Летняя школа «Современная математика»
Дубна, июль 2001
В. И.Арнольд
Астроидальная геометрия
гипоциклоид и гессианова топология
гиперболических многочленов
мцнмо
Москва 2001

УДК 514.74 Проведение летней школы «Современная мате-
ББК 22.15 матика» и издание настоящей брошюры осуще-
Д84 ствлено при поддержке Московской городской
Думы и Московского комитета образования.
Арнольд В. И.
А84 Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология
гиперболических многочленов.— М.: МЦНМО, 2001.— 80 е.: ил.
ISBN 5-94057-012-7
Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в
целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых
фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих
объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к
геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплекти-
ческой и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному
управлению.
Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией
явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в
обеих областях, который и описан в настоящей книге.
По материалам этой книги автором был прочитан миникурс участникам Летней
школы «Современная математика» (школьникам старших классов и студентам I—
II курсов) в Дубне 17—26 июля 2001 года.
Книга представляет интерес для широкого круга подготовленных читателей,
интересующихся математикой.
ББК 22.15
© Арнольд В. И., 2001.
ISBN 5-94057-012-7 © МЦНМО, 2001.

Введение
Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее
появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом
ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых
фронтов, теорий эволют и эвольвент сделало ясным фундаментальное
значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых
фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории
распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то
к вариационному исчислению и оптимальному управлению.
Простейшим примером задачи гессиановой топологии является вопрос
о том, сколько компонент связности может иметь параболическая кривая
графика многочлена данной степени от двух переменных. Например, для
многочлена четвертой степени число компонент линии нулей гессиана не
больше четырех, но многочлен с четырьмя компактными компонентами
неизвестен.
Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной
геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к
быстрому прогрессу в обеих областях, который и описан в настоящем
обзоре.
Из этой теории вытекает, например, что пространство однородных
многочленов четвертой степени f(x, у), второй дифференциал которых в
каждой ненулевой точке имеет гиперболическую сигнатуру (+, —),
связно. Доказательство этого факта, описанное ниже, опирается на лемму,
которую я обнаружил экспериментально, а затем доказал при некоторых
специальных значениях входящих в задачу параметров. Общее
доказательство, найденное позже Ф.Аикарди, использует, к сожалению,
тяжелую артиллерию компьютерной коммутативной алгебры, не боящейся
перемножать громоздкие многочлены от многих переменных.
Это компьютерное доказательство (громоздких алгебраических
тождеств) подтверждается совпадением результатов при всех тех
значениях параметров, при которых известно точное аналитическое решение,
а также совпадением асимптотик, возникающих в предельных случаях;
но бескомпьютерного полного доказательства пока нет.
Трудность представляет здесь тесно связанная с астроидальной
геометрией теория огибающих некоторых алгебраических семейств парабол,
удовлетворяющих уравнению Гессе. Хотя эти вопросы относятся к
алгебраической геометрии (и, с другой стороны, к теории неравенств между
производными тригонометрических многочленов фиксированной
степени), успех достигается лишь за счет компьютерной алгебры.
3

Пространство «гиперболических» однородных многочленов степени
шесть уже не связно (а имеет по меньшей мере две компоненты,
различающиеся индексами полей крестиков нулей вторых дифференциалов).
Вопрос о возможных значениях подобных индексов также входит в гес-
сианову топологию, основанную в [3], [11], [12].
Гессианову топологию можно рассматривать как главу качественной
теории дифференциальных уравнений с частными производными (в том
же смысле, в каком геометрия евклидовой плоскости — частный случай
римановой). Автор стремился всюду избегать обобщений, даже
напрашивающихся, ограничиваясь простейшими содержательными частными
случаями, относящимися к будущей общей теории примерно так, как
относится теория гармонических функций к общей теории эллиптических
дифференциальных уравнений.
Автор благодарен Ф.Аикарди, А. Ортиц-Родригес и В.М. Гуровцу за
помощь в компьютерной подготовке этой статьи к печати, а также
тщательно отредактировавшему и кое-где разъяснившему мое изложение
В. Клепцыну — за полезную критику.
4

ГЛАВА I
КАУСТИКИ И ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ
1. Каустики периодических функций
Рассмотрим гладкую функцию g: 51 —у R. Будем обозначать точку
окружности через ф (mod 2л), а производную по аргументу ср будем
обозначать штрихом.
Определение. Каустикой периодической функции g называется
кривая на евклидовой плоскости с декартовыми ортонормированными
координатами (А, В), состоящая из тех точек плоскости, для которых
функция аргумента ср
G(A, В; ф) = A cos ср + В sin ср + g((f)
имеет неморсовскую критическую точку:
Зф е 51: С (Л, В; <р) = О, G"(A, В; ф) = 0.
Пример. Каустикой функции g"(cp) = соз(2ф) является астроида (см.
ниже)
{(Л = -4cos3 ф, В = 4sin3ф)}.
Замечание. Каустика естественно параметризована критической
точкой ф.
Уравнения G' = G" = 0, линейные относительно А и В, доставляют
гладкие функции-решения
\ A = g's + g"c,
{ , „ (s = sincp, C = QOS(Q)
\B = -g'c + g"s, Ъ ^
которые выше и вычислены для g = со8(2ф).
Теорема 1. Направление каустики задается вектором (с, s)
направления ср, а именно,
% = cR, % = sR, где R = * + ,?>.
5

Доказательство. Дифференцируя приведенные выше явные
формулы, получаем
^=g'c + g"s-g"s + g"'c,
что и требовалось доказать. □
Для дальнейшего решающую роль играет ортогональность заданной
на окружности функции R теоремы 1 функциям 1, cos ф и sin ср.
Теорема 2. Радиус кривизны каустики в точке (Л(ф), В((f))
равен R((f).
Доказательство. Вектор (с, s) есть (по теореме 1) вектор
скорости движения вдоль каустики со скоростью единица. Обозначим через 5
длину каустики (отсчитываемую в заданную этим вектором сторону). Для
вектора z((f) = (A((f), В((f)) мы получим тогда
dz _ dz dS _ dz Id(f _ f c\ jK
d(f dS d(f dS I dS \sj I '
где /С = -^ есть кривизна каустики (с нужным знаком, определяемым
ориентациями плоскости и каустики). Итак, по теореме 1, имеем R = \/К,
что и требовалось доказать. □
Пример. Для стандартной астроиды g = cos(2(p), {(А = — 4cos3(p,
В = 4 sin3 ф)}; поэтому ее радиус кривизны есть R = 6s'm(2(f).
Радиус кривизны обращается в 0 в четырех точках возврата астроиды.
Он максимален (±6) в срединных точках каустики, лежащих на полпути
между двумя соседними точками возврата (в точках А = ±>/2, В = ±>/2).
Рассмотрим все касательные к нашей каустике-астроиде прямые.
Ортогональная траектория этого семейства прямых называется
эвольвентой (или волновым фронтом) исходной астроиды (так же
определяются фронты любой исходной кривой-каустики — это траектория конца
сматываемой с каустики нити). Длина свободной части нити — это радиус
кривизны эвольвенты (рис. 1).
Один из волновых фронтов астроиды сам является астроидой.
Он вдвое меньше исходной астроиды и повернут на 45° относительно
нее. Срединные точки его отрезков между его соседними точками
возврата лежат на осях координат А и В на расстоянии 1 от центра астроид
(так как фронт вдвое меньше каустики, а для нее расстояние от средин-
6

ной точки на полдороге между ее точками возврата до центра равно 2,
поскольку 4 sin3(:i/4) = 4(\/2/2)3 = лД).
Центр кривизны фронта-эвольвенты в его точке на касательной к
каустике есть точка касания этой касательной с каустикой. В нашем случае
(точки фронта на оси координат) этот
центр есть точка возврата каустики.
Поэтому радиус кривизны фронта в такой
его срединной точке равен 4—1 = 3 = 6/2,
как и должно было получится для фронта,
вдвое меньшего, чем каустика.
Теорема 3. Альтернированная
длина каустики равна нулю.
Альтернированной длиной кривой
мы называем сумму длин ее отрезков
между ее точками возврата, с
меняющимися при прохождении каждой ТОЧКИ ВОЗ- Рис. 1. Эвольвента астроиды
врата знаками. Мы предполагаем здесь,
что эти точки возврата — простейшие (полукубические), что верно для
функции g общего положения. В терминах функции R это условие
означает простоту нулей.
Доказательство. Функция g' + g'" = R(<p), будучи производной,
ортогональна функции 1 на окружности, т. е. ее интеграл равен нулю. Но,
по определению кривизны,
°4md(?=Imd<?=1^^=1^
где dS — элемент длины, ориентированной направлением вектора
(Д- = coscp, В' = sincp). А это направление меняет ориентацию каустики
при прохождении точки возврата, поскольку вектор (А', В') зависит
от ф непрерывно, а ориентирующий каустику вектор меняет знак при
прохождении точки возврата. □
Теорема 4. Каустика периодической функции имеет не меньше
4 точек возврата.
Доказательство. Функция R = g' + g'" ортогональна на
окружности функциям (1, cosср, sincp). Согласно теореме Штурма—Гурвица
(см. [1], [2], [3], [4]), такая функция имеет не менее 4 нулей. Точки
нулевого радиуса кривизны каустики являются ее особыми точками, а для
функции g общего положения — точками возврата полукубического
типа (в окрестности такой точки каустика диффеоморфна полукубической
каустика
7

параболе х3 =у2). Таким образом, теорема 4 вытекает из теоремы
Штурма—Гурвица. □
Несколько слов о теореме Штурма—Гурвица.
Эта теорема утверждает, что сумма вещественного ряда Фурье имеет
не меньше нулей, чем младшая гармоника, входящая в ряд с ненулевым
коэффициентом. Если эта гармоника первая, т. е. если функция
ортогональна единице т. е. имеет нулевой интеграл, это утверждение есть
неравенство Морса. Действительно, такая функция является производной
гладкой функции, заданной на окружности, значит она имеет не меньше
двух нулей, поскольку заданная на окружности функция имеет не менее
двух критических точек.
Поэтому теорема Штурма—Гурвица является обобщением
неравенства Морса на высшие производные. Например, если заменить первую
производную суммой первой и третьей, то у такой комбинации в ряде
Фурье не будет ни нулевых, ни первых гармоник, поэтому число нулей
не меньше четырех. Известно много доказательств теоремы Штурма—
Гурвица, но все они мало проясняют суть дела. Сам Штурм
рассматривал только тригонометрические многочлены, т. е. вещественные части
обычных многочленов на окружности. В этом случае теорема
следует из принципа аргумента теории функций комплексного переменного,
так как отсутствие младших гармоник означает присутствие корня
большой кратности в нуле, т. е. внутри круга, ограниченного рассматриваемой
окружностью. Значит, аргумент имеет большое приращение, а
вещественная часть — много нулей.
Гурвиц перенес теорему на общие функции. Из других доказательств
поучительно рассуждение с уравнением теплопроводности. Примем
исходную функцию за начальное условие. Старшие гармоники умирают
быстрее, поэтому вскоре останется одна минимальная. А число нулей, как
вытекает из принципа максимума, при такой тепловой эволюции могло
только уменьшаться, но не возрастать, так что вначале их было не меньше.
Замечание. Каустика функции cos(3(p) — гипоциклоида с тремя
точками возврата, пройденная дважды.
Теорема 5. Распределим вдоль каустики массу с
альтернирующей (меняющей знак в точках возврата) плотностью ±1. Тогда
проекция полученного распределения бесконечно-малых элементов
ориентированной кривой на ось В (или на любую другую прямую)
имеет интегралом нуль1.
1 Определение векторной плотности можно посмотреть в дополнении на с. 74.
8

Доказательство. Воспользуемся ортогональностью функции R к
функции sin ф. Интеграл, о котором идет речь, имеет вид
0 =
Ф (8Шф)7?(ф) dy = Ф (БШф) dS = Ф dB
(интегрирование — по отрезкам между точками возврата, с последующим
суммированием ответов с альтернирующими знаками).
Для проекции на ось А аналогично используется ортогональность R
к функции со8ф. Утверждение о проекциях на все прямые следует из
обращения в нуль интегралов проекций на оси координат. □
Замечание. Центр тяжести каустики, снабженной массой с
альтернирующей плотностью ±1,— не обязательно 0, в том смысле, что
не обязательно равны нулю моменты Ф A dS и <р BdS (пример: g =
= С08(2ф) + 8Ш(Зф)).
Теорема 6. Если каустика имеет ровно 4 точки возврата, то
они лежат в вершинах параллелограмма.
Доказательство. Обозначим эти точки возврата через Р\, Р2, Я3,
Р4 (в этом порядке вдоль каустики); Ръ = Рх. Рассмотрим векторы V-} =
= Pj—Pj+]. В нашем случае (четырех точек возврата) теорема 5 имеет вид
V{-V2 + Vs-V4 = 0. (1)
С другой стороны, четыре вектора Vj очевидным образом удовлетворяют
условию цикла
Vi + V2 + V3 + V4 = 0. (2)
Складывая уравнения (1) и (2), мы получаем теорему 6 в виде У, + У3 = 0,
V2-\-V4 = 0, т.е. V3 = —Vi, V4 = —V2, поэтому точки возврата каустики
образуют параллелограмм. □
Замечание. Для каустики, имеющей ровно 2т точек возврата, точно
так же доказывается совпадение барицентров точек возврата с четными
и с нечетными номерами:
Л +Я3 + ... + Я2т_, = Р2 + я4 +... + я2ш.
Теорема 7. Один из фронтов данной каустики имеет
альтернированную длину нуль и не меньше четырех точек возврата.
Все фронты обладают свойством нулевого интеграла проекции
(теорема 5), фронты с 4 точками возврата — свойством
параллелограмма (теорема 6), а с 2т точками возврата — приведенным
выше в замечании свойством совпадения барицентров.
9

Доказательство. Начнем со следующего (нового!) определения
фронтов 2тт;-периодической функции g.
Определение. С-фронтом (периодической функции g: 51 —>М)
называется множество тех точек евклидовой плоскости {(А, В)}, для
которых функция аргумента ср
G(A, В; ср) = A cos ср + В sin ср + g"(cp)
имеет критическую точку с критическим значением С:
Зф е 51: С7(Л, В; ф) = О, С(Л, В; <р) = С.2
Лемма. Радиус кривизны С-фронта равен
p(<p) = C-(g"(cp) + g(<P))-
Доказательство леммы. Обозначим через (Л*(ф), £*(ср))
точку каустики, соответствующую неморсовской критической точке ср
функции G(A,B;-). Мы уже вычислили выше, что (A* ((f) = g's + g"c,
В* (у) = —g'c+g"s). Точка на касательной к каустике, удаленная от точки
касания на расстояние X в на-
/\ правлении вектора (с, s), есть3
//Л(А(ц>),В(ц>)) (рис.2)
(Л*(ф),В*(<р))^^^^
^<1^ = р(ф) (А(Х)=А*+\с, B(k) = B*+\s).
каустикс1\^ / фронт
^\// Когда эта точка лежит на
^ С-фронте, определенном как нор-
Рис. 2. Фронт как эвольвента каустики мальная траектория касательных,
число X — радиус его кривизны.
Зафиксировав ср и рассматривая А и В как функции от X, будем
обозначать производные по X точками.
По определению функции С = Ac + Bs + g мы находим из (А' = с,
В' = s), что при фиксированном ср
G=l, G" = -l,
поэтому (G + G")(X) = (G + G")(0) =g+g". Но при Х = 0, т. е. на каустике,
G" = 0. Поэтому G(0) = g + g". Итак, критическое значение функции G
2 Эквивалентность этого определения старому будет объяснена ниже (см. замечиние на
с. 11) — Прим. ред.
3 См. текст после замечания 1 на с. 11 — Прим. ред.
ю

(в точке ф) есть С(0) + Х = g + g" + Х. Чтобы оно было равно С, радиус
кривизны X = р(ф) должен иметь указанную в лемме величину. □
Замечание. Ортогональность С-фронта, определенного при помощи
критического значения, к касательной к каустике следует из формулы
для дифференциала критического значения:
В критической точке dG/d<p = О, а по определению функции С имеем
dG/дЛ = с, dG/дВ = s. Поэтому условие dG = О постоянства
критического значения С имеет вид с dA + 5 dB = О, что и означает ортогональность
фронта к касательной к каустике. Итак, этот фронт — эвольвента
каустики.
Окончание доказательства теоремы 7. Из доказанных
свойств С-фронтов следует, что функция кривизны С-фронта
ортогональна функциям cos ф и sin ф при любом С, а также, как функция от ф,
ортогональна функции 1 при С, равном среднему значению функции g.
Альтернированная длина С-фронта с таким выбором С равна
нулю (кстати, из леммы видно, что альтернированная длина фронта
зависит от С как линейная неоднородная функция).
Теперь все утверждения теоремы 7 о фронтах доказываются так же,
как предшествующие утверждения о каустиках в теоремах 3—6 — при
помощи теоремы Штурма—Гурвица. □
Кроме двух намеченых выше доказательств этой удивительной
теоремы, вот еще одно. Для простоты предположим, что в ряду Фурье
отсутствует нулевая и две первые гармоники, т. е. что функция ортогональна
единице, синусу и косинусу, и докажем, что число нулей не меньше
четырех.
Если бы нулей было всего два, то функция имела бы всюду такой же
знак, как некоторая линейная комбинация единицы, синуса и косинуса.
Тогда произведение функции и этой комбинации имело бы ненулевой
интеграл вопреки ортогональности. Полученное противоречие доказывает,
что нулей не меньше четырех (случай трех нулей легко разобрать
подобно случаю двух, так как один из нулей тогда кратный).
Обобщения теоремы Штурма—Гурвица обсуждаются ниже, в конце
раздела 10 (с. 58).
Замечание 1. Было бы интересно понять, какие кривые (скажем,
соединяющие вершины параллелограммов, каковые вершины
являются точками возврата кривых, и имеющие альтернированные
11

длины, равные нулю) являются каустиками периодических
функций. Свойство быть такой каустикой накладывает дополнительные
ограничения: невырождение кривизны между точками возврата и отсутствие
параллельных ориентированных касательных очевидным образом входят
в их число. Касательные прямые к каустике периодической
функции покрывают всю плоскость {(А, В)}. Это следует из теории Морса.
Действительно, функция С (Л, В; •), заданная на окружности S1, имеет
там критическую точку с. Прямая, касающаяся каустики в
соответствующей с точке, проходит через точку (Л, В). Дело в том, что все
функции на S1, соответствующие точкам этой касательной прямой, имеют на
окружности общую критическую точку с.
Но можно, вместо того, чтобы ограничивать каустики, обобщать
исходные функции, заменяя их, например, «многозначными функциями»,
т. е. кривыми на поверхности цилиндра 51 х М, уже не являющимися
сечениями расслоения (J°(S\ R) = Sl х М)—^S1 над окружностью (расслоения
(ф, £)^ф)-
Можно допустить в J°(S\ Ж) и кривые с особенностями, даже не им-
мерсированные. Действительно, естественным объектом является здесь
точная лагранжева кривая L с T*S\ являющаяся обобщением графика
производной функции g, состоящего из точек {(ф, р): р = dg/d(f} = L.
График самой функции g является для этой лагранжевой
кривой фронтом ее лежандрова поднятия в трехмерное пространство
1-струй функций на окружности, Jl(S\ Ж) = {(ф, у, /?)}, куда она
поднимается в качестве \-графика функции {(ф, у = g(<p), р = gt(<p))}- Фронт
есть естественная проекция этой лежандровой кривой при отображении
забывания производной, /1 (S1, М) -} J°(S\R), отправляющем (ф, у, р)
в (ф, у). Таким образом, лежащий в /° псевдограф (фронт)
лагранжевой кривой L сам может иметь точки возврата. Поэтому следовало бы
распространить теорему Штурма—Гурвица (и ее следствия, описанные
выше) на каустики таких псевдографов, а не только настоящих гладких
функций, для которых все уже доказано.
Замечание 2. Точки возрата на каустике соответствуют точкам
сферического перегиба соответствующих лагранжевых кривых в
фазовом пространстве L С T*Sl. А именно, для р = g'((f) на L уравнение
(ё' +^'///)(фо) — 0 выражает касание повышенного порядка кривой L с
графиком одной из функций р = a cos ср + b sin ср в точке ф0.
Рассмотрим цилиндр T*Sl = {(ф, р)} как поверхность {х2 + у2 = 1}
в евклидовом пространстве М3 с декартовыми координатами (х = cos ф,
y = s'm<p,p).
12

Проецируя этот цилиндр на сферу X2 + Y2 + Р2 = 1 лучами из начала
координат,
(Х=±, Y=y-, Р=Р-), г2=х2 + у2 + р2,
мы отобразим лагранжеву кривую L на сферическую кривую, а графики
функций р = a cos ф + b sin ср — на окружности больших кругов. Точки,
где g' + g'" = О, перейдут в точки сферического перегиба
спроецированной кривой (ср. [5]).
Чтобы использовать проективную геометрию фазового цилиндра
T*Sl = {(ф, /?)}, можно ввести там (локальные) аффинные координаты
(<=**=!•-=!)■
В этих координатах уравнение точек возврата каустики g'" + g' = О (для
d w
g' = р(ф)) принимает форму уравнения обычных точек перегиба —^ = О
(для функции w(tg(f) = Е-^- J.
Было бы интересно исследовать связь между проективными
геометриями этой лагранжевой кривой и каустики (их двойственность). В
выпуклой геометрии функцию — g называют опорной функцией (своей
каустики).
В [6] доказано, что кривая, проективно двойственная астроиде,
есть антиокружность, которая задается уравнением
в подходящей системе аффинных координат (х, у) на двойственной
плоскости.
2. Гиперболические периодические функции
Определение 1. Кривая у: S{ —>М? (отображение окружности в
трехмерное пространство вещественных квадратичных форм на плоскости,
М3 = {ф = ai2 + 2Ь^Г) + сг)2}) называется гиперболической, если каждая
из квадратичных форм у(ф)> ф £ S1 (= {фmod2л}) имеет
гиперболическую сигнатуру (+, —), т.е. если ее гессиан отрицателен:
а(ф)с(ф)-/?2(ф) <0
ДЛЯ ВСЯКОГО ф.
13

Гиперболичная форма Ф определяет крест Ф = 0 на плоскости {(^, г))}.
В структуру, называемую «крест формы Ф», мы будем включать не
только пару прямых, на которых форма
обращается в 0, но и ту пару секторов, где
она положительна.
Определение 2. Индексом
гиперболической кривой у называется число
оборотов точки у(ф) вокруг конуса вырожденных
форм {ас — Ь2 = 0}, т. е. (рис. 3)
ind(y) = тг Д arg(a - с + 2Ы) (со)
Рис. 3. Гиперболическая кривая Ziz
индекса 1
(эта формула фиксирует выбор ориентации
кривой индекса 1, т. е. выбор коориентации оси конуса, в зависимости
от ориентации плоскости {(х, у)}, поэтому для семейства квадратичных
форм d2f индексы от выбора этой ориентации плоскости не зависят).
Определение 3. Индексом крестов гиперболической кривой у
называется число оборотов крестов форм Ф = у(ф) при увеличении ср
от 0 до 2тс.
Замечание. В отличие от индекса гиперболической кривой, индекс
ее крестов — не обязательно целое число: он может быть и полуцелым,
1пс1(кресту(ф)) eZ/2.
Действительно, возможна монодромия, когда после полного обхода
замкнутой кривой у крест возвращается на прежнее место с
перестановкой (£, г)) I-» (—?, —Г)) двух своих секторов положительности (рис. 4).
Рис. 4. Монодромия крестов
Теорема 1. Индексы гиперболической кривой и ее крестов не
меняются при деформации кривой, оставляющей ее гиперболической.
Это следует просто из непрерывности индексов. Поскольку
фундаментальная группа многообразия гиперболических форм есть Z, из этой
теоремы следует, что индекс крестов кривой у является
универсальной (и линейной) функцией индекса кривой, которую достаточно
посчитать для одного (нетривиального) примера.
14

Пример. Кривая у, для которой
a = cos(k(f), b = s'm(k(f), c = — cos(k(p),
гиперболична: ас — b2 = — 1 < 0. Индекс этой кривой есть
ind(y) = -^- A arg(2 cos(kcp) + 2/ s'm(kcp))
2ti
= k.
0
Квадратичная форма на Ш2 = {(£, г))}, заданная нашей кривой, есть
Ф(ф) = cos(&cp)(?2 - г)2) + sin(fcp)(257)).
В точке (J; = cos 8, Г) = sin 8) эта форма равна
cos(&(p) cos(26) + sin(/zcp) sin(28) = cos(&(p — 26).
Это значение формы положительно при 8 = k<p/2. Следовательно,
k
1пс1(кресту(ф)) = ~-
Тем самым доказана
Теорема 2. Индекс крестов любой гиперболической кривой равен
половине индекса этой кривой.
Ниже эти замечания будут применены к специальному случаю
D-однородной функции f(x, y) = rDF((f) (x = rcos(p, y = rs'm(p), определяющей
(например, при г=\) гиперболическую кривую
у: (a = fXfX, b = fXty, c = fyty).
Случай, когда / — многочлен, уже интересен (и весьма нетривиален,
например, для D = 4): какие значения индексов достигаются при
подходящем выборе однородного многочлена f (или однородной
функции) при фиксированной степени однородности D? Мы обсудим, что
об этом известно, ниже, в разделах 8—10: для любого гиперболического
однородного многочлена степени 4 индекс крестов окажется равным — 1.
15

ГЛАВА II
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
3. Однородные функции степени D
и связь их гиперболичности с теорией Морса
Формулируемые здесь результаты доказываются в следующих
параграфах.
Теорема 1. Функция f(x, у) = rDF(cp) (где х = г cos ср, у = г sin ср)
степени D > 1 определяет гиперболическую кривую (г = const > 0)
У(ф) = (a = fx,x, Ь = fXty, с = fyty),
если и только если 2п-периодическая функция F везде
удовлетворяет условию (*) D-гиперболичности (гессиан должен быть
отрицателен)
D2F2 + DFF" -(D- \)F'2 < 0, (*)
где ' = d/dcp.
Такая функция F будет называться D-гиперболической.
Пример. Пусть функция F — D-гиперболическая. Тогда функция Fa
будет aD-гиперболической (там, где F^O — подробнее см. в разделе 8).
Теорема 2. Пусть F — D-гиперболическая функция. Рассмотрим
фазовый вектор £(ср) е Ж2 с компонентами (F(cp), F(cp)). Тогда
направление вращения при возрастании ср
F'* ^) этого фазового вектора £ вокруг нача-
\. f ла координат (рис. 5) всюду отрицательно
^ ^ (при ориентации фазовой плоскости, за-
~^F данной порядком координат F/\F'), а
угловая скорость со этого вращения по модулю
всюду больше, чем \/D:
Рис. 5.
Отрицательное вращение FF — F 1
фазового вектора ~ р% . р& ~D'
Лучшее описание вращения фазового вектора приведено ниже, в
разделе 7.
16

Теорема 3. Индекс кривой у, соответствующей D-гиперболиче-
ской функции F, равен
ind(y) =2 + ind(Af + /W),
где функции М и N угла ср определены формулами
М = D(D - 2)F- F", N=(2D- 2)F.
Входящий в эту теорему индекс плоской кривой М-\- IN описывается
теорией Морса:
Теорема 4. Индекс кривой M + iN отрицателен, и его модуль
равен половине числа критических точек функции F (которое
четно, потому что все эти критические точки для D-гиперболиче-
ской функции невырождены):
md(M + iN) = ~-(y0:F(y0) = 0).
4. Доказательства теорем
об однородных функциях
Для полярного угла ср = a.rctg(y/x) мы имеем dcp = r~2(xdy — у dx).
С другой стороны,
d(rD) = d(r2)D/2 = | (r2){D/2-V}(2xdx + 2ydy) = DrD~2(xdx +ydy).
Следовательно, мы получаем выражение для дифференциала функции
f(x,y) = rDF(c?):
df = DrD-2(xdx + ydy)F+rD-2(xdy-ydx)F'.
Таким образом, мы нашли ее производные:
fx = rD-2(DxF-yFf), fy = rD~2(DyF + xFf).
Из первого выражения следует, что
D — 2 rD
d(fx) = —2 f (х dx + У dy) (DxF - Ур') +
Г Г
, rD , ~ п < nf j ч , rD ~ nf х dy - у dx rD nff xdy-ydx
+ — (DFdx - F' dy) + — DxF' —^—f- ¥ yF" —^—f-—.
17

Таким образом, для второй производной однородной функции / мы
получаем выражение
a = fxa = rD-4[(D - 2)Dx2F- (D - 2)xyF' + Dr2F - DxyF + y2F"} =
= rD-4[PF+QF' + RF"l
rjieP = D(D-\)x2 + Dy2, Q = 2(1-D)xy, R = y2.
Точно так же вычисляется производная функции fx по у.
Ь = f^y = rD~4[(D - 2)DxyF -(D- 2)y2F' - r2F' + Dx2F' - xyF"} =
= rD-4[SF+TF' + UF"l
rjieS = D(D-2)xy, T= (D - \)(x2 -y2), U=-xy.
Из найденного выше выражения для fy видно, что
D — 2 rD
d(fy) = —2 ^ (xdx-\-y dy) (DyF + xF') +
, rD /глг j , r> j ч , rD гл n,xdy — ydx , rD nffxdy — ydx
+ -г (DFdy + F' dx) + -г DyF'—^—f- h -r xF"—^—f-—.
r r r r r
Это дает для последней второй производной однородной функции /
формулу
с = fyy = rD-4[(D - 2)Dy2F+(D - 2)xyF' + Dr2F + DxyF' + x2F"\ =
= rD-4[ZF+VF' + WF"l
где Z = D(D-\)y2 + Dx2, V = 2(D-l)xy, W = x2.
Из всего этого для а + с и а — с получаются более простые формулы:
a + c = rD-4[(P + Z)F+(Q+V)F' + (R+W)F"l
где Р+ Z = D2r2, Q +V = О, R + W = г2, так что, окончательно, след
второго дифференциала равен
a + c = rD-2(D2F+F").
В то же время мы находим
а-с = rD~4[(P- Z)F+ (Q- V)F' + (R- W)F"\
meP-Z = D(D-2)(x2-y2), Q-V = 4(l-D)xy, R-W = y2-x2.
18

Введем еще обозначения с2 = cos(2(p), s2 = sin(2cp), так что х2—у2 = г2с2,
2ху = r2s2. В этих обозначениях предыдущая формула имеет вид
а-с = rD~2[D(D - 2)c2F+2(\ - D)s2F' - c2F"\ = rD~2[Mc2 - Ns2],
где M = D(D - 2)F- F", N = (2D - 2) F. Величины M и N, определенные
этими формулами, будут играть большую роль в дальнейшем.
С этими обозначениями мы находим
2b = rD~4[2SF + 2TF' + 2UF"],
2SF + 2UF" = r2D(D - 2)s2F-s2r2F" = r2[D(D - 2)F-F"]s2 = r2Ms2,
2TF' = (2D - 2)r2c2F' = r2Nc2.
Окончательно, мы приходим к простым формулам
2b = rD~2[Ms2 + Nc2\ а-с = rD~2[Mc2 -Ns2].
Эти две вещественные формулы эквивалентны одной комплексной,
rD~2(c2 + /52) (М + IN) = а - с + 2ib,
доказывающей теорему 3 раздела 3, поскольку ind(c2+is2) — 2 и ind(ap) =
= ind(a)+ind(p).
Заодно мы получаем простую формулу для гессиана Я = ас — Ь2.
Действительно,
(a-cf + 4b2 = r2D-4(M2 + N2),
поэтому для выражения
АН = Цас - Ь2) = (а + с)2 - ((а - с)2 + 4Ь2)
мы находим последовательно (учитывая, что D2F-\-F" = 2D(D— \)F — M,
из определения величины М)
\Н = r2D~4[(D2F + F")2 -М2- N2] =
= r2D~4[4D2(D - \)2F2 - 4D(D - \)FM + M2 - M2 - N2] =
= r2D~4[4D2(D - \)2F2 - 4D2(D -\)(D- 2)F2 +
+ 4D(D - X)FF" - 4(D - \)2F'2} =
= r2D~4[4D2(D -\)F2 + 4D(D - \)FF" - 4(D - \)2F'2} =
= 4(D - Or20"4^2/72 + DFF" -(D- \)F'2\
что и доказывает теорему 1 раздела 3.
19

Доказанное неравенсто D-гиперболичности из теоремы 1 раздела 3,
£>2F2 + DFF" - (D - 1 )Г2 < О,
(*)
влечет за собой теорему 2 раздела 3 (об угловой скорости со вращения
фазового вектора С(ф)). Действительно, по определению на евклидовой
плоскости со = d(argQ/d(p, поэтому,
используя кеплерово выражение сек-
ториальной скорости [£, £']/2 через со
как со||£||2/2, мы находим (рис. 6)
Рис. б. Вычисление угловой
скорости
к\\2
где С = (F, F'), С = (Р, F"), [С С] =
= FF" - F2, ЦСУ2 = F2 + Р2. Из
неравенства D-гиперболичности (*)
следует, что
D(FF"-F2) < -D2F2-F'2< -F2-F2< О,
поэтому со < — \/D < О, что и доказывает теорему 2 раздела 3 (которую
мы еще усилим в теореме 1 раздела 7 на с. 27).
Одновременно мы убедились, что число оборотов фазового
вектора £ = (F, F) для D-гиперболической функции F есть произведение
числа (—1/2) на число нулей функции F (или же на (равное ему)
число нулей ее производной F). К тому же доказана
перемежаемость корней этих функций, а значит, и антироллево свойство:
между любыми двумя нулями производной есть нуль функции F.
Доказательство теоремы 4 раздела 4. Пусть F(<p0) = О
(так что и А^(фо) = 0). Отыщем знак производной N'((p0) функции N.
Из неравенства D-гиперболичности (*) мы
заключаем, что в точке ф0 произведение
F(DF+F") отрицательно.
Значит, знак F(<p0) противоложен знаку
(DF + Р')(ф0). Из этого следует, что знак
Р'(фо) противоположен знаку F(cp0). Но М =
= D(D — 2)F — F" по своему определению.
Значит, знак М((р0) противоположен знаку
Р'(фо), а следовательно, и знаку (dN/d(p)((p0).
Иными словами, если Л^(ф0) = 0 и М(<р0) < 0, то N'(<p0) > 0, а если
Л^(фо) = 0 и Л4(ф0) > 0, то N'((fQ) < 0 (рис. 7). Это и означает, что индекс
N' >0
М<0 о
М>0
м
N' <0
Рис. 7. Вращение вектора
M + iN
20

кривой M+iN, посчитанный по пересечениям с осью М, равен минус
половине числа пересечений с этой осью:
тА{М + IN) = -±(-<ро: F((f0) = 0) = md(F + iF') < О
— каждое пересечение — отрицатель но -вращающее. □
5. Примеры D-гиперболических функций
Пусть D > 1.
Теорема 1. Для всякого целого k ^ \/Ъ существуют D-гипер-
болические функции, для которых т&(М + IN) = —k (так что
ind(a - с + Tib) = 2-k) (рис. 8).
^^Ш^ш] * ► ind(y)
Рис. 8. Область реализованных индексов
Доказательство. Положим F(<p) = cos(&cp). Для проверки
условия D-гиперболичности (*) теоремы 1 раздела 3 вычислим
нормированный гессиан h[F] = D2F2+DFF" — (D — \)F'2 и убедимся, что /z[cos(&cp)]<
< 0. Подставляя F= cos(fecp), мы получаем для (нормированного)
гессиана выражение
h[F] = (D2 - k2D) cos2(/ecp) - (D - \)k2 sin2(/ecp) =
= (D2 - k2D + Dk2 - k2) cos2(/ecp) - (D - \)k2 =
= (D2 - k2) cos2(/ecp) - (D - \)k2.
Максимум этой функции равен
(max{0, D2 - k2}) - (D - \)k2 = max{-(D - \)k2, D2 - Dk2}.
Этот максимум отрицателен при k2 > D > 1. В этом предположении
(k2 > D) теорема доказана.
В оставшемся неразобранным случае k2 = D (например, k = 2, D = 4),
выберем F в виде мало продеформированной функции cos(kcf):
Fe = cos(k(p)+eg((f>).
21

Из приведенного выше выражения для h(e) = h[Fe] мы получаем
квадратичную функцию — возмущенный (нормированный) гессиан
h(e) = h0-\-ehi + e2h2.
Мы уже вычислили невозмущенное значение /z(0):
/z0 = (D2-D)(cos2(/^p)-lK0.
Выберем возмущение eg так, чтобы превратить результат /г0 ^ 0 в
строгое неравенство h(e) < 0. Из приведенной выше формулы для h[F]
следует, что линейная по е часть возмущения дается формулой
/z, = 2D2F0g + DF0g" + DF'Jg -2(D - \)F'0gf =
= (2D2 - k2D)F0g + DFQg" + 2k(D - 1) sin(£cp)g'
(слагаемое, содержащее sin(/zcp), обращается в нуль в интересующих нас
точках (р*, где /г0 = 0).
Выберем g так, чтобы знаки g в этих точках (р* были противоположны
знакам F0 (величины /^(ф*) отличны от нуля в точках, где /z0 = 0), причем
в окрестностях этих точек g будет константой (рис. 9).
Рис. 9. Возмущение гессиана
В таком случае в этих окрестностях выполняется неравенство h\ =
= D2FQg < 0. Отсюда следует отрицательность h(e) повсюду (если е > 0
достаточно мало). □
22

ГЛАВА III
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ
МНОГОЧЛЕНЫ
6. Примеры D-гиперболических
многочленов степени D > 1
Приведенный в разделе 5 пример F = cos(k(p), k2 > D доставляет
многочлены f(x, у) = rDF((p), если k ^ D и разность D — k четна. В этом
случае достаточно воспользоваться формулой
f(x, у) = rD~k Re(x + iy)k = rD cos(/ecp),
из которой видно, что функция
f = (х? + y2yD-Q/2 Re(x + iy)k
является однородным многочленом степени D. Этот многочлен D-ги-
перболичен, если y/D < k ^ D (согласно разделу 5). В этом примере
F=cos(&(p), поэтому
М = (D(D -2) + k2) cos(/ecp), N = -(2D - 2)k sin(fop).
Отсюда видно, что для этого многочлена
ind(M + IN) = -k, ind(a -c + 2ib) = 2-k.
Таким образом, мы построили примеры D-гиперболических многочленов,
для которых
2 - D ^ ind(Y) < 2 - л/Д ^^ ^ 1пс1(крест Y) < 1 - ^.
Указанные здесь ограничения снизу необходимы для полиномиальной
реализации (как мы обсудим ниже, в (1), (2), с. 25), но не для гладкой.
Сверху необходимые (даже в неполиномиальном случае) ограничения
слабее (мы их обсудим на с. 26): например, для многочленов четной
степени 1пс1(кресту) ^ 0.
Пример 1. При D = 2 приведенный выше результат доставляет 2-ги-
перболический многочлен, для которого O^ind(y) <2—\f2. Единственное
целое число в этом интервале есть нуль.
23

Нужный многочлен получается при k=2. В этом примере md(M-\-lN) =
= —2, ind(y) = 0. Заметим, что при четном D многочлен / тоже четен,
так что F((f-\-iz) = F((p). Поэтому число критических точек функции F
на окружности {ф mod 2л} не меньше четырех (эти критические точки
просты, так как случай F' = F" = 0 исключен условием D-гиперболич-
ности (*)). Таким образом, по теоремам 3 и 4 раздела 3,
ind(M + IN) = md(F + iFf) = -Х- -(<р: f(<p) = 0) ^ -2.
Мы доказали, что реализованные в нашем примере значения
индексов — единственно возможные:
ind(M + IN) = -2
для всякого 2-гиперболического однородного многочлена второй степени.
Пример 2. При D = 4 наши неравенства (k2 > D, k ^ D) оставляют
две возможности: k = 3 или 4.
Выбор k = 4 дает 4-гиперболический многочлен:
F = со8(4ф),
/ = Re(x + и/)4 = х4 - 6гУ + у\
а=\2(х2-у2) = 12г2со8(2ф),
с=12(#2-х2) = -12г2со8(2ф),
2Ь = -48ху = -24г2 5т(2ф);
гессиан многочлена / есть поэтому ас — Ь2 = — 144г4 < 0, так что
многочлен / 4-гиперболичен.
Мы находим индексы
md(a-c + 2ib)=2-k = -2,
ind(KpecTy) = -1.
Интервал1 допустимых для наших примеров значений последнего
(целочисленного при D = 4) индекса есть, согласно общей теории,
1-^) = (Ы, [0) = (-1}.
Таким образом, все наши примеры не дают других значений индексов
4-гиперболических многочленов. Остается пока открытым, например,
вопрос, может ли такой многочлен иметь md(M + IN) = —2? Мы обсудим
этот вопрос ниже, в разделе 10, обосновывая ответ: не может.
1 Тут автор использует обозначение ([а, [Ь) для интервала на прямой. В литературе
встречаются также обозначения [а, Ь) или [а, Ь[. — Прим. ред.
2-D
24

Число нулей тригонометрического многочлена F' степени D не
превосходит 2D. Поэтому
| md(M + IN) | ^ D, ind(M + iN)<0
(теорема 4 раздела 3). Следовательно,
ind(M + iN)£[-D,-2] (1)
для D-гиперболического многочлена четной степени D; в случае нечетной
степени
ind(M + iN)£[-D,-l]. (2)
Доказательство неравенств (1) и (2). Число
максимумов тг-периодического тригонометрического многочлена F на [0, 2тс) —
по меньшей мере 2. Поэтому число критических точек не меньше 4. По
теореме 4 раздела 3, | \г\А(М + IN)\ ^ 2 и ind(A4 + IN) < 0.
Неравенство (1) доказано. Доказательство неравенства (2)
аналогично (см. теорему 1 ниже). □
Пример 3. Пусть D = 6. Наши обычные неравенства (k2 > Д k ^ D)
предоставляют 4 возможных значения, k = 3, 4, 5, 6. Чтобы получать
многочлены, надо выбирать k = 4 или 6 (одной четности с D).
Функции F4 = cos(4cp) я Fq = cos(6(p) 6-гиперболичны. Их индексы
ind(a - с + 2/fc)4,6 = (2 - 4 = -2)4 и (2 - 6 = -4)6
различны. Следовательно, многообразие 6-гиперболических
многочленов не связно. Неясно, больше ли двух число его компонент связности.
Теорема 1. Пусть F — 2и-периодическая (не обязательно D-ги-
перболическая) функция четности D:
F(<t + *) = (-1)° F(<f)
(как если бы функция rDF(y) была однородным многочленом
степени D от x = rcosy, у = rsincp). Тогда половина числа критических
точек функции F имеет такую же четность, как D (в
предположении невырожденности этих критических точек, выполненном,
например, для D-гиперболических функций)'.
^-((f0:P((fo) = 0)=D mod 2.
Доказательство. Пусть D четно, обозначим через т число точек
локального максимума между ф0 и ф0 + тс. Тогда число точек
локального минимума в этой области такое же (поскольку F'((p) = F'((pQ + iz), а
знак F' меняется в каждой критической точке, и эти точки максимума
25

и минимума чередуются). Итак, общее число критических точек
функции F есть 4т, а его половина четна, как и D. □
Если D нечетно, то число критических точек между ф0 и ф0 + тс
нечетно, поскольку Р(фо +л) = —Р(ф0). Если их 2т + 1, то общее число
критических точек есть 4m + 2, а его половина нечетна, как и D.
Следствие. Для D-гиперболического многочлена
md(M + lN)=D (mod 2);
ind(A4 + /jV) ^ —2, eow D четно;
ind(M + /jV) ^-1, вела D нечетно;
ind(Y)=£> (mod 2);
ind(y) ^ 0, вела D четно;
ind(y) ^ 1, ec^w D нечетно;
ind(KpecTy) С Z, вела D четно;
ind(KpecTу) £ ^ + Z, вела D нечетно;
ind(KpecTy) ^ 0, если D четно;
ind(KpecTy) ^ ~, если D нечетно.
Замечание. Как мы увидим в разделе 8, для D-гиперболических
функций ограничений на индексы меньше, чем для многочленов.
Доказательство. Сравнения по модулю 2 сразу вытекают из
теоремы 1. После того, как они установлены, ограничения индексов
сверху следуют из неравенств теоремы 4 раздела 3 и из того, что
число нулей тригонометрического многочлена степени D не
превосходит 2D. Например, неравенство ind(A4 + IN) < 0 теоремы 4 и сравнение
md(M + IN) = Dmod2 влекут за собой неравенство md(M + IN) ^ —2,
если D четно. □
7. Нормализованное фазовое пространство
D-гиперболической функции степени D > 1
Определение. Нормализованным фазовым вектором функции F
называется зависящий от ф вектор L евклидовой плоскости с
декартовыми ортонормированными координатами DF и F'\ в комплексных
обозначениях,
L = DF+iF'.
Предположим, что этот вектор отличен от нуля.
26

Теорема 1. Угловая скорость вращения нормализованного
вектора L((p) D-гиперболической функции F при увеличении ср
отрицательна и по модулю везде превосходит 1:
со< -1.
Доказательство. По определению угловой скорости,
г/1- [^ L'] _ DFF" ~ DF'2
И J~ D2F2 + F'2 " D2F2 + F'2 '
Согласно неравенству D-гиперболичности (*) раздела 3,
D2F2 + F'2 < -{DFF" + DF'2).
Следовательно, повсюду выполняется искомое неравенство
-co[L]>l. П
Связь между гиперболичностью и вращением фазового вектора
заранее не очевидна и появляется здесь только в результате непонятных
пока вычислений: можно лишь надеяться, что эта
связь объяснится в четномерном симплектическом
фазовом пространстве.
Следствие 1. Число оборотов вектора L(cp)
вокруг нуля при изменении ср от О до 2к меньше
или равно числу —2.
Ибо это целое число и по теореме оно строго
меньше, чем — 1.
Следствие 2. Число нулей D-гиперболической
функции F на окружности (а также число
нулей ее производной) не меньше четырех:
-(Фо: F(<po) = 0) > 4, -(ф0: f(<p0) = 0) ^ 4.
Рис. 10. Два оборота
вокруг нуля
Ибо для совершения одного оборота вектора L вокруг нуля
приходится дважды пересекать каждую из осей координат (рис. 10).
Следствие 3. Индексы D-однородной D-гиперболической
функции ограничены неравенствами
m&(M + iN)<^-2,
ind(y) ^ 0,
1пс1(кресту) ^ 0.
27

Первое неравенство следует из теоремы 4 раздела 3, ввиду
следствия 2, а остальные вытекают из него (по теореме 3 раздела 3 и
теореме 2 раздела 2).
Построенные выше примеры доставляют лишь отрицательные
индексы, модуль которых растет с D не медленнее, чем y/D. Вопрос о
заполнении примерами интервала индексов от — y/D до —2 обсуждается ниже,
в разделе 8 и решается по-разному для D-гиперболических многочленов
и для D-гиперболических однородных функций.
Следствие 4. Для D-гиперболического однородного многочлена
с нечетным D индексы ограничены неравенствами
ind(M + iN) ^ -3, ind(y) ^-1, 1гк!(кресту) ^ -«•
Замечание. В отличие от многочленов, функции (см. раздел 8)
возможны с ind(y) = 0. Следствие 4 вытекает из того, что нечетное число,
не превосходящее число —2, не превосходит и число —3.
Пример. Пусть £) = 3. Для 3-гиперболического многочлена
выполняются неравенства (следствие 4 и теорема 4 раздела 3)
ind(M + IN) ^ -3, | ind(M + iN)\^ 3.
Значит, ind(A4 + IN) = —3. Следовательно,
ind(y) = — 1, ind(KpecTy) = — -
для всякого 3-гиперболического многочлена.
Положим F=cos(3cp). Torjia f = Re(x+iy)3 = х3 — Зху2, поэтому вторые
производные суть
(a = 6х, b = —6у, с = — 6л:), ас — Ь2 = —36г2 < 0.
Итак, многочлен / является 3-гиперболичным, а — с = \2х, 2Ь = — \2у.
Стало быть, его индексы легко вычисляются
ind(a — с + 2ib) = ind(y) = -1.
По определяющим М и N формулам (теорема 3 раздела 3), мы находим
М= 12cos(3cp), N=-12sin(3cp).
Следовательно, 'md(M + iN) = —3, ind(KpecTy) = -1/2 (см. разделы 2, 3).
Таким образом, мы предъявили пример многочлена, для которого
неравенства ^ следствия 4 обратились в равенства (при D = 3).
28

Рассмотрим также большие значения D. Функция F = £os(3y) остается
D-гиперболической при D < 9 (теорема 1 раздела 5). Полагая D = 3, 5,
7, мы получаем D-гиперболические многочлены fo(x, у), для которых
выполнены условия
М = [D(D -2) + 9]F, N = -(6D - 6)F'.
Таким образом, для этих многочленов
ind(M + IN) = —3, ind(y) =—1, 1пс1(кресту) = -^-
При D = 9 мы получаем уже не многочлен, но однородную функцию с
такими индексами.
Теорема 2. Многообразие всех 3-гиперболических многочленов
связно.
Доказательство. Такой многочлен имеет вид Ах3 + Вх2у + Сху2 +
+ Dys. Его вторые производные суть а = 6Ах + 2Ву, Ь = 2Вх + 2Су,
с = 2Сх + 6Dy. Поэтому его гессиан есть многочлен
Я = ЦЗАС - В2)х2 + ЦЗВО - С2)у2 + 2(\SAD - 2ВС)ху.
Условие 3-гиперболичности Н < 0 можно записать в виде отрицательной
определенности формы Н от х и у.
16(ЗЛС - B2)(3BD - С2) - 4(9AD - ВС)2 > О,
ЗЛС < В2, 3BD < С2.
Вращением плоскости {(х, у)} всегда можно, сохраняя
гиперболичность, уничтожить коэффициент А. В трехмерном пространстве, где
А = 0, условие 3-гиперболичности принимает вид
{4B2(3BD - С2) + В2С2 < О, В2 > О, 3BD < С2},
то есть вид трех одновременно выполненных условий
{4(3BD - С2) + С2 < О, 3BD <С2,Вф 0},
иными словами, условий
{ЗС2 - X2BD > 0, 3BD <С2,Вф 0}.
Остается лишь условие {С2 > 4BD, В ф 0}, так как при BD < 0 первые
два ограничения исчезают, а при BD ^ 0 из С2 > 4BD следует С2 > 3BD.
Окончательно, в гиперплоскости А = 0 получаются две области (вне
конуса С2 = 4BD и плоскости В = 0) 3-гиперболических многочленов.
29

Но в четырехмерном пространстве многочленов с коэффициентами
(Л, В, С, D) эти две области соединены путем в пространстве
3-гиперболических многочленов. Действительно, постепенный поворот плоскости
{(х, у)} на углы от 0 до 71 оставляет 3-гиперболические многочлены 3-ги-
перболическими и соединяет точку (Л, В, С, D) с (—А, —В, —С, —D).
Поэтому обе компоненты пространства 3-гиперболических многочленов
с А = О представляют одну компоненту связности пространства всех
3-гиперболических многочленов, что и доказывает теорему. □
Замечание. Существует интересная двойственность между
D\-однородностью и D2-однородностью, где D\ +D2 = 2 (точнее, между
соответствующими индексами).
Действительно, в этом случае
D, (А - 2) = D2(D2 - 2), 2D2 - 2 = -(2D, - 2).
Следовательно, для фиксированной функции F
MDl =MD2, ND2 = -NDl.
Поэтому выполняются соотношения между индексами
ind(MD2 + IND2) = - ind(MDl + iNDl), ind(YD2) + ind^) = 4,
где ind(y) = ind(A4 + IN) + 2. В этих формулах однородные функции
/,=г°^(ф) и /2 = г°2/Ч<р),
двойственные друг другу, не могут быть обе многочленами.
Противоречия с неравенствами для индексов не возникает потому, что
при выводе этих неравенств мы везде предполагали, что D > 1, да и
гиперболичность f{ и /2 — разные вещи.
8. Техника конструирования D-гиперболических
функции, уравнение Гессе и экстремальное
вращение его фазового вектора
Изложенные ниже приемы построения D-гиперболических гладких
функций позволяют реализовать гладкими однородными функциями
степени D значения индексов, связанных с ними, удовлетворяющие
естественным ограничениям, которые уже были указаны выше. Эта
техника зависит в основном от теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, примененной к уравнению Гессе, которому удовлетворяют
30

экстремально D-гиперболические функции — те функции, для которых
неравенство D-гиперболичности становится равенством. Получающиеся
здесь результаты о вращении вектора фазовой плоскости относятся, в
сущности, к теории неравенств между производными гладких функций.
Они совершенно отличны от аналогичных результатов, относящихся к
тригонометрическим многочленам фиксированной степени, которые мы
обсудим в последующих параграфах и которые, в отличие от результатов
настоящего параграфа, относятся скорее к алгебраической геометрии,
чем к анализу.
Теорема 1. Пусть F — D-гиперболическая функция, не
обращающаяся где-либо в 0. Тогда функция F* является там aD-гипербо-
лической.
Доказательство. Введем обозначения
F= F\ D = aD, H = H5[F] = D2F2 + DF(F)" -(5- \)(F)'2.
При таких обозначениях
(F)' =aF«-{F', (F)" =oc(oc- \)F«-2F'2 + aF«-{F".
Эти формулы позволяют выразить новый гессиан Я через F, а именно,
H = a2D2F2a + aD[a(a- \)F2«-2F'2+ aF2«-lF"]-(aD - \)a2F2«-2F'2 =
= a2F2«-2{[D2F2 + DFF"] + Ff2[(a-\)D-(aD-\)]}.
Заменяя вторую квадратную скобку на (1 —D), мы получаем
фундаментальное для этой теории тождество
H = a2F2«-2{HD[F]}.
Таким образом, Я < 0, если HD[F] < 0 (т. е. если функция F D-гипербо-
лична), при условии, что F^O, а^ 0. Теорема 1 доказана. □
Для D-гиперболической функции F нам уже известны примеры с
ind(M + IN) = —k, если k2 > D (см. раздел 5), например, F = cos(k<p).
Применяя теорему 1, мы получим функцию F* с тем же, что и для F,
индексом — k, которая будет почти aD-гиперболической
(удовлетворяющей неравенству aD-гиперболичности почти всюду, исключая лишь нули
функции /^Теперь индекс k и степень D могут быть связаны
неравенством k2 < D/ol, т. е. при а > 1 мы вышли за рамки ограничения «квадрат
индекса меньше степени» старых примеров. Остается лишь исправить
31

нашу почти гиперболическую функцию вблизи нулей функции F,
добиваясь настоящей aD-гиперболичности. Это исправление и описано ниже.
Определение. D-критическим векторным полем на D-нормализо-
ванной фазовой плоскости с координатами (Q = DF, Р = F) называется
поле (Q', Р'), определенное уравнением Гессе HD[F] = О второго порядка
относительно функции F.
В терминах функции F компоненты поля имеют смысл Q'=DF, P'=F".
Явный вид выражений Р' и Q' через Р и Q приведен ниже (формула (**)).
Теорема 2. Фазовые кривые D-критического векторного поля
удовлетворяют уравнениям
P2 + Q2 = cQ2~2/D,
где зависящая от кривой постоянная с — первый интеграл.
Уравнение кривых теоремы 2 часто удобнее записывать в виде
(P2 + Q2)D = cDQ2D-2.
Мы будем называть эти кривые D-критическими кривыми и
обозначать их через Гс. Они изображены на рис. 11 и 12.
D-критический овал
Рис. 11. D-критические кривые Рис. 12. D-гиперболичность как
трансверсальность
Доказательство. По определению, вдоль D-критической
фазовой кривой выполняются соотношения
так что
dP _ F"
dQ ~ DF''
32

Уравнение Гессе HD\F] = О имеет вид (§ 3)
D2F2 + DFF" = (D-\)F'\ (*)
что в наших обозначениях записывается как
ИР
Q2 + DQPj^ = (D-\)P2.
Это — дифференциальное уравнение D-критических кривых.
Относительно переменной и = Р2 оно линейное неоднородное:
du _ (2D-2)и 2Q
dQ~ DQ D '
Из однородного уравнения du/dQ = Xu/Q (k = 2 — 2/D), мы находим
In и = Х\п Q+C\, u = C2Ql. Теперь, варьируя постоянную C2, мы получаем
XC2QX
что должно быть равно правой части неоднородного уравнения, ——
Q
—^. Итак, для С2 мы получаем уравнение
dC2 _ _ 2_r)i-x
dQ " D4 '
из которого находим (при X ф 2)
2 02~х
Учитывая, что 2 — X = 2/D (по определению числа X), мы заключаем, что
то есть
и, в силу определения и = Р2, уравнение экстремальной кривой имеет
требуемый в теореме 2 вид:
P2 + Q2 = CzQ2-2/D. □
Замечание. Попутно мы вычислили однородное векторное поле,
касающееся D-критических кривых; мы будем называть его специальным
33

D-критическим полем:
Г dQ=Dp
I dm '
(**)
dP_ (D-l)Pz-Qz
dm Q
Полезно также отметить найденную нами на плоскости {(Я, Q)}
специальную дифференциальную форму
d(?=-jjp- (***)
Эта формула позволяет восстанавливать параметр ср, зная фазовую
кривую.
Замечание. Вид D-критических кривых ГСз ясен из их уравнения,
доставляющего «овалы» с особенностью в нуле:
P=±Vc3Q2-2/D^\-^.
Вдоль D-критической кривой форма dcp имеет вид, «не зависящий от D
и от С3»:
dQ _ dq _ Qx/D
dp~ yr^7' q~Vc;'
Интеграл формы d<p вдоль всего «овала» кривой ГСз
л=/^ = £§
не зависит ни от С3, ни даже от D — это видно, например, из
принадлежащих Леонардо да Винчи соображений подобия: кривая \хТСз есть
ГСзи_2/о, а Ф у-^ = Ф -=Yp Для любой (необязательно критической)
кривой Г. Впрочем, во введенных только что обозначениях, ср = arcsin q (для
D-критических кривых).
Симметричные друг другу точки (Q, Я), (—Q, Я), (Q, —Я), (—Q, —Я)
лежат на одной и той же D-критической кривой Гс (рис. 11).
Условие D-гиперболичности функции F легко выразить в терминах
D-критических кривых. Пусть Я ф 0.
Теорема 3. Кривая {(Q = DF(<p), P = F'(<p))} соответствует D-ги-
перболической функции F если и только если она входит транс-
34

версально (без касания с D-критическими кривыми) в овалы Гс при
условии движения в направлении dQ > О при Q > О и в направлении
dQ < О при Q < О.
Доказательство. Рассмотрим определитель, составленный из
специального вектора (**) и вектора скорости VF (Q' = DF', Р' = F"),
определенного функцией F (рис. 12):
Dp {D-\)P2-Q2
Q
DF' F"
c'2
= DF'F" - DptP-lW-VF __
DF
= y[D2F2 + DFF" -(D- \)F'2\
Если знаки величин F и F' одинаковы, то для D-гиперболической
функции F определитель отрицателен (согласно условию D-гиперболично-
сти (*) из раздела 3). В этом случае вектор VF с компонентами (Q', Р')
направлен внутрь овала D-критической кривой. Остальные случаи
рассматриваются таким же образом: важен лишь знак определителя. □
Замечание 1. При Q = О условие трансверсальности состоит в том,
что F' ф 0. В исключенном в теореме случае Р = 0 можно было бы
потребовать выполнения условия
F(DF+F")<0, \P'\>Q.
В терминах кривой на плоскости {(Q, Я)} в точках пересечения с осью
Р = 0 кривая, соответствующая D-гиперболической функции F,
должна иметь меньшую кривизну, чем D-критическая кривая,
проходящая через ту же точку оси Р = 0.
Действительно, пусть F = с0 + с2ф2 + ..., F' = 2с2ф +..., F' = 2с2 +...
В этом случае условие D-гиперболичности в 0 имеет вид:
(£)2^2 + DFFn _ ф _ 1)/7/2)(()) = D2C2 + 2DC0C2 < 0. (*0)
В терминах кривой на плоскости {(Q, Я)}, мы получаем
Ф = -^ + ..., Q = DF = Dc0 + Dc2^ + ...,
Р2
так что вдоль нашей кривой Q = Q0 + /Со ~к~ + • • •, где кривизна /Со равна
/Со = -^-- Условие D-гиперболичности в точке на оси Р = 0 (*0) записы-
Z62
вается в виде c0(Dc0 + 2c2) < 0, так что знак с2 противоположен знаку с0
h|2c2|>D|Co|, 1*1<Щ-
35

Для стандартной D-критической кривой неравенство (*0) обращается
в равенство, т.е. 2с2 = —Dc0, /(stand — — l/^o- Выделенное выше
условие D-гиперболичности в терминах кривизны доказано. Во введенных
обозначениях это условие D-гиперболичности в точке (Q0, 0) имеет вид
|/(о| < \D/Q0\ (знак Ко противоположен знаку Q0).
Замечание 2. Если кривая D-гиперболична при Р ф 0, то при Р = 0
выполняется нестрогое неравенство |/(0| ^ 1/|с0|. В случае равенства
кубический член разложения F=c0 + с2ф2 + Сзф8 + • • • обязательно исчезает
(с3 = 0). Но член с4ф4 может обеспечить выполнение неравенства HD < 0
в окрестности точки Р = 0, исключая саму эту точку: в этом случае наша
кривая не является D-гиперболической (в точке Р = 0).
Теперь мы приступаем к исправлению почти D-гиперболичности.
Теорема 4. Пусть F — гладкая D-гиперболическая функция с
простыми корнями, и пусть а > 1. Тогда функция
Fa = (signF)\F\«
(которая aD-гиперболична там, где F ф 0) допускает малую
всюду aD-гиперболическую деформацию Fa отличную от F только
в окрестностях корней функции и имеющую столько же корней,
сколько функция F.
Доказательство. Ввиду локальности этой теоремы, достаточно
рассмотреть случай, когда F имеет один простой корень. Мы выберем
начало оси координат ср в этом корне.
В терминах кривых {Q = (aD)Fa, Р = F^} на а/)-нормализованной
фазовой плоскости, трудность представляет лишь начало координат
(Q = 0,P = 0).
Наряду с плоскостью {(Q, Я)}, удобно рассматривать еще и «вторую
плоскость» с координатами (Q, \/Р). Наша исходная кривая Г,
построенная по функции Fa, проходит через начало координат нормализованной
фазовой плоскости, и вне его трансверсально пересекает а/)-критиче-
ские кривые Гс, также входящие в начало координат.
Мы исправим кривую Г, отодвинув ее от начала координат вдоль
оси Р. Для простоты предположим, что Р > 0 вдоль Г в окрестности
точки 0 (исключая эту точку). Мы слегка продеформируем Г вниз —
уменьшая Р — в двух близких к 0 интервалах слева и справа от нуля
(«деформация Л»), а затем вверх — увеличивая Р — между
упомянутыми двумя интервалами («/3-деформация») (рис. 13).
36

Продеформированная кривая, Г, будет aD-гиперболической, так как
она трансверсально пересекает aD-критические кривые. Для того,
чтобы эта продеформированная кривая Г соответствовала некоторой про-
деформированной функции, Fa, близкой к Fa, нужно только, чтобы у
этих функций совпадали области определения (или периоды, если
считать их определенными на всей оси ф), т.е. чтобы интегралы формы
d(f = dQ/(aDP) вдоль возмущенной и невозмущенной кривых совпадали.
Рис. 13. Л-деформация
л В-деформация кривой Г
Рис. 14. А- и В-деформации на
второй плоскости
При Л-деформации образ кривой на второй плоскости (рис. 14) слегка
поднимается, поэтому интеграл от d<p растет. При ^-деформации кривая
на второй плоскости опускается, уменьшая интеграл.
Заметим, что интеграл от формы dQ/(<xDP) вдоль исходной кривой Г
сходится: вдоль нее
(Q~<xDC"<f, Р~<хС"<р"-1
в окрестности простого
следует, что
i при F~C(p
нуля. Отсюда
(dQ/(aDP) = dy) - dQ/{CQ>
C = a(1+1/a)D1/aC,
(l-l/a)
Рис. 15. Деформация функции Fa
и сходимость обеспечивается
неравенством 1 — l/a < 1.
Итак, В -деформацию можно выбрать
так, чтобы интеграл от формы d<p
уменьшился сколь угодно мало. Поэтому можно подобрать Л- и ^-деформации
так, чтобы при переходе от кривой Г к кривой Г интеграл от формы dcp
не изменился. □
Замечание. В терминах функции Fa (a > 1) нашу процедуру
деформации можно описать так (рис. 15).
Операция Л: функция Fa заменяется на разрывную функцию
/^(ф+ё^Нф)), где гладкая вне 0 функция 8 равна 0 вне малой окрестности
37

точки cp = 0, равна константе §+ > 0 в малой положительной
полуокрестности нуля, §_ < 0 в малой отрицательной (можно даже выбрать
Ъ. = -Ъ+).
Операция В. Теперь функция ebFa от ф определяется как указанная
выше (разрывная в точке ф = 0) сложная функция, график которой затем
сглаживается путем замены в нем близкой к точке ф = 0 части двойной
касательной Л_Л+, проходящей через точки касания А+ и А_
касательной с графиком. Легко видеть, что (полученная еще сглаживанием вблизи
точек касания) С°°-функция Fa будет а/)-гиперболической.
Действительно, сравним значения гессиана HaD для Fa и для Fa в
точках с одинаковым значением величины Q = DaF0L (соответстенно, DaFa).
Для Fa слагаемое с FF" равно 0 между А_ и А+, а слагаемое —(Da— \)F'2
более отрицательно, чем для Fa. Слагаемые же вида (Da)2/72 в
соответствующих точках ф ф 0 одинаковы у обеих функций. Итак,
в соответствующих точках. Поэтому условие Яа0[/7а] ^ 0 (с
равенством лишь в корнях) влечет за собой неравенство aD-гиперболичности
^aof^a] < 0 везде.
Следствие. Для любого D > 1 существует D-гиперболическая
С°°-функция на окружности, имеющая ровно 4 критические
точки такая, что
ind(M + IN) = -2, ind(y) = 0, 1пс1(крест у) = 0.
Доказательство. Функция F = соз(2ф) является т-гиперболич-
ной для каждого т, 1 < т < 4 (раздел 5). Поэтому существует
возмущение Fa функции Fa теоремы 4, которое (am = D) -гиперболично (нужно
выбрать a = D/m > 1, для чего нужно, чтобы т < D).
Но число нулей функции не меняется при возмущениях А и В
доказательства теоремы 4. Поэтому число критических точек D-гипербо-
лической функции Fa (равное числу ее нулей по теореме 4 раздела 3 и
согласно разделу 4) равно 4. □
Замечание 3. Можно было бы начать с функции cos(/^), т-гипер-
болической при 1 < т < k2. Мы получили бы (am = D) -гиперболические
функции с 2k критическими точками при любом D > 1, выбирая т < D.
Замечание 4. Опишем другой способ огиперболичивания почти
гиперболических функций вроде со82(&ф), имеющих нули с асимптотикой
F = С|ф|ш + • • • (скажем, С > 0, с целым т > 1).
38

Предположим, что функция F D-гиперболична при ср ф 0.
Теорема 5. Следующая конструкция делает почти D-гипербо-
лическую функцию всюду D-гиперболической: график функции F
между двумя точками ±А, близкими к
Ф = 0, заменяется отрезками
касательных к нему в этих точках (со
сглаживанием угла между касательными в
точке R их пересечения, рис. 16).
Доказательство. По условию F' ~ —
- тС(рт~\ F" ~ т(т — 1)Сфт , так что
HD[F] = D2F2 + DFF" -(D-\)F'2~
- [Dm(m - \)C2 -(D- Х)т2С2\у2т~2 + ..
Рис. 16. Огиперболичивание
Условие D-гиперболичности (HD < 0) приводит к неравенству
D(m- 1) ^ (D- Х)т, т.е. т^ D.
Ордината точки R пересечения касательных оценивается как \OR\ ^
^ /(|Л|т. Для функции, график которой составлен из двух касательных
(исключая точку их пересечения R), мы получаем неравенство D-гипер-
боличности
HD ^ -(D - \)т2С2А2т-2 + 0(А2т) < 0
(слагаемое, содержащее F", обращается в 0 на касательных, a F2 =
= 0(А2т)).
Сглаживание делает вторую производную F" положительной там, где
функция отрицательна, так что значение HD при этом уменьшается и
остается отрицательным, что и доказывает теорему. □
Замечание. Этим методом можно воспользоваться, чтобы
построить D-гиперболические функции путем малых деформаций функций
| cosa(fep)|, рассматривая их как (am = D) -гиперболические.
Но при доказательстве теоремы 5 мы удваиваем число корней, так что
оно становится равным 4k. Число критических точек функции | cosa(k(f)\
с ненулевыми критическими значениями равно 2k.
При сглаживаниях мы добавляем еще 2k критических точек, так что
у продеформированной функции будет 4k критических точек — столько
же, сколько нулей (как и должно быть у D-гиперболической функции
согласно разделу 4).
39

ГЛАВА IV
АСТРОИДА
9. Многочлены четвертой степени
и их астроидальная каустика
Рассмотрим семейство 2тг-периодических функций
FAtB($) = А С08(Ф) + В 8Ш(Ф) + С08(2Ф),
зависящих еще от двух вещественных параметров ((Л, В) Gl2).
Теорема 1. Области плоскости {(Л, В)}, образованные
тригонометрическими многочленами FA^B с четырьмя и с двумя
критическими точками Ф е 51 (= М mod2л), разделяются астроидой
{(Д = -4со83(Ф0), £ = 4sin3^0))},
параметризованной здесь двойной критической точкой Ф0.
Астроида является также гипоциклоидой с четырьмя точками
возврата (образом отображения t \-ь Зеи + е~ш) и удовлетворяет
уравнению
(тГ+(!Г-'-
Касательная к астроиде в точке, соответствующей Ф0, имеет
направляющим вектором (со8Ф0, бшФо) и состоит из многочленов
с той же критической точкой Ф0. Нормаль к астроиде в этой
точке состоит из многочленов с той же точкой перегиба (Р7(Ф0) = 0)
графика.
(В этом параграфе мы обозначаем производную по Ф штрихом).
Доказательство. Пользуясь обозначениями
С = С08(Ф), S = sin^), С2 = С08(2Ф), 52 = 81п(2Ф),
мы можем записать уравнение критических точек
-As + Bc-2s2 = 0 (1)
и уравнение точек перегиба графика функции F
-Ac -Bs- 4с2 = 0. (2)
40

Решая эту систему линейных относительно А и В уравнений, мы
получаем
{A = -2ss2 - 4сс2, В = 2cs2 - 4sc2}.
Учитывая равенства s2 = 2sc, с2 = с2 — ,
ответ в виде
( А =-4с(\ - с2) - 4с(2с2
2с2 — 1, мы можем переписать
\) = -4с\
B = 4s(\
■45(1 -2s2)=4ss
При А = В = О критических точек 4, поэтому их 4 всюду внутри
астроиды. При пересечении астроиды число вещественных критических точек
уменьшается на 2 и остается равным 2 везде вне ограниченного
астроидой бубнового туза. □
Замечание. Совершенно такие же вычисления доставляют аффинно
эквивалентную астроиде кривую в качестве каустики эллипса,
разделяющей точки плоскости, из которых исходят четыре перпендикулярных
эллипсу прямые, от тех, где таких прямых только две. В этом случае
в качестве функции лучше взять квадрат расстояния от точки плоскости
до точки эллипса (рис. 17).
При перемещении по касательной к астроиде,
(Д(Х)=Д0 + Хсо5Фо, В(Х) =£0 + Xsin#0),
соотношение (1) сохраняется, так что точка Ф0 остается критической.
При этом скорость изменения критического
значения /^(Фо) при движении вдоль этой
касательной к астроиде есть
dFAtB(&o)
dk
= 1,
так что
(Фо)+Х.
Для увеличения критического значения
нужно двигаться по касательной к
астроиде в направлении d\ > 0, в котором Ф
растет, если функции sue одного знака
(т.е. если А я В противоположных знаков);
при А и В одного знака для увеличения
критического значения надо двигаться в направлении уменьшения Ф.
Таким образом, направления «положительных полукасательных», на
которых X > 0, непрерывны в точках возврата астроиды (в то время
Рис. 17. Каустика эллипса
и его нормали
41

Рис. 18.
Астроида и ориентация ее
касательных
как ориентирующее астроиду направление меняется в них).
Положительные полукасательные к астроиде направлены в сторону
возрастания \В\, т.е. «вверх», при В > О и
«вниз» при В < О (рис. 18).
При движении по нормали к астроиде,
(Л"(\х) =AQ-\xsinФ0, £v([i) = BQ + \icosФ0),
сохраняется уравнение (2), так что Ф0 остается
точкой перегиба графика. В этом случае
значение /^,^ (Ф0) не меняется при изменении [а,
но производная растет вдоль нормали:
/^^(Фо) = ^(0),^(0) (фо) +[i.
В точке астроиды /^v(0),5v(o)($o)=0, поэтому
значение производной F'AV>^(Фо) в точках нормали к астроиде
равно расстоянию до исходной точки астроиды (с нужным знаком).
Положительная ориентация нормали получается из положительной
ориентации касательной (которую нужно повернуть на 90° в направлении
от оси А к оси В).
Через внешние по отношению к астроиде точки проходят по две
нормали, соответствующие им «расстояния» \i\ и \х2 — разных знаков.
Таким же образом можно использовать касательные к астроиде для
вычисления величины приращения второй производной
FA(X),B(\)(®o) = ^Л(0),Л(0)(Фо) -X
— это приращение равно (взятому со знаком минус) расстоянию вдоль
касательной до точки касания с астроидой. Этому же числу равна и сама
вторая производная, так как в точке астроиды-каустики Р"{0)В(0)(Ф0) — 0.
Сумма функции F и ее второй производной по Ф не меняется при
движении вдоль касательной к астроиде-каустике.
Однородные многочлены четвертой степени, f(x, у) = r4F(cp),
соответствуют «четным» тригонометрическим многочленам F степени 4.
Выбором масштаба и начала координат оси ср их можно свести к виду
/Чвд>(ф) = Fo +А cos(2cp) + В sin(2cp) + cos(4cp).
Заменой координаты 2(р=Ф мы сводим это семейство, с точностью до
постоянного слагаемого F0, к рассматривавшемуся выше 2-параметриче-
скому семейству функций от Ф. Как мы сейчас увидим, полученные ранее
сведения об астроидальной каустике очень полезны для исследования
многообразия 4-гиперболических однородных многочленов степени 4.
42

10. Фронты астроиды, теория гипоциклоид
и области 4-гиперболичности
Запишем условие 4-гиперболичности (H4[F] < 0) для указанного
выше четного тригонометрического многочлена F степени 4. Это условие
должно выполняться при любом значении ф, но мы вначале
зафиксируем это значение. Мы будем также пользоваться координатой Ф = 2ф и
будем теперь обозначать производные по ср штрихами, а по Ф —
точками:
, _ d _ с, d . _ d _ 1 d
dcp б/Ф' d$ 2 б?ф"
В этих обозначениях условие 4-гиперболичности ((*) из раздела 3)
принимает вид Ял,л,^0(ф) < 0> гДе нормированный гессиан с параметрами
задается формулой
H = 4F(4F+F')-3F2,
так что условие 4-гиперболичности имеет также вид
Н= 16F(F+F')-12F'2 <0.
Зафиксируем теперь значения параметра FQ и аргумента Ф = Ф0.
Теорема 1. Кривая Н = 0 на плоскости параметров (Л, В)
является параболой. Ось этой параболы касается каустики-астроиды
в точке, соответствующей Ф0.
Вершина этой параболы лежит на фронте,
соответсвующем критическому
значению 0, на расстоянии X = Зсо5(4ф0) — F0
от точки касания оси параболы с
каустикой-астроидой.
Ось параболы направлена от ее
вершины в сторону точки своего касания
с каустикой-астроидой. Центр
кривизны параболы в вершине расположен от
вершины на расстоянии, равном 2/3
расстояния от вершины до точки касания,
так что кривизна параболы в вершине в
3/2 раза больше кривизны фронта в этой
точке (рис. 19).
Явная формула для нахождения вершины параболы (задающая
также параметризацию 0-фронта критической точкой ф0) имеет, таким
фронт
точка
фронта
Рис. 19. Парабола,
ограничивающая область
элиптичности
43

образом, вид
Л (X) = -4 cos3(2cp0) + X cos(2cp0), В(Х) = 4 sin3^0) + X sin(2<p0),
где Х(ф0) = Зсо8(4ф0) — F0; чтобы получить С-фронт, надо увеличить это
значение Х(ф0) на С.
Доказательство. В точке астроиды-каустики
(Д = -4со83(2ф0), fi = 4sin3(2(p0)),
поэтому
Fa,b;f0(<Po) = F0 - 4 со84(2ф0) + 4 sin4(2cp0) + со8(4ф0).
Из тождества с4 — s4 = (с2 — s2)(c2 + s2) = с2 следует формула для
критического значения в точке астроиды-каустики:
FA,B-F0((?o) =Fq-4 СО8(4ф0) + СО8(4ф0).
Следовательно, в удаленной на расстояние X вдоль касательной к
астроиде точке (А(\), В (К)) критическим значением будет F0 — Зсо8(4ф0) + Х.
Чтобы это критическое значение было равно С (т. е. чтобы точка
касательной принадлежала С-фронту), расстояние X следует выбрать равным
Х(ф0) = С - FQ + 3 со8(4ф0).
Функция Я точки (Л, В) (при уже выбранных значении F0 и
критической точке ф0) вдоль касательной к астроиде-каустике линейна, потому
что значение производной F'((f0) остается равным нулю, сумма F + F"
постоянна (см. раздел 9), a FA0,)iB{X)($0) = FA(p)im($0)+'k.
Постоянный сомножитель F+F" есть (в нашем случае, когда F= FQ +
+ А cos(#) + £sin(<I>) + cos(2<I>)) просто F0 — 3cos(2<J>0). Таким образом,
мы получаем для нормированного гессиана Я вдоль касательной к
астроиде выражение
Я = 16(F0 - 3 cos(2#0))(F0 - 3 cos(2#0) + X).
Мы заключаем, что Н = 0 при X = — F0 + 3cos(2<J>0), т.е. когда
критическое значение функции F (в точке Ф0) равно нулю. В точке
каустики-астроиды X = 0, так что там Я ^ 0 (равенство лишь в точках
возврата фронта, где 3cos(2<J>0) = F0). Отсюда видно, что ось
параболы (вдоль которой Я > 0, исключая вершину параболы) содержит точку
своего касания с каустикой.
Радиус кривизны фронта в вершине параболы равен — Х(Ф0), так
как фронт является эвольвентой астроиды-каустики, а X — длина
свободного конца нити.
44

Рассмотрим теперь значения функции-гессиана Я вдоль нормалей к
уже исследованной касательной к каустике прямой. При движении точки
(Л, В) вдоль такой нормали значения ни F, ни F" в точке Ф0 не меняются,
а значение F' меняется со скоростью 1, как мы доказали в разделе 9.
Таким образом, в зависящей от X и от [а точке
(А = Л0 + X cos(#0) - [i sin(#0), В = В0 + \ sin(#0) + [i cos(<J>0))
значение Я (при фиксированном аргументе Ф0) будет иметь вид
Я(Х, \х) = 16/7(/7 + Х)-12[а2, где U= FQ - 3cos(2#0).
Отсюда следует, что кривая Я = 0 — парабола (исключая лишь случай
/7 = 0, когда она вырождается в прямую). Для кривизны этой параболы
в вершине (где X = — /7, \х = 0) мы получаем из формулы для Я
X
= 12^2
16U
и
(А, В) эллиптична в фо
фронт
(для Fq = 0)
(для Fq
значение х = 3/2/7, поэтому радиус кривизны параболы в
вершине, равный \/х, составляет 2/3 от радиуса кривизны U фронта
в этой точке, так что теорема 1
доказана. □
Точки эллиптичности, где Я > 0
при Ф = Ф0, составляют
внутренность ограниченной нашей
параболой выпуклой области.
Пример. При F0 = 0 легко
исследовать 0-фронт, заданный уравнениями
(рис. 20)
Г Д=-4 cos3(2cp0)+3 cos(4cp0) cos(2cp0),
1 £=4sin3(2cpo)+3cos(4cp0) sin(2cp0).
каустика
парабола
#л,л(фо) = 0
Рис. 20. Астроидальный 0-фронт
Эта кривая — почему-то тоже астроида (вдвое меньшая исходной
каустики). Совершенно таким же образом, среди фронтов гипоциклоиды
с р остриями имеется почему-то такая же гипоциклоида (уменьшенная
в ^2 Ра3>-
А именно, качение меньшей окружности радиуса г без
скольжения внутри большого круга радиуса R + г приводит к траектории точки
катящейся окружности, заданной как образ отображения эпициклов
Птолемея
ф ,_> п&ь+Яе-1* (= -(A + В1)).
45

Такая эпициклическая кривая будет гипоциклоидой с р = k+1 точками
возврата, если длина окружности большего круга в р раз больше длины
меньшего, т. е. если R + r = pr.
Эта гипоциклоида является также каустикой 2тт;-пери одической
функции угла ф
F=F0 + Acn + Bsn + cm, где ст = cos(racp))
(значение постоянного слагаемого F0 при этом не существенно).
Определяющие семейство F числа тип связаны с числом точек возврата р
получающейся каустики соотношением отсутствия скольжения (скорость
точки контакта должна быть нулем):
R _ (т + п)
г (т — п)
= k = p-\.
Например, чтобы на каустике-гипоциклоиде было 4 точки возврата,
удобно выбрать т = 4, п = 2, так что R/r = 3. Чтобы точек возврата
было р = 3, выберем т = 3, п = 1, так что R/r = 2.
Решая определяющие каустику уравнения (Р = О, F" = 0)
относительно А и В, мы получим, как в разделе 1,
YYlifYl — tl) 17l(l7l-\-п)
где К = —-—9—-, L = —-—к—-, т. е. каустика удовлетворяет эпицикли-
2п 2п
ческому уравнению
-(A + IB) = Kei(m+n)(? + Le-'l{m-n)t\
где г = /С, R = L.
Пример. При р = 3, т = 3, п = 1, мы получаем k = 2, К = 3, L = 6,
А = —Зс4 — 6с2, В = —3s2 + 6s4.
Удобно считать т>п и использовать угловую координату Ф=(т—п)(р.
Направление каустики определяется направляющим вектором (сп, sn)\
dfKpHm+n)* + Le-iim-nyn = дуЯФ
dcpv 7
- т(т2 — п2) . , ч тп,
К = —о sin(mcp) е М.
Вдоль касательной к каустике, на расстоянии X от нее, т. е. в точке
A + IB = -Kei{m+n)(? - Le-i(m-n)(? + \im?,
выполняются условия Р(ф) = 0, F"(<p) = —п2\, = 1, поэтому
46

—-—— = D — п2. Из-за этого выберем D = п2 и назовем
(^-критической точку, где X = Х*(ср) определяется из условия HD(<p) = О,
разграничивающего эллиптические (Я > 0) точки от гиперболических
(Я < 0). Вдоль нашей касательной D-гессиан есть Н = D2F(F + \), где
F— значение F в точке каустики, так что X* = —F((f).
Определение. F^-фронт каустики — это объединение всех ф-кри-
тических точек на всех касательных к каустике (проведенных при всех ср).
Замечание. Легко видеть, что F^-фронт в каждой точке
ортогонален проведенной через эту точку касательной касательной к
каустике, т. е. является эвольвентой каустики. Его можно также
определить как множество тех значений параметров (Л, В), при
которых функция нашего семейства F (с выбранным значением FQ)
имеет нуль одним из своих критических значений.
Иными словами, если при определении функции F не включать в
формулу постоянное слагаемое, то F^-фронт будет тем
множеством значений параметров (Л, В), для которых эта укороченная
функция F имеет постоянное критическое значение, С = —F0.
Таким образом, понятие /^-фронта каустики не зависит от D-гес-
сиана Н, при помощи которого мы его определили, а зависит
только от евклидовой геометрии плоскости, содержащей каустику
{(А, В)}. Явная формула для точек этого /^-фронта, ввиду
указанного выше значения X*, есть
Я(ф) = _/(е^+«)Ф _ Le-iOn-nx? + цМ _ ^Сп _ F0)ein*,
где M=K+L=m2/n2. Например, для гипоциклоиды с тремя остриями, где
т=3, п— 1, коэффициент М—\ равен 8. Направление фронта в точке Р(ср)
ортогонально направляющему вектору касательной к каустике е1щ.
Из написанной формулы для Р(ср) следует, путем прямых вычислений,
что фронт гипоциклоиды, соответствующий F0 = 0, сам является
такой же гипоциклоидой с р остриями, как и каустика,
уменьшенной в т/п = р/(р — 2) раз (вдвое при р = 4, втрое при р = 3) и
повернутой на угол к/р.
Предположим, что тип нечетны (как, например, для гипоциклоиды
с 3 остриями). Тогда фронты, соответствующие F0 и —F0,
различаются только параметризацией: PFo(<p + Ti) = Я_/г0(ф); причем две
точки фронта, лежащие на одной и той же (ортогональной к
фронту в этих точках) касательной к каустике, соответствуют
противоположным (отличающимся на тг) точкам ср и расположены
47

на касательной симметрично относительно точки,
принадлежащей фронту-гипоциклоиде, где F0 = 0.
Длины и кривизны каустик и фронтов легко вычисляются (см.
разделы 11, 12).
Вернемся к фронтам обычной астроиды (р = 4). Топологический тип
0-фронта астроиды меняется при изменении параметра F0, когда
параметр проходит через особые значения F0 = ±1 и ±3. Если зафиксировать
значение этого параметра, положив, например, F0 = 0, то те же самые
изменения будут происходить с С-фронтом при изменении критического
значения С (рис. 21).
F0 < -3
особенность 3/4
1
Fn = -3
квадратичное
касание
гладких ветвей
особенность 2/3
-3<F0<-1 F0--
:-1
-\>F0<0
квадратичное
касание трансверсальное
гладких ветвей пересечение
0 < /¾ < 1
К /¾ < 3
^о = 3
/7о>3
Рис. 21. Перестройки фронтов астроиды
А именно, для FQ = 0 при С = =Ы на фронте имеется самокасание
(в начале координат), а при С = ±3 фронт проходит через две
противоположные из четырех точек возврата каустики и имеет в этих точках
особенность типа 3/4, (диффеоморфную особенности кривой х3 = у4).
При \С\ > 3 фронт гладкий, а при \С\ < 3 он имеет 4 точки
возврата полукубического типа, лежащие на каустике. Фронты, для которых
1 < \С\ < 3, имеют по две точки самопересечения, и каждый из них
ограничивает на плоскости {(Л, В)} три области с компактным замыканием:
два криволинейных треугольника, на границах каждого из которых лежат
48

по две точки возврата фронта и по одной точке его самопересечения, и
линзообразную область между точками самопересечения, лежащими на
одной из осей координат (А или В — в зависимости от знака С).
Иными словами, С-фронты перестраиваются при изменении
параметра С так же, как перестраиваются эквидистанты эллипса при изменении
расстояния от него. Каустика эллипса аффинно эквивалентна астроиде,
но никогда не изометрична ей в смысле евклидовой геометрии.
Каждая точка фронта определяет параболу, касающуюся его в этой
точке (с вершиной в этой точке и с радиусом кривизны,
составляющим 2/3 радиуса кривизны фронта в этой точке). Это — парабола Я = 0
теоремы 1 (ср. рис. 19).
Определение. Эллиптическая область EFqj?0 на плоскости {(Л, В)}
определяется как замкнутая область, ограниченная такой параболой
(рис. 22):
^0,Ф0 = {(Л,^)еМ2:Ял,^0(ф0)^0}.
/¾¾¾¾¾¾ I астроида
/^^^^^^^^^¾^ эллиптическая область
точка фронта, *
соответствующая фо
фронт Fq \
парабола #(сро) = О
Рис. 22. Эллиптическая область
Объединение всех таких «внутренностей парабол» с различными ф0
образует F^-эллиптическую область:
EFo = {(Л, В)еШ2: Зф0 <Е 51: Ял,^0(фо) ^ 0}.
Дополнительные гиперболические области определяются как
пересечения дополнений к эллиптическим областям
ftFo= [)(Ш2-ЕРа,гт)=Ж2-ЕРо.
49

Пример. При любом F0 с |F0| ^ 3 F70-гиперболическая область ttFo
пуста, так как уже полукасательные к астроиде, являющиеся осями
наших эллиптических парабол, покрывают всю плоскость. Точку (Л, В)
покрывает ось параболы, вершина которой — самая далекая от (Л, В)
точка фронта.
Теорема 2. Для каждого F0 с \F0\ < 1 гиперболическая область flFo
ограничена соответствующим несамопересекающимся 0-фрон-
том, имеющим на астроиде-каустике 4 точки возврата (рис. 23).
Для каждого F0 с 1 ^ |F0| < 3 область
Fо-гиперболичности flFo состоит из
внутренностей двух криволинейных
треугольников, ограниченных
самопересекающимся дважды 0-фронтом,
имеющим на астроиде-каустике 4
точки возврата.
Следствие 1. Полная область
гиперболичности
П = {(Л,В;^0):Ялад(ф)<0Уф}
в трехмерном пространстве связна
Треугольники гиперболичности {ш^ следовательно, и пятимерное
многообразие всех 4-гиперболических многочленов степени 4).
Следствие 2. Индексы всех А-гиперболических многочленов
степени 4 одинаковы (не зависят от коэффициентов многочлена) и
равны
т&{М + IN) = -4, ind(a - с + Tib) = -2,
ind(y) = — 2, ind(KpecTy) = — 1.
Следствие 3. Для каждой точки (Л, В) внутри «бубнового
туза» А, ограниченного астроидой-каустикой, сущестствует число
Fq, определяющее А-гиперболический тригонометрический
многочлен
F = F0+A cos(2cp) + В sin(2cp) + cos(4cp),
так что
U п'о=д-
-3<^0<3
Следствие 4. Для каждой точки (Л, В) вне «бубнового туза»,
ограниченного астроидой-каустикой и для каждого значения F0
существует такая точка ф0 на окружности, что точка (Л, В)
50

не гиперболическая в ф0:
так что тригонометрический многочлен
F = F0 + A cos(29) + В sin(2cp) + cos(4cp)
не является 4-гиперболическим.
Следствие 5. Существуют «парадоксальные» однородные
многочлены четвертой степени, для которых выполнено условие
почти 4-гиперболичности (Я^ 0 везде), но в окрестности которых
нет настоящих 4-гиперболических многочленов.
Пример. Многочлен/(х, у) =х4 — у4.Цля него ind(y) = 0, а для любого
4-гиперболического многочлена ind(y) = —2.
Доказательства приведенных результатов длинны, и некоторые из
сообщаемых ниже лемм доказаны лишь с помощью компьютерной алгебры
(я благодарен Ф. Аикарди за эти вычисления, проверить которые я не
сумел).
Начнем с относительно простого (но уже совершенно не очевидного)
случая, когда удается провести безкомпьютерное доказательство.
Определение. Диагоналями назовем прямые А = В и А = —В (нам
будут нужны лишь их части вне пределов астроиды, \А\ = \В\ ^ \/2).
Лемма 1. Диагонали являются огибающими парабол,
ограничивающих эллиптические области, соответствующие
всевозможным сро, при Fq = 0: парабол
Рф0 = {(Л,^)еМ2:Ял,Я;0(ф0)=0}.
Замечание. Сам 0-фронт тоже является, конечно, огибающей этих
парабол.
Доказательство леммы. При F = Ас2 + Bs2 + с4 (с2 = соз(2ф)
и т. д.) мы получаем
F = -2As2 + 2Вс2 - 4s4 ('= d/d<p),
F" = -4Ас2 - 4Bs2 - 16с4, 4F + F" = -12с4,
поэтому нормированный гессиан имеет вид
НАВ.0 = 4(Ас2 + Bs2 + с4)(-\2с4) - \2(As2 - Вс2 + 2s4f =
= -12[4 + 4Ас2 - 4Bs2 + A2si + В2с\ - 2ABs2c2].
Чтобы найти точку параболы Ял,я;о(фо) = 0, лежащую на диагонали
А = В, мы должны решить квадратное относительно А — В уравнение
51

Я = 0. Это уравнение имеет вид
A2(l-s4)+4A(c2-s2) + 4 = 0.
Дискриминантом его оказывается функция от ф0,
4(C2-S2)2-4(1-S4),
которая тождественно равна нулю. Поэтому любая из парабол РФ0
касается диагонали А = В (для диагонали А = —В выкладки аналогичны),
что доказывает лемму 1. □
Определение. Х-точками (0-фронта, соответствующего
значению F0 (\Fq\ < 3), параметра и, следовательно, имеющего 4 точки
возврата Уг, лежащие на астроиде-каустике) называются 4 точки Xj
пересечения касательных к каустике, проведенных в упомянутых
четырех точках Yr возврата фронта (рис. 24).
Лемма 2. Каждая из точек Xj лежит внутри всякой
эллиптической области, ограниченной параболой, соответствующей
вершине, лежащей на фронте
в прилежащей к точке Xj дуге
между точками возврата:
касательная
касательная
я,
касательная
касательная
Рис. 24. 4 Х-точки астроиды
Доказательство. Хотя это
доказано для любого F0,
ограничимся, для сокращения
вычислений, случаем F0 = 0 и Xj = (0, 2\/2),
так что тс/4 < 2ср0 < Зтс/4, s2 > л/2/2.
В этих предположениях прямые
вычисления показывают, что
нормированный гессиан в интересующей нас Х-точке есть
Я = 48(8¾-2^-1).
Заметим, что
Ss2 -24-1= Н + Ss2 - 3 > 2(л/2/2)2 + 8(л/2/2) - 3 = 4л/2 - 2 > 0,
так что наша точка Xj лежит в эллиптической области.
При других значениях F0 проведенное ниже доказательство по той же
схеме приводит к более длинным вычислениям, но по существу так же
просто.
Мы будем изучать поведение гессиана Я на оси В, в той точке Х{
пересечения касательных к каустике в точках возврата фронта, которая
52

имеет координаты (Л = О, В = В{ > 0). Соответствующая точке Х{
функция нашего стандартного семейства есть F = F0 + В sin(2cp) + со8(4ф), и
мы предполагаем, что |F0| < 3.
Нормированный гессиан имеет вид (при D = 4), по (*) раздел 3,
Я = 4F(4F + F")-3F'2.
Мы докажем, что функция Я положительна на сегменте
окружности {фmod2тс}^ прилегающем к точке Х{ (т.е. состоящем из тех
<р, которые соответствуют точкам астроиды-каустики,
расположенным между теми двумя точками возврата фронта, в
которых В > 0).
(Для исследования других частей окружности нужно использовать
другие точки Xj.)
Для доказательства положительности значения Я обозначим Ф = 2ср.
Пусть ф* и Ф* = 2ф* —координаты ближайшей точки возврата Fo-фронта
(Л* = — 4со83(Ф*), В* = 4sin3^*)). Мы исследуем точку дуги каустики
между (Л*, В*) и (—Л*, В*), соответствующую координатам ф и Ф = 2ср.
Вычислим координаты (0, В{) точки Х{ в терминах угла Ф* и вычислим
функцию — нормированный гессиан Я, соответствующую значениям
параметров А = 0, В = Ви FQ нашего семейства F.
Уравнение точки возврата фронта (при значении параметра F0) имеет,
по общей нашей теории, вид Зс\ = F0 (где с\ — со8(4ф*)), так что точка
возврата — это точка (Л = —4^3, В = 4^3).
Направление касательной к каустике в точке возврата фронта
содержит вектор (Л* = с\, В* = s%), поэтому вдоль касательной к каустике
лежат точки
(Л(Х) = -4cf + Хс2*, В(\) = Щ3 + \s*2).
Чтобы попасть на ось Л = 0, приходится выбрать \ = 4с22. Таким образом,
мы вычислили ординату точки Хи В{ = 45^3 + 4^2^2 = 4^.
Замечание. В случае F0 = 0 мы получаем Ф* = тс/4, s% = л/2/2, поэтому
В{ = 2л/2, как и должно быть для диагонали квадрата со стороной 2
(с вершинами в 0, в Х{ и в двух срединных точках отрезков каустики-
астроиды).
Подставляя (Л = 0, В = любое значение В{) в определяющее
нормированный гессиан уравнение, мы находим его значение
Я = 4F(4F + F")- 3F'2 =
= 16(F0 + B{s2 + c4)(FQ - 3c4) - \2(B{c2 - 2s4)2 = a + (3^ + yB2,
53

где коэффициенты равны
a = 16(F0 - Зс4) (f0 + с4) - 48s* = 16/¾ — 32f0c4 - 48,
р = 16(F0 - 3c4)s2 + 48s4c2 = 16F0s2 + 48s2,
Y = -124
Применим эти формулы в случае точки X, = (О, Si), где Si = 4s2, F0 =
— Зс4 — 6с|2 — 3. Мы получим тогда выражения наших коэффициентов
через В[-.
с* — Ё1 г* — 16~^1 F — Q _ Mi
s2 - 4 , с2 - 16 , /•„ - 6 g ,
а = -36в? + ^- + 12В?с4 + 96(1 - с4),
P = (96-6fi2)S2>
Y = -124
Поэтому выражение для нормированного гессиана Я в точке ^
принимает вид
Я = 96£l52 - (36 + 12s!)B? - 6s2£? + ^- + 96(1- с4).
Мы подставим сюда уже найденное значение В{ = 4^ и используем
(имеющие в этом доказательстве решающее значение) сокращенные
обозначения
x = s^, У = s2, y — x = z.
Тогда указанное выше выражение для нормированного гессиана в
точке Х{ примет вид
Я = 192(2**/ - х2у2 - Зх2 - 2х3у + Зх4 + у2) =
= \92(z2-x2z2 + 4xz-4xsz) = 192z(l -x2)(4x + z).
Теперь уже нетрудно вычислить знак гессиана Я. В нашем случае х2 < 1,
так как х = sin(2(p*), что строго меньше 1 по модулю (так как |F0| <
< 3 и потому рассматриваемый фронт не проходит через особые точки
астроиды-каустики, где Л = 0, |F0| = 3).
Мы рассматриваем случай z > 0, так как у > х для точек примыкающей
к точке Х{ части каустики (где В> В{>0, Ф > Ф*, 0<Ф< тс/2, 0 < Ф* <
< тс/2). Итак, z > 0, 1 > х2, 4x-\-z > 4х > 0, так что Я > 0, что и доказывает
лемму 2. □
Замечание. Изменение знака Я между z = 0 и z = — 4х (т. е. между
у = хи у = —Зх) остается столь же непонятным, как и положительность Я
при у < —Зх < 0.
54

Доказав лемму 2, мы можем закончить построение областей
гиперболичности и эллиптичности (для F0 = О наше доказательство будет
полным, так как лемма 2 доказана, а при других значениях F0, меньших 3
по модулю, мы используем аналогичную лемме 1 информацию об
огибающих парабол, полученную лишь при помощи компьютерной алгебры).
Область, ограниченная параболой, выпукла. Она содержит, вместе
с точкой Xh принадлежащей ей по лемме 2, и со своей точкой на
огибающей парабол, принадлежащей ей по лемме 1 (или по ее аналогу
для F0 ф 0), весь отрезок прямой, соединяющий эти две точки. Такие
отрезки, вместе с эллиптическими половинами прямых, касающихся
каустической астроиды, покрывают все дополнение к ограниченному
астроидой-фронтом бубновому тузу, который таким образом и
оказывается соответствующей значению параметра F0 = 0 областью
гиперболичности (рис. 25).
критическая ,гр ч
диагональ касательная ^ .
критическая
касательная
,гр ч критическая
^ х' касательная диагональ
критическая
касательная
критическая
касательная
критическая
касательная
диагональ критическая
критическая диагональ
касательная
касательная
Рис. 25. Заметание эллиптической области отрезками
При |F0| ^3 рассуждение еще проще: гиперболических точек нет,
так как самая далекая от точки (А, В) точка фронта является
55

вершиной параболы, содержащей точку (Л, В) в ограниченной его
области эллиптичности. При |F0| = 3 и фронт, и все его параболы
проходят через две противоположные точки возврата астроиды.
В случае |F0| < 3 доказательство сложнее, но проходит по той же
схеме, что проведенное выше при F0 = 0. Труднее всего доказывается аналог
леммы 1: огибающие парабол при F0^0 уже не прямые, но они еще
соединяют точки возврата фронта с бесконечностью, куда они уходят по
направлениям касательных к каустике в точках возврата фронта (согласно
Ф. Аикарди). Отрезки, соединяющие точки огибающих с прилежащими
вершинами Xh заметают, вместе с эллиптическими частями
касательных к каустике, дополнение к ограниченной 0-фронтом четырехугольной
области при |F0| < 1 или к двум треугольным областям при 1 ^ |F0| < 3.
Для этих огибающих семейства парабол Я = 0 можно написать явные
алгебраические уравнения (Я = 0, Я' = 0), из которых можно затем
найти, скажем, В как функцию от ф и от Л. Элементарное исследование этих
функций и их асимптотик приводит к сформулированному выше ответу о
виде гиперболических областей, но подробное доказательство не
умещается в рамки настоящей работы. Ф. Аикарди доказала, что точки касания
с огибающими парабол, касающихся фронтов на осях координат,
заметают 4 отрезка прямых соединяющие точки возврата астроиды-каустики.
Замечание 1. Можно предполагать, что число компонент
связности пространства D-гиперболических многочленов степени D
растет с ростом D (именно как линейная функция от D), но это не
доказано.
Число компонент связности пространства гладких D-гипер-
болических функции бесконечно, как мы показали выше, предъявив
функции с бесконечным количеством разных значений индексов
(ограниченных для многочленов фиксированной степени).
Замечание 2. Вся описанная выше теория напрашивается на
обобщения. Вместо приведенного ниже специального семейства (3)
тригонометрических многочленов и области их гиперболичности для
F = FQ + A cos(2cp) + В sin(2cp) + cos(4cp) (3)
можно было бы рассматривать семейства общего положения
периодических функций Т7, зависящих еще от k параметров, и области D-гипербо-
личности в пространствах их параметров. Будут ли особенности границы
области гиперболичности в случае двух и трех параметров такими же,
как для семейства (3) и его подсемейств с постоянным свободным
членом? Во что превратятся «топологические» свойства каустик и фронтов
56

при замене специальных (похожих на (3)) комбинаций с участием
синуса, у, и косинуса, х, (получающихся при проектировании окружности
х2 + у2 = 1) на другие специальные семейства (связанные, например, с
отличными от окружности алгебраическими кривыми Z(x, у) = 0 и с
заменяющими синус и косинус функциями х и у на них)?
В нашем простейшем случае (тригонометрических многочленов g на
окружности) как каустики, так и фронты оказываются алгебраическими
кривыми, которые даже рациональны, или, иными словами,
унику реальны {имеют сферическую риманову поверхность и род 0)
вследствие рациональности окружности.
Эвольвенты окружности, в отличие от эвольвент астроиды, —
трансцендентные кривые. Но окружность и не может быть каустикой: у нее
нет точек возврата. Было бы интересно посмотреть, во что превратится
рациональность каустики и фронтов (а также теорема Штурма—Гурви-
ца) при замене исходной окружности, функциями на которой являются
(sincp, coscp) и вообще тригонометрические многочлены от ср, на другую
алгебраическую кривую (хотя бы эллиптическую).
Замечание 3. Евклидова теория каустик допускает следующее
обобщение.
Рассмотрим кривую Г, заданную уравнением f(x, у) = 0. Эта кривая Г
будет играть роль, которую в евклидовой теории играла окружность.
Пусть g: R2 ->R — функция на плоскости. Рассмотрим семейство
функций
GAtB=g + Ax + By: Г->М
(в обозначениях не указано подразумеваемое ограничение функций на Г:
например, g и g"|r обозначаются одинаковым символом g). Каустика —
это кривая на плоскости параметров, такая что для (А, В) на этой кривой
функция GAiB имеет на Г вырожденную критическую точку.
Будем обозначать знаком V гамильтоново поле с функцией
Гамильтона /, так что V = fydx — fxdy. Это поле касается кривой Г. Оператор V
будет применяться к заданным на Г функциям и играть роль
производной д/д<р предыдущей теории (соответствующей окружности Г, где
/ = (х2 + у2 — 1)/2; х играет роль cos ср, у — роль sin ср).
Легко вычисляются последовательные производные
Vx = fy, Vy = -fx, Vg = fygx-fxgy, (4)
V2x = fyUy - fxfy^ V2y = -fyfx,x + fxfx,y. (5)
57

Из уравнений каустики
A(Vx) + В{Уу) + Vg = О, A(V2x) + B(V2y) + V2g = О,
находим явные формулы координат ее точек:
А =
(V2g)(Vj/)-(Vg)(V2J/)
(V2y)(Vx)-(Vy)(V2x),
в= (V2g)(V*)-(Vg)(V2*)
(V2x)(Vy)-(Vx)(V2y)'
(6)
Если кривая Г алгебраическая, a g— многочлен, то каустика —
алгебраическая кривая такого же рода, как Г.
Вычисляя производные дробей (6), мы получаем вдоль Г (с помощью
уравнений (4) и (5)) формулы, определяющие направление каустики:
VA = AS"2/*, VB = AS"2/,,
где роль «радиуса кривизны» играют определители «Вандермонда>:
(7)
Д =
V3g
V2g
V3x
V2x
Vx
V3y
V2y
V2x
Vx
V2y
Vy
В частности, направление каустики задается вектором
«нормали» к кривой Г (fx, fy) = (—Vy, Vx), а особые точки каустики
задаются уравнением А = 0 точек уплощения пространственной
кривой с проекцией Г
{(x,y,g(x,y)), где f(x,y) = 0}.
Если плоская кривая Г выпукла, то эта пространственная кривая
имеет не менее четырех точек уплощения. Вероятно, можно исследовать
свойства каустик на основании формулы (7) также и в случае
невыпуклых, но алгебраических кривых Г фиксированного рода и
многочленов g. Однако это обобщение теоремы Штурма—Гурвица нетривиально
уже для многочленов g на рациональных кривых (вроде вырожденной
эллиптической кривой Г: у2 = х2 + х3).
Замечание 4. Уравнение Гессе Я = 0 (и неравенство Я < О,
основное для теории гиперболических многочленов) можно было бы заменить
другой гиперповерхностью в пространстве 2-струй функций на
окружности. Было бы интересно понять, во что превратились бы наши каустики,
58

их касательные прямые, фронты, параболы и их огибающие при таком
обобщении, требующем также построения симплектической и контактной
геометрии этих объектов, включающей, вероятно, исследование
структур многообразий контактных элементов на контактных многообразиях
и изучение многообразий 1-струй функций на многообразиях 1-струй
функций (и других подобных итераций классических конструкций, вроде
71*, /\ РТ* и т. п., с их энгелевыми и иными структурами).
Замечание 5. Найденные в нашей задаче огибающие специальных
семейств парабол наводят на мысль о существовании подобных
огибающих в более общих ситуациях. Рассмотрим, например, кривую общего
положения на евклидовой плоскости в классе кривых с точкой
возврата полукубического типа (диффеоморфную кривой у2 = х3). Рассмотрим
семейство общего положения парабол или иных, подобных параболе,
кривых с вершинами в точках исходной кривой, с осями,
перпендикулярными этой кривой и направленными в сторону центра кривизны кривой
в вершине «параболы». Радиус кривизны «параболы» в вершине будет
меняться (например, как 2/3 радиуса кривизны исходной кривой или как
гладкая функция общего положения от этого радиуса кривизны, равная О
в нуле). Спрашивается, при каких условиях на эту функцию такое
семейство «парабол» общего положения будет иметь огибающую? Будет
ли эта огибающая гладкой в точке возврата исходной кривой? И будет
ли ее касательная в этой точке касаться в ней исходной кривой?
Если все это так для нашего семейства парабол Я = 0 лишь в силу его
исключительности, то какова степень (коразмерность) нужной здесь
исключительности?
Согласно Д. Капитанио (Париж — VII, 2002) Огибающая подобного
семейства общего положения имеет полукубическую точку возврата в
точке возврата исходной прямой, причем касательные исходной прямой
и огибающей в их общей точке возврата продолжают друг друга.
Понимая важность всех этих общих и специальных вопросов, я все
же сообщу ниже о другом обобщении изложенной выше астроидальной
геометрии — о теории гиперкаустик и гиперфронтов, являющихся
кривыми уже не в двумерной евклидовой плоскости, а в (евклидовом)
пространстве четного числа измерений.
59

ГЛАВА V
ГИПЕРКАУСТИКИ И ГИПЕРФРОНТЫ
11. Гиперкаустики периодических функций
Пусть g: S1 —>> М — гладкая функция на окружности {фmod2л}.
Зафиксируем целое число п ^ 1.
Определение. Гиперкаустика порядка п функции g— это кривая в
пространстве R2n, определенная условием сильного вырождения
критической точки линейной комбинации функции g с синусами и косинусами:
{(АиВи ...;Ап,Вп): BcpeS1: &(А, В;<р) =0}
для производных по ф порядков / = 1, ..., 2п (производных столько,
чтобы получилась кривая) от функции
п
G(A, В; ф) = ^2(Ak cos(fc<p) + Bk sin(fc<p)) + g(<p).
k=\
Проекция этой кривой на плоскость Щ с координатами (Ak, Bk)
будет называться /^-проекцией (гиперкаустики порядка п), k = 1, ..., п.
Мы получаем кривую в Ш2п (параметризованную критической
точкой ф) и еще п плоских кривых — ее проекций (также параметризованных
углом ф).
Теорема 1. Компоненты касательного вектора гиперкаустики
порядка п пропорциональны п векторам
(си s{; ...; сп, sn) = (cos(9), sin^); ...; cos(ncp), sin(mp)),
а именно, производные координат no ф даются формулами
A'k = pkck, B'k = pksk,
где функция pk (равная радиусу кривизны k-проекции при
соответствующем, и обсуждаемом ниже, выборе единицы длины)
задается формулой
_dLng
9k ~ k2\\ '
Здесь d = d/d(f, а дифференциальный оператор Ln порядка 2п
убивает функции ck и sk\
Ln = (1 + rf2)(4 + d2).. .(n2 + d2);
60

числа X определяются формулой
к= П(/2-*2)-
Таким образом, от k в формуле для pk зависит только постоянный
(не зависящий от ср) множитель, стоящий в знаменателе формулы.
Пример. При п = 1, 2, 3, 4 знаменатели k2\nk имеют значения,
указанные в приведенной таблице
(знак всегда равен (—1)^-1).
Первые несколько
операторов Ln суть
Ll = l+d2, L2 = 4 + 5d2 + d\
L3 = 36 + 49rf2+14rf4 + rf6.
Замечание. Определим еще многочлены степени п— 1:
1фк
Ll(z)= l[(l2 + z),
и дифференциальные операторы порядка 2п — 2
Введенные выше постоянные \nk = Lnk(—k2) —это собственные числа
этих операторов.
Лемма. Имеют место соотношения
Lnk(d2)ck = \nkck, Lt(d2)sk = \nksk,
Ц(сР)с1фк = 0, Lt(d2)s^k = 0 (U/^az).
Доказательство. Очевидно, оператор d2 переводит синусы и
косинусы в синусы и косинусы:
d2ck = -k2ck, d2sk = -k2sk.
Поэтому для любого многочлена Р имеем
P(d2)ck = P(-k2)ck, P(d2)sk = P(-k2)sk.
Применяя это к многочлену Р = Lnk, получаем соотношения леммы. □
><
1
2
3
4
1
1
2
3
-12
3
24
-60
360
4
360
-720
2520
-20160
61

Для доказательства теоремы 1 мы сначала получим явную формулу
для каустики.
Теорема 2. Выражения Ak и Bk через функцию g имеют вид
Ak — WkCk — ^kS/г, Bk = UkSk + IjsA,
где функции Ь(ф) и 1Ь(ф) определены формулами
т _ d(L\g) _ d\L\g)
k~ Щ ' Щ~ k2\\ '
Доказательство. По определению каустики,
п
Y,Wrck + Bkdrsk) = -drg, r=l,...,2n.
k = \
Считая коэффициенты Ak и Bk не зависящими от ф постоянными, мы
получим, применяя два оператора, d(Lnk(d2)) и d2(Lnk(d2)), к функциям ch
Si и g, следующие два уравнения относительно Ak и Bk\
Г Ak[{dLnk)ck] + Bk[{dLl)sk] = -(dL'Dg,
\ Ak[(d2Ll)ck] + Bk\(d2Ll)sk] = -(d*Ll)g.
(Мы воспользовались тем, что при / ф k (Lnk(d2))ci = 0, (Lnk(d2))si = 0.)
Используя собственные числа собственных функций ck и sk, мы можем
переписать выведенные уравнения в виде
Г -(k\t)Aksk + (k\t)Bkck = -(dLnk)g,
\ -(k2Xt)Aksk - (k2Xt)Bksk = -(d2Lt)g.
Таким образом, мы получаем два уравнения, имеющие в матричной
записи вид
<ck -sk\ /ВЛ = /I/
Ksk ck ) \Ak) \[\kj
Обращая ортогональную матрицу путем транспонирования, мы находим
решение наших уравнений в виде
ck sk\ (h\ = (Bk
-sk ck) \llkj \Ak
что и доказывает теорему 2. □
62

Доказательство теоремы 1. Теперь мы будем считать Ak и Bk
функциями от ф, определенными формулами теоремы 2. Дифференцируя
по ф эти выражения, мы получаем
(A-k = (lYk-klk)ck + (-kllk-Vk)sk,
\B'k = (kllk + Yk)ck + (lYk-klk)sk.
Но, по определению функций \k и Пь имеют место тождества
(г+ЫТ -( d\k£\Llg_
[п>-ки-\¥ + т)1?г- k% {Lkg)-
Учитывая определяющее оператор Ln соотношение
(d2 + k2)Lnk = Ln,
мы приходим к формулам теоремы 1:
A'k = (lYk-klk)ck, B'k = (lYk-klk)sk,
где
v k k\nk
Следствие 1. Функция pk/k является (ориентированным)
радиусом кривизны проекции (Ak, Bk) гиперкаустики на плоскости с
декартовыми координатами (Ak, Bk) (с метрикой (dAk)2 + (dBk)2).
Доказательство. Пусть Sk—длина вдоль проекции, k(p — это
направление спроектированной кривой (по теореме 1). При движении
вдоль спроектированной кривой с единичной скоростью имеем
(dA1_r dlh_„\
\dsk ~Ck' dsk -Sk)'
тогда как по теореме 1
(dAk _ dBk _ \
Vd^-pkCk> ^-?kSk)'
J_
dSk 9k'
n den 1
Следовательно, -^- = —, а значит.
d(ky) _ k
dSk 9k'
To есть радиус евклидовой кривизны спроектированной кривой в нашей
метрике равен pk/k. □
63

Следствие 2. А) Гиперкаустика в R2n (а значит, и каждая из ее п
плоских проекций {(Ak, Bk)}) имеет не менее 2п + 2 точек возврата
(полукубического типа для g общего положения).
B) Альтернированная длина гиперкаустики (и каждой из ее
проекций) равна нулю (считая длины отрезков кривой между
точками возврата с меняющимися при прохождении каждой точки
возврата знаками).
C) Барицентры точек возврата с четными и с нечетными
номерами вдоль каустики совпадают.
D) Интеграл от проекции на любую прямую от векторного
распределения вдоль кривой, построенного по распределению массы с
плотностью ±1 вдоль гиперкаустики, меняющего знак плотности
в каждой точке возврата, равен нулю.
Доказательство. А) Достаточно применить теорему Штурма—
Гурвица к функции рь нули которой находятся в точках возврата, и
которая ортогональна функциям (1, ст, sm), 1 ^ k ^ я, как и всякая
функция из образа оператора dLn, что показывает ее ряд Фурье. По теореме
Штурма—Гурвица такая функция имеет не менее 2п + 2 нулей.
B) Для альтернированной длины проекции мы имеем выражение
поэтому <р dSk = Ф pk dcp = 0, как и для всякой функции из образа
оператора dLn, которая ортогональна на 51 функциям (1, ck, sk) при k =
= 1,...,я (это показывает ряд Фурье).
Из этого следует, что и альтернированная длина самой гиперкаустики
тоже равна нулю. Дело в том, что, по формуле теоремы 1, отношения
рй/р/ постоянны (не зависят от ср), а потому элементы длины проекций
также пропорциональны друг другу с не зависящими от ср коэффициентами.
D) Для интегралов от проекций нашей плотности можно написать
выражения вида
Ф ckdS = Ф cos(&(p)pu((p) dS.
Этот интеграл равен нулю ввиду ортогональности функции pk
функциям ck и^.
C) Докажем это утверждение в такой форме:
Следствие 3. Пусть (Ри ..., Р2т) —все 2т точек возврата
гиперкаустики, занумерованные в порядке возрастания ср. Тогда век-
64

торные суммы точек возврата с четными и с нечетными
номерами совпадают:
^1+/^3 + --- + Р<1т-1 =/^2 + ^4 + --- + Рчт*
Из этого равенства следует такое же равенство барицентров и для
проекций.
Доказательство следствия 3. По теореме 1,
/ dAk = ± / cos(k(p)pk dtp,
поэтому утверждение уже доказанного следствия 2 D принимает вид
/2т
cos(£cp)P,(cp) dcf = Y,(-mMPi+i)-MPi)]
/=1
(где P^m+i = Р\)- Если бы не множитель (— I)7, то это тождество было
бы очевидным. Но, учитывая знаки, мы видим, что оно выражает
неочевидный факт:
1 т т
53^(^-) = 53^^-^
/=i /=1
и аналогично для Bk (при помощи ортогональности функции pk к функции
s'm(kcf) на окружности). П
Следствие 4. Длины интервалов гиперкаустики, не
содержащих точки возврата, пропорциональны приращениям функции
Lng между ограничивающими интервалы точками (и то же
справедливо для проекций).
Например, для проекции на плоскость {Ak, Bk} (с метрикой (dAk)2 +
+ (dBk)2) длина такого интервала, ограниченного точками с
координатами сро и cpi, равна
Пример. Для стандартной астроиды на плоскости {(А = —4со83ф,
В = 4sirr^)} длина отрезка каустики между двумя соседними точками
возврата равна 6 (т. е. на 6% больше длины отрезка прямой между этими
точками, равной 4л/2):
dS = —3(cos л; — cos 0) = 6,
L
о
2\rr — —ЪпглеЮггЛ h2\n
ибо g = со8(2ф), n = k=l, Lng= (l+d2)g = -Зсо8(2ф), k2\\ = 1.
65

Доказательство следствия 4. По теореме 1, dSk/d(p = pk =
= (dLng)/(k2\nk). Поэтому, согласно формуле Ньютона,
Г1 Г' dLnn
/ dSk= Ы**
k'X'l
ФО
Замечание 1. Аналогичная формула получается и для длин
интервалов гиперфронтов и их проекций, которые мы исследуем в разделе 12:
для гиперфронта, соответствующего критическому значению С,
Г лс Г п j Г (n\)2C-Lng .
У dSk= Rkd9 = > grfy.
«УФо «УФо «Уф0 /г
Замечание 2. Введем величины 1Й и Пь нормируя слегка по-новому
коэффициенты теоремы 2:
U = (k%)lk = -k2(dLl)g, \\k = (k3rk)Uk = k(Lt)g.
Тогда каждая пара функций (Ь, \\k) удовлетворяет «не зависящему от k»
дифференциальному уравнению
d^b _ f} dUk _ ~ , т / ч
d(£cp) *' й(Щ
где р = &2Х^р£ = (dLn)g уже не зависит от k.
Из теоремы 1 следует, что числа оборотов векторов (Ak, Bk) и (1Ь \\k
связаны соотношением
ind(>U + iBk) = ind(II* + Я*) + k.
Но из дифференциального уравнения (*) следует, что
ind(II* + ilk) = -^(- нулей lk).
Поэтому, согласно теореме 2, ввиду соотношения
Ak + iBk = (llk + ilk)(ck + isk),
выполняется следующая формула для индексов:
ind(Ak + iBk) = - ~ (- нулей функции (dLnkg)) + k
(если Ak + iBk не имеет нулей). Отсюда следует, что (в отсутствие нулей
66

Ak + iBk) выполнено неравенство
ind(Ak + iBk) ^ 0,
ибо функция {dLnk)g ортогональна функциям (1, ch st) (/ = 1, ..., k — 1) и
имеет, следовательно, не менее 2k нулей (по теореме Штурма—Гурвица).
Пример 1. Положим g((p)=cos(&(p). Тогда (при n^k) Lnkg—\nk cos(&ф),
\k — sin(&(p), \\k = — cos(&(p), Ak = — 1, Bk = 0, ind(/U + iBk) = 0.
Пример 2. Пусть g((p) = cos(2(p), n= L Тогда i=l и каустика —
астроида:
(Ai = -4 cos3 ф, B{=4 sin3 cp),
стало быть
(Ii = 2 sin(2cp), Hi = -4 cos(2cp)).
В этом случае (dL\)g = — 2sin(2(p), -(нулей) = 4, ind(IIi +ili) = —2,
ind(>li + /Bi) = -l.
При я= 1, k=l, g(cp) = cos(m(p), мы находим таким же образом i! =
=msin(m(p), IIi =—ni2cos(m(p), ind(IIi+/Ii) =—m, md(A{-\-lB{) = \— m^O.
Случай m = 0 — исключение, так как в этом случае Ii = Hi = 0 и на
каустике А = В = 0, а индекс не определен.
12. Гиперфронты периодических функций
и подсчет числа параболических кривых
на алгебраических поверхностях
Пусть g: S —У Ш — гладкая 2тг-периодическая функция аргумента ср.
Определение 1. С-гиперфронтом порядка п функции g
называется кривая в М2/2, образованная теми значениями 2п параметров (Ak, Bk)
(k = 1, ..., п) функции
п
С(Л, В; Ф) = ^2(Ak cos(kcf) + Bk sin(fop)) + g(<p),
k=\
для которых эта функция угла ф имеет критическое значение С в
критической точке кратности не менее 2п — 1 (такой большой, чтобы получилась
кривая):
Зф^51: G(A,B;c?)=C и G{l)(A, В;с?)=0 (I = 1, ..., 2п - 1).
Соответствующие плоские кривые {(Ak, Bk)} будут называться k-npo-
екциями гиперфронта (k = 1, ..., п).
67

Теорема 1. Явные формулы для координат точек С-гиперфрон-
та функции g суть
(Ak = ckmk-skWk,
\Bk = skmk + ck\wk,
где функции III* и IV* угла ср выражаются через функцию g
формулами
_ (LD(g-C) _ (dLpg
Wk~ к ' IV*-_^xT- (2)
в которых операторы Lnk и числа \nk определены в теории
гиперкаустик (раздел 11, с. 60).
Доказательство. Применяя операторы Lnk и dLnk к функции
G(A, В; •) — С переменной ср, мы получим нули по определению
гиперфронта. Учитывая собственные числа, L\ck = Xnkck,
Lnksk = Xnksk, LnkCi = LnkSi = 0 при l ф k, мы приходим
к системе
каустика / \\
\nkckAk+\nkskBk = -L»(g-C),
ФР°»т { k\nk{-skAk + ckBk) = -{dLnk)g.
Используя обозначения (2), мы можем переписать
эту систему уравнений в матричном виде:
( ck sk\ (АЛ = ПИЛ
Рис. 26. Построение \~Sk Ck) \Bk) KP^k;
(гипер)фр он та
Обращая ортогональную матрицу путем
транспонирования, мы доказываем формулы (1) теоремы 1. □
Замечание. Рассмотрим /г-проекцию гиперкаустики порядка п на
/^-плоскость {(Ль Bk)}. Начиная с точки (A*k(<p) = ck\\k — sk\k, В\(ср) =
= skUk + ck\k) теоремы 2 раздела 11 (с. 61), мы будем двигаться вдоль
касательной прямой к /г-проекции гиперкаустики, сдвигаясь на
расстояние ak (в смысле евклидовой метрики /г-плоскости, (dAk)2 + (dBk)2). По
теореме 1, мы придем в точку (рис. 26)
(Ak(ak) =A*k+ akck, Bk{ok) =B*k+ oksk) (3)
(переменная ср сейчас зафиксирована и не указывается).
Теорема 2. Пусть расстояние сдвига от k-проекции
гиперкаустики есть _ 2
(C(n\y-Lng)
°k - 'tfin
68

Тогда точка (3) принадлежат k-проекции С-гиперфронта
функции g, изучавшегося в теореме 1.
Доказательство. По определению (3), мы оказываемся при
указанном выборе расстояния ok в точке с координатами
(Ak(Pk) = ckUk ~ skh + ckok, Bk(ok) = sk\\k + ck\k + skok).
Но, согласно (1), на С-фронте координаты точки суть
(Ak = ck\\\k - sklVk, Bk = sklllk + cklVk).
Коэффициенты \k и IV^ совпадают по их определениям. Поэтому для
доказательства теоремы 2 остается доказать тождество \\k + ok = Шь
По определению, входящие сюда величины равны
Лт _ d\Lnkg) _ (Ll)(g-C)\
Итак, остается проверить тождество
й2(Цё) + kXok + кЧЦё) = ^ЦС. (4)
Но (k2 + d2)Lnk = Ln (по определениям на с. 60—61, рпздела 11). Также по
приведенному там определению оператора Ln, имеем Ln\ = (я!)2 = k2Lnk\.
Поэтому формула (4) эквивалентна определяющей значение ok формуле
теоремы 2:
(n\)2C = Lng + k2\nkob
и теорема 2 доказана. □
Замечание. Хотя мы доказали все это вычислением проекций, на
самом деле результат является геометрическим: точка
гиперфронта принадлежит касательной прямой к гиперкаустике,
проведенной в пространстве R2n и выходящей из соответствующей точки
(Л*, В*). Действительно, формулы раздела 11 показывают, что
элементы dSk длин проекций гиперкаустики связаны между собой при разных k
соотношениями dSk = p^dcp. Эти соотношения показывают, что
отношения dSk/dSi = pk/pi не зависят вдоль гиперкаустики от ср. Формула
теоремы 1 раздела 11 для pk доказывает независимость от k произведения
kX?k = (dLa)g,
а тем самым доказывает формулу, связывающую метрики разных
проекций гиперкаустики:
k\nkdSk = PX'ldS,.
69

Эта формула подсказывает, что в R2n есть удобные метрики, например,
уравнивающая /г-проекции метрика
п
(dSf = YykAWtf((dAkf + (dBkf)\
k=\
и что все перемещения ASk = ok теоремы 2 являются проекциями
одного и того же перемещения вдоль касательной к
гиперкаустике в пространстве Ж2п. Для удобной метрики ds, введенной выше,
это глобальное перемещение сдвигает точку вдоль касательной прямой
гиперкаустики на расстояние л/п[С(п\)2 — Lng\.
Изменение постоянной С сдвигает каждую точку гиперфронта на
постоянное (не зависящее от точки) расстояние вдоль касательной к
гиперкаустике (и аналогично сдвигает проекции). В этом смысле
гиперфронты с разными значениями С оказываются «параллельными».
Теорема 3. Компоненты касательного вектора гиперфронта
пропорциональны векторам (—sk, ck), а именно, производные
координат точек гиперфронта (1) по ср равны A'k = —Rksk, B'k = Rkck,
где
о i гт dAk 1 dAk ,
Замечание 1. Поскольку —— = t—j—, то радиус кривизны #-про-
екции гиперфронта (в стандартной евклидовой метрике (dAk)2 + (dBk)2)
равен Rk/k = ak — это расстояние от точки спроектированного
гиперфронта до спроектированной гиперкаустики вдоль касательной к
проекции гиперкаустики, как и должно быть для эвольвенты этой проекции
гиперкаустики (ok—длина свободного конца нити).
Замечание 2. Проекция гиперфронта ортогональна
касательной к спроектированной гиперкаустике.
Ибо вектор (—Sk, ck) направления спроектированного гиперфронта
ортогонален вектору (Ck, sk) направления спроектированной гиперкаустики
(вычисленному в теореме 1 раздела 11). Из этих свойств проекции
следует, что и сам гиперфронт ортогонален прямой, касательной к
гиперкаустике в соответствующей точке.
Доказательство теоремы 3. Дифференцируя формулы (1),
мы получаем
j А\ = ck(llY - klV) - sk(W + Ш),
I В\ = Sk(llY - klV) + ck(W + Ш).
70

Ho III* = —ry^, IV = ——Зг, поэтому ПГ — kW = 0. С другой стороны,
мы видим, что
TV -l МП - _^!№) , k2(-LUg-C)) _ (d2 + k2)(Ltg) + k2LnkC
По определению (раздел 11, с. 60) (d2 + k2)L\ — Ln, a k2L\\ — Ln\ —
— (n\)2. Итак, мы получаем выражение для недостающего коэффициента:
iv + m=<Bl>2<;-L"g,
доказывающее теорему 3. П
Следствие. Среди гиперфронтов порядка п периодической
функции имеются гиперфронты с 2п + 2 или более точками возврата
(для функций общего положения — полукубического типа), и среди
них имеется гиперфронт альтернированной длины нуль, причем
такими же свойствами обладают и k-проекции указанных
гиперфронтов.
Интеграл от распределения масс с плотностью ±1 вдоль
гиперфронта (знак меняется при прохождении каждой точки
возврата), спроектированного на любую прямую, равен нулю.
Барицентры точек возврата с четными и с нечетными
номерами (при нумерации вдоль гиперфронта) совпадают: если всего
этих точек 2т, то
Доказательство. Функция
Lng = (d2 + 1) (d2 + 4)... (d2 + n2)g
ортогональна на окружности 2п функциям (сь sk), k = 1, ..., я, как
показывает разложение в ряд Фурье. Если она не ортогональна единице,
то этой ортогональности можно добиться (не нарушая остальных) для
модифицированной функции (п\)2С — Lng (выбором постоянной С,
означающей нумерующее гиперфронты критическое значение). Необходимая
здесь постоянная С не зависит от k, так что мы получим единый
гиперфронт, все /г-проекции которого будут иметь ортогональные константам
радиусы кривизны Rjk и, стало быть, будут иметь нулевые
альтернированные длины:
fdSk = fdj±d^JR,
.=0.
71

Этот же гиперфронт (и его проекции) имеет не менее 2п + 2 точек
возврата (по теореме Штурма—Гурвица). Остальные утверждения следствия
вытекают таким же образом из ортогональности функции Lng
функциям ck И5ь Здесь ортогональность константам не нужна, поэтому
результаты оказываются справедливыми для всех гиперфронтов, независимо
от значения нумерующей гиперфронты постоянной С (критического
значения). □
Заодно получаются выражения для длин (альтернированного
ориентированных) гиперфронтов: эти длины оказываются линейными функциями
от постоянной С. Для стандартной метрики (dAk)2 + (dBk)2 коэффициент
при С в формуле для длины /г-проекции
5^(С-фронт) = аС + b
Исходным пунктом всех изложенных в настоящей статье
результатов послужили вопросы, поставленные А. Ортиц-Родригес,
мексиканской аспиранткой университета Париж — VII, которую я здесь за это
благодарю.
1) Сколько связных компактных компонент может иметь
(гладкая) кривая параболических точек графика
вещественного многочлена f степени D от двух переменных?
2) Сколько связных компонент может иметь (гладкая) кривая
параболических точек (гладкой) алгебраической поверхности М
степени D в трехмерном вещественном проективном
пространстве?
Можно было бы рассмотреть графики вещественных алгебраических
функций, не являющихся многочленами, вроде кубического корня из
вещественного многочлена, или графики рациональных функций.
Смысл всех этих вопросов состоит в том, чтобы выяснить, не
накладывает ли гессиановость уравнения параболических кривых ограничений
на их топологию, их алгебраическую геометрию, подобных тем, какие
накладывают градиентность или гамильтоновость, симплектичность или
контактность, лагранжевость или лежандровость.
Но, в то время как в перечисленных шести теориях такие ограничения,
начиная с постановки вопроса мною в 1965 году, были серьезно изучены
многими замечательными математиками (и привели, например, к
созданию «симплектической и контактной топологии», «теории лагранжевых
пересечений и лежандровых узлов», к доказательству так называемых
«гипотез Арнольда» и к построению «квантовых гомологии», «гомоло-
72

гий Флоера», «контактных гомологии Чеканова» и т.д. — см., например,
обзоры [7], [8], [9], [10]), в случае гессиановой топологии известно
гораздо меньше (сошлюсь лишь на [3], [11], [12]). Что касается задач 1) и 2)
выше, то мне известны лишь следующие результаты:
1]
2)
(D -1)(/)-2)
^ MPar/) ^
(2D-5)(2D- 6)
+ 1
D(D -1)(/)-2)
^ b0(ParM) ^ 10D3 - 28D2 + 4D + 3.
Оценка снизу здесь означает существование (при D > 3) примера с
указанным числом диффеоморфных окружности компонент, а сверху —
неравенство, которое доказано (вероятно, очень давно).
Заметка А. Ортиц-Родригес, содержащая доказательство неравенств
1) и 2) опубликована в Comptes Rendus Ac. Sci. Paris, Sen I. 334. 2002.
Коэффициенты в оценках сверху и снизу расходятся в четыре раза в
первом случае и в двадцать во втором, хотя уравнять их, вероятно, было
бы легче, чем, скажем, в неравенстве Мияоки.
Пример. Многочлен степени D с
(D -1)(/)-2)
компактными
компонентами связности приведен в работе А. Ортиц-Родригес. Этот
пример устроен так: рассмотрим многочлены 1-й
степени /ь ..., /д, удовлетворяющие некоторому
условию типа общности положения.
Для многочлена / = lxl^.. .lD выполнена
следующая теорема:
Теорема (Ортиц-Родригес).
1) Параболическая кривая многочлена f со-
(D -1)(/)-2)
стоит из ровно ^ компонент
связности, диффеоморфных окружности — по одной
в каждой из ограниченных частей, на которые
объединение прямых {lL = 0} делит плоскость
(рис. 27).
2) Многочлен f гиперболичен вне замкнутого объединения
упомянутых ограниченных частей плоскости.
Рис. 27. Прямые
{/, = 0} и Par/
73

Напоминание элементов анализа,
отсутствующих в его «современных» изложениях
«Распределние р dS массы плотности р вдоль кривой», о котором идет
речь в теореме, формально называется в математике термином
«векторная плотность» (говорят также «поток», «обобщенная
вектор-функция» и т.п.).
К сожалению, некоторым читателям старомодные «бесконечно малые
элементы кривой», формализуемые этой терминологией, непонятны, и их
нужно им растолковывать, что и сделано ниже. Трудность представляет
лишь то, что dS в «распределении pdS» обозначает не числовой
дифференциал функции (длины дуги) s, а вектор — «бесконечно малый
элемент кривой». Доказательство теоремы о нулях интегралов заключено
в приведенных в тексте простых формулах, нужно лишь следить за
смыслом употребляемых там обозначений.
Определение. Векторной плотностью на гладком многообразии
называется заданная на нем дифференциальная форма со значениями в
векторном пространстве.
Мы используем ниже 1-формы, т. е. линейные функции от
касательного вектора, и многообразия тоже будут одномерными. Однако векторное
пространство значений может быть и многомерным (у нас обычно
двумерным).
Векторные плотности можно интегрировать по цепям совершенно
так же, как дифференциальные формы с числовыми значениями.
Интеграл— это предел интегральных сумм, он — тоже вектор (того же
пространства значений).
На гладкой кривой в векторном пространстве имеется естественная
векторная плотность (которую мы будем обозначать через dS и
называть «элементом кривой»): значение этой {-формы на каждом
касательном векторе кривой равно самому этому вектору (но
рассматриваемому как элемент содержащего кривую векторного пространства).
Умножая элемент кривой на на числовую функцию р, заданную на
кривой, мы получаем векторную плотность pdS (значение которой на
каждом касательном к кривой векторе равно произведению этого
вектора на значени функции р в точке его приложения).
Пример. Рассмотрим распределение масс с линейной (относимой к
единице длины линии) плотностью р вдоль ориентированной кривой в
евклидовом пространстве. Линейной плотностью распределения в точке
кривой называется производнаяот массы дуги кривой, заканчивающейся
74

в этой точке по ориентированной длине 5 этой дуги. Разумеется, ни
плотности, ни массы не предполагаются здесь положительными, так что
массу можно было бы называть зарядом. При изменении ориентации кривой
линейная плотность фиксированного распределения масс меняет знак.
Распределение масс с линейной плотностью р вдоль ориентированной
кривой в евклидовом пространстве определяет векторную плотность р dS
вдоль кривой. Физически можно представлять себе тонкую струйку из
частиц, движущихся вдоль нашей ориентированной кривой со скоростью
s = р(х) в точке х, причем линейная плотность струйки (по отношению к
ориентированной длине 5 вдоль кривой) везде равна 1.
Или же можно представлять себе тонкую струйку плотности р из
частиц движущихся вперед вдоль кривой с равной по модулю 1 скоростью,
так что для каждой частицы s = 1.
Векторные плотности, соответствующие обеим этим моделям,
одинаковы: это р dS. Можно, например, иметь в виду модель с плотностью 1
и скоростью р.
Содержание теоремы об интеграле от распределения вдоль каустики
во введенных терминах состоит в том, что интеграл от
альтернирующей векторной плотности pdS вдоль каустики периодической
функции, снабженной функцией линейной плотности массы р = ± 1,
(знак меняется в каждой точке возврата) по отношению к
евклидовой длине s ориентированной каустики равен всегда нулю.
Дело в том, что, если ср — аргумент исходной 2тг-периодической
функции g, то, как мы проверили, касательный к каустике вектор длины 1
имеет в соответствующей ср точке каустики компоненты (coscp, sincp).
Этот вектор имеет длину единица, но заданная им ориентация
каустики меняется при прохождении каждой точки возврата, так
как этот вектор зависит от ср непрерывно, а ориентирующий
каустику вектор меняет знак при прохождении точки возврата.
В то же время «радиус кривизны» каустики dS/d<p, выражается через
исходную периодическую функцию g как g' +g'", если ориентировать
длину каустики направлением касательного вектора (coscp, sincp).
Отсюда для интеграла от нашей альтернирующей векторной плотности pdS
(р = ±1) получается выражение в виде интеграла по переменной ср от О
до 2тс, с компонентами <р р dS = (p(g' +g'") cos ср dcp, (p (g' +g'") sin cp dcp)
(альтернирование интеграла исчезло!). А эти интегралы равны нулю по
теореме Штурма—Гурвица. Теорема об интеграле от альтернирующей
векторной плотности доказана.
75

Несколько слов о поведении векторных плотностей при гладких
отображениях (гнапример, при проектировании каустики на прямую).
При гладком отображении между многообразиями одинаковой
размерности естественно возникает отображение вперед для векторных
плотностей, значения которых являются касательными векторами
соответствующих многообразий в соответствующих точках (как это имеет
место, например, для элементов кривых в векторных пространствах и
для векторных плотностей pdS, определенных выше).
Отображение переносит векторную плотность на
многообразии-прообразе в векторную плотность в многообразии-образе, определяемую
следующей естественной конструкцией (и называемую прямым образом
исходной векторной плотности при данном гладком отображении).
Если отображение — диффеоморфизм, то значение перенесенной
векторной плотности на касательном к многообразию-образу
векторе-аргументе1 определяется следующей очевидной конструкцией. Сначала мы
поднимаем вектор-аргумент на многообразие-прообраз (рассмотрим там
тот касательный вектор, который посылается в исходный
вектор-аргумент нашим диффеоморфизмом). Затем мы вычислим значение
исходной векторной плотности на этом поднятом векторе. И, наконец, мы
отправим это значение, лежащее ведь в касательном пространстве
многообразия-прообраза обратно вниз на многообразие-образ (при помощи
рассматриваемого диффеоморфизма). Полученый касательный вектор у
многообразию-образу (в исходной точке приложение вектора-аргумента)
и есть значение перенесенной диффеоморфизмом векторной плотности на
этом векторе-аргументе.
Если рассматриваемое гладкое отображение — не диффеоморфизм,
то у одной точки многообразия-образа может быть несколько
точек-прообразов. В этом случае значение прямого образа исходной
векторной плотности на касательном к многообразию-образу
векторе-аргументе называется сумма векторов, перенесенных
в точку его приложения из всех точек-прообразов даной
точки (при помощи описанной выше для диффеоморфизмов
конструкции).
Мы предполагаем здесь, что рассматриваемое отображение
является в окрестности каждой из этих точек-прообразов диффеоморфизмом,
т. е. что исходная точка многообразия-образа не является критическим
значением рассматриваемого отображения.
1 Строго говоря, для &-форм нужно было бы начинать с k векторов-аргументов, но нам
потребуется сейчас только случай k = 1.
76

Замечание 3. В соответстии с приведенным определением прямой
образ векторной плотности при гладком отображении определен в тех
точках многообразия-образа, которые не являются критическими
значениями отображения и имеют лишь конечное число прообразов.
Для конечности числа прообразов каждого некритического значения
достаточна компактность отображаемого многообразия (или хотя бы
собственность отображения, т. е. некомпактность прообраза каждого
компактного множества).
На интегрирование прямого образа его неопределенность в
критических значениях отображения не влияет, так как мера множества всех
критических значений достаточно гладкого отображения равна нулю, так
что интегрировать (в достаточно широком смысле) можно по множеству
некритических значений. (Строго говоря, здесь приходится либо
пользоваться интегралом Лебега, либо сужать класс отображений, например,
до алгебраических).
В некоторых случаях прямой образ продолжается и на критичекое
значение отображения (по непрерывности): мы покажем ниже, что так
обстоит дело в типичном примере отображения проектирования
окружности на ее диаметр.
Каустика периодической функции компактна, так что и прекция
заданного на ней векторного распределения, и ее интеграл корректно
определены. И интеграл от этой функции равен нулю (так как интеграл от прек-
ции векторного распределения равен проекции интеграла от исходного
векторного распределения в силу линейности операции интегрирования
и ввиду определения прямого образа).
Пример 1. На евклидовой окружности {х = cost, у = sin/},
параметризованной азимутом / точки окружности, распределение масс с
линейной плотностью р задает векторную плотность pdS. Ее значение на
векторе, касающемся окружности в точке с азимутом /, есть вектор с
компонентами р(/) [(— s'mt)(dt), (cost)(dt)]. Здесь dt — линейная
числовая функция от того касательного к окружности вектора-аргумента, на
котором мы вычисляем значение векторной плотности р dS.
При проектировании окружности на ось х (вдоль оси у) эта
векторная плотность переносится из точки с азимутом / в точку х = cos /
оси х в виде векторной плотности на прямой, заданной коэффициентом
р(/)(— sin t)(dt) = p(t) dx (на который надо умножить базисный вектор
д/дх оси х, чтобы получить значение формы).
Точка х диасетра окружности имеет два прообраза. Поэтому
прямой образ векторной плотности р dS задается в точке х коэффициентом
77

[p(ti) + p(t2)](dx), где t\ и /2 — азимуты обоих прообразов точки x = cos/
(коэффициент опять умножается на д/дх).
Замечание 4. Этот прямой образ гладко продолжается в критические
значения (х = — ± 1) проектирования окружности на ее диаметр. Это
следует из того, что четная гладкая функция переменной у, вроде f(y) +
+ /(—*/), представляется в виде гладкой функции от переменной у2.
Литература
[1] J. С. К Sturm. Memoire sur les equations differentielles du second ordre //
J. Math. Pures Appl. Vol. 1. 1836. P. 106—186.
[2] A. Hurwitz. Uber die Fourierschen Konstanten integriebarer Funktionen //
Math. Ann. Vol. 57. 1903. 425—446.
[3] V I. Arnold. Remarks on the parabolic curves on surfaces and on the
higher-dimensional Mobius—Sturm theory // Func. Analysis and Its Appl. Vol. 31
№ 4. 1997. 227—239.
[4] VI.Arnold. On the numbers of flattening points on space curves //
Ya. G. Sinai's seminar on Dynamical Systems. — Providence, RI, 1996.—
P. 11 —12. —(AMS Translations. Sen 2. Vol. 171).
[5] В.И.Арнольд. Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов //
Успехи мат. наук. Т. 50. № 1. 1995. С. 3—68.
[6] В.И.Арнольд. Математика и физика: мать и дитя или сестры? // Успехи
физ. наук. Т. 169 № 12. 1999. С. 1311 — 1323.
[7] V I. Arnold. Polymathematics: is mathematics a single science or a set of
arts? I/ Mathematics: Frontiers and Perspectives / V I. Arnold, M. F. Atiyah,
P. Lax, B. Mazur, ed. — IUM, AMS, 2000. — P. 403—410.
[8] V I. Arnold. Topological problems in wave propagation theory and topological
economy principle in algebraic geometry // The Arnoldfest. — Providence, RI:
AMS, 1999. — (Fields Institute Comm. Vol. 24). — P. 39—54.
[9] В. И.Арнольд. Первые шаги симплектической топологии // Успехи мат.
наук. Т. 41. № 6. 1986. С. 3—18.
[10] V I. Arnold. Symplectic geometry and topology// J. Math. Phys. Vol. 11. № 6.
2000. P. 3307—3343.
[11] Д.А.Панов. Параболические кривые и градиентные отображения // Труды
Матем. ин-та им. В.А.Стеклова РАН. Т. 221. 1998. С. 271—288.
[12] V I. Arnold. On the problem of realisation of a given Gaussian curvature
function I/ Topol. Methods Nonlinear Anal. Vol. 11. № 2. 1998. P. 199—206.
78

Оглавление
I. Каустики и гиперболичность 5
1. Каустики периодических функций 5
2. Гиперболические периодические функции 13
II. Гиперболические однородные функции 16
3. Однородные функции степени D
и связь их гиперболичности с теорией Морса 16
4. Доказательства теорем
об однородных функциях 17
5. Примеры D-гиперболических функций 21
III. Гиперболические однородные многочлены 23
6. Примеры D-гиперболических
многочленов степени D > 1 23
7. Нормализованное фазовое пространство D-гиперболиче-
ской функции степени D > 1 26
8. Техника конструирования D-гиперболических функций,
уравнение Гессе и экстремальное вращение его фазового
вектора 30
IV. Астроида 40
9. Многочлены четвертой степени
и их астроидальная каустика 40
10. Фронты астроиды, теория гипоциклоид
и области 4-гиперболичности 43
V. Гиперкаустики и гиперфронты 60
11. Гиперкаустики периодических функций 60
12. Гиперфронты периодических функций
и подсчет числа параболических кривых
на алгебраических поверхностях 67

Владимир Игоревич Арнольд
Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология
гиперболических многочленов
Редактор В. Клепцын
Серийное оформление обложки разработал М. Панов.
Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г.
Подписано в печать 31.12.2001 г. Формат 60 х 88 yi6- Бумага офсетная № 1.
Печать офсетная. Печ. л. 5. Тираж 1000 экз.
МЦНМО
121002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
Отпечатано с готовых диапозитивов в типографии РА «Фантазия»
111024, Москва, Авиамоторная ул., 20/17
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru
ISBN 5-94057-012-7
^78594(^5701271^