Вихревая теория гребного винта - Жуковский Н.Е.

Жуковский Н.Е. Вихревая теория гребного винта - 1950
Вклейка. Жуковский Н.Е.

§ 1. Введение. Образование вихрей около винта с точки зрения абсолютного движения

§ 2. Исследование стационарности винтового вихревого шнура

§ 4. Подбор лопастей винта для образования заданной циркуляции

§ 5. Сила тяги и мощность винта. Подбор наивыгоднейших параметров винта на заданную силу тяги

§ 6. Средние гидродинамические давления в струе винта

§ 1. Образование вихрей с точки зрения относительного движения

§ 2. Вихревая теория центробежного вентилятора

§ 3. Условие устойчивости потока около винта. Частные решения для некоторых типов винтов

§ 4. Теорема о поддерживающей силе в кольцевом потоке. Распространение вихревой теории на винты с переменной циркуляцией

§ 5. Теоретическое исследование самовращения секторов в опытах Д.П. Рябушинского

§ 2. Теорема о поддерживающей силе потока в кольцевом пространстве

§ 3. Поток, обтекающий решетку с циркуляцией скорости. Получение ступенчатой решетки из прямолинейной

§ 4. Поток, обтекающий ступенчатую решетку вдоль ее оси

§ 5. Поток, протекающий через ступенчатую решетку. Силы, действующие на винт

§ 6. Приближенные формулы для участков винта с малым относительным шагом

§ 7. Расчет крыльев вентилятора, работающего в трубе. Качество аэродинамической трубы

§ 8. Подбор лопастей вентилятора по теории решеток

§ 2. Общая характеристика движения жидкости с циркуляцией около винта

§ 3. Величина скачка скоростей и давлений в струе винта

§ 4. Величина приращения осевой скорости в плоскости винта

§ 5. Поправка на сжатие струи. Результаты испытания винта типа НЕЖ в аэродинамической лаборатории МВТУ

§ 7. Гипербола Ф.А. Брикса. Опыты Д.П. Рябушинского

§ 11. Задача о наивыгоднейшем геликоптерном винте

Автор: Жуковский Н.Е.

Теги: физика математика естествознание классики естествознания

Год: 1950

Похожие

Кавитация

Электрические машины. Том 1. Расчетные элементы общего значения. Машины постоянного тока

Курс физики

Краткий физико-математический справочник

Текст

Η. Ε. ЖУКОВСКИЙ
С портрета художника И. Косьлина

КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
МАТЕ ΜАТИ КА
Μ ЕХАН И КА
Φ И 3 И КА
АСТРОНОМИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕЗШИ КО -ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА -1950· ЛЕНИ Η ГРАД

Н.Е.ЖУКОВСКИЙ
ВИХРЕВАЯ
ТЕОРИЯ
ГРЕБНОГО
ВИНТА
I
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОΡЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА · 1950 · ЛЕНИН ГРАД

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА.
Гребной винт применяется в технике давно и
чрезвычайно широко. Однако до работ Η. Ε Жуковского не
существовало надежных основ его расчета. Трудность
создания теории гребного винта объяснялась сложностью явления,
сущность которого была.открыта только Η. Е. Жуковским,
давшим объяснение мгновенным фотографиям водяного
винта, полученным О. Фламмом.
О. Фламм обнаружил, что за работающим в воде
винтом образуется система светлых винтовых полос, но
объяснить, что представляют собою эти полосы, Фламм не
смог. Η. Е. Жуковский показал, что эти светлые полосы
являются местами концентрации пузырьков воздуха и пара,
выделившегося из воды, следовательно, местами
наибольшего разрежения в воде, а так как наибольшее
разрежение имеет место на оси вихря, то светлые полосы суть
не что иное, как «свободные» вихри. Свободные вихри
являются продолжением «присоединенных» вихрей, действие
которых на среду эквивалентно действию лопастей винта;
понятие «присоединенного вихря» в науку было введено
Η. Е. Жуковским в 1906 г. Таким образом появилась
вихревая теория винта (первая статья, 1912 г.) намного
опередившая «индуктивн)Ю» теорию крыла (1918 г.).
Для практических приложений Η. Е. Жуковский
ограничился вычислением средней по окружности скорости,
вызываемой винтовыми вихрями, однако, он указал также
путь вычисления и истинной скорости, который
впоследствии был использован. Применение средней скорости

(5
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
вместо истинной существенно упростило все расчеты и,
как в дальнейшем было показано, не внесло заметных
погрешностей, так как в то время не приходилось иметь
дело с относительными поступями винта, большими
единицы.
В. П. Ветчинкин, ученик Η. Е. Жуковского,
распространил вихревую теорию гребного винта на случай
переменной циркуляции и рассмотрел вопрос о
«наивыгоднейшей» циркуляции и форме лопастей винта.
Во второй, третьей и четвертой статьях о вихревой
теории гребного винта Η. Е. Жуковский применил к
расчету винтов теорию решеток профилей и рассмотрел ряд
практических приложений.
Работы Η. Е. Жуковского по теории винта намного
опередили соответствующие исследования за границей;
это привело к тому, что и в дальнейшем теория винта
в Советском Союзе развивалась успешнее, чем в других
странах.
Вихревая теория гребного винта Η. Е. Жуковского,
являющаяся основой расчета воздушных и водяных винтов,
ветрякав, компрессоров и турбин— одна из самых
замечательных глав современной аэромеханики.

H.E. ЖУКОВСКИЙ
В И ХРЕ ВАЯ
ТЕОРИЯ
ГРЕБНОГО
ВИНТА

ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА.
(Статья первая) !).
§ 1. Введение. Образование вихрей около винта
с точки зрения абсолютного движения. На двенадцатом
съезде естествоиспытателей и врачей в Москве я высказал
Фиг. 1.
мысль, что интересные фотографии Фламма2), одна и&
которых помещена на фигуре 1, представляют
расположение воздушных пузырьков, помещающихся по осям вихрей,.
г) Сообщено 1 X 1912 года Московскому математическому
обществу и впервые опубликовано в Трудах Отделения
физических наук Общества любителей естествознания, т. XVI, вып. 1Г
1912, стр. 1—31.
2) Flamm, Die Schiffsschraube und ihre Wirkung auf da*.
Wasser. [Русский перевод 1910 года.]

10
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
образующихся за винтом. Один из этих вихрей представляет
прямолинейный осевой вихрь, другие суть винтовые вихри,
■число которых равно числу лопастей пропеллера.
Я высказал тогда надежду, что обстоятельное изучение
этих вихрей может лечь в основание новой теории
гребного винта. В настоящее время выяснилось, что такая
-теория должна представлять распространение на винт
учения о циркуляции, давшего столь важные результаты в
применении к поддерживающим планам.
Г""") С 1
^^-θ-«—
Фиг. 2.
Финстервальдер1) и С. А. Чаплыгин2) указывают, что
.замкнутые контуры, сбегая с поддерживающего плана,
сохраняют циркуляцию и образуют вихревые шнуры,
сходящие с концов плана в виде усов. Эти шнуры переходят
постепенно в прямолинейные шнуры, направленные по
тютоку жидкости. Прандтль3) в своем докладе на Геттин-
генском съезде дает схему вихревых шнуров, сбегающих
-с поддерживающего плана, аналогичную той, которая
изображена на фигуре 2.
*) Finsterwalder, Die Aerodynamik als Grundlage der
Luftschiffahrt, Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschiffahrt,
1910, № 1 und 2.
Д Чаплыгин С. Α., Бюллетени Московского общества
воздухоплавания, № 3, 1911. [Собрание сочинений, т. II, стр. 230,
Гостехиздат, 1948.]
3) Prandtl, Ergebnisse und Ziele der Gottinger Modellver-
suchsanstalt, Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschiffahrt, 1913,
Jfc 3.

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
11
Здесь предполагается, что вихревые шнуры круто
заворачиваются по схождении с концов планов в направлении
потока жидкости. В аэродинамической лаборатории
Московского высшего технического училища подобная модель
кланов с присоединенными к ней проволоками и флюгер-
асами на проволоках была помещена в круглой аэродина-
Фиг. 3.
эпической трубе. При этом получилось вращение флюгерков
© сторону, указанную стрелками, что показывает
существование вихрей, намеченных Прандтлем.
Этим летом Д. П. Рябушинский напечатал брошюру,
β которой на основании своих наблюдений и опытов
Фламма дает расположение вихрей, окружающих винт1).
Это расположение представлено на схеме фигуры 3. Автор
предполагает, что над винтом имеется вихревой столб,
вращающий в сторону, обратную вращению винта, а под
винтом имеется столб, вращающий в сторону вращения
винта. (На фигуре 3 и на последующих фигурах вихревые
апнуры представляются в виде канатов, закрученных
*) Рябушинский Д. П., Теоретическое исследование
ю винтах, Москва, 1912.

12
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
с верхнего конца в ту сторону, в которую совершается
вращение вихря.) Далее он принимает, что по лопастям
винта течет слой завихренной жидкости, а на концы
лопастей опираются вихревые шнуры, имеющие форму
винтовых спиралей.
На чертеже видно, что, согласно теореме Стокса,
циркуляция по замкнутым контурам, охватывающим винтовые
спирали, будет равна 7-J-7', если циркуляции скорости·
по контурам, охватывающим осевые вихревые столбы,
будут в указанных направлениях равны 27 и 2/'.
Во всех упомянутых сочинениях не рассматривается
причина образования вихревых шнуров и их
стационарность. В случае поддерживающих планов предполагается,
что на контурах, охватывающих планы, циркуляция
развивается эффектом поверхностного трения, а потом эти<
контуры смываются потоком, идущим от средины планов;
к их концам. В случае винта это объяснение не приложимо,
так как поток идет по лопастям к оси винта, как это
показано стрелками на фигуре 3. С точки зрения
стационарности при предположении искривленных вихрей надо
считаться с большими скоростями, с которыми элементы-
вихревого шнура приходят в движение в направлении,
перпендикулярном к соприкасающейся плоскости оси вихря.
Все эти вопросы рассматриваются в предлагаемом
сочинении, которое заключает в себе распространение на
винтовой пропеллер идей, изложенных в моей статье «О
присоединенных вихрях»1). Я предполагаю (фиг. 4), что
движение жидкости около вращающегося пропеллера
управляется вихревым шнуром, который представляет осевой*
вихревой столб под винтом, вращающий в сторону
вращения пропеллера с циркуляциею 27. Этот вихревой столб*
разделяется на две системы присоединенных вихрей, идут
щих внутри полостей винта, так что циркуляции скорости
по контурам, охватывающим лопасти, равны 7, и опускается,,
выходя из концов лопастей, вниз в виде двух винтовых.
1) Труды Отделения физических наук Общества любителем
естествознания, том XIII, вып. 2, 1906 [Жуковский Н. Е.„
Собрание сочинений, том IV, стр. 69, Гостехиздат, 1949J.

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
13
вихревых шнуров с циркуляциями J в направлениях,
указанных стрелками. При этом присоединенные вихри могут
быть и с отрицательными циркуляциями, лишь бы сумма
всех циркуляции была равна J.
На нашем рисунке мы считаем затушеванную вихревую
нить вра/цающею в осевом столбе в сторону, обратную
вращению пропеллера.
4>**f, 4.
Что касается до винтовых вихревых шнуров, то они,
как будет показано ниже, сохраняют свою форму и
вращаются около оси пропеллера, причем быстрота вращения
зависит от толщины вихревых шнуров и угла наклонения
их осей к оси пропеллера. Эти параметры всегда можно
подобрать так, что угловая скорость вращения винтовых
вихревых шнуров будет равна угловой скорости вращения
пропеллера, и вихревые шнуры будут стационарны по
отношению к вращающемуся пропеллеру.
Перейдем к объяснению причины образования
указанных вихрей. Для этого воспользуемся фигурою 5. В абсо-

14 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВЩ1ТА
лютном движении жидкости линии тока на краю лопастей
направляются от нижней рабочей поверхности лопасти
к верхней. Вследствие этого мы всегда можем вообразить
образованные частицами жидкости контуры, опирающиеся,
концами на лопасти винта, которые 1ю схождении с лопастей
Фиг. 5.
замкнутся и будут при этом иметь циркуляцию по указана
ньш стрелкам. Эти контуры по схождении с лопастей
образуют внутри себя вихревой шнур, пополняемый все новыми
и новыми частицами жидкости.
Точно так же мы можем вообразить два разомкнутые
контура abc и a'dc\ опирающиеся концами на правую и
левую лопасть винта и выбранные так, что по схождении
с лопастей пропеллера частицы жидкости α и а', а равно

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
15*
и с и с'% между собою сливаются, и весь контур
переходит в замкнутый контур dabc. Обращая внимание на*
абсолютное движение жидкости, мы придем к заключению,
что вследствие этого движения на контуре разовьется
циркуляция, положительная в сторону, указанную стрелками-
Эта циркуляция и будет постоянно питать новыми
завихренными частицами жидкости убегающий в бесконечность
прямолинейный осевой вихрь.
§ 2. Исследование стационарности винтового
вихревого шнура. Переходим к исследованию
стационарности вихревого шнура. Если мы отступим на некоторое
расстояние от пропеллера, то мы можем исследовать
задачу о движении винтового вихревого шнура как задачу
о движении подобного шнура, уходящего обоими концами
в бесконечность. Предположим, что нормальное сечение
такого шнура есть кружок с малым радиусом е и, разбив-
площадь этого кружка на равные элементы площади da,
построим на каждом элементе элементарный винтовой
вихрь. Допустим, что напряжения -^ всех этих
элементарных вихрей равны между собой, причем
2/ = J.
Пусть ОВ (фиг. 6) представляет один из таких
элементарных вихрей. Возьмем начало прямоугольных осе»
координат в некоторой точке О этой линии и направим
ось Ог по образующей соответственного цилиндра, ось
Ох — по радиусу О А = R окружности перпендикулярного·
сечения и ось Оу— по касательной к этой окружности*
в направлении от чертежа. Кроме того, проведем еще
ось Оу\ перпендикулярную к винтовой линии и
касательную к цилиндру. Эта ось будет образовывать с осью Оу
угол а, равный углу наклонения винтовой линии с
образующей цилиндра.
Вообразим на плоскости Оху' некоторую точку Nr
имеющую относительно осей Оху' координаты (лг,У),.

16 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
а на винтовой линии — некоторую точку М. Координаты
Фиг. 6.
Μ {х^уигх), N {ос,у, г) этих точек относительно осей Охуг
будут:
х = х, ]
y=y'cos<x,
z = — У sin α,
} (О
jc1 = /?(1_cos6),
yl = /?sinO,
zx = R θ ctg a, J
где θ — угол, который радиус-вектор тЛ проекции т
точки Μ на плоскость Оху образует с осью Ох. Составим
проекции на оси координат элемента вихря -^dsy взятого

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
при точке М. Они представятся в виде:
17
ζ= -K-ds sin a sin θ, ]
η == — ds sin α cos θ,
ζ = —dscosa.
(2)
Теперь составляем по известным формулам скорости,
сообщаемые точке N элементом вихря -ψ dst взятым при
точке М. Они представятся в виде:
ή η — d±- yi(*-—*i)—С(.У--У1) *
uu — -2π ^ r ι
dt>
_ ds ζ (л: — .Ух) — ξ (г — jgx)
2*
/з
dw=*
ds Цу—У1) — Ъ(х -xx)
2π
/»
(3)
Здесь / = ΛίΛ/, на основании сказанного выше,
представляется так:
/= У [д:—/? (1—cos 6)]2+(/ cos a—/? sin в)*+(У Sin a+Rl ctg oc)2=
= у"*2+у2+к2 (θ- ctg2 a-f-sin0' b)— 2Rx (1—cos 0)+/? · (I-cos 6Д (4)
причем для малых значений θ это расстояние / можег
быть выражено приближенною формулою:
'-/*+У+Ы£г-**)
Θ».
(5)
2 Зак. 1694. Η. Е. Жуковский.

18
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Формулы (3) на основании формул (1) и (2)
приводятся к следующему виду:
. _£, ( Sin α COS 6 [ —у' sin a — /?3 ctg a]
4π \ /3
cos α \y' cos a — R sin 6]
/3 />
dv^ » ^,~~-[**-/?(1-€θ8θ)]
/ , ( COS α [x — /?(]
.Krfs| 1 3-
fifaj:
sin α Sin θ ( —У sin α — /?6 ctg a) \ I
sin α sin θ [У cos α — R sin Θ]
"4ZdS\ T»
sin a cos θ [лг— /? (1 — cos 6)|
75 }'
(6)
Положим в этих формулах
Rd%
ds
Sin α
и, взяв интеграл по переменному Θ, изменяемому от — оо
до + оо, мы найдем скорости и, vy wt вызываемые в
точке жидкости N элементарным вихрем ОВ. Если точка'Л/
лежит внутри малого кругового сечения нашего винтового
вихревого шнура, то χ и у' суть малые величины и
могут быть приравнены нулю при интеграции для всех
значений переменной θ не слишком малых. Легко усмотреть,
что при этом
— θ оо
Г du-\j du = 0,
так .как вторая часть-первой формулы (6) получает для
q и —о значения, одинаковые по величине, но
противоположные по знаку. Вся скорость и может зависеть,
таким образом, только от влияния на N малой части
винтового вихря, заключенного между значениями —θ и +Θ.
Что касается до скоростей ν и w9 то они могут получить
весьма большую величину только от влияния малой части
отрезка винтового вихря, заключенного между θ и —Θ.
Имея в виду определить только весьма большие члены

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
19
скоростей точки N и соединив члены в интеграции от
— θ до 0 с членами в интеграции от 0 до Θ, напишем:
и =
I R
4π sin α
}(_2£+/^-ο·)λ,
(7)
α
4π sm α J \ I* · Ι* / *
ο
ο
где / определяется по формуле (5).
Положив
j5L_#x = p2sin2a, ι
Sin-'a r 'J
мы усмотрим, что выражения (7) зависят от двух
интегралов. Первый интеграл имеет вид:
(8)
Θ^Ο
(/*+θ*ρ*8ΐη2α)β/«
ρ2 sin2 a (г2 + Θ2ρ2 sin2 a)*/2 »
G
J С db
sin2 a J (r2
p2 Sin2 a J (r2 _|_ Q2p2 sin2 a)Vt
p2Sin2a(r2+e2p2Sin2a)V2
^^^Ы(У^Р2^^п +bPsm^a) =
p8 Sin3 a
p2Sin2a(r2 + e2p2Sin2a)1/2
+ ΊΪ
1
p3 sin3 a
In
у θ2 sin2 a + -Ц. + θ sin a
2*

20 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
и при —, малом сравнительно с θ sin α, получает
величину:
J 1^+
eve
о v , eySin>«)%
= -?1Ρ7,ηέ_7451Γΐ1-1η(θδίηα)1' (9)
в которой второй член может быть отброшен перед
первым.
Второй интеграл имеет вид:
Г 4Θ _ 1 С (^ + QV2sin2g) ,9
J (r2 + eysin^a)'y> _ Γγ (гЧ*^ sin* a)"/»
θ о
Γ e*<f6 _ ι Г ае
J (Г2 _|_ ДОр* sin2 α)8Λ ~~ Г2 J (Г2 + Θ·?ρ2 Sin2 a)'/·
ρ2 sin2 a
r2
0 v ' ' " ' 0
0
_\_ Г Г ЛО 6 1
r2 |_ J (r2 + 62p2 sin2 a)1/2 (r2 + θ2ρ2 sin2 a)1'2 J
0
1
ггр sin β
( r* +e2Y/g
Vp2sin2a^U У
и обращается при —, малом сравнительно с θ sin а, в
θ
Г *!! β_Ι . (ю)
J (r2 + e2p*sin2a)s/a r2psina v >
Подставляем теперь формулы (9) и (10) в
выражения (7), отбрасывая при этом члены, содержащие
множители

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
21
которые при очень малых х, у' и г стремятся к нулю,
дг2 ху' ~
а также и конечные члены с множителями —-% t —5-. При
таком приближении мы можем в формуле (8)
отбрасывать Rx и полагать прямо
R
Р =
Sin2 а '
(И)
т. е. принимать ρ за радиус кривизны винтовой линии.
Мы получаем:
/ У *
Ι χ
* = 2^C0Sa-
w =
ι χ .
-.— In-н-cos or,
4πρ 2p '
-~A—In-ft-sin a.
4πρ 2p
I
(12)
Формулы (12) показывают, что каждый элементарный
вихрь ОВ, входящий в состав нашего вихревого шнура,
развивает в частице N площади
сечения этого шнура две скорости, из
которых одна имеет величину
/ - г
4πρ 2ρ
и направлена по оси Оу', а другая
есть скорость, которую бы сообщил
точке N бесконечный
прямолинейный вихрь с циркуляциею /,
вращающий около касательной /квинтовой
линии /. Мы должны теперь ело- Фиг. 7.
жить скорости того и другого
движения, происходящие от всех элементарных вихрей ОВ.
Пусть кружок радиуса β (фиг. 7) представляет площадь
перпендикулярного сечения вихревого шнура, D есть
точка, в которой его пересекает один из элементарных
вихрей,_и N есть точка жидкости, скорости которой
определяются. Приписывая элементарному вихрю ОВ площадь
сечения do
скорость вращения ω = ]/ξ2 -|- η2 -|- ζ2,

22
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
положим / = 2ω*/σ. Легко усмотреть, что эффект действия
всех прямолинейных вихрей, перпендикулярных к
плоскости кружка и проходящих чрез различные положения
точки D, может быть найден таким простым способом.
Следует покрыть площадь кружка массами с постоянною
плотностью ω; определить притяжение этой площади на
точку N единицы массы при законе притяжения — ;
полученный вектор умножить на — и повернуть около точки N
на прямой угол в сторону, обратную вращению вихрей.
Таким образом найдется вектор
Подставляя сюда
найдем:
и увидим, что от эффекта всех прямолинейных вихрей D
жидкость, покрывающая кружок, представленный на
фигуре 7, будет вращаться около центра кружка С с
угловою скоростью ω, данною формулою (13). Все скорости
4πρ1η2ρ'
вызываемые различными точками Ζ), будут иметь одно и
то же направление, перпендикулярное к соприкасающейся
плоскости винтовой линии. Складывая эти скорости,
найдем скорость
2^ J J W4"ip'
ν = -έ//ωΙΠί^σ·
Это выражение представляет потенциал для внутренней
точки N вышеупомянутого распределения массы, при
законе притяжения —, умноженный на ~—·

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
23
Мы можем написать по закону потенциала для
внутренней точки:
πωΜΓ2
Jfoln^do
■ const.
и определить const., предполагая, что точка N вступает
в С, т. е. NC—0:
г
const. = 2πω \r In (~-J dr =
о
Ъп'-'Чт+1п2р)Ы(ч-т)·
= πω
Таким образом при отбрасывании конечных членов и
членов, устремляющихся к нулю, мы будем иметь для
всех материальных точек нашего кружка, кроме вращения,
еще общую поступательную скорость, направленную по
нормали к
соприкасающейся плоскости вин- fQ
товой линии в
сторону Оу\ равную
-ά4· ^
4πρ 2р
Эта скорость совпадает
со скоростью
вихревого кольца,
соответствующего кругу
кривизны нашей винтовой
линии1). Такой
результат можно бы
предвидеть наперед.
Разложим теперь (фиг. 8) скорость вихревого
винтового шнура ν на две составляющие скорости, из которых
одна, νtgос, направлена по касательной к оси вихря, а
Фиг. 8.
*) Ann ель, Руководство теоретической механики, т. III,
стр. 489, Москва, 1911.

24
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
другая, , направлена по окружности
перпендикулярного сечения цилиндра. Первая скорость не нарушает
винтовой линии, вторая же сообщает ей около оси
цилиндра вращение с угловою скоростью
n— v
R cos α '
Подставляя сюда величину ν из формулы (15), находим
Ω 1 t 2р
J 4nRpcosi ε '
или по формуле (11)
Ω Sin2 α ,2/? /1Λν
-_.=:_— \\\ . (16)
У 47c/?2C0Sa ssm* α ч у
Если 2 есть угловая скорость пропеллера, то
формула (16) дает нам отношение этой скорости к
циркуляции J под условием стационарности вихря. Мы рассмотрели
вопрос о стационарности одного вихря. Но так как с тою
степенью приближения, которую мы приняли, скорость ν
зависит только от влияния на частицы вихря ближайших
его элементов, то наше рассуждение распространяется на
сколько угодно симметрично около оси расположенных
винтовых вихрей. Более полный анализ, при котором были
бы приняты члены, отброшенные нами при выводе
формулы (16), пополнил бы эту формулу, но сохранил бы
наше заключение о стационарности винтовых вихрей,
симметрично расположенных относительно оси. Заметим здесь,
что, считая ε малой величиной, мы приходим на основании
формулы (16) к заключению о малой циркуляции J
сравнительно с 2/?2.
§ 3. Средние скорости около винта. Обратимся
теперь к определению средних абсолютных скоростей,
сообщаемых точкам жидкой массы, окружающей пропеллер,
вращающийся вместе с винтовыми вихрями. Эти средние
скорости представляют главный интерес, так как именно
они показываются анемометрами и микроманометрами,
поставленными перед пропеллером и за ним, при практи-

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
25
ческом исследовании потока жидкости, возбуждаемого
винтовым пропеллером.
Мы будем попрежнему рассматривать двухлопастной
винт. Так как винтовые и присоединенные вихри
становятся при вращении поля
с угловою скоростью Ω -во
всевозможные положения
относительно неподвижной
точки пространства Л/, то
интересующая нас задача
сводится к определению
скорости точки /V от действия
вихревого слоя, состоящего
из цилиндрической
поверхности В и диска А (фиг. 9),
и от действия центрального
вихревого столба.
Цилиндр следует
покрыть винтовыми вихрями,
наклоненными к
образующим под углом α и
имеющими при двухлопастном
винте элементы вихря ^-Jds,
а диск радиальными вихрями
с элементами вихря ψ J dr,
где ds и dr — элементы винтовой линии и радиуса, a rfO —
угол поворота вихря.
Все винтовые вихри могут быть разложены (фиг. 10)
на две системы вихрей, направляющихся по образующим
и по параллельным кругам. Элементы вихрей первой
системы будут J γ dzy где dz — элемент длины образующей,
а элементы вихрей второй системы будут:
^-Jtgadz.
Возьмем на плоскости вихревого диска Оху некоторую
точку N и посмотрим, какую скорость получает она от
Фиг. 9.

26
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
нашего вихревого цилиндра. От первой системы вихрей
она получит скорость в плоскости Оху, так как каждый
прямолинейный вихрь тМ будет сообщать ей в этой
плоскости скорость
JdQ
перпендикулярную радиусу Nm = г. Геометрическая сумма
всех этих скоростей найдется, если силу притяжения
точки N окружностью OmD при законе притяжения,
Фиг. 10.
обратном расстоянию, и распределении масс с линейною
плотностью
J
4π2/?
(R радиус основания цилиндра) повернуть на прямой угол
в сторону, обратную вращению вихря, т. е. против стрелки
часов. Эта геометрическая сумма будет для внешнего
положения точки N равна:
(17)

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
27
где b = AN, и направлена перпендикулярно ЛЛ по
часовой стрелке около оси АС для наблюдателя, глядящего
сверху; а для внутреннего положения точки N эта
геометрическая сумма будет равна нулю.
Система вихрей, направленных по параллельным кругам,
сообщит точке N скорость- w, перпендикулярную
плоскости основания OmD, и некоторую скорость и,
направленную по радиусу NA. Собирая действие всех
горизонтальных элементов вихря, лежащих на одной
образующей тМ> мы получим для точки N скорость
StgaJA
dz
d$
[(ηιΝ)* + ζψ* 4π*
tga JA
dz
(ϊ+·γ
d% 7ft tg a
4π2 га
iCS+'Г
<*e ,. a ytgo 0 ., ft
где h = NL. На фигуре 10 видно, что
где ψ — угол между радиусом г и М4, поэтому искомая
элементарная скорость представится в виде:
Сумма этих элементарных скоростей, распространенная
на окружность OmD, дает нам скорость w по
направлению оси пропеллера. Она будет равна нулю для внешней
точки, а для внутренней будет иметь величину:
w
— 2π/?
(18)
и будет направлена вниз.
Переходим к определению скорости а по плоскости
основания Оху от эффекта вихрей, направленных по
параллельным кругам. Собирая действие всех элементов

28 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
этих вихрей, лежащих на одной образующей, получим
скорость:
d% Г zdz
■/tgaf-
4π4 s J [(ηιΝ)*+ζψ*'
(
V(mN)* + z*
τι <*θ 1
ь 4яа г '
перпендикулярную к касательной mL> т. е. направленную
по радиусу тА. Сумма проекций всех таких
элементарных скоростей на радиус Να дает нам искомую среднюю
абсолютную скорость и точки Af, направленную по
радиусу ЛИ от N к А:
^/««Γ совета
где попрежнему d = NA.
Введя новое переменное —— λ = γ, преобразуем наш
интеграл в [нормальный] эллиптический:
о
= /_j£
(2sinU— \)d\
У(#-И)« —4/?*sinU
= 7
h^J777=w==7· (19)
о }A-
sinU
Это тот самый интеграл, который фигурирует в теории
вихревого кольца. При очень большом b скорость а
весьма мала, при b = R она достигает наибольшей вели·
чины, представляющей бесконечность логарифмического
порядка от к ' , и при £ = 0 она обращается опять
в нуль.

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
29
К найденным скоростям следует еще прибавить
скорости от действия осевого вихревого столба, которые
сведутся для точки N, лежащей на плоскости Оху, к
вращению около оси
пропеллера со скоростью
ъ
ν =
ъ
2nb
U1
в направлении против
стрелки часов, и
скорости от эффекта
вихревого диска,
которые для точек,
лежащих в плоскости Оху,
равны нулю. Если
назовем согласно схеме
фигуры 11 чрез vx,
vy, vz средние
скорости, происходящие от
всех упомянутых при- фиг# ц
чин, а также и от
скорости потока в бесконечности W, то для точки N,
лежащей в плоскости Оху, будем иметь:
R ■

~—ει <я
'. л~
. .. у
w
и;
^ = 0
J
"°У ~ 2кЬ
[v.= W
v,= W-\
Jtgoc
' 2π#
(при b > R),
(при b < R),
(при b > R)\,
[при b<R].
(20)
Рассмотрим еще положение точки TV значительно ниже
плоскости пропеллера, так что для нее эффект вихревого
диска пропадает, а интеграция по ζ должна совершаться
в пределах от—оо до 4- σο. Вследствие этого вторые
части формул (17) и (18) удваиваются, а вторая часть

30 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБЙОГО ВИНТА
формулы (19) обращается в нуль. Для таких точек
получается:
^=0;
^ = 0
J
v,~W
(при b > R),
(при * < R),
(при b > R),
(при b < R).
(21)
Перейдем теперь к определению средней абсолютной
скорости жидкости в точках N пространства, находящихся
ниже или выше плоскости Оху основания цилиндра на
расстоянии q. При этом к взятым выше интегралам по г
в формулах (17), (18) и (19) придется прибавить или
отнять от них интегралы, взятые в пределах от 0 до q%
а также обратить внимание на действие осевого
прямолинейного вихря и на действие вихревого диска. Две
последние причины скоростей, как увидим ниже, не оказывают
влияния на скорость по радиусу и и на осевую скорость w.
Для радиальной скорости при нижнем и при верхнем
положении следует интеграл от 0 до q вычитать, что
даст:
г_ Jig*
ί
cos θ d θ
2π2 J yy + #2_^2__2/?&COS0
(22)
При определении же осевой скорости для нижнего
положения N надо произвести прибавление интеграла от
0 до q, а для верхнего надо этот интеграл вычесть. Мы
получим для внешней и для внутренней точки формулы:
W
^-4-fr/tga С R — bcosb dQ
4π2 J r2(r2 ι 0*)Vt »
(23)
— Jtga
«-таг
.qJtg
4π2
2я
α Γ R-bcosQ ь

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
31
где знак (-f-) относится к нижнему положению точки N>
а знак (—) к верхнему.
Формула (22) может быть выражена с помощью
эллиптических интегралов первого и второго вида наподобие
формулы (19), для ее получения надо в формуле (19)
заменить член (/? + £)2 на (R + b)2-\-q2; ко мы
ограничимся здесь только определением трех значений а. При
6 = оо получаем и = 0, при b= R находим:
Jtg*__ Г 2sinn-l =Л> (25)
ίΤΓ
4^2 + φ sin к
При —■ небольшом это значение и будет большое, потому
что модуль эллиптического интеграла приближается к
единице; наконец, при Ь~§ имеем
и = 0*).
Таким образом радиальные скорости в плоскостях
перед пропеллером и за ним будут направлены к его оси
и будут изменяться при приближении точки N к этой
оси, возрастая от 0 до максимального значения при д = R
и потом убывая от этого максимального значения до
нуля.
Интеграл, входящий в формулу (23), может быть на
основании сказанного выше (фиг. 10) представлен для
*) При ЬфЛ имеем:
π
-_ Jtga Ρ (2 sinU— l)d\
о
(25')
«in2 \
q* + (# + *)*
(Прим. ред.)

32
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
внешней точки N в виде:
Г (/?—· Ь cos 6)rf6 _ 1 /· ftrfB /? 1 _
о 0
= _1 г ^
* J ('2 + <72)Va'
Так как при этом для положительных значений dty
длина г менее, нежели для соответственных (точки,
лежащие на одном и том же радиусе Nm) отрицательных
значений ώψ, то весь результат отрицателен. При # = оо
имеем г = оо и скорость w = 0; при приближении точки N
к цилиндру эта скорость, согласно формуле (23), для
нижнего положения точки N отрицательна, т. е.
направлена вверх, а для верхнего положения ее эта скорость
направлена вниз. При приближении точки Ν к цилиндру
на весьма матое расстояние е, т. е. при положении
b = R-\-z
рассматриваемый интеграл может быть при q конечном
представлен так:
2π ^2^2
г (/? — 6cos6)rfe i_ г , i_ г d\ д
J /-2 (г« + ^ #7 J V "^ /? J fa* + 4#* cos* ψ)1/»=B
2
π_ ι 2 ρ dj>
Подставляя это выражение в формулу (23), находим:

ЙТАТЬЯ ПЕРВАЯ 33
Когда точка N вступает внутрь цилиндра и отходит
от него на очень малую величину е, т. е.
£ = # —г,
тогда преобразование рассматриваемого интеграла
получится такое:
2π т 2 т 2
r(R-bco**)db_ 1 Га. , 1 Г <*Ψ =
J r2(r2 + ^2)V9 /?0 J YT# J fol +4/?2COS2 ψ)V.
2
1С
Τ
-frr
<ίψ
Подстановка этого выражения в формулу (24) дает нам:
4π# "Г2л2У?1/'^ + 4#2 Ι -ι/, 4#з
о
лпъ , 9Sin2 ψ
4/?2 + #2 τ
(27)
2
~_/tga qJtga /» <*Г
4π/? 2^у^ + 4/?2 -Γ 4/?» '
J J/ χ 4/?2 + ^Sin ψ
где первая формула (27) относится к нижнему
положению точки Ν> а вторая к верхнему положению этой
точки. При очень большом q первая формула (27) дает
w = —у0-у Как это было указано выше, а вторая
формула дает w = 0. Что касается формулы (26), то она
дает ^ = 0 при большом q как для точек, лежащих
выше плоскости вихревого диска, так и для точек,
лежащих ниже его.
3 Зак. 1694. Η. Е. Жуковский.

34
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Сравнение первых формул (26) и (27) показывает,
что при переходе чрез поверхность вихревого цилиндра
средняя осевая скорость скачком прирастает на вели-
ytga
чину-^·
При приближении к оси цилиндра осевая скорость
уменьшается и при £> = 0 получает, согласно формуле (24),
такую величину1):
^ = ^4- SU&l (28)
W 2π/? — 2π/? (/?* + fffh ' ^°}
Вообще осевая скорость над пропеллером для всех
точек, лежащих на одной и той же образующей, получается
всегда менее, нежели осевая скорость под пропеллером.
Ко всем найденным осевым скоростям следует в случае
набегающего потока прибавить скорость потока W.
Перейдем к определению скорости ν под пропеллером
и над ним.
Для простоты изложения мы будем теперь считать q
очень малым, так как простое приложение теоремы Стокса
позволит от ν, определенного в этом предположении,
перейти к случаю конечного q. Нам нужно теперь сложить
скорости вращения точки, лежащей в плоскости основания
цилиндра, происходящие от действия осевого
прямолинейного вихря и вихревого цилиндрического слоя, со
скоростью, сообщаемою точке круглым вихревым слоем (фиг. 9),
представляющим основание цилиндра, покрытое
радиальными вихрями с циркуляциею — db, в предположении, что
точка N лежит выше или ниже этого слоя на весьма малом
расстоянии q. Рассмотрев (фиг. 12) действие на точку N
двух симметрично от нее расположенных элементов вихря,
придем к заключению, что точка N получит от них в
направлении nN равные и противоположно направленные
скорости; поэтому вся скорость, получаемая точкою -/V
от вихревого диска, будет параллельна его плоскости.
Что касается скоростей в этом направлении, то элементы/
*) Формула (28) справедлива для всех значений q. (Прим. ред.)

Статья первая
35
и t сообщат точке N скорости, параллельные
перпендикулярам nF и Dn, опущенным из η на радиусы АВ и АС.
Эти скорости дадут результирующую скорость,
перпендикулярную радиусу АО. Такое направление будет иметь
результирующая скорость, происшедшая от действия всего
вихревого диска. Величина этой скорости представится
двойным интегралом
J Г Г q т dr cos θ Г f J cos θ 1 q , ,a
:^J J * = J )№ — тЛгаг<1Ь>
распространенным на площадь диска. Легко усмотреть,
что этот интеграл представляет нормальную силу притя-
νΛ
Фиг. 12.
жения точки N кружком по закону Ньютона при
распределении масс с плотностью j-$ . Отсюда следует, что
если точка N лежит снизу кружка на весьма малом
расстоянии q, то она будет получать от него скорость
*i=+5?
(29)
против часовой стрелки; если же она лежит выше кружка,
то скорость будет
J
т. е. направится по часовой стрелке.
3*
(30)

36
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБЙОГО ВИНТА
Для внешнего положения точек N на плоскости
основания, цилиндра сила нормального притяжения указанного
кругового слоя будет равна нулю, и никакой скорости
вращения от вихревого диска не получится. Соединяя все
скорости вращения около оси пропеллера, приходим
к заключению, что точки, лежащие в плоскости Оху вне
кружка основания, не будут иметь средней вращательной
скорости; также не будут ее иметь точки, лежащие на
весьма малом расстоянии над кружком; точки же,
лежащие на весьма малом расстоянии под кружком, будут
согласно формулам (17) и (30) иметь скорость
«+*ι = -£, (31)
направленную против стрелки часов. Так как средняя
скорость вращения равна циркуляции скорости,
разделенной на 2тиг, а по теореме Стокса циркуляции скорости
по всем контурам, могущим непрерывным изменением,
не задевая границ (лопасти пропеллера и вихревые
шнуры), быть преобразованными один в другой, равны
между собою, то для всех точек вне цилиндрического слоя
(вместе с дном), представленного на фигуре 9, .средняя
скорость вращательного движения около оси
пропеллера равна нулю, а для всех точек, лежащих
внутри этого слоя, эта скорость выражается по
формуле (31).
Составим теперь согласно схеме фигуры 11 таблицу
компонентов средних абсолютных скоростей точек Af,
лежащих под плоскостью пропеллера (-f- q) и над нею (—q)
на расстояниях q, при значениях b= op, /? + s, R — s, 0.
При этом для сокращения письма введены обозначения:
д_1\ (2sin_2X — i)dl D_ с d\
а ρ (2slnU —1)<*λ ρ
4*2 sinU
Бесконечное значение vy, получаемое по этой таблице на
оси пропеллера внутри вихревого цилиндра, при конечной

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
37
О
ω
1
0(
ω
+
а;
8
*° s^
yS Μ
чхэоаолэ
о
^
β
ы
1*1
+
■ft
^
1©ч
+
са
£
о
Ъ<
1
О
'
^
8
к
+
Г*
в*
ч:
id
+
г*
>
ν
£
о
<Я
+
1 **
О
О
о
о
^
1
8
ч*
о
о
ζ*·'
+
ν?
X
<5«
Ι*4
Η-
(Μ
ί Ι
Χ
*
χ
%
<*^|
.$<*
* !
+
ιΜ
ν*
V
e
¥-»
χ
,—4
>
<
a/ ^
Γ Ι
|C4
+
τ—·
4^—■S
χ
h
ζ>
ι
χ
1 ^
ь ί
№■
+
|Qtf
4
ν.,^ ι
χ
*?-, Ι
χ Ι
β
■4^
4*
109 1
CO Ι
Χ
*■** 1
*
|ι** 1
>
8
SP
/ 1
i 1
о*
+
ет Ι
'■■· 1
>s-—^ 1
X
ь
^
+ -
^ Ι
л
5JS}
s
S
4)
ГР
к
<o
X
В
?
К
§
§
*з
I
u
s
Or
с
s
a,
о
*&
я
и
en

38
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
толщине осевого вихревого столба не будет иметь места,
так как этот столб вращается и линейная скорость его
вращения на оси равна нулю.
На фигуре 13 вычерчены линии тока для плоскости,
проходящей чрез ось геликоптерного винта, как они
получаются из нашего анализа.
Фиг. 13.
Фигура 14 дает графики скоростей vx,vy,vZ9№
наблюдениям Д. П. Рябушинского1), над геликоптерным винтом
(D=l м, #=0,75Д η = 100 об/мин). На фигура 15
дана графика наблюдений Крокко2), в которой
направления и длины стрелок выражают направления и величины
скоростей потока, обтекающего геликоптерный винт. Мы
видим, что результаты наблюдений согласуются с
результатами нашей теории.
!) Рябушинский Д. П., Bulletin de l'institut aerodynami-
que de Koutchino, выпуск II, стр. 32.
2) С г о с с о G. Α., Sulla teoria analitica delle eliche, «Rendi-
conti delle experienze e degli studi eseguiti nel laboratorio di
costruzioni aeronautiche del battaglione specialisti», τ, I, N^ 1,
Roma, 1911.

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
39
Фиг. 14.
-е:
тшщШш^
* '
Фиг. 15.

40
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
§ 4. Подбор лопастей винта для образования
заданной циркуляции. Исследуем теперь очертание
контуров, по которым соосные цилиндры пересекают лопасти
винта. Эти очертания находятся в связи с теми
разветвлениями, которые образуют присоединенные вихри, идущие
внутри лопастей от осевого шнура к винтовым вихрям.
Разветвления могут быть с положительными или
отрицательными циркуляциями k (мы считаем здесь
положительной циркуляцию против стрелки часов) под условием, что
(для я-лопастного винта вместо J надо взять —J.
Поток жидкости вблизи лопасти найдется при
сложении скоростей от осевого шнура и винтовых вихрей со
скоростями от присоединенных вихрей. Рассматривая точки
жидкости, лежащие близко от лопастей на одном и том
же соосном цилиндре радиуса г, мы можем с
приближением получить их скорости по цилиндру, слагая три
скорости:
1) осевую скорость
2) скорость вращательного движения
Qr-L·
3) скорость от действия всех вихревых площадок
с циркуляциями k, помещенных в точках пересечения
присоединенных вихрей с соосным цилиндром. При таком
рассуждении мы делаем ошибку, заменяя относительную
скорость среднею относительною скоростью. Ошибка эта
мала, если угол α невелик или винт имеет много лопастей.
Развернем (фиг· 16) соосный цилиндр в плоскость и
возьмем оси координат Суг так, что ось Су направлена
по касательной к цилиндру, а ось Сг — по его
образующей. Указанные скорости дадут на этой плоскости невих-

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ 41
ревой илоскопараллельный поток, которому соответствует
функция тока:
t— Σέ'"-(*-έ)»+("+τΚ)*
где рэ ρ',., .суть расстояния рассматриваемой точки
жидкости от вихревых площадок. Если мы остановимся только
Фиг. 16.
на двух весьма близких присоединенных вихрях с цирку-
ляциями:
из которых первая направлена против стрелки часов, а
вторая по ней, как представлено на фигуре 16, и
предположим, что координаты центров этих вихрей η, ζ и
— η, —ζ удовлетворяют пропорции:

42 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
где 2а есть расстояние между центрами вихрей, а
то усмотрим, что контур сечения лопасти винта представит
окружность. Действительно, в сделанном предположении
где по малости расстояния 2а между вихревыми
площадками можно положить:
1ηρ^11η°/^Ύ))2+("^ζ)2 -Чп!
2η J/ + 2ζ* )
J>2+*2
__ 2цу + 2&.
— 3/2-1-22 "~
Подстановка дает нам:
-2a\(w-
Jigu
2nR
2ч\у + 2&
y* + z* i
2nrd
)■].
uCy«4-22)
♦-[(■^йгМ^-вНО
βλ
г)-
-iln(/+A (34)
Это уравнение линий тока для значения постоянного
ψ'
/ , βλ
-г-ln —
4π πρ
получает вид:
Κ'+'τΚΜ-'-έΜ'
αλ
iw (j/2 + <г2)
4π
(У24-*2)
αλ
πζ/
= 0

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
43
и удовлетворяется положением:
Здесь, считая а очень малым, мы принимаем λ весьма
большим, так что ак есть конечная величина. Найденная
окружность (формула 35) представит в сделанном
предположении очертание лопасти. На ней будут находиться две
критические точки нулевой скорости А и В, которые
найдутся, положив:
rfpo '
на основании формул (34) и (35) это уравнение
приводится к виду:
(^+^>-(2'-έ>-έ=°
и дает уравнение некоторой прямой, перпендикулярной
хорде, соединяющей вихревые центры, и отстоящей от
начала координат на расстояние т— . Если назовем чрез β
угол радиуса, идущего от С к критической точке,
с направлением упомянутой хорды 1), то найдем, что между
этим углом, циркуляцией J и радиусом лопасти γ
существует простое соотношение:
7= 2π b sin β., (36)
Так как поток жидкости, ниспадающий со скоростью ν
на круглый контур, мог бы обходить этот контур и без
циркуляции, то найденный контур не применим для
очертания разрезов лопастей. Но мы можем сделать в
рассматриваемом плоскопараллельном течении такое конформное
преобразование, которое, не изменяя циркуляции 7, изменит
вид контура из окружности в форму, уддбную для разреза
ι) β = /J2AB s £СВА. (Прим. ред.)

44 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
пропеллера. Такие конформные преобразования указаны
в моих статьях1), а также и в моем курсе
«Теоретические основы воздухоплавания», литографированном
издательской комиссией при Московском высшем
техническом училище2).
Когда поддерживающая сила Р, направленная
перпендикулярно потоку, теоретически найдена, тогда
циркуляция скорости вследствие основной формулы
P = pvJ (37)
получается чрез разделение силы Ρ на скорость потока ν
и на массовую плотность жидкости р. Таким образом для
трех форм контуров, нарисованных на фигуре 16,
теоретически получается:
7=irpfosin(p + -|), ι (38)
7=πΡ^δίη(β + ^-), J
где b — длина хорды, β — угол направления потока к хорде,
а 2μ — [центральный] угол дуги, правой3) на фигуре
16 для второй формы и левой—для третьей.
Если форма контура, которую мы желаем дать
разрезам лопасти винта, теоретически не исследована, но для
*) Жуковский Η. Е., Геометрические исследования о
течении Кутта, Труды Отделения физических наук Общества
любителей естествознания, т. 15, вып. 1 и 2, 1910 и 1911 [Собрание
сочинений, т. IV. стр. 139, 1949]. Uber die Konturen der Tragflachen
der Drachenflieger, Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschif-
fahrt, 1910, №22,1912, №6. [О контурах поддерживающих
поверхностей аэропланов, Собрание сочинений, т. IV, стр. 92, 1949].
О поддерживающих планах типа «Антуанетт», Труды Отделения
физических наук Общества любителей естествознания, т. 15,
вып. 2, 1911 [Собрание сочинений, т. IV, стр. 179, 1949].
2) Собрание сочинений; т. VI, 1950. {Прим. ред.)
3) Во время писания статьи Η. Е. Жуковский полагал, что
основная дуга инверсии параболы лежит близко к нижнему краю
крыла, а не около середины, как это было установлено
впоследствии. (Прим. ред.)

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
45
нее определены опытно в плоской трубе, типа имеющейся
в аэродинамической лаборатории Московского высшего
технического училища, коэффициенты Кх и Ку в функции
угла (3, то
p = Kybv\
и по формулам (37) и (33)
'->-·£/(*+'#)Γ+(βΓ-έ)Τ.
Основным уравнением излагаемой вихревой теории
пропеллеров, дающих незавихренньдй поток жидкости (кроме
осевого и винтового вихревых шнуров), является
требование, чтобы для всякого сечения лопасти циркуляция J
была одинакова. Напишем это уравнение, составляя
отношение -L:
К этому уравнению прибавляется уравнение, выражающее
угол наклонения θ хорды лопасти с образующей,
следующего вида:
J 1
Когда радиус г достигнет своего наибольшего
значения r = R9 тогда угол θ представляет угол наклонения
к образующей крайней кромки лопасти.
Внимательно рассмотрев фотографии Фламма, я
убедился, что угол α винтового вихря с образующей
изменяется весьма мало с изменением модуля, т. е. отноше-
W
ния -гг- , и почти равен углу крайней кромки винтовой

46 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
линии. Привожу здесь числа, снятые с упомянутых
фотографий винтовых вихрей пропеллеров Рб, Р9, Р10.
W
— .103
η
— из
фотографии винтового
вихря
Р5; D == 100 мм; Η = 102,5 лм*;
-J = 1,025
Очень мало
0,50
0,625
0,92
0,96
1,03
1,06
1,12
1,20
1,28
1,33
1,43
0,86
1,0
1,0
1,0
1,04
1,08
1,0 J
1,08
0,97
1,17
1,0
1,15
Ψ
— .103
η
—ζ из фотогра-*
фии винтового
вихря
Р9; Ζ) = 100 мм) Η =102,5;
-g- = 1,025
0,96
1,09
1,12
1,13
1,06
1,06
1,09
1,04 |
Я1о; D = 100 мм) Η = 102,5 мм;
jy= 1,025
0,80
1,04
1,08
1,16
0,98 1
1,04
1,08
1,08
Здесь η — число оборотов в минуту, так что —
пропорционально модулю. Мы видим на таблице первой, что
_ = ctg α даже при работе винта в качестве геликоптера
имеет величину, близкую к соответственной величине
— = ctg α (для крайней кромки). При изменениях — · 103
от 0,5 до 1,43 эта величина почти не изменяется и все
время близка к 1,025. На фигуре 17 дана фотография
пропеллера Рб; фотография же развиваемого им винтового
вихря была помещена в начале моей статьи (фиг. 1).

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
47
Принимая, что при г = R получается θ = α, находим
на основании формулы (40) соотношение:
i> ' Ω 2%R
из которого следует, что
j [*-tg(p + a)-]J]2i«*
"Ω"= tg«tg(a + P) + l '
(42)
При произвольно построенных лопастях винта
уравнение (39), вообще говоря, не будет удовлетворено и поток
под пропеллером будет завихрен.
Для того чтобы винт действовал
вполне согласно с излагаемою
здесь теориею, он должен быть
построен определенным способом.
Ниже будет показано, что для
данного вида контуров сечения
винтовых лопастей существует
постоянный наивыгоднейший угол
атаки β, при котором -^ полу-
чает наибольшую величину.
Установив этот угол, мы будем
определять винт по трем параметрам: Фиг. 17.
радиусу /?, углу α и модулю
Λί — —. По этим данным, на основании формул (42)
и (39), находим -^- и определяем во всяком сечении ширину
лопастей Ь. При этом, как бы ни изменялись порознь W
и 2, сохраняя постоянное значение модуля, толщина
винтового вихря 2s на основании формулы (16) не будет
изменяться.
Наивыгоднейший угол атаки β оказывается малою
величиною (около 3°), поэтому формула (42) может быть

48 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
упрощена и приведена к виду:
^L = (r — tga-|l)27r/?cosacos(a + P) =
= (R — tg a -j^) 2π# cos2 a. (43)
Для геликоптерного винта W=0, вследствие чего
эта формула дает:
—- = 2π/?2 cos a cos (a + β). (44)
Подставляя же эту величину в формулу (39),
получаем для ширины крайней кромки Ь0:
К
2π/?2 cos2 a = — baR sin a,
откуда
_2*pcos*a
^o- ^sina R' <45)
Так как для геликоптерного винта угол крайней кромки
с осью берется близким к -^, то bQ выходит
значительно меньше R. Хорды промежуточных сечений даются
формулою:
b = Ksina (46)
У ^+cos2(a+4sin2a-2^TFj+fcos2e)
Они возрастают при приближении к втулке
пропеллера до значения r = /?cos2a. При этом, разумеется,
надо последний радиус г = /?0 выбирать так, чтобы b не
вышло неудобно большим. Что касается угла θ хорды
лопастей с образующей, то он, на основании формулы (40),
для геликоптерного винта находится по формуле:
г\\ -£- cosacos(a + p) |
из которой видно, что с уменьшением г угол θ
уменьшается, т. е., подходя ко втулке, лопасть получает все

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ 49
более и более крутой наклон. Из формулы (47) видно,
что для того, чтобы жидкость в своем вращательном
движении не опережала винта, необходимо условие:
cosacos(a + p)<(-~)2.
Если имеем дело с гребным винтом, то там за
параметры удобно принять: угол а и число модулей в
лопасти Z, причем
Ζ = Λ:Λί = £ρ.. (48)
Формула (43) принимает при этом вид:
^r=2ir#2cosacos(a-j- β) (Ζ — tga)-^.
При хорошем действии винта скобка, входящая в эту
формулу, есть величина малая, так как угол α4-μ, ко-
торому соответствует тангенс -^, немного более угла а.
Мы можем положить:
При этом выражение для — преобразуется в
4= 2^21 0Ο3(α + β) tgf* =2^2Х (50)
11 Ζ cos a 1 — tg a tg {λ Ζ ' v '
где γ — малая величина, определяемая по формуле:
cos(oc + P) tg[x (
11 COS a 1 — tga tgfjL * * '
Обратим теперь внимание на соотношение
Z = tg(a + |x), tga = Z(l — tgatgp) — tg^ = Zs
и, пользуясь им, определим ширину лопасти в сечениях
отстоящих на расстоянии г от оси:
и _ 2*py R
ν
ζ* % + f тг +1 ~ 2Zi (! - ε> + (ζτε)2
(52)
4 Зак. 1694. Η. Ε. Жуковский.

50 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕЁНОГО ΒΗΗΪΑ
Мы видим, что здесь так же, как для геликоптерного
винта, ширина лопасти возрастает при приближении ко
втулке до радиуса
-у*·
Формула (40), которая служит для определения угла θ
наклонения лопасти к образующей, может быть на осно-
—ι μ
r...f
Фиг. 18.
вании сказанного преобразована для гребного винта в
такую:
С уменьшением г угол 0 убывает. При этом наименьший
радиус должен быть выбран под условием:
R0>^yrjz^
Мы получаем форму винта, изображенную на
фигуре 18. Эта форма винта близка по виду к той форме,
которая получается по теории Б. Н. Юрьева и Г. X.
Сабинина *).
^Жуковский Η. Е., Теоретические основы
воздухоплавания, лекции, § 49, 1912, стр. 435. [Собрание сочинений, т. VI,
стр. 432, 1950].

Статья первая
51
§ 5. Сила тяги и мощность винта. Подбор
наивыгоднейших параметров винта на заданную силу тяги.
Вопрос об определении силы тяги винта Ρ и работы Г,
затрачиваемой на его вращение, в предлагаемой теории
решается чрезвычайно просто. По известной теореме сила,
перпендикулярная к скорости ν относительного потока,
рассчитанная на элемент лопасти винта, заключенного
между двумя соосными цилиндрами радиусов г и r-\-dr,
будет
ρ J ν dr.
Проекции этой силы на направление оси винта и на
направление касательной к перпендикулярному сечению со-
осного цилиндра будут:
"{*+'%&)*'·
к этим силам следует еще прибавить проекции силы
лобового сопротивления
Kxbdrv\
направленной в сторону, противоположную скорости v.
Эта сила может быть представлена в виде:
-jfpJvdr
Ну
и дает в указанных направлениях проекции:
Соединяя те и другие проекции сил, найдем для обоих
элементов лопастей двухлопастного винта следующую силу
тяги dP и работу dT:
dT=2Pj(w+Jt^)Qrdr+2^Pj(rQ-J^)Qrdr,
4*

52
или
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
(54)
-»$(£+ί»)*}.
Составляя отсюда отношение-т~, усмотрим, что это
IS
отношение будет тем более, чем менее дробь -г~. Эта
Ку
дробь зависит от угла β и при определенной форме
контуров сечения определяется теоретически или опытно,
чтобы получить наивыгоднейший угол атаки β, мы должны
выбрать его под условием наименьшего значения ~. Это
Ку
будет, вообще, малый угол, около 3°; мы возьмем его
постоянным для всех сечений лопасти. Заметим, что мы
предполагаем положительной скобку при множителе —^
Ку
в выражении dT. Это налагает на наименьший радиус R0
неравенство
^° > Έ 2ΪΓ ·
которое на основании формул (50) и (44) дает для
гребного винта
/?о>
*/*.
для геликоптерного

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
53
Интегрируем формулы (54), изменяя г от R0 до R
^=^i[(i:+iS)(«'-«o)+
+^ff<'?'-'?i»-E(R-'?»))]
Эти формулы преобразуем сначала для случая гели-
коптерного (ΐΓ=0) винта, потом для случая гребного
винта. На основании формулы (44) можем написать:
Ρ = 2itpQ2fl* cos α cos (α + Ρ) {l — (^J —
_2^sinacos(a + p)(l— ^) +
+ 2cosacos(a + [3)ln*u},
Τ = 2irpQ3/?6 cos a cos (a -|- β) X
x{[l_(&)"|sin«cos(« + p)-f-
_2cosacos(« + P)(l-^)]}. J
Если составить по этим формулам дробь Ренара:
и вычислить по ней качество винта Е, то получится
формула, выражающая Ε в функции угла а, образуемого
крайнею кромкою с осью геликоптерного винта. На фигуре 19
изображена кривая, которая получается, отлагая по оси
ординат качество Е, а по оси абсцисс величину 90° — <х,
причем
н
(56)

54
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
где Я—шаг винтовой линии крайней кромки. При этом
для линии 1 принято:
^ = 0,07, β = 3°,
а для кривой 2 принято:
^ = 0,07, β = 8°.
Наименьший радиус R0 берется под условием:
cos (α + β) cos α = {^f.
На фигуре 20 приведена аналогичная графика,
построенная Д. П. Рябушинским по наблюдениям над
ί
0,0
as
о,ч
0,3
ΰ,2
OJ
0,0
11
V\2
\
\
II/ x
.11._..
\
Q° /0° 20° 30° Vu* JO0 00° 7Q°
* SO°-cc
Фиг. 19.
несколькими однотипными геометрическими винтами,
причем по оси абсцисс отложено отношение шага к
диаметру.

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
55
Мы видим, что качество винтов предполагаемого
нами типа может быть выше качества геометрических
ОЖ
0,16,
0J2\
ОМ
оМ
σ,οον
Ι ° χ I
I т\ I
/ \ τ I
о II
1,0 ~%д ~Хд ϊ,ΰΑ
Фиг. 20.
винтов, которое, как показал Рябушинский, не может
быть более половины.
Переходим к преобразованию формул (55) для случая
гребного винта. Полагая для сокращения письма R0: R = ξ,
на основании формул (50) и (55) получаем:
/> = 2πΡΩ2#*-ΐ[ΐ— ξ2_|_^1ηξ_
-2^(1+Ttge)ll^.l,
γ(ι * (57)
С помощью этих формул легко составить коэффициент
η полезного действия пропеллера. Этот коэффициент

56 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
выразится формулою:
η _PW l-P + gln6-2^(l+7tgg)4i
Т 1 — ё2 -Ь Τ tg α (1 _ ?2; + ^ ^ ^ (1—ζ3) —2γ (1 — ξ)) '
которая может быть упрощена чрез отбрасывание членов
выше первого порядка малой величины γ и чрез замену
tga приближенно чрез Z. Мы получаем:
Обыкновенная задача практики заключается в
построении наивыгоднейшего винта, приводящего в движение
судно, дирижабль или аэроплан, сила сопротивления
которых выражается формулою:
P = AW*.
Подставляя сюда значение Ρ из формулы (57) и замечая,
что -—-==Ζ2, найдем с принятым приближением, сохраняя
член с множителем γ21η ξ:
δ^=Β(1-^ζϊ + 2τ»1ηί-2^(1-ξ)7. (59)
Задавшись радиусом /?, смотря по удобству в
расположении пропеллера, мы должны будем выбрать Ζ и γ
так, чтобы скобка формулы (58) имела наименьшую
величину. Эту задачу удобно решить графически. Вообразим
(фиг. 21) некоторые прямоугольные оси координат Z^y
в пространстве и построим на плоскости γΖ кривую,
данную уравнением (59). Это будет гипербола ΜΝ, у
которой одна асимптота есть ось ΟΖ, а другая есть прямая
(1— ξ2)Ζ + 2γ1ηξ — 2^.(1— ξ)=0.
Потом построим в пространстве поверхность,
выраженную уравнением:
V = TZ-2l1„STi-r2 + 2^[(rqi|yz-)-f \=*\ (60)

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
57
Эта поверхность будет усекаться плоскостями,,
параллельными плоскости yZy по гиперболам AL, имеющим [центр
на оси Ογ и] одну асимптоту [ps], направленную
параллельно оси Оуу а другую [pq], направленную по прямой:
где γ0 — постоянное [для каждой из усекающих
плоскостей]. Взявши какую-нибудь точку D на гиперболе ΜΝ
Фиг. 21.
(формула 59), мы проводим через D плоскость,
параллельную плоскости yZ, и строим гиперболу Л1,
представляющую пересечение этой плоскости с поверхностью (60).
Из точки D проводим прямую DAy параллельную Оу,
до пересечения с гиперболою AL в точке Л. По
координатам точек D и А строим точку В на плоскости *{У
[проводя прямую АВ параллельно OZ]. Место таких
точек В при различных положениях D на гиперболе MN

58
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
образует кривую CF. Самая низкая точка Ε этой кривой
определит на гиперболе ΜΝ точку //, координаты
которой дают нам искомые значения Ζ и γ*).
Зная Ζ и γ, по формулам (51), (52) и (53) построим
лопасти пропеллера. Что касается до работы мотора,
приводящего пропеллер в движение, то она найдется при
известном коэффициенте полезного действия из формулы:
Г = ^\ (61)
Окончим этот параграф замечанием, что известная
формула геометрического винта:
Τ=ΡΝΗ,
где N—число оборотов в секунду и Η шаг, для винтов
нашего типа при угле α~|-βι близком к 90°, дает при
№=0 несколько меньшую величину. Из формулы (56)
при cos (α -f- β) очень малом и при отсутствии трения
имеем:
Г = PRQ sin α cos (α + β) =
= Ρδίη2α.2πΜ?^α€08(α + β) gΡΗΝC0S(α + β) .
& COS a COS α
§ 6. Средние гидродинамические давления в струе
винта. Определим теперь, как велико будет среднее
гидродинамическое давление в различных точках потока
жидкости, окружающей вращающийся пропеллер. Применяя
к установившемуся относительному движению жидкости,
отнесенному к вращающемуся винту, теорему Бернулли,
напишем:
f— -9-+-7г = const., (62)
*) Фигура 21 и относящийся к ней текст немного изменены,
так как Η. Е. Жуковский вследствие описки в выражении
асимптоты поверхности (60) считал эту асимптоту не проходящей
через ось Ογ, а гиперболу AL располагал ниже ее асимптоты pq.
(Прим. ред.)

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
59
где —ψ· есть отнесенная к единице массы силовая
функция от центробежной силы. Заменим здесь квадрат
относительной скорости V его величиною
у* = αϊ + и* + (v — Qr)\ (63)
где wf и, ν — проекции абсолютной скорости жидкости
на оси О*, Ох, Оу, указанные в § 3. Подстановка
выражения (63) в формулу (62) дает нам:
^ + ^ — Qvr = const., (64)
где
есть квадрат абсолютной скорости.
На большом расстоянии перед пропеллером имеем:
V = W, ν = и — 0, поэтому
Вообразим концы траекторий абсолютного движения
расположенными на окружности радиуса г и, умножив
обе части формулы (65) на rfcp, совершим над ними опе-
2 тс
рацию х- I . От этого получим:
о
_ 2*
о
Интеграл, входящий в эту формулу, представляет
циркуляцию, взятую по окружности, охватывающей ось
пропеллера, а черточки, поставленные над членами левой
части, представляют среднее значение величины за время
оборота. Смотря по тому, будет ли рассматриваемая точка
лежать внутри или вне вихревого цилиндра,
изображенного на фигуре 10, величина вышеупомянутой циркуляции

60 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
будет равна 27 или нулю. Таким образом формула (66)
дает нам:
Ρ ' 2 ρ Τ 2
Ρ ' 2 ρ "τ" 2 '
(67)
Ι
.1
W
где верхняя формула относится к точкам внутри вихревого
цилиндра, а нижняя к внешним точкам. Таким образом
среднее значение
рт2'
оставаясь постоянным вне и внутри упомянутого вихревого
цилиндра, прирастает скачком — J при переходе чрез эту
поверхность и вступлении внутрь
цилиндра.
Пользуясь формулами (67),
можно получить формулы (57) без
членов, зависящих от лобового
сопротивления лопастей, т. е. без
членов, умноженных на -~ .
Ку
Вообразим (фиг. 22)
поверхность тока ACDF,
ограничивающую струю, протекающую чрез
пропеллер BE, и обозначим чрез Q
секундный объем жидкости,
протекающей чрез перпендикулярное
сечение CF этой струи ниже
пропеллера, и чрез dQ— секундный
объем жидкости, протекающей
чрез элементарное кольцо этого
сечения. Умножаем формулу (67)
на dQ и берем от обеих частей ее
интеграл, распространенный на поверхность указанного
сечения CF:
ί6+ΐ)«4(?+τ)«-τ* <·*
с
F
Фиг. 22.

Статья Первая
61
Второй из входящих сюда интегралов можно относить
к сечению AD> взятому весьма далеко от пропеллера.
Разность обоих интегралов, умноженная на pdt, представит
не что иное, как работу, сообщаемую в элемент времени dt
пропеллером массе жидкости, заключенной в объеме ACFD.
Таким образом эта разность есть — Г. С другой стороны,
на основании § 3 имеем:
д = *(Я2_$)(У+4|£). (69)
Отсюда следует, что
Г-0*Т (?+£&) <«■-*&· (70)
Это есть вторая формула (55), в которой положено
Ку
Рассмотрим теперь две плоскости сечения струи,
изображенные на фигуре 22, которые очень близки к
пропеллеру, причем одна находится над ним, а другая — под
ним. Средние давления рх и р2 в первой и второй
плоскостях будут на основании формул (67) и § 3 такие:
ih_^Po и* wJX*a J4g2a 1
ρ "" ρ 2 w 2π# arf/p > Ι
ffj.. Ρο ~* ι wJX%a ЛХ&а £-Д-^ Ι
ρ ~~ ρ 2*2kR 8π«/?2 2№~1 π ' J
Среднее давление над винтом рг будет, как видно из
этих формул, наверное менее· атмосферного давления р0.
При переходе чрез плоскость пропеллера давление
возрастает скачком:
где скобка положительна вследствие условия

62 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
которому на основании формулы (50) можно дать вид:
Если умножим формулу (72) на 2тгг dr и возьмем
интеграл от R0 до Ry то получим:
P = 2V^((*2-*o)+^ln§)· (73)
Эта формула совпадает со второю формулою (55) при
— л равном нулю.
Заметим, что при данном в этом параграфе выводе
величин Ρ и Г, так же как и при выводе формул (55),
делается замена истинных скоростей средними, что делает
полученные выводы приближенными. Основная идея
присоединенных вихрей, положенная в основание этой статьи,
позволила бы вести все вычисления, опираясь на истинные
скорости относительного движения жидкости, но анализ
этот вышел бы очень сложным.

■f
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА.
(Статья вторая) *).
§ 1. Образование вихрей с точки зрения
относительного движения. Это сообщение представляет
дополнение к моей статье, напечатанной под тем же названием
в 1912 г. в «Трудах Отделения физических наук
Общества любителей естествознания»2). Я указал в этой статье,
рассматривая абсолютное движение жидкости, что
источником вихрей в ctrpye, отбрасываемой винтом, кроме
трения о лопасти винта, является образование многосвязного
пространства, ограниченного бесконечною сферою, винтом
и сбегающими с его лопастей вихревыми шнурами.
Замкнутые контуры, образованные частицами жидкости,
охватывающие лопасть винта или один из упомянутых
вихревых шнуров, не были замкнуты, когда подтекали к винту
из незавихренного далекого пространства, и мы не можем
согласно теореме Томсона утверждать, что циркуляция
скорости по ним будет нулем; наоборот, вследствие
воздействия винта на разомкнутый контур, лежащий концами
на поверхности винта и делающийся замкнутым по
схождении с него, в этом контуре зарождается циркуляция.
*) Сообщено 1 VII 1913 на XIII съезде естествоиспытателей
и врачей в Тифлисе и впервые опубликовано в Трудах Отделения
физических наук Общества любителей естествознания, т. XVII,
вып. 1, 1914, стр. 1—33.
2) Том XVI, вып. 1, 1912 [стр. 7 настоящего издания].

64
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЙ ГРЕБНОГО ВИНТА
Укажем здесь объяснение зарождения вихрей в струе,
отбрасываемой винтом, с точки зрения движения жидкости
относительно вращающегося винта.
На фигуре 1 изображены струи такого движения:
струя а, подходя снизу к рабочей поверхности лопасти
винта, образует на ней критическую точку нулевой
скорости Ь и разделяется на две струи d и с. Часть d
сходит плавно с нижней поверхности чрез край лопасти;
Фиг. 1.
часть же с срывается с нижней поверхности чрез край
лопасти и завивается, как показано на фигуре, около
струи d и некоторых других струй, которые могли бы
вступить на верхнюю кромку винта и пройти по лопасти,
не образуя критических точек. Таким образом с конца
лопасти сходит жгут закрученных струй, который приводит
частицы жидкости, находящиеся внутри его, во
вращательное движение в сторону, обратную вращению винта.
Равным образом, струи е и / закручиваются, будучи
направлены лопастями винта, и приводят с помощью
вязкости во вращательное движение осевой столб жидкости

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
66
в относительном движении в сторону, обратную вращению
винта. К угловым скоростям вращения частиц жидкости
в относительном движении следует для получения угловых
скоростей ξ, η, ζ частиц жидкости в абсолютном
движении прибавить геометрически угловую скорость Q
вращения винта. Она всегда будет более того вращения,
которое дает закручивание струек е и / в сторону, обратную
вращению винта, так как масса жидкости вследствие
скольжения вращается медленнее, чем твердая гайка на непо-
Фиг. 2.
движном винте. Что же касается до боковых вихревых
шнуров, то к их вращению в сторону, обратную
вращению винта, придется прибавить вращение 2 в сторону
винта, отчего получится вращение в сторону, обратную
вращению винта около оси, наклоненной под большим
углом к оси винта, нежели в относительном движении.
Эта ось вращения должна совпасть с направлением
жгута bd*
Для винта, работающего как мельница, рабочей
поверхностью явилась бы (фиг. 2) верхняя поверхность лопасти?
5 Зак. 1694. Η. Е. Жуковский.

бб
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЙ ГРЕБНОГО ВИНТА
Вследствие этого струйка а имела бы критическую точку b
сверху, и ее разветвления end закручивались бы так,
что вращение будет совершаться в сторону вращения
винта; осевые же струйки ей/ закручивались бы, как и
прежде, в сторону, обратную вращению винта.
Но теперь, прибавляя геометрически к вращению
частиц в относительном движении угловую скорость винта Ω,
мы увидели бы, что осевой столб будет вращаться в
сторону, обратную вращению винта, так как в данном
случае масса жидкости, прилегающая к втулке, будет
вращаться быстрее, нежели твердая гайка, и в абсолютном
движении получится вращение осевого столба в сторону,
обратную вращению винта. Что же касается боковых
вихревых шнуров, то угловая скорость их частиц по
направлению вращения винта, сложившись с 2, дала бы
угловую скорость в сторону вращения винта, направленную
по bd [и наклоненную] под меньшим углом к оси винта,
нежели в относительном движении.
Скорость ν боковых шнуров, определяемая в нашей
первой статье (формула (15)), была бы в случае мельницы
направлена в сторону, обратную вращению винта. Для
того чтобы струя за винтом была стационарна в
относительном движении, необходимо, чтобы от собственного
движения со скоростью ν и от скорости встречного ветра W
боковой винтовой вихрь вращался бы в сторону вращения
винта с угловою скоростью Q *).
В том случае, когда, кроме указанных вихревых
шнуров, весь поток жидкости, обтекающий винт, не
завихрен, мы найдем по теореме Стокса, что циркуляция
скорости по замкнутому контуру, охватывающему
боковой вихрь, равна циркуляции скорости по замкнутому
контуру, охватывающему лопасть винта, с которой
*) В моей первой статье, вследствие предположения о
малости радиуса вихря ε и малости — , скорость ν доминирует над
другими, и мы подсчитывали скорость вращения винтового вихря
только по v. Это допущение не влияет на дальнейшее
изложение, так как в нем не обращается внимание на ε.

СТАТЬЯ ВТО^АЙ
Of
сбегает -этот боковой вихревой шнур, и сумма
циркуляции по всем замкнутым контурам, охватывающим
лопасти винта, равна по абсолютной величине
циркуляции по замкнутому контуру, охватывающему осевой
вихревой шнур.
Но для того чтобы струя, отбрасываемая винтом, была
не завихрена, лопасти винта, как я показал в моей первой
статье, должны иметь определенную форму. При
произвольной форме лопастей струя, отбрасываемая винтом,
будет, кроме указанных вихревых нитей, иметь еще
другие.
С точки зрения относительного движения причину
образования этих других вихревых нитей можно усмотреть
еще в следующем. Пусть фигура 3 представляет разрез
лопастей трехлопастного
винта плоскостью,
перпендикулярной валу винта. Неза-
вихренная жидкость, вступая
в пространство между
вращающимися лопастями,
получает относительное
движение такое, что
соответствующая ему циркуляция
скорости по замкнутым
контурам равна и
противоположна по знаку циркуляции
скорости во вращательном
движении с угловою
скоростью Ω. Такое движение
для различных форм движущихся полостей было
указано в моем сочинении «О движении твердого тела,
имеющего полости, наполненные однородною капельною
жидкостью» *), и представлено для данного случая
схематически на фигуре 3. Действие трения жидкости о
лопасти винта и ее вязкости затушают частью указанное
Фиг. 3.
3) Журнал Русского физико-химического общества, т. XVII,
1885 [Собрание сочинений, т. И, стр. 152, 1949].
5*

68 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
относительное движение, и по схождении с винта массы
жидкости при прибавлении к вращению ее частиц
угловой скорости Ω у нас останется некоторое вращение в
сторону вращения Q; вся стр\я, отбрасываемая винтом,
будет завихрена. Но и независимо от трения причина
образования вихрей в жидкости, прошедшей чрез винт, может
заключаться в закручивании струй около оси винта
вследствие их направления лопастями винта, как это видно на
фигуре 4. Различные наклоны лопастей для различных
радиусов г дадут нам в относительном движении различные
циркуляции скорости по
окружностям радиуса г,
которые, будучи вычтены
из 2тсг2, выразят взятые
в сторону вращения винта
циркуляции в абсолютном
движении. Кроме того,
если вообразить массу
жидкости, линии тока
которой в относительном
движении представлены
на фигуре 3, продвину*
той по направлению оси
винта долой с лопастей,
то на поверхности тока
в относительном
движении образуется разрыв скоростей, характеризующийся
вихрями, вращающимися в сторону вращения винта и
опирающимися на нижнюю кромку лопастей ОЛ,
ОВ, ОС.
Это показывает, что в идеальной жидкости, кроме
вихрей, указанных в моей первой статье, могут развиться еще
другие вихри. Эти вихри при отсутствии трения должны
обязательно лежать в поверхностях тока относительного
движения, опирающихся на нижние кромки лопастей винта,
так как только при этом расположении нельзя провести
ни одного замкнутого контура, который охватывал бы
вихревую нить и, притекая из бесконечности, не был бы
разрезан полостью винта.
Фиг. 4.

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
69
Пользуясь такого рода вихрями, В, П. Ветчинкин1)
распространил вихревую теорию винта на винты
произвольной фэрмы. Фигура 5 заимствована из статьи Вет-
чинкина.
Он принимает, что осевой вихрь и все внутренние
вихри с бесконечно малыми напряжениями, распростра-
Фиг, 5.
няясь внутри лопастей винта в виде фиктивных
«присоединенных вихрей», выходят из концов лопастей, образуя
боковые вихри. При эгом, если J будет циркуляция
скорости по контурам, отсекаемым на лопасти винта соос-
ными цилиндрами, Δ7—циркуляции скорости по контурам,
*) Расчет гребного винта, Бюллетени Политехнического
общества, № 5, 1913, Мо9Ква.

70
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
охватывающим промежуточные вихри, и J0 — циркуляция
скорости для бокового вихря, то
Если принимать во внимание трение, то следует всю
струю считать заполненной вихревыми нитями; то же
будет иметь место приблизительно и для идеальной жидкости,
если рассматривать винт с большим числом лопастей. Мы
увидим, что в этом последнем случае следует вихревые
нити абсолютного движения считать направленными по
линиям тока относительного движения.
§ 2. Вихревая теория центробежного вентилятора·
Прежде, нежели продолжать развитие вихревой теории
гребного винта, мы изложим здесь вихревую теорию
центробежного вентилятора, вращающегося перед отверстием
между двумя параллельными плоскостями, и покажем,
что и здесь плоскопараллельное течение жидкости
управляется вихревым слоем, зарождающимся от вращения
вентилятора.
В 1911 г. на заседании Отделения физических наук
Общества любителей естествознания мною был сделан
доклад об интересном движении воздуха в аппарате,
построенном мною и Μ. М. Иконниковым в механическом
кабинете Московского университета. Этот аппарат изображен
на фигуре 6. Диск А укреплен на столе N и имеет
в центре отверстие F, соединенное с проходящей чрез
стол трубой О. Эта труба может быть или оставлена
открытой, или соединяется с вентилятором Сирокко,
всасывающим воздух. Над диском А расположен диск В, в
центре которого установлен подшипник, поддерживающий вал
центробежного вентилятора С с четырьмя плоскими рахи-
альными крыльями, причем вентилятор висит между
дисками. На верхнем конце вала вентилятора имеется ролик,
приводимый в быстрое вращение (до 6000 об/мин) с
помощью бесконечного ремня действием электромотора Ж,
Диск В укреплен к столу с помощью доски D, По краям
диска В висят вертикальные флажки х, х,,.., а по радиусу

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
71
диска А поставлены горизонтальные флажки у, у,...,
за которыми можно наблюдать чрез радиальное стекло 5,
вделанное в диске В.
Когда отверстие трубы G оставалось открытым и
вентилятор С приводился в быстрое вращение, тогда
наблюдалось отклонение флажков х, х, .., , одного за другим
на короткое время от дисков, причем фаза отклонения
перемещалась в сторону вращения вентилятора со
скоростью, которая была в наших опытах приблизительно
Фиг. 6.
в 50 раз менее скорости вращения вентилятора. Что касается
горизонтальных флажков у, у, ... , то они одновременно
колебались, отклоняясь от нормали к радиусу,
направленной в сторону вращения, на некоторый угол то к центру
вентилятора, то от него, причем полное колебание
соответствовало времени полного оборота фазы флажков х,х,..,,
и флажок χ в конце стекла S отбрасывался тогда, когда
флажки у, у, ... получали наибольшее отклонение от
центра вентилятора. Эта картина явления приводит к
заключению, что поле скоростей воздуха между дисками
вращается равномерно около оси вентилятора в сторону
вращения вентилятора. Называя чрез N число оборотов
вентилятора .в 1 сек и чрез η — число оборотов поля,

72 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
получаем из наших наблюдений следующие числа:
N
14,5
21
30
40
50
54
57
67
100
η
0,28
0,40
0,57
0,77
0,95
1,05
1,05
1,33
2,00
Среднее . . .
— 1
η '
51,8
52,0
52,6
52,0
1 52,5
51,5
I 54*5
50,4
50,0
51,9
Они показывают, что числа оборотов поля
пропорциональны числам оборотов вентилятора.
Когда воздух высасывался с помощью вентилятора
Сирокко из трубы О при быстром вращении вентилятора,
тогда скоростное поле продолжало вращаться в сторону
вращения вентилятора, но скорость его вращения
увеличивалась. Это продолжалось до определенного секундного
количества воздуха, высасываемого вентилятором Сирокко;
после чего все флажки у, j/, ... направлялись к центру
вентилятора, а флажки х, х, ... переставали колебаться.
Приводим здесь числа η поворотов скоростного поля для
постоянных скоростей N=33, N=67 центробежного
вентилятора и для различных скоростей V в вытяжной трубе
вентилятора Сирокко, выраженных в метрах в 1 cere
(диаметр трубы 198 мм):
1 N
33
33
33
33
33
η
0,66
0,45
1,11
1,54
0
! ν
0,4
0
-2
-3
-3,5
Ν
67
67
67
67
67
I 67
η
1,34
1,57
1,67
2.00
2,22
0
V I
0,5
0,8
о
—2,5
-3,3
-4 I

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
73
Скорости V приписывается знак (—), когда вентилятор
Сирокко преодолевает центробежный вентилятор и
получается вытяжка воздуха.
Приступая к объяснению описанного сложного
движения воздуха, заметим наперед для случая выбрасывания
воздуха, что, .пройдя через
вентилятор, воздух получает
некоторую завихренность
в сторону вращения
вентилятора и при этом условии
не может вытекать между
дисками однообразным
потоком по отношению к
радиусам, такткак подобное
движение возможно только
для незавихренного потока
воздуха.
Действительно, проведя
(фиг. 7) из центра
вентилятора F два круга а и b
радиусами г и г' и назвав
компоненты скоростей по этим радиусам и соответственным
окружностям чрез vr, vr>, v8, v9', напишем, что момент
количества движения жидкости, вышедшей чрез
окружность а, равен моменту количества движения жидкости,
вышедшей чрез окружность Ь:
\ pvrds v8r = j ρ' vrt ds' v8rr',
или
[jvrr Г v8ds = p'vr't' \ νό/ ds'.
Но вследствие постоянства расхода
pvrr = p'vrrr\
Фиг. 7.
поэтому
Г v8 ds = Г v8r ds\
т. е. циркуляция скорости по окружностям а и b
одинакова, и между этими окружностями нет вихрей.

74
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
В случае завихренности выбрасываемого воздуха скорост
ное полене может бытьоднообразнымотносительнорадиусов.
Применяясь к наблюдениям, мы предполагаем для
случая выбрасывания секундного количества воздуха Q, что
это поле вращается с угловою скоростью ω около центра F
Фиг. 8.
вентилятора, вращающегося против часовой стрелки с
угловою скоростью Q. Угловой скорости ω мы будем
приписывать знак ( + ) при вращении по стрелке часов и знак(—)
при вращении в обратную сторону. Относительное течение
воздуха будем слагать из двух течений. Первое
невихревое течение имеет линиями тока параболы с фокусом F
(фиг. 8) и выражается функциями тока:
<J» — arIAdn-j- (1)

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
75
от оси Fx вплоть до параболы ВС; при переходе же чрез
эту параболу ВС надо переменить знак у а, отсчитывая
угол θ радиусов-векторов г от полярной оси Fx против
часовой стрелки. Вследствие этого в рассматриваемом
течении, ограниченном окружностью BD, в которой вращается
вентилятор, и окружностью EG неподвижных дисков, в
пространстве АВСЕ жидкость течет по параболам от
вентилятора, а в пространстве налево от параболы ABC она
течет по параболам мимо вентилятора (на фигуре 8 снизу
вверх). По краям ветви параболы ВС жидкость течет с
равными скоростями в противоположные стороны, и эта ветвь
в рассматриваемом течении является линиею раздела,
которую можно рассматривать, как вихревой слой, покрытый
вихрями, вращающимися на нашей фигуре по стрелке часов.
Величина скорости V в рассматриваемом течении найдется
с помощью функции тока (1) по известной формуле:
Второе течение есть некоторое вихревое течение с
постоянной угловой скоростью вращения частиц; оно имеет
линиями тока тоже параболы и выражается функциею тока:
Ψι = -βΟ>2-2ρ*). (3)
Здесь параметр ρ постоянен и выбран так, чтобы одна из
парабол рассматриваемого семейства линий тока совпала
(фиг. 8) с параболою ABC, т. е. р = 2а, где а = BF есть
радиус вентилятора. Определим в этом втором течении
скорость Vx на параболе А В. Мы имеем:
Но по свойству параболы имеем:
поэтому
V%*m2$Y2pY7. (4)

76 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Вращение частиц в этом течении будет:
ΐΔ2ψ1 = -β. (5)
Сложив теперь кинематически два указанных течения,
получим течение, линии тока которого изображены на
фигуре 9. Критические точки Μ и А/'на основании формул (2)
и (4) будут отстоять от F на расстоянии R,
определенном формулою:
Отсюда получим:
| = 4/? уТр. (6)
Чрез критические точки Μ и N пройдет граничная
линия тока CNBMR, которая образует струю,
отбрасываемую вентилятором направо *).
Угловая скорость ξ частиц жидкости в абсолютном
движении сложится из угловой скорости вращения частиц — β
в указанном относительном движении и угловой скорости
вращения поля о>, т. е.
ξ = ω — β. (7)
Так как ξ есть величина постоянная, то относительное
движение жидкости с функциею тока
Ψ + Ψι
на вращающихся с угловой скоростью ω осях координат Fxy
будет удовлетворять условию установившегося течения.
*) Заметим здесь, что обыкновенное представление о том*
что струя, выходящая из вентилятора, имеет окружную скорость
вентилятора, ошибочно. Ошибка заключается в предположении,
что воздух, вступивший в пространство между лопатками
вентилятора, сразу получает завихренность в сторону вращения
вентилятора с его громадною угловою скоростью. На самом деле
незавихренная масса, вступив между лопатками вентилятора,
получает движение, указанное на фигуре 3, так что ее абсолютная
окружи «я скорость при быстром выходе из вентилятора может
быть много менее окружной скорости вентилятора.

У
-ζ·
:/f
Зак. 1694. Η. Ε. Жуковский.
Фиг. 9.

Статья вторай
77
Действительно, присоединяя к уравнениям гидродинамики
центробежную силу и силу от поворотного ускорения,
найдем:
\ др _ ди dv , J) (о>У?)
dx~-~~adx~v 57 ~Г
Ρ dx'
I dp dv
~р"ду dx
ду
dv
дх 2
ду ~ду 2
·2νν,
-2аш,
(8)
ИЛИ
Но, так как
_2β,
(8')
£-£-*.<♦ + *,)■
ТО
dip ,1/2 coV»\ 0, а (ρ . кз ων«\ o6 /m
Условие устойчивости требует, чтобы
и удовлетворяется вследствие признака несжимаемости:
>0.
да | dv
дх
Если подставим в формулы (9)
то найдём, что
f " + 26ψ+26ψι_-£ + ο,
(10)
где С постоянно для всего рассматриваемого
плоскопараллельного течения.

73 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО BHHfА
Для того чтобы обнаружить, что в нашем относительном
течении вихревой слой ВС будет сохраняться, надо
показать, что давления жидкости с двух сторон его одинаковы.
Называя чрез рх гидродинамическое давление с левой
стороны линии раздела ВС и чрез р2 давление в
бесконечно близкой точке с правой стороны этой линии,
усмотрим, что первый и третий члены в выражении для — и —
одинаковы; второй член, согласно формуле (1) и
полярному уравнению параболы, будет:
для левой стороны
и для правой
Наконец, четвертый, согласно формулам (2) и (4), для
левой стороны будет иметь величину:
2i для правой будет такой:
_3-4(,У5К7+У^)·.
Вследствие этого разность давлений с двух сторон линии
раздела в каждой ее точке выражается постоянною
величиною;
£ΐ_^==4ξ«|/4Η-2«βΐ/2]; = 4α·|/Λΐ(ξ + β). (И)
Условие равенства давлений приводит нас к заключению,
что
ξ = _β, ω = 0.
Таким образом наше скоростное поле не должно
вращаться. Но это заключение имело бы место, если бы парат
болы уравнения (1), по которым воздух вытекает из вен-

СТАТЬИ ВТОРАЙ
79
тилятора, доходили до самого фокуса Z7, чему мешают вал
и втулка вентилятора. Если во втором уравнении (9)
принять ду = г db и считать и за проекцию скорости на радиус г,
то, умножив его на rdb и совершив интегрирование по
окружности, начало которой лежит на параболе ВС с
правой стороны, а конец на той же параболе с левой стороны,
получим:
ν2 ν2
Pi Рч. ι ν ι v 2 _ 0tn
J — J + Ύ — Ύ-2^
или
a_ae2(SQH-«PV2p). (12)
Количество выброшенного воздуха Q будет зависеть
только от первого течения и определяется на основании
уравнения (2) как количество воздуха, вытекающего из
фокального отрезка FB:
£
2
Qe2i277rfr!==2aVl· (13)
О Г
Подставляя это выражение в формулу (12), получаем
формулу (11). Но вследствие того, что истечение воздуха из
фокального отрезка не доходит до фокуса, нижний
предел интеграла в формуле (13) более нуля^ и величина Q
представляется в виде
Q = 2Xa/~|,
где λ менее единицы. Вследствие этого
**-*»-4«/| («+ Р), (">
и условие pi=/?2 требует, чтобы
«--4·. —-рЦ*· (1б>
Таким образом, поле будет вращаться против стрелки
часов со скоростью, данной формулой (15). Так как завих;-

80
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
ренность ξ следует считать пропорциональной Ω, то
найденная из опыта пропорциональность ω и Ω свидетельствует
о постоянстве λ.
Если присоединить к трубе О (фиг. 6) вентилятор
Сирокко и, вращая вентилятор С с постоянною скоростью Ω,
изменять с помощью вентилятора Сирокко количество Q,
то с уменьшением Q и λ будет согласно формуле (15)
увеличиваться ω. Обращение Q в нуль могло бы
соответствовать вращению поля, увлекаемого трением вентилятора,
без движения по радиусам и без колебания флажков; но
опыт показывает, что это колебание продолжается.
Оно продолжается и тогда, когда Q делается
отрицательным; и только при достижении Q некоторого
отрицательного значения колебание флажков прекращается, и все
флажки у, у, ... (фиг. 6) направляются к центру
вентилятора С. Можно предположить, что до этого внутри потока
сохраняется вихревой слой ВС (фиг. 9), только характер
движения жидкости внутри струи CBMR делается иным и
жидкость может частью вытекать из вентилятора и частью
втекать в него; если переменить знаки α и β, то мы
получим такую же втекающую струю, какую имели прежде
вытекающую. Избыток давления на левой части линии
раздела ВС> который в предыдущем анализе
уравновешивался направленной налево силой инерции поворотного
ускорения жидкой струи 2ZQp (формула 12), теперь этой силой
не уравновешивается, так как она направлена вправо0.
Надо принять, что этот избыток вместе с силою
инерции поворотного ускорения уравновешивается силою
трения дисков, мешающей вращению воздушного слоя. При
более точном анализе эту силу трения должно бы принять
во внимание и при выбрасывании воздуха. Приведенное
рассуждение показывает, что скорость вращения поля будет
увеличиваться при действии вентилятора Сирокко, что
согласно с наблюдением.
§ 3. Условие устойчивости потока около винта.
Частные решения для некоторых типов винтов. При
исследовании движений жидкости, окружающей вращающийся
гребной винт, является полезным рассмотрение установив-

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
81
шегося движения ее на осях координат, вращающихся около
оси винта со скоростью винта.
Напишем для движения в трех измерениях уравнения,
аналогичные уравнениям (8), которые были написаны для
плоскопараллельного потока:
.ρ ϊ~ 2 ~-~) —
2 У
(dv ди\ /да dw\ , ЛГч
a /ρ , V* Q8r*\
д>Лр +2 2 У
•w[
2Qa,
dz\
(dw dv\ fdv_ di£
\dy dz) U\dx dy,
1/2 QV2\ (du dw\ (dw dv
-) = U{Tz-te)-v(dy--dz-)
(16)
.P ' 2 2
и, называя через ξ, η, ζ компоненты вихря в абсолютном
движении, введем в этих уравнениях обозначения:
* l_ (dw_ dv\
*~~ 2\dy дг)у
1_ /ди dw\
4-~2\ΰζ dx)>
^—^-Τ2\δχ ду)·
Это приведет нас к формулам1):
(17)
ду\р
2 ;■
iCf+T-5?)-^-»-^-
2 )
(18)
*) Д. П. Рябушинский в своей статье «Sur la question du
mouvement (fun fluide incompressible entourant un corps solide
en mouvement» дает вывод этих уравнений независимо от
теоремы Кориолиса («Bulletin de l'Institut Aerodynamique de Kout-
chino», вып. IV, 1912).
6 Зак. 1694. Η. Ε. Жуковский.

82
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Для того чтобы движение было установившимся,
необходимо, чтобы вторые части этих уравнений, умноженные
на dx, dy, dz и сложенные, дали полный дифференциал.
Простейший случай будет, когда вторые части суть нули.
Это имеет место, когда
ξ = η=ζ==0> (19)
т. е. абсолютное движение есть невихревое, или когда
i»i = i, (20)
т. е. когда линии вихрей абсолютного движения направлены
по траекториям относительного движения.
Когда условия (19) или (20) удовлетворены, имеет место
интеграл:
Ρ +Τ 2" = const., (21)
где const, есть постоянная величина во всем потоке
жидкости, и, наоборот, существование интеграла (21)
обусловливает формулы (19) или (20).
Называя скорость жидкости в абсолютном движении
чрез Vx и ее окружную скорость чрез qu находим, что
V2 — QV—Vj — 2qxrQ,
так что интеграл (21) можно написать в виде:
7+-r-^rQ = const· <22)
Умножая уравнения (18) на dx = и dt, dy = v dt,
d2 — wdt и складывая, найдем по интеграции интеграл
Бернулли, представляющийся формулою (21) или (22) при
постоянстве С на относительной траектории. Но так как все
относительные траектории, пройдя между лопастями винта,
уходят в отдаленные части набегающего потока, где для
всех их Vt равно скорости набегающего потока W и qt = О,
то все постоянные имеют величину
* Ро , W2
const. =£^ч рг~
Р ' 2

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
83
одинаковую. Это приводит нас к заключению, что при
отсутствии трения или при очень малом трении в струе винта
удовлетворяются уравнения (19) или (20), т. е. эта струя
или имеет невихревое движение, или возникшие в ней
вихри направляются по траекториям относительного
движения. Последнее
обстоятельство урлож- чч £?
няется по отношению \ <--(:—i—--)--„
к боковым вихрям,
которые, как было
показано на фигуре 1,
образуются из
сплетения нескольких струй
относительного
движения. Если бы к
гребному винту притекал из
бесконечности
вихревой столб, то нельзя бы
было доказать
постоянство const, в
формуле (21) и не имели бы
места уравнения (20).
Вообразим теперь
(фиг. 10)
многолопастный винт, с настолько
широкими лопастями,,
что все сужение струи
происходит внутри
винта, и она выходит из
него в виде цилиндра
с линиями тока относительного движения, направленными
под углами θ к оси винта, заданными направлениями
выходной кромки лопастей, и постараемся определить
величины относительных скоростей в струе,
отбрасываемой таким винтом, для различных значений угловой
скорости вращения винта Ω и скорости его поступательного
движения W.
Покажем, что для струи, отбрасываемой таким винтом,
величины компонентов скорости относительного движения
Фиг. 10.
6*

S4
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЙ ГРЕВНОГО ВИНТА
на основании уравнений (20) вполне определяются при
данной угловой скорости винта Ω и скорости набегающего
потока W.
Так как линии тока и совпадающие с их направлением
вихревые нити располагаются по соосным цилиндрам, то
в формуле (20) ξ = 0, и = 0. Направив (фиг. 10) ось Ох
чрез какую-нибудь точку жидкости М% отстоящую от оси
винта на расстоянии г, будем рассматривать ее осевую
скорость w и окружную скорость q, которую считаем
положительной против направления оси Оу, так что tf = — q,
и формула (20) для нашего случая принимает вид:
I = _^ = _ctg6 = -/(r). (23)
На основании уравнения (17) η равняется проекции на
ось Оу скорости вращения частицы жидкости в
относительном движении, а ζ есть проекция этой угловой скорости
на ось Οζ с прибавлением Ω. Составим выражения для ζ и η,
пользуясь на фигуре 10 теоремою Стокса, отнесенной
к периметрам сторон элементарного полярного
параллелепипеда Ν:
д (w dz) dw
η =
2drdz 2dry
Q д (grdb) _ d(qr)
2(дг-гдЬ) ~ 2rdr
(24)
Подставляя эти величины в уравнение (23) и полагая
9 =7^' (25)
находим для определения w линейное дифференциальное
уравнение
[или]
5(/ω+^)+τΙ(^))-22-0- <26>
Приложим это уравнение к некоторым примерам.

СТАТЬЯ ВТОРАЯ 85
1) Если желаем, чтобы струя под винтом имела во
всех точках одинаковую скорость w, то надо согласно
уравнению (26) взять нижнюю кромку так, чтобы:
d ( г \ _ 2Ω f(\= I
. с
tge—yH™· (27)
2) Геометрический винт. Надо положить
с*в-з£-/(г).
где Η — шаг винта.
Получим:
*2 C^L 4- JL\ 4- А— w — 2Ω
dr \H^2*r)^ Η w—^>
dw (№ _μ 4lt2r9) _j_ 8warw _ ivHQr,
dr
откуда
">" W + Я2 · (28)
3) Доска1). Надо положить ctg θ = -}-/(/·) = w,
где /я— постоянная величина. Получим:
1
Умножая на интегрирующий множитель r1+wl", приводим
это уравнение к виду
Л
(ι + /»2) f- (w^™2) = 2/й^rl+'»,.
rfr
!) То-есть винт с широкими плоскими лопастями. (Прим.ред.)

86
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Отсюда после интегрирования получим:
*- 2т 2+w3
^1+w3= 2T^Qrl+W2+C'
2т
W=2TmTQr + Cr 1 + т*' (29)
Для определения С в найденных формулах надо
пользоваться условием равенства гидродинамических давлений
с двух сторон поверхности, ограничивающей струю. Так
как по сказанному выше с двух сторон мы будем иметь
в формуле (21) одно и то же const., то условие равен-
тва гидродинамических давлений приводит к равенству:
1/2= 1//2, (30)
где V—относительная скорость внутри струи, а V —
относительная скорость вне струи. Формула (30) на
основании соотношения (23) приводит нас к уравнению
^(1 + jfhw)==w2+Q2R2' (31)
где R— радиус струи. Для геометрического винта будем
иметь:
С = Η |/"/ί2+4π2/?2 |/№2_|_Ω2£2 _ 2izHQR2. (32)
Легко усмотреть, что при этом значении С скорость w
в формуле (28) в действительном винте возрастает с
возрастанием г. Это следует вследствие удовлетворения
неравенства
п г- —
2к№ ^ 4π2
которое приводит нас к условию:
W Η
QR < 2π#'
удовлетворяющемуся при возможности действия винта как
пропеллера.

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
87
§ 4. Теорема о поддерживающей силе в кольцевом
потоке. Распространение вихревой теории на винты
с переменной циркуляцией. Изложим теперь
предложенное В. П. Ветчинкиным распространение на винт
произвольной формы вихревой теории, данной мною для винта,
отбрасывающего поток неза-
вихренной жидкости. При
этом начнем с указания на то
видоизменение, которое
надо сделать в выражении
подъемной силы чрез
циркуляцию скорости, когда
рассматривается не
плоскопараллельный поток, а
поток жидкости, заключенный
между двумя весьма
близкими соосными цилиндрами
(фиг. 11).
Предположим, что такой
поток, двигаясь издалека со
скоростью V под углом θ
к образующим, обтекает ряд
одинаковых, на одной
высоте и на равных рас- ζ
стояниях , друг от друга
расположенных контуров Фиг. 11.
АВУ А'В\ ... и, утекая вниз
от этих контуров, переходит в однородный поток со
скоростью Vu наклоненной под углом Ь^ к образующей !).
При этом всегда можно провести линии тока CD и
C'D\ заключающие между собою контур АВ, которые
будут одинаковы и будут иметь на соответственных
местах одинаковые скорости. Таких линий тока можно
провести столько, сколько контуров АВУ АГВ\ ...,
поэтому DD' = CC' = s.
А) В теории решеток, обтекаемых потоком без разрыва,
показывается, что однородный поток, придя из бесконечности и
обтекая решетку, уходит в бесконечность однородным потоком,

88
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Принимая жидкость несжимаемой и допуская, что
проекции угловой скорости вращения частиц жидкости на
нормали к цилиндру суть нули, найдем, что все
циркуляции скорости по замкнутым контурам, охватывающим АВ
и заключенным внутри контура CDD'C, одинаковы.
Называя эту циркуляцию чрез J и прилагая теорему Стокса
к контуру CDD'C', можем написать:
/= s (Ι/sin θ — Vx sin et), (33)
где циркуляция J считается положительной против стрелки
часов.
Назовем чрез Ρ и Q проекции равнодействующей сил
давления жидкости на контур АВ, взятые по направлению
оси цилиндра вверх и по касательной к его основанию
влево, и определим эти силы, прилагая к жидкой массе,
заключенной в контуре CDD'C', теорему о количестве
движения и теорему площадей. Так как количество
движения жидкости, притекающей чрез контур СС и
вытекающей чрез контур DD\ одинаково, то
— Ρ -J- p\S — ps = 0.
Но
= |· [ V2 (cos2 θ + sin2 θ) — V\ (cos2 bt -J- sin2 β,)],
вследствие чего, принимая во внимание условие
несжимаемости:
Vs cos θ = VjS cos θ„
V cos 6=Vr1cos61, (34)
будем иметь:
P==|.s(l/2sin20-K2sin2ei) =
= -|· s (Vsin θ — Vt sin β,) (К sin θ + V^ sin Θ,).
Это выражение на основании формулы (33) принимает вид:
P=3i-7(l/sin0+l/lsinei). (35)

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
89
По теореме площадей можем написать:
Qr — psVcosV(Vsinb— Vx sin6j)r = О,
откуда согласно формулам (33) и (34) найдем:
Q = -jj-7(Vcose+ ^cosOi). (36)
Если назовем чрез V среднюю геометрическую сумму,
составленную из векторов V и Vv. то увидим, что ее
проекции на ось цилиндра и окружность будут:
-(Kcose+^cos^),
■^(Уйпв+^йпв,),
причем первая проекция направлена вниз, а вторая — влево.
Формулы (35) и (36) показывают, что равнодействующая R
сил Ρ и Q перпендикулярна вектору V и выражается
формулою:
R = ?JV. (37)
Таким образом, сила гидродинамического давления на
контур жидкости, текущей весьма тонким
цилиндрическим слоем, нормальна направлению средней
геометрической суммы, составленной из скорости набегающей и
уходящей струй, равна этой средней скорости, умно*
женной на плотность и на циркуляцию скорости,
взятую по контуру; направление этой силы получим,
повернув на прямой угол среднюю скорость в сторону,
обратную циркуляции.
В моем сочинении и в сочинении В. П. Ветчинкина
теорема о циркуляции употребляется в том виде, как она
дается для плоскопараллельного потока, но зато самый
поток берется в плоскости вихревого донышка, и скорости
в этом месте1)
rQ — J— W4-J^
*) Вихревая теория гребного винта, статья первая, стр. 25
[стр. 51 настоящего издания].

90
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
являются средними геометрическими из скоростей:
rQ — J-L, w+J&£9
соответствующих отдаленным точкам над винтом и под
винтом.
Задача о весьма тонком цилиндрическом слое жидкости,
обтекающем заданные контуры, есть задача о
плоскопараллельном потоке, обтекающем решетки. Об этой задаче
мы будем говорить после. Теперь же заметим, что, решив
такую задачу, мы находим возможным определить по
заданным V и θ величины У, 91э Vt и, наоборот, по
заданным скоростям отходящей струи Vu θ1 можем определить
величины У, Θ, V. Так как линии тока не изменяются от
абсолютной величины скорости, то теоретические
соображения приведут нас к формуле:
или
J=«*(i)' (38)
где w и q представляют осевую и окружную скорость
в относительном движении отходящей струи воздуха.
Полученная из теории решеток вторая часть формулы (38)
не будет зависеть явно от радиуса цилиндра, а только от
формы лопастей и расстояния между ними. Формула (38)
может быть найдена и опытным путем.
В круглую трубу-галлерею А вставляется (фиг. 12)
другая труба С с приделанными днищами, так что воздух,
всасываемый вентилятором, движется цилиндрическим слоем
между трубами, К трубе С прикреплены коротенькие
лопатки!) В, В, В, ... На значительном расстоянии от
них на левом конце трубы С имеются направляющие
пластинки D, которые можно устанавливать под желаемым
г) На фигуре 12 одна лопатка В соединяется не с трубою С,
а с весами, с помощью которых предполагается поверять
формулу (37).

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
91
углом θ к образующим, а в правом конце трубы С
поставлены флюгеры Е, с помощью которых можно наблюдать
угол θχ отходящего потока с образующей. На основании
формул (33) и (34) циркуляция J может быть представлена
в следующем виде:
'-(*·-* в,) *25,
где η — число лопаток. Давая различные углы Θ, следует
определять из опыта углы ΘΛ и выразить
(tgo-tge,)*^
в виде некоторой функции ^(tgOj).
Это и будет искомая функция в формуле (38). Есди
не принимать во внимание вязкость воздуха и его трение
Фип 12.
о стенки, то для составления уравнения (38) можно еще
воспользоваться формулою (36).
Соединив (фиг. 12) одну лопасть В не с трубою С,
а с весами, мы определяем из опыта
потом строим с помощью фигуры 13 среднюю
геометрическую скорость V. Для этого отлагаем ОМ = w>
проводим ML J_ ОМ и строим при О углы θ и ΘΓ Векторы OL

92
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
и O/v представят нам скорость V и V,, а вектор ОЯ,
соединяющий точку О со срединою отрезка NL,
представит по величине и
направлению скорость V.
Разделяя R на эту
скорость,
умноженную на плотность р,
мы получим
циркуляцию 7, а по ней найдем
из ряда опытов
функцию ψ(—)· Так как
в нашей задаче
nJ = 2*r(Qr — ?),(39)
Фиг. 13.
то уравнение (38) можно написать так:
Это уравнение соединяется с уравнением (24) преды
дущего параграфа:
J_ d(qr) J_ dw
~^ 2_dr
Я
2r dr
w
(40)
(41)
выражающим условие совпадения абсолютных линий вихря
с линиями тока относительного движения, и дает
возможность составить дифференциальное уравнение, связывающее
w или q с независимым переменным г. Более удобно
выразить в функции г величину
-i = tg61 = ^.
Мы имеем по уравнению (40):
(42)

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
98
вследствие чего находим:
1 d Г гЩ (t) 1 _ 1 d Г 2*г» 1 ,4Я.
г dr l2Krt-\-n<\>(t)\ t dr l2nrt+n<l(t)\ K '
Зная t, мы найдем по формуле (42) w, а следовательно,
будем знать и q = ό/£. Произвольное постоянное, введенное
интегрированием уравнения (43), должно быть определено
из условия:
Κ2=1//2,
или
W* + Ω2/?2 = ?2 + ^2. (44)
В. П. Ветчинкин вместо условия (41) пользуется
равенством выражений гидродинамического давления жидкости,
полученных из теоремы Бернуллй и из рассмотрения
центробежной силы в абсолютном движении отброшенной
струи. Согласно теореме Бернуллй в относительном
движении мы имеем:
£_ р± W* q* + w* , £У2
Ρ ρ а 2 2 "Г 2 '
а рассматривая действие по радиусу центробежной силы,
находим:
г
Р Ро _-. ГС0' —0'jfr
откуда
'(^L=i)!^ = ^_u+«u + ^. (45)
Покажем, что это соотношение тождественно с
уравнением (41). Взявши от обеих частей производную по г,
получим:
или
0 1_ d(qr) 1 dw
/On Я dQ\ d<® " 2r rfr 2 dr
tf 2Ω—- :r-) = w -r- f =-—-—.
* \ r dr dr * w %

94
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Вообразим теперь, что каждый цилиндр радиуса г
вместе с его донышком, лежащим в плоскости гребного
винта, покрыт вихревыми нитями, как это изображено на
фигуре 14. Эти вихри идут по боковой поверхности,
делая с образующею вышенайденный
угол θ *), причем
потом направляются по радиусам к
центру донышка и спускаются вниз по оси
цилиндра.
Для каждой вихревой ленты,
соответствующей углу d<f между радиусами
на донышке, на длину ds приходится
элемент вихря
dJ
4π
■п d<f ds,
где η — число лопастей винта, причем
стороны вращения вихрей указаны на
фигуре 14 стрелками, направление
которых противоположно тому, какое
Фиг. 14. было дано в моей первой статье для
боковых вихрей на фигуре 9.
Предположив бесконечное множество таких вихревых
цилиндров, отстоящих один от другого на расстоянии dr,
сложенных так, что их оси и плоскости донышек
совпадают, и одев их наружным цилиндром радиуса R, в
котором элементы вихрей имеют величину -~nds и вращают
в сторону, обратную указанной на фигуре 14, мы получим
систему вихрей, принятую В. П. Ветчинкиным. Если
сократить равносильные вихри, идущие в одном направлении,
но вращающиеся в разные стороны, то получится схема,
приведенная в начале этой статьи (фиг. 5).
*) Для сокращения письма мы теперь будем называть угол
отходящей струи чрез Θ.

Статьи вторая
95
Согласно сказанному в моей первой статье (§ 3)
каждый вихревой цилиндр вида фигуры 14 не сообщает
скоростей внешним далеким точкам, внутренним же точкам,
лежащим далеко от донышка, он сообщает вдоль оси
вверх скорость
ndJ
2кг
tg6
и около оси по часовой стрелке окружную скорость
ndJ
2κ7*
Точкам, лежащим на донышке, будут сообщены вдвое
меньшие скорости, причем для q мы берем полусумму
скоростей над донышком и под ним.
От сложения действия всех вихревых цилиндров,
наружного цилиндра и поступательной скорости W далекая
точка струи, отстоящая от оси на расстоянии г, получит
компоненты относительной скорости:
W
г
R
-l·
q=Qr
η
2кг
(46)
а точка, лежащая на вихревом донышке на расстоянии г
от оси, будет иметь компоненты относительной скорости:
R
^«^«^tga.
4π J г
dJ,
ль
(47)
При r = R точка, лежащая внутри первого вихревого
цилиндра на весьма малом расстоянии от его поверхности,

(48)
96 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
будет иметь скорости:
.'_*+$*«, q> = QR-^J0.
Покажем, что при значениях /, удовлетворяющих
условию на контурах сечений лопастей, и при tg Ь == ~
величины скоростей, данные уравнениями (46), будут иметь
те же самые значения, которые нашлись бы с помощью
интегрирования уравнения (43).
Действительно, второе из этих уравнений сейчас же
приводит нас к формуле:
У = 2-^(2/—?), (39')
которая есть уравнение (39), а взявши производную по г
от первого уравнения, получаем:
dw η tgb dJ
dr 2π r dr "
Но согласно с формулою (39')
Q
ar η |
вследствие чего
dJ 4пг \с
1 d(qr)-\
2r dr
1 dw 1 d(qr)
2 dr 2r dr
q w
(410
Мы получаем таким образом уравнения (39') и (4Г),
тождественные с уравнениями (39) и (41), которые
обусловливают дифференциальное уравнение (43). В. П. Вет-
чинкин решает задачу, пользуясь формулами (46) и (47)
с присоединением к ним характеристики контуров, по
которым соосные цилиндры пересекают лопасти, составленной
на основании наблюденных величин R в формуле (37),

СТАТЬЯ ВТОРАЯ 97
Если на основании наблюдений над динамометром в
аппарате (фиг. 12) составим формулу:
R = pkV*,
то, соединяя ее с формулой (37), найдем, что
J=kV,
или для нашего случая:
J = kYw'2-\-q'2. (49)
Граничное условие (44) может быть представлено в виде:
w* — W2 = Q*R* — q*t
или
и может быть на основании формул (48) написано так:
Присоединяем сюда уравнение (49), написанное для
контура конца лопасти:
■«-'К'+Й^'+^-а^Л· <51)
Мы теперь будем иметь два уравнения (50) и (51), из
которых по заданным W и Ω определим 70 и tgct.
Заметим здесь, что по формулам (50) и (48) имеем:
ЗД nJo
tga = Р^— = К, (51')
откуда придем к заключению, что угол α соответствует
направлению относительной скорости на вихревом донышке.
Я принимал в своей первой статье, делая
приблизительный расчет из опытов Фламма, что угол α есть угол край-
7 Зак. 1694. II. Ε. Жуковский.

98
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
ней кромки лопасти, что до некоторой степени
оправдывается формулой (5Г). Вышеприведенные рассуждения
показывают, что при рассмотрении вихревых слоев вместо
отдельных вихрей этот угол при данном винте и данных
W и Ω вполне определенен.
Метод расчета, предложенный В. П. Ветчинкиным,
заключается в нижеследующем. Радиус R разделяется на
равные части Дг; если винт заострен, то надо отступить
от конца лопасти. Чрез все точки деления проводятся
вышеуказанные вихревые цилиндры. Для первого цилиндра
по характеристике к контура сечения лопасти этим
цилиндром вычисляются на основании формул (50) и (51) J0
и α и находятся скорости w и q для течения жидкости,
заключенной между первым и вторым цилиндром. По
траекториям этого течения, наклоненным под углом tg 9 = — ,
пойдут вращающие в обратную х) сторону начальным
вихрям вихревые нити, которые мы считаем расположенными
на втором цилиндре, с циркуляциею Δ7. Эта циркуляция
определяется с помощью характеристики k! сечения лопасти
вторым цилиндром. Величина Δ7 найдется, полагая в
формуле (49)
7 = /0_Δ7
и внося в нее скорости wT и q\ определенные для первого
цилиндрического слоя. Потом определяют по формулам (47)
и (48) wv qv w'v q[ для второго цилиндрического слоя,
заключенного между вторым и третьим цилиндром;
направляют по стенкам третьего цилиндра вихри под углом
tgb1 = iL и определяют соответствующую им
циркуляцию Δ/j по формуле (49) при характеристике k",
соответствующей сечению лопасти третьим цилиндром, при
подстановке в формулу значений w[ и q'± и внесении в нее
У = 70— Δ7—Δ7Χ. Продолжая такую операцию, находят
скорости жидкости во всех построенных цилиндрических
*) Вращение может совершаться как в ту, так и в другую
сторону, в зависимости от формы лопасти. (Прим. ред.)

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
99
слоях и соответственные циркуляции J. В. П. Ветчинкин
указывает в своей статье, как рядом с течением,
развиваемым действием винта, определяется его сила тяги и
потребная на его вращение работа.
§ 5. Теоретическое исследование самовращения
секторов в опытах Д. П. Рябушинского. Я окончу мое
сообщение рассмотрением явления самовращения пластинок,
обстоятельно исследованного с опытной стороны Д. П. Ря-
бушинским *). При этом выяснится, как делается переход
от задачи о весьма тонком цилиндрическом потоке,
обтекающем данные контуры, к задаче о потоке, обтекающем
вращающееся тело с образованием вихревой струи. Если
развернуть цилиндр и соответственные контуры на
плоскость и производить это развертывание беспредельно, .то
контуры развернутся в бесконечно длинную решетку, и
гидродинамическая задача о цилиндрическом потоке
перейдет в задачу о плоскопараллельном потоке, протекающем
чрез решетку. Эту задачу с помощью метода Кирхгофа
я исследовал еще в 1889 году2). В недавнее время
С. А. Чаплыгин 3) и В. М. Кутта4) рассмотрели задачу
о решетках с точки зрения иезавихренного потока с
образованием циркуляции. В начале этого года я сделал
сообщение в Московском математическом обществе,
трактующее тот же вопрос применительно к задаче Д. П.
Рябушинского о самовращении пластинок. Изложу здесь это
сообщение.
Для получения потока, обтекающего решетку,
состоящую из пластинок ширины 2Ь, расположенных по прямой
на расстояниях их средин на 2<z, причем а>д, надо
сложить три течения:
i) Bulletin de l'lnstitut Aerodvnamique de Koutchino, вып. 1,
1906.
2) Видоизменение метода Кирхгофа, Москва, 1889 [Собрание
сочинений, т. II, стр. 489, Гостехиздат, 1949].
3) Математический сборник, том XXIX, 1914 [Собрание
сочинений, т. II, стр. 414, Гостехиздат, 1948].
4) Kutta W. Μ., Sitzungsberichte der KGniglich. Bayerischen
Akademie der Wissenschaften, 1911.
7*

100
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
1) Течение, выражаемое функциею мнимого
переменного г:
ΛΜ^Τι+Ψι'83®
sin тт— dz
la
vr-<-
. (52)
sin2
2a
Компоненты и и ν скорости такого течения найдутся по
формуле:
df\
dz
,и VI = w
s πζ
sinpr-
2α
i
i 9 lib , « πζ
sin2 ъ sin2 r—
2a 2a
(53)
При ζ = zt: oo · / тригонометрические синусы переходят
в гиперболические, и мы получаем w = 0, v = — w; при
Фиг. 15.
г = 0 получается (фиг. 15) критическая точка О нулевой
скорости: и = 0, v = 0. Идя от этой точки вправо и влево
по оси абсцисс на расстояние Ь, т. е. изменяя г от 0

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
101
до -(- Ь или до — #, будем иметь ν = 0 и и
положительно или отрицательно. При ζ = ± b получаются точки А
и В с бесконечно большими скоростями. Обходя эти
точки, мы получим изменение знака корня в
формуле (53), так что для нижней части отрезка АВ будем
иметь направо отрицательную скорость, а налево —
положительную. Приписывая ζ действительные значения,
абсолютная величина которых лежит в пределах £<*<>,
получим # = 0, а для ν — отрицательное значение.
Приписывая ζ чисто мнимые значения z=yi, мы будем иметь:
5ШЙ-= 2 <>
и скорости будут и = 0} ν — отрицательно.
Это показывает, что ось Оу есть линия тока. Точно
так же, приписывая ζ значения z = a±iy, находим для
. / π , πyi\ πνί
Sin(2-2rJ = COS2^ =
е2а+е 2а
величину, большую единицы, вследствие чего корень в
формуле (53) мнимый и скорость #~0, скорость же ν
отрицательна. Таким образом прямые СС и DD суть тоже
линии тока. Найденная часть течения будет повторяться
с периодом 2а.
2) Течение, выраженное функциею тока:
Ρ cos — dz
ΓιΜ-ft + W-ft I - / „Г (54)
которому соответствует скорость:
πζ

102
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Здесь в бесконечной дали, при г = ± оо · /, получается
u = ±qv t>.= 0, и поток течет (фиг. 16) параллельно
оси Олг, сверху слева направо и снизу справа налево. Для
всех действительных значений ζ, по абсолютной величине
Фиг. 16.
меньших Ь, имеем ν = 0. Скорость и положительна сверху
отрезка АВ и отрицательна снизу его, так как при z — ^zb
мы имеем в тачках А и В бесконечную скорость и,
переходя на нижнюю часть отрезка АВ по обходам около
этих точек, мы должны будем переменить знак корня.
При ζ действительном, абсолютная величина которого
заключена в пределах 6<,г<я, имеем и = 0 и ν —
конечная величина, которая отрицательна справа и положительна
слева [от пластинки АВ]9 так как, идя в направлении CABD,
мы имеем два полуобхода около бесконечных критических
точек и должны переменить знак корня. При ζ = ±α мы
имеем и ==» ν = 0, т. е. получаем критические точки
нулевой скорости С и D. В дальнейшем найденные скорости
будут повторяться с периодом 2а.
3) Течение, параллельное оси Ох, с постоянною
скоростью— q2.
При сложении этих трех течений мы должны подобрать
w и qt так, чтобы бесконечные скорости в точке В
уничтожились, т. е. чтобы
. lib nb /г-лч
wsin2Z = 1icos2Z· (56)
Принимая <72 > qv мы будем иметь для подходящей
струи скорости:
« =—(?2—Ях), '» = — «', (57)

СТАТЬЯ ВТОРАЯ 103
и для отходящей:
и = — (<72 + <7i)> v = — w, (58)
Проекции по осям координат средней скорости будут:
пРа,К= — q2> пру7=--да. (59)
Циркуляция будет иметь место от течения (2) (фиг. 16).
Она направлена по часовой стрелке и имеет согласно
формуле (33) абсолютную величину
J = 4qta. (60)
Сила гидродинамического давления на пластинку будет,
согласно формуле (37):
R^iq^Vwl + ql-f. (61)
Направление ее, как указано на фигуре 17, идет в ту же
сторону, в которую пластинка движется в своем абсолют-
Фиг. 17.
ном движении со скоростью q2— <7ι· Проекции Ρ и Q
силы R на оси Оу и Ох будут иметь величины:
Q = Aaqxwpy Ρ = — 4aqtq2p. (62)

104
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Критическая точка F нулевой скорости будет лежать
на верхней части пластинки АВ на расстоянии ξ от
начала координат, которое найдется из уравнения:
«eJn^+^cos^-^j/^rin^ —sin»5 = 0. (63)
Все расположение линий тока будет такое, какое
представлено на фиг. 17.
Мы предполагали, что циркуляция на фигуре 16
направлена по часовой стрелке, но она могла бы быть
направлена и против стрелки часов; тогда, взявши
абсолютную величину qx так, чтобы удовлетворились формулы (56),
мы бы уничтожили бесконечно большую скорость
в точке Л. Критическая точка нулевой скорости
получилась бы из той же формулы (63), только эту точку
следовало бы считать помещенной на нижней стороне
пластинки АВ и величину ξ откладывать налево. В
формулах (57) и (58) надо переменить знак у qv так что
подходящая струя набегала бы справа налево со
скоростью gt-\rq^ а отходящая имела бы скорость qt— q2
Фиг. 18.
в обратном направлении. В формулах (60), (61) и (62)
надо изменить знак при qv вследствие чего сила R
направится против абсолютного движения пластинки вправо

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
105
со скоростью д{-\-д2- Направление силы R и
расположение линий тока в этом случае указаны на фигуре 18.
Переходим от рассмотренного плоскопараллельного
течения жидкости к явлению самовращения пластинок.
w и 1г и η
Фиг. 19.
Д. П. Рябушинский ставил по направлению оси
всасывающей трубы оси свободно вращающихся тонких
пластинок, имеющих вид двух соединенных секторов (фиг. 19)
и, сообщив им рукой быстрое вращение, замечал, что это
вращение сохраняется, причем устанавливается угловая
скорость Ω, пропорциональная скорости W движения
воздуха в трубе и зависящая от угла μ между крайними
радиусами сектора. Построив два цилиндра, имеющие
осью ось вращения пластинки и радиусы г и r~\-dr,
будем рассматривать движение заключенного между ними
воздушного слоя, предполагая, что оно совершается без
вращения частиц около нормали к цилиндрам, причем
жидкий слой обтекает отрезки прямых, образованные
сечением вертушки цилиндрами. Эти отрезки будут играть
роль контуров АВ = 2Ь, представленных на фигурах 17
и 18; при этом:
2* = η», 2α = /·π, g = f. (64)

106 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Осевые скорости w мы будем предполагать сначала
в различных цилиндрических слоях различными, а
относительную окружную скорость подходящих струй для
всех слоев примем равной Qr и направленной в сторону,
обратную вращению пластинки. Для набегающего потока
мы будем иметь:
Qr=q2~^zqr
Для отходящего же потока окружная и осевая скорости,
согласно формулам (58) и (56), будут такие:
q = Qr±i2qi.
(65)
Соединив между собою все потоки в элементарных
цилиндрических слоях, мы получим в относительном
движении подходящую струю с окружною скоростью Qr и
с различными осевыми скоростями w и отходящую струю
с относительными скоростями, выраженными
формулами (65). Для того чтобы отходящая струя была
стационарна, формулы (65) должны удовлетворять
уравнению (41):
1 _.- μ_дд±
2 ctg 2 дг
Ω~έέ(δΓ2-2^)
Яг±2дг
Ч\ ctg γ
Это дифференциальное уравнение приводится к виду
однородного уравнения
= tr получим:
При помощи известной подстановки ql
r£»[/(2 + lctg».£)=bQ] +
+ dr \ί* (4+1 ctg^ £) rt 29/] = 0,

СТАТЬЯ ВТОРАЯ 107
или
Интеграл этого уравнения будет:
Κ2+τ^ϊ)±οΓ "с>
где
1 j_ J_Cto2 —
1 ' 8 § 2
(66)
Заменяя здесь t чрез ~, найдем для определения <7ι
уравнение:
ii^[iri(8tg»|.+ l)=t4Qrtg»|J" 2=const. (67)
n8tg^
Мы возьмем здесь знак (+), так как будем
рассматривать течение, представленное на фигуре 17. Кроме того,
так как это течение имеет место только при небольших
углах γ, не превосходящих 10°, при толщине пластинок
1,7 мм, которыми пользовался Д. П. Рябушинский, то
мы будем с приближением полагать:
ν = 0, - = 1 *)
8ts2T
*) В верхнем пределе, при -^ = 10° имеем:
ν = 0,20; «0,81,

108 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
и отбрасывать 8tg2-~ перед единицею. Это даст нам:
?J + 49rtg* £?,-//, (68)
где Η—некоторое постоянное. Для его определения на
основании формул (30) [и (65)] пишем для поверхности
струи при r= R:
(9Я + 2qtY -f q\ ctg^ \ = W* + Q3/P,
или с приближением:
q\ + 4^9/? tg* | = W* tg» | . (69)
Сравнение формул (69) и (68) приводит нас к
заключению, что
Я-H^tg»!-,
откуда
Я? + *Qr tg2 £ ^ = W* tg* -J. (70)
Решая это квадратное уравнение, найдем:
или приблизительно:
^=\Г— 2Qrtg£.
(71)
С помощью формул (71) и (62) мы можем выразить
момент L пары сил гидродинамических давлений,
действующей в сторону вращения вертушки. Этот момент
будет:
L = 2πρ tg IJ (W— 2Qr tg -£)%* dr =
= 2πρ tg 5-λ·(^ - tg ξ- WQ/? +1 tg* £- qw) ,

статья вторая:
109
где для простоты нижний предел интеграции принят
равным нулю. При принятом приближении можно
отбросить в скобке вышенаписанной формулы последний член
и получить:
£ = §*ptg|«3(V* — 3tg£WQ/?). (72)
При самовращении пара с этим моментом должна
уравновешивать: с одной стороны, силу трения на
стенках вертушки и ее лобовое сопротивление, которое
образуется от вихрей (вихри Кармана), убегающих в плоскости
вращения вертушки, и зависит от ее толщины ε, с другой
стороны, —силу трения в центрах укрепления вертушки,
которую будем считать постоянною. Что касается до силы
трения о стенки вертушки, то согласно фигуре 17 эта
сила направлена во всех частях пластинки АВ, кроме
верхней части FA, в сторону, обратную вращению
вертушки. Сила трения в верхней части FA должна быть
вычтена из силы трения на нижней части FA. Разность
этих двух сил, согласно формулам (53) и (55), несмотря
на громадную скорость в точке Л, конечна и делается
весьма незначительной, когда QR велико сравнительно
с <7ι> причем отрезок FA становится малым. Подробное
вычисление показывает, что в этом предположении вся
сила трения на элемент вертушки 2\irdr и лобовое
сопротивление на его площадь edr, зависящую от толщины
пластинки, представляется в виде:
Щ&ХРгаг + х^аг),
где χ — коэффициент трения воздуха о твердые стенки
(у= 0,0002), а ух — коэффициент, зависящий от
образования вихрей Кармана.
Вышеприведенная формула (57) для рассматриваемого
случая приводится к виду:
Qr = q2 — qt
и дает на основании формул (71):
q2 = Qr + q1 = Qr-^Wtg^. (73)

ПО ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Момент· V сил, происходящих от трения и убегающих
вихрей, будет такой:
U = 4W J q\r* dr + 2Xle j q\r dr =
= 4χμ J (Ω9/·2 -\- 2QrW tg ■ξ-') r2 rfr +
-f 2ул8 f (θ2/·2 — 2Q/·W tg £) r dr =
+ 2Xls^(^+^Wtgf)
ИЛИ
+(1+Ι*??)°«*Γ**]·<74>
Момент N постоянного трения в центрах укрепления
представим в таком виде:
Здесь WQ, играющее роль коэффициента этой формулы,
представляет ту скорость потока, начиная с которой
возможно самовращение.
Для того чтобы имело место равномерное
самовращение, необходимо выполнить условие:
UL' + M
В выражении (72) момента L отбросим член,
зависящий от tg2?7-, и напишем:
1 0tglT
б χ jx oJ

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
111
Решаем это квадратное уравнение относительно QR:
•('+4 &¥)"»* ,
QR =
/
**
2
ZU ^4 *μ χ/
Отсюда вытекает для определения коэффициента
самовращения
следующая приближенная формула:
А =
/■
is*
/»(i+T*S
(75)
Она показывает, что этот коэффициент мало зависит от
плотности жидкости, так как — и — приблизительно
одинаковы для жидкостей различных плотностей. Зависимость
коэффициента А от угла μ характеризуется быстрым
возрастанием его с возрастанием этого угла. На фигуре 20
приведена графика, построенная Д. П. Рябушинским на
основании его опытов над вертушками [диаметром 2R=30cm]
при ε = 1,7 мм, изображенными на фигуре 19.
Здесь по оси абсцисс отложен угол 2,а в градусах.
Рядом с коэффициентом А на графике изображена вели-

112 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
чина коэффициента силы нормального давления
Ρ
k =
W*gwff '
где g- = 9,8 есть напряжение тяжести.
Эта величина легко может быть вычислена по
формуле (62). Мы имеем:
p=4rcpj qtfjdr^
e4wptg-J WQ [r*dr,
откуда
p = 3LTt9R?ig^WQR. (76)
Пренебрегая малою скоростью IF0, можем здесь
положить Ω/?= AW и получить:
Iх
k^—^A. (77)
Для углов ~, больших 10°, закон изменения
коэффициентов А и k на графике 20 резко изменяется, и они
начинают уменьшаться с возрастанием μ. По моему
мнению, начиная с указанного значения угла у возникает
новое расположение струй, обтекающих вертушку в
относительном движении, и течение жидкости от типа,
указанного Кутта, переходит к струйному типу Кирхгофа. В моем
сочинении «О подсасывающем действии потока воздуха
на пластинку» г) я рассматривал вопрос о беспредельном
потоке жидкости с точки зрения Кирхгофа. Указанный
*) Труды Отделения физических наук Общества любителей
естествознания, т. XIV, вып. 2, 1909 [Собрание сочинений, т. II,
стр. 697, 1949].

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
113
мною анализ может быть распространен на решетки и
применен к пластинкам Д. П. Рябушинского. Может быть,
таким образом удастся получить теоретически дальнейшие
ветви кривых А и k на фигуре 20.
Д. П. Рябушинский, кроме наблюдений над
самовращением, делал еще различные наблюдения над секторами,
приводимыми во вращательное движение от мотора. При
быстром вращении получалась необходимость во
вращающей паре, подаваемой мотором. Анализ этих явлений
можно получить вышеуказанным способом, останавливаясь
на расположении струй, данном на фигуре 18.
/I
3,0
2,7
2,9
2,1
1,8
1.5
1,2
0.9
0.6
0,3
0,0
/ ГЧЬ7
Ш
к
0,500
0,590
0,980
шзо
\о,380
щзоо
0,390
\0J80
О J2О
\0,080
0,050
0° 60° /20° /80° 390°
Фиг. 20.
300° 380°
2/1
Нам остается теперь разъяснить, каким образом от
найденного движения жидкости, которое построено верно
только для удаленных частей убегающей струи, получить
все движение жидкости. С моей точки зрения это делается
приближенно с помощью теории соосных цилиндров,
изложенной в § 4. По найденным скоростям w и и строим
винтовые вихри на соосных цилиндрах и вихри, идущие
по радиусам верхних донышек этих цилиндров, которые
считаем совпадающими с плоскостью вертушки или винта;
строим далее осевой вихревой столб и вихри граничного
8 Зак. 1694. Η. Е. Жуковский.

... · » , !,i
ι 1
, ·· · · И 11 t
♦ *
ИМ
ill!
ИИ ι
4 ♦
и*4 \
- ί*|| tt
^ ч ^^ ι ι
-у
У / /
К
/ 1

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
115
цилиндра; определяем скорости, вызываемые всею
системою этих вихрей, и прибавляем к ним скорость W потока
жидкости в бесконечности. Согласно сказанному в § 4
найденные скорости в отдельных частях струи будут те же
самые, которые были найдены нами раньше; скорости же
точек, близких в вертушке или к винту, изменятся и, вообще
говоря, не будут направлены по построенным вихревым
линиям соосных цилиндров. В этом заключается неточность
нашего метода решения задачи о винте. Но так как струя,
отбрасываемая винтом, переходит быстро к однообразному
течению, то решение задачи по вихревой теории дает
довольно хорошее приближение. В дальнейшем развитии
этой теории надо будет заменить соосные цилиндры
некоторыми поверхностями вращения, которые при удалении
от винта переходят в соосные цилиндры.
На фигуре 21 помещена диаграмма скоростей для
винта Джевецкого в 46 см в диаметре при 2180 об/мин,
снятая в аэродинамической лаборатории Московского
Высшего технического училища, с помощью флажков
Сабинина и микроманометра. Черточки направлены по
скоростям и им пропорциональны; кружки отмечают места,
где флажок вертелся.
Мы видим, что струя сначала немного суживается,
потом расширяется и переходит в цилиндр с радиусом,
близким к радиусу винта.
ε*

ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА.
(Статья третья) х).
§ 1. Вступление. Мы рассматриваем здесь влияние на
действие винта числа его лопастей и ширины их. С
теоретической стороны этот вопрос до сих пор остается
неразъясненным. По теории Ренкина, Рато и Д. П. Рузского
действие винта зависит только от углов наклонения
передних и задних кромок винтовых лопастей и не зависит от
их ширины и их числа; по теории же С. К. Джевецкого,
Тейлора и по нашей вихревой теории с тою степенью
приближения, с какою она изложена в первой статье, сила
тяги винта пропорциональна числу лопастей и ширине их.
Благодаря разработке вопроса о действии решеток на
плоскопараллельный поток жидкости, которая сделана
в недавно появившейся в печати статье проф. С. А.
Чаплыгина 2), является возможным дать решение задачи о
влиянии числа и ширины лопастей на действие винта,
работающего в кольцевом пространстве, заключенном между двумя
довольно близкими соосными цилиндрами. Мы изложим
здесь это решение, пользуясь теми данными, которые были
приведены в нашей второй статье по вихревой теории
*) Впервые опубликовано в Трудах Отделения физических
наук Общества любителей естествознания, т. XVII, вып. 2, 1915,
стр. 1-23.
2) Теория решетчатого крыла, Математический сборник,
т. XXIX, 1914 [Собрание сочинений, т. II, стр. 414, 1948].

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
117
гребного винта, и приложим это решение с некоторым
приближением к расчету вентилятора, работающего в
цилиндрической трубе.
§ 2· Теорема о поддерживающей силе потока
в кольцевом пространстве. На фигуре 1 повторен
чертеж И из этой статьи. Разделяя кольцевой цилиндрический
поток на одинаковые
полосы СС, DD\ заключающие
внутри себя одну лопасть,
мы нашли, что циркуляция
скорости У, взятая против
стрелки часов по контуру
этой лопасти или, что все
равно, по контуру CDD'C\
будет такая:
Je=s(V$lnb—V1 sin 60,(1)
где 5 = СС = DD\ V и Vx
суть скорости подходящей
и уходящей жидкости, а Ь
и 8j—углы этих скоростей
с образующею. Так как
количество жидкости,
втекающей чрез контур СС и
вытекающей чрез контур DD\
одинаково и осевые
скорости ее одинаковы, то по теореме Эйлера о
количестве движения
— P + P1s—ps = 0, (2)
где Ρ — вертикальная составляющая давления жидкости
на лопасть, считаемая положительною вверх и отнесенная
к единице толщины цилиндрического слоя, а ρ и pt —-
гидродинамические давления в далеких верхних и нижних
частях текущей жидкости. По теореме Бернулли имеем:
Фиг. 1.
/V
■р=Ш2·
V?) =
|[V2(cos2e-f-sin2 θ)— V?(cos*6j4-sin*ej)];

118 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
по условию несжимаемости находим, что
V COS θ = l^COS^; (3)
поэтому
p==l-s(V2sin26— l/jsln* θ,)β
= Js(l/sint>— l/1sin61)(l/sinfj+ Ух$\ъЪх).
Это выражение на основании формулы (1) принимает вид:
ρ = Lj (у sin 0 + l/j sin 0,). (4)
По теореме площадей можно написать:
Qr — psl/costt(VsinO— V^ sin O^r^O,
где Q — горизонтальная составляющая давления жидкости
на рассматриваемую лопасть, считаемая положительной
влево, а г — радиус цилиндра. На основании формул (1)
и (3)" написанное равенство дает:
Q = |.y(l/cos0+ ViCOsBj). (5)
Если развернем цилиндр на плоскость и составим на
этой плоскости среднюю геометрическую сумму V
притекающей и утекающей жидкости, то увидим, что проекции
этой средней геометрической суммы на образующие и
развернутую окружность будут:
y(KcosO+ ViCOsO^, -(KsinO+^sin0!)'
причем первая проекция будет направлена на фигуре 1
вниз, а вторая налево. Умножив эти векторы на Ур и
повернув их на прямой угол в сторону, обратную циркуляции,
т. е. по стрелке часов, увидим, что второй вектор
обратится в силу Р, а первый вектор — в силу Q. Это
показывает, что равнодействующая /? сил Ρ и Q перпендикулярна

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
119
к направлению упомянутой геометрической суммы V и
выражается формулою:
R = μν. (6)
Мы получаем теорему, аналогичную теореме о
действии беспредельного плоскопараллельного потока на
пластинку:
Давление на контур лопасти от текущей весьма тон-
ким цилиндрическим слоем жидкости нормально к
направлению средней геометрической суммы,
составленной из скоростей набегающей и уходящей струи и
равно этой средней скорости, умноженной на плотность
и на циркуляцию скорости, взятую по контуру
лопасти) направление этой силы получается, повернув на
прямой угол среднюю скорость в сторону, обратную
циркуляции 1).
§ 3. Поток, обтекающий решетку с циркуляцией
скорости. Получение ступенчатой решетки из
прямолинейной. Будем рассматривать тонкий кольцевой
цилиндрический поток жидкости развернутым в
плоскопараллельный поток, а контуры лопастей развернутыми в
бесконечную решетку, помещенную в этом потоке.
В § 5 второй статьи «Вихревая теория гребного винта»
рассмотрены два типа потоков, обтекающих решетку,
элементы которой длины 2Ь расположены по прямой линии
так, что расстояния центров элементов равны 2а, причем
а > Ь. Мы повторяем здесь на фигурах 2 и 3
изображения линий тока этих потоков, которые были даны в
вышеупомянутой статье на фигурах 15 и 16, только направление
струй фигуры 16 мы изменяем в прямо противоположное,
т. е. берем его против часовой стрелки.
*) Эти теоремы приведены в § 4 нашей второй статьи по
теории гребного винта, напечатанной в Трудах Отделения
физических наук Общества любителей естествознания, т. XVII, вып. 1
[стр. 89 настоящего издания]. К сожалению, в формулировке
теоремы вследствие опечатки [в первом издании было] пропущено
слово «обратную».

120
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Эти потоки выражаются с помощью функций мнимого
переменного Ft (г) и F2(z), данных уравнениями:
dt\
sin
dz
.и — νι = w
πζ
2a
l/ sin
2 %b
sin4
7ZZ .
2a 2a
πζ
dF2 _ _ . _
dz l ^
cos
2a
/<
"-5-ta,£
(7)
(8)
причем плоскость Oxy разрезана по прямым контурам ΒΑ,
В'А\ ·.. и точки Л, /?, А' 3 В' надо обходить по бесконечно
Фиг. 2.
малым кружкам, полный обход по которым даст корню
множитель — 1, а полу обход изменяет величину корня на
множитель /; вследствие этого, приняв на верхней части

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
121
разреза А В знак корня (+), мы будем иметь на нижней
его части знак (—). Для разреза В'А' будем, наоборот,
иметь [при корне] в верхней части знак (—), а в нижней
Фиг. 3.
знак (-)-), и т. д. Формулы (7) и (8) представляются,
таким образом, во всех точках плоскости с указанными
разрезами однозначными функциями от ζ. Формула (7)
дает для ζ = dzyi при весьма большом у скорости
и = О, ν — — w, т. е. жидкость первого потока течет на
далеком расстоянии от оси Ох параллельно оси Оу сверху
вниз. Формула (8) дает для ζ = ±yi при весьма большом у
скорости и = гр^, 1/ = 0, т. е. жидкость второго потока
течет на большом расстоянии от Ох параллельно этой
оси для верхних точек влево, а для нижних точек
вправо. При изменении ζ на 2ап> где η — целое число,
скорости всех точек в том и другом потоке периодически
повторяются.
В формуле (7) изменение знака скорости и зависит от
. %г
изменения знака корня и от изменения знака sin γ- >
которое происходит в точках О, 0\ 0"\ вследствие этого
циркуляции скорости по замкнутым контурам, охватывающим
разрезы АВ, А'В\ А!'В", равны нулю. Вследствие этого
приращение функции Fx при обходе по всякому
замкнутому пути, не пересекающему разрезы, будет нулем, и эта
функция во всей рассматриваемой плоскости однозначная.
При переходе по верхнему краю разреза от точки О до

122
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
точки А она возрастает на величину:
ь
Г sin -^— dx
AFt=w Ι —
~2α
■ w I
— — ό> — In cos -o h 1/ cos
π о V 2a ' r
2rt
ИЛИ
AF,:
2a
twin
1+sin
πΙΤ
2a
cos
71&
la
C0SV)
(9)
При переходе же от А до W функция Ft получает мнимое
приращение, половину которого удобно определить, делая
переход между прямыми Оу и СС на далеком расстоянии
от Ох. Это [полное] приращение [от А до В'] будет:
Δ' Fx = 2wai.
(10)
Для второго потока жидкости циркуляция скорости
около контура, охватывающего разрез #А, взятая в
направлении против стрелки часов, будет конечная величина:
,&
8да
ъ
г*
iq
πχ «
cos -?г- dx
2а
l/ sin2
2a
иди
3 *>%x
■Sin2 75-
2α
/ = \aq.
sin
arcsin-
sin
2a
Tib
~2a
(И)

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
123
Это показывает, что функция F2 многозначна и при
обходе кругом всякого разреза прирастает на величину,
данную формулой (11). Но мы можем считать
функцию F2 однозначною, если будем рассматривать ее
изменения на контуре, могущем пересекать ось Ох только
один раз.
Прибавим теперь к первому течению жидкости
равномерный поток, текущий по оси Ох справа налево со
скоростью wu а ко второму течению равномерный поток,
текущий слева направо со скоростью qv причем
предположим, что скорость qt более наименьшей скорости на
отрезке АВ на фигуре 3, т. е.
Чх>
Я
sin
2а
Подберем скорости wi и qx так, чтобы критические точки
нулевой скорости, получившиеся на отрезке АВ, для обоих
течений отстояли от О на одном и том же расстоянии ε,
т. е. чтобы удовлетворялись уравнения:
sin
xv х = w
<1х = Я
2а
ν-
sin2
2а
. о πε
-Sin2 —
2а
cos
2α
/■■
COS4 τς COS2 -7Г—
2α 2α
(12)
Отсюда для определения s получаем:
πε
sinTT-esin
2α
ς085·-ε082β
2« ywj + w*'
■lib qi
Vfi'-<
(12')

124
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Формулы (12') дают нам следующую связь между ^-и —:
sin*
(Щ\2
nb \ W ) , о π6
+COS2
т
2а
±±
■+(э? 2" (f ;-·
1. 03)
Функции мнимого переменного ft(z) и./2(-г),
характеризующие полученные новые потоки жидкости, будут
даны формулами:
πΖ
dz
sin
■ w
2a
/'
sinV-sin2^
■W.y
*—»
COS
πζ
2a
^ Γ . Λ nb . * πζ
-<7ι·
(14)
(15)
Линии тока, соответствующие этим функциям,
представлены на фигурах 4 и 5.
Фиг. 4.
Критические точки нулевой скорости будут на фигуре 4
расположены на расстоянии β от средины разреза: точка С

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
125
Ьправо и сверху, а точка Сх слева и снизу; на фигуре
же 5 обе критические точки нулевой скорости, С и С2,
расположены сверху, одна справа, а другая слева. В
течении фигуры 5 скорость в бесконечном расстоянии от
решетки будет горизонтальна и будет для верхних точек
Фиг. 5.
иметь величину qx— q с направлением вправо, а для
нижних точек эта скорость тоже направлена вправо и имеет
величину 9Ί + ί· Что касается до циркуляции скорости,
то она имеет прежнюю величину, данную формулой (11)
и отсчитываемую против часовой стрелки. На фигуре 4
в бесконечном расстоянии от решетки поток течет сверху
вниз со скоростью yw2-\-w*, образующею с
направлением перпендикуляра к решетке угол |х, тангенс которого
w±
равен —.
w
Задача о решетках, элементы которых образуют
некоторый угол с осью решетки, разрешается с помощью
функций /ι (ζ) и /а (г). Первая функция служит для устацовле-
ния конформной зависимости между точками плоскости
мнимого переменного ζ = χ -\-yi и точками плоскости мнимого
переменного ζ = ξ-[-η/, причем
C*i/i(*)·
(16)

126 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Вторая же дает нам поток фигуры 5, который, будучи
преобразован на плоскость мнимого переменного ζ, разрешает
задачу о решетке произвольной формы.
Посмотрим, в какую изотермическую сеть на плоскости
мнимого переменного ζ преобразуется прямолинейная сеть
плоскости переменного г, состоящая из прямых,
параллельных осям Ох и Оу.
Будем передвигаться на фигуре 4 по оси Ох, обходя
разрез ВА по его верхнему и нижнему краю до
точек Си Cv На том и другом пути мы будем получать
Фиг, 6.
действительные приращения ζ. При этом, так как
скорость на фигуре 4 на отрезке ВС отрицательна, а на
отрезке BCV положительна, то на первом пути будем
получать отрицательное приращение ζ, а на втором
положительное.
Мы найдем (фиг. 6) на плоскости Οξη отрезки ВС и
ВСи расположенные в порядке СВС^ Эти отрезки
следует расположить снизу разреза ССг на плоскости Οξη,
так как на фигуре 4 схождение с ВС (вверх) и с ВСХ
(вниз) вызывают отрицательное приращение мнимой части

СТАТЬ^ ТРЕТЬЯ
127
функции fv Последнее видно из того^ что на фигуре 4
переход от одной линии тока к другой, расположенной
влево, соответствует убыванию мнимой части функции fv
Двигаясь далее на фигуре 4 по верхней части разреза от С
до Л и по нижней части разреза от Сг до А, мы получим
на фигуре 6 отрезки СА и CtA9 из которых первый
расположен вправо от С, а второй — влево от Cv Концы этих
отрезков сходятся в одной и той же точке Л, потому что
циркуляция скорости вокруг разреза АВ на фигуре 4 есть
нуль. Найденные отрезки располагаются на фигуре 6
в порядке САСХ на верхней части разреза CCV потому
что при схождении на фигуре 4 с краев разрезов СА
и СгА мы имеем положительное приращение мнимой части
функции /х.
Пользуясь формулами (16), (14) и (9), определяем
расстояния:
%Ь
СВ~С{А~^(Ь + г) + ^\п
cos27
%b
2a , l + sin 2Ϊ
In
π ~"COS ™ J-l/"cOS«^-C08»**
2a ~ V 2a 2a
%b
1 W v ' π Tib
005-ш
%b
2a . 1+sin2J
In·
■£+/"«
π cos^+l/cosV^-cos***.
2α 2л
Эти формулы показывают, что на фигуре 6 точка А
лежит ближе к С, нежели точка В. Называя длину всего
разреза ССг через 2/, а расстояние АВ — чрез 2g*, находим

128
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
из написанных формул, что
2^ = 2f *.
C0S2F+1/ sin2-25— 8ιη21ϊ
COS-—-
2я
. «Ί
• ΌΙ
(17)
/=2±ln_^ ί -Si £!L_|_^S. (ι8)
Продолжая передвигаться на фигуре 4 по оси Ол:, мы
переходим на отрезок АВ\ при перемещении по которому
ζ получает мнимые и действительные приращения. Этим
приращениям будут соответствовать нижеследующие
изменения координат (формула (10)):
Δξ = _2(0-£)5, Δη = 2α. (19)
При этом прямолинейный путь АВ' на фигуре 4
изобразится на фигуре 6 криволинейным путем АВ\ Проведя
прямую ВВ', усмотрим, на основании формул (17) и (19),
что проекции k и h этой прямой на оси 01 и Οη будут
такие:
k = 2a^9 h = 2a. (20)
При дальнейшем перемещении на фигуре 4 по верхнему
и нижнему краю разреза В'А* мы будем иметь
повторение сказанного. Вся ось Ох на фигуре 4 заменится на
фигуре 6 бесконечным рядом ступеней &С^ CCU C'C'V ...,
соединенных кривыми А"В, АВ\ ... Прямая, проходящая
чрез средины всех ступеней, которую мы будем называть
осью полученной решетки, образует с осью Οη такой же
угол, как прямая ВВ'. На основании формул (20) тангенс
этого угла будет:
4=■£-*»>■ (2l)
Это тот самый угол μ, который скорости потока,
изображенного на фигуре 4, образуют с осью Оу.
Посмотрим теперь, во что обращаются прямые линии
фигуры 4, параллельные Ох и отстоящие от нее на весьма

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
129
большое расстояние. При весьма большом значении у
формулы (16) и (14) дают:
W
йг = — Τ /щ\ъ Л.
(22)
Отсюда по сравнении действительных и мнимых
частей и по совершении интегрирования находим:
(23
Эти формулы показывают, что на далеком расстоянии
от оси решетки прямые линии, параллельные на фигуре 4
оси Оху обращаются на фигуре 6 в прямые линии,
параллельные оси решетки, а прямые линии, параллельные оси Оу%
обращаются в прямые, перпендикулярные оси решетки.
При этом верхним прямым на фигуре 4 соответствуют
нижние на фигуре 6 и наоборот, и при передвижении по
линиям, параллельным оси Ох> слева направо на фигуре 4,
мы передвигаемся на фигуре 6 по линиям, параллельным
оси решетки, справа налево. Все это видно на основании
формул (22) и (23).
Мы получили координатную сеть, изображенную на
фигуре 6- Она опирается на ступенчатую решетку и
переходит в бесконечном удалении от нее в прямолинейную
ортогональную сеть. Если решетка дана, то этим вполне
определяются введенные нами вспомогательные величины
2я, —, з и ft. На основании формул (20) величина 2а есть
расстояние между ступенями решетки. —L, на основании
формулы (21), есть тангенс угла μ, образованного осью
решетки и перпендикуляром к ее ступеням. Для опреде-
9 Зак. 1694. Η. Е. Жуковский.

130 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
ления b и ε пишем по формулам (12х) и (18):
. «е , Tib .
sln2^a=Sin2?Sin'A·
. πε
. π& 81Π2Ϊ
'2β Γ πε
_(/_etgft)=ln 5 ,
C0S*F
«* - tg Ц cos μ + |/"l + tg* g cosV,
β-* = - tg g COS μ + ]Λ + tg2g cosV,
tg^cos}* =sh&= sh[(/ — stg^)^]·
Отсюда получается уравнение для определения з:
(24)
sin;— COS [Χ
2а к
|/sin^-sin»g
.sh
[('-*tg(i)£]. (25)
Решив это трансцендентное уравнение, находим величину s;
зная же 8, определяем Ь по формуле (24).
§ 4. Поток, обтекающий ступенчатую решетку вдоль
ее оси. Переходим теперь к преобразованию с помощью
функции преобразования формулы (16) потока жидкости,
изображенного на фигуре 5. Согласно сказанному выше
точки Л, В, С, С2, Сх фигуры 5 займут на плоскости Οξη
(фиг. 7) места, обозначенные теми же буквами. При этом

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
131
критическая точка нулевой скорости С ляжет на точку С,
в которой — = О, так что в этой точке преобразованный
поток, скорости которого и! и vr находятся по формуле:
Л _νι = "«·β-3F-3F· (26)
будет иметь конечную скорость. Что же касается другой
точки Cit в которой — = 0, то в эту точку не попадает
критическая точка С2 потока фигуры 5, так как, находясь
сверху, она изобразится на фигуре 7 точкою С2 снизу,
В ючке Сг в преобразованном потоке мы будем иметь
Фиг. 7.
бесконечно большую скорость, а в точке Са скорость,
равную нулю. Конечная величина скорости в точке С
найдется согласно формуле (26), как отношения производных
9*

132 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
по х числителя и знаменателя дроби:
πχ
COS-^5—
sin ъ—
2я α^
ы' = ·
/■
2а 2α
при χ —е. Это отношение, принимая во внимание
формулы (12), будет:
«'—^Scigi^. (27)
Точки Л и θ, в которых -~ и — обращаются в
бесконечности одинакового порядка, тоже будут иметь
конечные скорости.
Знак (—) в формуле (27) показывает, что скорость и!
на фигуре 7 направляется в левую сторону. Так как
течение жидкости, данное на фигуре 5, в большом
расстоянии от оси Ох направляется параллельно этой оси вправо
со скоростью q1— q для верхних точек и скоростью qx-\-q
аХ
для нижних точек, а модуль функции —, на основании
формул (22), для этих точек есть
dz
I Г ' \ W ) COS (J. *
то в преобразованном потоке на большом расстоянии от оси
решетки жидкость будет течь параллельно этой оси справа
налево для верхних частей со скоростью
(?i + ?)cosii,
а для нижних со скоростью
(Ч\ — ?)cos|x.

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
133
Если бы по этим скоростям мы стали определять
циркуляцию скорости около каждой из ступеней решетки, то
должны бы были написать, считая циркуляцию
положительной против стрепки часов, что
J= [Яг + Я — (?ι — Я)\ s cosh,
где 5 — отрезок по направлению оси решетки,
приходящийся на одну лопасть. Так как
TO
J = iaq. (11)
Это есть та же самая величина, которая была дана
выше под тем же номером для потока фигуры 3. Что
и следовало ожидать, так как от конформного
преобразования циркуляция скорости не изменяется.
Линии тока полученного течения жидкости представлены
на фигуре 7. Мы видим, что они располагаются так, что
жидкость с одной стороны решетки на другую не
перетекает, а постепенно переходит в два потока, идущие
параллельно оси решетки.
§ 5. Поток, протекающий через ступенчатую
решетку. Силы, действующие на винт. Для применения
найденного течения жидкости к случаю действия винта при
различных углах атаки надо прибавить к этому течению
еще течение, совершающееся параллельно оси Οξ справа
налево с постоянною скоростью т. От этого прибавления
критическая точка из С2 подвинется в точку О, лежащую
ближе к С1# Линии тока получают вид, представленный
на фигуре 8. Слагая скорость (q -{- qt) cos |х со скоростью m,
получим скорость V подходящей струи, которая образует
с перпендикуляром, опущенным на ось решетки, угол Θ,
так что угол атаки будет θ — υ, а скорость по
направлению перпендикуляра к оси решетки будет /я cos μ.
Определим силу тяги Р, приходящуюся на одну лопасть,
и составляющую Q силы давления на лопасть по направ-

134
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
лению оси решетки. Согласно § 2 для знания этих сил
следует определить циркуляцию скорости и среднюю
геометрическую скорость от скоростей подходящей и
отходящей струи.
Фиг. 8.
Зная (q1 -j- q) cos μ, легко определить порознь qt и q,
воспользовавшись формулою (13). Эта формула дает нам:
%b
tg2 2a cos2 ^
>%b
Сюда надо подставить значение tg2 ^г , определенное с
помощью уравнений (25) и (24).
Считая q и qt найденными и выразив циркуляцию по
формуле (11), мы найдем искомые силы Ρ и Q согласно
теореме § 2 по формулам:
Ρ = Aaqp (qt cos μ -f"m sin Υ)» Q = 4я#р/я cos Ρ· (29)
Если назовем, как в § 2, чрез s расстояние между
срединами лопастей, то можем положить:
2a=^scos[Jb. (30)

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
135
Кроме того, называя чрез Ω угловую скорость винта и
чрез г средний радиус рассматриваемого кольцевого
пространства, имеем:
Qr = (Я + Яг) cos Iх + т sin μ.
(31)
Одним недостающим данным для винта, работающего
в кольцевом пространстве (фиг. 9) с открытыми в
атмосферу концами, является еще скорость /я cos μ
притекающего воздуха. Эта скорость определяется с помощью
формулы (2), из которой имеем:
Pt-P = T>
где ft, как давление в выходящей
струе, равно атмосферному
давлению, а ρ есть пониженное давление
перед винтом. Разность давлений
pt—ρ заставляет втекать воздух
сверху в кольцевое пространство,
поэтому
mcosμ = A]/"^Ξ£L==
-куГЖ% (32)
Фиг. 9.
где коэффициент k зависит от
потери напора на сжатие струи и от
трения о стенки цилиндра. При этом, если
пренебрегать трением, то можно, прилагая рассуждения,
аналогичные тем, какие прилагаются для доказательства
того, что при насадке Борда сжатие струи равно -^,
доказать, что в случае, когда жидкость заполняет
цилиндрический насадок, k = -—.
Ϋ2
Определяем из (31) величину q, обращая внимание на
уравнение (28):
9 — (1+ λ) COS μ ' \6Α>

136
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
и найденную величину подставляем в уравнение (29), а
потом найденное значение Ρ в уравнение (32). Получаем,
обращая внимание на уравнение (30):
—- COS2 μ = COS μ {q\ COS jx -j- Ш Sin μ) q =
(QrX 4- tn sin μ.) (Qr — m sin μ)
(Γ+χ)2 ·
Положим здесь:
т cos μ
Μ
(34)
и будем называть Μ модулем кольцевой трубы с
рассматриваемым винтом. Написанное выше уравнение по
разделении на Ω2 дает для определения модуля:
Л*2 _ (Хг + Af tg μ) (г — Af tg μ)
4£2 (1 + λ)«
(35)
Уравнение (35) показывает, что- при данных гик
модуль Af вполне определяется по μ и λ. Все наши
вспомогательные величины w, q, qx определяются по модулю Μ:
MQ
cos μ '
m =
Я
(1 + λ) cos μ
= '-*** XQ.
(1 + λ) cos μ
(36)
Внося эти значения в формулы (29) и обратив
внимание на формулу (30), найдем для Ρ и Q следующие
окончательные формулы:
(37)
Если в этих формулах считать за s всю кольцевую
площадь, ометаемую винтом, то Ρ и Q представят силы
действия жидкости на весь винт.

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
137
Определение λ удобно производить графически
нижеследующим способом. Полагаем в формулах (24) и (25):
πε
27 = *·
Вычерчиваем две кривые:
У = cos μ. tg w = cos μ tg(arcsm-^J,
(38)
Определяем ординату у, соответствующую точке их
пересечения, и по этой ординате находим λ согласно формуле
(28) в виде:
λ2=1 + ^· (39)
Согласно формуле (38) величина λ зависит только от μ
и от —. Последняя дробь представляет отношение
проекции площади винта на плоскость, перпендикулярную
его оси, к площади, ометаемой винтом. Так как в
коэффициенты уравнения (35), служащего для определения /И,
входят только λ, μ, г и k, то можно выставить на вид
следующую теорему: действие винта в данном кольцевом
пространстве зависит только от угла наклонения
лопастей к его оси и от отношения площади, прикрытой
лопастями, ко всей площади, ометаемой винтом.
§ 6. Приближенные формулы для участков винта
с малым относительным шагом. Остановимся на
предположении, что угол μ. близок к 90°, т. е. угол наклонения
лопастей к плоскости, перпендикулярной оси винта, очень
мал. Вследствие этого на основании формулы (30)
величина а будет порядка малости cos μ и в формуле (25) член
левой части близок к нулю. Это дает:
I cos μ
ε = ·
Sin μ

138 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Внося это значение в формулу (24) и принимая
приближенно sin μ = 1, при замене а его значением из формулы
(30), найдем:
, ъЬ , π/
или
ъЬ π/
2а 8
Подставляя эту величину в формулу (28), найдем с
приближением:
λ = -^τ—· (4°)
tg — COS μ
Допуская, как это окажется после, что Μ есть
величина порядка cos μ, можем в уравнении (35) отбросить
Λίtgμ перед \г и единицу перед λ2. Это приведет нас
к квадратному уравнению:
*■-4* (£-:*£,»£),
в котором можно отбросить М2 и получить:
Μ = Г COS μ.
Силы Ρ и Q получают при этом приближенные
величины:
^ 9*2 C0S 1*>
2*2
Q = 4psQ*^ cos2 μ sin* (I —J) tg -j
^ние
(41)
так что отношение
очень мало.
§ 7. Расчет крыльев вентилятора, работающего в
трубе. Качество аэродинамической трубы. Переходим
теперь к расчету крыльчатого вентилятора, работающего
в цилиндрической трубе. Этот расчет может быть сначала
сделан с помощью пользования отвлеченными величинами

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
139
и инвариантом β, подобно тому, как это делает В. П. Вет-
чинкинг) для гребного винта, работающего в открытом
пространстве; потом при определении ширины лопастей
следует прибегнуть к вышеизложенному анализу о
действии элементарного винта в кольцевом цилиндре. Разделим
мысленно объем трубы на кольцевые цилиндры и
преобразуем формулы (29), отнесенные к этим цилиндрам, с
помощью подстановки:
J Jn
У 2s COS μ 4n:rC0Sfi. '
qx cos μ = Qr — q cos μ — m sin μ,
m cos μ = W,
где η — число лопастей винта.
Получим выражения для сил, действующих на одну
лопасть:
— dQ = Jpm cos \Ldr = Jp Wdry
которые могли бы быть написаны прямо по теореме § 2.
При отсутствии трения сила, действующая на элемент
лопасти, нормальна к средней скорости подходящей и
убегающей струи.
Чтобы принять во внимание трение, надо еще прибавить
силу, направленную по этой средней скорости, которая
равняется упомянутой нормальной силе, умноженной на
коэффициент ν = ^~, определяемый из опыта 2). Прибли-
Ку
женно можно Кх и Ку определять из наблюдений над силою
сопротивления дужек в плоской аэродинамической трубе.
г) Расчет гребного винта, Бюллетени Политехнического
общества, № 5, 1913.
2) В сочинениях С. К. Джевецкого, отчетах лаборатории Эйфеля
и в таблицах В. П. Ветчинкина отношение -р~ обозначается.
Ну
букВОЮ μ.

140 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Присоединяя эту силу, получаем:
±dP = [j(Qr-{t)-vJW]9dr,
±dT= [JW+ vy(Qr - ^L)] Qpr Or,
где dT—работа на элемент винта.
Совершаем интегрирование в пределах R0 и /?,
предполагая, что вследствие постоянства угла атаки величина ν
постоянна. Получаем силу тяги и секундную работу мотора
для всего винта:
(42)
Р_^[(в£^_*^)-.г№-ад].
Разделяем первое уравнение на 2πρ/?4Ω2, второе на
2πρ#6Ω3 и обозначаем получаемые при этом отвлеченные
числа нижеследующим образом:
Τ Jn =7 1
'' 4π/»ί J' ,
> (43)
~^ щ~ ζ · J
Уравнения принимают следующий упрощенный вид:
Ρ = 7 [ (1 — δ2+ 27ln ξ) _ 2 -^ (1 — ξ)],
Γβ7[^(1-Ρ) + ν.-|(1—ξ·)-ν.27(1-ί)]·
Величина ξ представляет отношение радиуса втулки к
радиусу винта. Чтобы на крайнем элементе лопасти dP
был положителен, необходимо, чтобы
Ω*ο-^>0.
\{Щ

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ 141
Мы удовлетворяем этому неравенству положением:
которое в отвлеченных единицах выражается так:
S3 = 27 (45)
Что касается до величины Z, то она, как видно из
обозначений (43), выражает число модулей в радиусе R.
Формулы (44) можно представить еще в таком виде:
Р = /(1 — & + 2Jlnl)(l — ν-1·),
TW-^O + vSZ),
(46)
где
2Π-Ώ 4(1-Ρ)-2/(1-ξ)
Составим с помощью формул (43) отношение Ρ: Т:
Ρ _ PRQ _ PW 7
Т~~ Τ ~ Τ *>
из рассмотрения которого следует, что коэффициент
полезного действия η *) есть
η-£· (48)
Согласно формуле (46) этот коэффициент представляется
в виде двух множителей:
1-v-L
ч=—п=~Р τ+^ζ ==ηΒρΎ]τρ' . (49)
где 7]вр есть фактор коэффициента полезного действия,
зависящий от вращения струй за винтом, а ητρ есть
фактор, зависящий от трения воздуха о лопасти винта.
*) Коэффициентом полезного действия вентилятора следует
называть работу, потребную для перемещения воздуха от
давления ρ под давление рь разделенную на работу Т.

142 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
На фигуре 10 приведены для различных значений 27
величины: _
Фиг. 10.
Написанные формулы суть те же самые, которые были
даны В. П. Взтчинкиным для расчета гребного винта,
только в формулах В. П. Ветчинкина применительно к
случаю вентилятора надо положить W -\- w — -y~.

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
143
Принимая во внимание все гидродинамические потери
в трубе вентилятора, мы всегда можем аналогично
формуле (32) написать:
Ρ Ρ
= const., (50)
m2cos2fi. W*
где const, может быть определен при каком-нибудь
пробном вентиляторе (до расчета надлежащего крыльчатого
вентилятора), составляя с помощью микроманометра
средние давления ρ и pt перед вентилятором и за ним.
Знание этого постоянного позволяет при известном
радиусе найти для данной установки:
Ρ 1
Отвлеченное число β, которое в задаче о вентиляторах
и о гребных винтах данного радиуса является постоянной
величиною, В. П. Ветчинкин называет инвариантом 1). Это
число выражается весьма просто с помощью Ρ и числа
модулей Ζ:
Ρ 9 РЮ2 _
β=^-^-=2^9· (51'>
Если цилиндрическая труба, в которой поставлен
вентилятор, смыкается с галлереею, суженная часть которой
является рабочим сечением для производства
аэродинамических наблюдений, то мерою качества установки является
отношение секундной живой силы воздуха в рабочем
сечении к секундной работе вентилятора Т. Принимая, что
площадь рабочего сечения в с раз менее площади ци-
х) Число это всецело определяется тем аппаратом, который
с помсщью винта приводится в действие: вентилятор, корабль,
аэроплан. Оно остается постоянным для всех винтов одинакового
радиуса на одном и том же аппарате [и режиме полета, но
меняется в зависимости от режима полета и нагрузки самолета;
в трубах же меняется в зависимости от нагрузки трубы
сопротивлениями в виде решеток, испытуемых моделей и т. п.].

144
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
линдра вентилятора, будем иметь для коэффициента
качества выражение:
Χ— γ ~ 4 Τ &№ *
откуда следует, что
χ—JL-. (52)
κ 47Ζ3 ч
Составляя произведение формул (51') и (52), находим
согласно уравнению (48): _
X 2 fΖ '
При хорошем всасывающем насадкех) и при малом
трении о стенки трубы коэффициент k приближается
к единице, а В — к своему наименьшему значению 0,5.
о
Приняв при трении В = -~ , для случая £ = 3,6
найдем: χ = 4,3η.
Это близко к тому, что дали наблюдения Μ. Ф. Адам-
чика в аэродинамической лаборатории Московского
высшего технического училища, а именно: χ = 2,1} η можно
положить равным 0,5; таким образом, у него
приблизительно должно бы получиться χ = 2,15.
Для подсчета элементов вентилятора аэродинамической
галлереи удобно пользоваться фигурой 11, на которой
по оси абсцисс отложены значения Ζ, а по оси ординат
значения η и вычерчены различные кривые В = const, при
среднем коэффициенте дужек ν = 0,06. Можно также
пользоваться таблицею 1 [стр. 146 и 147], в которой для
различных значений В и Ζ приведены значения 2Р, 27, ητρ,
ηΒρ и η [полагая во всех расчетах 6 = У 27].
*) См. мою статью «Насадки и диффузоры аэродинамических
труб». Труды Авиационного расчетно-испьпательного бюро, вып. б,
1920 [Собрание сочинений, т. IV, стр. 63, 1949].

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ 145
Выбрав в клетке с заданным В строку, где η, а
следовательно, и χ имеют наибольшее значение, смотрим
соответственные величины Ζ и 2У. Величина Ζ определяет
модуль Μ = -γ для наивыгоднейшего вентилятора. Зная
модуль, будем знать число оборотов для заданной
скорости W, а по η найдем мощность мотора по формуле:
ι - »—————— ф
(54)
Ю Зак. 1694. Η. Ε. Жуковский.

146 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Таблица 1
В = 0,50
Я = 0,75
В = 1,00
N5 = 1,25
ρ =1,50
Б = 1,75
Я =2,00
Ζ
2,5
з
4
6
7 1
4 !
5 1
6
7 1
3
4
5
6
7
3,5
4
5
6
7
4
5
6
7
8
4
6
7
8
4,5
8
2Р |
0,0800 1
0555
0313
0200
0139
0102 1
0,0833
0469
0300
0208
0153
0,1111
0625
0400
0278
0204
0,1020
0781
0500
0347
0255
0,0938
0600
0417
0306
0235
0,1093
0700
0486
0357
0274
0,0988
0800
0555
0408
0313
2У
0,1082 1
0687
0354
0218
0149
0108 1
0,1148
0561
0338
0228
0164
0,1740
0787
0463
0310
0222
0,1504
1036
0600
0395
0281
0,1326
0743
0486
0344
0257
0,1658
0897
0578
0407
0303
0,1420
1060
0673
0472
0350
%ν
0,875 1
864
841
818
792
770
0,866
842
817
794
770
0,868
843
819
1 795
770
0,859
846
819
794
771
0,847
820
795
772
750
0,846
820
796
772
750
0,834
821
796
772
750
ηΒρ I
0,864 Ι
901
939
957
968
975 I
0,859
914
941
956
966
0,816
892
925
945
957
0,832
869
910
934
949
1 0,844
895
922
940
952
0,821
881
912
932
946
1 0,838
867
902
924
939
η Ι
0,756
779
790
782
767
750
0,744
770
770
759
744
0,708 1
751
757
750
738
0,713 1
733
745
742
732
0,714 1
733
734
726
714
0,696
722
727
720
709
1 0,699
711
719
714
704

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ 147
Продолжение таблицы!
В = 2,25
В = 2,50
В = 2,75
я = з,оо|
\в ==3,25
В = 3,50
Л = 3,75
В = 4,00
1
Ζ
5 1
7
5 1
7
8 1
5,5 |
6
7
8
6
7
9
Ι β
7
8
9
6
7
8
9
6
7
9
6
6,5
7
8
9
2Р
0,0900 1
0625
0460
0352
0,1000 ]
0694
0510
0390
0,0909 1
0764
0561
0430
0,0833
0611
0469
0370
1 0,0902
0673
0509
0401
0,0972
0714
0547
0433
0,1040
0765
0587
0464
0,1Ш
0947
0817
0625
0495
27
0,1245 1
0778
0540
0399
0,1440 1
0885 !
0610
0446
0,1255
0997
0680
0499
0,1115
0752
0550
0422
1 0,1240
0848
0603
0461
0,1370
0901
0658
0500
0,1500
0990
0714
0542
1 0,1669
1320
1080
0771
0584
V
0,822
797
773
750
,822
798
774
750
0,810
799
774
750
0,800
775
751
730
0,800
776
752
730
0,800
776
753
730
0,800
777
753
ι 730
0,801
790
777
754
730
V |
0,851
892
916
933
0,836
882
909
927
0,850
872
902
920
0,862
895
915
930
0,851 ,
886
910
926
0,842
880
904
921
0,832
872
898
916
1 0,820
845
865
892
912
η 1
0,700 1
711
708
700
0,687 1
704
703
696
0,690 1
697
698
691
! 0,689 1
693
687
679
0,681 1
687
684
676
0,673
682
680
672
0,666
677
676
669
1 0,658
667
672
672
666
10*

148
ЗИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
§ 8. Подбор лопастей вентилятора по теории решеток.
Остается определить форму лопастей вентилятора.
Задавшись углом атаки β, который средняя скорость образует
с хордою дужки сечения лопасти, мы определяем угол μ,
образуемый этою хордою с осью вентилятора, по формуле:
Ωγ— -^- — —
tg(^+i3) = ^^=(^-7)|^-i):-^.(55)
Здесь удобно сделать построение углов μ + Ρ £рафи-
чески с помощью фигуры 12. Откладываем ОД = У;
восставляем перпендикуляр ОВ и откладываем 05 = г; вос-
Фиг. 12.
ставляем в точке В перпендикуляр ВС к прямой АВ;
откладываем 0D=1; получаем:
CD=4-—1.
J
Откладываем далее ΟΕ=-γ и проводим EF\\AB\
получаем:
0F = 4-.
JZ
Наконец, откладываем на перпендикуляре к DC отрезок
DGz=OF и соединяем С и G; получаем:

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ 149
Из формулы (55) видно, что с уменьшением г угол μ
уменьшается.
До сих пор мы еще ничем не воспользовались из
анализа действия винта в кольцевом пространстве. То, что
дает этот анализ, относится к подбору ширины дужек под
условием постоянства циркуляции при всяком значении г.
Формула (36) дает нам:
J г — Mtgfi
2QS COS μ (1 + λ) COS μ '
_ 7(7-ψ)
J 1 + λ
откуда по формуле (39) находим, что
У= г ' _ , · (56)
/\тК'-¥)-*Ш-^)
Чтобы у имел действительные значения, необходимо
выполнить неравенство:
откуда находим для tg^:
tgH-<(r ψ) Ζ.
Это определяет наименьший возможный угол атаки pmln,
который получается малым на конце винта и большим
около втулки 1).
Величина у вполне определяется для всякого г по
найденным Ζ и J. В соединении с формулами (38) она
позволяет отыскать отношение:
α=2/8ΐη|Α, (57)
*) Вместе с тем это является условием, чтобы жидкость за
винтом не обгоняла лопастей винта. (Прим. ред.)

150 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Представляем второе уравнение (38) в виде:
у = sh \\g μ (g^- — *)] = sh (tg μ · V), (58)
и строим семейство линий, выраженных уравнением (58)
для различных параметров μ, направляя ось Ох' влево
(фиг. 13, правая часть).
Фиг. 13.
Для расчета данного винта на каждой линии семейства
строим точку Л, ордината которой определяется по
формуле (56). Потом воображаем подвижные оси координат
Оху с осью Ох7 направленною вправо. На этих осях

СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ
151
строим семейство линий, данных первым уравнением (38):
;/ = ^tg(arcsin|^). (60)
Семейство этих линий начерчено в левой части
фигуры 13. Каждая из них имеет параллельную оси Оу
асимптоту на расстоянии от этой оси, равном μ. Строя
кривые по уравнению (60), можно заметить, что при у > 2
разность jx —χ < 0,04; поэтому при значениях у > 2
можно полагать для сокращения вычислений х = \ь.
Продвигаем подвижные оси координат так, чтобы кривая (60)
с параметром μ прошла чрез соответствующую этому
параметру точку Л, отмеченную на неподвижной системе
линий; тогда, согласно уравнению (59), будем иметь:
χ + χ< = οθ = 7Γ^=-Ί^?- . (61)
1 2 sin2 μ 4rsni(A v '
Из этого уравнения σ определяется для каждого μ. Мы
будем вследствие этого иметь σ во всяком месте лопасти
вентилятора.
Что касается до числа η лопастей, то при указанной
конструкции вентилятора, дающего равномерный поток,
можно, смотря по требованию, задаться этим числом и
подобрать ширины лопастей 2/ во всяком месте по
отношению σ. Неточность анализа заключается в том, что
вблизи вентилятора соосные цилиндры немного отступят
от поверхностей тока.

+
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА·
(Статья четвертая)1).
§ 1. Вступление. Начиная с 1912 г. я и В. П. Вет-
чинкин занимаемся теоретическою и опытною обработкою
вихревой теории гребного винта и напечатали по этому
вопросу ряд статей2). При этом В. П. Ветчинкин дал
основанный на этой теории способ расчета гребных винтов
и приложил его к конструированию пропеллеров,
поставленных на аэропланы (винты типа НЕЖ) и давших результаты,
согласные с теориею.
В настоящей статье помещено изложение вихревой
теории, основанное на рассмотрении вихревого слоя,
облегающего струю, отбрасываемую винтом.
1) Впервые опубликовано в Трудах Авиационного расчетно-
испытательного бюро, вып. 3 — 4, стр. 1—99, 1918.
2) Жуковский Η· Е., Вихревая теория гребного винта.
Три статьи. Статья первая. Труды Отделения физических
наук Общества любителей естествознания, т. XVI, вып. 1, 1912.
Статья вторая, там же, т. XVII, вып. 1, 1914. Статья
третья, там же, т. XVII, вып. 2, 1915 [стр.9, 63 и 116
настоящего издания].
В е τ ч и н к и н В. П., Расчет гребного винта. Бюллетени
политехнического общества № 5, 1913. Об инвариантах гребного
винта, Труды Отделения физических наук Общества любителей
естествознания, т. XVII, вып. 1, 1914. Приложение теории
идеального пропеллера к исследованию и расчету гребных винтов
(литографированное изд.), Москва, 1916,

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
153
§ 2. Общая характеристика движения жидкости
с циркуляцией около винта. В основании теории лежит
понятие о циркуляции скорости. Циркуляциею скорости
по заданному контуру называют сумму произведений
проекции скорости на направление элементов [контура]. Если
скорость точек жидкости уподобить силе данного поля, то
циркуляция скорости уподобится работе силы при
передвижении по данному контуру. Напомним теоремы
гидродинамики, связанные с понятием о циркуляции.
Течение жидкости называется незавихренным, если в нем
циркуляция скорости по всякому замкнутому контуру,
могущему обратиться в точку не выходя из жидкости, равна
нулю. Если этого нет, то течение жидкости называется
завихренным. Для завихренного течения жидкости
циркуляция скорости по замкнутому контуру, проводимому чрез
одни и те же частицы жидкости, при передвижении этих
частиц не изменяется. Поверхности, на которых для всякого
замкнутого контура циркуляция скорости равна нулю,
называются поверхностями вихря, а линии пересечения их
между собою называются линиями вихря.
Так как циркуляция скорости при передвижении частиц
жидкости, лежащих на замкнутом контуре, не изменяется
со временем, то всякая поверхность, являющаяся
поверхностью вихря в данный момент, остается ею при
передвижении вместе с лежащими на ней частицами жидкости.
Жидкость, заключенная внутри поверхности вихря,
представляющей бесконечно тонкую трубку, называется
вихревою нитью, а половина циркуляции скорости по контуру
сечения вихревой нити называется ее напряжением. Вдоль
вихревой нити напряжение вихря одинаково. Разделяя его
на площадь нормального сечения вихревой нити, получаем
так называемую угловую скорость вращения частиц
жидкости. Если вообразить фиктивный поток жидкости со
скоростями, равными угловым скоростям частиц жидкости и
направленными по линиям вихрей, то получим некоторое
движение несжимаемой жидкости, струйки которого суть
вихревые нити. В силу неизменности циркуляции при
передвижении замкнутого контура вихревые нити все время движения
остаются вихревыми нитями и сохраняют свое напряжение,

154
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Если среди незавихренной жидкости имеется тонкая,
но конечной толщины трубка, внутри которой жидкость
завихрена, то такая трубка называется вихревым жгутом,
а если образуется сильно завихренная масса, заключенная
между двумя близкими поверхностями вихря, то такая
масса называется вихревым слоем. При переходе чрез
вихревой слой проекция скорости жидкости на касательную
плоскость к поверхности слоя изменяется скачком, поэтому
поверхность вихревого слоя является поверхностью
раздела скоростей текущей жидкости. Если сложим
геометрически скорости незавихренного потока, в котором
имеется вихревой слой, со скоростями некоторого
завихренного потока, в котором напряжение вихрей
распределено непрерывно, то получим завихренное течение
жидкости, в котором будет иметься поверхность раздела.
Переходим теперь к рассмотрению течения жидкости,
окружающей вращающийся пропеллер. Мы можем
рассматривать это течение относительно винта как неподвижного
или относительно плоскости, в которой винт вращается,
как неподвижной. В обоих случаях получаем поток,
который движется в большом расстоянии от пропеллера со
скоростью W, равной и противоположной скорости
поступательного движения пропеллера. (За пропеллером эта
скорость в струе винта отличается от W.) Мы будем на-^
зывать первое течение жидкости относительным течением,
г второе абсолютным течением. Это последнее является
абсолютным в случае опытов с винтами в потоке жидкости.
Относительное течение жидкости является установившимся;
абсолютное же течение периодически изменяется чрез очень
короткие промежутки времени, соответствующие времени
оборота винта, разделенному на число лопастей. Вследствие
этой краткости мы сделаем малую ошибку, если будем
абсолютное течение считать тоже установившимся, и за
его давление принимать среднее давление за время
оборота винта.
В § 3 моей второй статьи доказано, что в потоке,
отбрасываемом винтом, вихревые нити абсолютного
движения направляются по линиям токов относительного
движещя. Это положение может быть коротко обнару-

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
155
жено нижеследующим соображением. Вообразим линию тока
относительного движения, проходящую из бесконечной
дали в струю винта между его лопатками, и построим
замкнутый контур, охватывающий эту линию, настолько
малый, что, передвигаясь вместе с частицами жидкости,
он не задевает лопаток. Этот контур при движении
жидкости опишет вихревую нить, так как циркуляция скорости
по нему, будучи равна нулю вне струи винта, будет все
время оставаться нулем. Построенная вихревая нить
совпадает с лиииею тока относительного движения.
Фиг. 1.
Из указанной теоремы следует, что на фотографиях
Фламма1) мы имеем изображение линий тока
относительного движения на граничной поверхности раздела струи,
отбрасываемой винтом. По этим линиям тока движутся
воздушные пузырьки, которые втянуты низким давлением
вихревого слоя, облегающего струю, отбрасываемую
винтом. На фигуре 1 изображены слева линии тока
относительного и справа — абсолютного движения, начертанные
на поверхности тока, опирающейся на площадку АВ,
ометаемую винтом. Поверхность, составленная из этой
*) Φ л а м м О., Судовой гребной винт и его действие в воде,
перевод Каменского, Москва, 1910»

156
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
площадки АВ и вихревого слоя DABC, представляет
поверхность раздела рассматриваемых течений жидкости. В
абсолютном движении частицы жидкости вне этой поверхности
имеют невихревое движение; внутри же ее движение будет
невихревым только для
винта типа НЕЖ, вообще
же оно будет завихренное.
£, При переходе извне
внутрь поверхности
раздела чрез донышко АВ
окружная скорость из-
меняется скачком, а при
переходе чрез боковой
вихревой слой DABC
окружная и осевая
скорости изменяются
скачком. Эти заключения
получаются из
теоретического исследования,
изложенного в § 3 моей
первой статьи по теории
гребного винта, и вполне
согласны с диаграммами
опытов Костанци1).
Предположим, что пропеллер
имеет г лопастей, и
проведем из центра, лежащего на оси винта над площадкою АВ,
окружность, плоскость которой перпендикулярна оси винта.
На этой окружности построим поверхность тока, которую
будем звать круговою поверхностью тока, и предположим,
что она проходит внутрь поверхности раздела DAB С
(фиг. 1). Эта круговая поверхность пересечет лопасти
пропеллера по контурам, отмеченным на фигуре 2 черными
изображениями. На фигуре 2 изображен контур, который
лежит на проведенной нами круговой поверхности тока; он
лежит частью над плоскостью АВ, ометаемой винтом, и
частью под нею. Часть контура, лежащая над плоскостью АВ,
Фиг. 2.
1) GQStanzi, Esame di varie Tipi di Eliche, Roma, 1912,

СТАТЬИ ЧЕТВЕРТАЯ
157
находится в незавихренной жидкости, а часть, лежащая
под плоскостью АВ,—в завихренной жидкости, но так
как она лежит на поверхности тока, которая, по
сказанному выше, совпадает с поверхностью вихря, то
циркуляция скорости по всему начертанному на фигуре 2
контуру есть нуль.
Так как при сближении линий, определяющих шейки
петель, охватывающих полости винта, циркуляции по ним
взаимно сокращаются, то мы приходим к заключению, что
сумма циркуляции по всем контурам, охватывающим
лопасти винта, равна по величине и противоположна
по знаку циркуляции по замкнутому контуру,
проведенному вокруг соответствующей круговой поверхности
тока по этой поверхности.
Называя через J циркуляцию по замкнутому контуру,
охватывающему лопасть, мы найдем для циркуляции по
контуру, охватывающему соответственную круговую
поверхность тока, величину zJ. Если винт — системы НЕЖ, то
величина J постоянна вдоль всей лопасти винта, и внутри
струи для всех контуров, охватывающих ось винта,
циркуляция zJ одинакова. Она равна двойному напряжению
осевого вихревого жгута, который на фотографиях Фламма
отмечается воздушными пузырьками, располагающимися
вдоль оси винта. Для винтов иного типа, нежели НЕЖ,
величина zJ обыкновенно убывает с уменьшением
радиусов г кругов, по которым берется циркуляция, и может
обратиться в нуль при г = 0, если нет осевого жгута· При
этом величина zJ всякий раз равна двойному напряжению
осевого жгута, сложенному с двойной суммой напряжений
всех вихревых нитей, проходящих чрез рассматриваемую
окружность. Когда эта окружность с возрастанием радиуса
выходит за поверхность раздела, тогда циркуляция по ней
равна нулю, так как ее можно обратить в точку, не выходя
из незавихренной жидкости (приподняв сначала над
площадкою АВ). Это показывает, что двойная сумма
напряжений осевого жгута и всех вихревых нитей, заполняющих
струю, отброшенную винтом, равна по величине и
противоположна по знаку двойной сумме напряжений вихревых
нитей, составляющих боковой вихревой слой.

158
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
§ 3. Величина скачка скоростей и давлений в струе
винта. Теперь мы можем определить величину скачка
окружной скорости при прохождении чрез поверхность
раздела АВ. Вообразив, что частицы жидкости,
расположенные на окружности, имеющей центр на оси винта выше
площадки Л5, проходят чрез эту площадку и вступают
внутрь струи, расположившись на окружности радиуса г,
мы придем к заключению, что до перехода чрез
площадку АВ циркуляция по контуру, образованному
рассматриваемыми частицами, была нулем, а после перехода
она обратилась в
2wv = zJ.
Отсюда следует, что окружная скорость ν приросла
скачком от нуля на
Эта формула дает величину окружной скорости во всякой
точке внутри поверхности раздела, причем J есть
циркуляция скорости, взятая по контуру, по которому
соответствующая поверхность тока пересекает лопасть винта.
Скачок, на который прирастает осевая скорость при
переходе чрез боковой вихревой слой, мы найдем после
того, как определим среднее давление ρ в определенной
точке пространства в абсолютном движении струи.
Проведем чрез эту точку траекторию относительного
движения, изображенную на левой части фигуры 1, и, прибавив
к действующим силам силовую функцию — -~Q2n от
центробежной силы, где Ω—угловая скорость винта, а
г — расстояние от оси, напишем по теореме Бернулли:
Здесь ρ — давление в данной точке, р0 — давление в
бесконечности, ρ — плотность, W — скорость потока в
бесконечности, W-\-w—осевая скорость, ν — окружная ско-

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
159
рость, и — радиальная скорость. По сокращении получаем:
Ρ ι (Г+«)« , с» . а* о«,вЛл_ W*
или
где Vх — абсолютная скорость.
Взявши среднее значение от обеих частей написанного
равенства по окружности сечения круговой поверхности
тока, получаем:
2л
Ρ . V'2 Ро ι W* , Ω f .
T + ΊΓ^Τ+ΊΓ + *Tj"<1*·
о
где rrfcp— элемент окружности сечения круговой
поверхности тока. Интеграл, стоящий в формуле, представляет
циркуляцию по этой окружности. Циркуляция эта равна
нулю, пока рассматриваемый контур лежит вне поверхности
раздела DABC, и обращается в /г, когда контур
располагается внутри этой поверхности.
Таким образом внутри поверхности раздела имеем:
р V'2
Отсюда следует, что двучлен—-]—о—, соответствую^
щий теореме Бернулли, при переходе внутрь
поверхности раздела возрастает скачком на γ- Q.
Для перехода чрез площадку АВ поверхности раздела
этот скачок надо отнести к резкому изменению окружной
скорости и давления. Если же мы будем рассматривать
переход чрез боковую часть поверхности раздела DABC,
J ζ η
то скачок "2jr» следует отнести только к изменению
скорости жидкости, так как внутри бокового вихревого
слоя нет твердого тела, удерживающего давление. Оста-

160 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
навливаясь на далекой точке D поверхности струи,
которая не имеет радиальной скорости, напишем для нее г):
■W*] =
= 1^(2^+^) + ^],
где W-{-wx — скорость в отдаленной части струи за
поверхностью раздела, a R — радиус струи в этом месте.
Найденное соотношение можно написать так:
(■ч-*)*-£(«-&·)
(3)
Оно дает нам искомый скачок wx осевой скорости при
переходе чрез боковую поверхность струи, определяемый
по данным J и W. Мы
будем называть соотно-
'" шение (3) поверхности
/д ним условием.
Переходя к различным
точкам сечения
отдаленной части струи, найдем,
что прирост w1 осевой
скорости будет для них
вообще функциею г
расстояния точки сечения от
оси струи. Эту функцию
при заданном J в
функции г можно определять
с помощью
интегрирования некоторого
дифференциального уравнения, которое выражает то условие,
что линии вихрей абсолютного движения направляются по
линиям тока относительного движения жидкости.
На фигуре 3 нарисованы линии тока ag и dh
относительного движения, начертанные на двух весьма близких
Фиг. 3.
1) Практически эта точка может быть взята на небольшом
расстоянии от пропеллера, где круговые поверхности тока
приближаются к круглым цилиндрам.

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
161
круговых поверхностях тока, в отдаленной части струи,
где они переходят в цилиндр. Точки and взяты на
одном и том же радиусе adO> а точки b и с отстоят от
сечения аОе на одно и то же малое расстояние
eb—fc = dy.
Циркуляции скорости на замкнутом
четырехугольнике abed, лежащем на поверхности тока, сбегающей
с лопасти, и на треугольниках аде и def, лежащих на
круговых поверхностях тока, должны быть нулями по
указанной теореме, так как эти контуры лежат на
поверхностях вихря. Условимся обозначать циркуляцию
квадратною скобкою, заключающею в себе контур, по
которому берется циркуляция, и напишем:
О = [abeda] + [ebae] -j- [fdcf] = [daefd] + [ebcfe].
Здесь произведено сокращение циркуляции по элементам,
в которых она берется в двух противоположных
направлениях, и прибавлена равная нулю циркуляция [ef].
Написанное равенство дает нам:
Отсюда следует, что
d (zj\ dw± dy_ ft
dr\2iz) dr dy
Так как ag есть линия тока в относительном движении, то
1 dy _ W + wt
и наше дифференциальное уравнение принимает вид:
(а-^Ш#Ы-^ + »>>'· (4)
Для винта типа НЕЖ J постоянно; вследствие этого, по'
уравнению (4), и wi тоже постоянно. При этом это
постоянство J есть условие, необходимое и достаточное для
Η Зак, 1694, Η. Е. Жуковский,

162 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
постоянства wv Таким образом винт типа НЕЖ есть
единственный пропеллер, отбрасывающий струю с
постоянною осевою скоростью.
Для случая переменного J умножаем обе части
уравнения (4) на dr и берем интеграл от г до R:
R
г
= I(ur+Wl.0)*-i-(U4-^)2.
где значок (0) относится к поверхности струи. (В
поверхностном условии (3), когда не рассматривают осевую
скорость в различных точках сечения, мы вместо wv0 пишем
просто wt.)
Совершаем интегрирование по частям и переносим
члены:
j(r+Wl.o)2_^(Q_^-)_^(ir+Wl)a=
в
п Zj ·, 1 /zj\* Г 1 /zJ\* .
г
Так как на основании формулы (3)
= ^ (Г+»,.„)« —I(2W4-^.о) «ι·ο—?(ίΓ+»ι)ίβ
TO
г
Формулы (3) и (5) упрощаются, если ввести, как это
делает В. П. Ветчинкин, отвлеченные обозначения:

статья четвертая:
163
По разделении обеих частей формул (3) и (5) на (QR)2
получается:
».(F+|)_7(i_7,, (3')
K'+f)-^1-*7)+ *}*** (5'>
Г
В формуле (3') надо бы написать wlt0. Если положим в
формуле (5,)г=1, т.е. возьмем точку на поверхности струи,
то формула (5') обратится в поверхностное условие (3').
Она обращается в формулу (3') и тогда, когда У постоянно.
В том случае, когда J мало *) и нижний предел
интеграции г удален от нуля, можно на всех круговых
поверхностях тока определять wi по формуле (3'), которая дана
для граничной поверхности, или даже по формуле:
которая показывает, что в различных точках сечения
струи wx приближенно зависит только от значений J на
круговых поверхностях тока. >
§ 4. Величина приращения осевой скорости в
плоскости винта. Чтобы отыскать значение w добавочной
осевой скорости в плоскости, ометаемой винтом, сравним
два выражения силы тяги винта, из которых первое
получается с помощью соотношения (2), отнесенного на левой
части фигуры (1) к двум сечениям круговой поверхности
тока, опирающейся на площадку АВ9 ометаемую винтом,
расположенным очень близко от этой площадки: одно выше,
а другое ниже ее. Второе же получается, прилагая к сфере
весьма большого радиуса, проведенной на правой части
фигуры 1 из центра О, теорему Эйлера.
Остановимся сначала на приближенном анализе, прило-
жимом ко всякому потоку винта, не имеющему вихревого
1) Для аэропланов J имеет величину около 0,005.
И*

164
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
J
жгута, причем допустим, что -у при г = О стремится к нулю.
В этом предположении, так как J есть вообще малая
величина сравнительно с Ω, можно все изменение давления
Jz
в формуле (2) определять по скачку -χ— Ω, так как скачок
V2 1 / JZ \2
в -ψ есть •H-f-s—J , т. е. малая величина, и принять:
В сделанном предположении
■§?^Qdo,
(7)
где da есть кольцевой элемент площади донышка АВ.
Написанное выражение согласно с формулою (6), имеющей
место при сделанном допущении, представляется в виде:
P = pJ(wr + -b)w1<fc, (7')
где wt есть добавочная скорость на весьма удаленной
площади DC сечения струи.
По теореме Эйлера, приложенной к указанной сфере,
сила тяги винта Ρ равна сумме проекций на ось винта
всех давлений на поверхность сферы и сумме проекций
на эту ось всех количеств движения жидкости,
протекающей чрез нее, считая вытекающее количество движения
со знаком ( + ), а втекающее со знаком (—).
Вследствие весьма большого радиуса сферы давления
в ее точках равны постоянному давлению потока р0
(с точностью до бесконечно малой величины третьего
порядка относительно обратного радиуса сферы), кроме
давлений на донышке CD, которое меньше р0 от эффекта
центробежных сил. Но это уменьшение давления будет
порядка ("2^7") и может быть при сделанном приближении
пренебрежено. Что касается до количеств движения, то
всякая масса т входит чрез поверхность сферы и
выходит из нее с равными и параллельными скоростями, кроме

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ 165
масс, которые входят чрез площадку EF и выходят из
площадки DC. Эти массы приобретают приращение
скорости wv Посему
р=2 wwv
где т может быть определено по кольцевому элементу
площади на площадке АВ, ометаемой винтом:
m = (W-\-w)pda.
Откуда второе выражение силы тяги будет:
ρ = ρ §(W+w)w1do. (8)
Сравнение формул (8) и (7') приводит к заключению, что
для всякой круговой поверхности тока
·-■?. О)
Это дает иам теорему Финстервальдера г):
*) В сочинении Бендемана (Бюллетени Политехнического
общества, № 7, 1910) указывается, что эта теорема была
установлена в лекциях Финстервальдера. На втором Всероссийском
воздухоплавательном съезде в 1912 г. приводил доказательство
этой теоремы Г. X. Сабинин; оно было потом изложено
В. П. Ветчинкиным в статье «Расчет гребного винта»
(Бюллетени Политехнического общества, № 5, 1913). Аналогичное
доказательство было в 1915 г. приведено Ланчестером.
Недавно появилось в печати сочинение Г. А. Ботезата
«Исследование явления работы лопастного винта», Петроград, 1917,
в котором доказательство обобщается на случай, когда винт
сообщает жидкой струе поступательное и вращательное
движение. При наших обозначениях доказательство Ботезата может
быть изложено нижеследующим образом. Между двумя весьма
близкими круговыми поверхностями тока секундная масса
жидкости т вступает в вихревой слой АВ (фиг. 1) (имеющий в
действительности ширину винта) и подвергается от действия
лопастей некоторой осевой силе ΔΡ (направленной вверх) и
некоторому моменту -^— (действующему против вращения винта). Так
как на протяжении вихревого слоя АВ осевую скорость W+w
можно принять постоянной, то работа осевой силы будет:
&P(W + w);

166
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Прирост осевой скорости на плоскости^ ометаемой
винтом, в два раза менее этого прироста для
отдаленной точки струи на той же круговой поверхности
тока.
Если бы мы на некотором расстоянии за винтом
поставили радиальные перегородки, спрямляющие струи, то
вращение жидкости на донышке CD было бы устранено,
и формула (8) сделалась бы совершенно точной·
§ 5. Поправка на сжатие струи· Результаты
испытания винта типа НЕЖ в аэродинамической
лаборатории МВТУ. Для винта типа НЕЖ было доказано выше, что
скорость wt во всех точках отдаленной части DC сечения
струи одинакова. В силу соотношения (9) заключаем, что
она одинакова и на площадке АВ, ометаемой винтом, что
вполне согласно с анализом, данным в § 3 моей первой
статьи. Постоянство прироста осевой скорости на
площадках АВ и DC приводит к заключению о постоянстве
что касается до работы от момента, то, обращая внимание на то,
что окружная скорость при вступлении в вихревой слой есть
нуль, а по выходе из него имеет величину
Jz
2%г'
можем взять работу при средней угловой скорости жидкости:
ΔΓ Jz
Ω 4π/·2 e
Сумма этих работ должна равняться приращению живой силы
массы т при переходе от сечения EF к сечению DC:
Прилагаем теорему Эйлера и теорему о моменте количеств
движения к жидкой массе, заключенной между полными круговыми
поверхностями тока и плоскостями EF и DC:
АГ> ΔΓ Jz mJz
Подставляя и сокращая, находим:

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
167
отношения радиусов двух точек этих площадок, лежащих
на одной и той же круговой поверхности [тока] и к
одинаковости отвлеченной величины г для этих точек. Ввиду
этого формулу (3) можно написать в виде:
5(F+«)=»7(i—-^-.7). [ЗА]
Дробь -^72- равна двум для геликоптерного винта *) и
близка к единице при большой скорости W. В этом
последнем случае можно принимать:
w(W + w) = 7(1—7), (10)
относя формулу к площадке, ометаемой винтом.
Точное выражение для формулы (7) получается, при-
1/2
нимая во внимание скачок в выражении -ψ при переходе
чрез площадку АВ, который равен о"(о—) » потому что
осевая и радиальная скорости изменяются при этом
непрерывно. Мы получаем:
Для винта типа НЕЖ второй член, несмотря на малость У,
с убыванием г до радиуса втулки может сделаться
значительным, и можно бы подумать, что вывод соотношения (9)
к винту типа НЕЖ неприменим. Но дело в том, что,
обращая внимание на члены, зависящие от квадрата окружной
скорости, мы должны будем принять во внимание падение
давления на донышке DC от действия центробежной силы.
По формуле (2) падение давления ρ—р0 будет:
p—po=j [(wT ~ (is$} ·
*) R есть радиус винта, а /?; — радиус струи далеко за виц-
том. (Прим. ред.)

168
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Вместо формулы (8) мы должны будем написать:
где значком (') отмечены величины, относящиеся к
донышку CD. Последние члены, стоящие в формулах (И)
И (И7)» одинаковы между собою, потому что при
независимости от радиуса осевой скорости на площадках АВ и CD
имеем:
d<j с№
"72" ~р2Л ·
Сравнение вторых частей формул (И) и (11') приводит
нас к равенству, которое на основании формулы (3)
напишется так:
Л-(*+*)+i(№-
-jOr+«)«r,<fe+j4-(5Jjr),*">· i*i
Отбрасывая равные между собою величины
Г/Уг\2^ C(Jz\*da'
)\2π) Я* И J\2k) Я'2 '
получим вывод соотношения (9) и для винта типа НЕЖ.
На ниже помещенных фигурах даны результаты
наблюдений винта типа НЕЖ *), сделанных в аэродинамической
*) В равенство [А] вкралась описка. При сравнении
формул (11) и (И') надо воспользоваться формулой [ЗА] (стр. 167),
что изменяет формулу [А] в следующую:
Здесь интегралы с У2 уже взаимно не уничтожаются. Однако
вычисления показывают, что это мало влияет на формулу (9)
и она остается почти точной и при учете сжатия струи за
винтом. (Прим. ред.)
*) Исполнен по проекту В. П. Ветчинкина.

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
169
лаборатории Высшего технического училища, причем винт
исследовался как геликоптерный, т. е. при W=0.
На фигуре 4 изображена диаграмма осевых скоростей,
которые представлены вертикальными векторами, отсчи-
Масштаб скоростей
5 W/ом/сел
i Г
w
\ V
Ι ψ
\ \ftS
Фиг. 4. Распределение скоростей за геликоптерным винтом
типа προφ Η. Е. Жуковского.
D = 1,5 м; 2У β 0,030; η = 635-640 об/ман.
Теоретические значения: Ρ=15,1 кг; Ж=1,87 кгм; £=0,50.
Наблюденные значения: Я = 13,2 кг; jW = 1,75 кгм; £=0,44.
5 марта 1914 г. Опыт вели студенты: В. П. Ветчинкин, С. В. Гулевич,
Г. М. Мусинянц, Соловьев.
тываемыми от плоскости, в которой помещался
микроманометр, Крестиками обозначены точки, в которых
скорость, быстро возрастая с уменьшением радиуса, достигает
своей наибольшей величины. Линию, проведенную чрез

170
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
крестики, можно считать внутренним очертанием бокового
•вихревого слоя.
На фигуре 4 мы видим, что внутренняя круговая
поверхность бокового вихревого слоя быстро переходит
к круглому цилиндру. Скорость перед винтом вблизи его
средней плоскости сечения приблизительно в два раза менее
скорости в сечениях за винтом, несколько удаленных
Фиг. 5. Геликоптерный винт типа проф. Η. Е. Жуковского.
Спектр, псевдоспектр и скорость вращения струи за винтом η«=640 об/мин.,
2 = 67.
Насадок Крелля, И марта 1914 г. Опыт вели студенты: В. П. Ветчинкин,
Н. Лапин, Г. М. Мусинянц.
от винта. Эти последние скорости на всем протяжении
от боковой поверхности раздела до цилиндра, опирающегося
на втулку, постоянны. Части диаграммы, заштрихованные
наискось, и пунктирные горизонтали служат для
обозначения теоретических скоростей, которые вычислялись по
формулам моей первой статьи «Вихревая теория гребного
винта». Мы видим, что теоретические осевые скорости
^близко} совпадают с наблюденными.

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
171
На фигуре 5 представлен спектр скоростей для винта
НЕЖ, построенный по манере Костанци. Левая часть
фигуры дает проекции скоростей на меридиональное сечение,
а правая часть дает так называемый псевдоспектр, т. е.
проекцию скоростей на касательные плоскости к круглым
цилиндрам, имеющим осью ось винта. На правой части
фигуры 5 вычерчены еще кривые круговой скорости ν
по наблюдению и по формуле (1) при г = 2 и 7 = 0,015,
причем сплошная кривая представляет наблюденные
окружные скорости, а пунктирная — теоретические.
На фигуре 6 дана диаграмма давлений в поле винта
НЕЖ, определенных по микроманометру с насадком Ни-
фера. Давления изображены в условном масштабе
векторами, отсчитываемыми от той горизонтали, в которой
помещался микроманометр, причем падение против
атмосферного отсчитывается вниз. Мы видим резкое падение
давления при переходе чрез боковую струю. Линия, отмеченная
на фигуре 6 крестиками, представляет место наиболее
пониженных давлений и дает очертание средней круговой
поверхности тока в боковом вихревом слое.
Скачок понижения давления с точки зрения вихревых
жгутов, сбегающих с концов пропеллера, объясняется
низким давлением на осях этих жгутов; с точки зрения
вихревого слоя, охватывающего струю жидкости, отбрасываемую
винтом, наблюденный скачок давления объясняется тем,
что в формуле (2) при переходе по радиусу чрез
вихревой слой сначала происходит резкое возрастание V'2
от увеличения и радиальной, и осевой скорости, а потом
J ζ π
растет член γ-ΰ до своего постоянного значения внутри
струи.
При прохождении же чрез вихревой слой радиальная
скорость уменьшается (см. анализ в § 3 моей первой
статьи), а скачок -^-2 сохраняется. Это дает прирост
давления против атмосферного. При дальнейшем
приближении ко втулке мы получаем увеличивание окружной
скорости по формуле (1), чему соответствует опять
понижение давления, отмеченное на диаграмме внутри круглого

172
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
цилиндра, опирающегося на втулку. Здесь, подходя к оси,
мы получаем изменение давления по закону параболы,
соответствующее вращению осевого цилиндра как твердого
тела.
На фигуре б мы видим над винтом тоже понижение
давления, которое равномерно распределено по всей пло-
ι I ! ! i Ι I
Фиг. 6. Распределение давления за геликоптерыым винтом
типа проф. Η. Е. Жуковского.
η = 640 об [мин. Насадок Нифера.
7 марта 1914 г. Опыт вели В. П. Ветчинкин, Г. М. Мусинянц.
щади, ометаемой винтом. По подсчету оказывается, что
как за винтом, так и перед ним имеем в среднем понижение
давления, но понижение давления перед винтом более,
нежели за винтом, что и образует силу тяги винта навстречу
движению жидкости. Причина скачка повышения давления
-ψ- Q объясняется при взгляде на относительные траекто-

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
173
рии, представленные на левой стороне фигуры 1. Эти
траектории, которые идут сначала очень наклонно, при
переходе чрез площадку АВ резко уменьшают свой наклон
к оси винта, что уменьшает скорость относительного
движения и образует указанный скачок увеличивания давления.
Оканчивая этот параграф, укажем простой способ
построения w по заданному 7. На фигуре 7 вычерчены для
разного значения J равносторонние гиперболы, в которых
произведение координат равно 7(1 — 7), и проведена
прямая OD под углом 45° к горизонту. Построив отрезок
Фиг. 7.
ординаты АВ = W между данной гиперболой и прямой,
мы найдем отрезок 5С=-ш. С большею точностью можно
определить -к; по J и W помощью нижеприведенной
таблицы I [стр. 228]·
§ 6. Теория идеального пропеллера. Переходим
к определению работы, потребной на вращение пропеллера.
Вообразим две плоскости сечения круговой поверхности
тока, опирающейся на площадку АВ (фиг. 1), из кото·

174
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
рых одна немного выше АВ, а другая немного ниже ее,
и расположены так, что пропеллер заключен между ними.
Определим возрастание момента количества движения
относительно оси винта жидкости, протекающей чрез
построенный слой. При вступлении в него жидкость не
вращается, и момент количества ее движения равен нулю, а
при выходе из него он равен:
Это возрастание момента количества движения равно
моменту внешних сил, вращающих пропеллер и, будучи
умножено на угловую скорость пропеллера 2, дает
искомую работу:
Г= §p*LQ(W+w)th. (12)
Соединяя эту формулу с формулою (7), найдем с
приближением:
Γ = Ρ(№+όΟ, (13)
«-ρ — Wt (14)
где под w надо подразумевать среднюю скорость
подсасывания в плоскости, ометаемой винтом.
Подставляя величину w в формулу (8), положив в ней
ό;1 = 2ό> = const., найдем:
Ρ = 2σρ(Ι—^).7_. (15)
Эта формула является исходною формулою теории,
которую В. П. Ветчинкин называет теориею идеального
пропеллера.
Для случая геликоптерного винта имеем f = 0 и
^- = 2ρσ = £4 (16)

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ 175
Это есть известная формула Ренара. Для воздуха Р = ~о>
и потому Ε = у. На самом деле сила тяги вследствие
влияния вращения жидкости оказывается менее той,
которая дается формулою (7), как это видно по формуле (11),
поэтому Ε < γ, что вполне согласно с наблюдениями
Д. П. Рябушинского в аэродинамическом институте в
Кучине.
Определение силы тяги геликоптерного винта по
заданной работе Τ дает на основании формулы (16)
формулу Вельнера:*
Ρ0 = Ϋ2ρκ&Τ*9 (17)
а скорость подсасывания w, которая на основании
формулы (14) при W=0 будет
L
«0--Е-. (18)
по заданной работе представляется для данного случая
в виде:
2ρπ#2 "
нии ра
силах обе формулы преобразуются в следующие:
При ρ = -g- и при выражении работы в лошадиных
р0 = 10,34 уЩнрух (170
w0 = 7,256 }Г^. (19')
Пользуясь формулой (15), мы сейчас же определяем так
называемый идеальный коэффициент полезного действия
пропеллера, который согласно формуле (13) будет:
(20)

176 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Действительно, разделив обе части формулы (15) на ρσ W2,
получаем квадратное уравнение:
Ρ Ρ _ «.„of! Л λ С2П
Отвлеченную величину В В. П. Ветчинкин называет
коэффициентом нагрузки на ометаемую винтом
площадь.
С помощью этой величины идеальный коэффициент
полезного действия выражается формулою:
^тттЫ-· (21°
которая показывает, что с возрастанием В величина η,
начиная от значения 1, уменьшается до 0. Приводим
таблицу II [стр. 229] различных значений η и -ψ по
аргументу В.
Если по оси абсцисс будем откладывать β, а по оси
ординат — e=s ξ, то получим параболу, уравнение которой
будет:
1β = ξ(ξ-ΐ).
Зта парабола представлена на фигуре 8. Взявши инверсию
ее ординат, мы получим кривую АС, выражающую η по В,
согласно формуле (21). Эта кривая пересекает ось ординат
на расстоянии СА = 1 и расстилается по оси ОВ, как по
асимптоте, причем с возрастанием абсциссы В ордината
ее η постоянно уменьшается до нуля. В. П. Ветчинкин
начертил рядом с упомянутой кривой семейство линий,
которые получились из наблюдений Эйфеля для различных
винтов, располагая действительные коэффициенты полезного
действия η по параметру В. Оказалось, как мы видим на
фигуре 8, что все эти линии идут довольно близко одна
к другой немного ниже кривой ЛС, дающей идеальный
коэффициент полезного действия, причем понижение
коэффициента против идеального при значении В, несколько

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
177
отдаленном от нуля, не более 15%* Таким образом
оказывается, что главная величина действительного коэффициента
полезного действия зависит от идеального коэффициента.
Этот коэффициент возрастает с уменьшением 5, поэтому
0\0J 0J 0,6 0,8/,0 /J /J /,6 18 2,02,22β2,62,83,03,2 3,43,63β W
Фиг. 8.
выгодно увеличивать радиус винта. Заметим, что в
выражении (21) для В только R характеризуется винтом,
величина же -ψ% зависит от сопротивления дирижабля
или судна, если речь идет о гребном винте, и от
гидродинамических потерь в трубопроводе, если речь идет
о вентиляторе.
12 Зак. 1694. Η. Е. Жуковский.

178 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИЙТА
Мы показали, как определяется идеальный коэффициент
по силе тяги, но на практике обыкновенно дается работа
мотора и скорость полета аэроплана. Поэтому покажем, как
по этим данным определить Ρ и η. Назовем через Р0 силу
тяги рассматриваемого винта, когда он вращается при
заданной работе Г, как геликоптерный винт. Подставляем
значения 2ρσ из формулы (16) в формулу (15), обозначая силу
тяги рассматриваемого винта, как геликоптерного при
работе Г, чрез Р0. Получаем после некоторого
преобразования:
Здесь на основании формулы (18)
Τ ~ wQ'
причем скорость подсасывания w0 геликоптерного винта
определяется по формуле (19), поэтому
Так как второй член формулы (22) по сокращении на Р0
представляет идеальный коэффициент полезного действия,
ρ
то, найдя -5" из уравнения (22'), можем определить η по
формуле:
ρ
Ниже приведена таблица III [стр. 230] значений -35- и η по за-
W
данному аргументу —, где wQ — скорость струи в
плоскости геликоптерного винта. На фигуре же 9 даны
графически величины -б" и η при откладывании по оси абсцисс
W
параметра —.

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
179
Мы видим по данной таблице и графике, что при
заданных работе и радиусе винта коэффициент η с возрастанием
скорости W возрастает, стремясь асимптотически к единице,
а тяга Ρ убывает, стремясь к нулю. Рядом с кривыми,
вычерченными для идеального потока, даны на фигуре 9
ρ
кривые для η и у для винта типа НЕЖ, взятые из опытов
в лаборатории Эйфеля над этим винтом *).
Наши рассуждения относятся к опытам над винтом,
поставленным на испытательной тележке, ведомой
посторонней силой, или к опытам в трубе, в которой поток
получает скорость от постороннего вентилятора, независимо
от винта. Если же винт сам ведет подводную лодку или
дирижабль или является вентилятором трубы, в кото-
Ρ
рой приводит в движение воздух, то в этом случае -ψ$
есть, как было сказано выше, постоянная величина, не
Τ
зависящая от винта, а следовательно, и ^ есть величина
постоянная 2).
По формуле (19) имеем:
W*
^=]/^W. (24)
Отсюда заключаем, что в упомянутом случае параметр —
зависит только от радиуса /?, а потому и величины η и
Ρ зависят только от /?, причем с возрастанием радиуса R
ρ
[дробь] -~ уменьшается, а η увеличивается, как это было
указано раньше при определении η по В. Сила тяги Ρ при
этом увеличивается. Если при разных режимах т^гне есть
величина постоянная, то следует остановиться на том ее
г) Верхняя экспериментальная кривая показывает число
оборотов η в минуту при 0 = 2,5жи мощности 100 л, с. На кривой
η меняется от 880 до 980 об/мин. {Прим. ред.)
2) При постоянном коэффициенте полезного действия винта.
12*

^
Чч*
г
\
\\
X
\
к
$>
>
Ч /
Л
\.
/
/
/
I
/
/
/
/
/
/
/
/
/
и
1
1
/
/
1г ι
ч№
V ^ ^ ^ ^ ^f ^ ^г ^ ^?

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
181
значении, для которого нам важно получить более высокое
значение η. Предполагая, что идеальный коэффициент η
не должен выходить из пределов 0,91 и 0,85, В. П. Вет-
чинкин находит по формуле (22) пределы, между
которыми следует взять радиус винта. Для воздуха, при ρ = -g-,
получается неравенство:
55,28/ -^g > D > 39,55j/"^g , (25)
а для пресной воды, при ρ = 102, неравенство:
1№γΓίψτ< D< ^935]/~i^r> (26>
где £> = 2/?.
По первой формуле В. П. Ветчинкин находит для
ходовых винтов, употребляемых на различных аэропланах,
величины диаметров, расположенных в таблице IV [стр.. 231].
Если рассматривать изменение плотности воздуха с
высотою, то вследствие того, что аэроплан работает в том
же воздухе, как винт, а работа Τ мотора внутреннего
сгорания, как показывают наблюдения и теория, изменяется
пропорционально плотности, получается независимость
второй части формулы (24) от изменения р. Таким образом
получается важный результат: идеальный коэффициент
ρ
полезного действия винтомоторной группы и отношение -_-
п>
не зависят от высоты аэроплана. Что касается до силы
тяги Р, то она изменяется пропорционально силе тяги
геликоптерного винта при той же работе и потому,
согласно формуле (17), пропорциональна плотности.
Когда винт ставится на спроектированный аэроплан,
для которого вычерчены динамические диаграммы тяги и
работы по способу, указанному в моем курсе динамики
аэропланов (статья 2, § 2) *), тогда прежде всего следует
*) [Жуковский Η. Е., Собрание сочинений, т. IV* стр, 240,
Гостехиздат, 1949.]

182
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
удовлетворить главным заданиям: горизонтальному полету
при желаемой скорости и подъёму вверх с наибольшею
вертикальною скоростью. Эти задания укажут нам работу Τ
и скорость №, по которым мы определим радиус винта R,
пользуясь неравенством (25).
Считая радиус винта известным и зная по диаграмме
сил тяги для всякого режима скорость полета, мы
определим по таблице II коэффициент η и с помощью его исправим
Τ
на диаграмме работ все величины Г, заменяя их на —.
Полученная диаграмма будет служить для определения
работы при разных режимах для данного аэроплана и
винта с поправкою на идеальный коэффициент полезного
действия. Указанный прием обстоятельно разъясняется
нами при изложении динамического расчета аэропланов.
Скажем теперь несколько слов о выборе винта для
аэросаней. Эта задача близка к вышерассмотренной.
Обыкновенно дают две нагрузки мотора: усиленную работу с
перегрузкой мотора для плохого пути при малой скорости и
нормальную работу для большой скорости, и желают
построить винт, чтобы он давал хороший коэффициент
полезного действия для обоих случаев движения и надлежащую
силу тяги, чтобы сдвинуть сани с места (на снегу особенно
заметна разница между коэффициентом трения для
сдвигания с места и коэффициентом трения на ходу).
Если в формуле (24) мы возьмем
1-1
и определим отсюда при заданных Τ и W величину /?,
то, с одной стороны, найдем хороший идеальный
коэффициент 0,68 и [достаточно] хорошую [идеальную] силу
тяги для геликоптерного винта, которая найдется по формуле:
С другой стороны, для меньшей (нормальной) работы 7\
и большей скорости Wu которые соответствуют хорошей

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
183
дороге, мы найдем при принятом радиусе винта более
высокий коэффициент полезного действия, нежели 0,68, как
это следует из формулы (23) и графики 9.
§ 7. Гипербола Ф. А. Брикса. Опыты Д. П. Рябушин-
ского. Укажем теперь на приближенную формулу для
геометрического винта, которая получается из уравнения (18)
в предположении, что лопасти винта весьма тонки и
представляют поверхность геликоиды с постоянным шагом //,
а все гидродинамические давления ρ при отсутствии
трения, нормальны к этой поверхности. Сила тяги в этом
случае выразится формулою:
Ρ = 2ρόσ cos i,
а преодолеваемая работа будет:
Т = Q^pr sin idoy
где i—наклонение винтовой линии к оси. По разделении
второй формулы на первую, получаем:
я= Σ* =Нп' (27)
где η — число оборотов винта в одну секунду. Подстановка
формулы (27) в формулу (15) дает нам:
P = 2°?(Hn-W)Hn, |
Г=2ор(Яя — W)tPn*. ] ( }
Зти приближенные формулы показывают, что при за-
W
данной величине поступи — сила тяги пропорциональна
квадрату числа оборотов, а работа — кубу этого числа.
При заданном же числе оборотов сила и работа
уменьшаются пропорционально поступи; что касается до
коэффициента полезного действия η, то он при заданном числе
оборотов, согласно данным приближенным формулам, растет
пропорционально поступи и имеет наибольшее значение,
когда поступь равна шагу, а Ρ и Г обращаются в нуль.

184
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
На фигуре 10 представлены графики РА' и MB'
величин Ρ Κητ-Τ=9Μ по опытам Фруда и Тейлора над
судовыми винтами, причем по оси абсцисс отложена поступь.
Линейная зависимость
силы тяги и момента Μ
от поступи указанными
графиками хорошолод-
тверждается и
нарушается только при
приближении кривых к
точкам пересечения Аг
и В', Но сами эти точки
пересечения не
сливаются между собою
и отстоят от начала О
на расстояние, большее
шага. Это происходит
от трения жидкости
о лопасти винта и от
толщины лопастей.
Усекая (фиг. 1
^лопасти винта соосным
винту цилиндром,
получим, развернув
цилиндр,
плоскопараллельный поток, уда-
небольшом отрицательном
ДТП?
Фиг. 10.
ряющий на решетку. При
угле атаки β мы имеем еще силу /?, перпендикулярную
хорде, которая дает положительную силу тяги. Заменяя
в формулах (28) величину Η соответственно чрез Нх и Н2
и называя чрез α и β углы наклонения к оси абсцисс
прямых РА и MB, находим для коэффициента полезного
действия выражение:

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
185
где
k=j-^
«-?·
2π tgp '
Формула (29) представляет уравнение гиперболы ORA,
построенной Бриксом *). Одна асимптота гиперболы имеет
уравнение:
и представляет прямую ВС; другая асимптота проходит
чрез точку D на расстоянии от О влево:
DO = AB = H2 — Hv
Тангенс угла наклонения этой асимптоты равен предельному
значению дроби:
при ξ = —оо, т. е. равен k. Отсюда следует, что вторая
асимптота пересекает прямую АЕ на расстоянии
AE = k(Ht + H^ — tfJ — Щ,.
Соединив точку D с Ε (фиг. 10), получим направление
второй асимптоты, а в точке С пересечения асимптот
Фиг. 11.
найдем центр гиперболы. Соединив этот центр с
срединою F хорды О А, найдем в пересечении прямой FC
х) Брике Ф., Полезное действие гребных винтов", Известно
Николаевской морской академии, вып. III, Петроград, 1914..

186
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
с гиперболою точку R, ордината которой будет
наибольший коэффициент полезного действия. Графически
построение точек гиперболы L по абсциссе ξ = OG может быть
произведено так: проводим прямую ОН параллельно
асимптоте DE до пересечения в точке Η с ординатой GH\ из Η
восставляем перпендикуляр к асимптоте ΗΝ, так что
GN=k4;
точку Η соединяем с Ε и опускаем из N перпендикуляр NL
на прямую НЕ. Точка L пересечения этого перпендикуляра
с GH будет искомая точка гиперболы. Действительно, из
подобия Д GLN и Д HES следует:
что приводит к формуле (29).
Построение Брикса применимо к винту всякого типа,
когда для него посредством опыта определены кривые MB'
и РА'. Тогда с помощью этого построения можно найти
наивыгоднейшую поступь для работы винта. Но для нового
строящегося по данным заданиям винта надо будет
обратиться к приемам, которые будут указаны ниже.
Чтобы показать, как изменяется на опыте сила тяги
с числом оборотов п> мы приводим на фигуре 12
графику наблюдений Д. П. Рябушинского над небольшими
моделями геометрических винтов. Здесь скорость потока
[для каждой кривой] была постоянная, и изменялось
число оборотов я, которое и отложено по оси абсцисс,
а по оси ординат отложена сила тяги Р. Для действия
винта как пропеллера важны части кривой, которые идут
от точек пересечения А, В, С,... вправо. Эти части
близки к параболам, что согласно с первою формулою (28).
Части же кривых, расположенные влево от точек Л, Ву С,
сначала схожи с параболами, по приближении к точке О
отступают от формы параболы и не проходят чрез
точку О, как это бы следовало по формуле (28). Дело

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
187
в том, что при малом Ω мы уже не можем в формуле (11)
отбрасывать второй член
с приближением вместо
формулы (11)
формулою (7). Назвав вторую
часть этой формулы чрез
Ри мы будем иметь по
формуле (11):
перед первым и пользоваться
где
ρ,_ρ(ι + Λ),
Оперируя над
величиной Рх и пользуясь
вполне точною
формулою (12), мы получим по-
прежнему вместо
формулы (15) формулу:
Заменяя же здесь Рг чрез
Ρ и пользуясь
соотношением (27), найдем:
(30)
После того как η
делается меньше величины
сила тяги Ρ проходит чрез
нуль и делается
отрицательной. Винт начинает работать, как мельница; циркуляция J
становится отрицательной, вследствие чего по формуле (3)
скорость подсасывания wx тоже отрицательна. Винт отбра-
Щ
0J6
0,28
0,30
о,зз\
50 W 30 20 tO О
W ЯГ J0 W S0
л об/се/г
Фиг. 12.

■ 188 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
сывает расширяющуюся струю и производит
отрицательную работу (соотношение wx = 2w утрачивается). При η = О
формула (30) требует, чтобы
Р = —λ.
Величина λ зависит от циркуляции У, которая может быть
определена, опираясь на анализ, изложенный в начале
моей третьей статьи «Вихревая теория гребного винта».
Этот же анализ, относящийся к явлению прохождения не-
завихренного плоскопараллельного потока чрез бесконечно
длинную решетку, представленную на фигуре 11, мог бы
быть применен для определения влияния ширины лопастей
в формулах для Ρ и Г, а также и влияния на эти
величины формы контуров лопастей.
§ 8. Расчет лопастей гребного винта по крайним
кромкам (при большом числе лопастей). Получить на
винте циркуляцию J в определенной функции г можно
при большом числе лопастей г, пользуясь подбором
входного и выходного угла контура лопаток, а при малом
числе лопастей — подбором контуров дужек, по которым
лопасти пересекаются соосными цилиндрами.
Напишем наши формулы (11) и (12);
в виде
*-<^?[(тдаг)т?-(-отУ?}
Го
*·-**«· ?(тЗЬ)(£+т5г)тг

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
189
и введем в них отвлеченные обозначения, которыми мы
уже пользовались в § 3:
W ~ QR ■ W ~ QR ' J — 4πρ7?2Ω
/• = -77, Ь =
R' ~ 4π# '
Я=^—ктт^г, 7W
(31)
2πρ#Φ-2 ' ~ 2πρ^δ03 ·
Получим формулы в отвлеченных числах:
1 __ г
P = 2j(Jr —-£)rfr, T = 2§J(W-{-w)~rctF) (32)
где нижний предел ξ есть радиус втулки, выраженный
в долях радиуса винта.
Мы рассмотрим здесь винт типа НЕЖ, в котором за
нижний прэдел г возьмем несколько больший радиуса
втулки а, так, чтобы на промежутке г — а была
переходная часть, в которой циркуляция от постоянного
значения J уменьшалась бы до нуля. Это необходимо для
того, чтобы струи, обтекая втулку (или кожух, ее
прикрывающий), могли бы за втулкой сомкнуться, образовав
вихревой шнур, как это представлено на фигуре 13.
Частью интегралов формулы (32), относящейся к
переходному отрезку г — а, мы будем пренебрегать.
Совершаем интегрирование в формулах (32), считая 7
постоянным:
Ρ = 7(ΐ_^)+272ΐηξ, ) (33)
г=7(г+^)(1—е2). J
Коэффициент полезного действия из этих формул
получается в виде:
PW W (1 — ξ*) + 27ΐηξ /Q/J4

190 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Он слагается из двух факторов r\v η2, из которых щ есть
коэффициент полезного действия идеального пропеллера,
рассмотренный в § 6 и зависящий от подсасывания воздуха,
а η2 зависит от живой силы, уносимой вращением струи.
Если вентилятор типа НЕЖ поставлен внутри
цилиндрической трубы и гонит воздух под напор, то ^ = 0, и
Фиг. 13.
вся потеря работы при отсутствии трения зависит только
от живой силы, уносимой вращающейся струей. Согласно
первой формуле (32), для того чтобы все элементы
интеграции были положительны, надо брать:
, 7=УТ*). (35)
*) При этом условии жидкость за винтом будет обгонять его
лопасти, так как имеет скорость вращательного движения 57:7=
= 2J:y J^2y J, тогда_ как скорость вращения лопасти
(при Ω ss 1) равна 7= у 7. (Прим. ред.)

Статья Четвертая
Ш
Но чтобы оставить некоторый отрезок радиуса на
переходную часть, В. П. Ветчинкин предлагает брать:
г= V2J.
(35')
В этом предположении коэффициент полезного действия η2
является функцией одного J и выражается с помощью
графики, данной на фигуре 14. С возрастанием J коэффи-
№J
циент η2 уменьшается, оставаясь не менее 0,80 при
употребляющихся в практике винтах, циркуляция которых 7
не более ОД *).
Если бы мы за вентилятором в цилиндрической трубе
поставили радиальные перегородки и этим уничтожили бы
*) Такая циркуляция встречается только в вентиляторах.
В самолетных же и морских винтах обычно J < 0,02. (Прим. ред.)

192 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ΓΡΕΒΗΟΓΟ ВИНТА
вращение отходящей струи, то формула (33) -от этого не
изменится, но PW уже не будет представлять полезную
работу, так как давление за спрямляющими перегородками
станет больше, нежели перед ними, и полезная работа
сделается более PW.
Укажем, как надо подобрать углы θ и 0Х входа и
выхода струи, чтобы получилась желаемая величина
циркуляции J. Пусть (фиг. 15) ab,
ab,... будут очертания на со-
осном цилиндре контуров
лопаток, направленных по
скоростям относительного
движения жидкости, причем для
безударного вхождения надо взять:
^±ϊ.(3β)
dge~E±i
Фиг. 15.
Проведем на фигуре 15 контур
deed, охватывающий одну из
лопаток ab так, чтобы его
стороны cd и cd шли по
срединам между лопатками, а его
Стороны ее и dd шли по окружностям нормального
сечения соосного ц*линдра, и возьмем по этому контуру
в направлении, обратном стрелке часов, циркуляцию. Так
как циркуляции по сторонам контура dc и cd будут равны
по величине и противоположны по знаку, то
J = се (W' + w) tg θ — dd ( W + w) tg 01 =
= ^(W+w)(tgb-tgbx),
или
Jz — 2*r{W+ w) (tg 0 — tg 0,).
(37)
Переходя к отвлеченным обозначениям (31) и заменяя ctgO
по формуле (36), находим:
2J-r(ir+.)(-ige1 + ¥I=).
(37')

СТАТЬЯ четвертая
193
откуда _
tg9i β Z^+1^=Jl^(^S+7). (38)
δ * r(W+w) W+w \ г n /
Мы видим, что тангенс угла наклонения лопаток к оси
для винта типа НЕЖ с убыванием г уменьшается и
обращается в О при r = Y2J- Так при этом
Jz ~
Wr = Qr>
то жидкость вращается со скоростью винта. Величина J,
входящая в формулу (38), определяется, не принимая во
внимание трения, по первой формуле (33) чрез заданную
величину W. Введя величину S, указанную в формуле (21),
мы можем представить Ρ в виде:
Ъ = Ш1
Следовательно,
2J? = j(l_ ξβ) + 27»Ιηξ. (39)
Отвлеченная величина В, как было сказано в § 6, при
устройстве вентилятора и судового двигателя зависит от
радиуса R и гидродинамических потерь в трубе или от
коэффициента сопротивления судна: при аэроплане же он
зависит от радиуса R и режима полета, с которым мы
желаем летать. Величина W, устанавливающая связь между
окружною скоростью винта и скоростью W, связывается
W W
с поступью — и так называемым модулем винта ^
соотношениями:
QR 2*Rn
На фигуре 14 дана графика левой части формулы (39)
при условии ξ = V 27. Так как правая часть формулы (39)
является на основании сказанного известной, то, отметив
ее на графике по оси ординат, находим на оси абсцисс
13 Зак. 1694. Η. Е. Жуковский.

194 ВИХРЕВАЙ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
отвлеченную циркуляцию /. Зная У, по формуле (38) строим
очертание лопастей винта. Это очертание, по моему мнению,
следует делать по дугам кругов, так как при этом потеря
работы на трение определится только по углам входа и
выхода θ и 6Г Зная эту работу, надо прибавить к
коэффициенту полезного действия η^2 третий фактор η3,
зависящий от трения между лопатками. Лопатки я предлагаю
строить по дугам круга постоянной высоты hy считая по
оси винта. Так как /и W + w на основании сказанного
выше известны, то углы θ и Ьг определяются по формулам
(36) и (38), причем для угла выхода 6j следует
пользоваться нижеприведенною таблицею V [стр. 231-232] функции
2У
> + <
=--(~г. Зная углы Oj и Θ, мы знаем угол
который хорда лопатки Ь = АВ (фиг. 16) образует с осью
винта КС. Так как
проекция этой хорды на ось
есть /г, то мы вполне
определяем положение АВ
этой хорды. Теперь нам
остается только провести
дугу круга AFB,
проходящую чрез точки А и В
и прикасающуюся в А
к прямой ЛЯ,
образующей с осью винта угол bv
Переходим к
определению работы Г',
поглощаемой трением между
лопатками. Считая силу
трения направленной по
пересечению соосного
цилиндра с лопастями и пропорциональной квадрату скорости
и величине смачиваемой площади, найдем для элемента ds dr
двух лент, заключенных между двумя смежными соосными
цилиндрами, элементарную силу трения:
2f(W±wy*
Фиг. 16.
cos2 θ
ds dr,
(40)

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ 195
где/=0,0002—коэффициент трения воздуха о стенки,
a ds = adb — элемент длины ленты Л β (фиг. 16), причем
а = АО есть радиус дуги АВ.
Развертываем соосный цилиндр и проектируем выше-
написанную элементарную силу трения на направление
АК (фиг. 16); потом умножаем на г и составляем сумму
моментов т всех сил трения для ленты ширины dr\
о
m = 2f(W+w)*rdraj-^rdb =
= 2f(W-\-w)*rdra(
cos2 6
1 1
,cos о cos «ι
Так как согласно фигуре 16;
/_J 1 \_ fl(cosQi— cosQ) __ AD _^ DE
ycose cosO^ cos θ cos θχ cos θ cos 6i ==3cos6 >
где DE получается, проводя из точки О линию DE под
углом ADE, равным углу DAO, то найденный момент
приводится к виду:
m = 2f(W+w)*rdr-DE
COSU
Вся работа Т\ потерянная на трение, выразится
интегралом, взятым по длине лопасти:
в
r = 2f(W+w)**Qf-££-rdr. (41)
г
Для перехода к отвлеченным числам делим обе части этой
формулы на 2π/?623ρ. Получаем:
ι
ξ
где DE выражено в долях радиуса R. Входящий сюда
интеграл удобно определять графически, как половину
площади кривой, имеющей ординатами DE> а абсцис-
13*

196 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
сою г2. Входящая сюда дробь — есть число отвлеченное,
ибо коэффициент внешнего трения имеет размер:
/= [м~1кгх сек2],
т. е. такой же, какой имеет плотность р, отнесенная
к массе.
Определим, какое изменение от трения произойдет
в силе тяги Р. Назовем через Р' ту силу, которую при
этом надо будет вычесть из идеальной силы тяги.
Элемент этой силы для одной ленты найдется, проектируя
величину (40) на ось винта КС и суммируя по ленте:
dP' = y(W+w)-dra\^-,=
"''iii+i)
^2f(W + wfadr\n
Вошедший сюда радиус а может быть определен по
хорде АВ = Ь:
_ ь
a-2s,„bil ·
Подставляем эту величину и совершаем интегрирование
по г, считая 6j и b известными функциями г:
Делим на 2π#4Ω2ρ и получаем в отвлеченных числах:
Г ь «Пт + т
.*m-2
^«^(VT+^j-^lniil^lrfr. (420

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
197
Вошедший сюда интеграл удобно тоже определять
графически, строя кривую по абсциссе /\
При решении задачи о пропеллере с большим числом
лопастей или с большим перекрытием их нужно поступать
нижеследующим способом. Если речь идет о постановке
вентилятора в цилиндрическую трубу, где часто применим
многолопастный пропеллер, то во всех
вышеприведенных формулах надо положить ^ = 0и wx = 0. Условие
устойчивости струи за винтом, данное формулою (4),
при этом удовлетворяется условием постоянства J;
граничное же условие, данное формулою (3),
удовлетворять не нужно, так как за винтом струя прилегает
к стенкам трубы.
Величина W является заданной по числу оборотов,
радиусу и желаемой скорости потока. Полагая, что
вентилятор всасывает воздух с одного конца трубы и с
другого выбрасывает его под то же давление, из-под
которого воздух был подтянут, найдем по формуле Бернулли:
J^-Wl^L·.^! (43)
π/?2ρ 2 ' ρ π#2 '
где 5 — площадь стенок трубы, a fx — коэффициент
трения о них воздуха. Из написанной формулы следует, что
Подставляя эту величину в формулу (39), будем знать
ее левую часть и по ней на основании графики 14 найдем Λ
По J и W построим лопатки, а по ним на основании
формулы (42) найдем поправку Р'. Эту поправку следует
внести в формулу (43), заменяя в ней Ρ на Ρ — Р' и
определяя вновь В, По этому исправленному В следует
вновь определить циркуляцию J по графике 14 и уже по
этой исправленной циркуляции окончательно рассчитать
винт. Потребная на него работа будет Т-\-Т\ где V

198
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
подсчитывается по формуле (41), а коэффициент полезного
действия будет:
__!-£
_ (Р — Р') W _PW Р__
τ
где
η3 = ^, (45)
а η2 определяется, как было указано, с помощью
неисправленной циркуляции. Если бы воздух выбрасывался в
пространство, в котором давление более давления
пространства, из которого воздух высасывается, на pi9 то следовало
бы ко второй части формулы (43) прибавить рх и заменить
формулу (44) на
В= 1-4-4 JL 4--£i- f46^
Когда многолопастный винт ставится в открытом
пространстве и применяется к судовому двигателю, то следует
формулу (44) писать в виде:
Я = --7й> (47)
где 5 есть ренкиновская измененная смачиваемая
поверхность. В этом случае w не равно нулю, а должно быть
определено вместе с У, пользуясь поверхностным
условием (3'); что касается до условия установившегося
движения (4), то оно в типе НЕЖ удовлетворяется
постоянством J и w* .
При расчете винта для судна мы прежде всего
определяем его радиус R так, чтобы идеальный коэффициент
полезного действия ч\г при данной по формуле (47)
величине В вышел согласно графике фигуры 8 или таблице II
удовлетворительным; потом, зная число оборотов вала
и желаемую скорость поступательного движения судна,

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
199
определяем W и обращаемся к формуле (3'), которую
пишем в виде:
w (W+w) = 7(1 —7). (10)
Из^этой формулы по известному / мы можем
определить w согласно графике 7 и таблице I и будем знать
W-\-w. Что касается 7, то эта величина определяется по
формуле (39), как было сказано выше, с помощью
графики 14, которая одновременно дает и коэффициент ηΒρ.
Зная J и W-\- wy мы строим по вышеуказанному способу
лопатки пропеллера. Потом поправляем Ρ на трение и
вместе с этим поправляем У, прибегая снова к графике 14,
и перестраиваем форму лопаток. Далее по формуле (41)
определяем работу на трение и по (45) находим
коэффициент η3. Задача будет решена, и окончательный
коэффициент полезного действия будет:
η = η
Непостроенный для заданных W и S пропеллер отбрасывает
незавихренный поток при всяком изменении величин Q
и W, соответствующем одной и той же поступи, т. е.
одному и тому же значению W. Если же поступь
изменяется, то тип НЕЖ утрачивается, и в струе,
отбрасываемой винтом, появляются вихри, причем поле скоростей
w делается неравномерным.
§ 9. Расчет лопастей гребного винта по дужкам
(при небольшом числе лопастей). Переходим к вопросу
об установлении желаемой циркуляции при небольшом
числе лопастей надлежащим подбором дужек, т. е.
контуров, по которым лопасти пересекаются соосными
цилиндрами. Для плоскопараллельного потока мною была
установлена при отсутствии трения и образования вихрей
внутри жидкости нижеследующая теорема:
Сила давления незавихрепного потока на обтекаемую
дужку равна произведению скорости потока на
плотность жидкости и на циркуляцию скорости по контуру,

200
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
охватывающему дужку \ направление этой силы полу-
чается, повернув скорость потока на прямой угол
в направлении, обратном циркуляции.
Поток, протекающий между двумя соосными цилиндрами
и обтекающий лопасти винта, аналогичен, как было указано
на фигуре 11, беспредельному
плоскопараллельному
потоку, протекающему чрезбес-
конечно длинную решетку.
Для силы действия такого
потока на один из контуров
решетки вышеприведенная
теорема видоизменяется так,
как было показано в § 4
моей второй статьи
«Вихревая теория гребного винта».
Повторим здесь анализ,
приведенный в этой статье.
На фигуре 17 АВ, А'В',
А"В",... представляют
контуры обтекаемых дужек,
a CD и С£У
представляют линии тока, лежащие на
срединах между этими
контурами. Составляя
циркуляцию J по замкнутому
контуру D'CCDD', по
лучим формулу, аналогичную формуле (37):
J= S ( К sin θ — Vx sin flj), (48)
где CC = DD' = 5, a V и Vx суть относительные
скорости в сечениях СС и DD', весьма отдаленных от винта.
С другой стороны, теорема Эйлера, приложенная к тому
же контуру D'C'CD, дает нам:
—г+л*-
■pS = 0,
(49)
потому что все давления на контурах CD и CD' в
соответственных точках (на одних и тех же круговых сече-

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ 201
ниях) дают одинаковые по величине, но противоположные
по знаку проекции на ось винта, а количества движения
в направлении этой оси для жидкости, протекающей чрез
контуры СС и DD\ одинаковы. Разность рх—ρ мы
определяем по теореме Бернулли:
= |- [ V3 (cos2 0 + sin2 θ) — Vi (cos2 θ, + sin9 θ,)]
По условию несжимаемости имеем:
l^cos6= 1/jCOsOj.
Поэтому согласно формуле (49)
-=|-5(^sin9e — Vising) =
= |· 5 (Vein 0 — Vi sin Oj) ( V sin θ -f Vx sin β,),
что на основании формулы (48) приводится к виду:
^ = -Lj(Vs\n§-\-Vlsmbl). (50)
Окружная сила —, действующая на дужку, найдется, при-
лагая к массе жидкости, заключенной между CD и CD',
теорему о моменте количеств движения о.:оло оси винта:
^_p51/cos6 (Κβίηθ— Vt sin Ьг) г = 0.
Отсюда на основании формулы (48) и условия
несжимаемости находим:
2.= i-y(Vrcos6+ l/jCosOj). (51)
Так как ~(Vcos8 + VjCOsOj) и i (Ksin 0+ l^sin θχ)
представляют полусуммы осевых и окружных скоростей
жидкости, подтекающей к винту и отброшенной им, то
вышеприведенную теорему плоскопараллельного потока

202
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
применительно к потоку, заключенному между соосными
цилиндрами, можно выразить так:
Сала давления на дужку потока, движущегося
между соосными цилиндрами при скорости вращения
частиц жидкости около радиуса цилиндров, равной
нулю, равна произведению циркуляции скорости по
контуру, охватывающему дужку, на плотность жидкости
и на геометрическую полусумму относительной
скорости подходящей и отходящей жидкости)
направление же этой силы находится, повернув эту
геометрическую сумму на прямой угол в сторону, обратную
циркуляции.
Наблюдения над дужками в плоскопараллельном потоке
с достаточной степенью точности оправдывают
вышеприведенную теорему о силе Ry> перпендикулярной к
направлению потока. Величина силы RXJ направленной по потоку
и происходящей от трения жидкости о стенки дужки и
от срывающихся вихрей, теоретически до сих пор не
установлена. Опытно вопрос исследован обстоятельно, и для
различных дужек установлены величины Ryy Rxy ^ = —
в функции угла атаки (угол скорости потока с
направлением хорды дужки). Мы будем пользоваться формулами:
Ry = pJV, Rx = pRy, (52)
где коэффициент μ будем брать из опытов в
плоскопараллельном потоке, а за скорость V будем, на основании
указанного видоизменения теоремы о подъемной силе для
потока между двумя соосными цилиндрами, брать среднюю
геометрическую скорость подходящей и отходящей струи.
В будущем было бы желательно определять ji из опытов
в кольцевом потоке.
Вообразим соосный цилиндр развернутым (фиг. 18) и
составим проекции силы Ry на ось винта и на
развернутую окружность соосного цилиндра. Полусумма осевых
скоростей будет 1Г+~= W-\-wt а полусумма
окружных скоростей: 2г — j— . Согласно теореме каждую из

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
203
этих скоростей надо умножить на Jp и повернуть на
прямой угол в сторону, обратную циркуляции. Это дает для
элементарной ленты между двумя соосными цилиндрами
осевую и окружную
силы:
' 4тггУ (
[JQr
Jp(W+w)9
направленные против
соответственных
скоростей. Составляющие
силы Rx найдутся,
умножив Ry на μ и
повернув на прямой угол, Фиг. 18.
в-нашем случае против
стрелки часов. Вместо Ry мы можем произвести
указанную операцию с компонентами этой силы, что дает нам,;
— MW + w)?t (JQr- g)pj*.
Таким образом компоненты полной силы для
элементарной ленты ширины dr будут:
dP
ζ
'.^J9{Qr-^)-J9{W^w)^drt I
^«[/pC^ + ^ + Jp^r-^^r.f
(53)
Вторая формула по умножении на Qr дает нам
элемент работы dT, подсчитанный для элементарной ленты.
Если теперь разделим первую формулу на 2π/?4Ω2ρ, а
вторую на 2π#5Ω8ρ и совершим интегрирование, то получим
в отвлеченных числах:
ι
ι
T^2^[JF(W^w)-\-T(? — J)p]dr*
(54)

204 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
При μ = 0 эти формулы совпадают с формулами (32).
Для типа НЕЖ величина J в формуле (54) постоянна.
Выполняя под этим условием интеграцию, получаем:
р = 7[(1_ ρ + 27ΐπξ) — 2p(W+w)(l— ξ)],
T=J[(W+w)(l— ξ2) +
4- 4 Η· (1 — 5s) — 2^7(1 — ξ)]·
(55)
3
При этом полный коэффициент полезного действия будет
ηΒΡΙΓ_ Ψ 1 —ξ24_27ΐηξ l—y.(W+w)i (δβ)
Τ W+w 1—ξ2 11—^- '
W+w
где
T_r 2(1—0 g_2Cl —ξΒ)_6^(1_ξ)
τ 1_ξ2 + 271ηξ' 3(1 —ξ2) * V '
Έ формуле (56) все три фактора r\v η2> % коэффициента
полезного действия представлены в явной форме.
Для случая вентилятора, поставленного в трубу, надо
положить w = 0, и потому 7^ = 1. [Тяга] Ρ является при
заданном W и ξ = V 27 и данном подборе коэффициента
дужек -=£ = μ функциею одного У. Определив β по фор-
муле (44) или (46), мы имеем для нахождения J
соотношение:
£|? = 7[(1_ ξ2) + 27ΐηξ — 2μίΡ(1 — 6)1. (57)
На графике (фиг. 19) даны для различных В значения η
при μ = 0,06. По оси абсцисс откладывается так
называемое число модулей Ζ = — .
ψ
В таблице VI [стр. 233—234] занесены для различных В и
разных чисел модулей Ζ величины Р, 7, ηΒρ и η. Мы видим
на графике 19, что для данной трубы существует
определенное число модулей .= , при котором коэффициент

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
205
полезного действия вентилятора есть наибольший. При
этом следует заметить, что все значения Yjmax лежат
приблизительно на одной прямой.
w2 3 V 5 S 7 8 ~ 3Z
Фиг. 19.
Если строится аэропланный или судовой пропеллер,
то w не равно нулю. Для решения задачи мы должны
к формуле (57), в которой W заменено на W-^-w^
присоединить формулу (47). Здесь, как было сделано в
предыдущем параграфе, удобно в формуле (57) сначала
отбросить член с μ и определить У, потом по
формуле (10) или графике фигуры 7 определить w, и, внеся

206 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
в формулу (57) вместо W величину W-\- w вторично
определить J.
Что касается коэффициента полезного действия, то
следует сначала определить ηχ по скорости и радиусу R,
потом найти J и w и по ним определить η2 и η3. Не
прибегая к приближенному решению, мы можем сразу
отыскивать J и w как координаты точки пересечения двух
гипербол, данных уравнениями:
ηπη — — — —
£|1 = У[(1_ ξ2) + 271ηξ — 2ii(W+w)(l— ξ)], (57')
7(1—7) =w(W-{-w)9 (10)
причем ξ мы будем считать не функциею J, а некоторою
данною величиною, например ξ = 0,2 или ξ = 0,3.
Переходим к способу построения лопастей винта.
Остановившись на типе дужек, мы подбираем на основании
опыта угол атаки так, чтобы коэффициент μ имел
наименьшую величину. Это соответствует определенному углу
атаки β. Зная из опыта коэффициент Куу пишем:
Ry = KyV*b = JpVw
где Vop — вышеуказанная полусумма геометрических
скоростей, a b — хорда дужки. Из написанной формулы
следует, что ширина лопасти будет:
,_ PJ _ J?
(58)
(580
Угол α (фиг. 20) между хордою дужки b и плоскостью,
ометаемой винтом, получается, прибавляя к углу, который
образует с упомянутою плоскостью вектор,
представляющий среднюю геометрическую сумму скоростей подходя-

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
207
щей и отбрасываемой жидкости, угол атаки β (см. фиг. 18):
-_/
ос = arcctg fF—= +β.
(59)
Нижеприведенная таблица VII [стр. ^35—236], дающая
значение г —■=, облегчает вычисление по формулам (580 и (59).
Для винта НЕЖ
циркуляция J постоянна, и
потому ширина лопасти Ъ
увеличивается с
уменьшением радиуса, а угол α
увеличивается вплоть до
значения
у ПРИ
7
котором двучлен г — -=
обращается в нуль. г
Винты различных
систем характеризуются
значением J как функции г.
Если эта функция и отвлеченная скорость W даны, то,
пользуясь формулою (5'), которую по малости J можно
написать в приближенном виде:
w(W+w) = J — 72^7, (60)
определяем w. Для этого может служить графика 7 и
таблица I. (При данном У как функции г можно
пользоваться точною формулою (50, совершая интеграцию,
указанную во второй части формулы.) Зная У, W, w и β, по
формулам (58) и (59) определяем элементы винта b и а.
Наоборот, если даны W и элементы винта b и а, то
по ним можно определить У, w и β. Из формулы (59)
имеем:
Фиг. 20.
г— i.= (W4-xv)ctg(a — 8).
г
(61)

208 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Подставляем эту величину в формулу (58')ι в которой
заменяем J его приближенным значением, и сокращаем на
W-\-w. Получаем по возведении в квадрат:
Κψ [1 + Ctg2 (α _ β) J = f^\
откуда
w= , b?v лл. (62)
р sin (α — β) ν '
Найдя w9 по (60) определяем J:
и по формуле (61) находим уравнение:
г- ~bK« ftp J- ~ЬКу 1 -
pf"Sin (α — β) L ~ ρ sin (a — β) J
Ч¥+^я^(й-р)'(64)
из которого по элементам винта и данной отвлеченной
скорости W определим угол атаки β.
Что касается до силы dP% работы dT и коэффициента
полезного действия для элементарного винта, то они,
согласно уравнению (54), напишутся в виде:
dP = 2 \j ( r — ί-) — J(W+w) |t 1 rfr, ]
dT = 2Т\ 7(W+w)-\-J (r — Z\ Jdr,
(540
~r — L — J(W+w)\>.
Η)

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
209
Здесь W выражается чрез поступь [разделенную на шаг
винта] J|:
Wr w w w-. /ЙЙЧ
где Η—шаг винтовой линии, направленной по хорде
дужки, а η — число оборотов винта в секунду. Формула (65)
на основании формулы (61) привидится к известному виду:
Если введем сюда угол γ, который сила R
сопротивления жидкости на элементарную ленту, вырезанную из
лопасти, образует с нормалью к хорде дужки (фиг. 20),
то увидим, что угол этой силы с перпендикуляром к
средней геометрической скорости будет (β-|-γ), а введенный
нами коэффициент μ есть:
H = tg(T + P).
Подставляя это значение коэффициента μ в формулу (67),
получаем формулу:
совпадающую с формулою (35), выведенной в недавно
появившейся в печати статье Г. А. Ботезата *).
Если в уравнении (64) выразить W на основании
формулы (66) чрез поступь, а в формуле (68) выразить γ
чрез угол атаки β на основании опытов над дужками, то
получим две формулы (68) и (64), из которых можно
исключить β и найти связь между коэффициентом
полезного действия и поступью для данного элементарного
винта, т. е. решить для него задачу, которая была
рассмотрена в § 7.
!) Б о τ е з а τ Г. Α., Исследование явления работы лопастного
винта, Петроград, 1917.
14 Зак. 1694. Н. Б. Жуковский,

210
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Мы сказали, что наше уравнение (68) совпадает с
соответствующим уравнением (35) Г. А. Ботезата. Этого
нельзя сказать об уравнении (66), которое расходится
с уравнением Ботезата (41). Это происходит от различия
в способе исследования.
В основу нашей «вихревой теории» ложится
построение струи, отбрасываемой винтом, по заданной циркуляции
скорости вокруг контуров, по которым круговые
поверхности тока пересекают лопасти винта. При этом условие
установившегося движения дает нам формула (5'), которая
при данной отвлеченной скорости W определяет
добавочную скорость w в плоскости, ометаемой винтом.
Построенная струя удовлетворяет всем условиям гидродинамики
идеальной жидкости и позволяет определить во всякой ее
точке гидродинамическое давление по видоизмененной
формуле Бернулли. Определяя силу давления найденного
потока на лопасти винта, мы получаем силу, выраженную
формулами (50) и (51), которая перпендикулярна к
средней геометрической скорости подходящей и
отбрасываемой струи и строится с помощью ее по той же теореме,
как для плоскопараллельного потока. Для
плоскопараллельного потока опыт дает, кроме этой подъемной силы, еще
силу лобового сопротивления, получаемую из подъемной
силы чрез умножение на коэффициент |х, зависящий от
формы дужки и угла атаки. Мы принимаем, что с
помощью такого же коэффициента получается лобовое
сопротивление из нормального сопротивления для элемента
лопасти в струе винта. Таким образом в нашем методе
струя винта построена теоретически правильно, а сила
сопротивления поправляется на основании опытных данных
в плоскопараллельном потоке.
Метод, разработанный Г. А. Ботезатом, располагается
в обратном порядке. Задавшись (фиг. 20) углами α и β,
он определяет по опытам с дужками в плоскопараллельном
потоке силу действия жидкости R на элемент лопасти, а
по этой силе, которая, будучи взята в обратную сторону,
представит силу действия лопасти на жидкость, строит
струю, отбрасываемую винтом, прилагая теорему Эйлера

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
211
и теорему о моментах количеств движения к кольцевым
слоям жидкости, заключенным между двумя весьма
близкими круговыми поверхностями тока. При этом он не
принимает во внимание гидродинамического давления слоев
друг на друга и гидродинамического давления в плоскостях
сечений, ограничивающих слои. Если струя вращается, то
центробежная сила дает убывание давления при
передвижении к оси винта, как это видно на фигуре 6, а это дает на
поверхности кольцевых слоев в случае возрастания осевой
скорости силу давления, направленную вверх. Точно так же
повышенное или пониженное давление в нижнем сечении
струи не позволило бы пользоваться во всех случаях
формулою (5а) Г. А. Ботезата (в наших обозначениях):
ΔΡ = Δ//ι · wv
Для случая вентилятора, поставленного в
цилиндрической трубе, мы бы имели w1=0, тогда как ΔΡ не
равно нулю. Следует еще указать, что струя, получаемая
Г. А. Ботезатом, не удовлетворяет условию
установившегося движения жидкости в ее относительном движении,
которое, как я показал в моей второй статье (уравнение 18),
является прямым требованием уравнений гидродинамики и
которое еще раньше было дано Ламбом х).
В практическом приложении прием Г. А. Ботезата
является удобным, когда мы имеем в виду исследовать
один и тот же винт в его различных режимах; но когда
речь идет о построении винта по данному заданию, тогда
наш прием, при котором дело сводится к выбору только
одной величины У, является более ценным.
В дальнейшем изложении мы рассмотрим постановку
винта типа НЕЖ для аэродинамической трубы и
построение винта для геликоптера.
§ 10. О качестве аэродинамических труб· Мы
посвятим этот параграф исследованию вопроса о постановке
вентиляторов в аэродинамических трубах. Здесь прежде
х) Lamb Η., Hydrodynamics, § 164 [Ламб Г.,
Гидродинамика, Гостехиздат, 1947].
14*

212
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
всего следует установить понятие о величине χ, которую
мы предложили называть качеством аэродинамической
трубы. Качество есть отношение живой силы потока
воздуха в рабочем сечении к работе, потраченной на
вращение вентилятора.
Как выяснилось из работ Μ. Ф. Адамчика,
доложенных на Третьем Всероссийском воздухоплавательном съезде
[в 1914 г.], качество может быть более единицы, и в его
опытах с моделью трубы для оконченной в настоящее
время *) постройкою большой аэродинамической трубы
Московского высшего технического училища он нашел
χ = 2,1. То, кажущееся на первый взгляд парадоксальным,
заключение, что качество более единицы, объясняется тем,
что в узкой рабочей части трубы имеется пониженное
давление, и полная энергия воздушной массы слагается из
ее живой силы и отрицательной работы, которая должна
быть произведена, чтобы перевести эту массу от
пониженного давления, под которым она находится, к
атмосферному давлению.
Я показал в § 7 моей третьей статьи «Вихревая
теория гребного винта», что качество слагается из трех
факторов: из -^-, из коэффициента полезного
действия η вентилятора и из С2, где С есть отношение
площади, о метаемой вентилятором, к площади рабочего
сечения.
Доказательство этого положения очень просто. Из
формул (7) и (12) при зд = 0 получаем:
T=PWy
где W—скорость струи в сечении вентилятора. Живая
сила струи в рабочем сечении будет:
~ W*C*M = ~ Ψ*<?π№Ψρ.
х) Труба не была пущена в ход, так как было решено
перейти к трубам замкнутого типа, работа которых не зависит
от ветра и непогоды. (Прим* ред.)

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
213
Величина χ будет:
У)С2
2Р
— 2Б .
(69)
Инвариант S, как было указано, зависит от
аэродинамических потерь в трубе и определяется по формуле (44).
Опытно его можно определить, имея приспособление,
дающее силу тяги вентилятора Р. Эту силу тяги можно прямо
делить на площадь, ометаемую вентилятором [на плотность
жидкости], и на квадпат скорости в рабочем сечении.
В
Тогда будет найдено
С*
Чтобы получить χ, останется
только на эту величину разделить половину коэффициента
полезного действия вентилятора,~ .
В таблице VIII [стр. 237] представлены наблюдения
[над вышеупомянутой моделью большой аэродинамической
трубы] при разных [числах лопастей вентилятора и
соответственно наибольших] скоростях в рабочем сечении,
причем в той же таблице дано значение качества χ.
Фиг. 21.
На фигуре 21 дан разрез аэродинамической трубы,
поставленной в коридоре аэродинамической лаборатории
Московского высшего технического училища, а на фигуре
22 — фотография ее вентилятора типа НЕЖ, с которым
производились наблюдения.
[Вентилятор] типа НЕЖ, как единственный
подсасывающий жидкость с постоянною осевою скоростью, по

214
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
моему мнению, является весьма ценным для
аэродинамических труб. Если такой вентилятор поставлен внутри
цилиндра, то все движение жидкости в цилиндре будет
совершенно точно удовлетворять изложенным в этой статье
формулам. Сначала всасывание и незавихренный равно-
Фиг. 22.
мерный поток вдоль трубы, причем равномерность
доказывается формулою (4) при положении 2=7 = 0 и
вполне оправдывается на опыте, независимо от формы
всасывающего насадка и постановки экранов перед ним; потом
прохождение чрез вентилятор и получение постоянной

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
215
циркуляции /, которая обращает весь поток в вихревой
кольцевой столб с прежнею постоянною во всем сечении
осевою скоростью. Вентилятором надо работать на поток,
заключенный между двумя соосными цилиндрами, потому
что скорость вращения согласно формуле (1) с
уменьшением радиуса беспредельно возрастает, и струи не могли
бы сходиться. Посредством введения колпака,
прикрывающего мотор, на ось которого непосредственно насажен
вентилятор типа ЫЕЖ, как это представлено на фигуре
21, удобно перевести поток из цилиндрического в поток,
текущий между двумя соосными цилиндрами, причем этот
последний, на основании сказанного о формуле (4), будет
тоже равномерным. Винт будет отбрасывать кольцевой
вихревой столб, который будет выбегать из выходного
отверстия трубы. Форма лопастей строится, как было сказано в
параграфе (9), и величина W вполне определяется по
инварианту В для данной трубы. Если в трубу будут
внесены новые гидродинамические потери и будет нарушен
инвариант В, то винт, построенный для прежнего
значения В, уже потеряет тип НЕЖ. Циркуляция J сделается
функцией радиуса, и отбрасываемый поток заполнится
вихревыми нитями.
Покажем, что при малом значении J и μ тип НЕЖ
представляет наивыгоднейший вентилятор, т. е. такой
вентилятор^ который при данной работе Τ дает
наибольшее значение Р, а следовательно, и W.
Рассматривая течение жидкости в трубе по соосным
цилиндрам, положим в формуле (4) w = О, но будем
в ней рассматривать W как функцию радиуса г.
Представляя эту формулу в отвлеченных числах, напишем:
(i_2ZH7=-!--iwra
\ ή} dr 4 dr

216 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
где С—некоторое постоянное, не стесненное
поверхностным условием отходящей струи, так как струя
прилегает к стенкам трубы. Если пренебрежем квадратами
малой величины J в предположении, что г не достигает
малых значений, например 7 не менее 0,3, то можно
приближенно принять:
Τ=\{Ψ>-0. (70)
Подставляем это выражение в формулы (54), в которых
тоже отбрасываем У2. Получим:
ι
JL
1
~s_ ψα+ μ (W*— С) r] d(г2).
(71)
Теперь мы имеем задачу вариационного исчисления
о подборе W в функции г так, чтобы при данном значении
интеграла Τ интеграл Ρ был наибольший. Обыденному
решению этой задачи мы дадим здесь геометрическое
толкование. Вообразим (фиг. 23) прямоугольные оси
координат и будем откладывать по оси Ох радиусы г2, по оси Оу
скорость Wy а по оси Oz — подинтегральные функции
выражения интегралов Ρ и λ Г. Получим две поверхности
ACBD и A'C'B'D*\ Будем усекать эти поверхности
плоскостями, перпендикулярными оси Олг, по некоторым
кривым ВС и В'С и будем отыскивать точки В и В' этих
линий, для которых ВВ/ имеет наибольшую величину.
Координата W этих точек найдется, приравнивая нулю
производную по W от отрезка
BB'=sfW* — С— W* 4+ 4 WC\ —
_λ[1^3_\^+μ(Ψ2— С) Г]. (72)

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
217
Это дает нам квадратное уравнение:
2W— ЗТ^Л — ЗХ^ + ХС— 2X|aWV-|--£c = 0, (73)
или
F"2 — Ψ 2~2λ^ ^ = о, (74)
»(ι + #
из которого и найдется W в функции Г. Знание
^позволит нам построить кривые DB и D'B\ обладающие тем
свойством, что проекция на Ozx заключенной между ними
Фиг. 23.
площади DD'B'B будет более проекции всякой другой
цилиндрической площади, заключенной между нашими
поверхностями, плоскостью Oyz и плоскостью FQCB.
Остановимся на цилиндрической поверхности NN'M'M,
ограниченной теми же линиями и плоскостями, перпендикулярными
оси Ох, отстоящими от О на расстояниях i и 1, и подберем
множитель λ так, чтобы проекция площади ΕΝ'ΜΉ
равнялась заданному значению Г, умноженному на λ. Легко

218
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
усмотреть, что при этом линия ЕН представляет нам
искомую связь между W и г2, при которой интеграл Ρ будет
иметь наибольшее значение под условием, что интеграл Τ
имеет заданное значение. Действительно, при всяком малом
передвижении кривой Ν'Μ' по поверхности A'DrMrL\
причем концы линии лежат на вертикальных плоскостях SE
и LH, мы будем получать цилиндрические поверхности,
проекции поверхности которых на плоскость Ozx будут
менее [площади] проекции на эту плоскость
поверхности NN'M'M. Если, видоизменяя линию N'M\ мы
сохраняем условие, что проекция на Ozx цилиндрической
поверхности, опирающейся на эту новую линию и на
плоскость Оху, остается равной проекции
цилиндрической поверхности EN'M'H, то отсюда следует, что
проекция на Ozx всей цилиндрической поверхности ENMH
при всяком указанном видоизменении линии Ν'М'
уменьшается.
Таким образом предложенная задача разрешается
определением W из квадратного уравнения (74) и подбором λ
так, чтобы интеграл Τ имел заданную величину. Если
в уравнении (74) пренебрежем трением и отбросим члены,
содержащие μ, то придем к заключению, что W есть
величина, не зависящая от г, а следовательно, по
уравнению (70), и J не зависит от г, т. е. при отсутствии
трения -искомый винт есть винт типа НЕЖ.
Решая квадратное уравнение (74), находим:
Считая С в формуле (70) величиною положительною,
найдем, что корни, данные формулою (75), будут
действительные, причем один будет отрицателен, а другой
положителен. Так как при W = —σο величина В В', данная
формулою (72), будет равна + оо, то при возрастании W
она начнет уменьшаться и сначала получит минимум, кото-

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ 219
рый будет соответствовать отрицательному значению W,
данному формулою (75). При дальнейшем возрастании W,
когда мы подойдем к положительному корню в
формуле (75), величина ВВГ получит максимум и при
дальнейшем возрастании W начнет убывать до -— оо. Таким
образом кривая ЕН, лежащая на фигуре 23 с
положительной стороны оси Оуу будет соответствовать нашей
задаче.
Преобразуем теперь формулу (75), ограничиваясь в ней
членами первого порядка относительно μ:
»-ЧК(—&)+[l+i#"(>-^)f.
или
3λ 3 Γ 3 λν ^ L 3 ^ 9λ« 9λ r 9X37J '
Развертываем по биному:
3λ ό 3 Х2Г '
Мы видим, что к постоянному значению скорости
которая дала бы тип НЕЖ, надо прибавлять скорость
8*"l(?+--(1+vter)· (78)
Этот отрицательный прибавок растет с приближением
к втулке; но рассматриваемое нами приближенное
вычисление приложимо только в предположении, что при μ
9 ~С , J^
3 "Γ 9λ2 J
(76)

220 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
малом ξ не есть малая величина. Построив сначала тип НЕЖ,
мы можем потом в случае матых /, μ. и ξ, не меньшего 0,3,
определить, пользуясь формулами (77) и (70), С и λ по
заданным в винте НЕЖ J и W, а по формуле (78) сделать
поправку на приближение-винта к типу наивыгоднейшего.
Изыскание наивыгоднейшего винта для случая аэро-
планного или судового пропеллера разработал В. П. Вет-
чинкин, который занят теперь конструкциею винтов,
названных им вариационными винтами. В основу рассуждения
он берет формулу (5), причем найденный им способ
вычисления приложим к тем случаям, когда J и μ не суть
малые величины.
§ 11. Задача о наивыгоднейшем геликоптерном
винте. Рассмотрим теперь задачу о наивыгоднейшем
геликоптерном винте.
Пишем по формулам (54) и (60), положив в них №=з 0:
dP = 2 Г1 (7— Ϊ-) — yjw\dr,
df=2\Jw + vJ (f— =")] ^
Для того чтобы при данной работе геликоптер мог
поднять наибольший груз, необходимо, согласно со сказанным
в предыдущем параграфе, отыскать максимум интеграла:
ι
Г\w2r — pw* — -?£ — h-w* — λμϊΛ3 + |Uwi| dr. (80)
о
Он найдется из условия:-
2(1— Xji?)iw — 3μ5β — 4~ — ЗХгш¥ _L 4λμ^3 =, о,
(79)

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ 221
которое приводится к квадратному уравнению:
4^а (1 — λμ7) + 3 (λ7+ μ) ~rw — 2 (1 — λ[χΓ) /8 — О,
или
-о 3 λΤ + μ f2 _
~ 4 χ_ χμΓ 2
Корни этого уравнения будут:
НУ
-[-*£&*/*(££№<«>
§ 12. Вывод формулы Г. А. Ботезата. Мы окончим
эту статью по вихревой теории гребного винта
приложением ее метода изложения к выводу приближенной
формулы силы тяги винта, данной в конце сочинения
Г. А. Ботезата *)·
Условие установившегося движения при отбрасывании
малой величины J2 дает нам:
w(W+w) = J. (60)
Связь между углом атаки β и углом α наклонения лопасти
винта к плоскости, ометаемой винтом, как было указано
выше, дается уравнением:
a = arcctn~w^)+i3· (59)
Ширина лопасти b и циркуляция скорости вокруг лопасти
связаны соотношением:
KybV* = pJV% (52)
где у — геометрическая полусумма скоростей подходящей
и утекающей жидкости. Из этого соотношения следует, что
9j==KybV = Kyb y'V+^ + fQr-^)2, (58)
ι Исследование явления работы лопастного винта, стр. 54.

222 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
ИЛИ
В условии установившегося движения переходим от
отвлеченных обозначений к обыкновенным:
W(W+W) = J*L}
7 =
4π
4nw(W-\-w)
zQ
Подставляем и сокращаем на W-\-w:
4npw Kyb
zQ ~ sin(a—β)'
откуда
KpbzQ К sin β. zbQ
4πρ sin (a — β) 4πρ sin (a—β) '
причем положено Ky = Ksm$ *).
Теперь мы можем определить элемент dP силы тяги
с помощью приращения количеств движения:
4 ■ J r Sin (a — β)
Вместо синуса угла атаки sin β введем величину
скольжения винта1), которую обозначим через Sv Мы имеем:
~ 2кг [tg а — tg (a — β)] sin a cos (a — β) — cos a sin (a — β)
1 t== 27W*tga sin a cos (a — β) '
*) Это можно сделать, если отсчитывать углы атаки не от
хорды дужки, а от ее нулевой плоскости, т. е. от направления,
соответствующего нулевой подъемной силе. (Прим. ред.)
1) Отнесенного к средней осевой скорости в плоскости винта
W-\-w = W\ и к динамическому шагу винта Нф который для
краткости обозначен через Н: Si = ^—-. (Прим. ред.)

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ 223
ИЛИ
с — sinP =_ nH—(W+w)
1 sin α cos (α — β) ηΗ
Таким образом
sin β = Sx sin α cos (α — β).
Подставляя эту величину в rfP, находим:
dP = KzSt (W+w) Qrb sin α drctg (a — β).
Вошедшую сюда скорость W-\-w в плоскости, ометаемой
винтом, на основании сказанного выше можно представить
так:
W+w = (Qr—§-)tg{*-$),
или
Подставляя в формулу для dPy получим:
dP = KzS^rtgoL · rbcosa- (l — -i\dr.
Если η будет число оборотов в 1 сек, то
Q = 2кп;
кроме того, шаг винта Η будет
27urtga = tf.
Таким образом
rfP = litKzSfPHrb cos a . ί 1 — -^ J dr.
Если пренебречь здесь величиною
Г2

224
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
и совершить интегрирование по г, то получим формулу
Г. А. Ботезата:
Ρ = 2nKSln2Hz J rb cos α dr,
в которой умноженный на число лопастей г интеграл
выражает полярный статический момент площади проекции
винта на плоскость, перпендикулярную оси вращения.
Точность формулы может быть увеличена чрез ее умножение
на среднее значение выражения:
заключающееся обычно между (1—АР) и (1—2Р).
Дополнительные пояснения к фигурам.
На фигуре 24 дана фотография винта типа НЕЖ,
поставленного на измерительный прибор Лобанова в
аэродинамической лаборатории Московского высшего
технического училища при измерениях, которые были
представлены на фигурах 4, 5 и 6.
На фигуре 25 дана фотография модели винта типа НЕЖ,
поставленного на измерительный аппарат в лаборатории
Эйфеля в Париже. Результаты испытания, произведенного
при этом лаборантом Эйфеля В. С. Маргулисом,
представлены на фигуре 26.
Верхняя кривая дает отношение затраченной мощности
к /z3Dt5, а нижняя — коэффициент полезного действия; по
оси абсцисс отлагается —тт, где ^—скорость ветра.
Модель винта была построена согласно расчету,
присланному В. П. Ветчинкиным. Причем расчетные мощность,
коэффициент полезного действия и —j=r отмечены
пунктирной линией, на которой точки, приходящиеся весьма
близко к наблюденным кривым, представляют расчетные
величины.

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
225
На фигуре 27 дана диаграмма скоростей в меридио*
нальных плоскостях, полученная при испытании винта
типа НЕЖ при D = 2,5 м и η = 1000 об/мин, приводимого
в движение мотором Гном в 80 л. с. Мотор был прикрыт
Фиг#24.
кожухом. Винт действовал как толкающий. Флюгер,
вращающийся около горизонтальной оси, определял
направление скорости, а микроманометр с насадком Крелля —
величину скорости.
На той же диаграмме отмечено разрежение воздуха
в струе винта, которое определялось с помощью насадка
15 Зак. 1694. Η. Е. Жуковский.

226 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕШНОГО ВИНТА
1т
0№2\
о>ого\
0,018
ом
0,814
ом
0,0/0
С,008\
0,008
0,00V\
0,002\
-р-
-0,8
~0,8
\0,8
W
W
\о,з
\0,2
\θ,1
/
—х.
/ж
~"*х*«
S
*
-^х
1800
I
I
I
к.
h
I
г"*
\οί/
* Результаты опыта
^Результаты расчета
ii
II
ч
к-*'
'мин
О 0,1 0,3 0,3 0,4 0,5 0,8 0,7 0,8 0,3 1,0
±
Фиг. 26.

Сфера пос/еасывания
U 1,3 1,7 1,0 1,5 19 1,3 1,2 V 1,0 0,3 0,8 0,7 0£ 0,5 0,9 0,3 0,2 0,10\
Οβη
Сфера подсась/еаиая
0,1 0,20,3 0,¥ 0,5 0,6 0,7 0,8 0,31,0 1,11,2 1,3 1,9 1,5 1,0 1,7 1,8 1,3м
щ—ι ι ■ '—■ ' / ' /—' ^ i^fc-L-^d—^^
О 10 20 30 мл вод.столаа
Ι ι Ι ι l d
Зак. 1694. Η. Е. Жуковский.
Фиг. 27.

ОТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
227
Нифера. Наибольшее разрежение получалось на боковом
вихревом слое и достигало 25 мм водяного столба. При
наблюдении, изображенном на фигуре 27, отметилось
обстоятельство, которое не наблюдалось на фигуре 6, где
испытание винта делалось при сравнительно небольшой
скорости (л = 635 об/мин). В струе, отбрасываемой
винтом, наибольшее разрежение по мере удаления от винта
сначала возрастало, от этой причины получался напор по
направлению от винта, который шел на возрастание
осевой скорости при сужении струи.
К сожалению, является затруднительным при громадных
скоростях винта подносить насадки микроманометра близко
к ометаемой им плоскости. Расстояние между плоскостями
над винтом и под ним удавалось взять 0,4 + 0,2 = 0,6 м.
На этом расстоянии получается уже значительный прирост
осевой скорости, и сила тяги винта определяется не столько
меньшим разрежением давления за винтом, нежели перед
винтом, которое, видимо, невелико, сколько приращением
количества движения.
IV 1,3 12 1,1 1,0 0,3 0,8 0,7 0,0 0.5 0,4 0,3 0,2O,f\lO,)'0,2 0,3 0,4 0,5 0.0 0.70,8 0,3 1,0 1,1 1.2 χ IJm
0 10 20 30 м/сек
Масштао сшостеа
Фиг. 28.
На фигуре 28 дан псевдосаекгр (проекция скоростей
на касательную плоскость к круглому цилиндру, соосному
винту) для того же наблюдения с мотором Гном. Здесь
хорошо оправдывается наша формула (1).
15*

228
ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
О
о
Р5
VO
ей
Η
со
СО
о
is
I
is
+
I*
χ
α
К
Я
Τ
χ
4
η
5
S
4
ев
Η
οο
(Μ
ο
(Μ
со
ο
Ο
00
ο
ο
S
ο
Ov005t^rt<05T*b.o*-4*-<'—< OOOCOCOOi
OCN^O^OOOO^CSCOO^oo^-iiOOiCS
^5ζ5!Ζ!^ζ:ζ^^ζ5Γ0'*''
οοοοοοοο
ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο"ο ο ο'ο ο
-ς^ιο ЮЮСО
οοοοο
OoOiOt^O^OO^^O^OOOCNOOOOOiO
О(МЮОЮОЮОЮ05С^00(МС0О^00
OOO'-'i-tCSKNCOCOCO^rfLOiOCOCOCO
οοοοοοοοοοοοοοοοο
οο~οοοοο~οοοο~ο~οοοοο
OfHTHONrH^iOiOWOCOTHriHSOOO
oootocsi^oooocooocoooc^t^^Hiooco
OOO^H^(N(NOOCO^^iOiOiOCOOb
οοοοοοοοοοοοοοοοο
οοοοοοοο~οοοο>οοοο~ο
OiOCOCOOiO^OOrhOOOi-^OOO^Oi"*^
OC0l^C005i0»-ib-CM00C0u0(Nt^'-<COO
OOOi-"-"<M00C0^^4ioiOC0C0l^t^00
οοοοοοοοοοοοοοοοο
ooooooo οοοοο" о oo"oo
ОгнОЮМО05О05Ю|Н^ЮЮ00О«0
OOO'-'CMOiCO^'^iOlOCOCOt^t^OOOO
οοοοοοοοοοοοοοοοο^
οοοοοοοοοοοοοοοοο
ОО^ЮСОСОО>^ООСОЮт^ОЮ000505^
O^C^OOCOCOT-Ht^^OCOCSlXN^CNO
OOOr-i<NC0Tt«rt<iOC0CO0-t^00000>0>
οοοοοοοοοοοοοοοοο
ο οοοοοοοοοοοοοοοοο
OOCOC75CNt^t^i-Hr-iOO(N<Mi-it^i-HCO^
OCOT-.i-tf-iO^l^iOOlOOijOi-'t^iNOOeOOO
OO^H(NCOCO^lOiO^N0000050500
о о о о о о оло ρ,ο^ο О ОлО Or-. ^
оооолоо~ооооооооооо
O0000i-i00^<NC0O»-<Cr>C0i0T*«^Hl000
St^^l^t^b-COrfCSOiOCMOO^OiOO
O—iCNCOr^iOCOl^t^OOC^C^Or-Hi-HCM
0000000000000~ι-χ~ι-Η
о©*©©©©©©©©©"©©"©©©©
OOONOSWO'
_. ι t^ 00 СО О (Ν »-ι 00 С^
_ _ ,< t>- С-« Г^ СО ^ *—■ 00 Ю CN 00 ^ 05 Ю
O»—CSC0'^i0C0t^0005 0^O'-«»-«CM(MC0
О О О О О О О О О О О ^ ~ ~ т-н r-i τ-i
о'ооооо'оо'ооооо'ооЪЪ"
O,^CD(N00C0L0b.(NT-i'^r^O^"^'t>100
ONOO^OrHfHOQN^i-iOO'TOCOtH
Oi-iCN^fkOl^OOCTiCTJOi-iCMCMCOTfrfiO
О О О ©©©© О О »-^»—· ^|-^»ч »н »н 1-н
o"oo*oooooo"oooooooo
ΟΟΝ»Ηθ4»Ηΐοσ)ΐΟΐθσ)θΝθΉθΦ
o^^oo^-o^gt^gjcspcpcoc^ioo
OC0tj«c_ ,
оооооос
\ СО "Φ ^ ю ю со ι^
οοοοοοοοοοοοοοοοο
Oi-j<NTfC000O(N^C000O<NrfcO00O
ΟΟΟΟΟΟή«μ^μ(Ν(Ν(Ν(Ν(ΝΜ
οοοοοοοοοοοοοοοοο
οοοοοοοοοοοοοοοοο
pa
ο
ρ;
ο
CQ
Ρ3
Κ
4
ο
Κ

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
229
Таблица II*).
В
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
u
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
W+w
W
1,0000
1,0099
1,0196
1,0292
1,0385
1,0477
1,0701
1,0916
1,1124
1,1325
1,1519
1,1708
, 1,1892
1,2071
1,2246
1,2416
1,2583
1,2746
1,2906
1,3062
1,3216
1,3366
1,3515
1 1,3660
1,3944
1,4220
1,4487
1,4747
1,5000
1,5247
1,5488
1,5724
1,5954
η
1,0000
0,9902
0,9808
0,9717 1
0,9629
0,9545
0,9343
0,9161
0,8990
0,8830
0,8680
0,8540
0,8410
0,8284
0,8166
0,8055
0,7947
0,7846
0,7748
0,7655
0,7567
0,7481
0,7399
0,7321
0,7172
| 0,7032
1 0,6903
0,6781
ί 0,6667
0,6559
0,6457
0,6360
0,6268
в
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,5
ί 5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
9,0
10,0
12,0
17,5
24,0
31,5
40
60
112
180
оо
W+w
W
1,6180
1,6619
1,7042
1,7450
1,7845
1,8229
1,8601
1,8946
1,9318
1,9663
2,0000
2,0811
2,1583
2,2321
2,3028
2,3708
2,4365
2,5000
2,5616
2,6794
2,7913
3,0000
3,5000
4,0000
4,5000
| 5,0000
6,0000
8,0000
10,0000
оо
η
0,6180
0,6017
0,5868
0,5730
0,5604
0,5486
0,5376
0,5273
0,5177
0,5086
0,5000
0,4805
0,4633
0,4520
0,4343
0,4218
0,4103
0,4000
0,3904
0,3732
0,3583
0,3333
0,2857
0,2500
0,2222
0,2000
0,1667
0,1250
0,1000
0,0000
*) Вычислил В. П. Ветчинкин.

230 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Таблица III*).
W
щ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1.4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
Г 2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
Ρ
Ро \
1,0000
0,9667
0,9334
0,9004
0,8676
0,8351
0,8032
0,7718
0,7411
0,7113
0,6823
0,6544
0,6275
0,6017
0,5770
0,5536
0,5312
0,5101
0,4901
0,4712
0,4534
0,4366
0,4207
0,4057
! 0,3916
0,3783
0,3658
0,3540
0,3428
0,3322
0,3222
1
η ι
0,0000
0,0967
0,1867 1
0,2701
0,3470
0,4175
0,4819
0,5403
0,5929
0,6402
0,6823
0,7198
0,7530
0,7822
0,8079
0,8304
0,8500
0,8672
0,8822
0,8953
0,9068
0,9168
0,9255
0,9333
0,9400
0,9459
0,9511
0,9557
0,9597
0,9634
0,9666
W_
Wq
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
Ρ
Ρο
0,3222
0,3127
0,3037
0,2952
0,2871
0,2795
0,2722
0,2652
0,2586
0,2523
0,2463
0,2409
0,2350
0,2298
0,2247
0,2199
0,2152
0,2107
0,2065
0,2023
0,1984 .
0,1946
0,1910
0,1875
0,1840
i 0,1808
Ι 0,1776
0,1745
0,1715
0,1686
0,1659
η
0,9666
0,9694
0,9720
0,9743
0,9763
0,9782
0,9798
0,9813
0,9827
0,9839
0,9851
0,9860
0,9870
0,9879
0,9887
0,9894
0,9900
0,9906
0,9912
0,9917
0,9922
0,9926
0,9930
0,9934
0,9938
0,9941
0,9944
0,9947
0,9950
0,9952
0,9954
*) Вычислил В. П. Ветчинкцр,

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ
231
Таблица IV*).
Аэроплан
Фарман Фарман
учебный 7
Фарман
16
Фарман
Мощность мотора в л, с.,
V км\час
W м)сек
£miti Μ
£>о (при W'= W0] . . . .
Действительный диаметр D
50
72
20
3,12
4,37
2,6
60
90
25
2,44
3,42
2,6
80
108
30
2,15
3,01
2,5
107
115
32
2,26
3,17
2,5
Аэроплан
Фарман ι _
27 | Вуазен
Моран
Парасоль
Биплан
Ньюпор XI
Мощность мотора в л. с. .
V км/час .
Ψ м\сек
Smln м
Do
Действительный диаметр D
150
135
37,5
2,11
2,95
2,75
132
108
30
2,76
3,86
2,85
80
126
'35
1,71
2,39
2,5
80
155
43
1,25
1,75
2,5
- 2/
Значения г —
Таблица V**).
IT^^L
1 0,000
0,001
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
0,022
0,024
0,026
0,028
0,1
0,10
0,08
0,06
+0,02
-0,02
-0,06
-0,10
-0,14
-0,18
-0,22
-0,26
-0,30
-0,34
—0,38
-0,42
-0,46
0,2
0,20
0,19
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
+0,02
0,00
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
0,3
0,3000
0,2933
0,2867
0,2733
0,2600
0,2467
0,2333
0,2200
0,2067
0,1933
0,1800
0,1667
0,1533
0,1400
0,1267
0,1133
0,4
0,400
0,395
0,39
0,38
0,37
0,36
0,35
0,34
0,33
0,32
0,31
0,30
0,29
0,28
0,27
0,26
; 0,5
0,500
0,496
0,492 I
0,484
0,476
0,468
' 0,460
0,452
0,444
0,436
0,428
0,420
0,412
0,404
0,396
0,388
*) Вычислил В. П. Ветчинкин.
**) Вычислил М. Н. Веселоэский»

232 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Продолжение табл. V.
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0,100
7^\^
1 0,000
0,001
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
0,022
0,024
0,026
0,028
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0,100
0,1
-0,50
-0,60
—0,70
—0,80
—0,90
-1Д0
-1,30
-1,50
-1,70
-1,90
0,6
0,6000
0,5967
0,5933
0,5867
0,5800
0,5733
0,5667
0,5600
0,5533
0,5467
0,5400
0,5333
0,5267
0,5200
0,5133
0,5067
0,5000
0,4833
0,4667
0,4500
| 0,4333
0,4000
0,3667
0,3333
0,3000
0,2667
0,2
-0,10
-0,15
-0,20
-0,25
—0,30
-0,40
—0,50
-0,60
—0,70 !
-0,80
0,7
0,7000
0,6971
0,6943
0,6886
0,6829
0,6771
0,6714
0,6657
0,6600
0,6543
0,6486
0,6429
0,6371
0,6314
0,6257
0,6200
0,6143
0,6000
0,5857
0,5714
0,5571
0,5285
0,5000
0,4714
0,4430
0,4143
0,3
0,1000
0,0667
+0,0333
0,0000
-0,0333
-0,1000
-0,1667
-0,2333
—0,3000
—0,3667
0,8
0,8000
0,7975
0,795
0,790
0,785
0,780
0,775
0,770
0,765
0,760
0,755
0,750
0,745
0,740
0,735
0,730
0,725
0,7125
0,700
0,6875
0,675
0,650
0,625
0,600
0,575
0,550
0,4
0,25
0,225
0,20
0,175
0,15
0,10
+0,05
0,00
-0,05
-0,10
0,9
0,9000
0,8978
0,8956
0,8911
0,8867
0,8822
0,8778
0,8733
0,8689
0,8644
0,8600
0,8556
0,8511
0,8467
0,8422
0,8378
0,8333
0,8222
0,8111
0,8000
0,7889
0,7667
0,7444
0,7222
0,7000
0,6778
0,5 1
0,380
0,360
0,340
0,320
0,300
0,260
0,220
0,180
0,140
0,100
' 1,0
1,000 1
0,998
0,996
0,992
0,988
0,984
0,980
0,976
0,972
0,968
0,964
0,960
0,956
0,952
0,948
0,944
0,940
0,930
0,920
0,910
0,900
0,880 1
0,860 1
0,840
0,820
0,800

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ 233
Таблица VI *).
[К расчету вентиляторов типа НЕЖ*]
В = 0,50
В = 0,75
В = 1,00
В = 1,25
В = 1,50
В = 1,75
Ζ
2,5
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
3,5
4
5
! 6
7
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
2Р
0,0800
0555
0313
0200
0139
0102
0,0833
0469
0300
0208
0153
0,1111
0625
0400
0278
0204
0,1020
0781
0500
0347
0255
0,0938
0600
0417
0306
0235
0,1093
0700
0486
0357
0274
2/
0,1082
0687
0354
0218
0149
0108
0,1148
0561
0338
0228
0164
0,1740
0787
0463
0310
0222
0,1504
1036
0600
0395
0281
0,1326
0743
0486
1 0344
0257
0,1658
0897
0578
0407
0303
V
0,875
864
841
818
792
770
0,866
842
817
794
770
0,868
843
819
795
770
, 0,859
846
819
794
771
0,847
820
795
772
750
0,846
820
796
772
750
*)вр
0,864
901
939
957
968
975
0,859
914
941
956
966
0,816
892
925
945
957
0,832
869
910
934
949
0,844
895
922
940
952
0,821
881
912
932
946
η
0,756
779
790
782
767
750
0,744
770
770
759
744
0,708
751
757
750
738
0,713
733
745
742
732
0,714
733
734
726
714
0,696
722
727
720
709
*) Вычислил В. П. Ветчинкин. [При вычислениях было
положено ь = УЩ

234 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Продолжение табл. VI.
В =2,00
В = 2,25
В =2,50
В =2,75
В = 3,00
В = 3,25
В = 3,50
В = 3,75
В =4,00
Ζ
4,5
5
6
7
8
5
6
7
. 8
5
6
7
8
5,5
6
7
8
6
7
8
9
6
7
8
9
ι 6
7
1 8
9
6
7
1 8
9
6
6,5
7
δ
9
2Р
0,0988
0800
0555
0408
0313
0,0900 ί
0625
0460
0352
0,1000
0694
0510
0390
0,0909
0764
0561
0430
0,0833
0611
0469
0370
0,0902
0673
0509
0401
0,0972
0714
0547
0433
0,1040
0765
0587
0464
0,1111
0947
0817
0625
0495
2/ 1
0,1420
1060
0673
0472
0350
0,1245
0778
0540
0399
0,1440
0885
0610
0446
0,1255
0997
0680
0499
0,1115
0752
0550
0422
0,1240
0848
0603
0461
0,1370
0901
0658
0500
0,1500
0990
0714
0542
0,1669
1320
1080
0771
0584
*)тр
0,834
821
796
772
750
0,822
797
773
750
0,822
798
774
750
0,810
799
774
750 |
0,800
775
751
730
0,800
776
752
730
0,800
776
753
730
0,800
777
753
730
0,801
ι 790
777
754
730
*)вр
0,838
867
902
924 |
939 J
0,851
892
916
933
0,836
882
909
927
0,850
872
902
920
0,862
895
915
930
0,851
886
910
926
0,842
880
904
921
0,832
872
898
916
0,820
845
865
892
912
η
0,699
711
719
714
704
0,700
711
708
700
0,687
704
703
696
0,690
697
698
691
0,689
693
687
679
0,681
687
684
676
0,673
682
680
672
0,666
677
676
669
0,658
667
672 ]
672
666

СТАТЬЯ ЧЕТВЕРТАЯ 235
Таблица VII *).
Значения г—=-.
г
0,000
0,001
I 0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
- 0,016
0,018
0,020
0,022
0,024
0,026
0,028
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0,100
од
0,1000
0,0900
0,0800
0,0600
0,0400
0,0200
0,0000
-0,0200
—0,0400
—0,0600
—0,0800
-0,1000
-0,1200
-ОД 400
—0,1600
—ОД 800
-0,2000
—0,2500
—0,3000
-0,3500
—0,4000
—0,5000
—0,6000
—0,7000
—0,8000
—0,9000
0,2
0,2000
0,1950
0,1900
0,1800
0,1700
0,1600
0,1500
0,1400
0,1300
0,1200
0,1100
0,1000
0,0900
0,0800
0,0700
0,0600
j 0,0500
0,0250
0,0000
—0,0250
-0,0500
—одооо
—0,1500
—0,2000
—0,2500
—0,3000
0,3
0,3000
0,2967
0,2933
0,2867
0,2800
0,2733
0,2667
0,2600
0,2533
0,2467
0,2400
ι 0,2333
0,2267
0,2200
0,2133
0,2067
0,2000
0,1833
01667
0,1500
0,1333
0,1000
0,0667
0,0333
0,0000
—0,0333
0,4
0,4000
0,3975
0,3950
0,3900
0.3850
0,3800
0,3750
0,3700
0,3650
ι 0,3600
0,3550
0,3500
0,3450
0,3400
0,3350
0,3300
0,3250
0,3125
0,3000
0,2875
0,2750
0;2500
0,2250
0,2000
0,1750
0,1500
0,5
0,5000
0,4980
0,4960
0,4920
0,4880
0,4840
0,4800
0,4760
0,4720
0 4680
0,4640
0,4600
0,4560
0,4520
0,4480
0,4440
0,4400
0,4300
0,4200 1
0,4100
0,4000
0,3800
0,3600
0,3400
0,3200
0,3000
') Вычислил ДО, Н. Веселовский,

236 ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ГРЕБНОГО ВИНТА
Продолжение табл. VII.
J \^
0,000
0,001
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
0,022
0,024
0,026
0,028
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0,100
0,6
0,6000
0,5983
0,5967
0,5933
0,5900
0,5867
0,5833
I 0,5800
0,5767
0,5733
0,5700
0,5667
0,5633
0,5600
0,5567
0,5533
0,5500
0,5417
0,5333
0,5250
0,5167
0,5000
0,4833
0,4667
0,4500
0,4333
0,7
0,7000
0,6986
0,6971
0,6943
0,6914
0,6886
0,6857
0,6829
0,6800
0,6772
0,6743
0,6714
0,6686
0,6657
0,6629
0,6000
0,6572
0,6500
0,6429
0,6357
0,6286
0,6143
0,6000
0,5857
0,5714
0,5571
0,8
0,8000
0,7988
0,7975
0,7950
0,7925
0,7900
0,7875
0,7850
0,7825
0,7800
0,7775
0,7750
0,7725
0,7700
0J7675
0,7650
0,7625
0,7562
0,7500
0,7437
0,7375
0,7250
0,7125
0,7000
0,6875
0,6750
0,9
0,9000
0,8989
0,8978
0,8956
0,8933
0,8911
0,8889
0,8867
0,8845
0,8822
0,8800
0,8778
0,8756
0,8734
0,8711
0,8689
0,8667
0,8611
0,8556
0,8500
0,8445
0,8334
0,8223
0,8111
0,8000
0,7889
1
1,0000
0,9990
0,9980
0,9960
0,9940
0,9920
0,9900
0,9880
0,9860
0,9840
0,9820
0,9800
0,9780
0,9760
0,9740
0,9720
0,9700
0,9650
0,9600
0,9550
0,9500
0,9400
0,9300
0,9200
0,9100
0,9000

Статья четвертая
237
Таблица VIII.
качество малой трубы Эйфеля в аэродинамической
лаборатории МВТУ по испытаниям Μ. Ф. Адамчика. Диаметр
рабочего сечения 0,315 м. Без комнаты Эйфеля.
Число лопастей вентилятора
Скорость потока в рабочем
сечении
Число оборотов вентилятора
Модуль
Живая сила потока в л. с, .
Электрическая работа мотора
в л. с
Коэффициент полезного
действия мотора
Работа на валу мотора в л. с.
Качество трубы
Ζ
WC
η
WC
о
1
2
да 38
2530
0,143
да 3,4
2,67
да 0,80
да 2,13
да 1,61
4
42,5
2320
0,174
5,0
3,21
0,81
2,47
2,03
8
44,3
2185
0,193
5,13
3,67
0,81
2,8
1,83

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 5
Вихревая теория гребного винта (статья первая) ... 9
§ 1. Введение. Образование вихрей около винта с точки
зрения абсолютного движения 9
§ 2. Исследование стационарности винтового вихревого
шнура 15
§ 3. Средние скорости около винта 24
§ 4. Подбор лопастей винта для образования заданной
циркуляции 40
§ 5. Сила тяги и мощность винта. Подбор наивыгоднейших
параметров винта на заданную силу тяги 51
§ 6. Средние гидродинамические давления в струе винта . . 58
Вихревая теория гребного винта (статья вторая). . 63
§ L Образование вихрей с точки зрения относительного
движения 63
§ 2. Вихревая теория центробежного вентилятора .... 70
§ 3. Условие устойчивости потока около винта. Частные
решения для некоторых типов винтов 80
§ 4. Теорема о поддерживающей силе в кольцевом потоке.
Распространение вихревой теории на винты с
переменной циркуляцией 87
§ 5. Теоретическое исследование самовращения секторов
в опытах Д. П. Рябушинского 99
Вихревая теория гребного винта (статья третья) ... 116
§ 1. Вступление 116
§ 2. Теорема о поддерживающей силе потока в кольцевом
пространстве 117

ОГЛАВЛЕНИЕ
239
§ 3. Поток, обтекающий решетку с циркуляцией скорости.
Получение ступенчатой решетки из прямолинейной . . 119
§ 4. Поток, обтекающий ступенчатую решетку вдоль ее оси 130
§ 5. Поток, протекающий через ступенчатую решетку. Силы,
действующие на винт . · 133
§ 6. Приближенные формулы для участков винта с малым
относительным шагом 137
§ 7. Расчет крыльев вентилятора, работающего в трубе.
Качество аэродинамической трубы 138
§ 8. Подбор лопастей вентилятора по теории решеток. . . 148
Вихревая теория гребного винта (статья четвертая). 152
§ 1. Вступление 152
§ 2. Общая характеристика движения жидкости с
циркуляцией около винта , 153
§ 3. Величина скачка скоростей и давлений в струе винта 158
§ 4. Величина приращения осевой скорости в плоскости
винта 163
§ 5. Поправка на сжатие струи. Результаты испытания винта
типа НЕЖ в аэродинамической лаборатории МВТУ. . 166
§ 6. Теория идеального пропеллера 173
§ 7. Гипербола Ф. А. Ьрикса. Опыты Д. П. Рябушинского 183
§ 8. Расчет лопастей гребного винта по крайним кромкам
(при большом числе лопастей) 188
§ 9· Расчет лопастей гребного винта по дужкам (при
небольшом числе лопастей) 199
§ 10. О качестве аэродинамических труб 211
§11. Задача о наивыгоднейшем геликоптерном винте. . . . 220
§ 12. Вывод формулы Г. А. Ботезата 221

Редактор Я. Λί. Семёнова*
Техн. редактор Я. Я» Мурашова.
Подписано к печати SJVI 1950 г. Бумага
84Х1о8/з8, Бум. л. 3,75. Печ; л; 12,79, в т&м
числе 3 вклейки. Уч.-изд. л. 12,00.38 763 тип. ан.
в печ. листе. Т-05104. Тираж 3 000.
Цена 7 р. 25 к. Переплет 2 руб. Заказ № 1694.
4-я тип. им. Евг. Соколовой Главпрлиграф-
издата при Совете Министров CGCP.
Ленинград, Измайловский пр., 29.