Ю.А. Аминов
Дифференциальная
геометрия
и топология
кривых
МОСКВА ’’НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 7
ББК 22.151
А62
УДК 514.75
Аминов ЮЛ. Дифференциальная геометрия и топология
кривых. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 160 с.
Излагается теория кривых в евклидовых пространствах. Наряду с
первоначальными сведениями и понятиями в ней рассматриваются и
современные вопросы, изложенные ранее лишь в журнальных стать-
ях, дается обзор результатов. Особое внимание уделяется дифферен-
циально-геометрическим и топологическим свойствам замкнутых
кривых. Изучаются зацепления и узлы.
Для студентов, аспирантов и научных работников, специализирую-
щихся в геометрии и топологии.
Ил. 52. Библиогр. бОназв.
Рецензент
доктор физико-математических наук,
профессор А.С. Мищенко
1702040000 023
05 3(02)-87
©Издательство "Наука”.
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1987
3-87
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................................   4
§ 1.	Определение кривой.................................
§ 2.	Векторные функции числового аргумента..............
§ 3.	Регулярная кривая и способы ее задания.............
§ 4.	Касательная прямая к кривой........................
§ 5.	Соприкасающаяся плоскость к кривой.................
§ 6.	Длина душ кривой...................................
§ 7.	Кривизна и кручение кривой.........................
§ 8.	Соприкасающаяся окружность к плоской кривой........
§ 9.	Особые точки плоских кривых........................
§10.	’’Кривая” Пеано....................................
§11.	Огибающая семейства кривых на плоскости............
§12.	Формулы Френе......................................
§13.	Определение кривой по кривизне и кручению..........
§ 14.	Аналоги кривизны и кручения для ломаной линии......
§ 15.	Кривые с постоянным отношением кривизны и кручения
§16. Соприкасающаяся сфера...............................
§17.	Специальные плоские кривые.........................
§18.	Кривые в механике..................................
§19.	Кривая, заполняющая поверхность....................
§20.	Кривые с локально выпуклой проекцией...............
§21.	Интегральные неравенства для замкнутых кривых......
§22.	Определение замкнутой кривой по сферической индикатри-
се касательных...........................................
§23.	Условие замкнутости кривой.........................
§ 24.	Изопериметрическое свойство окружности.............
§ 25.	Одно неравенство для замкнутой кривой..............
§ 26.	Необходимое и достаточное условие ограниченности кри-
вой с периодическими кривизной и кручением...............
§ 27.	Задача Делоне......................................
§ 28.	Теорема Жордана о замкнутых кривых.................
§ 29.	Интеграл Гаусса для двух замкнутых кривых..........
§ 30.	Узлы...............................................
§31.	Полином Александера................................
§ 32.	Кривые в л-мерном евклидовом пространстве..........
§ 33.	Кривые в л-мерном евклидовом пространстве с постоянны-
ми кривизнами............................................
5
9
12
15
18
22
26
35
38
45
47
48
53
56
57
59
62
69
75
77
82
85
87
97
100
101
104
111
115
123
130
140
150
Список литературы .......................................... 156
Предметный указатель........................................ 159
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дифференциальная геометрия — разветвленная и глубокая
область математики, значение которой со временем возрастает,
начинается с теории кривых. Это ее исток. Именно в теории кривых
впервые в дифференциальной геометрии даются точные определе-
ния и понятия, вводятся инвариантные геометрические характе-
ристики поведения кривых, именно здесь вырабатывается перво-
начальная геометрическая интуиция, которая затем развива-
ется и углубляется при изучении поверхностей и подмного-
образий.
По специальным кривым, в основном плоским, на русском
языке имеются хорошие и полные монографии. Однако в них не
излагаются общие вопросы теории кривых. В общем же курсе
дифференциальной геометрии теория кривых обычно проходится
за недостатком времени довольно бегло, и в стороне остаются
многие интересные и важные темы.
В этой книге сначала мы излагаем общую теорию кривых на
достаточно простом и доступном, как нам кажется, языке и затем
переходим к изложению свойств ”в целом” кривых в евклидовом
пространстве, которые ранее в основном были изложены лишь в
журнальных статьях. Особое внимание уделяется свойствам
замкнутых кривых. Рассматриваются кривые с локально выпуклой
проекцией, впервые устанавливается алгоритм получения условий
замкнутости и-звенной ломаной через длины звеньев и аналоги
кривизны и кручения, дается доказательство теоремы Фенхеля об
интегральной кривизне замкнутой кривой и ее обобщения
Дж. Фери и Дж. Милнором для заузленной кривой, рассматривают
ся задача Ш. Делоне о соединении двух точек кривой экстремаль-
ной длины и постоянной кривизны, задача о восстановлении
замкнутой кривой по сферической индикатрисе касательных,
изучаются зацепления и узлы, кривые в и-мерном простран-
стве.
Кривые издавна широко применяются в математике и технике,
поэтому, хотя это и одномерные объекты, знание и разработка
теории кривых и в настоящее время актуальны.
4
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ
Понятие кривой является одним из основных в дифференциаль-
ной геометрии. Первоначально этому понятию не давалось точного
математического определения. Евклид в своих ’’Началах” называет
линией длину без ширины или границу поверхности. В древние
времена были найдены многие интересные кривые, но представле-
ние об общем виде кривой оставалось на наглядном уровне. Даль-
нейший прогресс в технике потребовал развития естествознания,
особенно механики, опирающейся на математический аппарат.
Потребовалось ясное понимание ее основ, в частности точное
представление о кривой. Предложенный Декартом метод коорди-
нат впервые позволил сформулировать понятие кривой в довольно
общей форме. Так, плоской кривой, задаваемой уравнением
Ф(х, Д') = 0, стали называть множество точек на плоскости, коорди-
наты которых удовлетворяют этому уравнению. Из механики
возникло представление о кривой как о траектории движущейся
точки с координатами, зависящими от времени t. Жордан дал
следующее определение: кривой в пространстве называется мно-
жество точек пространства, координаты которых х, у, z явля-
ются непрерывными функциями
х=<Р1(0,
У=<Р2(0,
Z = <Рз(0
от некоторого параметра t, изменяющегося на отрезке [а, Ь] число-
вой оси. Иначе говоря, кривой является образ непрерывного
отображения отрезка [о, Ь] в пространство. Это определение
казалось вполне соответствующим наглядному представлению о
кривой, но в 1890 г. Пеано построил такое непрерывное отображе-
ние отрезка [а,	, образом которого является целый квадрат на
плоскости. Мы рассмотрим этот пример ниже. В 1897 г. Клейн
писал: ’’Что такое произвольная кривая, произвольная поверх-
ность? .. Можно сказать, что с математической точки зрения
в настоящее время нет ничего темнее и неопределеннее, чем упомя-
нутое понятие. То, что мыв эмпирическом представлении называем
кривою, есть, прежде всего, полоса, т.е. часть пространства, в
которой перед размерами длины отступают прочие измерения. ..
5
Но если кривая должна стать предметом точного математического
рассмотрения, то мы должны ее идеализировать точно так же, как
это бывает повсюду в начале геометрии с точкой. И здесь-то начи-
наются трудности... Обратимся теперь к предложению, которое
Риман поставил во главу своих исследований о ’’гипотезах гео-
метрии”, именно, что точечное пространство можно рассматривать
как трояко-протяженное непрерывное числовое многообразие.. .
Мы начинаем с того, что на начерченной или какой-либо другой
материальной прямой линии строим фактически шкалу равно-
отстоящих точек (масштаб). Части этой шкалы мы затем снова
подразделяем до тех пор, пока это оказывается практически вы-
полнимым. .. И теперь мы делаем решающий шаг от опыта к
аксиоме: мы постулируем, что соответствие между точкой и чис-
лом имеет место не только в пределах эмпирической точности, но и
абсолютно”. Заметим, что Веронезе, отказавшись от этой аксиомы,
рассматривал геометрию, в которой предполагается, что на прямой
рядом с рациональными и иррациональными числами имеются
еще и другие числа. Однако это предположение не приводит к
существенным геометрическим фактам, да и с точки зрения при-
ложений в развитии этой гипотезы пока нет необходимости. Другой
крайний взгляд на пространство дает дискретная геометрия.
Риман писал: ’’Вопрос о том, справедливы ли допущения гео-
метрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом© внутренней
причине возникновения метрических отношений в пространстве.
Этот вопрос, конечно, также относится к области учения о прост-
ранстве, и при рассмотрении его следует принять во внимание
сделанное выше замечание о том, что в случае дискретного много-
образия принцип метрических отношений содержится уже в самом
понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного
многообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда
следует, что или то реальное, что создает идею пространства, обра-
зует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить
возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами
связи, действующими на это реальное”.
В дифференциальной геометрии используется определение
кривой, данное Жорданом, но несколько видоизмененное. Сначала
мы определим элементарную кривую. Пусть задано некоторое
отображение интервала (а, Ь) числовой прямой в пространство.
Отображение у называется непрерывным в точке X G (а, Z?), если
для любого числа е > 0 найдется число 5 > 0 такое, что если
точка Y G (а, Ь) удовлетворяет неравенству |Х - Y | < 5, то
расстояние от точки $(Х) до точки $(Y) меньше е. Отображение у
будем называть непрерывным, если оно непрерывно в каждой
точке интервала (а, Ь). Отображение ip взаимно однозначно, если
6
в каждую точку образа интервала (а, Ь) отображается только одна
точка. Образ интервала (а, Ь) обозначим 7. Если отображение
взаимно однозначное, то можно определить обратное отображение
(/Г1, областью.определения которого является множество 7. Имен-
но, если точка Р G 7, то отображение ставит в соответствие
точке Р ее прообраз при отображении т.е. если Р G у и Р = (Af),
то ^'i(P) = X. Обратное отображение ip"1 непрерывно в точке Р =
= <р(Х), если для любого числа е > 0 найдется 5 > 0 такое, что если
(2 Е 7 и расстояние в пространстве от Р до Q меньше 6, то
\*ЧР)-*ЧО)\<е.
Определение. Множество у точек пространства называется
элементарной кривой, если это множество является образом ин-
тервала при взаимно однозначном отображении которое непре-
рывно само и обладает непрерывным обратным отображением^"1.
Заметим, что взаимно однозначное непрерывное отображение^,
для которого обратное отображение тоже непрерывно, назы-
вается топологическим отображением.
Пусть каждой точке X интервала (а, Ь) соответствует число t.
Этой точке на интервале соответствует в пространстве точка Р =
= <р(Х). Пусть в пространстве введены декартовы координаты
х, у, z. Тогда каждому числу t G (а, Ь) соответствует точка?, а ей
соответствуют три пространственные координаты х, у, z. Поэтому
пространственные координаты точки Р являются функциями от
параметра t:
X=<Pl(t),
(1)
z =</>з(0-
Эти равенства называют уравнениями кривой у в параметрической
форме. Если интервал (а, Ь) взаимно однозначно и непрерывно
отображается на другой интервал (с, d), каждой точке которого
ставится в соответствие некоторое число т, то можем считать, что t
является монотонной функцией от т: t = Г(т). В этом случае на
кривой 7 можем определить новый параметр т, определенный
на интервале (с, d). Сложное отображение интервала (с, d) сначала
на интервал (а, Ь) и затем на у является топологическим. Поэтому
говорят, что кривая у имеет наряду с представлением (1) и экви-
валентное представление:
X=<Pl(t(T))=fi(T),
J’=¥’2^(t))=/2(7),
z =9’з(?(т))=/з(т).
Элементарная кривая может иметь довольно сложное строение.
7
Например, проекция элементарной кривой на плоскость может
оказаться кривой Пеано и, следовательно, может покрыть квадрат.
Определим теперь простую кривую. Множество у точек прост-
ранства называется простой кривой, если у является топологиче-
ским образом либо открытого отрезка прямой, либо окружности.
Топологический образ окружности называют замкнутой жордано-
вой кривой.
Свойство связности кривой. Установим теперь важное свойство
связности кривой. Точка XQ пространства называется предельной
для точек множества М, если в любую окрестность точки Хо по-
падают точки множествам Некоторое множество точекМназыва-
ется связным, если его нельзя разбить на два непересекающихся
подмножества Mi и М2 таких, что каждое из них не содержит
предельных точек другого.
Покажем, что любой отрезок [a, Z>] числовой прямой является
связным множеством. Допустим, что это не так и отрезок [a, Z>]
можно разбить на два множества Mi и М2 таких, что каждое из них
не содержит предельных точек другого. Множества М/ замкнуты.
Действительно, если точка хЕМ,, то найдется окрестность этой
точки, состоящая полностью из точек этого множества, т.е. мно-
жество Mf замкнуто. Пусть точка b принадлежит множеству М2.
Пусть с — верхняя грань точек множества . Точка с является
предельной точкой множества Mi, поэтому она принадлежит замк-
нутому множеству Mi и не совпадает с Ь. Но так как с — верхняя
грань точек множества Mi, то точки х>с принадлежат М2. По-
этому точка с — предельная точка множества М2 и, следовательно,
принадлежит М2. Таким образом, точка с принадлежит Mi и М2,
что невозможно.
Покажем, что свойство связности сохраняется при топологи-
ческом отображении. Допустим М — связное множество и / — его
топологическое отображение. Предположим, что образ М, т.е.
/(М), не является связным. Тогда найдутся дда множества А и В
таких, что /(М) = 4 и ни одно из них не имеет предельных то-
чек другого множества. Рассмотрим множества /_1(Л) и f~1(B)
в М. Так как М — связное множество, то найдется точка XQ G
ЕЕ У”1 (Л), являющаяся предельной точкой для(В). Так как / -
непрерывное отображение то для любой заданной окрестности QY
точки Yq = f(XQ)E:A найдется окрестность Ux° точки Xq такая,
иго f(UXo)с Qyq' Так как любая окрестность UXq содержит
точки У*"1 (В), то любая окрестность Qy0 точки Уо содержит
точки В, т.е. точка YqGlA — предельная для точек В. Это противо-
речит определению А и В. Отсюда следует, что кривая является
связным множеством.
8
Мы будем рассматривать также кривые с самопересечениями.
Пусть интервал (а, Ь) или окружность непрерывно отображаются в
пространство, причем для каждой точки прообраза существует
окрестность, образом которой является элементарная кривая.
Такие кривые называют общими. Одна и та же точка этой кривой
может соответствовать различным значениям параметра t — это
точка самопересечения. При изменении параметра t от а до b соот-
ветствующая точка на кривой пройдет через точку самопересечения
по крайней мере два раза.
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Пусть числовой параметр t изменяется на интервале (а, Ъ) .
Если каждому числу t G (а, Ъ) поставлен в соответствие вектор
г(г), то мы будем говорить, что на интервале (а, Ъ) определена
векторная функция r(t) с аргументом t (вектор-функция г (г)).
Задание векторной функции равносильно заданию трех числовых
функций x(t), y(t), z(t). Используя координаты, можем записать
г (Г) = {х(г), y(t)9 z(t)} , но краткая запись - r(t) - во многих
случаях более удобна. Для векторной функции можно определить
многие понятия, которые известны для обычных функций.
Прежде всего можно определить понятие предела векторной
функции г (Г) при t -> tQ. Некоторый вектор г0 называется преде-
лом векторной функции r(t) при если длина вектора
r(t) ~ го стремится к нулю при Г-*Го- В этом случае записываем
lim r(f) = rQ.
Очевидно, векторная функция r(t) имеет предел тогда и только
тогда, когда каждая функция x(t)9 y(t) и z(t) имеет предел
При
Векторная функция г (t) называется непрерывной в точке
если lim r(t) равен значению функции в этой точке:
lim г(О = г(Го).
Предел векторной функции обладает теми же свойствами, что и
предел обычной функции. Производной векторной функции r(t)
называется векторная функция, получаемая дифференцированием
каждой компоненты векторной функции r(t):
Но можно дать определение производной векторной функции, со-
вершенно аналогичное определению производной обычной функ-
ции. Именно, производной r'(t) векторной функции г (t)
9
называется
r(t)-r(t0)
hm -----------.
r->t0 t-tQ
Если этот предел существует, то функция г (г) называется диффе-
ренцируемой. Операция дифференцирования векторных функций
обладает теми же свойствами, что и дифференцирование обычных
функций. Именно, производная суммы дифференцируемых вектор-
ных функций равна сумме производных этих функций:
(г(0 + рЮ)'=г'(0 + р'(0-
Если f(t) — обычная дифференцируемая функция, то
(ЛУ =/>+//,
т.е. это правило дифференцирования точно такое же, как если бы
г (г) была обычной функцией. Производная от скалярного, вектор-
ного и смешанного произведений вычисляется последовательным
дифференцированием каждого из сомножителей. Если г(г),р(г) и
Х(Г) - векторные функции, то
(г,р)' = (г',р) + (ЛР')>
[лр]' = [Лр] + к. р']>
(г, р, X)' = (г', р, X) + (г, р, X) + (г, р, X').
Докажем, например, правило дифференцирования векторного про-
изведения:
г у .. к(О,р(О] - к('о),р(л>)]
[г, р] = lim-----------------------=
t->t0	t -10
..	k(0- '’(fo).p(O]	..	k('o),p(0-P('o)l
= hm ------------------+ hm-------------------—=
t fp	t t Q	t “* t Q	t (q
 1
= hm ---------------, hm p(t) +
. f f о	t — to t 10 J
[p(r)-pfr0)l
r(r0), lim --------- = [r (fo).P('o)] + k('o),p ko)].
t - to J
Если r'(t) = 0, то вектор-функция r(t) есть постоянный век-
тор: r(t) = c.
Вторая производная г "(t) вектор-функции г (г) есть производ-
ная от вектор-функции г'(f).
Если вектор-функция г (г) имеет несколько производных, то
можем записать ее разложение Тейлора. Для этого мы запишем
10
разложение Тейлора для каждой компоненты вектора r(f) :
x,f(t )
x(t) = x(to)+x'(to) (t - Го)	~ 'o)2+ • • •+ °1(I' - 'olk),
яо=
= y(to) + /(M (t - Го) +	(t - to)2 + • • • + <ъ( 11 - to I*),
z(r) = z(to) + z'(r0)(г - to) +- —° • (t - r0)2 + ... + o3(lr-to I*)-
Эту систему трех уравнений можно записать в векторном виде:
г(Г) =г(Го) +r'0o) (t - Го) + г"(Г0)	+ • • • +o(lf-to lk),
где о(| t - tQ |fc) — бесконечно малый вектор, модуль которого
является бесконечно малой величиной более высокого порядка
малости, чем 11 — tQ |Л при t -> tQ. Отметим одно отличие разложения
Тейлора вектор-функции от разложения обычной функции. Для
обычной функции/в качестве остаточного члена в форме Маклоре-
на берется значение (к + 1)-й производной f в некоторой промежу-
точной точке %, умноженной на 11 - r0 I* +1, т.е.
0(11 - to I*) =f(k +1)(Ю (Г - Го)*+1.
Для вектор-функции такое выражение для остаточного бесконечно
малого члена о( 11 - tQ |л) уже не имеет места, так как для каждой
компоненты x(f), y(f) и z(t) такая промежуточная точка % своя.
Но для использования разложения Тейлора достаточно знать, что
остаточный член о( 11 — tQ I*) является вектором бесконечно малой
длины более высокого порядка малости, чем 11 — to I*.
Если задана непрерывная вектор-функция г (г), то интеграл от
нее определяется как вектор, компоненты которого являются
интегралами от компонент вектора r(t):
fr(t)dt={fx(t)dt, fy(t)dt, fz(t)dt}.
Отсюда вытекают известные свойства интеграла:
Дп(О + r2(t)) dt = Jri(Г) dt + fr2(t) dt,
f r(t)\ dt = Xf r(t) dt, где X = const.
Отметим новые свойства интеграла. Если а — постоянный век-
тор, то в скалярном или в векторном произведениях его можно
11
вынести за знак интеграла:
J (г(г), a) dt = (a, fr(t) dt),	J [в, r(f)] dt .= [a, f r(t) dt].
Докажем, например, вторую формулу. Запишем первую компо-
ненту вектора
J[a,r(0] dt.
Она, очевидно, равна
f (a2?(t) - a3y(t)) dt = а2. f z(t) dt - a3 $y(t)dt,
где dj — компоненты вектора а. В правой части этого равенства
стоит первая компонента вектора
[a, fr(t) dt].
Аналогичные соотношения получим и для двух других компо-
нент, что и доказывает утверждение.
§ 3. РЕГУЛЯРНАЯ КРИВАЯ И СПОСОБЫ ЕЕ ЗАДАНИЯ
Кривая у называется регулярной класса Ск, если существует
такая ее параметризация, что каждая компонента г (г) принадлежит
классу регулярности Ск и г z(r) 0.
Покажем, что условие Ф 0 в определении кривой сущест-
венно для того, чтобы оно соответствовало наглядному представ-
лению о регулярной кривой. Рассмотрим на плоскости кривую,
которая составлена из двух лучей, выходящих из начала координат,
и которая задается параметрическими уравнениями
х = at2,	х = ct2,
при t < 0,	при Г > О,
y = bt	y=dt
a, b, с, d — некоторые постоянные.
Если векторы{а, b }и {с, d} не коллинеарны, то линия имеет излом
в точке (0, 0). В то же время каждая компонента радиус-вектора
этой кривой принадлежит классу регулярности С1, в том числе и
в точке Г = 0. В точке г = 0 имеем г'(0) = 0.
Кривая регулярная класса С1 называется гладкой. Если кривая
взаимно однозначно проектируется на некоторый отрезок коорди-
натной оси х, то для кривой можно указать особенно простое за-
дание:
r = {x,y(x),z(x)}.	(1)
Действительно, пустьr(t) ={x(t),y(t),z(t)} - некоторое парамет-
рическое задание кривой, взаимно однозначно проектирующейся
12
на отрезок оси х. Тогда каждому значению х из этого отрезка
соответствует значение t такое, что точка Р(г) кривой проектирует-
ся на ось х в точку (х, 0, 0). Это означает, что t можно записать
как функцию от х: t = t(x), Подставляя t(x) в выражение функций
у = у (г) и z = z(t), получаем выражение зависимости координату и
z отх :
У =у(г(х)) = Я*),
Z=z(?(x))=?(x),
где_у(х) — функция, полученная суперпозицией t(x) Hy(t),z(x) -
суперпозиция функций фс) и z(t). Следовательно, радиус-вектор
кривой представляется в указанном выше виде (1).
В каком случае кривую можно регулярно спроектировать на
отрезок оси х? Пусть кривая у - регулярная класса С1 их'(г) Ф 0.
Рассмотрим функцию
X = х(г).
Так как x'(t) Ф 0, то функция х(г) монотонна на некотором ин-
тервале (с, rf) оси х и существует обратная функция t = t(x). Так
, 1
как t (х) = —— , то функция r(x) G С1. Это и означает, что каж-
X (?)
дому значению х G (с, J) соответствует одно и только одно значе-
ние t и, следовательно, одна и только одна точка на кривой - кри-
вая проектируется на отрезок оси х. Заметим, что в этом случае
у (х) и z(x) принадлежат классу регулярности С1.
Для кривых на плоскости также часто используется неявное
задание
Ф(х,у)=0е	(2)
как множества точек на плоскости х, у, координаты которых удов-
летворяют этому уравнению. Однако для некоторых функций Ф
уравнение (2) либо не имеет решений, либо ему удовлетворяют
координаты лишь отдельных точек. Поэтому уместно задать воп-
рос: в каком случае уравнение (2) задает кривую (в смысле опре-
деления кривой в § 1) ? Имеет место
Теорема. Пусть Ф(х, у) - функция класса регулярности С1.
Пусть точка с координатами х0, уо удовлетворяет уравнению
Ф (х, у) = 0
и в этой точке grad Ф = {Ф*, Фу} =# 0. Тогда в некоторой окрест-
ности точки (х0, jo) множество точек, удовлетворяющих уравне-
нию (2), образует кривую регулярную класса С1.
Для доказательства используем следующую теорему о неявной
функции:
13
Пусть функция Ф(х, у) определена в некоторой окрестности
точки (х0, Уо) и принадлежит классу регулярности С1 и Ф(хо,уо)=
= 0. Пусть Фу(хо,Уо) 0- Тогда найдется такое 6 и функция у =
= у(х), регулярная класса С1, определенная в интервале — 6 + х0 <
<х<х0 +6,такая,что у(х0) =у0 и
Ф(х, у(х)) =0.
Так как по условию grad Ф Ф 0, то для определенности можем
считать, что Фу Ф 0 в точке (х0, у0).
Пусть функция у = у (х) определена по теореме о неявной функ-
ции. Тогда множество точек на плоскости с координатами х, у(х)
определяет регулярную кривую в некоторой окрестности точки
(х0, Уо), совпадающую с кривой (2). В качестве параметра на ней
взято х. Так как функцияу(х) ЕС1 и г 'х ={ 1,у'х} Ф 0, то кривая
гладкая.
Наряду с отдельными кривыми рассматриваются и семейства
кривых. При этом, используя тот или иной способ задания кривых,
бывает удобно поставить в соответствие каждой кривой семейства
одно или несколько чисел — параметров. По количеству парамет-
ров семейства кривых делятся на однопараметрические, двупара-
метрические и т.д. Например, каждая прямая из семейства прямых
х = с на плоскости х, у, параллельных оси у, определяется одним
параметром. Семейство окружностей на плоскости зависит от
трех параметров.
Пусть через каждую точку области G плоскости u, v проходит
одна и только одца кривая. Будем говорить, что это множество
кривых образует регулярное однопараметрическое семейство
класса Ск, если для каждой точки (uq9vq) найдется окрестность
и отображение х (и, v), у (и, и) этой окрестности на круг х2 + у2 <
< 1 класса регулярности Ск с якобианом J Ф 09при котором кри-
вые семейства переходят в прямые х = с.
Линии уровня Ф(и, и) = с регулярной функции Ф(и, и) образуют
регулярное семейство в окрестности точки (u0, г>о) при условии,
что в эТой точке ф£ + Ф? 0- Действительно, пусть, например,
Фм Ф 0. Отображение х = Ф(и, и), у = и имеет якобиан J = Фм Ф 0 и
переводит кривые Ф(м, и) = с в прямые х = с.
Задачи
1.	Найти проекцию кривой
х = a cos Г, у = a sin t, z = bt
на плоскость х, у. Найти также проекцию этой кривой на плоскость х, г.
14
2.	Проходит ли кривая
х = t2 + 1, у = t2 + 2r + 1, z = t3 +1
через точки (1,1,1) и (1, 0, 0) ?
3.	Пересекаются ли две кривые
X = t2 + 1,	X = 7,
у = t2 + 2Z + 1, —00 < t < °°, у - 2т, —00 < т < 00 ?
4.	Найти точку пересечения кривой
x = t2 + 2Z + 1, у — t3 +2, z=t3 + 1
с плоскостью z = 0.
5.	Показать, что линия
г (О = { a sin2 b cos г sin г, с cos г}
лежит на эллипсоиде.
6.	Доказать, иго уравнения
х = х0 + а cost + b sin г,
у = у0 - Ъ cosZ +а sin Z,
z = 0
задают окружность радиуса >Ja2 + b2.
§ 4. КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ К КРИВОЙ
Пусть PQ — точка на кривой у и Uнекоторая ее окрестность на у
такая, что PQ разбивает ее на две полуокрестности Ux и U2 (рис. 1).
Возьмем на кривой у вторую точку Q. Проведем лучР0С с нача-
лом Pq. Полукасателъной к кривой в точке Ро, соответствующей
Рис. 1
полуокрестности Ц-, будем называть предельное положение лу-
чей PqQ, если оно существует, когда точка Q стремится к точке Ро>
оставаясь в полуокрестности Ц-. Если в точке Ро существуют обе
полукасательные и они являются дополнительными лучами одной
прямой, то эта прямая называется касательной прямой в точке PQ
к кривой у.
15
Поясним использованное нами выражение — предельное поло-
жение луча. Опишем вокруг точки PQ единичную сферу. Луч PqQ пе-
ресечет ее в некоторой точке М. Если точка М при стремлении точ-
ки Q к PQ стремится к некоторой точке MQ, то в этом случае гово-
рим, что существует предельное положение лучей PqQ и оно совпа-
дает С ЛуЧОМ PqMq .
Пусть задана гладкая кривая в регулярной параметризации
г = r(t). Найдем направление касательной прямой в точке Ро •
Имеет место
Теорема. Гладкая кривая у в каждой своей точке имеет
касательную прямую, направляющим вектором которой является
вектор г'(t).
Пусть точке Ро соответствует значение параметра tQ, а близкой
точке Q — значение параметра г0 + kt, причем если Дг > 0, то Q на-
ходится в одной полуокрестности, если Дг < 0, то в другой полу-
окрестности. Вектор PqQ имеет вид
г (t0 + At)~r(t0).
Так как кривая у гладкая, то имеет место разложение
r(tQ + Дг)-г(го) = г'(7о) Д' + в(ДО>	(D
где вектор о (Д t) имеет бесконечно малую длину и
——-->0 при Дг->0.	(2)
Дг
Правую и левую части равенства (1) разделим на число Дл Вектор
г(Г0 +Д0-г(М _	"(Д')
-----------------г vo)+ ~
&t	kt
при kt > 0 имеет то же направление, что и луч PqQ, а при kt < 0
имеет противоположное направление. В этом равенстве перейдем
к пределу при kt -> 0. В силу (2) и из определения гладкости кри-
вой следует, что этот предел существует и он равен г' (to). Это оз-
начает, что существуют полукасательные, соответствующие полуок-
рестностям точки Pq ; они являются дополнительными лучами од-
ной прямой - касательной с направляющим вектором г*(to).
Для некоторых нерегулярных кривых обе полукасательные в
некоторой точке Ро, соответствующие полуокрестностям Ц, су-
ществуют и совпадают друг с другом. В этом случае будем гово-
рить, что кривая в точке Ро имеет полу касательную, а точка Pq яв-
ляется точкой возврата.
Запишем уравнение касательной прямой к регулярной кривой
в точке Pq. Пусть Г - радиус-вектор произвольной точки касатель-
ной прямой. Эта прямая проходит через точку г (Го) кривой по на-
16
правлению г’ (г0). Поэтому радиус-вектор точки касательной пря-
мой имеет вид
г = г(Го) + ^Г(^о)-
Сравним это выражение Г с разложением радиус-вектора кри-
вой г (f 0 + &t) в окрестности точки Ро •
r(tQ + ДО = г(7о) +r'(tQ)At+o(&f).
Если взять X = Дг, то радиус-вектор r(tQ + Дг) кривой отличается
от радиус-вектора 7 точки касательной прямой на бесконечно ма-
лую о (Дt):
r(tQ + Д7)-7 = o(At).
Поэтому при достаточно малом Дг кривую у можно приближенно
заменить на касательную прямую. Иными словами, касательная
прямая является первым приближением кривой.
При изменении параметра X от до 00 точка с радиус-векто-
ром 7 пробегает всю касательную прямую. В координатной форме
ее уравнение записывается так:
х =х(Го) + Хх'(7о)>
У =y(to) + V'('o).
z = z(r0) + Xz'(T0).
Рассмотрим кривую у, заданную двумя уравнениями:
¥> (х, у, z) = О,
(3)
ф (х, у, z) = 0.
Предположим, что в точке Ро (x0, у0, z0) этой кривой ранг матрицы
( Рх 'Ру Pz \
\ Фх Фу Фг J
равен 2. Пусть х =x(t) 9у ,z = z (t) — регулярная параметри-
зация этой же кривой в окрестности точки PQ. При подстановке
этих функций в левую часть уравнений (3) получим тождества
<p(x(t),y (T),z (0) = 0,
Ф (х (0) = о.
Дифференцируя эти тождества по t и применяя правило дифферен-
цирования сложной функции, получаем
=0,
Фх х1 + Фуу1 + Ф2г'1=0.
2. Ю.А. Аминов
Ру
Фу
Pz
Pz Рх
Фг Фх


Таким образом, для компонент касательного к кривой 7 вектора
{Xf, у}, z\ } имеем систему двух уравнений. Компоненты решения
этой системы уравнений пропорциональны алгебраическим мино-
рам матрицы (4) *
Рх 'Ру
Фх Фу '
Так как по предположению ранг матрицы (4) в точке PQ равен 2,
то не все ее миноры второго порядка равны нулю.
Для плоской кривой у(х, у) = 0, z = 0 с условием	Ф О
для определения г' имеем уравнение
^х' + (ру/ = 0.
В качестве касательного вектора { х', у '} можем взять вектор
{—ру9 рх} • Уравнение касательной прямой имеет вид
X ~Xq = У - Уо
Рх&^Уъ} ’
Пусть у - гладкая пространственная кривая. Плоскость, про-
ходящая через точку Ро перпендикулярно касательной к 7 в этой
точке, называется нормальной плоскостью. Пусть Г — радиус-
вектор произвольной точки этой плоскости. Так как / (Го) - нор-
мальный вектор плоскости и вектор г — г (Го) лежит в ней, то
уравнение нормальной плоскости имеет вид
(г - rOo), rf'Go)) = 0.
Векторы, ортогональные к касательной прямой, называются норма-
лями кривой.
§ 5. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ К КРИВОЙ
Пусть Pq — точка кривой 7. Возьмем на ней еще точки Qi и Q2,
расположенные по разные стороны от точки Ро- Через три точки
0i, Pq9 Q2 проведем плоскость. Предельное положение плоскости,
проходящей через три точки Qi9 PQ, Q2, когда две из них Qi и Q2
стремятся к третьей точке Pq9 будем называть соприкасающейся
плоскостью кривой в точке Ро- По этому определению, если сопри-
касающаяся плоскость в точке Ро существует, то она единственна.
Очевидно, соприкасающаяся плоскость должна проходить через
точкуРо-
Теорема. Пусть г = г (t)- дважды непрерывно дифференци-
руемая кривая. Если в точке PQ векторы г (t) и г" (г) не колли-
неарны, то в этой точке существует соприкасающаяся плоскость,
и она проходит через векторы г (t) и г" (г) (рис. 2).
18
Пусть точке PQ отвечает значение параметра tQ, а точкам Qi —
значение параметров tQ + Л/. Точка PQ имеет радиус-вектор г Go),
а точки Qi имеют радиус-вектор г (t0 + hi). Следовательно, вектор
PoQi имеет вид
r(t0 + hi) - r(t0).
Так как кривая дважды дифференцируема, то можем записать сле-
дующее разложение Тейлора для радиус-вектора кривой r(t) в
окрестности точки PQ по степеням Л/:
,	„ h2
r(to + hi) = r(t0) + r (t0)hi + г (fo)-y- + °(ht).
Здесь o(hj) — бесконечно малый вектор более высокого порядка,
чем h2, т.е. o(h2)/h2	0 при hi -> 0. Через два вектора P02i и
PqQi мы проводим плоскость. С помощью разложения Тейлора
эти векторы можно записать в виде
h2
r'{to)hi +r"(t0)-^-+ o(hl),
r (tQ)h2 +r Go)—+ o(hj)
В плоскости этих векторов лежат и следующие их линейные ком-
бинации:
,,, ч . hi o(h2i)
r(t0)+r (t0) — + —----- .
2	hi
+ »('!)	’<«> 1 1 (1)
r (to) + 21 ----------------------- .
L hi h2 \ hi -h2
Так как точки Qi и Q2 лежат по разные стороны от точки Ро>
то величины h 1 и h2 разных знаков. Поэтому I Л । — h2 | >
2
19
о(/>?)	о(Л/2)
Л/(Л1-Л2) < й?
>max (I hi |, | h2 I ) и
О при
Значит, бесконечно малое дополнение к г" (Го) во втором векто-
ре (1) стремится к нулю при Qt -+PQ- Поэтому векторы (1) имеют
предельные положения гг(г0) и г"(г0)- Если эти векторы не кол-
линеарны, то они определяют предельное положение плоскости,
проходящей через точки Сь Ль Сг, т.е. соприкасающуюся плос-
кость кривой.
В том случае, когда г'(Г0) и г" (to) коллинеарны, предельное
положение плоскости, вообще говоря, не определено. Рассмот-
рим, например, прямую
r(0 = а + tb,
где а и Ъ — постоянные векторы. Имеем
<=*>	<г=°>
т.е. для прямой соприкасающаяся плоскость не определена. В этом
случае можно считать, что любая плоскость, проходящая через пря-
мую, является соприкасающейся.
Точка кривой у, в которой r\to) и г"(/0) коллинеарны, на-
зывается точкой распрямления кривой. В этой точке любую плос-
кость, проходящую через касательную прямую, будем называть
сопри касающейся.
Заметим, что соприкасающаяся плоскость по самому определе-
нию не зависит от выбора параметра на кривой. Покажем это
также с помощью векторов r(t) и г "(f).
Действительно, если г = г (г) — другое параметрическое за-
дание кривой и t = t (т), то по правилу дифференцирования слож-
ной функции получим
- ='dt " =" (dt Y + -d2t
т * dr ’ TT ft \dr / dr2
Вычисляя вектор* [г1, г " ], находим, что он коллинеарен вектору
Так как соприкасающаяся плоскость имеет нормаль, направленную
по вектору [/, г"т ], и проходит через точку то полученное
равенство означает независимость ее от параметризации.
Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с
плоскостью, в которой она лежит.
20
Рассмотрим разложение Тейлора вектор-функции пространствен-
ной кривой г (t) в окрестности точки Ро •
Д?
л(Г0 + ДО = г(г0) + r'(t0)At + г"(Л>)~ + о(Д*2).
Кривая, определяемая частью этого разложения,
Д^2
Г =r(ro)+/,Vo)A^ + r"Go)—y-,
лежит в соприкасающейся плоской кривой у, и ее радиус-вектор
отличается от радиус-вектора кривой у на бесконечно малый
вектор более высокого порядка, чем Д^2:
г(г0 + ДО -г = о(Дг2).
Поэтому любую пространственную кривую с точностью до беско-
нечно малого вектора о(Дг2) в бесконечно малой окрестности
точки Ро можно рассматривать как плоскую кривую, расположен-
ную в соприкасающейся плоскости в этой точке.
Запишем уравнение соприкасающейся плоскости. Пусть г — ра-
диус-вектор ее произвольной точки. Вектор [гVo), r'Vo)] °Р‘
тогонален к соприкасающейся плоскости. Вектор г - г (to) лежит
в ней, поэтому скалярное произведение этих двух векторов равно
нулю:
(r-r(t0), r’(t0),r"(t0)) = Q.
Это и будет уравнение соприкасающейся плоскости. В координат-
ной форме оно имеет вид
х-хОо)	*Vo)	*'Vo)
у-у(*о)	У'(to)	У "(to)
z-z(to)	z'(t0)	z"(t0)
= 0.
С помощью соприкасающейся плоскости выделим две особые
нормали к кривой. Нормаль к кривой у, расположенная в сопри-
касающейся плоскости, называется главной нормалью. Она явля-
ется прямой пересечения нормальной и соприкасающейся плос-
костей.
Нормаль к кривой у, ортогональная соприкасающейся плоскос-
ти, называется бинормалью.
Найдем направления главной нормали и бинормали. Мы уже
установили, что вектор [г \ г" ] ортогонален к соприкасающейся
плоскости. Поэтому бинормаль направлена по вектору [г1, г"].
Далее, заметим, что главная нормаль ортогональна к г' и бинор-
мали. Поэтому направление главной нормали задается вектором
=г'(г>")- г"(гУ.
21
Задачи
1.	Записать уравнение касательной прямой к кривой
x = 3/-r3, y = 3t2, z = 3t + t3
в точке (0, 0, 0).
2.	Записать уравнение нормальной плоскости кривой из задачи 1 в точке
(0, 0, 0).
3.	Найти касательный и нормальный векторы к плоской кривой
х = у-ct3 +1, z = 0.
4.	Записать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой
х = еи cost/, у = eMsin и, z = еи.
5.	Доказать, что кривая, имеющая в каждой точке касательную прямую,
гладкая.
§	6. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
Перейдем к определению длины дуги кривой. Пусть простран-
ственная кривая 7 дана в параметрическом представлении г = r (t)
и параметр t изменяется на отрезке [a, Z>]. Для произвольной ло-
маной кривой, состоящей из конечного числа отрезков прямых,
длина равна сумме длин составляющих ее отрезков. Впишем в
кривую у ломаную следующим образом. Для этого на отрезке
[a, Z>] возьмем точки а = t0,1i,..., tn = Ъ. На кривой у им соответ-
ствуют точки Pq, ..., Рп (рис. 3). Соединяя последовательно точ-
ки Pq и Plt Pi и Р2 и тщ. отрезками прямых, получим ломаную,
вписанную в 7, с вершинами Ро» Рь • • • > Р«. Рассмотрим длину
этой вписанной ломаной. При добавлении вершин длина впи-
санной ломаной увеличивается. Действительно, если на дуге кривой
7 с концами Р, _ i и Р/ взята точка Q — новая вершина, - то сумма
длин прямолинейных отрезков Р/-12 и
у	QPi больше длины прямолинейного отрезка
jfp	Pi_ yPi. Поэтому длина новой вписанной ло-
Л п	маной с вершинами Ро, ..., Р/_ i, Q,Pi, ...
Ц	больше длины ломаной с прежними верши-
[/	намиР0,... , Р/_ 1, Pi,...
у	Кривая 7 называется спрямляемой, если
/	длины всех вписанных в нее указанным об-
Д	разом ломаных ограничены сверху. Верхняя
II	грань длин всех таких ломаных, которая
\1	Vo существует по теореме Вейерштрасса, называ-
Д ется длиной кривой 7. Будем обозначать
JJ длину 7 через s (7).
—^7	Имеет место
%	Теорема. Гладкая кривая спрямляе-
те. 3	ма, и длина 5(7) кривой есть интеграл от
22
модуля производной r't(t):
ь
з(т)= f \r't\dt.	(1)
a
Докажем сначала, что гладкая кривая у спрямляема. Оценим
длину произвольной ломаной у„, вписанной в у. Пусть г (о) -
радиус-вектор вершин ул. Тогда ее длина есть сумма длин векторов
г (О) — r (ti - 1), каждый из которых может быть найден как ин-
теграл от г'(t) на отрезке [fz- _ i, ti ]:
n	n U
s(7n)= S |r(M-r(f/-i)l= S I f r'(t)dtl.
i = l	i = 1 ti’ - 1
Так как кривая у гладкая, то каждая компонента вектора г1 -
непрерывная функция, следовательно, она ограничена по модулю,
поэтому ограничена длина вектора rf(t). Найдется некоторое
число М, зависящее только от у, такое что на отрезке [я, Ь]
\r’(t)\<M.
Следовательно,
п	ti	п
s(7n)< 2 f lr'(t)ldt<M S a, - г, _ 0=^-0),
i = i ti-i	i=i
т.е. длины всех вписанных в у ломаных ул ограничены сверху.
Кривая у спрямляема.
Покажем, что длина у вычисляется по формуле (1). Рассмотрим
снова длину ломаной ул. Каждую компоненту вектора г (ti) —
- r(G -i) запишем по теореме о среднем в виде производной
от этой компоненты в некоторой промежуточной точке, умножен-
ной на Д, t = ti -ti-i i
bXi = X(ti) —X(ti_ I) = X '(H) (ti -ti-i),
tyi =y(ti) -y(ti-i)=y'(tf) (ti - ti-1),
= Z (ti) - Z (ti _ 1 ) = Z '(rf) (ti -ti-1),
где r* - точки на отрезке [О _ i, ti ]. Это точки, вообще говоря,
различны. Заменим их на одну точку т, из отрезка [O-i, Г/]
и оценим получившуюся при этом погрешность.
Запишем
Д/г=(г'(Г|)+«/)М	(2)
где вектор at имеет вид
<4 = {x'(Tii)-x'(Ti),y'(T'p-y'(Ti),z,(T^-z'(Ti)}.	(3)
При достаточно мелком разбиении отрезка [а, />] длина вектора
a i может быть сделана сколь угодно малой. Действительно, каждая
23
компонента вектора г' (t) непрерывна на этом отрезке и, следо-
вательно, равномерно непрерывна. Для любого е > 0 найдется
5 > 0 такое, что как только I ti — tj_i | < 5, то I а/ | < е. Воз-
водя (2) в квадрат, получаем
I Д/г I* I 2 * * s - I г'(г, ) |2 (Д//)2 = {2(/(т/),«/) + а2 } (Д/02 •
Следовательно,
|Д/г|-1/(70 |Д№
(2(г'(т;),а,)+а2 }(Д<г)2
I Д/г I + I г'(т,) | Att
(4)
Оценим слагаемые, входящие в правую часть этого равенства. Имеем
2(г'(т/),о/)(Д/02
|	| +1 r'07) IА/Г
/ г'(г/)	\
< 21 - , -	, в/) Ait < 2eAtt.
\|г(т,)|	/
Далее запишем
«•(Д/02	/	®/Д/'
---------;-----------= 1 в/,--------;-------
I Air | + | г (Ti) | Аа \	| Д/г | + | г (т,) I Ait
(5)
Согласно (3) вектор в; является разностью двух векторов, по-
этому по неравенству треугольника его длина меньше или равна
сумме длин этих векторов:
I«/1 к'(г,1)]2 + • • • +Ук'(т/)]2 + ... ="1 /Г| + I г’(т/) |.
Д/Г
Следовательно, длина вектора
<*i
меньше 1. Выражение в правой части (5) меньше е Д, а выраже-
ние в правой части равенства (4) по модулю меньше ЗеД/Л Итак,
I Д/г I отличается по модулю от | г*(г,) I Aft не больше чем
наЗеД/1.
Оценим разность между длиной кривой уп и суммой
п
s I г'(7,)| Ait:
i=l
I s(7n) - 2 I г'(т{) | Ait | = | S |Д/г|- S |г'(т/)1 Д/Г|<
/=1	/=i	/=1
< Зе S Ait = 3e(b- а).
/=1
п
Но сумма S I г (г/) | Д/t является интегральной суммой для
i = 1
24
функции | г* (t) t и при достаточно малом разбиении отрезка
[а, Z>] сколь угодно мало отличается от
ь
f lr'(t)ldt.	(6)
а
С другой стороны, в кривую 7 можно вписать ломаную 7Л, длина
которой сколь угодно мало отличается от длины кривой 5(7).
Так как е произвольно, то s(y) совпадает с интегралом (6). Фор-
мула (1) доказана.
По самому определению длина кривой не зависит от выбора
какой-либо параметризации на ней. Поэтому в формуле (1) для
вычисления длины 5(7) можно взять любую другую параметриза-
цию т.
Понятие длины кривой позволяет определить на кривой пара-
метр, наиболее естественным образом связанный с ней. Выберем
на кривой точку и какое-либо направление на ней. Возьмем
в качестве параметра на кривой длину s дуги Р0Л взятую со
знаком +, если дуга PqP имеет положительное направление, и со
знаком —, если дуга PqP имеет отрицательное направление. Если
до этого на кривой была другая параметризация t и точке Pq соот-
ветствовало значение г0, а точке Р — значение Г, то длина s(PqP)
является монотонной функцией от параметра t и вычисляется по
формуле
*(Л)П = f |г'(01Л
и поэтому может быть принята в качестве параметра. Действи-
тельно,
ds
— =|г'(01>0.	(7)
Введенную с помощью длины дуги параметризацию будем назы-
вать естественной, а соответствующее параметрическое представ-
ление кривой будем записывать в виде г = r(s). С помощью (7)
можем записать
| ds I = I r’(t) I \dt I = I dr I,
т.е. модуль дифференциала длины дуги равен модулю дифферен-
циала радиус-вектора кривой. Следовательно,
dr
ds
Поэтому имеет место следующее отличительное свойство естест-
венной параметризации: если г (s') - естественная параметриза-
25
ция кривой, то длина вектора r's(s) равна!:
I <0)1 = 1,
и наоборот, если для некоторого параметра s вектор r's единич-
ный, то s — длина дуги.
Задачи
1.	Найти длину дуги кривой
х = In sin Г, у = t)\J 2, z = t/у/ 2.
2.	Найти длину отрезка 0 < t < 1 кривой
5	2 ____ .
x=~t2, у — -V ЮГ, z=t.
2	3
3.	Найти длину отрезка 0 < t < 2 я циклоиды
х = b(t - sinf), у = Ь(1 - cost).
§ 7. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ КРИВОЙ
Определение кривизны и кручения кривой, а также вывод фор-
мул для их вычисления проводится сходным образом. Дадим оп-
ределение кривизны кривой. Пусть Р - точка на кривой у и Q —
Рис. 4
точка на у, близкая к Р (рис. 4). Пусть Д0 - угол между касатель-
ными прямыми в точках Р и Q и пусть As - длина дуги PQ кри-
вой у. Кривизна к кривой у в точке Р называется
Д0
к = Нт/-----.
q -+р As
Установим теперь теорему, которая позволяет вычислять кривиз-
ну с помощью производных радиус-вектора кривой. Пусть r(s) -
естественная параметризация кривой.
Теорем а. Дважды дифференцируемая кривая г -r(s) имеет
в каждой точке кривизну к, которая вычисляется по формуле
26
Вектор r"ss будем называть вектором кривизны кривой. Его
длина равна кривизне к кривой. Единичный вектор v = r”s/k
называется главной нормалью. Он определен в тех точках, где
кФЪ.
Перейдем к доказательству теоремы. Пусть точкам Р и Q отве-
чают соответственно значения естественного параметра s и s +
+ As. Пусть т (s) и r(s + As) - единичные касательные векторы
к кривой в этих точках. Угол А0 есть угол между т (s) и т (s +
+ As). Вектор т (s + As) переместим параллельно, так чтобы его
начало совпадало с точкой Р. Концы векторов т (s) и т (s + As)
обозначим через М и N. Соединим точки М и N отрезком прямой.
Треугольник PMN равнобедренный, так как векторы т (s) и
т (s + As) единичные. Из точки Р на сторону MN опустим высоту.
Она будет также и биссектрисой угла А0. Пусть L — основание
этой высоты. Из прямоугольного треугольника PLM находим
I т (s + As) - т (s) | Д0
	 = sin — .	(1)
2--------------------------------------------------------2
Разделим правую и левую части этого равенства на As/2 и перей-
дем к пределу при As -> 0. Согласно нашему обозначению т (s) =
= r's (s). Так как по условию теоремы у — дважды дифференциру-
емая кривая, то существует
|г>)|	I r '(s + As) - r'(s) | - hm As~*0	As
= lim As -*	2sin(A0/2) _ о As
= lim As->	sin(A0/2)	Д0	Ав 2 —			  	 = lim 	 = k, о Д0/2	2As	As
где второе равенство записано на основании (1). Теорема дока-
зана.
Определим теперь кручение кривой. Так как т =	— единич-
ный вектор, то вектор кривизны г* и, следовательно, главная
нормаль v ортогональны к касательному вектору т. Векторное
произведение [т, v ] называется бинормалью кривой. Будем
обозначать бинормаль через &, т.е. 0 = [т, v ]. Бинормаль 0 опре-
делена в тех точках кривой, в которых определена главная нор-
маль v, т.е. в точках с кривизной к ¥= 0.
Пусть А0 - угол между бинормалями 0 (Р) и Д (0) в бесконеч-
но близких точках Р и Q (иначе говоря, угол между соприкасаю-
27
щимися плоскостями) (рис. 5).
Но в этом случае угол Д0 будем
брать со знаком, выбор которого
произведем так. В нормальной
плоскости кривой в точке Р угол
между двумя лучами, выходя-
щими из точки Р, будем отсчиты-
вать согласно ориентации в этой
плоскости, задаваемой вектором
т (Р), т.е. направление отсчета
угла от р к 0 положительное, а
противоположное - отрицательно.
Перенесем вектор 0 (Q) парал-
лельно так, чтобы его начало сов-
падало с точкой Р, и спроектиру-
_ ем его на нормальную плоскость.
Проекцию обозначим через 0(C). Если при Дхо>0 беско-
нечно малый угол в нормальной плоскости от 0 (Р) к 0 (Q) поло-
жительный, то угол Д0 берем положительным. Если угол от 0(Р)
к &(Q) отрицательный, то Д0 берем отрицательным (см. рис. 5).
При Д$ < 0 знак Д0 берем противоположным знаку Д0 при Дх > 0.
Кручением к кривой в точке Р называется
Д0
к = Ит ----- .
Дх
Теорема. Трижды дифференцируемая кривая г =r (s) в каж-
дой точке с отличной от нуля кривизной к имеет кручение к, вычис-
ляемое по формуле
z / Н IH \
V = jg* rss* rsss)
k2
Концы векторов 0 (Р) и 0 (б), отложенных от точки Р, обозначим
М и N. Треугольник PMN равнобедренный. Из точки Р на сторону
MN опустим высоту PL. Из прямоугольного треугольника PLM
находим
10(х + Дх) — 0(х) |	. |Д0|
 . -	= С1П ————
Правую и левую части этого равенства разделим на Дх/? и перейдем
к пределу при Дх -> 0. Получаем следующую формулу для абсо-
лютной величины кручения:
V I 0(5+ Д5)-0(5)1
10 (х) | = hm ---------------- =
As 0 Дх
28
2sin(|A0|/2) I Д0 I , .
= hm	- | к I,
д$-»о | Д0 |	As
т.е. I ₽’(s) | =| к |. Рассмотрим вектор 0'(s). Имеем
[<,<]
Л
Так как по условию теоремы г (s) - трижды дифференцируемая
вектор-функция, k(s) ¥= 0, то к - дифференцируемая функция
и Р — дифференцируемая вектор-функция. По правилу дифферен-
цирования векторного произведения получаем
г f WZ1 / i \*
в'=	+(—)
ч к \ к 5 551
Так как правая часть равенства представляет собой сумму двух
векторных произведений, каждое из которых имеет сомножитель
т = г', то 0' ортогонален к т. Вектор 0 единичный, поэтому 0'
ортогонален к 0. Следовательно, вектор 0' коллинеарен главной
нормали v. Так как длина 0' равна | к I, то 0's = ± | к | v, где
знак + или — пока не определен. По формуле Тейлора можем
записать
0(2) = 0(P)+0;(P)As + o(As).
Проекция 0(2) на нормальную плоскость в точке Р, т.е. 0 (2),
с точностью до бесконечно малых более высокого порядка будет
равна 0 (Р) + 0^(Р) As. Возьмем точку Q так, чтобы As > 0. Угол
отсчитываемый от 0 (Р) к 0 (2), будет положительным, а вместе
с ним A0/As и к , если 0' (Р) As имеет направление, противополож-
ное р , и этот угол будет отрицательным, если 0' (Р) As имеет то же
направление, что и v . Поэтому
(2)
Докажем формулу для нахождения кручения. Умножая (2) на
р, получаем
(г', г" ,г" )	(г', г", г" )
К =	р)=-	=	(3)
Заметим, что знак кручения к не зависит от выбора направления
отсчета длины дуги s. Действительно, если заменить его на проти-
воположное, то знак к не изменится, так как в формулу (3)
входит четное число дифференцирований по s.
Полезно знать формулы для определения к и к в том случае,
когда кривая задана в произвольной параметризации: г = г (t).
29
Длина дуги s при этом является функцией параметра t. По пра-
вилу дифференцирования сложной функции можем записать про-
изводные
Г3 rt ds ’	rtt ds ) rt ds2 ’
= I	, d3t
rsss rttt ds J rtt ds2	rt ds3
Так как r’s - единичный вектор, то из первого равенства следует
- —— . В силу ортогональности векторов r’s и r"s можем
I rt I
dt
записать
* = |г«1 = 11г;,гм]1 =
drl3
= I [rl.rtt] I —
ds
ikkrn]!
\r’t I3
Итак, при произвольной параметризации кривой г = г (t) кривиз-
на к вычисляется по формуле
\[rl, Г^]\
Заметим для облегчения запоминания, что степень модуля | г \ |
в знаменателе равна числу штрихов производных в числителе этой
формулы. Это обеспечивает инвариантность выражения при изме-
нении параметризации. В координатной форме доказанная формула
имеет вид
	x'	X	2	i X	II X	2	i У	и У	2
		n	+	i	II	+	i	и	
	y'	У		z	z		z	z	
2	2	2 3/2
О +у +Z )
Найдем выражение для кручения к. Так как
1
F
К	(tS > fss > /’jsj)
1 / , dt	I dt\1 2
= ~2 lrt~> rtt — +
К \ ds	\ds )
(4)
30
где во втором сомножителе смешанного произведения точками
заменен вектор, коллинеарный rj, а в третьем сомножителе точ-
ками заменены векторы, коллинеарные линейной комбинации г \
и Смешанное произведение обладает свойством аддитивности
по каждому сомножителю. Например
(a, b+c, d) = (a,b,d) + (a,c,d).
Кроме того, смешанное произведение, у которого два сомножите-
ля — коллинеарные векторы, равно нулю. Сначала смешанное
произведение в (4) мы разложим, воспользовавшись разложением
второго сомножителя, который является суммой rtt\-------) и
\ds /
вектора, коллинеарного г\. Тогда найдем, что оно равно
/	/ dt\3 \( dt\3
It и in I 1 \	, if * I
Ph rtt, rttt\ — I +... H— I .
\	\ds /	/ \ds /
Затем запишем разложение по третьему сомножителю. Восполь-
dt
ds
чим, что для произвольно параметризованной кривой г = г (г) ее
кручение к вычисляется по формуле
1
;— . Полу-
зуемся выражением для & и соотношением
к
Кривизна плоской кривой. Плоская кривая является частным
случаем пространственной кривой, поэтому для нее применима
формула кривизны, установленная выше. Но для плоской кривой
эта формула приобретает более простой вид. Пусть кривая лежит
в плоскости z = 0. Тогда z' = z ” =0. Следовательно,
(Z+/2)3'3
Особенно простой вид имеет выражение для к, если в качестве
параметра t взять х. Тогда х' = 1, хп = 0. Значит,
* =------—-------.
(1 +у' )3/2
Для плоской кривой можно определить кривизну £ со знаком.
31
Будем обозначать ее той же буквой к и в случае необходимости
укажем, какую кривизну мы имеем в виду. Пусть т — единичный
касательный вектор к гладкой кривой. Пусть е — единичный век-
тор, ортогональный к плоскости кривой. Вектор 17 = [е, т] еди-
ничный, лежит в плоскости кривой и ортогонален к т. Он может
либо совпадать с вектором главной нормали р, либо отличаться от
него знаком (рис. 6). При движении точки Р вдоль кривой век-
тор 17 изменяется непрерывно. Тогда кривизной к со знаком будем
называть коэффициент к в формуле
Гзз = r's = К 7]-
Это число может отличаться от ранее введенной кривизны лишь
знаком. При движении вдоль кривой направление ее выпуклостей
может изменяться. Введенная кривизна позволяет различать эти
изменения. Для ее вычисления вдоль всей кривой можно восполь-
зоваться одной из двух формул:
>ху -ух
/ >2	/2чЗ/2
(х +у )
или
х'у" - у'х"
{ '2 ±
(х +у )
(5)
Установим выражение кривизны через производную угла а
между касательной и каким-либо фиксированным направлением
в плоскости. Примем это направление за положительное направле-
ние оси х. Пусть в качестве параметра в формулах (5) взята длина
дуги s. Вектор {xj, уз} является единичным касательным векто-
ром т. Следовательно, его компоненты имеют вид
x's = cos a, y's = sin а.
Находим производные:
н	н
xss = -sin а---, yss - cos а ——.
as	as
32
Подставив эти выражения в (5), получим
da	da
к =----- или £ =------------.
ds	ds
В качестве упражнения найдем кривизну окружности радиуса R.
Пусть <р — угол между радиус-вектором точки окружности и поло-
жительным направлением оси х. Тогда если направление отсчета s
на окружности взято против часовой стрелки, то а =	. Кроме
того, для окружности ds = Rd^p. Следовательно, если воспользо-
ваться формулой k = da/ds, то к = 1 /7?.
Найдем кривизну кривой у на плоскости, заданной уравнением
Ф(х, у) = с. Вектор {Фх, Фу} является нормалью к этой линии
в точке (х, у). Единичный вектор нормали 17 будет равен
_ фх	Фу ]
w	W )
где IV = у/ Фд- + Фу. Поэтому единичный вектор т, касательный
к этой кривой, будет равен
I dx dy |	I Фу	Фд |
I ds 9 ds )	(	IV	IV )
d
где —— дифференцирование вдоль кривой у. С помощью форму-
ds
лы т'з - к т? находим выражение для кривизны кривой
* =	т).
Производную 1? по длине дуги s можно найти по правилу диффе-
ренцирования сложной функции:
<Ъ'
Выражение векторов 17 х и 17 v, очевидно, следующее :
( Э Фх 3 Фу)
77 -<------,— — I,
х ( Эх IV dx IV ]
г а фх	а Фу ]
у I ay IV	ду IV J
3. Ю.А. Аминов
33
Итак, можем записать
* = -(т?г т) = -(п т)---(« т)—=
s	А ds у ds
dx dy
ds ds
dx
ds
dx
Wx---
ds
+ 2 ФХу
1
И/2 ’
Последнее слагаемое в правой части равно нулю, так как $xdx +
+ Qydy = с?Ф = О вдоль у. Подставляя в первое слагаемое выраже-
ния компонент вектора т, находим
= + Ф**Фу - 2 Фху Фх Фу + Ф>Л, Ф2
(ф* + ф’)3/2
Непосредственным вычислением легко найти, что выражение в пра-
вой части этой формулы можно записать в дивергентном виде:
/ Э Фх Э Фх
к = ±------  +-------------  -  -
\ Фх + Фу у/ Фх + Фу .
Задачи
1.	Вычислить кривизну и кручение линии
x=acosw, y=asinu, z-bu.
2.	Вычислить кривизну и кручение линии
х=Г, у -at1, z -bt1 + ct + d.
3.	Найти вектор бинормали кривой
х = cos t, у = sin t, z = cos 2t.
4.	Найти кривизну эллипса
x2 v2
--+-------- 1
a1 b1
в его вершинах.
5.	Показать, что кривая
х = 1+3г + 2г2, у =2 -2Г + 5Г2, z = l-r2
плоская. Найти плоскость, в которой она лежит.
6.	Найти единичный касательный вектор т и главную нормаль v кривой
x=ercosf, j’=efsinr, z-ef.
34
7.	Найти кривизну конической спирали
x=tfcos^efc^, y = flsin^efc^, z=bekV.
8.	Доказать, что каждая кривая с постоянным кручением к =#= 0 может
быть представлена в виде
t
х =^- f [£<*£].
о
где £ = £ (О - единичная вектор-функция.
9.	На плоскости в круге радиуса R расположено регулярное семейство
кривых с кривизной k >	>0, где = const. Доказать, что R < 2/fce.
10.	Овалом называется плоская замкнутая выпуклая кривая. Расстояние
между двумя касательными прямыми, параллельными направлению т,
называется шириной овала в направлении т. Доказать теорему Барбье:
длина овала постоянной ширины d равна nd.
§ 8.СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
Рассмотрим плоскую кривую у с кривизной к ф 0. В малой
окрестности точки Ро кривую можно приближенно заменить ее
касательной прямой в этой точке. Это ее первое приближение. Вто-
рым приближением кривой является соприкасающаяся окруж-
ность, вернее некоторая достаточно малая дуга ее. Расположим оси
координат х, у на плоскости так, чтобы начало координат совпало
с точкой Pq Е у и ось х касалась кривой у в этой точке. Пусть
у = у (х) - уравнение данной кривой у и у = у(х) — уравнение
некоторой окружности, проходящей через точку Ро. Окружность,
задаваемая У(х), называется соприкасающейся, если в точке х = 0
совпадают между собой значения функций у (х) и у (х) и их пер-
вых и вторых производных, т.е.
>’(0)=У(0), /(0)=У'(0), /'(0) = У"(0).
Отсюда следует, что разложения у (х) и у (х),
Ах2
Ях)=Я0)+/(0)Дх+/'(0)-^— + о(Дх2),
__	Ах2 _
j(x)=X0) + /(0)Дх +./'(0)-у- + <?(Дх2),
совпадают между собой с точностью до бесконечно малой о (Дх2).
Поэтому из всех окружностей, проходящих через точку Ро, сопри-
касающаяся окружность наиболее тесно примыкает к кривой.
Так как касательная прямая к кривой в точке х = 0 определяет-
ся значениями у (0) и г* (□), то касательные прямые у данной кри-
3*	35
вой и у соприкасающейся окружности при х = 0 совпадают, т.е.
соприкасающаяся окружность касается данной кривой и ее центр О
расположен на главной нормали к кривой у (рис. 7).
Так как кривизна плоской кривой определяется уравнением
/'(*)
(1 О’2)3/2
и так как первые и вторые производные у у(х) и у (х) совпадают,то
кривизна соприкасающейся окружности равна кривизне кривой в
точке Pq. Следовательно, ее радиус R = 1/й(Р0)« Таким образом,
центр соприкасающейся окружности расположен на главной норма-
ли к кривой на расстоянии 1/А(Р0) от точки PQ. Центр соприкасаю-
щейся окружности называется центром кривизны кривойв точке Pq.
Геометрическое место точек центров кривизны называется
эволютой кривой. Обозначим ее у. Дадим параметрическое пред-
ставление для эволюты. Пусть г (s) — естественная параметризация
данной кривой. Тогда радиус-вектор р центра кривизны можно
записать в виде суммы двух векторов: вектора r(s) и вектора
с началом в точке Ро и концом в центре кривизны. Последний век-
тор коллинеарен главной нормали и имеет длину 1/£. Следова-
тельно, уравнение эволюты имеет вид
p(s) = r(s) + 4-р (s).
й
Из формулы т'5 = kv для плоской кривой следует v's = — кт. Най-
дем касательный вектор к эволюте:
36
Поэтому если (1/fc)' =# 0, то касательный вектор к эволюте кри-
вой у направлен по главной нормали кривой у (рис. 8).
Кривая у, для которой данная кривая у является эволютой,
называется эвольвентой для кривой у. Найдем параметрическое
представление эвольвенты г" =F(s), взяв в качестве параметра s
длину дуги кривой у. Так как соответствующая точка эвольвенты
расположена на касательной прямой к кривой у в точке г(5)%то
F(s) = r(s) + X(s)r.
Кривая у — эволюта для у, ее касательный вектор т направлен
по главной нормали эвольвенты (рис. 9). Поэтому вектор т орто-
гонален к касательному вектору эвольвенты, т.е. к T's. Из этого
условия найдем X (s ). Имеем
rs'(s) = т +	+ Xkv,
(1)
О = (г/, т) = 1 + X'.
Следовательно,
X(s) = с - s, с = const.
Уравнение эвольвенты кривой г ($) имеет вид
7{s) = r(s) + {c-s)T,	(2)
где с — произвольная постоянная. Можно показать, что при произ-
вольном с кривая г (s), определяемая этим уравнением, действи-
тельно является эвольвентой для r(s). Поэтому для данной
кривой существует бесконечно много эвольвент.
Действительно, из формулы (1) имеем
г/ = \Kv = (с - s)kv.
37
Пусть s — длина дуги эвольвенты и к — ее кривизна. Так как
F- - единичный вектор, то
d~s
— = (с - $)£.
ds
Будем считать, что с - s > 0. Имеем
F2 = v,
S
Поэтому кривизна эвольвенты £ = 1 / (с — s) и 7 = - т ~ главная
нормаль эвольвенты. Уравнение (2) можно переписать в таком
виде:
?($) = г ($) + 4 v,
К
т.е. кривая г (д ) действительно является эволютой для г (s).
Укажем наглядный способ образования эвольвенты. На кривой у
возьмем точку Q и отложим от нее дугу кривой длины с. Второй
конец кривой обозначим Р. Представим, что на эту дугу наложена
гибкая нерастяжимая нить, закрепленная одним концом в точке Q.
Будем сматывать нить с кривой у, как с шаблона, за конец Р,
все время натягивая ее. Тогда точка Р опишет эвольвенту
кривой у.
Действительно, на некотором участке QA нить проходит по кри-
вой у. Пусть этот участок имеет длину $. На оставшемся участ-
ке А Р нить натягивается по прямой, касающейся кривой у. Длина
этого участка равна с - s. Следовательно, согласно (2). точка Р
опишет эвольвенту кривой у.
Эволюты и эвольвенты широко используются при конструирова-
нии деталей машин.
§ 9.	ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
Пусть кривая на плоскости задана уравнением (х, у) = 0 и
Е Ск, к> \ . Точка М с координатами х0> У о на плоской кривой
(х, у) = 0 называется особой точкой, если в этой точке одновре-
менно выполняются три уравнения:
<р(*о,.Уо) = 0> ^хОо>.Уо) = 0,	<Ру(х0, ,Уо) = О.	(1)
38
Различают несколько основных типов особых точек. Пусть в осо-
бой точке (хо,^о) не все производные второго порядка функ-
ции равны нулю. Введем обозначения
А=<рхх(х0,у0), В = tpxy(x0,уо), С = <Руу(хо,уо),
А=АС - В2.
В зависимости от значения Д возможны три случая:
а)	если Д > 0, то АГ — изолированная точка (рис. 10,а);
б)	если Д < 0, то М — двойная точка (узел) (рис. 10. б);
Рис. 10
в)	если Д = 0, то М — либо точка возврата первого или вто-
рого рода, либо изолированная точка, либо точка соприкоснове-
ния (рис. 10,в).
В первом случае на рис.10,в изображена кривая, для которой
М — точка возврата первого рода (ветви кривой расположены по
разные стороны от полукасательной в М); во втором случае М —
точка возврата второго рода, при этом полукасательная в М не раз-
деляет ветви кривой, в третьем М — точка соприкосновения двух
ветвей (в частности, эти ветви могут совпадать друг с другом).
Предполагая, что функция у (х, >>) имеет непрерывные частные
производные до третьего порядка в некоторой окрестности точ-
ки М, запишем ее разложение Тейлора:
<р(х, у) = <р(х0, у о) + <рх(х0, ^о)(х-хо)+^(хо, Уъ ){у - Уо ) +
+ (Л(х-х0)2+2^(х-хб)(>'-^о)+С(^->у0)2)+о(Дг2),
где <?(Дг2) — бесконечно малая более высокого порядка, чем
Дг2 = (х — х0)2 + (у-Уо)2- Обозначим Дх=х- х0, by=y-yQ.
Так как в особой точке выполняются три уравнения (1), то разло-
жение приобретает вид
<р(х, У) = ~2 (А^х2 +2^ДхД^+СД^2) + о(Дг2).
Обозначим
Дх = Дг cos a, by = Дг sin а.
39
Правую и левую части уравнения кривой <р(х,у) =0 разделим
на Аг 2. Тогда уравнение запишется так:
A cos2 а + 2 В cos a sin а + С sin2 а + ——= 0.	(2)
Аг2
Покажем, что в случае а), т.е. если А > 0, выражение
A cos2 а + 2 В cos a sin а + С sin2 а	(3)
не обращается в нуль ни при каком значении а. Допустим, это не
так, т.е. существует угол а, для которого
A cos2 а + 2 В cos а sin а + С sin2 а = 0.
Разделив на sin2а, получим квадратное уравнение для ctga.
Так как дискриминант этого уравнения А > 0, то действительные
корни уравнения отсутствуют. Поэтому при всех значениях угла а
модуль выражения (3) больше некоторого положительного числа.
Рассмотрим уравнение (2). Допустим, имеется последовательность
точек кривой, приближающихся к точке М, тогда о(Дг2)/Дг2->0.
Так как выражение (3) к нулю не стремится, то уравнение (2)
не может выполняться при Аг -> 0. Поэтому М - изолированная
точка кривой.
Рассмотрим случай, изображенный на рис. 10,6. Можно считать,
что А ¥= 0, так как этого всегда можно добиться поворотом систе-
мы координат на плоскости х,у. Покажем сначала, что вблизи
точки М нет точек кривой (х, у) = 0, для которых отношение
Ау/Ах сколь угодно мало. Допустим, что это не так и существует
последовательность точек Мп->М таких, что в этих точках
Ду
Дх
е„ -+ 0.
Разделив уравнение (2) на cos2a, получим
(4)
В точках Мп выполняется неравенство Дг2 < (1 + е„)Дх2.
Поэтому для последовательности точек М„
о(Дг2)
- - — -> 0.
Дх2
Так как коэффициенты при В и С также стремятся к нулю при
Мп -* М, а А Ф 0, то уравнение (4) для последовательности то-
40
чек Мп не может выполняться. Итак, можем считать: найдется
некоторое положительное число к0 такое, что в окрестности точ-
ки М для точек кривой имеет место неравенство

Дх
Тогда для всех точек кривой вблизи М имеем
Дх < 1
by	kQ
Разделив левую часть уравнения (2) на sin2а, получим
/ Дх\2	Дх	р(Дг2)
Л ---- + 2В-----+С+--------г^=0.
\Дд> /	&у	Д>’2
Решаем это уравнение, как квадратное относительно Дх/Д.у:
Д^	А
Так как для точек кривой
Дг2 < f— + 1J Д.у2,
\kl / Z
то при Д у -► О отношение
о(Дг2)
Ду2
Отсюда и из (5) следует, что значения Дх/Ду для рассматриваемой
кривой сколь угодно близки к двум величинам:
1 _ -в + у/В* 1 -АС
М,2	А
Это означает, что точки кривой вблизи особой точки М сколь
угодно близки к точкам двух пересекающихся в М прямых:
У-Уо = МО-Хо),
У-Уо = ^2(*~х0).
Следовательно, точка М является точкой пересечения двух ее вет-
вей. Отсюда название — двойная точка или узел.
Перейдем к рассмотрению наиболее сложного случая, изобра-
женного на рис. 10,в. Поворотом системы координат на плоскости
можно добиться, чтобы В = 0. Так как в случае в) А С - В2 = 0, то
АС = 0. Можем считать, что А = 0, и так как не все частные произ-
водные второго порядка равны нулю, то С Ф 0. Следовательно,
уравнение кривой записывается так:
С(Ду)2 + о(Дг2) = 0.
Вид особенности зависит от знаков Си о (Дг2) и более точного ви-
да бесконечно малой о(Дг2). Если С и о(Дг2) одного знака,
то М - изолированная особая точка кривой. Для дальнейшего ана-
лиза запишем разложение функции ^(х,у) с помощью третьих
производных. Уравнение кривой приобретает вид
С(Ду)2+^! Дх3+£2Д*2 Ду+А:3ДхДу2+А:4Ду3+о(Дг3) = 0,	(6)
где kj — некоторые постоянные. Покажем, что для точек кривой
отношение
(7)
Допустим, что это не так и существует последовательность точек
Мп ->М такая, что это отношение в точках Мп больше фиксирован-
ного положительного числа к\
&х
> к,
т.е.
Дх
Ду
1
к ‘
Разделив левую часть уравнения (6) на (Ду)2, получим
/ Дх\2	о(Дг3)
С+(---) (&! Дх+&2Ду)+&зДх+&4Ду——= 0.
\ Ду /	Ду2
(8)
Так как в точках Мп бесконечно малая величина
/ 1	\3/2
Дг3 с тч + 1	। Д-v ।3 >
\ к2	/
то о(Дг3)/Ду2 -* 0 при п -> °о. В уравнении (8) все слагаемые, кро-
ме С, стремятся к нулю при Мп -*М9 что невозможно. Следователь-
но, имеет место (7), т.е. кривая касается прямой, параллельной
оси х.
Запишем уравнение кривой в виде
Ду2(С+£3 Дх+&4 Ду)+Ду^2 Д^2+^1 Дх3+о(Дг3) = 0.
Отсюда находим
Ду ={ ~к2^х2 ± [—4 Cfci Дх3+&2Дх4—4 Со(Дг)3 —
— 4(&! Дх2+о(Дг3))(£зДх+£4Ду)]1/2}/2(С+£зДх+£4Ду).
42
Если Ф 0, то в подкоренном выражении главной бесконечно
малой будет -4Cfci Дх3. В этом случае кривая определена либо при
Дх > 0, либо при Дх< 0 в зависимости от знака -4Cfci. Так как
Дх3*'2 > Дх2, то в числителе выражения для Ду главной бесконечно
малой будет ± у/^АСкх Дх3. Кривая в окрестности точки М близка
к кривой
Ду
С
состоящей из двух ветвей, которые расположены по разные сторо-
ны от полукасательной. Точка М - точка возврата первого рода.
Если кх = 0, то главным членом в подкоренном выражении мо-
жет оказаться бесконечно малая о (Дг 3). Необходимо использо-
вать дальнейшее разложение функции (х, у) с помощью четвер-
тых производных. Тогда уравнение кривой запишется в виде
С Ду 2 +fc2 Д*2 Ду+£3 ДхДу2 +fc4 Ду3 + Дх4 +
+12 Дх3 Ду+/3 Дх2 Ду 2+/4 ДхДу3 + /5 Ду4 +о (Дг4 ) = О,
где lj — постоянные, определяемые четвертыми производными
функции (х, у) в точке М. Левую часть уравнения запишем в ви-
де квадратного многочлена относительно Ду:
Ду2(С+а)+Ду [^2Дх2+/2 Дх3]+/1 Дх4+о(Дг4) = 0,	(9)
где бесконечно малая а имеет вид
а = &3Дх+£4Ду+/3Дх2+/4ДхДу + /5 Ду2 = о(Дх).
Рассмотрим дискриминант уравнения (9) :
(кг +/2Дх)2Дх4 -4[С + а][1гДх4 +о(Дг4)] =
= (к22 -4С/0ДХ4 +о(Дх4).
Если kl - 4Cli Ф 0, то в этом выражении главной бесконечно ма-
лой будет первое слагаемое. Если к2 — 4СЦ < 0, то подкоренное
выражение отрицательно при малых Дх и, следовательно, уравнение
(9) не имеет действительных решений, отличных от Ду = Дх = 0.
В этом случае М - изолированная точка. Если kl — 4Cli > 0, то
кривая определена в окрестности точки М при значениях Дх произ-
вольного знака. Запишем решение уравнения (9) :
— [к2Дх2+/2Дх3] ± \/(/с2—4С/!)Дх4+о(Дх4)
Ду =-----------------------------------------.
2(С + а)
43
Кривая состоит из двух касающихся ветвей. В этом случае М -
точка соприкосновения.
Если k% — 4С11 = 0, то в подкоренном выражении остается
о(Дх4). Допустим, о(Дх4) > 0 при всех достаточно малых Дх.
Тогда для Ду имеем два решения, кривая состоит из двух касаю-
щихся ветвей, М — точка соприкосновения. Если же о(Дх4) > О
лишь при Дх определенного знака, то кривая (х, у) = 0 определе-
на не при всех Дх, т.е. точка М — точка возврата. Если к2 # 0, то
\/о(Дх4) будет бесконечно малой более высокого порядка по
сравнению с к2&)?. В этом случае обе ветви кривой расположены
по одну сторону от полу касательной. Точка М - точка возврата
второго рода. Если к2 - 0, то точка М может быть как точкой воз-
врата первого рода (например, при 12 = 0), так и точкой возврата
второго рода (если 12 # 0 и Vо (Дх4) имеет больший порядок
малости, чем Дх3).
Проведенный анализ справедлив лишь в том случае, когда функ-
ция (х, у) обладает достаточной регулярностью в особой точке
кривой. Если функция не дифференцируема, то кривая может
иметь особенность, которая не попадает под приведенную класси-
фикацию.
Например, определим функцию (х, у) равенствами
V?(x, у) = \/х2+у2 — earctg( у/х , если (х, у) ¥= (0,0),
V?(0,0)= 0.
Кривая, определяемая уравнением (х, у) = 0, состоит из спирали
и точки (0, 0), на которую эта спираль навивается бесконечное
число раз. Точка (0, 0) особая для кривой. В этой точке функция
(х, у) не дифференцируема.
Задачи
1.	Найти особые точки кривой у3 = ах1 + х3 и выяснить, к какому типу
они относятся.
2.	Выяснить характер особой точки декартова листа
х3 +у3 — 3 аху = 0.
3.	Как происходит изменение характера особой точки кривой у2 =
= (х — а) (х — Ь) (х - с) при изменении значений постоянных а, Ъ и с
(а < Ъ < с) ?
4.	Найти и исследовать особые точки кривой у2 = ax’+Z^+cx+d (рас-
ходящаяся парабола).
44
5.	Найти и исследовать характер особой точки циссоиды
х3
У* = ------
2а- х
или в параметрической форме
2а	2а
х =------, у =------------- .
1+Z2	Г(1+Г2)
Открытие циссоиды приписывается Диоклесу (25 0-100 лет до н.э.).
6.	Найти особую точку трисектрисы Маклорена
х(х2 + у2) = а(3х2 —у2)
или в параметрической форме
a sin 3 Г	а sin 3 Г
х =--------, у ------------.
sin t	cos t
7.	Найти особые точки кривой у2 = х4.
/ ¥> \
8.	Нарисоватьтрактриссу х = al Intg — + cos I + с, у = a sin^>.
§ 10.	КРИВАЯ” ПЕАНО
В 1890 г. Пеано построил следующий замечательный пример
непрерывного отображения отрезка, образом которого является
квадрат. Разобьем отрезок А на четыре равных отрезка Д/ ix =
= 1, 2, 3, 4, которые мы занумеруем последовательно, слева напра-
во один за другим. Далее разобьем квадрат А на четыре равных
квадрата Ац , обозначая их так, чтобы следующие друг за другом
квадраты имели общую сторону. Произведенное разбиение отрезка
и квадрата назовем первым. Каждому отрезку первого раз-
биения поставим в соответствие квадрат первого разбиения с тем
же номером fj, т.е. Л1-1 (рис. 11)
т.е. Aix = fx (Д/х). Далее анало-
гично разобьем каждый отрезок
A/j на четыре равных отрезка
AZ1j2, h = 1, 2, 3, 4, опять
обозначая их последовательно
один за другим слева направо.
Каждый квадрат А^ разобьем
на четыре квадрата, каждый из
которых обозначим через -4/	,
причем обозначения выберем так,
чтобы квадрат А f имел общую
Это соответствие обозначим f!,
I I 1.1_______I___J» I
Рис. 11
45
сторону с А^ s i2 + ! и квадрат 4 имел общую сторону с
Это деление назовем вторым. Отрезкам второго
деления ^i2i2 поставим в соответствие квадраты А /2,
т.е. положим Aiii2 = /2(А//2)« Аналогично проведем и
следующие деления. Отрезки и-го деления обозначим через
а соответствующие им квадраты — через { . Если
два отрезка и-го деления имеют общую точку, то и соответствую-
щие им квадраты и-го деления имеют общую сторону. Соответст-
вие между отрезками и квадратами обладает следующим свойст-
вом: если отрезок Д/, С Д,,	то /„(Д/, ... /„) С
Поставим теперь в соответствие каждой точке t отрезка Д неко-
торую точку квадрата А следующим образом. Каждая точка t ле-
жит в бесконечной последовательности вложенных друг в друга
отрезков Дц,	Д^...in9 ... Соответствующие им квад-
раты тоже вложены друг в друга:
/АЮ МЧО ... э
Так как длины сторон этих квадратов стремятся к нулю, то суще-
ствует только одна точка Р е А, принадлежащая всем этим квадра-
там. Эта точка Р ставится в соответствие точке t Е Д. Таким
образом, мы определили отображение f отрезка Д на квадрат:
Р = /(О • Заметим, что из самого определения отображения выте-
кает, что если t G AZi _ini то/(г) С fn(Д^ _ in).
Покажем, что каждая точка PQ квадрата А является образом
хотя бы одной точки г0 из отрезка Д. Действительно, для каждой
точки Ро найдется хотя бы одна бесконечная последовательность
вложенных друг в друга квадратов А^ ^Afj* D ... DA^ ...,
содержащих PQ. Этой последовательности соответствует бесконеч-
ная последовательность вложенных отрезков Д/ D ... D Д/
таких, что	= Aidin' и = 1, ...,<». Они имеют единст-
венную общую точку Г 0. По определению отображения f имеем
/(Го) ~ Р- Итак, образом отрезка Д является весь квадрат А!
Покажем, что отображение f является непрерывным в каждой
точке г. Пусть задано число е. С возрастанием числа п длина сторо-
ны квадрата и-го деления стремится к нулю. Поэтому найдется
номер п такой, что все квадраты и-го деления, содержащие точку
/(Го), попадают в ее е-окрестность. Возьмем отрезки и-го деления,
содержащие точку Го (их не более двух). Тогда всем точкам этих
отрезков отображение / ставит в соответствие точки из квадратов
46
az-го деления, лежащие в е-окрестности точки Это и озна-
чает, что отображение f непрерывно.
В работе [57] был построен аналог кривой Пеано с помощью
оо
степенного ряда F(z) = S c„z", где z = х+ iy — комплексная
п = о
переменная. Был указан степенной ряд F(z), сходящийся в круге
I z | < 1, непрерывный в замкнутом круге | z | < 1 и такой, что
множество значений функции F(elt), t G [0; 2л J, содержит
непустое открытое на плоскости множество.
§ 11.	ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
Ранее мы уже рассматривали регулярное семейство кривых на
плоскости, задаваемое уравнением Ф(х, у) = с. Различные кривые
из регулярного семейства между собой не пересекаются. Теперь
же мы рассмотрим семейство кривых, которые между собой,
вообще говоря, пересекаются. Рассмотрим, например, семейство
окружностей постоянного радиуса R и с центрами на оси х (рис. 12).
Уравнение такой окружности будет
(х - а)2 + у2 = R2.	(1)
При фиксированном а мы имеем уравнение некоторой окружно-
сти, а при изменении а получим семейство окружностей. Каждые
две достаточно близкие друг к другу окружности пересекаются
между собой.
В общем случае будем считать, что уравнение
f(x,y,a) = 0	(2)
задает семейство кривых на плоскости. Это значит, что при каждом
фиксированном а уравнение (2) задает некоторую выбранную кри-
вую уа из семейства.
47
При рассмотрении семейства кривых на плоскости можно уви-
деть, что некоторые линии на плоскости являются особыми для се-
мейства. Так, например, для семейства (1) такими особыми ли-
ниями являются прямые у = +R. Эти линии в каждой своей точке
касаются окружности из семейства, иначе говоря, огибают их.
Будем называть огибающей для семейства линий кривую Г на
плоскости, которая в каждой своей точке касается проходящей
через эту точку кривой из семейства.
Найдем уравнение огибающей Г. Пусть Р — точка огибающей —
имеет координаты х,у. Будем считать, что через каждую точку Г
проходит только одна кривая уа из семейства, т.е. каждой точке Р
можно поставить в соответствие только одно значение параметра а.
Тогда и координаты ее х, у можно рассматривать как функции
параметра а: х = х(а), у = у (а). Эти уравнения дают параметриче-
ское задание огибающей Г. Так как точка Р лежит на кри-
вой 7а, то
/(х(а), Я«), «) = 0.
Дифференцируя по а, получаем
А(П< + fyWy* + /а(Р) = о.
Огибающая Г и кривая у а имеют в точке Р общую касательную.
Так как кривая уа задается уравнением (2), то нормаль к уа
в точке Р имеет координаты{ fx (Р), f (Р)} . Касательный вектор
К Г есть { Ха , у а} , ПОЭТОМУ
+ fy(P)ya = 0.
Поэтому для точки огибающей должно выполняться и уравнение
/а(Р) = 0. Итак, точки огибающей должны удовлетворять следую-
щим двум уравнениям:
= 0,
«) = 0.
Исключая, если это возможно, из этих двух уравнений а, мы полу-
чаем некоторое уравнение (х, у) = 0, задающее огибающую.
§ 12.	ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
Пусть кривая у задана в параметрическом виде г = г (s) как
вектор-функция от длины дуги s. Единичный касательный век-
тор r's обозначим т, главную нормаль — v и бинормаль — 0. Три
вектора т, v и 0, вообще говоря, изменяются при изменении пара-
48
метра s, и поэтому мы их рассматриваем как вектор-функции дли-
ны дуги s. В каждой точке кривой эти векторы взаимно орто-
гональны и составляют базисный репер пространства. Говорят, что
три вектора т, р, 0 образуют естественный трехгранник. Запишем
разложения производных этих векторов по длине дуги s по векто-
рам этого базиса:
t's = т + a2v + 030,
»'s = biT + b2v + Z>30,
05 = CtT + c2v + c30.
Найдем коэффициенты разложений. По определению вектора глав-
ной нормали имеем
d2r d т
---- = ------ /Г V.
ds2 ds
Следовательно, коэффициенты ах = а3 = 0. Так как при доказа-
тельстве теоремы о кручении мы установили формулу
05 =
то коэффициенты сх = с3 = 0. Найдем, наконец, производную от
вектора v. Так как v — единичный вектор, то
(P2)i = О = (v, Ps) = b2.
Умножим разложение вектора v's скалярно на вектор т:
bi = (v's, т) = (v, т )'s - ( V. ts) = -k.
Далее умножим это разложение скалярно на 0:
Ьз = ( v's, 0 ) = ( V, 3 )s - ( V,	= к.
Следовательно,
^5 = -Кт + к^-
Полу ченные разложения векторов тfs, v9s и 0fs носят название
формул Френе. Они играют фундаментальную роль в теории кри-
вых. Запишем эти формулы:
r's =
»s = -kT + К&,
fis = -К V.
4. Ю.А. Аминов
49
Воспользуемся формулами Френе для выяснения геометрического
вида кривой в окрестности некоторой ее точки Р0,в которой кри-
визна и кручение отличны от нуля, т.еЛ 0 и к =£0. Запишем
разложение Тейлора для вектор-функции r(s) в окрестности
точки Ро:
r(sQ + As) =
п As2 ,,, As3
~ f (so) + rs(s0) As + rss(s0)	+ r555(^0) , + o(As ).
2	о
Согласно нашим обозначениям,
r's = 7, rss = к V.
Далее с помощью формул Френе найдем
rsss = (^)б’ = *> + ^(-^7 + К (3 ).
Используя эти выражения, запишем
гОо + As) = Фо) + Т
, 2As3
As-к2---
6
' feAs2 , As3
------ +k с —
As3
+ £к0——- i-o(As3).
6
(1)
+ и
Поведение кривой у в окрестности точки Ро опишем с помощью
проекций кривой на координатные плоскости, т.е. на плоскость
векторов 7 , v , на плоскость векторов т , 3 и на плоскость векто-
ров и , 3. Пусть начало координат расположено в точке Ро, ось х
направлена по вектору т, ось у — по вектору и и ось z — по век-
тору 3. Рассматривая каждую проекцию кривой, ограничимся глав-
ными бесконечно малыми. Для того чтобы получить проекцию на
какую-либо координатную плоскость, возьмем две соответствую-
щие этой плоскости координаты. Проекция на плоскость векторов
7, v описывается координатами x(s) и y(s), которые являются
коэффициентами при векторах т и и соответственно в разложе-
нии (1) вектора r(s0 + As). Имеем
x(s0 + As) = A s + . .. ,
As2
y(s0 + As) = *---- +• . ..
2
Следовательно, проекция кривой у на плоскость 7, и (рис. 13)
50
приближенно описывается параболой
*	2
у = — X .
2
Плоскости векторов т, 0 соответствуют координаты x,z. Имеем
х = As + ... ,
As3
z =	--- + . . .
6
Следовательно, проекция кривой у на плоскость т , 0 приближен-
но описывается кубической параболой
и %3
z = кк — + ...
6
На рис. 14 изображена эта кривая при к >0.
Проекция кривой у на плоскость векторов р, jS дается коорди-
ната ми у, z:
As2
у = --- k + ... ,
2
As3
z = Ьк. —— + .. .
6
Из этих формул следует, что при достаточно малых As координата
у > 0.
4
51
Исключая Д$, получаем
Следовательно, точка Ро для проекции кривой на плоскость глав-
ной нормали v и бинормали 0 является особой точкой - точкой
возврата первого рода, причем в точке Ро обе ветви проекции ка-
саются v (рис. 15).
По трем проекциям (впрочем, достаточно и двух) можно найти
вид самой кривой в окрестности точки Pq. Пусть кручение кри-
вой к > 0. Так как проекция кривой на плоскость х, у приближен-
k г
но есть парабола у - — х , z =0, то кривая расположена на парабо-
2	2	— Я
лическом цилиндре у = ~ х с прямолинейной образующей, парал-
лельной оси z. Как следует из вида проекции на плоскость т, 0,
ветвь кривой PqA, отвечающая значениям Д$ > 0, при достаточно
малых Д$ расположена выше плоскости х, у, а ветвь Р0Р, для ко-
торой Д$ < 0, расположена ниже плоскости х, у (рис. 16).
Для некоторых пространственных регулярных кривых можно
определить кривизну со знаком. Допустим, вдоль кривой сущест-
52
вует непрерывное и дифференцируемое поле ортонормированных
реперов el9e2i е3 такое, что ех — касательный вектор, е2 в тех точ-
ках, где главная нормаль определена, либо совпадает с главной нор-
малью, либо имеет противоположное ей направление. Записывая
производные по длине дуги каждого орта , получим аналог фор-
мул Френе
e3s = “ ^2е2>
где к( - некоторые коэффициенты в разложении производных
Кривизной со знаком будем называть коэффициент который
может отличаться от К только знаком. Этой кривизной бывает
удобно пользоваться в тех случаях, когда в некоторых точках к = О
и главная нормаль при переходе через такие точки меняет свое
направление на противоположное.
§ 13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ
ПО КРИВИЗНЕ И КРУЧЕНИЮ
Для пространственной кривой были определены две геометри-
ческие величины - кривизна к и кручение к. Первая величина, кри-
визна к, находится с помощью первых и вторых производных ра-
диус-вектора кривой; для вычисления кручения к привлекаются
также и третьи производные. С помощью производных более вы-
сокого порядка от радиус-вектора можно было бы строить другие
геометрические величины, которые характеризовали бы поведение
кривой. Но все они выражаются через кривизну, кручение и их про-
изводные по длине дуги. Для полного описания поведения кривой
достаточно знать кривизну к и кручение к, заданные как функции
длины дуги s кривой. Имеет место
Теорема. Пусть k (s) и к (s) - заданные непрерывные функ-
ции некоторой переменной s, изменяющейся на отрезке [О, Z],
причем k(s) >0. Пусть в пространстве заданы точка PQ и три вза-
имно ортогональных единичных вектора т0, »о, 0О = [т0, р0].
Тогда в пространстве существует одна и только одна кривая г (s)
класса регулярности С2 такая, что точка кривой г (0) есть точка PQ,
s - длина ее дуги, отсчитываемая от PQ, кривизна которой есть
функция £($), кручение - к (s) и естественный трехгранник в точ-
ке Pq есть тО9ро,0о.
Рассмотрим систему уравнений для трех вектор-функций $(s),
т? (s) и f (s), имеющую вид уравнений Френе:
7?'= -fc£ + Kf, =	(1)
53
Коэффициенты этой системы есть заранее данные функции от s,
удовлетворяющие условиям теоремы о существовании решения
линейной системы дифференциальных уравнений. Это решение су-
ществует на всем отрезке [О, Z]. Пусть £ (s), i? (s) и f (5) — реше-
ние этой системы с начальными условиями £(0) = т0, т?(0) = р0,
f (0) = . Докажем, что и при любом 5 векторы £ (s), т? (s) и f (s)
единичные и взаимно ортогональные. Для этого рассмотрим сле-
дующие функции:
е2,г?2л2,(ел),а,г?), ш).
При s = 0 эти функции имеют значения 1, 1, 1, 0, 0, 0. Используя
систему (1), найдем, что они удовлетворяют следующей системе
из шести уравнений:
а2)'=2*а,т?),
(172)'=-^2 £(»?,£) +2к Ш).
(f2)' = -2K0?,f),
(М)'=*С?2-$2) + к«,П.	v
ШУ=-*&!) + * в2 -ч2)-
Полученная система является линейной однородной системой для
введенных функций. Если положить £2 = 1,1?2 = 1, f2 - 1, (£, 1?) =
= (£, f) = (т?, f) =0, то легко видеть, что этот набор функций яв-
ляется решением (2). Выполнены также и начальные условия.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений при задан-
ных начальных условиях имеет единственное решение. Поэтому
другого решения, кроме указанного выше, система (2) не имеет,
а это означает, что £ ($), т? (s) и, f (s) - ортонормированный базис.
Определим в пространстве кривую
r(s) = f £(s)A+r (0),
о
где г(0) - радиус-вектор точки Ро. Если k(s) и к (s) - непрерыв-
ные функции, то r(s) € С2; если G С1 и k(s) — непрерыв-
ная функция, то r(s) G С3. Так как rfs = £0) — единичный каса-
тельный вектор, то параметр s является длиной дуги кривой. В
начальной точке г^(0) = £ (0) = т0. Поэтому кривая касается век*
тора т0- Так как в силу формул Френе и системы (1) имеем
то k(s) - кривизна кривой и т? — главная нормаль. Следовательно,
вектор f = [£, т?] — бинормаль кривой, а в силу третьего уравнения
системы (1) k(s) — кручение кривой. Теорема доказана.
54
Таким образом, кривая определяется своими кривизной k(s) и
кручением к (s) однозначно с точностью до ее движения в простран-
стве. Поэтому наряду с параметрическим заданием кривой исполь-
зуется и задание с помощью двух уравнений
к = к ($) и к = к (s),
которые носят название натуральных уравнений кривой. Это за-
дание не зависит от выбора осей координат. Если заданы натураль-
ные уравнения, то нахождение кривой состоит в интегрировании
уравнений Френе. Заметим, что решение этой системы может быть
сведено к решению одного уравнения Рикатти для комплексного
вектора. Возьмем первые компоненты векторов т, г и 0. Обозна-
чим их соответственно af b и с. Положим
а + ib
m -------.
1-е
С помощью уравнений Френе найдем производную тп по длине дуги:
dm 1	/ da	db \ а + ib	de
---=-------I---+1-----j +---------	=
ds	1 — c \ ds	ds J	(1 - c) ds
1	a + ib
=------(kb + i (-ka + kc)) ~ ------ Ьк =
1 - с	(1 - c)
ic a + ib
= —ikm + к-------- к-------- b.	(3)
l-c (1 — C)2
Базис т, v, 0 ортонормированный, поэтому a2 + b2 + c2 = 1. Исполь-
зуя это соотношение, преобразуем сумму последних двух сла-
гаемых:
ic а + ib ic - i (1 - а2) - ba
к------- _ к------ Ь = к----------------=
1-е	(1 - с)2	(1 - с)2
kc ia (а + ib) к
1-е	(1-е)2
Сложив правую и левую части этого тождества и разделив сумму
пополам, найдем, что сумма последних двух слагаемых в (3)
равна
•	• 2
1К 1ПГК
------+--- .
2	2
Подставив это выражение в (3), получим, что m удовлетворяет
55
уравнению Рикатти:
dm im2K	1к
----------_ ---------
ds	2	2
Если известно решение этого уравнения, то известны и компоненты
а, b и с :	~	_	__
т+т	i(m-m)	тт-\
а =-----------? £ = -------—} с =--------—,
2(1 + тт)	2(1+тт)	1+тт
где т — число, сопряженное с т.
Задачи
1. Написать уравнение нормали и бинормали кривой
x = t, y = t2, z = ef
в точке t = 0.
2. Найти натуральный трехгранник кривой
х = 1 - cos/, у = sin t, z~ t.
§ 14.	АНАЛОГИ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ
ДЛЯ ЛОМАНОЙ ЛИНИИ
Рассмотрим ломаную линию Р<>, А, . .., Рп, составленную из от-
резков ai+i =PiPi+i> i = 0,11. Вместо кривизны и круче-
ния регулярной кривой для ломаной линии мы определим две по-
следовательности углов: i = 1,..., и - 1, и 0Z, z = 1,..., п - 2.
Возьмем два последовательных отрезка at и а/+1. Будем счи-
тать отрезки векторами с началом в точке P{-i и концом в Р/.
Можем также считать, что два взятых друг за другом отрезка не
лежат на одной прямой. Следовательно, они определяют плоскость
и ориентацию в ней. Угол определим как угол между вектора-
ми аг‘ и ai+J, отсчитываемый от а,- к а/+1 в положительном на-
правлении согласно ориентации в этой плоскости. Тогда должны
выполняться неравенства 0 < ^ < тг.
Ориентированная плоскость, проходящая через векторы Я/ и
4I/+1, определяет единичную нормаль ft. Определим угол 0,- как
угол между ft и ft+1, при этом ориентацию в плоскости векто-
ров ft, ft+1 будем задавать ортогональным ей вектором ai+l.
Угол 0/ будем отсчитывать в положительном направлении соглас-
но этой ориентации. Тогда 0 < 0/ < 2я. Будем называть углами
кривизны, а 0/ - углами кручения.
Нетрудно установить утверждение, аналогичное теореме об од-
нозначной определенности регулярной кривой ее кривизной и кру-
чением.
56
Пусть заданы три последовательности чисел:	, sn, у?ь...
. . . ,	р 0Ь . . . , 0п-2 такие, что s} > О, О < & < я, О <0/ <2я.
Пусть в пространстве заданы точка PQ, проходящая через нее ори-
ентированная плоскость а и направление отрезка ах. Тогда в про-
странстве существует единственная ломаная с отрезками az дли-
ны s], углами кривизны у?/ = щ и углами кручения 3j = 0,-.
Будем строить ломаную; последовательно добавляя звенья.
В заданном направлении отрезка a i отложим от точки Ро отрезок
длины 71. Конец его обозначим Pt и от этой точки под углом y?i к
отрезку а{ в плоскости а отложим отрезок а2 длины Г2. Конец это-
го отрезка обозначим Р2. Так как плоскость^ проходящая через от-
резки а{ и а2, определена, то определен вектор В плоскости
с нормалью а2 вектор повернем на угол 01. Получим вектор 02,
а значит, и плоскость, в которой должен лежать следующий отре-
зок а3. Продолжаем это построение для следующих звеньев. Еди-
ничный вектор, идущий по отрезку af, обозначим е,. Тогда для
каждого i мы определяем
ei+1 = cosy?f et + sin^z [£•, ej,
ft+! = cos ft ft + sin ft [e/+1, ft].
Таким образом, в пространстве определяется ломаная, имею-
щая заданные sf-, и 0Z. .
§ 15.	КРИВЫЕ С ПОСТОЯННЫМ ОТНОШЕНИЕМ КРИВИЗНЫ
И КРУЧЕНИЯ
Обозначим y/k2 + к2 = р. Так как для рассматриваемых кривых
отношение Л/к постоянно, то можем записать
fc = pcosy?, K=psiny?,
к
где у? = arctg— = const. Запишем уравнения Френе в следующем
Л
виде:
dr
----- = cosy? Р,
pds
dv
---- = -cosy? т + siny? 0,
pds
W
----= —sin y? P.
pds
57
Введем на кривой новый параметр о:
о = f pds.
Используя уравнения Френе, получим уравнение
d2v	d.T	dp
—: = —costf — + sin^ — = — v.
do2	do	do
Из теории дифференциальных уравнений следует, что общее реше-
ние этого уравнения имеет вид
v~ cos о а + sin о
где а и b — постоянные векторы. Так как v — единичный вектор,
то а2 + b2 - 1 и (а, Ь) = 0. Таким образом, главная нормаль кри-
вой, у которой */к постоянно, лежит в фиксированной плоскости.
Интегрируя первое уравнение Френе, получим касательный вектор
кривой
т = cos f (cos о а + sin о b) do + с =
= cos^ (sin о а — coso b) + с,
где с - постоянный вектор. Если с = 0, то кривая плоская. Пусть
с Ф 0. Имеем
т2 = cos2^ + 2cos^ (sin о а - coso b, с) + с2 - 1.
Так как уравнение выполняется тождественно по о, то коэффи-
циенты при sin о и cos о равны нулю. Следовательно,
(а, с) = (Ь' с) = 0, с2 = sin2ip.
Это означает, что вектор с ортогонален к плоскости векторов а и b
и его длина равна sin <р. Отсюда следует, что касательный вектор
кривой с постоянным отношением Я/к составляет постоянный угол
с фиксированным направлением с. Кривые, касательные к кото-
рым образуют постоянный угол с некоторым неизменным на-
dr
правлением, называются линиями откоса. Так как — = т,то, ин-
тегрируя это уравнение, получаем радиус-вектор кривой
r = r0+cos^ f (sino а - cos о b) ds + cs.	(1)
о
В этом уравнении о является неизвестной функцией от st кото-
рая может быть задана произвольно. Итак, мы установили, что
кривая с постоянным отношением к!к имеет вид (1). Справедливо
и обратное.
Частным случаем этой кривой является кривая с постоянными
кривизной и кручением. В этом случае р = р0 = const и параметр о
58
пропорционален s, т.е. а = pos. Получаем параметрическое пред-
ставление кривой:
r = rQ+costp f (sin pos а — cospos b)ds+ cs =
о
COStp
= r0------(cosp0sa + sinp0 s b) + cs.
Pq
Через точку О с радиус-вектором г0 проведем плоскость, парал-
лельную векторам а, Ь. Проекция кривой на эту плоскость явля-
ется окружностью с центром О и радиусом cos <р/\Д'2 + к2 . Следо-
вательно, кривая расположена на цилиндре с осью, параллельной
вектору с. При изменении s от —о© до +°° проекция кривой пробе-
гает окружность бесконечное число раз, в то же время ее проекция
на ось цилиндра пробегает всю ось, причем сдвиг точки в направле-
нии оси пропорционален углу поворота. Эта кривая называется
винтовой линией. Величина сдвига по оси при полном обороте
вокруг оси называется шагом винта.
Запишем уравнение винтовой линии, когда ее ось совпадает с
осью z:
х=а cos со г, y=tfsincor, z-bt.
§ 16.	СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА
Для плоской кривой мы уже определили соприкасающуюся ок-
ружность. Пусть теперь 7 — пространственная кривая. Определим
для 7 соприкасающуюся сферу. Возьмем на ней четыре точки Ро>
61, Q2 и Q3. Если они не лежат в одной плоскости, то через них
можно провести единственную сферу 5. Пусть точки Qi стремятся
к точке Pq . Предельная сфера, если она существует при Q -> Ро >
называется соприкасающейся сферой кривой в точке Pq. Ее центр
и радиус являются пределами центров и радиусов соответственно
сфер S при Qi -+Pq.
Пусть точке Ро соответствует значение параметра tQ, а точке Qi —
значение параметра г0 + fy. Найдем центр сферы, проходящей че-
рез четыре точки. Если взять на сфере две точки Ро и Cz> то ее
центр расположен в плоскости, ортогональной отрезку PO<2Z- и про-
ходящей через его середину. Центр сферы - точка пересечения трех
таких плоскостей. Запишем уравнение одной из них. Пусть х — ра-
диус-вектор текущей точки плоскости. Радиус-вектор середины
отрезка Р0С/ есть lr(^o) + r(^o + fy)]/2, а направление отрез-
ка PqQ^ ортогонального плоскости, естьг(tQ +hi) — r(tQ). Поэто-
59
му уравнение искомой плоскости имеет вид
(1)
Система трех таких уравнений при i = 1, 2, 3 задает точку пере-
сечения плоскостей — центр сферы. Пусть начало координат рас-
положено в точке Ро, т.е. г (t0) = 0. Используем разложение (1) § 12
радиус-вектора кривой в окрестности точки PQ. Пусть г, р, 0 — ес-
тественный трехгранник в точке Ро. Тогда уравнение (1) можно
записать так:
1	Г
(x,r(t0 +hi)-r(t0))—-г2 (to +hi) = (x,T)\hi-—-'-
2	L	6
Г kti}	t h? 1	kKhf	1 n a
+ (x, l')| ~+*~ +	~^hi+° (W = °-
L 2 о J	о	2
Соберем в левой части члены с одинаковыми степенями Л/. Получим
(х,т)Л1+-у [<Х, V) к - 1 ] +-у [(x,0)kK+k'(x,v)-
— к2 (х, ;)]+o(h3) = 0.	(2)
Если разделить это уравнение на hj и устремить Л/ к нулю, то, с
учетом о (hf) fhi ~>0, получим
lim (х, г) = 0.
Qi^P.
Это означает, что центр соприкасающейся сферы расположен в нор-
мальной плоскости кривой, соответствующей точке Ро. Возьмем
два уравнения (2) с i = 1 и i = 2 и вычтем одно уравнение из друго-
го. Получим
(hi - h2)A +(h\ - h2)B= —----------
hi h2
(3)
где А и В — коэффициенты при h2 и hf в уравнении (2). Разделим
уравнение (3) на /ц — h2 и устремим Л, 0. Будем считать, что
точки Qi стремятся к точке PQ равномерно. Например, положим
Л1 =—Тогда
Г о (h3) _ о (hl) 1 __1	= o(h3i)	о
L hi h2 J hi - h2 h}
Следовательно,
lim [(x, p) k- 1] =0.
Qi^P.
60
Наконец, если записать уравнение, аналогичное (3), но со смеще-
ниями Л1 и Л3, то с помощью этих двух уравнений получим
3	о (Л?)
В= S ----------—------------.
i = 1 (hi - hj) (hi - hk)
i Ф / Ф к
Положим, например, hx = —h2 9h3 =2hx. Тогда в правой части стоит
бесконечно малая величина вида о (hD/hf 0 при hv ->0. Поэтому
lim [(х, /3) кк + к' (х, р) - к2 (х, т)] = 0.
Qi^P.
Если х0 — радиус-вектор центра соприкасающейся сферы, то можем
записать
1	-к'
(Хо,р)=—, (хо,0)=7Т~,
к	кк
т.е. радиус-вектор центра соприкасающейся сферы можно пред-
ставить так-.
1 *'
Xo=r(t9)+—v-—	(4)
к	к* к.
Отсюда следует, что радиус R соприкасающейся сферы равен
Рассмотрим сферическую кривую, т.е. кривую, целиком располо-
женную на некоторой сфере. Так как в этом случае центр соприка-
сающейся сферы постоянен, то, дифференцируя (4) и применяя
формулы Френе, получаем
,	/ 1 \'	1	/ к'\' kf
*0=1-+ — v+—(-kT + к/3)—) 0+——к»=0,
\ к / к	\ к2к/ кк
, (к	/ к' \ ')
0 = о‘	(5)
( к	\к2к/ }
Следовательно, для сферической кривой должно выполняться урав-
нение
к d / 1 d / 1 \ \ л	/хч
— +— /----------1 —) 1=0.	(6)
k ds \ к. ds X к / /
Это уравнение удобнее записать для радиуса кривизны кри-
1
вой р =—. Введем вместо s параметр о:
к
о = f к ds.
61
Тогда уравнение для радиуса кривизны сферической кривой имеет
вид
d2p
<7)
Из теории дифференциальных уравнений следует, что общее реше-
ние этого уравнения является линейной комбинацией cos о и sin о:
p = c1coso + c2sino.
где С/ = const.
Покажем, что если кривизна и кручение кривой удовлетворяют
уравнению (6), то кривая лежит на некоторой сфере. Запишем
производную от квадрата радиуса соприкасающейся сферы:
dR2 1 / 1 \'	1 / 1 V к к'
---- =2—| — J +2 ------I-----1 =2—I — I +2-----------=0.
ds к \к /	к2 к \ к2к / к\ к / к к2к
Поэтому R2 = const. В силу уравнения (5) центр соприкасающейся
сферы также постоянен. Рассмотрим (4). Перенесем г (t0) в левую
часть и возведем в квадрат:
[х0 -г fro)]2 =^2 = const.
Это уравнение сферы с центром в точке х0 и радиуса R, т.е. кривая
лежит на сфере. Таким образом, уравнения (6) или, что то же са-
мое, (7) характеризуют сферические кривые.
§ 17. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
В аналитической геометрии изучаются свойства кривых второго
порядка - эллипса, гиперболы и параболы. Здесь мы кратко
рассмотрим некоторые другие специальные кривые.
Лемниската Бернулли - одна из самых замечательных кривых
четвертого порядка. Пусть на плоскости выбраны две точки Fr и F2.
Кривая на плоскости, описываемая точкой М9 так что произведе-
ние расстояний MF х и MF2 остается постоянным числом р, назы-
вается лемнискатой. Точки Fr и F2 называются ее фокусами. За-
пишем уравнение лемнискаты. Пусть начало координат располо-
жено в середине отрезка FXF2 и ось х направлена по этому от-
резку. Расстояние между и F2 обозначим через 2а. Пусть точ-
ка М лемнискаты имеет координаты х, у. Координаты точек Fr и
F2 будут соответственно а, 0 и —а, 0. Имеем
MFt = \/(х - а)2 +у2, MF2 = \/(х + а)2 +у2.
По определению лемнискаты имеем
[(х-а)2 +/][(*+л)2 +у2] = Р2.	(1)
62
Из самого определения следует, что кривая симметрична относи-
тельно осей координат. Найдем точки пересечения лемнискаты с
осью х. Полагая в уравнении (1) у =0, для точек пересечения по-
лучаем
X2 - а2 = + р.
Если а2 = р9 то точки пересечения имеют координаты
0,0 и ± у/p + а2,0.
В этом случае лемниската имеет вид восьмерки с точкой самопе-
ресечения в начале координат (рис. 17).
Пусть р < а2. Тогда для точки пересечения кривой с осью х име-
ем х2 -а2 + р > 0. Имеются четыре точки пересечения лемнискаты
с осью х: (± \Л2 ± Р, 0) • Лемниската в этом случае состоит из двух
замкнутых овалов (рис. 18).
Если р > а2, то имеются лишь две точки пересечения лемнискаты
с осью х: (± \/а2 + р9 0). Лемниската является одной замкнутой
кривой, гомеоморфной окружности (рис. 19).
При каждом фиксированном р уравнение (1) определяет неко-
торую кривую. При изменении р получим семейство кри-
вых (рис. 20). Заметим, что лемнискату можно начертить шарнир-
ным механизмом.
Определяют также лемнискаты с произвольным числом фоку-
сов. Пусть на плоскости взяты п точек Fx, . . . , Fn. Кривая, каж-
дая точка которой обладает тем свойством, что произведение ее
63
расстояний от всех точек Ft имеет постоянное значение, называ-
ется лемнискатой с п фокусами. ЕслиТИ — точка кривой, то
MF\ *MF2 •... • MFn =р = const.
Спираль Архимеда — кривая, которая в полярных координатах
задается уравнением
р = с0<р+с1,
где с0 и Ci — постоянные. Спираль состоит из бесконечного числа
витков. Она начинается в полюсе О полярной системы координат,
и при увеличении точка спирали все более отдаляется от начала
координат (рис. 21). С помощью спирали Архимеда любой угол
можно разделить на какое угодно число частей, пользуясь при этом
еще только циркулем и линейкой. Делается это следующим обра-
зом. Допустим, угол АОВ нам надо разделить на три равные части.
Расположим спираль так, чтобы она касалась в точке О прямой ОА.
Возьмем какую-нибудь точку пересечения спирали с лучом ОВ.
Обозначим ее через С. Отрезок ОС с помощью циркуля и линейки
разделим на три равные части. Проведем окружность с центром
1
в О и радиусом ~ ОС. Пусть она пересекается со спиралью в точ-
ке D. Тогда угол AOD будет третьей частью угла ЛОЯ Действитель-
но, изменение длины р радиус-вектора точки спирали пропорцио-
нально углу поворота. Имеем
р (0, с) = с0 LAOB,
1
— р(0, с) = с0 LAOD,
3
где р (0, с) — длина отрезка ОС. Поэтому L.AOD АОВ.
Логарифмическая спираль — кривая, найденная независимо Де-
картом и Торичелли. Она широко используется в технике. Ее мож-
64
но часто встретить и в живой природе. В полярных координатах
уравнение логарифмической спирали следующее:
р = роес,р,
где ро и с — постоянные. Пусть, например, с > 0. При <р ->
кривая неограниченно приближается к полюсу, делая бесконечное
число витков, а при <р -*+°° точка кривой неограниченно удаляется
от полюса (рис. 22).
Имеет место следующее замечательное свойство логарифмичес-
кой спирали: кривая пересекает все лучи, выходящие из полюса,
под прямым углом.
Для доказательства этого свойства найдем угол, который состав-
ляет касательный вектор к спирали с полярной осью. Пусть т =
= {*i, Уз} ~ единичный касательный вектор к кривой. Декартовы
координаты точки кривой есть
х =p0ec*’cos<p,
у = poec*’sin<p.
Следовательно, производные декартовых координат по углу <р
имеют вид
х\р =ep0ec*,cos(p-poe^^sincp,
= cpQec* sirup + PqC^ cos<p.
Отсюда находим
x!p + fy, =Poe2c,p(c2 + 1).
Единичный касательный вектор к спирали имеет вид
{с cos<р — sin <р с sin <р + cos <р]
----= { cos(<p + (ро ), sin((p + <р0)},
\]сг + 1 у)сг + 1 J
где
с	1
cos(po = ‘~7:—f, sin <pQ = ~~/— -.
\Jc2 + 1 Vc + 1
Следовательно, угол между т и радиус-вектором будет
<р + «Ро — <Р = <Ро = const.
Приведем примеры некоторых других спиральных кривых.
Спираль, наматывающаяся на окружность. В полярных коорди-
натах она задается уравнением
р = р0 + е**-
Пусть с > 0 и Ро > 0. При <р ->-оо длина полярного радиуса р не-
s. ю.А. Аминов
65
ограниченно приближается к р0, т.е. кривая наматывается на
окружность радиуса р0 с центром в полюсе.
Спираль, наматывающаяся на две окружности Уравнение ее
можно записал» в полярных координатах так:
аг + а2е*
р =---------- ,
Ь{ + Ь2е*
где а, и bi — положительные постоянные. Пусть axb2 —a2bt < О,
тогда р изменяется монотонно с изменением^ и при ->+°° р стре-
мится к a2jb2, т.е. кривая приближается к окружности радиуса
a2jb2. При ©о кривая приближается к окружности радиуса
a^lbi, лежащей внутри первой.
Локон Аньези — кривая (рис. 23), которая в декартовых коор-
динатах задается уравнением
Л о о ’
а2 + х2
где а = const. Она названа, так в честь женщины-математика XVIII в.,
которая, в частности, доказала, что любое кубическое уравнение
имеет три корня.
Циссоида Диоклеса (II в. до н.э.) открыта в поисках решения
знаменитой делосской задачи об удвоении куба. Эта кривая строит-
ся с помощью окружности. Возьмем окружность радиуса айв ней
диаметр О А (рис. 24). Проведем касательную прямую к окружнос-
ти в точке А и через точку О проведем прямую до пересечения с
касательной. Точку пересечения обозначим В. Пусть С — точка
66
пересечения отрезка О В с окружностью. От точки О на отрезке О В
отложим отрезок ОМ, равный отрезку СВ. Множество получаемых
таким образом точек М образует циссоиду. Это алгебраическая
кривая третьего порядка, задаваемая уравнением
2а — х
В параметрическом виде она задается так:
а	а
t2 + 1 ’	3 t(t2 + 1) ’
Название кривой происходит от греческого названия плюша, форму
листа которого напоминает эта кривая.
Интересный класс кривых, имеющих широкое применение в
технике, составляют трохоиды или рулетты — такие кривые об-
разуются движением точки какой-нибудь двигающейся кривой
по другой неподвижной кривой. К их числу относятся циклоиды,
эпициклоиды и гипоциклоиды. Эти кривые получаются движением
точки окружности, которая катится без скольжения по некоторой
прямой или окружности.
Пусть окружность радиуса а движется по прямой, например
по оси х. Тогда каждая взятая на окружности точка описывает
циклоиду. Уравнение циклоиды
х = a(ip - sin<p),
у = а(1 - cos^)-
Докажите, что точки .у = 0 являются особыми для кривой (рис. 25).
Рис. 25
Эпициклоида и гипоциклоида Пусть по окружности радиуса а
движется окружность радиуса \а. Если вторая окружность нахо-
дится вне первой, то ее точка Р описывает эпициклоиду (рис. 26).
Если же она находится внутри первой окружности, то точка Р
описывает гипоциклоиду (рис. 27).
Эпициклоида с Х=1 называется кардиоидой. Гипоциклоида
с X = 1/3 называется астроидой.
5
67
Докажите, что уравнение эпициклоиды —
х
— = (1 + X) cosX^ - Xcos(l + Х)(£,
а
У
—	= (1 + X) sin Х^ - Xsin(l + X) <р9
а
а уравнение гипоциклоиды -
х
—	=(1 - X) cosXtp + Xcos(X- 1)<р,
а
у
—	= (1 — X) sinXcp + Xsin(X - 1)<р.
а
Конхоиды. Эти кривые обладают тем свойством, что для любой
прямой, проходящей через фиксированную точку О, длина ее,
отрезка между кривой и некоторой фиксированной прямой пос-
тоянна. Их уравнение
(х -а)2(х2 +у2) - d2x2 = 0.
Следовательно, это кривые четвертого порядка. Их также называют
конхоидами Никомеда. Для механического вычерчивания их су-
ществуют особые приборы ’’Никомедконхоиды”. На рис. 28 пред-
ставлены изображения этих кривых при различных значениях
параметров d и а.
Улитка Паскаля — кривая, названная так в честь французского
математика XVII в. Этьена Паскаля — основателя Парижской ака-
демии наук. Эта кривая является геометрическим местом точек М
таких, что для прямой ОМ длина ее отрезка МС между кривой и
некоторой фиксированной окружностью постоянна (рис. 29).
68
Розами называют кривые, задаваемые уравнением p = asinA:ip.
Если к - рациональное число, то кривая алгебраическая четного
порядка.
§ 18. КРИВЫЕ В МЕХАНИКЕ
Пусть материальная точка движется по некоторой кривой у в
пространстве. Пусть параметр t обозначает время, $ - длину дух:и
на кривой. Можем рассматривать длину дуги как функцию вре-
ds
мени t. Тогда величина — является величиной скорости v дви-
dt
жения точки по кривой. Вектор скорости v направлен по касатель-
ной прямой к кривой у:
f
N^rt
, ds
S dt
dv
Вектор ускорения ---- лежит в соприкасающейся плоскости
кривой:
dv п / ds\2
dt	\dt /
d2s
dt2

Так как по закону Ньютона ускорение пропорционально
действующей на тело силе F, то чем больше искревлена траек-
тория движения, тем большая сила действует на движущуюся
69
точку. Если материальная точка движется по кривой с постоян-
ds
ной скоростью и=—р = с, то вектор ускорения направлен по
главной нормали кривой, причем величина ускорения равна Кс2,
где к — кривизна кривой. Такое движение описывает, например,
частица с электрическим зарядом в магнитном поле.
Тело движется под действием как внешних сил (в силовом
поле), так и под действием внутренних сил, например реактивных
сил.
Рассмотрим движение тела в силовом поле. Будем считать, что
сила F, действующая на материальную точку, является векторной
функцией точки пространства, вектора скорости движения и
/	dr	\
времени Z, т.е. F -Fir, ---, 11. В одних случаях функция F
\	dt	/
зависит только от г, как, например, сила тяготения неподвижного
dr
центра, в других случаях F зависит только от скорости , как,
например, в случае свободного движения тела в сопротивляющейся
среде. Запишем уравнения движения в общем виде;
d2r	( dr	\
т —- =Flr, — , 11.
dt2	\	dt	/
Рассмотрим отдельные случаи.
Движение в параллельном силовом поле. Пусть сила F парал-
лельна постоянному вектору а, т.е. F = X(r, v) о, где X(r, v) —
скалярная функция. Тогда кривая лежит в плоскости, параллель-
ной вектору а.
Вдоль траектории движения г(/) функция X(r, v) будет некото-
рой функцией времени Л
Обозначим
</>(*) = У Х(г(г),у(О)л.
^0
Интегрируя уравнение (1), получаем
dr	dr
т—(?) =-----(t0)m +a<p(t),
dt	dt
t
mr(t) = r(tQ)m + mvot + a f <p(t)dt.
Следовательно, траектория лежит в плоскости вектора а и
начального вектора скорости v0.
70
Движение в центральном силовом поле. Пусть cmiaF, приложен-
ная к точке, проходит через фиксированную точку пространства,
например через начало координат. Это означает, что F = X(r, v) г,
где X(r, v) — скалярная функция. Тогда траектория движения
лежит в некоторой плоскости, проходящей через начало координат.
Уравнение движения имеет вид
d2r
т~ =Цг,у)г.	(1)
dt2
Г dr Л
Покажем, что векторное произведение! г, ------ I есть постоян-
I dt \
ный вектор. Действительно, в силу (1) имеем
d\	dr I d2r I	X
— Г, — = г, —-	=— [г,г] =0.
dt\	dt J L dt J m
Г dr 1
Итак, r,---- = с. Умножая это уравнение скалярно на г, получаем
L dt J
/Г dr 1 \
I г, — ,г|= 0= (с,г).
\ L dt J /
Следовательно, координаты точки траектории удовлетворяют
уравнению плоскости, проходящей через начало координат. Эта
плоскость определяется начальным положением точки и начальным
вектором скорости. Имеет место и обратное утверждение:
Теорема Альфана. Если все траектории материальной
точки, находящиеся в постоянном силовом поле, являются плоски-
ми кривыми, то все силы поля проходят через одну и ту же непод-
вижную точку или параллельны постоянному вектору.
Движение материальной точки в поле сил тяготения. Положим
Г.
F =------, где р — некоторое постоянное положительное число.
г3
Уравнение движения
d2r	рг
m----- =---------
dt2	г3
умножим скалярно на drfdt. Тогда получим
d / dr \2	р dr2	d	1
m —I -------1 = - — ------= p  — .	(2)
dt\ dt /	p dt	dt \r\
Введем координаты в пространстве так, чтобы плоскость х, у
совпала с плоскостью движения точки, и в этой плоскости введем
71
полярные координаты р и <р. Положим
x = pcos<p, y = psin«p.
Тогда
/ dr \2	/ dp \2	[ dtp\2
I — ) =( —I + p2l-------) .
\dt J \ dt J \ dt J
Интегрируя уравнение (2), найдем
l7dj°V 2/^Vl , м
m И — I +p2|------I |=Л+ —,
Wdt J \ dt / J p
(3)
где A - некоторая постоянная. Выше мы нашли соотношение
Г 1
г, — = с. Проектируя его на ось z, получаем уравнение
I dt J
dy	dx
х -----=со-
dt	dt
В полярных координатах оно записывается просто:
2 d#
Р ~ = со.
dt
dtp
Выразим отсюда----- и подставим в (3). Тогда получим
dt
Г / dp \2	со 1	р
т I----। + —	= А + — .
l\dt f	р2 J	р
dp
(4)
dp	dt
Отсюда найдем ----, полученное выражение умножим на ------ и,
dt	dtp
dt ’
учитывая (4), найдем
/ 1 \2
М	('	У
------- I =-е11 	 +С2	+С3,
\ dtp J	\ р-/
где Ci - постоянные. Интегрируя это уравнение, получаем урав-
нение траектории
1
— = с4 + ус? cos (tp - tpo) ,
Р
где <Ро — начальное значение угла tp. Это уравнение конического
сечения с фокусом в полюсе.
72
Движение частицы с электрическим зарядом в электромагнит*
ном поле. Пусть частица массы тп и с электрическим зарядом е
движется в пространстве под действием электрического поля Е
и магнитного поля Я. Электрическая сила, действующая на части-
цу, равна еЕ\ сила, действующая на частицу со стороны магнитно-
е Г	dr
го поля, по закону Лоренца равна — Я, —
с [	dt
, где с — скорость
света. Следовательно, можно записать уравнение движения:
d2r	е Г	dr Л
tn------= еЕ + — Я,------- .
dt2	с L	dtj
dr
Умножая это уравнение скалярно на — , получаем
dt
(5)
du2 ni
2
= е(Е, dr),
где и - скорость частицы. Отсюда вытекает следующее утверж-
дение.
Если электрическое поле равно нулю, т.е. частица с электри-
ческим зарядом движется в магнитном поле, то скорость движе-
ния постоянна: и = const.
Тогда можно исключить время, используя дугу s кривой, описы-
ваемой точкой: s = vQ (t — t0).
Допустим, что магнитное поле Я создается единственным маг-
нитным полюсом. Расположим начало координате магнитном пол ю-
fc	/~7---Т
се. Тогда Я имеет силовую функцию U- — , где р = V* +У + 2 ,
Р
г
т.е. Я =------к, к = const.
Р3
Уравнение движения имеет вид
d2r	Г	dr 1 1
р------ = г, ---- — ,
ds2	L	ds J р3
где р — постоянное число. Умножим это уравнение векторно на г.
Получим
d Г dr 1	1 I . dr г dr1}
р — — , г = — {г--------------------} -
ds	L ds	J	р3	I	ds	2	dsl
1	dr	r	dp	d / r	\
p	ds	p2	ds	ds \ p	/
73
Интегрируя это уравнение, найдем
Г dr I г
р — . г =— + а,
L ds р
где а — постоянный вектор. Умножая скалярно наг, находим
р + (а, г) = 0.	(6)
Это уравнение показывает, что отношение расстояния от движу-
щейся точки (х, у, z) до начала координат к расстоянию от этой
точки до плоскости (а, г) = 0 постоянно, т.е. (6) — уравнение
кругового конуса. Следовательно, траектория точки лежит на
круговом конусе с вершиной в начале координат — в магнитном
полюсе. Эта траектория не может быть произвольной кривой на
конусе: траектория является геодезической линией конуса, т.е.
линией, которая после разворачивания конуса на плоскость перей-
дет в прямую.
Движение частицы в постоянном электромагнитном поле. Пусть
поля Е и Н постоянны во времени и в пространстве. Запишем урав-
нения движения
d2r
dr '
т---- =еЕ + р Н, —
= еЕ + р ~ [Н,г],
dt
_ ’ dt
dt2
где е и р - постоянные. Интегрируя уравнение, найдем
dr
m — - eEt + р [Я, г] + с.
dt
Далее удобно использовать специальный выбор координате прост-
ранстве. Направим ось z вдоль вектора Я, ось у — ортогонально
плоскости векторов Е нН. При таком выборе координат
Е = {^,0, F3} , Я= {0,0, Я3} .
Тогда можно записать
dx
m — = еЕх t - Н3ур +С!,
dt
dy
m — =Я3ха1 + с2(	(7)
dt
dz
m — = eE3t +c3.
dt
Дифференцируя первое уравнение и используя второе, находим
d2 х	Н3р
~ = -а2 (х +р), а = -----,
dt*	m
74
где а и р - некоторые постоянные. Введем функцию х + р -и, ко-
торая удовлетворяет уравнению
d2 и
---- = -а и.
dt2
Решая это уравнение, получаем
х = -р + sin (а г + а)Л.
Подставляя это выражение во второе уравнение (7) и затем интег-
рируя, находим
у = -qt + Z? - cos (at + а) А.
Наконец, третье уравнение дает
z = Xt2 + vt + т,
где величины р, q,b,X,v и т постоянные. Полученное движение
можно представить в виде суммы движений — равномерного дви-
жения по окружности
х = A sin (at + а),
у = -A cos (at +а)
и движения окружности, центр которой перемещается по плоской
кривой х = ~р, у = qt + b, z = Xt2 + vt + т. При этом окружность
все время остается параллельной плоскости х, у. В том случае,
когда постоянные X и q равны нулю, частица движется по винто-
вой линии.
§ 19. КРИВАЯ, ЗАПОЛНЯЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Для того чтобы продемонстрировать сложное поведение простой
кривой, построим кривую, расположенную на торе, которая запол-
няет его всюду плотно. Для этого сначала запишем уравнение для
поверхности тора. Она образуется как множество точек, заметае-
мое окружностью а, при перемещении ее центра по другой непод-
вижной окружности 3, причем плоскости окружностей ортогональ-
ны. Радиус-вектор г точки поверхности тора мы запишем как век-
тор-функцию от двух параметров <р и в. Дня этого окружность 3
поместим в плоскость х, у, а ее центр — в начало координат О.
Пусть радаус окружности 0 равен/?, а окружности а равен р. Пусть
— координатные орты и Р — точка на окружности Пусть —
угол между ех и ОР, отсчитывемый 0Tet в положительном направ-
лении. Тогда можем записать
ОР~ R (costp в] +sin</?e2).
75
Единичный вектор (cos</> ei + sine2), направленный вдоль OP,
обозначим v (<р). Окружность а расположена в плоскости 7, прохо-
дящей через начало координат и векторы е3 и ОР, а ее центром
является точка Р, При вращении плоскости 7 точки окружности а
опишут поверхность тора (рис. 30). Пусть Q — точка окружности а.
Тогда радиус-вектор OQ можно записать как сумму OP + PQ. Но
вектор PQ является линейной комбинацией векторов v и е3. Пусть
О — угол между PQ и v. Тогда можем записать
PQ = Р (cos0 v + sin0 е3).
Итак, радиус-вектор г точки поверхности тора имеет вид
r(^,0) = R(cos^e1 +sm(pe2) + P[cos0(cos^e1 + sin<pe2) + sin0e3].
Пусть теперь 0 является линейной функцией от :
0 = Х<р,
причем X — иррациональное число. Тогда при изменении от - о©
до +оо точка Q опишет некоторую кривую Г. При изменении от 0
до 2я точка кривой, обегая тор, опять встретится с окружностью а.
В этой точке пересечения Г с окружностью а значение 0 = Х2я,
а при изменении от 0 до 2пк соответствующее значение 0 будет
изменяться от 0 до Х2лк. Если X — рациональное число plq, то
кривая, совершив q оборотов по <р и р оборотов по 0, замкнется.
Если же X — иррациональное число, то в пересечении кривой Г с
окружностью а получим бесконечное число точек. Покажем, что
эти точки попадают в окрестность любой точки окружности, т.е.
точки с 0 = Х2лк расположены на окружности всюду плотно. Рас-
смотрим отображение g окружности а на себя, ставящее в соот-
ветствие точке с углом 0 точку с углом 0 +Х2я, т.е.g (0) =6 + X 2я.
Отображение а на себя, полученное повторением g к раз, обоз-
начим через gk. Отображение g сохраняет длины дуг окружностей,
т.е. длина дуги образа отображения g равна длине дуги прообраза.
Покажем, что для любой точки Q Е а, которой соответствует
угол 0, и любого е найдется бесконечное число значений к таких,
76
что
10-gk (0) I < e.
Действительно, рассмотрим дугу U, содержащую Q, длины
меньше е/2. Так как дуги U, g (U),... ,gk (U),... имеют равные
длины, то в их бесконечной последовательности найдутся пересе-
кающиеся. Пусть пересечение gk (U) О gl (U) не пусто, к> I. Каж-
дое отображение gk на U является взаимно однозначным. Обрат-
ное отображение обозначим черезg~k.
Рассмотрим множество М = gk~l(U). Заметим, что gz(Af) =
= gk (U). Пусть РЕ gk (U) О g1 (U). С одной стороны,g~1 (Р) СМ,
с другой- g~l (Р) С U. Поэтому пересечение gk"1 (U) И U не пусто.
Положим т = к - /. Тогда | в —gm (0) | < е. Пусть для числа е ука-
зано число т9 удовлетворяющее приведенному неравенству. Тогда
точки 0, gm (0), g2m (0),..., g*"1 (0),... разобьют окружность
на равные дуги, длины меньше е. Поэтому для любой фиксиро-
ванной дуги окружности можно найти 6 и т, так что точки gkm (0)
попадут внутрь этой дуги. Следовательно, множество точек gk (в)
всюду плотно на окружности. Поэтому и кривая 0 = Х^р покры-
вает тор всюду плотно.
Спроектируем эту пространственную кривую на плоскость х, у.
Запишем параметрические уравнения проекции:
х = cos ср (Р + р cos Хер),
у = sin.<p(R + р cosXcp).
Если R > р, то проекция является регулярной кривой, покрываю-
щей кольцо между концентрическими окружностями всюду плотно.
§ 20. КРИВЫЕ С ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛОЙ ПРОЕКЦИЕЙ
Цилиндром будем называть поверхность, образованную парал-
лельным переносом прямой вдоль некоторой кривой у. Кривая у
называется направляющей. В качестве кривой у возьмем плоскую
кривую, лежащую в плоскости х, у, а прямолинейную образующую
будем считать параллельной оси z.
Рассмотрим регулярные кривые, лежащие на каком-либо задан-
ном цилиндре. Пусть г0 (f) — уравнение плоской кривой у и t -
длина ее дуги, е — постоянный единичный вектор, направленный по
образующей цилиндра. Кривую Г на цилиндре можно записать в
виде
r(t)=r0 (O+z(r)e,
где z (Г) — третья координата точки кривой. Обозначим через 1/р
77
кривизну 7- Запишем кручение к кривой Г:
,, „	z'"p + z"p' + Z —
(г ,г ,г )	________________р
К	22’	(О
| [г',г”] I2 1 +z' + z" р2
где штрихами обозначены производные по t. Если ip — угол, кото-
рый составляет касательная к r0 (t) с некоторым фиксированным
dt
направлением в плоскости кривой 7, то - = р. Будем считатьг
dtp
что р > О, т.е. кривая 7 локально выпукла. Примем угол <р за па-
раметр на 7 и будем считать zf функцией от <р, т.е. zr = i//(<p). За-
пишем выражение к через функцию ф и р. Имеем
ф^ = z'"p2 +z"pp'.
Используя эти выражения и (1), получаем
+ ф	f2)
к р =------------.
1
Применим эту формулу для исследования поведения кривой.
Рассмотрим, в каком случае кривая бесконечной длины с кривиз-
ной k > 0 и кручением к > к0 = const > 0, имеющая локально
выпуклую проекцию, не ограничена в пространстве? Заметим, что
кривая не обязана подниматься монотонно вверх по цилиндру,
как винтовая линия, даже если ее кручение положительно и ее
проекцией является выпуклая кривая. Например, кривая* = costp,
у = simp, z = ф - 2 sin ip имеет бесконечно много локальных мак-
симумов и минимумов компоненты z. В то же время ее кручение
к = 1/(6 + 4 cos^p) > 0, 1.
Имеет место установленная в работе [5]
Теорема. Регулярная кривая бесконечной длины с кривиз-
ной R > 0 и кручением к > к0 >0, имеющая замкнутую строго
выпуклую проекцию не ограничена в пространстве.
Прежде всего заметим, что из условия Лг^Оик^Ои выпукло-
сти кривой 7 следует, что кривая Г не касается образующей ци-
линдра. В противном случае в точке касания плоскость векторов
и и /3 параллельна плоскости х, у и проекция кривой имеет точку
возврата в точке касания, что невозможно. Поэтому z = z(t)
является регулярной функцией. Запишем (2) в виде
Ф^ + Ф = pQe>), где Q(y) = к(1 + ф2 + i//2).
78
Из теории дифференциальных уравнений следует, что ф можно
представить так:
К
ф(0о) ~ f sin(0Q - ip)Q(ip)p dip+A cos 6Q + В sin 0Q,
о
где А и В — произвольные постоянные. Начало координат поместим
в точку кривой 7. Координаты радиус-вектора г0 = {x,j} можно
записать в виде
t
x(t) = f cos<Xt) dr,
о
t
y(t) = J sin<p(r) dr,
о
где т — другое обозначение длины дуги у. Пусть длина всей
кривой 7. Положим 0 = <£ (г),	(т) и Q& (т)) = Q(r). Заметим,
что р dip = dr. Так как кривая у замкнута, приращение координа-
ты z кривой Г после однократного обхода кривой у будет
таким:
Az =	= JG(r)[ f sin(ip(t)-<p(r))dt] dr =
0	Or
= f в(т)(у'(т)х(т)-х'(т)у(т))ат.
0
Если a — угол, составляемый радиус-вектором rQ с осью х, то
х dy -- у dx = r^da, Из условия выпуклости кривой у следует,
da
что---- > 0. Можем окончательно записать
dt
1 ~	„ da
Az = f Q(T)r$-----dr > 2k0S,
o	dr
где S — площадь области на плоскости, ограниченной кривой 7.
Покажем теперь, что если Г имеет бесконечную длину, k Ф 0,
к > к0 > 0 и ее проекция имеет ограниченную сверху кривизну
1/р< const, то проекция тоже имеет бесконечную длину.
Это утверждение следует из леммы.
Лемма. Если кривая Г с к^О имеет локально вы-
пуклую проекцию с кривизной 11 р и длиной дуги t, то
г	? dt
| f к ds 1 < я + f —.	(3)
г	7 р
79
Для доказательства проведем дальнейшие преобразования
выражения (2):
К V*
кр — ------ 11+-------- I + ----------— —
1 + ф2 \	1 + ф2 /	1 + ф2 + ф*
Id	Ф& Ф
= —7==. ------arctg —-======== +---- .	(4)
yl+^2 dip x/l+’J'2	1+^2
Заметим, что p \/\+z'2 dip =ds - элемент длины дуги Г. Умножим
правую и левую части (4) на \/1 + ф2 и проинтегрируем по у.
Если Pq и Pi — точки кривой Г, Pq и Р{ - соответствующие точки
кривой у, то получим
Рг л Р'г *dt	Pl
f к ds ~ f —7=--" ^, = arctg —-=====	.	(5)
Выше мы показали, что z’t = ф — регулярная функция. Поэто-
му отсюда следует неравенство (3).
°° dt
Так как Г имеет бесконечную длину и к > к0 > 0, то f--= 00.
о Р
Следовательно, число обходов замкнутой кривой у стремится
к бесконечности, а поэтому и приращение координаты z стре-
мится к бесконечности, т.е. кривая Гне ограничена в пространстве.
Рассмотрим теперь кривую Г, имеющую локально выпуклую
проекцию. Оказывается, что в этом случае можно построить при-
мер замкнутой кривой с1>0ик>ко>0. Этот пример мы по-
строим ниже. Однако если постоянная к0 велика, а именно к0 >
1
> max -----, то такой пример невозможен. Имеет место
Теорема. Пусть кривая Г бесконечной длины регулярно
проектируется в локально выпуклую кривую у с кривизной 1/р,
удовлетворяющей неравенствам const > 1/р > 0, и кручением
1
к > sup----. Тогда кривая Г не ограничена в пространстве.
2 Р
Заметим, что число 1/2 для безразмерной величины кр являет-
ся в некотором роде критическим. Если кр > 1/2, то на развертке
цилиндра кривая Г будем иметь не более двух точек перегиба
и функция zss — вторая производная компоненты z по длине
дуги Г — при достаточно больших s не меняет знак. Если же
1
inf кр <— — е, где е > 0 — сколь угодно малое число, то функ-
у 2
ция zss может быть осциллирующей. Например, кривая на круго-
80
вом цилиндре x = cos tp, у = sin z = tp — b sin tp имеет круче-
ние к > 1/(2 +2Z> +Z>2), минимум которого при малом b мало от-
личается от 1/2. Функция zss, пропорциональная = b cosr<p,
осциллирует.
Покажем, что найдется такое что при tp > <р{ функция ф
изменяется монотонно. Действительно, если бы на кривой Г сущест-
вовали две точки PQ = P(tpo) и Pj = P(tpi), в которых = 0.
то, применяя (5), получаем
р*	1// dt р’ i// ds
f к ds = f ---р== = f —-----------— .
Ро р'	+Ф PopO+V'2)
г о
1
Так как к > sup — , то на отрезке |\р0, i ] функция i// = 1.
2 р
Поэтому либо на всем луче [<р0, °°) функция i// = 1, либо сущест-
вует самая правая точка tpx из множества тех точек, где = 0.
Из монотонности i// на луче °°) вытекает, что функция ф при
достаточно больших значениях tp сохраняет знак. Рассмотрим
отрезок X кривой, на которой ф сохраняет знак. Из неравенства
ф dt
f к ds - f----7-—^' < я,
х х р V1 + Ф2
примененного к отрезку X, получим
L	1
sup---- < Lkq < я + sup-----| Дг I,
2р	р
где Дг - приращение г на отрезке X. Так как отрезок X можно
взять бесконечной длины, то | Дг | -> °°, т.е. кривая Г не ограни-
чена в пространстве.
Построим теперь замкнутую кривую с локально выпуклой
проекцией и с кручением к > const > 0. Определим функции
i//(tp) = 1 - - 4 cos Xtp,
1
р = 1 COS Xtp, — 00 < ^ < «>,
где X - рациональное число такое, что X2 = 1 + е, 0 < е < 1/4.
Кривую Г определим равенствами
V7	V7
х = f р cos tpdtp, у - f psincp dtp, z = f \};pdtp.
000
Если X — рациональное число и X2 =# l, то компоненты радиус-
вектора Г будут периодическими кривыми. Нетрудно найти,
6. Ю.А. Аминов
81
что 1/2 < р < 3/2 и
4(Х2 - 1) cos + 1
кр = --------------~-------;------ .
1 + (1 — 4cos Х<р)2 + 16Х2 sin2 \<р
Отсюда видно, что при X2 - 1 < 1/4 величина кр больше некото-
рого положительного числа.
§ 21. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ
Пусть Г — замкнутая регулярная кривая в Е3 с кривизной к.
Докажем неравенство Фенхеля [12]
fk ds > 2л,	(1)
г
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда Г -
плоская выпуклая кривая.
Определим сферическую индикатрису касательных кривой Г.
Пусть Р - точка на Г и т(Р) - единичный вектор касательной в
точке Р. Единичный вектор т(Р) отложим от начала координат О.
Конец этого вектора при перемещении точки Р вдоль кривой
опишет некоторую кривую у, лежащую на единичной сфере. Кри-
вая у называется сферической индикатрисой касательных. Найдем
длину ее дуги, которую обозначим о. Длину всей кривой у обозна-
чим через I. Радиус-вектор у задается вектором r(s), причем
длина дуги s кривой Г будет некоторым параметром на у, ко-
торую можно рассматривать как возрастающую функцию от о,
т.е. s = s(o). Производная вектора т по о будет единичным ка-
сательным вектором к у. По правилу дифференцирования слож-
ной функции получим
dr	ds	ds
— = ts — = kv — .
do	do	do
Возводя в квадрат, получаем
ds V
1 = й I — I
\ do /
Следовательно, do = kds. Поэтому интеграл в формуле (1) явля-
ется ничем иным, как длиной индикатрисы касательных:
I = f do = f k ds.
э г
Значит, чтобы доказать неравенство Фенхеля, надо оценить
длину сферической индикатрисы касательных замкнутой кривой.
82
Сферическая индикатриса 7 замкнутой не плоской кривой облада-
ет следующим отличительным свойством: эта кривая пересекает-
ся с любым большим кругом сферы по крайней мере в двух точках
и потому не помещается ни на какой полусфере. Действительно,
рассмотрим пересечение 7 с большим кругом, лежащим в плоско-
сти, ортогональной вектору £. Если точка 7 принадлежит этому
пересечению, то это означает, что в соответствующей точке кри-
вой Г касательный к ней вектор ортогонален к £. Плоскость,
ортогональную к £ и проходящую через начало координат, обозна-
чим а. Так как кривая Г замкнута, то на ней всегда найдутся
точки, в которой функция расстояния h(P) от точки Р кривой
до плоскости а достигает максимума и минимума. В этих точках
касательный вектор т к Г параллелен а и поэтому в соответствую-
щих точках на кривой 7 большой круг, лежащий в плоскости а,
пересекает 7.
Предположим, что неравенство (1) не имеет места. Однако
мы покажем, что каждая замкнутая кривая, расположенная на
единичной сфере и более короткая чем 2я, содержится в открытой
полусфере. Для доказательства этого утверждения мы используем
следующее свойство больших кругов: для двух не диаметрально
противоположных точек на сфере кратчайшее расстояние среди
всех кривых на сфере, соединяющих эти точки, дает дуга большо-
го круга, с концами в этих точках.
Имеет место даже более общее утверждение, доказанное в [11].
Теорема. Пусть С ~ замкнутая кривая длины L < 2я, рас-
положенная на единичной сфере. Тогда существует точка m на
утой сфере такая, что расстояние по сфере от точки m до каждой
точки х Е С будет <Lf4.
Для любых точек а и b на сфере мы будем обозначать через
р(а, Ь) кратчайшее расстояние между этими точками по сфере.
Если р(а, Ъ) < я, то существует единственная точка m — центр
пары а,, b — такая, что р(а, т) = р(Ь, т) = р(а, Ь)/2.
Лемма. Пусть р(а, Ь) < тг, т - центр пары а, b и х - точка
на сфере, для которой 2р(т, х) < 77. Тогда
2р(т,х) < р(а, х) + р(Ь, х).	(2)
Для доказательства леммы через точки х м т проведем боль-
шой круг сферы и на нем от точки т отложим отрезок длины
р(т, х) в сторону, противоположную отрезку тх. Второй конец
этого отрезка х' - точка, симметричная х по отношению к т.
Имеет месте равенство р(х', а) = р(х, Ь). Так как 2р(т, х) < тг,то
р(х. х') = р(х'. т) + р(т, х) = 2р(т, х).
С другой стороны, для расстояний между тремя точками имеет
83
6
место неравенство треугольника. Применяя его, получаем
2р(т, х) = р(х', х) < р(х, а) + р(а, х) = р(х, Ь) + р(х, а).
Итак лемма доказана.
Пусть С — кривая, удовлетворяющая условиям теоремы. Возь-
мем на С две точки а и Ъ такие, что две определяемые ими дуги
кривой С были одной и той же длины: L (а, Ъ) = L (b, а) = L/2.
Так как р(а, b) (a, b) = L /2 < я, то определен центр т пары а, Ъ.
Покажем, что точка т удалена от каждой точки С на расстояние
<1/4. Возьмем какую-нибудь точку х 6 С. Предположим сначала,
что р(т, х) < я/2. Это предположение позволяет применить не-
равенство доказанной выше леммы. Пусть для определенности
х Е (а, Ь) и разбивает эту дугу на две дуги (а, х) и (х, 6). Тогда
L(a, х) > р(а, х), L(x, b) > р(х, Ь\
I(a,x)+Z(x,Z>) = L/2.
В силу (2) имеем
2р(т, х) < р(а, х) + р(х, Ь) < £/2.
Поэтому р(т, х) <Z/4. Итак, видим, что р(т, х), как функция
х Е С, не имеет значений в открытом интервале (L/4, я/2) — если ее
значение строго меньше я/2, то оно не больше L/4. Эта функция
непрерывна, и поэтому для всех точек кривой С либо p(m, х) <Л/4,
либо р(т, х) > я/2. Но 2р(т, а) = р(а, Ь) < я. Поэтому для всех
точек х имеет место 2р(т, х) < я. Теорема доказана.
Так как 7 не содержится на полусфере, то ее длина > 2я, что
и доказывает неравенство (1).
Рассмотрим теперь не имеющую самопересечений заузленную
кривую Г. Заузленность кривой означает, что ее нельзя непрерыв-
ной деформацией без самопересечений перевести в обычную окруж-
ность.
Для заузленной кривой имеет место неравенсгво Фэри - Мил-
нора [13-14]
f It d s > 4я.
г
Доказательство его можно провести с помощью следующей фор-
мулы интегральной геометрии [15]. Пусть на единичной сфере
со лежит замкнутая кривая у длины 7. Обозначим через п (£) число
точек пересечения у с большим кругом, лежащим в плоскости,
ортогональной единичному вектору %. Пусть dco$ — элемент площа-
ди сферы со в точке — конце вектора £. Тогда длина кривой 7
на со может быть выражена через интеграл от числа точек пере-
сечения п (£ ), взятый по всей сфере со:
' = “(3)
4 ш
84
Пусть Г — заузленная замкнутая кривая. Покажем, что в этом
случае кривая у пересекается с каждым большим кругом на со
не менее чем в четырех точках. Допустим, что 7 пересекается с
некоторым большим кругом только в двух точках. Это означает,
что функция расстояния h(P) от точки Р кривой до некоторой
плоскости а имеет только две экстремальные точки и Р2. Тогда
Г можно разбить на две дуги, так что на одной h(P) строго воз-
растает, а на другой строго убывает. Поэтому каждая плоскость 0,
параллельная а и расположенная между Р{ и Р2, пересекает Г в
двух точках Qi и Q2. Соединим их прямолинейным отрез-
ком Qi Q2. Совокупность этих непересекающихся отрезков образует
поверхность, на которой расположена кривая Г. Область, ограни-
ченная Г на этой поверхности, гомеоморфна кругу, так как нетруд-
но установить взаимно однозначное и непрерывное соответствие
точек каждого отрезка с точками хорд круга. Поэтому
кривая Г незаузлена, что противоречит предположению. Значит,
функция h(P) имеет по крайней мере три, а следовательно, и
четыре точки экстремума. Применяя формулу (3) и условие
п (|) >4, получаем неравенство Фэри — Милнора.
§ 22. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАМКНУТОЙ КРИВОЙ
ПО СФЕРИЧЕСКОЙ ИНДИКАТРИСЕ КАСАТЕЛЬНЫХ
В предыдущем параграфе мы установили, что любая большая
окружность на единичной сфере пересекает сферическую инди-
катрису касательных замкнутой кривой Г. Это означает,
что сферическая индикатриса у не умещается ни на какой
полусфере.
Рассмотрим следующий вопрос. Пусть на единичной сфере со
задана замкнутая кривая 7. В каком случае кривая у является
сферической индикатрисой касательных замкнутой кривой Г?
Оказывается, указанное выше необходимое условие на у явля-
ется и достаточным. Имеет место
Теорема. Для того чтобы замкнутая сферическая кривая у
была индикатрисой касательных замкнутой кривой Г, необходимо
и достаточно, чтобы у не помещалась ни на какой полусфере.
Эта теорема была доказана М.Я. Выгодским [10]. Мы изложим
простое доказательство из [9]. Пусть £ = £ (м) — параметрическое
задание кривой у и параметр и изменяется на отрезке \а, Ь]. Для
любого постоянного вектора а скалярное произведение (а, £),
взятое вдоль 7, изменяет знак (т.е. является знакопеременной
функцией от и}. В противном случае у не пересекается с большим
кругом, лежащим в плоскости, ортогональной а. Пусть х — радиус-
85
вектор искомой кривой Г и $ - длина ее дуги. Имеем
dx
~=
ds
Будем рассматривать 5 как монотонно возрастающую функцию
ds
параметра и и введем обозначение — = о(и). По определению
du
о(и) > 0. Имеем
х(й) — х(а) = f %(u)ds = f % (u)o(u)du.
а	а
Положим х(а) = 0. Рассмотрим множество М концов векторов
ь
х(Ъ) = f l(u)o(u}du,
а
(1)
отложенных от начала координат, получаемое при всевозможном
выборе положительных функций и{й) таких, что а(а) = а(Ь).
Множество М — выпуклое тело в пространстве Е3, т.е. если точки
Xi(b) и х2 (&) принадлежат М, то и весь отрезок прямой, соединяю-
щий Xi (Ь) с х2 (Ь), принадлежит М. Радиус-вектор точки из этого
отрезка имеет вид
х = XiXi(Z>) + Х2х2(&)>
где и Х2 - положительные числа. Для доказательства выпукло-
сти М нужно заметить, что если
ь
Xj(b) = f Oi(u)i(u)du
а
с некоторыми положительными функциями 0f(w), то точку х
получим, если возьмем положительную функцию a(w) = XjOi +
4 Х2 о2, т.е.
ь
f (XiOi +\2o2)%(u)du = XiXi(ft) + X2x2(Z>) = x.
a
Если начало координат — точка О — не принадлежит выпуклому
множеству М, то через точку О можно провести плоскость, не
пересекающую М. Пусть вектор е ортогонален этой плоскости.
Тогда для всех точек х из множества М скалярное произведение
(х,а) не меняет знак, например (х, е) >0. Имеем
(х,е) = f (^,e)o(u)du > 0	(2)
а
86
ддя произвольных положительных функций о(м), удовлетворяю-
щих условию а(а) = o(Z>). Но функция (£, е) должна менять знак.
В той части отрезка, где (£, е) > 0, мы можем взять о(м) сколь
угодной малой, но положительной, а в той части, где (£, е) < О,
мы положим о(и) достаточно большой. Тогда интеграл в правой
части (2) будет отрицателен. Это противоречит неравенству
(х,е) > 0.
Поэтому множество М содержит начало координат О и для
некоторой положительной функции o(w) кривая
и
х(и) = f ^(u)o(u)du
а
замкнута. Ее касательный вектор
dx
— = £(и)о(и)
du
один и тот же при значениях параметра и = а и и = Ъ.
§ 23. УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ КРИВОЙ
Рассмотрим плоскую кривую г = г($). Пусть кривизна ее #($)
является непрерывной периодической функцией с некоторым
периодом Т. Какому условию должна удовлетворять кривизна
£(s), для того чтобы кривая г($) при изменении $ на отрезке
[0, Т\ была замкнутой? Имеем
r(s) = f r’sds + r(0).
о
Запишем касательный вектор
r's = {cos a, sin а},
где а - угол, образуемый касательным вектором с осью х. Для
кривизны плоской линии, понимаемой со знаком, можно записать
формулу
Поэтому
а($) = а0 + f k(s)ds, где а0 = const,
о
Если Г - плоская замкнутая гладкая кривая длины L, то после
87
обхода кривой угол а изменяется на число, кратное 2тт. Поэтому
для замкнутой кривой
L
f k(s)ds = 2irm9
о
где т - целое число. Интегрируя выражение r's, получим
L	L
f cos a ds = 0, f sin а ds = 0.
о	о
Подставив в эти уравнения выражение а через интеграл от кривиз-
ны, запишем условия замкнутости плоской кривой'.
L s	L s
f cos(J fc(s)ds + a0)ds = 0, /sin ( fkds +a0) ds = 0.
oo	oo
Наоборот, если они выполнены, то кривая Г замкнута и гладкая.
Н.В. Ефимов, В. Фенхель и другие геометры независимо стави-
ли задачу определения необходимого и достаточного условия
замкнутости пространственной кривой, выраженного через ее
кривизну k(s) и кручение k(s), которые заданы как функции
длины дуги s. Эту задачу Фенхель называет основной задачей
теории замкнутых кривых. Можно указать не эффективный спо-
соб решения этой задачи, состоящий в том, что задача определе-
ния кривой по кривизне и кручению сводится к решению одного
интегрального уравнения Вольтерра. По формуле Неймана реше-
ние этого интегрального уравнения можно записать в виде бес-
конечного ряда, каждый член которого определяется по задан-
ным функциям *(s) и k(s). Эффективное условие замкнутости
можно записать лишь для некоторых классов функций k(s)
и k(s) . Рассмотрим один такой класс. Вместо длины дуги s введем
другой параметр /:
r(s) = / \/k2 + к2 ds.
о
Если L - длина кривой Г, то положим Т = t(L). Будем предпо-
лагать, что + к2 =# 0. Введем угол по формулам
к	к
cos	, sin	—...Л .
у/кг+к2	V*2 +к2
Если известны функции	и t = r(s), то кривизна и кру-
чение будут известными функциями длийы дуги s и наоборот,
причем мы будем предполагать, что к со знаком. Имеет место
Теорема. Пусть кривизна и кручение кривой Г такие, что
= ait+aQ - линейная функция от t, a t = r(s) - некото-
88
рая известная функция от s. Для того чтобы Г была замкнутой
кривой длины L, необходимо и достаточно, чтобы нашлись це-
лые числа р и q такие, что ах- (q - р)/2 \fpq, и чтобы выполня-
лись интегральные соотношения
L ,			 J yfc2 + к2 ds = 2?r \/pq, 0	(1)
L f sin <p(t)ds = 0, 0	(2)
L f (p cos a(t) + q cos 0(0) ds = 0, 0	(3)
L J (p sin a(t) + q sin $(t))ds = 0,	(4)
о
/ q	Р
где a(t) = у/— t + а0, 0(t) = V— t - а0.
Р	Я
Пусть ^1, %2> 5з — натуральный репер кривой.Уравнения Фре-
не, очевидно, можно переписать в таком виде:
d^
—— = COS р 5 2,
dt
---- = - cos 51 + sin 5 з,
dt
db . ,
dt
(5)
(6)
Введем вектор и = sin p 5 i + cos<^53- Используя уравнения Фре-
не (5), получаем
л. >	dip
dr	dt
По условию теоремы ---= ах. Далее, с помощью (5) находим
dt
4/Д	d^2
	 = - Д1	.	(7)
dt---------------------------------------------------dt
Дифференцируя (6) и используя (7), получаем линейное диффе-
db
ренциальное уравнение для -- :
dt
d3^2	„ d^2
+ (1 +*?) -г1 = 0.
dr	dt
89
Следовательно,
—~ = A cos Tt +Z?sinrr,	(8)
dt
где т = у/ I + а}, А и В - постоянные векторы. Так как, согласно
J£2
уравнениям (5),------ - единичный вектор, то Л и В — единич-
dt
ные взаимно ортогональные векторы. Интегрируя (8), получаем
1
£2 = (A sin it - В cos Tt) — + С,	(9)
7
где С — постоянный вектор. Так как £? — единичный вектор,
то С ортогонален к А и В. Дифференцируя (8), находим
d2 £2
------ = т (-А sin Tt +В cos Tt).	(10)
Используя (9), (10) и уравнение (6), можем найти выражение
для д. Таким образом, для определения £t и £3 мы имеем систе-
му уравнений, которая дается уравнением (8) и выражением д:
—cos £1 + sin £3 = A cos т t + В sin т t,
1	Г 1	1	1
sin + cos £ з = — — - т (Л sin 7 t - В cos т t) + — С.
01 L 7	J	ах
Следовательно,
01
£1 = Л--------------sin 7 Г sin — cos 7 t cos <р
I т
[ах	1	Csin<p
— cos 7 t sin <p — sin 7 t cos + --------
т	J ax
(11)
Так как ------ — периодическая вектор-функция, то ее значения
dt
при t = 0 и t = Т совпадают. Из уравнения (8) находим
тТ = 2тги,	(12)
где п — целое число. С другой стороны, так как кик — периоди-
ческие функции от г, то
Т d^ Т
f ---- dt = f axdt = 27Г/72,	(13)
a dt о
т.е. ахТ = 2тгл72, где m — целое число. С помощью (12) и (13)
90
находим, что
т
у/п2 - т2
п
Vr~i	2~ ’
и2 - т
т = л/1 + а2 ~
Положим р = п - т, q = п + т. Уравнение (12) дает условие (1).
Так как векторы А, В и С взаимно ортогональные,то, интегри-
руя коэффициенты при них в разложении (И) и используя усло-
вие замкнутости
/	= О,
о
получим условия (2)-(4).
Рассмотрим аналог задачи о замкнутой кривой для и-звенной
пространственной ломаной. Решение ее может иметь значение как
для геометрии, так и для теории механизмов и машин. Изложим
результаты работы [49].
Пусть ломанная линия у = PQPX . . . Рп составлена из прямо-
линейных отрезков а{ + 1 = PiPt + x. Аналогами кривизны и круче-
ния регулярной кривой являются две последовательности углов
и 0it i = 1,. . . , п, определенные в § 14. Пусть в/ —единичные
векторы, направленные по отрезкам сц. Тогда cosip/ = (в/, el + i).
Ориентированная плоскость, проходящая через векторы и
ez + j, определяет единичную нормаль к ней: = [в/, в/ +1 ] /sin щ -
аналог бинормали регулярной кривой. Угол 0/ определяется как
угол между единичными векторами ft и ft +1, при этом ориента-
ция в плоскости векторов ft, ft + 1 задается ортогональным ей
вектором в/ + 1, а угол 0Z отсчитывается в этой плоскости в по-
ложительном направлении согласно этой ориентации.
Рассмотрим теперь замкнутую и-звенную ломаную. Послед-
нее звено замкнутой ломаной полностью определяется через по-
ложение предыдущих звеньев. Поэтому замкнутая и-звенная
ломанная с точностью до движения определяется следующими
параметрами:
Si,. . . , sn _ 1,	01 > • • • >	- з >
число которых равно Зп — 6. Теперь задачу можно сформулиро-
вать таким образом: какими должны быть длины и углы
, 0Z, 1 < z < и, чтобы соответствующая им ломаная была замкну-
та? Ответ на этот вопрос можно дать двумя способами: 1) можно
найти выражения и 0Z через некоторые другие параметры,
независимые или зависимые, но удовлетворяющие некоторым
уравнениям; 2) можно найти сйстему из шести уравнений
Fp(s,-,^.,0z) = 0, р = 1....6,
на Зп параметров: длины s{ и углы 0?-, 1 <z
91
Ответ первым способом можно получить довольно просто.
Запишем векторное уравнение замкнутости кривой
+ s2e2 + ... +snen = 0.	(14)
Пусть в Е3 введена декартова система координат х, у, z и пусть
координаты единичных векторов будут X/, yi9 Zi. Тогда вектор-
ное уравнение (14) можно записать как три скалярных уравнения
для величин xifyi9 zf.
SiXi + ... +snxn = 0,
+ ...+w„ = 0,
SjZ! + ...+snzn = 0.
Так как - единичные векторы, то имеем п уравнений
*1 +У21 +z? = 1,... ,х2п +у2 + 4 = 1.
Углы между двумя соседними звеньями определяются через xt,
Уь Zt-
cos^ = (е,-,е/+1) = x/x,+1+y/j'/+1 +zzz/+i-
Углы между бинормалями также определяются через переменные
У» zf.
cosdi =	=
COS^COS^. + 1 -(x{Xi + 2 +У1У1 + 2 +ZiZi + 2)
sin sin j
Если заданы величины x19 . . . , zn, причем так, чтобы один
какой-либо минор третьего пЪрядка матрицы
(Xi х2. . . х„\
У1 У2- • • Уп I
Zi z2 , . . zn /
был отличен от нуля, например минор первых трех столбцов,
то можем выразить Si, s2i s3 через s4, . . . , sn и величины
Xi, . . . , zn. Так как величины xit yi9 z{ удовлетворяют n урав-
нениям, то имеем Зп — 3 независимых параметров. При этом
положение векторов и не фиксировано. Можем их зафик-
сировать, положив X! = 1, У1 =	= z2 =0. Тогда число незави-
симых параметров будет равно Зп — 6. Итак, система уравнений
Si	+	s2x2	+	s3x3	+	.	.	.	+	snxn	=	0,
$271	+	*зУз	+	•	’	•	+	*пУп	=	0,
s3z3	+	.	.	.	+	snzn	=	О,
xf	+Я =	1,	*3 +Уз	+zl =	1, .	.	. , х2п л-у2 +z2n = 1,
92
может рассматриваться как система необходимых и достаточных
условий замкнутости кривой на параметры, через которые выра-
жаются все длины Si и углы Однако больший интерес пред-
ставляют условия, выраженные только через sz, и в{. Обозна-
чим ац = (в/, е7). Будем предполагать, что кривая у не плоская
и три вектора е2, е3 составляют базис пространства Е3.
Умножим векторное уравнение (14) замкнутости кривой скаляр-
но на , е2	и е3. Получим систему	трех уравнений:
+	52Я12	+	$3^13	+	.	.	.	+	snain	=	О,
$1Я12	+	$2	+	$3^2 3	+	.	.	.	+	sna2n	=	0,	(15)
51^13	+	$2^2 3	+	S3	+	.	.	.	+	snain	=	0.
Рассмотрим симметрическую n-мерную матрицу А = ||	||. Мы
покажем ниже, что имеет место
Лемма. Все элементы матрицы А выражаются через углы
Ч>1 и в{.
Поэтому уравнения (15) являются условиями на $/, и в;.
К полной системе условий надо добавить еще три независимых
уравнения. Запишем выражения косинусов углов <р{ и 07:
cos(pf = au+l,
A ,А А ч (fcb*z+1L k+i,e/+2])
cos0f = (ft,ft+i) = ----;----:-----------=
sin <p. sin
COS COS + ।	i + 2
sin <p. sin <p.+ 1	(16)
По этим формулам элементы первой линии в матрице Л, парал-
лельной главной диагонали, и а1п выражаются через cos а эле-
менты второй линии и а1)П-!, а2п выражаются через и 0Z.
Рассмотрим четырехзвенную замкнутую ломаную. В систе-
ме (15) положим и = 4. В этом случае имеем
а 12 ~ cos 1, а2 з = cos <р2 > з 4 = cos , ai 4 = cos ^4,
COS COS <p2 - 01 3	COS ^2 COS ^3 - 02 4
COS0J = -------------------- , cos 02= ----------------------,
sin ip! sin <p2	sin <p2 sin
COS COS (^4 - 01 3	COS COS ^4 - 02 4
COS 03 = -------------------- , COS 04 -------------------------.
sin ^3 sin	sin sin
Из этих уравнений можем найти 013 и 024. Так как 0J3 и 024
входят в два уравнения, то получим следующие два уравнения
93
для углов <р} и 0Z:
COS 0j sin <px sin (/?2 - COS COS <p2 = COS 03 sin ^4 sin (/?3 —
- COS ^4 COS (^3,
COS 02 sin (£з sin <p2 — COS ^3 COS <P2 - COS 04 sin sin ^?4—
— COS COS (^4 .
Третье уравнение для углов и 0Z получим как условие при-
надлежности четырех векторов	, е4 одному трехмерному
пространству — равенство нулю соответствующего им определи-
теля Грамма
1	012 013 014
1	*2 3 *24	= 0)	(18>
1	034
где звездочка обозначает симметричную часть. Для того чтобы
получить это условие, векторное уравнение (14) умножим скаляр-
но на четыре вектора ех, . . . , е4, и так как полученная при этом
система четырех уравнений для sz имеет нетривиальное решение,
то определитель этой системы равен нулю, т.е. имеет место (18).
Укажем выражение этого определителя в виде многочлена. Для
простоты записи обозначим элементы определителя через xz.
Тогда
1 Xj х2 х3
1 х4 х5
*	1 хь
1
= 1 - S х* +
i - 1
+ 2(Х1Х2Х4 +х2х3х6 +X!X3X5 + х4х5х6)-
- 2(Х1%6*2*5 +Х1Х6Х4Хз + Х2Х5Х4*3 ) + (Х!*б)2 + (Х4Х3)2 +
+ (х2х5)2.	(19)
Так как все величины aif- выражены через углы ^z, 0Z, то уравнение
(18) является условием на <£z и 0Z. Итак, четырехзвенная ломаная
будет замкнута тогда и только тогда, когда выполнена система
уравнений (15), (17), (18). Эти уравнения независимы. Действи-
тельно при </>z = я/2, i= 1,2,3, получим три уравнения:
COS 0i = COS 03 sin (£4 , COS 02 = cos 04 sin <04 ,
1 __(COS201 + COS2 02 +cos2^4 + COS20iCOS202 = 0.
Они независимы — 03 входит только в первое, а 04 — во второе.
94
Рассмотрим пятизвенную ломаную. Запишем симметрическую
матрицу А:
1	012 01з 014 0is \
I 1	02 3 02 4 02 5 \
= I	1	034 035 I •
\ * /
\	1	04 5	/
\ 1 /
Элементы первой линии, параллельной главной диагонали, и #i5
выражаются через углы Элементы второй и третьей линий вы-
ражаются через ц и О/:
a12=cos^i, аг з = cos ^2 , 03 4 =cos^3,
04 5 =COS(/?4, #15 = COS </?5 ,
#13= cos (£i cos <p2 — cos 01 sin </?i sin </?2 ,
#	2 4 = cos (p2 COS </?3 — COS 02 sin *p2 sin </?3 ,
#	3 5 = COS tp3 COS </?4 — COS 0 3 Sin (£3 sin ^4,
#	14= COS (^4 COS <Ps — COS 04 Sill (^4 sin <Ps ,
02 5 = COS <Ps COS ^Pi — COS 05 sin ^5 Sin <Pi .
Таким образом для пятизвенной ломаной между десятью элемен-
тами #f7- матрицы А и десятью углами и 0/ можно установить
взаимно однозначное соответствие. Запишем три независимых
уравнения для углов и0/, которые выражают условие принад-
лежности одному трехмерному пространству соответствующей
четверки единичных векторов:
1	012013014		1	01 3 014 015	
1	02 3 02 4	= о,	1	034 035	= о,
*	1034		*	1	045	
1		1	(20)
1	02 3 02 4 02 5			
1	034 035	= 0.		
*	1	#4 5			
1			
В эти уравнения надо подставить выражения а^, записанные через
и 0/. Входящие в эти уравнения определители можно записать
по формуле (19) в виде многочленов от коэффициентов #/7. Урав-
нения (20) независимы, так как #i 2 входит только в первое урав-
95
нение, Я15 входит только во второе и 025 - только в третье урав-
нения. Итак, система алгебраических уравнений, определяющих ус-
ловия замкнутости пятизвенной ломаной, состоит из уравнений
(15) и (20).
Для шестизвенной ломаной через углы и f)j по формулам(16)
можно найти все элементы матрицы А, кроме 0i4, а2 s и 036, стоя-
щие на третьей линии. Чтобы определить эти элементы, используем
равенство нулю трех определителей Грамма соответствующих чет-
верок единичных векторов:
1	012 013 014
1	02 3 02 4
*	1	03 4
1
1	02 3 02 4 02 5
1	034 035
*	1	04	5
1
1	034 035 036
1	045 046
*	1	05 6
Относительно искомых величин 0Г 4, а2 5 и 03 6 это квадратные урав-
нения, Которые при выполнении определенных неравенств будут
иметь действительные решения. Таким образом, все элементы
матрицы А можно выразить через и 0/. Заметим, что в выписан-
ные определители не вошли элементы 0i5, ах 6, 026. После того
как 014, 025, 0зб найдены, запишем три уравнения для уг-
лов щ и 9^
012 013 015		1	013 014 016	
1	02 3 02 5	= о,	1	034 036	= о,
*	1	035		*	1	046	
1		1	
1	02 3 02 4 02 6
1	034 036
♦	1	04 6
1
Опять замечаем, что эти уравнения независимы, так как ах 5 входит
только в первое уравнение, 0i6 — только во второе, 026 - только
в третье.
Изложенный метод получения условий применим и для и-звен-
ной ломаной.
96
Установим сформулированную выше лемму. Мы уже отмечали,
что элементы первой и второй линий матрицы Л, а также элементы
а1п> aitn-i и а2п выражаются через и fy. Затем определяем эле-
менты третьей линии через углы и 0Z, используя обращение в
нуль соответствующих определителей Грамма четвертого порядка.
Например, для определения а\ 4 используем уравнение
1 й\2 й\ 3 014
1	02 3 02 4 _ Q
*	1	Я34
1
Затем аналогичным способом определяем элементы четвертой ли-
нии и т.д., при этом все время можно брать определители, не содер-
жащие элементы аХп и я2и> и так, чтобы в каждый такой
определитель входил только один неизвестный элемент и чтобы он
стоял в правом верхнем углу.
После того как все элементы матрицы Л найдены, запишем три
уравнения — условия принадлежности Е3 соответствующих чет-
верок векторов
1	012 01 з 0i,n-1
1	02 3 02,п-1
*	1	03,Л-1
1
1	023	024 02п
1	034 03п
*	1 а$п
1
1	01 з 01 4 01п
1	034 03п
*	1 0Ди
1
(21)
Эти уравнения независимы, так как ах >л_ i входит только в первое
уравнение, ain — только во второе, а2п - только в третье уравне-
ние. Итак, нами доказана
Теорема. Выполнение системы уравнений (15), (21), в кото-
рой все коэффициенты aif выражены через углы и 0;, является
необходимым и достаточным условием замкнутости п-звенной
ломаной.
§ 24. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ОКРУЖНОСТИ
Рассмотрим замкнутую спрямляемую плоскую кривую Г дли-
ны L. Пусть площадь плоской области, ограниченной кривой Г,
равна F. Длина L и площадь F связаны друг с другом следующим
7. Ю.А. Аминов	97
изопериметрическим неравенством:
L2 > 4itF.
Равенство L2 - 4itF имеет место лишь в том случае, когда кривая
Г — окружность. Это означает, что среди всех замкнутых кривых
с одним и тем же периметром L наибольшую площадь ограничи-
вает окружность.
Мы докажем неравенство для гладких кривых.
Пусть х = x(s),y = y(s) - координаты радиус-вектора кривой,
параметризованные длиной дуги s. Вместо 5 введем параметр t =
= 2irs /L, изменяющийся на отрезке [0, 2тт]. Функции х и у будут
периодически зависеть от t с периодом 2тг. Имеем
I---1 +-----= L
\ds / \ds /
Поэтому
/ dx \2 / dy \2 L2
f I----- + |-----1	dt=— .
о [\ dt )	\ dt / 2тг
Разложим теперь функции* = х(г) иу =y(t) в тригонометрические
ряды:
а0 ™
x(f) = — + Z (ак cos kt + bk sin kt),
2 к =1
Co ~
j^(r) =—+ (q cos kt + dk sin kt).
Так как x(t) и — дифференцируемые функции, то ряды
Фурье для их производных имеют вид
dx
—	= Z (— ак sin kt + bk cos kt)k,
dt к = 1
dy °°
—	= Z (- ck sin kt + dk cos kt)k.
dt к = i
Так как функции sin kt, sin mt, cos kt, cos mt ортогональны друг
другу на отрезке [0, 2тг] при к Ф т, то
7Г о \ dt
98
Площадь области, ограниченная кривой Г, находится из анализа по
формуле
tfy	2 7Г / Д®	оо	\
F = fx— dt = f( — + 2 (ak cos kt + bk sin to)).
о dt	o\2fc = i	/
2 (— ck sin kt + dk cos kt)k dt =
к = i
= s <akdk - bkck)kir.
к = 1
Запишем выражение
0	27J Г/ dx V	2я dy
L2 - 4tfF = 2tf f I--) + I---) \dt ~ 47Г f x---dt =
о L\ dt J \ dt / J о dt
= 2я2 S (a2k + b2 + c2 + dk)k2 - 4я2 S (akdk - bkck)k =
к = 1	к = 1
= 2я2[ S ((akk-dk)2 +(bkk + ck)2) + S (к2 - 1)(d2k + c£)].
к = 1	к = 2
Так как правая часть этого уравнения больше или равна нулю, то
I2 > 4itF.
Равенство здесь будет в том случае, когда dk = ск = 0, к = 2,. . ., °°,
и акк = dki bkk = —ск при к > 1. Следовательно, это возможно,
лишь если dk = ск = ак = Ьк = 0 при & >2иЯ1 ~dXibx = -сх. Кри-
вую в этом случае можно записать в виде
До	,	•
Х= --- +Л1 COS t + bl sin t,
2
y= — - bl COS t + 0! sin t.
Это параметрические уравнения окружности. Утверждение до-
казано.
Впервые изопери метрическое неравенство было доказано Штей-
нером четырехшарнирным методом. Приведенное доказательство
дано Гурвицем.
Задачи
1.	Пусть в плоскости задана выпуклая кривая и точка О. ПусгьР — пере-
менная точка на кривой. Опорной функцией h(P) плоской кривой называет-
ся расстояние от фиксированной точки О до касательной прямой в точке Р.
Пусть в качестве параметра на кривой взят угол а, который составляет ка-
99
сательная прямая в точке Р с некоторым фиксированным направлением.
Доказать, что для радиуса кривизны кривой р(а) имеет место формула
р(а) = h(a) + h" (а).
2.	Пусть две плоские замкнутые кривые уг и у2 касаются друг друга в
некоторой точке Р и лежат по одну сторону от касательной в точке Р. Дока-
зать, что если в точках с одинаково направленными касательными кривиз-
ны и к2 этих кривых удовлетворяют неравенству к2 > к2, то кривая 7 л
лежит внутри у2.
3.	Доказать, что площадь области, ограниченной плоской замкнутой
кривой 7, равна
•7 f h(.s)ds.
1У
4.	Доказать, что не существует интеграл вида
f ds,
7
где f (fc) - некоторая регулярная функция кривизны кривой, который для
произвольной замкнутой плоской кривой давал бы значение площади облас-
ти, ограниченной этой кривой.
§ 25. ОДНО НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ КРИВОЙ
Пусть Г — замкнутая кривая длины L, лежащая в шаре радиу-
са R. Установим найденное в работе [31] следующее неравенство:
L f K2ds<R2[fk2ds fK2ds - ( /кк ds)2].	(1)
Г	г г г
Пусть г — радиус-вектор кривой и i = 1, 2, 3, — натуральный
репер. Обозначим X/ = (£/, г) . Умножив уравнения Френе скалярно
на г , получим
х{ = 1 +fcx2,
х2^ -kxi + кх3,
Хз= - кх2.
Пусть ц — некоторое постоянное число. Пользуясь замкнутостью
кривой, можно записать
L = - f x2kds = - f kx2ds + ц f KX2ds =
г	г	г
= / (- * + &к)х2ds <у/f(k- ЦК)2ds fx2ds.	(2)
г	г	г
Если кривая Г лежит в шаре радиуса R, то |х2 I Положим
f к к ds
г
Д =	‘
J к* ds
г
100
Тогда можно получить
f (к - iiK)2ds = [ f k2ds f K2ds ~ (f kKds)2]/ f K2ds,	(3)
г	г г	г г
Подставляя (3) в (2), мы получаем доказываемое неравенство (1).
Так как R ^L/4, то из неравенства (1) следует неравенство, содер-
жащее только длину, кривизну и кручение:
16 f K2ds <L[ f k2ds f K2ds ~ ( /кк Js)2].
г	г г г
Заметим, что неравенство (1) в одних случаях более точное, а
в других случаях менее точное, чем неравенство
L<R$kds,
г
получаемое интегрированием тождества 1 = (г, z^')' - (г, r”s).
§ 26. НЕОБХОДИМОЕ
И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ КРИВОЙ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КРИВИЗНОЙ И КРУЧЕНИЕМ
Пусть кривизна #($) и кручение k(s) кривой Г как функции
длины дуги s являются периодическими функциями с общим пе-
риодом Т. Обозначим через отображение (вращение) в прост-
ранстве, переводящее естественный трехгранник Фо в начальной
точке Ро = /’(О) в трехгранник Фо (7) в точке Р(Т), считая, что
трехгранник Ф(Г) параллельно перенесен в точку Ро. Пусть начало
координат находится в точке Ро. Обозначим через г (я) радиус-век-
тор кривой L. В работе [16] установлена
Теорема. Кривая L бесконечной длины ограничена в том и
только в том случае, когда вектор г(Т) ортогонален любому соб-
ственному вектору отображения соответствующему собственно-
му числу +1.
Это утверждение можно сформулировать иначе. Пусть а — ось
вращения р, т.е. неподвижный вектор отображения р. Если Фо
Ф Ф(7), то вектор а единственный. Следовательно, условие огра-
ниченности, сформулированное в теореме, сводится к условию
(г(7) , а) =0. Если же Фо = Ф(7), то - тождественное отображе-
ние и поэтому любой вектор собственный и тогда условие теоре-
мы означает, что г(7) = 0, т.е. кривая замкнутая.
Перейдем к доказательству теоремы. Так как k(s) и k(s) перио-
дические, то кривая составлена из конгруэнтных кусков. Кусок
кривой при 0 < s < Т конгруэнтен куску кривой при Т < s < 27.
Так как естественные трехгранники в точкахРо и Р(Т) совмещают-
ся вращением р и так как кривая определяется своими кривизной
101
и кручением однозначно, то вращение примененное к первому
куску, и затем параллельный перенос его на вектор г (Г) дает
совмещение этих двух кусков. Рассмотрим два вектора г(Т) и
г(2Т)-г(Т). Проекция этих двух векторов на вектор а одна и
та же. Действительно,
(г(Т),а) = (г(2Т) —	.
Но <^(л) = а. Поэтому
(г(Т),а) = (г(2Т) — г(Т),а).
Отсюда находим
(г(2Г),а) = 2(г(Г),а).
Аналогично для любого целого п получим
(г(пТ).а)=п(г(Т),а).
Поэтому для ограниченности кривой Г необходимо условие
(r(T),a) = 0.	(1)
Это же условие и достаточно для ограниченности кривой в направ-
лении вектора а. Действительно, если это условие выполнено,
то концевые точки кусков кривой, соответствующих интервалам
nT<s < (п + 1)7, лежат в плоскости а, ортогональной вектору а и
проходящей через точку Ро. Кроме того, эти куски конгруэнтны.
Поэтому кривая ограничена в направлении вектора а. Покажем,
что условие (1) также достаточно для ограниченности и во всех
других направлениях, т.е. что кривая Г ограничена в пространстве.
Для этого достаточно показать, что концевые точки г(пТ) лежат
в ограниченной области пространства. Эти точки лежат в плоскос-
ти а. Соединим их последовательно отрезками прямых. Получим
ломаную I. Длины звеньев этой ломаной равны, а также равны
углы между соседними звеньями. При этом если Фо Ф(Т), то
они отличны от нуля и в этом случае ломаная I вписывается в не-
которую окружность. Следовательно, Г ограничена. Если же Фо =
= Ф(Т), то Z — либо точка, либо луч. В этом случае условием теоре-
мы является г(Т) = 0. Если г(Т) = 0, то I вырождается в точку и
кривая Г замкнута, если г(Т) Ф 0, то I — луч и кривая Г не огра-
ничена в пространстве.
С помощью установленной теоремы в работе [17] были даны
достаточные условия, сформулированные с помощью сферической
индикатрисы кривой, для того чтобы кривая с периодическими
кривизной и кручением была не ограничена в пространстве.
Сферическую индикатрису кривой 7 обозначим 7. Кривую на
сфере назовем выпуклой, если она может служить частью замкну-
той выпуклой кривой.
102
Обозначим через ys участок сферической индикатрисы каса-
тельных, соответствующих отрезку [s0, $о + Л кривой у.
Теорема. Если кривая у не плоская, а сферическая индикат-
риса ys* при всех s0 выпукла, то кривая у не ограничена в прост-
ранстве.
Пусть /(s) — единичный касательный вектор к кривой у. На сфе-
рической индикатрисе касательных он изображается точкой. Мо-
жем записать
5 + Т
f t(s)ds.	(2)
5 о
Пусть Go — выпуклая оболочка кривой ySo. Конус, образованный
лучами с началом в центре О сферы и проходящими через все точ-
ки Go, выпуклый. Любая интегральная сумма, приближающая
правую часть в (2), является суммой векторов, лежащих на грани-
це выпуклого конуса, и поэтому является вектором, лежащим
внутри этого конуса. Следовательно, вектор Дг, отложенный от
точки О, направлен внутрь области Go.
Обозначим через и гл касательные векторы к у5о в точках
tQ и ti. Поворот RQ -*RT индуцирует вращение единичной сфе-
ры, при котором точка tQ переходит в /1 и касательный вектор
т?0 переходит в вектор т?1 • Это вращение сферы строится следую-
щим образом. Так как при вращении вокруг некоторой точки Р
на сфере другие ее точки описывают дуги окружностей с центром
в точке Р, то точки tQ и лежат на окружности, вообще говоря,
малой, касающейся в точках tQ и ti векторов т?0 и Если пере-
нести т?! параллельно в точку tQ и провести через точку tQ плос-
кость, содержащую т?о и , то пересечение этой плоскости со сфе-
рой дает искомую окружность. Центр этой окружности обозначим
cji , а диаметрально противоположную точку — о}2. Прямая, прове-
денная через coj и со2, параллельна оси вращения
Если для любой точки t любой из кривых ys сферическое рас-
стояние Ф я/2, то при любом s кривая ys лежит внутри полу-
сферы с центром coi или Следовательно,ивыпуклаяоболочка
G кривой ys лежит внутри этой полусферы. Так как Дг идет
внутрь G, то (Дг , Cc?i) Ф 0, где со,, i = 1, 2, — вектор с началом в
точке О и концом в точке a?z.
Если на одной из кривых ys найдется точка t такая, что =
= я/2, то за s0 примем значение параметра, соответствующего этой
точке. Рассмотрим индикатрису у5*. Точки t0 и ti лежат на боль-
шой окружности с центром в . Так как ys° выпукла и отлична
от дуги большого круга (у — не плоская кривая), то Ф я, и
103
через эти точки проходит единственная дуга большого круга. Сама
дуга у5 лежит по одну сторону от этого большого круга. Следо-
вательно, любая внутренняя точка выпуклой оболочки GQ кривой
ys* удалена от cdi или со2 меньше чем на я/2, т.е. (Дг, со/) Ф О,
i = 1 или 2.
С помощью этой теоремы в работе [17] доказана следующая
Теорема. Пусть интегральные кривизна и кручение
г	г
k = f k(s)ds, к = f K(s)ds
о	о
неплоской кривой у с неотрицательным кручением удовлетворяют
одному из следующих условий:
- я
\)И<---- , К <Я
2
или
тт -	я 1 / Г"
2) у<£<я, к < — + ух/я(я-к).
Тогда кривая у не ограничена.
§ 27. ЗАДАЧА ДЕЛОНЕ
Известный французский астроном и математик Ш. Делоне в
1843 г. в работе [32] по вариационному исчислению поставил зада-
чу нахождения кривой постоянной кривизны, которая соединяет
две заданные точки Ми N и имеет среди таких кривых наибольшую
или наименьшую длину. Вейерштрасс дал решение этой задачи при
условии, что кривая в точках М и N касается заданных векторов
[19]. Мы изложим это решение.
Пусть r(t) — радиус-вектор кривой, соединяющей точки г0 и гi.
Параметр t изменяется на отрезке [fo, Л], причем г(/ь) = г о и
r(/i) ~ Без ограничения общности можно считать, что заданная
кривизна равна 1. Производную по Г будем обозначать г', г".
Ддя искомой кривой должно выполняться соотношение
которое перепишем в следующем виде:
где s - длина дуги кривой. Условие минимизации длины кривой
J \r'\dt
to
104
при соблюдении условия (2) можно заменить условием миними-
зации интеграла
/ =
dt,
(3)
, бг' J — е
где e(t) - некоторая неизвестная пока функция от t. Пусть кривая
г(г) при варьировании переходит в кривую r(t) + 5r(r). Запишем
вариацию подынтегрального выражения в (3). Она будет равна
[/, г"]	, „	,	„ /ds \2 ds
> г ] + К 5г"]) - 3 --) 5 — .
I[/,/'] Г	1	\dt) dt
(4)
Воспользуемся формулой из аналитической геометрии:
([а,Л], [с,Л]) = ([[*,а],*],с).
Тогда можем записать
(['', r"],[r',Sr"])=([[/->"],r'],Sr").
Кроме того, можно очевидно найти
ds ,, ds
5—=(/•', б/)/ — .
dt	dt
Преобразуя выражение (4), мы соберем отдельно члены, содержа-
щие Ьг' и бг". Введем два вектора:
[ГУ],'"]	/л
1Г'"]1	(dt
А = — - е
(5)
(6)
о ГУ]У]
Ik, HI
Тогда подынтегральное выражение (4) имеет вид
(Л,5/) + (Д дг").
Мы считаем» что операции дифференцирования по Г и варьирования
перестановочны. Заметим, что конечные точки кривой закреплены,
поэтому на ее концах бг = 0, и так как по условию задачи в конеч-
ных точках закреплены касательные, то в этих точках и бг' = 0. Ин-
тегрируя по частям (6) с учетом замечаний, получаем
- / (А' -В" br)dt.
fO
(7)
105
Так как вариацию 6г можно взять равной нулю вне некоторой ок-
рестности точки Г, то обычным образом получим условие экстре-
мума интеграла
Л'-Л" = 0.
Это означает, что вектор А — Bf постоянный. Обозначим его С. Да-
лее будем предполагать, что в качестве параметра t на кривой взята
длина дуги s. Тогда | r's | = 1, [ г' ],	= r's,r"ss = 1. Запи-
шем теперь уравнение, которому должна удовлетворять искомая
кривая:
(1 + e(s)2)r; + (e(s)r"); = С.	(8)
Умножим это уравнение векторно на r's и проинтегрируем. По-
лучим
е(5)[г",г;] = [С,г]+Р,	(9)
где D = {	- постоянный вектор. Перейдем теперь к координат-
ной записи этого уравнения. При этом удобно выбрать координаты
в пространстве так, чтобы ось х была направлена по вектору С, т.е.
чтобы в этих координатах С= (с>, 0,0). Введем также специальные
обозначения для компонент вектора r's. Именно, положим r's =
= (%, V, О • Уравнение (9) перепишем в таком виде:
/	drj	d£\
e(s) I f— - 4 —) =di,
\	as	ds /
I	d$	d$\
e(s)R — - f —) =-Ciz + d2,	(10)
\	ds	ds J
I d$	dn\
e(s)l П—	— |	=ciy+d3.
\ ds	ds I
Так как = то, дифференцируя (r's> r's's) = 0, получаем
(r's^r's'ss) = - 1- Умножая (8) скалярно на r's, находим
e(s) = a-/)ci,	(11)
где 1={1сх. Обозначим также d2/ci =т, d2/ci =п. С помощью
второго и третьего уравнений системы (10) мы получим
/</£	d(n + if)
У + п + i(z - т) = U - 0 I — (т? + /f) - 5----
\ ds	ds
= «-/)
d ln(r? + if)
ds
(*? + if).
(12)
106
Используя первое уравнение системы (10), запишем
df	dr}
г}-----f —
ds	ds _
«2 x f-2	~
V +S
dn dt
q — + f---
dlnO? + zf) ds ds
ds	r}2 + f2
e di.	_______ш
I-?2 ds	(l-?2)^-/)^ ’
Поэтому уравнение (12) можно записать так:
у + п + i(z - т) =
ihj
l-$2
G? + if),
(£-1) dj
(l~?}ds
где h^dx/ci. Отсюда следует
а -1)2
(y + ri)2 + (z - m)2 =
h2e
i~T2
(i-e2)	/
Найдем теперь выражение левой части этого уравнения через £.
Так как r^] | = 1, то с помощью системы (10) найдем
е2
(у + и)2 + (z - т)г =—- - h2 = Q - /)2 - h2.
С1
Таким образом, % удовлетворяет дифференциальному уравнению
о /	\2
~А) =(!-^ )«- О2-Л2.	(13)
\ds /
Решениями этого уравнения в общем случае являются эллиптиче-
ские функции. Рассмотрим частные случаи. Первый - особый слу-
чай, когда £ = £0 — постоянная, удовлетворяющая уравнению
(I -Ы2&> -О2 - Л2 =0.
В этом случае и е - постоянная. Из второго уравнения системы
(10) найдем
d%	d2z
ео?о —= е0^0—Т =-cx(z-m).
ds	ds
Обозначим р = Ci/(eo^o) • Тогда решением этого уравнения будет
z =р cos \fp s + q sin \/p s + m, P,q~ const.	(14)
Аналогичное уравнение получим для^у, интегрируя которое, найдем
у = - q cos x/д’ s + р sin \fp s + n.	(15)
107
dx
Компонента x легко находится из уравнения — = £о•
ds
x = $Qs + d.	(16)
Таким образом, в этом случае искомая кривая, определяемая урав-
нениями (14) - (16), является винтовой линией.
Второй частный случай: h = 0. Тогда из уравнения (13) находим
£ = cos(s - s0).
В этом случае легко определить т? = р sin (s - s0), f = q sin(s - s0).
Следовательно, в этом случае искомая кривая является дугой
окружности
х = sin(s - s0) + *о, У = - Р cos(s - s0) +7о,
Z = - ^cos(s - So) + z0,
где постоянные р и q удовлетворяют соотношению р2 + q2 = 1.
После работы Вейерштрасса задача Ш. Делоне была предметом
многих исследований [20, 33-35]. Г.А. Шварц заметил, что если
отбросить условие касания кривой в концевых точках М и N за-
данных направлений, то решение задачи не всегда существует.
Именно, если расстояние d между точками М и N удовлетворяет
неравенству d > 2, то для любого заданного числа I > d найдется
кривая с кривизной к = 1, имеющая длину / и соединяющая точ-
ки М и N, В качестве такой кривой можно взять винтовую линию,
проходящую через М и N, имеющую кривизну к = 1 и подходящим
образом выбранный шаг винта. Это означает, что задача Ш. Делоне
в этом случае не имеет решения.
Но при d < 2 имеются сразу два решения - две дуги окружности
радиуса 1, проходящей через точкиMiiN, стягиваемые хордой MN.
Вращая эти дуги вокруг хорды MN, получаем два семейства реше-
ний. Г.А. Шварцем в 1884 г. была найдена следующая
Теорема 1. Пусть между точками MuN расстояние d<2.
Пусть a<iru(3 = 2iT — а - длины двух дуг окружности радиуса 1,
стягиваемых хордой MN. Тогда любая другая кривая с кривиз-
ной 1, соединяющаяMuN, имеет длину Z, которая удовлетворяет
одному из неравенств
Ка, 1>0.
Таким образом, не существует ни одной кривой кривизны 1,
соединяющей М и N и длина которой лежит между а и 0. Г.А.Шварц
не опубликовал свое доказательство. В работе [33] А. Шур по со-
вету Д. Гильберта доказал теорему 1, установив предварительно
свойство увеличения хорды плоской выпуклой кривой при скру-
чивании. Скручиванием он называет такое преобразование кривой,
при котором сохраняются длины дуг и кривизна. Имеет место
108
Теорема 2. Пусть плоская кривая с концами Ми N вместе со
своей хордой MN образует замкнутую выпуклую кривую. При
скручивании этой кривой длина хорды увеличивается.
Доказательство очень наглядно проводится для ломаных линий.
Аналогом кривизны для таких кривых является угол между дву-
мя соседними звеньями, а аналогом кручения - угол между плос-
костями, проведенными через две пары соседних звеньев (см. § 14).
Пусть задана плоская ломаная линия у: МРХ ... PnN, которая
вместе с хордой MN образует замкнутую выпуклую кривую.
Обозначим через g прямую, содержащую отрезок MN, а через -
прямую, содержащую PiPi + i. Обозначим через 5/ точки пересече-
ния st eg. Так как кривая МРХ ... NM выпуклая, то точки рас-
положены вне отрезка MN. Скручивание кривой у можно предста-
вить как последовательность вращений вокруг осей Именно,
109
при первом вращении повернем только отрезок МРХ вокруг о^и s 1,
а оставшийся кусок кривой оставим неподвижным. Пусть точка М
при этом вращении переходит в М\. При втором вращении повер-
нем MiPiP2 как твердое тело вокруг оси s2 и т.д. Точки, получае-
мые из М вращениями, произведенными друг за другом, обозна-
чим Mlf М2, . .., Вокруг точки N опишем шар со радиу-
сом NM. Далее, вокруг каждой точки 5, опишем шар со,- радиуса
StM (рис. 31).
Пусть точки 51, ..., Sk расположены на луче MSX прямой g,
а точки 5*+1,..., Sn_! расположены на луче NSn__ х. Тогда шары
с^, ..., со*, так как радиусы их увеличиваются с номером, а цент-
ры расположены на одной и той же прямой, вкладываются друг п
друга таким образом: coi С со2 С .. . С со*. Шар со расположен вне
со*, и, более того, со и со* расположены в разных полупространст-
вах относительно плоскости, касающейся их в точке М Для после-
довательности шаров со*j,..., сол_ х имеет место обратное вклю-
чение со* + 1 Э. . . D со„_! D со. Используем далее следующее
очевидное свойство: при вращении вокруг оси множест-
во точек граничной сферы шара cof переходит в себя, внутренние
точки шара со,- переходят во внутренние, внешние — во внешние.
Точка Mi, полученная из М вращением вокруг s!, лежит на границе
coi, следовательно, она лежит внутри со2, поэтому точка М2, полу-
ченная из Mi вращением вокруг s2, лежит внутри со2. Аналогично
получим, что для всех i <к Mj С со,, и, следовательно,MtN>MN.
Рис. 32
Так как Мк лежит вне со*+1, то при вращении вокруг s* + 1 она
перейдет в точку Mk¥ii лежащую вне со* + 1. Продолжая этот про-
цесс, получим, что последняя точка Мп~{ лежит вне co„_t и, сле-
довательно, вне со. Поэтому Mn_xN > MN. Теорема 2 доказана.
Применим ее к доказательству теоремы 1. Допустим, что вопре-
ки утверждению теоремы кривая у кривизны 1, соединяющая точ-
ки М и Л\ расположенные на расстоянии d, имеет длину I, удовлет-
110
воряющую неравенствам а < I < 0. Проведем окружность радиу-
са 1 с хордой MN и от точки М отложим вторую хорду MN*
длины d. Длина меньшей дуги MN равна а, длина дуги MNN' рав-
на /3. От точки М отложим дугу MNL длины /. В силу предположе-
ния точка L будет расположена на дуге NN', не содержащей М.
Поэтому длина хорды ML d> d (рис. 32). Применим теорему 2
к дуге окружности MNL. Кривая у получается из дуги MNL скру-
чиванием, поэтому ее хорда d > d, что противоречит ранее установ-
ленному неравенству. Теорема 1 доказана.
§ 28. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА О ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ
Перейдем к рассмотрению некоторых топологических свойств
замкнутых кривых на плоскости. Будем называть замкнутой жор-
дановой кривой топологический образ окружности, а простой ду-
гой - топологический образ отрезка. Хорошо известна следующая
теорема Жордана: всякая плоская замкнутая жорданова
кривая у разбивает плоскость на две области и является их сов-
местной границей. Кривая на двумерной сфере тоже разбивает ее
на две области, а на других замкнутых поверхностях, не гомео-
морфных сфере, существуют замкнутые кривые, не разбиваю-
щие их.
Мы приведем достаточно краткое элементарное доказательство
теоремы Жордана, принадлежащее А.Ф. Филиппову [51].
Введем на плоскости выделенное направление, задаваемое
лучом OY. Это направление будем называть направлением верти-
кально вверх. Назовем настоящей точкой пересечения ломаной L
с прямой (или полупрямой) mn: 1)всякую точку пересечения L с
тп, не являющуюся вершиной; 2) каждую вершину (или сторону)
ломаной L, лежащую на тп и такую, что примыкающие к ней сто-
роны ломаной L лежат по разные стороны прямой тп. Для каж-
дой точки z плоскости определим функцию N(z, L). Проведем
через точку z направленный вверх луч zm. Функция N(z, L) рав-
на 0, если число настоящих точек пересечения луча zm с L четно,
и равна 1, если это число нечетно.
Лемма 1. Пусть L и М - некоторые непересекающиеся лома-
ные, причем либо L замкнута, либо М лежит между прямыми, прове-
денными через концы L параллельно OY. Тогда функция N(z,L)
для всех точек z ЕМ имеет одно и то же значение.
Через вершины ломаной L проведем вертикальные прямые.
Тогда на отрезке ломаной М, заключенном между двумя соседни-
ми вертикальными прямыми, включая его концы, значение функ-
ции N(z, L) постоянно. Отсюда следует, что эта функция постоянна
на всей ломаной М.
111
Лемма 2. Замкнутая кривая у делит плоскость не менее чем
на две области.
Пусть / — самая левая точка кривой у, р — самая правая. Они
делят у на две дуги у\ и у2. Пусть а — самая верхняя точка пере-
сечения у с произвольной вертикальной прямой тп, проходящей
между точками I и р. Пусть a G ух. Возьмем точку с на тп ниже
самой нижней точки Ь пересечения тп с 71 и так, чтобы р(Ь, с) <
<р(Ъ,	) (рис. 33). Всегда можно выбрать луч OY так, чтобы
Рис. 34

он не пересекал кривую у. Покажем, что точку с нельзя соединить
с точкой О ломаной, не пересекающей у. Предположим противное:
пусть ломаная М = Ос не пересекает у. Тогда
р(М, 7) = q > 0, p(7i, сп) = г > О,
p(cb +ba + ат, у2) = s > О,
где сп и ат - лучи, направленные из с вниз, а из а - вверх, Ьа —
часть дуги 71 между а и b, cb — вертикальный отрезок. Обозначим
h = min {q, г, s}. Впишем в у замкнутую ломаную L со сторонами
длины меньше h такую, что точки a, b, I и р должны являться вер-
шинами ломаной. Пусть L i, L 2, N — части ломаной L, составленные
из отрезков, вершины которых лежат соответственно на 71, у2, Ьа.
Любая точка ломаной L удалена от у на расстояние, меньшее й/2.
Можем установить три заключения:
а)	так как й/2 < р(М, 7), то L не пересекаетМ;
б)	так как й/2 < р(у{, сп), то 7! не пересекает сп;
в)так как h)2<p(cb+ Ьа+ат,у2)11, то 72 не пересекает cb,
N, ат.
Подсчитаем значение функций N(c, Li) и N(c, L2). Концы I и
р ломаной 71 лежат по разные стороны от прямой тп. Поэтому
112
число настоящих точек пересечения тп с Lx нечетно. Поэтому
7V(c,Li) = 1.
Ломаная cb + N не пересекается с и расположена между вер-
тикальными прямыми, проведенными через концы у2. По лемме 1
N(c, L2) =N(a, L2). Но вертикальный луч ат не пересекает у2.
Следовательно, N(c, у2) = 0. Так как L составлена из ломаных L t
и L2, то N(c, L) = N(c, А!) + N(c, L2). Поэтому N(c, L) = 1. С дру-
гой стороны, в силу выбора луча OY N(O,L} =0. Кривая М не
пересекается cL. Значение функции N(z,L) вдоль ломаной М
должно быть постоянным. Но мы получили N(O,L) ФN(c, L}.
Полученное противоречие показывает, что ломаной М нет.
Лемма 3. Простая дуга не разбивает плоскость.
Пусть ab — простая дуга. Предположим противное, т.е. до-
пустим, что существуют точки р и q такие, что любая ломаная,
соединяющая их, пересекает дугу ab. Можем считать, что на дуге ab
выбран порядок от а к Ь. Пусть с — верхняя грань на ab точек с,
для которых дуга ас не разделяет точек р nq. Докажем, что и ас
не разделяет р и q. Построим квадрат Qx с центром с, не содержа-
щий точек р и q. Пусть ах — последняя точка пересечения дуги ас
с его границей bQ\. Построим такой малый квадрат Q2 с центром с,
что дуга aai лежит вне Q2. Пусть а2 — последняя на ас точка пере-
сечения ас с его границей Э02 • Так как аа2 Сас, то аа2 не разделяет
точек р и q. Ломаную, которая соединяет точки р и q, не пересекая
аа2, обозначим L . Если L не пересекает ас, то утверждение доказа-
но. Поэтому пусть L пересекает дугу а2с. Пусть p.q. — кусок лома-
ной L, лежащий внутри Qi и пересекающий а2с с концевыми точ-
ками р. и q. на dQi. Докажем, что p.q. можно заменить другим
куском ломаной, не пересекающим дугу ас. Точки р. и q лепят
01 на две части Fj и Г2. Пусть а^ лежит на Г1. Ломаная p.q. де-
лит 01 на области, одна из которых G2 примыкает к Г2. Тогда дуга
01^2 не имеет общих точек с G2 (замыканием области G2), так
как 01 лежит вне G2 и 0102 не пересекается с границей G2i состоя-
щей из p.qf и Г2 (рис. 34).
Множество G2\Q2 состоит из многоугольников, один из кото-
рых R примыкает к Г2. Точки р. и q лежат на границе R. Заменим
ломаную р^ на ломаную М= Э/?\Г2. Ломаная М, соединяющая
точки р. и q., не пересекается с 0С,так как она состоит из той части
ломаной Ptqr которая расположена вне Q2 и которая не пересе-
кается с ас и частью границы Э02, расположенной в области G2.
Итак, каждый участок p.q. ломаной pq можно заменить на лома-
ную М, которая не пересекает ас. Следовательно, ас не разделяет
точек р и q.
8. Ю. А. Аминов	113
Докажем, что точка с совпадает с Ъ. Пусть с{ € cb — близкая
точка к с такая, что дуга ссх лежит в круге радиуса меньше р(с, L).
Тогда асх тоже не разделяет точек р и q. Но тогда с — не верхняя
грань точек, разделяющих р и q. Следовательно, b = с, лемма до-
казана.
Лемма 4. Замкнутая кривая является границей каждой из
областей G{9G2,.. ., на которые она делит плоскость.
Пусть a Е уиане принадлежит Г i — границе области Gx. Напом-
ним, что граница области состоит из тех и только тех точек, в лю-
бой окрестности которых существуют и точки области, и точки,
ей не принадлежащие. Возьмем точки р Е Gx и q Е G2. Пусть X —
открытая дуга, принадлежащая у и лежащая в круге с центром в а
и радиусом р(а, Г^. Тогда rt лежит в простой дуге у - X. Но Г!
разделяет точки р и q9 следовательно, и простая дуга у — X разде-
ляет эти точки, что противоречит лемме 3.
Перейдем теперь к завершению доказательства теоремы. Пусть
Gx, G2, .. . — области, на которые кривая у делит плоскость. Пусть
точки а Е Gi, b и с вне замыкания области Gx. Докажем, что b и с
можно соединить ломаной, не пересекающей у. Из точки b прове-
дем два луча, пересекающие у. Пусть Ьх и Ь2 - ближайшие к b точ-
ки пересечения этих лучей с у. Аналогично построим точки сх и с2.
Отрезки btb и CiC не пересекаются с . Имеются лишь две возмож-
ности: 1) либо пара точек b i, b2 на 7 разделяется парой точек <?i, с2,
2)либо эти пары друг друга не разделяют. Соответственно этим
возможностям и с точностью до обозначения порядок расположе-
ния точек на у следующий: Y)bxcxb2c2, 'l)bxb2c2cx. В обоих этих
случаях дальнейшее доказательство идет одинаково. Рассмотрим
замкнутую жорданову кривую М: bxbb2i b2c2i c2eci9 cxbl9 где
b\bb2f c2ccx — ломаные, b2c2, cxbx — дуги у. КриваяMпо лемме 2
разбивает плоскость на области НХ9 H2f .. . Пусть а Е Нх. По лем-
ме 4 в окрестности каждой точки b и с найдутся точки Ь3 и с3ЕН2.
Существует ломаная bb3c3c9 соединяющая точки b и с в Н2. До-
пустим, эта ломаная пересекается с 7 в некоторой точке d. По
лемме 4 в окрестности d существует точка dx Е Gx. Соединим
точку dx с а ломаной, лежащей в Gx. Эта ломаная не пересекается
с М9 так как М составлена из дуг у и отрезков bib, сгс9 не пере-
секающихся с Gx. Поэтому а Е Н2, что противоречит допущению
а Е Нх. Следовательно, точки b и с лежат в одной области. Теорема
доказана.
Рассмотрим на ориентированной плоскости гладкую замкнутую
кривую 7, вообще говоря, с самопересечениями. Будем предпо-
лагать, что число точек самопересечения конечно, равно m и через
каждую точку самопересечения проходят только две не касаю-
щиеся друг друга ветви кривой. Касательный вектор т(Р) перене-
114
сем параллельно так, чтобы его начало попало в точку О. Точка
Q — конец вектора т(Р) — будет расположена на единичной окруж-
ности, и, когда точка Р обойдет кривую 7, точка Q обойдет окруж-
ность некоторое целое число п раз. Еще Гаусс указывал на связь
п с числом точек самопересечения тп. Число п равно интегралу от
кривизны кривой, понимаемой со знаком, взятому по всей кривой
и деленному на 2тг. При непрерывной деформации кривой у с
сохранением гладкости число п не меняется, но могут возникать
новые точки пересечения или наоборот исчезать. Каждый раз изме-
нение их числа происходит на четное число. На простых примерах
видно, что числа тип отличаются на нечетное число. Можно ука-
зать на более определенную связь между ними. Точки самопересе-
чения могут быть двух типов. Выберем некоторую точку А на
внешней дуге кривой 7, не являющуюся точкой самопересечения,
и от нее будем обходить у. Тогда в точке самопересечения В одна
ветвь будет первой - ее касательный вектор обозначим т i, а другая
ветвь будет второй - ее касательный вектор обозначим т2. Пред-
пишем точке В +1, если ориентация репера Ti, т2 положительная,
и —1, если ориентация отрицательная. Сумма S(±l), взятая по
всем точкам самопересечения, есть число Уитни J. Тогда, в зависи-
мости от выбора положения точки А, имеет место J = п — 1 или
J — n + 1 [60, с. 514].
§ 29. ИНТЕГРАЛ ГАУССА
ДЛЯ ДВУХ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ
Рассмотрим топологические свойства двух замкнутых кривых,
связанные с зацеплениями. Пусть в трехмерном евклидовом прост-
ранстве Е3 имеются две замкнутые непересекающиеся кривые 71
и 72. Пусть дано параметрическое представление каждой кривой
7f в виде г =	. Тогда по известным вектор-функциям
можно найти некоторое целое число 7(71, 72) - коэффициент за-
цепления - такое, что если /(71, 72)	0, то можно заключить,
что кривые 7Z зацеплены. Это число определяется с помощью ин-
теграла Гаусса, впервые введенного Гауссом в 1833 г. в работе
по электродинамике [55].
В плоскости с координатами , t2 рассмотрим прямоугольник П
со сторонами, параллельными осям координат. Пусть вершины пря-
моугольника Alf А2, А3, А4 имеют координаты а19 Ь2;
а2, Ь2; Д1, Ь2. Будем считать, что параметры изменяются на от-
резках 01 < Г1 <02,	< t2 <b2. Так как кривые yt замкнуты,
то ri(0i) = Г1(я2), r2(bi) = г2(Ь2). Отождествим точки стороны
прямоугольника с точками стороны А2Л3, считая две точки
тождественными, если у них одинаковые координаты t2. Аналогич-
8
115
но отождествим точки сторон А р42 и Л4Л3 по равенству коорди-
нат ti. Полученное множество точек обозначим Т. Каждая точка
этого множества имеет в самом множестве Т окрестность, гомео-.
морфную кругу (т.е. это будет замкнутое двумерное многообра-
зие). Нетрудно установить взаимно однозначное и непрерывное
соответствие Т с множеством точек тора. Рассмотрим на Т сле-
дующую зависящую от двух аргументов ti и t2, вектор-функцию
r(fi) — r(t2). Так как кривые не пересекаются, то эта вектор-функ-
ция ни при каких значениях ti, t2 из указанных выше отрезков не
обращается в нуль. Следовательно, в каждой точке РЕ Т с коорди-
натами t2 определен единичный вектор
л(Р)= -------------- .
1п(п) -r2(Mi
Отложим вектор п(Р) от фиксированной точки О. Каждой точке
РЕТ поставим в соответствие конец вектора п(Р) — точку Q,
лежащую на единичной сфере S2. Получим непрерывное отображе-
ние ф: Т S2. Найдем площадь области на S2, покрытой Ф(Т),
при этом отображении. Заметим, не давая здесь подробного опре-
деления, что площадь поверхности г = r(ult и2) в теории поверх-
ностей определяется как число, приближенно равное сумме пло-
щадей бесконечно малых параллелограммов в касательных
плоскостях, стороны которых касаются координатных линий на
поверхности и\ и и2. При этом предполагается, что область изме-
нения параметров и\ и и2 разбита на бесконечно малые кординат-
ные прямоугольники. Площадь dS каждого такого параллелограм-
ма, взятого в соответствующей точке поверхности, называется
элементом площади поверхности в этой точке. В теории поверх-
ностей доказывается, что элемент площади dS поверхности с
радиус-вектором г = г(их, и2) задается выражением
dS = \[rUi,rUi]\du1du2.
Интеграл от этого выражения по области изменения параметров
Wi, и2 дает площадь соответствующей области на поверхности.
Векторы ги, касательные к поверхности, поэтому векторное произ-
ведение [rMi, rU2 ] направлено по нормали к поверхности. Для еди-
ничной сферы S2 ее радиус-вектором, зависящим от параметров
ti, t2, является вектор-функция n(t2, t2). Одновременно это и нор-
маль к сфере. Поэтому элемент площади dco единичной сферы име-
ет вид
= |(л,лГ1, nti)\dtidt2.
Далее мы будем вычислять ориентированную площадь образа ото-
бражения и для этого разобьем Т на области, в которых
116
(д,	, nt2) сохраняет знак. Площадь образа такой области на S2
при отображении ф мы будем брать со знаком +, если в этой об-
ласти (п, nti, nt2) > 0, и со знаком если (п,	, nt2) < 0. Сохра-
няя прежнее обозначение dco, но теперь уже для элемента ориенти-
рованной площади, запишем
dco = (л, nti, rif2) dtidt2.
Находим

ritt	b 1
	 + (ri ~П)-,
In -r2 I--------------tti ln-nl
z = l,2.
Следовательно, для элемента ориентированной площади единич-
ной сферы имеем выражение
, (n	r2t2)
du =------------------ dtidt2>	(1)
In ~r2 I3
где Г/ взяты при значениях аргументов Г,.
Каждому непрерывному отображению замкнутой поверхности
на сферу можно поставить в соответствие целое число — степень
отображения, т.е. алгебраическое число покрытий точек сферы,
которое равно ориентированной площади образа, деленной на 4я.
Степень отображения 0, построенного по двум кривым 71 И72,
обозначим /(71,72)- С помощью (1) получим
г/ ч 1	1 г с (п - П, Пг,» г2г2) _	,
/(Т1, Т2) = — f da> = — ff----------------------dt, dt2.
4я ф (Г) 4я т I П - П I
Интеграл в правой части называется интегралом Гаусса. Так как
/(71,72) — целое число, то при непрерывном изменении 7Z таком,
что 7f не пересекают друг друга, число /(71, 7г) не изменяется.
Если кривые 71 и 72 не зацеплены друг с другом, то значение
интеграла Гаусса равно нулю. Действительно, в этом случае кривые
7f можно непрерывно стянуть в малые окрестности двух различных
точек Pi. Вектор-функция п(Р) для стянутых кривых будет почти
постоянной, а образ отображения ф соберется в малую окрестность
точки на S2. Следовательно, степень отображения ф равна нулю,
т.е. /(71,7г) = 0. Из этого замечания следует, что если /(71,72) =#0,
то кривые 71,72 зацеплены, но не наоборот. Существуют зацепле-
ния двух кривых, для которых/(71,72) = 0.
Перейдем к рассмотрению зацеплений двух бесконечно близких
кривых. Пусть 7 — замкнутая кривая в Е3 без самопересечений.
Рассмотрим кривую 7, бесконечно близкую к 7 и параллельную ей.
Если r(s) — радиус-вектор 7, s — длина ее дуги, то радиус-вектор
117
кривой 7 запишем в виде
r(t) = r(t) + ea(t),
где е — постоянное положительное число, достаточно малое, чтобы
7 и 7 не пересекались, a(t) — единичный вектор, ортогональный ка-
сательному вектору кривой у. Точки отрезка еа(/) при движении
его вдоль кривой у опишут полосу. Зацепленность краев этой поло-
сы означает, что ее нельзя непрерывно без особенностей деформи-
ровать в замкнутую полосу кругового цилиндра. При этом край
полосы сам по себе может быть и незаузленной кривой.
Пусть длина кривой у равна L. Значение коэффициента зацепле-
ния 7 и 7 при достаточно малых е не будет изменяться при измене-
нии е. Запишем
/(7J) = _L г г Щ ~ '(0 - еа^ + ед'<^	(2)
4тг о о	I r(s) - r(t) - ea(t) |3
Но двойной интеграл от подынтегрального выражения, взятого
при 6 = 0, не совпадает, вообще говоря, со значением 7(7, т) при
малых е >0. Введем функцию
Ч (r(s)-/-(0, r'(s), r'(0)
A(s, t) =----------------;,
|r(s)-r(r)l3
определенную в квадрате 0 < s < A, 0 < Г <7, вне диагонали s = t.
Но и на диагонали эта функция может быть доопределена значе-
нием 0. Чтобы показать это, запишем разложение Тейлора
($ - t)2
r(s) = r(t) + r'(0 (s - t) + r"(0 —--+ C1(S - t )3,
2	(3)
r'(s) = r'(0 + r"(t) (s - t) + c2(s - t)2,
где Ci — ограниченные векторы, которые определяются значением
третьих производных координат r(t) в точках отрезка [г, s].
Обозначим Дг = s — t. Найдем значение функции A(r, s) в точке,
близкой к диагонали квадрата П,
Д(Г, t + Дг) = Ar(d, r'V), r'(r))/( 1 + а)3,
где а -> 0 при Дг 0. Следовательно, при Дг 0 функция А-> 0.
Доопределив ее на диагонали нулем, получим непрерывную и даже
дифференцируемую функцию. Таким образом, интеграл
— f f ----------------;--- dtds
4тт о о	| r(s) - r(t) | ’
имеет смысл, хотя его значение не обязательно равно целому числу.
118
Найдем разность между 1(у, у ) и J(y) . Подынтегральную функцию
в (2) обозначим A(s, t, е). Область интегрирования — квадрат П
(О	О <А) — разобьем на две части: полосу вдоль
диагонали, задавемую неравенствами t — Ь < s < Г + 8, где 6 > 0 -
малое число, и оставшуюся часть W. Вычисляя интеграл по U&, мы
сначала перейдем к пределу при е 0, а потом при 8	0. Исполь-
зуя разложения (3), запишем выражение A(s, t, е):
A(s, t, е) =А {- e2(a(r),r'(0,a'(0) + eAtRi(t, е) +
+ Дг4Д2(7, 5) + eAt2R3(t, s, е)},	(4)
где R( - ограниченные в функции:
Ri = (a, г", г' + еа),
R2 = Дг(сь с2,г') + — (r\c2,r') + (ci,r", г'),
, „ , 1
R3 = (? ,r ,а ) — -(а,с2,г + еа) + (сь г" + с2Дл а)Дг2 +
+ («л - с2,
At2
А =|г'(г)А^ + Л0— +c^t3 -еа(Г)\~\
Можем записать
1
л=
где функция 0 оценивается следующим образом:
еМ
1^1<------:--—JTT +ДгА, М и N = const.
(Дг2 + е2)3/2
Запишем интеграл от первого слагаемого в (4), взятый по полосе
Ub, и перейдем к пределу при е -* 0. Получим
L	t + 6
lim [- е2	f A ds] =
е-* о о	t-6
,	, Г / , t + d	ds
= - f (л(0, г (0, а (0) dt lim ( 62 / --------+
о	Le-*0\ f-d (Дг +е2)3/2
t + 6	\ 1
+ е2 f ^ds] .	(5)
t-6	/ J
119
В силу оценки функции ф и равенства
t + s ds_______________26
t-s (Дг2 + е2)3/2	е2у/б2+е2
предел (5) равен
-Л«(0У(0, «'('))*.
о
Далее рассмотрим интеграл от второго слагаемого в разложе-
нии (4):
е//ЛДг/?1(Г, e)dtds =
и'б
L	f+8	/	1	\
= е fR,(г, е)dt f Дг I Г.эТз + * ) ds =
о	Г-6	\|Дг2+е2г'2	/
L	г+б
= €fRi(t, e)dt f ty&tds.
о	t-ь
В силу оценки | ф | этот интеграл стремится к нулю при € -+ 0.
Интеграл от AAt4R2 стремится к нулю при 5 -*0. Наконец, интег-
рал от последнего слагаемого в разложении (4) будет стремиться
к нулю при €"*0.
Так как в области W функция | r(s) -r(t) - ea(t) | при доста-
точно Малом е не обращается в нуль, то, вычислив интеграл от
A(s, Г, е) по И7, можем перейти к пределу при е -+ 0. Затем, пере-
ходя к пределу при 5^0, получим /(у). Таким образом, имеет
место соотношение
1 *£ ('0) - '(0 - ед(0, Л*), ''(0 + <*'(0)
4л о о | r(s) — r(t) - ea(t) I3
1 ь ,
= — S(r ,a,a)dtir
2я о
1 “(г0)-г(0У0)У(0)
+ — j J -------------------- dtds.
4ir о о |r(s)-r(r)|3
(6)
Первое слагаемое называется суммарным кручением полосы.
Пусть вдоль кривой у главная нормаль v и бинормаль 0 определены
как непрерывные периодические вектор-функции. Положим
а = cos v + sin 0.
120
Тогда можно найти
1 L	1
— / (г',a, a')dt = —	+
2тг о	2я 7
Если полоса образована движением главной нормали, то суммар-
ное кручение полосы равно интегралу от кручения кривой, делен-
ному на 2тг. В этом случае формула (6) была установлена в ра-
боте Калагареану [21], а для произвольного а(г) — в работе Уайта
[22]; упрощенное доказательство приведено в [23].
Мы уже говорили, что интеграл <7(у), вообще говоря, не являет-
ся целым числом. Укажем один простой случай, когда J( у) - целое
число. Вырежем из бумаги полоску в виде прямоугольника, у кото-
рого длина значительно больше ширины. Изгибая и перекручивая
ее несколько раз, соединим концы. Полученную полосу будем на-
зывать плоской. Оказывается, край замкнутой плоской полосы не
может быть произвольной кривой. Именно, справедлива следую-
щая, установленная Фенхелем,
Теорема. Кривая у класса регулярности С3 тогда и только
тогда является краем замкнутой плоской полосы, когда интеграл
7" /к. ds	(7)
2тг 7
есть целое число.
Запишем выражение для радиус-вектора г (и, v) полосы, которая
рассматривается как поверхность в пространстве. Радиус-вектор
г (и, и) точки М полосы получается как сумма двух векторов :
радиус-вектора р(и) и точки края полосы и вектора va(u), орто-
гонального у, лежащего на полосе и имеющего длину и:
г(и, и) = р(и) + va(u),	(8)
где а (и) - единичный вектор. Будем считать, что и - длина дуги у.
В теории поверхностей для описания поведения поверхностей вво-
дится гауссова кривизна К, которая является одной из важных
характеристик отличия поверхности от плоскости. Для плоскости
К = 0 Гауссом была доказана теорема о том, что кривизна К при
изгибаниях не изменяется. По этой теореме кривизна К изогнуто-
го листа бумаги и, следовательно, плоской полосы, как и у плоско-
го листа, равна нулю. Гаусс дал выражение К через коэффициенты
первой квадратичной формы поверхности ds2 = Е du2 +2Fdudv +
+ G dv2, где коэффициенты Е, F и G определяются равенствами
Е = (г и,ги),
F = (ru,rv),
~ (ги> Л?) •
121
Если F = 0, то формула Гаусса для кривизны имеет вид
К = ~	\ + /	]
2x/FG \ х/EG }v \ x/EG )а |
С помощью (8) находим	z , ч
/ dtp \
ги - т(1 — v cos ipk) + и(— sin v + cos 0)1- + к I ,
Л	\ du /
rv = cos Р + Sin «р 0,
где т, р, 0 — естественный трехгранник кривой. Следовательно,
/ dip	V
£=(1 - v cos ipk)2 + v21-- + к ) , F= 0, G = 1.
\ du	/
По формуле (9) находим гауссову кривизну полосы:
/Л.Л \2 /г	/	\2 12
(9)
К =
(1 - и cos ft)2 + v2
Так как для плоской полосы К - 0, то получим уравнение
dip
— + к=0.
du
(Ю)
Для замкнутой полосы вектор а (и) после обхода кривой вернется
в первоначальное положение. Поэтому для замкнутой полосы, по-
лученной сворачиванием и склеиванием плоской полоски бумаги,
имеем
fdip = 2ттт = - f к ds,
У	у
где т — целое число, т.е. необходимость условия доказана. Наобо-
рот, если у - замкнутая кривая, для которой выполняется условие
(7), то векторное поле а = cos р + sin 0 с углом ip, удовлетво-
ряющим уравнению (10), определит плоскую полосу, которая в
силу условия (7) будет замкнутой.
122
Из формулы (6) и условия (7) для края у замкнутой плоской
полосы следует, что интеграл J(y) является целым числом, равным
коэффициенту зацепления краев полосы.
Коэффициент зацепления двух замкнутых кривых yi и у2
может быть вычислен следующим простым способом. Проведем
через кривую yi замкнутую ориентируемую поверхность F, имею-
щую у! своей границей. Существование такой поверхности будет
доказано в следующем параграфе. Пусть кривая у2 имеет с поверх-
ностью F только конечное число точек пересечения Рх,. .. 9Рк>
причем в этих точках кривая у2 не касается поверхности F. Пусть
выбрана ориентация поверхности F, индуцирующая ориентацию yi,
и выбрана ориентация кривой у2. Каждой точке Р/ поставим в со-
ответствие число ez = ± 1 следующим образом: если в точке Pz
скалярное произведение нормали п к F и касательного вектора т
к кривой у2 удовлетворяет неравенству (я,т)>0, то положим
е/=1; если (л,г) < 0, то ez = — 1. Индексом пересечения (F,y2)no-
верхности F и замкнутой кривой у2 называется сумма всех eh т.е.
к
(F,72)=S е,-.
1 = 1
В топологии доказывается, что индекс пересечения F и у2 равен
коэффициенту зацепления yt и у2: (F, у2) = /(yi, у2). Если ис-
пользовать это равенство, то легко найти, что коэффициент зацеп-
ления кривых, изображенных на рис. 35 - 38, принимает последо-
вательно значения 0,1,2, 3.
§ 30. УЗЛЫ
Замкнутую кривую у в Е3 без самопересечений будем называть
узлом. Узлы бывают ручные и дикие. Если узел можно непрерывно
без самопересечений продеформировать в замкнутую кривую, об-
разованную конечным числом отрезков, то такой узел называют
123
ручным. Известна следующая теорема, которую приведем без до-
казательства: если у G С1, то у - ручной узел. Далее мы будем
рассматривать только ручные узлы.
Узел у называется тривиальным, если непрерывной деформацией
без самопересечений можно перевести его в обычную окружность.
В топологии ставится вопрос о том, как отличить нетривиальный
узел от тривиального. И далее, как классифицировать и описать
все возможные узлы?
Для того чтобы получить ответ на первый вопрос, рассмотрим
группу узла — фундаментальную группу тт! дополнительной к узлу
области Е3\у. Эта группа была введена Дэном как частный случай
группы Пуанкаре. Она строится следующим образом. Возьмем ка-
кую-нибудь точку О вне узла. Рассмотрим множество замкнутых
ориентированных кривых I с началом и концом в точке О, не пере-
секающих у. Две кривые и Z2 называются эквивалентными, если
их можно непрерывно продеформировать друг в друга, не пересе-
кая у. Определяемый ими класс эквивалентных кривых обозна-
чим I *. Это будет элемент группы узла. На классах эквивалентных
кривых вводится операция умножения. Именно, если в Zf и 12 вы-
брать по представителю и /2, то в качестве Zf-Z2* надо взять
класс кривых, эквивалентных кривой, получаемой пробеганием
сначала кривой Zi и затем Z2. В качестве обратного элемента Z *"1
к элементу Z * берется класс кривых, получаемых обращением на-
правления обхода кривых класса Г. Множество классов эквива-
лентных
Рис. 39	Рис. 40
кривых не пересекающих у, с указанной операцией умноже-
ния образует группу узла, В общем случае эта группа не ком-
мутативна. Группу узла у будем обозначать G(y) или просто G.
Рассмотрим, как выбираются образующие группы G. Спроекти-
руем узел на горизонтальную плоскость. Можем считать, что точки
самопересечения проекции только двойные. Дугу кривой у над
двойной точкой, расположенную выше, в проекции изобразим кри-
вой без разрыва, а дугу, проходящую ниже, изобразим с разрывом
124
(рис. 39). Используя такое соглашение, можем считать, что узел
7 лежит в горизонтальной плоскости. Зададим ориентацию 7.
Разобьем 7 на ориентированные дуги я* с выбранной ориентацией 7
такие, что начало дуги оц выходит из-под другой ветви и в конце
она входит под другую ветвь, а в промежуточных точках дуги Я/
никакая ветвь 7 не накрывает дугу сц. Возьмем точку О над гори-
зонтальной плоскостью. Для каждой дуги я/ из точки О проведем
незаузленную петлю охватывающую дугу я,- и ориентированную
так, что если через петлю а, провести поверхность, то индекс пе-
ресечения Я/ с этой поверхностью равен +1. Иначе говоря, ориента-
ции на щ и на я,- согласованы по правилу винта (рис. 40).
Любая петля I с базисной точкой О гомотопна в области Е3\у
произведению путей ц. Действительно, можем считать, что I состо-
ит из конечного числа прямолинейных отрезков. ПустьР — первая,
a Q — последняя точки пересечения I с горизонтальной плоскостью.
Можем считать, что дуга PQ петли I лежит в этой плоскости, лишь
слегка приподнимаясь или опускаясь в окрестности пересечения
ее проекции с дугами яу . Разобьем дугу PQ на куски точками Pi =
= Pf Р2, ..., Рп ~ Q так, что в каждом отрезке Р/Р/+1 имеется
только одно пересечение его проекции с какой-либо дугой яу.
Соединим точки Р, с О отрезками прямых и определим петли
= OPiPi+iO, i = 0,.. . , н,
где ОР0, Р/Р/+1 и РпО — дуги Z,РкО, 0<к<п, — отрезки прямых.
Тогда петля I может быть записана как произведение петель т/, т.е.
I = То • Ti . . . тп.
Рассмотрим отдельно петлю т/. Пусть соответствующий ей отрезок
Р/Р/+! пересекает дугу я7. Если дуга я;- лежит ниже Р/Р/+1, то
петля стягивается в Е3\у к точке О. Если же Р/Р/+1 располо-
жена ниже Яу, то петля т/ гомотопна либо а7, либо а[1. Итак, / го-
мотопно произведению	. aik.
Поэтому класс эквивалентных кривых, определяемый петлей
а/, можем взять в качестве образующей группы узла. Мы будем
обозначать его той же буквой ду. Для введенных образующих име-
ется некоторое число соотношений. Рассмотрим двойную точку
проекции узла. Через каждую двойную точку проходат одна ветвь
проекции без разрыва и одна ветвь с разрывом. Поэтому если
описать вокруг двойной точки маленькую окружность S, то в нее
войдет и из нее выйдет некоторая дуга Я/, войдет дугая^ и выйдет
дуга я;. Получится картина, изображенная на рис. 41 или на рис. 42.
Будем считать, что окружность 5 расположена под горизонталь-
ной плоскостью и на ней задан обход по часовой стрелке. Разобьем
125
ее точками Aj на четыре сектора так, чтобы через каждую дугу
Л/Л/+! проходила только одна дуга узла у. Соединим точки At с О.
Тогда можем записать следующие петли:
ОА1А2О = 0/,	6Z4 3^146? = а>1,
бМ2Л3б> -aki OA4AlO = а['.
Рассмотрим произведение петель
= OAiSAiO.	(1)
Так как окружность 5 лежит целиком под горизонтальной плос-
костью, то ее можно стянуть в области Е3\у к точке Л! и поэтому
Рис. 42
всю петлю (1) можно стянуть к точке О. Следовательно, имеет
место соотношение
а,акат1а-1 = 1.
Такие соотношения записываются для каждой двойной точки.
Правило их получения следующее: будем обходить двойную точку
по окружности 5 по направлению движения часовой стрелки и за-
пишем слово из образующих, записывая их последовательно, слева
направо При этом образующая берется в степени +1, если соот-
ветствующая дуга входит в окружность, и в степени -1, если дуга
а/ выходит из окружности.
Полученные соотношения показывают, что если группа G ком-
мутативна, то имеется только одна образующая.
Если кривая у не заузлена, группа узла изоморфна группе целых
чисел Z, в которой групповой операцией является сложение, т.е.
каждая замкнутая кривая / с началом и концом в точке О экви-
валентна кривой, обвивающей у некоторое целое число раз. Имеет
место и обратное утверждение, доказательство которого довольно
сложно и основано на лемме Дэна [25, 29]. Прямое и обратное
утверждения объединим в следующую теорему.
Теорема. Узел у тривиален тогда и только тогда, когда его
группа изоморфна группе целых чисел.
Таким образом, группа узла дает возможность отличить триви-
альный узел от нетривиального. Однако, чтобы различить между
126
собой нетривиальные узлы, одной этой группы недостаточно. Су-
ществуют различные узлы с изоморфными группами узлов. Один
из таких узлов, предложенный Фоксом, изображен на рис. 43 и 44.
Найдем группы этих узлов. Пусть — образующие групп этих уз-
лов, соответствующие дугам а,. Запишем шесть соотношений для
образующих узла, которые получаются при обходе каждой двой-
ной точки на рис. 43:
=1,
а^з'аз'аз =1,	(2)
„-1	-1 ,,	_	_ 1
й2 04 #2^3 ~ 1 ,
=1,
аз 1а6а4аё1 =1,	(3)
asaeas1#?1 =1.
Из первого и третьего соотношений системы (2) находим
аг =aila2a3t а4 = а2а3а^ .
Если подставить ai в первое соотношение (2), то получим урав-
нение
aila2a3a2aila2i = 1,
которое переписывается в виде = 1, т.е. ai = а4. Тогда легко
выразить а3 из соотношений (2) и о6 из (3) через ait а2 и а5. Обо-
значим ai =о, а2 =х, а5 =у. Выражения а3 ио6 имеют вид
а3 =ауа~1 =у~1ау,
а6 =x~lax =axa~Y.
Итак, группа узла (см. рис. 43) определяется тремя образующими
а, х, у, которые удовлетворяют соотношениям ауа~1 = у~1ау,
х"1 ах = аха~1.
Рассмотрим узел, изображенный на рис. 44. Правая часть его
имеет тот же вид, что и у первого узла. Поэтому первые три соот-
ношения имеют вид системы (2). Остальные три соотношения
следующие:
05^6^406 =1,
а^аз1а6а5 =1,	(4)
ar'asflifle1 =1.
127
Из системы (2) опять следует а\ s а4, а из системы (4) выразим
через ах и а6. В этом случае обозначим ах = а, а2 = х, а6 - у.
Имеем соотношения
аз =ауа~1 =у~1ау,
а5 -х~1ах =аха~*.
Группа второго узла определяется образующими а, х, у, которые
удовлетворяют тем же соотношениям, что и для первого узла. Сле-
довательно, эти группы изоморфны.
Алгебраическая классификация узлов была получена в 1974 г.
в работах [26, 27]. Удивительно, но, оказывается, для того чтобы
два узла yi и у2 различить между собой, их надо усложнить - при-
вязать к каждому некоторый стандартный узел R (операцию
привязывания обозначим #), затем по каждому полученному узлу
у. # R построить пару обмоток — узлов // и Zf, лежащих на труб-
ке вокруг узла y{# R, и взять группы этих узлов G(/z+ ) и G(Zf).
Стандартный узел R — узел Листинга, изображенный первым на
рис. 52.
Поясним сказанное более точными определениями. Без ограни-
чения общности можно считать, что оба узла расположены в сфере
5 3. Два узла называются эквивалентными, или одного и того же
типа, если существует гомеоморфизм h: S3 -> 53, переводя-
щий yi в у2 .
Операция привязывания или составления композиции двух уз-
лов у п Rr означает построение нового узла, который получается
следующим образом. Расположим узлы у и R в S 3 по разные сторо-
ны от некоторой сферы S 2. Пусть они пересекаются с S 2 по обще-
му отрезку е, ориентация которого на у и на R противоположна.
Тогда композицией у и R есть узел у # R= (у\е) U(R\e) . Поясним
термин ’’обмотка узла”. Пусть U — трубчатая окрестность некото-
рого узла Г, dU — ее граница. Пусть д и X — замкнутые кривые на
dU такие, что д имеет коэффициент зацепления с Г, равный +1, а
X может быть переведено в Г деформацией без самопересечений.
Обмоткой Г называется линейная комбинация рр+ qX с целыми
коэффициентами р и q.
В качестве Г возьмем узел yz # R. Рассмотрим две обмотки
/.+ = д + 2Х и Zz" = д — 2Х. Классифицирующей группой является
группа
СС(7.) = я1(№\/;)*тг1(53\//-)>
где звездочка обозначает свободное произведение групп. При
этом свободным произведением группы А на группу В называется
группа, множество образующих которой состоит из образующих
128
групп Л и В, а система определяющих соотношений состоит из объе-
динения систем соотношений групп Л и В. Имеет место
Теорема. Если У1 и у2 - два узла в сфере S3, то группы
CG{yi) и CG(y2) изоморфны тогда и только тогда, когда У\ и у2
имеют один и тот же тип.
Рассмотрим некоторые другие характеристики узлов. Имеет
место
Теорема. Каждый узел ограничивает ориентируемую поверх-
ность.
Впервые эта теорема была доказана в работе Ф. Франкля и
Л.С. Понтрягина [30]. Другое доказательство было предложено
Зейфертом, который широко использовал построенную поверх-
ность в своих исследованиях по теории узлов. Строится поверх-
ность способом Зейферта следующим образом. Спроектируем узел
на горизонтальную плоскость. Пусть имеется g двойных точек
проекции. Тогда на кривой у имеется 2g точек Pi9 которые проек-
тируются в двойные точки. Эти точки разобьют у на отрезки. Пары
точек Pj и Рк, проектирующиеся в одну, соединим вертикальными
отрезками. Выберем ориентацию кривой у. Из отрезков кривой
PiPj и вертикальных отрезков образуем ’’окружности” Зейферта.
Пойдем по отрезку Р/Р7- в выбранном на у направлении; дойдя до
конечной точки, пойдем по вертикальному отрезку до лежащей на
нем точки узла Рк; затем по отрезку у, выходящему из Рк, в вы-
бранном на у направлении. Будем продолжать этот обход, пока не
придем в начальную точку. Пройденная замкнутая кривая, кроме
вертикальных отрезков, однозначно проектируется на плоскость.
Если некоторый отрезок PtPm не попал в окружность, то начнем
с этого отрезка новый обход. Получим новую окружность и т.д.
Пусть в результате мы получили f окружностей. На каждую ок-
ружность натянем поверхность, гомеоморфную кругу так, чтобы
они между собой не пересекались. Каждый отрезок узла PjPk вой-
дет в некоторую окружность только один раз, а каждый вертикаль-
ный отрезок войдет в две окружности, причем они будут пробе-
гаться в противоположных направлениях. Склеим круги по общим
вертикальным отрезкам. Получим поверхность F с границей у. По-
верхность F ориентируема, так как на скленных отрезках приле-
жащими кругами индуцируются противоположные ориентации.
Из топологии поверхностей известно, что каждая ориентируемая
поверхность с одной компонентой границы гомеоморфна сфере,
к которой приклеено h ручек и из которой выброшен один круг.
Число ручек поверхности называется родом поверхности.
На узел у можно натянуть поверхности различного рода. На-
именьший возможный род поверхности, натянутой на у, называется
родом узла.
9.Ю.А. Аминов
129
§ 31. ПОЛИНОМ АЛЕКСАНДЕРА
Группа узла является чрезвычайно мощным инвариантом, од-
нако определение изоморфности двух групп само по себе представ-
ляет трудную проблему. Более того, общая проблема изоморфизма
групп неразрешима. В ряде случаев вопрос о различении двух узлов
может решаться с помощью числовых инвариантов — коэффициен-
тов и степени полинома Дж. Александера. Этот полином может
быть найден с помощью группы узла, но мы дадим здесь изложение
этого вопроса с геометрической точки зрения, следуя в основ-
ном [36].
Будем говорить, что два узла имеют один и тот же тип в том и
только в том случае, когда один преобразуется в другой с по-
мощью конечной последовательности следующих элементарных
преобразований. На любом ребре PQ узла можем построить тре-
угольник PQR такой, что область, ограниченная этим треугольни-
ком, не содержит точек узла. Заменим ребро PQ на два ребра PR
и RQ. Можем сделать и обратную операцию. Операция деления от-
резка PQ на два отрезка PR и RQ точкой R этого отрезка может
рассматриваться как частный, но вырожденный случай предыдущей
операции. Каждое описанное здесь преобразование будем называть
элементарной деформацией.
Рассмотрим, как и выше, диаграмму узла — проекцию узла у на
плоскость, причем такую, что через каждую точку самопересече-
ния проходит лишь две ветви кривой. Ориентированную проекцию,
Рис. 45
обход которой соответствует обходу узла у, будем называть
диаграммой узла. Областями диаграммы назовем области на
плоскости, ограниченные ветвями проекции, т.е. кривыми, идущи-
ми из одной точки самопересечения до другой. Точки самопересе-
чения назовем вершинами диаграммы.
С каждой областью диаграммы свяжем определенное целое чис-
ло р, которое назовем индексом этой области и которое установим
130
по следующему правилу. Если при движении вдоль диаграммы в
положительном направлении область, расположенная справа, имеет
индекс р, то область, расположенная слева, имеет индекс р + 1. Ин-
декс одной области можем взять произвольно, но затем индексы
всех оставшихся областей определим по указанному выше прави-
лу. Покажем, что это действительно можно сделать. Рассмотрим
углы вокруг вершины диаграммы. Легко проверить, что к вершине
диаграммы подходят области с индексами р, р + 1, р» р — 1
(рис. 45). Рассмотрим некоторую область а диаграммы, и пусть
Л, В, С, ... — ее вершины. Пусть индекс области а есть р. Припи-
шем последовательно углам при вершинах индексы согласно ука-
занному правилу. При этом область 0, граничащая с а по отрезку
CD, получит индекс или р + 1, как на рис. 46, если при движении
по CD в выбранном на у направлении область р остается слева,
или р — 1 в противном случае. Пусть, например, индекс области 3
есть р + 1. Допустим, эта область 0 граничит с а еще по другому
отрезку KL, причем при движении по KL в положительном на-
правлении эта область остается справа, как изображено на рис. 46,
т.е. ей надо также приписать индекс р~ 1. Возьмем две точки
Qi £ CD н Q2 € KL. Существует кривая /, соединяющая точки Q\
и Q2 внутри области 0, не пересекающая в других точках диаграм-
му. Обозначим через о конечную область, ограниченную кривой I и
частью границы а. Направленные отрезки CD и KL оба одновремен-
но либо входят в область о, либо, как изображено на рис. 46,
выходят из этой области. Для определенности будем считать, что
они выходят. Но, выходя из точки К вдоль KL и двигаясь затем
вдоль всей диаграммы, мы должны пройти через точку С и затем
через отрезок CD, так как диаграмма - замкнутая кривая. Это
невозможно сделать, не пересекая кривую I. Следовательно, об-
ласть 0 не может иметь два различных индекса р + 1 и р - 1.
Аналогичное доказательство приводится и в том случае, если об-
ласть 0 подходит к а в точке С углом ECF, а в другой точке К —
либо стороной KL, либо углом MKN, и индексы в этих углах
различны. Таким образом, можно без противоречия приписать
индекс каждой области при вершинах Л, В, ... Перейдем далее к
следующей области 0, уже получившей некоторый индекс. Рассмат-
ривая эту область вместо а, предпишем каждому углу в ее верши-
нах по указанному правилу определенный индекс. Переходя от
области к области, мы исчерпаем все области диаграммы.
В вершине диаграммы всегда имеются два угла с одинаковым
индексом р. Будем приписывать этой вершине индекс р. Для того
чтобы отметить, какая ветвь в вершине проходит ниже, чем другая,
мы вместо разрывов, как раньше, будем ставить точки в углах.
Место точек будем выбирать таким образом, что, двигаясь в поло-
9
131
жительном направлении вдоль нижней ветви и проходя через точку
пересечения, будем иметь слева два угла, отмеченные точками
(рис. 47).
Составим теперь уравнения узла. Пусть диаграмма имеет v вер-
шин: Clf ..., Cv. Тогда по теореме Эйлера имеется и + 2 областей
диаграммы, которые мы занумеруем произвольно: г0, . .., ги+2.
Каждой вершине Q поставим в соответствие уравнение. Будем
обходить вершину Q против движения часовой стрелки. Пусть
первый угол, отмеченный точкой, будет Гу, второй угол — гк и два
Рис. 47
неотмеченных угла будут последовательно Г/ и гт. Тогда вершине
Ci соответствует уравнение
С, (г) = хг, - хгк +г,-гт=0.
Запишем систему таких уравнений для каждой вершины диаг-
раммы.
Например, для диаграммы на рис. 48 получим систему урав-
нений
Cl (г) = xr2 - xrQ + г3 - г4 = О,
С2 (г) = хг3 - хг0 + г г - г4 = О,
С3(г) = хгх - хг0 + г2 - г4 = 0.
Рассматривая систему уравнений диаграммы как систему для об-
ластей гу , запишем эти уравнения так, чтобы члены, соответствую-
щие одной и той же области, располагались в одном столбце. Матри-
ца М коэффициентов такой системы будет иметь v строк и v + 2
столбца. С помощью этой матрицы строится искомый инвариант
узла. Имеет место
Теорема. Если из матрицы М вычеркнуть два столбца, соот-
ветствующих областям с последовательными индексами р up + 1,
то детерминант полученной матрицы MQ не зависит от конкретного
выбора выбрасываемых столбцов с точностью до множителя
вида ±хп.
Обозначим через Rp сумму всех столбцов, соответствующих об-
ластям индекса р, и через 0 — нулевой столбец. Так как в каждой
132
строке матрицы М имеются только четыре ненулевых элемента,
а именно х, -х, 1 и —1, и сумма этих четырех элементов равна
нулю, то
S*p=0.	(4)
р
Имеет место также соотношение
2х~рЯр=0.	(5)
р
Действительно, умножим каждый столбец, соответствующий об-
ласти индекса р, на х~р. Рассмотрим строчку матрицы М, соответ-
ствующую вершине С с индексом q. Пусть уравнение диаграммы
для точки С имеет вид
С(г)=хг,-хгк +ri-rm
и области Г/ и г/ имеют индекс q, а гк и rt - индексы q + 1 и q - 1.
Тогда строчка в новой матрице будет иметь четыре ненулевых
элемента xl~q, -x~q, x~q, -х l~q,сумма которых снова нуль.
Используя (4) и (5), получим
2(х-Р_1)Яр=0.	(6)
р
В этом уравнении член с Rq исчез. Обозначим теперь через
±Дре7(х) =±ДдР(х) детерминант матрицы Mpq, полученной вычер-
киванием из М пары столбцов с индексами р и q соответственно.
Тогда имеет место соотношение
(х-«-1)Д0р(х) = ±(х-₽-1)Д0,.	(7)
Действительно, пусть матрица MQp получена выбрасыванием столб-
ца а индекса 0 и столбца b индекса р. Пусть M$q получена выбра-
сыванием столбца с индекса 0 и столбца d индекса <7. Определитель
этих матриц будем также обозначать квадратными скобками.
Тогда
а	b
ДОр=	V.
с	d
До, = [...д... V...ft... V...],
а
где V означает, что столбец а выброшен. Рассмотрим До<7. Исполь-
зуя (4), можем выразить столбец а через столбец с и сумму других
оставшихся столбцов. Можем записать
с	d
Aog = [...,~c-d,... V.. ,b . . . V...].
Умножим Д0(/ на х~р - 1. Используя (6), выразим (х-р - 1)Z>
133
через столбец d и столбцы других индексов, входящих в Мо<7,
кроме столбцов нулевого индекса. Получим
с	d
(х'р - 1)Д Oq = - (х~<* - 1) [ ... - с - d... V.. . d... V .. . ] =
= ± (x~q - 1) [. .. с... V ... V ... d... ] = ±(х“* - 1) ДОр(х),
что и доказывает (7).
Так как индексы областей определены с точностью до аддитив-
ной постоянной, то полученное соотношение (7) дает
(хг~ч -Г)Лгр = ±(хг-Р - 1)Дгр,
Отсюда находим
(хг-р - 1)(х‘г-г - 1)	_	хЧ-г(хг~р - 1)
Лгр = 1 (х^’-1)(х^-1)	= *	х’-* - 1 *qs'
В частности, при р = г + 1 получим
Дг(г + 1) = ±	Г^<7(<7+1)’
что и доказывает теорему.
Многочлен Дг(г +1) разделим на ±хл, выбрав степень/! и знак ±
так, чтобы в полученном выражении Д(х) член наименьшей степени
был положительной постоянной. Имеет место
Теорема. Полином Д(х) есть инвариант узла.
Прежде чем переходить к ее доказательству, найдем полином
Д(х) для простого узла на рис. 48. Матрица М в этом случае име-
ет вид
(-х Ох 1-1
- х	1	0 х - 1
- х	х	1	0 - 1
По указанному правилу областям rt поставим в соответствие
индексы. Например, если область /*0 имеет индекс 2, следующие
три Г1, r2i г3 будут иметь индекс 1 и г4 - индекс 0. Детерминант
Дох матрицы Afoi, полученной вычеркиванием из М последних
двух столбцов, будет
До1 = — х(1 —х +х2).
Следовательно, Д (х) = 1 — х + х 2.
Для доказательства инвариантности полинома Д(х) рассмотрим
элементарные преобразования матриц Ми диаграмм узлов.
Две матрицы Мх и М2 называются эквивалентными, если можно
преобразовать одну из них в другую с помощью элементарных
134
операций, применяемых в теории матриц с целыми коэффи-
циентами :
а)	умножение строк (столбцов) на -1;
3)	перестановка местами строк (столбцов) ;
у) прибавление одной строки (столбца) к другой;
6)	окаймление матрицы одной новой строкой и новым столб-
цом, у которых общий элемент равен 1, а остальные - нули.
Кроме того, введем еще операцию е) - умножение и деление
строчки (столбца) нах.
Два полинома будут называться е-эквивалентными, если они
отличаются самое большее на множитель вида ±хп. Имеет место
Рис. 49
Теорема. Если две диаграммы представляют узлы одного
типа, то их матрицы е-эквивалентны.
Нетрудно проверить, что любые возможные изменения структу-
ры диаграммы, индуцированные элементарными деформациями
узлов, могут быть сконструированы из следующих простых пре-
образований.
А.	Кривая диаграммы приобретает петлю и точку пересечения
или деформацией обратного рода теряет петлю и точку пересече-
ния (рис. 49).
В.	Одна ветвь кривой проходит под другой с возникновением
двух новых точек пересечения, или деформацией обратного рода
одна ветвь кривой соскальзывает с другой, теряя при этом две
точки пересечения (рис. 50) .
С.	Пусть существует треугольная область на диаграмме, ограни-
ченная тремя дугами с тремя точками пересечения, причем ветвь од-
ной из трех дуг проходит ниже двух других ветвей. Тогда эта ветвь
может быть перенесена параллельно мимо точки пересечения двух
других ветвей (рис. 51).
Действительно, пусть треугольник Д — проекция на плоскость
диаграммы треугольника PQR, используемого при деформации
узла. Производя, если необходимо, подразбиения Д, легко уви-
деть, что каждая деформация может рассматриваться как результат
конечной последовательности деформаций, в которых треугольни-
135
ки Д имеют сколь угодно малые размеры. Поэтому можно перей-
ти к рассмотрению таких деформаций, для которых выполняется
одно из следующих условий:
1)	внутри Д нет точек диаграммы;
2)	Д пересекается лишь с одним ребром диаграммы;
3)	Д пересекается с двумя ребрами диаграммы, которые имеют
одну общую точку;
4)	внутри Д имеется одна точка пересечения диаграммы, через
которую проходят две ветви диаграммы.
В первом случае, очевидно, топологическая структура диаграм-
мы не меняется. Рассмотрение трех последних случаев, в силу того,
что внутренняя область треугольника PQR не должна пересекаться
с узлом, приводит к указанным выше трем деформациям А, В, С.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что при каж-
дом преобразовании А, В, С матрица диаграммы переходит в
е-эквивалентную.
Рассмотрим преобразование диаграммы вида А, при котором
на диаграмме возникает новая область rd и точка пересечения.
Уравнение диаграммы для этой точки имеет вид
xr'Q - ХГ2 + г\ - г2 =0.
Остальные уравнения диаграммы не изменились. Если Мо — матри-
ца первоначальной диаграммы, то матрица М новой диаграммы
получается из Мо окаймлением новой строчкой с ненулевыми
элементами 1, —(1 + х) , х и столбцом, у которого один ненулевой
элемент х:
136
Операциями а), 7) и е) матрицам приводится к матрице, получен-
ной из Mq окаймлением одной строчкой и столбцом, у которых
общий элемент 1,. а остальные — нули. Поэтому Мо и М е-экви-
валентны.
При изменении диаграммы вида В вместо области г2 возникают
три новые области г2, г'о и г2 и две новые точки пересечения. Этим
точкам соответствуют уравнения
хг2 - хг[ +Го ~ Гз =0,
хг[ - хг2 + Гз -Tq =0.
Другие уравнения диаграммы изменяются следующим образом.
Если вершина С раньше была на границе области r2f то в новой
диаграмме С либо лежит на границе области г2, либо на границе
области Гз. Поэтому в уравнении диаграммы, соответствующем С,
мы должны заменить г2 либо на г2, либо нагг'. ЕслиМ0 — матрица
прежней диаграммы, то матрица М новой диаграммы получается
из Mq следующим образом. Столбец области г2 представим в виде
суммы двух столбцов, которые будут соответствовать областям
г2 и г2. Полученную матрицу обозначим М. Кроме того, матрицу
М окаймим двумя строчками и одним столбцом. Матрицам новой
диаграммы имеет вид
Предпоследнюю строчку добавим к последней. Столбец области
г2 добавим к столбцу области г2. Далее, с помощью последнего
столбца приводим матрицу М к виду
где а — столбец (без элементов последних двух строчек) области
r2. С помощью последней строчки все элементы столбца а можно
обратить в нуль. Следовательно, матрица М е-эквивалентна Mq.
Рассмотрим преобразование С диаграммы и соответствующее
преобразование матрицы. Запишем систему уравнений для
137
точек Q и С[-
С1 (г) = ХГ2 - ХГ0 + Г3 - Г4 = О,
С2(г) =ХГ1 -xrs + г3 -г0 = О,
С3(г) = ХГ6 - хгх + Го - г2 = о,
С1'(г) = хг'6 - xr't + r's-ro = 0,
С2(г) = хг'6 - хго + Г4- г2 = О,
С3(г) = хг'о - хг'5 + Г3 - Г4 = О.
Остальные уравнения двух диаграмм совпадают. Отбрасывая пол-
ностью совпадающие столбцы, запишем матрицы диаграмм
/	А	\	/' А	\
|-х 0x1-1	001 t I - 1 - - х 00	0 1х|
М=1-1	х 0 1	0 - х О )’М =\- х 0-10	1	Ох/’
\	1 — х —1	0	0	0 х/	\	х 0	0 1 -1 -х О/
где столбцы областей rz и rz расположены в порядке следования
индекса i = 0,... , 6. Столбцы матриц М и М' областей rz и г\ будем
обозначать соответственно di^d}. Столбцы матрицы А обозна-
чим Яр Матрицы, полученные элементарными преобразованиями,
будем отмечать чертой сверху. В матрице М возьмем столбцы
dQ,d2 и б?з_и с_помощью операций а) — е) получим из них новые
столбцы dQid2, d3 такие, что в последних трех элементах этих
столбцов будут стоять два O21 одна 1 или —1. Затем с их помощью
получим столбцы dlf d4, d5, d6, у которых последние три элемента
нулевые. Аналогично поступим со столбцами матрицы^М'. Более
точно, переход от матриц МиМ'к матрицам М и М’ зададим
в виде
dn. - dn + d„.
Ji = x(x + l)d0 + d1+x2(d2 + d3),
d2 = -xd0 + (1 - x)d2 - xd3,
~ J© + d2 + d3,
d4 = d0 +d2 + d3 + d4,
d5 = -xd0 - xd2 + ds,
d6 = -x2d0 +x(l -x)d2 - x2d3 + df>,
dl = d'o - x(d2 +di),
-xdi+d; +x2(di +di),
d[=d'2,
d'3=d3,	(8)
J4 = d2 + d3 + J4,
Jj ~ d0 — xd2 +
d;=xd; +x(i -x)j;-x2j;+j;.
Тогда матрицы M и М' приобретают следующий вид:
/	А	\	(	А'	\
-	I	0	0	0	1 0 0 О	I - 1-1	О	0	0 0 0 0	I
м»I	I, М = 1	I .
1 -1	0	00000	1’	loo	-1	0000	I
\	0	0	-1	0000/	у 0	0	01000	/
Области г0 и Го имеют только три вершины, поэтому столбец
в матрице А состоит только из нулевых элементов. Столбцы d19
d4fd5fd6, как следует из задания и J/, совпадают соответственно
со столбцами d\f d4f d'5f d'6. Отличаются лишь столбцы и d/, где
138
z = 0,2,3. Запишем две матрицы из этих столбцов, принимая во
внимание (8):
(~(а2 +яз)х а2
-1	0
0	-1
0	0
Легко видеть, что эти матрицы с помощью элементарных преобра-
зований переводятся друг в друга. Следовательно, е-эквивалентны
и матрицы двух рассматриваемых диаграмм. Теорема доказана.
Покажем теперь, что матрица полученная заменой двух
столбцов матрицы М последовательных индексов р и р+ 1 на нуле-
вые, е-эквивалентна матрице М.
Для доказательства этого утверждения покажем, что любые
два столбца матрицы М с последовательными индексами р и р + 1
могут быть выражены как линейные комбинации оставшихся v
столбцов, причем коэффициентами в этих комбинациях являются
полиномы по х и х"1 с целыми коэффициентами.
Так как индексы определены только с точностью до аддитивной
постоянной, то можно предположить, что р = 0. Заметим, что в вы-
ражении (6) отсутствует член с RQi а коэффициент при Ri есть
х"1 -1. Разделим коэффициенты всех членов в (6) на это выра-
жение, так что при R i получим коэффициент, равный 1. Коэффи-
циенты оставшихся членов будут тогда полиномами от х и х"1.
Поэтому любой столбец индекса 1 выражается как линейная ком-
бинация с полиномиальными коэффициентами столбцов индексов,
отличных от нуля. Если уравнение (5) умножить на х и затем вы-
честь из него уравнение (4) , то мы получим соотношение
S (х~₽+1 - 1)/?р = 0,
р
которое не содержит члена с Ri. Отсюда вытекает, что любой стол-
бец индекса 0 выражается как линейная комбинация с полино-
миальными коэффициентами столбцов индексов, отличных от 1.
Так как элементы рассматриваемых матриц являются полино-
мами от одной переменной х с целочисленными коэффициентами,
то можем применить теорию элементарных преобразований Л-мат-
риц [37]. При этих преобразованиях определитель матрицы Д(х)
139
Рис. 52
остается инвариантным с точностью до множителя ±хп. Таким об-
разом, полином Д (х) является инвариантом узла.
Полином узла был вычислен Дж. Александером для многих уз-
лов. Таблица полиномов узлов, у которых число вершин диаграм-
мы не более 6, приведена на рис. 52.
Отметим, что степень полинома узла меньше или равна удвоен-
ному роду узла [28].
Задачи
1.	Докажите теорему Гаусса о диаграмме узла: если записать последова-
тельность вершин диаграммы	..., Q „ в порядке их следования
при обходе диаграммы, то в этой последовательности каждая вершина будет
стоять один раз на четном и один раз на нечетном месте.
2.	Докажите, что полином Д(х) произведения узлов #т2 равен произ-
ведению полиномов этих узлов.
3.	Докажите, что полином Д (х) узла на рис. 43 есть (1 -х + х2)2.
§ 32. КРИВЫЕ В л-МЕРНОМ
ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть в л-мерном евклидовом пространстве Еп введены орто-
гональные декартовы координаты х1. Каждую точку в Еп можно
задать в виде набора п чисел х1,. .., хп. Обозначим через еди-
ничные координатные орты. Тогда радиус-вектор г точки х в Еп
можно записать в виде линейной комбинации ортов :
п
г = S х1е{.
i = i
Возьмем отрезок [a, Z>] на вспомогательной оси параметров t.
140
Элементарной кривой у в Еп называется образ топологического
отображения отрезка [а, Ь] в евклидово пространство. Это зна-
чит, что между точками у и точками отрезка [а, 6] установлено
взаимно однозначное соответствие, являющееся непрерывным и
имеющее непрерывное обратное отображение. Координаты точки у
являются непрерывными функциями параметра t. Обозначим эти
функции (t) и запишем
х1 = /(г), z = 1,.. . , и.
Задание кривой 7 с помощью задания координат как функций па-
раметра t называется параметрическим.
Сокращенно мы будем записывать кривую в параметрическом
задании в векторном виде:
где f(t) — векторная функция аргумента t. Для того чтобы не
вводить новой буквы для обозначения, вместо f (Г) мы часто будем
писать г (Г). Вектор-функция/(Г) называется дифференцируемой,
если дифференцируема каждая ее компонента. По определению
Г(0=
\Г'(0 )
Кривая 7 называется регулярной класса Ск (или аналитической),
если существует такая ее параметризация t, что каждая функция
fl (t) является функцией класса регулярности Ск (или аналити-
ческой) и вектор f' (f) ¥= 0. Если f1 G С1 и /' (г) ¥= 0, то кривая
называется гладкой.
Так же, как в § 4, можно ввести определение полукасательной к
кривой в точке Р, соответствующей полуокрестности, и определе-
ние касательной прямой в этой точке. Гладкая кривая г (t) в каж-
дой своей точке имеет касательную прямую, направляющим векто-
ром которой является г (t). Приведенное в § 4 доказательство
этого утверждения справедливо и для кривой в и-мерном прост-
ранстве.
Длина s кривой определяется как верхняя грань длин ломаных,
вписанных в кривую. Если существует длина кривой, то кривая
называется спрямляемой. Так же, как для кривых в трехмерном
пространстве, доказывается, что гладкая кривая спрямляема. Это
доказательство использует векторные функции, представляющие
кривые, и поэтому проводится одинаково как в трехмерном, так
и в л-мерном пространствах. Длина гладкой кривой может быть
141
вычислена по формуле
b
dt = f
a
dr
dt
/ dxn\2
. . + |--I dt.
\ dt I
(1)
b
S = J
a
Пусть на кривой выбрано направление, т.е. порядок следования
точек. Введем на кривой естественный параметр, связанный с дли-
ной дуги кривой. Выберем на кривой точку Р. Эта точка будет соот-
ветствовать нулевому значению параметра t. Возьмем на кривой
другую точку Q. Если, двигаясь от точки Р к точке Q, мы пере-
мещаемся в положительном направлении, то точке Q поставим в
соответствие значение параметра г, равное длине дуги PQ. Если
направление от Р к Q отрицательно, то значение параметра поло-
жим равным -s(P, Q). Для простоты введенный так параметр
будем обозначать той же буквой $. Из формулы (1) вытекает, что
КI = 1.
Перейдем теперь к определению кривизн кривой у в Еп. Здесь
мы поступим иначе, чем в случае кривых в £3. Обозначим единич-
ный касательный вектор r's через Рассмотрим производную
этого вектора по длине дуги s, т.е. по естественному параметру.
Модуль вектора ------ назовем первой кривизной кг кривой,
ds
т.е. =
£11
ds
. Если bi Ф 0, то единичный вектор, направлен-
d^
ный по --- , обозначим . Более точно,
ds
d^
—- = м2.
ds
Рассмотрим производную ------- . Этот вектор очевидно ортого-
ds
нален к £2 • Спроектируем его на вектор и на пространство, ор-
db
тогональное к £2. Длину проекции --------- на это пространство
ds
обозначим через к2, а единичный вектор, идущий вдоль этой проек-
ции — через £3. Будем предполагать, что к2 Ф 0. Тогда вектор £3
определен однозначно. Можем записать
— a^i + к2 |3,
ds
(2)
где а - некоторый неизвестный коэффициент. Найдем его. Умно-
142
жая (2) скалярно на £ i, получаем
Поэтому можем записать
d
— =-*111 + *2Ь.
ds
Затем мы рассмотрим производную единичного вектора £ 3 и посту-
пим аналогичным образом: запишем ---- в виде суммы двух
ds
проекций - проекции на пространство, проведенное через уже
определенные векторы £i, £2, и проекции на ортогональное ему
пространство. Процесс построения векторов Ь, Ь, • • •, про-
должим по индукции. Вектор выберем таким образом, что-
j
бы производная предыдущего вектора-------раскладывалась
ds
через векторы £1,..., £z_2 и новый единичный вектор £f, орто-
гональный ко всем уже определенным векторам:
d^i_1	i-г
——= 2 «Зм+ViV	(3)
ds	д = 1 м м
Вектор будет определен однозначно, если =£0. Оказывает-
ся, что здесь отличен от нуля лишь коэффициент аг-_2, и он равен
d^-i
т.е. вектор ---- раскладывается через L 2 и L. Дейст-
ds
вительно, умножим равенство (3) на а < i — 2:
/	d (	\ (d$a
а“ V“’ ds /	V“’**-7
Так как по построению ------- раскладывается через векторы
ds
£1,... Да + 1 на + 1 < i - 1, то
Запишем разложение производной вектора _2
/ ^/-2	\
Следовательно, I --- , I = #z_2. Умножим теперь (3)
\ ds	)
скалярно на fz_2 :
I dt'-A / 4_2 .	\
a,_2-^-_2, ds ds	*z_2-
Итак, имеет место формула
<4-i
ds
Процесс выбора векторов £z оборвется в том случае, когда-либо
одна из кривизн #z окажется равной нулю, либо в том случае, ког-
да число ортогональных друг другу векторов станет равным раз-
мерности пространства п. Производная последнего вектора %п кол-
линеарна . Итак, запишем формулы Френе для кривой в Еп:
— = -*1ММз,
ds
db
ds
— 1 £и — 1 •
Если ввести символический вектор £, компонентами которого
являются векторы и следующую кососимметрическую матри-
то уравненияФрене можно записать кратко так:
d$
ds
144
Заметим, что при нашем построении векторов	и кри-
визн кх,..., кп все кривизны kt> 0. Но выбор последнего век-
тора можно сделать иначе, и это позволит нам определить пос-
леднюю кривизну со знаком. В Еп для п - 1 векторов определено
векторное произведение, которое обозначим квадратными скоб-
ками [ ]. Положим 5W = [5i, • • •, 5Л -1 ] • Тогда в качестве пос-
ледней кривизны kn_i возьмем I ------- , I. Тогда вид фор-
\ ds /
мул Френе не изменится. Так введенная кривизна может
принимать как положительные, так и отрицательные значения, а
также может обращаться в нуль.
Значение введенных инвариантов определяется тем, что они
полностью, с точностью до движения, определяют кривую в прост-
ранстве.
Имеет место следующая
Теорема. Пусть заданы непрерывные функции ki(s),...
..., kn _i (s) параметра s, изменяющегося на отрезке [0,1], при-
чем kXi... ,kn_2 больше нуля. Тогда в Еп существует одна и толь-
ко одна, с точностью до движения в пространстве, кривая регу-
лярная класса С2, кривизнами которой являются заданные функ-
ции kj ($).
Рассмотрим систему уравнений Френе как линейную систему
обыкновенных дифференциальных уравнений для определения
векторов ^1,..., 1п. Пусть заданы начальные условия, т.е. век-
торы 51 (0), 5з (0),..., 5Л(0). По известной теореме из теории
дифференциальных уравнений существует единственное решение
этой системы. Тогда радиус-вектор г кривой у получим, интегри-
pyali(s):
r(s) = r(0) + J ^i(s)ds.
О
Зададим начальные условия 5/(0) так, чтобы (5/, 5/) |s=0 = 8//, т.е.
базис векторов 51 (0), 5з (0),..., in (0) выберем ортонормирован-
ным. Проверим, что в силу системы это условие будет соблюдать-
ся при любом s. Введем функции Щ = (5f, 5/) - и покажем,
что они удовлетворяют однородной системе уравнений. Найдем
производную по s от этих функций:
dUa /	dtj\ /	d*i\
= +6"-1) +
U Э	у	U S '	\	и □ /
(4)
10. Ю.А. Аминов
145
где 5# — символ Кронекера. Покажем, что 8у в правой части этого
уравнения на самом деле отсутствует. Рассмотрим четыре пары
чисел:
07-1), 07 + 1), (/z-1), (//+1).
Пусть хотя бы одна пара состоит из совпадающих индексов, напри-
мер i =j — 1. Тогда имеется и вторая пара из совпадающих индек-
сов (/ + 1 /), а две другие пары состоят из различных индексов.
Заметим, что kj_i = кь т.е. члены, не содержащие Uy в правой
части уравнения (4), сокращаются. Аналогично проводим рассмот-
рение и в других случаях. Итак, можем записать линейную систе-
му дифференциальных уравнений для Uy :
Так как при s = 0 функции Uy = 0, то, в силу теоремы единствен-
ности, единственным решением этой системы будет Uy = 0. Следо-
вательно, (s), i = 1,..., п, — ортонормированный базис прост-
ранства, причем, в силу определения кривой у, вектор & ($) — ее
единичный касательный вектор, s — длина дуги. Так как вектор-
функции удовлетворяют уравнениям Френе, то £ь...,	—
естественный репер кривой, а функции Л/ (s) — ее кривизны.
Приведенное выше определение кривизн (s),..., кп_х (s)
кривой в Еп не позволяет сразу найти их. Мы установим формулы
для их вычисления, если кривая задана в общей параметризации.
Прежде всего вспомним, что кривизна к и кручение к кривой у
в Е3 вычисляются по формулам
I '"А |	г", г-)
--------- } к = ------------
1<Р	l[<<t]l2
По аналогии с векторным произведением в Е3 мы определим прос-
той поливектор. Пусть в Еп заданы к векторов ,..., ак, к <п.
Компонентами простого поливектора, построенного на этих век-
торах, называются числа
Простой поливектор, как и векторное произведение в Е3, будем
обозначать квадратными скобками: [аь ..., ак] или одной бук-
вой р, q и т.п. Для двух поливекторов ри q определим их скаляр-
146
ное произведение и модуль поливектора:
(pq} =	2 pl"'kq1' '"'к, I р | = ч/(рр),
где суммирование производится по всем различным наборам
h <	<
Отметим следующие простые свойства поливектора:
1)	если среди векторов ..., ак имеются два коллинеарных,
то поливектор [ai,... ,ак ] = 0;
2)	если^—Xd + сд,то	...,ак] = Х . ,Ь,... ,ак] +
+ ц [^1,.. ., с,. ..,ак], X и ц - действительные числа;
3)	при перемене местами двух соседних векторов и ai+1 поли-
вектор меняет знак ;
4)	скалярное произведение двух простых поливекторов р =
= [Я1,..., ак\ и q = [di,. .., bk] может быть вычислено с по-
мощью скалярных произведений векторов at и bj в Еп по формуле
(pq) =		• (ai,bk)	(5)
	(ak,bi) . .	• (^ьк)	• \‘/ /
Найдем сначала выражения кривизн в естественной параметри-
зации. Используя формулы Френе, находим
< =ь,
4 =м2,
С, = *1Мз+- ..,
rs 1 ^2 • • •	— 1	+ ’ * ’ ’
- (0	~	~
ТТФ в каждой производной rs точками заменена линейная комби-
нация векторов Ii,..., Запишем выражение бивектора,
построенного наг^ иг^:
= МЬ,Ы-
По формуле (5) найдем квадрат модуля бивектора [Ь>Ы-
Следовательно, = |	|. Если кривая задана в виде г = г (г),
то
dt
ds
10
147
Поэтому для вычисления кривизны имеем следующую формулу:
По виду это выражение совпадает с выражением для кривизны кри-
вой в трехмерном пространстве. Далее найдем формулу для к2.
Имеем
Поэтому
।	।	। гп’ ।
ь =				..... I...		—
1К.<’Л2 I [/•;, г"] I*
Найдем теперь поливектор, построенный на векторах rs,..., rs :
[г;, .... rs(0] =»! (Й! )...(*! ... А,._ i	.
Используя формулу для скалярного произведения поливекто-
ров (5), находим, что | Пи,..., £f] I = 1. Модуль поливектора
[г',..., г® ] обозначим Имеем
5/ = й‘-1*2"2...й2_2й,_1.	(6)
Пусть i — 2 > 1. Рассмотрим произведение 5Z5Z_2:
SfS,._2 =(^~4'~2...*U*f-j)(*j_3*2-4 ••• */-з) =
= (Й1 й2 ... й;_2)2	= S2._ j й(._1.
Следовательно, кривизна fcf-х выражается через величины Sj по
формуле
^f^z-2
Перейдем теперь к произвольной параметризации t. Легко видеть,
что имеют место соотношения

l(f+l)/2
(О
|r' |Z(,+1)/2
148
Поэтому кривизна кривой в общей параметризации г (г)
имеет вид

I ,rf(0] | |	2)]|
i<i । k... ., i2
(7)
Последнюю кривизну kn _ 1, как мы знаем, можно определять со
знаком. Заметим, что поливектор п векторов в Еп имеет одну
компоненту — определитель матрицы, построенной по координа-
там этих векторов, т.е. это смешанное произведение этих векторов.
Поэтому для нахождения кривизны кп _х, принимающей в общем
случае значения любого знака, можно использовать формулу
к (r>t.......^(я))| [<>•••
*"-1 = 1<н[г;>...^-,)]|2
Здесь круглые скобки ( ) обозначают смешанное произве-
дение в Еп.
Задачи
1.	Найдите кривизны кривой г (t) = {t, t \ tэ, f4 } в точке t = 0.
2.	Докажите, что если кривизны ¥= 0,...,	¥= 0, а 0, то кривая
лежит в /-мерном пространстве
3.	Пусть кривая 7 имеет общие главные нормали (т.е. прямые, проходя-
щие через точку кривой по направлению вектора |2) с другой кривой 7*«
Докажите, что кривая 7 лежит в трехмерном пространстве, а ее кривизна к
и кручение к связаны линейным соотношением ак + Ьк = 1, где а и Ь - по-
стоянные. Такие кривые называются кривыми Бертрана.
4.	Докажите, что кривая в Еп лежит в и-1-мерной сфере S””1 тогда и
только тогда, когда ее кривизны удовлетворяют дифференциальному урав-
нению, которое получается последовательным исключением а* из следую-
щей системы:
а3 kx + 1 = 0,
а3 - к2 а3 = 0,
-«7+1*/ =0>

14»
§ 33.	КРИВЫЕ В л-МЕРНОМ
ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
С ПОСТОЯННЫМИ КРИВИЗНАМИ
Используем уравнения Френе для определения кривых в Еп с
постоянными кривизнами ,. .., кп . В трехмерном евклидо-
вом пространстве такими кривыми являются окружности и спира-
ли. В л-мерном пространстве такие кривые изучались в [39-41].
Будем предполагать далее, что все кривизны Щ Ф 0. Запишем урав-
нения Френе в следующем виде:
-	— + Мг	= 0,
ds
di2
-	Mi ~ — + Мз	= 0,
ds
- +к^ = °’
ds
Это однородная линейная система обыкновенных дифференциаль-
ных уравнении первого порядка с постоянными коэффициентами.
Метод решения такой системы состоит в сведении ее к одному диф-
ференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, но
d
л-го порядка. Символ дифференцирования — обозначим р. Сис-
ds
тему (1) запишем так:
п i
i = 1
где iJj (p) — многочлен относительно p, имеющий постоянные
коэффициенты. Такие системы хорошо изучены в теории диффе-
ренциальных уравнений. Обозначим через D(p) детерминант мат-
рицы || L\ (р) II. Уравнение, к которому сводится система, имеет
простой вид (см. [38]) :
Р(Р)^ = О.	(2)
В частности, этому уравнению удовлетворяет вектор-функция .
Многочлен Ь(р) является характеристическим многочленом косо-
150
симметрической матрицы Л, введенной в предыдущем параграфе,
но вместо обычно применяемого обозначения X здесь использова-
но р. Распишем D (р) по степеням р:
Л(р) = (-1)” [рп-А1рп-1+А2рп-2 + ...+(-1)пАп].	(3)
Коэффициент Аг является суммой главных миноров порядка г
матрицы Л:
Лг=	S	0	0	0	0 0
	0	0	0 0 -Л f г — 1	к; lr-\ 0
Так как определитель нечетномерной кососимметрической матри-
цы равен нулю, то при г нечетном Л г = 0. А при четном г нетрудно
найти
а'~-
Например,
п — з
А2 = *2 +*2 +... + k2n_v А4= Д *2*J+2,
Ап = ft* .. .k2n _ при п четном, Ап = 0 при п нечетном.
Поэтому уравнение (2) для определения % i записывается в таком
виде:
(рп +Л2рл~2 + .. . +Лл) =0	при л четном,	(4.
рСр””1 +Л2рл“3 + ... +Лл_1) £i = 0 при п нечетном.	(5)
Например, при п = 4 дифференциальное уравнение для определения
fi имеет вид
--- + (к] + к2 + к23) --	+ к\ к23 $1 = 0.
ds4	ds2
Это уравнение также легко получить непосредственно из систе-
мы (1), вычисляя четыре первых производных Характеристи-
ческое уравнение в этом случае имеет вид
X4 + (к2 + к2 + к2) х2 + к2 к2 = о.
151
Находим
2Х2 = -(*]+**+ к23) ± \/а2 - *2 )2 + *« + 2*2 (Л* + *2) < 0.
Следовательно, корни характеристического уравнения чисто мни-
мые и различные. Обозначим их iab — i&i, ia2, —i&i* Решение
уравнения для £i имеет следующий общий вид:
2
£1 = S (A- cos otjS + В. sin s),
где Aif Bj — постоянные векторы в £4. Интегрируя выражение
по s, получим радиус-вектор искомой кривой. Кривая лежит в огра-
ниченной части пространства. Она замкнута тогда и только тогда,
когда тригонометрические функции, входящие в ее параметричес-
<*!	к
кое задание, имеют общий период, т.е. когда отношение — = — —
а2	/
рациональное число, где к и I — целые числа. Условие замкнутости
в терминах кривизн имеет вид
о о , kl
(Л 1 + к>2 + к3) —— — —	| Лз |.
к* +г
Вернемся к общему случаю. Нетрудно показать, что собствен-
ные числа кососимметрической матрицы А чисто мнимые. Дейст-
вительно, пусть для некоторого собственного вектора х, вообще
говоря комплексного, выполнено уравнение
Ах = Хх.	(6)
Обозначим через х вектор, компоненты которого комплексно
сопряжены с компонентами х. Умножая уравнение (6) слева на
х, получаем
хЛх = ki (xix2 -xix2) + .. . = X |х |2.
Но каждое число xfxj — xzxy- либо чисто мнимое, либо нуль. Поэто-
му и собственное число X либо чисто мнимое, либо нуль. Так как
при г четном все числа Аг > 0, то при п четном характеристическое
уравнение для (4) имеет только чисто мнимые корни, а при п
нечетном характеристическое уравнение для (5) имеет один нуле-
вой корень, а остальные чисто мнимые.
Докажем, что при условии к} Ф 0, i = 1,...,« — 1, все корни
различные. Матрица А относится к классу якобиевых матриц.
Обозначим через РГ(Х) определитель углового минора r-го по-
рядка матрицы || ХЕ - А ||. Для последовательности многочленов
Dr (X), г = 1,..., и, легко найти рекуррентную формулу
ПГ(Х) = ХРГ_1(Х)+Д?21Пг_2(Х).
152
В частности,
Z>i=X, D2=X2+fc2, Z>3 =Х(£>2 (*)+*!).
Многочлен D2i является некоторым многочленом Fj (т) раз-
мерности I от т = X2, в то же время D2l+l = ХФДт), где ФДт) -
многочлен размерности I от т. Рассмотрим последовательность
многочленов от т:
Фо = 1, Fi =т+£2, Ф1 =т+£2 + #2, Г2,Ф2,...
Для этой последовательности имеем рекуррентные формулы
FZ(T) = !<!>,_, (7)+fc22,_1Fz_1(T),
Фг(т) = ^(7)+^,Ф,_1(7).
Указанная последовательность многочленов аналогична последо-
вательности многочленов Штурма. Многочлены Ft и Ф/ имеют
ровно I отрицательных корней, может быть, кратных. С помощью
рекуррентных соотношений по индукции доказывается, что:
1) между каждыми двумя соседними корнями многочлена из этой
последовательности лежит ровно один корень предыдущего много-
члена и один корень последующего; 2) значения многочлена в двух
соседних корнях предшествующего или последующего многочлена
различны.
Отсюда вытекает, что корни характеристического многочле-
на матрицы А различны. Пусть п = 2m, Обозначим эти корни
zai, — iai,.. ., fam, — iam, При n = 2m + 1 имеется еще нулевой
корень. Лишь в некоторых случаях для них можно указать точные
значения. Например, если ki = к2 = .. ,=kn_i = 1, то все различ-
ив
ные собственные значения содержатся в системе 2i cos ------ ,
п + 1
к = 1,2,..., п.
Общее решение уравнений (4) и (5) можно записать так:
m
($) = S (A j cos a- s + Bf sin a.- s),	п = 2 т,
j = i
т
lii(s)=A0 + S (Aj cos a s +B- sinas), n = 2m + 1,
/=1 J 1 1
где Ah Bi — постоянные векторы в En, Дифференцируя £i (s), по-
лучаем £2 ,..., %n, Уравнение кривой получается интегрированием
(s) no s. Из условий (£f, £;) = и различия a;- вытекает, что
векторы А/ и Bt взаимно ортогональны и одной длины. Подходя-
щим выбором осей координат, направив первый координатный
орт по Ai, второй по Вх и т.д., уравнения кривой можем записать
153
в виде
х1 =/?! cosai s,
х2 =aisina1s,
x1 =U! cosai s,
x2 =ai sin^i s,
*" ^cosv,
x" =amsinams,
при n = 2m,
xn 2=amcosams,
х”~1=ат sinam s>
xn = bs.
при n = 2m + 1.
Так как r's — единичный вектор, то постоянные ab b и должны
удовлетворять соотношениям
т	т
S а2 а2 =1 при п четном, S a2 a2 + b2 = 1 при п нечетном.
Таким образом, вид кривых с постоянными кривизнами в четно-
мерных и нечетномерных пространствах существенно различается.
В четномерном пространстве кривая ограничена, в нечетномерном
она уходит по одному направлению в бесконечность. Если кривая
в четномерном пространстве имеет все отношения с^./ау, равные
рациональным числам, то она замкнута.
Близкий обширный класс образуют кривые, у которых каждая
компонента записывается как тригонометрический полином от
некоторого параметра t. Радиус-вектор такой кривой можно за-
писать в виде
т
r(t)= S cke*kt,
к= —т
где ск — постоянные комплексные «-мерные векторы, причем
c_k=cJCt Здесь черта означает комплексное сопряжение. Эти кри-
вые заведомо замкнуты. Интересным является вопрос о том,
какие связи существуют между кривизнами таких кривых. Про-
стой поливектор [г ... можно записать так:
ml
[/. ..r(/)] = S dpeipt,
р = -ml
где коэффициентами служат поливекторы
dp = s i 2 hi г • • • il Icj,. • • ch],
Л + • • • +ii=p
Используя формулу (7) § 32, получим, что к2_ i является отноше-
нием полиномов от elt некоторых степеней. Отметим один исклю-
чительный случай: параметр t является длиной дуги s. Тогда век-
154
торы ск должны удовлетворять системе уравнений
S (^^-*) = 0, p = l,...,2m,
к = р~т
т
2 S |с* I2 = 1.
к = —т
Ее можно рассматривать как систему алгебраических уравнений
для компонент векторов ск, которые обозначим через Эта
система уравнений определяет некоторое алгебраическое много-
образие. По формуле (6) § 32 имеем
2ml
(Л'г1^-2...^_1)2 =	2 alpeips,
p=-2ml
т.е. эти функции являются тригонометрическими полиномами.
Коэффициенты а1р этих полиномов — рациональные функции от
координат с}к, т.е. они являются рациональными функциями на ука-
занном алгебраическом многообразии. В алгебраической геометрии
известна теорема: если алгебраическое многообразие имеет размер-
ность о, то о + 1 рациональных функций на многообразии будут
алгебраически зависимы. Это означает, что коэффициенты aip свя-
заны между собой некоторым числом алгебраических уравнений.
В заключение рассмотрим вопросы топологии кривых в Е3 при
п > 3. Оказывается, в этом случае все замкнутые кривые с топо-
логической точки зрения устроены просто — они гомотопны обыч-
ной окружности. Это означает, что при п > 3 нетривиальные узлы
отсутствуют. Кроме того, две любые непересекающиеся замкнутые
кривые можно непрерывной деформацией без пересечений пере-
вести в две непересекающиеся окружности, т.е. отсутствуют и за-
цепления. Рассмотрим, например, в трехмерном пространстве
х4 = О две зацепленные окружности х 2 + х% = 1 и (х2 — 1) 2+ х2 = 1.
Вторую окружность передвинем в окружность (х2 - I)2 +xj = 1,
х4 = е, движением по четвертой координате. Затем передвинем ее
в окружность (х2 — З)2 +хз = 1, х4 = е, и, наконец, движением по
четвертой координате вернем обратно в пространство х4 = 0.
Получим в нем две незацепленные окружности х2 + х2 = 1,
(х2 — З)2 +хз = 1. Аналогичным образом можно показать и отсут-
ствие нетривиальных узлов.
Между тем с метрической точки зрения кривые в многомерном
евклидовом пространстве устроены более сложно, чем в трехмер-
ном. Эта сложность не схватывается гомотопической теорией.
Возможно, для того чтобы связать метрические свойства кривой
с топологией, надо рассматривать трехмерные замкнутые односвяз-
ные многообразия, содержащие данную кривую, и затем рассмат-
ривать кривую как узел в таком многообразии.
155
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Рашевский ПК. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Гостехиздат,
1956.
2.	Погорелов А.В. Геометрия. - М.: Наука, 1983.
3.	Бляшке В. Дифференциальная геометрия. - М.; Л.:ОНТИ, 1935.
4.	Аппель П. Теоретическая механика: В 2-х т. - М.: Физматгаз, 1960.
5.	Аминов Ю.А. Свойства в целом кривых в трехмерном евклидовом про-
странстве, связанные с кручением// Укр. геом. сб. - 1973. - Вып. 14. -
С. 3-10.
6.	Маркушевич А.И. Замечательные кривые. - М.: Наука, 1978.
7.	Берман Г.Н. Циклоида. - М.: Наука, 1980.
8.	Залгаллер В. А. Теория огибающих. - М.: Наука, 1975.
9.	Крейн М. О теореме Выгодского // Мат. сб., новая серия. - 1946. -
Т. 18. - С. 447-450.
10.	Выгодский М. О замкнутых кривых с заданной индикатрисой касатель-
ных// Мат. сб., новая серия. - 1945. - Т. 16. - С. 73-80.
11.	Rutishauser Н., Samuelson Н. Sur le rayon d’une sphere dont la surface conti-
ent une courbe fermee// C.R. Acad. Sci., Paris. - 1948. - T. 227. - P. 755-
757.
12.	Fenchel W. Uber Kriimmung und Winding geschlossener Raumkurven// Math.
Ann. - 1929. - Bd. 10. - S. 238-252.
13.	Fary J. Sur la courbure totale d’une courbe gauche faisant an noeud// Bull.
Soc. Math. France. - 1949. - T. 77. - P. 128-138.
14.	Milnor J. On total curvatures of closed space curves // Math. Scand. - 1953. -
V. 1,№1.-P. 289-296.
15.	Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. -
М.: Наука, 1983.
16.	Бакелъман И.Я., Вернер А.Л. Расположение в пространстве кривых с пе-
риодическими кривизной и кручением // Учен. зап. Ленинградского пед.
ин-та им. А.И. Герцена. - 1967. - Т. 302. - С. 142-156.
17.	Волков Ю.А., Невмержицкий НС. Признаки неограниченности кривых
с периодическими кривизной и кручением // Вести. ЛГУ. Математика,
механика, астрономия. - 1967. - Вып. 3, № 13. - С. 29-34.
18.	Савелов А.А. Плоские кривые. - М.: Физматгиз, 1960.
19	., Weiershtrass К. Uber eine die Raumkurven Konstranter Kriimmung betreffende
von Delaunay herriihrende Aufgabe der Variationsrechung // Werke. — Bd. III. -
S. 188-217.
20.	Caratheodory C. Untersuchungen uber das Delaunaysche Problem// Abhandl.
Math. Seminar d. Hamburger Universitat. - 1930. - Bd. 8.
21.	Calagareanu G. L’integral de Gauss et 1’analysedes noeuds trie mensionnells//
Rev. Mat. Pure et Appl. - 1959. - T. 4, № 1. - P. 5-20.
22.	White J.H. Self-linking and the Gauss integral in higher dimensions//Am. J.
Math. - 1969. - V. 91. - P. 693-728.
23.	Франк-Каменецкий М.Д., Вологодский A.B. Топологические аспекты фи-
зики полимеров// УФН. - 1981. - Т. 134, вып. 4. - С. 641 -67 3.
156
24.	Кроуэлл Р:1 Фокс Р. Введение в теорию узлов. - М.: Мир, 1967.
25.	Dehn М. Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes//Math. Ann. -
1910. - Bd. 69. - S. 137-168.
26.	Simon J. An algebraic classification of Knots inS3// Ann. Math. - 1973. -
V. 97, № 1. - P. 1-13.
27.	Whitten W. Algebraic and Geometric Characterizations of Knots// Invent,
math. - 1974. - V. 26. - P. 258-270.
28.	Seifert H. Uber das Geschecht von Knoten// Math. Ann. -1910.-Bd. 69. -
S. 137-168.
29.	Папакирьякопулос С.Д. О лемме Дена и асферичности узлов// Сб. пер.
’’Математика”. - 1958. - Т. 2, вып. 4. - С. 23-47.
30.	Frankl F., Pontrjagin L. Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Diemensi-
ons-theorie// Math. Ann. - 1930. - Bd. 102. - S. 785-789.
31.	Weiner J.L. An inequality involving the length, curvature and torsions of a
curve in euclidean и-space// Pacific J. Math.-1978.—V. 74, №2, - P. 531-
534.
32.	Delaunay C. Le calcul des variations// Journal de 1’Ecole Polytechnique. -
1843. - T. XVII, cah. 29. - P. 37-120.
33.	Schur A. Uber die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises unter den
Kurven Konstanter Krummung// Math. Ann. - 1921. - Bd. 83. - S. 143-148.
34.	Schmidt E. Uber das Extremum der Bogenlange einer Raumkurve bei vor-
geschriebenen Einshankungen ihrer Krummung// Berl. Sitz. Ber. - 1925. -
S. 485-490.
35.	Schwarz J. Das Delaunaysche Problem der Vanationsrechnung in Kanonischen
Koordinaten// Math. Ann. - 1934. - Bd. 110, Heft 3. - S. 357-389.
36.	Alexander J. W. Topological invariants of Knots and links// Trans. Amer.
Math. Soc. - 1928. - V. 30. - P. 275-306.
37.	БохерМ. Введение в высшую алгебру. - М.; Л.: ГТТИ, 1933.
38.	Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.:
Наука, 1974.
39.	Boruvka О. Sur les hypercircon ferences et certaines surfaces paraboliques
dans 1’espace euclidien a quatre dimensions// C.R. Acad. Sci.,Paris. - 1931. -
T. 193.-P. 633-634.
40.	Syptak M. Sur les hypercirconferences et hyperhelices dans les espaces eucli-
diensa p dimensions // C.R.Acad.Sci., Paris.-T. 195.-P.298-299.
41.	Схоутен И.А., Стройк Д.Я. Введение в новые методы дифференциаль-
ной геометрии. - М.; Л.: ГОНТИ, 1939. - Т. 1.
42.	Feldjnan Е.А. Deformations of closed space curves // J. Diff. Geom. - 1968. -
V. 2.-P. 67-75.
43.	Стрельцов В.В. О монотонных кривых в трехмерном пространстве//
Укр. геом. сб. — 1974. - Вып. 15. - С. 112-140.
44.	Чердак Б.М. Ограниченность кривых, заданных своими кривизнами//
Учен. зап. Ленинград, пед. ин-та им. А.И. Герцена. - 1965. - Т. 274. -
С. 202-212.
45.	Чердак Б.М. Асимптотические свойства кривых, заданных своими кри-
визнами// Тр. Том. ун-та. - 1967. - Т. 191, геом. сб. № 6. - С. 150-157.
46.	Чердак Б.М. Асимптоты кривых в w-мерном евклидовом пространстве
Е?\п > 2)// Учен. зап. Ленинград, пед. ин-та им. А.И. Герцена. - 1967. -
Т. 302. - С. 295-302.
47.	Чердак Б.М. О кривых в евклидовых пространствах// Учен. зап. Ленин-
град. пед. ин-та им. А.И. Герцена. - 1967. - Т. 328. - С. 257-266.
48.	Аминов Ю.А. Обобщение теорем Якоби и Эннепера о кривых // Укр.
геом. сб. - 1979. — Вып. 22.
157
49.	Аминов Ю.А. Об условиях замкнутости ломаных линий и многогран-
ников в£3// Мат. заметки. - 1985. - Вып. 1 - С. 132-141.
50.	Дискант В.И. О минимальном числе вершин заузленной кривой// Сиб.
мат. журн. - 1964. - Т. 5,	1.
51.	Филиппов А.Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана// УМН. -
1950.-Т. 5, №5.-С. 173-176.
52.	Weiner J. Global properties of spherical curves // J. Diff. Geom. - 1977. -
V. 12. -P. 425-434.
53.	Whitney H. On regular closed curves in the plane// Compositio Math. - 1937. -
V.4.-P. 276-284.
54.	Smale S. Regular curves on Riemannian manifolds// Trans. Amer. Math. Soc. -
1958.-V. 87, №2.
55.	Gauss K.F. Zur mathematischen Theorie electra dynamischen Wirkungen//
Werke Koniglichen Gesselschaft der Wissenchaften zu Gottingen. - 1867. -
Bd. 5. - S. 605.
56.	Halpern B. Global theorems for closed plane curves// Bull. Amer. Math.
Soc. - 1970. - V. 76, № 1. - P. 96-100.
57.	Salem R., Zygmund A. Lacunary power series and Peano curves// Duke Math.
J. - 1945. - V. 12, №4. - P. 559-578.
58.	Розендорн Э.Р. Задачи по дифференциальной геометрии. - М.: Наука,
1971.
59.	Матвеев С.В. Дистрибутивные группоиды в теории узлов // Мат. сб. -
1982. - Т. 119, № 1. - С. 173-176.
60.	Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. -
М.: Наука, 1986.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Астроида 67	Полу касательная 15 Простая кривая 8
Бинормаль 27	Простой поливектор 146
Винтовая линия 59	Разложение Тейлора 10 Расходящаяся парабола 44
Гипоциклоида 67 Главная нормаль 27 Гладкая кривая 12 Группа узла 124	Регулярная кривая 12, 141 Род узла 129 Роза 69 Рулетта 67
Двойная точка 41 Декартов лист 44 Диаграмма узла 130	Свойство связности кривой 8 Семейство кривых 14 Скручивание 108 Соприкасающаяся окружность 35
Естественная параметризация 25	- плоскость 18 Спираль Архимеда 64
Жорданова кривая, 8,111	Спрямляемая кривая 23 Суммарное кручение полосы 120
Задача Ш. Делоне 104 -Н.В. Ефимова и В. Фенхеля 88	Сферическая кривая 61,149 Теорема Барбье 35
Изолированная точка 39 Изопериметрическое свойство 97 Индекс пересечения 123 Интеграл Гаусса 115	-	М.Я Выгодского 85 -	Ф. Гаусса 140 -	В. Фенхеля 121 Точка возврата 16 -	второго рода 44
Кардиоида 67 Касательная прямая 15 Композиция узлов. 128 Коническая спираль 35 Конхоида 68 Кривая Бертрана 149 Кривизна 26, 142 Кручение 28	-	первого рода 43 -	распрямления 20 -	соприкосновения 44 Трактриса 45 Тригонометрический полином 154 Трохоида 67 Узел 41, 123 -	тривиальный 124 Улитка Паскаля 68
Лемниската 62 Линия откоса 58 Логарифмическая спираль 64 Локон Аньези 66	Уравнения кривой 7 Формулы Френе 48, 144
Неравенство В. Фенхеля 82 - Фери - Милнора 84 Нормаль 18	Циклоида 26 Цилиндр 77 Циссоида Диоклеса 66 Число Уитни 115
Огибающая 47 Опорная функция 99 Особая точка 38 Отображение непрерывное 6 - топологическое 7	Ширина овала 35 Эквивалентные узлы 128 Эпициклоида 67
159
Юрий Ахметович Аминов
Дифференциальная геометрия
и топология кривых
Редактор Т.А. Панькова
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы С.В. Геворкян, В.Н.Никитина
Корректоры Н.П.Круглова, Т.В. Обод
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 32320
Сдано в набор 15.08.86. Подписано к печати 12.11.86
Формат 84 X 108 1/32. Бумага типографская №2. Гарнитура Пресс-Роман
Печать офсетная. Усл.печ.л. 8,4. Усл.кр.-отт. 8,61. Уч.-изд.л. В,35
Тираж 5000 экз. Тип. зак. 343 Цена 1 р. 10 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство ’’Наука”
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства ’’Наука”
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25