
0 0
Можно считать, что дифференциальные уравнения (3.38)
описывают определенную модель упругого основания, в основу
которой положена гипотеза об отсутствии горизонтальных
перемещений в основании. Свойства этой модели будут зави-
86
сеть от характера функций ’^к(у) и количества членов, приня-
тых в разложении (3.37).
В первом приближении, при удержании в (3.37) лишь пер-
вого члена, мы получим рассмотренную ранее модель основа-
ния с двумя упругими характеристиками. Большего уточнения
расчетной схемы можно достичь, сохраняя в разложении (3.37)
несколько членов. При этом в качестве одного из возможных
способов выбора функций фк(у) может быть -предложен сле-
дующий прием: рассматриваемый слой делится по высоте на
ряд узких горизонтальных полос, в пределах которых переме-
щения предполагаются изменяющимися по, линейному закону
(рис. 55).
Полученная таким образом схема упругого основания мо-
жет быть иазвана многослойной моделью. Эту модель можно
принять как для однородного упругого основания, так и для
основания, состоящего из нескольких горизонтальных слоев с
различными упругими характеристиками Ек, vK. Одним из
простейших частных случаев этой модели будет, например,
рассмотренная ранее модель И. Я. Штаермана — А. П. Си-
ниципа.
По аналогии с указанным способом выбора функций фк(у)
могут быть выбраны и функции (у), если в упругом основа-
нии помимо вертикальных учитываются и горизонтальные пе-
Р и с. 55
ремещения и работа основания описывается более общей
системой уравнений (3.36). Этот же способ можно рекомендо-
вать и для упругого основания с переменной толщиной Н(х).
Здесь для части слоя, расположенного между нижней горизон-
тальной линией и линией контакта слоя с несжимаемой тол-
щей (если на линии контакта u = v = 0), функции распредс-
87
ления перемещений можно представить в виде
?п (х, у) = % (х, у) == —,
hn(x)
где hn(x) —толщина последнего слоя (рис. 56).
Если толщина Н(х) изменяется но линейному закону
(рис. 57), то помимо указанного выбора функций <рь фк может
<h 44 % -К
f f«
Рис. 56
быть использован и другой прием. В этом случае слой можно
разделить на полосы прямыми, проходящими через точку пе-
ресечения поверхности слоя с линией контакта под некото-
Рис. 57
рыми углами Uj (рис. 57). В пределах каждой полосы толщи-
ной hj (х) = xtgaj для перемещений вновь -может быть принят
линейный закон изменения по высоте. Если при этом модули
упругости слоя Ан,... Л44 в пределах каждой полосы посто-
88
янны, то дифференциальные уравнения с переменными коэф-
фициентными (3.35) будут эйлсрового типа -и легко сведутся
к уравнениям с постоянными коэффициентами, что облегчит
их интегрирование.
В том случае, если упругое основание имеет постоянную
толщину или толщину, изменяющуюся по линейному закону,
и постоянные в пределах каждого условного слоя характери-
стики, то для интегрирования системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений (3.35) можно применить аналитиче-
ские методы в сочетании с вычислительными алгоритмами для
ЭВМ, как это показано, например, в работе [44]. При сложном
законе изменения толщины Н(х) сжимаемого слоя и перемен-
ных по двум координатам модулях упругости условных слоев
система уравнений (3.35) приобретает сложную структуру.
Возможность точного аналитического решения подобных урав-
нений вызывает сомнения, в результате чего для их интегри-
рования целесообразно использовать численные методы. Один
из таких методов, представляющий собой некоторую модифи-
кацию методов конечных элементов, рассмотрен, например, в
работе [45].
Для иллюстрации тех «результатов, к которым приводит
обобщенная модель упругого основания, рассмотрим несколько
частных примеров.
На рис. 58 приведены кривые, характеризующие величину
изгибающего момента т0 в центре штампа длиной 21, загру-
женного силой Ро и 'расположенного на поверхности изотроп-
ного однородного слоя постоянной толщины Н, работа кото-
рого описывается системой уравнений (3.38).
Линией, помеченной индексом «т.у», здесь показ ан а кривая,
построенная для изотропного упругого слоя при помощи изве-
стного аналитического решения [77]. При Н/1—>со эта кривая
асимптотически стремится к значению то — 0,32, но уже при
Н/1 ~ 5 практически достигает этого значения. Сплошными
линиями, обозначенными номерами, характеризуются вели-
чины ш0 при vo = 0,3 соответственно для одно-, двух-, трех-,
четырех- и пятислойного оснований, в которых не учитываются
горизонтальные перемещения. Пунктирные кривые дают зна-
чения то Для тех же оснований при учете в них горизонталь-
ных перемещений [в этом случае исходными уравнениями
являются уравнения (3.36)].Заметим, что для винклеровского
упругого основания то = 0,25.
Из приведенных графиков можно видеть, что с увеличе-
нием количества принятых условных слоев значения ш0 все
89
более приближаются к соответствующим значениям аналити-
ческого решения [77] и уже при п = 4 практически совпадают
с последними для значений Н/1 < 5. Из этого следует, что для
определения усилий в жесткой балке, расположенной на упру-
гом -слое постоянной толщины, можно пользоваться разложе-
нием (3.37), ограничившись в нем четырьмя первыми членами.
Рис. 58
То обстоятельство, что при этом не учитываются горизонталь-
ные перемещения в основании, оказывается несущественным,
так как эти перемещения практически не влияют на величину
ш0. При Н — со расчет следует проводить, считая, что и = 5.
При этом значения изгибающих моментов в балке (при любой
внешней нагрузке) будут совпадать с теми значениями, кото-
рые позволяет получить точное решение задачи [77]. Завы-
шенные значения т0, соответствующие кривым 1, 2, 3, объяс-
няются тем, что простейшие модели упругого основания дают
завышенные концентрации реакций по концам балки. Это в
особенности относится к «однослойному» основанию, моделью
которого можно пользоваться лишь как условной схемой и для
перехода от которой к схеме упругого однородного слоя сле-
дует вводить поправочные коэффициенты, вытекающие из
графиков рис. 58.
В качестве второго примера рассмотрим жесткую балку,
расположенную на поверхности упругого однородного слоя
90
переменной толщины Н(х) (рис. 59). Проследим, как влияет
угол наклона сжимаемой толщи ао на напряженное состояние
балки при различных соотношениях X = Но/1, где Но — тол-
щина упругого слоя по ‘Оси симметрии балки.
На рис. 60 приведены безразмерные эпюры изгибающих
моментов равномерно загруженной балки при ао = 0,4 и ао =
= 0 (пунктирные .кривые) и
К = 0,5, X = 2,0. Можно ви-
деть, что 'наклонность сжи-
мающей толщи вносит асим-
метрию б эпюру М: изгиба-
ющие моменты получают
большие значения со сторо-
ны большей толщины сжи-
маемого слоя и несколько
возр:астают в центре балки
по сравнению со случаем Рис. 59
ао = 0 (на 12 и 2% соответ-
ственно при 1 = 0,5 и Х = 2,0). Заметим, что эти результаты
получены из решения уравнений (3.35) при удержании в раз-
ложениях (3.34) по пяти членов.
Рис. 60
Рассматриваемая модель основания позволяет производить
расчет конструкций и в том случае, когда характеристики
упругого основания имеют различные значения на отдельных
участках по длине конструкции. Так, например, на рис. 61
приведен случай, когда под равномерно загруженной жесткой
91
балкой длиной 21 = 0,5 Н в основании имеется зона 1/2,5 X Н/4
с повышенным или пониженным модулем деформации (соот-
ветственно Ej = 5 Ео и Ej = 0,2 Ео). Приведенные безразмер-
ные эпюры изгибающих моментов m (рис. 62) показывают, что
наличие жесткого включения или ослабленной зоны (линзы),
особенно при верхнем их расположении в упругом основании,
существенно влияет на напряженное состояние балки. Пунк-
тирные кривые здесь относятся -к случаю Ef = 0,2 Ео. Циф-
рами, обозначающими кривые, показано, в каком слое по вы-
соте основания на ходится неод-
нородное включение. Кривая,
отмеченная индексом «т. у», со-
ответствует однородному осно-
ванию.
В приведенных примерах
мы ограничились лишь рассмо-
трением жестких балок, кото-
рые позволяют наиболее ярко
показать возможности приня-
той модели упругого основа-
Рис. 61 ния. Естественно, что аналогич-
ные решения могут быть полу-
чены и для упругих балок конечной и бесконечной длины.
В том случае, если основание в виде упругого слоя посто-
янной толщины Н находится в условиях пространственной за-
дачи (рис. 63), для описания его работы вновь может быть
использован описанный выше прием. При этом сжимаемую
толщу следует разделить па п условных слоев и предполо-
жить, что в пределах каждого слоя перемещения изменяются
по линейному закону. Если еще пренебречь горизонтальными
перемещениями в основании, то полученную таким образом
многослойную пространственную модель упругого основания
можно описать следующим матричным уравнением:
— Bv2w-P Aw = q,
(3.39)
где А и В — симметричные трехдиагональные матрицы раз-
-> мера п;
w = w (х, у) п — мерный вектор искомых перемещений поверх-
ности основания и границ слоев. Стоящий в правой части урав-
нения (3.39) вектор-столбец нагрузок учитывает как поверх-
92
постную нагрузку q(x,у), так и возможную нагрузку внутри
основания.
Для ’расчета балок и плит, -расположенных на поверхности
такого основания, следует рассмотреть матричное уравнение
(3.39) совместно с уравнением изгиба балки или плиты, учтя
при этом тождественность прогибов конструкции и осадки по-
верхности основания.
В заключение заметим, что рассмотренной многослойной
модели упругого основания свойственны те же недостатки,
Рис. 63
которые характерны для моделей упругого слоя и неоднород-
ных и анизотропных оснований, а именно, известная услов-
ность в выборе основных расчетных характеристик, обусло-
вливающих особенности работы этих моделей.
93
Глава 4
УЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ И СЛУЧАЙНЫХ СВОЙСТВ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ОСНОВАНИЯ
§ 1. Понятие о нелинейных моделях
деформируемого основания
Как известно, разрешающие уравнения той или иной за-
дачи строительной механики становятся нелинейными, если
материал сооружения не подчиняется закону Гука (физиче-
ская нелинейность), если перемещения в сооружении столь
велики, что становятся соизмеримыми с наименьшими разме-
рами его элементов (геометрическая нелинейность), а также
если в процессе работы сооружения изменяется его расчетная
схема (конструктивная нелинейность).
Применительно к расчету балок и плит на деформируемом
основании могут встретиться все три отмеченные случая нели-
нейности. Однако геометрически нелинейные задачи представ-
ляют здесь, по-видимому, наименьший интерес, так как при
проектировании фундаментов обычно не допускаются большие
перемещения. Характерным .примером конструктивной нели-
нейности является расчет фундамента с учетом односторонней
работы основания. Здесь в случае появления растягивающих
напряжений на линии контакта происходит отрыв фундамента
от основания и, следовательно, меняется -расчетная схема.
Задачи подобного рода для балок и плит рассматривались во
многих работах и, в частности, в работах Е. И. Черниговской,
Е. Б. Триуса, П. И. Шуйского, относящихся к исследованию
осесимметричной деформации круглых плит. Следует отме-
тить, однако, что вопросы расчета сооружений с учетом отрыва
грунта от фундамента изучены еще далеко не так подробно,
как рассмотренные выше классические задачи.
При -расчете сооружений на деформируемом основании
физически нелинейные задачи имеют существенное значение.
Это объясняется тем, что зависимость между напряжениями
и деформациями грунта в общем случае нс является линейной
(ри-с. 64), что подтверждается опытными данными по вдавли-
ванию штампов в естественное грунтовое основание. К-роме
того, как отмечалось выше, в зонах повышенных давлений под
краями фундамента в грунте возникают пластические дефор-
мации, также .приводящие к нелинейным зависимостям. Если
94
добавить к этому возможность учета нелинейных факторов и,
в частности, учета пластических деформаций в «самом фунда-
менте (например, в его арматуре), то можно видеть, что физи-
ческая нелинейность в теории балок и плит на деформируемом
основании играет весьма важную роль.
Одним из первых исследований по расчету балок -на упру-
гопластическом основании винклерового типа явилась работа
А. С. Григорьева [17]. Позже этому вопросу были посвящены
работы М. И. Горбунова-Посадова, Г. М. Рейтмап, А. Г. Юрь-
ева, Н. Ф. Кокосимиди и др. Работы по учету пластических
деформаций в арматуре фундамента были начаты Б. Г. Коре-
невым и затем развивались Р. В. Серебряным, М. II. Ручим-
ским, Ю. Т. Черновым, А. П. Синициным и др. При помощи
метода конечных разностей В. И. Соломин рассмотрел задачи
по расчету балок и плит с одновременным учетом нелинейных
факторов в основании и сооружении и показал, что учет пла-
стических деформаций в сооружении имеет превалирующее
я»
Р и с. 64
эначение.
На основе анализа опытных данных И. И. Черкасов [74]
и Г. К. Клейн [29] предложили модель основания, которая
позволяет учитывать нелинейную связь между напряжениями
и деформациями, а также учитывать раздельно восстанавли-
вающиеся (упругие) и
•остаточные (структур-
ные) деформации грун-
та. На кратком рас-
смотрении обобщенно-
го варианта этой моде-
ли [30] мы и остановим-
ся далее.
Опытная зависи-
мость между давлени-
ем q на основание и его
осадкой А представле-
на на рис. 64 кривой 1.
Заметим, что для рас-
чета бесконечно жест-
кой балки нелинейная
модель с подобной за-
висимостью р- - А была
кого. В целях упрощения расчета балок конечной жесткости
авторами работы [30] было предложено заменить криволиней-
ную диаграмму 1 билинейной диаграммой 2 (рис. 64) и пред-
ставить полную осадку основания А в виде суммы упругой Ау
рассмотрена в работе Ю. К. Зарец-
95
и остаточной Д"м осадок или в виде суммы общей Доб и
местной Д'м осадок:
Д = Ду-{-Д"м= Доб-L Дм. (4.1)
так .как упругая осадка (прямая 3) состоит не только из об-
щей (прямая 4), но и местной осадки Д'м:
Ду=Доб+Д'м- (4-2)
При этом
дм = Л'м’Г Д"м- (4-3)
Таким образом, рассматриваемая модель основания пред-
ставляет собой комбинированное основание, общие осадки ко-
торого подчиняются закономерностям упругого полупростран-
ства, а местные осадки возникают только в пределах загру-
женной площади.
В-се необходимые для расчета физические характеристики
этой модели можно определить из опытной кривой. Так, мо-
дуль деформации и коэффициент Пуассона грунта Ео, Vo, ха-
рактеризующие общую осадку основания, находятся обычным
образом из рассмотрения результатов вдавливания штам-
па [74]. Местные осадки характеризуются двумя коэффициен-
тами, определяемыми из выражений
. q q — qv
дм - V" —. при q > q}.
ki k2
и q (4.4)
Дм -- -p1- при q < qy
где q — давление, передаваемое штампом на грунт;
qy — давление, соответствующее точке перелома билиней-
ной диаграммы.
При соответствующем выборе значений Ео, кь к2 рассмат-
риваемая модель основания позволяет получить следующие
известные модели оснований:
1) при ki = к2 = оо—упругое -полупространство с моду-
лем деформации Ео (рис. 65, а);
2) «при Ео = оо, к2 = оо — модель Винклера с коэффициен-
том постели ki (рис. 65, б);
3) при Ео = оо — обобщенную модель Винклера с двумя
коэффициентами постели (рис. 65,в), отличную от модели
В. 3. Власова — П. Л. Пастернака;
96
4) при ki = оо — модель основания, предложенную -в 1952 г.
Г. К. Клейном и И. И. Черкасовым (рис. 65,г);
5) при к2 = оо — комбинированную ’модель основания
И. Я. Штаермана — А. П. Синицина, описанную выше
(рис. 65, д).
Для расчета сооружений, расположенных на -рассматрива-
емом основании, авторы модели предложили использовать с
некоторыми дополнениями метод Б. И. Жемочкина —А. П. Си-
иицина и с помощью этого метода разобрали несколько при-
меров расчета балок. Один из этих примеров представлен на
рис. 66, а. Для балки и основания, деформируемого по схеме
рис. 65, г, здесь приняты следующие данные: длина, ширина и
жесткость балки соответственно равны 1 =4,5 м, Ь=1 м,
EI = 53800 т/м2; основание характеризуется пределом упруго-
сти, модулем упругой осадки и коэффициентом для остаточных
осадок, которые составляют qy = 0,12 МПа, Ео/(1—vo) =
= 60 МПа, к2 = 0,56 МПа.
На рис. 66, б, в показаны эпюры реактивных давлений и
изгибающих моментов в балке. Здесь же (пунктирные кривые
и цифры -в ’скобках) приведены для сравнения данные расчета
той же балки, расположенной на упругом полупространстве.
При этом для упругого полупространства модуль общей де-
формации был принят эквивалентным двум указанным выше
характеристикам комбинированного основания по осадкам
опытного штампа и равным Ео/(1 —vo) = 35 МПа.
Из приведенных результатов расчета можно видеть, что
учет нелинейной деформируемости основаниях расчленением
осадок, на общие и местные приводит к более равномерной
97
эпюре реактивных давлений и к значительному снижению
расчетных изгибающих моментов в балке.
В заключение заметим, что (нелинейные модели деформи-
руемого основания еще не нашли широкого применения в
практических -расчетах, так ка-к они приводят к более слож-
ным вычислениям и требуют дальнейшего изучения и обосно-
вания._
§ 2. Стохастические модели упругого основания
Из предыдущих глав читателю ясно, что в настоящее время
накоплен богатейший материал по методам расчета конструк-
ций на упругом основании. И все же, несмотря на обилие ис-
следований высокого класса, большое разнообразие подходов
к (решению проблемы, нельзя считать, что она исчерпана до
конца. Практика строительства настойчиво ставит все новые
и новые -вопросы, а подчас выдвигает и старые проблемы под
новым углом зрения. Нечто подобное мы наблюдаем в послед-
нее десятилетие в связи с наметившейся тенденцией возврата
98
к расчету конструкций, лежащих на упругом основании, по
методу коэффициента постели. Этот метод подвергался жесто-
кой критике, которая, как показало время, была справедлива
лишь отчасти. Все же расчет по методу коэффициента постели
имеет недостатки и приводит иногда к результатам, которые
трудно согласовать с явлениями, наблюдающимися па прак-
тике. В частности, известно, что результат расчета по методу
коэффициента постели балки со свободными концами, при
действии на нее равномерной или линейно -меняющейся на-
грузки, состоит в том, что ось балки остается прямолинейной,
т. е. балка «проседает» без изгиба, не испытывая соответству-
ющих напряжений. Между тем, на практике это никогда (или
почти никогда) не наблюдается. Напротив, мы знаем случаи
значительных неравномерных осадок сооружений, выстроен-
ных, казалось бы, на однородных грунтах и равномерно загру-
женных, с возникновением существенного изгибного напря-
женного состояния. Ярким свидетельством этого факта явля-
ется неравномерная осадка крупнопанельных зданий, постро-
енных на однородных грунтах и наблюдаемая в подавляющем
большинстве натурных обследований. Отмеченное обстоятель-
ство— неравномерная осадка — является настолько типичным
и важным, что в обязательном порядке учитывается при рас-
чете крупнопанельных зданий на грунтах с естественной неод-
нородностью.
Чем же вызывается неравномерная осадка здания посто-
янной жесткости, передающего на «однородный» грунт равно-
мерную нагрузку? Дело здесь, главным образом, в том, что
однородных (в идеальном понимании) грунтов в природе не
существует. По длине сооружения *и с глубиной грунт -меняет
свои упругие свойства и в связи с этим меняется его отпор-
ность. С этим положением сейчас согласны все и можно счи-
тать твердо установленным тот факт, что модуль деформации
того или иного типа грунта не является постоянным: его «вели-
чина колеблется в значительных пределах, которые зависят от
многих причин, но в основном от микронеодпородности «одно-
родного» грунта. Так, испытания одними .и теми же штампами
одного и того же типа грунта в разных местах его залега«ния
дают различные числовые значения модуля деформации. Ко-
лебания этой величины весьма значительны: для некоторых
типов глинистых грунтов одно значение Егр может отличаться
от другого более чем вдвое, что обязательно должно учиты-
ваться в расчете.
Учет фактора естественной неоднородности грунтов в на-
стоящее время осуществляется следующим образом: для каж-
99
дого из основных типов грунтов назначается так называемый
коэффициент неоднородности а, который представляет собой
отношение
а = Е
max .ptnin
гр /^тр >
(4.5)
т^тах р. min
где Егр , Егр — соответственно максимальное и минималь-
ное значения модуля деформации грунта под подошвами фун-
даментов в пределах контура здания. Коэффициент а опреде-
ляется в результате статистической обработки данных экспе-
риментов для различных типов грунтов, причем для каждого
типа грунта коэффициент неоднородности задается. После
введения соответствующего коэффициента а расчет конструк-
ции (например, балки) ведут по методу коэффициента посте-
ли, но при этом считают, что значение коэффициента по-
стели с(х) может меняться от величины с до величины ас
в пределах длины сооружения. Характер изменения коэффи-
циента с(х) выбирают произвольно (по параболе, синусоиде,
треугольнику и т. и.), однако с таким расчетом, чтобы поста-
вить конструкцию в наиболее невыгодные условия и получить
максимально возможные в этой ситуации напряжения. Такой
подход развивался в работах Д. Д. Сергеева [59], В. В. Лиша-
ка [46] и Д. Н. Соболева [64]. Получаемое в этом случае ре-
шение хотя и дает ответ на поставленную задачу, но имеет
существенный недостаток: оно приводит к ничем не оправдан-
ному запасу прочности и связанному с этим перерасходу ма-
териалов. В самом деле, при таком способе расчета мы ориен-
тируемся на самый невыгодный случай изменения коэффици-
ента постели с(х) вдоль сооружения, т. е. на теоретический
случай, который может осуществиться лишь при совершенно
исключительном стечении обстоятельств. Кроме того, в опи-
санном методе расчета изменчивость коэффициента пропорци-
ональности с (х) не зависит от длины сооружения, что, конечно,
не может быть признано правильным. Так, например, совер-
шенно ясно, что изменчивость с(х) в среднем тем меньше, чем
короче сооружение.
Изложенные соображения естественным образом привели
в 1963—1965 годах [64—66] к постановке новой проблемы
расчета сооружений на упругом основании с коэффициентом
пропорциональности, меняющимся по длине сооружения слу-
чайным образом. В 1965 г. была опубликована работа В. В. Бо-
лотина [4], в которой содержалось аналогичное предложение.
Таким образом, в рассмотрение была введена новая «модель
100
статически неоднородного винклеровокого упругого основания.
Коэффициент постели при этом является уже не постоянной
величиной и не детерминированной функцией, а случайной
функцией абсциссы. Естественно, что такая модель упругого
основания требует привлечения аппарата теории случайных
функций, т. е. описывается математически более сложно, чем
классическая модель Винклера, однако результаты, получае-
мые с ее помощью, приводят к значительно более обоснован-
ным и экономичным конструктивным решениям, что и оправ-
дывает ее существование.
Следует отметить, что за последние десять лет указанное
направление в области расчета конструкций на упругом осно-
вании получило значительное развитие. Так, например, анало-
гичный подход к задачам теории упругости. микронеоднород-
пых тел применен в основополагающих работах В. А. Лома-
кина [47—49], относящихся к 1965—1968 годам. Развитием
упоминавшейся работы В. В. Болотина [4] была работа
В. Л. Благонадежипа и Е. П. Кудрявцева [3], в которой даны
экспериментальные данные, касающиеся определения корре-
ляционной функции коэффициента постели песчаного основа-
ния. В. Л. Благонадежин и В. Н. Москаленко рассмотрели
бесконечно длинную нсразрезную балку па упругих опорах
под действием нагрузки и смещения опор. Существенным в их
исследовании был учет таких факторов, как случайный раз-
брос длин пролетов, уровней опор и их коэффициентов жест-
кости.
В работе Д. Н. Соболева, Б. Л. Фаянса и В. И. Шейни-
на [68] рассматривалась задача об изгибе неограниченной
плиты, лежащей на статистически неоднородном упругом ос-
новании. Эта задача была решена с помощью спектральной
теории случайных функций. Показано, что при вполне реаль-
ных значениях жесткости плиты в ней могут появиться значи-
тельные изгибающие моменты, обусловленные исключительно
неоднородностью основания.
Ясно, конечно, что не только модель Винклера может быть
обобщена в статистическом смысле. С таких же позиций мож-
но подойти к решению классических задач теории упругости
о распределении напряжений в упругой полуплоскости и
упругом полупространстве, считая, что модуль упругости и
коэффициент Пуассона являются случайными функциями ко-
ординат. Задача о распределении напряжений в статистиче--
ски неоднородной линейно-упругой полуплоскости была ре-
шена в работах В. Д. Насонкина и Д. Н. Соболева.
101
Статистическая модель упругого основания с нелинейными
характеристиками впервые была введена в рассмотрение
А. К. Юсуповым [79], [80]. На основе этой модели ему удалось
решить целый ряд важных в практическом отношении задач.
В упомянутых работах А. К. Юсупова был также впервые рас-
смотрен вопрос о погрешностях линеаризации и .методом ма-
лою .параметра построено решение задачи об изгибе балки
в нелинейном приближении.
В. П. Игнатов [22] (рассмотрел задачу о деформациях пря-
моугольной плиты, лежащей на статистически неоднородном
основании. Решая задачу по ‘методу конечных разностей в со-
четании с методом малого параметра, автор получил интерес-
ные результаты, не накладывая условие стационарности на
случайную функцию коэффициента жесткости основания.
К сожалению,, в данном пособии авторы не имеют возмож-
ности сколько-нибудь полно ввести читателя в круг идей и
представлений, связанных с проблемой расчета конструкций
на статистически неоднородном упругом основании. Это объ-
ясняется, главным образом, тем, что этот расчет опирается на
некоторые основные факты из теории случайных функций, 'ко-
торая, как известно, не изучается в вузах строительного про-
филя. Однако на одной простейшей задаче, решение которой
не потребует от читателя ничего, кроме элементарных сведе-
ний из теории вероятностей, можно проиллюстрировать метот
дику (расчета, основанную па представлении об упругом осно-
вании, как о статистически неоднородной среде. К решению
этой задачи мы перейдем несколько ниже.
Рассмотрим упругую неоднородную среду, подчиняющуюся
гипотезе о прямой пропорциональности, и будем считать, что
вертикальное перемещение точки «приложения силы Р не зави-
сит от действия сил, приложенных в других точках, а полно-
стью определяется величиной этой силы и упругими свойст-
вами среды в данной точке. Обозначим реакцию упругой
среды в точке с абсциссой х от действия силы Р = 1 через
с(х). Как это ясно уже из принятого обозначения, будем счи-
тать, что величина упругой реакции среды зависит от места
приложения нагрузки Р = 1; более того, примем характер
этой зависимости случайным. Таким образом, упругие свойства
(отпорность) среды описываются случайной функцией с(х)
координаты х. Для решения задач о напряженном и дефор-
мированном состоянии конструкции (штампа, балки и т. п.),
лежащей на упругом основании такого типа, необходимо вве-
102
сти некоторые упрощающие гипотезы, касающиеся характера
случайной функции с(х).
Основная гипотеза, или гипотеза стационарности; в широ-
ком смысле предполагает, что математическое ожидание и
дисперсия, случайной функции с (х) постоянны, а корреляцион-
ная функция зависит только от величины интервала Дх между
точками с абсциссами Xi и х2 и не зависит от самих значений
Xi и х2. Вторая гипотеза относится к закону распределения
ординат функции с(х), который предполагается нормальным.
Это допущение учитывает, что значения ординат функции с (х)
формируются под воздействием множества примерно равно-
ценных случайных факторов. Ясно, конечно, что такая модель,
отличаясь принципиально от чисто винклеровской схемы,
имеет общий недостаток с последней: она не обладает распре-
делительными свойствами. Этот недостаток, однако, можно
без труда устранить, если принять упоминавшуюся ранее мо-
дель (см. главу 3) упругого основания с двумя коэффициен-
тами постели, обобщенную в том смысле, что оба эти коэффи-
циента являются случайными функциями ci(x) и с2(х) [69].
При этом можно считать, что случайная функция с2(х) отве-
чает тем же предположениям, которые сделаны выше в отно-
шении функции Ci(x), т. е. является стационарной в широком
смысле и нормально распределенной.
Предположение о стационарности и нормальном распреде-
лении с(х) позволяет полностью охарактеризовать случайную
функцию ее математическим ожиданием М{ с(х) | =Со И кор-
реляционной функцией Кс (Дх). Эти данные могут быть полу-
чены в результате соответствующей обработки -реализаций
случайной функции с(х) для основных типов грунтов.
В качестве обещанной простейшей задачи, решение кото-
рой, в основных чертах, характеризует излагаемый подход,
рассмотрим задачу о вдавливании абсолютно жесткого штам-
па в статистически неоднородное основание.
Пусть имеется абсолютно жесткий штамп длиной 1, лежа-
щий на упругом ви-нклеровском основании, коэффициент по-
стели которого является случайной функцией абсциссы. Коэф-
фициент постели упругого основания с(х) считается стацио-
нарной случайной функцией, ординаты которой распределены
103
по нормальному закону. Штамп загружен равномерной на-
грузкой (рис. 67). Для полного статистического описания
функции с(х) при сделанных предположениях достаточно знать
ее математическое описание и корреляционную функцию.
Предположим, что эти данные нам известны из экспериментов
Е J»OO
Рис. 67
с конкретным типом грунта и при этом математическое ожи-
Кс (Ах) = Ае , где А — дисперсия функции с(х); а —
параметр, определяемый из экспериментальных данных.
Поскольку рассматриваемый штамп является абсолютно
жестким, его перемещения могут быть представлены форму-
лой
у(х) =ах-}-Ь,
(4-6)
где а, b — случайные (вследствие случайной неоднородности
основания) величины.
Как будет показало ниже, можно приближенно считать,
что величины а, b имеют .нормальное распределение, а потому
и ординаты функции у (х) будут также распределены нор-
мально.
Следовательно, для .решения задачи необходимо устано-
вить средние значения а, Ь, а также их дисперсии.
104
Уравнения равновесия штампа на плоскости можно запи-
сать в виде
£У = 0, 2М0 = О
или в развернутой форме
с(х) (ax-f-b)dx = ql
О
(4.7)
~ ~ ~ ql2
1 с(х) (ах b)xdx = ~z~
О
Систему уравнений (4.7) можно переписать так:
- р -1 т 11 г qi8
а ---- v + b — В = ,
3 2 2
(4.8)
1 1 1
~ I 2х ~ ч J I Зх2
где а = j—c(x)dx, 0 = 1 -р- c(x)dx, у= I —р—
о О о
• c(x)dx.
Величины а, 0, у являются случайными, так как выража-
ются через определенные интегралы от случайной функции
с(х) с некоторым весом.
Так как операции нахождения математического ожидания
и интегрирования можно менять местами, получаем
«о
= М { а }<=
dx = Со.
105
Аналогично находим, что Ро = ?о = Со.
Поскольку корреляционная функция Кс (Ах) предполага-
ется заданной, то дисперсии величин а, 0, у, а также смешан-
ные дисперсии Da.3, Dap определяются по формулам
Da= "р* И Кс (х —х') dxdx';
00
11
-4— J J хх'Кс (х — х') dxdx';
00
11
= -р- х2х2Кс (х — х') dxdx';
00
. > (4-9>
Da'6= "jr jf хКе (х~ х')dx(1x';
0 0
3 се
Da^ = —— 11 х2Кс (х — х') dxdx';
оо
11
= — j j xx'2Kc(x— x') dxdx',
00
где Кс (x — x') = Ae—a *x — x l
Вычислим для примера Da . Так как подынтегральная
функция содержит множитель е~“|х -х |, необходимо изменить
порядок интегрирования следующим образом:
D
1
-а (к — x')dx' 4- J е-а(х'~х)
х'
dx' dx
9А
—--(m } e“m
m2
106
Здесь m = al. Аналогичным образом вычисляются дисперсии
остальных величин:
Ds= — + 2 — 2(1 +m)e”ml;
т4 L 3 J
9А г 2 4
D = Нг т5-т4+ Лщ’-8 + 4(2 +
1 т* L 5 3
+ 2т + rn2)e~m I;
Da?- (гп + с -">-1); (4.10)
та
Daf —
ЗА
т4
2
~z~ т3 — т2 (1 + е т) + 2т (1 + е ' т)—
О
— 4(1 —е-т) ];
6А
Dflf ~ ,
П т3
т2 — т + 1 — е т
Решая систему (4.8) относительно искомых величин а, Б,
получаем
a — Р 6g .
4ay — Зр2 1
47- зр п
ь = —~ч-
4ау — Зр2
(4.И)
Как видно из. полученных формул, величины а и Б связаны с
а, (Г 7нелинейными зависимостями. Для того, чтобы полу-
чить вероятностные характеристики величин а и b по извест-
ным вероятностным характеристикам а, р, у, можно прибег-
нуть к известным численным методам (-например, методу
Монте-Карло). Однако возможен и другой приближенный
107
подход, состоящий в линеаризации зависимостей (4.11). Ис-
пользуя разложение правых частей формул (4.11) в ряд Тей-
лора в окрестности средних значений и считая, что отклонение
значений "a, fry' от их средних невелики, получим
а=-^-(а-Р). Ь = -ГЧ----Д- (4а —Зр —Со). (4.12)
С021 Со Со
Математические ожидания величин а и b вычисляются
обычным способом и оказываются равными
м{^) = -§ч(«о-?о) = О; (4.13)
Эти формулы показывают, что рассматриваемый штамп
«в среднем» будет перемещаться поступательно, не поворачи-
ваясь, и глубина его осадки будет равна той, которая имела
бы место, будь основание однородным -с коэффициентом посте-
ли Со. Поскольку приближенные зависимости (4.12) линейны,
а величины а, 0 распределены нормально, то и величины а,Ь
также 'распределены по нормальному закону. Отсюда, кстати,
следует, что ординаты функции у(х) также имеют гауссовское
распределение.
Формулы для дисперсий величин а, b имеют вид
D‘ =-^(D»-2D-? + Ds) =
О1
= 72Aq- 4— m1 + — m’— (4 + 4m + m2) e—m
C40l2m‘ [ 3
Db =-^9- Г18 —5m2 + 2m2 —
b C40m4 I
— (18 +18m + 4m2) e'"1
После того, как математические ожидания и дисперсии ве-
личин а и b определены, не представляет труда определить
108
вероятностные характеристики функции у(х):
М (у(х)} аох + Ьо — £ ; D | у (х)|
x2Da + 2xDab + Db.
(4.15)
Ясно, что в связи с симметрией задачи, дисперсии переме-
щений точек, равноотстоящих ют концов штампа, должны быть
одинаковыми. В. частности, должны быть одинаковыми дис-
персии перемещений концов штампа. Отсюда следует,
что
Dab — 2 D<r
По формуле
Dy= (х2 —xl)Da d-Db,
учитывая, что Da и Db найдены ранее, можно подсчитать дис-
персию перемещения штампа в любой точке.
Значительно больший интерес, чем определение статисти-
ческих характеристик функции у(х), представляет определе-
ние средних значений и дисперсий усилий, 'возникающих в
штампе.
Изгибающий момент в произвольном сечении х равен
х
M(x)=J P(l)(x-B)d£--^-, P(l) = (ag + b)c~(g).
(4.16)
В развернутом виде эта формула выглядит следующим об-
разом:
М(х) =bx2ax L ----------)Тх— -^-Тх—
\ 2 2 ) 3 2
(4.17)
X X
~ Г 1 ~ f 2 =* =><
где ах — I —c(g)d£, 0Х - | — gc(g)dg, ух —
|х х2
и о
g2c(£)dg.
109
Математические ожидания и дисперсии величин ах, рх,
ух определяются .по формулам, аналогичным (4.10).
Если считать, что отклонения величин М(х) от среднего
значения невелики, то зависимость (4.17) можно линеаризо-
вать:
М(х) = ах-4-ЗЬ + -^-£—
6 \ С2о
3q_
С20 Со /
(4.18)
Так как а, Ь, ах, 0Х 'распределены нормально, то и орди-
наты функции М(х} также имеют нормальное распределение,
и, следовательно, для толпой статистической характеристики
функции М(х) не нужно ничего, кроме математического ожи-
дания «и дисперсии.
Математическое ожидание М(х) получается, очевидно,
равным нулю, а дисперсия определяется формулой
q’x*
М(х) ~ 4С02
4(z - 2)2Da - 4 (z - 2) (2z - 3) Da3
4- (2z - 3)2Dg -j-4Dax - 4Dax?x + 4D?X |- 8 (z - 2)Daax -
- 4 (z - 2) Da3x - 4 (2z - 3) D?ax -1- 2 (2z - 3) D??x], z = x/1.
(4.19)
He представляет труда, следуя изложенной 'методике, по-
лучить формулы для математического ожидания и дисперсии
поперечной силы в произвольном сечении штампа.
Как это ясно из предыдущего, основные расчетные фор-
мулы были получены на основе линеаризаций выражений для
величин а, b и изгибающего момента. В связи с этим >в неко-
торых работах высказывались .сомнения в правомерности та-
кого подхода и степени точности полученных результатов.
Однако проверка на конкретных примерах данной методики
путем сравнения ее с точными численными методами пока-
зала вполне удовлетворительное совпадение результатов.
Например, решение задачи о штампе длиной I = 20 м, за-
груженного нагрузкой q = 70 т/м и лежащего на упругом осно-
вании с характеристиками
Со = 1500 т/м2, Кс(х — И = 40 000е“005(1х“х'1,
НО
дает по изложенной методике в среднем сечении штампа сле-
дующее значение дисперсии изгибающего момента:
DM| 1 =0,84q2 и, следовательно, стандарт
OnzrjA0,84 q2 = 646 кН • м.
Этот же пример был просчитан на ЭЦВМ без применения
линеаризации, а непосредственно с помощью метода Монте-
Карло. При этом получились следующие результаты:
при h = 0,5 и N = 900 ом = 596 кН«>м;
при h = 0,0625 и N = 1600 ам = 644 кН«м,
где h — шаг интегрирования; N — объем выборки.
Легко видеть, что при h = 0,0625 и N = 1600 наблюдается
практически полное совпадение с полученным аналитическим
решением.
Весьма интересны выводы,, получающиеся при статистиче-
ском подходе к расчету штампов: так, в рассмотренном при-
мере изгибающий момент в середине пролета с вероятностью
0,997 лежит -в интервале ± 1932 кН Если же по существую-
щим нормам рассчитать 20-метровый отсек крупнопанельного
здания, рассматривая его как жесткий штамп, и допустить, что
коэффициент постел'и подстилающего грунта меняется от зна-
чения 1000 кПа до значения 2000 кПа по симметричному пара-
болическому закону, то окажется, что максимальное значение
изгибающего момента в середине штампа равно ±5600 кН • м,
т. е. примерно в 3 раза больше, чем при статистическом под-
ходе. Этот результат указывает на большие резервы прочно-
сти конструкций, которые могут быть вскрыты при помощи
новых прогрессивных моделей упругого основания, основан-
ных на статистических представлениях о характере неодно-
родности грунта.
§ 3. Основные задачи, стоящие в области расчета
сооружений на деформируемом основании
Из приведенного краткого обзора основных расчетных мо-
делей деформируемого основания и базирующихся на этих
моделях методах расчета балок и плит можно заключить, что
теория конструкций на податливом основании еще далека от
своего полного завершения. Как отмечалось выше, применяе-
мые для расчета модели оснований имеют существенные недо-
статки, относящиеся, в первую очередь, к априорности опре-
Ш
деления основных параметров этих моделей, таких, как тол-
щина сжимаемого слоя, значение коэффицентов постели, зна-
чение и закон изменения -модуля деформации основания и т. д.
Нельзя считать совершенными и те методы, которые применя-
ются для расчета современных сложных пространственных
конструкций, взаимодействующих с грунтовым основанием.
В результате этого перед теорией расчета сооружений на де-
формируемом основании стоит ряд серьезных проблем, наибо-
лее существенными из которых являются: уточнение расчетных
схем основания в смысле сближения их с действительностью
и разработка таких методов расчета сложных пространствен-
ных конструкций, которые позволят учесть все основные фак-
торы, влияющие на работу-сооружения.
В отношении уточнения расчетных моделей деформируе-
мого «основания и приближения их свойств к действительным
физико-механическим свойствам природных грунтов можно
полагать, что это позволит сделать учет нелинейного поведе-
ния грунта под нагрузкой и учет возможности появления в
нем зон пластических деформаций, учет неоднородности и
анизотропии грунта, изменения свойств грунта во времени
и, наконец, дискретности его структуры. Исследования в этом
направлении «ведутся, и некоторые из -них были отмечены
выше. Однако перед исследователями здесь развертывается
широкий круг вопросов как теоретического, так «и практиче-
ского характера. Еще недостаточно изучены физически и кон-
структивно нелинейные задачи, практически отсутствуют ре-
шения геометрически нелинейных задач. Учет пластических
деформаций в грунте, снимающий бесконечно большие напря-
жения у «краев фундамента, обусловленные решением теории
упругости, производится еще при помощи приближенных при-
емов. В строгом решении здесь должна была бы рассматри-
ваться смешанная задача, учитывающая наличие в трехмер-
ном или двумерном теле областей как упругих, так и пласти-
ческих деформаций, определяемых по теории предельного
состояния грунтовой среды. Лишь в единичных работах с по-
зиций теории ползучести анализируется изменение свойств
грунта во времени и связанное с этим обстоятельством пове-
дение конструкции. Пока чисто теоретический интерес пред-
ставляют исследования, в которых грунт рассматривается как
дисперсное тело.
Для уточнения расчетных моделей деформируемого осно-
вания чрезвычайно велико значение экспериментальных ис-
следований, количество которых в настоящее время мало по
сравнению с количеством теоретических работ. Между тем,
П2
именно экспериментальные исследования могут внести ясность
в определение основных характеристик расчетных моделей
основания и уточнить область применения тех или иных моде-
лей. Немаловажно и значение натурных наблюдений за суще-
ствующими сооружениями и связанное с ними накопление
статистических данных, которые позволят более широко при-
менять для реальных расчетов теорию вероятностей и стати-
стически неоднородные модели оснований. Как отмечалось
выше, стохастический подход к описанию работы сооружений
на деформируемом основании начал применяться сравни-
тельно недавно, и здесь перед исследователями развертыва-
ется широкое поле деятельности.
Останавливаясь на вопросе развития методов расчета са-
мих сооружений, расположенных на податливом основании,
следует заметить, что здесь большое значение имеет проблема
учета совместной работы фундамента с конструкцией здания.
Проблема эта достаточно сложна и решение се потребует, по-
видимому, некоторого времени. Появившиеся в этом направ-
лении первые работы показывают, что действительное напря-
женно-деформированное состояние сооружения имеет иногда
качественно иной характер по сравнению с тем, что дает тра-
диционный расчет балки или плиты.
Весьма существенным для уточнения расчетной схемы со-
оружения является учет нелинейных факторов, характеризу-
ющих его работу. В некоторых исследованиях, например, ра-
ботах В. И. Соломина, показано, что учет нелинейного поведе-
ния конструкции сказывается на результатах расчета несоиз-
меримо сильнее, чем учет нелинейности работы грунтового
основания.
Важным в практическом отношении вопросом является и
расчет сооружений, имеющих сложную конфигурацию в плане,
а также расчет неизолированных сооружений, удельный вес
которых в общем объеме конструкций на деформируемом ос-
новании чрезвычайно высок. Значительный интерес представ-
ляют и вопросы расчета фундаментов с учетом последова-
тельности возведения сооружения.
В пособии были рассмотрены лишь вопросы расчета соору-
жений, подверженных действию статических нагрузок. Бо-
лее сложной и значительно менее разработанной является
область динамики балок и плит на деформированном основа-
нии. Даже в классической постановке здесь решен пока огра-
ниченный круг задач, а по отмеченным, выше сложным проб-
лемам имеются лишь единичные работы. Недостаточно раз-
вита и теория расчета сооружений на тепловые воздействия.
113
Между тем, эта проблема приобретаем особое значение для
развития строительства в зонах вечной мерзлоты, занимающих
обширные области Советского Союза.
В заключение заметим, что успешное решение перечислен-
ных проблем и получение более простых результатов для изу-
ченных ранее задач в значительной мере зависят от разра-
ботки аналитических и численных математических методов
расчета, способных обеспечить необходимую надежность соо-
ружения «а деформируемом основании и достаточно простых
и удобных для широкого применения в инженерной практике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А. В., Шапошников Н. Н. Об использовании дискретной
модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических
машин. — «Труды МИИТ», 1966, вып. 194.
2. Бабанов В. В. Расчет плит на упругом основании по дискретной
расчетной схеме. — В кн.: Техника. Сб. трудов. Л., 1973 (ЛИМИ).
3. Благонадежин В. Л., Кудрявцев Е. П. Статистическое исследование
деформаций песчаных оснований и трубопроводов. — В кн.: Доклады науч-
но-технической конференции по итогам НИР за 1964—1965 гг. М., 1966
(МЭИ).
4. Болотин В. В., Гольденблат И. И., Смирнов А. Ф. Современные про-
блемы строительной механики. М., Стройиздат, 1964.
5. Болотин В. В. Об упругих деформациях подземных трубопроводов,
прокладываемых в статистически неоднородном грунте.—«Строительная ме-
ханика и расчет сооружений», 1965, вып. 1.
6. Болотин В. В.. Статистические методы в строительной механике. М.,
Стройиздат, 1965.
7. Варвак А. П. Прямоугольные плиты на упругом основании перемен-
ной жесткости. — «Допов1д АН УССР», 1963, № 10.
8. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах теории упругости
и строительной механики. М., Стройиздат, 1975.
9. Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. М., Госстрой-
издат, 1958.
10. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом
основании. М., Физматгиз, 1960.
11. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Техническая теория расчета фунда-
ментов на упругом основании. — «Труды МИСИ», 1956, сб. «№’ 14.
12. Горбунов-Посадов М. И. Балки и плиты на упругом основании. М.,
Стройиздат, 1949.
13. Горбунов-Посадов М. И., Маликова Т. А. Расчет конструкций на
упругом основании. М., Стройиздат, 1973.
14. Горбунов-Посадов М. И. Современное состояние научных основ
фундаментостроения. М., «Наука». 1967.
15. Горбунов-Посадов М. И. Таблицы для расчета тонких плит на
упругом основании. М., Госстройиздат, 1959.
16. Горлов А. М., Серебряный Р. В. Автоматизированный расчет пря-
моугольных плит на упругом основании. М., Стройиздат, 1968.
17. Григорьев А. С. Изгиб балок на упругопластическом основании’ —
«Труды ЦАГИ», 1946, вып .600.
18. Дарков А. В., Кузнецов В. И. Основы расчета балок на упругом
основании. М., Трансжелдориздат, 1940.
19. Егоров К. Е. Контактные задачи для упругого слоя. — «ДАН»,
1960, т. 133, № 4.
20. Егоров К. Е. Распределение напряжений и перемещений в двуслой-
ном основании ленточного фундамента. — «Сб. трудов НИС треста глубин-
ных работ». 1939, № 10.
21. Жемочкин Б. Н., Синицин А. П. Практические методы расчета фун-
даментных балок и плит на упругом основании. М., Госстройиздат, 1947.
22. Игнатов В. П. Расчет прямоугольной плиты на статистически неодно-
родном основании. — Основания, фундаменты .и механика грунтов», 1970,
№ 1.
115
23. Ишкова А. Г., Коренев Б. Г. Изгиб пластинок на упругом и упру*
гонластнчсском основании. — «Труды II Всесоюз. съезда по теоретической
и прикладной механике 1964 г.». Вып. 3. М., «Наука», 1966.
24. Кадыш Ф. С. Сравнение результатов нагружения балок, лежащих
на упругом основании, с результатами расчета по трем расчетным моде-
лям. — В кн.: Вопросы динамики и прочности. Сб. трудов № 9. Рига, 1962,
АН ЛатвССР.
25. Кальницкий А. А., Пешковский П. М. Расчет и конструирование
железобетонных фундаментов гражданских и промышленных зданий и со-
оружений. М.. «Высшая школа», 1974.
26. Киселев В. А. Балки и рамы па упругом основании. М.—Л., Строй-
изд ат, 1936.
27. Китовер К. А. К расчету прямоугольных плит па упругом основа-
нии.— «Сб. трудов Ленинградского технологического ип-та», 1955, № 8.
28. Клейн Г. К. Расчет балок на линепно-деформируемом полупрост-
ранстве.— «Сов. метрополитен», 1940, «V? 12.
29. Клейн Г. К., Скуратов Л. Ф. Расчет балок па линейпо-деформиру-
смом основании. — В кн.: Строительная механика. М., Стройиздат, 1966.
30. Клейн Г. К. Учет неоднородности, разрывности деформаций и дру-
гих механических свойств грунта при расчете сооружений па сплошном
основании. — «Труды МИСИ», 1956, сб. № 14.
31. Клепиков С. Н. Расчет конструкций на упругом основании. Киев,
«Будивельник». 1967.
32. Коган Б. И. Давление жесткого штампа на двуслойное основа-
ние.— «Труды Харьковского автодор. ин-та», 1954, № 17.
33. Кононенко Е. С. О приближенном расчете прямоугольных плит на
упругом основании.- -В кн.: Исследования по теории сооружений. Сб. ста-
тен. Вып. 9. М., Госстройиздат. 1960.
34. Коренев Б. Г. Вопросы расчета балок и плит па упругом основании.
М., Госстройиздат, 1954.
35. Коренев Б. Г. Конструкции, лежащие па упругом основании. —
В кн.; Строительная механика в СССР. 1917—1967. М., Стройиздат, 1969.
36. Коренев Б. Г., Черниговская Е. И. Расчет плит на упругом основа-
нии. Пособие для проектировщиков. М., Госстройиздат, 1962.
37. Корунский В. С. Расчет прямоугольных плит, лежащих па упругом
основании. — «Труды Киевского автомобильно-дорожного ип-та», 1960,
вып. 7.
38. Кречмер В. В. Расчет и проектирование плоских железобетонных
фундаментов. Ч. 1. М.— Л., ОПТИ, 1936.
39. Крылов А. Н. О расчете балок на упругом основании. М., Изд-во
АП СССР, 1930.
40. Кузнецов В. И. Упругое основание. М., Стройиздат, 1952.
41. Леонтьев Н. Н., Атаров Н. М. К выводу дифференциальных урав-
нений равновесия упругого слоя грунта переменной толщины. — В кн.: Не-
линейные задачи строительных конструкций. Сб. трудов № 84, 86. М., 1970
(МИСИ им. В. В. Куйбышева).
42. Леонтьев Н. Н., Атаров Н. М. О расчете балок па многослойном
основании. — В кн.: Исследования по теории сооружений. Сб. статей.
Вып. 22. М., Стройиздат, 1976.
43. Леонтьев Н. Н. К вопросу расчета балок на упругом ортотропном
слое переменной или постоянной толщины. — Там же, вып. 24. М., Строй-
издат, 1977.
44. Леонтьев Н» Н. К решению плоской задачи теории упругости вари-
ационным методом Власова в матричной формулировке. — «Изв. высш,
учеб, заведений. Строительство и архитектура», 1970, № 1.
116
45. Леонтьев. М. Н. О расчете прямоугольной плиты на упругом осно-
вании.— Там же, № 6.
46. Л ишак В. В. Некоторые вопросы расчета конструкций крупнопанель-
ных зданий на неравномерные осадки основания. — В кн.: Работа конструк-
ций жилых зданий из крупноразмерных элементов. М., Госстрой изд ат, 1963.
47. Ломакин В. А. О деформировании микронеоднородных тел. —
«Прикладная математика и механика», 1965, т. 29, вып. 5.
48. Ломакин В. А. О теории деформирования микронеоднородных тел
и ее связи с моментной теорией упругости. — Там же, 1966, т. 30, вып. 5.
49. Ломакин В. А. Плоская задача теории упругости микронеоднород-
пых тел. — «хМсханика твердого тела», 1966, № 3.
50. Манвелов Л. И., Бартошевич Э. С. О выборе расчетной модели
упругого основания. — «Строительная механика и расчет сооружений»,
1961, № 4.
51. Манвелов Л. И., Бартошевич Э. С. Расчет прямоугольной плиты на
упругом основании. — Там же, 1963, № 5.
52. Мещеряков Ю. М. Перечень опубликованных в Советском Союзе
работ по расчету плит и балок на сжимаемом основании. Обзор за 1917—
1967 годы. М., 1967 (ПИИОСП),
53. Палатников Е. А. Прямоугольная плита на упругом основании. М.,
Стройиздат, 1964.
54. Пастернак П. Л. Основы нового метода расчета фундаментов на
упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М., Госстрой-
нздат, 1954.
55. Пастернак П. Л. Статическая теория гибких балок и плит на упру-
гом основании. — «Бетон и железобетон», 1926, № 9, 10.
56. Попов Г; Я. Пластинки на линейно-деформируемом основании. Об-
зор.— «Прикладная математика и механика», 1972, ЛЬ 8.
57. Портаев Л. П., Родионова 3. Н. К расчету балок, лежащих на грун-
товом основании, непрерывно неоднородном по глубине. — ЦИНИС, ПТЛ,
разд. Б, вып. 7, ЛЬ 435, 1977 (деп.).
58. Раппопорт Р. М. Некоторые вопросы расчета слоистых оснований и
конструкций гидротехнических сооружений методами математической тео-
рии упругости. Автореф. дис. на соиск. учен, степени докт. техн. наук. Л.,
1967 (ЛИСИ).
59. Сергеев Д. Д. О деформативности крупнопанельных зданий.—
В кн.: Вопросы проектирования и защиты зданий и сооружений от влияния
горных выработок. М., Стройиздат, 1961.
60. Симвулиди И. А. Расчет балок на сплошном упругом основании. М.,
«Сов. наука», 1958.
61. Синицин А. П. Расчет балок на упругом полупространстве за пре-
делом упругости. — В кп.: Исследования по теории сооружений. Сб. статей.
Вып. 9. М., Госстройиздат, 1960.
62. Синицин А. П. Расчет балок и плит на упругом основании за пре-
делом упругости. Пособие для проектировщиков. М., Стройиздат, 1964.
63. Смирнов А. Ф., Александров А. В. Расчет сооружений с примене-
нием вычислительных машин. М., Стройиздат, 1964.
64. Соболев Д. Н. К задаче о штампе, вдавливаемом в статистически
неоднородное упругое основание. — «Строительная механика и расчет со-
оружений», 1968, ЛЬ 2.
65. Соболев Д. Н. К расчету конструкций, лежащих на статистическом
неоднородном основании. — Там же, 1965, ЛЬ 1.
66. Соболев Д. Н. К расчету конструкций, лежащих на статистически
неоднородном основании, при помощи модели с двумя коэффициентами по-
стели.— Там же, 1975, ЛЬ 3.
117
67. Соболев Д. Н. Практический метод определения расчетных усилий
в крупнопанельных зданиях на неоднородных основаниях. — В кн.: Стати-
ческие расчеты крупнопанельных зданий. М., Госстройиздат, 1963.
68. Соболев Д. Н. Применение теории случайных функций к решению
некоторых контактных задач. — В кн.: II Всесоюз. съезд по теоретической
и практической механике. Тезисы. М., 1964.
69. Соболев Д. Н., Шейнин В. И., Фаянс Б. Л. К расчету плит на ста-
тически неоднородном основании. — «Строительная механика и расчет
сооружений», 1968, № 3.
70. Справочник проектировщика (расчетно-теоретический). М., Гос-
стройиздат, 1960.
71. Уманский А. А. О расчете балок на упругом основании. М., Строй-
издат, 1933.
72. Филоненко-Бородич М. М. Простейшая модель упругого основания,
способная распределять нагрузку. — «Труды МЭМИИТ», 1945, вып. 53.
73. Флорин В. А. Расчеты оснований гидротехнических сооружений. М.,
Стройиздат, 1948.
74. Черкасов И. И. Механические свойства грунтовых оснований. М.,
Автотрансиздат, 1958.
75. Черниговская Е. И. Расчет балок и плит, лежащих на упругом ос-
новании, с учетом явления отрыва их от основания. — «Труды ЦНИИСК»,
1961, вып. 2.
76. Шапошников Н. Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного
элемента. — «Труды МИИТ», 1968, вып. 26.
77. Шехтер О. Я. О влиянии мощности слоя на распределение напря-
жений в фундаментной балке. — «Сб. науч.-исслед. сектора треста глубин-
ных работ», 1939, № 10.
78. Шиванов В. Н. Основная библиография по расчету балок -и плит,
лежащих на упругом основании. Обзор. Горький, 1974.
79. Юсупов А. К. Распределение напряжений в упругой полуплоскости
с квазистациопарным по глубине модулем упругости. — «Строительная ме-
ханика и расчет сооружений», 1971, № 1.
80. Юсупов А. К., Соболев Д. Н. Изгиб балки на нелинейном статиче-
ски неоднородном основании. — Там же, 1975, № 5.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение 3
Глава 1. Методы расчета балок и плит, базирующиеся на гипотезе
коэффициента постели...........................................6
§ 1. Гипотеза уравновешивания и модель упругого осно-
вания, характеризуемая коэффициентом постели . . 6
§ 2. Дифференциальное уравнение изгиба балки и его
интеграл...............................................9
§ 3. Метод П. Л. Пастернака . 15
§ 4. Метод начальных параметров ... . . 22
§ 5. Недостатки гипотезы коэффициента постели и область
се практического применения . . . . 26
§ 6. Дифференциальное уравнение изгиба плиты, отнесен-
ной к прямоугольной системе координат 27
Глава 2. Расчет балок и плит на упругой полуплоскости и на упру-
гом полупространстве............................... 29
§ 1. Модель упругого основания в виде упругой полуплос-
кости и упругого полупространства . 29
§ 2. Понятие о методе М. И. Горбупова-Посадова 34
§ 3. Метод Б. Н. Жемочкина — А. П. Синицина . 37
§ 4. Другие методы расчета. Недостатки гипотезы упругого
полупространства......................................48
Глава 3. Другие модели упругого основания, используемые для рас-
чета сооружений...............................................52
§ 1. Модели упругого слоя и упругого полупространства с
переменным по глубине модулем деформации . 52
§ 2. Комбинированная модель И. Я. Штаермана — А. П. Си-
ницина и модель, характеризуемая переменным коэф-
фициентом жесткости...................................58
§ 3. Модель упругого основания с двумя коэффициентами
постели.............................................. 64
§ 4. Учет анизотропии и неоднородности грунта. Много-
слойная модель упругого основания . 79
Глава 4. Учет нелинейных и случайных свойств деформируемого осно-
вания ........................................................94
§ 1. Понятие о нелинейных моделях деформируемого осно-
вания ......................................... 94
§ 2. Стохастические модели упругого основания . 98
§ 3. Основные задачи, стоящие в области расчета соору-
жений па деформируемом основании . 111
Литература . .115
119
Николай Николаевич Леонтьев, Андрей Николаевич Леонтьев,
Дмитрий Николаевич Соболев, Николай Николаевич Анохин
ОСНОВЫ ТЕОРИИ БАЛОК И ПЛИТ
НА ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ
Учебное пособие
Редактор Л. В. Иванкова
Технический редактор Е. Ю. Струева
Корректор М .В. Гвоздиевская
Л-93931 Сдано в набор 2/VI 1980 г. Подписано к печати 17/1II 1982 г.
И-454 Объем 5 уч.-изд. л. Тираж 1000 Заказ 466 Цена 50 к.
Типография МИСИ им. В. В. Куйбышева