Автор: Подстригач Я.С. Коляно Ю.М.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация физика механика термомеханика
Год: 1976
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ЛЬВОВСКИЙ ФИЛИАЛ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ
Я. С. ПОДСТРИГАЙ, Ю.М.КОЛЯНО
БОБЩЕННАЯ
ТЕРМС
МЕХА
1ИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ — 1976
531
П44
УДК 539.3
Рецензенты:
д-р техн. наук Д. Ю. М о ч е р н ю к,
д-р техн. наук И. А. Цурпал
Редакция физико-математической литературы
Издательство «Наукова думка», 1976
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы все интенсивнее развивается новое научное
направление в термомеханике — исследование динамических про-
процессов в анизотропных и изотропных телах с учетом конечной ско-
скорости распространения тепла 118, 41, 60]. Вводя в принцип Онза-
гера характеристику скорости изменения теплового потока — тепло-
тепловую инерцию, С. Калиский [68] установил обобщенный закон
теплопроводности анизотропных тел. Для изотропных тел этот за-
закон впервые установил А. В. Лыков [36, 37] как гипотезу о конеч-
конечных скоростях распространения тепла и массы для тепло- и влаго-
переноса в капиллярно-пористых телах. Учитывая члены, появля-
появляющиеся в уравнении теплопроводности и граничных условиях
теплообмена, полученных на основе обобщенного закона, приходим
к обобщенной теории теплопроводности. Задачи теплопроводности,,
решаемые на основе этой теории, назовем обобщенными. История
развития данного направления в теплопроводности достаточно пол-
полно представлена К. Баумейстером и Т. Хамиллом [3]. А. В. Лыков;
[38], проанализировав обобщенную задачу теплопроводности для
полупространства, граничное значение температуры которого изме-
изменяется в начальный момент времени незначительно, оставаясь да-
далее постоянным, интерпретирует скорость распространения тепла
как производную по времени от глубины проникновения тепла.
Учитывая члены тепловой инерции, появляющиеся в уравнении
теплопроводности взаимосвязанной или несвязанной задачи и в
граничных условиях теплообмена, а также инерционные члены в
уравнениях равновесия, приходим к новой теории динамической тер-
термомеханики, которую будем называть обобщенной. Динамические
задачи термомеханики, решаемые на основе этой теории, в отличие
от классических задач, не учитывающих влияние тепловой инерции,
получили название обобщенных [71].
Настоящая монография посвящена развитию основ обобщенной
динамической теории термомеханики анизотропных и изотропных
тел, учитывающей конечность скорости распространения тепла.
В первых двух ее частях выводятся уравнения и соотношения,
доказываются основные теоремы, формулируются граничные условия
обобщенной термоупругости однородных и неоднородных массив-
массивных тел и тонкостенных элементов конструкций (пластин, стерж-
стержней и оболочек). Приводятся решения обобщенных взаимосвязан-
взаимосвязанных и несвязанных задач термоупругости для тел, подвергаемых теп-
тепловым ударам внешней средой или внутренними источниками тепла
или гармоническим воздействиям. Приведенные примеры содержат
анализ влияния учета конечной скорости распространения тепла
на распределение динамических температурных напряжений в раз-
различных телах.
В настоящее время в меньшей мере получили развитие обобщен-
обобщенные теории магнитотермоупругости, термовязкоупругости и термо-
термопластичности. В третьей части монографии содержатся лишь неко-
некоторые общие вопросы и решения некоторых частных обобщенных
динамических задач магнитотермоупругих и термонеупругих тел.
В монографии в основном использованы результаты исследо-
исследований авторов и их сотрудников О. Ф. Гирняк, Н. А. Кондратюка,
Ф. В. Семерака, В. А. Скородинского, Е. П. Хомякевича.
Авторы благодарны О. Ю- Юшкевич, X. Н. Гудыме, С. Т. Ста-
сюку, В. О. Волосу за помощь в подготовке рукописи к печати.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
%i (i = 1, 2, 3) или х, у, z — прямоугольные декартовы координаты,
г, ф, г — цилиндрические координаты,
г, ф, 0 ~-сферические координаты,
cfi — тепловой поток в направлении х-и
Ц- (i, / = 1, 2, 3) — коэффициенты теплопроводности анизотропного тела,
>/ — коэффициент теплопроводности изотропного тела,
се — объемная теплоемкость при постоянной деформации,
с0 — объемная теплоемкость,
а= —-—коэффициент температуропроводности,
cv
р — пл отность,
т — время,
тг — время релаксации теплового потока,
Сд — скорость распространения тепла,
t — 0 — t0 — приращение температуры точек тела,
6 — абсолютная температура точек тела,
t0 — температура тела в ненапряженном состоянии,
wt — плотность внутренних источников тепла,
°Ъо вуу> Огг* аху = <*ух> °yz = °гу> axz = azx — компоненты тензора напряжений
в декартовых координатах,
°Ъ = °хх> а22 = °УУ> азз = °гг> ^12 = <*21 = °ху> а23 = а32 = °уг> а13 = аз1 =¦
= охг — компоненты тензора напряжений в декартовых нумерованных
осях,
и, v, w — компоненты вектора перемещений в декартовой системе координат,
ulf и2, и3 — компоненты вектора перемещений в декартовой системе координат с
нумерованными осями,
иг> «ф, — компоненты вектора перемещений в цилиндрической системе коор-
координат,
иг> «ф» «в — компоненты вектора перемещений в сферической системе коорди-
координат,
ехх> еуу> Сгг> еху = еух> еуг = егу> ехг = ^гх — компоненты тензора деформа-
деформаций в декартовых координатах,
etj — компоненты тензора деформаций в декартовых нумерованных осях,
ец — компоненты тензора скоростей деформаций в декартовых нумерованных
осях,
егг> еФФ> ^zZ» % = V егг = егп %г = ezq> — компоненты тензора деформаций
в цилиндрической системе координат,
ет *фФ> ^ее> % = V' erQ = eQr> ^0Ф = еФ9 — компоненты тензора деформаций
в сферической системе координат,
at7> aij — температурные коэффициенты линейного расширения и сдвига анизо-
анизотропного тела,
а* — температурный коэффициент линейного расширения изотропного тела,
s — энтропия,
^, М- — постоянные Ляме,
v — коэффициент Пуассона,
Е — модуль упругости,
G — модуль сдвига,
Х( — компоненты вектора массовых сил,
pi — составляющие внешней нагрузки на поверхности 5 тела,
cijki — упругие постоянные анизотропного тела,
Т, Т* — интегральные характеристики температуры пластин и оболочек,
в — интегральная характеристика температуры стержня,
аг — коэффициент теплоотдачи с боковых поверхностей пластинки (г = ± 6),
ау — коэффициент теплоотдачи с боковых поверхностей оболочки (v = ± 6),
as — коэффициент теплоотдачи с поверхности S пластинки, тела,
<х>х> ау> аг — коэффициенты теплоотдачи с поверхностей стержня,
<хг — коэффициент теплоотдачи с цилиндрической поверхности стержня (г = R)9
26 — толщина пластинки, оболочки, покрытия,
2/i — ширина промежуточного слоя или подкрепляющего элемента,
б[, — символ Кронеккера,
гг — относительная диэлектрическая проницаемость,
\лг — относительная магнитная проницаемость,
А — оператор Лапласа,
A при ?>0, Л при ?>0,
5@
+@Ч .@
(О при ? < 0, 10 при ? < 0 — асимметричные единичные функ-
функции,
Aпри?>0,
5@- V, при^ = 0,
10 при ? < 0 — симметричная единичная функция,
б @ — функция~Дирака,
^v®» ^v (?)—функции Бесселя I и II рода,
^v О — модифицированная функция Бесселя I рода,
/Cv (Р — функция Макдональда,
erf (Q — интеграл вероятности,
пъ п2 — компоненты вектора внешней нормали п к цилиндрической поверхнос-
поверхности S пластинки,
/* — твхмпература среды, омывающей поверхности г= ± 6 пластинки, у =*
=» ± 6 оболочки,
tsc — температура среды, омывающей поверхность S пластинки,
щ — компоненты вектора внешней нормами п к поверхности тела.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ
АНИЗОТРОПНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОБОБЩЕННАЯ ТЕРМОУПРУГОСТЬ
ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ
В настоящей главе выводятся уравнения и соотношения обобщен-
обобщенной взаимосвязанной и несвязанной динамической термоупругости
анизотропных и изотропных тел с источниками тепла. Формулиру-
Формулируются краевые условия и доказываются основные теоремы теории
обобщенной термоупругости анизотропных тел. Некоторые теоремы
для изотропных тел приведены в работах [56, 631.
1. Обобщенный закон теплопроводности.
Краевые условия
В классической теории теплопроводности принято, что скорость
распространения тепла является бесконечно большой. В этом слу-
случае, согласно закону теплопроводности Фурье, вектор теплового по-
потока пропорционален градиенту температуры, т. е.
<7, = -У,л A.1)
Классический закон теплопроводности A.1) можно использовать
в теории квазистатических температурных напряжений при медлен-
медленном изменении во времени теплового воздействия. При изучении ди-
динамических температурных напряжений в деформируемых телах,
когда инерционными членами в уравнениях движения нельзя прене-
пренебречь, зачастую необходимо учитывать, что тепло распространяется
не бесконечно быстро, а с конечной скоростью
ся
-V-t
(для металлов хг« 10 п сек [38]).
Поскольку тепловой поток устанавливается в теле не мгновенно,
а характеризуется конечным временем релаксации, то обобщенный
закон теплопроводности в изотропной среде можно представить в
виде
/?, = —V.f. A.3)
где / = 1 -f- тг -j-, Trqc — тепловая инерция теплового потока, q? =
~" дх в
Соотношение A.3) впервые предложил А. В. Лыков [37] как гипо-
гипотезу о конечных скоростях распространения тепла и массы для
тепло- и влагопереноса в капиллярно-пористых телах. Обоснованию
обобщенного закона теплопроводности для изотропных тел и по-
построению на его основе гиперболического уравнения теплопровод-
теплопроводности для одномерного случая посвящены работы [3, 37, 38].
А. В. Лыковым [37] рассмотрен вопрос о возможности обобщения
гиперболического уравнения теплопроводности ца трехмерный
случай.
Для анизотропного тела обобщенный закон теплопроводности
запишем так [68, 69]:
Принимая, что тепловой поток через граничную поверхность
тела в соответствии с законом Ньютона пропорционален разности
температур поверхности тела и внешней среды, имеем
ni4i (Р, т) = as [t (Р, т) - fc (Р, т)], Р 6 S. A.5)
Подставляя A.5) в A.4), получаем обобщенное граничное усло-
условие теплообмена третьего рода
яА'А/ (Р> *) + l*s V (Л т) - tl (P, т)] = 0. A.6)
Выразим из A.4) тепловой поток через температуру. Тогда на
поверхности тела S будет
«Л (р> *) = - -^- J'./ (Л 0 ехр (-^) d? + с«,е ^ . A.7)
о
Если начальная температура тела и среды равна нулю, то, как
вытекает из A.5), /z#Jt=o = 0. Следовательно, в этом случае постоян-
постоянная интегрирования cni = 0 и обобщенное граничное условие тепло-
теплообмена третьего рода A.6) принимает вид
щ -У- j t,i (Р, D ехр (-1—-) <К + «s [^ (Л т) - й (Р, т)] = 0. A.8)
6
При as -> оо из A.8) вытекает обычное граничное условие теп-
теплообмена первого рода
t(P, t) = 4s(P, т). A.9)
Обобщенное граничное условие теплообмена второго рода (на
границе 5 задается тепловой поток q = [qt]) получим из соотноше-
соотношений A.4), A.7) для отличного от нуля или равного нулю в начальный
момент времени заданного теплового потока соответственно в виде
x) = -ntqt{P, т), «,^-
Условие идеального теплового контакта (условие четвертого ро-
рода) твердых тел состоит в том, что на контактирующей поверхности
S тел температура и тепловые потоки одинаковы:
h (Л т) = t2 (Р, т), пдУ (Р, т) = nLq{? (P, т). A.11)
Для каждого из контактирующих тел выразим в соответствии
с A.7) тепловой поток через температуру:
Mk?Qkt ?=1,2, A.12)
Qk — область, занятая контактирующим телом; ck — постоянные
интегрирования, равные qt\=Q.
Вычтем из продифференцированного по т соотношения A.12) для
первого тела соответствующее соотношение для второго тела. В ре-
результате на поверхности контакта S с учетом второго равенства
A.11) получим
Если в начальный момент времени температуры контактирующих
тел постоянны, то из последнего равенства вытекает, что на поверх-
поверхности S я^}1)|т_о=0. Следовательно, на поверхности S и ntq{2i \ т=о= 0.
Таким образом, на поверхности контакта ск = 0. Учитывая это и
подставляя A.12) в A.11), получаем обобщенное граничное условие
четвертого рода
tx (Л т) = t2 (Р, т),
Начальные условия примем в виде
M?Q. A.14)
2. Основные соотношения
и уравнения термоупругости
Пусть в недеформированном и ненапряженном состоянии тело
имеет температуру t0. Такое исходное состояние назовем естествен-
естественным. Вследствие действия силовых или тепловых факторов тело бу-
будет деформироваться, а его температура изменяться. В теле возник-
возникнут перемещения и{ и приращение температуры. Изменение темпе-
температуры вызывает возникновение деформаций ец и напряжений oih
которые являются функциями координат xt и времени т. Изменение
температуры, соответствующее деформированию, невелико, т. е.
—г—! < 1, и не приводит к существенным изменениям физико-ме-
ханических характеристик материала.
Приведем соотношения теории термоупругости, ограничиваясь
линейным приближением. В этом случае связь между компонента-
компонентами тензора деформации ец и вектора перемещения щ будет
(U + Ui.i). A.15)
Компоненты тензора деформации должны удовлетворять шести
уравнениям геометрической совместности:
%,// — Я//./л ~ tik.n = 0, /, /, &, I = 1, 2, 3.
Уравнения состояния для анизотропных тел, связывающие ком-
компоненты тензора напряжений oq с компонентами тензора деформа-
деформаций eij и температурой О, получим, исходя из следующего выраже-
выражения свободной энергии:
/ (eih 8) = -i- сцыецвы — %ец1 + т/2,
где т^
Подставив выражение свободной энергии / в уравнение cty =
= [-т^-) , приходим к соотношению Дюгамеля — Неймана для ани-
зотропного тела [43]
— Р*/' • A-16)
Здесь Ctjki — декартовы компоненты постоянного тензора упругой
жесткости для анизотропного тела, причем сцы = с^м, сцы = сщь
Сф1 = Ckiijy жесткости сцы относятся к изотермическому состоянию
и определяются в естественном состоянии, т. е. сцы = (сцш)е-
Решая систему уравнений A.16) относительно деформаций, полу-
получаем
aijt, A.17)
где Sijki — модули упругой податливости, удовлетворяющие условиям
симметрии Sijki = Sjtku Sijki = %/л, sijki =
Из соотношений A.16), A.17) следует
A,18)
10
= Cijkh
лд = ¦— Ьи = — Ukfiijkh
Приращения внутренней энергии V и энтропии s имеют вид [43]
dil = счыеЫAеч + tofade?/ + cedQ,
с 0-19)
+ ^de
Проинтегрируем полные дифференциалы dU и ds при условии,
что в естественном состоянии (вц = 0, 6 = /0) U = 0, s = 0. В ре-
результате находим
U = 4- стецеы + tofae4 + cet,
A.20)
Первый член выражения для энтропии s описывает сопряжение
полей температуры и деформации, второй — энтропию, вызванную
теплопроводностью. Первый член для внутренней энергии U имеет
чисто упругий характер, второй выражает сопряжение деформаций
и температуры, последний имеет чисто тепловой характер. Для
— < 1 выражение для энтропии A.20) запишется таким образом:
Т
'о
Подставляя A.20) в выражение для свободной энергии f = U —sA
и разлагая 1пA + т~1 в степенной ряд с удержанием двух членов,
получаем
f« 4- c<iw
Исходя из выражения [43]
Qs = —qu + wt A.23)
и обобщенного закона теплопроводности A.4), выведем уравнения
теплопроводности для анизотропной среды.
Подвергая A.23) действию оператора /, находим
l(Qs) = —lqu + lwt. A.24)
Продифференцируем A.21) по т и умножим на 9. Полученное
соотношение подвергнем действию оператора /. В результате имеем
/ @s) = fat (Qeif) +cel(Q-j-). A.25)
Подставляя A.4), A.24) в A.25) и заменяя 0 на tOy получаем
tilhi —10oP//fy + ri) ^ - l®t. A.26)
Учитывая, что fa == аиСцы и принимая далее се = cVJ уравнение
A.26) записываем в виде
tyd Ф — 1щ- A-27)
11
Пренебрегая в уравнении A.27) членом —toakiC;jkiteih определяю-
определяющим сопряжение температурного поля и поля деформации, при-
приходим к уравнению теплопроводности
tijt,if = cvli — lwt. A.28)
В случае изотропного тела вместо A.28), A.27) будет
M = -^ + c72t + 4le-^L, A.30)
где г) = -^-, Р = щ (ЗА, + 2|i), е = div и.
Л/
Для получения полной системы уравнений термоупругости запи-
запишем уравнения движения в перемещениях, основываясь на законе
сохранения импульса. Для произвольного объема Q, ограниченного
поверхностью S, этот закон имеет вид [431
\l\pidS> *=1. 2,3. A.31)
Q Q S
Учитывая, что р{ связаны с составляющими тензора напряжений
о/, на поверхности S формулами
pi = ai/nh A.32)
где Я/ — направляющие косинусы нормали к S, и используя фор-
формулу Гаусса — Остроградского
{a,/f/dl/, A.33)
приводим уравнение A.31) к виду
и°Ш + Х1-9Щ)(^=0. A.34)
s
Поскольку уравнения A.34) справедливы для произвольного
объема, из них следуют локальные уравнения движения
<*/./ + xi = Рии U / = 1, 2, 3. A.35)
Подставляя A.16) в A.35), находим
CijkiUkjj + Х? = рщ + Р/;</. A.36)
Для изотропного тела вместо A.36) будет
m./i + (^ + V) Ч» + xi = РО + 9Щ. A.37)
Уравнения A.27) и A.36) образуют полную систему дифферен-
дифференциальных уравнений термоупругости для анизотропного тела, а
уравнения A.30) и A.37) — для изотропного тела в случае обобщен-
обобщенной взаимосвязанной задачи термоупругости. Постоянные Ляме
12
Я и \i в уравнениях A.37) соответствуют изотермическому состоянию
(fi = |ie, Я = Яв).
Представим уравнения A.30), A.37) в векторном виде [431:
д*.—1/_ r)/divw = ^, A.38)
+ (X + ц) grad div и + X = Р grad t + pu. A.39)
Предположим, что массовые силы и источники тепла отсутству-
отсутствуют. Тогда уравнения A.38), A.39) становятся однородными:
Д*_ JL/_T)te = 0, A.40)
\iAu + (К + \i) grad div и — p grad / = pu. A.41)
Применяя к уравнению A.41) операцию ротора, получаем волно-
волновое уравнение
[Л — c72d2T]rotu= 0, A.42)
где с2= у — <— скорость распространения поперечной волны, дх =
д
Применяя к уравнению A.41) операцию дивергенции, имеем
(Л — сТ2д2х)е = тМ, A.43)
где т = . J^2 , е = div и, сг= у —i—^— скорость распростра-
распространения продольной волны.
Уравнение A.43), определяющее волну расширения, показыва-
показывает, что эта волна связана с температурой t. Следовательно, необхо-
необходимо одновременно рассматривать уравнение A.40). Из уравнений
A.40) и A.43) видно, что распространение волны расширения связа-
связано с выделением тепла. Механическая энергия волны расширения
частично переходит в тепло, что и приводит к росту температуры.
Исключая из A.40), A.43) функцию t, получаем следующее волно-
волновое уравнение, определяющее распространение волны расширения
в термоупругой среде:
|7д — JL дх\ (А — с72д\) — цт1Адх] е = 0.
Разложив вектор перемещения и вектор массовых сил в уравне-
уравнениях A.38), A.39) на потенциальную и соленоидальную части
и = grad Ф + rot -ф, X = р (grad * + rot X) A.44)
13
и подставив A.44) в A.38), A.39), запишем уравнения
Исключая из этой системы температуру, находим два волновых
уравнения
Г-сГ2д\) (А ^д1\- 1
A.46)
(д _
Первое из уравнений A.46) определяет продольную волну, вто-
второе — поперечную.
Уравнения движения в цилиндрической системе координат име-
имеют вид
дг
дощ
дг
~дГ
д(р
дг
A.47)
Соотношения между компонентами тензора деформации и ком-
компонентами вектора перемещения в этой системе запишутся таким
образом:
^ ~^фф = — \W + Urj'
дг
-м
даг . диг
дг ' дг
диг
дг \>
еуу =
дг
Уравнение теплопроводности A.27) для тел, обладающих цилинд-
цилиндрической анизотропией, принимает вид
а*
дгду
¦ +
~
14
- iff (Pi A, + 2Pi2^p + 2p18?* + Р22еФФ +
+ 2p234+p33O==-^- A.48)
В случае несвязанной обобщенной динамической задачи термо-
термоупругости для цилиндрически анизотропных тел в левой части урав-
уравнения A.48) следует пренебречь вторым членом. Если в каждой
точке тела имеется плоскость тепловой симметрии, к которой перпен-
дикулярнаЪсьОг, обобщенное уравнение теплопроводности для ци-
цилиндрически анизотропных тел получим, положив в уравнении теп-
теплопроводности для несвязанной динамической термоупругости Х*з =
= ^23 = 0, а для ортотропного тела, кроме того, К\2 = 0. Для изо-
изотропного тела
}t = (Xt при i = /,
41 [О при гф\.
В случае осесимметричной задачи обобщенное уравнение тепло-
теплопроводности для несвязанной динамической термоупругости изо-
изотропного тела запишется таким образом:
Соответствующие упрощения соотношений закона Гука A.16)
для цилиндрически анизотропных тел получим для случаев, когда
в каждой точке тело имеет плоскость упругой симметрии, к которой
перпендикулярна ось Ozt три плоскости упругой симметрии, как и
в теории упругости цилиндрически анизотропных тел. В случае
изотропных тел, отнесенных к цилиндрической системе координат,
закон Гука запишется таким образом:
or, = 2\Ler,+Ke — pt,
афф = 2|!?фф + Хе — р^,
ог2 = 2\кегг, агф =
Подставляя эти выражения в уравнения равновесия A.47) и при-
принимая во внимание соотношения между компонентами тензора де-
деформации и компонентами вектора перемещения, находим
a i /1 i \ де ur 2ii ^Нф п dt •• v
de
_
где Д = -г— (г -г—) -)—— 2 -f -^ оператор Лапласа.
В случае осесимметричной задачи соотношения закона Гука и
уравнения равновесия в перемещениях значительно упрощаются и g
учетом соотношений X = п ^^п ^л , Ц = о/1?. .А = G имеют
вид [44]
v)
а_ —
ди
2G
ди
1 ди и
dt
A.50)
где сг =
2A — v)G
' ; скорость распространения волны расши-
расширения в упругой среде; и — иг
В сферической системе координат положение точки М определя-
определяется тремя координатами: г, ф, 9. Координатными поверхностями
в этой системе являются сферы г = const, круговые конусы ф =
= const и полуплоскости 0 = const. Соотношения между компонен-
компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемещения
и уравнения равновесия в сферической системе координат запишут-
запишутся в виде
диг
~дГ
- 1 дер ^
дЦф
дг
1
ди{
е
sin ф ао
+ -J-
дип
дг
+ «ф Ctg ф •
1 диг
дит
дг
дг
дог{
1
Г51Пф
1
ГБШф
1
dorQ
ае
доф
ае
Г а^ + ГBа-
тгф ctg ф) = риг — Хп
?f + f (°
г sin ф аэ
= puQ —
16
Уравнение теплопроводности для изотропного тела в сфериче-
сферических координатах имеет вид
1 a l 2 JH\ , 1
г* ИГ V аг / 'asi
ф
Jt
1
г* sin* ф
1 д(гЧг)
+
БШф
+
1
ди,
sin ф д9
-'D-v)-
Пренебрегая в левой части этого уравнения последним членом,
получаем уравнение обобщенной теплопроводности
дЧ 2 Jt_ , J_ / дЧ , Jt\
, r~~2 дЧ } / Iwt
W~~~ +~^ XT'
sin (
необходимое для решения обобщенных несвязанных динамических
задач термоупругости.
В случае осесимметричной задачи это уравнение принимает вид
дЧ s_b_jH_____ ±_ sj_ ]Щ_
аг* + г дг ~" а + С2 ^ '
A.51)
Закон Гука и уравнение движения для данного случая запишут-
запишутся таким образом [44]:
2G Г/f __ ч J± , 2v Jf (I 4-v) о
дг г
2G Г аа . a
дг*
а/-
A.52)
3. Разделение взаимосвязанной системы
дифференциальных уравнений
Следуя [43], изложим метод разделения уравнений обобщенной
взаимосвязанной термоупругости посредством введения четырех раз-
разрешающих функций %t-, i = 1, 2,3, 4. Под разделением системы под-
подразумеваем действия, преобразующие ее в систему четырех уравнений
высшего порядка, содержащих по одной искомой функции %im
Представим дифференциальные уравнения обобщенной термо-
термоупругости изотропного тела
V>4f! + (h+V) 4ii + xi = 9Щ + P^»
17
в операторном виде
LlAt =
LAiui
/ / lwt
A.53)
где i = 1 —3, Li,- — П2 S,-; + bdfij, Li4 = — pod?, L4,- = — r]/dT<?(., L44 =
Введем четыре функции X,- (t = 1, 2, 3, 4), связанные с переме-
перемещениями и температурой:
22
«8 =
XT
1
XT
2
Хз ^32
%4 L42
Ln L
L2l
Li
-'ЗЗ
-43
12
-22
Х
L2
I,
-41
24
'3 ^34
L44
L
L
L,
Lv L
L3
Хз
Х4
3 2
-13
-23
-33
-43
-34
-44
^22
Г
'32
L
42
-43
х4
Найдем эти определители, рассматривая операторы как
Получаем следующие соотношения между функциями ср, =
п 2ф4,
?! П
— д22Т) ф2 — <Э2<53Гф3
д2 П
2 П2
П2Фз1
числа.
DaXf:
A.54)
где
B = (l+b)\3i Пз-Ро^тА, Г = Ь Пя —РоЧ
Введем обозначение if> = П2ф4 и запишем соотношения A.54) в
виде
Ь)
/ = т|/дт^ П2Ф/ +
или в векторной форме
и = Вф — grad div (Гф) + Ро grad г|),
/ = т)/атdiv П2 Ф + A + Ь) ?!ф.
A.55)
Функции и и f выражаются через векторную функцию ф и ска-
скалярную г|): функцию ф можно рассматривать как обобщение на дина-
динамические задачи термоупругости векторной функции Галеркина.
]8
Подставив A.54), A.55) в A.53), получим систему четырех урав-
уравнений
П2 (Di П3 — тфхА) <р, + -j- = О, i = 1 — 3,
чР
A.56)
где г, - - , с2 - р , т -
Решение уравнений A.56) для ф, будет состоять из трех членов:
частного решения ф? неоднородного уравнения и общих интегралов
уравнений
? 2Ф/ = 0, (Di Пз — тфТЬ) ф! - 0.
Функция % удовлетворяет простому волновому уравнению, описы-
описывающему поперечную волну, а функция ф* — сложному волновому
уравнению, соответствующему продольной волне.
Решение уравнений A.56) для *ф представим в виде суммы -ф =
= % ~Ь 'ф', где % — частный интеграл неоднородного уравнения, а
г|/ — решение уравнения (DiD3 — тт|/дтД) г|)' = 0.
К уравнениям A.56) следует добавить одно из граничных усло-
условий теплообмена A.9), A.8), A.10), граничные условия для переме-
перемещений щ = Ut (Р, т), Р С S, или напряжений pt- (Р, т) = а^-Л/ =
= ^ (и;,/ + w/,t) щ + (he — fit) nit P € 5, или смешанные гра-
граничные условия (на части поверхности тела заданы нагрузки, на
остальной части — перемещения), начальные условия A.14) и на-
начальные условия для перемещений щ (М, 0) = gt (М), щ (М, 0) ==
= ft (М), М 6 Q, i = 1 - 3.
Граничные условия записываются, как видим, либо через функ-
функции / и щ, либо через их производные. Поэтому благодаря соотно-
соотношениям A.55) данные условия можно всегда записать через функ-
функции ф; И ty.
4. Основные энергетические уравнения
Для вывода основных энергетических уравнений используем
уравнения движения и обобщенное уравнение теплопроводности
анизотропных тел:
<*//./ + xi = 9Щ> *"• / = J. 2» 3> С1 -57)
^/0/ - cjt - t&jletj = - /ш,. A.58)
Умножим уравнение A.57) на и( и проинтегрируем по области Q
тела, учитывая формулу Гаусса. В результате получим уравнение
f ХмМ + \ PivcdS = p J Viv4V + f а/у^, A.59)
Q S Q Q
выражающее закон сохранения энергии.
19
Принимая во внимание уравнение Дюгамеля — Неймана
оц = стеы — $ци A.60)
уравнение A.59) переписываем таким образом:
чг + пгг = i x^dV +1
где для кинетической энергии и работы деформации введены соот-
соответственно обозначения
к = (") IW*1'' ^ = Ш J °№**ifN- 0 -62)
Формула A.61) выражает закон сохранения энергии для термоупру-
термоупругой среды.
В этом уравнении для явного учета нагрева тела и тепловых
источников используем обобщенное уравнение теплопроводности
A.58)^ Умножая его на t и интегрируя по области Й, находим
J XljttjjdV - tQ J hfrjtdV + xrt0 J stdV + ^ J «dK - J to#, A.63)
Q Q Q Q Q
где s — энтропия, имеющая вид [43]
Принимая во внимание уравнения A.61) и A.63), получаем
- 41 f ttdV + 4- [ tlwtdV — т. ( sifdF. A.65)
'•о '° & а
Используя теорему Гаусса и формулу (tt>t), = tttlj -\- tjj, соотноше-
соотношение A.65) приводим к виду
-А- (/С + We + Р) + lt = J X<0<dK + J p^dS +
Q S
+ ~ J tf^dK + -f J ^/«./Ms, (i .66)
где функции тепловой энергии и диссипации имеют вид соответ-
соответственно
P=*°\t*dV9 Xt^ — ^utjhdV + x^stdV. A.67)
Формула A.66) выражает конечную формулу закона сохранения
энергии для термоупругой среды. Правая часть ее содержит источ-
источники, создающие поле деформации и температуры.
20
Как видно из A.67), введенная диссипативная функция отлича-
отличается от диссипативной функции Био дополнительным членом — уско-
ускорением роста энтропии системы. Отсюда следует, что в случае,
когда скорость распространения тепла бесконечно большая, вели-
величина рассеиваемой энергии уменьшается по сравнению с рассеива-
рассеиванием энергии для случая конечной скорости распространения тепла.
Приведенная здесь энергетическая теорема будет использована
для доказательства единственности решения обобщенных динами-
динамических взаимосвязанных задач термоупругости.
5. Теорема единственности
Использовав A.66), докажем теорему единственности решения
краевых обобщенных взаимосвязанных задач термоупругости. Рас-
Рассмотрим тело, занимающее область Q, ограниченную поверхностью
S. Тело подвергается действию массовых Xit поверхностных рс сил,
внутренних тепловых источников wt и нагреву по поверхности. Эти
источники приводят к возникновению в теле перемещений щ, тем-
температуры /, а также напряжений оц и деформаций ец. Пусть на-
напряжения и деформации непрерывны вместе со своими первыми
производными, а перемещения и температура — вместе с первыми
и вторыми производными для x?S + ^,t>0.
При этих предположениях докажем единственность решения
уравнений термоупругости
при следующих
Pt (x, т) =
Щ(х, 0)
CtjklUk,ij
tit м-с
+ л? = рщ
vlt — tjpijleij
краевых условиях:
Оц(Х, Т)Л/,
= 4>i (х), Щ
i {х, 0)
t(x, т) = :
(х, 0) = ^
+
. =
ГО
(х)
х>
М./>
— lwt
к,х), х
, t(x,
0) =
т>0,
A.68)
A.69)
A.70)
Компоненты тензоров напряжения, деформаций и температура свя-
связаны уравнениями Дюгамеля — Неймана az7 = Сц^вы — Р^, где ец =
Пусть ии f и щ% f — различные решения системы уравнений
A.68) и A.69) соответственно, удовлетворяющие краевым усло-
условиям A.70). Обозначим и] = щ — щ, t* = f — t". Эти величины
удовлетворяют системе уравнений
— № — Р//С = 0,
21
т>0,
A.7
и краевым условиям
р] (х, т) = aJ/Л/ = 0, /* (*, т) = 0, х ?
щ(х9 О) = О, щ(х, О) = О, **(*, O) = O, /*(x, 0) = 0, x?Q.
Так как из A.72) следует, что внутри тела X* = 0, ш* = 0, а
на поверхности р* = 0, /* = 0, уравнение A.66) примет вид
или
d
dx
xr J
< 0,
A.73)
поскольку выражение ^t/Ctj является положительно определен,
ной квадратичной формой, a s*f > 0.
Работа деформации на единицу объема представляет собой поло-
положительно определенную квадратичную форму, поэтому, используя
метод Якоби [43], приводим ее к сумме квадратов
&=1, 2, .,., 6, До=1, A.74)
Л*
*2
где
ФГ
^фбу
Cik
A.75)
^_j ej^w для
для у = *,
для у == f,
C9-i-.jtk ДЛЯ / ^ /,
'9—/—А9—Л—/ ДЛЯ / ^ t, ^ ^= /,
Принимая во внимание A.74), соотношение A.73) переписываем
таким образом:
d
dx
¦ $ Кт) (
(т) »•« + Ш
Из A.76) следует, что интеграл не возрастает при т > 0. На осно-
основании A.72) заключаем, что при т = 0 он равен нулю, а так как
подынтегральное выражение является суммой квадратов, причем
ДЛ> р, cUf t0 положительны, то он равен нулю. Это возможно, когда
q>? ss о, v* = 0, t* = 0 для т > 0 в области Q.
22
Отсюда на основании A.75) заключаем, что е) = 0, т. е. elf = 0.
Тогда из соотношений Дюгамеля — Неймана получаем, что af*- =
= 0, т. е. оц = a*/, e'if = e'tf, t' = f для т > 0 в области Q.
Следовательно, решение задачи термоупругости единственно для
деформаций, напряжений и температуры, а для перемещений имеем
щ = щ плюс линейный член, соответствующий жесткому повороту
и перемещению.
6. Вариационная теорема
Рассмотрим вариацию работы деформации A.62), т. е.
Ше = J cilklekfietidy.
Преобразуя ее с учетом формул A.57) и A.60), получаем первую
часть теоремы
№ш = f XfiutdV + J pfiUidS — р ( ufiujdV + J frftteifdV. A.77)
Q S Q Q
В правой части этого уравнения имеются вариации перемещений,
а также деформаций и отсутствуют вариации температуры. Доба-
Добавим к A.77) уравнение, содержащее тепловой поток.
Рассмотрим обобщенный закон теплопроводности [68]
lq. = — tfijtj. A.78)
Введем вектор Я, связанный с вектором теплового потока соот-
соотношением
q = tjt. A.79)
Из A.78) и A.79) следует, что
tj^—t^ijlHf, A.80)
где kif — обратная матрица для А,'/.
Умножая A.80) на 8Hh интегрируя по Qh используя уравнение
для скорости роста энтропии [43]
tos = — div^ = cj + frjtQeih
т. е.
получаем уравнение
Г / г \ Г С С
23
Исключая из уравнений A.77) и A.81) члены, содержащие вариации
деформации, приходим к вариационному уравнению для обобщенной
взаимосвязанной задачи термоупругости анизотропных тел
bWe + 8Р + &D = 6L — J tbHndS, A.82)
s
где
6L = f (Хс — рщ) butdV + J pfiutdS9 №n = /1,8#„
Р = ("§Г) J W' 6D = 'о J kijbH.lHjdV.
Таким образом, вариация суммы работы деформации, теплового
потенциала и функции диссипации равна виртуальной работе внеш-
внешних сил, сил инерции и нагрева поверхности тела.
7. Теорема взаимности
Докажем теорему взаимности. Рассмотрим системы [Xl9 pt\
wt;h) и [Х'и р'с, w'u h'}y где А, Ь! — поверхностные нагревы; соответ-
соответствующие перемещение и температуру обозначим через [щ, t) и
{uh t'). Допустим, что напряжения и деформации являются функ-
функциями класса СA), а перемещения и температура — функциями клас-
класса СB)- Обе системы величин удовлетворяют уравнению Дюгаме-
ля — Неймана
Применяя к уравнениям A.83) преобразование Лапласа, затем
умножая первое из них на e'ku второе на еы и вычитая результаты,
имеем оцвц — а'цвц = f5,7 (e^V — erf). Поскольку ец + щ = иц% ец -f
+ о)// = и/,/, о1}щ = 0, а/у©;/ = 0, то последнее равенство перепи-
перепишется таким образом:
Я 'u i? — S/0- (J -84)
Интегрируя A.84) по области Q и учитывая
и формулу Гаусса, получаем
J W - рЯ) dS + J (Ъ'ц~щ - Ъц^г) dV + J pt7 й/7 - i,/) dV = О,
5 й а
A.85)
где Oijtij == /7^, а'цщ = ^ для х 6 S.
24
Выбранные величины удовлетворяют уравнениям движения
A.57) и однородным начальным условиям
Щ (х9 0) = 0, щ (*, 0) = 0, щ (х, 0) = 0, щ (*, 0) = О,
X?Qy т = 0. A.86)
Применяя к уравнениям движения A.57) преобразование Лапла-
Лапласа и используя условия A.86), находим
Ъч, / + Xt = ps% Ъ\и + Х\ = ps2ut. A.87)
Учитывая A.87), уравнение A.85) приводим к виду
J {р~щ - mt) dS + J (Xfit - Х7щ) dV + f p,7 (etJl - i,/) dK = 0.
5 Q Q
A.88)
Уравнение A.88) является первой частью теоремы взаимности.
Вторую часть этой теоремы получим, если рассмотрим уравнение
теплопроводности A.58) для обеих систем величин при краевых ус-
условиях
t(x9 T) = h(xt т), t'(x,T) = h'(x9T)9 x?S, т>0, A.89)
t(x, 0) = 0, i(x, 0) = 0, Г (х, 0) = 0, /' (х, 0) == 0, т = 0. A.90)
Применяя к уравнениям теплопроводности преобразование Ла-
Лапласа при A.86), A.90), получаем
tilu = Aft/ (s + V2) hj +cv(s + V2) * - A + V) ^» A -91)
tifa = /A/ E + V2) e'n + cv(s + v2) ? — A + v) од.
Умножим первое уравнение системы A.91) на t\ второе на t,
вычтем результаты и проинтегрируем по объему. В результате по-
получим
1 tii (hi — Ъ1) W =
— A + v) J (wtf — w'tt) dV. A.92)
Учитывая соотношения
(', A/ = Ъ? + blh (ihi = bit + Ih
формулу Гаусса и краевые условия A.89), уравнение A.92) приво-
приводим к виду
( 4 (h% - h Id njdS -to(s + v*) J p,7 (ei;tr - 'elfi dV +
S Q
O. A.93)
25
Полученное уравнение выражает вторую часть теоремы взаим-
взаимности. Сравнивая A.88) и A.93), находим
+ V2) J № - №)dS + *o(s + V2) f (Xtlk - ХЯ) dV -
= J 4- (h% - htti) njdS + (l+ v) J (ш/ —S?) dK. A.94)
S Q
J
Q
Применяя к уравнению A.94) обратное преобразование Лапласа
и теорему о свертке, имеем
г Xt(x, x — xQ) x
Q б
]т
ХАнг [ А\/ \ If1 (у пг т \ / чп). (у т \ ,-
u-iq —• 1 ur \ I \ * О/ О * \ > О/
Q О
т
— t (х, х — т0) Intuit (х, т0)] dt0 + f XfidS f [A' (x, т — т0) f|f (л:, т0) —
s о
— h(x, т — т0)/'/(*, то)]яуйто. A.95)
В случае неограниченной среды теорема взаимности упроща-
упрощается и уравнение A.94) принимает вид
t0 (s + v2) [ (ВД — ХЯ) rfK= A + xrs) J E/ — ai?) dF A.96)
или
= J dF J [/' (*, т — т0) /ош^ (x, т0) — / (jc, x — x0) /oaij (a:, to)J dx0. A.97)
Q О
Когда тело изотропное, вместо A.95) получаем
Т г ,
~1Г \dv \\ Xi(x,x т0) g- Л,-(а:,т т0
26
[f (*, x — т0) lowt (x, r0) — i(x, x — x0) lQwt (*, т0)] dx0
о
jj[A'(*, T-T0)/tt(^, т0)-
s о
_ h (x, x — x0) t\n (xf т0)] dx0. A.98)
Если в A.95), A.97) и A.98) перейти к пределу притг-*О, по-
получим известные результаты, приведенные в [43].
8. Теорема Сомилиано
Используя обобщенную теорему взаимности, докажем теорему
Сомилиано для анизотропных тел, выражающую перемещения
щ и температуру t внутри тела через распределение перемещений
щщ нагрузки рс, температуры / и производной от температуры на
поверхности тела.
* Определим,перемещения щ(х% т), х ? Q, т > 0. Для этого вы-
выберем силу Х\ = б (х — ?) б (т) Ьф приложенную в точке (?) по на-
направлению оси X/, которая действует на неограниченную среду.
Тепловые источники отсутствуют, w't— 0. Вызванные такой силой
перемещения и температуру обозначим через щ = Lf{ (x, E, т) и
f = в(/) (х, Е, т). Эти функции определяем из дифференциальных
уравнений
/ (х, t,x) + 8(x-?)8 (т) ez/ = pt/(/> (x, I т) +
+ М!/Ч^ I т), A.99)
b\0i (x, I т) = tfoile'u + c,/#(/) (x, g, t) A.100)
при однородных начальных условиях
, gf 0) == 0, W (х, g, 0) = 0, О(/) (^, I 0) = 0,
, I 0)-0, ^?Q, т-0, A.101)
где ^^^(Щ + Щ
Подставляя Х\ = б (^ — |) б (т) б^э од = 0 и найденные из
уравнений A.99) и A.100) функции U{P и Ф(/\ которые являются
функциями Грина для неограниченной среды, в уравнение взаим-
взаимности A.94), получаем
'о (s + V2) Щ (I s) = ^ (s + v2) J X. (х, s) U^ (xt I s) dV -
_ A + v) { щ {х, s) Ъ{!) (х, I s) dV + /0 (s + v2) ( [pt (Xj s) x
{
Q
27
X Ui (*, g, s) - PP (x, g, s) щ (*, s)] dS - J 4 [tj (x, s) *0) (jc, g, s) -
-h(x, s)&J>(x, g, s)]nfdS, A.102)
где /7/(/) = a$nfe; а/Ф — напряжения на поверхности S, вызванные
силой Х[.
Для определения температуры t (х, т), л: ? Q, т > 0, выбе-
выберем источник тепла в теле, который действует в точке (?) в отсут-
отсутствие массовых сил, в виде w\ = б (х — Е) б (т). Возникающие при
этом перемещения и температуру обозначим соответственно через
ill (*> Ё» т) и О (a:, g, т) и определим из уравнений
O :, g, T) + p,/df/(*, g, т), й, /, / =
= 1,2,3, A.103)
5 :, g, т) —
при начальных условиях
Vt (х, I 0) = 0, 0( (х, g, 0) = 0, Ъ(х, g, 0) - 0,
<>(*,Ь0) = 0, *, 6 6Q, A.105)
где ft,-4-^ + ^)
Подставляя ш) = б (а; — g) 6 (т), X/ = 0 и найденные из урав-
уравнений A.103) и A.104) перемещения и температуру, которые явля-
являются функциями Грина для неограниченной среды, в уравнение
взаимности A.94), находим
t 1, s)-
- h (x, s) *t/ (^f g, s)] tijdS -to(s+ v2) J ^ (x, s) bt (x9 I, s) -
s
-р{Г(х9 g, 8)щ(х, s)]dS, A.106)
где /?{ш) = а^Л/, причем а^ — напряжения в точке л; ^ S, вызван-
вызванные источником o/f.
После применения обратного преобразования Лапласа уравне-
28
ния A.102) и A.106) перепишутся так:
Мб, т)-
X
5
6 Q
т т
~*Г$dx°IdU>(x> ь x~To)^(*' To)dV + JdT°x
0 Q 0
*. t —to) ^ «<(*. T~To) a^ \dS~
0 S
-Л(лг, Тв)#1Р(де, I, x-ToHrt/dS, A.107)
T
x) + V Й, t) = f dx0 f w{ (x, т - т0) /0O (x, 6, т0) dF -
о а
0 Q
-h(x,x — t0) #, (^, 5, to)J nydS. A.108)
Формулы A.107) и A.108) являются обобщением формул Соми-
лиано на обобщенные взаимосвязанные задачи термоупругости.
Для изотропного тела формулы Сомилиано имеют вид
ИД!, х) + хгщ& х) = j
0 Q
0 Й
р, (%, х — т0) """ ' ^ д' ~и/ ~ ^ (л:, т — то) X
О S
29
OS
- h (x, т0) ^ (x, l, т - t0)] tijdS, A.109)
(x, x0) rt> (x, H, т - т0) dF -
F ] ° J
6 Q
o
—F ] i l — ^o l —
0 S
x a/0^»(^, xoI s
OS
- A (x, x - x0) 5f, (x, ?, x0)] дД A.110)
Если в формулах A.109) и A.110) перейти к пределу при тг->
-> 0, получим результат, приведенный в работе [43].
9. Теорема Грина
Пусть и{ру О(/), U{ и О — функции Грина для ограниченной
термоупругой среды. Приложим силу Х\ = б (х — ?) б (т) 6^ в
точке (р 6 ^» которая вызывает в теле перемещения U{P и темпера-
температуру Ф(/), определяемые из уравнений A.99) и A.100) при начальных
условиях A.101) и краевых условиях
^(и,т) = 0, #>(*, С, x) = 0, x?S, ^Й, т>0. A.111)
Пусть источники тепла отсутствуют, т. е. щ = 0. Аналогично при
Х\ = 0 перемещения Ut и температуру О, возникающие от действия
источника тепла щ = б (х — ^) б (т), определяем из уравнений
A.103) и A.104) при начальных условиях A.105) и краевых условиях
#,(*, С. *) = 0, #(^С, т) = 0, x^S, EGO, т>0. A.112)
Считаем, что величины lfp% b{i\ U( и О определены. Тогда
уравнения A.107) и A.108) запишутся таким образом:
о
30
Mof(/)(*. С» т —т0)/оШ/(х, T0)dF— Cdxef a,(jff т — т0) х
О а 0 5
О S
A.113)
0 Я
TojXH*, т-т0) aW(^tCt To)
0 Q
dlQpj (x, ?, t0) . ^ j С fit ~
— т0) g-—- dS — \ ат0 \ Atjh (xt % — т0) О,; (x, J, т0) rijdS,
A.114)
Для изотропного тела имеем
star I Jf (у у ___ x ^ --————————. (W/ ,r
О Й
T
—Ir f d*o f 0<y) (*, С f - fo) lowt (x, x0) dy -
С . ,ад"(*. С т0)
, j н,(х, т-т0) ^ dS + -^\dx0 \h(x, т0) х
OS
XO!P(*. С T — xJrijdS, A.115)
T
' в. т) + V E, т) = J dx0 p (x, g, т - T0) /0^^ (x, т0) dV -
О
х
ar\
i ат0 \ At (a:, t — т0) ^
S1 t
at] f . f , ч^ш)(^, Б, т0)
ТГТ°^("' т~То) a^ dS~
5
t
-a J<*r0 jft(*, t —To)^(xf ?, T0)nydS, A.116)
0 5
31
Формулы A.113) — A.116) дают возможность определить перемеще-
перемещения и температуру внутри тела, если они заданы на его поверх-
поверхности и являются обобщением теоремы Грина на обобщенные
взаимосвязанные задачи термоупругости анизотропных и изотро-
изотропных тел,
Если в формулах A.115) и A.116) %r -v 0, придем к результатам,
приведенным в работе [43].
10. Метод Майзеля
Предположим, что тело объемом Q, ограниченное поверхностью 5,
подвергается действию массовых сил и источников тепла. Найдем
перемещения и температуру внутри тела, если на части поверхно-
поверхности Sx заданы перемещения щ и нормальный градиент температуры
&, а на части 52 — поверхностные силы рь и температура /г, причем
S = Sx + S2.
Определим температуру / внутри тела. Пусть в точке (?) ? Q
действует тепловой источник w't = б (х — Q 8 (т), а Х\ = 0. Воз-
Возникающие при этом перемещения Vt и температура Ъ находятся из
уравнений A.103) и A.104) с краевыми условиями
Ь{ = 0, Ъ,п = 0 на Sv pi = 0, ? == 0 на S2, A.117)
Vt (х, С, 0) = 0, Ut (х, С, 0) == 0, ё (х, I, 0) = 0,
5(дс, С, 0) = 0. A.118)
Подставляя щ = б (а: — ?) 6 (т), Xf- == 0 и найденные Ut и ^ в
уравнение взаимности, приходим к уравнению
т
f«, т) + V (С, т) = j dV \ Ь (х, g, т - т0) /ош, (л, г,) dx0 -
jj,^ т - to) aW (^о ь То) dt0 + j dS j Я|уй (дс, то)х
ft 0 S, 0
т
5 {х, I, т — т0) dx0 — j* dS f %ljh (x, т0) 5,„ (лс, ?, т — т0) dt0 —
b
X {, I, 0) 0
s, b
A.119)
32
Определим теперь перемещения и-г Пусть wt — 0, а массовая сила
Х- = 6 (х — ?) б (т) б?-у. Возникающие перемещения и температу-
температуру обозначим соответственно через UP и д(/). Эти величины полу-
получим из уравнений A.99) и A.100) при краевых условиях
ifp = 0, ф|? = 0 на Slf р{Л =a^/i(y° = 0, О(/) = 0 на 52; A.120)
W (х, С, 0) = 0, {#> (*, с, 0) = 0, #(/) (хэ С, 0) = О,
#(/)(*, С, 0) = 0.
Подставляя Х^ = б(х — Qб(тNt/, a/'=0 и определенные величины
Up и ^;) в уравнение взаимности, приходим к уравнению
Q 0
Щ в, х) + хл «. х) - J ^ f X, (,, х _ т0)
Q О
•f [ dS [ pt (x, % — т0)
[dS [p\})(xy т
J J
St 0
S2 0
T
. т-т0) ^f>To) dT0+fdS f ^/i(x, т-т0) x
S2 0
x
X 0$ (X, t, To) rft0 - JdS j ^ (X, T0) #(/) (Jf, gf T — T0) dT0,
St 0
t, /=1, 2, 3, A.121)
которое вместе с уравнением A.119) представляет уравнение Май-
зеля для обобщенных динамических задач термоупругости.
Когда тело изотропно, формулы A.119) и A.121) принимают соот-
соответственно вид
0
diu( h t-t0)
.
Q 0
S, 0 Si 0
2 5-2365 33
, 1, т — T0)dT0 — a
s2 о
,;<*, T_To)*w^s.TO)rfTo) AЛ22)
l jj
5, О
Щ % т) + xfut (|, х) = J dV f X,. (x, x -
Q 0
т
¦ \ dF \ 0U) (x, g, т — т
о
T
aT] , --- , - vw B, 0^0^/^» *0,
5а О
j pf> (x, x - x0)
О
T
+ iL f -dS f A (x, т - г,) д,У (x, I,
i о
fe(^ to)#(/)(*, g, T-T0)dt0, /, /« 1, 2, 3. A.123)
t О
Переходя в A.122) и A.123) к пределу при т, -> О, получаем резуль-
результат, приведенный в [43].
ГЛАВА ВТОРАЯ
ОБОБЩЕННАЯ ТЕРМОУПРУГОСТЬ
НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ
Важное практическое значение имеет решение вопросов концент-
концентрации динамических температурных напряжений в окрестности
оболочечных, пластинчатых, стержневых, сферических, цилиндри-
цилиндрических, круговых включений в твердых телах. Решение этих вопро-
вопросов значительно облегчается, если область, занятую включением,
удается исключить из рассмотрения таким образом, что их влияние
характеризуется усложненными граничными условиями. Включе-
Включения типа пластин и оболочек (один характерный размер мал по
сравнению с двумя другими) рассмотрены в работе [45] для класси-
классического случая. В [47] исследованы случаи линейного включения
(два характерных размера малы по сравнению с третьим) и объем-
объемного включения (все три размера включения соизмеримы) для клас-
классической квазистатической задачи термоупругости. В [49] выве-
выведены термомеханические граничные условия на поверхности тел
с покрытиями типа пластин и оболочек.
В настоящей главе приводятся результаты, соответствующие
обобщенной несвязанной динамической термоупругости упомяну-
упомянутых неоднородных тел.
1. Условия неидеального контакта твердых тел
Пусть два тела соединены между собой тонким промежуточным
слоем. Тепловые характеристики соединяющихся тел и слоя различ-
различны. Теплообмен с окружающей средой осуществляется по закону
Ньютона, а между телами и слоем осуществляется идеальный тепло-
тепловой контакт (рис. 1). В этом случае для определения температурно-
температурного поля в системе согласно A.29) имеем уравнения теплопроводности
/, = с% *L _ tiWp9 i e о, 1, 2, B.1)
обобщенные условия идеального теплового контакта
^J Ф^)^ ф-|ф1®^ на Slt
лB) Т ' ' '
^5ф(Ю4 на 52,
^5
г 6
35
обобщенные граничные условия на поверхности
dti i ai I // i \ _ П
дп}
B.3)
и начальные условия
Рис 1.
ков тепла; I.
/, = 0 при х = 0. B.4)
Здесь ?t. — температура промежуточ-
промежуточного слоя, первого и второго тел; %\1\ с^—
соответственно их теплопроводности
и теплоемкости; at — коэффициенты
теплоотдачи с поверхностей (наруж-
(наружных частей поверхностей, ограничи-
ограничивающих промежуточный слой, первое
и второе тела); п± = —п2 = п (п— нор-
нормаль к поверхности 50, пг — нормаль
к поверхности Sb n2 — нормаль к по-
поверхности S2); 50 — срединная поверх-
поверхность промежуточного слоя; Sx и S2 —
поверхности контакта первого и второго
тел со слоем; w\l) — плотность источни-
1
J*>
дх
— время релаксации тепловых по-
токов промежуточного слоя и тел;
дп,
1-т
=1, 2.
Перепишем уравнение теплопроводности для слоя, отнесенного
к смешанной системе координат (а, р, у), в виде
B.5)
где
с@>
1 г д (В д
д /а д
Температура слоя удовлетворяет соотношениям B.2) и условиям
^ + -^o('o-Q = OHaSo, B.6)
К
0 при т = 0, B.7)
где tc — температура среды, омывающей поверхность So) щ — нор-
нормаль к этой поверхности; А и В — коэффициенты первой квадра-
квадратичной формы поверхности So.
36
Если усреднить уравнения B.5) — B.7) в соответствии с инте-
интегральными характеристиками температуры
б б
Тч*-аг[Ш, Т* =-яг \ уМу, B.8)
-6 -6
соответственно получим
IA а? /+ I ду )_\ ° о' B9)
Лор*Т* + ЗЯГ f (~§-)+ + ("%-)_] —? (# - ^) = - ^о^о,
ТШ 'о (у — J с) = и на о0)
B.10)
71 = ^0), Т = О, Г* = 0, Го = 0 при т = О,
б * 3 6
Wo = f о;} ^у, И?о = "тг f w{t0)ydy — отнесенная к единице площа-
J. ° «I
—б —б
ди срединной плоскости слоя плотность источников тепла и плот-
1 г ,
ность «моментов» источников тепла; Тс = ¦¦ R \ tcdy, Тс =
26 Л
з 6
дп'о ' 40) ° " <Ч Я<
J
5
J
—5
Воспользовавшись операторным методом, общее решение урав-
уравнения B.5) находим в виде
, 1 cosp7_r/+JL._ Wt + QD
jf" — Q5")
l sinpy Г,+ ,- /р(Qjf" — Q5")
где Q* = Qo |v=±e, Qo = р j sin p (| — v) а>!0)(!д) dg.
о
Принимая во внимание B.9) и B.11), находим
T l tepeL-,- ?o(Qt + QD 1 ,
B.12)
где q0 = -I- f
3 б
—б ~б
37
Подставляя B.12) в B.9), BЛ0), учитывая условия B.2) и пере-
переходя в полученных соотношениях к пределу при 6 -> 0, сохраняя
при этом постоянными величины Ло, Со, r0, Wo и Wo, получаем сле-
следующие обобщенные условия неидеального теплового контакта тел,
соединенных тонким промежуточным слоем:
old)
-21OWO, B.13)
на
B.15)
Рассмотрим частные случаи условий B.13).
1. Пусть т|0)->0, т^^О, х^фО. В этом случае будет
9^A) т 2к^ х
Л0Д (tx -f t2) Н яг- f фх (g) dg H т4р f ф2 A) dl =
^ 0 r 0
Г ^ fe "t" ^2^ 9117 /9 1f\\
e co 7w —two, ^.io;
l на 50.
38
2. Если тГ-^О, т<"->0, х?#0, то имеем
-А.
Л0Д (/, + V + 2X1" -А. + J^ J ф2 (i) ^ _ Со
-. о, B) т
J- B.17)
О
-J^(h-ti) = C0d-^u.--2W'o на So.
3. При ^0)->0, rf->0 и т^#0 находим
- J Ф1 (D 4
6
. ^_h
- 2^о на 5«- С2-18)
4. Пусть тГ#О, т^'^-О, tJ.2>->0. В этом случае будет
Л0А (/, + у + 2/0(^ -§- + %?>-%
-2/o^ на So. B.19)
5. Если же т®фО, х^ФО, а tf->-0, условия B.13) принима-
принимают вид
лоа ^ - д + бхГ ^--g— б/ояр > -?---?-&- д
(т@) \ ?Д A) X
1 - -V Kir I Vi © ^ = С«'о dJh?& - 2/oW; на So. B.20)
6. В случае xf} фО, %f] фО, т^-^0 имеем
I 4- Ч , О/ ЛО) Wi I O_@) Л/
39
B-21)
л„А ft -g + 6i0W-A- -бт«" ^--^-^ft _g-
r\ /j. j. \
на Sn.
7. В классическом случае (т® -> 0, т^ ~> 0, т^ ->• 0) имеем
условия
- Со
12
B 22)
которые при г^0) = 0 получены в работе [45].
8. Для металлов (т^ = т^ = xf1 = тг) [38] находим
Л0Д ft + g + 2 (tf> А + Xf> -J-) = Со/а-^-
v х 2 7 B.23)
= Cold(tl^k) — 2Wl на So.
9, Наконец, умножая каждый член условий B.14) на г0 и пренебре-
пренебрегая членами, содержащими произведения Лого, Сого, получаем
т@)
B24)
(@) \ ^B) т
1--^г]-фг]ф2A)^-^(^-д = —f ^ на50.
В классическом случае (т(г0) «= т^ = T(r2) = 0) при ш!0) = 0 эти
условия приведены в [41.
40
Условия жесткого сцепления на границе слой — тело запишутся
таким образом:
а<,°> = а^, Uo = их при у = + б, ^^
Щ] = °у\ Uo = «2 ПРИ Y = — S.
Здесь а7 — вектор напряжений, действующий на поверхности у =*
= const: av = aaye1 + apve2 + опеп\ еъ е2, еп — орты координатного
триедра на поверхности So; Uo — вектор перемещений промежуточ-
промежуточного слоя; иъ и2 — векторы перемещений первого и второго тел.
Уравнения движения элемента оболочки с учетом B.25) имеют
вид [46]
J
б
— k28) 42) —
J
—б
Ьеп х [A + *хв) A + КЬ) 4" + A - М) A ~
--&- J(l+&
—б
где й1э ^2 — главные кривизны поверхности So; ra == дг/да, г$ ==
= дг/д$у г — радиус-вектор точки на поверхности So; р0 — плот-
плотность материала промежуточного слоя.
Компоненты вектора перемещения промежуточного слоя выра-
выражаются через компоненты вектора перемещения срединной поверх-
поверхности по формулам [46]
Uо (<*> Р. У) = ио («, Р) - #oY, ^о («, Р, У) = v0 (a, (J) -
«70(a, p, Y) = wo(a, p), B.27)
где
*о = х Т - ^ao^ *S = "F "^ - ^уо, B.28)
iVx, M! и Л^2, Л12 — векторы усилия и момента, действующие в сече-
сечениях соответственно а = const и р = const.
Раскрывая в равенствах B.26) векторные произведения, при-
принимая во внимание равенства B.27), B.28) и переходя в них к пре-
пределу при б -> 0, сохраняя жесткости на растяжение — сжатие
go == -^ и на изгиб *; =-f J% • РоО) = 26р„ р0 = -J- Рб3
41
постоянными, находим такие условия на 50;
dBMi дВ М I g дАН» | g *i дА
да да Л1« + г ^ +1-: ft, ^
АВ (аР7 -
*г«1„- B-29>
-АВ($>'60-
"Ж"
где
-of
я@) 1 B.30)
vo4O) - ^- A + v0) T*J
- ^ A+ v0) Г*]
^ г0)^!02», ер, 4°», el?, x$»>, к(?\
хA2} — компоненты деформации поверхности So.
Выражения B.29) представляют собой искомые условия неиде-
неидеального контакта для определения обобщенных динамических тем-
температурных напряжений разнородных тел.
2. Термомеханические граничные условия
для тел с покрытиями
Пусть тело покрыто тонким слоем из другого материала. Между
телом и покрытием осуществляется идеальный термомеханический
контакт, а на границе покрытие — среда — теплообмен по закону
42
Ньютона. Тогда для определения температурного поля покрытия
имеем отнесенное к смешанной системе координат (а, р, у) уравне-
уравнение теплопроводности B.5), условия идеального теплового контакта
B.31)
Хг О Г
граничное условие Ньютона
? ^ = +s B-32)
и начальные условия
/0 = $>, /0 = 0, f =. Л i = О при т = 0, B.33)
где ;0=1+т«°>4--. Фо = ^Т #: <Р-« *' ^Г= ^». тг-
времена релаксации теплового потока покрытия и тела; ^0>, Xt — их
коэффициенты теплопроводности; /0, t — их температуры; w(t0) —
плотность источников тепла покрытия; а0 — коэффициент теплоот-
теплоотдачи с поверхности у = + б; tc — температура среды, омывающей
эту поверхность.
Пользуясь операторным методом, общее решение уравнения B.5)
с учетом первого условия B.31) находим в виде
р cos рбг + -^ /0 sin РЬ (Г- + tc) ~
U = COS/7Y
р cos 2рд + -ф- /0 sin 2/?б
ф
р sin р&Г + •——- /0 cos pS (tc — ^ ) —
i(Q)
' l r ~— ' wo-, B.34)
p cos 2/?6 + @) /0 sin 2/;
где
$
= р sin />6Qo~ + (^-)+ cos p8 + -^ cos
V
= p f sin p (C -
6
= Qo U±e,
43
Подставляя решение B.34) в интегральные характеристики темпе-
температуры B.8), получаем
Р cos p6t~+
т _ sin pb
PS ~~
B.35)
Р sin РЫ-+ -^-l0 cos pd(tc-Г)--
Р Р+ ^l0 cos pd(tcГ)^t
о sin /70 — ро cos рд kt Ч Р ,
~6 рЖ* г; +
г;
р cos 2р8 + —щ-10 sin 2p8
6
где <7о = 4г J IP I
~б —б
Усредним уравнение B.5) в соответствии с B.8) и с учетом второго
условия B.31) и выражений B.35). В полученном соотношении устре-
устремим б к нулю, сохраняя постоянными приведенные теплопровод-
теплопроводность Ло = 2Х\0)8, теплоемкость Со = 2с[,0N, внутреннее термо-
термосопротивление г0 = 26/Xj0) покрытия, произведения Лого, Сого и
Wo, Wo. В результате приходим к следующему обобщенному усло-
условию теплообмена через тонкое покрытие:
где B7.-J шГ^т. ^ = 4- J "rfV*. ^-^.—г-
6 б
сопротивление теплообмену поверхности z = — S.
Приведем частные случаи условия B.36).
44
J°)
1. Пусть ту -v 0, тг Ф О. Тогда получаем такое условие:
B.37)
т'0)
2. Если же т'0) =^= 0, т, ->• 0, имеем
-1 +
дн
B.38)
J°)
3. Для классического случая (т, -»- 0, т,' -*¦ 0) получаем соотно-
соотношение
B.39)
которое при ну10) = 0 приведено в работе [48].
4. Для металлов (т" = хг) будет
К1+-?)г+^-гЛ (-5-
B-40)
Если в условиях B.36) — B.40) пренебречь произведениями
Лого и СогОу получим более простые условия. В частности, условия
B.36) и B.39) запишутся соответственно в виде
45
лодг
B.42)
Сформулируем теперь соответствующие механические граничные
условия.
На границе тело — покрытие имеют место условия жесткого
сцепления
Ъу = а<?}, и = Т/о при у = ~ в, B-43)
а на границе покрытие — среда — условия
40) = °у] при у == + б. B.44)
Из уравнений движения элемента тонкой оболочки с учетом
B.43), B.44) находим [46]
б
A + ?хб) A + М) <*?} — A — М) A ~ М) ^v — Ро J С1 + feiY) (l +
х [A +*i
0 +*.«(! +^)&Л]-(^ +
+ fira х ^ + Аг$ х i
Здесь kl9 k2 — главные кривизны поверхности 50; г — радиус-век-
радиус-вектор точки на Sq^Uq — вектор перемещений; р0 — плотность мате-
материала покрытия;^ = N& + N^e% + Q^ N2 = N^ + Л>2 + Q2^,
Раскрывая в равенствах B.45) векторные произведения и пере-
переходя в них к пределу при б -> 0, сохраняя при этом постоянными
жесткость на растяжение — сжатие gQ = ~~ ина изгиб go =*
е- -~ 2--, ро = 2роб, ро = -о- р0б3, находим такие условия
О
46
на S<>:
Ч + Po**A>>
да да г ' д$
д 1 / дАМ, дА кл ,
( М |
-g- )
-t-
B,46)
+
где «о, v0, wQ — компоненты перемещений поверхности 50,
¦• - i ж- ~ к>и«> ^if- *л. р«0) = 2SP»' ро - 4-р»63'
+ voef' - а!0) A+ v0) Tl M, = g
(О)
N2 = g014°) + vo8(,0) - aj0) A + v0) П M2 = gl [40) + vexi°> -
—f-d+vo)T*]t
5i2 = -2-:(l ~ v0)g0e12> ^12 = A — vo)^0X12; v0 — коэффициент Пу-
Пуассона; ?0 — модуль упругости; aj0) — температурный коэффициент
линейного расширения покрытия; e(i0), e20), e^, xi0), X20), у}& —ком-
—компоненты деформации поверхности So.
</ Выражения B.36) и B.46) представляют собой искомые гранич-
граничные условия для определения обобщенных динамических темпера-
температурных напряжений в телах с покрытиями.
47
3. Термомеханические граничные условия
для тел со сферическими включениями
Пусть включение занимает область в виде шара радиусом R.
Температурное поле t0 внутри включения согласно A.29) определя-
определяется из уравнения теплопроводности
На стыке включения и тела выполняются обобщенные условия
идеального теплового контакта
Л@) Т
Ь(9^ НЬ©3 приг = Я. B.48)
Решение уравнения B.47) с учетом условий симметрии -^-
0 и первого условия B.48) имеет вид
г=0
-г Ш <* - w [ j' *" <г - в '•<' «¦ ^ « -
—*??.. Г i sh p (R — I) tow(°] (E, t) dU, B.49)
0
Подставляя B.49) во второе условие B.48), находим
о о
4^!°'Н B.50)
где
/ а/ \* в _^__
Среднее значение температуры включения запишется таким об-
образом:
B.51)
48
Если в B.50), B.51) устремить т(г0) и хг к нулю, придем к резуль-
результатам, приведенным в работе [47]. Если в выражении B.50) ограни-
ограничиться первыми членами разложений операторов, придем к прибли-
приближенному условию
М ,<•> J ,. (|) „ _ J^L { еХр М 4, -5- „ _ Г* B.52)
г о о
позволяющему определять температурные поля в телах с малыми
объемными включениями.
Здесь
]
0
Отметим частные случаи граничного условия B.52).
1. Для металлов т?0) = т, [38]. В этом случае имеем
Ш = 4~*21^-^. B.53)
2. Если Тг0) Ф 0, а тЛ -^ 0, то получим
При этом использовано равенство
[Jt^!Lf B.55,
на доказательстве которого остановимся.
Известно, что
expl
• = 26(т —Q. B.56)
Подставляя B.56) в левую часть равенства B.55), находим
^iLfli|-[^A[, B.57,
что совпадает с равенством B.55).
3. Пусть х{г] -^0,хгФ 0. Для этого случая имеем
= -?-Я»-?-_Г0. B.58)
б 6 dT
4. Если %f ->• 0, Tr} -> О, из B.52) следует
49
Если ввести приведенную теплопроводность тела на поверхности
стыка Л = XiS (S = 4я/?2) и приведенную теплоемкость включе-
включения Со = 40)У / У = — nR3\ условие B.59), например, запишется
таким образом:
Ш* = Со^-<7о. B-60)
R
где qQ = 4я ? т12ш|0) (т|, т
о
Для определения радиальных динамических температурных на-
напряжений включения имеем соотношение [44]
°" = ~r=k- [О - v») т + 2v» -^ - 0 + %>) <Л
где радиальное перемещение и0 удовлетворяет уравнению
д2и0 , _2_ ^t/0 2 цо 02„ __ ^ + Vq а@) ^^о /п g o\
2 ___ ^2 a2
Общее решение уравнения B.62) имеет вид
Щ = -^г [Ро + 4") ехР (~ Рог) + ""Г" (я> — т") ехР
Определяя постоянные сг и с2 из условий
щ |г==0 = 0, w0 == и при г = 7?, B.64)
находим
7" i^0 "^ "г/ ехр ^~~ ^^ "*" Т" i^0*" T")ехр (/?°г) '
4" (Ро+х)ехр (~Ро/?) + х (Ро" 4")ехр (/7/?)
где а* = и0 \r=R.
Подставив B.65) в граничное условие
($ = огг при г = /?, B.66)
получим
% [Г 1—2v
— 2 v0 _2_ , l — Vp
D • 1 _i_ <%»
Pi
@) 2
, B.67)
где Eo — модуль упругости включения.
Подставляя вместо t0 его выражение B.49), находим
l~2v0
l—2v0 2 , 1 —v0
Po
l+v0
и*
/70/?cth/70/?-l
L_ f
Я@) 3
Я() 3
В B.68) операторы имеют такие разложения:
Ро l
PoRcthP<)R-l
15
[3 (p0/?J + 10 (pR)*] + -23b- [2 (p0/?)* - 5 (PoR)* x
1575
X (pRJ+ 15 (pR)*]+ ...},
2
Л) sh pR sh /?0^ — sh p\ sh /?q/?
pi _ na sh p/? (PoR ch /70/? - sh PoR)
p\-
sh /70
sh PS
1680
H0 (i)+Ш
83 - 84 (X)' + (-L)'j (p,R)' + -i^ [ 139 -
4325
B.69)
51
+ 4980(-LK _ 84 (JLO + 5 (-1-)9] {PoR)
[-1657 +1668 (if- 12(x)+(+
Подставляя B.69) в B.68), приходим к граничному условию
- -jig- C (PoR)* + 10 (pRf) + ^25- B (PORY - 5 (PuR
Ш
A39WO - \40W3
шш- <-
+ -щ
где
At * 0 Kt 0
Умножим каждый член равенства B.70) на 4я#2 и введем такие
величины: N* =.o*rrS — радиальное усилие на поверхности 5 =
—= 4д/?2 тела, р[,0) «= р0У — приведенная плотность включения,
go = Go^ — приведенный модуль сдвига, А?] = a?]R — приведен-
приведенный коэффициент линейного расширения. Тогда, сохраняя члены,
содержащие только эти величины, для малых включений получаем
граничное условие
#—§.Pg»fr+ *Q.+y go(u*-A?4*). B.71)
Условия B.52) и B.71) представляют собой термомеханические
граничные условия для определения обобщенных динамических
температурных напряжений в телах, содержащих малые объем-
объемные включения.
4. Условия теплообмена
для тел со стержневыми включениями
Предположим, что включение занимает область г <. R. Тогда
для определения температурного поля t0 включения согласно A.29)
имеем уравнение теплопроводности
-?-+¦*-?•+*.--<.-?. B.72,
Н
Пусть на поверхности г = R выполняются условия идеального
теплового контакта
-lsrJ<ft>(9dg = T~.W(9dg, BJ3)
V 0 г б
t0 = / при г = R.
Воспользовавшись операторным методом, представление общего
решения уравнения B.72) находим в виде
f Fo (PQ - Jo (PO У о (pr)] Уо^ (С, т) d?. B.74)
Kt о
Из условия ограниченности температуры при г = 0 следует,
что Б = 0. Определяя постоянную Л из второго условия B.73),
общее решение уравнения B.72) записываем в виде
- Jo (Pi) у о (pr)) Ы0) (с, *)%--^г -jj^- I impR) y0 {pd -
- Л (Pi) Yo (pR)] ?Ы0) g, т) d?, B.75)
где t* = t\r=R.
Подставляя вместо t0 его выражение B.75) в первое из условий
B.73), находим
i = 0. B.76)
Полученное условие B.76) дает возможность точно определить
значение температуры на границе включения.
53
Таким образом, задача теплопроводности с цилиндрическим
включением приведена к следующей задаче: в области, занятой
основным материалом, найти решение уравнения теплопроводности,
удовлетворяющее на поверхности г = R условию B.76), а на
остальных границах области — обычным граничным условиям зада-
задачи теплопроводности, а также начальным условиям.
Разлагая операторы Jx {pR)/J0 (pR) и Jo (p?>)/J0 {pR) в ряды,
условие B.76) переписываем таким образом:
]Ц, B.77)
где
"•¦"?- VT' ««-1+#т|-. B.78)
^ = -i $ ?"+1 W0) (С, т) dt п = 0, 2, 4, .,,
к о
Пусть решение задачи известно, т. е. найдено /*. Тогда среднее
по поперечному сечению значение температуры включения опреде-
определяется по формуле
J^- BJ9)
(S)
Подставляя вместо t0 его значение из B.75) в формулу B.79),
получаем
-i- p*R* CW0 - AW, + Wt)
+ 9Г4-№в) +...]. B.80)
Условие B.77) можно значительно упростить в случае тонких
цилиндрических включений. Ограничившись первыми членами раз-
54
ложений операторов Jx(pR)/J0(pR), J0{pZ)IJ0{pR), получим
B.81)
где
Wl = j exp (- -1^-j Wo (I, R) d\. B.82)
Для металлов (т, = т'0)) условие перепишется таким образом:
».«D-)*+-г#*(¦?
Если Тг0) =т^= 0, а т, -> 0, то из B.81) находим
B.84)
При т'0) -> 0 и т, ^ 0 будет
-Г. B.85)
где 1Г0 = |
Наконец, для классического случая (тл -> 0, t^0) ->• 0) имеем
Введем приведенную теплопроводность и теплоемкость включе-
включения Л = ?w@)S, Со= г«0M (S = яТ?2), приведенную теплопровод-
теплопроводность поверхности контакта тела Л = XtL (L = 2kR). В результате
условие B.86) принимает вид
\ IJ^L.) — __ Л дЧ* I С —
где lF0 =
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ОБОБЩЕННАЯ ТЕРМОУПРУГОСТЬ
ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Операторным методом и методом предельного перехода получе-
получены точные и приближенные уравнения обобщенной теплопровод-
теплопроводности для анизотропных и изотропных пластинок и стержней, изо-
изотропных оболочек с внутренними источниками тепла. Выведены урав-
уравнения связанной и несвязанной термоупругости анизотропных и
изотропных пластинок [19—21], несвязанной термоупругости изо-
изотропных стержней и оболочек. Для изотропных пластинок с криво-
криволинейным краем сформулированы условия теплообмена на подкреп-
подкрепленном крае и условия неидеального теплового контакта. Сформу-
Сформулированы термомеханические граничные условия для определения
обобщенных динамических температурных напряжений на стыке
пластинок и подкрепляющих стержней, пластинок и стержневых
включений, пластинок и круговых включений. Граничные условия
дают, в частности, возможность изучать динамические температур-
температурные напряжения в окрестности металлических неоднородностей
стеклянных элементов конструкций электроннолучевых приборов.
1. Уравнения теплопроводности для пластинок
Рассмотрим однородную анизотропную пластинку постоянной тол-
толщины 26, имеющую в каждой точке плоскость тепловой симметрии,
к которой нормальна ось Ог (рис. 2). Пластинка нагревается произ-
произвольно распределенными по ее объему источниками тепла плот-
плотностью wt (M, т) и внешней средой, теплообмен через поверхности
пластинки с которой осуществляется по закону Ньютона. Предполо-
Предположим, что теплофизические характеристики материала пластинки не
зависят от температуры. Температура / (М, т) в произвольной точ-
точке пластинки в момент времени т определяется из уравнения тепло-
теплопроводности A.29), имеющего в данном случае вид
при граничных условиях на ее поверхностях
Ьзз -§- ± a?l (t — tf) = 0 при z = ± б, C.2)
Lst + <V С — Ф = 0 на цилиндрической поверхности S C.3)
56
и начальных условиях
dt
= tot -?- = р0 при т = О,
C.4)
где операторы р2 и L& в случае пластинки с прямолинейной и цилинд-
цилиндрической анизотропией имеют соответственно вид
Р2 =
+ ¦
дхду
г дг
r дгду
где
"зз =
^3
33
Воспользовавшись операторным
методом, общее решение уравнения
C.1) запишем в виде
dt
/z=0
C.9)
~ ТГ ЛГ , C.5)
где w0 = р \ sin р (С — z) wt
Рис. 2
Вводя интегральные характеристики температуры
Т =
1
26
Jfcfe,
-б ~~ -б
и интегрируя C.9) в соответствии с (ЗЛО), находим
rp sin /?б . . Q
C.10)
-C.11)
где
57
*— значения функции w0 и ее производной по z при
= ±8, № = J ш^г, №* = -^- J zwtdz —
б б
J ^ J t отнесенная к единице
—б —б
площади срединной плоскости пластинки плотность источников
тепла и плотность «моментов» источников тепла, характеризующая
неравномерность распределения источников по толщине [5].
Из соотношений C.11) следует
(JL) _ JL рч% /?* п \
' \дг!г=о~~ 3 sin рд — рб cos рд А> К
Подставив C.13) в C.9), выразим температуру через ее инте-
интегральные характеристики:
26p C.14)
3
3 sinp6-p6cosp6 "'"/"-^ т ^
Для определения интегральных характеристик температуры Т
и Г* подставим C.14) в граничные условия C.2). Учитывая C.12),
находим следующую систему двух дифференциальных уравнений
бесконечно высокого порядка:
1 — а+р8 ctg /?6 IR ^
C.15)
где а± = а7 ± аГ, 4 = 2
2
Условия теплообмена на цилиндрической поверхности S и на-
начальные условия после интегрирования по z C.3) и C.4) в соответ-
соответствии с (ЗЛО) запишутся в виде
T% = 0, C.16)
LST* + aj. {T* — Т'с*) = 0 на цилиндрической поверхности S,
Т = Г,, -g- = Ро, Т* = Го*. -^- = Р*о при т = 0, C.17)
58
где
J 1 C-18)
J ж1
—б —б
б б
Гс = -gj- J &fe, 7? = -Jr J г/Уг, C.19)
—б —б
б б
Ро » -gg- J /Vb, ^o = Jr-1 zPod*. C.20)
—б —б
В случае, когда на поверхности S пластинки имеет место обобщен-
обобщенное граничное условие второго рода, в граничных условиях C.16)
произведения asTl и as7f следует заменить выражениями
25W
—б
а as положить равным нулю.
Система уравнений C.15) вместе с выражением C.14) эквивалент-
эквивалентна уравнению C.1) и граничным условиям C.2). Поэтому ее решение
будет точным решением задачи теплопроводности для анизотроп-
анизотропной пластинки произвольной постоянной толщины.
Найдем приближенную систему уравнений теплопроводности
для тонких анизотропных пластинок. Для этого, обозначая Л1;- =
= 2Я//8, /,/ =1,2, приведенные коэффициенты теплопроводности,
С = 2cv6 приведенную объемную теплоемкость, rz = -у- внутрен-
нее термосопротивление в направлении z и предполагая, что
\РПТ\<-\- оо, |/?пГ*|< + °°, переходим в C.15) к пределу при
б -v 0, сохраняя постоянными Л^С, гг, W и IF*. В результате полу-
получим следующую систему уравнений:
LT — I (сц.71 + сс_Т*) = — I (W + а+4 + а_*1),
LT* — 3 (а0Г* + laJT) = — I (W* + За+tL + За_ф, C'22)
где оператор L для пластинки с прямолинейной и цилиндрической
анизотропией имеет соответственно вид
C.23)
2 А ?4 Лг2 а3 С1 д
~ 12 ы
а а0 = -^
После того как Т и Т* определены, температура в любой точ-
точке пластинки может быть найдена из C.14). Если в C.14) также
59
перейти к пределу при б ->- 0, сохраняя постоянным отношение-г/б,
получим выражение
t = T + ^-T*, C.24)
по которому температура при известных Г и Г* определяется при-
приближенно.
Если задача теплопроводности симметрична относительно средин-
срединной плоскости г = О пластинки, т. е.
tt = t7 = tcy at = aT = a2, W* = 0, Г* = 0, C.25)
то вместо системы уравнений C.22) получим следующее уравнение
теплопроводности для определения нестационарного обобщенного,
плоского температурного поля в анизотропной пластинке:
LT — 2аг1 (Т — tc) =. - IW. C.26)
Вместо граничных условий C.16) в этом случае останется только
первое, а вместо начальных условий C.17) — первых два.
Для изотропных пластинок (А,ц = %22 = К, М2 = 0) имеем
приближенную систему уравнений для определения интегральных
характеристик температуры
-а+/ (Т — 4) — а_/ (Г* — /1) = С/ -5- — IW,
+ дх C.27)
)
ЛАГ* — За_/ (Т — ф — 3 (-?¦ + а+/) Г* +
Для симметричной относительно срединной плоскости пластинки
задачи теплопроводности уравнение теплопроводности имеет вид
л>2/ /Т 4 \ IV*. —I ил j w /q oq\
Краевые условия запишутся в этом случае таким образом:
-д—V I ^s + cs" -лг) (^ ~ Т'с) = 0 на цилиндрической поверх-
поверхности S, C.29)
Г.« Го, ^- » Ро при т =х 0, C.30)
где н2 = y%-\ cs в -тр- постоянная, имеющая размерность
j
скорости; hs — относительный коэффициент теплоотдачи с поверх-
поверхности S.
60
2. Уравнения теплопроводности для стержней
Рассмотрим ортотропную прямоугольную полосу — пластинку
длиной 2d, шириной 2Л и толщиной 28 (рис. 3). Пластинка нагрева-
нагревается симметрично распределенны-
распределенными относительно плоскостей х =
= 0, 2=0 источниками тепла плот-
плотности wt (x, у, z, т) и внешней сре-
средой, теплообмен с которой осу-
осуществляется по закону C.32) и
C.33).
Усредненная по толщине плас- Рис. з
тинки температура в момент вре-
времени т определяется из уравнения C.26), где
ь = л,-?- +vg*--a-?, а,-м». C.3i)
Граничные и начальные условия в данном случае имеют вид
tfx _|L ± axi (Т — to) = 0 при х = ± К C.32)
. т дГ
при y=±d, C.33)
при т =» 0, C.34)
ах> ау, аг — коэффициенты теплоотдачи с поверхностей х = ± Л,
у = ± rf, 2 == ± 6; t*9 ?c> fc — температуры сред, омывающих эти
поверхности.
Перепишем уравнение C.26) с учетом C.31) в виде
дЧ
Здесь
дх*
C.35)
б
/ f wfdz
Л
26
С помощью операторного метода решение уравнения C.35) за-
запишется таким образом^
1 = cos pxl \х=о -\ 2—» (о,о\))
где ^о (дс) = р J sin /? (? — х) qd?.
Вводя интегральную характеристику температуры
h
C.37)
61
и интегрируя уравнение C.35) и выражение C.36) в соответствии
с C.37), получаем
sin/Л т , ч C39)
где
h б h h
If Г Г ггЛ 1 Г г
Я^ж\д^х, F = Wi, W= \] wtdzdx, Гс™ж\Ш.
—h —6—h —A
Из соотношения C.39) запишем
где ^ = ^_-^.
Подставляя выражение C.40) в C.36), находим
Использовав граничное условие C.32), получим
С учетом соотношения C.42) уравнение для определения инте-
интегральной характеристики О запишется в виде
XfxFp4 ~ Axph ctg phlR = AJ [q0 (h)p~2 — fc\ — IW — AJTzCf C.43)
где Ax = 4a^6, Az = 4azh.
Граничное и начальные условия C.33) и C.34) после интегриро-
интегрирования по х в соответствии с C.37) имеют вид
4 -§- ± «^ (* - Й) = 0 при у = ± d, C.44)
fl. = #оэ О = О0 при т = 0. C.45)
Уравнение C.43) вместе с выражением C.41) эквивалентно уравне-
уравнению C.31) и граничному условию C.32). Следовательно, решение
уравнения C.43) будет точным решением задачи теплопроводности
для полосы — пластинки.
Пусть толщина 26 и ширина 2Л полосы одного порядка. Тогда,
полагая, что | рп$ | < + со, переходим в C.43) к пределу при h -* 0,
сохраняя при этом постоянными Ау, С, W, At (i = х, z). В результа-
результате получим следующее уравнение теплопроводности для ортотроп-
ного стержня:
62
где Ау = %*yF — приведенный коэффициент теплопроводности;
Az = Дх -\-Аг — приведенная теплоотдача всей поверхности стер-
стержня; С == cvF — приведенная теплоемкость стержня.
Если температуры сред, омывающих поверхности стержня z =
= ± б, к = ±/t, равны между собой: fc = 71 == /с, то уравнение
C.46) запишется в виде
ptc) = -lW. C.47)
Уравнение теплопроводности для ортотропного стержня, запи-
записанное в виде C.47), может быть использовано при определении тем-
температурных полей в стержнях произвольного поперечного сечения.
Если коэффициенты теплоотдачи с боковых поверхностей стержня
квадратного поперечного сечения (h = 6) равны между собой, ах =
= а2 = а, то в уравнении C.47) следует положить А = Ах = Аг =
= Aha, F = 4/t2, Az = 8ha. В случае изотропных стержней в полу-
полученных выше уравнениях и граничных условиях следует положить
Приведем еще вывод уравнений теплопроводности для стержней,
обладающих цилиндрической анизотропией. Рассмотрим цилиндр
радиусом /?, через поверхности г = /?, z = ± S которого осуществ-
осуществляется теплообмен с внешней средой температур tc, t? соответ-
соответственно.
Уравнение теплопроводности для определения температурного
поля в цилиндре имеет вид
-S- + T-TT + '*—пЬ C-48)
Граничные условия запишутся таким образом:
К —¦ + arl (t - tc) = 0 при г = R, C.49)
^ -|- ± о?/ (/ - fc*) =0 при г = ± d. C.50)
Начальные условия имеют вид A.14). Здесь /?2 = —
п~' "а?"' ^' ^ — коэффициенты теплопроводности в направ-
направлениях г, г; аГ, а* —коэффициенты теплоотдачи с поверхностей
Решение уравнения C.48) имеет вид
/ = Л/о (рг) + BY0 (рг) +-^г\ [Jo ipr) Yo {pi) -
где Л (Of ^v @ — функции Бесселя первого и второго рода.
63
Учитывая условие симметрии ~\ — О, получаем
t = j0 (Pr) *_„ + ~irl v* (рп у о <до -
г о
C.51)
Введем в рассмотрение интегральную характеристику темпера-
температуры
я
rf (г, г, т) dr. C.52)
Решение C.51) с помощью этой интегральной характеристики
нетрудно записать в виде
(С,г,*K--??-^o(pr) J[/0(pD-^^- -
C.53)
где r»=
Подставляя C.53) в C.49), получаем следующее уравнение:
-т- <3-54)
Введем в рассмотрение приведенную теплопроводность Л2 ==
XlF в направлении z, теплоемкость С = с^/7, сопротивление
теплообмену на поверхности г = /?, где F = я/?2 —
площадь поперечного сечения стержня.
Разложив в C.54) операторы в ряды, перейдем к пределу при
R ->- 0, сохраняя при этом постоянными Лг, С, Rn W. В результате
приходим к следующему уравнению теплопроводности для стерж-
стержней, обладающих цилиндрической анизотропией:
Л, -4?- = / ТгГ^ + С14-^- — lWt C.55)
64
Для изотропных (К{ = %и аг = <х#) стержней будет уравнение
Л# = ^+С^-^- C-56)
Интегрируя граничные C.50) и начальные A.14) условия в соот-
соответствии с C.52), находим
ti -§~ ± а?/ (Т — Т?) = 0 при г = ± б,
Т = Го, Г = Яо при т = 0,
где
3. Уравнения теплопроводности для оболочек
Рассмотрим однородную оболочку толщиной 26, нагреваемую
произвольно распределенными по ее объему источниками тепла плот-
плотности wt (а, р, у, т) и внешней средой. Через поверхности оболочки
осуществляется теплообмен. В этом случае температура / (а, р, у» ^)
согласно A.29) и [45] определяется из уравнения теплопроводности
1 ду2 1 ду a or At v ;
при граничных условиях на ее поверхностях у =* ± S
-^г)* ± 4' «* - ^) = 0 C.58)
и начальных условиях
t = t0, i = 0 при т = 0. C.59)
Если оболочка не замкнута, то соотношения, аналогичные
условиям C.58), можно записать на ее краях. Введем замену t =
== e~kyQ. Тогда уравнение C.57) преобразуется к виду
ж+рЩ = —?-• C<60)
Здесь p* = pl-k\pl = A--L-?-, q = lw/\
Решая уравнение C.60) с помощью операторного метода, получаем
следующее представление общего решения уравнения C.57):
t = е~* [(cos ру + JL. sin Ру) ty=0 + ^О. (^.Ц + ^J, C.б1)
V
где <70 = /?Jsinp(? — v)?(С,«,Р,т)d^.
о
3 5-2365 6б
Вводя интегральные характеристики температуры
6 б
C.62)
и учитывая соотношение -^f- = —р2 (q0 + q)> интегрируем C.61)
в соответствии с C.62), В результате получим
C.63)
Здесь
N = —г— \2k sh ?6 cos рб -f- P2 — k2 ch
" I (—fech^6sinpS + psh*6cosp6),
/ 4^2 D2
— 2k8 ch kb cos рЬ + 5-2- sh kb cos
5
6sh ^6 sin рЬ + Zp*~k* fech
(p | ?8 sh ^6 sin /?S + p2 ~2k* ch ^6 sin p& —
cos /?6 + 2 -^- sh
^
A -
<T-
„-и
U J
C.64)
<7o\ (t^^) —значения функции q0 и ее производной при у = ± б;
Из соотношений C.63) следует
. RM* — Я*М ( dt \ NR* — N*R
66
где
п = NM* — N*M = -4— f 2k2& ch2 kb sin 2/?6 - -?- sin 2pb
+ -|-(ch2ft6 — cos
Подставив C.65) в C.61), выразим температуру через ее инте-
интегральные характеристики:
cos ру + k -^p-) (RM* - R*M)
ИП- (NR - N*R) + -Ж-1. C.66)
Р МР J
Для определения Г и Г имеем еще неиспользованные условия
на поверхностях у = ± б. Подставляя температуру C.66) в усло-
условия C.58), после несложных преобразований получаем следующую
систему двух дифференциальных уравнений бесконечно высокого
порядка:
p6 + N* shk8 cos p в)/? +
8 — Nshkb cosp ^
J_ J / M*k-N*
. lN-kM • , . . ., ., c\D* ,
-f I a_ / sin /Об — Ma+/ cos /?61/?* -J
\ P /
— (a+ttc+ + «_//!) = 0,
C.67)
it_ {_ 2 (feyV*~^M* sh /feS sin p& + N* ch ?6 cos pd) У? -
- 2 ( ^-fe^V sh k6sjn ^g _ ^ch k8cQS А о» +
67
«- [N~kM аГ+l sin pb - Mali cos p б) R* + -J-g- (a+le~k6qt -
) = 0.
Здесь a± = e~kba+ ± ek6a~; t± = c * c ; /±, как следует из
формулы C.66), при у = ± 6 имеет вид
f * = е*» -L Г (cos рб ± A sinpp6 ) (i?M* - RM) ±
± sinpb (NR* - N*R)
P
Система уравнений C.67) вместе с выражением C.66) вполне
эквивалентна уравнению C.57) и граничным условиям C.58). По-
Поэтому ее решение будет точным решением задачи теплопроводности
для оболочки произвольной постоянной толщины 26. Если в урав-
уравнениях C.67) перейти к пределу при б -> 0 с учетом постоянных
приведенной теплопроводности Л = 2А,Д приведенной теплоем-
теплоемкости С = 2сД термосопротивлений Гб = -j—, rk = -yj-* полу-
получим такую приближенную систему уравнений для оболочки:
ЛАГ - cqi (Т — ф — а_/(Г* — f-) + -^- Т* = Cl -^- — IW,
C.68)
ЛДГ* — Зсс+/ (Т — tL) — 3a_/ (Г — ф ^ Г* = С/ ??- — IW*.
4. Уравнения несвязанной термоупругости
анизотропных пластинок
Рассмотрим неравномерно нагреваемую однородную пластинку,
обладающую прямолинейной анизотропией и отнесенную к прямо-
прямоугольной системе координат х, у> г. Примем срединную плоскость
за координатную плоскость хОу, поместив начало координат в про-
произвольной точке О. Направим ось z перпендикулярно к плоскости
тепловой и упругой симметрии, параллельной срединной плоскости
пластинки. .
Выведем бсновные уравнения и соотношения несвязанной дина-
динамической задачи термоупругости для пластинок, предположив,
что поперечные сечения пластинки не искривляются и после дефор-
деформации остаются нормальными к срединной плоскости (гипотеза не-
неизменных нррмалей), а также что нормальное напряжение мало в
сечениях, параллельных срединной плоскости, по сравнению с на-
68
пряжениями в поперечных сечениях, т. е. считаем справедливыми
такие равенства:
dw
dw
- C.69)
где u,v>w — проекции вектора перемещения на координатные оси
точек срединной плоскости, не зависящие от г.
В силу сделанного предположения относительно тепловых упру-
упругих свойств пластинки будем считать справедливыми уравнения
обобщенного закона Гука в форме
аП°хх
хд + «И*.
» ехг =
C.70)
Решив четыре первых уравнения C.70) относительно вхх, Оуу, ozz и
Gxyt найдем
где
°уу =
= cV6exx
С12еуу + С13егг + CUexy ~
С22еуу + С2Ъегг + С2веху —
C23eyg + сзвехг + Сзьеху ~
C.71)
—
: — (aua22a66 — апа226 —
Сп = — («22^33^66 — ^22^36 — «23^66
l
m
1
— #11023
2а12а1ва2в — <
2a12a13a23 — ai3a22),
a16a22a3e —
69
a16al2a36 -f
CS6 =
/n
3/»
т = (апа22 — ai2) (a33am — а3б) + 2а26а36 (яиа23 — а12а13)
2 2 2 2
' 22з«б6 + «2б^зз) + 2а12а23 {а1ъа^ — а^а^) -f
|«2з) + а1за22 Bа16«зб — а13а6в) -f
+ «1б(#23"
лО t , t , t
Pll = ^ll^ii + ^22^12 + аЗЗ
oO t . t
P22 = ^ll^ii + ^22^22
t „ , t , / . ^
Из третьего уравнения C.71) с учетом третьего равенства
C.69) следует
Подставляя выражения егг в первые два и последнее уравнения
C.71), находим
a*jr = Bll^ + B12euu + B16^(/ — M>
°уу =
C.73)
где
1 2 ^
70
д =
1 2
«12 «22
«16
Pll == a
^22 ==: a\lB12 + «22^22 4"
P12
Из уравнений C.73) с учетом C.69) следует
= Впеп + В12е2
#22*22
2Вые
252бк12) — ри/,
C.74)
C.75)
где
дх
d2w
ду2
суть деформации срединной плоскости и изменения кривизны.
Проинтегрировав уравнения C.75) и уравнения C.75), умножен-
умноженные на г, по z от —б до б, получим следующие выражения для уси-
усилий и моментов:
где
C.76)
C.77)
Ny
T*y
M
м
= 26 {Впе1Х -
= 26(Я12ец-
= 28(Вмеи
\х = Duxu +
f- Б12е22 -
f #22^22 "
4" -°26e22
^12«22 "I"
f 2В1ве12-риГ),
4-252ве12 —р22Т),
• О D л ft T'V
+ Z-Dfift?12 —Pi2-' )»
1 OO la Пл /»
on v В?,Т*
- 2D26x12 — (З2271*,
б б
= j oxxdz, N у = \ GyydZj TXy =
-6 -6
= ^ oxydz,
= \ zoxxdz, My =
-6
71
Р*У = __ piy.; Dij = Д/-о жесткости анизотропной пластинки,
а именно: Dn, D22 — жесткости изгиба вокруг осей Оу, Ox, D6e —
жесткость кручения, D16, D2e — побочные жесткости.
Проинтегрируем уравнения движения
% % % S C-78)
и эти уравнения, умноженные на г, по г от—б до б, учитывая при
этом равенства C.69). В результате соответственно получим [48]
¦Ф-+
дх
дх l ду
C-79)
дхдт* >
d*w
б б
где Qz* = J a^zd2, QZi/ = J aZi/&, Q* = -J- б3р, Q = 2рб — приве-
—б —б
денная плотность материала пластинки.
Из C.80) с учетом выражений C.77) следуют такие выражения
перерезывающих сил:
*¦—h *+3D S+m+2D)
ft. от* , ft.
Исключая из C.80) и третьего уравнения C.79) QZArH Qzy, прихо-
приходим к уравнению
72
Подставляя C.76) и C.77) в первые два уравнения C.79) и урав-
уравнение C.81), имеем следующую систему дифференциальных уравнений
для определения трех функций и, v, w:
п д2и R д2и R d2v R d2v 0R д2и
Dll 1п?Г "Г ^>66 *^7Г "Г °\Ъ "^2" "Г ^26 ХГ ~Г ZZ51<
дхду
дТ
дх
дТ
r4L2
д2и
516 -zZT + B2G -5-sr + B66 -^~2 + ^22 "лГа + 2Д
gj«
26
(В12 + В66)
д2и
дхду
—Pi2-§F —P22 -щ- - Р-^г э
C.82)
д2Т*
дхду
J22
Первые два уравнения C.82) описывают плоское напряженное
состояние, а третье представляет собой уравнение поперечных коле-
колебаний анизотропной пластинки.
Общее решение двух взаимосвязанных уравнений C.82) П/°н +
+ nf^ = 0/, /= 1; 2, можно представить в виде
и = nf Ф - nf)TF, и = П1И)ЧГ — Df Ф. C.83)
Здесь функции Фи? удовлетворяют соответственно уравнениям
=е2, C.84)
где п = Diw)nf -DPni10, в, = - /
В случае пластинки с прямолинейной ортотропией для определе-
определения функций и, v, w вместо C.82) будем иметь такую систему диф-
дифференциальных уравнений:
—G)
ду2 I V-2-д: I
дхду
= Р2 "аГ
C.85)
-В^, /-1,2. tf-
73
= B2 (axvx + ау), EXi Ey% vx = vxyi vy = vyx, aXt ay —модули Юнга,
коэффициенты Пуассона, температурные коэффициенты линейного
расширения для главных направлений; Gxy — модуль сдвига; Du
D2, Dk — жесткости изгиба и жесткость кручения для главных
направлений упругости или главные жесткости.
Рассмотрим теперь пластинку с цилиндрической анизотропией,
отнесенную к цилиндрической системе координат г, ср, г. Будем
считать, что поперечные сечения пластинки после деформации не
искривляются и остаются нормальными, ozz =0 по всей толщине
пластинки, т. е. для данной пластинки остаются справедливыми
равенства C.69). Поступая так же, как и при выводе формул
C.73), для определения компонентов напряжений оГГ1 афф, аЛф в пла-
пластинке с цилиндрической анизотропией получим следующие выра-
выражения через функции и, v9 w:
°rr = Bnerr + ?12?ф(р + В16егч> — pn*,
тфф = B12err +
~Г •
г12М
C.86)
где
1 \ ди ^ i ^ су д I \ dw .
r(p r \ dtp I дг дг \ г дер ) '
Подставляя C.86) в уравнения равновесия в полярных координатах
dN I ^Va> ^r — ^ф
дг г аф г '
ar
д2Нг
дг*
аф2
.-L^L^Qi — Q^Ai;
для определения функций и, v, w записываем следующую систему
дифференциальных уравнений:
_ / а2у ^^ 2 а2м \
г агаф 16 \ дг2 г дгд(р }
в2б / 1 а2у а^ _, v \ , в6б / 1 d?i
* г \ г д(р2 дг г ) г \ г дер
— —1 — -^ (— 4- и) — ои = В -^-
74
Bl
г дгду
4- 2*-Ь
f дгду
ди L " 4 ди
-&-+¦?+ 4-S
—*¦)-*-
L
r—3
Г
4 р I д% 1 d3w d2w 1 dw\
^•з ло у оср^дг т дф** дгд(р т ^ф у
1
дТ*
— НИ"
2Ри-
C.87)
где \ \ \ 2 .о
iVA = J аггйг, Тщ = ] (Тгф^г, Л^ф = j amdzt Dr = ~з~° -^и»
-б -б -б C.88)
б б л
Г Г Г
-б ' ~б -б
В случае осесимметричной задачи уравнения C.86) запишутся в ви-
виде
C.89)
где
= a'
аФ + v^
75
En Eq> — модули Юнга для растяжения (сжатия) в радиальном
и тангенциальном направлениях; ari а$> — температурные коэф-
коэффициенты линейного расширения в этих направлениях: Vg,,, vr(f> —
главные коэффициенты Пуассона.
Уравнения C.88) для определения функций и, w в этом случае
примут вид
C.90)
• — — — -2" — 1l
2 dzw
(г, т),
где
C.91)
5. Уравнения несвязанной термоупругости
изотропных пластинок и стержней
Для изотропной пластинки, отнесенной к прямоугольной систе-
системе координат, из C.75) — C.77), C.85) получаем такие соотноше-
соотношения и уравнения:
2G \ ди , dv I d2w , dh
2G Г dv
¦ ди
v
Jxy •
1—v
dv
dx
d2w
dxdy
du
_v2 [ дх
dv \ gat
V dy ) I—v
\] U I ^V \ du \ g<Xf
о 1 — v2 \ dy "*" dx 1 1 — v
T —
2A
/ ди dv \
[ ду ~т~ dx I >
d2w
~ v) б
-vN '
C.92)
C.93)
76
ди . dv
(х,
®w Aw = *-at(l -fv)-^-, C.95)
D D *vl/o '
где g = 2E8 — жесткость пластинки на растяжение (сжатие); D =*
= o/i _~ 2ч ее жесткость на изгиб; с\ = — .
Часто целесообразно выразить напряжения через усилия и мо-
моменты. Исключая из C.92) производные перемещений с помощью
соотношений C.93), получаем выражения напряжений через уси-
усилия и моменты
-v)Mx+Mt]
( atEt + ж к1 - v> N«
C.96)
— v) М^ + Af J
^^ ог тт
ху ~~ 26 * 2б3 -уу
6 б
где Nt = а^? ^г, М^ = а,? \
-б -б
Уравнения C.94) относятся к обобщенному плоскому термона-
термонапряженному состоянию, C.95) является уравнением поперечных
колебаний изотропной пластинки. Очень часто третьим членом в
уравнении C.95) пренебрегают [44].
Выразим взаимосвязанные уравнения C.94) через функции ? и
Ф, используя известное представление компонентов вектора переме-
перемещения a, v через эти функции:
д*? , дФ 0х? дФ /о пт\
и = -= Ь "^~ > v = -5 зг- • C.97)
дх ' ду ду ox v '
Подставляя C.97) в C.94), для определения функций Т и Ф
находим следующие уравнения:
U^ = аД1 + v) Ту П2Ф = 0, C.98)
где W соответствует безвихревой волне расширения, распространя-
распространяющейся со скоростью ^1=1/ — , а Ф — эквиволюминальной
77
волне вращения, распространяющейся со скоростью с2
= у — ,
Подставляя C.97) в соотношения закона Гука C.92), для обоб-
обобщенного плоского термонапряженного состояния с учетом C.98)
получаем
—"¦?¦(¦?--?)+>¦•
--"низ-гм- ,
C.99)
В случае одномерной задачи имеем ахх = Р —g~r > иуу =
— 2G -гг-2-, где функция W удовлетворяет уравнению [44]
Уравнения и соотношения для изотропных пластинок, отнесен-
отнесенных к цилиндрической системе координат, получаем, как частный
случай, из уравнений и соотношений, приведенных в предыдущем
параграфе для пластинок, обладающих цилиндрической анизотро-
анизотропией. В частности, между деформациями егг, еФФ и ещ на расстоянии
z от срединной плоскости и соответствующими напряжениями имеем
следующие соотношения:
¦ +
Е
C.100)
Умножим эти равенства на dz, а затем на zdz и проинтегрируем
в пределах от z = —б до z = 6. Используя выражения
<Vr = ^п + гкгп ew = ^22 + гхфф, егф = б12 + 2гхгф C.101)
и C.88), получаем
— V2
V2)
т*
6
—V2)
= ГЦ)
-V) '
C.102)
78
где
да у
1 d2w 1 dw d I 1 dw\
г2 дер2 г дг ' гф d/* \ л дф /
Определив из C.102) усилия и моменты, найдем следующие соот-
соотношения между усилиями, моментами и деформациями:
Л/ф = DN [verr -f ?фФ — A + v) atT\,
Nr<p = Nar = A — V)
Af
r = D)Krr + vx<p<p — A + v) at -^-J,
[T* 1
vxrr + хфф — A + v) aL -^~J ,
где Da/ = x ^ 2— цилиндрическая жесткость растяжения пластин-
б б
ки; T = w\ wJ
—б
Из C.100) — C.102) следуют следующие формулы напряжений:
п — N(p 4- -5L М -I- а/? /т I г Т* t\
СТфф — §"-|- 2бз /ИФ+7~Г7\ ^ б /э
п - Ггф 1- 3z Я
илр — 26 2б3 ф*
Положив в C.89) — C.91) ?г = ?ф = ?, с^ = аф = а/э v^r =
= vrv = v, для осесимметричной задачи имеем
C.104)
- Q*Ai = - a, A + v) -^-4- (l + r 4-) T*. C.105)
79
Граничные условия для пластинки могут быть следующими:
а) край свободно оперт или шарнирно закреплен:
{Nx, Nr; Тху, Ггф} = 0, w = О, {Мх, МГ) = 0;
б) край жестко заделан или скользяще закреплен:
в) край свободен:
{NX9 Nn Тхуу Ггф} = 0,
*W 4- (9 v
Г) \JL ( d*w м 4
[ dr + +
JL ( м — — 4- -L ) M (
dr \dr* + r dr + r2 d(p2 )+ r2 [ drd(p
1 dMt _Q
6
Термоупругое состояние тонкого изотропного стержня при нали-
наличии теплоотдачи с его поверхности и внутренних источников тепла
описывается уравнением теплопроводности C.56), где z == у, уравне-
уравнением движения
^f- = 9v C.106)
и соотношением
<% = е(-|?—а,7). C.107)
Исключая из C.106), C.107) напряжения аУУ9 получаем
— -c0v = at^9 C.108)
где с0 = у скорость звука в стержне при изотермических
условиях.
6. Уравнения несвязанной термоупругости
изотропных оболочек
Рассмотрим тонкую оболочку, срединная поверхность которой
отнесена к линиям кривизны. Пусть а, р — координаты средин-
срединной поверхности, у — расстояние по нормали произвольной точки
оболочки от ее срединной поверхности. Тогда, если исходить из
гипотезы о неизменности нормального элемента, для оболочки, на-
находящейся в условиях нестационарного температурного поля
t («, Р, 7» т)> будем иметь следующие геометрические соотношения
1461:
80
а) выражения перемещений С/, V, W в произвольной точке обо-
оболочки через перемещения ut v, w точек срединной поверхности
U^u—Qfl, V = y — O2v, № = ш(а, Р). C.109)
где ^и#2 — компоненты вектора поворота
еь е2 и еп — координатные орты, образующие правую тройку;
еп направлен по нормали в сторону выпуклости поверхности,
C.111)
1 / 1
1
L_i^L 1 дА
ар Л да АВ да АВ ар
А и В — коэффициенты первой квадратичной формы базисной
поверхности; kx = -^-, k2 = -^ главные ее кривизны;
б) выражения компонент деформации еаа, ет и еа$ в произвольной
точке оболочки через компоненты деформации срединной поверх-
C.112)
ности
где
I Л/ Л) />с
• " 111 ' F
1
1
ди ,
"ао"
до
2
1
лв
1
*22Г'
ал
ав
е** =
Ad(u
Bd
"X"dcT^"fVli*/"""AB""dp"V"*B""dp
j__^_/ J__^_ _ а ^ 1 дВ I \ dw
^22 — — Б -щ- [-J- ар ^2yJ Л5 да \ А да ~ '
1 / а2ш 1 ал аш i as аш \
Xl2 = лв" \"а«ар" Г р" ~да в" "Ж "ар"/ +
) + k
в) уравнения совместности деформаций
ал
ар
дАщл дА
ар ар асе
дВе22
да
дЛе
C.113)
C.114)
81
2хи + ^1хи ~~ "Ж I "Ж" Т \ аоР" + о" еи
дА
ар
ар
ар
дА
ар
дв г
да ^
вид
Уравнения движения тонкой оболочки в векторной форме имеют
АВ \
да
dAN2
ар
C.116)
где
ve2 + wen, # = —
~en, ~M2 = — M2ex
б
21ia
*aJ
C.117)
Afx = I A + k2y)
6
12 = f
-6
б
^21 = J
M12 =
-6
M2 =
Af21 =
C.118)
являются компонентами вектора внутренних усилий и моментов;
Qi» Q2 —перерезывающие силы, определяемые соотношениями
1
АВ
дЧс
дА
ар ар
Наконец, физические соотношения между компонентами дефор-
деформации срединной поверхности, а также усилиями и моментами име-
имеют вид [46]
82
x = Dw [en
ve
22
at A + v) T], М1 = D [х„ + vk22 —
v) T], M2 =
C.120)
512 = A - v) DA,e12, Я12 = A - v) Dx12.
Если усилия Nlt 512, Л^2 и моменты 7Wlt Я12, УИ2 найдены, то ком-
компоненты напряжений в произвольной точке оболочки определяются
формулами
М ) {
= -gg- \
12
ЗЯ12 -jp
C.121)
Из формул C.120) видно, что для определения усилий и моментов
в неравномерно нагреваемой оболочке нет необходимости определять
температуру t, а достаточно найти лишь ее усредненные характери-
характеристики Т и Т*. Выражение для температуры t необходимо для нахож-
нахождения напряжений C.121) в оболочке.
7. Уравнения взаимосвязанной термоупругости
анизотропных пластинок
Поступая аналогично случаю несвязанной динамической задачи
термоупругости пластинок, обладающих прямолинейной анизотро-
анизотропией, в случае обобщенного плоского термонапряженного состоя-
состояния получаем систему уравнений обобщенной взаимосвязанной ди-
динамической задачи термоупругостй
П{Ги +
и ее общее решение
= - Qh j = 1-3,
C.122)
т =
) ф +
C.123)
83
где функции Ф, Y, G удовлетворяют уравнениям
а операторы Пз°, Пз°, Пз0, ? имеют вид
C.124)
n =
IW
Q2 — компоненты вектора массовых сил; Q3 = ~^г + "Г* ^<
8. Условия неидеального теплового контакта
изотропных пластинок
Пусть две разнородные изотропные пластинки сопряжены тонким
изотропным промежуточным слоем из другого материала шириной
2/г. Толщина сопрягаемых элементов одинакова и равна 26. Величи-
Величины, относящиеся к слою и плас-
пластинкам, будем обозначать индекса-
индексами О, 1, 2. Отнесем эту систему к
координатам s, n и z. Контуры Lt
соответствуют поверхностям Sc,
i = 0, 1, 2 (рис. 4).
Источники тепла в системе от-
отсутствуют, а через боковые поверх-
поверхности осуществляется теплообмен
с окружающей средой в сЪответ-
ствии с обобщенным законом Нью-
Ньютона A.6). Тогда для определения
обобщенного нестационарного температурного поля в промежуточ-
промежуточном слое согласно C.27) имеем уравнение теплопроводности и на-
начальные условия
Рис.4
О - /0 \af (Го - ф + «Л? (П -
= О,
C.125)
- 3/0
- ?.) + а№ (То -
84
где /0 = 1 + тH) -j- ; a±J = ao" ± аГ; а* — коэффициенты тепло-
теплоотдачи с поверхностей г = ± 8; г0 == -jL-; f± = -i- (# ± ?Г);
б
То = -I" J '<А Я = Т5Г J ^ C.126)
б 6
J Т5 J
—б —6
А — оператор Лапласа в системе (s, n) [4],
D = 1 + kn (k — кривизна контура Lo, n — расстояние от рассмат-
рассматриваемой точки до осевой линии Lo срединной поверхности про-
прослойки),
T0(Af, 0) = f0, Tl{M, 0)==0,
&ГОЩ,О) =0 <W> 0) _Q C.127)
при т == 0, Mg 50.
Предполагаем, что на поверхностях сопряжения прослойки с
пластинками системы выполняются условия идеального теплового
контакта A.13), которые после усреднения примут вид
V О V 0
'0) ^" ?
*'/• 0 V 0
хг 0 тг 0
где
s, /г, т, 0 = в V дТ1%пП'1) , Ф?(в,-«, х, 0 = б X X
х -^ , i-v, I, г.
Считаем ширину 2h промежуточного слоя одного порядка с тол-
толщиной системы. Усредняя уравнения теплопроводности C.125)
85
в соответствии с C.126) с точностью до слагаемых kn, получаем
ДО) UfJ п
дп
- 3/0 [сс{°> (в* - 07) + о"? (в -
а?! (#* -
- 77) - /о [о}1* (* -
9Л. (С й2д* , Зв*Я Г/ < \+ I дТ'о у\
= О,
- Т*<Г) !1 в* _ 3/0 f
0 L
+
= 0,
C.130)
где ds — элемент дуги контура Lo;
h h
-й
—Л
h
—Л
—Л
J3 Г * j-
tiTjdti. Ь = of g \ tiTodfi. be ==
—h —Л
—Л
j
—h
Индексы плюс и минус указывают на значения функций при
п = ±А.
Учитывая условия идеального теплового контакта C.128) и
C.129) при п = dz ft, вместо C.130) имеем
86
тг
- '• И' <в - *)+«-' <е* - е^> +26с»' -If] - о.
C.131)
^^]-0, C.132)
где
Преположив, что температура по ширине промежуточного слоя
изменяется по линейному закону, и введя приведенные теплопро-
теплопроводность Ло = 4&fikf\ теплоемкость Со = 46ftci0), коэффициенты
теплоотдачи А± = 2ha°± и термосопротивления Rd == @) , Rh =
слоя, после перехода в C.132) к пределу при /i-> 0, сохра-
няя эти характеристики постоянными, получаем такие условия
8.7
теплового контакта на поверхности So:
l) + Со а(Т1а+Га) - 2 (А°+в+ + А°-в7)] = О,
-Т2)+А0-(Т\-Г2)+С0
- з/0
= 0.
Если задача теплопроводности симметрична относите,
динной плоскости рассматриваемой системы пластинок
C.133) получаем такие условия на поверхности So:
C.134)
Л„
,
Co
дт
Умножая C.134) на Rh и пренебрегая произведениями A0Rh, C0Rh и
A0Rh, содержащими Л2, приходим к более простым условиям на по-
поверхности So:
an
C.135)
Эти условия характеризуются термосопротивлением Rh, временами
релаксации тепловых потоков пластинок т(Д т(г2) и промежуточного
слоя т^0)-
Рассмотрим частные случаи условий C.135).
1. Пусть
т<°> = 0, r<W0. C.136)
Учитывая, что
С1
lim е =26(т-В C.137)
и используя известные свойства дельта-функции Дирака б (т — ?),
записываем соотношения
'->0 v О
х . C-138)
89
С учетом C.136) — C.138) условия C.135) имеют вид
Х{2) с
= "Ж" J
'' О
На
V О V О
C.139)
2. Если
то согласно C.138) условия C.135) примут вид
@) / I
^ х'2) ^ 2о "" / C.141)
на 50.
3. Пу
т<2' = 0, т'", т<°>^0. C.142)
Тогда условия C.135) запишем как
4. Для металлов, [38] (т^0 = тЛ) будет
Г - Rh • (
9. Условия теплообмена на подкрепленном
криволинейном краю изотропных пластинок
Пусть край L тонкой изотропной пластинки толщиной 26 под-
подкреплен кольцом из другого материала такой же толщины и ширины
2h (рис. 5), S — поверхность, по которой соединены кольцо и пла-
пластинка (контур L), Sc — внутренняя цилиндрическая поверхность
кольца (контур Lc), Sf' — внешняя цилиндрическая поверхность
пластинки (контур Lc>).
Предположим, что теплообмен через поверхности системы с ок-
окружающей средой происходит в соответствии с законом Ньютона,
а между кольцом и пластинкой осуществляется идеальный тепло-
тепловой контакт. Источники тепла в системе отсутствуют. Тогда для
определения температурного поля в кольце согласно C.28) имеем
90
уравнение теплопроводности
C.145)
граничные условия
х с М0) с
—L j ydt = —щ- J q>od?, Го = Т на поверхности S, C.146)
%г 0 тг О
Я/0) —?-?- = ао/о (То— te) на поверхности So C.147)
и начальные условия
где
дТ0
дх
= 0 при т = 0,
C.148)
.@)
А'/, ы — коэффициенты теплопроводности; с0 — объемный коэф-
коэффициент теплоемкости; а°2 — коэффициент теплоотдачи с боковых
поверхностей z = ±6 кольца; а0 — коэффициент теплоотдачи с
внутренней цилиндрической по-
поверхности Sc кольца; tc — тем-
температура среды, омывающей по-
поверхности системы; тг и %f] —
время релаксации теплового по-
потока пластинки и кольца; Го-—
температура кольца.
Приняв, что ширина кольца
2Л одного порядка малости с тол-
толщиной 26, будем рассматривать
его как тонкий стержень. Вы-
Выведем условие, которому должна
удовлетворять температура плас-
пластинки на подкрепленном краю, считая, что ось стержня совпадает
с контуром пластинки. Для этого отнесем стержень к координатам s,
п. Запишем уравнение C.145) в этих координатах, пренебрегая ве-
величинами kn (k — кривизна оси стержня Lo) по сравнению с едини-
единицей. В результате для определения температуры кольца получим
уравнение
Рис. 5
дп*
C.149)
где
Р2 = -|1- — *о% — -Jr -W' Л ~ элемент дуги Lo.
-|1
-W
91
Рассмотрим интегральные характеристики
h h
@о = -W 1 Ttidn> @° = W I nr<»dn- (ЗЛ50)
Тогда, усредняя C.149) в соответствии с C.150), получаем
¦«¦*¦
где 6С = -^т- J tcdn, ®с = -огг- j ntcdny индексы плюс и минус
—h —h
указывают на значения функций при п = ±h.
Определим 0 и в* через граничные значения температуры То при
п = ± Л. Для этого запишем решение уравнения C.149) в виде
cos/7/г
sinpn
C.152)
Интегрируя C.152) в соответствии с C.150), находим
Г h
4»
2ph
cos
—h
2h cos ph
C.153)
0 =
Подставив C.153) в C.151), с учетом условий C.146) и C.147)
получим
h
i
\ cos pntcdn
cos ph
C.154)
2 С
sin
—h
sinp/i
¦ +
92
где
/ дт0 \+ _ $
\ дп ) x
Из системы C.154) определим
-1
J
pT(ctgph-tgph) —
г*
cos pntcdn \ sin pntcdn
h
i
cos ph
sin ph
dn
. C.155)
Подставим C.155) в первое уравнение C.154) и устремим h ->
-> 0, сохраняя при этом постоянными приведенные теплопровод-
теплопроводность стержня Ло = A,/0)F, объемную теплоемкость Со = c^F,
внутреннее термосопротивление Rh = /i/X/0N, сопротивление тепло-
теплообмену на поверхностях z = ± S стержня 7?г = l/2a(z0)/i, сопро-
сопротивление теплообмену цилиндрической поверхности Sc /?0 ^
= 1/2 а0 б, но пренебрегая произведениями A0/?h, C0/?ft и RJRZ-
В результате получим следующее условие теплообмена на подкреп-
подкрепленном тонким стержнем краю L пластинки:
C.156)
где F = 48/i — площадь поперечного сечения стержня.
Условие C.156), которому должна удовлетворять температура
на подкрепленном краю пластинки, характеризуется такими тепло-
физическими параметрами стержня: приведенными теплопровод-
теплопроводностью, объемной теплоемкостью, сопротивлением теплообмену ци-
цилиндрической поверхности SC9 внутренним сопротивлением и сопро-
сопротивлением теплообмену на боковых поверхностях z = ± б, време-
временами релаксации тепловых потоков пластинки и стержня.
Рассмотрим частные случаи условий C.156). Пусть %т — 0 и
т,0) ф 0. Тогда условие C.156) принимает вид
C.157)
93
Если т*0) = 0, хг Ф О, то вместо C.156) будет
Г —д. C.158)
Для металлов (т? = тг) [38] условие C.156) запишется как
T — te). C.159)
При т, = 0 и т^0) = 0 из C.156) следует известное условие [48]
для классического случая.
Положив в C.156) а0 = a{z\ получим условие теплообмена на
подкрепленном тонким криволинейным стержнем краю L пластин-
пластинки в виде
-loCo^^lom(T-tc)y C.160)
где т = 26 + 4/г — часть контура поперечного сечения стержня,
омываемая внешней средой. Условие C.160) применимо для стерж-
стержня произвольного поперечного сечения.
10. К определению обобщенных динамических
температурных напряжений
на стыке пластинок и стержней
Рассмотрим две разнородные пластинки толщиной 26, между
которыми осуществляется идеальный тепловой контакт. Пусть ши-
ширина верхней пластинки 2Л. Через поверхности системы происходит
теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Все величины,
относящиеся к верхней пластинке, будем обозначать индексом 0
(рис. 6).
Для определения нестационарного обобщенного плоского тем-
температурного поля в верхней пластинке используем уравнение
теплопроводности C.28) в виде
4g = -Qo. C.161)
граничное условие теплообмена
- = а*Ч<Г~ Ф ПРИ' х = °' <ЗЛ62>
94
условие идеального теплового контакта
о,(О)
А) ' (* I C
-— j фо$- == — j ф^, T = T0 при х = 2А
%г О Т/> О
и начальные условия C.148), где
C.163)
1-х
^=
, у, т, В =
Ф(х, у. т, Эо^
Сформулируем условие теплообмена на подкрепленном прямо-
прямолинейном краю пластинки. Для этого выразим температуру То
верхней пластинки через граничные (при
х = 2/i) значения температуры нижней
пластинки. ;
Решение уравнения C.161) имеет
вид
Т (х, у, т) =? A cos рох + В sin pox +
mpo(t-x)Qo& yy x)dg.
C.164)
Определяя постоянные интегрирования
Л и В из граничного условия C.162) и
второго условия C.163), находим
X
Рис. 6
А (Л, у, т) =
a sin 2poht*c — рого + р0Т
a sin 2poh + Ро cos 2po/i »
Я (А, Л т) =
где
2/t
a sin 2/70/i + p0 cos 2po/i '
C.165)
= — ] sin/>0(S— 2A) Qodg, а =
Подставив C.165) в C.164), а затем в C.163), получим граничное
условие теплообмена
2Л
Т —
a cos 2po/i — p0 sin 2po/i
(PoCOsp0g + asinp0g)Q0(g, #, т) dg
p0 (a cos 2p6h — p0 sin 2po/i)
95
a sin 2poh + p0 cos 2poh
x )№ Pq (a cos 2p0^ *~ Po s*n 2p0^)
X T'T' {ф(л:, у, т, |)d|+^- при л:=2А. C.166)
\ тг %г о /
Пусть ширина 2/i верхней пластинки одного порядка малости с ее
толщиной, т. е. ее можно рассматривать как тонкий стержень.
Если в C.166) представить тригонометрические функции ряда-
рядами и ограничиться членами первого порядка, получим следую-
следующее приближенное условие для температуры, соответствующее тон-
тонкому подкрепляющему стержню:
f l0 \q0 + 2A2TC + l0 -^L {ql + 2АгГс)
'(^ У, Ъ
Ж. 1 = 0 при x=2h, C.167)
дх
где
Ло = X^F, Co = dpF, Л = 2б\, ^о:
2Л 2Л
Отметим частные случаи условия C.167).
Для металлов [38] (тг = t$.0)) C.167) принимает вид
A,-fr-k[Af + Со 4")] 7- + ^fc + /
/„
= 0 при х = 2Л. C.168)
Пусть тГ = 0, Tr0) ^ 0. Тогда C.167) запишется таким образом:
= 0 при ^ = 2Л, C.169)
96
Если т(г0)=? 0 и тг Ф О, условие C.167) примет вид
[А. -? - (Лф + Со -±.) ] Т + Aft* + q0 + 2АгТ0 +
+ -^- fob + 2АгТ'с) + А A + 40>#о) J Ф (*. У- т. 0 <? при х = 2ft.
C.170)
Если коэффициент теплоотдачи с поверхности х = О велик,
т. е. af* -> оо, то C.167) запишется как
1 О Т<0) Г Т — Х<0>
4<*+2^^<Гф + 2Л^^Х
X Jq>(*. у, т, Ю4 + -§- =0 при дс = 2А. C.171)
о J
Если на краю подкрепляющего стержня х = 0 задается тепловой
поток, то в C.167) следует положить о40)/* = qx и а^0) = 0. В этом
случае
[Л, -^—10 BЛг + Со 4")] Т + /„ (<7о + 2^гГе)
тг б
Лт<°> дТ
= 0 при х = 2А. C.172)
Пусть поверхность х = 0 теплоизолирована (а(^0) == 0), тогда
условие C.167) примут вид
[Ло ^--^ 10BАг + Со-IL)] Т + /0(<7„ + 2А,Т.) +
Л(тл —т@)) г
ч (гт-1- ) ф (ж> ^> т> 0 ^ +
тг 0
Дт@) дт
+ ~гг "Ж"= °при х = 2/г- (ЗЛ73)
Пусть между нижней и верхней пластинками осуществляется
идеальный термомеханический контакт, т. е.
и0 = и, vo = v, 0$ = oXXi g{xI = axy при х = 2ft. C.174)
Динамические температурные напряжения в пластинках определя-
определяются из уравнений C.98), которые в данном случае имеют вид
^- + piV0 = аТ A + v0) То, -^ + р1ф0 = 0, C.175)
0,^ = 0,^1 +v)T, П2Ф = 0, C.176)
4 5-2365 97
где
6 п, д
|== "XT» т== ~аГ
дх*
Ро V * — ^0/ Ро Р V А — ^/ Р
функции Фо и Wo связаны с перемещениями соотношениями
Uq = ^о. + рфо> уо = pxpo_^L . C.177)
Решения уравнений C.175) имеют соответственно вид
?0 = Ах cos ргх + В1 sin /7^ -f-
C.178)
Фо = А 2 cos /72x + Б2 sin p2x. C.179)
В случае свободной от внешней нагрузки системы при к == О
имеем
a<g = а@) = 0# (ЗЛ80)
Подставив C.178), C.179) в формулы C.99) и соотношения C.177),
находим
(— Л2 sin р2х + В2 cos р2х) — р0 (Лх cos ргх +
+ Вг sin ргх + Z (х)),
ofy = 2рра (- Л2 sin /72х + В2 cos /72^) -2A+ v0) oc°tT0
+ a (AL cos pxx + Вг sin ргх + Z (*)),
C.181)
og = 2$рх (— Ах sin /7^ + Вг cos /?xx
4- ро (Ла cos /?2x -f B2 sin p2x),
(л г, Z'x(*)\
и0 = рЛ — A1sm ргх + B±cos рхх -] -— +
V р* )
+ р (Л2 cos р2х + Вг sin /?2л:),
Ро = Р Hi cos /7хл: + В± sin /7хл: + Z (х)) + р2 {А2 sin р2х — В2
где
C.182)
гт(°)
а = Рг-
93
Подставив C.181) в C.180) и в первые два условия C.174), по-
постоянные интегрирования находим в виде
А _ 2Р/72Д2 л __ su — kv-^ sZ* + Щ1
Пг ~" %~ ' Л2 — sL - kFx
^"" ~р?г ' 2 = s^T^
где
s = -g- BP2 cos 2/?х А — Ро cos 2/72/г),
* = -I- (Роsin 2^2^ — 2/?i/?2 sin 2p1hI
Po
L = Ж BP2 COS 2P*h — Po cos 2Р1Л)'
sin 2p2h — p0 sin 2/?^); Z* =
Подставив C.183) в C.181), а затем результат в последние два усло-
условия C.174), получим
ox = -^-u+-^-v-(?>-^- + $0)z--^-Z*, C.184)
**» = ^-«+-^f+(-^- + 2p)z-p^-Z при лс = 2А,
где
Р = Dр4 + р§) PiP2 cos 2^A cos 2/>2/i —
+ p2 D/7?/;22 + po2) sin 2Plh sin 2/?2/г, a, = -^
Dx = /?2 (P2 — pi) (Po sin 2px/i cos 2pji — 4p2/71p2 sin 2pji cos 2/7хЛ),
D2 = 2ppx/72p0 (Po + 2p2) A - cos 2pxh cos 2^2Л) -
- p ®l + 8$*p2lPl) sin 2Plh sin 2p,A,
A — ^i (P2 — pb (Po sin 2р2Л cos 2pth — 4p2p1p2 sin 2pth cos 2/?2Л).
В случае одномерной задачи
о, = -i. (— pi tg 2pxhu + p^ tg 2pthZ* — p\Z) при х = 2Л. C.185)
Если край л: = 0 защемлен и теплоизолирован (щ = у0 = 0,
-J5-2- = 0) (см. рис. 6), граничные условия при х = 2Л получим ана-
аналогично предыдущему случаю в виде
7* /ft 2 | о ^ 7
Z _^- + pjZ C186)
где
R = 2$2р±р2 A — cos 2pxh cos 2p2h) — (p4 + plpl) sin 2рхЛ sin 2p2ht
Mx = p2 (p2 — p2) (p2 sin 2pxft cos 2p2h — pxp2 sin 2p2h cos 2/?^),
M2 = P [PiPa Cp2 + p2) (cos 2pLh cos 2/72Л - 1) +
+ (P4 + P2/?2 + 2p\p\) sin 2/7x/i sin 2p2h,
N2 = px (P2 — /?I) (/71p2 sin 2pxh cos 2p2A — p2 sin 2p2h cos 2/7x/i).
Пусть ширина верхней пластинки одного порядка малости с ее тол-
толщиной, т. е. ее можно рассматривать как тонкий стержень. Разложив
в условиях C.184) операторы в ряд и ограничившись членами, со-
содержащими жесткость на растяжение — сжатие g0 = E0F и на изгиб
gl = Е01 и Qo = p0Ft Qq = р0/, при х = 2h получим
= 4?0_ + Q, -^ - DQ0 - 2g0
_ + Q, -^ - DQ0 - 2g0 G<)
Po(l — v0) 54u
—_—__
_—__
л /о
= — 4B
! C-187)
i-bhs E = 2GOA + v0) a Г удовле
где F = 46h, I = -i-bhs, Eo = 2GOA + v0), a Г удовлетворяет
условию C.167).
Условия C.166) при аналогичных предположениях примут вид
1-чЗУр dv • 3 + 2v0 — vg d3v
g0 4A_v2} -ф- + §0 8{1_VoJ
(i+yo)a a»o @) _T_ „(Q)^ 5-3v0
l-3v0
8(i-vD)' 1F +
^2Л' <ЗЛ88>
где Go = 26G0, а Г удовлетворяет условию C.173).
100
Уравнения C.176), известные соотношения закона Гука для
пластинок, граничные условия C.167) и C.187) или C.188) и C.189),
начальные условия для температуры, скорости нагрева, перемеще-
перемещения, скорости перемещений, обычные условия теплообмена и ме-
механические граничные условия на других поверхностях пластинки
представляют собой полную краевую обобщенную динамическую
задачу термоупругости для определения динамических температур-
температурных напряжений на стыке пластинок и подкрепляющих стержней.
11. Термомеханические граничные условия
для определения обобщенных
динамических температурных напряжений
в пластинках с круговыми включениями
Рассмотрим пластинку с круговым включением радиусом R.
Через боковую поверхность системы z = + б осуществляется тепло-
теплообмен с внешней средой, температура которой есть функция времени
tc (т). Начальная температура и скорость нагревания предполага-
предполагаются равными нулю. Поверхность z = —б теплоизолирована. Рас-
Рассмотрим сначала включение как тонкую пластинку. Для определе-
определения обобщенного нестационарного температурного поля в нем со-
согласно C.17), C.27) и C.128) имеем уравнения теплопроводности
и краевые условия
safe аг0 - /оа<°> (т0 + т1) = 2СЙЧ -2?l - /„«<%
- 3 hflS* (То + Т
г
= Т0, -^-
C-189)
л@) У
V 0 г 0 тс 6
при r = R, C.190)
То = То = Tl = Го = 0 при т = 0, C-191)
где
Ф(г,т, О-в^-^. Ф*
Применяя к C.189) и C.190) преобразование Лапласа с учетом
начальных условий C.191), получаем
Л0ДГ0 - c4O)Yo (f0 + Тй = C^sy0T0 -afVc.
101
AtAT'o-3UO)Vo(Го + К) + -ij- Го) = ^уоГо-3a<Vc, C-192)
__ приг = #, C.193)
Решения уравнений C.192) g учетом второго и четвертого усло-
условий C.193) примут вид
То = - 4V»/, far) + А?Уг% fa) + В.,
7o* = Л(,0)/0 (Plr) - 44 (Р,г) + BS, C.194)
где
iV0
P? Pi ) '
во = -
Подставляя C.194) в первое и третье условия C.193), на поверх-
поверхности сопряжения г = R получаем
при г =/?, C.195)
У dr
где /v (С) — модифицированная функция Бесселя первого рода по-
порядка v =а 0,1;
Представим операторы pt 71 /„'о! в виде ряда. Предполагая,
что диаметр включения одного порядка с толщиной пластинки, огра-
ограничимся первыми членами разложений операторов. В результате
на поверхности сопряжения г = R пластинки и включения полу-
102
чаем
*. C.196)
Здесь Л = SXt — приведенная теплопроводность пластинки на по-
поверхности контакта; 5 = 4nRd — площадь поверхности контакта;
Ао = 50ai0) — приведенная теплоотдача с поверхности включе-
включения So = nR2\ cQ = c{v]Vq — приведенная теплоемкость включе-
включения; Vo = 250S — объем включения.
Устремив в C.196) хг ->- 0, 40) -> 0, запишем
ПрИГ=/?.
C.197)
Переходя в формулах C.196) и C.197) от изображений к оригина-
оригиналам, получаем соответственно приближенные обобщенные и класси-
классические условия теплообмена на поверхности сопряжения пластинки
и включения при г = R
lr о
x
+ „ 5Г* . C.198)
ат
C-199)
Сформулируем условия теплообмена C.198), исходя из гранич-
граничного условия B.81):
дг п1° - 2 J
о
X tdl при r= R. C.200)
103
Поскольку начальная температура равна нулю, C.200) принимает
вид
ы
C.201)
Предполагая, что температура по толщине пластинки изменяется
по линейному закону
б б
L
= T + -J- Г*, Г-
JL
—5
' = -^г) ztdz, C.202)
и принимая во внимание граничные условия на боковых поверхнос-
поверхностях пластинки
при z=
-§- = 0 при г = -
C.20?)
интегрируем C.201) согласно C.202). В результате получим искомые
условия теплообмена на границе г — R в виде C.198).
Сформулируем соответствующие термоупругие граничные усло-
условия на поверхности сопряжения пластинки и включения. Для опре-
определения напряженно-деформированного состояния включения име-
имеем соотношения для усилий, моментов, перерезывающих сил; урав-
уравнения для радиального перемещения и и прогиба w и краевые
условия [4]:
= - De [v0
Q<0) =
-D0JL
A + v0) 4
C.204)
v0) 4] • C-205)
Qi0' = 0, C.206)
- [
v0)
C.207)
104
= - а?' A + v0) -^" . C-208)
Nr = NY\ и = u0 при г = R, u0 |r=0 = 0, C.209)
Mr = Mf\ Q = Of\ w = ш0, -^— = —jr2- при r = R,
w0\r=o?=ooy M^0)|r=o=^oo, C.210)
u = u = w = w==0 при т = 0, C.211)
г e c@) = ]/ 2Gq x2 = ik.
Применяя к C.204) — C.210) преобразование Лапласа с учетом
начальных условий C.211), получаем
C.212)
Do -L [дш0 + aj°> A+ v0) -J-], QW = 0, C.214)
D = aHl+v0)^f C.215)
- р1д>0 = — с40) A + v0) -^± , C.216)
= N°n и = Ъо при г = /?, w0 |г=0 === 0, C.217)
=0=^:оо, ЛТ^О)|г==о =7^=оо, C.218)
где
Решения уравнений C.215) и C.216) с учетом двух последних
условий C.217) и четырех последних условий C.218) запишутся в
105
виде
= X0(r)
. r) ей)
Я)
Po
, r) Jr=RR +
~(Pw> r)
C.220)
где
m, =
Pi Г М/У) h(PiR) h(Ptr) ]„ ,_! 9
^^ L J
(о,
+V0),
Q<°)
' Подставим C.219) в первое соотношение C.212), а затем в первое
условие C.217). Подставим C.220) в первые соотношения C.213) и
C.214), а потом в первые два условия C.218). В результате соответ-
соответственно получим
@) \ rp I
Po ,
1 - *>2) г* |Л
h (PWR)
-} , C.221)
R)
\r=R — «
-1!-}, C.222)
106
.2 dl (Pw
w^UpZ
Р2-
4
Pi
C-223)
где
*>,= h.
W
в-
CR) loiPiR)
2Pw qi
_i о
^Sr-i •
Л) рГ-Рш
= Jo.
dl (Pa»
*з
-ТТГ P«
Разложив операторы в C.221) — C.223) в ряды и ограничиваясь
членами, содержащими R не выше второй степени, при г = R
найдем
C.224)
где Йо = p0S, Qo p0V
Переходя в C.224) от изображений к оригиналам, при г = R
получаем обобщенные граничные термоупругие условия
v ) _ -^=l- _l ей > —г— -\ w, \ П 99^
°'\ R дг т ^ б J ^ 8я ' I (-J-^^o)
_LjLV'
/ I
В случае квазистатической задачи вместо C.225) при г = R бу-
Q,= ^O.__i_jjLk,
дет
Qr-O.
C.226)
107
12. Условия неидеального
термомеханического контакта пластинок
Рассмотрим упругую систему, состоящую из двух тонких изо-
изотропных разнородных прямоугольных пластинок постоянной тол-
толщины 26, сопряженных посредством инородного прямолинейного
промежуточного слоя шириной 2/г. Эта система нагревается путем
конвективного теплообмена с внешней средой и источниками тепла,
температура и плотность которых являются произвольными функ-
функциями координат и времени. Начальная температура и скорость
нагрева предполагаются равными нулю.
Сформулируем сначала условия теплового контакта пластин 1
и 2, необходимые для определения обобщенных нестационарных
температурных полей в области их сочленения со слоем 0, ширина
которого считается малой по сравнению с его длиной.
Для этого рассмотрим слой 0, считая его сначала тонкой пластин-
пластинкой толщины 26. Нестационарное температурное поле в слое опре-
определяем из уравнения теплопроводности C.28), т. е.
= —Qo, C.227)
где
, Wo = J Л, То = -ip ? todz.
Начальные условия задачи принимаем в виде
Т' = °' 1FT = °> / = °- !» 2' ПРИ т = °- (
Предположим, что на поверхностях сопряжения промежуточ-
промежуточного слоя с пластинками выполняются условия идеального теплово-
теплового контакта
~7оГ J Ч^ = ""Ж" J (р2^' Т° = ^2 при x==—h*
Тл 0 Тг О
где
—б
108
Общий интеграл уравнения C.227) с учетом второго и четвертого
условий C.229) имеет вид
C.230)
где
X
(х) = — J sin р0 (g — х) Qod%.
J
Для упрощения интегро-дифференциальных условий C.229)
продифференцируем их по т. В результате находим
7г
V 0
- при х = + А C.231)
Подставляя выражение C.230) в C.231), получаем
oMri
id) ГТ
4!
при x=+h,
C.232)
~~ тB) дх '
+ B) г—к-1 У* (х> т» 9 ^ ПРИ х = — л-
Тг Тг О
Разложим в уравнениях C.232) операторы в ряды; в силу малости
ширины слоя 2h ограничимся в этих разложениях лишь членами
порядка h~\ h. В результате получаем
109
Т~ — 2ТС) — 21OWO, C.233)
«
1*0) _ Т(°) д J
V V О J
= 2 D0)/0+ -|г) (Г- - Т+) + 2/0 (^ +
Здесь
Г+ = ^ (А, г/, т), Г" = 72 (-Л, у, т), Г+ =
Г~ — / дТ* ) А{0) — 9ry@)h Г — r{0
1 •* ~ \~dr)x=h' Аг - Mz h> L° ~ с°
Л, = 2к\\ Л2 = 2^2>б, Ло =
о
b б л Л б
Wo = \ I wodxdz} Wo = -тг- \ woxzdzdx,
—h —6 —ft -6
ft ft
T = — f / Лс Г* = — f
—л —ft
Если рассматриваемая система обладает геометрической и физи-
физической симметрией относительно оси Оу, то второе условие C.233)
удовлетворяется тождественно и остается только одно условие
. х. в
V тг V 0
X d| = 2/0 [240) (Т+ - Тс) - ^0]. C.234)
Если в условиях C.233) пренебречь влиянием тепловой инерции,
т. е. устремить к нулю величины xf\ %{r\ %{?\ то условия неидеаль-
неидеального теплового контакта двух разнородных пластинок примут вид
- 240) (Т+ + Т~ — 2ТС) — 2W0, C.235)
но
(т~
л2т-) - с0 -?- (г- - г+) =
= 2 D0) + -JL) (Г- - Т+) +
+ 2WI
Сформулируем соответствующие условия неидеального обоб-
обобщенного термомеханического контакта пластинок 1 и 2, необходи-
необходимые для получения динамических температурных напряжений в об-
области их сопряжения с пластинкой 0. Для этого рассмотрим пла-
пластинку 0 и определим в ней динамические температурные напряже-
напряжения из уравнений C.98), т. е.
= с40)
v0) Го,
= °> C-236)
где
Компоненты перемещений и напряжений в пластинке через функ-
функции Wo и Фо определяются формулами C.97) и C.99), т. е.
C.237)
дх
v0) Го + (Р^_
] , C.238)
где Р = -4" '
Предположим, что на поверхностях сопряжения промежуточного
слоя с пластинками выполняются условия идеального термомехани-
термомеханического контакта
и0 = и+, у0 = с>+, aS = a+, a(^ = a+ при х = + /г,
w0 = и"", у0 == y~", o4°i = a^, a^S = o7y при x=^—h. C.239)
Общие интегралы уравнений C.236) с учетом условий равенства
перемещений C.239) имеют вид
% = cos ргхА + sin ргхВ + Z (х), Фо = cos p2xC + sin p2xD, C.240)
где
Z (х) =
X
J sin /7, (х -
J
р2 cos pji [a+ -. м-' — Z^ (Л)] + Р sin p2/i [o+ + if — pZ (Л)]
2 (P2 sin р2й cos px/i — pxp2 sin px/i cos рф)
111
C.241)
с =
p2 sin p2h [и++иГ — Z'x (h)] +P cos p2h [if *- u+ + pZ (Я)]
2 (P2 sin Plfc cos p2h — p!/72 sin p2h cos Pl/i)
psinpxh [u+ -{-u-—>Z'x(h)] + px cos pxh [v~ — v+ + pZ(Л)]
2 (P2 sin /?j/z cos р2Я — ргр2 sin /?2^ cos pxh) '
p cos px/i [w+— u" - z; (Л)] + pj sin Plft [u+ + v- ^ PZ (Л)]
2 (P2 sin p2h cos /7x/i — pxp2 sin Pl/i cos p2h)
Подставляя выражения C.240) в условия C.239) равенства соот-
соответствующих напряжений на линиях х = ± h% получаем
-%- [D.a" + Dm~ + RiV+ + R2v~ — R$Z (h) — D,Z'X (h) —
-§- \— D2u+ - Dlt
+
Rav+
-^- [7?2«+ - Rtu~ — Rtv+ — R3v
Здесь
Dx = p2 ф2 — pl) IP2 sin 2pxh cos 2p2/i —
— pxp2 sin 2/?2/i cos 2/71/i],
D2 = p2 ф2 — pl) [ргр2 sin 2p2h — p2 sin 2pxh]9
/?i = — (PV2 + 2/?2/??+ P4) P sin 2pxh sin2p2h + ^pxp2 Cp2-
+ pl) A — cos 2/7х/г cos 2/72/i),
^24
C.242)
/?2 = PpaPi (P2 — pl) (cos 2p2ft — cos 2p1h),
Rs = Pi (P2 — pl) IP2 sin 2/?2/i cos 2pji —
— pxp2 sin 2pxh cos 2/72/i],
^4 = Pi (P2 — P2) [ргРг sin 2/?^ — p2 sin 2p2
Д = (p« + rfp!) sin 2pxft sin 2p2h —
C.243)
112
Для удобства сложим и вычтем соответствующие условия и разложим
тригонометрические операторы в выражениях C.242) в ряды, окон-
окончательно ограничиваясь членами порядка /i°, ft1, ft2. В результате
граничные условия записываются в виде
(О. -S- - *Г» -?)«
= 28 (a~ —
df
t; —¦
3A_v,)A,Vo)
2A—v0) dy
. (T+ + T~) =
C.244)
Здесь E0F = goy G0F = g{0»\ E0I = g0, p0/ = Qo, p0F = &<» I =
= — 8ft3 — момент инерции сечения слоя относительно оси Ог; и =
= " 9 " средний прогиб точек сечения слоя; ф = Г7Ц
относительный сдвиг сечения ребра, вызванный разностью верти-
вертикальных смещений м+, иГ\ v = ^ среднее продольное пе-
ремещение точек нормального сечения слоя; я|) = ^ "~ Угол
поворота сечения слоя, вызванный разностью горизонтальных сме-
смещений сГ*~, v~\ V = O/J характеризует перепад температуры по
единице длины высоты слоя.
Пусть ft = 0, т. е. слой отсутствует. Тогда, как и следовало ожи-
ожидать, из C.244) получаем условия идеального термомеханического
контакта двух пластинок
= и
= v
= о
ху.
C.245)
Если рассматриваемая система обладает геометрической и физи-
физической симметрией относительно оси Оу, то второе и третье
113
условия C.244) удовлетворяются тождественно, а оставшиеся два
принимают вид
dv+ \ , „ Г^* а2 1 + Vq - 4v0 * аа
3(l-v2)(l^V0) ^° %2
C.246)
1"—v0 ду у
Пусть слой, соединяющий пластинки 1 и 2, является абсолютно
жестким, т. е. Ео = оо (Go = oo), af} = 0. Тогда из C.244) полу-
получаем ожидаемые условия
и+ = w~ = 0, и+ = у~ == 0.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОБОБЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕРМОУПРУГОСТИ
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
ДЛЯ МАССИВНЫХ ТЕЛ
Наиболее полно представлены в литературе исследования обоб-
обобщенных динамических температурных напряжений в массивных те-
телах. Впервые обобщенная взаимосвязанная динамическая задача
термоупругости для изотропного полупространства, подвергнутого
тепловому удару по свободной от внешней нагрузки его поверхно-
поверхности, изучалась Е. Б. Поповым [50], для полупространства, на сво-
свободной от внешней нагрузки поверхности которого задается в на-
начальный момент времени напряжение, остающееся далее неизмен-
неизменным,— Лордом и Шульманом [71]. В этой работе получено решение
задачи при пренебрежении в уравнении A.39) членом r\Trdivu.
Е. Б. Попов показал, что в полупространстве распространяются две
волны — тепловая и упругая. Он исследовал характер этих волн
при малых и больших значениях времени, а также скорости их рас-
распространения. Норвуд, Варен [77] несколько шире рассмотрели
эту задачу, исследовав полупространство при скачкообразном изме-
изменении во времени деформации, температуры и напряжения на сво-
свободной поверхности. Ахенбах [67], использовав теорию распростра-
распространения поверхности разрыва, исследовал распространение скачка
напряжений в полупространстве. В упомянутых источниках, одна-
однако, не получены решения в замкнутой форме. Найденные решения
являются справедливыми только на волновых фронтах. Лорд и Ло-
пез [72] получили общее решение обобщенной взаимосвязанной
динамической задачи термоупругости для полупространства, спра-
справедливое для температур, близких к абсолютному нулю. Нейфех
[74] рассмотрел полупространство, когда на его границе задан теп-
тепловой поток. Результаты этой работы изложены в настоящей
главе. Построению автомодельных решений обобщенной взаимо-
взаимосвязанной динамической задачи термоупругости для полупростран-
полупространства и исследованию распространения связанных термоупругих воз-
возмущений при постоянном потоке на границе посвящены работы
Г. А. Кильчинской [14—16]. Решения обобщенных взаимосвязанных
динамических задач термоупругости для пространства со сфериче-
сферической полостью и цилиндра получил Ведхевен [80, 81] для случая,
когда граничное значение температуры или напряжения — про-
произвольная функция времени. Рассмотрены частные случаи, для кото-
которых получены асимптотические решения, соответствующие малым
значениям времени. Результаты работ [71, 80, 81] получены для слу-
115
чая пренебрежения инерционным членом r)xrdiva. Норвуд и Варен
[77] показали, что пренебрежение этим членом приводит к исчезно-
исчезновению трех из четырех возможных скачков на фронтах и к измене-
изменению самих скоростей. Решению обобщенных взаимосвязанных дина-
динамических задач термоупругости посвящены также работы [73, 78].
Ю. К. Энгельбрехт [66] провел исследования мод (частных решений,
зависящих по экспоненте от времени и одной из координат) систе-
системы уравнений обобщенной линейной термоупругости.
Обобщенные несвязанные динамические задачи термоупру-
термоупругости для полупространства, слоя, цилиндра, пространства со
сферической или цилиндрической полостью изучались в работах
[28, 39, 40, 52, 54, 55] при граничном условии теплообмена перво-
первого или третьего рода для случая, когда температура среды изме-
изменяется в начальный момент времени на некоторую величину, ос-
оставаясь далее неизменной (тепловой удар). В работе [29] учитыва-
учитывалась также конечность скорости изменения теплового воздействия на
поверхности пространства со сферической полостью. В. Г. Андреев
и П. И. Уляков [1] обобщили результатыМ. Д.Михайлова [39] для
полупространства, учитывая конечность скорости изменения тепло-
теплового воздействия на его поверхности. В. Г. Чебан и В. Г. Сучеван
[59] решили обобщенную несвязанную динамическую задачу тер-
термоупругости для полупространства с учетом выгорания материала.
В настоящей главе подробно изучается полупространство. Ис-
Исследуется влияние взаимосвязанности полей деформации и темпе-
температур и конечной скорости распространения тепла, влияние обоб-
обобщенного теплообмена с его поверхности на распространение в нем
динамических температурных напряжений.
|* Приведены замкнутые решения обобщенных несвязанных дина-
динамических задач термоупругости для слоя, цилиндра, пространст-
пространства с цилиндрической или сферической полостью, подвергнутых теп-
тепловому удару внешней средой или источниками тепла, а также
для слоя, находящегося под действием потока лучистой энергии,
1. Полупространство
- Рассмотрим изотропное полупространство z > 0, которое под-
подвергается механическому и тепловому воздействию таким образом,
что на его поверхности имеют место граничные условия
U1 @. /) = е0 (/), О' = Я (l + M»-|-) [<>-<>„ (/)]
при t, = 0, D.1)
где о-о* с =-?-./ = -?.* = -*, Я = ^.
Для определения поля температур и деформаций в рассматривае-
рассматриваемом полупространстве воспользуемся системой уравнений A.39) и
A.40), которая в данном случае имеет вид
ft" — 'ft — МЧ = г ф' + M*U'), U" — V = ft' D.2)
116
при граничных D.1) и начальных
# (С, 0) = Ь (I, 0) = 0, U E, 0) = # (С, 0) = 0 D.3)
условиях. Здесь
Применив к D.1) и D.2) преобразование Лапласа с учетом D.3),
получим
V (О, s) = е0, 5' @, s) = Я* [д @, s) - Ъо] при ? = 0, D.4)
Г _ рг^ = врч?', D.5)
TJ" — s2 f? = «',
где р2 = s A + МЦ, Н* = Н A + M2s).
Решая уравнения D.5), для # и (/ находим выражения
, -s н* (s2 + 8Р2 - V?) «~VlS - (*2 + ер2 - 72) е~ъ1
•+- tffi/i о о » D.Ь)
$> I (Yi + Я*) (s2 + ер2 - т& е~уЛ - (Tt + ^*) (s2 + еР2 -
- Yi) (TiVi + Р2) + (Та ~
Y?) ^*
(Yi - Yi) (Y1Y1 + P2) + (Yi -уЬн*
где
Yi.2 = -^ {p2 A + e) + s2 ± |/[P2A +e) +s2]2-4s2p2} .
В работе [71] показано, что при очень низких температурах е <^
<^ 1. Следовательно, в этом случае
у\ = s2, 72 = Р2. D.7)
Подставляя D.7) в выражения D.6), получаем
<> = {г0еР2 [(Р + Я*) е~^1 — (s + Я*) e~sl] +
D.8)
[/ = В2д Я* 1 | Л [8R2 /s
X е~р? - (Р + Я*) (s2 + ер2 — р2) е~%
117
Из D.6) и D.8) при Н ->- оо следуют известные [72] результаты
ер2
Vi —'
2UQ 2 f(gp2 + s2-'
v? — y|
- (ер2 + s2 -
D.9)
{/'=¦
L [(ер. + s* -
7i - V2
- (ер2 + s2 -
D.10)
- (ер2 -f s2 - р2)
Если в D.8) и D.10) пренебречь е по сравнению с единицей,
соответственно получим
D.11)
U' =
Перепишем выражения D.10) в виде
Ъ = ё^ + *0G2, 77' =
,41
D.13)
где
s (M2 — 1)
8 (SM2 + 1) — ?
8(SM2+1) ^sj
s (M2 — 1) + 1 *
s (M2 —
(e — 1)
+ 1) + s -s
s (M2 — 1) + 1
D.14)
118
Возвращаясь в D.14) к оригиналам, получаем
°г = ~ж=т [е~™ь (f-M& -б (/-01
^- + (gs - gi) ej S_ (/ -
—?¦
Л4
где
t-f
_ 1 Ш=Т _ Mg -Щ ч\ 2М2 /
_}_(}_M4±t)
2ЛГ A — M2J /
dr\.
Воспользовавшись теоремой о свертке для преобразования
Лапласа, получаем такие выражения для безразмерной температуры и
деформации:
= 8 J ^0 (/ — rj) Gx (C, r\)dr\ -
D.15)
^o if — Л) G3 (С, г)) dr].
б
Перейдем теперь в D.11) к оригиналам. В результате для темпе-
температуры получим выражение D.15), в котором функции Gx и G2
имеют вид
А= - \ ?¦ — ds = — < Н П —
1 2ш J p2 — s2 р+Я* A— М2) (Я2— 1) \"и
o—ioo
_М2 [о A — М2) — 1)} eo(f~V + Я^~М2 + М2 [A -Af2) а — 1] х
119
tdt f . , N -'
x ешЧа(-таг- +o[M2(l— M2)o — M2— 1
L
4Cn, Dd<n — ty(f, Q],
а выражение для деформации запишется таким образом:
U' = 1 #0 (/ — t]) G3 (?, т]) df) + j e0 (/ — т]) G4 (?, rj) drj, D.16)
о о
где
G* — G 4- д (Л2 ^ Лг) г** _ п _
Ф2 - s^) (р
2ш J (Р2 - s*) ф + Я*) и" ~ М2 -
1
/-Т|
A
Пример 1. Пусть е0 @, f) = S+(f), % @, /) = 0. Тогда из D.15) по
лучаем
g
120
+ ¦
2М
1 /,
Мг+1
с-;
D.17)
s_ i! - 0.
Первое равенство D.17) выражает температурное поле через сумму двух ве-
величин, умножаемых на асимметричные единичные функции от аргументов (/ — Q
и (/ — MQ, которые можно рассматривать как
распространение волн со скоростью v1=l,
Vo= тг соответственно. Аналогичное замеча-
2 М
ние относится и к выражению поля деформа-
деформации. Скорость vit по аналогии со скоростью
звука в среде, называется акустической; ско-
скорость v2t по аналогии с распространением
тепловых колебаний при отсутствии связнос-
связности, называется тепловой. Вычисление М осно-
основывается на физических свойствах материа-
материалов при низких температурах. Эксперимен-
Экспериментальные данные тепловых пульсаций свиде-
свидетельствуют о том, что акустический волновой
фронт опережает тепловой, т. е. М > 1.
Величины скачков для температуры и деформации можно получить из D.17)
при / = С и / = М?: для акустического волнового фронта
Рис.7
f)l ,_-
/)|
Af2 —
для теплового волнового фронта
1 + М2 (в — 1)
М2— 1
еМ2 „ 2М2
гМ2
М2
Эти результаты согласуются с результатами работ [50, 77].
Из графиков деформации и температуры D.17), представленных на рис. 7,
можно получить значения характеристик волн для определенных времен. Ре-
Решение в момент времени /х соответствует решению для малых значений времени,
когда скачок теплового волнового фронта значительный, решение в момент време-
времени /2 соответствует решению для больших значений времени. Асимптотические
значения температуры и деформации, показанные на этом рисунке, соответствуют
значению, проведенному в работе [77], когда A + 8) заменено единицей.
Интересно отметить, что разрывы температуры и деформации ведущего волно-
волнового фронта противоположных знаков — росту температуры соответствует сжатие
волнового фронта. При медленном росте теплового волнового фронта знак скач-
скачка остается тем же, рост температуры ведет к соответствующему сжатию волново-
волнового фронта. Эти результаты согласуются с результатами работы [67], в которой
при изучении роста температуры в тепловом волновом фронте установлено, что
механические сигналы распространяются быстрее, чем тепловые, На рис. 7
гМ2
121
Пусть граничное значение температуры есть функция t (/) = S_j_ (f) X
X 5_j_ |— — fj sin со/, а деформация на границе полупространства равна нулю.
Пользуясь формулами D.15), для рассматриваемого случая получаем
in ш V - м® s_(f-
A _ до2J J sin со (/ — r]) em x S_ (ц — ;;)
-
+ 2(М^1- 18У J since (/-л) в Ш2/(г],
• -jp+ -j- [sin со (/^Щ) 5_ (^ M?) S_ (м + -2_- /)] e~2lir +
где
Первые два члена в выражениях D.18) и D.19) описывают полусинусоидальные
колебания. Первый импульс распространяется с акустической скоростью, и его
величина очень мала, поскольку мал параметр связности 8. Второй импульс,
распространяющийся со скоростью распространения тепла, сначала возрастает по
величине, а затем экспоненциально убывает при движении в среде. Эти резуль-
результаты отличаются от классических тем, что температура испытывает два скачка,
распространяющихся с разными скоростями. Интегралы, фигурирующие в D.18)
и D.19), описывают диффузионный процесс теплопроводности. Действие их пре-
прекращается к началу колебаний.
Рассмотрим теперь несвязанную динамическую задачу термо-
термоупругости для упругого полупространства z > 0. Через его поверх-
поверхность г = 0 осуществляется теплообмен с внешней средой, темпера-
122
тура которой изменяется в начальный момент времени на некоторую
величину ta, оставаясь в дальнейшем постоянной. Температура полу-
полупространства и скорость нагревания в начальный момент времени
равны нулю. На бесконечности температура ограничена.
Для определения нестационарного температурного поля со-
согласно A.29) имеем уравнение теплопроводности, которое в безраз-
безразмерном виде запишется таким образом:
« д* Af« *}-. D.20)
д™ ~ df ^ а/
Краевые условия имеют вид
f
If J
при ? = 0, D.21)
0 (С, /) = * | /} =0 при / = 0, D.22)
где
е= —. f = —» f = c2{%r
ta * * a ' lr a
Для определения динамических температурных напряжений
используем уравнение [10]
Будем считать, что поверхность ? = 0 свободна от внешней
нагрузки, а напряжение и производная от него по времени равны
нулю, т. е.
а2 = 0 при ? - 0, аг - -^- = 0 при / = 0, D.24)
где
агг A — 2v)
Eatia
Применяя к уравнениям D.20), D.23) и граничным условиям
D.21), D.24) с учетом начальных условий D.22), D.24) преобразо-
преобразование Лапласа по переменной f, получаем
-JpL — уЩ = 0, D.25)
123
-^-_Ат,=Л, D.27)
o2 = О при I = 0. D.28)
Решения уравнений D.25) при граничных условиях D.26) и
уравнения D.27) при граничном условии D.28) и в предположении, что
на бесконечности напряжение ограничено, имеют соответственно
вид
9 _ н О + sfr) e-lt /4 29)
в ЯA+5/г)[7~ЯA + 5/г)]
2 [(М2 -. 1) s + 1] [(М2 -^ Я2/*) s2 - BЯ2/Г -. 1) s ^ Я2]
х[г-^_^ь D30)
Переходя в D.29) и D.30) от изображения к оригиналам, получа-
получаем такие выражения обобщенных нестационарного температурного
поля и динамических температурных напряжений:
- 2 »/ f ^ге"" 1 е~(^ ""^-^ Ai+
х
а2 = Л [о<'> S_ (/ - 0 + a<2)S_ (f - Щ)], ^
где
3 -—
f з
1 л
j
% (ар) + ^- \ е~аХ (oA)g
A » ^ s— . a = -™- , в = I/"/2 —
2М2
124
о = Pi /=т„ s0 = 0, s3 = M2_ 1 > a;0 = -—
2 (M2 — Я2/;)
^ w* = s (s s)
Я {frSt - 1J
— [1 — M2fr (S& + S& + S&)] Si — M^S
1ЬГ s2 + s,)] s2
(S/ — S{) = (St — S() (S2 — St.) • • • (S,_i — S(.) (S(+i — S(.) • • • (S/ — S(.).
Я
Ma —l)(l — ~ЯаМ5ГЦ/=1
D.33)
|(«Р)+ТГ t
Aft
Поскольку /Л == М2, то решение D.32) запишется таким образом:
з _Ы ,
О 1 ""
х
где
q= V 1 + 4H*M8 + 4M2H2 — ]
Если теплообмен с внешней средой через поверхность полупро-
полупространства осуществляется по классическому закону Ньютона, в вы-
выражениях D.31) и D.32) следует положить fr = 0.
Если на поверхности полупространства имеет место условие теп-
теплообмена первого рода, решение обобщенной динамической задачи
125
термоупругости находим из D.32) при Я ->- оо в виде 139]
D.34)
Соответствующие решения классической динамической задачи
термоупругости при граничных условиях третьего и первого рода
получены В. И. Даниловской [8, 44]. Они следуют из выражений D.33)
и D.34) при М -> 0 и имеют соответственно вид
erfc
+ КГ) —jgrr
D.35)
Из выражения D.32) следует, что в среде образуется фронт
упругой и тепловой волн. Положив ^ = 1, находим, что упругая
волна в точке / = 1 имеет скачок, величина которого равна
АМг (НМ — 1), а тепловая волна в точке f = М имеет скачок, ве-
величина которого равна
г _-L з
А\е 2ММЦ1 — НМ) + Я lite~Si{M~l)-M3e~a{M~l)I0(a(M-l)) —
м з
з
i t=i
В случае />= 0 величина скачков равна нулю.
По формулам D.32) проведены подсчеты безразмерных обоб-
обобщенных динамических температурных напряжений oz при ? = 1 и
различных значениях Я для полупространства из алюминия (М =
= 2,157). Результаты представлены на рис. 8 и изображены сплош-
сплошными линиями. Соответствующие классические результаты [4] пока-
показаны штриховыми линиями. Из этого рисунка видно, что учет тепло-
126
вой инерции в граничном условии третьего рода (обобщенный закон
Ньютона) и в уравнении теплопроводности приводит к уменьшению
динамических температурных напряжений.
В полупространстве образуются два фронта волн. Фронт упругой
волны предшествует фронту тепловой. С уменьшением теплоотдачи
с поверхности полупространства динамические температурные на-
напряжения уменьшаются. Если в классическом случае наличие ко-
конечной теплоотдачи с поверхности полупространства приводит к
исчезновению разрывов температурных напряжений, то в случае
-0,3
-0,6
-0,9
\ r
V
¦7
Рис.8
обобщенной динамической задачи термоупругости характер напря-
напряжений остается таким же, как и при бесконечно большом значении
теплоотдачи (граничное условие теплообмена первого рода).
Рассмотрим теперь случай, когда упругое полупространство име-
имеет переменную во времени толщину [59].
Пусть на поверхность полупространства действует некоторая
сила р (т) и уменьшение толщины происходит вследствие выгорания
материала по данной поверхности. При этом температура tq на дви-
движущейся поверхности намного превышает начальную температуру
/а, что приводит к возникновению нестационарного температурного
поля, для определения которого имеем уравнения теплопроводности
D.20), начальные условия D.22), первое краевое условие D.21)
и краевое условие
9 = 1 при ? = vf.
Для определения динамических температурных
имеем уравнение D.23) при граничном условии
<*г = P(f) при ? = vf.
o2Z (I — 2v) / _ /
Здесь о2 = —— — ; 6 = f- ; v =
D.36)
напряжений
D.37)
Eatitg-tJ
P W "-
пространства.
у ^ t x ; ^0 — скорость убывания толщины полу-
127
После введения подвижной координаты х = ? — vf уравнение
D.20) и краевые условия D.21), D.36) принимают вид
дв , о иль да8 Л42 52б ^6 п
D.38)
0 == -|L =0 при / = 0, lim 0 ф оо, 0 = 1 при х = 0. D.39)
' Применяя к уравнению D.38) и граничным условиям D.39)
преобразование Лапласа по переменной f с учетом начальных усло-
условий, получаем
j?J- (I _ M2v2) + BvM2s + v) -f- — (M2s2 + s) 0 = 0, D.40)
lim 0 ф оо, ё = -у- при x = 0. D.41)
Решение уравнения D.40) при граничных условиях D.41) имеет
вид
где
41 2A— M2v2) ~ 1 — М2у2 ' 1 — M2v2
Выполняя обратное преобразование Лапласа и переходя к ста-
старым переменным, получаем такое выражение температурного поля:
(?, f) — е ^-Ч — MX) -j-
AlV)h*- ^2
где
to») (л2 -
V ""-—Li- dr\, D.43)
-»/
1 — Му 2М /1 — M? 2A— M?)
ft ft / 1Г\Л*
' x ~~ M ^2 2M2
Решение уравнения D.23) в предположении, что напряжения и
температура при ? ->• оо остаются ограниченными, имеет вид
^ = 4" Л Ф *~SS + (M^n^i в (С s)> D-44)
где Л (s) — изображение произвольной функции времени, которое
необходимо определить, используя граничное условие D.37).
128
Обратное преобразование Лапласа для выражения D.44) запи-
запишется таким образом:
ог=\А (тО dti + R (?, /), D.45)
где
f л ,
*& Л = ТйИ=ГГ 8& Нт^ж.!^'9^ / — "Л) dr,} •
О '
Используя граничное условие D.37), из D.45) находим
J А (ц) йц = Ф (/), D.46)
о/
где Ф(/) = p{f)-R(vf, /).
Поскольку скорость убывания толщины полупространства на-
намного меньше скорости упругих волн v = ~^~ <^ 1, решение инте-
с
трального уравнения D.46) можно записать в виде
оо
Аф= 2вУ (»"/)• D-47)
/t=0
Принимая во внимание D.47), получаем выражения обобщенных
динамических температурных напряжений
оо
ог = 2 [ф (^7) - Ф (vnQ] + R (S, /)• D.48)
и=0
Если и0 — 0, т. е. толщина полупространства остается посто-
постоянной, имеем решение D.34).
2. Цилиндр
Рассмотрим бесконечный цилиндр радиусом R. В начальный
момент времени температура поверхности г = R изменяется на не-
некоторую величину taJ оставаясь в дальнейшем постоянной. Темпе-
Температура и скорость нагревания в начальный момент времени равны
нулю.
Для определения нестационарного температурного поля в ци-
цилиндре используем уравнение теплопроводности A.49) и соглас-
согласно A.8) граничные условия
limt (г, т) Ф оо,
г"° D.49)
dt (г, 0 е
___ J е d^==h[t_ faS+ (т)
о
5 5-2365 129
Начальные условия примем в виде
t (Г, Т) = dt ^ т> =0 при т = 0, D.50)
где h =
~- , а ~ коэффициент теплоотдачи с поверхности
г = #.
Применив к уравнению теплопроводности A.49) и граничным
условиям D.49) преобразование Лапласа по переменной т с учетом
начальных условий D.50), получим
dH . 1 dt
lim t (r, s) Ф oo, —, ft (I + %rs) t = — A/
r-vO "r
при г = /?. D.52)
Решение уравнения D.51) при граничных условиях D.52) имеет
вид
i(r, s) = ^M/f-У/? ' D-53>
где
л? =- у s (s 4- т) . ВЛ = Атг, m =
a
При больших значениях s выражение D.53) запишется так:
f (г, s) = ta у -4" Ф E) e~««>'^+«), D.54)
где
sj) (s + s2) / |AS (S
-b (s, + s2)], N =
Для определения динамических температурных напряжений в
цилиндре используем соотношения закона Гука и уравнение дви-
движения A.50).
130
Краевые условия примем в виде
lim и (г, т) = 0, огг (г, т) = 0 при г = R, D.55)
и (г> т) = ди (^ т) =0 при т = 0. D.56)
Применяя к уравнению A.50 ) и граничным условиям D.55) пре-
преобразование Лапласа по переменной т с учетом начальных условий
D.56), находим
dr* ^ r dr
lim и (г, s) *= 0, orr (r, s) \rsaR = 0. D.58)
Решив уравнение D.57) при граничных условиях D.58) и подста-
подставив полученное решение в трансформированные выражения A.50),
получим выражения обобщенных динамических температурных на-
напряжений, которые для больших значений s и г Ф 0 имеют вид
) (s) (s + сгр) М2 (s + сгр) (у + q) г|? (s) I _aaS
Ц
D.59)
где
ЯГ"' a2 - ^— ' s3 _ a(M2_1} ' s4 - сад, ж - — t
{) sis + sJis + sJis + s^Vsis + m)
sCs + Si) (s + s2) (s + s3)
Возвращаясь к оригиналам, находим такие выражения обобщен-
обобщенных динамических температурных напряжений в цилиндре:
^о + ^i &ie Sf а2 + &ое h -77- (т — аг)) +
* „Шг) i m \Г 4 11
oca V Z Jl M J J
131
— - т
е 2
/„ (г) + 2Vl (w, z) -f 2Тг (да, г)) + 2 Ц, (/« (г)
7г ("*> г) + Ti ("Г, г) + Y2 («Г, г}+ Vo (г)
т х т
е~2Т
/0 (г) (х0 + S х,в-!
S
D.60)
X
X
0(-f- (т-а2)) + J
S
X
^ (t — a2)
з
J |*Г(/0
- т
2
m x m
l0 (г)
где
Yl (ш, г) + 2у2 (и;, г))
У2 №t> г) + уг {иТ> z) + y2 (иГ, г))
/3
(г) xj + 2 %е-*г-*
Do
5
Dl
J- n(si
- 4s,
~ П (Sf - Si) (FlSi
= bt \A A; l*i = Xt. I B»
! = x, \FpmP. . 4 = ^
Л = a2 + axs3 - 1-
* j
132
Л/f 2
i (C2 + qdj,
M2
M2
M2
В0 = а0{1- ^ш_
qcqax + -у- dx + аок
' Во) (S1S2 + S1S3 + S1S4 + S2S3
X
= («О — В0) (S1S2S3 + V2S4 + S1S3S4 + V3S4)
= («О — Во) S1S2S3S4
md3
М2дсд
М2
X
X (k2 + plx) - h* -
j
= ао
- К + Fo) (h +s, + s3) -L,
pcqkx
F3 =
M2
X
_ (ao + Fo) SlsA - Ns3,
V R2
—P..
+ fe),
133
ft* = -FT <** + РА) - -Ц^-
( Мг 1—v
(s, + s2 + s3) -
«о +
— s4), 6Х = Ьо + L,
^2 = *о (Si + s.) + cxpL +N, bx = boSls2 + clPN, С, =
+ clPtf + m|3f, C2 = /i2 + 2m tf
C3 = mh? + c±p {h2 + 2m$Ji), C4 =
dx = m% + h + схрЪ, d2 = mh + cxph + c^m^, d3
/x = ft -f mp^, /2 = mh,
kx - 2AP» + пф2ф , A2 - /г2 +
nt = h + mh + m$%, n2 = 2т/г
Перейдя в D.60) к пределу при xr ->» 0, получим решение задачи
при классическом граничном условии Ньютона. Это решение име-
имеет вид D.60), в котором aOt аъ а2, Ьо, Съ къ Ло, Ло, А19 Ар Во, В*о,
Do, Do, Dlf Du ^o» ^o равны нулю,
da = A (m + схр), d3 = crftnh, Ьх = —- , &2 = —— (m + c±p),
Cq Cg
C4 = mhPCiP, nx = h A -f- m), м2 = 2mA, /z3 == m2A,
134
A =
1 _ м-2 (т + ciP) (h + Я),
_ „ пс \л M-mhclP , , о A — 2М2) /t
- clPs3h - !_м2 (Л -г Я), Вг = A _ т Cq
[т + clP + s4 - -p^jT- Bm + c]
Ч
(m + cxp) s4 — -y^jj
[^ m + Clp)
- 1_M2 (h + p) — h\
X
M2mh2pcq л* л , д* д
1 — M2 l l \P=Pi 1
M2/l /y . ч 1 V io
rZTJp-(* + Л) -
| ,
Cq I 1
h Го M2m 1—v
1 •— V 1
s3mj
3. Пространство с цилиндрической полостью
Рассмотрим бесконечное пространство с цилиндрической полос-
полостью радиусом R. В начальный момент времени температура поверх-
поверхности г = R изменяется на некоторую величину ta, оставаясь в
135
дальнейшем постоянной. Температура и скорость нагревания в
начальный момент времени равны нулю. На бесконечности темпера-
температура предполагается ограниченной.
Для определения обобщенного нестационарного температурного
поля в пространстве с цилиндрической полостью используем урав-
уравнение теплопроводности A.49), начальные условия D.50), второе
граничное условие D.49), в котором h = у-, и граничное условие ог-
ограниченности температуры на бесконечности
lim^ (г, т) Ф оо.
г-»-оо
Изображение температуры в этом случае запишется таким образом:
7 и <л - tg(h + М Ко (п)
> ~ S[(h + М /Со (Ry) + уКг (Ry)]
При больших значениях s выражение D.61) имеет вид
где
X
(s -\- m)
Для уравнения движения A.50) используем начальные условия
D.56), второе граничное условие D.55) и граничное условие
lim и (г, т) т^00-
Динамические температурные напряжения при больших зна-
значениях s имеют вид D.59), в которых следует Положить
а] = — а19 а2 = — а2, р* = — р9 р\ = — /?х,
^ с^ (р V + 2/i|3*s -f /г2) (s + m)
s (s + sx) (s + s2) (s J- s3) >As (s + /n)
s (s + sx) (s + s,) (s -f s3)
Динамические температурные напряжения для бесконечного про-
пространства с цилиндрической полостью при малых значениях време-
времени имеют вид D.60), где Аь BL, Dt, Fit А], В/, D*, Fl сле-
следует заменить следующими выражениями:
\ = а2 + a^g г^Ш~ (Cl "" Р*9)' ^2 " ^3 f а*% ~
М2
Л =
136
Bi = (Во — <*о) (si +$2+h + h) — h
( __ dl x
B2 = (Bo — a0) (sLs2 +
ДЛ2
x
m —— I > 53 = (Bo — aQ) i
+ sxs2s4
-b3- 6A
= Do,
P X
I -3/ I -» * 2 ~ 1 __ M2
sxs3 + s2s3) + Ls3 + iV,
f- (a0 — Fo) s^^ + ^Vs3,
—Г1" + l-^ao-msx + h + sj-
137
4
а0 — F*o) (s^ + stsB + s2s3) H —— (Ls3 + N),
p* m- i , n-x \ , i 1
D.62)
Положив в D.60) и D.62) p* = 0, найдем решение динамической
задачи термоупругости, соответствующее классическому закону
Ньютона. Если в D.60) и D.62), кроме того, перейти к пределу при
М -> 0, получим решение задачи термоупругости для случая, когда
скорость распространения тепла значительно превышает скорость
распространения упругой волны.
4. Пространство со сферическим включением
Рассмотрим пространство, содержащее сферическое включение,
в котором с начального момента времени начинают действовать
равномерно распределенные источники тепла мощностью <70« Началь-
Начальная температура и скорость нагрева системы равны нулю. На бес-
бесконечности температура исчезает.
В этом случае для определения обобщенного нестационарного
температурного поля в пространстве со сферическим включением
имеем уравнение теплопроводности
дг2 ' г дг а дт /2 д%2
и следующие краевые условия:
А— =С01 -^ ^о9о^+ (т) при г = R, t\r->oo = 0, D.64)
t = -д— = 0 при т = 0.
Первое граничное условие D.64) записано согласно B.53).
Применив к D.63) и D.64) преобразование Лапласа по переменной
т с учетом принятых начальных условий, получим
А-Ё- = аСоУЧ~^- при г = R, 1\г^ = 0.
Решение этой краевой задачи имеет вид
} ^ jsWs_ чг-R» D>65)
138
где
_ аС0 2 г — 2 — S s2
Переходя в выражении D.65) по формуле обращения к ориги-
оригиналам, решение обобщенной задачи теплопроводности находим
в виде
D.66)
Здесь
-§-(^о — «i)> el,
A-
Yi (со, х) и y2 C^» x) — функции Ломмеля двух переменных мнимого
аргумента,
Л *<Т /?
Si, s2, s3, s4 — корни уравнения
Переходя в формуле D.66) к пределу при cQ-+- oo, находим та-
такое классическое температурное поле в пространстве со сфериче-
сферическим включением:
XifLZl erfc J_X
\ sstf \2//
¦ехр|-(г-Я) 1/^1 erfc D=4- -W)| > D-68>
139
где
А* — Г 4- — Ч-
Si0_ JL\j± А+ i/J
51'2 2C0 [ aC0 R - V aC0 \ aC0
Для определения вызываемых температурным полем D.66) дина-
динамических температурных напряжений в основном материале восполь-
воспользуемся формулами A.52).
Полагаем, что в начальный момент времени и = -^~ = 0.
Применяя к уравнению A.52) для определения радиального переме-
перемещения преобразование Лапласа по т, получаем
d2w , 2 da
где
.
p (I + v)
A(l-v)
Решение этого уравнения имеет вид
— -7
Поскольку при г -> оо это решение ограничено, то В == 0. Опре-
Определив постоянную интегрирования А из условия B.71), для изобра-
изображений обобщенных динамических температурных напряжений полу-
получим такие выражения:
2G
сТфф = сгее = —г-
140
где
2kSG(
в k v = x~v v; -- v
1 / sa \ ' * 1 — 2v > V1 ~~ 1 —
v; м
— 2v > V1 ~~ 1 — 2v ' ° ~" 1 — 2va
Переходя в D.69) от изображений к оригиналам, находим вы-
выражения обобщенных динамических температурных напряжений
о„ = Ъ- <(S_ (т - а2) & i at \зГ% (г, st) [es^ ~ 1 -,
а,)] + /,(r, s,) J Г^<Х~То)
т 4Т°
X J Г "S" [70 (е) + 2y] [es'(T-T»' - 1 ] dx0 +
Г Л.
D.70)
» = °бв = -~ \ 5- (т — а2) ¦—- S а?} {s7~2/i (г, st.) [es^T~az) ~
а2
5
X J e * To [/0 (e)
°"x A.
141
Здесь
_
° ~
_ M* \ aC0 f
"Tl л L
4- A_|_^l ь -
' D2 I />D » 3
аС0
ЛЯ
«л
D2 I "*
Ж
vi-P
_ Ь0С0
l.-2v0 '
V3
ГС, Г4
1,42
1 ьк , ьл. ь
т
гсл г*
9 т ,2 P r \ n I r I r2
Л [ a + C2r2 jJS L a \r + R }
S
i, s2, S3, s4 — корни уравнения D.67), a s5, s6, s7 — корни уравнения
D.71)
Переходя в формулах D.70) к пределу при cq -> оо, классиче-
классические динамические температурные напряжения в пространстве со
сферическим включением находим в виде
о„ =
= ^<^5_ (т -а2) М | «<-
(г, S
hyH> erf {Vst{% — a
°0 ,1ЛB)^
!)-5Г2/5(/-,5,)[1+5Лт~а2)]]-
143
aw - aee = A ^5_ (т - a,) ^- jj of
\ о i=\
f» {[rt
as/
erf Vst.(T-a2)l ^(T-a2) - зГ% (r, s?) [1 + s, (x -, a,)]}
J J
D.72)
Здесь
*i = а<у"^ ^ , /5 (г, S) = lim /x (r, s), h (г, s) = lira /2 (r, s),
f7 (r, s) = lim /3 (г, s), /8 (r, s) = lim /4 (r, s), /5 (г, s) = lim f\ (r, s),
М-^0 М->0 M-vG
/б (г, s) = lim /2 (г, s), /7 (г, s) = lim /3 (г, s), /s(r, s) = lim /4 (г, s),
s3, s4, s5 — корни уравнения D.71), s6 = —.
Из выражений D.70) и D.72) следует, что обобщенные темпера-
температурные динамические напряжения испытывают два скачка, соот-
соответствующие фронту тепловой и упругой волн, классические —
один, соответствующий упругой волне.
5. Пространство со сферической полостью
Рассмотрим бесконечную упругую среду со сферической полос-
полостью радиусом R. В начальный момент времени температура по-
поверхности изменяется на некоторую величину ta, оставаясь в даль-
дальнейшем постоянной.
Для определения обобщенного нестационарного температурного
поля в рассматриваемой среде имеем уравнение теплопроводности
D.63), начальные условия D.50) и согласно A.8) граничные условия
limt(r,T)=.O, ± f dt %' D g~<% = h[t — taS+ (г)] при г = R.
144
Воспользовавшись преобразованием Лапласа, изображение тем-
температуры находим в виде
*(r. s) =
где
2
cq R r cq a
Переходя в D.73) к оригиналам, получаем
t (г, т) = В [Аье 2 [/0 (z) + 2Yl (w, z) + 2y2 (w, z)] +
9 т
+ 2 Ate 2 [Io (z) + Yl (w^, г) + v2 (ut> 2) + Yl («Г» 2) + Y2 (иГ, г)] —
-^Je 2 /0BJВ(.е-5<(т-^ + ^е 2 /0(z))s_(T-ai),
D.74)
где
R _ (Si + S-i — m — Hp) sl + mHg — 4S2 ; ; _ 1 о / -L. •
CL
Для определения динамических температурных напряжений ис-
используем соотношение A.52).
Предположим, что поверхность г = R свободна от внешней на-
нагрузки. Тогда граничные условия имеют вид
1ш1и(г,т) = 0, arr\r==R = 0. D.75)
Применив к уравнению движения A.52) преобразование Лапласа
по переменной т, получим уравнение D.68), решение которого
при граничных условиях D.75) имеет вид
и (г, s) = A (s) (JL + X) ,-a
145
где
c2
atc\taR (h +
c2
- s2 + "V + Q
i_2v АЛ сл
_ М = -±-
1-v Сц
r — R
Подставив выражения « (r, s) и D.73) в соотношения закона Гу*
ка A.52), запишем такие изображения динамических температур-
температурных напряжений:
D.76)
А.
2
где
, I г= 1 г * г*
Переходя в D.76) от изображений к оригиналам, обобщенные
динамические температурные напряжения находим в виде
т т
е 2 ^ [/0 (г) + 27l (а/, г) + 27з (wt г)] Ж| +
+ 2 Pt [^о (г) + Yi {ut, г) + у2 (н/+, г) + Vi (^ » г) + 7г (w^ » г)]]—
(г) g V
146
V
m
7"
О А \
<*фф = ^ -#- - -f f ~V Gо0 + 2vi К г) + 2?2(о,, г)) +
з
+ ЛЛ (г) + 2 Р? (/0 (г) + Yi («^. г) + Т2 (ut> z) + Vi ("Г. г) +
г=1
D.77)
где
- /) I е
i
*(т -a2) -(f-^
-(t- a,),
в, =
J - DlSf + D2s? - Das, + D4],
=
«',/=!, 2,3,
S1S2S3S4S5
4S5
+ +
6, =
S{ —» L13S1 ~f- Li^l, I, ] — 1, Z, . . . , О,
147
П (S, — S{) = (Sx — S?) (S2 — S() ... (S/_, — S{) (Sl+i — S(.) , , . (Sj —
Do = kpl, Dl = k% (A + Д) - r^cj\
— n [hcj2 + b-
nh
= rf + P* A + qk) (h + H) + l^hH - nc72 (h + IJi) -
/C4 = q$
-nhcj3-i- n
_ JlL к = qhH
г = 4- tP» - Ф* (^ + Я)
(m — sx — s2 — s3)],
- rp2,) - Ap, (Sls, + slSs + s2s3)]
A — гЯ) + mp#(l — rA — г//)].
-, k) + % (d^ A) + р2Д
s2s3),
P3==
/npj] - Po (Sl + s2 + s3),
tnh (d -~ k)] — Po (Slst + slSs +
- PoSls2s3, Qo = it,
Cq
-Qo («I + s2 +ss + Si + s5),
148
-f sxs5 + s2s3 + s2Sz + s2sb + s3s4 + s3sb
Q3 = —(q—>nH) ~Q0 (s^aSg -f s^s^ + s^^ + s^^ + s2s3sb +
^2 = ~- ffi, A + kq) + /1/, - p2^/, - ^nk (h + H)] -
— Lo (S^ + SXS3 + S& + S& + S2S3 + S2St + S2S5 + S& + S3S5 + StS
L*^~7q HW» + h(l+kq) — ntf - knhH - n№ (h + #)] -
' ^0 \^1^2^3 I ^1S2^4 Г Sj^SgSs "T.S2S3S4 "f" S2S3S5 4~ ^3S^b)i
at = [^ — 5, ± Vst (st — m)] (т — ax), i=l, 2, 3.
Положив в D.74) и D.77) p = 0, получим решение, соответству-
соответствующее случаю классического теплообмена через поверхность г = R.
Это решение имеет вид
1 (г, т) = В \\ е 2 /0(г) \В\е~чх~^ + B2*e~S2(T~ri)J di\ —
'а
т Г
— Яс^ Т Т L4S (/0 (г) + 2^х (а;, г) + 2у2 (w, г)) +
2
+• 2 Л* (/0 (г) + Yi (ut, z) +v2 (и^, z) + уг (иГ, z) +
+Vs("T^)])s.(T-a1)f
т m
J/T = Л* |! ex f e 2 (/0 (г) + 2ух (ш, г) + 2у2 (ш, г;
m m 3
2 %
+ ^ 2 (/0(г)+2у,(и;,г) + 27а(^г)) + в 2 ZPt(/0<
?i (яГ, г) + y2 («Г, г)) —
D.78)
^ V-^-% S_(t-ai)
(=1 J
149
2 "*(r|)S
— (<Мт — «г) + «2 + S V ?Т аг))|5_(т- a2)j,
(Г m
афф = -, -f.-, -?- j I efe~ ~x (/0 (г) + 2Yl (гю, г) + 2Ya (ш, г)) +
m 3
~ T S P* Co
l (иГ, г)
2 ("Г, г))- J Г ~ \ (г) 2 Ve-^-4)^ U- (т - ах)
Г Т — — n 5
_ ft) J е г ЧО (п) S i^e-^-4"»^ -
La2 1-!
где
_
»(l-
8,=
0J -
-6.(i + i + i)]. »¦ =
+ + + f — I ,
Sl S2 S3 S4 S5 /J
- AflS? + AJ2s, - M3),
*?— Lfr + L5),
г
/ — si)
150
Выражения коэффициентов D/, С/, /С/, L/, М/, #,-, Р/, Q/ равны
соответственно выражениям D/, С/, /С/, L/, Л4/, iV/, P/, Q/ при
Р* = 0.
Рассмотрим теперь случай, когда на поверхности полости имеет
место ус ловие теплообмена первого рода
при r=R.
В этом случае обобщенное температурное поле и динамические
температурные напряжения находим из D.78) при /i->oo в виде
t(r,T) = ±f-e 2 [/0 (z) + 2Yl (w, г) + 2у2 (w, z)] S_ (т-, ах),
,im
агг = Л*jf e~~\lo(
m
ke~~X [IQ (z) + Tl («+ г) + Y2 («+. г) + Yi ("~, 2) + Ъ (и" г)]} x
X
_ (т - а,) - Л* (f ( е~^\ (ц)
+ Г^ (т - а2) + Х2 + S Ф^(т-а2I) S_ (т - а2),
L il JJ D.79)
X е-^-^ёц + (d-k)e% [/„ (г) + Yl (u+ г) + Ya (и+, г)
+ Yi («~ z) + Y2 ("~- z)l! S_ (т — 04) +
^=^- J Г ~n* (л) 2 pj.-^
+ (f - *) i фГв-^(т-а2)) S_ (т- а2),
где i=i J
), Pi = ГТ/ .^__ ч- ,
15J
= S4, S3 = S6.
Осуществляя, кроме того, предельный переход при са -> оо, при-
приходим к решению известной классической динамической задачи
термоупругости [44]
СО у
°г = -±г jiP2 + ЬР(Y + Р)\ e^ + ARe\[F(р)(р + 2ур)-
— Еур] у2Ф (^-) ё7? + [Ep—F (р) Bр + kyp)}k~~
+ B[F (р) Bр + *уР) - Ер] е^ + С [2pF (p) -
— Y(P— 1I + ф- [B/ + 2y2 + 1 —Р2)Ф(С) -
-{-?- +v2)®i(p>f) + yp®*(p'f)\>
i
! — у (y + p)] rF -f A Re \[F (p) (/*p —
\e~? + [El*p-F(p)(yl*kp—l)]x
X k гФ (ykd)) еы + B[F (p) {yl*kp — I) — El*p] eka —
— С [F (p) + El*p] (со + 2 Y-т) + f (P) (CYZ*P — D) —
- D?/*p^>} S_ \f - у (p -, 1)] - -gL- [B/ + 2f + 1 + P2) Ф @ +
+ 2 (p + 1) ]/" J- e-t-, (y2 - /*P2) Фх (P, /) + YPФ2 (P. /)],
где
т t ax .. a _ d-v)oa
attaE
Ф (х) = erfc дс = -^r
152
P—1
= ~27Г' /*=ЦГ27> © = /—(P-l)Y, />
VT=5 2p
-p + ig ,
E = — q — i(l+2y)p, F(p)=-
На поверхности полости, как следует из D.79) и D.80), при
г = R имеем
сгф = —1 — дге у + Q2e у (ы1 cos nf + co2 sin nf) —*
st ( f p
j
о
i /) 6y) cos л/
— co4 sin л/) j
о
r 1
+ (<a3 sin /г/ + co4 cos nf) \ e6ti sin nflo ф*ц) dr\ ,
j
о
D.81)
- ^=^- e~ "^ [Qxe*f» + Q2e-v»] + RLwx (гг) + R2w2 (г2),
где
/" — — 1,
jp ^
2 7 *
3 — 2/?
, 3-2p
3 ~"
M C — 2/7)
153
у -?-.(_
(i — a>
1-р + Цр + ±
— I a.
Cp)]/-f (-1-Л
2Р1Г2-р+/(р+— )X
2/7 2-p-/
*=1, 2,
D.82)
По первой формуле D.81) рассчитаны обобщенные динамические
температурные напряжения на поверхности г = R пространства
со сферической полостью, ре-
результаты которых представле-
представлены на рис. 9 (кривая /). Резуль-
Результаты соответствующей классиче-
классической задачи изображены кривой
2. Из рисунка видно, что класси-
классическое динамическое окружное
напряжение на поверхности г =
= R испытывает непродолжите-
непродолжительные колебания и затем быстро
б
-2
-25
3
1
X
0,5
Рис. 9
t
приближается к квазистатиче-
квазистатическому постоянному значению
(прямая 3). Обобщенное дина-
динамическое температурное напряжение испытывает продолжитель-
продолжительные колебания около квазистатического решения и значительно
отличается по величине от классического динамического напря-
напряжения.
Приведем решение обобщенной динамической задачи термоупру-
термоупругости для бесконечной упругой среды со сферической полостью,
поверхность которой в начальный момент времени подвергается
тепловому удару с конечной скоростью изменения температуры,
т. е.
/|_* = А. [Т5+ (т) - (т- т0) S+ (т - т0)], D.83)
Поступая аналогично предыдущему, находим такие обобщенные
температурное поле и динамические температурные напряжения
для этого случая:
t
a' [t0
_ (т0 - t)] + -J. ax |(т - eg x
154
X
— а^-Осо — т) "
6
т
- J (ц-
Х-Т,
D.84)
о» = х0 [Р, (г, г) - Qt (г, т)] + [a2Q(. (a, 0) -
- а^ (г, 0)] S+ (т - то) - (т - т0) [Р,- (г, 0) - Qt (r, 0)] +
— J L х
О
D.85)
где
г (г, 1) =
-U"s
(т - ах)
+ 1*2) e-s'(T-ai)l + -^. (SjiijT - (V?
- И*) X
- (IV? - Mi + 14) ^"SlX J
1
mM r —o~
\e 2
si) ч /0 (^-
гT-
a2
mT1)/o
(T -
i
x=l
mt]/l(^.
155
А =
A + v)
2
Qf (r) ^n(r)M2±k (r), Q2* (r) = n (r) M2/n ± ^ft (r),
при tt (/¦) = n* (г); Л/ = Xh со* = со; при n (r) = n* (r),
= p*(r), * A
A_,
.sf (s2 — Si) (s3 —
x
si — s3) (*2 — h)
h),
S1S2S3 I \ Sl S2 S3/J VS2
f{Sl)
, 63 =
' 3
S3
, f (s,) = co0sj —
S = L&l , 63 = 7 ^ ,
2 (s, — s2) (s3 — s2) ' 3 (Sl — s3) (s2 — s3)
^Ф(Л т) = — Pr(r, t), Q<p(r, т) = — Qr(r, t) при ii, =
4 = со*, ^ = С ? (r) = 9* (r).
156
oJ
2
В случае, когда температура поверхности изменяется в начальный
момент времени на некоторую величину ta, оставаясь в дальнейшем
постоянной, динамические температурные напряжения определяют-
определяются из выражений
<*и ('. т) = Р\ (г, т) S_(t - ос,) - Q* (г, т) S_(t - a2), D.86)
где
Р\ (г, т) = T0Pt (г, т), Q? (г, т) = %OQC (г, т).
Из последнего выражения следует, что в среде образуется фронт
упругой и тепловой волн. Если фронт упругой волны предшествует
фронту тепловой, то а2<а1. При 0<т<а2 напряжения равны
нулю, при % — а2 имеем скачок фронта упругой волны, величина
1 ]
которого равна 1 _^2° $ + 2 Р« • ^Ри т = ai имеем ска-
чок фронта тепловой волны, величина которой определяется из вы-
выражений Я/(г, аг) — Q*(r, ax). В интервале а2<т<ос1 напряже-
напряжения уменьшаются.
Если скорость распространения тепла значительно превышает
скорость распространения упругой волны, т. е. М -> 0, получим
известное решение задачи термоупругости для бесконечного упруго-
упругого пространства со сферической полостью.
6. Слой
Рассмотрим слой толщиной б. Температура поверхности изменяе-
изменяется в начальный момент времени на некоторую величину ta9 оста-
оставаясь в дальнейшем постоянной, а температура поверхности z = б
равна нулю. Слой подвергается действию потока лучистой энергии
по закону Бугера [11]. В начальный момент времени температура
слоя и скорость нагревания равны нулю.
Считаем, что интенсивность потока лучистой энергии wt (т) =
= W0S+ (т). Задача об определении обобщенного температурного
поля в слое согласно A.39) сводится к решению уравнения
(Пе~1Л D.87)
при следующих краевых условиях:
е = 5+(/)при? = 0,
е = о при i = Со,
в (С./) =-^-й-= 0 при / = 0, D.89)
гле f - ill f - ill: _ M2 г _ _?il r - ci6 м - Cl G -
Где / - a ' 'г ~ a ~ m . i - a . to ~ -J- . M- — , « -
= T~ » ^o = Лг2" »*(/) = *os+ (/)» f* = безразмерный коэф-
6a С^ ^1
фициент поглощения материала.
157
Применяя к уравнению D.87) и граничным условиям D.88) пре-
преобразование Лапласа по переменной / с учетом начальных условий
D.89), получаем
- (M*s* + s) в = - (-f + /,) %e-'*\
в (С, s) = -L при ? = 0,
D.90)
D.91)
е E, s) = о при i = ?0.
Решение уравнения D.90) при граничных условиях D.91) имеет
вид
6 (С, s) = F (s)
+ A (s) е~1Л -
— A (s) е~1Ло —
D.92)
где
s (MV + s — ll) '
• у = ]/M2s2 + s.
Переходя в D.92) от изображений к оригиналам, находим
2 \ f__ ( __
р **» I V I N^ Y р s// I р 2М2 \р ^*»0а/ v
г=1 / I
X
п=0
Г S ^п (я>*> О s_ (/ - м&) — 2 /?л (i*.
|_n=0 _ n=l
э
>] Gn (ut, z) S_ (f — MoQ —
„=0
где
i?n (w, z) = /0 (г) + 2Yl (а», г) +
Gn (и„ г) = /0 (г) + Yi (ut, z) + уг (uf, z) +
D.93)
z),
z) + 72 («Г, г),
158
a+=Bn-l)?0
u? =
80 = Mi * > ХЬ2 = ± Л '
/=1, 2.
Для определения обобщенных динамических температурных на-
напряжений используем уравнение D.23) и начальные условия D.24)
при следующих граничных условиях:
аг = 0 при I = 0, ? = и,, D.94)
где
а -
.Применяя к уравнению D.23) и граничным условиям D.94) пре-
преобразование Лапласа по переменной /, получаем уравнение D.27)
и граничные условия
Ъг = 0 при I = 0, ? = ?0. D.95)
Решение уравнения D.27) при граничных условиях D.95) имеет
вид
о* =
V1-*1
159
( }
Переходя в D.96) от изображений к оригиналам, получаем та-
такие выражения обобщенных динамических температурных напря-
напряжений:
l J L
f 3
(=1
n=0
- 2 Gn (««. 2) S_ (f - Ma+) - (o, 2 б„ (u,, г*) 5_ (/ - Mp+) -
- 2 Gn (и?, ?) S_ (/ - MP") I), D.97)
где
\) П (Sj — sk)
-^of,)s,-(#o + /f) .
5/) J t, Г-
n(sm-sp)
m, p = 1, 2, 3, 4, 5, m ^ /7, s3 =
s4 = /*• h == — ^*> ^ (s, — st.) = (sx — st.) (sa — s,) .. . (s,_! — ^) x
X (S/+1— Sj ... (Sf — St).
Положив в D.97) fr = 0, получим решение динамической зада-
задачи термоупругости для случая, когда влияние тепловой инерции на
источники тепла не учитывается.
Известное [11] решение классической динамической задачи тер-
термоупругости для слоя найдем из D.97) при fr =- 0, М ->¦ 0 в виде
160
иг — 2j i\ Zl ~ v — Pn) — 2j
1 T 3 Г °° с It «— \ °°
I 3 Г oo oo
~at) - 2 c/ S *«(P^^ s/. /)- 2 *«
J /=l [n=0 n=l
[ °° °^
k=\
ГДе
. K, s/. Л =
- е~'л 2 f pe~V, D.98)
^.^ erfc
==—^, /= 1, 2, 3, A = 3, 4, p = l, 2, 4, ^ = --1-^(^-
A* = ~ 4" *o (;* + 1). 4 = 4 B/! + Z* + 2^o ~ О,
= 4^oa!
— 2l*
/2 »
1 —3/*
d = I Bll -\-1# — 1).
7. Нагрев тел равномерно распределенными
источниками тепла
Рассмотрим слой, нагреваемый равномерно распределенными ис-
источниками тепла, плотность которых изменяется в начальный мо-
момент времени на некоторую величину, оставаясь далее постоянной.
Поверхности слоя z = 0,z = б предполагаются теплоизолированными
6 5-2365 161
Начальные температура и скорость нагревания слоя равны нулю.
Для определения температурного поля в слое имеем уравнение
теплопроводности
g | | D.99)
краевые условия
-§" = 0 при ? = 0, ? = ?0,
6 = -^- =0 при / = 0,
где е==
a '
D-
D-
4' "
100)
101)
ность равномерно распределенных источников тепла.
Решение краевой задачи D.99) —D.101) в изображениях имеет
вид
5 =-у. D.102)
В случае, когда fr = 0, изображение температурного поля запи-
запишется таким образом:
Qr DЛ03)
Переходя в D.102) и D.103) от изображений к оригиналам, соот-
соответственно получаем
6-Д D.104)
f_
0 = /^М2A—^ М2). D.105)
Для определения динамических температурных напряжений ис-
используем уравнение D.23), граничные условия D.94) и начальные
условия D.24).
Изображения температурных напряжений для fr Ф 0 и \Г = 0
будут соответственно иметь вид
Г @) /1 М2
' "(T"~r
-1 , D.106)
162
Переходя в D.106) и D.107) от изображений к оригиналам, соот-
соответственно получаем
X S- (/ - Чо - D - (/ - п^о + 0 sTjf - nU + О]}, D.108)
{1+*
-{е
D.109)
По формулам D.108) и D.109) при М = 2,157, т ===== 0.1, ? = 1»
?0=2 проведены расчеты динамических температурных напряжений
(рис. 10). На рисунке кривая / соот- с г
ветствует решению классической и JL
полной обобщенной динамической за-
дач термоупругости, кривая 2 — реше-
решению, соответствующему случаю отсут-
отсутствия влияния тепловой инерции на
источники тепла (/, = 0). Неучет теп-
тепловой инерции на источники тепла
приводит к увеличению максимальных
динамических температурных напря-
напряжений в пять раз.
^Рассмотрим свободный от внеш-
внешней нагрузки шар, нагреваемый так
же, как и слой. Поверхность шара
г = R предполагается теплоизолиро-
теплоизолированной. Начальные температура и ско-
скорость нагревания шара равны нулю.
Для определения температурного поля в шаре имеем уравнение
теплопроводности
и краевые условия
dt
-^- = 0 при г = R, гф оо при г:
t = i = 0 при т = 0.
D.111)
D.112)
Воспользовавшись преобразованием Лапласа по т, найдем изо-
изображение температуры
D.113)
6*
163
±
Переходя в D.113) от изображения к оригиналу, получаем
D.114)
D.115)
Поскольку с2я — -^-, D.114) принимает вид
= -?*-т.
Л/
Если не учитывать инерции источников тепла, то температур-
температурное поле в шаре запишется таким образом:
D.116)
Предположим, что радиальное перемещение и скорость в началь-
начальный момент времени равны нулю, т. е.
и = и = О при т = 0.
D.117)
Для определения возникающих в шаре динамических температур-
температурных напряжений воспользуемся соотношениями и уравнением A.52),
которые после применения преобразования Лапласа запишутся
в виде
0 -
2G
rr 1 — 2v
2G Г и
l
du
D.118)
Преобразованные граничные условия находим в виде
н|г=0 = 0, 5гГ|г=« = 0. D.120)
Решение краевой задачи D.113), D.118) — D.120) имеет вид
Afe
Л м ~"* Ахпв
D.121)
164
где
+v)
= A — v) ftV ± a?!* Bv - 1) s — 2c? Bv — 1), k =. r, /?,
B* = vr2s2 ± A — 2v) cxrs + Bv — 1) c\.
При г = О выражение D.121) принимает вид
2A + v) Аг| R3s3e Cl 3ct
. D.122)
Перейдем в D.121) и D.122) от изображений к оригиналам при
-я-5-л
малых значениях времени. В этом случае е ' да 0. Динамиче-
Динамические температурные напряжения в шаре для г =ФО и г = 0 принима-
принимают соответственно вид
t
4/2v—
^е-) + 4i! + h-М2)] X
f
I
4/2v—1^A —vK
d+
D.123)
165
<V — иф — о ,+ ' "° ^
где
К
-e M!)], D.124)
a, = /Coy,, аф =
[A - v)&, -/,]/2^=Л fl/2^=T ± 1)] [(v - 1) to +
1 T 1)] {Hr + (- I)' C«] ±
=IT T 1),
^=T х
[A - v) to - /r l^TT
ПЛ =F 1) — A — v) ^)] [A - v) Й
- v) (- I)' C,
v ± V%T=
=T (K2T^T ± 1)] (v
t=l, 2,
2G A + v) адо2 •
-v) С*-/,/2^=
^Л ± 1)] [A - v)fc-
] (l/*2v^l ± 1).
Температурные напряжения, обусловленные температурным
полем D.116), получим из D.123) и D.124) при fr = 0, cq Ф оо. Тем-
Температурные напряжения, обусловленные температурным полем
D.115), представленные в виде D.123) и D.124), после упрощения
запишутся таким образом:
166
N
1
^—
-—-
OA 0,6 Q8
Рис. 11
О 0,2 0,4 0,6 03
Рис. 12
cos
—V
cos-
D.125)
- 2v)
X COS-
x
167
_(/-^)-/. D.126)
Как видим, выражения напряжений D.125) и D.126) не зависят
от скорости распространения тепла. Таким образом, решение полной
обобщенной динамической задачи термоупругости совпадает с ре-
решением классической задачи.
По формулам D.125), D.126) и D.123), D.124) при fr = 0 рас-
считаны динамические температурные напряжения в медном шаре
(рис. 11 и 12). При подсчетах принято / = 1, ?# = 1, М = 1,29.
Кривые 1 и 2 соответствуют напряжениям аф|^=0, подсчитанным
по формулам D.125), D.126) и D.123), D.124)^при '/, = 0 и со-
соответственно равным 0,2380 (кривая /)—и 0,2492 (кривая 2).
Из графиков следует, что неучет инерции источников тепла при-
приводит к значительному увеличению тангенциальных динамических
температурных напряжений.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ДВУМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЛАСТИНОК
В настоящей главе определяются и исследуются двумерные
обобщенные динамические температурные напряжения в анизотроп-
анизотропных и изотропных пластинках [21—23], подвергаемых апериоди-
апериодическим во времени тепловым воздействиям внутренними источни-
источниками тепла или внешней средой. Выясняется влияние степени ани-
анизотропии, тепловой инерции источников тепла, конечной скорости
распространения тепла и теплоотдачи с боковых поверхностей
пластинок на характер распределения двумерных динамических
температурных напряжений в пластинках.
1. Полоса, полубесконечная
и бесконечная пластинки,
нагреваемые источниками тепла
Рассмотрим полосу — пластинку, краевые поверхности х =
= — d2, х = йг которой теплоизолированы, а через ее боковые
поверхности г = ± б осуществляется конвективный теплообмен
с внешней средой нулевой температуры. Температура пластинки и
скорость нагрева в начальный момент времени равны нулю.
Пусть плотность действующих в такой пластинке источников
тепла есть функция
в>,= -^-8(х)Г0(у, т).
Тогда уравнение теплопроводности C.28) для определения обоб-
обобщенного нестационарного температурного поля в пластинке запи-
запишется таким образом:
Краевые условия согласно C.30) в данном случае имеют вид
дт
дх
= 0, Т = t = 0 при т = 0.
Воспользовавшись преобразованием Фурье — Лапласа, полу-
получаем выражение трансформанты Фурье — Лапласа температуры
f== yshy^ + d,) Ichy(d2-d1 + x)+chy(d1 + d2-\x% E.2)
169
где
L-
Решение динамической задачи термоупругости получим с по-
помощью C.98) и C.99). Предположив, что перемещения и скорости
перемещений в начальный момент времени равны нулю, и применив
к C.98) и C.99) преобразование Фурье — Лапласа, соответственно
находим
E.3)
E.4)
E.5)
где
Если пластинка свободная от внешней нагрузки, на ее поверх-
поверхностях х = —d2 и х = di имеем трансформированные граничные
условия
а** = а^ = 0 при х == — d2, х = d1# E.6)
Решения уравнений E.4) и E.5) с учетом E.6) имеют соот-
соответственно вид
A1chy1x
E.7)
E.8)
где
D
[ch Vi
«2) sh Yl
n = 4G2rJY2 + ps4,
2) ch y% (dx + d2) -
x + d,) sh v2 (dx + d
/=1,2,
m = 2Gt]2 + psa,
170
D, = 4G*rfy2n [ch ?2 № + d2) fl+ (Yi) - (e~™' ch yA
+ е~*А ch Yadi)] + ^- sh y2 (di + d2) e+ (yx) —
n sh Y2 (di -
X (Pi sh у
—
n*
— sh у2 (d
!Yi)
a/
1G2'
е-*
1 +
+ ch y^i ch 7Х^5
+ p2 sh v2d2) —
A + v)Q
nC[chYldl4
'rf'shYid2)] + -^
/f \ A (v \ J_
/ vi Iri/ 1 «s
! + ch Yd,
BG#Yi
A —
-d2)e_(d
- sh Yj (d
sChYAJ'
У + (^
!x + d2)e
-j-{nshY
| — 4G2T]2Y2n X
ix + d2) d+ (Yi),
3 4
1 'shYA —
-(Yi) +
(d 4-d) l—fr
2 К 1 "Г 2/5 t
(<k + <У Ci (Yi) + ch y dx sh yA -
— ch y^2 sh yAI} + 4GV Y2n (px ch y^! — p2 ch Yx^) —
- BGtiL YiY2 sh Y2 № + d2) e_ (yx),
Ds = BGt]K YiY2/" sh Yi (^ + d2) #_ (y2) + 2Gv\mn [e' sh Y2dx —
- е-ъ"' sh Y2d2 + e_ (y2) ch Yl (d, + d2)] +
+ T«hTS + ^ {2Ох]ЪП [ch Yl {di + da) C~Ga) +
ch Ydj sh y2d2 - ch yd2 sh yA] + BGtjK Y2Yf sh Yl (d, + d2) g_ (Ya)} +
+ BGr]K mYlY2 (P2 ch y2d2 — px ch y^) + 2G^« sh Yl (dt +
+ d2) e_
4 = BGti)s уху2т sh Yl (dx + d,) e+ (y.) + 2Gr\mn [#+ (y2) ch yt (dt +
+ d2) - e-^' ch T2d2 - e~^ ch Y,dJ + yshy2{a1 + d2) {2GriYi« X
X [ch y/i ch y2/2 + ch ylx ch y2lx — 1+ (y2) ch Y {1г +12)\ —
- BGt])s Y1Y2 sh Y2 (di + d2) Z+ (y,)} + BGt]K /и?л (Р* sh
+ px sh YidO + 2Gx\mn sh Yi № + d2) Ъ+ (у2),
U (Y«) = ch Y^i ch у A ± ch Yd2 ch Yfd2.
l± (Y<) = ch y^i sh у A ± ch Yd2 sh ytd2,
Pl = e~^d. + e-v.* ch ?2 (di + da)i p2 = e-v2"« + e-v^ ch ?a (di
= e~y>h ch yi/, ± e~Vl'J ch yA-
1T1
Подставляя в E.3) вместо "V и Ф их выражения E.7), E.8), полу-
получаем такие трансформанты обобщенных динамических температур-
температурных напряжений:
sh
*ch
D (if ~
-1- х
x
X
ch
4
it-'Wt]-'
O4ch угх) + D^r (Yl) x
ch Yijc + D2 sh Yl;c) j,
E.9)
где
r (Y,) = 2GYf - ps2, 1 = 1,2, r (Y) = 2GY2 - ps2.
Положив в E.9) d2 = 0, dx = d и переходя к пределу при / ->- оо
для полубесконечной пластинки находим
J- - 2) е-*' + 8 g л27 (? Y) X
8
- Yl) X
аху =
E.10)
где Do = м — 4G2rJYiY2-
Положив в E.9) dx = d2 = d и переходя к пределу при d -> оо,
для неограниченной пластинки получаем
553 =
е~ум - e~*M) sign x,
e~Vl|Jt|
г (у)
E.11)
172
Переходя в E.2), E.9) — E.11) по формуле обращения к ориги-
оригиналам, получаем решения обобщенных задач для произвольно изме-
изменяющейся по координате у и времени плотности источников тепла.
Рассмотрим несколько частных случаев нагрева пластинки.
Пример 1. Пусть функция Wo (yt т) имеет вид
Wo (У, т) = A + kqy) S+ (т), kq =
E.12)
Подставляя трансформанту Фурье — Лапласа этой функции Wo = —1$ (Л) +
s
+ kqb' (г])] в E.10) и E.11) и переходя от изображений к оригиналам, находим
такие выражения обобщенных динамических температурных напряжений:
в полуограниченной пластинке
„—2 2
ОХХ =
kqy)
X Мт-
[Pg (X, X) - 2в
X
(Xf T)]J
Oxx,
<*ху =
E.13)
173
в неограниченной пластинке
о** =
-@) Assign* /
Оху = ———-— '
1)П+, { / _
12.
У
Х[е
24
E.14)
где
N-.
А"
о Г
2,
, a* = a
Из формул E.14) при у = 0 для напряжения а^ =
еле-
дует
174
4-(/-ill) ь ~rf
\l\)Mtne2 +^te
/ г
J expU-
Aijl L
) -L j /0
E.15)
где
2
_-
, Mi, = №-5-
Если скорость распространения тепла cq намного превышает скорость рас-
распространения упругих волн, то
b
х
X
где
Пример 2. Зададим функцию Wo (у, т) следующим образом:
Wo (У, т) = cos coyS+ (т).
(б. 17)
Применив к этой функции преобразование Фурье — Лапласа и подставив резуль-
результат в E.11), перейдем от трансформант к оригиналам. В результате получим
где
2
•S
n=0
n=0
E.18)
cos
|
, t, sn)) ^^L , \ E.19)
Т
176
c—2
2a*
V2+i .
ФоA*1
3 e
4>i(|*l. t, *) = &_ T-
Jfi
X
_
•«
lO*I. t, 5„) = 5_(т--^)|е - +
X
Соответствующее решение классической динамической задачи термоупругости
для бесконечной пластинки запишется таким образом:
X
J]
». 1*1. <*)-ф(т, 1*1. *,)][ cos щ.
176
5
uv
i_ _Г^_ ф (Tj \xi sn)\cos щ + -jy- [co2q> (t, |л; |, 0) —
\ 2c2 / J SlS2
— Y^i|) (t, I jc |, 0)] cos cor/,
IV 1 2 Г
E.20)
t —
X dl — ал\|) (t, I a; |, sn) I[ sin cor/.
Здесь
~c7
X
Ф (t. x, srt) =
_ (r - -|) J .^'-0/,
При ^ = 0, t/ = 0, = 1 выражения напряжений E.20) запишутся в виде
¦ +
¦ 4В„
ck2
4(^ —
erf
F
E.21)
Oy = Од; —
erf/jlj / 4
\erf/jlj
/4
177
где
Xe
2
(l-v)cfe2 4
4(^1) k +
является интегральной функцией Бесселя.
Соответствующие выражения напряжений для квазистатической задачи
будут
Ov = -
>erfc// — 1 +
1
E.22)
erfj/U
Переходя в E.22) к пределу при / ->оо, получаем выражения напряжений в
начале координат при стационарном тепловом режиме
1
1
— ах ~-
1
E.23)
Для теплоизолированной пластинки (В^ = 0) вместо E.21) будет
-ox, E.24)
где
<( =
@ d?
i- erf /^ j
178
2. Бесконечная анизотропная пластинка,
нагреваемая источниками тепла
Рассмотрим тонкую анизотропную однородную бесконечную пла-
пластинку, которая нагревается источниками тепла плотности
Щ (х, У> х) = -28~cosф**cos%yS+ (T)' <5'25)
Для определения температурного поля Т (х, #, т) в данной пластин-
пластинке согласно C.26) имеем уравнение теплопроводности
дх2 ' ху дхду ' у ду2
= ^ ^— cos со^л: cos oyuy [Sj. (т) + тгб (тI E.26)
и начальные условия
Г = 0, -^- = 0 при т = 0, E.27)
где
Воспользовавшись преобразованием Фурье по х, у и Лапласа по
т, получим выражение трансформанты температуры
Y^ ^я [ 1 + стг] г б F -^ шх) + а E + q>x)] [ Д (л + coy) + б (я — ю
Используя свойства дельта-функции Дирака и переходя в E.28)
к оригиналам, находим искомое температурное поле в пластинке
о
о
в =. V ( Р,» + а« fit cos (X + Y) + Pi,+ a" <?if cos (X - Y)), E,29)
kji\ \ ф+ш ф_ (р/)
где pft, p; — корни уравнений ф+ (р) = 0, <p_ (p) = 0:
Ф± (P) = PlP* + P(b + aq) +aq{\+ 2kxyz + ky& + b)],
Вызываемые этим температурным полем температурные напряже-
напряжения в данной пластинке определим по формулам C.76), которые
179
перепишем в виде
dv
Jyy
дх
ди
В2
ди , dv
ди , dv
~ду~ ~т~ ~дх~
ди . dv
E.30)
где перемещения а, и выражаются через функции Ф, ?в виде C.83):
->п
а функции Ф, У удовлетворяют уравнениям C.84):
? Ф
Рц ^ | р1Я
Bit ал: Вц
где
? = ?!?.- 4й- ПО,
ду
а2 , вйй а2 , п в1в
, E.32)
°66 " I о --
Ви ду2 ' Вп а^
2 52
ат2
ах2 "^ вм ду* "•" see адса^ 2 ат2 '
Do =
, + ?ii
Bw дхду
в2в а»
"'- р ' -*- р •
Подставив E.31) в E.30), получим
а* = ^Г 1(Б" °2 - Sie Do) Ф + (Ви Di - -Bee Do) У|
+ 4-!(BMD1-BuDo)<I>-
4г jE" D2 ~ В2в Do) Ф
E.33)
180
4- (б6в О, - Blt 1^- По) YJ + -±- [(B66 D2 - B26 По) Ф
Применяя к E.32), E.33) преобразование Фурье по х, у, Лапласа
по т и переходя от трансформант к оригиналам, находим такие вы-
выражения динамических температурных напряжений в бесконечной
анизотропной пластинке:
cos
cos (x -У)]-
J
^=2 *x A \ Ш. {aq + pk) & cos (X + Y)
+ р,) в"/' cos (X - У)] - R22B,
J
} E-34)
1- (Pi)
X_ (P/)
где pk, pj — корни уравнений соответственно
X± (p) = 0, X± (p) = p[p4if(H 0,) +0,A ±
+ ktf + b)\
± 2 (d,
ijd, [— A1 ± 2А3г + (Л4 + 2Л2) е2 ±
Рп
</« = ¦
= —§-, t, /= 1, 2,
i — 1, 2, ot -г—- ,
= X, y,
181
F± (p) =
- Лх ± 2Л3е
л2 + р;2л3
р,*2л3
A) e + (Л, + р12Л0 + р22Л4
±2р22Л0е3 — р22Л7е4|,
(P)
[At + р?2Л3 — р^Д,) е
± (- А, + р12Л0
+ 2р,*2Л2
2) е3 -
ВллВ,
11°вв
— 1,
в
А — ^16^26 ^ /I ^26 ^12^16
В
— "Б—
_ ^12
->
^12^26 ^22^16 Л
в — ~д" 5 5 5— > Л7
Э26
->11
Положив в E.34) В16 = 526 = 0, pi2 = 0, ^2 ==: 0, получим такие
выражения динамических температурных напряжений в ортотроп*
ной бесконечной пластинке:
— Gva — Sxv
X (а + pk) cos X cos Y — L8,
5— 1) X
182
— v2 X
(a, + P*) cos Xcos У — Lp2*20,
3
e = ? -^jx **cos ^cos y*
где
pk — корни уравнения i|) (p) = 0,
E.35)
A. 6 + ^. (B, ^- BlV^ - 2v2G)
корни уравнения cp (p) = О, Р22 = -тг~.
Рп
Ф0») = PIP2 + РФ + aj + fl,(l + A^« + &)], L =
Пусть пластинка изготовлена из стеклотекстолита КАСТ-В, для ко-
торого ky = -i-, -g- = 0,69, А = 1.97, А = 2,85, v, = 0,174, v3 =
== 0,12, Р22 = 0,89. Если принять сх = cq, то при dx = aq = 1, d2 =
«= 0,35 температурные напряжения в начале координат имеют вид
7
°* = S 1^0 [Р*A + °'1077е2) + 0.3503A + 0,914е2 + 0,1077е41 X
X A+^)^1,719,
7 E.36)
YW[/7*@>12 + °'6208е2) + °'3503 (°>12 +
+ 0,9373е2 + 0,6208б4)] A + pk)<?kf-^ 1,540.
По формулам E.36) проведены расчеты изменения обобщенных
динамических температурных напряжений в зависимости от / при
Ь =5 0, Ъ =? 1, е = 2. Результаты представлены в виде графиков на
183
-ОА
-0,8
J-V-И г
. Д /Л
] 17 V
и \1 \
(Vi
//к?
лз \ \J
16
0
-0,3
-0,6
д
1/ \
л
Л1 л' /г' А
Рис. 13
3 6 9 12 15 Ю
Рис. 15
рис. 13, 14 (при b = 0) и 15, 16 (при Ь = 1) и изображены кри-
кривыми /. Соответствующие классические динамические температур-
температурные напряжения показаны кривыми 2. Из этих рисунков следует,
что как классические, так и обобщенные динамические температур-
температурные напряжения испытывают колебания около соответствующего
квазистатического решения (кривые 3), причем максимальные обоб-
обобщенные динамические температурные напряжения значительно пре-
превышают соответствующие классические в теплоизолированной
пластинке. Учет теплоотдачи с боковых поверхностей пластинки при-
приводит к уменьшению разности между обобщенными и классиче-
классическими динамическими температурными напряжениями.
В случае изотропной пластинки (Вг = В2 = ] _ G
G =
Vl = v2 = v, px = р2 = Р) формулы E.35) принимают вид
2 ( ,
[I -f A + v) e2 + ve4]} cos Xcos YH — 6,
184
+ dA [v + A + v) 8s + e4]} cos X cos Y^ — 6,
+ dtd2 A —. v) A + e2) sin X sin Y^,
3
8 = V (Pfe + a«> cos X cos
*-J (D (Db)
k=l
E.37)
где
0; =
atqE
pk — корни уравнений
i, ] = X, y, xxy =
2a
x
-v)
atqE
s2J} = 0,
f (^ + &)p + aq(\ + e2 + 6)] = 0.
Если пластинка изготовлена из алюминия (v = 0,3, тг ==
= 10~п сек, а = 0,8 см2/сек, Е = 7,2 • 105 лГ/сл2, ^ = 1,9 ккал/см X
X ^ • град), то при b == 0, 8=1, dt = 1 d2 = 0*35, я^ = 0,31.
Обобщенные температурные напря-
напряжения E.37) в начале координат
примут вид
i, 1,3 (р.+ 0,31)
о
-0,5
xxv = О,
E.38)
V
а
где pf—корни уравнения %(/?) =
=р(/?2 + 0,31/? + 0,62) (р2 + 2)=0,
з
125 2,5 3,75 5,0 6,25 f
Рис. 17
i*, р. — корни уравнения Хх (/?) - р(р2 + 0,31/?+
По формулам E.38) рассчитаны обобщенные динамические тем-
температурные напряжения а* = о^ в зависимости от /, которые пред-
представлены на рис. 17 (кривая /). Кривая 2 соответствует случаю,
когда не учитывается инерция источников тепла. Кривой 3 изобра-
изображено классическое решение.
Как видим, во всех трех случаях напряжения испытывают про-
продолжительные колебания, причем максимальных ^значений они до-
достигают в случае полной обобщенной динамической задачи.
185
3. Полоса-пластинка и полубесконечная
пластинка, нагреваемые по краю
Рассмотрим тонкую изотропную однородную бесконечную по-
полосу-пластинку, через боковые поверхности z = ± б, х = 0 ко-
которой осуществляется теплообмен с внешней средой в соответствии
с обобщенным законом Ньютона. Температура среды, омывающей
поверхность z = ± б, равна нулю, а температура среды, омываю-
омывающей поверхность х = 0, равна tc (у, т). Поверхность х = d тепло-
теплоизолирована. Предположим, что температура Т и скорость нагрева-
нагревания -^г пластинки в начальный момент времени равны нулю.
Для определения нестационарного температурного поля в пла-
пластинке согласно C.28) имеем уравнение теплопроводности
JPT.JPT 2Т_ 1 дТ 1 дЧ
~д&~+ ~~ду* ' х L - IF ~аГ + С2 ~д^г E.39)
и краевые условия
-|L = 0 при x = 'd9 ^L=hJ[T — tc(y9T)] при х = 0,E.40)
Г = 0, -^- = 0 при т = 0, E.41)
Г = 0, -JL = O при |у| = оо E.42)
для обычных функций; для обобщенных функций эти условия ста-
ставить нет необходимости.
Применив к равенствам E.39), E.40) при условиях E.41), E.42)
преобразование Фурье — Лапласа, получим
-g— v2f = 0, E.43)
-g- = 0 при х = d, -g- = hx(l + STr) lf — it(n,s)] при x = 0, E.44)
где
Решение уравнения E.43) при условии E.44) имеет вид
где
=- J
ОО ОО
Переходя в E.45) к оригиналам, получаем общее решение неста-
нестационарной задачи теплопроводности для рассматриваемой полосы-
пластинки
во <J-j-bo
J7— \ dri \ L(yi, s) u /7 i. n i ( u a— ds- E.46)
Двумерные динамические температурные напряжения в плас-
пластинке, вызываемые температурным полем E.46), определим, вос-
воспользовавшись формулами C.98) и C.99).
Если пластинка свободна от внешней нагрузки, то динамические
температурные напряжения должны удовлетворять таким гранич-
граничным условиям:
oil = 0 при \у\-> оо для обычных функций (для обобщенных
функций эти условия ставить нет необходимости);
ахх=аху = О при х = 0, х = d. E.47)
Подвергая C.98), C.99) и второе условие E.47) преобразованию
Фурье — Лапласа и используя первое условие E.47), получаем
_ 1
E.48)
Ъху = - 20 -L.
5 О, E.49)
= 0^ = 0 при х = 0, jk = d, E.50)
где
Решения уравнений E.49) с учетом E.45) и E.50) имеют соот-
соответственно вид
f = A l ch Yi^ + A2 sh yxjc + iVT, Ф = A3 ch y2^ + Л sh y2^» E.51)
где
D = (m4 + 16Y1Y2GV)sh Yid sh V2d — 8т^!72С2т12 (ch y±d ch y2^— 1),
DL = 4G2t]2y2 {т271 [ch yxd (ch v2d ch yd— 1) — ch y2d — ch yd] —
— 4G2tJy1y2y ch Yi^ sh y2d sh yd} — m4 sh yxd sh v2d ch yd +
+ 4m2G2Yi2y2Y sh yxd sh Y^ ch Y2d,
137
D2 = 4G2ti2y2 {m2 [y sh yd A — ch yxd ch y2d) +
«ch y2d chyd)\ + 4G2rfyly2y sh vxd sh v2d sh yd} +
+ m* sh y2d (ch Yi^ ch ^d — 1),
Д, = 2mGx\ {4G2t|2y1y2 \y sh yd — уг sh Yid +
+ (Yi sh Yi d ch Y^ —^ Y ch Yirf sh Y^) ch y2d] +
+ m2 (Yi sh y2d 4- y sh y^ sh Yi^ sh y2^ — Yi sh Y2^ °h Yi^ch yd)},
D4 = 2/nGr) [(Yi chYid ch yd — y sh Y^ sh Yi d) °h Y2^ —
— Yi (ch y2d + ch yd — ch yxd) + /lG2yfy1y2 sh Y2d (y sh yd ch Yid —
— Yi sh Yid ch yd% R = T \x==di m = 2Grf + ps2,
Подставив выражения E.51) в E.48), получим такие транефор-
манты температурных напряжений:
охх = т{А1 ch угх + А2 sh угх + NT) —
E.52)
Gyy = r (yi) [Аг ch Yi* + A2 sh yxx) + r (y) TN -f-
+ 2G/r]Y2 (^3 sh y2x -f Л4 ch y2*),
oxy*=—m (A3 ch y2* + Л sh y2*) —
— 2Gtri [Yi (Лх sh yxx + A2 ch 7^) + RNy sh 7 (x — d)],
где
r (Yt) = —' 267? + ps2 i=l, 2, s.
Переходя в E.52) по формуле обращения для преобразования
Фурье — Лапласа от трансформанты к оригиналам, имеем общее
решение динамической задачи термоупругости для полосы-пла-
полосы-пластинки
оо О-\-1оо
1 Г Г ~~
v / —оо О—^оо
Переходя в E.52) к пределу при d ->• 00, находим следующие
выражения трансформант Фурье — Лапласа температурных на-
напряжений для полубесконечной пластинки:
Ъц = tcPih E.54)
где
Тхх = Nm Qe~VtX + -^ . -^ rfy2 (у — Yi) e~~^
1 + v) \Qe~™ + ±?L \~щЕ^ . PXXt
L J t
188
Рху =¦ NiA [2GyiQe^x + ye^x -mR(y-
^-yW^ + K1! '
D = 4G2ri272 (?2 -Yi)
Переходя в E.54) по формулам обращения E.53) от трансформант
ц оригиналам, получаем общее решение двухмерной обобщенной
динамической задачи термоупругости для полубесконечной пла-
пластинки.
Предположим, что температура среды омывающей край пластинки,— ли-
линейная функция координаты у и единичная функция времени, т. е.
*c = ('o + 'i!0S+(t). E.55)
Подставляя E.55) в E.46) и E.54), переходим затем к оригиналам. В результа-
результате находим такие температурное поле и динамические температурные напряже-
напряжения в пластинке:
E.56)
6 = ^Ji^ty S
, = va* — 6,
5_ (f - eg)] + M(pk- pY) (Pk - PU) [e k Zx (|, f)S_{f-* eg) -
vrr/ / I! X
X {/6* A + PkM*) [(pk - р„) в P*C|ZX (?, /) 5_ (/ - eg) - Ml (g, /)b
- M* (Pk - pu) te~PftCiS_ (f - c%) + г|) (g, /)]}, E.57)
[
6, /) = Г^"P//
X F, /) = Г^"P//o & VF^WW) + (Pk —
189
0
[
6
— • y=• 'e—• ^=—
•
D + 6Af2) ± /16-^
ф (P) = (P — Pi) (P — P2)> 9i (P) = (P — P2) (P — Рз) (P — P4), Y (P) = РФ1 (P)»
о
При ^ -¦• oo и У = 0 из E.56), E.57) находим
E.58)
4 pft'
E.59)
Aj=3 Фз ^ W
Ф2 (P) = (P — Рз) (P — Pih Фз (P) = РФ2 (P)«
Если скорость распространения тепла намного превышает скорость распростра-
распространения упругой волны cv решение задачи получаем для теплоизолированной плас-
пластинки из E.59) при М -> 0 в виде
2 pkf
2 /if _ (б60)
V" 6l S 2pl>-l [e~P*C|<S- V ~~ C|)" e~"*S<S- V ~ 1I +
190
S_(f- eg)
где Pi = 0, р2 = 1.
С целью оценки влияния скорости распространения тепла на распределение
двумерных динамических температурных напряжений в тонкой пластинке рас-
рассмотрим алюминиевую пластинку, для которой Сд = 2930 м/сек, сх = 5410 м/сек
[33, 37], а значит, М = 1,846. По фор-
формулам E.59) при Ь — 0 и E.60) при
f = 1 проведены числовые подсчеты
изменения динамических температур-
температурных напряжений ох и хху (рис. 18).
Кривые 1 соответствуют обобщенному
решению, кривые 2 — классическому.
Как следует из этого рисунка,
учет конечности скорости распростра-
0,25
0,5
1,0 1,5 2,0
Рис. 18
2,5
/
1—^
1,0 1,5
Рис. 19
нения тепла приводит к уменьшению максимальных динамических температурных
напряжений. На рис. 19 показано изменение обобщенного динамического темпера-
температурного напряжения ох вдоль ? при различных фиксированных значениях /.
Расстояние между двумя фронтами волн увеличивается с ростом /.
График изменения безразмерной температуры E.58) в зависимости от без-
безразмерной координаты | при фиксированном значении безразмерного времени
f = 1 для различных значений отношения скорости упругой волны сх к скорости
распространения тепла Сд представлен на рис. 20. На рис. 21 показано изменение
безразмерной температуры в зависимости от безразмерного времени при фикси-
фиксированном значении безразмерной координаты ? = 1. На рис. 22 и 23 представлена
зависимость динамического температурного напряжения ах соответственно от
безразмерной координаты при фиксированном значении времени / = 1 и от без-
безразмерного времени при фиксированном значении координаты g = 1 для различ-
Q
ных значений отношения М = —. Остановимся более подробно на рассмотрении
Сд
графиков изменения температуры напряжения ах. Возьмем произвольную точку
внутри полубесконечной пластинки, в которой при М > 1 (сд < сх) вначале
температура и напряжения равны нулю. В момент времени f = 5 к этой точке
приходит продольная упругая волна напряжения, фронт которой движется со
скоростью сг от поверхности х = 0 внутрь пластинки. В данной точке возникает
скачком величиной A — М2)~1 сжимающее напряжение ох, которое затем умень-
уменьшается. В момент времени / = М| к этой точке подходит тепловая волна, фронт
191
м*о,з
Г6-12
ч
Щ
0.6
——«—-
а.
5
0.В
15
Рис. 20
—¦ —
E
===
г,5 ^
.
¦: ¦ =
-04
-2,0
-2,4
-2,5
0,6 0Л
1
м
\
13
/,2J
\
\
\
V
1
1
п
7
н°>8
f
1
«5 /
Рис. 21
Q5 / /,5 2
Рис. 22
о
-ОА
-1,2
4,6
-2,0
-2,4
1
NN
ч
г
0,В"
=
/
V
i
12
ОЛ
U6
0,8
/ 15
Рис. 23
2,5
которой движется в том же направлении со скоростью cq. Когда М < 1 (cq < сх),
к рассматриваемой точке в момент времени f = М? приходит тепловая волна,
а в момент времени / = М% в ней скачкообразно возникает сжимающее напряже*
ние, которое затем возрастает, а в момент времени / = ? оно скачком величиной
A — М2)" переходит в область растяжения. Далее напряжение уменьшается
до нуля, приближаясь к квазистатическому.
Когда М = 1 (cq = cj, напряжение ох имеет вид
о, = (
E.61)
Как видно из E.61), величина напряжения характеризуется свойством дель-
дельта-функции Дирака б (/ — |), равной нулю всюду, за исключением точки / = |,
в которой она обращается в бесконечность.
Наибольшее значение охх при сг Ф cq, как видно из рис. 22 и 23, достигает-
достигается при / = 5:
E.62)
A — v) A — М2)'
7 5-2365
193
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ОДНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКОСТЕННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Изучаются обобщенные колебания балки прямоугольного попе-
поперечного сечения [57], прямоугольной [30] и круговой [58] пласти-
пластинок, подвергаемых тепловому удару по одной из боковых поверх-
поверхностей. Обобщенные одномерные динамические температурные
напряжения определяются в полубесконечной пластинке, нагревае-
нагреваемой действующим на некотором расстоянии от края или движу-
движущимся в глубь ее плоским источником тепла. Затем рассматрива-
рассматриваются изотропная круговая [26] и бесконечная с круговым отверсти-
отверстием [27] пластинки, подвергнутые тепловому удару внешней средой
по краевой поверхности. Рассмотрен также бесконечный цилиндри-
цилиндрический стержень, подвергнутый тепловому удару источниками теп-
тепла, периодически изменяющимися по осевой координате.
1. Прямоугольная балка,
нагреваемая потоком тепла
Рассмотрим свободно опертую балку постоянного прямоугольно-
прямоугольного сечения F = 26d, ширина d и высота 26 которой малы по сравне-
сравнению с ее длиной L (рис. 24). К поверхности балки у = 6 в началь-
начальный момент времени подводится тепловой поток q, величина кото-
которого в дальнейшем остается неизменной. Поверхности z = ± -у,
х = 0, х = L, у = —б балки предполагаются теплоизолирован-
теплоизолированными.
В этом случае одномерная краевая задача теплопроводности сво-
сводится к вычислению температурного поля в бесконечном слое тол-
толщиной 26, определяемого из обобщенного уравнения теплопровод-
теплопроводности
дЧ 1 Ы , -2 дЧ а п
-§^ = 1ГГ + ^ "а?" FЛ)
при краевых условиях
а*
о
? г
у=6
= 0,
^=—S
* = -|?- = 0 при т = 0, F.3)
194
Применяя к F.1) и F.2) преобразование Лапласа по перемен-
переменной т с учетом начальных условий F.3), соответственно находим
dH
dt
dy
dy
= 0,
F.4)
F.5)
42.
Рис. 24
Решение краевой задачи F.4) и F.5) имеет вид
(б.б)
Переходя в F.6) к оригиналам, получаем следующее выражение
температурного поля:
2i Z S-
^=0 m=\
х
X
F.7)
где
26
а ' б2
Найдем необходимое далее выражение температурного момента
б
F.8)
где /z — момент инерции поперечного сечения балки относительно
оси Oz.
7*
195
Применяя к выражению F.8) преобразование Лапласа по пере-
переменной т, находим
б
Mt = 2?з Е1г j tydy. F.9)
—б
Подставляя в F.9) вместо t его значение F.6), получаем
Переходя в F.10) к оригиналам, приходим к такому выражению
безразмерного температурного момента:
\ >g F (± 4
16а» \ 2 6 ' в ^ I 2 ' %
—г/1*—'.f.D-: 3; а«
'-1Г X
F.11)
где D (/) *= —-. 1 + ее2/ + e~a*f\ jfj (а, у, I) — вырожденная гипергео-
гипергеометрическая функция, причем 1F1[-k-t 3, а2/) = g^2f /i(-^r-).
\z у а/" \z/
Как следует из F.11),
т,@)=:0. F.12)
Прогиб балки а определяем из уравнения [4]
Введем следующие безразмерные величины:
26
196
с=у —; S = Ly -. коэффициент гибкости балки; с— ско-
скорость распространения продольной волны в балке; т, — характер-
характерное термическое время; %т— период собственных колебаний балки.
Поскольку Mt (т)—функция только времени, принимая во
внимание введенные обозначения, уравнение F.13) перепишем
таким образом:
BWlw + F = 0 F.14)
(дифференцирование по g и / обозначено соответственно штрихами
и точками).
Граничные и начальные условия зададим в виде
F@,/) = 0, F(l,/) = 0, V"@,ft = mt, V"(l,f) = mt; F.15)
V(g,O) = O, F(i,0) = 0. F.16)
Определим сначала квазистатический прогиб Vst, удовлетво-
удовлетворяющий уравнению
l4v = 0 F.17)
при следующих граничных условиях:
Ks, = 0 при g = 0, />0; Vst^O при 1= 1, />0;
d*V dW F.18)
-^- = m, при g = 0, />0; -^- = mt при I = 1
Решение задачи F.17) и F.18) имеет вид
Vst^^-m^i). F.19)
Из F.12) следует, что
К,&0) = 0. F.20)
Для определения Vst (?, оо) используем теорему о конечном
значении: _
V« d, оо) = lim Vst (g, /) = lim sFs/ (g, s) -
/¦ 0
!r
Для определения динамического прогиба V применим к F.14) и
F.15) преобразование Лапласа по переменной / при условии F.16).
В результате получим
-%- + fV = 0, F.22)
где
@, s) _ —
F.23)
197
Решение краевой задачи F.22) и F.23) имеет вид
V (?, s) = B2smt -j^-, F.24)
где
BV2 5/2 V /2 В /2
ib (s) = s ch -^= h cos —-— . .
YW \ /25 /25/
Для определения оригинала функции
применяем теорему разложения
^4 F-26)
где sfe — корни уравнения г|) (s) = 0:
1) s = 0 (нулевой корень);
2) Sn = =F п2д252/, Л = 1, 3, 5, ...
Так как
, kn . 1 у t г / \ kit . kit
ch — sinknl, г|) (sk) = -_Sin^-
то
=4, V iHL^icos^fi2/. F.27)
Для корня s = 0 имеем
lim _^i?L = S CS — l>
sh-o t|?'(s) 2Б2 '
Принимая во внимание F.27) и F.28), окончательно находим
a(f\ - ^(^1) 4 — V sinkn% cosk2K*B4
«—1,3,5
Перейдя в выражении Go (s) = sm/ к оригиналам, находим
k/OL
198
F.29)
где
Оригинал произведения двух изображений G (s) и Go (s) получа-
получаем по теореме о свертке
G-j-Zoo /
J I* _ /•
О—too О
Выполняя необходимые преобразования, находим окончательное
выражение прогиба
оо
^ (Si /) = ^ (s, /) i г— ^ уз LA/ (/) + /rA/ (/)], (o.dU)
/=1,3,5 7
где
Vst (I, f) имеет вид F.19).
Если в F.30) положить fr = 0, получим решение обобщенной ди-
динамической задачи термоупругости для балки, на поверхности у =
= + б которой имеет место классическое условие теплообмена
второго рода
dt
Поскольку cq = — , то а~2 = fr и, следовательно, выражение
прогиба F.30) запишется таким образом:
2 ^
/=1,3,5
199
sin
Л/а
xsin(/ — Ъ)п*?ВЧЬ F.31)
где
*st ~~ 9A ' a/ e 1^1 9 » 3» a<
64
Переходя в F.31) к пределу при fr -> 0, находим известное реше-
решение классической динамической задачи термоупругости [4]
о \ Уи
со
I "V sin
+ 2d '
n=l,3,5
/=1,3,5 I
Решение F.31) наиболее удобно для малых значений /. Получим
решение задачи в иной форме, пригодное для любых значений /.
Принимая во внимание разложение
4х
формулу F.10) переписываем в виде
т. __ 48ataqcqEJz ( 1
1П* "" %W2
8 А к
«=1,3,5
Учитывая эту формулу и переходя в F.24) от изображений к
оригиналам, для обобщенного динамического прогиба получаем
выражение
/=1,3,5 J ?=1,3,5
200
)
а/1
1
\
\
у
>
/
2
\
/
/
^\
ч
О 125 15 3.75 5 6,25 7,5 8,75 Ю
Рис. 25
B*f
Х\е
2М2
sin-
2М2
F.32)
где обобщенный квазистатический прогиб Vst имеет вид
V = ^ ^ ~" ^) л;4
Рассмотрим алюминиевую балку длиной 0,25 м. Рассчитаем про-
прогиб при В = 1 и I = 0,5.
На рис. 25 представлены графики обобщенного (кривая /) и
классического (кривая 2) квазистатического прогибов. Из рисунка
О 0,25 0,5 0,75
175 }
видно, что обобщенный квазистатический прогиб совершает затуха-
затухающие колебания около классического прогиба, не испытывающего
колебания.
На рис. 26 приведены графики обобщенного динамического
прогиба (кривая 7), подсчитанного по формуле F.32). Как видим,
201
обобщенный динамический прогиб совершает колебания около обоб-
обобщенного квазистатического прогиба (кривая 2). Соответствующие
классические результаты для динамического и квазистатического
прогибов изображены на этом рисунке кривыми 3 и 4.
При В = 1 и с = 0,5 отношение максимального значения обоб-
обобщенного динамического прогиба к максимальному значению обоб-
обобщенного квазистатического про-
прогиба составляет 1,13, в то вре-
время как в классическом случае
это отношение равно 1,75. От-
Отношение максимального значе-
значения обобщенного квазистатиче-
квазистатического прогиба к максимально-
максимальному значению классического про-
прогиба равно 2,75, в то же вре-
время отношение максимального
18
16
12
W
у
N
—.
0 0,5 1,0
{5 2,0 2,5
Рис. 27
з,о 15 в значения обобщенного динами-
динамического прогиба к максималь-
максимальному значению классического
динамического прогиба составляет 2,48.
Таким образом, учет тепловой инерции приводит к существен-
существенному увеличению максимального значения динамического и квази-
квазистатического прогибов. В случае обобщенной задачи термоупруго-
термоупругости при В = 1 влияние инерционных сил меньше, чем в случае
классической задачи.
На рис. 27 показано изменение отношения классического дина-
динамического и квазистатического максимальных прогибов в зависи-
зависимости от параметра В. При уменьшении значения В влияние инер-
инерционных сил становится все более значительным. При В = 0 это
влияние полностью предотвращает прогиб балки в любой конеч-
конечный период времени. С другой стороны, при В -> оо инерционные
силы исчезают, а решение становится квазистатическим.
2. Прямоугольная пластинка,
нагреваемая по боковой поверхности
потоком тепла
Рассмотрим свободно опертую по всем сторонам прямоугольную
пластинку \х\ < Ь, |у | < d, к поверхности z = + б которой в на-
начальный момент времени подводится поток тепла q, остающийся
в дальнейшем постоянным (рис. 28). Нижняя поверхность пластин-
пластинки z — —б и ее краевые поверхности х = ± Ьу у = ± d тепло-
теплоизолированные. Температурное поле зависит только от координаты
z и времени т, а поэтому определяется из уравнения теплопровод-
теплопроводности
3—г-к-+«*& <***
202
при краевых условиях
dt
dz
__ я
z=+6
dt
= ~ = 0 при т = 0.
= 0, F.34)
F.35)
Применяя к F.33) и F.34) при
условии F.35) преобразование Ла-
Лапласа по переменной т, получаем
-S— Т2~' = 0, F.36)
dz z=
2=—б
= 0, F.37)
j
0
Ыг
У
л 6/2 ^
X
0
2<
У
Рис. 28
где
Решение уравнения F.36) при условии F.37) имеет вид
sh 276
F.38)
Переходя в выражении F.38) по формуле обращения к ориги-
оригиналу, решение задачи теплопроводности находим в виде
, F.39)
где
б2
б2
Определяем необходимую в дальнейшем интегральную характе-
характеристику температуры [44]
б
М,= 3 Jztaz. F.40)
203
Применяя к F.40) преобразование Лапласа по т и принимая во
внимание F.38), после интегрирования находим
У I'
Переходя в F.41) от изображений к оригиналам, получаем
—Т-^-а"М-Т' 4; а
а
2k
a
+(f), F.42)
где D (f) = —1 + a2/ + e-W; XFX (a; 7; z) — вырожденная гипер-
гипергеометрическая функция.
Поскольку Mt есть только функция времени, для определения
прогиба пластинки w имеем уравнение [46]
DAAw +Qw = 0, F.43)
д2
¦f- -jY-, D — жесткость на изгиб.
В случае свободно опертой пластинки граничные условия имеют
д2 д2
где Q = 2бр; А = -^- + -j-^ , D — жесткость на изгиб.
вид
w = 0, -|!!L = _ (l+v)atMt
ЯНю F*44)
w = 0, -^- = — A + v) a,M, при у = ± d.
Представим прогиб w в виде суммы квазистатической составляю-
составляющей Wst и динамической составляющей wd:
w = Wst + wd9 F.45)
где Wst удовлетворяет уравнению
AAwst = 0 F.46)
204
при краевых условиях F.44), в которых следует заменить w
на Wst.
Решение задачи F.44) и F.46) имеет вид [44]
= -^ A + v) Mt
f*/2)+ 2 (i4;lchan0-
/г==1,3,5
anr/Bnshan*/)cosan* +
Здесь
п=1,3,5
rm q rrn
~W> P"~~2dT>
ch and ~\—?- sh and),
F.47)
Dn =
F.48)
Квазистатическая составляющая wst прогиба удовлетворяет гра-
граничным условиям F.44), динамическая составляющая — началь-
начальным условиям
= O при т = О
F.49)
и однородным граничным условиям
a;,, = 0, Awd = 0 при х = ±6, у = ±d. F.50)
Подставляя решение F.45) в уравнение F.43) и учитывая урав-
уравнение F.46), получаем
AAwd -f- w?wd = —»х2до$/, F.51)
где х2 = -g- *
Если динамическую составляющую прогиба представить выра-
выражением
оо со
^=2 2 ^лт(т) cos an^ cos р^, F.52)
n=l,3,5 m=l,3,5
то условия F.50) удовлетворяются. Здесь функция qmn (т) пока
не известная. Она удовлетворяет начальным условиям F.49).
205
Представим функцию wst в виде двойного тригонометрического
ряда
оо во
wst = 22 Кпт cos ап х cos pm #. F.53)
л=1,3,5 т=1,3,5
Подставляя выражение F.53) в уравнение [44]
Дш5/ = — A + v) atMt F.54)
и используя ряд
п-\-т
оо оо !
n=l,3,5 m=l,3,5
находим
n-\-m
«m = О + V) (~1}2 2 )У = *пД. F.55)
Подставляя F.52) и F.53) в F.51), получаем дифференциальное
уравнение относительно qnm (т)
qnm + ®nmqnm = — knmMty F.56)
где
(Опт = ^ х m . F.57)
Применяя к уравнению F.56) преобразование Лапласа по пере-
переменной т и учитывая условия
qnm = 0, <7пт = 0 при т = 0,
F.58)
АГ, = 0, Mt = -^г при т = ^
приходим к уравнению
Отсюда
(б-59)
Переходя в F.59) от изображения к оригиналам, используя при
этом теорему о свертке и формулы F.41) и F.58), приходим к соот-
соотношению
^ }
206
(Т) = -^Р- \-^~ Sill СОлтТ - -^ [Unm (т) + Trf/ttm (т)]} . F.60)
Здесь
I
a
\ сч ' fa
fr . / , Щ„„
_ q a sin arctg —^— — со т
Подставляя F.60) в F.52), окончательный результат для динами-
динамической части решения получаем в виде
? \Unm(T) + Trt/nm(T)]J COS а„Х COS P^.
F.61)
Положив в F.45), F.53) и F.61) fr = 0, находим решение обоб-
обобщенной динамической задачи термоупругости для прямоугольной
пластинки, на боковой поверхности z = + б которой имеет место
классическое условие теплообмена второго рода.
Поскольку с| = —, то а^2 = fr. Следовательно, выражения про-
прогиба пластинки F.45), F.53) и F.61) можно переписать в виде
S
n=l,3,5m=l,3,5
a2
l
2a| (-1Г 5_(/-4) f
x
" \ У. Г ~ Пш I
2k
a
+ / — s -. ; 4 cos anx cos pmy, conm = -sp- . F.62)
L ш«^ J J
207
Если в F.62) перейти к пределу при fr ->- 0, получим решение
классической динамической задачи термоупругости [44]
12Р
n=l,3,5m=l,3,5
96
sinconm/ —
/=1,3,5
2 1— —
F.63)
3. Круговая пластинка, нагреваемая
по боковой поверхности потоком тепла
Пусть к поверхности z = б свободно опертой круглой пластины
радиусом R (рис. 29) в начальный момент времени подводится теп-
тепловой поток q, который далее остается постоянным. Поверхности
пластины z = —- б и г = R
предполагаются теплоизоли-
теплоизолированными. Возникающее при
этом обобщенное температур-
температурное поле определим из урав-
нения теплопроводности
Рис. 29
при краевых условиях
дт2
F.64)
= 0, F.65)
= -g-г = 0 при т = О.
F.66)
Пользуясь преобразованием Лапласа по переменной т, находим
такое решение краевой задачи теплопроводности F.64) — F.66):
2
t
адд
F.67)
208
где
Найдем необходимую далее интегральную характеристику тем-
температуры [17]
Подставляя F.67) в F.68), получаем
а
— -^-ре~«Л(-|_: 3; a
^ F.69)
Поскольку М* есть только функция времени, то для определения
прогиба w имеем уравнение [171
ДД№ + k*W= 0 F.70)
при начальных и граничных условиях
W = 0, ^- = 0 при / = 0, F.71)
W = Oj 1^ + 7? + /П/= прир=1, F.72)
где
2б3? о о Я
2 _ Qa2^4 n __
~ 16Ш4 ' U ~
16D64 ' ~" 3A—v2) ' ~~ ^
1 д 1 д [ д \ г
209
Решение уравнения F.70) ищем в виде суммы квазистатического
прогиба Wst и динамической части прогиба Wd\
W = Wst + Wd. F.73)
Квазистатический прогиб Wst удовлетворяет уравнению
&AWst = 0 F.74)
при граничных условиях
+ ^^JL + mt = 0 прир = 1. F.75)
Решение краевой задачи F.74) и F.75) имеет вид
^=2(ГТ^A-р2)- FJ6)
Подставляя F.73) в уравнение F.70) и условия F.71), F.72),
учитывая уравнение F.74) и выражение F.76), для определения ди-
динамической части прогиба Wd получаем уравнение
AAWd ^
при начальных и граничных условиях
^ 0 W+'b
F.78)
T^W = 0 прир=ь FJ9)
Применяя к F.77) и F.79) преобразование Лапласа по переменной
т и учитывая начальные условия F.78) и равенства mt @) = 0,
mt @) = 6, получаем уравнение
(ДА + xV) Wd = - A~1P^)S2 Щ F.80)
и граничные условия
Поскольку каждое решение одного из двух уравнений
(А4-а2)^ = 0, (A-a2)^d = 0
будет решением однородного уравнения
(ДА — a4) IFd = 0, F.82)
то общее решение уравнения F.82) имеет вид
W{dl) = CXJO (ap) + C2Y0 (op) + C3/0 (ap) + C,K0 (ap), F.83)
где a2 = ws.
Частным решением уравнения F.80) является
210
Тогда общее решение уравнения F.80) имеет такой вид:
Wd = C±J0 (ар) + C2Y0 (ар) + С310 (ар) + С,К0 (ар) + /J^ m,.
F.84)
Поскольку в центре пластинки ее прогиб должен быть конечным,
то С2 = С± = 0. Постоянные Сг и С3 находим из условия F.79).
В результате общее решение F.84) перепишется таким образом:
w ^fV F-85)
Здесь
Ф (s) = /0(УШ) /0(j/fc?Р) - Jo(УЩ /0(уЧЙP), F.86)
•ф (s) = 2/xs/0 (]/1ks) Jq (Visit) —
— УШ A — v) [/0 (Ущ Jx (УШ) + Jo (УШ) 1г (Уш)]. F.87)
Найдем оригинал выражения ш,1 по формуле
F-88)
Поскольку корнями уравнения 4я (sm) = 0 являются числа [17]
а2
sm = ±i-2-, F.89)
а2
то при sm = i -~ Ф (sm) = — рт (р), W (sj == — Шт, а при sm =
а2
= — t-^- Ф (sw) = /?m (p), ?' (sm) = — ixdm. Следовательно, получим
. 2
,, F.90)
m=l
где am — корни уравнения
Рт (Р) = fo («J Уо (awP) - Л) («J /0 (amp), F.91)
dm = am t70 (am) Л (am) ~ J0 («*,) 7l («J] —
-(l + v)/0(am)/0(am). F.92)
Переходя в F.85) от изображения к оригиналу, используя при
этом теорему о свертке и формулы F.69), F.90), приходим к следую-
следующему выражению для динамической части прогиба:
f
a2
211
f a*
- Wst, F.93)
J)
где
Квазистатический прогиб Wst разлагаем в ряд по собственным
функциям рт (р):
1
Здесь а/п = J- | A — р2) р/7ш (р) dp; ^ — нормирующий множитель,
m 6
^ = AW/o(oO-r$V- F-95)
На основании формул
J - Р2) РРт (Р) Ф = 4" Т=Т Jo ^ 7« W
и F.95) выражение F.76) для Wst преобразуется к виду
4; 4=
a/ k
212
—QdfcjJ. F.96)
Подставляя выражение F.96) в F.93), получаем
оо
^ = -W2 -^I^if) + frL<i% F-97)
где
m —
2б
Если в F.96) и F.97) положить fr = О, получим решение обоб-
обобщенной динамической задачи термоупругости для круговой пластин-
пластинки, на боковой поверхности г = + б которой имеет место класси-
классическое условие теплообмена второго рода.
Поскольку Сд = —, то а~2 = />. Следовательно, полный прогиб
F.97) и F.96) круговой пластинки примет вид
IF = 12 ^ —^ if—. af2e~a2f1F1 l-g-; 3, а2/) —.
t а2
-5. 1а?_
213
2,1
W
1A
W
\
\
Переходя в F.98) к пределу при а -> оо,
получаем соответствующее решение [17]
классической динамической задачи термо-
термоупругости для круговой пластинки
= у Рт(9)
т=1,3,5 ат
--3- 2 «-
135
/ 2
Рис. 30
в х
«=1,3,5
2mB*f-a2mcosa2mB*f + a2me-"
"т
F.99)
Ha рис. 30 показано изменение отношения максимального дина-
динамического прогиба W к максимальному квазистатическому Wst в
зависимости от параметра Б. При В ->¦ 0 имеет место наибольший
динамический эффект, при котором w max = 2,24.
W st max
4. Полубесконечная пластинкаг
нагреваемая плоским источником тепла
Рассмотрим изотропную свободную от внешней нагрузки полу-
полубесконечную пластинку, которая подвергается нагреву источником
тепла, действующим на расстоянии d от ее края (рис. 31).
Мощность источника изменяется в начальный момент времени
на некоторую величину q, оставаясь в дальнейшем постоянной. Через
боковые поверхности z = ± б
пластинки осуществляется теп-
теплообмен с внешней средой нуле-
нулевой температуры по закону Нью-
Ньютона. В начальный момент вре-
времени т температура пластинки 71,
дТ
скорость нагрева —т—, перемеще-
ди
ние и скорость -j— равны нулю.
На бесконечности и по краю Рис- 31
пластинка предполагается тепло-
теплоизолированной.
В этом случае температура Т (х, т) в произвольной точке плас-
пластинки в момент времени т определяется из уравнения теплопровод-
теплопроводности C.28), имеющего в данном случае вид
дх*
а* дх
F.100)
214
при следующих краевых условиях:
дТ
дх
х=0
ОТ
дх
= о,
Т = ~ = 0 при т = О,
F.101)
F.102)
где х2 = -r-y; az — коэффициент теплоотдачи с поверхности z =
= ± S, а* = а (акНг + I)".
Применив к F.100) и F.101) при условиях F.102) преобразова-
преобразование Лапласа по т, получим
F.103)
dx*
dT
dx
х=0
= 0,
F.104)
где
Решение уравнения F.103) при условии F.104) имеет вид
Т = QA2+T-s) [е-(^I> + e-'^lv]. F.105)
Переходя в выражениях F.105) к оригиналам, решение обоб-
обобщенной задачи теплопроводности находим в виде
X
X о_|
0(8(т> l*~d\
F.106)
где
/t2 —x2, tI = t —
F.107)
T r
215
Если в уравнении F.100) положить хг = 0, получим температур-
температурное поле
S-
соответствующее случаю, когда не учитывается тепловая инерция
источника тепла.
Переходя в формуле F.106) к пределу при cq-*- oo, классиче-
классическое температурное поле в пластинке находим в виде
Т =~ [<ГК(*+V (х + d, 0, т) - е*{*+V (х + d, 0, т) +
+ ё~^х~%~(\х — d|, 0, т)--б?х|*~Л|)+(| х — d|, 0, т)], F.109)
где
if)* (л:, у, т) = erf с (—^=- ± ]/((/ + ах2) т ] .
Для определения обобщенных динамических температурных на-
напряжений, обусловленных в пластинке температурным полем
F.106), воспользуемся уравнениями [44]
** — cj д** = A + v) a^p -j-ъ- , F.110)
°УУ — v°xx — а^ 1 (ОЛИ)
при краевых условиях
охх = -^- = 0 при т = 0, F.112)
Охх |*-о = 0, а^ l^oo = 0, aw ^ = 0. F.113)
Применяя к уравнению F. ПО) .и первым двум условиям F.113)
преобразование Лапласа по переменной т с учетом условий F.112),
соответственно находим
*gL _ Jl Ъхх = A + v) а<Р527\ F.114)
а„ |*-о = 0, а„ !,.„. = 0. F.115)
Общее решение уравнения F.114) запишется таким образом:
Ае
XS XS
216
где А и В — постоянные интегрирования, которые определяем из
условий F.115) в виде
) Q
Подставляя F.117) в F.116), находим
Gxx = ,.r.,.; v)(l+xrs)Q I ix+d)y + e-lx-dlv _ 2e — Ci
F.118)
Переходя в F.118) от изображений к оригиналам, находим обоб-
обобщенные динамические температурные напряжения в пластинке
atc2{c2p A + v) Q \ с Ir^lj { (г x + d\\o ( \ .
W Q> \ 0
. -i-))s_WS_(T-i)]}, F.119)
где
Ф (т, тг) = A + тЛ) ^ - A + xrs4) <**\ Со = С - -~ - -^ •
Динамические температурные напряжения, вызываемые темпе-
температурным полем F.108), имеют такой вид:
217
X
где
$3,4 =
2a* A — M2)
. F.121)
Если в F.119) перейти к пределу при cQ ->- оо, получим класси-
классические динамические напряжения в пластинке
v) Q
(Л
V
d, s,, т)
| х - d |, s,( т) -
X а_ т —
F.122)
где
^ + x". F.123)
При а = 0, d = 0 из F.119), F.120) и F.122) соответственно сле-
следует
x
_!_ f-
ъ
IVM
Ч 2М )J •
F.124)
218
cl =
1— М
iVm
26e(l-v)
S_(/-?)jV«/0(-^i
•5
, F.125)
_ 2 erf (VT^l) S_ (/ - g)]},
F.126)
где
2M A - M) ' ^б "" a >
_ СЬ °xx
a ' * afiEQ '
Если пластинка нагревается движущимся с постоянной скорос-
скоростью v вдоль оси Ох плоским источником тепла постоянной мощ-
мощности q> для определения обобщенного температурного поля соглас-
согласно C.28) имеем уравнение теплопроводности
- Qlb (х _ vr). F.127)
дх2
Применив к F.127) интегральное преобразование Лапласа при
условиях F.101) и F.102), найдем такое обобщенное температурное
поле в пластинке
F.128)
где sx и s2 имеют вид F.107),
219
Без учета инерции теплового источника температурное поле
имеет вид
Г-
-С, 0К-*ф(т—
7
?,0)&-(т—*.) J
F.130)
Переходя в F.128) к пределу при с,-*- оо, получаем такое вы-
выражение температурного поля в пластинке:
т =
где
F.132)
Температурные напряжения, обусловленные температурными по-
полями F.128), F.130) и F.131), соответственно имеют вид
_i)_?(T_JL>tr)s_(x—?-№-
_-?.)_/„ (e (?,
X S_ (t - -j) - /0 (e (t, дс)) S_ (t -—)]}, F.133)
-J-i)-/,(e&,x))D(т-0S_ (j;-^-)] d?J , F.134)
220
0
-2
-ъ
л
-5
-7
^
Л
\
>
/
Г
1 >
/
1
**—"
0 12 3 4
0 12 3
Рис. 32
где sx и s2 имеют вид F.107); s3 и s4 — F.129): s5 и se — F.121),
6
— s3) . . . (s/ — s/el) (s/ — st+l). . . (s/ — s6) э
^— \[el Ci —e% Cl ]x
,S1 ~ S2) (^1 — У ) l
F.135)
c\V~a? .ff!L (-i- /<V (*, s?l т) —f ^V(x, s,, t)
fe У s + ax2 I l l
где sx и s2 имеют вид F.132), a s3, s4 — F.123),
221
На рис. 32 и 33 представлены графики изменения обобщенных
(кривые /) и классических (кривые 2) безразмерных динамических
температурных напряжений ах в зависимости от g при / = 1 и в за-
зависимости от f при g = 1 для теплоизолированной алюминиевой
пластинки. Кривые 3 соответствуют случаю, когда в решении за-
задачи пренебрегается тепловая инерция источников тепла. Из графиков
следует, что максимальное значение обобщенного решения значи-
значительно меньше классического, причем в классическом случае при
/ = 1 максимальное значение напряжения достигается на меньшем
расстоянии от края полубесконечной пластинки по сравнению с
обобщенным, а при ? = 1 максимальное значение напряжения в
классическом случае почти в два раза меньше, чем в обобщенном.
Учет тепловой инерции источников тепла приводит к значительному
уменьшению напряжений — при / = 1 приблизительно в 9 раз, а
при ? = 1 в 5,4 раза.
5. Бесконечная пластинка,
нагреваемая линейным источником тепла
Рассмотрим свободную внешней нагрузки нагреваемую ли-
линейным источником тепла бесконечную пластинку, обладающую
цилиндрической анизотропией. Мощность источника тепла изменя-
изменяется в начальный момент времени на некоторую величину -?&-, оста-
оставаясь в дальнейшем постоянной. Считаем, что температура, скорость
дт ди
нагрева -^-, перемещение и скорость -^— в начальный момент
равны нулю, а на бесконечности температура и ее производная по г
исчезают.
Согласно C.26) для определения нестационарного поля в дан-
данной пластинке имеем уравнение теплопроводности
^ ^^ + T,a(T)b F.137)
где
Решая уравнение F.137) при указанных краевых условиях ме-
методом интегральных преобразований Ханкеля по г и Лапласа по т,
получаем искомое температурное поле в пластинке
FJ38)
222
где
в = -J-, w (р, /) = BМ2Г1 [A - Ь2М2) (/2 - М2/?2)]т, р =й? .
В случае осесимметричной задачи термоупругости для определе-
определения вызываемых этим температурным полем динамических темпе-
температурных напряжений воспользуемся формулами C.89), в которых
и удовлетворит уравнению C.90), т. е.
д2и . 1 да k2 1 д2и ?, ч .
где
г / ч * дТ . о Т
~ , aut = at — k2a^ k2 = -f- .
Применяя к уравнению F.139) преобразование Лапласа по т,
получаем для определения изображения радиального перемещения
такое уравнение:
где
/ (г, s) = 2Qi\~K0 (П) — aJy/Ci (гу) , Г= 1 + V-
Решение уравнения F.140) с учетом обращения в нуль в начале
координат перемещения и на бесконечности температурных напряже-
напряжений для k > 1 примет вид
gf F.141)
где
г г
Ms=[rfKk(rg)dr, Ns=W]lk(rg)dr.
k
0
Подставляя теперь F.141) в подвергнутые преобразованию Лап-
Лапласа соотношения C.89) для определения температурных напряже-
напряжений в случае обобщенного плоского термонапряженного состояния,
находим
- АД* (rg)] Ns +
+ lglk+i(rg) + krlk{rg)]Ms-a{f}, F.142)
афф = E^ {[vrygKk+x (rg) — kkrKk (rg)} Nb +
+ Ivrvgh+i (rg) + kk,Ik (rg)] Ms - a[k2T),
где
223
Перейдем в F.142) от изображений к оригиналам, умножив для
этого обе части уравнений на s~~\ Воспользовавшись справочными
данными [7] и теоремой о свертке, придем к таким интегральным
уравнениям Вольтерра первого рода для определения обобщенных
динамических температурных напряжений в пластинке:
MA 00-0*4 - (А- 1I/ 2 J J J [свдро(Е, т|-0-
I б о о
J J J
о
- ?<Pi (?, ч-01У%-ф2d,
- ?р -iL. ф2 (|, *,
Р / П ,
*>. n n L
p f 1\
ш
со О О
О .10 0
01 [v«p-^-ф« F, ^+1> 0фзA. ft. / —Л) —
+ 2j Jjia^od, л-о-Еф^, 4-9]k,-JU,d.ft.0x
J j J [ w
CO 0 0
X Фз(/>. ft+ 1,/ — Л) + **р-gg" Ф1 (8. *,?)Ф8С". ft,/ — 'Л)]
X dgdridg — A — a*) ф0 (р, /) ,
X
где
/ 1
Фо (р, /) = 5_ (/ - Л1,) J (f2 - МV2) 2 ехр (- -^ ch [ш (р, /)] df,
Мр
1
Ф2
224
(P, ft, /) - (/2 - P2J ch [ft Arch (-I-)] S» Q - p),
2M2 A _ &2M2)" exp (- -Jp) sh [ш (p, /)] S_ (/ - M/7),
= Л Ф, kp =
Полученные интегральные уравнения для конкретного значения
k решаются численно.
Если порядок модифицированных функций Бесселя, входящих в F.143),
равен целому числу с половиной, существует возможность перехода к ориги-
оригиналам при помощи справочных данных [7] и теоремы о свертке для преобразова-
преобразования Лапласа.
В результате выражение для динамических температурных напряжений мож-
можно получить в явном виде.
о
Для k = — имеем
^-\[F(p, Ь) + F(P.
oJ P 0
Д-
[(р,Ъ) + Р (p, b)] df + -?-\[F (p, U - F (p,
о "о
j
j
°ф - J м
p. Ы1 - -j-IF(p, ы -,
- * (p. Ml ~ XI[f (Pl Sl) ~ F (p' Ы] df + ~p~ 1[F (Pt ll) + F {p> 1г)] df ~
p 1
8 5-2365 225
X [F(p, U-F (p,
R r
+ F(p, ?3)] <*/ + -?- Г
Pi
[F (р, ?2) + F(р,
R г
-?- \[F(р,
- F (р, ?3 - Л)] dx\
где
- 1) Фо (р, f),
^ (P. D = а*Фо (Р. Э — Ф1 (Р. 0.
Я =™ C - V). «1 = -у Cvr(p -
F.144)
Для изотропной пластинки (?г = ?ф= ?¦ а/ = а! = щ, v,.^ = гф/. = v) изоб-
изображение радиального перемещения удовлетворяет трансформированному диффе-
дифференциальному уравнению C.104), т. е.
где f=7-^-K0(ry).
Решение уравнения F.145) имеет вид
и —
F.146)
Подставив F.146) в преобразованные соотношения C.103) для случая обоб*
щенного плоского термонапряженного состояния, получим
atEQ A + %rs)
1 —v
°W = -
1 —v
F.147)
Переходя в F.147) от изображений к оригиналам, находим такие обобщен-
обобщенные динамические температурные напряжения в изотропной пластинке:
ог = S_ (f - р) [Fj. (p, f) + Ft [p, /)] - S_ {f - Mp) [F3 (p, f)-Ft (p, /)],
% = S_(f-p)[-F1(p, f) + vF2(p, fl]-S_(f-Mp)[F,{p, f) +
+ F4(p, /) + F,(p, /)], F.148)
где
(l-v)a«
Ф.
226
+ exp [nx-U f) jexp (" 2(i-^) t) ^ - Л
[А
У^^
+
Х
(P. /) =
i — nS1
P2)
exp
X
ch
VT^
-t(
i
Г /
J 6XP Г
2fl-v) f
F*(P. /)= „2 , >L 0-
X
X
w sh^(p, /)] + ex/_ I \ sh\w(p, I)] Ay
Mp
M eXp Tw
227
fexpf I
J \ 2М2
Afp
-сШ2
•+
X
В случае очень большой скорости распространения тепла {Cq ->oo) решение
задачи теплопроводности и термоупругости находим из F.138) и F.148) при
М = О, Я* = А,*. Приходим к выражению температурного поля
228
и напряжениям вида F.148), в которых
0». n-
F.151)
Здесь
=d +«)exp
-n)exp
6. Круговая пластинка, нагреваемая по краю
Рассмотрим изотропную круговую пластинку радиусом R, тол-
толщиной 26, через поверхности z = ± 8 которой осуществляется тепло-
теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В начальный момент
времени температура поверхности пластинки г = R изменяется на
некоторую величину /а, оставаясь в дальнейшем постоянной. Тем-
Температура среды, омывающей поверхности z = ± б, предполага-
предполагается равной нулю. Источники тепла в пластинке отсутствуют. Тем-
Температура пластинки и скорость ее нагрева в начальный момент вре-
времени равны нулю.
Для определения возникающего в пластинке нестационарного
обобщенного плоского температурного поля согласно C.28) имеем
уравнение теплопроводности
1 1 дТ к
1 дТ 1
1 дЧ
Г2 ат2
F.152)
229
и краевые условия
Т |Л=* = t0S+ (т), Т |г=0 Ф с»,, F.153)
Г=-^-=0 при т = 0. F.154)
Применяя к F.152) и F.153) преобразование Лапласа по време-
времени т с учетом начальных условий F.154), получаем
F.155)
' f\r=0^0. F.156)
Решение краевой задачи F.155) и F.156) имеет вид
г-~ "М^Г' FЛ57)
где /0 (х) — функция Бесселя первого рода от мнимого аргумента
нулевого порядка.
Ограничимся малыми значениями времени. В этом случае величи-
величины гу и Ry велики и можно воспользоваться асимптотическим пред-
представлением модифицированных функций Бесселя первого рода
/0(х)«/х(х)ж у
Искомое обобщенное температурное поле для малых значений
времени имеет вид
2M
ЛЦР-р)
F.158)
Для определения обобщенных динамических температурных на-
напряжений, возникающих в пластинке, воспользуемся формулами
C.102) для обобщенного плоского термонапряженного состояния и
уравнением C.104) для определения радиального перемещения.
Будем считать, что
и= —- = 0 при т = 0. F.159)
Применяя к C.104) преобразование Лапласа по т при начальных
условиях F.159), получаем
&Ч , 1 дп /1 . s2\- /f , ч df /С1Ш
+ ^ + ^^О+^^ FЛ6О>
230
Решение уравнения F.160) с учетом F.157) и краевого условия
гг = 0 при г = R имеет вид
-_ (l+
v)atta Г h(ry) , v /ifrg) 1 №1б])
где
Подставляя F.161) в трансформированные формулы C.102),
получаем такие изображения динамических температурных напря-
напряжений в пластинке:
- ?Ф (Y, g) /о (rg) + -^ Ф (V, g) h (rg)] , F.162)
- vg9 (V, g) /0 (rg) - -Ц^ Ф (?, g)
Воспользовавшись асимптотическим представлением функций
Бесселя нулевого и первого порядка, вместо F.162) имеем
а - atEta -i/""R~
T] F.163)
{
- "^ Y^(^r)V - vgcp (Y, ff) ^<R-r)g - -Ц^- Ф (Y,
Переходя в F.163) к оригиналам, получаем выражения обоб-
обобщенных динамических температурных напряжений
°г = У,~ {[Л^о (Р, Г> + АА (р, /) - A2F2 (р, /) _ A3F3 (p, f) +
+ /еовоФ0 (р, /) - /^в^ (р, /) - /с262ф2 (р, /) +
+ 53Ф3 (Р, /)] S_ [/-(/>- /7)] - [СД0 (р, /) + С^ (р, Г) -
-С,% (р, /)] S-lf-M(P-p)]}, F.164)
231
а* = У -у Uv4>fo (P. ft + ^A1F1 (p, /) + v/l2F2 (р, ft +
+ A3F3 (р, /) — ВДФ0 (р, f) - едфх (р, f) +
+ ВДФ2 (р, f) - В3Ф3 (Р, ft] S- If - (Р-Р)] +
+ [СД0 (р, /) - vC^ (p, ft + vC2Y2 (p, /) -
- A - v) ?3 (р,/)] S_ [/- М (Р - р)],
справедливые для малых значений времени и при условии, что г
>0. Здесь
Ао = 4 A — vJ {4 A — v) [A — v) A — М*) — р] — Ь*Р2}-\
й [2A ±d) + (i-M2N2]P
± d) — 2A — v)(l — М2)]A — М2) '
1—v
4A— у)[A— у)М2 + Р] +
: М {4 A — у) [A — у) A — М2) —Р)~1
2A ± d) + A — Л12) Ь2
2Л1[РA
рМ
,2A —
• Л*2)]
1 —у
рМ
2A —
A — у) [р A ±d)-2(l-v)(l-At2)]
р(\ ±d)(l~M*)
-^-p)]}, Fa(p,
= exp
1— ¦
A
F.165)
232
2) (P-p)—
0
X J exp
+
f
Фа (ft Л- exp (- Tjjjpr) J exp
2 A —
Х
X (/ —(
2A—<
2d(l — d)(l —
X
~,.a (p, f) - exp (- -Jp) {/, [ш (Р - p, /)] +
+ Yi hit» (^ — P» Л» и* (-Р — P> /)] +
+ Y3 [Ч& (^ - P. /). ю (^ — P, /I + Yi [ЛГ2 (P - P, f),
w(P-p, /)] + y2 [C2 (^ -pJ)w(P- p, /)]},
?3 (P, Л = exp (- -Jjj.) {/0 [w (P - p, /)] +
1[^+(^-/'. /). w(P-p, f)] + yM(P-P,
--P, /I + Vx [C (P - p, /), a» (P - />, /)] +
где
ШР — Р, D =
+ мУЦ'
— A!
2Л12A— Л12)
— M2)],
) (l±6Af),
V/ (*> 1/):— функция Ломмеля двух переменных мнимого аргумента.
233
Если скорость распространения тепла Cq значительно превышает скорость
распространения упругой волны расширения в пластинке Ctt соответствующее
решение динамической задачи термоупругости имеет вид F.164), в котором
вместо F.165) будет
Ао = 4 A — vJ [4 A — v) A — v — Р) — Ь2Р2Г1,
2[РA ±п)— A — v)Jn '
Ь2-
я 4Aу)A
0 4A—v)(l—v—P)—W '
Ь2-
1—у
2рп '
2 [Я A ± л) — A — v)J л ' 3
-у г 2A ±п) + 62
2п(\±п)
М^Л-(Р + vP), ^а -<»-* ±
- 2 (, -
Fo 0», ft = ехр {-ЦП- [/ - (Р - р)]} , FI>2 (р, /) =ехр {-Ц^-1/ -
- (Р - /»)]} . F, {p. f) = ехр [1^. (Р ~ р)] J {A + д) ехр [i±5 X
X {f -1) ] - О - п) ехр [±=±. (/ _ 0 j j ex
С
4/ J/FT '
2п1Г+п) ехр|-~(/-
F.166)
234
,/)=4-ехр
п)+**]
erfc [ТРТ" + ~Т /12 0 ±п) + 6а1/ ] + ехр [-^1?- X
X VШШТ&] erfc [-^ ~
Решение динамической задачи термоупругости при г = 0 для
рассматриваемой пластинки получим следующим образом. Перехо-
Переходя в F.162) к пределу при г->0, находим
— v)
где
Ф G, g) - g igWo (Rg) - A - v) h (Rg)rl.
Воспользовавшись асимптотическим представлением для моди-
модифицированной функции Бесселя /v (г) (v = 0,1) и переходя в F.167)
к оригиналам, обобщенные динамические температурные напряже-
напряжения для г = 0 находим в виде
\A*F М + A,F (kXi f) +
f
p
(\-v)Bl\F(kl, /-0^(D^-(l-
P P
P) \ nVTP I (l-v)B-Ma)M»-2
^Л- 2Г@,25) I MM1-M2)
1
^ f v
, 4ЛР Х
Мр 4 J
235
f f
X J Ф@d?- A + v) Et J Ф (T]) X2 {f- rt)dr\ +
F.168)
Мр
где Л/, В; (/ = 0, 1, 2) имеют вид F.165),
F (k, /) = (nf) 4 + V~k ехр (kf) erf
Ф(/7, /) = exp(— -^) | С 4/__1(^)/(
= ехр (- -Jp.) /0 (jx/), X, (f) =
2A—M2) f
l
В случае же М = 0 решение задачи при /• = 0 имеет вид
. (l _ V) Bo f
х ч* (о# Uу
- ф
\
ф*(О х
где Л у, 5у имеют вид F.166)^
236
-0.5
-to
—¦
У
0 0,5 1 1,5 h
Рис. 34
0
-05
О 0.5 1
Рис. 35
Ha рис. 34, 35 представлены графики изменения обобщенных
динамических температурных напряжений а, и аф (сплошные ли-
линии) в зависимости от h — Р — р при фиксированном значении
/ = 1, а на рис. 36, 37 — в зависимости от / при фиксированном
0
U5
N
ч
ч
\
--—
N
\
0 0,5 1 1,5 f
Рис. 36
/.5
Рис. 37
вначении Л = 1 в тонкой теплоизолированной ф = 0) круговой алю-
алюминиевой пластинке радиусом Р = 10. Штриховой линией изобра-
изображены напряжения, соответствующие бесконечно большой скорости
распространения тепла.
С целью выяснения влияния величины радиуса круговой плас-
пластинки на динамические температурные напряжения в табл. 1 приве-
Табл ица 1
р
5
10
60
100
со
<*<
Р
h
0
о о о о о
0,5415896
0,065321
0,038847
0,019796
0,017534
0,015296
0,5415897
—0,314282
—0,329719
—0,340607
—0.341887
—0,343150
1 | 0
—0,464058
—0,437518
—0,419280
—0,417157
—0,415066
—0,596498
—0,629321
—0,654026
—0,657023
—0,660000
0,5415896
—0,616757
-0,589276
—0,569456
—0,567099
-0,561359
0,5415897
—0,142224
—0,128529
—0,118913
—0,117784
—0,116671
1
—0,157780
-0,148756
—0,142555
—0,141834
-0,141122
дены значения безразмерных радиальных и кольцевых температур-
температурных напряжений, вычисленных при фиксированном значении / и
некоторых значениях h. Из таблицы видно, что максимальные
237
значения радиальных и кольцевых напряжений, достигаемые прий =*
= 1, с ростом радиуса пластинки соответственно уменьшаются и
увеличиваются.
7. Бесконечная пластинка с круговым отверстием,
нагреваемая по краю
Определим нестационарное обобщенное температурное поле и
вызываемые им динамические температурные напряжения на основе
уравнений термоупругости в свободной от внешней нагрузки беско-
бесконечной пластинке толщиной 26 с круговым отверстием радиуса /?,
температура поверхности г = R которой изменяется в начальный
момент времени на некоторую величину ta> оставаясь в дальнейшем
постоянной. Теплообмен через боковые поверхности пластинки
2=±8 с внешней средой осуществляется по закону Ньютона.
Температура пластинки на бесконечности предполагается ограни-
ограниченной. Температура среды, омывающей боковые поверхности z =
= ±6, равна нулю. В начальный момент времени температура
пластинки и скорость нагрева равны нулю. Пластинка обладает ци-
цилиндрической анизотропией в отношении ее тепловых и упругих
свойств.
Для определения обобщенного температурного поля в пластин-
пластинке в соответствии с C.26) имеем уравнение теплопроводности
и краевые условия
т=о = О, F.171)
где аг = —.
Воспользовавшись преобразованием Лапласа по времени т,
находим изображение температуры
s K0(Ry) '
F 172)
Асимптотические представления функций Макдональда нуле-
нулевого и первого порядка имеют вид
/Со (г) = Кх (г)» У -? е~\ F.173)
Учитывая F.173) и переходя в F.172) к оригиналу для малых
значений времени, получаем обобщенное температурное поле в пла-
238
стинке
Ш{1^ (Р -P,f)\ + Yi to (Р -P,f),w(P- P, /)] +
, /). w(p-P, /)]+Yi !?(/>-Л/), ю(Р-Л/)] +
^, Л. w(p-P, f)]}S-lf-M(p-P)], F.174)
где
~ 2М2 v* —у-гм-
В случае осесимметричной задачи термоупругости для определе-
определения обобщенных динамических температурных напряжений име-
имеем формулы C.89), в которых радиальное перемещение и удовлетво-
удовлетворяет уравнению C.90), т. е.
д2и . 1 ди ио и2 1 д2и , / ч /Л <~г-,
TF + T "ir-^V^-Tf-^-^^^^ FЛ75>
где
\|) (г, т) = aJ-^r + (ос/ — ^2 а^) — .
Будем считать, что перемещения и скорости в начальный момент
времени равны нулю.
Применяя к уравнению F.175) преобразование Лапласа по т,
для определения изображения радиального перемещения получаем
уравнение
где
r« S) = 1
sK0 (/?y)
\J)(r, s) =
о
Решение уравнения F.176) представим в виде
г
и = Alk (rg) + BKk (rg) + Ik (rg) \ ^Kh gg) di -
F.177)
23»
Определяя постоянные интегрирования А и В при условии, что
пластинка свободна от внешней нагрузки, т. е.
orr \r=R =* 0, lim ои = 0, / = г, Ф, F.178)
приходим к таким выражениям изображений динамических темпе-
температурных напряжений:
= Е, {[- Рг (г, s) + A^| R, (г, s)] J
+ Р1 (г, s)
т
j
Ч- ^ (г, s)
- /?i (г, s) J ДО4
^-|- R2 (г, s)] j
Г
- Яг (г, в) J ДО
где
Pi (r, s) = - V* (^) + fift-1 fa).
P2 (r, s) = *V* (^) + ^ф?4-1 (^),
^11''. s) = — ^r/Cft (rg) — g/Cft-i (rg),
/?2 (Г, S) = kkrKk (rg) — Vrq> g/Cft_l (rg),
ь v
Умножив обе части уравнения F.179) на s-kK0 (ry) Rx (/?, s)9
перейдем по формуле обращения от изображений к оригиналам.
В результате находим, что динамические температурные напряжения
удовлетворяют таким интегральным уравнениям Вольтерра перво-
первого рода:
S_(f-MP) J o,(Pt
во f
I
Ш
6 6 о
X [—
240
. 4-01 X
, yt7, ft, 0 ф3 (/?, ft, / — I) ф4 (^, ft, I — Г))
+ kP(p2(P, p, ft, Q<p3(p,k—l,f — Юф4(x. k,t—n\) —
, P, ft, D ф3 (P, k,f — l) ф4 (x, ft, \ - rj) —
, p, а, оф.(Р, ft— l, /—9ф«(*. а, 6—ч) +
,а,5 —л)—
ft-1, /-8<p4(*, A, g-
01 X
--|-Ф2(а Л k-1,
+
J J J J [ф1 (x, ц - 0 - а*Фо (х, л -
р, ft, С) ф3 (Р. А, / — |) ф4 (*, А, Е—л)
, /7, ft, ?)фз(/>. ft— 1,/ — 0Ф.(*, А, | —
х
+ К ~щ Ф2 (P, Р> k — 1, 0 Фз (Р. А, / — I) ф4 (Jf, А, | — ч) +
- т))] d&2t|dSdx + J J J f [ф1 (л - 0 - а*Фо (х, Л - 01 X •
р 6 О О
j^— *рйрф2 (/7, *, ft, О фз (х, k,f—l) ф4 (Р, ft, ?¦ — л) +
F,180)
X
~щ(р, х, ft- 1,
г, ft, /-5)ф4(Л ft, |-n)
X
-gjjr Фг (A *i Ь — 1, 0 Фз (*, А, / —
+ J Фо (Л 0 [АрФ. (Р, А, /
о
— »])J
x
5_<
— MP) J
241
^ (ф1 (^» ч — 0 — а*Фо (¦*» л — 01 '
P П П П l
.. x
P000
X (P, p, ft, 0 Фз(Р, ft, / —0ф4(*. A, 6— Л) +
+ УлрАрфз (P, p, ft, 0фз(Р, A—1,/ —0ф4(^» А,?—'
+ ««р-^ф2(Р, P, A— 1, 0фз(Р, A,/—.0 X
X ф4 (a:, A, l — Л) + vrv -^- ф2 (P, /?, ft — 1, 0 X
X Фз (p, A — 1, / — 0 ф4 (^, ft, 5 — Л) —
J Ь j — >-l ГП 1У ?> > VII —4-
y K> I fc/ Y4 \л» ^» Ъ T|/ i
?, Л ft, 0ф,(Л*-1,/ —Эф4(дс,*,Е—ч)
•4гф2(р, Л ft— !,Рфз(Л ft, / — l)X
X Ф4(х, ft, I — tj) — vr<p-^2(p, Л ft— 1,0 X
x Ф3(Л ft- 1, / -|)Ф4(*, ft, g-
1Ш [<Pi(*, Ч-О-а
p 0 0 0
X
X [%?рф2 (Я, jt7, k, Q фз (/7, ft, / — 0 ф4 (^, ft, H — Г))
, /?, ft, 0фз(р, ft— 1,/ — ?)<P4(*, *• 5 —
+ ftftp -щ ф2 (P, P, ft — 1, 0 фз (/?, ft, / — 0 ф4 (*, ft, I —
— П) + Vrф -^ ф 2 (P • P. ft ~ 1, О Ф3 (P э ft — 1, / — I) X
x ф4(дс, ft,g~rj) dtrfndgdx- I' J.J j [ф^дс, л- 0-
J p 6 0 0
— а*фа (x, T) — ?)] [ftftpftpф2 (p, x, ft, 0 фз (x, ft, / — I) x
X Ф4(Л ft,g —П) —v^ftp-gj^2(A *> ft^-UO X
X Ф3(^, ft, /— 0Ф4(/>, ft, g — 4) + ftftp-^-ф2 (А ^ ft —
— 1,0 Фа (^. *. / —0 Ф4(Р. *» l^1!) —Vлф-^2¦ф2(A x, ft —
~l,0 Ф8(*. ^/ — 0ф4(Р. *. ^~
242
- J Фо (Л
о
,k,f-t)~ v^q), (Р,k - 1, / - 01 X
(«* - 1) J Фо (Р, О [^Ф5 (Р, *, / - 0
Здесь
ftp =
*,=¦
k— У„
ехр (--Jjt) ch [а; (Р, /)] S_ (/ - ЛГЯ),
(/)=Д
fo ® к/ - о3 - р2}k~
, (P, p, k,p\= l(f + pf - P*\ г ch ft Arch
S_ (/ + p - P),
*• л -
Для изотропной пластинки (?г = ?ф = Е, а* = а'«
= v^ == v) вместо F.179) будет
Oq> '•
82
¦ F-181)
Переход к оригиналам приводит к следующим интегральным
уравнениям Вольтерра первого рода для определения динамических
243
температурных напряжений:
S_ (f - МР) | о, {f - С) & - М2Р*)~ Техр (- -JL-) ch [w (Р, Ш
^- f Ф, </-0 ехр (--^sh [«>(/>, 01 A-
Мр
- J ехр - -JU ch
*> +¦
L р
Р J
F-182)
Т ехр (- JUch [ш (Р, ?)] dg=.
« S_ (/ - Мр) jv J Фх (/ - О ехр (- -gjU (S2 - MV2)~T X
I Мр
X ch [w'ip, OJ d? - 2°7V) J Ф, (/ - Q A - 6W) 2 X
P Mp
X expf-^-jshla-Cp, 014- 1 (^-МуГ^ехр^.^) х
1 (^-
I
x&lw<ptQ]dQ-S-(f-p)\S0Wzrt
p
где
2A — Af>)
d) + P(lM) [ 1-d
2d(l —d)(l—M») p[ 2A — M2)
Ф»(/)дО+4)ехр| ^,1^ /|-(l-d)exp
244
Таким образом, решение задачи термоупругости как для изо-
изотропной, так и анизотропной пластинок сведено к решению уравне-
уравнений Вольтерра первого рода, которые можно решать с помощью
известных числовых методов.
8. Бесконечный цилиндрический стержень,
нагреваемый источниками тепла
Рассмотрим свободный от внешней нагрузки бесконечный ци-
цилиндрический стержень, нагреваемый источниками тепла, плот-
плотность которых изменяется по закону
wt = q cos co#S_j_ (т). F.183)
В начальный момент времени температура стержня и его скорость
нагревания равны нулю. На бесконечности стержень предполага-
предполагается теплоизолированным. В этом случае для определения темпера-
температурного поля в стержне согласно C.56) имеем уравнение теплопро-
теплопроводности
-ТТ-*7—*!!?+ ¦%¦?— Qcoe^+W F.184)
и краевые условия
Т\ш+ооФ°о, F.185)
Т = Т = 0 при т = 0, F.186)
где
Решая краевую задачу F.184) — F.186) с помощью преобразо-
преобразования Лапласа по переменной т, получаем такое температурное по-
поле в стержне:
т
Т =-j-Qcoscoye T*
F.187)
где
р = с2ду2 -. (т*Г2, y2 = >? + <о2-
В классическом случае
Т = Л. cos coy (I - е"ау\ F.188)
Для определения напряженно-деформированного состояния,
обусловленного в стержне температурным полем F.187), восполь-
245
зуемся соотношением C.107) и уравнением C.108). Краевые усло-
условия примем в виде
lima =0, F.189)
v==v = 0 при т = 0. F.190)
Применив к C.107), C.108), F.189) преобразование Лапласа
пот с учетом F.190) и F.187), после решения полученной краевой
задачи находим
= — ataqE cos coy
¦EfJ
F.191)
Переходя в F.191) от изображений к оригиналам, имеем
л/га i/(mb2
м2 у -—
— 2feJ + fe4 DШ2 — m2)
4kM2—m2
4М2
F.192)
где
— та
В классическом случае (М = 0) вместо F.192) будет
cos $п
F.193)
где
246
При t] = b = 0, p = 1 выражения F.192) и F.193) принимают
соответственно вид
sin
1 ,
/4M2— 1
-cosl^L/)], F.194)
F.195)
Решая соответствующую исходную квазистатическую задачу
термоупругости, нетрудно убедиться в том, что для этого случая
<т =0.
По формулам F.192) и F.193) при р = 1, ц = 0, М = 1,7372,
Ь = 0 проведены расчеты безразмерных динамических температур-
температурных напряжений (рис. 38). На рис. 38 кривая / описывает
изменение обобщенных динамических температурных напряжений,
кривая 2 — классических температурных напряжений в стержне.
Динамическое решение колеблется около квазистатического (пря-
(прямая 3), причем обобщенное решение колеблется со значительно
большей амплитудой, чем классическое.
Для / < 8,5 период колебаний обобщенного решения несколько
превышает период классического; для / > 8,5 периоды колебаний
обобщенного и классического решений совпадают.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
В ТЕРМОУПРУГИХ СРЕДАХ
Гармонические волны в термоупругих изотропных средах на
основе уравнений классической взаимосвязанной динамической тео-
теории термоупругости исследуются В. Новацким [43]. В работе [531
для изучения гармонических плоских волн в пространстве и полу-
полупространстве, сферических и цилиндрических волн в пространстве
и гармонических волн в слое используется обобщенная взаимо-
взаимосвязанная динамическая теория термоупругости. Плоские гармо-
гармонические волны в пространстве определяются также в работе
И, М. Штера [64].
Ведхевен [81] рассматривает гармонические волны в изотроп-
изотропном длинном цилиндре, на свободной от внешней нагрузки поверх-
поверхности которого имеет место классическое условие теплообмена
третьего рода. ,
Настоящая глава содержит исследования, представленные в ра-
работах Ф. В. Семерака [53] и Ю. К. Энгельбрехта [66].
1. Плоские волны в пространстве
и полупространстве
Рассмотрим распространение плоских гармонических волн в изо-
изотропной термоупругой среде. Пусть в неограниченном простран-
пространстве в направлении оси Ох движется плоская^волна, изменяющаяся
во времени т по гармоническому закону. Эта волна может быть вы-
вызвана механическим воздействием (например, массовыми силами,
равномерно распределенными на плоскости, перпендикулярной
оси Ох) или тепловым воздействием (плоскими тепловыми источни-
источниками). Тогда в данный момент времени на произвольной плоскости,
перпендикулярной оси Ох, перемещения и температура постоянны.
Следовательно, ut v, w, t являются функциями только переменной
х и времени т. В этом случае система уравнений термоупругости
A.40), A.41) принимает вид
G.1)
d4
дЧ
дх*
d4
W
248
1 d4 __
1 dt
1 y*D
cl
1
я
«•
dt
дЧ _
d*w
j d4
дхдт
1 d*m
где
G.2)
Решение системы уравнений термоупругости G.1) ищем в виде
и = Re [и* (#, со) ехр (— /сот)],
о = Re [v* (х, со) ехр (— /сот)],
до = Re [до* (л;, со) ехр (— /сот)],
/ = Re [/* (л:, со) ехр (— /сот)], i
Подставляя G.2) в G.1), получаем следующую систему обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд перемещений
и температуры:
д2и* 2 * dt* дЧ* . , , 2 w* . ди*
*¦• ¦f|4t ___ fyi ______ I I/* [ a« I r*»5 —— I/7Y1/7 ———
G.3)
= О,
где
СО
c2
дх2
V® =
0
100
Путем исключения из первых двух уравнений G.3) температуры
приходим к системе трех волновых уравнений
д2и*
д2и*
= 0,
д2и*
+(&*•-о,
G.4)
где 8 = ]
Первое из этих уравнений описывает продольную волну, а два
следующих — поперечные волны.
Решения двух первых уравнений системы G.3) запишутся в сле-
следующем виде:
и = и\ ехр (— /сот + ihxx) + uL ехр (— /сот — ihxx) +
\2
> — h2
exP (-
(- /сот -
t = /4. ехр (— /сот
+ t°- ехр (—/сот — //
G.5)
+ i
где
[и°+ ехр (- /сот + ад - tL ехр (- /сот - ад],
и = -\- {[al + (9сэ + у%) A + е) ± V[a% + (д» +
x
X A + е)]2 —
нения
— h2 [а2ш
^(о + Y©)} — корни характеристического урав-
урав+ y2o) A + е)] + а2ш (9« + Тш) = 0. G.6)
249
Формулы G.5) будем называть выражениями для продольных
термоупругих волн, распространяющихся при постоянной частоте
в направлениях х и — х.
Учитывая соотношение
/=1. 2,
G.7)
приводим G.5) к следующему виду:
и = и°+ ехр |— /со [т ji-j — ^J -f ы! exp ^— «о
-to (т
= 4 exp [— tco (t — -J-) —
•Vo)
•-Яа-Га
X
X
—(со
ГДе °/ = -Ril
тухания.
^ exp |— /со (t + -^-j +
фазовая скорость; qf = Im (A/) — коэффициент за-
Используя соотношения
Ах (8) |е=о = а©, А2 (8) |е==0 = 7» (g"i "
^ (е) |8=0 = cl9 qx (г) |в==0 = О,
v2 (e) |8=о = Yogi, ?2 (8) |s=o = Ycog>
G.9)
из G.8) можно получить выражения перемещений и температуры
для среды, в которой а, = 0.
Исследуем корни уравнения G.6), приведя его сначала к виду
?4 — Р [X2 + X (MX + i) (I + в)] + X3 (MX + 0 = 0, G.10)
где
X =
со*
250
Корни уравнения G.10) имеют вид
= ± -4" УТ {[х + (МЧ + i) A + е) -
+ [X + (МЧ + 0 A + е) — К2Х (ф
}, GЛ
0 A + е) КГ T
- [Х+ (МЧ + i) A + г)-УП (Ф
где
— М2Х)]2 .
Разложив G.11) по степеням X" и X, найдем приближенное
выражение корней %г и ?2 Для граничных случаев X ^ 1 и Х<^1
соответственно.
Для высоких частот со имеем
з.-1 / 1 Yll
\tfi\\ GЛ2)
= X ]/-|^ {[l + I, (n?, + 2^LX) C2n3Hl%)
l%)~1
1
iLt [DпЯ2Х)-'
г-
где
Wi.2 = m1±n, Lu = 2 A 4- е) п ± k, mx = I + М2 (I + е),
k = 2 [е — 1 4- М2 A 4- еJ|, я = [1 — 2М2 (I —е) + М4 A + еJ]~ .
Фазовые скорости и коэффициенты затухания для больших
значений частот будут
. t= 1, 2.G.13)
251
Для низких частот со выражения корней уравнения G.10) запи-
запишутся в виде
+
1024 A + еN
+¦
128A+е)*
Л
1024
0 4 11
0(Х*I +
[8jV2
. - l\l\
1024 A + e)e N\
O(X»)
G.14)
где
L* = 4 A + eJn2-bk\ N1.2 = 2(l+e)m1±k.
Следовательно, при X <^ 1 фазовые скорости и коэффициенты
затухания имеют вид
Таблица 2 r> * о ,
В табл. 2 приведены значения фа-
фазовых скоростей и коэффициентов за-
затухания в предельном случае для
бесконечно больших значений часто-
частоты колебаний в случае классической
и обобщенной задач термоупругости
для среды из меди.
На рис. 39, 40 приведены графи-
графики зависимости величины uu/Ci, а на
рис. 41, 42 — величин q-JqT^R^R? от
параметра X для среды из меди. Графики построены на основе соот-
соотношения G.11) с использованием следующих выражений:
19 СО*
Параметр
vv м/сек
v2, м/сек
qv см-1
<Ь см
м
0
оо
4,360-103
оо
3,290-103
1,29
3,314-Ю3
4,445-103
1,490-Юб
5,825-Ю3
252
Из графиков видно, что фазовая скорость vx < cq (для меди сд/сг^
0,775, (vjcj х=оо = 0,761, (vjcj х=оо = 1,0195, аи2> сх).
Для сравнения в табл. 3 при некоторых % приведены величины
2/?i» яЫйТя в случае классической и обобщенной динамической
1,020
1,016
1t012
woe
№
\
\tfcO
' \
4-6 6
Рис. 39
т
/
/
\
№0
—¦
IP
Г 5 SS
О 2 4 6 6 Юх
Рис. 40
задач термоупругости. Как видно, учет конечной скорости распро-
распространения тепла приводит к существенным изменениям фазовых ско-
скоростей и коэффициентов затухания.
Предположим, что решение первых двух уравнений системы
G.3) имеет вид и* = и0 exp (ihx), t* = fi exp (ihx) с постоянным h.
w
0,8
0,6
Q4
Q2
0
№1,29
2 4 6 в Юх
Рис. 41
1,29
а юх
Рис. 42
Тогда в уравнении G.13) С будет постоянной. Перепишем уравне-
уравнение G.10) в виде
+ Д3 — [1 + М2 A + е)] ^2Х2 — i? A + s) X + С4 = 0. G.16)
Корни этого уравнения будут
Х/=*Ф/-% /-1, 2, 3, 4, G.17)
253
Таблица 3
•
0,1
0,3
0,5
0,7
1,0
3,0
10,0
vxfct
0,4432
0,7669
0,9900
0,1719
1,4024
2,4413
4,4681
М = 1,29
0,4080
0,6030
0,6670
0,7113
0,7347
0,7575
0,7600
м= о
1,0083
1,0077
1,0068
10057
1,0043
1,0008
1,0001
Л* =1,29
1,0084
1,0089
1,0097
1,0107
1,0123
1,0178
1,0195
Яг/Я~
0
0
0
0
0
0
0
М =» 1,29
0,5522
0,8151
0,9133
0,9569
0,9842
1,0009
1,0001
•
м = о
0,0095
0,0798
0,1954
0,3244
0,4987
0,9033
0,9921
М = 1,29
0,0055
0,0473
0,1221
0,2161
0,3639
0,8448
0,9840
где
<Р1,2 = - -4~ ±
3,4 = — ±
4М
1 ±Ф2(^), Ьа= 1
4М2
± ф2 (-
о~4
6)
-2
Я = 8g _ М-2 {1 _ 4? [1 + М2 A + е)]},
g — действительный корень уравнения
8MV + 4М2С2 [1 + М2 A + 8)] ?2 + 2g2(l +е — 4М2С2) «Г +
+ С4 {1 - 4?2 [1 + М2 A + 8)] + A + 8)} = 0.
Решение двух первых уравнений системы G.4) имеет вид
и = exp (ihx) [At exp (— i%J) + Л2 ехр (— ilj) f
+ Л3 exp (- i%3[) + A, exp (- ЭД, G.18)
/ = exp (ih x) [Вг exp (— i%J) + B2 exp (— i%2f) +
+ 63 exp (— i%3f) + B, exp (- i%M G.19)
где / = 4г-
Используя обозначения Аг = и+, А2 = w_,
и зависимости между ними по формулам [43]
~ ^-ь ^4 — ^~
= t
mh
254
выражения G.18) и G.19) представляем в виде
и = м+ехр 1—\bJ + i (?? — q>J)\ + и
+ ' ,?* ^ '- exp I- W + i (S - 94/)], G.20)
t = 4 exp [- %f + i (й - фз/)] + ^°_ exp [- V + ' (Й - Ф401 +
"-exp l~
где I = if.
Из формул G.20) и G.21) видно, что амплитуда упругой тепловой
волны пропорциональна величине ехр (—///*), где /* == if — вре-
время затухания.
Рассмотрим полупространство х > 0, в котором волна распро-
распространяется в направлении оси Ох, Температура поверхности полу-
полупространства изменяется по гармоническому закону
/@, т) = 90 ехр (—йот) G.22)
и поверхность х = 0 свободна от внешней нагрузки:
охх @, т) = 0. G.23)
В этом случае на основании G.9) имеем
и = и? ехр (— /сот + ihxx) + i —2m h 2 t° exp (— /сот + Ицх),
/ = t° exp (— йвт + ihtx) + G.24)
. ^.(Ь + тб цо exp (_ t-OT + t-M,
Учитывая, что
a^ = (Я- + 2fx) —? yt,
и подставляя G.24) в G.22) и G.23), получаем систему
mhl
ihjifi j—^j- P = m80,
. . ,2. G.25)
255
О 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 f
Рис. 43
О 2.5 5 7,5 Ю 115 Щ 17,5 f
Рис. 44
Определив из G.25) и0 и to> находим выражения для перемещения
и температуры
и =
ехР (—
X
X exp (— |©т + *МI —
J
hi —
х 2 9o exP (— to* + *V)> G.26)
a
t = tQ [exp (— /сот + й2^) — exp (— кот + ihxx)]
+ 60 exp (— im + ihxx)y
где
eft
[A? - (fe + V^>) A + e)].
В случае несвязанной задачи (е = 0, hx = aQ, h2 =
имеем
и = —g—^ Г" fl К^со + у© ехР (— to* + &
— to© exp (— /сот +• h
t = 0O exp (— кот + ix
Определив и и /, по формулам
+ Y«)
+ Y© )•
находим выражения безразмерных напряжений
a. = (Й - ЙГ1 [?f - X (Af»x + i) A + e)]
X —
X exp (- tX/ + ^D JL_ exp (- a/ +
X b2
X'—'
exp (_
G.27)
256
= аг = &t - йГ Ki - X (Af «X +0A+ e)] X
X
x2
r-
X exp (— Щ
exp (- ilf + iU) -
где
a,- =
]y2 + ?? (I* — l)
— 2 ' 2—L exP (- i%f + f?i9.
Таблица 4
о,-,-
гBц +
X* =
0,5
1
2
5
10
20
50
100
a
M = 0
0,18
0,66
0,93
1,15
1,35
1,13
1,05
1,02
*
X
M =
= 1,29
0,17
0,35
0,73
1,62
2,17
2,02
1,92
1,87
V
0,27
0,52
0,79
1,07
1,02
1,02
1,01
0,99
*
м =
= 1,29
0,32
0,33
0,38
0,64
0,83
0,80
0,77
0,75
На рис. 43, 44 приведены графи-
графики изменения напряжений во време-
времени при | = 1 и У. = 1 для связанной
задачи термоупругости. Сплошной
линией показаны кривые напряжений
в случае обобщенной динамической
задачи {М = 1, 29), а штрихо-
штриховой — в случае классической (М =0).
С целью выяснения влияния частоты на изменение амплитуды
напряжений в табл. 4 приведены значения амплитуды напряжений
в полуограниченном теле из меди для различных значений частоты
в случаях бесконечно большой и конечной скорости распростране-
распространения тепла. При изменении плоской гармонической волны в полу-
полупространстве учет скорости распространения тепла приводит к
значительному увеличению амплитуды напряжений од, аг и умень-
уменьшению амплитуды напряжений ох при высоких частотах.
2. Сферические волны в пространстве
Исследуем распространение сферических волн в неограниченной
термоупругой среде. В этом случае радиальное перемещение и зави-
зависит только от радиуса г = ]/л:2 + у2 + z2 и времени т. Продольные
сферические волны возникают под влиянием ряда возмущений (на-
(например, точечных сосредоточенных тепловых источников), а также
в неограниченной среде со сферической полостью, на поверхности
которой задано воздействие в виде равномерного нагрева, равномер-
равномерной нагрузки или равномерной деформации.
Для исследования сферических волн согласно A.45) имеем си-
систему уравнений термоупругости
At
dt
— cL
-2 дЧ
-2 д2Ф
G.28)
= mt%
l/2 9 5-2365
257
Термоупругий потенциал и радиальное перемещение связаны
между собой зависимостью
Пусть Ф (г, т) и t (г, т) изменяются во времени по гармоническому
закону, т. е.
ф (г, т) = Re [ехр (- /сот) Ф* (г, со)],
/ (г, t) = Re [ехр (— /сот) f* (r, со)].
Подставляя G.30) в G.28), получаем систему уравнений
(Д + <7о + у%) ** + ац (</«> + 7«) ДФ* = 0, 3
(Д + а%) Ф* — mt* = 0.
Исключая из этой системы функцию Ф* (/*), находим
(Д + /И) (Д + hi) (Ф*, /*) = 0, G.32)
где
А? + ^2 = (<7а> + То) A + е) + a2w , Л?Л| = а2ю (^ + у%).
Частные интегралы характеристического уравнения G.32) име-
имеют вид
-j- ехр (tV). ~г ехр №*г)> "Г ехр ^~ f/jl^' "V ехр (~ йа^" ^7*33^
Рассмотрим только два первых из них, которые описывают вол-
волну, расходящуюся от начала координат г = 0 в бесконечность.
Решение уравнений G.32) представим в виде
Ф* = -i- [Ах ехр (iV) + 4 ехр {ih2r)]9
г G.34)
<* = -7" [Bl exp {ihir) + Вз ехр (Й'/)Ь
Введя обозначения Лх = Ф°, В2 == /°, а также выражая Вх
через Ф° и Л2 через /°, при использовании уравнений системы G.31)
представим функции Фи(в виде
ф (/-, т) = -|- Ф° ехр (— кот + ihxr) +
2 т 2 <° ехр (— /сот + t'ftar)
(г, т) = -j- \t° ехр (— шх + 1Нгг) + G.35)
«^ (y 7Ю) ф0 ехр .шт
258
Введя фазовую скорость и коэффициент затухания, получаем
Ф (>*, т) = —- |ф° ехр 1^— /со (т —-] — qxrj +
G.36)
г
Как видим, упругая и тепловая волны G.36) содержат по два чле-
члена: квазиупругий и квазитепловой. Обе волны затухают и подверга-
подвергаются дисперсии.
Для несвязанной динамической задачи будет
/*! (е) |8=0 = a©, h2 (е) |8==0 = Vq® +
Ф (г, т) = -L [фо ехр [- ко (т - -^-
—z— v* ехр — ио т —
¦ v
•0)
r—
G.37)
t \ ( г
t (/\ t) = —— exp — /со т ^
r I \ cq
По известной функции Ф определяем перемещения, деформации
и напряжения. В сферической системе координат в силу симмет-
симметрии задачи имеем
дФ 4jit дФ , д2Ф
дг г дг W (?38)
/ ^2ф 1 (^ф \ E2ф
стфф = аее = - 2^ (^^ + _ __) + р __ .
Рассмотрим распространение сферических волн в неограничен-
неограниченной термоупругой среде со сферической полостью радиусом R. На
границе г = R температура изменяется по гармоническому закону,
поверхность тела свободна от внешней нагрузки, т. е.
/ (#, т) = 60 ехр (— /ют), orr (R, т) == 0. G.39)
Используя формулы G.35) и G.39), получаем соотношения
ехр (ЗД + ^V yf2 Ф« ехр (ihxR)
1\
G.40)
т
— n2t° ехр (ih2R) = 0,
из которых определяются постоянные t° и Ф°.
V29* 259
0,50
0,25
О
-0,25
'0,50
-0,75
\ч
/
-A,
II
0,50
0,25
0
'0,25
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 f
Рис. 45
-«70
A
I
1
I
л
V
I/
j
I
1
t
О 2,5 5 7,5 Ю 12,5 15 17,5 f
Рис. 46
Здесь /2i,2 = 4[x A — ih\t2 R) — p/?2co2.
Потенциал термоупругого перемещения Ф и температура
принимают вид
ftiR
ф = - -75Г 0о (Л1 ехР lih2 iT — R)\ ~ п2 ехр [ihx (r — R)]} х
где
X ехр (— /сот),
' = "Т^Г 6° {Л1 (Л2 ~ а«) ехР №г (г — ^I —
— я2 (А? — ой) ехр [ihi (г — R)]} ехр (— (сот),
G.41)
// 2 2\ 2 2
В случае несвязанной динамической задачи термоупругости (е =*
: 0, ht = аш, ft2 = К go) + у1>) имеем
Ф
—^2- (mi exP fro (/• — Л) to — g2)] —
— т2 ехр [/а® (г — /?)]} ехр (— fex),
где
— t© (т
! = 4{л A — a^R) — рсо2/?2,
G.42)
т2 = 4|л [1 — y^R (ig± — g2)] — poo2/?2.
Подставляя выражение термоупругого потенциала перемещений
G.47) в G.44), получаем выражения безразмерных температурных
напряжений
* ехр [it,
D * *
\l2 exp [i?2 {р — Р)] —
— n\l\ exp [i^ (р — />)]} ехр (— Д/),
260
~ ^)] — п1к\ ехр [1^(р — Р)]} ехр (— i%f)t
Р ' *'* - ' - G,43)
где
Р =
Of =
П\,2 = 4 A
*u = 4 (it
/Г.2= 2 A -
Таблица 5
ClR
. — ±2.
с, г
i = г, ф, е,
- 1) + р*Х«р»,
p* =
V-
t
0,5
1
2
5
10
20
50
100
0,48
1,26
2,67
4,17
3,72
3,62
3,56
3,55
= 1,29
0,52
1,25
2,71
6,16
8,62
9,19
9,68
9,66
*
°ф"
м = о
0,48
0,90
2,28
3,98
3,75
3,59
3,53
3,53
*
м =
= 1,29
0,37
0,96
1,97
4,53
6,48
7,27
7,41
7,40
На рис. 45, 46 приведены графики зависимости напряжений ап
стф и ае от времени при фиксированных значениях безразмерных
радиусов Р = 10, р = 11 и безразмерной частоты X = 0,5. Сплош-
Сплошной линией изображены графики напряжений, соответствующие
обобщенной модели (М = 1,29), штриховой — классической (М = 0).
В табл. 5 приведены значения амплитуды напряжений в не-
неограниченном теле из меди в случае классической и обобщенной дина-
динамической задач термоупругости при некоторых значениях частоты.
Как видно из таблицы, учет конечной скорости распространения теп-
тепла приводит к значительному увеличению значений амплитуды
напряжений при высоких частотах со.
3. Цилиндрические волны в пространстве
Рассмотрим цилиндрические волны для случая, когда перемеще-
перемещение и температура зависят только от переменных гит. Эти волны
могут возникать под действием линейного источника или же в не-
неограниченной среде с цилиндрической полостью, на поверхности ко-
которой заданы равномерно распределенное давление, тепловой поток
или деформация.
Термоупругий потенциал перемещения согласно волновому
уравнению A.46) удовлетворяет уравнению
1 д 1 а2
— тц1
А —
дх
дт2
АФ = 0,
а температура согласно A.45) — уравнению
1 д
Д —¦
4
Ф = mtt
Решение уравнения G.44) будем искать в виде
ф (г, т) = Re [Ф* (г, со) ехр (— кот)].
G.44)
G.45)
G.46)
!/2 + 9 5-2365
261
Подставляя G.46) в G.44), получаем
{Л2 + Д [а* + A + е) (<7о + ?*)] + <
Запишем G.47) в виде
где
hi -f hi =
(А + hi) (A + hi) Ф* = О,
«) 0
Ф* = 0. G.47)
G.48)
Вспомогательная система имеет вид
(А + hi) ф; = 0, (A + hi) ф
где
ф* = ф* -f- Ф2 •
Решениями этой системы являются функции
h,r) + В,Н{о2) (V),
=о,
G.49)
G.50)
/=1,2,
где #о1} (z), Яо2) (г) — функции Ханкеля нулевого порядка.
Так как для больших значений аргумента функции ф)!) =
= Re [Яо!) (hj-r) ехр (— /сот)] описывают волну, расходящуюся от
г = 0, а ф}2)= Re [#о2) (V) ехР (— и°тI ~ волну, сходящуюся из
бесконечности к г = 0, решение уравнения G.44) запишем в видэ
ф = [Л^о1* (h±r) + А2Но1) (h2r)] ехр (— /сот). G.51)
Выражение для температуры получаем по формуле G.45):
¦i *¦ r/i/2 t 2\ г г( 1) / / \ i л / ^
X
X ехр (— кот).
G.52)
В G.51) и G.52) функцию Ханкеля можно записать в виде ли-
линейных комбинаций функций Бесселя первого и второго рода дей-
действительного аргумента Hq} (г) = Jo (г) + iY0 (г).
После определения постоянных Ах и Л2 по известным Ф, t най-
найдем перемещения и напряжения
дФ
иг =
д2Ф
G.53)
г дг
262
Рассмотрим бесконечное пространство с цилиндрической по-
полостью радиуса г = R. Пусть на краевой поверхности тела задана
температура, изменяющаяся во времени по гармоническому закону
t(R% т) = воехр(-йот), G.54)
причем поверхность г = R свободна от внешней нагрузки, т. е.
оГг (R, т) = 0. Напряжение на краю агг (/?, т) = a* (R) ехр (— шт)
связано с Ф* соотношением
ar (R) = _ [-9L *?_ +р^Ф*Ц • G.55)
Из краевых условий G.55) получаем
Ах = тя2Э0,/х, Л2 = — mnfijn,
где
/г/ = г^Я^ (A,tf) - ^роз2//^ (А,/?), /=1,2,
и = (а^ - А?) п.Я^ (Ах/?) - (с4 - h\) n.H^ (h2R),
Н{\] (z) — функция Ханкеля первого порядка.
Для термоупругого потенциала и температуры имеем выражения
Ф = -^ 90 [n2H(ol) (hxr) - пхН[{) (А/)] ехр (- /сот),
1 = -^" ео f«2 (а^> - Л?) М!) (Ахг) - пх (<4 - А?) М1} (АагI X G.56)
X ехр (— /сот).
В случае несвязанной динамической задачи (в = 0, Ах = аш,
^2 = ^ ?со + ЛД) термоупругий потенциал перемещения и темпера-
температура принимают вид
Ф - -?L 90 [m2M1} (attr) - m^^ (r |/^ + ?o)J exp(- /сот), G.57)
if = 60 [М" {г VЯ* +Y«)/M1) (/? г <?» + ?»)] ехр (- ш),
где
И1 = (?« + yl — аа) т-Н'^ (R
!1' (о»/?) - pRtf
263
Температурные напряжения согласно G.53) в безразмерных ве-
величинах имеют следующий вид:
Q< =! k
? № } ! (- Ш),
l«SflJ} (CiP) - mMI} (CP)]} exp (- foot),
G.58)
где
my =* 2tf + tfp*> /=1,2,
щ -
4. Волны в слое
Пусть в неограниченном термоупругом слое толщиной 21Х в по-
положительном направлении оси Оу движется плоская гармоническая
во времени волна. С учетом конечной скорости распространения
тепла движение волны описывается согласно A.45) следующими
уравнениями:
— -4 т- -тгг) t — 4 ~4- Аф = О,
а дх С2 дх2 I ' дх '
я I
1 д2 \ / 1 да \ . G-59)
где
Положив
' (^, У, т) = ** (^, У) exp (tcor),
Ф (х, у, т) = Ф* (х, у) ехр (кот), [ G.60)
•ф (Jf, У, т)-= «ф* (х, у) ехр (кот),
систему G.59) приведем к следующему виду:
[Д - (?Q - у%)] t* + ац fa - yl) АФ* = 0, 61)
(Д + ей) Ф* - т/* = 0, (Д + р^)я|)* = О.
264
В системе G.61) исключим функцию /* с первых двух уравнений,
а решение полученной системы возьмем в виде
Ф* (*, У) = <Pi (*) ехр (— iay),
ф* (х, */) = ф2 (х) ехр (— toy).
В результате запишем систему дифференциальных уравнений
ф11у — ф! [2а2 + A + е) ((/о — Тш) — 4] +
+ <Pi [a4 + a2 A + е) (q«> - у%) - aw (a2 — q» + yl)] = 0, G.63)
Ф2 — (a2 — p*) ф2 = О.
Решая эти уравнения и подставляя результат в G.62), а потом
в G.60), находим функции Ф и г|э в виде
ф = [Лх ch Яхл: + ^2 ch Кх + Аз sh %xx +
+ Л4 sh Х2х] ехр [/ (сот - ауI, G 64)
¦ф = (Л5 ch kx + Л6 sh kx) ехр [i (сот — ay)].
Учитывая выражения для функции Ф, имеем решение второго
уравнения G.61)
t = -^- [Л (Л? + a? —a2) ch Кхх + А% (Х22 — а% — a2) ch^x +
+ Л3 (Я? + D - a2) sh Хгх + А, (А| + о& — а2) х ? 6g
X sh Я2л:] ехр [i (сот — ау)]
где k = к а2 — pj^ ^и^з — корни характеристического уравнения
^ _ [2сс2 + A + е) (^ - Т1) - о&] ^2 + [а4 +
+ а2 A + е) ((/со - Т2Й) - afo (а2 - 9о) + yl)] = 0. G.66)
При 8 = 0 имеем А,? @) == а2 + ^ — V©. ^ @) = а2 — а%.
Поскольку 8 <^ 1, определим корни Х1ик2в виде линейных функций
от е:
%\ = а2 + ?ш — V© + евх, Яз - а2 — а| + е82. G.67)
Подставляя G.67) в G.66) и пренебрегая членами порядка е2,
имеем
[( 2 \2 -i *
а2 + q«> — Yo + 8 2^! У^_ 2 2 '
^coi-^co Vco J G6g)
Из четырех корней XL рассмотрим лишь те два корня, которые
удовлетворяют условию Re (A,i,2) > 0.
265
Неизвестной величиной является коэффициент а, содержащий
фазовую скорость волны. Для его определения воспользуемся сле-
следующими краевыми условиями: поверхности слоя свободны от
напряжений* и на них поддерживается постоянная температура,
т. е.
ахх = 0, оху = 0, t == 0 для х = ± 1Х. G.69)
Амплитуды напряжений определяются формулами
<4 = — 2|а (-^г- + ~г Ро) ф* + 2(А
оии = —,
а2 1
а2Ф* , / а2 а^ х '
г дхду
дФ ,
дх ду ду дх
)
Рассмотрим два типа колебаний: симметричные и антисимметрич-
антисимметричные относительно срединной плоскости слоя. В первом случае в вы-
выражениях G.64) и G.65) А3> ^4 и &ь> а во втором случае величины Аи
А2 и Л6 должны быть равными нулю.
Используя краевые условия G.69), соотношения G.64), G.65)
и G.70), приходим к системе уравнений, из которой приравнива-
приравниванием определителей к нулю получим следующие трансцендентные
уравнения:
при симметричной форме колебаний
D/га2)-1 Bа2 — $%) A% — %%) = (th Ыг)~х [(а? + Я? —
— а2) Я2 th Vi — (°& + ^ — а2) Хг th yj, G.71)
при антисимметричной форме колебаний
- Х|) = (cth
(с4 +
Введем безразмерные величины
— а2) К cth I4i — (а® + ^2 — а2) Хг cth VJ. G.72)
/ \ \2
v ^ у G.73)
Л ^ (Фо ~ Р.) (Фо + Pi - Р.)"' .
где с0 = ]^асо; с = со/а — фазовая скорость лишь для действитель-
действительного значения а. Для комплексного значения а = а^ — /а* экспо-
экспоненциальный член в формулах G.64) и G.65) имеет вид
ехр [i (сот — ау)] = ехр [/ (сот — ацу)\ ехр (— а*^). G.74)
Фазовая скорость равна с = со/Re (а); ^ = Im (а) — член, под-
подверженный затуханию. Используя обозначения G.73), приводим
266
уравнение G.71) к виду
i_
A _ р) 2 A _ 0,5рJ [ф0 + р, - р, - eh & + р, - ip0)]
= [th а1г A - C)TrJ {[/р0 + рх _ р, - eft (р, - fpe)j х
X A — РРХ + eApPiJ th al1 A — PPX + eAppJ 2 —
— eAp! [1 + P (/p0 — P,) + eftp (/p0 —
— p,)] 2 th a/, A — ppx + eAppj 2}. G.75)
Рассмотрим случай, когда alx ^> 1. Гиперболический тангенс
в этом случае в G.75) можно положить равным единице. Пренебре-
Пренебрегая членами порядка s2, получаем из G.75) приближенное урав-
уравнение
__ 1
j_
= №о + Pi - Р, - e/i фд - ф0)] A - ррх + eAppj 2 -
- 8/zpx [1 + р (ф0 - p,)j G.76)
или после простых преобразований
— 1 = ей | -~—q , PQ° х
/d-P)(l-pPi) I Pi'-Pf + 'Po
Г A — 0,5pJ jl . _!
X [1 - О,5Р (Pj + р, -ф0) - VO-pPJU+PWe-p,)]] }• G.77)
Для 8 = 0 правая часть уравнения G.77) равна нулю; отсюда полу-
получаем
Л (Р) = A - 0.5pf _l=o. G.78)
/A - р) A - РР)
Величину ^, найденную из G.78), будем обозначать через
ся
¦ где с/? — скорость распространения поверхностных волн
Релея.
Величину р, соответствующую 8 Ф 0, получим следующим пу-
путем. Обозначим через ehF2 (P) правую часть уравнения G.77), а
через б прирост величины р.
Запишем уравнение G.76) в виде
Fi Фя + 6) = ehF2 (Рд + б). G.79)
Поскольку величина б мала по сравнению ср^ (б С р#), обе
части уравнения можно разложить в ряд в окрестности значения
267
Р == Ря. Сохраняя два члена разложения, получаем
Fi Фи) + <
Учитывая G.78), имеем
G.80)
и, следовательно,
б = - {г$г (ф0 - р,) [р0 + / фг - р,)]2 [1 - 0,5р« фг + Р, - Фо) -
- VH + Р* («Ро - Р.)] A - Ш ]}/{№i - Р/ +Pol A -PiPiO X
X [О,брх (I — PiPjO + 0,5 A - p*)-1 - О -О,5Р«Г!]}. G.81)
Если скорость распространения тепла cq значительно превыша-
превышает скорость поперечной волны с2» то выражение для б получим из
G.81), положив р<г = 0.
Определяемое формулой G.81) значение б зависит от безразмер-
безразмерных величин е, р0, Рх, р# и р^. Величины Р и Р/? зависят только от
механических свойств среды, а 8, р0 и р^ — от тепловых и механи-
механических свойств.
Рассмотрим зависимость б от частоты вынужденных колебаний
со, которая входит в безразмерный параметр р0 (ро = ——).
Разделяя действительную и мнимую части значения 6, опреде-
определяем зависимость их от о для алюминиевого слоя (рис. 47). Штрихо-
Штриховой линией изображены зависимости Re б и Im б от со при cQ -> оо.
При малых значениях со (со -* 0) в случае конечной и бесконечно
большой скорости распространения тепла Re б стремится к одному
и тому же пределу 0,00021 и разница между ними незначительна.
Мнимая же часть параметра б стремится к нулю.
Влияние конечной скорости распространения тепла проявляет-
проявляется при со > Ю10 секТ1- Если в случае классической задачи для
со ->• оо Re б и Im б стремятся к нулю, то в случае обобщенной зада-
задачи Re б стремится к пределу — 0,00151, a Im б — к значению
—0,00317.
Переходя к непосредственному определению фазовой скорости с,
для малых значений б можно положить
б = (ся + АсJ сЧ2 — с\сТ2 ~ 2спкссТ2. G.82)
Отсюда получаем относительное приращение скорости
CR 2\SR
Поскольку [43]
-5- = с« (' + -жг) • s =б' + /б"> G-84)
268
Red-Hp-.ImS-lO3
г
1.5
I
Q.5
О
-05
Л
Red
Imd
\
A
V
&.t
W Ю* Ю6шЮ
Рис. 47
\
rrmw--.
4
to to2
Рис. 48
функцию Ф (х, у, т) можно представить в виде
X cR, -
exp (-
G.85)
Как видим, множитель Re б = б' увеличивает фазовую скорость
в A + 8/2Ря) раз, а величина Im б = б" есть множитель коэффи-
коэффициента затухания. Величина d обратна коэффициенту затухания,
d =
= 2
G.86)
¦Ч—6
для алюминия, например, d = 3,74 • 10 Ро
На рис. 48 для обобщенной задачи сплошными кривыми пока-
показана зависимость относительного приращения скорости —— и коэф-
CR
фициента d от частоты со для алюминиевого слоя. Штриховая линия
соответствует случаю, когда скорость распространения тепла пред-
предполагается бесконечно большой. Влияние конечной скорости рас-
распространения тепла на относительное приращение фазовой скорости
и коэффициент, обратный затуханию, значительное, начиная со
значения частоты со = 109 -f- 1010 сек~\ и с ростом со увеличивается.
5. Моды распространения одномерных волн
в пространстве
Система уравнений обобщенной взаимосвязанной динамической
задачи термоупругости в декартовой системе координат допускает
частные решения — моды, которые зависят от времени и одной из
269
координат через экспоненциальную функцию и не зависят от осталь-
остальных координат. В работе Ю. К. Энгельбрехта [66] исследуются во-
вопросы дисперсии и затухания в случае таких мод распространения
волн для нескольких числовых значений времени релаксации теп-
теплового потока. Приведем результаты работы [66] в принятых здесь
обозначениях.
Примем за основу одномерную математическую модель обобщен-
обобщенной взаимосвязанной задачи термоупругости
i — — .
cvi + ptou' = q',
G.87)
где дифференцирование по координате х обозначено штрихом, диф-
дифференцирование по т — точкой.
Представим перемещение и и температуру t в виде
и = и0 exp [i (r\x — сот)],
/= t° exp [/ (цх — сот)], G.88)
где г| определяет длину волны [2я (Re rj)], а со — период волны
[2я (Re со)].
Подставив G.88) в G.87), после некоторых преобразований полу-
получим частное уравнение
@J _ с\^) (^со + ^ТгС02 _ htf) - $% -3- (Т]СО — /ТГСО2Г)) - 0.
G.89)
Введем безразмерные величины
*=-^-' ^С1^-' G-90)
где со* — характерная частота,
co*= -?-cr. G.91)
Математическая модель термоупругой среды с конечной скоро-
скоростью распространения тепла требует определения еще безразмерно-
безразмерного числа колебаний в течение времени тг по формуле
п = хЛсо, G.92)
так что характерной частоте со* соответствует характерное число ко-
колебаний
п* = тгсо*, G.93)
270
Уравнение G.89) с учетом G.90) и G.93) преобразуется к виду
(I2 — X2) (X — т*Х2 — if) + г1Ч A — in*%) = 0, G.94)
В2/
где 8 = -^ коэффициент связанности.
Легко установить связь /г* с другими используемыми физиче-
скими величинами
4
п* = 4
Отметим следующие очевидные следствия из G.93) и G.95):
а) при д* >> 1 быстрее распространяется волна деформации и
б) при п* < 1 быстрее распространяется тепловая волна и
в) при /г* == 1 обе волны распространяются с одинаковой
скоростью итг= —у- •
Рассмотрим волны с фиксированной частотой. Пусть частота со
является заданным вещественным параметром. Тогда решение полу-
получается в виде суммы отдельных мод:
Г . G.96)
где akf bk — амплитуды, tk определяется решением биквадрат-
биквадратного уравнения
?4 _ ^2 {[д* A + е) + 1] X2 + i A + е) X} + п3 = 0. G.97)
Корни уравнения G.97) удобно представить в виде
G.98)
где ^ — фазовая скорость, qk — коэффициент затухания.
Опуская выкладки, отметим, что решения G.96), выписанные
с учетом G.98), по виду совпадают с классическими решениями [66]
с точностью до коэффициента связанности, который в данном случае
зависит от п*. От я* зависят также фазовая скорость и коэффициент
затухания. Рассмотрим более подробно эти зависимости на основе
численного решения уравнения G.97) для стали при & = 1,14 X
X КГ2.
271
На рис. 49 представлена зависимость функции qxlq* отХ при раз-
различных значениях л*. Коэффициент затухания qt соответствует
волне деформации, распространяющейся в глубь пространствен-
пространственной координаты q* = E(o*/2cv Влияние параметра я* существенно
0,1
0,01
/
/
If-0,9
Ifi
0,5
О
075
0J5
'
0,01 OJ
Рис. 50
/,004
1,002
х-й/
W
'0,01
OJ
1
Рис. 49
OJ
Рис. 52
при значениях X ~ 1,0, начиная с я* >
>0,01. В общем случае модифицирован-
модифицированная упругая волна подвергается боль-
большему затуханию. На рис. 50 представле-
представлена зависимость qxlq* от л* при различ-
различных значениях X.
Из поведения функции фазовой ско-
скорости с\ (рис. 51 и 52) следует, что влия-
влияние скорости распространения тепла су-
существенно также при X ~ 1,0. Отме-
Отметим, что при X <С 1 всегда выполняется
с\ > съ но при X <; 1 может оказаться
справедливым и неравенство с\ <С сх (см.
рис.- 51).
Асимптотические формулы для фа-
фазовой скорости сг и коэффициен-
коэффициента затухания qx в случае X << 1, 8 С 1 можно представить в виде
'0,1 1,0
Рис. 51
с\ = сг [l + -±- A + Х2л*2) A + X2)-1 + О (82)]
G.99)
Яг =
со*
[-|- X2 A + Х2я*2) A + X2)-1 + О (б2)] • G.100)
272
Из G.99) следует, что при X < 1 выполняется условие
с\ ~ сх A -\—ъ— > характерное как для классической, так и для
\ Z8 /
обобщенной задачи. Асимптотические формулы при X < 1 можно
записать в виде
с* - с УГ+в [ 1 — -?¦ 8 D — Зе) A + еГ4 + О (Х4I ,
L 8 , J GЛ01)
71 л ' •
Выражения G.101) не зависят от п* (см. рис. 49 и 51).
Рассмотрим волны с фиксированной длиной. Пусть длина волн
является заданным фиксированным параметром. Тогда решение
в виде суммы отдельных мод выражается таким образом:
u=el**~ 1& р/Ш%к > G.102)
t=e c> g v-to*x*T, G.103)
где /?Л, rft — амплитуды волн, а Х^ определяется решением урав-
уравнения
W + * -| |r A + *•) X2 - i -f- A + 8) X + -g- = 0,
G.104)
причем корни уравнения G.104) представим в виде
X, = ±/ -ig, X,+2 = ±l-ih, к = 1, 2. G.105)
Для определения связанности и сдвига фаз рассмотрим модифи-
модифицированные волны без квазитепловых членов (?° = 0), распростра-
распространяющиеся в сторону роста пространственной координаты. В этом
случае
и = ifie-®*** cos [<D*-i- U 1- %%)] , G.106)
t - tflytfo -A-e-*** cos [со* -i- [x L ^ + у + я] • G.107)
Здесь связанность между волной деформации и обусловленной
ею тепловой волной характеризуется коэффициентом Л, определяе-
определяемым выражением
2 2 ' z 22 , G.108)
где
m2 = 1 -
273
0,5
>
ю
0,2
\
\
\
0,01 0,10
Рис. 55
rf
0,01 0J 1 Ю 100
Рис. 56
Тепловая волна и волна деформаций сдвинуты в фазе на угол
п + у, где у определяется из соотношения
tg 7 = К/2 + ё2) Щ - 12Щ + п** (Р +
I
G.109)
Изменение коэффициента А и угла сдвига у в зависимости от
^и/i* представлено на рис. 53—55. Коэффициент А существенно не
зависит от д* при |< 1. При | да 1, т. е. при длинах волн порядка
10~6 см, эта зависимость существенна. Сдвиг в фазе у при ? < 1
составляет л/2. При Ъ> ^ 1 влияние параметра п* становится суще-
существенным. При я* = 0 с ростом I выполняется у > 0, но при л* =^
=^-- 0 возможны и случаи у < 0. Отметим, что наибольшие отрица-
отрицательные сдвиги в фазе наблюдаются при /г* да 0,5 (см. рис. 55).
Если материал обладает таким свойством, что щ = 0, то из
системы уравнений G.87) имеем
Г
+ c2qi.
Представим решение уравнения G.110) в виде
t = txemx-m).
G.110)
G.111)
274
Частотное уравнение с учетом G.111) имеет вид
J5L_ + _^_ = гJ. G.112)
Вводя безразмерные величины G.90) и G.93) в уравнение G.110),
получаем
?2 = „*х2 + it. G.113)
Рассмотрим со в качестве вещественного параметра. Решение
уравнения G.110) принимает вид
/ = е~1%(**т 2 bke Xk c* > G.114)
где %ik = Cj (—~ h / —^-] — решение уравнения G.113).
Фазовая скорость c\k и коэффициент затухания </i* определяются
из соотношений
1 j_
4 = ±-^x"(XV2+ if 4 .
А= 1, 2, G.115)
?u = ±©*^ V% VW + 1 , G.116)
где
b = sm -у- »
d = cos -|- »
ф = arctg (Хд*)" .
Безразмерная длина \k (k = 1, 2) вычисляется аналогично
G.98). Решение уравнения G.110) в виде суммы отдельных мод по
форме совпадает с классическим решением. Легко видеть, что /г* = 0
ф = —— , b2 =s d2 = -jr- » с1Л = ]/2соа . На рис. 56 приведена
Re ^2
зависимость величины ^ = от д = Х^г*, где ?2 представляет
Ке fj
амплитуду диффузионного уравнения. Влияние п* Ф 0 заметно,
начиная с/1>0,1, т.е. при частотах со ^ 10~12 сек~х.
Рассмотрим длину волны в качестве вещественного параметра.
Тогда решение уравнения G.110) в виде суммы отдельных мод име-
имеет форму бегущей волны:
il^?i4<*H, G.117)
275
где
В случае диффузионного уравнения соответствующее решение
имеет форму стоячей волны.
Таким образом, при высоких частотах (порядка характеристи-
ческой) и малых длинах волн I —~- ц « 1) необходимо учитывать
конечную скорость распространения тепла. В этом случае фазовые
скорости, коэффициенты затухания и коэффициент связанности
больше, а угол сдвига в фазе волны деформации и тепловой волны
меньше, чем соответствующие величины, вычисленные в предполо-
предположении бесконечной скорости распространения тепла.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОБОБЩЕННАЯ МАГНИТОТЕРМОУПРУГОСТЬ
И ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТЬ
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ОБОБЩЕННАЯ МАГНИТОТЕРМОУПРУГОСТЬ
Основные уравнения и соотношения классической динамической
задачи магнитотермоу пру гости изотропных электропроводных тел
приводятся в монографии Новацкого [76]. Калиский [69] вывел
основные уравнения и соотношения обобщенной динамической за-
задачи магнитотермоу пру гости анизотропных тел.
В настоящей главе приводятся решения одномерных обобщен-
обобщенных динамических задач магнитотермоупругости для цилиндра,
пространства с цилиндрической полостью и полупространства,
полученные на основе сформулированной теории [69, 76]
Н. А. Кондратюком [34, 35].
1. Основные уравнения и соотношения
Уравнения Максвелла совместно с материальными уравнениями
среды и законом Ома, уравнения движения и обобщенное уравнение
теплопроводности для изотропных электропроводных тел нетрудно
получить из соответствующих уравнений для анизотропных тел.
В системе СИ они имеют вид
rot Е = — В, rot Н = /, div D = 0, div В = О,
В = \хг]х0Н , D = ггв0 [Е + (I x %
/ = а [Е + (и х В)] — х grad tf
|д,Дм + (^ + М<) grad div и — р grad t -f (/ х В) = ри ,
М— rj/ divt/ = — / -ip_ +—) + -^-div /,
(8.1)
)
где C = a, CX + 2fx); ?, Я^ — векторы напряженности электри-
электрического и магнитного полей; / — плотность тока; е0 и |л0 — электри-
электрическая и магнитная постоянные; a — удельная электропроводность;
к — коэффициент, связывающий электромагнитное поле с темпера-
температурным градиентом; щ — коэффициент, определяющий влияние
плотности вектора тока на плотность теплового потока.
Пусть тело находится во внешнем однородном магнитном поле
Но. При этом в случае температурного воздействия внешней средой
возникают возмущенные электрическое Е и магнитное h поля.
277
Общее магнитное поле Н = Но + А. Пренебрегая источниками
тепла и членом, учитывающим превращение механической энергии в
тепловую при А <С #0, уравнения (8.1) записываем таким образом:
rot Е = — \ir\ioh , rot A = /,
div Е = 0, div А = О,
В = \ir\i0H, D = 8ге0 [? + |xrfi0 (и х Яо)],
1
/ = а [Е + \хг\х0 (и х #о) — х grad tf,
jJiAr/ + (Я, + fx) grad div « — p grad / + ^0 (j x Яо) = pu,
n div /,
(8.2)
где п =
Учитывая, что div rot A = 0, rot rot A = grad div A — ДА =
= —ДА, rot grad / = 0, вместо уравнений (8.2) получаем
ДА — р0А + ро rot (и X #0) = 0,
\iku + (к + [г) grad div а — р grad / + \xr\i0 (rot А х Яо) = Р^>
(8.3)
где ро = o\ir\i0.
Пусть тело граничит с вакуумом, для которого уравнения Макс-
Максвелла будут иметь вид
div?° = 0, div А0 = 0.
Из (8.4) следуют уравнения
J ^!_ = о, (8.5)
где ?°, А0 — векторы напряженности возмущенного электрического
и магнитного полей в вакууме; с = —7= скорость распростране-
распространения электромагнитных волн в вакууме.
Для тел идеальной электропроводности система уравнений (8.3)
значительно упрощается и принимает вид
278
h = rot (и x Яо), I
-> -V -v 'Л \
liku + (k + \i) grad div u— P grad * + \ьг\хп [rot rot(a x #0) X Яо] = ри, \
(8.6)
Условия на границе тело — вакуум запишутся таким образом:
ff/ri + Тщ — Г/т, = О,
Ц = t, /, *, (8.7)
/г _ ро г _ , о
-С'Т) ^Т)» ДГ| ^1] ,
где температурные напряжения ац и тензор Максвелла в теле Tt/ и в
вакууме Т% запишутся в виде
Oij = 2\1вц + (ке — РО 6//,
П7 - [хл[х0 [А/Я, + А,Я, - 6/у (А • Я)],
??, = fx0 [А?Я, + А?Я, - 6/, (А° • Я)].
2. Цилиндр
Рассмотрим цилиндр идеальной электропроводности, находя-
находящийся в однородном магнитном поле Я (О, О, Я2) и подвергнутый
по краевой поверхности г0 = Ro тепловому удару внешней средой
температуры ta.
Для определения возникающих в цилиндре температурного по-
поля, возмущенного магнитного поля и поля деформации воспользу-
воспользуемся уравнениями и граничными условиями (8.5) — (8,7), которые
в данном случае запишутся таким образом:
At^li, (8.8)
Ди--^-? = /п-|?-, (8.9)
(8.10)
(?f) (8.11)
при г = R
ди и
~дГ + по—— mt + Р(Л = о.
(8.12)
279
{t, u}r==o фооу hQ Ф oo при r -> oo.
Начальные условия при / = О примем в виде
t = О, / = О, и = 0, и = О,
hQ = о, Ао = о,
(8.13)
(8.14)
где
д . и= ди
дг ' " df
MQ = -^- , с\ = с\ + al, с\ =
СО =
а0
-V
> г =
D -_.
Применяя к (8.8) — (8.13) преобразование Лапласа по / с уче-
учетом начальных условий (8.14), получаем
д/ =
Ам-
_2Ч - Л
Г ) U = т--^—
, i du . и
при г =
S
= 0,
r=o Ф oo, Н0Ф oo при г -> oo,
(8.15)
(8.16)
(8.17)
(8.18)
(8.19)
(8.20)
где
280
Решения уравнений (8.15) — (8.17) с учетом условий (8.19),
(8.20) имеют соответственно вид
п = С1г (sr) + DIX (yr) = -?^r [yl, (yr)
I ЛA — Яр) y/i (Ry) — s*RIp (Ry)] NKt (RNs) — п^Роу/г (Ry) Ko (RNs) ,
(8.22)
hz = - о [Cs/0 (sr) + Dylo Gr)]. (8.23)
Возникающие при этом динамические температурные напряже-
напряжения в цилиндре определим по формулам A.50), которые в результате
применения к ним преобразования Лапласа по времени запишутся
таким образом:
где
х = (Я + 2а) -^- > Л = -^- Я.
Подставляя в (8.24) вместо и и t их выражения (8.21) и (8.22),
получаем таьие изображения напряжений:
Г el
Orr = C|^s/0 (sr) — lx (sr)J +
Г e 1
+ D щ10 (yr) Ix (yr) — рл/0 (yr),
L r J
5ФФ = С \AsI0 (sr) + -5- /, (sr) 1 + (8.25)
L • J
+ D Aylo (yr) H Ix (yr) •— PAIQ (yr),
L r J
где е = 2fx ~- •
При больших значениях s выражения (8.25) примут вид
а Ы г) = \f ^ t [{ks — ie^R~~r)sm x
^Г_1_A_По)_,
^ L /?
r>0. (8.26)
оф(р = аЛ/- (Л, — e).
10 5-2365 281
Переходя в (8.26) от изображений к оригиналам, получаем выра-
выражения температурных напряжений в цилиндре
., 1
П-
Ы0(к-/-)
Mo(R-r)
- M§ (« - rJ 1
J
dC
,-b!
X
/4 <v<>-«+'>
r R \ b-d d )
rN
b -d
X
R-r
¦+ х
> — d
Л/
в. ( 1-я. &
r \ R b —
X
Rd
N Ъ — d
x
X
282
X
X S^
f-R+r
-R+r),
rr (Л, — 8),
где
RL
!
Yo
(8.27)
(8.28)
3. Пространство с цилиндрической полостью
Рассмотрим пространетво идеальной электропроводности с ци-
цилиндрической полостью, находящееся в однородном магнитном по-
ле Н (О, О, Н2) и подвергаемое по краевой поверхности г0 = RQ
тепловому удару внешней средой температуры ta.
Для определения возникающих в пространстве температурного
поля, возмущенного магнитного поля и поля деформации восполь-
воспользуемся уравнениями (8.8) — (8.11) и граничными условиями
+ «о-г — mt + РА = о,
при г =* R9
{U и}г^ф ооу H0=?oo при г==0. (8.30)
Начальные условия примем в виде (8.14).
Применяя к (8.29), (8.30) при начальных условиях (8.14)
преобразования Лапласа, получаем при г = R
1 tn 1
du
dhO =
(8.31)
{/, и}фоо при г-^оо, Нцфоо при г = 0. (8.32)
Решения уравнений (8.15) — (8.18) с учетом условий (8.31),
(8.32) имеют соответственно вид
(8.33)
10*
283
(RNs) /С, (уЯ) - {D [(n0 - 1) ^ (yR) - «y*o (V«)l ~
{(n0 - 1) /(x (tfs) - RsK9 (Rs)] sN/, (NRs) -
X Кг(зг) + DIdiyr), (8.34)
Л, = © [CsKo (rs) + DyK0 (yr)h (8-35)
где
Изображения возникающих при этом динамических температур-
температурных напряжений в пространстве с цилиндрической полостью опре-
определим по формулам (8.24). Подставляя в (8.24) вместо / и и их вы-
выражения (8.33) и (8.34), получаем такие изображения напряжений:
Ъ„ = - С [xsKo (sr) + ^-K, (sr)j - D [xy/Co (yr) +
+ -Т-КЛуг)]-№Ко(уг),
- ' { e 1 Г (8-3б>
ow = СI -, AsK0 (sr) + -j- Kr (sr)\ + D\ — AyK0 (yr) +
При больших значениях s выражения (8.36) примут вид
_ JL) R У
s*)(s + d)
где
RL
Переходя в (8.37) от изображений к оригиналам, находим выра-
выражения обобщенных динамических температурных напряжений в
284
пространстве с цилиндрической полостью
°rr vx> 4
м0
f —
— MUr — R?
-bf С vol
.1 е
..
X
5_ [/ - Mo (r -/?)]+ -^ / f
f
X
T
"•
N
r—R
f-'+fl
8 /In— 1
Jф(p ¦
— в).
(8.38)
(8.39)
285
4. Полупространство
Рассмотрим полупространство z > 0 идеальной электропровод-
электропроводности, находящееся в однородном магнитном поле Н {НХУ 0, 0)
и подвергаемое тепловому удару внешней средой температуры ta по
краевой поверхности 2 = 0.
Для определения возникающих в полупространстве температур-
температурного поля, возмущенного магнитного поля и поля деформации вос-
воспользуемся приведенными уравнениями и граничными условиями
(8.5) — (8.7), которые в данном случае запишутся в виде
-|S- = tf, (8.40)
д2и 1 dt
^§ (8.42)
А = -<о-|г, (8.43)
при ? = Ci == 0
(8.44)
пи—
[t, и}фоо при ^-^-сх>, h0=?oo при ?х->-оо, (8.45)
где
is!
a
pc?(l
_
=Т~. @= -^-Нх, U=U3
Начальные условия имеют вид (8.14).
Применяя к уравнениям (8.40) — (8.43) и к граничным условиям
(8.44), (8.45) преобразование Лапласа с учетом начальных условий
(8.14), соответственно получаем
(8.46)
dhi s* - „ dt (8.47)
-ф—-\-+А'и = т
286
ft— — —
при I =Ъг = О
du
~-mt + $oho = 0,
п~ dhn
ns2u = —-
(8.48)
(8.49)
(8.50)
db > *- s >
{/, и}фоо при ?-^°°> \ф оо при ?!-^оо. (8.51)
Решая уравнения (8.46) — (8.49) с учетом граничных условий
(8.50), (8.51), находим Jt h0, и, h.
Возникающие при этом динамические температурные напряже-
напряжения определим по формулам [44]
ди п, v щЕ , -
которые в результате применения преобразования Лапласа запишут-
запишутся в виде
~гг _ „. d« ft7 - _ Z _ v ~ atE 7 (8.52)
1—V
1—v
где х = (Я + 2|х)-^.
Переходя в (8.52) от изображений к оригиналам, получаем
выражения обобщенных динамических температурных напряжений
в. полупространстве [35]
? Г VoT] M 2M2
-rhr[
2M
¦йц
2M t
2M2
2УИ2
/т]2— М%2
X
/exp|(/-
287
, (8.53)
(8.54)
где безразмерное температурное поле 6 имеет вид
v = Л*A + Л)+1 _ _ОД_ _
То 2Л1г[М2A + Л)— 1] ' '"" Р^а ' 1— ' »'
При с? -»¦ оо из (8.53) следует известный классический резуль-
результат [761
х SJf
V
1 + Л
X erfc [^ + 1/A+A)/] + e-C^Hv x
erfc [^ + 1/"A+A)/] +
x erfc [^1=- - V(l+A)/]}\. (8.55)
С целью оценки влияния магнитного поля, совместного влияния
магнитного поля и конечной скорости распространения тепла на
изменение динамических температурных напряжений вдоль коор-
координатной оси полупространства из алюминия при фиксированном
значении безразмерного времени f = 1 по формулам (8.53), (8.55)
на ЭВЦМ «НАИРИ» проведены числовые расчеты, представлен-
представленные на рис. 57. Кривые 1—3 соответствуют напряжениям, подсчи-
подсчитанным по формуле (8.53) при значениях внешнего магнитного поля
О, 108, 109 а/м; кривые 4, 5 соответствуют напряжениям, подсчитан-
подсчитанным по формуле (8.55) при значениях внешнего магнитного поля
108 и 10* а/м; кривая 6 — известный результат В. И. Даниловской
[44].
288
-о,з
-о,б
Результаты расчетов показали,
что магнитные поля до 106 а/м
для неферромагнитных материалов
не влияют на динамические тем-
температурные напряжения. Сущест-
Существенное влияние наблюдается лишь
при магнитных полях, превышаю-
превышающих 106 а/м. Как и в задаче термо-
термоупругости, в обобщенном слу-
случае напряжения претерпевают
два скачка, соответствующие фрон-
фронту тепловой и упругой волн.
Обобщенные и классические ди-
динамические температурные напря-
напряжения достигают максимальных
значений на краевой поверхности
полупространства.
Приведем еще решение обобщен-
обобщенной динамической задачи магни-
тотермоупругости для полупространства
теплового воздействия [34], т. е. когда
_/2
Л-
2
6
3
2
/ '
5 У
' 6'
V4
л
у
1,5
Рис. 57
при конечной скорости
/ = JL \fS+ (f) - (f - f0) S+ (/ - /0)] при С = Ci = 0. (8.56)
Поступая аналогично предыдущему, изображения температуры,
перемещения, напряженности возмущенного магнитного поля в
рассматриваемом полупространстве и в вакууме находим в виде
- = ta(\-e-sfo) е^У1шчТ) (8>57)
=
mtab(\ — e~sh)
-"') Г
Ь) ['
Vl+A
(8.58)
П Kffl(s-X-h\ I -.AT"i—Г 1лГ~\—Г i ^д/
(8.59)
(8.60)
/о«;
289
b У 1 + Л [s+NAVs (sM2 + 1) ]
1 + Л + NA)(s + b)
_ v - atEt
v
v
(8.61)
(8.62)
ГДв Л42A + Л)— 1 *
Переходя в (8.57) — (8.62) к оригиналам, соответственно полу-
получаем
< = -тЧФ (С, /) - Ф tf - Л>. ?)Ь ^8-63)
Ф2(/-/о. 0 + 0+А) [Ф(/, Р-Ф(/-/о, 0J-
(8.64)
(8.65)
(i (Д 0 - Фх (/ - /о» 0 - Ф2 (f.» + Ф2 (/ -/о» 0 -
. 0-
+ Л +NA
-G(/-/o. 01}. -(8.66)
(8.67)
а* = °у в "Т=^Г ^ ~ Tb- v) Р f
где
, 0= \V-
2М2
х
/,
X
1
1 I 2M2
— М2?2 \
/т]2 —
х(/, 0 =
.-L.
2М .
X
2М
/ л (-
2М2
X
290
'('"
/l+A
f f-л
/1+Л
Mb
~\ + A[1—,
X
При /о -> 0 из (8.66) и (8.67) следуют выражения динамических
температурных напряжений (8.53) и (8.54).
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ОБОБЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ
Развитию основ теории и решению конкретных классических
динамических задач термовязкоупругости посвящены монографии
А. А. Ильюшина и Б. Е. Победри [12], В. Новацкого [42]. Ниже
приводятся основные соотношения и уравнения термовязкоупруго-
термовязкоупругости для массивных тел и тонких пластинок и на основе обобщенной
теории термовязкоупругости изучаются динамические температур-
температурные напряжения в изотропном полупространстве при заданном
на краевой поверхности тепловом потоке и в полубесконечной пла-
пластинке [24] при заданной температуре краевой поверхности. Предпо-
Предполагается, что тепловой поток на краевой поверхности полупростран-
полупространства и граничное значение температуры пластинки изменяются в
начальный момент времени на некоторую величину, оставаясь далее
постоянными. Исследуется влияние тепловой инерции на распреде-
распределение в них динамических температурных напряжений. >
Исследуются [79] взаимосвязанные термоакустические волны в
анизотропных и изотропных термопластических материалах с уче-
учетом конечной скорости распространения тепла. Для анализа распро-
распространения волн в пластических материалах используется метод син-
сингулярных поверхностей.
1. Основные соотношения
и уравнения динамической термовязкоупругости
массивных тел
Для вязкоупругих тел все основные соотношения и уравнения
механики твердого деформируемого тела и теплопроводности оста-
остаются неизменными, за исключением закона, связывающего напряже-
напряжения и деформации. Исходим из следующих реологических соотно-
соотношений [12, 42]:
Pi(D)stl = P%(D)bh (9.1)
Р3 (D) okk = РА (D) (ekk - ЗоД (9.2)
где
являются девиаторами соответственно напряжений и деформаций;
операторы Pt (D) определяются формулами
Pi (D) - 2 dn)D{n\ i = 1, 2, 3, 4; (9.4)
292
Din) = —- производная д-го порядка по времени т; коэффициен-
коэффициенты aln) не зависят от координат и температуры и являются постоян-
постоянными величинами.
В случае абсолютно упругого тела операторы Р{ (D) состоят
только из ^первых членов af} = 1, af} = 2G0, af} = 1, at}= 3KOi
Nt = 0, где Ko — объемный модуль упругости идеального упругого
тела.
Система соотношений (9.1) и (9.2) может быть переписана также
в виде
Рх (D) P3 (D) а„ = Р2 (D) P3 (D) ец + 6ц J ± [Рг (D) P4 (D) -
- Р2 (D) Я3 (D)] екк - Рг (D) P2 (D) atj . (9.5)
Для материала Био зависимости между компонентами напряжен-
напряженного и деформированного состояний имеют вид
о о
- [36 (х - 0 + 2а (х - О Щ ~ }4- (9.6)
Здесь а (т), b (т) являются функциями времени, которым в слу-
случае идеального упругого тела соответствуют постоянные Ляме ц0
и Ко.
Подставив~соотношения (9.5) в уравнения движения
Р«(. *. I = х> У> г, (9-7)
получим уравнения
Lx (D) uiM + L2 (D) Ukja = L3 (D) att,t + L4 (D) put,
= ±l2Pi(D)P1(D)+Pi(D)P3(D)],
Li(D) = 2P1(D)P3(D).
Выполним в уравнениях (9.8) преобразование Лапласа при на-
начальных условиях щ = щ = 0 при т = 0. В результате имеем
систему уравнений
№.» + # + F) п*.и = РО + psa«i( (9.9)
где
293
Для материала Био, для которого зависимости между компонен-
компонентами напряженного и деформированного состояний заданы соот-
соотношениями (9.6), уравнения движения принимают вид
(*-О-^'.Л+PU. (9Л°)
где с (т) = [3& (т) + 2а (тI at.
Выполнив в уравнениях (9.10) преобразование Лапласа, придем
ксистеме уравнений (9.9), в которой
jH = sa, l = sb, p = sc. (9.11)
Для идеального упругого тела уравнения движения имеют вид
I* A + (*о + 1*о) *$* = РоО + рй10), (9.12)
где C0 = (ЗК0 + 2\i0) at; uf* — компоненты вектора перемещений
в идеальном упругом теле.
Из сравнения зависимостей (9.9) и (9.12) вытекает принцип
соответствия: чтобы получить решения задачи для вязкоупругого
тела, необходимо использовать известное решение аналогичной за-
задачи для упругого тела, в котором заменяем щ@) изображением
uh а постоянные jx0 и А,о — величинами \i и X. Выполняя на видоизме-
видоизмененном таким образом решении обратное преобразование Лапласа,
получаем искомое решение динамической задачи термовязкоупру-
гости.
Подставив известную [42] зависимость
5, = Ф., (9.13)
в (9.5), выразим изображения напряжений с помощью изображения
запаздывающего термоупругого потенциала перемещений Ф в виде
(9.14)
где функция Ф удовлетворяет уравнению
i (9.15)
причем а2 = „ р _. , т = - р __ .
Я + 2[i I + 2ц
В частности, запишем функции а (т) и Ъ (т) в виде простых зави-
зависимостей
а (т) = (хов , # (т) = ло^ , (У. 1о)
где е^1 — время релаксации. Положение, что время релаксации
одинаково для обеих функций, характеризующих реологические
294
свойства среды, равносильно положению о независимости от вре-
времени коэффициента Пуассона v (т) = v0 = const.
В этом случае будет
s + e *
X =
= (ЗХ0 + 2ц0) а„
(9.17)
2. Основные соотношения и уравнения
динамической термовязкоупругости пластинок
Приведем соотношения и уравнения одномерной динамической
задачи термовязкоупругости для изотропных пластинок. В этом
случае для определения трансформанты запаздывающего термо-
термоупругого потенциала перемещений имеем уравнение [75]
дх2
(9.18)
где
T = -±-[ Idz
Если функции а (т) и Ь (т) имеют вид (9.16), то
s - Л s *
Л —
s + e
ЗЯ
m = ——^—=- а, = тпу о2 = Оо —-
2(Я + ^) 0J
(9.19)
Если W найдено, то изображения температурных напряжений
определяются в виде
'""' +охх. (9.20)
охх = ps2W, оуу = —
Рассмотрим колебания пластинок, обусловленные Г* = -^- х
б
X f гйг. Для упругих изотропных пластинок уравнение для опре-
Q* '•
деления прогиба имеет вид C.95). Пренебрегая членом ^"^ш»
получаем
« ^ + ^ДГ* = О. (9.21)
295
Представим прогиб w в виде суммы квазистатической части
wst и дополнительного прогиба wd% обусловленного силами инерции
(динамической части прогиба):
JJl дг*= о,
(9.22)
it (wd + wst) = 0.
Если wd = wd = 0 при т = 0, то после применения к (9.22)
преобразования Лапласа получим
W + -g- [S2 (Wd + Wst) — SWst |t=0
(9.23)
] =0.
Используя принцип соответствия для вязкоупругой пластинки,
находим
(9.24)
w + -=- [s2 (wd + ws) — sws( !т=о — te/s/ [т=о] = 0,
оэ
+ wd = w, w = f
we STdx, D =
Bi
Решение системы (9.24) приводится в работе [75].
3. Вязкоупругое полупространство
Рассмотрим свободное от внешней нагрузки вязкоупругое полу-
полупространство, подвергнутое внезапному нагреву тепловым потоком
по краевой поверхности 2 = 0. Для определения возникающего
температурного поля в полупространстве имеем уравнение тепло-
теплопроводности
дЧ _ 1 dt 1 дЧ
дг2 а дт с2 дта
и краевые условия
С
I
*, D
дг
т-С
*=о
(9.25)
= — qS+ (т), t !„.«, = 0, (9.26)
: = 0 при т = 0. (9.27)
296
Применив к (9.25) и (9.26) преобразование Лапласа по т с учетом
начальных условий (9.27), получим
5" = У2Ь (9.28)
^ _j*L = п (— 4- т \ 11 ^оо = 0 (9.29)
Решение краевой задачи (9.28) и (9.29) имеет вид
~<—ir(-T+*)*"• (9-30)
Переходя в (9.30) от изображений к оригиналам, записываем
'=-^Л{ф(*, O« + Vp(*, тI (9.31)
где
Если на краю полупространства имеет место классическое усло-
условие теплообмена второго рода, решение задачи теплопроводности
для этого случая получим, положив в (9.31) хг = 0.
Согласно (9.14) изображения температурных напряжений име-
имеют вид
а22 = $2рФ, ахд. = а^ = — 2 т^^ + Яа252Ф, (9.32)
где Ф удовлетворяет уравнению (9.15), т. е.
-^-sWG> = ml (9.33)
Решение уравнения (9.33) с учетом (9.30) имеет вид
ф = Ае-& + Ве™ + ^Y(l + ^s) (9 34)
hy (V2 — cf2s2) s v ;
Поскольку полупространство свободно от внешней нагруз-
нагрузки, то
= 0. (9.35)
Определяя из этих условий постоянные интегрирования Л и В,
окончательно получаем
297
Найдем температурные напряжения в вязкоупругом материале
Био. В этом случае функции а (т) и Ь (т) имеют вид (9.16), а \х, X,
а2 и т — (9.17)
Подставляя (9.17) и (9.36) в (9.32), имеем выражения изображений
температурных напряжений
где
(9.37)
¦ —ectf
© =
Переходя в (9.37) от изображений к оригиналам, получаем
(9.38)
- в J
)< (г,
где
X (г, т, (о) =
(—5
S_(T-ao2). (9.39)
Температурные напряжения, соответствующие классическому
условию теплообмена второго рода на краю полупространства, по-
получим из (9.38) при хг = 0. Решение классической динамической
298
задачи термовязкоупругости найдем из (9.38), заменив с* его значе-
значением -~- и перейдя к пределу при т, -*¦ О, в виде
erfc |—г-=
\ 2 Vox
т=- е
(9.40)
axx =
= - 2molio \t - 8 If e-e(T-EV B,
где
f
(9.41)
При z = 0 из (9.31), (9.38), (9.40) и (9.41) следуют такие выра-
выражения температурного поля и напряжений:
в случае обобщенной задачи
(9.42)
агг |г=0 = 0, а^я |г=0 = О
уу |
^ |г=0 —
где
в случае классической задачи
|z=o = 0, аХх |z=o = orw |z==0
(9.43)
(9.44)
(9.45)
. (9.46)
299
4. Вязкоупругая полубесконечная пластинка
Рассмотрим изотропную вязкоупругую полубесконечную плас-
пластинку, через боковые поверхности z = ± б которой осуществля-
осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Температу-
Температура среды, омывающей боковые поверхности пластинки, равна нулю,
а температура среды, омывающей край пластинки х = О, изменя-
изменяется в начальный момент времени на некоторую величину, оста-
оставаясь в дальнейшем постоянной. В начальный момент времени тем-
температура пластинки и скорость нагрева предполагаются равными
нулю.
Для определения возникающего при этом температурного поля
в пластинке согласно (9.28) имеем уравнение теплопроводности
и краевые условия
rUo=/eS+(T), T 1,^ = 0, (9.48)
Г = 7 = 0 при т = О, (9.49)
где
11 г»
1 , о о ^
_____ —— _____ ' Т Л/— V-* ——
а* ¦"Т"^^5*' х "" Я,6 '
Применяем к (9.47) и (9.48) преобразование Лапласа пот, исполь-
используя начальные условия (9.49). В результате получим
(9.50)
rUo = -~, T1,^ = 0, (9.51)
где
Решение краевой задачи (9.50) и (9.51) имеет вид
Т = А *-**. (9.52)
S
Если принять классическое условие теплообмена Ньютона на
боковых поверхностях пластинки z = ± б, то в (9.52) следует за-
заменить а* на а.
Переходя в (9.52) от изображений к оригиналам, находим тем-
температурное поле в пластинке
6 = е ™> F ф*, ©) S. (/ - А«6), (9.53)
300
где
е=-?-, <о = -Jp- У [A + Mi,J - 4Mir
*. ш) = /0 (со) + Yi Ф+. <») + Y2
+ Yl (р- ©) + y2 (P~, и),
Р* = "^Ж1- (] + Mi, ± 2 КМ17), Mir
аа.
?м (Р> <«>) — функция Ломмеля двух переменных мнимого аргумента.
Если пластинка свободна от внешней нагрузки, то
охх \х=о = в хх \хтн>о = 0. (9.54)
В этом случае решение уравнения (9.18) с учетом (9.52) можно
записать в виде
l
-ух
Пользуясь формулами (9.22) для материала Био, получаем та-
такие изображения температурных напряжений:
)
, (9.56)
где
а2
' *П i. V ~ ~ "II I !"¦!/ -*
Переходя в (9.56) от изображений к оригиналам, находим сле-
следующие выражения обобщенных динамических температурных
напряжений в пластинке:
- Р,/7 (оf, Tj)] - S_ (/ - М|) е~~^~~ [p,F (т|,*, со) -
-ftFta*. и)]}, (9.57)
/d+Mif)
од = va, - S_ (f - Ml) A - v) e 2№ Z7 (t*. со),
301
где
Оц A — V) . 2
= „* f ' i = x, у, го = аго0,
lm U+Mir-e0±
± V A + Mi,— e0J + 4Ь2 A - М%
1-AP
1 — М2 [ Pi ^ 2
Решение соответствующей классической динамической задачи
термовязкоупругости получим из (9.57) при сч -*- оо в виде
So/
ст* = тг^г{5- ^ ~l) e 2 lPiF (ф1±> ^ ~л7? (ф2±> т -
-РхФ(Е, /, Ри Ь) + рм(|, /, р„ ft)}. (9.58)
°ff = Vff* — A — V) ф (g, /, — 80) Ь),
где
-|- ±Vp<(Pi + в»)],
2
ф E,. /, л, *) = -V {ехР (- 5 /*a + Pi)erfc
- VW+Ш] + exp (I/^Tp;)erfc [^ +
Если поверхности z = ± 5 пластинки теплоизолированы (az =*
== 0, а значит, Ь = 0), решения (9.57) и (9.58) принимают соответ-
соответственно вид
302
— е
(9.59)
где
ay = vox — A — V) Ф (E, /, —
f, 1—«о. 0),
-е0> 0), (9.60)
-05
- ЦТ*
2
/
.
И
2
-—¦
0,5
2,5
С целью оценки влияния ко-
нечной скорости распростране-
распространения тепла и вязкоупругих
свойств материала на распреде-
распределение динамических темпера-
турных напряжений в полубес-
полубесконечной пластинке по форму-
лам (9.59), (9.60) проведены чис-
числовые расчеты напряжений ох
при М = 1,846, 80= 0,29, f = 1
(рис. 58). Сплошными линиями / и 2 показано изменение обобщен-
обобщенных и классических динамических температурных напряжений в
вязкоупругой пластинке.
Для сравнения штриховыми линиями 3 и 4 показано изменение
обобщенных и классических динамических температурных напря-
напряжений в упругой полубесконечной пластинке. Учет вязкоупругих
свойств приводит к уменьшению максимальных значений динами-
динамических температурных напряжений.
1 1,5
Рис. 58
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреев В. Г.,Ул яков П. И. Термоупругая волна с учетом скорости
распространения тепла.—ИФЖ, 1971, XXI, 1, с. 176—180.
2. Бажанов В. Л. и др. Расчет конструкций на тепловые воздействия.
М., «Машиностроение», 1969, 599 с.
3. Баумейстер К-, Хамилл Т. Гиперболическое уравнение тепло-
теплопроводности. Решение задачи о полубесконечном теле.— Теплопередача,
1969, 4, с. 112—119.
4. Боли Б.,Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М., «Мир»,
1964, 517 с.
5. Болотин В. В. Динамические задачи термоупругости для пластин и
оболочек при наличии излучения.— В кн.: Труды Конференции по теории
пластин и оболочек. Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1961, с. 27—32.
6. Григорьев Б. А. Упрощение одномерных задач теплопроводности при
импульсном нагреве плоских тел.— ТВТ, 1973, 1, с. 133—137.
7. Диткин В. А.,Прудников А. П. Справочник по операционному ис-
исчислению. М., «Высшая школа», 1965, 466 с.
8. Даниловская В. И. Об одной динамической задаче термоупругости.—
ПМП, 1952, XVI, 3, с. 341—344.
9. Даниловская В. И. Динамические температурные напряжения в
бесконечной плите.— Инженерный журнал, 1961, 1, 4, с. 86—94.
10. Даниловская В. И. Температурное поле и температурные напряже-
напряжения, возникающие в упругом полупространстве вследствие потока лучистой
энергии, падающей на границу полупространства.— Изв. АН СССР, ОТН.
Механика и машиностроение, 1959, 3, с. 129—132.
11. Даниловская В. И., Зубчанинова В. Н. Температурные поля
и динамические температурные напряжения, порождаемые в теле потоками
лучистой энергии.— ФХОМ, 1968, 2, с. 12—16.
12. Ильюшин А.А.,Победря Б.Е. Основы математической теории тер-
мовязкоупругости. М., «Наука», 1970, 280 с.
13. К а р с л о у Г., Е г е р Д. Теплопроводность твердых тел. М., «Наука»,
1964, 487 с.
14. К i л ь ч и н с ь к а Г. А. Зв'язаш термопружн! збурення в HanienpocTOpi
при тепловому удар1 його поверхш i кшцев1й швидкосп поширення тепла.—
ДАН УРСР, сер!я А, 1970, 4, с. 368—371.
15. К и л ь ч и н с к а я Г. А. Автомодельные решения взаимосвязанной зада-
задачи термоупругости для полупространства.— В кн.: Тепловые напряжения в
элементах конструкций, И. Киев, «Наукова думка», 1971, с. 23—26.
16. К и л ь ч и н с к а я Г. А. Нелинейные волновые явления в автомодельных
термомеханических системах.— В кн.: Труды симпозиума «Нелинейные и
тепловые эффекты при переходных волновых процессах», ч. П. Горький,
Изд-во Горьковского ун-та, 1973, с. 27—34.
17. К о в а л е н к о А. Д. Основы термоупругости. Киев, «Наукова думка»,
1970, 307 с.
18. Коваленко А. Д. Особенности современной теории термоупругости.—
ПМ, 1970, VI, 4, с. 23—29.
19. К о л я н о Ю. М. Двовим1рна динам1чна задача термопружносп для тонких
пластинок з теплообмшом.— ДАН УРСР, сер1я А, 1970, 7, с. 636—639.
20. К о л я н о Ю. М. Хвильов1 р1вняння i представления загального розв'яз-
304
ку узагальненсн взаемозв'язано'1 задач! термопружност! ашзотропних плас-
пластинок.—ДАН УРСР, сер1я А, 1971, 12, с. 1094—1096.
21. К о л я н о Ю. М. Основы теории и расчет нестационарных температурных
полей и напряжений в анизотропных и изотропных пластинках с теплооб-
теплообменом.—Автореферат докт. дис, Ин-т механики АН УССР, Киев, 1972,
38 с.
22. К о л я н о Ю. М., Гирняк О. Ф. Учет скорости распространения тепла
при определении двухмерных динамических температурных напряжений в
полубесконечной пластинке.— Проблемы прочности, 1971, 6, с. 82—84.
23. К о л я н о Ю. М., П а к у л а Е. А. Решение двумерной динамической за-
задачи термоупругости для нагреваемых источниками тепла тонких пластинок
с учетом скорости распространения тепла.— В кн.: Тепловые напряжения в
элементах конструкций, 11. Киев, «Наукова думка», 1971, с. 93—96.
24. К о л я н о Ю. М., Семер а к М. М. Динамическая задача термовязко-
упругости для полубесконечной пластинки с учетом скорости распростране-
распространения тепла.— Проблемы прочности, 1971, 8, с. 27—29.
25. К о л я н о Ю. М., Семерак Ф. В. Влияние скорости распространения
тепла на температурное поле и напряжения в тонких пластинках.— В кн.:
Тепловые напряжения в элементах конструкций, 12, Киев, «Наукова думка»,
1972, с. 158—162.
26. КоляноЮ. М.,Семерак Ф. В. Решение динамической задачи термо-
термоупругости для круглой пластинки с учетом конечной скорости распростра-
распространения тепла.— Проблемы прочности, 1973, 2, с. 95—100.
27. Кол яно Ю. М., Семерак Ф.В. Обобщенная динамическая задача тер-
термоупругости для бесконечной пластинки с круговым отверстием.— ФХММ,
1972, VIII, 4, с. 79—84.
28. Коляно Ю. М., Скородинський В. А. Динам1чш темпер атурш
напруження в безмежшй плит! з урахуванням швидкосп поширення теп-
тепла.— В кн.: Лкова, паперова i деревообробна промисловють, 8. Киш, «Будь
вельник», 1971, с. 124—127.
29. Коляно Ю. М., Скородинскяй В. А. Обобщенная динамическая
задача термоупругости для пространства со сферической полостью.— В кн.:
Тепловые напряжения в элементах конструкций, 14. Киев, «Наукова думка»,
1974, с. 63—66.
30. Коляно Ю.М., Хомякевич Е.П. Решение динамической задачи тер-
термоупругости для прямоугольной пластинки с учетом конечной скорости рас-
распространения тепла.— В кн.: Лесное хозяйство, лесная, бумажная и дерево-
деревообрабатывающая промышленность, 2. Киев, «Буд!вельник», 1973, с. 34—37.
31. Коляно Ю. М.,Хомякевич Е.П. Граничные условия для определе-
определения обобщенных динамических температурных напряжений в телах с покры-
покрытиями.— В кн.: Тезисы докладов XIII Научного совещания по тепло-
тепловым напряжениям в элементах конструкции. Киев, «Наукова думка», 1974,
с. 39—40.
32. Коляно Ю. М., Хомякевич Е. П. Условия неидеального контакта
для определения обобщенных динамических температурных напряжений раз-
разнородных тел.— В кн.: Математические методы и физико-механические поля,
2. Киев, «Наукова думка», 1975, с. 81—86.
33. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М., ИЛ, 1955, 192 с.
34. К о н д р а т ю к Н. А. Обобщенная динамическая задача магнитотермо-
упругости для полупространства с учетом конечной скорости теплового воз-
воздействия.— В кн.: Тезисы докладов XIII Научного совещения по тепловым
напряжениям в элементах конструкций. Киев, «Наукова думка», 1974, 40 с.
35. К о н д р а т ю к Н. А. Обобщенная динамическая задача магнитотермо-
упругости для полупространства.— В кн.: Математические методы и физико-
механические поля, 1. Киев, «Наукова думка», 1975, с. 211—212.
36. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов
к исследованию тепло- и массообмена.— ИФЖ, 1965, XI, 3, с. 287—304.
37. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., «Высшая школа», 1967,
599 с.
38. Лыков А. В. Тепломассообмен. М., «Энергия», 1971, 309 с.
305
39. Михайлов М. Д. О динамических задачах термоупругости.— ИФЖ,
1969, XVI, 1,с. 132—135.
40. Н а в а л И. К- Термоупругие волны в слое при конечной скорости рас-
распространения тепла.— Изв. АН Молд. ССР, серия физ.-техн. и мат. наук,
1972, 2, с. 78—80.
41. Ни гул У. К- Волновые процессы деформации оболочек и пластин.—
В кн.: Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок.
М., «Наука», 1970, с. 846—883.
42. Н о в а ц к и й В. Вопросы термоупругости. М., Изд-во АН СССР, 1962, 364 с.
43. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М., «Мир», 1970,
256 с.
44. П а р к у с Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М., Физмат-
гиз, 1963, 252 с.
45. П i д с т р и г а ч Я. С. Умови теплового контакту твердих tui.—
ДАН УРСР, 1963, 7, с. 872—874.
46. П i д с т р и г а ч Я. С, Ярема С. Я. Температуря! напруження в обо-
лонках. КиТв, Вид-во АН УРСР, 1961, 212 с.
47. П о д с т р и г а ч Я- С., В о р о б е ц Б. С, Ч е р н у х а Ю. А. К темпе-
температурной задаче для тел с включениями.— ПМ, 1972, VIII, 12, с. 80—85.
48. Подстригач Я. С, Коляно Ю. М. Неустановившиеся температур-
температурные поля и напряжения в тонких пластинках. Киев, «Наукова думка», 1972,
308 с.
49. Подстригач Я-С,Шевчук П. Р. Температурные поля и напряже-
напряжения в телах с тонкими покрытиями.— В кн.: Тепловые напряжения в элемен-
элементах конструкций, 7. Киев, «Наукова думка», 1967, с. 227—233.
50. П о п о в Е. Б. Динамическая связанная задача термоупругости для полу-
полупространства с учетом конечности скорости распространения тепла.— ППМ,
1967, XXXI, 2, с. 328—334.
51. Р ы к а л и н Н. Н. Тепловые основы сварки, ч. I. M.— Л., Изд-во АН СССР,
1947, 272 с.
52. С а б о д а ш П. Ф., Ч е б а н В. Г. Цилиндрические и сферические термо-
термоупругие волны в безграничной среде с учетом конечной скорости распростра-
распространения тепла.— Изв. АН Молд. ССР, серия физ.-техн. и мат. наук, 1971,
2, с. 16—22.
53. С е м е р а к Ф. В. Исследование гармонических волн в термоупругих сре-
средах с учетом конечной скорости распространения тепла.— В кн.: Математи-
Математические методы и физико-механические поля, I. Киев, «Наукова думка», 1975,
с. 69—79.
54. Скородинский В. А. Тепловой удар на поверхности полупространства
с учетом конечной скорости распространения тепла.— В кн.: Некоторые во-
вопросы прикладной математики, 5. Киев, Изд-во Ин-та математики АН УССР,
1971, с. 156—161.
55. Скородинський В. А. Дослщження динам1чних напружень в цилшд-
рах з врахуванням швидкосп поширення тепла i примшення висновюв для
обробки чураюв перед лущениям.— В кн.: «Якова, паперова i деревообробна
промисловкть, 8. Кит, «Буд1вельнию>, 1971, с. 134—138.
56. Хомякевич Е. П., Руденко М. К- К обобщенной взаимосвязанной
задаче термоупругости.— ПМ, 1974, X, 7, с. 99—105.
57. Хомякевич Е. П. Решение обобщенной динамической задачи термо-
термоупругости для балки.— В кн.: Тезисы докладов XII Научного совещания по
тепловым напряжениям в элементах конструкций. Киев, «Наукова думка»,
1972, с. 51—52.
58. Хомякевич Е. П. Решение обобщенной динамической задачи термо-
термоупругости для круглой пластинки.— В кн.: Аналитические методы в теории
фильтрации и теплопроводности, Киев, Изд-во Ин-та математики АН УССР,
1973, с. 141—146.
59. Чебан В. Г., С у ч е в а н В. Г. Поле температур и поле напряжений в
упругом полупространстве переменной во времени толщины с учетом конеч-
конечной скорости распространения тепла.— В кн.: Прикладная математика и
программирование, 5. Кишинев, «Шнитца», 1971, с. 100—105.
306
60. Ш а ч н е в В. А. О новых результатах в теории сопряженной термоупру-
термоупругости. Приложение к книге В. Новацкого «Динамические задачи термоупру-
термоупругости». М., «Мир», 1970, с. 237—250.
61. Ш в е ц Р. Н. Исследование динамических процессов в тонкостенных эле-
элементах на основе взаимосвязанных уравнений термоупругости.— Авторефе-
Автореферат канд. дис, Ин-т механики АН УССР, Киев, 1965, 9 с.
62. Швец Р. Н. Взаимосвязанная задача термоупругости для тонкой пластин-
пластинки.—ПМ, 1965, 1, 3, с. 107—115.
63. Ш т е р И. М. Взаимосвязанная термоупругость с конечной величиной ско-
скорости распространения тепла.— ИФЖ, 1972, XXIII, 3, с. 465—471.
64. Штер И. М. Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой
среде с конечной скоростью распространения тепла.— ИФЖ, 1973, XXIV,
4, с. 750—755.
65. Ш т е р И. М. Обобщенный принцип Онзагера и его применение.— ИФЖ,
1973, XXV, 4, с. 736—741.
66. Э н г е л ь б р е х т Ю. К. Моды распространения одномерных волн в не-
неограниченной термоупругой среде при конечной скорости распространения
тепла.— Изв. АН ЭССР, серия физ.-мат. наук, 1973, XXII, 2, с. 188—195.
67. Ache n-bach J. D. The Influence of Heat Condaction on Propagation Stress
Jumps.—J.Mech. Phys. Solids, 1968, XXVI, 4, p. 273—282.
68. К a 1 i s k i S. Wave Equations in Thermoelastisity.— Bull. Acad. Polon. Sci.,
Ser. Sci. Techn., 1965, XIII, 5, p. 409—416.
69. К a 1 i s k i S. Wave Equations of Thermo-electromagnetoelaticity.— Procee-
Proceedings of Vibration Problems, Polish. Acad. Sci., 1965, VI, 3, p. 231—265.
70. К a 1 i s k i S., Nowacki W. Integral Theorems for the Wavetype Heat
Conductivity Equation.— Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Tech., 1969, XVII,
6, p. 305—314.
71. Lord H. W.,Shulman Y.A Generalized Dynamical Theory of Thermo-
elasticity.— J. of the Mechanics and Physics of Solids, 1967, XV, 5, p. 299—309.
72. Lord H. W., Lopez A. A. Wave Propagation in Thermoelastic Solids
a Very Low Temperature:— Acta mechanica, 1970, 10, 1—2, p. 85—98.
73. McCarthy Matthew F. Wave Propagation in Generalized Thermo-
elasticity.— Int. J. Eng. Sci., 1972, 10, 7, p. 593—602.
74. Nayfeh Adnan H. Transcient Thermoelastic Waves in a Halfspace with
Thermal Relaxation.— Z. angew. Math, and Phys., 1972, 23, 1, p. 50—58.
75. Nowacki W. Transcient Thermal Stresses in Viscoelastic Plates and Shells.—
Advances Aeronaut. Sci., 1962, 4, p. 947—969.
76. Nowacki W. Dynamiczne zagadnienia termospre_zystosci, Panstwowe
wydawnictwo naukowe, Warszawa, 1966, 366 s.
77. Norwood F. R., Warren W. E. Wave Propagation in Generalized Dy-
Dynamical Theory of Thermoelasticity.—Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1969,
22, 3, p. 283—290.
78. Singh Harinder, Singh A. Generalized Thermoelastic Longitudinal
Waves in Unbounded Medium.— Pure and Applied Geophysics, 1972, 101,
9, p. 28-37.
79. Tokuoka Tatsuo. Propagation Velocities and Amplitudes of Thermo-
accustical Waves in Thermoplastic Materials.— Trans. Jap. Soc. Aeronaut, and
Space Sci., 1973, 16, 32, p. 102—112.
80. Wadhawan M. C. Radially Symmetrical Thermoelastic Disturbances in
Generalised Dynamical Theory of Thermoelasticity.— Pure and Applied Geophy-
Geophysics, 1972, 99, 7, p. 61—71.
81. W a d h a w a n M. C. Thermoelastic Responce of a Cylinder in the Generali-
Generalized Dynamical Theory of Thermoelasticity.— Pure and Applied Geophysics,
1973,102, 1, p. 37—50.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Основные условные обозначения б
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ
АНИЗОТРОПНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
Глава первая. Обобщенная термоупругость однородных тел .... 7
1. Обобщенный закон теплопроводности. Краевые условия 7
2. Основные соотношения и уравнения термоупругости ... 9
3. Разделение взаимосвязанной системы дифференциальных
уравнений 17
4. Основные энергетические уравнения 19
5. Теорема единственности 21
6. Вариационная теорема , 23
7. Теорема взаимности 24
8. Теорема Сомилиано 27
9. Теорема Грина 30
10. Метод Майзеля 32
Глава вторая. Обобщенная термоупругость неоднородных тел ... 35
1. Условия неидеального контакта твердых тел 35
2. Термомеханические граничные условия для тел с покрытия-
покрытиями 42
3. Термомеханические ^граничные условия для тел со сфе-
сферическими включениями 48
4. Условия теплообмена для тел со стержневыми включениями 53
Глава третья. Обобщенная термоупругость тонкостенных элементов
конструкций . . . 56
1. Уравнения теплопроводности для пластинок 56
2. Уравнения теплопроводности для стержней 61
3. Уравнения теплопроводности для оболочек 65
4. Уравнения несвязанной термоупругости анизотропных
пластинок 68
5. Уравнения несвязанной термоупругости изотропных плас-
пластинок и стержней 76
6. Уравнения несвязанной термоупругости изотропных обо-
оболочек 80
7. Уравнения взаимосвязанной термоупругости анизотропных
пластинок 83
8. Условия неидеального теплового контакта изотропных
пластинок 84
9. Условия теплообмена на подкрепленном криволинейном
краю изотропных пластинок 90
308
10. К определению обобщенных динамических температурных
напряжений на стыке пластинок и стержней 94
11. Термомеханические граничные условия для определения
обобщенных динамических температурных напряжений в
пластинках с круговыми включениями 101
12. Условия неидеального термомеханического контакта плас-
пластинок ЮЗ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ОБОБЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕРМОУПРУГОСТИ
Глава четвертая. Динамические задачи термоупругости для массив-
массивных тел 115
1. Полупространство 116
2. Цилиндр 129
3. Пространство с цилиндрической полостью ........ 135
4. Пространство со сферическим включением 138
5. Пространство со сферической полостью 144
6. Слой 157
7. Нагрев тел равномерно распределенными источниками теп-
тепла 161
Глава пятая. Двумерные динамические задачи термоупругости для
пластинок 169
1. Полоса, полубесконечная и бесконечная пластинки, нагрева-
нагреваемые источниками тепла 169
2. Бесконечная анизотропная пластинка, нагреваемая источни-
источниками тепла 179
3. Полоса-пластинка и полубесконечная пластинка, нагревае-
нагреваемые по краю 186
Глава шестая. Одномерные динамические задачи термоупругости для
тонкостенных элементов конструкций 194
1. Прямоугольная балка, нагреваемая потоком тепла .... 194
2. Прямоугольная пластинка, нагреваемая по боковой поверх-
поверхности потоком тепла 202
3. Круговая пластинка, нагреваемая по боковой поверхности
потоком тепла 208
4. Полубесконечная пластинка, нагреваемая плоским источни-
источником тепла 214
5. Бесконечная пластинка, нагреваемая линейным источником
тепла 222
6. Круговая пластинка, нагреваемая по краю 229
7. Бесконечная пластинка с круговым отверстием, нагреваемая
по краю 238
8. Бесконечный цилиндрический стержень, нагреваемый источ-
источниками тепла , 245
Глава седьмая. Гармонические волны в термоупругих средах 248
1. Плоские волны в пространстве и полупространстве .... 248
2. Сферические волны в пространстве 257
3. Цилиндрические волны в пространстве 261
4. Волны в слое 264
5. Моды распространения одномерных волн в пространстве 269
309
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ОБОБЩЕННАЯ МАГНИТОТЕРМОУПРУГОСТЬ
И ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТЬ
Глава восьмая. Обобщенная магнитотермоупругость ....... 277
1. Основные уравнения и соотношения 277
2. Цилиндр 279
3. Пространство с цилиндрической полостью 283
4. Полупространство 286
Глава девятая. Обобщенные динамические задачи термовязкоупру-
гости 292
1. Основные соотношения и уравнения динамической термо-
термовязко упругости массивных тел . 292
2. Основные соотношения и уравнения динамической термовяз-
коупругости пластинок 295
3. Вязкоупругое полупространство 296
4. Вязкоупругая полубесконечная пластинка 300
Литература 304
Ярослав Степанович Подстригай,
Юрий Михайлович Коляно
ОБОБЩЕННАЯ ТЕРМОМЕХАНИКА
Печатается по постановлению ученого совета Львовского филиала
математической физики Института математики АН УССР
Редакторы Н, М. К р и ч у н, Д. И. Попович
Художественный редактор В. М. Тепляков
Оформление художника В. Г. Самсонова
Технические редакторы Д. В. Вирич, Б. М. Кричевская
Корректоры Г. И. Ц ы б е н к о, В. Н. Божок
Сдано в набор 22. IX 1975 г. Подписано к печати 25. Ш 1976 г.
БФ 08354. Зак. № 5—2365. Изд. 412. Тираж 2200. Бумага № 1,
60x90x/ie. Условн. печ. листов 19,5. Учетно-изд. листов 20,52. Цена
2 руб. 24 коп.
Издательство «Наукова думка», Киев, Репина, 3.
Головное предприятие республиканского производственного объ-
объединения «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, г. Киев,
ул. Довженко, 3.