МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ
Р.Ф. АППАЗОВ
Для служебного
пользования
Экэ.М?
РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ
РАКЕТ
МОСКВА - 1969

МИНИСТЕРСТВО
ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ
Р. Ф. АППАЗОВ
Для служебного
пользования
Экз. Me
РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ
РАКЕТ
(Учебное пособие для выполнения курсовых работ
по баллистике)
Утверждено
на заседании кафедры
15 февраля 1967 г.
МОСКВА - 1969

Зав. редакцией Л. М. БАНОВ

ВВЕДЕНИЕ
Пособие рассчитано для использования при выполнении
курсового задания по баллистике и содержит основные поло¬
жения, которыми следует руководствоваться при поверочно-
проектировочном расчете траектории одно- и многоступенча¬
той баллистической ракеты с заданными конструктивными
параметрами.
Курсовое задание рассчитано на самостоятельную работу
студента с использованием автоматической или полуавтомати¬
ческой электрической клавишной машины.
Для выполнения задания требуется в среднем 20-25 ча¬
сов счета на машине.
Данное пособие может быть использовано и при выполне¬
нии соответствующих разделов дипломного проекта.
ЦЕЛЬ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Перед курсовым заданием по баллистике ставится цель-
освоить основные приемы поверочно-проектировочного расче¬
та траектории с использованием методов численного интегри¬
рования уравнений движения и методов приближенного расче¬
та. В ходе выполнения задания затрагиваются некоторые эле¬
менты выбора программы угла тангажа.
Варианты курсовых заданий целесообразно составлять с
таким расчетом, чтобы в результате выполнения курсовых за¬
даний одной группой студентов, состоящей из 20-30 чел. .мож¬
но было бы исследовать влияние различных конструктивных
параметров на дальность полета. Эти материалы могут быть
в дальнейшем положены в основу выбора основных конструк¬
тивных параметров ракеты при дипломном проектировании.
3

Полученные результаты после соответствующей обработ¬
ки могут быть использованы как учебно-методический и
демонстрационный материал при изложении курса проектиро¬
вания баллистических ракет дальнего действия.
Помимо ознакомления студентов с вопросами расчета
траекторий, задание преследует также другую цель: дать воз¬
можность проанализировать типичные условия полета ракеты,
изменение основных параметров движения и сил, действующих
в полете, а также использовать некоторые формулы эллипти¬
ческой теории полета для определения полной дальности по¬
лета и производных от нее по элементам конца активного
участка.
Предполагается, что рассчитанные в ходе выполнения
курсового задания траектории будут использованы в следую¬
щем семестре при выполнении курсового задания по динами¬
ке специальных летательных аппаратов в качестве невозму -
щенных траекторий.
Круг технических задач, которые могут быть описаны
достаточно простыми уравнениями, интегрируемыми в конеч¬
ном виде, весьма узок. Для решения большинства задач при¬
ходится применять численные методы, знакомство с которы¬
ми для инженеров весьма полезно. Б связи с этим в процес¬
се выполнения курсового задания студенты овладевают наибо¬
лее распространенными методами численного интегрирования
уравнений движения ракеты.
Обычно вопросам правильного ведения вычислений не
уделяется должного внимания (по нашему мнению, этому во¬
просу должно быть отведено четыре лекционных часа в общем
курсе математики). Поэтому в процессе выполнения курсово¬
го задания студенты получают минимально необходимые све¬
дения и из этой области. Этим преследуется также побочная
цель - повысить общую культуру инженерных вычислений у
молодых специалистов.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
При проектировании ракеты последовательность работ та¬
кова, что на самом начальном этапе, сочетая проектно-бал¬
листические расчеты с весовым анализом, определяются в
первом приближении основные конструктивные параметры,
удовлетворяющие заданным летно-техническим характеристи¬
4

кам, Здесь целесообразно применять методы приближенных
баллистических расчетов, не требующих проведения больших
вычислений. Это связано с тем, что ряд исходных величин,
определяющих весовые и энергетические характеристики раке¬
ты, пока бывают известны с небольшой точностью и, следо¬
вательно, нет необходимости в проведении точных баллисти¬
ческих расчетов.
После этого требуется уточнить основные конструктив -
ные параметры, учитывая ряд конкретных условий полета ра¬
кеты, необходимо оценить устойчивость движения ракеты и
уточнить состав и принципы работы системы и органов управ¬
ления; рассмотреть вопросы регулирования движения центра
масс ракеты или процессы, протекающие в отдельных ее агре¬
гатах; рассчитать нагрузки, действующие на ракету в полете
и при старте; определить температурный режим элементов в
полете и т.д.
Решение всех этих вопросов базируется на номинальной
траектории ракеты, выполняемой как поверочно-проектировоч¬
ный расчет при выбранных (или заданных) конструктивных
параметрах ракеты.
Проведение подобного баллистического расчета и являет¬
ся основным содержанием курсовой работы.
В зависимости от особенностей задания подготовительная
часть работы и выбор формы траектории могут производить¬
ся по-разному, однако содержание курсового задания и этапы
работы остаются одинаковыми для любых вариантов заданий.
Первый этап работы заключается в определении конкрет¬
ных весовых и энергетических характеристик ракеты по за¬
данным в относительных величинах основным проектным пара¬
метрам.
На втором этапе, имея в первом приближении ожидаемую
дальность, определяем закон изменения наклона скорости к
горизонту для первой части траектории, чаще всего — для
1 ступени многоступенчатой ракеты.
Третий этап сводится к численному интегрированию урав¬
нений движения при заданном захоне изменения угла наклона
касательной к траектории на 1 ступени полета.
На четвертом этапе проводится расчет семейства траек¬
торий и отыскивается программа угла тангажа оптимальная
в смысле реализации максимальной дальности. Расчет про¬
водится по конечным формулам без численного интегрирова¬
ния уравнений движения.
5

Пятый этап - определение с помощью формул эллиптичес¬
кой теории полной дальности, высоты вершины траектории,
ментам начала свободного полета.
Шестой этап - построение графиков и составление таблиц,
иллюстрирующих основные результаты расчетов.
Седьмой этап - написание пояснительной записки к офор¬
мление задания.
Внимание! Нельзя приступать к выполнению зада¬
ния, не усвоив правил, данных в приложении 4.
Рассмотрим поэтапно основные особенности и порядок вы¬
полнения курсового задания на примере расчете траектории
двухступенчатой баллистической ракеты.
Заданы следующие основные проектные параметры ракеты
в относительных величинах:
1)	суммарный относительный конечный вес, равный прояз-
полного времени полета и производных от дальности по эл е-
ПОРЯДОК И ОСОБЕННОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ
ТИПОВОГО ЗАДАНИЯ
Первый этап
ведению относительных конечных весов ступеней,
' У Kfj >
(1)
2)	отношение относительных конечных весов ступеней
(2)
3)	начальное отношение веса к тяге 1 ступени
(3)
или начальная перегрузка 1 ступени
6

n»j = jr1— =	;	(4)
01	&0I	V0I
4) начальное отношение веса к тяге П ступени
V,- =	-Iй-	<»>
*„г
или начальная перегрузка П ступени
+7	-	Рп“	-	^	(й)
"пй	~ я	“ V _	(в'
(здесь тяга П ступени берется в пустоте).
5) Отношение удельных тяг в пустоте и на земле для
1 ступени
А,=	;	<т>
“ rv*oi
6) удельная тяга в пустоте для 1 ступени
V •	(8)
7) удельная тяга в пустоте для Г1 ступени
К
8) нагрузка на мидель
~~$~н
; (9)
р -	(10)
*м
или,что то же самое г отношение начального веса ракеты к
характерной площади, к которой отнесены аэродинамические
коэффициенты, в частности коэффициент лобового сопротивле¬
ния Сv ;
9; зависимость коэффициента лобового сопротивления от
чисел Маха ( М ), приведенная в приложении 2, и Рейнольдса
( Кб ) (хотя чаще вместо зависимости от числа Рейнольдса
используется зависимость от высоты полета) может иметь
вид
7

Сх=у(М,Яе) или с% = /(М,Ю .	(Ю
К перечисленным данным необходимо добавить еще одну ве¬
личину - отношение начальных весов ступеней
. ®ой
Л5=-д	 )	(12)
3 fr«r
без которой задача является неопределенной. Величина A3
зависит от ряда факторов, среди которых определяющими явля¬
ются относительный конечный вес	и	начальное отноше¬
ние веса к тяге ыа * ступени.
Величина Aj , как правило, задается непосредственно
или ее можно определить по формулам вида
С	(131
с заданными коэффициентами CL , & и С .
Заданные девять параметров вместе с зависимостью
“ / ( W » Ь ) вполне определяют двухступенчатую балли -
стическую ракету, если расчет траектории производится в от¬
носительных величинах.
Если же расчет проводится в абсолютных величинах, то
для перехода к ним задается абсолютное значение какого-ли¬
бо наиболее характерного параметра, например, начального
веса ракеты Qqj , тогда по зависимости 1-П2 легко определя¬
ются абсолютные величины всех нужных нам параметров ра¬
кеты.
Тяга на 1 ступени определяется из формулы (3)
p^=&oi"hL' (14)
Из формулы (12) определяется начальный стартовый вес
П ступени
Тяга в пустоте на ГГ ступени определяется из формулы
(5)	„
Рп
8

Из формулы (10) определяется площадь миделя
з =4^- •	(1?)
5м ри
При совместном решения (1) и (2), рассматривая ик- и
как искомые неизвестные, получим	'
(18)
(19)
lK5 = \
УкЕ у Xi ~ Si
Учитывая простые соотношения
hi
&к!
№ ffoB '
определяем конечные веса ступеней
&к£ ~ &ol ' У'кI '
^KS = &08 • Ц'кг ’	(21)
Вес конструкции,	отброшенной между 1	и	П	ступенями	поле¬
та
^отб? = GKl ~	'	<22-
Количество топлива, расходуемого на каждой ступени, полу¬
чаем по формулам
0«-0ох“<?к1 ’	(23)
0т = ha ~ 0т •	(24)
Удельную	тягу	на	земле для 1 ступени	определяем,	ксполь -
зуя соотношение (7)
0

УА nl
УЛ01
(26)
Для вычисления секундного расхода топлива £ пользуемся
зависимостью
* Рудп ' & 9
откуда
(гг
л I
01
Ув nj
УА01
ПО
УАЛи
(26)
Время работы двигателей на 1 и П ступенях;
< g*i
*К1“
ТГ1
1 &тй
^кп- "7— »
&п
здесь £ к п отсчитано от начала П ступени.
Для проверки проведенных вычислений рекомендуется вос¬
пользоваться следующими соотношениями:
(27)
W ^ 01 -Руд 01 * ^ ^ J1' kj ) '
*Kffe ^nfi ' “^УАПЯ # ^	*
(28)
Текущее значение веса ракеты определяется на основании за¬
висимостей :
&I = &ot ~ &I ' *1 >
(?С = Goa ~ 6ц ' iij >
(20)
где ij и Ьп имеют нулевые значения для начала каждой сту¬
пени. *
10

Разность между тягой в пустоте я тягой на земле со¬
ставляет высотный (или статический) добавок и равна по ве¬
личине произведении* площади выходного сечения сопла на
нормальное давление у поверхности земли р , т.е.
1о
(30)
Текущее значение тяги на 1 ступени вычисляется как
рт = р - s, p-~i— »	(3D
I	Гпт	й	р
0	Р
а на П ступени оно практически постоянно, так как весь-
ма мало и может	быть	принято	за	нуль.	Г0
Второй этап
Прежде чем начать расчет траектории, необходимо при¬
нять какие-то исходные положения, определяющие ее форму.
Стремясь обеспечить максимально возможную дальность
при заданных конструктивных параметрах ракеты, будем ста¬
раться получить в конце активного участка оптимальный, с
точки зрения эллиптической теории, угол наклона касательной
к траектории. Поскольку траектория еще не рассчитана и,
следовательно, в нашем распоряжении нет элементов конца
активного участка, этот угол первоначально можно опреде -
лить очень приближенно.
За исходную величину для определения оптимального уг¬
ла на данном этапе принимаем ожидаемую дальность полета,
которая должна быть известна, так как предполагается, что
нашему расчету предшествовал выбор основных конструктив¬
ных параметров ракеты, удовлетворяющих заданным летным
характеристикам. Нашим поверочно-проектным расчетом долж¬
но быть подтверждено соответствие заложенных исходных
данных ожидаемой дальности. Таким образом, ориентировоч¬
ное значение дальности считается известным, оно задается.
Полезно также задаться примерными величинами дальности
и высоты конца активного участка, пользуясь либо приблн -
женными методами, либо оценивая сравнительно с существую
щими образцами ракет.
Если такой возможности нет, то можно принять их рав¬
ными даже нулю, так как в тех пределах, в каких обычно
11

находятся эти величины, они относительно слабо влияют на
величину оптимального угла.
Итак, полагая, что известны ожидаемые ориентировоч¬
ные значения полной дальности L , дальности конца активно¬
го участка и высоты конца активного участка Н^ , по
формулам эллиптической теории определяем оптимальный
угол наклона касательной к траектории относительно мест¬
ного горизонта (см. Cl], стр.125-128, задача 3)
L -Ьк
Вл в Ъ .	(32)
и ? еоп* = -ft 	 ,
S м	R	COS	9C
где Гк = R + hK 9
ft - средний радиус Земли, равный 6371,1 км.
Необходимо учесть, что за время полета на П ступени
направление вектора скорости изменяется, наклоняясь ближе
к горизонту, если иметь в виду реализацию программ угла
тангажа, близких к оптимальным. Это объясняется тем, что
проекция силы тяжести на направление нормали к траектории
превышает по абсолютной величине соответствующую проек¬
цию силы тяги.
В зависимости от продолжительности П ступени, которая,
в основном, определяется значением , превышение угла
в конце 1 ступени над потребным оптимальным углом должно
составлять 5-10 , причем для гмалых'^пп (0,4-0,5) следует
ориентироваться на 5-6 , а для 'больших (0,7-0,8) - на 10-
12°.
Таким образом, угол наклона касательной к траектории
в конце 1 ступени должен составлять
еМ1 = е°пт + (б ч 12°).
Из практики известно, что получающиеся в подавляющем
большинстве случаев законы изменения программы угла тан¬
гажа от времени для ракет с самыми разнообразными конст-
, , лглвными характеристиками весьма близки к квадратной
параболе, проходящей через точки
при Ь = ii= 4 *- 10 сек l5 * в ;
при Ь = I Kj
12
(33)

Причем в последней точке в 0.
Параболу удобно представить в виде
= a(bur- t)2 + ь<ьк1-ь) + с
(34)
Использование начальных условий (33) позволяет определить
коэффициенты CL , Ь и С .
Из формулы (34) следует
т) = 2а(1к1 -1)+Ь •	(35)
Полагая ш 0 при t я iKj , находим, что Ь ■ 0. Далее,
поскольку 1?*= при { = JK7 , из (34) следует, что С = "$кГ
Используя условие	при	1 = 1^, находим, что
_ -Л
2 V|
а =
KI
Таким образом, имеем следующие две зависимости для угла
тангажа на 1 ступени (рис.1)'
О «г I ^ bi;
при
*«1-
s. -Т> .
Т?=77 ГГ* С^т-^Г+А,.
(36)
Рис.1. Программа угла тангажа для 1 сту-

Значение 11 выбирается, как указывалось, в пределах 4 *-
4-10 сек, причем тем меньше, чем меньше значение V01 •
Подобное изменение угла подобрано с учетом требо¬
вали равенства нулю углов атаки на протяжении всей 1 сту¬
пени за исключением небольшого участка от момента bi до
достижения скорости, соответствующей числам М *0,7 *-0,8.
На этом участке, вообще говоря, углы атаки могут до¬
стигать более или менее существенных величин (до 5-6 ),
однако в силу малости скоростного напора аэродинамическая
подъемная сила невелика. Тем не менее ее влияние по воз¬
можности учтено эмпирической зависимостью (86). На осталь¬
ной части траектории угол тангажа совпадает с иаправле -
кием касательной к траектории. Что касается учета влияния
углов атаки на величину продольных сил через коэффициент
лобового сопротивления С$ , то оно пренебрежимо мало вви¬
ду малости углов атаки, а также небольшой величины лобо¬
вого сопротивления сравнительно с тягой на этом начальном
участке.
Третий этан
Для расчета активного участка траектории используется
какая-либо одна из двух рекомендуемых систем днфферен -
цяальных уравнений движения (37) или (50), написанных в
стартовой прямоугольной системе координат при следующих
основных допущениях:
Земля - равноплотный шар с радиусом R * 6371,1 км и
массой М - 5,0763 *1024 к1;
управление движением ракеты относительно всех степе¬
ней свободы - 'идеальное*;
Земля вокруг оси не вращается.
Начало стартовой системы координат располагается в
точке старта, ось 'у ' направлена по радиусу Землн от ее
центра, ось *х 0 - по касательной к поверхности Земли в
точке старта в сторону цели (рис.2). При оговоренных выше
условиях траектория представляет собой плоскую кривую, а
уравнения движения в проекциях на касательную н нормаль
к траектории имеют вид

dv P cosoe-x ri •
Jf =  m	{	***•»	-
<LB
di
cty
(Li
da
di
74tT	'зйг °*	"	f'cos®h!
•o svnfl ;
v cose;
(37)
is

здесь Ь - время, отсчитываемое с момента старта;
Р - тяга двигателя;
)(	-	лобовое сопротивление атмосферы;
У - подъемная сила;
т - масса ракеты;
g - ускорение силы тяжести;
«у - скорость ракеты относительно принятой систе¬
мы координат;
6 - угол наклона скорости к горизонту точки стар¬
та;
бм- угол наклона вектора скорости к местному го¬
ризонту.
Из чертежа (рис.2) видно, что
р =	ем - е»	(38)
где а - центральный	угол,	охватываемый начальным и те¬
кущим радиусами, проведенными от центра Земли к ракете,
или угловая дальность.
Угол атаки
«е =	- е ;	(38)
с& +	Н)2 = х2 + (R +у)2	1	(40)
где h - высота ракеты над поверхностью Земли,
h = /х2 + (В + у)2' - К	(41)
Входящие в уравнения (37) члены определяются из следую¬
щих выражений:
У -	?.• Т- •	<42)
0
Здесь гп - тяга двигателя при его работе в пустоте;
- площадь выходного сечения сопла двигателя;
р и р	-	давление атмосферы на высоте	%	и	у	поверх-
0	ности Земли соответственно\
X =Cx,^'gM	=	• -~2 ■ Sm = —2&z	1— сж-о2	’	(43)
с	Го
0М - площадь миделевого сечения;
См “ коэффициент лобового сопротивления;
0	- плотность атмосферы на высоте h и у поверх-
♦ о	ности Земли соответственно^
16

y= c*q SM а =
s“ P. f
S„ ot	-y-	vy
4— C?K-lfi(44)
lo
Q06 - производная от коэффициента подъемной силы
по углу атаки^
m =	*	(45)
m0- начальная масса ракеты;
d*n
т -- —- - секундный расход массы,
d/i
Формула (45) записана в предположении постоянства се¬
кундного расхода массы:
/ Л
«-влтгпг) '	(46>
6 - ускорение силы тяжести у поверхности Земли,
0 Особенностью интегрирования системы уравнений (37) на
1 ступени полета является то, что закон изменения угла на¬
клона касательной к траектории по существу задан.
Выше было показано, что имеются все основания принять
0 = *$ на протяжении всей 1 ступени.
Таким образом, надобность в интегрировании второго из
уравнений системы (37) отпадает и остается
dv _ Р-Х л „, а .
di ~	»
d у
~сГГ = v
dx
= v cos -S
(47)
di
e - .
Кроме того, почте во всех случаях можно допустить сов-
местное интегрирование только первых двух уравнений систе¬
мы (47), считая их независящими от X .
17

Основанием для этого служит то, что углы 0М и (
можно приравнять друг другу, пользуясь малостью угла
сравнительно с самими углами 8 и бщ*
и 9
fВ + у
так как X почти всегда на два порядка меньше, чем Л .
Тогда допустимо написать
(48)
к первые два уравнения системы (47) становятся независя¬
щими от третьего. Интегрирование для третьего уравнения
сводится к вычислению интеграла
после окончания интегрирования первых двух уравнений си -
с темы.
При расчете траектории 1 ступени можно принятьНжу ,
что следует из (41), так как
Достаточно точно получается высота и при использовании
гриближекной зависимости
Ускорение силы тяжести не обязательно вычислять по
формуле (46). а можно брать из заранее заготовленных таб¬
лиц 0	»	допускающих линейное интерполирование между
соседними значениями (см.приложение 6).
Интегрирование должно проводиться до момента временя
J , в точности соответствующего концу 1 ступени I . Как
правило, этот момент не бывает кратным выбранному шагу
интегрирования, поэтому процесс интегрирования проводится
до ближайшего значения Ь , большего tKj . Элементы траек¬
тории для момента 1К- получаются квадратичным или кубичес¬
ким интерполированием между тремя или четырьмя последни¬
ми точками расчета. Наиболее удобно пользоваться второй
интерполяционной формулой Ньютона (см.приложение З.Т.
(40)
О
о
18

Этим заканчивается третий этап работы.
Вместо системы (37) на третьем этапе можно исполь¬
зовать систему уравнений движения в проекциях на оси X
и у стартовой системы координат;
dxР sos# - Xoos8 -ysin.6
dt
m
gsinp;
P aim?- Xsvnt? + Усобб
m
gcoep;
dy	...
—r~.— = v sin 0 ,
dt
-4f- = v eos 0 .
ci *
При тех допущениях, которыми воспользовались для упро¬
щения системы (37), можно систему (50) привести х виду
(50)
di
сИу
и~
dy
dl
dx _
(Р“Х) COST? _ X
= т	?	В
_ (P-X)Sim? _
m	5	’
= t) aim? ;
db
- -0 COS 1?
(•51)
и пользоваться ею при интегрировании уравнений движения
на 1 ступени полета.
Интегрирование рекомендуется проводить методом Адам¬
са или Рунге-Кутта.
Основные формулы даны в приложении 3. Бланки для ра¬
счета расписываются по форме, приведенной в приложении 5.
19

Четвертый этап
Расчет траектории П ступени. Траектория П ступени мо¬
жет быть рассчитана численным интегрированием системы
уравнений (37) или (51), если задана программа угла тан¬
гажа лНО • Лля отыскания оптимальной в каком-нибудь
смысле (например, максимальной дальности) программы тре¬
буется просчитать ряд траекторий, отличающихся друг от
друга за счет вариации программы угла тангажа.
Так, задача обычно и решается с применением вычисли¬
тельных машин, когда расчет нескольких десятков траекто -
рии никакой проблемы не составляет. Е курсовом задании мы
применим другой метод, позволяющий обойтись без числен¬
ного интегрирования уравнений движения. Принимаемые при
этом допущения несколько загрубляют окончательные резуль¬
таты, но все же точность этих расчетов вполне достаточна
не только для курсовых и дипломных проектов, но и для мно¬
гих инженерных расчетов.
Задача расчета траектории П ступени ставится так: за¬
даны* параметры движения в конце 1 ступени, они же являют¬
ся начальными для П ступени. Найти среди класса однопара¬
метрических (или двухпараметрических) программ угла тан¬
гажа такую, которая реализует максимум дальности,
На двухпараметрических программах мы свободны выби¬
рать начальное значение программы угла тангажа и угловую
скорость ее изменения на второй ступени. На одкопараметри-
ческих программах мы выбираем либо начальное значение
программы угла тангажа при заданной угловой скорости
(обычно принимаемой за нуль), либо при фиксированном на¬
чальном угле тангажа (который обычно выбирается совпадаю¬
щим с углом в конце первой ступени) ищем оптимальное зна¬
чение угловой скорости. Все дальнейшие указания мы дадим
для более общего случая двухпараметрических программ.
Формулы для более простых случаев легко получаются
из общих.
Уравнения движения на П ступени напишем при условии
отсутствия атмосферы, так как полет обычно происходит на
высотах более 40-50 км. Таким образом, пренебрегаем со¬
противлением воздуха, а тягу принимаем постоянной и рав¬
ной ее значению в пустоте.
В прямоугольных координатах (рис.З), начало которой
находится в точке старта, можно написать £4]:
20

m x ~ P oos^ — тб ;
my = P sin\^ “ *n S-
э у
(52)
0 = cu-ctg -r~ ;
or =y X2 + y* '
Я= у x2 +	+	у)	"	R	’
_ i m
P - ~ i ™ di ’
(53)
^ и ^	-	проекдии	ускорения	силы	тяжести	на	соответ¬
ствующие^ оси:
21

«X*
*2 Нй + у) У»2 + (В + у)2
* -	Я»	у
Х2 + а+у)2 уХ2 + а+у)2 1
Разложим g ^ и б в ряд Тейлора в окрестности нача¬
ла координат по степеням координат и ограничимся только
первыми членами в этих разложениях:
^C5C,y)=Lco,o:)+С?") х+ С а ) у+‘“;
*х	V	д	х	'о,о	Ч о у 'о,о
g (*»*) ®LC0,0) + (•7^~) )С+("Г1_)
*У	*У	V	3	X	/0,0	\	оу	^0,0	;
Проведя необходимые выкладки, получаем
(ЛиЛ /ЛЛ-0-
^ 3» hr, ~ г Ч Эу L
j Со.о)«о;
Далее обозначим
/*У?; Р^^ЪьЬтГ'СтГ^0)
и уравненяя (52) перепишутся так:
(54)
X +	-	с	соатЯ	=	о	;
(55)
у + | у Sw х?- = 0 -
Обозначая & = U , у =	»	можно	эти	два	уравнения второго
порядка записать как четыре уравнения первого порядка
и + <?2Х -рсо$чЯ=0; ^	(5в)
х - и - о ;	I
22

го - 2<[2у - р sin-d + g = 0;
v - го — 0.
(56)
Как видим, систему можно рассматривать как две неза¬
висимые системы, состоящие из двух уравнений каждая. Полу¬
ченные уравнения интегрируются в квадратурах, и мы полу¬
чаем
uK = u0 cos <[Ь\	+1	р	cos	a?'	cos cf (tK - Ь) di ;
bo •
t0
Ьц
vK = гу0 оЯ (vT | +J jo swi^cHltS"1
bo bo
I
%dl~JTT sb(^
i r	t*'*	f^K
\_щ$гп<{1 J +j p	ct$	J	I
j (57)
v —
•к ~
iTi
We shCf? +| pSin^
i-о h
J
Здесь интегрирование проведено от некоторой начальной точ¬
ки? г= ?0 до конечной точки Ь = На вид зависимости i£(?)
никаких ограничений не наложено.
Однако из решения вариационной задачи на максимум
дальности нам известно. что линейная программа угла танга¬
жа практически полностью реализует максимальную дальность.
2S

Поэтому мы положим, что
•О- - т?-к +■ ы (f к - Ь ) .
Тогда формулы (57) сводятся к следующим формулам:
uK = u0 cosl<^CiK-boy]^cos v“-KA - u>stn.x*KS “
--у(со2+?2)со$i}KD ;
гок-vj0 сЯСУ?1 $(lK-b0)~\+bin ч?к A + u cost>k5~
— ~2~ С^‘_2сГ2) $ш,тЯкБ- yy! ^ bh^yT(f	»
XK= x0 +■ Uo(tK~f-o)+C08^K5_OJSin^KI? ;
(58)
i	2
ук=уо + г<)0 (£<k~ +S vn £ + to oos i5-K.D - у gФк-i3) .
Здесь через A , В * Д обозначены интегралы
(58)
А =
Л
= j pin
v0
,tK
2 =j KaK-bfpdi
Закон изменения p(i) может быть любым. Если ограни¬
читься случаем одного скачкообразного изменения р (т.е. тя¬
ги к массы) в некоторой точке Ь * Ь± , а на участкаxl04l
0-й участок) st	(2~й	участок)	принять некоторые
постоянные разные для разных участков значения
24

где Oqi ~ вес в начальной точке расчета, т.е. в начале
1-го участка;
G02 - начальный вес после отброса конструкции, т.е. в
начале 2-го участка;
d&
-j- соответствующие весовые секундные расходы с
обратным знаком на каждом из участков, то ин-
теграмы А , £ и Д имеют следующие выраже¬
ния:
l-tt-lio
Г,.	\	1-сс,Ьк . i-ctjb0
5 =	^	i-Otili
l-CLz(.iK-tj)	 I	-l.
ln i-<x2(fK-*i> -I'
Л	I
(60)
h~>	]	-
] + 2 ^ST-'^}-
По полученным формулам проводим серию р>асчетов с
целью отыскания оптимальной программы. При этом пользу¬
емся одним из следующих трех возможных вариантов.

Первый вариант - рассматривается семейство однопара¬
метрических программ с постоянным значением программно¬
го угла на П ступени (рис.4).
= const
*KT(t0)	t
Рис.4. Семейство однопараметрических программ с постоян¬
ным значением программы угла тангажа.
Рекомендуется рассматривать 7	9	значений	углов,	от¬
личающихся от угла в конце 1 ступени как в большею, так и
в меньшую стороны. Шаг можно выбрать порядка 5 .
Второй вариант - семейство однопараметрических про -
грамм с постоянным начальным углом, линейно зависящих
от времени. Параметром является угловая скорость (см.рис5).
Рис.5. Семейство однопараметрических
программ,линейно зависящих от времени
с постоянным начальным углом.
26

Значения угловой скорости рекомендуется выбирать в
пределах
_
гтах — Ьк~ hi
> -
к 1
Ьк - bi
исследуя в этом интервале 7«-0 значений .
Третий вариант - семейство двухпараметрических про -
грамм, которое получается в результате варьирования как
начальным значением угла тангажа, так и углевой скоростью.
Параметры принимаются в тех же пределах, что и в преды¬
дущих двух вариантах.
Нели для каждого параметра принять 3 значения, то не¬
обходимо провести всего 9 расчетов, если принять по 4 зна¬
чения, то 16 расчетов.
В результате расчетов, проведенных на этом этапе, мы
получаем кинематические параметры в конце П ступени для
каждой из рассмотренных программ, т.е. , Ь0К , Хки у .
Далее по очевидным формулам рассчитываем скорость V ^	,
угол ее наклона к местному горизонту, дальность и высоту
конца активного участка:
= У и* +w2K'
®мк =	^	рк
бк = агс
h =
Я* = V ос*;
(62)
27

Пятый этап
Расчет дальности полета и других параметров эллипса.
Принимая параметры движения в конце активного участка за
начальные условия для участка свободного полета, на кото¬
ром с хорошей точностью справедливы формулы эллиптичес¬
кой теории, определяем для рассчитанного семейства траек¬
торий полную дальность полета. Для этого пользуемся сле¬
дующей последовательностью формул (см.Ш, стр.120+*123,за¬
дача 1):	ч
Максимальную дальность лучше всего определить графи¬
чески, построив ее в зависимости от исследуемого парамет¬
ра программы (рис.6). Наиболее вероятно, что ни одна из
рассчитанных дальностей не окажется совпадающей с макси¬
мумом построенной кривой.
В этом случае из графика находим оптимальное значение
параметра нашей программы, соответствующее максимуму
дальности. Для этой точки вновь повторяем четвертый этап и
расчеты по формулам (63) пятого этапа. Далее определяем
ряд дополнительных характеристик траектории, исходя из фор-
К = ум =M620*’fcei<l ’
гк= К + Ик i
2) а = 2R(i + tg20M)-(rK + R)VK ;
3) ъ - vK я tg 0М ;
(63)
+) с = vk(pk-b) =vK ;
6)	Ь—tK + p(,'R •

и	ло	*5	30	55
Рис.6. Зависимость дальности от углах) .
мул эллиптической теории (см. D3 ,	стр.133 *- 140, зада¬
ча 6):
1) р = VK‘ Гк COS2 9м	“	параметр эллипса;
2) б = /i-(2"Vk) VK C0S20m '	“	эксцентриситет;
3)	Dc = V —=- -C	-	незаторможенная
f а	скорость	у	поверх-
ности Земли.
Зд*“	.	.	ва-еЪ
Vc - 2	$
(64)
/—Р	1
т) COS 0wo = 1/ ——г5—	-	угол встречное по
/ JVNC If Vr Я	Ъерхностью з
ерхностью Земли для
незаторможенной траек¬
тории. (Угол 9 мс берет¬
ся^ в четвертой четвер-
. Р I Р 1 / arc cos	+ arc cos
*> i'=r^-y—c—y;_^. ^
^ ®mw ~ бмс I время полета на сво-
°	)	бодном участке
траектории;
20

$)	т = £к+	-	полное	время полета;
Г
Т)	Г, = Л к .—	+ 6)	-	радиус	вершины
*	2	V ^	траектории;
8)	Нт = Г. - R	-	высота	в вершине
"	траектории;
O0S 0мк
У у V* =	,	  -	скорость в вершине
*	+ £	траектории:
iO) h~
- время полета на сво¬
бодном участке до
вершины траектории;
I "Vk
arc cos —g—	^
(64)
Ifl	=	+	”	время	полета	от стар-
В *	^	та	до	вершины	траек¬
тории.
Далее вычисляются производные от полной дальности по¬
лета по начальной скорости, начальному углу наклона скоро¬
сти и начальной высоте полета (см. [О, стр.129	133,	за¬
дача 5)
1L--
vK+ -Щ- (i Hg2 емк) sin2 -у- ■ tg
2-М— — ft
vK(rK-a + Rtg0MK-^-^')

Ji— = 2 п‘
д бмк
(i+^26MK>(VK-2tg0MIC4g Дг)&т,2 -^г-
V к (rK - R, + & fy} 0МК "Is- )
►(65)
Шестой этап
На шестом этапе готовится иллюстративный материал,
наглядно представляющий результаты проведенной работы.
Здесь прежде всего должны быть построены следующие гра¬
фики:
1. У ® / ( х) - траектория активного участка с размет¬
кой времени на ней (1 ступень);
2. гГш /( Ь ) - скорость полета;
3.	/	(	&	)	-	касательное ускорение;
4. Р = / (	£	)	-	тяга двигательной	установки;
5. Кв/( £ ) - лобовое сопротивление воздуха;
6.	/	(	£	)	-	скоростной напор;
7.	/	(	£	)	-	угол тангажа.
Графики 2 и 3 могут быть совмещены на одном листе.
Также могут быть совмещены графики 4,5 и 6. Графики долж¬
ны быть представлены на миллиметровке формата &Ъ
Все масштабы должны соответствовать рекомендации
ГОСТа.
В расчетные бланки, содержащие результаты численного
интегрирования траектории, должны быть включены промежу¬
точные результаты вычислений.
Точность всех промежуточных вычислений так же, как и
точность всего расчета в целом, должна выбираться в соот¬
ветствии с точностью исходных данных и конечных результа¬
тов.
Количество значащих цифр в каждом действии должно
строго соблюдаться, исходя из основных правил приближен¬
ных вычислений.
Седьмой этап
Выполнение задания завершается написанием пояснитель¬
ной записки, в которой излагается содержание и результаты
31

всей работы. В записке должны содержаться исходные дан-
дые для расчета, уравнения движения с краткими пояснения¬
ми по каждому из характерных участков, конечные резуль¬
таты по каждой ступени и траектории в целом, интерполя¬
ционные формулы, по которым проводилось интегрирование,
формулы эллиптической теории, использованные в расчетах,
пояснения по особенностям расчетов.
Желательно дать также краткий анализ полученных ре¬
зультатов. Пояснительная записка брошюруется вместе с ра¬
счетными таблицами.

Приложение/
Перечень заданий на курсоЬую работу
N
пп.
РуЭщ
сек
РуЭп!
сек
о
Л
V*5
V - ^чЭпг
V - -G Oi
1?М1
КГ/м2
^ ожид
moic. км
ОХ
ni
8 Р
*удо1
U0I
1
310,0
310,0
0,0800
0,6000
0,6000
1,500
1,180
0, 2740
10 ООО
5,5
2
я
320,0
я
II
II
л
»i
«
6,0
3
»
330,0
II
II
л
л
я
л
6,5
А
II
ЗАО,0
>|
II
II
V
я
ii
л
7,5
5
”
350,0
”
II
я
ч
"
ii
я
8,5
6
„
330,0
0,0900
II
1»
V
0,2960
11
5,0
7
п
и
0,0850
II
и
11
я
0,2850
11
6,0
8
п
п
0,0750
II
л
II
я
0,2620
я
7,5
9
п
*
0,0700
II
”
II
0,2500
я
9,0
<0
II
п
0,0800
0,4000
II
И
„
0,2640
71
6,5
И
я
>1
н
0,5000
и
II
и
0,2700
п
6,5
12
п
11
»»
0,7000
п
II
я
0,2770
II
6
13
”
>1
”
0,8000
»
я
»
0,2790
II
6
14
я
„
и
0,6000
0,4000
„
11
0,2740
Я
6
«5
и
и
II
0,5000
II
ч
я
II
6
16
И
*1
и
II
0,7000
п
п
n
II
6
17
п
0,8000
п
”
”
я
6
15
„
I,
0,6000
1,000
я
0,2070
и
6
19
я
11
п
II
я
1,250
I»
0,2420
я
6
20
Я
11
II
II
II
1,750
я
0,3030
11
6
21
"
”
*
”
”
2,000
У
0,3300
»
6
22
„
„
„
„
„
1,500
1,080
0,2740
„
6
25
я
я
я
II
и
»
1,130
У
>1
6
24
It
ч
я
II
и
„
1,230
»
„
6
25
”
л
"
я
”
1,280
”
6
26
„
II
„
II
„
„
1,180
е ооо
6
27
II
ч
II
II
ч
и
и
и
8 ООО
6
25
»
•1
II
11
II
я
я
я
12000
6
29
*
п
И
11
"
и
я
”
14 ООО
6
50
320,0
350,0
„
„
„
II
„
я
10 ООО
8,5
31
330,0
я
п
II
II
II
и
11
11
9
32
340,0
и
п
и
ч
II
л
11
II
9,5
33
35 0,0
И
”
”
"
”
”
я
я
10,5
ЗА
230,0
32 0,0
0,0700
0,500 0
0,3000
1,300
1,120
0,2250
„
5,5
35
240,0
11
и
ч
•1
н
ч
я
я
6,0
36
250,0
и
я
ч
п
и
я
ч
я
6,5
37
260,0
п
и
и
И
я
я
я
я
7,0
35
270,0
п
II
и
II
ч
я
я
ii
7,5
39
280,0
11
II
н
л
п
И
я
и
8,0
АО
290,0
II
н
ц
и
я
*»
я
я
8,5
41
300,0
"
”
И
”
”
я
”
"
9,0
42
26 0,0
260,0
п
II
„
я
II
я
»
4,5
АЗ
»
270,0
п
и
я
я
II
II
ii
5,0
44
я
280,0
II
п
и
и
я
Я
я
5,5
45
>?
290,0
М
и
п
я
II
II
Я
6,0
46
п
300,0
11
и
п
II
я
Я
Я
6,5
47
"
310,0
II
"
II
"
"
я
7,0
48
»>
280,0
0,0600
л
II
11
11
я
$5
49
я
И
0,0650
II
п
II
я
я
11
6,0
50
п
п
0,0750
II
||
II
11
п
11
5,0
51
1»
0,0800
II
я
я
11
Я
II
4,5
32
II
ч
0,0850
И
»|
II
и
II
11
4,0
53
Я
ч
0,0900
*
1/
II
И
11
"
3,5
54
II
»
0,0700
0,3500
и
II
>1
я
Я
5,5 \
55
»
п
и
0,4000
я
»
«
Я
11
У
36
„
II
II
0,4500
л
II
11
11
11
п
37
1,
и
II
0, 5500
II
Ч
11
11
я
11
55
И
II
it
0,6000
11
я
II
я
II
59
».
II
и
0,5000
0,2000
II
11
II
II
II
60
п
II
п
0,2500
я
я
я
я
11
61
11
II
II
it
0,3500
я
11
11
я
11
62
п
11
и
п
0,4000
II
я
11
1)
я
63
п
11
II
II
0,4500
я
я
11
11
11
64
11
II
я
II
0,5000
II
11
я
11
65
V
II
и
II
0,3000
1,000
я
11
1,
11
66
я
II
и
п
II
1,100
я
II
Я
п
07
II
11
я
•I
»
1,200
я
Я
я
п
65
II
II
II
и
и
1,400
я
я
я
”
69
я
II
II
п
я
1,500
11
я
II
и
70
п
II
п
п
”
1,600
"
я
я
я
71
II
II
II
II
я
1,300
1,060
II
я
11
72
V
II
||
и
ч
я
1,080
11
я
я
73
и
11
н
л
п
и
1,100
11
71
74
II
я
Я
л
11
я
1,140
Я
Я
11
75
II
п
п
11
»
1,100
я
я
11
76
»
II
л
11
"
п
1,150
11
II
11
77
II
я
И
11
II
я
1,120
0,1700
11
11
76
Я
11
н
11
я
я
я
0,2100
•1
И
79
11
II
п
II
я
Я
я
0,2500
я
II
80
11
ч
/1
11
я
п
я
0,2900
>1
II
81
п
п
п
71
II
п
я
0,3300
V
11
82
11
II
и
11
„
„
11
0,2250
6 ООО
II
83
„
II
я
II
я
„
It
я
8 ООО
11
84
II
II
II
Я
II
и
11
я
12 ООО
п
85
II
|/
ц
II
я
я
II
я
14 ООО
п

Приложение
33
Зависимость коэффициента аэродинамического сопротивления от числа Маха и высоты.

Приложение 3
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ
ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Метод Адамса.
Формула горизонтальной строки
аум.=^суп+т ^ 'hr*
Формула ломаной строки
дун=ясу,п+тау;-1га2у;_г-^^ у;_2).
Формула наклонной строки
Во всех формулах Д Уп - приращение интеграла за один
шаг интегрирования И
Я X ^ ^ ~~ & yi — X ^ X ft— £ — • • . = Ху “ Xq — С0УЪ$Ь *
Последующее значение интеграла равно
Ум = АУп ■
Вычисление конечных разностей производится следующим
образом
Т а б л и и а
X
У
уг
Ду'
i 2 г
Д у
А3 у'
А у
П-,5
Уп-{
Уп-з
ау;.з
А?Уп-з
Ау
^ fV-3
и П- 2
Уп-2
У«--2
*уи
&п-г
34

Продолжение
У n-i

Ci
AV
^ <n-i
	1
Хп
Уп
^'п
kZ г
А Ун
ЬУп
/ +i
Уп+i
У П+1
Ду'
Д2у'
^ УH+i
В этой таблице разность fc -того порядка определяется
из
А* г	г
А у = А у “Д У
При определении разностей первого порядка ( 1с ** 1) опе¬
ратор	следует	рассматривать как единицу.
Метод Рунге-Кутта;
У/ */^«’	’
У^“/С(х« + ь) , (i/n+ У/[/Я)П >
АУМ= y«+i-yn = T(y/ + 2i/5+2y* + i/P ’
Я =	шаг	интегрирования	(может	быть	перемен¬
ным).
Метод Эйлера
Уп+i = Уп+Уп&к'УнУЬ <
^n+i “Х^=Я-* шаг интегрирования.
35

Вторая интерполяционная формула Ньютона
Вторая интерполяционная формула Ньютона, написанная
для проведения расчета с учетом третьих разностей, соответ¬
ствует кубической интерполяции, т.е. предполагает прохожде¬
ние функции через 4 заданные точки и записывается в виде
р (I) — Уп + (f	^	2\	^	Уп-2^
3!	Л
Значение аргумента, при котором ищется функция, распо¬
лагается между последним значением Ьп и предпоследним
_г ^ - bn	(б)
i = —й—»
Н - разность между равноотстоящими значениями I или для
нашего случая - шаг интегрирования. Значения конечных раз¬
ностей первого, второго и третьего порядков берутся из таб¬
лиц расчета траектории или определяются на их основе.
Легко видеть, что в формулу входят разности, состав¬
ляющие элементы наклонной строки с некоторыми коэффици¬
ентами, зависящими только от заданного значения Ь » на ко¬
торое производится интерполирование, и от шага интегриро¬
вания Я .
Эти коэффициенты одинаковы для любых параметров, опре¬
деляемых для заданного момента I , но таблица конечных
разностей должна определяться для каждого параметра от¬
дельно.
При квадратичном интерполировании формула ( CL ) приме¬
няется без последнего члена.

Приложение 4
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРАВИЛАХ
ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Поскольку вычисление траектории ракеты, как и лнЬбой
прикладной технический расчет, не может производиться
абсолютно точно, да и нет в этом никакой необходимости, мы
должны иметь в виду определенные правила такого рода при¬
ближенных вычислений и постоянно ими руководствоваться.
Для того, чтобы расчет был выполнен технически грамот¬
но, необходимо избегать как излишней точности вычислений,
так и недостаточной точности. В силу этого, а также и по¬
тому, что сложность теории движения баллистической ракеты
требует весьма аккуратного обращения с вычислительным ап¬
паратом, мы сочли необходимым настоящее пособие снабдить
приложением, содержащим некоторые наиболее нужные сведе¬
ния из правил приближенных вычислений.
Точность, с которой мы хотим получить конечный резуль¬
тат, и точность исходных величин и формул, используемых в
расчетах, должны соответствовать друг другу.
За меру точности принимается относительная погрешность,
которая представляет собой отношение абсолютной погрешно¬
сти к самому значению величины.
Относительная погрешность является отвлеченным чис¬
лом, причем точность тем выше, чем меньше относительная
погрешность.
Числа принято записывать так, чтобы сама запись поз¬
воляла судить о степени точности чисел. Для этого необхо¬
димо число записывать таким образом, чтобы в нем все зна¬
чащие цифры, кроме последней, были верны, и лишь послед¬
няя цифра могла считаться сомнительной и притом не более,
чем на половину единицы.
Значащей цифрой приближенного числа называется всякая
цифра в его десятичной записи, отличная от нуля, и нуль.ес-
ли он содержится между значащими цифрами или является
представителем сохраненного разряда. Все остальные нули,
37

входящие в состав приближенного числа и служащие лишь
для обозначения десятичных разрядов, не причисляются к
значащим цифрам. В соответствии с этим в числе 0,00030500
первые четыре нуля не являются значащими цифрами, а
остальные три нуля являются значащими цифрами. Если в
этом числе последний нуль или последние два нуля не явля¬
ются значащими, то оно должно быть записано соответствен¬
но как 0,0003050 или 0,000305. Отсюда видно, что числа
0,000305; 0,0003050, или 0,00030500 не равноценны, так как
обладают различной степенью точности.
Запись чисел, содержащих большое количество незнача¬
щих нулей, удобно вести, выявляя десятичный порядок числа.
Например, 1,860*10^ (если имеем четыре значащих цифры), а
не 1 860 000, так как в последнем варианте записи могут воз¬
никнуть неясности относительно количества значащих цифр.
Точно так же рекомендуется писать числа, меньшие единицы
по абсолютной величине: 1,35* 10” , а не 0,00000135.
Термин fb "верных знаков" не следует понимать бук¬
вально. Несмотря на то, что приближенное число 9,995, за¬
меняющее точное число 10, не содержит ни одной цифры, сов¬
падающей с цифрами точного числа, оно тем не менее имеет
три верных знака.
В вычислениях часто бывает необходимость в замене од¬
ного числа другим числом, содержащим меньшее количество
значащих цифр, но по возможности близким к первоначально¬
му числу. В таких случаях прибегают к округлению по сле¬
дующему правилу: чтобы округлить число до ^ значащих цифр,
отбрасывают все цифры его, стоящие справа от +г -й знача¬
щей цифры. При этом:
а) если первая из отброшенных цифр меньше 5, то остав¬
шиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;
б) если первая из отброшенных цифр больше 5, то к по¬
следней оставшейся цифре прибавляется единица;
в) если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди
остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то послед¬
няя оставшаяся цифра увеличивается на единицу;
г) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все
остальные отброшенные цифры являются нулями, то послед¬
няя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она чет¬
ная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (прави¬
ло четной цифры).
38

Надо помнить, что точность приближенного числа зави¬
сит не от количества значащих цифр, а от количества вер¬
ных значащих цифр. В тех случаях, когда приближенное чис¬
ло содержит излишнее количество неверных значащих цифр,
прибегают к округлению, руководствуясь следующим практи¬
ческим правилам: при выполнении приближенных вычислений
число значащих цифр промежуточных результатов не должно
превышать числа верных .цифр более, чем на одну или две еди¬
ницы. Окончательный результат может содержать не более,
чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верны¬
ми.
При различных арифметических операциях над приближен¬
ными числами следует исходить из определенных правил вы¬
числения.
1.	Суммирование
Абсолютная погрешность алгебраической суммы несколь¬
ких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных
погрешностей этих чисел. Предельная абсолютная погрешность
суммы не может быть меньше предельной абсолютной погреш¬
ности наименее точного из слагаемых.
Отсюда следует такое правило для сложения чисел раз¬
личной абсолютной точности:
1) выделить числа, десятичная запись которых обрывает¬
ся ранее других, и оставлять их без изменения;
2) остальные числа округлить по образцу выделенных,
сохраняя один запасной десятичный знак;
3) произвести сложение данных чисел, учитывая все сохра¬
ненные знаки;
4) полученный результат округлить на один знак.
Пример сложения чисел различной абсолютной точности
Порядковый
номер числа
Данные
числа
Порядковый
номер числа
Данные
числа
0,348
0,1834
345,4
235,2
11,75
9,27
0,0849
3
4
5
6
1
2
7
Сумма
345,4
235,2
11,75
9,27
0,35
ОД 8
0,08
602,23
39

При вычитании двух бшзких чисел происходит потеря
точности, т.е. относительная точность разности ухудшается
на несколько порядков. В таких случаях необходимо преобра¬
зовать выражения до вида, при котором указанный недоста¬
ток не проявляется. Например, найти разность и
с тремя верными знаками.
Проводим преобразование
Ч = V2J0? -	( У21Г-/2М
YTpv +ут
	OjOl		ож_вож =	з153.10-з
Уг.ОГ+уТ 1,42+1,41	2,83
2.	Произведение
Относительная погрешность произведения нескольких
приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы
относительных погрешностей этих чисел.
Предельная относительная погрешность произведения рав¬
на сумме предельных относительных погрешностей сомножи¬
телей. При умножении приближенного числа на точный множи¬
тель Тс относительная предельная погрешность не изменя¬
ется, а абсолютная предельная погрешность увеличивается в
к раз.
Относительная погрешность произведения не может быть
меньше, чем относительная погрешность наименее точного из
сомножителей.
Чтобы найти произведение нескольких приближенных чи¬
сел с различными числами верных значащих цифр, достаточ¬
но:
1) округлить их так, чтобы каждое из них содержало на
одну цифру больше, чем число верных цифр в наименее точ¬
ном из сомножителей;
2) в результате умножения сохранить столько значащих
цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из со¬
множителей. Например, даны Х^« 2,5; Хд® 72,397, верных в
написанных знаках
2,5-72,4 - 181 « 1,8-ю2.
40

Вообше надо пользоваться правилом: число верных знаков
ведения небольшого числа сомножителей (до десяти) мо¬
жет быть на одну или две единицы меньше числа верных
знаков в наименее точном из этих сомножителей,
3.	Частное
Относительная погрешность частного не превышает сум¬
мы относительных погрешностей делимого и делителя. Общее
поавило по определению числа верных знаков такое; частное
от деления К на у , имеющих по меньшей мере m верных
цифр, имеет по меньшей мере m -1 верных знаков, если
первые значащие цифры делителя и делимого больше или рав¬
ны 2, и по меньшей мере ууъ —2 знаков, если какое-либо из
чисел X или у своей первой значащей цифрой имеет 1.
4.	Степень и корень
При возведении в степень и извлечении корня следует
иметь в виду, что предельная относительная погрешность
yyv -й степени числа в m раз больше предельной относи -
тельной погрешности самого числа. Предельная относительная
погрешность корня т -й степени в vn раз меньше предель¬
ной относительной погрешности подкоренного числа.
При извлечении квадратного корня подкоренное количест¬
во и результат имеют примерно одинаковое количество вер¬
ных знаков.
В большинстве случаев вычисления производятся без точ¬
ного учета погрешностей. Чтобы не делать грубых ошибок,
рекомендуется придерживаться следующих общих правил:
1. При сложении и вычитании приближенных чисел млад¬
ший сохраненный десятичный разряд результатов должен
являться наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых
последними верными значащими цифрами искомых данных.
2. При умножении и делении приближенных чисел в ре¬
зультате следует сохранить столько значащих цифр, сколько
их имеет приближенное данное с наименьшим числом верных
значащих цифр.
3. При возведении в квадрат или куб приближенного чис-
в результате следует сохранять столько значащих цифр,
сколько верных значащих цифр имеет основание степени.
41

4. При извлечении квадратного и кубического корней из
приближенного числа в результате следует брать столько
значащих цифр, сколько верных цифр имеет подкоренное чис¬
ло.
5. Во всех промежуточных результатах следует сохра -
нять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие
правила. В окончательном результате эта "запасная" цифра
отбрасывается по правилам округления.
6. При вычислениях с помощью логарифмов рекомендует¬
ся подсчитать число верных значащих цифр в приближенном
числе, имеющем наименьшее число верных значащих цифр, и
воспользоваться таблицей логарифмов с числом десятичных
знаков, на единицу большим. В окончательном результате
последняя значащая цифра округляется.
7. Если данные можно брать с произвольной точностью,
то для получения результата с к, верными цифрами исходные
данные следует брать с таким числом цифр, которые соглас¬
но предыдущим правилам обеспечивают к +1 верную цифру в
результате.
Если некоторые данные имеют излишние младшие деся -
тичные разряды (при сложении и вычитании) или больше зна¬
чащих цифр, чем другие (при умножении, делении, возведении
в степень, извлечении корня), то их предварительно нужно
округлить, сохраняя одну запасную цифру.

Приложение 5
ПРИМЕР ТИПОВОГО РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИИ
Заданы следующие исходный данные, по которым необхо¬
димо рассчитать траекторию двухступенчатой баллистической
ракеты с начальным весом 75 ООО кг:
Коэффициент аэродинамического сопротивления С^(М,Н)
определяется по зависимости, заданной приложением 1.
Ожидаемая дальность L ж 8000 км.
На П ступени выбрать оптимальную в смысле обеспече¬
ния максимальной дальности программу угла тангажа из се¬
мейства программ с постоянным значением угла на П ступе¬
ни.
I.	По соотношениям (14)	(31) определяем абсолютные
величины исходных параметров ракеты к получаем (см.табли-
,РуД nj * 325,0 хГ сек/кГ;
Р, _ = 345,0 кГ сек/кГ;
* 0,08000;
рм. - 110 000 кг/м2.
V„r = 0,6500;
V п jj “ 0,7500;
Aj = 1.400;
А*2= 1.250;
А3= 0,2750;
цу)
Таблица
Параметры
Значения
Параметры Значения
75 000 кг
20 625 кг
115380 кг
144 280 кг
27 500 кг
443,8 кг/се к
79,70 кг/сек
^*1
^к1
25 100 кг
4 929 кг
28 850 кг
0 ,3347
0,2390
8,818 м2
43

i kj * 112,44 сек,
Ь196,90 сек.
П. Определяем приближенное значение оптимального уг¬
ла по формулам (32).
Для этого задаемся приближенно высотой конца активно¬
го участка 300 км, дальностью активного участка 600 км.
Получаем
- 27°22г ,
Прибавляя 10°, для конца 1 ступени задаемся углом
ем1 г tfkI- 37°22\
bi задаемся равным 8 сек.
По зависимости (36) вычисляем (I ) - для 1 ступени
(см.бланк расчета траектории, графа 3).
Ш. Интегрируется система (47) до момента Ь я 116 сек
(бланк расчета прилагается). По второй интерполяционной
формуле Ньютона (см.приложение 4) проводится интерполиро¬
вание основных параметров движения на значение
£ = Ьк1 - 112,44 сек.
1У. Принимаем для расчета П ступени следующие углы
тангажа, отличающиеся от угла в конце 1 ступени на: -15 ,
-10°, -5°, 0°. 5°, 10°, 15°; т.е. ■& - 22°22f ; 27°22'; 32°2i/;
37°22 ; 42°22'" ; 47°22' ; 52 22'.
По формулам (59)-(62) проводим расчеты по определению
параметров движения в конце П ступени (см.бланк расчета).
У. Проводятся расчеты дальности полета по формулам
эллиптической теории (63) для заданных программ угла тан¬
гажа. Результаты расчетов приведены на бланке и построены
на рис.6. Максимальной дальности соответствует угол танга¬
жа * 27 '22^, для этого угла производится окончательный
расчет дальности и характерных параметров траектории по
формулам (64).
Окончательные результаты расчета следующие:
Ьк = 708,0 км;	^	1501,8	сек;
tCB*7246,5 км;	Т	88	1811,1 сек;
L *7954,5 км;	=	685,1	сек;
44

Бланк рос*
1
h
CoS&n
Сп
A.£Lr*
2 A U
X
■£
Р
Р-Х
т
РОС
т
1
г
3
Ч
5
6
7
8
9
10
и
...'г
13
/V
1C
16 '
0
о
90° ОО'
1,00000
0
а
U,2450
1,0000
0
0
1,0000
28650
*15380
115380
*2
7645,26
	LS
15.09
г
0
*
If
"
о,оз
"
1.0000
7
10
1,0000
28850
1*5380
115370
7554, 78
15.27
0
0
*
*
»
0
"
1,0000
0
0
1.0000
28850
1153Q0
115380
7645,26
15,09
2
и
«
ч
•
0,03
*
0,9990
7
10
0^987
28810
115420
115410
7554,78
13,28
ч
чз
V
ч
п
0.06
■
0,9958
30
50
0,9949
28700
115530
115470
7464,30
15,47
0
0
f
»
ч
0
0,2450
1,0000
0
0
1.0000
28850
1*5380
115380
7645,26
15,09
2
/1
п
я
и
0,03
9
0S99O
7
10
0,9987
28810
1/5420
1*5410
7554,78
15.28
4
43
•
я
и
0,06
Я
0/9958
30
50
0,9949
28700
/15530
115480
7464,30
15,47
6
98
•
н
ч
0,10
Я
0,9905
60
120
0.9885
28510
1*5720
/15600
7373,83
15,68
в
111
«г
и
"
0,13
я .
4983/
127
210
0,9794
28250
05980
115770
7263,35
15,89
Ю
280
66° ОО1
0,999391
0,034899
0,17
II
0,9733
г 03
340
0,9674
27910
1/6320
//5980
7192.87
16,13
12
409
86е 03'
0,997625
0,068886
0,21
я
0,96/2
3 00
500
0.9527
27480
/16750
П62ЭО
7102,40
/6,37
/4
56 3
84е 07’
4994733
0,102503
0,25
1#
0,9469
419
700
0.9353
26980
117250
116550
7011,92
16,62
16
пчч
82°15'
0,99087
0,13485
0,29
я
0,9303
561
940
(4915 3
26400
07830
//6090
6921,44
16.89
1в
952
80*24'
0,98600
0,16677
433
II
0.9115
725
1210
0,8927
2S75Q
И8 480
117870
6830,97
17,17
20
1189
78° 36'
0.98027
0,19766
0,38
я
0,8904
9/5
530
0.8672
25020
119220
117690
6740,50
/7,46
20
1189
78*36'
0,98027
0,19766
0,38
0,2450
0,8904
915
1530
0.8672
25020
119220
117690
6740.50
/7,46
?4
1750
75*07'
0,96645
0,25695
0,48
0,2450
0,8420
1366
2280
0/8099
23360
120870
48590
6559,55
18,08
гв
2437
71*46'
0,94979
0,31289
0,59
0,2400
0,7855
1907
3120
0,7438
2/460
122770
119650
6378,60
/8.76
32
3 250
68*35'
0,93095
0,365/5
0,72
0,2400
0,7228
2533
4140
0,67/5
19360
124870
120730
6/97,64
<9.48
36
4202
65-34’
0,9/044
0,4/363
0,86
0,2615
0,6539
3204
5840
0,5937
17130
127100
121260
60/6,69
20,15
40
5291
63*4/'
0,88848
0,45891
1,02
0,4750
0,58/7
3857
12490
0,5/43
14840
129400
116910
5835,74
20,03
*4
6512
59*58'
0,86573
0,50050
1.17
0,4925
0,5082
4386
14730
0.4357
12570
131660
/16930
5654,78
20,68
48
7867
57*24'
0.84245
0,53877
/.36
0,4575
0.4352
4862
15170
0,360/
10390
133840
//8670
5473,83
21,68
52
9368
55*00'
0.81915
0,57358
/,58
0,4000
0,3643
5237
/4280
0,2893
8340
135890
121610
5292,88
22,98
56
11014
52*44'
0.79583
0,60553
1.81
0.3550
0,2927
5392
13050
0,2256
6510
137720
124670
5/11,92
24,39
во
I2Q25
50*38*
0,77310
0,63428
2.05
OJ200
0,2225
5219
11390
0.1706
4920
139310
127920
4930,97
25,94
64
14611
48*4/'
0,75107
0,66022
2,31
0,2875
0,1638
4873
9550
0,1256
3620
1406Ю
131060
4750,02
27,5S
68
16981
46*54'
0,73016
0,68327
2,59
0,2625
0,1172
4397
7870
0,06989
2590
/4/640
/33770
4569,06
29,28
73
1 193 46
4545'
0,7/019
0.70401
2.90
0,2450
0.08136
3823
6390
0,06241
1800
142430
/36040
438", Г
31,00
76
21919
4 2*4б'
0.69172
0,72216
3,24
0,2275
0,05471
3200
4960
0/04197
1210
145020
138060
4207,16
32,81
30
24 718
42*27'
0,67495
0.73787
3,60
0,2100
0,03552
2570
3680
0,02724
7 90
143440
139760
4026.21
54.71
84
27753
41*16'
0,65956
0.75165
3,99
0,2025
0/72224
1977
2730
0,01706
4 90
143740
141010
3845. 25
36,67
аа
зючо
40*15'
0,64612
0,76323
4, 4/
0,1925
0,01340
1455
1910
0.01028
300
143930
142020
3664,30
38,76
.92
34605
39*23'
0,63451
0,77292
4,76
0,1850
0.00747
985
1240
0,00596
170
144060
142820
3483,35
41,00
96
38466
звсчо'
0,62479
0,78079
4,99
0,1850
0,00394
628
790
0,0034?
too
100130
143340
3302,39
4 3.4/
юо
42651
38*07
0,61726
0.78676
5,23 !
0,1900
0,00210
чоз
520
0,00203
60
144П0
143650
3/21,44
4б,ог
104
4719?
3 7643'
0,61176
0,79105
5,46 !
0,1975
0,00112
257
350
0,00119
30
144200
143850
2940,49
"8,92
108
52137
37*28'
0,60830
0,79371
5.8/ |
0,2075
0,00063
173
240
0,00070
20
/44210
143970
2759,64
52.17
112
1/2,44
57522
58144
37*22'
37*22'
0,60691
0,60691
0,79477
0,79477
6.34
I
0,2200
0,00036
118
180
0,00039
10
/44220
144040
2578,58
2556,68
55.86
w /правк/лсрии для / с/гм/лени
9
dir
di
4 Г
Д*Г
&ir
гг
дГ
2 Л
V
24
du
Ж~
ДУ
8*0
2 7
28
дУ
29
У
30
с/х
di
дХ
п
ДгХ
j*
ЛАХ
ДХ
X
Ah
п
9,810
'6 1
9/81
5,28
го
0.18
10,6
О
.
0
Ш—j
10,6
0
0
О
	is
	ij
	ift
0,810
9.81
5.46
/0,6
10,6
0
О
9.810
9,81
3,28
0.19
0
Ю.7
0
0
10,7
11
0
0
9.810
9.81
5,47
0.19
11,1
Ю.7
10,7
32
11
0
9.8/0
9,81
5.66
г/,в
4.3
0
9,810
9,81
5.28
0.19
о
0.02
/0,8
0
0
10, в
яз
0,1
11
0
0
9,8/0
9.81
5.47
19
0.02
- 2
/и
10/8
Ю.8
*1.1'
4
1
30
н
0
9,810
9.81
5/66
21
о
3
11,5
21,9
21.9
/1.5
5
- 1
55
43
0
9,810
9.81
5/87
21
3
- 1
12,0
33.4
33,4
12.0
4
- 1
79
98
0
- 0,/
1
2
0
9.810
9,81
6,06
24
2
1
12,4
45.4
45.4
12.4
3
2
103
/77
о
2.0
0,9
7
г
9,810
9,30
6,32
26
3
* 2
12,9
S7J8
57,8
/2.7
5
- 1
129
280
2,0
2.9
8
1
13
9
9,810
9.79
6.50
24
1
2
'3,4
70,7
70,5
/3,2
4
- 1
154
4 09
4.9
3,7
9
- 1
22
22
9,808
9,76
6.87
30
3
- 1
/4.1
84,1
83,7
/3,6
3
2
181
563
8,6
4.6
/.о
32
44
9,808
9,72
7.17
33
2
14,6
98.2
97,3
/3.9
5
208
744
13,2
5,6
0.9
43
76
9,807
9,67
7.50
35
/5,4
112,8
111,2
!4А
237
952
/8,8
0.5
0,4
(/9
9,807
9,61
7.85
/28.2
125.6
1189
25.3
2
6.58
0,59
0,09
-0.02
7 0.5
26/1
1.5
0*
4.9
8,3
3,8
г
7.17
66
7
3
97,3
28*
1,8
- 4
13.г
/2.1
4.0
2
/32
09
9.807
9.61
7.65
75
10
- Ч
32.9
128,2
125,6
30,/
44
3
562
11 89
25.3
16.1
4.2
3
I - 6
205
295
25/
456
9J805
9.48
8,60
85
6
- ю
36.0
161.1
155,7
31,5
47
- 5
686
175/
41,4
20,3
4,4
9
403
75/
9.803
9,31
9,45
91
- 4
- 73
39.6
197,1
187,2
33,2
42
- /,3
8/5
2436
61.7
24,7
-.7
589
//54
9,800
9,12
10.36
87
- 77
43,2
236,7
220,4
34,i’
”0,1
- 1.6
950
3251
86.4
29,4
4 :
3
670
/683
9,797
в. 92
11,23
Ю
78
- 43
4 5.5
279.9
254.8
34.3
-/.7
3,6
/088
4201
«5,8
33.5
3.2
/.о
825
2352
9,793
8,7 0
11,33
88
35
- 6
4 5,2
325,4
289,1
32.6
/,9
0,8
<225
5289
149,3
36.7
5,1
Q
1003
3/77
9,789
8.4в
12,21
1,23
29
- /6
51,2
371,6
321,7
34,5
2.1
3
/354
65/2
186,0
41,8
5,4
5
1204
4 <8/
2
9.785
6.24
13.44
/,52
/3
0
56,7
422,8
356,2
366
2,4
4
/497
7866
227.8
47,2
С.Ч
О
14 34
5386
г
9.781
8.01
14,96
/,65
/3
- 4
63,/
479,5
392,8
39.0
2.8
0
/646
9364
275,0
53.6
С, 4
4
1685
68/8
4
9.776
7.78
j *6.61
1.78
9
- 7
70,0
542/о
431.6
41.8
2.8
0
/809
11012
328,6
60,0
€.9
- г
1967
85о4
6
9,770
7.55
\ 18.39
1.87
2
2
77,3
6/2.6
473.6
44,6
2.8
0
/983
12822
388,6
66,9
6.9
- 1
2216
10472
9
1
9,764
7,33
20,26
/,89
4
3
84/8
689,9
5/8,2
47.4
2.8
Ч
2/67
14805
455,5
73,8
7,3
9/758
7,12
22,15
/,93
7
- 1
92,4
774,7
565.6
5С.2
3.2
3
2362
/6972
529.3
81.1
7,1
0,4
2616
( /274.9
/2
- 5
4
2982
3377
I /5365
j /8347
/7
26
9, 75/
6, 92
24.GJ
2.00
0.06
0.00
100,3
867,1
615.8
53.4
3.5
0.1
2569
/9334
6/0.4
88,2
7,0
0
3802
i 2/725
37
9,743
€.74
26.08
2.06
6
4
108,4
967,4
669.2
J6.S
3,6
9
2789
21903
698,6
95,2
7.4
- /
4254
25.527
5/
9,734
6.57
28,14
2.12
10
4
116.8
1075,8
726.1
60,‘
4,5
6
3024
24692
793,8
102,6
6,9
3
473?
29782
70
9. 7 25
6,41
30,26
2,22
14
1
125.4
1192,6
У86.6
65,0
5.1
8
3275
277/6
896.4
109,5
7,3
6
5248
345/9
S4
9.7/5
6,28
32,48
2.36
15
3
134.6
1318,0
851.6
70.1
5,9
16
3544
3099/
1005.9
И6.8
7,3
1
5787
39766
/24
9,704
6.16
34,84
2.51
18
10
144,3
1452,6
921/7
76.//
7,5
9
3837
34536
1122,7
124,1
7.2
6353
45553
/63
9.693
6,06
37,35
2,69
28
4
154,7
1596,9
597.7
83,5
8,4
18
4/55
38373
1246,8
131,3
7,5
6962
7600
51912
58874
гн
272
9,680
5,98
40,04
2,97
32
10
166,0
1751,6
1081,2
91.9
/0,2
15
4506
42528
1378,1
138.8
8.1
596 78
9,667
5,91
43,01
3,29
48
178,6
1917,6
1173,1
102,1
11.7
4892
47034
1516.9
/46.9
8.2
9.652
5.87
46,30
3.71
192,4
2096,2
1275,2
113,8
5324
51926
/663,8
155,1
9.63S
5,85
50,01
208,3
2288,6
1389.0
5805
57250
1818.9
2310,7
1
57864

В -	0,49081;	Тъ = 994,4 сек;
1174,1 км;	l/g *	5.187 м/сек.
По формулам (65) определяем производные от дальности
по кинематическим параметрам конца активного участка:
——	5,001	м/м;
аяк
8L
dvK
4059,6	м/м/сек;
8L
2738,7	км/рад.
а а
мк

Приложение 6
Таблица
элементов нормальной атмосферы и ускорения
силы тяжести
h - высота над поверхностью земли;
Р
-5~- относительное давление;
р
— относительная плотность;
а - скорость звука;
£ - ускорение силы тяжести.
h
м
р
R
Р
*Н
Р
Л
Р
АЛ
а
/i/сек
9 г
М/секг
0
WOO-iO
0,1/78-/О'4
19000 /0°
0,956>10*
340, 28
9,8066
<00
9.8вгг-ю’1
0, //67
9.9044-/01
0,947
339,9/
9,8063
zoo
Э, 7655- Ю'4
0, //55
9.3097- /О4
0,934
339, 2
9,8060
3 00
9,6500- /0^
0, //45
9,7/58-/О'4
0,938
339,14
9,3057
1/00
9,5255■ /С'
0, //50
$,6220-/01
0,938
338, 75
3,8064
500
9,4205-Ю'4
0, //23
9,5282/0''
0,9/5
338,26
9,8051
воо
9,3032-/О'1
а, ап
9,4267-/б1
0,9
337, 37
9. 8048
7 00
9, <9% /О’4
о,т
9,3452 /б4
0, 906
337,59
9,8045
300
9,0370- Ю'4
0, /090
9,2546-/б'
0,906
337, 20
9,8042
900
3,9780-/О'4
0, /079
9,/640-/О’4
0,389
336,81
9. 8039
/ООО
8.870//б4
а/069
9,075/■/&
0,890
336,43
9,8036
то
87632- /О4
0. /058
8,986//б4
0,874
336,04
3, 8033
/zoo
8,6574 Ю1
0, /048
8.8987-/б4
0,878
335,65
9,8030
то
8,5526/O’4
0, /039-/б'
88Н4- /О'4
0,866/0*
335,26
9,8026
46

Продолжение -
! h
м
Р
Ра
P
4 Pa
P
Pa
f
* Po
a
м/сек
$
M/ctx1
i4oo
8,4487-/0
0,1027-id'
8,724*10
0,864 id*
334}Q7
9,2023
1500
8,34б0-/0
0,1033
8,6384 a
0,866
33//, 48
9f802o
1600
8,2b 27 1с
0,1007
8,5518-10
0,849
354,05
9,8017
1700
8,11*20 10'
0,997-102
8,4669-10
o,sm
333,69
3,8010
1800
8,0b23(o
0,988
8,3828(0
9.853
333,30
9,801/
1900
7f9b3510f
0,977
8,2995/0
G,824
332,31
9,8008
2000
7,8458-10
0,968
8 >2171/0
0,622
532,52
9,8005
2100
7,7490-10
0,957
8,1349/0
0,815
332,12
9,8608
2200
7,6533Ю!
0,9b5
8,0534/6'
0,809
341,73
9,7939
2300
7,3584/о'
0,939
7,9725-to'
0,602
331,34
9,7396
2400
7,4645 to
0,929
7,892310
0,796
330,34
9,7993
2600
7,37*6-10
0,92!
7,8127to'
0,790
330, £5
9,7990
2600
7,2795'(О1
0,9! 0
7,7337 /o''
0,785
32D, 15
9,7386
2700
7,1835 io!
0,902
7,6552/0
0,778
329,75
9,7983
2800
7,0983-10
0,892
7,577410
0,771
329,36
9,7280
2900
7,0091-/6'
0,883
7,5003/0
0,766
328,96
9,7977
5000
62208-16'
0.874
7,4237/0
0,759
328,56
9.7974
3100
6,8334-Л)'
0,878
7,3478/0
0,767
328,16
9,797/
520Q
6,7056-/0
0,657
7,2711-10
0,747
327,76
9,7368
3300
6,6599-10
0,847
7,1564lo
0,143
327,36
9. 7965
зт
6,575210
0,838
7,122/(o
0,736
326,96
9,7962
3500
6,49!4-io
0,830
7,048 5 to
0,730
326,56
9,7959
3600
6,1/obk io
0,821
6,9755-/0
0,725
326,16
9,7956
3700
6,3263-10
0,814
8,9030/0
0,719
32.5,76
9,7953
3800
б,гШ-б/
0,Q04
6,8 21/Го
0,712
525,36
9,7950
3900
6,1645/0'
0,795
6,7599/0
0.706
324,96
9,7947
40GO
6,0850/0
0,788
6,6831-/0
0.701
324,56
9,7944
4/до
6,0062-Го
0,780
Gfi/SOto
0,697
324,15
9,7940
4200
5,9282-10
0,770
6,5493-/0
0,689
323,7S
9,7937
4300
5,8S12-/o
0,763
6Mo4-io
0,685
323,35
9,7934
44oQ
5,7749 Го
0,755
6,4//9-/Г
0,679
322,94
9,793!
4500
5,6994-/0
0,747 40
6,3440ia
0,675 10*
321,54
9,792g
47

Продолжение
h
м
Р
Ро
Р
й Ро
Р
Ро
p
ЬРо
a
м/сем
9
м/сеыг
4еоо
5,6247/0
0,740 /О2
6,2765/0
0,668 id2
322,13
3,7925
4700
5,5507Ю
0,731
6,2097/6'
0,662
32/, 73
9.7922
4воо
5,477b /в'
0,722
6, /4з5/о'
0,658
32/, 32
9,7919
4900
5,4054-10
0.7/6
6.0777/0
0,652
320,92
9.7916
5000
5,33 Зв-Ю
0,708
6,0125/6'
0/б4б
320,31
9,7913
5100
5,26)0 /О
0,700
5,9479/6'
0,642
320,10
9,7910
5200
5,тою
0,693
5,8837-Ю
0,636
6/9,69
9,7907
5300
5, (237/0
-/
5, OS52-Ю
0,685
5,820/ /6'
0,631
319,29
9,7904
sioo
0,678
5,7570/б'
0,625
318,87
9,7901
5500
4,987410
0,670
5,6945 /О
0,621
3/8, 47
9,7897
5600
4,9204 id
0,663
5,6324/6'
0,6l4
318,OS
9,7834
5700
4,8541 /О
0,656
5,57/0/0
0,611
3/7,64
9,7891
5800
4,7885/о
0,648
5,5099/0
0,604
3/7,23
9,7888
5900
4,7257 Ю
о.бкг
5.4495/0
0,600
3/6,82
9.7885
6000
4,659510
0,654
5,3895/6'
0,595
316,41
9,7882
6100
4,596! 10
0,628
5,3300/0
0,589
316,00
9,7879
6200
4,5333/0
0,620
5,271/ /о'
0,585
3/3,58
9,7876
6300
4,4713-/0
0,6/3
5,2/26/6'
0,579
3/5,17
9,7873
64oo
4,4/Ю- /б'
0,607
5,/547/о'1
0,575
8/4, 75
9.7870
6500
4,3493-/0
0,599
5,0972/6'
0,570
3/9, 34
9,7867
6600
4,2895-4)
0,595
5,о4о2/о
0,566
316,92
9, 7864
6700
4,2299-/о
0,586
4,9836/0
0,560
3/3,50
9.7861
беоо
4,1713/6'
0,579
^,9276 to
0,554
313,09
9.7858
6900
4, И34-/о
0,574
4,8722-/0
0,551
312,67
9,7854
7000
4.0560-Ю
0,567
4,8/7! /б'
0.546
312.25
9,7851
7100
3,9993 Ю
0,56!
4,7625-Id1
0,5i0
3/1,83
9,7848
7200
3,943210
0,553
4,7085-10
0,537
611.42
9,7945
7JOO
3,387910
0,548
4,6548-10
0,53!
611,00
9.7842
7400
3,8331/0
0,542
4,6017/6'
0,528
310,58
9,7839
7500
3,7783Ю!
0,535
4,5489-6'
0,522
610,15
9,7836
7600
3,7254-Ю
’ 0,530 /02
4,4967-ю'
0,5/8-/О2
609,73
9,7833
18

Продолжен*#
h
м
р
Ро
Р
А Р
Р_
Ро
Р
4Ро
а
м/сек
9
м/сенг
то
3,6724/0
0,523- Ю*
4,4449 b'
0,5/2-тг
309.31
9, 7830
поо
3,6201/0
0,508
4,3937/0
0,501
30S/39
9,7827
7900
3,5693-to'
0,511
4,3436/0
0,505
308,46
9.782b
8000
3,5182/0
0.506
4,2931/0
0,500
Jos, 05
9.782!
8100
3,4676/0
0,499
4, г4з//6)
0,494
307,62
9,78! в
8800
3,4/77/0
0,493
4, /937/5'
0,491
307,20
9,7 8!5
8300
3,3684/о
0,488
4, /44б/б'
0,486
306,78
9,7812
8400
3,3196/0
0,483
4,0960-/о
0,485
306,35
9,7808
8500
3,2713/0
0,475
4,0477/О
0,477
305,92
9,7805
8600
3,2238/0
0,471
4,0000/0
0,474
305,49
9,7802
8700
3,1767/0
0,465
3,9526/0
0,468
305,07
9,7799
8800
3,1302/0
0,460
3,9058/0
0,465
304,64
9,7790
8900
3,084210
0,454
3,8593/0
0,461
304.2/
9.7793
9000
3,0388/0
0,448
3,8132/0
0,456
303,78
9,7790
9100
2,994о-й>
0,444
3,7676/5'
0,452
303,35
9,77&7
9300
2,9496/0
0,437
3,7224/о'
0,448
302,92
9,7784
9300
2,9059/0
0,433
3,6776-Л)'
0,44k
302,49
9,778!
9400
2,8626Ш
0,421
3,6332 /0
0,432
302.06
9,7778
9500
2.8205-4)
0,422
3,5900/0
0,437
301.63
9,7775
9600
2,7783/0
0,417
3,5463/0
0,43/
30/, 20
9. 7772
9700
2,7366/0
0,412
3,5032/0
0,428
300,76
9. 7769
9800
2.6954-10
0,408
3,4бо4/о
0,424
300,33
9,7760
9900
2.6546/0
0,402
3.4/80-/о'
0,4/9
299,89
9,1762
iOOOO
2.6/44/0
0.396
3,376/Ю
0,4/6
299. 45
9,7759
ЮО
2,5746-10
0,393
з,зз45/д'
0,4 и
299,02
9,7750
гоо
2,5355/0
0,387
3,2934/0
0,409
298,58
9,7753
300
2,4968 /о
0,383
3,2525/0
0,404
298,14
9,7750
ООО
2,4585/0
0,378
5,2/г/ю'
о, 4оо
297,70
9,7747
500
2,4207-‘o
0,367
3,172//Ь'
0,390
297,27
9.1744
600
2,3840/0
0,368
3,1331/О
0,392
296,85
9,7741
700
2,3472Ю
о,зб4юг
3,0939ю'
0289/0
296,39
9,7738
49

Продолжение
h
м
P
Po
P
* Po
P
Po
P
8Pe
0
м}сек
9
m/cm*
10800
2,3/08/0
0,359 -id2
3,0558/0
0,385 W2
295,95
9,7735
. i0900
12749/0
0,356
3.0 <65-/o'
0,381
295,61
9,7732
HOQO
12№<6'
0,549
24784/0
0.465
295,07
9.7729
moo
2,2044 10
043
2,9319-ld'
0,457
295,0.7
9.7726
urn
2,mi/o'
0,339
2,8862-ю
0,450
295,07
9,7723
moo
2,136210
0,333
2,84/гю
0,443
295,07
9,7720
n4oo
2,1029/0
0,527
2,7969/0
0,436
295,07
9,7717
4500
2,070210
’0,323
2,7533-10
0,929
295,07
9,7713
11600
2,0379/0
0,318
2,7/04 -lo
0,422
295,07
9,7710
moo
2,006/to
0,313
2,6682/3
0,4/7
295,07
9,7707
11800
1.9748/0
0,308
2,6265id
0,409
295,07
9,7704
<1900
1,9440/0
0,303
2,5856-io
0,403
295,07
9.770/
12000
/,9(37/0
0,298
2,545370
0,397
235,07
9,7698
<2100
l,8839/o
0,294
2,5056lo
0,390
295,07
9,7695
<2200
1,8545/0
0,283
2,4666/0
<7,384
295,07
9,7692
<2300
<,8256/0
0,281'1
2,4282-0)
0,379
295,07
9,7689
12400
1,7972/0
0,280
2,3903/6'
0,572
295,0Л
9,7686
12500
1,7692/0
0,276
2,353/ /o'
0,367
296,07
9,7683
<2600
<,7416/0
0,271
г,3/64/0
0,362
295,07
9,7680
<27d0
1, 7145/6'
0,268
2,280270
0,355
295,07
9,7677
<2800
!,6877/0-
0,262
2,г447-/о
0,349
295,07
9,7674
<2900
1,6615/0
0,260
2,2098/0
0,345
295,07
9Л7/
<3000 -
/,6355/o'
0,254
2,1753-Ю
0,338
295,07
9,7668
1i<00
1,6101/0
0,25<
2,<4/S-ld'
0.334
295,07
9,7664
13200
/.5850/0
0,247
2,1081-10
0,328
195,07
9,766!
13300
1.5603to
0,244
2,075310
0,324
295,07
9,7658
Щ00
1,5359/У
0,238
2,0429/0
0,3<8
295,07
9,7655
/5500
<,5< 21/0
0,236
2,0111 io
0,313
295,07
9,7652
13600
1,Ш5-/о
0,232
1,9 798-fo
0,309
295,07
9,7649
13700
<,4653/o
0,228
1,9429-To
0,304
295,07
9,764£
<3800
<,4425/0
0,225/0*
1,9185/0
0,298
295,07
9,7643
50

Продолжение
h
м
Р
Ро
Р
А Ро
JL
А
Р
&Ро
а
м/се*
9
м/сек*
/3300
/,3200/0
0,22/ 2
/.8887 /0 >
0,293 Ю*
295.07
9,7б4о
/«ООО
/, 1979/0
0,2/7
/.8593/0
0,290
295.07
9.7957
/ч/оо
/,3762/6'
0,2/6
/,8303-/О
0,285
295.07
9,7634
/Згоо
/,353б/б'
0,2/0
/.80/8/о
0,281
295,07
9,7631
///300
/,3336/0
0,208
/,7737/0
0,277
295,07
9, 7628
/ззоо
/, 3/26/6'
0,203
/, 7360/0
0,271
295,07
9.7625
/35оо
/.гзгЗю
0,202
/, 7/89/0
0,268
295,07
9,7622
/к(оо
/,272210
О, /98
/,692/ /о'
0,263
295,07
9,76/9
/3700
№2310
0,193
/,6657/0
0,259
295,07
9,7616
/3800
/,2330/0
0193
/,639870
0,255
295107
9,7613
ШШ
1.21 37/0
0/88
/,6/Ззю'
0,252
295.07
9.7609
/5000
/,/939Ю
О, /87
1,589/10
0,237
295,07
9,7606
/5/00
)./762/о
0,1вЗ
/, 5633/0
0,233
295,07
9,7603
/5200
/, /578/0
0,179
/,5300/0
0,239
295,07
9,7600
/5300
/, /399/0
0,178
1.5/6/ю
0,237
29S.07
9,7597
/5300
/. /22//о'
0,173
/,3923/0
0232
295,07
9,7599
/5500
f,/037to
0,172
/,3692/6'
0,228
295,07
9,7591
/5500
/. О275/0
0,170
/,3363/0
0,226
295,07
9, 7508
/5700
4,0705/6
0,167
/,3238/0
0,222
295,07
9, 7585
/5800
/.0536/0
0,163
/,Зо/б/о
0,2/8
295,07
9,7582
/5900
1.6375/0
0,162
1.5738/0
0,2/3
295.07
9.7579
/6000
Ш/3-/0
0,159/0‘
1.3583/0
0,2/2
295,07
9,7576
/6/00
/,0053й>
0,1562/О2
/,3372/0
0,207
295,07
9.7573
/6200
9,6976/0*
0,1533
/,3/65/0
0,206
295,07
9,7570
/6300
9.7333/0
0,15/6
/2953/0
0,20/
295,07
9,7567
/6300
9.39/2/0*
0,1395
1,2758/6'
0,200
295,07
9,7564
16500
93325-/0*
О,/370
/.esse/o'
0,195
295,07
9,7561
/6600
9,2033/0*
0,1337
1,2363/0
' О,/92
295,07
9,7558
/6700
9,1606/0*
0,/згЗ
и/7//о'
0,190.
295,07
9,7554
/6800
9,00836*
' 0,1302
/J98/-/6'
’ 0,186
295,07
9.7551
/6900
6,668210
{0,1 Зво 10е
’ /, 1795/о'
0,183- Ю
295,0?
9, 7548
51

Продолжение
h
м
P
Po
P
* Po
P
Po
P
И7Г
a
w/cec
9
м/сеег
пот
8,7302 W
0,1359/0
/, 16/1-10'
0,181 ’ 10*
295,07
9.754$
moo
8,5943 /0*
0,1537
/,1930 to
0,177
295,07
9,75A 2
moo
8,4606/0*
0,1317
1,125310
0,175
295,07
9,7539
17300
8,3369 /0*
0,/295
1,1078-10
0,173
295,07
9,7539
moo
8,1994/6*
0,1277
t,0905-lo
0,169
295,07
9,7533
moo
8,071710*
0,1256
/,0736/0
0,168
295,07
9,7530
moo
7,946/Ю*
0, /235
/,056840
0,164
295,07
9,7527
>7700
7,822(1*
0,1218
/, 04o4-to
0,162
295f 07
9,7524
moo
7,7008/0
0,498
/,0242/0
0./60
295,07
9,752/
17900
7,58(0/0
0,0 80
1,0082/0
0,/S63- /0
295.07
9.75/8
18000
7,4630/0*
0,tt<bO
9,9257/0*
0,154 3
295,07
9,75/5
/8100
7,3470-10*
0,1/93
9,77/4-lo
0,/S/9
295,07
9.75/2
!8200
7,2327/0
0,1(25
9,6/95lo
0,1493
295,07
9,7509
18300
7,/202/0
0,1/08
9,4702iS
0,1478
295,07
9,750€
/81/00
7,0096/0*
Q,10S0
9,3226io
0,i453
295,07
9,7503
/8500
6,9004/0
0,(071/
9,1771/0*
C,/42o
295,07
9,7500
i8600
6,7930/0
0, (056
9,035/10*
0,1412
295,07
9,799C,
18700
6,687010*
0,1040
8,8939-io
Oj/380
295,07
9,7993
/3800
6,5834/0
0,(025
8,7559/0*
<2/363
295,07
9,7990
/8900
6,4809/0
0,(007 '(0
6.6/96/0
0,1339
295.07
9,7987
/9000
63802/0
0,993- 10
8.4857/0
0,1322
295.07
9.7989
/9/00
6,280910*
0,977
8,3535/0
0,/298
295,07
9,7981
<9200
6,1832/0*
0,962
8,2237/0
0,1279
295,07
9,7978
79300
6,0870 b*
0,94c,
8,0958/0
0,1258
295,07
9, 7975
IQ/iOO
5,9924/0
0,932
7,9700/0
ojzko
295,07
9,7972
moo
5,8992/0
0,9/8
7,8460-/0
0,/220
235,07
9,7989
/9€oo
5,8074/d
0,903
7,7240/0
0,1201
295,07
9,79 66
/9700
5,7/7/ /0
0,888
7,6039/0
0,1/83
295,07
9,7963
/9800
5,6283/0
0,875
7,4856 b*
а, /ко
295,07
9, 7960
/9900
5,5408/0
0.862-/0
7,3691/0*
o,ii44-io
■
295,07
9,7957
20000
3,4546/0
7,2547/0*
295,07
9,5959
52

Продолжение
h
м
Р
Ро
Р
Ро
а
*>/ссе
9
м/сее*
гоооо
5,1)5*1610*
О, /682-10
7,2547/0*
0,2239-id
295.07
9.7454
20200
5286*i to1
0,1632
7,0308 10*
0,2168
295,07
9,7448
20 ЬОО
5,1232 10
0,1580
6Д/40 Ю*
0,2Ю2
295,07
9,7442
20600
4,965210*
0,1522
6,6038*0 '
0,2038
295,07
9,7435
го too
4,81201с?
о, №4
6,4000*0
0,1973
295,07
9,7423
а ООО
4,66361с?
0,1439
6,2027*0
019/4
295,07
9,7423
21200
45197/0
0,1393
6.01/3*0?
0/854
295,07
3,701-7
2t bOO
4,3801/10*
0,/звг
5,8259/0*
0,1797
295,07
9,7411
21600
4,245210
0,1508
5,б4б21о
0,174/
295,07
9,7405
.2/800
4, НМ- to
0,1269
5,472/10*
0/688
295,07
9,7399
22000
3.987510
0,1229
5,3033*0
0,1635
295,07
9,7393
22200
5,86*1610
0,1192
5,/398 /0
О,.<58*7
295,07
9,7387
22/100
3,745*11о
О, И55
4,98/4*0
0,1536
295,07
9,7381
22600
3,6299-10
О, II19
4,827810
0,1*82
295,07
9,7375
22800
3,5180*о
0,108 S'
4,6790 Ю
0*443
295.07
9.7368
гзооо
3.*i095io
0,105/ .
4.534710
0./397
295,07
9,7362
23200
3, iOhkСо
0,1012-10*
4,3950*0
0J3S5
295,07
9,7356
231)00
з,го2Ь-1о
0,981 *oJ
4,2595*0
0,1313
295,07
9,7350
23600
3,t039io
0,957
4,/282*0
0,1272
295,07
9,7344
23800
3,008210
0,921
4.00/0*0
о./гзЧ
295.07
9.7338
2*1 ООО
2,9/55*0
0,898
3,8776*0*
0,494
295,07
9,7332
24200
2,2257-to
0,87/
3,7582*0
0,458
295,07
9, 7326
24400
2,738610
0,8*1*/
3,б4г4*о
0,923
295,07
9,7320
2*1600
2,65*l2-lo
48/8
3,5301*0
0,1089
295,07
9,7314
2*1800
2.572*1-10
0,792
3.42/2*0
0,1052
295.07
9,7308
25000
2,1)932-10
0,770
3,316010
0,906
295,07
9,730/
25200
2,4/62-to
0,7 4*/
3,2054*0
'О,/065
295,44
9,7295
25^00
2,3*il8io
0,707
3,0989*0
’ 0,1010*0
1 295,82
9,7289
25000
2,271/10
0,691
2,9379*0
? 0,993-1(5
' 296,18
9,7283
25800
2,20/4/0
0,673
2,8986*0
’ 0,95£
296.56
9.7277
2£ооо
2J34i-1o
’ 0,651/0
‘ 2,80301о
' О,92*11о
296.93
9,72Ц.
53

Продолжение
h
p
-Pc
P
A —S~
. ro
P
Pa
P
b Po
a
9
м
»/<*?*
м/cer*
26100
2,069010
0,618 ■ id
2,7106IOS
0,874 io
297,30
9,7265
гс4оо
2,0072lO
0,610
2,623210
0,860
297,66
9,7259
26600
1.9462to
0,589
2,53721(1
OJ828
298,04
9,7253
26800
18873/0
0,571
2.4543 kf
0,800
298,4!
9.72^7
27000
1,830210*
0,550
2.3743 10
0,773
298.78
3.727,4
27200
1,V52-/0S
0,524
2,297010
0,732
299,15
9,7235
27ItOQ
1,7228-ttf
0,5/8
2,223810
0,720
299,51
9,7223
27600
1,6710-I02
0,500
2,151810
0,695
299,88
9,7222
27800
1,6210 to2
0,474
2,082310
0,659
300,24
9,7213
28000
1,573610s
0,469
2,oiakio
0,648
300,61
9.7210
28200
1,526710е
0,453
1J351610
0,626
300,98
3,7204
28400
1,48l4-loS
0,440
1,8890-io
0,604
301,34
9,7 №
28600
1,4370lo
0,417
1,8286-id
0,573
301,71
9,7492
28800
1,335710s
0,40
I,7713I0S
0,564
302.07
9.7i8G
29000
1,351/6-10
0,399
1,714910s
0,545
302.43
9.7420
29200
1,3147-/oS
0,386
l,66o4lo
0,526 ■
302,80
9.7 m
29kOO
1,2761 IOS
0,367
1,6078-id
0,499
303,16
Q,7/€g
29600
29800
1,2394-10
1.2032Ю
0,362
0.357 Ю3
1,557910
1.507810s
0,501
0,465 to3
303,52
303.38
9,7462
9.7456
ЗОООО
1.16811(f
0,1585I cd
1,461390s
0,2131 -10s
304.25
9,74 bs
3-IOOO
1.009610s.
0,1359 to ‘
1,2482 10s
0,1806
306,05
9,7449
32000
8,7370 to
0,u533-icd
1.0676I0S
0,15233
307,84
9,7089
33000
7,5771!(?
0,9951 to3
9,1527903
0,12919
309,62
9,7059
з4ооо
6,5820-ld
0,8555
7,8608-id
0,Ю982 Ш
3/1,38
9,7028
iSOOO
5,7265io3
0,7365
6,7626-10
0,9350-liy
3/3,14
9,6998
36000
4,990010
0,6352
5,8276-to3
0,7975
314,89
в,€968
37000
4,354810
: 0,5506
5,0301-io
’ 0,6836
316,62
9,6937
38000
3,8042/0
0,4728
4,346510
' 0,5809
318,36
9,6907
39000
3.33(4-10
0,4115
3.7656b3
0,5000
320,07
9,6877
4ooo6
2.9199-Ю3
' 0,3558
3.2656-10
017279
321,78
9,6847
41000
2,S64Ho3
o,3io5-io
2,837710
' 0,3695 io
323,47
9,68/6
54

Продолжение
h ■
м
Р
Ро
Р
Ро
4тг
Q
м/сег:
9
Af/cex*
4гооо
2,2536 10
0,2693/Э*
2,4682-10*
0,5172/6*
325,16
9,6786
4зооо
/,,9843-/о
02357
2,15/0 /О* •
9,2746
326,84
9,6756
44ооо
1,7486103
0,2050
1,8762/0*
0,2365
328, 51
9,6726
45000
1,543615*
0,1792
1,6397/0*
0,2049
330,17
9,6696
40000
/,3644/0*
О, /578
/,4348 10
0,1658 ‘
331,82
9,6666
47000
1,206610*
0,1398
/,2690-10
0,1067
331,82
9,6636
08000
t,0672 №*
0,1234 ■
/,1223/0*
0,12972
331,82
9,6605
_ 09000
-4
9.4379/0
0,/0904-10
9.9258/0.
0,4470
331.62
9,6575
$0000
2,3475/0*
0,9661-Ю4
8,7788Ю
0,10/39-Ю*
S3f,82
.9.6545
51000
7,3834-/0*
48525
1,7649-10*
0,8966- /6*
331,82
9,65tS
52000
6,5303/0*
0,7539
6,8683/о
0,7928
331,82
9,бЦ85
53000
5,7770/0*
0,6667
6,0755/о
0,700
331,82
9,6 */55
54000
5, //ОЗ /о*
«5537
5,3744/0
0,5639
331,82
9,6825
55000
4,5/66-10*
0,5295
4,8Ю5Ю*
0,5095
329, 79
9,6395
50000
5387//о*
0,4745
4,30/0/0*
0,4623
327, 6*1
9,6365
57000
3,5/26/0*
0,42/9
3,8387/0*
0,4/67
325,52
9,6335
58000
3,0307/о*
0,3759
3,4220/0*
0,3760
323, ЬО
9,6305
59000
2,7/48/0
0,364 г
3,0460/0*
0,3389
321,26
9,6275
60000
2,3806 /о*
0,2969
2,707/10
0,3051
Щ11
9Г62*<5
61000
2,0837/0
0,2632
2,4020/0
0,2750
316,90
9,6215
62000
/,8205/о
02330
2,1270/0*
0,2454
319,76 *
в]б135
62000
1,5875/0
0,2059
1,8816-/o'
0,2205
312,56
9,6156
бкООО
1.38l6t\f
0,18/0
>
1 2
Сэ
0/969
510,35
9,6126
65000
1,2006/0*
«1600
1М4г-ю*
0,1763
30Q, 13
9,6096
66000
!,0406-Ю*
' />,/чо/
1,2379/0*
' 0,1568
305,88
9,6066
67000
9,00S/-toS
0,12295
1,13111о4
’ 0,1396
303,63
9,6036
68000
7,7756 /0^
1 0,10768-10'
\ 9,915Но^
’ OJ242
301,36
9t6oo6
69000
6.6988/6
’ 0.9408 10*
' 8.6727(6
’ 01102 Го
299,07
9,5976
70000
5,7580/6
5 0,8205
7,57/2-16
’ 0,9760 Го
' 296,76
9,59*17
71000
4,9375-Ю
5 0,7/Ц/
6,5952-/0
> 0,8628
294,44
9,5917
72000
4,2234-16
5 0,6/98 -/о
’ 5, 7324 /1
, 0,7613 ■ /О
Г 292,09
9,5887
55

Продолжение
*
м
Р
Ро
Р
Ро
a
м/се
9
73000
7Ш0
75000
76000
77000
78000
79000
3,603610
3,0681 Г?
2,6039-idS
2,20k8-l0S
1,8606- to
1,5662-10S
1,3149-10
0,5355 Ю*
0,кйк2
0,3991
о,зккг
0,Z9kk
0,25/8
0,2/к9 -Ю
4,9711 10 6
4,3026 /О6
3,7135 Ю
3,1933iP
2,74б31о
2,3529-/oS
2,010310
0,(685 Го5
0,5897
0,5/52
0М52О
о.зэзк
0,3426
0,2977
289,75
287,36
284,95
282,54
280,10
277,64
275,16
9,5857
9,5828
9,5798
9,5768
9,5738
9>5709
9,5679
80000
1,0995-lo
0,(52к-Ш
1,7126 lbS
0,10/6 -Ю
272,66
9,564/9
85000
90000
05000
9,9706-ю
1,8203-10С
7.4221 Ю7
0,26503 ШЪ
OJOIilW5
0,O223k-id
-С
6,9635Ю
2,8357/Ю
1,1567- /о6
0,4/26/-to
0J6787ii>S
0,7/595/0
272.66
272.66
9,5501
9,53547
WO ООО
3.1987-10?
о,гкг<*ъю
кк075ю'
0,357/355/0
НО ООО
120000
130000
140000
150000
<0,0000
170000
180000
190000
7,7199 -108
2,521710
1,191310 8
7,2887-Ю
5,0563-1$
3,7628169
2,8799-10
г,гтГо
1.7227-W
0,5198210
0,/ззок/с7
в,к62кЗ-/'о*
0,22586- /с8
0,12935-Ю*
0,1829-Го3
0.6600-/о
0,к 972 ко
0,3772 /09
8,639/-/0й
7,/703-WS
6, /26/ !0S
2.67Ш03
/.кЧЗЧЮ3
9,0к77 70
6,758/10°
5,0823/0°
НО
3.8593-Ю
0,(ЧШш
o/ssmio
0,3kSli id
0,723/7/-id
0,53863to
0,22!% io3
0,/бШ/о
0,12290Jo
0,91/6- Co°
200000
i 3955io
0.28 79-Го3
2,97/77/0°
0,685-2
210000
220000
250000
гьоооо
250000
260000
270000
280000
290000
1,0576 id9
8,3665io0
6,6587-10°
5,330030
4,2900-Ю
3,9729-10
2,8565Ю°
2,3133-10°
1,9033/0°
022095/С
-9
QJJ078-IO
0,13287-Ю
0,10 коо -io
0,8176 io
0,6169
0,5432
0,4100
0,3302 10°
2,,26*9/0°
7,77/79/0°
1,3597/0°
/,ОбкЧГо°
8,383570
6,6873 /о"
5,2627/io'
7j,208070
3,38778 io
0,SM
Q.mz
0,2953Jo
0,22(6SJo°
0,17(22-10°
0,13589Jo
0,/oSkkJo
0,2232/0
0,6489- io
300000
1,5731Ю
2,7360-/о'
50

Пример расчета Г! ступени и участка свободного полета.
Исходные данные
и0 =2,3107- cos 37°22* =1836,5 а/оек;
W0 =2,3107- sm37°22> =1402,4 и/сек;
к 79,700 = о 0оз8бА2 1/сек;
20625
£к - £„ = 196,90 сек ;
О =9,8100 и/сек2;	R	=6371,1	км.
В о
пп.
Пара¬
метр
Операции
Результат
!
°MVt0)
0,76086
2
*-о
0,23914
3
V©
4,1816
А
ел©
1,4307
5
9« Руэ.
3,3848
6
А
© • ©
4,8426
7
@^г
61,886
а
©-©
88,540
9
(*K-t0)-®
108,36
10
Б
© •©
366,78

58
66 'ссс

№
пп.
Пара¬
метр
Операции
Результат
56
© *©
475, 56
502,59
530, 53
556,59
581,15
603, 83
624, 45
57
Ук
©-©
283,39
312, 42
340, 36
366,42
390, 98
41Э-, 66
434,28
58
© ©
4,4783
4,3006
4,0903
3,8488
3,5780
3, 27 99
2,9569
59
© ©
0,0305
0,0293
0,0279
0,0262
0,0244
0,0224
0,0202
60
©-©
6,2603
6,0826
5,8723
5,63 0 8
5,3600
5,0619
4,7389
61
UK
©- ©
6,2298
6,0533
5,8444
5,6046
5,3356
5,0395
4,7187
62
© •©
1,8679
2,2564
2,6302
2,9791
3,3078
3,6113
3,8873
65
Wk
© ♦©
1,3847
1,7732
2,1470
2,4959
2,8246
3,1281
3,4041
6 4
©2*©f
40,728
39,787
38,767
37,641
36,447
35, 182
33,854
65
VK
1©
6,3818
6,3076
6,2263
6,1352
6,0371
5,9314
5,8184
66
Vk
©/©
0,22227
0,29 29 3
0,36736
0,445 33
0,52939
0,62072
0,72141
67
e«
12е 32 ’
16'20'
20 4 0'
240 00'
27° 54'
31° 50*
35 0 491
68
R*©
6654,5
6683,5
6711,5
6737, 5
6762,1
6784,8
6805,4
69
*9*
®/&
0,11418
0;H167
0,10883
0,10570
0,10229
0,098613
0,094720
70
6° 31'
6' 22'
0° 13'
6° 02'
5° 501
5° 38 ’
5° 25'
71
©и
©*©
19 ° 03 1
22° 421
26" 2Э1
30" 02*
33 ' 44'
37 * 28'
41° 14'
72
Jb* , pa3
0,11374
0,11112
0,10850
0,10530
0,10181
0,098320
0,094538
75
R- ©
724,6
708,0
691,3
670,9
648,6
626,4
602,3
74
& +©Z
44860-10*
45226• 103
45578 • 103
45901 ■ 10*
46204 • Ю3
46481 • Ю3
46729•Ю3
75
гк
Щ
6697,8
6725,0
6751,1
6775,0
6797,4
6817,7
6835,9
76
hK
©- R
326,7
353,9
380,0
403,9
426,3
44 6,6
464,8
77
© ©
27279 • 101
26757 • 10'
26172 • 101
25502 -I01
24774 * 10'
23986 • Ю1
23142 ■ fO1

ПП.
Лапе
метр
Операции
Результат
78
Ок
©/к
0,68434
0,671 24
0,65657
0,63976
0,62149
0,60173
0,580 55
79
tg е„к
0,34530
0,418 31
0,49604
0,57813
0,667 7 6
0,76640
0,87646
80
©2
0,i 19 23
0,174 98
0,24606
0,33423
0,44590
0,58737
0,76818
81
I *©
1,11920
1,17498
1,246 06
1,33423
1,44590
1,58737
1,76818
82
2R ©
14260,9
14971,8
15877,8
17000,4
18423,7
20226,7
22530,4
85
©* R
13068,9
13096,1
13122,2
13146,1
13168,5
(3188,8
13207,0
84
© ©
8943,6
8790,6
8615,5
8410,3
81 83,8
7936,2
7667, 3
85
а
©-©
5317, 3
6181,2
7262,3
8590,1
10240
12291
14863
86
© ©
0,23630
0,28079
0,32568
0,36986
0,41501
0,46117
0,50883
87
Ь
R • ©
1505,5
1788,9
2074,9
2356,4
2644 ,1
2938,2
3241,8
88
с
© ©
223,53
237, 58
249,51
258,42
26 4 , 92
268,73
269,81
89
ьг
22665 • 102
32002•102
43052 10*
55526 102
69913 102
86330 10*
10509 Ю.3
90
© •©
11886 • 102
14685 • 102
18120 • Ю2
22199 10г
27128 Ю2
33030 102
40102 • Юг
91
©♦©
34551 • Ю2
46687 • 10г
6Н72 Ю2
77725 Ю2
97041 • Ю2
11936 103
14519 Ю3
92
1©
1858,8
2160,7
24 73,3
2787,9
311 5,1
3454,9
38 i0,4
93
©- ©
3364,3
3949, 6
4548,2
5144 ,3
5759,2
6393,1
7052,2
94
©/©
0,63 271
0,63898
0,62628
0,59886
0,56242
0,52014
0,47448
95
»/г
32° 13 ’
32е 35'
32*03,' 5
30* 55'
29* 21 1
27 * 29'
25° 23'
96
64'38'
65'Ю'
64° 07‘
61 * 50'
58* 42'
54е 58‘
50 * 46'
97
. Р°9
1,1281
1,1374
1, П90
1,0792
1,0245
0,95935
0,88 6 05
98
R •©
7187,2
7246,5
7129,3
68 75,7
6527,2
6112,1
5645,1
99
L
© *©
7911. 8
79 54, 5
7820,6
7546,6
7175, 8
6738,5
6247,4
rjO

К?
пп.
Пара
метр
Операции
Результат*
№
пп
Пара¬
метр
Операции
Результат*
1
i юо
Cos 6МК
0,9225 4
122
©•(ПП)
377,17
101
®г
0,85108
123
©Л©
496,86
102
© @
0,57128
124
, -(ПТ)
0,25886
105
р
5841,9
125
©/'©
0,52741
104
9
2- ©
1,5288
126
ate Cos(ji§
58 * 101
105
0,89194
127
(?2б) роЭ
1,0152
106
6os)(lOi)
0,75911
128
1 - @
0,32876
107
1 - (Гоб)
0,24089
129
(¥£У(ш)
0,66983
; 108
С
1(10?)
0,49081
130
atcCos(l29)
47* 571
109
(joi) • R
4836,4
131
(По) раЗ
0,83688
110
1,25886
132
1,8521
111
2 -(По)
0,74 114
133
0,87127
112
K/R
62,567
134
&У® 1
2,1257
115
(ПТ)- @
46, 371
135
(Па)-©
2,6043
114
Vc
'Ш)
6,8096
136
(Н?)+©
3,0226
115
R -(ПТ)
4721,9
137
tc
©•©
1501,8
116
<">!)/©
0,81565
138
т
tK + tc
1811,1
117
Со50пс
1(П1)
0,90202
139
1 + (10?)
1,4908
118
®ИС
~ 25° 34* 5
140
©•©
10026
119
■tq ®мс
-0,47858
141
7545,2
120
$кук
0,96380 10
г ■
142
(Taj) - R
1174,1
121
1(120)
0,098173
143
(Гоа)- ©
8,3815
* Только ДЛЯ VK=27°22r (Lmax).
61

№
пп.
Пара¬
метр
Операции
Результат*
№
пп
Пара¬
метр
Операции
Результат*
144
Cos ©нк
0,92 2 54
166
(]65) * (164)
35352 (О3
145
((4?) рмГ)
7,7323
167
.<©■ ©
8708,3
146
ve
(ED/(S)
5,1867
168
_2L_
9 Vk
<46б)/ (j67)
4059,6
147
<3Hy<s)
0,96053
169
((58) • 2
0,534 56
14 8
©+©
1,3788
170
© -©
0,(3668
14 9
t в
©•©
685,07
171
© •©>
0,(6060
150
Те
t„ + t.
994,37
172
©)• ©
0,046576
151
2R/©
1,8948
173
2R 2
81(8,2 • ю"
152
© ©
2,2264
174
37 8К • Ю2
151
Sin
0,53853
175
61
ае*
®/<ЗИ>
2738,7
154
0,29001
155
©•©
0,18531
156
((52) @)
0,41257
157
©+©
1, 0838
155
©
©
0,26728
159
R ^5в)
170 2,9
160
© *©
2056,8
161
©■©
1380,6
162
R ((57)
6905,0
' 163
3L
ЭЬк
5,0014
164'
©•©
0,21774
165
4R2
16236 • 10*
* Только для VK=27e 22’ (Lmax)
82

Приложение 7
ТАБЛИЦА
поправок на высоту к составляющей ускорения силы тяжести
из-за кривизны земли
' Я* * & f i . * = 6370 км; g) = 9,81 м/сек2
х - дальность
X
Д k
X
Л h.
9*
X
& К
?х
X
Д Al
км
Км
"/сек*
км
км
м/сек*
км
км
м/сек*
км
КМ
м/сеКг
0
0,000
0,000
20
0,031
0,031
40
0,126
0,062
60
0,283
0,092
I
0,000
0,002
21
0,035
0,032
41
0,132
0,063
61
0,292
0,094
2
0,000
0,003
22
0,038
0,034
42
0,139
0,065
62
0,302
0,095
3
0,001
0,005
23
0,042
0,035
43
0,146
0,066
63
0,312
0,097
4
0,002
0,006
24
0,045
0,037
44
0,152
0,068
64
0,322
0,099
5
0,002
0,008
25
0,049
0,039
45
0,159
0,069
65
0,332
0,100
6
0,003
0,009
26
0,053
0,040
46
0,166
0,071
66
0,342
0,102
7
0,004
0,011
27
0,057
0,042
47
0,173
0,072
67
0,352
0,103
8
0,005
0,012
28
0,062
0,043
48
0,181
0,074
68
0,363
0,105
9
0,006
0,014
29
0,066
0,045
49
0,189
0,075
69
0,374
0,106
10
0,00
0,015
30
0,071
0,046
50
0,196
0,077
70
0,385
0,108
II
0,010
0,017
31
0,075
0,048
51
0,204
0,079
71
0,396
0,109
12
0,011
0,018
32
0,080
0,049
52
0,212
0,080
72
0,407
0 ,Ш
13
0,015
0,020
33
0,085
0,051
53
0,221
0,082
73
0,417
0,112
14
0,015
0,022
34
0,091
0,052
54
0,229
0,083
74
0,430
0,114
15
0,018
0,023
35
0,096
0,053
55
0,238
0,085
75
0,442
0,116
16
0,020
0,025
36
0,102
0,055
56
0,246
0,086
76
0,453
0,117
17
0,023
0,026
37
0,107
0,057
57
0,255
0,088
77
0,465
0,119
18
0,025
0,028
38
0,113
0,059
58
0,264
0,089
78
0,478
0,120
19
0,028
0,029
39
0,119
0,060
59
0,273
0,091
79
0,480
0,122
63

Продолжение
X
км
д /г
км
** г
*/сек6
X
км
& h
км
9,
м /сек1
X
км
д Я
км
м
9*
/сек2
X
км
Д /г
км
г
м/секс
80
0,503
0,123
но
0
950
0
169
140
I
539
0
216
170
2
269
0
262
81
0,515
0,125
III
0
967
0
171
141
I
561
0
217
171
2
296
0
263
82
0,522
0,126
112
0
985
0
173
142
I
588
0
219
172
2
322
0
265
83
0,541
0,128
ИЗ
I
003
0
174
143
I
605
0
220
173
2
349
0
266
84
0,551
0,129
114
I
020
0
176
144
I
628
0
222
174
2
376
0
268
85
0,567
0,131
115
I
038
0
177
145
I
651
0
223
175
2
434
0
270
86
0,581
0,132
116
I
057
0
179
146
I
674
0
225
176
2
432
0
271
87
0,591
0,134
117
I
075
0
180
147
I
697
0
226
177
2
460
0
273
88
0,608
0,136
118
1
093
0
182
148
1
720
0
^28
178
2
488
0
274
89
0,622
0,137
119
I
112
0
183
149
I
743
0
230
179
2
516
0
276
90
0,636
0,139
120
I
131
0
185
150
I
767
0
231
180
2
544
0
277
91
0,650
0,140
121
I
150
0
186
151
I
790
0
233
161
2
572
0
279
92
0,665
0,142
122
I
169
0
188
152
I
814
0
234
182
2
601
0
280
93
0,679
0,143
125
I
188
0
189
153
I
838
0
236
183
2
629
0
282
94
0,694
0,145
124
I
207
0
191
154
I
862
0
237
184
2
658
0
283
95
0,708
0,146
125
I
227
0
193
155
I
886
0
239
185
2
687
0
285
96
0,723
0,148
126
I
247
0
194
156
I
910
0
240
186
2
716
0
286
97
0,739
0,149
127
т
266
0
196
157
I
935
0
242
187
2
745
0
288
98
0,754
0,151
128
I
285
0
197
158
I
960
0
243
188
2
775
0
290
99
0,769
0,152
129
I
307
0
199
159
I
985
0
245
189
2
805
0
291
100
0,785
0,154
130
I
327
0
200
160
2
010
0
246
190
2
834
0
293
101
0,801
0,156
131
I
347
0
202
J.6I
2
035
0
248
191
2
864
0
294
102
0,817
0,157
132
I
368
0
203
162
2
060
0
250
192
2
894
0
296
103
0,833
0,159
133
I
289
0
205
163
2
086
0
251
193
2
925
0
297
104
0,843
0,160
134
т
410
0
206
164
2
III
0
253
194
?
955
0
299 |
105
0,866
0,162
135
I
431
0
208
165
2
137
0
254
195
2
985
с
300
106
0,882
0,163
156
1
452
0
209
166
2
163
0
256
1%
5
016
:о
502
107
0,899
0,165
137
I
473
0
211
167
2
179
0
257
157
5
047
j
303
Г 08
0,916
0,166
138
I
495
0
213
168
2
216
о
259
198
5
U7G |
505
109
0,933
0,168
139
I
517
0
214
169
2
243
V
250
199
3
i0S
(0
507
64

Продолжение
X
км
<3 Я
км
м/сек1
X
км
д Я
КМ
?'* г
м/сек
•X
км
<3 я
км
м/сек
X
км
д я
км
м /сек*
200
3,140
0,308
230
4
152
0,354
260
5,308
0,400
290
6,602
0,447
201
3,172
0,310
231
4
189
0,356
261
5,348
0,402
291
6,648
О, 448
202
3,200
0,311
232
4
226
0,357
262
5,389
0,404
292
6,694
0,450
203
3,235
0,313
233
4
262
0,359
263
5,430
0,405
293
6,740
0,451
20'+
3,267
0,314
234
4
299
0,360
264
5,472
0,407
294
6,785
0,453
205
3,300
0,316
235
4
336
0,362
265
5,513
0,408
295
6,831
0,454
206
3 >,332
0,317
236
4
372
0,363
266
5,555
0,410
296
6,878
0,456
207
3,364
0,319
237
4
409
0,365
267
5,597
0,411
297
6,925
0,457
208
3,397
0,320
238
4
447
0,367
268
5,639
0,413
298
6,972
0,459
209
3,429
0,322
239
4
484
0,368
269
5,687
0,414
299
7,018
0,461
210
3,462
0,323
240
4
522
0,370
270
5,724
0,416
300
7,065
0,462
211
3,495
0,325
241
4
559
0,371
271
5,766
0,41?
212
3,529
0,326
242
4
597
0,373
272
5,800
0,419
213
3,562
0,328
243
4
636
0,374
273
5,852
0,420
214
3,595
0,330
244
4
675
0,375
274
5,895
0,422
215
3,629
0,331
245
4
713
0,377
275
5,937
0,423
2X6
3 ,664
0,333
246
4
751
0,379
276
5,9SG
0,425
217
3,698
0,334
247
4
790
0,380
277
6,024
0,427
218
3,738
0,336
248
4
829
0,382
278
6,067
0,428
219
3,785
0,337
249
4
867
0,383
279
6,III
0,430
220
3,799
0,339
250
4
905
0,385
280
6,155
0,431
221
3,834
0,340
251
4
945
0,387
281
6,198
0,433
222
3,869
0,342
252
4
985
0,389
282
6,248
0,434
223
3,904
0,343
253
5
025
0,390
283
6,288
0,436
224
3,939
0,345
254
5
064
0,391
284
6,332
0,437
225
3,975
0,347
255
5
104
0,393
285
6,377
0,439
226
4,010
0,348
256
S
144
0,394
286
6,422
0,441
227
4,045
0,350
257
5
164
0,3%
287
6,467
0,442
228
4,080
0,351
258
5
225
0,397
288
6,512
0,444
229
4,115
0,353
259
5
266
0,399
289
	к
6,557
0,445
65

ЛИТЕРАТУРА
1.Аппазов Р«Ф., Лавров С.С,, Мишин
В.П, Баллистика управляемых ракет дальнего действия.
''Наука7, 1966.
2. Демидович Б.П., Марон И. А. Оснобы
вычислительной математики. Физматгиз, I960.
3. К р ы л о в А.Н. Лекции «о приближенных вычисле¬
ниях. Гостехиздат, 1950.
4. О х о ц и м с к и й Д.Е., Э ы е е в Т.М. Некото¬
рые вариационные задачи, связанные с запуском искусствен¬
ного спутника Земли. 'Успехи физических наук', т.ХШ,вып.1а,
1957.
5. Феодосьев В.И., С и н я р е в Г.Б. Введе¬
ние в ракетную технику. Оборонгиз, 1960.
6. Шапиро Я.М. Внешняя баллистика. Оборонгиз,
1S46.

СОДЕРЖАНИИ
Стр.
Введение	  3
Цель курсовой работы	 3
Содержание курсовой работы	  4
Порядок и особенности	выполнения типового задания	6
Приложение 1	вклейка
Приложение 2	   ..	33
Приложение 3	   34
Приложение 4	.  	   37
Приложение 5	  43
Приложение 6	....  	 46
Приложение 7	   .	.	.	63
Литература	с	.	..	66
Рефат Фазылович Алпазов
РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ
Редактор Р.Н, Фурсова	Техн.редактор	К.П.Барановская
Зак. 5//1053	Объем 5,25 печ. л.
Бесплатно	Тираж 300
Ротапринт МАИ