Л. Д. ЛАНДАУ, Е. М. ЛИФШИЦ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
В ДЕСЯТИ ТОМАХ
МОСКВА

Л. Д. ЛАНДАУ, Е. М. ЛИФШИЦ
ТОМ VI
ГИДРОДИНАМИКА
МОСКВА
2000

УДК 530.1@75.8)
Л22
ББК 22.31
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. — 5-е изд., сте-
реот. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. —736 с —ISBN 5-9221-0121-8 (Т. VI).
Гидродинамика излагается как часть теоретической физики, чем
и определяется характер ее содержания, отличающийся от других кур-
курсов. Авторы стремились с возможной полнотой разобрать все представ-
представляющие физический интерес вопросы, создать по возможности более
ясную картину явлений и их взаимоотношений. При подготовке нового
издания практически во все главы добавлен новый материал, особенно
в главы о турбулентности и ударных волнах, однако переработка не
изменила характера книги, выходившей как первая часть «Механики
сплошных сред» в 1953 г.
4-е изд. — 1988 г.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников соответствующих специ-
специальностей.
Ил. 136.
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук Л. П. Пит а е в с кий
ISBN 5-9221-0121-8 (Т. VI)
ISBN 5-9221-0053-Х	©ФИЗМАТЛИТ, 1988, 2001.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию		9
Из предисловия ко второму изданию «Механики сплошных сред»	11
Г л а в а I. Идеальная жидкость
1.	Уравнение непрерывности 		13
2.	Уравнение Эйлера		15
3.	Гидростатика		19
4.	Условие отсутствия конвекции		21
5.	Уравнение Бернулли 		23
6.	Поток энергии 		25
7.	Поток импульса 		27
8.	Сохранение циркуляции скорости		29
9.	Потенциальное движение		31
10.	Несжимаемая жидкость 		36
11.	Сила сопротивления при потенциальном обтекании ....	48
12.	Гравитационные волны 		54
13.	Внутренние волны в несжимаемой жидкости 		62
14.	Волны во вращающейся жидкости 		65
Г л а в а П. Вязкая жидкость
15.	Уравнения движения вязкой жидкости		71
16.	Диссипация энергии в несжимаемой жидкости 		78
17.	Течение по трубе		79
18.	Движение жидкости между вращающимися цилиндрами .	85
19.	Закон подобия 		86
20.	Течение при малых числах Рейнольдса		89
21.	Ламинарный след 		101
22.	Вязкость суспензий 		108
23.	Точные решения уравнений движения вязкой жидкости . .	111
24.	Колебательное движение в вязкой жидкости 		121
25.	Затухание гравитационных волн		133
Глава III. Турбулентность
26.	Устойчивость стационарного движения жидкости 		137
27.	Устойчивость вращательного движения жидкости 		143
28.	Устойчивость движения по трубе 		147
29.	Неустойчивость тангенциальных разрывов		152
30.	Квазипериодическое движение и синхронизация частот .	155
31.	Странный аттрактор 		162
32.	Переход к турбулентности путем удвоения периодов ....	169
33.	Развитая турбулентность		184
34.	Корреляционные функции скоростей		193
35.	Турбулентная область и явление отрыва		207

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
36.	Турбулентная струя	210
37.	Турбулентный след 	217
38.	Теорема Жуковского 	218
Г л а в а IV. Пограничный слой
39.	Ламинарный пограничный слой		223
40.	Движение вблизи линии отрыва		231
41.	Устойчивость движения в ламинарном пограничном слое .	238
42.	Логарифмический профиль скоростей 		243
43.	Турбулентное течение в трубах 		249
44.	Турбулентный пограничный слой		251
45.	Кризис сопротивления 		253
46.	Хорошо обтекаемые тела 		257
47.	Индуктивное сопротивление 		260
48.	Подъемная сила тонкого крыла 		265
Г л а в а V. Теплопроводность в жидкости
49.	Общее уравнение переноса тепла 		269
50.	Теплопроводность в несжимаемой жидкости 		275
51.	Теплопроводность в неограниченной среде		280
52.	Теплопроводность в ограниченной среде		284
53.	Закон подобия для теплопередачи		291
54.	Теплопередача в пограничном слое 		294
55.	Нагревание тела в движущейся жидкости 		301
56.	Свободная конвекция 		304
57.	Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости . .	310
Глава VI. Диффузия
58.	Уравнения гидродинамики для жидкой смеси	318
59.	Коэффициенты диффузии и термодиффузии 	322
60.	Диффузия взвешенных в жидкости частиц 	329
Глава VII. Поверхностные явления
61.	Формула Лапласа 	332
62.	Капиллярные волны	340
63.	Влияние адсорбированных пленок на движение жидкости 345
Глава VIII. Звук
64.	Звуковые волны 		349
65.	Энергия и импульс звуковых волн 		355
66.	Отражение и преломление звуковых волн 		361
67.	Геометрическая акустика		363
68.	Распространение звука в движущейся среде		368
69.	Собственные колебания		373
70.	Сферические волны		377
71.	Цилиндрические волны		380
72.	Общее решение волнового уравнения		383
73.	Боковая волна 		386
74.	Излучение звука		392
75.	Возбуждение звука турбулентностью		405
76.	Принцип взаимности 		409
77.	Распространение звука по трубке 		412
78.	Рассеяние звука 		416

ОГЛАВЛЕНИЕ	7
79.	Поглощение звука 	421
80.	Акустическое течение	429
81.	Вторая вязкость 	432
Г л а в а IX. Ударные волны
82.	Распространение возмущений в потоке сжимаемого газа .	440
83.	Стационарный поток сжимаемого газа 		444
84.	Поверхности разрыва 		449
85.	Ударная адиабата 		454
86.	Ударные волны слабой интенсивности 		458
87.	Направление изменения величин в ударной волне 		461
88.	Эволюционность ударных волн 		465
89.	Ударные волны в политропном газе		468
90.	Гофрировочная неустойчивость ударных волн		470
91.	Распространение ударной волны по трубе 		479
92.	Косая ударная волна 		482
93.	Ширина ударных волн 		487
94.	Ударные волны в релаксирующей среде 		494
95.	Изотермический скачок		495
96.	Слабые разрывы		498
ГлаваХ. Одномерное движение сжимаемого газа
97.	Истечение газа через сопло 	501
98.	Вязкое движение сжимаемого газа по трубе 	504
99.	Одномерное автомодельное движение	508
100.	Разрывы в начальных условиях 		517
101.	Одномерные бегущие волны 		524
102.	Образование разрывов в звуковой волне 		533
103.	Характеристики 		540
104.	Инварианты Римана		544
105.	Произвольное одномерное движение сжимаемого газа . .	548
106.	Задача о сильном взрыве 		556
107.	Сходящаяся сферическая ударная волна 		561
108.	Теория «мелкой воды»		567
Глава XI. Пересечение поверхностей разрыва
109.	Волна разрежения 	570
110.	Типы пересечений поверхностей разрыва	576
111.	Пересечение ударных волн с твердой поверхностью .... 582
112.	Сверхзвуковое обтекание угла 	586
113.	Обтекание конического острия 	591
Глава XII. Плоское течение сжимаемого газа
114.	Потенциальное движение сжимаемого газа		595
115.	Стационарные простые волны 		599
116.	Уравнение Чаплыгина (общая задача о двумерном стаци-
стационарном движении сжимаемого газа) 		605
117.	Характеристики плоского стационарного течения		609
118.	Уравнение Эйлера-Трикоми. Переход через звуковую ско-
скорость 		612
119.	Решения уравнения Эйлера-Трикоми вблизи неособых то-
точек звуковой поверхности		618

ОГЛАВЛЕНИЕ
120.	Обтекание со звуковой скоростью 		623
121.	Отражение слабого разрыва от звуковой линии 		629
Глава XIII. Обтекание конечных тел
122.	Образование ударных волн при сверхзвуковом обтекании
тел 		636
123.	Сверхзвуковое обтекание заостренного тела 		640
124.	Дозвуковое обтекание тонкого крыла 		646
125.	Сверхзвуковое обтекание крыла 		649
126.	Околозвуковой закон подобия 		653
127.	Гиперзвуковой закон подобия		656
Глава XIV. Гидродинамика горения
128.	Медленное горение		660
129.	Детонация		668
130.	Распространение детонационной волны		675
131.	Соотношение между различными режимами горения . . .	684
132.	Конденсационные скачки 		687
Глава XV. Релятивистская гидродинамика
133.	Тензор энергии-импульса жидкости 		690
134.	Релятивистские гидродинамические уравнения 		692
135.	Ударные волны в релятивистской гидродинамике		698
136.	Релятивистские уравнения движения вязкой и теплопро-
теплопроводной среды 		701
Глава XVI. Гидродинамика сверхтекучей жидкости
137.	Основные свойства сверхтекучей жидкости 		704
138.	Термомеханический эффект 		707
139.	Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости ....	709
140.	Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости ....	717
141.	Распространение звука в сверхтекучей жидкости 		721
Некоторые обозначения 		729
Предметный указатель		730

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В двух предыдущих изданиях A944 и 1953 гг.) «Гидроди-
«Гидродинамика» составляла первую часть «Механики сплошных сред»;
теперь она выделена в отдельный том.
Характер содержания и изложения в этой книге определен
в воспроизводимом ниже предисловии к предыдущему изданию.
Моей основной заботой при переработке и дополнении было не
изменить этот характер.
Несмотря на протекшие 30 лет материал, содержавшийся во
втором издании, фактически не устарел —за очень незначитель-
незначительными исключениями. Этот материал подвергся лишь сравни-
сравнительно небольшим добавлениям и изменениям. В то же время до-
добавлен ряд новых параграфов — около пятнадцати по всей книге.
За последние десятилетия гидродинамика развивалась чрез-
чрезвычайно интенсивно и соответственно необычайно расширилась
литература по этой науке. Но ее развитие в значительной степе-
степени шло по прикладным направлениям, а также в направлении
усложнения доступных теоретическому расчету (в том числе с
использованием ЭВМ) задач. К последним относятся, в частно-
частности, разнообразные задачи о неустойчивостях и их развитии, в
том числе в нелинейном режиме. Все эти вопросы лежат вне ра-
рамок данной книги; в частности вопросы устойчивости излагают-
излагаются (как и в предыдущих изданиях), в основном, результативным
образом.
Не включена в книгу также и теория нелинейных волн в дис-
диспергирующих средах, составляющая в настоящее время значи-
значительную главу математической физики. Чисто гидродинамиче-
гидродинамическим объектом этой теории являются волны большой амплитуды
на поверхности жидкости. Основные же ее физические примене-
применения связаны с физикой плазмы, нелинейной оптикой, различны-
различными электродинамическими задачами и др.; в этом смысле она
относится к другим томам.
Существенные изменения произошли в понимании механиз-
механизма возникновения турбулентности. Хотя последовательная тео-
теория турбулентности принадлежит еще будущему, есть основа-
основания полагать, что ее развитие вышло, наконец, на правильный
путь. Относящиеся сюда основные существующие к настоящему

10	ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
времени идеи и результаты изложены в трех параграфах (§ 30-
32), написанных мной совместно с М. И. Рабиновичем; я глубоко
благодарен ему за оказанную таким образом большую помощь.
В механике сплошных сред возникла в последние десятилетия
новая область — механика жидких кристаллов. Она несет в себе
одновременно черты, свойственные механикам жидких и упру-
упругих сред. Изложение ее основ предполагается включить в новое
издание «Теории упругости».
Среди книг, которые мне довелось написать совместно
с Львом Давидовичем Ландау, эта книга занимает особое место.
Он вложил в нее часть своей души. Новая для Льва Давидови-
Давидовича в то время область теоретической физики увлекла его, и —
как это было для него характерно — он принялся заново проду-
продумывать и выводить для себя ее основные результаты. Отсюда
родился ряд его оригинальных работ, опубликованных в различ-
различных журналах. Но ряд принадлежащих Льву Давидовичу и во-
вошедших в книгу оригинальных результатов или точек зрения не
были опубликованы отдельно, а в некоторых случаях даже его
приоритет выяснился лишь позднее. В новом издании книги во
всех известных мне подобных случаях я добавил соответствую-
соответствующие указания на его авторство.
При переработке этого, как и других томов «Теоретической
физики», меня поддерживали помощь и советы многих моих дру-
друзей и товарищей по работе. Я хотел бы в первую очередь
упомянуть многочисленные обсуждения с Г. И. Баренблаттом,
Я. Б. Зельдовичем, Л. П. Питаевским, Я. Г. Синаем. Ряд полез-
полезных указаний я получил от А. А. Андронова, СИ. Анисимова,
В. А. Белоконя, В. П. Крайнова, А. Г. Куликовского, М. А. Ли-
бермана, Р. В. Половина, А. В. Тимофеева, А. Л. Фабриканта.
Всем им я хочу выразить здесь свою искреннюю благодарность.
Е. М. Лифшиц
Институт физических проблем АН СССР
Август 1984 г.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
«МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД»
Предлагаемая книга посвящена изложению механики сплош-
сплошных сред, т. е. теории движения жидкостей и газов (гидродина-
(гидродинамике) и твердых тел (теории упругости). Являясь по существу
областями физики, эти теории благодаря ряду своих специфи-
специфических особенностей превратились в самостоятельные науки.
В теории упругости существенную роль играет решение ма-
математически четко поставленных задач, связанных с линейными
дифференциальными уравнениями в частных производных; по-
поэтому теория упругости содержит в себе много элементов так
называемой математической физики.
Гидродинамика имеет существенно иной характер. Ее уравне-
уравнения нелинейны, и потому прямое их исследование и решение воз-
возможны лишь в сравнительно редких случаях. Благодаря этому
развитие современной гидродинамики возможно лишь в непре-
непрерывной связи с экспериментом. Это обстоятельство сильно сбли-
сближает ее с другими областями физики.
Несмотря на свое практическое обособление от других обла-
областей физики, гидродинамика и теория упругости тем не менее
имеют большое значение как части теоретической физики. С од-
одной стороны, они являются областями применения общих ме-
методов и законов теоретической физики, и ясное понимание их
невозможно без знания основ других разделов последней. С дру-
другой стороны, сама механика сплошных сред необходима для ре-
решения задач из совершенно других областей теоретической фи-
физики.
Мы хотели бы сделать здесь некоторые замечания о харак-
характере изложения гидродинамики в предлагаемой книге. Эта кни-
книга излагает гидродинамику как часть теоретической физики, и
этим в значительной мере определяется характер ее содержания,
существенно отличающийся от других курсов гидродинамики.
Мы стремились с возможной полнотой разобрать все представ-
представляющие физический интерес вопросы. При этом мы старались
построить изложение таким образом, чтобы создать по возмож-
возможности более ясную картину явлений и их взаимоотношений. В
соответствии с таким характером книги мы не излагаем в ней
как приближенных методов гидродинамических расчетов, так и

12	ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
тех из эмпирических теорий, которые не имеют более глубокого
физического обоснования. В то же время здесь излагаются такие
предметы, как теория теплопередачи и диффузия в жидкостях,
акустика и теория горения, которые обычно выпадают из курсов
гидродинамики.
В настоящем, втором, издании книга подвергнута большой
переработке. Добавлено значительное количество нового мате-
материала, в особенности в газодинамике, почти полностью написан-
написанной заново. В частности, добавлено изложение теории околозву-
околозвукового движения. Этот вопрос имеет важнейшее принципиаль-
принципиальное значение для всей газодинамики, так как изучение особенно-
особенностей, возникающих при переходе через звуковую скорость, долж-
должно дать возможность выяснения основных качественных свойств
стационарного обтекания твердых тел сжимаемым газом. В этой
области до настоящего времени еще сравнительно мало сдела-
сделано; многие важные вопросы могут быть еще только поставлены.
Имея в виду необходимость их дальнейшей разработки, мы да-
даем подробное изложение применяемого здесь математического
аппарата.
Добавлены две новые главы, посвященные релятивистской
гидродинамике и гидродинамике сверхтекучей жидкости. Реля-
Релятивистские гидродинамические уравнения (глава XV) могут най-
найти применение в различных астрофизических вопросах, напри-
например при изучении объектов, в которых существенную роль игра-
играет излучение; своеобразное поле применения этих уравнений от-
открывается также и в совершенно другой области физики, напри-
например, в теории множественного образования частиц при столкно-
столкновениях. Излагаемая в главе XVI «двухскоростная» гидродина-
гидродинамика дает макроскопическое описание движения сверхтекучей
жидкости, каковой является жидкий гелий при температурах,
близких к абсолютному нулю...
Мы хотели бы выразить искреннюю благодарность
Я. Б. Зельдовичу и Л. И. Седову за ценное для нас обсужде-
обсуждение ряда гидродинамических вопросов. Мы благодарим также
Д. В. Сивухина, прочитавшего книгу в рукописи и сделавше-
сделавшего ряд замечаний, использованных нами при подготовке второго
издания книги.
Л. Ландау, Е. Лифшиц
1952 г.

ГЛАВА I
ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ
§ 1. Уравнение непрерывности
Изучение движения жидкостей (и газов) представляет собой
содержание гидродинамики. Поскольку явления, рассматривае-
рассматриваемые в гидродинамике, имеют макроскопический характер, то
в гидродинамике жидкость :) рассматривается как сплошная
среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидко-
жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еще
очень большое число молекул. Соответственно этому, когда мы
будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда
при этом будет подразумеваться «физически» бесконечно малый
объем, т. е. объем, достаточно малый по сравнению с объемом
тела, но большой по сравнению с межмолекулярными расстоя-
расстояниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике вы-
выражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например,
говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом
идет речь не о смещении отдельной молекулы, а о смещении це-
целого элемента объема, содержащего много молекул, но рассма-
рассматриваемого в гидродинамике как точка.
Математическое описание состояния движущейся жидкости
осуществляется с помощью функций, определяющих распреде-
распределение скорости жидкости v = v(x, у, z, t) и каких-либо ее двух
термодинамических величин, например давления р(х, у, z, t) ~я
плотности р(х, у, z, ?). Как известно, все термодинамические ве-
величины определяются по значениям каких-либо двух из них с
помощью уравнения состояния вещества; поэтому задание пяти
величин: трех компонент скорости v, давления р и плотности р,
полностью определяет состояние движущейся жидкости.
Все эти величины являются, вообще говоря, функциями ко-
координат ж, у, z и времени t. Подчеркнем, что v(x, у, z, t) есть
скорость жидкости в каждой данной точке х, у, z пространства
в момент времени ?, т. е. относится к определенным точкам про-
пространства, а не к определенным частицам жидкости, передвига-
передвигающимся со временем в пространстве; то же самое относится к
величинам /э, р.
х) Мы говорим здесь и ниже для краткости только о жидкости, имея при
этом в виду как жидкости, так и газы.

14	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вы-
вывода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества
в гидродинамике.
Рассмотрим некоторый объем Vq пространства. Количество
(масса) жидкости в этом объеме есть f pdV, где р есть плот-
плотность жидкости, а интегрирование производится по объему Vq.
Через элемент di поверхности, ограничивающей рассматривае-
рассматриваемый объем, в единицу времени протекает количество рлг di жид-
жидкости; вектор di по абсолютной величине равен площади эле-
элемента поверхности и направлен по нормали к ней. Условимся
направлять di по внешней нормали. Тогда pvdf положительно,
если жидкость вытекает из объема, и отрицательно, если жид-
жидкость втекает в него. Полное количество жидкости, вытекающей
в единицу времени из объема Vb, есть, следовательно,
ф рлг df,
j
где интегрирование производится по всей замкнутой поверхно-
поверхности, охватывающей рассматриваемый объем.
С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объ-
объеме Vo можно написать в виде
-^ f pdV.
dt J и
Приравнивая оба выражения, получаем:
jJpdV = -(fpvd{.	A.1)
Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему
ф pvdf = / div pv dV.
Таким образом,
dt	и J
Поскольку это равенство должно иметь место для любого объ-
объема, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение,
т. е.
— + divpv = 0.	A.2)
Это — так называемое уравнение непрерывности.
Раскрыв выражение divpv, A.2) можно написать также
в виде
— р iv v v gra р -	{ . )

§ 2	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА	15
Вектор
j = pv	A.4)
называют плотностью потока жидкости. Его направление сов-
совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная вели-
величина определяет количество жидкости, протекающей в едини-
единицу времени через единицу площади, расположенной перпенди-
перпендикулярно к скорости.
§ 2. Уравнение Эйлера
Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, дей-
действующая на выделенный объем жидкости, равна интегралу
-<?pdf,
взятому по поверхности рассматриваемого объема. Преобразуя
его в интеграл по объему, имеем
=—j gradj? dV.
j
Отсюда видно, что на каждый элемент объема dV жидкости дей-
действует со стороны окружающей его жидкости сила — dV gr&dp.
Другими словами, можно сказать, что на единицу объема жид-
жидкости действует сила — gradp.
Мы можем теперь написать уравнение движения элемента
объема жидкости, приравняв силу — gradp произведению мас-
массы р единицы объема жидкости на ее ускорение dv/dt:
/9-^ =-gradp.	B.1)
at
Стоящая здесь производная dv/dt определяет не изменение
скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а
изменение скорости определенной передвигающейся в простран-
пространстве частицы жидкости. Эту производную надо выразить через
величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам.
Для этого заметим, что изменение dv скорости данной частицы
жидкости в течение времени dt складывается из двух частей:
из изменения скорости в данной точке пространства в течение
времени dt и из разности скоростей (в один и тот же момент
времени) в двух точках, разделенных расстоянием rfr, пройден-
пройденным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени dt.
Первая из этих частей равна
dt
где теперь производная dv /dt берется при постоянных ж, у, z,
т. е. в заданной точке пространства. Вторая часть изменения

16	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
скорости равна
Л-у /)v dv	/
/7 rp	 I /10 1	 —I— /7 у	 	 i /7T* \/ i "V"
dx	ду	dz
Таким образом,
dv = — dt + (drV)v
или, разделив обе части равенства на dt :) ,
— = — + (vV)v.	B.2)
dt dt y J	K J
Подставив полученное соотношение в B.1), находим
— + (vV)v = —- gradp.	B.3)
dt	p
Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установ-
установленное впервые Л. Эйлером в 1755 г. Оно называется уравнением
Эйлера и является одним из основных уравнений гидродинами-
гидродинамики.
Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую еди-
единицу ее объема действует еще сила pg, где g есть ускорение сво-
свободного падения. Эта сила должна быть прибавлена к правой
части уравнения B.1), так что B.3) приобретает вид
При выводе уравнений движения мы совершенно не учиты-
учитывали процессов диссипации энергии, которые могут иметь место
в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости)
в жидкости и теплообмена между различными ее участками. По-
Поэтому все излагаемое здесь и в следующих параграфах этой гла-
главы относится только к таким движениям жидкостей и газов, при
которых несущественны процессы теплопроводности и вязкости;
о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости.
Отсутствие теплообмена между отдельными участками жид-
жидкости (а также, конечно, и между жидкостью и соприкасаю-
соприкасающимися с нею окружающими телами) означает, что движение
происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из
участков жидкости. Таким образом, движение идеальной жид-
жидкости следует рассматривать как адиабатическое.
При адиабатическом движении энтропия каждого участка
жидкости остается постоянной при перемещении последнего в
1) Определенную таким образом производную d/dt называют субстанцио-
субстанциональной, подчеркивая тем самым ее связь с перемещающимся веществом.

§ 2	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА	17
пространстве. Обозначая буквой s энтропию, отнесенную к еди-
единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность дви-
движения уравнением
— = 0,	B.5)
dt	v J
где полная производная по времени означает, как ив B.1), изме-
изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости.
Эту производную можно написать в виде
g + vgracb = 0.	B.6)
Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность
движения идеальной жидкости. С помощью A.2) его можно на-
написать в виде «уравнения непрерывности» для энтропии
^	0.	B.7)
Произведение psv представляет собой плотность потока эн-
энтропии.
Обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более
простую форму. Если, как это обычно имеет место, в некоторый
начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках
объема жидкости, то она останется везде одинаковой и неизмен-
неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этих
случаях можно, следовательно, писать уравнение адиабатично-
адиабатичности просто в виде
s = const,	B.8)
что мы и будем обычно делать в дальнейшем. Такое движение
называют изэнтропическим.
Изэнтропичностью движения можно воспользоваться для то-
того, чтобы представить уравнение движения B.3) в несколько
ином виде. Для этого воспользуемся известным термодинами-
термодинамическим соотношением
dw = Т ds + V dp,
где -ш —тепловая функция единицы массы жидкости, V = 1/р —
удельный объем, а Т — температура. Поскольку s = const, имеем
dw = V dp = - ф,
Р
и поэтому
-Vp = Vw.
Р
Уравнение B.3) можно, следовательно, написать в виде
— + (vV)v = -gradw.	B.9)
dt

18	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Полезно заметить еще одну форму уравнения Эйлера, в кото-
котором оно содержит только скорость. Воспользовавшись известной
формулой векторного анализа
-grad^2 = [vrotv] + (vV)v,
можно написать B.9) в виде
^ - [vrotv] = -grad(«; + ?).	B.10)
Применив к обеим частям этого уравнения операцию rot, по-
получим уравнение
A rot v = rot [v rot v],	B.11)
ot
содержащее только скорость.
К уравнениям движения надо добавить граничные условия,
которые должны выполняться на ограничивающих жидкость
стенках. Для идеальной жидкости это условие должно выражать
собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за
твердую поверхность. Это значит, что на неподвижных стенках
должна обращаться в нуль нормальная к поверхности стенки
компонента скорости жидкости:
vn = 0	B.12)
(в общем же случае движущейся поверхности vn должно быть
равно соответствующей компоненте скорости поверхности).
На границе между двумя несмешивающимися жидкостями
должны выполняться условие равенства давлений и условие ра-
равенства нормальных к поверхности раздела компонент скорости
обеих жидкостей (причем каждая из этих скоростей равна ско-
скорости нормального перемещения самой поверхности раздела).
Как уже было указано в начале § 1, состояние движущейся
жидкости определяется пятью величинами: тремя компонента-
компонентами скорости v и, например, давлением р и плотностью р. Со-
Соответственно этому полная система гидродинамических уравне-
уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидко-
жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение
непрерывности и уравнение, выражающее адиабатичность дви-
движения.
Задача
Написать уравнения одномерного течения идеальной жидкости в пере-
переменных a, t, где а есть ж-координата частиц жидкости в некоторый момент
времени t = to (так называемая переменная Лагранжа) г).
г) Хотя эти переменные и принято называть лагранжевыми, но в действи-
действительности уравнения движения жидкости в этих координатах были впервые
получены Л. Эйлером одновременно с основными уравнениями B.3).

§ 3	ГИДРОСТАТИКА	19
Решение.В указанных переменных координата х каждой частицы
жидкости в произвольный момент времени рассматривается как функция
t и ее же координаты а в начальный момент: х = х(а, t). Условие сохране-
сохранения массы элемента жидкости при его движении (уравнение непрерывности)
напишется соответственно в виде pdx = poda, или
дх\
— ) = Ро,
где ро(а) есть заданное начальное распределение плотности. Скорость жид-
(дх\	fdv\
кои частицы есть, по определению, v = I — ] , а производная ( — ) опре-
V dt' a	\dt' а
деляет изменение со временем скорости данной частицы по мере ее движе-
движения. Уравнение Эйлера напишется в виде
fdv\ =_}_(дР\
^ dt ' а	ро V Оп ' t
а уравнение адиабатичности:
§ 3. Гидростатика
Для покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле
тяжести, уравнение Эйлера B.4) принимает вид
gradp = pg.	C.1)
Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости.
(Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнение равнове-
равновесия гласит просто Vp = 0, т. е. р = const,— давление одинаково
во всех точках жидкости.)
Уравнение C.1) непосредственно интегрируется, если плот-
плотность жидкости можно считать постоянной во всем ее объеме,
т. е. если не происходит заметного сжатия жидкости под действи-
действием внешнего поля. Направляя ось z вертикально вверх, имеем
dp dp p. dp
Отсюда
р = — pgz + const.
Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность (на
высоте /г), к которой приложено одинаковое во всех точках
внешнее давление ]9о, то эта поверхность должна быть горизон-
горизонтальной плоскостью z = h. Из условия р = ро при z = h имеем
const = ро + pgh,
так что
P = Po + pg(h-z).	C.2)

20	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Для больших масс жидкости или газа плотность р нельзя,
вообще говоря, считать постоянной; это в особенности относится
к газам (например, к воздуху). Предположим, что жидкость на-
находится не только в механическом, но и в тепловом равновесии.
Тогда температура одинакова во всех точках жидкости, и урав-
уравнение C.1) может быть проинтегрировано следующим образом.
Воспользуемся известным термодинамическим соотношением
^ф = -sdT + Vdp,
где Ф — термодинамический потенциал, отнесенный к единице
массы жидкости. При постоянной температуре
d$ = Vdp = -dp.
Р
Отсюда видно, что выражение -Vp можно написать в рассма-
Р
триваемом случае как УФ, так что уравнение равновесия C.1)
принимает вид
VФ = g.
Для постоянного вектора g, направленного вдоль оси z (в отри-
отрицательном ее направлении), имеет место тождество
Таким образом,
У(Ф+ g;?)= 0,
откуда находим, что вдоль всего объема жидкости должна быть
постоянной сумма
ф + gz = const;	C.3)
gz представляет собой потенциальную энергию единицы массы
жидкости в поле тяжести. Условие C.3) известно уже из стати-
статистической физики как условие термодинамического равновесия
системы, находящейся во внешнем поле.
Отметим здесь еще следующее простое следствие из уравне-
уравнения C.1). Если жидкость или газ (например, воздух) находятся
в механическом равновесии в поле тяжести, то давление в них
может быть функцией только от высоты z (если бы на данной
высоте давление было различно в различных местах, то возникло
бы движение). Тогда из C.1) следует, что и плотность
P=~-f	C-4)
gdz
тоже является функцией только от z. Но давление и плотность
однозначно определяют температуру в данной точке тела. Сле-
Следовательно, и температура должна быть функцией только от z.

§ 4	УСЛОВИЕ ОТСУТСТВИЯ КОНВЕКЦИИ	21
Таким образом, при механическом равновесии в поле тяжести
распределение давления, плотности и температуры зависит толь-
только от высоты. Если же, например, температура различна в раз-
разных местах жидкости на одной и той же высоте, то механическое
равновесие в ней невозможно.
Наконец, выведем уравнение равновесия очень большой мас-
массы жидкости, части которой удерживаются вместе силами грави-
гравитационного притяжения (звезда). Пусть (^ — ньютоновский гра-
гравитационный потенциал создаваемого жидкостью поля. Он удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
А<р = 4тгСр,	C.5)
где G — гравитационная постоянная. Напряженность гравитаци-
гравитационного поля равна grad <p, так что сила, действующая на мас-
массу р, есть — pgra,d(p. Поэтому условие равновесия будет
gradp = — pgr&dcp.
Разделив это равенство на /э, применив к обеим его частям опе-
операцию div и воспользовавшись уравнением C.5), получим окон-
окончательное уравнение равновесия в виде
divf-gradp) = —AnGp.	C.6)
\р	)
Подчеркнем, что здесь идет речь только о механическом равно-
равновесии; существование же полного теплового равновесия в урав-
уравнении C.6) отнюдь не предполагается.
Если тело не вращается, то в равновесии оно будет иметь сфе-
сферическую форму, а распределение плотности и давления в нем
будет центрально-симметричным. Уравнение C.6), написанное в
сферических координатах, примет при этом вид
§ 4. Условие отсутствия конвекции
Жидкость может находиться в механическом равновесии
(т. е. в ней может отсутствовать макроскопическое движение), не
находясь при этом в тепловом равновесии. Уравнение C.1), яв-
являющееся условием механического равновесия, может быть удо-
удовлетворено и при непостоянной температуре в жидкости. При
этом, однако, возникает вопрос о том, будет ли такое равнове-
равновесие устойчивым. Оказывается, что равновесие будет устойчивым
лишь при выполнении определенного условия. Если это условие
не выполняется, то равновесие неустойчиво, что приводит к по-
появлению в жидкости беспорядочных течений, стремящихся пе-
перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная

22	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
температура. Такое движение носит название конвекции. Усло-
Условие устойчивости механического равновесия является, другими
словами, условием отсутствия конвекции. Оно может быть вы-
выведено следующим образом.
Рассмотрим элемент жидкости, находящийся на высоте z и
обладающий удельным объемом V(p, s), где р и s — равновесные
давление и энтропия на этой высоте. Предположим, что этот
элемент жидкости подвергается адиабатическому смещению на
малый отрезок ? вверх; его удельный объем станет при этом рав-
равным V{p', s), где р' — давление на высоте ? + ?. Для устойчивости
равновесия необходимо (хотя, вообще говоря, и не достаточно),
чтобы возникающая при этом сила стремилась вернуть элемент в
исходное положение. Это значит, что рассматриваемый элемент
должен оказаться более тяжелым, чем «вытесненная» им в новом
положении жидкость. Удельный объем последней есть V(pl', s7),
где sf — равновесная энтропия жидкости на высоте z + ?. Таким
образом, имеем условие устойчивости
V(p',s')-V(p',S)>0.
Разлагая эту разность по степеням
/ ds /~
получим
тг) ?>0-	DЛ)
ds / р dz
Согласно термодинамическим формулам имеем
\ds)p~ cp \дТ)р
где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Теп-
Теплоемкость Ср, как и температура Т, есть величина всегда поло-
положительная; поэтому мы можем переписать D.1) в виде
) ^>0.	D.2)
1 / р dz
Большинство веществ расширяется при нагревании, т. е.
f — j > 0; тогда условие отсутствия конвекции сводится к нера-
неравенству
? > 0,	D.3)
dz
т. е. энтропия должна возрастать с высотой.

§ 5	УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ	23
Отсюда легко найти условие, которому должен удовлетворять
dT ^	ds
градиент температуры —. гаскрыв производную —, пишем
dz	dz
^1 — (—\ — + ( —\ — — ^— - ( —\ — > О
d ~ дТ d	dd ~ T d	дТ d
^1 (—\ — + ( —\ — ^—	( —\ —
dz ~ \дТ/р dz \dp/Tdz ~ T dz	\дТ/р dz
Наконец, подставив согласно C.4)
dp _ _
dz	V1
получим
dT
dz cp
D.4)
где /3 = — (—j —температурный коэффициент расширения.
Если речь идет о равновесии столба газа, который можно считать
идеальным (в термодинамическом смысле слова), то /ЗТ = 1 и
условие D.4) принимает вид
~ < -¦	D-5)
dz cp
Конвекция наступает при нарушении этих условий, т. е. если тем-
температура падает по направлению снизу вверх, причем ее гради-
градиент превышает по абсолютной величине указанное в D.4), D.5)
§ 5. Уравнение Бернулли
Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае ста-
стационарного течения жидкости. Под стационарным (или уста-
установившимся) подразумевают такое течение, при котором в каж-
каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения
остается постоянной во времени. Другими словами, v является
функцией одних только координат, так что длг/dt = 0. Уравнение
B.10) сводится теперь к равенству
-grad^2 — [vrotv] = — gradiu.	E.1)
Введем понятие о линиях тока как линиях, касательные к ко-
которым указывают направление вектора скорости в точке касания
:) Для воды при 20° С значение в правой части D.4) составляет около 1°
на 6,7 км; для воздуха значение в правой части D.5) составляет около 1° на
100 метров.

24	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
в данный момент времени; они определяются системой диффе-
дифференциальных уравнений
dx_ _ dy_ _ dz^	/г 2)
vx vy vz
При стационарном движении жидкости линии тока остаются не-
неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жид-
жидкости. При нестационарном течении такое совпадение, разумеет-
разумеется, не имеет места: касательные к линии тока дают направления
скорости разных частиц жидкости в последовательных точках
пространства в определенный момент времени, в то время как
касательные к траектории дают направления скорости опреде-
определенных частиц в последовательные моменты времени.
Умножим уравнение E.1) на единичный вектор касательной
к линии тока в каждой ее точке; этот единичный вектор обозна-
обозначим 1. Проекция градиента на некоторое направление равна, как
известно, производной, взятой по этому направлению. Поэтому
искомая проекция от gradiu есть dw/dl. Что касается вектора
[vrotv], то он перпендикулярен к скорости v, и потому его про-
проекция на направление 1 равна нулю.
Таким образом, из уравнения E.1) получаем
( + «,)= о.
dl\2	)
2
Отсюда следует, что величина — + w постоянна вдоль линии
тока:
2
— -\- w = const.	E.3)
2	V J
Значение const, вообще говоря, различно для разных линий тока.
Уравнение E.3) называют уравнением Бернулли :) .
Если течение жидкости происходит в поле тяжести, то к пра-
правой части уравнения E.1) надо прибавить еще ускорение свобод-
свободного падения g. Выберем направление силы тяжести в качестве
направления оси z, причем положительные значения z отсчиты-
ваются вверх. Тогда косинус угла между направлениями g и 1
равен производной —dz/dl, так что проекция g на 1 есть
_ dz_
g dl'
Соответственно этому будем иметь теперь
) Оно было установлено для несжимаемой жидкости (см. § 10) Д. Бер-
Бернулли в 1738 г.

§ 6	ПОТОК ЭНЕРГИИ	25
Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий то-
тока остается постоянной сумма
2
— + w + gz = const.	E.4)
§ 6. Поток энергии
Выберем какой-нибудь неподвижный в пространстве элемент
объема и определим, как меняется со временем энергия находя-
находящейся в этом объеме жидкости. Энергия единицы объема жид-
жидкости равна
о
V .
Р- + ре,
где первый член есть кинетическая энергия, а второй — внутрен-
внутренняя энергия (е — внутренняя энергия единицы массы жидкости).
Изменение этой энергии определяется частной производной
д 2
Для вычисления этой величины пишем
д pv2 v2 dp . <9v
— -— =	 + pv —
dt 2	2 dt r dt
или, воспользовавшись уравнением непрерывности A.2) и урав-
уравнением движения B.3),
— — = — — divpv — vgradp — pv(vV)v.
В последнем члене заменяем v(vV)v = A/2)vV^2, а гради-
градиент давления согласно термодинамическому соотношению dw =
= Tds + dp/p заменяем на pVw — pTVs и получаем
д pV2	V2 -..	т-j f	. V2 \ . гп V7
— -— = —— divpv — pvVl w + — I + pi vvs.
dt 2	2	V	2 /
Для преобразования производной от ре воспользуемся термоди-
термодинамическим соотношением
de = Tds-pdV = Tds + 2- dp.
P2
Имея в виду, что сумма е + р/р = е + pV есть не что иное, как
тепловая функция w единицы массы, находим
d(pe) = е dp + р de = w dp + рТ ds,
и потому
= WER + pT^l = -wdivpv -
dt и dt	'
W + pT
dt	dt и dt

26	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Здесь мы воспользовались также общим уравнением адиабатич-
ности B.6).
Собирая полученные выражения, находим для искомого из-
изменения энергии
— -— + ре] = —\w + — div pv — pi v v
dt\ 2 r J	V	2 /
или окончательно
dt\ 2 W ~ 1Vl^V\2 /J'
Для того чтобы выяснить смысл полученного равенства, про-
проинтегрируем его по некоторому объему:
или, преобразовав стоящий справа объемный интеграл в инте-
интеграл по поверхности:
)M) <6-2»
Слева стоит изменение в единицу времени энергии жидко-
жидкости в некотором заданном объеме пространства. Стоящий спра-
справа интеграл по поверхности представляет собой, следовательно,
количество энергии, вытекающей в единицу времени из рассмат-
рассматриваемого объема. Отсюда видно, что выражение
pvVY +
представляет собой вектор плотности потока энергии. Его аб-
абсолютная величина есть количество энергии, протекающей в еди-
единицу времени через единицу поверхности, расположенную пер-
перпендикулярно к направлению скорости.
Выражение F.3) показывает, что каждая единица массы жид-
жидкости как бы переносит с собой при своем движении энергию
w + v2/2. Тот факт, что здесь стоит тепловая функция ю, ане
просто внутренняя энергия ?, имеет простой физический смысл.
Подставив w = е + р/р, напишем полный поток энергии через
замкнутую поверхность в виде
y + e)df- (Lpvdf.
Первый член есть энергия (кинетическая и внутренняя), непо-
непосредственно переносимая (в единицу времени) проходящей че-
через поверхность массой жидкости. Второй же член представляет
собой работу, производимую силами давления над жидкостью,
заключенной внутри поверхности.

§ 7	ПОТОК ИМПУЛЬСА	27
§ 7. Поток импульса
Произведем теперь аналогичный вывод для импульса жид-
жидкости. Импульс единицы объема жидкости есть рлг. Определим
скорость его изменения:
д
—pw.
дГ
Будем производить вычисления в тензорных обозначениях.
Имеем
д	dvi . до
— OVi = р	 + —Щ.
ОГ г И dt dt
Воспользуемся уравнением непрерывности A.2), написав его в
виде
др_ _
dt
и уравнением Эйлера B.3) в форме
dvj_ _ _ дщ_ _ 1 dp
dt	дхк р dxi
Тогда получим
д	dvi dp	d(pvk)	dp d
— pVi = — pVfr	 — —— — Vi ^ J = — —— —
dt	dxk dxi	dxk	dxi dxi
Первый член справа напишем в виде
dp_ _ х dp_
и находим окончательно:
<L у- = дПгк
dt	dxk
где тензор П^ определяется как
П.7 	 Т)П • 1 I nil-Hi	it /I
Он, очевидно, симметричен.
Для выяснения смысла тензора П^ проинтегрируем уравне-
уравнение G.1) по некоторому объему:
G.1)
Стоящий в правой части равенства интеграл преобразуем в

28	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
интеграл по поверхности :) :
fikdfk.	G.3)
Интеграл слева есть изменение в единицу времени г-й ком-
компоненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому стоящий
справа интеграл по поверхности есть количество этого импуль-
импульса, вытекающего в единицу времени через ограничивающую объ-
объем поверхность. Следовательно, H^d/k есть г-я компонента им-
импульса, протекающего через элемент df поверхности. Если
написать dfk в виде п^ df {df — абсолютная величина элемента
поверхности, п — единичный вектор внешней нормали к нему),
то мы найдем, что П^п& есть поток г-й компоненты импульса,
отнесенный к единице площади поверхности. Заметим, что со-
согласно G.2) HikTik = рщ + pViVkUk] это выражение может быть
написано в вектор- ном виде как
рп + рлг(лгп).	G.4)
Таким образом, П^ есть г-я компонента количества импуль-
импульса, протекающего в единицу времени через единицу поверхно-
поверхности, перпендикулярную к оси х^. Тензор П^ называют тензором
плотности потока импульса. Поток энергии, являющейся ска-
скалярной величиной, определяется вектором; поток же импульса,
который сам есть вектор, определяется тензором второго ранга.
Вектор G.4) определяет поток вектора импульса в направле-
направлении п, т. е. через поверхность, перпендикулярную к п. В частно-
частности, выбирая направление единичного вектора п вдоль направле-
направления скорости жидкости, мы найдем, что в этом направлении пе-
переносится лишь продольная компонента импульса, причем плот-
плотность ее потока равна
р + pv2.
В направлении же, перпендикулярном к скорости, переносится
лишь поперечная (по отношению к v) компонента импульса, а
плотность ее потока равна просто р.
1) Правило преобразования интеграла по замкнутой поверхности в инте-
интеграл по охватываемому этой поверхностью объему можно сформулировать
следующим образом: оно осуществляется заменой элемента поверхности dfi
оператором dV	, который должен быть применен ко всему подынтеграль-
дх¦
ному выражению
df +dV

§ 8	СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ СКОРОСТИ	29
§ 8. Сохранение циркуляции скорости
Интеграл
Г=
взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией ско-
скорости вдоль этого контура.
Рассмотрим замкнутый контур, проведенный в жидкости в
некоторый момент времени. Будем рассматривать его как «жид-
«жидкий», т. е. как составленный из находящихся на нем частиц жид-
жидкости. С течением времени эти частицы передвигаются, а с ними
перемещается и весь контур. Выясним, что происходит при этом
с циркуляцией скорости вдоль контура. Другими словами, вы-
вычислим производную по времени
dt,
Мы пишем здесь полную производную по времени соответствен-
соответственно тому, что ищем изменение циркуляции вдоль перемещающе-
перемещающегося жидкого контура, а не вдоль контура, неподвижного в про-
пространстве.
Во избежание путаницы будем временно обозначать диффе-
дифференцирование по координатам знаком #, оставив знак d для диф-
дифференцирования по времени. Кроме того, заметим, что элемент
d\ длины контура можно написать в виде разности Sr радиус-
векторов г точек двух концов этого элемента. Таким образом,
напишем циркуляцию скорости в виде
г
(hwSr.
При дифференцировании этого интеграла по времени надо иметь
в виду, что меняется не только скорость, но и сам контур (т. е.
его форма). Поэтому, внося знак дифференцирования по вре-
времени под знак интеграла, надо дифференцировать не только v,
но и Sr:
d Л с	idv, . I dor
— ф vSr = ф —Sr + ф v—.
dtj	7 dt	7 dt
Поскольку скорость v есть не что иное, как производная по
времени от радиус-вектора г, то
dSr	c-dr	г	c-v2
v— = vo— = vov = о —.
dt	dt	2
Но интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала
равен нулю. Поэтому второй из написанных интегралов исчезает
и остается
?лгёг ф
dtj	T dt

30	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Теперь остается подставить сюда для ускорения dv/dt его вы-
выражение согласно B.9):
dt
Применив формулу Стокса, получаем тогда (поскольку
rot gradiu = 0):
I dv r-	Г , dv rn n
ф —or = / rot —of = 0.
7 dt	J dt
Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим
окончательно х) :
dt
или
?vd\ = const.	(8.1)
Мы приходим к результату, что (в идеальной жидкости) цир-
циркуляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура остается
неизменной со временем. Это утверждение называют теоремой
Томсона (W. Thomson, 1869) или законом сохранения циркуля-
циркуляции скорости. Подчеркнем, что он получен путем использования
уравнения Эйлера в форме B.9) и потому связан с предположе-
предположением об изэнтропичности движения жидкости. Для неизэнтро-
пического движения этот закон не имеет места 2) .
Применив теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому
контуру 6С и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим
v d\ = / rot v df « 8f • rot v = const,	(8.2)
где df — элемент жидкой поверхности, опирающийся на контур
SC. Вектор rotv часто называют завихренностью 3) течения
жидкости в данной ее точке. Постоянство произведения (8.2)
можно наглядно истолковать, сказав, что завихренность пере-
переносится вместе с движущейся жидкостью.
Задача
Показать, что при неизэнтропическом течении для каждой перемещаю-
перемещающейся частицы остается постоянным связанное с ней значение произведения
(Vs • rot v)/p (Я. Ertel, 1942).
1)Этот результат сохраняет силу и в однородном поле тяжести, так как
rotg = 0.
2) С математической точки зрения необходимо, чтобы между р и р суще-
существовала однозначная связь (при изэнтропическом движении она определя-
определяется уравнением s(p, p) = const). Тогда вектор —Vp/p может быть написан
в виде градиента некоторой функции, что и требуется для вывода теоремы
Томсона.
3)По английской терминологии — vorticity.

§ 9	ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	31
Решение. При неизэнтропическом движении правая часть уравне-
уравнения Эйлера B.3) не может быть заменена на — Vu> и вместо уравнения B.11)
получается
dt	p2
(для краткости введено обозначение из = rotv). Умножим это равенство
на Vs; поскольку s = s(p, p), то Vs выражается линейно через Vp и Vp
и произведение Vs[Vp • Vp] = 0. После этого выражение в правой части
уравнения преобразуем следующим образом:
Vs — = Vs • rot [vw] = - div [Vsfvu;]] = - div (v(wVs)) + div (w(vVs)) =
dt
= — (wVs) div v — v grad (wVs) + a; grad(vVs).
Согласно B.6) заменяем (vVs) = —ds/dt и получаем уравнение
— (wVs) + v grad (wVs) + (wVs) div v = 0.
Первые два члена объединяются в d{usV s)/dt (где d/dt = <9/<9? + (vV)), a
в последнем заменяем согласно A.3) р div v = —dp/dt. В результате получаем
^ р
чем и выражается искомый закон сохранения.
§ 9. Потенциальное движение
Из закона сохранения циркуляции скорости можно вывести
важное следствие. Будем считать сначала, что движение жидко-
жидкости стационарно и рассмотрим линию тока, о которой известно,
что в некоторой ее точке rot v = 0. Проведем бесконечно малый
контур, охватывающий линию тока вокруг этой точки; с тече-
течением времени он будет передвигаться вместе с жидкостью, все
время охватывая собой ту же самую линию тока. Из постоянства
произведения (8.2) следует поэтому, что rotv будет равен нулю
вдоль всей линии тока.
Таким образом, если в какой-либо точке линии тока завих-
завихренность отсутствует, то она отсутствует и вдоль всей этой ли-
линии. Если движение жидкости не стационарно, то этот результат
остается в силе, с той разницей, что надо говорить не о линии то-
тока, а о траектории, описываемой с течением времени некоторой
определенной жидкой частицей (напоминаем, что при нестацио-
нестационарном движении эти траектории не совпадают, вообще говоря,
с линиями тока) х) .
1)Во избежание недоразумений отметим уже здесь, что этот результат
теряет смысл при турбулентном движении. Отметим также, что завихрен-
завихренность может появиться на линии тока после пересечения ею так называемой
ударной волны; мы увидим, что это связано с нарушением изэнтропичности
течения (§ 114).

32	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
На первый взгляд отсюда можно было бы сделать следу-
следующий вывод. Рассмотрим стационарное обтекание какого-либо
тела потоком жидкости. На бесконечности натекающий поток
однороден; его скорость v = const, так что rotv = 0 на всех ли-
линиях тока. Отсюда можно было бы заключить, что rotv будет
равен нулю и вдоль всей длины всех линий тока, т. е. во всем
пространстве.
Движение жидкости, при котором во всем пространстве
rotv = 0, называется потенциальным (или безвихревым) в про-
противоположность вихревому движению, при котором ротор ско-
скорости отличен от нуля. Таким образом, мы пришли бы к резуль-
результату, что стационарное обтекание всякого тела натекающим из
бесконечности однородным потоком должно быть потенциальным.
Аналогичным образом из закона сохранения циркуляции ско-
скорости можно было бы сделать еще и следующий вывод. Предпо-
Предположим, что в некоторый момент времени движение жидкости
(во всем ее объеме) потенциально. Тогда циркуляция скорости
по любому замкнутому контуру в ней равна нулю :) . В силу тео-
теоремы Томсона можно было бы заключить, что это будет иметь
место и в течение всего дальнейшего времени, т. е. мы получили
бы результат, что если движение жидкости потенциально в неко-
некоторый момент времени, то оно будет потенциальным и в дальней-
дальнейшем (в частности, должно было бы быть потенциальным всякое
движение, при котором в начальный момент времени жидкость
вообще покоилась). Этому соответствует и тот факт, что урав-
уравнение B.11) удовлетворяется при rotv = 0 тождественно.
В действительности, однако, все эти заключения имеют лишь
весьма ограниченную применимость. Дело в том, что приведен-
приведенное выше доказательство сохранения равенства rot v = 0 вдоль
линии тока, строго говоря, неприменимо для линии, проходя-
проходящей вдоль поверхности обтекаемого жидкостью твердого тела,
уже просто потому, что ввиду наличия стенки нельзя провести
в жидкости замкнутый контур, который охватывал бы собой та-
такую линию тока. С этим обстоятельством связан тот факт, что
уравнения движения идеальной жидкости допускают решения, в
которых на поверхности обтекаемого жидкостью твердого тела
происходит, как говорят, «отрыв струй»: линии тока, следовав-
следовавшие вдоль поверхности, в некотором месте «отрываются» от нее,
уходя в глубь жидкости. В результате возникает картина тече-
течения, характеризующаяся наличием отходящей от тела «поверх-
«поверхности тангенциального разрыва», на которой скорость жидкости
(будучи направлена в каждой точке по касательной к поверх-
) Для простоты мы считаем здесь, что жидкость заполняет односвязную
область пространства. Для многосвязной области получился бы тот же са-
самый конечный результат, но при рассуждениях надо было бы делать специ-
специальные оговорки по поводу выбора контуров.

§9
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
33
Рис. 1
ности) терпит разрыв непрерывности. Другими словами, вдоль
этой поверхности один слой жидкости как бы скользит по дру-
другому (на рис. 1 изображено обтекание с поверхностью разрыва,
отделяющей движущуюся жидкость от
образующейся позади тела «застой-
«застойной» области неподвижной жидкости).
С математической точки зрения ска-
скачок тангенциальной составляющей ско-
скорости представляет собой, как извест-
известно, поверхностный ротор скорости.
При учете таких разрывных те-
течений решение уравнений идеальной
жидкости не однозначно: наряду с
непрерывным решением они допускают
также и бесчисленное множество реше-
решений с поверхностями тангенциальных разрывов, отходящими от
любой наперед заданной линии на поверхности обтекаемого тела.
Подчеркнем, однако, что все эти разрывные решения не имеют
физического смысла, так как тангенциальные разрывы абсолют-
абсолютно неустойчивы, в результате чего движение жидкости становит-
становится в действительности турбулентным (см. об этом в гл. III).
Реальная физическая задача об обтекании заданного тела,
разумеется, однозначна. Дело в том, что в действительности не
существует строго идеальных жидкостей; всякая реальная жид-
жидкость обладает какой-то, хотя бы и малой, вязкостью. Эта вяз-
вязкость может практически совсем не проявляться при движении
жидкости почти во всем пространстве, но сколь бы она ни бы-
была мала, она будет играть существенную роль в тонком присте-
пристеночном слое жидкости. Именно свойства движения в этом (так
называемом пограничном) слое и определят в действительности
выбор одного из бесчисленного множества решений уравнений
движения идеальной жидкости. При этом оказывается, что в
общем случае обтекания тел произвольной формы отбираются
именно решения с отрывом струй (что фактически приводит к
возникновению турбулентности).
Несмотря на все изложенное, изучение решений уравнений
движения, соответствующих непрерывному стационарному по-
потенциальному обтеканию тел, имеет в некоторых случаях смысл.
Между тем как в общем случае обтекания тел произвольной фор-
формы истинная картина течения практически ничего общего с кар-
картиной потенциального обтекания не имеет, в случае тел, имею-
имеющих некоторую особую («хорошо обтекаемую», см. § 46) форму,
движение жидкости может очень мало отличаться от потенци-
потенциального (точнее, оно будет не потенциальным лишь в тонком
слое жидкости вблизи поверхности тела и в сравнительно узкой
области «следа» позади тела).
2 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

34	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Другим важным случаем, когда осуществляется потенциаль-
потенциальное обтеканке, являются малые колебания погруженного в жид-
жидкость тела. Легко показать, что если амплитуда а колебаний ма-
мала по сравнению с линейными размерами / тела (а <С /), то дви-
движение жидкости вокруг тела будет всегда потенциальным. Для
этого оценим порядок величины различных членов в уравнении
Эйлера
^ + (vV)v = -Vw.
Скорость v испытывает заметное изменение (порядка скоро-
скорости и колеблющегося тела) на протяжении расстояний порядка
размеров тела /. Поэтому производные от v по координатам —
порядка величины и/1. Порядок же величины самой скорости
v определяется (на не слишком больших расстояниях от тела)
скоростью и. Таким образом, имеем (vV)v ~ и2/I. Производная
же длг/dt— порядка величины аш, где ио — частота колебаний.
Поскольку ио ~ и/а, то имеем длг/dt ~ и2/а. Из а <С I следует
теперь, что член (vV)v мал по сравнению с длг/dt и может быть
опущен, так что уравнение движения жидкости приобретает вид
длг/dt = —Vw. Применив к обеим частям этого уравнения опе-
операцию rot, получаем
откуда rotv = const. Но при колебательном движении среднее
(по времени) значение скорости равно нулю; поэтому из rotv =
= const следует, что rotv = 0. Таким образом, движение жид-
жидкости, совершающей малые колебания, является (в первом при-
приближении) потенциальным.
Выясним теперь некоторые общие свойства потенциального
движения жидкости. Прежде всего напомним, что вывод закона
сохранения циркуляции, а с ним и всех дальнейших следствий,
был основан на предположении об изэнтропичности течения. Ес-
Если же движение не изэнтропично, то этот закон не имеет места;
поэтому, даже если в некоторый момент времени движение яв-
является потенциальным, то в дальнейшем, вообще говоря, завих-
завихренность все же появится. Таким образом, фактически потенци-
потенциальным может быть лишь изэнтропическое движение.
При потенциальном движении жидкости циркуляция скоро-
скорости по любому замкнутому контуру равна нулю:
dl= /rotvrff = 0.	(9.1)
Из этого обстоятельства следует, в частности, что при потен-
потенциальном течении не могут существовать замкнутые линии

§ 9	ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	35
тока :) . Действительно, поскольку направление линии тока сов-
совпадает в каждой точке с направлением скорости, циркуляция
скорости вдоль такой линии во всяком случае была бы отличной
от нуля.
При вихревом же движении циркуляция скорости, вообще го-
говоря, отлична от нуля. В этом случае могут существовать за-
замкнутые линии тока; надо, впрочем, подчеркнуть, что наличие
замкнутых линий тока отнюдь не является необходимым свой-
свойством вихревого движения.
Как и всякое векторное поле с равным нулю ротором, ско-
скорость потенциально движущейся жидкости может быть выра-
выражена в виде градиента от некоторого скаляра. Этот скаляр на-
называется потенциалом скорости; мы будем обозначать его че-
через ср:
v = grady?.	(9.2)
Написав уравнение Эйлера в виде B.10)
— + -Vv2 — [vrot v] = — Ww
и подставив в него v = V<p, получаем
+ ?+«.)-о,
откуда находим следующее равенство:
где /(?)— произвольная функция времени. Это равенство пред-
представляет собой первый интеграл уравнений потенциального дви-
движения. Функция /(?) в равенстве (9.3) может быть без ограниче-
ограничения общности положена равной нулю за счет неоднозначности в
определении потенциала: поскольку скорость определяется про-
производными от ср по координатам, можно прибавить к ср любую
функцию времени.
При стационарном движении имеем (выбирая потенциал ср не
зависящим от времени) dcp/dt = 0, f(t) = const, и (9.3) переходит
в уравнение Бернулли
2
— + w = const.	(9.4)
2	V J
г) Этот результат, как и (9.1), может не иметь места при движении жид-
жидкости в многосвязной области пространства. При потенциальном течении в
такой области циркуляция скорости может быть отличной от нуля, если за-
замкнутый контур, вдоль которого она берется, не может быть стянут в точку
так, чтобы нигде не пересечь границ области.

36	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Необходимо подчеркнуть здесь следующее существенное отличие
между уравнениями Бернулли в случае потенциального и непо-
непотенциального движений. В общем случае произвольного движе-
движения const в правой части этого уравнения есть величина, по-
постоянная вдоль каждой данной линии тока, но, вообще говоря,
различная для разных линий тока. При потенциальном же дви-
движении const в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во
всем объеме жидкости. Это обстоятельство в особенности повы-
повышает роль уравнения Бернулли при исследовании потенциаль-
потенциального движения.
§ 10. Несжимаемая жидкость
В очень многих случаях течения жидкостей (и газов) их плот-
плотность можно считать неизменяющейся, т. е. постоянной вдоль
всего объема жидкости в течение всего времени движения. Дру-
Другими словами, в этих случаях при движении не происходит за-
заметных сжатий или расширений жидкости. О таком движении
говорят как о движении несжимаемой жидкости.
Общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются при
применении их к несжимаемой жидкости. Правда, уравнение Эй-
Эйлера не меняет своего вида, если положить в нем р = const, за
исключением только того, что в уравнении B.4) можно внести р
под знак градиента:
J + (vV)v = -V^+g.	A0.1)
ot	р
Зато уравнение непрерывности принимает при р = const про-
простой вид
divv = 0.	A0.2)
Поскольку плотность не является теперь неизвестной функ-
функцией, как это имеет место в общем случае, то в качестве основ-
основной системы уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости
можно выбрать уравнения, содержащие только скорость. Такими
уравнениями являются уравнение непрерывности A0.2) и урав-
уравнение B.11):
rotv = rot[vrotv].	A0.3)
Уравнение Бернулли тоже может быть написано для несжи-
несжимаемой жидкости в более простом виде. Уравнение A0.1) отли-
отличается от общего уравнения Эйлера B.9) тем, что вместо Vw в
нем стоит \7(р/р). Поэтому мы можем сразу написать уравнение
Бернулли, заменив просто в E.4) тепловую функцию

§ 10	НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ	37
отношением р/р:
^ + l + gz = const.	A0.4)
2 р
Для несжимаемой жидкости можно писать р/р вместо w так-
также и в выражении F.3) для потока энергии, которое принимает
тогда вид
Действительно, согласно известному термодинамическому соот-
соотношению имеем для изменения внутренней энергии выражение
de = Т ds — pdV; при s = const и V = 1/р = const имеем de =
= 0, т. е. е = const. Поскольку же постоянные члены в энергии
несущественны, то можно опустить е ж в w = е + р/р.
В особенности упрощаются уравнения для потенциального
течения несжимаемой жидкости. Уравнение A0.3) удовлетворя-
удовлетворяется при rot v = 0 тождественно. Уравнение же A0.2) при под-
подстановке v = grad if превращается в
Д<р = 0,	A0.6)
т. е. в уравнение Лапласа для потенциала (р х) . К этому урав-
уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверх-
поверхностях соприкосновения жидкости с твердыми телами: на непо-
неподвижных твердых поверхностях нормальная к поверхности ком-
компонента vn скорости жидкости должна быть равна нулю, а в
общем случае движущихся твердых тел vn должна быть равна
проекции скорости движения тела на направление той же нор-
нормали (эта скорость является заданной функцией времени). Ско-
Скорость vn равна, с другой стороны, производной от потенциала (р
по направлению нормали: vn = —. Таким образом, граничные
дп
условия в общем случае гласят, что — является на границах
дп
заданной функцией времени и координат.
При потенциальном движении скорость связана с давлением
уравнением (9.3). В случае несжимаемой жидкости в этом урав-
уравнении можно писать р/р вместо w:
Отметим здесь следующее важное свойство потенциального
движения несжимаемой жидкости. Пусть через жидкость дви-
движется какое-нибудь твердое тело. Если возникающее при этом
:) Потенциал скорости был впервые введен Эйлером. Им же было полу-
получено для этой величины уравнение вида A0.6), получившее впоследствии
название уравнения Лапласа.

38
ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ
ГЛ. I
Рис. 2
течение жидкости является потенциальным, то это течение за-
зависит в каждый момент только от скорости движущегося тела
в этот же момент времени, но, например, не от его ускорения.
Действительно, самое уравнение A0.6) не
содержит времени явно; время входит в ре-
решение лишь через граничные условия, со-
содержащие только скорость движущегося в
жидкости тела.
Из уравнения Бернулли v2/2 + р/р =
= const видно, что при стационарном дви-
движении несжимаемой жидкости (без поля
тяжести) наибольшее значение давления
достигается в точках, где скорость обраща-
обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на
поверхности обтекаемого жидкостью тела
(точка О на рис. 2) и называется критической точкой. Если и —
скорость натекающего на тело потока жидкости (т. е. скорость
жидкости на бесконечности), а ро — давление на бесконечности,
то давление в критической точке равно
2
Pmax=P0 + ^--	(Ю.8)
Если распределение скоростей в движущейся жидкости зави-
зависит только от двух координат, скажем от ж и у, причем скорость
параллельна везде плоскости жу, то о таком течении говорят как
о двумерном или плоском. Для решения задач о двумерном тече-
течении несжимаемой жидкости иногда бывает удобным выражать
скорость через так называемую функцию тока. Из уравнения
непрерывности
diw = ^ + ^=0
дх ду
видно, что компоненты скорости могут быть написаны в виде
производных
_ дф	_ дф
ду ' у	дх
A0.9)
от некоторой функции ф(х, у), называемой функцией тока.
Уравнение непрерывности при этом удовлетворяется автомати-
автоматически. Уравнение же, которому должна удовлетворять функция
тока, получается подстановкой A0.9) в уравнение A0.3)
-Т	, 	-0.	A0.10)
dt	дх ду ду дх	V	J
Зная функцию тока, можно непосредственно определить фор-
форму линий тока для стационарного движения жидкости. Действи-

§ 10	НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ	39
тельно, дифференциальное уравнение линий тока (при двумер-
двумерном течении) есть
dx 	 dy
vx vy
или Vydx — vxdy = 0; оно выражает собой тот факт, что на-
направление касательной к линии тока в каждой точке совпадает
с направлением скорости. Подставляя сюда A0.9), получаем
— dx + — dy = dip = 0,
дх	ду
откуда ф = const. Таким образом, линии тока представляют со-
собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции
ф(х, у) произвольной постоянной.
Если между двумя точками 1 и 2 в плоскости ху провести
кривую, то поток жидкости Q через эту кривую определится
разностью значений функции тока в этих точках независимо от
формы кривой. Действительно, если vn — проекция скорости на
нормаль к кривой в данной ее точке, то
2	2	2
Q = р vndl = р (-Vy dx + vxdy) = р dip,
l	l	l
или
О = р(ф2-ф1).	(ю.п)
Мощные методы решения задач о плоском потенциальном
обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей свя-
связаны с применением к ним теории функций комплексного пере-
переменного х) . Основание для этих применений заключается в сле-
следующем. Потенциал и функция тока связаны с компонентами
скорости соотношениями 2)
_ дер _ дф_	_ дер _ _дф_
Vx ~ ~дх~ ~ ^ Vy ~ Ъу ~ ~дх~'
Но такие соотношения между производными функций ср и ф с ма-
математической точки зрения совпадают с известными условиями
Коши-Римана, выражающими собой тот факт, что комплексное
выражение
<ио = (р + гф	A0.12)
1) Подробное изложение этих методов и их многочисленных применений
может быть найдено во многих курсах и монографиях по гидродинамике с
более математическим уклоном. Здесь мы ограничиваемся лишь объяснени-
объяснением основной идеи метода.
) Напомним, однако, что существование самой по себе функции тока свя-
связано только с двумерностью течения, и отнюдь не требует его потенциаль-
потенциальности.

40	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
является аналитической функцией комплексного аргумента z =
= х + гу. Это значит, что функция w(z) будет иметь в каждой
точке определенную производную
Т = я + г я = Vx ~ wy	10.13
dz ox ox
^	dw
Функцию w называют комплексным потенциалом, а — —
комплексной скоростью. Модуль и аргумент последней опреде-
определяют абсолютную величину скорости v и угол в ее наклона к
направлению оси х:
^ = ve-ie.	A0.14)
dz
На твердой поверхности обтекаемого контура скорость дол-
должна быть направлена по касательной к нему. Другими словами,
контур должен совпадать с одной из линий тока, т. е. на нем
должно быть ф = const; эту постоянную можно выбрать равной
нулю, и тогда задача об обтекании жидкостью заданного конту-
контура сводится к определению аналитической функции w(z), прини-
принимающей на этом контуре вещественные значения. Более сложна
постановка задачи в случаях, когда жидкость имеет свободную
поверхность (такой пример —см. задачу 9 к этому параграфу).
Интеграл от аналитической функции по какому-либо замкну-
замкнутому контуру С равен, как известно, умноженной на 2тгг сумме
вычетов этой функции относительно ее простых полюсов, распо-
расположенных внутри С, поэтому
w' dz = 2тгг ^ Afc,
к
где Afr — вычеты комплексной скорости. С другой стороны,
имеем
(j)w/dz= (h(vx — ivy)(dx + г dy) =
j	j
= Ф(vx dx + vy dy) +гф(vx dy — vy dx).
Вещественная часть этого выражения есть не что иное, как цир-
циркуляция Г скорости по контуру С. Мнимая же часть (умножен-
(умноженная на р) представляет собой поток жидкости через этот контур;
при отсутствии внутри контура источников жидкости этот поток
равен нулю, и тогда имеем просто
Г = 2тгг?Ал	A0.15)
к
(все вычеты А^ при этом чисто мнимые).

§ 10	НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ	41
Наконец, остановимся на условиях, при выполнении которых
жидкость можно считать несжимаемой. При адиабатическом из-
изменении давления на Ар плотность жидкости изменится на
Ар = № Ар.
\др/ s
Но согласно уравнению Бернулли колебания давления в стацио-
стационарно движущейся жидкости — порядка величины Ap^pv2. Про-
Производная же (dp/dp)s представляет собой (как мы увидим в § 64)
квадрат скорости звука с в жидкости. Таким образом, находим
оценку
Ар~ pv2/c2.
Жидкость можно считать несжимаемой, если Ар/р<^ 1. Мы ви-
видим, что необходимым условием для этого является малость ско-
скорости ее движения по сравнению со скоростью звука:
г;<с.	A0.16)
Это условие достаточно, однако, только при стационарном
движении. При нестационарном движении необходимо выполне-
выполнение еще одного условия. Пусть т и / — величины порядка про-
промежутков времени и расстояний, на которых скорость жидко-
жидкости испытывает заметное изменение. Сравнив члены длг/dt и
Vp/p в уравнении Эйлера, получим, по порядку величины, v/r~
~ Ар/lp или Ар ~ lpv/т, а соответствующее изменение р есть
Ар ~/ pv/rc2. Сравнив теперь члены dp/dt и pdivv в уравнении
непрерывности, найдем, что производной dp/dt можно прене-
пренебречь (т. е. можно считать, что р = const) в случае, если Ар/т<^
<С pv/l или
т>-.	A0.17)
с
Выполнение обоих условий A0.16) и A0.17) достаточно для
того, чтобы можно было считать жидкость несжимаемой. Усло-
Условие A0.17) имеет наглядный смысл — оно означает, что время
//с, в течение которого звуковой сигнал пройдет расстояние /,
мало по сравнению со временем т, в течение которого заметно
изменяется движение жидкости и, таким образом, дает возмож-
возможность рассматривать процесс распространения взаимодействий в
жидкости как мгновенный.
Задачи
1. Определить форму поверхности несжимаемой жидкости в поле тяже-
тяжести в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг своей оси с постоянной
угловой скоростью Q.
Решение. Ось z выбираем по оси цилиндра. Тогда vx = —Qy, vy =
= Qx, vz = 0. Уравнение непрерывности удовлетворяется автоматически, а

42	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
уравнение Эйлера A0.1) дает
„2 1ф О2 1ф 1 dp , л
жП ="^' ^П = я ' "я +g = 0'
раж	р т/ р а^
Общий интеграл этих уравнений есть
- = -ft2 (ж2 + у2) -gz + const.
Р 2
На свободной поверхности р = const, так что эта поверхность является па-
раболоидом: z = ( — ) (ж2 +у2) (начало координат — в низшей точке поверх-
V2gy
g
ности).
2.	Шар (радиуса R) движется в несжимаемой идеальной жидкости. Опре-
Определить потенциальное течение жидкости вокруг шара.
Решение. На бесконечности скорость жидкости должна обращаться
в нуль. Обращающимися на бесконечности в нуль решениями уравнения
Лапласа А(р = 0 являются, как известно, 1/г и производные различных
порядков от 1/г по координатам (начало координат — в центре шара). Ввиду
полной симметрии шара в решение может войти лишь один постоянный
вектор — скорость и, а ввиду линейности уравнения Лапласа и граничного
условия к нему ip должно содержать и линейным образом. Единственным
скаляром, который можно составить из и и производных от 1/г, является
произведение uV(l/r). Соответственно этому ищем <р в виде
А 1	An
<р = AV- =	-
г	г2
(п — единичный вектор в направлении радиус-вектора). Постоянная А опре-
определяется из условия равенства нормальных к поверхности шара компонент
скоростей v и u (vn = un) при г = R. Это условие дает А = uRs/2, так что
Е>3	г>3
ш =	un, v = 	 3n(un) — u .
^ 2r2 '	2r3L V ; J
Распределение давления определяется формулой A0.7):
pv2 дю
(po — давление на бесконечности). При вычислении производной dip/dt на-
надо иметь в виду, что начало координат (выбранное нами в центре шара)
смещается со временем со скоростью и. Поэтому
dip dip .
dt ди
Распределение давления на поверхности шара дается формулой
p=po + ?!f!(9cos20-5) + ^n^
8	2 dt
(в — угол между п и и).
3.	То же для бесконечного цилиндра, движущегося перпендикулярно к
своей оси :).
1) Решение более общих задач о потенциальном обтекании эллипсоида и
цилиндра эллиптического сечения см. в книгах:
Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.—
Физматгиз, 1963. ч. 1, гл. VII; Лэмб Г. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат,
1947. § 103-116 {Lamb H. Hydrodynamics. — Cambridge. 1932).

§ 10	НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ	43
Решение. Течение не зависит от координаты вдоль оси цилиндра,
так что приходится решать двумерное уравнение Лапласа. Обращающими-
Обращающимися в нуль на бесконечности решениями являются производные от In r по
координатам, начиная от первого порядка и выше (г — перпендикулярный к
оси цилиндра радиус-вектор). Ищем решение в виде
. _.	An
ip = A V In r =
г
и с помощью граничных условий получаем А = — R и, так что
с>2	с>2
if =	un, v = —[2п(ип) — и].
г	г2
Давление на поверхности цилиндра дается формулой
р = ро + ^! D cos2 в - 3) + pRn —.
2	dt
4. Определить потенциальное движение идеальной несжимаемой жид-
жидкости в эллипсоидальном сосуде, вращающемся вокруг одной из своих глав-
главных осей с угловой скоростью Q; определить полный момент импульса жид-
жидкости в сосуде.
Решение. Выбираем декартовы координаты х,у, z вдоль осей эллип-
эллипсоида в данный момент времени; ось вращения совпадает с осью z. Скорость
стенки сосуда есть и = [fir], так что граничное условие vn = д^р/дп = ип
есть
-— = п(хпу -упх),
дп
или, используя уравнение эллипсоида х2/а2 + у2/Ъ2 + z2/с2 = 1:
+ +	xyu(
а2 дх Ъ2 ду с2 dz	\Ъ2
Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее этому условию, есть
Момент импульса жидкости в сосуде
М = р (xvy — yvx) dV.
Интегрируя по объему эллипсоида, получаем
м=прУ(а2-Ъ2J
5 а2 + Ъ2
Формула A) определяет абсолютное движение жидкости, отнесенное к
мгновенному положению осей ж, у, z, связанных с вращающимся сосудом.
Движение же относительно сосуда (т. е. относительно вращающейся систе-
системы координат ж, у, z), получится вычитанием скорости [fir] из абсолютной
скорости жидкости; обозначив относительную скорость жидкости v7, имеем
, dip	20а2	,	2пЪ2	, п
дх	а2 +Ъ2	а2 + Ъ2
Траектории относительного движения получаются путем интегрирования
уравнений х = vfx, у = v'y и представляют эллипсы х2/а2 + у2/Ъ2 = const,
подобные граничному эллипсу.
5. Определить течение жидкости вблизи критической точки на обтека-
обтекаемом теле (см. рис. 2).

44
ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ
ГЛ. I
Решение. Малый участок поверхности тела вблизи критической точ-
точки можно рассматривать как плоский. Выбираем его в качестве плоскости
ху. Разлагая ср при малых ж, у, z в ряд, имеем с точностью до членов второго
порядка:
(р = ах + by + cz + Ах2 + By2 + Cz2 + Dxy + Byz + Fxz
(постоянный член в ср несуществен). Постоянные коэффициенты определя-
определяем так, чтобы (р удовлетворяло уравнению Аш = 0 и граничным условиям
vz = d(p/dz = 0 при z = 0 и всех ж, у и д(р/ох = д(р/ду = 0 при х = у =
= г = 0 (в критической точке). Это дает
а = 6 = с = 0; С = -А-Б, ? = F = 0.
Член Z)x|/ может быть всегда исключен соответ-
соответствующим поворотом осей х и у. В результате по-
получаем
^ = АЖ2 + Б2/2-(А + Б)^2.	A)
Если течение обладает аксиальной симметри-
симметрией вокруг оси z (симметричное обтекание тела
вращения), то должно быть А = В, так что
Рис. 3
Компоненты скорости равны
vx = 2Ax, vy = 2Ay, vz = —4Az.
Линии тока определяются уравнениями E.2), от-
куда х2z = ci, у2z = С2, т. е. линии тока являются кубическими гиперболами.
Если течение является однородным вдоль оси у (например, при обтека-
обтекании в направлении оси z цилиндра с осью вдоль оси г/), то в A) должно быть
5 = 0, так что
Линиями тока являются гиперболы xz = const.
6. Определить движение жидкости при потенциальном обтекании угла,
образованного двумя пересекающимися плоскостями (вблизи вершины угла).
Решение. Выбираем полярные координаты г, 9 в плоскости попереч-
поперечного сечения, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом
в вершине угла. Угол 6 отсчитывается от одной из
прямых, образующих сечение угла. Пусть а есть
величина обтекаемого угла; при а < тг течение
происходит внутри угла, при а > тг — вне его. Гра-
Граничное условие исчезновения нормальной состав-
составляющей скорости гласит d(p/d6 = 0 при 6 = 0 и а.
Удовлетворяющее этому условию решение уравне-
уравнения Лапласа пишем в виде :)
ср = Arn cosn#, п = тг/а,
так что
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\vc
vr = nArn cosn#, vq = —nArn sinn6.
Рис. 4
При п < 1 (обтекание выпуклого угла; рис. 3)
обращается в начале координат в бесконечность как г~^1~п\ При п >
(течение внутри вогнутого угла — рис. 4) v обращается при г = 0 в нуль.
) Выбираем решение
пенью г.
с наиболее низкой (малые г!) положительной сте-

сте§ 10	НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ	45
Функция тока, определяющая форму линий тока, есть
ф = Arn sin пв.
Полученные для (риф выражения являются вещественной и мнимой частя-
частями комплексного потенциала w = Azn ).
7. Из несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно
удаляется сферический объем радиуса а. Определить время, в течение кото-
которого образовавшаяся полость заполнится жидкостью (Besant, 1859; Rayleigh,
1917).
Решение. Движение жидкости после образования полости будет цен-
центрально-симметрическим со скоростями, направленными в каждой точке по
радиусу к центру. Для радиальной скорости
Vr = V < 0
имеем уравнение Эйлера (в сферических координатах)
dv dv _ 1 dp	, .
dt dr p dr
Уравнение непрерывности дает
r\ = F(t),	B)
где F(t) — произвольная функция времени; это равенство выражает собой
тот факт, что в силу несжимаемости жидкости объем, протекающий через
сферу любого радиуса, не зависит от последнего.
Подставляя v из B) в A), имеем
F'U) dv I dp
	h V	 =	.
r2	dr p dr
Интегрируя это уравнение по г в пределах от оо до радиуса
R = R(t) ^ a
заполняющейся полости, получим
"Ж т~7'
где V = dR(t)/dt — скорость изменения радиуса полости, а ро —давление на
бесконечности; скорость жидкости на бесконечности, а также давление на
поверхности полости равны нулю. Написав соотношение B) для точек на
поверхности полости, находим
F(t) = R\t)V{t)
и, подставив это выражение для F{t) в C), получим следующее уравнение:
2~~ 2 ~dR ~ 7'
В этом уравнении переменные разделяются и, интегрируя его при начальном
условии V = 0 при R = а (в начальный момент жидкость покоилась), найдем
"	4' " \R*
:) Задачи 5 и 6, если рассматривать граничные плоскости в них как беско-
бесконечные, вырождены в том смысле, что значения постоянных коэффициентов
А, В в их решениях остаются неопределенными. В реальных случаях обте-
обтекания конечных тел эти значения определяются условиями задачи в целом.

46	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Отсюда имеем для искомого полного времени заполнения полости:
Этот интеграл приводится к виду 5-интеграла Эйлера, и вычисление дает
окончательно:
8. Погруженная в несжимаемую жидкость сфера расширяется по за-
заданному закону R = R(t). Определить давление жидкости на поверхности
сферы.
Решение. Обозначим искомое давление через P(t). Вычисления в
точности аналогичны произведенным в предыдущей задаче с той лишь раз-
разницей, что при г = R давление равно не нулю, а P(t). В результате получим
вместо C) уравнение
F'(t) V2 = р0	P(t)
R(t) 2 р	р
и соответственно вместо D) уравнение
Po-P(t)= ЗУ2	RVdV
р 2	dR
Имея в виду, что V = dR/dt, можно привести выражение для P(t) к виду
d2(R2)
?I-
	~ + .
dt2 V dt
9. Определить форму струи, вытекающей из бесконечно длинной щели
прорезанной в плоской стенке.
Решение. Пусть в плоскости ху стенка совпадает с осью ж, отверстие
есть отрезок —а/2 ^ х ^ а/2 этой оси, а жидкость занимает полуплоскость
у > 0. Вдали от стенки (при у —»¦ оо) скорость жидкости равна нулю, а
давление пусть будет ро-
На свободной поверхности струи (ВС и В'С' на рис. 5 а) давление р = 0, а
скорость согласно уравнению Бернулли имеет постоянную величину
vi = д/2ро/р. Линии стенки, продолжающиеся в свободную границу струи,
представляют собой линии тока. Пусть на линии ABC ф = 0; тогда на линии
А'В'С' ф = —Q/p, где Q = pa\V\ — расход жидкости в струе (ai, г>1 — ширина
струи и скорость жидкости в ней на бесконечности). Потенциал (р меняется
как на линии ABC, так и на линии А'В'С' от — оо до +оо; пусть в точках В
л В' (р = 0. Тогда в плоскости комплексного переменного w области течения
будет соответствовать бесконечная полоса ширины Q/p (обозначения точек
на рис. 5 б-г соответствуют обозначениям на рис. 5 а в плоскости ху).
Введем новую комплексную переменную — логарифм комплексной ско-
скорости:
, / 1 dw^
(г>1вг7Г'2—комплексная скорость на бесконечности струи). На А'В' имеем
в = 0, на АВ в = —тг, на ВС и BfCf v = vi, причем на бесконечности

НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ
47
струи 0 = — тг/2. Поэтому в плоскости переменного ?, области течения со-
соответствует полуполоса ширины тг, расположенная в правой полуплоскости
(рис. 5 е). Если мы теперь найдем конформное преобразование, переводящее
полосу плоскости w в полуполосу плоскости ? (с указанным на рис. 5 соот-
соответствием точек), то тем самым мы определим w как функцию от dw/dz;
функция w может быть найдена затем одной квадратурой.
+е
\в'
JCi

А В' С'\С
I-Q/P
-1
С
Рис. 5
Для того чтобы найти искомое преобразование, введем еще одну вспомо-
вспомогательную комплексную переменную и, такую, чтобы в плоскости и области
течения соответствовала верхняя полуплоскость, причем точкам В и В1 со-
соответствуют точки и = ±1, точкам С, С' и = 0, а бесконечно удаленным
точкам А и А' и = ±оо (рис. 5 г). Зависимость w от этой вспомогатель-
вспомогательной переменной определяется конформным преобразованием, переводящим
верхнюю полуплоскость и в полосу плоскости w. При условленном соответ-
соответствии точек это есть
W =	hi 16.
ртт
B)
Чтобы найти зависимость ? от и, надо найти конформное отображение по-
полуполосы плоскости ? в верхнюю полуплоскость и. Рассматривая эту полу-
полуполосу как треугольник, одна из вершин которого удалена в бесконечность,
можно найти искомое отображение с помощью известной формулы Шварца—
Кристоффеля:
( = —i arcsin и.	C)
Формулы B), C) решают задачу, определяя в параметрическом виде зави-
зависимость dw/dz от w.
Определим форму струи. На ВС имеем w = 9?, ? = г ( —Ь#), а и меняется
между 0 и 1. Из B) и C) получаем
w =	In (— cos#),
ртг
D)

48	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
а из A) dip/dz = vie~10, или
dz= dx + idy= —eie dip = —eie tg в d9,
Vi	7Г
откуда интегрированием (с условиями у = 0, х = а/2 при в = —тг) най-
найдем в параметрическом виде форму струи. В частности, для сжатия струи
получается а\/а = тг/B + тг) = 0,61.
§11. Сила сопротивления при потенциальном обтекании
Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой
идеальной жидкостью какого-либо твердого тела. Такая задача,
конечно, полностью эквивалентна задаче об определении тече-
течения жидкости при движении через нее того же тела. Для полу-
получения второго случая из первого достаточно перейти к системе
координат, в которой жидкость на бесконечности покоится. Мы
будем говорить ниже именно о движении твердого тела через
жидкость.
Определим характер распределения скоростей в жидкости
на больших расстояниях от движущегося тела. Потенциальное
движение несжимаемой жидкости определяется уравнением Ла-
Лапласа Аср = 0. Мы должны рассмотреть такие решения этого
уравнения, которые обращаются на бесконечности в нуль, по-
поскольку жидкость на бесконечности неподвижна. Выберем нача-
начало координат где-нибудь внутри движущегося тела (эта система
координат движется вместе с телом; мы, однако, рассматрива-
рассматриваем распределение скоростей в жидкости в некоторый заданный
момент времени). Как известно, уравнение Лапласа имеет ре-
решением 1/г, где г — расстояние от начала координат. Решением
являются также градиент V(l/r) и следующие производные от
1/г по координатам. Все эти решения (и их линейные комбина-
комбинации) обращаются на бесконечности в нуль. Поэтому общий вид
искомого решения уравнения Лапласа на больших расстояниях
от тела есть
где а, А не зависят от координат; опущенные члены содержат
производные высших порядков от 1/г. Легко видеть, что посто-
постоянная а должна быть равной нулю. Действительно, потенциал
ср = —а/г дает скорость
туп аг
v = -V- = —.
г г6
Вычислим соответствующий поток жидкости через какую-ни-
какую-нибудь замкнутую поверхность, скажем, сферу с радиусом R. На

§ 11 СИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ОБТЕКАНИИ 49
этой поверхности скорость постоянна и равна а/В2] поэтому пол-
полный поток жидкости через нее равен p(a/R2)-4:7rR2 = Атгра. Меж-
Между тем, поток несжимаемой жидкости через всякую замкнутую
поверхность должен, очевидно, обращаться в нуль. Поэтому за-
заключаем, что должно быть а = 0.
Таким образом, ср содержит члены, начиная с членов порядка
1/г2. Поскольку мы ищем скорость на больших расстояниях, то
члены более высоких порядков можно опустить, и мы получаем
= -^,	A1.1)
Г	Г2
а для скорости v = grad cp
v = (AV)V- = 3(An)n~A	A1.2)
г	г3
(п —единичный вектор в направлении г). Мы видим, что на
больших расстояниях скорость падает, как 1/г3. Вектор А за-
зависит от конкретной формы и скорости движения тела и может
быть определен только путем полного решения уравнения Аср =
= 0 на всех расстояниях, с учетом соответствующих граничных
условий на поверхности движущегося тела.
Входящий в A1.2) вектор А связан определенным образом с
полным импульсом и с полной энергией жидкости, обтекающей
движущееся в ней тело. Полная кинетическая энергия жидкости
(внутренняя энергия несжимаемой жидкости постоянна) есть
= р- fv2
Е=р- v2dV,
где интегрирование производится по всему пространству вне те-
тела. Выделим из пространства часть V, ограниченную сферой
большого радиуса i?, с центром в начале координат и будем ин-
интегрировать сначала только по объему V, а затем устремляя R
к бесконечности. Имеем тождественно
fv2dV = fu2dV + f(y + u)(y-u)dV,
где u — скорость тела. Поскольку и есть не зависящая от коор-
координат величина, то первый интеграл равен просто u2(V — Vb),
где Vb — объем тела. Во втором же интеграле пишем сумму v + и
в виде V(<p + ur) и, воспользовавшись также тем, что div v = 0
в силу уравнения непрерывности, a div u = 0, имеем
fv2dV = u2(V - Vo) + Гdiv{((p + ur)(v - u)}
dV.

50	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Второй интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S сфе-
сферы и поверхности Sq тела:
fv2dV = u2(V- Vo)+ <? (<p + ur)(v-u)df.
На поверхности тела нормальные компоненты v и и равны друг
другу в силу граничных условий; поскольку вектор di направлен
как раз по нормали к поверхности, то ясно, что интеграл по Sq
тождественно обращается в нуль. На удаленной же поверхности
S подставляем для (р и v выражения A1.1), A1.2) и опускаем
члены, обращающиеся в нуль при переходе к пределу по R —>• оо.
Написав элемент поверхности сферы S в виде df = nR2 do, где
do — элемент телесного угла, получим
Jv2dV = u2(^-R3 - Vb) + |{3(An)(un) - (unJR3}do.
Наконец, произведя интегрирование г) и умножив на р/2, полу-
получаем окончательно следующее выражение для полной энергии
жидкости:
Е = ^DтгАи- V0u2).	A1.3)
Как уже указывалось, точное вычисление вектора А требует
полного решения уравнения Аср = 0 с учетом конкретных гра-
граничных условий на поверхности тела. Общий характер зависимо-
зависимости А от скорости и тела можно, однако, установить уже непо-
непосредственно из факта линейности уравнения для (р и линейности
(как по (р, так и по и) граничных условий к этому уравнению.
Из этой линейности следует, что А должно быть линейной же
функцией от компонент вектора и. Определяемая же формулой
A1.3) энергия Е является, следовательно, квадратичной функ-
функцией компонент вектора и и потому может быть представлена в
виде
Е = mikUiUk,	A1.4)
где rriik — некоторый постоянный симметрический тензор, ком-
компоненты которого могут быть вычислены с помощью компонент
вектора А; его называют тензором присоединенных масс.
1) Интегрирование по do эквивалентно усреднению подынтегрального вы-
выражения по всем направлениям вектора п и умножению затем на 4тг. Для
усреднения выражений типа (Ап)(Вп) = А{П{ВкПк (А, В — постоянные век-
векторы), пишем
(Ап)(Вп) = АгВкпш =-6гкАгВк = -АВ.
о	о

§ 11 СИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ОБТЕКАНИИ 51
Зная энергию Е, можно получить выражение для полного им-
импульса Р жидкости. Для этого замечаем, что бесконечно малые
изменения Е и Р связаны друг с другом соотношением dE =
= udP :) ; отсюда следует, что если Е выражено в виде A1.4),
то компоненты Р должны иметь вид
Pi = mikuk.	A1.5)
Наконец, сравнение формул A1.3)-A1.5) показывает, что Р вы-
выражается через А следующим образом:
Р = 4npA-pV0u.	A1.6)
Следует обратить внимание на то, что полный импульс жид-
жидкости оказывается вполне определенной конечной величиной.
Передаваемый в единицу времени от тела к жидкости им-
импульс есть dP/dt. Взятый с обратным знаком, он определяет,
очевидно, реакцию F жидкости, т. е. действующую на тело си-
силу:
Р = -—.	A1.7)
dt	v J
Параллельная скорости тела составляющая F называется силой
сопротивления, а перпендикулярная составляющая — подъемной
силой.
Если бы было возможно потенциальное обтекание равномер-
равномерно движущегося в идеальной жидкости тела, то полный импульс
Р был бы равен const (так как u = const) и F = 0. Другими слова-
словами, отсутствовала бы как сила сопротивления, так и подъемная
сила, т. е. действующие на поверхность тела со стороны жидко-
жидкости силы давления взаимно компенсировались бы (так называ-
называемый парадокс Даламбера). Происхождение этого «парадокса»
в особенности очевидно для силы сопротивления. Действитель-
Действительно, наличие этой силы при равномерном движении тела озна-
означало бы, что для поддержания движения какой-либо внешний
г) Действительно, пусть тело ускоряется под влиянием какой-либо внеш-
внешней силы F. В результате импульс жидкости будет возрастать; пусть dP
есть его приращение в течение времени dt. Это приращение связано с силой
соотношением dP = ?dt, а умноженное на скорость и дает udP = Fudt,
т. е. работу силы F на пути udt, которая в свою очередь должна быть равна
увеличению энергии dE жидкости.
Следует заметить, что вычисление импульса непосредственно как инте-
интеграла J pv dV по всему объему жидкости было бы невозможным. Дело в
том, что этот интеграл (со скоростью v, распределенной по A1.2)) расходит-
расходится в том смысле, что результат интегрирования, хотя и конечен, но зависит
от способа взятия интеграла: производя интегрирование по большой обла-
области, размеры которой устремляются затем к бесконечности, мы получили
бы значение, зависящее от формы области (сфера, цилиндр и т. п.). Ис-
Используемый же нами способ вычисления импульса, исходя из соотношения
udP = dE, приводит ко вполне определенному конечному значению (давае-
(даваемому формулой A1.6)), заведомо удовлетворяющему физическому условию
о связи изменения импульса с действующими на тело силами.

52	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
источник должен непрерывно производить работу, которая либо
диссипируется в жидкости, либо преобразуется в ее кинетиче-
кинетическую энергию, приводя к постоянно уходящему на бесконечность
потоку энергии в движущейся жидкости. Но никакой диссипа-
диссипации энергии в идеальной жидкости, по определению, нет, а ско-
скорость приводимой телом в движение жидкости настолько быстро
убывает с увеличением расстояния от тела, что никакого потока
энергии на бесконечности тоже нет.
Следует, однако, подчеркнуть, что все эти соображения отно-
относятся лишь к движению тела в неограниченной жидкости. Если
же, например, жидкость имеет свободную поверхность, то рав-
равномерно движущееся параллельно этой поверхности тело будет
испытывать силу сопротивления. Появление этой силы (называ-
(называемой волновым сопротивлением) связано с возникновением на
свободной поверхности жидкости системы распространяющихся
по ней волн, непрерывно уносящих энергию на бесконечность.
Пусть некоторое тело совершает под влиянием действующей
на него внешней силы f колебательное движение. При соблю-
соблюдении рассмотренных в предыдущем параграфе условий окру-
окружающая тело жидкость совершает потенциальное движение, и
для вывода уравнений движения тела можно воспользоваться
полученными выше соотношениями. Сила f должна быть равна
производной по времени от полного импульса системы, равного
сумме импульса Ми тела (М — масса тела) и импульса Р жид-
жидкости:
dt dt
С помощью A1.5) получаем отсюда:
Mdui	duk г
— +™<ik-— = Jh
dt	dt
что можно написать также и в виде
^(M8ik + mik) = U	A1.8)
dt
Это и есть уравнение движения тела, погруженного в идеальную
жидкость.
Рассмотрим теперь в некотором смысле обратный вопрос.
Пусть сама жидкость производит под влиянием каких-либо внеш-
внешних (по отношению к телу) причин колебательное движение. Под
влиянием этого движения погруженное в жидкость тело тоже
начинает двигаться :) . Выведем уравнение этого движения.
Будем предполагать, что скорость движения жидкости мало
меняется на расстояниях порядка величины линейных размеров
1)Речь может идти, например, о движении тела в жидкости, по которой
распространяется звуковая волна с длиной волны, большой по сравнению с
размерами тела.

§ 11 СИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ОБТЕКАНИИ 53
тела. Пусть v есть скорость жидкости в месте нахождения тела,
которую она имела бы, если бы тела вообще не было; другими
словами, v есть скорость основного движения жидкости. По сде-
сделанному предположению v можно считать постоянной вдоль все-
всего объема, занимаемого телом. По-прежнему через и обозначаем
скорость тела.
Силу, действующую на тело и приводящую его в движение,
можно определить из следующих соображений. Если бы тело
полностью увлекалось жидкостью (т. е. было бы v = и), то на
него действовала бы такая же сила, которая бы действовала на
жидкость в объеме тела, если бы тела вовсе не было. Импульс
этого объема жидкости есть pVbv, и потому действующая на него
сила равна pVo —. Но в действительности тело не увлекается пол-
полностью жидкостью; возникает движение тела относительно жид-
жидкости, в результате чего сама жидкость приобретает некоторое
дополнительное движение. Связанный с этим дополнительным
движением импульс жидкости равен rriik{uk — vk) (в выражении
A1.5) надо теперь писать вместо и скорость и —v движения тела
относительно жидкости). Изменение этого импульса со временем
приводит к появлению дополнительной силы реакции, действую-
действующей на тело и равной —rriikd(uk — vk)/dt. Таким образом, полная
сила, действующая на тело, равна
Ы V)
pVoпцк Ы Vk)-
dt	dt
Эту силу надо приравнять производной по времени от импульса
тела. Таким образом, приходим к следующему уравнению дви-
движения:
—Мщ = pVo-^- - mik — (uk - vk).
at	at	at
Интегрируя это уравнение по времени, получаем
(MSik + mik)uk = (mik + pV06ik)vk.	A1.9)
Постоянную интегрирования полагаем равной нулю, поскольку
скорость и тела, приводимого жидкостью в движение, должна
обратиться в нуль вместе со скоростью жидкости v. Полученное
соотношение определяет скорость тела по скорости жидкости.
Если плотность тела равна плотности жидкости (М = pVo), то,
как и следовало ожидать, u = v.
Задачи
1. Получить уравнение движения для шара, совершающего колебатель-
колебательное движение в идеальной жидкости, и для шара, приводимого в движение
колеблющейся жидкостью.
Решение. Сравнивая A1.1) с выражением для <р, полученным для
обтекания шара в задаче 2 § 10, видим, что
А = uRs/2

54	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
(R — радиус шара). Полный импульс приводимой шаром в движение жид-
жидкости есть согласно A1.6) Р = 2тг/9Л3и/3, так что тензор rriik равен
TTlik = —-pti Oik-
о
Испытываемая движущимся шаром сила сопротивления равна
3 dt
а уравнение движения колеблющегося в жидкости шара имеет вид
3 V 2/ dt
(po — плотность вещества шара). Коэффициент при и можно рассматривать
как некоторую эффективную массу шара; она складывается из массы самого
шара и из присоединенной массы, равной в данном случае половине массы
жидкости, вытесняемой шаром.
Если шар приводится в движение жидкостью, то для его скорости по-
получаем из A1.9) выражение
Если плотность шара превышает плотность жидкости (ро > р), то и < г>,
т. е. шар отстает от жидкости; если же ро < р, то шар опережает ее.
2. Выразить действующий на движущееся в жидкости тело момент сил
через вектор А.
Решение. Как известно из механики, действующий на тело момент
сил М определяется по его функции Лагранжа (в данном случае — по энер-
энергии Е) соотношением SE = М?#, где 69— вектор бесконечно малого угла
поворота тела, a SE — изменение Е при этом повороте. Вместо того чтобы
поворачивать тело на угол 69 (и соответственно менять компоненты т^),
можно повернуть на угол — 59 жидкость относительно тела и соответственно
изменить скорость и. Имеем при повороте 5и = — [?0и], так что
8Е = 1Р8м = -8в[иР].
Используя выражение A1.6) для Р, получаем отсюда искомую формулу
М = -[иР] =4тгр[Аи].
§ 12. Гравитационные волны
Свободная поверхность жидкости, находящейся в равновесии
в поле тяжести, — плоская. Если под влиянием какого-либо внеш-
внешнего воздействия поверхность жидкости в каком-нибудь месте
выводится из ее равновесного положения, то в жидкости воз-
возникает движение. Это движение будет распространяться вдоль
всей поверхности жидкости в виде волн, называемых гравитаци-
гравитационными, поскольку они обусловливаются действием поля тяже-
тяжести. Гравитационные волны происходят в основном на поверхно-
поверхности жидкости, захватывая внутренние ее слои тем меньше, чем
глубже эти слои расположены.
Мы будем рассматривать здесь такие гравитационные волны,
в которых скорость движущихся частиц жидкости настолько ма-

§ 12	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	55
ла, что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (vV)v по
сравнению с длг/dt. Легко выяснить, что означает это условие
физически. В течение промежутка времени порядка периода т
колебаний, совершаемых частицами жидкости в волне, эти час-
частицы проходят расстояние порядка амплитуды а волны. Поэтому
скорость их движения — порядка v^a/r. Скорость v заметно ме-
меняется на протяжении интервалов времени порядка т и на протя-
протяжении расстояний порядка А вдоль направления распростране-
распространения волны (А —длина волны). Поэтому производная от скорости
по времени — порядка v/т, а по координатам — порядка v/X. Та-
Таким образом, условие (vV)v <С длг/dt эквивалентно требованию
К;)
2«ii,
или
а<А,	A2.1)
т. е. амплитуда колебаний в волне должна быть мала по срав-
сравнению с длиной волны. В § 9 мы видели, что если в уравнении
движения можно пренебречь членом (vV)v, то движение жид-
жидкости потенциально. Предполагая жидкость несжимаемой, мы
можем воспользоваться поэтому уравнениями A0.6) и A0.7). В
уравнении A0.7) мы можем теперь пренебречь членом г>2/2, со-
содержащим квадрат скорости; положив f(t) = 0 и введя в поле
тяжести член pgz, получим
p = -pgz-p^.	A2.2)
Ось z выбираем, как обычно, вертикально вверх, а в качестве
плоскости ху выбираем равновесную плоскую поверхность жид-
жидкости.
Будем обозначать ^-координату точек поверхности жидко-
жидкости через ?; ( является функцией координат ж, у и времени t.
В равновесии ( = 0, так что ( есть вертикальное смещение жид-
жидкой поверхности при ее колебаниях. Пусть на поверхность жид-
жидкости действует постоянное давление ро. Тогда имеем на поверх-
поверхности согласно A2.2)
Постоянную ро можно устранить переопределением потенциала ср
(прибавлением к нему независящей от координат величины
Pot/p). Тогда условие на поверхности жидкости примет вид
= 0.	A2.3)

56	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Малость амплитуды колебаний в волне означает, что смещение
( мало. Поэтому можно считать, в том же приближении, что
вертикальная компонента скорости движения точек поверхности
совпадает с производной по времени от смещения (: vz = d(/dt.
Но vz = dip/dz, так что имеем
dz
<9С _ 1 д2(р
dt~g dt2
В силу малости колебаний можно в этом условии взять зна-
значения производных при z = 0 вместо z = ?. Таким образом,
получаем окончательно следующую систему уравнений, опреде-
определяющих движение в гравитационной волне:
А(р = 0,	A2.4)
=0.	A2.5)
Будем рассматривать волны на поверхности жидкости, счи-
считая эту поверхность неограниченной. Будем также считать, что
длина волны мала по сравнению с глубиной жидкости; тогда
можно рассматривать жидкость как бесконечно глубокую. По-
Поэтому мы не пишем граничных условий на боковых границах и
на дне жидкости.
Рассмотрим гравитационную волну, распространяющуюся
вдоль оси х и однородную вдоль оси у] в такой волне все ве-
величины не зависят от координаты у. Будем искать решение, яв-
являющееся простой периодической функцией времени и коорди-
координаты х:
ip = cos (kx — u)i)f(z),
где оо — циклическая частота (мы будем говорить о ней просто
как о частоте), к — волновой вектор волны, А = 2тг/к — длина
волны. Подставив это выражение в уравнение Аср = 0, получим
для функции f(z) уравнение
dz2	J
Его решение, затухающее в глубь жидкости (т. е. при z —>> —оо):
<р = Aekz cos (kx - cot).	A2.6)
Мы должны еще удовлетворить граничному условию A2.5).
Подставив в него A2.6), найдем связь между частотой и волно-
волновым вектором (или, как говорят, закон дисперсии волн):
со2 = kg.	A2.7)

§ 12	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	57
Распределение скоростей в жидкости получается дифферен-
дифференцированием потенциала по координатам:
vx = -Akekz sin (kx - cot), vz = Akekz cos (kx - cot). A2.8)
Мы видим, что скорость экспоненциально падает по направле-
направлению в глубь жидкости. В каждой заданной точке пространства
(т. е. при заданных ж, z) вектор скорости равномерно вращается
в плоскости xz, оставаясь постоянным по своей величине.
Определим еще траекторию частиц жидкости в волне. Обо-
Обозначим временно через ж, z координаты движущейся частицы
жидкости (а не координаты неподвижной точки в пространстве),
а через xq, zq — значения ж, z для равновесного положения части-
частицы. Тогда vx = dx/dt, vz = dz/dt, а в правой части A2.8) можно
приближенно написать жо, zo вместо ж, ?, воспользовавшись ма-
малостью колебаний. Интегрирование по времени дает тогда:
х — xq = —А—е z° cos (kxo — ujt),
1 и	A2-9)
z — zq = —A—e z° sin (kxo — uot).
Таким образом, частицы жидкости описывают окружности во-
вокруг точек жо, ^о с радиусом, экспоненциально убывающим по
направлению в глубь жидкости.
Скорость U распространения волны равна, как будет пока-
показано в § 67, U = дио/дк. Подставив сюда со = л/kg, находим,
что скорость распространения гравитационных волн на неогра-
неограниченной поверхности бесконечно глубокой жидкости равна
A2.10)
Она растет при увеличении длины волны.
Длинные гравитационные волны. Рассмотрев гравитаци-
гравитационные волны, длина которых мала по сравнению с глубиной жид-
жидкости, остановимся теперь на противоположном предельном слу-
случае волн, длина которых велика по сравнению с глубиной жид-
жидкости. Такие волны называются длинными.
Рассмотрим сначала распространение длинных волн в канале.
Длину канала (направленную вдоль оси х) будем считать неогра-
неограниченной. Сечение канала может иметь произвольную форму и
может меняться вдоль его длины. Площадь поперечного сече-
сечения жидкости в канале обозначим через S = 5(ж, t). Глубина и
ширина канала предполагаются малыми по сравнению с длиной
волны.
Мы будем рассматривать здесь продольные длинные волны, в
которых жидкость движется вдоль канала. В таких волнах ком-
компонента vx скорости вдоль длины канала велика по сравнению с
компонентами vy, vz.
U = -^ ^ = -W^.

58	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Опустив индекс х у компоненты скорости vXi а также малые
члены, мы можем написать ж-компоненту уравнения Эйлера в
виде
dv _ _ 1 dp
dt ~ рдх'
а ^-компоненту — в виде
1др
р OZ
(квадратичные по скорости члены опускаем, поскольку амплиту-
амплитуда волны по-прежнему считается малой). Из второго уравнения
имеем, замечая, что на свободной поверхности (z = Q должно
быть р = pq:
Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем
? = sir-	A2Л1)
dt	дх
Второе уравнение для определения двух неизвестных v и (
можно вывести методом, аналогичным выводу уравнения непре-
непрерывности. Это уравнение представляет собой по существу урав-
уравнение непрерывности применительно к рассматриваемому слу-
случаю. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя
плоскостями поперечного сечения канала, находящимися на рас-
расстоянии dx друг от друга. За единицу времени через одну плос-
плоскость войдет объем жидкости, равный (Sv)Xl а через другую
плоскость выйдет объем (Sv)x+dx- Поэтому объем жидкости
между обеими плоскостями изменится на
Но в силу несжимаемости жидкости это изменение может про-
произойти только за счет изменения ее уровня. Изменение объема
жидкости между рассматриваемыми плоскостями в единицу вре-
времени равно
dS ,
— ах.
dt
Следовательно, можно написать:
A2.12)
dX
dt	dx
или
dt	dx
Это и есть искомое уравнение непрерывности.

§ 12	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	59
Пусть So есть площадь поперечного сечения жидкости в ка-
канале при равновесии. Тогда S = Sq + S", где S' — изменение этой
площади благодаря наличию волны. Поскольку изменение уров-
уровня жидкости в волне мало, то S' можно написать в виде b?, где
Ь — ширина сечения канала у самой поверхности жидкости в нем.
Уравнение A2.12) приобретает тогда вид
0.	A2.13)
dt дх
Дифференцируя A2.13) по t и подставляя — из A2.11) получим
от
&?-S±(SoK)=O.	A2.14)
dt2 ъдх\ "дх)	v ;
Если сечение канала одинаково вдоль всей его длины, то Sq =
= const и
g-lf»|!i=0.	A2.16)
dt2 b ox2
Уравнение такого вида называется волновым] как будет показано
в § 64, оно соответствует распространению волн с не зависящей
от частоты скоростью [/, равной квадратному корню из коэффи-
коэффициента при д2(/дх2. Таким образом, скорость распространения
длинных гравитационных волн в каналах равна
U=Jz2-.	A2.16)
Аналогичным образом можно рассмотреть длинные волны в
обширном бассейне, который мы будем считать неограниченным
в двух измерениях (вдоль плоскости ху). Глубину жидкости в
бассейне обозначим буквой h. Из трех компонент скорости малой
является теперь компонента vz. Уравнения Эйлера приобретают
вид, аналогичный A2.11):
^ + g^ = 0, ^ + g^ = 0.	A2.17)
dt	дх	dt	ду
Уравнение непрерывности выводится аналогично A2.12) и имеет
вид
dh d(hvx) d(hvy) _ ^
dt	дх	ду
Глубину h пишем в виде h = /io+C> где ^о — равновесная глубина.
Тогда
d(hovy) _ q	Ц2 i%\
<9С , d{hovx)
dt	дх

60	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Предположим, что бассейн имеет плоское горизонтальное дно
(ho = const). Дифференцируя A2.18) no t и подставляя A2.17),
получим
Это — опять уравнение типа волнового (двумерного) уравнения;
оно соответствует волнам со скоростью распространения, равной
U = yfgh^.	A2.20)
Задачи
1. Определить скорость распространения гравитационных волн на неогра-
неограниченной поверхности жидкости, глубина которой равна h.
Решение. На дне жидкости нормальная составляющая скорости дол-
должна быть равна нулю, т. е.
vz = —*- = 0 при z = —h.
oz
Из этого условия определяется отношение между постоянными А и В в
общем решении
ip = cos (kx - ut){Aekz + Be~kz}.
В результате находим
(f = A cos (kx — uot) ch[k{z + h)].
Из предельного условия A2.5) находим соотношение между к и и в виде
и = gkthkh.
Скорость распространения волны
U=
/^_{thib/> + ^|.
2Vkthkh L	ch2 kh 1
При kh > 1 получается результат A2.10), а при kh ^1 — результат A2.20).
2. Определить связь между частотой и длиной волны для гравитаци-
гравитационных волн на поверхности раздела двух жидкостей, причем верхняя жид-
жидкость ограничена сверху, а нижняя — снизу горизонтальными неподвижны-
неподвижными плоскостями. Плотность и глубина слоя нижней жидкости — р и /г, а
верхней — р и h' (причем р > р).
Решение. Плоскость ху выбираем по плоскости раздела обеих жид-
жидкостей в равновесии. Ищем решение в обеих жидкостях соответственно в
виде
if = Ach\k{z + К)] cos (kx — ut),
ip' = В ch[k(z — h')] cos (kx — uot)
(так чтобы удовлетворялись условия на верхней и нижней границах, — см.
решение задачи 1). На поверхности раздела давление должно быть непре-
непрерывным; согласно A2.2) это приводит к условию
dif ,	,dif'
р^7 = Р gC> + Р ~^~
ot	ot

§ 12	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	61
(при z = 0) или
at Fat
Кроме того, скорости г>2 обеих жидкостей на поверхности раздела должны
быть одинаковыми. Это приводит к условию (при 2 = 0)
C)
Далее, г>г = — = — и, подставляя сюда B), получаем
Подставляя A) в C) и D), получим два однородных линейных уравнения
для А и В, из условия совместности которых найдем
U2 =
р cth. kh + p' cthkh''
При kh ^> 1, /с/г7 ^> 1 (обе жидкости очень глубоки):
а при /с/г ^С 1, /с/г7 ^С 1 (длинные волны):
ph' + p'h
2 2g(p-p')hti
и) — /€
Наконец, если kh > 1, /с/г7 ^С 1:
3. Определить связь между частотой и длиной волны для гравитаци-
гравитационных волн, распространяющихся одновременно по поверхности раздела и
верхней поверхности двух слоев жидкости, из которых нижняя (плотность
р) бесконечно глубока, а верхняя (плотность pf) имеет толщину h' и свобод-
свободную верхнюю поверхность.
Решение. Выбираем плоскость ху в плоскости раздела обеих жид-
жидкостей в равновесии. В нижней и верхней жидкостях ищем решение соот-
соответственно в виде
ip = Aekz cos (kx - wt), ip' = [Be~kz + Cekz] cos (kx - wt).	A)
На поверхности раздела обеих жидкостей (т. е. при z = 0) имеют место
условия (см. задачу 2):
а на верхней свободной границе (т. е. при z = /г'):
^ + 1^
+
dz g dt2
=0.	C)
Первое из уравнений B) при подстановке A) дает А = С—В, а два остальных
условия дают два уравнения для В и С, из условия совместности которых

62	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
получаем квадратное уравнение для и2 с корнями:
° р + р' + (р - p')e-2kh"
При /г —>• оо эти корни соответствуют волнам, распространяющимся неза-
независимо по поверхности раздела и по верхней поверхности жидкости.
4. Определить собственные частоты колебаний (см. § 69) жидкости глу-
глубины h в прямоугольном бассейне ширины а и длины Ъ.
Решение. Оси х и у выбираем по двум боковым сторонам бассейна.
Ищем решение в виде стоячей волны:
(р = cosujtch[k(z + h)]f(x, у).
Для / получаем уравнение
а условие на свободной поверхности приводят, как и в задаче 1, к соотноше-
соотношению
и;2 = gkthkh.
Решение уравнения для / берем в виде
f = cos px cos qy, p2 + q2 = к2.
На боковых сторонах сосуда должны выполняться условия:
dtp
vx = — = 0 при х = 0, а;
дх
— = 0 при у = О, Ъ.
ду
Отсюда находим
ттг	птг
а	Ъ
где m, n — целые числа. Поэтому возможные значения к равны
V а2 &)
§ 13. Внутренние волны в несжимаемой жидкости
Своеобразные гравитационные волны могут распространять-
распространяться внутри несжимаемой жидкости. Их происхождение связано
с вызываемой наличием поля тяжести неоднородностью жидко-
жидкости: ее давление (а с ним и энтропия s) непременно будет ме-
меняться с высотой; поэтому всякое смещение какого-либо участка
жидкости по высоте приведет к нарушению механического рав-
равновесия, а потому к возникновению колебательного движения.
Действительно, ввиду адиабатичности движения этот участок
принесет с собой в новое место свое значение энтропии «s, отлич-
отличное от ее равновесного значения в этом месте.

§ 13	ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ	63
Мы будем ниже предполагать, что длина распространяющей-
распространяющейся в жидкости волны мала по сравнению с расстояниями, на ко-
которых поле тяжести вызывает заметное изменение плотности :) .
Саму жидкость мы будем при этом рассматривать как несжима-
несжимаемую. Это значит, что можно пренебречь изменением ее плотно-
плотности, связанным с изменением давления в волне. Изменением же
плотности, связанным с тепловым расширением, отнюдь нельзя
пренебречь, так как именно оно определяет собой все явление.
Выпишем систему гидродинамических уравнений для рас-
рассматриваемого движения. Будем отмечать значения величин в
состоянии механического равновесия индексом нуль, а малые
отклонения от этих значений в волне —штрихом. Тогда уравне-
уравнение сохранения энтропии s = sq + sf напишется с точностью до
величин первого порядка малости в виде
^ + vV5o = O,	A3.1)
где «so, как и равновесные значения других величин, является
заданной функцией вертикальной координаты z.
Далее, в уравнении Эйлера снова пренебрегаем (в силу мало-
малости колебаний) членом (vV)v; учитывая также, что равновесное
распределение давления определяется уравнением Vpo =
получим с той же точностью
dv = _ Vp + g = _W_ + ^
dt	р	р0	pi
Поскольку согласно сказанному выше изменение плотности свя-
связано только с изменением энтропии, но не давления, то можно
написать:
и мы получим уравнение Эйлера в виде
^ = g(^M S'_V^.	A3.2)
dt p \ dso J p	po
Величину ро можно ввести под знак градиента, так как изме-
изменением равновесной плотности на расстояниях порядка длины
1) Градиент плотности связан с градиентом давления равенством
где с — скорость звука в жидкости. Поэтому из гидростатического уравнения
Vp = pg имеем Vр = (р/с )g. Отсюда видно, что существенное изменение
плотности в поле тяжести происходит на расстояниях / и с /g. Для воздуха
/ и 10 км, для воды /^ 200 км.

64	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
волны мы, согласно сказанному выше, все равно пренебрегаем.
По этой же причине можно считать плотность постоянной и в
уравнении непрерывности, которое сводится при этом к
divv = 0.	A3.3)
Будем искать решение системы уравнений A3.1)—A3.3) в виде
плоской волны:
v = const • e^kr-^
и аналогично для sf и pf. Подстановка в уравнение непрерывно-
непрерывности A3.3) дает
vk = 0,	A3.4)
т. е. скорость жидкости везде перпендикулярна к волновому век-
вектору (поперечная волна). Уравнения же A3.1) и A3.2) дают
IUOS = VVSo, —100V = — I -?— 1 S g — —p .
po V dso J p	po
Условие kv = 0, примененное ко второму из этих равенств, при-
приводит к соотношению
и исключая затем из обоих уравнений v и «s7, получим искомый
закон дисперсии — соотношение между частотой и волновым век-
вектором:
и? = c^sin26>,	A3.5)
где обозначено
Мы опускаем здесь и ниже индекс нуль у равновесных значе-
значений термодинамических величин; ось z направлена вертикально
вверх, а в есть угол между осью z и направлением к. Положи-
Положительность выражения A3.6) обеспечивается условием устойчиво-
устойчивости равновесного распределения s(z) (условием отсутствия кон-
конвекции, см. § 4).
Мы видим, что частота оказывается зависящей только от на-
направления волнового вектора, но не от его величины. При в =
= 0, тг получается uj = 0; это означает, что волны рассматри-
рассматриваемого типа с волновым вектором, направленным вертикально,
вообще невозможны.

§ 14	ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ	65
Если жидкость находится не только в механическом, но и
в полном термодинамическом равновесии, то ее температура
постоянна и можно написать:
ds _ (ds\ dp _ (ds\
~dz ~ \dvJT ~dz ~ ~9g\dvJT
к dp;
Наконец, воспользовавшись известными термодинамическими
соотношениями
Ё1) = L(<*?.\ (ЕЕ) =L(E?.\
др)т рЛдт)р' \dsJp ср\дт)р
(ср — теплоемкость единицы массы жидкости), получим
9
Т/р
В частности, для термодинамически идеального газа эта форму-
формула дает
щ = -fa.	A3.8)
Зависимость частоты от направления волнового вектора при-
приводит к тому, что скорость распространения волны U = дио/дк
не совпадает по направлению с к. Представив зависимость о;(к)
в виде
{у — единичный вектор в направлении вертикально вверх) и про-
произведя дифференцирование, получим
U = -4(nv){i/-(m/)n},	A3.9)
иик
где п = k/А;. Эта скорость перпендикулярна к вектору к, а по
величине равна
U = — — cos в.
Ее проекция на вертикаль:
§ 14. Волны во вращающейся жидкости
Другой своеобразный тип внутренних волн может распро-
распространяться в равномерно вращающейся как целое несжимаемой
жидкости. Их происхождение связано с возникающими при вра-
вращении кориолисовыми силами.
3 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

66	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Будем рассматривать жидкость в системе координат, враща-
вращающейся вместе с ней. Как известно, при таком описании в ме-
механические уравнения движения должны быть введены допол-
дополнительные силы — центробежная и кориолисова. Соответственно
этому, надо добавить такие же силы (отнесенные к единичной
массе жидкости) в правую часть уравнения Эйлера. Центробеж-
Центробежная сила может быть представлена в виде градиента
V[fir]2/2, где ft — вектор угловой скорости вращения жидкости.
Этот член можно объединить с силой —Vp/p, введя эффектив-
эффективное давление
Р = р-р[Пт}2.	A4.1)
Кориолисова же сила равна 2[vf2], она появляется лишь при дви-
движении жидкости относительно вращающейся системы координат
(v — скорость в этой системе). Перенеся этот член в левую часть
уравнения Эйлера, напишем его в виде
— + (vV)v + 2[Ov] = --VP.	A4.2)
Уравнение же непрерывности сохраняет свой прежний вид, сво-
сводясь для несжимаемой жидкости к равенству divv = 0.
Снова будем считать амплитуду волны малой и пренебрежем
квадратичным по скорости членом в уравнении A4.2), которое
примет вид
^ + 2[nv] = -iVp',	A4.3)
где pf — переменная часть давления в волне, а р = const. Сра-
Сразу же исключим давление, применив к обеим частям уравнения
A4.3) операцию rot. Правая часть уравнения обращается в нуль,
а в левой имеем, с учетом несжимаемости жидкости:
rotffiv] = ft divv- (fJV)v = -(nV)v.
Выбрав направление fi в качестве оси z, запишем получающееся
уравнение в виде
-rotv = 2O—.	A4.4)
dt	dz	v J
Ищем решение в виде плоской волны
v = Ае^"^,	A4.5)
удовлетворяющей (в силу уравнения divv = 0) условию попе-
речности
кА = 0.	A4.6)

§ 14	ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ	67
Подстановка A4.5) в уравнение A4.4) дает
w[kv] = 2iukzv.	A4.7)
Закон дисперсии волн получается исключением v из этого
векторного равенства. Умножив его с обеих сторон векторно
на к, переписываем его в виде
и, сравнив друг с другом оба равенства, находим искомую зави-
зависимость ио от к:
и = 20— = 2Ocos#,	A4.8)
к
где в — угол между к и ft.
С учетом A4.4) равенство A4.7) принимает вид
[nv] = iv,
где n = k/fc. Если представить комплексную амплитуду волны
как А = а + гЬ с вещественными векторами а и Ь, то отсюда
следует, что [nb] = а, — векторы а и b (оба лежащие в плос-
плоскости, перпендикулярной вектору к) взаимно перпендикулярны
и одинаковы по величине. Выбрав их направления в качестве
осей х и у и отделив в A4.5) вещественную и мнимую части,
найдем, что
vx = a cos (out — kr), vy = — a sin (out — kr).
Таким образом, волна обладает круговой поляризацией: в каж-
каждой точке пространства вектор v вращается со временем, оста-
оставаясь постоянным по величине :) .
Скорость распространения волны:
U = — = — {i/ - п(ш/)},	A4.9)
дк к l	V n'	V J
где v — единичный вектор в направлении Г2; как и в гравитаци-
гравитационных внутренних волнах, эта скорость перпендикулярна волно-
волновому вектору. Ее абсолютная величина и проекция на направ-
направление fi:
U = — sin<9, Ui/ = — sin26> = [/sm6>.
к	к
Рассмотренные волны называют инерционными. Поскольку
кориолисовы силы не совершают работы над движущейся жид-
жидкостью, заключенная в этих волнах энергия — целиком кинети-
кинетическая.
:) Напомним, что речь идет о движении по отношению к вращающейся
системе координат! По отношению к неподвижной системе на это движение
налагается еще и вращение всей жидкости как целого.

68	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
Особый вид инерционных осесимметричных (не плоских)
волн может распространяться вдоль оси вращения жидкости —
см. задачу.
В заключение сделаем еще одно замечание, относящееся к
стационарным движениям во вращающейся жидкости, а не к рас-
распространению волн в ней.
Пусть / — характерный параметр длины такого движения,
а ^ — характерная скорость. По порядку величины член (vV)v в
уравнении A4.2) равен и2//, а член 2[fiv] ~ Qu. Если и/(Ш) <С 1,
то первым можно пренебречь по сравнению со вторым и тогда
уравнение стационарного движения сводится к
2[Ov] = --VP	A4.10)
р
или
р дх	р ду ду
где ж, у —декартовы координаты в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной оси вращения. Отсюда видно, что Р, а потому и vXi vyi не
зависят от продольной координаты z. Далее, исключив Р из двух
первых уравнений, получим
dvx , dvy_ _ q
дх ду
после чего из уравнения непрерывности divv = 0 следует, что
dvz/dz = 0. Таким образом, стационарное движение (относи-
(относительно вращающейся системы координат) в быстро вращающей-
вращающейся жидкости представляет собой наложение двух независимых
движений: плоского течения в поперечной плоскости и осевого
движения, не зависящего от координаты z (J. Proudman, 1916).
Задачи
1. Определить движение в осесимметричной волне, распространяющей-
распространяющейся вдоль оси вращающейся как целое несжимаемой жидкости (W. Thomson,
1880).
Решение. Введем цилиндрические координаты г, (р, z с осью z вдоль
вектора Г2. В осесимметричной волне все величины не зависят от угловой пе-
переменной (р. Зависимость же от времени и координаты z дается множителем
вида ехр{г(/с? — out)}. Раскрыв уравнение A4.3) в компонентах, получим
-iujvr -2Ш^ =--^-,	A)
р дг
ik
—iuvp + 2uvr = 0, —iuvz =	р .	B)
Р
Сюда надо присоединить уравнение непрерывности
- — {rvr)+ikvz =0.	C)
г дг

§ 14	ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ	69
Выразив v^p и р через vr, из B) и C) и подставив в A), получим уравнение
аг2 г dr
для функции F(r), определяющей радиальную зависимость скорости vr:
Vr = F(r)el{LOt-kz\
Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при г = О, есть
F = const • Л [ krJ^- - 1 ),	A4.11)
где J\ —функция Бесселя порядка 1.
Вся картина движения в волне распадается на области, ограниченные
коаксиальными цилиндрическими поверхностями с радиусами гп, определя-
определяемыми равенствами
где xi, X2, • • • —последовательные нули функции J\(x). На этих поверхно-
поверхностях vr = 0; другими словами, жидкость никогда не пересекает их.
Отметим, что для рассматриваемых волн в неограниченной жидкости
частота и не зависит от к. Возможные значения частоты ограничены, одна-
однако, условием и < 2Q; в противном случае уравнение D) не имеет решения,
удовлетворяющего необходимым условиям конечности.
Если же вращающаяся жидкость ограничена цилиндрической стенкой
(радиуса Я), то должно быть учтено условие vr = 0 на стенке. Отсюда
возникает соотношение
z /4O2 ,
кау —	1 = хп,
устанавливающее связь между ш и к для волны с заданным значением п
(т. е. числом коаксиальных областей в ней).
2. Получить уравнение, описывающее произвольное малое возмущение
давления во вращающейся жидкости.
Решение. Уравнение A4.3), расписанное в компонентах, дает
ovx	ldp dvy	ldp dvz	ldp
—--2ilvy = --—-, -—-2ilvx = --—-, —- = -- — .	A)
at	p ox at	p ox at p oz
Продифференцировав эти три уравнения соответственно по ж, у, z и сложив
их с учетом уравнения divv = 0, получим
х ду
Дифференцирование этого уравнения по t, снова с учетом уравнений A),
дает
	Ар = 4п2——,
pdt	dz

70	ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. I
а еще одно дифференцирование по t приводит к окончательному уравнению
Для периодических возмущений с частотой ио это уравнение сводится к
^ = o.	О)
2
Для волн вида A4.5) отсюда получается, разумеется, уже известное диспер-
дисперсионное соотношение A4.8); при этом и < 2Q и коэффициент при д2р /dz2
в уравнении C) отрицателен. Возмущения из точечного источника распро-
распространяются вдоль образующих конуса с осью вдоль Q и углом раствора 2$,
где sin# = cj/2Q.
При ш > 2Q коэффициент при д2р'/dz2 в уравнении C) положителен, и
путем очевидного изменения масштаба вдоль оси z оно приводится к урав-
уравнению Лапласа. Влияние точечного источника возмущений простирается в
этом случае по всему объему жидкости, причем убывает при удалении от
источника по степенному закону.

ГЛАВА II
ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
§ 15. Уравнения движения вязкой жидкости
Мы переходим теперь к изучению влияния, которое оказы-
оказывают на движение жидкости происходящие при движении про-
процессы диссипации энергии. Эти процессы являются выражением
всегда имеющей место в той или иной степени термодинамиче-
термодинамической необратимости движения, связанной с наличием внутрен-
внутреннего трения (вязкости) и теплопроводности.
Для того чтобы получить уравнения, описывающие движение
вязкой жидкости, необходимо ввести дополнительные члены в
уравнение движения идеальной жидкости. Что касается уравне-
уравнения непрерывности, то оно, как явствует из самого его вывода,
относится в равной мере к движению всякой жидкости, в том
числе и вязкой. Уравнение же Эйлера должно быть изменено.
Мы видели в § 7, что уравнение Эйлера может быть написано
в виде
дГ	дхк '
где П^ — тензор плотности потока импульса. Поток импульса,
определяемый формулой G.2), представляет собой чисто обра-
обратимый перенос импульса, связанный просто с механическим пе-
передвижением различных участков жидкости из одного места в
другое и с действующими в жидкости силами давления. Вяз-
Вязкость (внутреннее трение) жидкости проявляется в наличии еще
дополнительного, необратимого, переноса импульса из мест с
большей скоростью в места с меньшей.
Поэтому уравнение движения вязкой жидкости можно по-
получить, прибавив к «идеальному» потоку импульса G.2) допол-
дополнительный член <т^, определяющий необратимый, «вязкий», пе-
перенос импульса в жидкости. Таким образом, мы будем писать
тензор плотности потока импульса в вязкой жидкости в виде
Пг/с = pSik + pViVk - dik = -aik + pviVk.	A5.1)
Тензор
называют тензором напряжений, a a'ik — вязким тензором на-
напряжений. Тензор G{k определяет ту часть потока импульса, ко-

72	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
торая не связана с непосредственным переносом импульса вместе
с массой передвигающейся жидкости :) .
Установить общий вид тензора a'ik можно, исходя из следую-
следующих соображений. Процессы внутреннего трения в жидкости воз-
возникают только в тех случаях, когда различные участки жидко-
жидкости движутся с различной скоростью, так что имеет место дви-
движение частей жидкости друг относительно друга. Поэтому a'ik
должно зависеть от производных от скорости по координатам.
Если градиенты скорости не очень велики, то можно считать,
что обусловленный вязкостью перенос импульса зависит толь-
только от первых производных скорости. Самую зависимость о\к от
производных dvi/dxk можно в том же приближении считать ли-
линейной. Не зависящие от dvi/dx^ члены должны отсутствовать
в выражении для a'ik1 поскольку о\к должны обратиться в нуль
при v = const. Далее замечаем, что afik должно обращаться в
нуль также и в том случае, когда вся жидкость как целое совер-
совершает равномерное вращение, поскольку ясно, что при таком дви-
движении никакого внутреннего трения в жидкости не происходит.
При равномерном вращении с угловой скоростью ft скорость v
равна векторному произведению [fir]. Линейными комбинация-
комбинациями производных dvi/дхк, обращающимися в нуль при v = [fir],
являются суммы
dvj дщ_
дхк dxi
Поэтому a'ik должно содержать именно эти симметричные ком-
комбинации производных dvi/dxh.
Наиболее общим видом тензора второго ранга, удовлетво-
удовлетворяющего этим условиям, является
/	( dvi . dvk 2Х dvi\ .г dvi	/1 с о\
\дхк dxi 3 dxi J	dxi
с независящими от скорости коэффициентами т\ и ?; в этом
утверждении использована изотропия жидкости, вследствии ко-
которой ее свойства как таковой могут характеризоваться лишь
скалярными величинами (в данном случае —г/ и (). Члены
в A5.3) сгруппированы таким образом, что выражение в скоб-
скобках дает нуль при свертывании (т. е. при суммировании компо-
компонент с г = к). Величины г/ и ( называют коэффициентами вязко-
вязкости (причем ( часто называют второй вязкостью). Как будет
1)Мы увидим ниже, что afik содержит член, пропорциональный dik-, T- е.
член такого же вида, как и pSik. Поэтому, строго говоря, после такого ви-
видоизменения формы тензора потока импульса должно быть уточнено, что
именно подразумевается под давлением р. См. об этом конец § 49.

§ 15	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	73
показано в § 16, 49, оба они положительны:
т/>0, (>0.	A5.4)
Уравнения движения вязкой жидкости можно теперь полу-
чить непосредственно путем прибавления выражения —— к пра-
дхк
вой части уравнения Эйлера
dt
Таким образом, получаем
= -ЕЕ. + —Ы— + — - -Sik—)\ + —(C—). A5.5)
dxi дхк\'\ дхк dxi 3 дхг)) дх{ Vs дхг) V 7
Это есть наиболее общий вид уравнений движения вязкой жид-
жидкости. Величины г/, С являются, вообще говоря, функциями дав-
давления и температуры. В общем случае р, Т, а потому и г/, С, не
постоянны вдоль всей жидкости, так что т\ и ? не могут быть
вынесены из-под знака производной.
В большинстве случаев, однако, изменение коэффициентов
вязкости вдоль жидкости незначительно, и потому можно счи-
считать их постоянными. Тогда уравнения A5.5) можно представить
в векторном виде
V)vl = - SradР + *7Дv +(С+-) Srad div v- A5-6)
J	\ 3 /
Это —так называемое уравнение Навъе-Стокса.
Оно существенно упрощается, если жидкость можно считать
несжимаемой. Тогда divv = 0 и последний член справа в A5.6)
исчезает. Рассматривая вязкую жидкость, мы фактически всегда
будем считать ее несжимаемой и соответственно этому пользо-
пользоваться уравнением движения в виде :)
— + (vV)v = -- gradp + ^Av.	A5.7)
dt	p	p
Тензор напряжений в несжимаемой жидкости тоже принимает
простой вид
(р- + р).	A5.8)
х dxJ
х) Уравнение A5.7) было впервые сформулировано на основе модельных
представлений Навье (C.L. Navier, 1827). Вывод уравнений A5.6), A5.7) (без
члена с С), близкий к современному, был дан Стоксом (G.G. Stokes, 1845).

74	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
Мы видим, что в несжимаемой жидкости вязкость описыва-
описывается всего одним коэффициентом. Поскольку практически жид-
жидкость можно очень часто считать несжимаемой, обычно играет
роль именно этот коэффициент вязкости г/. Отношение
v = Z	A5.9)
р
называют кинематической вязкостью, а коэффициент г\ — ди-
динамической). Приведем значения величин т\ и v для некоторых
жидкостей и газов (при температуре 20°С) в абсолютных еди-
единицах:
т],г/с -см z/,cm2/c
Вода	 0,010	0,010
Воздух .... 1,8 • 10~4 0,150
Спирт .... 0,018	0,022
Глицерин . . . 8,5	6,8
Ртуть .... 0,0156	0,0012
Упомянем, что динамическая вязкость газов при заданной тем-
температуре не зависит от давления. Кинематическая же вязкость
соответственно обратно пропорциональна давлению.
Из уравнения A5.7) можно исключить давление таким же об-
образом, как это было сделано раньше с уравнением Эйлера. При-
Применив к обеим частям уравнения операцию rot, получим
— rot v = rot [v rot vl + vA rot v
dt	L	J
(ср. уравнение B.11) для идеальной жидкости). Поскольку здесь
идет речь о несжимаемой жидкости, этому уравнению можно
придать другой вид, раскрыв первый член в его правой части по
правилам векторного анализа и учтя равенство divv = 0:
— rot v + (vV) rot v - (rot v • V)v = vA rot v.	A5.10)
По известному распределению скоростей, распределение давле-
давления в жидкости может быть найдено путем решения уравнения
типа уравнения Пуассона:
Ар = -р^ = -рр^;	A5.11)
oxk oxi	охи oxi
оно получается применением к уравнению A5.7) операции div.
Приведем здесь также уравнение, которому удовлетворяет
функция тока ip(x, у) при двумерном течении несжимаемой вяз-
вязкой жидкости. Оно получается подстановкой A0.9) в уравнение
A5.10):
^д _ дфдАф дфдАф _ ^	(
dt	ох ду ду ох

§ 15	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	75
Необходимо написать еще граничное условие к уравнениям
движения вязкой жидкости. Между поверхностью твердого те-
тела и всякой вязкой жидкостью всегда существуют силы моле-
молекулярного сцепления, приводящие к тому, что прилегающий к
твердой стенке слой жидкости полностью задерживается, как
бы прилипая к ней. Соответственно этому граничное условие к
уравнениям движения вязкой жидкости состоит в требовании
обращения в нуль скорости жидкости на неподвижных твердых
поверхностях:
v = 0.	A5.13)
Подчеркнем, что здесь требуется исчезновение как нормальной,
так и тангенциальной компонент скорости, между тем как гра-
граничные условия к уравнениям идеальной жидкости требуют об-
обращения в нуль только vn х) .
В общем случае движущейся поверхности скорость v должна
быть равна скорости этой поверхности.
Легко написать выражение для силы, действующей на сопри-
соприкасающуюся с жидкостью твердую поверхность. Сила, действую-
действующая на некоторый элемент поверхности, есть не что иное, как по-
поток импульса через этот элемент. Поток импульса через элемент
поверхности df есть
Пг/с dfk = (pvivk - aik) dfk.
Написав dfk в виде dfk = nkdf, где п —единичный вектор норма-
нормали к поверхности, и помня, что на твердой поверхности v = 0 2) ,
находим, что сила Р, действующая на единицу площади поверх-
поверхности, равна
Pi = -Vik^k = РЩ - (j'iknk.	A5.14)
Первый член есть обычное давление жидкости, а второй пред-
представляет собой действующую на поверхность силу трения, обу-
обусловленную вязкостью. Подчеркнем, что п в A5.14) есть еди-
единичный вектор нормали, внешней по отношению к поверхности
жидкости, т. е. внутренней по отношению к твердой поверхности.
Если мы имеем границу раздела двух несмешивающихся жид-
жидкостей (или жидкости и газа), то условия на этой поверхности
гласят, что скорости обеих жидкостей должны быть равны и
силы, с которыми они действуют друг на друга, должны быть
х) Отметим, что решениями уравнения Эйлера нельзя удовлетворить лиш-
лишнему (по сравнению со случаем идеальной жидкости) граничному условию
обращения в нуль тангенциальной скорости. Математически это связано с
более низким (первым) порядком этого уравнения по координатным произ-
производным, чем порядок (второй) уравнения Навье-Стокса.
) При определении действующей на поверхность силы надо рассматри-
рассматривать данный элемент поверхности в системе отсчета, в которой он покоится.
Сила равна просто потоку импульса только при неподвижной поверхности.

76	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
одинаковы по величине и противоположны по направлению. Вто-
Второе из этих условий записывается в виде
где индексы 1 и 2 относятся к двум жидкостям. Векторы нормали
гг1) и гг2) имеют взаимно противоположные направления, гг1) =
= — пB) = п, так что можно написать:
( -L ) 		V /	(Л Г" Л V\
що^ = Щ&\к •	A5.15)
На свободной поверхности жидкости должно выполняться усло-
условие
(JikTik = сг'^Пк — рщ = 0.	A5.16)
Уравнения движения в криволинейных координатах.
Приведем для справок уравнения движения вязкой несжимае-
несжимаемой жидкости в часто используемых криволинейных координа-
координатах.
В цилиндрических координатах г, <р, z компоненты тензора
напряжений выглядят следующим образом:
, о dvr	( 1 dvr , dVm	Vm
dr	V r dip dr r
avv = -p + 2r1A-^ + v^), avz = V(^+1-^), A5.17)
\r dip r J	\ dz r dip J
Gzz = —p ~\- 2t]	 ,	Gzr = T\ (	 +	 I .
dz	V dr dz J
Три компоненты уравнения Навье-Стокса принимают вид
2	/	\
— + (vV)«r - -f = ---? + v[Avr--- --?¦ ,
-rf + vV ^ - ^^ = --/ + v[bv{p - -f + --^ К 15.18
^t	r	pr dip \	r2 r2 dip J
dvz . / ^x	1 dp
-- + vV ^ = ---^
причем операторы (vV) и А определяются формулами
df
r dr \ dr J r2 dip2 dz2
Уравнение непрерывности запишется в виде
1^1 + 1^ + ^1 = 0.	A5.19)
г dr	r dip dz

§ 16	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	77
В сферических координатах г, <р, в имеем для тензора напря-
напряжений
отт = -
2г]—-,
or
- р I 2
+
rsm0 dip r
	 (\ dvr , dve ve \
\r de dr r J
1 dve . 1 dv^p v<p ctg вN
к г sin в dip r de	r )
	 / UVip .	1 OVr	V(p \
V dr r sin в dip r )
Уравнения Навье—Стокса:
dt	г
p dr	L	r2 r2 sin2 в de	r2 sin в dip J'
dt v '	r	r
pr 56»	L	r2 5^ r2 sin^ 6> r2 sin^ 6 d<p
, A5.21)
_ 1 ф	Гд	2 <%r 2cos6> ^	v^ 1
pr dip	V	r2 sin ^ dip r2 sin2 ^ ^9? r2 sin2 ^ J'
причем
r2 dr \ dr J r2 sm в дв \ дв J r2 sm ^ a<^2
Уравнение непрерывности:
1 d(r2vr) , 1 d(sinfli;fl)	1 ^^ _ q	/-. r qo")
r2 ^r	rsin# de	гътв dip

78	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
§ 16. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости
Наличие вязкости приводит к диссипации энергии, переходя-
переходящей в конце концов в тепло. Вычисление диссипируемой энергии
в особенности просто для несжимаемой жидкости.
Полная кинетическая энергия несжимаемой жидкости равна
= P2.i'
Вычислим производную от этой энергии по времени. Для это-
этого пишем:
dt 2 и dt
и подставляем для производной dvi/dt ее выражение, согласно
уравнению Навье-Стокса:
dvi _	dvi I dp 1 da'ik
dt	дхк p dxi p dxk
В результате получаем
д pV2	/ V74	д'
— ^— = -/9v(vV)v -
dt 2
Здесь через (vcr7) обозначен вектор с компонентами Via'ik. Заме-
Замечая, что в несж:имаемой ж:идкости divv = 0, можно написать
первый член справа в виде дивергенции:
Выражение, стоящее под знаком div, представляет собой не
что иное, как плотность потока энергии в жидкости. Первый
член в квадратных скобках есть поток энергии, связанный с про-
простым переносом массы жидкости при ее движении, совпадающий
с потоком энергии в идеальной жидкости (см. A0.5)). Второй же
член (vcr7) есть поток энергии, связанный с процессами внутрен-
внутреннего трения. Действительно, наличие вязкости приводит к появ-
появлению потока импульса a'ik; перенос же импульса всегда связан с
переносом энергии, причем поток энергии получается, очевидно,
из потока импульса умножением на скорость.
Проинтегрировав A6.1) по некоторому объему V, имеем
A6.2)

§ 17	ТЕЧЕНИЕ ПО ТРУБЕ	79
Первый член справа определяет изменение кинетической энергии
жидкости в объеме V благодаря наличию потока энергии через
поверхность этого объема. Второй же член (взятый с обратным
знаком) представляет собой, следовательно, уменьшение кинети-
кинетической энергии в единицу времени, обусловленное диссипацией.
Если распространить интегрирование по всему объему жид-
жидкости, то интеграл по поверхности исчезает (на бесконечности
скорость обращается в нуль г)), и мы получим диссипируемую
в единицу времени во всей жидкости энергию в виде
I dvi ,T/	1 [ i (dvi dvk
dV	A +
(последнее равенство следует из симметричности тензора crfik).
В несжимаемой жидкости тензор a'ik определяется выражением
A5.8). Таким образом, находим окончательно следующую фор-
формулу для диссипации энергии в несжимаемой жидкости:
2
Диссипация приводит к уменьшению механической энергии,
т. е. должно быть ?7Кин < 0. С другой стороны, интеграл в A6.3)
является величиной всегда положительной. Поэтому мы можем
заключить, что коэффициент вязкости т\ положителен.
Задача
Для потеницального движения преобразовать интеграл A6.3) в инте-
интеграл по поверхности, ограничивающей область движения.
Решение. Положив dvi/дхк = Ovk/dxi и произведя однократное ин-
интегрирование по частям, получим
ИЛИ
^кин = -ц [ Vv2 df.
§ 17. Течение по трубе
Рассмотрим несколько простейших случаев движения вязкой
несжимаемой жидкости.
Пусть жидкость заключена между двумя параллельными
плоскостями, движущимися друг относительно друга с постоян-
) Мы рассматриваем движение жидкости в системе координат, в которой
жидкость на бесконечности покоится.
Здесь и в аналогичных других местах мы для определенности говорим о
бесконечном объеме жидкости, что отнюдь не означает какого-либо огра-
ограничения общности. Так, для жидкости, заключенной в ограниченном твер-
твердыми стенками объеме, интеграл по поверхности этого объема все равно
обратился бы в нуль в силу условия равенства нулю скорости на стенке.

80	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
ной скоростью и. Плоскость xz выберем в одной из них, причем
ось х направим по направлению скорости и. Все величины за-
зависят, очевидно, только от координаты у, а скорость жидкости
направлена везде по оси х. Из A5.7) имеем для стационарного
движения
* = 0, — = 0.
dy	dy2
(Уравнение же непрерывности удовлетворяется тождественно.)
Отсюда р = const, v = ay + b. При у = 0 и при у = h (h — рассто-
расстояние между плоскостями) должно быть соответственно v = 0 и
v = и. Отсюда находим
v = У-и.	A7.1)
h
Таким образом, распределение скоростей в жидкости линейно.
Средняя скорость жидкости
h
vdy = ^.	A7.2)
о
Из A5.14) находим, что нормальная компонента действующей
на плоскости силы равна, как и должно было быть, просто р, а
тангенциальная сила трения (на плоскости у = 0) равна
dv пи	(л п о \
(Уху =V^- = JT	A7-3)
dy h
(на плоскости у = h она имеет обратный знак).
Далее, рассмотрим стационарное течение жидкости между
двумя неподвижными параллельными плоскостями при нали-
наличии градиента давления. Координаты выбираем, как в предыду-
предыдущем случае; ось х направлена по направлению движения жидко-
жидкости. Уравнения Навье-Стокса дают (скорость зависит, очевидно,
только от координаты у):
d?v_ _ ^др_ ®Е — Q
ду2 г] дх ду
Второе из этих уравнений показывает, что давление не зависит
от у, т. е. оно постоянно вдоль толщины слоя жидкости между
плоскостями. Тогда в первом уравнении справа стоит функция
только от ж, а слева — только от у; такое уравнение может вы-
выполняться, только если его левая и правая части являются по-
постоянными величинами. Таким образом,
— = const,
dx
т. е. давление является линейной функцией координаты х вдоль
направления потока жидкости. Для скорости же получаем теперь
v = ^~т~у2 + аУ + ь-
2г] dx

§ 17	ТЕЧЕНИЕ ПО ТРУБЕ	81
Постоянные а и b определяются из граничных условий v = 0 при
у = 0 л у = h. В результате получаем
%(yh).	A7.4)
2rj dx
Таким образом, скорость меняется вдоль толщины слоя жидко-
жидкости по параболическому закону, достигая наибольшей величины
посередине слоя. Для среднего по толщине слоя жидкости зна-
значения ее скорости вычисление дает
—	h2 dp	/ л п г \
v = —	-.	A7.5)
12г] dx	v J
Сила трения, действующая на неподвижную стенку:
dv
оху = п-
	 h dp
A7.6)
у=0	2 dx
Наконец, рассмотрим стационарное течение жидкости по тру-
трубе произвольного сечения (одинакового вдоль всей длины тру-
трубы). Ось трубы выберем в качестве оси х. Очевидно, что ско-
скорость v жидкости направлена везде по оси х и является функ-
функцией только у ж z. Уравнение непрерывности удовлетворяется
тождественно, а у- и ^-компоненты уравнения Навье-Стокса да-
дают опять др/ду = dp/dz = 0, т. е. давление постоянно вдоль
сечения трубы, ж-компонента уравнения A5.7) дает
^ + ^ = 1*	A7.7)
ду2 dz2 г] dx
Отсюда опять получаем, что — = const; градиент давления мож-
dx
но поэтому написать в виде Ар/1, где Ар —разность давлений на
концах трубы, а / — ее длина.
Таким образом, распределение скоростей в потоке жидкости
в трубе определяется двумерным уравнением типа Дг> = const.
Это уравнение должно быть решено при граничном условии и =
= 0 на контуре сечения трубы. Решим это уравнение для трубы
кругового сечения. Выбирая начало координат в центре круго-
кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу сим-
симметрии v = v(r). Воспользовавшись выражением для оператора
Лапласа в полярных координатах, имеем
(г)	.
г dr \ dr)	r\l
Интегрируя, находим
v = -^r2 + alnr + 6.	A7.8)
4г]1
Постоянную а надо положить равной нулю, поскольку скорость
должна оставаться конечной во всем сечении трубы, включая его

82	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
центр. Постоянную b определяем из требования v = 0 при г = R
(R — радиус трубы) и получаем
и = ^(Д2-г2).	A7.9)
Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по па-
параболическому закону.
Легко определить количество (массу) жидкости Q, проте-
протекающей в 1 с через поперечное сечение трубы (или, как гово-
говорят, расход жидкости в трубе). Через кольцевой элемент 2тгг dr
площади сечения трубы проходит в 1 с количество жидкости
р • 2nrv dr. Поэтому
R
Q = 2тгр / rv dr.
о
С помощью A7.9) получаем
Q = 	К .	A7.1UJ
Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой
степени радиуса трубы :) .
Задачи
1. Определить течение жидкости по трубе с кольцевым сечением (вну-
(внутренний и внешний радиусы трубы R\ и R2).
Решение. Определяя постоянные а и Ъ в общем решении A7.8) из
условий v = 0 при г = R\ и г = R2, находим
Ар / р2 2 ^ Rl-Rl , г
v = —^- < R2 — г -\	— In —
4ту/ (^	\n(R2/R1) R2
Количество протекающей жидкости равно
2. То же для трубы эллиптического сечения.
Решение. Ищем решение уравнения A7.7) в виде v = Ay2 + Bz2 +
+ С. Постоянные А, В, С определяем из требования, чтобы это выражение
удовлетворяло уравнению и граничному условию v = 0 на контуре сечения
(т. е. уравнение Ay2 + Bz2 + С = 0 должно совпадать с уравнением контура
1) Выражаемая этой формулой зависимость Q от Ар и R была установлена
эмпирически Гагеном (G. Hagen, 1839) и Пуазейлем (J.L.M. Poiseuille, 1840)
и объяснена теоретически Стоксом (G.G. Stokes, 1845).
В литературе параллельные течения вязкой жидкости между неподвиж-
неподвижными стенками часто называют просто пуазейлевымщ в случае A7.4) гово-
говорят о плоском пуазейлевом течении.

§ 17	ТЕЧЕНИЕ ПО ТРУБЕ	83
у2/а2 + z2/Ъ2 = 1, где а, Ъ — полуоси эллипса). В результате получаем
л	9т 9	9	9
= Ар a2b2 / _ Г _ ?^4
277/ а2 + б2 V а2 б2 У '
Для количества протекающей жидкости получаем
тгАр asbs
3. То же для трубы с сечением в виде равностороннего треугольника
(сторона треугольника а).
Решение. Обращающееся в нуль на треугольном контуре решение
уравнения A7.7) есть
АР 2 и и и
v = —	¦=—hih2h3,
I V3ar]
где hi, hi, hs — длины трех высот, опущенных из данной точки треугольника
на три его стороны. Действительно, каждое из выражений Ahi, Ah2, Ahs
(где А = д2/ду2 + д2/dz2) равно нулю; это видно хотя бы из того, что
каждую из высот hi, hi, hs можно выбрать в качестве одной из координат у
или z, а при применении оператора Лапласа к координате получается нуль.
Поэтому
Ah\h2hs = 2(/ii V/&2 V/13 + hi V/ii V/13 + hs V/ii \/h2\
Ho V/fci = ni, V/i2 = П2, V/i3 = пз, где ni, П2, пз — единичные векторы
вдоль направлений высот hi, h2, hs. Каждые два из гц, п2, пз образуют
друг с другом угол 2тг/3, так что
m ^7	2тг	1
V/ii \h2 = П1П2 = cos — = —,
о	2
и т. д., и мы получаем соотношение
Ah\h2hs = —(hi + h2 + hs) =	,
2
с помощью которого убеждаемся в выполнении уравнения A7.7). Количе-
Количество протекающей жидкости равно
л/За4Ар
Q =
32(М
4. Цилиндр радиуса R\ движется со скоростью и внутри коаксиального
с ним цилиндра радиуса R2 параллельно своей оси; определить движение
жидкости, заполняющей пространство между цилиндрами.
Решение. Выбираем цилиндрические координаты с осью z по оси
цилиндра. Скорость направлена везде вдоль оси z и зависит (как и давление)
только от г:
vz = v(r).
Для v получаем уравнение
\ d ( dv\
Av =	(г— I =0
d V d
(гI
г dr V dr'
(член (vV)v = vdv/dz исчезает тождественно). Используя граничные усло-
условия v = и при г = Ri ии = 0 при г = R2, получаем
1п(г/Д2)
V = U	^-^	—.
]n(Ri/R2)

84	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
Сила трения, действующая на единицу длины каждого из цилиндров, равна
5. Слой жидкости (толщины h) ограничен сверху свободной поверхно-
поверхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом а к гори-
горизонту. Определить движение жидкости, возникающее под влиянием поля
тяжести.
Решение. Выбираем неподвижную нижнюю плоскость в качестве
плоскости ху, ось х направлена по направлению течения жидкости, а ось z —
перпендикулярно к плоскости ху (рис. 6). Ищем
решение, зависящее только от координаты z. Урав-
Уравнения Навье-Стокса с vx = v(z) при наличии поля
тяжести гласят:
d v	dp
г]	Ь pg sin a = О,	Ь pg cos a = 0.
dz2	dz
На свободной поверхности (z = h) должны выпол-
няться условия
Рис. 6	azz = -р = -ро, (Jxz = Ц— = 0
(ро — атмосферное давление). При z = 0 должно быть v = 0. Удовлетво-
Удовлетворяющее этим условиям решение есть
Р = Ро +pg cos а • (h — z), v = —	zBh — z).
2rj
Количество жидкости, протекающее в единицу времени через поперечное
сечение слоя (отнесенное к единице длины вдоль оси у):
h
„ Г pghs sin a
Q = р / vdz = —	.
о
6. Определить закон падения давления вдоль трубки кругового сече-
сечения, по которой происходит изотермическое течение вязкого идеального га-
газа (иметь в виду, что динамическая вязкость ц идеального газа не зависит
от его давления).
Решение.В каждом небольшом участке трубки газ можно считать
несжимаемым (если только градиент давления не слишком велик) и соот-
соответственно этому можно применить формулу A7.10), согласно которой
dp _ 8r]Q
dx тгpR4'
На больших расстояниях, однако, р будет меняться, и давление не будет
линейной функцией от х. Согласно уравнению Клапейрона плотность газа
р = тр/Т (т — масса молекулы), так что
ф _ / 8rjQT \ 1
dx ^ TrmR4 ' р
(расход газа Q через все сечение трубки должен быть, очевидно, одинаковым
вне зависимости от того, является ли газ несжимаемым или нет). Отсюда
получаем
(pi, P2 —давления на концах участка трубки длины I).

§ 18	ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ	85
§ 18. Движение жидкости между вращающимися
цилиндрами
Рассмотрим движение жидкости, заключенной между дву-
двумя коаксиальными бесконечными цилиндрами, вращающимися
вокруг своей оси с угловыми скоростями fii и О2; радиусы ци-
цилиндров пусть будут R\ и i?2, причем i?2 > R\ x) . Выберем ци-
цилиндрические координаты г, z, if с осью z по оси цилиндров. Из
симметрии очевидно, что
vz = vr = 0, V(p = v(r); p = p(r).
Уравнение Навье-Стокса в цилиндрических координатах дает в
рассматриваемом случае два уравнения:
^ = pv-,	A8.1)
dr	г
^ + 1^_Л = 0.	A8.2)
dr2 г dr г2
Второе из этих уравнений имеет решения типа тп\ подстановка
решения в таком виде дает п = ±1, так что
v = аг + -.
г
Постоянные а и b находятся из предельных условий, согласно ко-
которым скорость жидкости на внутренней и внешней цилиндри-
цилиндрических поверхностях должна быть равна скорости соответствую-
соответствующего цилиндра: v = R±fti при г = i?i, v = i?2^2 при г = i?2- В
результате получаем распределение скоростей в виде
Распределение давления получается отсюда согласно A8.1) про-
простым интегрированием.
При 0,1 = О2 = О скорость г; = Or, т. е. жидкость враща-
вращается как целое вместе с цилиндрами. При отсутствии внешнего
цилиндра (Г^2 = 0; i?2 — оо) скорость
v =
Определим еще момент действующих на цилиндры сил тре-
трения. На единицу поверхности внутреннего цилиндра действует
1) В литературе движение между вращающимися цилиндрами часто назы-
называют течением Куэтта (М. Couette, 1890). В пределе R\ —»¦ R2 оно пере-
переходит в течение A7.1) между движущимися параллельными плоскостями; о
нем говорят как о плоском течении Куэтта.

86	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
сила трения, направленная по касательной к поверхности и рав-
равная согласно A5.14) компоненте а'Г(р тензора напряжений. С по-
помощью формул A5.17) находим
\r=Rl	1Г1 Щ-Щ ¦
Момент этой силы получается отсюда умножением на R\, а пол-
полный момент Mi, действующий на единицу длины цилиндра —
умножением еще на 2ttRi. Таким образом, находим
_
R\-R\
Момент сил, действующих на внешний цилиндр, М2 = —М\. При
О2 = 0 и малом зазоре между цилиндрами (д = i?2 — R\ <С R2)
формула A8.4) принимает вид
М2 = rjRSu/6,	A8.5)
где S ~ 2ttR — площадь поверхности единицы длины цилиндра,
а и = ft±R — ее окружная скорость х) .
По поводу полученных в этом и предыдущем параграфах ре-
решений уравнений движения вязкой жидкости можно сделать сле-
следующее общее замечание. Во всех этих случаях нелинейный член
(vV)v тождественно исчезает из уравнений, определяющих рас-
распределение скоростей, так что фактически приходится решать
линейные уравнения, что крайне облегчает задачу. По этой же
причине все эти решения тождественно удовлетворяют также и
уравнениям движения идеальной несжимаемой жидкости, напи-
написанным, например, в виде A0.2), A0.3). С этим связано то об-
обстоятельство, что формулы A7.1) и A8.3) не содержат вовсе ко-
коэффициента вязкости жидкости. Коэффициент вязкости содер-
содержится только в таких формулах, как A7.9), которые связыва-
связывают скорость с градиентом давления в жидкости, поскольку са-
самое наличие градиента давления связано с вязкостью жидкости;
идеальная жидкость могла бы течь по трубе и при отсутствии
градиента давления.
§ 19. Закон подобия
При изучении движения вязких жидкостей можно получить
ряд существенных результатов из простых соображений, связан-
связанных с размерностью различных физических величин. Рассмот-
Рассмотрим какой-нибудь определенный тип движения. Этим типом
1) Решение более сложной задачи о движении вязкой жидкости в узком
зазоре между цилиндрами с параллельными, но эксцентрично расположен-
расположенными осями, можно найти в кн.: Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Тео-
Теоретическая гидромеханика.— М.: Физматгиз. 1963. Ч. 2, С. 534.

§ 19	ЗАКОН ПОДОБИЯ	87
может быть, например, движение тела определенной формы че-
через жидкость. Если тело не является шаром, то должно быть
также указано, в каком направлении оно движется, например,
движение эллипсоида в направлении его большой оси или в на-
направлении его малой оси и т. п. Далее, речь может идти о тече-
течении жидкости по области, ограниченной стенками определенной
формы (по трубе определенного сечения и т. п.).
Телами одинаковой формы мы называем при этом тела гео-
геометрически подобные, т. е. такие, которые могут быть получены
друг из друга изменением всех линейных размеров в одинако-
одинаковое число раз. Поэтому если форма тела задана, то для полно-
полного определения размеров тела достаточно указать какой-нибудь
один из его линейных размеров (радиус шара или цилиндриче-
цилиндрической трубы, одну из полуосей эллипсоида вращения с заданным
эксцентриситетом и т. п.).
Мы будем рассматривать сейчас стационарные движения. По-
Поэтому если речь идет, например, об обтекании твердого тела жид-
жидкостью (ниже мы говорим для определенности о таком случае),
то скорость натекающего потока жидкости должна быть посто-
постоянной. Жидкость мы будем предполагать несжимаемой.
Из параметров, характеризующих самую жидкость, в гидро-
гидродинамические уравнения (уравнение Навье-Стокса) входит толь-
только кинематическая вязкость v = r\j p\ неизвестными же функция-
функциями, которые должны быть определены решением уравнений, яв-
являются при этом скорость v и отношение р/р давления р к по-
постоянной р. Кроме того, течение жидкости зависит посредством
граничных условий от формы и размеров движущегося в жид-
жидкости тела и от его скорости. Поскольку форма тела считается
заданной, то его геометрические свойства определяются всего од-
одним каким-нибудь линейным размером, который мы обозначим
буквой /. Скорость же натекающего потока пусть будет и.
Таким образом, каждый тип движения жидкости определя-
определяется тремя параметрами: v^ и, I. Эти величины обладают раз-
размерностями:
[и] — см2/с, [I] — см, [и] — см/с.
Легко убедиться в том, что из этих величин можно составить все-
всего одну независимую безразмерную комбинацию, именно, lujv.
Эту комбинацию называют числом Рейнольдса и обозначают че-
через R:
R=^ = ^.	A9.1)
К)	V
Всякий другой безразмерный параметр можно написать в виде
функции от R.
Будем измерять длины в единицах /, а скорости — в едини-
единицах и, т. е. введем безразмерные величины т/1 и лг/и. Поскольку

ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
единственным безразмерным параметром является число Рей-
ноль дса, то ясно, что получающееся в результате решения гидро-
гидродинамических уравнений распределение скоростей определяется
функциями вида
v = uf(^,R].	A9.2)
Из этого выражения видно, что в двух различных течениях од-
одного и того же типа (например, обтекание шаров различного ра-
радиуса жидкостями различной вязкости) скорости у/и являются
одинаковыми функциями отношения г//, если только числа Рей-
ноль дса для этих течений одинаковы. Течения, которые могут
быть получены друг из друга простым изменением масштаба из-
измерения координат и скоростей, называются подобными. Таким
образом, течения одинакового типа с одинаковым числом Рей-
нольдса подобны —так называемый закон подобия (О. Reynolds,
1883).
Аналогичную A9.2) формулу можно написать и для распре-
распределения давления в жидкости. Для этого надо составить из па-
параметров ^, /, и величину с размерностью давления, деленного
на р] в качестве такой величины выберем, например, и2. Тогда
можно утверждать, что р/ри2 будет функцией от безразмерной
переменной г/1 и безразмерного параметра R. Таким образом,
A9.3)
Наконец, аналогичные соображения применимы к величинам,
характеризующим течение жидкости, но не являющимся уже
функциями координат. Таковой является, например, действую-
действующая на обтекаемое тело сила сопротивления F. Именно, можно
утверждать, что безразмерное отношение F к составленной из v,
и, /, р величине размерности силы должно быть функцией толь-
только от числа Рейнольдса. В качестве указанной комбинации из v,
и, /, р можно взять, например, произведение pu2l2. Тогда
F = pu2l2f(R).	A9.4)
Если влияние силы тяжести на движение существенно, то
движение определяется не тремя, а четырьмя параметрами: /,
и, v и ускорением свободного падения g. Из этих параметров
можно составить уже не одну, а две независимые безразмерные
комбинации. В качестве их можно, например, выбрать число Рей-
Рейнольдса и число Фруда, равное
F = u2/(lg).	A9.5)
В формулах A9.2)—A9.4) функция / будет зависеть теперь не
от одного, а от двух параметров (R и F), и течения являются
подобными лишь при равенстве обоих этих чисел.

§ 20	ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА	89
Наконец, скажем несколько слов о нестационарных движе-
движениях. Нестационарное движение определенного типа характери-
характеризуется наряду с величинами v, и, I еще значением какого-либо
характерного для этого движения интервала времени т, опреде-
определяющего изменение движения со временем. Так, при колебаниях
погруженного в жидкость твердого тела определенной формы
этим временем может являться период колебаний. Из четырех
величин v, и, /, т можно опять составить не одну, а две незави-
независимые безразмерные величины, в качестве которых можно взять
число Рейнольдса и число
S = ut/1,	A9.6)
называемое иногда числом Струхала (Strouhal). Подобие дви-
движений имеет место в таких случаях при равенстве обоих этих
чисел.
Если колебания в жидкости возникают самопроизвольно (а
не под влиянием заданной внешней вынуждающей силы), то для
движения определенного типа число S будет определенной функ-
функцией числа R:
S = /(R).
§ 20. Течение при малых числах Рейнольдса
Уравнение Навье-Стокса заметно упрощается для движе-
движений с малым числом Рейнольдса. Для стационарного движения
несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид
(vV)v = —-grad]9+ -Av.
Р	Р
Член (vV)v имеет порядок величины и2 //, где и и / имеют тот же
смысл, как и в § 19. Выражение же (r//p)Av ^ rju/(pi2). Отноше-
Отношение первой величины ко второй есть как раз число Рейнольдса.
Поэтому при R^Cl членом (vV)v можно пренебречь, и уравнение
движения сводится к линейному уравнению
r/Av - gradp = 0.	B0.1)
Вместе с уравнением непрерывности
divv = 0	B0.2)
оно полностью определяет движение. Полезно также заметить
уравнение
Arotv = 0,	B0.3)
получающееся применением операции rot к уравнению B0.1).
Рассмотрим прямолинейное и равномерное движение шара
в вязкой жидкости (G.G. Stokes, 1851). Эта задача вполне

90	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
эквивалентна задаче об обтекании неподвижного шара потоком
жидкости, имеющим на бесконечность заданную скорость и. Рас-
Распределение скоростей в первой задаче получается из решения
второй задачи просто вычитанием скорости и; тогда жидкость
на бесконечности оказывается неподвижной, а шар движется со
скоростью — и. Если мы рассматриваем движение как стационар-
стационарное, то надо, конечно, говорить именно об обтекании жидкостью
неподвижного шара, так как при движущемся шаре скорость
жидкости в каждой точке пространства меняется со временем.
Поскольку div (v — u) = divv = 0, то v — u может быть
представлено в виде ротора некоторого вектора А:
v — и = — rot А,
причем rot А обращается на бесконечности в нуль. Вектор А
должен быть аксиальным для того, чтобы его ротор был поляр-
полярным вектором, как скорость. В задаче об обтекании полностью
симметричного тела — шара — нет никаких выделенных направ-
направлений за исключением направления и. Этот параметр и должен
входить в А линейно — в виду линейности уравнения движения и
граничных условий к нему. Общий вид векторной функции А (г),
удовлетворяющей всем этим требованиям, есть А = /'(г) [пи],
где п — единичный вектор в направлении радиус-вектора г (на-
(начало координат выбираем в центре шара), а /'(г) —скалярная
функция от г. Произведение f'(r)n можно представить в виде
градиента некоторой другой функции /(г). Таким образом, мы
будем искать скорость в виде
v = u + rot [V/ • и] = и + rot rot /и	B0.4)
(в последнем равенстве учтено, что и = const).
Для определения функции / воспользуемся уравнением B0.3).
Имеем
rot v = rot rot rot /u = (grad div —A) rot /u = —A rot /u.
Поэтому B0.3) принимает вид
A2 rot /u = A2[V/ • u] = [A2 grad / • u] = 0.
Отсюда следует, что должно быть
A2grad/ = 0.	B0.5)
Первое интегрирование дает А2/ = const. Легко видеть, что
const должна быть положена равной нулю. Действительно, на
бесконечности разность v —u должна исчезать; тем более это от-
относится к ее производным. Выражение же А2/ содержит четвер-
четвертые производные от /, между тем как сама скорость выражается
через ее вторые производные.

§ 20	ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА	91
Таким образом, имеем
tff	(r)
г2 dr \ dr )
Отсюда
Г
Постоянная с должна быть положена равной нулю для того, что-
чтобы скорость v — u исчезала на бесконечности. Интегрируя оста-
остающееся уравнение, находим
f = аг+-	B0.6)
г
(аддитивная постоянная в / опущена как несущественная — ско-
скорость определяется производными от /).
Подстановка в B0.4) дает после простого вычисления
v = u-qu + n(un)+fe3n(un)-u.	B0.7)
Г	Г3
Постоянные а и b должны быть определены из граничного усло-
условия v = 0 при г = R (на поверхности шара):
и 1 — — — — + n(un) —— + — = 0.
V R R4 V J\ R R3J
Поскольку это равенство должно иметь место при произвольном
п, то коэффициенты при и и при n(un) должны обращаться в
нуль каждый в отдельности. Отсюда находим а = 3i?/4, b = i?3/4
и окончательно:
/ = ^i?r + f,	B0.8)
4	4r
v = 3R u + n(un) _ Rs u - 3n(un) + u	^QQ^
4	r	4	rs
Компоненты скорости в сферических координатах (с полярной
осью в направлении и):
2г 2г3{	B0.10)
4r 4r3J
Этим определяется распределение скоростей вокруг движущего-
движущегося шара.
Для определения давления подставляем B0.4) в B0.1):
gididp = r/Av = r/Arotrot /u = r/A(graddiv/u — uAJ).

92	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
Но А2/ = 0 и потому
gradp = grad (r/A div /u) = grad (r/ugrad A/).
Отсюда
p = r/ugrad A/ +po	B0.11)
(po — давление жидкости на бесконечности). Подстановка / при-
приводит к окончательному выражению
P = Po-h™R-	B0-12)
2 г2
С помощью полученных формул можно вычислить силу F
давления текущей жидкости на шар (или, что то же, силу сопро-
сопротивления, испытываемую движущимся в жидкости шаром). Для
этого введем сферические координаты с полярной осью вдоль
скорости и; все величины будут в силу симметрии функциями
только от г и полярного угла в. Очевидно, что сила F направле-
направлена по скорости и. Абсолютная величина этой силы может быть
определена с помощью A5.14). Определяя из этой формулы ком-
компоненты (по нормали и по касательной к поверхности) силы, при-
приложенной к элементу поверхности шара, и проецируя эти компо-
компоненты на направление и, найдем
F= I\-р cos в + атт cos в -a'r0 sin в) df,	B0.13)
где интегрирование производится по всей поверхности шара.
Подставив выражения B0.10) в формулы
/ г, dvr !	fldvr dv0 ve \
or	\r 39 or r J
(cm. A5.20)), найдем, что на поверхности шара
отт = 0, а'гв = —
а давление B0.12)
отт = 0, агв
2R
Поэтому интеграл B0.13) сводится к выражению
F = ^ [ df.
2R J J
Окончательно находим следующую формулу Стокса для силы
сопротивления, действующей на медленно движущийся в

§ 20	ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА	93
жидкости шар :) :
F = бпЩи.	B0.14)
Отметим, что сила сопротивления оказывается пропорцио-
пропорциональной первым степеням скорости и линейных размеров тела.
Такая зависимость могла бы быть предсказана уже из сообра-
соображений размерности. Дело в том, что в приближенные уравне-
уравнения движения B0.1), B0.2) параметр р — плотность жидкости —
не входит. Поэтому определенная с их помощью сила F может
выражаться только через величины г/, и, R] из них можно со-
составить только одну комбинацию с размерностью силы — произ-
произведение r]uR.
Такая же зависимость имеет место и для медленно движу-
движущихся тел другой формы. Направление силы сопротивления, в
общем случае тела произвольной формы, не совпадает с направ-
направлением скорости; в общем виде зависимость F от и может быть
написана как
Fi = г]щкик,	B0.15)
где Щк — не зависящий от скорости тензор второго ранга. Суще-
Существенно, что этот тензор симметричен. Это утверждение (спра-
(справедливое в линейном по скорости приближении) является част-
частным случаем общего закона, имеющего место для медленных
движений, сопровождающихся диссипативными процессами
(см. V, § 121).
Уточнение формулы Стокса. Полученное выше решение
задачи об обтекании оказывается неприменимым на достаточно
больших расстояниях от шара, несмотря на малость числа Рей-
нольдса. Для того чтобы убедиться в этом, оценим член (vV)v,
которым мы пренебрегли B0.1). На больших расстояниях ско-
скорость v^u. Производные же от скорости на этих расстояниях —
порядка величины uR/r2, как это видно из B0.9). Следователь-
Следовательно, (vV)v~ii2i?/r2. Оставленные же в уравнении B0.1) члены —
порядка величины r]Ru/(pr3) (как это можно увидеть из той же
г) Имея в виду некоторые дальнейшие применения, укажем, что если про-
производить вычисления, пользуясь выражением B0.7) для скорости с неопре-
неопределенными постоянными а и 6, то получится
F = 8тгат]и.	B0.14а)
Сила сопротивления может быть вычислена и для медленно движущегося
произвольного трехосного эллипсоида. Соответствующие формулы можно
найти в кн.: Лэмб Г. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947. Укажем здесь
предельные выражения для плоского круглого диска (радиуса Я), движу-
движущегося в направлении, перпендикулярном к своей плоскости:
F = lGrjRu,
и для такого же диска, движущегося в своей плоскости:
F = C2/3)r]Ru.

94	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
формулы B0.9) для скорости или формулы B0.12) для давле-
давления). Условие ur]R/(pr^) ^> u^R/r2 выполняется только на рас-
расстояниях
г^и/и.	B0.16)
На больших расстояниях сделанные пренебрежения оказывают-
оказываются незаконными и полученное распределение скоростей непра-
неправильным.
Для получения распределения скоростей на больших рассто-
расстояниях от обтекаемого тела следует учесть отброшенный в B0.1)
член (vV)v. Поскольку на этих расстояниях скорость v мало
отличается от и, то можно написать приближенно (uV) вместо
(vV). Тогда мы получим для скорости на больших расстояниях
линейное уравнение
(uV)v = --Vp + z/Av	B0.17)
Р
(C.W. Oseen, 1910). Мы не станем излагать здесь ход решения
этого уравнения для обтекания шара :) . Укажем лишь, что с
помощью получаемого таким образом распределения скоростей
можно вывести уточненную формулу для испытываемой шаром
силы сопротивления (следующий член разложения этой силы по
числу Рейнольдса R = uRjv):
+ —V	B0.18)
8v /
Укажем также, что при решении задачи об обтекании беско-
бесконечного цилиндра жидкостью, движущейся в поперечном к ци-
цилиндру направлении, необходимо с самого начала решать урав-
уравнение Осеена (уравнение же B0.1) в этом случае вовсе не обла-
обладает решением, удовлетворяющим граничным условиям на по-
поверхности тела и в то же время обращающимся в нуль на бес-
бесконечности). Отнесенная к единице длины сила сопротивления
оказывается равной
F =	^	=	^	,	B0.19)
l/2C\(R/4v) In C,70/ito)	V	J
где С = 0,577... —число Эйлера (Я. Lamb, 1911) 2).
1)Его можно найти в книгах: Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В.
Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматтиз, 1963. Ч. 2. Гл. II, § 25, 26;
Лэмб Г. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947. § 342, 343.
) Невозможность вычисления силы сопротивления в задаче о цилиндре с
помощью уравнения B0.1) очевидна уже из соображений размерности. Как
уже отмечено выше, результат должен был бы выражаться только через па-
параметры т/, и, R. Но в данном случае речь идет о силе, отнесенной к единице
длины цилиндра; величиной такой размерности могло бы быть только про-
произведение г]и, не зависящее от размеров тела (и тем самым не обращающееся
в нуль при R —>- 0), что физически нелепо.

§ 20	ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА	95
Возвращаясь к задаче об обтекании шара, надо сделать сле-
следующее замечание. Произведенная в уравнении B0.17) замена v
на и в нелинейном члене оправдана вдали от шара, на расстоя-
расстояниях r^>R. Естественно поэтому, что, давая правильное уточне-
уточнение картины движения на больших расстояниях от обтекаемого
тела, уравнение Осеена не дает такого уточнения на близких рас-
расстояниях (это проявляется в том, что решение уравнения B0.17),
удовлетворяющее необходимым условиям на бесконечности, не
удовлетворяет точному условию обращения в нуль скорости на
поверхности шара; это условие соблюдается лишь для нулевого
члена разложения скорости по степеням числа Рейнольдса и не
выполняется уже для члена первого порядка). Поэтому на пер-
первый взгляд может показаться, что решение уравнения Осеена
не может послужить для правильного вычисления поправочного
члена в силе сопротивления. Это, однако, не так по следующей
причине. Вклад в силу F, связанный с движением жидкости на
близких расстояниях (для которых u^v/r), должен быть разло-
разложим по степеням вектора и. Поэтому первый происходящий от
этого вклада отличный от нуля поправочный член в векторной
величине F будет пропорционален ии2, т. е. дает поправку второ-
второго порядка по числу Рейнольдса и, таким образом, не отразится
на поправке первого порядка в формуле B0.18).
Вычисление же следующих поправок к формуле Стокса и
правильное уточнение картины течения на близких расстояни-
расстояниях с помощью прямого решения уравнения B0.17) невозможно.
Хотя сам по себе вопрос об этих уточнениях и не столь важен, вы-
выяснение своеобразного характера последовательной теории воз-
возмущений для решения задач об обтекании вязкой жидкостью
при малых числах Рейнольдса представляет заметный методи-
методический интерес (S. Kaplun, P.A. Lagerstrom, 1957; /. Proudman,
J.R. Pearson, 1957). Опишем имеющую здесь место ситуацию,
приведя все нужные для ее уяснения формулы, но не останавли-
останавливаясь на детальном проведении вычислений г) .
) Его можно найти в кн.: Ван-Дайк М. Методы возмущений в механи-
механике жидкости. — М.: Мир, 1967. Гл. VIII {Van Dyke M. Perturbation methods
in fluid mechanics. — Acad. Press, 1964). Вычисления произведены здесь не
в терминах скорости v(r), а в менее наглядных, но более компактных тер-
терминах функции тока. Для осесимметричных течений (к которым относится
обтекание шара) функция тока ф(г, 0) в сферических координатах вводится
согласно определению
г2 sin в
1 дф
rsm0 or
Тем самым тождественно удовлетворяется уравнение непрерывности A5.22).

96	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
Для явного выявления малого параметра R —числа Рей-
нольдса — введем безразмерные скорость и радиус-вектор
v7 = v/гл, г' = r/R и ниже в этом параграфе будем обозначать
их теми же буквами v и г, опуская штрих. Тогда точное уравне-
уравнение движения (которое возьмем в форме A5.10) с исключенным
давлением) запишется в виде
Rrotfvrotv] + Arotv = 0.	B0.20)
Выделим в пространстве вокруг обтекаемого шара две обла-
области: ближнюю и дальнюю, определенные соответственно усло-
условиями г <С 1/R и г>1. Вместе эти области исчерпывают все
пространство, причем частично они перекрываются в «проме-
«промежуточной» области
1/R>r>l.	B0.21)
При проведении последовательной теории возмущений исход-
исходным приближением в ближней области является стоксово при-
приближение— решение уравнения Arotv = 0, получающегося из
B0.20) пренебрежением члена с множителем R. Это решение да-
дается формулами B0.10); в безразмерных переменных оно имеет
вид
-- + — V v^ = -sme(l---—), r<l/R
B0.22)
(индекс A) отмечает первое приближение).
Первым приближением в дальней области является просто
постоянное значение v^1) = i/, отвечающее невозмущенному од-
однородному набегающему потоку (z/— единичный вектор в на-
направлении обтекания). Подстановка v = i/ + v^ в B0.20) приво-
приводит для vB) к уравнению Осеена
R rot \y rot v^2'] + A rot v^2' = 0.	B0.23)
Решение должно удовлетворять условию обращения скорости
v^2) в нуль на бесконечности и условию сшивки с решением
B0.22) в промежуточной области; последнее условие исключает,
в частности, решения, слишком быстро возрастающие с умень-
уменьшением г г) . Таким решением является следующее:
3 |\
jl [l + A + cos
B0.24)
1) Для фиксирования численных коэффициентов в решении надо также
учесть условие обращения в нуль полного потока жидкости через всякую
замкнутую поверхность, охватывающую собой обтекаемый шар.

§ 20	ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА	97
Отметим, что естественной переменной для дальней области яв-
является не сама радиальная координата г, а произведение р = rR.
При введении этой переменной из уравнения B0.20) выпадает
число R — в соответствии с тем, что при г > 1/R вязкие и инер-
инерционные члены в уравнении сравниваются по порядку величи-
величины. Число R входят при этом в решение только через граничное
условие сшивки с решением в ближней области. Поэтому разло-
разложение функции v(r) в дальней области является разложением
по степеням R при заданных значениях произведения р = rR;
действительно, вторые члены в B0.24), будучи выражены че-
через р, содержат множитель R.
Для проверки правильности сшивки друг с другом решений
B0.22) и B0.24), замечаем, что в промежуточной области B0.21)
rR^Cl и выражения B0.24) могут быть разложены по этой пере-
переменной. С точностью до первых двух (после однородного потока)
членов разложения находим
vr = cos6>(l- —) + — A-cos6>)(l + 3cos6>),
16
) +
/ зч 163R	B0.25)
ve =-smell - —) - — sin0(l - cos0).
V 4r/ 8
С другой стороны, в той же области г»1 и потому в B0.22)
можно опустить члены ~1/г3; остающиеся выражения действи-
действительно совпадают с первыми членами в B0.25) (вторые члены в
B0.25) понадобятся ниже).
Для перехода к следующему приближению в ближней обла-
области пишем v = v^1) + vB) и получаем из B0.20) уравнение для
поправки второго приближения:
Arotv^ = -Rrotfv^rotvW].	B0.26)
Решение этого уравнения должно удовлетворять условию обра-
обращения в нуль на поверхности шара и условию сшивки с решени-
решением в дальней области; последнее означает, что главные члены в
функции v^2) (г) при г ^> 1 должны совпасть со вторыми членами
в B0.25). Таким решением является следующее:
k 2
8	32 V г/ \ г
B) 3R A) , 3R/1 1\Л.1.1.2\.л л
v\ ' = —v\ ' + — 1 - - 4 + - + — + — sin 0 cos 0,
в	8в	32 V rJ V г г2 г3/	'
г < 1/R. B0.27)
В промежуточной области в этих выражениях остаются только
члены, не содержащие множителей 1/г; эти члены действительно
совпадают со вторыми членами в B0.25).
По распределению скоростей B0.27) можно вычислить по-
поправку к формуле Стокса для силы сопротивления. Вторые
4 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

98	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
члены в B0.27) в силу своей угловой зависимости не дают вкла-
вклада в силу, а первые дают как раз тот поправочный член 3R/8,
который был приведен в B0.18). В соответствии с изложенной
выше аргументацией правильное распределение скоростей вбли-
вблизи шара приводит (в рассмотренном приближении) к тому же
результату для силы, что и решение уравнения Осеена.
Следующее приближение может быть получено путем про-
продолжения описанной процедуры. В этом приближении в распре-
распределении скоростей появляются логарифмические члены, а в вы-
выражении B0.18) для силы сопротивления скобка заменяется на
RRln
8	40	R
(причем логарифм ln(l/R) предполагается большим) х) .
Задачи
1. Определить движение жидкости, заполняющей пространство между
двумя концентрическими сферами (радиусов R\ и R2] Л 2 > Ri), равномер-
равномерно вращающимися вокруг различных диаметров с угловыми скоростями Qi
и ^2 (числа Рейнольдса QiRi/г/, Q2R2/V <С !)•
Решение.В силу линейности уравнений движение между двумя вра-
вращающимися сферами можно рассматривать как наложение двух движений,
имеющих место, если одна из сфер покоится, а другая вращается. Поло-
Положим сначала ^2 = 0, т. е. вращается только внутренняя сфера. Естественно
ожидать, что скорость жидкости в каждой точке будет направлена по ка-
касательной к окружности с центром на оси вращения в плоскости, перпен-
перпендикулярной к этой оси. Но в силу аксиальной симметрии относительно оси
вращения давление не может иметь градиента в этом направлении. Поэтому
уравнение движения B0.1) приобретает вид
Av = 0.
Вектор угловой скорости fii является аксиальным вектором. Рассужде-
Рассуждения, аналогичные произведенным в тексте, показывают, что можно искать
скорость в виде
v = rot«i/(r) = [V/-«i].
Уравнение движения дает тогда [gradA/ • Qi] = 0, поскольку вектор
grad А/ направлен по радиус-вектору, а произведение [rfii] не может быть
равно нулю при заданном flin произвольном г, то должно быть grad A/ = 0,
так что
А/ = const.
Интегрируя, получаем
/ = аг2 + Ь; v=(A_2a)[nir].
Постоянные а и Ь определяются из условий v = 0 при г = R2 и v = u при
г = Ri, где u = [fiir] есть скорость точек вращающейся сферы. В результате
получим
RlRl ( 1 l\fn 1
Ь ~ т)[ 1Т]'
.: Proudman /., Pearson J.R. // J. Fluid Mech. 1957. V. 2. P. 237.

§ 20	ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА	99
Давление в жидкости остается постоянным (р = ро). Аналогично получается
для случая, когда вращается внешний шар, а внутренний покоится (Qi = 0):
R32-Rf\Rf
В общем случае вращения обеих сфер имеем
Если внешний шар вообще отсутствует (ife = 00, Л2 = 0), т. е. мы имеем
просто шар радиуса R, вращающийся в неограниченной жидкости, то
Вычислим момент сил трения, действующих на шар в этом случае. Если
выбрать сферические координаты с полярной осью по Г2, то
vr = ve = 0, v^p = v = 	sin в.
г2
Действующая на единицу поверхности шара сила трения равна
\r=R
Полный действующий на шар момент сил трения есть
м =
откуда
Г a'ri
М = -S7rr]R3U.
Если отсутствует внутренний шар, то v = [Л21*], т. е. жидкость просто
вращается как целое вместе со сферой, внутри которой она находится.
2. Определить скорость круглой капли жидкости (с вязкостью т/), дви-
движущейся под влиянием силы тяжести в жидкости с вязкостью r\ ( W. Ryb-
czynski, 1911).
Решение. Воспользуемся системой координат, в которой капля по-
покоится. Для жидкости снаружи капли ищем решение уравнения B0.5) опять
в виде B0.6), так что скорость имеет вид B0.7). Для жидкости же внутри
капли надо искать решение, не обладающее особой точкой при г = 0 (причем
должны оставаться конечными также и вторые производные от /, опреде-
определяющие скорость). Таким общим решением является
J 4 8
чему соответствует скорость
v = -Аи + Бг2[п(ип) - 2и].

100	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
На поверхности шара г) должны быть выполнены следующие условия. Нор-
Нормальные составляющие скорости вещества вне (v^) и внутри (v^) капли
должны обращаться в нуль:
Касательная компонента скорости должна быть непрерывна:
ve = ve >
то же самое должно иметь место для компоненты аго тензора напряжении
(условие же равенства компонент агг тензора напряжений можно не пи-
писать — оно определило бы собой искомую скорость и, которую, однако, про-
проще найти, как это сделано ниже). Из указанных четырех условий получаем
четыре уравнения для постоянных а, 6, А, В, решение которых дает
п р 2r] + 3r]' h рз Ц	л	R7?2	V
п = гС	, и = гС 	, Л. = —Jdil = 	.
Для силы сопротивления получаем согласно B0.14а):
(v f)
При г/ —>- оо (что соответствует твердому шарику) эта формула переходит в
формулу Стокса. В предельном же случае г] —>¦ 0 (газовый пузырек) полу-
получается F = 4тгш7Л, т. е. сила сопротивления составляет 2/3 сопротивления
твердому шарику.
Приравнивая F действующей на каплю силе тяжести —RS(p — p')g,
2tf(
377B77 + Зт/0
3. Две параллельные плоские круглые пластинки (радиуса R) располо-
расположены одна над другой на малом расстоянии друг от друга; пространство
между ними заполнено жидкостью. Пластинки сближаются друг с другом
с постоянной скоростью и, вытесняя жидкость. Определить испытываемое
пластинками сопротивление (О. Reynolds).
Решение. Выбираем цилиндрические координаты с началом в цен-
центре нижней пластинки (которую полагаем неподвижной). Движение жидко-
жидкости осесимметрично, а ввиду тонкости слоя жидкости в основном радиально
(vz <C vr), причем dvr/dr ^C dvr/dz. Поэтому уравнения движения прини-
принимают вид
8^ = 8р 8р =
1 dz2 dr dz	V '
l^v)+^=0
d
) Изменение формы капли при ее движении можно не рассматривать, так
как оно представляет собой эффект высшего порядка малости. Но для того
чтобы движущаяся капля фактически была шарообразной, силы поверх-
поверхностного натяжения на ее границе должны превышать силы, происходящие
от неравномерности давления и стремящиеся нарушить шаровую форму.
Это значит, что должно быть r]u/R <C olJR (ol — коэффициент поверхностно-
поверхностного натяжения) или, подставляя и ~ R2gp/rj:

§ 21	ЛАМИНАРНЫЙ СЛЕД	101
с граничными условиями
при z = 0 :	vr = vz = 0,
при z = h :	г>г = 0, г>г = —гб,
при г = R :	р = ро
(h — расстояние между пластинками, ро — внешнее давление). Из уравнений
A) находим
1 dp , ,.
vr = — -fz(z-h).
2rj dr
Интегрируя же уравнение B) по dz, получим
1 d Г ,	h3 d ( dp\
и =	/ rvr a^ =	( r — 1,
r dr J	12г]г dr ^ dr^
о
откуда
p = po-Atf-г2).
Полная сила сопротивления, действующая па пластинку, равна
_ ЗтудиЯ4
2/г3
§ 21. Ламинарный след
При стационарном обтекании твердого тела вязкой жидко-
жидкостью движение жидкости на больших расстояниях позади тела
обладает своеобразным характером, который может быть иссле-
исследован в общем виде вне зависимости от формы тела.
Обозначим через U постоянную скорость натекающего на те-
тело потока жидкости (направление U выберем в качестве оси х с
началом где-либо внутри обтекаемого тела). Истинную же ско-
скорость жидкости в каждой точке будем писать в виде U + v; на
бесконечности v обращается в нуль.
Оказывается, что на больших расстояниях позади тела ско-
скорость v заметно отлична от нуля лишь в сравнительно узкой
области вокруг оси х. В эту область, называемую ламинарным
следом х) , попадают частицы жидкости, движущиеся вдоль ли-
линий тока, проходящих мимо обтекаемого тела на сравнительно
небольших расстояниях от него. Поэтому движение жидкости в
следе существенно завихрено. Дело в том, что источником зави-
завихренности при обтекании твердого тела вязкой жидкостью яв-
является именно его поверхность 2) . Это легко понять, вспомнив,
х) В отличие от турбулентного следа — см. § 37.
) На неправомерность утверждения о сохранении равенства rot v = 0
вдоль линий тока, проходящей вдоль твердой поверхности, указывалось уже
в 8 9.

102	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
что в картине потенциального обтекания, отвечающей идеаль-
идеальной жидкости, на поверхности тела обращается в нуль только
нормальная, но не тангенциальная скорость жидкости v^. Меж-
Между тем граничное условие прилипания для реальной жидкости
требует обращения в нуль также и v^. При сохранении картины
потенциального обтекания это привело бы к конечному скачку
wt — возникновению поверхностного ротора скорости. Под влия-
влиянием вязкости скачок размывается и завихренность проникает в
глубь жидкости, откуда и переносится конвективным образом в
область следа.
На линиях же тока, проходящих достаточно далеко от те-
тела, влияние вязкости незначительно на всем их протяжении, и
потому ротор скорости на них (равный нулю в натекающем из
бесконечности потоке) остается практически равным нулю, как
это было бы в идеальной жидкости. Таким образом, на больших
расстояниях от тела движение жидкости можно считать потен-
потенциальным везде, за исключением лишь области следа.
Выведем формулы, связывающие свойства движения жидко-
жидкости в следе с действующими на обтекаемое тело силами.
Полный поток импульса, переносимого жидкостью через ка-
какую-нибудь замкнутую поверхность, охватывающую собой обте-
обтекаемое тело, равен взятому по этой поверхности интегралу от
тензора потока импульса:
Компоненты тензора П^ равны
Пг/с = pSik + p(Ui - Vi)(Uk + Vk).
Напишем давление в виде р = Ро+р', ГДе Ро ~ давление на беско-
бесконечности. Интегрирование постоянного члена ро5ц~ + pUiUk даст
в результате нуль, поскольку для замкнутой поверхности век-
векторный интеграл § df = 0. Обращается в нуль также и интеграл
f pvkdfk'. поскольку полное количество жидкости в рассматри-
рассматриваемом объеме остается неизменным, полный поток жидкости
через охватывающую его поверхность должен исчезать. Нако-
Наконец, вдали от тела скорость v мала по сравнению с U. Поэтому
если рассматриваемая поверхность расположена достаточно да-
далеко от тела, то на ней можно пренебречь в П^ членом pviVk
по сравнению с pU^Vi. Таким образом, полный поток импульса
будет равен интегралу
Выберем теперь в качестве рассматриваемого объема жидко-
жидкости объем между двумя бесконечными плоскостями х = const,

§ 21	ЛАМИНАРНЫЙ СЛЕД	103
из которых одна взята достаточно далеко впереди, а другая —
позади тела. При определении полного потока импульса интег-
интеграл по бесконечно удаленной «боковой» поверхности исчезает
(так как на бесконечности р' = 0, v = 0), и поэтому достаточно
интегрировать только по обеим поперечным плоскостям. Полу-
Получающийся таким образом поток импульса представляет собой,
очевидно, разность между полным потоком импульса, втекаю-
втекающим через переднее, и потоком, вытекающим через заднее сече-
сечение. Но эта разность является в то же время количеством им-
импульса, передаваемым в единицу времени от жидкости к телу,
т. е. силой F, действующей на обтекаемое тело.
Таким образом, компоненты силы F равны разностям
Fx=
- I J (р' + pUvx) dydz,
Х=Х\
Х=Х2 Х=Х\
Fy=( I - I \pUvydydz, Fz=( I - I \pUvzdydz,
X=X2 X=X\	X=X2 X=X\
где интегрирование производится по бесконечным плоскостям
х = %\ (значительно позади) и х = %2 (значительно впереди
тела). Рассмотрим сначала первую из этих величин.
Вне следа движение потенциально, и потому справедливо
уравнение Бернулли
р + ?(U + vJ = const = р0 + P-U2,
или, пренебрегая членом pv /2 по сравнению с pUv,
р = -pUvx.
Мы видим, что в этом приближении подынтегральное выраже-
выражение в Fx обращается в нуль во всей области вне следа. Други-
Другими словами, интеграл по плоскости х = Х2 (проходящей впе-
впереди тела и не пересекающей след вовсе) исчезает полностью,
а в интеграле по задней плоскости х = х\ надо интегрировать
лишь по площади сечения следа. Но внутри следа изменение дав-
давления р' — порядка величины pv2, т. е. мало по сравнению с pUvx.
Таким образом, приходим к окончательному результату, что сила
сопротивления, действующая на тело в направлении обтекания,
равна
Fx = -pU I vxdydz,	B1.1)
где интегрирование производится по площади поперечного сече-
сечения следа вдали от тела. Скорость vx в следе, разумеется, отри-
отрицательна— жидкость движется здесь медленнее, чем она двига-
двигалась бы при отсутствии тела. Обратим внимание на то, что стоя-
стоящий в B1.1) интеграл определяет «дефицит» расхода жидкости

104	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
через сечение следа по сравнению с расходом при отсутствии
тела.
Рассмотрим теперь силу (с компонентами Fyi Fz), стремя-
стремящуюся сдвинуть тело в поперечном направлении. Эта сила назы-
называется подъемной. Вне следа, где движение потенциально, можно
написать vy = dip/'ду, vz = dip/ dz] интеграл по проходящей везде
вне следа плоскости х = %2 обращается в нуль:
/ vy dy dz = I -?- dy dz = 0, I -^ dy dz = 0,
поскольку на бесконечности ip = 0. Таким образом, для подъем-
подъемной силы получаем выражение
Fy = -pU I Vydydz, Fz = -pU f vzdydz.	B1.2)
Интегрирование в этих формулах фактически тоже производит-
производится лишь по площади сечения следа. Если обтекаемое тело обла-
обладает осью симметрии (не обязательно полной аксиальной сим-
симметрии) и обтекание происходит вдоль направления этой оси, то
осью симметрии обладает и движение жидкости вокруг тела. В
этом случае подъемная сила, очевидно, отсутствует.
Вернемся снова к движению жидкости в следе. Оценка раз-
различных членов в уравнении Навье-Стокса показывает, что чле-
членом z/Av можно, вообще говоря, пренебречь на расстояниях г от
тела, удовлетворяющих условию rU jv Ъ> 1 (ср. вывод обратного
условия B0.16)); это и есть те расстояния, на которых движение
жидкости (вне следа) можно считать потенциальным. Однако
такое пренебрежение недопустимо даже на этих расстояниях в
области внутри следа, поскольку здесь поперечные производные
д^лг/ду2, d^v/dz2 велики по сравнению с продольной производ-
производной d2w/dx2.
Пусть Y — порядок величины ширины следа, т. е. тех рас-
расстояний от оси ж, на которых скорость v заметно падает. Тогда
порядки величины членов в уравнении Навье-Стокса:
, VT4 Tjdv Uv д	d2v w
vv v ~ U— ~ —, uAv ~ v	~ —.
V }	3x x '	ду2 У2
Сравнив эти величины, найдем
Y = [ух IVY12.	B1.3)
Эта величина действительно мала по сравнению с х ввиду пред-
предположенного условия Uxjv ^> 1. Таким образом, ширина лами-
ламинарного следа растет пропорционально корню из расстояния до
тела.
Чтобы определить закон убывания скорости в следе, обра-
обратимся к формуле B1.1). Область интегрирования в ней ~У .

§ 21	ЛАМИНАРНЫЙ СЛЕД	105
Поэтому оценка интеграла дает Fx ~ pUvY2 и, использовав соот-
соотношение B1.3), получим искомый закон:
v~Fx/(pvx).	B1.4)
Выяснив качественные особенности ламинарного движения
вдали от обтекаемого тела, обратимся к выводу количественных
формул, описывающих картину движения в следе и вне его.
Движение внутри следа. В уравнении Навье-Стокса ста-
стационарного движения
(vV)v = -V^ + z/Av	B1.5)
р
вдали от тела используем приближение Осеена — заменяем член
(vV)v на (UV)v (ср. B0.17)). Кроме того, в области внутри сле-
следа можно пренебречь в Av производной по продольной коор-
координате х по сравнению с поперечными производными. Таким
образом, исходим из уравнения
Л V+ ,(? + ?).	B1.6)
дх	р \ ду2 dz2 J
Ищем его решение в виде v = vi + V2, где vi—решение
уравнения
[/^ = ^ + ^i).	B1.7)
дх	\ ду2 dz2 )	V }
Величину же V2, связанную с членом —V(p/p) в исходном урав-
уравнении B1.6), можно искать в виде градиента УФ от некоторого
скаляра :) . Поскольку вдали от тела производные по х малы по
сравнению с производными по у и z, в рассматриваемом прибли-
приближении надо пренебречь членом дФ/дх, т. е. считать vx = v\x.
Таким образом, для vx имеем уравнение
Это уравнение формально совпадает с двумерным уравнени-
уравнением теплопроводности, причем роль времени играет ж/С/, а роль
коэффициента температуропроводности — вязкость v. Решение,
убывающее с возрастанием у и z (при заданном ж), а в пределе
при х —>> 0 приводящее к бесконечно малой ширине следа (в рас-
рассматриваемом приближении расстояния порядка размеров тела
считаются малыми), есть
B1.9)
:) Далее в этом параграфе потенциал скорости обозначаем как Ф, в отли-
отличие от азимутального угла ср сферической системы координат.

106	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
(ср. § 51). Коэффициент в этой формуле выражен через силу
сопротивления с помощью формулы B1.1), в которой, ввиду бы-
быстрой сходимости интеграла, можно распространить его по всей
плоскости уz. Если ввести вместо декартовых координат сфе-
сферические г, 6, (р с полярной осью по оси ж, то области следа
(л/у2 + z1 <С ж) будут соответствовать значения полярного угла
в <^1. Формула B1.9) в этих координатах примет вид
B1.10)
Опущенный нами член с дФ/дх (с Ф из получаемой ниже фор-
формулы B1.12)) дал бы в vx член, содержащий дополнительную
малость ~0.
Такой же вид, как B1.9) (но с другими коэффициентами),
должны иметь и v\y, v\z. Выберем направление подъемной силы
в качестве оси у (так что Fz = 0). Согласно B1.2), и замечая, что
на бесконечности Ф = 0, имеем
vy ay dz = /( v\y + — I dydz = / v\y dydz = — —%
J	J V	^2/ /	У	pt/
^i^ rfy d2: = 0.
Ясно поэтому, что viy отличается от B1.9) заменой Fx на Fyi a
viz — 0. Таким образом, находим
I	U VU +Z I . ^Ф	^Ф	/O1 -, -, \
exp --ii	>- +—, ^ = —.	B1.11)
Для определения функции Ф поступаем следующим образом.
Пишем уравнение непрерывности, пренебрегая в нем продольной
производной dvx/dx:
diw^ -р- + -^ = ( — + —- )Ф +
+ ^ = (^ + ^
ду dz \ду2 dz2)
ду dz \ду2 dz2)	ду
Продифференцировав это равенство по ж и воспользовавшись
уравнением B1.7) для v\y, получаем
\ду2 dz2 J дх	ду\дх)	U\dy2 dz2 J ду
Отсюда
дх	U ду
Наконец, подставив выражение для v\y (первый член в B1.11))
и проинтегрировав по ж, находим окончательно:
F	у
~ 2тгРи у2 + г

§ 21	ЛАМИНАРНЫЙ СЛЕД	107
(постоянная интегрирования выбрана так, чтобы Ф оставалось
конечным при у = z = 0). В сферических координатах (с азиму-
азимутом (р, отсчитываемым от плоскости ху):
Ф = -_^^(ехр[-^1 - l).	B1.13)
2тг pU гв I FL 4i/ J	J	V	7
Из B1.11)—B1.13) видно, что г^ и г^ содержат в отличие от vx
наряду с членами, экспоненциально убывающими с увеличе-
увеличением в (при заданном г), также и члены, значительно менее
быстро убывающие при удалении от оси следа (как 1/в2).
Если подъемная сила отсутствует, то движение в следе осе-
симметрично и Ф = 0 х) .
Движение вне следа. Вне следа течение жидкости мож-
можно считать потенциальным. Интересуясь лишь наименее быстро
убывающими на больших расстояниях членами в потенциале Ф,
ищем решение уравнения Лапласа
2 д V д ) 2 i в дв\	дв J 2 i2 в d2
дг V дт ) г2 sin в дв\	дв J r2 sin2 в dip2
в виде суммы двух членов:
Первый член здесь сферически симметричен и связан с силой
Fx, а второй — симметричен относительно плоскости ху и связан
с силой Fy.
Для функции fF) получаем уравнение
дв\ deJ sin в
Решение этого уравнения, конечное при в —>> тг, есть
/ = 6ctg|.	B1.15)
Коэффициент 6 мож:но определить из условия сшивки с решени-
решением внутри следа. Дело в том, что формула B1.13) относится к
области углов 0<С1, а решение B1.14) —к области 6^>(v/(Ur)I/2.
Эти области перекрываются при (u/Ur) 1/2<C0<Cl, причем B1.13)
сводится здесь к
Fy cos cp
Ф =
2тг pU гв
:) Таков, в частности, след за обтекаемым шаром. Отметим в этой связи,
что полученные формулы (как и формула B1.16) ниже) находятся в со-
согласии с распределением скоростей B0.24) при обтекании с очень малыми
числами Рейнольдса; в этом случае вся описанная картина отодвигается на
очень большие расстояния г ^> //R (/ — размеры тела).

108	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
а второй член в B1.14) —к 26cos ср/(гв). Сравнив оба выражения,
найдем, что надо положить Ъ = Fy/D:7rpU).
Для определения коэффициента а в B1.14) замечаем, что
полный поток жидкости через сферу S большого радиуса г (как и
через всякую замкнутую поверхность) должен быть равен нулю.
Но через часть Sq этой сферы, являющуюся площадью сечения
следа, втекает количество жидкости
/гр
vxdydz = —^.
pU
So
Поэтому через всю остальную площадь сферы должно вытекать
столько же жидкости, т. е. должно быть
v di = —.
PU
S-So
В силу малости Sq по сравнению со всей площадью *S, можно
заменить это условие требованием
= / УФ df = -4тга = —,	B1.16)
J	pU
S	S
откуда а = -Fx/D:7rpU).
Таким образом, собирая все полученные выражения, находим
следующую формулу для потенциала скорости:
B1.17)
Этим и определяется движение во всей области вне следа вда-
вдали от тела. Потенциал убывает с расстоянием как 1/г. Соответ-
Соответственно скорость убывает как 1/г2. Если подъемная сила отсут-
отсутствует, то движение вне следа осесимметрично.
§ 22. Вязкость суспензий
Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких
твердых частиц (суспензия), можно рассматривать как однород-
однородную среду, если мы интересуемся явлениями, характеризующи-
характеризующимися расстояниями, большими по сравнению с размерами ча-
частиц. Такая среда будет обладать эффективной вязкостью г/,
отличной от вязкости г/о основной жидкости. Эта вязкость мо-
может быть вычислена для случая малых концентраций взвешен-
взвешенных частиц (т. е. суммарный объем всех частиц предполагает-
предполагается малым по сравнению с объемом всей жидкости). Вычисления
сравнительно просты для случая шарообразных частиц (А. Эйн-
Эйнштейн, 1906).
В качестве вспомогательной задачи необходимо предвари-
предварительно рассмотреть влияние, которое оказывает один погружен-

§ 22	ВЯЗКОСТЬ СУСПЕНЗИЙ	109
ный в жидкость твердый шарик на течение, обладающее посто-
постоянным градиентом скорости. Пусть невозмущенное шариком те-
течение описывается линейным распределением скоростей
v\0) = aikxk,	B2.1)
где а^ — постоянный симметрический тензор. Давление в жид-
жидкости при этом постоянно: р^ = const; условимся в дальнейшем
отсчитывать давление от этого постоянного значения. В силу
несжимаемости жидкости (divv^0) = 0) тензор щк должен иметь
равный нулю след:
агг = 0.	B2.2)
Пусть теперь в начало координат помещен шарик радиуса R.
Скорость измененного им течения обозначим через v = v(°) +
+ vA); на бесконечности v^1) должно обращаться в нуль, но вбли-
вблизи шарика v^1) отнюдь не мало по сравнению с v^0) Из симметрии
течения ясно, что шарик останется неподвижным, так что гра-
граничное условие гласит: v = 0 при г = R.
Искомое решение уравнений движения B0.1)—B1.3) может
быть получено непосредственно из найденного в § 20 решения
B0.4) (с функцией / из B0.6)), если заметить, что производные
от последнего по координатам тоже являются решениями. В дан-
данном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от
компонент тензора щк (а не от вектора и, как в § 20). Таковым
является	2
VW = rot rot (aV/) p = f]oaik J ,
axi axk
где (aVf) обозначает вектор с компонентами aikdf /дхк. Рас-
Раскрывая эти выражения и выбирая постоянные а и b в функции
f = ar + Ь/г так, чтобы удовлетворить граничным условиям на
поверхности шарика, получим в результате следующие формулы
для скорости и давления:
A) 5/Я5 R3\	R5	,оо оч
1 = 2 \~^ ~ ~1)ак1ЩПкЩ ~ -^ампк,	B2.3)
R5
р = -Ьщ—ацеЩПк	B2.4)
г6
(п — единичный вектор в направлении радиус-вектора).
Переходя теперь к самому вопросу об определении эффек-
эффективной вязкости суспензии, вычислим среднее (по всему объ-
объему) значение тензора плотности потока импульса П^, совпадаю-
совпадающего в линейном по скорости приближении с тензором напряже-
напряжений -aik:
vik = - J crik dV.
Интегрирование можно производить здесь по объему V сферы
большого радиуса, который затем устремляем к бесконечности.

110	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
Прежде всего пишем тождественно:
В стоящем здесь интеграле подынтегральное выражение отлично
от нуля лишь внутри твердых шариков; ввиду предполагаемой
малости концентрации суспензии его можно вычислять для од-
одного отдельного шарика, как если бы других вообще не было,
после чего результат должен быть умножен на концентрацию п
суспензии (число шариков в единице объема). Непосредственное
вычисление такого интеграла требовало бы исследования вну-
внутренних напряжений в шариках. Можно, однако, обойти это за-
затруднение путем преобразования интеграла по объему в инте-
интеграл по поверхности бесконечно удаленной сферы, проходящей
только через жидкость. Для этого замечаем, что ввиду уравне-
уравнений движения дац/dxi = 0 имеет место тождество
д ,
°ik = —\
дх i
поэтому преобразование объемного интеграла в поверхностный
дает
°%к = Щ\тг- + тгЧ +n(p[°ilXkdfi -r]o(vidfk + vkdfi)].
\дхк dxi/	I
Член с р мы опустили, имея в виду, что среднее давление непре-
непременно обращается в нуль (действительно, это есть скаляр, ко-
который должен определяться линейной комбинацией компонент
тензора а^; но единственный такой скаляр ац = 0).
При вычислении интеграла по сфере очень большого радиу-
радиуса в выражении B2.3) для скорости следует, конечно, сохранить
лишь члены ~1/г . Простое вычисление дает для этого интегра-
интеграла
пщ • 20тгД3
где черта обозначает усреднение по направлениям единичного
вектора п. Производя усреднение х) , получим окончательно:
3
°ik = ?7о — + -^-) + 5r]oaik——n.	B2.6)
\дхк dxi/	3
) Искомые средние значения произведений компонент единичного вектора
представляют собой симметричные тензоры, которые могут быть составле-
составлены только из единичных тензоров Sik. Имея это в виду, легко найти, что
ГЦПк = —Sik, ПъПкЩПт = 	(SikSlm + 6ц6кт + ^irn^kl)-
3	15

§23	ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ	111
Первое слагаемое в B2.6) после подстановки в него v(°) из
B2.1) дает 2ща^] член же первого порядка малости в этом сла-
слагаемом тождественно обращается в нуль после усреднения по на-
направлениям п (как и должно было быть, поскольку весь эффект
заключен в выделенном в B2.5) интеграле). Поэтому искомая
относительная поправка в эффективной вязкости суспензии т\
определяется отношением второго члена в B2.6) к первому. Та-
Таким образом, получим
где ср — малое отношение суммарного объема всех шариков к пол-
полному объему суспензии.
Уже для суспензии с частицами в виде эллипсоидов вращения
аналогичные вычисления и окончательные формулы становят-
становятся очень громоздкими :) . Приведем для иллюстрации числовые
значения поправочного коэффициента А в формуле
/ii л \	4тга62
7l = 7lo(l+Aip), (p= ~^-П
для нескольких значений отношения а/Ь (а и b = с —полуоси
эллипсоидов):
а/Ь= 0,1 0,2 0,5 1,0 2 5 10,
А = 8,04 4,71 2,85 2,5 2,91 5,81 13,6.
Поправка возрастает по обе стороны от значения а/Ь = 1, отве-
отвечающего сферическим частицам.
§ 23. Точные решения уравнений движения
вязкой жидкости
Если нелинейные члены в уравнениях движения вязкой жид-
жидкости не исчезают тождественно, решение этих уравнений пред-
представляет большие трудности, и точные решения могут быть по-
получены лишь в очень небольшом числе случаев. Такие решения
представляют существенный интерес —если не всегда физиче-
физический (ввиду фактического возникновения турбулентности при
достаточно больших значениях числа Рейнольдса), то, во всяком
случае, методический.
1) В потоке суспензии с нешарообразными частицами наличие градиен-
градиентов скорости оказывает ориентирующее действие на частицы. Под влияни-
влиянием одновременного воздействия ориентирующих гидродинамических сил и
дезориентирующего вращательного броуновского движения устанавливает-
устанавливается анизотропное распределение частиц по их ориентации в пространстве.
Этот эффект, однако, не должен учитываться при вычислении поправки к
вязкости г]: анизотропия ориентационного распределения сама зависит от
градиентов скорости (в первом приближении — линейно) и ее учет привел
бы к появлению в тензоре напряжений, нелинейных по градиентам членов.

112	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
Ниже приводятся примеры точных решений уравнений дви-
движения вязкой жидкости.
Увлечение жидкости вращающимся диском. Бесконеч-
Бесконечный плоский диск, погруженный в вязкую жидкость, равномер-
равномерно вращается вокруг своей оси. Требуется определить движение
жидкости, приводимой в движение диском(Т. Кагтап, 1921).
Выбираем плоскость диска в качестве плоскости z = 0 цилин-
цилиндрических координат. Диск вращается вокруг оси z с угловой
скоростью О. Рассматриваем неограниченную жидкость с той
стороны диска, где z > 0. Предельные условия имеют вид
vr = 0, v^ = Or, vz = 0 при z = 0,
vr = 0, Vp = 0	при z = оо.
Аксиальная скорость vz не исчезает при z —>> оо, а стремится к
постоянному отрицательному пределу, определяющемуся из са-
самих уравнений движения. Дело в том, что, поскольку жидкость
движется радиально по направлению от оси вращения, в осо-
особенности вблизи диска, для обеспечения непрерывности в жид-
жидкости должен существовать постоянный вертикальный поток по
направлению из бесконечности к диску. Решение уравнений дви-
движения ищем в виде
vr = rQ,F{z\), Vp = rQ,G{z\), vz = y/v{i),
p = -pvuP(zi), где zx = \\-z.
В этом распределении радиальная и круговая скорости про-
пропорциональны расстоянию от оси вращения диска, а вертикаль-
вертикальная скорость vz постоянна вдоль каждой горизонтальной плос-
плоскости.
Подстановка в уравнения Навье-Стокса и уравнение непре-
непрерывности приводит к следующим уравнениям для функций F,
G, Н, Р:
F2 -G2 + F'H = F",	2FG + G'H = G",
[Zo.Z)
HH' = P' + Я", 2F + H' = 0
(штрих означает дифференцирование по z\) с предельными усло-
условиями:
F = 0, G = 1, Я = 0 при *1 = 0,
B3 3)
F = 0, G = 0	при zi = оо.	К ' J
Мы свели, таким образом, решение задачи к интегрированию
системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной
переменной, которое может быть произведено численным обра-

§ 23
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
113
зом. На рис. 7 изображены полученные таким способом графики
функций F, G, —Н. Предельное значение функции Н при z\ —>>
—>> оо равно —0,886; другими словами, 1 Q
скорость потока жидкости, текущего из
бесконечности к диску, равна	°>8
0,6
0,4
0,2
Сила трения, действующая на едини-
единицу поверхности диска по направлению,
перпендикулярному к его радиусу, есть
Пренебрегая эффекта-
\
\
^
dz
z=0
1,0 2,0 3,0
Рис. 7
4 21
ми от краев диска, можно написать для
диска большого, но конечного радиуса R момент действующих
на него сил трения в виде
R
М = 2 [ 2тгг2аг(р dr = 7rR4pV^№ Gf@)
множитель 2 перед интегралом учитывает наличие у диска двух
сторон, омываемых жидкостью). Численное вычисление функ-
функции G приводит к формуле
М = -1,94 • R4pV^№.	B3.4)
Течения в диффузоре и конфузоре. Требуется опреде-
определить стационарное движение жидкости между двумя плоскими
стенками, наклоненными друг к другу под
углом (на рис. 8 изображен поперечный раз-
разрез обеих плоскостей); истечение происхо-
происходит вдоль линии пересечения плоскостей
(G. Hamel, 1917).
Выбираем цилиндрические координаты
г, z, ip с осью z вдоль линии пересечения
плоскостей (точка О на рис. 8) и углом <р, от-
отсчитываемым указанным на рис. 8 образом.
Движение однородно вдоль оси z, и есте-
естественно предположить, что оно будет чисто радиальным, т. е.
Рис. 8
= vz = 0, vr = г;(г, ф). Уравнения A5.18) дают
dv 	 1 dp (d2v 1 d2v 1 dv v \
dr	p dr	\ dr2 r2 dip2 r dr r2)
d 2 d
pr dcp
dip
B3.5)
B3.6)
d(rv) _
dr

114	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
Из последнего уравнения видно, что rv есть функция только от
ср. Введя функцию
и((р) = —rv,	B3.7)
получаем из B3.6)
1 др_ _ \1v2 du
р dip r2 dip
откуда
р _
-и((р)
р г*
Подставляя это выражение в B3.5), получаем уравнение
d2u , л , п 2 1 з ?f ( \
	+ Аи + Ьи = —г / (г),
откуда видно, что как левая, так и правая части, зависящие со-
соответственно только от ер и только от г, являются, каждая в
отдельности, постоянной величиной, которую мы обозначим как
2С\. Таким образом,
/'(г) = 12i/2dl,
Г6
откуда
/() ^	,
Г2
и окончательно имеем для давления
5 = — Bи - d) + const.	B3.8)
р г2
Для и(ср) имеем уравнение
и" + 4и + 6и2 = 2СЬ
которое после умножения на и' и первого интегрирования дает
— + 2и2 + 2и3 - 2du - 2С2 = О
Отсюда получаем
Г	du	+С3,	B3.9)
C
чем и определяется искомая зависимость скорости от if] функция
и{ф) может быть выражена отсюда посредством эллиптических
функций. Три постоянные Ci, C2, С3 определяются из гранич-
граничных условий на стенках:
¦И) -
= 0	B3.10)

§23	ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ	115
и из условия, что через любое сечение г = const проходит
(в 1 с) одинаковое количество жидкости Q:
+а/2	+а/2
Q = p / vr dip = бир / и dip.	B3.11)
-а/2	-а/2
Количество жидкости Q может быть как положительным, так
и отрицательным. Если Q > 0, то линия пересечения плоско-
плоскостей является источником, т. е. жидкость вытекает из вершины
угла (о таком течении говорят как о течении в диффузоре). Если
Q < 0, то эта линия является стоком, и мы имеем дело со сходя-
сходящимся к вершине угла течением (или, как говорят, с течением в
конфузоре). Отношение \Q\/(pu) является безразмерным и игра-
играет роль числа Рейнольдса для рассматриваемого движения.
Рассмотрим сначала конфузорное движение (Q < 0). Для ис-
исследования решения B3.9)-B3.11) сделаем оправдывающееся в
дальнейшем предположение, что движение симметрично относи-
относительно плоскости ip = 0 (т. е. u(ip) = u(—ip)), причем функция
u(ip) везде отрицательна (скорость направлена везде к вершине
угла) и монотонно меняется от значения 0 при ip = ±a/2 до зна-
значения —uq(uq > 0) при ip = 0, так что щ есть максимум \и\.
Тогда при и = —щ должно быть du/dip = 0, откуда заключаем,
что и = —щ есть корень кубического многочлена, стоящего под
корнем в подынтегральном выражении в B3.9), гак что можно
написать:
—и3 — и2 + С\и + Съ = (и + щ)[—и2 — A — щ)и + </],
где q — новая постоянная. Таким образом, имеем
и
lip = ± /	-	[26.12)
J V (и + ио)[—и2 — A — uq)u + q]
i q oi
J y(u + uo)[—u2 — A — uq)u + q]
~U°0	B3.13)
причем постоянные щ и q определяются из условий
о
du
R 	 Г	udu
6 J J(u + uo)[-u2 - A - uo)u +
д/(гг + uo)[—u2 — A — uq)u + q]
(где R = |Q|/^Y>); постоянная q должна быть положительна, в
противном случае эти интегралы сделались бы комплексными.
Эти два уравнения имеют, как можно показать, решения для щ
и q при любых R и а < тг. Другими словами, сходящееся (конфу-
(конфузорное) симметрическое течение (рис. 9) возможно при любом

116
ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
ГЛ. II
угле раствора а < тг и любом числе Рейнольдса. Рассмотрим
подробнее движение при очень больших R. Большим R соот-
соответствуют также и большие значения щ. Написав B3.12) (для
(р > 0) в виде
du
<s/(и + ио)[—и2 — A — ио)и + q]
и
мы видим, что во всей области интегрирования подынтеграль-
подынтегральное выражение теперь мало, если только \и\ не близко к щ. Это
значит, что \и\ может быть заметно отличным
от 1/о только при <р, близких ±а/2, т. е. в непо-
непосредственной близости от стенок х) . Други-
Другими словами, почти во всем интервале углов
(р получается и ~ const = — зд, причем, как
показывают равенства B3.13), должно быть
щ = R/Fa). Сама скорость v равна v =
= \Q\fpar, что соответствует потенциальному
невязкому течению со скоростью, не завися-
зависящей от угла и падающей по величине обратно
пропорционально г. Таким образом, при боль-
больших числах Рейнольдса течение в конфузоре
очень мало отличается от потенциального те-
течения идеальной жидкости. Влияние вязкости
проявляется только в очень узком слое вблизи
стенок, где происходит быстрое падение ско-
скорости от значения, соответствующего потен-
потенциальному потоку, до нуля (рис. 10).
Пусть теперь Q > 0, т. е. мы имеем дело
с диффузорным течением. Сделаем сначала
Рис. 10	опять предположение, что движение симмет-
симметрично относительно плоскости ср = 0 и что и(ф) (теперь и > 0)
монотонно меняется от нуля при ср = ±а/2 до и = щ > 0 при
if = 0. Вместо B3.13) пишем теперь:
Рис. 9
о
UQ
6	J
du
— и)[и2 + A + uq)u + q]
B3.14)
udu
— u)[u2 + A + uq)u + q]
:) Может возникнуть вопрос о том, каким образом этот интеграл может
сделаться не малым даже при и& — uq. В действительности при очень боль-
больших uq один из корней трехчлена — и2 — A — uq)u + q оказывается тоже
близким к — 1бо, так что все подкоренное выражение имеет два почти совпа-
совпадающих корня и потому весь интеграл «почти расходится» при и = —г^о.

§ 23
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
117
Если рассматривать щ как заданное, то а монотонно возрастает
с уменьшением q и имеет наибольшее возможное значение при
q = 0:
_ Г 	dV_
J \/u(uq — и) (и
)(и + Uq + 1)
U
С другой стороны, как легко убедиться, при заданном q а есть
монотонно убывающая функция от щ. Отсюда следует, что щ
как функция от q при заданном а есть монотонно убывающая
функция, так что ее наибольшее значение соответствует q = 0 и
определяется написанным равенством. Наибольшему щ соответ-
соответствует также и наибольшее R = Rmax- С помощью подстановки
2и0 '
U = Uq COS X
можно представить зависимость Rmax от а в параметрическом
виде
тг/2
dx
а = 2л/1
Rmax = "
л/l — к2 sin2 х
B3.15)
/ у 1 — /с2 sin2 ж
Таким образом, симметричное, везде расходящееся течение
в диффузоре (рис. 11 а) возможно для данного угла раствора
Рис. 11
только при числах Рейнольдса, не превышающих определенного
предела. При а —>> тг (чему соответствует к —>> 0) Rmax стремится
к нулю. При а —)> 0 (чему соответствует fc —)> 1/л/2)Rmax стре-
стремится к бесконечности по закону Rmax — 18,8/а.
При R > Rmax предположение о симметричном, везде рас-
расходящемся течении в диффузоре незаконно, так как уело-

118	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
вия B3.14) не могут быть выполнены. В интервале углов
—а/2 ^ ср ^ а/2 функция и(ср) должна иметь несколько мак-
максимумов или минимумов. Соответствующие этим экстремумам
значения и(ср) должны по-прежнему быть корнями стоящего под
корнем многочлена. Поэтому ясно, что трехчлен и2 -\-(l-\-uo)u-\-q
(с щ > 0, q > 0) должен иметь в этой области два вещественных
отрицательных корня, так что стоящее под корнем выражение
может быть написано в виде
(щ -и)(и + щ)(и + г/0')>
где щ > 0, и'о > 0, Uq > 0; пусть uf0 < Uq. Функция и(ф) может,
очевидно, изменяться в интервале и ^ и ^ — и'$, причем и = щ
соответствует положительному максимуму гл(<р), а и = —и$ —
отрицательному минимуму. Не останавливаясь подробнее на ис-
исследовании получающихся таким образом решений, укажем, что
при R > Rmax возникает сначала решение, при котором скорость
имеет один максимум и один минимум, причем движение асим-
асимметрично относительно плоскости (ср = 0; рис. 11 б). При даль-
дальнейшем увеличении R возникает симметричное решение с одним
максимумом и двумя минимумами скорости (рис. 11 в) и т. д. Во
всех этих решениях имеются, следовательно, наряду с областями
вытекающей жидкости также и области втекающих потоков (но,
конечно, так, что полный расход жидкости Q > 0). При R —>• оо
число чередующихся минимумов и максимумов неограниченно
возрастает, так что никакого определенного предельного реше-
решения не существует. Подчеркнем, что при диффузорном течении
решение не стремится, таким образом, при R —>• оо к решению
уравнений Эйлера, как это имеет место при конфузорном дви-
движении. Наконец, отметим, что при увеличении R стационарное
диффузорное движение описанного типа вскоре после достиже-
достижения R = Rmax делается неустойчивым и возникает турбулент-
турбулентность.
Затопленная струя. Требуется определить движение в
струе жидкости, бьющей из конца тонкой трубки и попадающей в
неограниченное пространство, заполненное той же жидкостью, —
так называемая затопленная струя (Л. Ландау, 1943).
Выбираем сферические координаты г, б, ср с полярной осью
вдоль направления скорости струи в точке ее выхода, которая
выбирается в качестве начала координат. Движение обладает
аксиальной симметрией вокруг полярной оси, так что v^ = 0,
a V0, vr являются функциями только от г, б. Через всякую замк-
замкнутую поверхность вокруг начала координат (в частности, че-
через бесконечно удаленную) должен протекать одинаковый пол-
полный поток импульса («импульс струи»). Для этого скорость дол-
должна падать обратно пропорционально расстоянию г от начала

§23	ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ	119
координат, так что
vr = If@), щ = -fie),	B3.16)
г	г
где F, f — некоторые функции только от в. Уравнение непрерыв-
непрерывности гласит:
1 <9(rV) 1 д / • л \ п
	-—^ =	(sinб • V0) = 0.
Отсюда находим, что
fe.	B3.17)
Компоненты ПГ(р, П^ тензора потока импульса в струе тож-
тождественно исчезают, как это явствует уже из соображений сим-
симметрии. Сделаем предположение, что равны нулю также и ком-
компоненты Й00 и П^ (оно оправдывается тем, что в результате мы
получаем решение, удовлетворяющее всем необходимым услови-
условиям). С помощью выражений A5.20) для компонент тензора а^ и
формул B3.16), B3.17) легко убедиться в том, что между компо-
компонентами П00, П^ и ПГ0 тензора потока импульса в струе имеется
соотношение
sin2 в ¦ Ure = ~[sin2 в ¦ (П^ - ВД].
Z Ои
Поэтому из равенства нулю П^ и П00 следует, что и ПГ0 = 0. Та-
Таким образом, из всех компонент П^ отлична от нуля только Пгг,
зависящая от г как г . Легко видеть, что при этом уравнения
движения dli-ik/dx^ = 0 удовлетворяются автоматически.
Далее, запишем
1 (ивв - nw) = 1 (/2 + 2»// ctg в - 2uf) = 0,
р	Г2
ИЛИ
d6\f)
f	2i/
Решение этого уравнения есть
J	A-cos6'	У	J
а из B3.17) получаем теперь для F:
F = 2и \ А2~1 - ll.	B3.19)
Распределение давления определяем из уравнения

120
ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
ГЛ. II
и получаем
	 Apis2 A cos 9 — 1
P-PO ~ ~~^~(A_cos6,J
B3.20)
(po — давление на бесконечности).
Постоянную А можно связать с «импульсом струи», — пол-
полным потоком импульса в ней. Он равен интегралу по сфериче-
сферической поверхности:
7Г
Р = фигг cos в df = 2тг Г г2Пгг cos в sin в d6.
о
Величина Пгг равна
и вычисление интеграла приводит к результату
4 - db^±i
-1) 2 A — l
Р =
B3.21)
Формулы B3.16)—B3.21) решают поставленную задачу. При из-
изменении постоянной А от 1 до оо
импульс струи Р пробегает все зна-
значения от оо до 0.
Линии тока определяются урав-
уравнением
dr/vr = r
Рис. 12
интегрирование которого дает
г sin2 в
= const.	B3.22)
А - cos в	v ;
На рис. 12 изображен характерный вид линий тока. Течение
представляет собой струю, вырывающуюся из начала координат
и подсасывающую окружающую жидкость. Если условно счи-
считать границей струи поверхность с минимальным расстоянием
(г sin в) линии тока от оси, то это будет поверхность конуса с
углом раствора 2#о, где cos#o = I/A.
В предельном случае слабой струи (малые Р, чему отвечают
большие А) имеем из B3.21)
Р = 16тпу2р/А.
Для скорости получаем в этом случае
Р sin#	Р cos 9	/00 00\
Щ =	, vr =	.	B3.23)

§ 24	КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	121
В обратном случае сильной струи (большие Р, чему отвечает
А —>> 1) :) имеем
2 7	ЗР
Для больших углов F~1) распределение скоростей определяется
формулами
«в = - —ctg^, vr = -—,	B3.24)
г	2	г
а для малых углов (в « #о):
^ = - 24ив2 , г;г = %v—3—-.	B3.25)
Полученное здесь решение является точным для струи, рас-
рассматриваемой как бьющая из точечного источника. Если учиты-
учитывать конечные размеры отверстия трубки, то это решение пред-
представляет собой первый член разложения по степеням отношения
размеров отверстия к расстоянию г от него. С этим обстоятель-
обстоятельством связан тот факт, что если вычислить по полученному ре-
решению полный поток жидкости, проходящей через замкнутую
поверхность вокруг начала координат, то он окажется равным
нулю. Отличный от нуля поток получился бы при учете следую-
следующих членов разложения по указанному отношению 2) .
§ 24. Колебательное движение в вязкой жидкости
Движение, возникающее в вязкой жидкости при колебаниях
погруженных в нее твердых тел, обладает рядом характерных
особенностей. Для изучения этих особенностей удобно начать с
рассмотрения простого типичного примера {G.G. Stokes, 1851).
Пусть несжимаемая жидкость соприкасается с неограниченной
плоской поверхностью, совершающей (в своей плоскости) про-
простое гармоническое колебательное движение с частотой ио. Тре-
Требуется определить возникающее при этом в жидкости движение.
г) В действительности, однако, движение в достаточно сильной струе ста-
становится турбулентным (§ 36). Отметим, что роль числа Рейнольдса для рас-
рассмотренной струи играет безразмерный параметр (Р/(ри2)I'2.
2) См. Румер Ю.Б. I) Прикл. мат. и мех. 1952. Т. 16. С. 255.
Затопленная ламинарная струя с отличным от нуля моментом враще-
вращения вокруг оси рассмотрена Лойцянским Л.Г. // Прикл. мат. и мех. 1953.
Т. 17. С. 3.
Упомянем, что гидродинамические уравнения несжимаемой вязкой жид-
жидкости для любого стационарного осесимметричного движения, в котором
скорость убывает с расстоянием как 1/г, могут быть сведены к одному
обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго поряд-
порядка. См.: Слезкин Н.А. // Уч. зап. МГУ. 1934. Вып. II; Прикл. мат. и мех.
1954. Т. 18. С. 764.

122	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
Твердую поверхность выберем в качестве плоскости уz\ области
жидкости соответствуют х > 0. Ось у выберем вдоль направле-
направления колебаний поверхности. Скорость и колеблющейся поверх-
поверхности есть функция времени вида Acos(uit + а). Удобно писать
такую функцию в виде вещественной части от комплексного вы-
выражения: и = Re {ще~1и1} (с комплексной, вообще говоря, посто-
постоянной 1/о = Ае~га] надлежащим выбором начала отсчета времени
эту постоянную всегда можно сделать вещественной).
До тех пор, пока при вычислениях производятся только ли-
линейные операции над скоростью и, можно опускать знак взятия
вещественной части и вычислять так, как если бы и было ком-
комплексным, после чего можно взять вещественную часть от окон-
окончательного результата. Таким образом, будем писать:
Uy = u = uoe-iujt.	B4.1)
Скорость жидкости должна удовлетворять граничному условию
v = и, т. е.
vx=vz = 0, vy = u
при х = 0.
Из соображений симметрии очевидно, что все величины бу-
будут зависеть только от координаты х (и от времени ?). Из урав-
уравнения непрерывности div v = 0 имеем поэтому
7Г = 0'
ОХ
откуда vx = const, причем согласно граничным условиям эта
постоянная должна быть равной нулю, т. е. vx = 0. Поскольку
все величины не зависят от координат у, z, и благодаря равенству
vx нулю имеем тождественно (vV)v = 0. Уравнение движения
A5.7) приобретает вид
|^	gp	B4.2)
Это уравнение линейно. Его ж-компонента дает др/дх = 0, т. е.
р = const.
Из симметрии очевидно также, что скорость v направлена
везде по оси у. Для vy = v имеем уравнение
at ox2
(типа одномерного уравнения теплопроводности). Будем искать
периодическое по х и t решение вида
v = ще«кх-иЛ\
удовлетворяющее условию v = и при х = 0. Подстановка в урав-
уравнение дает
±±i	J	B4.4)

§ 24	КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	123
так что скорость
v = ще~х/6е^х/6~ш1)	B4.5)
(выбор знака корня \Г% в B4.4) определяется требованием зату-
затухания скорости в глубь жидкости).
Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать по-
поперечные волны: скорость vy = v перпендикулярна направлению
распространения волны. Они, однако, быстро затухают по мере
удаления от создающей их колеблющейся твердой поверхности.
Затухание амплитуды происходит по экспоненциальному закону
с глубиной проникновения 6 х) . Эта глубина падает с увеличени-
увеличением частоты волны и растет с увеличением вязкости жидкости.
Действующая на твердую поверхность сила трения направ-
направлена, очевидно, по оси у. Отнесенная к единице площади, она
равна
а*у = *>-?
Предполагая щ вещественным и отделив в B4.6) вещественную
часть, получим
<*ху — —y/copTjUQ COS (wt
- J.
Скорость же колеблющейся поверхности есть и = щ cos uot. Та-
Таким образом, между скоростью и силой трения имеется сдвиг
фаз 2).
Легко вычислить также и среднее (по времени) значение дис-
диссипации энергии при рассматриваемом движении. Это можно
сделать по общей формуле A6.3); в данном случае, однако, про-
проще вычислить искомую диссипацию непосредственно как рабо-
работу сил трения. Именно, диссипация энергии в единицу времени,
отнесенная к единице площади колеблющейся плоскости, равна
среднему значению произведения силы аху на скорость иу = и:
B4.7)
:)Ha расстоянии 6 амплитуда волны убывает в е раз, а на протяжении
одного пространственного периода волны — в е27Г и 540 раз.
2) При колебаниях полуплоскости (параллельно линии своего края) возни-
возникает дополнительная сила трения, связанная с краевыми эффектами. Зада-
Задача о движении вязкой жидкости при колебаниях полуплоскости (а также
и более общая задача о колебаниях клина с произвольным углом раство-
раствора) может быть решена с помощью класса решений уравнения А/ + к2/ =
= 0, используемого в теории дифракции от клина. Мы отметим здесь лишь
следующий результат: возникающее от краевого эффекта увеличение силы
трения на полуплоскость может быть описано как результат увеличения
площади при смещении края полуплоскости на расстояние 8/2 с 6 из B4.4)
(Л.Д. Ландау, 1947).

124	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
Она пропорциональна корню из частоты колебаний и из вязкости
жидкости.
Может быть решена в замкнутом виде также и общая зада-
задача о жидкости, приводимой в движении плоской поверхностью,
движущейся (в своей плоскости) по произвольному закону и =
= u(t). Мы не станем производить здесь соответствующие вы-
вычисления, так как искомое решение уравнения B4.3) формально
совпадает с решением аналогичной задачи теории теплопровод-
теплопроводности, которая будет рассмотрена в § 52 (и дается формулой
E2.15)). В частности, испытываемая твердой поверхностью сила
трения (отнесенная к единице площади) определяется формулой
B4.
\J — т
— оо
(ср. E2.14)).
Рассмотрим теперь общий случай колеблющегося тела про-
произвольной формы. В изученном выше случае колебаний плоской
поверхности член (vV)v в уравнении движения жидкости исче-
исчезал тождественно. Для поверхности произвольной формы это,
конечно, уже не имеет места. Мы будем, однако, предполагать,
что этот член мал но сравнению с другими членами, так что им
все же можно пренебречь. Необходимые для возможности такого
пренебрежения условия будут выяснены ниже.
Таким образом, будем исходить по-прежнему из линейного
уравнения B4.2). Применим к обеим частям этого уравнения
операцию rot. Член rot gradp исчезает тождественно, так что
мы получаем
rotv zArotv,	B4.9)
т. с. rotv удовлетворяет уравнению типа уравнения теплопро-
теплопроводности.
Но мы видели выше, что такое уравнение приводит к экспо-
экспоненциальному затуханию описываемой им величины. Мы можем,
следовательно, утверждать, что завихренность затухает по на-
направлению в глубь жидкости. Другими словами, вызываемое ко-
колебаниями тела движение жидкости является вихревым в неко-
некотором слое вокруг тела, а на больших расстояниях быстро пере-
переходит в потенциальное движение. Глубина проникновения вих-
вихревого движения ~д.
В связи с этим возможны два важных предельных случая.
Величина S может быть велика или мала по сравнению с разме-
размерами колеблющегося в жидкости тела. Пусть I — порядок величи-
величины этих размеров. Рассмотрим сначала случай д^>1; это значит,
что должно выполняться условие I uj <С v. Наряду с этим усло-
условием мы будем предполагать также, что число Рейнольдса мало.

§ 24	КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	125
Если а — амплитуда колебаний тела, то его скорость — порядка
величины аи). Поэтому число Рейнольдса для рассматриваемого
движения есть uoal/v. Таким образом, предполагаем выполнение
условий
12ш<^и, — <1.	B4.10)
V
Это — случай малых частот колебаний. Но малость частоты озна-
означает, что скорость медленно меняется со временем и потому в
общем уравнении движения
— + (vV)v = --Vp + z/Av
можно пренебречь производной длг/dt. Членом же (vV)v можно
пренебречь в силу малости числа Рейнольдса.
Отсутствие члена длг/dt в уравнении движения означает
стационарность движения. Таким образом, при 6 ^> I движение
можно рассматривать в каждый данный момент времени как
стационарное. Это значит, что движение жидкости в каждый
данный момент такое же, каким оно было бы при равномерном
движении тела со скоростью, которой оно в действительности
обладает в данный момент. Если, например, речь идет о коле-
колебаниях погруженного в жидкость шара, с частотой, удовлетво-
удовлетворяющей неравенствам B4.10) (где / есть теперь радиус шара),
то можно поэтому утверждать, что испытываемая шаром сила
сопротивления будет определяться формулой Стокса B0.14), по-
полученной для равномерного движения шара при малых числах
Рейнольдса.
Перейдем теперь к изучению противоположного случая, ко-
когда / 3> S. Для того чтобы можно было опять пренебречь чле-
членом (vV)v, необходимо в этом случае одновременное выполне-
выполнение условия малости амплитуды колебаний тела по сравнению с
его размерами
/2о;>^ a</	B4.11)
(заметим, что число Рейнольдса при этом отнюдь не должно
быть малым). Действительно, оценим член (vV)v. Оператор (vV)
означает дифференцирование вдоль направления скорости. Но
вблизи поверхности тела скорость направлена в основном по ка-
касательной. В этом направлении скорость заметно меняется лишь
на протяжении размеров тела. Поэтому (vV)v ~ v2/I ~ а2ио2/I
(сама скорость v ~ аи)). Производная же длг/dt ~ vu) « аиJ.
Сравнив оба выражения, видим, что при а ^ I действительно
(vV)v<cC<9v/<9?. Члены же длг/dt и vAv имеют теперь, как легко
убедиться, одинаковый порядок величины.
Рассмотрим теперь характер движения жидкости вокруг ко-
колеблющегося тела в случае выполнения условий B4.11). В тон-
тонком слое вблизи поверхности тела движение является вихревым.

126	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
В основной же массе жидкости движение потенциально :) . По-
Поэтому везде, кроме пристеночного слоя, движение жидкости опи-
описывается уравнениями
rotv = 0, divv = O.	B4.12)
Отсюда следует, что и Av = 0, а потому уравнение Навье-Стокса
переходит в уравнение Эйлера. Таким образом, везде, кроме при-
пристеночного слоя, жидкость движется как идеальная.
Поскольку пристеночный слой тонкий, то при решении урав-
уравнений B4.12) с целью определения движения в основной массе
жидкости следовало бы взять в качестве граничных условий те
условия, которые должны выполняться на поверхности тела, т. е.
равенство скорости жидкости скорости тела. Однако решения
уравнения движения идеальной жидкости не могут удовлетво-
удовлетворить этим условиям. Можно потребовать лишь выполнения это-
этого условия для нормальной к поверхности компоненты скорости
жидкости.
Хотя уравнения B4.12) и неприменимы в пристеночном слое
жидкости, но поскольку получающееся в результате их решения
распределение скоростей уже удовлетворяет необходимым гра-
граничным условиям для нормальной компоненты скорости, то ис-
истинный ход этой компоненты вблизи поверхности не обнаружит
каких-либо существенных особенностей. Что же касается каса-
касательной компоненты, то, решая уравнения B4.12), мы получили
бы для нее некоторое значение, отличное от соответствующей
компоненты скорости тела, между тем как эти скорости тоже
должны быть равными. Поэтому в тонком пристеночном слое
должно происходить быстрое изменение касательной компонен-
компоненты скорости.
Легко определить ход этого изменения. Рассмотрим какой-
нибудь участок поверхности тела, размеры которого велики по
сравнению с ?, но малы но сравнению с размерами тела. Такой
участок можно рассматривать приближенно как плоский и по-
потому можно воспользоваться для него полученными выше для
плоской поверхности результатами. Пусть ось х направлена по
направлению нормали к рассматриваемому участку поверхно-
поверхности, а ось у — по касательной к нему, совпадающей с направле-
направлением тангенциальной составляющей скорости элемента поверх-
поверхности. Обозначим через vy касательную компоненту скорости
движения жидкости относительно тела; на самой поверхности
Vy должно обратиться в нуль. Пусть, наконец, VQe~iujt есть зна-
1) При колебаниях плоской поверхности на расстоянии 6 затухает не только
rot v, но и сама скорость v. Это связано с тем, что плоскость при своих
колебаниях не вытесняет жидкости и потому жидкость вдали от нее остается
вообще неподвижной. При колебаниях же тел другой формы происходит
вытеснение жидкости, в результате чего она приходит в движение, скорость
которого заметно затухает лишь на расстояниях порядка размеров тела.

§ 24	КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	127
чение vy, получающееся в результате решения уравнений B4.12).
На основании полученных в начале этого параграфа результатов
мы можем утверждать, что в пристеночном слое величина vy бу-
будет падать по направлению к поверхности по закону :)
Vy = voe-iujt{l - exp [-A - i)xy/u>/2v] },	B4.13)
Наконец, полная диссипируемая в единицу времени энергия бу-
будет равна интегралу
Якин = -^ дафЫ^,	B4.14)
взятому по всей поверхности колеблющегося тела.
В задачах к этому параграфу вычислены силы сопротивле-
сопротивления, действующие на различные тела, совершающие колебатель-
колебательное движение в вязкой жидкости. Сделаем здесь следующее об-
общее замечание по поводу этих сил. Написав скорость движения
тела в комплексном виде и = uoe~iujt, мы получаем в результа-
результате силу сопротивления F, пропорциональную скорости и, тоже в
комплексном виде F = /Зи, где /3 = /3\ +i/?2 —комплексная посто-
постоянная; это выражение можно написать как сумму двух членов:
F = (p1+ if32)u = f3lU - ^щ	B4.15)
uj
пропорциональных соответственно скорости и и ускорению й с
вещественными коэффициентами.
Средняя (по времени) диссипация энергии определяется сред-
средним значением произведения силы сопротивления и скорости;
при этом, разумеется, следует предварительно взять веществен-
вещественные части написанных выше выражений, т. е. написать:
Замечая, что средние значения от e±2lujt равны нулю, получим
^	Ш \	2 ^2	B4.16)
кин	\ф +
4
Таким образом, мы видим, что диссипация энергии связана толь-
только с вещественной частью величины /3; соответствующую (про-
(пропорциональную скорости) часть силы сопротивления B4.15) мож-
можно назвать диссипативной. Вторую же часть этой силы, про-
пропорциональную ускорению (определяющуюся мнимой частью /3)
1) Распределение скоростей B4.13) написано в системе отсчета, в которой
твердое тело покоится (vy = 0 при х = 0). Поэтому в качестве vo надо брать
решение задачи о потенциальном обтекании жидкостью неподвижного тела.

128	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
и не связанную с диссипацией энергии, можно назвать инер-
инерционной.
Аналогичные соображения относятся к моменту сил, действу-
действующих на тело, совершающее вращательные колебания в вязкой
жидкости.
Задачи
1. Определить силу трения, действующую на каждую из двух парал-
параллельных твердых плоскостей, между которыми находится слой вязкой жид-
жидкости, причем одна из плоскостей совершает колебательное движение в сво-
своей плоскости.
Решение. Ищем решение уравнения B4.3) в виде )
v = (A sin кх + В cos kx)e~luJt
и определяем А и В из условий v = и = uoe~tujt при х = 0 и v = 0 при х = h
(h — расстояние между плоскостями). В результате получаем
sin k(h — х)
V = U	^	-.
sin кh
Сила трения (на единицу поверхности) на движущейся плоскости равна
Р1у = г]— =
дх х=о
и на неподвижной
dv
г]ки
x=h sin kh
(везде подразумеваются вещественные части соответствующих выражений).
2.	Определить силу трения, действующую на колеблющуюся плоскость,
покрытую слоем жидкости (толщины К), верхняя поверхность которого сво-
свободна.
Решение. Граничные условия на твердой плоскости: v = и при х =
= 0, а на свободной поверхности аху = rjdv/dx = 0 при х = h. Скорость
cos k(h — х)
V = U	-.
cos кh
Сила трения
dv
Ру = V— =r]uktgkh.
дх х=о
3.	Плоский диск большого радиуса R совершает вращательные колеба-
колебания вокруг своей оси с малой амплитудой (угол поворота диска в = во coscjt,
во <С 1); определить момент сил трения, действующих на диск.
Решение. Для колебаний с малой амплитудой член (vV)v в уравне-
уравнении движения всегда мал по сравнению с dv/dt независимо от величины ча-
частоты и. Если R^>S, то при определении распределения скоростей плоскость
диска можно считать неограниченной. Выбираем цилиндрические координаты
с осью z по оси вращения и ищем решение в виде vr = vz = 0, и v^ = v =
= rQ(z, t). Для угловой скорости жидкости Q(z, t) получаем уравнение
№ _ дЧ1
dt ~V dz2'
:) Во всех задачах к этому параграфу к и 6 определены согласно B4.4).

§ 24	КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	129
Решение этого уравнения, обращающееся в — шво sinuut при z = 0 и в нуль
при z = оо, есть
U = -ивое~г/6 sin (out--).
Момент сил трения, действующих на обе стороны диска, равен
R
М = 2 / г • 2тггт7 — с?г = иивотгл/иирг] R4 cos (ut	).
J	dz z=0	V	4/
0
4. Определить движение жидкости между двумя параллельными плос-
плоскостями при наличии градиента давления, меняющегося со временем по гар-
гармоническому закону.
Решение. Выбираем плоскость xz посередине между обеими плос-
плоскостями; ось х направлена по градиенту давления, который пишем в виде
р дх
Скорость направлена везде по оси х и определяется уравнением
dt	ду2
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям v = 0 при у = ±/i/2,
есть
v - !^e
и	L cos{kh/2)\
Среднее (по сечению) значение скорости равно
га -iujtf, 2 kh\
v = —е	1	tg — .
и	\ kh 2 )
При h/S <C 1 это выраж:ение переходит в
12i/
в согласии с A7.5), а при /i/? ^> 1 получается
в соответствии с тем, что в этом случае скорость должна быть почти посто-
постоянной вдоль сечения и заметно меняется лишь в узком пристеночном слое.
5. Определить силу сопротивления, испытываемую шаром (радиуса Я),
совершающим в жидкости колебательное поступательное движение.
Решение. Скорость шара u = uoe~tujt. Аналогично тому, как мы
поступали в § 20, ищем скорость жидкости в виде
v = e~luJt rot rot /u0,
где / — функция только от г (начало координат выбираем в точке нахожде-
нахождения центра шара в данный момент времени). Подставляя в B4.9) и произво-
производя преобразования, аналогичные произведенным в § 20, получаем уравнение
V
(вместо уравнения А2/ = 0 в § 20). Отсюда имеем
eikr
Af = const • 	;
г
5 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

130	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
решение выбрано экспоненциально затухающее, а не возрастающее с г. Ин-
Интегрируя, получаем
df егкг ( 1\ Ъ
=а	г	+	(!)
Та	г	+	(!)
аг	г2 \ гк J г1
(самую функцию / можно не выписывать, так как в скорость входят только
производные f и /"). Постоянные а и Ъ определяются из условия v = u при
г = R и оказываются равными
2ik	2 V ikR k2R2,
Отметим, что при больших частотах (R ^> 6) а —»- О, Ъ —»- —R3/2, что со-
соответствует (в согласии с утверждениями § 24) потенциальному движению
(определенному в задаче 2 § 10).
Сила сопротивления вычисляется по формуле B0.13), в которой ин-
интегрирование производится по поверхности шара. Результат:
J—	C)
SJ" ' """" V ш \~ ' 96 j dt'	У }
При и = 0 эта формула переходит в формулу Стокса. При больших же
частотах получается
F = —pRs— -\-3ttR2
3	dt
Первый член в этом выражении соответствует инерционной силе при по-
потенциальном обтекании шара (см. задачу 1 § 11), а второй дает предельное
выражение для диссипативной силы. Этот второй член можно было бы най-
найти и путем вычисления диссипируемой энергии по формуле B4.14) (ср. сле-
следующую задачу).
6. Найти предельное (при больших частотах, 6 ^С R) выражение дисси-
диссипативной силы сопротивления, действующей на бесконечный цилиндр (ра-
(радиуса Я), совершающий колебания в направлении перпендикулярном своей
оси.
Решение. Распределение скоростей вокруг обтекаемого в попереч-
поперечном направлении неподвижного цилиндра дается формулой
*=*Wn)-u]-u
г2
(см. задачу 3 к § 10). Отсюда находим для тангенциальной скорости на
поверхности цилиндра:
(г, (р — полярные координаты в поперечной плоскости; угол (р отсчитывается
от направления и). По B4.14) находим диссипируемую энергию (отнесенную
к единице длины цилиндра):
^кин = 7TU2Ry/2pr]UJ.
Сравнение с формулами B4.15), B4.16) дает для искомой силы:
^дисс = 2тт Ru л/2 prjoj.
7. Определить силу сопротивления, действующую на произвольно дви-
движущийся шар (скорость шара есть заданная функция времени и = u(t)).

§ 24	КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ	131
Решение. Разлагаем u(t) в интеграл Фурье:
+ ОО	+ОО
u(t) = — f uue~iuitduj, иш= Г u(r)eiuJTdr.
2тг J	J
— оо	—оо
В силу линейности уравнений полная сила сопротивления может быть напи-
написана в виде интеграла от сил сопротивления, получающихся при движении
со скоростями, равными отдельным компонентам Фурье ише~гшЬ; эти силы
определяются выражением C) задачи 5 и равпы
irpR
о	fdu\
Замечая, что ( — 1 = —гиии, переписываем это в виде
^ dt' и
ише i — - — + —— A - г)у/п \.
L it	о	К	J
-га;*/ 61/	2
е 1 ~Б5иш + ^
о^ш + Б
о	К
1+П
При интегрировании по duo/2тг в первом и втором членах получаем соот-
соответственно u{t) и гь(?). Для интегрирования третьего члена раньше всего
замечаем, что для отрицательных ио надо писать этот член в комплексно
1-г 1+г
сопряженном виде, написав в нем —-== вместо 	 (это связано с тем, что
полученная в задаче 5 формула C) выведена для скорости и = uoe~lut с
положительным и; для скорости же uoetujt получилась бы комплексно со-
сопряженная величина). Поэтому вместо интеграла по duo в пределах от —
—оо до +оо можно написать удвоенную вещественную часть интеграла от О
ДО +ОО.
+ ОО ОО
= I Re I A + 0 / I ^-Ll	dcudrl =
— OO 0
7Г	J J	л/п	J J	л/п
= - Re
t	оо -. t
/" u(r)	, . Г u(r) , /2\V2 Г <Ш) ,
/ J	dr + i / y dr\	= (-) / . v y dr.
о	t J -оо
Таким образом, получаем окончательное выражение для силы сопро-
сопротивления
г		 t	-.
D)

132	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
8. Определить силу сопротивления для шара, начинающего в момент
t = 0 двигаться равноускоренно по закону и = at.
Решение. Полагая в формуле D) задачи 7 и = 0 при t < 0 и и = at
при t > О, получаем (при t > 0):
R2 R\tt
9. Определить силу сопротивления для шара, мгновенно приведенного
в равномерное движение.
Решение. Имеем и = 0 при t < 0 и и = г^о при t > 0. Производная
du/dt равна нулю всегда, кроме момента t = 0, в который она обращается
в бесконечность, причем так, что интеграл от du/dt по времени конечен и
равен uq. В результате получаем для всего времени t > 0
R ' """" u0S(t);
здесь S(t) есть ^-функция. При t —»¦ оо это выражение асимптотически при-
приближается к значению, даваемому формулой Стокса. Импульс силы сопро-
сопротивления, испытываемый шаром в течение бесконечно малого интервала
времени вокруг t = 0, получается интегрированием по времени последнего
члена в F и равен 27rpRsuo/3.
10. Определить момент сил, действующих на шар, совершающий в
вязкой жидкости вращательное колебательное движение вокруг своего диа-
диаметра.
Решение. По тем же причинам, что и в задаче 1 § 20, в уравнении
движения можно не писать члена с градиентом давления, так что имеем
~dt ~V
Ищем решение в виде
v = rot/n0e~*w*,
где Г2 = Пое~ги> —угловая скорость вращения шара. Для / получаем теперь
вместо уравнения А/ = const следующее уравнение:
А/ + к2 f = const.
Опуская несущественный постоянный член в решении этого уравнения, име-
имеем отсюда / = — егкг (выбирается решение, которое обращается на бесконеч-
г
ности в нуль). Постоянную а определяем из предельного условия v = [fir]
на поверхности шара и в результате получаем
/=
в, v [^)
r(l-ikR)	VW 1-ikR
(R — радиус шара). Вычисление, аналогичное произведенному в задаче 1
§ 20, приводит к следующему выражению для момента сил, действующих
на шар со стороны жидкости:
87Г D
1V1 =	т/гС
3	1 + 2R/S + 2(R/SJ

§ 25	ЗАТУХАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН	133
При cj —>- 0 (т. е. ? —>- оо) получается выражение М = —87rr]R3Q, соот-
соответствующее равномерному вращению шара (см. задачу 1 § 20). В обратном
же предельном случае R/5 У&> 1 получается
М =
3
Это выражение можно получить и непосредственным путем: при S^R каж-
каждый элемент поверхности шара можно рассматривать как плоский, а дей-
действующую на него силу трения определить по формуле B4.6), подставив в
нее скорость и = QRsmO.
11. Определить момент сил, действующих на наполненный вязкой жид-
жидкостью полый шар, совершающий вращательное колебательное движение
вокруг своего диаметра.
Решение. Ищем скорость в том же виде, как и в предыдущей задаче.
Для / берем решение, конечное во всем объеме внутри шара, включая его
центр: / = а	. Определяя а из граничного условия, получаем
г
\3 г к cos kr — sin кг
Rk cos kR — sin kR
Вычисление момента сил трения приводит к выражению
8 o^k2R2sinkR + 3kRco
М = -TvriR Q.
3	kR cos kR- sin kR
Предельное выражение при R/5 ^> 1 совпадает, естественно, с соответ-
соответствующим выражением предыдущей задачи. Если же R/6 <С 1, то
^fxjR(i
15	V 35i/.
Первый член в этой формуле соответствует инерционным силам, возникаю-
возникающим при вращении всей массы жидкости как целого.
§ 25. Затухание гравитационных волн
Рассуждения, аналогичные вышеизложенным, могут быть
проведены по поводу распределения скоростей вблизи свободной
поверхности жидкости. Рассмотрим колебательное движение,
происходящее у поверхности жидкости (например, гравитацион-
гравитационные волны). Предположим, что выполняются условия B4.11), в
которых теперь роль размеров / играет длина волны А:
A2a;>z^ a<A	B5.1)
(а — амплитуда полны, uj — ее частота). Тогда можно утверждать,
что решение будет вихревым лишь в тонком слое у поверхности
жидкости, а в основном ее объеме движение будет потенциаль-
потенциальным— таким, каким оно было бы у идеальной жидкости.
Движение вязкой жидкости должно удовлетворять у свобод-
свободной поверхности граничным условиям A5.16), требующим исчез-
исчезновения определенных комбинаций производных от скорости по

134	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
координатам. Движение же, получающееся в результате решения
уравнений гидродинамики идеальной жидкости, этому условию
не удовлетворяет. Подобно тому как это было сделано в преды-
предыдущем параграфе для скорости vyi мы можем заключить, что
в тонком слое у поверхности жидкости соответствующие произ-
производные скорости будут быстро уменьшаться. Существенно отме-
отметить, что градиент скорости не будет при этом аномально боль-
большим, как это имело место вблизи твердой поверхности.
Вычислим диссипацию энергии в гравитационной волне. Здесь
надо говорить не о диссипации кинетической энергии, а о дис-
диссипации механической энергии Еме^1 включающей в себя наряду
с кинетической также и потенциальную энергию в поле тяже-
тяжести. Ясно, однако, что на обусловленную процессами внутренне-
внутреннего трения в жидкости диссипацию энергии не может влиять факт
наличия или отсутствия поля тяжести. Поэтому Еме^ определя-
определяется той же формулой A6.3):
2
_ г] f f dvi dvk\ ,T/
— -- / I — + — 1 av.
2 J \дхк dxi/
дхк
При вычислении этого интеграла для гравитационной волны на-
надо заметить, что поскольку объем поверхностного слоя вихревого
движения мал, а градиент скорости в нем не аномально велик,
фактом наличия этого слоя можно пренебречь, в противополож-
противоположность тому, что мы имели в случае колебаний твердой поверхно-
поверхности. Другими словами, интегрирование должно производиться
по всему объему жидкости, в котором, как мы видели, жидкость
движется как идеальная.
Но движение в гравитационной волне в идеальной жидкости
было уже нами определено в § 12. Это движение потенциально,
и потому
так что
Потенциал ср имеет вид
ср = ср0 cos (kx — uot + a)ekz.
Нас интересует, конечно, не мгновенное, а среднее по времени
значение диссипируемой энергии. Замечая, что средние значения
квадратов косинуса и синуса одинаковы, получим
с1У.	B5.2)
Что касается самой энергии гравитационной волны, то для
ее вычисления можно воспользоваться известным из механики

§ 25	ЗАТУХАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН	135
обстоятельством, что у всякой системы, совершающей малые ко-
колебания (колебания с малой амплитудой), средняя кинетическая
и потенциальная энергии равны друг другу. На этом основа-
основании можно написать Еме:к просто как удвоенную кинетическую
энергию:
откуда
Ё?мех = 2Р^2 f^dV.	B5.3)
Затухание волн удобно характеризовать коэффициентом за-
затухания 7, определенным как отношение
7 = \Емех\/BЁ).	B5.4)
С течением времени энергия волны падает по закону Е =
= const • е~27*; что касается амплитуды волны, то, поскольку
энергия пропорциональна ее квадрату, закон ее уменьшения со
временем определяется множителем е~7*.
С помощью B5.2), B5.3) находим
7 = 2гД;2.	B5.5)
Подставляя сюда A2.7), получим коэффициент затухания гра-
гравитационных волн в виде
7 = ^-	B5.6)
Задачи
1. Определить коэффициент затухания длинных гравитационных волн,
распространяющихся в канале постоянного сечения; частота предполагается
настолько большой, что ^Jv/и мало по сравнению с глубиной жидкости в
канале и его шириной.
Решение. Основная диссипация энергии будет происходить в при-
пристеночном слое жидкости, где скорость меняется от нуля на самой стенке
до значения v = voe~tujt, которое она имеет в волне. Средняя диссипация
энергии (отнесенная к единице длины канала) равна согласно B4.14)
,Ы2
/ — длина той части контура сечения канала, вдоль которой он соприкасается
с жидкостью. Средняя же энергия жидкости (тоже отнесенная к единице
длины канала) равна Spv2 = Sp\vo\2/2 (S — площадь сечения жидкости в
канале). Коэффициент затухания равен
/ у—
7 =
2V2S
Так, для канала прямоугольного сечения (ширина а, глубина жидкости h)
2h
7 =

136	ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ	ГЛ. II
2. Определить движение в гравитационной волне на жидкости с боль-
большой вязкостью (у > cjA2).
Решение. Приведенное в тексте вычисление коэффициента затуха-
затухания применимо только в случаях, когда этот коэффициент мал G ^Ccj), так
что движение можно рассматривать в первом приближении как движение
идеальной жидкости. При произвольной вязкости ищем решение уравнений
движения:
1 dp
Ч\ _ ldp
z2) рдх'
dt	V dx2 dz2
dvz (d2vz d2vz
	 = v\	1
dt ^dx2 dz2
dx dz
зависящее от t и х как e-lujt+lkx и затухающее с z по направлению в глубь
жидкости (z > 0). Получаем
Vx = e~luJt+lkx(Aekz +Bemz),
Vz = e-luJt+lkx{-iAekz - i-Bemz),
m
— = e luJ ъ x —Ae z — gz, где m =
p	к
Граничные условия на поверхности жидкости:
dvz	(dvx dvz \
(JZZ = -p + 2r]—- =0, axz =77f —+ —J =0
dz	v dz dx '
(при z = С). Во втором из этих условий можно сразу написать z = 0 вместо
z = С- Первое же дифференцируем предварительно по t и пишем gvz вместо
gd^/dt, после чего полагаем z = 0. Из условия совместности получающихся
таким образом двух однородных уравнений для А л В получаем
(UJ \ ?Г	/	UJ
г)	1 I	О		 А I Л	'	(Л\
vkz ' vzk6 V	vkz
Это уравнение определяет зависимость из от волнового вектора к. При этом из
является комплексной величиной; ее действительная часть определяет ча-
частоту колебаний, а мнимая — коэффициент затухания. Физический смысл
имеют те из решений уравнения A), мнимая часть которых отрицательна
(соответственно затуханию волны); таковыми являются только два из кор-
корней уравнения B). Если vk2 <^C \fgk (условие B5.1)), то коэффициент зату-
затухания мал и B) дает приближенно из = ±^/g& —i-ivk2 — известный уже нам
результат. В противоположном предельном случае vk2 ^> л/gk уравнение A)
имеет два чисто мнимых корня, соответствующих чисто затухающему апе-
апериодическому движению. Один из корней есть
ig
и =	—,
2г/к
а другой значительно больше (порядка vk2) и поэтому не интересен (соот-
(соответствующее ему движение быстро затухает).

ГЛАВА III
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
§ 26. Устойчивость стационарного движения жидкости
Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных
стационарных условиях должно, в принципе, существовать точ-
точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти реше-
решения формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но
не всякое решение уравнений движения, даже если оно является
точным, может реально осуществиться в природе. Осуществля-
Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять
гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчи-
устойчивыми: малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со
временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке
жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти
со временем, то движение неустойчиво и фактически существо-
существовать не может :) .
Математическое исследование устойчивости движения по от-
отношению к бесконечно малым возмущениям должно происхо-
происходить по следующей схеме. На исследуемое стационарное реше-
решение (распределение скоростей, в котором пусть будет vo(r)) на-
накладывается нестационарное малое возмущение vi(r, t) которое
должно быть определено таким образом, чтобы результирую-
результирующее движение v = vq + vi удовлетворяло уравнениям движе-
движения. Уравнение для определения vi получается подстановкой в
уравнения
— + (vV)v = --Vp + i/Av, div v = 0	B6.1)
скорости и давления в виде
v = vo+vi, p = Po+Pi,	B6.2)
причем известные функции vq и ро удовлетворяют уравнениям
(vqV)vq = — —^ + ^Avq, div vq = 0.	B6.3)
Р
1) Ранее неустойчивость по отношению к сколь угодно малым возмущени-
возмущениям мы называли абсолютной. Теперь в этом аспекте прилагательное «аб-
«абсолютная» мы опускаем, сохранив его (в соответствии с более принятой в
современной литературе терминологией) в качестве антитезы к понятию о
конвективной неустойчивости (§ 28).

138	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Опуская члены высших порядков по малой величине vi, получим
— + (v0V)vi + (viV)v0 = -^ + i/Avi, div vi = 0. B6.4)
dt	p
Граничным условием является исчезновение vi на неподвижных
твердых поверхностях.
Таким образом, vi удовлетворяет системе однородных линей-
линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являю-
являющимися функциями только от координат, но не от времени. Об-
Общее решение таких уравнений может быть представлено в виде
суммы частных решений, в которых vi зависит от времени по-
посредством множителей типа e~lujt. Сами частоты ио возмущений
не произвольны, а определяются в результате решений уравне-
уравнений B6.4) с соответствующими предельным условиями. Эти ча-
частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие ио, мни-
мнимая часть которых положительна, то e~iujt будет неограниченно
возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения,
раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустой-
неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ-
необходимо, чтобы у всех возможных частот ио мнимая часть была
отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспонен-
экспоненциально затухать со временем.
Такое математическое исследование устойчивости, однако,
крайне сложно. До настоящего времени не разработан теорети-
теоретически вопрос об устойчивости стационарного обтекания тел ко-
конечных размеров. Нет сомнения в том, что при достаточно ма-
малых числах Рейнольдса стационарное обтекание устойчиво. Экс-
Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что при увели-
увеличении R достигается в конце концов определенное его значение
(которое называют критическим, RKp), начиная с которого дви-
движение становится неустойчивым, так что при достаточно боль-
больших числах Рейнольдса (R > RKp) стационарное обтекание твер-
твердых тел вообще невозможно. Критическое значение числа Рей-
Рейнольдса не является, разумеется, универсальным; для каждого
типа движения существует свое RKp. Эти значения, по-видимо-
по-видимому, — порядка нескольких десятков (так, при поперечном обтека-
обтекании цилиндра незатухающее нестационарное движение наблюда-
наблюдалось уже при R = udjv « 30, где d — диаметр цилиндра).
Обратимся к изучению характера того нестационарного
движения, которое устанавливается в результате неустойчиво-
неустойчивости стационарного движения при больших числах Рейнольдса
(Л.Д. Ландау, 1944).
Начнем с выяснения свойств этого движения при R, лишь
немногим превышающих RKp. При R < RKp у комплексных ча-
частот ио = ио\ + «7i всех возможных малых возмущений мнимая
часть отрицательна G1 < 0). При R = RKp появляется одна ча-
частота, мнимая часть которой обращается в нуль. При R > RKp

§ 26	УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ	139
у этой частоты 'yi > 0, причем для R, близких к критическому,
7i ^ooi :) . Функция vi, соответствующая этой частоте, имеет вид
vi=A(t)f(a;,y, *),	B6.5)
где f — некоторая комплексная функция координат, а комплекс-
комплексная амплитуда 2)
A(t) = const • е^ге-ш.	B6.6)
Это выражение для A(t) в действительности пригодно лишь в те-
течение короткого промежутка времени после момента срыва ста-
стационарного режима: множитель exp (p/\t) быстро растет, между
тем как описанный выше метод определения vi, приводящий к
выражению вида B6.5), B6.6), применим лишь при достаточной
малости vi. В действительности, конечно, модуль \А\ амплитуды
нестационарного движения не растет неограниченно, а стремит-
стремится к некоторому конечному пределу. При R, близких к RKp, этот
конечный предел все еще мал, и для его определения поступим
следующим образом.
Определим производную по времени от квадрата амплиту-
амплитуды \А\2. Для самых малых времен, когда еще применимо B6.6),
имеем
at
Это выражение является, по существу, лишь первым членом раз-
разложения в ряд по степеням А и А*. При увеличении модуля \А\
(но когда он все еще остается малым) надо учесть следующие
члены этого разложения. Ближайшие следующие — члены тре-
третьего порядка по А. Нас, однако, интересует не точное значение
производной, а ее среднее по времени значение, причем усред-
усреднение производится по промежуткам времени, большим по срав-
сравнению с периодом 2тг/ио\ периодического множителя exp (—icjit)
(напомним, что, поскольку ио\ ^> 7ъ этот период мал по сравне-
сравнению со временем I/71 заметного изменения модуля \А\). Но чле-
члены третьего порядка непременно содержат периодический мно-
множитель и при усреднении выпадают 3). Среди членов же чет-
1) Спектр всех возможных (для данного типа движений) частот возмуще-
возмущений содержит как изолированные значения (дискретный спектр), так и зна-
значения, непрерывно заполняющие целые интервалы (непрерывный спектр).
Можно думать, что для обтекания конечных тел частоты с 71 > О могут
иметься только в дискретном спектре. Дело в том, что возмущения, отве-
отвечающие частотам непрерывного спектра, вообще говоря, не исчезают на бес-
бесконечности. Между тем на бесконечности основное движение представляет
собой заведомо устойчивый плоскопараллельный однородный поток.
2)Как обычно, подразумевается вещественная часть выражения B6.6).
3) Строго говоря, члены третьего порядка дают при усреднении не нуль, а
величины четвертого порядка; мы предполагаем их включенными в члены
четвертого порядка в разложении.

140	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
вертого порядка есть член, пропорциональный А2А*2 = |А|4, при
усреднении не выпадающий. Таким образом, с точностью до чле-
членов четвертого порядка имеем
^ = 2Ъ\А\2-»\А\4,	B6.7)
где а — положительная или отрицательная постоянная (постоян-
(постоянная Ландау).
Нас интересует ситуация, когда при R > RKp впервые стано-
становится неустойчивым (на фоне основного движения) уже сколь
угодно малое возмущение. Ей отвечает случай а > 0; рассмот-
рассмотрим его.
Над \А\2 и |А|4 в B6.7) мы не пишем знаков усреднения, так
как оно производится только по промежуткам времени, малым
по сравнению с 1/71- По этой же причине при решении этого
уравнения надо поступать так, как если бы черты над производ-
производной в левой его части тоже не было. Решение уравнения B6.7)
имеет вид
Отсюда видно, что \А\2 асимптотически стремится к конечному
пределу
|A|Lx = 27i/a.	B6.8)
Величина 71 зависит от R; вблизи RKp функция 7i(R) может
быть разложена по степеням R — RKp. Но 7i(Rrp) — 0 по самому
определению критического числа Рейнольдса; поэтому прибли-
приближенно имеем
7i = const • (R - RKp).	B6.9)
Подставив это в B6.8), находим следующую зависимость уста-
устанавливающейся амплитуды возмущения от «степени надкритич-
ности»:
|A|max~(R-RKpI/2.	B6.10)
Остановимся кратко на случае, когда в уравнении B6.7)
а < 0. Для определения предельной амплитуды возмущения два
члена разложения B6.7) теперь недостаточны, и надо учесть от-
отрицательный член более высокого порядка; пусть это будет член
-/3\А\6 с /3 > 0. Тогда
= М ± [^ + ^7il V	B6.11)
2/3 U/32 р ' \	V	J
с 7i из B6.9). Эта зависимость изображена на рис. 13 б (рис. 13 а
отвечает случаю а > 0, формула B6.10)). При R > RKp стаци-
стационарное движение не может существовать вовсе; при R = RKp

§ 26
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
141
возмущение скачком возрастает до конечной амплитуды (кото-
(которая, конечно, предполагается все же настолько малой, что ис-
используемое разложение по степеням |А|2 применимо) г) . В ин-
интервале R4p < R < RKp основное движение метастабильно—
устойчиво по отношению к бесконечно малым, но неустойчиво
по отношению к воз-
воз\а\
тах
мущениям конечной
амплитуды (сплош-
(сплошная линия; штрихо-
штриховая кривая ветвь
неустойчива).
Вернемся к неста-
нестационарному движе-
движению, возникающему
при R > RKp в ре-
результате неустойчи-
неустойчивости по отношению	рис> 13
к малым возмущени-
возмущениям. При R, близких к RKp, это движение может быть представ-
представлено в виде наложения стационарного движения vo(r) и перио-
периодического движения vi (r, t) с малой, но конечной амплитудой,
растущей по мере увеличения R по закону B6.10). Распределение
скоростей в этом движении имеет вид
y\ — lyljd	,	yZj\j.LZjj
где f — комплексная функция координат, a ft — некоторая на-
начальная фаза. При больших разностях R — RKp разделение ско-
скорости на две части vq и vi уже не имеет смысла. Мы имеем
при этом дело просто с некоторым периодическим движением с
частотой ио\. Если вместо времени пользоваться в качестве неза-
независимой переменной фазой cpi = uj\t + ft, то можно сказать, что
функция v(r, if) является периодической функцией от if с пе-
периодом 2тг. Эта функция, однако, не есть теперь простая триго-
тригонометрическая. В ее разложение в ряд Фурье
B6.13)
(суммирование по всем положительным и отрицательным целым
числам р) входят члены не только с основной частотой wi, но и
с кратными ей.
Уравнением B6.7) определяется только абсолютная величи-
величина временного множителя A(t), но не его фаза ср\. Последняя
1) В механике о таких системах говорят как о системах с жестким самовоз-
самовозбуждением, в отличие от систем с мягким самовозбуждением, неустойчивым
по отношению к бесконечно малым возмущениям.

142	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
остается по существу неопределенной и зависит от случайных
начальных условий. В зависимости от этих условий, начальная
фаза /3i может иметь любое значение. Таким образом, изучае-
изучаемое периодическое движение не определяется однозначно теми
заданными стационарными внешними условиями, в которых оно
происходит. Одна из величин — начальная фаза скорости — оста-
остается произвольной. Можно сказать, что это движение обладает
одной степенью свободы, между тем как стационарное движение,
полностью определяющееся внешними условиями, не обладает
степенями свободы вовсе.
Задача
Вывести уравнение, выражающее баланс энергии между основным
течением и наложенным на него возмущением, не предполагая последнее
слабым.
Решение. Подставив B6.2) в уравнение B6.1), но не опустив в нем
член второго порядка по vi, имеем
— + (voV)vi + (vi V)v0 + (vi V)vi = -Vpi + R Avi	A)
dt
(предполагается, что все величины приведены к безразмерному виду, как
объяснено в § 19). Умножив это уравнение на vi, и преобразовав с учетом
равенств diwo = divvi = 0, получим
О V\	Ovoi —idvn Ovu
dt 2	дхк	дхк дхк
д Г 1 2/ , \	, t»-i dv\i~\
+ -— \--Vi{vok +vik) -pivik +R vu—— .
дхк [ 2 v	'	дхк J
Последний член в правой части уравнения исчезает после интегрирования
по всей области движения в силу условий vo = vi = 0 на ограничиваю-
ограничивающих область стенках или на бесконечности. В результате находим искомое
соотношение:
где
Е±= —dV, Т = - / VliVlk—^dV, D = / I —- j dV. C)
j l	j	ax к	J \ ax к J
Функционал Т описывает обмен энергией между основным движением и
возмущением; он может иметь оба знака. Функционал D — диссипативная
потеря энергии, всегда D > 0. Обратим внимание на то, что нелинейный по
vi член в A) не дает вклада в соотношение B).
Соотношение B) позволяет найти оценку снизу для числа RKp (О. Rey-
Reynolds, 1894; W. Orr, 1907): производная dE/dt заведомо отрицательна, т. е.
возмущение затухает со временем, если R < R#, где
RE=mm(D/T),	D)
причем минимум функционала берется по отношению к функциям vi(r),
удовлетворяющим граничным условиям и уравнению divvi = 0. Существо-
Существование конечного минимума математически связано с одинаковой (второй)
степенью однородности функционалов Т и D. Тем самым доказывается су-

§ 27	УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ	143
ществование нижней (по R) границы метастабильности, ниже которой основ-
основное движение устойчиво по отношению к любым возмущениям. Даваемая
выражением D) оценка (ее называют энергетической), однако, в большин-
большинстве случаев оказывается очень заниженной.
§ 27. Устойчивость вращательного движения жидкости
Для исследования устойчивости стационарного движения
жидкости в пространстве между двумя вращающимися цилин-
цилиндрами (§ 18) в предельном случае сколь угодно больших чисел
Рейнольдса можно применить простой способ, аналогичный при-
примененному в § 4 при выводе условия механической устойчивости
неподвижной жидкости в поле тяжести (Rayleigh, 1916). Идея
метода состоит в том, что рассматривается какой-нибудь про-
произвольный малый участок жидкости и предполагается, что этот
участок смещается с той траектории, по которой он движется в
рассматриваемом течении. При таком смещении появляются си-
силы, действующие на смещенный участок жидкости. Для устой-
устойчивости основного движения необходимо, чтобы эти силы стре-
стремились вернуть смещенный элемент в исходное положение.
Каждый элемент жидкости в невозмущенном течении дви-
движется по окружности г = const вокруг оси цилиндров. Пусть
ц(г) = тг2ф есть момент импульса элемента с массой т (ф— уг-
угловая скорость). Действующая на него центробежная сила рав-
равна /i2 /mr3] эта сила уравновешивается соответствующим ради-
радиальным градиентом давления, возникающим во вращающейся
жидкости. Предположим теперь, что элемент жидкости, нахо-
находящийся на расстоянии г о от оси, подвергается малому смеще-
смещению со своей траектории, так что попадает на расстояние г >
> го от оси. Сохраняющийся момент импульса элемента остается
при этом равным своему первоначальному значению /io = /л(П))-
Соответственно в его новом положении на него будет действо-
действовать центробежная сила, равная /Лд/(тг3). Для того чтобы эле-
элемент стремился возвратиться в исходное положение, эта центро-
центробежная сила должна быть меньше, чем ее равновесное значение
/i2/(??ir3), уравновешивающееся имеющимся на расстоянии г гра-
градиентом давления. Таким образом, необходимое условие устой-
устойчивости гласит: /i2 — /ijj > 0; разлагая ц(г) по степеням положи-
положительной разности г — го, напишем это условие в виде
^f > 0.	B7.1)
dr
Согласно формуле A8.3) угловая скорость ф частиц движущейся
жидкости равна
R\-R\	R\-R\

144	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Вычисляя /i как тг2ф и опуская все заведомо положительные
множители, пишем условие B7.1) в виде
~ to\R\)<p > 0.	B7.2)
Угловая скорость ф монотонно меняется с г от значения О\
на внутреннем до значения О2 на внешнем цилиндре. Если оба
цилиндра вращаются в противоположных направлениях, т. е. О\
и О2 имеют различные знаки, то функция ф меняет знак в про-
пространстве между цилиндрами и ее произведение на постоянное
число O2R?> — O\R2 не может быть везде положительным. Таким
образом, в этом случае B7.2) не выполняется во всем объеме
жидкости, и движение неустойчиво.
Пусть теперь оба цилиндра вращаются в одну сторону; выби-
выбирая это направление вращения в качестве положительного, име-
ем 0,1 > 0, О2 > 0. Тогда ф везде положительно, и для выполне-
выполнения условия B7.2) необходимо, чтобы было
О2Щ > OiR\.	B7.3)
Если же O2R^ меньше, чем O\R\, то движение неустойчиво. Так,
если внешний цилиндр покоится (О2 = 0), а вращается только
внутренний, то движение неустойчиво. Напротив, если покоится
внутренний цилиндр {О\ =0), то движение устойчиво.
Подчеркнем, что в изложенных рассуждениях совершенно не
учитывалось влияние вязких сил трения при смещении элемен-
элемента жидкости. Поэтому использованный метод применим лишь
при достаточно малой вязкости, т. е. достаточно больших числах
Рейнольдса.
Исследование устойчивости движения при произвольных R
должно производиться общим методом, основанным на уравне-
уравнениях B6.4); для движения между вращающимися цилиндрами
это было сделано впервые Тэйлором {G.L Taylor, 1924).
В данном случае невозмущенное распределение скоростей vq
зависит только от цилиндрической координаты г и не зависит
ни от угла (р, ни от координаты z вдоль оси цилиндров. Полную
систему независимых решений уравнений B6.4) можно поэтому
искать в виде
vi (r, <p, z) = eHn<P+bz-ut)f(r)	B7.4)
с произвольно направленным вектором f(r). Волновое число /с,
пробегающее непрерывный ряд значений, определяет периодич-
периодичность возмущения вдоль оси z. Число же п пробегает лишь целые
значения 0, 1, 2, ... , как это следует из условия однозначности
функции по переменной <р; значению п = 0 отвечают осесиммет-
ричные возмущения. Допустимые значения частоты ио получают-
получаются в результате решения уравнений с надлежащими граничными
условиями в плоскости z = const (скорость vi = 0 при г = R\

§ 27	УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ	145
и г = i?2). Поставленная таким образом задача определяет при
заданных значениях п и /с, вообще говоря, дискретный ряд соб-
собственных частот (ш = иоп \к), где индекс j нумерует различные
ветви функции ооп(к)] эти частоты, вообще говоря, комплексны.
Роль числа Рейнольдса в данном случае может играть вели-
величина ftiRf/u или ^Щ/^ — щж заданных значениях отношений
i?i/i?2 и O1/O2, определяющих «тип движения». Будем следить
за изменением какой-либо из собственных частот ио = uin (к)
при постепенном увеличении числа Рейнольдса. Момент возник-
возникновения неустойчивости (по отношению к данному виду возму-
возмущений) определяется тем значением R, при котором функция
j(k) = Imo; впервые обращается в нуль при каком-либо значе-
значении к. При R < RKp функция j(k) везде отрицательна, а при
R > Ккр она положительна в некотором интервале значений к.
Пусть ккр — то значение /с, для которого (при R = RKp) функ-
функция j(k) обращается в нуль. Соответствующая функция B7.4)
определяет характер того (накладывающегося на основное) дви-
движения, которое возникает в жидкости в момент потери устойчи-
устойчивости; оно периодично вдоль оси цилиндров с периодом 2тг/ккр.
При этом, конечно, фактическая граница устойчивости опреде-
определяется тем видом возмущений (т. е. той функцией ищ (А;))), кото-
которая дает наименьшее значение RKp; именно эти «наиболее опас-
опасные» возмущения интересуют нас здесь. Как правило (см. ни-
ниже), ими являются осесимметричные возмущения. Ввиду боль-
большой сложности, достаточно полное исследование этих возмуще-
возмущений было произведено лишь для случая узкого зазора между
цилиндрами (h = R2 — R\ <С R = {R\ + i?2)/2). Оно приводит к
следующим результатам х) .
Оказывается, что решению, приводящему к наименьшему зна-
значению RKp, отвечает чисто мнимая функция со (к). Поэтому при
к = кКр не только Imo; = 0, но и вообще со = 0. Это значит,
что первая потеря устойчивости стационарным вращением жид-
жидкости приводит к возникновению другого, тоже стационарного
течения 2) . Оно представляет собой тороидальные вихри (их на-
называют тпэйлоровскими), регулярно расположенные вдоль длины
) Подробное изложение можно найти в книгах: Кочин Н.Е., Кибель И.А.,
Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. Ч. 2;
Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. — Oxford, 1961;
Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic stability. — Cambridge, 1981.
2)B таких случаях говорят о смене устойчиво emeu. Экспериментальные
данные, а также числовые результаты для ряда частных случаев, дают осно-
основание считать, что это свойство имеет для рассматриваемого движения об-
общий характер и не связано с малостью h.

146
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
ГЛ. Ill
цилиндров. Для случая вращения обоих цилиндров в одну сто-
сторону, на рис. 14 схематически изображены проекции линий то-
тока этих вихрей на плоскость меридионального сече-
сечения цилиндров (скорость v\ имеет в действительно-
действительности также и азимутальную компоненту). На длине
2тг/ккр каждого периода расположены два вихря с
противоположными направлениями вращения.
При R, несколько превышающем RKp, имеется
уже не одно, а целый интервал значений /с, для ко-
которых Imo; > 0. Не следует, однако, думать, что воз-
возникающее при этом движение будет представлять
собой одновременное наложение движений с раз-
различными периодичностями. В действительности при
каждом R возникает движение с вполне определен-
определенной периодичностью, стабилизирующее все течение
в целом. Определение этой периодичности, однако,
уже невозможно с помощью линеаризованного урав-
уравнения B6.4).
Ri	R2	На рис. 15 изображен примерный вид кривой,
разделяющей области устойчивости и неустойчиво-
Рис. 14 сти (последняя заштрихована) при заданном значе-
значении i?i/i?2- Правая ветвь кривой, соответствующая вращению
цилиндров в одну сторону, имеет в качестве асимптоты прямую
O2R2 — O±Rf (это свойство имеет в действительности общий ха-
характер и не связано с малостью К). Увеличению числа Рейнольд-
Рейнольдса для заданного типа движения отвечает перемещение вверх по
прямой, выходящей из начала ко-
координат и отвечающей данному
значению O1/O2. На правой части
диаграммы все такие прямые, для
которых O2R2/O1RI > 1 нигде
не пересекают границы области
неустойчивости. Напротив, при
O2R^/O\R^ < 1 и достаточном
увеличении числа Рейнольдса мы
всегда попадем в область неустой-
неустойчивости — в согласии с условием
B7.3). На левой части диаграммы
(О\ и О2 имеют различные знаки) всякая прямая, проведенная из
начала координат, пересекает границу заштрихованной области,
т. е. при достаточном увеличении числа Рейнольдса стационар-
стационарное движение в конце концов теряет устойчивость при любом
отношении IO2/O1I —снова в согласии с полученными выше ре-
результатами. При О2 = 0 (вращается только внутренний цилиндр)
неустойчивость наступает при числе Рейнольдса (определенном
Рис. 15

§ 28	УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПО ТРУБЕ	147
как R = №liRi/v), равном
^1	B7.5)
Отметим, что в рассматриваемом движении вязкость оказы-
оказывает стабилизирующее влияние: движение, устойчивое при v =
= 0, остается устойчивым и при учете вязкости; движение же,
неустойчивое при v = 0, может оказаться устойчивым для вяз-
вязкой жидкости.
Неосесимметричные возмущения движения между вращаю-
вращающимися цилиндрами не исследованы систематически. Результа-
Результаты расчетов частных случаев дают основание считать, что на
правой стороне диаграммы рис. 15 наиболее опасными всегда
остаются осесимметричные возмущения. Напротив, на левой сто-
стороне диаграммы, при достаточно больших значениях IO2/O1I,
учет неосесимметричных возмущений, по-видимому, несколько
изменяет форму граничной кривой. При этом вещественная часть
частоты возмущения не обращается в нуль, так что возникаю-
возникающее движение нестационарно; это существенно меняет характер
неустойчивости.
Предельным (при h —>> 0) случаем движения между вращаю-
вращающимися цилиндрами является движение жидкости между двумя
движущимися друг относительно друга параллельными плоско-
плоскостями (см. § 17). Это движение устойчиво по отношению к бес-
бесконечно малым возмущениям при любых значениях числа R =
= hujv (^ — относительная скорость плоскостей).
§ 28. Устойчивость движения по трубе
Совершенно особым характером потери устойчивости обла-
обладает стационарное течение жидкости по трубе (рассмотренное
в § 17).
Ввиду однородности потока вдоль оси х (вдоль длины трубы)
невозмущенное распределение скоростей vq не зависит от коор-
координаты х. Аналогично изложенному в предыдущем параграфе
мы можем поэтому искать решения уравнений B6.4) в виде
v1=e^kx-ujtk(y,z).	B8.1)
И здесь будет существовать такое значение R = RKp, при ко-
котором 7 — Imo; впервые обращается при некотором значении к
в нуль. Существенно, однако, что вещественная часть функции
ио(к) теперь уже отнюдь не будет равна нулю.
Для значений R, лишь немного превышающих RKp, интервал
значений /с, в котором j(k) > 0, мал и расположен вокруг точки,

Yi
148	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
в которой j(k) имеет максимум, т. е. dj/dk = 0 (как это ясно
из рис. 16). Пусть в некотором участке потока возникает слабое
возмущение; оно представляет собой волновой пакет, получаю-
получающийся путем наложения ряда компонент вида B8.1). С течением
времени будут усиливаться те из этих ком-
компонент, для которых: ^(к) > 0; остальные
R>R	же компоненты затухнут. Возникающий та-
кр	ким образом усиливающийся волновой па-
	к кет будет в то же время «сноситься» вниз
\	по течению со скоростью, равной группо-
групповой скорости пакета duo/dk (§ 67); посколь-
i R=RKp ку речь идет теперь о волнах со значения-
значениями волновых векторов в малом интервале
r<rkp вокруг точки, в которой djIdk = 0, то ве-
величина
Reuj	B8.2)
dk dk	y J
вещественна и потому действительно представляет собой истин-
истинную скорость распространения пакета.
Этот снос возмущений вниз по течению весьма существен и
придает всему явлению потери устойчивости совершенно иной
характер по сравнению с тем, который был описан в § 27.
Поскольку положительность Imo; сама по себе означает те-
теперь лишь усиление перемещающегося вниз по течению возму-
возмущения, то открываются две возможности. В одном случае, не-
несмотря на перемещение волнового пакета, возмущение неогра-
неограниченно возрастает со временем в любой фиксированной в про-
пространстве точке потока; такую неустойчивость по отношению к
сколь угодно малым возмущениям будем называть абсолютной.
В другом же случае пакет сносится так быстро, что в каждой
фиксированной точке пространства возмущение стремится при
t —>> оо к нулю; такую неустойчивость будем называть сносовой,
или конвективной х) . Для пуазейлевого течения, по-видимому,
имеет место второй случай (см. ниже примеч. на с. 150).
Следует сказать, что различие между обоими случаями име-
имеет относительный характер в том смысле, что зависит от выбора
системы отсчета, по отношению к которой рассматривается не-
неустойчивость: конвективная в некоторой системе неустойчивость
становится абсолютной в системе, движущейся «вместе с паке-
пакетом», а абсолютная неустойчивость становится конвективной в
системе, достаточно быстро «уходящей» от пакета. В данном слу-
случае, однако, физический смысл этого различия устанавливается
существованием выделенной системы отсчета, по отношению к
) Общий метод, позволяющий установить характер неустойчивости, опи-
описан в другом томе этого курса (см. X, § 62).

§ 28	УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПО ТРУБЕ	149
которой и следует рассматривать неустойчивость —системы, в
которой покоятся стенки трубы. Более того, поскольку реальные
трубы имеют хотя и большую, но конечную длину, возникающее
где-либо возмущение может, в принципе, оказаться вынесенным
из трубы раньше, чем оно приведет к истинному срыву ламинар-
ламинарного течения.
Поскольку возмущения возрастают с координатой х вниз по
течению, а не со временем в заданной точке пространства, то при
исследовании этого типа неустойчивости разумно поставить во-
вопрос следующим образом. Предположим, что в заданном месте
пространства на поток накладывается непрерывно действующее
возмущение с определенной частотой о;, и посмотрим, что будет
происходить с этим возмущением при его сносе вниз по течению.
Обращая функцию o;(fc), мы найдем, какой волновой вектор к
соответствует заданной (вещественной) частоте. Если ImA; < О,
то множитель е возрастает с увеличением ж, т. е. возмущение
усиливается. Кривая в плоскости o;R, определяемая уравнением
\тк(ио, R) = 0 (ее называют кривой нейтральной устойчиво-
устойчивости или просто нейтральной кривой) дает границу устойчиво-
устойчивости, разделяя для каждого R области значений частоты возму-
возмущений, усиливающихся или затухающих вниз по течению.
Фактическое проведение вычислений чрезвычайно сложно.
Полное исследование было произведено аналитическими мето-
методами лишь для плоского пуазейлевого течения — течения меж-
между двумя параллельными плоскостями {С.С. Ып, 1945). Укажем
здесь результаты такого исследования :) .
Течение (невозмущенное) между плоскостями однородно не
только вдоль направления своей скорости (ось ж), но и во всей
плоскости xz (ось у перпендикулярна плоскостям). Поэтому
можно искать решения уравнений B6.4) в виде
с волновым вектором к в произвольном направлении в плоско-
плоскости xz. Нас, однако, интересуют лишь те возрастающие возмуще-
возмущения, которые появляются (при увеличении R) первыми; именно
они определяют границу устойчивости. Можно показать, что при
заданной величине волнового вектора первым становится неза-
незатухающим возмущение с к вдоль оси ж, причем fz = 0. Таким
образом, достаточно рассматривать только двумерные (как и
1)См. книгу: Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчиво-
устойчивости.— М.: ИЛ, 1958 [Ып С.С. The theory of hydrodynamic stability.—
Cambridge, 1955]. Изложение этих, а также и более поздних исследований
по данному вопросу дано в указанной в примеч. на с. 145 книге Дразина и
Рейда.

150	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
основное течение) возмущения в плоскости ху, не зависящие от
координаты z х) .
Нейтральная кривая для течения между плоскостями изобра-
изображена схематически на рис. 17. Заштрихованная область внутри
кривой — область неустойчивости 2) . Наименьшее значение R,
при котором появляются незатухающие
возмущения, оказывается равным RKp =
= 5772 (по более поздним уточненным
расчетам, S.A. Orszag, 1971); число Рей-
нольдса определено здесь как
R = Um3xh/Bu),	B8.4)
где f7max — максимальная скорость тече-
течения, a h/2 — половина расстояния между
пкР	« плоскостями, т. е. расстояние, на котором
скорость возрастает от нуля до максиму-
ис	ма 3) . Значению R = RKp отвечает волно-
волновой вектор возмущения ккр = 2,04//i. При R —>> оо обе ветви ней-
нейтральной кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс
по законам
с )Ъ ITJ r^J R —3/11 г )h/ТТ r**j ~D~3/7
соответственно для верхней и нижней ветвей; при этом на обеих
ветвях со л к связаны соотношениями вида coh/U ~ (kh)^.
Таким образом, для всякой отличной от нуля частоты со, не
превышающей определенного максимального значения (~[///i),
существует конечный интервал значений R, в котором возмуще-
возмущения усиливаются 4) . Интересно, что малая, но конечная вязкость
) Доказательство этого утверждения (Н.В. Squire, 1933) состоит в том, что
система уравнений B6.4) для возмущений вида B6.2) может быть приведена
к виду, в котором она отличается от уравнений для двумерных возмущений
лишь заменой R на Rcos<^, где (р — угол между к и vo (в плоскости xz).
Поэтому критическое число RKp для трехмерных возмущений (с заданным к)
RKp = RKp/ cos (p > RKp, где RKp вычислено для двумерных возмущений.
2)	Нейтральная кривая в плоскости кК имеет аналогичный вид. Посколь-
Поскольку на нейтральной кривой вещественны как и, так и А;, то эти кривые в
обоих плоскостях — это одна и та же зависимость, выраженная в различных
переменных.
3)	В литературе используется также и другое определение R для плоского
пуазейлевого течения — как отношения hU/v, где U — средняя (по сечению)
скорость жидкости. Ввиду равенства U = 2[/тах/3, имеем hU/v = 4R/3,
где R определено согласно B8.4).
4)	Доказательство конвективного характера неустойчивости плоского пуа-
пуазейлевого течения дано в статье: Иорданский СВ., Куликовский А.Г.
II ЖЭТФ. 1965. Т. 49. С. 1326. Доказательство, однако, относится лишь
к области очень больших значений R, в которой обе ветви нейтральной кри-
кривой близки к оси абсцисс, т. е. на обоих ветвях kh <C 1. Для чисел R, при
которых на нейтральной кривой kh ~ 1, вопрос остается открытым.

§ 28	УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПО ТРУБЕ	151
жидкости оказывает в данном случае в известном смысле деста-
дестабилизирующее влияние на устойчивость по сравнению с тем, что
имело бы место для строго идеальной жидкости :) . Действитель-
Действительно, при R —>> оо возмущения со всякой частотой затухают; при
введении же конечной вязкости мы в конце концов попадем в
область неустойчивости, пока дальнейшее увеличение вязкости
(уменьшение R) не выведет снова из этой области.
Для течения в трубе кругового сечения полное теоретиче-
теоретическое исследование устойчивости еще отсутствует, но имеющиеся
результаты дают веские основания полагать, что это движение
устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям (как
в абсолютном, так и в конвективном смысле) при любых числах
Рейнольдса. В силу аксиальной симметрии основного течения,
возмущения можно искать в виде
vi = eHn<P+b*-ut)f (г)	B8.5)
(как и в B7.4)). Можно считать доказанным, что осесимметрич-
ные (п = 0) возмущения всегда затухают. Среди исследованных
неосесимметричных колебаний (с определенными значениями п
в определенных интервалах значений числа Рейнольдса) тоже не
оказалось незатухающих. На устойчивость течения в трубе ука-
указывает и то обстоятельство, что при очень тщательном устра-
устранении возмущений у входа в трубу удается поддерживать лами-
ламинарное течение до очень больших значений R (фактически его
удавалось наблюдать вплоть до R « 105, где
R = Umaxd/{2v) = Ud/v,	B8.6)
d — диаметр трубы, [7max — скорость жидкости на оси трубы).
Течение между плоскостями и течение в трубе кругового се-
сечения можно рассматривать как предельные случаи течения в
трубе кольцевого сечения, т. е. между двумя коаксиальными ци-
цилиндрическими поверхностями (радиусов R\ и i?2, R2 > -Ri)-
При R\ = 0 мы возвращаемся к трубе кругового сечения, а пре-
пределу R\ —>• i?2 отвечает течение между плоскостями. По-види-
По-видимому, критическое число RKp существует при всех отличных от
нуля значениях отношения R1/R2 < 1, а при R1/R2 —>• 0 оно
стремится к бесконечности.
Для всех этих пуазейлевых течений существует также кри-
критическое число RL), определяющее границу устойчивости по от-
отношению к возмущениям конечной интенсивности. При R < R^p
в трубе вообще не может существовать незатухающего нестацио-
нестационарного движения. Если в каком-либо участке возникает турбу-
турбулентность, то при R < R' турбулентная область, сносясь вниз
1)Это свойство было впервые обнаружено Гейзенбергом (W. Heisenberg,
1924).

152	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
по течению, в то же время сужается, пока не исчезнет совсем; на-
напротив, при R > R4p она будет с течением времени расширяться,
захватывая все больший участок потока. Если возмущения тече-
течения непрерывно происходят у входа в трубу, то при R < R^p они
непременно затухнут на некотором расстоянии от входа, сколь
бы сильны они не были. Напротив, при R > R^p движение ста-
станет турбулентным на всем протяжении трубы, причем для это-
этого достаточны тем более слабые возмущения, чем больше R. В
интервале между R^p и RKp ламинарное течение метастабиль-
но. Для трубы кругового сечения незатухающая турбулентность
наблюдалась уже при R^ 1800, а для течения между параллель-
параллельными плоскостями — начиная cR^ 1000.
Ввиду «жесткости» срыва ламинарного течения в трубе, он
сопровождается скачкообразным изменением силы сопротивления.
При течении по трубе при R > R^p имеется, по существу, два раз-
различных закона сопротивления (зависимости силы сопротивления
от R) — один для ламинарного и другой для турбулентного те-
течений (см. ниже § 43). При каком бы значении R ни произошел
переход одного в другое, сила сопротивления испытывает скачок.
В заключение этого параграфа сделаем еще следующее за-
замечание. Граница устойчивости (нейтральная кривая), получен-
полученная для течения в неограниченно длинной трубе, имеет еще и
другой смысл. Рассмотрим течение в трубе очень большой (по
сравнению с ее шириной), но конечной длины. Пусть на каждом
из ее концов поставлены определенные граничные условия — за-
задан профиль скорости (например, можно представить себе концы
трубы закрытыми пористыми стенками, создающими однород-
однородный профиль); везде, за исключением концевых отрезков трубы,
профиль (невозмущенный) скорости можно считать пуазейлев-
ским, не зависящим от х. Для определенной таким образом ко-
конечной системы можно поставить задачу об устойчивости по от-
отношению к бесконечно малым возмущениям (общий метод уста-
установления критерия такой устойчивости, которую называют гло-
глобальной^ описан в X, § 65). Можно показать, что упомянутая
выше нейтральная кривая для бесконечной трубы является в то
же время границей глобальной устойчивости в конечной трубе,
независимо от конкретных граничных условий на ее концах :) .
§ 29. Неустойчивость тангенциальных разрывов
Движением несжимаемой жидкости, неустойчивым в идеаль-
идеальной жидкости, являются течения, при которых два слоя жидко-
жидкости двигались бы друг относительно друга, «скользя» один по
х) См. Куликовский А.Г. II Прикл. мат. и мех. 1968. Т. 32. С. 112.

§ 29	НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ	153
другому; поверхность раздела между этими двумя слоями жид-
жидкости была бы поверхностью тангенциального разрыва, на ко-
которой скорость жидкости (направленная по касательной к по-
поверхности) испытывала бы скачок (Н. Helmholtz, 1868; W. Kelvin,
1871). В дальнейшем мы увидим, к какой картине фактически
осуществляющегося движения приводит эта неустойчивость
(§ 35); здесь же проведем доказательство сделанного утверж-
утверждения.
Рассматривая небольшой участок поверхности разрыва и те-
течение жидкости вблизи него, мы можем считать этот участок
плоским, а скорости vi и V2 жидкости по обеим его сторонам
постоянными. Не ограничивая общности, можно считать, что од-
одна из этих скоростей равна нулю; этого всегда можно добиться
соответствующим выбором системы координат. Пусть V2 = 0, а
vi обозначим просто как v; направление v выберем в качестве
оси ж, а ось z направим по нормали к поверхности.
Пусть поверхность разрыва испытывает слабое возмущение
(«рябь»), при котором все величины — координаты точек самой
поверхности, давление и скорость жидкости — являются перио-
периодическими функциями, пропорциональными ег(кх~иг). Рассмотрим
жидкость с той стороны от поверхности разрыва, где ее скорость
равна v, и обозначим через v7 малое изменение скорости при
возмущении. Согласно уравнениям B6.4) (с постоянным vq = v
и v = 0) имеем для возмущения v7 следующую систему:
divv' = 0, ^ + (vV)v'=-^.
dt	p
Поскольку v направлено по оси ж, то второе уравнение можно
переписать в виде
*L + V*L = JE?.	B9.1)
dt	дх	р	v J
Если применить к обеим его частям операцию div, то в силу
первого уравнения мы получим слева нуль, так что р' должно
удовлетворять уравнению Лапласа
Ар' = 0.	B9.2)
Пусть ( = ?(ж, t) есть смещение вдоль оси z точек поверхно-
поверхности разрыва при возмущении. Производная d(/dt есть скорость
изменения координаты ( поверхности при заданной координа-
координате х. Поскольку нормальная к поверхности разрыва компонента
скорости жидкости равна скорости перемещения самой поверх-
поверхности, то в требуемом приближении имеем
(для vz надо, конечно, брать ее значение на самой поверхности).

154	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Будем искать р' в виде
р1 = f{z)ei^kx-U3t\
Подстановка в B9.2) дает для f(z) уравнение
откуда / = const • е . Пусть пространство с рассматриваемой
стороны поверхности разрыва (сторона 1) соответствует поло-
положительным z. Тогда мы должны взять / = const • e~kz, так что
р[ = const • ei(kx-ut)e-kzm	B9<4)
Подставляя это выражение в ^-компоненту уравнения B9.1),
найдем :)
ipi(kv — ш)
Смещение ? тоже ищем в виде, пропорциональном такому же
экспоненциальному множителю et(kx~ujt"), и получаем из B9.3)
v'z = i((kv — uS).
Вместе с B9.5) это дает
, = _^{ку-ш)\	B9б)
к
Давление р'2 по другую сторону поверхности выразится такой же
формулой, в которой надо теперь положить v = 0, и, кроме того,
изменить общий знак (соответственно тому, что в этой области
г<0и все величины должны быть пропорциональны ekz, а не
e~kz). Таким образом,
р'2 = (p-?f.	B9.7)
к
Мы пишем различные плотности р\ и /92, имея в виду охватить
также и случай, когда речь идет о границе раздела между двумя
различными несмешивающимися жидкостями.
Наконец, из условия равенства давлений р± и р% на поверхно-
поверхности разрыва получаем
откуда находим искомую зависимость между ио и к:
± %Jp\p2
v
7
= kv
pi + р2
:) Случай kv = cj, в принципе возможный, нас не интересует, так как
неустойчивость может быть связана только с комплексными, а не веществен-
вещественными частотами ио.

§ 30	КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ	155
Мы видим, что ио оказывается комплексной величиной, причем
всегда имеются ио с положительной мнимой частью. Таким обра-
образом, тангенциальные разрывы неустойчивы — уже по отношению
к бесконечно малым возмущениям х) . В таком виде этот резуль-
результат относится к сколь угодно малой вязкости. В этом случае не
имеет смысла различать неустойчивость сносового типа от аб-
абсолютной неустойчивости, поскольку с увеличением к мнимая
часть ио неограниченно возрастает, и потому коэффициент уси-
усиления возмущения при его сносе может быть сколь угодно велик.
При учете конечной вязкости тангенциальный разрыв теряет
свою резкость; изменение скорости от одного до другого значе-
значения происходит в слое конечной толщины. Вопрос об устойчиво-
устойчивости такого движения в математическом отношении вполне анало-
аналогичен вопросу об устойчивости в ламинарном пограничном слое с
перегибом в профиле скоростей (§ 41). Экспериментальные дан-
данные и численные расчеты показывают, что в данном случае неус-
неустойчивость наступает очень рано, возможно даже, что всегда 2) .
§ 30. Квазипериодическое движение
и синхронизация частот 3)
В последующем изложении (§ 30-32) будет удобным поль-
пользоваться определенными геометрическими образами. Для этого
введем математическое представление о пространстве состоя-
состояний жидкости, каждая точка которого отвечает определенному
распределению (полю) скоростей в ней. Состояниям в близкие
моменты времени соответствуют при этом близкие точки 4) .
Образом стационарного движения служит точка, а образом
периодического движения — замкнутая линия (траектория) в
г) Если направление волнового вектора к (в плоскости ху) не совпадает с
направлением v, а образует с ним угол <р, то в B9.8) v заменится на v cos if]
это ясно из того, что невозмущенная скорость входит в исходное линеаризо-
линеаризованное уравнение Эйлера только в комбинации (vV). Очевидно, что и такие
возмущения будут неустойчивы.
) Численные расчеты устойчивости производились для плоскопараллель-
плоскопараллельных течений с профилем скоростей, меняющихся между двумя значениями
±г>о по некоторому закону, например, v = vq th (z/h) (роль числа Рейнольдса
играет при этом R = voh/v). Нейтральная кривая в плоскости кК оказывает-
оказывается выходящей из начала координат, так что для каждого значения R имеется
интервал значений к (возрастающий с увеличением R), для которых течение
неустойчиво.
3)	Параграфы 30-32 написаны совместно с М.И. Рабиновичем.
4)	В математической литературе это бесконечномерное функциональное
пространство (или конечномерные пространства, которыми оно может быть
в некоторых случаях заменено — см. ниже) часто называют фазовым. Мы не
пользуемся здесь этим термином во избежание смешения с более конкрет-
конкретным смыслом, который он обычно имеет в физике.

156	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
пространстве состояний; о них говорят соответственно как о пре-
предельной точке или предельном цикле. Если эти движения устой-
устойчивы, то это значит, что соседние траектории, описывающие про-
процесс установления движения, стремятся (при t —>> оо) к предель-
предельной точке или предельному циклу.
Предельный цикл (или точка) имеет в пространстве состоя-
состояний определенную область притяжения: начинающиеся в этой
области траектории в конце концов выходят на цикл. В этой
связи о предельном цикле говорят как об аттракторе :) . Под-
Подчеркнем, что для движения жидкости в заданном объеме с опре-
определенными граничными условиями (и при заданном значении R)
аттрактор может быть не единствен. Возможны ситуации, когда
в пространстве состояний существуют различные аттракторы,
каждый из которых имеет свою область притяжения. Другими
словами, при R > RKp может оказаться более чем один устой-
устойчивый режим движения и различные режимы осуществляются
в зависимости от способа достижения данного значения R. Под-
Подчеркнем, что эти различные устойчивые режимы являются ре-
решениями нелинейной (!) системы уравнений движения 2) .
Обратимся к изучению явлений, возникающих при дальней-
дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, после достижения им крити-
критического значения и установления рассматривавшегося в § 26 пе-
периодического течения. По мере увеличения R наступает в конце
концов момент, когда становится неустойчивым и это периоди-
периодическое движение. Исследование этой неустойчивости должно, в
принципе, производиться аналогично изложенному в § 26 спосо-
способу определения неустойчивости исходного стационарного движе-
движения. Роль невозмущенного движения играет теперь периодиче-
периодическое движение vo(r, t) (с частотой ooi), а в уравнения движения
подставляется v = vq + V2, где V2 — малая поправка. Для V2
получается снова линейное уравнение, но его коэффициенты яв-
являются теперь функциями не только координат, но и времени,
причем по времени эти коэффициенты представляют собой пе-
периодические функции с периодом Т\ = 2тт/оо\. Решение такого
уравнения должно разыскиваться в виде
v2 = П(г, t)e~iuj\	C0.1)
где П(г, t) — периодическая функция времени (с тем же перио-
периодом Т]_). Неустойчивость наступает снова при появлении часто-
частоты оо = 002 + ^72 5 У которой мнимая часть 72 > 0, а вещественная
часть 002 определяет новую появляющуюся частоту.
) От английского слова attraction — притяжение.
2) Такова, например, ситуация при потере устойчивости куэттовским тече-
течением; устанавливающееся новое движение фактически зависит от истории
процесса, которым цилиндры приводятся во вращение с определенными уг-
угловыми скоростями.

§ 30	КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ	157
За период Т\ возмущение C0.1) меняется в \i = e~lujTl раз.
Этот множитель называют мультипликатором периодического
движения; он является удобной характеристикой усиления или
затухания возмущений этого движения. Периодическому движе-
движению непрерывной среды (жидкости) соответствует бесконечное
множество мультипликаторов, отвечающих бесконечному числу
возможных независимых возмущений. Потеря им устойчивости
происходит при числе RKp2, при котором один или более мульти-
мультипликаторов по модулю становятся равными 1, т. е. в комплекс-
комплексной плоскости значения /i пересекают единичную окружность.
Ввиду вещественности уравнений проходить через эту окруж-
окружность мультипликаторы могут только комплексно-сопряженны-
комплексно-сопряженными парами, или поодиночке, оставаясь вещественными, т. е. в
точках +1 или — 1. Потеря устойчивости периодическим движе-
движением сопровождается определенной качественной перестройкой
поведения траекторий в пространстве состояний в окрестности
ставшего неустойчивым предельного цикла или, как говорят, сво-
своей локальной бифуркацией. Характер бифуркации в значитель-
значительной степени определяется именно тем, в каких точках единичной
окружности мультипликаторы ее пересекают х) .
Рассмотрим бифуркацию при пересечении единичной окруж-
окружности парой комплексно-сопряженных мультипликаторов вида
/i = ехр(=р2тгш), где а — иррациональное число. Это приводит
к появлению вторичного течения с новой независимой частотой
U02 — oiuoi, т. е. в результате возникает некоторое квазиперио-
квазипериодическое движение, характеризующееся двумя несоизмеримыми
частотами. Геометрическим образом этого движения в простран-
пространстве состояний служит траектория в виде незамкнутой намотки
на двумерном торе 2) , причем став-
ставший неустойчивым предельный цикл
служит образующей тора; частота ио\
соответствует вращению по образую-
образующей тора, частота ио2 — вращению на
торе (рис. 18). Подобно тому, как по-
после появления первого периодическо-
периодического движения течение обладало одной
степенью свободы, теперь две величи-
величины (фазы) являются произвольными,	Рис. 18
т. е. движение обладает двумя степенями свободы. Потеря устой-
устойчивости периодическим движением, сопровождающаяся «рожде-
«рождением» двумерного тора, типична для гидродинамики.
г) Отметим, что мультипликатор не может быть равным нулю: возмущение
не может обратиться в нуль за конечное время (один период Т\).
2) Мы пользуемся математической терминологией, согласно которой то-
тором называют поверхность без заключенного в ней объема. Так, двумерный
тор — двумерная поверхность трехмерного «бублика».

158	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Обсудим гипотетическую картину усложнения течения, воз-
возникшего в результате такой бифуркации, при дальнейшем увели-
увеличении числа Рейнольдса, R > RKp2- Естественно было бы пред-
пол ожить, что при последующем увеличении R будут последо-
последовательно появляться все новые периоды. На языке геометриче-
геометрических образов это означает потерю устойчивости двумерным то-
тором с возникновением в его окрестности трехмерного тора, затем
в результате очередной бифуркации ему на смену придет четы-
четырехмерный тор и т. д. Интервалы между числами Рейнольдса,
соответствующими появлению новых частот, быстро падают, а
появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Таким
образом, движение быстро приобретает сложный и запутанный
характер; его называют турбулентным в отличие от ламинар-
ламинарного , правильного течения, при котором жидкость движется как
бы слоями, обладающими различными скоростями.
Полагая сейчас, что такой путь (или, как говорят, сценарий)
возникновения турбулентности действительно возможен х) , на-
напишем общий вид функции v(r, ?), зависимость которой от вре-
времени определяется некоторым числом N различных частот с^.
Ее можно рассматривать как функцию N различных фаз (npi =
= uoit-\- fii (и от координат), причем по каждой из них она перио-
периодична с периодом 2тг. Такая функция может быть представлена
в виде ряда
1=1
представляющего собой обобщение B6.13) (суммирование по
всем целым числам pi, _p2, ... , Pn)- Описываемое такой фор-
формулой движение обладает N степенями свободы — в него входят
N произвольных начальных фаз /% 2) .
Состояния, фазы которых отличаются только на целое крат-
кратное 2тг, физически тождественны. Другими словами, все суще-
существенно различные значения каждой из фаз лежат в интервале
О ^ (fi ^ 2тг. Рассмотрим какую-нибудь пару фаз ip\ = uo\t + f3\
и Lp2 = ио2^-\-^2- Пусть в некоторый момент времени фаза (pi име-
имеет значение а. Тогда «одинаковые» с а значения фаза cpi будет
иметь и во все моменты времени
1)Он был выдвинут Л.Д. Ландау A944) и затем независимо Хопфом
(Е. Hopf, 1948).
2) Если выбрать фазы (fi в качестве координат, описывающих траекторию
на TV-мерном торе, то соответствующие скорости будут постоянными вели-
величинами: ф{ = uj{. В связи с этим о квазипериодическом движении говорят
как о движении на торе с постоянной скоростью.

§ 30	КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ	159
где s — любое целое число. Фаза ср2 в эти моменты имеет значения
^ = /3 + (а/3
Но различные частоты несоизмеримы друг с другом, так что
a^/^i —иррациональное число. Приводя каждый раз посредством
вычитания должного целого кратного от 2тг значение ср2 к интер-
интервалу между 0 и 2тг, мы получим поэтому, при пробегании числом
s значений от 0 до оо, для ср2 значения, сколь угодно близкие
к любому наперед заданному числу в этом интервале. Другими
словами, в течение достаточно большого промежутка времени cpi
и Lp2 одновременно пройдут сколь угодно близко к любой паре
наперед заданных значений. То же самое относится и ко всем фа-
фазам. Таким образом, в рассматриваемой модели турбулентности
в течение достаточно долгого времени жидкость проходит через
состояния, сколь угодно близкие к любому наперед заданному
состоянию, определенному любым возможным набором одновре-
одновременных значений фаз (fi. Время возврата, однако, очень быстро
растет с увеличением N и становится столь большим, что факти-
фактически никакого следа какой-либо периодичности не остается х) .
Подчеркнем теперь, что рассмотренный путь возникновения
турбулентности базируется, по существу, на линейных представ-
представлениях. Действительно, фактически предполагалось, что при по-
появлении в результате развития вторичных неустойчивостей но-
новых периодических решений уже имевшиеся периодические ре-
решения не только не исчезают, но и почти не меняются. В данной
модели турбулентное движение есть просто суперпозиция боль-
большого числа таких неизменяющихся решений. В общем же случае,
однако, характер решений при увеличении числа Рейнольдса и
потери ими устойчивости изменяется. Возмущения взаимодей-
взаимодействуют друг с другом, причем это может привести как к упро-
упрощению движения, так и к его усложнению. Проиллюстрируем
первую возможность.
Ограничимся простейшим случаем: будем полагать, что воз-
возмущенное решение содержит всего лишь две независимые часто-
частоты. Как уже говорилось, геометрическим образом такого течения
является незамкнутая намотка на двумерном торе. Возмущение
на частоте a;i, возникшее при R = RKpi, естественно считать в
окрестности числа R = RKp2 (при котором возникает возмущение
частоты 002) более интенсивным и поэтому полагать его неизмен-
) В установившемся турбулентном режиме описанного типа вероятность
нахождения системы (жидкости) в заданном малом объеме вокруг избран-
избранной точки пространства фаз <^i, 922, • • • , ^n дается отношением величины
этого объема Fip)N к полному объему B^)^. Поэтому можно сказать, что
г	"	—>cN
за достаточно оолыпои промежуток времени лишь в течение его доли е
(где к = In Bтг/д(р)) система будет находиться в окрестности заданной точки.

160	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
ным при относительно небольших изменениях числа R в этой
окрестности. Имея это в виду, для описания эволюции возмуще-
возмущения с частотой 002 на фоне периодического движения частоты ио\
введем новую переменную
a2(t) = \a2(t)\e-^);	C0.3)
модуль |а2| —кратчайшее расстояние до образующей тора (став-
(ставшего неустойчивым предельного цикла частоты o;i), т. е. относи-
относительная амплитуда вторичного периодического течения, а ср2 —
его фаза. Рассмотрим поведение а2(?) в дискретные моменты
времени, кратные периоду Т\ = 2tt/lji. За время одного периода
возмущение частоты ui2 меняется в \i раз, где
\i = |/i| exp {—2niuo2/ooi)
— его мультипликатор; по истечении целого числа т таких перио-
периодов функция п2 умножится на \iT. Мы считаем надкритичность
R ~~ ^кр2 малой; тогда инкремент возрастания возмущения тоже
мал и, соответственно, разность \\i\ — 1 хоть и положительна, но
мала, так что за период Т\ возмущение а2 меняется по модулю
незначительно; фаза же ср2 меняется просто пропорционально т.
Имея все это в виду, можно перейти к рассмотрению дискрет-
дискретной переменной т как непрерывной и описывать ход изменения
функции а,2{т) дифференциальным по т уравнением.
Понятие о мультипликаторе относится к самым малым вре-
временам после наступления неустойчивости, когда возмущение еще
описывается линейными уравнениями. В этой области функция
а,2{т) меняется, согласно сказанному, как /iT, а ее производная
d,CL2	1	/ \
— = In/i-a2(r),
dr
причем для малых надкритичностей:
ln/i = In |/i| - 2тгг^ « |/i| - 1 - 2тгг^.	C0.4)
Это выражение — первый член разложения du2/dr по степеням
«2 и а^ и при увеличении модуля |а2| (но пока он все же остается
малым) надо учесть следующий член. Член, содержащий тот же
осциллирующий множитель е~г(^2, есть член третьего порядка:
2. Таким образом, приходим к уравнению
^	2	C0.5)
ат
где @2 (как и /i) —комплексный параметр, зависящий от R, при-
причем Re @2 > 0 (ср. аналогичные рассуждения в связи с уравнени-
уравнением B6.7)). Вещественная часть этого уравнения сразу определяет
стационарное значение модуля:

§ 30	КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ	161
Мнимая же часть дает уравнение для фазы ^(т); после уста-
установления стационарного значения модуля, оно принимает вид
*^ = 2тг^ + 1т/32-|40)|2-	C0.6)
Согласно этому уравнению фаза (f2 вращается с постоянной
скоростью. Это свойство, однако, связано лишь с рассматривае-
рассматриваемым приближением; с ростом надкритичности R — RKp2 равно-
равномерность нарушается и скорость вращения по тору становится
сама функцией ср2. Чтобы учесть это, добавим в правую часть
уравнения C0.6) малое возмущение Ф(^); поскольку все физи-
физически различные значения ср2 заключены в одном интервале от 0
до 2тг, функция Ф((р2) —периодическая с периодом 2тг. Далее, ап-
аппроксимируем иррациональное отношение o^/^i рациональной
дробью (это можно сделать со сколь угодной степенью точности)
c^/^i = m2/mi + А, где 77^1, ?^2 —целые числа. Тогда уравнение
принимает вид
^ = 2тг^ + А + Im/02 ¦ |40)I2 + *Ы-	C0-7)
ат	mi
Будем теперь рассматривать значения фазы лишь в моменты
времени, кратные m\Ti, т. е. при значениях переменной т = туг,
где т — целое число. Первый член в правой части C0.7) приводит
за время т\Т\ к изменению фазы на 2тгт2, т. е. на целое, крат-
кратное 2тг, которое можно просто опустить. После этого вся правая
часть уравнения оказывается малой величиной, и это позволяет
описывать изменение функции <f>2(j) дифференциальным урав-
уравнением по непрерывной переменной т:
^^ = д + im/?2 . |40)|2 + ФЫ	C0.8)
mi ат
(на одном шаге изменения дискретной переменной т функция
(^2/^1 меняется незначительно).
В общем случае уравнение C0.8) имеет стационарные реше-
решения ср2 = у4 •> определяющиеся обращением в нуль правой части
уравнения. Но неизменность фазы (f2 в моменты времени, крат-
кратные 777iTi, означает, что на торе существует предельный цикл —
траектория через mi оборотов замыкается. Ввиду периодично-
периодичности функции Ф((^2) такие решения появляются парами (в про-
простейшем случае — одна пара): одно решение на возрастающем, а
другое —на убывающем участках функции Ф(<^2)- Из этих двух
решений устойчиво только последнее, для которого вблизи точки
^2 = ^2 уравнение C0.8) имеет вид
dcp2	j, (	@)ч
-^ = —COnst • {(f2 — if\ )
dr
6 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

162	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
(с коэффициентом const > 0) и действительно имеет решение,
стремящееся к ср2 = цг2 5 второе же решение неустойчиво (для
него const < 0).
Рождение устойчивого предельного цикла на торе означа-
означает синхронизацию колебаний х) —исчезновение квазипериодиче-
квазипериодического и установление нового периодического режима. Это явле-
явление, которое в системе со многими степенями свободы может
произойти многими способами, препятствует возникновению ре-
режима, представляющего собой суперпозицию движений с боль-
большим числом несоизмеримых частот. В этом смысле можно ска-
сказать, что вероятность реального осуществления именно сцена-
сценария Ландау-Хопфа очень мала (этим не исключается, конечно,
в частных случаях возможность возникновения нескольких несо-
несоизмеримых частот прежде, чем произойдет их синхронизация).
§ 31. Странный аттрактор
Исчерпывающей теории возникновения турбулентности в раз-
различных типах гидродинамических течений в настоящее время
еще не существует. Был выдвинут, однако, ряд возможных сце-
сценариев процесса хаотизации движения, основанных главным об-
образом на компьютерном исследовании модельных систем диф-
дифференциальных уравнений, и частично подтвержденных реаль-
реальными гидродинамическими экспериментами. Дальнейшее изло-
изложение в этом и следующем параграфах имеет своей целью лишь
дать представление об этих идеях, не входя в обсуждение соот-
соответствующих компьютерных и экспериментальных результатов.
Отметим лишь, что экспериментальные данные относятся к гид-
гидродинамическим движениям в ограниченных объемах; именно
такие движения мы и будем иметь в виду ниже 2) .
Прежде всего сделаем следующее общее важное замечание.
При анализе устойчивости периодического движения интерес-
интересны лишь те мультипликаторы, которые по модулю близки к 1 —
именно они при небольшом изменении R могут пересечь еди-
единичную окружность. Для течения вязкой жидкости число та-
таких «опасных» мультипликаторов всегда конечно по следующей
причине. Допускаемые уравнениями движения различные ти-
типы (моды) возмущений обладают разными пространственными
масштабами (т. е. длинами расстояний, на которых существенно
меняется скорость V2). Чем меньше масштаб движения, тем
1)По английской терминологии — frequency locking.
) Фактически речь идет о тепловой конвекции в ограниченных объемах и
о куэттовском движении между двумя коаксиальными цилиндрами конеч-
конечной длины. Теоретические представления о механизме турбулизации погра-
пограничного слоя и следа за обтекаемым конечным телом в настоящее время еще
слабо развиты, несмотря на накопленный значительный экспериментальный
материал.

§ 31	СТРАННЫЙ АТТРАКТОР	163
больше градиенты скорости в нем и тем сильнее оно тормозится
вязкостью. Если расположить допустимые моды в порядке убы-
убывания их масштабов, то опасным может оказаться только неко-
некоторое конечное число первых из них; достаточно далекие в этом
ряду заведомо окажутся сильно затухающими, т. е. им будут
отвечать малые по модулю мультипликаторы. Это обстоятель-
обстоятельство позволяет считать, что выяснение возможных типов потери
устойчивости периодическим движением вязкой жидкости мо-
может производиться по существу так же, как и анализ устойчиво-
устойчивости периодического движения диссипативной дискретной меха-
механической системы, описываемой конечным числом переменных
(в гидродинамическом аспекте этими переменными могут, на-
например, быть амплитуды компонент разложения поля скоростей
в ряд Фурье по координатам). Соответственно этому становится
конечномерным и пространство состояний.
С математической точки зрения речь идет об исследовании
эволюции системы, описываемой уравнениями вида
x(t)=F(x),	C1.1)
где х(?) — вектор в пространстве п величин х^1\ х^2\ ... , х^п\
описывающих систему; функция F зависит от параметра, изме-
изменение которого может приводить к изменению характера дви-
движения х) . Для диссипативной системы дивергенция вектора х в
х-пространстве отрицательна, чем выражается сокращение объ-
объемов х-пространства при движении 2) :
divx(t) = divF(x) = dF^/дх^ < 0.	C1.2)
Вернемся к обсуждению возможных результатов взаимодей-
взаимодействия разных периодических движений. Явление синхронизации
упрощает движение. Но взаимодействие может разрушить ква-
квазипериодичность также и в направлении существенного услож-
усложнения картины. До сих пор молчаливо подразумевалось, что при
потере устойчивости периодическим движением возникает в до-
дополнение к нему другое периодическое движение. Логически же
это вовсе не обязательно. Ограниченность амплитуд пульсаций
скорости обеспечивает лишь ограниченность объема пространства
состояний, внутри которого располагаются траектории, соответ-
соответствующие установившемуся режиму течения вязкой жидкости,
но как выглядит картина траекторий в этом объеме априори ни-
ничего сказать нельзя. Траектории могут стремиться к предельному
1) По математической терминологии функцию F называют векторным по-
полем системы. Если оно не зависит явно от времени (как в C1.1)), систему
называют автономной.
) Напомним, что для гамильтоновой механической системы эта диверген-
дивергенция равна нулю согласно теореме Лиувилля; компонентами вектора х явля-
являются при этом обобщенные координаты q и импульсы р системы.

164	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
циклу или к незамкнутой намотке на торе (соответственно об-
образам периодического или квазипериодического движений), но
могут вести себя и совершенно по-иному — сложно и запутанно.
Именно эта возможность чрезвычайно существенна для понима-
понимания математической природы и выяснения механизма возникно-
возникновения турбулентности.
Представить себе сложное и запутанное поведение траекто-
траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только вхо-
входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неус-
неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые циклы,
но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри
ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означа-
означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний,
передвигаясь в дальнейшем по проходящим через них траекто-
траекториям, далеко разойдутся; первоначально близкие точки могут
относиться и к одной и той же траектории: ввиду ограниченно-
ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе
сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное пове-
поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением
жидкости.
Эта картина имеет еще и другой аспект — чувствительная
зависимость течения от малого изменения начальных условий.
Если движение устойчиво, то малая неточность в задании на-
начальных условий приведет лишь к аналогичной неточности в
определении конечного состояния. Если же движение неустойчи-
неустойчиво, то исходная неточность со временем нарастает и дальнейшее
состояние системы уже невозможно предвидеть (Н.С. Крылов,
1944; М. Вот, 1952).
Притягивающее множество неустойчивых траекторий в про-
пространстве состояний диссипативной системы действительно мо-
может существовать (Е. Lorenz, 1963); его принято называть сто-
стохастическим, или странным аттрактором г) .
На первый взгляд, требование о неустойчивости всех тра-
траекторий, принадлежащих аттрактору, и требование о том, что-
чтобы все соседние траектории при t —>> оо к нему стремились,
кажутся несовместимыми, поскольку неустойчивость означает
разбегание траекторий. Это кажущееся противоречие устраня-
устраняется если учесть, что траектории могут быть неустойчивыми по
одним направлениям в пространстве состояний и устойчивыми
(т. е. притягивающими) по другим. В n-мерном пространстве
Х)В отличие от обычных аттракторов (устойчивые предельные циклы,
предельные точки и т. п.); название, аттрактора «странный» связано со
сложностью его структуры, о которой будет идти речь ниже. В физиче-
физической литературе термином «странный аттрактор» обозначают и более слож-
сложные притягивающие множества, содержащие помимо неустойчивых также и
устойчивые траектории, но со столь малыми областями притяжения, что ни
в физическом, ни в численном экспериментах их нельзя обнаружить.

§31
СТРАННЫЙ АТТРАКТОР
165
Седловая
траектория
---... hit)
ti@)
Рис. 19
состояний траектории, принадлежащие странному аттрактору,
не могут быть неустойчивы по всем (п — 1)-направлениям (од-
(одно направление отвечает движению вдоль траектории), так как
это означало бы непрерывный рост начального объема в про-
пространстве состояний, что для диссипативной системы невозмож-
невозможно. Следовательно, по одним направлениям соседние траектории
стремятся к траекториям
аттрактора, а по другим —
неустойчивым — от них ухо-
уходят (рис. 19). Такие тра-
траектории называют седловы-
ми, и именно множество та-
таких траекторий составляет
странный аттрактор.
Странный аттрактор
может появиться уже после
нескольких бифуркаций возникновения новых периодов: даже
сколь угодно малая нелинейность может разрушить квазиперио-
квазипериодический режим (незамкнутая обмотка на торе), создав на торе
странный аттрактор (D. Ruelle, F. Tokens, 1971). Это, однако,
не может произойти на второй (начиная с разрушения стацио-
стационарного режима) бифуркации. При этой бифуркации появляется
незамкнутая обмотка на двумерном торе. Учет малой нелинейно-
нелинейности не разрушает тора, так что странный аттрактор должен был
бы быть расположен на нем. Но на двумерной поверхности невоз-
невозможно существование притягивающего множества неустойчивых
траекторий. Дело в том, что траектории в пространстве состо-
состояний не могут пересекаться друг с другом (или сами с собой);
это противоречило бы причинности поведения классических си-
систем: состояние системы в каждый момент времени однозначно
определяет ее поведение в следующие моменты. На двумерной
поверхности невозможность пересечений настолько упорядочи-
упорядочивает поток траекторий, что его хаотизация невозможна.
Но уже на третьей бифуркации возникновение странного ат-
аттрактора становится возможным (хотя и не обязательным!).
Такой аттрактор, приходящий на смену трехчастотному квази-
квазипериодическому режиму, расположен на трехмерном торе
(S. Newhouse, D. Ruelle, F. Tokens, 1978).
Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные
траектории расположены в ограниченном объеме пространства
состояний. Классификация возможных типов странных аттракто-
аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических
задачах, в настоящее время неизвестна; неясны даже критерии,
на которых должна была бы основываться такая классификация.
Существующие знания о структуре странных аттракторов осно-
основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при

166	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
компьютерном решении модельных систем обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, довольно далеких от реальных гид-
гидродинамических уравнений. О структуре странного аттрактора
можно, однако, высказать некоторые общие суждения, следую-
следующие уже из неустойчивости (седлового типа) траекторий и дис-
сипативности системы.
Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве
состояний и представлять себе аттрактор расположенным вну-
внутри двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути
к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения
жидкости, ведущие к установлению «стационарной» турбулент-
турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее —их
следы) заполняют определенную площадь; проследим за изме-
изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем,
что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном
из (поперечных) направлений растягивается, а в другом —сжи-
—сжимается; ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем ра-
растяжение—объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий
эти направления должны меняться — в противном случае траек-
траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком боль-
большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что
сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющен-
сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен
происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каж-
каждым элементом его площади. В результате сечение пучка разби-
разбивается на систему вложенных друг в друга полос, разделенных
пустотами. С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий)
число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возника-
Возникающий в пределе t —>> оо аттрактор представляет собой несчет-
несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга
слоев —поверхностей, на которых располагаются седловые тра-
траектории (своими притягивающими направлениями обращенные
«наружу» аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими
концами эти слои сложным образом соединяются друг с дру-
другом; каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блужда-
блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого времени
пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство
эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений
равны нулю.
По математической терминологии, такие множества по одно-
одному из направлений относятся к категории канторовых. Именно
канторовость структуры следует считать наиболее характерным
свойством аттрактора и в более общем случае n-мерного (п > 3)
пространства состояний.
Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний
всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в дру-

§ 31	СТРАННЫЙ АТТРАКТОР	167
гом пространстве — меньшей размерности. Последнее определя-
определяется следующим образом. Разобьем все n-мерное пространство
на малые кубики с длиной ребра е и объемом еп. Пусть N(e) —
минимальное число кубиков, совокупность которых полностью
покрывает аттрактор. Определим размерность D аттрактора как
предел :)
2^(?)	C1.3)
V J
Существование этого предела означает конечность объема ат-
аттрактора в D-мерном пространстве: при малом е имеем N(e) ~
« Ve~D (где V — постоянная), откуда видно, что N(e) можно
рассматривать как число D-мерных кубиков, покрывающих в
D-мерном пространстве объем V. Определенная согласно C1.3)
размерность не может, очевидно, превышать полную размер-
размерность п пространства состояний, но может быть меньше его и,
в отличие от привычной размерности, может быть дробной;
именно такова она для канторовых множеств 2) .
Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Ес-
Если турбулентное движение уже установилось (течение «вышло
на странный аттрактор»), то такое движение диссипативной си-
системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохасти-
стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размер-
размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для уста-
установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем за
большое время компенсируется энергией, поступающей от сред-
среднего течения (или от другого источника неравновесности). Сле-
Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежа-
принадлежащего аттрактору элемента «объема» (в некотором пространстве,
размерность которого определяется размерностью аттрактора),
то этот объем в среднем будет сохраняться — его сжатие в одних
направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением
за счет расходимости близких траекторий в других направле-
направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить
иным способом оценку размерности аттрактора.
Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном
аттракторе, его средние характеристики могут быть установле-
установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей
аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний.
1)	Эта величина известна в математике как предельная емкость множества.
Ее определение близко к определению так называемой хаусдорфовой (или
фрактальной) размерности.
2)	Покрывающие множество n-мерные кубики могут оказаться «почти пу-
пустыми»; именно поэтому может быть D < п. Для обычных множеств опре-
определение C1.3) дает очевидные результаты. Так, для множества N изолиро-
изолированных точек имеем N(s) = N и D = 0; для отрезка L линии: N(s) = L/e,
D = 1; для площадки S двумерной поверхности: N(e) = S/e2, D = 2, и т. д.

168	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Другими словами, предполагаем, что индивидуальная траекто-
траектория воспроизводит свойства аттрактора, если двигаться по ней
бесконечно долгое время.
Пусть х = xq(?) —уравнение такой траектории, одно из ре-
решений уравнений C1.1). Рассмотрим деформацию «сферическо-
«сферического» элемента объема при его перемещении вдоль этой траекто-
траектории. Она определяется уравнениями C1.1), линеаризованными
по разности ? = х — xg(t) — отклонению траекторий, соседних с
данной. Эти уравнения, написанные в компонентах, имеют вид
C1.4)
x=xo(t)
При сдвиге вдоль траектории элемент объема в одних направле-
направлениях сжимается, в других растягивается и сфера превращается
в эллипсоид. По мере движения вдоль траектории как направ-
направления полуосей эллипсоида, так и их длины меняются; обозна-
обозначим последние через /s(t), где индекс s нумерует направления.
Ляпуновскими характеристическими показателями называют
предельные значения
= цт IlnM*)	C1.5)
- --- t /(о) '	v J
где /@) — радиус исходной сферы (в момент времени, условно вы-
выбранный как t = 0). Определенные таким образом величины —
вещественные числа, число которых равно размерности п про-
пространства. Одно из этих чисел (отвечающее направлению вдоль
самой траектории) равно нулю :) .
Сумма ляпуновских показателей определяет среднее вдоль
траектории изменение элементарного объема в пространстве со-
состояний. Локальное относительное изменение объема в каждой
точке траектории дается дивергенцией divx = div? = Aa(t).
Можно показать, что среднее вдоль траектории значение дивер-
дивергенции 2)
ь	п
lim - fdiv^dt = y^Ls.	C1.6)
;^оо t J	*^
Для диссипативной системы эта сумма отрицательна — объемы
в n-мерном пространстве состояний сжимаются. Размерность же
:) Разумеется, решение уравнений C1.4) (с заданными начальными усло-
условиями при t = 0) фактически описывает соседнюю траекторию лишь до тех
пор, пока все расстояния ls(t) остаются малыми. Это обстоятельство, од-
однако, не лишает смысла определение C1.5), в котором используются сколь
угодно большие времена: для всякого большого t можно выбрать настолько
малое /@), что линеаризованные уравнения останутся справедливыми для
всего этого времени.
2) См.: Оселедец В.И. // Тр. Московск. матем. Общества. 1968. Т. 19. С. 179.

§ 32	ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ	169
странного аттрактора определим таким образом, чтобы в «его
пространстве» объемы в среднем сохранялись. Для этого распо-
расположим ляпуновские показатели в порядке L\ ^ L2 ^ • • •
... ^ Ln и учтем столько устойчивых направлений, сколько на-
надо для компенсации растяжения сжатием. Определенная таким
образом размерность аттрактора (обозначим ее через Dl) будет
лежать между т и т +1, где т — число показателей в указанной
последовательности, сумма которых еще положительна, но после
прибавления Lm+i становится отрицательной :) . Дробная часть
размерности Dl = т + d (d < 1) находится из равенства
Е-
C1.7)
(F. Ledrappier, 1981). Поскольку при вычислении d учитывают-
учитываются лишь наименее устойчивые направления (отбрасываются наи-
наибольшие по абсолютной величине отрицательные показатели Ls в
конце их последовательности), то даваемая величиной Dl оцен-
оценка размерности есть, вообще говоря, оценка сверху. Эта оцен-
оценка открывает, в принципе, путь для определения размерности
аттрактора по экспериментальным измерениям временного хода
пульсаций скорости в турбулентном потоке.
§ 32. Переход к турбулентности
путем удвоения периодов
Рассмотрим теперь потерю устойчивости периодическим дви-
движением путем прохождения мультипликатора через значение —1
или +1.
В n-мерном пространстве состояний п—1 мультипликаторов
определяют поведение траекторий в п — 1 различных направле-
направлениях в окрестности рассматриваемой периодической траектории
(отличных от направления касательной в каждой точке самой
этой траектории). Пусть близкий к ±1 мультипликатор отве-
отвечает некоторому 1-му направлению. Остальные п — 2 мульти-
мультипликаторов малы по модулю; поэтому по соответствующим им
п — 2 направлениям все траектории будут со временем прижи-
прижиматься к некоторой двумерной поверхности (назовем ее S), кото-
которой принадлежат 1-е направление и направление указанных каса-
касательных. Можно сказать, что в окрестности предельного цикла
пространство состояний при t —>• 00 оказывается почти двумер-
двумерным (строго двумерным оно не может быть — траектории могут
располагаться по обе стороны S и переходить с одной стороны
поверхности на другую). Разрежем поток траекторий вблизи S
) Учет равного нулю ляпуновского показателя вносит в размерность
вклад +1, отвечающий размерности вдоль самой траектории.

170	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
некоторой секущей поверхностью а. Каждая траектория, повтор-
повторно пересекая а, ставит в соответствие исходной точке пересе-
пересечения (назовем ее Xj) точку пересечения в момент следующего
возврата xJ+i. Связь xJ+i = /(х^; R) называют отображением
Пуанкаре (или отображением последования)] она зависит от па-
параметра R (в данном случае —числа Рейнольдса 1)), значение
которого определяет степень близости к бифуркации — потере
устойчивости периодическим движением. Поскольку все траек-
траектории тесно прижаты к поверхности S, множество точек пере-
пересечения поверхности а траекториями оказывается почти одно-
одномерным, и его можно приближенно аппроксимировать линией;
отображение Пуанкаре станет одномерным преобразованием
xH1 = f(Xj;R),	C2.1)
причем х будет просто координатой на указанной линии 2) . Дис-
Дискретная переменная j играет роль времени, измеряемого в еди-
единицах периода движения.
Отображение C2.1) дает альтернативный способ определе-
определения характера течения вблизи бифуркации. Самому периодиче-
периодическому движению отвечает неподвижная точка преобразования
C2.1) —значение Xj = ж*, не меняющееся при отображении, т. е.
для которого Xj+i = Xj. Роль мультипликатора играет производ-
производная \i = dxj+i/dxj, взятая в точке Xj = х*. Точки Xj = х* + ?
в окрестности ж* в результате отображения переходят в Xj+i «
~ х* + /i?. Неподвижная точка устойчива (и является аттракто-
аттрактором отображения), если |/i| < 1: повторно применяя (итерируя)
отображение и начав с какой-либо точки в окрестности точки х*,
мы будем асимптотически приближаться к последней (по закону
|/i|r, где г— число итераций). Напротив, при |/i| > 1 неподвижная
точка неустойчива.
Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движени-
движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство /i = — 1
означает, что начальное возмущение через интервал времени Tq
меняет знак, не меняясь по абсолютной величине: еще через пе-
период Tq возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при
переходе \i через значение —1 в окрестности предельного цик-
цикла с периодом Tq возникает новый предельный цикл с перио-
периодом 2Tq — бифуркация удвоения периода 3) . На рис. 20 условно
) Или числа Рэлея, если речь идет о тепловой конвекции (§ 56).
2)	Обозначение х в этом параграфе не имеет, разумеется, ничего общего с
координатой в физическом пространстве!
3)	В этом параграфе основной период, т. е. период первого периодическо-
периодического движения, обозначаем как То (а не Т\). Критические значения числа
Рейнольдса, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения пери-
периода, будем обозначать здесь через Ri, R2, ... , опуская индекс «кр» (чис-
(число Ri заменяет прежнее RKP2).

§ 32
ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ
171
изображены две последовательные такие бифуркации; на рисун-
рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы пери-
периодов 2Tq, 4Tq, а штриховыми — ставшие неустойчивыми преды-
предыдущие циклы.
Если принять условно неподвижную точку отображения Пу-
Пуанкаре за точку х = 0, то вблизи нее отображение, описывающее
бифуркацию удвоения периода можно представить в виде раз-
разложения
= -[1 + (R - Ri
- + х) +
C2.2)
где /3 > 0 :) . При R < Ri неподвижная точка ж* = О устойчива,
а при R > Ri — неустойчива. Что-
Чтобы увидеть, как происходит удво-
удвоение периода, надо итерировать
отображение C2.2) дважды, т. е.
рассмотреть его за два шага (две
единицы времени) и определить
неподвижные точки вновь полу-
полученного отображения; если они
существуют и устойчивы, то они
и отвечают циклу удвоенного пе-
периода.
Двукратная итерация преобра-
преобразования C2.2) приводит (с нужной
точностью по малым величинам х
Устойчивые циклы
Неустойчивые циклы
Рис. 20
и R — Ri) к отображению
XjJr2 = Xj
2(R -
- 2A
C2.3)
эта
Оно всегда имеет неподвижную точку х* = 0. При R <
точка единственна и устойчива (мультипликатор \dxj+2/dxj\ <
< 1); для движения с периодом 1 (в единицах Tq) интервал вре-
времени 2 — тоже период. При R = Ri мультипликатор обращается
в +1 и при R > Ri точка ж* = 0 становится неустойчивой. В этот
момент рождается пара устойчивых неподвижных точек
,1/2
гA)»B) _
~Р
C2.4)
которые и соответствуют устойчивому предельному циклу удво-
удвоенного периода 2) ; преобразование C2.3) оставляет каждую из
этих точек на месте, а преобразование C2.2) переводит каждую
из них в другую. Подчеркнем, что цикл единичного периода при
) Коэффициент при R — Ri может быть обращен в единицу соответству-
соответствующим переопределением R, а коэффициент при х] обращен в +1 переопре-
переопределением Xj (что и предполагается в C2.2)).
) Или, как мы будем говорить для краткости, 2-циклу. Относящиеся к
нему неподвижные точки будем называть элементами цикла.

172	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
описанной бифуркации не исчезает — он остается решением урав-
уравнений движения, но неустойчивым.
Вблизи бифуркации движение остается еще «почти периоди-
периодическим» с периодом 1: точки последовательных возвратов траек-
траектории 4 и4 близки друг к другу. Интервал ж* — ж* между
ними является мерой амплитуды колебаний с периодом 2; она
растет с надкритичностью как (R — RiI/2 — аналогично закону
B6.10) возрастания амплитуды периодического движения после
его возникновения в точке потери устойчивости стационарным
движением.
Многократное повторение бифуркаций удвоения периода от-
открывает один из возможных путей возникновения турбулентно-
турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они
следуют друг за другом (по мере увеличения R) через все убы-
убывающие интервалы; последовательность критических значений
R\, i?2, ••• стремится к конечному пределу, за которым перио-
периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает сложный
апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с
возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий
обладает замечательными свойствами универсальности и мас-
масштабной инвариантности (M.J. Feigenbaum, 1978) :) .
Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпо-
предпосылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении
R) настолько быстро, что даже в промежутках между ними зани-
занимаемая множеством траекторий область пространства состояний
остается почти двумерной, и вся последовательность бифурка-
бифуркаций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре,
зависящим от одного параметра.
Выбор рассматриваемого ниже отображения естествен в си-
силу следующих соображений. В значительной части интервала
изменения переменной х отображение должно быть «растягива-
«растягивающим», \df(x; \)/dx\ > 1, это дает возможность возникновения
неустойчивостей. Отображение должно также возвращать траек-
траектории, выходящие за границы некоторого интервала, обратно в
него; противное означало бы неограниченное возрастание ампли-
амплитуд пульсаций скорости, что невозможно. Обоим этим требова-
требованиям вместе могут удовлетворять лишь немонотонные функции
/(ж; А), т. е. не взаимнооднозначные отображения C2.1): значе-
значение Xj+i однозначно определяется предшествующим значением
Xj, но не наоборот. Простейший вид такой функции — функция
1) Последовательность бифуркаций удвоения периода (нумеруемых далее
порядковыми номерами 1, 2, ... ) не обязательно должна начинаться с пер-
первой же бифуркации периодического движения. Она может, в принципе, на-
начаться и после нескольких первых бифуркаций с возникновением несоизме-
несоизмеримых частот, после их синхронизации за счет рассмотренного в § 30 меха-
механизма.

§ 32	ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ	173
с одним максимумом; в окрестности максимума положим
xJ+1 = f(Xj;\) = l-\xl	C2.5)
где А — положительный параметр, который надо рассматривать
(в гидродинамическом аспекте) как возрастающую функцию И1) .
Примем условно отрезок [—1,+1] как интервал изменения вели-
величины х] при А между 0 и 2 все итерации отображения C2.5)
оставляют х в этом же интервале.
Преобразование C2.5) имеет неподвижную точку —корень
уравнения х* = 1 — Хх2. Эта точка становится неустойчивой при
А > Ai, где Лх — значение параметра А, для которого мульти-
мультипликатор \i = — 2Аж* = — 1; из двух написанных уравнений на-
находим Ai = 3/4. Это —первое критическое значение параметра
А, определяющее момент первой бифуркации удвоения перио-
периода: появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих
бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего
выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и
не дающего точных значений характерных констант; затем будут
сформулированы точные утверждения.
Повторив преобразование C2.5) дважды, получим
Xj+2 = 1 - А + 2Х2х] - Х3х^.	C2.6)
Пренебрежем здесь последним слагаемым — четвертой степени
по Xj. Оставшееся равенство масштабным преобразованием 2)
Xj ->> xj/olq, а0 = 1/A - А)
приводится к виду
Xj+2 = 1 - Ai2^,
отличающемуся от C2.5) лишь заменой параметра А на
2A2(A-1).	C2.7)
х) Подчеркнем, что допустимость не взаимно-однозначных отображений
связана с приближенностью одномерного рассмотрения. Если бы все траек-
траектории располагались строго на одной поверхности Е (так что отображение
Пуанкаре было бы строго одномерным), подобная неоднозначность была бы
невозможна: она означала бы пересечение траекторий (две траектории с
различными Xj пересекались бы в точке xj+i). В этом же смысле следстви-
следствием приближенности является возможность обращения в нуль мультипли-
мультипликатора— если неподвижная точка отображения расположена в экстремуме
отображающей функции (такая точка может быть названа «сверхустойчи-
«сверхустойчивой» — приближение к ней происходит по закону более быстрому, чем ука-
указанный выше).
2) Это преобразование невозможно при значении Л = 1 (при котором непо-
неподвижная точка отображения C2.6) совпадает с центральным экстремумом:
х* = 0). Это значение, однако, заведомо не является интересующим нас
следующим критическим значением Л2.

174	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Повторяя эту операцию с масштабными множителями а\ =
= 1/A — Ai) ... , получим ряд последовательных отображений
того же вида:
-l).	C2.8)
Неподвижные точки отображений C2.8) отвечают 2т-циклам :) .
Поскольку все эти отображения имеют тот же вид, что и C2.5),
то можно сразу заключить, что 2т-циклы (га = 1, 2, 3, ...) ста-
становятся неустойчивыми при \т = Лх = 3/4. Соответствующие
же критические значения Ат исходного параметра А получаются
путем решения цепочки уравнений
Лх = <р(Л2), Л2 = <р(Лз), ... , Лт_х = <р(Лт);
графически они даются построением, показанным на рис. 21.
Очевидно, что при т —>> оо последовательность этих чисел
сходится к конечному пределу А^ — корню
уравнения А^ = <р(Лоо); он равен А^ =
= A + л/3)/2 = 1,37. К конечному пределу
стремятся и масштабные множители: ат —>•
—v су гттр су — 1 I(Л — Л ^ — —9 Я
Легко найти закон, по которому происхо-
происходит приближение Ат к Aqq при больших га.
л3Лоо Из уравнения Лт = (p(Am+i) при малых
A2A2Ai X разностях А^ — Ат находим
Лоо - Лш+х = -(А^ - Лт),	C2.9)
Рис. 21	о
где E = (^'(Лоо) = 4+л/З = 5,73. Другими словами, Л^—Ат ос Eт,
т. е. значения Ат приближаются к пределу по закону геометри-
геометрической прогрессии. По такому же закону меняются интервалы
между последовательными критическими числами: C2.9) мож-
можно переписать в эквивалентном виде
	 д		 (\		 Л^	f^.0 Л (W
т-\-2 1Ym-\-\ — ~\1Ym-\-\ 1Ym)'	yo^.i\jj
В гидродинамическом аспекте, как уже указывалось, пара-
параметр А надо рассматривать как функцию числа Рейнольдса, со-
соответственно чему появляются критические значения последне-
последнего, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения пе-
периода и стремящиеся к конечному пределу Rqo- Очевидно, что
) Во избежание недоразумений подчеркнем, что после произведенных мас-
масштабных преобразований отображения C2.8) должны быть определены те-
теперь на растянутых интервалах |ж| ^ |aoai ... am_i| (а не на |ж| ^ 1, как в
C2.5), C2.6)). Однако в силу сделанных пренебрежений выражения C2.8)
могут фактически описывать лишь область вблизи центральных экстрему-
экстремумов отображающих функций.

§ 32	ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ	175
для этих значений справедливы те же предельные законы C2.9),
C2.10) (с той же постоянной #), что и для чисел Ат.
Изложенные рассуждения иллюстрируют происхождение
основных закономерностей процесса: бесконечное множество би-
бифуркаций, моменты появления которых сходятся к пределу А^
по закону C2.9), C2.10); появление масштабного множителя а.
Полученные при этом значения характерных констант, однако,
не точны. Точные значения (полученные путем многократно-
многократного компьютерного итерирования отображения C2.5)) показателя
сходимости 6 (число Фейгенбаума) и масштабного множителя а:
6 = 4,6692 ... , а = -2,5029 ...	C2.11)
а предельное значение А^ = 1,401 :) . Обратим внимание на
сравнительно большое значение 5] быстрая сходимость приводит
к тому, что предельные законы хорошо выполняются уже после
небольшого числа удвоений периода.
Дефект произведенного вывода состоит и в том, что после
пренебрежения всеми степенями xj, кроме первой, отображение
C2.8) позволяет установить лишь факт возникновения следую-
следующей бифуркации, но не дает возможности определить все эле-
элементы описываемого этим отображением 2т-цикла 2) . В дей-
действительности итерированные отображения C2.5) представляют
собой полиномы по x'jj степень которых при каждой итерации
возрастает вдвое. Они представляют собой сложные функции от
Xj с быстро возрастающим числом экстремумов, симметрично
расположенных по отношению к точке Xj = 0 (которая тоже все-
всегда остается экстремумом).
Замечательно, что не только значения 6 и а, но и предель-
предельный вид самого бесконечно кратно итерированного отображения
оказываются в определенном смысле независящими от вида на-
начального отображения #j+i = f{xj\ А): достаточно, чтобы зави-
зависящая от одного параметра функция /(ж; А) была гладкой функ-
функцией с одним квадратичным максимумом (пусть это будет в точ-
х) Значение Лоо имеет несколько условный характер, поскольку оно за-
зависит от способа введения параметра в исходное отображение — функцию
/(ж; Л) (значения же 8 и а от этого не зависят вовсе).
2) То есть все 2т точки xl , ж* , ..., переходящие последовательно друг
в друга (периодические) при итерациях отображения C1.5) и неподвижные
(и устойчивые) по отношению к 2т-кратно итерированному отображению.
Отметим, во избежание возможных вопросов, что производные dxj+2m /dxj
(!) B)	/
во всех точках xl , xl , ... автоматически одинаковы (и потому одновре-
одновременно проходят через —1 в момент следующей бифуракции); мы не будем
приводить здесь рассуждений, использующих правило дифференцирования
функции от функции, доказывающих это свойство (необходимость которого
заранее очевидна).

176	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
ке х = 0); она не обязана даже быть симметричной относительно
этой точки вдали от нее. Это свойство универсальности суще-
существенно увеличивает степень общности излагаемой теории. Его
точная формулировка состоит в следующем.
Рассмотрим отображение, задаваемое функцией f(x) (функ-
(функция /(ж; А) с определенным выбором А — см. ниже), нормирован-
нормированной условием /@) = 1. Применив его дважды, получим функ-
функцию f(f(x)). Изменим масштаб как самой этой функции, так и
переменной х в «о = V/(l) Раз5 таким образом получим новую
функцию
fi(x) =aof(f(x/ao)),
для которой снова будет /i@) = 1. Повторяя эту операцию, по-
получим последовательность функций, связанных рекуррентным
соотношением х)
fm+i(x) = amfm(fm(x/am)) = f/m, am = l//m(l). C2.12)
Если эта последовательность стремится при т —>> оо к некоторой
определенной предельной функции foo(x) =g(xI эта последняя
должна быть «неподвижной функцией» определенного в C2.12)
оператора Т, т. е. должна удовлетворять функциональному урав-
уравнению
g(x) =fg = ag(g(x/a)), a = l/g(l), g@) = 1. C2.13)
В силу предположенных свойств допустимых функций /(ж),
функция g(x) должна быть гладкой и иметь квадратичный экс-
экстремум в точке х = 0; никакого другого следа от конкретного
вида f(x) в уравнении C2.13) или в налагаемых на его реше-
решение условиях не остается. Подчеркнем, что после произведенных
при выводе масштабных преобразований (с \ат\ > 1) решение
уравнения определяется при всех значениях фигурирующей в
нем переменной х от —оо до +оо (а не только на интервале
— 1 ^ х ^ 1). Функция g(x) автоматически является четной по ж;
она должна быть такой, поскольку среди допустимых функций
f(x) имеются четные, а четное отображение заведомо остается
четным после любого числа итераций.
Такое решение уравнения C2.13) действительно существует
и единственно (хотя и не может быть построено в аналитическом
виде); оно представляет собой функцию с бесконечным числом
экстремумов, неограниченную по своей величине; постоянная а
определяется вместе с самой функцией g(x). Фактически доста-
достаточно построить эту функцию на интервале [—1, 1], после че-
чего она может быть продолжена за его пределы итерированием
операции Т. Обратим внимание на то, что на каждом шаге ите-
) Отметим очевидную аналогию этой процедуры с использованной выше
при выводе C2.8).

§ 32	ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ	177
рирования Т в C2.12) значения функции fm+i(x) на интерва-
интервале [—1, 1] определяются значениями функции fm(x) на сокра-
сокращенной в \ат\ « \а\ раз части этого отрезка. Это значит, что в
пределе многократных итераций для определения функции g(x)
на интервале [—1, 1] (а тем самым и на всей оси х) существен-
существенны все меньшие и меньшие части исходной функции вблизи ее
максимума; в этом и состоит, в конечном итоге, источник уни-
универсальности х) .
Функция g(x) определяет структуру апериодического аттрак-
аттрактора, возникающего в результате бесконечной последовательно-
последовательности удвоений периода. Но это происходит при вполне определен-
определенном для функции f(x; А) значении параметра А = Л^. Ясно по-
поэтому, что функции, образованные из f(x; А) путем многократ-
многократного итерирования преобразования C2.12), действительно схо-
сходятся к g(x) лишь при этом изолированном значении А. Отсюда
в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора Т
неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим
малым отклонениям параметра А от значения Л^. Исследование
этой неустойчивости дает возможность определения универсаль-
универсальной постоянной 6 — снова без всякой связи с конкретным видом
функции f(x) 2) .
Масштабный множитель а определяет изменение — уменьше-
уменьшение — геометрических (в пространстве состояний) характеристик
аттрактора на каждом шаге удвоений периода; этими характе-
характеристиками являются расстояния между элементами предельных
циклов на оси х. Поскольку, однако, каждое удвоение сопро-
сопровождается еще и увеличением числа элементов цикла, это утвер-
утверждение должно быть конкретизировано и уточнено. При этом
заранее ясно, что закон изменения масштаба не может быть оди-
одинаковым для расстояний между всякими двумя точками 3) . Дей-
) Уверенность в существовании единственного решения уравнения C2.13)
основана на компьютерном моделировании. Решение ищется (на интервале
[—1, 1]) в виде полинома высокой степени по ж2; точность моделирования
должна быть тем выше, чем до более широкой области значений х (вне ука-
указанного отрезка) мы хотели бы затем продолжить функцию итерированием
Т. На интервале [—1, 1] функция g(x) имеет один экстремум, вблизи кото-
которого g(x) = 1 — 1,528ж2 (если считать экстремум максимумом; этот выбор
условен ввиду инвариантности уравнения C2.13) относительно изменения
знака g).
2) См. оригинальные статьи: Feigenbaum M.J. // J. Stat. Phys. 1978. V. 19.
P. 25; 1979. V. 21. P. 669.
) Имеются в виду расстояния на нерастянутом отрезке [—1, 1], условно
выбранном с самого начала как интервал изменения ж, на котором распо-
расположены все элементы циклов. Отрицательность а означает, что при бифур-
бифуркациях происходит также инверсия расположения элементов относительно
точки ж = 0.

178	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
ствительно, если две близкие точки преобразуются через почти
линейный участок функции отображения, расстояние между ни-
ними уменьшится в \а\ раз; если же преобразование происходит че-
через участок функции отображения вблизи ее экстремума — рас-
расстояние сократится в а2 раз.
В момент бифуркации (при А = Лш) каждый элемент (точка)
2т-цикла расщепляется на пару — две близкие точки, расстоя-
расстояние между которыми постепенно возрастает, но точки остаются
ближайшими друг к другу на всем протяжении изменения А до
следующей бифуркации. Если следить за переходами элементов
цикла друг в друга с течением времени (т. е. при последователь-
последовательных отображениях Xj+\ = f(xj\ А)), то каждая из компонент
пары перейдет в другую через 2т единиц времени. Это значит,
что расстояние между точками пары измеряет амплитуду коле-
колебаний вновь возникающего удвоенного периода, и в этом смысле
представляет особый физический интерес.
Расположим все элементы 2m+1-цикла в том порядке, в кото-
котором они обходятся со временем, и обозначим их как xm+i(t), где
время t (измеренное в единицах основного периода То) пробега-
пробегает целочисленные значения t/T$ = 1, 2, ... , 2m+1. Эти элементы
возникают из элементов 2т-цикла расщеплением последних на
пары. Интервалы между точками каждой пары даются разно-
разностями
Tm),	C2.14)
где Тт = 2mTo = Tm+i/2 —период 2т-цикла, т. е. половина пе-
периода 2т+1-цикла. Введем функцию crm(t)—масштабный мно-
множитель, определяющий изменение интервалов C2.14) при пере-
переходе от одного цикла к следующему :) :
Wl(*)/fm(*)=<7m(t).	C2'15)
Очевидно, что
U+\{t + Тт) = -?m+i(<),	C2.16)
и поэтому
vm(t + Tm) = -am(t).	C2.17)
Функция <jm(t) имеет сложные свойства, но можно показать,
что ее предельный (при больших га) вид с хорошей точностью
1) Поскольку оба цикла существуют в разных интервалах значений пара-
параметра Л (на интервалах (Лт_1, Лт) и (Лт, Am+i), и на этих интервалах
величины C2.14) существенно меняются, то их смысл в определении C2.15)
нуждается в уточнении. Будем понимать их при тех значениях параметра
Л, когда циклы «сверхустойчивы» (см. примеч. на с. 173); по одному такому
значению имеется в области существования каждого цикла.

§ 32	ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ	179
аппроксимируется простым образом:
Г 1/а при	0 < t < Гш/2,
" \ 1/а2 при Tm/2 <t<Tm
(при надлежащем выборе начала отсчета ?) :) .
Эти формулы позволяют сделать некоторые заключения об
изменении спектра (частотного) движения жидкости, претерпе-
претерпевающей удвоения периода. В гидродинамическом аспекте вели-
величину xm(t) надо понимать как характеристику скорости жид-
жидкости. Для движения с периодом Тт спектр функции xm(t) (от
непрерывного времени t\) содержит частоты киот {к =
= 1, 2, 3, ...) —основную частоту иот = 2п/Тт и ее гармоники.
После удвоения периода течение описывается функцией xm+i(t)
с периодом Tm+i = 2Tm. Ее спектральное разложение содержит,
наряду с теми же частотами киот1 еще и субгармоники частоты
иот — частоты 1иот/2, / = 1, 3, 5, ...
Представим xm+i(t) в виде
1
т	^
где ?m+i — разность C2.14), а
¦) =xm+i(t)
Спектральное разложение r/m+i(t) содержит только частоты киот]
компоненты Фурье для субгармоник,
-i- I rjm+1(t)eMt/T-dt =
J- m + 1 J
dt
обращаются в нуль в силу равенства r/m+i(^ + Тт) = ?7m+i(t). С
другой стороны, величины rjm(t) в первом приближении не ме-
меняются при бифуркации: r/m+i(^) ~Vm{t)] эт0 значит, что интен-
интенсивность колебаний с частотами киот тоже остается неизменной.
Спектральное же разложение величин ?m_|_i(?) содерж:ит, на-
напротив, только субгармоники 1иот/2 — новые частоты, появляю-
появляющиеся на (га + 1)-м шаге удвоений. Суммарная интенсивность
1)Мы не будем приводить здесь в принципе простого, но громоздкого
исследования свойств функции am(t). См.: Фейгенбаум М. // УФН. 1983.
Т. 141, С. 343 [Los Alamos Science. 1980. V. 1. P. 4].

180	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
этих спектральных компонент определяется интегралом
Тщ + 1
Wi-Л- [ &+1 (*)<**•	C2.19)
J-m + l J
о
Выразив ?m+i(?) через ?m(?), пишем
о
С учетом C2.16)-C2.18) получим
о
и окончательно
1т/1т+1 = Ю,8.	C2.20)
Таким образом, интенсивность новых спектральных компо-
компонент, появляющихся после бифуркации удвоения периода, пре-
превышает таковую для следующей бифуркации в определенное, не
зависящее от номера бифуркации, число раз (M.J. Feigenbaum,
1979) *).
Обратимся к изучению эволюции свойств движения при даль-
дальнейшем увеличении параметра А за значением А^ (числа Рей-
нольдса R > Rqo)—в «турбулентной» области. Поскольку в мо-
момент своего рождения (при А = А^) апериодический аттрактор
описывается одномерным отображением Пуанкаре, можно счи-
считать, что и при значениях А, незначительно превосходящих Лоо,
допустимо рассматривать свойства аттрактора в рамках такого
отображения.
Аттрактор, возникший в результате бесконечной цепочки
удвоений периода, в момент своего рождения не является стран-
странным в определенном в § 31 смысле: «2°°-цикл», возникающий как
предел устойчивых 2т-циклов при т —>> оо, тоже устойчив. Точ-
Точки этого аттрактора образуют на отрезке [—1, 1] несчетное мно-
множество канторового типа. Его мера на этом отрезке (т. е. полная
1) Это относится не только к суммарной интенсивности появляющихся суб-
субгармоник, но и к интенсивности каждой из них. На каждую субгармонику,
появляющуюся после гп-й бифуркации, приходится по две (по одной спра-
справа и слева) субгармоники после (т + 1)-й бифуркации. Поэтому отношение
интенсивностей отдельных новых появляющихся после двух последователь-
последовательных бифуркаций спектральных пиков вдвое больше величины C2.20). Более
точное значение этой величины 10,48. Оно получается путем анализа состо-
состояния в самой точке Л = Лоо с помощью универсальной функции g(x)\ в этой
точке присутствуют уже все частоты и вопрос, подобный указанному в при-
примечании на с. 178 не возникает. См.: Nanenberg M., Rudnick J. // Phys. Rev.
1981. V. 24В. P. 493.

§ 32
ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ
181
«длина» совокупности его элементов) равна нулю; его размер-
размерность лежит между 0 и 1 и оказывается равной 0,54 г) .
При А > Лоо аттрактор становится странным — притягиваю-
притягивающим множеством неустойчивых траекторий. На отрезке [—1, 1]
принадлежащие ему точки заполняют интервалы, общая длина
которых отлична от нуля. Эти отрезки — следы на секущей по-
поверхности а непрерывной двумерной ленты, совершающей боль-
большое число оборотов и замыкающейся на себя. Снова напомним
в этой связи о приближенности одномерного рассмотрения. В
действительности эта лента имеет небольшую, но конечную тол-
толщину. Поэтому и составляющие ее сечение отрезки представляют
собой в действительности полоски конечной ширины. Вдоль этой
ширины странный аттрактор имеет канторову структуру опи-
описанного в предыдущем параграфе слоистого характера 2) . Ниже
эта структура нас не будет интересовать, и мы возвращаемся к
рассмотрению в рамках одномерного отображения Пуанкаре.
Эволюция свойств странного аттрактора при увеличении А
за Лоо состоит в общих чертах в следующем. При заданном зна-
значении А > Лоо аттрактор заполняет ряд интервалов на отрезке
[—1, 1]; участки между этими интервалами — области притяже-
притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых
циклов с периодами, начиная от некоторого 2т и меньше. При
увеличении А скорость разбегания траекторий на странном ат-
аттракторе увеличивается, и он «разбухает», последовательно по-
поглощая циклы периодов 2m, 2m+1, ... ; при этом число интерва-
интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличива-
увеличиваются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты
последовательно уменьшается вдвое, а их ширины увеличива-
Рис. 22
ются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад после-
последовательных упрощений аттрактора. Поглощение аттрактором
неустойчивого 2т-цикла называют обратной бифуркацией удво-
удвоения. Рисунок 22 иллюстрирует этот процесс для двух послед-
х)См. Grassberger P. // J. Stat. Phys. 1981. V. 26. P. 173.
) Размерность аттрактора в этом направлении мала по сравнению с еди-
единицей. Она, однако, не универсальна и зависит от конкретного вида отобра-
отображения.

182	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
них обратных бифуркаций. На рис. 22 а лента совершает четыре
оборота, обратная бифуркация превращает ее в ленту с двумя
оборотами (рис. 22 б): наконец, последняя бифуркация приво-
приводит к ленте, совершающей всего один оборот и замыкающейся
на себя, предварительно «перекрутившись» (рис. 22 в).
Обозначим значения параметра А, отвечающие последова-
последовательным обратным бифуркациям удвоения через Am+i, причем
они расположены в последовательности Ат > Лш+х- Покажем,
что эти числа удовлетворяют закону геометрической прогрессии
с тем же универсальным показателем ?, что и для прямых би-
бифуркаций.
Перед последней (при увеличении А) обратной бифуркацией
аттрактор занимает два интервала, разделенных промежутком,
в котором находится неподвижная точка ж* отображения C2.5),
отвечающая неустойчивому циклу периода 1:
Х*	2А	¦
Бифуркация произойдет при значении А = Лх, когда границы
расширяющегося аттрактора достигнут этой точки. Из рис. 22 б
видно, что внешняя граница аттрактора (ленты) после одного
оборота становится его внутренней границей, а еще через обо-
оборот— границей интервала, разделяющего витки. Отсюда ясно,
что значение А = Лх определяется условием ?j+2 — ж*, гДе
Xj+2 = 1 - АA - АJ
есть результат двукратной итерации отображения над точкой
Xj = 1 — границей аттрактора (это значение Лх = 1,543). Мо-
Моменты предшествующих обратных бифуркаций Л2, Лз, ... могут
быть приближенно определены одно за другим с помощью рекур-
рекуррентного соотношения, связывающего Лт+х с Лт. Это прибли-
приближенное соотношение выводится тем же способом, которым бы-
была рассмотрена выше последовательность прямых бифуркаций
удвоения и имеет вид Ат = cp(Am+i) с той же функцией <р(Л)
из C2.7). Соответствующее графическое построение показано на
верхней части рис. 21. Поскольку функция (f(A) для последо-
последовательностей прямых и обратных бифуркаций одна и та же, то
одинаков и закон, по которому последовательности чисел Ат и
Ат сходятся (соответственно снизу и сверху) к общему пределу
Лоо^Лоо:	_	_
Лш+1 -Аоо = -(Ат - Аоо).	C2.21)
о
Эволюция свойств странного аттрактора при А > А^ сопро-
сопровождается соответствующими изменениями в частотном спектре
интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре

§ 32
ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ
183
появлением в нем «шумовой» компоненты, интенсивность ко-
которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне
присутствуют дискретные пики, отвечающие основной частоте
неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам; при по-
последовательных обратных бифуркациях исчезают соответству-
соответствующие субгармоники — в порядке, обратном тому, в котором они
появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустой-
Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении
спектральных пиков.
Переход к турбулентности через перемежаемость.
Рассмотрим, наконец, разрушение периодического движения при
прохождении мультипликатора через значение /i = +1.
Этот тип бифуркации описывается (в рамках одномерного
отображения Пуанкаре) функцией #j+i = f(%j, R), которая при
определенном значении параметра (числа Рейнольдса), R = RKp,
касается прямой #j+i = Xj. Выбрав точку касания в качестве
Xj = 0, напишем вблизи нее разложение функции отображения
в виде
= (R - R
Kp)
+ xj.
C2.22)
При R < RKp (рис. 23) существуют две неподвижные точки
R<R
¦кр
из которых одна (ж; ) отвечает устойчивому, а другая (ж* )) —
неустойчивому периодическому движению. При R = RKp муль-
мультипликатор в обеих точках становится
равным +1, оба периодических движе-
движения сливаются и при R > RKp исче-
исчезают (неподвижные точки переходят в
комплексную область).
При малой надкритичности рассто-
расстояние между линией C2.22) и прямой
ж^_|_1 = Xj мало (в области вблизи Xj =
= 0). На этом интервале значений ж,
следовательно, каждая итерация ото-
отображения C2.22) лишь незначитель-
незначительно перемещает след траектории, и для
прохождения им всего интервала по-
требуется много шагов. Другими ело-	ис'
вами, на сравнительно большом промежутке времени траекто-
траектория в пространстве состояний будет иметь регулярный, почти
1) Коэффициент при R — RKp и коэффициент (положительный) при ж|
можно обратить в единицу соответствующим определением R и ^-, что и
предполагается в C2.22).

184	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
периодический характер. Такой траектории отвечает в физиче-
физическом пространстве регулярное (ламинарное) движение жидко-
жидкости. Отсюда возникает еще один, в принципе возможный, сцена-
сценарий возникновения турбулентности (P. Manneville, Y. Ротеаи,
1980).
Можно представить себе, что к рассмотренному участку функ-
функции отображения примыкают участки, приводящие к хаотизации
траекторий; им отвечает в пространстве состояний множество
локально неустойчивых траекторий. Это множество, однако, са-
само по себе не является аттрактором и с течением времени точка,
изображающая систему, его покидает. При R < RKp траектория
выходит на устойчивый цикл, т. е. в физическом пространстве
устанавливается ламинарное периодическое движение. При R >
> RKp устойчивый цикл отсутствует и возникает движение, в
котором «турбулентные» периоды чередуются с ламинарными
(отсюда название сценария — переход через перемежаемость).
О длительности турбулентных периодов нельзя сделать ка-
каких-либо общих заключений. Зависимость же длительности ла-
ламинарных периодов от надкритичности легко выяснить. Для это-
этого напишем разностное уравнение C2.22) в виде дифференциаль-
дифференциального. Имея в виду малость изменения Xj на одном шаге отобра-
отображения, заменим разность Xj+\ — Xj производной dx/dt по непре-
непрерывной переменной t:
dx/dt = (R - RKP) + x2.	C2.23)
Найдем время т, необходимое для прохождения отрезка между
точками х\ и #2, лежащими по обе стороны точки х = 0 на рас-
расстояниях, больших по сравнению с (R — RKp) 5 н0 еЩе в области
применимости разложения C2.22). Имеем
г = (R - Икр)/2 arctg [x(R - RKp)-1/2]|^,
откуда
r~(R-RKp)-1/2,	C2.24)
чем и определяется искомая зависимость; длительность лами-
ламинарных периодов убывает с ростом надкритичности.
В этом сценарии остается открытым как вопрос о пути под-
подхода к его началу, так и вопрос о природе возникающей турбу-
турбулентности.
§ 33. Развитая турбулентность
Турбулентное движение жидкости при достаточно больших
значениях числа Рейнольдса характерно чрезвычайно нерегуляр-
нерегулярным, беспорядочным изменением скорости со временем в каждой
точке потока (развитая турбулентность)] скорость все время

§ 33	РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	185
пульсирует около некоторого своего среднего значения. Такое же
нерегулярное изменение скорости имеет место от точки к точке
потока, рассматриваемого в заданный момент времени. В насто-
настоящее время полной количественной теории развитой турбулент-
турбулентности еще не существует. Известен, однако, ряд важных каче-
качественных результатов, изложению которых и посвящен настоя-
настоящий параграф.
Введем понятие о средней скорости движения, получающей-
получающейся в результате усреднения по большим промежуткам време-
времени истинной скорости в каждой точке пространства. При таком
усреднении нерегулярность изменения скорости сглаживается и
средняя скорость оказывается плавно меняющейся вдоль потока
функцией. Мы будем в дальнейшем обозначать среднюю ско-
скорость буквой и. Разность v7 = v — u между истинной и сред-
средней скоростями, обнаруживающую характерное для турбулент-
турбулентности нерегулярное изменение, мы будем называть пулъсацион-
ной частью скорости.
Рассмотрим подробнее характер накладывающегося на усред-
усредненный поток нерегулярного, пульсационного, движения. Это
движение можно в свою очередь качественно рассматривать как
результат наложения движений (турбулентных пульсаций) раз-
различных, как мы будем говорить, масштабов (под масштабом дви-
движения подразумевается порядок величины тех расстояний, на
протяжении которых существенно меняется скорость движения).
По мере возрастания числа Рейнольдса появляются сначала
крупномасштабные пульсации; чем меньше масштаб движения
тем позже такие пульсации появляются. При очень больших чис-
числах Рейнольдса в турбулентном потоке присутствуют пульсации
с масштабами от самых больших до очень малых. Основную же
роль в турбулентном потоке играют крупномасштабные пульса-
пульсации, масштаб которых — порядка величины характеристических
длин, определяющих размеры области, в которой происходит
турбулентное движение; в дальнейшем будем обозначать поря-
порядок величины этого основного (или внешнего) масштаба турбу-
турбулентного движения посредством /. Эти крупномасштабные дви-
движения обладают наибольшими амплитудами. Их скорость по по-
порядку величины сравнима с изменениями Аи средней скорости
на протяжении расстояний / (мы говорим здесь о порядке ве-
величины не самой скорости, а ее изменения, поскольку именно
оно характеризует скорость турбулентного движения; абсолют-
абсолютная же величина средней скорости может быть произвольной в
зависимости от того, в какой системе отсчета рассматривается
движение) :) . Что же касается частот этих крупномасштабных
Х)В действительности, по-видимому, масштабы основных пульсаций в
несколько раз меньше, чем характерные размеры /, а их скорость — в
несколько раз меньше, чем Агб.

186	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
пульсаций, то они —порядка отношения и/1 средней скорости и
(а не ее изменения Аи) к размерам /. Действительно, частота
определяет период повторяемости картины движения, наблюдае-
наблюдаемой из некоторой неподвижной системы отсчета. Но относитель-
относительно такой системы вся эта картина движется вместе со всей жид-
жидкостью со скоростью порядка и.
Мелкомасштабные же пульсации, соответствующие большим
частотам, участвуют в турбулентном потоке со значительно мень-
меньшими амплитудами. Их можно рассматривать как мелкую де-
детальную структуру, накладывающуюся на основные крупномас-
крупномасштабные турбулентные движения. В мелкомасштабных пульса-
пульсациях заключена лишь сравнительно малая часть всей кинетиче-
кинетической энергии жидкости.
Из описанной картины турбулентного движения можно сде-
сделать заключение о характере изменения пульсационной скоро-
скорости вдоль потока (рассматриваемого в заданный момент време-
времени). На протяжении больших расстояний (сравнимых с I) измене-
изменение пульсационной скорости определяется изменением скорости
крупномасштабных пульсаций и потому сравнимо по величине с
Аи. На малых же (по сравнению с I) расстояниях оно определяет-
определяется мелкомасштабными пульсациями и потому мало по сравнению
с Аи (но велико по сравнению с изменением средней скорости на
том же малом расстоянии). Такая же картина имеет место, ес-
если наблюдать изменение скорости со временем в заданной точ-
точке пространства. На протяжении малых (по сравнению с харак-
характеристическим временем Т ~ I/и) интервалов времени скорость
испытывает незначительные изменения; в течение же больших
промежутков времени скорость меняется на величины ~Аи.
В число Рейнольдса R, определяющее свойства течения жид-
жидкости в целом, в качестве характеристических размеров входит
длина /. Наряду с таким числом, можно ввести качественное по-
понятие о числах Рейнольдса турбулентных пульсаций различных
масштабов. Если А — масштаб пульсаций, a v\ — порядок вели-
величины их скорости, то Ra ~ v\\jv. Это число тем меньше, чем
меньше масштаб движения.
При больших R велики также и числа Рейнольдса Ra круп-
крупномасштабных пульсаций. Но большие числа Рейнольдса экви-
эквивалентны малым вязкостям. Отсюда можно заключить, что для
крупномасштабного движения, являющегося как раз основным
во всяком турбулентном потоке, вязкость жидкости не играет
роли. Поэтому в крупномасштабных пульсациях не происходит
и заметной диссипации энергии.
Вязкость жидкости становится существенной только для са-
самых мелкомасштабных пульсации, для которых R^ ~ 1 (масштаб
Ао этих пульсаций будет определен ниже в этом параграфе).
Именно в этих мелкомасштабных пульсациях, не существенных

§ 33	РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	187
с точки зрения общей картины движения жидкости в турбулент-
турбулентном потоке, и происходит диссипация энергии.
Мы приходим, таким образом, к следующему представлению
о диссипации энергии при турбулентном движении (L. Richard-
Richardson, 1922). От пульсаций с большими масштабами энергия пере-
переходит в пульсации с меньшими масштабами, практически не дис-
сипируясь при этом. Можно сказать, что имеется как бы непре-
непрерывный поток энергии от крупно- к мелкомасштабным пульсаци-
пульсациям, т. е. от малых частот к большим. Этот поток диссипируется,
т. е. кинетическая энергия переходит в тепло, в самых мелкомас-
мелкомасштабных пульсациях. Разумеется, для поддержания «стационар-
«стационарного» состояния потока необходимо наличие внешних источни-
источников энергии, непрерывно передающих ее основному крупномас-
крупномасштабному движению.
Поскольку вязкость жидкости существенна только для самых
мелкомасштабных пульсаций, то можно утверждать, что все ве-
величины, относящиеся к турбулентному движению в масштабах
А^>Ао, не могут зависеть от v (более точно, эти величины не дол-
должны меняться при изменении v и неизменных остальных услови-
условиях, в которых происходит движение). Это обстоятельство сужает
круг величин, определяющих свойства турбулентного движения,
в результате чего для исследования турбулентности приобретают
большое значение соображения подобия, связанные с размерно-
размерностью имеющихся в нашем распоряжении величин.
Применим такие соображения к определению порядка вели-
величины диссипации энергии при турбулентном движении. Пусть е
есть среднее количество энергии, диссипируемой в единицу вре-
времени в единице массы жидкости :) . Мы видели, что эта энергия
черпается из крупномасштабного движения, откуда постепенно
передается во все меньшие масштабы, пока не диссипируется в
пульсациях масштаба ~Ао- Поэтому, несмотря на то, что дисси-
диссипация обязана в конце концов вязкости жидкости, порядок вели-
величины е может быть определен с помощью одних только величин,
характерных для крупномасштабных движений. Таковыми явля-
являются плотность жидкости р, размеры / и скорость Аи. Из этих
трех величин можно составить всего одну комбинацию, обладаю-
обладающую той же размерностью, что и ?, т. е. эрг/(г-с) = см2/с3. Таким
способом получаем
e~&f,	C3.1)
чем и определяется порядок величины диссипации энергии в тур-
турбулентном потоке.
Турбулентно движущуюся жидкость можно в некоторых от-
отношениях качественно описывать как жидкость, обладающую
1)В этой главе буква е будет обозначать среднюю диссипацию энергии, а
не внутреннюю энергию жидкости!

188	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
некоторой, как говорят, турбулентной вязкостью щурв1 отлич-
отличной от истинной кинематической вязкости v. Характеризуя свой-
свойства турбулентного движения, ^турб должно по порядку величи-
величины определяться величинами /э, Аи, I. Единственной составлен-
составленной из них величиной с размерностью кинематической вязкости
является Аи • /, поэтому
Мгурб ~ Аи • I.	C3.2)
Отношение турбулентной вязкости к обычной
Щуф/v ~ R,	C3.3)
т. е. растет с числом Рейнольдса х) .
Диссипация энергии выражается через щурв формулой
?~щур6(Аи/1J,	C3.4)
в соответствии с обычным определением вязкости. В то время
как v определяет диссипацию энергии по производным от истин-
истинной скорости по координатам, турбулентная вязкость связывает
диссипацию с градиентом (~Аи/1) средней скорости движения.
Наконец, укажем, что порядок величины Ар изменения дав-
давления на протяжении области турбулентного движения тоже мо-
может быть определен из соображений подобия:
Ар~р(АиJ.	C3.5)
Стоящее справа выражение — единственная величина размерно-
размерности давления, которую можно составить из р , I и Аи.
Перейдем теперь к изучению свойств развитой турбулентно-
турбулентности в масштабах А, малых по сравнению с основным масштабом
I. Об этих свойствах говорят как о локальных свойствах турбу-
турбулентности. При этом мы будем рассматривать жидкость вдали
от твердых стенок, — точнее, на расстояниях от них, больших по
сравнению с А.
О такой мелкомасштабной турбулентности вдали от твердых
тел можно высказать естественное предположение, что она обла-
обладает свойствами однородности и изотропии. Последнее означает,
что в участках, размеры которых малы по сравнению с /, свой-
свойства турбулентного движения одинаковы по всем направлениям;
в частности, они не зависят от направления скорости усреднен-
усредненного движения. Подчеркнем, что здесь и везде ниже в этом па-
параграфе, где говорится о свойствах турбулентного движения в
) В действительности в этом отношении должен стоять еще довольно зна-
значительный численный коэффициент. Это связано с указанным выше обсто-
обстоятельством, что / и Аи могут довольно заметно отличаться от истинных
масштабов и скоростей турбулентного движения. Более точно можно напи-
написать:
где учитывается, что Мрурб и v должны в действительности сравниваться не
при R ~ 1, а при R ~ RKp.

§ 33	РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	189
малом участке жидкости, подразумевается относительное дви-
движение жидких частиц в этом участке, а не абсолютное движе-
движение, в котором принимает участие весь участок в целом и которое
связано с движением более крупных масштабов.
Оказывается возможным получить ряд существенных резуль-
результатов о локальных свойствах турбулентности непосредственно
из соображений подобия (А.Н. Колмогоров, 1941; A.M. Обухов,
1941).
Для этого выясним предварительно, какими параметрами мо-
могут вообще определяться свойства турбулентного движения в
участках, малых по сравнению с /, но больших по сравнению
с расстояниями Ао, на которых начинает играть роль вязкость
жидкости; ниже будет идти речь именно о таких расстояниях.
Этими параметрами является плотность р жидкости и, кроме то-
того, еще одна характерная для турбулентного потока величина —
энергия ?, диссипируемая в единицу времени в единице массы
жидкости. Мы видели, что е представляет собой поток энергии,
непрерывно передаваемой от пульсаций с большими к пульсаци-
пульсациям с меньшими масштабами. Поэтому, хотя диссипация энергии
и обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости и про-
происходит в самых мелкомасштабных пульсациях, тем не менее ве-
величина е определяет свойства движения и в больших масштабах.
Что касается масштабов / и Аи размеров и скорости движения
в целом, то естественно считать, что (при заданных рже) ло-
локальные свойства турбулентности от этих величии не зависят.
Вязкость жидкости v тоже не может входить ни в какие инте-
интересующие нас теперь величины (напоминаем, что речь идет о
расстояниях А ^> Ао).
Определим порядок величины v\ изменения скорости турбу-
турбулентного движения на протяжении расстояний порядка А. Оно
должно определяться только величиной е и, разумеется, самим
расстоянием х) А. Из этих двух величин можно составить все-
всего одну комбинацию с размерностью скорости: (бАI/3. Поэтому
можно утверждать, что должно быть
уА~(еАI/3.	C3.6)
Таким образом, изменение скорости на протяжении малого рас-
расстояния пропорционально кубическому корню из этого расстоя-
расстояния {закон Колмогорова-Обухова). Величину v\ можно рассма-
рассматривать и как скорость турбулентных движений масштаба А:
изменение средней скорости на малых расстояниях мало по срав-
сравнению с изменением пульсационной скорости на этих же расстоя-
расстояниях, и им можно пренебречь.
г) Величина е имеет размерность эрг/(г-с) = см2/с3, не содержащую раз-
размерности массы; единственной величиной, содержащей размерность массы,
является плотность р. Поэтому последняя вообще не участвует в составле-
составлении величин, размерность которых не содержит размерности массы.

190	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
К соотношению C3.6) можно прийти и другим путем, выра-
выражая постоянную величину — диссипацию е — через величины, ха-
характеризующие пульсации масштаба А. При этом е должно быть
пропорционально квадрату градиента скорости v\ и соответст-
соответствующему коэффициенту турбулентной вязкости щурб\ ~ \v\:
откуда и получается C3.6).
Поставим теперь вопрос несколько иначе. Определим поря-
порядок величины vT изменения скорости в заданной точке простран-
пространства, испытываемого ею в течение промежутка времени т, мало-
малого по сравнению с характеристическим временем Т ~ 1/и дви-
движения в целом. Для этого замечаем, что благодаря наличию об-
общего течения каждый данный участок жидкости в продолжение
промежутка времени т перемещается в пространстве на расстоя-
расстояние порядка произведения ти средней скорости и на время т.
Поэтому в данной точке пространства по истечении времени т
будет находиться участок жидкости, который в начальный мо-
момент был удален от этой точки на расстояние ит. Искомую вели-
величину vT можно, следовательно, получить, подставляя в C3.6) ти
вместо А:
vt~(?utI/s.	C3.7)
От величины vT следует отличать изменение v'T скорости дан-
данного перемещающегося в пространстве участка жидкости. Это
изменение может, очевидно, зависеть только от величины ?, опре-
определяющей локальные свойства турбулентности, и, разумеется, от
величины самого интервала времени т. Составляя из е и т комби-
комбинацию размерности скорости, получаем для искомого изменения
<~(бтI/2.	C3.8)
В отличие от изменения скорости в заданной точке пространства
оно пропорционально квадратному, а не кубическому корню из
т. Легко видеть, что при т <^Т изменение v'T всегда меньше из-
изменения vT х) .
С помощью выражения C3.1) для е можно переписать фор-
формулы C3.6), C3.7) в виде
И,	(У\	C3.9)
Аи \lJ ' Аи \tJ	V J
В такой записи ясно видно свойство подобия локальной тур-
турбулентности: мелкомасштабные характеристики различных тур-
1) Неравенство v'T < wr, по существу, уже подразумевалось при выводе
C3.7).

§ 33	РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	191
булентных течений отличаются только масштабами измерения
длин и скоростей (или, что то же, длин и времен) :) .
Выясним теперь, на каких расстояниях начинает играть роль
вязкость жидкости. Эти расстояния Ао определяют собой в то
же время порядок величины масштабов наиболее мелкомасштаб-
мелкомасштабных пульсаций в турбулентном потоке (величину Ао называют
внутренним масштабом турбулентности в противоположность
внешнему масштабу I). Для этого составляем «локальное число
Рейнольдса»:
\ А
v
где R ~ Аи -Ijv — число Рейнольдса движения в целом. Порядок
величины Ао определяется тем, что должно быть R^0~l. Отсюда
находим
Ao~//R3/4.	C3.10)
К этому же выражению можно прийти, составляя комбинацию
размерности длины из величин ежи:
\0~(и3/еI/А.	C3.11)
Таким образом, внутренний масштаб турбулентности быстро па-
падает при увеличении числа Рейнольдса. Для соответствующей
скорости имеем
vXo~Au/R1/4.	C3.12)
Она тоже падает с увеличением R 2) .
Область масштабов А ~ / называют областью энергии; в ней
сосредоточена основная часть кинетической энергии жидкости.
Значения А < Ао составляют область диссипации —в ней про-
происходит диссипация кинетической энергии. При очень больших
значениях R обе эти области достаточно раздвинуты друг от дру-
друга, и между ними расположен инерционный интервал, в котором
Ао < А</;
к нему относятся излагаемые в этом параграфе результаты.
Закон Колмогорова-Обухова можно представить в эквива-
эквивалентной спектральной (по пространству) форме. Введем вмес-
вместо масштабов А соответствующие «волновые числа» пульсаций
А;~1/А, и пусть Е(к) dk есть кинетическая энергия (единицы мас-
массы жидкости), заключенная в пульсациях со значениями к в за-
заданном интервале dk. Функция Е(к) имеет размерность см3/с2;
составляя комбинацию этой размерности из е и /с, получим
Е(к)~е2/Зк~5/3.	C3.13)
) В этой связи в современной литературе широко используется термин
автомодельность движения (по английской терминологии self-similarity).
) Формулы C3.10)—C3.12) определяют законы изменения соответствую-
соответствующих величин с R. Что же касается количественной стороны дела, то более
правильным было бы писать в них отношение R/RKp вместо R.

192	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
В эквивалентности этой формулы закону C3.6) легко убедиться,
заметив, что квадрат v\ определяет порядок величины суммар-
суммарной энергии, заключенной в пульсациях со всеми масштабами
порядка и меньше заданного значения А. К этому же результату
мы придем, интегрируя выражение C3.13):
/
?2/3
Наряду с пространственными масштабами турбулентных
пульсаций, можно рассматривать также и их временные харак-
характеристики—частоты. Нижний конец частотного спектра турбу-
турбулентного движения лежит при частотах ~и/1. Верхний же его
конец определяется частотами
щ „ ^L „ ^R3/4^	C3.14)
Ао /
отвечающими внутреннему масштабу турбулентности. Инерци-
Инерционной области отвечают частоты в интервале
Неравенство ио ^> — означает, что по отношению к локальным
свойствам турбулентности основное движение можно считать
стационарным. Распределение энергии по частотному спектру в
инерционной области получается из C3.13) заменой к ~ ио/и:
Е{ио)~{иеJ/3ио-ъ/\	C3.15)
причем Е(ио) duo есть энергия, заключенная в частотном интер-
интервале duo.
Частота ио определяет период повторяемости во времени дви-
движения в данном участке пространства, наблюдаемого из непо-
неподвижной системы отсчета. Ее надо отличать от частоты (обо-
(обозначим ее через о/), определяющей период повторяемости дви-
движения в данном перемещающемся в пространстве участке жид-
жидкости. Распределение энергии по спектру этих частот не может
зависеть от w, и должно определяться только параметром е и
самой частотой ио1. Снова из соображений размерности найдем,
что
Е(ио')~е/ио'2.	C3.16)
Эта формула находится в таком же отношении к закону C3.15),
как C3.8) к C3.7).
Турбулентное перемешивание приводит к постепенному рас-
расхож: дению жидких частиц, находящихся первоначально вблизи

§ 34	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ	193
друг от друга. Рассмотрим две жидкие частицы на малом (в
инерциальной области) расстоянии А. Снова руководствуясь со-
соображениями размерности, можно заключить, что скорость из-
изменения этого расстояния со временем
— ~(еЛI/3.	C3.17)
dt
Интегрируя это соотношение, найдем, что время т, в течение
которого две частицы, находившиеся первоначально на расстоя-
расстоянии Ai друг от друга, разойдутся на расстояние А2 ^> Ai, равно
по порядку величины
т~Л24/3/е1/3.	C3.18)
Обратим внимание на самоускоряющийся характер процесса:
скорость расхождения растет с увеличением А. Это свойство свя-
связано с тем, что к расхождению частиц, находящихся на рас-
расстоянии А, приводят только пульсации масштабов < А; пульсации
больших масштабов переносят обе частицы вместе и не приводят
к их расхож:дению г) .
Наконец, остановимся на свойствах движения в участках с
размерами X ^ Xq. В таких участках движение обладает пра-
правильным характером и его скорость меняется плавно. Поэтому
можно разложить здесь v\ по степеням А и, сохранив только
первый член, получим v\ = const-А. Коэффициент определяется
требованием, чтобы при А ~ Ао было v\ ~ v\0. Таким образом,
находим
^^^A~^AR1/2.	C3.19)
Ло	/
Этот результат можно получить также и путем приравнивания
двух выражений для диссипации энергии е\ выражения (Аи)^/I
C3.1), определяющего е через характеристики крупномасштаб-
крупномасштабных пульсаций, и выражения v(v\/XJ, определяющего ту же ве-
величину через градиент скорости тех пульсаций, в которых фак-
фактически и происходит диссипация.
§ 34. Корреляционные функции скоростей
Формула C3.6) качественно определяет корреляцию скоро-
скоростей в локальной турбулентности, т. е. связь между скоростями
в двух близких точках потока. Введем теперь функции, кото-
которые могут служить количественной характеристикой этой кор-
корреляции 2) .
1) Эти результаты можно применить к взвешенным в жидкости частицам
суспензии, пассивно переносимым вместе с движущейся жидкостью.
) Корреляционные функции были введены в гидродинамику турбулент-
турбулентности Л.В. Келлером и А.А. Фридманом A924).
7 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

194	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Первой из таких характеристик является корреляционный
тензор второго ранга
Bik = ({v2i - vu)(v2k ~ vlk)),	C4.1)
где vi и V2 — скорости жидкости в двух близких точках, а уг-
угловые скобки означают усреднение по времени. Радиус-вектор
между точками 1 и 2 (направленный от 1 к 2) обозначим через
г = Г2 —1*1. Рассматривая локальную турбулентность, мы счита-
считаем расстояние малым по сравнению с основным масштабом /, но
не обязательно большим по сравнению с внутренним масштабом
турбулентности Ао-
Изменение скорости на малых расстояниях обусловлено мел-
мелкомасштабными пульсациями. С другой стороны, свойства ло-
локальной турбулентности не зависят от усредненного движения.
Поэтому можно упростить изучение корреляционных функций
локальной турбулентности, рассматривая вместо этого идеализи-
идеализированный случай турбулентного движения, в котором изотропия
и однородность имеют место не только на малых (как в локаль-
локальной турбулентности), но и на всех вообще масштабах; усреднен-
усредненная скорость при этом равна нулю. Такую полностью изотроп-
изотропную и однородную турбулентность х) можно представить себе
как движение в жидкости, подвергнутой сильному «взбалтыва-
«взбалтыванию» и затем оставленной в покое. Такое движение, разумеется,
непременно затухает со временем, так что функциями времени
становятся и компоненты корреляционного тензора 2) . Выведен-
Выведенные ниже соотношения между различными корреляционными
функциями относятся к однородной и изотропной турбулентно-
турбулентности на всех ее масштабах, а к локальной турбулентности — на
расстояниях г <^1.
В силу изотропии, тензор В ж не может зависеть ни от какого
избранного направления в пространстве. Единственным векто-
вектором, который может входить в выражение для В^, является ра-
радиус-вектор г. Общий вид такого симметричного тензора второго
ранга есть
Bik = A(r)Sik + В(г)щпк,	C4.2)
где п — единичный вектор в направлении г.
Для выяснения смысла функций А ж В выберем координат-
координатные оси так, чтобы одна из них совпала с направлением п. Ком-
Компоненту скорости вдоль этой оси обозначим как vri а перпенди-
перпендикулярную п составляющую скорости будем отличать индексом t.
1)Это понятие было введено Тэйлором (G.I. Taylor, 1935).
2)Под усреднением в определении C4.1) надо при этом, строго говоря,
понимать не усреднение по времени, а усреднение по всем возможным по-
положениям точек 1 л 2 (при заданном расстоянии между ними) в один и тот
же момент времени.

§ 34	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ	195
Компонента корреляционного тензора Вгг есть тогда среднее зна-
значение квадрата относительной скорости двух частиц жидкости
в их движении навстречу друг другу. Компонента же Btt есть
средний квадрат скорости вращательного движения одной ча-
частицы относительно другой. Поскольку пг = 1, щ = 0, то из
C4.2) имеем
Вгг = А + В, Btt = A, Btr = 0.
Выражение C4.2) можно теперь представить в виде
Bik = Btt(r)Eik - щпк) + Вгг(г)щпк.	C4.3)
Раскрыв скобки в определении C4.1), имеем
Ввиду однородности, средние значения произведения viv^ в точ-
точках 1 и 2 одинаковы, а ввиду изотропии среднее значение (vuV2k)
не меняется при перестановке точек 1 ж 2 (т. е. при изменении
знака разности г = Г2 — ri); таким образом,
Поэтому
Bik = \{v2)Sik - 2bik, bik = {vuv2k).	C4.4)
о
Вспомогательный симметричный тензор Ь^ обращается в нуль
при г —>• оо; действительно, скорости турбулентного движения
в бесконечно удаленных точках можно считать статистически
независимыми, так что среднее значение их произведения сво-
сводится к произведению средних значений каждого множителя в
отдельности, равных нулю по условию.
Продифференцируем выражение C4.4) по координатам
точки 2:
ад» = _2 эъш_ = _
д
Но в силу уравнения непрерывности имеем dv2k/dx2k — 0, так
что
дВгк =()
дх2к
Поскольку В^ являются функциями только от разности г =
= Г2 — Г]_, то дифференцирование по %2k эквивалентно диффе-
дифференцированию по Хк- Подставив для В ж выражение C4.3), полу-
получим после простого вычисления:
Втт + - \ВТТ — Ви) = О

196	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
(штрих означает дифференцирование по г). Таким образом, про-
продольная и поперечная корреляционные функции связаны друг с
другом соотношением
Ви = ±±(r2Brr).	C4.5)
2r dr
Согласно C3.6) разность скоростей на расстоянии г в инерци-
инерционной области пропорциональна г1/3. Поэтому корреляционные
функции Вгг и Вц в этой области пропорциональны г2/3. При
этом из C4.5) получается следующее простое соотношение:
Btt = -Brr (Ao«r«0-	C4.6)
О
Для расстояний же г^САо разность скоростей пропорциональ-
пропорциональна г и, следовательно, Вгг и Вц пропорциональны г2. Формула
C4.5) приводит теперь к соотношению
Btt = 2Brr (r<A0).	C4.7)
Для этих расстояний Вц и Вгг могут еще быть выражены че-
через среднюю диссипацию энергии е. Пишем Вгг = аг2 (где а —
постоянная) и, комбинируя C4.3), C4.4) и C4.7) находим
7	1 / 2\ с	2г , CL
Ьгк = -{V )Oik- СЫ Sik + -Х{Хк.
о	?
Дифференцируя это соотношение, получаем
15	Q
/	\dxiidx2i/
Поскольку эти равенства справедливы при сколь угодно малых
г, можно положить в них ri = Г2, после чего они дают
С другой стороны, согласно A6.3) имеем для средней диссипации
энергии
2\\дхк дхг) I	\\\дхк) I \дхкдх
откуда а = е/{\.ЪгУ) х) . В результате находим окончательно сле-
следующие формулы, определяющие корреляционные функции че-
) Отметим, что для изотропной турбулентности средняя диссипация свя-
связана со средним квадратом завихренности простым соотношением:
// j. \2 1 / f dvi dvk\2
(frotv)
\2\ 1 / f dvi dvk\2\ s
) ) = -(	) = -.
2\\dxk dxj
v

§ 34	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ	197
рез диссипацию энергии:
Btt = ^-r\ Brr = -L- г2	C4.8)
15i/	15i/
(А.Н. Колмогоров, 1941).
Далее, введем корреляционный тензор третьего ранга
C4.9)
и вспомогательный тензор
bik,l = {{^li^lk^l)) = — <(^2г^2А;^1/)>9	C4.10)
Последний симметричен по первой паре индексов (второе равен-
равенство в определении C4.10) связано с тем, что перестановка точек
1 ж 2 эквивалентна изменению знака г, т. е. инверсии координат
и потому меняет знак тензора третьего ранга). При г = 0, т. е.
при совпадении точек I и2, тензор 6^@) = 0 —среднее зна-
значение от произведения нечетного числа компонент пульсирую-
пульсирующей скорости обращается в нуль. Раскрыв скобки в определении
C4.9), выразим тензор В^\ через Ь^^\
Biki = 2(bik,i + bii,k + bik,i)'	C4.11)
При г —>> оо тензор 6г/с,ь а с ним и Biki, стремятся к нулю.
В силу изотропии, тензор bikj должен выражаться через еди-
единичный тензор дм и компоненты единичного вектора п. Общий
вид такого тензора, симметричного по первой паре индексов, есть
bik,i = С(г)81кщ + D(r)Eunk + 8ыщ) + Р{г)щпкщ. C4.12)
Дифференцируя его по координатам точки 2, получим в силу
уравнения непрерывности
д 7	/	dv2i \ п
-bik,l = (viiVik-—) = 0.
ОХ21	\	ОХ21
Подстановка ж:е сюда выражения C4.12) приводит, после просто-
простого вычисления, к двум уравнениям
[r2CC + 2D + F)]f = 0, С + -(С + D) = 0.
г
Интегрирование первого дает
Но при г = 0 функции С, D, F должны обращаться в нуль,
поэтому надо положить const = 0, так что ЗС + 2D + F = 0. Из
обоих полученных таким образом уравнений находим
D = -C- -rCf, F = rCf - С.	C4.13)

198	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Подстановка C4.13) в C4.12) и затем в C4.11) приводит к
выражению
Biki = -2(гС" + C)Eikni + 5цпк + Skirii) + 6(гС" - С)щпкщ.
Направив снова одну из координатных осей по направлению век-
вектора п, получим для компонент тензора В{к\
Brrr = -12C, Brtt = -2(C + rC), Brrt = Bttt = 0. C4.14)
Отсюда видно, что между отличными от нуля корреляционными
функциями Вги и Brrr имеется соотношение
Brtt = ~(rBrrr).	C4.15)
6 dr
Ниже нам понадобится также и выражение тензора bikj через
компоненты тензора В^. С помощью C4.12)-C4.14) находим
bik,i = -—Brrr5ikni + — (rB'rrr + 2Brrr) (Sunk + Skirii) -
- ± (rB'rrr - Вггг)гыпкщ. C4.16)
Соотношения C4.5) и C4.15)—следствия одного лишь урав-
уравнения непрерывности. Привлечение же динамического уравне-
уравнения движения — уравнения Навье-Стокса — позволяет устано-
установить уравнение, связывающее друг с другом корреляционные
тензоры Bik и Biki {Th. Kdrmdn, L. Howarth, 1938; A.H. Кол-
Колмогоров, 1941).
Для этого вычисляем производную dbik/dt (напомним, что
полностью однородное и изотропное турбулентное движение не-
непременно затухает со временем). Выразив производные dvu/dt
и dv2k/dt с помощью уравнения Навье-Стокса, получим
— (vuv2k) = --—(viivuv2k) - -—(viiv2kv2i) - --—(piv2k) -
at	охц	0x21	p охи
(P2Vu) + v/±i(viiv2k) + b/\2(viiV2k). C4.17)
pdx2k
Корреляционная функция давления и скорости равна нулю:
(plV2> = 0.	C4.18)
Действительно, в силу изотропии эта функция должна была бы
иметь вид /(г)п. С другой стороны, в силу уравнения непрерыв-
непрерывности
div2(^iv2) = (pi div2 v2) = 0.
Но единственным вектором вида /(г)п и с равной нулю дивер-
дивергенцией является вектор const • n/r ; такой вектор не удовлетво-
удовлетворяет условию конечности при г = 0 и потому должно быть
const = 0.

§ 34	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ	199
Заменив теперь в C4.17) производные по хц и Х2% производ-
производными по — Х{ и Xi, получим уравнение
^-bik = ^-(Ьп,к + Ьы,г) + 2uAbik.	C4.19)
dt	dxi
Сюда надо подставить Ь^ и Ь^ из C4.4) и C4.16). Производная
по времени от кинетической энергии единицы массы жидкости,
(г>2)/2, есть не что иное, как диссипация энергии —е. Поэтому
= ?
dt 3	3
Простое, но довольно длинное вычисление приводит к следую-
следующему уравнению :) :
_2_е _ 1дВ^ = J_ д_, 4^ , _ ^д_ / ^c^rr ]	/34.2O)
3 2 dt	6г4 дг	г4 дг\ дг J
Величина Вгг как функция времени существенно меняется
лишь за время, отвечающее основному масштабу турбулентно-
турбулентности {r^l/u). По отношению к локальной турбулентности основ-
основное движение может рассматриваться как стационарное (как это
было уже отмечено в § 33). Это значит, что в применении к ло-
локальной турбулентности в левой части уравнения C4.20) мож-
можно с достаточной точностью пренебречь производной dBrr/dt по
сравнению с е. Умножив остающееся уравнение на г4 и проинте-
проинтегрировав его по г (с учетом обращения корреляционных функ-
функций в нуль при г = 0), получим следующее соотношение между
Brrr = -\er + bv^	C4.21)
5	dr
(А.Н. Колмогоров, 1941). Это соотношение справедливо при г как
больших, так и меньших чем Ао. При г ^> Ао член, содержащий
вязкость, мал и мы имеем просто
Вттт = --ег.	C4.22)
о
Если же подставить в C4.21) при г <^ Ао выражение C4.8) для
ВГГ1 то получится нуль; это связано с тем, что в этом случае
должно быть Вттт ос г3, так что члены первого порядка должны
сократиться.
1) В результате вычисления это уравнение получается путем умножения
обеих частей уравнения на оператор A+ г/2гд/дг). Но поскольку единствен-
единственное решение уравнения / + г/2гд//дг = 0, конечное при г = 0, есть / = 0,
то этот оператор можно опустить.

200	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Одно уравнение C4.20) связывает две независимые функции
Вгг и Brrr и потому, само по себе, не дает возможности найти эти
функции. Появление в нем корреляционных функций сразу двух
порядков связано с нелинейностью уравнения Навье-Стокса. По
этой же причине вычисление производной по времени от кор-
корреляционного тензора третьего ранга привело бы к уравнению,
содержащему также и корреляционную функцию четвертого по-
порядка, и т. д. Таким образом, возникает бесконечная цепочка
уравнений. Получить таким способом замкнутую систему конеч-
конечного числа уравнений без каких-либо дополнительных предполо-
предположений невозможно.
Сделаем еще следующее общее замечание х) . Можно было бы
думать, что существует принципиальная возможность получить
универсальную (применимую к любому турбулентному движе-
движению) формулу, определяющую величины Brri Btt для всех рас-
расстояний г, малых по сравнению с /. В действительности, однако,
такой формулы вообще не может существовать, как это явству-
явствует из следующих соображений. Мгновенное значение величины
(v2i — vu)(v2k — vik) можно было бы, в принципе, выразить уни-
универсальным образом через диссипацию энергии е в тот же мо-
момент времени. Однако при усреднении этих выражений будет су-
существенным закон изменения е в течение периодов крупномас-
крупномасштабных (масштабы ~1) движений, различный для различных
конкретных случаев движения. Поэтому и результат усреднения
не может быть универсальным 2) .
Интеграл Лойцянского. Перепишем уравнение C4.20),
введя в него вместо функций Brri Brrr функции 6rr, brr^r:
J
C423)
Умножив это уравнение на г4, проинтегрируем его по г от 0 до оо.
Выражение в квадратных скобках равно нулю при г = 0. Пола-
Полагая, что оно обращается в нуль также и при г —>• оо, найдем,
что
оо
А= Г r\r dr = const	C4.24)
х) Оно было высказано Л. Д. Ландау A944).
) Вопрос о том, должны ли флуктуации е отразиться даже на виде корре-
корреляционных функций в инерционной области, вряд ли может быть надежно
решен до построения последовательной теории турбулентности (этот вопрос
был поставлен Колмогоровым А.Н. // J. Fluid Mech. 1962. V. 13. P. 77 и Обу-
Обуховым A.M. (там же, р. 82)). Существующие попытки ввести связанные с
этим фактором поправки в закон Колмогорова-Обухова основаны на ги-
гипотезах о статистических свойствах диссипации, степень правдоподобности
которых трудно оценить.

§ 34	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ	201
{Л.Г. Лойцянский, 1939). Этот интеграл сходится, если функция
Ъгг убывает на бесконечности быстрее, чем г~5, а чтобы он дей-
действительно сохранялся, функция brr^r должна убывать быстрее,
чем г~4.
Функции Ъгг и Ьц связаны друг с другом таким же соот-
соотношением C4.5), как и Вгг и Вц. Поэтому имеем (при тех же
условиях)
/ bttr4dr = -- / brrr4dr.
о	о
Поскольку brr + 2bu = (V1V2), то интеграл C4.24) можно пред-
представить в виде
А
/r(i2)rfl	C4.25)
4тг J
(где dV = d?(x\ — Ж2)). Этот интеграл тесно связан с моментом
импульса жидкости, находящейся в состоянии однородной и изо-
изотропной турбулентности. Можно показать (на чем мы останав-
останавливаться не будем), что квадрат полного момента импульса М
жидкости, заключенной в некотором большом объеме V (выде-
(выделенном в неограниченной жидкости) есть М2 = Атгр2АУ] тот
факт, что М растет пропорционально F1/2, а не V, связан с
тем, что М является суммой большого числа статистически неза-
независимых слагаемых (моментов импульса отдельных небольших
участков жидкости) с равными нулю средними значениями.
Значение М2 в заданном объеме V может меняться за счет
взаимодействия с окружающими областями жидкости. Если бы
это взаимодействие достаточно быстро убывало с расстоянием,
то оно представляло бы собой для рассматриваемой части жид-
жидкости поверхностный эффект. Тогда времена, в течение которых
М2 могло бы претерпеть значительное изменение, росли бы вме-
вместе с размерами объема V] эти времена и размеры должны рас-
рассматриваться как сколь угодно большие, и в этом смысле М2
сохранялось бы.
Указанное условие тесно связано с условиями достаточно бы-
быстрого убывания корреляционных функций, сформулированны-
сформулированными при выводе C4.24) из C4.23). Но в рамках теории несжимае-
несжимаемой жидкости существуют основания сомневаться в их соблюде-
соблюдении. Физическое основание для этого состоит в бесконечной ско-
скорости распространения возмущений в несжимаемой жидкости.
Математически это свойство проявляется в интегральном харак-
характере зависимости распределения давления в жидкости от распре-
распределения скоростей: если рассматривать правую часть уравнения

202	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
A5.11) как заданную, то решение этого уравнения:
д2уг{т')ук(т') dV
дх\дх'к |г-г'|'
В результате любое локальное возмущение скорости мгновен-
мгновенно отражается на давлении во всем пространстве; давление же
влияет на ускорение жидкости и тем самым — на дальнейшее из-
изменение скоростей.
Естественная постановка задачи для выяснения этого вопро-
вопроса состоит в следующем: пусть в начальный момент времени
(? = 0) создано изотропное турбулентное движение, в котором
функции bik(r, t) и bikj(r, t) экспоненциально убывают с расстоя-
расстоянием. Выразив давление через скорости по написанной формуле,
можно затем с помощью уравнений движения жидкости пытать-
пытаться определить характер зависимости производных по времени от
корреляционных функций (в момент t = 0) от расстояния при
г —>> оо. Тем самым определится и характер зависимости от г
самих корреляционных функций при t > 0. Такое исследование
приводит к следующим результатам :) .
Функция brr (r, t) при t > 0 убывает на бесконечности не мед-
медленнее, чем г~6 (а возможно, что и экспоненциально). Поэтому
интеграл Лойцянского сходится. Функция же brr^r убывает лишь
как г~4. Это значит, что Л не сохраняется. Его производная по
времени оказывается некоторой отличной от нуля отрицатель-
отрицательной (как результат эмпирического факта отрицательности brr^r)
функцией времени. Эта функция целиком связана с инерцион-
инерционными силами. Естественно думать, что по мере затухания турбу-
турбулентности роль этих сил падает, и в заключительной стадии ими
можно пренебречь по сравнению с вязкими силами. Таким обра-
образом, Л убывает (момент импульса равномерно «растекается» по
бесконечному пространству), стремясь к постоянному значению,
принимаемому им на заключительной стадии турбулентности.
Отсюда возникает возможность определить для этой стадии
закон изменения со временем основного масштаба турбулентно-
турбулентности / и ее характерной скорости v. Оценка интеграла C4.25) да-
дает Л ~ v2t5 = const. Еще одно соотношение получим из оценки
скорости убывания энергии путем вязкой диссипации. Диссипа-
Диссипация е пропорциональна квадрату градиентов скорости; оценив
последние как v/l, имеем е ~ v{vjlJ. Приравняв ее производ-
производной d(v2)/dt ~ v2/t (t отсчитывается от начала заключительной
х)См. Proudman /., Reid W.H. // Phil. Trans. Roy. Soc. 1954. V. A247.
P. 163; Batchelor G.K., Proudman /., там же: 1956. V. A248, P. 369. Изложе-
Изложение этих работ дано также в кн.: Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая
гидромеханика. — М.: Наука. 1967. Т. 2. § 15.5, 15.6.

§ 34	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ	203
стадии затухания), получим / ~ (vt)ll2 и затем
v = const • t/4	C4.26)
(М.Д. Миллионщиков, 1939).
Спектральное представление корреляционных функ-
функций. Наряду с рассмотренным в предыдущем параграфе коор-
координатным представлением корреляционных функций, методиче-
методически и физически интересно также и спектральное (по волновым
векторам) их представление. Оно получается разложением в про-
пространственный интеграл Фурье:
Bik(r) = |si/fc(k)eikr^L, Вгк(к) = I Вгк(г)е-гкг dzx
(мы обозначаем спектральную корреляционную функцию В^к (к)
тем же символом В^к с другой независимой переменной — волно-
волновым вектором к). Поскольку в изотропной турбулентности
Bik(-r) = Bik(r),TO Bik(k) = Bik(-k) = В*к(к), т. е. спектраль-
спектральные функции Bik(k) вещественны.
При г —>• оо функции Bik(r) стремятся к конечному преде-
пределу, даваемому первым членом в C4.4). Соответственно этому, их
фурье-компоненты содержат E-функционный член:
(ж)8()(у2) - 2bik(k).	C4.27)
О
Компоненты ж:е с к ф 0 для функций В{к и —26^ совпадают
друг с другом.
Дифференцирование по координатам х\ в координатном пред-
представлении эквивалентно в спектральном представлении умноже-
умножению на %к\. Поэтому уравнение непрерывности dbik(r)/dxi = 0
сводится в спектральном представлении к условию поперечно-
сти тензора bik(k) по отношению к волновому вектору:
?;гЫк)=0.	C4.28)
В силу изотропии, тензор Ь^(к) должен выражаться только че-
через вектор к и единичный тензор 8^. Общий вид такого симмет-
симметричного тензора, удовлетворяющего условию C4.28), есть
bik (k) = F® (к) (8ik - ^),	C4.29)
где F^ (к) — вещественная функция от абсолютной величины
волнового вектора.
Аналогичным образом определяется спектральное представ-
представление корреляционного тензора третьего ранга, причем тензор
Biki(\a) выражается через Ь^?цк) формулой C4.11); E-функцион-
ного члена эти тензоры не содержат. Уравнение непрерывности

204	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
,xi = 0 приводит к условию поперечности спектрально-
спектрального тензора 6^^ (к) по его третьему индексу:
fc,&iM(k) = 0.	C4.30)
Общий вид такого тензора:
^ ^ ^}.	C4.31)
Поскольку bikj(-r) = — &i/c,z(r)? спектральные функции ^/(k)
мнимы; в C4.31) введен множитель г, так что функция F^'(k) —
вещественная.
Уравнение C4.19) в спектральном представлении записыва-
записывается как
	Г) • j ( If | 	 oJcilh-i 1 i\c\ I rij j • ( \с I 	 *? 7 У к" Г) • j I W I
— zА^ V / — I \ ъI fax / *^ к/1 ъ \ /	z/с V /*
Подставив сюда C4.29) и C4.31), получим
OF (к, t) _ _о? ^(З)/? i\ _ о7.^2 771B) /т, у.\	/4 49^
Функция i7"^2^ (k) имеет важный физический смысл. Для его
выяснения подойдем к определению спектральной корреляцион-
корреляционной функции в несколько более ранней стадии :) .
Введем спектральное разложение самой пульсирующей ско-
скорости v(r) по обычным формулам разложения Фурье:
;kr d3k
Последний интеграл фактически расходится, поскольку v(r) не
стремится к нулю на бесконечности. Это обстоятельство, однако,
несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих
целью вычисление заведомо конечных средних квадратов.
Корреляционный тензор Ь^{т) выражается через фурье-ком-
фурье-компоненты скорости интегралом
Mr) = fJ(vM)e^+k'^d^f.	C4.33)
Для того чтобы этот интеграл был функцией только от разности
г = Г2 —ri, подынтегральное выражение в нем должно содержать
S-функцию от суммы к + к7, т. е. должно быть
к7).	C4.34)
1) Приведенные ниже рассуждения перефразируют вывод, данный в V,
122.

§ 34	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ	205
Это выражение надо рассматривать как определение величины,
обозначенной здесь символически как (гзд)к- Подставив C4.34) в
C4.33) и устранив E-функцию интегрированием по d?А/, находим,
что
т. е. величины (г>г^)к совпадают с фурье-компонентами корреля-
корреляционной функции Ьц(т)] тем самым они симметричны по индек-
индексам г, / и вещественны. В частности, Ьц(к) = (v2)k, причем мы
можем теперь утверждать, что эта величина положительна, как
это очевидно из ее связи согласно C4.34) с положительной ве-
величиной (vkVk') = (|vk|2)—средним квадратом модуля фурье-
компоненты пульсирующей скорости.
Значение корреляционной функции Ьц(т) при г = 0 опреде-
определяет средний квадрат скорости жидкости в какой-либо (любой)
точке пространства. Оно выражается через спектральную функ-
функцию формулой
или, подставив сюда Ьц(к) из C4.29)
оо
I(v2) = />B)(*H = j F^(kL-^.	C4.35)
о
После всего сказанного выше смысл этой формулы очевиден: по-
положительная величина F^ (к) / BтгK представляет собой спек-
спектральную плотность кинетической энергии жидкости (отнесен-
(отнесенной к единице массы) в k-пространстве. Энергия же, заключен-
заключенная в пульсациях с величиной волнового вектора в интервале dk,
есть Е(к) dk, где
Е(к) = Jf-F^2\k).	C4.36)
Первый член в правой части уравнения C4.32) возникает
как фурье-компонента первого члена в правой части уравнения
C4.19). При г —>> 0 последний сводится к производной
Id	\,/d	\ ^ /	\
\	OX\i	I	\ OX\i	I	OX\i
и обращается в нуль в силу однородности. В спектральном пред-
представлении это значит, что
3k = 0,	C4.37)
так что функция F^(k) знакопеременна.

206	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Уравнение C4.32) имеет простой смысл: оно представляет
баланс энергии различных спектральных компонент турбулент-
турбулентного движения. Второй член в правой части отрицателен; он
определяет убыль энергии, связанную с диссипацией. Первый
же член (связанный с нелинейным членом в уравнении Навье-
Стокса) описывает перераспределение энергии по спектру —ее
переход от спектральных компонент с меньшими к компонентам
с большими значениями к. Спектральная (по к) плотность энер-
энергии Е(к) имеет максимум при к ~ 1/1] в области вблизи макси-
максимума (область энергии — см. § 33) сосредоточена большая часть
полной энергии турбулентного движения. Плотность же дисси-
пируемой энергии 2ик2Е(к) максимальна при А;~1/Ао; в области
диссипации сосредоточена большая часть полной диссипации.
При очень больших числах Рейнольдса обе эти области раздви-
раздвинуты далеко друг от друга и между ними находится инерционная
область.
Проинтегрировав уравнение C4.32) по с/3/с/B7гK, мы полу-
получим в его левой части производную по времени от полной ки-
кинетической энергии жидкости; эта производная совпадает с пол-
полной диссипацией энергии —е. Таким образом, находим следую-
следующее «условие нормировки» функции Е(к):
оо
2v f k2E(k, t) dk = e.	C4.38)
о
В инерционном интервале волновых чисел A/1 <С к <С 1/Ао)
спектральные функции (как и корреляционные функции в коор-
координатном представлении) можно считать независящими от вре-
времени. Согласно C3.13) в этой области
Е(к) = Ci?2/3?T5/3,	C4.39)
где С\ — постоянный коэффициент. Этот коэффициент связан с
коэффициентом С в корреляционной функции
Brr(r) = C(erf'*	C4.40)
равенством С\ = 0,76С (см. задачу). Их эмпирические значения:
С«2, Ci^l.,51). При этом отношение
Задача
Связать друг с другом коэффициенты С и С\ в формулах C4.39), C4.40)
для корреляционной функции и спектральной плотности энергии в инерци-
инерционной области.
) Большинство экспериментов относится к атмосферной и океанической
турбулентности. Числа Рейнольдса в этих измерениях доходят до 3 • 108.

§ 35	ТУРБУЛЕНТНАЯ ОБЛАСТЬ И ЯВЛЕНИЕ ОТРЫВА	207
Решение. Функции
Вц(г) =
(использована связь C4.6)) и
Вц(г) = 2Btt(r) + Brr(r) = —Brr{r)
О
Вгг(к) = -2Ъгг(к) = -4FB)(/c) = -—E(k)
к2
(к ф 0) связаны интегралом Фурье
Вц(к) = J Bu(r)e-ikr d3x.
Если волновой вектор лежит в инерционной области A/7 <С к <С 1/Ао), то
наличие осциллирующего множителя обрезает интеграл сверху на расстоя-
расстояниях г ~ 1/к ^С /. На малых же расстояниях интеграл сходится, поскольку
Вц(г) —>- 0 при г —>- 0. Поэтому фактически интеграл определяется областью
расстояний, лежащих в инерционной области (Ао *С г ^С /), так что можно
подставить в него Brr(r) из C4.40), распространив в то же время интегри-
интегрирование по всему пространству. В интеграле
= f
производим сначала интегрирование по направлениям г и находим
оо
= ±L lm f
к J
о	о
Оставшийся интеграл берется путем поворота пути интегрирования в плос-
плоскости комплексного переменного ? с правой вещественной на верхнюю мни-
мнимую полуось. В результате получим
4тг Ютг
Собрав полученные выражения, находим окончательно
Ci =	—	С = 0,76 С.
27ГA/3)
§ 35. Турбулентная область и явление отрыва
Турбулентное движение является, вообще говоря, вихревым.
Однако распределение завихренности вдоль объема жидкости
обнаруживает при турбулентном движении (при очень больших
R) существенные особенности. Именно, при «стационарном» тур-
турбулентном обтекании тел весь объем жидкости можно обычно
разделить на две области, отграниченные одна от другой. В од-
одной из них движение является вихревым, а в другой завихрен-
завихренность отсутствует, и движение потенциально. Завихренность ока-
оказывается, таким образом, распределенной не по всему объему
жидкости, а лишь по его части (вообще говоря, тоже беско-
бесконечной) .
Возможность существования такой отграниченной области
вихревого движения является следствием того, что турбулентное

208	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
движение может рассматриваться как движение идеальной жид-
жидкости, описывающееся уравнениями Эйлера :) . Мы видели (§ 8),
что для движения идеальной жидкости имеет место закон сохра-
сохранения циркуляции скорости. В частности, если в какой-нибудь
точке линии тока ротор скорости равен нулю, то это имеет место
и вдоль всей этой линии. Напротив, если в какой-нибудь точке
линии тока rot v 7^ 0, то он отличен от нуля вдоль всей линии то-
тока. Отсюда ясно, что наличие отграниченных областей вихревого
и безвихревого движения совместимо с уравнениями движения,
если область вихревого движения представляет собой область,
за границы которой не выходят находящиеся внутри нее линии
тока. Такое распределение завихренности будет устойчивым, и
завихренность не будет проникать за поверхность раздела.
Одним из свойств области вихревого турбулентного движе-
движения является то, что обмен жидкостью между нею и окружаю-
окружающим пространством может быть только односторонним. Жид-
Жидкость может втекать в нее из области потенциального движения,
но никогда не вытекает из нее.
Подчеркнем, что приведенные здесь соображения не могут,
конечно, рассматриваться как сколько-нибудь точное доказа-
доказательство высказанных утверждений. Однако наличие отграни-
отграниченных областей вихревого турбулентного движения, по-види-
по-видимому, подтверждается опытом.
Как в вихревой, так и в безвихревой областях движение тур-
турбулентно. Однако характер этой турбулентности совершенно раз-
различен в обеих областях. Для выяснения происхождения этого
различия обратим внимание на следующее общее свойство по-
потенциального движения, описывающегося уравнением Лапласа
А(р = 0. Предположим, что движение периодично в плоскости
ху, так что (р зависит от х и у посредством множителя вида
exp {i{k\x + &2у)}; тогда
дх2 ду2	V г 2jr	Г
и поскольку сумма вторых производных должна быть равна ну-
нулю, ясно, что вторая производная по координате z равна <р, умно-
умноженному на положительный коэффициент: d2cp/dz2 = к2ср. Но
тогда зависимость ср от z будет определяться затухающим мно-
множителем вида е при z > 0 (неограниченное возрастание, как
ekz, очевидно, невозможно). Таким образом, если потенциаль-
потенциальное движение периодично в некоторой плоскости, то оно должно
быть затухающим вдоль перпендикулярного к этой плоскости
1) Границей применимости этих уравнений к турбулентному движению яв-
являются расстояния порядка Ао. Поэтому и о резкой границе между областя-
областями вихревого и безвихревого движений можно говорить только с точностью
до таких расстояний.

§ 35	ТУРБУЛЕНТНАЯ ОБЛАСТЬ И ЯВЛЕНИЕ ОТРЫВА	209
направления. При этом чем больше fci и ^, т. е. чем меньше
период повторяемости движения в плоскости жу, тем быстрее
затухает движение вдоль оси z. Эти рассуждения остаются ка-
качественно применимыми и в тех случаях, когда движение не яв-
является строго периодическим, а лишь обнаруживает некоторую
качественную повторяемость.
Отсюда вытекает следующий результат. Вне области вихрево-
вихревого движения турбулентные пульсации должны затухать, причем
тем быстрее, чем меньше их масштаб. Другими словами, мелко-
мелкомасштабные пульсации не проникают глубоко в область потенци-
потенциального движения. В результате заметную роль в этой области
играют лишь самые крупномасштабные пульсации, затухающие
на расстояниях порядка величины размеров (поперечных) вихре-
вихревой области, как раз играющих в данном случае роль основного
масштаба турбулентности. На расстояниях, больших этих разме-
размеров, турбулентность практически отсутствует и движение можно
считать ламинарным.
Мы видели, что диссипация энергии при турбулентном дви-
движении связана с наиболее мелкомасштабными пульсациями;
крупномасштабные движения заметной диссипацией не сопро-
сопровождаются, с чем и связана возможность применения к ним
уравнения Эйлера. Ввиду сказанного выше мы приходим к су-
существенному результату, что диссипация энергии происходит в
основном лишь в области вихревого турбулентного движения и
практически не имеет места вне этой области.
Имея в виду все эти особенности вихревого и безвихревого
турбулентного движений, мы будем в дальнейшем для кратко-
краткости называть область вихревого турбулентного движения прос-
просто областью турбулентного движения или турбулентной об-
областью. В следующих параграфах будет рассмотрена форма
этой области для различных случаев.
Турбулентная область должна быть ограничена с какой-ни-
какой-нибудь стороны частью поверхности обтекаемого жидкостью тела.
Линию, ограничивающую эту часть поверхности тела, называ-
называют линией отрыва. От нее отходит поверхность раздела между
областью турбулентности и остальным объемом жидкости. Са-
Самое образование турбулентной области при обтекании тела на-
называют явлением отрыва.
Форма турбулентной области определяется свойствами дви-
движения в основном объеме жидкости (т. е. не в непосредствен-
непосредственной близости от поверхности тела). Не существующая пока пол-
полная теория турбулентности должна была бы дать принципиаль-
принципиальную возможность определения этой формы с помощью уравне-
уравнений движения идеальной жидкости, если задано положение ли-
линии отрыва на поверхности тела. Действительное же положение
линии отрыва определяется свойствами движения в непосред-
непосредственной близости поверхности тела (в так называемом погра-

210	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
ничном слое), где существенную роль играет вязкость жидкости
(см. § 40).
Говоря (в следующих параграфах) о свободной границе тур-
турбулентной области, мы будем подразумевать, естественно, ее
усредненное по времени положение. Мгновенное же положение
границы представляет собой очень нерегулярную поверхность;
эти нерегулярные искажения и их изменение со временем связа-
связаны в основном с крупномасштабными пульсациями и соответ-
соответственно простираются в глубину на расстояния, сравнимые с
основным масштабом турбулентности. Нерегулярное движение
граничной поверхности приводит к тому, что фиксированная в
пространстве точка потока (не слишком удаленная от среднего
положения поверхности) будет оказываться попеременно по ту
или другую сторону границы. При наблюдении картины движе-
движения в этой точке будут обнаруживаться попеременные периоды
наличия или отсутствия мелкомасштабной турбулентности :) .
§ 36. Турбулентная струя
Форма, а также и некоторые другие основные свойства турбу-
турбулентных областей в ряде случаев могут быть установлены уже с
помощью простых соображений подобия. Сюда относятся преж-
прежде всего различного рода свободные турбулентные струи, рас-
распространяющиеся в заполненном жидкостью же пространстве
(L. Prandtl, 1925).
В качестве первого примера рас-
рассмотрим турбулентную область, воз-
возникающую при отрыве потока с края
угла, образованного двумя пересека-
~х ющимися бесконечными плоскостя-
плоскостями (на рис. 24 изображен их по-
поперечный разрез). При ламинарном
обтекании (см. рис. 3) поток жид-
жидкости, идущей вдоль одной из сто-
сторон угла (скажем, в направлении
рис 24	от А к О), плавно поворачивался
бы, переходя в поток, идущий вдоль
второй плоскости в направлении от края угла (от О к В).
При турбулентном же обтекании картина движения оказывается
совершенно иной.
) Об этом свойстве говорят как о перемежаемости турбулентности. Его
надо отличать от аналогичного свойства структуры движения в глубине
турбулентной области, которое тоже называют перемежаемостью. В этой
книге не рассматриваются существующие модельные представления об этих
явлениях.

§ 36	ТУРБУЛЕНТНАЯ СТРУЯ	211
Поток жидкости, идущий вдоль одной из сторон угла, теперь
не поворачивается, дойдя до края угла, а продолжает распро-
распространяться в прежнем направлении. Вдоль другой же стороны
возникает поток жидкости, подтекающей в направлении к краю
угла (от В к О). Смешивание обоих потоков происходит в тур-
турбулентной области :) (границы сечения этой области указаны
на рис. 24 штриховой линией). Происхождение такой области
можно наглядно описать следующим образом. Представим себе
такое течение жидкости, при котором идущий от А к О равно-
равномерный поток продолжал бы течь в том же направлении, запол-
заполняя все пространство кверху от плоскости АО и ее продолжения
направо в глубь жидкости, а в пространстве под этой плоско-
плоскостью жидкость была бы вообще неподвижна. Другими слова-
словами, мы имели бы при этом поверхность разрыва (продолжение
плоскости АО) между жидкостью, текущей с постоянной скоро-
скоростью, и жидкостью неподвижной. Но такая поверхность разры-
разрыва является неустойчивой и не может реально существовать (см.
§ 29). Эта неустойчивость приводит к ее «разбалтыванию» и об-
образованию области турбулентного движения. Подтекающий от В
к О поток возникает при этом в результате того, что в область
турбулентности должно происходить втекание жидкости извне.
Определим форму области турбулентного движения. Выбе-
Выберем ось х указанным на рис. 24 образом; начало координат нахо-
находится в точке О. Обозначим через Y\ и Y2 расстояния от
плоскости xz до верхней и нижней границ турбулентной обла-
области; требуется определить зависимость Y\ и Y2 от х- Эту зависи-
зависимость легко определить непосредственно из соображений подо-
подобия. Поскольку все размеры плоскостей бесконечны, то в нашем
распоряжении нет никаких характерных для рассматриваемого
движения постоянных параметров с размерностью длины. Отсю-
Отсюда следует, что единственной возможной зависимостью величин
Yi, Y2 °т расстояния х является их прямая пропорциональность:
х, Y2 = tga2 • x.	C6.1)
Коэффициенты пропорциональности являются просто числен-
численными постоянными; мы пишем их в виде tg«i, tg«2, так что а\
и а2 — углы наклона обеих границ турбулентной области к
оси х. Таким образом, область турбулентного движения огра-
ограничена двумя плоскостями, пересекающимися вдоль линии края
обтекаемого угла.
Значения углов а\ и а2 зависят только от величины обте-
обтекаемого угла и не зависят, например, от скорости набегающего
потока жидкости. Они не могут быть вычислены теоретически;
:) Напоминаем, что вне турбулентной области имеет место безвихревое
турбулентное движение, постепенно переходящее в ламинарное по мере уда-
удаления от границ этой области.

212	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
экспериментальные данные дают, например, для обтекания пря-
прямого угла значения а\ = 5°, «2 = 10° х) .
Скорости потоков жидкости с обеих сторон угла неодинако-
неодинаковы; их отношение является определенным числом, зависящим
опять-таки только от величины угла. При не слишком малых
углах одна из скоростей оказывается значительно больше дру-
другой—именно, большей является скорость «основного» потока, в
направлении которого расположена турбулентная область (по-
(поток от А к О). Так, при обтекании прямого угла скорость потока
вдоль плоскости АО в 30 раз больше скорости потока от В к О.
Отметим еще, что разность давлений жидкости по обе сторо-
стороны турбулентной области очень мала. Так, при обтекании пря-
прямого угла оказывается
Р1~Р2 = 0,003/9^,
где С/]. — скорость набегающего потока (от А к О), р\— давле-
давление в верхнем (вдоль АО), а р2 — в нижнем (вдоль ВО) потоках
жидкости.
В предельном случае равного нулю обтекаемого угла мы име-
имеем дело просто с краем пластинки, вдоль обеих сторон которой
течет жидкость. Угол раствора а\ + «2 турбулентной области
при этом тоже обращается в нуль, т. е. турбулентная область ис-
исчезает; скорости же потоков по обеим сторонам пластинки ста-
становятся одинаковыми. При увеличении же угла АО В наступа-
наступает момент, когда плоскость ВО касается нижней границы тур-
турбулентной области; угол АО В является при этом уже тупым.
При дальнейшем увеличении угла АОВ область турбулентности
будет оставаться ограниченной с одной стороны поверхностью
твердой стенки. По существу, мы имеем при этом дело просто с
явлением отрыва, с линией отрыва вдоль края угла. Угол рас-
раствора турбулентной области остается все время конечным.
В качестве следующего примера рассмотрим задачу о бью-
бьющей из конца тонкой трубки турбулентной струе, распростра-
распространяющейся в неограниченном пространстве, заполненном той же
жидкостью (задача о ламинарном движении в такой «затоплен-
«затопленной» струе была решена в § 23). На больших по сравнению с
размерами отверстия трубы расстояниях (о которых только и
будет идти речь) струя аксиально симметрична вне зависимости
от конкретной формы отверстия.
Определим форму области турбулентного движения в струе.
Выберем ось струи в качестве оси ж, а радиус области турбулент-
турбулентности обозначим буквой R] требуется определить зависимость R
1) Здесь и в других случаях ниже имеются в виду экспериментальные дан-
данные о распределении скоростей в поперечном сечении турбулентной струи,
обработанные с помощью расчетов по полуэмпирическим теориям турбу-
турбулентности (см. примеч. на с. 215).

§ 36	ТУРБУЛЕНТНАЯ СТРУЯ	213
от х (х отсчитывается от точки выхода струи). Как и в пре-
предыдущем примере, эту зависимость легко определить непосред-
непосредственно из соображений размерности. На расстояниях, больших
по сравнению с размерами отверстия трубы, конкретная форма
и размеры отверстия не могут играть роли для формы струи.
Поэтому в нашем распоряжении нет никаких характеристиче-
характеристических параметров с размерностью длины. Отсюда опять следует,
что R должно быть пропорционально х:
R = tga-x,	C6.2)
где численная постоянная tg а одинакова для всех струй. Таким
образом, турбулентная область пред-
представляет собой конус; эксперимент	\\
дает для угла раствора 2а этого ко-	^ ^-^'
нуса значение около 25° (рис. 25) :).
Движение в струе происходит в	^:
основном вдоль ее оси. Ввиду отсут-
ствия каких-либо параметров размер-
ности длины или скорости, которые
могли бы характеризовать движение
в струе 2) , распределение продольной	ис'
(средней по времени) скорости их в ней должно иметь вид
ux(r, x) = Uo(x)f(-!—),	C6.3)
где г —расстояние от оси струи, а щ — скорость на оси. Други-
Другими словами, профили скорости в различных сечениях струи от-
отличаются только масштабами измерения расстояния и скорости
(в этой связи говорят об автомоделъности структуры струи).
Функция /(?) (равная 1 при ? = 0) быстро убывает с увеличени-
увеличением ее аргумента. Она становится равной 1/2 уже при ? = 0,4, а
на границе области достигает значения ~0,01. Что касается попе-
поперечной скорости, то она сохраняет вдоль сечения турбулентной
области примерно одинаковый порядок величины и на границе
области равна около —О,О25г^о, будучи направлена здесь внутрь
струи. За счет этой поперечной скорости и осуществляется вте-
втекание жидкости в турбулентную область. Движение вне турбу-
турбулентной области можно определить теоретически (см. задачу 1).
х) Формула C0.2) дает R = 0 при х = 0, т. е. отсчет координаты х ведется
от точки, которая была бы выходной для струи, бьющей из точечного ис-
источника. Эта точка может не совпадать с реальным положением выходного
отверстия, отстоя от него (назад) на расстояние того же порядка величины,
которое требуется для установления закона C6.2). Интересуясь асимптоти-
асимптотическим законом при больших ж, этим отличием можно пренебречь.
) Напомним лишний раз, что речь идет о развитой турбулентности в струе
и потому вязкость не должна входить в рассматриваемые формулы.

214	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Зависимость скорости в струе от расстояния х можно опреде-
определить, исходя из следующих простых соображений. Полный поток
импульса в струе через сферическую поверхность (с центром в
точке выхода струи) должен оставаться неизменным при изме-
изменении ее радиуса. Плотность потока импульса в струе ~/т2, где
и — порядок величины некоторой средней скорости в струе. Пло-
Площадь той части поперечного сечения струи, в которой скорость
заметно отлична от нуля, порядка величины R2. Поэтому полный
поток импульса Р ~ pv?R?. Подставив сюда C6.2), получим
C6.4)
т. е. скорость падает обратно пропорционально расстоянию от
точки выхода струи.
Количество (масса) жидкости Q, протекающей в единицу вре-
времени через поперечное сечение турбулентной области струи —
порядка величины произведения puR?. Подставив сюда C6.2) и
C6.4), найдем, что Q = const -x (если две переменные величины,
меняющиеся в широких пределах, всегда одного порядка вели-
величины, то они вообще пропорциональны друг другу; поэтому мы
пишем формулу со знаком равенства). Коэффициент пропорци-
пропорциональности здесь удобно выразить не через поток импульса Р,
а через количество жидкости Qo, выбрасываемой в единицу вре-
времени из трубки. На расстояниях порядка величины линейных
размеров отверстия трубки а должно быть Q ~ Qq. Отсюда сле-
следует, что const ~ Eо/^, так что можно написать
Q = /3Qo-,	C6.5)
а
где /3 —численный коэффициент, зависящий только от формы
отверстия. Так, для круглого отверстия с радиусом а эмпири-
эмпирическое значение /3 « 1,5. Таким образом, расход жидкости че-
через сечение турбулентной области возрастает с расстоянием ж, —
жидкость втягивается в турбулентную область :) .
Движение в каждом участке длины струи характеризуется
числом Рейнольдса для этого участка, определяемым как —.
Но в силу C6.2) и C6.4) произведение uR остается постоян-
постоянным вдоль струи, так что число Рейнольдса одинаково для всех
участков струи. В качестве этого числа может быть выбрано от-
отношение Qq/(pclv). Входящая сюда постоянная Qq/cl является
тем единственным параметром, который определяет все движе-
движения в струе. При увеличении «мощности» струи Qq (при задан-
*) Полный же поток жидкости через всю бесконечную плоскость, прове-
проведенную поперек струи, бесконечен — струя, бьющая в неограниченное про-
пространство, увлекает за собой бесконечное количество жидкости.

§ 36	ТУРБУЛЕНТНАЯ СТРУЯ	215
ной величине а отверстия) достигается в конце концов некото-
некоторое критическое значение числа Рейнольдса, после которого дви-
движение делается турбулентным одновременно вдоль всей длины
струи :) .
Задачи
1. Определить среднее движение жидкости в струе вне турбулентной
области.
Решение. Выбираем сферические координаты г, в, (р с полярной
осью вдоль оси струи и началом координат в точке ее выхода. В силу ак-
аксиальной симметрии струи компонента и^ средней скорости отсутствует,
а ив, иг являются функциями только от г и в. Те же соображения, что
и в задаче о ламинарной струе в § 23, показывают, что иг, ив должны иметь
вид
/((9)	FF)
ив = 	, иг = 	.
г	г
Вне турбулентной области движение жидкости потенциально, т. е. rot u = О,
откуда
диг д ( ч .
дв дг
-~- = —— = 0, откуда F = const =
A)
-?-(sin<M = 0
Но гив не зависит
= — Ь, т. е.
от
г,
поэтому
и
Из уравнения непрерывности
получаем теперь
1
г2
д
дг
/2 \
(Г иг) +
диг

дв
г -—
1
r sin#
f const —
J
sin
ldF
=
r de
b
—.
r
д '
дв(sm
bcosd
в
1) Для более подробного расчета различных случаев турбулентного движе-
движения обычно пользуются различными «полуэмпирическими» теориями, осно-
основанными на определенных предположениях о зависимости коэффициента
турбулентной вязкости от градиента средней скорости. Так, в теории Пран-
дтля полагается (для плоского течения)
_ 72 дих
^турб — ь —
д,
причем зависимость / (так называемой «длины пути перемешивания») от
координат выбирается в соответствии с соображениями подобия; для сво-
свободных турбулентных струй, например, полагается / = еж, где с — эмпири-
эмпирическая численная постоянная. Такие теории обычно дают хорошее согласие
с опытом и потому имеют прикладное значение в качестве хороших интер-
интерполяционных расчетных схем. При этом, однако, оказывается невозможным
приписать входящим в теорию характерным эмпирическим численным по-
постоянным универсальных значений; так, например, отношение длины пути
перемешивания / к поперечным размерам турбулентной области приходится
выбирать различным для разных конкретных случаев. Следует также отме-
отметить, что хорошее согласие с опытными данными удается получить, исходя
из различных выражений для турбулентной вязкости.

216	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Постоянная интегрирования должна быть положена равной —Ь, чтобы ско-
скорость не обращалась в бесконечность при 9 = тг (что касается обращения / в
бесконечность при 9 = 0, то оно несущественно, поскольку рассматриваемое
здесь решение относится только к пространству вне турбулентной области,
а направление 9 = 0 лежит внутри нее). Таким образом,
ив =	—- = —ctg-.	B)
г sin 6/	г 2
Проекция скорости на направление струи (их) и абсолютная величина ско-
скорости равны
Ь bcosO	Ь 1
их — ~~ — 	, и =	.	C)
г	х	г sin (9/2)
Постоянную Ь можно связать с постоянной В = /3Qo/a, входящей в формулу
C6.5). Рассмотрим отрезок конуса турбулентной области, вырезаемый дву-
двумя бесконечно близкими поперечными сечениями. Количество жидкости,
втекающей в 1 с извне в этот участок турбулентной области, равно
dQ = —2тггр sin ащ dr = 2кЪр A + cos a) dr,
а из формулы C6.5) имеем dQ = В dx = В cos a dr. Сравнивая оба выраже-
выражения, получаем
2тг/9 1 + cos a
На границе турбулентной области скорость и направлена внутрь этой
области, образуя угол (тг — а) /2 с положительным направлением оси х.
Сравним среднюю скорость внутри турбулентной области, определен-
определенную как
Q В
7vR2p тгрх tg2 a
со скоростью (их)иот на границе этой области. Взяв первую из формул C)
с 9 = а, получим
(^ж)пот _ 1 — COS а
пх ~ 2
При а = 12° получаем для этого отношения значение 0,011, т. е. на границе
турбулентной области скорость мала по сравнению со средней скоростью
внутри области.
2. Определить закон изменения размеров и скорости в турбулентной за-
затопленной струе, бьющей из бесконечно длинной тонкой щели.
Решение. По тем же причинам, как и для аксиальной струи, заклю-
заключаем, что турбулентная область ограничена двумя плоскостями, пересекаю-
пересекающимися вдоль линии щели, т. е. полуширина струи:
Y = xtga.
Поток импульса в струе (отнесенной к единице длины щели) — порядка pu2Y.
Для зависимости средней скорости и от х получаем поэтому
const
и	—.
л/%
Расход жидкости через сечение турбулентной области струи Q~puY', откуда
Q = const • у/х.
Местное число Рейнольдса R = uY'/v возрастает с ростом х по такому же
закону.
Эмпирическое значение угла раствора плоской струи — примерно такое
же, как у круглой струи Bа и 25°).

§ 37	ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛЕД	217
§ 37. Турбулентный след
При числах Рейнольдса, значительно превышающих крити-
критическое значение, при обтекании твердого тела потоком жидкости
позади тела образуется длинная область турбулентного движе-
движения. Эту область называют турбулентным следом. На больших
(по сравнению с размерами тела) расстояниях простые сообра-
соображения позволяют определить форму следа и закон убывания ско-
скорости жидкости в нем (L. Prandtl, 1926).
Как и при исследовании ламинарного следа в § 21, обозначим
через U скорость натекающего на тело потока и выберем ее на-
направление в качестве оси х. Усредненную же по турбулентным
пульсациям скорость жидкости в каждой точке будем писать в
виде U + и. Обозначив буквой а некоторую поперечную ширину
следа, мы определим зависимость а от х. Если при обтекании
тела подъемная сила отсутствует, то на больших расстояниях от
тела след обладает аксиальной симметрией и имеет круговое се-
сечение; величиной а может являться в этом случае радиус следа.
Наличие же подъемной силы приводит к появлению некоторо-
некоторого избранного направления в плоскости yz, и след уже не будет
обладать аксиальной симметрией ни на каких расстояниях от
тела.
Продольная компонента скорости жидкости в следе ~[/, а по-
поперечная — порядка некоторого среднего значения и турбулент-
турбулентной скорости. Поэтому угол между линиями тока и осью х —
порядка величины отношения u/U. С другой стороны, граница
следа является, как мы знаем, границей, за которую не выходят
линии тока вихревого турбулентного движения. Отсюда следует,
что угол наклона линии контура продольного сечения следа к
оси х — тоже порядка величины u/U. Это значит, что мы можем
написать:
Т~ТГ	C7Л)
dx U
Далее, воспользуемся формулами B1.1), B1.2), определяю-
определяющими действующие на тело силы через интегралы от скорости
жидкости в следе (причем под скоростью подразумевается те-
теперь ее усредненное значение). В этих интегралах область инте-
интегрирования ~а2. Поэтому оценка интеграла приводит к соотно-
соотношению F ~ pUua2, где F — порядок величины силы сопротивле-
сопротивления или подъемной силы. Таким образом,
Подставляя это в C7.1), находим
da ^ F
dx ~ pU2a2 '

218	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
откуда путем интегрирования
а ~ 	 .	C7.3)
\pU2J	v J
Таким образом, ширина следа растет пропорционально кубиче-
кубическому корню из расстояния от тела. Для скорости и имеем из
C7.2) и C7.3):
и~[ — ) >	37'4
т. е. средняя скорость движения жидкости внутри следа падает
обратно пропорционально ж2/3.
Движение жидкости в каждом участке длины следа характе-
характеризуется числом Рейнольдса К^аи/и. Подставляя C7.3) и C7.4),
получаем
р	F	1/ F2 у/3
К
vpJJa v \p2Ux/
Мы видим, что это число не остается постоянным вдоль длины
следа в противоположность тому, что мы имели в случае тур-
турбулентной струи. На достаточно больших расстояниях от тела
R делается настолько малым, что движение в следе перестает
быть турбулентным. Дальше простирается область ламинарного
следа, свойства которого были уже исследованы в § 21.
В § 21 были получены формулы, описывающие движение
жидкости вне следа вдали от тела. Эти формулы применимы
к движению вне турбулентного следа в той же мере, что и вне
ламинарного следа.
Отметим здесь некоторые общие свойства распределения ско-
скоростей вокруг обтекаемого тела. Как внутри турбулентного сле-
следа, так и вне его, скорость (речь идет везде о скорости и) падает с
увеличением расстояния от тела. При этом, однако, продольная
скорость их падает вне следа значительно быстрее (как 1/ж2),
чем внутри следа. Поэтому вдали от тела можно считать, что
продольная скорость их имеется только внутри следа, а вне его
их = 0. Можно сказать, что их спадает от некоторого макси-
максимального значения на «оси» следа до нуля на его границе. Что
же касается поперечных скоростей иу, uZi то на границе следа
они того же порядка величины, что и внутри него, а при удале-
удалении от следа (при неизменном расстоянии от тела) они быстро
падают.
§ 38. Теорема Жуковского
Описанный в конце предыдущего параграфа характер рас-
распределения скоростей вокруг обтекаемого тела не относится к
исключительным случаям, когда толщина образующегося за те-
телом следа очень мала по сравнению с его шириной. Такой след

§ 38	ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО	219
образуется при обтекании тел, толщина которых (в направле-
направлении оси у) мала по сравнению с их шириной в направлении z
(длина же в направлении обтекания — оси х — может быть про-
произвольной), другими словами, речь идет об обтекании тел, по-
поперечное (к направлению движения) сечение которых обладает
сильно вытянутой в одном направлении формой. Сюда относят-
относятся, в частности, обтекания крыльев — тел, размах которых велик
по сравнению со всеми остальными их размерами.
Ясно, что в таком случае нет никаких причин для того, чтобы
перпендикулярная к плоскости турбулентного следа скорость иу
заметно уменьшалась уже на расстояниях порядка толщины сле-
следа. Напротив, эта скорость будет теперь иметь одинаковый поря-
порядок величины как внутри следа, так и на значительных (порядка
размаха крыла) расстояниях от него. При этом, конечно, пред-
предполагается, что подъемная сила отлична от нуля; в противном
случае поперечная скорость практически вообще отсутствует.
Рассмотрим вертикальную подъемную силу Fy, развиваю-
развивающуюся при таком обтекании. Согласно формуле B1.2) она опре-
определяется интегралом
Fy = -pU ГГ Uydydz,	C8.1)
причем ввиду характера распределения скорости иу интегриро-
интегрирование в данном случае должно производиться по всей поперечной
плоскости. Более того, поскольку толщина следа (по оси у) мала,
а скорость иу внутри него отнюдь не велика по сравнению с этой
же скоростью вне следа, то в рассматриваемом случае можно
с достаточной точностью ограни-
ограничиться при интегрировании по dy
интегрированием только по области
вне следа, т. е. написать:
/ Uydyxi / Uydy+Uy dy,
2/1
где у\жу2 — координаты границ сле-
следа (рис. 26).	Рис. 26
Но вне следа движение потенциально и иу = дср/ду] имея в
виду, что на бесконечности ср = 0, получаем поэтому
где (f2 и (fi — значения потенциала на обеих сторонах следа;
можно сказать, что (f2 — (fi есть скачок потенциала на поверх-
поверхности разрыва, которой можно заменить тонкий след. Что же
касается производных от <р, то производная иу = dip/ду должна

220	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
оставаться непрерывной. Скачок нормальной к поверхности сле-
следа компоненты скорости означал бы, что некоторое количество
жидкости втекает в след; между тем, в приближении, в кото-
котором толщина следа пренебрегается, этот эффект должен отсут-
отсутствовать. Таким образом, мы заменяем след поверхностью тан-
тангенциального разрыва. Далее, в этом же приближении на следе
должно быть непрерывно также и давление. Поскольку измене-
изменение давления определяется согласно формуле Бернулли в первом
приближении величиной pUux = pUdcp/dx, то отсюда следует,
что должна быть непрерывна и производная дср/дх. Производ-
Производная же dcp/dz — скорость в направлении размаха крыла — испы-
испытывает, вообще говоря, скачок.
Ввиду непрерывности производной дср/дх скачок ^f2~cPi есть
величина, зависящая только от z, но не от координаты х вдоль
длины следа. Таким образом, получаем для подъемной силы сле-
следующую формулу:
Fy = -pU J(cp2 - <pi) dz.	C8.2)
Интегрирование по dz распространяется фактически лишь по
ширине следа (вне следа, конечно, (f2 — (fx = 0).
Эту формулу можно представить в несколько ином виде. Для
этого замечаем, что по известным свойствам интегралов от гра-
градиента скаляра можно написать разность ^ - ^ в виде криво-
криволинейного интеграла
/ V(f • d\ = / (иу dy + ux dx),
взятого по контуру, выходящему из точки ух, огибающему те-
тело и приходящему в точку j/2? проходя, таким образом, везде в
области потенциального движения. А благодаря тонкости сле-
следа можно, не изменяя интеграла с точностью до малых величин
высшего порядка, дополнить этот длинный контур коротким от-
отрезком от у\ до 2/2? превратив его таким образом в замкнутый.
Обозначая буквой Г циркуляцию скорости по замкнутому кон-
контуру С, охватывающему тело (рис. 26):
Г = (f)VLd\ = (p2-(px,	C8.3)
j
получаем для подъемной силы формулу
Fy = -pU JYdz.	C8.4)
Знак циркуляции скорости выбирается всегда для обхода конту-
контура в направлении против часовой стрелки. Знак в формуле C8.3)
связан также и с выбором направления обтекания: мы предпола-
предполагали везде, что обтекание происходит в положительном направ-
направлении оси х (поток натекает слева направо).

§ 38	ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО	221
Устанавливаемая формулой C8.4) связь подъемной силы с
циркуляцией скорости составляет содержание теоремы Н. Е. Жу-
Жуковского A906). К применению этой теоремы к хорошо обтекае-
обтекаемым крыльям мы вернемся еще в § 46.
Задачи
1. Определить закон расширения турбулентного следа, образующегося
при поперечном обтекании бесконечно длинного цилиндра.
Решение. Для силы сопротивления /ж, отнесенной к единице дли-
длины цилиндра, имеем по порядку величины fx ~ pUuY. Комбинируя это с
соотношением C7.1), получаем для ширины следа У:
где А — постоянная. Средняя скорость и в следе падает по закону
рх
Число Рейнольдса R ~ Yu/v ~ fxl(ypU) не зависит от ж и потому ламинар-
ламинарного участка след не имеет.
Укажем, что согласно экспериментальным данным постоянный коэффи-
коэффициент в A) равен А = 0,9 (причем У есть полуширина следа); если под У
понимать расстояние, на котором скорость их падает до половины своего
максимального значения по середине следа, то А = 0,4.
2. Определить движение вне следа, образующегося при поперечном об-
обтекании бесконечно длинного тела.
Решение. Вне следа движение потенциально (потенциал обозначаем
здесь буквой Ф в отличие от угла (р в цилиндрической системе координат
г, z, (р с осью z вдоль длины тела). Подобно тому как было сделано в B1.16),
заключаем, что должно быть
/ u at = / УФ «I = -—,
J J	Ри'
где теперь интегрирование производится по поверхности цилиндра большо-
большого радиуса с осью вдоль оси х и длиной, равной единице, a fx есть сила
сопротивления, отнесенная к единице длины тела. Удовлетворяющее этому
условию решение двумерного уравнения Лапласа АФ = 0 есть
Ф = —-— In г.
2тгр[/
Далее, для подъемной силы имеем согласно C8.2)
Наименее быстро убывающим с расстоянием решением уравнения Лапласа,
испытывающим скачок на плоскости <р = 0, является
Ф = const ш —	— <?
^ 2тг pU
(выбор константы определяется тем, что (f2 — (fi = 2тг). Движение жидкости
определяется суммой обоих найденных решений:
Ф=^77(/,1пг-/^).	B)

222	ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	ГЛ. Ill
Цилиндрические компоненты скорости и равны
и - дФ - fx	и -1дФ - h	C)
дт 2тгр11г	г д(р 2тгр11г
Скорость и образует с цилиндрическим радиус-вектором постоянный угол,
тангенс которого равен fy/fx-
3. Определить закон изгибания следа за бесконечно длинным телом при
наличии подъемной силы.
Решение. При наличии подъемной силы след (рассматриваемый как
поверхность разрыва) изгибается в плоскости ху. Закон у = у(х) этого из-
изгибания определяется уравнением
dx _ dy
их + U иу
Подставив сюда согласно C) иу и —fy/B7vpUx) и пренебрегая их по сравне-
сравнению с U, получим
dy_ =	fy
dx	2тгри2х
откуда
у = const	—— In х.

ГЛАВА IV
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
§ 39. Ламинарный пограничный слой
Мы уже неоднократно ссылались на то обстоятельство, что
очень большие числа Рейнольдса эквивалентны очень малой вяз-
вязкости, в результате чего жидкость может рассматриваться при
таких R как идеальная. Однако такое приближение во всяком
случае непригодно для движения жидкости вблизи твердых сте-
стенок. Граничные условия для идеальной жидкости требуют лишь
исчезновения нормальной составляющей скорости; касательная
же к поверхности обтекаемого тела компонента скорости остает-
остается, вообще говоря, конечной. Между тем, у вязкой реальной жид-
жидкости скорость на твердых стенках должна обращаться в нуль.
Отсюда можно сделать вывод, что при больших числах Рей-
Рейнольдса падение скорости до нуля будет происходить почти пол-
полностью в тонком пристеночном слое жидкости. Этот слой носит
название пограничного и характеризуется, следовательно, нали-
наличием в нем значительных градиентов скорости. Движение в по-
пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулент-
турбулентным. Здесь мы рассмотрим свойства ламинарного пограничного
слоя. Граница этого слоя не является, конечно, резкой, и пере-
переход между ламинарным движением в нем и в основном потоке
жидкости происходит непрерывным образом.
Падение скорости в пограничном слое обусловливается в ко-
конечном итоге вязкостью жидкости, которой нельзя пренебречь
здесь, несмотря на большие значения R. Математически это про-
проявляется в том, что градиенты скорости в пограничном слое ве-
велики и потому вязкие члены в уравнениях движения, содержа-
содержащие производные от скорости по координатам, велики, несмотря
на малость v :) .
Выведем уравнения движения жидкости в ламинарном по-
пограничном слое. Для простоты вывода рассмотрим двумерное
обтекание жидкостью плоского участка поверхности тела. Эту
плоскость выберем в качестве плоскости xz, причем ось х на-
направлена по направлению обтекания. Распределение скорости не
зависит от координаты z\ ^-компонента скорости отсутствует.
1) Идея и основные уравнения теории ламинарного пограничного слоя бы-
были сформулированы Прандтлем (L. Prandtl, 1904).

224	пограничный слой	гл. iv
Точные гидродинамические уравнения Навье-Стокса и урав-
уравнение непрерывности, написанные в компонентах, принимают
вид:
vT—- + vv—- = ———-\-v\—- + —-1,	C9.1)
ох	ду	р ох \ ох2 ду2 /
OVy .	OVy	1 Op . f О Vv . О Vv \	/пл л\
vx—- + vy—- = ——--\-и[	- +	-1,	(oy.zj
дх	ду р ду V дх2 ду2 /
^ + ^ = 0.	C9.3)
дх ду
Движение предполагается стационарным, и потому производных
по времени не пишем.
Ввиду тонкости пограничного слоя ясно, что движение в нем
будет происходить в основном параллельно обтекаемой поверх-
поверхности, т. е. скорость Vy будет мала по сравнению с vx (это видно
уже и непосредственно из уравнения непрерывности).
Вдоль направления оси у скорость меняется быстро — замет-
заметное изменение ее происходит на расстояниях порядка толщины
S пограничного слоя. В направлении же оси х скорость меняет-
меняется медленно; заметное изменение ее происходит здесь на протя-
протяжении расстояний порядка характеристической длины / задачи
(скажем, размеров тела). Поэтому ее производные по у велики
по сравнению с производными по х. Из сказанного следует, что
в уравнении C9.1) можно пренебречь производной d2vx/dx2 по
сравнению с d2vx/dy2, а сравнивая первое уравнение со вторым,
мы видим, что производная др/ду мала по сравнению с др/дх
(по порядку величины — в отношении vy/vx). В рассматриваемом
приближении можно положить просто
? = 0,	C9.4)
ду
т. е. можно считать, что в пограничном слое нет поперечного
градиента давления. Другими словами, давление в пограничном
слое равно давлению р(х), имеющемуся в основном потоке жид-
жидкости и являющемуся при решении задачи о пограничном слое
заданной функцией от ж. В уравнении C9.1) можно теперь на-
написать вместо др/дх полную производную dp(x)/dx; эту произ-
производную можно выразить с помощью скорости U(x) основного
потока. Поскольку вне пограничного слоя движение потен-
потенциально, то справедливо уравнение Бернулли р + pU2/2 = const,
откуда
р dx	dx

§ 39	ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	225
Таким образом, получаем систему уравнений движения в ла-
ламинарном пограничном слое — уравнения Прандтля — в виде
vx^ + vy^-u^ = -1-^ = uf,	C9.5)
дх	ду	ду2	р ах	ах
^ + ^ = 0.	C9.6)
дх ду
Граничные условия к этим уравнениям требуют обращения в
нуль скорости на стенке:
vx = Vy = 0 при у = 0.	C9.7)
При удалении от стенки продольная скорость должна асимпто-
асимптотически приближаться к скорости основного потока:
vx — U(x) при у —>> оо	C9.8)
(постановка же отдельного условия для vy на бесконечности не
требуется).
Можно легко показать, что уравнения C9.5), C9.6) (выведен-
(выведенные для обтекания плоской стенки) остаются справедливыми и в
более общем случае двумерного обтекания тела (поперечное об-
обтекание бесконечно длинного цилиндра произвольного сечения).
При этом х есть расстояние, отсчитываемое по длине линии кон-
контура поперечного сечения тела от некоторой его точки, а у —
расстояние от поверхности тела (по нормали к ней).
Пусть Щ — характеристическая скорость данной задачи (на-
(например, скорость на бесконечности натекающего на тело потока
жидкости). Введем вместо координат ж, у и скоростей vXl vy без-
безразмерные переменные ж7, у7, v'x, v'y согласно определениям:
х = У, у=^=, vx = Uov'x, vy = ^	C9.9)
(и соответственно полагаем U = UoUf), где R = ——. Тогда урав-
нения C9.5), C9.6) принимают вид
v'x^ + v'^-^!k = U'd-^, °<+dA = o.	C9.10)
х дх' у ду' ду'2	dx'' дх' ду'	V	J
Эти уравнения (а также и граничные условия к ним) не содержат
вязкости. Это значит, что их решения не зависят от числа Рей-
ноль дса. Таким образом, мы приходим к важному результату:
при изменении числа Рейнольдса вся картина движения в погра-
пограничном слое подвергается лишь подобному преобразованию, при
котором продольные расстояния и скорости остаются неизмен-
неизменными, а поперечные меняются обратно пропорционально корню
из R.
8 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

226	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
Далее, можно утверждать, что получающиеся в результате
решения уравнений C9.10) безразмерные скорости v'x, v'y, как не
зависящие от R, должны быть порядка величины единицы. Из
формул C9.9) можно, следовательно, заключить, что
vy~Uo/y/R,	C9.11)
т. е. отношение поперечной скорости к продольной обратно про-
пропорционально л/R. То же самое относится к толщине погранич-
пограничного слоя 5: в безразмерных координатах х\ у' толщина 5' ~ 1,
а в реальных координатах ж, у:
C9.12)
Применим уравнения пограничного слоя к обтеканию плос-
плоской полубесконечной пластинки плоско-параллельным потоком
жидкости (Н. Blasius, 1908). Пусть пластинка совпадает с полу-
полуплоскостью xz, соответствующей х > 0 (так что передним краем
пластинки является линия х = 0). Скорость основного потока в
этом случае постоянна: U = const. Уравнения C9.5), C9.6) при-
принимают вид
dvx	dvx _ d2vx dvx 0vy _ ~	/oq -i n\
Ox	Oy	Oy2 Ox Oy
В решениях уравнений Прандтля величины vx/U и vyx
х (//([TV)I/2 могут быть, как мы видели, функциями только от
х' = х/1 и у' = у(U/1ъ>I12. Но в задаче о полубесконечной пла-
пластинке нет никаких характерных параметров длины /. Поэтому
vx/U может зависеть только от такой комбинации ж7 и у7, которая
не содержала бы /; таковой является
у'	[~и
V ух
Что же касается vy, то здесь функцией от у1 jyxJ должно быть
произведение Vyy/x1'.
Чтобы сразу учесть связь меж:ду vx ж vyi выраж:аемую урав-
уравнением непрерывности, введем функцию тока ф согласно опре-
определению A0.9):
vx = &, vy = -f.	C9.14)
ду	дх
Указанным выше свойствам функций vx(x, у) nvy(x, у) отвечает
функция тока вида
l^	C9.15)

§ 39
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
227
Тогда
C9.16)
Уже без количественного определения функции /(?) можно
сделать следующий существенный вывод. Основной характери-
характеристикой движения в пограничном слое является распределение в
нем продольной скорости vx (поскольку Vy мала). Эта скорость
возрастает от нуля на поверхности пластинки до определенной
доли U при определенном значении ?. Поэтому можно заклю-
заключить, что толщина пограничного слоя на обтекаемой пластинке
(определенная как значение у, на котором vx/U достигает опре-
определенного значения ~1) —порядка величины
8~y/xv]U.	C9.17)
Таким образом, толщина пограничного слоя возрастает пропор-
пропорционально корню из расстояния от края пластинки.
Подставив C9.16) в первое из уравнений C9.13) получим
уравнение для функции /(?):
//" + 2/'" = 0.
Граничные же условия C9.7), C9.8) запишутся в виде
/@) = /'@) = 0, /'(оо) = 1
(распределение скоростей, очевидно, симметрично относительно
плоскости у = 0; поэтому достаточно рассмотреть сторону у > 0).
Уравнение C9.18) должно решаться чис-
численными методами. График получающейся
таким образом функции /'(?) изображен
на рис. 27. Мы видим, что /'(?) весьма бы-
быстро стремится к своему предельному зна-
значению—к единице. Предельный вид са-
самой функции /(?) при малых ?:
C9.18)
C9.19)
0,8
0,4
ч
a = 0,332; C9.20)
Рис.27
членов с ?3 и ?4 в этом разложении не может быть, в чем легко
убедиться из уравнения C9.18). Предельный же вид функции
при больших ?:
/(О =?-0, /5 = 1,72,	C9.21)
причем погрешность этого выражения, как можно показать, экс-
экспоненциально мала.
Сила трения, действующая на единицу площади поверхности
пластинки, равна
dvx
ду
1/2
у=0
= ,p)"V'(o)
\xv J

228	пограничный слой	гл. iv
или
axv = 0,332W ^-.	C9.22)
V х
Если пластинка имеет длину / (вдоль оси ж), то полная дей-
действующая на нее сила трения (отнесенная к единице длины вдоль
края пластинки) равна
l
F = 2 faxydx = 1,328л/г/р/[/3	C9.23)
о
(множитель 2 учитывает наличие двух сторон пластинки) :) .
Отметим, что сила трения оказывается пропорциональной полу-
полуторной степени скорости натекающего потока. Формула C9.23)
применима, конечно, только для длинных пластинок, для кото-
которых число R = Uljv достаточно велико. Вместо силы обычно
вводят коэффициент сопротивления как безразмерное отношение
С=	.	C9.24)
Согласно C9.23) эта величина при ламинарном обтекании пла-
пластинки обратно пропорциональна корню из числа Рейнольдса:
С = 1,328RT1/2.	C9.25)
В качестве точно определенной характеристики толщины по-
пограничного слоя можно ввести так называемую толщину вытес-
вытеснения E* согласно определению
оо
US* = J(U- vx) dy.	C9.26)
о
Подставив сюда vx из C9.16), имеем
I	 оо	I
5* = Jf /A-/')« = ^/р-
и с учетом предельного выражения C9.21):
5* =/3^ =1,72^.	C9.27)
Выражение в правой части определения C9.26) есть «дефицит»
расхода жидкости в пограничном слое по сравнению с тем,
1) Приближение пограничного слоя неприменимо у переднего края пла-
пластинки, где S ^ х. Это обстоятельство, однако, несущественно при вычислении
полной силы F ввиду быстрой сходимости интеграла на нижнем пределе.

§ 39	ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	229
что было бы в однородном потоке со скоростью U. Поэтому мож-
можно сказать, что ?* есть расстояние, на которое обтекающий поток
оттесняется наружу от пластинки из-за замедления жидкости в
пограничном слое. С этим оттеснением связано и то обстоятель-
обстоятельство, что поперечная скорость vy в пограничном слое стремится
при у —>> оо не к нулю, а к конечному значению
У = 9 V —^ ~ •> Jf-юо = f\ — = U'8b\/ —• C9.28)
z у x	z у x	ух
Полученные выше количественные формулы относятся, ко-
конечно, только к обтеканию пластинки. Качественные же резуль-
результаты (такие как C9.11), C9.12)) справедливы и для обтекания
тела произвольной формы; при этом под I надо понимать разме-
размеры тела в направлении обтекания.
Упомянем особо еще о двух случаях пограничного слоя. Если
плоский диск (большого радиуса) вращается вокруг оси, перпен-
перпендикулярной его плоскости, то для оценки толщины погранич-
пограничного слоя надо подставить в C9.17) fix вместо U (О —угловая
скорость вращения). Тогда находим
C9.29)
Мы видим, что толщину пограничного слоя можно считать по-
постоянной вдоль поверхности диска (в согласии с полученным в
§ 23 точным решением этой задачи). Что касается действующе-
действующего па диск момента сил трения, то расчет с помощью уравнений
пограничного слоя приводит, конечно, к формуле B3.4), посколь-
поскольку эта формула является вообще точной и потому относится к
ламинарному движению при любых R.
Наконец, остановимся на вопросе о ламинарном пограничном
слое, возникающем на стенках трубы вблизи места входа жидко-
жидкости в нее. Жидкость вступает в трубу обычно с распределением
скоростей, почти постоянным по всему поперечному сечению, и
падение скорости происходит только в пограничном слое. По ме-
мере удаления от входа начинают тормозиться слои жидкости все
ближе к оси трубы. Поскольку количество протекающей жидко-
жидкости должно оставаться постоянным, то наряду с уменьшением
диаметра внутренней части течения (с почти постоянным про-
профилем скоростей) происходит одновременное его ускорение. Так
продолжается до тех пор, пока асимптотически не устанавлива-
устанавливается пуазейлевское распределение скоростей, которое, таким об-
образом, имеет место только на достаточно большом расстоянии
от входа трубы. Легко определить порядок величины длины /
этого так называемого начального участка течения. Он опреде-
определяется тем, что на расстоянии / от входа толщина пограничного
слоя делается порядка величины радиуса а трубы, так что по-
пограничный слой как бы заполняет собой все ее сечение. Полагая

230	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
в C9.17) х ~ / и 5 ~ а, получим
l~a2U/v~aR.	C9.30)
Таким образом, длина начального участка пропорциональна
числу Рейнольдса :) .
Задачи
1.	Определить толщину пограничного слоя вблизи критической точки
(см. § 10) на обтекаемом жидкостью теле.
Решение. Вблизи точки остановки скорость жидкости (вне погра-
пограничного слоя) является линейной функцией расстояния х от этой точки, так
что U = const • х. Оценка членов уравнений C9.5), C9.6) приводит к выра-
выражению 8 ~ (zz/constI/2. Таким образом, вблизи критической точки толщина
пограничного слоя остается конечной.
2.	Определить движение в пограничном слое при конфузорном (см. § 23)
течении между двумя пересекающимися плоскостями (К. Pohlhausen, 1921).
Решение. Рассматривая пограничный слой на одной из сторон угла,
отсчитываем координату х вдоль этой стороны от вершины угла О (см.
рис. 8). При течении идеальной жидкости мы имели бы для скорости формулу
U = Q /{арх), выражающую собой просто сохранение расхода жидкости Q в
потоке (а — угол между пересекающимися плоскостями). Таким образом, в
правой части уравнения C9.5) будет стоять UdU/dx = —Q2/(a2p2xs). Легко
видеть, что после этого уравнения C9.5), C9.6) станут инвариантными по
отношению к преобразованию х —»¦ ах, у —»¦ ay, vx —»¦ vx/a, vy —»¦ vy/a с
произвольной постоянной а. Это значит, что можно искать vx и vy в виде
«* = -?-/«), ^ = — МО, ? = -,
арх	арх	х
тоже инвариантном относительно указанного преобразования. Из уравнения
непрерывности C9.6) находим, что /i = ?/, после чего из C9.5) получаем
для функции /(?) уравнение:
^/" = i-/2.	а)
Граничные условия C9.8) означают, что должно быть /@) = 0, /(оо) = 1.
Первый интеграл уравнения A) есть
/« = /_/!+const.
2QJ J 3
Поскольку при ? —>- оо функция / стремится к единице, то мы видим, что и
/' стремится к определенному пределу, и ясно, что этот предел может быть
1) В этой книге не излагается значительно более сложная и менее нагляд-
наглядная теория пограничного слоя в сжимаемой жидкости. Сжимаемость дол-
должна учитываться при скоростях, сравнимых со скоростью звука (или пре-
превышающих ее). Ввиду возникающего при этом сильного разогрева газа и
обтекаемого тела оказывается необходимым рассматривать уравнения дви-
движения в пограничном слое совместно с уравнением теплопередачи в нем.
Может оказаться также необходимым учет температурной зависимости ко-
коэффициентов вязкости и теплопроводности газа.

§ 40	ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ОТРЫВА	231
только нулем. Определяя отсюда const, находим
?^/« = _!(,_ !)»(, +2).	B)
Так как правая часть отрицательна в интервале 0 ^ / ^ 1, то непременно
должно быть Q < 0: пограничный слой рассматриваемого типа образуется
только при конфузорном течении (с большими числами Рейнольдса R =
= \Q\/(pav)), и не получается при диффузорном течении — в согласии с
результатами § 23. Интегрируя еще раз, получаем окончательно
2.	C)
Толщина пограничного слоя S ~ x/R1/2. Значение производной /'@) =
= 2(R/3I/2, как это видно из B). Поэтому сила трения, действующая на
единицу площади стенки:
§ 40. Движение вблизи линии отрыва
При описании явления отрыва (§ 35) уже было указано, что
реальное положение линии отрыва на поверхности обтекаемо-
обтекаемого тела определяется свойствами движения в пограничном слое.
Мы увидим ниже, что в математическом отношении линия отры-
отрыва есть линия, точки которой являются особыми точками реше-
решений уравнений движения в пограничном слое (уравнений Пран-
дтля). Задача состоит в том, чтобы определить свойства этих
решений вблизи такой особой линии х) .
От линии отрыва отходит, как мы знаем, уходящая в глубь
жидкости поверхность, ограничивающая область турбулентно-
турбулентного движения. Движение по всей турбулентной области является
вихревым, между тем как при отсутствии отрыва оно было бы
вихревым лишь в пограничном слое, где существенна вязкость
жидкости, а в основном потоке ротор скорости отсутствовал бы.
Поэтому можно сказать, что при отрыве происходит проникно-
проникновение ротора скорости из пограничного слоя в глубь жидкости.
Но в силу закона сохранения циркуляции скорости такое про-
проникновение может произойти только путем непосредственного
перемещения движущейся вблизи поверхности тела (в погранич-
пограничном слое) жидкости в глубь основного потока. Другими словами,
должен произойти как бы «отрыв» течения в пограничном слое
от поверхности тела, в результате чего линии тока выходят из
пристеночного слоя в глубь жидкости. (Поэтому и называют это
явление отрывом или отрывом пограничного слоя.)
Уравнения движения в пограничном слое приводят, как мы
видели, к результату, что в пограничном слое тангенциальная
) Излагаемая здесь, несколько отличная от обычной трактовка вопроса
принадлежит Л.Д. Ландау A944).

232	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
составляющая скорости (vx) велика по сравнению с нормальной
к поверхности тела компонентой (vy). Такое соотношение меж-
между vx и Vy органически связано с основными предположениями
о характере движения в пограничном слое и должно необходи-
необходимым образом соблюдаться везде, где уравнения Прандтля имеют
физически осмысленные решения. Математически оно во всяком
случае имеет место во всех точках, не лежащих в непосредствен-
непосредственной близости от особых точек. Но если vy<^vXi то это значит, что
жидкость движется вдоль поверхности тела, практически не от-
отклоняясь от нее, так что никакого отрыва течения произойти не
может. Таким образом, мы приходим к выводу, что отрыв может
произойти лишь на той линии, точки которой являются особыми
для решения уравнений Прандтля.
Характер этих особенностей тоже непосредственно следует из
сказанного. Действительно, дойдя до линии отрыва, течение от-
отклоняется, переходя из области пограничного слоя в глубь жид-
жидкости. Другими словами, нормальная составляющая скорости пе-
перестает быть малой по сравнению с тангенциальной и делается
по крайней мере одного с нею порядка величины. Мы видели
(см. C9.11)), что отношение vy/vx ~ R~1/2, так что возрастание
vy до vy ~ vx означает увеличение в л/R раз. Поэтому при доста-
достаточно больших числах Рейнольдса (о которых, разумеется, толь-
только и идет речь) можно считать, что vy возрастает в бесконечное
число раз. Если перейти в уравнениях Прандтля к безразмер-
безразмерным величинам (см. C9.10)), то описанное положение формаль-
формально означает, что безразмерная скорость v'y в решении уравнений
становится на линии отрыва бесконечной.
Будем рассматривать для некоторого упрощения дальнейше-
дальнейшего исследования двумерную задачу о поперечном обтекании бес-
бесконечно длинного тела. Как обычно, х будет координатой вдоль
поверхности тела в направлении течения, а координата у будет
расстоянием от поверхности тела. Вместо линии отрыва здесь
можно говорить о точке отрыва, подразумевая пересечение ли-
линии отрыва с плоскостью ху\ в выбранных координатах это есть
точка х = const = жо, У = 0. Область до точки отрыва пусть
соответствует х < xq.
Согласно полученным результатам при х = xq имеем при
всех у :)
vy(x0, у) = оо.	D0.1)
Но в уравнениях Прандтля скорость vy является своего рода
вспомогательной величиной, которой при исследовании движе-
движения в пограничном слое обычно не интересуются (в связи с ее
) Кроме только точки у = 0, в которой всегда должно быть vy = 0 согласно
граничным условиям на поверхности тела.

§ 40	ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ОТРЫВА	233
малостью). Поэтому желательно выяснить, какими свойствами
обладает вблизи линии отрыва функция vx.
Из D0.1) ясно, что при х = xq обращается в бесконечность
также и производная dvy/dy. Из уравнения непрерывности
^± + <Ч = о	D0.2)
дх ду	v J
следует тогда, что и производная dvx/dx делается бесконечной
при х = жо, или
I1	=0,	D0.3)
где х рассматривается как функция от vx и у, а г>о(у) = ^ж(ж(ь у)-
Вблизи точки отрыва разности vx — vq и xq — х малы, и можно
разложить xq — х в ряд по степеням vx — vq (при заданном у).
В силу условия D0.3) член первого порядка в этом разложении
тождественно выпадает, и с точностью до члена второго порядка
имеем
xq -х = f(y)(vx -v0J
или
vx = Щ(у) + а(у)лМ) ~ж>	D0-4)
где а = f~1'2 —некоторая функция только от у. Написав теперь
dvy _ _chx_ _ а(у)
ду
и интегрируя, получаем
^L	D0.5)
Хо — X
где /3(у) — снова функция от у.
Далее, воспользуемся уравнением C9.5):
dvx , dvx d2vx 1 dp	г лп г\
дх	ду	ду2 р ax
Производная d2vx/dy2 не обращается, как это видно из D0.2),
при х = xq в бесконечность. То же самое относится и к величине
dp/dx, определяющейся движением вне пограничного слоя. Оба
же члена в левой части уравнения D0.6) обращаются, каждый
в отдельности, в бесконечность. В первом приближении можно,
следовательно, написать для области вблизи точки отрыва
дх у ду
С учетом уравнения непрерывности D0.2), переписываем это
уравнение в виде
dvv	dvx 2 д vv n
vT—- — vqj	= vt	 = 0.
ду У ду	xdyvx

234	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
Поскольку при х = xq скорость vXi вообще говоря, не обращается
в нуль, то отсюда следует, что отношение vy/vx не зависит от у.
С другой стороны, из D0.4) и D0.5) имеем с точностью до членов
высшего порядка
Для того чтобы это выражение было функцией только от ж, необ-
необходимо: /3(у) = 1/2Avo(y), где А — численная постоянная. Таким
образом,
jVL	D07)
Наконец, замечая, что функции а и /3 в D0.4) и D0.5) связаны
друг с другом уравнением а = 2/3', получаем а = Adv^/dy, так
что
^	D0.8)
Формулы D0.7), D0.8) определяют характер зависимости
функций vx и vy от х вблизи точки отрыва. Мы видим, что обе
они оказываются разложимыми в этой области по степеням кор-
корня (xq — жI/2, причем разложение vy начинается с члена (—1)-й
степени, так что vy обращается при х —>• ж о в бесконечность, как
(xq—х)~1/2. При ж > жо, т. е. за точкой отрыва, разложение D0.7),
D0.8) физически неприменимо, так как корни делаются мнимы-
мнимыми; это свидетельствует о физической бессмысленности продол-
продолжения за точку отрыва решений уравнений Прандтля, описы-
описывающих движение до этой точки.
В силу граничных условий на самой поверхности тела должно
быть всегда vx = vy = 0 при у = 0. Из D0.7) и D0.8) заключаем
поэтому, что
г>0@)=0, ^ =0.	D0.9)
dy y=0
Таким образом, мы приходим к важному результату, что в са-
самой точке отрыва (х = жо, У = 0) обращается в нуль не только
скорость ^, но и ее первая производная по у (этот результат
принадлежит Прандтлю).
Необходимо подчеркнуть, что равенство dvx/dy = 0 на ли-
линии отрыва имеет место лишь постольку, поскольку при этом
же х обращается в бесконечность vy. Если бы постоянная А в
D0.7) случайно оказалась равной нулю (а потому не было бы и
vv(xq, у) = оо), то точка х = жо, У = 0, в которой обращает-
обращается в нуль производная dvx/dy, не была бы ничем замечательна
и во всяком случае не была бы точкой отрыва. Обращение А в
нуль может, однако, произойти лишь чисто случайно и поэтому

§ 40	ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ОТРЫВА	235
невероятно. Практически, следовательно, точка на поверхности
тела, в которой dvx/dy = 0, всегда является в то же время точкой
отрыва.
Если бы в точке х = xq не возник отрыв (т. е. если А = 0), то
при х > xq было бы (dvx/' ду)\у=о < 0, т. е. при удалении от стенки
(при достаточно малых у) vx делалось бы отрицательным, уве-
увеличиваясь по абсолютной величине. Другими словами, за точкой
х = xq жидкость двигалась бы в нижних слоях пограничного
слоя в направлении, обратном основному потоку; возникло бы
«подтекание» жидкости к этой точке. Подчеркнем, что из тако-
такого рода рассуждений еще отнюдь нельзя было бы делать вывод
о необходимости отрыва в точке, где dvx/dy = 0; вся картина
течения с подтеканием могла бы (как это и было бы при А = 0)
находиться целиком в области пограничного слоя, не выходя в
область основного потока, между тем как для отрыва характерен
именно выход течения в основной объем жидкости.
В предыдущем параграфе было показано, что картина дви-
движения в пограничном слое остается при изменении числа Рей-
ноль дса подобной самой себе, причем, в частности, масштабы по
координате х остаются неизменными. Отсюда следует, что значе-
значение xq координаты ж, при котором обращается в нуль производ-
производная (dvx/dy)\y=Q, не меняется при изменении R. Таким образом,
мы приходим к существенному выводу, что положение точки от-
отрыва на поверхности обтекаемого тела не зависит от числа Рей-
ноль дса (до тех пор, разумеется, пока пограничный слой остается
ламинарным; см. об этом § 45).
Выясним еще, какими свойствами обладает распределение
давления р(х) вблизи точки отрыва. При у = 0 левая часть урав-
уравнения D0.6) обращается в нуль вместе с vx и vy и остается
v
d2vx
ду2
_ 1 dp
D0.10)
y=Q	рdx
Отсюда видно, что знак dp/dx совпадает со знаком d2vx/dy2\y=Q.
До тех пор, пока (dvx/dy)\y=Q > 0, о знаке второй производной
ничего нельзя сказать. Но поскольку при удалении от стенки vx
положительно и растет (в области до точки отрыва), то в самой
точке х = жо, где dvx/dy = 0, должно во всяком случае быть
d2vx/dy2\y=Q > 0. Отсюда заключаем, что
dp
dx
> 0,	D0.11)
х=хо
т. е. вблизи точки отрыва жидкость движется от более низкого
давления к более высокому. Градиент давления связан с гради-
градиентом скорости U(x) вне пограничного слоя соотношением
1ф = _jjdU_
р dx	dx

236	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
Поскольку положительное направление оси х совпадает с на-
направлением основного потока, то U > О, и мы заключаем, что
dU
dx
< О,	D0.12)
X=XQ
т. е. вблизи точки отрыва скорость U падает в направлении те-
течения.
Из полученных результатов можно вывести заключение о том,
что при обтекании тела в том или ином месте его поверхности
должен произойти отрыв. Действительно, на заднем, как и на пе-
переднем, конце тела имеется точка, в которой при потенциальном
обтекании идеальной жидкостью скорость жидкости обращалась
бы в нуль (критическая точка). Поэтому, начиная с некоторого
значения ж, скорость U(x) должна была бы начать падать, обра-
обращаясь в конце концов в нуль. С другой стороны, ясно, что теку-
текущая вдоль поверхности тела жидкость тормозится тем сильнее,
чем ближе к стенке находится рассматриваемый ее слой (т. е.
чем меньше у). Поэтому, раньше чем обратилась бы в нуль ско-
скорость U(x) на внешней границе пограничного слоя, должна была
бы обратиться в нуль скорость в непосредственной близости от
стенки. Математически это, очевидно, означает, что производная
dvx/ду во всяком случае должна была бы обратиться в нуль (а
поэтому отрыв не может не возникнуть) при некотором ж, мень-
меньшем, чем то его значение, при котором было бы U(x) = 0.
В случае обтекания тел произвольной формы все вычисле-
вычисления могут быть произведены совершенно аналогичным образом
и приводят к результату, что на линии отрыва обращаются в
нуль производные dvx/dy, dvz/dy от обеих касательных к по-
поверхности тела компонент скорости vx и vz (ось у по-прежнему
направлена по нормали к рассматриваемому участку поверхно-
поверхности тела).
Приведем простое рассуждение, которое показывает необхо-
необходимость возникновения отрыва в случаях, когда в отсутствие
отрыва в обтекающем тело потоке жидкости имелось бы доста-
достаточно быстрое возрастание давления (и соответственно этому па-
падение скорости U) в направлении течения. Пусть на малом рас-
расстоянии Ах = Х2 — х\ давление р испытывает достаточно боль-
большое увеличение от значения р\ до р2 (р2 ^ Pi)- На том же рас-
расстоянии Ах скорость U жидкости вне пограничного слоя падает
от исходного значения Ui до значительно меньшего значения [/2,
определяемого уравнением Бернулли:
Поскольку р не зависит от у, то увеличение давления р2 — р\
одинаково на всех расстояниях от стенки. При достаточно боль-

§ 40	ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ОТРЫВА	237
шом градиенте давления dp/dx ~ (р2 — pi)/Ax в уравнении дви-
движения D0.6) может быть опущен член ud2vx/dy2, содержащий
вязкость (если только, разумеется, у не слишком мало). Тогда
можно и для оценки изменения скорости v в пограничном слое
воспользоваться уравнением Бернулли, написав
или сравнивая с предыдущим равенством:
Но скорость vi в пограничном слое меньше скорости основно-
основного потока; можно выбрать такое у, для которого v\ < U\ — f/|.
Скорость V2 оказывается, таким образом, мнимой, что свидетель-
свидетельствует об отсутствии физически осмысленных решений уравне-
уравнений Прандтля. В действительности, на участке Ах должен воз-
возникнуть отрыв, в результате которого слишком большой гради-
градиент давления уменьшается.
Интересным случаем возникновения отрыва является обтека-
обтекание угла, образованного двумя пересекающимися твердыми по-
поверхностями. При ламинарном потенциальном обтекании выпук-
выпуклого угла (см. рис. 3) скорость жидкости на крае угла обратилась
бы в бесконечность (см. задачу 6 § 10), возрастая вдоль потока,
подходящего к краю, и убывая в потоке, уходящем от него. В
действительности, быстрое падение скорости (и соответственно
возрастание давления) за краем угла приводит к возникновению
отрыва, причем линией отрыва является линия края угла. В ре-
результате возникает картина движения, рассмотренная в § 35.
При ламинарном же течении внутри вогнутого угла (см. рис. 4)
скорость жидкости обращается на краю угла в нуль. Падение
скорости (и возрастание давления) имеет здесь место в потоке,
подходящем к краю угла. Оно приводит, вообще говоря, к воз-
возникновению отрыва, причем линия отрыва расположена вверх
по течению от края угла.
Задача
Определить наименьший порядок увеличения давления Ар, которое
должно иметь место (в основном потоке) на расстоянии Ах, для того чтобы
произошел отрыв.
Решение. Пусть у есть такое расстояние от поверхности тела, на
котором, с одной стороны, уже можно применить уравнение Бернулли, а
с другой стороны, такое, что квадрат v2(y) скорости v в пограничном слое
здесь меньше изменения |А[/2| квадрата скорости U вне этого слоя. Для v(y)
можно написать по порядку величины:
, , dv U
v(y) ~ ~гу~ ту
dy S
(где 6 ~ (vl/UI/2 — ширина пограничного слоя, / — размеры тела). Прирав-
Приравнивая порядки величины обоих членов в правой части уравнения D0.6),

238	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
получаем
1 Ар v(y) vU
р Ах	у2 Sy
Из условия же
v2 = \AU2\ = 2Ap/p
находим U у /S ~ Ар/р. Исключив у из обоих полученных соотношений,
находим окончательно
Л гг2/Аж\2/з
Ap~pU ^—J .
§ 41. Устойчивость движения в ламинарном
пограничном слое
Ламинарное движение в пограничном слое, как и всякое дру-
другое ламинарное течение, при достаточно больших числах Рей-
ноль дса становится в той или иной степени неустойчивым. Ха-
Характер потери устойчивости в пограничном слое аналогичен по-
потере устойчивости при течении по трубе (§ 28).
Число Рейнольдса для течения в пограничном слое меняется
вдоль поверхности обтекаемого тела. Так, при обтекании пла-
пластинки можно определить число Рейнольдса как Rx = JJxjv^
где х — расстояние от переднего края пластинки, U — скорость
жидкости вне пограничного слоя. Более характерным для по-
пограничного слоя, однако, является такое определение, в котором
роль размеров играет какая-либо длина, непосредственно харак-
характеризующая толщину слоя; в качестве таковой можно выбрать
толщину вытеснения, определенную согласно C9.26):
D1.1)
(числовой коэффициент относится к пограничному слою на плос-
плоской поверхности).
Ввиду сравнительной медленности изменения толщины слоя
с расстоянием, и малости поперечной скорости жидкости в нем,
при исследовании устойчивости течения в небольшом участке
пограничного слоя можно рассматривать плоско-параллельное
течение с неизменным вдоль оси х профилем х) . Тогда с мате-
х) При таком рассмотрении остается, конечно, в стороне вопрос о влиянии,
которое может иметь на устойчивость пограничного слоя кривизна обте-
обтекаемой поверхности. Имеется также и определенная непоследовательность,
связанная с делаемыми пренебрежениями. Дело в том, что единственными
плоско-параллельными течениями (с профилем скорости, зависящим только
от одной координаты), удовлетворяющими уравнению Навье-Стокса, явля-
являются течения с линейным A7.1) и параболическим A7.4) профилями (в то
время как уравнение Эйлера удовлетворяется плоско-параллельным течени-
течением с произвольным профилем). Поэтому рассматриваемое в теории устой-
устойчивости пограничного слоя основное течение не является, строго говоря,
решением уравнений движения.

§ 41	УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ	239
матической точки зрения задача будет аналогична задаче об
устойчивости течения между двумя параллельными плоскостя-
плоскостями (о которой шла речь в § 29). Разница состоит лишь в форме
профиля скоростей: вместо симметричного профиля с v = 0 на
обеих границах здесь имеется несимметричный профиль, в кото-
котором скорость меняется от нуля на поверхности тела до заданно-
заданного значения [/ — скорости потока вне пограничного слоя. Такое
исследование приводит к следующим результатам (W. Tollmien,
1929; Н. Schlichting, 1933; С.С. Lin, 1945).
Форма нейтральной кривой на диаграмме о;, R (см. § 28) зави-
зависит от формы профиля скоростей в пограничном слое. Если про-
профиль скоростей не имеет точки перегиба (скорость vx монотонно
возрастает, причем кривая vx = vx(y) везде выпуклая; рис. 28 а),
то граница устойчивости имеет форму, вполне аналогичную той,
которая характеризует устойчивость течения в трубе: имеется
некоторое минимальное значение R = RKp, при котором появ-
появляются усиливающиеся возмущения, а при R —>> оо обе ветви
кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс (рис. 29 а).
Для профиля скоростей, имеющего место в пограничном слое на
плоской пластинке, вычисление дает для критического значения
числа Рейнольдса значение :) RtfKp ~ 420.
Профиль скоростей типа рис. 28 а не может иметь места, если
скорость жидкости вне пограничного слоя уменьшается вниз по
течению; в этом случае профиль скоростей непременно должен
иметь точку перегиба. Действительно, рассмотрим небольшой
участок поверхности стенки, который можно считать плоским,
и пусть х есть опять продольная координата вдоль направления
течения, а у — расстояние от стенки. Из соотношения D0.10)
ь,д2ух =1ф= _ц^?
ду2 у=0 р dx	дх
видно, что если U падает вниз по течению (dU/дх < 0), то вблизи
поверхности
ду2
т. е. кривая vx = vx(y) — вогнутая. При увеличении же у скорость
vx должна асимптотически приближаться к конечному пределу
U. Уже из геометрических соображений ясно, что для этого кри-
кривая должна стать выпуклой, а потому имеет где-то точку пере-
перегиба (рис. 28 б).
При наличии точки перегиба в профиле скоростей форма
кривой границы устойчивости несколько меняется. Именно, обе
1) При R^ —>- оо на ветвях I и II нейтральной кривой ио обращается в нуль
соответственно как R^~1/2 и R^~1/5. Точке R = RKp отвечает частота cjKp =
= 0,15 • U/6* и волновое число &кр = 0,36/?*.

240
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
ГЛ. IV
ветви кривой имеют при R —>> оо различные асимптоты: одна
ветвь по-прежнему асимптотически приближается к оси абсцисс,
а на другой ио стремится к конечному, отличному от нуля пре-
пределу (рис. 29 б). Кроме того, наличие точки перегиба сильно
понижает значение RKp.
То обстоятельство, что число Рейнольдса возрастает вдоль
пограничного слоя, придает своеобразный характер поведению
возмущений при их сносе вниз
по течению. Рассмотрим обтека-
обтекание плоской пластинки и пред-
и
U
б
Рис. 28
б
Рис. 29
положим, что в некотором месте пограничного слоя производит-
производится возмущение с заданной частотой ио. Его распространению вниз
по течению соответствует на диаграмме рис. 29 а перемещение
вправо по горизонтальной прямой ио = const. При этом возму-
возмущение сначала затухает, затем по достижении ветви / границы
устойчивости начнет усиливаться. Усиление продолжается до мо-
момента достижения ветви //, после чего возмущение вновь будет
затухать. Полный коэффициент усиления возмущения за вре-
время его прохождения через область неустойчивости очень быстро
возрастает по мере того, как эта область сдвигается в сторону
больших R (т. е. чем ниже на рис. 29 а расположен соответствую-
соответствующий горизонтальный отрезок между ветвями I vl II границы
устойчивости).
Вопрос о характере неустойчивости пограничного слоя по от-
отношению к бесконечно малым возмущениям (абсолютном или
конвективном) еще не имеет полного решения. Для профиля ско-
скоростей без точки перегиба неустойчивость является конвектив-
конвективной в той области значений R, где обе ветви нейтральной кри-
кривой (рис. 29 а) близки к оси абсцисс (сюда относится то же са-
самое доказательство, что и для плоского пуазейлевого течения —

§ 41	УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ	241
см. примеч. на с. 150). Для меньших значений R, а также для про-
профилей скорости с точкой перегиба вопрос остается открытым.
Благодаря изменению числа Рейнольдса вдоль пограничного
слоя, турбулизируется не сразу весь слой, а лишь та его часть,
для которой R# превышает определенное значение. При задан-
заданной скорости обтекания это значит, что турбулизация возникает
на определенном расстоянии от переднего края; при увеличении
скорости это место приближается к переднему краю. Экспери-
Экспериментальные данные показывают, что место возникновения тур-
турбулентности в пограничном слое существенно зависит также от
интенсивности возмущений в натекающем потоке. По мере умень-
уменьшения степени возмущенности наступление турбулентности ото-
отодвигается к более высоким значениям R#.
Различие между нейтральными кривыми на рисунках 29 а
и 29 б имеет принципиальный характер. Тот факт, что на верх-
верхней ветви частота стремится при R# —>> оо к отличному от ну-
нуля пределу, означает, что движение остается неустойчивым при
сколь угодно малой вязкости, между тем как в случае кривой
типа рис. 23 а при v —>> 0 возмущения с любой конечной часто-
частотой затухают. Это различие обусловлено именно наличием или
отсутствием точки перегиба в профиле скоростей vx = v(y). Его
происхождение можно проследить с математической точки зре-
зрения, рассмотрев задачу об устойчивости в рамках гидродинами-
гидродинамики идеальной жидкости (Rayleigh, 1880).
Подставим в уравнение плоского движения идеальной жид-
жидкости A0.10) функцию тока в виде
ф = ^о(у) + Ф\{х, У, *),
где фо — функция тока невозмущенного течения (так что ф$ =
= v(y))j г,ф\ —малое возмущение. Последнее ищем в виде
Подстановка в A0.10) приводит к следующему линеаризованно-
линеаризованному уравнению для функции ф\ х) :
V--) {ip" - k2ip) - v"ip = 0.	D1.2)
Если границей движения (по оси у) является твердая стенка, то
на ней if = 0 (как следствие условия vy = 0); если же шири-
ширина потока не ограничена (с одной или с обеих сторон), то такое
же условие должно быть поставлено на бесконечности, где поток
однороден. Будем рассматривать к как заданную вещественную
величину; частота же ио определяется тогда по собственным зна-
значениям граничной задачи для уравнения D1.2).
) Любая функция фо(у) удовлетворяет уравнению A0.10) тождественно,
ср. сказанное в примеч. на с. 238.

242	пограничный слой	гл. iv
Разделим уравнение D1.2) на (г; — оо/к), умножим на ср* и
проинтегрируем по у между двумя границами движения у\ и у2-
Проинтегрировав произведение (f*(f по частям, получим
2/2	2/2
/ (И2 + fc2M2) dy+f Щ- dy = 0.	D1.3)
J	J v — и/к
2/1	2/1
Первый член здесь во всяком случае веществен. Предполагая ча-
частоту комплексной и отделив мнимую часть равенства, получим
2/2	2
Imo;- / , ">>|у' ,2 dy = 0.	D1.4)
J \v-u/k\2
2/1
Для того чтобы могло быть Imo; 7^ 0, должен обращаться в нуль
интеграл, а для этого во всяком случае необходимо, чтобы где-
либо в области интегрирования v" проходило через нуль. Таким
образом, неустойчивость может возникнуть (при v = 0) лишь
для профилей скорости с точкой перегиба х) .
С физической точки зрения, происхождение этой неустойчи-
неустойчивости связано с «резонансным» взаимодействием между колеба-
колебаниями среды и движением ее частиц в основном течении, и в этом
смысле оно аналогично происхождению известного из кинети-
кинетической теории затухания (или усиления в неустойчивом случае)
Ландау колебаний в бесстолкновительной плазме (см. X, § 30) 2) .
Согласно уравнению D1.2) собственные колебания течения
(если они существуют) связаны с той его частью, где v/f(y) ф
Ф 0 3) . Проследить за механизмом усиления колебаний удобно
на примере профиля скорости, в котором «источник» колебаний
локализован в одном слое течения: рассмотрим профиль v(y),
кривизна которого мала везде, за исключением лишь окрестно-
окрестности некоторой точки у = уо5 заменив ее просто изломом профиля,
будем иметь в v"(y) член вида А6(у — у о); именно он будет давать
основной вклад в интеграл в уравнении D1.3). Будем описывать
) Следует отметить, что постановка задачи об устойчивости с точным ра-
равенством v = 0 физически не вполне корректна. Она не учитывает того
факта, что реальная жидкость непременно обладает хотя бы и малой, но
отличной от нуля вязкостью. Это приводит к ряду математических затруд-
затруднений: исчезновению некоторых решений (в виду понижения порядка диф-
дифференциального уравнения для функции ф) и появлению новых решений,
отсутствующих при v ф 0. Последнее обстоятельство связано с сингулярно-
сингулярностью уравнения D1.2) (отсутствующей при v ф 0): в точке, где v(y) = и/к,
обращается в нуль коэффициент при старшей производной в уравнении.
2) Эта аналогия указана А.В. Тимофеевым A979) и А.А. Андроновым и
А.Л. Фабрикантом A979); ниже мы следуем изложению А.В. Тимофеева.
) При v" (у) = 0 уравнение D1.2) вообще не имеет решений, удовлетво-
удовлетворяющих необходимым граничным условиям.

§ 42	ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ СКОРОСТЕЙ	243
течение в системе координат, в которой «источник» покоится,
т. е. v(yo) = 0 (как это изображено на рис. 30). Отделив в урав-
уравнении D1.3) вещественную часть, получим
/(И2
(И
2/1
Пусть А > 0 (как на рис. 30); поскольку первый член в этом ра-
равенстве заведомо положителен, то тогда должно быть
Re со/к > 0 — фазовая скорость волны направ-
направлена направо. При этом резонансная точка уг,
в которой фазовая скорость волны совпадает с
местной скоростью течения, v(yr) = Reo;/A;, ле-
лежит справа от точки у$. Жидкие частицы, дви-
движущиеся в окрестности резонансной точки и об-
обгоняющие волну, отдают ей энергию; частицы
Ут У
же, отстающие от волны, отбирают от нее энер-
энергию; волна будет усиливаться (неустойчивость),
если первых частиц больше чем вторых г) . Но	^ис- ^0
ввиду предполагаемой несжимаемости жидкости число частиц,
приходящихся на элемент dy ширины потока, пропорциональ-
пропорционально dy, тем самым число частиц со скоростями в интервале dv
пропорционально dy = (dy/dv)dv = dv/vf(y), т. е. роль функ-
функции распределения по скоростям играет l/vf(y). Следовательно,
для возникновения неустойчивости необходимо, чтобы при пе-
пересечении точки уг слева направо функция l/vf(y) возрастала,
т. е. v'{y) убывала. Другими словами, должно быть v"(yr) < 0, а
поскольку в точке уо производная v" положительна, то где-либо
между точками уо и У г должна быть точка перегиба профиля.
Аналогичным образом рассматривается (и приводит к тому же
результату) случай, когда А < 0; при этом фазовая скорость вол-
волны и скорость резонансных жидких частиц направлены налево.
§ 42. Логарифмический профиль скоростей
Рассмотрим плоско-параллельный турбулентный поток жид-
жидкости, текущий вдоль неограниченной плоской поверхности (ког-
(когда мы говорим о плоско-параллельности турбулентного потока,
то подразумевается, конечно, усредненное по времени движение
) По отношению к резонансным частицам движение в волне стационарно;
поэтому обмен энергией между ними и волной не обращается в нуль при
усреднении по времени (как это имеет место для других частиц, по отноше-
отношению к которым движение в волне осциллирует). Отметим также, что ука-
указанное направление обмена энергией отвечает стремлению к уменьшению
градиента скорости течения, и в этом смысле отвечает учету сколь угодно
малой вязкости.

244	пограничный слой	гл. iv
в нем) :) . Выберем направление потока в качестве оси ж, плос-
плоскость стенки — в качестве плоскости xz, так что у есть расстояние
от стенки. Компоненты средней скорости вдоль осей у vl z равны
нулю: их = и, иу = uz = 0. Перепад давления отсутствует; все
величины зависят только от у.
Обозначим буквой а силу трения, действующую на едини-
единицу поверхности стенки (и направленную, очевидно, по оси х).
Величина а представляет собой не что иное, как импульс, пере-
передаваемый жидкостью твердой стенке; она является в то же вре-
время тем постоянным потоком импульса (точнее ж-компоненты им-
импульса), который направлен в отрицательном направлении оси у,
и определяет количество импульса, непрерывно передаваемого от
более удаленных от стенки слоев жидкости к менее удаленным.
Наличие этого потока импульса связано, конечно, с наличи-
наличием вдоль оси у градиента средней скорости и. Если бы жидкость
двигалась везде с одинаковой скоростью, то никакого потока им-
импульса в ней не было бы. Можно поставить вопрос и обратным
образом: зададимся некоторым определенным значением а и вы-
выясним, каково должно быть движение в жидкости данной плот-
плотности р, приводящее к потоку импульса а. Имея в виду получить
асимптотические законы, относящиеся к очень большим числам
Рейнольдса, снова исходим из предположения, что в этих зако-
законах не должна фигурировать в явном виде вязкость жидкости v
(она становится, однако, существенной на очень малых расстоя-
расстояниях у — см. ниже).
Таким образом, значение градиента скорости dujdy на каж-
каждом расстоянии от стенки должно определяться постоянными
параметрами р, а и, разумеется, самим расстоянием у. Един-
Единственной комбинацией требуемой размерности, которую можно
составить из /э, а и у, является (сг/р) 1/2/у. Поэтому должно быть
du = «^	D2Л)
dy ку
где введена удобная для дальнейшего величина г>* (с размерно-
размерностью скорости) согласно определению
а = pvl	D2.2)
а ус — числовая постоянная (постоянная Кармана). Значение х
не может быть вычислено теоретически и должно быть опреде-
определено из эксперимента. Оно оказывается равным 2)
х = 0,4.	D2.3)
:) Излагаемые в § 42-44 результаты принадлежат Т. Карману A930) и
Л. Прандтлю A932).
) Это значение (и значение еще одной постоянной в формуле D2.8) —см.
ниже) получено из результатов измерений профиля скорости вблизи стенок
труб и прямоугольных каналов и в пограничном слое на плоских стенках.

§ 42	ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ СКОРОСТЕЙ	245
Интегрируя соотношение D2.1), получим
^	с),	D2.4)
где с —постоянная интегрирования. Для определения этой по-
постоянной нельзя воспользоваться обычными граничными услови-
условиями на поверхности стенки: при у = 0 первый член в D2.4) обра-
обращается в бесконечность. Причина этого заключается в том, что
написанное выражение становится в действительности неприме-
неприменимым на очень малых расстояниях от стенки, поскольку при
очень малых у влияние вязкости делается существенным и им
нельзя пренебрегать. Условия на бесконечности тоже отсутству-
отсутствуют: при у = оо выражение D2.4) тоже делается бесконечным.
Это связано с тем, что в поставленных нами идеализированных
условиях задачи фигурирует бесконечная поверхность стенки,
влияние которой простирается поэтому и на бесконечно большие
расстояния.
Прежде чем определить постоянную с, укажем предваритель-
предварительно на следующую существенную особенность рассматриваемого
движения: оно не имеет никаких характерных постоянных па-
параметров длины, которые могли бы определить масштаб тур-
турбулентного движения, как это имеет место в обычных случаях.
Поэтому основной масштаб турбулентности определяется самим
расстоянием у: турбулентное движение на расстоянии у от стен-
стенки имеет основной масштаб порядка величины у. Что же каса-
касается пульсационной скорости турбулентного движения, то она
порядка величины г>*. Это тоже следует непосредственно из со-
соображений размерности, поскольку г>* — единственная величина
с размерностью скорости, которую можно составить из имею-
имеющихся в нашем распоряжении величин <т, /э, у. Подчеркнем, что
в то время как средняя скорость падает с уменьшением у, поря-
порядок величины пульсационной скорости оказывается одинаковым
на всех расстояниях от стенки. Этот результат находится в со-
согласии с общим правилом, что порядок величины пульсационной
скорости определяется изменением Аи средней скорости (§ 33).
В рассматриваемом случае нет характерных длин /, на которых
можно было бы брать изменение средней скорости; Аи должно
быть теперь разумным образом определено, как изменение и при
изменении расстояния у на величину порядка его самого. Но при
таком изменении у скорость и меняется согласно D2.4) как раз
на величину порядка г>*.
На достаточно малых расстояниях от стенки начинает играть
роль вязкость жидкости; обозначим порядок величины этих рас-
расстояний через уо. Определить уо можно следующим образом.
Масштаб турбулентного движения на этих расстояниях — поряд-
порядка уо5 а скорость — порядка г>*. Поэтому число Рейнольдса, ха-
характеризующее движение на расстояниях ~уо> есть R	/

246	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
Вязкость начинает играть роль при R~ 1. Отсюда находим, что
Уо~^М,	D2.5)
чем и определяется интересующее нас расстояние.
На расстояниях у <^ у$ движение жидкости определяется
обычным вязким трением. Распределение скоростей здесь может
быть получено прямо из обычной формулы для вязкого трения:
du
о = pv—,
dy
откуда	2
и = —у = V-y.	D2.6)
pv	v
Таким образом, непосредственно к стенке прилегает тонкая про-
прослойка жидкости, в которой средняя скорость меняется по ли-
линейному закону. Величина скорости во всей этой прослойке
мала —она меняется от нуля на самой стенке до значений ~v*
при у ~ уо- Эту прослойку называют вязким подслоем. Ника-
Никакой сколько-нибудь резкой границы между вязким подслоем и
остальным потоком, конечно, нет; в этом смысле понятие о вяз-
вязком подслое имеет лишь качественный характер. Подчеркнем,
что и в нем движение жидкости турбулентно х) .
В дальнейшем движением в вязком подслое мы не будем ин-
интересоваться вовсе. Наличие его надо учесть только соответству-
соответствующим выбором постоянной интегрирования в D2.4): она должна
быть выбрана так, чтобы было u^v* на расстояниях у^уо. Для
этого надо положить с = — In yo, так что
Эта формула определяет (при ограниченных у) распределение
скоростей в турбулентном потоке, текущем вдоль твердой стен-
стенки. Такое распределение называют логарифмическим профилем
скоростей 2) .
В формуле D2.7) под знаком логарифма должен был бы на
самом деле стоять еще некоторый числовой коэффициент. В на-
написанном виде она имеет, как говорят, лишь логарифмическую
точность. Это значит, что аргумент логарифма предполагается
настолько большим, что и сам логарифм велик. Введение неболь-
х) В этом смысле все еще иногда применяемое название «ламинарного под-
подслоя» не адекватно. Сходство с ламинарным движением заключается только
в том, что средняя скорость распределена по такому же закону, по которо-
которому была бы распределена истинная скорость при ламинарном движении в
тех же условиях. Пульсационное движение в вязком подслое обнаружива-
обнаруживает своеобразные особенности, не имеющие еще адекватной теоретической
интерпретации.
) Изложенный простой вывод логарифмического профиля дан Л. Д. Лан-
Ландау A944).

§42
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ СКОРОСТЕЙ
247
шого численного коэффициента под знаком логарифма в D2.7)
эквивалентно прибавлению к написанному выражению дополни-
дополнительного члена вида const-?;*, где const — число порядка единицы;
в логарифмическом приближении таким членом пренебрегается
по сравнению с членом, содержащим большой логарифм. Факти-
Фактически, однако, аргумент логарифма в рассматриваемых здесь и
ниже формулах все же не очень велик, а потому и точность ло-
логарифмического приближения не высока. Точность этих формул
можно повысить, вводя эмпирический численный множитель в
аргумент логарифма, или, что то же самое, прибавляя к лога-
логарифму эмпирическую постоянную. Так, более точная формула
для профиля скоростей имеет вид
и = v*[ 2,5 In -—
= 2,5«„ In
-.	D2.8)
Отметим, что обе формулы D2.6) и D2.8) имеют вид
« = «*/(?), ? = У*Ф,	D2.9)
где /(?) — универсальная функция. Это — прямое следствие того,
что ^ — единственная безразмерная комбинация, которую можно
составить из имеющихся в нашем распоряжении параметров р,
a, v и переменной у. По этой причине такого рода зависимость
должна иметь место на всех вообще рас-
расстояниях от стенки, в том числе в обла-
области, промежуточной между областями
применимости формул D2.6) и D2.8). На 24;
рис. 31 приведен график функции /(?) в 20-
полулогарифмическом (десятичном) мае- 16
штабе. Сплошные линии 1 ж 2 отвечают
соответственно формулам D2.6) и D2.8);
штриховая кривая — эмпирическая зави-
зависимость в промежуточной области (она
простирается примерно от ? ~ 5 до ? ~ 30).
Легко определить диссипацию энер-
энергии в рассматриваемом турбулентном по-
потоке. Величина а представляет собой
среднее значение компоненты Пху тензора плотности потока им-
импульса. Вне вязкого подслоя в Пху можно опустить член с вяз-
вязкостью, так что Пху = pvxvy. Введя пульсационную скорость v7
и помня, что средняя скорость направлена по оси ж, имеем vx =
= u + v'x,vy = v'y. Тогда i)
о- = p(vxvy) = p(vxv'y) + pu(v'y) = p(vxv'y).	D2.10)
28
/
I
/
f/
/
у
10 102 103
Рис. 31
:) Тензор потока импульса, переносимого турбулентными пульсациями,
называют тензором рейнолъдсовых напряжений; это понятие было введе-
введено Рейнольдсом (О. Reynolds, 1895).

248	пограничный слой	гл. iv
Далее, плотность потока энергии в направлении оси у равна
(р + pv2/2)vy (здесь тоже опущен вязкий член). Написав v2 =
= (и + v'xJ + v'y + v'2 и усреднив все выражение, получим
0Ч> + f «Ч + vv + < + <Ч> + р« W>-
Здесь достаточно сохранить только последний член. Дело в том,
что пульсационная скорость — порядка величины г;*, и потому (с
логарифмической точностью) мала по сравнению с и. Что каса-
касается давления, то его турбулентные пульсации р1 ~ pv2 и потому
с той же точностью первый член в написанном выражении то-
тоже может быть опущен. Таким образом, находим для средней
плотности потока энергии:
(q) = pu(v'xv'y) = ua.	D2.11)
По мере приближения к поверхности стенки этот поток умень-
уменьшается, что связано как раз с диссипацией энергии. Производная
d(q)/dy дает диссипацию в единице объема жидкости, а разделив
ее на р, получим диссипацию в единице массы:
D2.12)
>cy \pJ
До сих пор мы предполагали, что поверхность стенки доста-
достаточно гладкая. Если же поверхность шероховата, то выведенные
формулы могут несколько измениться. В качестве меры шеро-
шероховатости стенки можно выбрать порядок величины выступов
шероховатости, которые мы обозначим буквой d. Существенна
сравнительная величина d и толщина подслоя уо- Если толщи-
толщина уо велика по сравнению с d, то шероховатость вообще не су-
существенна; это и подразумевается под достаточной гладкостью
стенки. Если уо и d одного порядка величины, то никаких общих
формул написать нельзя.
В обратном же предельном случае сильной шероховатости
уо) снова можно установить некоторые общие соотношения.
Говорить о вязком подслое в этом случае, очевидно, нельзя. Во-
Вокруг выступов шероховатости будет происходить турбулентное
движение, характеризующееся величинами /э, <т, d\ вязкость z^,
как обычно, не должна входить явно. Скорость этого движения —
порядка величины г>* — единственной имеющейся в нашем рас-
распоряжении величины с размерностью скорости. Таким образом,
мы видим, что в потоке, текущем вдоль шероховатой поверхно-
поверхности, скорость делается малой (~г>*) на расстояниях у ~ d вместо
у ~ уо, как это было при течении вдоль гладкой поверхности.
Отсюда ясно, что распределение скоростей будет определяться
формулой, получающейся из D2.7) заменой vjv* на d,
и = ^\Л.	D2.13)

§ 43	ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ	249
§ 43. Турбулентное течение в трубах
Применим теперь полученные результаты к турбулентному
течению жидкости по трубе. Вблизи стенок трубы (на расстоя-
расстояниях, малых по сравнению с ее радиусом а) ее поверхность мож-
можно приближенно рассматривать как плоскую и распределение
скоростей должно описываться формулой D2.7) или D2.8). Од-
Однако ввиду медленного изменения функции In у можно с лога-
логарифмической точностью применить формулу D2.7) и к средней
скорости U течения жидкости в трубе, написав в этой формуле
вместо у радиус а трубы:
u=v_llnav±_	D3Л)
Под скоростью U мы будем подразумевать количество (объем)
жидкости, протекающей в 1 с через сечение трубы, деленное на
площадь этого сечения: U = Q/(p7ra2).
Для того чтобы связать скорость U с поддерживающим тече-
течение перепадом давления Ар/1 (Ар —разность давлений на кон-
концах трубы длиной /), замечаем следующее. Действующая на все
сечение потока жидкости в трубе движущая сила есть тга^Ар.
Эта сила идет на преодоление трения о стенки. Поскольку отне-
отнесенная к единице площади стенки сила трения есть а = pv%, то
полная сила трения равна 2тга1ру2. Приравнивая оба выражения,
находим
^ = pvf-	D3.2)
/	а
Уравнения D3.1) и D3.2) определяют в параметрическом виде
(параметром является г;*) связь скорости течения жидкости по
трубе с перепадом давления в ней. Об этой связи говорят обычно
как о законе сопротивления трубы. Выражая г;* через Ар/1 из
D3.2) и подставляя в D3.1), получаем закон сопротивления в
виде уравнения
ln /	•	D3-3)
2pi \is\l 2pl J	V J
Обычно в этой формуле вводят так называемый коэффициент
сопротивления трубы, являющийся безразмерной величиной и
определяющийся как отношение
PU2/2	У J
Зависимость А от безразмерного числа Рейнольдса R = 2aU/v
определяется неявным образом уравнением
_L = о,88 In (RVX) - 0,85.	D3.5)
vA

250
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
ГЛ. IV
Мы поставили здесь для ус значение D2.3) и прибавили к лога-
логарифму эмпирическую численную постоянную г) . Определяемый
этой формулой коэффициент сопротивления является медленно
убывающей функцией числа Рейнольдса. Для сравнения приве-
приведем закон сопротивления при ламинарном течении в трубе. Вво-
Вводя в формулу A7.10) коэффициент сопротивления, получаем
А = 64/R.
D3.6)
100Х
При ламинарном течении коэффициент сопротивления падает с
ростом числа Рейнольдса быстрее, чем при турбулентном течении.
На рис. 32 изображен (в логарифмическом масштабе) график
зависимости А от R. Круто спадающая прямая соответствует ла-
ламинарному режиму (формула D3.6)),
а более пологая кривая (практиче-
(практически тоже близкая к прямой) — турбу-
турбулентному течению. Переход с первой
на вторую происходит по мере уве-
увеличения числа Рейнольдса в момент
турбулизации течения, который мо-
может наступить при различных значе-
1U
5
2,5
1,2
\
N
\
°'71О3 104 105 106 R 107
ниях R в зависимости от конкретных
Рис. 32
условий течения (от степени «возму-
щенности» потока); в момент перехо-
перехода коэффициент сопротивления резко возрастает.
Написанные выше формулы относятся к трубам с гладкими
стенками. Аналогичные формулы для труб с сильно шерохова-
шероховатыми стенками получаются просто заменой v/v* на d (ср. D2.13)).
Для закона сопротивления получим теперь вместо D3.3) фор-
формулу
D3.7)
Под знаком логарифма стоит теперь постоянная величина, не
содержащая перепада давления, как это было в D3.3). Мы видим,
что средняя скорость течения теперь просто пропорциональна
квадратному корню из градиента давления в трубе. Если ввести
1) Коэффициент перед логарифмом в этой формуле взят в соответствии
с коэффициентом в формуле D2.8) логарифмического профиля скоростей.
Только при таком условии эта формула имеет теоретический смысл предель-
предельной формулы для турбулентного течения при достаточно больших значени-
значениях числа Рейнольдса. Если же выбирать в формуле D3.5) произвольным
образом значение обеих входящих в нее постоянных, то она сможет играть
роль лишь чисто эмпирической формулы для зависимости Л от R. В таком
случае, однако, нет никаких оснований предпочитать ее любой другой, более
простой, эмпирической формуле, достаточно хорошо описывающей экспери-
экспериментальные данные.

§ 44	ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	251
коэффициент сопротивления, то формула D3.7) примет вид
А = ~^ш = i^wd)'	D3-8)
т. е. А — постоянная величина, не зависящая от числа Рейнольдса.
§ 44. Турбулентный пограничный слой
Тот факт, что мы получили для плоско-параллельного тур-
турбулентного потока логарифмический закон распределения скоро-
скоростей формально во всем пространстве, связан с тем, что рассма-
рассматривалось течение вдоль стенки, площадь которой бесконечна.
При течении же вдоль поверхности реальных конечных тел лога-
логарифмическим профилем обладает лишь движение на небольших
расстояниях от поверхности — в пограничном слое.
Толщина пограничного слоя растет вниз по течению вдоль
обтекаемой поверхности (закон этого возрастания будет найден
ниже). Это объясняет, почему при течении по трубе логарифми-
логарифмический профиль имеет место вдоль всего сечения трубы. Толщи-
Толщина пограничного слоя у стенки трубы растет, начиная от входа в
трубу. Уже на некотором конечном расстоянии от входа погра-
пограничный слой как бы заполняет собой все сечение трубы. Поэтому
если рассматривать трубу как достаточно длинную и не интере-
интересоваться ее начальным участком, то течение во всем ее объеме
будет того же типа, как и в турбулентном пограничном слое.
Напомним, что аналогичное положение имеет место и для ла-
ламинарного течения по трубе. Оно всегда описывается формулой
A7.9); роль вязкости в нем проявляется на всех расстояниях от
стенки и никогда не бывает ограничена тонким пристеночным
слоем жидкости.
Падение средней скорости как в турбулентном, так и в ла-
ламинарном пограничном слое, обусловливается в конечном итоге
вязкостью жидкости. Однако влияние вязкости проявляется в
турбулентном пограничном слое очень своеобразно. Самый ход
изменения средней скорости в слое не зависит непосредственно
от вязкости; вязкость входит в выражение для градиента скоро-
скорости только в вязком подслое. Общая же толщина пограничного
слоя определяется вязкостью и обращается в нуль вместе с ней
(см. ниже). Если бы вязкость была в точности равна нулю, то
никакого пограничного слоя вовсе не было бы.
Применим полученные в предыдущем параграфе результаты
к турбулентному пограничному слою, образующемуся при об-
обтекании тонкой плоской пластинки, — таком же, какое было рас-
рассмотрено в § 39 для ламинарного течения. На границе турбулент-
турбулентного слоя скорость жидкости почти равна скорости U основного
потока. С другой стороны, для определения этой скорости на

252	пограничный слой	гл. iv
границе мы можем (с логарифмической точностью) воспользо-
воспользоваться формулой D2.7), подставив в нее вместо у толщину по-
пограничного слоя 6 г) . Сравнив оба выражения, получим
U = ^ln^.	D4.1)
Здесь U играет роль постоянного параметра; толщина же S ме-
меняется вдоль пластинки, а вместе с ней является, следовательно,
медленно меняющейся функцией от ж и величина г>*. Для опре-
определения этих функций формула D4.1) недостаточна; необходимо
получить еще какое-нибудь соотношение, которое бы связывало
г;* и 6 с х.
Для этого воспользуемся теми же соображениями, с помощью
которых была получена формула C7.3) для ширины турбулент-
турбулентного следа. Как и там, производная dS/dx должна быть порядка
величины отношения скорости вдоль оси у на границе слоя к ско-
скорости вдоль оси х на той же границе. Вторая из них — порядка
[/, что же касается поперечной скорости, то она обязана пульса-
ционному движению и потому — порядка г>*. Таким образом,
dd v*
dx U
откуда
8~^.	D4.2)
U	v J
Формулы D4.1) и D4.2) определяют вместе зависимость г>* и 6 от
расстояния х 2) . Эта зависимость, однако, не может быть написа-
написана в явном виде. Ниже мы выразим 6 через некоторую вспомога-
вспомогательную величину. Но поскольку г>* есть медленно меняющаяся
функция от ж, то уже из D4.2) видно, что толщина слоя меняется
в основном пропорционально х. Напомним, что толщина лами-
ламинарного пограничного слоя растет как ж1/2, т. е. медленнее, чем
в турбулентном слое.
Определим зависимость от х силы трения <т, действующей
на единицу площади поверхности пластинки. Эта зависимость
определяется двумя формулами:
(J = pv*, U=—ln—.
к Uv
Вторая из них получается подстановкой D4.2) в D4.1) и обладает
логарифмической точностью. Введем коэффициент сопротивле-
:) Фактически логарифмический профиль наблюдается не на всей толщине
пограничного слоя. Последние 20-25 % набора скорости на его наружной
стороне происходят быстрее, чем по логарифмическому закону. Эти откло-
отклонения связаны, по-видимому, с нерегулярными колебаниями границы слоя
(ср. сказанное в конце § 35 о границах турбулентных областей).
) Строго говоря, расстояние х должно отсчитываться примерно от места
перехода ламинарного слоя в турбулентный.

§ 45	КРИЗИС СОПРОТИВЛЕНИЯ	253
ния с (отнесенный к единице площади поверхности пластинки),
определяемый как безразмерное отношение
V-^Y.	D4.3)
Тогда, исключая г;* из двух написанных уравнений, получим
следующее уравнение, определяющее (с логарифмической точ-
точностью) в неявном виде зависимость с от х:
Rx = —.	D4.4)
v
Определяемый этой формулой коэффициент сопротивления с
является медленно убывающей функцией расстояния х.
Через эту функцию можно выразить толщину пограничного
слоя. Имеем
а тт с
р
Подставив это в D4.2), находим
5 = const • ху/с.	D4.5)
Эмпирическое значение коэффициента в этой формуле — около
0,3.
Аналогичным образом можно получить формулы для тур-
турбулентного пограничного слоя на шероховатой поверхности. Со-
Согласно формуле D2.13) вместо D4.1) имеем теперь
тт V * 1 8
U = —In-,
к а
где d — размеры выступов шероховатости. Подставив сюда S из
D4.2), получим
или, введя сюда коэффициент сопротивления D4.3):
п^.	D4.6)
§ 45. Кризис сопротивления
Из полученных в последних параграфах результатов можно
сделать существенные заключения о законе сопротивления при
больших числах Рейнольдса, т. е. о зависимости действующей на
обтекаемое тело силы сопротивления от R при больших значе-
значениях последнего.

254	пограничный слой	гл. iv
Картина обтекания при больших R (о которых только и идет
речь ниже) выглядит, как уже говорилось, следующим образом.
Во всем основном объеме жидкости (т. е. везде, за исключени-
исключением пограничного слоя, которым мы здесь не интересуемся) жид-
жидкость может рассматриваться как идеальная, причем ее движе-
движение является потенциальным везде, кроме области турбулентно-
турбулентного следа. Размеры — ширина — следа зависят от положения ли-
линии отрыва на поверхности обтекаемого тела. При этом суще-
существенно, что хотя это положение и определяется свойствами по-
пограничного слоя, но в результате оказывается, как было отмечено
в § 40, не зависящим от числа Рейнольдса. Таким образом, мы
можем сказать, что вся картина обтекания при больших числах
Рейнольдса практически не зависит от вязкости, т. е., другими
слонами, от R (до тех пор, пока пограничный слой остается ла-
ламинарным; см. ниже).
Отсюда следует, что и сила сопротивления не может зависеть
от вязкости. В нашем распоряжении остаются только три вели-
величины: скорость U натекающего потока, плотность жидкости р и
размеры тела /. Из них можно составить всего лишь одну вели-
величину с размерностью силы — pU2l2. Вместо квадрата линейных
размеров тела введем, как это обычно делают, пропорциональ-
пропорциональную ему площадь S поперечного (по отношению к направлению
обтекания) сечения тела и напишем:
F = const • pU2S,	D5.1)
где const — численная постоянная, зависящая только от формы
тела. Таким образом, сила сопротивления должна быть (при боль-
больших R) пропорциональна площади сечения тела и квадрату
скорости обтекания. Напомним для сравнения, что при совсем
малых R (R ^С 1) сопротивление было пропорционально пер-
первой степени линейных размеров тела и первой степени скорости
(F~vplU; см. § 20) х).
Обычно, как уже говорилось, вместо силы сопротивления F
рассматривают коэффициент сопротивления С, определяемый
как
С	F
С является безразмерной величиной и может зависеть только
от R. Формула D5.1) напишется в виде
С = const,	D5.2)
т. е. коэффициент сопротивления зависит только от формы тела.
г) Своеобразный случай, когда сопротивление остается пропорциональным
первой степени скорости при больших значениях R, — обтекание пузырька
газа; см. задачу к этому параграфу.

§45
КРИЗИС СОПРОТИВЛЕНИЯ
255
Такой ход силы сопротивления не может, однако, продол-
продолжаться до сколь угодно больших чисел Рейнольдса. Дело в том,
что при достаточно больших R ламинарный пограничный слой
(на поверхности тела до линии отрыва) делается неустойчивым
и турбулизуется. При этом турбулизуется не весь пограничный
слой, а лишь некоторая его часть. Вся поверхность тела может
быть разделена, таким образом, на три части: на передней име-
имеется ламинарный пограничный слой, затем идет область турбу-
турбулентного слоя и, наконец, область за линией отрыва.
Турбулизация пограничного слоя существенно сказывается
на всей картине течения в основном потоке: она приводит к за-
заметному смещению линии отрыва вниз по течению жидкости,
так что турбулентный след за телом сужается (как это изобра-
изображено схематически на рис. 33; область следа заштрихована :) .
100
60
20
1,5
0,6
0,3
\
\
N
\
\-
И
Рис. 33
0,1 1 2 510 Ю2 103 104 105 106
Рис. 34
Сужение турбулентного следа приводит к уменьшению силы со-
сопротивления. Таким образом, турбулизация пограничного слоя
при больших числах Рейнольдса сопровождается падением коэф-
коэффициента сопротивления. Коэффициент сопротивления падает в
несколько раз в сравнительно узком интервале чисел Рейнольдса
(в области R, равных нескольким 105). Это явление называется
кризисом сопротивления. Уменьшение коэффициента сопротив-
сопротивления настолько значительно, что само сопротивление, которое
при постоянном С должно возрастать пропорционально квадра-
квадрату скорости, в этой области чисел Рейнольдса даже убывает с
возрастанием скорости 2) .
1)Так, при поперечном обтекании длинного цилиндра турбулизация по-
пограничного слоя сдвигает положение точки отрыва от 95 до 60° (угол на
окружности сечения цилиндра отсчитывается от направления обтекания).
2) Отметим, что первое возникновение нестационарности при обтекании
шара (при R порядка нескольких десятков) не сопровождается скачкообраз-
скачкообразным изменением силы сопротивления. Это связано с непрерывностью пере-
перехода при мягком самовозбуждении. Изменение характера течения могло бы
проявиться лишь в появлении излома на кривой C(R).

с
0,4
0,3
0,2
0,1
R-105
256	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
Можно отметить, что на явление кризиса влияет степень тур-
турбулентности набегающего на тело потока. Чем она больше, тем
раньше (при меньших R) наступает турбулизация погранично-
пограничного слоя. В связи с этим и падение коэффициента сопротивления
начинается при меньших числах Рейнольдса (и растягивается по
более широкому интервалу их значений).
На рисунках 34 и 35 приведен экспериментально найденный
график зависимости коэффициента сопротивления от числа Рей-
Рейнольдса R = Udjv для шара диаметра d (на
рис. 34 —в логарифмическом, а на рис. 35 —в
обыкновенном масштабе). При самых малых R
(R ^С 1) коэффициент сопротивления падает по
закону С = 24/R (формула Стокса). Падение С
. - - - продолжается затем более медленно вплоть до
R « 5 • 103, где С достигает минимума, вслед
Рис 35	за чем несколько повышается. В области чи-
чисел Рейнольдса 2 • 104 — 2 • 105 имеет место за-
закон D5.2), т. е. С практически остается постоянным. При R «
~ B -т- 3) • 105 наступает кризис сопротивления, причем коэффи-
коэффициент сопротивления падает примерно в 4 — 5 раз.
Для сравнения приведем пример обтекания, при котором не
происходит явления кризиса. Рассмотрим обтекание плоского
диска в направлении, перпендикулярном к его плоскости. Место
отрыва в этом случае заранее очевидно из чисто геометричес-
геометрических соображений,—ясно, что отрыв произойдет по краю диска
и в дальнейшем уже никуда не будет смещаться. Поэтому при
увеличении R коэффициент сопротивления диска остается по-
постоянным, не обнаруживая кризиса.
Следует иметь в виду, что при тех больших скоростях, ко-
когда наступает кризис сопротивления, может уже стать замет-
заметным влияние сжимаемости жидкости. Параметром, характери-
характеризующим степень этого влияния, является число М = [//с, где
с —скорость звука; жидкость можно рассматривать как несжи-
несжимаемую, если М^С 1 (§ 10). Поскольку из двух чисел М и R лишь
одно содержит размеры тела, то эти числа могут меняться неза-
независимо друг от друга.
Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что сжи-
сжимаемость оказывает в общем стабилизующее влияние на движе-
движение в ламинарном пограничном слое. При возрастании числа М
увеличивается критическое значение R, при котором происходит
турбулизация пограничного слоя. В связи с этим отодвигается
также и наступление кризиса сопротивления. Так, для шара при
изменении М от 0,3 до 0,7 кризис сопротивления отодвигается
примерно от R « 4 • 105 до 8 • 105.
Укажем также, что при увеличении М положение точки от-
отрыва в ламинарном пограничном слое смещается вверх по те-

§ 46	ХОРОШО ОБТЕКАЕМЫЕ ТЕЛА	257
чению —по направлению к переднему концу тела, что должно
приводить к некоторому увеличению сопротивления.
Задача
Определить силу сопротивления, действующую на движущийся в жид-
жидкости газовый пузырек при больших числах Рейнольдса.
Решение. На границе жидкости с газом должна обращаться в нуль
не сама касательная составляющая скорости жидкости, а лишь ее нормаль-
нормальная производная (вязкостью газа пренебрегаем.) Поэтому градиент скоро-
скорости вблизи поверхности не будет аномально велик, пограничный слой (в том
виде, о котором шла речь в § 39) будет отсутствовать, а потому будет от-
отсутствовать (почти по всей поверхности пузырька) также и явление отрыва.
При вычислении диссипации энергии с помощью объемного интеграла A6.3)
можно поэтому во всем пространстве пользоваться распределением скоро-
скоростей, соответствующим потенциальному обтеканию шара (задача 2 § 10),
пренебрегая при этом ролью поверхностного слоя жидкости и очень тонко-
тонкого турбулентного следа. Производя вычисление по формуле, полученной в
задаче к § 16, найдем
dv2	о	о
— • 2irR sin в d6 = -127rr]RU .
>r r = R
Отсюда видно, что искомая диссипативная сила сопротивления
F = 12тг77 RU.
Область применимости этой формулы фактически невелика, так как при
достаточном увеличении скорости пузырек теряет свою сферическую форму.
§ 46. Хорошо обтекаемые тела
Можно поставить вопрос о том, какова должна быть форма
тела (при заданной, например, площади его сечения) для того,
чтобы оно испытывало при движении в жидкости по возможно-
возможности малое сопротивление. Из всего предыдущего ясно, что для
этого во всяком случае необходимо достичь по возможности бо-
более позднего отрыва: отрыв должен произойти поближе к задне-
заднему концу тела так, чтобы турбулентный след был как можно бо-
более узким. Мы уже знаем, что возникновение отрыва облегчается
наличием быстрого возрастания давления вдоль обтекаемого те-
тела вниз по течению. Поэтому необходимо придать телу такую
форму, чтобы изменение давления вдоль него, — в той области,
где давление возрастает, происходило по возможности медленно
и плавно. Этого можно достичь приданием телу удлиненной (в
направлении обтекания) формы, причем оно плавно заостряет-
заостряется в направлении обтекания так, что стекающие с разных сто-
сторон поверхности тела потоки как бы плавно смыкаются без того,
чтобы им пришлось где-либо обтекать какие-нибудь углы или же
сильно поворачивать по отношению к направлению набегающего
потока. Спереди же тело должно быть закруглено; при наличии
здесь угла скорость жидкости на его краю обратилась бы в беско-
9 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

258
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
ГЛ. IV
Рис. 36
нечность (см. задачу 6 § 10), вслед за чем произошли бы сильное
возрастание давления вниз по течению и неизбежный отрыв.
Всем этим требованиям в высокой степени удовлетворяют
формы типа, изображенного на рис. 36. Изображенный на ниж-
нижнем рисунке профиль может
представлять собой сечение уд-
удлиненного тела вращения, но
может быть и сечением тела с
большим размахом (о таких те-
телах мы будем условно говорить
как о крыльях). Профиль сече-
сечения крыла может быть и не сим-
симметричным, как, например, на
верхнем рис. 36. При обтекании
тел такой формы отрыв проис-
происходит лишь в непосредственной
близости острого конца, в результате чего коэффициент сопро-
сопротивления достигает относительно малых значений. Такие тела
называют хорошо обтекаемыми.
В сопротивлении хорошо обтекаемых тел заметную роль игра-
играет эффект непосредственного трения жидкости о поверхность в
пограничном слое. Этот эффект сравнительно очень мал и пото-
потому практически совершенно несуществен для плохо обтекаемых
тел (о которых шла речь в предыдущем параграфе). В обратном
же предельном случае обтекания плоской пластинки (параллель-
(параллельным ей потоком жидкости) он представляет собой единственный
источник сопротивления (§ 39).
При обтекании хорошо обтекаемого крыла, наклоненного под
малым углом к направлению потока (а на рис. 36, так называе-
называемый угол атаки), развивается большая подъемная сила Fyi при
этом сопротивление Fx становится малым, и в результате отноше-
отношение Fy/Fx может достичь больших значений (порядка 10—100).
Так продолжается, однако, лишь до тех пор, пока угол атаки не
сделается слишком большим (обычно ~10°). После этого сопро-
сопротивление начинает очень быстро возрастать, а подъемная сила
падать. Это явление обусловливается тем, что при больших углах
атаки тело перестает удовлетворять условиям хорошей обтекае-
обтекаемости: место отрыва сильно смещается по поверхности тела по
направлению к его переднему краю, в результате чего след де-
делается значительно более широким. Надо иметь в виду, что в
предельном случае тела очень малой толщины, т. е. плоской пла-
пластинки, хорошее обтекание имеет место только при очень малом
угле атаки; отрыв происходит на переднем крае пластинки уже
при малых углах ее наклона к направлению потока.
Угол атаки а отсчитывается, по определению, от того поло-
положения крыла, при котором подъемная сила равна нулю. При ма-

§ 46	ХОРОШО ОБТЕКАЕМЫЕ ТЕЛА	259
лых углах атаки подъемную силу можно разложить в ряд по сте-
степеням а. Ограничиваясь первым членом разложения, мы можем
считать силу Fy пропорциональной а. Далее, по тем же сообра-
соображениям размерности, как и для силы сопротивления, подъемная
сила должна быть пропорциональна pU2. Введя также длину
размаха lz крыла, можно написать:
Fy = const • pU2alxlz,	D6.1)
где const — численная постоянная, зависящая только от формы
крыла и не зависящая, в частности, от угла атаки. Для крыльев
очень большого размаха можно считать подъемную силу про-
пропорциональной размаху; в этом случае const зависит только от
формы профиля поперечного сечения крыла.
Вместо подъемной силы крыла часто пользуются так назы-
называемым коэффициентом подъемной силы, определяемым как
Cv =	^	.	D6.2)
Для крыльев очень большого размаха согласно сказанному вы-
выше он пропорционален углу атаки и не зависит ни от скорости
движения, ни от размаха крыла:
Су = const • а.	D6.3)
Для вычисления подъемной силы хорошо обтекаемого крыла
с помощью формулы Жуковского необходимо определить цир-
циркуляцию скорости Г. Это делается следующим образом. Везде,
кроме области следа, движение потенциально. В данном же слу-
случае след очень тонок и занимает на поверхности крыла лишь
очень небольшую область вблизи его задней заостренной кром-
кромки. Поэтому для определения распределения скоростей (а с ним
и циркуляции Г) можно решать задачу о потенциальном обтека-
обтекании крыла идеальной жидкостью. Наличие следа учитывается
при этом тем, что от острой задней кромки крыла отходит по-
поверхность касательного разрыва, на которой потенциал испыты-
испытывает скачок ср2 — Ц)\ = Г. Как было уже показано в § 38, на этой
поверхности испытывает скачок также и производная дср/dz, а
производные дср/дх и дср/ду непрерывны. Для крыла конечного
размаха поставленная таким образом задача имеет однозначное
решение. Нахождение точного решения, однако, весьма сложно.
Если крыло обладает очень большим размахом (и постоян-
постоянным вдоль размаха сечением), то, рассматривая его как беско-
бесконечно длинное вдоль оси z, можно считать движение жидкости
плоским (в плоскости ху). Из соображений симметрии ясно, что
при этом скорость vz = д(р/'dz в направлении размаха будет
вообще равной нулю. В этом случае, следовательно, мы долж-

260	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
ны искать решение, в котором испытывает скачок только сам
потенциал при непрерывных его производных; другими слова-
словами, поверхность касательного разрыва вообще отсутствует, и мы
имеем дело просто с неоднозначной функцией <р(ж, у), прини-
принимающей конечное приращение Г при обходе по замкнутому кон-
контуру, охватывающему обтекаемый профиль. В таком виде, одна-
однако, задача о плоском обтекании не однозначна, так как допускает
решение при произвольном, заранее заданном скачке потенциа-
потенциала. Для получения однозначного ответа необходимо потребовать
выполнения дополнительного условия (С.А. Чаплыгин, 1909).
Это условие заключается в требовании, чтобы скорость жид-
жидкости не обращалась в бесконечность на острой задней кромке
крыла; напомним в этой связи, что при огибании угла идеальной
жидкостью скорость в вершине угла обращается, вообще говоря,
в бесконечность по степенному закону (задача 6 § 10). Можно
сказать, что поставленное условие означает, что струи, стекаю-
стекающие с обеих сторон крыла, должны плавно смыкаться без того,
чтобы поворачивать вокруг острого угла. Естественно, что при
выполнении этого условия решение задачи о потенциальном об-
обтекании приведет к картине, наиболее близкой к истинной, при
которой скорость везде конечна и отрыв происходит лишь у са-
самой задней кромки. Решение становится после этого вполне одно-
однозначным и, в частности, определяется и нужная для вычисления
подъемной силы циркуляция Г.
§ 47. Индуктивное сопротивление
Существенную часть силы сопротивления, испытываемой хо-
хорошо обтекаемым крылом (конечного размаха), составляет со-
сопротивление, связанное с диссипацией энергии в тонком турбу-
турбулентном следе. Это сопротивление называют индуктивным.
В § 21 было показано, каким образом можно вычислить свя-
связанную со следом силу сопротивления, рассматривая движение
жидкости вдали от тела. Полученная там формула B1.1), од-
однако, в данном случае неприменима. Согласно этой формуле со-
сопротивление определяется интегралом от vx по площади сечения
следа, т. е. расходом жидкости через сечение следа. Но ввиду тон-
тонкости следа за хорошо обтекаемым крылом этот расход в данном
случае мал, и в рассматриваемом ниже приближении им можно
вовсе пренебречь.
Подобно тому как мы поступали в § 21, запишем силу Fx в ви-
виде разности полных потоков ж-компоненты импульса через плос-
плоскости х = х\ и ж = ^2, проходящие соответственно значительно
позади и значительно впереди тела. Написав три компоненты
скорости в виде U + vx, vyi vZi будем иметь для компоненты Пхх
плотности потока импульса выражение Пжж = р-\- p(U -\-vxJ, так

§ 47	ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ	261
что сила сопротивления есть
Fx =( fj - ff\ \p + p(U + vxJ} dy dz.	D7.1)
\X=X2 X=X\ /
Ввиду тонкости следа можно пренебречь (в интеграле по плос-
плоскости х = х\) интегралом по площади его сечения и, таким об-
образом, интегрировать везде только по области вне следа. Но вне
следа движение потенциально и имеет место формула Бернулли
откуда
р = ро - PUvx - p-{v2x + v2y + v2).	D7.2)
Пренебречь здесь квадратичными членами (как это было сде-
сделано в § 21) нельзя, так как именно ими определяется в данном
случае искомая сила сопротивления. Подставляя D7.2) в D7.1),
получим
pUvx + P-{v2x-v2y- v2z)] dy dz.
X=Xl
Разность интегралов от постоянной величины ро + pU обраща-
обращается в нуль; исчезает также разность интегралов от pUvXi по-
поскольку потоки жидкости ff pvx dy dz через переднюю и заднюю
плоскости должны быть одинаковыми (расходом жидкости через
сечение следа в рассматриваемом приближении пренебрегаем).
Далее, отодвигая плоскость х = Х2 достаточно далеко вперед
от тела, будем иметь на ней очень малые значения скорости v,
так что интегралом от p{v^ — Vy — v%) по этой плоскости можно
пренебречь. Наконец, при обтекании хорошо обтекаемого крыла
скорость vx вне следа мала по сравнению с vy и vz. Поэтому в ин-
интеграле по плоскости х = х\ можно пренебречь v\ по сравнению
с Vy + v\. Таким образом, получаем
D7.3)
где интегрирование производится по плоскости х = const, распо-
расположенной на большом расстоянии позади тела, причем сечение
следа исключается из области интегрирования :) .
) Формула D7.3) может создать впечатление, что порядок величины ско-
скоростей vy, vz вообще не убывает с расстоянием х. Это действительно так
до тех пор, пока толщина следа мала по сравнению с его шириной, что и
предполагалось при выводе формулы D7.3). На очень больших расстояниях
позади крыла след в конце концов расширится настолько, что его сечение
станет примерно круговым. Формула D7.3) здесь уже неприменима, а ско-
скорости vy, vz будут быстро убывать с увеличением расстояния.

262	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
Вычисленное таким образом сопротивление хорошо обтека-
обтекаемого крыла можно выразить через ту же циркуляцию скоро-
скорости Г, которая определяет, и подъемную силу. Для этого прежде
всего заметим, что на достаточно большом расстоянии от тела
скорость слабо зависит от координаты х и потому можно рас-
рассматривать vy(y, z), vz(y, z) как скорость некоторого двумерно-
двумерного движения, считая ее не зависящей от х вовсе. Удобно ввести
в качестве вспомогательной величины функцию тока (§ 10), так
что vx = дф/ду, vy = —дф/dz. Таким образом,
где интегрирование по вертикальной координате у производится
от +оо до у\ и от у2 до —оо (yi, у2 — координаты верхней и ниж-
нижней границ следа; см. рис. 26). Ввиду потенциальности движения
вне следа (rot v = 0) имеем
ду2 dz2
Применяя к написанному интегралу двумерную формулу Грина,
получаем
где интегрирование производится по контуру, огибающему об-
область интегрирования в исходном интеграле (д/дп — дифферен-
дифференцирование по направлению внешней нормали к контуру). На бес-
бесконечности ф = 0 и, следовательно, надо интегрировать по кон-
контуру поперечного сечения следа (сечения плоскостью yz\ в в
результате чего получаем
рх [ф\() m\
2 J rl\dyJ2 KdzJll
Здесь надо интегрировать по ширине следа dz, а стоящая в ква-
квадратных скобках разность есть скачок производной дф/ду при
прохождении через след. Замечая, что дф/ду = vz = dtp/dz,
имеем
,dyJ2 V ду ) 1 V dz ) 2 V dz / i dz
так что
р Г ,dT ,
Наконец, воспользуемся известной из теории потенциала фор-
формулой
Г	2тг J 1\дп/2 \dnJi

§ 47	ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ	263
где интегрирование производится по некоторому плоскому кон-
ТУРУ> т —расстояние от dl до точки, в которой разыскивается
значение ф, а в квадратных скобках стоит заданный скачок про-
производной от ф по направлению нормали к контуру х) . В нашем
случае контуром интегрирования является отрезок оси z, так что
для значений функции ф(у, z) на оси z можно написать:
z) = — / —- — [ —- In \z — z \dz =
2тг J l\dy J l \dy J\
i гад , i /. , /
= —— / —у-^ m\z — z \az .
2тг J dz1 '	'
Наконец, подставляя это в FXl получим окончательно для индук-
индуктивного сопротивления следующую формулу:
Fx = -JL ffd-mdJ^l\n\z-z'\dzdz'	D7.4)
О О
(L. Prandtl, 1918). Длина размаха крыла обозначена здесь через
lz = /, а начало отсчета z выбрано на одном из его концов.
Если увеличить все размеры по оси z в некоторое число раз
(при неизменных Г), то интеграл D7.4) не изменится 2) . Это по-
показывает, что полное индуктивное сопротивление крыла не изме-
изменяется по порядку величины при увеличении его размаха. Дру-
Другими словами, индуктивное сопротивление, отнесенное к единице
длины крыла, падает с увеличением этой длины 3) . В противо-
противоположность сопротивлению полная подъемная сила
Fy = -pU JTdz	D7.5)
:)Эта формула определяет в двумерной теории потенциала потенциал,
создаваемый заряженным плоским контуром с плотностью заряда, равной
) Во избежание недоразумений отметим, что тот факт, что при изменении
единиц измерения длины стоящий под знаком интеграла логарифм увели-
увеличивается на постоянную, несуществен. Действительно, интеграл, отличаю-
отличающийся от написанного тем, что в нем вместо In \z — z'\ стоит const, все равно
/т-р
— dz = Г| =0 (на краях следа Г обращается в нуль).
dz
3) В пределе, при стремлении размаха к бесконечности, отнесенное к еди-
единице длины индуктивное сопротивление обращается в нуль. В действитель-
действительности при этом остается небольшое сопротивление, определяющееся расхо-
расходом жидкости (т. е. интегралом JJ vx dy dz) в следе, которым мы прене-
пренебрегли при выводе формулы D7.3); это сопротивление включает в себя как
сопротивление трения, так и остающуюся часть сопротивления, связанного
с диссипацией в следе.

264	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
растет примерно пропорционально размаху крыла, а отнесенная
к единице длины — остается постоянной.
Для фактического вычисления интегралов D7.4) и D7.5) удо-
удобен следующий метод. Вместо координаты z вводим новую пере-
переменную в согласно выражению
z = -(l-cos0), 0^6>^тг.	D7.6)
Распределение же циркуляции задается в виде тригонометриче-
тригонометрического ряда
оо
Г = -2UI J2 Ап sinnfl.	D7.7)
71 = 1
Здесь выполнено условие Г = 0 на концах крыла, т. е. при z = 0, I
или в = 0, тг.
Подставив это выражение в формулу D7.5) и производя ин-
интегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональность
функций sin в и s'm пб cn^l), получим
Fy = elfnPA,.
Таким образом, подъемная сила зависит только от первого ко-
коэффициента в разложении D7.7). Для коэффициента подъемной
силы D6.2) имеем
Су = тгЛЛь	D7.8)
где введено отношение А = 1/1х размаха крыла к его ширине.
Для вычисления сопротивления перепишем формулу D7.4),
произведя в ней однократное интегрирование по частям:
{z)d^l^.	D7.9)
dz' z — z'
О О
Стоящий здесь интеграл no dz' должен быть взят, как легко ви-
видеть, в смысле его главного значения. Элементарное вычисление
с подстановкой D7.7) 1) приводит к следующей формуле для
) При интегрировании по dz приходится брать интеграл (главное зна-
значение)
7Г
cos пв'	, тг sin пв
¦ аи =
cos в' — cos в	sin в
о
При интегрировании же по dz пользуемся тем, что
тг
Г	тг/2 при п = т,
sin n# sin m# d6 = { '	.
I	0 при п ф т.
о

§ 48	ПОДЪЕМНАЯ СИЛА ТОНКОГО КРЫЛА	265
коэффициента индуктивного сопротивления:
71 = 1
Коэффициент сопротивления крыла мы определяем как
Сх = —^	,	D7.11)
относя его, как и коэффициент подъемной силы, к площади кры-
крыла в плане.
Задача
Определить минимальное значение индуктивного сопротивления, кото-
которое может быть достигнуто при заданных подъемной силе и размахе крыла
h =1.
Решение. Из формул D7.8) и D7.10) ясно, что минимальное значе-
значение Сх при заданном Су (т. е. заданном А\) достигается, если равны нулю
все Ап сп/1. При этом
Сх min — Т^у	(Д/
ТТЛ
Распределение же циркуляции по размаху крыла дается формулой
Т = ~и1хСуУ/ЯГ^).	B)
Если длина размаха достаточно велика, то движение жидкости вокруг каж-
каждого сечения крыла приближенно соответствует плоскому обтеканию бес-
бесконечно длинного крыла с таким профилем сечения. В этом случае можно
утверждать, что распределение B) циркуляции осуществляется при эллип-
эллиптической в плане (в плоскости xz) форме крыла с полуосями 1х/2 и 1/2.
§ 48. Подъемная сила тонкого крыла
Задача о вычислении подъемной силы крыла сводится по тео-
теореме Жуковского к задаче о вычислении циркуляции Г. Эта за-
задача может быть решена в общем виде для хорошо обтекаемого
тонкого крыла бесконеч-
бесконечного размаха, с постоян-	У\
ным вдоль размаха про- 	^
филем сечения (излагае-
мый ниже метод решения
принадлежит М.В. Келды-
шу и Л.И. Седову, 1939). —>
Пусть у = Ci(x) и у = *
= С2(х) —уравнения ниж-	Рис 37
ней и верхней частей кон-
контура сечения (рис. 37). Мы предполагаем, что этот профиль
тонкий, слабо изогнутый и наклонен к направлению обтекания
(оси х) под малым углом атаки; другими словами, малы как

266	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
сами (д, B, так и производные ([, (^ т. е. нормаль к контуру
направлена везде почти параллельно оси у. При этих условиях
можно считать возмущение v скорости жидкости, вызываемое
присутствием крыла, везде (кроме лишь малой области вблизи
передней закругленной кромки крыла) малым по сравнению со
скоростью натекания U. Граничное условие на поверхности кры-
крыла гласит Vy/U = (' при у = (. В силу сделанных предположений
можно потребовать его выполнения не при у = ?, а при у = 0.
Тогда на отрезке оси абсцисс от х = 0 до х = 1Х = а должно быть:
vy = UB(x) при у ->> +0, vy = U([(x) при у ->> -0.
D8.1)
Имея в виду применить методы теории функций комплексно-
комплексного переменного, вводим комплексную скорость dw/dz = vx — ivy
(ср. § 10), представляющую собой аналитическую функцию пере-
переменной z = x + iy. В данном случае на отрезке @, а) оси абсцисс
эта функция должна удовлетворять условию
1щ*, = (-иШ при у->+С
dz I -UC[(x) при у->-0.
Для решения поставленной задачи прежде всего представим
искомое поле скоростей г;(ж, у) в виде суммы v = v+ + v~ двух
распределений, обладающих следующими свойствами симмет-
симметрии:
vx(x, -У) = vx(x. У), vy(x, -У) = ~Vy(x, у),
vx(x, -у) = ~vx(x, у), ^(ж; -у) = ^(ж; у)-
Эти свойства (для каждого из распределений v~ и v+ в отдель-
отдельности) не противоречат уравнениям непрерывности и потенци-
потенциальности, и ввиду линейности задачи эти распределения можно
искать независимо друг от друга.
Соответственно представится в виде суммы w' = w'+ + w'_
также и комплексная скорость, причем граничные условия на
отрезке @, а) для обоих членов суммы гласят:
W-U+o = -W_|^_o = f (Ci - CO
Функция wf_ может быть определена с помощью формулы
Коши:

§48
ПОДЪЕМНАЯ СИЛА ТОНКОГО КРЫЛА
267
где интегрирование производится в плоскости комплексного пе-
переменного ? по окружности L малого радиуса с центром в точке
? = z (рис. 38). Контур L можно заменить окружностью С бес-
бесконечно большого радиуса и обходимым по часовой стрелке кон-
контуром С] последний может быть стянут к дважды пробегаемому
отрезку @, а). Интеграл по С обращается в
нуль, так как w'(z) исчезает на бесконечности.
Интеграл же по С дает следующее выражение:
а
w1 =-— /Ч^)~С^)<%.	D8.5)
2тг J ?-z	V 7
О
При этом мы воспользовались предельными
значениями D8.4) мнимой части w_ на отрезке
(О, а) и тем, что согласно условиям симметрии
D8.3) вещественная часть w'_ на этом отрезке не испытывает
скачка.
Для нахождения же функции w+ надо применить формулу
Коши не к самой этой функции, а к произведению w+(z)g(z), где
причем при z = х > а корень берется со знаком плюс. На отрез-
отрезке @, а) вещественной оси функция g(z) чисто мнимая и имеет
разрыв:
g(x + гО) = — g(x — гО) = —г
Ввиду этих свойств функции g(z) ясно, что мнимая часть произ-
произведения gw+ будет иметь на отрезке @, а) разрыв, а веществен-
вещественная часть будет непрерывна, подобно тому как это имеет место у
функции w_. Поэтому в точности аналогично выводу формулы
D8.5) получим
а
w'+(z)g(z) = -f f йЩ±
Z7T J	^ — Z
Собирая полученные выражения, найдем окончательно сле-
следующую формулу, определяющую распределение скоростей во-
вокруг тонкого крыла:
а	,		а
D8.6)
dw _ _U_ z — a f Ci (?) + Сг
dz	2ni\ z J ? - z

268	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ	ГЛ. IV
Вблизи закругленной передней кромки (т. е. при z —>> 0) это
выражение, вообще говоря, обращается в бесконечность, что свя-
связано с непригодностью в этой области рассматриваемого прибли-
приближения. Вблизи же задней заостренной кромки (т. е. при z —>> 0)
первый член в D8.6) конечен; второй же член хотя, вообще го-
говоря, и обращается в бесконечность, но лишь логарифмическим
образом :) . Эта логарифмическая особенность связана с характе-
характером принятого здесь приближения и исчезает при более точном
рассмотрении; никакой же степенной расходимости, в согласии
с условием Чаплыгина, на задней кромке не оказывается. Вы-
Выполнение этого условия достигнуто соответствующим выбором
использованной выше функции g(z).
Формула D8.6) позволяет определить циркуляцию скорости
Г вокруг профиля крыла. Согласно общему правилу (см. § 10)
Г определяется вычетом функции w'(z) относительно точки z =
= 0, являющейся ее простым полюсом. Искомый вычет легко
определить как коэффициент при 1/z в разложении функции
w'(z) по степеням 1/z бесконечно удаленной точки:
dw _ Г
dz 2'kiz
причем для Г получается простая формула
D8.7)
Отметим, что сюда входит только сумма функций (д и ^2- Можно
сказать, что подъемная сила не изменится, если заменить тонкое
крыло изогнутой пластинкой, форма которой задается функцией
(Ci + C2)/2.
Так, например, для крыла в виде плоской пластинки беско-
бесконечного размаха, наклоненной под малым углом атаки а, имеем
Ci = C2 = ot(a — ж), и формула D8.7) дает Г = —TraaU. Коэффи-
Коэффициент подъемной силы такого крыла равен
Су = ^L = 2тга.
У yU2
1) Эта расходимость отсутствует, если вблизи задней кромки (д и B обра-
обращаются в нуль как (а — х)к, к > 1, т. е. если угловая точка контура у заднего
его края есть точка возврата.

ГЛАВА V
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ
§ 49. Общее уравнение переноса тепла
В конце § 2 было указано, что полная система гидродинами-
гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для жид-
жидкости, в которой имеют место процессы теплопроводности и вну-
внутреннего трения, одним из этих уравнений является по-преж-
по-прежнему уравнение непрерывности; уравнения Эйлера заменяются
уравнениями Навье-Стокса. Что же касается пятого уравнения,
то для идеальной жидкости им является уравнение сохранения
энтропии B.6). В вязкой жидкости это уравнение, разумеется, не
имеет места, поскольку в ней происходят необратимые процессы
диссипации энергии.
В идеальной жидкости закон сохранения энергии выражается
уравнением F.1):
Слева стоит скорость изменения энергии единицы объема жид-
жидкости, а справа — дивергенция плотности потока энергии. В вяз-
вязкой жидкости закон сохранения энергии, конечно, тоже имеет
место: изменение полной энергии жидкости в некотором объеме
(в 1 с) должно быть по-прежнему равно полному потоку энергии
через границы этого объема. Однако плотность потока энергии
выглядит теперь иным образом. Прежде всего помимо потока
pv(v2 /2 + w), связанного с простым переносом массы жидкости
при ее движении, имеется еще поток, связанный с процессами
внутреннего трения. Этот второй поток выражается вектором —
(vcr7) с компонентами Vi<jfik (см. § 16). Этим, однако, не исчерпы-
исчерпываются все дополнительные члены в потоке энергии.
Если температура жидкости не постоянна вдоль ее объема,
то наряду с обоими указанными механизмами переноса энергии
будет происходить перенос тепла также и посредством так назы-
называемой теплопроводности. Под этим подразумевается непосред-
непосредственный молекулярный перенос энергии из мест с более высо-
высокой в места с более низкой температурой. Он не связан с макро-
макроскопическим движением и происходит также и в неподвижной
жидкости.

270	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
Обозначим через q плотность потока тепла, переносимого
посредством теплопроводности. Поток q связан некоторым об-
образом с изменением температуры вдоль жидкости. Эту зависи-
зависимость можно написать сразу в тех случаях, когда градиент тем-
температуры в жидкости не слишком велик; практически в явле-
явлениях теплопроводности мы почти всегда имеем дело именно с
такими случаями. Мы можем тогда разложить q в ряд по сте-
степеням градиента температуры, ограничившись первыми члена-
членами разложения. Постоянный член в этом разложении, очевидно,
исчезает, поскольку q должно обращаться в нуль вместе с VT.
Таким образом, получаем
q = -xVT.	D9.1)
Постоянная ус называется теплопроводностью. Она всегда по-
положительна, — это видно уже из того, что поток энергии должен
быть направлен из мест с более высокой в места с более низкой
температурой, т. е. q и VT должны иметь противоположные на-
направления. Коэффициент ус является, вообще говоря, функцией
температуры и давления.
Таким образом, полная плотность потока энергии в жидкости
при наличии вязкости и теплопроводности равна сумме
- (уст1) - ycVT.
Соответственно этому общий закон сохранения энергии выража-
выражается уравнением
?) / 2	\	г	/ 2	\	1
— ( — + ре ) = — div pv f — + w) — (vcr7) — xVT . D9.2)
dt\ 2 r J	1:42 /v/	J vy
Это уравнение можно было бы выбрать в качестве послед-
последнего из полной системы гидродинамических уравнений вязкой
жидкости. Удобно, однако, придать ему другой вид, преобразо-
преобразовав его с помощью уравнений движения. Для этого вычислим
производную по времени от энергии единицы объема жидкости,
исходя из уравнений движения. Имеем
д (Pv2 I \ — v2 дР _l_ dv де dp
Подставляя сюда dp/dt из уравнения непрерывности и dv/dt из
уравнения Навье-Стокса, получим
dt\ 2 И J	2 И ИУ J 2	F	дхк
+ 9

§ 49	ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА	271
Воспользуемся теперь термодинамическим соотношением
de = Tds -pdV = Tds + 2- dp,
P2
откуда
де=тдз р_др=тдз_р_
Подставляя это и вводя тепловую функцию w = e+p/p, находим
р at гаЖ/г
Далее, из термодинамического соотношения dw = Тс/5 + dp/p
имеем
Vp = pVw - pTVs.
Последний ж:е член в правой части равенства можно написать в
виде
щ~аГк = *rSVia*) ~ °^k " dlv(v<T} " ^^'
Подставляя эти выражения, прибавляя и вычитая div(xVT), по-
получим
i{eY+p?) = -div [pw (у+w) -(v<j/) - xVT]+
+ рт(| + vVS) - a^g - div(xVT). D9.3)
Сравнив это выражение для производной от энергии единицы
объема с выражением D9.2), получим следующее уравнение:
D9.4)
Мы будем называть это уравнение общим уравнением переноса
тепла. При отсутствии вязкости и теплопроводности его правая
часть обращается в нуль и получается уравнение сохранения эн-
энтропии B.6) идеальной жидкости.
Нужно обратить внимание на следующее истолкование урав-
уравнения D9.4). Стоящее слева выражение есть не что иное, как
умноженная на рТ полная производная от энтропии по времени
ds/dt. Последняя определяет изменение энтропии данной пере-
передвигающейся в пространстве единицы массы жидкости; Тds/dt

272	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
есть, следовательно, количество тепла, получаемого этой едини-
единицей массы в единицу времени, a pTds/dt — количество тепла, от-
отнесенное к единице объема. Из D9.4) мы видим поэтому, что
количество тепла, получаемого единицей объема жидкости, есть
Первый член здесь представляет собой энергию, диссипируемую
в виде тепла благодаря вязкости, а второй — тепло, приносимое
в рассматриваемый объем посредством теплопроводности.
Раскроем первый член в правой части уравнения D9.4), под-
подставив в него выражение A5.3) для a'ik:
. dvk 2 x dvt \ . > dv{ x dvt
k	OXi	3 OX\ J	OX к OX\
Легко проверить, что первый член может быть написан в виде
г] I dvj dvk _ 2, dvi \
2 \дхк дхг 3 ikdxj '
а во втором имеем
Таким образом, уравнение D9.4) приобретает вид
+ vVS) = div(xVT) + *(р- + ^ - 2-6гк^-
dt	J	2 \dxk dxi 3 dxi J
+ C(div vJ. D9.5)
В результате необратимых процессов теплопроводности и
внутреннего трения энтропия жидкости возрастает. Речь идет
при этом, конечно, не об энтропии каждого элемента объема
жидкости в отдельности, а о полной энтропии всей жидкости,
равной интегралу J psdV. Изменение энтропии в единицу вре-
времени определяется производной
С помощью уравнения непрерывности и уравнения D9.5) имеем
dips) ds . dp	-,.	__ l ,. , т-7гГ\ ,
—?-L = п— + S-L = —s div рлг — pvVs + — div(xVT) +
dt	dt dt	T
+ л_(д^ + дщ_ is дЛ2 + i(div vJ>
2T\dxk dxi 3 гКдх, J TV	'

§ 49	ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА	273
Первые два члена дают в сумме — div(psv). Интеграл по объему
от этого члена преобразуется в интеграл от потока энтропии psv
по поверхности. Рассматривая неограниченный объем жидкости,
покоящейся на бесконечности, мы можем стремить граничную
поверхность на бесконечность; тогда подынтегральное выраже-
выражение в поверхностном интеграле обращается в нуль и интеграл
исчезает. Интеграл от третьего члена преобразуется следующим
образом:
W
T J
Считая, что температура жидкости на бесконечности достаточно
быстро стремится к постоянному пределу, преобразуем первый
интеграл в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, на
которой VT = 0, так что интеграл тоже исчезает.
В результате получается:
\дхк дхг 3 dxj
+ /^(div vfdV. D9.6)
Первый член представляет собой увеличение энтропии благода-
благодаря теплопроводности, а остальные два — увеличение энтропии,
обусловленное внутренним трением.
Энтропия может только возрастать, т. е. сумма D9.6) должна
быть положительна. С другой стороны, в каждом из членов этой
суммы подынтегральное выражение может быть отлично от нуля
даже при равенстве нулю двух других интегралов. Поэтому каж-
каждый из этих интегралов должен быть всегда положителен. От-
Отсюда следует наряду с известной уже нам положительностью ус
и т\ также и положительность второго коэффициента вязкости (*.
При выводе формулы D9.1) молчаливо подразумевалось, что
поток тепла зависит только от градиента температуры и не за-
зависит от градиента давления. Это предположение, априори не
очевидное, может быть оправдано теперь следующим образом.
Если бы в q входил член, пропорциональный Vp, то в выраже-
выражении D9.6) для изменения энтропии прибавился бы еще член, со-
содержащий под интегралом произведение V^VT. Поскольку это
последнее может быть как положительным, так и отрицатель-
отрицательным, то и производная от энтропии по времени не была бы су-
существенно положительной, что невозможно.
Наконец, необходимо уточнить изложенные выше рассужде-
рассуждения еще и в следующем отношении. Строго говоря, в термоди-
термодинамически неравновесной системе, каковой является жидкость
при наличии в ней градиентов скорости и температуры, обыч-
обычные определения термодинамических величин теряют смысл и

274	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
должны быть уточнены. Подразумевавшиеся нами здесь опре-
определения заключаются прежде всего в том, что р, е и v опре-
определяются по-прежнему: р и ре есть масса и внутренняя энергия,
заключенные в единице объема, a v есть импульс единицы массы
жидкости. Остальные же термодинамические величины опреде-
определяются затем как те функции от р и ?, которыми они являются в
состоянии теплового равновесия. При этом, однако, энтропия s =
= s(e, р) уже не будет истинной термодинамической энтропией:
интеграл / psdV не будет, строго говоря, той величиной, кото-
которая должна возрастать со временем. Тем не менее, легко видеть,
что при малых градиентах скорости и температуры в принятом
нами здесь приближении s совпадает с истинной энтропией.
Действительно, при наличии градиентов в энтропии появля-
появляются, вообще говоря, связанные с ними дополнительные (по от-
отношению к s(р, е)) члены. На изложенных выше результатах,
однако, могли бы сказаться лишь линейные по градиентам чле-
члены (например, член, пропорциональный скаляру divv). Такие
члены неизбежно могли бы принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Между тем они должны быть суще-
существенно отрицательными, так как равновесное значение s =
= s(р, е) является максимально возможным. Поэтому разло-
разложение энтропии по степеням малых градиентов может содер-
содержать (помимо нулевого члена) лишь члены начиная со второго
порядка.
Аналогичные замечания должны были быть по существу сде-
сделаны уже в § 15 (ср. примеч. на с. 72), так как уже наличие
градиента скорости является термодинамической неравновесно-
неравновесностью. Именно, под давлением р, которое входит в выражение для
тензора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует
понимать ту функцию р = р(е, р), которой она является в со-
состоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго
говоря, давлением в обычном смысле слова, т. е. не будет совпа-
совпадать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности.
В отличие от того, что было сказано выше об энтропии, здесь
различие проявляется уже в величинах первого порядка по ма-
малому градиенту: мы видели, что в нормальной компоненте си-
силы наряду с р появляется еще и член, пропорциональный div v
(в несжимаемой жидкости этот член отсутствует и там разница
имеет место лишь в членах более высокого порядка).
Таким образом, три коэффициента г/, ?, х, фигурирующие
в системе уравнений движения вязкой теплопроводящей жидко-
жидкости, полностью определяют гидродинамические свойства жидко-
жидкости в рассматриваемом, всегда применяемом приближении (т. е.
при пренебрежении производными высших порядков по коорди-
координатам от скорости, температуры и т. п.). Введение в уравнения
каких-либо дополнительных членов (например, введение в плот-

§ 50	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ	275
ность потока массы членов, пропорциональных градиентам плот-
плотности или температуры) лишено физического смысла и означало
бы в лучшем случае лишь изменение определения основных ве-
величин; в частности, скорость не совпадала бы с импульсом еди-
единицы массы жидкости :) .
§ 50. Теплопроводность в несжимаемой жидкости
Общее уравнение теплопроводности в форме D9.4) или D9.5)
может быть в различных случаях значительно упрощено.
Если скорость движения жидкости мала по сравнению со ско-
скоростью звука, то возникающие в результате движения измене-
изменения давления настолько малы, что вызываемым ими изменением
плотности (и других термодинамических величин) можно прене-
пренебречь. Однако неравномерно нагретая жидкость не является все
же при этом вполне несжимаемой в том смысле, как это пони-
понималось выше. Дело в том, что плотность меняется еще и под
влиянием изменения температуры; этим изменением плотности,
вообще говоря, нельзя пренебречь, и потому даже при достаточ-
достаточно малых скоростях плотность неравномерно нагретой жидкости
все же нельзя считать постоянной. При определении производ-
производных от термодинамических величин в этом случае надо, следо-
следовательно, считать постоянным давление, а не плотность. Так,
имеем
дз
и поскольку Т ( — I есть теплоемкость ср при постоянном дав-
V оТ ) р
лении, то
1) В худшем же случае введение таких членов может вообще нарушить
соблюдение необходимых законов сохранения. Следует иметь в виду, что
при любом определении величин плотность потока массы j во всяком случае
должна совпадать с импульсом единицы объема жидкости. Действительно,
плотность потока j определяется уравнением непрерывности
g+divj = O;
dt
умножая его на г и интегрируя по всему занятому жидкостью объему, по-
получим
а поскольку интеграл J pr dV определяет положение центра инерции данной
массы жидкости, то ясно, что интеграл JjdV есть ее импульс.

276	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
Уравнение D9.4) принимает вид
^ + WT) = div(xVT) + а'гк^-.	E0.1)
Для того чтобы в уравнениях движения неравномерно нагре-
нагретой жидкости можно было считать плотность постоянной, необ-
необходимо (помимо малости отношения скорости жидкости к скоро-
скорости звука), чтобы имеющиеся в жидкости разности температур
были достаточно малы; подчеркнем, что здесь речь идет именно
об абсолютных значениях разностей температур, а не о градиен-
градиенте температуры. Тогда жидкость можно считать несжимаемой в
том же смысле, как это подразумевалось раньше; в частности,
уравнение непрерывности будет выглядеть просто как divv = 0.
Считая разности температур малыми, мы будем пренебрегать
также и температурным изменением величин г/, х, ср, т. е. будем
считать их постоянными. Написав член aL—^- в том виде, как
шдхк
это сделано в D9.5), мы получим в результате уравнение пере-
переноса тепла в несжимаемой жидкости в следующем сравнительно
простом виде:
/	\ 2
^+vVT = xAT+— (?Hi + ?H* ) ,	E0.2)
dt	2ср \дхк oxi J
где v = r\jp — кинематическая вязкость, а вместо х введена тем-
температуропроводность
х = н/(рср).	E0.3)
В особенности просто выглядит уравнение переноса тепла
в неподвижной жидкости, где перенос энергии обязан целиком
теплопроводности. Опуская в E0.2) члены, содержащие скорость,
получаем
— = х^Т.	E0.4)
Это уравнение называется в математической физике уравнени-
уравнением теплопроводности или уравнением Фурье. Оно может быть
выведено, разумеется, и гораздо более простым образом, без по-
помощи общего уравнения переноса тепла в движущейся жидко-
жидкости. Согласно закону сохранения энергии количество тепла, по-
поглощающееся в некотором объеме в единицу времени, должно
быть равно полному потоку тепла, втекающего в этот объем че-
через ограничивающую его поверхность. Как мы знаем, такой за-
закон сохранения может быть выражен в виде уравнения непре-
непрерывности для количества тепла. Это уравнение получается при-
приравниванием количества тепла, поглощающегося в единице объ-
объема жидкости в единицу времени, дивергенции плотности пото-
потока тепла, взятой с обратным знаком. Первое из них равно рср —;
аъ

§ 50	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ	277
здесь должна быть взята теплоемкость ср1 так как вдоль непо-
неподвижной жидкости давление должно быть, разумеется, постоян-
постоянным. Приравняв это выражение — div q = xVT, получим как раз
уравнение E0.4).
Необходимо отметить, что применимость уравнения тепло-
теплопроводности E0.4) к жидкостям практически сильно ограниче-
ограничена. Дело в том, что в жидкостях, реально находящихся в поле
тяжести, уже малый градиент температуры приводит в большин-
большинстве случаев к возникновению заметного движения (так называ-
называемая конвекция; см. § 56). Поэтому реально можно иметь дело
с неравномерным распределением температуры в неподвижной
жидкости, разве только, если градиент температуры направлен
противоположно силе тяжести или же если жидкость очень вяз-
вязкая. Тем не менее, изучение уравнения теплопроводности в фор-
форме E0.4) весьма существенно, так как уравнением такого вида
описываются процессы теплопроводности в твердых телах. Имея
это в виду, мы займемся здесь ив § 51, 52 более подробным его
исследованием.
Если распределение температуры в неравномерно нагретой
неподвижной среде поддерживается (посредством некоторых
внешних источников тепла) постоянным во времени, то уравне-
уравнение теплопроводности принимает вид
AT = 0.	E0.5)
Таким образом, стационарное распределение температуры в не-
неподвижной среде описывается уравнением Лапласа. В более об-
общем случае, когда коэффициент ус нельзя считать постоянным,
вместо E0.5) имеем уравнение
div(xVT) = 0.	E0.6)
Если в жидкости имеются посторонние источники тепла, то
к уравнению теплопроводности должен быть добавлен соответ-
соответствующий дополнительный член (таким источником тепла мо-
может, например, являться нагревание электрическим током).
Пусть Q есть количество тепла, выделяемое этими источника-
источниками в единице объема жидкости в единицу времени; Q является,
вообще говоря, функцией от координат и от времени. Тогда усло-
условие баланса тепла, т. е. уравнение теплопроводности, напишется
в виде
pcp^ = xAT + Q.	E0.7)
Напишем граничные условия для уравнения теплопроводно-
теплопроводности, которые должны иметь место на границе двух сред. Преж-
Прежде всего, на границе должны быть равными температуры обеих
сред:
Тг=Т2.	E0.8)

278	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
Кроме того, поток тепла, выходящего из одной среды, должен
быть равен потоку, входящему во вторую среду. Выбирая си-
систему координат, в которой данный участок границы покоится,
можно написать это условие в виде
для каждого элемента df поверхности раздела. Написав
VTdf =— d/,
дп J'
где дТ/дп — производная от Т по направлению нормали к по-
поверхности, получим граничное условие в виде
дТх	дТ2	/гП п\
XI— = ^2 — .	E0.9)
дп	дп
Если на поверхности раздела имеются посторонние источни-
источники тепла, выделяющие количество тепла Q^s' на единице площа-
площади в единицу времени, то вместо условия E0.9) надо написать:
Kx^-K^El = Q^).	E0.10)
дп	дп
В физических задачах о распределении температуры при на-
наличии источников тепла интенсивность последних обычно сама
задается в виде функции температуры. Если функция Q(T) до-
достаточно быстро возрастает с увеличением Т, то установление
стационарного распределения температуры в теле, границы ко-
которого поддерживаются при заданных условиях (например, при
заданной температуре), может оказаться невозможным. Тепло-
отвод через внешнюю поверхность тела пропорционален неко-
некоторому среднему значению разности температур Т — Tq тела и
внешней среды вне зависимости от закона тепловыделения вну-
внутри тела. Ясно, что если последнее достаточно быстро возрастает
с температурой, то теплоотвод может оказаться недостаточным
для осуществления равновесного состояния.
В этих условиях может возникнуть тепловой взрыв: если
скорости экзотермической реакции горения достаточно быстро
возрастают с температурой, то при невозможности стационар-
стационарного распределения возникают быстрое разогревание вещества
и ускорение реакции (Н.Н. Семенов, 1923). Скорость (а с ней и
интенсивность выделения тепла) взрывных реакций горения за-
зависит от температуры в основном пропорционально множителю
exp (-U/T) с большой энергией активации U. Для исследования
условий возникновения теплового взрыва следует рассматривать
ход реакции при сравнительно незначительном разогревании ве-
вещества и соответственно этому разложить
11 Т-То
Т То	Tg
2

§ 50	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ	279
где То — внешняя температура. Таким образом, задача сводится
к исследованию уравнения теплопроводности с объемной интен-
интенсивностью источников тепла вида
Q = Qoexp[a(T-To)]	E0.11)
{Д.А. Франк-Каменецкий, 1939), —см. задачу 1.
Задачи
1. В слое вещества между двумя параллельными плоскостями распреде-
распределены источники тепла с объемной интенсивностью E0.11). Граничные плос-
плоскости поддерживаются при постоянной температуре. Найти условие, опре-
определяющее возможность установления стационарного распределения темпе-
температуры (Д.А. Франк-Каменецкий, 1939) х).
Решение. Уравнение стационарной теплопроводности в данном слу-
случае гласит:
* dx2 ~
с граничными условиями Т = То при х = 0 и х = 21 B/ — ширина слоя).
Вводим безразмерные переменные т = а(Т — То) и ? = х/Ц тогда
т" + Хет = 0, Л =
Интегрируя это уравнение (умножив его на 2т') один раз, найдем
т'2 = 2Л(еГ0 -ег),
где го — постоянная. Последняя представляет собой, очевидно, максималь-
максимальное значение т, которое ввиду симметрии задачи должно достигаться посе-
посередине слоя, т. е. при ? = 1. Поэтому вторичное интегрирование с учетом
условия т = 0 при ? = 0 дает
то	1
= /« = !•
О '	О
Произведя интегрирование, получим
e-ro/2Archero/2 = </|.	A)
Определяемая этим равенством функция А (то) имеет максимум А = Акр
при определенном значении то = токр; если А > Акр, то удовлетворяющего
граничным условиям решения не существует ). Численные значения: Акр =
= 0,88, тОкр = 1,2 3).
:) Подробное изложение относящихся сюда вопросов см. в кн.: Франк-Ка-
менецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. — М.:
Наука, 1967.
) Из двух корней уравнения A) при А < Акр устойчивому распределению
температуры соответствует лишь меньший.
3) Аналогичные значения для сферической области (с ее радиусом в каче-
качестве длины I) равны Акр = 3,32, токр = 1,47, а для бесконечного цилиндра
Акр = 2,00 тОкр = 1,36.

280	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
2. В неподвижную жидкость, в которой поддерживается постоянный
градиент температуры, погружен шар. Определить возникающее стационар-
стационарное распределение температуры в жидкости и шаре.
Решение. Распределение температуры определяется во всем про-
пространстве уравнением AT = 0 с граничными условиями
Ti=T2, Ml—— = Х2——
or	or
при г = R (R — радиус шара; величины с индексами 1 и 2 относятся соот-
соответственно к шару и жидкости) и условием VT = А на бесконечности (А —
заданный градиент температуры). В силу симметрии условий задачи А есть
единственный вектор, которым должно определяться искомое решение. Та-
Такими решениями уравнения Лапласа являются const Ar и const AV(//r). За-
Замечая, кроме того, что решение должно оставаться конечным в центре шара,
ищем температуры Т\ и Т2 в виде
Тг = а Аг, Т2 = с2А— + Аг;
г3
постоянные с\ и с2 определяются из условий при г = Я, и в результате
находим
Ti = 	^—Аг, Г2= 1+ ^"Г1 (-) Аг-
§ 51. Теплопроводность в неограниченной среде
Рассмотрим теплопроводность в неограниченной неподвиж-
неподвижной среде. Наиболее общей постановкой задачи является следую-
следующая. В начальный момент времени t = 0 задано распределение
температуры во всем пространстве:
Т = Т0(г) при * = 0,
где Tq (г) — заданная функция координат. Требуется определить
распределение температуры во все последующие моменты вре-
времени.
Разложим искомую функцию T(r, t) в интеграл Фурье по ко-
координатам:
|k^	J(r,t)e-^rd3x. E1.1)
Для каждой фурье-компоненты температуры, Ткегкг, уравнение
E0.4) дает
^ + к2ХТк = 0,
dt
откуда находим зависимость Т^ от времени:
Поскольку при t = 0 должно быть Т = Tq(г), то ясно, что
представляет собой коэффициенты фурье-разложения функции
ok =
/ ^o(r j

§ 51	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	281
Таким образом, находим
Т(г, t) =
v 7	BтгK
Интеграл по с/3 к разбивается на произведение трех одинаковых
интегралов вида
где ? — одна из компонент вектора к (аналогичный интеграл с sin
вместо cos исчезает в силу нечетности функции sin). В результате
получаем окончательно следующее выражение:
Эта формула полностью решает поставленную задачу, опре-
определяя распределение температуры в любой момент времени по
ее заданному распределению в начальный момент.
Если начальное распределение температуры зависит только
от одной координаты ж, то, произведя в E1.2) интегрирование
по dyf dzf, получим
ОО
^ / Ы^Ч*'¦ <м-з>
Пусть при t = 0 температура равна нулю во всем простран-
пространстве, за исключением одной точки (начала координат), в кото-
которой она принимает бесконечно большое значение, но так, что пол-
полное количество тепла, пропорциональное интегралу /ТЬ(г)с/3ж,
остается конечным. Такое распределение можно представить
S- функцией:
То (г) = const -5(r).	E1.4)
Интегрирование в формуле E1.2) сводится тогда просто к за-
замене г7 нулем, в результате чего получаем
Г(г, t) = const ¦ _l_7-e-VDx*).	E1.5)
С течением времени температура в точке г = 0 падает как ?~3/2.
Одновременно повышается температура в окружающем про-
пространстве, причем область заметно отличной от нуля темпера-
температуры постепенно расширяется (рис. 39). Ход этого расширения
определяется в основном экспоненциальным множителем в
E1.5): порядок величины / размеров этой области дается

282
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ
ГЛ. V
выражением
E1.6)
т. е. растет пропорционально корню из времени.
Аналогично, если в начальный момент времени конечное ко-
количество тепла сконцентрировано в плоскости х = 0, то в по-
последующее время распределение температуры
Tt	| определится формулой
1
t) = const
E1.7)
V J
Рис. 39
Формулу E1.6) можно истолковать с не-
несколько иной точки зрения. Пусть / есть по-
порядок величины размеров тела. Тогда можно
утверждать, что если это тело было неравно-
неравномерно нагрето, то порядок величины времени т,
в течение которого температуры в разных точ-
точках тела заметно выравнятся, равен
т~/2/х-	E1-8)
Время т, которое можно назвать временем
релаксации для процесса теплопроводности,
пропорционально квадрату размеров тела и
обратно пропорционально коэффициенту тем-
температуропроводности .
Процесс теплопроводности, описываемый полученными здесь
формулами, обладает тем свойством, что влияние всякого тепло-
теплового возмущения распространяется мгновенно на все простран-
пространство. Так, из формулы E1.5) видно, что тепло из точечного ис-
источника распространяется так, что уже в следующий момент
времени температура среды обращается в нуль лишь асимптоти-
асимптотически на бесконечности. Это свойство сохраняется и для среды
с зависящей от температуры температуропроводностью %, если
только эта зависимость не приводит к обращению х в нуль в ка-
какой-либо области пространства. Если же х есть функция темпе-
температуры, убывающая и обращающаяся в нуль вместе с нею, то это
приводит к такому замедлению процесса распространения тепла,
в результате которого влияние любого теплового возмущения бу-
будет простираться в каждый момент времени лишь на некоторую
конечную область пространства; речь идет о распространении
тепла в среду, температуру которой (вне области влияния) мож-
можно считать равной нулю (Я.Б. Зельдович, А.С. Компанеец, 1950;
им же принадлежит решение приведенных ниже задач).
Задачи
1. Теплоемкость и теплопроводность среды — степенные функции тем-
температуры, а ее плотность постоянна. Определить закон обращения темпера-

§ 51	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	283
туры в нуль вблизи границы области, до которой в данный момент распро-
распространялось тепло из некоторого произвольного источника; вне этой области
температура равна нулю.
Решение. Если к и ср — степенные функции температуры, то то же
самое относится к температуропроводности % и к тепловой функции w =
= J ср dT (постоянный член в w опускаем). Поэтому можно написать х =
= aWn, где через W = pw мы обозначили тепловую функцию единицы
объема среды. Тогда уравнение теплопроводности
дТ
di
* dt
приобретет вид
BW
— =adiv(WnVW).	A)
dt
В течение небольшого интервала времени малый участок границы можно
считать плоским, а скорость его перемещения в пространстве v — постоянной.
Соответственно этому ищем решение уравнения A) в виде W = W(x — vt),
где х — координата в перпендикулярном к границе направлении:
dW d f ndW\	,0.
—v	=a—[W 	 ,	B)
dt dx\ dx J	W
откуда после двукратного интегрирования находим следующий закон обра-
обращения W в нуль:
Wcx\x\1/n,	C)
где |ж| —расстояние от границы нагретой области. В то же время этим под-
подтверждается вывод о наличии границы нагретой области (вне которой W,
а с ней и Т равны нулю), если показатель п > 0. Если п ^ 0, то уравнение
B) не имеет решений, обращающихся в нуль на конечном расстоянии, т. е.
тепло распределено в каждый момент по всему пространству.
2. В той же среде в начальный момент времени в плоскости х = 0 скон-
сконцентрировано количество тепла, равное (будучи отнесено к единице пло-
площади) Q, а в остальном пространстве Т = 0. Определить распределение
температуры в последующие моменты времени.
Решение.В одномерном случае уравнение A) гласит:
я Г	D)
dx J
Из имеющихся в нашем распоряжении параметров Q и а и переменных ж, t
можно составить лишь одну безразмерную комбинацию:
X
Z (Qnflt)l/B+n)	E)
(Q и а имеют размерность соответственно эрг/см2 и см2/с (см3/эрг)п). По-
Поэтому искомая функция W(x, t) должна иметь вид
где безразмерная функция /(?) умножена на величину, имеющую размер-
размерность эрг/см3. После этой подстановки уравнение D) дает

284	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
Это уравнение в полных производных имеет простое решение, удовлетво-
удовлетворяющее условиям задачи:
где <^о — постоянная интегрирования.
При п > 0 эта формула дает распределение температуры в области
между границами х = =Ьжо, определяющимися равенством ? = =Ь?о; вне этих
границ W = 0. Отсюда следует, что границы нагретой области расширяются
со временем по закону
хо = const -t1/{2+n).
Постоянная ?о определяется условием постоянства полного количества тепла:
откуда получается
2+n = B + nJ	\2 n;	,
П7Г"/2	Г™A/п) ¦
При п = —v<0 напишем решение в виде
J Wdx= f f(Od?,	(8)
г» f1- + I
Здесь тепло распределено по всему пространству, причем на больших рас-
расстояниях W убывает по степенному закону: W ~ х~2^и. Это решение при-
применимо лишь при v < 2; при v ^ 2 интеграл (8) (который берется теперь в
пределах ±оо) расходится, что, физически означает мгновенный уход тепла
на бесконечное расстояние. При v < 2 постоянная ?о в A0) равна
v
Наконец, при п —>¦ 0 имеем <^о —^ 2/у/п и решение, определяемое форму-
формулами E)-G), дает
1 _ n?lY/nl - _5_.-*2/(^)
в согласии с формулой E1.7).
§ 52. Теплопроводность в ограниченной среде
В задачах о теплопроводности в ограниченной среде задание
начального распределения температуры недостаточно для одно-
однозначности решения, и необходимо еще задание краевых условий
на ограничивающей среду поверхности.

§ 52	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	285
Рассмотрим теплопроводность в полупространстве (х > 0) и
начнем со случая, когда на граничной поверхности х = 0 под-
поддерживается заданная постоянная температура. Эту температу-
температуру мы примем условно за нуль, т. е. будем отсчитывать от нее
температуру в других точках среды.
В начальный момент времени по-прежнему задано распреде-
распределение температуры во всей среде. Таким образом, граничные и
начальные условия гласят:
Г = 0 при х = 0; Г = Го (ж, у, z) при t = 0, х > 0. E2.1)
Решение уравнения теплопроводности с этими условиями мож-
можно свести к решению того же уравнения для среды, не ограничен-
ограниченной в обоих направлениях оси ж, при помощи следующего искус-
искусственного приема. Представим себе, что среда распространяется
и по левую сторону от плоскости х = 0, причем в начальный
момент времени распределение температуры в этой части среды
описывается той же функцией Го, но только взятой с обратным
знаком. Другими словами, в начальный момент времени распре-
распределение температуры во всем пространстве описывается некото-
некоторой функцией, нечетной по переменной ж, т. е. такой, что
Го(-ж, у, z) = -Го(ж, у, z).	E2.2)
Из равенства E2.2) следует, что Го(О, у, z) = — Го(О, у, z) = 0,
т. е. требуемое граничное условие E2.1) автоматически выполне-
выполнено в начальный момент времени, и из симметрии условий задачи
очевидно, что оно будет выполнено и во всякий другой момент
времени.
Таким образом, задача свелась к решению уравнения E0.4)
в неограниченной среде с начальной функцией Го (ж, у, z\ удо-
удовлетворяющей E2.2), и без какого бы то ни было граничного
условия. Поэтому мы можем воспользоваться общей формулой
E1.2).
Разобьем в E1.2) область интегрирования по dx' на две части:
от —оо до 0 и от 0 до оо, и воспользуемся соотношением E2.2).
Мы получим тогда:
-оо 0
pl]	[?±^]}x'dytdzt. E2.3)
Эта формула полностью решает поставленную задачу, определяя
температуру во всей среде.

286
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ
ГЛ. V
Если начальное распределение температуры зависит только
от ж, то формула E2.3) принимает вид
t) =
ОО
[
J
4xt
E2.4)
В качестве примера рассмотрим случай, когда в начальный
момент везде, кроме х = 0, температура равна заданной посто-
постоянной величине, которую, не ограничивая общности, можно по-
положить равной — 1; температура же на плоскости х = 0 все вре-
время равна нулю. Соответствующее решение получается непосред-
непосредственно подстановкой То (ж) = — 1 в E2.4). Разобьем интеграл
в E2.4) на два интеграла и в каждом из них произведем заме-
замену переменных типа	 = ?. Тогда мы получим для Т(ж, t)
следующее выражение:
где функция erf x определяется как
erf х =
2 Г
х = — \
Л/7Г J
E2.5)
и называется интегралом ошибок (заметим, что erf(oo) = 1).
Поскольку erf (—ж) = —erf (ж), мы
получаем окончательно:
E2-6)
erf,
п я.
0,4
ч
у
/
	'
- ^
i
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
Рис. 40
На рис. 40 изображен график функ-
функции erf?. С течением времени рас-
распределение температуры по про-
пространству все более сглаживается.
Это сглаживание происходит таким
образом, что каждое заданное зна-
значение температуры перемещается вправо пропорционально yt.
Последний результат, впрочем, заранее очевиден. Действитель-
Действительно, рассматриваемая задача определяется всего одним парамет-
параметром — начальной разностью температур Tq граничной плоскости
и остального пространства (положенной выше условно равной
единице). Из имеющихся в нашем распоряжении параметров Tq
и х и переменных х и t можно составить всего одну безразмер-
безразмерную комбинацию x/y/xt, поэтому ясно, что искомое распреде-
распределение температуры должно определяться функцией вида Т =

§ 52	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	287
Рассмотрим теперь случай, когда граничная поверхность сре-
среды теплоизолирована. Другими словами, на плоскости х = 0 теп-
тепловой поток должен отсутствовать, т. е. должно быть дТ/дх = 0.
Таким образом, имеем теперь следующие граничные и на-
начальные условия:
— = 0 при х = 0; Г = Го (ж, у, z) при t = 0, х > 0. E2.7)
дх
Для нахождения решения поступим аналогично тому, как мы
делали в предыдущем случае. Именно, опять представим себе
среду неограниченной в обе стороны от плоскости х = 0. Распре-
Распределение же температуры в начальный момент времени предста-
представим себе теперь симметричным относительно плоскости х = 0.
Другими словами, функцию Го (ж, у, z) предположим теперь чет-
четной по переменной х:
T0(-x,y,z)=T0(x,y,z).	E2.8)
Тогда
дТ0(х, у, z) = дТ0(-х, у, z)
дх	дх
и при х = 0 будет дТо/дх = 0. Из симметрии очевидно, что это
условие автоматически будет выполнено и во все последующие
моменты времени. Повторив произведенные выше вычисления,
но используя при этом E2.8) вместо E2.2), найдем, что общее
решение поставленной задачи дается формулами, отличающи-
отличающимися от E2.3) или E2.4) лишь тем, что вместо разности двух
членов в квадратных скобках стоит их сумма.
Перейдем к задачам с другого рода граничными условиями,
тоже допускающими решение уравнения теплопроводности в об-
общем виде. Рассмотрим среду, ограниченную плоскостью х = 0,
через которую извне подводится поток тепла, являющийся за-
заданной функцией времени. Другими словами, имеем граничные
и начальные условия:
-к— = q(t) при х = 0; Г = 0 при t = -оо, х > 0, E2.9)
дх
где q(t)—заданная функция.
Предварительно решим вспомогательную задачу, в которой
q(t) = S(t). Легко сообразить, что эта задача физически эквива-
эквивалентна задаче о распространении тепла в неограниченной среде
от точечного источника, содержащего заданное полное количе-
дТ
ство тепла. Действительно, граничное условие — к— = S(t) при
дх
х = 0 физически означает, что через каждую единицу площади
плоскости х = 0 мгновенно подводится количество тепла, рав-
2
ное единице. В задаче же с условием Г = —5(х) при t = 0 на

288	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
той же площади в начальный момент времени сконцентрирова-
сконцентрировано количество тепла f pcpT dx = 2, из которого половина рас-
распространяется затем в направлении положительных ж (а другая
половина — к отрицательным х). Поэтому ясно, что решения обе-
обеих задач тождественны и согласно E1.7) находим
Поскольку в силу линейности уравнений эффекты от тепла,
подводимого в различные моменты времени, просто складыва-
складываются, то искомое общее решение уравнения теплопроводности с
условиями E2.9) есть
t
— сю
В частности, на самой плоскости х = 0 температура меняется по
закону
t
,*)= /J-f-^dr.	E2.11)
J у 7Г(* — Г)
— сю
С помощью этих результатов можно непосредственно полу-
получить решение другой задачи, в которой заданной функцией вре-
времени является сама температура Т на плоскости х = 0:
Т = T0(t) при х = 0; Т = 0 при t = -оо, ж > 0. E2.12)
Для этого замечаем, что если некоторая функция Т(ж, ?) удовле-
удовлетворяет уравнению теплопроводности, то этому же уравнению
удовлетворяет и производная дТ/дх. С другой стороны, диффе-
дифференцируя по х выражение E2.10), получим
t
ЯТ(т t)	f
дх	J
_xu±y±llL= i 	1^4	 p\__t	 dr_
dx	J 2(тгхI/2(? — тK/2	L 4%(t — r)J
Это есть функция, удовлетворяющая уравнению теплопровод-
теплопроводности, причем q(t) есть (согласно E2.9)) ее же значение при х =
= 0; очевидно, что она и дает искомое решение задачи с усло-
зт
виями E2.12). Написав Т(ж, t) вместо —х— и TqU) вместо q(t),
дх
получаем таким образом:
Т(ж, t) =	 / Го(г) ехр[-—-—1 dr.	E2.13)

§ 52	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	289
дТ
Для потока тепла q = — к— граничную поверхность х = 0 по-
дх
лучаем после короткого преобразования:
q(t) = -?-) ^А^=.	E2.14)
/тгх J dr /t т
Эта формула представляет собой обращение интегрального со-
соотношения E2.11).
Очень просто решается важная задача, в которой на гранич-
граничной поверхности х = 0 температура задается в течение всего
времени в виде периодической функции:
Т = Тое~ш при х = 0.
Ясно, что распределение температуры во всем пространстве бу-
будет зависеть от времени посредством того же множителя e~iujt.
Поскольку одномерное уравнение теплопроводности формально
совпадает с уравнением B4.3), определяющим движение вязкой
жидкости над колеблющейся плоскостью, то по аналогии с фор-
формулой B4.5) мы можем сразу написать искомое распределение
температуры в виде
Т = То exp 1-xJ^- J exp Lx.j^- - iwtj.	E2.15)
Мы видим, что колебания температуры на граничной поверх-
поверхности распространяются от нее в виде быстро затухающих в
глубь среды тепловых волн.
Другой тип задач теории теплопроводности представляют за-
задачи о скорости выравнивания температуры неравномерно на-
нагретых конечных тел, поверхность которых поддерживается при
заданных условиях. Следуя общим методам, ищем решения урав-
уравнения теплопроводности вида
с постоянными Ап. Для функций Тп получаем уравнение
ХАТп = -\пТп.	E2.16)
Это уравнение при заданных граничных условиях имеет от-
отличные от нуля решения лишь при определенных Ап, составляю-
составляющих набор его собственных значений. Все эти значения веще-
вещественны и положительны, а соответствующие функции Тп(ж, у, z)
составляют полную систему взаимно ортогональных функций.
Пусть распределение температуры в начальный момент времени
дается функцией То (ж, у, z). Разлагая ее по системе функций Тп:
П
10 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

290	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
получим искомое решение поставленной задачи в виде
T(r, t) = J>nTn(r)e-A^.	E2.17)
Скорость выравнивания температуры определяется, очевид-
очевидно, в основном тем членом этой суммы, который соответствует
наименьшему из Ап; пусть это будет Ai. Время выравнивания
температуры можно определить как т = 1/\\.
Задачи
1. Определить распределение температуры вокруг сферической поверх-
поверхности (радиуса Я), температура которой есть заданная функция вре-
времени To(t).
Решение. Уравнение теплопроводности для центрально-симметри-
центрально-симметрического распределения температуры в сферических координатах есть
дТ_ _ хд2(гТ)
dt ~ г дг2
Подстановкой T(r, t) = F(r, t)/r оно приводится к уравнению
dF_ _ с??
~dt ~Хай~
типа одномерного уравнения теплопроводности. Поэтому искомое решение
можно написать прямо на основании E2.13) в виде
- Д) / То (г)
2.	То же, если температура сферической поверхности есть Toe lujt.
Решение. Аналогично E2.15), получим
j1 = Toe~lu>t	ехр —A — г)(г — 1
3.	Определить время выравнивания температуры для куба (с длиной
ребра а), поверхность которого: а) поддерживается при заданной темпера-
температуре Т = 0; б) теплоизолирована.
Решение.В случае а) наименьшему значению Л соответствует сле-
следующее решение уравнения E2.16):
_ .7VX.7Vy.7VZ
Т\ = Sin 	 Sin 	 Sin
а	а	а
(начало координат — в одной из вершин куба), причем
1	а2
т = — = 	.
Ai Зтг2х
7VX
В случае же б) имеем Т\ = cos — (или такая же функция от у или z),
а
причем т = а2/(тг2х).

§ 53	ЗАКОН ПОДОБИЯ ДЛЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ	291
4. То же для шара радиуса R.
Решение. Наименьшему значению Л соответствует центрально-сим-
центрально-симметричное решение уравнения E2.16)
Ti=sin—,
причем в случае а) к = тг/Я, так что
_
1	R2
В случае же б) к определяется как наименьший корень уравнения tg kR =
= kR, откуда kR = 4,493, так что т = 0,050 R2x-
§ 53. Закон подобия для теплопередачи
Процессы теплопередачи в жидкости осложняются по сравне-
сравнению с теплопередачей в твердых телах возможностью движения
жидкости. Погруженное в движущуюся жидкость нагретое тело
охлаждается значительно быстрее, чем в неподвижной жидко-
жидкости, где теплопередача происходит только с помощью процессов
теплопроводности. О движении неравномерно нагретой жидко-
жидкости говорят как о конвекции.
Будем предполагать, что имеющиеся в жидкости разности
температур достаточно малы для того, чтобы ее физические свой-
свойства можно было считать не зависящими от температуры. С
другой стороны, эти разности будут предполагаться настолько
большими, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь
изменениями температуры, обусловленными выделением тепла,
связанным с диссипацией энергии путем внутреннего трения (см.
§ 55). Тогда в уравнении E0.2) может быть опущен член, содер-
содержащий вязкость, так что остается
^ + vVT = ХАТ,	E3.1)
где х = к/(рср) —температуропроводность. Это уравнение вме-
вместе с уравнением Навье-Стокса и уравнением непрерывности
полностью описывает конвекцию в рассматриваемых условиях.
Ниже мы будем рассматривать стационарное конвективное дви-
движение :) . Тогда все производные по времени выпадают, и мы
получаем следующую систему основных уравнений:
vVT = хЛТ,	E3.2)
(vV) v = - V^ + i/Av, div v = 0.	E3.3)
p
г) Для того чтобы конвекция могла быть стационарной, необходимо, строго
говоря, чтобы в соприкасающихся с жидкостью твердых телах находились
источники тепла, поддерживающие их при постоянной температуре.
10*

292	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
В эту систему, в которой неизвестными функциями являются v,
Т и р/р, входят всего два постоянных параметра: v и х- Кроме
того, решение этих уравнений зависит, через посредство гранич-
граничных условий, еще от некоторого характерного параметра длины
/, скорости U и характерной разности температур Т\— Tq. Первые
два определяют, как всегда, размеры фигурирующих в задаче
твердых тел и скорость основного потока жидкости, а третий —
разность температур между жидкостью и твердыми телами.
При составлении безразмерных величин из имеющихся в на-
нашем распоряжении параметров возникает вопрос о том, какую
размерность следует приписать температуре. Для этого замеча-
замечаем, что температура определяется уравнением E3.2), являющим-
являющимся линейным и однородным по Т. Поэтому температура может
быть умножена без нарушения уравнений на произвольный по-
постоянный множитель. Другими словами, единицы для измерения
температуры могут быть выбраны произвольным образом. Воз-
Возможность такого преобразования температуры может быть учте-
учтена формально посредством приписывания ей некоторой особой
размерности, которая бы не входила в размерности остальных
величин. Таковой является как раз размерность градуса —еди-
—единицы, в которой температура обычно и измеряется.
Таким образом, конвекция характеризуется в рассматрива-
рассматриваемых условиях пятью параметрами со следующими размерно-
размерностями:
М = [х] = см2/с, [Ц] = см/с, [/] = см, [Ti - То] = град.
Из них можно составить две независимые безразмерные комби-
комбинации. В качестве таковых мы выберем число Рейнольдса R =
= VI jv и число Прандгпля, определяемое как отношение
Р = vjX.	E3.4)
Всякая другая безразмерная величина может быть выражена че-
через R и Р :) . Что касается числа Прандтля, то оно представляет
собой просто некоторую материальную константу вещества и не
зависит от свойств самого потока. У газов это число — всегда по-
порядка единицы. Значения же Р для различных жидкостей лежат
в более широком интервале. У очень вязких жидкостей Р может
достигать очень больших значений. Приведем в качестве приме-
примера значения Р при 20°С для ряда веществ:
воздух		0,733,
вода		6,75,
спирт		16,6,
глицерин		7250,
ртуть		0,044.
х) Иногда пользуются числом Пекле (Peclet), определяемым как Ul/x- Оно
сводится к произведению RP.

§ 53	ЗАКОН ПОДОБИЯ ДЛЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ	293
Подобно тому как было сделано в § 19, мы можем теперь за-
заключить, что в стационарном конвекционном потоке (заданного
типа) распределение температуры и скорости имеет вид
E3.5)
Безразмерная функция, определяющая распределение темпера-
температуры, зависит как от параметров от обоих чисел R и Р; распреде-
распределение же скоростей — только от числа R, поскольку оно опреде-
определяется уравнениями E3.3), в которые теплопроводность не вхо-
входит вовсе. Два конвекционных потока подобны, если их числа
Рейнольдса и Прандтля одинаковы.
Теплопередачу между твердыми телами и жидкостью харак-
характеризуют обычно так называемым коэффициентом теплопере-
теплопередачи а, определяемым как отношение
где q — плотность потока тепла через поверхность тела, а Т\ —
— Tq — характерная разность температур твердого тела и жидко-
жидкости. Если распределение температуры в жидкости известно, то
коэффициент теплопередачи легко определить, вычисляя плот-
плотность потока тепла q = — кдТ/дп на границе жидкости (произ-
(производная берется по нормали к поверхности тела).
Коэффициент теплопередачи является размерной величиной.
В качестве безразмерной величины, характеризующей теплопе-
теплопередачу, пользуются числом Нуссельта
N = al/к.	E3.7)
Из соображений подобия следует, что для каждого данного типа
конвекционного движения число Нуссельта является определен-
определенной функцией только от чисел Рейнольдса и Прандтля:
N = /(R, Р).	E3.8)
Эта функция приобретает тривиальный вид при конвекции с
достаточно малыми числами Рейнольдса. Малым R соответству-
соответствуют малые скорости движения. Поэтому в первом приближении
в уравнении E3.2) можно пренебречь членом, содержащим ско-
скорость, так что распределение температуры определяется уравне-
уравнением AT = 0, т. е. обычным уравнением стационарной теплопро-
теплопроводности в неподвижной среде. Коэффициент теплопередачи не
может, очевидно, зависеть теперь ни от скорости, ни от вязкости
жидкости и потому должно быть
N = const,	E3.9)
причем при вычислении этой постоянной можно рассматривать
жидкость как неподвижную.

294	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
Задача
Определить распределение температуры в жидкости, совершающей пуа-
зейлевское течение по трубе кругового сечения, температура стенки которой
меняется вдоль длины трубы по линейному закону.
Решение. Условия течения одинаковы во всех сечениях трубы, и
распределение температуры можно искать в виде Т = Az + /(г), где Az—
температура стенки (выбраны цилиндрические координаты с осью z по оси
трубы). Для скорости имеем согласно A7.9)
г2
R2,
где v — средняя скорость. Подставляя это в E3.2), находим уравнение
г dr \ dr J
Решение этого уравнения не имеющее особенностей при г = 0 и удовлетво-
удовлетворяющее условию / = 0 при г = R, есть
vAR2\3 /r2\2 1^2\4
Плотность потока тепла
дТ
иг r=R
Она не зависит от теплопроводности.
= -pcpvRA.
§ 54. Теплопередача в пограничном слое
Распределение температуры в жидкости при очень больших
числах Рейнольдса обнаруживает особенности, аналогичные тем,
которыми обладает и само распределение скоростей. Очень боль-
большие значения R эквивалентны очень малой вязкости. Но по-
поскольку число Р = vjx не бывает очень малым, то вместе с
v должен рассматриваться как малый и коэффициент темпера-
температуропроводности х- Это соответствует тому, что при достаточ-
достаточно больших скоростях движения жидкость может приближенно
рассматриваться как идеальная,— в идеальной жидкости долж-
должны отсутствовать как процессы внутреннего трения, так и про-
процессы теплопроводности.
Такое рассмотрение, однако, опять будет неприменимо в при-
пристеночном слое жидкости, поскольку при нем не будут выпол-
выполняться на поверхности тела ни граничное условие прилипания,
ни условие одинаковости температур жидкости и тела. В резуль-
результате в пограничном слое происходит наряду с быстрым падением
скорости также и быстрое изменение температуры жидкости до
значения, равного температуре поверхности твердого тела. По-
Пограничный слой характеризуется наличием в нем больших гра-
градиентов как скорости, так и температуры.

§ 54	ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ	295
Что касается распределения температуры в основном объеме
жидкости, то легко видеть, что при обтекании нагретого тела
(при больших R) нагревание жидкости будет происходить прак-
практически только в области следа, между тем как вне следа темпе-
температура жидкости не изменится. Действительно, при очень боль-
больших R процессы теплопроводности в основном потоке не игра-
играют практически никакой роли. Поэтому температура изменит-
изменится только в тех местах пространства, в которые попадает при
своем движении нагретая в пограничном слое жидкость. Но мы
знаем (см. § 35), что из пограничного слоя линии тока выходят
в область основного потока только за линией отрыва, где они
попадают в область турбулентного следа. Из области же следа
линии тока в окружающее пространство уже не выходят. Таким
образом, текущая мимо поверхности нагретого тела в погранич-
пограничном слое жидкость попадает целиком в область следа, в котором
и остается. Мы видим, что тепло оказывается распределенным в
тех же областях, в которых имеется отличная от нуля завихрен-
завихренность.
Внутри самой турбулентной области происходит интенсив-
интенсивный теплообмен, обусловленный сильным перемешиванием жид-
жидкости, которое характерно для всякого турбулентного движе-
движения. Такой механизм теплопередачи можно назвать турбулент-
турбулентной температуропроводностью и характеризовать соответствую-
соответствующим коэффициентом Хтурб? подобно тому как мы ввели понятие
о коэффициенте турбулентной вязкости г/турб (§ 33). По поряд-
порядку величины коэффициент турбулентной температуропровод-
температуропроводности определяется такой же формулой, как и щуф C3.2):
Хтурб '
Таким образом, процессы теплопередачи в ламинарном и тур-
турбулентном потоках являются принципиально различными. В пре-
предельном случае сколь угодно малых вязкости и теплопроводно-
теплопроводности в ламинарном потоке процессы теплопередачи вообще отсут-
отсутствуют и температура жидкости в каждом месте пространства
не меняется. Напротив, в турбулентно движущейся жидкости в
том же предельном случае теплопередача происходит и приводит
к быстрому выравниванию температуры в различных участках
потока.
Рассмотрим сначала теплопередачу в ламинарном погранич-
пограничном слое. Уравнения движения C9.13) сохраняют свой вид. Ана-
Аналогичное упрощение должно быть произведено теперь и для
уравнения E3.2). Написанное в раскрытом виде это уравнение
имеет вид (все величины не зависят от координаты z):
дТ , дТ	(д2Т , д2Т

296	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
В правой его части можно пренебречь производной д2Т/дх2 по
сравнению с <Э2Т/<Эу2, так что остается
дТ . дТ д2Т	/к/1 1\
vx— + vy— = v	.	E4.1)
ох	ду	ду2
Из сравнения этого уравнения с первым из уравнений C9.13)
ясно, что если число Прандтля — порядка единицы, то порядок
величины S толщины слоя, в котором происходит падение ско-
скорости vx и изменение температуры Т, будет по-прежнему опре-
определяться полученными в § 39 формулами, т. е. будет обратно
пропорционален л/R. Поток тепла
дТ	Тх - Т2
о = —ус— ~ ус	.
4	дп	6
Поэтому мы приходим к результату, что д, а вместе с ним и число
Нуссельта, прямо пропорционально vR. Зависимость же N от Р
остается неопределенной. Таким образом, получаем
N = \/R/(P).	E4.2)
Отсюда, в частности, следует, что коэффициент теплопередачи
а обратно пропорционален корню из размеров / тела.
Перейдем теперь к теплопередаче в турбулентном погранич-
пограничном слое. При этом удобно, как и в § 42, рассмотреть бесконеч-
бесконечный плоскопараллельный турбулентный поток, текущий вдоль
бесконечной плоской поверхности. Поперечный градиент темпе-
температуры dT/dy в таком потоке может быть определен из таких же
соображений размерности, какие были использованы для нахо-
нахождения градиента скорости du/dy. Обозначим через q плотность
потока тепла вдоль оси у, вызванного наличием градиента тем-
температуры. Этот поток является такой же постоянной (не завися-
зависящей от у) величиной, какой является поток импульса а, и наряду
с ним может рассматриваться как заданный параметр, опреде-
определяющий свойства потока. Кроме того, мы имеем теперь в каче-
качестве параметров плотность р и теплоемкость ср единицы массы
жидкости. Вместо а введем в качестве параметра величину г;*;
q и ср обладают размерностями соответственно эрг/с • см2 = г/с3
и эрг/г • град = см2/с2 • град. Что касается коэффициентов вяз-
вязкости и теплопроводности, то они при достаточно больших R не
могут входить в dT/dy явно.
В силу упоминавшейся уже в § 53 однородности уравнений по
температуре можно изменить температуру в любое число раз без
того, чтобы нарушить уравнения. Но при изменении температу-
температуры должен во столько же раз измениться и поток тепла. Поэтому
q и Т должны быть пропорциональны друг другу. Но из д, г>*,
р, ср и у можно составить всего только одну величину, которая

§ 54	ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ	297
имеет размерность град/см и в то же время пропорциональна q.
Такой величиной является q/(pcpv*y). Поэтому должно быть
ay	pcpxv*y
где /3 есть числовая постоянная, которая должна быть определе-
определена экспериментально :) . Отсюда имеем
Т = /3—q— (In у + с).	E4.3)
>cpcv
Таким образом, температура, как и скорость, распределена по
логарифмическому закону. Входящая сюда постоянная интегри-
интегрирования с, как и при выводе D2.7), должна быть определена из
условий в вязком подслое. Полная разность между температу-
температурой жидкости в данной точке и температурой стенки (которую
мы принимаем условно за нуль) складывается из падения тем-
температуры в турбулентном слое и ее падения в вязком подслое.
Логарифмическим законом E4.3) определяется только первое из
них. Поэтому, если написать E4.3) в виде
fin У^- + const),
\ v	/
Т =
введя под знаком логарифма множителем толщину уо5 то const
(умноженная на множитель, стоящий перед скобкой) должна
представлять собой изменение температуры в вязком подслое.
Это изменение зависит, конечно, и от коэффициентов v и х- По-
Поскольку const есть величина безразмерная, то она должна иметь
вид некоторой функции от числа Р, являющегося единственной
безразмерной комбинацией, которую можно составить из имею-
имеющихся в нашем распоряжении величин v, %, P-, v*? ср (что каса-
касается потока тепла д, то он не может входить в const, поскольку
Т должно быть пропорционально g, a q входит уже в множитель
перед скобкой). Таким образом, получаем закон распределения
температуры в виде
[	1	E4.4)
{Л.Д. Ландау, 1944). Эмпирическое значение постоянной /3 в этом
выражении: /3 ~ 0,9. Значение функции / для воздуха:
/@,7) «1,5.
1) Здесь х — постоянная Кармана, входящая в логарифмический профиль
скоростей D2.4). При таком определении /3 = ^Турб/ХтуРб, где ^турб и хтуРб —
коэффициенты в соотношениях
дТ	ди
Я. = рСрХтурб — , о- = рмгурб —.
ду	ду

298	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
С помощью формулы E4.4) можно рассчитать теплопереда-
теплопередачу при турбулентном течении по трубе, при обтекании плоской
пластинки и т. п. Мы не станем останавливаться здесь на этом.
Турбулентные пульсации температуры. Говоря выше о
температуре турбулентной жидкости, мы подразумевали, конеч-
конечно, ее усредненное по времени значение. Истинная же темпера-
температура испытывает в каждой точке пространства крайне нерегу-
нерегулярное изменение со временем, подобное пульсациям скорости.
Будем считать, что существенное изменение средней темпера-
температуры происходит на тех же расстояниях / (основной масштаб тур-
турбулентности), на которых меняется средняя скорость движения.
К мелкомасштабным (масштабы А ^С /) пульсациям температу-
температуры можно применить те же общие представления и соображения
подобия, которые были уже использованы при рассмотрении ло-
локальных свойств турбулентности в § 33. При этом будем считать,
что число Р ~ 1 (в противном случае может оказаться необходи-
необходимым введение двух внутренних масштабов, определенных по v и
по х). Тогда инерционный интервал масштабов является в то же
время конвективным, — выравнивание температур в нем проис-
происходит путем механического перемешивания различно нагретых
«жидких частиц» без участия истинной теплопроводности; свой-
свойства температурных пульсаций в этом интервале не зависят и
от крупномасштабного движения. Определим зависимость раз-
разностей температур Т\ от расстояний А в инерционном интервале
(A.M. Обухов, 1949).
Теплопроводностная диссипация энергии (в единице объема)
дается выражением к(\7ТJ/Т (ср. D9.6) или ниже G9.1)). Раз-
Разделив его на рср, получим величину х(^ТJ/Т = ^(Т), опре-
определяющую скорость диссипативного понижения температуры;
предполагая турбулентные колебания температуры относитель-
относительно малыми, можно заменить Т в знаменателе постоянной сред-
средней температурой. Введенная таким образом величина ср пред-
представляет собой еще один (наряду с е) параметр, определяющий
локальные свойства турбулентности в неравномерно нагретой
жидкости.
Следуя изложенному в § 33 способу (см. текст после C3.1)),
выражаем ср через величины, характеризующие пульсации мас-
масштаба А:
Подставив сюда
Хт
(согласно C3.2) и C3.6)), получим искомый результат:
E4.5)

§ 54	ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ	299
Таким образом, для А ^> Ао пульсации температуры, как и пуль-
пульсации скорости, пропорциональны А1/3.
На расстояниях же А < Ао температура сглаживается путем
истинной теплопроводности. На масштабах А <С Ао температура
меняется плавно. По тем же соображениям, что и для скорости
(ср. C3.19)), разности Т\ здесь пропорциональны А.
Задачи
1. Определить предельный закон зависимости числа Нуссельта от чис-
числа Прандтля в ламинарном пограничном слое при больших значениях Р и
больших R.
Решение. При больших Р расстояние 8', на котором происходит из-
изменение температуры, мало по сравнению с толщиной 6 слоя, в котором
происходит падение скорости vx (Sf может быть названо толщиной темпе-
температурного пограничного слоя). Порядок величины 8' может быть получен
оценкой членов уравнения E4.1). На расстоянии от у = 0 до у ~ 5' темпе-
температура испытывает изменение порядка полной разности Т\ — То температур
жидкости и твердого тела, а скорость vx на том же расстоянии испытывает
изменение порядка U5' /5 (полное изменение порядка U скорость испыты-
испытывает на расстоянии 8). Поэтому при у ~ д' члены уравнения E4.1) порядка
величины
дТ ТТ6'Т!-ТО
д	6
ду2	5'2	дх 6 1
Сравнение обоих выражений дает 8' ^\8l/U. Подставляя ^~l/vR, получаем
6
Rl/2pl/3	pi/3'
Таким образом, при больших Р толщина температурного пограничного слоя
убывает по сравнению с толщиной скоростного пограничного слоя обратно
пропорционально кубическому корню из Р. Поток тепла
дТ Тх - То
а = — х,	~ х,	,
ду	5>
и окончательно находим предельный закон теплопередачи ):
N = const -R1/2P1/3.
2. Определить предельный вид функции /(Р) в логарифмическом за-
законе распределения температуры E4.4) при больших значениях Р.
Решение. Согласно сказанному в § 42 поперечная скорость в вязком
подслое порядка величины v*(y/yoJ, а масштаб турбулентного движения —
1) Для реальных значений коэффициента теплопроводности различных ве-
веществ число Прандтля не достигает тех больших значений, для которых мог
бы иметь место этот предельный закон. Такие законы, однако, могут быть
применены к конвективной диффузии, описывающейся теми же уравнени-
уравнениями, что и конвективная теплопередача, причем роль температуры играет
концентрация растворенного вещества, роль теплового потока — поток это-
этого вещества, а диффузионное число Прандтля определяется как Р^ = v/D,
где D — коэффициент диффузии. Так, для растворов в воде и сходных жид-
жидкостях число Pd достигает значений порядка 10 , а для растворов в очень
вязких растворителях— 106 и более.

300	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
порядка у /уо. Турбулентная температуропроводность, следовательно,
' г>* г
у \4 [У у
11Г\ '	^ 11Г\ '
(мы воспользовались здесь соотношением D2.5)); Хтурб сравнивается по по-
порядку величины с обычным коэффициентом %, на расстояниях у\ ~г/оР~ •
Поскольку Хтурб очень быстро растет с у, то ясно, что основное изменение
температуры в вязком подслое происходит на расстояниях от стенки поряд-
порядка у\ и его можно считать пропорциональным г/i, т. е. имеющим порядок
величины
ЯУ1 ^ Wo	Я. рЗ/4
Сравнивая с формулой E4.4), находим, что функция /(Р) будет иметь вид
/(Р) = const-Р3/4,
где const — численная постоянная.
3. Вынести соотношение, связывающее локальные корреляционные
функции
Втт = ((Т2 - TiJ), В^т = {{v2i - vu){T2 - TiJ)
в неравномерно нагретом турбулентном потоке {A.M. Яглом, 1949).
Решение. Все вычисления аналогичны выводам в § 34. Наряду с
функциями Втт и В{тт вводим вспомогательные функции
Ьтт = (Т1Т2), biTT = (VUT1T2),
и для облегчения рассуждений рассматриваем турбулентность как полно-
полностью однородную и изотропную. Имеем тогда:
Втт -— 2{Т > — 2Ьтт 1 BiTT -— ^biTT	A)
(средние значения
а средние значения вида (г>нТ22) обращаются в нуль в силу несжимаемости
жидкости — ср. вывод C4.18)). С помощью уравнений
— + (v V)T = х AT, divv = О
dt
вычисляем производную
—Ьтт = -2-	Ытт + 2xAi6Tt.	B)
dt	дхи
В силу тех же изотропии и однородности, функции biTT имеют вид
biTT = пфгтт	C)
(где п — единичный вектор в направлении г = Г2 — ri), а Ьгтт и Ьтт зависят
только от г. С учетом A) и C), уравнение B) принимает вид
дВтт 1 . /	ч
— 2<р	= - div (пВгтт) — х^Втт =
1 ^ / 2п \ X д ( 2дВтт\
=	Г ВгТТ)	Т 	 ,
где введена величина

§ 55	НАГРЕВАНИЕ ТЕЛА В ДВИЖУЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ	301
(совпадающая с введенной в тексте). Поскольку локальную турбулентность
можно считать стационарной, производной дВтт/dt пренебрегаем. Интегри-
Интегрируя оставшееся равенство по г, получим искомое соотношение (аналогичное
C4.21)):
BTTT-2Xd-^ = --TV.	D)
dr	3
При г ^> Ао член, содержащий %, мал, а согласно E4.5) функция
Втт ос г2/3. Тогда из D) имеем
„ 4
Вгтт ~	пр.
о
На расстояниях же г <С Ао имеем Втт ос г2, а членом Вгтт можно прене-
пренебречь; тогда
d	1 2
Втт ~ —г (р.
З
§ 55. Нагревание тела в движущейся жидкости
Термометр, погруженный в неподвижную жидкость, показы-
показывает температуру, равную температуре жидкости. Если же жид-
жидкость движется, то термометр покажет температуру несколько
более высокую. Это обусловливается нагреванием благодаря вну-
внутреннему трению тормозящейся у поверхности термометра жид-
жидкости.
Общую задачу можно сформулировать следующим образом.
Тело произвольной формы погружается в движущуюся жид-
жидкость; по истечении достаточного промежутка времени устано-
установится некоторое тепловое равновесие и требуется определить воз-
возникающую при этом разность температур Т\ — Tq между ними.
Решение этой задачи определяется уравнением E0.2), в ко-
котором, однако, теперь уже нельзя пренебречь членом, содержа-
содержащим вязкость, как это было сделано в E3.1); именно этот член
определяет интересующий нас здесь эффект. Таким образом, для
установившегося состояния имеем уравнение
(? ?)'.	E5.1)
К нему должны быть присоединены уравнения движения E3.3)
самой жидкости и, строго говоря, еще и уравнение теплопровод-
теплопроводности внутри твердого тела. В предельном случае достаточно
малой теплопроводности тела можно пренебречь ею вовсе и тем-
температуру каждой точки поверхности тела считать просто равной
температуре жидкости в той же точке, получающейся в резуль-
результате решения уравнения E5.1) с граничным условием дТ/дп =
= 0, т. е. условием исчезновения потока тепла через поверхность
тела. В обратном предельном случае достаточно большой тепло-
теплопроводности тела можно приближенно потребовать одинаково-
одинаковости температуры во всех точках его поверхности; производная

302	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
дТ/дп при этом, вообще говоря, не обращается в нуль на всей
поверхности и следует требовать исчезновения лишь полного по-
потока тепла через всю поверхность тела (т. е. интеграла от дТ/дп
по этой поверхности). В обоих этих предельных случаях коэффи-
коэффициент теплопроводности тела не входит явно в решение задачи;
ниже мы будем предполагать, что имеем дело с одним из них.
В уравнения E5.1) и E3.3) входят постоянные параметры %,
v и ср и, кроме того, в их решение войдут размеры тела / и ско-
скорость U набегающего потока. (Разность же температур Т\ — Tq
не является теперь произвольным параметром, а должна сама
быть определена в результате решения уравнений.) Из этих па-
параметров можно составить две независимые безразмерные ком-
комбинации, в качестве которых выберем R и Р. Тогда можно утвер-
утверждать, что искомая разность Ti—Tq равна какой-либо величине с
размерностью температуры (в качестве таковой выберем U2/cp),
умноженной на функцию от R и Р:
/(P).	E5.2)
Ср
Легко определить вид этой функции в случае очень малых
чисел Рейнольдса, т. е. достаточно малых скоростей U. Тогда
член vVT в E5.1) мал по сравнению с х^Т, так что уравнение
E5.1) упрощается:
Температура и скорость испытывают заметное изменение на про-
протяжении расстояний порядка размеров I тела. Поэтому оценка
обеих частей уравнения E5.3) дает
x(Ti - То) _ vU2
I2	~ cpl2 '
Таким образом, приходим к результату, что при малых R
Ti -То = const -P —,	E5.4)
где const — численная постоянная, зависящая от формы тела. От-
Отметим, что разность температур оказывается пропорциональной
квадрату скорости U.
Некоторые общие заключения о виде функции /(Р, R) в
E5.2) можно сделать и в обратном предельном случае больших
R, когда скорость и температура меняются только в узком по-
пограничном слое. Пусть 5 и а —расстояния, на которых меняются
соответственно скорость и температура; 6 и 81 отличаются друг
от друга множителем, зависящим от Р. Количество тепла, вы-
выделяемое в пограничном слое в единицу времени благодаря вяз-
вязкости, дается интегралом A6.3). Отнесенное к единице площади

§ 55	НАГРЕВАНИЕ ТЕЛА В ДВИЖУЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ	303
поверхности тела, оно равно по порядку величины vp(U/5J5 =
= upU2/6. С другой стороны, это тепло должно быть равно теп-
теплу, теряемому телом и равному потоку
дТ	Ti - To
Сравнив оба выражения, приходим к результату
^	E5.5)
Таким образом, и в этом случае функция / оказывается не зави-
зависящей от R; зависимость же ее от Р остается неопределенной.
Задачи
1. Определить распределение температуры в жидкости, совершающей
пуазейлевское течение по трубе кругового сечения, стенки которой поддер-
поддерживаются при постоянной температуре То.
Решение.В цилиндрических координатах с осью z по оси трубы
имеем
-Г (г
v = у = 2v 1 — —
L \R
где v — средняя скорость течения. Подстановка в E5.3) приводит к уравне-
уравнению
Id/ dt\	16v2 v 2
	I г— I =	г .
r dr \ dr J	R4 xcp
Решение этого уравнения, конечное при г = 0 и удовлетворяющее условию
Т = То при г = R, есть
2. Определить разность температур между твердым шаром и обтекаю-
обтекающей его жидкостью при малых числах Рейнольдса; теплопроводность шара
предполагается большой.
Решение. Выбираем сферические координаты г, #, ср с началом в
центре шара и полярной осью вдоль направления скорости и натекающе-
натекающего потока. Вычисляя компоненты тензора dvi/dxk + dvu/dxi с помощью
формул A5.20) и формулы B0.9) для скорости жидкости, обтекающей шар,
получаем уравнение E3.3) в виде
	( г 	 1 Ч	( sin в —
г2 дг\ дг) г2 sin вдв\ дв
AR4\ 2 V 6R2 . 2R4\ . R4
= —А— |cos в[ 3 —
г4
гДе	~ ^
Ищем Т(г, в) в виде

304	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
и получаем после отделения частей, зависящей и не зависящей от #, два
уравнения для / и g:
Из первого уравнения получаем
(член вида const • г опускаем как не исчезающий на бесконечности), после
чего второе приводит к решению
Af3R2 1R4 1 R6\ ciRs c2R
	1	h C3.
3r3	r
Постоянные с\, сг, сз определяются из условий
/ВТ

дг
что эквивалентно требованию
/ВТ
	г2 sin # с/0 = 0 при г = R,
д
на бесконечности должно быть Т = То. Находим:
5	2
ci = --A, с2 = -А, с3=Т0.
Для разности температур шара (Т\ = T(R)) и жидкости (То) получаем
TlTop
8 ср
Заметим, что найденное распределение температуры оказывается удов-
удовлетворяющим и условию дТ/дг = 0 при г = Я, т. е. f'(R) = gf(R) = 0.
Поэтому оно является одновременно и решением той же задачи в случае
малой теплопроводности шара.
§ 56. Свободная конвекция
Мы видели в § 3, что если в находящейся в поле тяжести
жидкости имеет место механическое равновесие, то распределе-
распределение температуры в ней должно зависеть только от высоты z: T =
= T(z). Если же распределение температуры не удовлетворяет
этому требованию, являясь в общем случае функцией всех трех
координат, то механическое равновесие в жидкости невозможно.
Больше того, даже если Т = Т(^), то механическое равновесие

§ 56	СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ	305
все же может оказаться невозможным, если вертикальный гра-
градиент температуры направлен вниз и по абсолютной величине
превышает определенное предельное значение (§4).
Отсутствие механического равновесия приводит к возникно-
возникновению в жидкости внутренних течений, стремящихся переме-
перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная темпе-
температура. Такое возникающее в поле тяжести движение называют
свободной конвекцией.
Выведем уравнения, описывающие конвекцию. Мы будем
рассматривать жидкость как несжимаемую. Это значит, что дав-
давление предполагается достаточно мало меняющимся вдоль жид-
жидкости, так что изменением плотности под влиянием изменения
давления можно пренебречь. Например, в атмосфере, где дав-
давление меняется с высотой, это значит, что мы не будем рас-
рассматривать слишком высоких ее столбов, в которых изменение
плотности с высотой становится существенным. Что же касается
изменения плотности благодаря неравномерной нагретости жид-
жидкости, то этим изменением, конечно, нельзя пренебречь. Именно
оно приводит к появлению сил, вызывающих конвекционное дви-
движение.
Напишем переменную температуру в виде Т = Tq +T7, где Tq
есть некоторое постоянное среднее значение, от которого отсчи-
тывается неравномерность температуры Т'. Будем предполагать,
что Т' мало по сравнению с Tq.
Плотность жидкости тоже напишем в виде р = ро + р1 с по-
постоянным ро. Ввиду малости изменения температуры Т1 мало
также и вызываемое им изменение плотности р , причем можно
написать
р' = №) Т' = -ро/ЗТ',	E6.1)
где /3 = —р~1(др/дТ) — температурный коэффициент расшире-
расширения жидкости х) .
В давлении же р = ро + р1 величина ро не будет постоян-
постоянной. Это — давление, соответствующее механическому равнове-
равновесию при постоянных (равных Tq и ро) температуре и плотности.
Оно меняется с высотой согласно гидростатическому уравнению
Ро = Pogr + const = —pogz + const,	E6.2)
где координата z отсчитывается вертикально вверх.
В столбе жидкости высотой h гидростатический перепад дав-
давления составляет pogh. Этот перепад приводит к изменению
плотности на ^pgh/c: , где с — скорость звука (см. ниже F4.4)).
Согласно условию, это изменение должно быть пренебрежимо
мало, причем не только по сравнению с самой плотностью, но и
:) Будем полагать, что /3 > 0.

306	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
по сравнению с ее тепловым изменением E6.1). Другими слова-
словами, должно удовлетворяться неравенство
gh/c2 < /36,	E6.3)
где Э — характерная разность температур.
Начнем с преобразования уравнения Навье-Стокса, которое
при наличии поля тяжести имеет вид
^ + (vV)v
ot	р
получающийся добавлением к правой части A5.7) действующей
на единицу массы силы g. Подставим сюдар = ро+р1, р = po~\-pf.
С точностью до малых первого порядка имеем
, Vp
~Г	о г >
Р	РО	РО	Ро
или, подставляя E6.1) и E6.2):
Р	Ро
Подставляя это выражение в уравнение Навье-Стокса и опуская
индекс у ро, получаем окончательно:
— + (vV)v = -V^ + z/Av - /3gTf.	E6.4)
В уравнении теплопроводности E0.2) член, содержащий вяз-
вязкость, при свободной конвекции, как можно показать, мал по
сравнению с другими членами уравнения и потому может быть
опущен. Таким образом, получаем
^ + vVT7 = xAT7.	E6.5)
Уравнения E6.4) и E6.5) вместе с уравнением непрерывности
divv = 0 представляют собой полную систему уравнений, опи-
описывающих свободную конвекцию (А. ОЪегЪеск, 1879; J. Boussi-
nesq, 1903).
Для стационарного движения уравнения конвекции принима-
принимают вид
(vV)v = -V^ - g/3T' + i/Av,	E6.6)
Р
vVT7 = хДТ7,	E6.7)
divv = 0.	E6.8)
В эту систему пяти уравнений, определяющих неизвестные
функции v, р'/р, Т7, входят три параметра: и, х и ёР- Кроме

§ 56	СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ	307
того, в их решение входят характерная длина h и характерная
разность температур в. Характерная скорость теперь отсутству-
отсутствует, поскольку никакого вынужденного посторонними причинами
движения нет, и все течение жидкости обусловливается ее нерав-
неравномерной нагретостью. Из этих величин можно составить две
независимые безразмерные комбинации (напомним, что темпера-
температуре надо при этом приписывать особую размерность — см. § 53).
В качестве этих комбинаций обычно выбирают число Прандтля
Р = vlx и число Рэлея х) :
Я=«?Ё*1.	E6.9)
»х
Число Прандтля зависит только от свойств самого вещества
жидкости; основной же характеристикой конвекции как таковой
является число Рэлея.
Закон подобия для свободной конвекции гласит
).
E6.10)
Два течения подобны, если их числа TZ и Р одинаковы. Тепло-
Теплопередачу при конвекции в поле тяжести характеризуют числом
Нуссельта, по-прежнему определенным согласно E3.7). Оно яв-
является теперь функцией только от 1Z и Р.
Конвективное движение может быть как ламинарным, так и
турбулентным. Наступление турбулентности определяется чис-
числом Рэлея — конвекция становится турбулентной при очень боль-
больших значениях 1Z.
Задачи
1. Привести к решению обыкновенных дифференциальных уравнений
задачу об определении числа Нуссельта при свободной конвекции у плоской
вертикальной стенки. Предполагается, что скорость и разности температур
заметно отличны от нуля лишь в тонком пограничном слое у поверхности
стенки (Е. Pohlhausen, 1921).
Решение. Выбираем начало координат на нижнем краю стенки, ось
х — вертикально в ее плоскости, а ось у — перпендикулярно стенке. В погра-
пограничном слое давление не меняется вдоль оси у (ср. § 39) и потому везде
равно гидростатическому давлению ро(х), так что р = 0. С обычной для
пограничного слоя точностью уравнения E6.6)—E6.8) принимают вид
dvx	, dvx	d2vx
дх ду	ду2
дТ дТ	д2Т dvx dvy л
дх ду	ду2 дх ду
В литературе используется также число Грассгофа:
g = gf3ehs/v2 = тг/р.

308	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
с граничными условиями
vx = vy = 0, Т = Т\ при у = 0; vx = 0, Т = То при у = оо
(Ti—температура стенки, То — температура жидкости вдали от стенки).
Эти уравнения могут быть преобразованы в обыкновенные дифференци-
дифференциальные уравнения введением в качестве независимой переменной величины
У	c = gP(T1To)h
1/4'	2	K }
(h — высота стенки). Полагаем:
"« = ^Gl/V^'(?), Т-То = (Тг-То)в(О.	C)
Тогда последнее из уравнений A) дает
а первые два дают уравнения для функций <?>(?) и
р'" + 3W" - 2<р'2 + (9 = 0, 6>" + ЗР^ = 0.	D)
Из C), D) следует, что толщина пограничного слоя S ~ (xh3/GI/4. Усло-
Условие применимости решения, S <C h, выполняется при достаточно больших
значениях G.
Полный поток тепла (отнесенный к единице площади стенки)
« = 4/^1 ^
h J ay y=o
о
Число Нуссельта
N
где функция /(Р) определяется решением уравнений D).
2. Горячая турбулентная затопленная струя газа изгибается под влия-
влиянием поля тяжести; требуется определить ее форму (Г.Н. Абрамович, 1938).
Решение. Пусть Т' — некоторое среднее (по сечению струи) значение
разности температур в струе и в окружающем газе, и — некоторое среднее
значение скорости газа в струе, а / — расстояние вдоль струи от точки ее
выхода (I предполагается большим по сравнению с размерами выходного
отверстия струи). Условие постоянства потока тепла Q вдоль струи гласит:
Q ~ pCpT'uR2 = const,
а поскольку радиус турбулентной струи пропорционален / (ср. § 36), то
T'ul2 = const - -^-	A)
(заметим, что без учета поля тяжести и ос 1/1 — см. C6.3) —и из A) следует,
что Т' ос 1/1).
Вектор потока импульса через поперечное сечение струи пропорциона-
пропорционален ри2R2n ~pu212n (п — единичный вектор вдоль направления струи). Его
горизонтальная составляющая постоянна вдоль струи:
u2l2 cos в = const	B)
(в — угол между п и горизонталью), а изменение вертикальной компоненты
определяется действующей на струю подъемной силой. Последняя пропор-
пропорциональна
pl3T'R2g ~ p/3T'l2g
2	PgKcJ 1

§ 57	СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ	309
Поэтому имеем
— (I и sin 0) ~	.	C)
/77	Rr a
Ввиду B) отсюда следует
—— = const • / Vcos0 ,
dl
откуда окончательно
/
COS(9M/2
= const • I2	D)
@о определяет направление струи в точке ее выхода).
В частности, если на всем протяжении струи изменение угла 0 незначи-
незначительно, то D) дает
0 — 0о = const • / .
Это значит, что струя имеет форму кубической параболы, в которой откло-
отклонение d от прямоугольной траектории d = const • /3.
3.	От неподвижного горячего тела поднимается вверх турбулентная
(число Рэлея велико) струя нагретого газа. Определить закон изменения
скорости и температуры струи с высотой {Я.Б. Зельдович, 1937).
Решение. Как и в предыдущем случае, радиус струи пропорциона-
пропорционален расстоянию от источника, и аналогично A) имеем
Т' uz2 = const,
а вместо C)
d , 2 2 ч const
— (z и ) =
dz	и
(z — высота над телом, предполагающаяся большой по сравнению с его раз-
размерами). Интегрируя последнее уравнение, найдем
и ос г~г1\
а для температуры соответственно
Г' a z~5/3.
4.	То же для ламинарной свободной восходящей конвективной струи
(Я.Б. Зельдович, 1937).
Решение. Наряду с соотношением
T'uR = const,
выражающим постоянство потока тепла, имеем соотношение
u2/z~ vu/R2 ~gf3T',
вытекающее из уравнения E6.6). Из этих соотношений находим следующие
законы изменения радиуса, скорости и температуры струи с высотой:
R ос y/z , и = const, Т' ос 1/z.
Заметим, что число
П ос TfRs ос y/i~
растет с высотой; поэтому на некоторой высоте струя становится турбу-
турбулентной.

310	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
§ 57. Конвективная неустойчивость неподвижной
жидкости
Если в заданной конфигурации жидкости и твердых стенок
постепенно увеличивать число Рэлея, то наступит момент, ког-
когда состояние покоя жидкости становится неустойчивым по от-
отношению к сколь угодно малым возмущениям х) . В результате
возникает конвекция, причем переход от режима чистой тепло-
теплопроводности в неподвижной жидкости к конвективному режиму
совершается непрерывным образом. Поэтому зависимость числа
Нуссельта от 1Z при этом переходе не испытывает скачка, а лишь
излом.
Теоретическое определение критического значения 7?кр долж-
должно производиться по схеме, уже объясненной в § 26. Повторим ее
здесь применительно к данному случаю.
Представим Т1 и р1 в виде
Т1 = ТЬ + т, р = р'о + pw,	E7.1)
где Tq и р'о относятся к неподвижной жидкости, а т и w — возму-
возмущение. Tq и p'q удовлетворяют уравнениям
^ 0,
dz2	dz
Из первого имеем Tq = — Az, где А — постоянная; в интересую-
интересующем нас случае подогрева жидкости снизу эта постоянная А > 0.
В уравнениях E6.4), E6.5) малыми величинами являются v
(невозмущенная скорость отсутствует), т и w. Опустив квадра-
квадратичные члены и рассматривая возмущения, зависящие от време-
времени как e~iujt, получим уравнения:
—шлг = — Ww + z/Av — /3rg,
—гиот — Avz = x^ri divv = 0.
Целесообразно записать эти уравнения в безразмерном виде, вве-
введя следующие единицы измерения всех фигурирующих в них ве-
величин: для длины, частоты, скорости, давления и температуры
это будут соответственно /i, ^//i2, vjh, pu2/h2 и Ahv/x- Ниже
в этом параграфе (а также в задачах к нему) все буквы обо-
обозначают соответствующие безразмерные величины. Уравнения
принимают вид
-ioov = -\/w + Av + Urn,	E7.2)
-гоитР = At + vz,	E7.3)
divv = 0	E7.4)
) He смешивать эту неустойчивость с конвективной неустойчивостью, о
которой шла речь в § 28!

§ 57	КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	311
(п —единичный вектор в направлении оси z, — вертикально
вверх). Здесь ясно выступают безразмерные параметры 1Z и Р.
Если граничащие с жидкостью твердые поверхности поддержи-
поддерживаются при постоянных температурах, то на них должны выпол-
выполняться условия х)
v = О, т = 0.	E7.5)
Уравнения E7.2)-E7.4) с граничными условиями E7.5) опре-
определяют спектр собственных частот ио. При 1Z < 1ZKp их мнимые
части 7 = Im cj < 0 и возмущения затухают. Значение 1ZKp опре-
определяется моментом, когда (по мере увеличения 1Z) впервые по-
появляется собственное значение частоты с j > 0; при 1Z = 7?Кр
значение j проходит через нуль.
Задача о конвективной неустойчивости неподвижной жид-
жидкости обладает той спецификой, что все собственные значения
гио вещественны, так что возмущения затухают или усиливают-
усиливаются монотонно, без колебаний. Соответственно, и возникающее в
результате неустойчивости неподвижной жидкости устойчивое
движение стационарно. Покажем это для жидкости, заполняю-
заполняющей замкнутую полость, с граничными условиями E7.5) на ее
стенках 2) .
Умножим уравнения E7.2) и E7.3) соответственно на г>* и
т* и проинтегрируем их по объему полости. Проинтегрировав
члены v*Av и т*Ат по частям 3) и заметив, что интегралы по
поверхности полости обращаются в нуль в силу граничных усло-
условий, получим
-ш f\v\2dV= I\-\ rot v|2 +HTV$)dV,
E7.6)
-гшР Г \т\2 dV = A-|Vr|2 + t*vz) dV.
Вычитая из этих равенств их комплексно-сопряженные,
1)Мы рассматриваем простейшие граничные условия, отвечающие иде-
идеально теплопроводящим стенкам. При конечной теплопроводности стенок к
системе уравнений должно было бы быть добавлено еще и уравнение рас-
распространения тепла в стенке. Мы не рассматриваем также случаев, когда
жидкость имеет свободную поверхность. В таких случаях, строго говоря,
должна была бы учитываться деформация поверхности в результате возму-
возмущения, и появляющиеся при этом силы поверхностного натяжения.
) В этом выводе и дальнейшей формулировке вариационного принципа
мы следуем B.C. Сорокину A953).
) С использованием равенств
v* Av = — v* rot rot v = div [v* rot v] — | rot v|2,
r* At = div (r* Vr) — |Vr| , vAw = div (wv).

312	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
находим
-г(ш + ш*) Г |v|2 dV = U f(rv*z - t*vz) dV,
-i(o; + o;*)P f \r\2 dV = - Г(rv*z - r*vz) dV.
Наконец, умножив второе равенство на 1Z и сложив с первым,
получим
Reo;
/(|v|2 + ?гР|т|2) dV = 0.
В виду существенной положительности интеграла, отсюда сле-
следует искомый результат Re о; = 0 х) . Отметим, что при А <
< 0 (жидкость подогревается сверху), чему формально отвечает
1Z < 0, интеграл мог бы обращаться в нуль и гио могло бы быть
комплексным.
Вернемся к равенствам E7.6). Умножив теперь второе на 1Z и
сложив с первым, получим для инкремента j = —ш следующее
выражение:
-7 = J/N,	E7.7)
где J и N обозначают интегралы
J = /[(rot vJ + ?г(УтJ - 21Zrvz] dV, N = /(v2 + ПРт2) dV
E7.8)
(функции v и т предполагаются вещественными). Как извест-
известно, задача о собственных значениях самосопряженных линейных
дифференциальных операторов допускает вариационную фор-
формулировку, основанную именно на выражении вида E7.7), E7.8).
Рассматривая J и N как функционалы по отношению к функ-
функциям v и т, потребуем экстремальности J при дополнительных
условиях divv = 0 и TV = 1; последнее играет роль «условия
:)С математической точки зрения, изложенный вывод сводится к дока-
доказательству самосопряженности системы уравнений E7.2)—E7.4). С физиче-
физической точки зрения, происхождение этого результата можно пояснить сле-
следующими соображениями. Пусть при возмущении элемент жидкости сме-
смещается, например, наверх. Попав в окружение менее нагретой жидкости, он
будет охлаждаться за счет теплопроводности, оставаясь все же более нагре-
нагретым, чем окружающая среда. Поэтому действующая на него сила плавуче-
плавучести будет направлена вверх и элемент будет продолжать движение в том же
направлении — затухающее или ускоряющееся в зависимости от соотноше-
соотношения между градиентом температуры и диссипативными коэффициентами.
В обоих случаях ввиду отсутствия «возвращающей силы» колебания не воз-
возникают. Отметим, что при наличии свободной поверхности возвращающая
сила возникает за счет поверхностного натяжения, стремящегося сгладить
деформированную поверхность; при учете этой силы сделанные утвержде-
утверждения уже не справедливы.

§ 57	КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	313
нормировки». По общим правилам вариационного исчисления,
составляем вариационное уравнение
6 J + jSN - f 2w6(div v) dV = О,	E7.9)
где константа 7 и функция w(r) играют роль лагранжевых не-
неопределенных множителей. Вычислив входящие сюда вариации
(произведя при этом интегрирования по частям с учетом гранич-
граничных условий E7.5)) и приравнивая нулю выражения при неза-
независимых вариациях блг и 8т, действительно получим уравнения
E7.2), E7.3). Значение J, вычисленное по поставленной таким
образом вариационной задаче, определяет согласно E7.7) наи-
наименьшее значение —j = —71, т. е. инкремент наиболее быстро
усиливающихся (или декремент наименее быстро убывающих —
в зависимости от знака 7) возмущений.
По смыслу его вывода, критическое значение 7?кр определяет
границу устойчивости по отношению к бесконечно малым возму-
возмущениям. Но для задачи о конвективной устойчивости неподвиж-
неподвижной жидкости оказывается, что это число является в то же время
границей устойчивости по отношению к любым конечным возму-
возмущениям х) . Другими словами, при TZ < TZKp не существует ника-
никаких незатухающих со временем решений уравнений движения,
за исключением состояния покоя. Покажем это (В. С. Сорокин,
1954).
Для конечных возмущений уравнения движения должны быть
написаны в виде
Vw + Av + Птп - (vV)v, P— = At + vz- PvVt,
dt	dt
E7.10)
отличающемся от E7.2), E7.3) нелинейными членами. Продела-
Проделаем с этими уравнениями в точности те же операции, которые
были произведены выше с уравнениями E7.2), E7.3) при выводе
соотношений E7.6) и E7.7). Ввиду равенства div v = 0, нелиней-
нелинейные члены сводятся к полным дивергенциям:
v(vV)v = div f —v j, t(v\7)t = div f — v j
и при интегрировании выпадают. Поэтому мы получим в резуль-
результате соотношение
1 dN	т
:) Говоря о возмущениях конечной интенсивности, мы имеем здесь в ви-
виду возмущения, для которых в уравнениях E6.4), E6.5) нельзя пренебре-
пренебрегать нелинейными членами, но в то же время по-прежнему удовлетворяются
условия, поставленные при выводе этих уравнений.

314	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
отличающееся от равенства jN = — J E7.7) лишь тем, что вмес-
вместо произведения 7^V" теперь стоит производная по времени. В си-
силу сформулированного выше вариационного принципа, для лю-
любых функций v и т будет — J ^ 7i^- Поэтому
откуда
N(t) ^ 7V@)e27lt.	E7.11)
Но в надкритической {1Z < 7^кр) области все полученные по ли-
линейной теории инкременты, в том числе наибольший из них 7ъ
отрицательны. Поэтому из E7.11) следует, что N(t) —>> 0 при t —>>
—>> 00, а ввиду существенной положительности подынтегрального
выражения в N стремятся к нулю также и сами функции v и т.
Вернемся к вопросу о вычислении TZKp. Поскольку все соб-
собственные значения ш вещественны, то равенство 7 = 0 при TZ =
— 7^-кр означает, что и uj = 0. Значение 7^кр определяется тогда
как наименьшее из собственных значений параметра 1Z в системе
уравнений
Av - Vw + TZrn = 0,
E7.12)
At = —vz, divv = 0
(эта задача тоже допускает вариационную формулировку— см.
задачу 2). Обратим внимание на то, что ни сами уравнения
E7.12), ни граничные условия к ним не содержат числа Р. Поэто-
Поэтому и определяемое ими критическое число Рэлея для заданной
конфигурации жидкости и твердых стенок не зависит от веще-
вещества жидкости.
Наиболее простой и в то же время теоретически важной яв-
является задача :) об устойчивости слоя жидкости между дву-
двумя неограниченными горизонтальными плоскостями, из кото-
которых верхняя поддерживается при более низкой температуре, чем
нижняя.
Для этой задачи удобно привести систему E7.12) к одному
уравнению 2) . Применив к первому уравнению операцию rot rot =
= Vdiv—А, взяв затем его ^-компоненту и воспользовавшись
двумя другими уравнениями, получим
E7.13)
:) Впервые поставленная экспериментально Бенаром (Н. Вёпаг, 1900) и
рассматривавшаяся теоретически Рэлеем (Rayleigh, 1916).
) Вещественность iu для этой задачи была доказана Пелью и Саутвеллом
(A. Pellew, R.V. Southwell, 1940).

§ 57	КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	315
(где А2 = д2/дх2 + д2/ду2 —двумерный лапласиан). Граничные
условия на обеих плоскостях:
г = О, vz = 0, — = 0 при z = 0, 1
OZ
(последнее эквивалентно, ввиду уравнения непрерывности, усло-
условиям vx = vy = 0 при всех ж, у). Ввиду второго из уравнений
E7.12) условия для vz можно заменить условиями для высших
производных от т:
я*2 ' dzs dz
Ищем т в виде
т = /(гМя, У), V = eikr	E7.14)
(где к — вектор в плоскости ху) и получаем для f(z) уравнение
Общее решение этого уравнения представляет собой линейную
комбинацию функций ch/jz и sh/i?, где
с тремя различными значениями корня. Коэффициенты этой
комбинации определяются граничными условиями, приводящими
к системе алгебраических уравнений, условие совместности ко-
которых дает трансцендентное уравнение, корни которого и опре-
определяют зависимости к = кп(И), п = 1, 2, ... Обратные функции
1Z = 1Zn(k) имеют минимум при определенных значениях к] наи-
наименьший из этих минимумов и дает значение 7^кр г) . Оно оказы-
оказывается равным 1708, причем соответствующее значение волново-
волнового числа ккр = 3,12 в единицах 1/h (H. Jeffreys, 1908).
Таким образом, горизонтальный слой жидкости толщины h
с направленным вниз градиентом температуры А становится не-
неустойчивым при 2)
^^- > 1708.	E7.15)
"X
:) Детали вычислений можно найти в кн.: Г.3. Гершуни, Е.М. Жуховицкий.
Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1972, а
также в указанных на с. 145 книгах С. Чандрасекхара и Дразина и Рейда.
) При заданном значении А это условие во всяком случае выполняется при
достаточно большом h. Во избежание недоразумений следует напомнить, что
речь идет здесь лишь о таких высотах /г, при которых несущественно изме-
изменение плотности жидкости под влиянием поля тяжести. Поэтому к высо-
высоким столбам жидкости этот критерий неприменим. В таком случае следует
применять критерий, полученный в § 4, из которого видно, что конвекция
может отсутствовать при любой высоте столба, если градиент температуры
не слишком велик.

316	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ	ГЛ. V
При 1Z > 7^Кр в жидкости возникает стационарное конвектив-
конвективное движение, периодическое в плоскости ху. Все пространство
между плоскостями разделяется на прилегающие друг к другу
одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по
замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую.
Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них
некоторую решетку. Значение ккр определяет периодичность, но
не симметрию этой решетки; линеаризованные уравнения дви-
движения допускают в E7.14) любую функцию (р(х, у), удовлетво-
удовлетворяющую уравнению (А2 — к2)ср = 0. Устранение этой неодно-
неоднозначности в рамках линейной теории невозможно. По-видимо-
По-видимому, должна осуществляться «двумерная» структура движения,
в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодич-
периодичность—система параллельных полос :) .
Задачи
1. Найти критическое число Рэлея для возникновения конвекции в жид-
жидкости в вертикальной цилиндрической трубе, вдоль которой поддерживается
постоянный градиент температуры; стенки трубы а) идеально теплопровод-
теплопроводны, или б) теплоизолирующие (Г.А. Остроумов, 1946).
Решение. Ищем решение уравнений E7.2)—E7.4), в котором кон-
конвективная скорость v направлена везде по оси трубы (ось z), а вся картина
движения постоянна вдоль этой оси, т. е. величины vz = v, т, dw/dz зависят
только от координат в плоскости сечения трубы 2) . Уравнения принимают
вид
dw dw	.	_ dw A
— = — = 0, А2у = -Пт-\	, A2r = v
ох ду	oz
(число 1Z = g/3AR4/(xbf), Я —радиус трубы). Из первых двух уравнений
следует, что dwdz = const, а исключив из остальных уравнений т, получим
Ajv = Uv.
На стенках трубы (г = 1) должны удовлетворяться условие v = 0 и условие
г = 0 (в случае а) или дт/дг = 0 (в случае б). Кроме того, должен быть
равен нулю полный поток жидкости через поперечное сечение трубы.
) Теоретические указания состоят в том, что в надкритической области
вблизи 7^Кр лишь эта структура оказывается устойчивой по отношению к
малым возмущениям; «трехмерные» же призматические структуры оказы-
оказываются неустойчивыми. Экспериментальные результаты существенно зави-
зависят от условий опыта (в том числе от формы и размеров боковых стенок
сосуда) и не однозначны. Наблюдавшаяся в ряде случаев трехмерная гек-
гексагональная структура связана, по-видимому, с влиянием поверхностного
натяжения на верхней свободной поверхности, и с температурной зависимо-
зависимостью вязкости жидкости (в изложенной теории вязкость v рассматривалась,
конечно, как постоянная).
2) Уравнения имеют также решения, периодические вдоль оси z, содержа-
содержащие множитель exp (ikz). Все они, однако, приводят к более высоким значе-
значениям Т^кр- Обратим внимание на то, что рассматриваемое решение с к = 0
удовлетворяет также и точным (нелинеаризованным) уравнениям E7.10)
ввиду тождественного обращения в нуль нелинейных членов (vV)v и vVr.

§ 57	КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	317
Уравнение имеет решения вида
cos mp • Jn (kr), cos mp • 1п (кг),
где Jn, In — функции Бесселя вещественного и мнимого аргумента, а к4 = 7Z;
г, (р — полярные координаты в плоскости сечения трубы. Моменту возникно-
возникновения конвекции отвечает то решение, которому соответствует наименьшее
значение 1Z. Оказывается, что таковым является решение с п = 1:
v = vo cos ip[Ji(kr) I\(к) — Ii(kr)Ji(k)},
^ cos ip[Ji(kr)h(k) + /i(fcr)Ji(fc)]
(причем градиент dw/dz = 0). Описываемое этими формулами движение
антисимметрично относительно вертикальной плоскости, проходящей через
ось трубы и делящей полость на две части; в одной из них жидкость опуска-
опускается, а в другой поднимается. Написанное решение удовлетворяет условию
v = 0 при г = 1. В случае а условие т = 0 приводит к уравнению J\(k) = 0;
его наименьший корень дает критическое число 7?кр = к4 = 216. В случае б
условие дт/дг = 0 приводит к уравнению
Jo (fc) Jo (fc) = 2
Ji(jfe) Ji(jfe) ife"
Наименьший корень этого уравнения дает 7ZKp = 68.
2. Сформулировать вариационный принцип для задачи о собственных
значениях 7?, определяемых уравнениями C7.12).
Решение. Придадим уравнениям E7.12) более симметричный вид,
введя вместо т новую функцию т = л/TZt, т. е. снова изменив единицу
измерения температуры. Тогда:
л/птп = X?w - Av, y/Jlvz = -Af, divv = 0.
Поступая, как при выводе E7.7), получим y/lZ = J/N, где
J =- /[(rot vJ + (VrJ] dV, N = Г vzrdV
(интеграл N положителен, в чем легко убедиться, приведя его к виду
1Z1'2 I (VrJ dV). Вариационный принцип формулируется, как требование
экстремальности J при дополнительных условиях div v = 0 и N = 1. Мини-
Минимальное значение J определяет наименьшее собственное значение /lZ

ГЛАВА VI
ДИФФУЗИЯ
§ 58. Уравнения гидродинамики для жидкой смеси
Во всем предыдущем изложении предполагалось, что жид-
жидкость полностью однородна по своему составу. Если же мы име-
имеем дело со смесью жидкостей или газов, состав которой меняется
вдоль ее объема, то уравнения гидродинамики существенно из-
изменяются.
Мы ограничимся рассмотрением смесей с двумя только ком-
компонентами. Состав смеси мы будем описывать концентрацией с,
определяемой как отношение массы одного из входящих в со-
состав смеси веществ к полной массе жидкости в данном элементе
объема.
С течением времени распределение концентрации в жидко-
жидкости, вообще говоря, меняется. Изменение концентрации происхо-
происходит двумя путями. Во-первых, при макроскопическом движении
жидкости каждый данный ее участок передвигается как целое
с неизменным составом. Этим путем осуществляется чисто ме-
механическое перемешивание жидкости; хотя состав каждого пере-
передвигающегося участка жидкости не меняется, но в каждой дан-
данной неподвижной точке пространства концентрация находящей-
находящейся в этом месте жидкости будет со временем меняться. Если от-
отвлечься от могущих одновременно иметь место процессов тепло-
теплопроводности и внутреннего трения, то такое изменение концен-
концентрации является термодинамически обратимым процессом и не
ведет к диссипации энергии.
Во-вторых, изменение состава может происходить путем мо-
молекулярного переноса веществ смеси из одного участка жидкости
в другой. Выравнивание концентрации путем такого непосред-
непосредственного изменения состава каждого из участков жидкости на-
называют диффузией. Диффузия является процессом необратимым
и представляет собой наряду с теплопроводностью и вязкостью
один из источников диссипации энергии в жидкой смеси.
Будем обозначать буквой р полную плотность жидкости.
Уравнение непрерывности для полной массы жидкости сохра-
сохраняет прежний вид
+divv 0.	E8.1)
dt
Оно означает, что полная масса жидкости в некотором объеме
может измениться только путем втекания или вытекания жид-

§ 58	УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ ЖИДКОЙ СМЕСИ	319
кости из этого объема. Следует подчеркнуть, что, строго говоря,
для жидкой смеси само понятие скорости должно быть опре-
определено заново. Написав уравнение непрерывности в виде E8.1),
мы тем самым определили скорость в соответствии с прежним
определением как полный импульс единицы массы жидкости.
Не меняется также и уравнение Навье-Стокса A5.5). Выве-
Выведем теперь остальные гидродинамические уравнения для смесей.
При отсутствии диффузии состав каждого данного элемента
жидкости оставался бы неизменным при его передвижении. Это
значит, что полная производная — была бы равна нулю, т. е.
dt
имело бы место уравнение
dc дс . V7 n
— = — + vVc = 0.
dt dt
Это уравнение можно написать, используя E8.1), как
т. е. в виде уравнения непрерывности для одного из веществ в
смеси (рс есть масса одного из веществ смеси в единице объема).
Написанное в интегральном виде
- ГpcdV = -(f)pcvdf
оно означает, что изменение количества данного вещества в неко-
некотором объеме равно количеству этого вещества, переносимому
движущейся жидкостью через поверхность объема.
При наличии диффузии наряду с потоком лгрс данного ве-
вещества вместе со всей жидкостью имеется еще и другой поток,
который приводит к переносу веществ в смеси даже при отсут-
отсутствии движения жидкости в целом. Пусть i есть плотность этого
диффузионного потока, т. е. количество рассматриваемого веще-
вещества, переносимого путем диффузии в единицу времени через
единицу поверхности :) . Тогда для изменения количества этого
вещества в некотором объеме имеем
- f pcdV = -(Apcvdf-
или в дифференциальном виде
^ = div (рслг) - div i.	E8.2)
от
С помощью E8.1) это уравнение непрерывности для одного из
веществ в смеси можно написать в виде
=-divi.	E8.3)
) Сумма плотностей потоков обоих веществ должна быть равна рлг. Поэто-
Поэтому если плотность потока одного из них есть pvc+i, то другого — pv(l — c) — i.

320	диффузия	гл. vi
Для вывода еще одного уравнения повторим произведенный
в § 49 вывод, учитывая, что термодинамические величины жид-
жидкости являются теперь функциями также и от концентрации.
При вычислении (в § 49) производной
с помощью уравнений движения нам приходилось, в частности,
преобразовывать члены р— и —vVp. Это преобразование теперь
dt
изменяется в связи с тем, что термодинамические соотношения
для энергии и тепловой функции содержат дополнительный член
с дифференциалом концентрации:
de = T ds + — dp + a dc,
Р2
dw = Tds + - dp + /i dc,
P
где /i — соответствующим образом определенный химический по-
1 \ гл	де
тенциал смеси ) . Соответственно этому в производную р— вои-
dt
дет теперь дополнительный член p/i —. Написав второе из тер-
термодинамических соотношений в виде
dp = р dw — рТ ds — p\i dc,
мы видим, что в член —лг\7р войдет дополнительный член р/1лг\7с.
Поэтому к выражению D9.3) надо добавить
p/j
(|+Wc)=-Mdivi.
:) Из термодинамики известно (см. V, § 85), что для смеси двух веществ:
ds = T ds — p dV + /Ji dni + /12 dri2,
где m, П2—числа частиц обоих веществ в 1 г смеси, a /ii, /12—химиче-
/12—химические потенциалы этих веществ. Числа п\ и П2 удовлетворяют соотношению
п\т\ + П2ТП2 = 1, где mi, rri2—массы частиц обоего рода. Если ввести в
качестве переменной концентрацию с = mmi, то мы получим
ds = Tds-pdV+ (B--I^-
^rrii m2
Сравнивая с приведенным в тексте соотношением, мы видим, что химиче-
химический потенциал //, которым мы пользуемся, связан с обычными потенциа-
потенциалами [i\ и [12 соотношением
mi rri2

§ 58	УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ ЖИДКОЙ СМЕСИ	321
В результате получим
^ + w) - (v<t') +
-a'.k<t!L + divq - /idivi. E8.4)
Вместо -xVT мы пишем теперь некоторый поток тепла q, ко-
который может зависеть не только от градиента температуры, но
и от градиента концентрации (см. следующий параграф). Сумму
двух последних членов в правой части равенства напишем в виде
div q — /i div i = div (q — /ii) + iV/i.
Выражение
стоящее под знаком div в E8.4), есть, по определению q, пол-
полный поток энергии в жидкости. Первый член есть обратимый
поток энергии, связанный просто с перемещением жидкости как
целого, а сумма —(v<jf) +q есть необратимый поток. При отсут-
отсутствии макроскопического движения вязкий поток (vcr7) исчезает
и тепловой поток есть просто q.
Уравнение закона сохранения энергии гласит:
1Aг+ре)=-dW[pv{j+w) - (v<j/)+4 E8-5)
Вычитая его почленно из E8.4), получим искомое уравнение
| + vVs) = <4gi - div (q - /xi) - iVM,	E8.6)
обобщающее выведенное ранее уравнение D9.4).
Мы получили, таким образом, полную систему гидродинами-
гидродинамических уравнений для жидких смесей. Число уравнений в этой
системе на единицу больше, чем в случае чистой жидкости, соот-
соответственно тому, что имеется еще одна неизвестная функция —
концентрация. Этими уравнениями являются: уравнения непре-
непрерывности E8.1), уравнения Навье-Стокса, уравнение непрерыв-
непрерывности для одной из компонент смеси E8.2) и уравнение E8.6),
определяющее изменение энтропии. Надо, впрочем, отметить, что
уравнения E8.2) и E8.6) определяют пока по существу только
вид соответствующих гидродинамических уравнений, поскольку
в них входят неопределенные величины: потоки i и q. Эти урав-
уравнения делаются определенными лишь при подстановке i и q, вы-
выраженных через градиенты температуры и концентрации; соот-
соответствующие выражения будут получены в § 59.
11 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

322	диффузия	гл. vi
Для изменения полной энтропии жидкости вычисление, пол-
полностью аналогичное произведенному в § 49 (с использованием
E8.6) вместо D9.4)), приводит к результату
— ps aV = — / -^——	aV — / —- aV + ...	58.7
dt J и J T2 J T	y J
(члены, обусловленные вязкостью, для краткости не	выписы-
не	выписываем).
§ 59. Коэффициенты диффузии и термодиффузии
Диффузионный поток вещества i и тепловой поток q возни-
возникают в результате наличия в жидкости градиентов концентрации
и температуры. Не следует при этом думать, что i зависит толь-
только от градиента концентрации, a q — только от градиента тем-
температуры. Напротив, каждый из этих потоков зависит, вообще
говоря, от обоих указанных градиентов.
Если градиенты температуры и концентрации невелики, то
можно считать, что i и q являются линейными функциями от
V/i и VT (от градиента давления — при заданных V/i и VT —
потоки q и i не зависят по той же причине, которая была уже
указана для q в § 49). Соответственно этому напишем i и q в
виде линейных функций от градиентов /i и Т:
i = -aVfi - /3VT,
q = -SV/jl - 7VT + /ii.
Между коэффициентами /3 и S существует простое соотноше-
соотношение, являющееся следствием принципа симметрии кинетических
коэффициентов. Содержание этого общего принципа заключает-
заключается в следующем (см. V, § 120). Рассмотрим какую-нибудь замкну-
замкнутую систему и пусть х\, #2, • • • —некоторые величины, характе-
характеризующие состояние системы. Их равновесные значения опреде-
определяются тем, что в статистическом равновесии энтропия S всей
системы должна иметь максимум, т. е. должно быть Ха = 0, где
Ха обозначают производные:
Ха = -|^.	E9.1)
дха
Предположим, что система находится в состоянии, близком к
равновесному. Это значит, что все ха лишь мало отличаются от
своих равновесных значений, а величины Ха малы. В системе
будут происходить процессы, стремящиеся привести ее в состоя-
состояние равновесия. Величины Ха являются при этом функциями
времени, а скорость их изменения определяется производными
по времени ха\ представим последние в виде функций от Ха и

§ 59	КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИФФУЗИИ И ТЕРМОДИФФУЗИИ	323
разложим эти функции в ряд. С точностью до членов первого
порядка имеем
Xa = -52'YabXb.	E9.2)
ь
Принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера ут-
утверждает, что величины 7аб (называемые кинетическими коэф-
коэффициентами) симметричны по индексам а, Ь:
lab = Ъа-	E9.3)
Скорость изменения энтропии S равна
Пусть теперь сами величины ха различны в разных точках
тела, т. е. каждый элемент объема тела должен характеризо-
характеризоваться своими значениями величин ха. Другими словами, будем
рассматривать ха как функции от координат. Тогда в выраже-
выражении для *S, кроме суммирования по а, надо произвести также и
интегрирование по всему объему системы, т. е.
S = - JY^XaXadV.	E9.4)
а
Что касается зависимости между Ха и ifl, то обычно можно
утверждать, что значения ха в каждой данной точке системы
зависят только от значений величин Ха в этой же точке. Если
это условие выполняется, то можно писать связь между ха и Ха
для каждой точки в системе, и мы возвращаемся к прежним со-
соотношениям.
В данном случае выберем в качестве величин ха компоненты
векторов i и q —/ii. Тогда из сравнения E8.7) с E9.4) видно, что
роль величин Ха будут играть соответственно компоненты век-
векторов T~lVц и T~2VT. Кинетическими же коэффициентами 7аб
будут являться коэффициенты при этих векторах в равенствах
Т J	VT2/' Ч Р	\ Т J f V Т2 /
В силу симметрии кинетических коэффициентов должно быть
/ЗТ2 = 6Т, т. е.
Это и есть искомое соотношение. Мы можем поэтому напи-
написать потоки i и q в виде
i = -aVfj, - /3VT, q = -f3TV^ - 7VT + /ii	E9.5)
всего с тремя независимыми коэффициентами: а, /3, 7- В вы-
выражении для теплового потока удобно исключить градиент V/i,
11*

324	диффузия	гл. vi
выразив его через i и VT. Сделав это, получим
i = -aVfj, - /3VT,
где введено обозначение
H = 1-tL.	E9.7)
а
Если поток вещества i отсутствует, то говорят о чистой теп-
теплопроводности. Для того чтобы было i = О, Т и \i должны удов-
удовлетворять уравнению aS/\i + /3VT = 0, или
Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению вида
/(с, Т) = 0, не содержащему в явном виде координат (химиче-
(химический потенциал является функцией не только от с, Т, но и от
давления; в равновесии, однако, давление постоянно вдоль тела,
и потому мы полагаем р = const). Это соотношение определя-
определяет связь между концентрацией и температурой, которая должна
иметь место для отсутствия потока вещества. Далее, при i = О
имеем из E9.7) q = —xVT; таким образом, ж является не чем
иным, как теплопроводностью.
Перейдем теперь к обычным переменным р, Т и с:
W Vc+() VT+f^) Vp.
dcJp,T	\dTJc,p	\dpJc,T
Последний член можно преобразовать, используя термодинами-
термодинамическое соотношение
d(p = -sdT + Vdp + /л dc,	E9.8)
где ср — термодинамический потенциал единицы массы, V —
удельный объем:
= fdV\
\дс)р,т
др)с,Т дрдс
Подставив V/i в E9.6) и введя обозначения
E9.9)
р,т	Т	\дТ/с,р
кр=р[— /[ — ) 1	E9.10)
получим следующие выраж:ения:
^)	E9.11)
E912)

§ 59	КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИФФУЗИИ И ТЕРМОДИФФУЗИИ	325
Коэффициент D называют коэффициентом диффузии] он оп-
определяет диффузионный поток при наличии одного только гра-
градиента концентрации. Диффузионный же поток, вызываемый
градиентом температуры, определяется коэффициентом термо-
термодиффузии krD (безразмерную же величину кт называют термо-
термодиффузионным отношением). В учете последнего члена в E9.11)
может возникнуть необходимость лишь при наличии в жидкости
существенного градиента давления, вызванного, например, внеш-
внешним полем. Величину kpD можно назвать коэффициентом баро-
диффузищ мы вернемся еще к этой величине в конце параграфа.
В чистой жидкости диффузионный поток, разумеется, отсут-
отсутствует. Поэтому ясно, что коэффициенты кт и кр должны обра-
обращаться в нуль на обоих пределах: с = 0 и с = 1.
Условие возрастания энтропии накладывает определенные
ограничения на коэффициенты в формулах E9.6). Подставив эти
формулы в выражение E8.7) для скорости изменения энтропии,
получим
^ fpsdV= f^^dV+ [*-<JV + ...	E9.13)
dt J Г	J T2	J aT	V	J
Отсюда видно, что наряду с известным уже нам условием ус > О
должно выполняться также условие а > 0. Имея в виду, что
согласно одному из термодинамических неравенств всегда
№
>о
(см. V, § 96), мы находим, что должен быть положителен коэф-
коэффициент диффузии: D > 0. Величины же кт и кр могут быть
как положительными, так и отрицательными.
Мы не станем выписывать громоздких общих уравнений, по-
получающихся при подстановке полученных здесь выражений для
i и q в уравнения E8.3), E8.6). Ограничимся лишь случаем, ко-
когда нет никакого существенного градиента давления, а концен-
концентрация и температура настолько мало меняются в жидкости, что
коэффициенты в выражениях E9.11) и E9.12), являющиеся в об-
общем случае функциями от с и Т, можно считать постоянными.
Будем, кроме того, считать, что в жидкости нет никакого макро-
макроскопического движения, помимо того, которое может быть вы-
вызвано самим наличием градиентов температуры и концентрации.
Скорость такого движения будет пропорциональна этим гради-
градиентам, и потому в уравнениях E8.3) и E8.6) члены, содержащие
скорость, оказываются величинами второго порядка малости и
могут быть опущены. Величиной второго порядка является так-
также и член iV/i в E8.6). Таким образом, остается

326	диффузия	гл. vi
Подставим сюда для i и q выражения E9.11) и E9.12) (без члена
ds
с Vp), а производную — преобразуем следующим образом:
dt
(]	()	(
dt \dT/c,pdt \dc/T,pdt Т dt \dTJP,cdt'
Здесь учтено, что согласно E9.8):
(дз\	_
дсдТ	\дТУр,с
В результате получим после простого преобразования следующие
уравнения:
| (^)	E9.14)
(	дс= Ат	E915)
dt cp \dcJp,Tdt A	V	J
Эта система линейных уравнений определяет распределение тем-
температуры и концентрации в жидкости.
В особенности важен случай, когда концентрация смеси мала.
При стремлении концентрации к нулю коэффициент диффузии
стремится к некоторой конечной постоянной, а коэффициент тер-
термодиффузии— к нулю. Поэтому при малых концентрациях к
мало, и в уравнении E9.14) можно пренебречь членом fcV
Оно переходит тогда в уравнение диффузии:
— = DAc.	E9.16)
dt	v J
Граничные условия для уравнения E9.16) в разных случаях
различны. На границе с поверхностью тела, не растворимого в
жидкости, должна обращаться в нуль нормальная к поверхности
компонента диффузионного потока i = —pDVc; другими слова-
словами, должно быть дс/дп = 0. Если же речь идет о диффузии от
тела, растворяющегося в жидкости, то вблизи его поверхности
быстро устанавливается равновесие, при котором концентрация
в примыкающей к поверхности тела жидкости равна концентра-
концентрации насыщенного раствора cq ; диффузия вещества из этого слоя
происходит медленнее, чем процесс растворения. Поэтому гра-
граничное условие на такой поверхности гласит: с = cq. Наконец,
если твердая поверхность «поглощает» попадающее на нее диф-
диффундирующее вещество, то граничным условием является равен-
равенство с = 0 (с таким случаем приходится, например, иметь дело
при изучении химических реакций, происходящих на поверхно-
поверхности твердого тела).
Поскольку уравнения чистой диффузии E9.16) и теплопро-
теплопроводности имеют одинаковый вид, то все выведенные в § 51, 52
формулы могут быть непосредственно перенесены на случай

§ 59	КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИФФУЗИИ И ТЕРМОДИФФУЗИИ	327
диффузии простой заменой Т на с и х на Д. Граничному усло-
условию теплоизолированной поверхности соответствует при диффу-
диффузии условие на нерастворимой твердой поверхности; поверхности
же, поддерживаемой при постоянной температуре, соответствует
диффузия от поверхности растворяющегося в жидкости тела.
В частности, по аналогии с формулой E1.5) можно написать
следующее решение уравнения диффузии:
Оно определяет распределение растворенного вещества в произ-
произвольный момент времени, если в начальный момент t = 0 все
вещество было сконцентрировано в бесконечно малом элементе
объема жидкости в начале координат (М — полное количество
растворенного вещества).
К сказанному в этом параграфе надо сделать важное замеча-
замечание. Выражения E9.5) или E9.11), E9.12) представляют собой
первые неисчезающие члены разложения потоков по производ-
производным от термодинамических величин. Как известно из кинети-
кинетической теории (см. X, § 5, 6, 14), такое разложение является,
с микроскопической точки зрения, разложением (для газов) по
степеням 1/L отношения длины свободного пробега молекул га-
газа / к характерной пространственной длине L задачи. Учет чле-
членов с производными высших порядков означал бы учет величин
более высокого порядка по указанному отношению. Следующи-
Следующими после написанных в E9.5) членов, которые можно образовать
из производных от скалярных величин \i и Т, были бы члены
с производными третьего порядка: gradA/i и grad AT; эти чле-
члены заведомо малы по сравнению с уже учтенными в отношении
{l/Lf.
Но выражения для потоков могут содержать в себе также и
члены с производными скорости. С помощью производных пер-
первого порядка, dvi/dxk, можно образовать лишь тензорные вели-
величины; это — вязкий тензор напряжений, входящий в состав тен-
тензора плотности потока импульса. Величины же векторного ха-
характера можно составить из производных второго порядка. Так,
в векторе плотности диффузионного потока появятся члены
i/ = pAiAv + pA2Vdivv.	E9.18)
Требование, чтобы эти члены были малы по сравнению с
уже фигурирующими в формулах E9.11), E9.12), приводит к
дополнительным условиям применимости последних. Так, для
того чтобы имело смысл оставлять в E9.11) член с \7р и в то же
время опускать члены E9.18), должно выполняться условие
L	L2'

328	диффузия	гл. vi
где р2 — р\ —характерный перепад давлений на длине L, a U —
характерный перепад скорости (в этой оценке положено кр ~ 1 —
см. задачу). Согласно кинетической теории D и А выражаются
через характеристики теплового движения молекул газа. Уже из
соображений размерности очевидно, что X/D ~ 1/vt, где vt~
средняя тепловая скорость молекул. Учтя также, что давление
газа р ~ pv\, приходим к условию
-.	E9.19)
1
Это условие отнюдь не выполняется автоматически. Напро-
Напротив, в важном случае стационарных течений с малыми числами
Рейнольдса в диффузионном потоке члены с Vp и с Av ока-
оказываются одинакового порядка величины (Ю.М. Каган, 1962).
Действительно, для такого движения градиент давления связан
с производными скорости уравнением B0.1)
-Vp = z/Av	E9.20)
Р
(принимаем, что при движении газа его можно считать несжи-
несжимаемым). Кинематическая вязкость оценивается как v ~ Vfl и
потому из этого уравнения находим
pvJJ	тт I
PP lL pvTU-
P2Pi	pvTU
— вместо неравенства в E9.19). Поскольку Av прямо выражает-
выражается через Vp согласно B0.1), то необходимость одновременного
учета членов с Vp и Av означает, что бародиффузионный коэф-
коэффициент кр заменяется «эффективным» коэффициентом
%	E91)
Обратим внимание на то, что этот коэффициент оказывается
в результате кинетической величиной, а не чисто термодинами-
термодинамической, каковой является согласно E9.10) коэффициент кр.
Задача
Определить коэффициент бародиффузии для смеси двух идеальных газов.
Решение. Для удельного объема имеем
V = —(ni +п2)
Р
(обозначения — см. примеч. на с. 320), а химические потенциалы имеют вид
(см. V, § 93)
/ц=/1(р,Г) + Г1п П1 , М2 = /2(р, Г)+Т1п-
П\ ~\- П2	Til + П2
Числа ni, П2 выражаются через концентрацию газа 1 согласно riimi = с,
П2ГП2 = 1 — с. Вычисление по формуле E9.10) дает
[1 — с с
	1
rri2 mi

§ 60	ДИФФУЗИЯ ВЗВЕШЕННЫХ В ЖИДКОСТИ ЧАСТИЦ	329
§ 60. Диффузия взвешенных в жидкости частиц
Под влиянием молекулярного движения в жидкости взвешен-
взвешенные в ней частицы совершают беспорядочное броуновское дви-
движение. Пусть в начальный момент времени в некоторой точ-
точке (начале координат) находится одна такая частица. Ее даль-
дальнейшее движение можно рассматривать как диффузию, причем
роль концентрации играет вероятность нахождения частицы в
том или ином элементе объема жидкости. Соответственно для
определения этой вероятности можно воспользоваться решением
E9.17) уравнения диффузии. Возможность такого рассмотрения
связана с тем, что при диффузии в слабых растворах (т. е. при
с ^С 1, когда только и применимо уравнение диффузии в форме
E9.16)) частицы растворенного вещества практически не взаи-
взаимодействуют друг с другом, и потому можно рассматривать дви-
движение каждой частицы независимо от других.
Пусть w(r, t) dr есть вероятность нахождения частицы в мо-
момент времени t на расстоянии между г и r-\-dr от исходной точки.
Полагая в E9.17) М/р = 1 и умножая на элемент объема 4тгг2 dr
шарового слоя, получим
w(r, t)dr= } Pvpf-jf-V2^	F0.1)
2vttDH^	V ADtJ
Определим средний квадрат расстояния, на которое частица
удалится от исходной точки в течение времени t:
оо
^2= Г r2w(r, t)dr.	F0.2)
о
Вычисление с помощью F0.1) дает
г2 = GDt.	F0.3)
Таким образом, среднее расстояние, проходимое частицей в те-
течение некоторого интервала времени, пропорционально квадрат-
квадратному корню из этого времени.
Коэффициент диффузии взвешенных в жидкости частиц мо-
может быть вычислен по их так называемой подвижности.
Предположим, что на эти частицы действует некоторая по-
постоянная внешняя сила f (например, сила тяжести). В стацио-
стационарном состоянии сила, действующая на каждую частицу, долж-
должна уравновешиваться силой сопротивления, испытываемой дви-
движущейся частицей со стороны жидкости. При не слишком боль-
больших скоростях сила сопротивления пропорциональна первой сте-
степени скорости. Написав ее в виде v/5, где Ь — постоянная, и при-
приравнивая внешней силе f, получим
v = Ы,	F0.4)

330	диффузия	гл. vi
т. е. скорость, приобретаемая частицей под влиянием внешней
силы, пропорциональна этой силе. Постоянная b называется под-
подвижностью и может быть, в принципе, вычислена с помощью
гидродинамических уравнений. Так, для частиц, имеющих фор-
форму шариков (радиуса i?), сила сопротивления равна 6ttt]Rv (cm.
B0.14)), а потому подвижность
Ь=-±-.	F0.5)
67TT]R
Для частиц не шарообразной формы сила сопротивления за-
зависит от направления движения; она может быть написана в ви-
виде dikVk, где dik — симметрический тензор (см. B0.15)). При вы-
вычислении подвижности надо произвести усреднение по всем ори-
ентациям частицы; если ai, a2, аз — главные значения симметри-
симметрического тензора а^, то мы получим
Ь=-(- + - + -).	F0.6)
3 Vai	CL2	CL3 '
Подвижность b связана с коэффициентом диффузии D про-
простым соотношением. Для его вывода напишем диффузионный
поток i, который содержит наряду с обычным членом —pDVc,
связанным с градиентом концентрации (температуру предпола-
предполагаем постоянной), также и член, связанный со скоростью, при-
приобретаемой частицей под влиянием внешних сил. Этот последний
член равен pcv = рсЫ. Таким образом х) ,
i = -pDVc + pcbi.	F0.7)
Перепишем это выражение в виде
где \i — химический потенциал взвешенных частиц (играющих
роль растворенного вещества). Зависимость этого потенциала от
концентрации (в слабом растворе) дается выражением
ц = ТЫс + ф{р, Т)
(см. V, § 87), так что
В состоянии термодинамического равновесия диффузия отсут-
отсутствует и поток i должен обращаться в нуль. С другой стороны,
при наличии внешнего поля условие равновесия требует постоян-
постоянства вдоль раствора суммы /i+f7, где U — потенциальная энергия
взвешенной частицы в этом поле. Тогда V/i = —V?7= -f и из
равенства i = 0 получим
D = Tb.	F0.8)
) Здесь с может быть определено как число взвешенных частиц в единице
массы жидкости, а i — как плотность потока числа этих частиц.

§ 60	ДИФФУЗИЯ ВЗВЕШЕННЫХ В ЖИДКОСТИ ЧАСТИЦ	331
Это и есть искомое соотношение между коэффициентом диффу-
диффузии и подвижностью (соотношение Эйнштейна).
Подставляя F0.5) в F0.8), найдем следующее выражение для
коэффициента диффузии шарообразных частиц:
D = -*-.	F0.9)
6тгг]К
Наряду с поступательным броуновским движением и посту-
поступательной диффузией взвешенных частиц можно рассмотреть
их вращательное броуновское движение и диффузию. Аналогич-
Аналогично тому как коэффициент поступательной диффузии вычисляет-
вычисляется через силу сопротивления, так и коэффициент вращательной
диффузии может быть выражен через момент сил, действующих
на вращающуюся в жидкости частицу.
Задачи
1. Частицы совершают броуновское движение в жидкости, ограничен-
ограниченной с одной стороны плоской стенкой; при попадании на стенку частицы
«прилипают» к ней. Определить вероятность того, что частица, находящая-
находящаяся в начальный момент времени на расстоянии хо от стенки, прилипнет к
ней в течение времени t.
Решение. Распределение вероятностей w(x, t) (х— расстояние от
стенки) определяется диффузионным уравнением с граничным условием
w = 0 при х = 0 и начальным условием w = 8{х — хо) при t = 0. Такое
решение определяется формулой E2.4), в которой надо теперь писать w
вместо Т, D вместо \ и положить под знаком интеграла wo(x') = 6(х' — хо).
Тогда получим
( ,л JJ
Вероятность прилипания к стенке в единицу времени определяется значе-
значением диффузионного потока D	 при х = 0; искомая же вероятность W(t)
дх
прилипания в течение времени t равна
t
W(t) = D Г — dt.
J дх х=0
Подставляя w, получим
W(t) = 1 - erf
2. Определить порядок величины времени г, в течение которого взвешен-
взвешенная в жидкости частица поворачивается вокруг своей оси на большой угол.
Решение. Искомое время т определится как время, в течение кото-
которого частица при броуновском движении сместится на расстояние порядка
величины своих линейных размеров а. Согласно F0.3) имеем: т ~ a2D, а
согласно F0.9) D ~T/(rja). Таким образом,
па3
т ~ -—.
Т

ГЛАВА VII
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 61. Формула Лапласа
В этой главе мы изучим явления, происходящие вблизи по-
поверхности раздела между двумя сплошными средами (в действи-
действительности, конечно, соприкасающиеся тела разделены узким пе-
переходным слоем, который вследствие его весьма малой толщины
можно рассматривать как поверхность).
Если поверхность раздела двух сред искривлена, то вблизи
нее давления в обеих средах различны. Для определения этой
разности давлений (называемой поверхностным давлением) на-
напишем условие термодинамического равновесия обоих тел друг
с другом с учетом свойств поверхности их раздела.
Пусть поверхность раздела подвергается бесконечно малому
смещению. В каждой точке несмещенной поверхности проведем
нормаль к ней. Отрезок нормали, заключенный между ее пересе-
пересечениями с несмещенной и смещенной поверхностями, обозначим
через 5(. Тогда объем каждого элемента пространства, заклю-
заключенного между поверхностями, есть 5(df, где df — элемент по-
поверхности. Пусть р\ и Р2~ давления в первой и второй средах
и будем считать 5( положительным, если смещение поверхно-
поверхности раздела производится, скажем, в сторону второй среды. Тог-
Тогда работа, которую надо произвести для описанного изменения
объема, равна
J{-pi+P2)Kdf.
Полная работа SR смещения поверхности получится путем
прибавления сюда еще работы, связанной с изменением площа-
площади самой этой поверхности. Эта часть работы пропорциональна,
как известно, изменению Sf площади поверхности и равна aSf,
где а — поверхностное натяжение. Таким образом, полная работа
равна
J	F1.1)
Условие термодинамического равновесия определяется, как из-
известно, обращением 6R в нуль.
Пусть далее R\ и i?2 — главные радиусы кривизны в данной
точке поверхности; мы будем считать R\ и i?2 положительны-
положительными, если они направлены внутрь первой среды. Тогда элементы

§ 61	ФОРМУЛА ЛАПЛАСА	333
длины dl\ и сЙ2 на поверхности, проведенные в плоскостях ее
главных сечений, получают при бесконечно малом смещении по-
поверхности приращения, равные соответственно —dl\ и —dl2 {dl\
Ri	R2
и dl2 надо рассматривать как элементы дуги окружностей с ра-
радиусами R\ и i?2). Поэтому элемент поверхности df = dl\dl2
будет равен после смещения
dh(i + К) diJi + К) « dhdhii + ? +
V	ill /	V	Л2 /	V	R\	X
т. е. изменится на величину
Отсюда видно, что полное изменение площади поверхности раз-
раздела есть
Подставляя полученные выражения в F1.1) и приравнивая
нулю, получим условие равновесия в виде
Это условие должно выполняться при произвольном бесконечно
малом смещении поверхности, т. е. при произвольном 5(. Поэто-
Поэтому необходимо, чтобы стоящее под интегралом в скобках выра-
выражение тождественно обращалось в нуль, т. е.
Это и есть формула (формула Лапласа), определяющая по-
поверхностное давление :) . Мы видим, что если R\ и i?2 положи-
положительны, то pi > р2- Это значит, что из двух тел давление больше
в том, поверхность которого выпукла. Если R\ = R2 = 00, т. е.
поверхность раздела плоская, то давления в обоих телах, как и
должно было быть, одинаковы.
Применим формулу F1.3) для исследования механического
равновесия соприкасающихся тел. Предположим, что ни на по-
поверхность раздела, ни на сами тела не действуют никакие внеш-
внешние силы. Тогда вдоль каждого из тел давление постоянно. Имея
в виду формулу F1.3), мы можем поэтому написать условие рав-
равновесия в виде
J- + — = const.	F1.4)
Ri R2	V J
:) Изложенный вывод отличается от данного в V, § 156, по существу, лишь
тем, что здесь рассматривается поверхность раздела произвольной формы,
а не только сферической.

334	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	ГЛ. VII
Таким образом, сумма обратных радиусов кривизны должна
быть постоянной вдоль всей свободной поверхности раздела.
Если вся поверхность свободна, то условие F0.4) означает, что
поверхность должна иметь шарообразную форму (например, по-
поверхность маленькой капли, влиянием силы тяжести на которую
можно пренебречь). Если же поверхность закреплена вдоль ка-
какой-нибудь линии (например, у жидкой пленки на твердой рам-
рамке), то ее форма является более сложной.
В применении к равновесию тонких пленок жидкости, за-
закрепленных на твердой рамке, в условии F1.4) справа должен
стоять нуль. Действительно, сумма 1/R\ + I/R2 должна быть
одинаковой вдоль всей свободной поверхности пленки и в то же
время на двух своих сторонах она должна иметь противополож-
противоположный знак, поскольку если одна сторона выпукла, то другая во-
вогнута с теми же радиусами кривизны, которые, однако, должны
считаться теперь отрицательными. Отсюда следует, что условие
равновесия тонкой пленки есть
— + — =0.	F1.5)
Ri R2	V J
Рассмотрим теперь условие равновесия на поверхности те-
тела, находящегося в поле тяжести. Предположим для простоты,
что второй средой является просто атмосфера, давление кото-
которой на протяжении размеров тела можно считать постоянным. В
качестве самого тела рассмотрим несжимаемую жидкость. Тог-
Тогда имеем р2 = const, а давление р\ в жидкости равно согласно
C.2) pi = const — pgz (координата z отсчитывается вертикально
вверх). Таким образом, условие равновесия приобретает вид
JL + J_ + SPZ = const.	F1.6)
Ri R2 a	K J
Надо, впрочем, отметить, что для определения равновесной
формы поверхности жидкости в конкретных случаях обычно бы-
бывает удобным пользоваться условием равновесия не в виде F1.6),
а непосредственно решая вариационную задачу о минимуме пол-
полной свободной энергии. Внутренняя свободная энергия жидкости
зависит только от объема, но не от формы поверхности. От фор-
формы зависит, во-первых, поверхностная свободная энергия
и, во-вторых, энергия во внешнем поле (поле тяжести), равная
gpfzdV.
Таким образом, условие равновесия можно написать в виде
а Г df + gp Г zdV = min.	F1.7)

§ 61	ФОРМУЛА ЛАПЛАСА	335
Определение минимума должно производиться при дополни-
дополнительном условии
Г dV = const,	F1.8)
выражающем неизменность полного объема жидкости.
Постоянные а, /э, g входят в условия равновесия F1.6), F1.7)
только в виде отношения —. Это отношение имеет размерность
gp
квадрата длины. Длину
а = J—	F1.9)
называют капиллярной постоянной г) . Форма поверхности жид-
жидкости определяется только этой величиной. Если капиллярная
постоянная велика (по сравнению с размерами тела), то при
определении формы поверхности можно пренебречь полем тя-
тяжести.
Для того чтобы определить из условия F1.4) или F1.6) фор-
форму поверхности, надо иметь формулы, определяющие радиусы
кривизны по форме поверхности. Эти формулы известны из диф-
дифференциальной геометрии, но имеют в общем случае довольно
сложный вид. Они значительно упрощаются в том случае, ког-
когда форма поверхности лишь слабо отклоняется от плоской. Мы
выведем здесь соответствующую приближенную формулу непо-
непосредственно, не пользуясь общей формулой дифференциальной
геометрии.
Пусть z = ?(ж, у)—уравнение поверхности; мы предполага-
предполагаем, что ( везде мало, т. е. что поверхность слабо отклоняется от
плоскости z = 0. Как известно, площадь / поверхности опреде-
определяется интегралом
или приближенно при малых
'-/К
Определим вариацию Sf:
J J \
Интегрируя по частям, находим
	^/@+?
х) Так, для воды а = 0,39 см (при 20 °С).
6f= [{^d-K + ^d-K
J J \дх дх ду ду

336	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	ГЛ. VII
Сравнив это выражение с F1.2), получаем
J. + J. = _(*< + *<
Ri R2	\дх2 ду2
Это и есть искомая формула, определяющая сумму обратных
радиусов кривизны слабо изогнутой поверхности.
При равновесии трех соприкасающихся друг с другом фаз
их поверхности раздела устанавливаются таким образом, что-
чтобы была равна нулю равнодействующая трех сил поверхностно-
поверхностного натяжения, действующих на общую линию соприкосновения
трех сред. Это условие приводит к тому, что поверхности разде-
раздела должны пересекаться друг с другом под углами (так называ-
называемые краевые углы), определяющимися значениями поверхност-
поверхностного натяжения.
Наконец, остановимся на вопросе о граничных условиях, ко-
которые должны соблюдаться на границе двух движущихся жид-
жидкостей при учете сил поверхностного натяжения. Если поверх-
поверхностное натяжение не учитывается, то на границе двух жидко-
жидкостей имеем
что выражает равенство сил трения, действующих на поверхно-
поверхности обеих жидкостей. При учете поверхностного натяжения на-
надо написать в правой части этого условия дополнительную силу,
определяемую по величине формулой Лапласа и направленную
по нормали к поверхности:
т.	F1.12)
Иначе можно написать это уравнение в виде
±)г.	F1.13)
Если обе жидкости можно считать идеальными, то вязкие на-
напряжения a'ik исчезают, и мы получаем вновь простое уравнение
F1.3).
Условие F1.13), однако, еще не является наиболее общим. Де-
Дело в том, что коэффициент поверхностного натяжения а может
оказаться не постоянным вдоль поверхности (например, в ре-
результате непостоянства температуры). Тогда наряду с нормаль-
нормальной силой (исчезающей в случае плоской поверхности) появляет-
появляется некоторая дополнительная сила, направленная тангенциально
к поверхности. Аналогично тому как при неравномерном дав-
давлении появляется объемная сила, равная (на единицу объема)
—Vp, здесь тангенциальная сила, действующая на единицу пло-
площади поверхности раздела, f^ = grada. Мы пишем здесь гра-
градиент со знаком плюс перед ним, а не со знаком минус, как в

§ 61	ФОРМУЛА ЛАПЛАСА	337
силе — Vp, в связи с тем, что силы поверхностного натяжения
стремятся уменьшить площадь поверхности, между тем как си-
силы давления стремятся увеличить объем тела. Прибавляя эту
силу к правой части равенства F1.13), получим граничное
условие
/ /A) /B)\ , да	,ал П/|ч
,= (a^-40nfc + - F1.14)
(единичный вектор нормали п направлен внутрь первой жид-
жидкости). Отметим, что это условие может быть выполнено толь-
только у вязкой жидкости. Действительно, у идеальной жидкости
a'ik = 0; тогда левая часть равенства F1.14) будет представлять
собой вектор, направленный по нормали, а правая — вектор, на-
направленный по касательной к поверхности. Но такое равенство
невозможно (за исключением, разумеется, тривиального случая,
когда эти величины равны нулю каждая в отдельности).
Задачи
1. Определить форму жидкой пленки, края которой закреплены на двух
рамках, имеющих форму окружностей, центры которых лежат на общей
прямой, перпендикулярной к их плоскостям (разрез
пленки изображен на рис. 41).	^	1	-у
Решение. Задача сводится к отысканию поверх-
поверхности минимальной площади, образованной вращени-
вращением вокруг прямой г = 0 кривой z = 2(г), имеющей
концы в двух заданных точках А л В. Площадь по-
поверхности вращения есть
= 2тг ГF(r, r)dz, F = r(l+r/2I/2,
zi
r/dz. Первый интеграл уравнения Эйл<
дачи о минимуме такого интеграла (с выражением F, не содерж:ащим z) есть
В данном случае это дает
где г' = dr/dz. Первый интеграл уравнения Эйлера за-	ис'
а (с вь
dF
F — г 	= const.
дг'
2)
откуда находим после интегрирования
Z
/2I/2
Л
= а сп
таким образом, искомая поверхность является поверхностью, образованной
вращением цепной линии (так называемый катеноид). Постоянные с\ и С2
должны быть определены так, чтобы кривая r(z) проходила через заданные
точки А л В. При этом С2 зависит просто от выбора начала координат на
оси z. Для постоянной же с\ получаются два значения, из которых должно
быть выбрано большее (меньшее не соответствует минимуму интеграла).
При увеличении расстояния h между рамками при некотором опреде-
определенном его значении наступает момент, когда уравнение, определяющее по-

338
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ГЛ. VII
стоянную ci, перестает иметь вещественные корни. При больших расстоя-
расстояниях устойчивой является только форма, соответствующая двум пленкам,
натянутым на каждую из двух рамок. Так, для двух рамок одинакового
радиуса R катеноидная форма становится невозможной при расстоянии h
между рамками, равном h = 1,33 Я.
2. Определить форму поверхности жидкости, находящей-
находящейся в поле тяжести и соприкасающейся с одной стороны с вер-
вертикальной плоской стенкой. Краевой угол, образуемый жид-
жидкостью при соприкосновении с веществом стенки, равен в
(рис. 42).
Решение. Выбираем оси координат указанным на
рис. 42 образом. Плоскость х = 0 есть плоскость стенки, a z = О
есть плоскость поверхности жидкости вдали от стенки. Радиу-
Радиусы кривизны поверхности z = z(x):
=00,
Рис. 42
так что уравнение F1.6) приобретает вид
2z	z"
a? (l + z'2W2
= const
(а — капиллярная постоянная). При х = оо должно быть z = 0, /
поэтому const = 0. Первый интеграл получающегося уравнения есть
A)
= 0;
B)
Из условия на бесконечности (z = 0, z = 0 при х = оо) имеем А = 1. Второе
интегрирование дает
у/2
Постоянная ж о должна быть определена так, чтобы на поверхности стенки
(ж = 0) было z = — ctg в или согласно B) z = /г, где h = а\/\ — sin# есть
высота поднятия жидкости у самой стенки.
3. Определить форму поверхности жидкости, под-
поднявшейся между двумя вертикальными параллельны-
параллельными плоскими пластинками (рис. 43).
Решение. Выбираем плоскость yz посередине
между обеими пластинками, а плоскость ху — совпада-
совпадающей с поверхностью жидкости вне пространства меж-
между пластинками, вдали от них. В уравнении A) зада-
задачи 2, выражающем условие равновесия и потому спра-
справедливом вдоль всей поверхносги жидкости (как меж-
между, так и вне пластинок), условия при х = оо дают
опять const = 0. В интеграле же B) уравнения A) по-
постоянная А различна для |ж| > d/2 и |ж| < d/2 (при
|ж| = d/2 функция z(x) имеет разрыв). Для простран-
пространства между пластинками имеем следующие условия: при х = 0 должно быть
z = 0, а при х = d/2 z = ctg#, где 9 — краевой угол. Согласно B) имеем
для высот zq = z@) и z\ = z(d/2):
Рис 43

§ 61	ФОРМУЛА ЛАПЛАСА	339
Интегрируя B), получаем
А - z2/aA dz
-¦/
z0 Jl- ( A- z
где ? новая переменная, связанная с z соотношением z = ay/A — cos?. Этот
интеграл — эллиптический и не может быть выражен в элементарных функ-
функциях. Постоянная А определяется из условия z = z\ при х = d/2, откуда
	t cos 9 d^
> = а f
— cost
о
Полученные формулы определяют форму поверхности жидкости в про-
пространстве между пластинками. При d —»¦ О А стремится к бесконечности.
Поэтому при d <^а имеем
1-е
d и —— / cos9d? = —— cos 9,
у/А J	у/А
о
откуда А = (a/dJ cos2 в. Высота поднятия жидкости
а2
^0 ~ -2-1 ~ 	COS c71
d
эта формула может быть получена, разумеется, и элементарным путем.
4. На плоскости горизонтальной твердой поверхности находится (в по-
поле тяжести) тонкий неравномерно нагретый слой жидкости; ее температура
является заданной функцией координаты х вдоль слоя, причем (благодаря
тонкости пленки) ее можно считать не зависящей от координаты z вдоль
толщины слоя. Неравномерная нагретость приводит к возникновению ста-
стационарного движения жидкости в пленке, в результате чего ее толщина ?
будет меняться вдоль слоя; требуется определить функцию ? = С(ж)-
Решение. Вместе с температурой заданными функциями х являют-
являются также плотность р жидкости и поверхностное натяжение а. Давление в
жидкости р = ро + pg(C ~ z)i гДе Ро — атмосферное давление (давление на
свободной поверхности слоя); изменением давления благодаря искривлению
поверхности можно пренебречь. Скорость жидкости в тонком слое можно
считать направленной везде вдоль оси х. Уравнение движения гласит:
d2v dp
dz2 ox
На твердой поверхности (z = 0) имеем v = 0, а на свободной поверхности
(z = С) должно выполняться граничное условие F1.14), которое в данном
случае дает
dv_
dz
da
dx
Интегрируя уравнение A) с этими условиями, получим
2^ dx	6	dx dx

340	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	ГЛ. VII
Ввиду стационарности движения полный поток жидкости через попе-
С
речное сечение слоя должен быть равен нулю: J v dz = 0. Подставляя сюда
о
B), получим следующее уравнение:
р dC,2 I dp 2 1 da
3 dx 4 dx	g dx
определяющее функцию С(х)- Интегрируя его, получим
— Q^-3/4
( / p 1/4 da + const j.
C)
Если температура (а с ней и р и а) лишь мало меняется вдоль слоя
жидкости, то можно написать C) в виде
\ 3/4 о
^J +-(a-a0),
р J pg
где Со — значение ? в точке, где р = ро, аа = ао.
§ 62. Капиллярные волны
Поверхность жидкости стремится принять свою равновесную
форму как под влиянием действующего на жидкость поля тяже-
тяжести, так и под влиянием сил поверхностного натяжения. Меж-
Между тем при изучении в § 12 волн на поверхности жидкости мы
не учитывали этого последнего фактора. Мы увидим ниже, что
влияние капиллярности на гравитационные волны существенно
при малых длинах волн.
Как и в § 12, будем предполагать амплитуду колебаний малой
по сравнению с длиной волны. Для потенциала скорости имеем
по-прежнему уравнение
Условие же на поверхности жидкости будет теперь иным: раз-
разность давлений с обеих сторон этой поверхности должна быть
равной не нулю, как это предполагалось в § 12, а должна опре-
определяться формулой Лапласа F1.3).
Обозначим ^-координату точек поверхности жидкости че-
через (. Поскольку ( мало, то можно воспользоваться выражением
F1.11) и написать формулу Лапласа в виде
\д2 ду2
Здесь р есть давление в жидкости вблизи поверхности, ро—по-
ро—постоянное внешнее давление. Для р подставляем согласно A2.2)
Р = ~
и находим
r6S и dt	\дх2

§ 62	КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ	341
(по тем же причинам, как и в § 12, можно, определяя соответ-
соответствующим образом <р, опустить постоянную ро). Продифферен-
Продифференцировав это соотношение по t и заменив в нем д?/dt на dtp/' dz,
получим граничное условие для потенциала (р в виде
Г dip . d2if	д (d2if . d2ip\]	п	ran л\
L dz	dt2	dz \ дх2 ду2 / J z=0
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси
х. Как и в § 12, получаем решение в виде
ср = Aekz cos (kx — uot).
Связь между к л со определяется теперь из предельного условия
F2.1) и имеет вид
со2 = gk + ^A;3	F2.2)
р
(W. Thomson, 1871).
Мы видим, что при больших длинах волн, удовлетворяющих
условию к <^ (gp/aI/2 или
?;< 1/а
(а — капиллярная постоянная), влиянием капиллярности можно
пренебречь, и волна является чисто гравитационной. В обратном
случае коротких волн можно пренебречь влиянием поля тяже-
тяжести. Тогда
ш2 = -к3.	F2.3)
р
Такие волны называются капиллярными, в промежуточном слу-
случае говорят о капиллярно-гравитационных волнах.
Определим еще собственные колебания сферической капли
несжимаемой жидкости, совершаемые ею под влиянием капил-
капиллярных сил. При колебаниях происходит отклонение формы по-
поверхности капли от сферической. Амплитуду колебаний будем,
как обычно, предполагать малой.
Начнем с определения суммы \/R\ + l/i?2 Для поверхности,
слабо отклоняющейся от сферической. Поступим для этого ана-
аналогично тому, что мы делали при выводе формулы F1.11) Пло-
Площадь поверхности, описываемой в сферических координатах *)
г, в, (р функцией г = г (в, (р), равна, как известно, интегралу
27Г7Г
/II	I 0 \ I *~S' 1	i	-L	I "' 1	* /1 7/1 7	(Г* (~\ A\
I I \l	\ ал /	„:._2 л \ Q._ /	г	\	/
0 0
1) Ниже в этом параграфе ср обозначает азимут сферических координат, а
потенциал скорости мы будем обозначать буквой ф.

342	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	ГЛ. VII
Шаровая поверхность описывается уравнением г = const = R
(i? —радиус шара), а близкая к ней поверхность — уравнением
г = i?+C с малым ?. Подставляя это в F2.4), имеем приближенно
о о
Определим изменение Sf поверхности при варьировании
дв дв sin в дер дер
О О
Интегрируя второй член по частям по углу #, а третий член —
по (р, получаем
27Г7Г
6f = [f{2(R + O ~ -^^(sin^g) - -±-
J J I	sin в дв \ дв J siir в dip
0 0
Если разделить выражение в фигурных скобках на Д(Д + 2?), то
выражение, которое будет стоять под знаком интеграла в каче-
качестве множителя при
5? df « 5? R(R + 2() sin в d6 dip,
будет согласно формуле F1.2) представлять собой как раз иско-
искомую сумму обратных радиусов кривизны, вычисленную с точно-
точностью до членов первого порядка по ?. Таким образом, получим
ш181П^))- F2-5)
Первый член соответствует чисто сферической поверхности, для
которой R\ = i?2 = Л.
Потенциал скорости ^ удовлетворяет уравнению Лапласа
Аф = 0 с граничным условием при г = R, имеющим вид (анало-
(аналогично тому, что мы имели для плоской поверхности)
Постоянную 2а/R + ро в этом условии снова можно опустить;
дифференцируя по времени и подставляя

§ 62	КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ	343
находим окончательно граничное условие для ф в виде
_ _J 2—- + —-	sin б— +	s > =0
r=R R2\ dr drlsmed9\	дв J sin2 в dip21 J r=R
F2.6)
Будем искать решение в виде стоячей волны
ф = e~iujtf(r, в, ф),
где функция / удовлетворяет уравнению Лапласа А/ = 0. Как
известно, всякое решение уравнения Лапласа может быть пред-
представлено в виде линейной комбинации так называемых объемных
шаровых функций вида
rlYlm@, if),
где YimF, if) —шаровые функции Лапласа, равные
YlmF, if) = Р™ (COS 0
Здесь
1 V	7	d(cos6)™
— присоединенная функция Лежандра (Pi (cos в) — полином
Лежандра 1-го порядка). Как известно, / пробегает все целые по-
положительные значения, включая нуль, а т пробегает при задан-
заданном / значения т = 0, ±1, ±2, ... , =Ь/.
Соответственно этому ищем частное решение поставленной
задачи в виде
ф = Ae-^PFicosey™*.	F2.7)
Частота ио определяется так, чтобы удовлетворить предельному
условию F2.6). Подставляя в это уравнение выражение F2.7) и
воспользовавшись тем, что шаровые функции Y\m удовлетворя-
удовлетворяют уравнению
дв \	дв / sin2 0 dip2
находим (сокращая общий множитель ф):
откуда
2	2)	F2.8)
и>1(!
(Rayleigh, 1879).
Эта формула определяет частоты собственных капиллярных
колебаний сферической капли. Мы видим, что они зависят толь-
только от числа /, но не от т. Между тем данному / соответствует

344	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	ГЛ. VII
2/ + 1 различных функций F2.7). Таким образом, каждая из ча-
частот F2.8) соответствует 2/ + 1 различным собственным коле-
колебаниям. О независимых собственных колебаниях, имеющих оди-
одинаковые частоты, говорят как о вырожденных; в данном случае
имеет место 2/ + 1-кратное вырождение.
Выражение F2.8)обращается в нуль при / = 0 и при 1 = 1.
Значение / = 0 соответствовало бы радиальным колебаниям, т. е.
сферически симметричным пульсациям капли; в несжимаемой
жидкости такие колебания, очевидно, невозможны. При / = 1
движение представляло бы собой поступательное перемещение
капли как целого. Наименьшая возможная частота колебаний
капли соответствует / = 2 и равна
mm pR2>	\	)
Задачи
1. Определить зависимость частоты от волнового вектора для капилляр-
капиллярно-гравитационных волн на поверхности жидкости, глубина которой равна h.
Решение. Подставляя в условие F2.1)
ср = A cos (кх — out) ch k(z + h)
(см. задачу 1 § 12), получаем
и2 = (gk-\	ihkh.
V	р /
При kh^> 1 мы возвращаемся к формуле F2.2), а для длинных волн (А;/г<С 1)
имеем
и2 = ghk+
ah к4
2. Определить коэффициент затухания капиллярных волн.
Решение. Подставляя F2.3) в B5.5), получим
_ 2т]к2 _	4/3
7
3. Найти условие устойчивости тангенциального разрыва в поле тяжести
с учетом поверхностного натяжения; жидкости по обе стороны поверхности
разрыва предполагаются различными (Kelvin, 1871).
Решение. Пусть U — скорость верхнего слоя жидкости относительно
нижнего. Накладываем на основное движение периодическое вдоль горизон-
горизонтальной оси возмущение и ищем потенциал скорости в виде:
в нижней жидкости
(р = Aekz cos (кх — ut)
и в верхней
if' = Ае~ z cos (кх — ut) + Ux.
Для нижней жидкости имеем на поверхности разрыва
dz dt

§ 63	ВЛИЯНИЕ АДСОРБИРОВАННЫХ ПЛЕНОК НА ДВИЖЕНИЕ	345
(? — вертикальная координата поверхности раздела), а в верхней
dz	дх dt
Условие равенства давлений в обеих жидкостях на поверхности разрыва
имеет вид
(при раскрытии выражения v2 — U2 должны быть сохранены только чле-
члены первого порядка по А'). Смещение ? ищем в виде ? = asin(kx — u)t).
Подставляя ср, у/, ? в написанные три условия при z = 0, получаем три
уравнения, исключая из которых а, А, А', находим
cj = к	±	— +
р + р1 L р + р1 (р + рО
Для того чтобы это выражение было вещественным при всех к, необходимо
выполнение условия
В противном случае существуют комплексные ш с положительной мнимой
частью и движение неустойчиво.
§ 63. Влияние адсорбированных пленок
на движение жидкости
Наличие на поверхности жидкости пленки адсорбированно-
адсорбированного ею вещества может существенно изменить гидродинамиче-
гидродинамические свойства свободной поверхности жидкости. Дело в том, что
при изменении формы поверхности, сопровождающем движение
жидкости, происходит растяжение или сжатие пленки, т. е. изме-
изменение поверхностной концентрации адсорбированного вещества.
Эти изменения приводят к появлению дополнительных сил, ко-
которые и должны быть учтены в граничных условиях, имеющих
место на свободной поверхности жидкости.
Мы ограничимся здесь рассмотрением адсорбированных пле-
пленок веществ, которые можно считать нерастворимыми в самой
жидкости. Это значит, что вещество находится только у поверх-
поверхности и не проникает в глубь жидкости. Если же поверхностно-
активное вещество обладает также и некоторой заметной раство-
растворимостью, то необходимо было бы принять во внимание процес-
процессы диффузии этого вещества между поверхностной пленкой и
объемом жидкости, возникающие при изменении концентрации
пленки.
При наличии адсорбированного вещества коэффициент по-
поверхностного натяжения а является функцией поверхностной
концентрации этого вещества (количество вещества на единице
площади поверхности), которую мы обозначим буквой 7- Если 7

346	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	ГЛ. VII
меняется вдоль поверхности, то вместе с ней функцией коорди-
координат точки поверхности является также и коэффициент а. В связи
с этим в граничном условии на поверхности жидкости добавля-
добавляется тангенциальная сила, о которой уже шла речь в конце § 61
(условие F1.14)). В данном случае градиент а выражается через
градиент поверхностной концентрации, так что действующая на
поверхность тангенциальная сила равна
it = ^V7.	F3.1)
В § 61 уже было указано, что граничное условие F1.14) с учетом
этой силы может быть выполнено только у вязкой жидкости. От-
Отсюда следует, что в тех случаях, когда вязкость жидкости мала
и несущественна для рассматриваемого явления, нет необходи-
необходимости также и в учете наличия пленки.
Для определения движения жидкости, покрытой пленкой,
надо добавить к уравнениям движения жидкости с граничным
условием F1.14) еще одно уравнение соответственно тому, что
мы имеем теперь на одну неизвестную величину (поверхностная
концентрация 7) больше. Этим дополнительным уравнением яв-
является уравнение непрерывности, выражающее собой неизмен-
неизменность общего количества адсорбированного вещества в пленке.
Конкретный вид этого уравнения зависит от формы поверхно-
поверхности. Если поверхность плоская, то уравнение имеет, очевидно,
вид
S + f(^7) + |-K7)=0,	F3.2)
dt дх	ду
где все величины берутся на поверхности жидкости (плоскость
ху выбрана в плоскости этой поверхности).
Решение задач о движении жидкости, покрытой адсорбцион-
адсорбционной пленкой, существенно упрощается в тех случаях, когда плен-
пленку можно считать несжимаемой, т. е. можно считать, что пло-
площадь каждого элемента поверхности пленки остается при дви-
движении постоянной.
Примером того, насколько существенным в гидродинамиче-
гидродинамическом отношении может оказаться наличие адсорбционной плен-
пленки, является движение пузырька газа в вязкой жидкости. Если
на поверхности пузырька никакой пленки нет, то наполняющий
его газ тоже приходит в движение, и сила сопротивления, ис-
испытываемая пузырьком со стороны жидкости, оказывается от-
отличной от той, которую испытывал бы твердый шарик того же
радиуса (см. задачу 2 § 20). Если же пузырек покрыт пленкой
адсорбированного вещества, то прежде всего непосредственно
из соображений симметрии ясно, что пленка остается при дви-
движении пузырька неподвижной. Действительно, движение в ней
могло бы совершаться только по поверхности пузырька вдоль

§ 63	ВЛИЯНИЕ АДСОРБИРОВАННЫХ ПЛЕНОК НА ДВИЖЕНИЕ	347
меридианов; в результате происходило бы непрерывное накап-
накапливание вещества пленки у одного из полюсов пузырька (внутрь
газа или жидкости адсорбированное вещество не проникает), что
невозможно. Вместе со скоростью пленки должна быть равной
нулю и скорость газа на поверхности пузырька, а при таких гра-
граничных условиях останется неподвижным вообще весь газ вну-
внутри пузырька. Таким образом, покрытый пленкой пузырек будет
двигаться как твердый шарик и, в частности, испытываемая им
сила сопротивления (при малых числах Рейнольдса) будет опре-
определяться формулой Стокса.
Задачи
1. Два сосуда соединены глубоким длинным каналом с плоско-парал-
плоско-параллельными стенками (ширина канала а, длина I). Поверхность жидкости в
сосудах и в канале покрыта адсорбированной пленкой, причем поверхност-
поверхностные концентрации 71 и 72 пленки в обоих сосудах различны, в результате
чего вблизи поверхности жидкости в канале возникает движение. Опреде-
Определить количество переносимого при этом движении вещества пленки.
Решение. Выбираем плоскость одной из стенок канала в качестве
плоскости xz, а поверхность жидкости — в качестве плоскости ху, так, что
ось х направлена вдоль длины канала; области жидкости соответствуют
z < 0. Градиент давления отсутствует, так что уравнение стационарного
движения жидкости (ср. § 17) есть
^ + ^-0	A)
ду2 dz2
где v есть скорость жидкости, направленная, очевидно, по оси х. Вдоль дли-
dj TT
ны канала имеется градиент концентрации —. Иа поверхности жидкости в
dx
канале имеет место граничное условие
dv da
г]—- = — при 2 = 0.	B)
oz dx
На стенках канала жидкость должна быть неподвижна, т. е.
v = 0 при у = 0, а.	C)
Глубину канала считаем бесконечной, и потому
v = 0 при z —>- —оо.	D)
Частными решениями уравнения A), удовлетворяющими условиям C) и D),
являются
const • sin Bn + 1) — • exp	—
a	a
с целыми п. Условию B) удовлетворяет сумма
. ,	ч тгг/ Bп + 1)tvz
, , 00 sin Bn + 1)—- exp	—
4а da v^	а	а
Количество переносимого (в единицу времени) вещества пленки равно
da
Q
[ . , 8а2 (^ 1 \
= / /yv\z=o ay = 	 у

348	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	ГЛ. VII
(движение происходит в направлении увеличения а). Величина Q должна
быть, очевидно, постоянной вдоль канала. Поэтому можно написать
da	I f da	1 ? ,
у— = const = - / -—jdx = - jda,
dx	I J dx	I J
7"
ix	l
0
где ai = aGi), «2 = «G2), и предполагается, что а\ > 0:2- Таким образом,
имеем окончательно
8а^/у	1	\ / = «^ ?
2. Определять коэффициент затухания капиллярных волн на поверхно-
поверхности жидкости, покрытой адсорбированной пленкой.
Решение. Если вязкость жидкости не слишком велика, то растяги-
растягивающие (тангенциальные) силы, действующие на пленку со стороны жид-
жидкости, малы, и поэтому пленку можно рассматривать как несжимаемую.
Соответственно этому можно вычислять диссипацию энергии как дисси-
диссипацию вблизи твердой стенки, т. е. по формуле B4.14). Написав потенциал
скорости в виде
получим для диссипации, отнесенной к единице площади поверхности:
Тг	/№^7 ,2
#кин = -у—\к(ро\ •
Полная же энергия (тоже отнесенная к единице площади) есть
~Ё = р f^dz= -?-\kipo\2.
J	2iK
Коэффициент затухания равен (используем соотношение F2.3)):
7 =
Отношение этой величины к коэффициенту затухания капиллярных волн
на чистой поверхности жидкости (задача 2 § 62) равно
1 /	\ 1/4
4^2 \faf)
и велико по сравнению с единицей, если только длина волны не чрезмер-
чрезмерно мала. Таким образом, наличие адсорбированной пленки на поверхности
жидкости приводит к значительному увеличению коэффициента затухания
волн.

ГЛАВА VIII
ЗВУК
§ 64. Звуковые волны
Переходя к изучению движения сжимаемой жидкости (или
газа), мы начнем с исследования малых колебаний в ней; колеба-
колебательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидко-
жидкости называют звуковыми волнами. В каждом месте жидкости в
звуковой волне происходят попеременные сжатия и разрежения.
В силу малости колебаний в звуковой волне скорость v в ней
мала, так что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом
(vV)v. По этой же причине относительные изменения плотности
и давления в жидкости тоже малы. Мы будем писать перемен-
переменные рирв виде
Р = Ро+Рг, Р = Ро + Р,	F4.1)
где ро? Ро — постоянные равновесные плотность и давление жид-
жидкости, а р1\ р' — их изменения в звуковой волне (рг <С ро5 р' )
Уравнение непрерывности
при подстановке в него F4.1) и пренебрежении малыми величи-
величинами второго порядка (//, р1', v надо при этом считать малыми
величинами первого порядка) принимает вид
Уравнение Эйлера
^ , ru_. . =0.	F4.2)
dv . / V7x	Vp
— + vVv = — —-
dt v J	p
в том же приближении сводится к уравнению
^ + YeI = 0>	F4<з)
Условие применимости линеаризованных уравнений движе-
движения F4.2) и F4.3) для распространения звуковых волн заключа-
заключается в малости скорости движения частиц жидкости в волне по
сравнению со скоростью звука: i; <С с. Это условие можно по-
получить, например, из требования р' <^ ро (см. ниже формулу
F4.12)).

350	звук	гл. viii
Уравнения F4.2) и F4.3) содержат неизвестные функции
v, р', р'. Для исключения одной из них замечаем, что звуко-
звуковая волна в идеальной жидкости является, как и всякое другое
движение в такой жидкости, адиабатическим. Поэтому малое из-
изменение р' давления связано с малым изменением р' плотности
уравнением
р> = (-р.) р'.	F4.4)
V дро / s
Заменив с его помощью р1 на р1 в уравнении F4.2), получим
Ц- +Ро(^) divv = 0.	F4.5)
at	\ дро/s
Два уравнения F4.3) и F4.5) с неизвестными уир' полностью
описывают звуковую волну.
Для того чтобы выразить все неизвестные величины через
одну из них, удобно ввести потенциал скорости согласно v =
= grady?. Из уравнения F4.3) получим равенство
связывающее р' с ср (индекс у ро и ро здесь и ниже мы будем для
краткости опускать). После этого найдем из F4.5) уравнение
ff - с2А<р = 0,	F4.7)
которому должен удовлетворять потенциал ср] здесь введено обо-
обозначение
Уравнение вида F4.7) называется волновым. Применив к F4.7)
операцию grad, найдем, что такому же уравнению удовлетворя-
удовлетворяет каждая из трех компонент скорости v, а взяв производную по
времени от F4.7), найдем, что волновому уравнению удовлетво-
удовлетворяет и давление р1 (а потому и р1).
Рассмотрим звуковую волну, в которой все величины зависят
только от одной из координат, скажем, от х. Другими словами,
все движение однородно в плоскости уz\ такая волна называется
плоской. Волновое уравнение F4.7) принимает вид
Для решения этого уравнения вводим вместо ж, t новые пере-
переменные
? = х — сЬ, г] = х + ct.

§ 64	ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ	351
Легко убедиться в том, что в этих переменных уравнение F4.9)
принимает вид
Интегрируя это уравнение по ? находим
df = F(V),
ОТ]
где F(rj) —произвольная функция. Интегрируя еще раз, получим
(fi = /i(?) + /2(^7), где /i и /2 — произвольные функции. Таким
образом,
4> = h{x-ct) + f2{x + ct).	F4.10)
Функциями такого же вида описывается распределение также и
остальных величин (pf, /У, v) в плоской волне.
Будем говорить для определенности о плотности. Пусть, на-
например, /2 = 0, так что р' = fi(x — ct). Выясним наглядный
смысл этого решения. В каждой плоскости х = const плотность
меняется со временем; в каждый данный момент плотность раз-
различна для разных х. Очевидно, что плотность одинакова для
координат х и моментов времени ?, удовлетворяющих соотноше-
соотношениям х — ct = const, или
х = const + ct.
Это значит, что если в некоторый момент t = 0 в некоторой
точке жидкости ее плотность имеет определенное значение, то
через промежуток времени t то же самое значение плотность
имеет на расстоянии ct вдоль оси х от первоначального места (и
то же самое относится ко всем остальным величинам в волне).
Мы можем сказать, что картина движения распространяется в
среде вдоль оси х со скоростью с, называемой скоростью звука.
Таким образом, Д(ж — ct) представляет собой, как говорят,
бегущую плоскую волну, распространяющуюся в положительном
направлении оси х. Очевидно, что /2(ж + ct) представляет со-
собой волну, распространяющуюся в противоположном, отрица-
отрицательном, направлении оси х.
Из трех компонент скорости v = grad (р в плоской волне от-
отлична от нуля только компонента vx = дср/дх. Таким образом,
скорость жидкости в звуковой волне направлена вдоль распро-
распространения волны. В связи с этим говорят, что звуковые волны в
жидкости являются продольными.
В бегущей плоской волне скорость vx = v связана с давле-
давлением р' и плотностью р' простыми соотношениями. Написав
if = f(x — ct), имеем
v = %¦ = f'(x - ct), p' = -p% = pcf'(x - ct).
ox	at

352	звук	гл. viii
Сравнив эти выражения, находим
v = ^-.	F4.11)
рс
Подставляя сюда согласно F4.4) р' = с2//, находим связь между
скоростью и изменением плотности:
v = ^-.	F4.12)
Р
Укажем также связь между скоростью и колебаниями темпе-
температуры в звуковой волне. Имеем Т' = (dT/dp)spf и, воспользо-
воспользовавшись известной термодинамической формулой
^др/ s cp\
и формулой F4.11), получим
Т' = ^Lv,	F4.13)
ср
о 1 (dV\	„ I,
где р = — ( — 1 —температурный коэффициент расширения.
Формула F4.8) определяет скорость звука по адиабатической
сжимаемости вещества. Последняя связана с изотермической
сжимаемостью известной термодинамической формулой
[ — ) = —[ — ) •	F4.14)
Вычислим скорость звука в идеальном (в термодинамическом
смысле слова) газе. Уравнение состояния идеального газа гласит
лг Р RT
pV = - = —,
р	Р1
где R — газовая постоянная, a \i — молекулярный вес. Для скоро-
скорости звука получим выражение
—,	F4.15)
где 7 = Ср/су. Поскольку 7 обычно слабо зависит от температу-
температуры, то скорость звука в газе можно считать пропорциональной
квадратному корню из температуры :) . При заданной темпера-
температуре она не зависит от давления газа 2) .
) Полезно обратить внимание на то, что скорость звука в газе порядка
величины средней тепловой скорости молекул.
2) Выражение для скорости звука в газе в виде с2 = р/р было впервые
получено Ньютоном A687). Необходимость введения в это выражение мно-
множителя 7 была показана Лапласом.

§ 64	ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ	353
Весьма важным случаем волн являются монохроматические
волны, в которых все величины являются простыми периоди-
периодическими (гармоническими) функциями времени. Такие функции
обычно бывает удобным писать в виде вещественной части комп-
комплексного выражения (см. начало § 24). Так, для потенциала ско-
скорости напишем
iP = Re{iPo(x,y,z)e-^t},	F4.16)
где о; —частота волны. Функция (р$ удовлетворяет уравнению
0 + ^о = 0,	F4.17)
получающемуся при подстановке F4.16) в F4.7).
Рассмотрим бегущую плоскую монохроматическую волну,
распространяющуюся в положительном направлении оси х. В
такой волне все величины являются функциями только от x — cb,
и потому, скажем, потенциал имеет вид
<р = Re JAexp [-io;(t - |)] },	F4.18)
где А — постоянная, называемая комплексной амплитудой. На-
Написав ее в виде А = аега с вещественными постоянными а и а,
будем иметь
ср = acosf —х — uot + a).	F4.19)
Постоянную а называют амплитудой, а аргумент под знаком
cos —фазой волны. Обозначим через п единичный вектор в на-
направлении распространения волны. Вектор
к = -п = —п	F4.20)
с	Л
называют волновым вектором (а его абсолютную величину ча-
часто называют волновым числом). С этим обозначением выраже-
выражение F4.18) записывается в виде
ср = Ке{Ае^кг~^}.	F4.21)
Монохроматические волны играют весьма существенную роль
в связи с тем, что всякую вообще волну можно представить в ви-
виде совокупности плоских монохроматических волн с различны-
различными волновыми векторами и частотами. Такое разложение волны
на монохроматические волны является не чем иным, как раз-
разложением в ряд или интеграл Фурье (о нем говорят также как
о спектральном разложении). Об отдельных компонентах это-
этого разложения говорят как о монохроматических компонентах
волны или как о ее компонентах Фурье.
12 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

354	звук	гл. viii
Задачи
1. Определить скорость звука в мелкодисперсной двухфазной системе:
пар с взвешенными в нем мелкими капельками жидкости («влажный пар»)
или жидкость с распределенными в ней мелкими пузырьками пара. Длина
волны звука предполагается большой по сравнению с размерами неоднород-
ностей системы.
Решение.В двухфазной системе риГне являются независимыми
переменными, а связаны друг с другом уравнением равновесия фаз. Сжа-
Сжатие или разрежение системы сопровождается переходом вещества из одной
фазы в другую. Пусть х — доля (по массе) фазы 2 в системе, тогда
S = A - X)S1 +Ж52,
V = (l-a)Vi + xV2,
где индексы 1 и 2 отличают величины, относящиеся к чистым фазам 1л 2.
Для вычисления производной ( 	 ] преобразуем ее от переменных р, s к
\dpJs
переменным р, х и получаем
dV\ =(dV\ \дх)
dp)s~\dp)x (дЛ
\дх)р
после чего подстановка A) дает
dp s2 — s\ dp J	L dp s2 — si dp .
Скорость звука определяется с помощью A) и B) по формуле F4.8).
Раскрывая полные производные по давлению, вводя скрытую теплоту
перехода из фазы 1 в фазу 2: q = T(s2 — si) и воспользовавшись формулой
Клапейрона-Клаузиуса
dp_ =	q
dT T(V2-Vi)
для производной вдоль кривой равновесия фаз (см. V, § 82), получим выра-
выражение, стоящее в первой квадратной скобке в B) в виде
if) +-(!?) (^о-^*-*)'.
\dp J т q \дТ ) р	q2
Аналогично преобразуется и выражение во второй скобке.
Пусть фаза 1 — жидкость, а фаза 2 — пар; последний рассматриваем как
идеальный газ, а удельным объемом V\ можно пренебречь по сравнению с V2.
Если х ^С 1 (жидкость с небольшим количеством пара в виде пузырьков), то
для скорости звука получается
C)
(R — газовая постоянная, ц — молекулярный вес). Эта скорость, вообще го-
говоря, очень мала; таким образом, при образовании в жидкости пузырьков
пара (кавитация) скорость звука в ней скачкообразно резко падает.
Если же 1 — х ^С 1 (пар с незначительным количеством жидкости в виде
капелек), то получается
1 = JL_2 c^
с2 RT q ql	У '

§ 65	ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЗВУКОВЫХ ВОЛН	355
Сравнивая со скоростью звука в чистом газе F4.15), найдем, что и здесь
добавление второй фазы уменьшает скорость звука, хотя и далеко не в такой
сильной степени.
В промежутке при возрастании х от нуля до единицы скорость звука
монотонно возрастает от значения C) до значения D).
Отметим, что при х = 0 и х = 1 скорость звука испытывает скачок при
переходе от однофазной системы к двухфазной. Это обстоятельство приво-
приводит к тому, что при очень близких к нулю или единице значениях х обычная
линейная теория звука вообще становится неприменимой уже при малых
амплитудах звуковой волны: производимые волной сжатия и разрежения в
данных условиях сопровождаются переходом двухфазной системы в одно-
однофазную (и обратно), в результате чего совершенно нарушается существенное
для теории предположение о постоянстве скорости звука.
2. Определить скорость звука в газе, нагретом до настолько высокой
температуры, что давление равновесного черного излучения в нем сравнимо
с давлением самого газа.
Решение. Давление вещества равно
а энтропия
1 , Т3/2 аТ3
s = — In	1	.
m п	п
В этих выражениях первые члены относятся к частицам, а вторые — к излу-
излучению; п — плотность числа частиц, m — их масса, а = 4тг2/D5/г3с3) (см. V,
§ 63) :). В плотности же вещества черное излучение не играет роли, так
что р = тпп. Скорость звука обозначим здесь в отличие от скорости света
буквой и. Записывая производные в виде якобианов, имеем
2 д(р, s) д(р, s) /д(р, s)
~ д{р, з) ~ д(щ t)l д(щ t)'
Вычислив эти якобианы, получим
ЪТ Г. . 2а2Т6 1
2aT3)J'
§ 65. Энергия и импульс звуковых волн
Выведем выражение для энергии звуковой волны. Согласно
общей формуле энергия единицы объема жидкости равна ре +
+ pv2/2. Подставим сюда р = ро + //, е = sq + e\ где буквы со
штрихом обозначают отклонения соответствующих величин от
их значений в неподвижной жидкости. Член p'v2/2 является ве-
величиной третьего порядка малости. Поэтому, если ограничиться
точностью до членов второго порядка включительно, получим
2 dpi	2
:) Как везде в этой книге, температура измеряется в единицах энергии.
12*

356	звук	гл. viii
Производные берутся при постоянной энтропии, поскольку зву-
звуковая волна адиабатична. В силу термодинамического соотно-
соотношения
= Tds-pdV = Tds + H-
Р2
имеем
вторая производная:
(д2(ре)\ = (диЛ = (диЛ (др\ = с^
V др2 ) s \др / s V др ) s\dp) s p
Таким образом, энергия единицы объема жидкости равна
2	2
Pq?q + Wp -\- 	р -\- ро —.
Первый член в этом выражении (боРо) представляет собой
энергию единицы объема неподвижной жидкости и не имеет от-
отношения к звуковой волне. Что касается второго члена (г^ор7),
то это есть изменение энергии, связанное просто с изменением
количества вещества (массы жидкости) в каждой данной едини-
единице объема. В полной энергии, получающейся интегрированием
энергии единицы объема по всему объему жидкости, этот член
выпадает: поскольку общее количество жидкости остается неиз-
неизменным, то J p' dV = 0. Таким образом, полное изменение энер-
энергии жидкости, связанное с наличием звуковой волны, равно ин-
интегралу
pov2 ^с2р>2'
Подынтегральное выражение можно рассматривать как плот-
плотность Е звуковой энергии:
2	2р0	К J
Это выражение упрощается в случае бегущей плоской вол-
волны. В такой волне р1 = pqv/c, и оба члена в F5.1) оказываются
одинаковыми, так что
Е = p0v2.	F5.2)
В общем случае произвольной волны такое соотношение не имеет
места. Аналогичную формулу можно написать в общем случае
лишь для среднего (по времени) значения полной звуковой энер-
энергии. Она следует непосредственно из известной общей теоремы
механики о том, что во всякой системе, совершающей малые ко-
колебания, среднее значение полной потенциальной энергии равно

§ 65	ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЗВУКОВЫХ ВОЛН	357
среднему значению полной кинетической энергии. Поскольку по-
последняя равна в данном случае - / pqv2 dV, то мы находим, что
полная средняя звуковая энергия есть
fEdV = f pov*dV.	F5.3)
Далее, рассмотрим некоторый объем жидкости, в которой
распространяется звук, и определим поток энергии через замкну-
замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем. Плотность пото-
потока энергии в жидкости равна согласно F.3) pv(w -\-v2/2). В рас-
рассматриваемом случае можно пренебречь членом с v2 как малым
третьего порядка. Поэтому плотность потока энергии в звуковой
волне есть pww. Подставив сюда w = wo + wf, имеем
pww = wopv + pw'w.
Для малого изменения тепловой функции имеем
/ (dw
w = i
lH Р
op / s	p
и далее pww = w$pv + p'w. Полный поток энергии через рассма-
рассматриваемую поверхность равен интегралу
(j)(wopv +pfv)df.
Первый член в этой формуле есть поток энергии, связанный
просто с изменением массы жидкости в данном объеме. Но мы
уже опустили соответствующий (равный нулю при интегрирова-
интегрировании по бесконечному объему) член wopf в плотности энергии. По-
Поэтому, чтобы получить поток энергии, плотность которой опре-
определена согласно F5.1), надо опустить этот член, и поток энергии
будет просто
(j)pvdi.
Мы видим, что роль плотности потока звуковой энергии играет
вектор
q = p'v.	F5.4)
Легко проверить, что, как и должно было быть, имеет место со-
соотношение
— + divp;v = 0,	F5.5)
ot
выражающее закон сохранения энергии, причем роль плотности
потока энергии играет именно вектор F5.4).
В бегущей (слева направо) плоской волне изменение давления
связано со скоростью посредством р1 = cpov, где скорость v = vx

358	звук	гл. viii
понимается вместе со своим знаком. Введя единичный вектор п
в направлении распространения волны, получим
q = cpov2n = cEn.	F5.6)
Таким образом, в плоской звуковой волне плотность потока энер-
энергии равна плотности энергии, умноженной на скорость звука, —
результат, который естественно было ожидать.
Рассмотрим теперь звуковую волну, занимающую в каждый
данный момент времени некоторую конечную область простран-
пространства (нигде не ограниченную твердыми стенками) — волновой па-
пакет; определим полный импульс жидкости в такой волне. Им-
Импульс единицы объема жидкости совпадает с плотностью потока
массы j = pv. Подставив р = ро + р', имеем j = pov + p'v. Из-
Изменение плотности связано с изменением давления посредством
р1 =pf/c . С помощью F5.4) получаем поэтому
j = p0v + q/c2.	F5.7)
Если в рассматриваемых явлениях вязкость жидкости несуще-
несущественна, то движение в звуковой волне можно считать потен-
потенциальным и написать v = \/cp (подчеркнем, что это утвержде-
утверждение не связано с теми пренебрежениями, которые были сделаны
в § 64 при выводе линейных уравнений движения,— решение с
rot v = 0 является точным решением уравнений Эйлера). Поэто-
Поэтому имеем
Полный импульс волны равен интегралу J j dV по всему занима-
занимаемому ею объему. Но интеграл от Vtp может быть преобразован
в интеграл по поверхности:
f\/ipdV = (fxpdf
и обращается в нуль, так как вне занимаемого волновым пакетом
объема ср = 0. Таким образом, полный импульс пакета равен
F5.8)
Эта величина, вообще говоря, отнюдь не обращается в нуль. Но
отличный от нуля полный импульс означает, что имеет место пе-
перенос вещества. Мы приходим к результату, что распространение
звукового пакета сопровождается переносом вещества жидкости.
Это — эффект второго порядка, поскольку q есть величина вто-
второго порядка.
Наконец, рассмотрим звуковое поле в области пространства,
неограниченной по своей длине и ограниченной по поперечному
сечению (волновой цуг конечной апертуры); вычислим среднее

§ 65	ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЗВУКОВЫХ ВОЛН	359
значение переменной части давления р' в нем. В первом прибли-
приближении, соответствующем обычным линейным уравнениям дви-
движения, р' является периодической знакопеременной функцией
и среднее значение р' обращается в нуль. Этот результат, од-
однако, может не иметь места, если обратиться к более высоким
приближениям. Если ограничиться величинами второго порядка
малости, то оказывается возможным выразить р' через величи-
величины, вычисляемые с помощью линейных уравнений звука, так что
не приходится прибегать к непосредственному решению нели-
нелинейных уравнений движения, получающихся при учете величин
высших порядков.
Характерным свойством рассматриваемого звукового поля
является то, что разности значений потенциала скорости ср в
различных его точках остаются конечными при неограниченном
увеличении расстояния между ними (и то же самое относится к
разности значений ср в заданной точке пространства в различные
моменты времени). Действительно, это изменение дается интег-
интегралом
2
?2 — Ч>\ — / v dl,
l
который может быть взят по любому пути между точками 1 и
2\ указанное свойство потенциала становится очевидным, если
заметить, что в данном случае можно выбрать путь, проходящий
вдоль длины цуга вне его х) .
Имея в виду это свойство, будем исходить из уравнения
Вернулли
w + — + — = const.
2 dt
Усредним это равенство по времени. Среднее значение производ-
производной d(p/dt обращается в нуль 2) . Написав также w = wq + w' л
включив постоянную г^о в const, находим w' + v2 /2 = const. По-
Поскольку const одинакова во всем пространстве, а вне волнового
цуга вдали от него wf и v обращаются в нуль, то ясно, что эта
) Подобные соображения, по существу, использованы и при выводе F5.8),
основанном на утверждении, что (р = 0 везде вокруг волнового пакета вдали
от него.
2)По общему определению средних, для среднего значения производной
от некоторой функции f(t) имеем
		Т/2
df _ 1 Г df _
dt ~ Т J dt ~ f.
-Т/2
Если функция f(t) остается конечной при всех t, то при увеличении интер-
интервала усреднения Т эта величина стремится к нулю.

360	звук	гл. viii
постоянная должна быть нулем, так что
^7+- =0.	F5.9)
2	V }
Разложим, далее, w' по степеням р'\ с точностью до члена вто-
второго порядка имеем
/ (dw\ i . 1 (d2w\ /2
w = (тг) р + о(тт] р '
\ ар / s	2 V ар2 / s
и поскольку (dw/dp)s = 1/р, то
2	2рос2	2
po 2pg \dpJ s po 1c2 pi
Подставив это в F5.9), получим
^ ^L	^ ^Z	F5Л0)
2ро
чем и определяется среднее давление. Стоящее справа выраже-
выражение является величиной второго порядка малости и для его вы-
вычисления надо пользоваться У и и, получающимися путем ре-
решения линейных уравнений движения. Для средней плотности
имеем
Ввиду конечности площади поперечного сечения волнового
цуга, он не может представлять собой строго плоскую волну. Но
если линейные размеры сечения достаточно велики по сравне-
сравнению с длиной волны звука, волновое поле может быть близко
к плоскому с высокой точностью. В бегущей плоской волне v =
= ср'/ро, так что v2 = c2pf2/pQ и выражение F5.10) обращается в
нуль, т. е. среднее изменение давления является эффектом более
высокого порядка, чем второй. Изменение же плотности
2 V dp2/s
в нуль не обращается :) . В этом же приближении имеем для
среднего значения тензора плотности импульса в бегущей плос-
плоской (в указанном выше смысле) волне:
р1 + ~рЩщ = р1
Первый член равен нулю, а во втором вводим единичный век-
вектор п в направлении распространения волны (совпадающем с
*) Отметим, что производная {д2p/dp2)s фактически всегда отрицательна
и поэтому в бегущей волне р' < 0.

§ 66	ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН	361
точностью до знака с направлением v). Воспользовавшись соот-
соотношением F5.2), будем иметь для плотности потока импульса:
к.	F5.12)
Если волна распространяется вдоль оси ж, то отлична от нуля
только компонента Пжж = Е. Таким образом, в рассматривае-
рассматриваемом приближении имеется средний поток только ж-компоненты
импульса, причем он переносится в направлении оси х.
По поводу всего сказанного в последнем абзаце лишний раз
подчеркнем, что речь идет о волновом цуге, ограниченном по сво-
своему сечению. Для волны, плоской в строгом смысле этого слова,
эти результаты были бы несправедливы (в частности р' могло бы
быть отличным от нуля уже в квадратичном приближении — см.
задачу 4 в § 101). Формально это связано с тем, что для строго
плоской волны (которую нельзя обойти «сбоку») несправедли-
несправедливо, вообще говоря, утверждение о конечности потенциала (р во
всем пространстве (или в течение всего времени). Физическое
различие связано с возможностью (в случае ограниченного по
сечению волнового цуга) возникновения поперечного движения,
приводящего к выравниванию среднего давления.
§ 66. Отражение и преломление звуковых волн
Когда звуковая волна падает на границу раздела между дву-
двумя различными средами, она отражается и преломляется. Дви-
Движение в первой среде является тогда наложением двух волн (па-
(падающей и отраженной), а во второй среде имеется одна (прелом-
(преломленная) волна. Связь между всеми тремя волнами определяется
граничными условиями на поверхности раздела.
Рассмотрим отражение и преломление монохроматической
продольной волны в случае плоской границы раздела. Плоскость
уz выберем в качестве граничной. Легко видеть, что все три вол-
волны — падающая, отраженная и преломленная — будут иметь оди-
одинаковые частоты со и одинаковые компоненты ky, kz волнового
вектора (но не компоненту кх по направлению, перпендикуляр-
перпендикулярному к плоскости раздела). Действительно, в неограниченной од-
однородной среде монохроматическая волна с постоянными к и о;
является решением уравнений движения. При наличии границы
раздела добавляются лишь граничные условия, которые в нашем
случае относятся к х = 0, т. е. не зависят ни от времени, ни от
координат у и z. Поэтому зависимость решения от t и от у, z ос-
остается неизменной во всем пространстве и времени, т. е. о;, kyi kz
остаются теми же, какими они были в падающей волне.
Из этого результата могут быть непосредственно выведены
соотношения, определяющие направления распространения от-

362	звук	гл. viii
раженной и преломленной волн. Пусть ху — плоскость падения
волны. Тогда в падающей волне kz = 0; то же самое должно
иметь место и для отраженной и преломленной волн. Таким об-
образом, направления распространения падающей, отраженной и
преломленной волн лежат в одной плоскости.
Пусть в — угол между направлением волны и осью х. Тогда из
равенства величин ку = (и)/с) sin 0 для падающей и отраженной
волн следует, что
0i=0i,	F6.1)
т. е. угол падения в\ равен углу отражения 6[. Из аналогичного
же равенства для падающей и преломленной волн следует соот-
соотношение
sin в\ с\
Sin 02	С2
F6.2)
между углом падения в\ и углом преломления 02 (с\ и С2 — ско-
скорости звука в обеих средах).
Для того чтобы получить количественное соотношение меж-
между интенсивностями падающей, отраженной и преломленной волн,
пишем потенциалы скорости в этих волнах соответственно в виде
(pi = А\ ехр \гио( — cosв\ + — sinв\ — t) L
ср[ = А[ ехр га; f —— cos в\ + — sin в\ — t j L
cp2 = A2exp \iu( — cos 02 + — sin02 -*) .
Ha поверхности раздела (х = 0) должны быть равными давления
(р = ~РФ) и нормальные скорости (vx = дср/дх) в обеих средах;
эти условия приводят к равенствам
Р1(А1+А'1)=Р2А2,
С2
Коэффициент отражения R определяется как отношение сред-
средних (по времени) плотностей потока энергии в отраженной и па-
падающей волнах. Поскольку плотность потока энергии в плоской
волне равна cpv2, то имеем
Простое вычисление приводит к результату

§ 67	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА	363
Углы в\ и 02 связаны друг с другом соотношением F6.2); выра-
выразив 02 через #i, можно представить коэффициент отражения в
виде
D _ \P2C2 COS fli - pi д/cf - С2, SJn2 #П	/^ ,ч
|_р2с2 cos 0i + pi y/cl - с\ sin2 0i J
Для нормального падения (#i = 0) эта формула имеет вид
\p2C2
При угле падения, определяющемся из
коэффициент отражения обращается в нуль, т. е. звуковая волна
целиком преломляется, не отражаясь вовсе; такой случай возмо-
возможен, если с\ > С2, но р2С2 > р\С\ (или наоборот).
Задача
Определить давление, оказываемое звуковой волной на границу раздела
между двумя жидкостями.
Решение. Сумма полных потоков энергии в отраженной и прелом-
преломленной волнах должна быть равна падающему потоку энергии. Относя по-
поток энергии к единице площади поверхности раздела, напишем это условие
в виде
С\Е\ COS 01 = C\E'i COS 01 + C2E2 COS 02,
где E\, Ei, E2 — плотности энергии в падающей, отраженной и преломлен-
преломленной волнах. Вводя коэффициент отражения R = Ei/Ei, имеем отсюда
E2 = ?icos?i	^
С2 COS 02
Искомое давление р определяется как ж-компонента импульса, теряемого в
единицу времени звуковой волной (отнесенная к единице площади грани-
границы раздела). С помощью выражения F5.12) для тензора плотности потока
импульса в звуковой волне найдем
р = ~Ё\ cos2 0i + ?1 cos2 0i - ~Ё2 cos2 02.
Подставляя выражение для ?^, вводя R и используя F6.2), получим
p = Ei sin 0i cos 0i [A + R) ctg 0i - A - R) ctg 02].
Для нормального падения @i = 0) найдем с помощью F6.5)
= 2^i \p\c\
Ц
P2C2J \
§ 67. Геометрическая акустика
Плоская волна отличается тем свойством, что направление
ее распространения и ее амплитуда одинаковы во всем простран-
пространстве. Произвольные звуковые волны этим свойством, конечно, не

364	звук	гл. viii
обладают. Однако возможны случаи, когда звуковую волну, не
являющуюся плоской, в каждом небольшом участке простран-
пространства можно рассматривать как плоскую. Для этого необходимо,
чтобы амплитуда и направление волны почти не менялись на
протяжении расстояний порядка длины волны.
Если выполнено это условие, то можно ввести понятие о лу-
лучах как о линиях, касательные к которым в каждой точке совпа-
совпадают с направлением распространения волны, и можно говорить
о распространении звука вдоль лучей, отвлекаясь при этом от
его волновой природы. Изучение законов распространения звука
в таких случаях составляет предмет геометрической акустики.
Можно сказать, что геометрическая акустика соответствует пре-
предельному случаю малых длин воли, А —>> 0.
Выведем основное уравнение геометрической акустики —
уравнение, определяющее направление лучей. Напишем потен-
потенциал скорости волны в виде
ср = ае^.	F7.1)
В случае, когда волна не плоская, но геометрическая акустика
применима, амплитуда а является медленно меняющейся функ-
функцией координат и времени, а фаза волны ф есть «почти линей-
линейная» функция (напомним, что в плоской волне ф = kr — uot + a
с постоянными киш). В малых участках пространства и малых
интервалах времени фазу ф можно разложить в ряд; с точностью
до членов первого порядка имеем
ф = фо + r grad ф + — t.
dt
Соответственно тому, что в каждом небольшом участке про-
пространства (и в небольших интервалах времени) волну можно рас-
рассматривать как плоскую, определяем волновой вектор и частоту
волны в каждой точке как
k=^=grad^ w = -^t	F7.2)
Величина ф называется эйконалом.
В звуковой волне имеем со2/с2 = к2 = к% + ку + к%. Подставляя
сюда F7.2), получим следующее основное уравнение геометриче-
геометрической акустики:
у+у+уу=0. F7.3)
дх J \ ду / \dz J с2 \ dt J
Если жидкость неоднородна, то коэффициент с2 является функ-
функцией координат.
Как известно из механики, движение материальных частиц
может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Якоби,

§ 67	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА	365
являющегося, как и уравнение F7.3), уравнением в частных про-
производных первого порядка. Аналогичной ф величиной является
при этом действие S частицы, а производные от действия опре-
определяют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергию) части-
частицы согласно формулам р = dS/dr, Н = —dS/dt, аналогично
формулам F7.2). Известно, далее, что уравнение Гамильтона-
Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона, имеющим вид р =
= —дН/дг, v = r = дН/др. Вследствие указанной аналогии меж-
между механикой материальной частицы и геометрической акусти-
акустикой мы можем непосредственно написать аналогичные уравне-
уравнения для лучей:
kC/UJ	• C/U	/ /-»t-y л\
= - —, г = —.	F7.4)
В однородной изотропной среде ио = ск с постоянным с, так что
к = 0, г = сп (п — единичный вектор в направлении к), т. е. как и
должно было быть, лучи распространяются по прямым линиям,
сохраняя при этом постоянную частоту ио.
Частота остается, разумеется, постоянной вдоль лучей вооб-
вообще всегда, когда распространение звука происходит в стационар-
стационарных условиях, т. е. свойства среды в каждой точке пространства
не меняются со временем. Действительно, полная производная
от частоты по времени, определяющая ее изменение вдоль рас-
распространяющегося луча, равна
du 	 ди ди . ®иъ-
dt dt dr <9k
При подстановке F7.4) два последних члена взаимно сокраща-
сокращаются; в стационарном же случае duo/dt = 0, а потому и duo/dt = 0.
При стационарном распространении звука в неподвижной не-
неоднородной среде ио = с/с, где с есть заданная функция коорди-
координат. Уравнения F7.4) дают
г = en, k = -We.	F7.5)
Абсолютная величина вектора к меняется вдоль луча просто по
закону к = ио/с (с ио = const). Для определения же изменения
направления п полагаем во втором из уравнений F7.5) к = — п
и пишем:
—п — —n(Vcr) = —A;Vc,
с	с2
откуда
Вводя элемент проходимой лучом длины dl = ссЙ, перепишем это
уравнение в виде
F7.6)

366	ЗВУК	ГЛ. VIII
Этим уравнением определяется форма лучей; п есть единичный
вектор касательной к лучу :) .
Если уравнение F7.3) решено и эйконал ф как функция ко-
координат и времени известен, то можно найти также и распре-
распределение интенсивности звука в пространстве. В стационарных
условиях оно определяется уравнением div q = 0 (q — плотность
потока звуковой энергии), которое должно выполняться во всем
пространстве вне источника звука. Написав q = сЕп, где Е—
плотность звуковой энергии (см. F5.6)), и имея в виду, что п
есть единичный вектор в направлении k = V^, получим следую-
следующее уравнение:
ЧИ-	F7-7)
которое и определяет распределение Е в пространстве.
Вторая из формул F7.4) определяет скорость распростране-
распространения волн по известной зависимости частоты от компонент волно-
волнового вектора. Это — важная формула, относящаяся не только к
звуковым, но и ко всяким волнам вообще (мы уже пользовались,
например, этой формулой в § 12 в применении к гравитацион-
гравитационным волнам). Приведем здесь еще один вывод этой формулы,
полезный для уяснения смысла определяемой ею скорости. Рас-
Рассмотрим волну (или, как говорят, волновой пакет), занимающую
некоторую конечную область пространства. Предположим, что
волна такова, что в ее спектральное разложение входят моно-
монохроматические компоненты с частотами, лежащими в некотором
малом интервале; то же самое относится и к компонентам их вол-
волновых векторов. Пусть ио есть некоторая средняя частота волны
и к —средний волновой вектор. Тогда в некоторый начальный
момент времени волна описывается функцией вида
<p = elkrf(r).	F7.8)
Функция /(г) заметно отлична от нуля только в некоторой ма-
малой (но большой по сравнению с длиной волны 1/к) области про-
пространства. Ее разложение в интеграл Фурье содержит согласно
сделанным предположениям компоненты вида еггЛк, где Ак —
малые величины.
*)Как известно из дифференциальной геометрии, производная dn/dl
вдоль луча равна N/Я, где N — единичный вектор главной нормали, а Я —
радиус кривизны луча. Выражение же в правой части уравнения F7.6) есть,
с точностью до множителя 1/с, производная от скорости звука по направ-
направлению главной нормали; поэтому можно написать это уравнение в виде
I = _I(NVc).
R с
Луч изгибается в сторону уменьшения скорости звука.

§ 67	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА	367
Таким образом, каждая из монохроматических компонент
волны пропорциональна в начальный момент времени множи-
множителю вида
Vk = const ¦ ег^+ак)г.	F7.9)
Соответствующая ей частота есть со (к + Ак) (напоминаем, что
частота является функцией волнового вектора). Поэтому в мо-
момент времени t та же компонента будет иметь вид
if\r_ = const • exp [i(k + Ak)r — ico(k + Ak)t].
Воспользовавшись малостью Ak, напишем
со(к + Ak) « cjfk) + —Ак.
<9к
Тогда (fk принимает вид
<рк = const • ei(kr"^ expfiAkfr - —t\].	F7.10)
Если теперь произвести обратное суммирование всех моно-
монохроматических компонент волны со всеми имеющимися в ней
Ак, то, как видно из сравнения F7.9) и F7.10), мы получим
F7.11)
где / — та же функция, что и в F7.8). Сравнение с F7.8) пока-
показывает, что за время t вся картина распределения амплитуды в
волне передвинулась в пространстве на расстояние —t (экспо-
(экспоненциальный множитель перед / в F7.11) влияет только на фазу
волны). Следовательно, скорость ее равна
U = —.	F7.12)
Эта формула и определяет скорость распространения волны
с произвольной зависимостью о; от к. В случае со = ск с по-
постоянным с она приводит, конечно, к обычному результату U =
= со/к = с. В общем же случае произвольной зависимости со(к)
скорость распространения волны является функцией ее частоты
и ее направление может не совпадать с направлением волнового
вектора.
Скорость F7.12) называют также групповой скоростью вол-
волны, а отношение со/к — фазовой скоростью. Подчеркнем, однако,
что фазовая скорость не соответствует реальному физическому
распространению чего бы то ни было.
По поводу изложенного вывода отметим, что выражаемое
формулой F7.11) передвижение волнового пакета без изменения

368	звук	гл. viii
его формы является приближенным и связано с предположен-
предположенной малостью интервала Ак. Вообще же говоря, при зависящей
от ио скорости U волновой пакет по мере своего распростране-
распространения «размазывается» — занимаемая им в пространстве область
расширяется. Можно показать, что это размазывание пропорци-
пропорционально квадрату величины интервала Ак волновых векторов,
входящих в разложение волнового пакета.
Задача
Определить изменение с высотой амплитуды звука, распространяюще-
распространяющегося в поле тяжести в изотермической атмосфере.
Решение. Вдоль изотермической атмосферы (рассматриваемой как
идеальный газ) скорость звука постоянна. Плотность потока энергии, оче-
очевидно, падает вдоль луча обратно пропорционально квадрату расстояния г
от источника:
cpv2 ос —.
г2
Отсюда следует, что амплитуда колебаний скорости в звуковой волне ме-
меняется вдоль луча обратно пропорционально т^/~р. При этом плотность р
меняется, согласно барометрической формуле, как
(z — высота, 11 — молекулярная масса газа, R — газовая постоянная).
§ 68. Распространение звука в движущейся среде
Соотношение ио = ск между частотой и волновым вектором
имеет место только для монохроматической звуковой волны, рас-
распространяющейся в неподвижной среде. Нетрудно получить ана-
аналогичное соотношение для волны, распространяющейся в движу-
движущейся среде (и наблюдаемой в неподвижной системе координат).
Рассмотрим однородный поток жидкости со скоростью и. На-
Назовем неподвижную систему координат ж, у, z системой К и вве-
введем также систему К' координат ж7, у7, z\ движущуюся отно-
относительно системы К со скоростью и. В системе К жидкость
неподвижна, и монохроматическая волна в ней имеет обычный
вид
if = const .e*(kr'-^).
Радиус-вектор г' в системе К' связан с радиусом-вектором г в си-
системе К равенством г' = г — ut. Поэтому в неподвижной системе
координат волна имеет вид
<р = COnst .ei0"-(
Коэффициент при t в показателе есть частота ио волны. Таким
образом, в движущейся среде частота связана с волновым век-
вектором к соотношением
оо = ск-ик.	F8.1)

§ 68	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ	369
Скорость распространения волн равна
duo k ,	/лП о\
— = с- + и;	F8.2)
ак к
это есть геометрическая сумма скорости с в направлении к и
скорости и «сноса» звука вместе с движущейся жидкостью.
Определим плотность энергии звуковой волны в движущейся
среде. Полная мгновенная плотность энергии дается выражением
2/2	/2	2/2
pu . р и .	. (pv . i . с p
=	 +	 + /9VU + -— + pUV + ——
2	2	V 2	2p
(ср. F5.1); индекс 0 у невозмущенных значений величин опу-
опускаем). Первый член здесь — энергия невозмущенного течения.
Следующие два члена — первого порядка малости, но при усред-
усреднении по времени они дадут величины второго порядка, связан-
связанные с энергией возбуждаемого волной среднего течения. Все эти
члены следует опустить и, таким образом, интересующая нас
плотность энергии звуковой волны как таковой дается заклю-
заключенными в скобки тремя последними членами. Скорость и из-
изменение давления в плоской волне в движущейся среде связаны
соотношением
(ш — ku)v = kc2pf I p,
которое следует из линеаризованного уравнения Эйлера
^ ()
at	p
Учитывая также F8.1), найдем окончательно, что плотность зву-
звуковой энергии в движущейся среде:
F8.3)
ш — ku
где Eq = с2 р1 Iр = р1 Iрс2 — плотность энергии в системе отсче-
отсчета, движущейся вместе со средой :) .
С помощью формулы F8.1) можно рассмотреть эффект Доп-
Доплера, заключающийся в том, что частота звука, воспринимаемого
наблюдателем, движущимся относительно источника, не совпа-
совпадает с частотой колебаний последнего.
Пусть звук, испускаемый неподвижным (относительно среды)
источником, воспринимается наблюдателем, движущимся со ско-
скоростью и. В покоящейся относительно среды системе К' имеем
*) Эта формула наглядно истолковывается с квантовой точки зрения: чис-
число звуковых квантов (фононов) N = Е/{Ни) = Eo/[h(uu — ku)] не зависит от
выбора системы отсчета.

370	звук	гл. viii
к = с^о/с, где ooq — частота колебаний источника. В системе же
К, движущейся вместе с наблюдателем, среда движется со ско-
скоростью —и, и частота звука будет согласно F8.1) ио = ск — uk.
Вводя угол в между направлением скорости и и волнового век-
вектора к и полагая к = wo/c, найдем, что воспринимаемая движу-
движущимся наблюдателем частота звука равна
ио = ujq A — - cos в).	F8.4)
В некотором смысле обратным случаем является распростра-
распространение в неподвижной среде звуковой волны, испускаемой движу-
движущимся источником. Пусть и обозначает теперь скорость движе-
движения источника. Перейдем от неподвижной системы координат
к системе К1', движущейся вместе с источником; в системе К'
жидкость движется со скоростью — и. В системе К1', где источ-
источник покоится, частота излучаемой им звуковой волны должна
быть равна частоте ooq колебаний, совершаемых источником. Из-
Изменив в F8.1) знак перед и и вводя угол в между направле-
направлениями и и к, будем иметь
ooq = ск ( 1 — - cos в).
\ с	/
С другой стороны, в исходной неподвижной системе К частота
связана с волновым вектором равенством ио = ск. Таким образом,
мы приходим к соотношению
ио =	^	.	F8.5)
1	cos в
с
Этой формулой определяется связь между частотой ooq колеба-
колебаний движущегося источника звука и частотой ио звука, слыши-
слышимого неподвижным наблюдателем.
Если источник удаляется от наблюдателя, то угол в между
его скоростью и направлением приходящей в точку наблюдения
волной заключен в пределах тг/2 < в ^ тг, так что cos в < 0.
Из F8.5) следует, таким образом, что если источник движется,
удаляясь от наблюдателя, то частота слышимого наблюдателем
звука уменьшается (по сравнению сц).
Напротив, для приближающегося к наблюдателю источника
0 ^ в < тг/2, так что cos в > 0, и частота со > ooq растет при
увеличении скорости и. При и cos в > с согласно формуле F8.5) ио
делается отрицательной, что соответствует тому, что слышимый
наблюдателем звук будет в действительности доходить до него
в обратном порядке, т. е. звук, излученный источником в более
поздние моменты времени, дойдет до наблюдателя раньше, чем
звук, излученный в более ранние моменты.
Как было указано в начале § 67, приближение геометрической
акустики соответствует случаю достаточно малых длин волн,

§ 68	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ	371
т. е. больших значений волнового вектора. Для этого, вообще
говоря, частота звука должна быть достаточно велика. Однако в
акустике движущихся сред последнее условие становится не обя-
обязательным, если скорость движения среды превосходит скорость
звука. Действительно, в этом случае к может быть большим да-
даже при равной нулю частоте: из F8.1) получаем при ио = 0 урав-
уравнение
ск = -uk,	F8.6)
которое имеет решения, если и > с. Таким образом, в среде,
движущейся со сверхзвуковыми скоростями, могут существовать
стационарные малые возмущения, описывающиеся (при доста-
достаточно больших к) геометрической акустикой. Это значит, что
такие возмущения будут располагаться вдоль определенных ли-
линий—лучей.
Рассмотрим, например, однородный сверхзвуковой поток,
движущийся с постоянной скоростью и, направление которой
выберем в качестве оси х. Компоненты вектора к, лежащего в
плоскости жу, связаны соотношением
(и2-с2)к2х = с2к2у,	F8.7)
получающимся путем возведения в квадрат обеих частей равен-
равенства F8.6). Для определения формы лучей воспользуемся урав-
уравнениями геометрической акустики F7.4), согласно которым
дио . дио
х = 	, у = 	.
дкх	дку
Разделив одно из этих уравнений на другое, получим
dy _
dx дио/дкх
Но это отношение есть согласно правилу дифференцирования
неявных функций не что иное, как производная —дкх/дку (взя-
(взятая при постоянной, в данном случае равной нулю, частоте). Та-
Таким образом, уравнение, определяющее форму лучей по задан-
заданной зависимости между кх и ку, гласит:
dx	дку
Подставив сюда F8.7), получим
При постоянном и это уравнение определяет два прямолинейных
луча, пересекающих ось х под углами ±а, где sin a = с/и.

372	звук	гл. viii
К подробному изучению этих лучей мы возвратимся в газо-
газодинамике, в которой они играют большую роль.
Задачи
1. Определить форму звуковых лучей, распространяющихся в стаци-
стационарно движущейся среде с распределением скоростей и(х, у, z), причем
везде и <С с. Предполагается, что скорость и заметно меняется лишь на рас-
расстояниях, больших по сравнению с длиной волны звука.
Решение. Подставляя F8.1) в F7.4), получим уравнения распро-
распространения лучей в виде
k = -(kV)u - [к rot u],
г = v = с	Ь и.
/ъ
С помощью этих уравнений вычисляем с точностью до членов первого по-
d , ч
рядка по и производную —(kv); при вычислении используем равенство
dt
Получаем
du ди , _ч , _ч с
~Т+ = "Б7 + (vV)u = (vV)u ~ 7
dt ot	к
— (kv) = — kv[n rotu],
dt
где n — единичный вектор в направлении v. С другой стороны,
d // \	d // \ , / dn
— (kv) = n—(kv) + kv —.
dV J dV J	dt
Поскольку n и dn/dt взаимно перпендикулярны (из n2 = 1 следует, что
nri = 0), то из сравнения обоих выражений находим ri = [rotu, n]. Вводя
элемент проходимой лучом длины dl = cdt, пишем окончательно
—- = -[rotu, п].	A)
dl с
Этим уравнением определяется форма лучей; п есть единичный вектор ка-
касательной к лучу (отнюдь не совпадающий теперь с направлением к!).
2. Определить форму звуковых лучей в движущейся среде с распреде-
распределением скоростей их = u(z), uy = uz = 0.
Решение. Раскрывая уравнение A), находим
dnx _ nz du dny _
dl с dz dl
(уравнение для nz можно не писать, так как п =1). Второе уравнение дает
Пу = COnst = ПуО.
В первом же пишем nz = dz/dl, после чего интегрирование дает
u(z)
Пх = Пх0 -\	.
с
Эти формулы решают поставленную задачу.
Предположим, что скорость и равна нулю при z = 0 и возрастает по на-
направлению вверх (du/dz > 0). Если звук распространяется «против ветра»
(пх < 0), то его траектория искривляется, загибаясь вверх. При распро-
распространении же «по ветру» (пх > 0) луч искривляется, загибаясь вниз; в этом

§ 69	СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ	373
случае луч, вышедший из точки z = 0 под малым углом наклона к оси х
(пхо близко к единице), поднимается лишь на конечную высоту z = гтах,
которую можно вычислить следующим образом. На высоте гтах луч гори-
горизонтален, т. е. nz = 0. Поэтому имеем здесь:
п2х+п2у^ п2х0 + п2у0 + 2пх0 - = 1,
с
с
откуда по заданной функции u(z) и начальному направлению луча по можно
определить zm8iX.
3. Получить выражение принципа Ферма для звуковых лучей в стацио-
стационарно движущейся среде.
Решение. Принцип Ферма требует минимальности интеграла J k с/1,
взятого вдоль луча между двумя заданными точками, причем к предпо-
предполагается выраженным как функция от частоты ио и направления луча п
(см. II, § 53). Эту функцию можно найти, исключая v и к из соотношений
и = ск + uk n vn = ск/к + и. В результате принцип Ферма приобретает вид
S [ о1 А\/{с2 -u2)dl2 + {\id\J -udl] =0.
J с — и
В неподвижной среде этот интеграл сводится к обычному / —.
J с
§ 69. Собственные колебания
До сих пор мы рассматривали колебательное движение в не-
неограниченных средах. Мы видели, в частности, что в таких сре-
средах могут распространяться волны с произвольными частотами.
Положение существенно меняется для жидкости, находящей-
находящейся в сосуде конечных размеров. Сами уравнения движения (вол-
(волновые уравнения) остаются при этом, конечно, теми же, но к ним
необходимо добавить теперь граничные условия, которые дол-
должны выполняться на поверхности твердых стенок (или на сво-
свободной поверхности жидкости). Мы будем рассматривать здесь
только свободные колебания, происходящие при отсутствии пе-
переменных внешних сил (колебания, совершаемые под действием
внешних сил, называют вынужденными).
Уравнения движения для ограниченной жидкости отнюдь не
при всякой частоте имеют решение, удовлетворяющее соответ-
соответствующим граничным условиям. Такие решения существуют
лишь для ряда вполне определенных значении ио. Другими сло-
словами, в среде конечного объема могут происходить свободные
колебания лишь с вполне определенными частотами. Их назы-
называют частотами собственных колебаний, или собственными ча-
частотами жидкости в данном сосуде.
Конкретные значения собственных частот зависят от формы
и размеров сосуда. В каждом данном случае существует беско-

374	звук	гл. viii
нечный ряд возрастающих собственных частот. Нахождение их
требует конкретного исследования уравнения движения с соот-
соответствующими граничными условиями.
Что касается первой, т. е. наименьшей, из собственных частот,
то ее порядок величины очевиден непосредственно из соображе-
соображений размерности. Единственным, входящим в задачу парамет-
параметром с размерностью длины являются линейные размеры / тела.
Ясно поэтому, что соответствующая первой собственной частоте
длина волны Ai должна быть порядка величины /; порядок вели-
величины самой частоты ио\ определяется делением скорости звука
на \\. Таким образом,
Ai~/, uoi~c/l	F9.1)
Выясним характер движения при собственных колебаниях.
Если искать периодическое по времени решение волнового урав-
уравнения, скажем, для потенциала скорости, в виде ср = (ро(х, у, z) x
х e~lujt, то для (fQ будем иметь уравнение
Л<Л) + ^?>о = 0.	F9.2)
с2
В неограниченной среде, когда не надо учитывать никаких гра-
граничных условий, это уравнение обладает как вещественными,
так и комплексными решениями. В частности, оно имеет ре-
решение, пропорциональное е , приводящее к потенциалу вида
ip = const • ег(кг~^). Такое решение представляет собой волну,
распространяющуюся с определенной скоростью, или, как гово-
говорят, бегущую волну.
Но для среды конечного объема комплексные решения, во-
вообще говоря, не могут существовать. В этом можно убедиться
путем следующего рассуждения. Уравнение, которому удовлет-
удовлетворяет у?о, вещественно, и то же самое относится к граничным
условиям. Поэтому, если (ро(х, у, z) есть решение уравнений дви-
движения, то и комплексно сопряженное ср$ тоже есть решение. По-
Поскольку, с другой стороны, решение уравнений при заданных
граничных условиях, вообще говоря, однозначно г) (с точностью
до постоянного множителя), то должно быть ср^ = const • сро, где
const — некоторая комплексная постоянная, модуль которой ра-
равен единице. Таким образом, сро должно иметь вид
ср0 = f(x, у, z)e~ia
с вещественной функцией / и вещественной постоянной а. По-
Потенциал ср имеет, следовательно, вид (берем вещественную часть
от ipoe-^):
(р = /(ж, у, z) cos (out + а),	F9.3)
) Это может не иметь места в случае формы сосуда, обладающей высокой
симметрией, например, в случае шара.

§ 69	СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ	375
т. е. является произведением некоторой функции координат на
периодическую функцию времени.
Такое решение имеет характер, совершенно отличный от бе-
бегущей волны. В бегущей волне фазы kr — uot + а колебаний в
различных точках пространства в один и тот же момент време-
времени различны, будучи равными только в точках, удаленных друг
от друга на расстояние, равное длине волны. В волне же F9.3)
в каждый момент времени все точки тела колеблются в одной и
той же фазе (uot + а). Ни о каком распространении такой вол-
волны, очевидно, нельзя говорить. Такие волны называют стоячи-
стоячими. Таким образом, собственные колебания представляют собой
стоячие волны.
Рассмотрим плоскую стоячую звуковую волну, в которой все
величины являются функцией только от одной координаты, ска-
скажем, х (и от времени). Написав общее решение уравнения
в виде сро = a cos ( —х + /3), будем иметь
\ с	)
ю = a cos (uot + a) cos ( -х + /3).
V с
Надлежащим выбором начала координат и начала отсчета вре-
времени можно обратить а и /3 в нуль, так что будет
ip = a cos (uot) cos —x.	F9.4)
с
Для скорости и давления в волне имеем
дю
дх
v = —Z- = — a— cos uot sin —
д
р = — р—^- = pujsmuotcos — х.
dt	с
В точках х = 0, тгс/о;, 2тгс/о;, ... , удаленных друг от друга на
расстояние -кс/ио = А/2, скорость v всегда равна нулю: эти точки
называют узлами скорости. Посередине между ними (при х =
= тгс/Bо;), Зтгс/Bо;), ... ) расположены точки, в которых ампли-
амплитуда колебаний скорости со временем максимальна; эти точки
называют пучностями волны. Что же касается давления У, то
для него первые точки являются пучностями, а вторые — узла-
узлами. Таким образом, в стоячей плоской звуковой волне пучности
давления совпадают с узлами скорости, и обратно.
Интересным случаем собственных колебаний являются коле-
колебания газа, находящегося в сосуде, в котором имеется маленькое
отверстие (такой сосуд называют резонатором). В замкнутом со-
сосуде наименьшая из собственных частот, как мы знаем, — поряд-
порядка величины с//, где / — линейные размеры сосуда. При наличии

376	звук	гл. viii
же маленького отверстия появляется новый вид собственных ко-
колебаний со значительно меньшей частотой. Эти колебания свя-
связаны с тем, что если между газом внутри и вне сосуда появляет-
появляется разность давлений, то эта разность может выравниваться по-
посредством входа и выхода газа из сосуда наружу. Таким образом,
появляются колебания, сопровождающиеся обменом газа между
резонатором и внешней средой. Поскольку отверстие мало, то
этот обмен происходит медленно; поэтому период колебаний ве-
велик, а частота соответственно мала (см. задачу 2). Что касается
обычных колебаний, имеющихся в замкнутом сосуде, то их ча-
частоты под влиянием наличия малого отверстия практически не
меняются.
Задачи
1.	Определить собственные частоты звуковых колебаний жидкости в со-
сосуде, имеющем форму параллелепипеда.
Решение. Ищем решение уравнения F9.2) в виде
сро = const • cos qx cos ry cos sz,
причем q2 + r2 + s2 = uj2/с2. На стенках сосуда имеем условия:
dip
vx = — = 0 при х = О, а,
дх
н аналогично при у = О, Ь и z = 0, с, где а, 6, с — длины сторон паралле-
параллелепипеда. Отсюда находим q = ттг/а, г = птг/6, s = ртг/с, где m, n, р—
произвольные целые числа. Таким образом, собственные частоты равны
2	2	2
2	2 2 {ТП	П	V \
V а2 Ъ2 с2)
2.	К отверстию резонатора присоединена тонкая трубочка (сечения S,
длины /); определить собственную частоту колебаний.
Решение. Поскольку трубочка является тонкой, то при колебаниях,
сопровождающихся входом и выходом газа из резонатора, можно считать,
что заметной скоростью обладает только газ в трубочке, а скорость газа вну-
внутри сосуда практически равна нулю. Масса газа в трубочке есть Spl, а сила,
действующая на него, есть S(po — р) (р, ро—давления газа соответственно
внутри резонатора и во внешней среде); поэтому должно быть Spiv = S(p —
— Ро) (v — скорость газа в трубочке). С другой стороны, для производной
от давления по времени имеем р = с р, а уменьшение —р плотности га-
газа в резонаторе в единицу времени можно считать равным вытекающему в
единицу времени количеству газа Spv, деленному на объем V резонатора.
c2Sp
Таким образом, имеем р =	г>, откуда
2 о	2 о
С Dp.	CD,	ч
Р=	—V = - — (р-ро).
Это уравнение дает р — р0 = const • coscjo^, где собственная частота cjo равна
Эта частота мала по сравнению с c/L (L — линейные размеры сосуда), а
длина волны соответственно велика по сравнению с L.

§ 70	СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	377
При решении мы подразумевали, что линейная амплитуда колебаний
газа в трубочке мала по сравнению с ее длиной /. В противном случае ко-
колебания сопровождаются выходом из трубочки наружу заметной доли на-
находящегося в ней газа, и становится неприменимым использованное выше
линейное уравнение движения газа в трубочке.
§ 70. Сферические волны
Рассмотрим звуковую волну, в которой распределение плот-
плотности, скорости и т. д. зависит только от расстояния до некоторо-
некоторого центра, т. е. обладает сферической симметрией. Такая волна
называется сферической.
Определим общее решение волнового уравнения, описываю-
описывающее сферическую волну. Будем писать волновое уравнение, на-
например, для потенциала скорости:
Поскольку if есть функция только от расстояния г до центра (и
от времени ?), то, воспользовавшись выражением для оператора
Лапласа в сферических координатах, имеем
cfry	G0.1)
dt2 r2dr\ drJ	y J
Положив (p = /(r, t)/r, получим для функции /(г, t) уравнение
dt2	dr2 '
т. е. обычное волновое уравнение в одном измерении, в котором
роль координаты играет радиус г. Решение этого уравнения есть,
как мы знаем,
где /i, /2 — произвольные функции. Таким образом, общее реше-
решение уравнения G0.1) имеет вид
Первый член представляет собой расходящуюся волну, рас-
распространяющуюся во все стороны из начала координат. Второй
же член есть волна, сходящаяся к центру. В отличие от плоской
волны, амплитуда которой остается постоянной, в сферической
волне амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию
до центра. Интенсивность же волны, определяющаяся квадратом
амплитуды, обратно пропорциональна квадрату расстояния, как

378	звук	гл. viii
и должно было быть, поскольку полный поток энергии в волне
распределяется по поверхности, площадь которой растет пропор-
пропорционально г2.
Переменные части давления и плотности связаны с потенциа-
потенциалом через
и их распределение определяется формулами того же вида, что
и G0.2). Распределение же скорости (радиальной), определяю-
определяющейся градиентом потенциала, имеет вид
v
дг
Если в начале координат нет источника звука, то потенциал G0.2)
должен оставаться при г = 0 конечным. Для этого необходимо,
чтобы было fi(ct) = —/2(ct), т. е.
у, = f(ct-r)-f(ct + r)	G04)
г
(стоячая сферическая волна). Если же в начале координат на-
находится источник, то потенциал излучаемой им расходящейся
волны есть (р = f(ct — г)/г и не должен оставаться конечным
при г = 0, поскольку это решение вообще относится только к
области вне тела.
Монохроматическая стоячая сферическая волна имеет вид
= Ae-iu,tsinkr^	G05)
г
где к = ио/с. Расходящаяся же монохроматическая сферическая
волна дается выражением
Mkr-ut)
tp = A-	.	G0.6)
г
Полезно заметить, что это выражение удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению
А(р + k2(p = -АтгАе tuJt8(r),	G0.7)
в правой части которого стоит E-функция координат: 5(г) =
= S(x)S(y)S(z). Действительно, везде, кроме начала координат,
6(т) = 0, и мы возвращаемся к однородному уравнению G0.1).
Интегрируя же по объему малой сферы вокруг начала координат
(в этой области выражение G0.6) сводится к —e~iu3t), получим
V	г J
с обеих сторон —4тгАе~г^.
Рассмотрим сферическую расходящуюся волну, занимающую
в пространстве область в виде шарового слоя, позади которого

§ 70	СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	379
движение либо отсутствует вовсе, либо быстро затухает; такая
волна может возникнуть от источника, действовавшего в тече-
течение конечного интервала времени, или от некоторой начальной
области звукового возмущения (ср. конец § 72 и задачу 4 § 74).
Перед приходом волны в некоторую заданную точку простран-
пространства потенциал в ней ср = 0. После же ее прохождения движе-
движение снова должно затухнуть; это значит, что во всяком случае
должно стать ср = const. Но в сферической расходящейся волне
потенциал есть функция вида ср = f(cb — r)/r\ такая функция
может обратиться в постоянную, только если функция / обра-
обращается в нуль. Таким образом, потенциал должен обращаться в
нуль как до, так и после прохождения волны х) . Из этого обстоя-
обстоятельства можно вывести важное следствие, касающееся распре-
распределения сгущений и разрежений в сферической волне.
Изменение давления в волне связано с потенциалом соотно-
соотношением р1 = —о—. Ввиду сказанного выше ясно, что если проин-
dt
тегрировать р' по всему времени при заданном г, то мы получим
в результате нуль:
[ pfdt = O.	G0.8)
Это значит, что по мере прохождения сферической волны через
заданную точку пространства в этой точке будут наблюдаться
как сгущения (pf > 0), так и разрежения (pf < 0). В этом от-
отношении сферическая волна существенным образом отличается
от плоской, которая может состоять и из одних только сгущений
или разрежений.
Такая же картина будет наблюдаться также и при рассмотре-
рассмотрении хода изменения р' с расстоянием в заданный момент време-
времени; при этом вместо интеграла G0.8) равен нулю будет интеграл
Г rpfdr = 0.	G0.9)
о
Задачи
1. В начальный момент времени газ внутри сферического объема (ра-
(радиуса а) сжат так, что р = const = А; вне этого объема р = 0. Начальная
скорость равна нулю во всем пространстве. Определить последующее дви-
движение газа.
Решение. Начальные условия для потенциала ip(r, t) гласят:
<р(г, 0) = 0, ф(г, 0) = F(r),
) В противоположность плоской волне, после прохождения которой может
быть ср = const ф 0.

380	звук	гл. viii
где
F(r) = 0 при г > a, F(r) = —Ас / р при г < а.
Ищем ср в виде G0.4) и из начальных условий находим
Отсюда
/(-г) - /(г) = 0, /'(-г) - /'(г) = -F(r).
С
f'(r) = -f'(-r) = -f F(r).
2c
Наконец, подставив значение F(r), получаем для производной /'(<J) и для
самой функции /(?) следующий результат:
при|е|>а: /'@ = 0,	/@ = 0;
при|?|<а: /'@ = ^, /(О = ^«2-а2),
чем и определяется решение задачи. Рассмотрим точку с г > а, т. е. вне
области начального сжатия; для плотности р имеем здесь:
при t < (г — а)/с	р = 0;
при (г — а)/с < t < (г + а)/с р =
2
;
2 г
при t > (г + а)/с	/с/ = 0.
Волна проходит через данную точку в течение промежутка времени, равно-
равного 2а/с] другими словами, волна имеет форму шарового слоя толщины 2а,
заключенного в момент t между сферами радиусов ct — а и ct + а. Внутри
этого слоя плотность меняется по линейному закону, причем в наружной
его части (г > ct) газ сжат (р > 0), а во внутренней (г < ct) — разрежен
(р < о).
2. Определить собственные частоты центрально-симметрических звуко-
звуковых колебаний в сферическом сосуде.
Решение. Из граничного условия — = 0 при г = а (а — радиус
дг
сосуда, ср — из G0.5)) получим уравнение
tg ka = ка,
определяющее собственные частоты. Первая (наименьшая) частота равна
cji = 4,49с/а.
§ 71. Цилиндрические волны
Рассмотрим теперь волну, в которой распределение всех ве-
величин однородно вдоль некоторого одного направления (которое
мы выберем в качестве оси z) и обладает полной аксиальной сим-
симметрией вокруг этой оси. В такой, как говорят, цилиндрической
волне имеем (р = <р(г, ?), где буквой R обозначается расстояние
до оси z. Определим общий вид такого осесимметрического реше-
решения волнового уравнения. Это можно сделать, исходя из общего
вида сферически симметричного решения G0.2). Расстояние R

§ 71	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	381
связано с г соотношением г2 = R? + ?2, так что <р, определяе-
определяемое формулой G0.2), зависит при заданных t и R также и от z.
Функцию, зависящую только от R и t и в то же время удовлет-
удовлетворяющую волновому уравнению, можно получить интегриро-
интегрированием выражения G0.2) по всем значениям z от —оо до +оо,
или, что то же, от 0 до оо. Перейдем от интегрирования по z к
интегрированию по г:
	 Г~2 7у2 л 	 r dr
при изменении z от 0 до оо г меняется в пределах между R
и оо. Поэтому находим окончательно общий вид осесимметрич-
ного решения:
оо	оо
R	R
где /i, /2 — произвольные функции. Первый член представляет
собой расходящуюся, а второй — сходящуюся цилиндрическую
волну.
Производя в этих интегралах замену переменных ct =Ь г = ?,
перепишем формулу G1.1) в виде
ct—R	00
[ /i(g)g 1 / MO*	GL2)
-oo	ct+R
Мы видим, что значение потенциала в момент времени t (в точ-
точке R) в расходящейся цилиндрической волне определяется значе-
значениями функции fi(t) в течение всего времени от — оо до t — Rjc\
аналогично в сходящейся волне существенны значения функции
/г(^) в течение всего времени от t + R/c до оо.
Как и в сферическом случае, стоячие цилиндрические волны
получаются при /i(?) = —/2@* Можно показать, что стоячая
цилиндрическая волна может быть представлена также и в сле-
следующем виде:
ct+R
V=	, F(Ode ,	G1-3)
ct-R
где F(?) — снова произвольная функция.
Выведем выражение для потенциала монохроматической ци-
цилиндрической волны. Волновое уравнение для потенциала <р(Д, t)
в цилиндрических координатах имеет вид
IlJL(r^) - l^V =0
RdR\ OR/ с2 dt2

382	звук	гл. viii
В монохроматической волне ср = e~lujt f(R) и для функции f(R)
получаем уравнение
Это — уравнение функций Бесселя нулевого порядка. В стоячей
цилиндрической волне ср должно оставаться конечным при
R = 0; соответствующим решением является Jo(fci?), где Jo—
функция Бесселя первого рода. Таким образом, в стоячей ци-
цилиндрической волне
G1.4)
При R = 0 функция Jq обращается в единицу, так что ампли-
амплитуда волны стремится к конечной величине А. На больших же
расстояниях R функцию Jo можно заменить ее известным асимп-
асимптотическим выражением, в результате чего волна приобретет вид
Решение же, соответствующее монохроматической бегущей
расходящейся волне, есть
ер = Ae~iu3tH§\kR),	G1.6)
где Hq — функция Ганкеля. При R —>• 0 это выражение имеет
логарифмическую особенность:
ф	G1.7)
тг
На больших же расстояниях имеет место асимптотическая фор-
формула
А JI™i>[i(kR-wt-K/4)]^	G1.8)
у тг	VkR
Мы видим, что амплитуда цилиндрической волны падает (на
больших расстояниях) обратно пропорционально корню из рас-
расстояния до оси, а интенсивность соответственно, как 1/R. Этот
результат естествен, поскольку по мере распространения волны
полный поток энергии в ней распределяется по цилиндрической
поверхности, площадь которой растет пропорционально R.
Цилиндрическая расходящаяся волна существенно отличает-
отличается от сферической или плоской в том отношении, что она может
иметь передний фронт, но не может иметь заднего фронта: после
того как звуковое возмущение дойдет до заданной точки про-
пространства, оно уже не прекращается в ней, лишь сравнительно

§ 72	ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ	383
медленно затухая асимптотически при t —> оо. Пусть функция
/i(?) в первом члене в G1.2) отлична от нуля лишь в некото-
некотором конечном интервале значений ?i ^ ? ^ ^- Тогда в моменты
времени ct > R + ?2 будем иметь
Ь
if = /	vs/
При t —>• 00 это выражение стремится к пулю по закону
т. е. обратно пропорционально времени.
Таким образом, потенциал расходящейся цилиндрической
волны, возникшей от действовавшего в течение конечного време-
времени источника, хотя и медленно, но обращается в нуль при t —>> 00.
Это обстоятельство приводит, как и в сферическом случае, к ра-
равенству нулю интеграла
/ pfdt = O.	G1.9)
Поэтому цилиндрическая волна, как и сферическая, непременно
должна содержать в себе как сгущения, так и разрежения.
§ 72. Общее решение волнового уравнения
Выведем теперь общую формулу, определяющую решение
волнового уравнения в неограниченной жидкости по заданным
начальным условиям, т. е. определяющую распределение скоро-
скоростей и давления в жидкости в произвольный момент времени по
их распределению в начальный момент.
Предварительно получим некоторые вспомогательные фор-
формулы. Пусть будут <р(ж, у, z, t) и ф(х, у, z, t)— два каких-либо
решения волнового уравнения, обращающиеся на бесконечности
в нуль. Рассмотрим интеграл
1= [(<рф-фф)<пг,
взятый по всему пространству, и вычислим его производную по
времени. Помня, что ср и ф удовлетворяют уравнениям
А(р - с~2ф = О, А^ - с~2ф = О,

384	звук	гл. viii
имеем
-jt = J (<РФ - ФФ) dV =
= с2 [((рАф - фАср) dV = с2 Г div (ср\7ф - ф\7(р) dV.
Последний интеграл может быть преобразован в интеграл по бес-
бесконечно удаленной поверхности и потому обращается в нуль. Та-
Таким образом, мы приходим к результату, что dl/dt = 0, т. е. /
есть не зависящая от времени постоянная:
/ = Г(срф - фф) dV = const.	G2.1)
Рассмотрим, далее, частное решение волнового уравнения:
ф = S[r-c(to-t)]^	G2<2)
г
где г — расстояние от некоторой заданной точки О пространства,
to—некоторый определенный момент времени, а 5 обозначает
E-функцию. Вычислим интеграл от ф по пространству:
оо	оо
I фdV = Г Атгфг2 dr = 4тг I г5[г - c(t0 - ?)] dr.
о	о
Аргумент у E-функции обращается в нуль при г = c(to — t)
(предполагается, что to > t). Поэтому в силу свойств E-функции
имеем
).	G2.3)
Дифференцируя это равенство по t, получаем
G2.4)
Подставим теперь в интеграл G2.1) в качестве ф функцию
G2.2), а под ср будем понимать искомое общее решение волнового
уравнения. Согласно G2.1) / есть величина постоянная; на этом
основании напишем выражения для / в моменты времени t = 0 и
t = to и приравняем их друг другу. При t = to обе функции фиф
отличны от нуля только при г = 0. Поэтому при интегрировании
можно положить г в ср и ф равным нулю (т. е. взять значения в
точке О) и вынести ср и ф из-под знака интеграла:
/ = <р(ж, у, z, t0) j ipdV - ф(х, у, z, t0) J ф dV
(ж, у, ? —координаты точки О). Согласно G2.3) и G2.4) второй
член здесь обращается при t = to в нуль, а первый дает
/ = -4:7гар(х, у, z, t0).

§ 72
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
385
Вычислим теперь / при t = 0. Написав ф = —- = — —— и
dt	dt0
обозначая через щ значение функции (р при t = 0, имеем
т	f ( dib
1 = — / I (ро	 -
J V dto
Элемент объема запишем в виде dV = r2 dr do (do — элемент те-
телесного угла), тогда в силу свойств E-функции получаем
dto J
dV = ~
t=0
/ ^о
t=0
dV.
/ фоф dV = / срог5(г — cto) dr do = cto / (
do
r=cto
(и аналогично для интеграла от фоф). Таким образом,
= --г— (cto / ^o	do) - cto / Фо
dto \ J r=ct0 J	J
r=cto
do.
о
Наконец, приравнивая оба выражения для / и опуская индекс
нуль у to, получаем окончательно:
ср(х, у, z,t) = ^-\—-(t I сро бЫ+?/<ро do]. G2.5)
4тг I dto \ J	r—ct J	J	r—ct )
Эта формула Пуассона определяет распределение потенциала
в пространстве в любой момент времени, если задано распределе-
распределение потенциала и его производной по времени (что эквивалентно
заданию распределения скорости и давления) в некоторый на-
начальный момент времени. Мы видим, что зна-
значение потенциала в момент времени t опреде-
определяется значениями (риф, которые они имели
в момент времени t = 0 на поверхности сферы
с радиусом г = ct и центром в точке О.
Предположим, что в начальный момент
времени (риф были отличны от нуля только
в некоторой конечной области пространства,
ограниченной замкнутой поверхностью С
(рис. 44). Рассмотрим значения, которые бу-
будет принимать ср в последующие моменты в некоторой точке О.
Эти значения определяются значениями <р, ф на расстоянии г =
= ct от точки О. Но сферы радиусов ct проходят через область
внутри поверхности только при d/c ^ t ^ D/c, где d и D — наи-
наименьшее и наибольшее расстояния от точки О до поверхности С.
В другие моменты времени подынтегральные выражения в G2.5)
обратятся в нуль. Таким образом, движение в точке О начнется
в момент t = d/c и закончится в момент t = D/c. Распростра-
Распространяющаяся из области С волна имеет два фронта: передний и зад-
задний. Движение в жидкости начинается, когда к данной ее точке
подходит поверхность переднего фронта, на заднем же фронте
колебавшиеся ранее точки приходят в состояние покоя.
Рис. 44
13 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

386	звук	гл. viii
Задача
Вывести формулу, определяющую потенциал по начальным условиям
для волны, зависящей только от двух координат: хну.
Решение. Элемент поверхности сферы радиуса г = ct можно, с од-
одной стороны, написать в виде df = c2t2do, где do — элемент телесного угла.
С другой стороны, проекция df на плоскость ху равна
ct
где р есть расстояние от центра шара до точки ж, у. Сравнив оба выражения,
можно написать
.	dxdy
do =
Обозначая координаты точки наблюдения через ж, у, а координаты перемен-
переменной точки в области интегрирования через ?, 77, мы можем, следовательно,
в рассматриваемом случае заменить do в общей формуле G2.5) на
d^d
удвоив при этом получающееся выражение, поскольку dxdy представляет
собой проекцию двух элементов поверхности сферы, находящихся по разные
стороны от плоскости ху. Таким образом, окончательно получаем
: +
J - (х - О2 ~ (У ~ ЯJ
J_ /7"
2ncJJ
где интегрирование производится по поверхности круга с центром в точке О
и радиусом г = ct. Если в начальный момент <^о, фо отличны от нуля только
в конечной области С плоскости ху (точнее — в некоторой цилиндрической
области пространства с образующими, параллельными оси z), то колебания
в точке О (рис. 44) начнутся в момент времени t = d/c, где d — ближайшее
расстояние от О до этой области. Но в дальнейшем круги радиуса ct > d с
центром в точке О всегда будут заключать в себе часть или всю площадь
области С, и (р будет стремиться к нулю только асимптотически. Таким
образом, в отличие от «трехмерных» волн рассмотренные здесь двумерные
волны имеют передний, но не имеют заднего фронта (ср. § 71).
§ 73. Боковая волна
Отражение сферической волны от границы раздела между
двумя средами представляет особый интерес ввиду того, что оно
может сопровождаться своеобразным явлением возникновения
боковой волны.
Пусть Q (рис. 45)—источник сферической звуковой волны,
находящийся (в первой среде) на расстоянии / от плоской неогра-
неограниченной поверхности раздела между двумя средами 1 ж 2. Рас-
Расстояние / произвольно и отнюдь не должно быть большим по

§ 73
БОКОВАЯ ВОЛНА
387
сравнению с длиной волны А. Плотности двух сред и скорости
звука в них пусть будут р\, р2 и с\, С2.
Прямая,
Отраженная волна \волна
Ci>C2
Прямая
Отраженная волна \волна
Ci<C2
Q
9
Преломленная
волна
Преломленная
волна
Рис. 45
Предположим сначала, что ci > С2- Тогда на больших (по
сравнению с А) расстояниях от источника движение в первой
среде будет представлять собой совокупность двух расходящих-
расходящихся волн. Одна из них есть сферическая волна, непосредственно
испускаемая источником [прямая волна)] ее потенциал
@) ег
> =
G3.1)
Q
где г — расстояние от источника, а амплитуду мы условно пола-
полагаем равной единице; множители e~iujt во всех выражениях мы
будем в этом параграфе для краткости опускать.
Вторая же — отраженная — волна имеет волновые поверхно-
поверхности, представляющие собой сферы с центром в точке Qf (зеркаль-
(зеркальное отображение источника Q в плоскости раздела); это есть гео-
геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же промежу-
промежуток времени доходят лучи, одновремен-
одновременно вышедшие из точки Q и отразившие-
отразившиеся по законам геометрической акустики
от поверхности раздела (на рис. 46 луч
QAP с углами падения и отражения в).
Амплитуда отраженной волны убывает
обратно пропорционально расстоянию г1
от точки Q1 (последнюю называют ино- 2
гда мнимым источником), но зависит, Q
кроме того, и от угла в — так, как если
бы каждый луч отражался с коэффи-
коэффициентом, соответствующим отражению плоской волны с данным
углом падения в. Другими словами, на больших расстояниях от-
отраженная волна описывается формулой
Рис. 46
/ е
Ч>\ = -
1кг'
cos в — pi л/cf — el sin2 в
cos в + р\ ус\ — с2, sin2 в
G3.2)
13*

388	звук	гл. viii
(ср. формулу F6.4) для коэффициента отражения плоской вол-
волны). Эта формула, справедливость которой (для больших г') са-
сама по себе естественна, может быть строго выведена указанным
ниже способом.
Более интересен случай, когда
Здесь наряду с обычной отраженной волной G3.2) в первой среде
появляется еще одна волна, основные свойства которой можно
усмотреть уже из следующих простых соображений.
Обычный отраженный луч QAP (рис. 46) удовлетворяет
принципу Ферма в том смысле, что это есть путь наиболее бы-
быстрого пробега из точки Q в Р из всех путей, лежащих целиком в
среде 1 и испытывающих однократное отражение. Но принципу
Ферма удовлетворяет (при с\ < c<i) и другой путь: луч падает на
границу под углом полного внутреннего отражения 6q (sin#o =
= С1/С2), затем распространяется по среде 2 вдоль границы раз-
раздела и, наконец, снова переходит в среду 1 под углом 6$ {QBCP
на рис. 46); очевидно, что должно быть в > 6q. Легко видеть,
что такой путь тоже обладает экстремальным свойством: время
пробега по нему меньше, чем по любому другому пути из Q в Р,
частично проходящему во второй среде.
Геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же
момент времени доходят лучи, одновременно вышедшие из Q
вдоль пути QB и затем перешедшие снова в среду 1 в различных
точках С, есть, очевидно, коническая поверхность, образующие
которой перпендикулярны к прямым, проведенным из «мнимого
источника» Q' под углом 6q.
Таким образом, если с\ < С2, то наряду с обычной отражен-
отраженной волной со сферическим фронтом в первой среде будет рас-
распространяться еще одна волна с коническим фронтом, простира-
простирающимся от плоскости раздела (на котором он смыкается с фрон-
фронтом преломленной волны во второй среде) до касания фронта
сферической отраженной волны (последнее происходит по линии
пересечения с конусом, с углом раствора 6q и осью вдоль линии
QQ' см. рис. 45). Эту коническую волну называют боковой.
Путем простого подсчета легко убедиться в том, что время
пробега вдоль пути QBCP (рис. 46) меньше, чем время пробе-
пробега по пути QAP\ ведущему в ту же точку наблюдения Р. Это
значит, что звуковой сигнал из источника Q доходит до точки
наблюдения Р сначала в виде боковой волны, и лишь затем в
эту точку приходит обычная отраженная волна.
Следует иметь в виду, что боковая волна представляет собой
эффект волновой акустики, несмотря на то, что она допускает
изложенное наглядное истолкование с помощью представлений
геометрической акустики. Мы увидим ниже, что амплитуда бо-
боковой волны обращается в нуль в пределе А —>• 0.

§ 73	БОКОВАЯ ВОЛНА	389
Переходим теперь к количественному расчету. Распростране-
Распространение монохроматической звуковой волны, создаваемой точечным
источником, описывается уравнением G0.7):
Atp + k2tp = -4тг?(г - 1),	G3.3)
где к = со/с, а 1 — радиус-вектор источника. Коэффициент при
E-функции выбран таким, чтобы прямая волна имела вид G3.1).
Ниже мы выбираем систему координат с плоскостью ху в плос-
плоскости раздела и осью z вдоль QQ'\ первой среде соответствуют
z > 0. На границе раздела должны быть непрерывными дав-
давление и ^-компонента скорости, или, что то же, величины рср и
dip/dz.
Следуя общему методу Фурье, имеем решение в виде
V = ~Ь II ^(г)ег{*хХ+*уУ) dxx dxy,	G3.4)
dxdy.	G3.5)
•>=//
Из симметрии в плоскости ху заранее очевидно, что (р^ может
зависеть только от абсолютной величины и2 = х^ + х^. Восполь-
Воспользовавшись известной формулой
2тг
Jo {и) = — / cos (и sin ip) dcp,
2тг J
0
можно поэтому представить G3.4) в виде
сю
= ±- (
Z7T J
G3.6)
где R = у ж2 + у2 — цилиндрическая координата (расстояние от
оси z). Для дальнейших вычислений будет удобно преобразовать
эту формулу к виду, в котором интеграл берется в пределах от
—оо до +оо, выразив подынтегральное выражение через функ-
функцию Ганкеля щ (и). Последняя имеет, как известно, логариф-
логарифмическую особенность в точке и = 0; если условиться переходить
от положительных к отрицательным вещественным значениям и,
обходя (в плоскости комплексного переменного и) точку и = 0
сверху, то будет справедливо соотношение
H<i\-u) = Н^(иеш) = Н^(и) - 2J0(«).

390	звук	гл. viii
С его помощью можно переписать G3.6) в виде
1 Г	A)
4тг J
— оо
Из уравнения G3.3) находим для функции ср^ уравнение
—z^ - х — — ((^ = — 4:7ro{z — и.	Gо.о)
с/^2 V	с2 /
E-функцию в правой части уравнения можно исключить, нало-
наложив на функцию tpx(z) (удовлетворяющую однородному урав-
уравнению) граничные условия при z = I:
-о
= -4тг.	G3.9)
Граничные же условия при z = 0 гласят:
I —I— 0	n	dtp^c	f\	/^7O 1 ГЛ\
pip^l = U, —— = (J.	Go.lUJ
Ищем решение в виде
ур^ = Ae~^lZ	при z > I,
^ + Се^1^ при / > ^ > 0,	G3.11)
при 0 > ^.
Здесь
li\ = я2 — к\, 1^2 = м1 — Щ
(к\ = co/cij k>2 = cj/c2), причем надо полагать:
|i = — гу А;2 — х2 при к < к;
первое необходимо для того, чтобы искомое ср не возрастало на
бесконечности, а второе —чтобы ср представляло собой расходя-
расходящуюся волну. Условия G3.9) и G3.10) дают четыре уравнения,
определяющие коэффициенты А, Б, G, D. Простое вычисление
приводит к следующим выражениям:
Plp2

§ 73
БОКОВАЯ ВОЛНА
391
При р2 = pi, C2 = с\ (т. е. если бы все пространство было
заполнено одной средой) В обращается в нуль и А = Ce2fJjl1; со-
соответствующий член в (р представляет собой, очевидно, прямую
волну G3.1); поэтому интересующая нас отраженная волна есть
—
4тг
+ ОО
G3.14)
В этом выражении надо еще уточнить путь интегрирования.
Особая точка ус = 0 обходится (в плоскости комплексного х),
как уже указывалось, сверху. Кроме того, подынтегральное вы-
выражение имеет особые
точки (точки разветвле-
разветвления) ус = ±&х, =Ь&2, в ко-
которых \i\ или \i2 обраща-
обращаются в нуль. В соответ- _fc
ствии с условиями G3.10)
точки +&]_, -\-к2 должны
обходиться снизу, а точ-
точки —&i, — к2 сверху.
Произведем исследова-
исследование полученного выражении на больших расстояниях от источ-
источника. Заменяя функцию Ганкеля ее известным асимптотическим
выражением, получим
Рис
/ = [
J
С
\2mRJ
На рис. 47 изображен путь интегрирования С для случая с\ > c2.
Интеграл может быть вычислен с помощью известного метода
перевала. Показатель
имеет экстремум в точке, в которой
ус _ R _ /sin(9
y/kf - К2	Z + l	Г'COS в
т. е. ус = fcisin#, где в — угол падения (см. рис. 45). Переходя
к пути интегрирования С7, пересекающему эту точку под углом
тг/4 к оси абсцисс, получим формулу G3.2).
В случае же с\ < с2 (т. е. к\ > к2) точка ус = к\ sin в лежит
между точками к2 и fci, если sin в > к2/к\ = с\/с2 = sin#o5 T- е.
если в > #о (см- рис. 45). В этом случае контур С1 должен содер-
содержать еще петлю вокруг точки k2i и к обычной отраженной волне
G3.2) добавляется волна у//, определяемая интегралом G3.15),

392	звук	гл. viii
взятым по этой петле (назовем ее С'1', рис. 48); это и есть боко-
боковая волна. Этот интеграл легко вычислить, если точка к\ sin в не
слишком близка к ^, т. е. если угол в не слишком близок к углу
полного внутреннего от-
отражения #о г) •
Вблизи точки ус = &2
Ц2 мало; разлагаем пред-
экспоненциальный мно-
житель в подынтеграль-
\	ном выражении в G3.15)
	с' по степеням \i2- Нулевой
Рис. 48	член разложения вообще
не обладает особенностью при х = А;2 и его интеграл по С" обра-
обращается в нуль. Поэтому имеем
= - [ЩР±(Л_\1'2 exp[-/iiB + /)+ixfl]dx. G3.16)
J \i\p2 \2тггг/
\i\p2
С"
Разлагая показатель по степеням н — къ и интегрируя по верти-
вертикальной петле С'1\ получим после простого вычисления следую-
следующее выражение для потенциала боковой волны
// _ 2ipik2 exp [ikir cos (в0 - в)]	/^о i у\
В согласии со сказанным выше волновые поверхности пред-
представляют собой конусы
г' cos (в — 6q) = i?sin#o + {z + l) cos #o = const.
Вдоль заданного направления амплитуда волны убывает обратно
пропорционально квадрату расстояния г'. Мы видим также, что
эта волна исчезает в предельном случае А —>> 0. При в —>> #о вы-
выражение G3.17) становится неприменимым; в действительности
в этой области амплитуда боковой волны убывает с расстоянием
как г7/4.
§ 74. Излучение звука
Колеблющееся в жидкости тело производит вокруг себя пе-
периодическое сжатие и разрежение жидкости и таким образом
приводит к возникновению звуковых волн. Источником энергии,
уносимой этими волнами, является кинетическая энергия дви-
) Исследование боковой волны во всей области углов в см. в кн.: Брехов-
ских Л. II ЖТФ. 1948. Т. 18. С. 455. Там же дан следующий член разложе-
разложения обычной отраженной волны по степеням X/R] отметим здесь, что для уг-
углов 9, близких к во (в случае с\ < сг), отношение поправочного члена к
основному убывает с расстояниями как (А/ЛI/4, а не как X/R.

§ 74	ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА	393
жущегося тела. Таким образом, можно говорить об излучении
звука колеблющимися телами.
Ниже будет везде предполагаться, что скорость и колеблю-
колеблющегося тела мала по сравнению со скоростью звука. Поскольку
и~ аио (где а — линейная амплитуда колебаний тела), то это зна-
значит, что а <^\ х) .
В общем случае произвольно колеблющегося тела произволь-
произвольной формы задача об излучении звуковых волн должна решать-
решаться следующим образом. Выберем в качестве основной величины
потенциал скорости ср. Он удовлетворяет волновому уравнению
На поверхности тела нормальная составляющая скорости жид-
жидкости должна быть равна соответствующей компоненте скорости
и тела:
? = «»•	G4-2)
дп
На больших же расстояниях от тела волна должна переходить
в расходящуюся сферическую волну. Решение уравнения G4.1),
удовлетворяющее этим граничным условиям и условию на бес-
бесконечности, определяет излучаемую телом звуковую волну.
Рассмотрим более подробно два предельных случая. Предпо-
Предположим сначала, что частота колебаний тела настолько велика,
что длина излучаемой волны очень мала по сравнению с разме-
размерами / тела:
А</.	G4.3)
В таком случае можно разделить поверхность тела на участки,
размеры которых, с одной стороны, настолько малы, что их мож-
можно приближенно считать плоскими, но, с другой стороны, все
же велики по сравнению с длиной волны. Тогда можно счи-
считать, что каждый такой участок излучает при своем движении
плоскую волну, скорость жидкости в которой равна просто нор-
нормальной компоненте ип скорости данного участка поверхности.
Но средний поток энергии в плоской волне равен (см. § 65)
cpv2, где v — скорость жидкости в волне. Подставляя v = ип и
интегрируя по всей поверхности тела, приходим к результату,
что средняя излучаемая телом в единицу времени в виде зву-
звуковых волн энергия, т. е. полная интенсивность излучаемого
х) Амплитуда колебаний предполагается, вообще говоря, малой также и по
сравнению с размерами тела, в противном случае движение вблизи тела не
будет потенциальным (ср. § 9). Это условие не обязательно лишь для чисто
пульсационных колебаний, для которых используемое ниже решение G4.7)
является по существу следствием уже непосредственно уравнения непрерыв-
непрерывности.

394	звук	гл. viii
звука, есть
Jdf.	G4.4)
Она не зависит от частоты колебаний (при заданной амплитуде
скорости).
Рассмотрим теперь противоположный предельный случай,
когда длина излучаемой волны велика по сравнению с разме-
размерами тела:
А>/.	G4.5)
Тогда вблизи тела (на расстояниях, малых по сравнению с дли-
длиной волны) в общем уравнении G4.1) можно пренебречь членом
с~2—-. Действительно, этот член —порядка величины ш2(р/с2 ~
dt2
~ с^/Л , между тем как вторые производные по координатам в
рассматриваемой области ~(р/12.
Таким образом, вблизи тела движение определяется уравне-
уравнением Лапласа А(р = 0. Но это — уравнение, определяющее по-
потенциальное движение несжимаемой жидкости. Следовательно,
вблизи тела жидкость движется в рассматриваемом случае как
несжимаемая. Собственно звуковые волны, т. е. волны сжатия и
разрежения, возникают лишь на больших расстояниях от тела.
На расстояниях, порядка размеров тела и меньших, искомое
решение уравнения Аср = 0 не может быть написано в общем
виде и зависит от конкретной формы колеблющегося тела. Для
расстояний же, больших по сравнению с /, но малых по срав-
сравнению с А (так что уравнение Аср = 0 еще применимо), можно
найти общий вид решения, воспользовавшись тем, что ср должно
убывать с увеличением расстояния. С такими решениями урав-
уравнения Лапласа нам уже приходилось иметь дело в § 11. Как и
там, пишем общий вид решения в форме
ip = -- + AV-	G4.6)
г	г
(г — расстояние до начала координат, выбранного где-нибудь
внутри тела). При этом, конечно, существенно, что расстояния,
о которых идет речь, все же велики по сравнению с размерами
тела. Только по этой причине можно ограничиться в ср членами,
наименее быстро убывающими с ростом г. Мы оставляем в G4.6)
оба написанных члена, имея в виду, что первый член не во всех
случаях присутствует (см. ниже).
Выясним, в каких случаях этот член —а/г отличен от нуля.
В § 11 было выяснено, что потенциал —а/г приводит к наличию
отличного от нуля потока жидкости через поверхность, окружа-
окружающую тело; этот поток равен Атгра. Но в несжимаемой жидкости
такой поток может иметь место только за счет изменения общего

§ 74	ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА	395
объема жидкости, заключенной внутри замкнутой поверхности.
Другими словами, должно происходить изменение объема тела,
что и будет приводить к вытеснению жидкости из рассматривае-
рассматриваемого объема пространства или, наоборот, к «засасыванию» жид-
жидкости в него. Таким образом, первый член в G4.6) присутствует
в тех случаях, когда излучающее тело производит пульсации,
сопровождающиеся изменением его объема.
Предположим, что это имеет место, и определим полную ин-
интенсивность излучаемого звука. Объем 4тга жидкости, протекаю-
протекающей через замкнутую поверхность, должен быть равен измене-
изменению объема V тела в единицу времени, т. е. производной dV/dt
(объем V является заданной функцией времени):
4тга = V.
Таким образом, на расстояниях г, удовлетворяющих условию
/ <С г <С А, движение жидкости описывается функцией
р	А
4тгг
С другой стороны, на расстояниях г ^> А (в волновой зоне) (р
должно представлять расходящуюся сферическую волну, т. е.
иметь вид
Д^7?).	G47)
г
Поэтому мы приходим к результату, что излучаемая волна имеет
на всех расстояниях (больших по сравнению с /) вид
^ЬМ	G4.8)
4тгг
получающийся заменой в V(t) аргумента t на t — г/с.
Скорость v = grad (р направлена в каждой точке по радиусу-
вектору и по величине равна v = dip/dr. При дифференцирова-
дифференцировании G4.8) надо (для расстояний г^> А) брать производную толь-
только от числителя; дифференцирование знаменателя привело бы
к члену высшего порядка по 1/г, которым следует пренебречь.
Поскольку
с)	с \ с
то получаем (п — единичный вектор в направлении г):
v = ?(ЫМП.	G4.9)
4тгсг
Интенсивность излучения, определяющаяся квадратом ско-
скорости, оказывается здесь не зависящей от направления излуче-
излучения, т. е. излучение симметрично по всем направлениям. Среднее

396	звук	гл. viii
значение полной излучаемой в единицу времени энергии есть
где интегрирование производится по замкнутой поверхности во-
вокруг начала координат. Выбирая в качестве этой поверхности
сферу радиуса г и замечая, что подынтегральное выражение за-
зависит только от расстояния до центра, получаем окончательно:
1=^-.	G4.10)
4тгс	V	J
Это —полная интенсивность излучаемого звука. Мы видим, что
она определяется квадратом второй производной по времени от
объема тела.
Если тело совершает пульсационные колебания по гармониче-
гармоническому закону с частотой о;, то вторая производная от объема по
времени пропорциональна частоте и амплитуде скорости колеба-
колебаний; средний же ее квадрат пропорционален квадрату частоты.
Таким образом, интенсивность излучения будет пропорциональ-
пропорциональна квадрату частоты при заданном значении амплитуды скоро-
скорости точек поверхности тела. При заданной же амплитуде самих
колебаний амплитуда скорости в свою очередь пропорциональ-
пропорциональна частоте, так что интенсивность излучения будет пропорцио-
пропорциональна а;4.
Рассмотрим теперь излучение звука телом, колеблющимся
без изменения объема. Тогда в G4.6) остается только второй
член, который мы напишем в виде
Как и в предыдущем случае, заключаем, что общий вид решения
на всех расстояниях г ^> I есть
То, что это выражение действительно является решением волно-
волнового уравнения, видно из того, что функция А(? —г/с)/г удовле-
удовлетворяет этому уравнению, а потому удовлетворяют ему и про-
производные указанной функции по координатам. Дифференцируя
опять только числитель, получаем (для расстояний г ^> А):
При вычислении скорости v = Vtp снова надо дифференциро-
дифференцировать только А. Поэтому имеем согласно известным из векторного

§ 74	ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА	397
анализа правилам дифференцирования функций от скалярного
аргумента:
cAr	\ с/
и, подставляя V(t — г/с) = —\7г/с = — n/с, получаем оконча-
окончательно:
v = -п(пА).	G4.12)
c2r v 7
Интенсивность излучения будет теперь пропорциональна квад-
квадрату косинуса угла между направлением излучения (направле-
(направление п) и вектором А (такое излучение называют дипольным).
Полное же излучение равно интегралу
/ = —
с3
Опять выбираем в качестве поверхности интегрирования сферу
радиуса г, причем введем сферические координаты с полярной
осью вдоль вектора А. Простое интегрирование приводит к окон-
окончательной формуле для полного излучения в единицу времени:
/А.	G4.13)
Зс3	V	J
Компоненты вектора А являются линейными функциями ком-
компонент скорости и тела (см. § 11). Таким образом, интенсивность
излучения является здесь квадратичной функцией вторых про-
производных от компонент скорости тела по времени.
Если тело совершает гармоническое колебательное движение
с частотой о;, то, подобно предыдущему случаю, заключаем, что
интенсивность излучения пропорциональна о;4 при заданном зна-
значении амплитуды скорости. При заданной же линейной ампли-
амплитуде колебаний тела амплитуда скорости сама пропорциональна
частоте, и потому излучение пропорционально а;6.
Аналогичным образом решается вопрос об излучении цилинд-
цилиндрических звуковых волн пульсирующим или колеблющимся пер-
перпендикулярно к своей оси цилиндром произвольного сечения.
Выпишем здесь соответствующие формулы, имея в виду их даль-
дальнейшие применения.
Рассмотрим сначала пульсационные малые колебания цилин-
цилиндра, и пусть S = S(t) есть переменная площадь его сечения. На
расстояниях г от оси цилиндра, таких, что / <С г <С А (/ — попе-
поперечные размеры цилиндра), получим аналогично G4.8)
^	G4.14)
где /(?) — функция времени (коэффициент при In/г выбран так,
чтобы получить правильное значение потока жидкости через ко-

398	звук	гл. viii
аксиальную цилиндрическую поверхность). В соответствии с
формулой для потенциала расходящейся цилиндрической волны
(первый член формулы G1.2)) имеем теперь, что на всех рассто-
расстояниях г ^> / потенциал определяется выражением
Г- с Т , т"	G4-15)
— СЮ
При г —>> 0 главный член этого выражения совпадает с G4.14),
причем автоматически определится также и функция f(t) в по-
последнем (предполагаем, что при t —>• — оо производная S(t) до-
достаточно быстро обращается в нуль). При очень же больших зна-
значениях г (в волновой зоне), основную роль в интеграле G4.15)
играет область значений t — tf ~ г/с, поэтому в знаменателе
подынтегрального выражения можно положить:
и мы получим
t-r/c
2тгл/2г
J Jc(t-t')-r'
Наконец, скорость v = dip/дг] для осуществления дифферен-
дифференцирования удобно сделать в интеграле подстановку t—t'—r/с = ?:
о
после чего пределы интегрирования не будут содержать г. Мно-
Множитель г/2 перед интегралом не дифференцируется, так как
это дало бы член более высокого порядка по 1/г. Производя диф-
дифференцирование под знаком интеграла и перейдя затем обратно
к переменной ?7, получим
V =
2тгл/2г
t-r/c
Г S{t')dt'
J Jc(t -t')-
Интенсивность излучения определится произведением 2тгг/эсг>2.
Обратим внимание на то, что в отличие от сферического случая
здесь интенсивность излучения в каждый момент времени опре-
определяется всем ходом изменения функции S(t) за время от — оо
до t — г/с.

§ 74	ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА	399
Наконец, для поступательных колебаний бесконечного ци-
цилиндра в направлении, перпендикулярном к его оси, на рассто-
расстояниях / <С г <С А потенциал имеет вид
<p = div(Aln/r),	G4.18)
где А(?) определяется путем решения уравнения Лапласа для
обтекания цилиндра несжимаемой жидкостью. Отсюда снова за-
заключаем, что на всех расстояниях г ^> /
<р = - div '"Г	^^	•	G4.19)
— ОО
В заключение необходимо сделать следующее замечание. Мы
полностью пренебрегали здесь влиянием вязкости жидкости и
соответственно этому считали движение в излучаемой волне по-
потенциальным. В действительности, однако, в слое жидкости тол-
толщины (ь>/ооI12 вокруг колеблющегося тела движение не потен-
потенциально (см. § 24). Поэтому для применимости всех полученных
формул необходимо, чтобы толщина этого слоя была мала по
сравнению с размерами I тела:
(z//o;I/2</.	G4.20)
Это условие может не выполняться при слишком малых частотах
или слишком малых размерах тела.
Задачи
1. Определить полную интенсивность излучения звука шаром, совер-
совершающим поступательные малые (гармонические) колебания с частотой и,
причем длина волны сравнима по величине с радиусом R шара.
Решение. Скорость шара пишем в виде u = uoe~tujt; тогда (р зависит
от времени тоже посредством множителя e~tujt и удовлетворяет уравнению
Аср + к2ср = 0, где к = и /с. Ищем решение в виде ср = uV/(r) (начало коор-
координат выбрано в точке нахождения центра шара в данный момент времени).
Для / получаем уравнение (uV)(A/ + к2/) = 0, откуда А/ + к2f = const.
С точностью до несущественной аддитивной постоянной имеем отсюда / =
_ дегкг jr^ Постоянная А определяется из условия д(р/дг = иг при г = R, и
в результате получаем
) 2-2ikR-k2R2
Излучение имеет дипольный характер. На достаточно больших расстояниях
от шара можно пренебречь единицей по сравнению с ikr, и ср приобретает
вид G4.11) с вектором А, равным
2-2ikR-k2R2'
Замечая, что (Re АJ = |А|2/2, получаем для полного излучения согласно
G4.13):
т 2ттр. |2 #6'''4
Зс3 4 +

400	звук	гл. viii
При ujR/c <С 1 это выражение переходит в
pirR	2 4
1 = -—- Uo UJ
6с3
(это может быть получено и непосредственно подстановкой в G4.13) выра-
выражения А = uR3/2 из задачи 1 § 11). При uoR/c > 1 имеем
7 = —— R |uo| ,
что соответствует формуле G4.4).
Действующая на шар сила сопротивления жидкости получается инте-
интегрированием проекции сил давления (р = — рф'\г=в) на направление и по
поверхности шара и равна
F = %^и
3	4 +
(о смысле комплексной силы сопротивления см. конец § 24).
2. То же, если радиус R шара сравним по величине с л/v/uj (но в то же
время Л > R).
Решение. Если размеры тела невелики по сравнению с д/iz/u;, то
для определения излучаемой волны надо исходить не из уравнения Аср = 0,
а из уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости. Соответствую-
Соответствующее решение этого уравнения для шара определяется формулами A), B) в
задаче 5 § 24. При переходе к большим расстояниям первый член в A), экс-
экспоненциально затухающий с г, можно опустить. Второй же член приводит
к скорости
v = -6(uV)V-.
г
Сравнение с G4.6) показывает, что
а h я3 Г. з	з 1
А = — Ьи = — 1	и,
2 L (г-1)х- 2Ы2\
где к = R(lu/2vI/2 , т. е. отличается от соответствующего выражения для
идеальной жидкости множителем, стоящим в скобках. В результате получа-
получаем
6 Л 3 9	9	9
При ж ^> 1 это выражение переходит в приведенную в задаче 1 формулу, а
при к <С 1 получаем
2с3
т. е. излучение пропорционально не четвертой, а второй степени частоты.
3. Определить интенсивность излучения звука сферой, совершающей
малые (гармонические) пульсационные колебания с произвольной частотой.
Решение. Ищем звуковую волну в виде
ip = —егк r~R
г
(R — равновесный радиус шара) и определяем постоянную а из условия
dip	_ _ -iut

§ 74	ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА	401
где и — радиальная скорость точек поверхности сферы:
R2
а = 	.
ikR-1
Интенсивность излучения
1 = 27грс\ио\
' ' 1
При &Ж 1
27Гр 2с>4| .2
/ = 	-UJ R \Uq\
С
в соответствии с G4.10), а при kR ^> 1
I = 2тг pcR2\u0\2
в соответствии с G4.4).
4. Определить волну, излучаемую шаром (радиуса Я), совершающим
малые пульсационные колебания; радиальная скорость точек его поверх-
поверхности есть произвольная функция времени u(t).
Решение. Решение ищем в виде (р = f(tf)/r, где t' = t — (г — R)/c, и
определяем / из граничного условия (d(p/dr)r=R = u(t), которое приводит
к уравнению
dt R
Решая это линейное уравнение и заменяя в решении аргумент t на t', полу-
получаем
t'
r, t) = - СЛе~с*'/Н Г
Г	J
Если колебания шара прекращаются, например, в момент времени t = 0
(т. е. и(т) = 0 при г > 0), то на расстоянии г от центра, начиная с момента
времени t = (г — Я)/с, потенциал как функция времени будет иметь вид
ip = const • e~ct/R, т. е. движение будет затухать экспоненциально.
Пусть Т — время, в течение которого происходит существенное измене-
изменение скорости u(t). Если Т ^> R/c (т. е. длина излучаемых волн \~ сТ ^> R),
то в A) можно вынести медленно меняющийся множитель и(т) из-под знака
интеграла, заменив его на u(tf). На расстояниях r^>R получим тогда
R2
Ч	[
что совпадает с формулой G4.8). Если же Т <^R/c, то аналогично получаем
t'
d(P R
v= — = —
or r
t'
cR f (
r J
что соответствует формуле G4.4).
5. Определить движение, возникающее в идеальной сжимаемой жидко-
жидкости при произвольном поступательном движении в ней шара радиуса R (ско-
(скорость движения мала по сравнению со скоростью звука).
Решение. Ищем решение в виде
<р = div ^1	A)

402	звук	гл. viii
(г — расстояние от начала координат, выбранного в точке нахождения цен-
центра шара в момент времени t' = t — (г — R)/c)\ поскольку скорость шара и
мала по сравнению со скоростью звука, то эффектом перемещения начала
координат можно пренебречь). Скорость жидкости
3(fn)n-f 3(f'n)n -f n(nf')
^+ b>+ ±L	B)
rd	crz	czr
(n — единичный вектор вдоль направления г; штрих означает дифференци-
дифференцирование f по его аргументу). Граничное условие vr = un при г = Я, откуда
f'(*) + ^f @ + ^f(t) = Rc2u(t).
Решая это уравнение методом вариации постоянных, получаем для функции
f (t) общее выражение:
t
Щ = cR2e-ct/R [ u(r) sin сМ^Аегс/в dT.	C)
J	R
— oo
При подстановке в A) здесь надо писать t' вместо t. В качестве нижнего
предела выбрано — оо так, чтобы было f = 0 при t = — оо.
6. Шар радиуса R в момент времени t = 0 начинает двигаться с посто-
постоянной скоростью uo. Определить возникающее в момент начала движения
звуковое излучение.
Решение. Полагая в формуле C) задачи 5 и(т) = 0 при т < 0 и
и(т) = uo при т > 0 и подставляя в формулу B) (сохранив в последней
только последний, наименее быстро убывающий с расстоянием член), най-
найдем скорость движения жидкости вдали от шара:
Ял/2 _ct'/R . (ct1 тг
v = —n(nu0)	е ' sin
г	\ R 4
(где t' > 0). Полная интенсивность излучения будет убывать со временем по
закону
IcpR\lesin(
3	V R
Всего за все время будет излучена энергия
7. Определить интенсивность излучения звука бесконечным цилиндром
(радиуса R), совершающим пульсационные гармонические колебания; длина
волны Х^> R.
Решение. Согласно формуле G4.14) находим сначала, что на рас-
расстояниях г ^С А (в задачах 7, 8 г — расстояние от оси цилиндра) потенциал
(р = Ru In kr,
где и = uoe~lujt—скорость точек поверхности цилиндра. Из сравнения с
формулами G1.7) и G1.8) находим теперь, что на больших расстояниях по-
потенциал будет иметь вид
Отсюда скорость

§ 74	ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА	403
(п — единичный вектор, перпендикулярный к оси цилиндра) и интенсив-
интенсивность излучения (на единицу длины цилиндра)
8. Определить излучение звука цилиндром, совершающим гармонические
поступательные колебания в направлении, перпендикулярном к своей оси.
Решение. На расстояниях г< А имеем
(р = — div (R2u In кг)
(ср. формулу G4.18) и задачу 3 § 10). Отсюда приходим к выводу, что на
больших расстояниях
откуда скорость
V ~	2r
Интенсивность излучения будет пропорциональна квадрату косинуса угла
между направлениями колебаний и излучения. Полная интенсивность
9. Определить интенсивность излучения звука от плоской поверхности
с периодически колеблющейся температурой, частота колебаний и <С с2/х,
где х — температуропроводность жидкости.
Решение. Пусть переменная часть температуры поверхности есть
T'§e~%(Jjt. Эти колебания температуры создают в жидкости затухающую теп-
тепловую волну E2.15):
Г' = Не-™* ехр [-A - г)y/iJ/Щх],
в результате чего колебания будет испытывать и плотность жидкости:
где /3 — температурный коэффициент расширения. Это в свою очередь при-
приводит к возникновению движения, определяющегося уравнением непрерыв-
непрерывности:
dv dp'
Р = ^ =
На твердой поверхности скорость vx = v = 0, а при удалении от нее стре-
стремится к пределу
-iu/3 IV
J
dx=
Это значение достигается на расстояниях ~yx/cj, малых по сравнению с
с/и, и служит граничным условием для возникающей звуковой волны. От-
Отсюда находим интенсивность излучения звука с 1 см2 поверхности:

404
ЗВУК
ГЛ. VIII
10. Точечный источник, излучающий сферическую волну, находится на
расстоянии / от твердой (полностью отражающей звук) стенки, ограничи-
ограничивающей заполненное жидкостью полупространство. Определить отношение
полной интенсивности излучаемого источником звука к интенсивности излу-
излучения, которое имело бы место в неограниченной
среде, а также зависимость интенсивности от на-
направления на больших расстояниях от источника.
Решение. Совокупность излучаемой и
отраженной от стенки волн описывается решени-
решением волнового уравнения, удовлетворяющим усло-
условию равенства нулю нормальной скорости vn =
= д(р/дп на стенке. Таким решением является
Рис. 49
Лкг1
(постоянный множитель для краткости опускаем), где г — расстояние от ис-
источника звука О (рис. 49), а г'—расстояние от точки О', расположенной
относительно поверхности стенки симметрично с О. На больших расстояни-
расстояниях от источника имеем: г' и г — 21 cos #, так что
A(kr-ut)
Зависимость интенсивности излучения от направления определяется здесь
множителем cos2 (kl cos в).
Для определения полной интенсивности излучения интегрируем поток
энергии
(см. F5.4
точке О. Это дает
q = p'v = —рф\7(р
по поверхности сферы сколь угодно малого радиуса с центром в
sin2A;/\
2Ы )'
2тгркио ( 1 +
В неограниченной же среде мы имели бы чисто сферическую волну if =
_ ei(kr-ut) jr с полным потоком
отношение интенсивностей равно
1 +
_ ег(кг ut)jr с ПоЛным потоком энергии 2тгркио. Таким образом, искомое
sin 2kl
2Ы
11. То ж:е в ж:идкости, ограниченной свободной поверхностью.
Решение. На свободной поверхности должно выполняться условие
р = —рф = 0; в монохроматической волне это эквивалентно требованию
if = 0. Соответствующее решение волнового уравнения есть
На больших расстояниях от источника интенсивность излучения определя-
определяется множителем sin2(kl cos в).
Искомое соотношение интенсивностей равно
1 -
sin 2kl
2kl

§ 75	ВОЗБУЖДЕНИЕ ЗВУКА ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ	405
§ 75. Возбуждение звука турбулентностью
Турбулентные пульсации скорости тоже являются источни-
источником возбуждения звука в окружающем объеме жидкости. В этом
параграфе будет изложена общая теория этого явления
(M.J. Lighthill, 1952). Будет рассматриваться ситуация, когда
турбулентность занимает конечную область Vb, окруженную
неограниченным объемом неподвижной жидкости. При этом са-
самая турбулентность рассматривается в рамках теории несжима-
несжимаемой жидкости — вызываемым пульсациями изменением плотно-
плотности пренебрегаем; это значит, что скорость турбулентного дви-
движения предполагается малой по сравнению со скоростью звука
(как это предполагалось и во всей гл. III).
Начнем с вывода общего уравнения, учитывающего, наряду
с движением в звуковых волнах, также и движение жидкости в
турбулентной области. Отличие от произведенного в § 64 вывода
состоит лишь в том, что должен быть сохранен нелинейный член
(vV)v — хотя скорость v мала по сравнению с с, но она велика
по сравнению со скоростью жидкости в звуковой волне. Поэтому
вместо F4.3) имеем
— + (vV)v + -Vpf = 0.
ot	ро
Применив к этому уравнению операцию div и используя уравне-
уравнение F4.5)
-?- + рос2 div v = 0,
ot
получим
Правую часть этого уравнения можно преобразовать с помощью
уравнения непрерывности divv = 0 (турбулентность рассматри-
рассматривается как несжимаемая!): можно вынести знак дифференциро-
дифференцирования по Хк из-под скобок. Окончательно имеем
(индекс у ро снова опускаем). Вне турбулентной области выра-
выражение в правой части этого уравнения представляет собой ма-
малую величину второго порядка и может быть опущено, так что
мы возвращаемся к волновому уравнению распространения зву-
звука. Правая же часть, отличная от нуля в объеме Vo, играет роль
источника звука. В этом объеме v — скорость турбулентного дви-
движения.

406	звук	гл. viii
Уравнение G5.1) —типа уравнения запаздывающих потенци-
потенциалов. Решение этого уравнения, описывающее исходящее от ис-
источника излучение, есть
p'(r, t) = JL{ ^Tu^hU	™.	G5.2)
4тг J dxdx tR/ R
dxudxik
t-R/c R
(см. II, § 62). Здесь г — радиус-вектор точки наблюдения, ri —
бегущей точки в области интегрирования, R = |r — ri|; подын-
подынтегральное выражение берется в «запаздывающий» момент вре-
времени t — R/c. Интегрирование в G5.2) фактически производится
лишь по объему Vb, в котором подынтегральное выражение от-
отлично от нуля.
Основная часть энергии турбулентного движения заключена
в частотах ~и/1, отвечающих основному масштабу турбулент-
турбулентности Z; ^ — характерная скорость движения (см. § 33). Таковы
же будут, очевидно, и основные частоты в спектре излучаемых
звуковых волн. Соответствующие же длины волн А ~ cl/u ^> I.
Для определения интенсивности излучения достаточно рас-
рассмотреть звуковое поле на расстояниях, больших по сравнению
с длиной волны А (в «волновой зоне»), эти расстояния велики
и по сравнению с линейными размерами источника — турбулент-
турбулентной области х) . Множитель 1/R в подынтегральном выражении
в этой зоне можно заменить множителем 1/г и вынести его из-
под знака интеграла (г — расстояние точки наблюдения до нача-
начала координат, выбранного где-либо внутри источника); тем са-
самым мы пренебрегаем членами, убывающими быстрее, чем 1/г,
которые все равно не дают вклада в интенсивность уходящих на
бесконечность волн. Таким образом,
р'(г, t) = -?- Г 32г**(Г1>*)	dVi.	G5.3)
4тгг J охц дх\к t—R/c
Производные в подынтегральном выражении берутся до взя-
взятия значения при t — R/c, т. е. только по первому аргументу
функций T^(ri, t). Эти производные можно заменить производ-
производными от функций Tjfc(r, t — R/c), взятыми по обоим аргументам,
вычитая из них каждый раз производные по второму аргументу.
Первые представляют собой полные дивергенции и интегралы от
них, будучи преобразованы в интегралы по удаленным замкну-
замкнутым поверхностям, обращаются в нуль, поскольку вне турбулент-
турбулентной области Tik = 0. Производные же по «текущим» координа-
координатам ri, входящим в состав аргумента t — R/c, можно заменить
производными по координатам точки наблюдения г, поскольку г
г) Говоря о порядках величин, мы не проводим различия между основным
масштабом / и размерами турбулентной области, хотя последние и могут
заметно превышать первый.

§ 75	ВОЗБУЖДЕНИЕ ЗВУКА ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ	407
и ri входят только в виде разности R = |r — ri|. Таким образом,
приходим к выражению
р'^ *) = -Г7Г1Г /г*(гь *" -) dVl-	G5-4)
4тгг axi дхк J \	с /
Время t — R/ с отличается от времени t — г/с на интервал
~ 1/с. Но такой интервал времени мал по сравнению с периодами
1/и основных турбулентных пульсаций. Это позволяет заменить
аргумент t — R/ с в подынтегральном выражении на t — г/с =
= т х) . Производя после этого дифференцирование под знаком
интеграла, и заметив, что dr/dxi = щ (п — единичный вектор в
направлении г), получим
р'(г, t) = -^rurik ffik(TU r)dVu	G5.5)
4тгс2г	J
где точка означает дифференцирование по т.
Тензор Tikj как и всякий симметричный тензор с неравным
нулю следом, может быть представлен в виде
fik = fa - \fu8ik) + ifuSik = Qik + Q8ik,	G5.6)
где Q^ — «неприводимый» тензор с равным нулю следом, a Q —
скаляр. Тогда сферическая волна G5.5) разобьется на сумму двух
членов
p'(r, t) = -JL-IjQin, T)dVi+ninkfQik(ri, r)dvX G5.7)
из которых первый представляет собой излучение монопольного,
а второй — квадрупольного источника.
Вычислим полную интенсивность излучения. Плотность по-
потока звуковой энергии в волновой зоне направлена в каждой точ-
точке вдоль направления п, а по величине равна q = р'2/(ср). Пол-
Полная интенсивность получается умножением q на г2do и интегри-
интегрированием по всем направлениям п 2) . Фактически нас интере-
интересует, однако, не мгновенное пульсирующее значение интенсивно-
интенсивности, а ее усредненное по времени значение (турбулентность пред-
предполагается при этом «стационарной»). Эту последнюю операцию
1) При этом мы отказываемся от рассмотрения спектрального состава из-
излучения и ограничиваемся основными частотами, определяющими полную
интенсивность. Отметим также, что указанную замену нельзя было бы про-
произвести на более ранней стадии преобразований, в G5.3), поскольку интеграл
обратился бы в нуль.
) Интегрирование по направлениям п осуществляется следующими выра-
выражениями для средних значений произведений двух или четырех компонент
вектора п:
ГЦПк = Sik, ПъПкЩПт = 	(SikSlm + 6ц6кт + ^irn^kl)-
3	15

408	звук	гл. viii
осуществляем, написав квадрат интегралов в виде двойных ин-
интегралов и производя усреднение (которое обозначаем угловыми
скобками) под знаком интегралов. В результате получим следую-
следующий результат:
=	/7Мгь r)Q(r2, r)} dVi dV2 +
ff(Qik(n, r)Qik(r2, r)} dV! dV2. G5.8)
«Перекрестное» произведение двух членов в G5.7) при интегри-
интегрировании по направлениям выпадает, так что полная интенсив-
интенсивность оказывается равной сумме монопольного и квадрупольно-
го излучений. Обе эти части в данном случае — вообще говоря,
одинакового порядка величины.
Оценим этот порядок величины (вернее — выясним зависи-
зависимость / от параметров турбулентного движения). Компоненты
тензора Т^ ~ и2, где и — характерная скорость турбулентного
движения. Каждое дифференцирование по времени умножает
этот порядок величин на характерную частоту и/1. Поэтому Q~
^u^/l2. Корреляция между скоростями турбулентных пульсаций
в различных точках простирается на расстояния ~1. Поэтому
количество энергии, испускаемой в виде звука единицей массы
турбулентной среды в единицу времени
7з и8
l =
G5-9)
Интенсивность излучения пропорциональна, таким образом,
восьмой степени скорости турбулентного движения.
Турбулентное движение поддерживается за счет мощности,
подводимой от некоторого внешнего источника. В «стационар-
«стационарном» случае эта мощность совпадает с диссипируемой в единицу
времени энергией. Отнесенная к единице массы, эта последняя
?дисс ~ и3/I :) . Акустический коэффициент полезного действия
можно определить как отношение излучаемой мощности к дис-
диссипируемой:
^2^~(-M.	G5.10)
Стоящая здесь высокая степень отношения и/с приводит к тому,
что при и/с <^ 1 эффективность турбулентности как излучателя
звука низка.
:) См. C3.1). Мы не делаем здесь различия между и и Ащ выбор системы
отсчета, по отношению к которой рассматривается движение, устанавлива-
устанавливается тем, что жидкость вне турбулентной области предполагается неподвиж-
неподвижной.

§ 76	ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ	409
§ 76. Принцип взаимности
При выводе уравнений звуковой волны в § 64 предполага-
предполагалось, что волна распространяется в однородной среде. В частно-
частности, плотность среды ро и скорость звука в ней с рассматрива-
рассматривались как постоянные величины. Имея в виду получить некото-
некоторые общие соотношения, применимые и в общем случае произ-
произвольной неоднородной среды, выведем предварительно уравне-
уравнение распространения звука в такой среде.
Напишем уравнение непрерывности в виде
— + pdivv = 0.
dt
Но в силу адиабатичности звука имеем
(	(
dt \dpJs dt с2 dt с2 \dt
и уравнение непрерывности приводится к виду
^	2 = 0.
dt
Положим, как обычно, р = ро + /У, причем ро является те-
теперь заданной функцией координат. Что же касается давления,
то в р = ро + pf должно по-прежнему быть ро = const, поскольку
в равновесии давление должно быть постоянно вдоль всей сре-
среды (если, конечно, отсутствует внешнее поле). Таким образом, с
точностью до величин второго порядка малости имеем
dt
Это уравнение совпадает по форме с уравнением F4.5), но
коэффициент рс2 в нем есть функция координат. Что касается
уравнения Эйлера, то мы имеем, как и в § 64:
<9v	\7p
Исключая v из обоих этих уравнений (и опуская индекс у ро), по-
получаем окончательно уравнение распространения звука в неод-
неоднородной среде:
W 1 dV
div —*— —	— = U.	Gо.1)
р рс2 dt2
Если речь идет о монохроматической волне с частотой о;, то
Yl + 2Lp' = 0.	G6.2)
р рс2
Рассмотрим звуковую волну, излучаемую источником неболь-
небольших размеров, совершающим пульсационные колебания (такое
р' = — аГ_р', так что

410	звук	гл. viii
излучение, как мы видели в § 74, изотропно). Обозначим точку,
в которой находится источник, через А, а давление р' в излу-
излучаемой им волне в точке В х) через рл(В). Если тот же самый
источник помещен в точку Б, то создаваемое им в точке А дав-
давление обозначим соответственно через рв(А). Выведем соотно-
соотношение между ра(В) и рв(А).
Для этого воспользуемся уравнением G6.2), применив его
один раз к излучению источника, находящегося в точке А, а дру-
другой раз —к излучению источника, находящегося в В:
div -z± + —рА = 0, div -J2- + —рв = 0.
р	рс2	р	рс2
Умножим первое уравнение на р'в, а второе на р'А, и вычтем
второе из первого. Получаем
р'в div М _ р'А div М = divf ^^ - &Щ = 0.
Р	р	\	р	р	J
Проинтегрируем это уравнение по объему, заключенному между
бесконечно удаленной замкнутой поверхностью С и двумя ма-
малыми сферами С а и Св-> окружающими соответственно точки
А и В. Объемный интеграл преобразуется в интеграл по этим
трем поверхностям, причем интеграл по С обращается в нуль,
поскольку на бесконечности звуковое поле исчезает. Таким обра-
образом, получаем
/ {^ ^) f = 0.	G6.3)
Внутри малой сферы С а давление р'А в волне, создаваемой
источником, находящимся в А, быстро меняется с расстоянием
от А, и потому градиент Vp'A велик. Давление же p'Bl создавае-
создаваемое источником, находящимся в Б, в области вблизи точки А,
значительно удаленной от Б, является медленно меняющейся
функцией координат, так что его градиент Vp'B относительно
мал. При достаточно малом радиусе сферы С а можно поэтому
в интеграле по ней пренебречь вторым членом подынтеграль-
подынтегрального выражения по сравнению с первым, а в последнем можно
вынести почти постоянную величину р'в из-под знака интеграла,
заменив ее значением в точке А. Аналогичные рассуждения при-
применимы к интегралу по сфере С#, и в результате мы получаем
из G6.3) следующее соотношение:
р'в(А)
Са	Св
) Размеры источника должны быть малыми по сравнению с расстоянием
между А и В, а также по сравнению с длиной волны.

§ 76	ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ	411
Но Vp'/р = —dw/dt] поэтому это равенство можно переписать в
виде
СА	Св
Интеграл / лгд df представляет собой количество жидкости,
СА
протекающей через поверхность сферы С а в единицу времени,
т. е. изменение (в 1 с) объема пульсирующего источника звука.
Поскольку источники в точках А ж В тождественны, то ясно,
что
/ vA rff = / vB rff,
С а	Св
и, следовательно,
р'А(В)=р'в(А).	G6.4)
Это равенство представляет собой содержание так называе-
называемого принципа взаимности: давление, создаваемое в точке В ис-
источником, находящимся в точке А, равно давлению, создаваемо-
создаваемому в А таким же источником, находящимся в В. Подчеркнем, что
этот результат относится, в частности, и к тому случаю, когда
среда представляет собой совокупность нескольких различных
областей, каждая из которых однородна. При распространении
звука в такой среде на поверхностях раздела различных областей
происходит отражение и преломление. Таким образом, принцип
взаимности применим и в тех случаях, когда на пути своего рас-
распространения от точки А к В и обратно волна испытывает от-
отражения и преломления.
Задача
Вывести принцип взаимности для дипольного звукового излучения, соз-
создаваемого источником, совершающим колебания без изменения своего объ-
объема
Решение.В данном случае
/¦
Ldf = O	A)
cA
и при вычислении интегралов в G6.3) необходимо учесть следующее при-
приближение. Для этого имеем с точностью до членов первого порядка
Рв = Рв(А) + rVps,	B)
где г — радиус-вектор из точки А. В интеграле
/ v FA	I v У В \ in	/o\
Рв	Ра	 df	C)
Р	Р J

412	звук	гл. viii
оба члена имеют теперь одинаковый порядок величины. Подставляя сюда
р'в из B) и учитывая A), получим
СА
Далее, выносим почти постоянную величину Vp# = —р^в из-под знака ин-
интеграла, заменив ее значением в точке А:
сА
(рА — плотность среды в точке А). Для вычисления этого интеграла замеча-
замечаем, что вблизи источника жидкость можно считать несжимаемой (см. § 74),
и потому для давления внутри малой сферы С а можно написать согласно
A1.1)
' • = А^
г3 '
В монохроматической волне v = —zcjv, A = —га;А; вводя также единичный
вектор пл в направлении вектора А для источника, находящегося в точ-
точке А, найдем, что интеграл C) пропорционален по величине
Аналогично интеграл по сфере С в будет пропорционален
с тем же коэффициентом пропорциональности. Приравнивая их сумму ну-
нулю, найдем искомое соотношение
выражающее собой принцип взаимности для дипольного звукового излучения.
§ 77. Распространение звука по трубке
Рассмотрим распространение звуковой волны вдоль длинной
узкой трубки. Под узкой подразумевается трубка, ширина кото-
которой мала по сравнению с длиной волны. Сечение трубки может
меняться вдоль ее длины как по форме, так и по площади. Важ-
Важно только, чтобы это изменение происходило достаточно медлен-
медленно, — площадь S сечения должна мало меняться на расстояниях
порядка ширины трубки.
В этих условиях можно считать, что вдоль каждого попереч-
поперечного сечения трубки все величины (скорость, плотность и т. п.)
постоянны. Направление же распространения волны можно счи-
считать везде совпадающим с направлением оси трубки. Уравнение,
определяющее распространение такой волны, удобнее всего вы-
вывести методом, аналогичным примененному в § 12 для вывода
уравнения распространения гравитационных волн в каналах.

§ 77	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА ПО ТРУБКЕ	413
В единицу времени через сечение трубки проходит масса Spv
жидкости. Поэтому количество (масса) жидкости в объеме ме-
между двумя бесконечно близкими поперечными сечениями трубки
уменьшается в 1 с на
(Svp)x+dx - (Svp)x = vp) dx
ox
(координата x вдоль оси трубки). Поскольку самый объем меж-
между обоими сечениями остается неизменным, то это уменьшение
может произойти только за счет изменения плотности жидкости.
Изменение плотности в единицу времени есть —, а соответ-
dt
ствующее уменьшение массы жидкости в объеме S dx между дву-
двумя сечениями равно
Sdx.
dt
Приравнивая оба выражения, получаем уравнение
qdP _ d(Spv)	G7U
dt	ox
представляющее собой уравнение непрерывности для жидкости
в трубке.
Далее, напишем уравнение Эйлера, опуская в нем квадра-
квадратичный по скорости член:
dv_ _ _^др_	,rjrj 2)
dt	рдх'	У ' )
Продифференцируем G7.1) по времени; при дифференцирова-
дифференцировании правой части этого уравнения надо считать р не зависящим
от времени, так как при дифференцировании р возникает член,
содержащий v— = v— и потому малый второго порядка. Таким
от	от
образом,
Qd2p _ д (Q dv
dt2	dx \ dt
Подставляем сюда для dv/dt выражение G7.2), а стоящую сле-
слева производную от плотности выражаем через производную от
давления согласно р = р/с2.
В результате получаем следующее уравнение распростране-
распространения звука в трубке:
iHsw)-^ = °-	G7-3)
S дх \ дх/ с2 dt2

414	звук	гл. viii
В монохроматической волне р х) зависит от времени посредством
множителя e~tujt1 и G7.3) переходит в
(к = со/с — волновой вектор).
Наконец, остановимся на вопросе об излучении звука из от-
открытого конца трубки. Разность давлений между газом в кон-
конце трубки и газом в окружающем трубку пространстве мала по
сравнению с разностями давлений внутри трубки. Поэтому в ка-
качестве граничного условия на открытом конце трубки надо с до-
достаточной точностью потребовать обращения давления р в нуль.
Скорость же газа v у конца трубки при этом оказывается отлич-
отличной от нуля; пусть vq есть ее значение здесь. Произведение Svq
есть количество (объем) газа, выходящего в единицу времени из
конца трубки.
Мы можем теперь рассматривать открытый конец трубки как
некоторый источник газа с производительностью Svq. Задача об
излучении из трубки делается эквивалентной задаче об излу-
излучении пульсирующего тела, определяющемся формулой G4.10).
Вместо производной V от объема тела по времени мы должны
теперь писать величину Svq. Таким образом, полная интенсив-
интенсивность излучаемого звука есть
/ = ЁЕК.	G7.5)
4тгс
Задачи
1. Определить коэффициент прохождения звука при переходе его из
трубки сечения Si в трубку сечения S2-
Решение. В первой трубке имеем две волны — падающую р\ и отра-
отраженную p'i, а во второй трубке — одна прошедшая волна р2:
i(kx-cot)	i	i —i(kx+wt)	i(kx-u)t)
рг = сце	, pi = ciie	, P2 = ci2e K	.
В месте соединения трубок (ж = 0) должны быть равными давления и коли-
количества Sv газа, переходящие из одной трубки в другую. Эти условия дают
a>i + cl'i — &2, Si (ai — a'i) =
откуда
Отношение D потока энергии в прошедшей волне к потоку энергии в пада-
падающей волне равно
1) Здесь и в задачах к этому параграфу под р подразумевается везде пе-
переменная часть давления (которую мы раньше обозначали через р).

§ 77	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА ПО ТРУБКЕ	415
2. Определить количество энергии, излучаемой из открытого конца ци-
цилиндрической трубки.
Решение.В граничном условии р = 0 на открытом конце трубки
можно приближенно пренебречь излучаемой волной (мы увидим, что интен-
интенсивность излучения из конца трубки мала). Тогда имеем условие р\ = —pi,
где р\ и p'i —давления в падающей волне и в волне, отраженной обратно в
трубку; для скоростей будем соответственно иметь vi = v[, так что суммар-
суммарная скорость на выходе из трубки есть vo = v\ + v[ = 2г?1. Поток энергии в
падающей волне равен cSpvf = (l/4)cSpVQ. С помощью G7.5) получаем для
отношения излучаемой энергии к потоку в падающей волне
7TCZ
Для трубки кругового сечения (радиуса R) имеем D = R2uj2/с2. Поскольку
по предположению R <С с/ио, то D <С 1.
3. Одно из отверстий цилиндрической трубки закрыто излучающей звук
мембраной, совершающей заданное колебательное движение; другой конец
трубки открыт. Определить излучение звука из трубки.
Решение.В общем решении
р = (aeikx+be-ikx)e-iuJt
определяем постоянные а и Ъ из условий v = и (и = uoe~tujt — заданная
скорость колебаний мембраны) на закрытом конце трубки (ж = 0) и условия
р = 0 на открытом конце (ж = /). Эти условия дают
аеш + Ье~ш =0, а - Ъ = сри0.
Определяя а и 6, находим для скорости газа на открытом конце трубки
величину г>о = и/ cos Ы. Если бы трубки не было, то интенсивность излуче-
излучения колеблющейся мембраной определялась бы средним квадратом 52|гб|2 =
= S2uj2\u\2 согласно формуле G4.10) с Su вместо V; S — площадь поверхно-
поверхности мембраны. Излучение же из конца трубки пропорционально S \vo\2uj .
Коэффициент усиления звука трубкой есть
А = 52Щг	1
S2\u\2 cos2/с/
Он обращается в бесконечность при частотах колебаний мембраны, равных
собственным частотам трубки (резонанс); в действительности, конечно, он
все же остается конечным благодаря наличию эффектов, которыми мы пре-
пренебрегли (например, трения, влияния излучения звука).
4. То же для конической трубки (мембрана закрывает меньшее из от-
отверстий трубки).
Решение. Для сечения трубки имеем S = Sqx2, меньшему и боль-
большему отверстиям трубки пусть соответствуют значения х\ и ж2 координа-
координаты ж, так что длина трубки есть / = Х2 — х\. Общее решение уравнения G7.4)
есть
х
а и Ъ определяются из условий v = и при ж = xi ир = 0 при х = Х2- Для
коэффициента усиления получаем
л _
kxlCosklJ'

416	звук	гл. viii
5. То же для трубки, сечение которой меняется вдоль ее длины по экс-
экспоненциальному закону S = Soeax.
Решение. Уравнение G7.4) приобретает вид
дх2 дх
откуда
р = e-ax/2(aeimx + be-imx)e~ibJ\ m = (к2 -—\
Определяя а и Ъ из условий v = и при х = 0 и р = 0 при х = /, находим для
коэффициента усиления
при
при
к
к
>
<
а/2
а/2.
и
А
А
(
{
а
2
п2 2<xl
siYn
ес
sh m'l
т'
vo
?
1 (
2
/а
\2
V
е
sin??i/
m
m -
(Xl
+ cos ml
fa
u
v
)
k2
§ 78. Рассеяние звука
Если на пути распространения звуковой волны находится ка-
какое-либо тело, то происходит, как говорят, рассеяние звука: на-
наряду с падающей волной появляются дополнительные (рассеян-
(рассеянная) волны, распространяющиеся во все стороны от рассеиваю-
рассеивающего тела. Рассеяние звуковой волны происходит уже благодаря
самому факту наличия тела на ее пути. Кроме того, под влия-
влиянием падающей волны само тело приходит в движение; это дви-
движение в свою очередь обусловливает некоторое дополнительное
излучение звука телом, т. е. некоторое дополнительное рассея-
рассеяние. Однако, если плотность тела велика по сравнению с плотно-
плотностью среды, в которой происходит распространение звука, а его
сжимаемость мала, то рассеяние, связанное с движением тела,
представляет собой лишь малую поправку к основному рассея-
рассеянию, обусловленному самим наличием тела. Этой поправкой мы
будем в дальнейшем пренебрегать и потому будем считать, рас-
рассеивающее тело неподвижным.
Будем предполагать, что длина волны звука А велика по срав-
сравнению с размерами / тела; тогда для вычисления рассеянной
волны можно воспользоваться формулами G4.8) и G4.11) :) .
!)В то же время требуется, чтобы размеры тела были велики по сравне-
сравнению с амплитудой смещений частиц жидкости в волне; в противном случае
движение жидкости не будет, вообще говоря, потенциальным.

§ 78	РАССЕЯНИЕ ЗВУКА	417
Рассеянную волну мы при этом рассматриваем как волну, из-
излучаемую телом; разница заключается только в том, что вместо
движения тела в жидкости мы имеем теперь дело с движени-
движением жидкости относительно тела. Обе задачи, очевидно, эквива-
эквивалентны.
Для потенциала излучаемой волны мы получили выражение
V Аг
if = —	— —.
4тгг сг2
В этой формуле V — объем тела. Теперь же объем самого те-
тела остается неизменным, и под V надо подразумевать не ско-
скорость изменения объема тела, а то количество (объем) жидко-
жидкости, которое вошло бы в единицу времени в объем, занимаемый
телом (этот объем обозначим через Vo), если бы этого тела во-
вообще не было. Действительно, при наличии тела это количество
жидкости не проникает внутрь занимаемого телом объема, что
эквивалентно выбрасыванию этого же количества из объема Vq.
Коэффициент же при 1/Dтгг) в первом члене в ср должен быть,
как мы видели в предыдущем параграфе, равен как раз количе-
количеству «выбрасываемой» в 1 с из начала координат жидкости. Это
количество легко вычислить. Изменение массы жидкости в еди-
единицу времени в объеме, равном объему тела, равно Vbp, где функ-
функция р определяет изменение со временем плотности жидкости
в падающей звуковой волне (поскольку длина волны велика по
сравнению с размерами тела, то на протяжении расстояний по-
порядка этих размеров плотность р можно считать постоянной; по-
поэтому мы можем писать изменение массы жидкости в объеме Vq
просто в виде Vbp, где р одинаково вдоль всего объема Vo). Изме-
Изменение объема жидкости, соответствующее изменению массы pVb,
есть, очевидно, Vop/p. Таким образом, вместо V надо писать в
выражении для (р величину Vop/р. В падающей плоской волне
переменная часть плотности р' связана со скоростью соотноше-
соотношением р1 = pv/c] поэтому р = /У = pi)/с, и вместо Vop/p можно
писать Vqv/c.
Что касается вектора А, то при движении тела в жидкости
он определяется формулами A1.5), A1.6):
AnpAi = mikuk + рУощ.
Теперь же мы должны писать вместо скорости и тела взятую с
обратным знаком скорость v жидкости в падающей волне (кото-
(которую она имела бы в месте нахождения тела, если бы тела вовсе
не было). Таким образом,
^ikvk - ^-Vi.	G8.1)
4тг
14 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

418	звук	гл. viii
Окончательно получаем для потенциала рассеянной волны
^4	G8.2)
сг2
с вектором А, определяющимся формулой G8.1). Для распреде-
распределения скоростей в рассеянной волне получаем отсюда
^п+ЫпА1	G83)
4тггс2	гс2
(см. § 74; п — единичный вектор в направлении рассеяния).
Среднее количество рассеиваемой (в 1 с) в данном элементе
do телесного угла энергии определяется потоком энергии, рав-
равным c/9Vp do. Полная интенсивность /р рассеяния получается ин-
интегрированием этого выражения по всем направлениям. При
этом интегрировании удвоенное произведение обоих членов в
G8.3), пропорциональное первой степени косинуса угла между
направлением рассеяния и направлением распространения па-
падающей волны, исчезает и остается (ср. G4.10) и G4.13)):
G8.4)
Рассеяние принято характеризовать его эффективным сече-
сечением (или просто сечением) da. Оно определяется как отноше-
отношение средней (по времени) рассеиваемой в данном элементе телес-
телесного угла энергии к средней плотности потока энергии в пада-
падающей волне. Полное сечение а равно интегралу от da по всем
направлениям рассеяния, т. е. равно отношению полной интен-
интенсивности рассеяния к плотности падающего потока энергии. Се-
Сечение имеет, очевидно, размерность площади.
Средняя плотность потока энергии в падающей волне есть
срлг2. Поэтому дифференциальное сечение рассеяния равно от-
отношению
da = lkr2do.	G8.5)
V2
Полное сечение равно
a = J^2 + i^?.	G8.6)
4тгс4 v2 Зс4 v2
Для монохроматической падающей волны среднее значение ква-
квадрата второй производной от скорости по времени пропорцио-
пропорционально четвертой степени частоты. Таким образом, сечение рас-
рассеяния звука телом, размеры которого малы по сравнению с дли-
длиной волны, пропорционально четвертой степени частоты.
Наконец, остановимся коротко на обратном предельном слу-
случае, когда длина волны рассеиваемого звука мала по сравнению

§ 78	РАССЕЯНИЕ ЗВУКА	419
с размерами тела. В этом случае все рассеяние, за исключением
лишь рассеяния на очень малые углы, сводится к простому от-
отражению от поверхности тела. Соответствующая часть полного
сечения рассеяния равна, очевидно, просто площади S сечения
тела плоскостью, перпендикулярной к направлению падающей
волны. Рассеяние же на малые углы (углы порядка А//) представ-
представляет собой дифракцию от краев тела. Мы не станем излагать
здесь теорию этого явления, полностью аналогичную теории ди-
дифракции света (см. II, § 60, 61). Укажем лишь, что согласно
принципу Бабине полная интенсивность дифрагировавшего зву-
звука равна полной интенсивности отраженного звука. Поэтому ди-
дифракционная часть сечения рассеяния равна той же площади 5,
а полное сечение равно, следовательно, 2S.
Задачи
1. Определить сечение рассеяния плоской звуковой волны твердым ша-
шариком, радиус R которого мал по сравнению с длиной волны.
Решение. Для скорости в плоской волне имеем v = a cos out (в данной
точке пространства). Вектор А равен в случае шара (см. задачу 1 § 11) А =
= — vR3/2. Для дифференциального сечения получаем
, ^4^6Л 3cos(9\2,
da = 	 1	do
9c4 V 2 У
(# — угол между направлением падающей волны и направлением рассеяния).
Интенсивность рассеяния максимальна в направлении в = тг, противополож-
противоположном направлению падения. Полное сечение равно
?7Г /~3..2Ч2
сг = —
9
Здесь (а также ниже в задачах 3, 4) предполагается, что плотность ро
шарика велика по сравнению с плотностью р газа; в противном случае надо
учитывать увлечение шарика действующими на него со стороны колеблю-
колеблющегося газа силами давления.
2. Определить сечение рассеяния звука жидкой каплей с учетом сжима-
сжимаемости жидкости и движения капли под влиянием падающей волны.
Решение. При адиабатическом изменении давления газа, в котором
находится капля, на величину р' объем капли уменьшается на
Vo(dpo\ , Vo
— —— Р = 	CPV
ро V dp ) t
(р — плотность газа, ро—плотность жидкости в капле, со — скорость звука
в жидкости). В выражениях G8.2), G8.3) надо писать теперь вместо Vqv/c
разность
Vo(v/c-vcp/(clpo)).
Далее, в выражении для А надо писать теперь вместо — v разность u — v,
где v — скорость тела, приобретаемая им под влиянием падающей волны.
Для шара получаем с помощью результатов задачи 1 § 11
14*

420	звук	гл. viii
Подстановка этих выражений приводит к сечению
c2opo
Полное сечение равно
= 4тш;4Д6Г/
9* [\
Bpo+pJ
3. Определить сечение рассеяния звука твердым шариком, радиус R ко-
которого мал по сравнению с yjv/и. Теплоемкость шарика предполагается на-
настолько большой, что его температуру можно считать неизменной.
Решение.В этом случае должно быть учтено влияние вязкости газа
на движение шарика, и вектор А должен быть видоизменен указанным в
задаче 2 § 74 образом; при R^Jujjv <С 1 имеем
.ZRv
А = —г	v.
2ш
Кроме того, к рассеянию того же порядка величины приводит теплопровод-
теплопроводность газа. Пусть Т$е~гш1 — колебания температуры в заданной точке звуко-
звуковой волны. Распределение температуры вблизи шарика будет (ср. задачу 2
§52):
(при г = R должно быть Т' = 0). Количество тепла, передаваемое в единицу
времени от газа к шарику, есть (при
_ 2 dT'
dr r=R
Передача этого тепла приводит к изменению объема газа, которое можно
воспринимать в смысле его влияния на рассеяние как соответствующее эф-
эффективное изменение объема шарика, равное
у = -4 " ""' ~iuJt 4?гЯ
хG К
с
где /3 — коэффициент теплового расширения газа, a j = cp/cv\ мы восполь-
воспользовались также формулами F4.13) и G9.2).
Учитывая оба эффекта, получим дифференциальное сечение рассеяния
da =
uj2R2 \ , ^ 3
хG 1)
с \_	2
Полное эффективное сечение:
Эти формулы применимы лишь постольку, поскольку стоксова сила тре-
трения мала по сравнению с инерционными силами, т. е. г]R <C Mcj, где М =
= 4ttR ро/3 — масса шарика; в противном случае становится существенным
увлечение шарика вязкими силами.
4. Определить среднюю силу, действующую на твердый шарик, рассеи-
рассеивающий плоскую звуковую волну (Л ^> R).
Решение. Передаваемый в единицу времени от падающей волны ша-
шарику импульс, т. е. искомая сила, равен разности импульса, приносимого

§ 79	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА	421
рассеиваемой волной, и полного потока импульса в рассеянной волне. Из
падающей волны рассеивается поток энергии, равный асЕо, где Eq — плот-
плотность энергии в падающей волне; соответствующий поток импульса полу-
получается делением на с, т. е. равен аЕо. В рассеянной волне поток импульса
в телесном угле do равен Epr2 do = Eq da; проецируя его на направление
распространения падающей волны (очевидно, что искомая сила имеет это
направление) и интегрируя по всем углам, получим Eq J cos 9 da. Таким об-
образом, действующая на шарик сила равна
F = ?0 I (I-cos в) da.
Подставляя сюда da из задачи 1, получим
t =
9с4
§ 79. Поглощение звука
Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипа-
диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается,
т. е. его интенсивность постепенно уменьшается. Для вычисле-
вычисления диссипируемой в единицу времени энергии Еме^ воспользу-
воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энер-
энергия представляет собой не что иное, как максимальную работу,
которую можно получить при переходе из данного неравновесно-
неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия. Как
известно из термодинамики, максимальная работа совершается,
если переход происходит обратимым образом (т. е. без изменения
энтропии), и равна соответственно этому
^мех = Eq — E(S),
где Eq есть заданное начальное значение энергии тела в исходном
состоянии, a E(S)—энергия тела в состоянии равновесия с той
же энтропией о, которую тело имело вначале. Дифференцируя
по времени, получаем
^мех = -E(S) = ~T^S-
Производная от энергии по энтропии есть температура. По-
дЕ	r	r
этому — — температура, которую имело бы тело, если бы оно на-
нас/о
ходилось в состоянии термодинамического равновесия (с задан-
заданным значением энтропии). Обозначая эту температуру как То,
имеем, следовательно:
Воспользуемся для S выражением D9.6), включающим в се-
себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью,

422	звук	гл. viii
так и вязкостью. Поскольку температура Т мало меняется вдоль
жидкости и мало отличается от То, то можно вынести ее из-под
знака интеграла и писать Т вместо Tq:
T J	2 J \дхк dxi 3 dxi/
-C UdiYwfdV. G9.1)
Эта формула представляет собой обобщение формулы A6.3) на
случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности.
Пусть ось х совпадает с направлением распространения зву-
звуковой волны. Тогда
vx = ^o cos (kx — uot), vy = vz = 0.
Два последних члена в G9.1) дают
Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин;
усреднение дает
2/^4	\ 1
(Vq — объем жидкости).
Далее, вычислим первый член в G9.1). Отклонение Т' темпе-
температуры в звуковой волне от своего равновесного значения связа-
связано со скоростью формулой F4.13), так что градиент температу-
температуры равен
— = р	= — -—voksm{kx — cot).
дх	ср дх	ср
Для среднего по времени значения от первого члена в G9.1)
получаем
С помощью известных термодинамических формул
2с-^	G9.2)
с
дрУТ	ср \др/ s
можно переписать это выражение в виде
)к
cp)
Собирая полученные выражения, находим среднее значение
диссипации энергии в виде
(l )(ii)]	(TO,)
р
х, ( 1	1 \ j 2
— — — — — )к
2 Key cp)

§ 79	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА	423
Полная же энергия звуковой волны равна
E=^V0.	G9.4)
Введенный в § 25 коэффициент затухания волны определяет
закон уменьшения интенсивности со временем. Для звука, одна-
однако, обычно приходится иметь дело с несколько иной постанов-
постановкой задачи, в которой звуковая волна распространяется вдоль
жидкости и ее интенсивность падает с увеличением пройденного
расстояния х. Очевидно, что это уменьшение будет происходить
по закону е~27Ж, а для амплитуды — как е~7Ж, где коэффициент
поглощения 7 определяется следующим соотношением
7 = LTr—	G9.5)
2сЕ
Подставляя сюда G9.3) и G9.4), находим, таким образом, сле-
следующее выражение для коэффициента поглощения звука:
, ,2
7 =
А + Jl_ _ Ml = аад G9.6)
V	\cv cpj]	v J
2рс3
Отметим, что он пропорционален квадрату частоты звука г) .
Эта формула применима постольку, поскольку определяемый
ею коэффициент поглощения мал: должно быть мало относи-
относительное убывание амплитуды на расстояниях порядка длины вол-
волны (т. е. должно быть jc/uj^I). На этом предположении по суще-
существу основан изложенный вывод, так как мы вычисляли дисси-
диссипацию энергии с помощью незатухающего выражения для звуко-
звуковой волны. Для газов это условие фактически всегда выполнено.
Рассмотрим, например, первый член в G9.6). Условие jc/lj <С 1
означает, что должно быть исо/с2 <С 1. Но, как известно из кине-
кинетической теории газов, коэффициент вязкости v газа — порядка
величины произведения длины свободного пробега / на среднюю
тепловую скорость молекул; последняя совпадает по порядку ве-
величины со скоростью звука в газе, так что v ~ 1с. Поэтому имеем
	 < 1,	G9.7)
с2 с X
так как заведомо / <^ А. Член с теплопроводностью в G9.6) дает
то же самое, поскольку х ~ v-
1) Специфический механизм поглощения должен иметь место при распро-
распространении звука в двухфазной среде — эмульсии (М. А. Исакович, 1948). Вви-
Ввиду различия в термодинамических свойствах компонент эмульсии измене-
изменения их температуры при прохождении звуковой волны будут, вообще говоря,
различны. Возникающий при этом между ними теплообмен приведет к до-
дополнительному поглощению звука. Вследствие сравнительной медленности
этого теплообмена уже сравнительно рано возникает и существенная дис-
дисперсия звука.

424	звук	гл. viii
Что же касается жидкостей, то и здесь условие малости по-
поглощения выполняется всегда, когда вообще имеет смысл задача
о поглощении звука в той постановке, о которой здесь шла речь.
Поглощение (на длине волны) может стать большим, лишь если
силы вязких напряжений сравнимы с силами давления, возни-
возникающими при сжатии вещества. Но в таких условиях становится
неприменимым уже самое уравнение Навье-Стокса (с не завися-
зависящими от частоты коэффициентами вязкости) и возникает суще-
существенная, связанная с процессами внутреннего трения дисперсия
звука :) .
При поглощении звука соотношение между волновым векто-
вектором и частотой можно, очевидно, написать в виде
к = - + гаси2	G9.8)
с
(где а — коэффициент в G9.6)). Легко сообразить соответственно
этому, каким образом надо видоизменить уравнение бегущей зву-
звуковой волны для того, чтобы учесть в нем эффект поглощения.
Для этого замечаем, что в отсутствие поглощения дифференци-
дифференциальное уравнение для, скажем, давления р1 = р'(х — ct) можно
написать в виде
дх ~ с dt'
Уравнение же, решением которого была бы функция ег(кх~шг) с
к из G0.8), надо, очевидно, написать в виде
д_1 = _i_d_l оу_
дх	с dt	dt2	V J
Если ввести вместо t переменную т = t — ж/с, то это уравнение
перейдет в
дх	дт2
т. е. уравнение типа одномерного уравнения теплопроводности.
Общее решение этого уравнения можно написать в виде (см. § 51)
J (гп ч-\ 		/ rl (г'\ рул (г ~ т) rjr1	f7Q 1 С\\
Р уХ, Т J — 		I Pq уТ J сХр —	 GjT	у I с/ . 1\j J
(где Pq(t) = pf@, т)). Если волна излучалась в течение огра-
ограниченного промежутка времени, то на достаточно больших
:) Особый случай, когда возможно сильное поглощение звука, которое мо-
может быть рассмотрено обычными методами, — газ с аномально большой (по
сравнению с его вязкостью) теплопроводностью, связанной с посторонними
причинами, например, с лучистой теплопроводностью при очень высоких
температурах (ср. задачу 3 этого параграфа).

§ 79	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА	425
расстояниях от источника это выражение переходит в
р'(х, г) = —L= exp (~?^) [р'о(т') drf.	G9.11)
Другими словами, на больших расстояниях профиль волны опре-
определяется гауссовой кривой. Его ширина ^(ажI/2, т. е. растет про-
пропорционально корню из пройденного волной расстояния, ампли-
амплитуда же волны падает как ж/2. Отсюда легко заключить, что
полная энергия волны падает по тому же закону х~1'2.
Легко вывести аналогичные формулы для шаровых волн. При
этом надо учитывать, что для такой волны I p' dt = 0 (см. G0.8)).
Вместо G9.11) получим теперь
// \ , 1 д ехр [—т2/DагI
р г, т) = const •	—	—	—
± \ 1 /	г\	1/9
г от	г1'2
или
р'(г, г) = const • -±- ехр (-—) •	G9.12)
Сильное поглощение должно происходить при отражении зву-
звуковой волны от твердой стенки. Причина этого явления состоит
в следующем (K.F. Herzfeld, 1938; Б.П. Константинов, 1939).
В звуковой волне наряду с плотностью и давлением испы-
испытывает периодические колебания около своего среднего значе-
значения также и температура. Поэтому вблизи твердой стенки име-
имеется периодически меняющаяся по величине разность темпера-
температур между жидкостью и стенкой, даже если средняя температу-
температура жидкости равна температуре стенки. Между тем на самой
поверхности температуры соприкасающихся жидкости и стен-
стенки должны быть одинаковыми. В результате в тонком присте-
пристеночном слое жидкости возникает большой градиент температу-
температуры; температура быстро меняется от своего значения в звуко-
звуковой волне до температуры стенки. Наличие же больших гради-
градиентов температуры приводит к большой диссипации энергии пу-
путем теплопроводности. По аналогичной причине к большому по-
поглощению звука приводит при наклонном падении волны также
и вязкость жидкости. При таком падении скорость жидкости в
волне (по направлению распространения волны) имеет отличную
от нуля компоненту, касательную к поверхности стенки. Между
тем на самой поверхности жидкость должна полностью «прили-
«прилипать» к стенке. Поэтому в пристеночном слое жидкости возника-
возникает большой градиент касательной составляющей скорости :) , что
и приводит к большой вязкой диссипации энергии (см. задачу 1).
) Что касается нормальной составляющей скорости, то на стенке она рав-
равна нулю уже в силу граничных условий для идеальной жидкости.

426	звук	гл. viii
Задачи
1. Определить долю энергии, поглощаемой при отражении звуковой вол-
волны от твердой стенки. Плотность вещества стенки предполагается настолько
большой, что звук практически не проникает в него, а теплоемкость — на-
настолько большой, что температуру стенки можно считать постоянной.
Решение. Выбираем плоскость стенки в качестве плоскости х = 0, а
плоскость падения в качестве плоскости ху. Угол падения (равный углу от-
отражения) есть в. Изменение плотности в падающей волне в некоторой точке
на поверхности (скажем, в точке х = у = 0) есть pi = Ае~ги> . Отраженная
волна имеет ту же амплитуду, так что у стенки в ней р'2 = р'\. Реальное
изменение плотности жидкости, в которой распространяются одновременно
обе волны (падающая и отраженная), есть р = 2Ae~lujt. Скорость жидкости
в волне определяется согласно
V2 = -
Р	Р
Полная скорость на стенке v = vi + v2 есть поэтому
y
Р
(вернее, это есть то значение скорости, которое она имеет без учета верных
граничных условий на поверхности стенки при наличия вязкости). Истин-
Истинный ход скорости vy вблизи стенки определяется формулой B4.13), а свя-
связанная с вязкостью диссипация энергии — формулой B4.14), в которые надо
вместо voe~tujt подставить полученное выше выражение для v.
Отклонение Т' температуры от своего среднего значения (равного тем-
температуре стенки) без учета правильных граничных условий на стенке полу-
получилось бы равным (см. F4.13))
В действительности же распределение температуры определяется уравне-
уравнением теплопроводности с граничным условием Т' = 0 при х = 0 и соответ-
соответственно этому изображается формулой, в точности аналогичной B4.13).
Вычисляя связанную с теплопроводностью диссипацию энергии соглас-
согласно первому члену формулы G9.1), получим в результате для полной дисси-
диссипации энергии, отнесенной к единице площади поверхности стенки:
тр		 "^
-С'мех —
Р
Средняя плотность потока энергии, падающего на единицу поверхности
стенки с падающей волной, равна
—	с3 А2
cpv2 cos в = 	cos в.
2р
Поэтому доля энергии, поглощающейся при отражении, есть
2	sin2
с cos 0 |_
Это выражение справедливо лишь до тех пор, пока оно мало (при выводе
мы считали амплитуды падающей и отраженной волн одинаковыми). Это ус-
условие означает, что угол падения в не должен быть слишком близким к тг/2.

§ 79	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА	427
2. Определить коэффициент поглощения звука, распространяющегося
по цилиндрической трубе.
Решение. Основная доля поглощения обусловлена эффектом, про-
происходящим от наличия стенок. Коэффициент поглощения 7 равен энергии,
диссипируемой в единицу времени на поверхности стенок единицы длины
трубы, деленной на удвоенный полный поток энергии через поперечное се-
сечение трубы. Вычисление, аналогичное произведенному в задаче 1, приводит
к результату (R — радиус трубы):
7 =
3. Найти закон дисперсии для звука, распространяющегося в среде с
очень большой теплопроводностью.
Решение. При наличии большой теплопроводности движение в зву-
звуковой волне не адиабатично. Поэтому вместо условия постоянства энтропии
имеем теперь уравнение
•' = ^АГ'	A)
(линеаризованное уравнение D9.4) без вязких членов). В качестве второго
уравнения берем
р = Ар,	B)
получающееся путем исключения v из уравнений F4.2), F4.3). Выбирая в
качестве основных переменных р иТ', запишем р и s виде
р \дт)р +\dPJT- - \дт/р
Эти выражения подставляем в A) и B), после чего ищем Т', р в виде,
пропорциональном ег(кх-шЬ\ Условие совместимости получающихся таким
образом двух уравнений для р иТ можно привести (путем использования
ряда известных соотношений между производными от термодинамических
величин) к виду
/е4-?2(^ + -)+^- = 0,	C)
V4 х/ xc2s
чем и определяется искомая зависимость к от ш. Здесь введены обозначения
Cs = I — 1 , СТ = 1 — 1 = —
\dpjs	\dpJT 7
G — отношение теплоемкостей cp/cv).
В предельном случае малых частот (ш <^ с2 /\) уравнение C) дает
к =	Ь г
Cs
что соответствует распространению звука с обычной «адиабатической» ско-
скоростью с3 и малым коэффициентом поглощения, совпадающим со вторым
членом в G9.6). Так и должно было быть, поскольку условие из <^с2 j\ озна-
означает, что за время одного периода тепло успевает распространиться лишь
на расстояние ~д/х/а; (ср. E1.7)), малое по сравнению с длиной волны с/и.

428	звук	гл. viii
В обратном предельном случае больших частот из C) находим
LU	Ст / 2	2 \
к =	Ь г	(cs — ст).
Ст^ 2^C
В этом случае звук распространяется с «изотермической» скоростью ст
(всегда меньшей скорости с8). Коэффициент же поглощения оказывается
снова малым (по сравнению с обратной длиной волны), причем он не зависит
от частоты и обратно пропорционален теплопроводности г).
4. Определить дополнительное поглощение звука, распространяющегося
в смеси двух веществ, связанное с диффузией (И.Г. Шапошников и
З.А. Голъдберг, 1952).
Решение.В смеси имеется дополнительный источник поглощения
звука, связанный с тем, что возникающие в звуковой волне градиенты темпе-
температуры и давления приводят к появлению необратимых процессов
термо- и бародиффузии (градиента же массовой концентрации, а с ней и
чистой диффузии, очевидно, не возникает). Это поглощение определяется
членом
1 / д/i \ Г .2
^D\dCjvTJ 1
2dV
(
TpD\dC/ptT,
в скорости изменения энтропии E9.13) (мы обозначим здесь концентрацию
буквой С в отличие от скорости звука с). Диффузионный поток
с кр из E9.10). Вычисление, аналогичное произведенному в тексте, с ис-
использованием ряда соотношений между производными термодинамических
величин приводит к следующему результату: к выражению G9.6) для коэф-
коэффициента поглощения добавляется член
Duj2
2ср2 ^-
Н \дС
5. Определить эффективное сечение поглощения звука шариком, радиус
которого мал по сравнению с *Jv/ш.
Решение. Полное поглощение складывается из эффектов вязкости и
теплопроводности газа. Первый определяется работой стоксовой силы тре-
трения при обтекании шарика движущимся в звуковой волне газом (как и в
задаче 3 § 78, предполагается, что шарик не увлекается этой силой). Второй
эффект определяется количеством тепла д, передаваемым в единицу време-
времени от газа шарику (задача 3 § 78): диссипация энергии при передаче тепла q
:) Второй корень квадратного по к2 уравнения C) соответствует быстро
затухающим с х тепловым волнам. В предельном случае cjx^Cc2 этот корень
дает
в согласии с E2.15). В случае же и\ ^> с2 получается
к =

§ 80	АКУСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ	429
при разности температур Т' между газом (вдали от шарика) и шариком рав-
равна qT'/Т. Для суммарного эффективного сечения поглощения получается
выражение
§ 80. Акустическое течение
Одно из самых интересных проявлений влияния вязкости на
звуковые волны состоит в возникновении стационарных вихре-
вихревых течений в стоячем звуковом поле при наличии твердых пре-
препятствий или ограничивающих его твердых стенок. Это движе-
движение (его называют акустическим течением) появляется во вто-
втором приближении по амплитуде волны; его характерная особен-
особенность состоит в том, что скорость движения в нем (в простран-
пространстве вне тонкого пристеночного слоя) оказывается не зависящей
от вязкости,—хотя самим своим возникновением оно обязано
именно вязкости (Rayleigh, 1883).
Свойства акустического течения наиболее типичным образом
проявляются в условиях, когда характерная длина задачи (раз-
(размеры препятствий или области движения) мала по сравнению
с длиной звуковой волны А, но в то же время велика по срав-
сравнению с введенной в § 24 глубиной проникновения вязких волн
У '	А>/>?.	(80.1)
Ввиду последнего условия, в области движения можно выде-
выделить узкий акустический пограничный слой, в котором происхо-
происходит падение скорости от ее значения в звуковой волне до нуля на
твердой поверхности. Поскольку скорость газа в этом слое (как и
в самой звуковой волне) мала по сравнению со скоростью звука,
а его характерный размер — толщина 8 — мал по сравнению с А
(ср. условие A0.17)), то движение в нем можно рассматривать
как несжимаемое.
Рассмотрим акустический пограничный слой у плоской твер-
твердой стенки (плоскость xz), причем движение будем считать плос-
плоским—в плоскости ху (Н. Schlichting, 1932). Приближения, свя-
связанные с малой толщиной пограничного слоя, описаны в § 39 и
сохраняют силу для рассматриваемого нестационарного движе-
движения. Нестационарность приводит лишь к появлению в уравнении
Прандтля C9.5) членов с производными по времени:
°ъ+ д±+ дъ_ив^ = иш ?и	(80<2)
дь дх у ду ду2 дх dt'	v ;
(производная dp/dx выражена через скорость U(x, t) течения
вне пограничного слоя с помощью уравнения (9.3)). В данном
случае
U = vq cos kx • cos u)t = vq cos kx • Re e	(80.3)

430	звук	гл. viii
(к = о;/с), что соответствует стоячей плоской звуковой волне с
частотой со. Искомую скорость v в пограничном слое выразим
через функцию тока ф(х, у, t) согласно
дф	дф
ду	дх
чем автоматически удовлетворяется уравнение непрерывности
C9.6).
Будем решать уравнение (80.2) последовательными прибли-
приближениями по малой величине vq — амплитуде колебаний скорости
газа в звуковой волне. В первом приближении пренебрегаем ква-
квадратичными членами полностью. Решение уравнения
удовлетворяющее требуемым условиям при у = 0 и у = оо, есть
41} = Re {^o cos kx • е~ш A - е"^)},
где
—.	(80.4)
Соответствующая функция тока (удовлетворяющая условию
=0 при у = 0, эквивалентному условию Vy =0) есть
</>A) = Re {v0 cos А;ж ¦ СA) (y)e"ia;*},	(80.5)
В следующем приближении пишем v = v^1) + v^2^ и для ско-
скорости vB) получаем из (80.2) уравнение
^-,^^ = С/^_41)^-41)^- (80.6)
dt	ду2	дх х дх	х ду	V J
В правой части имеются члены с частотами ио + ио = 2ио и
о; — о; = 0. Последние приводят к появлению в vB) не завися-
зависящих от времени членов, которые и описывают интересующее нас
стационарное движение; ниже мы будем понимать под v^2^ толь-
только эту часть скорости. Соответствующую часть функции тока
запишем в виде
CB)C/)	(80.7)
С
и для функции С (у) находим уравнение
IRe(C(irC(D"
где штрихи означают дифференцирование по у.
I _ I|C(i)'|2 + IRe(C(irC(

§ 80	АКУСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ	431
Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям
?B)@) = 0, (^ @) = 0, эквивалентным требованию Vx — Vy =
= 0 на твердой поверхности. Что же касается условий вдали от
стенки, то можно лишь потребовать, чтобы скорость vx стреми-
стремилась к конечному значению (но не к нулю). Подстановка (80.5)
в (80.8) и двукратное интегрирование приводят к следующему
результату для производной ?v J :
СB)' (у) = 3-- 1-е-2У'5 - СУ'5 sin У- - 1-е-У'5 cos y- +
S КУ) 8 8	6 4	6
i У_е~У1
46
При у —>• оо она стремится к значению
СB)/(оо) = 3/8,	(80.9)
чему отвечает скорость
42)(оо) = ^$т2кх.	(80.10)
х v ) 8c	v ;
Этот результат демонстрирует указанное в начале парагра-
параграфа явление. Мы видим, что вне пограничного слоя возникает (во
втором приближении по vq) стационарное движение, скорость
которого не зависит от вязкости. Ее значение (80.10) служит
граничным условием при определении акустического течения в
основной области движения (см. задачу) :) .
Задача
Определить акустическое течение в пространстве между двумя плоско-
плоскопараллельными стенками (плоскости г/ = 0иг/ = /&),в котором имеется
стоячая звуковая волна (80.3). Расстояние h между плоскостями (играющее
роль, характерной длины I) удовлетворяет условиям (80.1) (Rayleigh, 1883).
Решение. Ввиду малости скорости v^ ' искомого стационарного дви-
движения по сравнению со скоростью звука, его можно считать несжимаемым.
Более того, ввиду предполагаемой сколь угодной малости скорости г>о в зву-
звуковой волне (а вместе с ней и скорости гт ^ ~ г>о/с), в уравнении движения
можно пренебречь квадратичными членами 2). Тогда уравнение A5.12) для
:) Поперечная скорость, отвечающая продольной скорости (80.9), есть
Vy =	у cos 2kx <C Vx .
4с
При решении задачи о движении вне пограничного слоя эта скорость возни-
возникает автоматически в силу уравнения непрерывности, если поставить гра-
ничное условие vy — 0 при у = 0.
) Другими словами, отношение vq/c предполагается малым по сравнению
со всеми другими малыми параметрами задачи; в частности, vq/c <^L 6/h.

432	звук	гл. viii
функции тока сводится к уравнению
*- + — 1V2) = О
х* dy2J
(отметим, что оно возникает из члена с вязкостью, но сама вязкость из
него выпадает). Ищем ф^ в виде (80.7). Ввиду условия h <С А производные
по у велики по сравнению с производными по х\ пренебрегая последними,
получим для функции (/ (у) уравнение
СB)"" = о.	A)
Ввиду очевидной симметрии задачи, течение симметрично относительно
плоскости у = h/2. Это значит, что
v(x2)(x, у) = v(x2)(x, h - у), v^{x, у) = -«<2)(х, h - у),
для чего должно быть
Таким решением уравнения A) является
s
Постоянные А л В определяются граничными условиями
СB)(о) = о, СB)'(о) = з/8.
В результате находим для функции тока выражение
Ф 5ш2кхЦу +
16с	L V 2/ (Л/2J
а из него следующие окончательные формулы для распределения скоростей:
B) _
Vy _
16с	L	(Л/2J
/
Скорость Vx меняет знак на расстоянии (/г/2) (l — З^2) = 0,423/г/2 от
стенки.
Описываемое этими формулами течение состоит из двух рядов вихрей,
симметрично расположенных относительно серединной плоскости у = h/2 и
периодичных вдоль оси х с периодом Л/2.
§ 81. Вторая вязкость
Второй коэффициент вязкости ? (мы будем говорить о нем
просто как о второй вязкости) имеет обычно тот же порядок
величины, что и коэффициент вязкости г/. Существуют, однако,
случаи, когда ? может достигать значений, значительно превы-
превышающих значения г/. Как мы знаем, вторая вязкость проявляет-
проявляется в тех процессах, которые сопровождаются изменением объема
(т. е. плотности) жидкости. При сжатии или расширении, как и

§ 81	ВТОРАЯ ВЯЗКОСТЬ	433
при всяком другом быстром изменении состояния, в жидкости
нарушается термодинамическое равновесие, в связи с чем в ней
начинаются внутренние процессы, стремящиеся восстановить это
равновесие. Обычно эти процессы настолько быстры (т. е. их вре-
время релаксации настолько мало), что восстановление равновесия
успевает практически полностью следовать за ходом изменения
объема, если только, конечно, скорость этого изменения не слиш-
слишком велика.
Существуют случаи, когда время релаксации процессов уста-
установления равновесия в теле велико, т. е. эти процессы протекают
сравнительно медленно. Так, если мы имеем дело с жидкостью
или газом, представляющими собой смесь веществ, между кото-
которыми может происходить химическая реакция, то при каждых
данных плотности и температуре существует определенное со-
состояние химического равновесия, характеризующееся определен-
определенными концентрациями веществ в смеси. Если, например, сжать
жидкость, то состояние равновесия нарушится и начнет происхо-
происходить реакция, в результате которой концентрации веществ будут
стремиться принять равновесные значения, соответствующие но-
новому значению плотности (и температуры). Если скорость этой
реакции не слишком велика, то установление равновесия проис-
происходит сравнительно медленно и не будет поспевать за измене-
изменением сжатия. Процесс сжатия будет сопровождаться тогда вну-
внутренними процессами приближения к состоянию равновесия. Но
процессы установления равновесия являются процессами необра-
необратимыми; они сопровождаются возрастанием энтропии и, следо-
следовательно, диссипацией энергии. Поэтому, если время релаксации
этих процессов велико, то при сжатии или расширении жидко-
жидкости происходит значительная диссипация энергии, и поскольку
эта диссипация должна определяться второй вязкостью, то мы
приходим к выводу, что ( будет велико :) .
Интенсивность процессов диссипации, а с ними и величина ?,
зависит, естественно, от соотношения между скоростью процес-
процессов сжатия и расширения и временем релаксации. Если, напри-
например, речь идет о сжатиях и расширениях, вызываемых звуковой
волной, то вторая вязкость будет зависеть от частоты волны.
Таким образом, значение второй вязкости не будет просто кон-
константой, характеризующей данное вещество, а само будет зави-
зависеть от частоты того движения, в котором она проявляется. О
зависимости величины ( от частоты говорят как о ее дисперсии.
Излагаемый ниже метод общего рассмотрения всех этих яв-
явлений принадлежит Л. И. Мандельштаму и М.А. Леонтовичу
A937).
г) Медленным процессом, приводящим к большим ?, часто является также
передача энергии от поступательных степеней свободы молекул к колеба-
колебательным (внутримолекулярным) степеням свободы.

434	звук	гл. viii
Пусть ? — некоторая физическая величина, характеризующая
состояние тела, а ?о — ее значение в состоянии равновесия; ?о яв-
является функцией от плотности и температуры. Так, для жидких
(или газовых) смесей величиной ? может являться концентрация
одного из веществ в смеси, а ?о есть тогда значение концентрации
при химическом равновесии.
Если тело не находится в состоянии равновесия, то величи-
величина ? будет меняться со временем, стремясь принять значение ?о-
В состояниях, близких к равновесному, разность ? — ?о мала, и
можно разложить скорость ? изменения ? в ряд по этой разно-
разности. Член нулевого порядка в этом разложении отсутствует, так
как ? должно обратиться в нуль в состоянии равновесия, т. е. при
? = ?о- Поэтому с точностью до членов первого порядка имеем
? = --(!; -Ы-	(81.1)
т
Коэффициент пропорциональности между ? и ? — ?о должен
быть отрицательным, так как в противном случае ? не стреми-
стремилось бы к конечному пределу. Положительная постоянная т име-
имеет размерность времени и может рассматриваться как время ре-
релаксации для данного процесса; чем т больше, тем медленнее
происходит приближение к равновесию.
В дальнейшем мы будем рассматривать процессы, в кото-
которых жидкость подвергается периодическому адиабатическому х)
сжатию и расширению, так что переменная часть плотности (и
других термодинамических величин) зависит от времени посред-
посредством множителя e~lujt] речь идет о звуковой волне в жидкости.
Вместе с плотностью и другими величинами меняется также и
положение равновесия, так что ?о можно написать в виде ?о =
= ?оо + ?о' гДе ?оо — постоянное значение ?о > соответствующее
среднему значению плотности, a ?q — периодическая часть, про-
пропорциональная e~lujt. Написав истинное значение ? в виде ? =
= ?оо + ?75 мы видим из уравнения (81.1), что ?7 тоже является
периодической функцией времени и связано с ?q соотношением
е = т^^—	(81-2)
Вычислим производную от давления по плотности при рас-
рассматриваемом процессе. Давление должно теперь рассматри-
рассматриваться как функция от значений плотности и величины ? в дан-
данном состоянии, а также от энтропии, которая предполагается
*) Изменение энтропии (в состояниях, близких к равновесному) является
величиной второго порядка малости. Поэтому с точностью до величин пер-
первого порядка можно говорить об адиабатичности процесса.

§ 81	вторая вязкость	435
постоянной и которую мы будем для краткости просто опускать.
Имеем
dp (dp\ . (dp\ di
— = — + I — —•
dp \др/? Kd^Jpdp
Согласно (81.2) подставляем сюда
dp dp 1 — гит dp 1 — гит dp
и получаем
dp 1 — zcjt I Vap/? \dt,J p dp	\dp
Сумма
/dp\ (dp\ d^o
\dp/ ? \d^J p dp
есть не что иное, как производная от р по р при процессе на-
настолько медленном, что жидкость находится все время в состоя-
состоянии равновесия; обозначая ее через (dp/dp)p3iBUi имеем оконча-
окончательно:
Op	i-	I 0р \	• / 0р \ I	/ о 1 о \
dp 1 — гит L \др/ равн	\dp/?J
Пусть, далее, ро —давление в состоянии термодинамического
равновесия; ро связано с другими термодинамическими величи-
величинами уравнением состояния жидкости и является при заданных
плотности и энтропии вполне определенной величиной. Давле-
Давление же р в неравновесном состоянии отлично от р$ и является
функцией также и от (. Если плотность получает адиабатиче-
адиабатическое приращение 5р, то равновесное давление меняется на
)
p / равн
между тем как полное приращение давления есть (др/дрMр, где
др/др определяется формулой (81.3). Поэтому разность р — ро
между истинным и равновесным давлениями в состоянии с плот-
плотностью р + 8р равна
) КтЧ(?)
р/равнJ	1 — гит L \dpJ равн
Нас интересуют здесь те изменения плотности, которые обу-
обусловлены движением жидкости. Тогда 5р связано со скоростью
уравнением непрерывности, которое мы напишем в виде
—- + pdiv v = О,
dt

436	звук	гл. viii
где d/dt обозначает полную производную по времени. При пе-
периодическом движении имеем: dSp/dt = —iuiSp, и поэтому
5р = — divv.
Подставляя это выражение в р — _ро, получаем
Р-Ро = ^-^(со -4,) divv,	(81.4)
где введены обозначения
2 _ (др\	9
VOp J равн
смысл которых выяснится ниже.
Для того чтобы связать полученные выражения с вязкостью
жидкости, напишем тензор напряжений <т^. В этот тензор дав-
давление входит в виде члена —pS^. Выделяя отсюда давление ро?
определяющееся уравнением состояния, находим, что в неравно-
неравновесном состоянии в aik входит дополнительный член
-(p-poNik = i T_9^ (c4 -cl)Sik divv.
С другой стороны, сравнивая это с общим выражением A5.2),
A5.3) для тензора напряжений, в которое divv входит в виде
(divv, мы приходим к результату, что наличие медленных про-
процессов установления равновесия макроскопически эквивалентно
наличию второй вязкости, равной
с = г^(<4-с*).	(81.6)
На обычную же вязкость г/ эти процессы не влияют. При процес-
процессах, настолько медленных, что тио <^ 1, ( равно
Со = тр(с2оо-с20).	(81.7)
( растет с увеличением времени релаксации г в согласии со ска-
сказанным выше. При больших частотах ( оказывается функцией
частоты, т. е. обнаруживает дисперсию.
Рассмотрим теперь вопрос о том, каким образом влияет на-
наличие процессов с большим временем релаксации (для опреде-
определенности будем говорить о химических реакциях) на распро-
распространение звука в жидкости. Для этого можно было бы исхо-
исходить из уравнения движения вязкой жидкости с С, определяе-
определяемым формулой (81.6). Проще, однако, рассматривать движение
формально как не вязкое, но с давлением р, определяющимся
не уравнением состояния, а полученными здесь формулами. То-
Тогда все известные нам уже из § 64 общие соотношения остаются

§ 81	вторая вязкость	437
формально применимыми. В частности, связь волнового векто-
вектора с частотой по-прежнему определяется формулой к = о;/с, где
с = (др/дрI/2, причем производная др/др равна выражению
(81.3). (Величина с не имеет, однако, теперь смысла скорости
звука уже хотя бы потому, что она комплексна.) Таким образом,
получаем
1 — iuJT	/o-i п\
-—т—'	(81-8)
Определяемый этой формулой «волновой вектор» является
величиной комплексной. Легко выяснить смысл этого обстоя-
обстоятельства. В плоской волне все величины зависят от координа-
координаты х (в направлении распространения) посредством множителя
е . Написав к в виде к = k\-\-ik2 с вещественными к\ и &2, полу-
получаем егкх = elklXe~k<2X, т. е. наряду с периодическим множителем
к	к
получается также затухающий множитель е к2Х (&2 должно
быть, конечно, положительным). Таким образом, комплексность
волнового вектора является формальным выражением того, что
волна затухает, т. е. имеет место поглощение звука. При этом
вещественная часть комплексного «волнового вектора» опреде-
определяет изменение фазы волны с расстоянием, а мнимая его часть
есть коэффициент поглощения.
Нетрудно отделить в (81.8) вещественную и мнимую части; в
общем случае произвольных ио выражения для к\ и к,2 довольно
громоздки, и мы не выписываем их здесь. Существенно, что к\
(как и &2) является функцией частоты. Таким образом, если в
жидкости могут происходить химические реакции, то распро-
распространение звука с достаточно большими частотами сопровожда-
сопровождается дисперсией.
В предельном случае малых частот (иот <С 1) формула (81.8)
дает в первом приближении к = о;/со, что соответствует распро-
распространению звука со скоростью со- Так, разумеется, и должно бы-
было быть: условие oor^l означает, что период 1/ио звуковой волны
велик по сравнению со временем релаксации; другими словами,
установление химического равновесия практически успевает сле-
следовать за колебаниями плотности в звуковой волне, и поэтому
скорость звука должна определяться равновесной производной
(др/др)р&1Ш. В следующем приближении имеем
к = - + ^{с1-с1),	(81.9)
со	2cg
т. е. появляется затухание с коэффициентом, пропорциональным
квадрату частоты. С помощью (81.7) мнимую часть к можно на-
написать в виде кч = o;2(o/Bpcq); это совпадает с зависящей от ?

438	звук	гл. viii
частью коэффициента поглощения 7 G9.6), полученного без
учета дисперсии.
В обратном предельном случае больших частот (wr>l) име-
имеем в первом приближении к = cj/cqo, т. е. распространение звука
со скоростью Cqo—результат опять-таки естественный, посколь-
поскольку при иот^> 1 можно считать, что за время одного периода реак-
реакция вовсе не успевает произойти; поэтому скорость звука долж-
должна определяться производной (др/др)^ взятой при постоянных
концентрациях. В следующем приближении имеем
к = — + гс°°~с°.	(81.10)
г	9тг3
Коэффициент поглощения оказывается не зависящим от часто-
частоты. При переходе ота;<С1/тка;>1/г этот коэффициент моно-
монотонно возрастает, стремясь к постоянному значению, определяе-
определяемому формулой (81.10). Заметим, что величина А^Аъ характе-
характеризующая поглощение на расстоянии, равном длине волны, ока-
оказывается в обоих предельных случаях малой (A^/fcx <C 1 ); она
имеет максимум при некоторой промежуточной частоте (равной
UT = л/С0/Соо).
Уже из формулы, например, (81.7) видно, что
Сое > СО	(81.11)
(поскольку должно быть ( > 0). В том же самом можно убедить-
убедиться с помощью простых рассуждений на основании принципа Ле-
Шателье.
Предположим, что под влиянием внешнего воздействия объ-
объем системы уменьшается (а плотность увеличивается). Этим си-
система выводится из состояния равновесия, и согласно принци-
принципу Ле-Шателье в ней должны начаться процессы, стремящие-
стремящиеся уменьшить давление. Это значит, что величина др/др будет
уменьшаться, и когда система вновь вернется в состояние рав-
равновесия, значение др/др = с2 будет меньшим, чем оно было в
неравновесном состоянии.
При выводе всех формул мы предполагали, что имеется все-
всего один медленный внутренний процесс релаксации. Возможны
также и случаи, когда имеется одновременно несколько различ-
различных таких процессов. Все формулы могут быть без труда обоб-
обобщены на такой случай. Вместо одной величины ? мы будем иметь
теперь ряд величин ?i, ?2, • • • , характеризующих состояние те-
тела, и соответственно ряд времен релаксации ri, Т2, ... Выберем
величины t;n таким образом, чтобы каждая из производных ?п
зависела только от соответствующего ?п, т. е. чтобы было
6г = --Fг-Ы-	(81-12)

§ 81	вторая вязкость	439
Вычисления, вполне аналогичные предыдущим, приводят тогда
к формуле
2 (др\
где c^q = ( —- 1 , а постоянные ап равны
\dpJ f
равн
При всего одной величине ? эта формула, как и должно быть,
переходит в формулу (81.3).

ГЛАВА IX
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
§ 82. Распространение возмущений в потоке
сжимаемого газа
Когда скорость движения жидкости делается сравнимой со
скоростью звука или превышает ее, на передний план выдвига-
выдвигаются эффекты, связанные с сжимаемостью жидкости. С такого
рода движениями приходится на практике иметь дело у газов.
Поэтому о гидродинамике больших скоростей говорят обычно
как о газодинамике.
Прежде всего следует заметить, что в газодинамике практи-
практически всегда приходится иметь дело с очень большими значения-
значениями числа Рейнольдса. Действительно, кинематическая вязкость
газа, как известно из кинетической теории газов,— порядка ве-
величины произведения длины свободного пробега молекул / на их
среднюю скорость теплового движения; последняя же совпадает
по порядку величины со скоростью звука, так что v ~ с/. Если
характеристическая скорость газодинамической задачи — поряд-
порядка величины скорости звука или больше, то число Рейнольдса
R ~ Lujv ~ Lu/lc, т. е. содержит заведомо очень большое отно-
отношение характеристических размеров L к длине свободного про-
пробега / х) . Как всегда, при очень больших значениях R вязкость
оказывается не существенной для движения газа практически во
всем пространстве, и в дальнейшем мы везде (за исключением
лишь особо оговоренных мест) рассматриваем газ как идеальную
(в гидродинамическом смысле слова) жидкость.
Движение газа имеет существенно различный характер в за-
зависимости от того, является ли оно дозвуковым или сверхзвуко-
сверхзвуковым, т. е. меньше или больше его скорость, чем скорость зву-
звука. Одним из наиболее существенных принципиальных отличий
сверхзвукового потока является возможность существования в
нем так называемых ударных волн, свойства которых будут по-
подробно рассмотрены в следующих параграфах. Здесь же мы рас-
рассмотрим другую характерную особенность сверхзвукового дви-
1) Мы не рассматриваем вопроса о движении тел в очень разреженных
газах, в которых длина пробега молекул сравнима с размерами тел. Этот
вопрос по существу не является гидродинамической проблемой и должен
рассматриваться с помощью кинетической теории газов.

§ 82	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ	441
жения, связанную со свойствами распространения в газе малых
возмущений.
Если в каком-нибудь месте стационарно движущийся газ под-
подвергается слабому возмущению, то влияние этого возмущения
распространяется затем по газу со скоростью (относительно са-
самого газа), равной скорости звука. Скорость же распростране-
распространения возмущения относительно неподвижной системы координат
складывается из двух частей: во-первых, возмущение сносится
потоком газа со скоростью v и, во-вторых, распространяется от-
относительно газа со скоростью с в некотором направлении п. Рас-
Рассмотрим для простоты однородный плоско-параллельный поток
газа с постоянной скоростью v. Пусть в некоторой (неподвижной
в пространстве) точке О газ подвергается малому возмущению.
Скорость v + сп распространения исходящего из точки О воз-
возмущения (относительно неподвижной системы координат) раз-
различна в зависимости от направления единичного вектора п. Все
возможные ее значения мы получим, отложив из точки О век-
вектор v, а из его конца, как из центра, построив сферу радиуса
с; векторы, проведенные из О в точки этой сферы, и определят
возможные величины и на-
направления скорости распро-
распространения возмущения. Пред-
Предположим сначала, что v < с.
Тогда векторы v + сп могут
иметь любое направление в
пространстве (рис. 50 а). Дру-
Другими словами, в дозвуковом
потоке возмущение, исходя-	а
щее из некоторой точки, рас-	Рис. 50
пространяется в конце концов
по всему газу. Напротив, в сверхзвуковом потоке, v > с, направ-
направления векторов v + сп, как видно из рис. 50 5, могут лежать
только внутри конуса с вершиной в точке О, касающегося по-
построенной из конца вектора v, как из центра, сферы. Для угла
раствора 2а этого конуса имеем, как видно из чертежа:
c/v.	(82.1)
Таким образом, в сверхзвуковом потоке исходящее из некото-
некоторой точки возмущение распространяется только вниз по течению
внутри конуса с углом раствора тем меньшим, чем меньше отно-
отношение c/v. На всей области потока вне этого конуса возмущение
в точке О не отразится вовсе.
Определяемый равенством (82.1) угол называют углом Маха.
Отношение же v/c, весьма часто встречающееся в газодинамике,
называют числом Маха:
М = v/c.	(82.2)

442	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Поверхность, ограничивающую область, которую достигает ис-
исходящее из заданной точки возмущение, называют поверхностью
Маха или характеристической поверхностью.
В общем случае произвольного стационарного течения эта по-
поверхность не является уже конической во всем объеме потока.
Можно, однако, по-прежнему утверждать, что она пересекает в
каждой своей точке линию тока под углом, равным углу Маха.
Значение же угла Маха меняется от точки к точке соответствен-
соответственно изменению скоростей v и с.
Подчеркнем здесь, кстати, что при движении с большими ско-
скоростями скорость звука различна в разных местах газа — она ме-
меняется вместе с термодинамическими величинами (давлением,
плотностью и т. д.), функцией которых она является :) . О скоро-
скорости звука как функции координат точки говорят как о местной
скорости звука.
Описанные свойства сверхзвукового течения придают ему ха-
характер, совершенно отличный от характера дозвукового движе-
движения. Если дозвуковой поток газа встречает на своем пути какое-
либо препятствие, например, обтекает какое-либо тело, то нали-
наличие этого препятствия изменяет движение во всем пространстве
как вверх, так и вниз по течению; влияние обтекаемого тела исче-
исчезает лишь асимптотически при удалении от тела. Сверхзвуновой
же поток натекает на препятствие «сле-
«слепо»; влияние обтекаемого тела прости-
простирается лишь на область вниз по тече-
течению 2) , а во всей остальной области про-
пространства вверх по течению газ движется
так, как если бы никакого тела вообще не
было.
В случае плоского стационарного те-
течения газа вместо характеристических
поверхностей можно говорить о характе-
характеристических линиях (или просто харак-
характеристиках) в плоскости движения. Че-
Через всякую точку О этой плоскости про-
проходят две характеристики (AAf и В В1 на рис. 51), пересекающие
проходящую через эту же точку линию тока под углами, рав-
равными углу Маха. Ветви О А и О В характеристик, направленные
вниз по течению, можно назвать исходящими из точки О; они
ограничивают область АОВ течения, на которую могут влиять
исходящие из точки О возмущения. Ветви же В'О и А'О мож-
) При изучении звуковых волн в гл. VIII мы могли считать скорость звука
постоянной.
) Во избежание недоразумений оговорим, что если перед обтекаемым
телом возникает ударная волна, то эта область несколько увеличивается
(см. § 122).

§ 82	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ	443
но назвать приходящими в точку О; область А'О В' между ними
есть та область течения, которая может влиять на движение в
точке О.
Понятие о характеристиках (в трехмерном случае — характе-
характеристических поверхностях) имеет и несколько иной аспект. Это —
лучи, вдоль которых распространяются возмущения, удовлетво-
удовлетворяющие условиям геометрической акустики. Если, например,
стационарный сверхзвуковой поток газа обтекает достаточно ма-
малое препятствие, то вдоль отходящих от этого препятствия ха-
характеристик расположится стационарное возмущение движения
газа. К этому результату мы пришли еще в § 68 при изучении
геометрической акустики движущихся сред.
Говоря о возмущении состояния газа, мы подразумеваем сла-
слабое изменение каких-либо характеризующих это состояние ве-
величин: скорости, плотности, давления и т. п. По этому поводу
необходимо сделать следующую оговорку: со скоростью звука
не распространяются возмущения значений энтропии газа (при
постоянном давлении) и ротора его скорости. Эти возмущения,
раз возникнув, не перемещаются вовсе относительно газа, а от-
относительно неподвижной системы координат переносятся вместе
с газом со скоростью, равной скорости каждого данного его эле-
элемента. Для энтропии это является непосредственным следствием
закона ее сохранения (в идеальной жидкости), который как раз и
означает, что энтропия каждого элемента газа остается постоян-
постоянной при его перемещении. Для ротора скорости (завихренности)
то же самое следует из закона сохранения циркуляции. Для этих
возмущений характеристиками являются сами линии тока.
Подчеркнем, что последнее обстоятельство не меняет, разу-
разумеется, общей справедливости высказанных выше утверждений
об областях влияния, так как для них был существен лишь факт
существования наибольшей возможной (равной скорости звука)
скорости распространения возмущений относительно самого
газа.
Задача
Найти соотношения между малыми изменениями скорости и термоди-
термодинамических величин при произвольном малом возмущении в однородном
потоке газа.
Решение. Обозначим малые изменения величин при возмущении
символом S (вместо штриха, как в § 64). В линейном по этим величинам
приближении уравнение Эйлера принимает вид
— + (vV)?v+-V?p = 0	A)
ot	р
(v — постоянная невозмущенная скорость потока), уравнение сохранения эн-
энтропии:
+vVEs 0,	B)
at

444	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
и уравнение непрерывности:
^ + vV6p + pc2 div 6v = 0	C)
ot
(здесь подставлено 6р = с~26р + (dp/ds)p6s; члены с 6s выпадают в силу
B)). Для возмущения вида ехр [г(кг — out)] находим систему алгебраических
уравнений:
(vk - и) 6 s = 0, (vk - и) 6v + к др/р = О,
(vk - и) 6р + pc2k6v = 0.
Отсюда видно, что возможны два вида возмущений.
В одном из них (энтропийно-вихревая волна)
cj = vk, 6s ф 0, 6р = 0, 6р=(^Л 6s
\dsjp
отлична от нуля также и завихренность rot ^v = i[k#v]. Возмущения 6s и ^v
в этой волне независимы. Равенство ио = vk означает перенос возмущения
движущимся газом.
В другом типе возмущений
(cj-vkJ =c2k2, 6s = 0, 6р = с26р,
(и — vk) 6p = pc k ?v, [к ^v] = 0.
Это — звуковая волна с частотой, сдвинутой эффектом Доплера. Задание
возмущения одной из величин в этой волне определяет возмущения всех
остальных величин.
§ 83. Стационарный поток сжимаемого газа
Уже непосредственно из уравнения Бернулли можно полу-
получить ряд общих результатов, касающихся произвольного адиаба-
адиабатического стационарного движения сжимаемого газа. Уравнение
Бернулли для стационарного движения имеет вид
2
w + — = const,
где const — величина, постоянная вдоль каждой из линий тока
(если же движение потенциально, то const одинакова и для раз-
разных линий тока, т. е. во всем объеме жидкости). Если на одной
линии тока есть точка, в которой скорость газа равна нулю, то
можно написать уравнение Бернулли так:
w + — =w0,	(83.1)
где г^о — значение тепловой функции в точке с v = 0.
Уравнение сохранения энтропии при стационарном движении
сводится к vVs = vds/dl = 0, т. е. s = const, где const есть опять
величина, постоянная вдоль линии тока. Напишем это уравнение
в виде, аналогичном (83.1):
s = s0.	(83.2)

§ 83	СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК СЖИМАЕМОГО ГАЗА	445
Из уравнения (83.1) видно, что скорость v больше в тех ме-
местах, где тепловая функция w меньше. Максимальное (вдоль
данной линии тока) значение скорость имеет в точке, в которой
w минимально. Но при постоянной энтропии имеем dw = dp/ p]
поскольку р > 0, то дифференциалы dw и dp имеют одинако-
одинаковые знаки и потому изменение w и р направлено всегда в одну
сторону. Следовательно, можно сказать, что вдоль линии тока
скорость всегда падает с увеличением давления, и наоборот.
Наименьшее возможное значение давление и тепловая функ-
функция получают (при адиабатическом процессе) при равной нулю
абсолютной температуре Т = 0. Соответствующее значение дав-
давления есть р = 0, а значение w при Т = 0 примем условно за
нулевое значение, от которого отсчитывается энергия; тогда бу-
будет и w = 0 при Т = 0. Из (83.1) получаем теперь, что наи-
наибольшее возможное значение скорости (при заданном значении
термодинамических величин в точке с v = 0) равно
%ах = у/Ъщ.	(83.3)
Эта скорость может достигаться при стационарном вытекании
газа в вакуум х) .
Выясним теперь характер изменения вдоль линии тока плот-
плотности потока жидкости j = pv. Из уравнения Эйлера (vV)v =
= —Vp/p находим, что вдоль линии тока имеет место соотноше-
соотношение
р
между дифференциалами dv и dp. Написав dp = c2dp, имеем
отсюда
± = -Р1	(83.4)
dv	сг
и затем:
—— — /9A — — ).	[Ъб.Ъ)
dv	\ с1 J
Отсюда видно, что по мере возрастания скорости вдоль линии то-
тока плотность потока возрастает до тех пор, пока скорость остает-
остается дозвуковой. В области же сверхзвукового движения плотность
потока падает с увеличением скорости и обращается в нуль вме-
вместе с р при v = vmax (рис. 52). Это существенное различие меж-
между до- и сверхзвуковыми стационарными потоками может быть
истолковано наглядно еще и следующим образом. В дозвуковом
потоке линии тока сближаются друг с другом в направлении уве-
увеличения скорости. При сверхзвуковом же движении линии тока
расходятся по мере увеличения скорости.
:)В действительности, конечно, при сильном понижении температуры
должна произойти конденсация газа и образование двухфазной системы —
тумана.

446
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. IX
Поток j имеет максимальное значение j* в точке, в которой
скорость газа равна местному значению скорости звука:
1,00
J* = /9*С*
0,50
(83.6)
где буквы с индексом * показыва-
показывают значения соответствующих ве-
величин в этой точке. Скорость г;* =
с* называют критической. В
общем случае произвольного газа
Рис- 52	критические значения величин мо-
могут быть выражены через значения величин в точке с v = 0 в
результате совместного решения уравнений
/
/
"Ч
\
\
0 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 =
2
(83.7)
Очевидно, что всякий раз, когда число М = v/c < 1, мы
будем также иметь v/c* < 1, а когда М > 1, то и v/c* > 1.
Поэтому в данном случае отношение М* = v/c* может служить
критерием, аналогичным числу Маха, и даже более удобным, по-
поскольку с* есть величина постоянная в противоположность ско-
скорости с, меняющейся вдоль потока.
В применениях общих уравнений гидродинамики особое ме-
место занимает термодинамически идеальный газ. Говоря о таком
газе, мы будем всегда (за исключением только особо оговорен-
оговоренных случаев) считать, что его теплоемкость является постоянной
величиной, не зависящей от температуры (в интересующей нас
температурной области). Такой газ часто называют политроп-
ным] мы будем пользоваться этим термином, имея в виду под-
подчеркнуть каждый раз, что речь идет о предположении, идущем
гораздо дальше термодинамической идеальности. Для политроп-
ного газа известны все соотношения между термодинамическими
величинами, выражающиеся к тому же весьма простыми форму-
формулами; это часто дает возможность до конца решать уравнения
гидродинамики. Выпишем здесь, для справок, эти соотношения,
которыми нам неоднократно придется пользоваться в дальней-
дальнейшем.
Уравнение состояния термодинамически идеального газа гла-
гласит
ру = ? = ^,	(83.8)
р f1
где R = 8,314 • 10 эрг/К-моль — газовая постоянная, a \i — моле-
молекулярная масса газа. Скорость звука в таком газе была вычис-
вычислена в § 64 и дается формулой
2 RT р
с =7— =7->
fi	P
(83.9)

s cvT
7-1 7G-1)
Для тепловой функции имеют место аналогичные формулы
§ 83	СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК СЖИМАЕМОГО ГАЗА	447
где введено отношение теплоемкостей
7=?Е.
Су
Это отношение всегда больше единицы, а для политропного газа
оно постоянно. Для одноатомных газов 7 — 5/3, а для двухатом-
двухатомных 7 — 7/5 (при обычных температурах) х) .
Внутренняя энергия политропного газа с точностью до несу-
несущественной аддитивной постоянной равна
*	^	(83.10)
лы
w = CvT=^- = ^-	(83.11)
7 — 1 j — 1
Здесь учтено известное соотношение ср — cv = R//J,. Наконец,
энтропия газа
s = cv\n^- = cpln^.	(83.12)
Р1	Р
Вернемся к изучению стационарного движения и применим
полученные выше общие соотношения к политропному газу. Под-
Подставив (83.11) в (83.3), найдем, что максимальная скорость ста-
стационарного вытекания равна
/ 9
—y •	(83.13)
Для критической же скорости из второго уравнения (83.7)
получим
+
7-1 2
?i = Wo =
2
откуда 2)
7
Уравнение Бернулли (83.1) после подстановки выражения
(83.11) для тепловой функции даст соотношение между темпе-
температурой и скоростью в произвольной точке линии тока; анало-
аналогичные соотношения для давления и плотности можно затем
:) Название газа «политропный» происходит от термина «политропный
процесс» — процесс, в котором давление меняется обратно пропорционально
некоторой степени объема. Для газа с постоянными теплоемкостями тако-
таковым является не только изотермический, но и адиабатический процесс, для
которого pV1 = const (адиабата Пуассона). Отношение теплоемкостей 7 на-
называют показателем адиабаты.
) На рис. 52 дан график отношения j/j* в функции от v/c* для воздуха
G = 1,4, %ах = 2,45с*).

448	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
написать с помощью уравнения адиабаты Пуассона:
1
-1, p = po(-E-Y.	(83.15)
\ро /
Таким образом, получим следующие важные формулы:
2
2 cj
(8316)
Иногда удобно пользоваться этими соотношениями в виде, опре-
определяющем скорость через другие величины:
7-
1-М!-
- -??-afi - (-е-)'!- (83.17)
7 - 1 Ро I Vpo/ J
Выпишем также соотношение, связывающее скорость звука со
скоростью v:
с2 = 4 - ^ = l±±d - Х^2.	(83.18)
Отсюда найдем, что числа М и М* связаны друг с другом соот-
соотношением
М	в	(83<19)
* 2/М2+7-1
Когда М растет от 0 до оо, М^ растет от 0 до G + 1)/G ~ !)•
Наконец, приведем выражения для критических значений
температуры, давления и плотности; они получаются при v = с*
из формул (83.16) :) :
7	1
Т* = ^-, p^pJ-M-r-i, p# = po(_^O-ie (8з.2О)
7 + 1	\7 +1/	\7 + 1/
Подчеркнем в заключение, что полученные здесь результаты
относятся к движению, при котором не возникают ударные вол-
волны. При наличии ударных волн не имеет места уравнение (83.2):
:) Так, для воздуха G = 1,4)
с* = 0,913со, р* = 0,528р0, Р* = 0,634ро, Т* = 0,833То.

§ 84	ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА	449
при прохождении линии тока через ударную волну энтропия газа
возрастает.
Мы увидим, однако, что уравнение Бернулли (83.1) остается
справедливым и при наличии ударной волны, так как w + v2/2
является как раз одной из величин, сохраняющихся при прохо-
прохождении через поверхность разрыва (§ 85); вместе с ним остается,
например, справедливой и формула (83.14).
Задача
Выразить температуру, давление и плотность вдоль линии тока через
число М = v/c.
Решение.С помощью полученных в тексте формул получим
7	1
р
§ 84. Поверхности разрыва
В предыдущих главах мы рассматривали только такие тече-
течения, при которых распределение всех величин (скорости, давле-
давления, плотности и т. д.) в газе непрерывно. Возможны, однако,
и движения, при которых возникают разрывы непрерывности в
распределении этих величин.
Разрыв непрерывности в движении газа имеет место вдоль
некоторых поверхностей; при прохождении через такую поверх-
поверхность указанные величины испытывают скачок. Эти поверхности
называют поверхностями разрыва. При нестационарном движе-
движении газа поверхности разрыва не остаются, вообще говоря, непо-
неподвижными; необходимо при этом подчеркнуть, что скорость дви-
движения поверхности разрыва не имеет ничего общего со скоро-
скоростью движения самого газа. Частицы газа при своем движении
могут проходить через эту поверхность, пересекая ее.
На поверхностях разрыва должны выполняться определен-
определенные граничные условия. Для формулирования этих условий рас-
рассмотрим какой-нибудь элемент поверхности разрыва и восполь-
воспользуемся связанной с этим элементом системой координат с осью
ж, направленной по нормали к нему г) .
Во-первых, на поверхности разрыва должен быть непреры-
непрерывен поток вещества: количество газа, входящего с одной стороны,
должно быть равно количеству газа, выходящему с другой сто-
стороны поверхности. Поток газа через рассматриваемый элемент
поверхности (отнесенный на единицу площади) равен pvx. По-
) Если движение нестационарно, то мы рассматриваем элемент поверхно-
поверхности в течение малого интервала времени.
15 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

450	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
этому должно выполняться условие pivix = P2V2x, где индексы 1
и 2 относятся к двум сторонам поверхности разрыва.
Разность значений какой-либо величины с обеих сторон по-
поверхности разрыва мы будем ниже обозначать с помощью ква-
квадратных скобок; так,
и полученное условие напишется в виде
[pvx] = 0.	(84.1)
Далее, должен быть непрерывным поток энергии. Поток энер-
энергии определяется выражением F.3). Поэтому мы получаем
условие
[(? )]0.	(84.2)
Наконец, должен быть непрерывен поток импульса, т. е. дол-
должны быть равны силы, с которыми действуют друг на друга газы
по обеим сторонам поверхности разрыва. Поток импульса через
единицу площади равен (см. § 7)
рщ
Вектор нормали п направлен по оси х. Поэтому непрерывность
ж-компоненты потока импульса приводит к условию
[p + pvl]=0,	(84.3)
а непрерывность у- и ^-компонент дает
[pvxvy] = 0, [pvxvz] = 0.	(84.4)
Уравнения (84.1)—(84.4) представляют собой полную систе-
систему граничных условий на поверхности разрыва. Из них можно
сразу сделать вывод о возможности существования двух типов
поверхностей разрыва.
В первом случае через поверхность разрыва нет потока ве-
вещества. Это значит, что piv\x = P2V2X — 0. Поскольку р\ и р2
ОТЛИЧНЫ ОТ НуЛЯ, ТО ЭТО ЗНаЧИТ, ЧТО ДОЛЖНО быТЬ Vix = V2x = 0.
Условия (84.2) и (84.4) в этом случае удовлетворяются автомати-
автоматически, а условие (84.3) дает р\ = Р2- Таким образом, на поверхно-
поверхности разрыва в этом случае непрерывны нормальная компонента
скорости и давление газа:
vix = V2x = 0, [р] = 0.	(84.5)
Тангенциальные же скорости vyi vz и плотность (а также другие
термодинамические величины, кроме давления) могут испыты-
испытывать произвольный скачок. Такие разрывы будем называть тан-
тангенциальными.

§ 84	ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА	451
Во втором случае поток вещества, а с ним и v\x и V2X отличны
от нуля. Тогда из (84.1) и (84.4) имеем
Ы = О, Ы = 0,	(84.6)
т. е. тангенциальная скорость непрерывна на поверхности разры-
разрыва. Плотность же, давление (а потому и другие термодинамиче-
термодинамические величины) и нормальная скорость испытывают скачок, при-
причем скачки этих величин связаны соотношениями (84.1)—(84.3).
В условии (84.2) мы можем в силу (84.1) сократить pvXl а вме-
вместо v2 в силу непрерывности vy и vz написать v2. Таким обра-
образом, на поверхности разрыва в рассматриваемом случае должны
иметь место условия:
\р»х\ = 0, [| + w] = 0, \р + pv2x] = 0.	(84.7)
Разрывы этого типа называют ударными волнами.
Если теперь вернуться к неподвижной системе координат, то
вместо vx надо везде писать разность между нормальной к по-
поверхности разрыва компонентой vn скорости газа и скоростью и
самой поверхности, направленной, по определению, по нормали
к ней:
vx = Vn — и.	(84.8)
Скорости vn и и берутся относительно неподвижной системы от-
отсчета. Скорость vx есть скорость движения газа относительно
поверхности разрыва; иначе можно сказать, что — vx = и — vn
есть скорость распространения самой поверхности разрыва от-
относительно газа. Обращаем внимание на то, что эта скорость
различна по отношению к газу с обеих сторон поверхности (если
vx испытывает разрыв).
Тангенциальные разрывы, на которых испытывают скачок
касательные компоненты скорости, рассматривались нами уже
в § 29. Там было показано, что в несжимаемой жидкости такие
разрывы неустойчивы и должны размываться в турбулентную
область. Аналогичное исследование для сжимаемой жидкости
показывает, что такая неустойчивость имеет место и в общем
случае произвольных скоростей (см. задачу 1).
Частным случаем тангенциальных разрывов являются раз-
разрывы, в которых скорость непрерывна и испытывает скачок
только плотность (а с ней и другие термодинамические величины
за исключением давления); такие разрывы называют контакт-
контактными. Сказанное выше о неустойчивости к ним не относится.
Задачи
1. Исследовать устойчивость (по отношению к бесконечно малым воз-
возмущениям) тангенциальных разрывов в однородной сжимаемой среде (газ
или жидкость).
Решение. Вычисления аналогичны произведенным в § 29 для несжи-
несжимаемой жидкости. Как и там, по нормали к поверхности направим ось z.
15*

452	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
В среде 2 (со скоростью V2 = 0, z < 0) давление удовлетворяет уравне-
уравнению
р'2 - с2Др'2 = 0
(вместо уравнения Лапласа B9.2) в несжимаемой жидкости). Ищем р2 в
виде
р2 = const • exp {—iuot + iqx + i>C2z),
где волновое число «ряби» на поверхности обозначено через q (вместо к в
§ 29); если з<2 комплексно, то оно должно быть выбрано так, чтобы было
Imx2 < 0. Волновое уравнение приводит к соотношению
ш2 = с2(92 + х1).	A)
Вместо B9.7) тем же образом находим теперь
В газе 1, движущемся со скоростью vi = v (z > 0), ищем р[ в виде
p'i = const • ехр(—iuot + iqx — i>c\z).
Для упрощения выводов предположим сначала, что скорость v направлена
тоже по оси х. Соотношение между cj, q, >с\ дается формулой
{w-vqf = c\q2 + xi)	B)
(ср. F8.1)). Вместо B9.6) получаем теперь
pi = -C(w-gwJp/(b*i),
и условие p'i = р2 приводит к уравнению
	^	+ ^ = 0.	C)
(и — qvJ и2
От сделанного выше предположения о направлении скорости v можно изба-
избавиться, заметив, что невозмущенная скорость входит в исходные линеаризо-
линеаризованные уравнение непрерывности и уравнение Эйлера только в комбинации
(vV) (соответственно в членах (vV)p' и (vV)v'). Поэтому для перехода к
произвольному направлению v (в плоскости ху) достаточно заменить в A)—
C) v на vcoscp, где ср — угол между v и q (ср. примеч. на с. 155).
Исключив xi, х,2 из A)-C), получим следующее дисперсионное уравне-
уравнение для определения частоты возмущения и по волновому числу q:
1	^	'=0.	D)
\_uj2 (ш — qvcostpJ J \_c2q2 uj2 (ш — qv cos tpJ
Корень первого множителя
uj = -qvcostp	E)
всегда веществен. Корни второго множителя:
1	Г1	11/2
и = -vq cos cp ± q \-v2 cos2 cp + с2 ± с(с2 + v2 cos2 срI/2 ;	F)
2	L4	J
эти корни вещественны только при v cos (p > Vk, где
vk = 23/2c.	G)
Таким образом, при v cos cp < Vk дисперсионное уравнение имеет пару
комплексно-сопряженных корней, для одного из которых будет Imcj > 0; со-
соответствующие возмущения приводят к неустойчивости. При v < Vk таковы

§ 84	ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА	453
возмущения с любым углом <р, а при v > Vk неустойчивы только возмуще-
возмущения с cos (p < Vk/v. В результате тангенциальный разрыв неустойчив всегда.
Отметим, что сам факт неустойчивости (если не интересоваться по отно-
отношению к каким именно возмущениям) очевиден уже из неустойчивости в
случае несжимаемой жидкости в совокупности с тем обстоятельством, что в
дисперсионное уравнение скорость v входит только в комбинации v cos (p: ка-
какова бы ни была скорость г>, найдутся такие углы <р, для которых v cos (p<^c,
так что по отношению к таким возмущениям среда ведет себя как несжима-
несжимаемая г).
2. На тангенциальный разрыв в однородной сжимаемой среде падает
плоская звуковая волна; определить интенсивности отраженной от разрыва
волны и волны, преломленной на нем (J.W. Miles, 1957; H.S. Ribner, 1957).
Решение. Выбираем оси координат, как в предыдущей задаче, при-
причем скорость v (в среде i, z > 0) направлена по оси х. Пусть звуковая волна
падает из неподвижной среды (среда 2, z < 0); направление ее волнового
вектора к задается сферическими углами в и <^; угол в — между к и осью z,
угол (f — между проекцией к на плоскость ху (обозначим ее через q) и ско-
скоростью v:
кх = q cos ip, ку = q sin <?>, kz = — cos 0, q = — sin в = к sin в,
с	с
причем 0 < в < тг/2 (волна падает в положительном направлении оси z).
В среде 2 ищем давление в виде
р'2 = exp [i(kxx + куу - wt)] (eikzZ + Ae~ikzZ),
где А — амплитуда отраженной волны, а амплитуда падающей волны услов-
условно принята за единицу. В среде 1 имеем одну преломленную волну:
р[ = В exp [i(kxx + куу + kz — ut)],
где х удовлетворяет уравнению
(и - vkxf = с2 (к2х +к%+ к2)
(ср. B)). Амплитуды А л В определяются из условий непрерывности дав-
давления и вертикального смещения жидких частиц по обе стороны разрыва:
р[ = р'2 при z = 0, (д = (,2 = С- Это дает два уравнения
= В,	Ц
(и — vkx)	ojz
2/k	2(и -vkJ/х
в ЦAА),
(и — vkx)	ojz
откуда
А _ (и -vkxJ/х-и2/kz в _ 2(и -vkxJ/х
(и - vkxJ/x + uo2/kz '	(и - vkxJ/x + uo2/k
чем и решается поставленная задача. Знак величины х,
>с2 = —[A -Msin(9cos^J -sin26>], M = -,
с2	с
должен быть выбран с учетом предельных условий при z —»¦ 00: скорость
преломленной волны должна быть направлена от разрыва, т. е.
g ^	(9)
и — vkx
:) Значение G) получено Л.Д. Ландау A944). Необходимость учета в этой
задаче неколлинеарности v и q указана СИ. Сыроватским A954).

454	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Из полученных формул видно, что возможны три различных режима
отражения.
1)	При Mcos<^ < l/sin# — 1 величина ус вещественна, а поскольку
ио — vkx > 0, то согласно условию (9) к > 0. Из (8) видно, что при этом
\А\ < 1 — отражение происходит с ослаблением волны.
2)	При 1/ sin в — 1 < М cos ср < 1/ sin 0 + 1 величина к мнима и \А\ = 1, —
происходит полное внутреннее отражение звуковой волны.
3)	При Mcos<^ > 1 + l/sin# (что возможно лишь при М > 2) величи-
величина >с снова вещественна, но теперь надо выбрать к < 0. Согласно (8) при
этом \А\ > 1, т. е. отражение происходит с усилением волны. Более того,
знаменатели выражений (8) сх< 0 могут обратиться в нуль при опреде-
определенных углах падения волны, и тогда коэффициент отражения обращается в
бесконечность. Поскольку этот знаменатель совпадает (с точностью до обо-
обозначений) с левой частью уравнения C) предыдущей задачи, то можно сразу
заключить, что «резонансные» углы падения определяются равенствами E)
и F) (последнее — при М > 23/2). В свою очередь, бесконечность коэффици-
коэффициента отражения (и прохождения), т. е. конечность амплитуды отраженной
волны при стремящейся к нулю амплитуде падающей волны, означает воз-
возможность спонтанного излучения звука поверхностью разрыва: раз создан-
созданное на ней возмущение (рябь) неограниченно долго продолжает излучать
звуковые волны, не затухая и не усиливаясь при этом; энергия, уносимая
излучаемым звуком, черпается из всей движущейся среды.
Плотность потока энергии (усредненная по времени) в преломленной
волне
2
q2 =
2
uj — vkx uj — vkx 2pc2
(E2 из F8.3)). В случае 3 имеем к < 0, а потому ид2 < 0, — энергия приходит
к разрыву из движущейся среды, что и служит источником усиления. При
спонтанном излучения звука эта приходящая энергия совпадает с энергией,
уносимой волной, уходящей в неподвижную среду.
В изложенном решении задачи неустойчивость поверхности разрыва не
учитывается, формальная корректность такой постановки задачи связана с
тем, что звуковые волны и неустойчивые поверхностные (затухающие при
z —»¦ =Ьоо) волны представляют собой линейно независимые колебательные
моды. Физическая же корректность требует соблюдения специальных усло-
условий (например, начальных), в которых поверхностные волны еще достаточно
слабы.
§ 85. Ударная адиабата
Перейдем к подробному изучению ударных волн :) . Мы ви-
видели, что в этих разрывах тангенциальная компонента скорости
газа непрерывна. Можно поэтому выбрать систему координат, в
которой рассматриваемый элемент поверхности разрыва покоит-
покоится, а тангенциальная компонента скорости газа по обе стороны
) Сделаем одно терминологическое замечание. Под ударной волной мы по-
понимаем самую поверхность разрыва. В литературе, однако, можно встретить
и другую терминологию, в которой поверхность разрыва называют фронтом
ударной волны, а под ударной волной понимают поверхность разрыва вместе
со следующим за ним течением газа.

§ 85	УДАРНАЯ АДИАБАТА	455
поверхности равна нулю :) . Тогда можно писать вместо нормаль-
нормальной компоненты vx величину v и условия (84.7) напишутся в виде
Pivi = P2V2 = j,	(85.1)
Pi + Pivi =P2 + P2V%,	(85.2)
w1 + ? = w2 + ?,	(85.3)
где j обозначает плотность потока газа через поверхность разры-
разрыва. Мы условимся в дальнейшем всегда считать j положитель-
положительным, причем газ переходит со стороны 1 на сторону 2. Другими
словами, мы будем называть газом 1 тот, в сторону которого
движется ударная волна, а газом 2 — газ, остающийся за ней.
Сторону ударной волны, обращенную к газу i, будем называть
передней, а обращенную к газу 2 —задней.
Выведем ряд соотношений, являющихся следствием написан-
написанных условий. Введем удельные объемы V\ = 1/pi, V2 — 1/'Р2 газа.
Из (85.1) имеем
vi=jVu v2=jV2	(85.4)
и, подставляя в (85.2):
Pi+j2V1=p2+j2V2,	(85.5)
или
f = ^-	(85.6)
V V
Эта формула (вместе с (85.4)) связывает скорость распростране-
распространения ударной волны с давлениями и плотностями газа по обеим
сторонам поверхности.
Поскольку j2 — величина положительная, то должно быть од-
одновременно Р2 > Pi, Vi > V2 или р2 < pi, Vi < V2; мы увидим
в дальнейшем, что в действительности возможен лишь первый
случай.
Отметим еще следующую полезную формулу для разности
скоростей vi — V2- Подставляя (85.6) в vi — v2 = j(Vi — V2), по-
получаем 2)
vi - v2 = V(P2-Pi)(Vi-V2).	(85.7)
1) Такой выбор системы координат будет подразумеваться везде в этой
главе, за исключением § 92.
Неподвижную ударную волну часто называют скачком уплотнения. Если
неподвижная ударная волна перпендикулярна к направлению потока, то
говорят о прямом скачке уплотнения; если же она наклонна к направлению
движения, то говорят о косом скачке уплотнения.
) Мы пишем здесь квадратный корень с положительным знаком, заранее
имея в виду, что должно быть v\ — V2 > 0, как это будет выяснено ниже
(§ 87).

456
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. IX
Далее, пишем (85.3) в виде
ил + J-^- = w2 ¦
2
и, подставляя j2 из (85.6), получаем
fvi
- V2)(p2 ~Pi) = 0.
(85i
(85.9)
Если ввести вместо тепловой функции внутреннюю энергию е
согласно е = w—pV, то полученное соотношение можно написать
в виде
?2 + -
- V2){Pl + р2) = 0.
(85.10)
Эти соотношения определяют связь между термодинамическими
величинами по обе стороны поверхности разрыва.
При заданных pi, V\ уравнение (85.9) или (85.10) определяет
зависимость между р2 и V2. Об этой зависимости говорят как об
ударной адиабате или адиабате Гюгонио (W.J. Rankine, 1870;
Н. Hugoniot, 1885). Графически она изображается (рис. 53) в
V
Рис. 53
Рис. 54
плоскости pV кривой, проходящей через заданную точку pi, Vi,
отвечающую состоянию газа 1 перед ударной волной; эту точку
ударной адиабаты мы будем называть ее начальной точкой. От-
Отметим, что ударная адиабата не может пересечь вертикальной
прямой V = V\ нигде, кроме только начальной точки. Действи-
Действительно, наличие такого пересечения означало бы, что одному и
тому же объему соответствуют два различных давления, удовле-
удовлетворяющих уравнению (85.10). Между тем, при V\ = V2 имеем
из (85.10) также и е\ = е2, а при одинаковых объемах и энерги-
энергиях давления тоже должны быть одинаковыми. Таким образом,
прямая V = V\ делит ударную адиабату на две части, из кото-
которых каждая находится целиком по одну сторону от этой прямой.
По аналогичной причине ударная адиабата пересекает только в
одной точке (pi, Vi) также и горизонтальную прямую р = р\.
Пусть ао! (рис. 54) есть ударная адиабата, проведенная че-
через точку pij V\ в качестве начальной. Выберем на ней какую-
нибудь точку p2i V2 и проведем через нее другую адиабату (W/)

§ 85	УДАРНАЯ АДИАБАТА	457
для которой бы эта точка была начальной. Очевидно, что пара
значений р\, V\ будет удовлетворять также и уравнению этой вто-
второй адиабаты. Таким образом, адиабаты аа' и ЪЪ' пересекутся в
обеих точках pi, V\ и ^2, Т^. Подчеркнем, что обе эти адиабаты
отнюдь не совпадают полностью друг с другом, как это имело бы
место для адиабат Пуассона, проведенных через заданную точку.
Это обстоятельство является одним из следствий того фак-
факта, что уравнение ударной адиабаты не может быть написано в
виде /(р, V) = const, где / есть некоторая функция своих ар-
аргументов, как это, например, имеет место для адиабаты Пуас-
Пуассона (уравнение которой есть s(p, V) = const). В то время как
адиабаты Пуассона (для заданного газа) составляют однопара-
метрическое семейство кривых, ударная адиабата определяется
заданием двух параметров: начальных значений pi, V\. С этим
же связано и следующее важное обстоятельство: если две (или
более) последовательные ударные волны переводят газ соответ-
соответственно из состояния 1 в состояние 2 и из 2 в 5, то переход из
состояния 1 в 3 путем прохождения какой-либо одной ударной
волны, вообще говоря, невозможен.
При заданном начальном термодинамическом состоянии газа
(т. е. заданных pi, Vi) ударная волна определяется всего одним
каким-либо параметром: если, например, задать давление р2 за
волной, то по адиабате Гюгонио определится V^ а затем по фор-
формулам (85.4) и (85.6)—плотность потока j и скорости v\ и V2-
Напомним, однако, что мы рассматриваем здесь ударную волну
в системе координат, в которой газ движется нормально к ее по-
поверхности. Если же учесть возможность расположения ударной
волны под косым углом к направлению потока, то понадобится
еще один параметр, например, значение касательной к ее поверх-
поверхности составляющей скорости.
Укажем здесь на следующее удобное графическое истолко-
истолкование формулы (85.6). Если соединить хордой точку pi, V\ на
ударной адиабате (рис. 53) с некоторой произвольной точкой
Р2-) V2 на ней, то (р2 — Pi)/{V2 — V\) = —j есть не что иное,
как тангенс угла наклона этой хорды к оси абсцисс (к ее поло-
положительному направлению). Таким образом, значение j, ас ним
и скорости ударной волны, определяется в каждой точке удар-
ударной адиабаты углом наклона хорды, проведенной в эту точку из
начальной точки.
Наряду с другими термодинамическими величинами в удар-
ударной волне испытывает разрыв также и энтропия. В силу закона
возрастания энтропии последняя для газа может лишь возра-
возрастать при его движении. Поэтому энтропия 52 газа, прошедшего
через ударную волну, должна быть больше его начальной энтро-
энтропии S\\
s2>si.	(85.11)

458	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Мы увидим ниже, что это условие налагает существенные огра-
ограничения на характер изменения всех величин в ударной волне.
Подчеркнем здесь следующее обстоятельство. Наличие удар-
ударных волн приводит к возрастанию энтропии при таких движе-
движениях, которые можно рассматривать во всем пространстве как
движение идеальной жидкости, не обладающей вязкостью и теп-
теплопроводностью. Возрастание энтропии означает необратимость
движения, т. е. наличие диссипации энергии. Таким образом, раз-
разрывы представляют собой механизм, который приводит к дисси-
диссипации энергии при движении идеальной жидкости. В связи с
этим для движения тел в идеальной жидкости, сопровождаю-
сопровождающегося возникновением ударных волн, не имеет места парадокс
Даламбера (§ 11)—при таком движении тело испытывает силу
сопротивления.
Разумеется, истинный механизм возрастания энтропии в
ударных волнах заключен в диссипативных процессах, проис-
происходящих в тех весьма тонких слоях вещества, которые в дей-
действительности представляют собой физические ударные волны
(см. § 93). Замечательно, однако, что величина этой диссипации
целиком определяется одними лишь законами сохранения массы,
энергии и импульса, примененными к обеим сторонам этих слоев:
их ширина устанавливается как раз такой, чтобы дать требуемое
этими законами сохранения увеличение энтропии.
Возрастание энтропии в ударной волне оказывает еще и дру-
другое существенное влияние на движение: если движение газа впе-
впереди ударной волны потенциально, то за ней оно, вообще гово-
говоря, становится вихревым; мы вернемся к этому обстоятельству в
8 114.
§ 86. Ударные волны слабой интенсивности
Рассмотрим ударную волну, в которой все величины испыты-
испытывают лишь небольшой скачок; о таких разрывах мы будем гово-
говорить как об ударных волнах слабой интенсивности. Преобразу-
Преобразуем соотношение (85.9), производя в нем разложение по степеням
малых разностей S2 — s\ и р2 — р\. Мы увидим, что при таком
разложении в (85.9) сокращаются члены первого и второго по-
порядков по р2 — р\; поэтому необходимо производить разложение
по р2 — Р\ до членов третьего порядка включительно. По разно-
разности же 52 — «si достаточно разложить до членов первого порядка.
Имеем
(dw\ /	ч . / dw \ /	ч .
lfdSw\ f	ч2
6\dplJs
_ 1 dw\ /
\dsi Jp
+
51 )
'1/
i
2 У
1 dw \
VdiJ
fd2w\ ,

§ 86	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ СЛАБОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ	459
Но согласно термодинамическому соотношению dw = T ds + V dp
имеем для производных:
\dsJp ' \dpJs
Поэтому
w2 -Wl =Ti(s2 - si) + Vi(p2 -pi) +
, 1 @V\ (	\2 , l(d2V\ (	чз
+ o(^H (P2-P1 +7 T7 (P2-Pl) •
2 \dp\J s	6 V <9pf / s
Объем V2 достаточно разложить только по р2 — р\, поскольку
во втором члене уравнения (85.9) уже имеется малая разность
Р2 — р\ и разложение по 52 — s\ дало бы член порядка (s2 —
2 — Pi), не интересующий нас. Таким образом,
s	f
Подставляя эти разложения в (85.9), получим следующее соот-
соотношение:
Таким образом, скачок энтропии в ударной волне слабой интен-
интенсивности является малой величиной третьего порядка по срав-
сравнению со скачком давления.
Адиабатическая сжимаемость вещества—(dV/dp)s практи-
практически всегда падает с увеличением давления, т. е. вторая про-
производная :)
@)>О.	(86.2)
Подчеркнем, однако, что это неравенство не является термоди-
термодинамическим соотношением и, в принципе, возможны его нару-
нарушения 2) . Как мы неоднократно увидим ниже, в газодинамике
1) Для политропного газа
д2У
(о У\ _ 7 + 1 V
Это выражение проще всего можно получить путем дифференцирования
уравнения адиабаты Пуассона pV1 = const.
) Так, это может иметь место в области вблизи критической точки жид-
жидкость— газ. Ситуация с нарушением условия (86.2) может быть также ими-
имитирована на ударной адиабате для среды, допускающей фазовый пере-
переход (в результате чего на адиабате возникает излом). См. об этом в кн.:
Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемператур-
высокотемпературных гидродинамических явлений. Изд. 2-е. — М.: Наука, 1966, гл. 1, § 19;
гл. XI, § 20.

460	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
знак производной (86.2) весьма существен; в дальнейшем мы бу-
будем всегда считать его положительным.
Проведем через точку 1 (pi, Vi) нар, V-диаграмме две кри-
кривые—ударную адиабату и адиабату Пуассона. Уравнение адиа-
адиабаты Пуассона есть 52 — s\ = 0. Из сравнения этого уравнения
с уравнением (86.1) ударной адиабаты вблизи точки 1 видно,
что обе кривые касаются в этой точке, причем имеет место каса-
касание второго порядка — совпадают не только первые, но и вторые
производные. Для того чтобы выяснить взаимное расположение
обеих кривых вблизи точки i, воспользуемся тем, что согласно
(86.1) и (86.2) при р2 > р\ на ударной адиабате должно быть
52 > «si, между тем как на адиабате Пуассона остается 52 = s\.
Поэтому абсцисса точки на ударной адиабате должна быть при
той же ординате р2 больше абсциссы точки на адиабате Пуас-
Пуассона. Это следует из того, что согласно известной термодинами-
термодинамической формуле
\ds )р~ ср \дт
энтропия растет с увеличением объема при постоянном давле-
давлении— для всех тел, которые расширяются при нагревании, т. е.
у которых (dV/дТ)р > 0. Аналогично убеждаемся в том, что ни-
ниже точки 1 (т. е. при]92 < р\) абсциссы точек адиабаты Пуассона
должны быть больше абсцисс ударной адиа-
Р'н'	баты. Таким образом, вблизи точки своего ка-
касания обе кривые расположены указанным на
рис. 55 образом (ННГ — ударная адиабата, а
РР' — адиабаты Пуассона) г) , причем в силу
(86.2) обе обращены вогнутостью вверх.
При малыхP2~Pi и V2 — Vi формулу (85.6)
можно написать в первом приближении в виде
(мы пишем здесь производную при постоян-
г ИС. 00	«j
нои энтропии, имея в виду, что касательные
к адиабатам Пуассона и ударной в точке 1 совпадают). Далее,
скорости v\ и V2 в том же приближении одинаковы и равны
v = IV = \ —
Но это есть не что иное, как скорость звука с. Таким образом,
скорость распространения ударных волн слабой интенсивности
:) При @V/dT)p < 0 расположение обеих кривых было бы обратным.

§ 87	НАПРАВЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН В УДАРНОЙ ВОЛНЕ	461
совпадает в первом приближении со скоростью звука:
v = c.	(86.3)
Из полученных свойств ударной адиабаты в окрестности точ-
точки 1 можно вывести ряд существенных следствий. Поскольку в
ударной волне должно выполняться условие S2 > s\, т0 должно
быть и
V2 > Ръ
т. е. точки 2 (р2, V2) должны находиться выше точки 1. Далее,
поскольку хорда 12 идет круче касательной к адиабате в точке 1
(см. рис. 53), а тангенс угла наклона этой касательной равен
производной (dpi/dVi)Sl, имеем
2 >
з2 >()
J \dvjsi
Умножая это неравенство с обеих сторон на Vi, находим
где ci—скорость звука, соответствующая точке 1. Таким обра-
образом,
Vi > С\.
Наконец, из того, что хорда 12 расположена менее круто, чем
касательная в точке 2, аналогичным образом следует, что
V2 <с21).
Упомянем еще, в заключение, что при (d2V/dp2)s < 0 из
условия 52 > «si для ударных волн слабой интенсивности следо-
следовало бы р2 < р\, а для скоростей —те же неравенства v\ > с\,
V2 < С2-
§ 87. Направление изменения величин в ударной волне
Таким образом, в предположении положительности произ-
производной (86.2) для ударных волн слабой интенсивности можно
весьма просто показать, что условие возрастания энтропии с необ-
необходимостью приводит также и к неравенствам
Р2>Ри	(87.1)
vi > с\, V2 < С2.	(87.2)
Из замечания, сделанного по поводу формулы (85.6) следует, что
если р2 > р\, то
V2 < Vu	(87.3)
:) Последняя аргументация применима только вблизи точки 1, где тангенс
угла наклона касательной к ударной адиабате в точке 2 отличается от про-
производной (dp2/dV2)s2, лишь на величину второго порядка малости.

462	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
а поскольку j = ^i/Vi = v2/V2i той1)
vi > v2.	(87.4)
Неравенства (87.1) и (87.3) означают, что при прохождении
газа через ударную волну происходит его сжатие —его давле-
давление и плотность возрастают. Неравенство v\ > c\ означает, что
ударная волна движется относительно находящегося перед ней
газа со сверхзвуковой скоростью; ясно поэтому, что в этот газ
не могут проникнуть никакие исходящие от ударной волны воз-
возмущения. Другими словами, наличие ударной волны вовсе не
сказывается на состоянии газа впереди нее.
Покажем теперь, что все неравенства (87.1)-(87.4) справедли-
справедливы и для ударных волн произвольной интенсивности — при том
же предположении о знаке производной (d2V/dp2)s 2) .
Величина j2 определяет наклон хорды, проведенной из на-
начальной точки ударной адиабаты 1 в произвольную точку 2
{—j2 есть тангенс угла наклона этой хорды к оси V). Покажем,
прежде всего, что направление изменения этой величины при
перемещении точки 2 вдоль адиабаты однозначно связано с на-
направлением изменения энтропии 52 при том же перемещении.
Продифференцируем соотношения (85.5) и (85.8) по величи-
величинам, относящимся к газу 2 при заданном состоянии газа 1. Это
значит, что дифференцируются p2l V2l w2 и j при заданных зна-
значениях pi, Vi, w\. Из (85.5) получаем
ф2 + j2 dV2 = (Vi - V2) d(j2),	(87.5)
а из (85.8):
dw2 + j2V2 dV2 = X- (V? - V22) d(j2)
или, раскрыв дифференциал dw2:
T2 ds2 + V2 (ф2 + j2 dV2) = \ {V2 - V2) d(j2).
Подставив сюда dp2 + j2 dV2 из (87.5), получим соотношение
---(Vi-V2Jd(j2).	(87.6)
1)	Если перейти в систему отсчета, в которой газ 1 перед ударной волной
покоится, а волна движется, то неравенство v\ > V2 означает, что газ позади
ударной волны будет двигаться (со скоростью ы — V2) в ту же сторону, куда
движется сама волна.
2)	Неравенства (87.1)-(87.4) были получены для ударных волн произволь-
произвольной интенсивности в политропном газе Жуге (Е. Jouguet, 1904) и Цемпленом
(G. Zemplen, 1905). Излагаемое ниже доказательство для произвольной сре-
среды дано Л.Д. Ландау A944).

§ 87
НАПРАВЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН В УДАРНОЙ ВОЛНЕ
463
Отсюда видно, что
d(j2)/ds2>0,
(87.7)
т. е. j и 52 меняются в одинаковом направлении.
Дальнейшие рассуждения имеют своей следующей целью по-
показать, что на ударной адиабате не может быть точек, в кото-
которых бы она касалась проведенной из точки 1
прямой (как это имело бы место в точке О на
рис. 56).
В такой точке угол наклона хорды (прове-
(проведенной из точки 1) имеет минимум, a j —со-
—соответственно максимум, и потому
d(j2)/dp2 = 0.
Из соотношения (87.6) видно, что в таком слу-
случае
ds2/dp2 = 0.	РИС- 56
Далее, вычислим производную d(j2)/dp2 в произвольной точ-
точке ударной адиабаты. Подставив в соотношение (87.5) дифферен-
дифференциал dV2 в виде
АЛГ	(дУЛ А . (дУ^
dv2 — (	) dp2 + ( —
взяв для ds2 выражение (87.6) и разделив все равенство на
получим
d(i') _
(87.8)
Отсюда видно, что обращение этой производной в нуль вле-
влечет за собой также и равенство
4
S2	С%
т. е. V2 = С2- Обратно, из равенства V2 = С2 следует, что про-
производная d(j2)/dp2 = 0; последняя могла бы не обратиться в
нуль, если бы вместе с числителем в (87.8) обратился бы в нуль
также и знаменатель; но выражения в числителе и знаменателе
представляют собой две различные функции точки 2 на ударной
адиабате, их одновременное обращение в нуль могло бы произой-
произойти лишь чисто случайно и потому невероятно х) .
*) Подчеркнем, во избежание недоразумений, что сама производная
d(j )/dp2 не является еще одной независимой функцией точки 2\ выражение
(87.8) есть ее определение.

464	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Таким образом, все три равенства
dJfl = O, Ji = 0, v2 = c2	(87.9)
dp2	dp2
являются следствиями друг друга и имели бы место одновре-
одновременно в точке О на кривой рис. 56 (имея в виду последнее из
этих равенств, будем условно называть такую точку звуковой).
Наконец, для производной от (V2/C2J в этой точке имеем
Ввиду предполагаемой везде положительности производной
(d2V/dp2)Sl имеем, следовательно, в звуковой точке:
-^ < 0.	(87.10)
dp2 C2
Теперь уже легко доказать невозможность существования
звуковой точки на ударной адиабате. В точках, лежащих вбли-
вблизи начальной точки 1 над ней, имеем V2 < C2 (см. конец пре-
предыдущего параграфа). Поэтому равенство V2 = C2 может быть
достигнуто лишь при увеличении V2/C2] другими словами, в зву-
звуковой точке должно было бы быть d(v2/'02)/'dp2 > 0, между тем,
как согласно (87.10), мы имеем как раз обратное неравенство.
Аналогичным образом можно убедиться в невозможности обра-
обращения V2/C2 в единицу и на нижней части ударной адиабаты, под
точкой 1.
Имея в виду доказанную таким образом невозможность су-
существования звуковых точек, можно заключить непосредствен-
непосредственно из графика ударной адиабаты, что угол наклона хорды 12
уменьшается при передвижении точки 2 вверх по кривой, a j2
соответственно монотонно возрастает; ввиду неравенства (87.7)
отсюда следует, что монотонно возрастает и энтропия S2- Таким
образом, при соблюдении необходимого условия S2 > s\ будет
жр2 > р\.
Легко, далее, убедиться в том, что на верхней части ударной
адиабаты справедливы также и неравенства V2 < С2, v\ > с\.
Первое следует прямо из того, что оно справедливо вблизи точ-
точки i, a сделаться равным единице отношение г>2/с2 нигде не мо-
может. Второе следует из того, что ввиду невозможности такого
перегиба адиабаты, какой изображен на рис. 56, всякая хорда
из точки 1 в находящуюся над ней точку 2 расположена более
круто, чем касательная к ударной адиабате в точке 1.
Таким образом, на верхней части ударной адиабаты выполня-
выполняются условие 52 > «si и все три неравенства (87.1), (87.2). Наобо-
Наоборот, на нижней части адиабаты все эти условия не выполняются.

§ 88	ЭВОЛЮЦИОННОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН	465
Следовательно, все эти условия оказываются эквивалентными
друг другу и выполнение одного из них автоматически влечет за
собой также и выполнение всех остальных.
Напомним лишний раз, что в изложенных рассуждениях все
время предполагалось выполненным условие положительности
производной (d2V/ldp2)s. Если эта производная могла бы менять
знак, то из необходимого термодинамического неравенства
S2 > si Уже нельзя было бы сделать никаких универсальных
заключений о неравенствах для остальных величин.
§ 88. Эволюционность ударных волн
Вывод неравенств (87.1)-(87.4) в § 86, 87 был связан с опре-
определенным предположением о термодинамических свойствах сре-
среды—с положительностью производной (d2V/dp2)s. Весьма су-
существенно, однако, что неравенства
Vi > C\ V2 < С2	(88.1)
для скоростей могут быть получены также и из совершенно иных
соображений, показывающих, что ударные волны с нарушенны-
нарушенными условиями (88.1) все равно не могли бы существовать, даже
если бы это не противоречило изложенным выше чисто термо-
термодинамическим соображениям х) .
Именно необходимо исследовать еще вопрос об устойчиво-
устойчивости ударных волн. Наиболее общее необходимое условие устой-
устойчивости состоит в требовании, чтобы любое бесконечно малое
возмущение начального (в некоторый момент t = 0) состояния
приводило бы лишь к вполне определенным бесконечно малым
же изменениям течения,—по крайней мере в течение достаточ-
достаточно малого промежутка времени t. Последняя оговорка означает
недостаточность указанного условия; так, если начальное малое
возмущение возрастает даже экспоненциально (как e7t с поло-
положительной постоянной 7), то в течение времени t < I/7 возму-
возмущение остается малым, хотя в конце концов оно и приводит к
разрушению данного режима движения. Возмущением, не удов-
удовлетворяющим поставленному необходимому условию, является
расщепление ударной волны на два (или более) последователь-
последовательных разрыва; очевидно, что изменение движения при этом сразу
же оказывается не малым, хотя при малых t (когда оба разрыва
не разошлись еще на большое расстояние) оно и занимает лишь
небольшой интервал расстояний 5х.
х) Напомним в то же время, что (по крайней мере для ударных волн слабой
интенсивности) эти термодинамические соображения приводят к условиям
(88.1) также и при (d2V/dp2)s < 0, когда ударная волна является волной
разрежения (а не сжатия); это обстоятельство было отмечено в конце § 86.

466	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Произвольное начальное малое возмущение определяется не-
некоторым числом независимых параметров. Дальнейшая же эво-
эволюция возмущения определяется системой линеаризованных гра-
граничных условий, которые должны удовлетворяться на поверх-
поверхности разрыва. Поставленное выше необходимое условие устой-
устойчивости будет выполнено, если число этих уравнений совпадает
с числом содержащихся в них неизвестных параметров — тогда
граничные условия определяют дальнейшее развитие возмуще-
возмущения, которое при малых t > 0 останется малым. Если же число
уравнений больше или меньше числа независимых параметров,
то задача о малом возмущении не имеет решений вовсе или име-
имеет их бесконечное множество. Оба случая свидетельствовали бы
о неправомерности исходного предположения (малость возмуще-
возмущения при малых t) и, таким образом, противоречили бы постав-
поставленному требованию. Сформулированное таким образом условие
называют условием эволюционности течения.
Рассмотрим возмущение ударной волны, представляющее со-
собой ее бесконечно малое смещение в направлении, перпендику-
перпендикулярном ее плоскости х) . Оно сопровождается бесконечно малым
возмущением также и других величин —давления, скорости и
т. д. газа по обеим сторонам поверхности разрыва. Эти возмуще-
возмущения, возникнув вблизи волны, будут затем распространяться от
нее, переносясь (относительно газа) со скоростью звука; это не
относится лишь к возмущению энтропии, которое будет перено-
переноситься только с самим газом. Таким образом, произвольное воз-
возмущение данного типа можно рассматривать как совокупность
звуковых возмущений, распространяющихся в газах 1 и 2 по обе
стороны ударной волны, и возмущения энтропии; последнее, пе-
перемещаясь вместе с газом, будет, очевидно, существовать лишь
в газе 2 позади ударной волны. В каждом из звуковых возмуще-
возмущений изменения всех величин связаны друг с другом определен-
определенными соотношениями, следующими из уравнений движения (как
в любой звуковой волне; § 64); поэтому каждое такое возмущение
определяется всего лишь одним параметром.
Подсчитаем теперь число возможных звуковых возмущений.
Оно зависит от относительной величины скоростей газа v\, г>2 и
скоростей звука ci, C2- Выберем направление движения газа (со
стороны 1 на сторону 2) в качестве положительного направления
оси х. Скорость распространения возмущения в газе 1 относи-
относительно неподвижной ударной волны есть и\ = v\ =Ь ci, а в газе 2
и2 — V2 =Ь С2. Тот факт, что эти возмущения должны распростра-
распространяться по направлению от ударной волны, означает, что должно
быТЬ U\ < О, U2 > 0.
х) Излагаемое ниже обоснование неравенств (88.1) принадлежит
Л.Д. Ландау A944).

§ 88	ЭВОЛЮЦИОННОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН	467
Предположим, что v\ > c\, V2 < С2. Тогда ясно, что оба зна-
значения и\ = v\ ± с\ будут положительными, а из двух значений
U2 будут положительными лишь V2 + С2-
Это значит, что в газе 1 вообще не сможет ui>ci v2<c2 vi<ci v2<c2
быть интересующих нас звуковых возму-
возмущений, а в газе 2 — всего одно, распро-
распространяющееся относительно самого газа (з)
со скоростью +С2- Аналогичным образом
производится подсчет в других случаях
©
V2>C2
®
V2>C2
Результат изображен на рис. 57, где
каждая стрелка соответствует одному
звуковому возмущению, распространяю-
распространяющемуся относительно газа в указываемую
стрелкой сторону. Каждое же звуковое
возмущение определяется, как было вы-	рис. 57
ше указано, одним параметром. Кроме
того, во всех четырех случаях имеется еще по два параметра:
параметр, определяющий распространяющееся в газе 2 возмуще-
возмущение энтропии, и параметр, определяющий самое смещение удар-
ударной волны.
Для каждого из четырех случаев на рис. 57 цифрой в кружке
указано получающееся таким образом полное число параметров,
определяющих произвольное возмущение, возникающее при сме-
смещении ударной волны.
С другой стороны, число необходимых граничных условий,
которым должно удовлетворять возмущение на поверхности раз-
разрыва, равно трем (условия непрерывности потоков массы, энер-
энергии и импульса). Во всех изображенных на рис. 57 случаях, за ис-
исключением лишь первого, число имеющихся независимых пара-
параметров превышает число уравнений. Мы видим, что эволюцион-
ны лишь ударные волны, удовлетворяющие условиям (88.1). Эти
условия, таким образом, необходимы для существования удар-
ударных волн, вне зависимости от термодинамических свойств сре-
среды. Искусственно созданный разрыв, не удовлетворяющий этим
условиям, немедленно распался бы на другие разрывы :) .
Эволюционная ударная волна устойчива по отношению к рас-
рассмотренному типу возмущений и в обычном смысле этого слова.
Если искать смещение ударной волны (ас ним и возмущения всех
остальных величин) в виде, пропорциональном e~iujt, то заранее
очевидно, что однозначно определяемое граничными условиями
) Во всех перечисленных на рис. 57 неэволюционных случаях возмущение
недоопределено — число произвольных параметров превышает число урав-
уравнений. Упомянем, что в магнитной гидродинамике ударные волны могут
быть неэволюционными в силу как недоопределенности, так и переопреде-
переопределенности возмущений (см. VIII, § 73).

468	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
значение ио может быть только нулем —уже хотя бы из тех со-
соображений, что в задаче нет никаких параметров размерности
обратного времени, которые могли бы определить отличное от
нуля значение ио.
Мы вернемся к вопросу об устойчивости ударных волн в § 90.
§ 89. Ударные волны в политропном газе
Применим полученные в предыдущих параграфах общие со-
соотношения к ударным волнам в политропном газе.
Тепловая функция такого газа дается простой формулой
(83.11). Подставив это выражение в (85.9), получим после про-
простого преобразования следующую фор-
формулу:
Yl — G + l)Pl + G ~ 1)Р2	/gg ]\
По этой формуле можно определить по
трем из величин pi, Vi, _p2, V2 четвер-
четвертую. Отношение V2/V1 является моно-
монотонно убывающей функцией отноше-
'"-—-х	| ния Р2/Р1, стремящейся к конечному
-i/б^ Г 2 3"V2/Vi пРеДелУ G - 1)/G + !)• Кривая, изо-
бражающая зависимость между р2 и V-2
Рис- 58	при заданных pi, Vi (ударная адиаба-
адиабата), представлена на рис. 58. Это — равнобочная гипербола с
асимптотами
V2 7-1	V2	7-1
Vi 7 +1' Pi	7 + 1
Реальным смыслом обладает, как мы знаем, только верхняя
часть кривой над точкой V2/V1 = P2JP\ = 1? изображ:енная на
рис. 58 (для 7 = 1,4) сплошной линией.
Для отношения температур с обеих сторон разрыва имеем со-
согласно уравнению состояния термодинамически идеального газа
T2/Ti =p2V2/(piVi), так что
т2 _ р
Для потока j получаем из (85.6) и (89.1):
•2 _ G ~ 1)Р1 + G + 1)Р2	/gg 34
и отсюда для скорости распространения ударной волны относи-

§ 89	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛИТРОПНОМ ГАЗЕ	469
тельно газов впереди и позади нее:
v\ = ^[G - l)Pl + G + 1)Р2] = — [G - !) + G + !)—1 >
2	2tL	PlJ (89.4)
и для разности скоростей:
Wl - v2 =	уЖ(р2~Р1)	.	(89.5)
[G1)Р + G + 1Ы1/2	1 J
В применениях полезны формулы, выражающие отношения
плотностей, давлений и температур в ударной волне через число
Mi = v\jc\\ эти формулы без труда выводятся из полученных
выше соотношений и гласят:
p1=v_1=
pi v2 G-l)Mf+2'
El = J2_M? - 1^1,
pi 7 + 1	7 + 1
(89.7)
f8g g
Ti	G + lJM?	'	l " >
Число же М2 = V2/C2 выражается через число Mi с помощью
соотношения
= 2 + G-1)м;	(899)
Это соотношение симметрично относительно Mi и Мг, как это
становится очевидным, если записать его в виде уравнения
Выпишем предельные формулы для ударных волн очень боль-
большой интенсивности (требуется, чтобы было G— 1)^2 ^> G+l)pi)•
Имеем из (89.1), (89.2):
= а = 1^
, Ti = i^Iei,	(89.Ю)
Vi p2 7 +1 Ti 7 +1 Pi
Отношение Т2/Т1 неограниченно растет вместе СР2/Р1, т. е. ска-
скачок температуры, как и скачок давления, в ударной волне может
быть сколь угодно большим. Отношение же плотностей стремит-
стремится к постоянному пределу; так, для одноатомного газа предель-
предельное значение р2 = 4pi, для двухатомного р2 = &р\. Скорости
распространения ударной волны большой интенсивности равны
(89.11)
Они растут пропорционально корню из давления

470	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Наконец, приведем соотношения для ударных волн слабой
интенсивности, представляющие собой первые члены разложе-
разложений по степеням малого отношения z = (р2 — Pi)/Pi'-
47	ci	27	pi	7 27^
(89.12)
Здесь сохранены члены, дающие первую поправку к значениям,
отвечающим звуковому приближению.
Задачи
1. Получить формулу
VW2 = С*,
где с* —критическая скорость (L. Prandtl).
Решение. Поскольку величина w + v2/2 непрерывна на ударной волне,
можно ввести критическую скорость, одинаковую для газов 1 и 2 согласно
7Pi , v? _ 7Р2	v%_ _ 7 + 1 с2
G-l)pi 2 G-l)p2 2 2G-1) *
(ср. (83.7)). Определяя из этих равенств Р2/Р2 и pi/pi и подставляя их в
уравнение
(результат комбинирования (85.1) и (85.2)), получим
=о.
Ввиду того что vi ф V2-, отсюда следует искомое соотношение.
2. Определить отношение рг/pi по заданным температурам Ti, T2 для
ударной волны в термодинамически идеальном газе с непостоянной тепло-
теплоемкостью.
Решение. Для такого газа можно лишь утверждать, что w (как и е)
есть функция только от температуры и что р, V, Т связаны уравнением со-
состояния pV = RT//1. Решая уравнение (85.9) относительно Р2/Р1, получаем
Р2 fj, ,	. Т2-Т1 /Г //	T2-Ti]2 Т2
— = —с-— (гиг — wi)	\~ \ \ —с-— (W2 — wi)	Н	,
pi ЯГГ	^ 2Ti	VLiZZV	2Ti J Ti'
где w\ =
§ 90. Гофрировочная неустойчивость ударных волн
Соблюдение условий эволюционности само по себе необходи-
необходимо, но еще недостаточно для гарантирования устойчивости удар-
ударной волны. Волна может оказаться неустойчивой по отношению
к возмущениям, характеризующимся периодичностью вдоль по-
поверхности разрыва и представляющим собой как бы «рябь», или
«гофрировку», на этой поверхности (такого рода возмущения

§ 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН	471
рассматривались уже в § 29 для тангенциальных разрывов) :) .
Покажем, каким образом исследуется этот вопрос для ударных
волн в произвольной среде (СП. Дьяков, 1954).
Пусть ударная волна покоится, занимая плоскость х = 0;
жидкость движется сквозь нее слева направо, в положительном
направлении оси х. Пусть поверхность разрыва испытывает воз-
возмущение, при котором ее точки смещаются вдоль оси х на малую
величину
? = ?ое*(М-"*)?	(90.1)
где ку — волновой вектор «ряби». Эта рябь на поверхности вызы-
вызывает возмущение течения позади ударной волны, в области х > 0
(течение же перед разрывом, х < 0, не испытывает возмущения
в силу своей сверхзвуковой скорости).
Произвольное возмущение течения складывается из энтро-
энтропийно-вихревой волны и звуковой волны (см. задачу к § 82). В
обоих зависимость величин от времени и координат дается мно-
множителем вида ехр [г(kr — cot)] с той же частотой со, что и в (90.1).
Из соображений симметрии очевидно, что волновой вектор к ле-
лежит в плоскости ху] его у-компонента совпадает с ку в (90.1),
а ж-компонента различна для возмущений двух типов.
В энтропийно-вихревой волне kv2 = со, т. е. кх = со/1J (v2 —
невозмущенная скорость газа за разрывом). В этой волне возму-
возмущение давления отсутствует, возмущение удельного объема свя-
связано с возмущением энтропии, SV^3UT^ = (dV/ds)p Ss, а возмуще-
возмущение скорости подчинено условию
В звуковой волне в движущемся газе связь между часто-
частотой и волновым вектором дается равенством (со — kvJ = с2к2
(см.F8.1)); поэтому кх в этой волне определяется уравнением
(co-kxv2J = c2(k2x + k2y).	(90.3)
Возмущения давления, удельного объема и скорости связаны со-
соотношениями:
[	\	(90.4)
(и - «2Jfex)<JvCB) = V2\a^(зв)•	(90.5)
Возмущение в целом представляется линейной комбинацией
возмущений обоих типов:
<fo = <fo(9HT)+&/9B), 8V = 8V^T) + 5V{m\ 5p = 8p{-m\ (90.6)
) Неустойчивость по отношению к таким возмущениям называют гофри-
ровочной (corrugation instability по английской терминологии).

472	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Оно должно удовлетворять определенным граничным условиям
на возмущенной поверхности разрыва.
Прежде всего, на этой поверхности должна быть
непрерывна тангенциальная к ней составляющая
скорости, а скачок нормальной составляющей дол-
должен выражаться через возмущенные давление и
плотность равенством (85.7). Эти условия записы-
записываются как
vi t = (v2 + 5v)t,
vm - (v2 + <*v)n = [(p2 - Pi + 8p){Vi -V2- 6V)}1/2,
где t и n — единичные векторы касательной и нор-
нормали к поверхности разрыва (рис. 59). С точностью
до величин первого порядка малости компоненты
ис'	этих векторов (в плоскости ху) равны t(ik(, 1) и
пA, — ikQ] выражение ikC^ возникает как производная д(^/ду. С
этой же точностью граничные условия для скорости принимают
вид
\^^\ (90.7)
2 — Pi vi —
Далее, возмущенные значения p2 + dp и V2 + SV2 должны
удовлетворять тому же уравнению адиабаты Гюгонио, что и не-
невозмущенные р2 и V2- Отсюда получаем условие, связывающее
др и SV:
$р = *E1SV,	(90.8)
(IV2
где производная берется вдоль адиабаты.
Наконец, еще одно соотношение возникает из связи между по-
потоком вещества через поверхность разрыва и скачками давления
и плотности на ней. Для невозмущенного разрыва это соотноше-
соотношение выражается формулой (85.6), а для возмущенного аналогич-
аналогичное соотношение есть
i-(vm-unJ=
V!-V2-SV
где и — скорость точек поверхности разрыва. В первом прибли-
приближении по малым величинам имеем un = —гоо(] разлагая напи-
написанное равенство также и по степеням др и dV, получим
2^с = 8р + SV	(909)
с	+	^	(909)
Vl	P2 - Pi	Vl - V2
Равенства (90.2), (90.4), (90.5), (90.7)-(90.9) составляют си-
систему восьми линейных алгебраических уравнений для восьми

§ 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН	473
величин ?, Sp, 8VCHT\ 6V^3B\ Svi^y •> Svx*y *) • Условие совмест-
совместности этих уравнений (выражаемое равенством нулю определи-
определителя их коэффициентов) имеет вид
— (ку + 4)-(— + kl) (" - v?ky)A + h) = 0. (90Л0)
vi \	Щ J \viv2	/
где для краткости введено обозначение h = j2\dtV2/'Ф2) •> aJ имеет
обычный смысл: j = v\/V\ = г^/Т^. Величину кх в (90.10) надо
понимать как функцию ку и о;, определяемую равенством (90.3).
Условие неустойчивости состоит в существовании возмуще-
возмущений, экспоненциально возрастающих со временем, причем они
должны экспоненциально убывать с удалением от поверхности
разрыва (т. е. при х —>> оо); последнее условие означает, что ис-
источником возмущения является сама ударная волна, а не какой-
то внешний по отношению к ней источник. Другими словами,
волна неустойчива, если уравнение (90.10) имеет решения, у ко-
которых
Imo; > 0, 1т?;ж>0.	(90.11)
Исследование уравнения (90.10) на предмет выяснения усло-
условий существования таких решений довольно громоздко. Мы не
будем производить его здесь, ограничившись указанием оконча-
окончательного результата 2) . Гофрировочная неустойчивость ударной
волны возникает, если
j2^ < -1,	(90.12)
dp2
или
c2
напомним, что производная берется вдоль ударной адиабаты
(при заданных pi, Vi) 3) .
Условия (90.12), (90.13) отвечают наличию у уравнения (90.10)
комплексных корней, удовлетворяющих требованиям (90.11). Но
в определенных условиях это уравнение может иметь также и
1)Все эти равенства берутся при х = 0, и под перечисленными величи-
величинами в них могут подразумеваться постоянные амплитуды, без переменных
экспоненциальных множителей.
2)	Это исследование можно найти в оригинальной статье: Дьяков СП. //
ЖЭТФ. 1954. Т. 27. С. 288. В следующем параграфе будет приведено еще и
менее строгое, но более наглядное обоснование условий (90.12), (90.13).
3)	Отметим, что при выводе (90.12), (90.13) используется только обяза-
обязательное условие (88.1), но не используется неравенство р2 > р\. Поэтому эти
условия неустойчивости относятся и к ударным волнам разрежения, кото-
которые могли бы существовать при (d2V/dp2)s < 0.

474	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
корни с вещественными ио и kx, отвечающие «уходящим» от раз-
разрыва реальным незатухающим звуковым и энтропийным волнам,
т.е. спонтанному излучению звука поверхностью разрыва. Мы
будем говорить о такой ситуации как об особом виде неустойчи-
неустойчивости ударной волны, хотя неустойчивости в буквальном смысле
здесь нет, — раз созданное на поверхности разрыва возмущение
(рябь) неограниченно долго продолжает излучать волны, не за-
затухая и не усиливаясь при этом; энергия, уносимая излучаемыми
волнами, черпается из всей движущейся среды х) .
Для определения условий возникновения этого явления, пре-
преобразуем уравнение (90.10), введя угол в между к и осью х\ тогда
с2кх = с^о cos 6, с2ку = ooq sin#,
ш2=с2(к2 + к2)	(9°Л4)
(ojq — частота звука в системе координат, движущейся вместе с
газом за ударной волной), и получаем квадратное относительно
cos в уравнение:
+	ij cos^ + [
1 + h	V2	J	C2 L	1 + h
+	1 +	а (дол5)
1 + h	\	c| /
Скорость распространения звуковой волны в движущемся со ско-
скоростью V2 газе, по отношению к неподвижной поверхности раз-
разрыва, есть V2 + С2 cos в. Звуковая волна будет уходящей, если эта
сумма положительна, т. е. если
-v2/c2 <cos<9< I	(90.16)
(значения cos в < 0 отвечают случаям, когда вектор к направ-
направлен в сторону разрыва, но снос звуковой волны движущимся га-
газом делает ее все же «уходящей»). Спонтанное излучение звука
ударной волной возникает, если уравнение (90.15) имеет корень,
лежащий в этих пределах. Простое исследование приводит к сле-
следующим неравенствам, определяющим область этой неустойчи-
неустойчивости 2)
l-v2/c2-vlV2/c2
(нижний и верхний пределы здесь фактически отвечают ниж-
нижнему и верхнему пределам в условиях (90.16)). Область (90.17)
примыкает к области неустойчивости (90.13), расширяя ее.
1) Сравните с аналогичной ситуацией для тангенциальных разрывов —
задача 2 § 84.
) Эта неустойчивость тоже была указана СП. Дьяковым A954); правиль-
правильное значение нижней границы в (90.17) найдено В.М. Конторовичем A957).

§ 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН	475
К происхождению неустойчивости ударных волн в области
(90.17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения,
рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающе-
падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна
движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой ско-
скоростью, то в этот газ звук не проникает. В газе же позади вол-
волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и от-
отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой
поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении
коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче
об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что на-
наряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от
разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигуриру-
фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой
волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений
мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в кото-
которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей
волны. Решение этой системы дается выражениями, в знамена-
знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений, —как
раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное урав-
уравнение спонтанных возмущений (90.10). Тот факт, что в области
(90.17) это уравнение имеет вещественные корни для cos б, озна-
означает, что существуют определенные значения угла отражения (и
тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения
становится бесконечным. Это — другая формулировка возможно-
возможности спонтанного излучения звука, т. е. излучения без падающей
извне звуковой волны.
То же самое относится и к коэффициенту прохождения зву-
звука, падающего на поверхность разрыва спереди, навстречу ей. В
этом случае не существует отраженной волны, а позади поверх-
поверхности разрыва возникают прошедшие звуковая и энтропийно-
вихревая волны. В области (90.17) возможно обращение коэф-
коэффициента прохождения в бесконечность :) .
Скажем несколько слов о некоторых возможных, в принци-
принципе, типах ударных адиабат, содержащих области рассмотренных
неустойчивостей 2) .
1) Вычисление коэффициентов отражения и прохождения звука на удар-
ударной волне при произвольных направлениях падения в произвольных сре-
средах см.: Дьяков СП. II ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 948, 962; Конторо-
вич В.М. II ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 1527; Акустический журнал. 1959. Т. 5.
С. 314.
2)В политропном газе h = — (ci/^iJ, в чем легко убедиться с помощью
полученных в § 89 формул. Ни одно из условий (90.12), (90.13) и (90.17) при
этом заведомо не выполняется, так что ударная волна устойчива. Устойчи-
Устойчивы, конечно, также и ударные волны слабой интенсивности в произвольной
среде.

476
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. IX
Условие (90.12) требует отрицательной производной
причем ударная адиабата должна быть наклонена (к оси аб-
абсцисс) в точке 2 менее круто, чем проведенная в нее хорда 12
(т. е. обратно тому, что имеет место в обычных случаях — рис. 53).
Для этого адиабата должна перегнуться, как показано на рис. 60;
условие неустойчивости (90.12) выполняется на участке ab.
Рис. 60
Рис. 61
Условие (90.13) требует положительности производной
dp2/dV2-) причем наклон адиабаты должен быть достаточно мал.
На рис. 60 это условие выполняется на определенных отрезках
адиабаты, непосредственно примыкающих к точкам а и b и рас-
расширяющих, таким образом, область неустойчивости. Условие
(90.13) может оказаться выполненным и на участке (cd на рис. 61)
адиабаты, не содержащей участка типа ab.
Условие (90.17) еще менее жестко, чем (90.13) и еще допол-
дополнительно расширяет область неустойчивости на адиабатах Гю-
гонио с dp2/dV2 > 0. Более того, нижний предел в (90.17) может
быть отрицательным, так что неустойчивость этого типа может,
в принципе, иметь место и в некоторых участках адиабат обыч-
обычного вида, со всюду отрицательной производной dp2/dV2.
Вопрос о судьбе гофрировочно-неустойчивых ударных волн
тесно связан со следующим замечательным обстоятельством: при
выполнении условий (90.12) или (90.13) решение гидродинамиче-
гидродинамических уравнений оказывается неоднозначным (C.S. Gardner,
1963). Для двух состояний среды, 1 и2, связанных друг с дру-
другом соотношениями (85.1)—(85.3), ударная волна является обыч-
обычно единственным решением задачи (одномерной) о течении, пе-
переводящем среду из состояния 1 в 2. Оказывается, что если в
состоянии 2 выполнены условия (90.12) или (90.13), то решение
указанной гидродинамической задачи не однозначно: переход из
состояния 1 в 2 может быть осуществлен не только в ударной
волне, но и через более сложную систему волн. Это второе ре-
решение (его можно назвать распадным) состоит из ударной вол-
волны меньшей интенсивности, следующего за ней контактного раз-
разрыва и из изэнтропической нестационарной волны разрежения

§ 90 ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН	477
(см. ниже § 99), распространяющейся (относительно газа поза-
позади ударной волны) в противоположном направлении; в ударной
волне энтропия увеличивается от «si до некоторого значения 53 <
< 52, а дальнейшее увеличение от 53 до заданного 52 происходит
скачком в контактном разрыве (эта картина относится к типу,
изображенному ниже на рис. 78 б] предполагается выполненным
неравенство (86.2)) г).
Вопрос о том, чем определяется отбор одного из двух реше-
решений в конкретных гидродинамических задачах, не ясен. Если от-
отбирается распадное решение, то это означало бы, что неустой-
неустойчивость ударной волны с самопроизвольным усилением поверх-
поверхностной ряби вообще не осуществляется. По-видимому, однако,
такой отбор не может быть связан именно с этой неустойчиво-
неустойчивостью, поскольку неоднозначность решения не ограничена усло-
условиями (90.12), (90.13) 2).
Задачи
1. На ударную волну падает сзади (со стороны сжатого газа) нормально
к ней плоская звуковая волна. Определить коэффициент отражения звука.
Решение. Рассматриваем процесс в системе координат, в которой
ударная волна покоится, а газ движется через нее в положительном направ-
направлении оси х\ падающая звуковая волна распространяется в отрицательном
направлении оси х. При нормальном падении (а потому и отражении) в от-
отраженной энтропийной волне скорость ^v^3HT^ = 0. Возмущение давления:
Sp = Sp^3B' + Sp^ ', где индекс @) относится к падающей, а индекс (зв) — к
отраженной звуковым волнам. Для скорости Svx = Sv имеем
(разность вместо суммы возникает ввиду противоположных направлений
распространения обеих волн). Второе из граничных условий (90.7) имеет
прежний вид (но в нем теперь SV = SVW +?У(зв) +?У(энт)); с учетом (90,8)
и формулы (85.6) переписываем его как
с 1 ~~ h / - (зв) . с @)\
Sv =	[дрк J+SpKJ).
2J
Приравняв друг другу оба выражения Sv, получим для искомого отношения
амплитуд давления в отраженной и падающей звуковых волнах:
?р(зв)	l-2M2-h
2М2 - h
A)
:) В статье Gardner C.S. // Phys. Fluids. 1963. V. 6. P. 1366 это показано для
области (90.13). Более общее рассмотрение, включающее и область (90.12),
дано Кузнецовым Н.М. // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. С. 470; там же рассмотрены
ударные адиабаты с нарушением условия (d2V/dp2)s > 0, когда распадные
решения складываются из других совокупностей волн.
) По-видимому, область неоднозначности простирается на ударной адиа-
адиабате несколько за пределы области неустойчивости, определяемой этими
условиями. См. об этом указанную выше статью Н. М. Кузнецова.

478	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
(где М2 = V2/C2). Оно обращается в бесконечность на верхней границе обла-
области (90.17).
Для политропного газа h = — М^~ . При слабой интенсивности ударной
волны (р2 — Pi <Cpi) отношение A) стремится к нулю как (рг — PiJ, а в
обратном случае большой интенсивности стремится к постоянному пределу
2. На ударную волну падает спереди, нормально к ней, плоская звуковая
волна. Определить коэффициент прохождения звука ).
Решение. Возмущение в газе 1 перед ударной волной
6Р1 = 6р(°\ 6Vi = SVW = -Ц-6ри 6v! = —6ри
а в газе 2 позади нее:
SP2 = Spi3B\ SV2 = SV{3B) + 6У{ЭНТ\ Sv2 = —SP2
C2
(индексы @), (зв), (энт) относятся к падающей звуковой и к прошедшим
звуковой и энтропийным волнам). Возмущения др2 и 6V2 связаны друг с
другом соотношением, следующим из уравнения ударной адиабаты: если
последнее выражено в виде V2 = Vb(рг; Pi, Vi), то
т/ \'dvA я ^(дУЛ at/ ^(дУЛ я
V2= [-^—) 5Р2 + —- ^i + ( т— ) <*Pi =
\dViJH	\dpiJH
(индекс Н у производных указывает, что они берутся вдоль адиабаты Гю-
гонио )). Граничное условие (90.7) заменяется теперь на
е	е	Vl ~ V2 Г^Р2 ~~ ^Vl ^2 ~ SVl 1	1 Ге	~	-2/ ет^ „М1
OV2 —ovi =	=	[др2 —dpi —j @V2 —oVi)\.
2 L P2 - Pi Vi - V2 J	2j
Приравняв два выражения для 5v2 — Svi, получим для искомого отношения
амплитуд в прошедшей и падающей звуковых волнах:
B)
1 + 2М2 - h '
где /г имеет прежнее значение, а
Для политропного газа
7 + 1 М?
:) Для политропного газа эта задача рассматривалась Д. И. Блохинцевым
A945) и Бюргерсом (J.M. Burgers, 1946).
2) Производная (дУ2/др2)н есть то, что мы обозначали выше просто как
dV2/dp2, подразумевая, что производная берется при постоянных р\, V\.

§ 91	РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПО ТРУБЕ	479
и коэффициент прохождения:
?р(зв) ^	^ +MiJ
При слабой интенсивности ударной волны отсюда получается
(fyCB) ^ 1 7 + 1 Р2 - VI
<*р(°) ~	27 pi '
а в обратном случае большой интенсивности:
?р(зв)	1	pa
7 + ^/27G — 1) Pi
В обоих случаях амплитуда давления в прошедшей звуковой волне возра-
возрастает по сравнению с давлением в падающей волне.
§ 91. Распространение ударной волны по трубе
Рассмотрим распространение ударной волны по среде, запол-
заполняющей длинную трубку с переменным сечением. Наша цель со-
состоит при этом в выяснении влияния, оказываемого изменением
площади ударной волны на ее скорость (G.B. Whitham, 1958).
Будем считать, что площадь S(x) сечения трубки лишь мед-
медленно меняется вдоль ее длины (ось х) — мало на расстояниях
порядка ширины трубки. Это дает возможность применить при-
приближение (его называют гидравлическим), которое уже было ис-
использовано в § 77: можно считать все величины в потоке постоян-
постоянными вдоль каждого поперечного сечения трубки, а скорость —
направленной вдоль ее оси; другими словами, течение рассматри-
рассматривается как квазиодномерное. Такое течение описывается уравне-
уравнениями
^+^^ + 1ЁЕ = о,	(91.1)
dt дх р дх
^с(|+^H,	(91.2)
дх	\dt дх/
S^ + ^-(pvS)=0.	(91.3)
at ox
Первое из них — уравнение Эйлера, второе — уравнение адиаба-
тичности, а третье — уравнение непрерывности, представленное
в виде G7.1).
Для выяснения интересующего нас вопроса достаточно рас-
рассмотреть трубку, в которой изменение площади S(x) не только
медленно, но и по абсолютной величине остается относительно
малым на протяжении всей длины. Тогда будут малы и связан-
связанные с непостоянством сечения возмущения потока, и уравнения
(91.1)—(91.3) могут быть линеаризованы. Наконец, должны быть
поставлены начальные условия, исключающие появление каких-

480	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
либо посторонних возмущений, которые могли бы повлиять на
движение ударной волны; нас интересуют только возмущения,
связанные с изменением S(x). Эта цель будет достигнута, если
принять, что ударная волна первоначально движется с постоян-
постоянной скоростью по трубе постоянного сечения, и площадь сечения
начинает меняться только вправо от некоторой точки (которую
примем за х = 0).
Линеаризованные уравнения (91.1)—(91.3) имеют вид
dSv . dSv . 1 дёр п
at ox р ох
ддр_л
dt
ddp
dt
ddp
- v—- -
dx
+ v^p
dx
2 (ddp
V dt
ddv
dx
, odp\
+ v—- =
dx)
pv dSS _ {
S dx ~
где буквы без индекса обозначают постоянные значения вели-
величин в однородном потоке в однородной части трубки, а символ 6
обозначает изменение этих величин в трубке переменного сече-
сечения. Умножив первое и третье из этих уравнений соответственно
на рс и с2 и сложив затем все три уравнения, напишем следую-
следующую их комбинацию:
Общее решение этого уравнения дается суммой общего решения
однородного уравнения и частного решения уравнения с правой
частью. Первое есть F(x — vt — ct), где F — произвольная функ-
функция; оно описывает звуковые возмущения, приходящие слева. Но
в однородной области, при х < 0, возмущений нет; поэтому надо
положить F = 0. Таким образом, решение сводится к интегралу
неоднородного уравнения:
6p + pc6v = -^^.	(91.5)
Г	v+c S	V У
Ударная волна движется слева направо со скоростью v\ > с\
по неподвижной среде с заданными значениями р\, р\. Движение
же среды позади ударной волны (среда 2) определяется решени-
решением (91.5) во всей области трубки слева от точки, достигнутой раз-
разрывом к данному моменту времени. После прохождения волны
все величины в каждом сечении трубки остаются постоянными
во времени, т. е. равными тем значениям, которые они получили
в момент прохождения разрыва: давление ]92, плотность р2 и ско-
скорость v\ — V2 (в соответствии с принятыми в этой главе обозна-
обозначениями, V2 обозначает скорость газа относительно движущейся
ударной волны; скорость же его относительно стенок трубки есть
тогда v\—V2)- В этих обозначениях (и снова выделив переменные

§ 92	РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПО ТРУБЕ	481
части этих величин) равенство (91.5) запишем в виде
SS	V V + c2	+ {5vi _
V)c\
S
Все величины 5v\, Sv2, Sp2 можно выразить через одну из них,
например, 5v\. Для этого запишем варьированные соотношения
(85.1), (85.2) на разрыве (при заданных р\ и р\)\
p\Svi = V2$p2 + P2SV2, 2j(Svi — 6V2) = Sp2 + v%Sp2
(где j = pivi = P2V2 — невозмущенное значение потока); к ним
надо еще присоединить соотношение
SP2 = ^
а
где производная берется вдоль адиабаты Гюгонио. Вычисление
приводит к следующему окончательному соотношению, связы-
связывающему изменение 8v\ скорости ударной волны относительно
неподвижного газа перед ней, с изменением SS площади сечения
трубки:
_}_SS_ _ VI - V2 + С2 Г1 + 2У2/С2 - tl~\	/Q-. ^ч
SSvi ~ vic2 I l + h У	У ' )
где снова введено обозначение
Н = -?*»=?™	(91.8)
р| dp2	dp2
Коэффициент при квадратной скобке в (91.7) положителен.
Поэтому знак отношения Svi/SS определяется знаком выраже-
выражения в этой скобке. Для всех устойчивых ударных волн этот знак
положителен, так что Svi/SS < 0. Но при выполнении
какого-либо из условий (90.12), (90.13) гофрировочной
неустойчивости выражение в скобках становится отри-
отрицательным, так что Svi/SS > 0.
Этот результат дает возможность наглядного истол-
истолкования происхождения неустойчивости. На рис. 62 изо-
изображена «гофрированная» поверхность ударной волны,
перемещающаяся направо; стрелками схематически по-
показано направление линий тока. При перемещении удар-
ударной волны на выдавшихся вперед участках поверхности
площадь 6S растет, а на отставших участках — умень- Рис б2
шается. При Svi/SS < 0 это приводит к замедлению
выступивших участков и ускорению отставших, так что поверх-
поверхность стремится сгладиться. Напротив, при Svi/SS > 0 воз-
возмущение формы поверхности будет усиливаться: выступающие
участки будут уходить все дальше, а отставшие — все более от-
) Выражение (91.7) для произвольной (не политропной) среды и его связь
с условиями гофрировочной неустойчивости ударных волн указаны С. Г. Су-
гаком, В.Е. Фортовым, А.Л. Ни A981).
16 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

482	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
§ 92. Косая ударная волна
Рассмотрим стационарную ударную волну отказавшись при
этом от подразумевавшегося везде выше выбора системы коор-
координат, в которой скорость газа направлена перпендикулярно к
данному элементу поверхности волны. Линии тока могут пересе-
пересекать поверхность такой ударной волны наклонно, причем пере-
пересечение сопровождается преломлением линий тока. Касательная
составляющая скорости газа не меняется при прохождении че-
через ударную волну, а нормальная составляющая согласно (87.4)
падает:
Vlt = V2U Vin > V2n-
Поэтому ясно, что при прохождении через ударную волну линии
тока приближаются к ней (как это показано на рис. 63). Таким
образом, преломление линий тока на ударной волне происходит
всегда в определенном направлении.
Выберем направление скорости vi газа
перед ударной волной в качестве оси ж, и
пусть if — угол между поверхностью разры-
разрыва и осью х (рис. 63). Возможные значения
угла if ограничены лишь условием, чтобы
нормальная составляющая скорости vi пре-
— вышала скорость звука с\. Поскольку v\n =
= vsmcp, то отсюда следует, что ср может
иметь произвольные значения в интервале
между тг/2 и углом Маха а:
а\ < (р < тг/2, sinai = ci/vi = I/Mi.
Движение позади ударной волны может
Рис 63	быть как до-, так и сверхзвуковым (меньше
скорости звука с2 должна быть лишь нор-
нормальная компонента скорости); движение же перед ударной вол-
волной— непременно сверхзвуковое. Если движение газа по обе сто-
стороны от ударной волны является сверхзвуковым, то все возмуще-
возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности лишь в ту сто-
сторону, куда направлена касательная к ней составляющая скорости
газа. В этом смысле можно говорить о «направлении» ударной
волны и различать по отношению к какому-либо месту «исходя-
«исходящие» из него и «приходящие» волны (подобно тому как мы это
уже делали для характеристик, вокруг которых движение все-
всегда является сверхзвуковым; см. § 82). Если же движение позади
ударной волны является дозвуковым, то понятие о ее направ-
направлении теряет, строго говоря, смысл, так как возмущения могут
распространяться вдоль ее поверхности во все стороны.
Выведем соотношение, связывающее друг с другом две ком-
компоненты скорости газа после его прохождения через косую удар-
ударную волну; при этом будем предполагать газ политропным.

§ 92	КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА	483
Непрерывность касательной к волне составляющей скорости
означает, что v\ cos cp = V2X cos cp + V2y sin <p, или
Hi^2i.	(92.1)
Далее, воспользуемся формулой (89.6); в этой формуле v\ и
V2 обозначают нормальные к плоскости ударной волны состав-
составляющие скорости и должны быть теперь заменены на v\ sin cp и
V2X sin if — V2y cos <p, так что имеем
2c
^2ж sin ip - v2y cos 99 _ 7 - 1
7 + 1 G + l)^i sin if
Из двух написанных соотношений можно исключить угол ср.
После простых преобразований получим следующую формулу,
определяющую связь между V2X и V2y (при заданных v\ и с\):
2 / ci \ (	.
	1 - (VI - V2x)
Vl 2 cl	¦	(92.3)
7 + 1 ^1
Этой формуле можно придать более изящный вид, если вве-
ввести в нее критическую скорость. Согласно уравнению Бернулли
и определению критической скорости имеем
w 1 v" - с" i v" - ^+l г
1 2 7-1 2 2G-1) *
(ср. задачу 1 § 89), откуда
(92.4)
7+1	7+1
Введя эту величину в (92.3), получим
(92.5)
	V{
7 + 1
Уравнение (92.5) называют уравнением ударной поляры
(A. Busemann, 1931). На рис. 64 изображен график этой зависи-
зависимости; это есть кривая третьего порядка (так называемая строфои-
строфоида или декартов лист). Она пересекает ось абсцисс в точках Р и Q
(рис. 64), соответствующих значениям V2X — с*Д>1 и V2X = v\ x) .
*) От точки Q, являющейся двойной точкой кривой, строфоида в действи-
действительности продолжается еще в виде двух уходящих к бесконечным \v2y \ вет-
ветвей (не изображенных на рис. 64) с общей вертикальной асимптотой
V2x = cl/vi
Однако точки этих ветвей не имеют физическою смысла: они дали бы для
^2ж, У2У значения, при которых V2n/vin > 1, что невозможно.
16*

484
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. IX
Проведя из начала координат луч (О В на рис. 64) под углом х к
оси абсцисс по длине его отрезка до точки пересечения с кривой
ударной поляры, мы определяем скорость газа за скачком, пово-
поворачивающим поток на угол %. Таких точек пересечения имеется
две (А и В), т. е. заданному зна-
значению х отвечают две различ-
различные ударные волны. Направле-
Направление ударной волны тоже может
быть сразу определено графиче-
графически по этой же диаграмме — оно
определяется перпендикуляром,
опущенным из начала координат
на прямую, проведенную из точ-
точки Q соответственно через точ-
точку В или А (на рис. 64 изобра-
Рис. 64	жен угол ср для волны, соответ-
соответствующей точке В). При уменьшении х точка А приближается
к точке Р, отвечающей прямому (ср = тг/2) скачку с v2 = сЦу\.
Точка же В приближается при этом к точке Q, причем интенсив-
интенсивность ударной волны (скачок скорости в ней) стремится к нулю;
в пределе, в самой точке Q, угол ср равен, как и следовало, углу
Маха а\ (угол наклона касательной к поляре к оси абсцисс в этой
точке равен тг/2 + а{).
Из диаграммы ударной поляры сразу можно вывести важ-
важное заключение, что угол отклонения х потока в ударной волне
не может превышать некоторого максимального значения Хтах,
соответствующего лучу, проведенному из точки О касательно к
кривой. Хтах является, конечно, функцией числа Mi = v\jc\\ мы
не приводим ее здесь ввиду ее громоздкости. При Mi = 1 имеем
Хтах = 0, а при возрастании Mi угол Хтах монотонно растет и
при Mi —>> оо стремится к конечному пределу. Легко рассмотреть
оба предельных случая. Если скорость v\ близка к с*, то вместе
с ней близка к с* и скорость v2i а угол х мал; уравнение ударной
поляры (92.5) можно тогда приближенно переписать в виде х)
X2 = 1^-(vi-v2f(vl+v2-2c*)	(92.6)
(ввиду малости угла х здесь положено v2l
элементарным путем найдем 2)
Хтах —
з3/2
- Отсюда
-(Mi - IK/2. (92.7)
:) Можно легко убедиться в том, что уравнение (92.6) будет справедливым
и для любого (не политропного) газа, если только заменить в нем величину
G + 1)/2 на параметр а*, определенный согласно A02.2).
) Отметим, что эта зависимость %тах от Mi — 1 находится в согласии с
общим законом подобия A26.7) для околозвуковых течений.

§ 92
КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
485
В обратном предельном случае, при Mi —
вырождается в окружность
. 7-1
оо, ударная поляра
V2y =
7"
(92.?
'Чпах' ^ "
Легко видеть, что при этом
Xmax = arcsin(l/7).
На рис. 65 изображен график зависимости Xmax 0T Mi для возду-
воздуха G = 1,4); горизонтальная штриховая линия показывает пре-
предельное значение Хтах(оо) = 45,6° (верхняя кривая на рисунке —
аналогичный график для обтекания конуса; см. § 113).
Окружность V2 = с* пересекает ось абсцисс между точками
Р и Q (рис. 64) и поэтому делит ударную поляру на две части,
соответствующие до- и сверхзвуковым скоростям газа позади
разрыва. Точка пересечения окруж-
окружности V2 = с* с полярой лежит правее
точки С, но очень близко к ней; по-
поэтому весь участок PC соответству-
соответствует переходам к дозвуковым скоро-
скоростям, а участок CQ (за исключением Зо
лишь очень небольшого участка вбли-
вблизи точки С) — переходам к сверхзву- 20
ковым скоростям.	ю
Изменения давления и плотности о
в косой ударной волне зависят толь-
только от нормальных к ней компонент
скорости. Поэтому отношения pijpx и
/
/ .
у
/
Конус,
Клин


^-——
1,0 1,5
2,0 2,5
Рис. 65
3,0 Mi
P2Jр\ при заданных Mi и ip получаются из формул (89.6), (89.7)
просто путем замены в них Mi на Mi simp:
(92.9)
Р2 -Pi _ 27
Pi	7 +1
sin2 p-
р2
-pi _ 2(M?sin2<p-l)
pi
^ ' ^
Эти отношения монотонно возрастают при увеличении угла ср от
значения ср = а\ (когда ръ1р\ = Ръ1 Р\ — 1) Д° тг/2, т. е. по мере
перемещения по ударной поляре от точки Q к точке Р.
Приведем еще, для справок, формулу, выражающую угол по-
поворота х скорости через число Mi и угол ср:
l	(92.11)
_2(M?sin2?>-l)
и формулу, определяющую число М2 =
no Mi и
2М? cos2 ip
2 27М? sin2 ip - G - 1) 2 + G-l)Mfsin2v?
(при ip = тг/2 последнее выражение переходит в (89.9)).
(92.12)

486
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
ГЛ. IX
Две ударные волны, определяемые ударной полярой для за-
заданного угла поворота скорости, называют волнами слабого и
сильного семейства. Ударная волна сильного семейства (уча-
(участок PC поляры) обладает большей интенсивностью (большим
отношением P2JP\)-> образует больший угол (р с направлением
скорости vi и превращает течение из сверх- в дозвуковое. Волна
же слабого семейства (участок QC поляры) обладает меньшей
интенсивностью, наклонена к потоку под меньшим углом и по-
почти всегда оставляет течение сверхзвуковым.
Для иллюстрации на рис. 66 изображены зависимости угла х
отклонения скорости от угла ср наклона поверхности разрыва
для воздуха G = 1,4) при нескольких различных значениях чис-
числа Mi, в том числе для предела Mi —>> 00. Ветви кривых, изобра-
изображенные сплошными линиями, отвечают ударным волнам слабого
25
20
15
10
0 10 20 30 40 50 60 70 ср, град
Рис. 66
семейства, а изображенные штрихами — ударным волнам силь-
сильного семейства. Штриховая линия х = Хтах — геометрическое
место точек максимального (при каждом заданном Mi) угла от-
отклонения, а сплошная линия М2 = 1 разделяет области сверх-
и дозвукового течения позади разрыва; узкая область между
этими двумя линиями отвечает ударным волнам слабого семей-
семейства, превращающим, однако, течение из сверх- в дозвуковое.
Разность значений угла ср на линиях х = Хтах и ^-2 — 1 (при

§ 93	ШИРИНА УДАРНЫХ ВОЛН	487
заданном Mi) нигде не превышает 4,5°; разность же между Хтах
и значением х = Хзв на линии М2 = 1 (тоже при заданном Mi)
не превышает 0,5° г) .
§ 93. Ширина ударных волн
Мы говорили до сих пор об ударных волнах как о геомет-
геометрических поверхностях, не обладающих толщиной. Рассмотрим
теперь вопрос о структуре реальных физических поверхностей
разрыва. Мы увидим, что ударные волны с небольшими скачка-
скачками величин представляют собой в действительности переходные
слои конечной толщины, уменьшающейся при увеличении вели-
величины скачков. Если же скачки величин в ударной волне не малы,
то, действительно, разрыв происходит настолько резко, что в ма-
макроскопической теории не имеет смысла говорить о его толщине.
Для определения структуры и толщины переходного слоя на-
надо учесть вязкость и теплопроводность газа, влиянием которых
мы до сих пор пренебрегали.
Соотношения (85.1)—(85.3) на ударной волне были получены
из условий постоянства потоков вещества, импульса и энергии.
Если рассматривать поверхность разрыва как слой конечной тол-
толщины, то эти условия надо писать не в виде равенства соответ-
соответствующих величин по обе стороны разрыва, а в виде их постоян-
постоянства вдоль всей толщины разрывного слоя. Первое из этих усло-
условий (85.1) не меняется:
pv = j = const.	(93.1)
В двух же других условиях надо учесть дополнительные по-
потоки импульса и энергии, обусловленные внутренним трением и
теплопроводностью.
Плотность потока импульса (вдоль оси ж), обусловленного
внутренним трением, определяется компонентой — ахх вязкого
тензора напряжений; согласно общему выражению A5.3) для
этого тензора имеем
Условие (85.2) приобретает теперь вид
2)
[1 + (J^ = const.
x) Подробные графики и диаграммы, относящиеся к ударной поляре (для
7 = 1,4) можно найти в кн.: Липман Г.В., Рошко А. Элементы газовой дина-
динамики. — М.: ИЛ, 1960. [Ыертапп Н. W., Roshko A. Elements of gas dynamics. —
N. Y.: J. Wiley, 1957]; Oswatitsch K. Gas dynamics. — N. Y.: Academic Press,
1956.
2) Положительное направление оси х совпадает с направлением движения
газа через неподвижную ударную волну. Если перейти к системе отсчета, в
которой неподвижен газ перед ударной волной, то сама ударная волна будет
двигаться в отрицательном направлении оси х.

488	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Как и в § 85, введем вместо скорости v удельный объем V со-
согласно v = jV. Постоянную же в правой части равенства выра-
выразим через предельные значения величин на большом расстоянии
впереди ударной волны (сторона 1). Тогда написанное условие
примет вид
(j )^ = 0.	(93.2)
Далее, плотность потока энергии, обусловленного теплопро-
теплопроводностью, есть —кдТ/дх. Поток же энергии, связанный с вну-
внутренним трением, есть
/	/	(А . Л dv
—a^Vi = —a^^v = — -7? + С ]v —.
Xl	xx	V3	/ dx
Таким образом, условие (85.3) напишется в виде
2	dT
или, снова введя v = jV и выразив const через величины с ин-
индексом 1:
J2 2	2	(А	\^У к dT	/по о\
>	[	)	(93.3)
Мы будем рассматривать здесь ударные волны, в которых
все величины испытывают лишь малый скачок. Тогда и все раз-
разности V — Vi, р — р\ и т. п. между значениями величин внутри
переходного слоя и вне его тоже малы. Из получающихся ниже
соотношений видно, что 1/S (где S — ширина разрыва) есть ве-
величина первого порядка малости по P2~Pi- Поэтому дифферен-
дифференцирование по х увеличивает порядок малости на единицу (так,
производная dp/dx — величина второго порядка).
Умножим уравнение (93.2) на (V + Vi)/2 и вычтем его из
уравнения (93.3). Тогда получим
UpPl)(V + V1) = ^	(93.4)
2	j dx
(здесь опущен член, содержащий (V — V\)dV/dx, являющийся
малой величиной третьего порядка). Разложим выражение в ле-
левой части (93.4) по степеням р — р\ и s — «si, выбрав давление и
энтропию в качестве основных независимых переменных. Члены
первого и второго порядка по р — р\ в этом разложении выпадают
(ср. вычисления при выводе формулы (86.1)) и, опустив члены
более высокого порядка, получим просто T(s — s\). Производную
же dT /dx пишем в виде
dT_ _ (дТ_\ dp_ (дТ_\ ds_
dx V dp ) s dx V ds ) p dx

§ 93	ШИРИНА УДАРНЫХ ВОЛН	489
Член с производной ds/dx можно опустить как малую величину
третьего порядка (см. ниже), и в результате находим формулу,
выражающую функцию s(x) через функцию р(х):
Iе-	(93.5)
дх
Обратим внимание на то, что разность s — si внутри пере-
переходного слоя оказывается величиной второго порядка малости,
между тем как полный скачок 52 — si является (как было показа-
показано в § 86) величиной третьего порядка по сравнению со скачком
давления р2 — р\. Это связано с тем, что (как будет показано
ниже) давление р(х) меняется в переходном слое монотонно от
одного предельного значения р\ до другого р2] энтропия же s(x),
определяясь производной dp/dx, проходит через максимум, до-
достигая наибольшего значения внутри переходного слоя.
Уравнение, определяющее функцию р(х), можно было бы по-
получить путем аналогичного разложения уравнений (93.2), (93.3)
и их комбинирования друг с другом. Мы, однако, изберем дру-
другой, более поучительный способ, позволяющий более ясно понять
происхождение различных членов в уравнении.
В § 79 было показано, что монохроматическое слабое возму-
возмущение состояния газа (звуковая волна) затухает по мере своего
распространения с декрементом, пропорциональным квадрату
частоты: j = аио2] положительный коэффициент а выражает-
выражается через коэффициенты вязкости и теплопроводности согласно
формуле G9.6). Там же было показано, что это затухание мо-
может быть описано (для произвольной плоской звуковой волны)
введением дополнительного члена в линеаризованное уравнение
движения —см. G9.9). Заменив в этом уравнении вторую произ-
производную по времени второй производной по координате и изменив
знак перед производной др'/дх (что отвечает распространению
волны в отрицательном направлении оси х *)), запишем его в
виде
— — с— = ас 	,	(Уо.о)
dt дх	дх2'	V J
где р' — переменная часть давления.
Для учета слабой нелинейности надо ввести в это уравнение
член вида р'др'/дх:
др др	/др'	ъд2р	/по п\
— — с— — а„р — = ас —^-.	(93.7)
dt дх pF дх	дх2	v J
) Этот выбор направления распространения связан с замечанием, сделан-
сделанным в примеч. на с. 487

490	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Коэффициент ар в нелинейном члене определяется путем со-
соответствующего разложения гидродинамических уравнений иде-
идеальной (без диссипации) жидкости и оказывается равным
с3 d2V\	,OQ r
av =	 		(93.?
p 2V2 \dv2 s	v
(см. задачу) х) .
Уравнение (93.7) описывает распространение возмущений в
слабо диссипирующей, слабо нелинейной среде. В применении к
слабой ударной волне оно описывает ее распространение в систе-
системе отсчета, в которой невозмущенный газ (перед волной) непо-
неподвижен. Требуется найти решение со стационарным (не зави-
зависящим от времени) профилем, в котором вдали от волны, при
х —>• =Ьоо, давление принимает заданные значения р2 и р\\ раз-
разность р2 — р\ есть скачок давления в разрыве 2) .
Волна со стационарным профилем описывается решением
вида
р'(х, t) = p'(x + v1t),	(93.9)
где v\— скорость распространения такой волны. Подстановка в
(93.7) приводит к уравнению
± [(«! - с)р> - fp'2 - аЩ] =0, Z = х
первый интеграл которого:
^- = -^Рр'2 + (Wl - с))р' + const.	(93.10)
dt	2
Квадратный трехчлен в правой части равенства должен обра-
обращаться в нуль при значениях ]/, отвечающих предельным усло-
условиям на бесконечностях, где производная dp'/d^ обращается в
*) Введя новую неизвестную функцию и = —р'ар, новую (вместо х) неза-
независимую переменную ? = х + ct и обозначив fi = ас3, приведем уравнение
(93.7) к виду
ди д д2и	/no n ч
	У и— = а	,	(93.7а)
dt DC, ОС
в котором его называют уравнением Бюргерса (J.M. Burgers, 1940).
) Мы увидим в дальнейшем (§ 102), что в отсутствие диссипации эффек-
эффекты нелинейности приводят к искажению профиля волны по мере ее рас-
распространения— постепенному возрастанию крутизны фронта волны. В свою
очередь, это возрастание приводит к усилению диссипативных эффектов,
стремящихся уменьшить крутизну профиля (т. е. уменьшить градиенты ме-
меняющихся величин). Именно взаимная компенсация этих противоположных
тенденций приводит к возможности распространения волн со стационарным
профилем в нелинейной диссипативной среде.

§ 93	ШИРИНА УДАРНЫХ ВОЛН	491
нуль. Эти значения равны р2 — р\ и 0, если условиться отсчиты-
отсчитывать р' от невозмущенного давления р\ перед волной. Это значит,
что указанный трехчлен может быть представлен в виде
причем константа v\ выражается через р\ и р2 согласно
^i=c+^(p2-Pl).	(93.11)
Для самого же давления р уравнение (93.10) принимает вид
Решение этого уравнения, удовлетворяющее требуемым усло-
условиям есть
_ Pl +P2 , Р2 -Р1 ^ (р2 -Pl)(x + Vit)
Р	2	2	4acs/ap
Этим решается поставленная задача. Возвратившись снова к си-
системе отсчета, в которой ударная волна покоится, напишем фор-
формулу, определяющую ход изменения давления в ней в виде
( }
6 =	—	.	(93.13)
(pp)(d*V/dp*)	V	'
где
Практически все изменение давления от р\ до р% происходит на
расстоянии г^>8 — ширине ударной волны. Мы видим, что шири-
ширина волны уменьшается с увеличением ее интенсивности — скачка
давления р2 — р\ :) .
Для хода изменения энтропии внутри разрыва имеем из (93.5)
и (93.12):
>с (дТ\ (d2V\ ,	ч2 1	/по лл\
16caVT \ op / s V ар2 / s	ch (ж/о)
Отсюда видно, что энтропия меняется не монотонно, а имеет
максимум внутри ударной волны (при х = 0). При ж = =Ьоо эта
формула дает одинаковые значения s = S]_: это связано с тем, что
:) Для ударной волны, распространяющейся в смеси, определенный вклад
в ее ширину возникает также и от процессов диффузии в переходном слое.
Вычисление этого вклада см. Дьяков СП. // ЖЭТФ. 1954. Т. 27. С. 283.
Упомянем также, что ударные волны слабой интенсивности остаются
устойчивыми по отношению к поперечной модуляции (ср. примеч. на с. 475)
и при учете их диссипативной структуры; см. Спектпор М.Д. // Письма
ЖЭТФ. 1983. Т. 35. С. 181.

492	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
полное изменение энтропии 52 — si является величиной третьего
порядка по р2 — р\ (ср. (86.1)), в то время как s — s\ —второго.
Формула (93.12) применима количественно только при доста-
достаточно малых разностях р2 — р\. Однако качественно мы можем
применить формулу (93.13) для определения порядка величины
ширины ударной волны и в тех случаях, когда разность Р2~Р\ —
порядка величины самих давлений р\^ р2. Скорость звука в га-
газе—порядка величины тепловой скорости v молекул. Кинемати-
Кинематическая же вязкость, как известно из кинетической теории газов,
v ~ lv ~ /с, где / — длина свободного пробега молекул. Поэтому
а ~ 1/с2 (оценка члена с теплопроводностью дает то же самое).
Наконец, (d2V/dp2)s ~ V/p2 и pV ~ с2. Внося эти выражения в
(93.13), получаем
S~l	(93.15)
Таким образом, ширина ударных волн большой интенсивно-
интенсивности оказывается порядка величины длины свободного пробега
молекул газа х) . Но в макроскопической газодинамике, тракту-
трактующей газ как сплошную среду, длина свободного пробега долж-
должна рассматриваться как равная нулю. Поэтому, строго говоря,
чисто газодинамические методы непригодны для исследования
внутренней структуры ударных волн большой интенсивности.
Задачи
1. Определить коэффициент нелинейности ар в уравнении (93.7) для
распространения звуковых волн в газе.
Решение. Точные гидродинамические уравнения одномерного дви-
движения идеального (без диссипации) газа:
dv dv I dp dp д
^7+v^~ = —Б~> ^7 + ^~^ = 0-	W
ot ox p ox ot ox
Произведем их разложение с учетом членов второго порядка малости. Для
этого полагаем	2 2
Р ^(Ш	B)
с2 2 ps
Члены второго порядка в уравнениях можно упростить, приведя их всех к
одинаковому виду — содержащему произведение р'др /дх. Для этого заме-
замечаем, что для волны, распространяющейся в отрицательном направлении
оси х (со скоростью с) дифференцирование по t эквивалентно дифференци-
дифференцированию по х/с] при этом v = — р /(сро). После всех этих замен получим из
A) и B) следующие уравнения:
ot p дх
dv I dp'	fd2V
+	= CP
dx pc2 dt V dp2 ) s dx
4
1) Сильная ударная волна сопровождается значительным увеличением
температуры; под / надо понимать длину пробега, соответствующую неко-
некоторой средней температуре газа в волне.

§ 93	ШИРИНА УДАРНЫХ ВОЛН	493
(индекс 0 у постоянных равновесных значений величин опускаем); здесь ис-
использовано также равенство
92Р\ _ 2 ,/9V
о2) s рс4	V др2
(V = 1/р — удельный объем). Дифференцируя уравнения C) и E) соответ-
соответственно по х и по t и вычтя одно из другого, получим
'id д \ A д д \ i 2 2 f d2V\ д f i dp \
Kcdt dxj\cdt dxj	\dp2jsdx\ dxj
С той же точностью заменим в левой части этого уравнения d/dx + d/cdt на
2d/dx. Наконец, вычеркнув в обеих частях уравнения дифференцирование
по ж и сравнив получившееся уравнение с (93.7), найдем для ар значение
(93.8).
Уравнение для скорости v можно получить непосредственно из (93.7), не
повторяя заново вычислений, подобных произведенным выше. Действитель-
Действительно, сумма членов первого порядка в левой части (93.7) содержит оператор
d/dt — cd/dx, который надо рассматривать как малый член первого порядка:
он обращает в нуль функцию р'(х, t) в ее линейном приближении. Поэто-
Поэтому мы получим уравнение для функции v(x, t) в требуемом приближении,
заменив в (93.7) р согласно линейному соотношению р = —pcv:
dv dv	dv 2>d2v	/n.
с -\-avv — ac ,	\o)
dt dx	dx	dx2
где
Величина av безразмерна; для политропного газа av = G + 1)/2.
2. Путем нелинейной подстановки привести уравнение Бюргерса (93.7а)
к виду линейного уравнения теплопроводности (Е. Hopf, 1950).
Решение. Подстановкой
уравнение (93.7а) приводится к виду
^dClipy dt ^ dC,2
откуда
	1" I1	 = ^	5	B)
где через df/dt обозначена произвольная функция t. Переобозначением ср —»¦
—>- (ре^ (не меняющим искомой функции и(?, t) это уравнение преобразуется
к требуемому виду
Решение этого уравнения с начальным условием <?>(?, 0) = <^о(С) дается
формулой E1.3):

494	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Начальная же функция <?>о(С) связана с начальным значением искомой
функции и(?, t) равенством
[
E)
' О
(выбор нижнего предела в интеграле произволен).
§ 94. Ударные волны в релаксирующей среде
К значительному расширению ударной волны может приве-
привести наличие в газе сравнительно медленно протекающих релак-
релаксационных процессов — медленно протекающие химические ре-
реакции, замедленная передача энергии между различными степе-
степенями свободы молекулы и т. п. (Я.Б. Зельдович, 1946) х) .
Пусть т — порядок величины времени релаксации. Как на-
начальное, так и конечное состояния газа должны быть полностью
равновесными; поэтому прежде всего ясно, что полная шири-
ширина ударной волны будет порядка величины rv\ — расстояния,
проходимого газом в течение времени т. Кро-
Кроме того, оказывается, что если интенсивность
волны превышает определенный предел, то
структура волны усложняется, в чем можно
убедиться следующим образом.
На рис. 67 сплошной линией изображена
ударная адиабата, проведенная через задан-
заданную начальную точку 1, в предположении пол-
у2 ной равновесности конечных состояний газа;
наклон касательной к этой кривой в точке 1
Рис. 67	определяется «равновесной» скоростью звука,
которую мы обозначали в § 81 через cq. Штри-
Штриховой же кривой изображена ударная адиабата, проведенная че-
через ту же точку i, в предположении, что релаксационные про-
процессы «заморожены» и не происходят вовсе; наклон касательной
к этой кривой в точке 1 определяется значением скорости звука,
которое было обозначено в § 81 как с^.
Если скорость ударной волны такова, что cq < v\ < c^, то
хорда 12 расположена так, как указано на рис. 67 нижним от-
отрезком. В этом случае мы получим простое расширение ударной
волны, причем все промежуточные состояния между начальным
состоянием 1 и конечным 2 изображаются в плоскости pV точ-
г) Так, в двухатомных газах при температурах позади ударной волны по-
порядка 1000-3000 К медленным релаксационным процессом является возбу-
возбуждение внутримолекулярных колебаний. При более высоких температурах
роль такого процесса переходит к термической диссоциации молекул на со-
составляющие их атомы.

§ 95	ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ СКАЧОК	495
ками на отрезке 12. Это следует из того, что (при пренебрежении
обычными вязкостью и теплопроводностью) все последовательно
проходимые газом состояния удовлетворяют уравнениям сохра-
сохранения вещества pv = j = const и сохранения импульса р + j2V =
= const (ср. подробнее аналогичные соображения в § 129).
Если же v\ > Cqo, т0 хорда занимает положение llf2f. Все точ-
точки, лежащие на ее отрезке между точками i и i', вообще не соот-
соответствуют каким-либо реальным состояниям газа; первой (пос-
(после 1) реальной точкой является точка i7, отве-
чающая состоянию с вовсе несмещенным отно-
относительно состояния 1 релаксационным равно-
равновесием. Сжатие газа от состояния 1 до состоя-
состояния 1' совершается скачком, вслед за чем уже
происходит (на расстояниях ~у\т) постепенное
сжатие до конечного состояния 2'.
Если равновесная и неравновесная ударные
адиабаты пересекаются (рис. 68), появляется
возможность существования ударных волн еще
одного типа: если скорость волны такова, что	у2
хорда 12 пересекает адиабаты выше точки их
взаимного пересечения (как на рис. 68), то	рис gg
релаксация будет сопровождаться понижением
давления —от значения, отвечающего точке 1' до значения, от-
отвечающего точке 2 (СП. Дьяков, 1954) х).
§ 95. Изотермический скачок
Рассматривая в § 93 строение ударной волны, мы по существу
предполагали, что коэффициенты вязкости и температуропро-
температуропроводности — величины одного порядка, как это обычно и бывает.
Возможен, однако, и случай, когда \^> v. Именно, если темпе-
температура вещества достаточно высока, то в теплопроводности бу-
будет участвовать добавочный механизм — лучистая теплопровод-
теплопроводность, осуществляемая находящимся в равновесии с веществом
тепловым излучением. На вязкости же (т. е. на переносе импуль-
импульса) наличие излучения сказывается в несравненно меньшей сте-
степени, в результате чего v и может оказаться малым по сравнению
с х- Мы увидим сейчас, что наличие такого неравенства приводит
к весьма существенному изменению структуры ударной волны.
г) Такой случай мог бы, в принципе, иметь место в диссоциирующем много-
многоатомном газе, если в равновесном состоянии за ударной волной достигается
достаточно полная диссоциация его молекул на меньшие части. Диссоциация
увеличивает значение отношения теплоемкостей 7, и тем самым уменьшает
предельное сжатие в ударной волне, если только она уже настолько полна,
что нагревание газа не требует заметной затраты энергии на продолжение
диссоциации.

496	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Пренебрегая членами, содержащими вязкость, напишем урав-
уравнения (93.2) и (93.3), определяющие структуру переходного слоя,
в виде
P + 32V=Pl+j2Vu	(95.1)
Z^=wjW_fy?_m	(95<2)
j dx	2	2	v J
Правая часть второго из этих уравнений обращается в нуль
лишь на границе слоя. Поскольку температура позади ударной
волны должна быть выше, чем впереди нее, то отсюда следует,
что на протяжении всей ширины переходного слоя
— > О,	(95.3)
dx
т. е. температура возрастает монотонно.
Все величины в слое являются функцией одной переменной —
координаты ж, а потому и определенными функциями друг от
друга. Продифференцировав соотношение (95.1) по V, получим
^ dp \ dT (dp \	2 г\
Jyr)v~dV VdVJT 3 ~
Производная (др/дТ)у у газов всегда положительна. Поэтому
знак производной dT/dV определяется знаком суммы (др/дУ)т +
+ j2. В состоянии 1 имеем j2 > (dpi/dV\)s (так как v\ > ci), a
поскольку адиабатическая сжимаемость всегда меньше изотер-
изотермической, то во всяком случае и
t
Следовательно, на стороне 1 производная
dVi
Если эта производная отрицательна и на всем протяжении ши-
ширины переходного слоя, то по мере сжатия вещества (уменьше-
(уменьшения V) при переходе со стороны 1 на сторону 2 температура
будет монотонно возрастать в согласии с неравенством (95.3).
Другими словами, мы будем иметь дело с ударной волной, силь-
сильно расширенной благодаря большой теплопроводности (расши-
(расширение может оказаться столь большим, что самое представление
об ударной волне станет условным).
Другая ситуация возникает, если
(это неравенство отвечает достаточно большой интенсивности
ударной волны — см. ниже (95.7)). Тогда в состоянии 2 будем
иметь dT2/dV2 > 0, так что где-то между значениями V = V\ и

§ 95	ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ СКАЧОК	497
V = V~2 функция T(V) будет иметь максимум (рис. 69). Ясно,
что переход от состояния 1 к состоянию 2 с непрерывным из-
изменением V станет невозможным, так как при этом неизбежно
нарушилось бы неравенство (95.3).
В результате мы получим следующую картину перехода от
начального состояния 1 к конечному состоянию 2. Сначала идет
область, в которой происходит постепенное т
сжатие вещества от удельного объема V\ до
объема V' (значение V, при котором впер-
впервые становится T(V') = T2; см. рис. 69); ши-
ширина этой области, определяющаяся тепло-
теплопроводностью, может быть весьма значи-
значительной. Сжатие же от V1 до V2 происходит
затем скачком при постоянной (равной Т2)
температуре. Этот разрыв можно назвать
изотермическим скачком.	рис ™
Определим изменения давления и плот-
плотности в изотермическом скачке, предполагая газ идеальным.
Условие непрерывности потока импульса (95.1), примененное к
обеим сторонам скачка, дает
р' + j2V' = р2 + j2V2.
Для термодинамически идеального газа пишем V = RT'/(до) и,
имея в виду, что Т' = Т2, получим
/ , fRT2	,
р +	 = Р2 +
fRT
2
АФ2
Это квадратное уравнение для р' имеет (помимо тривиального
корня р1 = р2) решение
j/ = J^=i4	(95.5)
fip2
Выражаем j2 согласно формуле (85.6):
Vi - V2
после чего, подставив сюда V2/V1 из (89.1), получим для полит-
ропного газа
i	(95.6)
Поскольку должно быть р2 > р', то мы находим, что изотерми-
изотермический скачок возникает лишь при отношениях давлений р2 и р\,
удовлетворяющих условию
^ > 2+1	(95.7)
Pi 3-7	У '
(Rayleigh, 1910). Это условие можно, конечно, получить и непо-
непосредственно из (95.4).

498	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
Поскольку при данной температуре плотность газа пропорци-
пропорциональна давлению, то отношение плотностей в изотермическом
скачке равно отношению давлений:
Р- = % = Р~	(95-8)
р2	V	Р2
и стремится при увеличении р% к значению G — 1)/2.
§ 96. Слабые разрывы
Наряду с поверхностями разрывов, на которых испытывают
скачок величины /э, р, v и т. п., могут существовать также и
такие поверхности, на которых эти величины как функции ко-
координат обладают какими-либо особенностями, оставаясь сами
непрерывными. Эти особенности могут быть самого разнообраз-
разнообразного характера. Так, на поверхности разрыва могут испытывать
скачок первые производные по координатам от величин р, р,
v, ... или же эти производные могут обращаться в бесконеч-
бесконечность. Наконец, то же самое может иметь место для производ-
производных не первого, а более высоких порядков. Все такие поверхности
мы будем называть поверхностями слабого разрыва в противо-
противоположность сильным разрывам (ударным волнам и тангенциаль-
тангенциальным разрывам), в которых испытывают скачок сами указанные
величины. Отметим, что ввиду непрерывности самих этих вели-
величин на поверхности слабого разрыва, непрерывны также и их
тангенциальные производные; разрыв непрерывности испыты-
испытывают лишь нормальные к поверхности производные.
Легко убедиться простыми рассуждениями, что поверхности
слабого разрыва распространяются относительно газа (по обе
стороны поверхности) со скоростью, равной скорости звука. Дей-
Действительно, поскольку функции р, ]9, v, ... сами не испытывают
скачка, то их можно сгладить, заменив функциями, совпадаю-
совпадающими с ними везде, кроме окрестности поверхности разрыва, а
в этой окрестности отличающимися лишь на сколь угодно ма-
малые величины, но так, что сглаженные функции не имеют уже
никаких особенностей. Истинное распределение, скажем, давле-
давления, можно, таким образом, представить в виде наложения со-
совершенно плавного распределения р$ без всяких особенностей и
очень малого нарушения р1 этого распределения вблизи поверх-
поверхности разрыва. Последнее же, как и всякое малое возмущение,
распространяется относительно газа со скоростью звука.
Подчеркнем, что в случае ударной волны сглаженные функ-
функции отличались бы от истинных на величины, вообще говоря,
отнюдь не малые, и предыдущие рассуждения поэтому неприме-
неприменимы. Однако если скачок величин в ударной волне достаточно
мал, то эти рассуждения вновь делаются применимыми, и такие

§ 96	СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ	499
разрывы тоже должны распространяться со скоростью звука, —
этот результат был уже получен в § 86 другим способом.
Если движение стационарно относительно данной системы
координат, то поверхность разрыва неподвижна относительно
этой системы, а газ протекает через нее. При этом нормальная
к поверхности разрыва компонента скорости газа должна быть
равна скорости звука. Если обозначить буквой а угол между на-
направлением скорости газа и касательной плоскостью к поверхно-
поверхности, то должно быть vn = vs'ma = с, или
sin a = c/v,
т. е. поверхность слабого разрыва пересекает линию тока под уг-
углом Маха. Другими словами, поверхность слабого разрыва сов-
совпадает с одной из характеристических поверхностей,—резуль-
поверхностей,—результат вполне естественный, если иметь в виду физический смысл
последних как поверхностей, вдоль которых распространяются
малые возмущения (§ 82). Ясно, что при стационарном движе-
движении газа слабые разрывы могут появиться только при скоростях,
равных или превышающих скорость звука.
В отношении способов возникновения слабые разрывы суще-
существенно отличаются от сильных. Мы увидим, что ударные вол-
волны могут образовываться сами по себе, непосредственно в ре-
результате движения газа, при непрерывных граничных условиях
(например, образование ударных волн в звуковой волне; § 102).
В противоположность им слабые разрывы не могут возникать
сами по себе; их появление всегда связано с какими-либо особен-
особенностями в граничных или начальных условиях движения. Осо-
Особенности эти могут быть, как и сами слабые разрывы, самого
различного характера. Так, причиной образования слабого раз-
разрыва может являться наличие углов на поверхности обтекаемого
тела; на возникающем в этом случае слабом разрыве испытыва-
испытывают скачок первые производные скорости по координатам. К об-
образованию слабого разрыва приводит также и скачок кривизны
поверхности тела без угла на ней (причем испытывают разрыв
вторые производные скорости по координатам) и т. п. Наконец,
всякая особенность в изменении движения со временем влечет за
собой возникновение нестационарного слабого разрыва.
Касательная к поверхности слабого разрыва компонента ско-
скорости протекающего через нее газа направлена всегда по направ-
направлению от того места (например, угла на поверхности тела), отку-
откуда исходят возмущения, вызывающие возникновение этого раз-
разрыва; мы будем говорить, что разрыв «исходит» из этого места.
Это есть одно из проявлений направленности распространения
возмущений вниз по течению в сверхзвуковом потоке.
Наличие вязкости и теплопроводности приводит к возник-
возникновению ширины у слабого разрыва, так что слабые разрывы,
как и сильные, представляют собой в действительности некото-

500	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. IX
рые переходные слои. Однако в отличие от ударных волн, шири-
ширина которых зависит только от их интенсивности и постоянна во
времени, ширина слабого разрыва растет со временем, начиная
с момента образования разрыва. Закон, по которому происхо-
происходит это возрастание, легко найти (качественно) исходя из анало-
аналогии между перемещением слабого разрыва и распространением
малых звуковых возмущений. При наличии вязкости и тепло-
теплопроводности возмущение, сконцентрированное первоначально в
малом элементе объема (волновой пакет), по мере своего переме-
перемещения с течением времени расширяется; закон этого расширения
был определен в § 79. Из него можно сразу заключить, что ши-
ширина S слабого разрыва
б-(асНI/2,	(96.1)
где t — время, прошедшее с момента его возникновения, а
а — коэффициент при квадрате частоты в формуле G9.6) для по-
поглощения звука. Если мы имеем дело со стационарной картиной,
в которой разрыв покоится, то вместо времени t надо говорить
о расстоянии / от места, из которого исходит разрыв (например,
для слабого разрыва, возникающего от угла на поверхности об-
обтекаемого тела, / есть расстояние от вершины угла); тогда 6 ~
-(асЧI'2 *).
В заключение этого параграфа необходимо сделать замеча-
замечание, аналогичное замечанию в конце § 82. Там было отмечено,
что среди различных возмущений состояния движущегося газа
исключительными по своим свойствам являются возмущения эн-
энтропии (при постоянном давлении) и ротора скорости. Эти воз-
возмущения покоятся относительно газа, а не распространяются со
скоростью звука. Поэтому поверхности, на которых испытыва-
испытывают какой-либо слабый разрыв непрерывности энтропия и ротор
скорости 2) , покоятся относительно газа, а относительно непо-
неподвижной системы координат переносятся вместе с самим газом.
Такие разрывы мы будем называть тангенциальными слабыми
разрывами] они проходят через линии тока и в этом отношении
вполне аналогичны «сильным» тангенциальным разрывам.
:) Подчеркнем, однако, что для количественного определения структуры
слабого разрыва аналогия со звуком была бы недостаточна. Дело в том,
что при определении закона затухания звука его амплитуду можно предпо-
предполагать сколь угодно малой и соответственно этому исходить из линеаризо-
линеаризованных уравнений движения. Для слабых же разрывов (как и для ударных
волн слабой интенсивности — § 93) должна учитываться нелинейность урав-
уравнений, поскольку без нее отсутствовали бы и самые разрывы. Пример такого
исследования дан в задаче 6 к § 99.
2) Слабый разрыв ротора скорости означает слабый разрыв касательной
к поверхности компоненты скорости. Например, могут испытывать скачок
взятые по направлению к нормали к поверхности производные от тангенци-
тангенциальной скорости.

ГЛАВА X
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 97. Истечение газа через сопло
Рассмотрим стационарное вытекание газа из большого сосу-
сосуда через трубку переменного сечения, или, как говорят, через
сопло. Мы будем предполагать, что движение газа можно счи-
считать в каждом месте трубы однородным по ее сечению, а ско-
скорость—направленной практически вдоль оси трубы. Для этого
труба должна быть не слишком широка, и площадь S ее сечения
должна достаточно медленно меняться вдоль ее длины. Таким
образом, все величины, характеризующие течение, будут функ-
функциями только от координаты вдоль оси трубы. При этих услови-
условиях можно применять полученные в § 83 соотношения, имеющие
место вдоль линии тока, непосредственно к изменению величин
вдоль длины трубы.
Количество (масса) газа, проходящего в единицу времени че-
через поперечное сечение трубы, или, как говорят, расход газа, рав-
равно Q = pvS] эта величина должна, очевидно, оставаться посто-
постоянной вдоль всей трубы:
Q = pvS = const.	(97.1)
Линейные размеры самого сосуда предполагаются очень больши-
большими по сравнению с диаметром трубы. Поэтому скорость газа в
сосуде можно считать равной нулю, и соответственно этому все
величины с индексом нуль в формулах § 83 будут представлять
собой значения соответствующих величин внутри сосуда.
Мы видели, что плотность потока j = pv не может превы-
превышать некоторого предельного значения j*. Ясно поэтому, что и
возможные значения полного расхода газа Q будут иметь (для
данной трубы и при заданном состоянии газа внутри сосуда)
верхнюю границу Qmax, которую легко определить. Если бы зна-
значение j* плотности потока было достигнуто не в самом узком
месте трубы, то в сечениях с меньшим S было бы j > j*, что
невозможно. Поэтому значение j = j* может быть достигнуто
только в самом узком месте трубы, площадь сечения которого
обозначим через Sm{n. Таким образом, верхняя граница полного
расхода газа есть
1+7
Qmax = P*V*Sm{n = л/WOPO ( 	7 ) ^ ~ ^ ^min-	(97.2)
V7 + 1/

502
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. X
Рис. 70
Рассмотрим сначала сопло, монотонно суживающееся по на-
направлению к своему внешнему концу, так что минимальная пло-
площадь сечения достигается на этом конце (рис. 70). В силу (97.1)
плотность потока j монотонно возрастает вдоль трубы. То же
самое касается скорости газа г>, а давление соответственно моно-
монотонно падает. Наибольшее возможное значение j будет достиг-
достигнуто, если скорость v достигает значе-
значения с как раз на выходном конце тру-
трубы, т. е. если будет v\ = с\ = г;* (буквы
с индексом 1 обозначают значения ве-
величин на выходном конце трубы). Од-
Одновременно будет и р = _р*.
Проследим за изменением режима
вытекания газа при уменьшении дав-
давления ре внешней среды, в которую газ
выпускается. При уменьшении внешне-
внешнего давления от значения, равного дав-
давлению ро в сосуде, и вплоть до значения р* одновременно с ним
падает также и давление р\ в выходном сечении трубы, причем
оба эти давления (р\ и ре) остаются равными друг другу; дру-
другими словами, все падение давления от ро до внешнего проис-
происходит внутри сопла. Выходная же скорость v\ и полный расход
газа Q = jiSm{n монотонно возрастают. При ре = р* выходная
скорость делается равной местному значению скорости звука, а
расход газа — значению Qmax- При дальнейшем понижении внеш-
внешнего давления выходное давление перестает падать и остается все
время равным р*] падение же давления от р* до ре происходит
уже вне трубы, в окружающем пространстве. Другими слова-
словами, ни при каком внешнем давлении падение давления газа в
трубе не может быть большим, чем от ро до р*] так, для воз-
воздуха (р* = 0,53ро) максимальное падение давления составляет
0,47^0- Выходная скорость и расход газа тоже остаются (при
Ре < Р*) постоянными. Таким обра-
образом, при истечении через суживаю-
суживающееся сопло газ не может приобрести
сверхзвуковой скорости.
Невозможность достижения сверх-
сверхзвуковых скоростей при выпускании
газа через суживающееся сопло свя-
связана с тем, что скорость, равная
местной скорости звука, может до-
достигаться только на самом выходном конце такой трубы. Ясно,
что сверхзвуковая скорость сможет быть достигнута с помощью
сопла сначала суживающегося, а затем вновь расширяющегося
(рис. 71). Такие сопла называются соплами Лаваля.
Максимальная плотность потока j*, если и достигается, то
опять-таки только в наиболее узком сечении, так что и в таком
Рис. 71

§ 97
ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ЧЕРЕЗ СОПЛО
503
сопле расход газа не может превышать значения Sm[nj*. В су-
суживающейся части сопла плотность потока возрастает (а дав-
давление падает); на кривой рис. 72, изображающей зависимость j
от р :) , это соответствует передвижению от точки с по направле-
направлению к Ь. Если в сечении *Smin достигается максимальный поток
(точка b на рис. 72), то в расширяющейся части сопла давле-
давление будет продолжать падать и начнет падать также и j соот-
соответственно перемещению по кри-
кривой рис. 72 от точки b по направ-
направлению к а. На выходном конце
трубы поток j приобретает то-
тогда вполне определенное значе-
значение, равное
J
и
max
d^^—""
/а !
Ь
е
^\
С )
Pi
Po
•	_ •
Jl max — J*
Si
Рис. 72
а давление — соответствующее этому потоку значение, обозна-
обозначенное на рис. 72 символом р± (некоторая точка d на кривой).
Если же в сечении *Smin достигается лишь некоторая точка е,
то в расширяющейся части сопла давление будет возрастать со-
соответственно обратному перемещению по кривой вниз от точки
е. На первый взгляд могло бы показаться, что с ветви cb кри-
кривой можно перейти на ветвь ab скачком, минуя точку 6, посред-
посредством образования ударной волны; однако это невозможно, так
как «втекающий» в ударную волну газ не может иметь дозвуко-
дозвуковой скорости.
Имея в виду все эти замечания, проследим теперь за измене-
изменением режима вытекания по мере постепенного увеличения внеш-
внешнего давления ре. При малых давлениях, начиная от нуля и до
значения ре = р'1? устанавливается режим, при котором в сече-
сечении S^in достигается давление р* и скорость v* = с*. В расши-
расширяющейся части сопла скорость продолжает расти, так что осу-
осуществляется сверхзвуковое течение газа, а давление продолжает
соответственно падать, достигая на выходном конце значения р[
вне зависимости от величины ре. Падение давления от р± до ре
происходит вне сопла, в отходящей от края его отверстия волне
разрежения (как это будет описано в § 112).
Когда ре начинает превышать значение р±, появляется отхо-
отходящая от края отверстия сопла косая ударная волна, сжимаю-
сжимающая газ от выходного давления р± до давления ре (§ 112). Мы
увидим, однако, что стационарная ударная волна может отхо-
:) Согласно формулам (83.15)-(83.17) уравнение этой зависимости:
-) (^т^^-у \] ¦

504	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
дить от твердой поверхности лишь постольку, поскольку она не
обладает слишком большой интенсивностью (§ 111). Поэтому при
дальнейшем повышении внешнего давления ударная волна ско-
скоро начинает передвигаться внутрь сопла, причем перед ней, на
внутренней поверхности сопла, возникает отрыв. При некотором
значении ре ударная волна достигает наиболее узкого сечения
сопла и затем исчезает; течение становится всюду дозвуковым с
отрывом на стенках расширяющейся (диффузорной) части соп-
сопла. Все эти сложные явления имеют уже, разумеется, существен-
существенно трехмерный характер.
Задача
На малом участке длины трубы к стационарно текущему по ней газу
подводится небольшое количество тепла. Определить изменение скорости
газа при прохождении им этого участка. Газ предполагается политропным.
Решение. Пусть Sq есть подводимое в единицу времени количество
тепла (S — площадь сечения трубы в данном ее участке). На обеих сторо-
сторонах участка подогрева одинаковы плотности потока массы j' = pv и потока
импульса р + jv; отсюда Ар = —jAv, где А обозначает изменение величи-
величины при прохождении этого участка. Разность же плотностей потока энергий
(w + v /2)j равна q. Написав w в виде
_ IP _ 1PV
W= G-l)p= G-Ш'
получим (считая Av и Ар малыми):
vjAv -\	(pAv + vAp) = q.
7-1
Исключая Ар из этих двух соотношений, найдем
р(с2 — V2)
Мы видим, что при дозвуковом течении подвод тепла ускоряет поток (Av >
> 0), а при сверхзвуковом — замедляет.
Написав температуру газа в виде Т = pp/Rp = /ipv/(Rj) (Я —газовая
постоянная), найдем для ее изменения выражение
AT{vAp + pAv)	(
При сверхзвуковом движении это выражение всегда положительно — темпе-
температура газа повышается; при дозвуковом же движении оно может быть как
положительным, так и отрицательным.
§ 98. Вязкое движение сжимаемого газа по трубе
Рассмотрим течение сжимаемого газа по трубе (постоянного
сечения) настолько длинной, что нельзя пренебрегать трением
газа о стенки, т. е. вязкостью газа. Стенки трубы мы будем пред-
предполагать теплоизолированными, так что никакого обмена теплом
между газом и внешней средой не происходит.

§ 98	ВЯЗКОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ	505
При скоростях течения порядка или превышающих скорость
звука (о которых только и идет здесь речь) течение газа по тру-
трубе является, конечно, турбулентным (если только радиус трубы
не слишком мал). Турбулентность движения будет существен-
существенна здесь для нас только в одном отношении. Именно, мы видели
в § 43, что при турбулентном течении скорость (средняя) практи-
практически постоянна почти по всему сечению трубы и быстро падает
до нуля лишь на очень близких расстояниях от стенок. На этом
основании мы будем считать скорость течения v просто постоян-
постоянной по всему сечению трубы, определив ее так, чтобы произве-
произведение pvS (S — площадь сечения) было равно полному расходу
газа через сечение трубы.
Поскольку полный расход газа pvS постоянен вдоль всей дли-
длины трубы, a S постоянно по предположению, то должна быть
постоянной также и плотность потока газа
j = pv = const.	(98.1)
Далее, поскольку труба теплоизолирована, то вдоль нее должен
быть постоянным также и полный поток энергии, переносимой
газом через поперечное сечение трубы. Этот поток равен
pvS(w + v2/2I и ввиду (98.1) можно написать:
w + ^ = w + Ш— = const.	(98.2)
2	2
Что же касается энтропии газа «s, то благодаря наличию вну-
внутреннего трения она, конечно, отнюдь не остается постоянной,
а возрастает по мере движения газа вперед по трубе. Если х —
координата вдоль оси трубы, причем положительное направле-
направление оси х совпадает с направлением течения, то
— > 0.	(98.3)
dx
Продифференцируем теперь соотношение (98.2) по х. Помня,
что dw = T ds + V dp, имеем
T— + V^-+j2V— = 0.
dx	dx	dx
Далее, подставляя сюда
f = (f) f + (f) *	(98.4)
dx \ op / s dx \ ds J p dx
получаем
- (985)
Согласно известной термодинамической формуле
\ds )p~ cp \дт

506	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
Коэффициент теплового расширения газов положителен. Поэто-
Поэтому в силу (98.3) заключаем, что положительно также и все вы-
выражение в левой части равенства (98.5). Знак же производной
dp/'dx совпадет, следовательно, со знаком выражения
Мы видим, что
^ < 0 при v < с, ^ > 0 при v > с.	(98.6)
dx	dx
Таким образом, при дозвуковом течении давление падает вниз по
течению (как и для несжимаемой жидкости). При сверхзвуковом
же движении давление возрастает вдоль трубы.
Аналогичным образом можно установить знак производной
dv/dx. Ввиду того, что j = v/V = const, знак dv/dx совпадает со
знаком производной dV/dx. Последняя же может быть выраже-
выражена через положительную производную ds/dx с помощью (98.4),
(98.5). В результате найдем, что
— < 0 при v < с, — > 0 при v > с,	(98.7)
dx	dx
т. е. скорость возрастает вниз по течению при дозвуковом и па-
падает при сверхзвуковом движении.
Любые две термодинамические величины текущего вдоль
трубы газа являются функциями друг от друга, совершенно не
зависящими, в частности, от закона сопротивления трубы. Эти
функции зависят как от параметра от значения постоянной j и
определяются уравнением w + j2V2/2 = const, получающимся
путем исключения скорости из уравнений сохранения массы и
энергии газа.
Выясним характер, который имеют кривые зависимости, на-
например, энтропии от давления. Переписав (98.5) в виде
ds _ у v2/c2 - 1
мы видим, что в точке, где v = с, энтропия имеет экстремум.
Легко видеть, что этот экстремум является максимумом. Дей-
Действительно, для значения второй производной от s по р имеем в
этой точке:
— <0
dp
(что связано с предполагающейся везде положительностью про-
производной (d2V/dp2)s).

ВЯЗКОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ
507
Таким образом, кривые зависимости s от р имеют вид, изо-
изображенный на рис. 73. Справа от максимумов лежит область
дозвуковых, а слева — сверхзвуковых скоростей. При увеличе-
увеличении параметра j мы переходим от более высоких к более низко
расположенным кривым. Действительно, продифференцировав
уравнение (98.2) по j при постоянном р, получим
^? = -v-
v>c
v<c
Рис. 73
<0.
Из полученных результатов можно сделать интересный вы-
вывод. Пусть на входе трубы скорость газа меньше скорости звука.
По направлению вниз по течению эн-
энтропия растет, а давление падает; это
соответствует передвижению по правой
ветви кривой s = s(p) по направлению
от В к О (рис. 73). Так может, однако,
продолжаться лишь до тех пор, пока эн-
энтропия не достигнет своего максималь-
максимального значения. Дальнейшее передвиже-
передвижение по кривой за точку О (т. е. в область
сверхзвуковых скоростей) невозможно,
так как оно соответствовало бы умень-
уменьшению энтропии газа по мере его тече-
течения по трубе. Переход с ветви В О на ветвь О А кривой не может
произойти также и посредством возникновения ударной волны,
так как скорость «втекающего» в ударную волну газа не может
быть дозвуковой.
Таким образом, мы приходим к выводу, что если на входе
трубы скорость газа меньше скорости звука, то движение остает-
остается дозвуковым и на всем дальнейшем ее протяжении. Скорость,
равная местной скорости звука, если и достигается вообще, то
только на выходном конце трубы (при достаточно низком давле-
давлении во внешней среде, в которую выпускается газ).
Для того чтобы осуществить сверхзвуковое течение газа по
трубе, необходимо впускать газ в трубу уже со сверхзвуковой
скоростью. В связи с общими свойствами сверхзвукового движе-
движения (невозможностью распространения возмущений вверх по те-
течению) дальнейшее течение газа будет происходить совершенно
независимо от условий на выходе из трубы. В частности, будет
происходить совершенно определенным образом возрастание эн-
энтропии вдоль длины трубы, и максимальное ее значение будет
достигнуто на определенном расстоянии х = /& от входа. Если
полная длина трубы / < /&, то течение будет сверхзвуковым на
всем ее протяжении (чему соответствует перемещение по ветви
АО по направлению от А к О). Если же / > /&, то течение не

508	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
может быть сверхзвуковым на всем протяжении трубы и в то
же время не может перейти плавным образом в дозвуковое, так
как передвигаться по ветви ОВ кривой можно лишь в направ-
направлении, указанном стрелкой. Поэтому в этом случае неизбежно
возникновение ударной волны, переводящей движение скачком
из сверх- в дозвуковое. При этом давление возрастает, мы пе-
переходим с ветви АО на ветвь В О, минуя точку О, и на всем
остальном протяжении трубы течение будет дозвуковым.
§ 99. Одномерное автомодельное движение
Важную категорию одномерных нестационарных движений
сжимаемого газа составляют течения, происходящие в услови-
условиях, характеризующихся какими-либо параметрами скорости, но
не длины. Простейший пример такого движения представляет
движение газа в цилиндрической трубе, неограниченной с одной
стороны и закрытой поршнем с другой, возникающее, когда пор-
поршень начинает двигаться с постоянной скоростью.
Наряду с параметром скорости такое течение определяется
еще и параметрами, дающими, скажем, давление и плотность
газа в начальный момент времени. Однако из всех этих пара-
параметров нельзя составить никаких комбинаций с размерностью
длины или времени. Отсюда следует, что распределения всех ве-
величин могут зависеть от координаты х и времени t только в ви-
виде их отношения x/t, имеющего размерность скорости. Другими
словами, эти распределения в различные моменты времени бу-
будут подобны друг другу, отличаясь лишь своим масштабом вдоль
оси ж, увеличивающимся пропорционально времени. Можно ска-
сказать, что если измерять длины в единицах, растущих пропор-
пропорционально ?, то картина движения вообще не будет меняться —
движение автомодельно.
Уравнение сохранения энтропии для движения, зависящего
только от одной координаты ж, гласит:
ds . ds n
— +vx— = 0.
dt дх
Считая, что все величины зависят только от переменной ? = x/t,
и замечая, что при этом
д_ _ ld_	д_ _ _^d_
дх~ td^ dt~ td^
будем иметь (vx — ^)sf = 0 (штрих означает здесь дифференци-
дифференцирование по ?). Отсюда s' = 0, т. е. s = const :) ; таким образом,
1) Предположение же vx — ^ = 0 противоречило бы остальным уравнениям
движения: из (99.3) получилось бы vx = const, что не соответствовало бы
сделанному предположению.

§ 99	ОДНОМЕРНОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	509
автомодельное одномерное движение не только адиабатично, но
и изэнтропично. Аналогично из у- и ^-компонент уравнения
Эйлера
dt	X дх	' dt	X дх
найдем, что vy и vz постоянны; не ограничивая общности, мы
можем положить их в дальнейшем равными нулю.
Далее, уравнение непрерывности и ж-компонента уравнения
Эйлера имеют вид
| + РГ + «1? = 0,	(99.1)
dt дх дх
% + vt = -1-t	(99-2)
dt дх	р дх
(здесь и ниже вместо vx пишем г;). После введения переменной ?
они примут вид
(v ~ Op' + pv' = 0,	(99.3)
(v - ?)v' =-? = clp'.	(99.4)
P P
(Имея в виду постоянство энтропии, пишем во втором уравнении
pf = (dp/dp)sP' = с2Р'.)
Эти уравнения имеют, прежде всего, тривиальное решение
v = const, p = const — однородный поток с постоянной скоро-
скоростью. Для нахождения же нетривиального решения исключаем
из уравнений р' и v' и получаем равенство (v — ?J = с2, откуда
? = v =Ь с. Будем писать это соотношение со знаком плюс:
-=v + c	(99.5)
(выбор знака означает, что мы принимаем определенное условие
для выбора положительного направления оси ж, смысл которо-
которого выяснится ниже). Наконец, подставляя v — ? = — с в (99.3),
получим ср' = pv' или с dp = pdv. Скорость звука является
функцией термодинамического состояния газа; выбрав в каче-
качестве основных термодинамических величин энтропию s и плот-
плотность р, мы можем представить скорость звука в виде функ-
функции плотности с(р) при заданном постоянном значении энтро-
энтропии. Подразумевая под с такую функцию, пишем на основании
полученного равенства
=[c_dp=fdp
J Р J СР

510	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
Эту формулу можно написать также и в виде
v= f\f-dpdV ,	(99.7)
где не предрешается выбор независимого переменного.
Формулы (99.5), (99.6) определяют искомое решение уравне-
уравнений движения. Если функция с(р) известна, то по формуле (99.6)
вычисляем скорость v как функцию плотности. Уравнение (99.5)
определит тогда в неявном виде зависимость плотности от x/t,
после чего определится зависимость также и всех остальных ве-
величин от x/t.
Выясним некоторые общие свойства полученного решения.
Дифференцируя уравнение (99.5) по ж, получаем
tdpd(v + c) =L	(g98)
д
L
дх dp
Для производной от v + с имеем с помощью (99.6)
d(v + с) 	 с dc 	 1 d(pc)
dp	p dp p dp
Но
J-dv/др
дифференцируя это выражение, получим
«=C2« = AV9V\ _	(999)
dp	dp	2 V dp2 ) s
Таким образом,
±±А = ^(^) >0.	(99.10)
dp	2 V dp2 J s
Из (99.8) следует поэтому, что при t > 0 будет — > 0. Замечая,
дх
др одр	др . п тт	dv
что —- = с —, заключаем, что и —- > 0. Наконец, имеем — =
дх	дх	дх	дх
дх дх
= - —, так что — > 0. Таким образом, имеем неравенства:
р дх	дх
^>0, |^>0, ^>0.	(99.11)
дх	дх	дх
Смысл этих неравенств становится более ясным, если следить
не за изменением величин вдоль оси х (при заданном t), а за
их изменением с течением времени у данного передвигающего-
передвигающегося в пространстве элемента газа. Эти изменения определяются
полными производными по времени; так, для плотности имеем,
воспользовавшись уравнением непрерывности:
dp dp . dp	dv
dt dt дх	дх

§99	ОДНОМЕРНОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	511
Согласно третьему из неравенств (99.11) эта величина отрица-
отрицательна; вместе с ней, разумеется, отрицательна и производная
dp
dt'	А	А
^ < О, * < 0.	(99.12)
dx	dx
Аналогичным образом (используя уравнение Эйлера (99.2))
можно убедиться, что dv/dt < 0; это, однако, не означает, что
абсолютная величина скорости падает со временем, так как v
может быть отрицательной.
Неравенства (99.12) показывают, что плотность и давление
каждого элемента газа падают по мере его передвижения в про-
пространстве. Другими словами, передвижение газа сопровождается
его монотонным разрежением. Поэтому рассматриваемое движе-
движение можно назвать нестационарной волной разрежения х) .
Волна разрежения может простираться лишь на конечное
расстояние вдоль оси х\ это видно уже из того, что формула
(99.5) привела бы при х —>> =Ьоо к бессмысленному результату —
бесконечной скорости.
Применим формулу (99.5) к плоскости, ограничивающей за-
занимаемую волной разрежения область пространства. При этом
x/t будет представлять собой скорость движения этой границы
относительно выбранной неподвижной системы координат. Ско-
Скорость же ее относительно самого газа есть разность x/t — v и
согласно (99.5) равна как раз местной скорости звука. Это зна-
значит, что границы волны разрежения представляют собой слабые
разрывы. Картина автомодельного движения в различных кон-
конкретных случаях складывается, следовательно, из волн разре-
разрежения и областей постоянного течения, разделенных между со-
собой поверхностями слабых разрывов (кроме того, конечно, могут
иметься и различные области постоянного течения, разделенные
между собой ударными волнами).
Сделанный нами выбор знака в формуле (99.5) соответствует,
как теперь видно, тому, что эти слабые разрывы предполагают-
предполагаются движущимися относительно газа в положительном направле-
направлении оси х. Неравенства (99.11) связаны именно с таким выбором;
неравенства же (99.12), разумеется, от выбора направления оси х
вообще не зависят.
Обычно приходится иметь дело с такой постановкой конкрет-
конкретных задач, при которой волна разрежения с одной стороны гра-
граничит с областью неподвижного газа. Пусть эта область (/ на
1) Это движение может возникнуть лишь в результате наличия некоторой
особенности в начальных условиях (так, в примере с поршнем в момент t = 0
скачком меняется скорость поршня). Обратное движение могло бы проис-
происходить лишь под действием сжимающего поршня, движущегося по вполне
определенному закону.

Ill
II
512	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
рис. 74) находится справа от волны разрежения. Область // есть
волна разрежения, а III —таз, движущийся с постоянной ско-
скоростью; стрелками на рисунке показаны направления движения
газа и перемещения ограничивающих волну разрежения слабых
разрывов (разрыв а движется непременно в сторону покоящегося
газа, а разрыв b может двигаться в обо-
обоих направлениях в зависимости от вели-
j. чины достигаемой в волне разрежения
скорости; ср. задачу 2). Выпишем в яв-
явном виде соотношения между различны-
ми величинами в такой волне разреже-
разрежения, предполагая газ политропным. При
адиабатическом процессе рТ1^1) =
= const. Поскольку скорость звука пропорциональна \/Т, то
можно написать это соотношение в виде
/ \ 2/G-1)
Р = ро(-)	•	(99.13)
Подставляя это выражение в интеграл (99.6), получаем
2 f	2
=	 dc= -	(с - с0);
7- 1 J	1-7
v
7 - 1 J	1-7
постоянная интегрирования выбрана так, что с = cq при v = О
(индексом нуль отличаем значения величин в точке, в которой
газ покоится). Будем выражать все величины через г>, причем
надо иметь в виду, что при условленном расположении областей
скорость газа направлена в отрицательную сторону оси ж, так
что v < 0. Таким образом
с = со-З^М,	(99.14)
чем определяется местная скорость звука через скорость газа.
Подставляя в (99.13), находим для плотности:
^I	(98.15)
и аналогично для давления
2
Наконец, подставляя (99.14) в формулу (99.5), получаем
(9917)
чем определяется зависимость v от х и t.

§ 99	ОДНОМЕРНОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	513
Величина с не может быть, по самому своему существу, от-
отрицательной. Поэтому из формулы (99.14) можно сделать суще-
существенное заключение, что скорость должна удовлетворять нера-
неравенству
^	(99.18)
\v\ ^ ;
7-1
при достижении скоростью этого предельного значения плот-
плотность газа (а также рис) обращается в нуль. Таким образом,
первоначально покоившийся газ при нестационарном расшире-
расширении в волне разрежения может ускориться лишь до скорости, не
превышающей 2со/G ~~ !)•
Мы уже упомянули в начале параграфа простой пример ав-
автомодельного движения, возникающего в цилиндрической тру-
трубе, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью.
Если поршень выдвигается из трубы, он создает за собой разре-
разрежение, и возникает описанная выше волна разрежения. Если же
поршень вдвигается в трубу, он производит перед собой сжатие
газа, а переход к более низкому первоначальному давлению мо-
может произойти лишь в ударной волне, которая и возникает перед
поршнем, распространяясь вперед по трубе (см. задачи к этому
параграфу) :).
Задачи
1. Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной сто-
стороны и закрытой поршнем с другой. В начальный момент времени поршень
начинает вдвигаться в трубу с постоянной скоро-
скоростью U. Определить возникающее движение газа,
считая газ политропным.
Решение. Перед поршнем возникает удар-
ударная волна, передвигающаяся вперед по трубе. В на-
начальный момент времени положения этой волны
и поршня совпадают, а в дальнейшем волна «об-
«обгоняет» поршень и возникает область газа между
ней и поршнем (область 2). В области впереди от
ударной волны (область 1) давление газа равно его
первоначальному значению pi, а скорость (относи-	р __
тельно трубы) равна нулю. В области же 2 газ дви-
движется с постоянной скоростью, равной скорости поршня U (рис. 75). Раз-
Разность скоростей газов 1 л 2 равна, следовательно, тому же U и согласно
г) Упомянем об аналогичной трехмерной автомодельной задаче: централь-
центрально-симметрическом движении газа, создаваемом равномерно расширяющей-
расширяющейся сферой (Л.И. Седов, 1945; G. Taylor, 1946). Перед сферой возникает сфе-
сферическая же ударная волна, распространяющаяся с постоянной скоростью.
В отличие от одномерного случая скорость движения газа между сферой
и ударной волной не постоянна; уравнение, определяющее ее как функцию
отношения r/t (а вместе с тем и скорость распространения ударной волны),
не может быть проинтегрировано в аналитическом виде. См. Седов Л.И.
Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1981, гл. IV, § 6;
Taylor G.I. И Proc. Roy. Soc. 1946. V. A186. P. 273.
17 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

514
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. X
формулам (85.7) и (89.1) можно написать:
U =
-pi)(Vi - V2) = (p2 "Pi)
2Vi
G - l)Pl + G + 1)P2
Отсюда получаем для давления р2 газа между поршнем и ударной
волной
Р2 =1 |
Pi
7G
4с?
16с?
Зная р2, можно вычислить согласно формулам (89.4) скорость ударной вол-
волны относительно газов впереди и позади нее. Поскольку газ 1 покоится,
то скорость волны относительно него есть скорость ее распространения по
трубе. Если координата х вдоль длины трубы отсчитывается от начального
места нахождения поршня (причем газ находится со стороны х > 0), то для
положения ударной волны в момент t получим
7
-С/ +
16
(положение же поршня есть х = Ut).
2. То же, если поршень выдвигается из трубы со скоростью U.
Решение.К поршню примыкает область газа A на рис. 76 а), дви-
движущегося в отрицательном направлении оси х с постоянной скоростью —U,
равной скорости поршня. Далее следует волна раз-
разрежения 2, в которой газ движется в отрицатель-
отрицательном направлении оси х со скоростью, меняющей-
меняющейся от значения —[/до нуля по линейному закону
(99.17). Давление же меняется по закону (99.16) от
значения	2
2 3
\с°
-U
х
J
7-1СЛ7-1
Р1 =ро( 1
V	2 со,
в газе 1 до ро в неподвижном газе 3. Граница обла-
области 2 с областью 1 определяется условием v = — JJ\
согласно (99.17) получим
-U ^2
Y-1
х = [ со -
(с — скорость звука в газе 1). На границе же с об-
Рис. 76	ластью 3 v = 0, откуда х = cot. Обе эти границы
представляют собой слабые разрывы, из которых
второй всегда распространяется вправо (т. е. в сторону от поршня); первый
же (граница 1—2) может распространяться как вправо (как это изображено
на рис. 76 а), так и влево —если скорость поршня U > 2со/G + !)•
Описанная картина может иметь место только при условии
U < 2со/G ~~ !)• Если же U > 2со/G ~~ 1)? т0 перед поршнем образуется
область вакуума (газ как бы не успевает двигаться за поршнем), простираю-
простирающаяся от поршня до точки с координатой х = —2cot/(j — 1) A на рис. 76 б).
В этой точке v = —2co/(j — 1); за ней следует область 2, в которой скорость
падает до нуля (в точке х = cot), а дальше область 3 неподвижного газа.
3. Газ находится в цилиндрической трубе, не ограниченной с одной сто-
стороны (ж > 0) и закрытой заслонкой с другой (ж = 0). В момент времени
t = 0 заслонка открывается, и газ выпускается в наружную среду, давле-
давление ре которой меньше первоначального давления ро в трубе. Определить
возникающее движение газа.

§ 99
ОДНОМЕРНОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
515
Решение. Пусть — ve есть скорость газа, соответствующая по фор-
формуле (99.16) внешнему давлению ре\ при х = 0, t > 0 должно быть v = —ve.
Если ve < 2со/G + 1)? т0 получается картина распределения скорости, изо-
изображенная на рис. 77 а. При ve = = 2со/G+ 1) (что соответствует скорости
вытекания, равной местной скорости звука на выходе трубы, — в этом легко
убедиться, положив v = с в формуле (99.14)) область постоянной скорости
исчезает и получается картина, изображенная
на рис. 77 б. Величина 	 представляет со-
7 + 1
бой наибольшую возможную скорость вытека-
вытекания газа из трубы в рассматриваемых услови-
условиях. Если внешнее давление
27
-\	A)
-V
2с0
Y-1
б
(со-
со *
t
с0 х
t
Рис. 77
то соответствующая ему скорость ve сделалась
бы больше, чем 2со/G + 1)- В действительно-
действительности при этом давление на выходе трубы бу-
будет продолжать оставаться равным предельно-
предельному значению A), а скорость вытекания — рав-
равной 2со/G+1); остальное падение давления (до
ре) происходит во внешней среде.
4. Бесконечная труба перегорожена поршнем, по одну сторону от кото-
которого (х < 0) в начальный момент времени находится газ под давлением ро,
а по другую сторону (х > 0) — вакуум. Определить движение поршня под
влиянием расширяющегося газа.
Решение.В газе возникает волна разрежения, одна из границ кото-
которой перемещается вместе с поршнем вправо, а другая — влево. Уравнение
движения поршня
dU	/ 7-1
т	= Ро 1
dt	V	2 с0/
(U — скорость поршня, т — масса, приходящаяся на единицу его площади).
Интегрируя, получим
7-1
U(t) =
2с0
7-1
1- 1
G + 1)ро
2тсо
5. Определить движение в изотермической автомодельной волне разре-
разрежения.
Решение. Изотермическая скорость звука
СТ =
и при постоянной температуре ст = const = ст0. Согласно (99.5), (99.6)
находим поэтому:
р	р х
v = ст0 In — = ст0 In — =	ст0.
ро	Ро t
6. С помощью уравнения Бюргерса (§ 93) определить связанную с дисси-
диссипацией структуру слабого разрыва между волной разрежения и неподвиж-
неподвижным газом.
17*

516	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
Решение. Пусть неподвижный газ находится слева, а волна разре-
разрежения — справа от слабого разрыва (тогда последний движется влево). Без
учета диссипации, в первой из этих областей имеем v = 0, а во второй дви-
движение описывается уравнениями (99.5), (99.6) (с обратным знаком перед с),
причем вблизи разрыва скорость v мала; с точностью до членов первого
порядка по v имеем
х	f po dco\
- = у — с и —со +14	= —со + aov,
t	V со dp0)
где ol определено в A02.2), а индекс 0 указывает значения величин при v = 0
(ниже этот индекс опускаем).
С точностью до величин второго порядка малости скорость в волне,
распространяющейся влево, подчиняется полученному в задаче 1 § 93 урав-
уравнению F), или уравнению Бюргерса
ди ди д2и
Т7+^^7 =^^7^'
dt д( дB
где 11 = ас3, а неизвестная и = av выражена в функции от t и ? = х + ct\
переменная ? измеряет расстояние от слабого разрыва в каждый момент
времени t. Требуется найти непрерывное решение этого уравнения с гра-
граничными условиями
и = ?/t при С —>- оо, и = 0 при С —>- — оо,
отвечающими движению без учета диссипации. В соответствии с законом
расширения слабого разрыва (96.1), переменная t должна входить в решение
в комбинации z = С/лД с переменной ?. Такое решение может удовлетворять
поставленным граничным условиям, если
Функция ф связана с введенной в задаче 2 § 93 функцией (р соотношением
так что (р зависит только от z, причем
Уравнение C) указанной задачи принимает вид 2fjap" = —z<p', откуда
ф) = je-^'^dz.
Решение, удовлетворяющее граничным условиям:
[оо	-. -1
e*'/4,ye-*'/4,dJ ,
или окончательно для скорости г>(?, t):
i -1
чем и определяется структура слабого разрыва.

§ 100	РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ	517
§ 100. Разрывы в начальных условиях
Одной из важнейших причин возникновения поверхностей
разрыва в газе могут являться разрывы в начальных условиях
движения. Начальные условия (т. е. начальные распределения
скорости, давления и т. п.) могут быть заданы, вообще говоря,
произвольным образом. В частности, эти начальные распределе-
распределения отнюдь не должны быть непременно везде непрерывными
функциями и могут испытывать разрывы на некоторых поверх-
поверхностях. Так, если в некоторый момент времени привести в сопри-
соприкосновение две массы газа, сжатые до различных давлений, то
поверхность их соприкосновения будет поверхностью разрыва в
начальном распределении давления.
Существенно, что скачки различных величин в разрывах на-
начальных условий (или, как мы будем говорить, в начальных раз-
разрывах) могут быть совершенно произвольными; между ними не
должно существовать никаких соотношений. Между тем, мы зна-
знаем, что на поверхности разрывов, которые могут существовать
в газе в качестве устойчивых образований, должны соблюдаться
определенные условия; так, скачки плотности и давления в удар-
ударной волне связаны друг с другом ударной адиабатой. Поэтому
ясно, что если в начальном разрыве эти необходимые условия не
соблюдаются, то в дальнейшем он во всяком случае не сможет
продолжать существовать как таковой. Вместо этого начальный
разрыв, вообще говоря, распадается на несколько разрывов, ка-
каждый из которых является каким-нибудь из возможных типов
разрывов (ударная волна, тангенциальный разрыв, слабый раз-
разрыв); с течением времени эти возникшие разрывы будут отхо-
отходить друг от друга г) .
В течение малого промежутка времени, начиная от началь-
начального момента t = 0, разрывы, на которые распадается началь-
начальный разрыв, еще не успеют разойтись на большие расстояния
друг от друга, и потому вся исследуемая картина движения бу-
будет ограничена сравнительно узким объемом, прилегающим к
поверхности начального разрыва. Как обычно, достаточно рас-
рассматривать в общем случае отдельные участки поверхности на-
начального разрыва, каждый из которых можно считать плоским.
Поэтому можно ограничиться рассмотрением плоской поверхно-
поверхности разрыва. Мы выберем эту плоскость в качестве плоскости yz.
Из соображений симметрии очевидно, что разрывы, на которые
распадется начальный разрыв при t > 0, будут тоже плоскими и
перпендикулярными к оси х. Вся картина движения будет зави-
зависеть только от одной координаты х (и времени), так что задача
сводится к одномерной. Благодаря отсутствию каких бы то ни
было характеристических параметров длины и времени, задача
х) Общее исследование этого вопроса дано Н.Е. Кочиным A926).

518	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
автомодельна, и мы можем воспользоваться полученными в пре-
предыдущем параграфе результатами.
Разрывы, возникающие при распаде начального разрыва,
должны, очевидно, двигаться от места их образования, т. е. от
места нахождения начального разрыва. Легко видеть, что при
этом в каждую из двух сторон (в положительном и отрицатель-
отрицательном направлениях оси х) может двигаться либо одна ударная
волна, либо одна пара слабых разрывов, ограничивающих волну
разрежения. Действительно, если бы, скажем, в положительном
направлении оси х распространялись две образовавшиеся в од-
одном и том же месте в момент t = 0 ударные волны, то передняя
из них должна была бы двигаться со скоростью большей, чем
скорость задней волны. Между тем согласно общим свойствам
ударных волн первая должна двигаться относительно остающе-
остающегося за ней газа со скоростью, меньшей скорости звука с в этом
газе, а вторая должна двигаться относительно того же газа со
скоростью, превышающей ту же величину с (в области между
двумя ударными волнами с = const), т. е. должна догонять пер-
первую. По такой же причине не могут следовать друг за другом
в одну и ту же сторону ударная волна и волна разрежения (до-
(достаточно заметить, что слабые разрывы движутся относительно
газов впереди и позади них со звуковой скоростью). Наконец, две
одновременно возникшие волны разрежения не могут разойтись,
так как скорость заднего фронта первой равна скорости заднего
фронта второй.
Наряду с ударными волнами и волнами разрежения при рас-
распаде начального разрыва должен, вообще говоря, возникнуть так
же и тангенциальный разрыв. Такой разрыв во всяком случае
необходим, если в начальном разрыве испытывали скачок попе-
поперечные компоненты скорости vyi vz. Поскольку эти компоненты
скорости не меняются ни в ударной волне, ни в волне разреже-
разрежения, то их скачок будет всегда происходить на тангенциальном
разрыве, остающемся на том же месте, где находился началь-
начальный разрыв; с каждой стороны от этого разрыва vyi vz будут
оставаться постоянными (в действительности, конечно, благода-
благодаря неустойчивости тангенциального разрыва со скачком скоро-
скорости он, как всегда, с течением времени размоется в турбулентную
область).
Тангенциальный разрыв, однако, должен возникнуть даже и
в том случае, когда vy, vz не имеют скачка в начальном разры-
разрыве (не ограничивая общности, можно считать в этом случае, что
постоянные vy и vz равны нулю, что и будет подразумеваться ни-
ниже). Это показывают следующие соображения. Возникающие в
результате распада разрывы должны дать возможность перейти
от заданного состояния 1 газа с одной стороны начального раз-
разрыва к заданному состоянию 2 с другой стороны. Состояние газа

§ 100
РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ
519
1
—>
l *
—>
3
ГУ+
3
a
3
3'
4,
>¦
U_
2
к
>
определяется тремя независимыми величинами, например, р, р
и vx = v. Поэтому необходимо иметь в распоряжении три про-
произвольных параметра для того, чтобы посредством некоторого
набора разрывов перейти, скажем, от состояния 1 к произвольно
заданному состоянию 2. Но мы знаем, что ударная волна (пер-
(перпендикулярная к направлению потока), распространяющаяся по
газу, термодинамическое состояние которого задано, полностью
определяется одним параметром (§ 85). То же самое относится
к волне разрежения (как видно из формул (99.14)—(99.16), при
заданном состоянии входящего в вол-
волну разрежения газа состояние выходяще-
выходящего газа полностью определится заданием
одной из величин в нем). С другой сторо-
стороны, мы видели, что в результате распада
в каждую сторону может пойти не более
одной волны — ударной или разрежения.
Таким образом, мы будем иметь в нашем
распоряжении всего два параметра, что
недостаточно.
Возникающий на месте начального
разрыва тангенциальный разрыв как раз
и представляет этот недостающий тре-
третий параметр. На этом разрыве остает-
остается непрерывным давление; плотность же
(а с ней и температура, энтропия) испы-
испытывает скачок. Тангенциальный разрыв
неподвижен относительного газа по обе-
обеим его сторонам, и потому к нему не от-
относятся использованные выше соображе-
соображения о взаимном обгоне двух распростра-
распространяющихся в одном направлении волн.
Газы, находящиеся по обе стороны
тангенциального разрыва, не перемеши-
перемешиваются друг с другом, так как движения
газа через тангенциальный разрыв нет;
во всех перечисленных ниже вариантах
эти газы могут быть даже газами различ-
различных веществ.
На рис. 78 схематически изображены все возможные типы
распада начального разрыва. Сплошной линией изображен ход
изменения давления вдоль оси х (изменение плотности изобра-
изобразилось бы линией такого же характера, с той лишь разницей, что
имелся бы скачок также и на тангенциальном разрыве). Верти-
Вертикальные отрезки изображают образовавшиеся разрывы, а стрел-
стрелками указаны направления их распространения и направления
движения газа. Система координат выбрана везде та, в которой
	 Ударная волна
	Тангенц. разрыв
	 Слабый разрыв
Рис. 78

520	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
тангенциальный разрыв покоится; вместе с ним покоится также
и газ в прилегающих к нему областях 3, 3'. Давления, плотно-
плотности и скорости газов в крайних слева и справа областях 1 и 2 —
это те значения соответствующих величин, которые они имеют
в момент времени t = 0 на обеих сторонах начального разрыва.
В первом случае (который мы условно записываем в виде
Н^У^ТУ^, рис. 78 а) из начального разрыва Н возникают
две ударные волны У, распространяющиеся в противоположные
стороны, и расположенный между ними тангенциальный разрыв
Т. Этот случай осуществляется при столкновении двух масс газа,
движущихся с большой скоростью навстречу друг другу.
В случае Н-^У^ТР^ (рис. 78 б) по одну сторону от танген-
тангенциального разрыва распространяется ударная волна, а по дру-
другую—волна разрежения Р. Этот случай осуществляется, напри-
например, если в начальный момент времени приводятся в соприкос-
соприкосновение две неподвижные друг относительно друга массы газа
(v2 —vi =0), сжатые до различных давлений. Действительно, из
всех четырех случаев, изображенных на рис. 78, только во вто-
втором из них газы 1 и 2 движутся в одинаковом направлении и
потому может быть v\ = v^-
Далее, в третьем случае (Н^Р^ТР^) в обе стороны от тан-
тангенциального разрыва распространяются по волне разрежения.
Если газы 1 и 2 разлетаются друг от друга с достаточно боль-
большой скоростью г?2 — г>ь т0 в волнах разрежения давление мо-
может достичь при своем падении значения нуль. Тогда возникает
картина, изображенная на рис. 78 г; между областями 4 и 4'
образуется область вакуума 3.
Выведем аналитические условия, определяющие характер
распада начального разрыва в зависимости от его параметров.
Будем считать во всех случаях, что р2 > Pi, а положительное
направление оси х выбираем везде в направлении от области 1
к области 2 (в соответствии с рис. 78).
Имея в виду, что газы по обеим сторонам начального разры-
разрыва могут быть газами различных веществ, будем различать их,
называя соответственно газами 1 и 2.
1. Распад Н^У^ТУ^. Если р% = pf3, vs = vrs, Vs, V3 — дав-
давление, скорость и удельные объемы в образовавшихся после рас-
распада областях 3 и 3', то имеем рз > Р2 > Pi, & объемы Vs и V%
определяются как абсциссы точек с ординатами рз на ударных
адиабатах, проведенных соответственно через точки pi, V\
и Р2-, У2 в качестве исходных. Поскольку газы в областях 3 и 3' в
выбранной системе координат неподвижны, то согласно форму-
формуле (85.7) можно написать для скоростей v\ и г>2, направленных
соответственно в положительном и отрицательном направлениях
оси х:
-.P2XV3 - V3O.

§ 100	РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ	521
Наименьшее значение, которое может иметь давление рз при за-
заданных pi и р2 так, чтобы не противоречить исходному пред-
предположению (рз > Р2 > Pi), есть рз = Р2- Имея также в виду,
что разность v\ — V2 есть монотонно возрастающая функция ^з,
находим искомое неравенство
A00.1)
где символом V' обозначен объем, являющийся абсциссой точ-
точки с ординатой р2 на ударной адиабате газа i, проведенной че-
через точку pi, V\ в качестве начальной. Вычислив V' по формуле
(89.1) (написав в ней V' вместо V2), получим для политропного
газа условие A00.1) в виде
/ZZ 2V	.	(Ю0.2)
1 - l)Pl + G1 + 1)Р2
Отметим, что условия A00.1), A00.2), устанавливающие грани-
границу возможных значений разности скоростей v\ — ^2, не зависят,
очевидно, от выбора системы координат.
2. Распад Н^У^ТР^. Здесь pi < рз = р'з < Р2- Для скоро-
скорости газа в области 1 имеем опять
- V3),
а полное изменение скорости в волне разрежения 4 равно соглас-
согласно (99.7)
V2
V2 = \/—dpdV.
Рз
При заданных р\ и р2 значения рз могут лежать в пределах от р\
до р2- Заменяя рз в разности V2 — v\ один раз на р\, а другой —
на р2, получим условие
V2
yS-dpdV <vx-v2< V(P2-pi)(Vi-Vf). A00.3)
Здесь V' имеет тот же смысл, что и в предыдущем случае; выра-
выражение, определяющее верхний предел разности v\ — V2, должно
вычисляться для газа i, а нижний предел — для газа 2. Для по-
политропного газа получим
72-1
72-1
1 _ ?1 *n \ <Vl_V2
G1 - l)Pl + G1 + 1)P2
где С2 = V72^2^2 — скорость звука в газе 2 в состоянии р2,

522	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
3. Распад Н^Р^ТР^. Здесь р2 > р\ > рз — Рз > 0- Тем же
путем найдем следующее условие осуществления этого случая:
Vl	V2	V2
- [ лУ-dpdV - [ лУ-dpdV < Vi - V2 < - [ лУ-dpdV.
0	0	vi
A00.5)
Интеграл в правой части неравенства вычисляется для газа 2,
а в левой части первый интеграл —для газа i, а второй —для
газа 2. Для политропного газа получим
[72-1
-1	(V\ \ 2Т9	/-1 глгл г>\
1 — ( ?— )	L (IUU.oJ
Vp2 /	J
где с\ = л/jiPiVi, с2 = л/гу2р2У2. Если
vi - v2 < --**- - -*?*-,	A00.7)
7i — l 72 — I
то меж:ду волнами разреж:ения возникает область вакуума (рас-
(распад Н^Р^ВР^).
К задаче о разрыве в начальных условиях сводятся, в част-
частности, задачи о различных столкновениях плоских поверхностей
разрывов. В момент столкновения обе плоскости совпадают и
представляют собой некоторый «начальный разрыв», в дальней-
дальнейшем распадающийся одним из описанных выше способов. Так,
в результате столкновения двух ударных волн снова возникают
две ударные же волны, расходящиеся от остающегося между ни-
ними тангенциального разрыва:
Когда одна ударная волна догоняет другую, возможны два слу-
случая
В обоих случаях вперед продолжает распространяться ударная
же волна.
К этой же категории относится задача об отражении и про-
прохождении ударной волны через тангенциальный разрыв (грани-
(границу двух сред). Здесь возможны два случая:
Прошедшая во вторую среду волна всегда является ударной (см.
также задачи к этому параграфу) :) .
:) Для полноты упомянем, что при столкновении ударной волны со слабым
разрывом (эта задача не относится к рассматриваемому здесь автомодель-
автомодельному типу) ударная волна продолжает распространяться в прежнем направ-
направлении, а в пространстве позади нее остается один слабый разрыв первона-
первоначального типа и один «тангенциальный» (см. конец § 96) слабый разрыв.

§ 100	РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ	523
Задачи
1. Плоская ударная волна отражается от плоской поверхности абсолют-
абсолютно твердого тела. Определить давление газа позади отраженной волны.
(Я. Hugoniot, 1885).
Решение.В результате падения ударной волны на твердую стенку
возникает отраженная ударная волна, распространяющаяся от стенки. Бу-
Будем отмечать индексами 1, 2, 3 соответственно невозмущенный газ перед
падающей ударной волной, газ позади падающей волны (он же является га-
газом впереди отраженной волны) и газ позади отраженной волны (рис. 79;
стрелками показано направление движения ударных волн и самого газа).
Газ в граничащих с твердой стенкой областях 1 л 3 покоится (относительно
неподвижной стенки). Поэтому относительная скорость газов по обе сто-
стороны разрыва друг относительно друга в обоих случаях — в
падающей и отраженной ударных волнах — одинакова (рав-
(равна одной и той же величине — скорости газа 2). Воспользо- о
вавшись формулой (85.7) для относительной скорости, по- 	>
лучим поэтому:
(Р2 -pi)(Vl - V2) = (рз -P2)(V2 - Уз)-
Уравнение же ударной адиабаты (89.1) для каждой из удар-
ударных волн дает	_
Vb _ G + l)pi + G ~ 1)Р2
Vl	G - l)Pl + G + 1)Р2 '
Уз = G + 1)Р2 + G ~ 1)рз	Рис. 79
V2 G - 1)Р2 + G + 1)Рз '
Из этих трех уравнений можно исключить удельные объемы, в результате
чего получим
(рз - Р2J[G + l)pi + G - 1)Р2] = (Р2 - PiJ[G + 1)рз + G - 1)рг].
Это есть квадратное уравнение для рз, имеющее тривиальный корень рз =
= pi; после сокращения на (рз — pi) получим искомую формулу
Рз _ C7 - 1)Р2 - G - !)Pi
р2 G - 1)Р2 + G + l)Pi
определяющую рз по pi и р2. В предельном случае большой интенсивности
падающей волны «досжатие» газа отраженной ударной волной определяется
формулами
Рз = C7 - 1) Уз = G ~ 1)
Р2 7 ~~ 1	У1	7
В обратном предельном случае малой интенсивности: рз — Р2 = Р2 — pi, что
соответствует звуковому приближению.
2. Найти условие, определяющее результат отражения ударной волны
от плоской границы между двумя газами.
Решение. Пусть р\ = р2, Vi, V2 —давления и удельные объемы обе-
обеих сред до падения ударной волны (распространяющейся в газе 2) на их
поверхность раздела, а р2, У2 — давление и удельный объем позади ударной
волны. Условие того, чтобы отраженная волна была ударной, определяется
неравенством A00.2), в котором надо в данном случае положить
- V2 =

524	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
Выражая все величины через отношение давлений рг/pi и начальные удель-
удельные объемы Vi и V25 получим следующее условие:
	Yi	<	Yk	.
G1 + 1)P2/P1 + G1 - 1)	G2 + 1)Р2/Р1 + G2 - 1)
§ 101. Одномерные бегущие волны
При изучении звуковых волн в § 64 амплитуда колебаний в
волне предполагалась малой. В результате уравнения движения
оказывались линейными и могли быть легко решены. Решением
этих уравнений является, в частности, функция от х ± ct (плос-
(плоская волна), что соответствует бегущей волне с профилем, пере-
перемещающимся со скоростью с без изменения своей формы (под
профилем волны понимают распределение различных величин —
плотности, скорости и т. п. —вдоль направления ее распростра-
распространения). Поскольку скорость v, плотность р и давление р (как и
другие величины) в такой волне являются функциями от одной
и той же комбинации х =Ь ct, то они могут быть выражены как
функции друг от друга в виде соотношений, не содержащих явно
ни координаты, ни времени (например, р = р(р), v = v(p) и т. д.).
В случае произвольной, не малой, амплитуды волны эти про-
простые соотношения уже не имеют места. Оказывается, однако,
возможным найти общее решение точных уравнений движения,
представляющее собой бегущую плоскую волну и являющееся
обобщением решения f(x ± ct) приближенных уравнений, при-
применимых в случае малых амплитуд. Для отыскания этого реше-
решения будем исходить из требования, чтобы в общем случае волны
с произвольной амплитудой плотность и скорость могли быть
выражены в виде функции друг от друга.
При отсутствии ударных волн движение адиабатично. Если
в некоторый начальный момент времени газ был однороден (так
что, в частности, было s = const), то и в дальнейшем будет все
время s = const, что и предполагается ниже; тогда и давление
будет функцией только от плотности.
В плоской звуковой волне, распространяющейся вдоль оси ж,
все величины зависят только от х и ?, а для скорости имеем
vx = v, vy = vz = 0. Уравнение непрерывности гласит:
dp d(pv) _ ~
dt дх ~ '
а уравнение Эйлера
dt дх р дх
Воспользовавшись тем, что v может быть представлено в виде

§ 101	ОДНОМЕРНЫЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ	525
функции только от р, напишем эти уравнения в виде
dt dp дх
p dv /
Замечая, что
др/dt _ _(д_
др/дх ~ \~di)p
получаем из A01.1)
дх\ d(pv)	. dv
dt J p dp	dp
а из A01.2) аналогично
dtJv	pdv
Но поскольку значение р определяет однозначным образом зна-
значение v, то безразлично, берется ли производная при постоянном
р или v, так что
дх\ _ (дх
dt)Р~ \dt
)v
откуда
dv 	 1 dp 	 с2 dp
dp p dv p dv
Таким образом, dv/dp = ±c/p, откуда
p f
р	J рС
Этим определяется общая связь между скоростью и плотностью
или давлением в волне :) .
Далее, комбинируя A01.3) с A01.4), пишем:
дх\	. 1 dp	I / \
— = v + -— = v ±c(v),
dtJv	pdv	v n
или, интегрируя,
x = t[v±c(v)]+f(v),	A01.5)
где f(v) —произвольная функция скорости, а функция c(v) опре-
определяется равенством A01.4).
:) В волне с малой амплитудой имеем р = ро + р', и A01.4) дает в первом
приближении v = сор /ро (где со = с(ро)), т. е. обычную формулу F4.12).

526	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
Формулы A01.4), A01.5) представляют собой искомое общее
решение (впервые найденное Риманом — В. Шетапп, 1860). Ука-
Указанные формулы определяют неявным образом скорость (а с нею
и остальные величины) как функцию от х и ?, т. е. профиль вол-
волны в каждый момент времени. Для каждого определенного зна-
значения v имеем х = at + 6, т. е. точка, в которой скорость имеет
определенное значение, передвигается в пространстве с постоян-
постоянной скоростью; в этом смысле найденное решение представляет
собой бегущую волну. Два знака в A01.5) соответствуют вол-
волнам, распространяющимся (относительно газа) в положительном
и отрицательном направлениях оси х.
Движение, описываемое решением A01.4), A01.5) часто на-
называют простой волной] ниже мы будем пользоваться этим тер-
термином. Изученное в § 99 автомодельное движение является част-
частным случаем простой волны, соответствующим равной нулю
функции f(v) в A01.5).
Выпишем в явном виде соотношения для простой волны в по-
литропном газе; для определенности будем считать, что в волне
есть точка, в которой v = 0, как это обычно бывает в различ-
различных конкретных задачах. Поскольку формула A01.6) совпада-
совпадает с формулой (99.6), то аналогично формулам (99.14)—(99.16)
имеем
c = co±^±v,	A01.6)
iiL)A A01.7)
с
2 <
Подставляя A01.6) в A01.5), получим
х = t(±c0 + l±±v) + f(v).	A01.8)
Иногда бывает удобным писать это решение в виде
т _ тр\т _ (л-г I 7+ 7,ч/	A01 Q^l
где i7" — опять произвольная функция.
Из формул A01.6), A01.7) снова (как и в § 99) видно, что ско-
скорость, направленная в сторону, противоположную направлению
распространения волны (относительно самого газа), ограничена
по своей абсолютной величине; для волны, распространяющейся
в положительном направлении оси ж, имеем
-v^ J?^.	A01.10)
7-1
Бегущая волна, описываемая формулами A01.4), A01.5), су-
существенно отличается от волны, получающейся в предельном

§ 101
ОДНОМЕРНЫЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ
527
случае малых амплитуд. Скорость, с которой перемещаются точ-
точки профиля волны, равна
и = v ± с;
A01.11)
Р-Ро
ее можно рассматривать наглядно как результат наложения рас-
распространения возмущения относительно газа со звуковой ско-
скоростью и перемещения самого газа со скоростью v. Скорость и
является теперь функцией плотности и поэтому различна для
разных точек профиля. Таким образом, в общем случае плоской
волны произвольной амплитуды не существует определенной по-
постоянной скорости волны. Благодаря различию в скоростях то-
точек профиля волны последний не остается неизменным и меняет
со временем свою форму.
Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном
направлении оси х] для нее и = v + с. В § 99 была вычисле-
вычислена производная от v + с по плотности (см. (99.10)). Мы видели,
что du/dp > 0. Таким образом, скорость рас-
распространения заданной точки профиля вол-
волны тем больше, чем больше плотность. Ес-
Если обозначить через cq скорость звука для
плотности, равной равновесной плотности
ро, то в местах, где имеется сжатие, р > ро
и с > со; в точках разрежения, напротив,
р < ро И С < Cq.
Неодинаковость скорости перемещения
точек профиля приводит к изменению его
формы со временем: точки сжатия выдвига-
выдвигаются вперед, а точки разрежения оказыва-
оказываются отставшими (рис. 80 б"). В конце концов
профиль волны может настолько выгнуть-
выгнуться, что кривая р(х) (при заданном t) ока-
оказывается неоднозначной — некоторым х со-
соответствует по три различных значения р
(рис. 80 в, штриховая линия) х) . Физически, разумеется, такое
положение невозможно. В действительности, в местах неодно-
неоднозначности р возникают разрывы, в результате чего р оказывается
везде (за исключением самих точек разрыва) однозначной функ-
функцией. Профиль волны приобретает при этом вид, изображенный
на рис. 80 в сплошной линией. Поверхности разрыва возникают,
таким образом, на протяжении каждой длины волны.
После возникновения разрывов волна перестает быть про-
простой. Наглядная причина этого заключается в том, что при нали-
наличии поверхностей разрыва происходит отражение волны от этих
поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в
Рис. 80
) О такой деформации профиля волны часто говорят как о его опрокиды-
опрокидывании.

528	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода
предположение об однозначной зависимости между различными
величинами не имеет, вообще говоря, места.
Наличие разрывов (ударных волн) приводит, как было указа-
указано в § 85, к диссипации энергии. Поэтому возникновение разры-
разрывов приводит к сильному затуханию волны. Наличие такого зату-
затухания видно уже непосредственно из рис. 80. При возникновении
разрыва как бы отсекается наиболее высокая часть профиля вол-
волны. С течением времени, по мере продолжающегося выгибания
профиля, его вышина все более уменьшается. Происходит сгла-
сглаживание профиля с уменьшением его амплитуды, что и означает
постепенное затухание волны.
Из сказанного выше ясно, что образование в конце концов
разрывов должно произойти во всякой простой волне, в которой
имеются участки, на которых плотность убывает в направлении
распространения волны. Единственный случай, когда разрывы
вообще не образуются,—волна, в которой плотность монотон-
монотонно возрастает в направлении распространения на всем ее протя-
протяжении (такова, например, волна, возникающая при выдвигании
поршня из заполненной газом бесконечной трубы; см. задачи к
этому параграфу).
Хотя после образования разрыва волна и перестает быть про-
простой, но самые момент и место образования разрыва могут быть
определены аналитически. Мы видели, что с математической
точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в про-
простой волне величины р, /э, v как функции х (при заданном t) ста-
становятся многозначными для моментов времени, превышающих
некоторое определенное значение to, между тем как при t < to
эти функции однозначны. Момент to есть момент образования
разрыва. Уже из чисто геометрических соображений ясно, что
в самый момент to кривая зависимости, скажем, и от ж, должна
сделаться в некоторой точке х = хо вертикальной — как раз в той
точке, вблизи которой функция стала бы затем многозначной.
Аналитически это означает обращение производной (dv/dx)t в
бесконечность, т. е. производной (dx/dv)t в нуль. Ясно также,
что в момент to кривая v = v(x) должна лежать по обе сто-
стороны от вертикальной касательной, в противном случае зависи-
зависимость v(x) была бы многозначной уже и в этот момент времени.
Другими словами, точка х = хо должна быть не точкой экстре-
экстремума функции x(v), а точкой перегиба, и следовательно, должна
обратиться в нуль также и вторая производная {d2xjdv2\. Та-
Таким образом, место и момент образования ударной волны опре-
определяются совместным решением двух уравнений:
=°- A01Л2)

§ 101	ОДНОМЕРНЫЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ	529
Для политропного газа эти уравнения гласят:
* !/», /» = о,	(шла)
7-
где f(v) —функция, входящая в общее решение A01.8).
Эти условия должны быть видоизменены, если простая волна
граничит с неподвижным газом и ударная волна возникает как
раз на этой границе. И здесь в момент возникновения разрыва
кривая v = v(x) должна стать вертикальной, т. е. производная
(dx/dv)t должна обратиться в нуль. Обращение же в нуль вто-
второй производной не обязательно; вторым условием здесь являет-
является просто равенство нулю скорости на границе с неподвижным
газом, так что имеем условие
-^) = 0.
Из этого условия время и место образования разрыва могут быть
найдены в явном виде. Дифференцируя выражение A01.5), по-
получим
t = -^, х = ±cot + /@),	A01.14)
где «о—значение при v = 0 величины а, определяемой форму-
формулой A02.2). Для политропного газа
A01.15)
Задачи
1. Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной сто-
стороны (х > 0) и закрытой поршнем с другой (х = 0). В момент времени
t = 0 поршень начинает двигаться равноускоренно со скоростью U = =Ьа?.
Определить возникающее движение газа (считая газ политропным).
Решение. Если поршень выдвигается из трубы (U = —at), то возник-
возникнет простая волна разрежения, передний фронт которой распространяется
вправо по неподвижному газу со скоростью со; в области х > cot газ неподви-
неподвижен. На поверхности поршня скорость газа должна совпадать со скоростью
поршня, т. е. должно быть v = —at при х = —at2/2, t > 0. Это условие дает
для функции f(v) в A01.8):
_	7а*2
2
Поэтому имеем
/	-I- 1 \
( + ^±1Л [ (^±1Л	1
откуда
—v = — ( со + ; ' "*" at ) — — I ( Co + ; ' "*" at ) — 2aj(cot — x) I . A)
Эта формула определяет изменение скорости в области от поршня до пе-
переднего фронта волны х = cot (рис. 81 а) в течение времени от t = 0 до

530
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. X
t = 2co/G ~~ 1)а- Скорость газа направлена везде влево, в сторону движения
поршня, и монотонно убывает по абсолютной величине в положительном на-
направлении оси х\ в этом же направлении монотонно возрастают плотность
и давление. При t > 2со/G ~~ 1)а Для
скорости поршня не выполняется нера-
неравенство A01.10), а потому газ не может
двигаться вместе с ним. Между порш-
поршнем и газом возникнет область вакуума,
а дальше скорость газа будет меняться
по формуле A) от значения — 2со/G ~ 1)
до нуля.
Если поршень вдвигается в трубу
(JJ = at), то возникает простая волна
сжатия; соответствующее решение полу-
получается просто изменением знака у а в
формуле A) (рис. 81 б). Оно примени-
применимо, однако, лишь до момента образова-
образования ударной волны; этот момент опреде-
определяется по формуле A01.15) и равен
2с0
-at1у 2
at2/2
cot х
t =
Рис. 81
2. To же при произвольном законе движения поршня.
Решение. Пусть поршень в момент t = 0 начинает двигаться по за-
закону х = X(t) (причем Х@) = 0); его скорость U = X'(t). Граничное условие
на поршне (v = U при х = X) дает
Если рассматривать теперь t как параметр, то эти два уравнения определя-
определяют в параметрическом виде функцию f{v). Обозначая ниже этот параметр
буквой т, можем написать окончательное решение в виде
х = Х(т) + (t - т) со +
7
B)
чем и определяется в параметрическом виде искомая функция v(t, x) в воз-
возникающей при движении поршня простой волне.
3. Определить время и место образования ударной волны при движении
поршня по закону U = atn, п > 0.
Решение. Если а < 0, т. е. поршень выдвигается из трубы, то воз-
возникает простая волна разрежения, в которой ударные волны вообще не об-
образуются. Ниже предполагается а > 0, т. е. поршень вдвигается в трубу,
создавая простую волну сжатия.
При параметрическом задании функции v(x, t) формулами B) с
п+1
момент и место образования ударной волны определяются уравнениями:
— Со ~т~ vT CLTl	L7 J- ~т~ ^\7 "^ /J — 5
ТТ ) = trn-2an(n - lI^ - v^'h - 1 + nG + 1)] = 0,
C)

§ 101	ОДНОМЕРНЫЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ	531
причем второе уравнение надо заменить просто равенством т = 0, если речь
идет об образовании разрыва на переднем фронте простой волны.
При п = 1 находим
т = 0, t = 	,
(+1)
т. е. ударная волна образуется на переднем фронте через конечное время
после начала движения, в согласии с результатом задачи 1.
При п < 1 производная (dx/dr)t как функция от т оказывается зна-
знакопеременной (а потому функция v(x) при заданном t — многозначной) при
всяком t > 0. Это значит, что ударная волна образуется на поршне в самый
момент начала его движения.
При п > 1 ударная волна возникает не на переднем фронте простой
волны, а в некоторой промежуточной точке, определяемой уравнениями C).
Определив из C) значения т и t, можно затем по B) найти и место образо-
образования разрыва. Вычисление дает
а ) 7 + 1 [п-1
7 + 1 71+ lj (П- l)(n-l)/n[7_ I _|_nG _|_l)]l/n
4. Для плоской волны малой амплитуды (звук) определить средние по
времени значения величин в квадратичном по амплитуде приближении. Вол-
Волна излучается поршнем, колеблющимся по некоторому закону х = X(t),
U = Xf(t), причем Х@) = 0, X = 0, U = 0 :).
Решение. Исходим из точного решения A01.9), записав его в экви-
эквивалентном виде, с другим выбором аргумента:
v = F[t--), u = co+aov	D)
(где ао = G+ l)/2), или v = i^(?), где переменная ? определяется в неявном
виде уравнением 2)
0,-1 XI (*{$)•	\<J)
Покажем, что при вычислении с точностью до величин второго порядка
усреднение по t эквивалентно усреднению по ?. При заданном х имеем
: = df,i_iL^W(i-^
(в знаменателе 16 мож:но пренебречь малой величиной v <C со; искомый
эффект, связанный с накапливающимися нелинейными искажениями про-
профиля, получается в результате разрешения уравнения D) относительно v).
Поэтому
:) В решении этой задачи мы следуем Л.А.Островскому A968).
) Для волн малой амплитуды решение D) справедливо и для произволь-
произвольного (не политропного) газа, если определить ао согласно A02.2).

532	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
Второй член всегда конечен и не дает вклада при усреднении по большому
интервалу времени. Заметив также, что
/-	/-	х	х ,
^2 — ?l ~ ^2 — t\ Л^(	)	,
со
приходим к требуемому результату Иь = v^, где индекс у черты указывает
переменную, по которой производится усреднение (ниже этот индекс опус-
опускаем); отметим, что среднее (по t) значение оказывается тем самым незави-
независящим от х.
Для задачи о колеблющемся поршне функция F(?) определяется урав-
уравнением B), которое можно переписать в виде
v(r)=X'(r), т = ? + Х(т)/и(т)
или, ввиду малости амплитуды колебаний:
г «?+-*(?), г,()()
со	со
Усредняя последнее выражение, пишем
со d? со d?	со
и поскольку среднее значение от полной производной обращается в нуль,
окончательно:
v = -TP/co.	F)
С той же точностью средняя по времени плотность потока вещества:
pv = pov + p'v = pov -\	v2.
со
Используя F) и равенство (в том же приближении) v2 = [72, находим, что
~pv = 0; так и должно быть (в силу закона сохранения вещества) в чисто
одномерном случае, когда нет подтекания вещества «сбоку». Для средней
плотности потока энергии имеем
q = pwv = wopv + pQw'v = p'v =
(cp. § 65) и окончательно q = pocoll2.
Для вычисления pf и р1 надо выразить pup через v с точностью до
членов ~v2. Из A01.7) (или из A01.4) и A01.6) для не политропного газа)
получим
Р v 2 — а 2 i 2 / . / л\ 2
— =	1	—V , р = с р + (а — l)pov
ро со 2cg
и после усреднения
р' = -^и2, р' =	— poU2.	G)
z	z
c0
Обратим внимание на то, что р1 оказывается здесь отличным от нуля уже в
квадратичном приближении — ср. конец § 65.
) В более ограничительных предположениях формулы G) были получены
А. Эйхенвальдом A932).

§ 102	ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ	533
§ 102. Образование разрывов в звуковой волне
Плоская бегущая звуковая волна как точное решение урав-
уравнений движения тоже представляет собой простую волну Мы
можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе
общими результатами для того, чтобы выяснить некоторые свой-
свойства звуковых волн малой амплитуды во втором приближении
(понимая под первым приближением то, которое соответствует
обычному линейному волновому уравнению).
Прежде всего отметим, что по истечении достаточно долго-
долгого времени в звуковой волне на протяжении каждого ее периода
должен возникнуть разрыв. Этот эффект приведет затем к весь-
весьма сильному затуханию волны, как это было объяснено в § 101.
Фактически это может относиться, разумеется, лишь к доста-
достаточно сильному звуку; в противном случае звуковая волна успе-
успеет поглотиться благодаря обычному эффекту вязкости и тепло-
теплопроводности газа раньше, чем в ней успеют развиться эффекты
высших порядков по амплитуде.
Эффект искажения профиля волны проявляется и в другом
отношении. Если в некоторый момент времени волна была чисто
гармонической, то с течением времени соответственно измене-
изменению формы ее профиля она перестанет быть таковой. Движение,
однако, останется периодическим с прежним периодом. В разло-
разложение этой волны в ряд Фурье войдут теперь наряду с членом
с основной частотой ио также и члены с кратными частотами пио
(п —целые числа). Таким образом, искажение профиля по мере
распространения звуковой волны можно воспринимать как по-
появление в ней наряду с основным тоном также и обертонов.
Скорость и перемещения точек профиля волны (распростра-
(распространяющейся в положительном направлении оси х) в первом при-
приближении получается, если положить в A01.11) v = 0, т. е. и = со,
что соответствует распространению волны без изменения формы
профиля. В следующем приближении имеем
. ди i	. ди ро
и = со + —р' = с0 + — ^ v,
иро	оро со
или с помощью выражения (99.10) для производной ди/др:
и = со + aov,	A02.1)
где для краткости введено обозначение г)
A02.2)
Для политропных газов а = G + 1)/2, и формула A02.1) совпа-
совпадает с точной формулой (см. A01.8)) для скорости и.
1) В задаче 1 к § 93 эта величина была обозначена как av.

534	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
В общем случае произвольной амплитуды волна перестает
быть простой после появления в ней разрывов. Существенно, од-
однако, что волна малой амплитуды во втором приближении оста-
остается простой и при наличии разрывов. Убедиться в этом можно
следующим образом. Изменения скорости, давления и удельного
объема в ударной волне связаны друг с другом соотношением
vi—v2 = л/(р2 —pi)(Vi - V2).
Изменение же скорости v вдоль некоторого участка длины оси х
в простой волне равно интегралу
Простое вычисление с помощью разложения в ряд показывает,
что оба написанных выражения отличаются друг от друга толь-
только в членах третьего порядка (при вычислении следует иметь в
виду, что изменение энтропии в разрыве есть величина третьего
порядка малости, а в простой волне энтропия вообще постоянна).
Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка зву-
звуковая волна с каждой стороны от образовавшегося в ней разры-
разрыва остается простой, причем на самом разрыве будет выполнено
надлежащее граничное условие. В следующих же приближениях
это уже не будет иметь места, что связано с появлением отра-
отраженных от поверхности разрыва волн.
Выведем теперь условие, с помощью которого можно опреде-
определить местонахождение разрывов в бегущей звуковой волне (все
в том же втором приближении). Пусть и есть скорость движения
разрыва (относительно неподвижной системы координат), а v\,
1J — скорости газа по обеим его сторонам. Тогда условие непре-
непрерывности потока вещества запишется:
pi(vi -и) = p2(v2 -и),
откуда
piVi — P2V2
и =	—.
р\ - р2
С точностью до членов первых двух порядков эта величина рав-
равна значению производной d(pv)/dp, взятому в точке, где аргу-
аргумент v равен полусумме v = [v\ +1J)/2. Поскольку же в простой
волне d{pv)/dp = v + с, то согласно A02.1) имеем
I	Vl ~Т~ V2	(-1 глгь О\
и = cq + cxq	.	{±1J.о)
Отсюда можно получить следующее простое геометрическое
условие, определяющее место ударной волны. На рис. 82 кривой

§ 102
ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ
535
линией изображен профиль распределения скоростей, соответ-
соответствующий простой волне, и пусть отрезок ае есть возникающий
в волне разрыв (xs — его координата). Разность заштрихованных
на рисунке площадей abc и cde определяет-
определяется интегралом
V2
I (x-xs
dv,
взятым по кривой abode. С течением вре-
времени профиль волны смещается; вычислим
производную по времени от написанного
интеграла. Поскольку скорость dx/dt то-	рис g2
чек профиля волны определяется форму-
формулой A02.1), а скорость dx/dt разрыва — формулой A02.3), то мы
получим
V2
d f /
— / (x —
dt J v
dv = a
vdv —
(при дифференцировании интеграла надо иметь в виду, что хо-
хотя сами пределы интегрирования v\ и V2 тоже меняются со вре-
временем, но значение х — xs на них всегда есть нуль и поэтому
достаточно дифференцировать только под знаком интеграла).
Таким образом, интеграл f(x—xs)dv остается с течением вре-
времени постоянным. Поскольку же в начальный момент возникно-
возникновения ударной волны он равен нулю (точки а и е совпадают), то
и всегда
(х — xs) dv = 0.
A02.4)
abode
Геометрически это означает, что площадь abc равна площади
cde. Этим условием определяется положение разрыва.
Образование разрывов в звуковой волне представляет собой
пример самопроизвольного возникновения ударных волн в от-
отсутствие каких бы то ни было особенностей во внешних условиях
движения. Следует подчеркнуть, что хотя ударная волна может
самопроизвольно возникнуть в некоторый дискретный момент
времени, она не может столь же дискретным образом исчезнуть.
Раз возникнув, ударная волна затухает в дальнейшем лишь асим-
асимптотически при неограниченном увеличении времени.
Рассмотрим одиночный одномерный звуковой импульс сжа-
сжатия газа, в котором уже успела образоваться ударная волна, и
выясним, по какому закону будет происходить окончательное за-
затухание этой волны. На поздних стадиях своего распространения

536
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. X
звуковой импульс с ударной волной будет иметь треугольный
профиль скоростей, —линейный профиль при своем дальнейшем
деформировании остается линейным :) .
Пусть в некоторый момент времени (который примем за мо-
момент t = 0) профиль изображается треугольником ABC на
рис. 83 а (значения величин, относящие-
относящиеся к этому моменту времени, будем от-
отличать индексом 1) 2) . Перемещая точки
этого профиля со скоростями A02.1), мы
получили бы по истечении времени t про-
профиль А'В'С (рис. 83 б"). В действитель-
действительности разрыв переходит в точку Е и ис-
истинный профиль будет A'DE. Площади
DB'F и C'FE равны друг другу в силу
условия A02.4); поэтому площадь A'DE
нового профиля равна площади ABC ис-
исходного профиля. Пусть / — длина звуко-
рис gg	вого импульса в момент времени ?, a Av —
скачок скорости в ударной волне. За вре-
время t точка В смещается относительно точки С на расстояние
at(Av)i; поэтому тангенс угла В'АС равен (Avi)/[li + at (Av)i\,
и мы получаем условие равенства площадей ABC и A'DE в виде
h +at(Av)i
откуда
l = h
1/2
-1/2
A02.5)
Полная энергия бегущего звукового импульса (отнесенная к еди-
единице площади ее фронта) равна
-1/2
A02.6)
1) Здесь и ниже мы говорим о профиле распределения скорости v — имея в
виду лишь простоту записи формул. Фактически более интересной величи-
величиной является избыточное давление р , отличающееся от v лишь постоянным
множителем: р = v/(poco); к нему относятся такие же результаты. Отме-
Отметим, что знак v совпадает со знаком р , так что v > 0 отвечает сжатию,
& v < 0 — разрежению. Скорость перемещения точек профиля выражается
через р формулой
и = соA + vop/po), у = ар/(рс2)
(для политропного газа v = G + 1)/B7))-
) Индекс же 0, отличающий равновесные значения величин, будем ниже
опускать.

§ 102	ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ	537
При t —>> оо величина скачка в ударной волне и ее энергия
затухают асимптотически как t/2 (или, что то же, как ж/2 —
с расстоянием х = ct). Длина же импульса возрастает как t1/2.
Обратим внимание также на то, что предельное значение угла
наклона профиля Av/l —>• l/(at) не зависит ни от величины скач-
скачка, ни от длины импульса.
Рассмотрим теперь предельные (на больших расстояниях от
источника) свойства ударных волн, образующихся в цилиндри-
цилиндрических и сферических звуковых волнах (Л.Д. Ландау, 1945), На-
Начнем с цилиндрического случая.
На достаточно больших расстояниях г от оси такую волну в
каждом небольшом ее участке можно рассматривать как плос-
плоскую. Скорость перемещения каждой точки профиля волны бу-
будет тогда определяться формулой A02.1). Однако если мы хотим
проследить с помощью этой формулы за смещением точки про-
профиля на протяжении больших промежутков времени, то необхо-
необходимо учесть, что амплитуда цилиндрической волны уже в пер-
первом приближении падает с расстоянием как г/2. Это значит,
что для каждой точки профиля v будет не постоянной (как для
плоской волны), а будет убывать как г/2. Если v\ есть значе-
значение v (для заданной точки профиля) на расстоянии (большом)
ri, то можно написать v = vi{r\/rI/2. Таким образом, для ско-
скорости и точек профиля волны будем иметь
A02.7)
Первый член представляет собой обычную скорость звука и соот-
соответствует перемещению волны «без изменения формы профиля»
(отвлекаясь от общего уменьшения амплитуды как г/2, т. е. по-
понимая под профилем распределение величины Vy/r). Второй же
член приводит к искажению профиля. Величина дг этого допол-
дополнительного смещения точек профиля в течение времени (г—г\)/с
получится интегрированием по dr/c:
Sr = 2a-y/r{(y/r - у/п) •	A02.8)
Искажение профиля цилиндрической волны растет медлен-
медленнее, чем у плоской волны (где смещение 6х растет пропорци-
пропорционально самому проходимому расстоянию х). Но и здесь оно,
разумеется, приводит в конце концов к образованию разрывов.
Рассмотрим ударные волны, образующиеся в достаточно дале-
далеко удалившемся от источника (оси) одиночном цилиндрическом
звуковом импульсе.
Цилиндрический случай существенно отличается от плоско-
плоского прежде всего тем, что одиночный импульс не может состоять

538	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
из одного только сжатия или только разрежения; если за перед-
передним фронтом звукового импульса имеется область сжатия, то за
ней должна следовать область расширения (см. § 71) :) . Точка
максимального разрежения будет отставать от всех расположен-
расположенных сзади нее, в результате чего и здесь возникнет опрокидыва-
опрокидывание профиля и появится разрыв. Таким образом, в цилиндриче-
цилиндрическом звуковом импульсе образуются две ударные волны. В пе-
переднем разрыве скорость скачком возрастает от нуля, затем сле-
следует область постепенного уменьшения сжатия, сменяющегося
разрежением, после чего давление вновь возрастает скачком во
втором разрыве. Но цилиндрический звуковой импульс специфи-
специфичен (по сравнению как с плоским, так и сферическим случаями)
еще и в том отношении, что он не сможет иметь заднего фрон-
фронта—стремление v к нулю происходит лишь асимптотически. Это
приводит к тому, что в заднем разрыве v возрастает не до ну-
нуля, а лишь до некоторого конечного (отрицательного) значения,
г-	и лишь затем асимптотически стремится
к нулю. В результате возникает профиль
изображенного на рис. 84 вида.
Предельный закон, по которому бу-
дет происходить окончательное затухание
ударных волн со временем (или, что то же,
с расстоянием г от оси), можно найти ана-
Рис. 84	логично тому, как это было сделано выше
для плоского случая. Из приведенного там
вывода видно, что предельный закон отвечает времени, когда
смещение 5г верхней точки профиля становится уже большим
но сравнению с «первоначальной» шириной импульса 1\ (под ко-
которой будем понимать, например, расстояние от переднего раз-
разрыва до точки с v = 0). Это смещение на пути от г\ до г <ic r\
есть	2а
6г « —(Av)iy/rir,
с
где (Av)i «первоначальный» (на расстоянии г\) скачок на пе-
переднем разрыве. Тогда «конечный» тангенс угла наклона ли-
линейной части профиля между разрывами будет ~y/ri(Av)i/Sr~
« с/Bал/г). Условие постоянства площади профиля дает
откуда / ос г1/4 (вместо закона / ос ж1/2 в плоском случае). Пре-
Предельный закон убывания скачка Av в переднем разрыве получа-
получается затем из ly/rAv = const, т. е.
Дг; ос г/4.	A02.9)
1)Мы будем иметь в виду именно такое расположение. Оно отвечает, в
частности, применению излагаемых результатов к ударным волнам, возни-
возникающим при сверхзвуковом движении конечного тела (§ 122).

§ 102	ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ	539
Наконец, рассмотрим сферический случай :) . Общее убывание
амплитуды расходящейся звуковой волны происходит как 1/г
(где г — теперь расстояние от центра). Повторяя все изложен-
изложенные выше для цилиндрического случая рассуждения, получим
для скорости перемещения точек профиля волны
и = с+^^,	A02.10)
Г
после чего найдем смещение дг точки профиля на пути от г\
до г:
6г = ^Г±Ы^.	A02.11)
с п
Мы видим, что искажение профиля сферической волны растет с
расстоянием лишь логарифмически — гораздо медленнее, чем в
плоском и даже цилиндрическом случаях.
Сферическое распространение звукового импульса сжатия
должно сопровождаться, как и в цилиндрическом случае, сле-
следующим за сжатием разрежением (см. § 70). Поэтому и здесь
должны образоваться два разрыва (сферический одиночный им-
импульс может, однако, иметь задний фронт и тогда во втором раз-
разрыве v возрастает скачком сразу до нуля) 2) . Тем же способом
найдем предельные законы возрастания длины импульса и убы-
убывания интенсивности ударной волны:
I ex JLi, Av a \	A02.12)
где а — некоторая постоянная размерности длины 3) .
Задачи
1. В начальный момент профиль волны состоит из неограниченного ря-
ряда зубцов, изображенных на рис. 85 4). Определить изменение профиля и
энергии волны со временем.
Решение. Заранее очевидно, что в последующие моменты времени t
профиль волны будет состоять из зубцов такого же вида, с той же длиной /о,
но меньшей высотой vt. Рассмотрим один из зубцов: в момент t = 0 абсцисса
г) Речь может идти, например, об ударной волне, возникающей при взрыве,
и рассматриваемой на больших расстояниях от источника.
2)	Поскольку фактически в газе всегда имеет место обычное поглощение
звука, связанное с теплопроводностью и вязкостью, то ввиду медленности
искажения сферической волны она может поглотиться прежде, чем успеют
образоваться разрывы.
3)	Эта постоянная не совпадает, вообще говоря, с п. Дело в том, что ар-
аргумент логарифма должен быть безразмерным и потому при г ^> п нельзя
просто пренебречь lnri в A02.11). Определение же коэффициента при г в
большом логарифме требует более точного учета первоначальной формы
профиля.
) Такой профиль — асимптотическая форма профиля любой периодиче-
периодической волны.

540
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. X
h
точки профиля с v = vt отсекает часть vth/vi от основания треугольника. В
течение же времени t эта точка выдвигается вперед на расстояние avtt. Усло-
Условие неизменности длины основания треугольника дает hvt/vi + atvt = /1,
откуда
vt = v\/(l + avit/h).
При t —> oo амплитуда волны затухает
как 1/t. Для энергии находим
Е = EqA + avit/h) ;
она затухает при t —> оо как t~2.
2. Определить интенсивность вто-
второй гармоники, возникающей в монохро-
монохроматической сферической волне благода-
благодаря искажению ее профиля.
Решение. Написав волну в виде rv = A cos(kr — ut), мы можем
учесть искажение в первом приближении, прибавив 8г к г в правой части
равенства и разлагая по степеням 8г. Это дает с помощью A02.11):
rv = A cos (кг — ut)	A2 In — sin [2(kr — ut)\
2c	n
(под п надо понимать здесь расстояние, на котором волну можно еще рас-
рассматривать с достаточной точностью как строго монохроматическую). Вто-
Второй член в этой формуле определяет вторую гармонику спектрального раз-
разложения волны. Ее полная (средняя по времени) интенсивность /2 равна
Рис. 85
а2к2
г
In —
где I\ = 2тгсрА2 есть интенсивность основной, первой, гармоники.
§ 103. Характеристики
Данное в § 82 определение характеристик как линий, вдоль
которых распространяются (в приближении геометрической аку-
акустики) малые возмущения, имеет общее значение, и не ограниче-
ограничено применением к плоскому стационарному сверхзвуковому те-
течению, о котором речь шла в § 82.
Для одномерного нестационарного движения можно ввести
характеристики как линии в плоскости xt, угловой коэффици-
коэффициент которых dx/dt равен скорости распространения малых воз-
возмущений относительно неподвижной системы координат. Воз-
Возмущения, распространяющиеся относительно газа со скоростью
звука в положительном или отрицательном направлении оси ж,
перемещаются относительно неподвижной системы со скоростью
v + с или v — с. Соответственно дифференциальные уравнения
двух семейств характеристик, которые мы будем условно назы-
называть характеристиками G+ и С_, гласят:
A1- =U + C'
dx\
— = v — с.
dtJ -
A03.1)
Возмущения же, переносящиеся вместе с веществом газа, «рас-
«распространяются» в плоскости xt по характеристикам третьего

§ юз
ХАРАКТЕРИСТИКИ
541
семейства Со, для которых
— = v.
dtJo
A03.2)
Это —просто «линии тока» в плоскости xt (ср. конец § 82) :) .
Подчеркнем, что для существования характеристик здесь от-
отнюдь не требуется, чтобы движение газа было сверхзвуковым.
Выражаемая характеристиками направленность распростране-
распространения возмущений соответствует здесь просто причинной связи
движения в последующие моменты времени с предыдущим дви-
движением.
В качестве примера рассмотрим характеристики простой вол-
волны. Для волны, распространяющейся в положительном направ-
направлении оси ж, имеем согласно A01.5): х = t(v + с) + f{v). Диффе-
Дифференцируя это соотношение, получаем
dx = (v + c)dt + dv[t + tc'(v) + f'(v)].
С другой стороны, вдоль характеристики С+ имеем dx =
= (v + c)dt\ сравнивая оба равенства, найдем, что вдоль характе-
характеристики dv\t + td{v) + f'(v)] = 0. Выражение в квадратных скоб-
скобках не может быть равно нулю тождественно. Поэтому должно
быть dv = 0, т. е. v = const. Таким образом, мы приходим к выво-
выводу, что вдоль каждой из характеристик С+ остается постоянной
скорость, а с нею и все остальные величины (в волне, распро-
распространяющейся влево, таким же свойством обладают характерис-
характеристики С-). Мы увидим в следующем параграфе, что это обстоя-
обстоятельство не случайно, а органически связано с математической
природой простых волн.
Из этого свойства характеристик
С+ простой волны можно в свою оче-
очередь заключить, что они представля-
представляют собой семейство прямых линий в
плоскости xt] скорость имеет посто-
постоянные значения вдоль прямых х =
= f[v + c(v)} + f(v) A01.5). В частно-
частности, в автомодельной волне разреже-
разрежения (простая волна с f(v) = 0) эти
прямые образуют пучок с общей точкой
пересечения — началом координат плоскости xt. Ввиду этого свой-
свойства автомодельную простую волну называют центрированной.
На рис. 86 изображено семейство характеристик С+ для про-
простой волны разрежения, образующейся при ускоренном выдви-
Поршень
Рис.
:) Точно такими же уравнениями A03.1), A03.2) определяются характери-
характеристики и для нестационарного сферически симметричного движения, причем
надо только заменить х на сферическую координату г (характеристики бу-
будут теперь линиями в плоскости rt).

542
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. X
Огибающая
Поршень
гании поршня из трубы. Это есть семейство расходящихся пря-
прямых, начинающихся на кривой х = X(t), изображающей дви-
движение поршня. Справа от характеристики х = c$t простирается
область покоящегося газа, в которой все характеристики парал-
параллельны друг другу.
На рис. 87 дан аналогичный чертеж для простой волны сжа-
сжатия, образующейся при ускоренном вдвигании поршня в трубу.
В этом случае характеристики представляют собой сходящийся
пучок прямых, которые в конце концов должны пересечься друг
с другом. Поскольку каждая характери-
характеристика несет свое постоянное значение v,
их пересечение друг с другом означа-
означает физически бессмысленную многознач-
многозначность функции г;(ж, t) .Это —геометриче-
—геометрическая интерпретация результата о невоз-
невозможности неограниченного существования
простой волны сжатия и неизбежности воз-
возникновения в ней ударной волны, к кото-
которому мы пришли уже аналогичным путем
в § 101. Геометрическое же истолкование
условий A01.12), определяющих время и
место образования ударной волны, заклю-
заключается в следующем. Пересекающееся се-
семейство прямолинейных характеристик имеет огибающую, за-
заканчивающуюся со стороны малых t угловой точкой, которая и
определяет первый момент возникновения многозначности. Ес-
Если уравнения характеристик заданы в параметрическом виде
х = x(v)j t = t(v), то положение угловой точки как раз и опреде-
определяется уравнениями A01.12) :) .
Покажем теперь коротко, каким образом данное нами физи-
физическое определение характеристик как линий распространения
возмущений соответствует известному из теории дифференци-
дифференциальных уравнений в частных производных чисто математиче-
математическому аспекту этого понятия. Рассмотрим уравнение в частных
производных вида
Рис. 87
dxdt
dt*
A03.3)
линейное по вторым производным (коэффициенты же А, В, С,
D могут быть любыми функциями как от независимых пере-
переменных ж, ?, так и от неизвестной функции (р и ее первых произ-
1) Вся область между двумя ветвями огибающей трижды покрыта харак-
характеристиками— в соответствии с трехзначностью величин, возникающей при
опрокидывании профиля волны.
Особому случаю, когда ударная волна возникает на границе с областью
покоя, соответствует вырождение одной из ветвей огибающей в отрезок ха-
характеристики х = cot.

§ 103	ХАРАКТЕРИСТИКИ	543
водных) :) . Уравнение A03.3) относится к эллиптическому типу,
если везде В2 — АС < 0, и к гиперболическому, если В2 — АС > 0.
В последнем случае уравнение
Adt2 - 2Bdxdt + Cdx2 = 0,	A03.4)
или
dx _ В ± у/В* - АС
л " с '
определяет в плоскости xt два семейства кривых — характери-
характеристик (для заданного решения <р(ж, у) уравнения A03.3)). Ука-
Укажем, что если коэффициенты А, В, С в уравнении являются
функциями только от ж, t, то характеристики не зависят от кон-
конкретного решения уравнения.
Пусть данное течение описывается некоторым решением (р =
= (р(х, t) уравнения A03.3), и наложим на него малое возмуще-
возмущение (fi. Это возмущение предполагаем удовлетворяющим услови-
условиям, соответствующим геометрической акустике: оно слабо меня-
меняет движение ((р± мало вместе со своими первыми производными),
но сильно меняется на протяжении малых расстояний (вторые
производные от cpi относительно велики). Полагая в уравнении
A03.3) (р = (fo + (pi, получим тогда для (fi уравнение
2	ddt	dt2	'
А	в	с
дх2	dxdt	dt2
причем в коэффициентах А, В, С положено (р = щ. Следуя
методу, принятому для перехода от волновой к геометрической
оптике, пишем ф\ в виде ф\ = ае^, где функция ф (эйконал) —
большая величина, и получаем для последней уравнение
А( д-±J + 2Вд-±д-± + С(^У = 0.	A03.6)
V дх)	дх dt	\dtJ	V	J
Уравнение распространения лучей в геометрической акусти-
акустике получается приравниванием dx/dt групповой скорости:
dx 	 duo
~db ~ ~dk'
где
, дф	дф
дх	dt
Дифференцируя соотношение
Ак2 - 2Вкио + Сио2 = 0,
) Для одномерного нестационарного движения уравнению такого вида
удовлетворяет потенциал скорости.

544	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
получим
dx 	 Вии — Ак
dt Си - Вк'
а исключая отсюда с помощью того же соотношения к/оо, мы
снова придем к уравнению A03.5).
Задача
Найти уравнение второго семейства характеристик в центрированной
простой волне в политропном газе.
Решение.В центрированной простой волне, распространяющейся в
сторону находящегося справа от нее неподвижного газа, имеем
х	.7 + 1
- = у + с = со Нv
t	2
Характеристики C+ изображаются пучком прямых х = const • t. Характери-
Характеристики же С- определяются уравнением
dx	3 — 7 х	4
— = v — с =	со.
dt	7 + 1 t 7 + 1
Интегрируя, находим
3-7
2 ^ , 7 + 1 , ft
х =	cot + J	coto —
7-1	7-I \?o
где постоянная интегрирования выбрана так, чтобы характеристика С- про-
проходила через точку х = coto, t = to на характеристике G+ (х = со?), гранич-
граничной между простой волной и областью покоя.
«Линии тока» в плоскости xt даются уравнением
dx	2 (х
откуда для характеристик Со'-
2
2 7+1 ft
х =	cot +	coto —
7-1	7-I V^o
§ 104. Инварианты Римана
Произвольное малое возмущение распространяется, вообще
говоря, по всем трем характеристикам (С+, С_, Со), исходящим
из данной точки плоскости xt. Можно, однако, разложить про-
произвольное возмущение на такие части, каждая из которых рас-
распространяется лишь по одной из характеристик.
Рассмотрим сначала изэнтропическое движение газа. Напи-
Напишем уравнение непрерывности и уравнение Эйлера в виде
др . др . 2 dv n
~? + г>я+Рс7Г = 0'
dt ох	ох
El+v^ + idp=0.
dt dx p дх

§ 104	ИНВАРИАНТЫ РИМАНА	545
в уравнении непрерывности мы заменили производные от плот-
плотности на производные от давления согласно
dp _ fdp\ dp _ 1 dp dp _ 1 dp
dt ~ \dp) s dt ~ c2 dt' dx~ c2 dx'
Разделив первое уравнение на =Ьрс и сложив его со вторым, по-
получим
dv ±dp /Л, J_ dp\ {v c) =	(	}
dt pcdt \dx pcdx)y }	v	7
Далее, введем в качестве новых неизвестных функций величины
A04.2)
,	f,
рС	J рС
называемые инвариантами Римана. Напомним, что при изэн-
тропическом движении рис являются определенными функция-
функциями от р, и потому стоящие здесь интегралы имеют определенный
смысл. Для политропного газа
J+ = v + -?— с, J_ = г; - -?— с.	A04.3)
7~1	j — 1
После введения этих величин уравнения движения приобре-
приобретают простой вид
]	[	]- = °- A044)
Дифференциальные операторы, действующие на J+ и J_, пред-
представляют собой не что иное, как операторы дифференцирования
в плоскости xt вдоль характеристик G+ и С—. Таким образом, мы
видим, что вдоль каждой из характеристик G+ и С— остается по-
постоянной соответственно величина J+ или J_. Мы можем также
сказать, что малые возмущения величины J+ распространяются
только вдоль характеристик G+, а возмущения J_ — вдоль С—.
В общем случае неизэнтропического движения уравнения
A04.1) не могут быть написаны в виде A04.4), так как dp/(pc) не
является полным дифференциалом. Эти уравнения, однако, по-
прежнему позволяют выделить возмущения, распространяющи-
распространяющиеся по характеристикам лишь одного семейства. Таковыми явля-
являются возмущения вида 6v ± Sp/(pc), где 6v и Jp — произвольные
малые возмущения скорости и давления. Распространение этих
возмущений описывается линеаризованными уравнениями
Полная система уравнений движения малых возмущений полу-
получается добавлением сюда еще и уравнения адиабатичности
a = 0>	A04-6)
18 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

546	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
показывающего, что возмущения 5 s распространяются вдоль ха-
характеристик Со. Произвольное малое возмущение всегда можно
разложить на независимые части указанных трех видов.
Сравнение с формулой A01.4) показывает, что инварианты
Римана A04.2) совпадают с теми величинами, которые в про-
простых волнах постоянны вдоль всей области движения в течение
всего времени: в простой волне, распространяющейся вправо, по-
постоянно J_, а в волне, бегущей влево, постоянно J+. С математи-
математической точки зрения это есть основное свойство простых волн. Из
него следует, в частности, и указанное в предыдущем параграфе
свойство — прямолинейность одного из семейств характеристик.
Пусть, например, волна распространяется вправо. Каждая из ха-
характеристик С+ несет свое постоянное значение J+ и, кроме того,
на ней постоянна являющаяся постоянной во всей области вели-
величина J-. Но из постоянства двух величин J+ и J_ следует, что
постоянны также и v и р (а с ними и все остальные величины), и
мы приходим к найденному в § 103 свойству характеристик С7+,
непосредственно ведущему к их прямолинейности.
Если в двух смежных областях плоскости xt течение описы-
описывается двумя аналитически различными решениями уравнений
движения, то граница между этими областями есть характери-
характеристика. Действительно, эта граница представляет собой разрыв
производных каких-либо величин, т. е. некоторый слабый раз-
разрыв; последние же непременно совпадают с какой-либо характе-
характеристикой.
Весьма существенное значение в теории изэнтропического од-
одномерного движения имеет следующее свойство простых волн:
течение в области, граничащей с областью постоянного течения
(течения с v = const, р = const), есть непременно простая волна.
и	Доказательство этого утверждения очень
х_^волнаN	просто. Пусть интересующая нас область 1
/с+ плоскости xt граничит справа с областью 2
постоянного течения (рис. 88). В послед-
последней, очевидно, постоянны оба инварианта J+
и J_, а оба семейства характеристик прямо-
прямолинейны. Граница между обеими областя-
ос течение ми есть одна из характеристик С+, и ли-
Ри 88	нии С+ одной области не переходят в другую
область. Характеристики же С- непрерывно
продолжаются из одной области в другую и, покрывая область i,
приносят в нее из области 2 постоянное значение J_. Таким об-
образом, величина J_ будет постоянна и вдоль всей области i, так
что последняя есть простая волна.
Свойство характеристик переносить вдоль себя постоянные
значения определенных величин проливает свет на общую по-
постановку вопроса о задании начальных и граничных условий к

§ 104	ИНВАРИАНТЫ РИМАНА	547
уравнениям гидродинамики. В различных конкретных физиче-
физических задачах выбор этих условий обычно не вызывает сомне-
сомнений и диктуется непосредственно физическими соображениями.
В более сложных случаях могут, однако, оказаться полезными и
чисто математические соображения, основанные на общих свой-
свойствах характеристик.
Будем для определенности говорить об изэнтропическом од-
одномерном движении газа. С чисто математической точки зрения
постановка газодинамической задачи сводится обычно к опре-
определению двух искомых функций (например, v и р) в области
плоскости xt, лежащей между двумя заданными кривыми (ОА
и ОВ на рис. 89 а), на которых задаются граничные значения.
Вопрос заключается в том, зна-
значения скольких величин долж- \ 1вел. У \веЛ' 1в^" 2гвел' 2вел-
ны быть заданы на этих кривых.
В этом смысле существенно, как
расположена каждая кривая по
отношению к направлениям ис-
исходящих :) из каждой ее точки
двух ветвей характеристик С+
и С- (показанным на рис. 89
стрелками). Могут представиться два случая: либо оба направле-
направления характеристик лежат по одну сторону от кривой, либо кри-
кривая расположена между ними. На рис. 89 а кривая О А относит-
относится к первому, а О В — ко второму случаю. Ясно, что для полного
определения искомых функций в области АОВ на кривой О А
должны быть заданы значения двух величин (например, обоих
инвариантов J+ и J-), а на кривой О В — всего одной. Действи-
Действительно, значения второй величины будут перенесены на кривую
ОВ с кривой О А характеристиками соответствующего семейства
и потому не могут быть заданы произвольным образом 2) . Ана-
Аналогично, на рис. 89 5, в изображены случаи, когда на обеих гра-
граничных кривых должны быть заданы по одной или по две вели-
величины.
Следует также указать, что если граничная кривая совпада-
совпадает с какой-либо характеристикой, то на ней вообще невозмож-
невозможно произвольное задание двух независимых величин, так как их
Х)В плоскости xt «исходящими» из заданной точки ветвями характери-
характеристик являются ветви, направленные в сторону возрастания t.
2)Для иллюстрации укажем пример такого случая: задача о движении
газа при вдвигании или выдвигании поршня из бесконечной трубы. Здесь
речь идет о нахождении решения газодинамических уравнений в области
плоскости xt между двумя линиями: правой полуосью х и линией х = X(t),
изображающей движение поршня (см. рисунки 86, 87). На первой линии за-
задаются значения двух величин (начальные условия v = 0, р = ро при t = 0),
а на второй — всего одной величины (v = и, где u(t) —скорость поршня).
18*

548	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
значения связаны друг с другом одним условием — условием по-
постоянства соответствующего инварианта Римана.
Аналогичным образом может быть разобран вопрос о зада-
задании граничных условий в общем случае неизэнтропического дви-
движения.
Выше мы говорили везде о характеристиках одномерного дви-
движения как о линиях в плоскости xt. Характеристики могут, од-
однако, быть определены и в плоскости любых других двух пе-
переменных, описывающих движение. Можно, например, рассма-
рассматривать характеристики в плоскости переменных vc. Для изэн-
тропического движения уравнения этих характеристик даются
просто равенствами J+ = const, J_ =
= const с произвольными постоянны-
постоянными в их правых частях (будем называть
их условно характеристиками Г+ и Г_).
Так, для политропного газа это есть со-
согласно A04.3) два семейства параллель-
параллельных прямых (рис. 90).
Рис qq	Замечательно, что эти характерис-
характеристики всецело определяются свойствами
движущейся среды (газа) как таковой и не зависят от конкретно-
конкретного решения уравнений движения. Это связано с тем, что уравне-
уравнение изэнтропического движения в переменных г>, с есть (как мы
увидим в следующем параграфе) линейное уравнение в частных
производных второго порядка с коэффициентами, зависящими
только от независимых переменных.
Характеристики в плоскостях xt и vc являются отображе-
отображениями друг друга с помощью заданного решения уравнений дви-
движения. Это отображение, однако, отнюдь не должно быть вза-
взаимно однозначным. В частности, заданной простой волне соот-
соответствует всего одна характеристика в плоскости vc, на которую
отображаются все характеристики плоскости xt. Так, для вол-
волны, бегущей вправо, это есть одна из характеристик Г_; характе-
характеристики С- отображаются на всю линию Г_, а характеристики
С+ — на отдельные ее точки.
§ 105. Произвольное одномерное движение
сжимаемого газа
Рассмотрим теперь общую задачу о произвольном одномер-
одномерном изэнтропическом движении сжимаемого газа (без ударных
волн) и покажем прежде всего, что эта задача может быть сведе-
сведена к решению некоторого линейного дифференциального урав-
уравнения.
Всякое одномерное движение (движение, зависящее всего от
одной пространственной координаты) непременно потенциально,

§ 105	ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ	549
так как всякую функцию г;(ж, t) можно представить в виде про-
производной v(x, t) = dip(x, t)/dx. Поэтому мы можем воспользо-
воспользоваться в качестве первого интеграла уравнения Эйлера уравне-
уравнением Бернулли (9.3):
— + — + w = 0.
dt 2
С помощью этого равенства получаем для дифференциала dip:
dip = — dx + — dt = v dx — ( — + w) dt.
^ dx	dt	V 2 У
Независимыми переменными являются здесь х и t\ произведем
теперь переход к новым независимым переменным, выбрав в ка-
качестве таковых v и w. Для этого производим преобразование Ле-
жандра; написав
dip = d(xv) — xdv — dltlw + — )\ +td[w + — )
I \	2 / J	V	2 /
и введя вместо потенциала ip новую вспомогательную функцию
X = <Р — xv -\- tlw -\- — К
получаем
dx = —xdv + td(w + — j = tdw + (vt — x) dv,
где x рассматривается как функция от v и w. Сравнив это соот-
соотношение с равенством dx = — dw + — dv, имеем
dw	dv
dw	dv
или
dw	dw dv
Если функция x{v-> w) известна, то по этим формулам опреде-
определится зависимость v и w от координаты х и времени t.
Выведем теперь уравнение, определяющее %. Для этого ис-
исходим из неиспользованного еще уравнения непрерывности
др , д ( ч dp , dp , dv n
dt dx	dt dx dx
Преобразуем это уравнение к переменным v,w. Написав частные
производные в виде якобианов, имеем
д(р, х) ^ d(t, p) d(t, v) _ q
d(t ) h
d(t, x) d(t, x) h d(t, x)

550	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
или, умножая на d(t, x)/d(w, v):
д(р, х) + v d(t, p) + p d(t, v) = Q
d(w, v) d(w, v) d(w, v)
При раскрытии этих якобианов надо иметь в виду следующее.
Согласно уравнению состояния газа плотность р есть функция
каких-либо двух других независимых термодинамических вели-
величин; например, можно рассматривать р как функцию от w и s.
При s = const тогда будет просто р = p(w); существенно при
этом, что в переменных г>, w плотность оказывается не завися-
зависящей от v. Раскрывая якобианы, получаем поэтому
dp дх dp dt . dt n
— — —v — — + p— = 0.
dw dv dw dv dw
Подставляя сюда для t и х выражения A05.1), получаем после
сокращений:
(	) +	=0
pdw\dw dv2) dw2
При s = const имеем dw = dp/p. Поэтому можно написать
dp _ dp dp _ p
dw dp dw c2
Окончательно получаем для х следующее уравнение:
(скорость звука с надо рассматривать здесь как функцию от
w). Задача об интегрировании нелинейных уравнений движения
приведена, таким образом, к решению линейного уравнения.
Применим полученное уравнение к политропному газу. Здесь
с2 = G — 1)^, и основное уравнение A05.2) принимает вид
f!f f.	A05.3)
Это уравнение может быть проинтегрировано в общем виде эле-
ментарным образом, если число	 является целым четным
7-1
числом:
i^ = 2n, 7 = ir^J, n = 0,l,2,...	A05.4)
7 — 1	2n + 1
Этому условию как раз удовлетворяют одноатомный G = 5/3,
п = 1) и двухатомный G = 7/5, п = 2) газы. Вводя п вместо 7,
переписываем A05.3) в виде
^^9! 9.	A05.5)
w	+
2n + l dw2 dv2 dw

§ 105	ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ	551
Будем обозначать функцию, удовлетворяющую этому урав-
уравнению при заданном п, посредством Хп- Для функции хо имеем
Введя вместо w переменную и = y/2w , получаем
q
ди2 dv2
Но это есть обычное волновое уравнение, общее решение кото-
которого есть: хо — fi(u + v) + /2^ — г;), где /i, /2 — произвольные
функции. Таким образом,
- v).	A05.6)
Покажем теперь, что если известна функция Хп-> т0 функцию
Xn+i мож:но получить простым дифференцированием. В самом
деле, дифференцируя уравнение A05.5) по w, получаем после
перегруппировки членов:
2 w °2 (дХп) + 2п + 3 д (°Хп\ _ д^(дХп) = 0
2п + 1 dw2 \dw ) 2n + 1 dw \ dw ) dv2\dw)
Если ввести вместо v переменную
/	/2п
V = V\
V 2п + 1
то получим для dxn/dw уравнение
2	2
w () +()	(
2(п + 1) + 1 а^2 V dw ) dwKdwJ dv'2 V dw
д (дХп) +±@Хп) _ ^(дХп) = 0
а2 V d ) dKdJ d'2 V d J '
совпадающее с уравнением A05.5) для функции Xn+ii^-, vf). Та-
Таким образом, мы приходим к результату, что
, v = —Хп(щ V) = — Хп(^, \ ——-v )• 105.7
aw;	aw \ pn + 3 /
Применяя эту формулу п раз к функции хо A05.6), получаем
искомое общее решение уравнения A05.5):
или
>)+/2
х =
n + 1)«; - v)]
где Fij F2 — снова две произвольные функции.

552	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
Если ввести вместо w скорость звука согласно
с2 2п + 1 2
w =	=	с ,
7-1	2
то решение A05.8) примет вид
[( У(^) (Ш5.9)
/ 1с \ 2га+ 1/ с \ 2n + l/J
Выражения
= с ±	v.
2
с ±
2п + 1
стоящие в качестве аргумента в произвольных функциях, пред-
представляют собой не что иное, как инварианты Римана A04.3), по-
постоянные на характеристиках.
В применениях часто возникает необходимость в вычислении
значений функции x{v-> c) на характеристике. Для этой цели слу-
служит следующая формула х) :
А)""' \Ыс
cdcJ Ic \
\cdcJ Ic \
при
2п
= с + a
(а — произвольная постоянная).
Выясним теперь, в каком взаимоотношении с найденным
здесь общим решением газодинамических уравнений находится
решение, описывающее простую волну. Последнее отличается
тем свойством, что в нем v nw являются определенной функцией
1) Проще всего эту формулу можно вывести с помощью теории функ-
функций комплексного переменного, используя теорему Коши. Для произвольной
функции F(c + и) имеем
д
с	2тгг
где интеграл берется в плоскости комплексного переменного z по контуру,
охватывающему точку z = с . Положив теперь и = с + а и произведя в
интеграле подстановку y/z = 2? — с, получим
1 (п-1)! Г FBC
2тгг
где теперь контур интегрирования по ?, охватывает точку С = С5 снова при-
применяя теорему Коши, находим, что этот интеграл совпадает с написанным
в тексте выражением.

§ 105	ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ	553
друг от друга, v = v(w), и поэтому обращается тождественно в
нуль якобиан
д _ d(v, w)
д[х, t) '
Между тем при преобразовании к переменным г>, w нам при-
пришлось разделить уравнение движения на этот якобиан, в резуль-
результате чего решение, для которого А = 0, оказалось потерянным.
Таким образом, простая волна не содержится непосредствен-
непосредственно в общем интеграле уравнений движения, а является их особым
интегралом.
Для понимания природы этого особого интеграла существен-
существенно, однако, что он может быть получен из общего интеграла
путем своеобразного предельного перехода, тесно связанного с
физическим смыслом характеристик как линий распространения
малых возмущений. Представим себе, что область плоскости vw,
в которой функция x{v-> w) отлична от нуля, стягивается к очень
узкой в (пределе — к бесконечно узкой) полосе вдоль одной из ха-
характеристик. Производные от х в поперечных к характеристике
направлениях пробегают при этом значения в очень широком
(в пределе — бесконечном) интервале, поскольку \ очень быстро
убывает в этих направлениях. Такого рода решения %(г;, w) урав-
уравнений движения заведомо должны существовать. Действительно,
рассматриваемые как «возмущение» в плоскости vw они удовле-
удовлетворяют условиям геометрической акустики и, как должно быть
для таких возмущений, расположены вдоль характеристики.
Из сказанного ясно, что при такой функции х время t =
= dx/dw будет пробегать сколь угодно большой интервал значе-
значений. Производная же от х вдоль характеристики будет некото-
некоторой конечной величиной. Но вдоль характеристики (например,
одной из характеристик Г_) имеем
dJ- _ 1 1 dp dw _ -, 1 dw _ p
dv	pc dw dv	с dv
Поэтому производная от ^ по и вдоль характеристики (обозна-
(обозначим ее как —f(v)) есть
dx = Ox + dx_dw_ = Ох + сдх = _/(^).
dv dv dw dv dv dw
Выражая частные производные от х через х и t согласно A05.1),
получим отсюда соотношение х = (v + c)t + f(v), т. е. как раз
уравнение A01.5) простой волны. Соотношение же A01.4), уста-
устанавливающее связь между г> и с в простой волне, автоматически
выполняется в силу постоянства J_ вдоль характеристики Г_.
В § 104 было показано, что если в некоторой части плоско-
плоскости xt решение уравнений движения сводится к постоянному те-

554	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
чению, то в граничащих с нею областях должна иметься про-
простая волна. Поэтому движение, описывающееся общим решени-
решением A05.8), может следовать за постоянным движением (в част-
частности, за областью покоя), лишь через промежуточную стадию
простой волны. Граница между простой волной и общим реше-
решением, как и всякая граница между областями двух аналитически
различных решений, есть характеристика. При решении различ-
различных конкретных задач возникает необходимость в определении
значения функции x(wi v) на этой граничной характеристике.
Условие сшивания простой волны с общим решением на гра-
граничной характеристике получается подстановкой выражений
A05.1) для х и t в уравнение простой волны х = (г; ± c)t + f(v)]
это дает
§* ± |х+/(„) = 0.
OV	OW
Кроме того, в простой волне (и на граничной характеристике)
имеем
7	| dp | dw
dv = ±— = ± —,
рс	с
или ±с = dw/' dv. Подставив это в написанное условие, получим
? + ?^ + /(«) = ? + /(«) = о,
ov ow dv	dv
откуда окончательно
f(v)dv,	A05.11)
чем и определяется искомое граничное значение %. В частно-
частности, если простая волна центрирована в начале координат, т. е.
f{v) = 0, то х — const; поскольку функция \ вообще определена
лишь с точностью до аддитивной постоянной, то в этом случае
можно, не уменьшая общности, положить на граничной харак-
характеристике х — 0-
Задачи
1. Определить движение, возникающее при отражении центрированной
волны разрежения от твердой стенки.
Решение. Пусть волна разрежения возникает в момент t = 0 в
точке х = 0 и распространяется в положительном направлении оси х\ она
дойдет до стенки через промежуток времени t = //со, где / — расстояние до
стенки. На рис. 91 изображена диаграмма характеристик для процесса от-
отражения волны. В областях 1 л 1 газ неподвижен, в области 3 движется с
постоянной скоростью v = — U 1). Область 2 есть падающая волна разреже-
разрежения (с прямолинейными характеристиками С+), а 5 — отраженная волна (с
прямолинейными характеристиками С-). Область 4 есть «область взаимо-
взаимодействия», в которой должно быть найдено решение; попадая в эту область,
) Если волна разрежения возникает от поршня, который начинает выдви-
выдвигаться из трубы с постоянной скоростью, то U есть скорость поршня.

§ 105
ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
555
прямолинейные характеристики искривляются. Это решение вполне опре-
определяется граничными условиями на отрезках аЪ и ас. На аЪ (т. е. на стен-
стенке) должно быть v = 0 при х = /; ввиду A05.1) имеем отсюда условие
^2L = -i при
dv
= о.
Граница же ас с волной разрежения есть отрезок
характеристики С-; поэтому на нем
7-1
с	v = с —
= const,
2	2п
а поскольку в точке а имеем v = 0, с = со, то const =
= со- На этой границе должно быть X = 0, так что
имеем условие
О
X = 0 при с —
2п
= с0.
Рис. 91
Легко убедиться в том, что функция вида A05.9), удовлетворяющая этим
условиям, есть
2пп\ \сдс/
чем и определяется искомое решение.
Уравнение характеристики ас есть (см. задачу § 103)
2п + 1
х = -Bп + l)cot + 2(n + !)/( —
Ее пересечение с характеристикой Ос
х
- = со -
t
= со
2	2п + 1
определяет момент исчезновения падающей волны:
[Bп + 1)с0 - UY+1
На рис. 91 предполагается, что U < 2со/G + 1M в противном случае ха-
характеристика Ос направлена в сторону отрицательных х (рис. 92). Процесс
Рис. 92
взаимодействия падающей и отраженной волн длится при этом бесконечное
(а не конечное, как на рис. 91) время.
Функция A) описывает также и взаимодействие двух одинаковых цен-
центрированных волн разрежения, вышедших в момент времени t = 0 из точек

556	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
ж = 0иж = 2/и распространяющихся навстречу друг другу, как это оче-
очевидно из соображений симметрии (рис. 93).
2. Вывести уравнение, аналогичное уравнению A05.3), для одномерного
изотермического движения идеального газа.
Решение. Для изотермического движения в уравнении Бернулли
вместо тепловой функции w стоит величина
р =
¦ р J P
где с^ = (др/др)т — квадрат изотермической скорости звука; у идеального
газа в изотермическом случае ст = const. Выбрав эту величину (вместо
w) в качестве независимой переменной, получим тем же способом, что и
в тексте, для функции \ следующее линейное уравнение с постоянными
коэффициентами:
dp2 dp dv2
§ 106. Задача о сильном взрыве
Рассмотрим распространение сферической ударной волны
большой мощности, возникшей в результате сильного взрыва,
т. е. мгновенного выделения в некотором небольшом объеме боль-
большого количества энергии (которую обозначим буквой Е)\ газ, в
котором волна распространяется, будем считать политропным х) .
Мы будем рассматривать волну на расстояниях, не слишком
далеких от источника, в той области, где волна обладает еще
большой интенсивностью. В то же время эти расстояния пред-
предполагаются большими по сравнению с размерами источника: это
дает возможность считать, что выделение энергии Е произошло
в одной точке (в начале координат).
Большая интенсивность ударной волны означает, что скачок
давления в ней очень велик. Мы будем считать, что давление р2
позади разрыва настолько велико по сравнению с давлением р\
невозмущенного газа впереди него, что
El > 7 + 1
Pi 7 - 1'
Это дает возможность везде пренебрегать р\ по сравнению с р2,
причем отношение плотностей P2I pi будет равно своему предель-
предельному значению G + 1)/(т ~~ 1) (см- § 89).
Таким образом, вся картина движения газа будет определять-
определяться всего двумя параметрами: начальной плотностью газа р\ и вы-
:) Излагаемое ниже решение этой задачи получено независимо Л. И. Седо-
Седовым A946) и Нейманом (J. von Neumann, 1947). С меньшей полнотой (без
построения аналитического решения уравнений) задача была рассмотрена
Тейлором (G.I. Taylor, 1941, опубликовано в 1950).

§ 106	ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ	557
деляющейся при взрыве энергией Е. Из этих параметров и двух
независимых переменных — времени t и координаты (расстояния
от центра) г — можно составить всего одну независимую безраз-
безразмерную комбинацию, которую мы напишем в виде
В результате все движение будет обладать определенной авто-
мод ельностью .
Прежде всего можно утверждать, что положение самой удар-
ударной волны в каждый момент времени должно соответствовать
определенному постоянному значению указанной безразмерной
комбинации. Тем самым сразу определяется закон перемещения
ударной волны со временем; обозначив расстояние волны от цен-
центра буквой i?, имеем
^2х 1/5
pi '
где /3 — числовая постоянная (зависящая от 7) ? которая сама
определится в результате решения уравнений движения. Ско-
Скорость распространения ударной волны (скорость относительно
невозмущенного газа, т. е. относительно неподвижной системы
координат):
dR 2R 2/ЗЕ1/5	ппао\
ил = — = — = —1 ,, Q/к.	(lUo.z)
А+	^\+	с 1/5,о/о	v	'
111	OL	Э/З1 t
Таким образом, в рассматриваемой задаче закон движения удар-
ударной волны определяется (с точностью до постоянного множите-
множителя) уже из простых соображений размерности.
Давление ]92, плотность р2 и скорость V2 = U2 — щ газа (отно-
(относительно неподвижной системы координат) на «задней» стороне
разрыва могут быть выражены через щ по полученным в § 89
формулам. Согласно (89.10), (89.11) имеем :)
v2 = —— иъ /92 = pi1^-, P2 = ——pint.	A06.3)
7 + 1	7 ~ 1	7 + 1
Плотность остается постоянной во времени, a V2 и р2 убывают
соответственно как ?~3/5 и t~6/5. Отметим также, что создава-
создаваемое ударной волной давление р2 растет с увеличением полной
энергии взрыва как
Перейдем, далее, к определению движения газа во всей обла-
области за ударной волной. Введем вместо скорости г>, плотности р
) Определяемые формулами (89.11) скорости ударной волны относитель-
относительно газа мы обозначаем здесь как и\ и U2.

558	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
газа и квадрата с2 = jp/p скорости звука в нем (который заме-
заменит собой переменную р — давление) безразмерные переменные
V, G, Z, определив их следующими соотношениями :) :
V = —V. О = рлЬг, С = 	Z.	(ЮО.4)
Ы	"г"9
Величины V, Gr, Z могут быть функциями только одной без-
безразмерной независимой «автомодельной» переменной, которую
определим как
В соответствии с A06.3), на поверхности разрыва (т. е. при ? = 1)
они должны принимать значения
№*)	A06.6)
G(l)	|, Z(l)	.
7 + 1	7-1	G + 1J
Уравнения центрально-симметричного адиабатического движе-
движения газа гласят:
dv+ydv = _1др dp | d(pv) | 2pv _ Q^
^t <9r	pdr dt dr	r	'	A06 7^
dt дг) р^
Последнее уравнение есть уравнение сохранения энтропии, в ко-
которое подставлено выражение (83.12) для энтропии политроп-
ного газа. После подстановки выражений A06.4) получается си-
система уравнений в полных производных для функций V, G, Z.
Интегрирование этой системы облегчается тем, что один из ее
интегралов может быть написан непосредственно из следующих
соображений.
Тот факт, что мы пренебрегаем давлением р\ невозмущенного
газа, означает, другими словами, что мы пренебрегаем первона-
первоначальной энергией газа по сравнению с энергией Е, приобретае-
приобретаемой им в результате взрыва. Поэтому ясно, что полная энергия
газа внутри ограниченной ударной волной сферы постоянна (и
равна Е). Более того, ввиду автомодельности движения очевид-
очевидно, что должна оставаться неизменной энергия газа и внутри
любой сферы меньшего радиуса, расширяющейся со временем
по закону ? = const с любым (а не только равным 1) значени-
значением const; радиальная скорость перемещения точек этой сферы
равна vn = 2г/(Ы) (ср. A06.2)).
) Не смешивать обозначение V в этом и следующем параграфах с обозна-
обозначением удельного объема в других местах!

§ 106	ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ	559
Легко написать уравнение, выражающее это постоянство
энергии. С одной стороны, в течение времени dt через поверх-
поверхность сферы (площади 4тгг2) уходит энергия
dt • 4:тгг2ру ( w + — ).
V 2 /
С другой стороны, за это же время объем сферы увеличивается
на элемент dt • 4тгг2/г;п, внутри которого заключен газ с энергией
— V
Приравняв эти два выражения друг другу, подставив е и w из
(83.10), (83.11) и введя безразмерные функции согласно A06.4),
получим соотношение
(DAV)V2	A06<8)
1) '	V	J
которое и является искомым интегралом системы уравнений, ав-
автоматически удовлетворящим граничным условиям A06.6).
После установления интеграла A06.8) интегрирование систе-
системы уравнений элементарно, хотя и громоздко. Второе и третье
из уравнений A06.7) дают
dV A
— G — 1)
w 7
Из этих двух уравнений с помощью соотношения A06.8) выра-
выражаем производные dV/dln^ и dlnG/dV в виде функций только
от V, после чего интегрирование с учетом граничных условий
A06.6) приводит к следующим результатам:
-2
x [^A-F)]'6, A06.10)
- 1372 -77 + 12 „. _ 5G-1) __ 3
2-7' ^ 2-7

560
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. X
Формулы A06.8), A06.10) дают полное решение поставлен-
поставленной задачи. Постоянная /3, входящая в определение независимой
переменной ?, определяется условием
R
E= f p[v-
7G-1)'
• 4тгг2
выражающим равенство полной энергии газа энергии взрыва Е.
После введения безразмерных величин это условие принимает
вид
25 И J I 2
7G-1)-
Так, для воздуха G = 7/5) оказывается /3 = 1,033.
Из формул A06.10) легко видеть, что при
A06.11)
0 функ-
функ0,5
ция V стремится к постоянному пределу, а функция G — к нулю
по законам
1 0|	1	1	Iе)/	^ /
7
Отсюда следует, что отношения v/v2 и р/р2
как функции отношения r/R = ? стремятся
при ^чОк нулю по законам
г>/г>2 ос r/R, p/p2 ос (r/i?K^7);
A06.12)
отношение же давлений рД?2 стремится к
Рис. 94	постоянному пределу, а отношение темпе-
температур— соответственно к бесконечности :) .
На рис. 94 изображены графически величины v/v2l p/p2 и
р/р2 как функции r/R для воздуха G = 1,4). Обращает на се-
себя внимание очень быстрое убывание плотности по направлению
внутрь сферы: почти все вещество сконцентрировано в сравни-
сравнительно узком слое позади фронта ударной волны. Это обстоя-
Р/Р2 у
9/92/
0,5
r/R
1,0
:) Эти утверждения относятся к значениям j < 7 (при этом функция V(?)
меняется от значения V(l) = 2/G + 1) до V@) = 1/7)- Для реальных газов,
термодинамические функции которых можно было бы аппроксимировать
формулами для политропного газа, это неравенство заведомо выполняется
(фактически верхним пределом 7 является в этом смысле значение 5/3, от-
отвечающее одноатомному газу). Укажем, однако, для формальной полноты,
что при 7 > 7 функция V(?) меняется от значения 2/G + 1) при ? = 1
до предельного значения 1, достигаемого при определенном (зависящем от
7) значении ? = ?о < 1; в этой точке функция G обращается в нуль, т. е.
возникает расширяющаяся сферическая область пустоты.

§ 107	СХОДЯЩАЯСЯ СФЕРИЧЕСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА	561
тельство является естественным следствием того, что по поверх-
поверхности наибольшего, равного i?, радиуса должно быть распреде-
распределено вещество с шестикратной по сравнению с нормальной плот-
§ 107. Сходящаяся сферическая ударная волна
Рядом поучительных особенностей обладает задача о сходя-
сходящейся к центру ударной волне большой интенсивности 2) . Вопрос
о конкретном механизме возникновения такой волны нас не будет
интересовать; достаточно представлять себе, что волна создана
каким-то «сферическим поршнем», сообщающим газу начальный
толчок; по мере схождения к центру волна усиливается.
Мы будем рассматривать движение газа на той стадии процес-
процесса, когда радиус R сферической поверхности разрыва уже мал по
сравнению с ее начальным радиусом — радиусом «поршня» Rq.
На этой стадии характер движения в значительной степени (ни-
(ниже будет видно —какой) не зависит от конкретных начальных
условий. Ударную волну будем считать уже настолько сильной,
что давлением р\ газа перед ней можно (как и в предыдущем па-
параграфе) пренебречь по сравнению с давлением р2 позади нее.
Что касается полной энергии газа, заключенной в рассматри-
рассматриваемой (переменной!) области г ~ R <С i?o, то она отнюдь не
постоянна (как будет видно ниже — убывает со временем).
Пространственный масштаб рассматриваемого движения мо-
может определяться лишь самим, меняющимся со временем, ра-
радиусом ударной волны i?(?), а масштаб скорости — производной
dR/dt. В этих условиях естественно предположить, что движе-
движение будет автомодельным, с независимой «автомодельной пере-
переменной» ? = г/R(t). Однако зависимость R(t) нельзя определить
из одних только соображений размерности.
Примем момент фокусировки ударной волны (т. е. момент,
когда R обращается в нуль) в качестве t = 0. Тогда времени до
фокусировки отвечают значения t < 0. Будем искать функцию
R(t) в виде
R(t) = A(-t)a	A07.1)
с неизвестным заранее показателем автомоделъности а. Ока-
Оказывается, что этот показатель определяется условием существо-
*) Результаты вычислений для других значений j, а также аналогичное
решение задачи о сильном взрыве в случае цилиндрической симметрии при-
приведены Л.И. Седовым в кн.: «Методы подобия и размерности в механике»,
изд. 9. —М.: Наука, 1981, гл. IV, § 11.
2) Эта задача была рассмотрена независимо Гудерлеем (G. Guderley, 1942)
и Л.Д. Ландау и К.П. Станюковичем A944, опубликовано в 1955).

562	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
вания самого решения уравнений движения (в области г <С До)
с надлежащими граничными условиями. Тем самым определя-
определяется и размерность постоянного параметра А. Величина же это-
этого параметра остается неопределенной и может быть, в принци-
принципе, найдена лишь путем решения задачи о движении газа в це-
целом, т. е. путем сшивки автомодельного решения с решением на
расстояниях г ~ До, зависящим от конкретных начальных усло-
условий. Именно через этот параметр, и только через него, зависит
движение при Д <С Rq от способа начального создания ударной
волны.
Покажем, как осуществляется решение поставленной таким
образом задачи.
Подобно тому, как это было сделано в § 106, введем безраз-
безразмерные неизвестные функции согласно определениям
" = fm P = PiG(Z), c2 = ^Z(O,	(Ю7.2)
где
? = — = —-—	A07.3)
Ц R(t) A(-t)<*	V	У
(при а = 2/5 определения A07.2) совпадают с A06.4)). Напом-
Напомним, что v — радиальная скорость газа относительно неподвиж-
неподвижной системы координат, связанной с неподвижным газом внутри
сферы г = Rq] газ движется вместе с ударной волной по направ-
направлению к центру, чему отвечает v < 0 (так что V(?) > 0).
Фактически искомое решение уравнений движения относит-
относится лишь к области г ~ R позади ударной волны, и к достаточно
малым временам t (при которых R <С До)- Но формально по-
получаемое решение охватывает все пространство г ^ R — от по-
поверхности разрыва до бесконечности, и все времена t ^ 0; при
этом переменная ? пробегает все значения от 1 до оо. Соответ-
Соответственно, граничные условия для функций G, V, Z должны быть
поставлены при ? = 1 и ? = оо.
Значение ? = 1 отвечает поверхности ударной волны; гранич-
граничные условия на ней совпадают с A06.6).
Для установления условий на бесконечности (по ?) замеча-
замечаем, что при t = 0 (в момент фокусировки волны) все вели-
величины v, р, с2 на всех конечных расстояниях от центра дол-
должны оставаться конечными. Но при t = 0, г ф 0 переменная
? = оо.
Для того чтобы функции г; (г, t) и с2 (г, t) при этом оставались
конечными, функции V(?) и Z(?) должны обращаться в нуль,
У(оо) = 0, Z(oo) = 0.	A07.4)

§ 107	СХОДЯЩАЯСЯ СФЕРИЧЕСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА	563
После подстановки A07.2), A07.3), система уравнений A06.7)
принимает вид
dint; 7 dln( j dint; 7
- Х-^- =2-Z- Vi1- - v),
j dint; 7	\a	)
,	A07.5)
dZ
(последние два уравнения — ср. с A06.9)). Отметим, что незави-
независимая переменная ? входит в эти уравнения только в виде диф-
дифференциала dint;] постоянная In А при этом выпадает из урав-
уравнений вовсе и, следовательно, остается неопределенной — в соот-
соответствии со сказанным выше.
Коэффициенты при производных в уравнениях A07.5) и их
правые части содержат только V и Z (но не G) г) . Решив эти
уравнения относительно производных, мы выразим последние
через эти две функции. Таким образом, получим уравнения
A076)
dV	CV -
(I V)	W
y } d^	z-(i-vy
(где ус = 2A — a)/(aj)). В качестве же третьего напишем уравне-
уравнение, получающееся делением производной dZ/dln^ на
оно гласит:
dZ_ = Z f [Z-(l-
\
_ =	f	+„_
dV l-v\CV->c)Z-V(l-V)(l/a-V)
Если найдено нужное решение уравнения A07.8), т. е. функцио-
функциональная зависимость Z(V), то после этого решение уравнений
A07.6), A07. 7) (нахождение зависимости ?(V) и затем G(?)) сво-
сводится к квадратурам.
Таким образом, вся задача сводится прежде всего к реше-
решению уравнения A07.8). Интегральная кривая на плоскости VZ
должна выходить из точки (назовем ее точкой У) с координата-
координатами 1^A), Z(l) — «образа» ударной волны на плоскости VZ. Ука-
Указанием этой точки уже определяется решение уравнения A07.8)
(при заданном а): интегральная кривая уравнения первого по-
порядка однозначно определяется заданием одной (не особой) ее
) Именно в этом состоит преимущество введения в качестве основных пе-
переменных v, р, с2 вместо v, р, р.

564	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
точки. Выясним условие, позволяющее установить значение а,
приводящее к «правильной» интегральной кривой.
Это условие возникает из очевидного физического требова-
требования: зависимости всех величин от ? должны быть однозначны-
однозначными—каждому значению ? должны отвечать единственные зна-
значения V, G, Z. Это значит, что во всей области изменения пере-
переменной ? A ^ ? ^ оо, т. е. О ^ ln? ^ оо)
функции ?(У), ?(<?), i{Z) не должны иметь
экстремумов. Другими словами, производные
d\n?/dV, ... должны нигде не обращаться в
нуль. На рис. 95 кривая 1 —парабола
Z = A-VJ.	A07.9)
Легко видеть, что точка Y лежит над ней :) .
Между тем, интегральная кривая, отвечаю-
отвечающая решению поставленной задачи, должна
прийти в начало координат —в соответствии
_у с предельным условием A07.4); поэтому она
о
р q-	непременно пересекает параболу A07.9). Но
все указанные производные выражаются, со-
согласно A07.6)—A07.8), дробными выражениями, в числителе ко-
которых стоит разность Z—(l—VJ. Для того чтобы эти выражения
не обращались в нуль в точке пересечения интегральной кривой
с параболой A07.9), должно одновременно быть
CV - k)Z = V(l - V)(l/a - V).	A07.10)
Другими словами, интегральная кривая должна проходить через
точку пересечения параболы A07.9) с кривой A07.10) (кривая 2
на рис. 95); эта точка —особая точка уравнения A07.8) (произ-
(производная dZ/dV = 0/0). Этим условием и определяется значение
показателя автомодельности а; приведем два значения, полу-
получающиеся в результате численных расчетов:
а = 0,6884 при 7 = 5/3; а = 0,7172 при 7 = 7/5. A07.11)
Пройдя через особую точку, интегральная кривая устремля-
устремляется в начало координат (точка О), отвечающее предельным зна-
значениям A07.4). Для уяснения математической ситуации, опишем
кратко картину распределения интегральных кривых уравнения
A07.8) на плоскости VZ (при «правильном» значении а), не про-
проводя соответствующих вычислений 2) .
1)	Это обстоятельство выражает собой просто тот факт, что скорость газа
на задней стороне поверхности разрыва меньше скорости звука в нем.
2)	Исследование производится общими методами качественной теории
дифференциальных уравнений. Классификацию типов особых точек урав-
уравнения первого порядка можно найти в кн.: В.В. Степанов. Курс дифферен-
дифференциальных уравнений, гл. П.

§ 107	СХОДЯЩАЯСЯ СФЕРИЧЕСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА	565
Кривые A07.9) и A07.10) пересекаются, вообще говоря, в двух
точках — кружки на рис. 95 (помимо несущественной точки V =
= 1, Z = 0 на оси абсцисс). Кроме того, уравнение имеет особую
точку с в пересечении кривой A07.10) с прямой (З7 — 1)^ = 2/а
(обращение в нуль второго множителя в числителе в A07.8)).
Точка а, через которую проходит «правильная» интегральная
кривая —точка типа седла; точки b и с —узлы. Узловой особой
точкой является также и начало координат О. Вблизи последне-
последнего уравнение A07.8) принимает вид
dZ_ _ 2Z
dV ~ V + xZ'
Элементарное интегрирование этого однородного уравнения по-
показывает, что при V —> 0 функция Z(V) стремится к нулю бы-
быстрее, чем V, а именно
Z^ const -V2.	A07.12)
Таким образом, из начала координат выходит бесконечное мно-
множество интегральных кривых (отличающихся значением const в
A07.12)). Все эти кривые входят затем в узел Ъ или узел с — за
исключением лишь одной, входящей в седловую точку а (одна
из двух сепаратрис — единственных интегральных кривых, про-
проходящих через седло) х).
Началу координат отвечает ? = оо, т. е. момент фокусировки
ударной волны в центре. Определим предельные распределения
всех величин по радиальным расстояниям в этот момент. С уче-
учетом A07.12) из уравнений A07.6), A07.7) найдем, что
V = const • С1/а, z = const • С2/а, G = const при f ->> 00
A07.13)
(значения постоянных коэффициентов могут быть найдены толь-
только путем фактического численного определения интегральной
кривой на всем ее протяжении). Подставив эти выражения в
определения A07.2), получим 2)
\v\ ос с ос г-A/«-1)? р = const, p ос r-2(iA*-i)e (Ю7.14)
Эти законы можно было бы найти и прямо из соображений раз-
размерности (после того, как стала известной размерность А).
:) Описанная картина, как оказывается, имеет место лишь при j < 71 =
= 1,87... При 7 = 7i и «правильном» а точки а и Ъ сливаются, а при
7 > 7i картина распределения интегральных кривых меняется и требуется
более глубокое исследование. Напомним, однако, что в физически реальных
случаях 7 ^ 5/3 (ср. примеч. на с. 560).
) Предельное значение отношения р/pi в момент фокусировки равно 20,1
для 7 = 7/5 и 9,55 для 7 = 5/3.

566	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
В нашем распоряжении имеется два параметра, р\ и А, и од-
одна переменная г; из них можно составить всего одну комбинацию
размерности скорости: ^V^i-i/a. величиной же с размерностью
плотности является лишь само р\.
Найдем еще закон, по которому меняется со временем полная
энергия газа в области автомодельного движения. Размеры (по
радиусу) этой области — порядка величины радиуса R ударной
волны и уменьшаются вместе с ним. Примем условно за гра-
границу автомодельной области некоторое определенное значение
r/R = ?1. Полная энергия газа в сферическом слое между ра-
радиусами R и ^\R после введения безразмерных переменных вы-
выражается интегралом
J 1-2
7G-1)
(ср. A06.11)). Интеграл здесь — постоянное число х) . Поэтому
находим, что
.С/авт ОС К ' ОС \ — t) .	[W (.lOj
Для всех реальных значений 75 показатель степени здесь поло-
положителен. Хотя интенсивность самой ударной волны растет по
мере ее приближения к центру, но в то же время уменьшает-
уменьшается объем области автомодельного движения и это приводит к
уменьшению полной заключенной в ней энергии.
После фокусировки в центре возникает «отраженная» удар-
ударная волна, расширяющаяся (при t > 0) навстречу движущемуся
к центру газу. Движение в этой стадии тоже автомодельно, с
тем же показателем автомодельности а, так что закон расшире-
расширения R ос ta. Более подробным исследованием этого движения мы
здесь заниматься не будем 2) .
Таким образом, рассмотренная задача дает пример автомо-
автомодельного движения, в котором, однако, показатель автомодель-
автомодельности (т. е. вид автомодельной переменной ?) не может быть
определен из соображений размерности; он определяется лишь в
результате решения самих уравнений движения, с учетом усло-
условий, диктуемых физической постановкой задачи. С математиче-
математической точки зрения характерно, что эти условия формулируются
как требование прохождения интегральной кривой дифференци-
дифференциального уравнения первого порядка через его особую точку. При
:) Интеграл расходится при ?i —»¦ оо. Это обстоятельство — следствие
неприменимости автомодельного режима на расстояниях r^>R.
) Укажем лишь, что отражение ударной волны сопровождается дальней-
дальнейшим сжатием вещества, достигающим 145 для 7 = 7/5 и 32,7 для 7 = 5/3.

§ 108	ТЕОРИЯ «МЕЛКОЙ ВОДЫ»	567
этом показатель автомодельности оказывается, вообще говоря,
иррациональным числом :) .
§ 108. Теория «мелкой воды»
Замечательную аналогию движению сжимаемого газа пред-
представляет движение в поле тяжести несжимаемой жидкости со
свободной поверхностью, если глубина слоя жидкости достаточ-
достаточно мала (мала по сравнению с характеристическими размерами
задачи, например, по сравнению с размерами неровностей дна
водоема). В этом случае поперечной компонентой скорости жид-
жидкости можно пренебречь по сравнению с продольной (вдоль слоя)
скоростью, а последнюю можно считать постоянной вдоль тол-
толщины слоя. В этом приближении (называемом гидравлическим)
жидкость можно рассматривать как «двумерную» среду, облада-
обладающую в каждой точке определенной скоростью v и, кроме того,
характеризующуюся в каждой точке значением величины h —
толщины слоя.
Соответствующие общие уравнения движения отличаются от
уравнений, полученных в § 12, лишь тем, что изменения величин
при движении не должны предполагаться малыми, как это дела-
делалось в § 12 при изучении длинных гравитационных волн малой
амплитуды; в связи с этим в уравнении Эйлера должны быть со-
сохранены члены второго порядка по скорости. В частности, для
одномерного движения жидкости в канале, зависящего только от
одной координаты х (и времени), эти уравнения имеют вид
dh mvhi= dv av_= ah	A081)
ot ox	ot ox	ox
(глубина h предполагается здесь постоянной вдоль ширины ка-
канала) .
Длинные гравитационные волны представляют собой, с об-
общей точки зрения, малые возмущения движения рассматривае-
рассматриваемой системы. Результаты § 12 показывают, что такие возмуще-
возмущения распространяются относительно жидкости с конечной ско-
скоростью, равной
с=у/?К.	A08.2)
Эта скорость играет здесь роль скорости звука в газодинамике.
Так же, как это было сделано в § 82, мы можем заключить, что
) Другой пример автомодельного движения такого рода представляет за-
задача о распространении ударной волны, создаваемой в результате короткого
сильного удара по полупространству, заполненному газом (Зельдович Я. Б.
II Акустич. журнал. 1956. Т. 2. С. 29). Изложение этой задачи можно най-
найти также в указанной на с. 459 книге Я.Б. Зельдовича и Ю.П. Райнера
(гл. XII) и в книге Баренблатта Г.И. Подобие, автомодельность, промежу-
промежуточная асимптотика. — М.: Гидрометеоиздат, 1982, гл. 4.

568	ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. X
если жидкость движется со скоростями v < с (так называемое
спокойное течение), то влияние возмущений распространяется
на весь поток как вниз, так и вверх по течению. При движении
же со скоростями v > с (стремительное течение) влияние воз-
возмущений распространяется лишь на определенные области по-
потока вниз по течению.
Давление р (отсчитываемое от атмосферного давления на
свободной поверхности) меняется по глубине жидкости соглас-
согласно гидростатическому закону р = pg(h — z), где z — высота точки
над дном. Полезно заметить, что если ввести величины
h
odz = -pgh2 = — р2,	A08.3)
о
то уравнения A08.1) примут вид
до . д 	 гл dv , dv	I dp	/1 лп Л\
— + —vp = (J, — + v— = ———,	(lUo.4)
dt дх	dt dx	pdx	v	J
формально совпадающий с видом уравнений адиабатического те-
течения политропного газа с 7 = 2(р ос р2). Это обстоятельство
позволяет непосредственно переносить в теорию «мелкой воды»
все газодинамические результаты, относящиеся к движению без
образования ударных волн. Два последних соотношения в тео-
теории мелкой воды отличаются от газодинамических соотношений
для идеального газа.
«Ударная волна» в текущей по каналу жидкости представля-
представляет собой резкий скачок высоты жидкости ft, ас нею и ее скоро-
скорости v (так называемый прыжок воды). Соотношения между зна-
значениями этих величин по обе стороны разрыва можно получить
с помощью условий непрерывности потоков массы и импульса
жидкости. Плотность потока массы (отнесенная к I см ширины
канала) есть j = pvh. Плотность же потока импульса получается
интегрированием р + pv2 по глубине жидкости и равна
h
о
Поэтому условия их непрерывности дают два уравнения:
vihi = v2h2, v\hi + ^—^ = v\h2 + ^—^.	A08.5)
Эти соотношения устанавливают связь между четырьмя величи-
величинами: vi, v2, hi, h2, две из которых могут быть заданы произ-
произвольно. Выражая скорости vi, v2 через высоты hi, h2, получим
(Ю8.6)

§ 108	ТЕОРИЯ «МЕЛКОЙ ВОДЫ»	569
Потоки же энергии по обе стороны разрыва неодинаковы; их
разность определяет количество энергии, диссипируемой (в 1 с)
в разрыве. Плотность потока энергии вдоль канала равна
Воспользовавшись выражениями A08.6), получим для искомой
разности
Пусть жидкость движется через разрыв со стороны 1 на сторо-
сторону 2. Тогда тот факт, что энергия диссипируется, означает, что
должно быть qi — q% > 0, и мы приходим к выводу, что
h2 >къ	A08.7)
т. е. жидкость движется со стороны меньшей на сторону большей
высоты. Из A08.6) можно теперь заключить, что
vi > с\ = \Jghi, v2 < с2 = \/gh2	A08.8)
в полной аналогии с газодинамическими ударными волнами. Не-
Неравенства A08.8) можно было бы найти и как необходимое усло-
условие устойчивости разрыва, подобно тому как это было сделано
в § 88.
Задача
Найти условие устойчивости тангенциального разрыва на мелкой воде —
линии, вдоль которой жидкость по обе стороны от нее движется с различ-
различными скоростями (СВ. Безденков, О.П. Погуце, 1983).
Решение. Ввиду указанной в тексте аналогии между гидродинами-
гидродинамикой мелкой воды и динамикой сжимаемого политропного газа, поставлен-
поставленная задача эквивалентна задаче об устойчивости тангенциального разрыва
в сжимаемом газе (задача 1 к § 84). Отличие состоит, однако, в том, что в слу-
случае мелкой воды должны рассматриваться возмущения, зависящие лишь от
координат в плоскости жидкого слоя (вдоль скорости v и перпендикулярно
к ней), но не от координаты z вдоль глубины слоя г): приближению мел-
мелкой воды отвечают возмущения с длиной волны Х^> h. Поэтому найденная
в задаче к § 84 скорость Vk оказывается теперь границей неустойчивости:
разрыв устойчив при v > Vk (v — скачок скорости на разрыве). Поскольку
плотность и глубина жидкости по обе стороны разрыва одинаковы, то роль
звуковой скорости по обе стороны от него играет одна и та же величина
с\ = С2 = y/gh, так что разрыв устойчив при
В задаче к § 84 ей соответствовала координата у.

ГЛАВА XI
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА
§ 109. Волна разрежения
Линия пересечения двух ударных волн является в математи-
математическом отношении особой линией двух функций, описывающих
движение газа. Такой же особой линией является край всякого
острого угла на поверхности обтекаемых газом тел. Оказывается
возможным исследовать движение газа вблизи особой линии в
самом общем виде (L. Prandtl, Th. Meyer, 1908).
Рассматривая область вблизи небольшого участка особой ли-
линии, мы можем считать последнюю прямой, которую мы выбе-
выберем в качестве оси z цилиндрической системы координат г, ср, z.
Вблизи особой линии все величины существенным образом за-
зависят от угла ср. Напротив, от координаты г они зависят лишь
слабо, и при достаточно малых г зависимостью от г можно во-
вообще пренебречь. Несущественна также зависимость величин от
координаты z, — изменением картины течения вдоль небольшого
участка особой линии можно пренебречь.
Таким образом, мы должны исследовать стационарное дви-
движение, при котором все величины являются функциями только ср.
Уравнение сохранения энтропии vVs = 0 дает уф— = 0, откуда
dip
s = const :) , т. е. движение изэнтропично. Поэтому в уравне-
уравнении Эйлера можно писать Vw вместо Vp/p: (vV)v = —Vw. В
цилиндрических координатах получаем три уравнения:
Vcp dvr v<p 	п V(p dv^ VrVcp 	 1 dw	dvz 	n
r dip r	r dip	r	r dip	dip
Из последнего имеем vz = const; без ограничения общности мож-
можно положить vz = 0 и рассматривать движение как плоское, —
это сводится просто к соответствующему выбору скорости дви-
движения системы координат вдоль оси z. Первые два уравнения
:) Если положить v^p = 0 (вместо ds/dip = 0), то, как легко заключить из
написанных ниже уравнений движения, получится vr = 0, vz /0. Такое дви-
движение соответствовало бы пересечению поверхностей тангенциальных раз-
разрывов (со скачком скорости vz) и ввиду неустойчивости таких разрывов не
представляет интереса.

§ 109	ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ	571
переписываем в виде
vv = ^,	A09.1)
dip
^ + Vr)=-l^ = -d^.	(Ю9.2)
dip	J	p dip	dip
Подставляя A09.1) в A09.2), получаем
dvm . dvr	dw
v<p-r + vr-r = --1-,
dip	dip	dip
или, интегрируя
w + vl±^ = const.	A09.3)
Заметим, что равенство A09.1) означает, что rotv = 0, т. е.
движение потенциально; в связи с этим и имеет место уравнение
Бернулли A09.3).
Далее, уравнение непрерывности div (рлг) = 0 дает
pvr + ± (pvv) = p(vr + d-^-)+ v^ = 0.	A09.4)
dip	\	dip J	dip
Используя A09.2), получим отсюда
Но производная dp/dp, которую правильнее писать в виде
(dp/dp)s, есть квадрат скорости звука. Таким образом,
<Ь± + v\(\-vl\ =o.	A09.5)
dip	/ V с2 /
Этому уравнению можно удовлетворить двумя способами. Во-
первых, может быть
dip
Тогда из A09.2) имеем р = const, p =
= const, а из A09.3) получаем, что и
v2 = v% + v^ = const, т. е. скорость по-
стоянна по абсолютной величине. Лег-
Легко видеть, что и направление скорости	Рис. 96
в этом случае постоянно. Угол х-> обра-
образуемый скоростью с некоторым заданным направлением в плос-
плоскости движения, равен (рис. 96)
.	A09.6)
vr
Дифференцируя это выражение по (р и используя A09.1), A09.2),

572	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	ГЛ. XI
получаем после простого преобразования:
dip
При р = const имеем, действительно, х = const. Таким образом,
приравнивая нулю первый множитель в A09.5), мы получаем
просто тривиальное решение — однородный поток.
Во-вторых, уравнению A09.5) можно удовлетворить, поло-
положив 1 = v^/c2, т. е. V(p = ±с. Радиальная же скорость опреде-
определится из A09.3). Обозначая в этом уравнении const символом г^о,
получаем
v<p = ±с, vr = ±\/2(wo — w) — с2.
В этом решении перпендикулярная к радиус-вектору составляю-
составляющая V(p скорости в каждой точке равна по величине местной ско-
скорости звука. Полная же скорость v = \ ^ + v2 , следовательно,
больше скорости звука. Как абсолютная величина скорости, так
и ее направление меняются от точки к точке. Поскольку ско-
скорость звука не может пройти через нуль, то ясно, что непрерыв-
непрерывная функция v^ip) должна быть равна везде +с или же везде —с.
Выбирая соответствующим образом направление отсчета угла <р,
мы можем условиться считать, что v^ = с. Что касается выбора
знака у vri то мы увидим ниже, что он диктуется физическими
соображениями и должен быть положительным. Таким образом,
v<p = с, vr = ^2(wo-w)-c2.	A09.8)
Из уравнения непрерывности A09.4) имеем dip = —d(pv(p)/(pvr).
Подставив сюда A09.8) и интегрируя, получим
==.	A09.9)
Если известно уравнение состояния газа и уравнение адиабаты
(напомним, что s = const), то с помощью этой формулы можно
определить зависимость всех величин от угла (р. Таким образом,
формулы A09.8), A09.9) полностью определяют движение газа.
Займемся теперь более подробным изучением полученного
решения. Прежде всего заметим, что прямые ср = const пере-
пересекают в каждой точке линии тока под углом Маха (его синус
равен V(p/v = с/у), т. е. являются характеристиками. Таким об-
образом, одно из двух семейств характеристик (в плоскости ху)
представляет собой пучок выходящих из особой точки прямых
и обладает в данном случае важным свойством — вдоль каждой
из них все величины остаются постоянными. В этом смысле рас-
рассматриваемое решение играет в теории плоского стационарного

§ 109	ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ	573
движения такую же роль, какую играет изученное в § 99 авто-
автомодельное движение в теории нестационарных одномерных те-
течений. Мы вернемся еще к этому вопросу в § 115.
Из A09.9) видно, что (рс)' < 0 (штрих обозначает дифферен-
дифференцирование по ф). Написав
(ре)' = ^
ар
и замечая, что производная d(pc)/dp положительна (см. (99.9)),
мы находим, что производная р' < 0; вместе с нею отрицательны
и производные р' = с2//, w' = р' / р. Далее, из того, что производ-
производная w1 отрицательна, следует, что абсолютная величина скорости
v = л/2(г^о — w) —возрастающая функция ср. Наконец, из A09.7)
следует, что %' > 0. Таким образом, получаем следующие нера-
неравенства:
^<0, ^<0, ^>0, ^>0.	A09.10)
dip	dip	dip	dip
Другими словами, в направлении обхода вокруг особой точ-
точки, совпадающем с направлением обтекания, плотность и давле-
давление падают, а вектор скорости возрастает по абсолютной вели-
величине и поворачивается в направлении обхода.
Описанное движение часто называют волной разрежения]
ниже мы будем пользоваться этим термином.
Легко видеть, что волна разрежения не может иметь места
во всей области вокруг особой линии. Действительно, поскольку
v есть монотонно возрастающая функция <р, то при полном об-
обходе вокруг начала координат (т. е. при изменении (р на 2тг) мы
получили бы для v значение, отличное от исходного, что нелепо.
Ввиду этого истинная картина движения вокруг особой линии
должна представлять собой совокупность секториальных обла-
областей, разделенных плоскостями ср = const, являющимися поверх-
поверхностями разрывов. В каждой из таких областей происходит ли-
либо движение, описываемое волной разрежения, либо движение с
постоянной скоростью. Число и характер этих областей для раз-
различных конкретных случаев будут установлены в следующих па-
параграфах. Сейчас укажем лишь, что граница между волной раз-
разрежения и областью однородного течения должна быть непре-
непременно слабым разрывом. Действительно, эта граница не может
быть тангенциальным разрывом (разрывом скорости vr), так как
на ней не обращается в нуль нормальная к ней компонента ско-
скорости V(p = с. Она не может также быть ударной волной, так как
нормальная компонента скорости (v^) по одну сторону от такого
разрыва должна была бы быть больше, а по другую — меньше
скорости звука, между тем как в данном случае с одной из сто-
сторон границы мы во всяком случае имеем v^ = с.

574	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	ГЛ. XI
Из сказанного можно вывести важное следствие. Возмуще-
Возмущения, вызывающие образование слабых разрывов, исходят от осо-
особой линии (оси z) и распространяются по направлению от нее.
Это значит, что ограничивающие волну разрежения слабые раз-
разрывы должны быть «исходящими» по отношению к этой линии,
т. е. компонента скорости vri касательная к слабому разрыву,
должка быть положительна. Таким образом, мы оправдали сде-
сделанный в A09.8) выбор знака у vr.
Применим теперь полученные формулы к политропному газу.
В таком газе w = с /G — 1M уравнение же адиабаты Пуассона
можно написать в виде
A09.11)
(ср. (99.13)). Пользуясь этими формулами, представим интеграл
A09.9) в виде
dc
где с*— критическая скорость (см. (83.14)). Отсюда
(р = а	arccos — + const,
или, выбирая начало отсчета ср так, чтобы const = 0, имеем
Vy = с = с* cos а \^-^—ю.	A09.12)
V 7 + 1
Согласно формуле A09.8) получаем отсюда
Vr = /l±i^sin /lui^.	A09.13)
у 71	7 + '
Далее, воспользовавшись уравнением адиабаты Пуассона в виде
A09.11), находим зависимость давления от угла (р:
р = р* (cos a hL-^ip) 7 " 1 •	A09.14)
V у 7 + 1 /
Наконец, для угла х A09.6) имеем
A09.15)
(угол х отсчитывается от того же направления, от которого от-
считывается ф).

§ 109
ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ
575
Поскольку должно быть vr > 0, с > 0, то угол ср в этих форму-
формулах может меняться только в пределах между ср = 0 и ср = (^тах,
где
A09.16)
Это значит, что волна разрежения может занимать сектор с уг-
углом раствора, не превышающим ^тах5 так? Для двухатомного га-
газа (воздух) этот угол равен 219,3°. При изменении (р от 0 до
^тах угол х меняется от тг/2 до (^тах- Таким образом, направле-
направление скорости в волне разрежения может повернуться на угол, не
превышающий (^тах — тг/2 (для воздуха 129,3°).
При ср = (^тах давление обращается в нуль. Другими словами,
если волна разрежения простирается вплоть до этого угла, то
ограничивающий ее с этой стороны слабый разрыв представляет
собой границу с вакуумом. При этом он, естественно, совпадает
с одной из линии тока; имеем здесь:
= С = 0,
V г = V =
т. е. скорость направлена по радиусу и достигает своего предель-
предельного значения г>тах (см. § 83).
На рис. 97 даны графики величин р/р*, c*/v и х как функции
угла (р для воздуха G = 1,4).
p*v
0,8
0,6
0,4
0,2
у-я/2, град
120
80
40
0
0 40 80 120 160 Ф, град
Рис. 97
Рис. 98
Полезно заметить форму, которую имеет определяемая фор-
формулами A09.12), (A09.13) кривая в плоскости vxvy (так называе-
называемый годограф скоростей). Это — дуга эпициклоиды, построенной
между окружностями радиусов v = с* и v = г>тах (рис. 98).
Задачи
1. Определить форму линий тока в волне разрежения.
Решение. Уравнение линий тока для двумерного движения в поляр-
полярных координатах есть dr/vr = rdcp/v^. Подставляя сюда A09.12), A09.13) и

576	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	ГЛ. XI
интегрируя, получаем
( /т V7
Г = Го COS , /
V
Эти линии тока представляют собой семейство подобных кривых, обращен-
обращенных своей вогнутостью в сторону начала координат, являющегося центром
подобия.
2. Определить наибольший возможный угол между слабыми разрыва-
разрывами, ограничивающими волну разрежения, при заданных значениях vi, c\ —
скорости газа и скорости звука на первом из них.
Решение. Для соответствующего первому разрыву значения угла (р
находим из A09.12):
Значения же (f2 = ymax, так что искомый угол равен
Критическая скорость с* выражается через vi, с\ уравнением Бернулли
-2 7-12 2G-1)
Наибольший возможный угол поворота скорости газа в волне разре-
разрежения получится соответственно с помощью A09.15) как разность Хтах =
Хтах = \ /	arcsm	arcsm —.
у 7 ~ 1	с*	vi
Как функция от vi/ci, xmax имеет наибольшее значение при v\jc\ = 1
При v\jc\ -Л оо Хтах стремится к нулю, как
Хтах =	"
7 — 1 vi
§ 110. Типы пересечений поверхностей разрыва
Ударные волны могут пересекаться друг с другом; это пере-
пересечение происходит вдоль некоторой линии. Рассматривая дви-
движение в окрестности небольших участков этой линии, мы можем
считать ее прямой, а поверхности разрывов — плоскими. Таким
образом, достаточно рассмотреть пересечение плоских ударных
волн.

§ 110	ТИПЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	577
Линия пересечения разрывов представляет собой в матема-
математическом отношении особую линию (как уже указывалось в на-
начале § 109). Вся картина движения вокруг нее складывается из
ряда секториальных областей, в каждой из которых имеется ли-
либо однородный поток, либо описанная в § 109 волна разрежения.
Ниже излагается общая классификация возможных типов пере-
пересечения поверхностей разрывов :) .
Прежде всего необходимо сделать следующее замечание.
Если по обе стороны ударной волны движение газа является
сверхзвуковым, то (как было указано в начале § 92) можно го-
говорить о «направлении» ударной волны и соответственно этому
различать ударные волны, «исходящие» от линии пересечения,
и волны, «приходящие» к ней. В первом случае касательная со-
составляющая скорости направлена от линии пересечения, и мож-
можно сказать, что возмущения, вызывающие образование разрыва,
исходят от этой линии. Во втором же случае возмущения ис-
исходят из какого-то места, постороннего по отношению к линии
пересечения.
Если по одну из сторон от ударной волны движение явля-
является дозвуковым, то возмущения распространяются в обе сто-
стороны вдоль ее поверхности и понятие о направлении волны те-
теряет, строго говоря, смысл. Для нижеследующих рассуждений
существенно, однако, что вдоль такого разрыва могут распро-
распространяться исходящие от места пересечения возмущения. В этом
смысле подобные ударные волны в излагаемых ниже рассужде-
рассуждениях играют ту же роль, что и чисто сверхзвуковые исходящие
волны, и под исходящими ударными волнами ниже подразуме-
подразумеваются обе эти категории волн.
На следующих ниже рисунках изображаются картины тече-
течения в плоскости, перпендикулярной к линии пересечения. Без
ограничения общности можно считать, что движение происходит
в этой плоскости. Параллельная линии пересечения (а потому и
всем плоскостям разрывов) компонента скорости должна быть
одинакова во всех областях вокруг линии пересечения и поэто-
поэтому надлежащим выбором системы координат может быть всегда
обращена в нуль.
Укажем, прежде всего, некоторые заведомо невозможные
конфигурации.
Легко видеть, что не может быть такого пересечения удар-
ударных волн, при котором нет хотя бы одной приходящей волны.
Так, при изображенном на рис. 99 а пересечении двух уходящих
ударных волн линии тока натекающего слева потока отклони-
отклонились бы в разные стороны, между тем как во всей области 2
) Она была дана Л. Д. Ландау A944), а в некоторых пунктах (относящихся
к взаимодействию ударных волн с тангенциальными и слабыми разрывами)
дополнена СП. Дьяковым A954).
19 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

578	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	ГЛ. XI
скорость должна быть постоянной; это затруднение не может
быть преодолено введением в область 2 еще каких-либо других
разрывов :) . Аналогичным образом убеждаемся в невозможно-
невозможности изображенного на рис. 99 б пересечения уходящей ударной
волны с уходящей же волной разрежения; хотя в такой картине
и можно добиться постоянства направления скорости в обла-
области 2, но при этом не может быть выполнено условие постоян-
постоянства давления, так как в ударной волне давление возрастает, а в
волне разрежения — падает.
а
Ъ
.	Л ^
1 < 2
Ударная	Слабый	Тангенц. Линия тока
волна	разрыв	разрыв
Рис. 99
Далее, поскольку пересечение не может оказывать обратного
влияния на приходящие ударные волны, то одновременное пе-
пересечение (вдоль общей линии) более чем двух таких волн, воз-
возникающих от каких-то посторонних причин, было бы невероят-
невероятной случайностью. Таким образом, в картине пересечения могут
участвовать всего лишь одна или две приходящие ударные вол-
волны.
Весьма существенно следующее обстоятельство: протекаю-
протекающий мимо точки пересечения газ может пройти лишь через одну
исходящую из этой точки ударную волну или волну разрежения.
Пусть, например, газ проходит через следующие друг за другом
две исходящие из точки О ударные волны, как это показано на
рис. 99 в. Поскольку позади волны Оа нормальная компонента
скорости V2n < С2, то тем более была бы меньше С2 нормальная
к волне Ob компонента скорости в области 2 в противоречии с
основным свойством ударных волн. Аналогичным образом убеж-
убеждаемся в невозможности прохождения газа через следующие од-
одна за другой исходящие из точки О две волны разрежения или
волну разрежения и ударную волну.
Эти соображения, очевидно, не распространяются на прихо-
приходящие к точке пересечения ударные волны.
) Чтобы не загромождать текст однообразными рассуждениями, мы не бу-
будем приводить аналогичные соображения для случаев, когда имеются обла-
области дозвукового движения и уходящей волной является в действительности
ударная волна, граничащая с дозвуковой областью.

§ 110	ТИПЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	579
Теперь мы можем приступить к перечислению возможных
типов пересечений.
На рис. 100 изображено пересечение, в котором участвует все-
всего одна приходящая ударная волна О а; две другие ударные вол-
волны Ob и Ос являются исходящими. Этот случай можно рассма-
рассматривать как разветвление одной ударной волны на две :) . Легко
видеть, что наряду с двумя уходящими удар-
ударными волнами должен возникнуть еще и один
расположенный между ними тангенциальный
разрыв Cd, разделяющий потоки газа, протек-
протекшего соответственно через Ob или Ос2) . Дей-
Действительно, волна О а возникает от посторон-
посторонних причин и потому является полностью за-
заданной. Это значит, что имеют определенные
заданные значения термодинамические вели-
величины (скажем, _р, р) и скорость v в областях 1
и 2. Поэтому в нашем распоряжении остаются	Рис 100
всего две величины —углы, определяющие на-
направления разрывов Ob и Ос. С их помощью, однако, вообще го-
говоря, нельзя удовлетворить четырем условиям (постоянство р, р
и двух компонент скорости) в области 5-^, которые требовались
бы при отсутствии тангенциального разрыва Od. Введение же
последнего уменьшает число условий до двух (постоянство дав-
давления и направления скорости).
Разветвиться может, однако, отнюдь не произвольная удар-
ударная волна. Приходящая ударная волна определяется (при задан-
заданном термодинамическом состоянии газа 1) двумя параметрами,
например, числом Mi натекающего потока и отношением давле-
давлений pi/p2- Разветвление оказывается возможным лишь в опре-
определенной области плоскости этих двух переменных 3) .
Пересечения, содержащие две приходящие ударные волны,
можно рассматривать как результат «столкновения» двух волн,
:) Следует отметишь, что разветвление ударной волны на одну ударную
же волну и одну волну разрежения невозможно (без труда можно убедиться
в том, что при таком пересечении нельзя было бы согласовать друг с другом
изменения давления и изменения направлений скорости в обеих исходящих
волнах).
2)Как всегда тангенциальный разрыв в действительности размывается в
турбулентную область.
) Определение этой области связано с громоздкими алгебраическими или
численными расчетами. Повторим лишний раз о необходимости следить при
этом за «направлением» ударных волн. Случаи, в которых имелись бы две
приходящие и одна уходящая ударные волны представлял бы собой пересе-
пересечение двух разрывов, возникающих от посторонних причин и потому при-
приходящих к месту пересечения с заданными значениями всех параметров. Их
слияние в одну волну возможно лишь при вполне определенном соотноше-
соотношении между этими произвольными параметрами, что являлось бы невероят-
невероятной случайностью.
19*

580
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА
ГЛ. XI
возникших где-то от посторонних причин. При этом возможны
два существенно различных случая, изображенных на рис. 101.
В первом случае столкновение двух ударных волн приводит
к возникновению двух ударных же волн, исходящих из точки
пересечения. Выполнение всех необхо-
необходимых условий снова требует возникно-
возникновения тангенциального разрыва, распо-
расположенного между уходящими ударны-
ударными волнами.
Во втором случае вместо двух удар-
ударных волн возникают одна ударная волна
и одна волна разрежения.
Две сталкивающиеся ударные вол-
волны определяются тремя параметрами
(например, Mi и отношениями pi/p2->
Pi/Рз)- Описанные типы пересечений
возможны лишь в определенных обла-
областях значений этих параметров. Если
же значения параметров лежат вне этих
областей, то до столкновения ударных
волн должно произойти их разветвле-
разветвление.
Рассмотрим, далее, типы пересече-
пересечений, которые могут возникнуть при па-
падении ударной волны на тангенциаль-
тангенциальный разрыв.
На рис. 102 а изображено отражение ударной волны от гра-
границы раздела между движущимся и неподвижным газами. Об-
Область 5 есть область неподвижного газа, отделенная от движу-
движущегося газа тангенциальным разрывом. В обеих граничащих с
нею областях 1 и 4 давление должно быть одинаковым (равным
Рь). Поскольку же в ударной волне давление возрастает, то ясно,
что она должна отразиться от тангенциального разрыва в виде
волны разрежения 5, понижающей давление до первоначального
значения. В точке пересечения тангенциальный разрыв терпит
излом.
Пересечение ударной волны с тангенциальным разрывом, по
другую сторону которого скорость жидкости отлична от нуля,
но дозвуковая, вообще невозможно. Действительно, в дозвуко-
дозвуковую область не могут проникнуть ни ударная волна, ни волна
разрежения; поэтому в дозвуковой области может быть только
тривиальное течение с постоянной скоростью, так что танген-
тангенциальный разрыв не может иметь излома. Отражение ударной
волны в виде волны разрежения невозможно, так как это неиз-
неизбежно вызвало бы излом тангенциального разрыва; отражение
в виде ударной волны тоже невозможно, поскольку при этом
Рис. 101

§ по
ТИПЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА
581
нельзя было бы удовлетворить условию равенства давлений на
тангенциальном разрыве.
Если же течение по обе стороны тангенциального разрыва
сверхзвуковое, возможны две различные конфигурации. В од-
одном случае (рис. 102 б) наряду с падающей на тангенциальный
разрыв ударной волной возникают еще и отраженная и прелом-
преломленная ударные волны; тангенциальный разрыв терпит излом.
Ударная волна
Тангенц. разрыв
Слабый разрыв
Линия тока
Рис. 102
В другом случае (рис. 102 в) возникают отраженная волна раз-
разрежения и прошедшая в другую среду преломленная ударная
волна. Обе эти конфигурации возможны только в определенных
областях значений параметров падающей ударной волны и тан-
тангенциального разрыва :) .
Взаимодействие двух тангенциальных раз-
разрывов может привести к конфигурации без
приходящих ударных волн, а лишь с двумя
уходящими (что невозможно, как было ука-
указано выше, в отсутствие тангенциальных раз-
разрывов). В области 1 на рис. 103 газ покоит-
покоится; конфигурация возможна, очевидно, лишь
при сверхзвуковом течении в областях 2 и 5.
Остановимся кратко на пересечениях
ударной волны с приходящим от посторон-
постороннего источника слабым разрывом. Здесь мо-
могут представиться два случая в зависимости от того, является
ли движение за ударной волной сверх- или дозвуковым. В пер-
первом случае (рис. 104 а) слабый разрыв преломляется на ударной
волне, проходя в пространство позади нее (сама же ударная вол-
волна в точке пересечения излома не имеет; ее форма имеет лишь
Рис. 103
^Эти две конфигурации в известном смысле обобщают случаи, изобра-
изображенные на рисунках 100 и 101 б.

582
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА
ГЛ. XI
особенность более высокого порядка —того же характера, что и
особенность на слабом разрыве). Кроме того, изменение энтро-
энтропии в ударной волне должно привести к возникновению позади
нее еще и слабого тангенциального разрыва, на котором испы-
испытывают скачок производные энтропии.
Если же позади ударной волны течение
становится дозвуковым, то слабый разрыв
не может проникнуть в эту область и окан-
оканчивается в точке пересечения (рис. 104 б).
Последняя является в этом случае особой
точкой (так, если падающий разрыв пред-
представляет собой разрыв первых производ-
производных гидродинамических величин, уходя-
уходящий слабый тангенциальный разрыв, фор-
форма ударной волны и распределение давле-
давления в окрестности точки пересечения обла-
обладают, как можно показать, логарифмиче-
логарифмической особенностью). Кроме того, как и в
предыдущем случае, позади ударной волны
возникает слабый тангенциальный разрыв
энтропии х) .
Сказанное относительно взаимодействия
ударных волн со слабым разрывом спра-
справедливо и для взаимодействия со слабыми тангенциальными раз-
разрывами. Если течение в области за ударной волной сверхзвуко-
сверхзвуковое, в ней возникают слабый и слабый тангенциальный разрывы.
Если же течение за ударной волной дозвуковое, то в нем возни-
возникает лишь преломленный слабый тангенциальный разрыв.
Наконец, упомянем еще о взаимодействии слабых разрывов
с тангенциальными. Если течение по обе стороны тангенциаль-
тангенциального разрыва сверхзвуковое, наряду с падающим возникают от-
отраженный и преломленный слабые разрывы. Если же течение
по другую сторону тангенциального разрыва дозвуковое, слабый
разрыв в него не проникает, происходит «полное внутреннее от-
отражение» слабого разрыва.
Тангенц.
слабый разрыв
Рис. 104
Слабый
разрыв
§ 111. Пересечение ударных волн
с твердой поверхностью
Фундаментальную роль в явлении стационарного пересече-
пересечения ударных волн с поверхностью обтекаемого тела играет их
взаимодействие с пограничным слоем. Свойства этого взаимо-
взаимодействия весьма сложны и их детальное рассмотрение выходит
1) Детальное количественное исследование пересечений ударных волн со
слабыми разрывами дано Дьяковым СП. // ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 948, 962.

§ 111	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН С ПОВЕРХНОСТЬЮ	583
за рамки этой книги. Мы ограничимся здесь лишь некоторыми
общими утверждениями :) .
В ударной волне давление испытывает скачок, возрастая по
направлению движения газа. Поэтому, если бы ударная волна
пересекла поверхность тела, то вблизи места пересечения име-
имелось бы конечное возрастание давления на отрезке очень малой
длины, т. е. имелся бы очень большой положительный гради-
градиент давления. Но мы знаем, что такое резкое возрастание дав-
давления вблизи твердой стенки невозможно (см. конец § 40); оно
должно вызвать явление отрыва, в результате чего картина об-
обтекания изменится таким образом, что ударная волна отодви-
отодвинется на достаточное расстояние от поверхности тела. Исклю-
Исключение составляют лишь ударные волны достаточно слабой ин-
интенсивности. Из изложенного в конце § 40 доказательства ясно,
что невозможность положительного скачка давления на грани-
границе пограничного слоя связана с предположением о достаточно
большой величине этого скачка: он должен превосходить некото-
некоторый предел, зависящий от значения R и убывающий с его увели-
увеличением.
Таким образом, стационарное пересечение ударных волн с по-
поверхностью твердого тела возможно лишь для ударных волн не
слишком большой интенсивности,—тем меньшей, чем выше R.
Предельная допустимая интенсивность ударной волны зависит
также и от того, является ли пограничный слой ламинарным
или турбулентным. Турбулизация пограничного слоя затрудняет
возникновение отрыва (§ 45). Поэтому при турбулентном погра-
пограничном слое от поверхности тела могут отходить более сильные
ударные волны, чем при ламинарном пограничном слое.
Подчеркнем, что для изложенных рассуждений существен-
существенно, чтобы пограничный слой имелся перед ударной волной (т. е.
вверх по течению от нее). Поэтому сказанное выше не относит-
относится к волнам, отходящим от переднего края тела, как это может,
например, иметь место при обтекании острого клина (о чем бу-
будет подробно идти речь в следующем параграфе). В последнем
случае газ подходит к краю угла извне, т. е. из пространства, в
котором никакого пограничного слоя не существует; ясно поэто-
поэтому, что изложенные соображения ни в какой мере не затрагивают
возможности существования ударных волн, отходящих от края
такого угла.
При дозвуковом движении отрыв может произойти лишь при
возрастании давления в основном потоке вниз по течению вдоль
1) В пограничном слое непременно имеется прилегающая к поверхности
тела дозвуковая часть, в которую ударная волна вообще не может проник-
проникнуть. Говоря условно о пересечении, мы отвлекаемся от этого обстоятель-
обстоятельства, несущественного для нижеследующих рассуждений.

584	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	ГЛ. XI
обтекаемой поверхности. При сверхзвуковом же движении по-
появляется своеобразная возможность возникновения отрыва и в
области, где давление падает вниз по течению. Такое явление мо-
может осуществляться путем комбинирования ударной волны сла-
слабой интенсивности с отрывом, причем необходимое для возник-
возникновения отрыва повышение давления происходит в самой удар-
ударной волне; в области же перед ударной волной давление может
при этом как возрастать, так и падать вниз по течению.
Все сказанное выше относится только к стационарному пе-
пересечению, при котором ударная волна и твердое тело покоятся
друг относительно друга. Перейдем к рассмотрению нестацио-
нестационарного пересечения, при котором на твердое тело падает при-
приходящая извне движущаяся ударная волна, так что линия ее пе-
пересечения с поверхностью тела передвигается вдоль последней.
Такое пересечение сопровождается отражением ударной волны:
наряду с падающей волной возникает еще одна, отраженная вол-
волна, отходящая от тела.
Будем рассматривать явление в системе координат, движу-
движущейся вместе с линией пересечения; в этой системе ударные
волны стационарны. Наиболее про-
простая картина отражения заключает-
заключается в том, что отраженная волна от-
отходит непосредственно от линии пе-
ресечения; такое отражение называ-
ется правильным (рис. 105). Задани-
У77777777777777777777777777777777> ем угла падения OL\ И ИНТенСИВНОСТИ
падающей волны однозначно опреде-
Рис- Ю5	ляется движение в области 2. В отра-
отраженной волне скорость газа должна
повернуться на определенный угол так, чтобы снова стать па-
параллельной поверхности тела. По этому углу положение и интен-
интенсивность отраженной волны определяются уравнением ударной
поляры. Но при заданном угле поворота скорости ударная по-
поляра определяет две различные ударные волны: волны слабого
и сильного семейства (§ 92). Опытные данные показывают, что
фактически отраженная волна всегда относится к слабому семей-
семейству и ниже будет подразумеваться именно этот выбор. Следует
указать что при таком выборе при предельном переходе к беско-
бесконечно слабой интенсивности падающей волны интенсивность от-
отраженной волны тоже стремится к нулю, а угол отражения «2 —
к углу падения ai, как и должно было быть в соответствии с
акустическим приближением. В пределе же а\ —>> 0 отраженная
волна слабого семейства непрерывно переходит в волну, полу-
получающуюся для отражения при лобовом падении ударной волны
(задача 1 § 100).

§ П2
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН С ПОВЕРХНОСТЬЮ
585
80
70
60
50
40
зо
град
Математический расчет правильного отражения (в идеаль-
идеальном газе) не представляет никаких принципиальных затрудне-
затруднений, но алгебраически весьма громоздок. Мы ограничимся здесь
лишь изложением некоторых резуль-
результатов х) .
Из общих свойств ударной поляры
ясно, что правильное отражение воз-
возможно отнюдь не при произвольных
значениях параметров падающей волны
(угла падения а\ и отношения ръ/рг)-
При заданном значении Р2/Р1 существу-
существует предельно допустимый угол а\ь\ при
<^1 > OLik правильное отражение невоз-
можно. При^Д?! —>• 1 предельный угол
стремится к 90°, т. е. правильное отра-
жение возможно при всяком угле па-
падения. В пределе же Р2/Р1 -^ оо он
стремится к некоторому значению, за-
зависящему от 75 Для воздуха это 40°. На
рис. 106 дан график а\^ как функции
Р\/Р2 для 7 = 7/5 и 7 = 5/3.
Угол отражения «2, вообще говоря, не совпадает с углом па-
падения. Существует определенное значение а* угла падения, та-
такое, что при а\ < а* угол отражения «2 < ai; если же
а\ > а*, то «2 > «1- Значение а* есть
1

Y=7/5
J
у
1
/
/
Pl/P2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис. 106
а* = - arccos
2
= 39,2°); замечательно, что
от интенсивности падающей
VZ77Z7ZZZZ777ZZZZ7777Z77.
Рис. 107
(для воздуха а*
оно не зависит
волны.
При а\ > ot\k правильное отражение невоз-
можно и падающая ударная волна должна раз-
разветвиться на некотором расстоянии от поверхности тела, так что
возникает картина изображенного на рис. 107 типа с тройной
конфигурацией ударных волн и отходящим от точки разветвле-
разветвления тангенциальным разрывом (такую конфигурацию называют
маховским отражением).
1) Более подробное изложение вопроса об отражении ударных волн можно
найти в книгах: Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные
волны. — М.: ИЛ, 1950, гл. IV [Courant R., Friedrichs К. Supersonic flow and
shock waves. — N.Y.: Interscience, 1948]; Мизес Р. Математическая теория
течения сжимаемой жидкости. — М.: ИЛ, 1961, § 23 [Mises R. Mathematical
theory of compressible fluid flow. — N.Y., Academic Press, 1958], а также в
обзорной статье: Bleakney W., Taub A.H. // Rev. Mod. Physics. 1949. V. 21.
P. 584.

586
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА
ГЛ. XI
§ 112. Сверхзвуковое обтекание угла
При исследовании движения вблизи края угла на поверх-
поверхности обтекаемого тела снова достаточно рассматривать лишь
небольшие участки вдоль края угла и потому можно считать этот
край прямым, а самый угол образованным двумя пересекающи-
пересекающимися плоскостями. Мы будем говорить об обтекании выпуклого
угла, если течение происходит в угле, большем чем тг, и об обте-
обтекании вогнутого угла, если газ движется внутри угла, меньшего
чем тг.
Дозвуковое обтекание угла по своему характеру ничем не
отличается от обтекания несжимаемой жидкостью. Сверхзвуко-
Сверхзвуковое же обтекание обладает совершенно иным характером; суще-
существенной его особенностью является возникновение отходящих
от края угла разрывов.
Рассмотрим сначала возможные режимы обтекания, когда
сверхзвуковой поток газа подходит к краю угла, двигаясь вдоль
одной из его сторон. В соответствии с общими свойствами сверх-
сверхзвукового течения поток остается однородным вплоть до само-
самого края угла. Поворот течения, пере-
переводящий его в направление, парал-
параллельное другой стороне угла, осу-
осуществляется в отходящей от края
угла волне разрежения, и вся карти-
картина движения складывается из трех
областей, отделенных друг от дру-
друга слабыми разрывами (Оа и Ob на
рис. 108): однородный поток газа i,
движущийся вдоль стороны угла
АО, поворачивает в волне разреже-
разрежения 2, после чего снова движется
с постоянной скоростью вдоль дру-
другой стороны угла. Обратим внима-
внимание на то, что при таком обтека-
обтекании не образуется никаких турбу-
турбулентных областей; при аналогичном
же обтекании несжимаемой жидко-
жидкостью непременно возникает турбу-
турбулентная область с линией отрыва по
краю угла (см. рис. 24).
Пусть vi — скорость натекающего
потока A на рис. 108), а с\ — ско-
скорость звука в нем. Положение слабого разрыва О а определяется
непосредственно по числу Mi = v\jc\ условием, чтобы он пе-
пересекал линии тока под углом, равным углу Маха. Изменение
скорости и давления в волне разрежения определяется форму-
формулами A09.12)—A09.15), причем надо только установить направ-
У//////////////////Л
А
3 \
Рис. 108

§ 112	СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ УГЛА	587
ление, от которого должен производиться отсчет угла ср в этих
формулах. Прямому лучу ср = 0 соответствует v = с = с*; при
Mi > 1 такой линии фактически нет, так как везде v/c > 1. Пред-
Представляя себе, однако, волну разрежения формально продленной
в область левее Оа и воспользовавшись формулой A09.12), най-
найдем, что разрыву О а надо приписать значение угла <р, равное
и затем увеличивать ср в направлении от Оа к Ob. Положение
разрыва Ob определяется моментом, когда направление скорости
станет параллельным стороне угла ОВ.
Угол поворота течения в волне разрежения не может превы-
превышать значение Хтах, вычисленное в задаче 2 § 109. Если вели-
величина обтекаемого угла /3 < тг — Хтах, то волна разрежения не
может повернуть поток на требуемый угол и возникает картина,
изображенная на рис. 108 б. Разрежение в волне 2 происходит
тогда вплоть до равного нулю давления (достигаемого на ли-
линии Об), так что волна разрежения отделена от стенки областью
вакуума 3.
У/////////////////////Л
Рис. 109	Рис. 110
Описанный режим обтекания, однако, не является единствен-
единственно возможным. На рис. 109 и 110 изображены режимы, при ко-
которых ко второй стороне угла прилегает область неподвижно-
неподвижного газа, отделенная от движущегося тангенциальным разрывом;
как всегда, тангенциальный разрыв размывается в турбулентную
область, так что этот случай соответствует наличию отрыва :) .
Поворот течения на некоторый угол происходит в волне разреже-
разрежения (рис. 109) или в ударной волне (рис. 110). Последний случай,
однако, возможен лишь при не слишком большой интенсивности
1) Согласно экспериментальным данным сжимаемость глаза несколько
уменьшает угол раствора турбулентной области, в которую размывается
тангенциальный разрыв.

588	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	ГЛ. XI
ударной волны (согласно общим соображениям, изложенным в
предыдущем параграфе).
Какой из описанных режимов осуществляется в том или ином
конкретном случае, зависит, вообще говоря, от условий течения
вдали от края угла. Так, при вытекании газа из сопла (краем
угла является при этом кран отверстия сопла) существенно вза-
взаимоотношение между выходным давлением газа р\ и давлени-
давлением во внешней среде ре. Если ре < pi, то обтекание происходит
по типу рис. 109; положение и угол раствора волны разреже-
разрежения определяются при этом условием, чтобы давление в обла-
областях 3~4 совпадало с ре] чем меньше ре1 тем на больший угол
должно повернуться течение. Однако, если обтекаемый угол /3
на рис. 109 слишком велик, то давление газа может не успеть
дойти до требуемого значения ре — направление скорости станет
параллельным стороне О В угла раньше, чем давление упадет до
этого значения. Движение вблизи края сопла будет тогда проис-
происходить по типу рис. 107. Давление вблизи внешней стороны ОВ
отверстия целиком определяется при этом углом /3 и не зави-
зависит от значения ре\ окончательное же падение давления до ре
произойдет лишь на некотором расстоянии от отверстия.
Если же ре > р\, то обтекание края отверстия сопла происхо-
происходит по типу рис. 110 с образованием отходящей от края отвер-
отверстия ударной волны, повышающей давление от р\ до ре. Это воз-
возможно, однако, лишь при не слишком больших превышениях ре
над pi, когда интенсивность ударной волны не слишком велика;
в противном случае отрыв возникает на внутренней поверхности
сопла и ударная волна перемещается вместе с ним внутрь сопла,
о чем уже шла речь в § 97.
Далее, рассмотрим обтекание вогнутого угла. В дозвуковом
случае такое обтекание сопровождается возникновением отрыва
на некотором расстоянии, не доходя до
края угла (см. конец § 40). При натека-
нии же сверхзвукового потока изменение
его направления может осуществиться в
отходящей от края угла ударной волне
(рис. 111). Здесь снова необходимо огово-
оговорить, что фактически такой простой без-
Рис- HI	отрывный режим возможен лишь при не
слишком сильной ударной волне. Интен-
Интенсивность ударной волны возрастает по мере увеличения угла х
осуществляемого ею поворота течения; поэтому можно сказать,
что безотрывное обтекание возможно лишь при не слишком боль-
больших значениях х-
Обратимся теперь к картине движения, возникающей, когда
на край угла натекает свободный сверхзвуковой поток (рис. 112).
Поворот течения в направление, параллельное сторонам угла,
У//////////////////'

§ 112	СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ УГЛА	589
происходит в отходящих от края угла ударных волнах. Как уже
было объяснено в предыдущем параграфе, это и есть как раз
тот исключительный случай, когда от поверхности твердого тела
может отходить ударная волна произвольной интенсивности.
	ж*ш
Рис. 112	Рис. 113
Зная скорости vi и с\ в натекающем потоке i, можно опре-
определить положение ударных волн и движение газа в областях,
расположенных за ними. Направление скорости V2 должно быть
параллельно стороне ОВ угла:
Поэтому определение V2 и угла ср ударной волны производится
непосредственно по диаграмме ударной поляры с помощью лу-
луча, проведенного из начала координат под заданным углом \ к
оси абсцисс (см. рис. 64), как это было подробно объяснено в
§ 92. Мы видели, что при заданном угле х ударная поляра опре-
определяет две различные ударные волны с различными углами (р.
Одна из них (соответствующая точке В на рис. 64), более слабая,
оставляет течение, вообще говоря, сверхзвуковым; другая же, бо-
более сильная, превращает его в дозвуковое. В данном случае для
обтекания углов на поверхности конечных тел следует всегда вы-
выбирать первую из них, волну «слабого» семейства. Необходимо
иметь в виду, что в действительности этот выбор определяется
условиями обтекания вдали от угла. При обтекании очень остро-
острого угла (малое х) образующаяся ударная волна должна, очевид-
очевидно, обладать очень малой интенсивностью. Естественно считать,
что по мере увеличения этого угла интенсивность волны будет
расти монотонно; этому соответствует как раз перемещение по
участку QC кривой ударной поляры (см. рис. 64) от точки Q к
точке С г) .
1)Ср., однако, примеч. на с. 592. Что касается формального вопроса об
обтекании клина, образованного двумя бесконечными плоскостями, то он не
представляет физического интереса.

590	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	ГЛ. XI
Мы видели также в § 92, что угол поворота вектора скорости в
ударной волне не может превосходить некоторого определенного
(зависящего от Mi) значения Хтах- Поэтому описанная картина
обтекания невозможна, если какая-либо из сторон обтекаемого
угла наклонена к направлению натекающего потока под углом,
превышающим Хтах (в таком случае движение газа в области
вблизи угла должно быть дозвуковым, что фактически осуще-
осуществляется путем возникновения ударной волны где-либо впере-
впереди тела: см. § 122). Поскольку Хтах — монотонно возрастающая
функция Mi, можно также сказать, что при заданном значении
угла х число Mi натекающего потока должно превышать опре-
определенное значение Mimin.
Наконец, укажем, что если стороны угла расположены по от-
отношению к натекающему потоку как показано на рис. 113, то
ударная волна возникает, разумеется, лишь по одну сторону угла;
поворот же потока по другую сторону осуществляется в волне
разрежения.
Задачи
1. Определить положение и интенсивность ударной волны при обтека-
обтекании очень малого угла (х ^С 1) при не слишком больших значениях числа
Маха: Mix < 1-
Решение. При х^С 1 ударная поляра определяет два значения: близ-
близкое к тг/2 (близость к точке Р на рис. 64) и близкое к углу Маха а\ (близость
к точке Q). Интересующей нас волне слабого семейства отвечает вторая из
них. Из (92.11) имеем при х <С 1-
Подставив это выражение в (92.9), найдем
Р2 — pi _
pi
Угол (f ищем в виде ip = а\ + е, s^Cai и из того же выражения находим
7 + 1 М?
При Mi ^ 1 угол ai и I/Mi и для справедливости полученных формул дол-
должно быть xMi <С 1.
2. То же, если число Mi настолько велико, что Mix ^> 1-
Решение.В этом случае углы if и х одинакового порядка малости.
Из (92.11) находим
7 + 1
Для отношения давлений имеем согласно (92.9)
El = J^mW = ^±1)
pi 7+1	2

§ 113	ОБТЕКАНИЕ КОНИЧЕСКОГО ОСТРИЯ	591
Значение М2 позади волны (из (92.12)):
м2 = -
т. е. остается большим по сравнению с 1, но не по сравнению с 1/х- В том
же приближении
р2_ _ 7 + 1 'Ш -I
р\ 7 - 1' vi
(разность v\ — V2~v\x ). Поэтому уменьшение числа Маха фактически свя-
связано лишь с увеличением скорости звука: М2/М1 = ci/c2.
§ 113. Обтекание конического острия
Исследование сверхзвукового стационарного течения вблизи
острия на поверхности обтекаемого тела представляет собой
трехмерную задачу, и потому несравненно сложнее исследова-
исследования обтекания угла с линейным краем. Полностью может быть
решена задача об осесимметричном обтекании острия, которое
мы здесь и рассмотрим.
Вблизи своего конца осесимметрическое острие можно рас-
рассматривать как прямой конус кругового сечения, и таким обра-
образом, задача состоит в исследовании обтекания конуса однород-
однородным потоком, натекающим в направлении оси конуса. С каче-
качественной стороны картина выглядит следующим образом.
Как и при аналогичном обтекании плоского угла, должна
возникнуть ударная волна (A. Busemann, 1929); из соображений
симметрии очевидно, что эта волна бу-
будет представлять собой коническую поверх-
поверхность, коаксиальную с обтекаемым конусом и
имеющую общую с ним вершину (на рис. 114
изображен разрез конуса плоскостью, про-
проходящей через его ось). Однако в отличие
от плоского случая ударная волна не осуще-
осуществляет здесь поворота скорости газа на пол-
полный угол Х-) необходимый для течения вдоль
поверхности конуса B% — угол раствора ко-
конуса). После перехода через поверхность раз-	Рис. 114
рыва линии тока искривляются, асимптоти-
асимптотически приближаясь к образующим обтекаемого конуса. Это ис-
искривление сопровождается непрерывным уплотнением (добавоч-
(добавочным к уплотнению в самой волне) и соответственным падением
скорости.
Изменение направления и величины скорости на самой удар-
ударной волне определяется ударной полярой, причем и здесь осуще-

592	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	ГЛ. XI
ствляется решение, отвечающее «слабой» ветви поляры :) . Соот-
Соответственно, для каждого значения числа Маха натекающего по-
потока Mi = vi/ci существует определенное предельное значение
угла полураствора конуса Хтах, за которым такое обтекание ста-
становится невозможным и ударная волна «отсоединяется» от вер-
вершины конуса. Поскольку за ударной волной происходит дополни-
дополнительный поворот течения, значения Хтах для обтекания конуса
превышают (при одинаковых Mi) значения Хтах для плоского
случая (обтекания клина). Непосредственно за ударной волной
движение газа обычно сверхзвуковое, но может быть и дозвуко-
дозвуковым (при Xi близких к Хтах)- Сверхзвуковое за ударной волной
течение по мере приближения к поверхности конуса может стать
дозвуковым, и тогда на определенной конической поверхности
скорость проходит через звуковое значение.
Коническая ударная волна пересекает все линии тока нате-
натекающего потока под одинаковым углом, а потому обладает по-
постоянной интенсивностью. Отсюда следует (см. ниже § 114), что
и за ударной волной течение будет изэнтропическим и потенци-
потенциальным.
В силу симметрии задачи и ее автомодельности (отсутствия в
ее условиях какой-либо характеристической постоянной длины)
очевидно, что распределение всех величин (скорости, давления)
в потоке за ударной волной будет функцией только от угла в на-
наклона к оси конуса (оси х на рис. 114) радиус-вектора, проведен-
проведенного в данную точку из вершины конуса. Соответственно урав-
уравнения движения сводятся к обыкновенным дифференциальным
уравнениям; граничные условия к этим уравнениям на ударной
волне определяются уравнением ударной поляры, а на поверхно-
поверхности конуса — требуют параллельности скорости образующим ко-
конуса. Эти уравнения, однако, не могут быть проинтегрированы
в аналитическом виде и должны решаться численным образом.
Отсылая за результатами таких вычислений к оригинальным ис-
источникам 2) , мы ограничимся лишь кривой (см. рис. 65), даю-
дающей зависимость предельного допустимого угла раствора конуса
2Хтах как функции числа Mi. Укажем также, что при Mi —>> 1
угол Хтах стремится к нулю по закону
Xmax = COnstW 1 ,	A13.1)
г) Это может, однако, быть не так при некоторых «экзотических» формах
обтекаемого тела. Так, существуют указания на отбор волны «сильного»
семейства при обтекании конуса на переднем крае широкого тупого тела.
2)См. Taylor G.I., Maccol J.W. // Proc. Roy. Soc. 1933. V. 139A. P. 278;
Maccol J. W. // Proc. Roy. Soc. 1937. V. 159A. P. 459. См. также изложение
в кн.: Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.—
М.: Физматгиз, 1963, ч. II, § 27.

§ 113	ОБТЕКАНИЕ КОНИЧЕСКОГО ОСТРИЯ	593
как это можно заключить на основании общего околозвукового
закона подобия A26.11) (const есть число, не зависящее ни от
Mi, ни от рода газа).
Замкнутое аналитическое решение задачи об обтекании ко-
конуса возможно лишь в предельном случае малых углов раствора
конуса (Th. Karman, N.B. Moor, 1932). Очевидно, что в таком
случае скорость газа во всем пространстве будет лишь незначи-
незначительно отличаться от скорости vi натекающего потока. Обозна-
Обозначив буквой v малую разность между скоростью газа в данной
точке и скоростью vi и введя ее потенциал <р, мы можем при-
применить для последнего линеаризованное уравнение A14.4); если
ввести цилиндрические координаты ж, г, о; с осью вдоль оси ко-
конуса (со — полярный угол), это уравнение примет вид
LpL-?pL = 0,	(П3.2)
г2 дио2	дх2
или для осесимметрического движения
^)-/32ff = O,	A13.3)
or /	ох2
где введено обозначение
/3= (М?-1I/2.	A13.4)
Для того чтобы распределение скорости было функцией толь-
только от угла #, потенциал должен иметь вид ср = ж/(?), где ? =
= r/x = tg#. Сделав подстановку, получим для функции /(?)
уравнение
которое решается элементарно. Тривиальное решение / = const
соответствует однородному потоку, а второе решение есть
Граничное условие на поверхности конуса (т. е. при ? =
гласит:
Vr
+ Vx
A13.5)
или f = viX- Отсюда const = vix2\ и в результате получим
следующее окончательное выражение для потенциала (в

594	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА	ГЛ. XI
области х > (Зг г)
- /32г2 - жАгсЬ—1.	A13.6)
/3rJ
Обратим внимание на то, что ср имеет при г —>• 0 логарифмиче-
логарифмическую особенность.
Отсюда находим компоненты скорости:
—, vr = ^^^/x2-P2r2.	A13.7)
/Зг	г
Давление на поверхности конуса вычисляется с помощью форму-
формулы A14.5); благодаря логарифмической особенности (р при г —>> О
скорость vr на самой поверхности конуса (т. е. при малых г) вели-
велика по сравнению с vXl и потому в формуле для давления должен
быть сохранен член с г>2. В результате получим
A13.8)
Все эти формулы, полученные с помощью линеаризованной тео-
теории, теряют применимость при слишком больших значениях Mi,
сравнимых с 1/х (см. § 127).
1) В рассматриваемом приближении конус х = /Зг представляет собой по-
поверхность слабого разрыва. В следующем приближении появляется удар-
ударная волна, интенсивность которой (относительный скачок давления) пропор-
пропорциональна х •> а угол полураствора превосходит угол Маха на величину, тоже
пропорциональную %4.

ГЛАВА XII
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 114. Потенциальное движение сжимаемого газа
Мы встретимся в дальнейшем с многочисленными важны-
важными случаями, когда движение сжимаемого газа можно рассма-
рассматривать как потенциальное практически во всем пространстве.
Здесь мы выведем общие уравнения потенциального течения и
рассмотрим в общем виде вопрос об их применимости :) .
Потенциальность течения сжимаемого газа нарушается, во-
вообще говоря, ударными волнами; после прохождения через удар-
ударную волну потенциальный поток становится в общем случае вих-
вихревым. Исключение представляют, однако, случаи, когда ста-
стационарный потенциальный поток проходит через ударную волну
постоянной (вдоль всей ее поверхности) интенсивности; таковы,
например, случаи, когда однородный поток проходит волну, пе-
пересекающую все линии тока под одинаковым углом 2) . В та-
таких случаях течение остается потенциальным и позади ударной
волны.
Для доказательства этого утверждения воспользуемся урав-
уравнением Эйлера, написанным в виде
-V?;2 - [v rotv] = --Vp
(ср. B.10)), или
V (w + —) - [v rot v] = TVs,
где учтено термодинамическое соотношение dw = Т ds + dp/p.
Но в потенциальном потоке перед ударной волной w + v2/2 =
= const, а на ударной волне эта величина непрерывна; поэтому
она останется постоянной и во всем пространстве позади ударной
волны, так что будем иметь
[vrotv] = -TVs.	(П4.1)
Потенциальный поток перед ударной волной изэнтропичен.
В общем случае произвольной ударной волны с переменным
х) В этом параграфе течение еще не предполагается плоским!
) С такими случаями мы уже встречались при изучении сверхзвукового
обтекания клина и конуса (§ 112, 113).

596	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
вдоль ее поверхности скачком энтропии в пространстве за вол-
волной градиент Vs 7^ 0, а вместе с ним будет отличен от нуля и
rot v. Однако если ударная волна обладает постоянной интенсив-
интенсивностью, то и скачок энтропии в ней постоянен, так что течение за
ней тоже будет изэнтропическим, т. е. Vs = 0. Отсюда следует,
что либо rotv = 0, либо векторы rotv и v везде параллельны
друг другу. Но последний случай невозможен: на самой ударной
волне v во всяком случае имеет отличную от нуля нормальную
компоненту, а нормальная компонента rotv равна нулю (нор-
(нормальная компонента rot v определяется тангенциальными произ-
производными от тангенциальных компонент скорости, непрерывных
на поверхности разрыва).
Другой важный случай, когда потенциальность течения мож-
можно считать не нарушающейся ударными волнами,—это случай
волн малой интенсивности. Мы видели (§ 86), что в таких удар-
ударных волнах скачок энтропии есть величина третьего порядка по
сравнению со скачком давления или скорости. Из соотношения
A14.1) видно поэтому, что величиной третьего порядка будет
и rotv за разрывом. Это и дает возможность считать, с точ-
точностью до малых величин высших порядков, течение потенци-
потенциальным и позади ударной волны.
Выведем общее уравнение для потенциала скорости при про-
произвольном стационарном потенциальном течении сжимаемого
газа. Для этого исключаем плотность из уравнения непрерыв-
непрерывности div pw = р div v + vVр = 0 с помощью уравнения Эйлера
()
р р
и получаем
c2divv- (vV)v = 0.
Вводя сюда потенциал согласно v = V<p и раскрывая векторные
выражения, найдем искомое уравнение:
(с2 -
4>y4>z4>yz) = 0 A14.2)
(нижние индексы обозначают здесь частные производные). В
частности, для плоского движения
(с2 - 4>\)ч>хх + (с2 - Ч^)Ч>уу ~ ^Ч>хЧ>уЧ>ху = 0.	A14.3)
В этих уравнениях скорость звука сама должна быть выражена
как функция скорости, что может быть, в принципе, сделано с
помощью уравнения Бернулли w + v2 /2 = const и уравнения
изэнтропичности s = const (для политропного газа зависимость
с от v дается формулой (83.18)).

§ 114	ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	597
Уравнение A14.2) очень упрощается, если во всем простран-
пространстве скорость газа лишь незначительно отличается по величине
и направлению от скорости натекающего из бесконечности по-
потока :) . Тем самым подразумевается и что ударные волны (если
они вообще есть) обладают слабой интенсивностью, а потому не
нарушают потенциальности течения.
Выделим из v постоянную скорость натекающего потока vi,
написав v = vi + v7, где v7 —малая величина. Вместо потен-
потенциала if полной скорости, введем потенциал ip' скорости v7:
v7 = Vip'. Уравнение для этого потенциала получится из A14.2)
заменой ср = ip' + xv\ (ось х выбираем в направлении век-
вектора vi). Рассматривая после этого ip' как малую величину и
опуская все члены выше первого порядка, получим следующее
линейное уравнение:
A-М?) ?? + ?? + ?? = 0,	A14.4)
v	' дх2 ду2 dz2
где Mi = vi/ci] для скорости звука здесь подставлено, естествен-
естественно, ее заданное значение на бесконечности.
Давление в любой точке потока определяется в этом же при-
приближении через скорость по формуле, которую можно получить
следующим образом. Рассматривая р как функцию w (при за-
заданном s) и учитывая, что (dw/dp)s = 1/р, запишем:
Р~Р1~ (-^-) (w
\ow / s
Согласно же уравнению Бернулли имеем
W-W1 = -"[(Vl+vJ-^] tt--{y*+Vl) -VlVx,
так что
^{vl + v2z).	A14.5)
В этом выражении надо, вообще говоря, сохранить член с квад-
квадратами поперечной скорости, так как в области вблизи оси х (в
частности, на самой поверхности обтекаемого газом тонкого те-
тела) производные dip'/ду, dip'/dz могут стать большими по срав-
сравнению с dip'/дх.
Уравнение A14.4), однако, неприменимо, если число Mi очень
близко к единице (околозвуковое движение), так что коэффици-
коэффициент в первом члене становится малым. Ясно, что в таком случае
х) С таким случаем мы встретились уже в § 113 (обтекание тонкого конуса)
и встретимся еще при изучении обтекания сжимаемым газом произвольных
тонких тел.

598	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
в уравнении должны быть сохранены также и члены более высо-
высокого порядка по производным потенциала по координате х. Для
вывода соответствующего уравнения снова вернемся к исходно-
исходному уравнению A14.2), которое после пренебрежения заведомо
малыми членами сводится к следующему:
4>zz = 0.	(П4.6)
В рассматриваемом случае скорость vx « v и скорость звука с
близки к критической скорости с*. Поэтому можно написать:
/	ч dc
с- с* = (г; - с*)—-
dv
или
/	\ (л dc	\
с - v = (с* - г;) II - —
V dv v=c*/
Воспользовавшись тем, что при v = с = с* согласно (83.4) имеем
dp/dv = —р/с, пишем (при v = с*):
dc _ dc dp _ р dc
dv dp dv	с dp
так что
c_w = (C|i_w)IE(??)=a,(C|i_w).	(Ц4.7)
с dp
Мы воспользовались здесь для производной d(pc)/dp выраже-
выражением (99.9), а для а* —значением величины а A02.2) при v = с*
(для политропного газа а есть просто постоянная, так что а* =
= а = G + 1)/2). С той же точностью это равенство можно
переписать в виде
v--l = aJ^-l).	A14.8)
С	\С*	/
Это соотношение устанавливает в общем виде связь между чис-
числами М и М* в околозвуковом случае.
С помощью этой формулы имеем
с
Наконец, вводим новый потенциал, производя замену
так что теперь будет
<^ = ^_1 <9<? = ^ <9^ = ^	A14 9)
<9ж с*	ду с* dz с*

§ 115	СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ	599
Внося все это в A14.6), получим окончательно следующее урав-
уравнение для потенциала околозвукового течения (с направлением
скорости, везде близким к оси х):
2a^	+ .
дх дх2 ду2 dz2
Свойства газа входят сюда только через постоянную а*. Мы уви-
увидим в дальнейшем, что зависимость всех вообще свойств около-
околозвукового течения от конкретного рода газа целиком определя-
определяется этой постоянной.
Линеаризованное уравнение A14.4) становится непримени-
неприменимым и в другом предельном случае —очень больших значений
Mi, не говоря уже о том, что благодаря возникновению силь-
сильных ударных волн реальное течение при таких Mi фактически
вообще нельзя считать потенциальным (см. § 127).
§ 115. Стационарные простые волны
Определим общий вид решений уравнений стационарного
плоского сверхзвукового движения газа, описывающих течения,
при которых на бесконечности имеется однородный плоскопа-
плоскопараллельный поток, в дальнейшем своем течении поворачиваю-
поворачивающий, обтекая искривленный профиль. С частным случаем та-
такого решения нам уже приходилось иметь дело при изучении
движения вблизи угла, — при этом мы по существу рассматрива-
рассматривали плоскопараллельный поток, текущий вдоль одной из сторон
угла и поворачивающий вокруг края этого угла. В этом част-
частном решении все величины — две компоненты скорости, давле-
давление, плотность — были функциями всего лишь одной перемен-
переменной— угла ср. Поэтому каждая из этих величин могла бы быть
выражена в виде функции одной из них. Поскольку это решение
должно содержаться в виде частного случая в искомом общем
решении, то естественно искать это последнее, исходя из требо-
требования, чтобы и в нем каждая из величин р, /э, vXi vy (плоскость
движения выбираем в качестве плоскости ху) могла быть вы-
выражена в виде функции одной из них. Такое требование пред-
представляет собой, конечно, весьма существенное ограничение, на-
налагаемое на решение уравнений движения, и получающееся та-
таким образом решение отнюдь не является общим интегралом
этих уравнений. В общем случае каждая из величин р, р, vXi vyi
являющихся функцией двух координат ж, у, могла бы быть вы-
выражена лишь через две из них.
Поскольку на бесконечности имеется однородный поток, в ко-
котором все величины, в частности и энтропия «s, постоянны, а при
стационарном движении идеальной жидкости энтропия сохра-
сохраняется вдоль линий тока, то ясно, что и во всем пространстве

600	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
будет s = const, если только в газе нет ударных волн, что и
предполагается ниже.
Уравнения Эйлера и уравнение непрерывности имеют вид
dvx	dvx _ 1 dp	dvy	dvy _ 1 dp #
dx	dy	p <9ж'	dx	dy	p dy1
d	\ d
— (Pvx) + —\Pvv) = 0-
dx	dy
Написав частные производные в виде якобианов, перепишем эти
уравнения в виде
х d(x, у) у d(x, у)	р d(x, у)'
uyUy, у)	uyUy, х^ i uyp^ лj
x d(x,y) y d(x,y) pd(x,yy
d(pvx, ?/) d(pvy, ж) ^
d(x, у)	d(x, у)
Выберем теперь в качестве независимых переменных х пр. Для
того чтобы произвести соответствующее преобразование, доста-
достаточно умножить написанные уравнения на д(х, у)/д(х, _р), в ре-
результате чего получим уравнения в точности того же вида, с той
лишь разницей, что в знаменателях всех якобианов будет стоять
д(х, р) вместо д(х, у). Раскроем эти якобианы; при этом надо
иметь в виду, что в независимых переменных х и р все величи-
величины р, vXi vy являются, по предположению, функциями только
от р, и потому их частные производные по х равны нулю. Тогда
получаем
vx 	 1 dy (	ду\ dvy 	 1
lp p dx V	dx) dp	p
dy \ dp , / dvv dy dvx \ n
Vy — Vx—)— + p[ —- — —^ —- = 0
dx J dp \ dp dx dp J
(где ду/дх обозначает (ду/дх)р). Все величины в этих уравне-
уравнениях, за исключением лишь ду/дх, являются функциями только
от р уже по сделанному предположению, а х вовсе не входит в
уравнения явным образом. Поэтому прежде всего можно заклю-
заключить на основании этих уравнений, что и ду/дх есть некоторая
функция только от р:
откуда
У = я/1(р) + /2(р),
где /2Q?)—произвольная функция давления.

§ 115	СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ	601
Дальнейших вычислений можно не производить вовсе, если
непосредственно воспользоваться известным уже нам частным
решением для волны разрежения при обтекании угла (§ 109, 112).
Напомним, что в этом решении все величины (в том числе и дав-
давление) постоянны вдоль каждой прямой (характеристики), про-
проходящей через вершину угла. Это частное решение, очевидно,
соответствует случаю, когда в общем выражении A15.1) произ-
произвольная функция /2B?) тождественно равна нулю. Функция же
flip) определяется полученными в § 109 формулами.
Уравнение A15.1) при постоянных значениях р определяет
семейство прямых линий в плоскости ху. Эти прямые пересека-
пересекают в каждой своей точке линии тока под углом Маха. Это оче-
очевидно из того, что таким свойством обладают прямые у = xfiip)
в частном решении с /2 = 0. Таким образом, и в общем случае
одно из семейств характеристик (характеристики, «исходящие»
от поверхности тела) представляет собой прямые лучи, вдоль ко-
которых все величины остаются постоянными; эти прямые, однако,
не имеют теперь общей точки пересечения.
Изложенные свойства рассматриваемого движения в мате-
математическом отношении полностью аналогичны свойствам одно-
одномерных простых волн, у которых одно из семейств характери-
характеристик представляет собой семейство прямых линий в плоскости xt
(см. § 101, 103, 104). Поэтому рассматриваемый класс течений
играет в теории стационарного плоского (сверхзвукового) дви-
движения такую же роль, какую играют простые волны в теории
нестационарного одномерного движения. Ввиду этой аналогии
эти течения тоже называют простыми волнами. В частности,
волну разрежения, соответствующую случаю /2 = 0, называют
центрированной простой волной.
Как и в нестационарном случае, одно из важнейших свойств
стационарных простых волн заключается в том, что течение во
всякой области плоскости ху, граничащей с областью однород-
однородного потока, есть простая волна (ср. § 104).
Покажем теперь, каким образом может быть построена про-
простая волна для обтекания заданного профиля.
На рис. 115 изображен обтекаемый профиль; слева от точ-
точки О он прямолинеен, далее от точки О начинается закругле-
закругление. В сверхзвуковом потоке влияние закругления распростра-
распространяется, разумеется, лишь на область потока вниз по течению
от исходящей из точки О характеристики О А. Поэтому все те-
течение слева от этой характеристики будет представлять собой
однородный поток (относящиеся к нему значения величин от-
отличаем индексом 1). Все характеристики в этой области парал-
параллельны друг другу и наклонены к оси х под углом Маха oti =
= arcsin i/)

602
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. XII
В формулах A09.12)—A09.15) угол наклона характеристик ср
отсчитывается от луча, на котором v = с = с*. Это значит (ср.
§ 112), что характеристике О А надо
,у\	приписать значение угла <р, равное
.п.	А.
arccos —,
с*
и в дальнейшем отсчитывать углы ср
для всех характеристик от направле-
направления О А' (рис. 115). Угол наклона ха-
характеристик к оси х будет тогда равен
ip* — ip, где (р* = а\ + (р\. Согласно фор-
формулам A09.12)—A09.15) скорость и дав-
давление выразятся через угол ср с помощью следующих соотно-
соотношений:
Рис. 115
vx = v cos 6, vy = v sin 6,
= cp* — cp — arctg
Уравнение же характеристик напишется в виде
y = xtg(<p*-<p)+F(<p).
A15.2)
A15.3)
A15.4)
A15.5)
A15.6)
Произвольная функция F((p) определится по заданной форме
профиля следующим образом. Пусть форма профиля задана урав-
уравнением Y = Y(X), где X и У— координаты его точек. На самой
поверхности скорость газа направлена по касательной к ней, т. е.
5 ~ dX'
A15.7)
Уравнение прямой, проходящей через точку X, Y и наклоненной
под углом (р* — (р к оси ж, есть
Это уравнение совпадает с A15.6), если в последнем положить
F(ip)=Y-Xtg(ip,-ip).	A15.8)

§ 115	СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ	603
Исходя из заданного уравнения Y = Y(X) и уравнения A15.7),
представляем форму профиля в виде параметрических уравне-
уравнений X = Х@), Y = Y@), где параметром является угол 0 на-
наклона касательной к профилю. Подставляя сюда #, выраженное
через if согласно A15.4), получаем X и Y в виде функций от <р;
наконец, подставляя их в A15.8), получим искомую функцию F(cp).
При обтекании выпуклой поверхности угол 0 наклона вектора
скорости к оси х уменьшается вниз по течению (рис. 115). Вместе
с ним монотонно убывает также и угол ср* — ср наклона характе-
характеристик (речь идет везде о характеристиках, исходящих от тела).
Благодаря этому характеристики нигде (в области течения) не
пересекаются друг с другом. Таким образом, в области вниз по
течению от характеристики О А, которая будет представлять со-
собой слабый разрыв, мы будем иметь непрерывный (без ударных
волн) монотонно разрежающийся поток.
Иначе обстоит дело при обтекании вогнутого профиля. Здесь
наклон 0 касательной к профилю, а с ним и наклон характери-
характеристик возрастают в направлении течения. В результате характе-
характеристики пересекаются друг с другом (в области течения). Но на
различных не параллельных друг другу характеристиках все ве-
величины (скорость, давление и т. п.) имеют различные значения.
Поэтому в точках пересечения характеристик все эти функции
оказываются многозначными, что физически нелепо. Аналогич-
Аналогичное явление мы имели уже в нестационарной одномерной про-
простой волне сжатия (§ 101). Как и там, оно означает здесь, что
в действительности возникает ударная волна. Положение этого
разрыва не может быть определено полностью из рассматривае-
рассматриваемого решения, выведенного в предположении его отсутствия.
Единственное, что может быть определе-
определено,— это место начала ударной волны (точ-
(точка О на рис. 116; ударная волна изображе-
изображена сплошной линией О В). Она определяется
как точка пересечения характеристик, лежа-
лежащая на наиболее близкой к поверхности те-
тела линии тока. На линиях тока, проходящих
под точкой О (ближе к телу), решение вез-
везде однозначно; в точке же О начинается его
многозначность. Уравнения, определяющие	Рис. 116
координаты жо, У о этой точки, могут быть
получены аналогично тому, как были найдены соответствующие
уравнения для определения момента и места образования разры-
разрыва в одномерной нестационарной простой волне. Если рассмат-
рассматривать угол наклона характеристик как функцию координат х
и у точек, через которые они проходят, то при значениях ж и у,
превышающих некоторые определенные жо, Уо? эта функция де-
делается многозначной. В 8 101 мы имели аналогичное положение

604	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
для функции г;(ж, ?); поэтому, не повторяя заново всех рассужде-
рассуждений, напишем сразу уравнения
0-°- @1 = °-
определяющие здесь место начала ударной волны. В математиче-
математическом отношении это — угловая точка огибающей семейства пря-
прямолинейных характеристик (ср. § 103).
Что касается области существования простой волны при об-
обтекании вогнутого профиля, то вдоль линий тока, проходящих
над точкой О, оно применимо вплоть до места пересечения этих
линий с ударной волной. Линии же тока, проходящие под точ-
точкой О, с ударной волной вообще не пересекаются. Однако от-
отсюда нельзя сделать заключение о том, что вдоль них рассма-
рассматриваемое решение применимо везде. Дело в том, что возни-
возникающая ударная волна оказывает возмущающее влияние и на
газ, текущий вдоль этих линий тока, и таким образом наруша-
нарушает движение, которое должно было бы иметь место в ее отсут-
отсутствии. В силу свойства сверхзвукового потока эти возмущения
будут, однако, проникать лишь в область газа, находящуюся вниз
по течению от характеристики О А, исходящей из точки нача-
начала ударной волны (одна из характеристик второго семейства).
Таким образом, рассматриваемое здесь решение будет приме-
применимым во всей области слева от линии АО В. Что касается са-
самой линии О А, то она будет представлять собой слабый разрыв.
Мы видим, что непрерывная (без ударных волн) во всей области
простая волна сжатия вдоль вогнутой поверхности, аналогичная
простой волне разрежения вдоль выпуклой поверхности, невоз-
невозможна.
В ударной волне, возникающей при обтекании вогнутого про-
профиля, мы имеем пример волны, «начинающейся» от некоторой
точки, расположенной в самом потоке вдали от твердых стенок.
Такая точка «начала» ударной волны обладает некоторыми об-
общими свойствами, которые мы здесь отметим. В самой точке на-
начала интенсивность ударной волны обращается в нуль, а вбли-
вблизи нее мала. Но в ударной волне слабой интенсивности скачок
энтропии и ротора скорости — величины третьего порядка мало-
малости, и потому изменение течения при прохождении через волну
отличается от непрерывного потенциального изэнтропического
изменения лишь в величинах третьего порядка. Отсюда следует,
что в отходящих от точки начала ударной волны слабых раз-
разрывах должны испытывать скачок лишь производные третьего
порядка от различных величин. Таких разрывов будет, вообще
говоря, два: слабый разрыв, совпадающий с характеристикой, и
тангенциальный слабый разрыв, совпадающий с линией тока (см.
конец § 96).

§ 116	УРАВНЕНИЕ ЧАПЛЫГИНА	605
§ 116. Уравнение Чаплыгина (общая задача
о двумерном стационарном движении сжимаемого газа)
Рассмотрев стационарные простые волны, перейдем теперь к
общей задаче о произвольном стационарном плоском потенци-
потенциальном движении. Говоря о потенциальном течении, мы подра-
подразумеваем, что движение изэнтропично и что в нем отсутствуют
ударные волны.
Оказывается возможным свести поставленную задачу к реше-
решению всего одного линейного уравнения в частных производных
(С.А. Чаплыгин, 1902). Это осуществляется путем преобразова-
преобразования к новым независимым переменным — компонентам скорости
vXi vy (это преобразование часто называют преобразонанием го-
годографа] плоскость переменных vx, vy называют при этом плоско-
плоскостью годографа, а плоскость ху — физической пло-
плоскостью) .
Для потенциального движения вместо уравнений Эйлера
можно написать сразу их первый интеграл, т. е. уравнение Бер-
нулли:
w + — = w0.	A16.1)
Уравнение непрерывности имеет вид
^-(pvx) + ^-(pvy) = 0.	A16.2)
ох	ду
Для дифференциала потенциала (р скорости имеем
dip = vx dx + vy dy.
Произведем преобразование от независимых переменных ж, у к
независимым переменным vXi vy путем преобразования Лежан-
дра. Для этого запишем:
dip = d(xvx) - х dvx + d(yvy) -ydvy.
Вводя функцию
Ф = -if + xvx + yvy,	A16.3)
получаем
d<& = x dvx + у dvy,
где Ф рассматривается как функция от vx и vy. Отсюда имеем
ж=-—, У=^~ •	A16.4)
ovx	ovy
Удобнее, однако, пользоваться не декартовыми компонентами
скорости, а ее абсолютной величиной v и углом б, образуемым
ею с осью х:
vx = vcosO^ vy = vsm6.	A16.5)

606	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
Произведя соответствующее преобразование производных, легко
получаем вместо A16.4) следующие соотношения:
х = cost/— —	, у = smt/— +	.	116.6
dv	v дО' У	dv	v дв	V	J
Связь между потенциалом ср и функцией Ф дается при этом про-
простой формулой
(р = -ф + ьЁ1,	(П6.7)
OV
Наконец, для того чтобы получить уравнение, определяющее
функцию Ф(г>, #), надо преобразовать к новым переменным урав-
уравнение непрерывности A16.2). Написав производные в виде яко-
якобианов:
д(рух, у) _ д(руу, х) _ q
д(х, у) д(х, у)
умножив затем на д(х, y)/d(v, в) и подставив сюда значения vx
и vy из A16.5), имеем
d(pvcos6, у) d(pvsin6, х) _ ^
d(v, в) ~ d(v, в) ~
При раскрытии этих якобианов надо подставить для хну выра-
ж:ения A16.6). Кроме того, поскольку энтропия s является задан-
заданной постоянной величиной, то, выразив плотность в виде функ-
функции от s и w и подставив для w выражение w = г^о — ^2/2, мы
найдем, что плотность может быть написана в виде функции
только от скорости: р = p(v). Имея все это в виду, получим пос-
после простых преобразований следующее уравнение:
d(pv)(d$ , 1д2Ф\ , д2Ф п
кг } — +	+ pv	= 0.
dv V dv v дв2 )	dv2
Согласно (83.5) имеем
и в результате получим окончательно для функции Ф(г>, в) сле-
следующее уравнение Чаплыгина:
оч j g!i + ,gj = o.	(П6.8)
дв2 l-v2/c2dv2 dv	V	7
Здесь скорость звука является заданной функцией скорости,
с = с(г>), определяемой уравнением состояния газа и уравнением
Вернул ли.
Уравнение A16.8) вместе с соотношениями A16.6) заменя-
заменяет собой уравнения движения. Таким образом, задача о решении
нелинейных уравнений движения сводится к решению линейного

§ 116	УРАВНЕНИЕ ЧАПЛЫГИНА	607
уравнения для функции Ф(г>, в). Правда, нелинейными оказыва-
оказываются зато граничные условия для этого уравнения. Эти условия
заключаются в следующем. На поверхности обтекаемого тела
скорость газа направлена по касательной к ней. Выразив коорди-
координаты уравнения поверхности в виде параметрических уравнений
X = X@),Y = Y@) (как это было объяснено в предыдущем па-
параграфе) и подставив X и Y в A16.6) вместо ж и у, мы получим
два уравнения, которые должны удовлетворяться при всех зна-
значениях #, что возможно отнюдь не при всякой функции Ф(г>, 0).
Граничное условие как раз и будет заключаться в требовании,
чтобы оба эти уравнения были совместными при всех #, т. е. одно
из них должно быть автоматическим следствием другого.
Удовлетворения граничных условий, однако, еще не доста-
достаточно для того, чтобы гарантировать пригодность полученного
решения уравнения Чаплыгина для определения реального те-
течения во всей области движения в физической плоскости. Необ-
Необходимо еще выполнение следующего требования: якобиан
д _ д(х, у)
д@, v)
нигде не должен менять знак, проходя через нуль (за исклю-
исключением лишь тривиального случая, когда обращаются в нуль
все четыре составляющие его производные). Легко видеть, что
если это условие нарушается, то при прохождении через опре-
определенную равенством А = 0 (так называемую предельную) ли-
линию в плоскости ху решение, вообще говоря, становится комп-
комплексным :) . Действительно пусть на линии v = vq@) имеем А =
= 0 и пусть при этом (ду/д0)у ^ 0. Тогда имеем
_ (дх\ =0
\dvJy
dyJv д(у,в)д(у,у) d(v,y) \dvJy
Отсюда видно, что вблизи предельной линии v как функция от
х (при заданном у) определяется уравнением вида
1(д2х\ ,	ч2
х-х0 = -(—) ^-^о ,
2 \ov2 /у
и по одну из сторон от предельной линии v становится комп-
комплексной 2) .
) Прохождение же через нуль путем обращения А в бесконечность не за-
запрещается. Если на некоторой линии 1/А = 0, то это приводит лишь к
тому, что соответствие между плоскостями ху и v6 становится не взаимно
однозначным в том смысле, что при обходе плоскости ху некоторая часть
плоскости v9 проходится дважды или трижды.
2) Это утверждение остается, очевидно, справедливым и в тех случаях,
когда одновременно с А обращается в нуль и (d2x/dv2)y, но производная
(dx/dv)y по-прежнему меняет знак при v = г>о, т. е. разность х — хо пропор-
пропорциональна более высокой четной степени v — vq.

608	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
Легко видеть, что предельная линия может появиться лишь
в областях сверхзвукового движения. Непосредственное вычис-
вычисление с использованием соотношений A16.6) и уравнения A16.8)
дает
/ д2Ф
\dOdv
~дв)
A16.
Ясно, что при v ^ с всегда А > 0, и лишь при v > с А может
изменить знак, пройдя через нуль.
Появление в решении уравнения Чаплыгина предельных ли-
линий свидетельствует о том, что в данных конкретных условиях
невозможен непрерывный во всей области движения режим об-
обтекания, и в потоке должны возникать ударные волны. Следует,
однако, подчеркнуть, что положение этих волн отнюдь не совпа-
совпадает с предельными линиями.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай
сверхзвукового стационарного двумерного течения (простую
волну), характерный тем, что в нем величина скорости явля-
является функцией только ее направления: v = v@). Это решение
не могло бы быть получено из уравнения Чаплыгина; для него
тождественно 1/Д = 0, и оно теряется, когда при преобразовании
к плоскости годографа приходится умножать уравнение движе-
движения (уравнение непрерывности) на якобиан А. Положение здесь
аналогично тому, что мы имели в теории одномерного нестацио-
нестационарного движения. Все сказанное в § 105 о взаимоотношении
между простой волной и общим интегралом уравнения A05.2)
полностью относится и ко взаимоотношению между стационар-
стационарной простой волной и общим интегралом уравнения Чаплыгина.
Положительность якобиана А при дозвуковом движении по-
позволяет установить определенное правило, относящееся к на-
направлению поворота скорости вдоль потока (А.А. Никольский,
Г.И. Таганов, 1946). Имеем тождественно
1 = 0@, у) _ 0@, у) 0(ж, у)
А 0(ж, у) 0(ж, у) 0(ж, у)'
или
dxJv\dy
В дозвуковом потоке А > 0, и мы видим, что производные
(дв/дх)у и (dv/dy)x имеют одинаковый знак. Этот результат
имеет простой геометрический смысл: если передвигаться вдоль
линии v = const = ^о так, чтобы область v < vq лежала справа, то
угол в будет монотонно возрастать, т. е. вектор скорости моно-
монотонно поворачивается против часовой стрелки. Этот результат

§ 117	ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ	609
относится, в частности, и к линии перехода из до- в сверхзвуко-
сверхзвуковое течение, вдоль которой v = с = с*.
В заключение выпишем уравнение Чаплыгина для политроп-
ного газа выразив в нем в явном виде с через v:
v
Это уравнение обладает семейством частных интегралов, выра-
выражающихся через гипергеометрические функции г) .
§ 117. Характеристики плоского стационарного течения
Некоторые общие свойства характеристик плоского стацио-
стационарного (сверхзвукового) движения были рассмотрены уже в
§ 82. Выведем теперь уравнения, определяющие эти линии по
заданному решению уравнений движения.
В плоском стационарном сверхзвуковом потоке имеется в об-
общем случае три семейства характеристик. По двум из них (ко-
(которые мы будем называть характеристиками G+ и G_) распро-
распространяются все малые возмущения, за исключением лишь воз-
возмущений энтропии и ротора скорости; последние распространя-
распространяются по характеристикам третьего семейства Со, совпадающим
с линиями тока. Для заданного течения линии тока известны, и
вопрос заключается в определении характеристик первых двух
семейств.
Направления проходящих через каждую точку плоскости ха-
характеристик G+ и С- расположены по обе стороны от проходя-
проходящей через ту же точку линии тока и образуют с ней угол, равный
местному значению угла возмущений а (см. рис. 51). Обозначим
через ттт-о тангенс угла наклона к оси (угловой коэффициент) ли-
линии тока в данной ее точке, а через т+ и т_ —угловые коэф-
коэффициенты характеристик G+ и G_. Тогда по формуле сложения
тангенсов напишем:
т+ — то ,	гп- — то	,
= tg«	= -tga,
1 + тот+	1 +
откуда
т±=
1 =F mo tga
:) См., например, Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродина-
аэродинамики.— М.: Наука, 1966, гл. X; Мизес Р. Математическая теория течений
сжимаемой жидкости. — М.: ИЛ, 1961, § 20.
20 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

610	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
(верхние знаки относятся везде к С+, а нижние —к С_). Подста-
Подставив сюда
и произведя сокращения, получим следующее выражение для уг-
угловых коэффициентов характеристик:
)	_
dx J ±	v2 — с2
Если распределение скоростей в потоке известно, то это есть
дифференциальное уравнение, определяющее характеристики С+
иС.1).
Наряду с характеристиками в плоскости ху можно рассма-
рассматривать также и характеристики в плоскости годографа, в осо-
особенности полезные при изучении изэнтропического потенциаль-
потенциального течения, о котором мы и будем ниже говорить. С математи-
математической точки зрения это — характеристики уравнения Чаплыги-
Чаплыгина A16.8) (принадлежащего при v > с к гиперболическому типу).
Следуя известному из математической физики общему методу
(см. § 103), с помощью коэффициентов этого уравнения состав-
составляем уравнение характеристик:
224=о,
1 - V2/С2
или
dv ) ±	v У с2
Определяемые этим уравнением характеристики не зависят от
конкретного решения уравнения Чаплыгина, что связано с неза-
независимостью коэффициентов последнего от Ф. Характеристики в
плоскости годографа, являющиеся отображением характеристик
С+ и С- в физической плоскости, мы будем условно называть
соответственно характеристиками Г+ и Г_ (знаки в A17.2) соот-
соответствуют этому условию).
Интегрирование уравнения A17.2) дает соотношения вида
J+(v, в) = const, J-(v, в) = const. Функции J+ и J_ представ-
представляют собой величины, остающиеся постоянными соответственно
вдоль характеристик G+ и С- (инварианты Римана). Для поли-
:) Уравнение A17.1) определяет характеристики и для стационарного осе-
симметрического течения, если только заменить vy и у на vr иг, где г —
цилиндрическая координата (расстояние от оси симметрии — оси ж); ясно,
что весь вывод не изменится, если вместо плоскости ху рассматривать про-
проходящую через ось симметрии плоскость хг.

§ П7
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
611
тропного газа уравнение A17.2) может быть проинтегрировано
в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вы-
вычисления заново, так как результат может быть написан заранее
с помощью формул A15.3), A15.4). Действительно, согласно об-
общим свойствам простых волн (см. § 104) зависимость v от в в
простой волне как раз и определяется условием постоянства во
всем пространстве одного из инвариантов Римана. Произвольной
постоянной в формулах A15.3) и A15.4) является <р*; исключая
из этих формул параметр <р, получим
^=»4™"\/?FI)
arcsin
. A17.3)
Характеристики в плоскости годографа представляют собой се-
семейство эпициклоид, заполняющих пространство между двумя
окружностями радиусов (рис. 117):
v = с*
и v =
Для изэнтропического потенциального
движения характеристики Г+ и Г_ обла-
обладают следующим важным свойством: семей-
семейства характеристик Г+ и Г_ ортогональны
соответственно характеристикам С_ и С+
(предполагается, что оси координат ж, у изо-
изображены параллельными осям vXl vy) x) .
Для доказательства этого утверждения исходим из уравне-
уравнения A14.3) для потенциала плоского течения, имеющего вид
Рис. 117
дх2
дх ду
ду2
A17.4)
(существенно, что в нем отсутствует свободный член).
Угловые коэффициенты т± характеристик С± определяются
как корни квадратного уравнения
Am2 - 2Вт + С = 0.
Рассмотрим выражение dv? dx~ + dv+ dy~, в котором диф-
дифференциалы скорости берутся вдоль характеристики Г+, а
) Это утверждение не относится к характеристикам осесимметрического
движения в плоскости хг\
20*

612	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
дифференциалы координат — вдоль С_. Имеем тождественно:
dv? dx~ + dv? dy~ =
= ^dx+dx~ + -p?-(dx+dy- + dx~dy+) + ^dy+dy-.
ox2	ox oy	oy2
Разделив это выражение на dx+ dx~, получим в качестве коэф-
коэффициентов при д2(р/дх ду и д2(р/ду2 соответственно т+ +га_ =
= 2В/А и т+т- = С/А, после чего ясно, что в силу уравнения
A17.4) выражение обращается в нуль. Таким образом,
dv? dx~ + dv^ dy~ = rfv+ dr~ = 0.
Аналогично получим
dv~ dr+ = 0.
Эти равенства и выражают собой сделанное выше утверждение.
§ 118. Уравнение Эйлера—Трикоми. Переход
через звуковую скорость
Существенный принципиальный интерес имеет исследование
особенностей течения, возникающих при переходе из до- в сверх-
сверхзвуковую область, или обратно. Стационарные течения, сопро-
сопровождающиеся таким переходом, называются смешанными или
трансзвуковыми, а самую границу перехода называют переход-
переходной или звуковой поверхностью.
Для исследования течения вблизи границы перехода в осо-
особенности удобно уравнение Чаплыгина, сильно упрощающееся в
этой области.
На границе перехода г> = с = с*, а вблизи нее (в околозвуковой
области) разности v — с*, и с — с* малы и связаны друг с другом
соотношением A14.8):
v--l = aJ^-l
С
Произведем соответствующие упрощения в уравнении Чаплыги-
Чаплыгина. Третий член уравнения A16.8) мал по сравнению со вторым,
содержащим 1 — v2 /с2 в знаменателе. Во втором же члене пола-
полагаем приближенно
2	2
V	С*	С*
l-v2/c2 2A -v/c) 2a*(l-v/c#)
Наконец, вводя вместо скорости v новую переменную
^,	A18.1)

§ П8
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ
613
получим искомое уравнение в виде
дц2
дв2
A18.2)
Уравнение такого вида в математической физике называется
уравнением Эйлера-Трикоми :) . В полуплоскости т\ > 0 оно от-
относится к гиперболическому, а в полуплоскости т\ < 0 — к эл-
эллиптическому типу. Мы рассмотрим здесь ряд чисто математи-
математических свойств этого уравнения, которые су-
существенны для исследования тех или иных
конкретных физических случаев.
Характеристики уравнения A18.2) опре-
определяются уравнением
rjdr]2 -d62 = 0,	~~
имеющим общий интеграл:
в±-т]3/2 = С,	A18.3)
где С — произвольная постоянная. Это урав-	Рис. 118
нение изображает в плоскости т]в два семей-
семейства характеристик, представляющих собой ветви полукубиче-
полукубических парабол, расположенных в правой полуплоскости с точками
возврата на оси в (рис. 118).
При исследовании движения в небольшой области простран-
пространства, в которой направление скорости газа меняется незначитель-
незначительно 2) , всегда можно выбрать направление оси х так, чтобы от-
отсчитываемый от нее угол в во всей рассматриваемой области был
малым. Тогда сильно упрощаются также и уравнения A16.6),
определяющие координаты ж, у по функции Ф(г/, в) 3) :
	 /^ \1/з$Ф		 дФ
х -у а*> ^"' у ~ ~дв'
Для того чтобы избежать появления в формулах лишнего мно-
множителя Bа*I , мы будем ниже, в § 118-121, пользоваться
вместо координаты х величиной хBа*I/3, обозначая ее той же
1)	К рассматриваемой газодинамической проблеме уравнение Трикоми бы-
было привлечено Ф.И. Франклем A945).
2)	Слова «небольшая область» не следует, разумеется, понимать букваль-
буквально. Речь может идти и об исследовании окрестности бесконечно удаленной
точки, т. е. о течении на достаточно больших расстояниях от обтекаемого
тела,
з
) Мы опустили в правых частях равенства множители 1/с*; это означает
лишь замену функции Ф на с*Ф, не меняющую уравнения A18.2) и потому
всегда допустимую.

614	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
буквой х. Тогда
ОФ	дФ
<V у дв
Полезно заметить, что ввиду такой простой связи с Ф функ-
функция у(г], в) (но не ж(г/, в)) тоже удовлетворяет уравнению Эйле-
ра-Трикоми. Имея это в виду, можно написать якобиан преобра-
преобразования из физической плоскости в плоскость годографа в виде
Как уже сказано, уравнение Эйлера-Трикоми приходится
обычно применять для исследования свойств решения в окрест-
окрестности начала координат в плоскости т\в. В физически интерес-
интересных случаях эта точка представляет собой особую точку реше-
решения. В связи с этим особое значение приобретает семейство част-
частных интегралов уравнения Эйлера-Трикоми, обладающих опре-
определенными свойствами однородности. Именно, речь идет о ре-
решениях, однородных по отношению к переменным в3 и г/3; та-
такие решения должны существовать, поскольку преобразование
в2 —>• а#2, г/3 —>• arf* оставляет инвариантным уравнение A18.2).
Будем искать эти решения в виде
где к — постоянная (степень однородности функции Ф по отноше-
отношению к указанному преобразованию). Переменную ? мы выбрали
такой, что она обращается в нуль на характеристиках, проходя-
проходящих через точку г/ = в = 0. Сделав подстановку, получим для
функции /(?) уравнение
Это — частный случай гипергеометрического уравнения. С по-
помощью известного выражения для двух независимых интегралов
гипергеометрического уравнения находим искомое решение (при
нецелом числе 2к + 1/6) в виде
+г- ,к+2- ,2к+7-; 1-^I. (И8.6)
6	3	6	9(92/J V	J
С помощью известных соотношений между гипергеометрически-
гипергеометрическими функциями от аргументов z, -, 1 — z, 	, 	можно пред-
z	1 — z 1 — z

§ 118	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ	615
ставить это решение еще в пяти других видах; при исследовании
различных конкретных случаев приходится пользоваться всеми
этими видами :) . Мы приведем здесь лишь следующие два вида:
2 3
»2/3 V	3	6 3 96>2
(постоянные А, В в формулах A18.6)-A18.8), конечно, не совпа-
совпадают) . Из этих выражений сразу следует важное свойство функ-
функций Ф&, не видное непосредственно из выражения A18.6): линии
7/ = 0и# = 0не являются их особыми линиями (из A18.7) вид-
видно, что вблизи т\ = О Ф& разлагается по целым степеням г/, а из
A18.8) —то же самое по в). Из выражения же A18.6) видно, что
характеристики, напротив, являются особыми линиями общего
(т. е. содержащего обе постоянные А ж В) однородного интегра-
интеграла Ф& уравнения Эйлера-Трикоми: при нецелом 2& + 1/6 точками
разветвления обладает множитель (9в2 — 4г/3J/с+1/6, а при целом
2к + 1/6 один из членов в A18.6) вообще теряет смысл 2) (либо
при 2к + 1/6 = 0 совпадает с другим) и должен быть заменен
вторым независимым решением гипергеометрического уравне-
уравнения, имеющим, как известно, в этом случае логарифмическую
особенность.
Между интегралами Ф& с различными значениями к имеются
следующие соотношения:
/	(П8.9)
/ ^	A18-10)
Первое следует непосредственно из выражения A18.6), а вто-
второе—из того, что функция дФ^/дв удовлетворяет уравнению
Эйлера-Трикоми и имеет ту же степень однородности, что и
Ф/с-1/2- В этих формулах под Ф& подразумевается, конечно, об-
общее выражение с двумя произвольными постоянными.
1)	Соответствующие формулы можно найти, например, в т. Ill § e Мате-
Математического дополнения.
2)	Напомним, что ряд F(a, /3, 75 z) ПРИ 7 = 0> — 1, —2, ... теряет смысл.

616
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. XII
При исследовании решения в окрестности точки г/ = 6 = О
приходится следить за его изменением при обходе вокруг этой
точки. Пусть, например, функция Ф& A18.6) изображает реше-
решение в точке А вблизи характеристики 6 = B/3)г/3/2 (рис. 119)
и требуется найти форму решения
вблизи характеристики 6 = — B/3)г/3/2
(в точке В). Переход вдоль АВ свя-
связан с пересечением оси абсцисс; меж-
между тем значение 6 = 0 есть особая точ-
точка гипергеометрических функций в вы-
выражении A18.6), так как их аргумент
обращается в бесконечность. Поэтому
для совершения перехода необходимо
сначала применить к гипергеометриче-
гипергеометрическим функциям преобразование, пере-
переводящее их в функции обратного аргу-
/ 9<92 \	а ел
мента (	), для которых 6 = 0
е
/
1
1
1
\
\
\
\
\
\ , у
Рис. 119
уже не будет особой точкой, после чего меняем знак 6 и повтор-
повторным таким же преобразованием переводим их в функции преж-
прежнего аргумента. Таким способом получим для функций, входя-
входящих в выражение A18.6), следующие формулы преобразования:
r(-2]fe-±W-21fe+-
2 sin | тг ( 2k + -
6
->> --
2 sin | тг ( 2k + -
6
r(-2fc)r( -2k--
О
Г | 2к+ -]Г[2к+ -
V 67 V 6
A18.11)
причем под F\ и i7^ подразумеваются выражения
Fi = \6\2kF(-k, -k + -, -2fe + -; I - -^-V
' ' V '	2	6	9(92 /'
\2к
9(92
2/C+1/6
6'
3'
(в
б'
9<92/'
A18.12)
в которых в и 1 — 4г/3/(9б2) в коэффициентах при гипергеомет-
гипергеометрических функциях берутся по их абсолютным значениям.
Аналогичным образом можно получить формулы преобра-
преобразования при переходе из точки А' в точку В' (рис. 119) путем
обхода начала координат в обратном направлении. Вычисления

§ 118	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ	617
при этом более громоздки, так как приходится проходить через
три особые точки гипергеометрических функций — точку с в = О
и два раза точки с г/ = 0 (напомним, что особыми точками ги-
гипергеометрической функции аргумента z являются точки z = 1
и z = оо). Окончательные формулы имеют вид
sin тг ( 4к
sin | тг ( 2& + -
6
Г(-2к)г(-2к- -
J A18.13)
sin I тг ( 4k — —
sin | тг ( 2k + -
6
3,
Наряду с рассмотренным семейством однородных решений
можно построить, конечно, и другие семейства частных интегра-
интегралов уравнения Эйлера-Трикоми. Укажем здесь семейство реше-
решений, возникающих в связи с разложением Фурье по углу в. Если
искать Ф в виде
Ф^йД^е^"*,	A18.14)
где ^ — произвольная постоянная, то для функции gu получим
уравнение
Это — уравнение функций Эйри; его общий интеграл есть
A18.15)
где Z\j% — произвольная линейная комбинация функций Бесселя
порядка 1/3.
Наконец, полезно иметь в виду, что общий интеграл уравне-
уравнения Эйлера-Трикоми может быть написан в виде
ф = //(<;) dz, С = ^ - 3r]z + 36>,	A18.16)
с

618	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
где /(?) — произвольная функция, а интегрирование производит-
производится в плоскости комплексного переменного z по любому контуру
С, на концах которого производная /'(С) принимает одинаковые
значения. Действительно, непосредственная подстановка выра-
выражения A18.16) в уравнение дает
с
т. е. уравнение удовлетворяется.
§ 119. Решения уравнения Эйлера—Трикоми
вблизи неособых точек звуковой поверхности
Выясним теперь, какие решения Ф& соответствуют тем случа-
случаям, когда в окрестности границы перехода течение газа не обла-
обладает никакими физическими особенностями (нет слабых разры-
разрывов или ударных волн). Для этого, однако, удобнее исходить
не непосредственно из уравнения Эйлера-Трикоми, а из урав-
уравнения для потенциала скорости в физической плоскости. Та-
Такое уравнение было выведено в § 114; для плоского движения
уравнение A14.10) после введения новой координаты согласно
х —>> хBа*I/3 принимает вид
Напомним, что потенциал ср определен здесь таким образом, что
его производные по координатам дают скорость согласно равен-
равенствам
ох	ду
Заметим также, что уравнение Эйлера-Трикоми можно полу-
получить и непосредственно из уравнения A19.1), переходя к незави-
независимым переменным #, т\ с помощью преобразования Лежандра,
причем будет Ф = — (р + хт\ + ув, или
у = -Ф + г,м+е™	(П9.3)
дц дв
Выбрав начало координат ж, у в точке звуковой линии, ок-
окрестность которой мы исследуем, разложим ср по степеням х и
у. В общем случае первый член разложения, удовлетворяющего
уравнению A19.1), есть
ср = -ху.	A19.4)
а

§ 119	РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ	619
При этом в = ж/а, г/ = у/а, так что
Ф = авт].	A19.5)
По степени однородности этой функции ясно, что ему соответ-
соответствует одна из функций Ф5/65 эт0 есть второй член выражения
A18.7), в котором гипергеометрическая функция с к = 5/6 сво-
сводится просто к 1:
2' ' 3' 9(92,
Если мы хотим найти уравнение звуковой линии в физиче-
физической плоскости, то написанный первый член разложения недо-
недостаточен. Следующий член разложения Ф имеет степень одно-
однородности 1, т. е. соответствует одной из функций Ф]_; это есть
первый член выражения A18.7), сводящийся при к = 1 к поли-
полиному:
V ' ~2' 3' 90V ~ + ~3~*
Таким образом, первые два члена разложения Ф:
Отсюда
х = ав + Ьг]2, у = аг] + 2Ьв.	A19.7)
Звуковая линия (г/ = 0) есть прямая у = 2Ьх/а.
Для нахождения же уравнения характеристик в физической
плоскости достаточен первый член разложения. Подставляя
в = х/а, п = у/а в уравнение годографи- _
1 ' ' и/	Jt^	Г) ^ ^ Линия тока
ческих характеристик в = =Ь2г/ ' /3, по-
получим	V Характеристика
)•	A19.6)
т. е. снова две ветви полукубической пара-
параболы с точкой возврата на звуковой линии
(жирная кривая на рис. 120).
Это свойство характеристик заранее
очевидно из следующих простых сообра-
соображений. В точках линии перехода угол Ма-
Маха равен тг/2. Это значит, что касательные	рис -^о
к характеристикам обоих семейств совпа-
совпадают, что и означает наличие здесь точки возврата (рис. 120).
Линии же тока пересекают звуковую линию перпендикулярно к
характеристикам, не имея здесь особенностей.

620	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
Решение A19.6) неприменимо в том исключительном случае,
когда линия тока перпендикулярна к звуковой линии в рассма-
рассматриваемой точке :) . Вблизи такой точки течение, очевидно, сим-
симметрично относительно оси х. Этот случай требует особого рас-
рассмотрения (Ф.И. Франкль и СВ. Фалъкович, 1945).
Симметрия течения означает, что при изменении знака у ско-
скорость vy меняет знак, a vx остается неизменной. Другими сло-
словами, потенциал ср должен быть четной функцией у (а потен-
потенциал Ф — четной функцией в). Первые члены разложения ср бу-
будут поэтому в этом случае иметь следующий вид:
^ 2	2	24	v J
(относительный порядок малости ж и у не предопределен, так
что все три написанных члена могут быть одинакового порядка).
Отсюда находим следующие формулы преобразования из физи-
физической плоскости в плоскость годографа:
v = ах + ^, в = а2ху + ^.	A19.9)
2	6
Уже не решая этих уравнений относительно х л у в явном виде,
легко видеть, что степень однородности функции у@, г/) равна
1/6. Поэтому соответствующая функция Ф имеет к = 1/6 + 1/2 =
= 2/3, т. е. заключена в общем интеграле <1>2/з-
Исключив из уравнений A19.9) ж, получим для определения
функции уF, г/) кубическое уравнение
(ayf - Зщу + 36 = 0.	A19.10)
При в2 — 4г/3/9 > 0, т. е. во всей области слева от годографиче-
ских характеристик, проходящих через точку т\ = в = 0 (в том
числе во всей дозвуковой области, г/ < 0; рис. 121), это уравнение
имеет всего один вещественный корень, который и должен быть
взят в качестве функции уF, г/). В области же справа от характе-
характеристик вещественны все три корня; из них должен быть взят тот,
который является продолжением вещественного в левой области
корня.
Характеристики в физической плоскости (проходящие через
начало координат) получаются подстановкой выражений A19.9)
в уравнение 4г/3 = 9в2. Это дает две параболы:
характеристики 23 и 56 : х = —ау2/4,
характеристики 34 и 45 : х = ау /2
Г)	lJ-J.ty.J-J.)
/2
:) В решении A19.6) этому соответствовало бы равенство нулю постоянной
а; но при а = 0 это решение теряет смысл, так как на линии г\ = 0 обращается
в нуль якобиан А.

§ П9
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ
621
(цифры указывают, какие две области в физической плоскости
разделяет данная характеристика). Звуковая же линия (г/ = О
в плоскости годографа) в физической плоскости есть парабола
х = —ау2/2 (жирная кривая на рис. 121). Отметим следующую
особенность точки пересечения звуковой линии с осью симмет-
симметрии: из этой точки исходят четыре ветви характеристик, между
тем как из всякой другой точки звуковой линии —всего две.
Рис. 121
На рис. 121 одинаковыми цифрами отмечены соответствую-
соответствующие друг другу области плоскости годографа и физической плос-
плоскости. Это соответствие — не взаимно однозначное х) ; при пол-
полном обходе вокруг начала координат в физической плоскости
область между двумя характеристиками в плоскости годогра-
годографа проходится трижды, как это указано штриховой линией на
рис. 121, дважды отражающейся от характеристик.
Поскольку функция уF, г]) сама удовлетворяет уравнению
Эйлера-Трикоми, то она должна содержаться в общем интеграле
<&i/q. Вблизи характеристики 23 в физической плоскости это есть
У
а\2 )
V3 /_1 1 1	4^4
V б' 3' 2'	9в2)
A19.12)
(первый член выражения A18.6), не имеющий особенности на ха-
характеристике). Производя ее аналитическое продолжение в
окрестность характеристики 56 (по пути, проходящему через до-
дозвуковую область i, т. е. с помощью формул A18.13)), мы по-
получим там такую же функцию. Вблизи же характеристик 34
) В соответствии с тем, что на характеристике х = ау /2 в физической
плоскости имеем А = оо (см. примеч. на с. 607).

622	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
и 45 у@, г]) представится линейными комбинациями этой функ-
функции и функции
-^-)	A19.13)
9<92 /	v	J
(второй член выражения A18.6)); эти комбинации получаются
путем аналитического продолжения с помощью формул A18.11)
(причем надо иметь в виду, что при каждом отражении от го-
дографической характеристики квадратный корень в функции
A19.13) меняет знак).
С математической точки зрения полученные результаты по-
показывают, что функции <&i/q являются линейными комбинация-
комбинациями корней кубического уравнения
36> = 0,	A19.14)
т. е. сводятся к алгебраическим функциям :) . Вместе с Фх/6 сво-
сводятся к алгебраическим функциям также и все Ф& с
к = -±-, гс = 0, 1, 2, ... ,	A19.15)
и ?
получающиеся согласно формулам A18.9) и A18.10) из Фх/6
путем последовательных дифференцирований (Ф.И. Франклъ,
1947).
К алгебраическим функциям сводятся также те функции Ф& с
fc = ±|, ^ = i±|,	A19.16)
в которых гипергеометрическая функция сводится к полиному 2)
(так, при к = п/2 это есть первый член, а при к = —п/2 — второй
член выражения A18.6)).
К этим трем семействам алгебраических функций Ф& отно-
относятся, в частности, все те функции, которые могут соответство-
соответствовать (в качестве потенциала Ф) течениям, не имеющим ника-
никаких особенностей в физической плоскости. Именно, для таких
течений все члены разложения Ф вблизи несимметричной точ-
точки линии перехода (первые два члена которого даются форму-
формулой A19.6)) могут иметь лишь к = 5/6 + п/2 или к = 1 + п/2.
Разложение же Ф вблизи симметричной точки (начинающееся
членом с к = 2/3) может, кроме того, содержать еще функции
с к = 2/3 +п/2.
) Пользоваться явным выражением этих функций, получаемым из
A19.14) с помощью формулы Кардана, фактически неудобно.
2) Здесь надо иметь в виду, что F(a, /3, 75 z) сводится к полиному, если
для а (или /3) имеет место а = — п или j — а = —п.

§ 120	ОБТЕКАНИЕ СО ЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ	623
§ 120. Обтекание со звуковой скоростью
Упрощенное уравнение Чаплыгина в форме уравнения Эйле-
ра-Трикоми должно, в принципе, применяться к исследованию
основных качественных особенностей стационарного плоского об-
обтекания тел, связанных с наличием в нем околозвуковых обла-
областей. Сюда относятся, в первую очередь, вопросы, связанные
с возникновением ударных волн. В околозвуковой зоне интен-
интенсивность ударной волны мала; подчеркнем, что именно это об-
обстоятельство делает законным применение уравнения Эйлера-
Трикоми в этих условиях. Напомним (см. § 86, 114), что в слабой
ударной волне изменение энтропии и ротора скорости — величи-
величины более высоких порядков малости; поэтому в первом прибли-
приближении движение можно считать изэнтропическим и потенциаль-
потенциальным и позади разрыва.
В этом параграфе мы рассмотрим теоретически важный во-
вопрос — о характере стационарного плоского обтекания, когда ско-
скорость набегающего потока равна в точности скорости звука.
Мы увидим, что при таком обтекании непременно имеется
простирающаяся от тела до бесконечности ударная волна. Отсю-
Отсюда следует важное заключение о том, что ударная волна должна
впервые возникнуть при числе Моо, во всяком случае меньшем
единицы.
Итак, рассмотрим плоское обтекание тела с бесконечно длин-
длинным размахом («крыла») произвольного, не обязательно сим-
симметричного сечения. При этом мы будем интересоваться карти-
картиной течения на достаточно больших (по сравнению с размера-
размерами) расстояниях от тела. Для удобства изложения мы сначала
опишем качественно получающиеся результаты, а
затем перейдем к количественному расчету. На
рис. 122 АВ и А'В' — звуковые линии, так что сле-
слева от них (вверх по течению) лежит целиком до-
дозвуковая область; стрелкой изображено направ-
направление натекающего потока (которое мы ниже вы- *—>
бираем в качестве оси х с началом где-либо в рай-
районе тела). На некотором расстоянии от линии пе-
перехода возникают «исходящие» от тела ударные
волны (EF и E'F' на рис. 122). Оказывается, что	в' \\F'
все исходящие от тела характеристики (в области
между линией перехода и ударной волной) можно ри ^
разделить на две группы. Характеристики первой
группы достигают звуковой линии, оканчиваясь на ней (или, ина-
иначе говоря, отражаясь от нее в виде характеристики, приходящей
к телу; на рис. 122 изображена одна из таких характеристик).
Характеристики же второй группы оканчиваются на ударной
волне. Обе эти группы разделены предельными характеристи-

624	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
ками — единственными, уходящими на бесконечность и никогда
не достигающими ни звуковой линии, ни ударной волны {CD
и CD' на рис. 122). Поскольку возмущения (связанные, напри-
например, с изменением контура обтекаемого тела), распространяю-
распространяющиеся от тела по характеристикам первой группы, достигают
границы дозвуковой области, то ясно, что часть сверхзвуково-
сверхзвукового потока, лежащая между линией перехода и предельной ха-
характеристикой, влияет на дозвуковую область; весь же поток в
области справа от предельных характеристик никакого влияния
на поток слева не оказывает: течение слева никак не изменит-
изменится при возмущении потока справа (в том числе при изменении
профиля тела справа от точек С, С1). Течение позади ударной
волны, как мы знаем, никак не влияет на течение перед ней. Та-
Таким образом, весь поток можно разделить на три части (слева
от DC CD1 между DC CD' и FEE'F', справа от FEE'F'), при-
причем течение во второй никак не влияет на течение в первой, а
течение в третьей — на течение во второй.
Перейдем теперь к количественному расчету описанной кар-
картины (являющемуся в то же время ее проверкой).
Начало координат в плоскости годографа (в = т\ = 0) соот-
соответствует бесконечно удаленной области в физической плоско-
плоскости, а выходящие из начала координат годографические характе-
характеристики соответствуют предельным характеристикам CD и CD1.
На рис. 123 изображена окрестность начала координат, причем
буквы соответствуют обозначениям на
рис. 122. Ударная волна изображается в
плоскости годографа не одной линией, а
двумя (соответствующими движению га-
газа по обеим сторонам разрыва), причем
11 области между ними (заштрихованной на
рис. 123) не соответствуют никакой обла-
области в физической плоскости.
Прежде всего необходимо выяснить,
какой из общих интегралов Ф& соответ-
Рис. 123	ствует данному случаю обтекания. Если
Ф(#, г/) имеет порядок однородности /с, то
функции х = дФ/дг] и у = дФ/дв будут однородными — соот-
соответственно порядков к — 1/3 и к — 1/2. При стремлении в и г/
к нулю мы должны, вообще говоря, попасть на бесконечность в
физической плоскости, т. е. х и у должны стремиться к бесконеч-
бесконечности. Очевидно, что для этого должно быть к < 1/3. С другой
стороны, предельные характеристики в физической плоскости не
должны лежать целиком на бесконечности, т. е. не должно быть
у = =Ьоо по всей линии 9в2 = 4г/3. Для этого (при 2k +1/6 < 5/6)
второй член в квадратных скобках в выражении A18.6) должен

§ 120	ОБТЕКАНИЕ СО ЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ	625
вообще отсутствовать. Таким образом, функция Ф(#, г/) должна
изображаться первым членом выражения A18.6):
ф = Ав2кр(-к, -к + -, -2Л + -; I- -^-Y	A20.1)
V	2	6	9(92/	v	J
Функция уF, г/) (тоже удовлетворяющая уравнению Эйлера-
Трикоми) будет иметь такой же вид с к — 1/2 вместо к.
Но если выражение A20.1) имеет место, например, вблизи
верхней характеристики @ = +B/3)г/3/2), то при произвольном
к < 1/3 оно отнюдь не будет иметь место также и вблизи второй
характеристики (в = — B/3)г/3/2). Поэтому мы должны потребо-
потребовать также, чтобы вид A20.1) функции Ф(#, rf) оставался таким
же при обходе вокруг начала координат в плоскости годографа
от одной характеристики к другой, причем обход должен проис-
происходить через полуплоскость т\ < 0 (путь А1 В1 на рис. 119). Такой
обход соответствует в физической плоскости переходу от уда-
удаленных точек одной из предельных характеристик к удаленным
точкам другой предельной характеристики, причем путь пере-
перехода проходит через дозвуковую область и потому нигде не пе-
пересекает ударную волну, нарушающую непрерывность течения.
Преобразование гипергеометрической функции в A20.1) при та-
таком переходе дается первой из формул A18.13), и мы должны
потребовать обращения в нуль коэффициента перед i7^ в этой
формуле. Это условие выполняется при следующих значениях
к < 1/3:
к = \~^ п = 0,1,2,...
Из всех этих значений должно быть окончательно выбрано лишь
одно:
к = -\.	A20.2)
Можно показать, что все значения к с п > 1 приводят к неод-
неоднозначному отображению плоскости годографа на физическую
плоскость (при однократном обходе первой вторая обходится
несколько раз), т. е. к неоднозначности физического течения,
что, разумеется, нелепо. Значение же к = 1/6 дает решение, в ко-
котором не по всем направлениям в физической плоскости стрем-
стремление в и т\ к нулю означает уход на бесконечность; ясно, что
такое решение тоже физически непригодно.
При к = —1/3 коэффициент при F\ в правой части формулы
A18.13) равен +1, т. е. при обходе от одной характеристики к
другой функция Ф вообще не меняется. Это значит, что Ф есть
четная функция б, а координата у = дФ/дв — соответственно
нечетная функция. Физически это означает, что в рассматривае-
рассматриваемом нами первом приближении картина течения на больших рас-

626	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
стояниях от тела оказывается симметричной относительно плос-
плоскости у = 0 независимо от формы тела, в частности от наличия
или отсутствия подъемной силы.
Таким образом, мы выяснили характер особенности, которую
имеет Ф(#, г/) в точке г/ = в = 0. Уже непосредственно отсюда
можно сделать заключение о форме звуковой линии, предель-
предельных характеристик и ударной волны на больших расстояниях
от тела. Каждая из этих линий должна соответствовать опре-
определенному значению отношения в2/г/3, и поскольку Ф имеет вид
Ф = #~2/3/G/3/#2), то с помощью формул A18.4) мы найдем,
что х ос #~4/3, у ос #~5/3. Поэтому форма перечисленных линий
определяется уравнениями вида
х = const • у4/5	A20.3)
со своим значением const для каждой из них. Вдоль этих ли-
линий в и г/ падают по законам:
6>осу-3/5, г/ ос у/5	A20.4)
{Ф.И. Франклъ, 1947; К. Guderley, 1948) х).
Мы будем для определенности писать формулы со знаками,
соответствующими верхней полуплоскости (у > 0).
Покажем, как могут быть вычислены коэффициенты в этих
формулах. Значение к = —1/3 есть одно из тех, при которых
Ф& сводится к алгебраическим функциям (см. предыдущий па-
параграф). Тот частный интеграл, который в данном случае опре-
деляет Ф, может быть написан в виде Ф =	-, где а\ —произ-
2 06
вольная положительная постоянная, а / есть тот корень кубиче-
кубического уравнения
/3-Зт// + 3# = 0,	A20.5)
который при 9#2 — 4г/3 > 0 совпадает с единственным веществен-
вещественным корнем. Отсюда
2 Зв
:) Упомянем, что аналогичные результаты оказывается возможным полу-
получить и для осесимметричного обтекания (с Моо = 1).
В цилиндрических кординатах ж, г форма звуковой поверхности, предель-
предельной характеристики и ударной волны, и законы изменения скорости на них
даются (вдали от тела) формулами
х = const • r4/7, vx ос r/7, vr ос г"9/7.
См. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. — М.: ИЛ, 1960 [Guder-
ley K.G. Theorie schallnaher Stromungen. — Springer Verlag, 1957]; Фалько-
вич СВ., Чернов И.А. // Прикл. Матем. Мех. 1964. Т. 28, С. 342.

§ 120	ОБТЕКАНИЕ СО ЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ	627
а также для координат
дФ =
5
2(/2-^K'
У ~ Ъв ~ ~ (/2 -Г]K'
Эти формулы можно представить в удобном параметрическом
виде, введя в качестве параметра величину s = /2/(/2 — TJ)\ тогда
х _ i/5 2s-l.
^V5 ~ ttl 2s2/5 '
r;^/5 = ai/V/5C-l),	A20.8)
чем определяется в параметрическом виде зависимость г/ и б от
координат. Параметр s пробегает положительные значения, на-
начиная от нуля (s = 0 соответствует х = — оо, т. е. натекающему
с бесконечности потоку). В частности, значение s = 1/2 соответ-
соответствует х = 0, т. е. дает распределение скоростей при больших у
в перпендикулярной к оси х плоскости, проходящей в районе об-
обтекаемого тела. Значение 5 = 1 соответствует звуковой линии
(г/ = 0), а s = 4/3, как легко убедиться, — предельной характери-
характеристике. Значение же постоянной а\ зависит от конкретной формы
обтекаемого тела и могло бы быть определено лишь путем точ-
точного решения задачи во всем пространстве.
Формулы A20.8) относятся лишь ко всей области перед удар-
ударной волной. Неизбежность появления последней видна уже из
следующих соображений. Простое вычисление по формуле
A18.5) дает для якобиана А выражение
z_\ — U/i 	.
Легко видеть, что на характеристиках и во всей области слева от
них (что соответствует области вверх по течению от предельных
характеристик в физической плоскости) А > 0 и нигде в нуль не
обращается. В области же справа от характеристик А проходит
через нуль, откуда и видна неизбежность возникновения здесь
ударной волны.
Граничные условия, которым должно удовлетворять реше-
решение уравнения Эйлера-Трикоми на ударной волне, заключаются
в следующем. Пусть 6\, щ и 02, щ—значения в и т\ по обеим
сторонам разрыва. Прежде всего они должны соответствовать
одной и той же кривой в физической плоскости, т. е.
ж@ь т) = х[в2, т), у(ви т) = у{в2, т). A20.9)

628
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. XII
Далее, условие непрерывности касательной к разрыву компонен-
компоненты скорости (т. е. условие непрерывности производной от потен-
потенциала ср вдоль линии разрыва) эквивалентно условию непрерыв-
непрерывности самого потенциала:
<р(еи т) = ip(e2, т)	(ш.ю)
(потенциал ср определяется по функции Ф формулой A19.3)). На-
Наконец, последнее условие можно получить из предельной формы
уравнения ударной поляры (92.6), устанавливающего определен-
определенную связь между компонентами скорости по обеим сторонам раз-
разрыва. Заменив в (92.6) угол х на #2 — 0\ и введя r/i, щ вместо
г>1, V2, получим следующее соотношение:
2@2 - 0гJ = (г/2 - щJ{щ + щ).	A20.11)
В данном случае решение уравнения Эйлера-Трикоми поза-
позади ударной волны (область между OF и OF' в плоскости годо-
годографа; рис. 123) имеет тот же вид A20.5), A20.6), но, конечно,
с другим постоянным коэффициентом (обозначим его как — аъ)
вместо а\. Четыре уравнения A20.9)-A20.11) определяют отно-
отношение a^jcix и связывают между собой величины: r/i, #i, 7/2, 62. В
результате довольно сложного их совместного решения получа-
получаются следующие результаты. Ударной волне соответствует зна-
значение
s = E^3 + 8)/6 = 2,58
параметра s в формулах A20.8), дающих при этом форму волны
и распределение скорости на передней стороне разрыва. В об-
области позади (вниз по течению) от ударной
волны коэффициент —п2 оказывается отри-
f2
цательным, а параметр —	 пробегает от-
Р -V
рицательные значения. Вводя здесь в каче-
/2
стве s положительную величину s =
получим вместо A20.8) формулы
х _ 1/5 2s+ 1
^4/5 — tt2 2s2/5 '
V-P1
23/5
~3~'
A20.12)
Рис. 124
причем
а2/а1 = (9л/з + 1)/(9л/3 - 1) = 1,14,

§ 121	ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ	629
a s пробегает значения от
s = Eл/3 —8)/6 — 0,11
(на ударной волне) до нуля (на бесконечности вниз по течению).
На рис. 124 изображены графики зависимости щ21ъ и вуъ1ъ от
жу~4/5, ВЬ1ЧИСденные по формулам A20.8) и A20.12) (постоянная
а\ условно положена равной единице).
§ 121. Отражение слабого разрыва от звуковой линии
Рассмотрим, снова с помощью уравнения Эйлера-Трикоми,
отражение слабого разрыва от звуковой линии.
Будем считать, что падающий на звуковую линию слабый
разрыв («приходящий» по отношению к точке их пересечения) —
обычного типа, возникающего, скажем, при обтекании острых
углов, т. е. разрыв первых производных скорости по координа-
координатам. Он отражается от звуковой линии в виде другого разрыва,
характер которого, однако, заранее неизвестен и должен быть
определен путем исследования течения в окрестности точки пе-
пересечения. Последнюю выбираем ниже в качестве начала коор-
координат ж, у, а ось ж —вдоль направления скорости газа в этой
точке; тогда ей соответствует начало координат и в плоскости
годографа.
Слабые разрывы расположены, как мы знаем, вдоль харак-
характеристик. Пусть приходящему разрыву соответствует в плоско-
У/с
I
	3-
х
Слабый разрыв	>а 2Л
Звуковая линия /1? \
Й 'а %
а	б
Рис. 125
сти годографа характеристика Оа (рис. 125 а). Непрерывность
координат ж, у на разрыве означает, что должны быть непрерыв-
непрерывными первые производные Ф^, Ф#. Напротив, вторые производ-
производные от Ф выражаются через первые производные от скорости по
координатам и потому должны испытывать разрыв. Обозначая
скачки величин квадратными скобками, имеем, таким образом:
на Оа:
[Ф„] = [Фв] = 0; [Фвв], [Фвг,], [*w] Ф 0-	A21.1)

630	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
Сами же функции Ф в областях 1 и 2 по обе стороны от ха-
характеристики Оа не должны иметь на ней никаких особенно-
особенностей. Такое решение можно построить с помощью второго чле-
члена в A18.6) с к = 11/12, пропорционального квадрату разно-
разности A — 4г/3/(9б2)) (второе же независимое решение Фц/12 имеет
на характеристике особенность — см. ниже); первые производные
этой функции на характеристике обращаются в нуль, а вторые —
конечны. Кроме того, в Ф могут войти такие частные решения
уравнения Эйлера-Трикоми, которые не приводят ни к каким
особенностям течения в физической плоскости. Наиболее низким
по степеням в и т\ таким решением является вт\ (§ 119). Таким
образом, вблизи характеристики О а ищем Ф в виде
A21.2)
где индексы al и а 2 указывают окрестности по обе стороны ха-
характеристики (в областях 1 и 2)\ А, В, С — постоянные, и снова
введено обозначение
S	9(92
(на характеристике ? = 0).
Мы увидим ниже, что в зависимости от знака произведения
АВ могут иметь место два случая: слабый разрыв отражается в
виде слабого же разрыва другого (логарифмического) характера
или в виде ударной волны малой интенсивности.
Отражение в виде слабого разрыва. Рассмотрим снача-
сначала первый из этих случаев {Л.Д. Ландау, Е.М. Лифши% 1954).
Отраженному от звуковой линии слабому разрыву соответствует
в плоскости годографа вторая характеристика {Ob на рис. 125 а).
Вид функции Ф вблизи этой характеристики устанавливается пу-
путем аналитического продолжения функций A21.2) согласно фор-
формулам A18.11)—A18.13). Однако при к = 11/12 функция F\ те-
теряет смысл и поэтому непосредственно воспользоваться этими
формулами нельзя. Вместо этого надо положить в них сначала
к = 11/12 + 6, после чего устремить е к нулю. В соответствии с
общей теорией гипергеометрического уравнения при этом появ-
появляются логарифмические члены.
В результате вычисления (с помощью A18.13)) для функции
Ф вблизи характеристики Ob в области 3 получается следующее
выражение (с точностью до членов второго порядка по ? вклю-
включительно) :
= -Авг, + ?(-в)п'6{?2 In |d + со + ci? + Ы2}, A21.3)
7Г

§ 121	ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ	631
где со, ci, C2 — числовые постоянные :) . Аналогичное преобразо-
преобразование (с помощью A18.11)) функции Фа2 от окрестности характе-
характеристики Оа к окрестности характеристики Ob дает функцию Ф^2,
отличающуюся от A21.3) лишь заменой В на G/2. Координаты
ж, у точек характеристики в физической плоскости вычисляют-
вычисляются как производные A18.4), взятые при ? = 0. Так, исходя из
A21.3), найдем
A21-4)
а дифференцирование функции Ф^2 даст такие же выражения
с С/2 вместо В. Условие непрерывности координат ж, у на ха-
характеристике Ob приводит, следовательно, к соотношению
С = 2В.	A21.5)
Далее, для осуществления рассматриваемой картины отраже-
отражения должны отсутствовать предельные линии в плоскости годо-
годографа (и тем самым — нефизические области в этой плоскости),
т. е. якобиан А нигде не должен проходить через нуль. Вбли-
Вблизи характеристики Оа якобиан вычисляется с помощью функ-
функций A21.2) и оказывается положительным (главный член в нем:
А ~ А2). Вблизи же характеристики Ob вычисление с помощью
A21.3) дает
А « А2 - 16(-) ^АБг/1/4 In |f |.	A21.6)
При приближении к характеристике логарифм стремится к — оо,
и главным является второй член. Поэтому из условия А > 0
имеем АВ > 0, т. е. А и В должны иметь одинаковый знак.
Наконец, для определения формы звуковой линии нам пона-
понадобятся выражения для Ф вблизи оси т\ = 0. Выражение, при-
пригодное в окрестности верхней части этой оси, получается просто
преобразованием гипергеометрической функции в Ф A21.2) в ги-
гипергеометрические функции аргумента 1 — f = 4г/3/(9б2), обра-
обращающегося в нуль при т\ = 0 2) . Сохранив лишь члены наиболее
:) Значение этих постоянных:
со = -29 • 34/385 = -108, а = 288/7 = 41,1, с2 = 4,86.
) Это преобразование приведено, например, в т. Ill, § e Математического
дополнения, формула (е.7).

632	ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА	ГЛ. XII
низких степеней по г/, получим
И/6 = _Ат]0 _
ГB3/12)ГA7/12)
A21.7)
Аналитическое же продолжение в область нижней части оси дает
фс = -Аф - 6,25 • л/3 В0п/6	A21.8)
(вычисления аналогичны выводу формулы преобразования
A18.13)).
Теперь можно определить форму всех интересующих нас ли-
линий. На характеристиках имеем, отбрасывая члены более высо-
высокого порядка: х = — АО, у = —Arj. Мы условились считать, что
приходящему слабому разрыву отвечает верхняя характеристика
@ > 0). Поскольку скорость газа направлена в положительном
направлении оси ж, то этот разрыв, для того чтобы быть прихо-
приходящим, должен лежать в полуплоскости х < 0. Отсюда следует,
что постоянная А, а с нею и В должны быть положительными.
Уравнение линии слабого разрыва в физической плоскости будет
2/V	= l,ZlAx'z{-xJl\	A21.9)
-у = g
Отраженный же разрыв, соответствующий нижней характери-
характеристике, дается уравнением х)
-у = l^lA1/3^2/3	A21.10)
(см. рис. 125 б] обозначение линий и областей на этом рисунке
соответствует обозначениям на рис. 125 а).
Уравнение звуковой линии получается из функций A21.7),
A21.8). Дифференцируя по г/ и 0 и положив затем г/ = 0, получим
из A21.7) уравнение той части линии, на которой 0 > 0:
11
х = —/it/, у = -
откуда
х = -А0, у = -—. 6,25Б6>5/6,
' у 16 '
у = -11,4БА/6(-жM/6.	A21.11)
Это —нижняя часть звуковой линии на рис. 125 б. Аналогичным
образом из A21.8) находим уравнение верхней части этой линии:
у = П,4\/ЗБА-5/6ж5/6.	A21.12)
1) С учетом первых поправочных членов (вторые члены в формулах
A21.4)) уравнение отраженного разрыва:
-у = 1,31А1/Зж2/3 - 10,5БА/6ж5/6.	A21.10а)

§ 121	ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ	633
Таким образом, оба слабых разрыва и обе ветви звуковой ли-
линии имеют в точке пересечения О общую касательную (ось у),
причем две ветви звуковой линии лежат по разные стороны оси у.
На приходящем разрыве испытывают скачок производные от
скорости по координатам. В качестве характерной величины рас-
рассмотрим скачок производной (дт]/дх)у. Имея в виду, что
_ d(ri, у) _ d(ri, у) /д(х, у) _ 1 д2Ф
у д(х, у) d(ri, 0I d(ri, в)	А дв2
и воспользовавшись формулами A21.2), A21.5), получим для ис-
искомого скачка:
I)
A21-13)
При приближении к точке пересечения он растет как (—у) 1'4.
На отраженном же слабом разрыве производные скорости во-
вообще не испытывают скачка, но распределение скоростей имеет
своеобразную логарифмическую особенность. Вычислив из функ-
функции A21.3) (сохранив в ней лишь первый член в скобках) ко-
координаты ж и у в функции от г/, #, можно представить зависи-
зависимость г] от х при заданном у вблизи отраженного разрыва в сле-
следующем параметрическом виде:
А 2^\ --	A21Л4)
X — Xq =
где ( играет роль параметра, a xq = xq (у) —уравнение линии
разрыва в физической плоскости.
Отражение в виде ударной волны. Перейдем к рассмо-
рассмотрению другого случая — отражения слабого разрыва от звуко-
звуковой линии в виде ударной волны (Л.П. Горькое, Л.П. Питпаев-
ский, 1962) х) .
Этот случай возникает, если произведение АВ < 0. Из A21.6)
видно, что в этом случае имеется две предельные линии, экспо-
экспоненциально близкие к характеристике Ob: якобиан А обращается
в нуль при
Заранее очевидно, что экспоненциально близкими к характери-
характеристике будут и границы нефизической области на плоскости го-
) Принципиальная возможность такого отражения отмечалась ранее Гу-
дерлеем (K.G. Guderley, 1948).

634
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
ГЛ. XII
дографа (О&2 и ОЬз на рис. 126 а), и тем самым будет экспонен-
экспоненциально мала интенсивность ударной волны.
Пренебрегая экспоненциально малыми значениями ? на ли-
линиях О62 и О6з, мы получим для координат ж, у на них те же
выражения, которые мы имели на двух сторонах характеристи-
характеристики Ob в предыдущем случае. Поэтому условие непрерывности
координат на ударной волне во всяком случае приводит к преж-
прежнему соотношению A21.5). Соответственно, остается прежним
и выражение A21.13) для скачка производной от скорости на
падающем разрыве. Снова приняв, что этому разрыву отвечает
верхняя характеристика Оа на плоскости годографа, будем по-
прежнему иметь А > 0, так что теперь В < 0. Из A21.13) видно,
следовательно, что физическим критерием происхождения двух
случаев отражения слабого разрыва является знак скачка про-
производной скорости на падающем разрыве.
Остаются прежними (при пренебрежении экспоненциально
малыми поправками) уравнения A21.9),A21.10) линий падающе-
падающего (слабого) и отраженного (ударной волны) разрывов. Но ввиду
другого знака постоянной В меняется расположение этих линий
на физической плоскости — как это показано на рис. 126 б.
У
—1-
/2\\
Слабый разрыв / |3 ^
Звуковая линия	' °2>з
Ударная волна
Рис. 126
Для определения интенсивности ударной волны (т. е. скач-
скачков величин S6 и Sr] на ней) надо обратиться к полной системе
граничных условий, которым должно удовлетворять на ударной
волне решение уравнения Эйлера-Трикоми. Они были сформу-
сформулированы уже в § 120: условия A20.9)-A20.11). Из них послед-
последнее, уравнение ударной поляры, принимает вид E6J = г/(Eг/J,
где 86 = въ2 — Оьз5 Stj = т\ь2 —Щз —экспоненциально малые скачки
величин на ударной волне (индексы 62 и 63 относятся к линиям
О62 и ОЪз на плоскости годографа, т. е. соответственно к перед-
передней и задней сторонам ударной волны на физической плоскости).
Отсюда
A21.16)

§ 121	ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ	635
выбор знака при извлечении корня определяется тем, что од-
одновременно с уменьшением скорости газа при его прохождении
через ударную волну должно происходить приближение линий
тока к поверхности разрыва.
В соответствии с A21.15) ищем уравнения линий О&2 и ОЬз
в плоскости годографа в виде
в + V/2 = аЬ2\в\е-&, в + V2 = -аьз\в\е-&,
где a\/i и а^з—положительные числа. Согласно A21.16)
б@ + -7/3/2 j = 86 + ^/rjSr] = 286. Искомые скачки 86 и 8г) да-
даются поэтому следующими выражениями:
в-^	A21.17)
А7/6
' |в|Ж1/б'
где а = (а^2 + а^з)/2; переменные г/, б выражены через координа-
координаты на физической плоскости согласно х « — АО, у « — Аг/. Опре-
Определение коэффициента а требует учета также и всех остальных
граничных условий, причем в них должны учитываться члены
как линейные, так и квадратичные по экспоненциально малой
величине ехр (—в). Не приводя этих довольно громоздких вы-
вычислений, укажем лишь их результат: а^ = а&з = а = 5,2.

ГЛАВА XIII
ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ
§ 122. Образование ударных волн при сверхзвуковом
обтекании тел
Простые соображения показывают, что при обтекании про-
произвольного тела сверхзвуковым потоком перед телом возникает
ударная волна. Действительно, в сверхзвуковом потоке возму-
возмущения, обусловленные наличием обтекаемого тела, распростра-
распространяются только вниз по течению. Поэтому натекающий на те-
тело однородный сверхзвуковой поток должен был бы доходить
до самого переднего конца тела невозмущенным. Но тогда на
поверхности этого конца нормальная компонента скорости газа
была бы отличной от нуля в противоречии с необходимым гра-
граничным условием. Выходом из этого положения может являться
только возникновение ударной волны, в результате чего движе-
движение газа между нею и передним концом
тела становится дозвуковым.
Таким образом, при сверхзвуковом
обтекании тела перед ним возникает
ударная волна; ее называют головной.
При обтекании тела с тупым передним
концом эта волна не соприкасается с са-
самим телом. Спереди от ударной волны
поток однороден, а позади нее движение
меняется, и поток огибает обтекаемое
тело (рис. 127 а). Поверхность ударной
волны уходит на бесконечность, причем
вдали от тела, где интенсивность волны
мала, она пересекает направление набегающего потока под уг-
углом, близким к углу Маха. Характерной чертой обтекания тела
с тупым концом является существование дозвуковой области те-
течения за ударной волной — позади наиболее выдающейся вперед
части ее поверхности; эта область простирается до обтекаемого
тела и, таким образом, ограничена поверхностью разрыва, по-
поверхностью тела и «боковой» звуковой поверхностью (штрихо-
(штриховые линии на рис. 127 а).
Ударная волна может соприкасаться с телом только если
его передний конец заострен. Тогда поверхность разрыва тоже
обладает точкой заострения, совпадающей с острием тела
Рис. 127

§ 122	ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН	637
(рис. 127 б); при несимметричном обтекании часть этой поверх-
поверхности может являться поверхностью слабого разрыва. Для тела
заданной формы такой режим обтекания оказывается, однако,
возможным лишь при скоростях, превышающих определенный
предел; при меньших скоростях ударная волна отрывается от
носика тела, несмотря на наличие острия (см. § 113).
Рассмотрим осесимметричное сверхзвуковое обтекание тела
вращения и определим давление на переднем закругленном кон-
конце тела (в точке остановки — точка О на рис. 127 а). Из сообра-
соображений симметрии очевидно, что линия тока, заканчивающаяся
в точке О, пересекает ударную волну в нормальном к ней на-
направлении, так что в точке А нормальная к поверхности разры-
разрыва компонента скорости совпадает с полной скоростью. Значения
величин в набегающем потоке отмечаем, как обычно, индексом 1,
а значения величин в точке А на задней стороне ударной волны —
индексом 2. Последние определяются по формулам (89.6), (89.7)
в виде
V2 = C\	-
Давление po в точке О (в которой скорость газа v = 0) мож:но
получить теперь с помощью формул, определяющих изменение
величин вдоль линии тока. Имеем (см. задачу к § 83):
7 -
и простое вычисление приводит к следующему результату:
Этим и определяется давление на переднем конце тела, обтекае-
обтекаемого сверхзвуковым потоком (Mi > 1).
Для сравнения приведем формулу для давления в точке оста-
остановки, которое получилось бы в результате непрерывного адиа-
адиабатического торможения газа без ударной волны (как это было
бы при дозвуковом обтекании):
-1,	A22.2)
При Mi = 1 обе формулы дают одинаковое значение ]9о, а при

638	ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ	ГЛ. XIII
Mi > 1 давление A22.2) всегда превышает истинное давление,
даваемое формулой A22.1) х).
В предельном случае очень больших скоростей (Mi ^> 1) фор-
формула A22.1) дает
-1l"-1Ml	A22.3)
т. е. давление ро пропорционально квадрату скорости обтекания.
На основании этого результата можно сделать заключение о том,
что и полная испытываемая телом сила сопротивления при ско-
скоростях, больших по сравнению со скоростью звука, пропорцио-
пропорциональна квадрату скорости. Обращаем внимание на то, что этот
закон — такой же, по которому меняется сила сопротивления при
скоростях, малых по сравнению со скоростью звука, но настоль-
настолько больших, чтобы число Рейнольдса было достаточно велико
(см. § 45).
Помимо самого факта необходимости возникновения удар-
ударных волн, можно еще утверждать, что при сверхзвуковом обте-
обтекании конечного тела на больших расстояниях от него во всяком
случае должны иметься две следующие друг за другом ударные
волны (Л. Ландау, 1945). Действительно, на больших расстояни-
расстояниях от тела вызываемые им возмущения слабы и поэтому их мож-
можно рассматривать как цилиндрическую звуковую волну, расходя-
расходящуюся от оси ж, проходящей через тело параллельно направле-
направлению обтекания; рассматривая, как это мы везде делаем, движе-
движение в той системе координат, в которой тело покоится, мы будем
иметь волну, в которой роль времени играет x/v\, а роль ско-
скорости распространения v\/л^Ш\ — 1 (см. ниже § 123). Поэтому
мы можем непосредственно применить результаты, полученные
в § 102 для цилиндрической волны на больших расстояниях от
источника. Таким образом, мы приходим к следующей картине
ударных волн на далеком расстоянии от тела: в первой ударной
волне давление испытывает скачок вверх, так что за ней воз-
возникает сгущение; затем давление постепенно убывает, сгущение
1) Это утверждение имеет общий характер и не связано с предполагаемой
в A22.1), A22.2) политропностью газа (и даже с его термодинамической
идеальностью). Действительно, при наличии ударной волны энтропия газа
в точке О so > si, между тем как в ее отсутствие энтропия была бы равна
s\. Тепловая же функция в обоих случаях равна wq = w\ -\-v2/2, так как при
пересечении линией тока прямого скачка уплотнения величина w + v2 /2 не
меняется. Но из термодинамического тождества dw = T ds + dp/p следует,
что производная
(dp/ds)w = -РТ < 0,
т. е. увеличение энтропии при постоянном w уменьшает давление, чем и
доказывается сделанное утверждение.

§ 122	ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН	639
сменяется разрежением, после чего давление вновь возрастает
скачком во второй ударной волне. Интенсивность передней удар-
ударной волны падает с увеличением расстояния г от оси х как г~3/4,
а расстояние между обеими волнами возрастает как г1'4 г) .
Проследим за появлением и развитием ударных волн при по-
постепенном увеличении числа Маха Mi. Сверхзвуковая область
в газовом потоке появляется впервые при некотором значении
Mi < 1 в виде области, прилегающей к поверхности обтекаемого
тела. В этой области появляется по крайней мере одна ударная
волна — обычно замыкающая сверхзвуковую область. По мере
увеличения Mi эта область расширяется, а вместе с ней удлиня-
удлиняется и ударная волна, существование которой при Mi = 1 было
доказано (для плоского случая) в § 120; тем самым была дока-
доказана необходимость первого появления ударной волны уже при
Mi < 1. Как только Mi начинает превышать единицу, появляет-
появляется еще одна ударная волна — головная волна, пересекающая весь
бесконечно широкий натекающий поток газа. При Mi, в точности
равном единице, все течение впереди тела является дозвуковым.
Поэтому при Mi > 1, но сколь угодно близком к единице, сверх-
сверхзвуковая часть натекающего потока, а с нею и головная удар-
ударная волна находятся сколь угодно далеко впереди тела. По мере
дальнейшего увеличения Mi головная волна постепенно прибли-
приближается к телу.
Ударная волна в местной сверхзвуковой зоне должна каким-
то образом пересекаться со звуковой линией (мы будем говорить
о плоском случае). Вопрос о характере такого пересечения нельзя
считать выясненным. Если ударная полна заканчивается в точке
пересечения, то в самой этой точке ее интенсивность обращается
в нуль, а во всей плоскости вблизи точки пересечения движение
околозвуковое. Картина течения в таком случае должна описы-
описываться соответствующим решением уравнения Эйлера-Трикоми.
Помимо общих условий однозначности решения в физической
плоскости и граничных условий на ударной волне, должны вы-
выполняться еще и следующие условия: 1) если по обе стороны от
ударной волны движение сверхзвуковое (так будет, если в точке
пересечения кончается только ударная волна, «упираясь» в зву-
звуковую линию), то ударная волна должна быть «приходящей» по
отношению к точке пересечения; 2) «приходящие» к точке пере-
пересечения характеристические линии в сверхзвуковой области не
должны нести на себе никаких особенностей течения (особенно-
(особенности могли бы возникнуть лишь в результате самого пересечения
и, таким образом, должны были бы уноситься от точки пере-
*) Для ударных волн, возникающих при осесимметричном обтекании тон-
тонких заостренных тел могут быть определены также и количественные коэф-
коэффициенты в этих законах — см. примеч. на с. 642.

640
ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ
ГЛ. XIII
сечения). Существование решения уравнения Эйлера-Трикоми,
удовлетворяющего всем этим требованиям, по-видимому, еще не
доказано :).
Другая возможность для конфигурации ударной волны и зву-
звуковой линии в местной сверхзвуковой зоне состоит в окончании
в точке пересечения одной лишь звуковой линии (рис. 128 б); в
этой точке интенсивность ударной волны отнюдь не обращается
в нуль, так что течение вблизи нее является околозвуковым лишь
по одну сторону от ударной волны. Сама ударная волна может
при этом одним концом «упираться» в твердую поверхность, а
другим (или обоими) начинаться непосредственно в сверхзвуко-
сверхзвуковом потоке (ср. конец § 115).
§ 123. Сверхзвуковое обтекание заостренного тела
Форма, которой должно обладать тело для того, чтобы при
сверхзвуковом движении быть хорошо обтекаемым, т. е. испы-
испытывать по возможности малую силу сопротивления, существен-
существенно отличается от соответствующей формы для дозвукового дви-
движения. Напомним, что в дозвуковом случае хорошо обтекаемы-
обтекаемыми являются продолговатые тела, закругленные спереди и за-
заостренные сзади. При сверхзвуковом же обтекании такого тела
перед ним появилась бы сильная ударная волна, что привело
бы к сильному возрастанию сопротивления. Поэтому в сверхзву-
сверхзвуковом случае хорошо обтекаемое удлиненное тело должно иметь
\
\
Сверхзв.
область
Дозвук.
1) 77. Жермен нашел несколько типов решений уравнения Эйлера-Три-
Эйлера-Трикоми, которые могли бы изображать пересечение ударной волны со звуко-
звуковой линией, но их исследование не было по существу завершено. Некоторые
из этих типов не удовлетворяют
поставленному выше условию A).
\	На рис. 128 а изображен случай,
^	который мог бы отвечать точке
окончания ударной волны, замы-
замыкающей местную сверхзвуковую
Свеъхзв\ Дозвук. область: в точке пересечения удар-
область] область ная волна и звуковая линия обе за-
заканчиваются и имеют общую каса-
касательную, будучи расположены по
разные стороны от нее (газ дви-
движется слева направо). Выполнение
условия B), однако, не проверено.
Для показателя к решения указан
а	б	лишь интервал, в котором он мог
бы находиться C/4 < к < 11/12),
Рис 128	н0 не пР0веРен05 может ли при
этом быть удовлетворено условие
непрерывности координат на ударной волне в физической плоскости.
См. Germain P. Ecoulements transsoniques homogenes. В кн.: Progress in
Aeronautical Sciences. — Pergamon Press, 1964, V. 5.
область
	Звуковая
линия
- Ударная
волна
\	Характеристика

§ 123	СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРЕННОГО ТЕЛА	641
заостренным не только задний, но и передний конец, причем угол
заострения должен быть малым; если ось тела наклонена к на-
направлению движения, то угол наклона (угол атаки) тоже должен
быть малым.
При стационарном сверхзвуковом обтекании тела такой фор-
формы скорость газа даже вблизи тела будет везде лишь незначи-
незначительно отличаться по величине и направлению от скорости на-
натекающего потока, а образующиеся ударные волны будут обла-
обладать малой интенсивностью (интенсивность головной волны убы-
убывает вместе с уменьшением раствора обтекаемого угла). Вдали
от тела движение газа будет представлять собой расходящие-
расходящиеся звуковые волны. Основную часть сопротивления газа мож-
можно представлять себе как обусловленную переходом кинетиче-
кинетической энергии движущегося тела в энергию излучаемых им звуко-
звуковых волн. Это сопротивление, специфическое для сверхзвукового
движения, называют волновым х) ; оно может быть вычислено
в общем виде при любой форме сечения тела (Th. Karman,
N.B. Moore, 1932).
Описанный характер течения делает возможным применение
линеаризованного уравнения для потенциала A14.4):
Й + Й-/52Й = 0'	A23.1)
дх2 ду2	dz2
где для краткости введена положительная постоянная
/З2 = 4 - 1	A23.2)
(ось х направлена по направлению движения, индекс 1 отличает
величины, относящиеся к натекающему потоку); 1/C есть не что
иное, как тангенс угла Маха.
Уравнение A23.1) формально совпадает с двумерным волно-
волновым уравнением, причем x/v\ играет роль времени, a v\/ C — роль
скорости распространения волн. Это обстоятельство не случай-
случайно и имеет глубокий физический смысл, так как движение газа
вдали от тела представляет собой, как уже указано, именно излу-
излучаемые телом расходящиеся звуковые волны. Если представить
себе газ на бесконечности покоящимся, а тело движущимся, то
площадь поперечного сечения тела в заданном месте простран-
пространства будет меняться со временем, причем расстояние, до которо-
которого к моменту t распространятся возмущения (т. е. расстояние до
конуса Маха), будет расти как v\tjf3\ таким образом, мы будем
иметь дело с «двумерным» излучением звука (распространяю-
(распространяющегося со скоростью Vi/f3) пульсирующим контуром.
) Полная сила сопротивления получается прибавлением к волновому со-
сопротивлению сил, связанных с трением и с отрывом у заднего конца тела.
21 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

642	ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ	ГЛ. XIII
Руководствуясь этой «звуковой аналогией», можно сразу же
написать искомое выражение для потенциала скорости газа, вос-
воспользовавшись выражением G4.15) для потенциала излучаемых
пульсирующим источником цилиндрических звуковых волн (на
расстояниях, больших по сравнению с размерами источника), за-
заменив в последнем ct на х//3. Пусть S(x) —площадь сечения те-
тела плоскостями, перпендикулярными к направлению обтекания
(оси ж), а длина тела в этом направлении пусть будет /; начало
координат выберем в переднем конце тела. Тогда будем иметь
х-/3г
[	;	A23.3)
О
в качестве нижнего предела написан нуль, так как при х < О
(как и при х > 1) надо положить тождественно S(x) = 0.
Таким образом, мы полностью определили движение газа на
расстояниях г от оси, больших по сравнению с толщиной тела :) .
Исходящие от тела возмущения в сверхзвуковом потоке распро-
распространяются, разумеется, только в область позади конуса х — Cг =
= 0 с вершиной в переднем конце тела; перед этим конусом имеем
просто ср = 0 (однородный поток). Между конусами х — (Зг =
= 0 и х — (Зг = I потенциал определяется формулой A23.3); по-
позади же конуса х — (Зг = I (с вершиной в заднем конце тела)
в этой формуле верхний предел заменяется постоянной величи-
величиной I. Оба указанных конуса представляют собой в рассматрива-
рассматриваемом приближении слабые разрывы; в действительности это —
ударные волны слабой интенсивности.
Действующая на тело сила сопротивления есть не что иное,
как уносимая звуковыми волнами в единицу времени ж-компо-
нента импульса. Выберем в качестве контрольной поверхности
цилиндрическую поверхность достаточно большого радиуса г с
осью вдоль оси х. Плотность потока ж-компоненты импульса че-
через эту поверхность есть
Uxr = pvr(vx + уг) Pi^(vi + ^
дг \	дх
х) Для осесимметричного обтекания тела вращения формула A23.3) спра-
справедлива для всех вообще г вплоть до самой поверхности тела. Из нее можно,
в частности, получить снова формулу A13.6) для обтекания тонкого конуса.
С другой стороны, рассмотрев это полученное в линейном приближении
решение вдали от обтекаемого тела, можно ввести в него эффект нели-
нелинейного искажения профиля подобно тому, как это было сделано в § 102
для цилиндрической звуковой волны. Этим путем можно определить интен-
интенсивность ударной волны на больших расстояниях от тонкого заостренного
тела вращения (в том числе ее зависимость от Mi), т. е. коэффициент в
законе затухания (ос г~3^4), о котором шла речь в предыдущем парагра-
параграфе. См. Уизем Дснс. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977, § 9.3
[Whitham G.B. Linear and nonlinear waves.—Wiley, 1974].

§ 123	СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРЕННОГО ТЕЛА	643
При интегрировании по всей поверхности первый член исчезает,
так как интеграл от pvr есть равный нулю полный поток массы
газа через контрольную поверхность. Поэтому остается
+ ОО	+ОО
f ^^dx.	A23.4)
J or ox
На больших расстояниях (в волновой зоне) производные от
потенциала вычисляются так, как это было сделано в § 74 (см.
формулу G4.17)), и получается
х-/3г
<>!? = _в&Р = ^_ /Z Г
дг	Р дх 2тг V 2r J
Это выражение подставляем в A23.4), причем квадрат интеграла
переписываем в виде двойного интеграла; обозначая для крат-
краткости х — /Зг = X, получим
+оо X X
F = eili Г Г [ S"(?i)S"(&)(%! d?2dX
х ** J J J V(x-ei)(x-6)
-oo 0 0
Произведем интегрирование по dX; после изменения порядка ин-
интегрирования оно должно производиться в пределах от больше-
го из ?i и ^2 до +оо. В качестве верхнего предела берем сначала
некоторое большое, но конечное L, которое затем можно устре-
устремить к бесконечности. Таким образом, получим
2тг
О О
Интеграл от члена с постоянным множителем In 4L тождествен-
тождественно исчезает, так как на заостренных концах тела обращается в
нуль не только площадь S(x), но и ее производная S (х). Таким
образом, окончательно получим
1 Ь
2тг
О О
If S"(ti)S"(b) In F -
ИЛИ
Fx = -zm / / S"(fi)S"(f2)lii|f2 -fildfidfr.	A23.5)
4тг J J
О О
21*

644	ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ	ГЛ. XIII
Это и есть искомая формула для волнового сопротивления
тонкого заостренного тела :) . Порядок величины стоящего здесь
интеграла есть (Sy/2J/2, где S — некоторая средняя площадь се-
сечения тела. Поэтому
Коэффициент сопротивления удлиненного тела условимся опре-
определять как
Сх = f* ,	A23.6)
относя его к квадрату длины тела. В данном случае
Сж~52//4;	A23.7)
он пропорционален квадрату площади поперечного сечения тела.
Обратим внимание на формальную аналогию между форму-
формулой A23.5) и формулой D7.4) для индуктивного сопротивления
тонкого крыла: вместо функции T(z) в D7.4) здесь стоит функ-
функция viS'(x). Ввиду этой аналогии для вычисления интеграла
A23.5) можно пользоваться тем же методом, который был из-
изложен в конце § 47.
Следует также заметить, что определяемое формулой A23.5)
волновое сопротивление не изменится, если изменить направле-
направление обтекания на обратное, — стоящий в этой формуле интеграл
не зависит от того, в каком направлении проходится длина тела.
Это свойство силы сопротивления характерно именно для линеа-
линеаризованной теории 2) .
Наконец, несколько слов об области применимости получен-
полученной формулы. К этому вопросу можно подойти следующим обра-
образом. Амплитуда колебаний газовых частиц в излучаемых телом
звуковых волнах — порядка величины толщины тела, которую
мы обозначим буквой д. Скорость же колебаний — соответствен-
соответственно порядка величины отношения амплитуды S к периоду вол-
волны l/v\ (Svi/l). Но линейное приближение для распространения
звуковых волн (т. е. линеаризованное уравнение для потенциа-
потенциала) во всяком случае требует малости скорости движения газа
в волне по сравнению со скоростью звука, т. е. должно быть
vi//3 ^> v\5/l, или, что фактически то же:
Mi <//<*.	A23.8)
) Что касается подъемной силы (для неосесимметрического тела или при
наличии угла атаки), то в рассматриваемом здесь приближении таковая во-
вообще отсутствует.
) Оно имеет место и в изложенной в § 125 теории волнового сопротивления
тонкого крыла.

§ 124	СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРЕННОГО ТЕЛА	645
Таким образом, изложенная теория становится неприменимой
при значениях Mi, сравнимых с отношением длины тела к его
толщине.
Она неприменима, разумеется, и в обратном предельном слу-
случае слишком близких к единице значений Mi, когда тоже недо-
недопустима линеаризация уравнений.
Задача
Определить форму удлиненного тела вращения, испытывающего мини-
минимальную силу сопротивления при заданных его объеме V и длине /.
Решение. Ввиду указанной в тексте аналогии вводим переменную О
согласно х = -A — cos#) @ ^ в ^ тг, начало отсчета х в переднем конце
тела) и пишем функцию f(x) = S'(x) в виде
(условие S = 0 при х = 0, / допускает в этой сумме, как легко убедиться,
лишь значения п ^ 2). Для коэффициента сопротивления имеем при этом
п = 2
Площадь S(x) и полный объем тела V вычисляются по функции f(x) как
х	I
5= Г f(x)dx, V= I S(x)dx.
о	о
Простое вычисление дает
V=— A2,
16
т. е. объем определяется одним лишь коэффициентом А2. Поэтому мини-
минимальное Fx достигается при равных нулю Ап сп^З. В результате получаем
_ 128/\Л2_ 9тг/5та:
При этом для площади сечения тела имеем S = A/3)/2 А2 sin3 в, откуда ра-
радиус тела как функция координаты х выражается в виде
1/2
\„A - ^.М3/4 I
Тело симметрично относительно плоскости х = 1/2 :).
:)Хотя R(x) и обращается в нуль на концах тела, но производная Rf(x)
обращается в бесконечность, т. е. тело оказывается незаостренным; поэтому,
строго говоря, лежащее в основе метода приближение вблизи самих концов
неприменимо.

646	ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ	ГЛ. XIII
§ 124. Дозвуковое обтекание тонкого крыла
Рассмотрим обтекание хорошо обтекаемого тонкого «крыла»
дозвуковым потоком сжимаемого газа. Как и в несжимаемом га-
газе, хорошо обтекаемое дозвуковым потоком крыло должно быть
тонким и иметь заостренную заднюю и закругленную переднюю
кромки; угол атаки должен быть малым. Выберем направление
обтекания в качестве оси ж, а ось z — в направлении размаха кры-
крыла.
Скорость газа во всем пространстве :) будет лишь незначи-
незначительно отличаться от скорости vi натекающего потока, так что
можно применять линеаризованное уравнение A14.4) для потен-
потенциала:
На поверхности крыла (которую будем называть поверх-
поверхностью С) скорость должна быть направлена по касательной к
ней; вводя единичный вектор п нормали к поверхности крыла,
напишем это условие в виде
д(Р\„ _l дЧ>„ -L^n =о.
дх)	ду у dz
Поскольку крыло обладает уплощенной формой и угол атаки
мал, то нормаль п направлена почти параллельно оси у, так что
\пу\ близко к единице, а пж, nz малы. В написанном условии мы
можем поэтому опустить малые члены второго порядка пж —
д	дх
и nz —, а вместо пу написать ±1 (+1 на верхней поверхности
крыла и —1 на нижней). Таким образом, граничное условие к
уравнению A24.1) приобретает вид
Vlnx ± <tP = 0.	A24.2)
ду
В силу предположенной тонкости крыла значение дср/ду на его
поверхности можно вычислять просто как предел при у —>> 0.
Задачу о решении уравнения A24.1) с условием A24.2) можно
легко привести к задаче об обтекании несжимаемой жидкостью.
Для этого введем вместо координат ж, у, z переменные
х' = х, у' = yJl - Mf, *' = zJl - Mf.	A24.3)
) За исключением лишь небольшой области вблизи передней кромки кры-
крыла — вблизи линии остановки газа.

§ 124	ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА	647
В этих переменных уравнение A24.1) принимает вид
т. е. переходит в уравнение Лапласа. Что касается формы об-
обтекаемой поверхности, то введем вместо нее другую, С", оставив
неизменным профиль сечений крыла поверхностями, параллель-
параллельными плоскости ху, уменьшив только в отношении (l — М^)
все размеры вдоль размаха крыла (оси z).
Граничное условие A24.2) приобретает тогда вид
и для приведения его к обычному виду введем вместо ср новый
потенциал if':
'	A24.5)
Для if' будем иметь то же уравнение Лапласа и граничное
условие
ду'
которое должно удовлетворяться при у' = 0.
Но уравнение A24.4) с граничным условием A24.6) есть
уравнение, которому должен удовлетворять потенциал скорости
несжимаемой жидкости, обтекающей тело с поверхностью С.
Таким образом, задача об определении распределения скоростей
при обтекании крыла с поверхностью С сжимаемой жидкостью
сводится к нахождению распределения скоростей при обтекании
несжимаемой жидкостью крыла с формой поверхности С'.
Рассмотрим, далее, действующую на крыло подъемную си-
силу Fy. Раньше всего замечаем, что произведенный в § 38 вывод
формулы Жуковского C8.4) полностью применим и к сжимае-
сжимаемой жидкости, поскольку вместо переменной плотности р жид-
жидкости все равно надо в том же приближении писать постоянную
величину р\. Таким образом,
J	A24.7)
где интегрирование производится по всей длине lz размаха кры-
крыла. Из соотношения A24.5 )и одинаковости поперечных профи-
профилей крыльев С ж С1 следует, что циркуляция Г скорости при об-
обтекании крыла С сжимаемой жидкостью связана с циркуляцией

648	ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ	ГЛ. XIII
Г7 скорости при обтекании крыла С несжимаемой жидкостью
соотношением
Г7 = r^l-Mf.	A24.8)
Подставляя это в A24.7) и переходя от интегрирования по dz к
интегрированию по dz1', получим
-pivi / V dz'
p —	I
y	1 - Mf
Величина, стоящая в числителе, представляет собой подъемную
силу, действующую на крыло С в несжимаемой жидкости. Обо-
Обозначая ее через F'y1 имеем
Fy = —^—.	A24.9)
1 — м?
Вводя коэффициенты подъемной силы
Су =	^	, С' =	^
У (l/2)p1v21ljz' у (l/2)Plvllxl>z
(где lx, lz n lx, lfz = lzy/l — ЪЩ — длины крыльев С ж С' вдоль
осей х и z\ перепишем это равенство в виде
Су = -А=-	A24.10)
Для крыльев достаточно большого размаха (с постоянным
вдоль размаха профилем сечения) коэффициент подъемной си-
силы в несжимаемой жидкости пропорционален углу атаки и не
зависит от длины и ширины крыла:
С'у = const -a,	A24.11)
где const зависит только от формы профиля сечения (см. § 46).
В этом случае можно поэтому написать вместо A24.10)
A24.12)
где Су и Су — коэффициенты подъемной силы одного и того
же крыла соответственно в потоках сжимаемого и несжимаемо-
несжимаемого газа. Таким образом, мы получим такое правило: подъемная
сила, действующая на длинное крыло в потоке сжимаемого га-
газа, в A — М^)/2 раз больше подъемной силы, действующей на
такое же крыло (при том же, в частности, угле атаки) в потоке
несжимаемого газа {L. Prandtl, 1922; Н. Glauert, 1928).

§ 125	СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА	649
Аналогичные соотношения можно получить и для силы со-
сопротивления. Наряду с формулой Жуковского для подъемной
силы полностью переносится в теорию сжимаемой жидкости так-
также и формула D7.4) для индуктивного сопротивления крыла.
Произведя в ней те же преобразования A24.3) и A24.8), по-
получим
F* = гй<	A24ЛЗ)
где F'x — сопротивление крыла С в несжимаемой жидкости. При
увеличении длины размаха индуктивное сопротивление стремит-
стремится к постоянному пределу (§ 47). Поэтому для достаточно длин-
длинных крыльев можно заменить Fx на Fx (сопротивление в несжи-
несжимаемой жидкости того же крыла С, к которому относится Fx).
Тогда для коэффициента сопротивления имеем
Сх = ——.	A24.14)
Сравнив с A24.12), мы видим, что при переходе от несжимаемой
жидкости к сжимаемой остается неизменным отношение Су/Сх.
Все изложенные здесь результаты, разумеется, неприменимы
при слишком близких к единице значениях Mi, когда вообще
становится неприменимой линеаризованная теория.
§ 125. Сверхзвуковое обтекание крыла
Для того чтобы быть хорошо обтекаемым в сверхзвуковом
потоке, крыло должно иметь заостренными как заднюю, так и
переднюю кромки, подобно тому как должны быть заострены
тонкие тела, рассматривавшиеся в § 123.
Здесь мы ограничимся изучением обтекания тонкого крыла
с очень большим размахом, с постоянным вдоль размаха про-
профилем сечения. Рассматривая длину размаха как бесконечную,
мы будем иметь дело с плоским (в плоскости ху) течением газа.
Вместо уравнения A23.1) будем иметь теперь для потенциала
уравнение
^-/3^ = 0,	A25.1)
ду2	дх2
с граничным условием
= Tvmx	A25.2)
(знаки =F B правой части равенства имеют место соответственно
для верхней и нижней поверхностей крыла). Уравнение A25.1)

650
ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ
ГЛ. XIII
есть уравнение типа одномерного волнового уравнения, и его об-
общее решение имеет вид
Тот факт, что влияющие на движение жидкости возмущения ис-
исходят от тела, означает, что в пространстве над крылом (у > 0)
должно быть /2 = 0, так что <р = fi(x — /Зу), а в пространстве
под крылом (у < 0) : (р = /2 (ж + /Зу). Будем для определенности
рассматривать пространство над крылом, где
Функцию / определим из граничного условия A25.2), написав
Рис. 129
в нем пх « — С2(ж)? гДе У = (*2(х) есть уравнение верхней части
линии профиля крыла (рис. 129 а). Имеем
= -f3f'(x)=v1B(x),
Таким образом, распределение скоростей определяется (при
у > 0) потенциалом
A25.3)
Аналогично при у < 0 мы получили бы
где у = Ci(^) —уравнение нижней части профиля. Отметим, что
потенциал, а с ним и остальные величины постоянны вдоль пря-
прямых х =Ь /Зу = const (характеристик) в соответствии с результата-
результатами § 115, частным случаем которых является и полученное здесь
решение.
Качественно картина течения выглядит следующим образом.
От задней и передней заостренных кромок отходят слабые раз-

§ 125	СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА	651
рывы (аАа' и ЪВЪ' на рис. 129 б) х) . В пространстве впереди
разрыва аАа' и позади ЪВЪ' поток однороден, а в области меж-
между ними поток поворачивает, огибая поверхность крыла; это есть
простая волна, причем в рассматриваемом линеаризованном при-
приближении все характеристики в ней имеют одинаковый наклон,
равный углу Маха натекающего потока.
Распределение давления получается по формуле
дер
ox
(в общей формуле A14.5) членом с Vy можно в данном случае
пренебречь, так как vx и vy — одинакового порядка величины).
Подставив сюда A25.3) и вводя так называемый коэффициент
давления Ср, получим в верхней полуплоскости
В частности, коэффициент давления, действующего на верхнюю
поверхность крыла, есть
СР2 = !&(?).	A25.4)
Аналогично найдем для нижней поверхности
Cpi = -^C'i(x).	A25.5)
Отметим, что давление в каждой точке профиля сечения кры-
крыла оказывается зависящим только от наклона его контура в этой
же точке.
Поскольку угол наклона линии контура профиля к оси х вез-
везде мал, то вертикальная проекция сил давления равна с доста-
достаточной точностью самому давлению. Результирующая действу-
действующая на крыло подъемная сила равна разности сил давления,
действующих на ее нижнюю и верхнюю поверхности. Поэтому
коэффициент подъемной силы
О
г) Это справедливо лишь в принятом здесь приближении. В действитель-
действительности это — не слабые разрывы, а ударные волны слабой интенсивности или
узкие центрированные волны разрежения, смотря по тому, в какую сторо-
сторону поворачивает в них направление скорости. Так, для изображенного на
рис. 129 б профиля Аа и ВЪ' будут волнами разрежения, а Аа и ВЪ— удар-
ударными волнами.
Линия же тока, исходящая от задней кромки (точка В на рис. 129 б),
представляет собой в действительности тангенциальный разрыв скорости
(фактически размывающийся в тонкий турбулентный след).

652	ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ	ГЛ. XIII
(определение длин /ж, 1у см. рис. 129 а). Определим угол ата-
атаки а как угол наклона к оси х хорды АВ, проведенной через
вершины острых кромок (рис. 129 а): а « 1у/1х] тогда получим
окончательно простую формулу:
Су = -^=	A25.6)
(J. Ackeret, 1925). Мы видим, что подъемная сила определяется
одним только углом атаки и не зависит от формы сечения крыла
в отличие от того, что имеет место при дозвуковом обтекании
(см. § 48, формулу D8.7)).
Определим, далее, действующую на крыло силу сопротивле-
сопротивления (это есть волновое сопротивление, имеющее такую же при-
природу, как и волновое сопротивление тонких тел; см. § 123). Для
этого надо спроецировать силы давления на направление оси х
и проинтегрировать эту проекцию по всему контуру профиля.
Для коэффициента силы сопротивления получим тогда
1 + Сг ) dx.	A25.7)
о
Введем углы наклона 0\{х) и 02(х) верхней и нижней частей кон-
контура к его хорде АВ\ тогда ([ = 0\ — а, (^ = 02 — а. Интегралы
от 6\ и 02 обращаются, очевидно, в нуль, так что окончательно
получим следующую формулу:
Сх = ^i^ J	A25.8)
(черта обозначает усреднение по х). При заданном угле атаки
коэффициент сопротивления, очевидно, минимален для крыла,
представляющего собой плоскую пластинку (так что 0\ = 02 =
= 0). В этом случае Сх = аСу. Если применить формулу A25.8) к
шероховатой поверхности, то мы найдем, что шероховатость мо-
может привести к значительному увеличению сопротивления, да-
даже если высота отдельных неровностей мала :) . Действительно,
сопротивление оказывается не зависящим от высоты отдельных
неровностей, если не меняется средний наклон их поверхности,
т. е. среднее отношение высоты неровностей к расстоянию между
ними.
Наконец, сделаем еще следующее замечание. Здесь, как и вез-
везде, говоря о крыле, мы подразумеваем, что оно расположено
своими кромками перпендикулярно к движению. Обобщение на
случай любого угла 7 между направлением движения и кромкой
:) Но все же больше толщины пограничного слоя.

§ 126	ОКОЛОЗВУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ	653
{угол скольжения) вполне очевидно. Ясно, что силы, действую-
действующие на бесконечное крыло постоянного сечения, зависят только
от нормальной к его кромкам составляющей скорости натекаю-
натекающего потока; в невязкой жидкости составляющая скорости, па-
параллельная кромкам, не вызывает никаких сил. Поэтому силы,
действующие на крыло со скольжением в потоке с числом Mi, —
такие же, какие действовали бы на то же крыло без скольже-
скольжения в потоке с числом Mi, равным Mi sin7. В частности, если
Mi > 1, но Mi sin 7 < 1, то специфическое для сверхзвукового
обтекания волновое сопротивление будет отсутствовать.
§ 126. Околозвуковой закон подобия
Развитая в § 123-125 теория сверх- и дозвуковых обтеканий
тонких тел неприменима в случае околозвукового движения,
когда становится несправедливым линеаризованное уравнение
для потенциала. В этом случае картина течения во всем про-
пространстве определяется нелинейным уравнением A14.10):
дх дх2 ду2
(или, при плоском движении, эквивалентным ему уравнением
Эйлера-Трикоми). Решение этих уравнений для конкретных слу-
случаев, однако, весьма затруднительно. Поэтому существенный ин-
интерес представляют правила подобия, которые можно установить
для таких течений, не прибегая к их конкретному решению.
Рассмотрим сначала плоское течение, и пусть
У = Sf(x/l)	A26.2)
есть уравнение, определяющее форму обтекаемого тонкого кон-
контура, причем / есть его длина (в направлении обтекания), а 6
характеризует его толщину E <С 1). Изменением двух парамет-
параметров / и 5 получим семейство подобных контуров.
Уравнение движения имеет вид
со следующими граничными условиями. На бесконечности ско-
скорость равна скорости vi невозмущенного потока, т. е.
^ = 0, *?¦ = Мь - 1 = Ml^i	A26.4)
ду	дх	а*
(см. определение потенциала ср согласно A14.9)). На профиле же
скорость должна быть направлена по касательной к нему:
vx ду dx I

654	ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ	ГЛ. XIII
ввиду тонкости профиля можно требовать выполнения этого
условия при у = 0.
Введем новые безразмерные переменные согласно
Х = lW' У= (fla»I/3^ ^ = ~аГ71^' ^	A26.6)
(мы ввели угол б = 5/1, характеризующий «угол раствора» тела
или угол атаки). Тогда мы получим уравнение
2
дх дх2 ду2
с граничными условиями
% = К, ^ = 0наоо, ^ = №)
аж	ду	ду
где
M1	A26.7)
Эти условия содержат лишь один параметр — К. Таким обра-
образом, мы получили искомый закон подобия: плоские околозвуко-
околозвуковые течения с одинаковыми значениями числа К подобны, как
это устанавливается формулами A26.6) (СВ. Фалъкович, 1947).
Обратим внимание на то, что в выражение A26.7) входит
также и единственный параметр а*, характеризующий свойства
самого газа. Поэтому полученное правило определяет также и
подобие по изменению рода газа.
В условиях рассматриваемого приближения давление опре-
определяется формулой
p-pi~ -Pivi(vx -vi).
Вычисление с помощью выражений A26.6) показывает, что ко-
коэффициент давления на профиль будет функцией вида
Q2/3 /	\
:	P[K - 1
1/3 \^ ' ^ у '
Коэффициенты силы сопротивления и подъемной силы опреде-
определяются интегралами по контуру профиля:
1 [ n dY *
= T / Cv—-dx,
I J dx

§ 126	ОКОЛОЗВУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ	655
и, следовательно, являются функциями вида :)
A26.8)
%	y %
а*	а*
Совершенно аналогичным образом можно получить закон по-
подобия для трехмерного обтекания тонкого тела, форма которого
задается уравнениями вида
с двумя параметрами 5 и I E^1). Существенное отличие от
плоского случая связано с тем, что потенциал имеет при у —>• О,
z —>> 0 логарифмическую особенность (см., например, формулы
обтекания тонкого конуса в § 113). Поэтому граничное условие
на оси х должно определять не сами производные dip/dy, dip/dz,
а остающиеся конечными произведения:
дш ^rdY	дш rydZ
ду	dx	oz	dx
Легко убедиться в том, что преобразованием подобия в этом слу-
случае является (снова вводим угол в = 5/1)
х = Тх, у = ^т^у, z=^T^z, ip = W2Tp,	A26.10)
причем параметр подобия
К=^-±	A26.11)
(Т. Karman, 1947). Для коэффициента давления на поверхность
тела получим выражение вида
а для коэффициента силы сопротивления соответственно 2)
Сх = 9Af(K).	A26.12)
1) Область применимости этих формул определяется неравенством
|Mi — 1| ^С 1. Линеаризованной же теории соответствуют большие значе-
значения К, т. е. |Mi - 1| > 6>2/3. В области 1 > Mi - 1 > 6>2/3 формулы A26.8)
должны, следовательно, переходить в формулы A25.6)—A25.8) линеаризо-
линеаризованной теории. Это значит, что при больших К функции fx и fy должны
быть пропорциональны К~ ' .
) В области l^>Mi —1^>9 должна получаться формула A23.7) линеари-
линеаризованной теории, согласно которой Сх ~ 0 ; это значит, что при увеличении
К функция }(К) должна стремиться к постоянной.

656	ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ	ГЛ. XIII
Все полученные формулы относятся, конечно, как к малым
положительным, так и к малым отрицательным значениям Mi —1.
Если в точности Mi = 1, то параметр подобия К = 0 и функ-
функции в формулах A26.8) и A26.12) сводятся к постоянным, так
что эти формулы полностью определяют зависимость Сх и Су
от угла 6 и свойств газа а*.
§ 127. Гиперзвуковой закон подобия
Для обтекания тонких заостренных тел с большими сверх-
сверхзвуковыми скоростями (большие Mi) линеаризованная теория
неприменима, как это уже было упомянуто в конце § 114. По-
Поэтому представляет особый интерес простое правило подобия,
которое можно установить для таких течений (их называют ги-
гиперзвуковыми).
Возникающие при таком обтекании ударные волны наклоне-
наклонены к направлению движения под малым углом — порядка вели-
величины отношения толщины тела к его длине F = 8/1). Эти вол-
волны, вообще говоря, искривлены и в то же время обладают боль-
большой интенсивностью — хотя скачок скорости на них относитель-
относительно мал, но скачок давления (а с ним и энтропии) велик. Поэтому
течение газа в общем случае отнюдь не является потенциальным.
Будем считать, что число Mi—порядка величины 1/6 или
больше. Ударная волна понижает значение местного числа М,
но оно во всяком случае остается порядка величины 1/6 (ср. за-
задачу 2 § 112), так что число М велико во всем пространстве.
Воспользуемся указанной в § 123 «звуковой аналогией»:
трехмерная задача о стационарном обтекании тонкого тела с пе-
переменным сечением S(x) эквивалентна нестационарной двумер-
двумерной задаче об излучении звуковых волн контуром, площадь кото-
которого меняется со временем по закону S(vit)] роль скорости звука
играет при этом величина i>i(M2 — I)/2 или при больших Mi
просто с\. Подчеркнем, что единственное условие, обеспечиваю-
обеспечивающее эквивалентность обеих задач, заключается в малости от-
отношения 8/1, что дает возможность рассматривать небольшие
вдоль длины тела кольцевые участки его поверхности как цилин-
цилиндрические. При больших Mi, однако, скорость, распространения
излучаемых волн сравнима по величине со скоростью частиц га-
газа в них (ср. конец § 123), и потому задача должна решаться на
основе точных, нелинеаризованных уравнений.
Возмущение скорости (по сравнению со скоростью vi нате-
натекающего потока) мало уже при всяком сверхзвуковом обтекании
тонкого заостренного тела. При гиперзвуковом обтекании допол-
дополнительно еще возмущение продольной скорости мало по сравне-
сравнению с возникающими поперечными скоростями:
vy ~ vz ~ v\6, vx — v\ ~ v\62.	A27.1)

§ 127	ГИПЕРЗВУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ	657
Изменения же давления и плотности отнюдь не малы:
P-Pl
Pi	pi
A27.2)
причем изменение давления может быть даже (при Mi в ^> 1)
сколь угодно большим (ср. задачу 2 § 112).
Звуковая аналогия относится, очевидно, только к двумерной
задаче о движении в плоскости yz, перпендикулярной направ-
направлению натекающего потока. В этой двумерной задаче линейная
скорость источника звука — порядка величины v\6] кроме нее
в задачу входят в качестве независимых параметров еще толь-
только скорость звука с\ и размеры источника 5 (и параметр плот-
плотности pi) x) . Из них можно составить всего одну безразмерную
комбинацию
К = Mi0,	A27.3)
которая и является критерием подобия 2) . В качестве масшта-
масштабов длины для координат yz и масштаба времени надо при этом
взять величины соответствующей размерности, составленные из
тех же параметров, например, S и S/(vi0) = ljv\\ естественным
же параметром для координаты х является длина тела I. Тогда
можно утверждать, что
Vy = viOv'y, vz = viOv'z, p = piv\62p', p = pip1', A27.4)
где vfy, v'zl p', p' — функции безразмерных переменных ж//, у/5,
z/5 и параметра К; при этом в виду A27.1), A27.2) можно утвер-
утверждать, что эти функции — порядка единицы 3) .
1)Мы имеем в виду, конечно, не только уравнения движения газа, но и
граничные условия к ним на поверхности тела и условия, которые должны
выполняться на ударных волнах. Газ предполагается политропным, так что
его газодинамические свойства зависят только от безразмерного парамет-
параметра 75 получаемое ниже правило подобия не определяет, однако, характера
зависимости течения от этого параметра.
Следует отметить, что при обтекании с Mi >1 газ сильно нагревается,
в результате чего могут существенно измениться его термодинамические
свойства. Поэтому количественный смысл формул для политропного газа
(т. е. в предположении постоянства его теплоемкости) для гиперзвуковых
скоростей фактически ограничен.
2)	Если не предполагать Mi большим, то получилось бы правило подо-
подобия с параметром К = в^/М.\ — 1. Оно, однако, не представляет интереса,
поскольку при небольших Mi линеаризованная теория в действительности
полностью определяет зависимость всех величин от этого параметра.
3)	Закон подобия для гиперзвукового обтекания сформулирован Цянь
Сюэ-сэнем (H.S. Tsien, 1946). Его связь со «звуковой аналогией», распро-
распространенной на нелинейную задачу, указана Хейзом (W.D. Hayes, 1947); в
специальной литературе эту аналогию называют «поршневой».

658	ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ	ГЛ. XIII
Сила сопротивления Fx вычисляется как интеграл
г
Fx = (hpdydz,
j
взятый по всей поверхности тела (в силу граничного условия
уп = 0, член vx(vn) в плотности потока импульса обращается
в нуль на поверхности тела; п — нормаль к этой поверхности).
Перейдя к безразмерным переменным согласно A27.4), получим
коэффициент сопротивления Сх (определенный согласно A23.6))
в виде
= 2e
(f)pfdyfdzf.
Оставшийся интеграл — функция безразмерного параметра К.
Таким образом,
Сх = 94f(K).	A27.5)
Такой же самый закон подобия получается, очевидно, и в
плоском случае — для обтекания тонкого крыла бесконечной про-
протяженности. Для коэффициентов сопротивления и подъемной
силы получаются при этом формулы вида
сх = e3fx(K), су = e2fy(K).	A27.6)
При применении законов A27.5), A27.6) следует помнить, что
подобие течений предполагает, что форма, размеры и ориентация
обтекаемых тел относительно натекающего потока получаются
друг из друга только изменением масштаба S вдоль осей у, z
и масштаба / вдоль оси х. Это значит, в частности, что если
отличен от нуля угол атаки а, то для подобных конфигураций
отношение а/в должно быть одинаковым.
При К\ —>> оо функции этого параметра в A27.5), A27.6)
стремятся к постоянным пределам. Это утверждение является
следствием существования предельного (при Mi —>• 00) режима
обтекания, свойства которого в существенной области течения не
зависят от Mi (СВ. Валландер, 1947; К. Oswatitsch, 1951). Под
«существенной» подразумевается область течения между перед-
передней, наиболее интенсивной, частью головной ударной волны и
поверхностью обтекаемого тела, не слишком далеко от его пе-
передней части (подчеркнем, что именно эта область, с наиболь-
наибольшим давлением, определяет действующие на тело силы). Если
описывать течение «приведенными» скоростью v/vi, давлением
p/(pivi) и плотностью р/р\ как функциями безразмерных коор-
координат, то картина обтекания тела заданной формы в указанной
области оказывается в пределе независящей от Mi. Дело в том,
что, будучи выраженными через эти переменные, оказываются

§ 127
ГИПЕРЗВУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ
659
независящими от Mi не только гидродинамические уравнения и
граничные условия на поверхности обтекаемого тела, но и все
условия на поверхности ударной волны. Ограничение области
движения «существенной» частью связано с тем, что пренебре-
гаемые в последних условиях величины — относительного поряд-
порядка 1/(Ш\ sin2 <p), где if — угол между vi и поверхностью разрыва;
на больших расстояниях, где интенсивность ударной волны ма-
мала, этот угол стремится к углу Маха arcsin A/Mi)«l/Mi, так что
параметр разложения перестает быть малым: 1/(М2 sin2 ф)~\ х) .
Задача
Определить подъемную силу, действующую на плоское крыло бесконеч-
бесконечного размаха, наклоненное к направлению движения под малым углом ата-
атаки а при Mia > 1 (R.D. Linnell, 1949).
Решение. Картина обтекания
выглядит, как показано на рис. 130: от	/ ,
переднего и от заднего краев пластинки
отходят по ударной волне и по волне раз-
разрежения, в которых поток поворачивает
сначала на угол а, а затем на такой же
угол в обратном направлении.
Согласно акустической аналогии за-
задача о стационарном обтекании такой
пластинки эквивалентна задаче о неста-
нестационарном одномерном движении газа
впереди и позади поршня, движущего-
движущегося равномерно со скоростью av\. Впе-
Впереди поршня образуется ударная волна,
а позади — волна разрежения (см. зада-
задачи 1, 2 § 99). Воспользовавшись получен-
полученными там результатами, находим искомую подъемную силу как разность
давлений, действующих на обе стороны пластинки. Коэффициент подъем-
подъемной силы:
Рис. 130
V
7-1
(где К = aMi). При К ^ 2/G — 1) под пластинкой образуется область ва-
вакуума и второй член должен быть опущен. В области 1 ^С Mi ^C I/a эта
формула переходит в формулу Су = 4a/Mi, даваемую линеаризованной тео-
теорией, в соответствии с тем, что здесь перекрываются области применимости
той и другой.
) Детали доказательства можно найти в кн.: Черный Г.Г. Течения газа с
большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз, 1959, гл. 1, § 4.

ГЛАВА XIV
ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ
§ 128. Медленное горение
Скорость химической реакции (измеряемая, скажем, числом
прореагировавших в единицу времени молекул) зависит от тем-
температуры газовой смеси, в которой она происходит, увеличиваясь
вместе с ней. Во многих случаях эта зависимость очень силь-
сильная :) . Скорость реакции может при этом оказаться при обыч-
обычных температурах настолько малой, что реакция практически
вовсе не идет, несмотря на то, что состоянию термодинамическо-
термодинамического (химического) равновесия соответствовала бы газовая смесь,
компоненты которой прореагировали друг с другом. При доста-
достаточном же повышении температуры реакция протекает со зна-
значительной скоростью. Если реакция эндотермична, то для ее
протекания необходим непрерывный подвод тепла извне; если
ограничиться одним только начальным повышением температу-
температуры смеси, то прореагирует лишь незначительное количество ве-
вещества, вслед за чем температура газа настолько понизится, что
реакция снова прекратится. Совсем иначе будет обстоять дело
при сильно экзотермической реакции, сопровождающейся значи-
значительным выделением тепла. Здесь достаточно повысить темпе-
температуру хотя бы в одном каком-нибудь месте смеси; начавшаяся
в этом месте реакция в результате выделения тепла сама бу-
будет производить нагревание окружающего газа и, таким обра-
образом, реакция, раз начавшись, будет сама собой распространяться
по газу. В таких случаях говорят о медленном горении газовой
смеси или о дефлаграции 2) .
) Скорость реакции обычно зависит от температуры по экспоненци-
экспоненциальному закону, будучи в основном пропорциональной множителю вида
ехр (—U/T), где U — характерная для каждой данной реакции постоянная
(энергия активации). Чем больше U, тем сильнее зависимость скорости ре-
реакции от температуры.
2) Следует иметь в виду, что в смеси, самой по себе способной к горению, в
известных условиях самопроизвольное распространение горения может ока-
оказаться невозможным. Соответствующие пределы определяются тепловыми
потерями, связанными с такими факторами, как отвод тепла через стенки
трубы (при горении газа в трубе), потери на излучение и т. п. Поэтому,
например, горение оказывается невозможным в трубках слишком малого
радиуса.

§ 128	МЕДЛЕННОЕ ГОРЕНИЕ	661
Горение газовой смеси непременно сопровождается также и
движением газа. Другими словами, процесс горения представля-
представляет собой, отвлекаясь от его химической стороны, также и газо-
газодинамический процесс. В общем случае для определения режи-
режима горения необходимо совместное решение системы уравнений,
включающей в себя как уравнения химической кинетики данной
реакции, так и уравнения движения газовой смеси.
Положение, однако, существенно упрощается в том весьма
важном случае (с которым обычно и приходится иметь дело), ко-
когда характерные размеры /, определяющие условия данной кон-
конкретной задачи, достаточно велики (по сравнению с чем именно,
будет выяснено ниже). Мы увидим, что в таких случаях чисто
газодинамическая задача может быть в известном смысле отде-
отделена от задачи химической кинетики.
Область сгоревшего газа (т. е. область, в которой реакция уже
закончилась и газ представляет собой смесь продуктов горения)
отделена от газа, в котором горение еще не началось, некоторым
переходным слоем, где как раз и происходит самая реакция (зона
горения или пламя)] с течением времени этот слой передвигает-
передвигается вперед со скоростью, которую можно назвать скоростью рас-
распространения горения в газе. Величина скорости распростране-
распространения зависит от интенсивности теплопередачи из зоны горения в
ненагретую исходную газовую смесь, причем основной механизм
теплопередачи состоит в обычной теплопроводности (В.А. Ми-
хелъсон, 1890).
Порядок величины ширины зоны горения 6 определяется
средним расстоянием, на которое успевает распространиться вы-
выделяющееся в реакции тепло за то время т, в течение которого
длится эта реакция (в данном участке газа). Время т есть ве-
величина, характерная для данной реакции, и зависит лишь от
термодинамического состояния горящего газа (но не от харак-
характеристических параметров / задачи). Если \ — температуропро-
температуропроводность газа, то имеем см. E1.6) :) :
S~y/XT'	A28.1)
Уточним теперь сделанное выше предположение: мы будем
считать, что характерные размеры задачи велики по сравнению
с толщиной зоны горения A^> 6). При соблюдении этого условия
можно выделить чисто газодинамическую задачу. При опреде-
определении движения газа можно пренебречь толщиной зоны горения
х) Во избежание недоразумений отметим, что при сильной зависимости т
от температуры в формуле A28.1) должен стоять еще довольно большой
коэффициент (если для т брать значение при температуре продуктов горе-
горения). Для нас здесь существен в первую очередь тот факт, что S не зави-
зависит от /.

662	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
и рассматривать ее просто как поверхность, разделяющую про-
продукты горения и несгоревший газ. На этой поверхности (фронт
пламени) состояние газа испытывает скачок, т. е. она представ-
представляет собой своеобразную поверхность разрыва.
Скорость перемещения v\ этого разрыва относительно самого
газа (в нормальном к фронту направлении) называют нормаль-
нормальной скоростью пламени. За время г горение успевает распро-
распространиться на расстояние порядка величины 5] поэтому искомая
скорость пламени х) :
У/2
(.	A28.2)
т \т/
Обычная температуропроводность газа — порядка величины про-
произведения длины свободного пробега молекул на их тепловую
скорость, или, что то же, произведения времени свободного про-
пробега тсв на квадрат скорости. Имея в виду, что тепловая скорость
молекул совпадает по порядку величины со скоростью звука,
найдем
1/2у/2
с \тс
Отнюдь не каждое столкновение молекул сопровождается хи-
химической реакцией между ними; напротив, в реакцию вступает
лишь очень незначительная доля сталкивающихся молекул. Это
значит, что тсв <т и потому v\ <С с. Таким образом, в рассмат-
рассматриваемом режиме скорость распространения пламени мала по
сравнению со скоростью звука 2) .
На поверхности разрыва, заменяющего собой зону горения,
как и на всяком вообще разрыве, должны выполняться условия
непрерывности потоков вещества, импульса и энергии. Первое из
этих условий, как обычно, определяет отношение нормальных
к поверхности разрыва компонент скорости газа относительно
разрыва: p\V\ = ^2^2, или
^ = ^,	A28.3)
V2	V2
где V\, V2 — удельные объемы несгоревшего газа и продуктов го-
горения. Согласно общим результатам, полученным в § 84 для про-
произвольных разрывов, при наличии скачка нормальной скорости
*)Для примера укажем, что скорость распространения пламени в сме-
смеси 6 % СЕЦ и 94 % воздуха составляет всего 5 см/с, а в гремучей смеси
BН2 + Ог) —1000 см/с; ширина зоны горения в этих двух случаях — соот-
соответственно ~5 • 10~2 и 5• 10~4 см.
2) Определенную роль в процессе распространения горения играет также
и взаимная диффузия различных компонент горящей смеси; это обстоятель-
обстоятельство не меняет порядков величины скорости и ширины пламени. Подчерк-
Подчеркнем, однако, что здесь везде идет речь о горении предварительно перемешан-
перемешанных горючих газовых смесей, а не о случаях, когда реагирующие вещества
пространственно разделены и горение происходит лишь за счет их взаимной
диффузии.

§ 128	МЕДЛЕННОЕ ГОРЕНИЕ	663
касательная компонента скорости должна быть непрерывна. По-
Поэтому линии тока преломляются на поверхности разрыва.
Благодаря малости нормальной скорости распространения
пламени по сравнению со скоростью звука условие непрерыв-
непрерывности потока импульса сводится к непрерывности давления, а
потока энергии —к непрерывности тепловой функции:
Pi = Р2? wi = W2-	A28.4)
При использовании этих условий следует помнить, что газы по
обе стороны рассматриваемого разрыва химически различны, а
потому их термодинамические величины не являются одинако-
одинаковыми функциями друг от друга.
Считая газ политропным, имеем
wi = wqi + CpiTi, w2 = w02 + cp2T2;
аддитивные постоянные нельзя полагать здесь равными нулю,
как мы это делали в случае одного газа (выбирая соответствую-
соответствующим образом начало отсчета энергии), поскольку здесь wqi и wq2
различны. Введем обозначение wqi — wq2 = q\ q есть не что иное,
как теплота, выделяющаяся при реакции (отнесенная к единице
массы), если бы эта реакция происходила при абсолютном нуле
температуры. Тогда получаем следующие соотношения между
термодинамическими величинами исходного (газ 1) и сгоревше-
сгоревшего (газ 2) газов:
= JL + ??lTl, V2 = VX7li72 -j)(-i- + l). A28.5)
CP2	Cp2	72G1 - 1) VCT	/
Наличие определенной нормальной скорости распростране-
распространения пламени, не зависящей от скоростей движения газа, приво-
приводит к установлению определенной формы фронта пламени при
стационарном горении и в движущемся потоке газа. Примером
является горение газа, вытекающего из конца трубки (отверстия
горелки). Если v есть средняя (по сечению трубки) скорость
газа, то очевидно, что v\Si = vS, где S — площадь поперечно-
поперечного сечения трубки, a Si—полная площадь поверхности фронта
пламени.
Возникает вопрос о границах устойчивости описанного режи-
режима по отношению к малым возмущениям — условиях реального
его существования. Благодаря малости скорости движения газа
по сравнению со скоростью звука, при исследовании устойчи-
устойчивости фронта пламени можно рассматривать газ как несжимае-
несжимаемую идеальную (невязкую) среду, причем нормальная скорость
распространения пламени предполагается заданной постоянной
величиной. Такое исследование приводит к результату о неустой-
неустойчивости фронта (Л.Д. Ландау, 1944; см. задачу 1 к этому пара-
параграфу). В таком виде это исследование относится лишь к доста-
достаточно большим значениям чисел Рейнольдса \v\jv\ и lv2jv2. Учет

664	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
вязкости газа, однако, в данных условиях сам по себе не может
привести к очень большому критическому значению этих чисел.
Такая неустойчивость должна была бы приводить к самопро-
самопроизвольной турбулизации пламени. Между тем эксперименталь-
экспериментальные данные свидетельствуют о том, что самопроизвольная тур-
булизация пламени фактически не происходит, — во всяком слу-
случае вплоть до очень больших значений числа Рейнольдса. Это
связано с наличием в реальных условиях ряда факторов (гид-
(гидродинамических и диффузионно-тепловых), стабилизирующих
пламя. Изложение этих сложных вопросов выходит за рамки
этой книги, и мы ограничимся здесь лишь краткими замечания-
замечаниями о некоторых из возможных источников стабилизации.
Существенную роль в качестве такого источника может иг-
играть влияние искривления фронта на скорость горения. Если
учитывать только теплопроводность, то на вогнутых (по отноше-
отношению к исходной горючей смеси) участках фронта скорость v\ по-
повышается (благодаря улучшению условий теплопередачи в охва-
охватываемую вогнутостью свежую смесь), а на выпуклых местах
v\ уменьшается; этот эффект стремится выровнять фронт, т. е.
влияет в стабилизирующем направлении. Изменение же диф-
диффузионного режима, как это следует из аналогичных сообра-
соображений, оказывает дестабилизирующее действие. Таким образом,
общий знак эффекта зависит от соотношения между коэффи-
коэффициентами температуропроводности и диффузии (И.П. Дроздов,
Я.Б. Зельдович, 1943). Для феноменологического описания вли-
влияния искривления фронта на скорость горения v\ можно ввести
в нее слагаемое, пропорциональное кривизне фронта (G.H. Mark-
stein, 1951); при надлежащем знаке этого члена его введение в
граничные условия на фронте горения приводит к устранению
неустойчивости возмущений с малыми длинами волн :) . Разви-
Развитие неустойчивых (в линейном приближении) возмущений может
стабилизироваться на определенном стационарном (по их ам-
амплитуде) пределе за счет нелинейных эффектов (R.E. Petersen,
N. W. Emmons, 1956; Я.Б. Зельдович, 1966); этот механизм может
привести к «ячеистой» структуре пламени 2) .
Распространяющееся по горючей смеси пламя приводит в
движение окружающий газ на значительном протяжении. Неиз-
Неизбежность возникновения сопутствующего горению движения вид-
) В обозначениях, введенных в задаче 1, выражение для v\ с учетом этого
эффекта надо писать в виде v\ = v[ (I — ^д2(^/ду2), где v[ —скорость
горения при плоском фронте, a v[ — эмпирическая константа (размерности
длины), положительная в условиях стабилизации.
2) Подробное изложение этих вопросов дано в кн.: Зельдович Я.Б., Ба-
ренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория
горения и взрыва. —М.: Наука, 1980, гл. 4, 6.

/
/
/
/
2
а
с
////////////////
-> 1 ->
¦*» 3
§ 128	МЕДЛЕННОЕ ГОРЕНИЕ	665
на уже из того, что ввиду различия между скоростями v\ и V2
продукты горения должны двигаться относительно несгоревшего
газа со скоростью v\ — V2- В ряде случаев это движение приводит
также и к возникновению ударных волн. Они не имеют непосред-
непосредственного отношения к процессу горения, и их возникновение
связано с невозможностью удовлетворить иным образом необ-
необходимым граничным условиям. Рассмотрим, например, горение,
распространяющееся от закрытого кон-
конца трубы. На рис. 131 ab есть зона го-
горения. Газ в областях 1 и 3— исходная
несгоревшая газовая смесь, а в области
?—продукты горения. Скорость v\ пе-
передвижения зоны горения относитель-
относительно находящегося перед ним газа 1 есть
величина, определяющаяся свойствами	рис. 131
реакции и условиями теплопередачи, и
должна рассматриваться как заданная. Скорость V2 движения
пламени относительно газа 2 определится после этого непосред-
непосредственно условием A28.3). На закрытом конце трубы скорость
газа должна обращаться в нуль; поэтому во всей области 2 газ
будет неподвижным. Газ же 1 должен, следовательно, двигать-
двигаться ОТНОСИТеЛЬНО Трубы С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ, раВНОЙ V2 — V\.
В передней части трубы вдали от пламени газ тоже должен быть
неподвижным. Удовлетворить этому условию можно, только вво-
вводя ударную волну (cd на рис. 131), в которой скорость газа ис-
испытывает скачок, так что газ 3 оказывается неподвижным. По
заданному скачку скорости определяются также и скачки осталь-
остальных величин, и скорость распространения самой волны. Таким
образом мы видим, что распространяющийся фронт пламени
действует как поршень, толкающий находящийся перед ним газ.
Ударная волна движется быстрее пламени, так что количество
вовлекаемого в движение газа с течением времени возрастает х) .
При достаточно больших значениях числа Рейнольдса сопут-
сопутствующее горению движение газа в трубе становится турбулент-
турбулентным, что в свою очередь оказывает обратное турбулизирующее
действие на пламя. В вопросах о турбулентном горении еще мно-
много неясного, и они здесь не будут рассматриваться.
1) В реальных условиях фронт горения в трубе обычно выпуклый по от-
отношению к находящейся перед ним исходной газовой смеси. Это приводит
к возникновению специфического механизма стабилизации пламени по от-
отношению к мелкомасштабным возмущениям. Распространение горения по
нормалям к фронту «растягивает» последний, причем возникающие в ка-
каких-либо его точках возмущения сносятся по направлению к стенкам трубы
и, достигнув стенки, гасятся (стационарность же формы фронта поддержи-
поддерживается при этом движением газа перед фронтом). См. Зельдович Я.Б.,
Истратов А.Г., Кидин Н.И., Либрович В.Б. Combustion Science and
Technology. 1980. V. 24. P. 113.

666	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
Задачи
1. Исследовать устойчивость плоского фронта пламени при медленном
горении по отношению к малым возмущениям.
Решение. Рассматриваем плоскость разрыва (фронт пламени) в си-
системе координат, в которой он покоится (и совпадает с плоскостью yz)\ не-
невозмущенная скорость газа направлена в положительном направлении оси х.
На движение с постоянными скоростями vi, V2 (по обе стороны разрыва)
накладываем возмущение, периодическое по времени и по координате у. Из
уравнений движения
divv' = 0, — + (vV)v/ =	Vp	A)
dt	p
(под v и p подразумеваются vi, pi или V2, рг) получаем, как и в § 29, урав-
уравнение
Ар' = 0.	B)
На поверхности разрыва (т. е. при х и 0) должны выполняться следующие
условия: условие непрерывности давления
Pi =P2,	C)
условие непрерыаности касательной к поверхности компоненты скорости
Vly +^1^~ = V2y +^2—	D)
ду	ду
(где ?(г/, t) — малое смещение поверхности разрыва вдоль оси х при воз-
возмущении) и условие неизменности нормальной скорости газа относительно
разрыва
Vl--m=v*--di = 0-	E)
В области х < 0 (исходный газ 1) решение уравнений A) и B) запишем
в виде
' _ л iky+kx-iut	г _ • д iky+kx-iut
В области же х > 0 (газ 2, продукты горения) наряду с решением вида
const • elky-kx~lujt должно быть учтено еще и другое частное решение урав-
уравнений A) и B), в котором зависимость величин от у и t определяется тем
же множителем elky~lujtш Это решение получится, если положить р = 0;
тогда в уравнении Эйлера правая часть исчезает, а остающееся однородное
уравнение имеет решение, в котором
vx, vv ос exp I iky — iujt -\	х ).
V	v )
Причина, по которой это решение должно быть учтено только для газа 2,
а не для газа 1, заключается в том, что нашей конечной целью является
определение возможности существования таких частот cj, у которых мни-
мнимая часть положительна; но для таких и множитель etuJX'v неограниченно
возрастал бы с |ж| при х < 0, и потому в области газа 1 такое решение долж-
должно быть отброшено. Подбирая опять соответствующим образом постоянные

§ 128	МЕДЛЕННОЕ ГОРЕНИЕ	667
коэффициенты, ищем решение при х > 0 в виде
/ 	 ту iky — kx — iout , ^~i iky — iout-\-ioux/v2
V2X — ?>?	~г ье	,
ЩУ ~ ~l	~ Ь^	'	G)
р'2 = -ВР2 (v2 + — )егку-кх-^.
Н \	к J
Положив также
С = eiky~iut	(8)
и подставив все полученные выражения в условия C)-E), получим четыре
однородных уравнения для коэффициентов А, В, С, D :). Простое вычис-
вычисление приводит к следующему условию совместности этих уравнений (при
вычислении следует помнить, что j = pivi = P2V2)''
?l2{v\ + V2) + 2QkviV2 + k2v\V2{vi — V2) = 0,	(9)
где Q = — iuo. Если v\ > v2, то это уравнение имеет либо два отрицательных
вещественных корня, либо два комплексно сопряженных корня с ReQ <
< 0; в этом случае движение устойчиво. Если же v\ < V2 (и соответственно
р\ > рг), то оба корня уравнения (9) вещественны, причем один из них
положителен:
(где fi = р\/р2), так что движение неустойчиво; именно этот случай имеет
место для фронта горения, поскольку плотность р2 его продуктов всегда
меньше плотности pi исходного газа в связи со значительным нагреванием.
Отметим, что ImQ = 0; это значит, что возмущения не распространяют-
распространяются вдоль фронта и усиливаются как стоячие волны. Неустойчивость имеет
место для возмущений со всеми длинами волн, причем инкремент усиления
растет с к (следует, однако, помнить, что исследование в котором фронт
рассматривается как геометрическая поверхность, относится лишь к воз-
возмущениям, длина волны которых велика по сравнению с S: Ы <^ 1). При
заданном к инкремент возрастает с увеличением //.
2. На поверхности жидкости происходит горение, причем сама реакция
происходит в испаряющемся с поверхности паре ). Определить условие
устойчивости такого режима горения с учетом влияния поля тяжести и ка-
капиллярных сил (Л.Д. Ландау, 1944).
Решение. Рассматриваем зону горения в паре вблизи поверхности
жидкости как поверхность разрыва, но приписываем теперь этой поверх-
поверхности поверхностное натяжение а. Дальнейшие вычисления полностью ана-
аналогичны произведенным в задаче 1 с той лишь разницей, что вместо
) Движение, описываемое формулами F), потенциально; для движения
же, описываемого формулами G), rot v'2 ф 0. Таким образом, движение про-
продуктов горения за возмущенным фронтом оказывается завихренным.
2) Речь идет о реакции, происходящей в самом веществе пара, без участия
каких-либо посторонних компонент (например, кислорода воздуха), т. е. о
реакции самопроизвольного разложения.

668	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
граничного условия C) имеем теперь
pi - Р2 = ~а^~; + (pi - Ps)gC
ду2
(средой 1 является жидкость, а средой 2—сгоревший газ). Условия же D)
и E) не меняются. Вместо уравнения (9) получаем теперь
tf{vi + V2) + 2Qkv1v2 + \k2(Vl - v2) + gfc(PiP2) + «fcl 2 =
Условие устойчивости рассматриваемого режима заключается в требовании,
чтобы корни этого уравнения имели отрицательную вещественную часть,
т. е. свободный член уравнения должен быть положительным при произ-
произвольном к. Это требование приводит к условию устойчивости:
.4 < ^agplpl
pi ~ р2
Поскольку плотность газообразных продуктов горения мала по сравнению
с плотностью жидкости (pi ^ рг), то это условие фактически сводится к
неравенству	4
j
3. Определить распределение температуры в газе перед плоским фрон-
фронтом пламени.
Решение.В системе координат, движущейся вместе с фронтом, рас-
распределение температуры стационарно, а газ движется со скоростью —v\.
Уравнение теплопроводности
имеет решение
T = Toe~Vlx/x,
где То — температура на фронте пламени, отсчитываемая от температуры
вдали от него.
§ 129. Детонация
В описанном выше режиме медленного горения его распро-
распространение по газу обусловливается нагреванием, происходящим
путем непосредственной передачи тепла от горящего к еще не
воспламенившемуся газу. Наряду с таким возможен и совсем
иной механизм распространения горения, связанный с ударными
волнами. Ударная волна вызывает при своем прохождении на-
нагревание газа — температура газа позади волны выше, чем впере-
впереди нее. Если интенсивность ударной волны достаточно велика, то
вызываемое ею повышение температуры может оказаться доста-
достаточным для того, чтобы в газе могло начаться горение. Ударная
волна при своем движении будет тогда как бы поджигать газо-
газовую смесь, т. е. горение будет распространяться со скоростью,
равной скорости волны, —гораздо быстрее, чем при обычном го-
горении. Такой механизм распространения горения называют де-
детонацией.

§ 129
ДЕТОНАЦИЯ
669
Когда через некоторое место газа проходит ударная волна,
в этом месте начинается реакция, после чего она будет продол-
продолжаться здесь до тех пор, пока не сгорит весь газ в этом месте,
т. е. в течение некоторого характерного для кинетики данной
реакции времени т х) . Поэтому ясно, что за ударной волной бу-
будет следовать передвигающийся вместе с нею слой, в котором
и происходит горение, причем толщина этого слоя равна про-
произведению скорости распространения волны на время т. Суще-
Существенно, что она не зависит от размеров тел, фигурирующих в
данной конкретной задаче. Поэтому при достаточно больших ха-
характерных размерах задачи можно рассматривать ударную вол-
волну вместе со следующей за ней областью горения как одну по-
поверхность разрыва, отделяющую сгоревший газ от несгоревшего.
О такой «поверхности разрыва» мы будем
говорить как о детонационной волне.
На детонационной волне должны вы-
выполняться условия непрерывности плотно-
плотностей потоков массы, энергии и импульса
и остаются справедливыми все выведен-
выведенные ранее для ударных волн соотношения
(85.1)—(85.10), являющиеся следствием од-
одних только этих условий. Остается, в част-
частности, справедливым уравнение
Wi-W2+
^ 2
-pi)=O A29.1)
Рис. 132
(буквы с индексом 1 будут везде относиться
к исходному, несгоревшему, газу, а с индек-
индексом 2 — к продуктам горения). Кривую зависимости р2 от V2,
определяемую этим уравнением, будем называть детонацион-
детонационной адиабатой. В противоположность рассматривавшейся ранее
ударной адиабате эта кривая не проходит через исходную задан-
заданную точку pij V\. Свойство ударной адиабаты проходить через
эту точку было связано с тем, что w\ и W2 были одинаковыми
функциями соответственно от pi, V\ и р2, V<2, что теперь ввиду
химического различия обоих газов не имеет места. На рис. 132
сплошной линией изображена детонационная адиабата. Через
точку pi, V\ в качестве вспомогательной кривой проведена обыч-
обычная ударная адиабата для исходной горючей смеси (штриховая
кривая). Детонационная адиабата всегда расположена над удар-
ударной в связи с тем, что при горении развивается высокая темпера-
температура и давление газа увеличивается по сравнению с тем, которое
имел бы несгоревший газ при том же удельном объеме.
г) Это время, однако, само зависит от интенсивности ударной волны; оно
быстро убывает с ростом интенсивности волны в связи с увеличением ско-
скорости протекания реакции при повышении температуры.

670	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
Для плотности потока вещества имеет место прежняя фор-
формула (85.6)
З2 = ^,	A29-2)
Vl — V2
так что графически — j2 есть по-прежнему тангенс угла наклона
к оси абсцисс хорды, проведенной из точки р\, V\ в произволь-
произвольную точку р2-> V2 детонационной адиабаты (например, хорда ас
на рис. 132). Из чертежа сразу видно, что j2 не может быть
меньше значения, соответствующего наклону касательной аО.
Поток j представляет собой не что иное, как количество сгора-
сгорающего в единицу времени вещества (отнесенное к 1 см2 поверх-
поверхности детонационной волны); мы видим, что при детонации это
количество не может быть меньше определенного предела jm[n
(зависящего от начального состояния исходного газа).
Формула A29.2) является следствием одних лишь условий
непрерывности потоков массы и импульса. Поэтому уравнение
A29.2) справедливо (при заданном исходном состоянии газа) не
только для окончательного состояния продуктов горения, но и
для всех промежуточных состояний, в которых выделилась еще
лишь часть энергии реакции :) . Другими словами, давление р
и удельный объем V вещества во всех этих состояниях связаны
друг с другом линейным соотношением
P = Pi+f(V1-V),	A29.3)
которое графически изображается точками хорды ad (В.А. Ми-
хелъсон, 1890).
Проследим теперь (следуя Я.Б. Зельдовичу, 1940) за ходом
изменения состояния вещества вдоль слоя конечной ширины, ко-
которым в действительности является детонационная волна. Пе-
Передний фронт детонационной волны представляет собой истин-
истинную ударную волну в газе 1 (исходной горючей смеси). В ней ве-
вещество подвергается сжатию и нагреванию, приводящему его в
состояние, изображающееся точкой d (рис. 132) на ударной адиа-
адиабате газа 1. В сжатом веществе начинается химическая реакция,
по мере протекания которой состояние вещества изображается
точкой, передвигающейся вниз по хорде da] при этом выделя-
выделяется тепло, вещество расширяется, а его давление падает. Так
продолжается до тех пор, пока не закончится горение и не выде-
выделится все тепло реакции. Этому моменту соответствует точка с,
лежащая на детонационной адиабате, изображающей конечные
состояния продуктов горения. Что же касается нижней точки b
г) Здесь предполагается, что диффузией и вязкостью в зоне горения можно
пренебречь, так что перенос массы и импульса осуществляется только за
счет гидродинамического движения.

§ 129	ДЕТОНАЦИЯ	671
пересечения хорды ad с детонационной адиабатой, то она оказы-
оказывается недостижимой для вещества, в котором горение вызвано
его сжатием и разогреванием в ударной волне :) .
Таким образом, мы приходим к важному результату, что де-
детонации отвечает не вся кривая детонационной адиабаты, а лишь
ее верхняя часть, лежащая над точкой О, в которой адиабата ка-
касается прямой, проведенной из начальной точки а.
В § 87 было показано, что в точке, где d(j )/dp2 = 0 (т. е.
хорда 12 касается ударной адиабаты), скорость V2 совпадает с
соответствующим значением скорости звука С2- Этот результат
был получен, исходя из одних только законов сохранения на по-
поверхности разрыва, и потому в полной мере применим и к дето-
детонационной волне. На обычной ударной адиабате для одного газа
таких точек нет (как это было показано там же). На детонацион-
детонационной же адиабате такая точка имеется — точка О. Одновременно
с равенством V2 = С2 в такой точке имеет место также и неравен-
неравенство (87.10) d(v2/'С2)/'dp2 < 0, а потому при больших р2, т. е. над
точкой О, скорость V2 < С2- Поскольку детонации соответствует
именно верхняя часть адиабаты над точкой О, то мы приходим
к результату, что
^2<с2,	A29.4)
т. е. детонационная волна движется относительно остающегося
непосредственно за нею газа со скоростью, равной или меньшей
скорости звука, равенство V2 = C2 имеет место для детонации,
соответствующей точке О (точка Чепмена-Жуге) 2) .
Что касается скорости волны относительно газа i, то она все-
всегда (в том числе и для точки О) является сверхзвуковой:
vi>ci.	A29.5)
В этом проще всего можно убедиться непосредственно из
рис. 132. Скорость звука с\ графически определяется наклоном
касательной к ударной адиабате газа 1 (штриховая кривая) в
точке а. Скорость же v\ определяется наклоном хорды ас. По-
Поскольку все рассматриваемые хорды идут круче указанной каса-
касательной, то всегда v\ > с\. Перемещаясь со сверхзвуковой ско-
скоростью, детонационная волна, как и ударная волна, никак не
влияет на состояние находящегося перед нею газа. Скорость v\
перемещения волны относительно исходного неподвижного газа
и есть та скорость, о которой надо говорить как о скорости рас-
распространения детонации в горючей смеси.
г) Для полноты рассуждений следует также указать, что скачкообразный
переход из состояния с в состояние Ъ в еще одной ударной волне тоже невоз-
невозможен, так как газ пересекал бы такую волну в направлении от большего
давления к меньшему, что невозможно.
2) Напомним, что под скоростями г>1, г>2 везде подразумеваются скорости
в нормальном к поверхности разрыва направлении.

672	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
Поскольку v\/V\ = V2IV2 = J, a V\ > V2, то v\ > V2. Раз-
Разность же v\ — V2 есть скорость движения продуктов горения от-
относительно несгоревшего газа. Эта разность положительна, т. е.
продукты горения движутся в сторону распространения детона-
детонационной волны.
Отметим еще следующее обстоятельство. В том же § 87 было
показано, что —— > 0. Поэтому в точке, где j2 имеет минимум,
d(j2)
минимально также и 52- Такой точкой является как раз точка О,
и мы заключаем, что она соответствует наименьшему значению
энтропии 52 на детонационной адиабате. Энтропия 52 имеет экс-
экстремум в точке О также и если следить за изменением состоя-
состояния вдоль прямой ае (поскольку наклоны кривой и касательной
в точке О совпадают). Этот экстремум, однако, является макси-
максимумом (В.А. Михельсон). Действительно, перемещению от точ-
точки е к О соответствует изменение состояния по мере протекания в
сжатой смеси реакции горения, сопровождающейся выделением
тепла и ростом энтропии; переход же из О в а соответствовал бы
эндотермическому превращению продуктов горения в исходное
вещество, обладающее меньшей энтропией.
Если детонация вызывается ударной волной, возникшей от
какого-либо постороннего источника и падающей на горючую
смесь, то такой детонации может соответствовать любая точ-
точка, лежащая на верхней части детонационной адиабаты. В осо-
особенности интересна, однако, детонация, возникающая самопро-
самопроизвольно, в результате самого процесса горения. В следующем
параграфе мы увидим, что в ряде важных случаев такая детона-
детонация непременно должна соответствовать точке Чепмена-Жуге,
так что скорость детонационной волны относительно остающих-
остающихся непосредственно за ней продуктов горения равна как раз ско-
скорости звука, а скорость относительно исходного газа v\ = jV\
имеет наименьшее возможное значение г) .
Выведем теперь соотношения между различными величина-
величинами в детонационной волне в политропном газе. Подставляя в об-
общее уравнение A29.1) тепловую функцию в виде
w = wq + срТ = wq + -^—,
7-1
получаем
P2V2	piFi - VlP2 + V2Pl = 2q,	A29.6)
72 - 1	71 - 1
где через q = wqi—wq2 опять обозначена теплота реакции (приве-
(приведенная к абсолютному нулю температуры). Определяемая этим
1) Это утверждение было высказано гипотетически Чепменом
(D.L. Chapman, 1899) и Жуге (Е. Jouguet, 1905), а его теоретическое
обоснование дано Я.Б. Зельдовичем A940) и затем независимо Нейманом
(J. von Neumann, 1942) и Дерингом (W. Boring, 1943).

§ 129	ДЕТОНАЦИЯ	673
уравнением кривая ^(V^) является равнобочной гиперболой.
При Р2/Р1 —>• оо отношение плотностей стремится к конечному
пределу
Р2 _ Vl_ _ 72 + 1.
pi V2 72 - 1'
это — наибольшее сжатие вещества, которое может быть достиг-
достигнуто в детонационной волне.
Формулы сильно упрощаются в важном случае сильных де-
детонационных волн, получающихся, когда выделяющаяся тепло-
теплота реакции велика по сравнению с внутренней тепловой энергией
исходного газа, т. е. q S> cv\T\. В этом случае можно пренебречь
в A29.6) членами, содержащими pi, и получается
?l
p
l±lv2-V1)=2q.	A29.7)
2 — 1	/
Рассмотрим более подробно детонацию, соответствующую
точке Чепмена-Жуге, представляющую согласно сказанному вы-
выше особый интерес. В этой точке имеем
•2 _ _С2_ _
J V2
_С2_ _ 72Р2
V22 V2 '
Из этого соотношения и соотношения A29.2) можно выразить
и V<2 в виде
?	B)
()
72 + 1	j2G2 + l)
Подставляя теперь эти выражения в уравнение A29.6) и вводя
вместо потока j скорость v\ = jVi, получаем после простого при-
приведения следующее биквадратное уравнение для v\\
4 - Я [G22 - l)q + G| - TiJcxTx] + 7| G1 - 1JсМ = О
(температура введена здесь согласно Т = pV/(cp — cv) =
= pVl(cv(^ — 1)). Отсюда имеем г)
G1 +72)c«,iTi] j1 2 +
1/2
+ G2 - 71)с,1Т!]}1/2. A29.9)
Если ж4 - 2рж2 + q = 0, то
X =
Два знака перед корнем соответствуют в данном случае тому, что из точки
а можно провести две касательные к детонационной адиабате — одну вверх,
как это изображено на рисунке, а другую вниз. Интересующая нас верхняя
касательная является более крутой и соответственно этому мы выбираем
знак плюс перед корнем.
22 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

674	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
Эта формула определяет скорость распространения детонации
по температуре Т\ исходной газовой смеси.
Перепишем формулы A29.8) в виде
Р2 = v\ + G1 - l)^iTi Yl = 72 К+ Gi -l)cviTi]
Вместе с A29.9) они определят отношения давлений и плотно-
плотностей продуктов горения и исходного вещества по темпера-
температуре Гь
Скорость V2 вычисляется как v2 = ^iV^/Vi с помощью фор-
формул A29.9) и A29.10). В результате вычисления получается
- 1	Л1/2
V2 = i —^—[G2 + I)? + G1 + 72KlTi] j +
^ 2
- 1)? + G2 - 7i)c,iT1]}i/2. A29.11)
72 + 1 ^ г
Разность же v\ —v2l т. е. скорость сгоревшего газа относительно
несгоревшего, равна
72 + 1
Температура продуктов горения вычисляется по формуле
72G2 - 1)
A29.13)
(напомним, что г?2 = С2).
Все эти довольно сложные формулы очень упрощаются для
сильных детонационных волн. В этом случае получаем для ско-
скоростей следующие простые формулы:
- l)q, v1-v2 = -^-[.	A29.14)
Термодинамическое же состояние продуктов горения определя-
определяется формулами
72
72 + 1'
Р2
т2
2G2-
712;:
72 + :
1) Я
1 cvlT,
1- Cv2
G2 + l)cf
A29.15)
Сравнив формулы A29.15) с аналогичными формулами
A28.5) для медленного горения, можно отметить, что в предель-
предельном случае q^> cv\T\ отношение температур продуктов горения,

§ 130	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ	675
которые они приняли бы соответственно после медленного горе-
горения и после детонации, равно
_ 2722
Т2гор 72 + 1"
Это отношение всегда больше единицы (так как всегда 72 > 1)-
Задача
Определить термодинамические величины газа непосредственно за удар-
ударной волной, являющейся передним фронтом сильной детонационной волны,
соответствующей точке Чепмена-Жуге.
Решение. Непосредственно за ударной волной имеется еще несго-
ревшая газовая смесь, и ее состояние изображается точкой е пересечения
продолжения касательной аО (рис. 132) с ударной адиабатой (штриховая
кривая) газа 1. Обозначая координаты этой точки через р[, V/, имеем, с
одной стороны, согласно уравнению (89.1) ударной адиабаты газа 1:
У{ _ G1 + l)pi + G1 ~ l)pj
Vi G1 - l)pi + Gi + l)pi
и, с другой стороны,
Pi - Pi _ .2 _ Vl
V!-V{~J " V?'
Взяв для vi значение из A29.14), получим
4G22-1) q	Tw лг 7i-l	. q 4Gз2 - 1)
Pi =Pi-
7?-1 c,iTi	71 +1	cvl G1 +IJ
Отношение давления р[ к давлению р2 позади детонационной волны равно
Р2	71 +
§ 130. Распространение детонационной волны
Рассмотрим теперь несколько конкретных случаев распро-
распространения детонационных волн в газе, который первоначально
покоился. Начнем с детонации в газе, находящемся в трубе, один
из концов которой (х = 0) закрыт. Граничные условия в этом
случае требуют равенства нулю скорости газа как впереди дето-
детонационной волны (детонационная волна не влияет на состояние
газа, находящегося перед нею), так и на закрытом конце трубы.
Поскольку при прохождении детонационной волны газ приобре-
приобретает отличную от нуля скорость, то в пространстве между вол-
волной и закрытым концом трубы должно происходить падение его
скорости. Для того чтобы определить возникающую при этом
картину движения газа, замечаем, что в рассматриваемой зада-
задаче нет никаких параметров длины, которые бы характеризова-
характеризовали условия движения вдоль длины трубы (оси х). Мы видели
22*

676	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
в § 99, что в таком случае изменение скорости газа может про-
произойти либо в ударной волне (разделяющей две области посто-
постоянной скорости), либо в автомодельной волне разрежения.
Предположим сначала, что детонационная волна не соответ-
соответствует точке Чепмена-Жуге. Тогда скорость ее распространения
относительно остающегося за нею газа г>2 < С2. Легко видеть, что
в таком случае за детонационной волной не могут следовать ни
ударная волна, ни слабый разрыв (передний фронт волны раз-
разрежения). Действительно первая должна перемещаться относи-
относительно находящегося перед нею газа со скоростью, превышаю-
превышающей С2, а второй —со скоростью, равной С2] в обоих случаях они
перегоняли бы детонационную волну. Таким образом, при сде-
сделанном предположении оказывается невозможным уменьшить
скорость движущегося за детонационной волной газа, т. е. невоз-
невозможно удовлетворить граничному условию при х = 0.
Удовлетворить этому условию можно лишь с детонационной
волной, соответствующей точке Чепмена-Жуге. В этом случае
V2 = С2, и за детонационной волной может следовать волна
разрежения. Возникнув в точке х = 0 одновремен-
но с началом детонации, волна разрежения будет
/\ иметь передний фронт совпадающим с детонаци-
/ | онной волной.
со vix/t Таким образом, мы приходим к существенно-
а	му результату, что детонационная волна, распро-
распространяющаяся по трубе в подожженном у ее за-
Л крытого конца газе, должна соответствовать точке
/	Чепмена-Жуге. Она движется относительно нахо-
находящегося непосредственно за нею газа со скоро-
скоростью, равной местной скорости звука. От самой де-
детонационной волны начинается область волны раз-
разрежения, в которой, скорость газа (относительно
Рис. 133 трубы) монотонно падает до нуля. Точка, в кото-
которой скорость впервые обращается в нуль, является слабым раз-
разрывом. Позади слабого разрыва газ неподвижен (рис. 133 а).
Рассмотрим теперь детонационную волну, распространяющу-
распространяющуюся по трубе от открытого ее конца. Давление газа, находяще-
находящегося перед детонационной волной, должно быть равно первона-
первоначальному давлению исходного газа, совпадающему, очевидно, с
внешним давлением. Ясно, что и в этом случае где-то позади де-
детонационной волны должно происходить падение скорости. Если
бы на всем протяжении от начала трубы до волны скорость га-
газа была постоянной, то это значило бы, что на открытом конце
трубы происходит засасывание газа извне; между тем давление
газа в трубе было бы выше внешнего (так как за детонационной
волной давление выше, чем перед нею), и потому такое засасы-
засасывание невозможно. По таким же причинам, как и в предыду-

§ 130	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ	677
щем случае, детонационная волна должна соответствовать точ-
точке Чепмена-Жуге. В результате получается картина движения,
схематически изображенная на рис. 133 б. Непосредственно за
детонационной волной начинается область автомодельной волны
разрежения, в которой скорость монотонно падает по направле-
направлению к началу трубы, причем меняет в некоторой точке знак.
Это значит, что в некотором начальном участке трубы газ будет
двигаться в направлении к открытому концу трубы, из которого
и будет вытекать наружу; выходная скорость этого вытекания
равна местному значению скорости звука, а выходное давление
превышает внешнее (мы видели в § 97, что такой режим вытека-
вытекания возможен) х) .
Рассмотрим, далее, важный случай сферической детонаци-
детонационной волны, расходящейся от точки начального воспламенения
газа как из центра {Я.Б. Зельдович, 1942). Поскольку газ дол-
должен быть неподвижным как впереди детонационной волны, так
и вблизи центра, то и здесь скорость газа должна падать по на-
направлению от волны к центру. Как и в случае движения в трубе,
здесь также нет никаких заданных характерных параметров раз-
размерности длины. Поэтому возникающее движение газа должно
быть автомодельным, с той разницей, что роль координаты х
играет теперь расстояние г от центра; таким образом, все вели-
величины должны быть функциями только отношения r/t 2) .
Для центрально-симметричного движения (vr = г; (г, ?), v^ =
= vq = 0) уравнения движения имеют следующий вид. Уравне-
Уравнение непрерывности:
dp d(vp) 2vp _ ~
dt dr	r
уравнение Эйлера:
dv . dv	1 dp
— + v— = —- —
dt dr	p dr
и уравнение сохранения энтропии:
— +v— = 0
dt dr
Вводя переменную ? = r/t (? > 0) и считая, что все величи-
величины являются функциями только ?, получим следующую систему
1)Мы везде полностью отвлекаемся от тепловых потерь, которыми мо-
может сопровождаться распространение детонационной волны. Как и в случае
медленного горения, эти потери могут сделать распространение детонации
невозможным. При детонации в трубе источником потерь являются в пер-
первую очередь отвод тепла через стенки трубы и замедление газа благодаря
трению.
) Безразмерную автомодельную переменную в этой задаче можно опреде-
определить как r/(?y/g), где характерный постоянный параметр q — теплота реак-
реакции на единицу массы.

678	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
уравнений:
(Z-v)v' = p-,	A30.2)
р
(i-v)s' = 0	A30.3)
(штрих означает дифференцирование по ?). Положить здесь
v = ? нельзя, так как это противоречит первому уравнению. По-
Поэтому из третьего сразу имеем sf = 0, т. е.
s = const.
Имея в виду постоянство энтропии, можем написать р1 = с2/У, и
уравнение A30.2) приобретает вид
(?-v)v' = c2^.	A30.4)
Р
Подставив сюда р1/р из A30.1), получаем следующее соотно-
соотношение:
[(?0lL' = 2?.	A30.5)
Уравнения A30.4) и A30.5) не могут быть проинтегрированы в
аналитическом виде, но свойства их решения могут быть иссле-
исследованы.
Область, в которой газ совершает движение рассматривае-
рассматриваемого типа, ограничена, как мы увидим ниже, двумя сферами, из
которых наружная представляет собой поверхность самой дето-
детонационной волны, а внутренняя является поверхностью слабого
разрыва, причем скорость обращается на ней в нуль.
Изучим прежде всего свойства решения вблизи точки, где v
обращается в нуль. Легко видеть, что в точке, где v = 0, непре-
непременно должно быть одновременно ? = с:
v = 0, f = с.	A30.6)
Действительно, при стремлении v к нулю In г; стремится к
—оо; поэтому, когда ?, уменьшаясь, стремится к значению, со-
соответствующему внутренней границе рассматриваемой области,
производная dlnv/d^ должна стремиться к +оо. Между тем из
A30.5) имеем при v = 0
d\nv	2
Это выражение может стремиться к +оо лишь при ? —>• с.
В самом начале координат радиальная скорость должна обра-
обратиться в нуль уже непосредственно в силу симметрии. Таким

§ 130	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ	679
образом, вокруг начала координат будет находиться область не-
неподвижного газа (область внутри сферы ? = со, где со — значение
скорости звука при v = 0).
Выясним свойства функции v(?) вблизи точки A30.6). Из
A30.5) имеем
dv 2 L с2
С точностью до величин первого порядка малости (каковыми
являются v, ? — со, с — со) получаем после простого вычисления:
Согласно A02.1) имеем v + с — со = olqv, где «о — положитель-
положительная постоянная (значение величины A02.2) при v = 0), и мы
получаем для ? — со как функции v следующее линейное диффе-
дифференциальное уравнение первого порядка:
^) _ ( о) = _
dv
Решение этого уравнения есть
t л const	/1 on гл
? — со = aov In	.	A30.7)
V
Этим определяется в неявном виде функция v(?) вблизи точки,
где v = 0.
Мы видим, что внутренняя граница является поверхностью
слабого разрыва; скорость обращается на ней в нуль, не испы-
испытывая скачка. Кривая зависимости v(^) имеет на этой границе
горизонтальную касательную (dv/dt; = 0). Мы имеем здесь дело
со слабым разрывом весьма своеобразного типа: первая произ-
производная на нем непрерывна, а все производные высших порядков
обращаются в бесконечность (в чем легко убедиться на основа-
основании A30.7)). Отношение r/t при v = 0 есть, очевидно, не что
иное, как скорость перемещения границы области относитель-
относительно газа; согласно A30.6) она равна местному значению скорости
звука, как и должно быть для слабого разрыва.
Далее имеем при малых v согласно A30.7):
f - v - с = (? - с0) - (г; + с - с0) = aov Mn ^^- - 1J.
Эта величина при малых v положительна:
?-v-c>0.
Покажем, что нигде внутри области рассматриваемого движения
разность (? — г;) — с не может изменить знак. Рассмотрим точку,
в которой было бы
?-v = c, v^0.	A30.8)

680	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
Из A30.5) видно, что в такой точке производная v' должна обра-
обратиться в бесконечность, т. е.
^ = 0.	A30.9)
dv
Что касается второй производной dP^/dv2, то простое вычисле-
вычисление дает для нее (при условиях A30.8) и A30.9)) значение
dv2	со v
отличное от нуля. Но это значит, что в рассматриваемой точке ?
как функция v имеет максимум. Иначе можно сказать, что функ-
функция v(?) существует лишь при ?, лежащих только по нижнюю
сторону от значения, соответствующего условиям A30.8); это
значение является второй границей, за которую не может про-
простираться рассматриваемая область. Из того, что ? — v — с может
обратиться в нуль только на границе области, а при малых v во
всяком случае ? — v — с > 0, мы заключаем, что
i-v> с	A30.10)
везде внутри этой области.
Теперь уже легко видеть, что реальная передняя граница
области рассматриваемого движения должна совпадать с точ-
точкой, где выполняются условия A30.8). Для этого замечаем, что
разность r/t — г>, где г— координата границы, есть не что иное,
как скорость перемещения этой границы относительно остающе-
остающегося за ней газа. Но поверхность, на которой r/t — v > с, не может
быть поверхностью детонационной волны (на которой должно
быть r/t — v ^ с). Поэтому мы приходим к результату, что пе-
передней границей рассматриваемой области может быть только
точка, в которой имеет место A30.8). На этой границе v падает
скачком до нуля, а скорость ее распространения относительно
остающегося непосредственно за нею газа равна местной скоро-
скорости звука. Это значит, что детонационная волна должна соответ-
соответствовать точке Чепмена-Жуге детонационной адиабаты х) .
Мы приходим к следующей картине движения газа при сфе-
сферическом распространении детонации. Детонационная волна, как
и при детонации в трубе, соответствует точке Чепмена-Жуге.
Непосредственно за нею начинается область сферической авто-
автомодельной волны разрежения, в которой скорость газа падает до
нуля. Падение происходит монотонно, так как согласно A30.5)
производная dv/dt; может обратиться в нуль лишь в той точ-
точке, где одновременно v = 0. Вместе со скоростью монотонно
г) Отметим для полноты рассуждений, что v = const не является решением
уравнений центрально-симметрического движения. Поэтому за детонацион-
детонационной волной не может следовать область постоянной скорости.

§ 130	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ	681
убывают также и давление и плотность газа (согласно A30.4)
и A30.10) производная р' имеет везде тот же знак, что и v').
Кривая зависимости v от r/t имеет на передней границе верти-
вертикальную (согласно A30.9)), а на внутренней — горизонтальную
касательную (рис. 134). Внутренняя граница является слабым
разрывом, вблизи которого зависимость v от r/t определяется
уравнением A30.7). Внутри сферы, ограниченной поверхностью
слабого разрыва, газ неподвижен. Общее ко-
количество (по массе) неподвижного вещества,
однако, весьма незначительно (ср. соображе-
соображения, приведенные в конце § 106).
Таким образом, во всех рассмотренных ти-
типичных случаях самопроизвольного одномер-
одномерного и сферического распространения детона-
ции граничные условия в области позади де-	rjt
тонационной волны приводят к однозначному
отбору скорости последней, соответствующе-	Рис 134
му точке Чепмена-Жуге (после того, как вся
область детонационной адиабаты ниже этой точки была исклю-
исключена по соображениям, изложенным в § 129). Осуществление в
трубе постоянного сечения детонации, соответствующей распо-
расположенной выше этой точки части адиабаты, требовало бы искус-
искусственного поджатия продуктов горения движущимся со сверх-
сверхзвуковой скоростью поршнем (см. задачу 3 к этому параграфу);
о таких детонационных волнах говорят как о пережатых.
Подчеркнем, однако, что эти выводы не имеют универсально-
универсального характера, и можно представить себе случаи самопроизволь-
самопроизвольного возникновения пересжатой детонационной волны. Так, пе-
пересжатая волна возникает при переходе детонации из широкой
трубки в узкую; это явление связано с тем, что когда детонаци-
детонационная волна доходит до места сужения, происходит ее частичное
отражение, в результате чего давление продуктов горения, вте-
втекающих из широкой в узкую часть трубы, резко возрастает —
ср. задачу 4 (Б.В. Айвазов, Я.Б. Зельдович, 1947) х).
По поводу изложенной в этом и предыдущем параграфах тео-
теории необходимо сделать следующее общее замечание. Структура
детонационной волны предполагается в ней стационарной и од-
однородной по ее площади; она одномерна в том смысле, что рас-
распределение всех величин в зоне горения предполагается завися-
зависящим только от одной координаты — вдоль ее ширины. Накоп-
Накопленные к настоящему времени экспериментальные данные сви-
свидетельствуют, однако, о том, что такая картина представляет
) Пересжатость возникает также при распространении сходящейся цилин-
цилиндрической или сферической детонационной волны — см. Зельдович Я.Б. //
ЖЭТФ. 1959. Т. 36. С. 782.

682	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
собой далеко идущую идеализацию, которая могла бы служить
лишь для некоторого усредненного описания процесса; реаль-
реально наблюдаемая картина обычно существенно от нее отлича-
отличается. Фактически структура детонационной волны существен-
существенно нестационарна и существенно трехмерна; волна имеет вдоль
своей площади мелкомасштабную, быстро меняющуюся со вре-
временем сложную структуру. Ее возникновение представляет со-
собой результат неустойчивости, связанной прежде всего с силь-
сильной (экспоненциальной) температурной зависимостью скорости
реакции —уже небольшие изменения температуры при искаже-
искажении формы ударного фронта сильно отражаются на ходе ре-
реакции; эта неустойчивость выражена тем сильнее, чем больше
отношение активационной энергии реакции к температуре газа
(за ударной волной). В особенности наглядно неоднородность и
нестационарность структуры детонационной волны проявляется
в условиях, близких к пределу распространения детонации в тру-
трубе: воспламенение горючей смеси происходит в основном лишь за
одиночными эксцентрично расположенными (и движущимися по
спирали) резко деформированными участками ударного фронта
(в таких случаях говорят о спиновой детонации). Разбор воз-
возможных механизмов всех этих сложных явлений не входит в
задачу этой книги :) .
Задачи
1. Определить движение газа при распространении детонационной вол-
волны по трубе от закрытого ее конца.
Решение. Скорости детонационной волны относительно находяще-
находящегося перед нею неподвижного газа v\ и относительно остающегося непо-
непосредственно за нею сгоревшего газа г>2 определяются по температуре Т\ по
формулам A29.11), A29.12); v\ есть в то же время скорость перемещения
волны относительно трубы, так что ее координата определяется как х = v\t.
Скорость (относительно трубы) продуктов горения на детонационной волне
равна v\ —V2. Скорость же г>2 совпадает с местной скоростью звука. Посколь-
Поскольку в автомодельной волне разрежения скорость звука связана со скоростью
7-1
газа v через с = со Н	г>, то имеем
z
72 — 1 /	ч
V2 = Со + ~	(^1 — V2),
откуда
72 + 1	72-1
Со = 	V2	Vi.
2	2
Для сильной детонационной волны с помощью A29.14) получаем просто
со = wi/2. Величина со и есть скорость перемещения задней границы вол-
*) Дадим лишь ссылки на некоторые книги и обзорные статьи: Щел-
кин К.И., Трошин Я.Г. Газодинамика горения. — М.: Наука, 1963; Солоу-
Солоухин Р.И. Ударные волны и детонация. — М.: Наука, 1963; Солоухин Р.И. //
УФН. 1963. Т. 80. С. 526; Oppenheim А.К., Soloukhin R.I. // Ann. Rev. Fluid
Mech. 1973. V. 6. P. 31.

§ 130
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ
683
ны разрежения. Между обеими границами скорость меняется по линейному
закону (рис. 133 а).
2.	То же для трубы с открытым концом.
Решение. Скорости v\ и г>2 определяют так же, как и в предыдущем
случае; поэтому той же оказывается и скорость со. Область волны разреже-
разрежения простирается, однако, теперь не до точки, где v = 0, а до самого начала
трубы (ж = 0, рис. 133 б). Из формулы x/t = v + с (99.5) видим, что газ вы-
вытекает из отверстия трубы со скоростью v = —с, равной местной скорости
звука. Написав
,72-1
— v = С = Со Н	V,
получим поэтому для скорости вытекания газа следующее значение:
_ 2с0
=о 72 + 1'
Для сильной детонационной волны эта скорость равна ^1/G2 + 1) и по ве-
величине совпадает со скоростью газа непосредственно за волной.
3.	То же при распространении детонационной волны от конца трубы,
закрытого поршнем, начинающим в начальный момент времени двигаться
вперед с постоянной скоростью U.
Решение. Если U < vi, то распределение скорости в газе имеет вид,
изображенный на рис. 135 а. Скорость газа падает от значения v\ — V2 при
x/t = vi до значения U при
72'
-U
U
x/t
с прежним значением со. Дальше следует область газа, движущегося с по-
постоянной скоростью U.
Если же U > vi, то детонационная волна уже не может соответствовать
точке Жуге (поршень «обгонял» бы ее). В этом случае возникает «пересжа-
«пересжатая» детонационная волна, соответствующая точ-
точке на адиабате, расположенной выше точки ^Жу-
^Жуге. Она определяется тем, что скачок скорости в
ней должен быть равен как раз скорости поршня:
vi — V2 = U. Во всей области между детонацион-
детонационной волной и поршнем газ движется с постоянной
скоростью U (рис. 135 б).
4. Определить давление, возникающее у аб-
абсолютно твердой стенки при отражении падаю- (
щей на нее в нормальном направлении плоской
сильной детонационной волны (К.П. Станюко-
Станюкович, 1946).
Решение. При падении детонационной
волны на стенку возникает отраженная ударная
волна, распространяющаяся в обратном направ-
направлении по продуктам горения. Вычисления в точности аналогичны произве-
произведенным в задаче 1 § 100. С теми же обозначениями, что и там, имеем в
данном случае три соотношения:
P2(Vi — V2) = (рз — P2XV2 — Уз),
У2_ _ 72	Уз_ _ G2 + 1)Р2 + G2 - 1)РЗ
У\	72 + 1 ' У<1	G2 - 1)Р2 + G2 + 1)РЗ
(мы пренебрегаем pi по сравнению с р2, но р2 и рз — одного порядка вели-
величины). Исключая объемы, получим для рз квадратное уравнение, причем
U
x/t
Рис. 135

684	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
должен быть выбран тот из его корней, для которого рз > Р2]
рз _ 572 + 1 + л/1771 + 272 + 1
Р2	472
Отметим, что это отношение почти не зависит от значения 72, меняясь всего
в пределах от 2,6 до 2,3 при изменении 72 от 1 до оо.
§ 131. Соотношение между различными
режимами горения
В § 129 было показано, что детонации соответствуют точки
на верхней части детонационной адиабаты для данного процес-
процесса горения. Поскольку уравнение этой адиабаты есть следствие
одних лишь необходимых законов сохранения массы, импульса
и энергии (примененных к начальному и конечному состояниям
горящего газа), то ясно, что на эту же кривую
р2	должны лечь точки, изображающие состоя-
состояние продуктов реакции также и при всяком
другом режиме горения, в котором зону го-
горения можно рассматривать как некоторую
«поверхность разрыва». Выясним теперь, ка-
каков именно физический смысл остальных
участков этой кривой.
Проведем через точку р\, V\ (точка 1
v на рис. 136) вертикальную и горизонталь-
	^^^ ную прямые 1А и 1А' и две касательные 10
и 10' к адиабате. Точки А, А'', О, О' касания
Рис. 136	или пересечения этих прямых с кривой разде-
разделят адиабату на пять частей. Часть кривой,
лежащая над точкой О, соответствует, как указано, детонации.
Рассмотрим теперь другие участки кривой.
Прежде всего легко видеть, что участок А А' вовсе не имеет
никакого физического смысла. Действительно, на этом участке
имеем р2 > р\, V% > У\ •> и поэтому поток вещества j оказался бы
мнимым (ср. A29.2)).
В точках касания О ж О' производная d(p)/dp2 обращает-
обращается в нуль; уже было указано в § 129 (со ссылкой на § 87), что
в таких точках имеют одновременно место равенство г>2 = С2 и
неравенство d(v2/'02)/'dp2 < 0. Отсюда следует, что над точками
касания V2 < С2, а под ними V2 > С2. Что касается взаимоотно-
взаимоотношения между скоростями v\ и с\, то его всегда легко установить
из рассмотрения наклона соответствующих хорд и касательных,
подобно тому как это было сделано в § 129 для участка кри-
кривой над точкой О. В результате такого рассмотрения найдем,
что на отдельных участках адиабаты имеют место следующие

§ 131	СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ РЕЖИМАМИ	685
неравенства:
над точкой О : v\ > ci, V2 < С2;
на отрезке АО : ^i > ci, ^2 > С2;
л/w	A31.1)
на отрезке А О : v\ < c\, V2 < С2;
под точкой О' : v\ < c\, V2 > C2.
В точках О и О7 имеем г>2 = С2- При приближении к точке А
поток j, а вместе с ним и скорости v\, V2 стремятся к бесконеч-
бесконечности. При приближении же к точке А' поток j и скорости v\, V2
стремятся к нулю.
В § 88 было введено понятие об эволюционности ударных
волн как о необходимом условии возможности их осуществления.
Мы видели, что этот критерий устанавливается сравнением чис-
числа параметров, определяющих возмущение, и числом граничных
условий, которым оно должно удовлетворять на самой поверхно-
поверхности разрыва.
Все эти соображения можно применить и к рассматриваемым
здесь «поверхностям разрыва». В частности, остается в силе и
произведенный в § 88 подсчет числа параметров возмущения для
каждого из четырех случаев A31.1), представленный на рис. 57.
Для детонационного режима (адиабата над точкой О) число гра-
граничных условий такое же, как и для обычной ударной волны, и
условие эволюционности остается прежним. Для недетонацион-
недетонационного режима (адиабата под точкой О) ситуация меняется ввиду
изменения числа граничных условий. Дело в том, что в таком
режиме горения скорость его распространения целиком опреде-
определяется свойствами самой химической реакции и условиями теп-
теплопередачи из зоны горения в находящуюся перед ней ненагре-
ненагретую газовую смесь. Это значит, что поток вещества j через зону
горения равен определенной заданной величине (точнее, опреде-
определенной функции состояния исходного газа i), между тем как в
ударной или детонационной волне j может иметь произвольное
значение. Отсюда следует, что на разрыве, представляющем зону
недетонационного горения, число граничных условий на едини-
единицу больше, чем на ударной волне, —добавляется условие опреде-
определенного значения j. Всего, таким образом, оказывается четыре
условия, и тем же образом, как это было сделано в § 87, заключа-
заключаем теперь, что абсолютная неустойчивость разрыва имеет место
лишь в случае v\ < c\, V2 > C2, изображающемся точками на
участке адиабаты под точкой О1. Мы приходим к выводу, что
этот участок кривой не соответствует каким бы то ни было ре-
реально осуществляющимся режимам горения.
Участок А101 адиабаты, на котором обе скорости v\ и V2 —
дозвуковые, соответствует обычному режиму медленного горе-
горения. Увеличению скорости горения j соответствует на участке

686	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
А'О' адиабаты перемещение от точки А' (в которой j = 0) к О'.
Написанные в § 128 формулы A28.5) соответствуют точке А' (в
которой pi = Р2) и применимы постольку, поскольку j достаточ-
достаточно мало, т. е. поскольку скорость распространения горения мала
по сравнению со скоростью звука. Точка же О' отвечает пре-
предельному «наиболее быстрому» режиму рассматриваемого ти-
типа. Выпишем здесь формулы, относящиеся к этому предельному
случаю.
Точка О7, как и точка О, есть точка касания кривой с про-
проведенной из точки 1 касательной. Поэтому формулы, относя-
относящиеся к точке О7, можно получить непосредственно из формул
A29.8)—A29.11), относящихся к точке О, сделав в них лишь со-
соответствующую перемену знака (см. сноску на с. 673). Именно, в
формулах A29.9) и A29.11) для v\ и V2 надо изменить знак перед
вторым корнем, в связи с чем меняет знак также и выражение
A29.12) для v\ — V2- Формулы A29.10) остаются неизменными,
если понимать в них под v\ новое значение. Все эти формулы
сильно упрощаются в том случае, когда теплота реакции велика
(q ^> cv\T\). Тогда получим
= /2G2-
- = Чт с^ = Т
Необходимо сделать здесь следующую оговорку. Мы виде-
видели, что при медленном горении в закрытой трубе впереди зо-
зоны горения непременно возникает ударная волна. При больших
скоростях горения интенсивность этой волны велика и она су-
существенным образом меняет состояние подходящей к зоне горе-
горения газовой смеси. Поэтому не имеет, собственно говоря, смысла
следить за изменением режима горения при увеличении его ско-
скорости для заданного состояния pi, V\ исходной горючей смеси.
Для того чтобы достигнуть точки О7, необходимо создать такие
условия горения, при которых бы не возникала ударная волна.
Это можно, например, осуществить при горении в открытой с
обеих сторон трубе, причем с заднего конца производится непре-
непрерывный отсос продуктов горения. Скорость отсоса должна быть
подобрана так, чтобы зона горения оставалась неподвижной, и
потому не возникала бы ударная волна г) .
1) Обычное медленное горение в трубе может самопроизвольно перейти в
детонацию. Этому предшествует самопроизвольное ускорение распростра-
распространения пламени, а детонационная волна возникает впереди последнего. Об-
Обсуждение возможных механизмов этих процессов можно найти в указанных
на с. 664, 682 книгах.

§ 132	КОНДЕНСАЦИОННЫЕ СКАЧКИ	687
Участок АО адиабаты отвечает недетонационному режиму
горения, распространяющемуся со сверхзвуковой скоростью. Оно
может, в принципе, возникнуть при наличии очень хороших усло-
условий теплопередачи (например, путем лучистой теплопроводно-
теплопроводности), приводящих к скоростям горения j, превышающим значе-
значение, соответствующее точке О'.
В заключение обратим внимание на следующие общие от-
отличия (помимо отличий, заключенных в неравенствах A31.1))
между режимами, изображающимися соответственно верхней и
нижней частями адиабаты. Выше точки А имеем
Р2 > Pi, V2 < Vi, v2 < vi.
Другими словами, продукты реакции сжаты до более высоких
давления и плотности, чем исходное вещество, и движутся вслед
за фронтом горения (со скоростью v\ — г^). В области же ниже
точки А имеем обратные неравенства:
V2 <Ри V2 > Vi, v2 > vi;
продукты горения разрежены по сравнению с исходным веще-
веществом.
§ 132. Конденсационные скачки
Формальным сходством с детонационными волнами облада-
обладают конденсационные скачки, возникающие при движении газа,
содержащего, например, пересыщенный водяной пар х) . Эти
скачки представляют собой результат внезапной конденсации па-
паров, причем процесс конденсации происходит очень быстро в уз-
узкой зоне, которую можно рассматривать как некоторую поверх-
поверхность разрыва, отделяющую исходный газ от «тумана» — газа,
содержащего конденсированные пары. Подчеркнем, что конден-
конденсационные скачки представляют собой самостоятельное физи-
физическое явление, а не результат сжатия газа в обычной ударной
волне; последнее вообще не может привести к конденсации паров,
так как эффект увеличения давления в ударной волне перекры-
перекрывается в смысле его влияния на степень пересыщения обратным
эффектом повышения температуры.
Как и реакция горения, конденсация пара представляет со-
собой экзотермический процесс. Роль теплоты реакции q играет
при этом количество тепла, выделяющегося при конденсации
пара, заключенного в единице массы газа 2) . Конденсационная
1)Их теоретическое изучение начато Осватичем (К. Oswatitsch, 1942) и
С.З. Беленьким A945).
2) Теплота q не совпадает, строго говоря, с обычной скрытой теплотой кон-
конденсации, так как совершающийся в зоне конденсации процесс включает в
себя не только изотермическую конденсацию пара, но и некоторое общее
изменение температуры газа. Однако если степень пересыщения пара не
слишком мала (как это обычно и имеет место), то эта разница несущественна.

688	ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ	ГЛ. XIV
адиабата, определяющая зависимость р2 от V2 при заданном со-
состоянии pi, V\ исходного газа с неконденсированными парами,
выглядит так же, как и изображенная на рис. 136 адиабата для
реакции горения. Взаимоотношение между скоростями распро-
распространения скачка v\, V2 и скоростями звука ci, С2 на различных
участках конденсационной адиабаты определяется неравенства-
неравенствами A31.1). Однако не все из перечисленных в A31.1) четырех
случаев могут реально осуществиться.
Прежде всего возникает вопрос об эволюционности конден-
конденсационных скачков. В этом отношении их свойства полностью
аналогичны свойствам разрывов, представляющих зону горения.
Мы видели (§ 131), что отличие устойчивости последних от устой-
устойчивости обычных ударных волн связано с наличием одного до-
дополнительного условия (заданное значение потока j), которое
должно выполняться на их поверхности. В данном случае то-
тоже имеется одно дополнительное условие — термодинамическое
состояние газа 1 перед скачком должно быть как раз тем, кото-
которое соответствует началу быстрой конденсации пара (это условие
представляет собой определенное соотношение между давлени-
давлением и температурой газа 1). Поэтому сразу можно заключить, что
весь участок адиабаты под точкой О7, на котором v\ < c\, V2 > C2
исключается как не соответствующий устойчивым скачкам.
Легко видеть, что не могут реально осуществляться также и
скачки, соответствующие участку над точкой О (v\ > c\,V2 < C2).
Такой скачок перемещался бы относительно находящегося перед
ним газа со сверхзвуковой скоростью, а потому его возникнове-
возникновение никак не отражалось бы на состоянии этого газа. Это значит,
что скачок должен был бы возникнуть вдоль поверхности, зара-
заранее определяемой условиями обтекания (поверхность, на которой
при непрерывном течении достигались бы необходимые условия
начала быстрой конденсации). С другой стороны, скорость скач-
скачка относительно остающегося позади него газа в данном случае
была бы дозвуковой. Но уравнения дозвукового движения не
имеют, вообще говоря, решений, в которых все величины прини-
принимают заранее определенные значения на произвольно заданной
поверхности :) .
Таким образом, оказываются возможными конденсационные
скачки всего двух типов: 1) сверхзвуковые скачки (отрезок АО
) Аналогичные соображения остаются в силе и в том случае, когда полная
скорость V2 (от которой V2 < С2 есть нормальная к скачку компонента)
является сверхзвуковой.
Во избежание недоразумений отметим, что конденсационный скачок с
vi > ci, V2 < С2 может на практике (в определенных условиях влажности
и формы обтекаемой поверхности) имитироваться истинным конденсацион-
конденсационным скачком с vi > с\, г>2 > С2 и следующей близко за ним ударной волной,
переводящей течение в дозвуковое.

§ 132	КОНДЕНСАЦИОННЫЕ СКАЧКИ	689
адиабаты), на которых
vi > си v2 > с2, V2 > Ри У<2 < Vi	A32.1)
и конденсация сопровождается в них сжатием вещества; 2) до-
дозвуковые скачки (отрезок А101 адиабаты), на которых
vi < си v2 < с2, V2 < Pu V2 > Vi	A32.2)
и конденсация сопровождается разрежением газа.
Значение потока j (скорости конденсации) монотонно возра-
возрастает вдоль отрезка А'О' от точки А' (в которой j = 0) к точке
О7, а вдоль отрезка АО — монотонно падает от А (где j = oo) к О.
Интервал же значений j (а с ним и соответствующий интервал
значений скорости v\ = jV\) между теми, которые j принимает
в точках О и О7, является «запрещенным» и не может быть осу-
осуществлен в конденсационных скачках. Общее количество (масса)
конденсирующегося пара обычно весьма мало по сравнению с
количеством основного газа. Поэтому можно с одинаковым пра-
правом рассматривать оба газа 1 ж 2 как идеальные; по этой же
причине можно считать одинаковыми теплоемкости обоих газов.
Тогда значение v\ в точке О определится формулой A29.9), а в
точке О1 — такой же формулой с обратным знаком перед вторым
корнем; положив в этих формулах 71 — 72 = 7 и введя скорость
звука с\ согласно с\ = 7G ~~ l)cv^b найдем следующий запре-
запрещенный интервал значений v\\
Задача
Определить предельные значения отношения давлений p^/pi в конден-
конденсационном скачке, считая, что q/c\ <C 1.
Решение. На участке А'О' конденсационной адиабаты (рис. 136) от-
отношение рг/pi монотонно возрастает по направлению от О' к А', пробегая
значения в интервале
_ /
На участке же АО это отношение возрастает по направлению от А к О,
пробегая значения в интервале
pi

ГЛАВА XV
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА
§ 133. Тензор энергии-импульса жидкости
Необходимость в учете релятивистских эффектов в гидроди-
гидродинамике может быть связана не только с большой (сравнимой со
скоростью света) скоростью макроскопического движения жид-
жидкости. Гидродинамические уравнения существенно меняются и
в том случае, когда эта скорость не велика, но велики скорости
микроскопического движения составляющих жидкость частиц.
Для вывода релятивистских уравнений гидродинамики необ-
необходимо прежде всего установить вид 4-тензора энергии-импуль-
энергии-импульса движущейся жидкости Тгк г) . Напомним, что Т00 = Tqo есть
плотность энергии, Т®а/с = —Т$а/с — плотность компонент им-
импульса, величины Та@ = Тар составляют тензор плотности пото-
потока импульса, плотность же потока энергии cTQa отличается от
плотности импульса лишь множителем с2.
Поток импульса через элемент df поверхности тела 2) есть
не что иное, как действующая на этот элемент сила. Поэтому
TaPdfp есть а-я компонента силы, действующей на элемент по-
поверхности. Рассмотрим некоторый элемент объема жидкости и
воспользуемся системой отсчета, в которой он покоится (локаль-
(локальная собственная система отсчета, или локальная система по-
покоя] значения величин в ней называют собственными). В такой
системе отсчета справедлив закон Паскаля, т. е. давление, ока-
оказываемое данным участком жидкости одинаково по всем направ-
1) Содержание этого параграфа в значительной степени повторяет содер-
содержание § 35 т. II и приводится здесь для связности изложения.
Принятые в этой главе обозначения соответствуют обозначениям в т. П.
Латинские индексы г, к, /, ... пробегают значения 0, 1, 2, 3^ причем х° =
= ct — временная координата (в этой главе с — скорость света). Первые бук-
буквы греческого алфавита а, /3, ... в индексах пробегают значения 1, 2, 3, от-
отвечающие пространственным координатам. Галилеевой метрике (специаль-
(специальная теория относительности) отвечает метрический тензор с компонентами
gOO = 1, gll = g22 = g33 = -1.
) Для трехмерного вектора df (и вектора скорости v ниже) в декартовых
координатах нет необходимости различать контра- и ковариантные компо-
компоненты, и мы пишем их везде с индексами внизу. То же самое относится к
трехмерному единичному тензору 6а/з-

§ 133	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЖИДКОСТИ	691
лениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно
производится. Поэтому можно написать Ta^dfp = pdfai откуда
Что касается компонент ТОа, представляющих плотность им-
импульса, то в локальной собственной системе отсчета они равны
нулю. Компонента же Т00 равна собственной плотности внутрен-
внутренней энергии жидкости, которую мы будем обозначать в этой гла-
главе буквой е.
Таким образом, в локальной системе покоя тензор энергии-
импульса имеет вид
гргк
A33.1)
Легко найти теперь выражение Тгк в любой системе отсчета.
Для этого введем 4-скорость и1 движения жидкости. В локаль-
локальной системе покоя ее компоненты: и® = 1, иа = 0. Выражение
для Тг/с, обращающееся в A33.1) при этих значениях и1, есть
Тгк =wuluk -pglk,	A33.2)
гдо w = е + р — тепловая функция единицы объема. Это и есть
искомое выражение тензора энергии-импульса :) .
Компоненты Т^, написанные в трехмерном виде, равны
Taj3 _
2A — V2 /С2
*
е + pv2 /с2
— р = F '
c{l-v2/c2y	l-v2/c2 r l-v2/c2
Нерелятивистскому случаю соответствуют малые скорости
: и малые скорости внутреннего (микроскопического) движе-
движения частиц в жидкости. При совершении предельного перехода
следует иметь в виду, что релятивистская внутренняя энергия е
содержит в себе также и энергию покоя птс2 составляющих жид-
жидкость частиц (га — масса покоя отдельной частицы). Кроме того,
надо учесть, что плотность числа частиц п отнесена к единице
собственного объема; в нерелятивистских же выражениях плот-
плотность энергии относится к единице объема в «лабораторной» си-
системе отсчета, в который данный элемент жидкости движется.
1) Во всех формулах в этой главе под термодинамическими величинами
понимаются их собственные значения. Такие величины, как е, w (и плот-
плотность энтропии а ниже) отнесены к единице объема в локальной системе
покоя.

692	РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. XV
Поэтому при предельном переходе надо заменить
тп —>> р
где р — обычная нерелятивистская плотность массы. По сравне-
сравнению с рс2 мала как нерелятивистская плотность энергии (обо-
(обозначим ее через ре), так и давление.
Имея все это в виду, найдем, что предельное значение
т. е. совпадает, за вычетом рс2, с нерелятивистской плотностью
энергии. Соответствующее предельное значение тензора Тар:
т. е. совпадает, как и следовало, с обычным выражением для
плотности потока импульса, который мы обозначали в § 7 сим-
символом ПаC-
Простая связь между плотностью импульса и плотностью по-
потока энергии (отличие в множителе с2) теряется в нерелятивист-
нерелятивистском пределе благодаря тому, что в нерелятивистскую энергию
не включается энергия покоя. Действительно, компоненты Т®а/с
образуют трехмерный вектор, приближенно равный
Отсюда видно, что предельное значение плотности импульса
есть, как и следовало, просто pv; для плотности же потока энер-
энергии находим, опустив член pc2v, выражение v(p? + р + pv2/2),
совпадающее с найденным в § 6.
§ 134. Релятивистские гидродинамические уравнения
Уравнения движения содержатся, как известно, в уравнениях
г)Тк
м = °'	A34Л)
выражающих собой законы сохранения энергии и импульса той
физической системы, к которой относится тензор Тък. Воспользо-
Воспользовавшись выражением A33.2) для Т , мы получим отсюда урав-
уравнения движения жидкости; при этом, однако, необходимо допол-
дополнительно учесть сохранение числа частиц, не содержащееся в
уравнениях A34.1). Подчеркнем, что тензор энергии-импульса

§ 134	РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	693
A33.2) не учитывает никаких диссипативных процессов (в том
числе вязкости и теплопроводности); поэтому речь идет об урав-
уравнениях движения идеальной жидкости.
Для формулирования уравнения, выражающего сохранение
числа частиц в жидкости (уравнения непрерывности), введем
4-вектор тока частиц пг. Его временная компонента есть плот-
плотность числа частиц, а пространственные компоненты составля-
составляют трехмерный вектор тока частиц. Очевидно, что 4-вектор пг
должен быть пропорционален 4-скорости и1, т. е. иметь вид
п* = пи\	A34.2)
где п — скаляр; из его определения ясно, что п — собственная
плотность числа частиц х) . Уравнение непрерывности выража-
выражается просто равенством нулю 4-дивергенции вектора тока:
д-^1 = 0.	A34.3)
dxi	v	}
Возвратимся к уравнениям A34.1). Дифференцируя выраже-
выражение A33.2), получим
Умножим это уравнение на tf, т. е. спроецируем его на направ-
направление 4-скорости. Помня, что щи1 = 1, а потому щди1 /дхк = 0,
находим
в^-и**_ = 0.	A34.5)
дхк	дхк	v	;
Заменив тождественно wuk = nuk(w/n) и воспользовавшись
уравнением непрерывности A34.3), переписываем это уравнение
в виде
.к I
пи
•\_d_w_ldp_-\ = 0
1дхк п п дхк J
) При очень высоких температурах в веществе может происходить возник-
возникновение новых частиц, так что полное число частиц каждого рода меняется.
В таких случаях под п надо понимать сохраняющуюся макроскопическую
величину, характеризующую число частиц. Так, если речь идет об образо-
образовании электронных пар, под п можно понимать число электронов, которое
осталось бы после аннигиляции всех пар. Удобным определением п может
служить плотность числа барионов (число антибарионов — если они имеют-
имеются — считается при этом отрицательным). К области применений ультраре-
ультрарелятивистской гидродинамики могут относиться, однако, и задачи, в которых
вообще нельзя ввести какой-либо сохраняющейся макроскопической харак-
характеристики числа частиц в системе, и последнее само определяется условиями
термодинамического равновесия (таковы задачи, связанные с множествен-
множественным образованием частиц при столкновениях быстрых нуклонов); вывод
гидродинамических уравнений для таких случаев — см. задачу 2.

694	РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. XV
Согласно известному термодинамическому соотношению для
тепловой функции имеем
d™ = Td- + -dp	A34.6)
п	п п
(Т — температура, а — энтропия отнесенная к единице собствен-
собственного объема) г) . Отсюда видно, что выражение в квадратных
скобках есть производная Тд(а/п)/дхк. Опустив множитель пТ,
приходим, таким образом, к уравнению
^ ^ 0,	A34.7)
дхк п as n
выражающему адиабатичность движения жидкости {d/ds озна-
означает дифференцирование вдоль мировой линии движения дан-
данного элемента жидкости). С помощью уравнения непрерывности
A34.3) его можно представить в эквивалентном виде
—аи1 = 0,	A34.8)
дхг
т. е. как равенство нулю 4-дивергенции потока энтропии аи1.
Спроецируем теперь уравнение A34.1) на направление, нор-
нормальное к и1. Другими словами, составим их комбинацию 2)
«?_„,„*«*= о
дхк	дх1
(выражение в левой части тождественно обращается в нуль при
скалярном умножении на и1). Простое вычисление приводит к
уравнению
k дщ dp	k Op	(лол (\\
wu —- = —- — щи —*-.	A34.9)
дхк dxi	дхк	v J
Три пространственные компоненты этого уравнения представля-
представляют собой релятивистское обобщение уравнения Эйлера (времен-
(временная же компонента есть следствие первых трех).
Уравнение A34.9) может быть представлено в другом виде
в случае изэнтропического движения (подобно преобразованию
:) Напомним, что такое соотношение имеет место для определенного ко-
количества вещества (а не для определенного объема, в котором может на-
находиться переменное число частиц). В A34.6) оно написано для тепловой
функции, отнесенной к одной частице, а 1/п есть объем, приходящийся на
одну частицу.
2) Для удобства напомним, что компоненты 4-скорости (см. II, § 4):
иг = G,
где для краткости введено (в этой главе!) обозначение ^ = A — v2/

§ 134	РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	695
от B.3) к B.9) для нерелятивистского уравнения Эйлера). При
а/п = const имеем, согласно A34.6),
др	д w
-J- = П	: —
дхг	дхг п
и уравнение A34.9) принимает вид
k д fw \ д w	/1О/| -, n\
гг—- —щ = —: —.	A34.10)
дхк\п ) дхг п	У	J
Если движение к тому же еще и стационарно (все величины не
зависят от времени), то пространственные компоненты A34.10)
дают
n J	п
Умножив это уравнение скалярно на v, после простых преобра-
преобразований получим (wV)(ryw/n) = 0. Отсюда следует, что вдоль
каждой из линий тока постоянна величина
syw/n = const.	A34.11)
Это — релятивистское обобщение уравнения Бернулли :) .
Не предполагая изэнтропическое течение стационарным, лег-
легко видеть, что уравнения A34.10) имеют решения вида
-щ = -^,	A34.12)
Т1	ОХ
где (р — функция координат и времени; эти решения — реляти-
релятивистский аналог потенциальных течений нерелятивистской гид-
гидродинамики (И.М. Халатников, 1954). Для проверки сказанного
замечаем, что в виду симметрии производных д2(р/дхг дхк по ин-
индексам г и /с, имеем
д fw \ д
умножив это равенство скалярно на и и раскрыв производную
в правой части, действительно вернемся к уравнению A34.10).
Пространственные и временная компоненты равенства A34.12)
дают:
7—v = Vcp, cry- + -f = 0.
пс	п ot
Первое из них в нерелятивистском пределе дает обычное усло-
условие потенциальности, а второе — уравнение (9.3) (с соответст-
соответствующим переобозначением if /(cm) —>> ф).
х) При v ^С с имеем w/n = тс2 + mwuep (где гиНер — нерелятивистская теп-
тепловая функция единицы массы, обозначавшаяся в § 5 как w) и A34.11) пе-
переходит в уравнение E.3).

696	РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. XV
Рассмотрим распространение звука в среде с релятивистским
уравнением состояния (т. е. в котором давление сравнимо с плот-
плотностью внутренней энергии, включающей в себя энергию покоя).
Гидродинамические уравнения звуковых волн могут быть линеа-
линеаризованы; при этом удобнее исходить непосредственно из записи
уравнений движения в исходном виде A34.1), а не из эквивалент-
эквивалентных им уравнений A34.8), A34.9). Подставив выражения A33.3)
компонент тензора энергии-импульса и сохранив везде лишь ве-
величины первого порядка малости по амплитуде волны, получим
систему уравнений
де	-,.	w dv VT/	/пол io\
= -wdivv, -— = -Vp ,	134.13
dt	c2 dt
где штрихом отмечены переменные части величин в волне. Ис-
Исключив отсюда v, найдем
^ = JAP.
dt2
Наконец, написав е' = (де/др)^', получим для р' волновое урав-
уравнение со скоростью звука, которая в этой главе будет обозначать-
обозначаться буквой и:
- = 4fI'2	A34-14)
V де / ад
(индекс «ад» указывает, что производная должна быть взята для
адиабатического процесса, т. е. при постоянном а/п). Эта фор-
формула отличается от соответствующего нерелятивистского выра-
выражения тем, что вместо обычной плотности массы здесь стоит
е/с2. Для ультрарелятивистского уравнения состояния р = е/3
скорость звука и = /
Наконец, скажем несколько слов о гидродинамических урав-
уравнениях при наличии существенных гравитационных полей, т. е.
в общей теории относительности. Они получаются из уравнений
A34.8), A34.9) просто путем замены обычных производных ко-
вариантными :)
wukui,k = |Р - щик^-, (аи%г = 0.	A34.15)
дхг	дхк
х) В общем случае эти уравнения довольно сложны. Их подробная запись
в раскрытом виде (выраженном с помощью трехмерного тензора простран-
пространственной метрики — 7«/3 из И; § 84) дана в статье Nelson R.A. // Gen. Rel.
Grav. 1981. V. 13. P. 569. Гидродинамические уравнения в первом после-
ньютоновском приближении даны в статье Chandrasekhar S. // Astroph. J.
1965. V. 142. P. 1488; они приведены также в кн.: Мизнер Ч., Торн К.,
Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977, § 39, 11 [Misner C.W., Thome K.S.,
Wheeler J.A. Gravitation. — Freeman, 1973].

§ 134	РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	697
Выведем из этих уравнений условие механического равнове-
равновесия в гравитационном поле. При равновесии гравитационное по-
поле статично; можно выбрать такую систему отсчета, в которой
вещество неподвижно (иа = 0, и0 = g00 / ), все величины не зави-
зависят от времени, а смешанные компоненты метрического тензора
равны нулю (goa = 0). Пространственные компоненты уравнения
A34.15) дают тогда
7/°7/п - l w dg0° - др
7/7/п
iUj иг\ —	— 	,
2 goo дх"	дх*
или
wdx*	2дх* 6UU	V	J
Это и есть искомое уравнение равновесия. В нерелятивист-
нерелятивистском предельном случае w = pc2, goo = 1 + 2(^/с2 ((^ — ньютонов-
ньютоновский гравитационный потенциал), и уравнение A34.16) перехо-
переходит в
т. е. в обычное гидростатическое уравнение.
Задачи
1. Найти решение гидродинамических уравнений, описывающее одно-
одномерную нестационарную простую волну.
Решение.В простой волне все величины могут быть выражены в
виде функции любой одной из них (см. § 101). Написав уравнения движения
в виде
()	о	ц
cdt дх ' cdt дх
и считая Too, Tbi, Тц функциями друг от друга, получим соотношение
dToo dTu = (dToiJ. В него надо подставить
Too = ещ + РЩ, Toi = wuoui, Тц = еи\ + рщ,
учитывая при этом, что Uq — и\ = 1 (при вычислении удобно ввести параметр г\
согласно uq = chr],ui = — shr]). В результате вычисления получается:
Arth- = ±- f-de	B)
(и — скорость звука). Далее, из A) находим
дх_ _ dT01
dt ~C'
и, вычисляя эту производную, получим
x = tl±U/2+f(v)-	C)
1 d= uv/c2
Формулы B), C) и определяют искомое решение.
2. Написать гидродинамические уравнения для ультрарелятивистской
среды с неопределенным числом частиц (которое само определяется усло-
условиями термодинамического равновесия).

698	РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. XV
Решение. Условие термодинамического равновесия, определяющее
число частиц в такой среде состоит в равенстве нулю всех химических по-
потенциалов. Тогда е — Та + р = О, т. е. w = Та, а согласно термодинами-
термодинамическому выражению дифференциала тепловой функции (при заданном —
единичном — объеме и нулевых химических потенциалах) dw = T da + dp;
комбинируя обе формулы, получим: dp = adT х). Уравнение A34.5) (в ко-
котором еще не использовалось уравнение непрерывности) приводит к урав-
уравнению адиабатичности в форме A34.8). Уравнение же A34.9) принимает
вид
к дТщ дТ
и 	 = 	.
дхк dxi
§ 135. Ударные волны в релятивистской гидродинамике
Теория ударных волн в релятивистской гидродинамике
строится аналогично нерелятивистской теории (А.Н. Taub, 1948).
Как ив § 85, рассматриваем поверхность разрыва в системе
координат, в которой она покоится, а газ движется перпендику-
перпендикулярно ей (вдоль оси х1 = х) со стороны 1 на сторону 2. Условия
непрерывности плотностей потока частиц, потока импульса и по-
потока энергии гласят:
[пх] = [пих] = О, [ТХХ] = [w(uxJ + р] = О,
с[ТОж] = c[wu*ux] = О,
или, после подстановки значений компонент 4-скорости:
V2=j,	A35.1)
A35.2)
с2
l = ^2^272?	A35.3)
где 71 = A " vl/c2)-ll\ 72 = A - v22/c2)-ll\ a Vi = 1/гц и
V2 = 1/^2 — объемы, отнесенные к одной частице 2) .
Из A35.1) и A35.2) находим
f = (P2-Pl)c2/(w1V12-w2V22).	A35.4)
Далее, переписываем условие A35.3) с учетом A35.1) в виде
:) При ультрарелятивистском уравнении состояния р = е/3 из написанных
формул легко найти, что е ос Т4, а ос Т3, т. е. те же законы, которые спра-
справедливы для черного излучения (см. V, § 63), — как и следовало ожидать.
2) В нерелятивистском пределе определенный согласно A35.1) поток числа
частиц отличается множителем 1/гп от плотности потока массы, обозначав-
обозначавшейся через j в § 85. Множителем m отличаются также определенные здесь
и в § 85 объемы V.

§ 135	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ	699
Путем простых алгебраических преобразований (из A35.1) вы-
выражаем 7i и 72 через j2, а затем подставляем j2 из A35.4)), по-
получим следующее релятивистское уравнение ударной адиабаты
(адиабата Тауба):
w\V? - w\V% + (р2 - pi) (wxV? + w2V%) = 0.	A35.5)
Приведем также выражения для скоростей газа по обе сто-
стороны поверхности разрыва, которые можно получить путем эле-
элементарных преобразований из условий A35.2), A35.3) х) :
vi_ _ Г(Р2 -Pi)(e2+pi)ll/2	v_2_ _ Г(р2 ~
с L(e2 - ei)(ei+p2) J '	с L (е2 -
. (в2 — ei)(ei +P2) -I	с L (в2 — ei)(e2+pi) J
Относительная же скорость газов по обе стороны разрыва
согласно релятивистскому правилу сложения скоростей равна
V1 V2 \Р2 Pl)\G'2 61) '	/-jj-v^^x
V\2 = 	 = С —	?-^	-	.	Aо5.7)
1 — V1V2/C2	L(ei +рг)(в2 +pi)-l
В нерелятивистском пределе, если положить е « тс2п = тс2/V и
пренебречь р по сравнению с е, формулы A35.4), A35.6), A35.7)
переходят в формулы (85.4), (85.6), (85.7) (с учетом указанной
в примечании разницы в определениях j' и V здесь и в § 85) 2) .
Для ультрарелятивистского же уравнения состояния р = е/3 из
A35.6) имеем
^ = Г Зв2 + е1 11/2 ^ = г Зе1+е2 1 ^	^
с L3Cei+e2)J	с L3Ce2+ei)J	v	J
(отметим, что v\v2 = c2/3). При увеличении интенсивности удар-
/
ной волны (е2 —^ оо) г;х стремится к скорости света, a v2 —к с/3.
Подобно тому, как в гл. IX мы изображали ударную адиа-
адиабату графиком в плоскости Vp, так естественными переменны-
переменными для изображения релятивистской ударной адиабаты являют-
являются wV2, рс2] в этих координатах j2 определяет наклон хорды,
проведенной из начальной точки адиабаты 1 в произвольную
точку 2.
Релятивистские ударные волны слабой интенсивности могут
быть рассмотрены вполне аналогично тому, как это было сдела-
сделано в § 86 в нерелятивистском случае (И.М. Халатников, 1954).
х) При преобразованиях удобно сделать подстановку v/c = thip, 7 = ch<p.
2)Для предельного перехода от уравнения адиабаты A35.5) к нереляти-
нерелятивистскому уравнению (85.10) такое приближение недостаточно; надо поло-
положить w = птс2 + птг + р (е — нерелятивистская внутренняя энергия, от-
отнесенная к единице массы) и, разделив уравнение A35.5) на с2, перейти к
пределу с —»¦ оо.

700	РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. XV
Не повторяя заново всех вычислений, приведем результат для
скачка энтропии, который снова оказывается малой величиной
третьего порядка по сравнению со скачком давления:
]{Р2-Р1)\	A35.9)
д-1 1
12 lwV2T \ ар2 / ад
Поскольку должно быть <72 > (У\ч то мы видим, что ударная вол-
волна является волной сжатия, если
> а	A35Л0)
aV	V	J
Это условие представляет собой релятивистское обобщение усло-
условия (86.2) нерелятивистской гидродинамики :) . При р2 > р\ из
A35.4) и A35.5) следует, что
W2V2 < w\Vi , W2V2 > ^iVi;
отсюда, в свою очередь, следует, что во всяком случае Vi < Vi, —
объем V должен уменьшиться даже сильнее, чем wV возрастает.
Скорости v\ и V2 ударной волны слабой интенсивности в пер-
первом приближении совпадают, естественно, со скоростью звука:
поскольку изменение энтропии — величина третьего порядка, то
выражения A35.6) при Р2 —> Pi, 62 —> е\ переходят в производ-
производную A34.14) 2) . Рассуждения, вполне аналогичные произведен-
произведенным в § 86, показывают, что в следующем приближении v\ > и\,
V2 < U2.
Таким образом, направление изменения величин в реляти-
релятивистской ударной волне слабой интенсивности подчиняется (при
условии A35.10)) тем же неравенствам, что и в нерелятивистском
случае. Обобщение этого результата на ударные волны произ-
произвольной интенсивности оказывается возможным произвести спо-
способом, вполне аналогичным примененному в § 87 3) .
Подчеркнем в то же время, что неравенства v\ > и\, V2 < щ
справедливы для релятивистских (как и для нерелятивистских)
) Используя термодинамическое соотношение для тепловой функции, от-
отнесенной к одной частице, d(wV) = Vdp (при aV = const), найдем, что
условие A35.10) эквивалентно неравенству
'd2V_\	3_|/#
Р2 ) ад W I V dp ,
В нерелятивистском пределе правая часть заменяется нулем.
2) Выражение же A35.4) переходит в производную — c2[dp/d(wV2)]i.
С помощью термодинамических выражений d(eV) = —pdV, d(wV) = V dp
(при aV = const) легко убедиться, что эта производная, умноженная на V2,
равна, как и следовало, u\/(l — и2).
3)См. Thome K.S. // Astroph. J. 1973. V. 179. P. 897.

§ 136	РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ	701
ударных волн вне зависимости от каких бы то ни было тер-
термодинамических условий —как следствие требования эволюци-
онности. Напомним, что при выводе этих условий (§ 88) был
существен только знак скоростей и ± v распространения зву-
звуковых возмущений в движущейся жидкости по отношению к
неподвижной поверхности разрыва. Согласно релятивистскому
правилу сложения скоростей эти скорости даются выражениями
(u±v)/(l ±vu/c*), знак которых определяется только их числи-
числителями, так что все проведенные в § 88 рассуждения остаются в
силе.
§ 136. Релятивистские уравнения движения вязкой
и теплопроводной среды
Установление релятивистских гидродинамических уравнений
при наличии диссипативных процессов (вязкости и теплопровод-
теплопроводности) сводится к вопросу об определении вида соответствующих
дополнительных членов в тензоре энергии-импульса и в векторе
плотности потока вещества. Обозначая эти члены соответствен-
соответственно как ты и щ, напишем:
Tik = Pgik + ЫЩЩ + Tik,	A36.1)
щ = пщ + щ.	A36.2)
Уравнения движения по-прежнему содержатся в
дхк	дх1
Прежде всего, однако, возникает вопрос о более точном опре-
определении самого понятия скорости и1. В релятивистской механике
всякий поток энергии неизбежно связан также и с потоком мас-
массы. Поэтому при наличии, например, теплового потока опреде-
определение скорости по потоку массы (как в нерелятивистской гидро-
гидродинамике) теряет непосредственный смысл. Мы определим здесь
скорость условием, чтобы в собственной системе отсчета каждо-
каждого данного элемента жидкости его импульс был равен нулю, а
его энергия выражалась через другие термодинамические вели-
величины теми же формулами, как и при отсутствии диссипативных
процессов. Это значит, что в указанной системе отсчета должны
обращаться в нуль компоненты тоо и тоа тензора т^; поскольку
в этой системе и иа = 0, то имеем в ней (а потому и в любой
другой системе) тензорное соотношение
Tikuk = 0.	A36.3)
Аналогичное соотношение
щи1 = 0	A36.4)

702	РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА	ГЛ. XV
должно выполняться и для вектора щ, поскольку в собственной
системе отсчета компонента п° 4-вектора потока частиц nt долж-
должна, по определению, совпадать с плотностью числа частиц п.
Искомый вид тензора т^ и вектора щ можно установить, ис-
исходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии.
Этот закон должен содержаться в уравнениях движения (подоб-
(подобно тому как в § 134 из этих уравнений получалось для идеальной
жидкости условие постоянства энтропии). Путем простых пре-
преобразований с использованием уравнения непрерывности легко
получить следующее уравнение:
дхк	дхЛ } ^дхг	дхк
где /i — релятивистский химический потенциал вещества: пц =
= w — Та, и использовано термодинамическое соотношение для
его дифференциала:
ф = -dp--dT.	A36.5)
п	п
Наконец, используя A36.3), перепишем это уравнение в виде
A (aui - ЕиЛ = -uiJ-E + ZJL *fl.	A36.6)
дхЛ	T J	дх1 Т Т дхк	v	}
Стоящее слева выражение должно представлять собой 4-ди-
4-дивергенцию потока энтропии, а выражение справа — возрастание
энтропии вследствие диссипативных процессов. Таким образом,
4-вектор плотности потока энтропии есть
а* = аи1 - ±v\	A36.7)
a Tik и v% должны выражаться линейно через градиенты скоро-
скорости и термодинамических величин так, чтобы обеспечить суще-
существенную положительность правой части уравнения A36.6). Это
условие вместе с условиями A36.3), A36.4) однозначно опреде-
определяет вид симметричного 4-тензора т^ и 4-вектора щ:
г.. - -сп(дщ + дик -иш1дщ -ии1дик) -
\дхк дхг	дх1	дх1 )
, A36.8)
^	щи	A36.9)
Здесь г/, С — два коэффициента вязкости, ах — коэффициент теп-
теплопроводности, выбранные в соответствии с их нерелятивист-
нерелятивистским определением. В нерелятивистском пределе компоненты тар
сводятся к компонентам трехмерного тензора вязких напряже-
ний а'о A5.3).

§ 136	РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ	703
Чистой теплопроводности соответствует поток энергии при
отсутствии потока вещества. Условие последнего есть пиа + va =
= 0. При этом пространственные компоненты 4-скорости иа =
= —иа/п — величины первого порядка по градиентам; поскольку
выражения A36.8), A36.9) написаны лишь с точностью до ве-
величин этого порядка, компоненту и® 4-скорости надо положить
равной единице: и$ = 1+иаиа = l + uaua/n2^il. С этой же точно-
точностью надо опустить второй член в квадратных скобках в A36.9).
Тогда для плотности потока энергии сТОа = —сТ® находим
—clz = —cwuau = —иа =
д а
п	w2 дхаТ
Используя термодинамическое соотношение A36.5), переписан-
переписанное в виде
получим поток энергии:
-к(\7Т--\7р].	A36.10)
Мы видим, что в релятивистском случае теплопроводностный
поток тепла пропорционален не просто градиенту температуры,
а определенной комбинации градиентов температуры и давления
(в нерелятивистском пределе w « nmc2 и член с \7р должен быть
опущен).

ГЛАВА XVI
ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
§ 137. Основные свойства сверхтекучей жидкости
При температурах, близких к абсолютному нулю, в свойст-
свойствах жидкости на первый план выдвигаются квантовые эффек-
эффекты; в таких случаях говорят о квантовых жидкостях. Факти-
Фактически лишь гелий остается жидким вплоть до абсолютного ну-
нуля; все другие жидкости затвердевают значительно раньше, чем
в них становятся заметными квантовые эффекты. Существуют,
однако, два изотопа гелия — 4Не и 3Не, отличающиеся статисти-
статистикой, которой подчиняются их атомы. Ядро 4Не не имеет спина,
и вместе с ним равен нулю и спин атома в целом; эти атомы
подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Атомы же 3Не обла-
обладают (за счет своего ядра) спином lfe и подчиняются статистике
Ферми-Дирака. Это различие имеет фундаментальное значение
для свойств образуемых этими веществами квантовых жидко-
жидкостей; в первом случае говорят о квантовой бозе-жидкости, а во
втором — о ферми-жидкости. В этой главе будет идти речь толь-
только о первой из них.
При температуре 2,19 К жидкий гелий (изотоп 4Не) име-
имеет так называемую А-точку (фазовый переход второго рода) :) .
Ниже этой точки жидкий гелий (в этой фазе его называют Не II)
обладает рядом замечательных свойств, из которых наиболее су-
существенным является открытая П. Л. Капицей в 1938 г. сверх-
сверхтекучесть — свойство протекать по узким капиллярам или ще-
щелям, не обнаруживая никакой вязкости.
Теория сверхтекучести была развита Л.Д. Ландау A941). Ее
микроскопическая часть изложена в другом томе этого Курса
(см. IX, гл. III). Здесь же мы остановимся лишь на макроско-
макроскопической гидродинамике сверхтекучей жидкости, которая мо-
может быть построена на базе представлений микроскопической
теории 2) .
г) А-точки образуют линию на фазовой диаграмме гелия в плоскости рТ.
Температура 2,19 К отвечает точке пересечения этой линии с линией равно-
равновесия жидкости с паром.
2) Ферми-жидкость изотопа 3Не тоже становится сверхтекучей, но при го-
гораздо более низких температурах ~10~3 К. Гидродинамика этой сверхтеку-
сверхтекучей жидкости более сложна ввиду более сложного характера описывающего
ее состояние «параметра порядка» (ср. IX, § 54).

§ 137	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	705
Отправным пунктом гидродинамики гелия II является сле-
следующий основной результат микроскопической теории. При от-
отличных от нуля температурах гелий II ведет себя так, как если
бы он представлял собой смесь двух различных жидкостей. Од-
Одна из них сверхтекуча и при движении вдоль твердой поверхно-
поверхности не обнаруживает никакой вязкости. Другая же ведет себя,
как обычная нормальная вязкая жидкость. При этом весьма су-
существенно, что между обеими этими движущимися «друг через
друга» частями массы жидкости нет трения, т. е. не происходит
передачи импульса от одной из них к другой.
Следует, однако, самым решительным образом подчеркнуть,
что рассмотрение жидкости как смеси нормальной и сверхтеку-
сверхтекучей ее частей является не более чем способом наглядного описа-
описания явлений, происходящих в квантовой жидкости. Как и вся-
всякое описание квантовых явлений в классических терминах, оно
не вполне адекватно. В действительности надо говорить, что в
квантовой жидкости — гелии II —может существовать одновре-
одновременно два движения, каждое из которых связано со своей эф-
эффективной массой (так что сумма обеих этих масс равна полной
истинной массе жидкости). Одно из этих движений нормально,
т. е. обладает теми же свойствами, что и движение обычной вяз-
вязкой жидкости; другое же — сверхтекуче. Оба эти движения про-
происходят без передачи импульса от одного к другому. В опреде-
определенном смысле можно говорить о сверхтекучей и нормальной
частях массы жидкости, но это отнюдь не означает возможно-
возможности реального разделения жидкости на две части :) .
Лишь имея в виду все эти оговорки относительно истинного
характера происходящих в гелии II явлений, можно пользовать-
пользоваться терминами сверхтекучая часть и нормальная часть жидко-
жидкости как наглядным способом краткого описания этих явлений.
Мы, однако, будем предпочитать пользоваться более точными
терминами сверхтекучее движение и нормальное движение, не
ассоциируя их с компонентами «смеси» двух «частей» жидкости.
Представление о двух видах движения дает простое объясне-
объяснение наблюдающимся на опыте основным свойствам течения ге-
гелия П. Отсутствие вязкости при протекании гелия II по узкой ще-
щели объясняется тем, что в щели имеет место сверхтекучее движе-
движение жидкости, не обнаруживающее трения; можно сказать, что
нормальная часть, задерживается в сосуде, протекая через щель
несравненно медленнее, со скоростью, соответствующей ее вязко-
1) Независимо от Ландау, качественная идея о макроскопическом описа-
описании гелия II с помощью разделения его плотности на две части и введения
двух полей скоростей была высказана Л. Тиссой (L. Tisza, 1940); эта идея
позволила ему также предсказать существование двух видов звуковых волн
в гелии II (см. ниже § 141). Однако, ввиду ошибочности исходных микро-
микроскопических представлений последовательная теория сверхтекучести (в том
числе ее гидродинамика) в работах Тиссы не была построена.
23 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI

706	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
сти и ширине щели. Напротив, измерение вязкости гелия II по за-
затуханию крутильных колебаний погруженного в жидкость дис-
диска должно давать отличные от нуля значения: вращение диска
создает вокруг него нормальное движение жидкости, останавли-
останавливающее диск благодаря свойственной этому движению вязкости.
Таким образом, в опытах с протеканием по капилляру или щели
обнаруживается сверхтекучее движение жидкости, а в опытах с
вращением диска в гелии II обнаруживается ее нормальное дви-
движение.
Помимо отсутствия вязкости, сверхтекучее движение жид-
жидкости обладает еще и следующими двумя важнейшими свой-
свойствами: оно не сопровождается переносом тепла и всегда потен-
потенциально. Оба эти свойства тоже следуют из микроскопической
теории, согласно которой нормальное движение жидкости пред-
представляет собой в действительности движение «газа возбуждений»;
напомним, что коллективное тепловое движение атомов кванто-
квантовой жидкости можно рассматривать как совокупность отдель-
отдельных элементарных возбуждений, ведущих себя как некоторые
квазичастицы, движущиеся в занимаемом жидкостью объеме и
обладающие определенными импульсами и энергиями.
Энтропия гелия II определяется статистическим распределе-
распределением элементарных возбуждений. Поэтому при всяком движении
жидкости, при котором газ квантов возбуждения остается не-
неподвижным, не возникает никакого макроскопического переноса
энтропии. Это и значит, что сверхтекучее движение не сопро-
сопровождается переносом энтропии, или, другими словами, не пе-
переносит тепла. Отсюда в свою очередь следует, что течение ге-
гелия II, при котором имеет место лишь сверхтекучее движение,
является термодинамически обратимым.
Перенос тепла нормальным движением жидкости представ-
представляет собой механизм теплопередачи в гелии П. Он имеет, таким
образом, своеобразный конвективный характер, принципиально
отличный от обычной теплопроводности. Всякая разность тем-
температур в гелии II приводит к возникновению в нем внутрен-
внутренних нормальных и сверхтекучих движений; при этом оба потока
(сверхтекучий и нормальный) могут компенсировать друг друга
по количеству переносимой ими массы, так что никакого реального
макроскопического переноса массы в жидкости может и не быть.
В дальнейшем мы будем обозначать скорости сверхтекучего
и нормального движений соответственно как vs и vn. Описанный
механизм переноса тепла означает, что плотность потока энтро-
энтропии равна произведению vnps скорости vn на энтропию единицы
объема жидкости (s — энтропия, отнесенная к единице ее массы).
Плотность потока тепла получается соответственно умножением
потока энтропии на Т, т. е. равна
q = pTsvn.	A37.1)

§ 138	ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ	707
Свойство потенциальности сверхтекучего движения выража-
выражается равенством
rotvs=0,	A37.2)
которое должно иметь место в любой момент времени во всем
объеме жидкости. Это свойство является макроскопическим вы-
выражением той особенности энергетического спектра гелия II, ко-
которая лежит в основе микроскопической теории сверхтекучести:
элементарные возбуждения, обладающие большой длиной вол-
волны (т. е. малыми импульсами и энергиями), являются звуковы-
звуковыми квантами — фононами. Поэтому макроскопическая гидроди-
гидродинамика сверхтекучего движения не должна допускать никаких
других колебаний, кроме звуковых, что и обеспечивается усло-
условием A37.2) *).
В силу потенциальности сверхтекучее движение жидкости не
оказывает никакой силы на стационарно обтекаемое твердое тело
(парадокс Даламбера; см. § 11). Напротив, нормальное движение
приводит к возникновению действующей на обтекаемое тело си-
силы сопротивления. Если движение жидкости таково, что сверх-
сверхтекучий и нормальный потоки массы взаимно компенсируются,
то мы получим весьма своеобразную картину: на погруженное в
гелий II тело будет действовать сила, в то время как никакого
суммарного переноса массы жидкости нет.
Задача
Между концами капилляра с гелием II поддерживается малая разность
температур AT. Определить тепловой поток, распространяющийся вдоль
капилляра.
Решение. Согласно формуле A38.3) перепад давления между обо-
обоими концами капилляра Ар = ps/\T. Этот перепад создает в капилляре
нормальное движение, средняя (по сечению) скорость которого равна
vn = R2
(R — радиус, / — длина капилляра, г\ — вязкость нормального движения; ср.
A7.10)). Полный тепловой поток равен
Tpsvn7rR =	.
8rjl
В обратном направлении возникает сверхтекучее движение, скорость кото-
которого определяется условием отсутствия суммарного переноса массы: vs =
§ 138. Термомеханический эффект
Так называемый термомеханический эффект в гелии II за-
заключается в том, что при вытекании гелия из сосуда через тон-
тонкий капилляр в сосуде наблюдается нагревание; наоборот, в
) Более полное микроскопическое обоснование этого утверждения — см.
IX, § 26.
23*

708	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
месте втекания гелия из капилляра в другой сосуд наблюдается
охлаждение :) . Это явление естественным образом объясняет-
объясняется тем, что движение вытекающей через капилляр жидкости в
основном сверхтекуче и потому не уносит с собой тепла, так что
имеющееся в сосуде тепло распределяется на меньшее количе-
количество гелия П. При втекании гелия в сосуд имеет место обратное
явление.
Легко найти количество тепла Q, поглощающееся при вте-
втекании в сосуд через капилляр 1 г гелия. Втекающая жидкость
не приносит с собой энтропии. Для того чтобы находящийся в
сосуде гелий остался при своей температуре Т, надо было бы
сообщить ему количество тепла Ts так, чтобы скомпенсировать
уменьшение приходящейся на единицу массы энтропии благода-
благодаря введению 1 г гелия с равной нулю энтропией. Это значит,
что при втекании 1 г гелия в сосуд с гелием при температуре Т
поглощается количество тепла
Q = Ts.	A38.1)
Наоборот, при вытекании 1 г гелия из сосуда с гелием при тем-
температуре Т выделяется количество тепла Ts.
Рассмотрим теперь два сосуда с гелием II при температурах
Т\ и Т2, причем сосуды соединены друг с другом тонким капил-
капилляром. Благодаря возможности свободного сверхтекучего пере-
перетекания по капилляру быстро установится механическое равнове-
равновесие жидкости в обоих сосудах. Поскольку, однако, сверхтекучее
движение не переносит тепла, тепловое равновесие (при котором
температуры гелия в обоих сосудах сравниваются) установится
лишь значительно позднее.
Условие механического равновесия легко написать, восполь-
воспользовавшись тем, что установление этого равновесия происходит
согласно предыдущему при постоянных энтропиях s\ ж S2 гелия
в обоих сосудах.
Если Е\ и ?2 — внутренние энергии единицы массы гелия при
температурах Т\ и Т2, то условие механического равновесия
(условие минимума энергии), осуществляемого сверхтекучим пе-
перетеканием жидкости, будет
(деЛ = (деЛ
\dNJsi \dNJso'
:) Весьма слабый термомеханический эффект должен, строго говоря,
иметь место и в обычных жидкостях; аномальным у гелия II является боль-
большая величина этого эффекта. Термомеханический эффект в обычных жид-
жидкостях представляет собой необратимое явление типа термоэлектрического
эффекта Пельтье (фактически такой эффект наблюдается в разреженных
газах; см. X, задача 1 к § 14). Такого рода эффект должен существовать и
в гелии II, но в этом случае он перекрывается значительно превосходящим
его описанным ниже другим эффектом, специфическим для гелия II и не
имеющим ничего общего с необратимыми явлениями типа эффекта Пельтье.

§ 139	УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ СВЕРХТЕКУЧЕЙ	ЖИДКОСТИ	709
где N — число атомов в 1 г гелия. Но производная (de/dN)s есть
химический потенциал /i. Поэтому мы получаем условие равно-
равновесия в виде
//(pi, Ti)=//(p2, Т2)	A38.2)
{pi, V2 — давления в обоих сосудах).
В дальнейшем мы будем понимать под химическим потен-
потенциалом \i не термодинамический потенциал, отнесенный к одной
частице (атому), как это обычно принято, а термодинамический
потенциал, отнесенный к единице массы гелия; оба определения
отличаются лишь постоянным множителем — массой атома гелия.
Если давления р\, Р2 малы, то, разлагая по их степеням и
помня, что (дц/др)т есть удельный объем (слабо зависящий от
температуры), получаем
т2
= Г sdT,
где Ар = р2 — Р\- Если мала также и разность температур
AT = T2 — Ti, то, разлагая по степеням AT и замечая, что
(d/j,/dT)p = —5, получим следующее соотношение:
% = Р*	A38.3)
(Я. London, 1939). Поскольку s > 0, то и Ар/AT > 0.
§ 139. Уравнения гидродинамики сверхтекучей
жидкости
Перейдем теперь к выводу полной системы гидродинамиче-
гидродинамических уравнений, которые описывают движение гелия II макро-
макроскопическим (феноменологическим) образом. Согласно изложен-
изложенным выше представлениям речь идет о составлении уравнений
движения, описывающегося в каждой точке не одной, как в обыч-
обычной гидродинамике, а двумя скоростями vs и vn. Оказывается,
что искомая система уравнений может быть получена вполне
однозначным образом, исходя из одних только требований, на-
налагаемых принципом относительности Галилея и необходимыми
законами сохранения (причем используются также свойства дви-
движения, выражаемые уравнениями A37.1) и A37.2)).
Следует иметь в виду, что фактически гелий II теряет свойст-
свойство сверхтекучести при достаточно больших скоростях движения.
Ввиду этого явления критических скоростей уравнения гидро-
гидродинамики сверхтекучего гелия обладают реальным физическим

710	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
смыслом лишь для не слишком больших скоростей vs и vn :) .
Тем не менее мы проведем сначала вывод этих уравнений, не де-
делая никаких предположений о скоростях vs и vn, так как при
пренебрежении высшими степенями скоростей теряется возмож-
возможность последовательного вывода уравнений, исходя из законов
сохранения. Переход к физически интересному случаю малых
скоростей будет произведен в получающихся окончательных
уравнениях.
Обозначим буквой j плотность потока массы жидкости; эта
величина является в то же время импульсом единицы ее
объема (ср. примеч. на с. 275). Напишем j в виде суммы
j = psvs + pnwn	A39.1)
потоков, связанных соответственно с сверхтекучим и нормаль-
нормальным движениями. Коэффициенты ps и рп можно назвать сверх-
сверхтекучей и нормальной плотностями жидкости. Их сумма равна
истинной плотности р гелия II:
p = Ps+Pn.	A39.2)
Величины ps и рп являются, разумеется, функциями температу-
температуры; рп обращается в нуль при абсолютном нуле, когда гелий II
«целиком сверхтекуч» 2) , a ps обращается в нуль в А-точке, когда
жидкость становится «целиком нормальной».
Плотность р и поток j должны удовлетворять уравнению не-
непрерывности
— + div j = 0,	A39.3)
выражающему закон сохранения массы. Закон сохранения им-
импульса представляется уравнением вида
Ш + ^ = о,	A39.4)
где lljfc — тензор плотности потока импульса.
1) Существование предельной скорости сверхтекучего движения следу-
следует уже из микроскопической теории — конкретная форма энергетического
спектра элементарных возбуждении в гелии II приводит к нарушению усло-
условия сверхтекучести Ландау при больших скоростях (см. IX, § 23). Факти-
Фактически наблюдающиеся критические скорости, однако, гораздо меньше этого
предельного значения, причем зависят от конкретных условий течения (так,
для течения по тонким капиллярам или щелям они больше, чем для движе-
движений в больших объемах). Физическая природа этих явлений состоит в воз-
возникновении квантованных вихревых колец; такого же рода вихревые нити
(но прямолинейные) возникают при вращении жидкого гелия в цилиндри-
цилиндрическом сосуде (см. IX, § 29). В этой главе эти явления не рассматриваются.
) Если гелий II содержит примесь постороннего вещества (таковым фак-
фактически может являться изотоп Не), то рп остается отличным от нуля и
при абсолютном нуле.

§ 139	УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ СВЕРХТЕКУЧЕЙ	ЖИДКОСТИ	711
Мы не будем рассматривать пока диссипативных процессов
в жидкости; тогда движение обратимо и должна сохраняться
также и энтропия жидкости. Имея в виду, что поток энтропии
равен psvn, напишем уравнение сохранения энтропии в виде
+ div (psvn) =0.	A39.5)
dt
К уравнениям A39.3)—A39.6) должно еще быть добавлено
уравнение, определяющее производную по времени от скорости
vs. Это уравнение должно быть составлено таким образом, чтобы
обеспечить сохранение со временем потенциальности движения:
это значит, что производная vs должна выражаться в виде гра-
градиента некоторого скаляра. Мы напишем это уравнение в виде
A39.6)
где \i — некоторый скаляр.
Уравнения A39.4) и A39.6) приобретут реальный смысл, ра-
разумеется, лишь после того, как будет установлен вид пока не
определенных величин П^ и \i. Для этой цели надо использо-
использовать закон сохранения энергии и соображения, основанные на
принципе относительности Галилея. Именно, необходимо, что-
чтобы гидродинамические уравнения A39.3)—A39.6) автоматически
приводили к выполнению закона сохранения энергии, выражаю-
выражающегося уравнением вида
A39.7)
где Е — энергия единицы объема жидкости и Q — плотность по-
потока энергии. Принцип же относительности Галилея дает воз-
возможность определить зависимость всех величин от одной из ско-
скоростей (vs) при заданном значении относительной скорости
vn ~~ vs обоих одновременно происходящих в жидкости дви-
движений.
Введем наряду с исходной системой координат К еще и дру-
другую систему, Ко, в которой скорость сверхтекучего движения
данного элемента жидкости равна нулю. Система Ко движется
относительно системы К со скоростью, равной скорости vs сверх-
сверхтекучего движения в исходной системе. Значения всех величин
в системе К связаны с их значениями в системе Ко (которые мы
отличаем индексом нуль) следующими известными из механики

712	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
формулами преобразования :) :
2
j = pvs + j0, E = ^ + jovs + Ео,
Q = (^ + jovs + ?b) vs + |j0 + (novs) + Q
Пг/с = pVsiVsk + ^г JO/c + ^s/cJOz + ^-Oik
(здесь (IIovs) обозначает вектор с компонентами П)
В системе Kq данный элемент жидкости совершает лишь од-
одно движение — нормальное движение со скоростью vn — vs. По-
Поэтому все относящиеся к этой системе величины jo, Eq, Qo, Hoik
могут зависеть лишь от разности vn—vs, а не от каждой из скоро-
скоростей vn, vs в отдельности; в частности, векторы jo и Qo должны
быть направлены вдоль вектора vn — vs. Таким образом, форму-
формулы A39.8) определяют зависимость искомых величин от vs при
заданном vn — vs.
Энергия Eq, рассматриваемая как функция от р, s и импульса
jo единицы объема жидкости, удовлетворяет термодинамическо-
термодинамическому соотношению
dEo = /idp + Td(ps) + (vn - ve) rfjo,	A39.9)
где /i — химический потенциал (термодинамический потенциал
единицы массы). Первые два члена соответствуют обычному тер-
термодинамическому соотношению для дифференциала энергии
неподвижной жидкости при постоянном (здесь — равном едини-
единице) объеме, а последний член выражает тот факт, что произ-
производная от энергии по импульсу есть скорость движения. Им-
Импульс jo (плотность потока массы в системе Ко) есть, очевидно,
просто
jo = Pn(vn ~ vs)
(первая из формул A39.8) при этом совпадает с A39.1)).
Ход дальнейших вычислений состоит в следующем. В урав-
уравнение сохранения энергии A39.7) подставляем ShQhs A39.8),
1) Эти формулы являются непосредственным следствием принципа отно-
относительности Галилея и потому справедливы вне зависимости от того, о какой
именно конкретной системе идет речь. Их можно вывести, рассмотрев, на-
например, обычную жидкость. Так в обычной гидродинамике тензор плотно-
плотности потока импульса есть П^ = pviVk +pbik- Скорость жидкости v в системе
К связана со скоростью vo в системе Ко через v = vo + u, где u — скорость
системы Ко относительно системы К. Подстановка вП^ дает
Uk + рщуок + рщик.
Введя Hoik = pdik + pvoiVok и jo = pvo, получим указанную в тексте формулу
преобразования для тензора П^. Остальные формулы получаются анало-
аналогичным образом.

§ 139	УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ СВЕРХТЕКУЧЕЙ	ЖИДКОСТИ	713
причем производная dE^/dt выражается через производные от р,
ps и jo согласно A39.9). После этого все производные по времени
(р, vs и др.) исключаем с помощью гидродинамических уравне-
уравнений A39.3)—A39.6). Довольно громоздкие вычисления приводят,
после значительных сокращений, к следующему результату:
- Пог/с-^- + Wi —-Щг/с + Р div vs - wVp + pnw(wV) vn +
дхк	дхк
+ div (w(Tps + pnfi)) + (pn - ps)wV((p - /i) = div Qo;
здесь фигурирующий в A39.6) скаляр временно обозначен через
if (вместо /i), и для сокращения записи обозначено w = vn — vs;
кроме того, введено обозначение
р = -Ео + Tps + W + pn(vn - vsJ,	A39.10)
смысл которого выяснится ниже. Это уравнение сохранения энер-
энергии должно удовлетворяться тождественно. При этом Qo, По, (р
должны зависеть лишь от термодинамических переменных и от
скорости w, но не от каких-либо градиентов этих величин (по-
(поскольку мы не рассматриваем диссипативных процессов). Эти
условия определяют выбор выражений для Qo, По, (р однознач-
однозначным образом.
Прежде всего, надо положить (р = /i, т. е. фигурирующий в
уравнении A39.6) скаляр совпадает с химическим потенциалом
жидкости, определенным согласно A39.9) (именно поэтому мы
заранее обозначили его буквой /i). Для остальных же величин
надо положить:
Qo = (Tps + pn/i)w + pnw2Mv,
г/с =pSik + рпЩЫк-
Подставив теперь эти выражения в формулы A39.8), получим
следующие окончательные выражения для плотности потока
энергии и тензора плотности потока импульса:
Q = (ju + y)j + Tpsvn + pnvn(vn, vn - ve),	A39.11)
+ PsVsiVsk + P$ik-	A39.12)
Выражение A39.12) имеет вид, являющийся естественным
обобщением формулы П^ = pviV^ + p8ik обычной гидродина-
гидродинамики. При этом величину р, определенную согласно A39.10),
естественно рассматривать как давление жидкости; в полностью
покоящейся жидкости выражение A39.10) совпадает, разумеет-
разумеется, с обычным определением, так как Ф = \ip становится обыч-

714	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
ным термодинамическим потенциалом единицы объема жид-
жидкости :) .
Уравнения A39.3)—A39.6) с определениями j и П^ согласно
A39.1), A39.12) представляют собой искомую полную систему
гидродинамических уравнений. Эта система очень сложна преж-
прежде всего тем, что входящие в уравнения величины pSl рП1 /i, s
являются функциями не только термодинамических переменных
р и Т, но и квадрата относительной скорости обоих движений
^2 = (vn — vsJ- Последний представляет собой скаляр, инва-
инвариантный относительно галилеевых преобразований системы от-
отсчета и относительно вращения жидкости как целого; эта вели-
величина специфична для сверхтекучей жидкости, отнюдь не должна
обращаться в нуль в термодинамическом равновесии, и должна
фигурировать в уравнении состояния жидкости наряду с р и Т.
Уравнения, однако, сильно упрощаются в физически инте-
интересном случае не слишком больших скоростей (малой величиной
предполагается отношение скоростей к скорости второго звука —
§ 141).
Прежде всего, в этом случае можно пренебречь зависимо-
зависимостью ps и рп от w; выражение A39.1) для потока j представляет
собой при этом по существу первые члены разложения этой ве-
величины по степеням vn и vs. Разложение по степеням скоростей
надо произвести и для остальных термодинамических величин,
входящих в уравнения.
Дифференцируя выражение A39.10) и используя A39.9), по-
получим следующее выражение для дифференциала химического
потенциала:
ф = -sdT+ -dp- ^wdw.	A39.13)
Р	Р
Отсюда видно, что первые два члена разложения \i по степеням
w имеют вид
/i(p, Т, w) и ц(р, Т) - ^w\	A39.14)
Zp
где в правой части равенства стоят обычные химический потен-
х) Обычное термодинамическое определение давления как средней силы,
действующей на единичную площадку, относится к неподвижной среде. В
обычной гидродинамике тем не менее не возникает вопроса об определе-
определении понятия давления (если не учитываются диссипативные процессы), так
как всегда можно перейти к системе координат, в которой данный элемент
объема жидкости покоится. В гидродинамике же сверхтекучей жидкости
надлежащим выбором системы координат можно исключить лишь одно из
двух одновременно происходящих движений, и потому обычное определение
давления вообще не может быть применено,
Отметим также, что выражение A39.10) соответствует и определению дав-
давления как производной р = —d(EoV)/dV от полной энергии жидкости при
заданных ее полной массе pV, полной энтропии psV и полном импульсе от-
относительного движения pwV.

§ 139	УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ СВЕРХТЕКУЧЕЙ	ЖИДКОСТИ	715
циал /i(p, Т) и плотность р(р, Т) неподвижной жидкости.
Дифференцируя это выражение по температуре и давлению,
найдем соответствующие разложения для энтропии и плотности:
A39.15)
Они должны быть подставлены в гидродинамические уравнения,
которые после этого будут справедливы с точностью до членов
второго порядка по скоростям включительно (учет же в j за-
зависимости ps и рп от w2 привел бы к членам третьего порядка
малости) :) .
Введение в гидродинамические уравнения членов, учитываю-
учитывающих диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости, будет
произведено в следующем параграфе. Но уже здесь сформули-
сформулируем граничные условия к этим уравнениям.
Прежде всего, на всякой (неподвижной) твердой поверхности
должна обращаться в нуль перпендикулярная к этой поверхно-
поверхности компонента потока массы j. Для выяснения граничных усло-
условий, налагаемых на vn, надо вспомнить, что нормальное дви-
движение есть в действительности движение «газа» элементарных
тепловых возбуждений в нем. При движении вдоль твердой по-
поверхности кванты возбуждения взаимодействуют с ней, что дол-
должно быть описано макроскопически как «прилипание» нормаль-
нормальной части массы жидкости к стенке, подобно тому как это име-
имеет место для обычных вязких жидкостей. Другими словами, на
твердой поверхности должна обращаться в нуль тангенциальная
компонента скорости vn.
Что касается перпендикулярной к стенке компоненты vn, то
надо иметь в виду, что кванты возбуждения могут поглощаться
или испускаться твердым телом — это соответствует просто теп-
теплопередаче между жидкостью и твердым телом. Поэтому пер-
*) Следует отметить, что система гидродинамических уравнений, в кото-
которой ps рассматривается как заданная функция риТ, может стать непригод-
непригодной вблизи А-точки. Дело в том, что при приближении к этой точке (как и
ко всякой точке фазового перехода второго рода) неограниченно возраста-
возрастают время релаксации для установления равновесного значения параметра
порядка и корреляционный радиус его флуктуации; в сверхтекучем же 4Не
роль параметра порядка играет конденсатная волновая функция, квадрат
модуля которой определяет ps (см. IV, § 26, 28; о релаксации в сверхтекучей
жидкости — см. X, § 103). Гидродинамические уравнения с заданной функ-
функцией ps(p, Т) применимы лишь до тех пор, пока характерные расстояния и
времена движения велики по сравнению соответственно с корреляционным
радиусом и временем релаксации. В противном случае полная система урав-
уравнений движения должна включать в себя также и уравнения, определяю-
определяющие ps. См. Гинзбург В.Л., Собянин А.А. // УФН. 1976. Т. 120. С. 153;
J. Low. Temp. Physics. 1982. V. 49. P. 507.

716	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
пендикулярная к стенке компонента скорости vn не должна не-
непременно обращаться в нуль; граничное условие требует лишь
непрерывности перпендикулярной к стенке компоненты потока
тепла. Температура же испытывает на границе скачок, пропор-
пропорциональный тепловому потоку: AT = Kq, с коэффициентом про-
пропорциональности, зависящим от свойств как жидкости, так и
твердого тела. Появление этого скачка связано с особенностями
теплопередачи в гелии П. Все теплосопротивление между твер-
твердым телом и жидкостью сконцентрировано в пристеночном слое
жидкости, поскольку конвективное распространение тепла в объ-
объеме жидкости практически не связано с каким бы то ни было
теплосопротивлением; в результате весь перепад температуры,
вызывающий появление теплового потока, происходит практи-
практически у самой поверхности.
Интересным свойством описанных граничных условий явля-
является то, что теплообмен между твердым телом и движущейся
жидкостью приводит к появлению тангенциальных сил, действую-
действующих на поверхность тела. Если ось х направлена по нормали, а
ось у —по касательной к поверхности, то действующая на еди-
единицу площади касательная сила равна компоненте Пху тензора
потока импульса. Имея в виду, что на поверхности должно быть
Зх — Рп^пх + Ps^sx = 0, находим для этой силы отличное от нуля
выражение
*-*-ху = Ps^sx^sy ~г рп^пх^пу = Рп^пху^пу ^sy)'
Вводя тепловой поток q = /9«sTvn, можно переписать эту силу в
виде
^iVny ~ Узу),	A39.16)
где qx — непрерывный на поверхности тепловой поток из твердо-
твердого тела в жидкость.
При отсутствии теплопередачи между твердой стенкой и жид-
жидкостью граничное значение перпендикулярной к стенке компо-
компоненты vn тоже обращается в нуль. Граничные условия jx = 0 и
vn = 0 (ось х направлена по нормали к поверхности) эквивалент-
эквивалентны условиям vsx = 0 и vn = 0. Другими словами, в этом случае
мы получим обычные граничные условия идеальной жидкости
для vs и вязкой жидкости — для vn.
Наконец, скажем несколько слов о гидродинамике смесей
жидкого Не4 с посторонним веществом (фактически — с изото-
изотопом Не3). Помимо уравнений, выражающих сохранение массы,
импульса, энтропии и потенциальности сверхтекучего движения,
полная система гидродинамических уравнений смеси должна со-
содержать еще уравнение, выражающее собой сохранение каждого
из двух веществ по отдельности. Оно имеет вид
д(рс) , -,. . п
-^-^ + divi = 0,

§ 140	ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ	ЖИДКОСТИ	717
где с —массовая концентрация Не3 в смеси, a i — плотность его
гидродинамического потока. Однако требования, налагаемые за-
законами сохранения и галилеевой инвариантностью оказываются
достаточными для установления вида всех уравнений лишь если
известно выражение потока i. Оно дается утверждением о том,
что примесь (Не3) принимает участие только в нормальном дви-
движении, т. е. i = pcvn x) .
§ 140. Диссипативные процессы в сверхтекучей
жидкости
Для учета диссипативных процессов в уравнениях гидроди-
гидродинамики сверхтекучей жидкости надо (как и в обычной гидро-
гидродинамике) ввести в них дополнительные члены, линейные по
пространственным производным скоростей и температуры. Вид
этих членов может быть установлен однозначным образом, ис-
исходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии
и принципом симметрии кинетических коэффициентов Онсагера
[И. М. Халатников, 1952).
Как и прежде, р и j — масса и импульс единицы объема жид-
жидкости. Уравнение непрерывности сохраняет свой вид A39.3). В
уравнения же A39.4), A39.6), A39.7) надо ввести дополнитель-
дополнительные члены, которые напишем в их правых частях:
dt dxk	дхк
|i + v(| + /,)=-V^	A40.2)
— + divQ = -divQ/.	A40.3)
Энтропийное же уравнение не имеет теперь вида уравнения
сохранения A39.5); напротив, величины П7, ср , Q7 должны быть
определены так, чтобы обеспечить возрастание энтропии. Для
этого снова подставляем в уравнение сохранения энергии A40.3)
производную dEo/dt, выраженную с помощью A39.9), после че-
чего исключаем производные р, j, vs с помощью A39.3), A40.1),
A40.2). При этом подразумевается, что Q и П даются уже из-
известными выражениями A39.11), A39.12); поэтому сокращаются
все члены, за исключением связанных с энтропией и с диссипа-
*) Полный вывод гидродинамических уравнений для смесей — см. кн.:
Халатников И.М. Теория сверхтекучести. — М.: Наука, 1971, гл. XIII. Эти
уравнения становятся неприменимыми при очень низких температурах, ког-
когда возникает квантовое вырождение элементарных возбуждений, связанных
с атомами примеси.

718	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
тивными величинами П7, Q7, ср'. В результате получим уравнение
= - div {Q' + p8w<p' - (nVn)} + if1 div (psw) - Ufik ™™- A40.4)
ox k
(здесь снова w = vn — vs).
Линейные по градиентам выражения величин П7, Q7, cpf, обес-
обеспечивающие возрастание энтропии, имеют вид :)
%к
дхк дхг 3
- SikCi div (psw) - Sikb div vn, A40.5)
ip' = Сз div (pew) + C4 divvn,	A40.6)
Q' = -<p'paw + (n'vn) - xVT	A40.7)
(в П7д, выделена комбинация производных от vn с равным нулю
следом — подобно тому, как это делается в обычной гидродина-
гидродинамике) . При этом согласно принципу Онсагера должно быть
G = С4,	A40.8)
так что остается всего 5 независимых кинетических коэффи-
коэффициентов 2) .
Наконец, подставив выражения A40.5)—A40.7) в уравнение
A40.4), после простых преобразований приведем его к виду
где
2 V <9xfc аж^ 3	/
+ C2(div vnJ + C3(divpswJ + ^(VTJ. A40.10)
x) Здесь учитывается также и условие, что вращение нормальной части
жидкости как целого (уп = [fir]) не должно приводить к диссипации
(ср. § 15).
2) Мы не будем проводить полностью соответствующих рассуждений
(вполне аналогичных, например, излагавшимся в § 59). Обратим лишь вни-
внимание на то, что (д—коэффициент при div(/9sw) в ГГ7, а в правую часть
уравнения A40.4) этот член в И' входит умноженным на divvn; наоборот,
<^4 — коэффициент при divvn в <р , которое входит в правую часть A40.4)
умноженным на div (psw).

§ 140	ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ	ЖИДКОСТИ	719
Это уравнение — аналог общего уравнения переноса тепла обыч-
обычной гидродинамики D9.5) :) . Так как правая часть уравнения
определяет скорость возрастания энтропии жидкости, то она
должна быть существенно положительной величиной. Отсюда
следует, что все коэффициенты г/, (д, B, Сз5 к положительны,
причем сверх того (^ ^ С2Сз- Коэффициент г/ «первой вязко-
вязкости», связанный с нормальным движением, аналогичен вязко-
вязкости обычной жидкости, а коэффициент ж формально аналогичен
теплопроводности обычной жидкости; коэффициентов же «вто-
«второй вязкости» имеется теперь три ((д, B, Сз) вместо одного в
обычной гидродинамике.
По поводу изложенных результатов необходимо, однако, сде-
сделать еще следующее замечание. Диссипируемая в жидкости энер-
энергия, разумеется, инвариантна относительно галилеева преобра-
преобразования системы отсчета. Производные от скорости этому тре-
требованию конечно удовлетворяют, но в сверхтекучей жидкости
галилеевски инвариантна также и разность скоростей w = vn —
— vs. Поэтому и диссипативные потоки в сверхтекучей жидкости
могут зависеть не только от градиентов термодинамических ве-
величин и скоростей, но и от самой w. Как уже было отмечено
в § 139, эта разность фактически должна рассматриваться как
малая величина, и в этом смысле выражения A40.5), A40.6) со-
содержат в себе не все в принципе возможные члены, но лишь
наибольшие из них 2) .
Задача
Разделить уравнения для нормального и сверхтекучего движений в не-
несжимаемой сверхтекучей жидкости (принимаются постоянными не только
полная плотность р, но и ps и рп по отдельности).
Решение. Диссипативные члены в энтропийном уравнении являют-
являются малыми величинами второго порядка и могут быть в данном случае опу-
опущены; тогда и s = const, а из уравнений A39.3) и A39.5) имеем divvs =
= divvn = 0. В тензоре же плотности потока импульса сохраняем линей-
) Все сказанное в конце § 49 об определении энтропии в термодинамически
слабо неравновесном состоянии остается в силе и здесь.
) Если отказаться от этого условия, разнообразие допустимых членов в
диссипативных потоках существенно возрастет (не говоря уже о том, что и
сами кинетические коэффициенты будут, вообще говоря, функциями от w)]
например, в cpf появятся члены вида wVT и w%Wk dvni/dxk- Полное чис-
число независимых кинетических коэффициентов, описывающих диссипацию
в гелии II, оказывается при этом равным 13 (A. Clark, 1963). См. об этом
в кн.: С. Путтерман. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. Приложе-
Приложение VI. — М.: Мир, 1978 (S.J. Putterman, Superfluid hydrodynamics, North
Holland Publishing Co., 1974).
Отметим в этой связи, что в A40.5), A40.6) написаны члены с div/9sw,
поскольку именно эта комбинация производных возникает естественным об-
образом в точном уравнении A40.5), A40.6). С принятой точностью было бы
правильнее писать в A40.5), A40.6) /9sdivw.

720	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
ный по градиентам скорости член, связанный с вязкостью нормального дви-
движения:
т-г/	fdvni , dvnk
v дхк ox
Подставив это выражение (вместе с П^ из A39.12)), получим уравнение
ps^r1 + pn^~ + ps(vsV)vs + pn(vn\7)vn = -Vp + 7/divvn,
ot	ot
или
r\	2	о
рп^г~ + pn(vn\7)vn + psV — + psV-^- = -Vp + 7/divvn,
dt	2	dt
где введен потенциал сверхтекучего движения согласно vs = \7cps и учтено,
что (vsV)vs = V^s/2. Поскольку divvs = 0, то потенциал <ps удовлетворяет
уравнению Лапласа A(ps = 0. Введем в качестве двух вспомогательных ве-
величин «давления» нормального и сверхтекучего движений рп и ps согласно
равенству р = ро +рп +Ps, где ро —давление на бесконечности, a ps опреде-
определяется обычной для идеальной жидкости формулой
Ps Рз dt	2 •
Уравнение для скорости vn принимает тогда вид
-^ + (vnV)vn =	Vpn + — Avn,
Ot	pn	рп
формально совпадающий с уравнением Навье—Стокса для жидкости с плот-
плотностью рп и вязкостью г].
Таким образом, задача о движении несжимаемого гелия II сводится к
двум задачам обычной гидродинамики для идеальной и для вязкой жидко-
жидкостей. Сверхтекучее движение определяется уравнением Лапласа с гранич-
граничным условием для нормальной производной d(ps/On, как в обычной задаче
о потенциальном обтекании идеальной жидкостью. Нормальное движение
определяется уравнением Навье-Стокса с таким же граничным условием
для vn (при отсутствии теплообмена между стенкой и жидкостью), как в
обычной задаче об обтекании вязкой жидкостью. Распределение давления
определяется затем как сумма ро + Рп + Ps •
Для определения же распределения температуры пишем в уравнении
A39.6) (с /1 из A39.14)) vs = V(ps и интегрируя находим
Ai(p, Г) + | - g(vn - vsJ + ^ = const.
Изменения температуры и давления в несжимаемой жидкости малы, и с
точностью до членов первого порядка пишем:
/1-/10 = -s(T - То) + -(р - ро)
Р
(То, ро — температура и давление на бесконечности). Подставляя это выра-
выражение в написанный интеграл уравнения и вводя рп и ps, получим
, _т _ рп_\Рп_ _ Р? _
OS 1-л„	па
pS Lpn ps

§ 141	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	721
§ 141. Распространение звука в сверхтекучей жидкости
Применим уравнения гидродинамики гелия II к распростра-
распространению звука в этой жидкости. Как обычно, в звуковой волне
скорости движения предполагаются малыми, а плотность, давле-
давление, энтропия — почти равными своим постоянным равновесным
значениям. Тогда систему гидродинамических уравнений можно
линеаризовать — в A39.12)—A39.14) пренебрегаем квадратичны-
квадратичными по скорости членами, а в уравнении A39.5) можно вынести
в члене div (psvn) энтропию ps из-под знака div (поскольку этот
член уже содержит малую величину vn). Таким образом, систе-
система гидродинамических уравнений приобретает вид
|	0,	A41.1)
^	0,	A41.2)
f + Vp = 0,	A41.3)
^ + V/z = 0.	A41.4)
Дифференцируя A41.1) по времени и подставляя A41.3), по-
получаем
?? = ДР-	A41.5)
Согласно термодинамическому соотношению d\i = —sdT + dp/p
имеем
\7р =
Подставляя сюда \7р из A41.3) и V/i из A41.4), получим
Применяем к этому уравнению операцию div, а для div (vs — vn
подставляем выражение
-,. /	ч р ds
div(ve-vn) = — — ,
pss at
следующее из равенства
ds I d(ps) s dp	-..	. s	sp
— = —^- --^ = -sdivvn + -
at p at p at	p
В результате получаем уравнение
AT.	A41.6)
dt2 pn

722	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
Уравнения A41.5) и A41.6) определяют распространение зву-
звука в сверхтекучей жидкости. Уже из того факта, что этих уравне-
уравнений—два, видно, что существуют две скорости распространения
звука.
Напишем «s, _р, р, Т в виде s = sq + s7, р = ро + р' и т. д., где
буквы со штрихом представляют собой малые изменения соот-
соответствующих величин в звуковой волне, а величины с индексом
нуль (который мы ниже для краткости опускаем) — их постоян-
постоянные равновесные значения. Тогда можно написать:
/ = dpi + ^Т, , = да, д^т,
и д/ дт '	д/ дт '
и уравнения A41.5) и A41.6) принимают вид
дРд2р'
д dt2 р дт dt2 ' d dt2 дт
д
дР dt2 р дт dt2 ' dp dt2 дт dt2 Рп
Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны, в ко-
которой р' и Т' пропорциональны множителю е-г^(г~х/и) (скорость
звука обозначаем здесь буквой и). В качестве условия совмест-
совместности обоих уравнений получаем уравнение
з, р) _ и2 fds_ ps^_dp\ р^_ _ q
дТ	d)
д(Т,р)	\дТ рп
(где 9(s, р)/д(Т, р) обозначает якобиан преобразования от s, p
кТ, р). Путем простого преобразования с использованием тер-
термодинамических соотношений этому уравнению можно придать
вид
„4 _„*[(*) +^И]+е^(др) =0 (Ш.7)
1\др/ s рпСу -I рпСу \др/Т
(cv — теплоемкость единицы массы). Это квадратное (по и2)
уравнение определяет две скорости распространения звука в ге-
гелии П. При ps = 0 один из корней этого уравнения обращается
в нуль, и мы получаем, как и должно было быть, всего одну
обычную скорость звука и1 = (dp/dp)s.
Фактически теплоемкости ср и cv гелия II при температурах,
не слишком близких к А-точке, близки друг к другу (ввиду мало-
малости коэффициента теплового расширения). Согласно известной
термодинамической формуле в этих условиях близки друг к дру-
другу также и изотермическая и адиабатическая сжимаемости:
др\ = ($р\ с. и (Щ
дрУТ \dpJsCp \dpJs
Обозначив общее значение ср и cv через с, а общее значение
(др/др)т и (dp/dp)s через др/др, получим из уравнения A41.7)

§ 141	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	723
следующие выражения для скоростей звука:
A41.?
Одна из них, щ, почти постоянна, а другая, г^, сильно зависит
от температуры, обращаясь вместе с ps в нуль в А-точке :) .
Вблизи А-точки, однако, коэффициент теплового расширения
не мал и пренебрегать разницей между ср и cv нельзя. Чтобы
получить формулу для U2 в этом случае, следует опустить второй
член в квадратной скобке в A41.7) (содержащий ps) и член г^4,
который в этом случае мал (так как и% стремится к нулю). Кроме
того, можно положить рп ~ р. В результате получим
/Тя2п
u2 = J-^.	A41.9)
Для скорости же и\ получается формула A41.8), где под др/др
следует понимать (dp/dp)Si т. е. обычная формула для скорости
звука.
По поводу формулы A41.9) следует заметить, что она при-
применима лишь при достаточно низких частотах — тем более низ-
низких, чем ближе жидкость находится к А-точке. Дело в том, что
(как было уже упомянуто в примеч. на с. 715) вблизи А-точки
неограниченно возрастает время релаксации т параметра поряд-
порядка; формула A41.9), не учитывающая дисперсии и поглощения
звука, справедлива лишь при условии шт<^1. Что касается скоро-
скорости щ, то вблизи А-точки появляется дополнительное затухание,
связанное с релаксацией параметра порядка — в соответствии с
общими утверждениями в § 81.
При самых низких температурах, когда почти все элементар-
элементарные возбуждения в жидкости являются фононами, величины /эп,
с, s связаны друг с другом соотношениями 2)
сТ
a ps « р. Подставив эти выражения в формулу A41.8) для г^,
найдем
U2 = I
Таким образом, при стремлении температуры к нулю скорости
и\ и U2 стремятся к постоянным пределам, причем так, что их
отношение стремится к уЗ.
*) О распространении звука в смесях жидкого 4Не с 3Не — см. гл. XIII ука-
указанной на с. 717 книги И.М. Халатникова.
) Их легко получить из формул для термодинамических величин гелия II,
приведенных в IX, § 22, 23.

724	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
Для лучшего выяснения физической природы обоих видов
звуковых волн в гелии II рассмотрим плоскую звуковую волну
(Е.М. Лифши% 1944). В такой волне скорости vSi vn и перемен-
переменные части Т7, р' температуры и давления пропорциональны друг
другу. Введем коэффициенты пропорциональности согласно
vn = avs, p' = bvs, T1 = cvs.	A41.10)
Простое вычисление с помощью уравнений A41.1)—A41.6), про-
произведенное с должной степенью точности, дает
., . /Зр и\и\	,
pss (ul-ul)	c{ulul)
о	2 2	о 2 2	^141.11J
ps /Зр щи2	7	/Зрщщ	и2.
«2 — -— + 	7~2	2Y' Ь2~~Г~2	2V'	2 ~ ~~ '
рте	S/9n (^ — Щ)	S\U{—U2)	S
здесь /3 = ——^-—температурный коэффициент расширения;
р дТ
ввиду его малости величины, содержащие /3, малы по сравнению
с соответствующими величинами, не содержащими /3.
Мы видим, что в звуковой волне первого типа vn « vs, т. е.
в такой волне в каждом элементе объема жидкость колеблется в
первом приближении как целое; нормальная и сверхтекучая мас-
массы движутся вместе. Естественно, что эти волны соответствуют
обычным звуковым волнам в обычных жидкостях.
В волне же второго типа имеем vn « — — vs, т. е. полная плот-
рп
ность потока вещества
j = psvs + pnwn w 0.
Таким образом, в волне второго звука сверхтекучая и нормаль-
нормальная массы жидкости колеблются навстречу друг другу, так что в
первом приближении их центр инерции в каждом элементе объ-
объема остается неподвижным и суммарный поток вещества отсут-
отсутствует. Ясно, что этот вид волн специфичен для сверхтекучей
жидкости.
Между обоими видами волн имеется и другое существенное
отличие, видное из формул A41.11). В звуковой волне обычно-
обычного звука амплитуда колебаний давления относительно велика, а
амплитуда колебаний температуры мала. Напротив, в волне вто-
второго звука относительная амплитуда колебаний температуры ве-
велика по сравнению с относительной амплитудой колебаний дав-
давления. В этом смысле можно сказать, что волны второго звука
представляют собой своеобразные незатухающие температурные
) Они не имеют, разумеется, ничего общего с затухающими «температур-
«температурными волнами» в обычной теплопроводящей среде (§ 52).

§ 141	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	725
В приближении, в котором тепловым расширением пренебре-
гается вовсе, волны второго звука представляют собой чисто тем-
температурные колебания (с j = 0), а волны первого звука —коле-
—колебания давления (с vs = vn). Соответственно этому их уравнения
движения полностью разделяются: в уравнении A41.6) пишем
sf = сТ'/Т и получаем
^	A41.12)
а в уравнении A41.5) полагаем о1 = — р1 и получаем
др
^ = uJApf.	A41.13)
С описанными свойствами звуковых волн в гелии II тесно свя-
связан и вопрос о различных способах их возбуждения (Е.М. Лиф-
ши% 1944). Обычные механические способы возбуждения звука
(колеблющимися твердыми телами) крайне невыгодны для по-
получения второго звука в том смысле, что интенсивность излуча-
излучаемого второго звука ничтожно мала по сравнению с интенсив-
интенсивностью одновременно излучаемого обычного звука. В гелии II
возможны, однако, и другие, специфические для него способы
возбуждения звука. Таково излучение твердыми поверхностями
с периодически меняющейся температурой; интенсивность излу-
излучаемого второго звука оказывается здесь большой по сравнению
с интенсивностью первого звука, что естественно ввиду указан-
указанного выше различия в характере колебаний температуры в этих
волнах (см. задачи 1 и 2).
При распространении волны второго звука большой ампли-
амплитуды его профиль постепенно деформируется в результате эф-
эффектов нелинейности, и это приводит в конце концов к возникно-
возникновению разрывов — как и для обычного звука в обычной гидроди-
гидродинамике (ср. § 101, 102). Рассмотрим эти явления для одномерной
бегущей волны второго звука (И.М. Халатников, 1952).
В одномерной бегущей волне все величины (р, р, Т, vSl vn)
могут быть выражены в виде функций от одного параметра, в
качестве которого может быть выбрана, например, одна из самих
этих величин (§ 101). Скорость U перемещения точки профиля
волны равна производной dx/dt, взятой при определенном значе-
значении этого параметра. Производные по координате и времени от
каждой величины связаны друг с другом соотношением d/dt =
= -Ud/dx.
Вместо скоростей vs и vn будет удобнее пользоваться величи-
величинами v = j Ip и w = vn — vs] выбираем такую систему координат,
в которой скорость v в данной точке профиля волны равна ну-
нулю. Гидродинамические уравнения A39.3)—A39.6) (с П, /i, p, s из

726	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
формул A39.12)—A39.15)) приводят к следующей системе урав-
уравнений:
-U%' - Up2°-^ww' + pv' = 0,	A41.14)
dp	dp p
р + 2^-ww' - Upv' = 0,	A41.15)
р
' = °'
A41.16)
[-рз + Uw^]Tf + [l + Uwpjj-J]i/ + [PnU - p-^w]wf -
- [Up + wpn]v' = 0. A41.17)
Здесь опущены все члены выше второго порядка малости, а так-
также все члены, содержащие коэффициент теплового расширения;
штрих означает везде дифференцирование по параметру :) .
В волне второго звука относительная амплитуда колебаний р
и v мала по сравнению с амплитудами Т и ги; поэтому можно опу-
опустить также и члены, содержащие wp\ wvf. Для определения U
достаточно рассмотреть уравнение A41.16) и разность уравне-
уравнений A41.15) и A41.17). Условие совместности получающихся та-
таким образом двух линейных уравнений для Т' и w' приводит к
квадратному уравнению
п Tj2ds - Uw\*p8pn ds - 2saH - о s2 - П
откуда
sT d
V p pnc
Здесь U2 — местное значение скорости второго звука, меняюще-
меняющееся от точки к точке профиля волны вместе с отклонением ST
температуры от ее равновесного значения. Разлагая и^ по степе-
степеням 5Т, получим
, dU2 err	d
U2 = U20 + —ST = 1620
дТ
ST 1620 + ^fЩ
дТ	дТ ps
где U20 — равновесное значение U2. Окончательно получим
^^	A41.18)
При достаточно сильном искаж:ении профиля волны в ней
возникают разрывы (ср. § 102) —в данном случае температурные
) А не переменную часть колеблющихся величин, как это было выше в
этом параграфе!

§ 141	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	727
разрывы. Скорость распространения разрыва равна полусумме
скоростей U с обеих сторон разрыва, т. е. равна
С20
2 рс дТ
где w\, W2 — значения w на обеих сторонах разрыва.
Коэффициент при w в выражении A41.18) может быть как
положительным, так и отрицательным. В зависимости от этого
точки с большими значениями w либо опережают, либо отстают
от точек с меньшими значениями w, а разрыв соответственно
возникает либо на переднем, либо на заднем фронте волны (в
противоположность обычному звуку, где ударная волна возни-
возникает всегда на переднем фронте).
Задачи
1.	Определить отношение интенсивностей излучения первого и второ-
второго звуков плоскостью, совершающей колебания в перпендикулярном к себе
направлении.
Решение. Ищем скорости vs (направленные по нормальной к плос-
плоскости оси ж) в первой и второй излучаемых волнах соответственно в виде
vsi = A\ cos [<jj(t — x/ui)], vS2 = A2 cos [<jj(t — x/112)].
На поверхности колеблющейся плоскости скорости vs и vn, должны быть
равными скорости ее колебаний (которую обозначим через vo cos ut). Это
дает уравнения
А\ + у4.2 = vo-, &\А\ + &2А2 — vo
(коэффициенты ai, п2—из A41.11)). Средняя (по времени) плотность энер-
энергии в звуковой волне в гелии II равна
p3vj + pnvi = -A {ps + pna );
поток энергии (интенсивность) получается последующим умножением на со-
соответствующую скорость звука и. Для отношения интенсивностей излучае-
излучаемых волн второго и первого звуков получаем
/2	А2 yps + pnQ>2)u2 /32TU2
1\	А\ ур8 + pnCL^jUi	CU\
(здесь предполож:ено, что U2 <С ui, что справедливо вплоть до очень низких
температур). Это отношение весьма мало.
2.	То же для излучения звука от поверхности с периодически меняю-
меняющейся температурой.
Решение. Достаточно написать граничное условие j = 0, которое
должно иметь место на неподвижной поверхности. Оно дает
ps(Ai + А2) + рп{сцА\ + CL2A2) = О,
откуда
Аз
Аг
+ ps
pnCL2 + ps
Для отношения интенсивностей находим
h _ 	с
h " ТГ
Это отношение весьма велико.

728	ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	ГЛ. XVI
3.	Определить скорость звука, распространяющегося вдоль капилляра,
диаметр которого мал по сравнению с глубиной вязкого проникновения
S~(r]/pnu;I/2 (K.R. Atkins, 1959) х).
Решение.В указанных условиях можно считать, что нормальное
движение в капилляре полностью задерживается трением о стенки (уп =
= 0). Система линеаризованных уравнений A41.1), A41.2), A41.4) прини-
принимает вид 2)
р + ps div vs =0, vs + V// = vs - sVT' + -Vp' = 0,
P
(sp)' = ps + sp = 0
(штрих означает переменную часть величин в волне). Снова пренебрегая
тепловым расширением жидкости, находим из третьего уравнения
p's/ul = -Т'рс/Т.
Исключив теперь vs из первых двух уравнений, получим волновое уравнение
р — u2Apf = 0, в котором скорость распространения и дается формулой
2 Ps 2 . Рп 2
и = —щ -\	и2.
р р
4.	Найти коэффициенты поглощения первого и второго звуков в ге-
гелии П.
Решение. Вычисление осуществляется аналогично тому, как это бы-
было сделано в § 79 для звука в обычных жидкостях; при этом вместо G9.1)
используется выражение A40.10). В пренебрежении всеми членами, содер-
содержащими температурный коэффициент расширения /3 (в том числе в A41.10),
A41.11)), получим для коэффициентов поглощения
psc
:) Эти волны принято называть четвертым звуком. Третьим звуком на-
называют волны, распространяющиеся по пленке гелия II на твердой поверх-
поверхности; существенную роль в них играют силы ван-дер-Ваальсова взаимодей-
взаимодействия жидкости в пленке с твердым телом.
) Уравнение же сохранения импульса A41.3) следует опустить: оно не име-
имеет места в рассматриваемых условиях, когда к капилляру должна прилагать-
прилагаться внешняя сила, чтобы удерживать его покоящимся.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Плотность р
Давление р
Температура Т
Энтропия единицы массы s
Внутренняя энергия единицы массы е
Тепловая функция w = е + р/р
Отношение теплоемкостей при постоянных объеме и давле-
давлении 7 = Cp/cv
Динамическая вязкость т\
Кинематическая вязкость v = r\jp
Теплопроводность ус
Температуропроводность \ — Ж1Рср
Число Рейнольдса R
Скорость звука с
Число Маха М
Векторные и тензорные (трехмерные) индексы обозначают-
обозначаются латинскими буквами г, /с, /, ... По дважды повторяющимся
(«немым») индексам везде подразумевается суммирование. Еди-
Единичный тензор Sik-
Ссылки на номера параграфов и формул других томов этого
курса снабжены римскими цифрами: II—«Теория поля», 1988;
V—«Статистическая физика, часть 1», 1995; VIII—«Электро-
VIII—«Электродинамика сплошных сред», 1992; IX—«Статистическая физика,
часть 2», 2000; X — «Физическая кинетика», 1979.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ )
Автомодельность 213, 508, 557, 561,
657
Адиабата Гюгонио 456
—	Пуассона 447
—	Тауба 699
Бародиффузия 325
—	в идеальном газе 328*
Векторное поле системы 163
Влажный пар, звук в нем 354*
Волновая зона при излучении звука
395
Волновое сопротивление 52, 641, 652
Волновой пакет звуковой 358, 366
—	цуг звуковой 358, 366
Гидравлическое приближение 413,
567
Годографа преобразование 605
Головная ударная волна 636
Давление звука при отражении 363*
Дефлаграция 660
Диск, вращающийся в жидкости
112, 128*
Диффузорное течение 113
Длина пути перемешивания 214
Завихренность 30
—	за ударной волной 596
Закон Колмогорова-Обухова 189
Звуковая аналогия 642, 656
—	точка ударной адиабаты 464
Излучение звука из трубки 415*
Изэнтропическое течение 17
Инерционный интервал турбулент-
турбулентности 191
Интеграл Лойцянского 200
—	ошибок 286
Капиллярная постоянная 335
Капля, движение в другой жидко-
жидкости 99*
Комплексная амплитуда 353
Комплексный потенциал 40
Конвекция в трубе 316*
Контактный разрыв 451
Конфузорное течение 113, 230*
Коэффициент вязкости 72
—	поверхностного натяжения 332
—	подъемной силы 259
—	сопротивления 228, 249, 254
—	теплопроводности 270
Краевой угол 338*
Критическая скорость сжимаемого
газа 446
—	точка при обтекании 38, 43*, 230*
Линии тока 23, 35
Ляпуновские показатели 168
Малые колебания в идеальной жид-
жидкости 34, 53*
Маховское отражение ударной вол-
волны 585
Местная сверхзвуковая зона 639
Мультипликатор периодического
движения 157
Напряжения Гейнольдсовы 247
Неизэнтропическое течение 30*
Нейтральной устойчивости кривая
149, 239
Нестационарная волна разрежения
511
Неустойчивость абсолютная 148
—	глобальная 152
—	конвективная 148
Обертоны в звуковой волне 533, 540*
Обтекание угла идеальной жидко-
жидкостью 44*
	турбулентное 210
—	цилиндра вязкой жидкостью 94
	идеальной жидкостью 42*
—	шара вязкой жидкостью 89
	идеальной жидкостью 42*
Опрокидывание профиля волны 527
Отображение Пуанкаре 170
Отражение волны разрежения от
стенки 554*
—	звука от тангенциального разрыва
453*
	от ударной волны 477*
г) Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В указа-
указатель включены термины, понятия и задачи, непосредственно не отраженные
в оглавлении. Звездочкой отмечены страницы, относящиеся к задачам.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
731
Перемежаемость турбулентности
183, 210
Переменные Лагранжа 18*
Пленка жидкости 337*, 339*
Плотность потока массы 15
	энтропии 17
поглощение звука в жидкой смеси
428*
	малым шариком 428*
	при отражении 426*
Подвижность 329
Подслой вязкий 246
Подъемная сила 51, 220, 259, 648,
651, 658, 659*
Показатель адиабаты 447
Политропный газ 446
Постоянная Кармана 244
—	Ландау 140
Поршневая аналогия 657
Предельная точка 156
—	линия 607
—	характеристика 623
Предельный цикл 156
Принцип Онсагера 323
Присоединенная масса 50
Простая волна 526, 601
	релятивистская 697*
	центрированная 541, 601
Прыжок воды 568
Самовозбуждение жесткое, мягкое
141
Седловые траектории 165
Сечение рассеяния 418
Скачок уплотнения 455
Скорость групповая 367
—	фазовая 367
Смена устойчивостей 145
Соотношение Эйнштейна 331
Сопло Лаваля 502
Спиновая детонация 682
Струя вязкой жидкости, затоплен-
затопленная 118
—	идеальной жидкости, плоская 46*
Субстанциональная производная 16
Тангенциальный разрыв в поле тя-
тяжести, устойчивость 344*
	на мелкой воде 569*
—	слабый разрыв 500
Температуропроводность 276
Тензор напряжений 71
	вязкий 71
Тепловой взрыв 278
Тепловые волны 289
Теплопроводность 270
—	нелинейная 282
Теплопроводность при обтекании
шара 280*, 303*
	течении по трубе 294*, 303*
Термодиффузия 325
Течение Куэтта 85
—	между вращающимися шарами 98*
—	Пуазейля 82
Толщина вытеснения 228
Точка Чепмена-Жуге 671
Турбулентная вязкость 188
—	струя нагретая 308*, 309*
—	теплопроводность 295
Турбулентности масштаб внешний
185
	внутренний 191
Турбулентные пульсации темпера-
температуры 298, 300*
Тэйлоровские вихри 145
Угол атаки 258
—	Маха 441
—	скольжения 653
Ударная поляра 483
Уравнение адиабатичности течения
17
Уравнение Бюргерса 490, 493*
—	Осеена 94
—	Прандтля 225
Условие Чаплыгина 260
Устойчивость пламени 666*
—	тангенциальных разрывов в сжи-
сжимаемом газе 451*
Формула Лапласа 333
—	Стокса 92
Фрактальная размерность 167
Функция тока 38, 95
Характеристическая поверхность 442
Химический потенциал смеси 320
Число Грассхофа 307
—	Маха 441
—	Нуссельта 293
—	Пекле 292
—	Рейнольдса 87
	критическое 138
	, энергетическая оценка 142*
—	Рэлея 307
—	Струхала 89
—	Фейгенбаума 175
Шероховатые поверхности 248, 250
Ширина слабого разрыва 500, 515*
Эйконал 364
Эффект Доплера 369

Учебное издание
ЛАНДАУ Лев Давидович,
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович
ГИДРОДИНАМИКА
(Серия: «Теоретическая физика», том VI)
Редакторы Е. В. Сатарова, Д. А. Миртова
Оригинал-макет: В. В. Затекин
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 01.11.2001. Формат
Бумага офсетная №1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 46. Уч.-изд. л. 46,39.
Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма
« Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
Налоговая льгота — общероссийский
классификатор продукции ОК-005-93, том 2;
953000 — книги, брошюры