/
Текст
Т. А. ТАТУР
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
(СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ)
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов
высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1980
ББК 31.21
Т12
УДК 621.3.01
Рецензенты:
кафедра ТОЭ ЛЭТИ (зав. кафед- зав. кафедрой ТОЭЭФ МЭИ
рой проф. Матханов П. Н.) проф., докт. техн, наук И о н -
кин П. А.
Татур Т. А.
Т12 Основы теории электрических цепей (справочное посо-
бие): Учеб, пособие. — М.: Высш, школа, 1980. — 271 с., ил.
В пер.: 80 к.
Книга состоит из двух частей: линейные электрические цепи и нелинейные элект-
рические цепи. Методы анализа и синтеза, как правило, сопровождаются алгорит-
мами расчета и иллюстрирующими примерами. Материал для наглядности пред-
ставлен в основном в виде таблиц.
Предназначается для студентов электротехнических специальностей вузов.
30306—289
Т — 282-80 2302000000
001(01)—80
6П2.1
ББК 31.21
© Издательство «Высшая школа>, 1980
Условные обозначения основных величин*
Е — действующее значение
э. д. с., постоянная э. д. с.
(/ — действующее значение
напряжения, постоянное
напряжение
Um — амплитудное значение
напряжения
U — комплексное действую-
щее напряжение
Um — комплексная амплитуда
напряжения
« — мгновенное значение на-
пряжения
(/0, Ulf U2 —нулевая, прямая и об-
ратная составляющие не-
симметричной трехфаз-
ной системы напряжений
(7а, (/р —активная и реактивная
составляющие напряже-
ния
постоянный ток
I — переменный ток
1т — амплитудное значение
тока
/ — комплексный действую-
щий ток
1т- комплексная амплитуда
тока
/а, /р—активная и реактивная
составляющие тока
I А> I Bi — токи соответственно в фа-
Iq,In зах Л, В, С и в нейтраль-
ном проводе трехфазной
системы цепей
/св—свободная составляющая
тока
/ — мгновенное значение
тока
Г — максимальное значение
Шал
тока
// — переходный ток
/оо — мгновенное значение тока
спустя бесконечно большой
интервал времени
ф —сдвиг фаз между напряже-
нием и током
Р — активная мощность
Q —реактивная мощность
S —полная мощность
S—комплексная мощность
Z —комплексное сопротивление
R — сопротивление электрическое,
активное сопротивление
Rm — магнитное сопротивление
Z —сопротивление полное
Zc —сопротивление волновое, ха-
рактеристическое
х — реактивное сопротивление
7?дин~ динамическое сопротивление
/?ДИф —дифференциальное сопротив-
ление
У— комплексная проводимость
У —полная проводимость
G —активная проводимость
В —реактивная проводимость
Q—электрический заряд
Q—добротность
Я —передаточная функция
Г —постоянная передачи четы-
рехполюсника
А—постоянная ослабления четы-
рехполюсника
В —постоянная фазы четырехпо-
люсника
В (р) —операторные величины
Фь Ф5 —магнитный поток, поток рас-»
сеяния
¥ — потокосцепление
V—постоянная распространения
* Условные обозначения даны по ГОСТ 1494—77»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое пособие представляет собой краткое без математических выводов
и теоретических обоснований систематизированное изложение основных положений
и закономерностей теории электрических цепей.
Содержание книги охватывает более широкий круг вопросов, чем это предус-
мотрено программой курса «Теоретические основы электротехники» для электро-
технических специальное гей вузов. Подробно описаны цепи с емкостными элемен-
тами при постоянном напряжении; большое внимание уделено определению и
свойствам положительных вещественных входных функций двухполюсников,
а также необходимым свойствам параметров пассивного четырехполюсника при
его синтезе; даны несколько способов построения фазовых траекторий, таблица
основных аппроксимирующих функций и способы определения их коэффициентов;
рассмотрены девять методов расчета переходных процессов в нелинейных схемах;
изложены основные положения электрических цепей с переменными в зависимости
от времени параметрами.
При написании пособия автор руководствовался опытом, накопленным им
во время многолетнего преподавания курса «Теоретические основы электротехники»
в Московском энергетическом институте и в Московском институте электронного
машиностроения.
Автор благодарен докт. техн, наук, проф., зав. кафедрой ТОЭЭФ
Московского энергетического института П. А. Ионкину, докт. техн, наук, проф.м
зав. кафедрой ТОЭ Ленинградского электротехнического института П. Н. Матха-
нову, а также ст. преподавателю Ленинградского электротехнического института
А. С. Погодину за тщательное рецензирование рукописи.
Пожелания и замечания по книге просьба направлять по адресу: 103051„
Москва, К-51, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая школа».
Автор
Часть первая
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Глава 1
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 1.1. Топология (геометрия) электрической цепи
Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов, образующих
путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть
описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении.
Каждой реальной электрической цепи соответствует эквивалентная схема.
Схемой электрической цепи является графическое изображение электрической
цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее их соеди-
нение. В схему включают идеализированные элементы, которые являются матема-
тической моделью, описывающей физические явления в реальном элементе.
Геометрическая конфигурация схемы характеризуется понятиями ветвь, узел,
контур, граф, дерево графа и т. п.
Определение топологических элементов схемы Пример
Ветвь —участок электрической цепи, вдоль ко- торого протекает один и тот же ток
Узел—место соединения ветвей электрической цепи а ab, be, bd, ad, cd—ветви a, b, c, d —узлы
Контур —любой замкнутый путь, образованный ветвями и узлами adb, abed, dbc
Граф — изображение схемы электрической цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками — ветвями графа, а узлы—точками —узлами графа b£
a
Определение топологических элементов схемы
Дерево — любая совокупность ветвей графа, сое-
диняющих все узлы графа без образования кон-
туров
Пример
§ 1.2. Эквивалентные схемы источников электрической энергии
Источник энергии
Эквивалентная схема
Внешняя вольт-амперна
характеристика
Источник э. д. с. Е.
Характеризуется э. д. с. Е и
внутренним электрическим со-
противлением /?вт
Идеальный источник э. д. с. Е.
Имеет внутреннее сопротив-
ление, равное нулю: /?вт = 0
Идеальный источник тока J.
Имеет внутреннее сопротив-
ление, равное бесконечности
Напряжение не зависит
от тока
§ 1.3. Эквивалентные преобразования источников электрической энергии
Вид преобразования
Исходная схема
Эквивалентная схема
Источника напряжения Е в
квивалентный источник тока J
Источника тока J в эквива-
лентный источник напряжения Е
Ветви с идеальным источни-
ком напряжения (э. д. с.) Е
Ветви с идеальным источни-
ком тока J
Источника тока J, подклю-
ченного к разным ветвям, в ис-
точник напряжения Е
।----------1
J=£/Z
§ 1.4. Преобразование схем с двумя узлами, содержащих источники
Вид преобразования
Исходная схема
Эквивалентная схема
Преобразование схемы с
параллельными ветвями, со-
держащими э. д. с.
2 ук
Л=1
п
^ек= У! Л
k=-. 1
Замена параллельных вет-
вей одной активной ветвью
Р Ё{Уг-Ё2У2
эк“Х1+К2+Гз
Положительное напра-
вление Ё9К совпадает с
направлением Ёк
§ 1.5. Основные свойства’и теоремы линейных электрических цепей
В этом параграфе рассмотрены основные свойства и теоремы линейных цепей:
свойство наложения, свойство взаимности, свойство линейности, теорема компен-
сации, теорема вариации, теорема об эквивалентном источнике. Кроме того,
приведены выражения для входных и взаимных проводимостей и сопротивлений,
8
Свойство наложения
1. Ток в k-н ветви входящей
голько в один контур, равен ал-
гебраической сумме токов, вызы-
ваемых в этой ветви каждой э. д. с.
:хемы Ei в отдельности (в цепях
без взаимной индукции)
п п
i хз= 1 i = 1
_?12 •• • Zin
Где Yki — ^k№z> &z ~~ ?21 ^22 •' ’• Zin
Z/11 Zn2 •• • Znn
определитель системы; Д&4- — алгебраическое
дополнение, полученное из определителя Д^
вычеркиванием &-го столбца и ьй строки и
умножением на (—1)л+/; /^ — собственное
сопротивление &-го контура; Z^- —общее со-
противление &-го и t-го контуров
2. Потенциал любого узла ф& ли-
нейной электрической цепи являет-
ся алгебраической суммой потен-
циалов, создаваемых в этом узле
каждым из источников тока J i в
отдельности
2 -/Aw’
1 = 1
Гп Г12. •• Г,-1
где Дм= Х^21 Y.22 • •• Yiq-1 — опреде-
Yq-1,1 •< •• Yiq-l) tq-1)
3. При наличии в схеме источ-
ников э. д. с. Ei и источников то-
ка Jm ток в любой ветви равен
сумме токов, протекающих в этой
ветви под действием каждого ис-
точника э. д. с. и тока в отдель-
ности
литель системы; —собственная узловая
проводимость &-го узла, равная сумме про-
водимостей ветвей, присоединенных к узлам
& и G Ykl— общая узловая проводимость,
равная сумме проводимостей ветвей, соеди-
няющих узлы k и i
п т
4= 2 2
i = l z=i
где = при Ei = E2 = ...=£„=0.
Входная проводимость ветви Ykk численно
равна току в k-и ветви, возникающему под
действием э. д. с. в этой ветви, равной 1 В
при отсутствии источников в других ветвях.
Если все э. д. с., за исключением Ё*,
постоянны, а э. д. с. Ek меняется, то вход-
ная проводимость равна отношению измене-
ния тока Д/\ к изменению э. д. с. ДЁ^:
Ym — /?/
где Y_ki = ik!Ei при Ё1 = Ё2 = ... = Ё„ = 0.
Взаимная (передаточная) проводимость Ykl
ветвей k и i численно равна току, протекаю-
щему в ветви k под действием э. д. с., вклю-
ченной в ветвь i и равной 1 В. Проводи-
мость Ykl отрицательна, если э. д. с Ё/
вызывает ток, не совпадающий по направле-
нию с произвольно выбранным направлением
тока в k-н. вегви
Свойство взаимности
Если единственный в схеме ис-
точник э. д. с., включенный, на-
пример, в k-ю ветвь Ek, приводит
к возникновению тока (напряже-
ния) в 1-й ветви то тот же ис-
точник э. д. с. Ei = Ek> включен-
ный в i-ю ветвь, создает в k-и
ветви ток Ik^li (напряжение
Uk = Ui)
Свойство линейности
При изменении э. д. с. (тока)
источника или сопротивления в
одной ветви справедливы линейные
соотношения между токами и на-
пряжениями любых ветвей
Yik — Yki (hik—hki),
так как =
Такие схемы называют, взаимными. Дл^
взаимных схем /k!Ii = &i!Ёk
1 т = а + Ъ1 п>
tfm=a'+b'Un; Um=a"+b"tn.
Коэффициенты а, а', а", Ь, Ь", Ь' опреде
ляют опытным путем по двум режимам схем!
Теорема о компенсации
1. Ток в электрической цепи не
изменится, если сопротивление пас-
сивного элемента в ней заменить
источником э. д. с., величина э. д. с.
которого равна напряжению на
этом элементе и направлена на-
встречу току в нем: E = 1Z.
2. Изменение тока А/ при изме-
нении сопротивления на AZ будет
таким же, если вместо AZ вклю-
чить э. д. с. E = hZl, э. д. с. ко*
торого направлена навстречу току /
Теорема вариации или теорема о
взаимных приращениях
Устанавливает связь между при-
ращением тока А/т или А/п при
изменении сопротивления в /п-й
ветви от 0 до AZm. При изменении
сопротивления /n-й ветви от Zm до
Zm + AZm входные Ymm и взаим-
ные Ynm проводимости, а также
ток lmk определяют, как и при
AZm=0
А/
^ZrrJmk лл
14-AZ^y^^ ~тт'
1 “ 43 ~тп1 тт
mk у
\+^.тУтт-Пт^
ГДрУтт — Ynm — ^nl^Um\ ^rnk~~
ток в /n-й ветви при Zm = 0
т
мп=
Теорема об эквивалентном источ-
нике напряжения*
Активный двухполюсник по от-
ношению к рассматриваемой ветви
можно заменить эквивалентным
источником напряжения, э. д. с.
которого равна напряжению холо-
стого хода на зажимах этой ветви,
а внутреннее сопротивление —вход-
ному сопротивлению двухполюс-
ника
£ = £4 = <Ра-Фб
Теорема об эквивалентном источ-
нике тока (теорема Нортона)
Активный двухполюсник по от-
ношению к рассматриваемой ветви
можно заменить эквивалентным ис-
точником тока, ток которого равен
гоку в этой ветви, замкнутой на-
коротко, а внутренняя проводи-
мость источника —входной прово-
димости двухполюсника
— »^аКвх/(Квх “Ь Кн)
§ 1.6. Дуальные элементы и схемы
Два элемента электрической цепи называют дуальными, если уравнение и (i)
одного элемента по форме аналогично уравнению i(u) другого элемента. При
этом устанавливается соответствие между сопротивлением резистора R и проводи-
мостью резистора G, индуктивностью катушки L и емкостью конденсатора С,
источниками э.д.с. Е и тока J.
Дуальные элементы
Дуальные элементы
* Эту теорему также называют теоремой об активном двухполюснике или теоремой
Гельмгольца—Тевенена.
Две планарные электрические схемы называют дуальными, если уравнения
составленные по методу контурных токов для одной схемы, аналогичны уравне
ниям, составленным по методу узловых потенциалов другой схемы. В этом слу-
чае контурная матрица одной схемы совпадает с узловой матрицей другой схемь
(и наоборот).
Для дуальных схем уравнения, полученные по первому (второму) закону
Кирхгофа для одной схемы, совпадают с уравнениями, составленными по вто*
рому (первому) закону Кирхгофа для другой схемы.
Дуальные схемы
е(0 = Е«л
e(0=w+LJ« +
t
J (t) = G'u + C' + р j udt;
— ОО
(второй закон Кирхгофа)
(первый закон Кирхгофа)
§ 1.7. Алгоритм графического построения дуальной планарной схемы
1. Задаются положительными направлениями контурных токов независимых
контуров.
2. Внутри каждого независимого контура, а также вне схемы наносят точки,
соответствующие узлам дуальной схемы.
3. Полученные точки соединяют линиями (ветви дуальной схемы). Каждая
линия пересекает один элемент смежной ветви.
4. Пересеченные элементы заменяют дуальными элементами, включенными
между узлами дуальной схемы (см. § 1.6).
Если направление э. д. с. совпадает с положительным направлением контурного
тока, то дуальный источник тока направлен к узлу, находящемуся в этом контуре,
и численно равен величине э. д. с.
Дуальные элементы численно равны (пропорциональны).
§ 1.8. Электростатические схемы
В этой главе рассмотрены схемы, составленные из источников постоянных
э. д. с., резисторов и идеальных конденсаторов. В идеальных конденсаторах сопро-
тивление мевду обкладками практически равно бесконечности и поэтому в уста-
новившемся режиме эти элементы препятствуют прохождению постоянного тока.
В таком режиме при постоянных э. д. с. напряжения и заряды на конденса-
торах распределяются в зависимости от величин их емкостей. Формально можно
провести аналогию между величинами и законами, характеризующими схемы
постоянного тока и электростатические схемы.
Схема постоянного тока, параметры и законы Электростатическая схема, параметры и законы Схема постоянного тока, параметры и законы Электростатическая схема, параметры и законы
г C^lfR i, G=l//?, U, E и Q, С, U, Е -<4 v Первый закон Кирхгофа Е/*=0 Закон сохранения заряда
Закон Ома 1 = GU Закон Ома d=cu Второй закон Кирхгофа Второй закон Кирхгофа
Вид соединения
(преобразования)
Последователь-
ное соединение
С% Cj
«Г JLJF
и
1/^ = 1/^ +1/С2 + 1/Сз;
Q = Q1 = Q2 = Q3;
#9K = ^i + /?2 + #3;
/ = /1=/2 = /3;
С/ = С/14“^2“1”^3
Параллельное
соединение
КЭК=Ш(/Ш2);
j ^2 . г _ т
Kl + R2’ 2" Я1 + Я2
£эк— £14“£г; Qi—£itf;
Q2 = £2^
Преобразование
соединения
треугольником
в звезду
Преобразование
соединения
звездой в тре-
угольник
Применяют круговую замену индексов
Применяют круговую замену индексов (см. § 1.16)
§ 1.9. Методы расчета электростатических схем
В результате расчета схем с емкостными элемен-
тами при постоянном напряжении определяют заряды
Q и напряжения U на них.
Методы расчета схем постоянного тока распро-
страняются на емкостные схемы при постоянном на-
пряжении.
Пример. Определить заряды и напряжения на
емкостных элементах (рис. 1.1) по законам Кирхгофа,
методом контурных зарядов и узловых потенциалов.
Рис, 1.1
Решение.
Метод Уравнения для определения зарядов и потенциалов
По законам Кирхгофа EQ=O, E£ = EQ/C Узел а — Qe + + Q1 = 0; узел b — Qi+0г+Об=0; узел с — Q2—Оз+Qe=о Контур abda O = Q17^- + Q6-J Q4~; Cl Сб C4 контур bcdb -e3=qA—Q37J—Q67L; C2 C3 C5 контур adca £3+^6 = 04 7—НОз т~ + 0в 7г- C4 C3 Cg
Контурных зарядов Контур abda 0 = Qa + + — Qb~p Qc^~', \ '-'I ^4 Ьб ] Сб С4 контур bcdb — Е$ — Qa +Qb (р—Н г—F -р-~ Ос -р~; Сб \ С2 С3 С5 / с3 контур adca E3+Ee = -Qa-^ Q'+Qc(±+' + ''\ С»б С3 \ С>4 С3 Cq /
Узловых потенциалов Узел а Фа (^i + ^4 + Ce) —ф^Сх —фсСв = £'6Св; узел b — фа^х + ф& (Ci + + Сб) — фсс2 = 0; узел с — фа^в“фЛ + фс (Сг + Сз + Св) = — Принято ф^ = 0
§ 1.10. Основные величины, характеризующие гармонический ток
Гармоническим током называют переменный периодический ток, изменяю-
щийся во времени по синусоидальному (косинусоидальному) закону (рис. 1.2).
Мгновенное значение гармонического тока
i = lm sin((o/ + (p) = //w cos ((о/ + ф + 90°).
Основные величины
Обозначение и размерность
Амплитуда гармонического тока (напря-
жения, э. д. с.) —максимальное значение
функции
Период —время, за которое совершает-
ся одно полное колебание
Частота —число периодов в секунду
Угловая частота — скорость изменения
фазы тока (э. д. с., напряжения)
Фаза —аргумент синусоидального (ко-
синусоидального) тока, отсчитываемый от
точки перехода тока через нуль (макси-
мум) к положительному значению
Начальная фаза —значение гармониче-
ски изменяющейся величины в началь-
ный момент времени Z = 0
Среднее значение гармонически изме-
няющегося тока (напряжения, э. д. с.) —
значение, соответствующее положитель-
ной полуволне
U т» Ещ
1Ли1 = А, = [Ет] = В
Г, [Т] = с-х
f=l/T, [/] = Гц
G) = 2nf, [<л>]=С
При / = 50 Гц (0 = 314 с~1
(о/ + ф, [(о/ + <р] = рад
ф, [ф] = рад
Т/2
2 С 2
^ср = у \ Im sinco/d/ =
[/cpl = A;
2 2
^cp==:~^EZp = ~Em*9
[tfcp] = B, UFcpJ = B
Основные величины
Обозначение и размерность
Действующее значение гармонически из-
меняющегося тока (напряжения, э. д. с.)—
среднеквадратичное значение электриче-
ского тока за период
Ка = /т// = ^2
Коэффициент амплитуды — отношение
максимального (амплитудного) значения
тока (напряжения, э. д. с.) к действую-
щему значению
Коэффициент формы —отношение дей-
ствующего значения тока (напряжения,
э. д. с.) к среднему значению
Кф=///ср=л/2/2=1,11
§ 1.11. Комплексный метод
Расчет линейных электрических схем гармонического тока в установившемся
режиме аналогичен расчету электрических схем постоянного тока. В обоих случаях
составляют систему алгебраических уравнений по методам, основанным на законах
Ома и Кирхгофа.
Для схем постоянного тока уравнения составляют по действительным значе-
ниям напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей. В схемах же гармони-
ческого тока для алгебраизации интегрально-дифференциальных уравнений приме-
няют комплексные (символические) величины: 6/, /, Z = R + /X, У — G — jB. При
этом все параметры записывают в виде комплексных чисел в алгебраической
показательной или тригонометрической форме (см. § 1.13). При переходе от
интегрально-дифференциальных уравнений дифференцирование мгновенного значения
заменяют умножениехм /со на соответствующую комплексную величину, а интегри-
рование—делением комплексной величины на /со:
di . f С ... t
--зт-^/со/, \idt^~~
dt J /со ’
если i = Im l — lm sin (co/ + <p) или i = Re / =Im cos (co/ + <p).
Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неиз-
вестного комплексного параметра, например, тока / = /е/ф. При необходимости
совершают переход от комплексной величины к ее мгновенному значению.
§ 1.12. Алгоритм расчета комплексным методом
1. Мгновенные значения напряжений источников э. д. с., токов источников
тока заменяют соответствующими комплексными значениями, например, ц =
= Um sin (со/ + а) заменяют (7 = (/е/а, J = sin ((о/+Р) заменяют j =
2. Комплексные сопротивления Z/j = R^+/X^ или комплексные проводимости
Yk=\/Zk = Gfy — jBk всех ветвей схемы записывают в зависимости от выбранного
метода расчета.
3. Алгебраические уравнения составляют по выбранному методу (см. гл. 4)
и решают их относительно искомой комплексной величины, например, тока / =
4. При необходимости переходят к мгновенному значению i — 1^2 sin (а>/-f-<р).
§ 1.13. Комплексные числа
Комплексным числом называют сумму действительного и мнимого чисел,
например a-\-jb, где а и Ь —действительные числа; /=="К—1 —мнимая единица.
.Число а + /0 = а является действительным числом, а числоO + jb=jb — мнимым.
Мнимая единица обладает таким свойством, что /;=/2= —1; /3=—/ и т. д.
Два комплексных числа a + jb и c+jd равны, если равны их действительные
и мнимые части: а = с\ b = d. Два комплексных числа a-j-jb и a — jb называют
сопряженными. Комплексное число можно представить вектором на комплексной
плоскости, проведенным из начала координат 0 в точку Д (рис. 1.3).
Длину вектора, изображающего комплексное число, называют модулем этого
числа (A =\a-\-jb j= Ka2 + Z?2). Аргументом
комплексного числа а является угол между осью
действительных значений и вектором, изобра-
жающим комплексное число а = arctg b/a.
Умножение комплексного числа на ±/ озна-
чает поворот вектора против (по) часовой стрел-
ки на 90° без изменения его длины.
Комплексную величину, изображающую
гармоническую функцию времени, отмечают
точкой наверху (U, Ё, /, Ф и т. д.). Другие
комплексные величины подчеркивают снизу
(Z, К, у, Г и т. д.). Вещественная и мнимая части комплексной величины обо-
значаются следующим образом:
(J = + jU2 = Re U+j Im[7;
Г = А+/В = Ref-f-yimF,
Существует несколько форм записи комплексного числа.
Формы записи комплексного числа
алгебраическая | показательная | тригонометрическая
(j=Ux^iUi, Z=R+iX. й= Ueia; i = /е>₽; 2=2еЛ>. £/= (J cos а + jU sin а; Z = Zcosa+/Z sin а
Формы записи комплексного числа
алгебраическая | показательная тригонометрическая
Удобна при сложении и вычитании комплексных чисел: (j' = a + jb\ U" = c-jd; U' + U"=(a+c) + + i(b-d) Удобна при умножении, делении, извлечении корня и логарифмировании: /Z = /Ze/,P+(P|; = -- еи«~ф>; Z Z V~U^ja = Vu e/a/2; In 6/=ln U+ja, Удобна при переходе от показательной к алгебраи- ческой форме: U— = (/ cos а ±: ± jU sin a — Щ ± jU2 При этом используют формулу Эйлера e~/a = = cos a zt j sin a
§ 1.14. Основные комплексные величины и законы, характеризующие
гармоническое напряжение (ток)
Гармонические функции изображают графически синусоидами (косинусоидами),
или векторами на комплексной плоскости (рис. 1.4).
Мгновенное значение гармонической функции представляет проекцию враща-
ющегося вектора на неподвижную ось. Синусоидально изменяющаяся функция
изображается проекцией на мнимую ось:
u = Im ((7me/(G)/+a)) = Im [Um cos (со/ + а) + jUm sin (otf+ а)] = £/т sin (а^ + а).
Косинусоидально изменяющаяся функция изображается проекцией на вещест-
венную ось:
и = Re (£/me/(fi)'+a)) = Re [Um cos (otf +a) + jUm sin + a)] = Um cos (co/ + a).
За положительное направление вращения комплексного вектора с угловой
частотой со принимают направление вращения против часовой стрелки. Поэтому
положительную фазу а откладывают от полуоси вещественных значений против,
а отрицательную фазу—а —по часовой стрелке. Взаимное расположение векторов
на комплексной плоскости с течением времени не изменяется, поэтому их располо-
жение рассматривают только в начальный момент времени й)/ = 0. Векторы, изо-
бражающие на комплексной плоскости напряжения и токи в рассчитываемой схеме,
образуют векторную диаграмму (рис. 1.5). Операции сложения, вычитания, умно-
жения и деления гармонических функций производят путем сложения, вычитания,
умножения и деления векторов на комплексной плоскости. Обычно на комплексной
плоскости откладывают комплексы действующих значений,
Комплексная ампли-
туда Ёт)
Комплекс действующего
значения Z7(/, Ё)
и = Im ((/We/w+a> = Im (йт<№\
где Um = UmQJa = Um cos a + jUm sin a
U= UmlV2=2 = Uda = U cos a+jU sin a
Фазовый сдвиг между
синусоидами e
и
u^UfmSiMcot+af)
« = »!—(— a2) = a1+a2
Uz=U2msui(ut-(X2}
Фазовый сдвиг между
векторами на комплексной
плоскости a = ах —
—(—аг) = «] + «2
Закон Ома в комплекс-
ной форме
lm*=umiz, i = uiz:, z=K+ix=ZeJi>,
или
im = UmY:, i = UY-, Y = G-jB = YeJ4>
Z = R+ja>L=R+jX=ZeJ<r; Y^G—jB^Ye-ff
Z = R-)^ = R—iX = Zt-J<f-, Y = G + jB = YeJ4>
Закон Ома для участка цепи с источником э. д. с. 1 Ё Ё, -L Ё3 -3 1 / _фа—Фг> + £1~£г + £з + Z2 + Z3 В числителе этого выражения э. д. с. записывают со знаком плюс, если их направления совпадают с вы- бранным направлением тока
Первый закон Кирхгофа fit \4 Е 1 =0; /1 + /2—/з+Л = 0 (при выбранном положительном направлении токов, выходящих из узла)
Второй закон Кирхгофа 1 // J/ iX „ А Направление ZA I обхода Ъ L z3 Y,£ = £1Z-, Ei — Ez—Ziit — Z2I2-}- Z-jl j<i>Ll j—~ ~ - (ос
§ 1.15. Пассивные элементы в схеме гармонического тока
Пассивный элемент Сопротивление току Проводимость тока
постоянному / I гармоническому, i = I m sin co/ k-й гармонике негармоническо- го ^ = /тйХ X sin Лео/ постоянного / гармонического i ~Iт sin со/ &-й гармонике негармоническо- rotfe = /m*X X sin k(nt
Резистивный чг R •€5 N 11 1 О G = 1/7? 0 «=!//? G=\!R
Ток, напряжение, мощность
Емкостный Индуктивный lL *• Пассивный элемент
8 о постоянному I | Сопротивление току
е II II II II * । 1 - I rei "S- s' g -go 9 Л II II II II || IN e X 1II II Г гармоническому, i = I т sin со/
11 II 11 II Il *ln! 1. 1 " e III © о |Q c*j ° -° II H II 1! 11^ . II ’J. * 14^F °.? т Л-й гармонике негармоническо- го (k = lmk^ X sin k(at
© 8 постоянного 1 | Проводимость тока
•1'^ ® 1 II N <-?ll н II II 11 ь II 11 II гармонического i = Iт sin о/ m
„ и и C5 J[ и to * e “ <) « C> tx, * II II II 11 S И 1 — to ® * II II k-й гармонике негармоническо- ro lk-='mk^ X sin kat
Продолжение
Пассивный
элемент
Ток, напряжение, мощность
при по- стоян- ном токе мгновенное значение комплексное значение
Векторная
диаграмма
Мощность
§ 1.16. Соединения и преобразования пассивных элементов
Вид соединения (преобразования) Схема
Последовательное соединение й = + + 0 = ^1 + ^2 + ^
Вид соединения (преобразования) Схема
Параллельное соединение двух сопротивлений о I-*: II 1 * S- 1 11 1 + “ IN $ 1st + 1 (t т > к и |N> . IN II 1 11 + N j£: iN *• I N + к4 + S" £
Параллельное соединение трех сопротивлений 0- f f: 1. •i -Л "I WW W' 0—1 -J- 1 /=/i + /2+/3; <7={71=<72=<73: Zi = ^/i/?i*> ^з==^гз/^з> V^BX= V?1 + l/?2 + V& ГвХ = Г1 + Г2 + Г8; 7 ~BX ^l?2 4"?2?3“b?3^1
Смешанное соединение сопротив- лений c:- II > f !L » II n !£» |»w. to t 1* n“ in n ^1ГЬ. S'' ' • + 'n *#5’ T 11 -• l^“ - £ II + с- С<Ь._ i| Д.—t N> N> II j II +|N S' -»4*> 'N t- w я + -• ’•
Вид соединения (преобразования)
Схема
Преобразование соединения тре-
угольником в эквивалентную звез-
ду при условии эквивалентности:
/1 = /п ^2 —
£/12==^Г12*> ^31==^31
Преобразование соединения звез-
дой в эквивалентный треугольник
Z12 — Z1 + Z2 + 2 ;
Z23 = Z2+Z3+^;
^2
/12 = (Ф1 — Фг)/£ 12;
/31 — (Фз — Ф1)/?31
у
-12 Г1 + У2 + У3
у -
~23~У.1 + У2+Уз
у ^зГ1
-31 К1 + Г2+Г3
/23 = (Ф2 — Фз)/^23>
Многолучевой звезды в много-
угольник [звезда с п лучами пре-
образуется в многоугольник с
п(п—1)/2 ветвями]
Вид соединения (преобразования) Схема
Задача преобразования соединения сопротивления многоугольников в многолуче-
вую звезду при п>3 неразрешима в общем случае
Активного треугольника в пас- Av . •I'-W''
сивный 4* /\ M V Oy
Tz К A
1 ЛА 1
§ 1.17. Примеры эквивалентных преобразований
Вид преобразования
Звезды в эквивалентный тре-
угольник
Треугольника в эквивалентную
звезду
Схемы
§ 1.18. Последовательное соединение элементов
В этом параграфе рассматривается схема последовательного соединения эле-
ментов (рис. 1.6) при гармоническом напряжении.
Рис. 1.6
Уравнение для мгно- венных значений и — Ri -j-L -~п—h ~р~ id/ ш С» J
Уравнение для комп- U = Ri + ja>Li +
лексных значений откуда / = —— j—г- = Iе~/Ф <oc)
Комплексное сопро-
тивление Z=Ull=R+d®L L-V/?+jx = Ze;<₽, \ (ОС / где Z=j/ =У /?2 + x2; . (oL—1/coC (p = arctg R Если Л =coL ^>0, то ф > 0, если X = (dL — (оС т * я <0, то ф < 0 (оС
ди аг»
Векторная
рамма
Х = Х£~ХС = О; ф = 0
Треугольник сопро-
тивлений
/? = Zcosq>; X=Zsinq);
7? = Zcos<p; Х = — Z sin <р; Z=//?a + X«
Треугольник мощ-
ностей
S = (// = /2Z;
Q = £//sin ф = /2Х; ) n
P = Wcos(p = /2/? J .
S = W = Z2Z;
Q = — UI sincp = —/2X;
P — UI cos cp = I2R
Активная и реактив-
ная составляющие на-
пряжения
/7 = t7a + t/p;
йЛ—й cos ср;
U? — U sin <р;
U^VlA + Up
Комплексная прово-
димость
1 _ #
(йЬ — 1/соС 7? . X г ,D
-/-----7-----TV = =°-/s = ^ Уф-
Если <р > 0, то В > 0; если ф < 0, то В < 0
Баланс мощностей
=ял+/((OL—h = p + /Q;
и1=Р^-Ю.
Условие резонанса
напряжений
ф = 0;
Xi = Xc-»to0L = l/(1)0C^(l)e = l/KLC; <p=0, Z=R
§ 1.19. Параллельное соединение элементов
В этом параграфе рассматриваются схемы параллельного соединения элемен-
тов (рис, 1.7) при гармоническом напряжении.
Уравнения для мгно-
венных значений
Уравнения в комп-
лексной форме
Комплексные прово-
димости
Рис. 1.7
di\
i = -|-12; и = Kli1 + L -д-
/ = Л + /2; £7c = /?/1+/(oL/2;
II Ri+jaL 11 ’
|'1 = Лт Sin (Wt — <Pi)
4=-----^Ц-=/2е^;
<2 = /2mSin(o>/ + <p2)
i h
, если U = U
у _ t_____________________R _ , °>L
Lt ~ Ri + M RI + (6>L)« ' RI + («£)*
+i
Y 1
У г-
Ъ-i SC
Rt i г 1/wC_
~гг+1—&—G+Iff
Входная комплекс-
ная проводимость
Я, L
^2 П
В<О}ля0-С±>- Ц 0
= Kl + r2=l/21+l/Z2=G-7B
Условие резонанса
токов
I- С, ^2 + (й2£2 - —
VLC Г LIC-RI
Активная и реактив-
ная составляющие
тока
§ 1.20. Резонансы в линейных электрических цепях
Резонансом называют явление в электрической цепи, содержащей участки
индуктивнсго и емкостного характера, при котором разность фаз напряжения и
тока на входе цепи равна нулю.
В режиме резонанса входное сопротивление-—чисто активное, а входное
напряжение и входной ток совпадают по фазе. Различают резонанс напряжений
и резонанс токов.
Резонанс напряжений в последовательном контуре. Резонансом напряжений
называют явление резонанса на участке электрической цепи, содержащей последо-
вательно соединенные индуктивный и емкостный элементы.
Условие резонанса в последовательном
/?Ю-контуре
Im ZBX = 0;
Im^+/4L-/^ = OaL-^ = 0,
откуда o)oL = I/(ooC
Vl/c^p
При резонансе / = 67//? = max; Z =
= /? = min; Ul = Dc = <s>0L1 = ^-U.
Обычно R <Z aQL или R <Z —
Векторные диаграммы:
а) до резонанса, когда
б) после резонанса, когда
uc<ul;
в) в момент резонанса, когда
= ^C~^L
Суммарная энергия электромагнитного
поля в режиме резонанса
IF = Fm + IF9 = l4/2 =
= С(Лп/2 = const
Частотные характеристики
Резонансные кривые (зависимости дей-
ствующих или амплитудных значений
тока и напряжения от частоты при по-
стоянном напряжении на входе)
Частота, при которой напряжение на
емкостном элементе Uс(й)) = тах
Частота, при которой напряжение на
индуктивном элементе t/£(co) = max
<I)c = o)J/wI; wc<o)o<w£
“о/ 2—I^C/L
Добротность резонансного контура, оп-
ределяемая отношением напряжения U L
на индуктивном (емкостном) элементе при
резонансе к входному напряжению
Q = U JU = U CIU = wL//? =
где Q—показывает, во сколько раз
напряжение U L (Uс) при резонансе
превышает напряжение на входе. За-
тухание контура d — l/Q = R/p
Влияние добротности контура на ход
I f (0 \
резонансной кривой -г— —
/рез \ «о ]
Резонанс токов в параллельном контуре. Резонансом токов называют явление
резонанса на участке электрической цепи, содержащей параллельно соединенные
ветви с индуктивными и емкостными элементами.
Условие резонанса:
1тУвх = 0; z=== Oj
coL _ 1/coC
+ “ /?i + (l/^C2jT ’
1. Для идеального контура (7?i=0,
/?2»0)
coL«l/(oC; Увх = 0.
2. Для контура с потерями №»0,
/?х¥=0)
coL п
3. Для контура с потерями (Rx = О,
Rz 0)
1/ г VwC
Z ^ + (W)
Резонансная частота w0
Соотношения между параметрами
контура, при которых резонансная ча-
стота является вещественным числом
со Ll/
о== Vic V (L/C)—Ri
ЧИСЛО
вещественное
a) R^VL/C, ) Ri<Vl/C, 1
r2>Vl/c J R2<V L/C\ J
6) Ri=r2 #= /I/с -> q0=i/ZI/c;
в) Ri =R2 = V L/C con = 0/0, т. e, резо-
нанс наблюдается при любой частоте
При изменении L(C) и постоянных параметрах со, Rv /?2, С (L) резонанс токов возможен только в случае веще- ственных корней уравнения (dL 1/соС ^ + <o2L2 /?1 + (1/<о2С2) 1. Два различных вещественных корня Lt и L2 (Ci и С2). При этом наблюдаются два резонанса. 2. Два кратных вещественных корня = = L2 = C (С1 = С2 = С). При этом на- блюдается один резонанс
Добротность резонансного контура с потерями (7?i =/= 0, R2 ф 0) 4 Ri + R^LC
Добротность контура при Т?2==0 Q = Ц)Ь/ Ri
Частотные характеристики идеаль-
ного контура (/?! = (), Т?2 = 0)
Резонансная кривая 1 (со) идеаль-
ного контура
Минимальное значение тока 7mill==0
наблюдается при соо
Резонансная кривая 1 (со) реального
контура
Q 7
То/с Zmin наблюдается при со' =/= соо.
Чем меньше значения сопротивлений
и /?2» тем ближе со' к (i)q
Разветвленные электрические цепи,
имеющие несколько резонансных ча-
стот
При Х = со наблюдается резонанс то-
ков с частотой сот, при Х=0—резонанс
напряжений с частотой сон
I. Режимы резонансов токов и напря-
жений чередуются.
2. Первым наступает резонанс токов,
если в схеме имеется контур для
протекания постоянного тока.
3. Число резонансов канонических схем
(после эквивалентного преобразова-
ния схема имеет минимально воз-
можное число элементов Р, L, С)
на единицу меньше числа реактив-
ных элементов
§ 1.21. Двухполюсники
Двухполюсником называют любую электрическую цепь с двумя выделенными
полюсами.
Пассивный двухполюсник не содержит источ-
ников энергии и может быть заменен эквива-
лентным по отношению к полюсам входным
(внутренним) сопротивлением —
Активный двухполюсник содержит источники
энергии и может быть заменен либо источником
напряжения, либо источником тока по теореме
об эквивалентном источнике
Условие передачи максимальной активной
мощности от активного двухполюсника к пас-
сивному: 2вх
£пх — Рвх Н- /А БХ;
Z'2 ~ -|- /Л’г»
?Г = /?2-/Ха.
При ^пх=^2
^max = £WBX
При ZBX==ZJ!
S и*
max 2ZBX [I +cos(<pa-Фгх)]
Условие передачи максимальной активной
мощности от активного двухполюсника к пас-
сивному при заданном cos фа пассивного двух-
полюсника
Условие передачи максимальной мощности
от активного к пассивному двухполюснику при
постоянном токе /
При /?2 — Rex
Р»ах=^и
Направление передачи мощности (зависит от
угла ф сдвига между векторами U и I при их
одинаковом положительном направлении); Р =
= Й/ cos ф, Q — UI sin ф
Определение направления передачи мощности
с помощью двух ваттметров
Если стрелка ваттметра отклоняется по
шкале, то энергия передается от двухполюсника
Ai к А2 (от двухполюсника А2 к А^
К. п. д. эквивалентного активного двухпо-
люсника
Передача энергии по двухпроводной линии
постоянного тока, у которой током утечки
можно пренебречь, при неизменном по величине
напряжении в начале линии С/х
т| —Р 2/Р1 —+
При /?==7?вх q = 0,5
т| = 0,5 при 7?х = /?2
/?х — сопротивление проводов;
R2 — сопротивление нагрузки
§ 1.22. Мощности цепи гармонического тока
При гармоническом напряжении
u~Um sin (at или U = Um/V2
и токе в схеме
i = Im sin (со/ — <р) или / = /mlV2 е“^ф
различают активную, реактивную и полную мощности. При определении мощно-
стей исходят из мгновенных значений для напряжения и тока или из комплекс-
ных выражений.
Мгновенная активная мощность поло-
жительна р>0 (отрицательна р<0),
если на входе пассивного двухполюсника
напряжение U и ток I направлены оди-
наково (противоположно), а в источнике
э. д. с. противоположно (одинаково)
p = dA/dt\
p=.UI cosф — (7/ cos(2(&t — <p)
Активная (средняя) мощность за пе-
риод Г; [Р] = Вт
Полная мощность; [$]=В-А
Коэффициент мощности
Реактивная мощность; [<?] = вар
т
Р — -~- j р dt = UI cos ср;
о
Р = ^/2=У(/2;
Р = 6га/=(//а = 2/2С08ф.
Активная мощность, потребляемая
пассивным двухполюсником, всегда по-
ложительна (соэф^О)
S = (// = ZZ2 = y(/2
cos ф — P/S
Q = UI sin ф — ZI2 sin ф =
= XI2 — YU2 8Шф = В(/2;
Q > 0, если ® > О (ток отстает от
напряжения)', Q < 0, -если ф < 0 (ток
опережает напряжение)
Соотношение между полной, активной
и реактивной мощностями
Комплексная мощность
Баланс мощностей
Измерение активной мощности с по-
мощью электродинамического ваттметра.
Положительные направления тока 1 и
напряжения U должны быть одинаковы
относительно одноименных зажимов, обо-
значенных точкой, тогда cos (67) > О и
стрелка ваттметра отклоняется по шкале
или
S=Vp*+<F-, Q/P = tg<p
S — Ul'—P-\-jQ
S' = Ul = P-iQ
P = UI cos (Ui)
Измерение активной мощности с помо-
щью вольтметра, амперметра и фазометра
§ 1.23. Векторные диаграммы простейших схем
На комплексной плоскости строят диаграммы по комплексному уравнению
для входного сопротивления Z или входной проводимости F схемы. Эти же диаг-
раммы в определенном масштабе соответствуют векторным диаграммам тока / = YU
(при заданном U) и напряжения U—1Z (при заданном токе /).
Схема Уравнение Векторные диаграммы
i к 0*CD—i Z==R + jX, R=0-$-co (уравнение прямой) ★j +jX- -j*- Z(R) R
Xi +
R -s-A—
й Йя
Y = —! = - R+iX 1 p-/90’ _ X
I x ' YW 7-^ - Y/\ x<0
l+-|e-/90’ /? = 0 ~ oo (уравнение окружности) i X R=L y\ + X) 7r
Z = /? + /X; X = 0-r-oo (уравнение прямой) +J Z(X) fX—о X>0
и /5 h* R X<0 +
y=_J 1/fl . - R+jX X=04-co (уравнение окружности) Y(X)
X К i —X ^<0 R
} + \2_s/ x>u
0—I 1 ^-7y+^R-0+“ (уравнение прямой) +j I X / X YW X<0 _^R.Q
1 я if-
X>0
Схема Уравнение Векторные диаграммы
7- 1 *iX - У ~ R+iX R i+4e’/90° ’ 7? = 0 4-оо (уравнение окружности) +j X X R=°° INi
+
^-7(+^х-0+“ (уравнение прямой) +J W) 1/»/7 Х<0
1 + %-nep Х>0
= /?i +
RJX
Rz+iX
X = 0-4-co
(уравнение окружности)
y-=^+^l-’
C — 0 4-co
(уравнение прямой)
? 7g«+'"c>
_____R + /cot
1 -j- /coCR— *
C = 0 4- co
(уравнение окружности)
§ 1.24. Круговая диаграмма для токов четырехполюсника
Входной ток четырехполюсника tL (рис. 1.8) изменяется в соответствии с урав-
нением окружности, центр которой в общем случае не лежит в начале координат:
Л—Лх+
____Лк Лх
1 +^2_е/(Фз- <₽2К)
^>2К
Геометрическое место конца вектора тока it (а также 12) является окруж-
ностью при постоянных входном напряжении йъ частоте со, аргументе q?2 и
изменяющемся по величине сопротивлении Z2 = Z2e/^2.
Последовательность построения диаграммы (рис. 1.9):
1. Входные токи /1к и /1х определяют соответственно при закороченных
(Z2 = 0) и разомкнутых (Z2—оо) вторичных зажимах четырехполюсника.
2. Вычисляют аргумент ср2к входного сопротивления Z2K.
3. На комплексной плоскости в произвольном масштабе строят векторы 11к
и 11х. Разность /1К~ Лх является хордой искомой окружности (ОК),
4. Под углом ф2к—фа к хорде в конце вектора i1K проводят прямую линию,
на продолжении которой опускают перпендикуляр из конца вектора 11х. Если
угол (ф2к — фг) > 0, то его откладывают против часовой стрелки и наоборот.
К середине хорды восстанавливают перпендикуляр. Центр окружности лежит
в точке пересечения этих двух перпендикуляров (точка С).
5. Рабочая часть хорды расположена по ту же сторону от хорды, что и
угол ф2к — Фг*
6. Параметры схемы определяют с помощью круговой диаграммы.
Определяе- мая величина Линия на диаграмме Масштаб Параметры, найден- ные на диаграмме
к 0^7 mz (произвольный)
к ON /3 = mz,(OA0
7/4/ ГП г . . -
U3 NK mU3~lnl,Zl С/2 = /п^Ж)
Z2 КМ (линия перемен- ного сопротивления) /K 2a = mZa (7Щ)
Рг NS (отрезок, парал- лельный линии КМ) mp — mtiU2 cos ф2 P3=mp2(/VS)
Pi NL (отрезок, перпен- дикулярный оси веще- ственных значений) mp =т/1^1со8ф1 (NL)
§ 1.25. Топографическая диаграмма
Топографическую диаграмму для электрической схемы строят, откладывая
на комплексной плоскости векторы комплексных потенциалов последовательно
для всех точек ^ветвей схемы. Точка схемы, потенциал которой принят за нуле-
вой, является на диаграмме началом координат. При таком построении каждой
точке схемы соответствует точка на комплексной плоскости. Диаграмму комплек-
сных потенциалов называют топографической диаграммой. Разность потенциалов
между двумя любыми точками схемы, например между точками а и Ь, определя-
ется на диаграмме вектором (ра—(Рь> проведенным из точки b в точку а, Стрелка
вектора указывает направление возрастания потенциала.
Алгоритм построения диаграммы. 1. Определяют комплексы токов во всех
ветвях заданной схемы. 2. Найденные комплексные значения токов откладываюг
на комплексной плоскости из начала координат в выбранном масшгабе. 3. Обозна-
чают точки схемы (буквами или цифрами); потенциал какой-либо точки схемы
принимают за нулевой. Этой же буквой (цифрой) отмечают начало координат
на комплексной плоскости. 4. Вычисляют потенциалы обозначенных точек схемы
при обходе каждой ветви, начиная с точки нулевого потенциала.
В такой же последовательности строят комплексные потенциалы на диаграмме
в масштабе потенциалов. Если направление обхода пассивного элемента схемы
совпадает с направлением тока, протекающего по этому элементу, то потенциал
42
уменьшается на величину напряжения на элементе, взятом со знаком минус
7?/, — jcaL!, — — Если направление обхода пассивного элемента схемы
не совпадает с направлением тока, протекающего по этому элементу, то потенциал
увеличивается на величину напряжения на этом элементе взятия со знаком плюс
Пример. Качественно построить топографическую диаграмму для схемы рис. 1.10.
Решение. Предположим, что комплексы токов известны /ь /2, /. В произ-
вольном масштабе из начала координат откладываем токи (рис. 1.11). Точки схемы,
потенциалы которых получены, обозначим буквами a, b, с, d, k, Потенциал точки а
примем равным нулю фа=0.
Рис. 1.10
Обход начнем по средней ветви abc от точки фа — 0 по направлению э. д. с. Ё.
Следовательно, потенциал точки b ф& = Фа + Е. Из начала координат проведем
отрезок, равный Е и направленный по оси вещественных значений, так как при-
няли Ё = Е. Потенциал фс = ф6 — R1. От точки b откладываем комплекс—/?/
в противоположном току / направлении, так как обход элемента сопротивлением R
совершается по направлению к току /.
Потенциал точки k Фл = Фс ~+
В этом выражении напряжение на емкостном элементе имеет знак плюс, так
как обход совершается по направлению тока /2. От точки с откладываем отрезок
длиной /2/о)С перпендикулярно вектору тока в сторону опережения (против часо-
вой стрелки). Проведя на диаграмме отрезок прямой длиной Т?2/2 в направлении,
противоположном току /2, получим точку а, потенциал которой фа = ф/г —Т?2/2.
Потенциалы точек d и с получим при обходе ветви, содержащей 7?х и L,
например от точки а к точке с:
Ф<*=Фа+/с>£Л;
Фс = Ф</ + Я1/1.
§ 1.26. Цепи с взаимной индуктивностью
Наведение э.д.с. е± в одной электрической цепи при изменении в ней потоко-
сцепления Чг12 = ш1Ф12, вызванного изменением тока i в другой цепи, называют
явлением взаимной индукции:
cPF12 .. di2
Взаимная индуктивность (коэф-
фициент взаимной индукции)—ска-
лярная величина, равная отноше-
нию потокосцепления взаимной ин-
дукции одного элемента к току
в другом элементе, обусловливаю-
щему это потокосцепление: =
= ^kn/irv
%
Обычно принято считать М ал-
гебраической величиной. При одина-
ковом направлении потоков самоин-
дукции и взаимоиндукции в элемен-
те М положительно, а при встреч-
ном направлении отрицательно
Свойство взаимности для индук-
тивно связанных цепей: если ток,
проходящий в первой цепи, обу-
словливает во второй потокосцеп-
ление ЧГ21 = ^2(1)21> то этот же ток,
проходящий во второй цепи, соз-
дает в первой потокосцепление
Чг12 = к>1Ф12 той же величины
ф
чг
Л11з = Чг12/<2; е2 =—Л112-^-
Ali2 = Al2i =/И, [М] = Гн
Взаимная индуктивность двух
катушек с равномерно распределен-
ной обмоткой на тороидальном
кольцевом сердечнике
^1^2 о
М = ИРо-7—S,
*ср
где /ср —средняя длина сердечника; S-
щадь поперечного сечения сердечника
п ло-
Коэффициент индуктивной связи,
характеризующий степень индук-
тивной связи двух катушек и за-
висящей от того, какая часть по-
тока, создаваемая током в одной
катушке| сцепляется с витками дру-
гой
k=m/Vl1l.2,
где и £2 —индуктивности катушек
0<£=^1
К=0
Зажимы двух индуктивно связан-
ных катушек называют одноимен-
ными, если при одинаковом направ-
лении токов относительно этих за-
жимов потокосцепления самоиндук-
ции Vu и Чг22 и взаимной индук-
ции Ч\2 и в каждой катушке
суммируются.
Одну из двух пар одноименных
зажимов обозначают точками (звез-
дочками). Одноименность зажимов
зависит от направления намотки
витков катушек и их взаимного
расположения
§ 1.27. Согласное последовательное соединение индуктивно связанных катушек
Токи в катушках направлены
в любой момент времени одинаково
относительно одноименных зажи-
мов. Потокосцепления самоиндук-
ции и взаимной индукции, сцеп-
ленные с каждой катушкой, скла-
дываются: 4f1 = 4fn4-4f12, =
= ^22 + ^2!
Комплексное сопротивление вза-
имной индукции
г di . .г. , di , r di
u=L1w+lR1+Mdt+L2dt +
+«.+A<a;
с = (/?! + /?2) 7 +1<й (Lt+L2 + 2М) /
где ХМ*=<Ш
Реактивное сопротивление при
согласном включении двух индук-
тивно связанных катушек
Векторная диаграмма при соглас-
ном включении двух индуктивно
связанных катушек для Li>M и
L2>M
^согл — -j- 0)L2 2coM
s=*L,+*£,+2XM
§ 1.28. Встречное последовательное соединение индуктивно связанных катушек
Токи в катушках в любой момент времени
направлены противоположно относительно
одноименных зажимов.
Магнитные потоки самоиндукции и взаим-
ной индукции в каждой катушке вычита-
ются: = ^ = ^22-^2!
Комплексное сопротивление взаимной ин-
дукции
Реактивное сопротивление встречно вклю-
ченных двух индуктивно связанных катушек
Векторная диаграмма при встречном вклю-
чении двух индуктивно связанных катушек
для и 12>Л1
Опытное определение одноименных зажи-
,мов.
Одна катушка подключается к гальваниче-
скому элементу, другая соединяется с галь-
ванометром. Если при замыкании ключа
стрелка гальванометра отклоняется в поло-
жительную сторону шкалы, то одноименным
концом второй катушки будет тот, кото-
рый присоединен к плюсу гальванометра
u=R1i+L1^-M^ +
+^+L4-MT!t’
lj = (Rt + R2) +
+ /(wLi + (oL2 — 2 о/И);
^встр == ~f“ ^2 2/14
Y = Х, +Х, -2ХМ
ЕСгр М * L2 Л
§ 1.29. Параллельное соединение индуктивно связанных катушек
Уравнения Кирхгофа
в комплексной форме
Z
/ = 71 + /2; i/ = Z1/1 + ZA1/2; U=Z_m!1 + Z2Iv
где ^ = ^+/(0^; Za = Z?2+/(dL2; ZM=ja>M
Входное комплексное
сопротивление
IJ Z^Z<^— %М е U £14*2—
/ -вх"7 “^+^+2^
Развязка индуктивных
связей (эквивалентная за-
мена индуктивных связей)
двух индуктивно связан-
ных катушек, присоеди-
ненных к общему узлу
Передача мощности
между индуктивно связан-
ными катушками
- Л1= -ЛИ + -ЛИ = Ml1! + U mJ2 = /«М+
+ /о)М/1/2=/2ХЛ1 Re(/Л)=/2ХЛ1 *е(V1); хм=
= соЛ4,
где Зли и 5Ж2—комплексные мощности соответст-
венно первой и второй катушек, обусловленные взаим-
ной индукцией
§ 1.30. Опытное определение взаимной индуктивности
Первый способ. Измерения /, U и Р (рис. 1.12) проводят при последователь-
ном согласном и встречном соединениях двух индуктивно связанных катушек.
По результатам измерений находят
v и ! oUI . Д
^согл j ^COS- р -р 1J,
v U' / , ит , д
^встр — "р~ ( cos р 4” 1 у •
Тогда
Л4 ess (ХСОГЛ %ВСТр)/4й>«
Рис. 1.12
Рис. 1.13
Второй способ. По схеме рис. 1.13 измеряют ток в одной из катушек (напри-
мер, первой) и напряжение на зажимах другой (второй) катушки {/2* Тогда
М = €/2/со/х.
§ 1.31. Трансформатор без ферромагнитного сердечника
(воздушный трансформатор)
Уравнения в комплексной
форме
Для первичной цепи
— 7?х/14” /wLx/1-J- / о)Л4/2,
для вторичной цепи
0 = /?2/2 4“ /(0Д2/2 4“/^Л1/1 4“ ^2?Н'
Векторная диаграмма
Векторную диаграмму строят по уравнению для
вторичной цепи. По полученному вектору
находят направление вектора тока первичной цепи
Ц, который отстает от вектора j(oMli на 90°.
Цифры указывают последовательность построения
векторов. Предположили, что <р > О
Вносимое сопротивление из
вторичной цепи в первичную
Схема замещения без при-
ведения числа витков, в кото-
рой разности Ц — М и Ь2—М
имеют физический смысл
только при одинаковом числе
витков первичной и вторич-
ной обмоток
Схема идеального транс-
форматора (Rr ==Т?2 = 0, Li =
= со, L2 = oo> М=оо, К =
= \М\/УЦГ2=1)
v со2М2 п . со2М2 v
-вн_ЖТмГ 22“' /?L+xf, Ли’
где /?22==^?2"1“^н', ^22 = %2 4" %н
Оi/иа—А/А— —> £bxi—^А/А—5'^2»
?вх2 = ~2,
При Z2 = co ZBX1 = 0
§ 1.32. Расчет разветвленных цепей с взаимной индукцией
Для цепей с взаимной индукцией не все методы расчета электрических
цепей пригодны. Возможен расчет по законам Кирхгофа, методам контурных
токов и наложения.
Методом эквивалентного источника можно пользоваться только, когда ветвь
с искомым током (напряжением) не имеет магнитной связи с другими ветвями
схемы. Нельзя применять метод узловых потенциалов в обычном виде, а также
преобразования источников э. д. с. в источники тока (и наоборот), и преоб-
разования сопротивлений индуктивно связанных ветвей. При наличии в схеме
источника тока его ток рассматривают как известный контурный ток.
При расчете в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа,
к напряжению на индуктивном элементе необходимо прибавить напря-
жение взаимной индукции При гармоническом токе в случае примене-
ния комплексного метода учитывают комплексное напряжение взаимной индукции
it При этом напряжение взаимной индукции имеет знак плюс, если
направление обхода индуктивного элемента и выбранное положительное направ-
ление тока в индуктивно связанном элементе совпадают относительно одноимен-
ных зажимов этих элементов.
Пример. Для схемы рис. 1.14 составить уравнение по методу контурных
токов. Считать, что ток источника тока J протекает по ветви Lt.
~ обхода контуров совпадают с выбранным на-
Решение. Пусть направления
Уравнения для контурных токов
правлением контурных токов. При этом на-
правление обхода индуктивного элемента
Lr (L2) и направление контурного тока Д (/2)
не совпадают относительно одноименных
зажимов. Поэтому напряжения взаимной
индукции войдут в соответствующие урав-
нения со знаком минус (—ju)Ml2, —jaMlt).
Ток источника тока протекая по индук-
тивному элементу создает напряжение
взаимной индукции на элементе со зна-
ком плюс (/coMJ), так как направления об-
хода L2 и тока в Lt одинаковы относительно
их одноименных зажимов.
имеют вид:
£=(/?!+А - /<оЛ1/2+/ А.
O=(/?2 + /<oLj—/ — /2 — /(bAIA + JcoM j +/ —~
Глава 2
НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОКИ
§2.1. Ряд Фурье для некоторых периодических негармонических функций
Разложение периодиче-
ской функции f (со/), удо-
влетворяющей условиям
Дирихле, в ряд Фурье
Коэффициенты ряда
Фурье
ОО
/(“0= 2 Akm sin(W+i|?ft);
6 = 0
оо
f (at) = Ло 4- J] (Bkm sin kat+Ckm cos kat)
Bkm — Akm cos Фл; Ckm ~ Akm s^n Фъ
T/2 n
Л=у j f(t)dt = ~ J f(at)d(aty,
- T/2 -л
л
Bkm = — f (co/) sin ktot d (co/);
— n
Ckm~~ f (co/) cos W d (tot)
— Л
Периодические функ-
ции, симметричные отно-
сительно оси абсцисс:
f (<o/i)=— /(со/1 + л)
f (<о/) = 2 Aktn sin (ktot + фл),
*=1
* где ft = l, 3, 5, 7, ; Ао = О
Периодические функ-
ции, симметричные отно-
сительно оси ординат:
f(co/1)=f(—CO/j)
ОО
f (at) = Ло + J] Akm cos katt
k=i
где /?=!, 2, 3, 4, 5, ...
Периодические функ-
ции, симметричные отно-
сительно начала коорди-
нат: —/(—соу
/(“-) = У! Акт sin W,
/г=1
гдеЛ=»1, 2, Зг 4, 5, /lj = 0
Графоаналитический ме-
тод определения коэффи-
циентов ряда Фурье
п
Ы=2П/п; Ao=± fpV),
р==1
где значение функции /(/) в середине р-го
интервала
п
Bmk=— fp(Osinpta;
Р = 1
п
Cmk~~ fp(t)C0Spkx
Р=1
§ 2.2. Негармонические кривые с периодической огибающей
Несинусоидальные токи и напряжения, изображаемые кривыми с периодиче-
скими огибающими, могут быть представлены суммой гармонических составляю-
щих с частотами, некратными основной частоте. Период периодических огибаю-
щих значительно больше периода любой составляющей и может стремиться к бес-
конечности. Несинусоидальными кривыми с периодическими огибающими характе-
ризуются биения колебаний и их модуляция.
Биения колебаний воз-
никают в результате сло-
жения двух синусоидаль-
ных колебаний с равными
амплитудами Ат и близ-
кими, но неравными ча-
стотами С0± и (о2 (период
результирующей кривой
больше периода биений)
При амплитудной мо-
дуляции * амплитуда пе-
риодической огибающей
изменяется с частотой Q,
значительно меньшей ча-
стоты изменения гармо-
нической функции со
ЦО = Ат sin ы/ + Am sin
f (t) = 2Am cos t Sin + t =
= 2Am cos Q/ sin co/,
где Q = (coj. — co2)/2
/(0 = 4m (0 sin (co/+ ’!’)>
где Am (/) = Am0 (1 Ц-m sin Q/); Q<co; m<l —глу-
бина модуляции
f (O=4no sin (co/ +1)+-cos
_ ^20CosI«o+Q)/+i|)],
где co —несущая частота; co —Q, co+Q — боковые ча-
стоты
Действующее значение
колебаний с периодиче-
ской огибающей
/(0==^/л ФО sincoo/
где 7 = 2n/Q.
При со0 Q также справедливо выражение для
действующего значения, равного корню квадратному
из суммы квадратов действующих значений гармоник
(см, § 2,3)
♦ Модуляцией называют изменение во времени амплитуды, частоты или фазы гармо-
нического тока (напряжения, э. д. с.). При этом соответственно различают амплитудную
Л (/), частотную со (/) и фазовую ф (/) модуляцию.
§ 2.3. Основные величины и коэффициенты негармонического тока
Действующие (среднеквадра-
тичные) значения тока 7 и на-
пряжения U, если задано:
а) аналитическое выражение
негармонического, периодиче-
ского тока i (/) [напряжения
и(01;
б) разложение в ряд Фурье
* = 7 о + Л 1^2 sin (со/ + 4\) +
+ /2 sin (n^+W
Среднее по модулю значение
негармонической функции
2л
|/сР|=1Г S 1Ж)И(“0
о
Активная мощность негармо-
нического тока, если задано:
а) аналитическое выражение
негармонического периодиче-
ского тока i (/) [напряжения
«(/)];
б) разложение в ряд Фурье
/(/) [*(/)]
Реактивная мощность
ui dt\
п п
б) Р = С/0/а+ 2 ^ft/ftcos<pA= 2 Рл
k=\ А=0
ОО п
Q — У 2 <?*
А=1 4-1
Полная мощность негармони-
ческого тока
з=и/=
(4+Ii+...+l*n)
или 5 = 1/ 2 2 /£; S*^P24-(?
V 4=0 А—О
Мощность искажения
t=Ys2—(P2+q»)
Коэффициент формы кривой
тока (напряжения)
Коэффициент амплитуды
Кф=1/1ср.
Для синусоиды Кф= 1,11
^а = |*тах/^’
Для синусоиды 7<а = уЛ2
Коэффициент искажения фор-
мы кривой
где /t —действующее значение первой гармо-
ники тока; г1 = /11^2 sin (со^+ Ф)-
Для синусоиды d=A
Коэффициент гармоник
При /о = О Kr= j]^l— k2u
§ 2.4. Расчет цепей при периодических негармонических токах
Определение тока в линейных цепях при периодическом негармоническом
источнике энергии осуществляют методом наложения. Напряжение источника
э. д. с. и (0, заданное аналитически и удовлетворяющее условиям Дирихле, раскла-
дывают в ряд Фурье. Частота каждой гармоники кратна частоте периодического
негармонического напряжения при k — 0, 1, 2, 3.... Отдельно для каждой
гармоники напряжения рассчитывают соответствующую гармонику тока, приме-
няя комплексный метод. При этом определяют комплексное сопротивление для
каждой гармоники. Реактивное индуктивное сопротивление увеличивается про-
порционально номеру гармоники: Xl^ = ^cdL. Реактивное емкостное сопротивле-
ние уменьшается с увеличением номера гармоники: Хс k — \/ka)C. При изменении
частоты ka> активнее сопротивление 7? полагают постоянным, пренебрегая поверх-
ностным эффектом. После расчета всех гармонических составляющих тока запи-
сывают выражение для мгновенных значений тока:
п
*(0 = /о+ s sin(W—<рл.).
Й=1
Алгоритм расчета. 1. Заданное аналитическое выражение для напряжения
п
источника э. д. с. раскладывают в ряд Фурье: u(t) = UQ+ У] Umk sin (W+ф^).
k=\
2. Каждую гармонику напряжения записывают в комплексной форме: йть =
= Umk&^k' 3. Комплексное сопротивление схемы определяют для каждой гармо-
ники Zk, имея в виду что XLk = kt&L\ XCk= l/kwC. 4. Для каждой гармоники на-
пряжения Umk по комплексному сопротивлению находят комплексную амплитуду
тока Imk — ^mkl^k^ после чего записывают выражение мгновенного значения тока
гармоники: ik — Imk sin (kart — <p^). 5. Мгновенное значение негармонического тока
получают, суммируя мгновенные значения всех гармонических составляющих
токов: = + —Фх) +sin (2о^ — фз)+ ....
§ 2.5. Измерение негармонических токов и напряжений
Измеряемая величина
Система прибора
Условное обозначе-
ние системы прибора
Действующее значение
А U
Электромагнитная
Электродинамическая
Тепловая
Среднее значение по мо-
дулю | /ср | , | Ucp |
Магнитоэлектрическая
ма с выпрямителем
Постоянная составляющая
(среднее значение за период)
Магнитоэлектрическая
вижной рамкой
Магнитоэлектрическая
вижным магнитом
Максимальное значение
^пах» wmax
Амплитудные электронные
вольтметры
систе-
с под-
с под-
Глава 3
ЦЕПИ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА
§3.1. Трехфазный генератор
Схема
Мгновенные фазные
значения э. д. с.
Векторная диаграмма
Соединение обмоток
хенератора в звезду
eA = £msin
eB = £msin И—120°);
ес = Efn sin (со/ + 120°);
Р ____р _____р — р
^Ат 23 Вт С'Ст
ёа=еа^е-,
В ’
Ёс = £е-£240“ = £е+£20°
Соединение обмоток
генератора в треуголь-
eB^ = £msinw^
eCB=£m sin И-120°);
e^c = £msin^ + 120°);
ЕАт ~ ^Вт ~ ЕСт =
§ 3.2. Симметричный режим в трехфазных цепях
Схема
Уравнения
Векторная диаграмма
Соединение сопротивлений
нагрузки звездой
U ab “ U Ьс ~ Uс а ~
ил=Узи*-,
1 л = 1ф~{ A = lB = l С’
/C=£C/Z;
^а+^в+^с=0:
/д^=0; l)o,o = 0
Соединение сопротивлений
нагрузки треугольником
%аЬ— Z>bc — Zca —
/ =/ =/ =/ ;
А К С л*
1 ab — I Ьс — са — ^ф>
/л = /3/ф;
! аЬ~&Ав/%"’
i bc/z’
§ 3.3. Напряжение смещения нейтрали при соединении неравномерной
нагрузки звездой
Схема соединения неравномерной нагрузки звездой с нейтральным проводом
и принятыми обозначениями представлена на рис. 3.1,
Ток в нейтральном про-
воде
Напряжение смещения
нейтрали при соединении
нагрузки звездой
с нейтральным проводом
без нейтрального провода
^=0
Напряжение смещения
нейтрали, когда сопротивле-
ние нейтрального провода
равно нулю Yn = оо
Напряжение смещения
нейтрали при симметричной
нагрузке УА — УВ = УС
1'n=л +Iв+1с
При Гд=Гв=Гс ^=0.
где-л=гл+га-; ь= za+zb;
у = 1
£с z, + zc
... _иАУА+ивУв+исУс
y_a + yb+yc+yn ;
л УАу.А+йвУв+исУс
°’0 уа+ув+ус
йо'О~® = 1b+1c^q
OO’o=Q
§ 3.4. Определение токов в трехфазной цепи
Определение токов в нагрузке: по заданным фазным напряжениям tA = YA(OA-Oo.o)-
генератора о О о О 1 1 05 и II II ,4 —У
где Гл=1/(2Л+?О);
Кв=1/(?л + 2й);
Гс=1/(гл+гс); п _ ОАу-А+ОвГ.в+йсУс
°'0^ ya+yb+yc+yn
в трехфазной системе, соединенной звездой без нейтрали по известным линейным напряжениям генератора (см. рис. 3.1) to"* iT” II II II г?’ С) ts о о о 9 93.
А ^АВ-В~^СА^С .
ло' уа + ув+ус ’ fl — BCYC~~^АВ^А .
Ubo' ya+yb+yc ’ г j йСАУА—йвсУв
Uco' ya+yb+yq
при сопротивлениях нагрузки, со-
единенных треугольником
А ab ?са’
IВ~ fbe Iab’
С са I Ьс
§ 3.5. Преобразование трехфазной цепи со смешанной нагрузкой
1. Звезду 1 преобразовывают в экви-
валентный треугольник 3, ветви которого
параллельны ветвям треугольника 2
2. Сопротивления соответствующих
ветвей треугольников 2 и 3 складывают
параллельно, образовывая треугольник 4
3. Треугольник сопротивлений 4 пре-
образовывают в эквивалентную звезду.
Полученную схему рассчитывают мето-
дом двух узлов
§ 3.6. Метод симметричных составляющих
Метод симметричных составляющих основан на разложении несимметричной
системы трехфазной цепи на три симметричные с последующим применением мею-
да наложения. При этом рассматривают эквивалентные схемы замещения для
каждой из трех симметричных систем, составленных на одну фазу»
Несимметричная
трехфазная система
прямая последова- обратная последова- нулевая последо-
тельность тельность вательность
А = Л1 А А2 А А’>
В = A 4“ 62 A Bq,
С = А 4~ С*2 4~ А,
или
Л = А А А А А2',
6=А 4" я2 А +
4~ (^^2»
с =? А А а А А
А а2 А
Симметричная
трехфазная си-
стема, порядок,
следования фаз
которой принят
в качестве основ-
ного (АВС)
А = з х
Х(Л + аЙ + а=С);
й = Ле-'12°- =
=сРАг,
Cl = Ale+Jlw° =
= a Ai
Симметричная трех-
фазная система,
порядок следования
фаз которой проти-
воположен основному
(АС В)
^=зх
Х(Л+а8^+аС);
С2==Ае-'1ао° = <А4
Симметричная
трехфазная си-
стема, векторы
которой совпадают
по фазе
А ~ А—А;
А=4х
х(Д + й+£)
§ 3.7. Фазный .множитель
Фазный множитель образует симметричную систему трех единичных векторов:
1 .т/з"
а2==е7240О = „_
Определитель
а3 = е>360°=: 1;
1 АаАа2 = 0-
1
1
1
Д =
1
а2
а
1
а
а2
§ 3.8. Сопротивления симметричной трехфазной цепи
токам различных последовательностей
Комплексное сопротивление цепи токам данной последовательности равно
отношению симметричных фазных напряжений к токам этой последовательности.
Комплексное
сопротивление
Определение
Примечания
Прямой последова-
тельности
= U All t Al — "вЛBl
В симметричных трех-
фазных цепях без вра-
щающихся машин и
трансформаторов
= — 2 —ф
Обратной последо-
вательности
-2 &A2/IA2 ^B2^B2
= ^C2^C2
Нулевой последова-
тельности
§ 3.9. Продольная и поперечная несимметрии в трехфазной цепи
В трехфазной цепи различают продольную и поперечную несимметрии. Про-
дольная несимметрия возникает при обрыве одного или двух проводов, или когда
в рассечку фаз линии включают неодинаковые сопротивления. Поперечная несим-
метрия обусловлена подключением к симметричной трехфазной цепи несимметрич-
ной нагрузки. В обоих случаях при расчете цепи применяют теорему о компен-
сации, заменяя несимметричный участок линии (несимметричную нагрузку) несим-
метричными источниками э. д. с.
В случае продольной несимметрии эквивалентный источник включают
в рассечку трехфазной линии (рис. 3»2), а в случае поперечной несимметрии —
параллельно в трехфазную линию (рис. 3.3).
Замена продольного несимметрич-
ного участка эквивалентным несим-
метричным источником
Для прямой последовательности
Для обратной последовательности
Для нулевой последовательности
§ 3.11. Виды продольной несимметрии
Вид несимметрии участка Дополнительные уравнения к урав- нениям Кирхгофа
1л ^а-=2л/д;
/70 -0а' ^=0;
-Ah' °сс’ =°
0 0е" Lc Jb* О -Cl fit
С 0 /л = 0;
ию L /%_. ч) у 4 о о il 11
О 0 ^PD
Л
С 0 ^aaf — ?д1д>
~ г* 4 Ubb' в»
Ь0— Д 4 =°
4 ^Ои -0С1
С0
Дополнительные уравнения
с учетом несимметричной системы
токов и напряжений
=гл(/1+л2+/о);
^,=^ + <^ + ^ = 0;
=«^+«4 + ^0=°
/д=/1+/2=°;
^4-=^+^2+^о=°:
ик> =аи1 + аЮг + и0=й
=гл(/1+/ + /о);
^,=«2^ + ^ + ^ =
==‘?В + + А))’>
=^+«4 + ^0 = °
Замена поперечного несимметрич-
ного участка эквивалентным несиммет-
ричным источником
Для обратной последовательности
Для нулевой последовательности
Вид несимметрии
участка
§ 3.13. Виды поперечной несимметрии
Дополнительные
уравнения к уравне-
ниям Кирхгофа
Дополнительные уравнения
с учетом несимметричной
системы токов и напряжений
и А~ А’
/с=0
/л = 0;
^B~ZB^B’
uc—zclc
=?л(^+^+/о);
/в = а2/1 + о/2 + /о=0;
/с = а/1 + а2/ + /о = О
/л = /1 + /2 + /3 = 0;
<7в = а2^ + а(72 + б70 =
= ZB(a2/1 + a/2 + /0);
Ос = аи^аЮ2 + и^
= -0 (аЛ “Ь а2^2 + А»)
Вид несимметрии
участка
Дополнительн ые
уравнения к уравне-
ниям Кирхгофа
Дополнительные уравнения
с учетом несимметричной
системы токов и напряжений
^В~~ й(2~ Z~!B
^А==/1 + ^2==0;
йв-йс=
= аЮг + aU2 - (aUr + ^U2) =-
=Z (a2/i+a/a)
§ 3.14. Алгоритм расчета несимметричной трехфазной цепи
Если известны э. д. с. генератора и все сопротивления, то токи и напряжения
в трехфазной несимметричной цепи находят следующим образом.
1. Несимметричный участок цепи заменяют тремя неизвестными несимметрич-
ными источниками э. д. с. с напряжениями (]аа', (]ьь' > & сс •
2. Неизвестные э. д. с. раскладывают на симметричные составляющие U2
и б70, приняв за основную фазу, например, фазу А:
Uaa^. + U^ + U^
йсс,^а1)1 + аЮ2 + 1)0.
3. Для каждой последовательности несимметричного источника э. д. с, состав-
ляют эквивалентные схемы, по которым записывают уравнения в соответствии
со вторым законом Кирхгофа. В этих уравнениях шесть неизвестных симметричных
составляющих напряжений несимметричного источника.
4. Дополнительные уравнения к уравнениям Кирхгофа составляют исходя
из схемы и параметров несимметричных участков цепи. Напряжения и токи
в этих уравнениях заменяют их симметричными составляющими.
5. Искомые токи находят путем совместного решения уравнений, записанных
по законам Кирхгофа, и дополнительных уравнений.
3 Татур Т. А.
Глава 4
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ
§ 4.1. Расчет схем по закону Ома
а) Закон Ома для участка цепи без
источника э, д. с.
I — й abfe- — Фа Ф^/2
б) С источником э, д. с.
/ Фа~Фд~1"Д.— Да
21 + 2а + £з
Рис. 4J
Пример. Рассчитать токи в ветвях схемы рис. 4.1.
Решение. Направления токов в ветвях со-
ответствуют направлению э. д. с. источника. Ток
в ветви генератора
/ ==А=_А__
1 ~ВХ 7 > —2—3
Токи в ветвях /2 и /3 можно определить двумя
способами:
1) /.-Л-г-Фг; /3=А-ГК-;
±'2"Т“£’Э ^2Т“3
/ _Фа~~Фб , / Фа Фд
..f /3===
—2 £з
Разность потенциалов между узлами схемы найдем по закону Ома для
участка с источником & д. с.:
Фв-Фй=£-/1?х.
§ 4.2» Расчет схем по уравнениям Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма токов в узле равна
нулю: У} ik=0t /* = 0,
Л=1 А=1
ИЛИ
алгебраическая сумма токов ветвей, схо-
дящихся в узле, равна алгебраической сумме
токов источников тока в том же узле:
Е*«ЕЛ Е/ = Е/
Для узла 1
—+ *2 + *з — / = 0
или
— Л + Л + ^з — /=0
— Л + ^2“ Л1- А
Токи источников тока учиты-
ваются только при записи первого
закона Кирхгофа
Независимое число уравнений равно числу
узлов (у) без одного (у — 1)
Второй закон Кирхгофа»
Алгебраическая сумма падения напряже-
ний в любом замкнутом контуре схемы равна
алгебраической сумме э. д. с. в этом кон-
туре:
2(R,'+L'S’+~f' $ <Л)=2₽:
£ (Я+ /Х£
или
алгебраическая сумма напряжений вдоль
замкнутого контура равна нулю:
п
Число независимых уравнений равно
в ~~ у 1 (в — число ветвей* у — число узлов)
числу независимых контуров.
Независимые контуры схемы отличаются
друг от друга по крайней мере одной ветвью
и образуются присоединением к дереву графа
ветвей связи, Число независимых контуров
равно числу ветвей связи в—у + 1. Для не-
сложных схем независимые контуры могут
быть определены по контурам без диаго-
нальных ветвей (по ячейкам)
1 jZi + / 2?2 + 13?3 — / 4?4 —
или
-&ba + ^c + ^ + hi+
&та~®
Пример. Для схемы на рис. 4.2
Решение. Зададимся по-
ложительным направлением то-
ков в ветвях. По первому зако-
ну Кирхгофа запишем два урав-
нения (у— 1 = 3—1 = 2, так как
в схеме три узла а, b и с):
для узла а — Л — /2+/з — /=0;
для узла b /1 + /2 + /4 = 0-
По второму закону Кирхго-
фа запишем два независимых
уравнения (в—у+ 1 =4— 3 +
4-1=2), выбрав направление
обхода для контуров без диа-
гональных ветвей по часовой
стрелке:
записать уравнения по законам Кирхгофа»
для контура I
ИЛИ
^di + ~ С r2^=ei”"e2'»
для контура II
1з (“7 i + Rs)~{i (a+M^+AsJ-/
ИЛИ
£Г~ + hRs — ^Rl—+ q* l2t# = e3+e2.
§ 4.3. Матричная форма записи уравнений Кирхгофа
Система уравнений, записанных по первому и второму законам Кирхгофа,
может быть представлена в следующей матричной форме:
аИ а12 ••• а1П Г 1 г А 1
а21 а22 ••• а2П 4 = А
-ат ап2 ••• апп_ . In . . А, .
или
а! SSZ I5,
где I-матрица-столбец токов ветвей; F-матрица-столбец активных элементов,
входящих в систему уравнений (источники тока в уравнениях для узлов и источ-
ники э. д. с. в уравнениях для контуров); а —квадратная матрица коэффициентов
в уравнениях, записанных по законам Кирхгофа; а/г/ = ± 1, либо аы = 0.
Элементы матрицы полученные по первому закону Кирхгофа, являются
безразмерными величинами, имеют знак плюс или минус, соответствующий знаку
токов, входящих в уравнения.
Элементы матрицы соответствующие коэффициентам уравнений, записан-
ных по второму закону Кирхгофа, имеют размерность сопротивлений и равны
нулю, если в рассматриваемый контур эти элементы не входят. Например, для
схемы рис. 4.1
— 1 — 1 I 0 -/Г - } -
1 1 0 I 12 0
Ri + R2 + /w^i . 1 J соС2 0 0 4 = 1 Гц. ьэ •
0 . 1 1 (оСх 1 <вС2 +/?3 — (^4 + /C0.L4) £3 + ^2
§ 4.4. Метод контурных токов
По второму закону Кирхгофа составляют уравнения для выбранных поло-
жительных направлений токов, замыкающихся по независимым контурам схемы.
Число независимых контуров k = e—y+ 1 (§ 4.3).
Токи в смежных ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов,
протекающих по данной ветви.
Уравнение в общем виде для каждого контура имеет вид:
tk S + 2 + 5 .
i i ll
Ток в ветви, по которой протекает ток только одного контура (крайняя
ветвь), равен этому контурному току. Источники тока преобразуют в эквива-
лентные источники э. д. с. либо токи источников рассматривают как контурные
токи. Напряжения на элементах контура
правление обхода контура совпадает с на-
правлением контурного тока в этом эле-
менте.
Напряжение на элементе от тока
источника тока записывается в правой
части уравнения со знаком плюс, если
направление обхода противоположно на-
правлению этого тока.
Пример. Составить уравнения по ме-
тоду контурных токов для схемы рис. 4.3.
Решение. Выбираем независимые
контуры по ячейкам схемы или по де-
реву графа схемы (см. гл. 5), присое-
диняя к нему ветви связи. Задаемся
направлением контурных токов в них (/ь
рому закону Кирхгофа для каждого контур
выбирать совпадающим с направлением г
контурах:
и э. д. с. имеют знак плюс, если на-
Рис. 4.3
/3). Записываем уравнения по вто-
а. Направление обхода контура удобно
онтурного тока и одинаковым во всех
Л (А+z2+z5) - /2z2 - /3z5=Л+Ё2 4- j £>;
—A (Z2+Z3+Z4) =——£3+^ Zt',
-+/3 (Zs+гв)=Ёв-}?Б.
Решая систему уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа для
контурных токов с помощью определителей относительно тока 119 получим
f —F Dn -4-F D12 » F D13 •
11 — 2311 Г Г22 ~jj Г 23 33 -p— •
2ц
Z21
Z31
D =
Z12 Zis
Z22 0
0 Z33
где Zu = Zt + Z2 + Z6; Z22 = Z2 + Z3-|-^4; Z33 = Ze + Z5—полные или собственные
сопротивления соответственно первого, второго и третьего контуров; Z12 = Z21 = —Za;
Z13 = Z31 = — ZB—общее сопротивление соответственно первого и второго, первого
и третьего контуров; Ё^^Ё^Ё^ Ё22=—Да —Д; Ё33 = Ёб —контурные э. д. с.
соответственно первого, второго и третьего контуров; D — определитель системы
уравнений; Dk — алгебраическое дополнение определителя D, получаемое вычерки-
ванием первого столбца и £-й строки и умножением полученного определителя
на (—
Задаемся положительным направлением токов в ветвях и находим их как
алгебраическую сумму контурных токов и токов источников токаЛ протекающих
по рассматриваемой ветви:
—А> ^8— ^2> *А—А “‘“Л
•7б = /1 — J\ «/в = А*
§ 4.5. Матричная форма записи уравнений методом контурных токов
Уравнения, составленные по методу
в следующей матричной форме:
контурных токов, могут быть записаны,
Z11 _Z12 ••• %1п
^21 _^22 •••
Al Г
£22
2
^2 •••
£3 _
_ /3 _
ИЛИ
откуда
ZI = Et
I = Z ИЗ,
где Z"*1матрица, обратная матрице Z; I —матрица-столбец контурных токов;
Е—матрица-столбец контурных э. д. с. (алгебраическая сумма а. д. с. источников
напряжений и эквивалентных э. д. с. источников тока).
Каждая строка квадратной матрицы сопротивлений Z соответствует опреде-
ленному контуру. Матрица Z симметрична относительно главной диагонали, по
которой расположены собственные сопротивления контуров так как общие
сопротивления контуров равны, т. е. Zmi=Zim.
Если контур т не имеет сопротивления, общего с контуром /, то в матрице
Z на пересечении m-строки и /-столбца записывают нуль.
Запишем матричное уравнение контурных токов для схемы рис. 4.3:
" Z! + Z2 + Z5
-z2
-Zb
^1 + ^2 +^^5
— Ё з — £3 + JZ4
Ee-jZ5
^г + ^з+^4
О
§ 4.6. Метод узловых потенциалов
Метод узловых потенциалов основан на применении первого закона Кирхгофа.
Составляется у— 1 уравнение для потенциалов узлов схемы, при условии, что
потенциал одного из узлов принят равным нулю. После нахождения потенциалов
узлов схемы определяют токи в ветвях схемы по закону Ома.
Уравнение в общем виде для Л-го узла
<i>* 5 2 ф№= 2 +IfikiYkb
I I I
k^l
где 2к«собственная узловая проводимость fc-го узла, представляющая
i ~~
собой сумму проводимостей гетвей, присоединенных к узлу; Yki=^Yi^ — общая
узловая проводимость Л-го и Z-го узлов, равная сумме проводимостей ветвей,
соединяющих между собой рассматриваемые узлы; £ Jk — алгебраическая сумма
токов источников тока и токов ветвей, присоеди-
ненных к &-му узлу; £&kiLki —алгебраическая
сумма произведений э. д. с. ветвей, сходящихся
в Л-м узле, на проводимости этих ветвей.
Если э. д. с. и ток источника тока направ-
лены к узлу, то в правой части уравнения их за-
писывают со знаком плюс.
Пример. Составить уравнения по методу узло-
вых потенциалов для схемы рис. 4.4.
Решение. Пронумеруем узлы. Положим
потенциал узла d ф^==0.
Составим уравнения по методу узловых потен-
циалов для узлов a, b и с\
. I 1 , 1 , 1 , 1 \ . / 1 ,
Фа I 7Т7----Ь ~7-~7-~7~ ~7--Ь
\ Z.1 ' _7 _3 £4 £.5 / \ £?
+-Ц-Ф (—L_U_A_ + A_j .
, / 1 , 1 \ , . / 1 , 1 , 1 \ Ё2 Ё3 }
— Фа I "у-Ь ~7~) + Ф* [у---Ь "у----Ь у] = у---------—^Ь
\ £3 £4 / \ £2 £3 £4 1 £2 £3
А ( 1 \ , А I 1 , 1 \ ~ Д
Фа 7 I 7 4" Фс 7 ( у 4" 7 7 I 7~~ * * С»
1 \ “Г^7
ИЛИ
ФЛа + Фй^ай + Фс^ас —J а*,
+ ЧаУьа + ФьХ_ЬЬ = b\
4"tyaYca4“Фс^сс “ с»
Полученную систему уравнений решаем относительно потенциалов фа, и фс.
Токи в ветвях находим по закону Ома, задаваясь их положительными направле-
ниями:
А = (Фс ~ Фа 4- ^1) ]j7»
Л = (Фб~^2) ^2 И Т. Д.
§ 4.7. Матричная форма записи уравнений методом узловых потенциалов
Y(p=J,
откуда
<р= Y~Lj,
где Y — квадратная матрица узловых проводимостей; ф—матрица -столбец потен-
циалов узлов; J-матрица-столбец токов источников тока в узлах схемы; Y~*—мат-
рица, обратная матрице Y,
§ 4.8. Метод двух узлов
Метод двух узлов — частный случай метода узловых потенциалов применительно
к схеме с двумя узлами и произвольным числом активных и пассивных ветвей.
Этим методом определяют напряжение между узлами:
2 Ёкук+ £ 4
^6 = Фа-Фб= ' ,
5 Yk
т т
где 2 Уд —сумма проводимостей всех ветвей между узлами; J] — ал-
иГ k=i
Л
Рис, 4.5
гебраическая сумма произведений
проводимостей ветвей, содержащих
э. д. с., на э. д. с. ветвей.
Произведение £kYk имеет знак
плюс, если э. д. с. направлены
к узлу, потенциал которого опреде-
ляют.
Ток источника тока, подключен-
ного к узлу, имеет знак плюс, если
он направлен к узлу.
Пример. Записать уравнение для напряжения между узлами в схеме рис, 4.5,
Решение. йаЬ = уа — фд =
6^-6^ +Ё3У3-)
Гх + Ь + Кэ + ^+Ь
§ 4.9. Метод наложения
При действии нескольких источников напряжения и токов в линейной элек-
трической схеме токи в ее ветвях можно найти суммированием токов от каждого
источника в отдельности. При этом неучитываемые источники заменяют их внут-
ренними сопротивлениями, закорачивая источники э. д. с. и размыкая источники
тока.
Пример. Определить токи методом наложения в схеме рис. 4.6.
Рис. 4.6
Решение. Определим токи в ветвях схемы при действии источника э. д. с. Е
не учитывая источник тока J (Явн = оо):
Полагая Е=0, найдем токи в ветвях при действии источника тока J:
Зададимся положительным направлением токов в ветвях исходной схемы
и определим их значения, алгебраически суммируя частичные токи: /1 = / —
Если искомый ток в схеме постоянного тока получился со знаком минус, то
его действительное направление не совпадает с выбранным. При переменном токе
полученное комплексное значение тока (напряжения) является окончательным.
§ 4.10. Метод эквивалентного источника
Метод эквивалентного источника основан на теореме об эквивалентном источ-
нике (активном двухполюснике), рассмотренном в § 1.5. Сложную разветвленную
схему рассматривают как активный двухполюсник
по отношению к ветви с искомым током /, который
определяют по выражению / = б\/(ZBX+Z), где
Ux — напряжение холостого хода между зажимами
отключенного сопротивления в ветви с искомым то-
ком; ZBX —входное сопротивление пассивного двух-
полюсника относительно зажимов, к которым подклю-
чено сопротивление в ветви с искомым током.
Пример. Методом эквивалентного источника найти
ток / в схеме рис. 4.7.
Решение. Напряжение Ux —йаь определим
при разомкнутой ветви с сопротивлением Z6. Для
этого рассчитаем токи в схеме рис, 4.8, оставшейся
после размыкания ветви ab:
Л = ^i/ (Zi + Z.2Y Л — ^i/ (Z.3 +
UаЬ^Фа — Фь = — ^2 +12^з — / iZi*
Рис. 4.7
Входное сопротивление Zab
I~Uab! (Zab-kZs)-
найдем
в соответствии со схемой рис, 4.9. Ток
Рис. 4.9
§ 4.11. Метод компенсации
Метод компенсации основан на принципе компенсации (см. § 1.5). При этом
по схеме приращений определяют приращение тока Д/ в цепи вследствие изменения
сопротивления ветви AZ. Схема приращений образуется исключением источников
энергии в исходной схеме и включением в ветвь последовательно с новым сопро-
тивлением Z+AZ источника напряжения U — 1&Z, направленного встречно перво-
начальному току в этой ветви.
Метод компенсации часто применяют и при определении чувствительности S
схемы к изменению параметров ее элементов:
е_ АШ
Z MmIZm *
т
Пример. В ветви с сопротивлением Z3 протекает ток /3 (рис. 4.10). Найти
приращение тока А/3, если сопротивление в этой ветви изменилось на AZ$.
Рис. 4.11
Решение. Составим схему приращения
At/
(рис, 4.11), из которой найдем
Z3 + AZ3+
(Zi + Z2) (Z4 + Z5)
^x+Za + ^+Zs
Глава 5
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ
§ 5.1. Основные понятия и определения
Топологические методы расчета электрических схем основаны либо на анали-
тическом, либо на геометрическом способе описания свойств графа, изображающего
исследуемую электрическую цепь.
Аналитическое описание свойств графа, введенное еще Кирхгофом, основы-
вается на применении матричной алгебры.
При геометрическом описании используют правила по преобразованию графов
и правило Мэзона (Масона).
Матричная теория графов позволяет записать выражения для определителя
и алгебраических дополнений без составления уравнений электрической схемы,
что значительно сокращает вычисления при разложении определителей обычным
алгебраическим способом. Это объясняется тем, что при раскрытии определителей,
и алгебраических дополнений появляются слагаемые, имеющие одинаковые вели-
чины с противоположными знаками, которые затем сокращаются.
Схема электрической цепи — графическое изображение электрической цепи,
содержащее условные обозначения ее элементов, показывающее соединения этих
элементов. Нумеруются узлы, ветви и задаются направления токов (рис. 5.1).
Граф электрической схемы — условное изображение схемы электрической цепи,
в котором ветви схемы представлены отрезками —ветвями графа, а узлы точками —
узлами графа. Узлы и ветви графа соответствуют узлам и ветвям электрической
схемы (рис, 5.2). Подграф схемы —часть графа схемы,
Рис. 5.1
Направленный граф схемы —граф с указанием условно-положительных направ-
лений токов или напряжений в виде отрезков со стрелками.
При составлении графа ветви, содержащие только идеальные источники напря-
жения (идеальные источники тока), необходимо преобразовать (см. § 1.3). Преоб-
разование ветви с идеальным источником э. д. с. приводит к ее закорачиванию
и переносу э. д. с. в ветви, присоединенные к этому узлу. Преобразование ветви
с идеальным источником тока приводит к ее размыканию и подключению таких же
источников тока параллельно ветвям, присоединенным к этим узлам.
Дерево графа схемы —любая совокупность ветвей графа, соединяющих все его
узлы без образования контуров. Заданный граф имеет несколько деревьев. Число
возможных деревьев пл равно определителю ДУ, составленному по методу узловых
потенциалов, если считать, что проводимость каждой ветви схемы равна единице.
Число возможных деревьев графа рис. 5.2 пд=16 (рис. 5.3).
Величина дерева—произведение проводимостей всех ветвей дерева.
Сумма величин всех деревьев равна определителю матрицы узловых напря-
жений.
Ветвь связи (главная ветвь)—ветвь графа, не принадлежащая дереву.
Рис. 5.3
Величина связи — произведение сопротивлений всех ветвей связи. Сумма вели-
чин всех связей равна определителю матрицы контурных токов.
Главный контур (независимый контур) —образован ветвями дерева и одной
ветвью связи.
Путь графа —непрерывная последовательность ветвей, проходящих не более
одного раза через каждый узел. Для графа (рис. 5.4) между узлами I/ и ///
путь образован следующими ветвями: 2, 5—5, 1—4—3, 1—6.
Сечение графа — совокупность ветвей, рассечение которых делит граф на два
изолированных подграфа. Ветви 1—4—6, 1—5—2 образуют сечение (рис. 5.5).
Сечением может быть изолированный узел.
Главное сечение графа содержит ветви связи и только одну ветвь дерева.
Номер сечения соответствует номеру ветви дерева, пересекаемой сечением. За поло-
жительное направление сечения обычно принимают направление ветви дерева
(рис. 5.6),
76
Рис. 5.4
§ 5.2. Топологические матрицы графа
Геометрия каждого графа может быть описана несколькими матрицами (табли-
цами чисел). В литературе нет единого названия и обозначения каждой матрицы.
При расчете используют матрицу соединений, контурную матрицу, матрицу глав-
ных сечений, матрицы параметров ветвей и др.
Матрица соединений. Данная матрица (структурная или узловая матрица)
определяет схему электрической цепи и является таблицей коэффициентов уравне-
ний, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки матрицы соответствуют
узлам, а столбцы — ветвям направленного графа схемы. Различают полную матрицу
соединений Ап и просто матрицу соединений А. В полной матрице соединений
число строк соответствует числу всех узлов графа, а в матрице соединений— числу
независимых узлов. Матрица А может быть получена, если в матрице Ап вычерк-
нуть одну из строк. Узел, соответствующий вычеркнутой строке, называют базис-
ным. Таким образом, матрицу соединений А составляют для независимых узлов
графа, она содержит в качестве элементов -f-1, —1 и 0.
Если ветвь т направлена от узла п, то в клетку пересечения /n-го столбца
и n-й строки записывают +1; если ветвь tn направлена к узлу л, то в соответст-
вующей клетке записывают —1. Если ветвь т не соединена с узлом л, то в клетке
пересечения ставят 0.
Матрица соединений для графа с базисным узлом IV (см. рис, 5.2) представ-
лена табл. 5,1,
Таблица 5.1
Узлы Ветви
1 2 3 4 5 6
I +1 0 0 +1 0 —1
II —1 +1 0 0 +1 0
III 0 —I — 1 0 0 +1
Контурная матрица В. При составлении контурной матрицы выбирают направ-
ление обхода независимых контуров графа. Число строк контурной матрицы равно
числу независимых контуровЛ а число столбцов — числу ветвей графа. Если направ-
ление обхода контура k совпадает с направлением ветви lt входящей в этот контур,
то в клетку пересечения k-й строки и Z-ro столбца записывают +Ь если направле-
ние, ретви противоположно направлению обхода контура, то в соответствующую
клетку вписывают —1, Если же ветвь I не входит в контур k, то в эту клетку
ставят 0. Для графа рис. 5.2 контурная матрица составления при обходе конту-
ров по часовой стрелке дана табл, 5,2,
Таблица 5.2
Кон- туры Ветви
1 2 3 4 5 6
I +1 0 0 -1 +1 0
II 0 +1 -1 0 -1 0
III 0 0 +1 +1 0 +1
Матрица главных сечений Q. Данную матрицу можно представить в виде таб-
лицы коэффициентов уравнений, составленных по первому уравнению Кирхгофа
для главных сечений, Строки матрицы соответствуют сечениям, столбцы —ветвям.
В клетке пересечения Z-й строки и /-го столбца записывают 4-1, если /’-я ветвь
имеет то же направление по отношению к сечению, что и ветвь дерева. В против-
ном случае в эту клетку ставят —1. Если ветвь не входит в сечение /, то в соот-
ветствующую клетку вписывают 0.
Для графа рис. 5.7 и выбранного дерева с ветвями /—5—2 матрица главного
сечения представлена табл, 5,3,
Таблица 5.3
2Г У * X О 5 Рис, 5.7 Главное сечение Ветви
1 2 3 4 5 6
1 +1 0 0 4-1 0 —1
2 0 +1 4-1 0 0 4-1
5 0 0 4-1 4-1 4-1 0
К матрицам параметров ветвей относят матрицы сопротивлений и проводимо-
стей ветвей, а также столбцовые матрицы источников э. д, с, и токов, матрицу
токов ветвей.
Матрица сопротивлений ветвей ZB. В этой матрице номера строк и столбцов
соответствуют номерам ветвей. На пересечении m-й строки и n-го столбца записы-
вают сопротивления взаимной связи /n-й и л-й ветвей. Л^атрица сопротивлений
Всегда квадратная, по ее диагонали записывают собственные сопротивления ветвей,
78
Если взаимные связи отсутствуют, то матрица диагональная. Для цепи
с четырьмя ветвями без взаимных связей матрица сопротивлений
ӣ1 0 0 0 '
о za о о
О О Zj о
_о о о z4_
Чтобы получить более упорядоченную матри-
цу, целесообразно сначала нумеровать все индук-
тивные элементы, затем емкостные и наконец ре-
зистивные элементы. Число ветвей (порядок матри-
цы) равно числу элементов.
В табл. 5.4 записана матрица сопротивлений
для схемы рис. 5.8.
Рис, 5,8
Таблица 5.4
Ветви 1 2 3 4 5 6 7
1 fc>Lt — МЛз 0 0 0 0 0
2 —/(1)М12 /(OL2 /о)М2з 0 0 0 0
3 0 МГ3 0 0 0 0
4 0 0 0 . 1 1 соС 0 0 0
5 О 0 0 0 . 1 1 <оС 0 0
6 0 0 0 0 0 Ro 0
7 0 0 0 0 0 0 R,
Для уменьшения порядка матрицу ZB целесообразно разбить на подматрицыг
каждую из которых можно обозначить соответственно Z^, Zc и Z^>:
ZB —
о
о
о о ’
zc о
0 ч
Матрица проводимостей ветвей YB. Эта матрица, обратная матрице сопротив-
лений Zb:Yb = Zb1« При индуктивных связях элементы матрицы YB не равны
проводимостям ветвей. Данная матрица симметрична относительно диагонали, если
соблюдается свойство взаимности*
Матрица э. д. с. источников Е. Это столбцовая матрица, число строк которой
равно числу ветвей графа. Э. д. с. £ записывают с положительным знаком в соот-
ветствующей строке, если ее направление совпадает с выбранным направлением
ветви:
Г £11
£3
Матрица источников тока J. Эта матрица является столбцовой, число строк
которой равно числу ветвей графа. Ток источника в матрице имеет знак плюс,
если при обходе контура, образованного источником тока и параллельной ему
ветвью, в направлении ветви заданное направление источника тока совпадает
с направлением обхода:
Л
J = .
Матрица токов ветвей 1В. Это столбцовая матрица, для которой токи в ветвях
записывают со знаком плюс, если их направление совпадает с направлением обхода
контура:
§ 5.3. Составление уравнений электрической схемы в матричной форме
Матричное уравнение контурных токов. 1. В исходной схеме нумеруют узлы,
элементы ветвей и выбирают положительные направления токов в ветвях. Если
ветви схемы содержат только идеальные источники, то их преобразовывают. 2. Граф
схемы изображают с той же нумерацией узлов и ветвей, что и в схеме. 3. Выби-
рают дерево графа. По ветвям связи графа определяют независимые контуры,
которые затем нумеруют. Выбирают направление обхода контуров. 4. Составляют
контурную матрицу В. 5. Составляют матрицу сопротивлений ветвей ZB. В случае
получения сложных матриц В и ZB их разбивают на подматрицы В£> Вс> Вд>, ZBb
Zsc и Zb7?. 6. Матрицу контурных сопротивлений находят по выражению
Z = BZbBt,
где Вт —транспонированная контурная матрица (в матрице В строки и столбцы
поменялись местами). Тройное матричное произведение BZbBt является определи-
1елем системы:
Zn Z12 ... Zm
BZbBt=Ak =
%1п •••
7. Составляют матрицы E и J и записывают уравнение для схемы:
BZbBt/k = B(E-ZbJ).
Матричное уравнение узловых потенциалов. 1. В исходной схеме нумеруют
узлы и ветви. Выбирают базисный узел. 2. Граф схемы изображают с той же
нумерацией узлов и ветвей, что и в схеме. 3. Составляют узловую матрицу А,
которую при необходимости разбивают на подматрицы AL, Ас и Ад. 4. Состав-
ляют матрицу проводимостей ветвей YB, которую при необходимости разбивают
на подматрицы YbL, YbC и Yb^. 5. Матрицу узловых проводимостей находят по
выражению
Уп Уи ... У1m
Yy = AYBAT =
¥\т Х2т * * * Х_тт
где Ат—транспонированная узловая матрица. 6. Составляют матрицы э. д. с. Е
и токов источников тока J и записывают уравнение для схемы: AYBAT(py =
= A(J —EYB).
§ 5.4. Нахождение определителя схемы по топологическим формулам
1. Определитель матрицы узловых проводимостей Д(У> равен сумме произведе-
ний проводимостей ветвей всех деревьев графа схемы:
лд
д(у)=5 ГЛ1ГЛ,... Ynty-u,
п=1
где лд —число всех деревьев графа; YnV Уп2, ... , Yn < — произведение про-
водимостей ветвей и-го дерева графа.
Если проводимость каждой ветви схемы принять равной единице, то узловой
определитель равен числу деревьев графа: Д<у) = лд.
2. Определитель матрицы проводимостей сечений равен определителю прово-
димостей ветвей:
яд
Д"> = Д'У>=Х УщУпа-Уп.у-1»
п — 1
Рассмотрим упрощенные методы вычисления определителя такие, как разло-
жение определителя по узлу или по путям между двумя узлами.
Разложение определителя по узлу. Если к выбранному узлу т подходит л
ветвей с проводимостями alt а2, ... , ап, то определитель
д = S вАА2в^А/+5а<а/в*Д'/л+ •••«
/=1
где Дд —определитель, получающийся из определителя исходной схемы закора-
чиванием ветви и размыканием всех остальных ветвей, сходящихся в узле;
п
2 +а2Д2+ ... +^Д^+ ... +апкп\ Д/у —определитель, получающийся
из определителя исходной схемы закорачиванием ветвей сц и оу и размыканием
всех остальных ветвей, подходящих к узлу (равен сумме произведений проводи-
мостей всех деревьев образованного графа); Еа/а/Д/у = а1а2Д12 + а1а3Д1з+ ...
... +<ДО*А1а + ; &ijk—-определитель, получающийся из определителя исходной
схемы при одновременном закорачивании ветвей i, /, ...» k и размыкании осталь-
ных ветвей, подходящих к узлу. При закорачивании
всех ветвей определитель равен единице.
Пример. Для графа рис. 5.9 разложить определи-
тель А по узлу /.
Решение. К узлу I подходят три ветви a, d и
/, поэтому определитель, разложенный по выбран-
ному узлу,
A = ^Aa+dA^+/Ау +ас?Ад^+а/Аау+б?/А^у
В каждое слагаемое этого равенства входят опре-
делители соответствующих подграфов.
Рис, 5.9
Ветви, подходящие к узлу / Подграф Определитель подграфа
закорачи- ваемые размыкае- мые
а d, f с зН шг Уе Aaj=±c&+t?c+te
d a, f 2К с &d=cb-\-bc-\-ce
1
f a, d с bf^cb^be^ea
У#
Продолжение
Определил ель схемы
Д = (о -}- d -j-f) (cb -j- ec -f- be) -f-ad (e -f- b) -j- of (c -}• £) fd (c -j- b) -f- adf •
Разложение определителя по путям между двумя узлами. Выбирают два узла
и устанавливают все пути между ними. Тогда определитель
Д(у)=2РЛДъ
где -величина &-го пути, равная произведению проводимостей всех ветвей
этого пути; Д^~ алгебраическое дополнение пути, получаемое из определителя
схемы при коротком замыкании всего пути и равное сумме произведений прово-
димости ветвей всех деревьев.
Суммирование выполняют по всем возможным ветвям между выбранными
деревьями и узлами.
Если замыкаются накоротко все узлы, которые входят в рассматриваемый
путь, то Д^ = 1.
Пример. Найти определитель Д разложением по путям между I и III узлами
графа рис. 5.9.
Решение. Между узлами / и III возможны пять путей: ab, de, f, асе и
deb, каждому из которых соответствует подграф. Для каждого подграфа находят
свой определитель Д*, после чего получают определитель исходной схемы Д =
5
= и
Таким образом, определитель схемы
Д=*аЬ [d + c+e) + de(a+c+b)+f[(a + b)c+(d+e)c + (a + b) (d+e)] + ace+dcb.
§ 5.5. Сигнальные графы
Сигнальный граф —совокупность узлов, представляющих зависимые и неза-
висимые переменные системы уравнений и соединяющих их ветвей со стрелками
и передачами, указывающими связи между переменными.
Исток —узел сигнального графа, от которого направлены все примыкающие
к нему ветви.
Сток —узел сигнального графа, к которому направлены все примыкающие
к нему ветви.
Путь —непрерывная последовательность ветвей сигнального графа, направ-
ленных вдоль пути при условии, что любой узел встречается только один раз.
Контур —замкнутый путь графа.
Несоприкасающиеся контуры — контуры графа, не имеющие общих узлов.
Контур обратной связи —замкнутый путь, вдоль которого каждый узел может
встречаться только один раз.
Передача пути — произведение передач всех ветвей, входящих в путь графа.
Передача ветви— отношение выходной величины к входной.
Сигнал проходит только в направлении стрелок графа. Сигнал в узле (пере-
менная х) определяется суммой сигналов, приходящих к этому узлу.
На рис. 5.10, а, б представлены простейшие графы, изображающие соответст-
венно зависимости х — ах0 и х = ах0 + дх1+сх2.
Узел графа, соответствующий независимой переменной (входной величине),
принято обозначать на чертеже слева так, чтобы от него
ветвь (исток). Узел графа, изображаю-
щий выходную величину, обозначают на
чертеже справа так, чтобы к нему подхо-
дила только одна ветвь (сток). Это можно
выполнить вводя в граф, например, до-
полнительные узлы с передачей, равной
единице. При наличии в схеме несколь-
ких источников сигнала граф строят для
каждого сигнала, после чего выходные
только одна
отходила
принципу наложе-
величины находят по
ния. Для одной и той же системы уравнений можно построить несколько графов
в зависимости от того, какие величины выбраны в качестве узлов и как изме-
няется порядок решения исходных уравнений.
Возможно построение графа по заданной системе уравнений и составление
системы уравнений по заданному графу. Полученный граф решают (определяют
функции передачи) последовательным упрощением структуры графа, а также
с помощью формулы Мэзона.
§ 5.6. Алгоритм построения сигнального графа по системе
линейных уравнений
1. Для заданной электрической схемы составляют систему алгебраических
уравнений методами контурных токов и узловых потенциалов или любым другим
методом, который позволяет найти искомые переменные.
2. Каждое уравнение полученной системы решают относительно одной пере-
менной величины, т, е. нормализуют относительно этой переменной и находят
сигнал в узле.
3. Определяют общее число узлов будущего графа ДО, равное сумме чисел
неизвестных переменных и свободных членов уравнения, определяемых наличием
источников энергии в схеме. На поле графа наносят точек так, чтобы между
узлом — истоком и узлом — стоком были расположены промежуточные узлы.
4. Сигнал в узле находят по нормализованному уравнению; он равен сумме
сигналов, подходящих к данному узлу.
Пример. Построить сигнальный граф для схемы рис. 5.11.
Решение. В качестве зависимых переменных выберем контурные токи и
составим уравнения по методу контурных токов:
£1 — £2 = Il (Z1 + Z2) — Л?2 — Л£ь
£2=г— /1?2 Л (?2 + £4 + £б) — ‘
£3 =— Л?1“Л?4 + /з (?1 + ?з + ^4)« -
Нормализуем уравнения:
/ — I £2 1 । £1 I #
1~~%+%+Zi + Z2 /2 + z1 + z2 /з’
f _____*_____Z2 j । £4 f .
2 £2+£4+^5 £2+£4 +£б 1 £2+£4+£5 3’
/ _ Ъ_________|_____£1 ] I £4 f
8 £1+£з+£4 £1+£з+£4 1 £1+£з+£4 2 .
Общее число узлов—-шесть, так как имеем три зависимые (токи) и три неза-
висимые (э. д. с.) переменные. На поле графа изображаем эти узлы,
По нормализованным уравнениям строим граф (рис, 5.12),
Рис, 5,11
Рис. 5.12
§ 5.7. Составление системы уравнений по сигнальному графу
1, Анализ графа проводят с точки зрения определения узлов—-истоков,
узлов —стоков и числа смешанных узлов. Если граф содержит петли, то, следо-
вательно, он нормализованный.
2. Сигнал для каждого узла записывают, имея в виду, что он складывается
только из суммы входящих сигналов:
3, Записывают уравнения для каждого узла графа»
Пример. Составить систему уравнений по графу рис. 5.13.
Решение. Граф рис. 5.13 нормализованный (имеется петля содержит
один узел —исток (а) и три смешанных узла (хх, х2, х3).
Запишем сигнал для каждого узла:
= — а+ех3; ч
xa = 6xi+fx3; >
x3 = dxi + ^x2—x2+er3. J
Граф соответствует следующей системе уравнений:
а = —Xi+ex3; \
0 = ^! —х2+/х3; >
0 = dxi'
§ 5.8. Преобразование сигнальных графов
Преобразование графа заключается в изменении его структуры путем умень-
шения числа узлов, исключения ветвей, петель с целью упрощения графа.
Конечный граф не может быть еще более упрощен.
Операция Исходный граф Упрощенный граф • Уравнение для узлового сигнала упрощенного графа
Последователь- ное соединение £ А 1-^ ab x3=a&Xi
однонаправлен- ных ветвей Х1 Х2 XJ xt хз
Устранение
простой узло-
вой точки,
в которую не
входит петля
Х2 = й&х1;
Операция Исходный граф Упрощенный граф Уравнение для узлового сигнала упрощенного графа
Параллельное соединение однонаправлен- ных ветвей Д Х1^^ ь а+Ь 0 » - О Х2 х2 = (а + 6) Xi
Параллельное соединение разнонапра- вленных ветвей (устранение узла) г Л^1 —~ 4—^ x2 = abx2
Устранение контура в пути 2 ° * с^Хз Ьс о 0 xt хз x3=abxi + bcxt
Устранение петли Х, х2 XJ ab 1-с о-' - о Ду ^3 £ II л 7 §- - п *г.
xj 7 d : 0 Х!С Т e*^oi:s X о ДЛ\)У^г Q - -о Х2 г~с- X X (ах1 + </х4); хз = ь-1~^Х X (аХх + Л^); х5=е 1-сХ X (aXi + dx^
Замена не- скольких петель одной Г;О cL ) Х, Х2 xL = cix1 + + (<> + с)ХЭ .
Операция
Исходный граф
Упрощенный граф
Уравнение для
узлового сигнала
упрощенного
графа
Удлинение
узла
х2 = ах1+гхб;
х2 = 1 • х2;
х3 = Ьх2;
х4 = dx2
Инверсия пути
(изменение
направления
ветви, которая
начинается
в истоке)
Л Направление
всех ветвей
меняется.
2. Ветви из
узлов—стоков
переносятся в
узлы—истоки.
3. Величина
передачи
меняется
§ 5.9. Топологическое правило определения передачи графа (формула Мэзона)
Формула Мэзона позволяет определить функцию передачи Н схемы, исходя
из контуров и путей графа:
п
jj k=A
Н==----Г—
где Р^ —-передача Л-го прямого пути от узла —истока к узлу —стоку вдоль стре-
лок, при прохождении которого каждый узел встречается только один раз (пере-
дача прямого пути Pk равна произведению
передач ветвей этого пути); п —число прямых
путей; Д = 1 — +£Lmi — £Lmi/ + on-
ределитель графа, характеризующий граф
в целом; Lm — передача /n-го контура об-
ратной связи, равная произведению передач
ветвей, образующих контур; Lmi — произведе-
ние передач несоприкасающихся друг с другом
контуров обратной связи; Ьт^—произведение
передач несоприкасающихся друг с другом трех
контуров обратной связи; Д^ —определитель Рис, 5.14
части графа, оставшегося после исключения
контуров, соприкасающихся с &-м прямым путем. Определитель Д^ характеризует
&-й путь графа.
Пример. С помощью формулы Мэзона найти передачу Н^ от узла —истока Х4
к узлу —стоку Х3 графа, изображенного на рис. 5.14.
Решение, Передача
Я18 = (Р1Д1 + Р2Д2)/Д.
Or узла Xi к узлу Х3 имеются два прямых пути: л=2. Передачи этих путей
и Р2=*» Граф имеет три контура обратной связи с передачами L^d,
L>2^*C В /•
Первого прямого пути Pi=ab не касается только один контур обратной
связи Li^d, поэтому Дх = 1 —Li== 1 —d.
Второго прямого пути Р2 = е не касаются три контура обратной связи, при-
чем между собой не касаются только контуры L-x и L3. Таким образом,
A2=l-(Lx + T2 + L3)+I1L3=l-«i + ^+7) + ^A
Определитель графа
Д = 1 —(Гх+£2+£3)+^з-
Окончательно получим
_ab(\-d)+c[\-(d-e--lf + dlf)]
3~ i-[d+e+lf) + dlf
§ 5.10. Сигнальные графы уравнений четырехполюсников
Направления токов и напряжений в четырехполюснике показаны на рис. 5,15.
Рис, 5.15
Уравнения четырехполюсника
^Г1:=?11Л + 212/2,> ^2 = ^21^1 + ^22^21
ГДе 0и и2 — узлы — СТОКИ
U\ = A.L/2 + 2» Л = 002 + О/22
где йи /1—узлы—стоки
/1 = 5^11^1 + 5^12^2*, /2 = K21^1 + Z2^ajfc
где /и /2—узлы—стоки
Сигнальный граф
Уравнения четырехполюсника
Сигнальный граф
— HlJ 1 4" ^12^2, f2 — ^21^ 1 + HjaP2»
где Uu /2 —узлы —стоки
Пример. С помощью преобразования графов осуществить переход от уравне-
ний четырехполюсника в Н-форме:
О1 — Hilt 1 + #12^2*,
/х s И21/1 + Н^Оа
к уравнениям в Y-форме:
Л ~ 1^21^ 1 + K22t/2*
Решение. Для получения соотношений между параметрами Н и Y пре-
образуем соответствующие графы (рис. 5.16, а, б) с последующим сравнением
передач преобразованного и исходного графов.
Решим граф уравнении в Н-форме относительно узла /1, осуществив инверсию
пути Нц. Направления ветвей и величины передач меняются, а ветвь из узла —
стока Ui переносится в узел —сток /х (рис. 5.16, в).
Сравнивая сигналы в узле /t графов уравнений в Н-форме (рис. 5.16, в) и
уравнений в Y-форме (рис. 5.16, б), находим Yn=l/Hn\ У12=—H12IH11*
Для нахождения К21 и К22 решим граф (рис. 5.16, а) относительно узла /2,
сначала исключая этот узел (рис. 5.17, а), затем устраняя контур (рис, 5,17, б).
Таким образом, У21 = H2i/Hiu (^22^11. +Я12Я21)/Я1П
Рис. 5.16
Рис. 5.17
§5.11. Сигнальные графы соединений четырехполюсников
Схема соединения
четырехполюсников
Сигнальные графы
Каскадное соединение
^ = ^41^ + 51/';
= AJJ2 + В2/2;
/2 = С_2^2 4" 2
4=414з+51^2^
В = Ai^2 -j- B1D2’,
С = Сд А% 4" ^21СА»
D — 4” _^1^2>
67i=4t7a4-B/2;
/1 = CU 2 4”
Параллельное соединение
Л'=К;А4-Г_1/Л;
i^y^l+y^
t^Y^ + y^Oi
h=(КА+КА) 4- (К А+КА)
А=(ка+к;о (л+(ка+к;а)
Схема соединения
четырехполюсников
Сигнальные графы
Последовательное соединение
й'1 —
f/i = (?;i + ?r>)/i + (2;a + Z;2)/2;
йг—(?2i+?si) /i+(z2S+z22) /a
Глава 6
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
§ 6.1. Основные определения
Четырехполюсником называют часть электрической цепи, имеющую две парь
зажимов, которые могут быть входными или выходными. К входным зажимав
присоединяют источник питания, а к выходным зажимам — приемники энергии
Примером четырехполюсника является любое электротехническое устройство,
в котором исследуется связь между входными, выходньши токами и напряже-
ниями в зависимости от параметров четырехполюсника (электрический фильтр,
усилитель, дифференцирующие и интегрирующие цепи, трансформатор, линия
передачи электрической энергии и т. п.).
Пассивный четырёхполюсник, не содержа-
щий источников энергии
1 / ' — входные зажимы; 2 2' — вы-
ходные зажимы; tlt /2, U2 — ток
и напряжение соответственно на
входных и выходных зажимах
Активный четырехполюсник, содержащий
источники энергии.
Автономный линейный активный четырех-
полюсник, у которого действие внутренних
независимых источников энергии не компен-
сируется
Симметричный четырехполюсникв кото-
ром перемена местами его входных и вы-
ходных зажимов не изменяет входных и вы-
ходных токов и напряжений
Эквивалентные четырехполюсники —четырехполюсники, при взаимной замене
которых входные и выходные токи (напряжения) не изменяются.
Взаимные (обратимые) четырехполюсники —четырехполюсники, для которых
справедлива теорема взаимности (см. § 1.5). Передаточные сопротивления вход-
ного и выходного контуров не зависят от того, какая из двух пар зажимов явля-
ется входной или выходной (Z12 —— Z21). Симметричные и пассивные линейные
четырехполюсники всегда взаимны (обратимы). Несимметричные активные четырех-
полюсники невзаимны (необратимы).
§ 6.2. Уравнения пассивного четырехполюсника
Выбранные положительные направления тока и напряжения показаны
на рис. 6.1»
Рис, 6.1
При исследовании четырехполюсников за основные переменные принимают
напряжения и токи на входе ult четырехполюсников. В случае гармонических
источников энергии, питающих четырехполюсник, пользуются комплексными зна-
чениями напряжений и токов: £4,Л и Z72/2. Обычно по двум заданным комплекс-
ным переменным находят две неизвестные комплексные величины, составляя два
комплексных уравнения, связывающих неизвестные и известные переменные с
параметрами четырехполюсника. Для линейных четырехполюсников уравнения
также являются линейными. Различают несколько форм уравнений, образованных
в зависимости от того, какие переменные заданы и какие подлежат определе-
нию.
Название уравнений определяется коэффициентами, входящими в уравнения,
например, уравнения Z-формы записи имеют вид:
=5= zn/i + Zi2/2*>
U2 = ^а1/ I + £22/2*
Параметры, входящие в уравнения Y-, Z-, А-, Н-, G-формы записи, зависят
только от структуры четырехполюсника и величины элементов составляющих
четырехполюсник.
Решая совместно уравнения различных форм, можно получить соотношения
между параметрами. При исследовании различных способов соединения несколь-
ких четырехполюсников проще применять матричную форму записи уравнений.
Уравнения A-формы записи удобно использовать при каскадном соединении
четырехполюсников, Z-формы—при последовательном, Y-формы— при параллельном
и Н-формы при последовательном соединении входных и параллельном выход-
ных полюсов.
а “
Формы записи уравнений Коэффициенты
11— У ill) 1 + 2’,
12 = 1^21^ 1 + Уз.2^ 2*,
711 [Г11 К121 Ш.
/г! 1^21 K22J L^2 J ’
1 = YLJ
Ui — 2ц/ j 4- Z12/2*, U2 — ^2il 1 + Z2212’, tL:
pil г?н ?121 ГЛ1. L^2J L?21 ?22J U2J
u=zi / f К \
-a=fi
\1 I /G = o
Матрицы систем уравнений при
У = Л1У22-У12У21 1 N II 1 N & 1 1N IJSJ Л = ДР — ВС В — //ц/7 22 — 21
Y-форма
ГКпГп ] Lbi -?22 £12 Z Z — £21 £11 L z z J 1 1 lto| - lto|lti Ito ' Ito । I 1 *—* 1 1 < x Itei । atl P51 |tci й5||аГ| 1 1
Z-форма Г ъ* -^1 Y Y -Г21 Гн L Y Y J IN iN f- £ IN 'N Й N> । ’i'h'l'h ^l|Ol -' |ul • 1 1 1 1 1^ E ^5 В 1И 'Н-Ф LS 1 ЬЭ |ьз I- ..J
U^AU^+Bl^
/*1=QU 2 4~
Ui = HiJi + H\zU 2’,
/2 — //21/14~ Q22U o’,
#11 Mi ~1з1 ГЛ].
Л J 1^21 #22 MJ’
Л=Qi\U 14- 612/2;
U= Qz\U х 4“ Qzzf 2*>
Pi’upH адш
2J U?21 $22 J L ^2 J ’
Ii /и2=о
A-форма Г-Г22 -1 1 Г21 Г21 -Y -У„ L Г21 Г21 - N 1 юТ2 Ito Ito Г-н я„ i
1 W к?’ 04 04 N! I Nl [N. |Ni 1 Hto,Li:n to । кЦ to *“* to b- to
Н-форме Г 1 -К121 Гн Гн Г21 Y L Гн Гн -1 1 «I — 1 й w 1 04 ’“Ч L 04 N4N1 |Ni N <’ Ji ™ Ni । Nl 1 l 1 1 -IQI^QI aq.|QI - |QI 1 1 ito tt tO I-» r- r* ito'to to I-1 to to |
G-форма
Г Y Г12 1 Г 1 £12 ~] Г с 1 "| Г 1*22 ~//12
— —
^22 У 22 Zu. Zu А А н н
-Гн 1 %2l z 1 В -Яг2 Яг1
- •
L у 22 У22 J L 2ц £н -* L 4 A J L Н н
§ 6.3. Уравнения четырехполюсника в A-форме (основные уравнения)
Питание
со стороны
Схема
Уравнения четырех-
полюсника
Уравнение связи
между коэффи-
циентами
Сходных
зажимов
Выходных
зажимов
— AU2 2>
/i=Ct/2 + D/2
u2=du[+b1[\
tt=CU[ + Al{
AD-BC^\
Для симметрич-
ного четырехполюс-
ника А2 — ВС = 1
Уравнение связи между коэффициентами четырехполюсника AD — BC — \
имеет три независимых коэффициента. Для симметричного четырехполюсника
(A = D) это уравнение содержит два независимых коэффициента.
Измеряемые величины Схема Коэффициенты и входные сопротивления
Комплексные токи и напряжения при хо- лостом ходе и корот- ком замыкании 1'0— п Лх~ 0 02 |4 02' Ю Ць. II II - “ |S |oi II II ri 2 X N' Ъ < 1
|^ЛГ 1'0— п 12К, * i :—f UfO 12' lb Ito II II - |” “ |S aai QI II 11 a a a N! II
Комплексные токи
и напряжения, изме-
ряемые при каждом
опыте только с одной
стороны:
10-*-
й=о
1'0—
1гк
'гк
в=—
li
?2К =
^К _ £
Лк 4
Продолжение
Измеряемые величины Схема Коэффициенты и входные сопротивления
со стороны вторич- ных зажимов 10— И/ 1'0— /7 hx —а>—02 №х —02' Ю It) II II I* Iх я f и
со стороны первич- ных зажимов 4 /0*- |4 1'0— п 1,^0 02' Ю lib. II II “ |5 II (^. [N и P и II “ ICl'iu
Входные сопротивления в зависимости от
Схема
коэффициентов
Д, В, С, D
сопротивлений
?х и
„ AZz+_B
-lBX QZT+D
—LBX —%1X
?2K 4~ ^2
?2X + ?2
^=^ix+^iK;
Л—Лх+Лк
_DZy + B
-^-'CZt. + A
7 __ 7 ZlK+?l
-2BX“-2X7ZT+1T
Коэффициенты четырехполюсника Л, В, C, D, определяемые по входным сопро-
тивлениям при разомкнутых и замкнутых зажимах, вычисляют по формуле
Zix
(^2х —^2к)
Для симметричного четырехполюсника
1 /..../х
V
В обоих случаях коэффициент А имеет два значения и, следовательно, остальные
коэффициенты, определяемые по А, также имеют два значения: В — + AZ2k; С =
А ^2Х Лх А
= ——; D = ~~ А- у— — Это объясняется тем, что разметка зажимов
~1Х — £1Х ~ ’ £2х £2к У
четырехполюсника не влияет на характер и величину сопротивлений Zx и ZK.
В свою очередь эти сопротивления не определяют сдвига фаз между первичными
и вторичными токами и напряжениями.
Чтобы избежать двузначности, пользуются выражением Л=б71Х/б72х» или
==Лк/А*
§ 6.4. Эквивалентные схемы и параметры пассивных четырехполюсников
Эквивалентная схема Параметры эквива- лентной схемы в зави- симости от коэффи- циентов четырех- полюсника Коэффициенты четырех- полюсника в зависимости от параметров эквива- лентной схемы
П-образная
Z4 = В;
______________
~5- (D — 1) ’
4 = 1+fb B=Z4;
(?4 + ?5 + Z6) '
В=1+^
<5
§ 6.5. Соединения четырехполюсников
Вид соединения
Уравнения составных
четырехполюсников
в матричной форме
Схема и матрица резуль-
тирующего четырех-
полюсника
Каскадное
Л=Л;
ir2=u';-,
u'L^u* Ц=1Л
Вид соединения
Уравнения составных
четырехполюсников
в матричной форме
Схема и матрица
резул ьти рующего
четырехполюсника
Последовательное
й2=й'^+й'^ /2=/;=/£
Вид соединения
Уравнения составных
четырехполюсников
в матричной форме
Схема и матрица
резу л ьти ру ющего
четырехполюсника
Параллельнопоследова
тельное
Правила нахождения матриц сложных четырехполюсников справедливы только
для регулярных соединений четырехполюсников. Соединение четырехполюсников
регулярно, если ток, протекающий от зажима одного из соединяемых четырехпо-
люсников, равен току, протекающему к соответствующему зажиму другого четы-
рехполюсника.
При регулярном соединении матрица (уравнения), определяющая каждый
четырехполюсник, не изменится в случае соединения этих четырехполюсников
друг с другом. Соединения уравновешенных четырехполюсников, а также парал-
лельное соединение четырехполюсников, имеющих одинаковые схемы и пропор-
циональные соответствующие величины, всегда регулярны.
Четырехполюсники с двумя закороченными зажимами (например, Т- и П-образ-
ные схемы), соединенные путем объединения этих зажимов так, чтобы образовался
короткозамкнутый контур, всегда регулярны (рис. 6.2).
а) 5)
Рис. 6.3
В общем случае соединения четырехполюсники будут регулярны, если пока-
зания вольтметров на выходе при прямом и обратном питании соединения равны
нулю.
Измерения могут проводиться как при последовательном соединении пар
зажимов (рис. 6.3, а), так и при параллельном (рис. 6.3, б). Если соединение
регулярно, то в зажимах //' и 22* каждого составного четырехполюсника проте-
кают токи, равные по величине и противоположно направленные (рис. 6.4, а, б).
§ 6.6. Характеристические параметры четырехполюсников
Взаимный несимметричный четырехполюсник (Zcl, Zc2, Г}
Характеристические сопротивления ZC1
и Zr2.
1» ЕСЛИ Z2 — ТО ZBXj ~~~
2. Если Zx— Zcl, то ZBX2— Zc2
7 __ AZc2 + B _ -л Г А В
cl~CZc2 + ^”r CD‘;
7 , + B _ Vgg
"C2 QZci + A V CD
ZC1 ~У^^IX^IK >
Zc2 = Z2xZ2K
Постоянная передачи четырехполюсника
при Z2:=Z^2
Г = А + /В,
где А—постоянная ослабления; В—по-
стоянная фазы
1 UtL z г_____ г____ч
г = —ln^V-=ln (/ AD + Ybc) =
~ 2
=А+/В;
ch Г=/ДО; shr = /BC;
ch2 Г—sh«r=l;
‘h Г= У21к/21х= ^2к/^2х
Уравнения с гиперболическими функ-
циями
(t?2 Ch Г + Zc2/2shT);
f/a ch Г + t/2sh r)
Г Zcl \ ec2 /
Уравнения при согласованной на-
грузке (Z2 = Zc2)
Отношение модулей напряжений и то-
ков при Z2 = Zc2
Симметричный четырехполюсник (A — D).
Характеристическое сопротивле-
ние
Постоянная передачи
Уравнения с гиперболическими
функциями
ZC1 — ?!С2 — VШО.
Сопротивление Zc имеет два значения, ко-
торые для реактивного четырехполюсника
реализуются
r = ln(4+CZc\ или Г=1п^Л + --^;
thr = Zc/Zx, или thr = ZK/Zc
U^U2chV + Zct2sh Г;
Л = /ас11Г+ -^-shr
При определении постоянной передачи Г нецелесообразно пользоваться фор-
мулами Г = 1п (Л.+ УВС) и thr = "|/r, так как они приводят к неоднознач-
ности Г. Для выражений th r = Zc/Zx и thr —ZKlZc получают два значения постоян-
ной фазы В.
Соответствующее значение постоянной фазы В устанавливают следующими
способами: 1) опытным путем, измеряя фазовые сдвиги между и й2 (К и /2)
при согласованной нагрузке либо определяя коэффициент А при разомкнутых
выходных зажимах; 2) построением векторной диаграммы четырехполюсника
г / Zc\ ! ZK\
в режиме согласованной нагрузки; 3) вычислением е~ = А = А ,
предварительно определив коэффициент А.
Симметричный четырехполюсник при согласованной нагрузке (Z2 = ZC).
Уравнения люсника Постоянная четырехпо- передачи • Г А /В Ut = U^ =i/2e е ; /1 = /2ег=/2еАе/В Г = А+/В,
. , / Ui \ . f 1Л где А=In -77- =ln -f- \ U2 /z = zc =
[А] —Нп, [В] —рад
1 Нп = 0,868 Б = 8,68 дБ; 1 Б= 1,15 Нп
Вносимая постоянная ослабления четырехполюсника
S S
АБН —0,51п~ Нп, или Авн= 10 lg -c- дБ, причем Авну= А.
С>2 О2
При Si = S2 постоянная ослабления Авн = 0. Если четырехполюсник является
усилителем, то Авн < 0.
§ 6.7. Передаточная функция (коэффициент передачи
или амплитудно-фазовая характеристика)
четырехполюсника
Параметр передаточной функции Математическое выражение
Коэффициент пере- дачи напряжения Коэффициент пере- дачи тока Передаточное сопро- тивление Передаточная про- водимость /у = = %2 ~и й. (АЪ + В) = 4 (CZ2 + D) г(<0)вА=—h— /1 (CZ2 + O) у(Ш)=-А. = —I— U1 (AZ2+B)
Активный четырехполюсник содержит внутри себя источники энергии. Урав-
нения активного четырехполюсника (см. § 6.1) имеют вид
^1 = Zu /х + Z12/2 + £*01*» ^2 = Z21/i + Z22/2 F02.
§ 6.8. Единицы измерения постоянной ослабления
Единица и ?мер< яия Определение
[A]=l 1 In Pt/P2 = e2; У1/У2 = /1//2 = е; А=0,5 In Pi/P2= 1
[A] = l Б При Z2 = ZC S1/S2=10; U1/[/2=/T6=3,16;
£ слГ Col Go ЬЭ I»-* 11 cdc:
при Z2 = ZC A=21g[/j/l/2 = 21g/l//2
[A]=l дБ UXIU2= 1,12; A = 201g
Глава 7
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
§ 7.1. Классификация
Частотные электрические фильтры являются пассивными четырехполюсниками,
предназначенными для пропускания определенной полосы частот с возможно малым
затуханием. В остальном диапазоне частот затухание велико.
Свойства фильтра характеризуются вторичными параметрами четырехполюс-
ника: характеристическим сопротивлением Zc и постоянной передачи Г = A + /Bt
где А —постоянная ослабления; В —постоянная фазы.
Классифицируемый признак Вид фильтров
Пропускаемый спектр частот Низкочастотные, высокочастотные, полосовые, заграждающие (режекторные)
Схемы звеньев, составляющих фильтр Элементы, схемы, составляю- щие фильтр Г-, Т-, П-образные (цепочные), мостовые и др. Реактивные, содержащие только L и С; без- ындукционные, содержащие R и С; пьезоэлек- трические, состоящие из кварцевых пластин
Характеристика фильтра Типа k, mt mm
§ 7.2. Электрические реактивные цепные фильтры
Четырехполюсник, состоящий только из реактивных элементов, является
фильтром, т. е. имеет полосу пропускания. При этом реактивные сопротивления Zx
и Z2 имеют различные знаки (рис. 7.1).
Полосой пропускания реактивного фильтра называют область частот, при
которых постоянная ослабления реактивного фильтра А равна нулю. Остальным
частотам соответствует область затухания. Для симметричных Т- и П-образных
фильтров (рис. 7.1, at б) в полосах пропускания и затухания постоянную пере-
дачи Г = А + /В определяют из соотношения
A=ch r = ch A cos B + /sh Asin В = 1+— = ~-=+: 1, (7.1)
" 2Z2 U 2х
где Я —постоянная четырехполюсника; Zt и Z2 — параметры Т- и П-образных схем
четырехполюсника; 6/1х, 6/2х —напряжения на входе и выходе фильтра при разом-
кнутых выходных зажимах.
В реактивном фильтре коэффициент четырехполюсника А (со) имеет вещест-
венное значение, поэтому выражение (7.1) распадается на два уравнения, опреде-
ляющих частотные зависимости А (со), В (со) и Zc (со) в областях пропускания и
затухания:
sh A sin В = 0;
ch A cos В = А = ~
и*
(73=о’
гс(<0)=/ Ак«о) Ах «о).
При расчете фильтров за исходные схемы Г-образных четырехполюсников
принимают схемы рис. 7.2, а, б.
1 Ъ/2 li/2 2 1 Z' 2
0-£=Э-|-СО-0 0—Т-сЬ-1—а
$-----1------------------ 2'
а) В)
Рис. 7.1
in [р4 ir ZT П
7'0—*-------02' 1'0-------J—02'
П-Вход Т-бход T-txoB П-Ш
а) В)
Рис. 7.2
Постоянная передачи Г-образного звена обозначается через Г/2 для того,
чтобы при каскадном соединении двух таких звеньев получился П- или Т-образ-
ный фильтр (рис. 7.3, а, б) с постоянной передачи Г,
2 Ъ/2 1 Zj/2 2 1 it/2 2 Zt/2 1
g>---1----□ « □—|-----------0 0—0—r -* |—0—0
h#2 м ^p U^2
0 ---1' .... • —.....« 0 0----1 ».....4 0
21 1' 2‘ /' 2‘ 1‘
a) 6)
Puc. 7.3
При этом
. Г . / A . В \ , А В ., А. В -и /~ /'7о\
Sh j==Sh(2‘+/ 2/=Sh TC0S 2 +'Ch 2~ Sm T = V <7-2)
Для Г-образного реактивного фильтра (сопротивления Zx и Z2 имеют различ-
ные знаки) соотношение (7.2) распадается на два уравнения, справедливые также
и для симметричных Т- и П-образных фильтров:
, А В Л
sh -у cos y = 0;
ch -2 s’nT = ±y 4X7-
Рассмотрим реактивные согласованные фильтры типа k.
Параметры Полоса пропускания Полоса затухания
Постоянные ослабле- ния и фазы А = 0; cosB — ±: 1 -> (Di, (02’, cos В = Л (со) -> В (со); ZC = ZCJ ^1—^2, = Л->оо; sinB = O; В = 0 zt л; ch А = А (со) -> А (со); Zc=zt/X; Vi>(/2; /1>/а
Параметры Полоса пропускания Полоса затухания
ДЛЯ П-, Т- и Г-об- разных схем В (со) -» В (со) = А = 1 + Zi/2Z2; В (со) -> sin В (со)/2 = = ±/Х,/4Ха Постоянная фазы, продоль- ное сопротивление и попереч- ная проводимость имеют один и тот же знак А (со) -> ch A ((d) =— A = —(1+4): A(<o)-»ch 2 ]/~ 4Xi
По уравнениям
Z1==0; Z1 = -4Za I — Y2Zt = 4-, -Уа?1=оо
Графически
Граничные частоты
полосы
1. По Zx (со) и — 4Z2 (cd)
2. По A (cd)
Л
Характеристическое
сопротивление
для Т-, П- и Г-об-
разных схем
Сопротивления ZcT и Zcn —
чисто активные:
zeT (W)=04-/z/F;
Сопротивления ZcT и Zcn —
чисто мнимые, разного знака:
1) знак ZcT при данной
частоте совпадает со знаком
ZBX в схеме;
Z/Z? Zf /2
Параметры
Полоса пропускания
Полоса затухания
для Г-образных со
стороны Т- и П-входа
2) знак ZcV[ при данной
частоте совпадает со знаком
ZBX в схеме
§ 7.3. Реактивные фильтры типа k
Фильтрами типа k называют фильтры, у которых произведение сопротивле-
ний Zx и Z2 является постоянной величиной, т. е. не зависит от частоты: ZXZ2==Z?2.
Границы полосы пропускания определяют по уравнениям | Zx | = 0 и | Zx | — 2k.
Недостатки фильтров типа k‘. 1) небольшая крутизна частотной кривой зату-
хания, что не обеспечивает четкого разделения частоты среза; 2) резкое измене-
ние частотных кривых характеристических сопротивлений ZcT и Zcn в полосе
пропускания, вследствие чего не удается согласовать фильтр с нагрузкой по всей
этой полосе (рис, 7.4),
Рис. 7.4
о
Характе- ристики фильтров Т- и П-образные схемы фильтров
Фильтр нижних частот Фильтр верхних частот Полосовой фильтр Заграждающий фильтр
Z/Z 4g 0 1 0 L 2С 20 *нннн* \L 0 1 0 ~ _ \\0 k I, ft 2 С, 2Ct 1, ft 0 -1 s 0 l,!2 Ljft a 0 ЧФ"К -T-£Z? 0 * - 6 0 к=УЩс'^УЦ1С1
у. 0 с/г± е=с/г 0 1 1 0 k = V~LiC *
ч и =f2/Z
k=VL/C =/l1/c2=Kl2/c1
Граничные частоты полосы пропускания ©! = 0; ю0 = 2[Y LC 1=sl гсоад^11’ соо= 1/2 ]/YC; (о = оо 2(o2L2C! ’ ®l»2 = ®0 £^4"1 1 = _J <Bo-Kla Vl&’ (о^г^соо — 1^1 — 2L2C1 («2 — <05)2 " =C+1; Vl^+x^c^Vl^^ “>’2 4МСг 1 1 Y L4C1 Y L2C2 (0i(02 = (0^
Частотные зависимости постоянной ослабления и фазы л,в я В(ы) -7Г \а(Ы) 1 X 1 f X,5 П -Tt V yz , X. B(u)/7 /,5 3t -7Г
1 У 1 t Op 1ft Ip 2j)u/w0 /в&) laZ a2 U1 Сй2 SU (b(co)
Ор 1р 1р 20 Ь)/и
1 1' 1 1
Частотные
зависимости
характери-
стических
сопротивле-
ний
Параметры
(Dq (DqZc
„ т/’T 2
ZQ — I/ --J (Dq — .--
ГС VLC
Zc _ c 0,5 .
2(00 ’ a>0Zc '
1
(Do =---
2VLC
§ 7.4. Реактивные фильтры типа tn
Фильтры типа tn являются производными фильтров типа k. Произведение
сопротивлений Zt и Z2 зависит от частоты.
Фильтры типа т могут быть получены из Г-образных звеньев фильтра типа k
(см. рис. 7.2, а, б).
Г-образный параллельно-производный фильтр типа т (рис. 7.5, а) образуется
из Г-образного звена
со стороны Т-входа, в котором полагают Zim — mZi. Из
0-С=Зг-^9-----0
^СТт [1^/77
0"— *-----0
а)
Рис.
зуется из Г-образного
условия равенства характеристиче-
Zf ского сопротивления ZcTm нового
"0 фильтра характеристическому со-
противлению ZcT исходного Г-об-
разного фильтра типа k (ZcTm =ZcT
"0 определяют Z2m фильтра типа tn,
рис. 7.5, б).
7,5 Г-образный последовательно-
производный фильтр типа т обра-
звена со стороны П-входа при Z,2m~Z2/tn (рис. 7.6, а) и
Zim, определяемого из условия равенства характеристического сопротивления
ФильтРа типа т характеристическому сопротивлению Zcn фильтра типа k
(рис. 7.6, б).
Границы полосы пропускания фильтра типа tn определяют, как и для
соответствующего фильтра типа k. Эти фильтры имеют одинаковые области про-
пускания, но различные частотные характеристики затухания. Фильтры типа т
каскадно соединяют с фильтрами типа k по принципу согласования (рис. 7.7).
0—
0—
Рис. 7.6
Рис. 7.7
При этом фильтры типа tn повышают затухание схемы вблизи граничных частот,
а фильтры типа k обеспечивают большое затухание на других частотах полосы
затухания.
Вид схе- мы Фильтр нижних частот Фильтр верхних частот Полосовой фильтр
2С/т
т—II—
3Z/77
0
§ 7.5. Безындукционные фильтры (^С-фильтры)
Безындукционные фильтры не содержат индуктивных катушек и состоят из
конденсаторов и резисторов. 7?С-фильтры обычно применяют, когда сопротивление
нагрузки велико по сравнению с сопротивлением фильтра (например, в ламповом
усилителе).
Глава 8
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
§ 8.1. Методы расчета
Переходные (нестационарные) процессы возникают в результате коммутаций,
происходящих в электрических цепях, и являются переходными режимами между
двумя принужденными. Под коммутацией понимают различные включения, выклю-
чения, переключения пассивных и активных ветвей и элементов электрической
цепи, приводящие к изменению схемы или ее параметров. Обычно считают, что
коммутация совершается мгновенно (время коммутации / = 0).
При наличии в цепи накопителей энергии (индуктивных катушек и конденса-
торов) переходный процесс имеет конечную длительность. Практически длитель-
ность переходного процесса составляет доли секунды (например, сотые); теоре-
тически время протекания переходного процесса t = co.
Метод Краткое описание
Классический Интеграл дифференциального уравнения послекомму- тационной схемы записывают для искомой переходной функции (тока, напряжения и т. п.) в виде суммы при- нужденной и свободной составляющих этой функции. Постоянные интегрирования, входящие в свободную со- ставляющую, находят, исходя из начальных условий искомой функции и ее производных. Число постоянных интегрирования определяется порядком дифференциаль- ного уравнения п. Необходимое число производных в мо- мент коммутации (/ = 0) равно п—1. Вид свободной со- ставляющей зависит от корней характеристического уравнения. Данный метод применяют для решения дифференциаль- ных уравнений первой и второй степени. При более вы- соких степенях определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения затрудни- тельно
Операторный (метод преобразования Лап- ласа) Интегрально-дифференциальные уравнения послекомму- тационной схемы интегрируют при помощи интеграла Лапласа. Начальные условия учитывают при переходе от интегрально-дифференциальных уравнений к их изобра- жениям (алгебраическим уравнениям). Полученную си- стему алгебраических уравнений решают относительно изображения искомой функции. Переход от изображения к оригиналу совершается в зависимости от вида изобра- жения (по таблицам соответствия изображения и ориги- нала, теореме разложения, интегралу Бромвича). Операторный метод основан на использовании тех же методов составления уравнений, которые применяют для анализа установившихся процессов при постоянных и гармонических источниках (комплексный метод). Данный метод удобен при расчете схем с негармони- ческими периодическими э. д. с. (токами). Его применяют при расчете схем, описываемых алгебраизованными диф- ференциальными уравнениями третьего и выше порядка
Метод Краткое описание
Интеграла Дюамеля Переходный процесс при воздействии источника э. д. с. (тока) произвольной формы на схему с нулевыми на- чальными условиями рассчитывают по уравнению, назы- ваемому интегралом Дюамеля. Применению интеграла предшествует расчет переходного процесса при включе- нии рассматриваемой схемы на единичную Функцию. При этом определяют переходную функцию (для тока или напряжения). Данный метод применяют при расчете схем с входным импульсным напряжением сложной формы
Частотный (метод преобразования Фурье) Данный метод основан на преобразовании Фурье, представляет частный случай преобразования Лапласа, в основном применяется к абсолютно интегрируемым функциям. Преобразования Фурье устанавливают связь между спектральным составом напряжения (тока) на входе, выходе и частотной характеристикой цепи, что необходимо при решении многих задач по электротех- нике. Достоинством метода является сведение расчета пере- ходного процесса к расчету установившегося процесса при гармонических источниках. Однако при этом при- ходится интегрировать сложные функции. Применение метода особенно целесообразно, когда известна частотная характеристика схемы, а не сама схема
Переменных состоя- ния Для послекоммутационной схемы вместо одного не- однородного дифференциального уравнения n-го порядка решают п дифференциальных уравнений первого порядка относительно выбранных переменных состояния. Пере- менными состояния могут быть напряжения на конден- саторах, токи в индуктивных катушках, а также другие переменные, по начальным значениям и входным воз- действиям которых определяют искомые переходные функции. Данный метод наиболее универсален для анализа электрических цепей; также может быть легко приспо- соблен для расчета переходных процессов на цифровых вычислительных машинах
§ 8.2. Законы коммутации
Законы коммутации Пример
Ток и магнитный поток в ветви с ин- дуктивным элементом не могут изменяться скачком и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непо- средственно перед ней (условие непре- рывности тока и магнитного потокосцеп- ления): i(0_) = /(0+); У (0_) = ¥ (0+) Rf S 5 wv П/?2 Г 1 I
/(0_)-»(0+)-£/№+/?)
Законы коммутации
Пример
Если в схеме после коммутации обра-
зовались сечения, состоящие только из
индуктивных элементов или из индук-
тивных элементов и источников тока, то
в момент коммутации справедливо усло-
вие сохранения (непрерывности) магнит-
ного потокосцепления. Алгебраическая
сумма потокосцеплении индуктивного
элемента в любом замкнутом контуре не-
прерывна: Е (0 ) = Е Ч'л (0+) или
При совпадении направления обхода
индуктивного элемента и положитель-
ного направления тока в нем потоко-
сцепление имеет знак плюс
Lii’i (0_) — Mi2 (0.) +
+ 12г2 (OJ-M/i (0„) = L1i1 (0+)-
-M/2(0+) + L2f2(0+)-Mr2 (0+)
После коммутации
Ч (0+) = г2 (0+)==i(0).
0 . (Li-M)G(0_)+(L2-4nf2 (0-)
+' L1 + L2-2M ’
; (Л \ _____
2k Я1Я2+ЯЛ+ЯзЯ1
Напряжение и заряд на емкостном
элементе не могут изменяться скачком и
в момент коммутации равны тем значе-
ниям, которые они имели непосред-
ственно перед ней (условие непрерывности
напряжения и заряда): ис (^-) = ис (0+);
Q(O_) = Q(O+)
Если в схеме после коммутации обра-
зовались контуры, состоящие только из
емкостных элементов или из емкостных
элементов и источников э. д. с., то в мо-
мент коммутации справедливо условие
сохранения заряда на этих элементах.
Алгебраическая сумма зарядов на ем-
костных элементах, присоединенных к
общему узлу, непрерывна: EQa>(0^) =
= Е<2И0+) или ^^исл(°-) =
= S Ckuck (°+)*
иС — (°+)“£
С1МсЛ°-) + С2“сЛ°-) =
= с1“с1 (°+) + С2иС, (о+).
Законы коммутации Пример
Знак заряда записывается в соответ- ствии с направлением напряжения на емкостном элементе по отношению к рас- сматриваемому узлу. По закону непре- рывности заряда число составляемых уравнений должно быть равно числу уравнений по первому закону Кирхгофа Если uc(0J = uCi (0+) = izC2(0+),to C,uc (0 ) + С„ис (0 ) цс(°+) 1 -Учи- тывая, что мС1(0_) —£; ис^ (0_) = 0, получим «с(0+) = С1Е/(С1+С2)
§ 8.3. Классический метод
Решение дифференциального уравнения для схемы, образованной после ком-
мутации, записывают без его составления в виде принужденной и свободной
составляющих. Например, для переходных тока и напряжения
ч=1*пр (О 4“ ^св (0>
«/ = «пр (0 + «св (0-
Такие составляющие являются вспомогательными (расчетными) величинами.
Переходный ток (напряжение), т. е. реакция цепи на производимую в ней коммутацию it (ut)
Принужденная составляющая переходного тока (на- пряжения), т. е. частное решение неоднородного диффе- ренционного уравнения, определяемое по схеме, образо- ванной после коммутации. В схеме с периодическими (постоянными) источниками принужденная составляющая является установившейся величиной и также будет периодической (постоянной) во времени 1пр (0 [мпр (01
Свободная составляющая переходного тока (напряже- ния) представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения для послекоммутационной схемы. При расчете свободной составляющей в схеме, образо- ванной после коммутации, э. д. с. и токи источников тока принимают равными нулю (источники э. д. с. за- корачивают, а ветви с источником тока разрывают). Значение свободной составляющей зависит от вида элек- трической схемы, ее параметров и перераспределения за- пасов энергии в накопителях энергии. Свободная соста- вляющая затухает с течением времени (теоретически при t = co) *СВ (0 [WCB (01
§ 8.4. Характер свободного процесса в зависимости от корней
характеристического уравнения апрп -J- d^p^1 + • • • + aiP + ао=О
Характер корней
Уравнение свободного процесса
Корни действительные неравные (всегда
отрицательные): р!=—а, р2=—Ь,
Рз^—с» ...
Корни действительные равные (всегда
отрицательные): = р2 = р3 = — а
Один корень действительный (всегда
отрицательный), а два корня комплекс-
ные сопряженные (действительные части
всегда отрицательные): р1(2 = —b ± jar,
Рз=—а
1’св = Ае-а' + А£~Ы + Д3е“с<
*cB = (A + ^ + A/2)ea'
(св = Д1е-а< -J- (Л 2 cos со/ 4-
4- Д3 sin со/) e"w
§ 8.5. Составление характеристического уравнения
Первый способ. Определитель матрицы контурных сопротивлений (узловых
проводимостей), составленный по методу контурных токов (узловых потенциалов)
для переменного тока с заменой /со на р, приравнивают к нулю:
det Z(K) (р) = 0 или det Y(y) (р) = 0.
Данное алгебраическое уравнение решают относительно р, что позволяет
получить корни характеристического уравнения ргр2... р^ ....
Для схемы рис. 8.1 матрица контурных сопротивлений
Z<K)(p) = p + P£ + *3
L -“аз
-Рз I
1/pCj-
Рис. 8.1
Рис. 8.2
Приравнивая к нулю определитель этой матрицы, получим характеристи-
ческое уравнение
det Z<K> (p) = (/?4-pL+Ks) №+ 1/рС)-^=0.
Второй способ. Входное комплексное сопротивление (проводимость) послеком-
мутационной схемы приравнивают к нулю и заменяют /со на р: ZBX(P) = O или
Квх(р) = 0.
Полученное алгебраическое уравнение решают относительно корней pk.
В общем случае входное сопротивление (проводимость) находят по отношению
к зажимам, к которым подключена ветвь с искомой переходной функцией
07» «/)• Для схемы рис. 8.2 входное сопротивление
^ВХ (Р) — ^2 +
(рЬ + Я)(Ъ + 1/рС)
R + pL + ^ + 1/рС и'
Решая это уравнение относительно р, получим два корня рг и р2*
§ 8.6. Определение степени характеристического уравнения
Степень характеристического уравнения равна сумме порядков дифферен-
циальных уравнений для независимых контуров, выбранных так, чтобы порядок диф-
ференциальных уравнений для них был наименьшим.
Характеристическое уравнение нечетной степени имеет хотя бы один действи-
тельный корень (отрицательный). Характеристическое уравнение четной степени
имеет четное число действительных или комплексно-сопряженных корней.
Коэффициенты характеристического уравнения должны быть действительными
и положительными. Наличие в схеме ветвей с взаимной индукцией не повышает
степень характеристического уравнения.
§ 8.7. Начальные условия (начальные значения токов и напряжений при t—Q)
Независимые начальные условия —значения тока (потока) в индуктивном и
напряжения (заряда) на емкостном элементах в момент коммутации (/==0), опре-
деляемые по законам коммутации.
Зависимые начальные условия —значения токов и напряжений в момент ком-
мутации (/ = 0+), определяемые по схеме, образованной после коммутации по
законам Кирхгофа с учетом законов комму-
тации. Схема имеет нулевые начальные усло-
вия, если в момент коммутации (^ = 0) токи и
напряжения на всех ее пассивных элементах
равны нулю (iL(0) = 0, wc(0) = 0).
При нулевых начальных условиях нали-
чие индуктивного элемента равносильно раз-
рыву ветви р*£(0_) = 0], а емкостного —коротко-
му замыканию [ис(0_) = 0]. Постоянные инте-
грирования, число которых равно порядку
уравнения п, определяют по зависимым и независимым начальным условиям.
При этом вычисляют значение искомой переходной функции и ее (п— 1)-ю про-
изводную в момент коммутации / = 0.
Найдем независимые и зависимые начальные условия для схемы рис. 8.3
(Е = const).
Рис. 8.3
Начальные условия Математическая запись
Независимые
Начальные
условия
Математическая запись
Зависимые
В момент коммутации
«•(0+) = «1(0+) + i3(0+);
£ = i(0+)/? + «c(0+) + i2(0+)R2>
(законы Кирхгофа)
откуда
£~wc(°+)
i(0+)=----^_L+L;
М0+)
E~UC (°+)
Zi(0+).
R
гт dii I
Производную
+ LTrL-“eW =
dt /-о
находят из уравнения R^ (0+)
“с(0+)-ДЛ(0+)
L
§ 8.8, Определение зависимых начальных условий
Значения зависимых токов, напряжений и производных в момент коммута-
ции могут быть найдены непосредственным применением законов Кирхгофа либо
с помощью эквивалентных схем.
Определение зависимых начальных условий с помощью законов Кирхгофа.
1. По законам коммутации определяют iL (0_) и ис (0__). 2. Для цепи, образован-
ной после коммутации, составляют уравнения Кирхгофа и записывают их для
момента коммутации / = 0 с учетом iL (0_) и ис (0_). 3. Полученную систему
алгебраических уравнений решают относительно искомых величин при / = 0.
В случае необходимости, например, для определения первой и второй про-
изводных при / = 0 уравнения Кирхгофа дифференцируют и решают совместно
для / = 0.
Определение зависимых начальных условий по эквивалентным схемам. Экви-
валентные схемы составляют для момента коммутации t — О отдельно при опреде-
лении начальных токов, напряжений и производных. Составление эквивалентных
схем основывается на теореме компенсации.
1. Для послекоммутационной схемы при /=0 вместо индуктивных и емко-
стных элементов включают в схему соответственно источники тока и напряжения.
Токи источников тока по величине и направлению равны iL (0_). Напряжения
источников напряжения по величине равны wc(0_) и имеют противоположное
направление. Полученные схемы постоянного тока без накопителей энергии рас-
считывают с помощью любого метода расчета электрических цепей. При этом
кроме искомых величин определяют напряжения на индуктивных uL (0) и токи
в емкостных г‘с(0) элементах. Полученные значения используют в последующих
эквивалентных схемах для расчета производных
2. Эквивалентная схема, составленная для
при / = 0, содержит источник напряжения
с напряжением, равным du/dt, вместо
индуктивного элемента — источник тока
wl(0)/L, совпадающий по направлению
с током iL (0) и вместо емкостного элемен-
та—источник напряжения г’с(О)/С, направ-
ленный противоположно ис (0).
Аналогично составляют эквивалентные
при / = 0.
определения первых производных
Рис. 8.4
напряжения источников, заменяю-
схемы для определения высших производных
при / = 0. Каждый раз из предыдущей схемы
находят (по величине и направлению) токи и
щих соответственно индуктивные и емкостные элементы.
Пример. Составить эквивалентную схему для определения в начальный момент
/ = О токов во всех ветвях схемы рис. 8.3.
Решение. Рассчитаем независимые начальные условия по законам комму-
тации:
41(О_) = Е/7? + 7?2; u^^ERJR + R^
Составим схему замещения для токов (рис. 8.4). Искомые токи определяем мето-
дом контурных токов по схеме рис. 8.4:
i(0) = /
_E-«c(0_) + h (0_)/?2
R+R*
42(0)х=Ц0)-41(0>
§ 8.9. Определение начальных условий для свободных составляющих
токов и напряжений
Начальные значения свободных составляющих токов в индуктивных и напря-
жений на емкостных элементах, а также их производные могут быть определены
с учетом законов коммутации по следующим соотношениям:
‘1сВ(о+)=1мо+)-‘лпр(°+);
ИСсв “ иС ИСпр
В других элементах схемы начальные значения свободных составляющих токов
и напряжений рассчитывают на основании уравнений, составленных по законам
Кирхгофа для послекоммутационной схемы без источников энергии.
Пример. Определить начальные значения свободных составляющих токов
и напряжений (рис, 8.5) при Е = const.
Решение. Схема для расчета свободных составляющих дана на рис. 8.6,
При этом
'* <0J-ibrp (0J- = 0;
“c. <° J " «c ("J - «ср «М - 0 - R » - * R.
По законам Кирхгофа
l'CB (0+)/?+«Ссв (0+) —0;
г1св(0+) = 1'св(0+) —‘СсВ(°+):
+ *£св (°+) “ мСсв
откуда гсв (0+) = - «Ссв (0+)//?ь
^Ссв __ иСск (°+)~Лср (°+)
dt /=0“ L
Рис. 8.6
Рис. 8.5
§ 8.10. Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом
1. В послекоммутационной схеме известными методами находят принужден*
ные составляющие искомых токов и напряжениГт.
2. Составляют характеристическое уравнение и определяют его корни. Исходя
из характера корней, записывают выражения для искомых свободных соста-
вляющих токов и напряжений через постоянные интегрирования. Переходные
значения искомых функций рассматривают как сумму найденных значений при-
нужденной и свободной составляющих данной функции, например i/ = inp + iCB‘
3. До коммутации рассчитывают токи в индуктивных iL(0_) и напряжения
на емкостных нс(0_) элементах, в соответствии с которыми по законам комму-
тации определяют независимые начальные условия: iL(0+) = iL (0_); uc(0+) = uc(0_).
4. Зависимые начальные условия находят по уравнениям Кирхгофа в после-
коммутационной схеме с учетом независимых начальных условий. Постоянные
интегрирования вычисляют с помощью начальных условий для искомых функций
и их производных. Найденные начальные условия подставляют в уравнение
^искомой переходной функции для / = 0 /ДО) и в уравнения его производных,
записанных для t — О. Полученную систему алгебраических уравнений решают
относительно постоянных интегрирования.
§8.11. Переходные процессы в простейших схемах
Схема Напряже- ние (ток) Переходные величины Графики переходных величин
Схемы, содержащие R и I.
t=L/7?; iz£(0)==0
+
3,
.s
'из
£
II
'‘--i- X
X sin(o)/ +1[> — <р)—
—sin (ip—ф)е“//т;
Z = K^+(wZ-)2;
tg<p = <oL//?
Схема Напряже- ние (ток) Переходные величины Графики переходных величин
ltL * - -?4r—-4 J (t) = const t(L~'1 R+Ri X X (Ri + Re'W); i — j—/L_ x При R<Ri
( с
L di‘L -L Rl + R ; _ r Rr dt 1 Ri tL ‘ R+Ri X (1—e~z/T), где r=L/(7?+ /?!); ut^=itRi .... J HtXf о
t
— J (0*,
L ditL
~R dt
J (/) = const ia = J(0)(1-e"z/T); ^ = J(0)e'^; utR ~ Ri/R ~ = J(0) = №-//T UtH —^<7 t
J (t} = Jm sin (orf+4’) _J_mR_ ltL~ Z x X sin (<B<4-ip — q>) — — J-~ sin (г|) — <p) e-Z/T; Z=/7?24-(<oL)2; tg<p = (i)L/^
Схемы, содержащие R и С.
duir
RC — \-uiC — e (Q;
uc(0) = 0; t = 7?C
Схема Напряже- ние (ток) Переходные величины Графики переходных величин
dUp *‘~С dt- R* X [costp sin (co/ + ф — — ф) — sin ф X
utc^Cnp> иссб
e (t) = Em sin (coZ-f-xp) X sin (i|>—<p — -1И “'C = ZwC X X sin — ф — __ __ v 2) X sin^ip—ф—^e_//T; z=/i?2+(i/oC)2; tg ф = — 1 /RmC = ^^rT**** / ucci \^ute
=♦% U4 § r- — </- R utc==e(Q)^~t!x lt>utc e(o) e(o)/R
dUff RC 1Г+и‘с- U,r = Ur’ T — tC C cir = 0; RC <4 '
n=RC-,
z=/(i/A’)2+(®c)2;
u(0)=0
Схемы, содержащие последовательно соединенные J?, L и С. Свободные состав-
ляющие при переходном процессе (ZCB, псв, </св) описываются дифференциальным
уравнением второго порядка:
^^*св । R dien । 1 • ___л
dt2 + L dt + LC св— '
Характер свободного процесса зависит от начальных условий и корней
характеристического уравнения p2-\-R/Lp + 1/LC = O, откуда pL> 2 = — R/2L zt
± /tf2/(2L)2— 1/LC.
Рассмотрим разряд конденсатора на RL при подключении схемы к постоян-
ному и гармоническому напряжению.
При разряде конденсатора на RL (рис. 8.7) в момент коммутации напряже-
ние на нем равно wc(0), а ток в контуре г(0) = 0,
Рис. 87
При этом в контуре наблюдается только свободный процесс, характер кото-
рого определяется корнями характеристического уравнения.
Вид разряда Корпи характери- стического уравнения Свободные составляющие тока и напряжения Графики свободных составляю- щих тока и напряжения
Апериодический /R 1 . \ 2L > VLC ’ «>2/с; Два действитель- ных отрицатель- ных неравных корня Pi и р2 (/с(0) “С“_Р2-Р1Х X (Раер>/-Р1ер2/); и, =^)_х Р2-Р1 X (pieP1<—p2ep,t) I
Предельный апериодический / /? _ 1 . \ 2L ]/LC ’ ^кР = 2 j/^ Два вещественных отрицательных равных корня (Я>Якр): Pi = Pi=—R/2L £/r(0) «св = ^—tepl; «1св = = -t/c(O)(l + pOeP' II
Колебательный /Я_ 1 . \ 2L < VLC ’ R<2Vl/C^ Два комплексно- сопряженных корня Pi= —а + /(Оо! р2=—а — где a=R/2L*t 1 R2 "° V LC 4L2 uc tCB=*~at sin (ц/ + Л) ; ac(°) "CcB Wu/LCX X sin(<o0/+x); «c(0) “£cB '<oa/LCX X e-o/ sin(<iV—x); III
Ill
При колебательном разряде конденсатора в ^LC-коитуре возникают затухаю-
щие колебания свободной составляющей тока с периодом собственных колебаний.
Затухание колебаний свободной составляющей тока характеризуется декрементом
колебаний тока Д и логарифмическим декрементом колебания б.
Логарифмический декремент колебания тока равен натуральному логарифму
отношения двух следующих друг за другом максимальных значений тока одного
знака: _ . А . Ie~at
0 = In Д = In----------= а7',
/е-а(/+Г)
При подключении
(рис. 8.8) при нулевых
схемы к напряжению исследуют переходный процесс
начальных условиях [i(0_) = 0; нс(0„) = 0]. Уравнение
Рис. 8.8
ставляющие тока и напряжения
для рассматриваемой схемы имеет вид
R
L
d4t
di2
dif । 1 • d
di + LC 4 ~ dt e (0'
При постоянной э. д. с. источника е(/)=Е
установившийся режим отсутствует и в схеме
наблюдается свободный режим. В этом случае,
как и при разряде конденсатора, свободные со-
изменяются по тем же законам, однако имеют
противоположные знаки.
Напря- жение Корпи характеристиче- ского уравнения Переходные величины при подключении ^LC-контура под напряжение Г рафики переход ных величин
1л С О о II II z— Действительные, отри- цательные, неравные (апериодический процесс) /Я 1 >2VLjcj е”'); utc - «Сев - Pl _ Р2 (p^Plt р^Рг‘); св = р1_р2 (Р^Р1‘ Р^ I
е (t) = E = const Комплексно-сопряжен- ные (колебательный про- цесс): Pi= — a+/w0; Р2 = —a — ju0; it—i^ — -^~г ^~at sin с св co.L и utc=E ^f.e-a'sinCoW+x); Wj V ЬС £ z); tgX = Wj/a II
1/ 1 где Шо-|/ LC
e(t) = Em sin (<of+ip) Действительные отри- цательные неравные (апе- риодический процесс) Pi и Pz (^кр —2 ]/ L/C ) E Sin (co/4-Ip — ф) — Z \P1 — P2) _ £mcos(ip-<p) / t_ р2м. (Pl-P2)Z®LC v h Em 1 . 1 л \ u‘c~ Z aC _ Em sin(ip-<p) ( Plt _ Plt] _ ZC(Pl-p2) v 7 _ £mcos(i|)-q>) z P1Z _ P2a ZC(Pl-Pt)^p^ PlQ > Ill
+ c *<A S JI Комплексно-сопряжен- ные (колебательный про- цесс): N „g? ”l i" „ cc 5 "tr Jl C? S 03 H То Z 1 I 2. £ -e -e --- II 1 0 n.- -® §. л> £2. -6- - 4 i 6 < = 1 5- ° f о о Jz к • ел Л К 5'^1 S 3 О i i M 1 । + IV
б Татур Т. А.
129
Графики переходных величин
§ 8.12. Операторный метод
С помощью преобразования Лапласа совершается переход от дифференциально-
интегральных уравнений электрической схемы искомой переходной функции —
оригинала к алгебраическим уравнениям в изображениях.
Решение системы алгебраических уравнений дает изображение искомой функ-
ции, оригинал которой может быть получен путем использования обратного пре-
образования Лапласа.
Оригиналом f(t) называют функцию времени, например, i (/), и (/), e(t),
Q(0, W
Изображением оригинала F(p) называют функцию комплексной переменной
p = a + jbt например I (р), £/(р), £ (р), Q (р), Y (р).
Соответствие между изображением (оригиналом) и оригиналом (изображением)
записывают следующим образом:
F(/>) = f(O или f(O#F(p).
Преобразование Лапласа позволяет пе- рейти от функции времени f (/) к функции комплексного переменного F (р). Интеграл Лапласа сходится, если модуль функции f (t) увеличивается с ростом t мед- леннее, чем модуль функции 0 или ИЛИ
Изображение напряжения на индуктивном элементе при значении тока в нем i (0+) в момент времени / —0 /Т L^l.±Lp!(p)-Li (0+)
Изображение напряжения на емкостном элементе при напряжении на нем ис (0+) в момент времени / = 0 «с(0—4 J ' ('>«' uc(t) • рС 1 Р
Нахождение начального значения функции времени f (0+) по изображению функции F (р) целесообразное в случае, когда установив- шийся процесс непериодический F(P)^f(ty, /(0+)= lim pF(p) р-*оо
Нахождение установившегося значения
функции времени f (оо) по изображению
функции F (р) целесообразное в случае,
когда установившийся процесс непериодиче-
ский
F(p) .-/(/);
f(t) = lim р£(р)
/-►со р->0
§ 8.13. Эквивалентные операторные схемы для элементов цепи с ненулевыми
начальными условиями \iL (0+), ас(0+)|
Исходная схема
Операторная схема
Z(p)~pL
U(p) LifffJ
U/lU Z(p)~pL
Z(P>VpCn(o^p .
О) UPU
w
§ 8.14. Закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме.
Эквивалентные операторные схемы
Исходная схема
e(0 = izft + L^ + -l j itdt
Операторная схема
Л^) =
Е (р) + Li (0+) — ис (0+)/р .
R + pL+1/pC
Z (Р) = Е-\-р^-}-1/рС
Исходная схема
Операторная схема
i(0=h(0+»'2(0;
е (t) = i (t) R+L ^ + M 4
+'2 (0 R2+Lz —;
0 —£, rf<1 I ,m I
L1 dt + dt +
+<\ (0*1+-^- J М0Л-
-izWRz-Lz^p-
at
I(P)=lAP)+Iz(PY,
E(p) = I(p)R + I(p)PL-Li(O+) +
+Л (p) рм — (0-b)+Л (P) #2+
+ /2 (P) P^2t
0 = Л (p) pL +1 (p) pM - Mi (0+)-
_£1,1(0+)+/1(j9)^+4r1 +
pc.
uc (°+)
+ — /2 (P) /?2~ /2 (P) pL*
§ 8.15. Нахождение оригинала по изображению
Обратное преобразование Ла-
пласа-интеграл Бромвича [кон-
турный интеграл, охватываю-
щий все полюса функции Г(р)]
/(0=2^-^>eP^(p)dp =
“^Res [f(j5)ePq
Теорема разложения:
для случая простых корней
F2(P) = O F'2(pk) =
= dF2 (р) I
\p=Pk
для случая, когда F3(p) — 0
имеет простые корни и не
имеет корня, равного нулю
FAP) .. gop'"+«iP'”~1 + -••+«<>
Fz(P) boPn + Mn 1 + -+&o 9
где /п<п;
PAP) • V FApk)ePk'
FAP)' FAPk)
FAP) .FAO) 1 yFAPk)^
PF3(P) ‘ F3(0)’rZi Pi>FApk)
k
для случая кратных корней Га(р) = 0 X i “> а 5 ^31^1 • 1 ~г 7 >— s' тз <Т> 1 ' ^3 1 5 »* — *• ~ •СЗ X II «г
для случая, когда F2(p) = 0 имеет два комплексных сопря- женных корня р и р* Г-р; Re е₽' = 2 Re ер*' F^P) Рг(Рк) FAP)
Формула включения схемы с нулевыми начальными усло- виями: У . W Z(0) 1 pAZ'(pft)’ Л=1
на постоянное напряжение £/0 Z(p) = 0->pft; dp \p^pk ft\_Ueat у v*Pht
на экспоненциальное напря- жение и (/) Ц Z(a) £i(Pk—a)Z'(Pk) ’ (Pk)^ d~ I » Z(p) — 0->pft; "P Ip = 0£
на синусоидальное напряже- ние и (t) = Um sin со/ i((>--p)+2w;^ez.w k
§ 8.16. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
Изображение Оригинал
1 ( lim l/т при 0 < t < т d(/) = { t->o ( 0 при т</<0
l/p 1
1/P2 t e
l/p" tn— l/(n— 1)!, где n — целое положительное число
1/p+a е-а/
Изображение Оригинал
1/(р + а)а te~at
р/(р + а)2 (\—at) e~ai
1Др + а)3 0,5Ре-а'
р/(р + а)« t(l-a/2t)e~at
1/(р + а)л —* tn-iQ-atf Где n _ целое положительное число (n—1)!
1/Р(р + «) l/a(l-e-«z)
Р/(р+а)(р + &) -y—y (be~bt — aerat)
1/р(р+а)(Р + 6) 1 1 / e-“‘ \ ab b — a \ b a J
V(p+a)(pW e-a«_e-*z[l-(a—6)/] (a-6)2
р/(р+«)(р+*)2 [a — b (a — 6) / ] e~bt—ae~ai (a—by
1/(р + а)2+&2 Q-at —r— sin bt D
(р+а)/(р+«)2+62 cos bt
Р/(р+а)2+*2 ^cos&tf—^sin bt^ erat
р/р2+а2 cosat
1/р2 + Л2 1 • / — Sinar a
р cos b—a sin b р*+а* cos (at + b)
р sin b + a cos Ъ р*+& sin (at + b)
1/р{р*^а*) у (1 —cosat)
Изображение Оригинал
l/p«(p2+a2) (1 /a3) (at — sin at)
l/(p* + a^ -^3- (sin at —at cos at)
p/(p2+a2)* 4r-t sin at 2a
§8.17. Основные операторные преобразования по Лапласу
Изображение (прямое
преобразование)
Оригинал (обратное
преобразование)
Дифференцирование
оригинала
Интегрирование инте-
грала
Дифференцирование
изображения
Интегрирование изобра-
жения
F (р) = \ f(t)eP‘dt
О
Со4“/оо
= J F (р)е₽'dp = У Res F(p)e₽<
ZJIJ J
Co — /00
f'V) + pF (P)-f(O);
fn (/) = pnF (p)_ 2 p-V (0) pn-ft
f t t
\f(t)dt~F (p)/p-, 5... V (0 (Л)" F (p)/p*
0 00
F"” (p)~(- t)nf(i)
( F (p) dp =-f ^F(p)dp=Jt^-dt
0 0 0
Дифференцирование по
параметру
Интегрирование по па-
раметру
Теорема подобия (изме-
нение масштаба незави-
симого переменного)
Теорема запаздывания
(смещение в области дей-
стви1ельного перемен-
ного)
X *
J f (t, x) dx -r J F (p, x) dx
x0 x0
(p)
Теорема смещения (сме-
щение в области комп-
лексного переменного)
Предельные соотноше-
ния
Теорема свертывания
(умножение изображений)
Интеграл Дюамеля
(следствие теоремы свер-
тывания)
Умножение оригиналов
Теорема разложения
[простые корни Г2 (Р) = 0]
/(0)= lim pF(p); f(co) = lim pF (p)
P-+CQ p-»0
t t
Fi (P) Ft (P) ~ j fi (t) f2 (t-г) dr = f f2 (?) ft (t-r) dr
6 0
i
pFi (/») F2 fi CO ft (z -T) dr=
0
t
\ fi^fitt-^dv,
0
t
pFi (P) F2 (p) ~ J A (?) f2 (t-r) dr+
0
t
+A (0 ft (0) = J ft (T) f{ (t-?) d?+A (0) A (0
6
J Fi(q) F2(p— q) dq =
C0—jzo
= 2 Res Fl(q)Ft(p—q)
Fi(fl) . у Л (pk)
Ft<iP}' L F't(pk)
k = 1
§ 8.18. Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом
1. По законам коммутации определяют независимые начальные условия
р£(°+) и Uc (0+)]_
2. Составляют операторную схему (схему для изображений). Ненулевые
начальные условия в этой схеме учитываются введением дополнительных э. д. с.
(источников тока), рассмотренных в § 8.13. В ветвях, содержащих индуктивные
элементы, дополнительные э. д. с. равны Л^(0+) [если ik (0+) в них не равны
нулю] и по направлению совпадают с положительным направлением тока. В вет-
вях с емкостными элементами дополнительные э. д. с. равны Uc (0+)/р [если Uc (0+)
не равны нулю] и противоположны положительным направлениям Uq (0+). Сопро-
тивления ветвей вычисляют в операторной форме (/?, pL и \/рС). Изображение
заданных э. д. с. находят по таблицам.
3. Изображение искомого тока (напряжения) рассчитывают по операторной
схеме любым методом, основанным на уравнениях Кирхгофа.
4. В зависимости от вида напряжения или его изображения находят путем
использования таблиц, либо непосредственным применением вычетов, либо по
теореме разложения.
§ 8.19. Расчет свободных составляющих операторным методом
Изображение свободной составляющей тока (напряжения) может быть найдено
по операторной схеме, построенной для этой составляющей. При этом схема
содержит только дополнительные источники э. д. с. и тока, э. д. с. которых
определяются ненулевыми начальными условиями для свободных составляющих
токов в ветвях с индуктивными элементами [L^iCB (0)] и ненулевыми начальными
условиями для свободных составляющих напряжений на емкостных элементах
[«Ссв(0)], а также операторными сопротивлениями (7?, pL, 1/рС).
В операторной схеме для свободных составляющих заданные источники тока
не учитывают (источники э. д. с. закорачивают, а источники тока размыкают).
Исходная схема
Операторная схема
“с2(°) = °
^СВ (0)--i (0+) J*np (0) >
UC св (°) = UC (°+) “ иС пр (°)
§ 8.20. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля
Интеграл Дюамеля (интеграл наложения) применяют для расчета переходного
тока (напряжения) в ветвях схемы с нулевыми начальными условиями при под-
ключении ее к источнику э. д. с. произвольной формы. Использование интеграла
Дюамеля требует знания переходной функции (характеристики) схемы h(t). Если
определяют переходный ток, то переходная функция является переходной про-
водимостью g(t)t если рассчитывают переходное напряжение, то переходная функ-
ция является переходной функцией напряжения y(t).
Существует несколько форм записи интеграла Дюамеля. Для каждой
конкретной задачи выбирают ту форму, которая имеет более простое подынтеграль-
ное выражение и приводит к меньшему числу слагаемых. Для всех форм записи
переменной интегрирования является, например, т. Тогда производные в подынте-
гральном выражении [у'(t—т), g'(t~- т) и т. д] определяют по времени t, после
чего в полученном выражении t заменяют на т и производят вычисление интеграла
в пределах фиксированных т,
138
Форма записи интеграла Дюамеля Интеграл Дюамеля Примечания
Первая i i(t) = u(0)g(0 + J и' (x)g(t-T)dx 0
Вторая t i (t) = и (0) g (t) + J u' (t - x)g (?) dx 0
Третья t i(.t) = g(O)u(t)+\lg'(t-x)u(x)dx 0
Четвертая t i (0=g (0) “ (0 + g' (T) U (t-x) dx 0
Пятая t b Сокращенная запись первой и второй форм
Шестая t i ((— t) dx 0 Сокращенная запись третьей или четвертой форм
§ 8.21. Единичные и переходные функции
Функция и ее обозначение
Определение
Свойства функции
Единичная функция
1 (/) (имеет нулевую раз-
мерность)
t
1(Л = | 0 п₽и '<0;
W I 1 при t> О
Соответствует подключе-
нию постоянного напряжения
(тока) на вход электрической
цепи в момент времени f = 0
Если f (t) произвольная
функция, то
f(/)l(/)==0 при t < 0;
1(0“ (Rep>0)
Единичный импульс
д (0 (дельта-функция или
функция Дирака; имеет
размерность с~х)
Бесконечно большой им-
пульс в момент времени t = 0,
площадь которого равна еди-
нице: Дт = 1;
Дт ’
6 (/) dt = I
1 при />0;
0 при /<0;
Функция и ее обозначение
Определение
Свойства функции
Переходная проводи-
мость (имеет размер-
ность А)
/(0б(/-4) =
=/(0)6(/-0);
6(0^1
6(/) = 0 при /#=0;
t
J 6(0<й=1 (0
— ОО
Функция времени, равная
отношению электрического
тока в электрической цепи
при подключении этой цепи
к постоянному напряжению
g (() = «•(') =
е L
g(0 = «’(0
при U • 1 (/)= 1
Переходная функция
напряжения y(t)
Переходное напряжение на
участке схемы, возникающее
при подключении ее к еди-
ничному постоянному напря-
жению и • 1 (0=1 в
y(t) = uc = e tlRC
при U • 1 (/) = 1
К _ M
Uc(t)
0-----------------
Импульсная характери-
стика hQ(t)
Реакция цепи при нулевых
начальных условиях на еди-
ничный импульс напряжения
(тока)
Ae(0 = 4ft(0:
t
h(t) = $ Лв(в)4/0,
— oo
где 0 — переменная инте-
грирования
§ 8.22. Действие единичных ступенчатых и единичных импульсных
источников на индуктивный и емкостный элементы
Элемент Воздействующий источник Напряжение (ток) на элементе
0^-C^rfS UL iL = J • 1 (0 — ступенчатая функция величиной J, когда J = const ul = LJ& (/) — импульсное на- пряжение При воздействии импульсно] мент времени / = 0 ток в ин; скачкообразно dir ur=L - = LJd (/) — им- ь dt пульсная функция, определяе- мая площадью LJ: ul = qo при / = 0; uL = 0 при t Ф 0 t J uLdt = J\ (0- — ОО ступенчатая функция, опреде- ляемая величиной J го источника напряжения в мо- (уктивном элементе изменяется
i*c = CU6 (/) — импульсный ток t uC='r f ic(t)dt = U-\(t)- и J — ОО ступенчатая функция, опреде- ляемая величиной U
ис = U • 1 (/) (U = const) — сту- пенчатая функция, определяе- мая величиной U При действии импульсного ис / = 0 напряжение на емкостно образно dur ic = С = CU 5 (0 — им- пульсная функция, определяе- мая площадью CU :точника тока в момент времени м элементе изменяется скачко-
§ 8.23. Алгоритм расчета переходных процессов методом интеграла Дюамеля
1. Классическим (операторным) методом находят переходную проводимость
g(0 [переходную функцию напряжения y(t) ], если искомым является ток (напря-
жение).
2. Вычисляют производную подынтегральной функции интеграла Дюамеля.
Для этого сначала определяют производную по времени /, а затем t заменяют
переменной интегрирования т.
3. Записывают интеграл Дюамеля (в форме наиболее рациональной для реша-
емой задачи) с момента времени / = 0 до фиксированного момента времени. При
этом учитывают возможные скачки тока (напряжения) в начале (/Л_) и конце
(/^+) каждого интервала до фиксированного момента времени tt вызываемые
наличием скачков приложенного напряжения:
Al‘/==[“ (W - м (zfe-)] S (i - tk) •
Пример. Найти выражение для напряжения uc(t) в схеме рис. 8.9, а при
подключении ее к напряжению (рис. 8.9, б).
Ri
а) 5)
Рис. 8.9
Решение. Воспользуемся третьей (наиболее рациональной в данном слу-
чае) формой записи интеграла Дюамеля:
i
и (0 = у (0) и (t) + у' (t — x)u (т) dt,
о
Определим переходную функцию напряжения (напряжение на емкостном
элементе при включении схемы к постоянному напряжению, равному 1 В):
у(О)=о,
где /? = /?1 + Я2; а = /?/(/?1/?2)-
Найдем производную переходной функции на интервале времени t — т:
ALlfl-P жЛ-тл] —
где т —переменная интегрирования.
Запишем интеграл Дюамеля для трех интервалов времени.
Интервал
t^ct ct2
t>t2
Интеграл Дюамеля
uc (t) = j aera lt~X)U! (t) dr
it
uc (0= ае“а(/~т)п1(т)^т +(1 —
o
t
+ j azra(t~x'>u<2 (t) dx
ii
h
uc(t)= j 6ze~fl(Z“T)w1(T)dT + Aw1~(l—e“a(Z~/1)) +
о
+ I ae"fl(Z'"T)«a(T)dT —Aw2-5 (1 —e“fl(Z“/a))
J X
ti
§ 8.24. Приведение схемы к нулевым начальным условиям
Переходный процесс в схеме с ненулевыми начальными условиями при под-
ключении (выключении) к ней какой-либо ветви может быть рассчитан методом
наложения.
В рассматриваемой ветви переходный ток получают суммированием устано-
вившегося тока, протекающего до коммутации, и переходного тока, возникаю-
щего в этой ветви при подключении схемы с нулевыми начальными условиями
к источнику, э. д. с. (ток) которого равна напряжению (току) на переключателе до
коммутации: i/ =
Переходный процесс в схеме с нулевыми начальными условиями рассчиты-
вают классическим или операторным методом.
Исходная схема
Схема для расчета
режима до комму-
тации
Схема с нулевыми
начальными
условиями
§ 8.25. Частотный метод
Частотный метод (метод интеграла Фурье) основан на преобразованиях Фурье
и является частным случаем преобразования Лапласа. Преобразование Фурье при-
меняют для более узкого класса функций (удовлетворяющих условию абсолют-
ного интегрирования). Оно может быть осуществлено на основе преобразования
Лапласа путем замены р на /со.
В схеме с нулевыми начальными условиями по спектральной характеристике
входного напряжения U (jw) и частотной характеристике цепи Z (j&) определяют
спектральную характеристику искомого тока I (ja). Функцию вре-
мени i (/) находят с помощью обратного преобразования Фурье (интеграла Фурье),
по таблицам изображений или формулам разложения. При ненулевых начальных
условиях схема сводится к схеме с нулевыми начальными условиями.
Апериодическая функция времени, удо-
влетворяющая условию абсолютной интегри-
оо
руемости: $ | f (t) | dt < оо
/(О
Спектральная функция (спектральная
плотность, спектральная характеристика)
Модуль спектральной функции (амплитуд-
ная спектральная характеристика)
Аргумент спектральной функции (фазовая
спектральная характеристика)
Соответствие спектральной функции апе-
риодической функции времени
Одностороннее прямое преобразование
Фурье, применяемое, если/(/) = 0 при /<0
Двустороннее прямое преобразование
Фурье, применяемое, если /(/):/: О при/ = 0
Обратное преобразование Фурье (инте-
грал Фурье)
Переход от спектральной функции F (/о)
к функции времени f (/) путем замены р на
/со в ее изображении по Лапласу.
Таким же способом получают спектраль-
ную функцию некоторых функций, не являю-
щихся абсолютно интегрируемыми. Это
равносильно умножению f (t) на затухающий
множитель с последующим предельным
переходом 6 -> О
F(/co)
|F(/co)|=F(o); F(<s>)=F(— о)
artgf (/«>) = i|>(g));
1|)(0)) = — $(_ и)
F (/®) ~=/(0
F (» = $ j®!dt
0
F(/<o)=$
— co
co
— 00
F(/w)=F(p)p_/0)
§ 8.26. Основные свойства одностороннего преобразования Фурье
Свойство линейности
Дифференцирование функции
времени
Интегрирование функции вре-
мени
Дифференцирование спектраль-
ной характеристики
Изменение масштаба независи-
мого переменного
Смещение функции времени
Смещение спектральной харак-
теристики
S aklk (О S akFk (/“)
k=i k=i
С / (t) dt
J
0
F (ja) (— /to) f (0
a \ a j
f(t ±tob.-
Умножение спектральных харак-
теристик
Умножение функции времени:
на косинус
на синус
t
Ft. (/'«) F2 (/о) (т) f2 (t - т) dr
б
f(t) cosco^ =.Л 0,5 {F [/ (co — (Oi)J +
+ F[/(co-|-cOi)]};
t (/) sin со/ г-
¥ {F [/• (®-M-Л/(®+®1Ш
z/
§ 8.27. Спектральные характеристики некоторых функций
Функции времени, неудовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости.
Амплитудная характеристика F (со) функции, не удовлетворяющей условию абсо-
лютной интегрируемости в бесконечных пределах, хотя бы в одной точке равна
бесконечности.
Функция времени
0 при t < 0
(единичная функция)
Амплитудная характеристика
Фазовая характеристика
У
7Г/2
(Л
-z/zt
(О
— (О2
cosgV при />0;
0 при t<z 0
(косинусоидальная
функция)
F (i<a) = i
Функция времени
Амплитудная характеристика
Фазовая характеристика
f sincoo/ при />0;
(О при /<0
(синусоидальная функция)
Функции времени, удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости.
Функция времени
Амплитудная характеристика
Фазовая характеристика
Функция времени
Амплитудная характеристика
Фазовая характеристика
Г t
f (1 при о<^<т;
' (0 при 0>/>т
(прямоугольный импульс)
2ftIT ЩТЫ
/Ь Т
__ ( sin со0/ при 0</<т;
0 при 0>/>т
(прямоугольный импульс
с синусоидальным запол-
нением)
F (со) = | —2 sin — пп I
I (0^ (Oo I
/А
t
(единичный импульс или
6-функция)
F(cd) = 1
Спектральные характеристики периодических прямоугольных импульсов с воз-
растающим периодом.
Вид периодических прямоугольных
импульсов
Спектральная характеристика
( 1 при —+
( 0 при —tv > t > /j
§ 8.28. Ряд и интеграл Фурье
Ряд Фурье для периодической функции
Интеграл Фурье для непериодической
функции
7(0=0,5 2
— ОО
t+T
= J 7(0е-^и‘'Л =
t
/о+Т
= ~- 7(Ое"й<о,/Л;
to
ИЛИ
(дискретный спектр периодической функ-
ции)
— ОО
f(/<o) = J5
или
Г(/ш)=|Г (/ы) [
(сплошной спектр непериодической
функции)
§ 8.29. Алгоритм расчета переходных процессов частотным методом
1. Схему с ненулевыми начальными условиями, применяя принцип наложе-
ния, сводят к схеме с нулевыми начальными условиями.
2. Частотную характеристику входного напряжения £7 (/со) определяют
с помощью прямого преобразования Фурье или по аналогии с изображением
Лапласа.
3. По заданной схеме находят частотную характеристику, которая представ-
ляет собой комплексное сопротивление, аналогичное сопротивлению цепи синусо-
идальному току Z (jus).
4. По частотной характеристике тока Z (/со) == (У (/со)/? (/со) определяют функ-
цию времени i (t), В зависимости от вида выражения I (ja) функция времени
i (0 может быть найдена по таблицам изображений, теореме разложения, мето-
дом трапеций и др.
§ 8.30. Метод переменных состояния
За основные переменные состояния (t) обычно принимают токи в индук-
тивных iL и напряжения на емкостных ис элементах, так как они не могут
изменяться скачком (исключая схемы с «некорректными» начальными условиями)
и являются независимыми переменными. Остальные переменные зависят от этих
переменных. Методом переменных состояния составляют две системы уравнений.
Первая система уравнений состояния определяет зависимость первых произ-
водных переменных состояния xk от самих переменных состояния и источников
энергии (э. д. с. и тока). Вторая система является системой выходных парамет-
ров, устанавливающая связь между искомой выходной величиной переменными
состояния и источниками энергии. Уравнения для выходных параметров явля-
ются алгебраическими уравнениями.
Уравнения состояния и уравнения выходных параметров могут быть полу-
чены либо с помощью уравнений Кирхгофа для послекоммутационной схемы, либо
путем использования метода наложения. (Для схем с «некорректными» началь-
ными условиями уравнения состояния составляют, исходя из топологических
соотношений.)
Уравнения состояния записывают в матричной форме и решают аналитически
или численными методами (методы Эйлера, трапеции, Рунге-Кутта и др.). Наибо-
лее распространенным и простым методом является метод численного интегриро-
вания Эйлера. В этом случае матрицу переменных состояния вычисляют для
каждого шага h с помощью ЭВМ:
X (/i) = (1 + ZiAJ х (0) + /iBxV (0);
X (2/i) = (1 + 2hAJ x (h)+/iBxV (/i);
X (kh) = (1 + khAJ x [(£-1) h] + (k - 1) h BV [(£ -1) h].
§ 8.31. Матричная форма записи уравнений методом переменных состояния
Матричное уравнение состояния имеет вид
X = AiX + BiV.
Матричное уравнение для определения выходных (искомых) параметров
y=a2x+b2v.
Матрицы, элементы которых определяются параметрами и топологией схемы
квадратная размером пхп размером nXq размером тХп размером mxq
"йц ... а1п" Z?n ... blq • • • din hu •. • hlq
Ai — В1= А2 — в2= ;;;;;;;
_ап1 ... апп_ _ЬЛ1 ... bnq_ -dmi • • • dmn- _hmi • • • hfnq-
Размер матрицы
совпадает со сте-
пенью характери-
стического уравне-
ния
§ 8.32. Составление дифференциальных уравнений
состояния с помощью уравнений Кирхгофа
1. Выбирают переменные состояния. Обычно это токи в индуктивных iL
и напряжения на емкостных ис элементах.
2. Составляют дифференциальное уравнение для производных от переменных
состояния. Применяя уравнения Кирхгофа для послекоммутационной схемы,
решают их относительно производных переменных состояния diL/dt = ib и
duc/dt = uc в зависимости от iL, ис и источников энергии еп. Уравнение
состояния записывают в матричной форме:
Ui lLl
^-2 llA *2
'UCk । = At UCk 4-B, Jk
~UCn_ JlCn_ Js_
или X = A1X + B1V.
3. Составляют алгебраическое уравнение для выходных (искомых) перемен-
ных. Рассматривая послекоммутационную схему, находят уравнения, связывающие
выходные (искомые) переменные (токи в ветвях и напряжения на элементах
и^) и переменные состояния. Полученные уравнения записывают в матричной
форме:
A lLl ei
*2 e2
“k = A2 + B2 Jk
_“c»_
или Y = A2X + B2V.
Пример. Получить уравнения состояния для определения выходных перемен-
ных тока i и напряжения uY с помощью законов Кирхгофа в послекоммутацион-
ной схеме рис. 8.10.
Рис. 8.10
Решение. За переменные состояния примем iL и ис. По законам Кирх-
гофа для узла а и контуров I и II получим уравнения производных состояния:
dur
RC -^-= — uc-}-RiL;
di L
L—тг = — uc — R1iL+e,
или X-AiX + BiV.
Уравнения, связывающие выходные (искомые) переменные и переменные
состояния (iL и ис^ получим исходя из схемы рис. 8.10:
iR = u- r^-i rl//? От r«ri
U1 = RiL ИЛИ I i Н 0 J’L I’
т. е. Y = A2X.
§ 8.33. Составление дифференциальных уравнений состояния методом наложения
1. Выбирают переменные состояния. Как правило, это токи в индуктивных iL
и напряжения на емкостных ис элементах.
2. В послекоммутационной схеме все индуктивные и емкостные элементы
.выделяют так, чтобы оставшаяся часть схемы содержала только резистивные эле-
менты, источники э. д. с. и токов (рис. 8.11).
Для каждого индуктивного и емкостного элементов зависывают выражения
для напряжения и тока
или в матричной форме
3. Записывают систему линейных алгебраических уравнений для переменных
состояний iLk и uCk и внешних воздействий е и J, применяя принцип наложения:
‘Cl==ftCl“c + AC2il+ ••• +Л1/ + Лс/;
‘C2 = AC2“c + ,!C3'i+ ••• +/г2ев + Лс/;
“Л = Л£1ис + Л£2Ыс+ ••• +
uLn = hLnuC + hL (n+l)“c + • • • + hL (n+1) e + hL (n+1) Jj .
4. В зависимости от переменных состояния и внешних воздействий составляют
уравнения для выходных переменных, например для тока в какой-либо ветви i
и %ля напряжения на заданном элементе:
1 = ^1'7+^2“с+ - 1 ,й
u = H21iL + Hi2uc+ ... +Hiee+H2jJ. /
5. Коэффициенты h, Н находят исходя из уравнений (8.2) и (8.3), а также
схемы, рис. 8.12, полученной из послекоммутационной схемы рис. 8.11, в которой
вместо индуктивных элементов включены источники тока iLk, а вместо* емкостных —
источники э. д. с. uCk,
Рис. 8.12
В полученной схеме поочередно оставляют один источник (остальные источ-
ники э. д. с. закорачивают, а источники тока размыкают).
В уравнениях для переменных состояния (8.2) и выходных переменных (8.3)
учитывают только слагаемое, определяемое этим источником. При этом в правых
частях уравнений (8.2) и (8.3) остается только по одному члену.
Схему с одним источником рассчитывают так, чтобы иметь соотношения,
аналогичные соотношениям между переменными, оставшимися в уравнениях.
Коэффициенты h и Н находят путем сравнения уравнений, полученных при
расчете схемы, и новых уравнений для переменных состояния и выходных пере-
менных. После чего записывают в матричной форме:
гс| |hCC
uL-i 1Ас
(8.4)
где h —матрицы, определяющие связь между соответствующими переменными
в схеме рис. 8.13.
Сравнивая уравнения (8.1) и (8.4), получают матричное уравнение типа X =
= A1X + B1V:
7. В уравнение для выходных переменных (8.3) подставляют найденные коэф-
фициенты и записывают его в матричной форме: Y=A2X + B2V.
Пример. Получить уравнения переменных состояния схемы рис. 8.13 методом
наложения.
Решение. В качестве переменных состояния выбираем z’7 и ис.
Выделим в схеме рис. 8.13 индуктивный и емкостный элементы.
Запишем выражения для напряжения на индуктивном и тока в емкостном
элементах:
diL -С dUC
uL-L~dF’ *с-С~4Г
или в матричной форме:
Запишем алгебраические уравнения для ic и uL в общем виде:
»C=ftll“c+A12IL+V'’ у
«£=Й21“С + Л221А + /г22е- >
Уравнения для выходных переменных имеют вид:
i = H1±Uq + Hl2iL + Hlee; |
И = ^21Ис + //22Г1 + ^22е- '
Рис. 8.13
Коэффициенты в уравнениях (8.5) и (8.7) определяют, применяя метод нало-
жения и исходя из схемы рис. 8.14 и уравнений (8.6) и (8.7).
Схема Из схемы По уравнениям Коэффи- циенты уравнений (8.6) и (8.7)
Переменные Переменные
состояния выходные состояния выходные
{с “L i Ui. {с 1 UL i 1 “
1 Ь "Ч *// Ш) Пя ' £? == 0, === 0, :0 _ис R uc uc R 0 hnuc h21UC ^ll“c Я21"С hn = ~~R’ ^21 = я21=о
е-. *>С _ ~ ~ = 0, t£=/=0, «с = 0 lL 0 hljl h^L ^22ГА .-Q? о 7 I II, II з II Й? а?
। -S. V а Гг/г 1 № е#=0, 4^ = 0, Z^ = 0 0 e 0 0 hlee Hlee Н2ее о ~ о о II II II II cu
Таким образом, в уравнениях (8.6) и (8.7) коэффициенты определены. Урав-
нение (8.6) примет вид:
uL = uC~~^L'^~e J
ИЛИ
Сравнивая матричные уравнения (8.5) и (8.8), получим
Имея в виду что
найденные коэффициенты. Тогда
или X^X + BjV.
Подставим в уравнение (8.7)
или
т. е.
Глава 9
УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ
(ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ)
§ 9.1 Общие сведения
Длинные линии или линии с распределенными параметрами — параллельные
коаксиальные линии, вдоль которых в любой момент времени ток и напряжен!
в различных точках имеют различные значения. В таких линиях электрически
и магнитная энергии непрерывно распределены по длине линии. Поэтому длиннь
линии рассматривают как цепь с распределенными вдоль проводов индуктивность
и сопротивлением, а также емкостью и проводимостью между проводами. Линг
являются длинными (не обязательно по протяженности), когда расстояние межл
проводами во много раз меньше длины волны. Например, линии передачи Электр!
ческой энергии, телефонные, телеграфные воздушные и кабельные линии, антенн
и т. д. Токи и напряжения в длинных линиях зависят от времени и расстояни
точки на линии от ее начала (конца) и описываются дифференциальными уравш
ниями в частных производных.
Однородные длинные линии имеют равномерное распределение, а неодноро,]
ные —неравномерное распределение параметров по всей длине или на некоторы
ее участках.
На рис. 9.1 дана схема элемента dx, эквивалентная отрезку линии длиной d
по отношению к входным, выходным токам и напряжениям этой линии»
Параметры, отнесенные к единице длины линии (первич- ные параметры) Уравнения длинной линии
дифференциальные (телеграфные) в комплексной форме
^о» Go, Go При отсчете х от ди __ . , . di dX-R^+Lo dt ; di „ , _ du --dT-GeU+C°dT начала линии --^=№+/W/=?of; -^- = (Go+/<oCo)i7 = Foc7
Параметры, отнесенные к единице длины линии (первич- ные параметры) Уравнения длинной линии
диффе ренциальные (телеграфные) в комплексной форме
₽о, Ьо, Go, Go При отсчете х ди di dx'-^t+L°lF’ di г ди —=G^+c9-dT от конца линии = (/?о +/М^о) -^=(Go+/o>Co)t7=rot7
§ 9.2. Параметры длинной линии
Определение Обозначение и размерность
Продольное активное сопротивление прямого и обратного проводов на еди- ницу длины линии /?о. [/?0] = Ом/км
Индуктивность петли, образованной прямым и обратным проводами на еди- ницу длины Со. Щ] = Гн/км
Проводимость утечки между прово- дами на единицу длины Gu> [Go]= См/км
Емкость двух проводов линии на единицу длины Gq, [Со] ~ Ф/км
Комплексное продольное сопротив- ление на единицу длины линии 2о^^о+/®Со; [ZJ=Om/km
Комплексная поперечная проводи- мость на единицу длины линии Ео—Go + /wCo; [F] = См/км
Комплексный коэффициент распро- странения, характеризующий распро-
странение волн напряжения и тока вдоль линии на единицу длины 4~/wL0) (Go+/©Cq) — & + /р>
th yl = VZlK/Zlx\ [у] = км-i;
[а] = км~1; [р] = кмИ
Определение
Коэффициент ослабления, характе-
ризующий уменьшение амплитуды вол-
ны на единицу длины линии
Коэффициент фазы, характеризую-
щий изменение фазы волны на еди-
ницу длина
Волновое (характеристическое) со-
противление линии падающей или от-
раженной волне
Продолжение
Обозначение и размерность
Zc = Z0/Y=/Z0/r0 =
^о~Ь/ю^о
Go+Wo
Zc = Z1XZ1K; [Zc] — Ом
Длина волны, определяющая рас-
стояние, на которое распространяется
волна за один период Т
Фазовая скорость —скорость пере-
мещения постоянной фазы волны
K = = [X] = km
Кф = <О/Р; [Оф] = км/с
§ 9.3. Зависимость Со, Lo и Zc от геометрических размеров
простейших линий
Линия
Емкость на
единицу длины
линии
Индуктивность
на единицу
длины
Волновое
сопротивление
Воздушная
In d/r
Jb
_ 2л8
0-lnri/r2
fcirA
ee0 rt
u л r
§ 9.4. Уравнения однородной длинной линии с потерями
Отсчет длины линии х от ее начала (см. рис. 9.1).
Дифференциальные уравнения линии Решение
Для мгновенных значений ~^-Rat+L° дГ' di Г„л-Г ди - э- = Оо«+Со^- и = V2 А хе ~ах sin (со/ + — fx) + + V 2 А2еах sin (со/ + ф2 + ₽х) = + «о’, l/o УН i = —~—- е~ах sin (со/+ipi — Фе — рх) — V 2А. 7 sin (at + т|)2—Фс + ₽х) — «П—«о! Zc = Zce}^
Для комплексных значений (7?0+/a)L0)/=Z0/; ^-=Go+/a)Co)t7=ro£/ и = +Лае-Y-V; ^ = у-(Ае^-Л2е-У*), где = 0,5 (t/t + Zc/J; = О.б^ - Zj,), Тогда U = Ui ch ух — Zcli sh ух; / = /2 ch ух—sh ух. (уравнения с гиперболическими функциями)
Для постоянного тока U = Ii ch ах — ZctL sh ах; 1 = /2 ch ax—UjZc sh ax
Отсчет длины линии х of ее конца (рис. 9.2).
Дифференциальные уравнения линии Решение
Для мгновенных значений и = V2 Вкеах sin (со/ + xpi + 0х) + + / 2 Вае ~ах sin (со/ + 4*2 — Рз*) = ип + ио‘»
J = Go«+Co-J / = in io
Для комплексных значений = (Ro+/<оГ 0) 1 = -?оЛ -^ = Go+/<oCo)t/ = ro^ и = В^х + В2^х\ / = 4- (В^-52е Y.V); где B^^(U2-Zct2)\ B2^5(U2 + Zc!2). Тогда U = U2 ch ух+Zct2 sh ух; / = /2ch yx + ^-shyx (уравнения с гиперболическими функциями)
Для постоянного тока U = U2 ch ах + /2Zс sh ах; / = /2 ch ах + sh ах
§ 9.5. Входное сопротивление длинной линии с потерями
Схема
Входное сопротивление
Комплексная нагрузка
или
^вх
7 _7 Z2-|-4 th yl
Zc + Z2tf\yl 9
7 — 7 Z2 + Z1K
^BX— Л1Х 7i7
4-2 “г ^ix
Линия, разомкнутая на конце
Z1X==ZC cth yl
Линия, закороченная на конце
£ik = Zc th yl
Согласованная нагрузка
Z.x--%c
§ 9.6. Длинная линия без потерь (Ro < coLo; << coCo)
Комплексный коэффициент распро-
странения
Коэффициент ослабления
Коэффициент фазы
Волновое сопротивление
Уравнения с тригонометрическими
функциями при отсчете длины х от
начала линии
Y=/co У LbCQ
а=0
₽ = со/ЦА
Zc = Lq/Cq
U — Ui cos рх—jZcl2 sin pxj
1 = 1L cos px—/ sin px
Уравнения с тригонометрическими
функциями при отсчете длины х от
конца линии
Уравнения для мгновенных значе-
ний при отсчете длины х от конца
линии
U — U2 cos Px + /Zc/2 sin рх;
1 — 12 cos Px + j ~ sin px
u~^2m COS P* +
+ Zt/2/n sin px sin ~-ф2^
i = sjn sjn ^co/+ л +
+ /2/n cos px sin (co/ — ф2)
При нагрузке линии /?2>ZC в Рас‘
пределении действующего значения
напряжения (тока) вдоль линии пер-
вым к нагрузке расположен минимум
(максимум)
При нагрузке линии /?2<ZC в Рас“
пределении действующего значения
напряжения (тока) вдоль линии пер-
вым к нагрузке расположен максимум
(минимум)
При согласованной нагрузке Z2 = Zc
действующие значения напряжения и
тока вдоль линии не изменяются
В линии без потерь (разомкнутой,
короткозамкнутой или нагруженной на
чисто реактивное сопротивление, Z2 =
= оо, О, — /X, jX) образуются стоячие
волны. Распределение максимумов и
минимумов действующих значений на-
пряжения (тока) вдоль линии зависит
от нагрузки на ее конце
§ 9.7. Входное сопротивление длинной линии без потерь
?вх — j%C tg P-К —
. 2 л
= /Zc tg "Vх
ZBX = оо
§ 9.8. Стоячие волны
Стоячие волны образуются в линии без потерь, разомкнутой на конце, ко
роткозамкнутой и нагруженной на чисто реактивное сопротивление -к jX.
Уравнения
Распределение действующих
значений напряжения и тока
Пояснения
Для стоячей волны в
разомкнутой линии
Z2 = oo; /2 = 0;
U = й2 cos рх;
/ = / — sin рх,
ИЛИ
H = t/2/n cos Рх sin со/;
i = sin pxcos со/
Для стоячей волны в
короткозамкнутой линии
Z2 = 0; (/2 = 0;
(] = jZct2 sin Рх;
1 = /2 cos рх,
или
и — Zcl2m Рх cos ю/;
i — 12т cos Рх sin
0.-----------------------0
Пучности напряже
ния и узлы тока нахо
дятся в точках х =
= &Х/2, при & = 0, 1,
2, 3, 4, а узлы
напряжения и пучно-
сти тока в точках х =
= (2k +1) Х/4
Пучности тока и уз-
лы напряжения нахо-
дятся в точках х =
= kh/2, k = 0, 1, 2,
3, ..., а узлы тока и
пучности напряжения
в точках х = (2 k +1)Л/4
Для стоячей волны ли-
нии при емкостной на-
грузке
Z2 = -jXc; l)==
. / 2 \
= U2 cos Рх— sin рх ;
\ Лс /
(X \
cospx + --~ sin рх)
Для стоячей волны ли-
нии при индуктивной на-
грузке
Z2 = /^;
. / z, \
— U2 cospx+ ~~ sinРх ;
\ лк ]
, . / XL
I — /21 cos рх —7 sin рх
Линия без потерь,
замкнутая на емко-
стный элемент Z2 =
= — /X, эквивалентна
удлиненной линии, ра-
зомкнутой на конце.
Входное сопротивле-
ние удлиняющего ра-
зомкнутого отрезка Г
равно — /Х = — jZc X
X ctg р/'. Из этого ус-
ловия определяют дли-
ну отрезка /'
Линия без потерь,
замкнутая на индук-
тивный элемент Z2 =
— jX, эквивалентна
удлиненной линии,
замкнутой на конце
Входное сопротивле-
ние удлиняющего замк-
нутого отрезка Г равно
jXL. Из этого условия
определяют длину от-
резка Г:
/x£=/zctgpp
§ 9.9. Свойства распределения действующих значений напряжения
и тока вдоль линии без потерь при Z2 Ф %с
На рис. 9.3 показано распределение действующих значений напряжения и
тока вдоль линии без потерь, нагруженной на комплексное сопротивление Z2#=
&max ^пад + ^отр,
гяа/7 (^2 + Zc/2) .
ГДе с/пад— 2 * ^отр 2
^min ^пад ^отр
/ = / -4-/ =----
1 max пад 'огр £с 9
1 . =7 _/ =£е!“
min пад отр /с
^min/^imax ^вхпип»
^may/^min ^вхшах»
P = ^max^min’ или “ ^mir/max
\ ^max^min ^max/^min’
= ^mjn/^max ~ т[п^тая
Максимальное значение напряжения
наблюдается в точках,линии, для ко-
торых падающая и отраженная волны
напряжения совпадают по фазе; зна-
чения C/max (^min) повторяются через
%/2
Минимальное значение напряжения
наблюдается в точках линии, для ко-
торых падающая и отраженная волны
находятся в противофазе; Z7max и
£/min чередуется вдоль линии через
Х/4
В точках вдоль линии, где £7тах
и £/min расположены соответственно
Лп1п и ^тах
В точках, для которых и
Anin (^min и 7тах) совпадают по
фазе, входная проводимость имеет
активный характер и соответственно
минимальна (максимальна) по вели-
чине
Коэффициенты стоячей Кс и бегу-
щей Кб волны характеризуют степень
несогласованности линии с нагрузкой.
В случае стоячей волны Кс=оо,
Кб = 0- При согласованной нагрузке
Кс = Кб=1
§ 9.10. Линия без искажений
Линию, в начале и конце которой передаваемый сигнал имеет одинакову!
форму, называют линией без искажений. В такой линии коэффициент ослабления с
и фазовая скорость Уф не зависят от частоты f, а коэффициент фазы р пропор
ционален ей.
Необходимое соотношение между па-
раметрами линии без искажений Добычно
L R
, поэтому на практике искус-
Со Со
ственно увеличивают Loj
Коэффициент распространения
Коэффициент ослабления
Коэффициент фазы
Фазовая скорость
Со /?р
Со Gq
У = У 7?pG0 + /со V LqCq = а /р
f = <оЩйС0
Рф=1/ЩоСо
Волновое сопротивление не зависит от
частоты и имеет вещественное значение
§ 9.11. Линия, согласованная с нагрузкой
4/отр = 0, /V==ne^ = 0
В согласованной линии (линии, нагруженной
на волновое сопротивление Z2 = ZC) отраженная
волна не возникает
В любой точке линии входное сопротивление
равно волновому
§ 9.12. Согласование линии без потерь с нагрузкой
’Ъ — (^т) -+ }Вт Um) —
Zk
±jBk
эткуда
— @т Um) lm>
Вщ Um) Bk (//?) = 0 -> Ik
Линия без потерь, нагруженная на рези-
стор, сопротивление которого Z2 =# #2» можег
быть согласована с помощью четвертьволно-
вого трансформатора (линия без потерь дли-
ной Х/4 и Zc ф Zc)
Линия без потерь, нагруженная на комп-
лексное сопротивление, может быть согласо-
вана с помощью короткозамкнутых и разомк-
нутых отрезков линии без потерь. Согласую-
щие отрезки имеют такое же волновое соп-
ротивление, как и линия. При этом находят
расстояние 1т от нагрузки при условии, что
активная проводимость в этом сечении в сто-
рону нагрузки Gm = l/Zc.
Реактивную проводимость -ь jBm компен-
сируют включением на расстояние 1т от
нагрузки соответственно короткозамкнутого
или разомкнутого отрезка (при
линии без потерь, входная проводимость
которого чй jBk Uk)
§ 9.13. Измерительная линия
С помощью линии без потерь на высоких частотах можно измерить комплекс-
ное сопротивление Z2, коэффициент отражения N_—nd\ длину волны Л.
При этом измеряют расстояние а от конца линии до точки с минимальным
значением напряжения (рис. 9.3) и вычисляют коэффициент бегущей = ^min/^max
ИЛИ стоячей ВОЛНЫ Kc = ^max/^niin«
Комплексное сопротивление
у v /<6-/tg(₽a)
2 Zc 1 -jK6 tg (Ра) •
§ 9.14. Искусственная линия
Искусственная линия создается в виде цепной схемы (рис. 9.4), каждое звено
Уравнения искусственной линии, звенья которой состоят из одинаковых си
метричных четырехполюсников (см. § 6.6), имеют вид:
£\==&л+1 ch ZCIn+i sh пГ; 'j
A = /„+i ch пГ+fyi- sh «Г | лГ = лА+/пВ.
Напряжение и ток на входе (&-J- 1)-го звена:
и*+1 = йпп ch (n - k) Г + Zc/„+1 sh (п—k) Г;
tЛ+i = /«+1 ch (n - k) Г + ^±1 sh (n - k) Г.
§ 9.15. Длинная линия с переменными по длине параметрами
Для длинной линии с переменными по длине параметрами справедливы дис
ференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, зав]
сящими от х. При гармонических напряжении и токе уравнения записывают дл
их комплексных значений. Например, при отсчете длины х от начала линии
d*U
dx*
d*l
dx*
,^L_Y2/ = 0.
Y / dx
Примером линии с переменными по длине параметрами может служить экспонен
циальная длинная линия без потерь, емкость которой увеличивается по экспонев
Рис. 9.5
циальному закону С = Сое/гх (рис. 9.5]
В этом случае при постоянной скорост
распространения v = \/Vlc индуктив
ность уменьшается экспоненциальнс
L — L^kx, коэффициент распростране
ния остается постоянным у = /wKlC =
= /о КLBC0, а волновое сопротивлени
изменяется____экспоненциально Zc =
= e-*-*j/L0/C0.
Уравнения для экспоненциальной линии имеют постоянные коэффициенты:
d*(J , А dtJ
dx* dx
y2tf=0;
d*l
dx*
±k-^-----y2/=0.
dx 1
Глава 10
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ БЕЗ ПОТЕРЬ
(Rq = Gq = 0)
Дифференциальные уравнения в част-
ных производных (волновые уравнения)
Решение уравнений, удовлетворяю-
щее начальному t — Q и граничным
х = 0, х — 1 (Z—длина линии) условиям
ди д1_л
дх~~ '° dt ’
di __г ди
~dx "dt
д2и 1 д'и
дх2 v2 dt2
d2i __ 1 d2i
дх2 ~ v2 dt2
M(X10 —fl —+ + =
= ^пад + ИОтр>
“гпад 1отр»
где v = I/^LoCq —скорость волнь
§ 10.1. Падающая и отраженная волны
При подключении линии к гармоническому напряжению его величина за время
переходного процесса не успевает заметно измениться, поэтому в дальнейшем
будем рассматривать подключение линии к постоянному напряжению.
Падающая (прямая) волна напряжения
(тока) распространяется по линии от
источника энергии к приемнику со ско-
ростью 0 = 3-105 км • с-1 в воздушной и
со скоростью 0«^1,5-105 км-с-1 в ка-
бельной линиях.
Ток падающей волны, распространяю-
щейся по однородной линии до нагрузки
(узла), определяется напряжением падаю-
щей волны и волновым сопротивлением
Линии», /пад ^пад/^с
-Упад
^пад
t
Отраженная (обратная) волна напря-
жения (тока) распространяется по линии
от приемника к источнику энергии со
скоростью v — 3 • IO*» км . с-1 в воздушной
и со скоростью 0=1,5’105 км-с~1 в ка-
бельной линиях
*пад— ипад/^с> *отр— иотр/^с
Напряжение и ток падающей (отра-
женной) волны связаны соотношением,
аналогичным закону Ома
Энергии магнитного и электрического
полей падающей (отраженной) волны на
единицу длины линии равны
^м. пад — пад — ^О^пад/^ — ^о^пад^
отр === э. отр = ^о^отр/^ = ^о^отр/2
§ 10.2. Отражение волны от конца линии
Напряжение (ток) отраженной волны от конца линии находят либо с помощью
коэффициента отражения, либо используя эквивалентную схему. В случае актив-
ной нагрузки разомкнутой и короткозамкнутой линий
^отр^^пад! ^отр = Я1цад»
где n = (/?-Zc)/(/?4-Zc) —коэффициент отражения, являющийся действительным
числом.
Тогда
и = ^пад + ^пад; *=*пад ^'пад*
При произвольной нагрузке используют коэффициент отражения в оператор*
ной форме:
^^)-7Н!^7.7С!2; «отр(Р)=АГ(р)«п.д(д).
\Р) г\Р)
Эквивалентную схему для тока и напряжения в нагрузке г2, и2 строят по
уравнению 2unaA = Zct2 + w2.
Определение напряжения (тока) отраженной волны с помощью коэффициента
отражения
При сопротивлении нагрузки 7?н > Zc
(п>0) напряжение в линии после отра-
жения волны увеличивается (^пад<(7<
<2£/пад), а ток уменьшается (/ото</пад)
При сопротивлении нагрузки 7?н < Zc
(п < 0) напряжение в линии после отра-
жения волны уменьшается ((/отр < (7Пад)’
а ток увеличивается (/Пад<^ < 2/пад)
При разомкнутом конце линии (Рн = оо,
п=1) напряжение отраженной волны в
конце линии равно по величине и знаку
напряжению падающей волны (7а = 0,
*/а = 2(/Пад)
При замкнутом конце линии (7?н = 0,
п — — 1) ток отраженной волны в конце
линии равен по величине и знаку току
падающей волны (/а = 2/Пад> ^2 = 0)
При согласованной нагрузке (#H = ZC,
п = 0) отраженные волны отсутствуют
Определение напряжения (тока) отраженной волны по эквивалентной схеме
Напряжение и ток отраженной волны в схеме рис. 10.1, а могут быть найдеш
по уравнениям
^отр = ^2 ^пад» ^*отр = ^пад/^с»
а) б)
Рис. 10.1
Для этого необходимо определить переходные напряжение и ток в нагрузке
по эквивалентной схеме рис. 10.1, б.
За начало отсчета времени принят момент, когда падающая волна достигла
конца линии.
Распределение напряжения Определение напряжения и тока в нагрузке
и тока вдоль линии линии по эквивалентной схеме
Ыотр’_^/пад~МС;
Распределение напряжения
и тока вдоль линии
Определение напряжения и тока в нагрузке
линии по эквивалентной схеме
U,-2U 2Un!>x +
и2— ^пад 2 I е *
^отр — U2 U пад
, U пад
1отр == 7
§ 10.3. Многократное отражение волн при подключении источника постоянного напряжения к линии
Распределение вдоль разомкнутой линии
напряжения
тока
Распределение вдоль замкнутой линии
напряжения
тока
м
и
U
^лпд
L
L
Z
L
1//
У
L
|z ^пад^по.1 /
с
U
[1/ и=о
^отр^ ь и
СП
Зависимость от времени напряжения в конце линии
Распределение вдоль разомкнутой линии
Зависимость от времени напряжения в середине линии
Распределение вдоль замкнутой линии
4
.......................
1 2 3 к 5 S L/V
Зависимость от времени тока в начале линии
§ 10.4. Эквивалентная схема для определения токов
и напряжений в узлах линии
В узлах линии (сосредоточенная нагрузка, место соединения двух линий
с различными волновыми сопротивлениями и другие комбинации сосредоточенных
электрических элементов, присоединенных к линии) напряжения и токи опреде-
ляют путем расчета переходного процесса в схеме с сосредоточенными постоян-
ными при включении ее на удвоенное напряжение, падающее на узел. Схему
замещения составляют присоединением до и после узла сосредоточенных сопро-
тивлений, равных волновым сопротивлениям линий. Найденные по схеме заме-
щения токи и напряжения i (/) и и (/) записывают в зависимости от времени и
координаты х, отсчитываемой вдоль линии: i(t — x/v) и u(t — x/v), где у —ско-
рость движения волны вдоль линии. Эти выражения определяют распределенье
тока и напряжения вдоль линии в зависимости от времени.
Схему замещения составляют для каждого узла линии,
Схема линии
Эквивалентные схемы
для узла а.
Для узда Ь
§ 10.5. Распределение напряжения и тока вдоль линий,
соединенных через L или С
Схема
|ZZ | up
0------------------------------0
Напряженно и ток вдоль линии
%Cf, If (h) (h) ?С2^2 0
--------------fr-.---------—0
Схема
Напряжение и ток вдоль линии
lfh_Jc2^2
0 yZct9lf _ &
\U
0--------------------------0
П рямоугольный импульс напряжения, под-
ключаемый к линии, рассматривают как ре-
зультат наложения двух прямоугольных волн
бесконечной длины, равных по величине и про-
тивоположных по знаку. Эти волны сдви-
нуты одна относительно другой на длину
импульса
§ 10.6. Волны при включении и отключении ветвей
Токи и напряжения волн, возникающих в линии с ненулевыми начальными
условиями (в заряженной линии) при подключении и отключении ветвей, могут
быть определены путем сведения схемы к нулевым начальным условиям. При
этом определяют установившиеся токи и напряжения в линии до коммутации,
а в случае включения вегви еще и напряжение на ключе (до замыкания); рас-
сматривают переходный процесс в эквивалентной схеме с сосредоточенными пара-
метрами при нулевых начальных условиях и отсу1ствии основных источников
энергии. Волновое сопротивление линии заменяют сосредоточенным сопротивле-
нием, равным Zc, а в ветвь с ключом вводят дополнительную э. д. с., равную
по величине и совпадающую по направлению с напряжением на ключе.
Вместо отключаемой ветви включают источник тока с током, равным по вели-
чине и противоположным по направлению тому току, который протекал в ветви
до отключения.
Схема линии
Схема для токов и напря-
жений, распространяю-
щихся от ветви с ключом
вдоль линии
Распределение токов
и напряжений вдоль линии
1г=1гг
X
Глава 11
СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 11.1. Общие сведения
Задача синтеза электрических цепей состоит в определении схемы и парамет*
ров всех ее элементов по заданному входному воздействию и требуемой выходной
(входной) реакции. Другими словами, необходимо построить схему четырехпо-
люсника по заданной передаточной функции (отношению выходной реакции к
входному воздействию) или схему двухполюсника по входному сопротивлению
(входной проводимости).
Синтез проводят по частотным либо по временным характеристикам
цепи.
В качестве временной характеристики принимают реакцию цепи на воздей-
ствие импульсов прямоугольной формы.
В настоящее время отсутствует общий метод синтеза электрических цепей.
Существует много частных методов синтеза, требующих индивидуального подхода
к каждой конкретной задаче. Имеющиеся методы накладывают ограничение на
структуру синтезируемой схемы, характер и величину элементов, составляющих
схему.
Рассмотрим простые методы синтеза двухполюсников, такие как разложение
входного сопротивления Z (Y) на простые дроби и представление его в виде цеп-
ной (непрерывной) дроби (методы Фостера и Кауэра). Изложение синтеза четы-
рехполюсников охватывает только вопросы построения схемы мостовой структуры
в виде перекрытого Т-образного моста и реализации цепной схемы методом сме-
щения нулей.
Входное воздействие произвольной формы обычно раскладывают на сумму
гармонических составляющих спектральным методом (ряд Фурье, интеграл Фурье).
Поэтому свойства пассивной электрической цепи могут быть определены по
частотным зависимостям, например, входного сопротивления Z(/co) [У (/со)].
В общем случае рассматривают эти зависимости в операторной форме как функ-
цию комплексной частоты /со = р. Функции Z (р) [У (^)] характеризуются особыми
точками на комплексной плоскости—нулями (корни уравнения Z (^) = 0, Y (р) = оо)
и полюсами (корни уравнения Z(p) = co, Y (р) = 0). Расположение особых точек
на комплексной плоскости определяет входные функции с точностью до постоян-
ного множителя. Функции Z (р) [У (р)] могут быть физически реализованы, если
они обладают определенными свойствами.
Синтез состоит из двух этапов:
1) аппроксимации заданных частотных (временных) характеристик в виде
функций, удобных для реализации. Аппроксимирующие функции должны удовлет-
ворять необходимым и достаточным условиям для построения схемы;
2) реализации найденной физически осуществимой функции путем определе-
ния элементов схемы и их параметров и построения самой схемы.
Решения задачи синтеза может не существовать t а если существует, то оно
может оказаться не единственным,
§ 11.2. Определение, свойства и признаки положительной
вещественной функции
Функция Z (р) [У (р)], обладающая условием положительности и веществен-
ности, является физически осуществимой. Только для такой функции соответст-
вующий ей двухполюсник может быть составлен из резистивных, индуктивных и
емкостных элементов, т. е. быть физически реализуемым.
Определение положительной ве- щественной рациональной функции (функция Бруне), например, Z(p) = _ anpn-i an-iPn+ --+aiP+Qo bmpm + ^т-1Рт~1 + • • • 4" biP + *o 1. Условие положительности: Re [Z(p)J ^0 при Re(j5)^0. На мнимой оси вещественная часть функ- ции Z(p) неотрицательна. 2. Условие вещественности: Im[Z(jp)]=0 при Im (jp) = O. 3. Функцию, удовлетворяющую условиям положительности и вещественности и являю- щуюся рациональной, называют функцией Бруне
Свойства положительных веще- ственных функций (функций Бруне) 1. Величина, обратная положительной ве- щественной функции Z (р), является также положительной вещественной функцией: Г (p)=l/Z(^) Положительная вещественная функция в правой полуплоскости р не имеет полюсов [значения р при Z(p) = со] и нулей [значе- ния р при Z (р) = 0]. 3. Нули или полюсы, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые и некратные. Вычеты в полюсах и производные в нулях вещественны и по- ложительны. 4. Нули и полюсы функции Бруне могут быть вещественными или сопряженно-комп- лексными. 5. Наибольшие (наименьшие) показатели степени функции Бруне не могут отличаться более чем на единицу. 6. Действительная часть положительной вещественной функции достигает максимума и минимума на мнимой оси
§ 11.3. Признаки положительности и вещественности рациональной функции
1. Все коэффициенты полиномов числителя и знаменателя вещественны (усло-
вие вещественности функции).
2. В правой полуплоскости полюсы отсутствуют (условие аналитической
функции).
3. Наибольшие и наименьшие показатели степени р полиномов числителя и
знаменателя не могут отличаться больше чем на единицу.
4. Полюсы, расположенные на мнимой оси, могут быть только простыми
с вещественными и положительными вычетами.
5* Вещественная часть функции на мнимой оси не отрицательна.
§ 11.4. Положительные вещественные функции Z(p) и Y (р)
простейших двухполюсников
Схемы двухполюсников Положительные вещественные (операторные) функции
г (р) У (p)
r R VR
L PL VpL
& ii-Lcf 1/pC PC
L p P-+VLC
М ng г* p^+l/LC p
II
R
VC C(p + \!RC)
1 |[f.J* rp+VRC
II
R+VpC pCKRpC+\)
pL+VpC pCKp^LC + l)
R L j?MZZHrv'y''-£f R+pL \/(R+pL)
R PR P + R/L
p + RIL PR
Продолжение
Схемы двухполюсников Положительные вещественные (операторные) функции
zip) Y (p)
p^L+pR+1/С р p p*L+PR+l/C
R р Р'С + Р^ + т p
А Т 1 п < •—0 pRiL -j- R1R2 pL + 7?i + 7?2 4~^i4~ 4" R1R2
Rz С PR1R2-]- Ri/C piRi+R^ + l/C p(Ri+Rt)+VC p7?i7?2+ Ri/L
R pL-j-R p^LC -j- pRC -j- 1 p?LC + pRC + l pL-\-R
p'2LCR + pL p~LC -j- pRC -j- 1 p*LC + pRC+\ p2LCR 4- pL
§ 11.5. Реализация реактивных двухполюсников разложением входной функции
на простые дроби (реализация двухполюсников по Фостеру)
Этот метод состоит в разложении заданной вещественной положительной вход-
ной функции на простые дроби таким образом, чтобы каждую дробь можно было
реализовать одноэлементным или двухэлементным двухполюсником. Существует
первая и вторая формы реализации двухполюсника по Фостеру. Первая форма
реализации осуществляется по входному сопротивлению двухполюсника Z (р),
а вторая —по входной проводимости Y (р) (канонические схемы Фостера).
Если входная функция чисто мнимая: Re [Z (^)] =0, то все полюсы и нули
расположены на мнимой оси: ± /со, 0 и со. Такая функция может быть реализо-
вана только с помощью реактивных элементов LC.
Признаки чисто мнимой функции, заданной в виде дроби:
а) все показатели степени полинома числителя р являются четными, а поли-
нома знаменателя — нечетными или наоборот;
б) степени числителя и знаменателя должны различаться на единицу. Если
при этом показатели степени числителя четные и на единицу выше степени зна-
менателя, то один из полюсов Z (р) расположен на мнимой оси в бесконечности,
а другой в начале координат. Если степень знаменателя выше степени числителя
на единицу, то полюс Z (р) находится в начале координат, а один из нулей на
мнимой оси в бесконечности. При этом в числителе или знаменателе должен быть
множитель р;
в) нули и полюсы входного сопротивления Z(p) [входной проводимости
Y (р)] простые и чередуются.
§ 11.6. Разложение по Фостеру мнимой входной функции Z(p)
Заданное входное сопротивление
Re [Z(p)] = 0
Z (р)— =
М(р)
апрп + а^р*-* 1 +...+Д1Р + Др
ЬтРт 4- Ьт_1Р™ -х +... + ь1Р + Ьо
Разложение на простые дроби (пер-
вая форма разложения по Фостеру)
т = п
т — 1
Определение коэффициентов разло-
жения К
Коо = —— (вычет в полюсе р оо)
L Р Jp-*oo
Коо=/=0 при n^tn\
— Q при т — 1=п
Ко = [pZ (р)]р_0 (вычет в полюсе р = 0)
Ко =#0 — степень знаменателя нечетная;
Ко = О — степень знаменателя четная
2К2/п —
(вычет в полюсах p = it /со)
Реализация с помощью реактивных
элементов (каноническая схема Фо-
стера)
Формулы для расчета элементов
схемы
^2т — 2K2rzi/tt>-2zn; С2т—V2K2/n>
m = l, 2, ..., n/2
Пример. Реализовать функцию Z (р) = ^3^3^" •
Решение. Заданная функция имеет признаки чисто мнимой функции (чис-
литель имеет четные степени р, а знаменатель нечетные; степени числителя и
знаменателя отличаются на единицу), следовательно,
мнимой оси и чередуются. Такая функция реали-
зуется LC-двухполюсниками. Разложим Z(p) на
простые дроби по первой форме Фостера:
7^___(Р2+1)(Р4 + 4) , *1
W р(р2 + 3) “Л^+р2 -Г Р2 + 3‘
Целая часть Koq=1 получена выделением полюса
в бесконечности. Коэффициент Ко определяется
вычегом в полюсе р = 0:
ее полюсы и нули лежат на
Рис. 11.1
К -1п7(пЪ _(Р24-1)(Р4 + 4) _ 4
Ло — [pZ (p)Jp-b ~----р24-3 “ 3
Определяя вычет в полюсах р = ±. /3, получим
2К-[е±?
L р
(р3+1) (р24-4) 2
Р2 3 •
Таким образом, функция сопротивления разложена на простые дроби:
Z(P)=P + ^
2р/3
Р2 + 3'
Каждое слагаемое в Z (р) реализуется соответствующим реактивным двухпо-
люсником (рис. 11.1).
§ 11.7. Разложение по Фостеру мнимой входной функции Y (р)
Заданная входная проводимость
У(р)
= feOTPm + bm-lP"1-1 + • • • + Ь1Р + &8
апрп+Дл-лР"’1 + • • + Я1Р+Яо
Разложение на простые дроби (вто-
рая форма Фостера)
т
П~ 2
ro>)-^p+i+ 2
Л = 1
Р2 + ^Л
Реализация с помощью реактивных
элементов (каноническая схема Фо-
стера)
^2П— 1/2К2Л, ^2/г 2К2л/(02д»
n = li 2t ..., т/2
Формулы для расчета элементов
в схеме
§ 11.8. Реализация вещественных положительных входных функций,
имеющих полюсы и нули на мнимой оси и вещественной положительной полуоси
Реализацию функций Z(p) и Y (р) проводят шаг за шагом путем выделе-
ния полюсов или нулей, лежащих на мнимой оси до тех пор, пока остав-
шаяся функция не будет содержать полюсов или нулей на мнимой оси. Если
сначала выделяют все полюсы, лежащие на мнимой оси, то оставшуюся функ-
цию, не содержащую полюсов на мнимой оси, называют функцией минимального
реактивного сопротивления Zt (р). Если же сначала выделяют все нули, то остав-
шуюся функцию, не имеющую нулей на мнимой оси, называют функцией мини-
мальной реактивной проводимости Y2 (Р) — 1/^2 (РУ
Рис. 11.2 Рис. 11.3
Функции Zx (р) и (р) являются рациональными дробями с одинаковыми
степенями числителя и знаменателя. Реализация Zt (р) и У2 (Р) приводит к раз-
личным схемам двухполюсника (рис. 11.2 и 11.3). При этом
т — п/2
т — 1
т = п/2
т=\
Из этих выражений находят функции Zx(p) и Y2(p).
Функции Zx (р) и Y2 (р) раскладывают на простые дроби, которые не должны
содержать кратных полюсов. Каждую дробь в зависимости от ее вида реализуют
схемами согласно таблице § 11.4.
Если функция Zx (р) [Y2 (/>)] имеет только простые чередующиеся полюсы и
нули на вещественной оси, то реализацию осуществляют двухэлементными PC- и
/^/.-двухполюсниками.
§ 11.9. Разложение входной функции в непрерывную дробь
(реализация двухполюсников по Кауэру)
Заданную дробно-рациональную функцию, например,
7 (п\ N = QnP" + -IP"'1 + • • • + «1Р + Др
w М(р) bmp^ + bm.1p'n l+--. + blp + bu •
раскладывают в непрерывную дробь путем деления числителя на знаменатель.
Деление проводят до тех пор, пока полученный остаток можно реализовать схе-
мой известного двухполюсника. В результате схема имеет цепную структуру,
последним звеном в которой является двухполюсник, реализующий остаток,
Реализующие схемы, соответствующие входной функции, зависят от того как
располагаются полиномы в числителе и знаменателе по возрастающим или убы-
вающим степеням.
Если многочлен числителя функции расположен по возрастающим степеням
и степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя (при
р = оо функция имеет полюс), то для ее реализации применяют первую форму
реализации Кауэра. Путем деления многочлена числителя на многочлен знамена-
теля выделяют полюс Ltp и остаток (р)/М (p) = Zl (р). Полюс реализуют по-
следовательной индуктивностью, а в дроби, обратной дроби остатка М (p)/Qi(p) =
= У’1(Р), выделяют полюс (делением числителя на знаменатель), который реали-
зуют параллельной емкостью. Из обратной дроби нового остатка выделяют по-
люс и т. д.
В результате такого деления получают конечную непрерывную дробь
z (п\ = 1
С2р + ...
Этой дроби соответствует реализующая схема рис. 11.4, а.
Если многочлены функции расположены по убывающим степеням и функция
имеет полюс в нуле, то для ее реализации применяют вторую форму реализации
Кауэра. Путем деления многочлена числителя на многочлен знаменателя (начи-
ная с младших степеней) выделяют первый полюс в нуле, второй полюс выде-
ляют делением знаменателя остатка на его числитель и т. д.
Такой процесс последовательного деления приводит к непрерывной дроби вида
Z (Р) = М (p)/N (р)------------j-----.
С1Р+--------!_—
L^+C^+T.
Реализующая схема (рис. 11.4,6) на входе содержит последовательно вклю-
ченный емкостный элемент.
Пример. Реализовать функцию Z (р) =
применяя первую и вто-
Рз + 3р
рую формы реализации Кауэра,
Решение.
Форма реализации
Кауэра
Деление
Непрерывная дробь
и реализующая схема
Первая (много-
члены расположены
по возрастающим
степеням)
р4 + 5р2-|-4 р3 + 3р
Р4 + Зр2 р '
р" + 3р 2р2-|-4
Р3 + 2р р
2р2 + 4 р_
2р2 2р
Р 4
1
р
2(Р) = Р +
-J__ 1
2р+о,25р+
Вторая (много-
члены расположены
по убывающим сте-
пеням)
4 + 5р2 + р4 ЗрН-р3
4 4
4+ур2 ур
Зр+р3 -U-p2+p*
о
9 ~9
Зр+тгР3 тгр
-Лр34-р4
О
4"
121
6р
4’’
н "
0... I -
§ 11.10. Синтез четырехполюсников
Синтез четырехполюсников осуществляют по заданным в виде дробно-рацио-
нальных функций операторным передаточным функциям, например, по переда-
точному сопротивлению Hz, передаточной проводимости Ну. Рассматривают два
метода синтеза четырехполюсников: реализацию схемы непосредственно по пере-
даточной функции (по мостовой схеме) и реализацию схемы по Z- или F-napa-
метрам четырехполюсника, определяемым исходя из заданной передаточной
функции.
§ 11.11. Передаточные функции четырехполюсника
Математическое выражение передаточных функций четырехполюсника полу-
чают исходя из его уравнений в Z-форме:
Ui = Л?ц + {2^121
£/а = /iZ2X+/2^22
и в Y-форме:
/2 = 1^21 + U2К22.
Название
Схема
Математическое выражение
Передаточная
функция напря-
жения
Передаточная
функция тока
Передаточная
функция прово-
димости
Передаточная
функция сопро-
тивления
Н (п\ — УлЮ. — ^21
Hu{P)~UAP)^Z^pj
У21(Р)
У%2 (Р)
= — Z21 (P)/Z22 (p)e
= Г 21 (Р}/У 11 (Р)
Hy(P) = I2(P)/U1(P)^
= ^21 (Р)/1 “ У22 (Р)
при R2= 1
^(P^U^/I^p)-
~Z21 (p)/l —Z22 (Р)
при R2 = 1
§ 11.12. Реализация LC- и 7?С-четырехполюсников мостовой схемой
Заданная передаточная функция четырехполюсника Z21 (р) (взаимное сопро-
тивление при разомкнутых вторичных зажимах) реализуется симметричной мосто-
вой схемой (рис. 11.5) следующим образом.
Дробно-рациональную передаточную функцию Z21 (Р) раскладывают на про-
стые дроби. В полюсах каждой дроби определяют вычеты.
Выражение для Z21 (р) записывают как разность суммы дробей с положитель-
ными вычетами Z21 (р) и суммы дробей с отрицательными вычетами Z21 (р),
Res>0 Res<0
т. е. 721(Я= z21 (р)— Z21 (р).
Res>0 Res<0
Применяя условие вычетов и полагая, что К2ц— Лн —|K2i| (Для
каждого полюса), так как вычет К21 может быть положительным или отрица-
тельным, получают
Zu (р) = Z2i (р)+ Z21 (р),
Res>0 Res<0
Зная функции Zn (р) = [Za (p) + Zb (р)]/2; Z2l(p)=[Zb(p) — Za(p)]ft, находят
сопротивления элементов мостовой схемы Za(p) и Zfy(p).
Функции Za(p) и Zb(p) реализуют как входные сопротивления /?С-двух«
полюсников.
Рис. 11.5 Рис. 11.6
Если синтезируемый четырехполюсник задан передаточной функцией напря-
жения или тока в виде рациональной дроби Н — N (р)/М (р), то схема его реали-
зации зависит от корней уравнения М (р) = 0.
В наиболее простых задачах синтеза корни уравнения М(р) = 0 могут быть
либо мнимыми, либо вещественными. В первом случае четырехполюсник реализу-
ется реактивной LC-схемой, а во втором — /?С-схемой. Один из возможных ва-
риантов реализации четырехполюсника мостовой LC-схемой представлен на
рис. 11.6,
§ 11.13. Необходимые свойства параметров пассивного четырехполюсника £п,
Z12, Гн» 2л2» tLu при его синтезе
Параметры Zu, Z12, Ки и К12 являются элементами матриц
Передаточная функция напряжения
//tt = 6r2/^/l==?21/?ll==— ^21/^22*
Условие Параметры четырехполюсника \
Zn, £12^23 Уи. Л2у„
Вычетов в любом полюсе на мнимой оси (матрицы Z и Y неотрицательны в полюсах) KnK22-KbS=0; ^22» ^12 (вычеты в полюсах Zu, Z22 и Z^n) ^11» ^22 И ^12 (вычеты в полюсах Уп, —22 И К12) —-
Вещественности на любой частоте (матрицы Z и Y по- ложительны и ве- щественны) RiiR22~K212^0; Rn = Re [Zu (/co)]; T?i2 = Re [?i2 (/w)]; R22 = Re [Z22 (/<•))] $п$22 — ^12 0; Gii = Re[Kn (М)]; ^22— Re [¥22 (Л°)]; Gi2 = Re [Г12 (/со)] —
Условие Параметры четырехполюсника
•' Nj 1 Nj Ун, У12У22
В полюсах функ- ций Полюсы не могут находиться в правой полуплоскости; на оси /со полюсы простые с вещественными значениями вычетов Полюсы не мо- гут находиться в правой полу- плоскости, а также в нуле и бесконечности. На оси /со по- люсы простые с мнимыми зна- чениями выче- тов
В нулях функций Нули могут быть кратными и находиться в любой точке плоскости р
§ 11.14. Особенности передаточной функции напряжения
четырехполюсников Ни
Особенности передаточной фун кции — =— Четырехполюсник
неуравновешен- ный без взаим- ной индуктив- ности составленный по цепной схеме уравновешенный составленный по цепной схеме, содержащей только Р и С
Условия в ну- лях на ком- плексной пло- скости р и ее осях Нули могут быть всюду, кроме поло- жительной вещественной оси Нули не могут находиться в правой полу- плоскости Нули могут быть всюду, в том числе и на положи- тельной веще- ственной оси Нули могут быть только на отрицательной вещественной оси. Нули и полюсы Уп — простые чередующиеся. Полюсы Y12 — простые; нули могут быть на отри- цательной и на веществен- ной осях
Значение при положительных вещественных р Значение Ни находится между 0 и 1 Значение Ни находится между —1 и +1. При р = 0, р = со, р = 0, оо я„ = ±1
Коэффициенты числителя Положительны (часть из них может быть равна нулю), не превышая по величине соот- ветствующие коэффициенты знаменателя при условии, что функцию не сокращают на общий множитель Могут быть отрицатель- ными
§ 11.15. Реализация LC- и ЯС-четырехполюсников цепной схемой
Реализация LC- и /?С-четырехполюсников цепной схемой может быть осущест-
влена с помощью передаточных функций (см. § 11.11).
Обычно рассматривают синтез четырехполюсника с нормированной нагрузкой
в виде резистивного элемента сопротивлением /?2 = 1 Ом.
Метод реализации функции передачи по известным двум элементам матрицы
параметров называют методом смещения нуля. По заданной передаточной функции,
например Ну(р), реактивного четырехполюсника цепной схемы (конечные полюсы
лежат в левой полуплоскости, а нули —на мнимой оси) находят проводимости
У21(Р) и Y22(p) при замкнутых выходных зажимах, которые затем и реализуют.
По известной передаточной функции Hz(p) реализуют функции Z2i (Р) и Zu(p)
при разомкнутых зажимах.
Знаменатель W (р) рациональной дроби заданной функции Hy — M(p)/N(p)~
— ^21 (Р)Л "~^22 (Р) представляют как сумму слагаемых четных степеней т(р) и
сумму слагаемых нечетных степеней /г(р):
M(p)/N (р) = М(р)/[т (р) + п(р)].
Если полином М (р) четный, то всю дробь делят на сумму слагаемых знаме-
нателя нечетных степеней п (р) и наоборот. При четном М (р)
М(р) М (р)/п (р)
т (Р) + п (р) 1 + [т (р)/п (р)] ’
откуда
^21 (Р) = М (р)/п (р); Y22 (р) =/П (р)/п (р).
Реализация функций У21 (р) и Y22 (р) состоит в искусственном создании их
полюсов, совпадающих с нулями исходной передаточной функции Ну(р) при сме-
щении или образовании нуля.
Пример. Реализовать функции Г21 (Р) =777^9? и У^(Р) имеющие
Р\Р ~г^) Р\Р~ГЛ)
одинаковые полюсы, конечный нуль и нуль в бесконечности.
Решение. Рассмотрим функцию
(Р)= 1/Г22 (р)=р (р2 + 2)/(Р2 + 1).
Реализацию можно начать, либо с выделения из функции Zi(p) полюса р = оо,
либо конечного нуля р2 =— а2.
Выделим полюс р = со.
Делением числителя на знаменатель выелим из ZY (р) полюс (нуль функции
р = со находится в бесконечности), реализуемый последовательным индуктивным
элементом, начиная от выхода четырехполюсника:
_р(р2+2)
~ Р2+1 Р
Функция, обратная остатку У2= 1/Z2 = (p2+1)/р, имеет полюс в оо и О,
Выделим поперечное звено, соответствующее нулю р2 = — а2:
v /• ч -а2+1 . а2—1 ..
У2(/а)=—=
При а2> 1, b > 0 поперечная ветвь является емкостным элементом С1 = (а2 — 1)/а2,
а при а2 < 1, b < 0 — индуктивным элементом L2 = 1 (1 — а2).
Часть вторая
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Глава 12
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 12.1. Общие сведения
Электрические цепи, содержащие хотя бы один нелинейный элемент, называют
нелинейными цепями. Нелинейными элементами (резистивными, индуктивными и
емкостными) являются элементы, параметры которых существенно зависят от токов
и напряжений.
К нелинейным цепям в общем случае неприменим принцип наложения. При
синусоидальном входном воздействии выходной сигнал имеет несинусоидальную
форму и может содержать как высшие гармоники, так и субгармоники, При от-
сутствии внешнего воздействия возможны автоколебания.
Нелинейные элементы задают нелинейными характеристиками, полученными
обычно экспериментально. Статические характеристики снимают при медленном
изменении тока (на низких частотах) или при постоянном токе, динамические
характеристики — при быстром изменении переменного тока.
Нелинейный элемент Обозначение Характеристика
Резистивный (терморезисторы,
термисторы, варисторы, полу-
проводниковые термисторы)
Индуктивный (катушки с фер-
ромагнитным сердечником без
подмагничивания и с подмагни-
чиванием)
Емкостный (варикапы — полу-
проводниковые диоды, варикон-
ды — конденсаторы с нелиней-
ным диэлектриком)
Вольт-амперная
Вебер-амперная
I
а
7 Татур Т. А.
193
§ 12.2. Резистивные элементы
Нелинейные резистивные элементы могут быть инерционными и безынерцион-
ными. В инерционных элементах (бареттерах, термисторах, лампах накаливания
и др.) нелинейность в. а. х. обусловлена изменением температуры в результате
протекания тока через элемент. Если постоянная времени нагрева элемента многс
больше периода переменного тока, то сопротивление элемента за период практи-
чески не меняется (в. а. х. для мгновенных значений в течение периода линейна).
В. а. х. инерционного резистивного элемента нелинейна для действующего значе-
ния тока. Безынерционные резистивные элементы (электронные лампы, полупро-
водниковые диоды и триоды) имеют в. а. х., нелинейность которых обусловлена
не тепловым процессом.
Нелинейные резистивные элементы подразделяют на двухполюсные, двухполюс-
ные управляемые; трехполюсные и многополюсные.
§ 12.3. Двухполюсные резистивные элементы
Название
и обозначение
Причина
нелинейности
Вольт-амперная
характеристика
Примечания
Варистор (компа-
унд из карбида
кремния, железа,
фосфора)
Зависимость
сопротивления
от напряжен-
ности электри-
ческого поля
Электровакуумный
Диод
Газоразрядный
промежуток в га-
зоразрядных при-
борах (электроды
находятся в газе
с пониженным
давлением)
Электронная
эмиссия
Ионизация
Симметричная
[l(H)=—l(— и)],
монотонная
[(di/dt) > 0]
в. а. х., либо
положительная,
либо отрица-
тельная;
^ном = 5ч-5000 В;
Люм = 0,002 4-1,5 А
Несимметричная,
монотонная в. а. х.
(dia/dua>0)
В. а. х. имеет па-
дающие участки
Название
и обозначение
Причина
нелинейности
Вольт-амперная
характеристика
Примечания
Электрическая дуга
Ионизация
в разрядном
пространстве
Неоновая лампа
Газовый
стабилитрон
Стабилитрон
(кремниевый диод)
Туннельный диод
(один р-л-переход
с большим коли-
чеством примесей
и очень малой
толщиной
перехода)
Тлеющий
разряд
Тлеющий или
коронный
разряд
р-л-переход
(увеличение
обратного тока
обусловлено
лавинным про-
боем перехода)
Туннельный
эффект (элек-
троны могут
проходить через
потенциальный
барьер, не рас-
ходуя энергии)
В. а. х. симмет-
ричная при одина-
ковых и несиммет-
ричная при различ-
ных электродах.
При повышенной
частоте изменения
напряжения в. а. х.
имеет вид петли
гистерезиса
В. а. х. с падающим
участком:
U3= 180 — 200 В;
^г = 4О-75о/о£/3;
—напряжение
гашения
Для СГШ
^з=180 — 90 В;
для СГ16П
£73= 105—110 В;
1тах = ^ 40 А
В. а. х. несим*
метричная,
монотонная
В. а. х. несиммет-
ричная с падающим
участком
Название
и обозначение
Причина
нелинейности
Вольт-амперная
характеристика
Примечания
Обращенный диод
(туннельный диод
с очень малым
пиковым током)
Полупроводни-
ковый диод
Туннельный
эффект
р-л-переход
В. а. х. несим-
метричная: /ПИк =
= 40—100 мкА;
^ном ~
= 350 — 700 мВ;
£/обр — 90 — 200 мЕ
^обр = 0,5 —2,5 м.
В. а. х. несиммет
ричная монотонна
Динистор (двух -
электродный ти-
ристор — четырех-
слойный полупро-
водниковый диод
с тремя р-л-пе-
реходами)
р-л-переход
В. а. х. несиммет
ричная с падающит
участком. Переход
ный участок зави
сит от структурь
тиристора и схемы
в которой он рабо
тает
§ 12.4. Управляемые двухполюсные резистивные элементы
Управляемые двухполюсные резистивные элементы задаются в виде семейств?
кривых. В. а. х. зависит от управляющего параметра (температуры, напряженности
электрического и магнитного полей, освещенности, давления). Каждая в. а. х.
снимается при постоянном значении управляющего параметра.
Элемент
Управляющий
параметр
Вольт-амперные
характеристики
Примечание
Термистор (инерци-
онный элемент с отри-
цательным температур-
ным коэффициентом
сопротивления; изго-
тавливается из смеси
оксидов металлов)
Температура внеш-
ней среды
В. а. х. имеют па-
дающий участок.
Сопротивление
термисторов зави-
сит от темпера-
туры (от тока при
Т = const).
Постоянная вре-
мени для ММТ-1
т = 85 с, для
ММТ-4 т=115 с
Элемент
Управляющий
параметр
Вольт-амперные
характеристики
Примечание
Позистор (инерцион-
ный элемент с положи-
тельным температур-
ным коэффициентом
сопротивления; изго-
товляется из титаната
бария с примесями
редкоземельных метал-
лов)
Температура
внешней среды
Положительный
температурный
коэффициент имеет
место в диапазоне
температур Т —
— 8 — 90° для
СТ5-1 и Т =
= 10— 125° для
СТ6-ЗБ. Постоян-
ная времени т =
= 10-20 с
Фотодиод (полупро-
водниковый диод с
одним р-л-переходом)
Световой поток оп-
ределенной длины
волны
В. а. х. снимается
при постоянном
токе
§ 12.5. Управляемые трехполюсные резистивные элементы
Управляемые трехполюсные резистивные элементы представляют собой частный
случай четырехполюсника, имеющего общий вывод для
Состояние трехполюсного элемента описывают
входными (i1( иг) и выходными (i2, w2) параметрами.
Входную характеристику строят при постоянстве
O/JHого из выходных параметров, например 4 = /(^i)
при и2 — const (f2 = const). Выходную характеристику
МОЖНО получить при Ц = const («! = const) и т. п.
входа и выхода (рис. 12.1).
Рис. 12.1
Управляющий
параметр
Вольт-амперные характеристики
Примечания
Тиристор (че-
тырехслойный
диод с тремя
р-п-переходами
и управляющим
выводом, соеди-
ненным с одним
из средних
слоев — затво-
ром)
Импульс тока,
регулирующий
момент
включения
Симметричный
Тиристор (имеет
два р-п-перехода
и два п-р-пе-
рехода, пропу-
скает ток в
прямом и об-
ратном направ-
лениях)
Импульс тока,
подаваемый
на базу
Транзистор
биполярный
типа р — п — р
или п — р — п
р-п-р
п-р-п
Изменение
э. д. с. источ-
ника э. д. с.
в цепи
управления
Для схемы с общим эмиттером
В. а. х. завис]
от управляю-
щего тока.
В. а. х. i3 (цЕ
не зависит от
выходных
параметров
В. а. х.
симметрична
Полярность
источников
э. д. с. в схеме
должна быть
такой, чтобы
коллектор и
эмиттер по
отношению
к базе имели
отрицательный
и положитель-
ный потенциалы
§ 12.6. Расчет нелинейных цепей постоянного тока
Простые нелинейные схемы постоянного тока рассчитывают графическим спо-
собом. При этом за основу берут в. а. х. нелинейных элементов, входящих в схему.
Схема
Входные вольт-амперные
характеристики
Передаточная
характеристика
Последовательное соедине-
ние
Первый способ
Напряжения на нелиней-
ных элементах складываются:
(/ = Ur + U2 при одном и том
же токе /вх
Второй способ
1. Начало в. а. х. 7 (С/х)
сдвинуто по оси абсцисс
на Ubx
2. Точка пересечения кри-
вой 7 (<7Х) и в. а. х. второго
элемента является рабочей
точкой К
Параллельное соединение
Токи через элементы скла-
дывают / = 71 + /2 при оди-
наковых направлениях на
них: К —рабочая точка
График U2(U) строят
по входной в. а. х.
/вх (47Вх) и в- а- х- не"
линейного элемента
График I2(U) строят
по входной в. а. х.
Л>х(^вх) и в. а. х. не-
линейного элемента
Схема
Входные вольт-амперные
характеристики
Передаточная
характеристика
Последовательно-парал-
лельное соединение
4
и
График U2(U) строят
по в. а. х. /вх (UBX) и
в. а. х. нелинейного
1. Ординаты в. а. х. Jr(U)
и /2 (U) складывают при оди-
наковых напряжениях на
них. В результате получают
кривую Л (U) + I2(U).
2. Полученную кривую
и в. а. х. /3 (U) складывают
последовательно (при одном
и том же токе складывают
напряжения)
элемента, например,
вх (^вх)’>
/2(^2)
}u2(U)
§ 12.7. Метод двух узлов
Решение нелинейных уравнений методом двух узлов применительно к развет-
вленным нелинейным схемам, содержащим два узла, проводят графически. Сначала
на одном графике строят в. а. х. всех нелинейных элементов в зависимости от
напряжения между двумя узлами схемы. Затем их складывают графически в соот-
ветствии с первым законом Кирхгофа, записанным для выбранных направлений
токов в ветвях схемы (при одном и том же напряжении складываются токи в. а. х.).
Если токи в ветвях направлены в одну сторону относительно узла схемы, то
режим определяется точкой пересечения кривой £/ = 0 с осью напряжения. Через
эту точку параллельно оси тока проводят прямую линию, при пересечении кото-
рой с каждой в. а. х. ветвей получают соответствующие значения токов.
Если же токи в ветвях схемы по отношению к узлу имеют различное направ-.
ление, например ^ + /2 = ^3» то режим определяется точкой пересечения кривой
/1 + /2 с в. а- х- ветви, по которой протекает ток /3.
Пример. Определить токи в ветвях схемы рис. 12.2 при заданных э. д. с. и
в. а. х. нелинейных элементов.
Решение. Зададимся положительным направлением токов и запишем пер-
вый закон Кирхгофа:
/1 + Л + /з = 0. (12.1)
Определим напряжение между узлами аЬ для каждой параллельной ветви
(рис. 12.3):
Uab = Ei-Il(U)\ )
Uab = /а (U); } (12.2)
Uab = -Ea-Ia(U). J
Рис. 12.2
Рис. 12.3
Построим в. а. х. по уравнениям (12.2) и сложим их (рис. 12.3) в соответствии
с уравнением (12.1). Через точку пересечения результирующей кривой с осью
абсцисс проводим прямую АА'. При пересечении прямой А А' с в. а. х. ветвей
получим токи /1, /2 и /3. Токи /2 и /3 имеют направление, противоположное
выбранному.
Параллельная ветвь
Вольт-амперные
характеристики
Пояснения к построению
в. а. х.
Значение э. д. с. Et от-
кладывают в положитель-
ном направлении по оси
абсцисс. Через точку К
параллельно оси ординат
проводят прямую 1. Из
прямой 1 вычитают в. а. х.
нелинейного элемента
1г (U). Полученная кри-
вая 2 является зеркаль-
ным изображением в. а. х.
нелинейного элемента
Значение э. д. с. Е3 от-
кладывают в отрицатель-
ном направлении по оси
абсцисс. Через точку К
проводят прямую 1. Из
ординат прямой 1 вычи-
тают ординаты кривой 2
В. а. х. нелинейного
элемента не изменилась
(построена в другом мас-
штабе)
Параллельная ветвь
Вольт-амперные
характеристики ♦
Пояснения к построению
в. а. х.
При совпадающих на-
правлениях тока источ-
ника тока J и напряже-
ния Uat, в. а. х. нелиней-
ного элемента /н (£/н) под-
нимается по оси ординат
на значение тока J
При несовпадающих на-
правлениях тока источ-
ника тока J и напряже-
ния Uab в. а. х. нелиней-
ного элемента снижается
по оси ординат на вели-
чину — J
§ 12.8. Статическое и дифференциальное сопротивления
Статическое сопротивление нелинейного элемента определяют как отношение
напряжения к току в рабочей точке в. а. х.: /?СТ==€/Д (рис. 12.4, а). Это сопро-
тивление пропорционально тангенсу угла Р между осью тока и линией, проведен-
ной через начало координат и рабочую
точку А на в. а. х.
Дифференциальное сопротивление не-
линейного элемента равно отношению
приращений напряжения и тока, т. е.
является производной от напряжения по
току: Rjjyi^dU/dl (рис. 12.4, б). Это
сопротивление пропорционально тангенсу
угла а между касательной к в. а, х,
в рабочей точке А и осью ординат.
§ 12.9. Эквивалентная замена нелинейного резистивного элемента
линейным резистивным элементом и источником э. д. с.
Нелинейный элемент, в. а. х. которого в рабочем диапазоне приближенно
можно изобразить прямолинейным участком, заменяют последовательным соедине-
нием линейного резистивного элемента с источником э. д. с. Сопротивление ли-
нейного элемен1а равно дифференциальному сопротивлению нелинейного элемента
в рабочей точке его в. а. х.
Кроме того, нелинейный элемент в области рабочей точки можно заменить
параллельным соединением источника тока с линейным элементом, проводимость
которого равна дифференциальной проводимости нелинейного элемента в этой
точке.
Нелинейный элемент
Вольт-амперная
характеристика
Эквивалентная схема
U ab Е + ^диф^
§ 12.10. Расчет разветвленной схемы с нелинейными элементами
Разветвленная схема с нелинейными элементами может быть рассчитана
методом эквивалентного источника. При этом заменяя линейную часть по отно-
шению к нелинейному элементу эквивалентным источником, всю систему сводят
к одному контуру. Полученную схему последовательного соединения источника,
линейного и нелинейного элементов рассчитывают графически.
Расчет разветвленной схемы с двумя нелинейными элементами. В такой схеме
линейную часть рассматривают как активный четырехполюсник, к входу и выходу
которого присоединены нелинейные элементы (рис. 12.5, а). Активный четырех-
полюсник заменяют пассивным с двумя источниками э. д. с., включенными
в ветви с нелинейными элементами (рис. 12.5, б). Величины и направления э. д. с.
равны величинам и направлениям напряжений на разомкнутых зажимах при
одновременном размыкании ветвей с нелинейными элементами. Последующей
заменой пассивного линейного четырехполюсника, например Т-образной схемой
замещения, исходную схему сводят к нелинейной с двумя узлами (рис. 12.5, в).
Полученную схему рассчитывают графически, г
Рис, 12,5
Расчет разветвленной схемы с несколькими нелинейными элементами. При
расчете используют итерационный метод решения нелинейных алгебраических
уравнений. Для нахождения токов (напряжений) в ветвях сложной нелинейной
схемы составляют систему алгебраических уравнений по законам Кирхгофа:
Е/ =0;
В этих уравнениях неизвестны токи и напряжения на нелинейных элемен-
тах. Уравнения решают относительно тока в нелинейном элементе, если он имеет
в. а. х. с возрастающим сопротивлением (см. рис. 12.4,6), для которой /?ст </?ДИф.
Для нелинейных элементов с убывающим сопротивлением (см. рис. 12.4, а),
когда /?ст > /?ДИф, расчет ведут относительно напряжения на этих элементах.
Первое приближение тока (напряжения) может быть получено решением
уравнений Кирхгофа, составленных для схемы, в которой нелинейные элементы
замещены последова!ельным соединением источников э. д. с. и линейных резис-
тивных элементов со статическим сопротивлением /?ст.
Второе приближение тока (напряжения) находят по первому приближению
из в. а. х. нелинейных элементов. Найденное решение подставляют в исходные
уравнения и определяют третье приближение и т. д.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока числовые значения
токов (напряжений) не начнут повторяться. Данный момент может быть приме-
нен для расчета схем с любым числом нелинейных элементов.
Глава 13
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНДУКТИВНЫЕ И ЕМКОСТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 13.1. Нелинейные индуктивные элементы
Нелинейные индуктивные элементы представляют собой катушки, намотанные
на сердечник из ферромагнитного материала.
Ферромагнитные материалы характеризуются зависимостью магнитной индук-
ции В от напряженности магнитного поля Я, называемой кривой намагничивания
(петля гистерезиса, основная кривая намагничивания, кривая размагничивания).
Нелинейный индуктивный элемент задается вебер-амперной характеристикой
ф( г) —зависимостью магнитного потокосцепления ф = к>Ф от тока в обмотке
катушки I.
§ 13.2. Кривые намагничивания В (И) ферромагнитных материалов
Петля гистерезиса —замкнутая кривая В (Я), полученная при циклическом
перемагничивании ферромагнитного сердечника (рис. 13.1).
Предельная петля гистерезиса—симмет-
В
ричная петля гистерезиса при максимально-
возможном насыщении.
Основная кривая намагничивания —
геометрическое место вершин симметричных
петель гистерезиса.
Начальная кривая намагничивания —
кривая намагничивания предварительно раз-
магниченного сердечника (В = 0, // = 0) при
плавном изменении внешнего поля Н.
Основная и начальная кривые намагни-
чивания практически совпадают.
Частный гистерезисный цикл — несимме-
тричная петля гистерезиса, полученная при
неравных значениях абсолютных величин
Частный гисте-
резисный цикл д
Предельная петля
гистерезиса
1
'с
Рас. 13.1
Кривая
размагни-
чивания
Основная
кривая
намагничи-
вания
"Ь-^max и ^min*
Кривая размагничивания («спинка» гистерезиса) — часть предельной петли
гистерезиса при В — Вг ч- 0 и Нс = 0 4-Нс.
Материал
Вид петли
гистерезиса
Примечания
Магнитно-мягкий (железо,
электротехнические стали, пер-
маллой, оксиферы; применяют
в трансформаторах, электриче-
ских двигателях и т. п.)
Основная кривая намаг-
ничивания крутая, петля
гистерезиса узкая
Материал
Вид петли гистерезиса
Примечания
Магнитно-твердый (углероди-
стые стали, вольфрамовые спла-
вы, платино-кобальтовые, барие-
вые ферриты; применяют для
изготовления постоянных маг-
нитов)
Магнитный с прямоугольной
петлей гистерезиса (магний-цин-
ковые ферриты, никель-цинко-
вые ферриты; применяют в уст-
ройствах вычислительной и им-
пульсной техники)
Основная кривая намаг-
ничивания пологая, петля
гистерезиса широкая
Петля гистерезиса имеет
почти прямоугольную
форму: Bz./Bnlax=a0,95 —
— 0,99 — коэффициент
прямоугольности петли;
АВ^АВг —степень квад-
ратности петли
§ 13.3. Потери в реальном индуктивном элементе
Потери в реальном индуктивном элементе складываются из потерь:
1) в меди Рм, образованных вследствие конечного значения сопротивления
обмотки катушки;
2) на гистерезис в ферромагнитном сердечнике Рг, пропорциональных пло-
щади петли гистерезиса;
3) на вихревые токи Рв, возникающие внутри сердечника в результате
наведения э. д. с. переменным магнитным потоком.
Вихревые токи увеличивают ширину петли гистерезиса по сравнению с шири-
ной статической петли.
Суммарные потери в сердечнике (потери в стали) Рст = Рг-|-Рв.
Потери Рг и Рв можно определить по следующим эмпирическим формулам:
Pr=^maX; =
где ог, ав — коэффициенты, характеризующие свойства материала сердечника;
/ — частота напряжения; п=1,6 для Втах 10~4Тл; п — 2 для Втах > 10-4Тле
§ 13.4. Основные величины и зависимости, характеризующие
магнитное поле
Основные величины и законы
Основные зависимости
Магнитная индукция В; [В] = Вб/м2 =
= Тл
в=НгНсД
Основные величины и законы Основные зависимости
Напряженность магнитного поля Н, [Н\ = Мм В воздушном зазоре # = 0,8-10® В
Магнитная постоянная р0; [р0] = Гн/м ц0 = 4л • 10~7
Абсолютная магнитная проницаемость ра На == НоМт
Относительная магнитная проницае- мость
Магнитный поток Ф; [Ф] = В-с = Вб ф = (f) В ds S Если B = const во всех точках сече- ния S, то Ф = В5
Непрерывность магнитных силовых ли- ний Ф = 0 |в dS = 0
Закон полного тока § HdT=^lw При постоянном значении Н на &-м участке контура Hkdlk=^^Iui)
§ 13.5. Формальная аналогия между электрической и магнитной цепями
постоянного тока
Формальную аналогию между электрической и магнитной цепями можно
провести в предположении, что магнитное поле на каждом участке магнитопро-
вода однородное. При этом поперечные размеры сердечника и величина зазора
должны быть невелики по сравнению с его длиной; потоками рассеяния можно
пренебречь.
Параметры и законы электрической цепи Параметры и законы магнитной цепи
Ток / Поток Ф
Электрическое напряжение U Магнитное напряжение Um= H^k k
Э. д. с, Е М. д. с. F — Iw
Параметры и законы
электрической цепи
Электрическое сопротивление R =
— 1/yS
Параметры и законы магнитной цепи
Магнитное сопротивление Rm—---------$,
где Zcp—длина средней линии магнитной
индукции; S — поперечное сечение магни-
топровода
Закон Ома Е = 1
yS
Закон Ома F — Ф—^-5
Первый закон Кирхгофа У1, Z=0
Непрерывность магнитных силовых ли-
лий 2фл=°;
k k
^BkSk=Q
k
Второй закон Кирхгофа У] £ = Закон полного тока y}Fk — ^ =
^IR =^Hkik
§ 13.6. Расчет магнитных цепей при постоянном токе. Прямая задача
Магнитная цепь—совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела,
электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью магнито-
движущей силы, магнитного потока и разности магнитных потенциалов.
При анализе магнитной цепи решают две задачи: прямую и обратную.
В случае прямой задачи по заданным магнитным потокам участков магнито-
провода Ф/г, его конфигурации и размерам и а также кривым намагничи-
вания Bk{Hk) определяют м. д. с. F = lw.
Задача решается для каждого участка магнитопровода по схеме
Фк -> Вк+ Bk (Hk) Hklk -ь 2 Hklk = IW.
Неразветвленная магнитная цепь. М. д. с. в неразветвленной магнитной цепи
по заданному магнитному потоку находится по закону полного тока суммирова-
' нием падений магнитного напряжения на всех участках:
^Нк1к = 1ш.
k
Решение целесообразно свести в таблицу.
«
Пример. Найти м. д. с. F, необходимую для создания магнитного потока
Ф = 4,5 Вб в воздушном зазоре магнитопровода рис. 13.2 (размеры даны в мил-
лиметрах). Кривая намагничивания задана на рис. 13.3. При решении считать,
что поток одинаков во всех стержнях. Потоками рассеяния пренебречь.
Рис. 13.2
Решение.
Участок Параметры
Ф^, вб sk, см« Тл А/м 1к’ м Hklk’А
G 4,5 6 0,75 115 0,21 24,15
/2 4,5 3 0,15 50 0,03 4
6 4,5 3 0,15 12- 10« 10-< 12
Таким образом, 7/fe/Zg=F = /o = 40, 15 А.
Разветвленная магнитная цепь. По заданному потоку в одном стержне м. д. с.
может быть найдена исходя из законов для магнитной цепи:
£ф = 0; ///=2^о-
Пример. Для магнитной цепи рис. 13.4 известны поток Ф3 в воздушном
зазоре, все геометрические размеры, данные в миллиметрах, и кривые намагни-
чивания. Найти м.д.с.
Решение. Зададимся положитель-
ным направлением потоков и запишем
уравнения. Если направление обхода
контура, образованного стержнями, со-
гласуется с положительным направлением
Iw по правилу правоходового винта, то
магнитное напряжение Umk — Hklk поло-
жительно. Следовательно,
Ф1 = Ф24-Фз*» (13.1)
Iw^H^ + H^ (13.2)
(13.3)
Рис. 13.4
Рассчитаем Н313 и Hblb:
B3=^-+B3(H3)+H3l3,
. дз
По уравнению (13.3) определим H2l2 = H3l3 + Hblbt
H2l2 -+H2=^ + B2 (/A) + B2 + B2S2 = Ф2.
l2
llo уравнению (13.1) найдем Ф! = Ф2 + Ф3, следовательно, получим
По уравнению (13.2) F —
§ 13.7. Расчет магнитной цепи при постоянном токе. Обратная задача
По заданным значениям F = !w, размерам магнитопровода lkt S& и кривым
намагничивания В^(Я^) определяют магнитные потоки в магнитопроводе.
Неразветвленная магнитная цепь. Решение обратной задачи сводится к много-
кратному решению прямой задачи расчета магнитных цепей постоянного тока.
При этом задаются значением магнитного потока Ф', после чего находят м. д. с. F'.
Если полученное значение F' не совпадает с заданным, то выбирают другие
значения Ф", Ф*' и определяют соответствующие им F", F'". По вспомогательной
характеристике Ф = / (F) и заданному значению F находят поток Ф.
Значение потока Ф' устанавливают по магнитному напряжению на участке
с наибольшим магнитным сопротивлением (например, на воздушном зазоре), пренеб-
регая магнитными сопротивлениями других участков: Ф' =
Разветвленная магнитная цепь. В общем случае такую цепь рассчитывают
графически по аналогии с расчетом нелинейных электрических цепей постоянного
тока с двумя узлами.
Сначала задаются положительным направлением магнитных потоков в стер-
жнях магнитопровода. Затем составляют эквивалентную схему, на которой указы-
вают направление м. д. с. и потоков, после чего по эквивалентной схеме состав-
ляют уравнения для магнитной цепи.
Уравнения решают графически в следующем порядке:
1) кривые намагничивания ферромагнитного материала каждого участка
Bk(Hk) перестраивают в виде ®k = BkSk=f (HklkY
2) с помощью характеристик ®k(Hklk) строяг зависимое и где
Umab—магнитное напряжение между узлами аЪ\
3) согласно первому закону Кирхгофа, складывают соответствующие ординаты
характеристик, получая кривую Ф (Umab)\
4) проводя прямую, параллельную оси, на которой отложены потоки Фл, через
точку пересечения кривой Ф(ЦтаЬ) и кривой, полученной по закону £ф=ю,-
определяют неизвестные потоки во всех стержнях магнигопровода,
Схема магнитной
цепи
Эквивалентная схема
Графическое решение
Ф1+ф2=ф3;
U mab — ®i 1^1 —
UтаЬ == (J2®2 ^2 )>
Umab = Фз (#З^з)
§ 13.8. Неразветвленная магнитная цепь постоянного магнита
Постоянный магнит выполняют из магнитно-твердых материалов с воздушным
зазором, например по рис. 13.5, а. Вебер-амперной характеристикой постоянного
магнита является кривая размагничивания.
Магнитопровод, предназначенный для постоян-
ного магнита, предварительно намагничивается
с помощью катушки, которая затем снимается.
Если воздушный зазор отсутствует, то
магнитная индукция в теле магнита равна оста-
точной индукции Вг, а напряженность поля
H — Q. Наличие воздушного зазора уменьшает
величину магнитной индукции постоянного маг-
нита по кривой размагничивания петли гисте-
резиса.
Графически значение магнитного потока
Рис. 13.5
в воздушном зазоре можно получить
пересечении кривой размагничивания
при
прямой
^тв = ф#т = ® (прямая
аО на рис. 13.5, б). При уменьшении воздушного зазора магнитный поток увели-
чивается не в соответствии с кривой размагничивания, а по частному гистерезисному
циклу, практически по прямой возврата abc.
Размагничивающее действие воздушного зазора оценивается фактором размаг-
ничивания:
z 9
W —0,8• 10е-у5-•, А-м/(В.с).
Напряженность поля H——NB.
В воздушном зазоре направления магнитных силовых линий векторов В и Н
противоположны.
§ 13.9. Катушка с ферромагнитным сердечником
Индуктивная катушка, намотанная на замкнутый ферромагнитный сердечник
(рис. 13.6), является нелинейным индуктивным элементом, индуктивность которого
Рабочий поток Ф
Поток
рассеянии Ф3
Рис. 13.6
зависит от тока: L(i). Поэтому закон электромагнитной индукции записывают
в общем виде:
d4
ь ь dt
Уравнение для мгновенных
значений
Уравнение для эквивалентных
синусоид в комплексной форме
u^iR^ + L^+w-^,
где /?обм —электрическое сопротивление обмот-
ки; Ls — индуктивность рассеяния катушки
О = 1 Яобм + i^sl +/<ва»Ф
й'
Векторная диаграмма, по-
строенная для эквивалентных
синусоид
Фт^Вт8- !л^Р„1й'-,
/p = QCT/i7'; 7 = /a + /p = Ze/e
Значение РСТ и QCT определяют по кривым,
Р О
(Вт) и 2^-. (Вт) для заданной частоты;
G—масса сердечника
Графическое определение кри-
вой тока i(t) в пренебрежении
потерями в обмотке и сердеч-
нике
(и = Um cos (о/;
4f = 4f/nsin со/;
i = 1’1 + 13+
Ток—несинусоидальный, содержит нечетные
гармоники
Графическое определение кри-
вой тока i(t) с учетом потерь
Рст при гармонических напря-
жении и магнитном потоке
Прохождение тока через нулевое значение опе-
режает по времени прохождение магнитного
потока через это значение; максимумы imax и
по времени совпадают
Графическое определение по-
токосцепления ¥ (Z) при сину-
соидальном токе i (0 с учетом
потерь РСт
Потери в стали Рст
Активные потери в катушке Р
Р — Рст+Рм, где Рм — ^^обм
§ 13.10. Нелинейные цепи с управляемым индуктивным элементом
Катушка с ферромагнитным сердечником при подмагничивании его постоян-
ным током (рис. 13.7) представляет собой нелинейный управляемый индуктивный
элемент. Индуктивный элемент Lo в контуре постоянного тока создает большое
индуктивное сопротивление для переменного тока.
Переменный ток, протекающий по обмотке катушки, подключенной к сину-
соидальному напряжению, является несинусоидальным, содержит нечетные и чет-
ные гармоники и не содержит постоянной составляющей. Постоянная составляющая
магнитного потока Фо меньше постоянного потока Ф$, создаваемого током /0 при
t = 0; она может быть найдена графически следующим образом (рис. 13.8),
1. Задаются величиной Ф$ и строят зависимость
ф (/) = ФJ + Фш sin art,
где Фт = ит/ш (см. § 13.9).
2. По кривым Ф (/) и Ф О’кУх + 1qWq) строят кривую /кУ1 + /о^’о=/(О-
3. Графически находят среднее значение этой кривой, проводя прямую аЬ,
по которой определяют значение постоянной м. д. с. Fq = IqWq, так как ток i не
содержит постоянной составляющей.
Построение повторяют до тех пор, пока найденнсе значение м, д. с, FQ не
будет равно заданному lQwQ.
§ 13.11. Магнитный усилитель мощности
Магнитный усилитель представляет собой магнитный элемент, управляемый
путем изменения величины постоянного тока /у. Изменяя ток /у, можно управ-
лять величиной переменного тока / (действующее значение несинусоидального
тока), а следовательно, и мощностью в нагрузке Pn = Rnl2.
Схема простейшего однотактного усилителя показана на рис. 13.9. Управля-
ющие обмотки включены встречно и имеют бдльшее число витков, чем рабочие,
что позволяет компенсировать переменные напряжения, индуцируемые перемен-
ным рабочим потоком в управляющих обмотках.
С увеличением постоянного управляющего тока уменьшается индуктивность
и индуктивное сопротивление рабочей обмотку а рабочий ток увеличивается:
На рис. 13.10 показаны кривые изменения индуктивности элемента L и тока I
в зависимости от /у.
Коэффициент усиления по току
Рис. 13.9
§ 13.12 Трансформатор с ферромагнитным сердечником
В зависимости от назначения трансформаторы подразделяют на силовые,
измерительные, разделительные, пик-трансформаторы и др.
Принципиальная схема силового
двухобмоточного трансформатора
Схема замещения при замене
несинусоидально! о тока эквива-
лентной синусоидой
Векторная диаграмма, построен-
ная для эквивалентных синусоид
§ 13.13. Пик-трансформатор
Пик-трансформатор—трансформатор (рис. 13.11, а), вторичное напряжение
которого и2 (0 имеет пикообразную форму (рис. 13.11, б).
Рис. 13.11
Сердечник такого трансформатора изготовляют из ферромагнитного материала
с прямоугольной петлей гистерезиса, а питание осуществляют от источника
синусоидального тока. Графическое построение кривой выходного напряжения и2 (0
проводят, исходя из графика синусоидального тока i (/) и зависимости потока Ф (t).
Сначала строят кривую несинусоидального потока Ф (/), а затем графическим
интегрированием находят и2(0:
Ф(0
i(0
§ 13.14. Нелинейные емкостные элементы
К нелинейным емкостным элементам относятся конденсаторы с нелинейным
диэлектриком (вариконды), а также полупроводниковые конденсаторы (варикапы).
Вариконд—конденсатор с керамическим диэлектриком типа сегнетоэлектрика.
У сегнетоэлектрических материалов диэлектрическая проницаемость зависит от
напряженности электрического поля, поэтому емкость такого конденсатора явля-
ется функцией приложенного напряжения и температуры.
Кулон-вольтная характеристика Q(u) при полном цикле изменения напряже-
ния является петлей диэлектрического гистерезиса (рис. 13.12), которая по виду
аналогична петле гистерезиса для ферромагнитных материалов. Площадь петли
диэлектрического гистерезиса пропорциональна диэлектрическим потерям.
Рис. 13.13
Варикап представляет собой полупроводниковый диод с барьерной емкостью
обратно смещенного р-п-перехода. Варикап является безынерционным нелинейным
емкостным элементом, вследствие чего широко применяется на высоких частотах
для автоматической подстройки частоты колебательных контуров. Он характери-
зуется зависимостью относительной барьерной емкости от величины обратного
напряжения: C/Ca=f(u) (рис. 13.13), где Сн —емкость при номинальном напря-
жении.
§ 13.15. Резонансные явления в нелинейных цепях
В простейших нелинейных цепях явления резонанса могут наблюдаться при
последовательном и параллельном соединении индуктивного и емкостного эле-
ментов.
При этом нелинейным может быть индуктивный или емкостный элемент. Если
нелинейным является индуктивный элемент, то резонанс называют феррорезонансом.
Явление феррорезонанса характеризуется скачкообразным изменением фазы вход-
ного тока относительно входного напряжения. В феррорезонансных цепях при
постоянных параметрах и неизменных входных источниках может существовать
несколько режимов. Режим феррорезонанса может быть достигнут и при посто-
янных параметрах и частоте в случае изменения величины напряжения и тока.
Феррорезонанс в последовательном контуре называют феррорезонансом напря-
жений, феррорезонанс в параллельном контуре—феррорезонансом токов.
Феррорезонанс напряжений.
Схема последовательного соеди-
нения нелинейного контура с Не-
линейным индуктивным элементом
Входная в. а. х. контура для
первой гармоники тока (полу-
чена последовательным сложением
в. а. х. элементов)
Схема для первой гармоники
Ьез учета потерь и
высших гармоник-
С учетом потерь и
высших гармоник
В точке К—резонанс, точки 1,3—точки
равновесия; точка 2—точка неустойчивого
равновесия.
При плавном изменении напряжения на*
блюдаются скачки тока
Резонансные кривые I (со) (ам-
плитудно-частотные характери-
стики)
Феррорезонанс токов.
При малых токах кривая I (со) совпадает
с резонансной кривой линейного контура,
С увеличением тока увеличивается наклон
кривой в сторону больших частот. После
максимума тока характеристика / (со) имеет
падающий участок ab
Схема параллельного нелинейного контура
с нелинейным индуктивным элементом
гармоника.
Входная в. а. х. контура для первой гар-
моники, построенная путем сложения абс-
цисс в. а. х. отдельных элементов.
Феррорезонанс токов наблюдается при
До резонанса входная проводимость имеет
емкостный, а после феррорезонанса —индук-
тивный характер (опрокидывание фаз). Все
точки входной в. а. х. можно снять при
плавном изменении напряжения
Резонансные кривые (амплитудно-частот-
ные характеристики) параллельного нелиней-
ного контура
Глава 14
АППРОКСИМАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
§ 14.1. Аппроксимирующие функции
При анализе нелинейных схем характеристики нелинейных элементов в пре-
делах рабочего участка аппроксимируют аналитическими выражениями. При этом
задача состоит в выборе аппроксимирующей функции и определении ее коэффи-
циентов. В качестве аппроксимирующих функций применяют кусочно-линейные
функции, степенные, экспоненциальные и тригонометрические полиномы, гипер-
болический синус, гиперболический тангенс и др.
Аппроксимирующая функция Примечания
вид математическое выражение
Линейная у=ах+Ь Нелинейность характеристики незначительна, аппроксимиру- ется участок кривой без излома
Степенной полином У= 2 «л** л=о Полином с нечетными степе- нями описывает симметричные, а с четными —несимметричные характеристики
Гиперболиче- ский синус у=а sh Рх
Гиперболиче- ский тангенс у=а th Рх Выражение справедливо для несимметричных характеристик
Тригонометри- ческий полином У=Ль+'£1 Л* sin (£*+<₽*) Л=1 Удовлетворительное прибли- жение достигается при большом числе членов ряда
Экспоненциаль- ный полином л=о Для несимметричных харак- теристик показатели степени являются четными
§ 14.2. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
Нелинейный
элемент
Характеристика
Аппроксимирующая функция
Триод
Симметричная
ia = a4-B th р«с;
ia = 0,5r5 (1+th р«с);
Р = 2So/is;
Несимметричная
*a=[i+thp(uc+A«c)]^;
₽ = 2So/i,; Se=>|
—и
Симметричная относитель-
но точки пересечения кривой
с осью ординат
?a=ao + 0l“c + a2“2
Несимметричная относи-
тельно точки пересечения
кривой с осью ординат
ia==a4-6 sin n (uc4- Auc)
Нелинейный
элемент
Характеристика
Аппроксимирующая функция
Индуктивный
элемент
Кривая намагничивания
( Ьи
Кусочно-линейная с двумя
участками: участок Оа: В =
= Н tga; участок ab: В = В0 +
+ Htg ах
В = — гиперболическая
функция;
Н = а (ерв — 1) — экспонен*
циальная функция
В = a arctg аН + р/7;
B = bJi + b2H* + b3M-9
B=csh рЯ
Петля гистерезиса представ-
ляется суммой абсцисс кривой
fi и эллипса /а
Нелинейный элемент Характеристика Аппроксимирующая функция
Для статической петли Я1=Л+/2=Л(Д)± -- Г / в \а 1 / ’ \ тах/ Для динамической петли Я=/1(В)±
Электрическая дуга и 1 и=kx+-j- (гиперболическая функция) (уравнение Айртона)
Термистор и I U~ KiP+KzI + Ki
Элементы с ха- рактеристиками N и S I N/ и
§ 14.3. Кусочно-линейная аппроксимация вольт-амперных характеристик
При кусочно-линейной аппроксимации участки в. а. х. нелинейного элемента
заменяются отрезками прямых линий так, чтобы можно было получить требуемую
точность и более простые расчетные выражения или эквивалентные схемы. Кусоч-
но-линейное приближение определяется координатами исходной и конечной точек,
а также точек излома. Линеаризация в. а. х. на каждом участке позволяет построить
линейные схемы замещения.
Такие схемы состоят из идеальных источников энергии, идеальных диодов
и резисторов с дифференциальными сопротивлениями нелинейного элемента.
Вольт-амперная
характеристика
Схема
замещения
Вольт-амперная
характеристика
Схема
замещения
Идеальный
источник э. д. с.
I
Е и
Идеальный
источник тока
и
§ 14.5. Выпрямление переменного тока
Сглаживание с помощью простейших фильтров
Схема выпрямления
Выпрямленная кривая тока
схема
кривая
Емкостный фильтр
Однополупериодная
= 7/^ sin о/
I — ^ср—
Индуктивный фильтр
ГЧр
0--Г
Схема выпрямления
Выпрямленная кривая тока
Двухполупериодная
или
*3
Индуктивно-емкостный фильтр
§ 14. 6. Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
В этфл параграфе рассматриваются методы выбранных точек и метод наи-
меньших квадратов.
Метод выбранных
точек. На нелинейной характеристике выбирают точки,
через которые будет проходить аппроксимирующая
кривая. Выбранные точки должны лежать в рабочей
области и в характерных точках в. а. х. Число таких
точек равно числу определяемых коэффициентов аппро-
ксимирующей функции. Координаты точек подставляют
в аппроксимирующее выражение. Полученную систему
уравнений решают относительно искомых коэффициентов.
Данный метод является трудоемким, особенно при
аппроксимации с помощью трансцендентных функций
(например, t/=ash0x). Он не гарантирует совпадения
аппроксимирующей кривой и рассматриваемой харак-
теристики вне выбранных точек.
Пример. Аппроксимировать нелинейную характери-
стику рис. 14.1 степенным полиномом =«ь-J-в рабочем диапазоне ab.
Решение. Выберем точки с координатами 0, 0; х^ ХъУъ- В нашем случае
ао==О;
У^а1х2+а2х1.
Из этих уравнений находят коэффициенты и а2.
Метод наименьших квадратов. Этот метод основан на составлении выражения
для минимума отклонения среднеквадратичной ошибки от исходной кривой
в выбранных точках. Коэффициенты аппроксимирующей функции выбирают так,
п
чтобы квадратичная ошибка аЬс---) —ф (*л)]2 была минимальна,
л=₽1
где f(xk, abc)—аппроксимирующая функция; ф (хл)—экспериментальная харак-
теристика, которая аппроксимируется; х1х2...х^—произвольно выбранные аргу-
менты (от нуля до максимального значения) в рабочем диапазоне эксперименталь-
ной характеристики.
Системы уравнений для определения коэффициентов получают путем прирав-
нивания к нулю частных производных от 8 по всем коэффициентам:
п
дг/да='^2[Цхк, abc...)—<p(xk)]-^f(xkabc... ) = 0;
Л=1
п
dt,/db = ^2[f (хк, abc...)—(f>(xk)]~f(xk, abc) = 0;
k=l
Пример. Методом наименьших квадратов найти коэффициенты полинома
y—f (х) = а0 + а1х+а2х2, аппроксимирующего некоторую характеристику, задан-
ную табл. 14.1.
Решение. Образуя частные производные от среднеквадратичной ошибки,
получим систему алгебраических уравнений относительно искомых уравнений.
228
Таблица 14.1
Функция Аргумент Функция Аргумент
У1 Xi У4 Х4
У2 Х2 Уь Хъ
Уз х3 Уь Хе
Выберем три точки на экспериментальной характеристике с аргументами
например, xlt и xQ. Тогда
п=з
= 2 2[(ао+аЛ+Vn)-yn] •1 =0;
п=3
^ = 2 2[(ао+аЛ + а2Жл)-^]Хл = О:
п—1 I
= К6*0 а1Хп а2Хп) Уп] Хп = О’
Глава 15
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
§ 15.1. Общие сведения
Анализ нелинейных схем переменного тока состоит в определении зависи-
мости тока (напряжения) от времени при заданных источниках, параметрах и
характеристиках линейных и нелинейных элементов.
В общем случае токи (напряжения) нелинейных схем при гармонических
источниках могут содержать высшие гармоники и субгармоники. Искомую неси-
нусоидальную периодическую реакцию схемы можно представить рядом Фурье,
в котором неизвестны амплитуды, частоты и фазы гармоник. Структура ряда
Фурье зависит от нелинейных характеристик элементов.
К нелинейным схемам не применим принцип наложения, поэтому исследова-
ние периодических процессов для них в общем случае невозможно.
Существуют приближенные аналитические и графические методы анализа,
применимые к следующим нелинейным схемам: 1) с одним гармоническим источ-
ником питания; 2) описываемым нелинейными дифференциальными уравнениями
второго и выше порядка; 3) имеющим слабо выраженную нелинейность цепи,
которая может быть учтена малым параметром.
При аналитическом решении выбор переменных и аппроксимирующей функ-
ции влияет на форму системы уравнений, которые для нелинейных схем не
имеют общего вида, а следовательно, и общего решения.
Аналитические методы позволяют анализировать в общем виде влияние-
параметров на процесс. Такие методы являются приближенными, так как тре-
буют аналитического представления нелинейной характеристики.
§ 15.2. Метод гармонической линеаризации (частотный метод)
Исходную нелинейную схему, в выходном сигнале которой содержатся
высшие гармоники, заменяют эквивалентной линейной схемой с синусоидальной
выходной реакцией. Амплитуда и фаза искомой синусоидальной функции зави-
сят от амплитуды входного сигнала^ а частота совпадает с частотой входного
синусоидального сигнала.
Для получения линейной схемы каждый нелинейный элемент представляют
линейным на основании найденной описывающей функции. Нелинейную характе-
ристику элемента аппроксимируют уравнением, связывающим входной и выход-
ной сигналы на нелинейном элементе. После подстановки в аппроксимирующее
уравнение входного гармонического сигнала в уравнении отбрасывают слагаемые
с высшими гармониками. В результате получают описывающую функцию нели-
нейного элемента, вид которой зависит от аппроксимирующей характеристики
нелинейного элемента. После этого описываемую функцию представляют в комп-
лексной форме. Расчет эквивалентной схемы проводят комплексным методом.
Определение описывающей функции эквивалентной системы. Нелинейную
характеристику нелинейного элемента аппроксимируют аналитическим выражением,
связывающим входной А и выходной f2 сигналы: f2=F(fl).
< Выражение входного гармонического сигнала А = Amsin (с^ + ф) подставляют
в аналитическое уравнение характеристики f2(t)=F [4msin (ctf-J-T)].
В общем случае выходной сигнал содержит первую и высшую гармоники,'
амплитуды которых зависят от амплитуды входного сигнала.
В выражении для /2(/) отбрасывают высшие гармоники и рассматривают
эквивалентную схему гармонической линеаризации нелинейного элемента.
Комплексную амплитуду выходной реакции находят по формуле F2 =
т
2 С
= ~Т \ либо через изображение по Лапласу /2 [Времен-
о
ная функция, соответствующая изображению по Лапласу, совпадает с заданной
/2(/) в интервале 0</<Т; /2 = 0 при />Т = 2л/со.]
р
Таким образом, передаточная функция И (jw) — —*—
Пример. Найти эквивалентное комплексное сопротивление нелинейной индук-
тивности ZL=Umllm.
Решение. Вебер-амперная характеристика при небольшом насыщении
может быть представлена в виде Ч (i) — L(i — ki3). Подставим в это выражение
искомый ток t = /OTcosco/:
Т (i) = L (Imco&(i)t — kl]n cos3 co/).
Напряжение на индуктивном элементе
UL = ~ = a>L/m[( -1 + 1 kPm)sin (Of + | kPm sin 3<o<].
В полученном выражении учтем только первую гармонику (гармоническая ли-
неаризация):
«(0=fi>L/m(l--|-WJl)cos«1rf+90o) .
Комплексную амплитуду определим из выражения и (/):
Um — i^LIm 1 •
Эквивалентное комплексное сопротивление индуктивного элемента
' т \ 4 /
Нелинейный элемент
Аппроксимация
характеристики
Комплексный параметр
U = Um COSCO/
i == Gu + аи3‘
q
y==G-f-~aUm
4r = L(i—ki3)
u=~z
Алгоритм метода. 1. Характеристику нелинейного элемента аппроксимируют
соответствующим выражением. 2. Находят выражения для комплексных парамет-
ров всех нелинейных элементов, включенных в исходную схему, и составляют
эквивалентную комплексную схему. 3. В соответствии с комплексной схемой
определяют комплексную амплитуду выходного сигнала.
Пример. Методом гармонической линеаризации найти входной ток нелиней-
ного последовательного колебательного кон-
тура с нелинейным индуктивным элементом.
Решение. Пусть контур имеет малые
потери и на его входе действует синусоидаль-
ное напряжение.
Заменим нелинейный индуктивный элемент
____________________ эквивалентным комплексным сопротивлением:
0___________________ Z = ja>L (1 - kl2).
Рис, 15.1 Представим схему контура в виде комплекс-
ной схемы замещения (рис. 15,1), для которой
запишем комплексное уравнение гармонической линеаризации:
откуда комплексное сопротивление контура
z (/®, /)=/?+/ Ll (1 - ki*) -
(15.1)
Перейдем к нормированному сопротивлению Zo=_^. , —
R |G) = G)q
резонансная частота.
При малых токах, т. е. на линейном участке, из выражения (15.1) для ком-
плексного нормированного сопротивления имеем
2o=l+/Qk(l-^)--J-l.
L wo J
где Q = (ooL//? —добротность контура.
Найдем зависимость модуля первой гармоники тока от частоты:
U = и
F L wo J
Резонансные кривые I (co) даны в § 13.15. При малых токах kP можно пре-
небречь. В результате получим резонансную кривую линейного контура.
§ 15.3. Метод гармонического баланса
Метод гармонического баланса предполагает, что решение нелинейного диф-
ференциального уравнения содержит только первую, первую и одну или несколько
высших гармоник. При этом неизвестными являются амплитуды гармоник (если
фаза э. д. с. источника равна нулю); амплитуды и начальная фаза источника;
амплитуды и фазы гармоник и начальная фаза источника.
Трудность метода состоит в решении алгебраических уравнений высших
степеней или трансцендентных уравнений.
Алгоритм метода. 1. Характеристику нелинейного элемента для мгновенных
значений аппроксимируют соответствующим аналитическим выражением. 2. В ана-
литическое выражение характеристики, связывающей входные и выходные пара*
232
метры нелинейного элемента, подставляют предполагаемое решение только для
первой гармоники (первой и высшей гармоники). 3. Для исследуемой схемы
составляют дифференциальное уравнение, в которое вводят функцию, определяю-
щую нелинейный элемент (см. § 15.2) и предполагаемое решение. Полученное
уравнение преобразовывают так, чтобы выделить
синусные и косинусные составляющие. 4. Последо-
вательно приравнивают коэффициенты при синусной
и косинусной составляющих первой и высших (если
они есть) гармоник. Получают два уравнения для
определения неизвестных.
Пример. Определить изменение потокосцепления
У (г) в нелинейном элементе схемы рис. 15.2 мето-
дом гармонического баланса при u = Um sin at.
Рис. 15.2
Решение. Приближенно представим вебер-амперную характеристику нели-
нейной индуктивности зависимостью 1=аТ3. Ищем решение для потокосцепления
в виде
¥ = 'Pim sin (at + фО + 'Гзт sin (3(0/ + Фз).
Тогда
I = a ['Pim Sin (<о/ + ф!) + ^зт sin (3«/ + ф3)]3.
Составим дифференциальное уравнение схемы:
du __ d*4 , i
dt “ dt2 ’ С *
В полученное уравнение подставим выражения для ut V, i*.
мкз
(dUm cos (dt — — co2Tlm sin (со/ + (pj — 9co2Y3m sin (Зсо/ + cp3) -]-— . (15.2)
G
В уравнение (15.2) вместо Ч73 вводим выражение
^3 = т sin (coZ + TJ + ^g/n sin (Зсо/ + ср3)]3.
В результате тригонометрических преобразований все члены уравнения (15.2)
представим в виде синусных A k sin М и косинусных B^cosJfeco/ составляющих.
Приравниваем коэффициенты
при cosco/:
&Um = 'P^m + -|j'Pim'Pk) sin Ф1- ^-'PJm'Psm sin (ф,-2ф1); (15.3)
при sin со/:
о = (-<№1т + Ч3ип + Vu) COS ф,^mY3mCOS (ф3-2ф1); (15.4)
при cos Зсо/:
0=(- W3m + -fj¥?Л+ sin 'PJm sin Зф,; (15.5)
при sin Зсо/:
0=(- 90)2^+-^ Ч%Пп) cos ф3-4% созЗфр (15.6)
Решаем уравнения (15.3) —(15.6) относительно У1т, <р3.
§ 15.4. Метод медленно меняющихся амплитуд
Методом медленно меняющихся амплитуд (метод малого параметра) могут быть
приближенно решены нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка,
в которых нелинейные коэффициенты малы (малый параметр нелинейности) по
сравнению с другими коэффициентами уравнения. Это означает, что в такой цепи
установившиеся колебания близки к гармоническим.
Данный метод состоит в решении не исходного дифференциального уравнения,
а в решении более простых нелинейных уравнений, так называемых укороченных
уравнений, не содержащих временных составляющих. Его применяют для при-
ближенного анализа установившегося и переходного режимов автономных * и
неавтономных ** систем.
Найдем решение уравнения
d2x/dt2 + (i)QX = iif(xt dx/dt, t), (15.7)
где ц — безразмерный положительный коэффициент, определяющий нелинейность
(малый параметр). При р = 0 уравнение линейно. При рт^О зададимся решением
в виде
х = а (/) sin (0 cosotf, (15.8)
где a(t) и 6(0 —медленно меняющиеся функции времени искомого колебания
по сравнению с частотой источника о).
Решение (15.8) подставляют в уравнение (15.7). В левой и правой частях
полученного уравнения приравнивают коэффициенты при синусах и косинусах.
Учитывая, что амплитуды во времени изменяются относительно медленно,
можно пренебречь первыми da (t)/dtt db (t)/dt и вторыми d2a (t\/dt2, d2b (t)/dt2
производными по сравнению с другими коэффициентами при синусах и косинусах,
В результате получим
dx/dt = соа cos 0)/ — о)Ь sin otf; ’
d2x/dt2 = — о)2а sin со/ — aPb cos о)/ 4- 2о) cos otf — 2о)^ sin о)0
at at
Производные dx/dt и d2x/dt2 подставляют в исходное уравнение (15.7). Правую
часть полученного выражения раскладывают в ряд Фурье, после чего сравнивают
коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, В результате
образуются два уравнения:
dt = B^a' Ь)-2—^~Ь'
db л f , 1 0)5 — 0)-
-dt = ~AAa, +
Из этих уравнений определяют амплитуды a (t) и b (0.
♦ Автономными называют нелинейные системы, в которых не содержится
переменных во времени источников.
♦♦ Неавтономными называют нелинейные системы, имеющие переменные во
времени источники н описываемые уравнениями, которые содержат в явном виде
время.
§ 15.5. Метод кусочно-линейной аппроксимации
Этод метод заключается в преобразовании нелинейной задачи в несколько
линейных путем замены характеристики нелинейного элемента для мгновенных
значений отрезками прямых линий. Его целесообразно применять в случае, когда
отрезки прямых совпадают с осями координат (прямо-
угольная петля гистерезиса, характеристика ионного
диода и др.).
Алгоритм метода. 1. Составляют нелинейное
дифференциальное уравнение схемы. 2. Нелинейную
характеристику для мгновенных значений в рабочем
диапазоне заменяют отрезками прямых. 3. Уравнения
прямых подставляют в нелинейное дифференциальное
уравнение. Число образованных таким образом линей-
ных уравнений равно числу отрезков прямых, заме-
няющих нелинейную характеристику. 4. При решении
системы линейных уравнений постоянные интегрирова-
ния определяют путем приравнивания решений для
конца одного линейного отрезка к решению для нача-
ла следующего (припасовывание).
Пример. Рассмотреть применение метода кусочно- ^ис*
линейной аппроксимации для определения закона
изменения во времени потокосцепления катушки с ферромагнитным сердечником
из магнитно-мягкого материала (рис. 15.3, а). Прямоугольную гистерезисную
характеристику перестроить в вебер-амперную и заменить линейными участками
(рис. 15.3, б).
Решение. Дифференциальное уравнение цепи имеет вид
Uт sin (о/ = iR + d^jdt.
Участок кривой
рис. 15.3. б
Линейное уравнение
и его решение
Определение
постоянной
интегрирования
Решение
Вертикальный уча-
сток 1—2*.
1 Xmax • max»
i=0; (о/=О-т-(о4
Um sin (о/ = d№/dt\
= — coscof + А
л =
= -^max + ^/w»
где ^ = ттах при
(dt = O
Т=— cos (dt —
(d
_w i m
max T Q
Горизонтальный уча-
сток 2 — 3:
= -г- л;
Um sin (dt = Ri\
. Um . .
I — ~ Sin (dt
R
=
шах
Найдем (o/x при T = Tmax по уравнению
Ч'тах = - — С*» <0 4 - Тта. +
шах до x max 1 до
откуда
cos otf i = 1
Um
рис. 15.4.
§ 15.6. Метод аналитической аппроксимации
Метод аналитической аппроксимации
основан на аппроксимации характеристики
нелинейного элемента для мгновенных зна-
чений в рабочем диапазоне аналитическим
выражением. В это выражение подставляют
известную функцию времени и проводят не-
обходимые преобразования.
Пример. Нелинейный индуктивный эле-
мент питается от синусоидального источ-
ника тока i = Im sin со/. По заданной кривой
намагничивания найти напряжение на эле-
менте.
Решение. Представим нелинейную
характеристику Т (/) для мгновенных зна-
чений уравнением ^ = ai — bi3. В выбранную
аналитическую зависимость подставим i (/):
Ч* {t)—alm sin со/— Ыгт sin3 со/.
Учитывая, что sin3/ = -^- (3 sin со/— sin Зсо/),
и проводя алгебраические преобразования, получим
У (0 = (alm sin о/ + 1 Ы*т sin 3<rf.
Напряжение M = d4f/rf/ = coTflmcos/ + 34f3m cos3co/. Таким образом, при гармо-
ническом источнике тока напряжение на нелинейной катушке несинусоидально.
Глава 16
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
§ 16.1. Расчет по характеристике для мгновенных значений
Графические методы анализа установившихся процессов в нелинейных схемах
. исходят из графического задания характеристик нелинейных элементов. В зави-
симости от условия задачи применяют характеристики нелинейных элементов
для мгновенных и действующих значе-
ний, первых и последующих гармоник.
Расчет по характеристике для мгно-
венных значений применяют главным
образом при расчете нелинейных цепей,
для которых известна временная зависи-
мость одной из величин, определяющих
режим у (t). С помощью характеристики
нелинейного элемента у (х) и зависимо-
сти у (0 графически определяют х (/)
(рис. 16.1).
Этот метод используют, например,
для определения тока в нелинейной
индуктивности по вебер-амперной характеристике и временной зависимости потоко-
сцепления V (t) без учета и с учетом гистерезиса (см. § 13.9).
§ 16.2. Расчет по характеристике для первой гармоники
При расчете задаются первой гармоникой, например, тока, протекающего
по нелинейному элементу. Сначала по в. а. х. и амплитуде тока 11т находят
амплитуду первой гармоники напряжения на нелинейном элементе /71т. Затем
по первым гармоникам строят векторную диаграмму для всей схемы, по которой
определяют амплитуду первой гармоники входного напряжения схемы
Повторяя такой расчет для нескольких значений /1от, строят входную в. а. х.
Ulm Uim)*
§ 16.3. Расчет по характеристике для действующих значений
При расчете несинусоидальные токи и напряжения в нелинейной схеме
заменяют синусоидальными, действующие значения которых равны действующим
значениям несинусоидальных токов и напряжений. При резонансных явлениях
амплитуда первой гармоники может оказаться больше амплитуд высших гармо*
ник. В этом случае действующее значение тока незначительно отличается от дей-
ствующего значения первой гармоники тока. Последовательность данного расчета
аналогична последовательности расчета по характеристике для мгновенных зна-
чений. Примером использования метода может служить расчет феррорезонансной
схемы (см. § 13.15).
Глава 17
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
§ 17.1. Методы расчета переходных процессов в схемах с одним
нелинейным реактивным элементом
Переходные процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными диффе-
ренциальными уравнениями, которые не имеют общего аналитического решения.
Поэтому применяют приближенные аналитические и графоаналитические методы
решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Схемы, содержащие один нелинейный реактивный элемент, описываются
нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка.
Рассматриваются следующие методы расчета: 1) линейной аппроксимации;
2) кусочно-линейной аппроксимации; 3) аналитической аппроксимации, 4) после-
довательных интервалов; 5) графического интегрирования; 6) фазовой плоскости.
§ 17.2. Метод линейной аппроксимации
При расчете характеристику нелинейного элемента заменяют прямой, прохо-
дящей через точку с координатами, соответствующими установившемуся режиму.
Уравнение прямой подставляют в дифференциальное уравнение схемы и получают
при подключении нелинейного
линейное дифференциальное
уравнение.
Найденное приближенное
решение линейного уравнения
уточняют по заданной нелиней-
ной характеристике. Этот ме-
тод используют для ориентиро-
вочных расчетов.
Пример. Определить пере-
ходный ток i (/), возникающий
индуктивного элемента к источнику постоянного
напряжения (рис. 17.1, а).
Решение. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа:
U = Ri + dW/dt.
В установившемся режиме (/->со) ток i = I „ = По кривой V (i)
(рис. 17.1,6) определим значение Тус,., соответствующее Через начало
координат и точку на кривой ('Густ, /уст) проводим прямую 'Р = i tgq> = TVCT//VCTt.
Полученное выражение подставим в исходное дифференциальное уравнение:
~ j. -уст /?,• /уст п
dt W "I — чу
1 уст X уСТ
Имеем линейнсе дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение:
—е ^Т)» ^==^уст/^уст^«
§ 17.3. Метод кусочно-линейной аппроксимации
Последовательность расчета методом кусочно-линейной аппроксимации приве-
дена в § 15.5.
Пример. Методом кусочно-линейной аппроксимации найдем закон изменения
потокосцепления в переходном режиме Т (I) при подключении нелинейного индук-
тивного элемента к постоянному источнику напряжения (см. рис. 17.1, а).
Решение. Нелинейное дифференциальное уравнение схемы имеет вид
^ + Ri = U.
at
Аппроксимируем заданную вебер-амперную характеристику (рис. 17.1, б) тремя
отрезками прямых (рис. 17.2).
Уча- сток Уравнение прямой Линейное уравнение и его решение Определение постоянной интегрирования Решение
Первый 0 < i < цг h откуда i = '¥/Li ^ + -^-V = U; at Li 4' = 'FyCT + 41e-'/TS ту = Li/R > г II о S II Y = VyCT X X (1—e_</T1)
si>i > Ti иод oi g । J । । £ л Л > - 1 1 t "Ь || a. % ! % II ? 4- II Д <= + + Г £1 г|*> *= < ,т ?. II t=tl, ^=^1 Л2 = 'И1-’Куст ’P = ’Jfycr + +(Ч\ + ¥уст)Х
у V •Л1 »s S си сх Н 1 “| + ? в ? ' 1 1 < < 1 Л + Г*’ tT’ со s-*’ II dt 1 L3 = 1/ + Ахр03; Ьз Ч' = Ч'уст + + Д3е_(<_<1,/Т>; / = «2; V = 4'2; Д3 = ^-¥уст X ± д II т 1 < «г* 3 + X
§ 17.4. Метод аналитической аппроксимации
При расчете нелинейную характеристику приближенно аппроксимируют ана-
литической зависимостью, которую подставляют в исходное дифференциальное
уравнение (см. § 15.6). В результате получают решение в аналитической форме.
Пример. Последовательно соединенные нелинейный емкостный элемент и (Q)
и линейный резистивный элемент 7? подключают к источнику постоянного* напря-
жения Uq. Найти закон изменения переходного заряда Q/, если вольт-кулоновую
характеристику аппроксимируют уравнением u = aQ2,
Решение. Составим уравнение схемы:
После разделения переменных получим
/ = А Г d(it
-"’J
или
' - vk4rlh +л" Q‘=’)+л' - •
Постоянную интегрирования Л' определяют из начальных условий (/ = 0,
Q=0): Л'=0. Переходный заряд Q/= th
§ 17.5. Метод последовательных интервалов
При численном методе последовательных интервалов в дифференциальном
уравнении производную dy/dt заменяют отношением конечных приращений ку/Ы,
интеграл §ydt — суммой время переходного процесса t разбивают на п
малых равных интервалов At Полученное приближенное уравнение решают
относительно приращения функции:
(17.1)
Приращение искомой функции Аг/Л определяют как разность мгновенных
значений функции в конце yk и начале рассматриваемого интервала уь-ъ т. е.
по уравнению (17.1) &yk=yk — yk_lt По характеристике нелинейного элемента
у (х) находят значение Ах^ и так от интервала к интервалу. Этод метод приводит
к постепенному накоплению ошибки, которая зависит от величины интервала А/.
Решение удобно представить в виде таблицы.
Пример. Методом последовательных интервалов решить уравнение, описыва-
ющее переходный процесс в нелинейном индуктивном элементе V (0 при подклю-
чении его через резистивный элемент R к источнику напряжения постоянного U.
Решение. Дифференциальное уравнение цепи dW/dt = U — Ri приближенно
запишем в виде
Разобьем промежуток времени переходного процесса на п равных интервалов
А/. Приближенно будем считать длительность переходного процесса до установ-
ления конечных значений % и /0 по постоянной времени т0 = Чг0//0/?,
Для &-го интервала
Ы. (17.2)
В начале первого интервала (рис. 17.3) при / = 0 ^^ = ^0 = 0, i/(,_1 = to = O.
Тогда для первого интервала времени по уравнению (17.2) ЛЧ\ = — t/Д/,
По кривой ¥ (0 для полученного значения ДЧ\ найдем ток
Для второго интервала времени прира-
Метод графического интегрирования применим к решению нелинейных диф-
ференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными,
т. е. в основном к нелинейным цепям постоянного тока. Он основан на построении
вспомогательной кривой подынтегрального выражения с последующим графичес-
ким нахождением площади этой кривой (площади, выраженной определенным
интегралом). Кривую подынтегрального выражения строят в функции переменной,
по которой проводят интегрирование.
Пример. Определить переходный ток при корочком замыкании в схеме с по-
следовательным соединением нелинейного индуктивного элемента и резистора.
Решение. Дифференциальное уравнение схемы имеет вид
dW/dt + Ri = 0.
Разделяя переменные и интегрируя полученное уравнение, найдем
То
t={dV/Rit (17.3)
т
где % —значение потокосцепления в момент замыкания ключа.
Уравнение (17.3) решим
графически. Для этого построим кривую подынтег-
рального выражения \/Ri = f(W) (рис. 17.4), ис-
пользуя характеристику Т (i) (см. рис. 17.3). Зада-
ваясь произвольным значением тока по кривой
Т(г) найдем Y/,. Для определения времени, в тече-
ние которого достигается значение потокосцепле-
ния подсчитываем площадь, ограниченную
осью Т (от 0 до Tfc) и кривой Т (!//?/). В резуль-
тате строим кривую ¥ (/).
Рис. 17 А
§ 17.7. Метод фазовой плоскости
Метод фазовой плоскости позволяет провести качественное исследование
процессов, происходящих главным образом в автономных схемах (линейных р
нелинейных) и описываемых дифференциальными уравнениями первого и второй
порядка. При этом можно исследовать зависимость переходного процесса от
начальных условий, выяснить возможность возникновения резонансов, автоколе-
баний, неустойчивых состояний и др.
Данный метод основан на построении траекторий движения точки, отобра-
жающей состояние системы. В случае схем, содержащих гармонические источники,
от уравнений для мгновенных значений
функции, характеризующей переходный про-
цесс, переходят к уравнениям для мгновен-
ных значений амплитуд или к уравнениям
для медленно меняющихся амплитуд.
Фазовая плоскость образуется декарто-
вой системой координат (рис. 17.5), по одной
оси которой откладывают параметр, изменя-
ющийся во времени и характеризующий функ-
цию х(/), а по другой —производную о г этой функции: dx/dt = y.
Изображающая точка (х, у) на фазовой плоскости характеризует состояние
системы в данный момент. Фазовая траектория —траектория движения изобра-
жающей точки.
Уравнения первого порядка характеризуются одной фазовой траекторией
(рис. 17.G), уравнения второго порядка —несколькими (рис. 17.7).
y^dx/dt
•(Ы)
x
Рис. 17.5
Движение изображающей точки может происходить только по часовой стрелке,
в верхней полуплоскости —в сторону увеличения, в нижней —в сторону уменьше-
ния х. Начало движения фазовых траекторий зависит от начальных условий. При
различных начальных условиях фазовые траектории не пересекаются.
Периодические процессы характеризуются замкнутыми траекториями. Семей-
ство фазовых траекторий на фазовой плоскости образует фазовый портрет.
Особые точки на фазовой плоскости. Особые точки на фазовой траектории—это
точки на фазовой плоскости, в которых dx/dt = dy/dt — §. Эти точки лежат на
оси х и соответствуют условиям равновесия, если построения по фазовой пло-
скости производят для мгновенных значений.
Особые точки классифицируются по характеру корней характеристического
уравнения (по виду фазовых траекторий, окружающих эти точки). Например,
р2 —2sp+</ = 0;
Pl,2 — S ± У S2 — д*
Корни характеристического
уравнения
Особая точка в на-
чале координат
Вещественные одного
знака
Pi < 0; р2 <0
Устойчивый узел
Затухающий апериодический про-
цесс
Вещественные одного
знака
Pi > 0; Р2 > 0
Неустойчивый
узел
Нарастающий апериодический
процесс
Вещественные различ-
ных знаков
Pi > 0; р2 < 0
Седло
Корни характеристиче-
ского уравнения
Особая точка в на
чале координат
Продолжение
Сопряженные
Rep<0
Устойчивый фокус
Затухающие колебания
Rep >0
Неустойчивый
фокус
Корни характеристиче-
ского уравнения
Особая точка в на
чале координат
Мнимые
Pi»2 = — ia
Центр
Установившиеся периодические
колебания
Рассмотрим следующие методы построения фазовых траекторий: метод изоклин;
дельта-метод; метод Льенара.
Метод изоклин. Данный метод является наиболее общим методом построения
фазовых траекторий. Его применяют при решении любых уравнений второго
порядка автономной цепи, он основан на геометрическом представлении произ-
водной как наклона касательной к траектории в рассматриваемой точке на фазо-
вой плоскости.
Изоклина — это линия, пересекающая фазовые траектории под одним и тем же
углом и являющаяся геометрическим местом точек на фазовой плоскости, для
которых dy/dx—постоянное число.
Пример. Построить изоклины для линейного автономного уравнения второго
порядка
d2x/dt2 — f (dx/dt, x) = 0
Решение. Преобразуем заданное уравнение в уравнение первого порядка,
для которого построить фазовые траектории проще. Введем новую переменную
, л f (dx/dt, х)
y — dx/dt, тогда dy/dx — ———----- .
Таким образом, уравнение изоклины имеет вид
HW,*).,
dy/dx 7
Для построения первой изоклины будем считать производную dy/dx равной
постоянному числу dy/dx —Тогда
y=f (У, x)/av
Задаваясь различными значениями х, по уравнению (17,4) найдем соответ-
ствующие значения у.
Вторую изоклину строим, полагая dy/dx = a2 и т. д.
По построенному семейству изоклин строим фазовые траектории y—f (х). Из
выбранной точки М (рис. 17.8) проводим прямую Мт под углом к оси х, тан-
генс которого равен аг. Прямую Мп проводим под углом к оси х, тангенс кото-
рого равен а2. Соединяем точки тип отрезком
прямой. Расстояние тп делим пополам, в резуль-
тате чего получим точку N. Прямая MN является
отрезком фазовой траектории. Построения повто-
ряем до заполнения всей фазовой плоскости.
Дельта-метод. Этод метод применяют в слу-
чае, когда требуется построить одну фазовую
траекторию. Участки траектории представляют
в виде отрезков дуг окружностей с центрами, рас-
положенными на оси х.
Дельта-метод применим к автономным уравне-
ниям вида d^x/dt'1+/ (dx/dt, х) = 0 и к неавтоном-
При построении фазовой
ным вида d2x/dt2-\-f (dx/dt, х, /) —0.
траектории этим методом исходят из уравнения
d2x/dt2-{-f (dx/dt, х) = 0, в которое вводят (у— х), заменяя dx/dt на у, d2x/dt2 на
dy
~^~У- В результате получают
где
(17.5)
(17.6)
Для малых изменений у = dx/dt и х можно считать, что 6 постоянная вели-
чина. При этом условии уравнение (17.5) решают путем разделения переменных
\ydy = — $ (jc-I-6) cfx-t-Лх;
г/2 4-х2 + 26х+б2=Я2 = г2
или
У2+(х+6)2=г2. (17.7)
При малых приращениях последнее уравнение описывает дугу окружности
с центром в точке (# = 0, х =—6). Дуги окружностей строят следующим образом
dx I
(рис. 17.9). Для известных начальных условий х(0) и у = ~гг по уравнению
ЛГ |/ = о
(17.6) определяют абсциссу центра окружности (—6). Координаты центра окружности
(y — Q, х — —6Х) подставляют в уравнение (17.7)
и находят радиус г0, которым проводится дуга
длиной, например, 01. После этого уточняют
длину этой дуги, взяв среднее значение 6^ на
участке 01. Затем строят второй участок дуги
1 — 2 и также уточняют его длину и т. д.
Метод Льенара. Данный метод графически
определяет направление фазовой траектории
в заданной точке фазовой плоскости. Его при-
меняют при решении уравнений вида d2x/dt2—
— f (dx/dt) + х=0, описывающих состояние це-
пей с линейными реактивными и нелинейными
резистивными элементами,
Обозначая dx/dt = y и d^x/dt2 —(dx/dt) у, получим уравнение изоклины
A=^+m=_tga.
dx у
Сначала строят линию нулевой изоклины dy/dx — Q при х — —f (у) (рис. 17.10).
Функция — f (у) пропорциональна в. а. х. нелинейного резистивного элемента.
Затем определяют направление траектории
в точке М (х0, */о)» координаты которой являются
dx\
заданными начальными условиями хои 1
= yQ. Из точки М опускают перпендикуляр на
ось ординат. Пересечение перпендикуляра
с кривой — f (у) образует точку т с абсцис-
сой хт. Соединяя точки М и хт прямой Мхт
и восстанавливая из точки М перпендикуляр
к прямой Мхт, определим направление каса-
тельной к фазовой траектории в точке М. От-
резок МК (произвольной, но достаточно малой
длины) является отрезком фазовой траектории.
Огрезок фазовой траектории, например МР, в
точке W находят с помощью
аналогичных построений.
Глава 18
АВТОКОЛЕБАНИЯ
§ 18.1. Общие сведения
Автоколебаниями называют незатухающие колебания, возникающие в нели-
нейной системе с источником энергии, э. д. с. (ток) которого постоянна во времени.
В качестве нелинейных элементов в автоколебательных цепях применяют
многоэлектродные и неоновые лампы, транзисторы, газотроны, электрическую
Дугу, туннельные диоды и др.
Автоколебательные системы подразделяют на релаксационные системы, содер-
жащие один накопитель энергии, и почти гармонические нелинейные системы,
имеющие несколько накопителей энергии. Каждый автогенератор должен иметь
усилитель и колебательную систему при наличии обратной связи (воздействии
выходного сигнала на вход).
§ 18.2. Релаксационные колебания
Релаксационные колебания возникают в системах, имеющих один накопитель
энергии, обычно емкостный, и нелинейный резистивный элемент с падающим
участком характеристики. Форма релаксационных колебаний несинусоидальная,
обычно пилообразная.
Схема
релакса- в. а. х> нелинейного Перемещение рабочей
ционного резистивного элемента точки по в. а. х.
генера-
тора
Временные диаграммы
I
Характеристика
чеоновой лампы
типа S
ис
и,
О
_Разря^1Л^^Разрад
h TtZ
В интервале 0 —(/==
= 0) конденсатор заряжа-
ется (участок 0 — 1). При
u = ur\ i — конденсатор
начинает разряжаться
(участок 1—2). В интер-
вале — и2; i = t’i — i2 кон-
денсатор разряжается
(участок 2 — 3)
Схема
релакса-
ционного
генера-
тора
В. а. х. нгли’/Лного
резисти\но1 z элемента
Перемещение рабочей
точки по в. а. х.
Временные диаграмма
Характеристика
туннельного диода
типа N
В интервале 0—ii про-
исходит нарастание то-
ка. При i = r’i, u = u1 — и2
возникает скачок напря-
жения (участок 2 — 3). В
интервале 4 —12 ток спа-
дает (участок 3 — 4). При
i — i2, и = и{ — и'2 возника-
ет скачок напряжения
(участок 4—1)
Схемы релаксационного генератора
§ 18.3. Почти гармонические колебания
Почти гармонические колебания возникают в схеме, содержащей не меньше
двух накопителей энергии при питании от источника постоянного напряжения.
Индуктивные и емкостные элементы образуют колебательный контур, в котором
происходят колебания энергии. Такие автоколебательные системы имеют мягкое или
жесткое возбуждение колебаний. При мягком возбуждении колебаний систему
выводят из равновесия при незначительном первоначальном толчке, при жестком
возбуждении — при первоначальном толчке, превышающем некоторое определенное
значение. При меньшем значении толчка колебания в системе затухают.
На рис. 18.1 изображена схема автогенератора с N-образной характеристикой
туннельного диода (рис. 18.2). Автоколебания возникают в колебательном #LC-koh-
1Л(“>
Рис. 18.1 Рис. 18,2
туре. Рабочая точка а на в. а. х. диода определяется величиной э. д. с. Е
источника э. д. с.
Приведенное (безразмерное) напряжение на диоде описывается уравнением
Ван-дер-Поля:
d2x м dx , Л
__ 8{1_хг)_ + х=о.
зк2
где х = и ---------приведенное значение напряжения на диоде; t =
K~R
безразмерное значение времени; соо= 1/LC —резонансная частота контура; е =
безразмерный
параметр; и К2~коэффициенты кусочно-
линейной аппроксимации в. а. х. диода.
При малом значении 8 уравнение решают методом малого параметра» Урав-
нением Ван-дер-Поля описывают многие автоколебательные системы,
§ 18.4. Устойчивость состояния равновесия
Устойчивость режима как в линейных, так и в нелинейных цепях зависит
от параметров цепи. В одной и той же нелинейной цепи может быть несколько
состояний равновесия (равновесие покоя, колебательные процессы и др.).
Режим устойчивости в малом возникает, когда достаточно малое отклонение
системы от установившегося режима с течением времени уменьшается и система
возвращается в исходное состояние.
Режимом устойчивости в большом называют режим, когда при большом
начальном отклонении от устойчивого режима система возвращается в первона-
чальное состояние.
Исследование устойчивости в большом сводится к анализу нелинейной цепи
при любых начальных условиях, что представляет весьма сложную задачу.
§ 18.5. Устойчивость в малом
Состояние равновесия называют устойчивым, если при любой заданной
области е допустимых отклонений от состояния равновесия существует область
6, окружающая область состояния равновесия так, что ни одно движение, начи-
нающееся в области 6, никогда не достигнет границ
области 8 (рис. 18.3).
Задав область 8 малой, получим еще меньшую
область 6. Область начальных условий 6 определяет
область 8.
Устойчивость в малом может быть определена по
Ляпунову анализом упрощенных линеаризованных урав-
нений в окрестности исследуемой точки. При этом об устой-
чивости судят по корням характеристического уравнения.
§ 18.6. Алгоритм получения линеаризованных уравнений для исследуемой величины
1. По схеме составляют уравнения состояния относительно переменных
состояния XkQt характеризующих устойчивый режим.
2. В момент времени t = t^ когда происходит возмущение, все переменные
получают малые приращения относительно переменных состояния равновесия:
Xk = Xkt> + ^Xk.
3. Новые значения переменных подставляют в уравнения состояния.
4. Правые части уравнений раскладывают в ряд по степеням малого прира-
щения \Xk-
5. Пренебрегая высшими степенями ДхА, в уравнениях получают линеаризо-
ванную систему уравнений.
6. Линеаризованную систему уравнений алгебраизуют (p = dldt), составляют
определитель и находят характеристическое уравнение.
7. Коэффициенты характеристического уравнения исследуют по критерию
устойчивости (критерий Гурвица, частные критерии).
§ 18.7. Теорема А. М. Ляпунова об установлении устойчивости
в малом автономных нелинейных систем
Корни характеристического уравнения Состояние равновесия
Корни имеют только вещественные от- рицательные части Устойчивое
Хотя бы один корень имеет положи- тельную вещественную часть Неустойчивое
Один или более корней имеет нулевую, а остальные —отрицательную веществен- ную часть По линеаризованной системе нельзя судить о состоянии равновесия (сле- дует учитывать также и вторую сте- пень приращения Дх2)
§ 18.8. Критерий устойчивости Гурвица
Критерий устойчивости Гурвица позволяет судить об устойчивости системы
по коэффициентам характеристического уравнения без его решения. В системах,
описываемых уравнениями первого и второго порядка, режим будет устойчивым,
если коэффициенты характеристического уравнения положительные. Для систем»
описываемых уравнениями третьего и выше порядка, это условие необходимо,
но недостаточно.
Определитель Гурвица. Такой определитель составляют, исходя из характе-
ристического уравнения
аиР'’+а1Ря-х+«2рл-2+ ••• +a„_ip+a„ = 0.
По диагонали определителя выписывают коэффициенты в соответствии с воз-
растающими степенями р, начиная с av В столбцах выше диагонали располагают
коэффициенты с возрастающими индексами по отношению к индексам диагональ-
ных коэффициентов. В столбцах ниже диагонали размещают коэффициенты
с убывающими индексами. Для устойчивости линейной системы n-го порядка
необходимо, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица были больше
нуля,
Определитель Гурвица Условие устойчивости Rep^<0 Характеристическое уравнение системы Примеры схем с наличием ИерЛ<0
"Oj а3 а5 ... 0“ а0 а2 а4 ... 0 ₽ 0 aj а3 ... 0 Д1=а1 >0 aop+a1=O Схемы нелиней- ного резистив- ного элемента с падающим участком в. а. х., на котором нахо- дится точка равновесия с небольшой инерционностью и положитель- ной обратной связью*; схемы с управляемыми нелинейными реактивными элементами и
> Ь9 II > О С1‘ II а с -° £—! V V Р О аор2+а1р-^а2 = О
Д1 = а1 >0; Д2 = Г«1 аз1>0; Lao a2 OoP3 + aiP2+ 4" a2p+a3=0
«3 аъ Аз= я0 Оъ L0 аг а3 _ >0
_0 0 0 ... ап_ О • . ' • • е‘ л «°:: н ° о • < и :: • • о < • • * 1 II >0; >0 allPn+an-iPn~1 + + --. + ал=0 явными (неяв- ными) обрат- ными связями
Пример. Исследовать на устойчивость эквивалентную схему (рис. 18.4) пита-
ния электрической дуги постоянным напряжением (/?—добавочное сопротивление;
Lq — паразитная индуктивность). В. а. х. дуги дана на рис. 18.5, где точки
А и В—точки устойчивого равновесия, Определить, какая из этих точек является
точкой устойчивого равновесия.
Lo
Рис. 18.4
Решение. Уравнение состояния равновесия согласно второму закону
Кирхгофа имеет вид
L0~ + «/?+u (•') = £•
(18-1)
Запишем уравнение состояния равновесия при i —/0 = const:
IqR + u(I0) = E.
Дадим приращение переменной Ai. Тогда
i = 7o +
w(i) = a(/0 + Ai);
di/dt = d (Ai)/dt.
(18.2)
(18.3)
Разложим и (i) в ряд по степеням Ai, пренебрегая высшими степенями:
и (i) = u (/о + ДО = и (/<)) +(18.4)
где ~ = 7?Д1|н (Л>) —Динамическое сопротивление. Учитывая R№a, получим
«(«•)=« (/о)+/?дИН (/о) Л»’- (18-5)
Подставим в выражение (18.1) уравнения (18.3)—(18.5):
io + /о/?+Д Я+«(/о) + /?дон (Л.) А«' = Е.
С учетом (18.2) найдем
1о^Г + /?А1'+/?дин(/“)=£’
Из характеристического уравнения р+ 4~ ^дн” — 0 определим
Ьо Lq
Р =+ 7?дин(/0)].
L0
Корень уравнения вещественный отрицательный. Следовательно, для устой--
чивого равновесия должно удовлетворяться условие
~ >0 (критерий Кауфмана).
Этому условию удовлетворяет точка А на рис. 18.5.
Глава 19
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 19.1. Общие сведения
Электрической цепью с переменными во времени параметрами (параметрической
цепью) называют цепь, содержащую хотя бы один элемент с переменным во вре-
мени параметром.
Элементом с переменным параметром называют пассивный элемент, параметр
которого зависит от времени и не зависит от тока (напряжения).
Параметрические цепи описываются уравнениями, коэффициенты которых зави-
сят от времени. Такие цепи обладают свойствами нелинейных и линейных цепей.
При постоянном напряжении на элементе с переменным параметром протекающий
ток зависит от времени.
Цепи с переменными во времени параметрами, так же как и нелинейные
цепи, являются генераторами высших гармоник напряжения и тока. В таких цепях
могут наблюдаться резонансы на частотах, отличных от частоты изменения напря-
жения (тока) генератора. В то же время амплитуды гармоник напряжений и тока
пропорциональны амплитуде напряжения генератора.
Обычно элементы с переменными параметрами реализуют, используя нелиней-
ные элементы и дополнительные источники напряжения (тока). Элементы с перио-
дически изменяющимися параметрами могут быть также получены с помощью
устройств механического (включение —отключение, вращение) воздействия.
§ 19.2. Элементы с переменными параметрами
Элемент Периодически изменяющийся параметр Характеристика Графическое изображение
Резистивный „ i М) . —1 1 # IL Х' /?(О=/?о+ + S Rk cos X *=i X (Йо^+а*), где (Oj —основная ча- стота изменения соп- ротивления резистив- ного элемента Вольт-амперная u = R (/) i; i = Y(t)u Мд,
Индуктивный 1 Ш р L(O = Lo+ + 2 Lk cos X X (W + а*), где (Oi — угловая ча- стота вращения под- вижного индуктивного элемента Вебер-амперная dT 7 /a di , и=_ = L(0- + , ; dL (/) dt
fl v tge=f(O
Элемент Периодически изменяющийся параметр Характеристика Г рафнческое изображение
Емкостный J 1 \С(1) —[F—* “о С(/) = С0 + оо + 2 Ck cos X А = 1 X (kfjDit + &&)> где (Oj —основная ча- стота изменения емко- сти емкостного эле- мента Кулон-вольтная Q = Q(O = C(/)«; i — 12 — Г (А I dt dt + , dC(t) +u~dT
§ 19.3. Цепь с резистивным элементом
Линейный резистивный элемент с переменным во времени сопротивлением
характеризуется семейством линейных в. а. х. u = R(i) или i = G(t). Каждому
моменту времени соответствует определенная прямая, проходящая через начало
координат,
При периодическом изменении сопротивления 7? (t) или проводимости G (/)
(рис. 19.1, а) применяют разложение в ряд Фурье с последующим использованием
метода наложения для нахождения тока в схеме рис. 19.1,5.
Напряжение, проводимость резистивного элемента Ток в схеме Примечания
U = const; G (/) = Go 4- Gk cos (Hit k = i i==Got/+ 2 COS £ = 1 Входное напряже- ние U == const преоб- разуется в спектр ча- стот, кратных основ- ной частоте G (/) (пре- образование спектра)
и = Um cos oV; G(O = Go +2 gacos(ox^ k = i i = cos oo + 2 G/eC/^cosco^costoi^) k=l В токе появляются частоты, которые не содержатся во вход- ном напряжении и в функции G (/)
Напряжение, проводимость резистивного элемента Ток в схеме Примечания
и = €/тсоз(<в(/4-Ч'); О(0=1+1мх(О (закон модулирующей функ- ции), где [1 — глубина моду- ляции амплитуды 1 (0 = [ 1 + На (01 cos Осуществлена ам- плитудная модуляция
U= А (0 СОЗ С00^, 1 = (t) [cos toj + С помощью фильтра
G(0 = G0[l + cos (соо^ + а)]. + 0,5 cos (2а>0/ + a) + низких частот выде-
где А (0= 1 +на (0 + 0,5 cos a] ляется модулирующий сигнал, величина ко- торого зависит от фа- зового угла: К (O = O,5GoA (OX X cos a
§ 19.4. Цепь с индуктивным элементом
Линейный индуктивный элемент с переменной во времени индуктивностью
Л (0 характеризуется семейством линейных вебер-амперных характеристик
4r(/) = L(/)i. Каждому моменту времени соответствует определенная прямая,
проходящая через начало координат.
При периодическом изменении L (t) (рис. 19.2, а) применяют разложение
в ряд Фурье.
Уравнение, соответствующее схеме рис. 19.2, б, является линейным уравне-
нием первого порядка с переменными коэффициентами.
Напряжение и переменная индуктивность Уравнение схемы Решение уравнения
«(0 = ywsin(®(/+<p); L(0 = Lo fl+^-sin©^ \ ^0 / = Um Sin (Oof-t-T), где to0 = «£ •t/mcosa w0L (0 Um sin (<o0<+У) <oob (0 при f = 0, i (0) = 0
и (t) = Um sin (соо^ + ф); . Um t = —P—cos a + L ГП (7m[sin (o£/ sin a + cos a] 1 cos
§ 19.5. Цепь с емкостным элементом
Линейный емкостный элемент с переменной во времени емкостью С (/) харак-
теризуется семейством прямолинейных кулон-вольтных характеристик q =
Каждому моменту времени соответствует определенная прямая, проходящая через
начало координат.
При периодическом изменении емкости С (t) (рис. 19.3, а) можно применить
разложение в ряд Фурье. Связь между током и напряжением для схемы
(рис. 19.3, б) определяется линейным дифференциальным уравнением первого
порядка.
Ток и переменная емкость Уравнение схемы Решение уравнения
i (/)— 1т sin ((О(/ + а); Sin^+ dur , Ci^~dt + + (®CCmcos(oc0“ = = sin (cV+a) «с(0=«с (0+«c (0; ь пр св /тсозУ
, sin (со3/ + а); 1 +у,- sin (о0/| с <о0С(/) /т COS (Юр/+ У) сооС (/) Возникает постоянная со- ставляющая напряжения на емкостном элементе и г = cos4f + С °>ССт /m(sin(0C/ + Sina)
шсСт cos act /mCOSa
<ocCm cos » где / = 0, ис (0) = 0 при <ос==(оо
§ 19.6. Анализ цепей с переменными параметрами
Для получения уравнений, описывающих переходные и установившиеся процес-
сы в схеме с переменными параметрами, применяют те же методы, что и при рас-
чете процессов в линейных схемах с постоянными параметрами. Однако получен-
ные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами не имеют
общего метода решения. В этом случае применяют численные методы решения.
§ 19.7. Параметрические колебания
Параметрическими колебаниями называют незатухающие колебания в цепи
с периодически изменяющейся величиной емкостного или индуктивного элемента.
Такие колебания поддерживают за счет энергии механических или электрических
сил, производящих периодические изменения параметра С (t) или L (t). В резуль-
тате обмена энергией между запасающим элементом с переменным параметром и
внешним воздействием происходит поступление энергии в цепь (накачка). При
этом появляются гармоники с частотой, меньшей, чем частота изменения пара-
метра (субгармоники).
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Теоретические основы электротехники
Атабеков Г. Н., Тимофеев А. Б., Хухриков С. С. Теоретические основы
электротехники. М., 1979.
Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи.
М., 1978.
Жуховицкий Б. Я-> Негневццкий И. Б. Теоретические основы электротехники.
Ч. 2. М., 1965.
Каплянский Л. Е., Лысенко А. П., Полотовский Л. С. Теоретические основы
электротехники. М., 1972.
Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Ч. I,
II. М., 1966.
Основы теории цепей/ Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нету шил А. В., Стра-
хов С. В. М., 1975.
Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники. Ч. I. М., 1965.
Пухов Г. Е. Комплексное исчисление. Изд. АН УССР, 1961.
Теоретические основы электротехники. Ч. I, II/ Коллектив авторов под
ред. /7. А. Нонкина. М., 1976.
Шимони К. Теоретическая электротехника: Пер. с нем./ Под ред. К. М. По-
ливанова. М., 1964.
Линейные и нелинейные электрические цепи
Атабеков Г. И. Теория линейных электрических цепей. М., 1960.
Белецкий А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей. М., 1967.
Бессонов Л. А. Линейные электрические цепи. М., 1974.
Гарднер М. Ф., Бэрнс Д. Переходные процессы в линейных системах: Пер.
с англ./ Под ред. Г. И. Атабекова, Я. 3. Цыпкина. М., 1949.
Максимович Н. Г. Линейные электрические цепи и их преобразования.
М., 1961.
Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей: Линейные цепи.
М., 1972.
Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы: Пер. с англ./
Под ред. П. А. Нонкина М., 1963.
Пухов Г. Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей.
Киев, 1973.
Реза Ф., Сили С. Современный анализ электрических цепей: Пер. с англ./
Под ред. Г. В. Микуцкого. М., 1964.
Сешу С., Балабанян Н. Анализ линейных цепей: Пер. с англ./ Под ред.
Г. И. Атабекова. М., 1963.
Толстов Ю. Г., Теврюков А. А. Теория электрических цепей. М., 1978,
Цыпкин Я- 3. Теория импульсных систем. М., 1958.
Синтез электрических цепей
Балабанян Н. Синтез электрических цепей: Пер. с англ. М., 1961.
Гиллемин Э. Э. Синтез пассивных цепей: Пер. с англ./ Под ред. М. М. Айзи-
нова. М., 1970.
Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. 1976.
Нелинейные электрические цепи
Андреев В. С. Теория нелинейных электрических цепей. М.» 1972.
Атабеков Г. И., Тимофеев А. Б., Хухриков С, С. Теоретические основы
электротехники/ Под ред. Г. И. Атабекова, ч. II. М., 1979.
Бессонов Л, А, Нелинейные электрические цепи. М.» 1977.
Заездный А. М. Основы расчетов нелинейных и параметрических радиотех-
нических цепей. М., 1973.
Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей: Нелинейные цепи.
М., 1977.
Филиппов Е. Нелинейная электротехника: Пер. с нем. М., 1976.
Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах: Пер. с англ./ Под
ред. В. Е. Боголюбова. М., 1968.
Хьюз В, Нелинейные электрические цепи: Пер. с англ. М., 1967.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 248
Активный двухполюсник 36
Активная (средняя) мощность 38
— проводимость 28
— составляющая напряжения 28
----- тока 30
Активное сопротивление 27, 28
Активный четырехполюсник, двухпо-
люсник 11, 36, 105
Активные элементы 6, 7
Алгоритм графического построения ду-
альной планарной схемы 13
— комплексного метода 18
— расчета несимметричной трехфазной
цепи 65
-----операторным методом 137
— переходных процессов классическим
методом 122
Анализ цепей с переменными парамет-
рами 257
Аналогия между электростатической
цепью и цепью постоянного тока 13
----- электрической и магнитной це-
пями постоянного тока 207
Апериодический разряд 127
Аппроксимация вольт-амперных харак-
теристик 221
— нелинейных функций 220
— кусочно-линейная 223
Аппроксимирующие функции, опре-
деление коэффициентов 228
Волновые уравнения 169
Вольт-амперные характеристики 192,
223
Вторичные параметры длинной линии
157
Входное сопротивление длинной линии
161, 163
Входные сопротивления четырехполюс-
ника 98
Высшие гармоники 51
Выпрямление переменного тока 226
Высокочастотный фильтр ПО
Гармонический ряд (ряд Фурье) 51
— ток, напряжение (основные вели-
чины) 16
Гистерезис, петля 205
Граничная частота 108
Граф, матричная теория 5, 75
—, основные понятия и определения 75
—, построение по системе линейных
уравнений 85
— преобразования 87
— сигнальный 85
-----соединений четырехполюсника
92
-----уравнений четырехполюсника 90
—, составление системы уравнений 86
—, топологическое правило определе-
ния передачи (формула Мэзона) 89
Безынерционные сопротивления 194
Биения колебаний 53
Бромвича интеграл 133
Ветвь 5
Взаимная индуктивность, индукция 43,
44, 45
— передаточная проводимость 9
Взаимности теорема (свойство) 10
Включение встречное 46
— согласное 45
Внешняя характеристика 6
Вносимое сопротивление 49
Воздушный трансформатор 48
Волна отражения (обратная) 170
— падающая (прямая) 169
Волновое сопротивление 158, 161
Двустороннее преобразование Фурье
144
Двухполюсники 11
Действующее значение 17, 54
Декремент затухания 6, 75
Дерево 6
Децибел 105
Диаграмма векторная 27
— круговая четырехполюсника 41
— простейших схем 38
— топографическая 42
Дифференциальные уравнения длин-
ной линии 159
Длинная линия без искажений 166
-------- потерь 161
----, входное сопротивление 161, 163
----, распределение напряжения и
тока 165
Длинная линия с переменными по
длине параметрами 168
---- согласованная 166
---- согласование с нагрузкой 167
----, стоячие волны 164
---- измерительная 167
----искусственная 167
----с потерями 161
----, параметры 157
----, уравнения 156, 159
----, эквивалентная схема 156
Добротность 31
Дуальные схемы 12, 13
— элементы 11
Дюамеля интеграл 115, 138, 141
Единичный импульс 139, 141
Единичная функция 139, 141
Емкость линии 157, 159
Емкостная проводимость, сопротивле-
ние 22
Емкостный элемент 22, 193
Законы Кирхгофа 21, 66, 68
— коммутации 115
— Ома 20, 66
Затухание 128
Измерение негармоничных токов, на-
пряжений 56
Измерительная линия 167
Изображение оригинала 131, 134
Индуктивная проводимость 22
Индуктивное сопротивление 22
Индуктивный элемент 22, 193
Индуктивно связанные цепи 43
Интеграл Дюамеля 137, 138
— Лапласа 131, 133, 136
— Фурье 143, 144
Искусственная линия 167
Источник напряжения 7
— тока 6
— э. д. с. 6
Канонические схемы двухполюсников
184—186
Каскадное соединение четырехполюс-
ников 100
Катушка с ферромагнитным сердечни-
ком 205, 212
— при подмагничивании постоянным
током 214
Классификация фильтров 106
— четырехполюсников 94
Классический метод 117, 122
Коаксиальная линия 159
Колебательный разряд 127
Коммутация 114, 115
Комплексная амплитуда 20
— мощность 38
— проводимость 28, 29
— формула интеграла Фурье 144, 149
---ряда Фурье 149
Комплексное сопротивление 27
Комплексный метод 17, 18
Комплексные числа 18
Контур 5, 75
Коэффициент амплитуды 17
— аппроксимирующей функции 220,
228
— бегущей волны 165
— искажения 55
— мощности 38
— отражения 170
— передачи 105
— стоячей волны 165
— формы 17
— интеграла Фурье 144, 149
— ряда Фурье 51, 149
Коэффициенты четырехполюсника 96
Кривые намагничивания 205
Критерии устойчивости 251
Круговая диаграмма двухполюсника 39
---четырехполюсника 41
Лапласа преобразование 136
Линия длинная 156
— без потерь 161
---искажений 166
— измерительная 167
— искусственная 167
— согласующая 167
Магнитный усилитель мощности 214
Магнитная цепь постоянного тока 208
----неразветвленная 208, 210
----разветвленная 209, 210
---- постоянного магнита 211
Матричная теория графов 75
Матричное уравнение токов 80
----узловых потенциалов 80
Матрица главных сечений 78
— источников тока 80
----э. д. с. 79
— контурная 77
— сопротивлений (проводимостей) 78
— токов ветвей 80
Мгновенная мощность 37
Метод аналитической аппроксимации
240
— гармонического баланса 232
линеаризации (частный метод)
230
— графический 287
— графического интегрирования 241
Метод графического расчета нелиней-
ных цепей 200, 211, 214, 231
— по характеристике для действую-
щих значений 287
— по характеристике для первой гар-
моники 287
— по характеристике для мгновенных
значений 287
— закона Ома и законов Кирхгофа 66
— интеграла Дюамеля 138, 141
— классический 117, 122
— компенсации 73
— комплексный 17
— контурных токов 68
— кусочно-линейной аппроксимации
223
— малого параметра 234
— наложения (свойство) 72, (9)
— операторный 131, 137
— переменных состояний 149
— метод последовательных интервалов
240
— построения фазовых траекторий 245
Методы расчета электрических схем 66
---электростатических цепей 15
— реализации двухполюсников 180
— разложения на простые дроби (по
Фостеру) 183
— разложения в непрерывную дробь
(по Кауэру) 186
— реализации четырехполюсников 188,
192
Метод симметричных составляющих 60,
65
— узловых потенциалов 70
— фазовой плоскости 242
— частотный (метод Фурье) 143, 149
— эквивалентного источника 73
Наложения метод, свойство 72, 9
Начальные условия 119
---для свободных составляющих 121
Начальная фаза 16
Негармонические кривые с периоди-
ческой огибающей 52
Негармонические токи 51
Нейтральная (нулевая) точка 57, 58
Нелинейные электрические цепи 193
— элементы 193
---резистивные двухполюсные 194
---------- управляемые 196
--------трехполюсные управляемые
197
---, дифференциальное сопротивле-
ние 202
---, эквивалентная замена нелиней-
ного резистивного элемента 202
Непер 105
Несимметрия трехфазной цепи 62, 65
Неустойчивый режим 250
Низкочастотный фильтр 107, 113
Обратное преобразование Лапласа 133
---Фурье 144
Одноименные зажимы 45
Операторные преобразования 133, 134
— схемы 132
Определить системы уравнений 9, 81,83
Опытное определение взаимной индук-
ции 48
Оригинал, нахождение по изображе-
нию 133
— таблица 134
Основные величины и зависимости
магнитного поля 206
Остаточная магнитная индукция 211
Отражение волны 169, 170
Параллельное соединение 24, 29
Параметры однородной линии 157
Пассивные элементы 21, 23
Пассивный двухполюсник 35
— четырехполюсник 94, 95, 100
Период 16
Периодическое напряжение (ток) 16
Периодические негармонические функ-
ции 51
Периодический (колебательный) раз-
ряд 127
Передаточная функция 105, 188
Передача максимума мощности 36
Переменные состояния (метод) 149
Переходная функция 140
Пик-трансформатор 216
Положительная вещественная функция
181
Полоса затухания 107
— пропускания 106
Попеременная несимметрия трехфазной
цепи 62, 64
Последовательное соединение 24, 27
Последовательность фаз симметричной
трехфазной системы 61
Постоянная ослабления 103, 105, 158
Потери в реальном индуктивном Эле-
менте 206, 213
Потокосцепление 43
Преобразование активного треуголь-
ника 26
— источников энергии 7, 8
— Лапласа 131
— Фурье 144
— многоугольной звезды в многоуголь-
ник 25
— треугольника в трехлучевую звезду
25
Преобразование трехлучевой звезды
в треугольник 25
— в трехфазных схемах 60
Проводимость взаимная 9
Продольная несимметрия трехфазной
цепи 62
Процесс переходный 114
Разветвленная магнитная цепь 209
Размагничивания кривая 205
Разность фаз (фазовый сдвиг) 20
Разряд конденсатора 126, 127
Реактивная мощность 38
— составляющая напряжения 28
--- тока 30
Реализация функции 181
— двухполюсников 183
— четырехполюсников 189, 192
Регулярность соединения четырехпо-
люсников 102
Резистивный элемент 21, 22, 193
Режим принужденный 117
— свободный 117, 121
— установившийся 117
Резонанс напряжений 30
— токов 32
Резонансные кривые 31, 34
Резонансная частота 33
Релаксационные колебания 248
Ряд Фурье 51, 149
Свойства линейных цепей 8
— передаточной функции четырехпо-
люсника 105
Симметричный четырехполюсник 94,
104
Скачкообразная функция 139
Скорость распространения фазовая 169
Согласное включение 45
Согласованная линия 167
Согласование линии с нагрузкой 167
Соединение звездой 25
— параллельное 24, 29
— последовательное 24, 27
— смешанное 24
— треугольником 25
— четырехполюсников 100
Сопротивление вносимое 49
— дифференциальное 202
— характеристическое (волновое) 158,
161
— входное 98, 99
— комплексное 27
— общее контуров 9, 69
— статическое 202
Сопротивления различных последова-
тельностей 62
Спектральные характеристики 145
Среднее значение периодической функ-
ции 54
Средняя (активная) мощность 38
Стоячие волны 164
Схема замещения двухполюсника 35
---четырехполюсника 107
---идеальных нелинейных элемен-
тов 202
— мостовая 189
— цепная 100
Таблица оригиналов и изображений
134
Телеграфные уравнения 156
Теорема вариации 10
— компенсации 10
— об эквивалентном источнике 11
Ток активный 30
— комплексный 20
— контурный 68
— принужденный 117
— реактивный 30
— свободный 117
— установившийся 117
Топология электрических цепей 5
Топологические матрицы 77
— формулы 81
Трансформатор 48, 215
Треугольник мощностей 28
— напряжений 28
— сопротивлений 28
— токов 30
Трехфазный генератор 57
Трехфазные цепи, симметричный режим
58
---, неравномерная нагрузка 58
Угол сдвига фаз 20
Угловая частота 16
Узел 5
Узловой определитель, разложение по
узлу 81
---,-------путям двумя узлами 83
Узлы стоячих волн 164
Уравнения длинной линии 156, 159, 169
— контурных токов 68, 80
— узловых напряжений потенциалов
70
Условие передачи максимальной мощ-
ности 36
Устойчивость состояния равновесия 250
— в малом 250
Устойчивости критерии 251
Феррорезонанс напряжений 217
— токов 218
Фильтры безындукционные 113
— Г-, Т-, П-образные 107, ПО
Фильтры, классификация 106
—, полоса пропускания 106, 107
—, полоса затухания 106, 107
— типа k 109
— типа т 112
Фурье ряд 51, 149
— интеграл 144, 149
— метод 149
Характеристическое уравнение, состав-
ление 118
----, корни 118
----1 определение степени 119
Цепь дуальная 11
— линейная 5
— нелинейная 193, 199
— магнитная 207, 208
Частота граничная 108
— резонансная 30, 33
— собственных колебаний 127
Частотные характеристики 31, 34
Частотный метод (интеграл Фурье) 143
Четырехполюсник активный 94
— , входное сопротивление 99
— Г-образный 107
— мостовой 189
— взаимный 95
—, определения 94
— симметричный 104
Четырехполюсника параметры 100, 103
— согласованная нагрузка 103—105
— соединения 100
— уравнения 96
— эквивалентные схемы 107
Четырехполюсников классификация 94
Эквивалентные преобразования актив-
ных схем 8, 11
-----источников энергии 7
-----пассивных элементов 23
— схемы длинной линии 156, 160
Электростатические схемы 13
Элементы активные 6
— нелинейные 193
— линейные 21
— переменные во времени 254
ОГЛАВЛЕНИЕ
Условные обозначения основных величин................................... 3
Предисловие................................................*............ 4
Часть первая
Линейные электрические цепи
Глава 1. Основные свойства и преобразования электрических цепей ... 5
§1.1. Топология (геометрия) электрической цепи ........................ 5
§ 1.2. Эквивалентные схемы источников электрической энергии....... 6
§ 1.3. Эквивалентные преобразования источников электрической энергии 7
§ 1.4. Преобразование схем с двумя узлами, содержащих источники ... 8
§ 1.5. Основные свойства и теоремы линейных электрических цепей .... 8
§ 1.6. Дуальные элементы и схемы.................................. И
§ 1.7. Алгоритм графического построения дуальной планарной схемы ... 13
§ 1.8. Электростатические схемы.................................. 13
§ 1.9. Методы расчета электростатических схем................... 15
§ 1.10. Основные величины, характеризующие гармонический ток..... 16
§ 1.11. Комплексный метод........................................ 17
§ 1.12. Алгоритм расчета комплексным методом..................... 18
§ 1.13. Комплексные числа........................................ 18
§ 1.14. Основные комплексные величины и законы, характеризующие гар-
моническое напряжение (ток)........................................... 19
§ 1.15. Пассивные элементы в схеме гармонического тока................. 21
§ 1.16. Соединения и преобразования пассивных элементов ............... 23
§ 1.17. Примеры эквивалентных преобразований........................... 26
§ 1.18. Последовательное соединение элементов.......................... 27
§ 1.19. Параллельное соединение элементов ............................. 29
§ 1.20. Резонансы в линейных электрических цепях....................... 30
§ 1.21. Двухполюсники.................................................. 35
§ 1.22. Мощности цепи гармонического тока.............................. 37
§ 1.23. Векторные диаграммы простейших схем............................ 38
§ 1.24. Круговая диаграмма для токов четырехполюсника.................. 41
§ 1.25. Топографическая диаграмма...................................... 42
§ 1.26. Цепи с взаимной индуктивностью................................. 43
§ 1.27. Согласное последовательное соединение индуктивно связанных ка-
тушек ................................................................ 45
§ 1.28. Встречное последовательное соединение индуктивно связанных ка-
тушек ................................................................. 46
§ 1.29. Параллельное соединение индуктивно связанных катушек............ 46
§ 1.30. Опытное определение взаимной индуктивности ..................... 48
§ 1.31. Трансформатор без ферромагнитного сердечника (воздушный транс-
форматор) ............................................................. 48
§ 1.32. Расчет разветвленных цепей с взаимной индукцией................. 50
Глава 2. Негармонические токи........................................... 51
§ 2.1. Ряд Фурье для некоторых периодических негармонических функций 51
§ 2.2. Негармонические кривые с периодической огибающей................. 52
§ 2.3. Основные величины и коэффициенты негармонического тока......... 54
§ 2.4. Расчет цепей при периодических негармонических токах............. 55
§ 2.5, Измерение негармонических токов и напряжений .................... 56
Глава 3. Цепи трехфазного тока......................................... 57
§3.1. Трехфазный генератор............................................ 57
§ 3.2. Симметричный режим в трехфазных цепях........................... 58
§ 3.3. Напряжение смещения нейтрали при соединении неравномерной на-
грузки звездой......................................................... 58
§ 3.4. Определение токов в трехфазной цепи............................. 59
§ 3.5. Преобразование трехфазной цепи со смешанной нагрузкой......... 60
§ 3.6. Метод симметричных составляющих................................. 60
§ 3.7. Фазный множитель................................................ 61
§ 3.8. Сопротивления симметричной трехфазной цепи токам различных по-
следовательностей ..................................................... 62
§ 3.9. Продольная и поперечная несимметрии трехфазной цепи............. 62
§ 3.10. Продольная несимметрия трехфазной цепи......................... 63
§ 3.11. Виды продольной несимметрии ................................... 63
§ 3.12. Поперечная несимметрия трехфазной цепи......................... 64
§ 3.13. Виды поперечной несимметрии............................... 64
§ 3.14. Алгоритм расчета несимметричной трехфазной цепи........... 65
Глава 4. Методы расчета электрических схем............................. 66
§4.1. Расчет схем по закону Ома.................................. 66
§ 4.2. Расчет схем по уравнениям Кирхгофа ............................. 66
§ 4.3. Матричная форма записи уравнений Кирхгофа.................. 68
§4.4. Метод контурных токов...................................... 68
§ 4.5. Матричная форма записи уравнений методом контурных токов ... 70
§ 4.6. Метод узловых потенциалов.................................. 70
§ 4.7. Матричная форма записи уравнений методом узловых потенциалов 71
§ 4.8. Метод двух узлов , . ........................................... 72
§ 4.9. Метод наложения............................................ 72
§ 4.10. Метод эквивалентного источника............................ 73
§ 4.11. Метод компенсации......................................... 73
Глава 5. Топологические методы расчета электрических схем.............. 75
§5.1. Основные понятия и определения ................................. 75
§ 5.2. Топологические матрицы графа............................... 77
§ 5.3. Составление уравнений электрической схемы в матричной форме . . 80
§ 5.4. Нахождение определителя схемы по топологическим формулам ... 81
§ 5.5. Сигнальные графы........................................... 85
§ 5.6. Алгоритм построения сигнального графа по системе линейных урав-
нений ................................................................. 85
§ 5.7. Составление системы уравнений по сигнальному графу ........... 86
§ 5.8. Преобразование сигнальных графов................................ 87
§ 5.9. Топологическое правило определения передачи графа (формула Мэ-
зона).................................................................. 89
§ 5.10. Сигнальные графы уравнений четырехполюсников.................. 90
§ 5.11. Сигнальные графы соединений четырехполюсников.................. 92
Глава 6. Четырехполюсники.............................................. 94
§ 6.1. Основные определения ............1.............................. 94
§ 6.2. Уравнения пассивного четырехполюсника...................... 95
§ 6.3. Уравнения четырехполюсника в A-форме (основные уравнения) ... 98
§ 6.4. Эквивалентные схемы и параметры пассивных четырехполюсников 100
§6.5. Соединения четырехполюсников............................... 100
§ 6.6. Характеристические параметры четырехполюсников............. 103
§ 6.7. Передаточная функция (коэффициент передачи или амплитудно-фазо-
вая характеристика) четырехполюсника............................... 105
§6.8. Единицы измерения постоянной ослабления.................... 105
Глава 7. Электрические фильтры ....................................... 106
§7.1. Классификация ................................................. 106
§ 7.2. Электрические реактивные цепные фильтры . , , , ............... 106
§ 7.3. Реактивные фильтры типа k....................................... 10
§ 7.4. Реактивные фильтры типа т ..................................... 11.
§ 7.5. Безындукционные фильтры (/?С-фильтры).......................... 11;
Глава 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях .... 11<
§8.1. Методы расчета................................................ 1b
§ 8.2. Законы коммутации .............................................. 1П
§ 8.3. Классический метод.............................................. 1Г
§ 8.4. Характер свободного процесса в зависимости от корней характери-
стического уравнения алрп + ап_1Рп“1 + ...+а1Р+ао==О.................. 1П
§ 8.5. Составление характеристического уравнения...................... 111
§ 8.6. Определение степени характеристического уравнения ............. 11<
§ 8.7. Начальные условия (начальные значения токов и напряжений при
* = 0).............................................................. 11<
§ 8.8. Определение зависимых начальных условий........................ 12(
§ 8.9. Определение начальных условий для свободных составляющих то-
ков и напряжений..................................................... 121
§ 8.10. Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом ... 12$
§ 8.11. Переходные процессы в простейших схемах....................... 125
§ 8.12. Операторный метод............................................. 131
§ 8.13. Эквивалентные операторные схемы для элементов цепи с ненуле-
выми начальными условиями [t£ (0+), ис (0+)]......................... 13$
§ 8.14. Закон.Ома и законы Кирхгофа в операторной форме. Эквивалент-
ные операторные схемы................................................ 13$
§ 8.15. Нахождение оригинала по изображению........................... 13г
§ 8.16. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу .................. 134
§ 8.17. Основные операторные преобразования по Лапласу ............... 13G
§ 8.18. Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом ... 137
§ 8.19. Расчет свободных составляющих операторным методом ............ 13S
§ 8.20. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля ........ 13S
§ 8.21. Единичные и переходные функции................................ 13$
§ 8.22. Действие единичных ступенчатых и единичных импульсных источ-
ников на индуктивный и емкостный элементы............................ 141
§ 8.23. Алгоритм расчета переходных процессов методом интеграла Дюа-
меля ................................................................ 141
§ 8.24. Приведение схемы к нулевым начальным условиям . .............. 143
§ 8.25. Частотный метод............................................... 143
18.26. Основные свойства одностороннего преобразования Фурье.......... 144
8.27. Спектральные характеристики некоторых функций................. 145
8.28. Ряд и интеграл Фурье......................................... 149
8.29. Алгоритм расчета переходных процессов частотным методом...... 149
8.30. Метод переменных состояния.................................... 149
8.31. Матричная форма записи уравнений методом переменных состояния 150
§ 8.32. Составление дифференциальных уравнений состояния с помощью
I уравнений Кирхгофа.................................................. 151
§ 8.33. Составление дифференциальных уравнений состояния методом на-
। ложения.........................•.......... . . • .................. 152
Глава 9. Установившиеся процессы в длинных линиях (цепях с распре-
! деленными постоянными) ...»............................... 156
§9.1. Общие сведения ................................................. 156
| 9.2. Параметры длинной линии ....................................... 157
$ 9.3. Зависимость Со, Lo и Zc от геометрических размеров простейших
линий.......................................*..........• •.......... 159
19.4. Уравнения однородной длинной линии с потерями.................. 159
9.5. Входное сопротивление длинной линии с потерями................. 161
9.6. Длинная линия без потерь (7?o<^coLo; <jo<(oCo)................. 161
9.7. Входное сопротивление длинной линии без потерь . « «........... 163
9.8. Стоячие волны................................................ 164
9.9. Свойства распределения действующих значений напряжения и тока
вдоль линии оез потерь при Z2 =/= ............................ 165
§ 9.10. Линия без искажений....................................... 166
§ 9.11. Линия, согласованная с нагрузкой.......................... 166
§ 9.12. Согласование линии без потерь с нагрузкой ............. 167
§ 9.13. Измерительная линия....................................... 167
§ 9.14. Искусственная линия ...................................... 167
§ 9.15. Длинная линия с переменными по длине параметрами.......... 168
Глава 10. Переходные процессы в длинных линиях без потерь (/?0 =
= Go = O)......................................................... 169
§ 10.1. Падающая и отраженная волны .............................. 169
§ 10.2. Отражение волны от конца линии............................ 170
§ 10.3. Многократное отражение волн при подключении источника посто-
янного напряжения к линии................................... 174
§ 10.4. Эквивалентная схема для определения токов и напряжений в узлах
линии............................................................. 177
§ 10.5. Распределение напряжения и тока вдоль линий, соединенных через
L или С ................................. , 177
§ 10.6. Волны при включении и отключении ветвей ............... . . . 178
Глава 11. Синтез линейных электрических цепей ................... 180
§ 11.1. Общие сведения............................................ 180
§ 11.2. Определение, свойства и признаки положительной вещественной
функции........................................................... 181
§ 11.3. Признаки положительности и вещественности рациональной функ-
ции .............................................................. 181
§ 11.4. Положительные вещественные функции Z(p) и Y (р) простейших
двухполюсников.................................................... 182
§ 11.5. Реализация реактивных двухполюсников разложением входной
функции на простые дроби (реализация двухполюсников по Фо-
стеру) .......................................................... 183
§ 11.6. Разложение по Фостеру мнимой входной функции Z(p)......... 184
§ 11.7. Разложение по Фостеру мнимой входной функции Y (р) ...... 185
§ 11.8. Реализация вещественных положительных входных функций, имею-
щих полюсы и нули на мнимой оси и вещественной положитель-
ной полуоси....................................................... 186
§ 11.9. Разложение входной функции в непрерывную дробь (реализация
двухполюсников по Кауэру) . . . . ................................ 186
§ 11.10. Синтез четырехполюсников................................. 188
§ 11.11. Передаточные функции четырехполюсника..................., 188
§ 11.12. Реализация LC- и 7?С-четырехполюсников мостовой схемой .... 189
§ 11.13. Необходимые свойства параметров пассивного четырехполюсника
?п, ?12, Гц, У12, Ни при его синтезе...................... 199
§ 11.14. Особенности передаточной функции напряжения четырехполюсни-
ков Ни.................................................... 191
§ 11.15. Реализация LC- и Т^С-четырехполюсников цепной схемой..... 192
Часть вторая
Нелинейные электрические цепи
Глава 12. Нелинейные элементы..................................... 193
§ 12.1. Общие сведения............................................ 193
§ 12.2. Резистивные элементы...................................... 194
§ 12.3. Двухполюсные резистивные элементы......................... 194
§ 12.4. Управляемые двухполюсные резистивные элементы............. 196
§ 12.5. Управляемые трехполюсные резистивные элементы............. 197
§ 12.6. Расчет нелинейных цепей постоянного тока . ............... 199
§ 12.7. Метод двух узлов........................... ............. 200
§ 12.8. Статическое и дифференциальное сопротивления.............. 202
§ 12.9. Эквивалентная замена нелинейного резистивного элемента линей-
ным резистивным элементом и источником э. д. с.................... 202
§ 12,10, Расчет разветвленной схемы с нелинейными элементами 203
Глава 13. Нелинейные индуктивные и емкостные элементы................. 205
§ 13.1. Нелинейные индуктивные элементы.............................. 205
§ 13.2. Кривые намагничивания В(Н) ферромагнитных материалов .... 205
§ 13.3. Потери в реальном индуктивном элементе........................ 206
§ 13.4. Основные величины и зависимости, характеризующие магнитное
поле ............................................................... 206
§ 13.5. Формальная аналогия между электрической и магнитной цепями
постоянного тока ................................................... 207
§ 13.6. Расчет магнитной цепи при постоянном токе. Прямая задача . . . 208
§ 13.7. Расчет магнитной цепи при постоянном токе. Обратная задача . . 210
§ 13.8. Неразветвленная магнитная цепь постоянного магнита........ 211
§ 13.9. Катушка с ферромагнитным сердечником...................... 212
§ 13.10. Нелинейные цепи с управляемым индуктивным элементом....... 214
§ 13.11. Магнитный усилитель мощности ................................ 214
§ 13.12. Трансформатор с ферромагнитным сердечником.................. 215
§ 13.13. Пик-трансформатор.......................................... 216
§ 13.14. Нелинейные емкостные элементы................................ 216
§ 13.15. Резонансные явления в нелинейных цепях....................... 217
Глава 14. Аппроксимация нелинейных характеристик...................... 223
§ 14.1. Аппроксимирующие функции...................................... 220
§ 14.2. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов.............. 221
§ 14.3. Кусочно-линейная аппроксимация вольт-амперных характеристик 223
§ 14.4. Схемы замещения идеальных элементов с кусочно-линейными ха-
рактеристиками ..................................................... 225
§ 14.5. Выпрямление переменного тока ................................. 226
§ 14.6. Определение коэффициентов аппроксимирующей функции............ 228
Глава 15. Аналитические методы анализа периодических процессов в не-
линейных цепях.................................................... . . 230
§ 15.1. Общие сведения ............................................. 230
§ 15.2. Метод гармонической линеаризации (частотный метод)............ 230
§ 15.3. Метод гармонического баланса.................................. 232
§ 15.4. Метод медленно меняющихся амплитуд............................ 234
§ 15.5. Метод кусочно-линейной аппроксимации.......................... 235
§ 15.6. Метод аналитической аппроксимации............................. 236
Глава 16. Графические методы анализа периодических процессов в нели-
нейных цепях........................................................ 237
§ 16.1. Расчет по характеристике для мгновенных значений............. 237
§ 16.2. Расчет по характеристике для первой гармоники................ 237
§ 16.3. Расчет по характеристике для действующих значений............ 237
Глава 17. Методы расчета переходных процессов в нелинейных цепях 238
§ 17.1. Методы расчета переходных процессов в схемах с одним нелиней-
ным реактивным элементом............................................... 238
§ 17.2. Метод линейной аппроксимации .................................. 238
§ 17.3. Метод кусочно-линейной аппроксимации........................... 238
§ 17.4. Метод аналитической аппроксимации ............................. 240
§ 17.5. Метод последовательных интервалов.............................. 240
§ 17.6. Метод графического интегрирования.............................. 241
§ 17.7. Метод фазовой плоскости...................................... 242
Глава 18. Автоколебания............................................... 248
§ 18.1. Общие сведения................................................ 248
§ 18.2. Релаксационные колебания...................................... 248
§ 18.3. Почти гармонические колебания.................................. 249
§ 18.4. Устойчивость состояния равновесия.............................. 250
§ 18.5. Устойчивость в малом........................................... 250
§ 18.6. Алгоритм получения линеаризованных уравнений для исследуемой
величины.............................................................. 250
§ 18.7. Теорема А. М. Ляпунова об установлении устойчивости в малом
автономных нелинейных систем.......................................... 251
§ 18.8. Критерий устойчивости Гурвица................................. 251
Глава 19. Электрические цепи с переменными параметрами................ 254
§ 19.1. Общие сведения................................................ 254
§ 19.2. Элементы с переменными параметрами............................ 254
§ 19.3. Цепь с резистивным элементом................................. 255
§ 19.4. Цепь с индуктивным элементом................................. 256
§ 19.5. Цепь с емкостным элементом................................... 257
§ 19.6. Анализ цепей с переменными параметрами........................ 257
§ 19.7. Параметрические колебания..................................... 258
Список рекомендуемой литературы....................................... 259
Предметный указатель.................................................. 261
Татьяна Андреевна Татур
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
(справочное пособие)
Редактор Е. М. Романчук. Художник А. С. Александров. Художественный редактор
Т. М. Скворцова. Технический редактор Н. А. Битюкова. Корректор М. М. Малиновская
ИБ № 2079
Изд. Хе ЭР-268. Сдано в набор 22.11.79. Подп. к печати 29.05.80. Формат бОХЭО’Лв.
Бум. тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 17 усл. печ. л. 20,49 уч.*
изд. л. Тираж 45 000 экз. Заказ № 992. Цена 80 коп.
Издательство «Высшая школа»
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького
«Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств, по-
лиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский просп., 15
80 к.