/
Автор: Алифанов О.М.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника военное дело военная наука проектирование ракетостроение издательство дрофа баллистические ракеты пособие для студентов вузов
ISBN: 5—7107—7086—8
Год: 2004
Похожие
Текст
И БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ РАКЕТЫ
И1 И РАКЕТЫ-НОСИТЕЛИ
/.ЗНАНИЯ И КЬПЮН/ Bi икл
БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ РАКЕТЫ
И РАКЕТЫ-НОСИТЕЛИ
Под редакцией О. М. Алифанова
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по специальности
«Ракетостроение» направления подготовки
дипломированных специалистов
«Ракетостроение и космонавтика»
а
D Р О ф
Москва 2004
УДК 629.764
ББК 68.52
Б20
Авторы:
О. М. Алифанов, А. Н. Андреев, В. Н. Гущин, А. А. Золотов,
Ю. А. Матвеев, Б. П. Перелыгин, В. С. Хохулин
Рецензенты:
кафедра летательных аппаратов Самарского государственного аэрокос-
мического университета (зав. кафедрой проф., д-р техн, наук В. В. Салмин);
первый зам. Генерального конструктора КБ «Салют» ГНПЦ им.
М. В. Хруничева проф. В. К. Карраск
Баллистические ракеты и ракеты-носители: Пособие для студентов
Б20 вузов / О. М. Алифанов, А. Н. Андреев, В. Н. Гущин и др.; Под ред.
О. М. Алифанова. — М.: Дрофа, 2004. — 512 с.: ил.
ISBN 5—7107—7086—8
Книга включает в себя результаты, полученные при выполнении тематических работ
по заданию Росавиакосмоса.
Отличительной особенностью учебного пособия является изложение целого комплекса
вопросов проектирования и разработки конструкций с единой методической позиции
с учетом системотехнических представлений, а также рассмотрение комплекса задач,
которые решаются инженерами-разработчиками новой ракетно-космической техники.
Для студентов старших курсов, обучающихся на аэрокосмических факультетах,
а также молодых специалистов соответствующих специальностей.
УДК 629.764
ББК 68.52
Учебное издание
Алифанов Олег Михайлович, Андреев Анатолий Николаевич,
Гущин Виталий Николаевич и др.
БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ РАКЕТЫ И РАКЕТЫ-НОСИТЕЛИ
Под редакцией О. М. Алифанова
Учебное пособие для вузов
Зав. редакцией Б. В. Панкратов. Редактор О. А. Кузнецова
Художественное оформление О. В. Матоянц
Технические редакторы В. Ф. Козлова, И. В. Грибкова
Компьютерная верстка А. В. Маркин. Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003.
Подписано к печати 31.05.04. Формат 60x90 */1в. Бумага типографская. Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 32,0. Тираж 2000 экз. Заказ № 4410100.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа* обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (095) 795-05-50,795-05-51. Факс: (095) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики,
д. 6, стр. 1А. Тел.: (095)911-70-24,912-15-16,912-45-76.
Магазины «Переплетныептицы»: 127018, Москва, ул.Октябрьская, д. 89,стр. 1.
Тел.: (095) 912-45-76; 140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин,
ул. Октябрьской революции, 366/2. Тел.: (095) 741-59-76.
Отпечатано с готовых диапозитивов на ФГУИПП «Нижполиграф».
603006, Нижний Новгород, ул. Варварская, 32.
ISBN 5—7107—7086—8 ©ООО «Дрофа*, 2004
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вторая половина прошлого века была ознаменована значитель-
ным прогрессом в области аэрокосмических технологий. И, несмо-
тря на спад финансирования этих направлений в России за по-
следнее десятилетие, вопросы исследования космического про-
странства, развития ракетно-космической техники не стали
менее актуальными. Во всем мире все более осознается значи-
мость развития РКТ, все больше стран подключается к работам
в данной области, в связи с чем уделяется много внимания и
подготовке специалистов.
Большие средства выделяют на это прежде всего НАСА
США, Европейское Космическое Агентство, аналогичные орга-
низации других стран. Созданы международные институты, на-
пример Международный космический университет и другие,
которые ведут многоплановую подготовку специалистов для вы-
полнения международных космических программ.
Надо сказать, что в Росавиакосмосе — организации, которая
формирует и реализует космическую политику Российской Фе-
дерации, — этому вопросу также уделяется много внимания.
При НТС Росавиакосмоса работает секция, занимающаяся про-
блемами космического образования; проводятся комплексные
НИР по методическому обеспечению перспективных проектов,
проведению необходимых обобщений и подготовке учебных ма-
териалов по требуемым специальностям.
На протяжении последних лет в таких работах принимали
участие преподаватели кафедры «Космические системы и ракето-
строение» аэрокосмического факультета Московского авиацион-
ного института. Результаты их исследований, а также многолет-
ний опыт преподавания инженерных дисциплин, включенных в
стандарт подготовки инженеров по специальности «Баллистиче-
ские ракеты, ракеты-носители и разгонные блоки», в значитель-
ной мере использованы при подготовке предлагаемого учебного
пособия. По отдельным темам и направлениям включены матери-
3
алы, наработки прошлых изданий авторов и данные известной
литературы.
В то же время следует отметить особенности и определенную
новизну предлагаемой книги. Это, прежде всего, стремление из-
ложить целый комплекс вопросов проектирования и разработки
конструкций с единой методической позиции с учетом системо-
технических представлений, а также рассмотреть в одной книге
основные задачи, которые приходится решать инженерам-раз-
работчикам новой ракетно-космической техники. В этом плане
книгу можно считать расширенным справочным пособием.
В каждом разделе приводятся примеры решения соответст-
вующих задач, которые, без сомнения, будут способствовать усво-
ению материала при изучении. Следует подчеркнуть, что в подоб-
ных примерах обсуждаются в основном новые и перспективные
проектные и конструкторские решения. Прилагается обширная
библиография, которая также поможет при углубленном изуче-
нии отдельных вопросов.
Книга состоит из шести разделов. Раздел I написан Ю. А. Мат-
веевым, разделы II и III — А. А. Золотовым и В. Н. Гущиным,
раздел IV — Б. П. Перелыгиным, раздел V — О. М. Алифановым
и В. С. Хохулиным, раздел VI — А. Н. Андреевым.
Издание предназначено прежде всего для студентов старших
курсов, обучающихся на аэрокосмическом факультете. Книга
будет полезна также молодым специалистам, инженерам соот-
ветствующих специальностей.
Авторы понимают, что за рамками пособия остается много
вопросов, которые приходится решать при разработке РКТ, по-
этому рассматривают данное учебное пособие как одно из серии
книг «Инженерные методы решения проектно-конструктор-
ских задач в РКТ».
Авторы благодарны рецензентам рукописи первому заместите-
лю Генерального конструктора КБ «Салют» ГНПЦ им. М. В. Хру-
ничева, заслуженному деятелю науки РФ проф. В. К. Карраску
и кафедре летательных аппаратов Самарского государственного
аэрокосмического университета за доброжелательный подход и
сделанные замечания.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — коэффициент расхода; амплитудно-частотная характе-
ристика
а — математическое ожидание
ато — относительная масса топливного отсека
асс — относительная масса средств спасения
Axyz — стартовая система координат
С — стоимость; теплоемкость
Суд — удельная стоимость
с — коэффициент жесткости;
Cxyz — связанная система координат
СаРу — система координат, начало которой совмещено с на-
чалом связанной, а оси параллельны соответствующим осям
стартовой системы координат
D — дисперсия; событие; область определения задачи
Ее — энергия; модуль упругости окружающей среды
f — коэффициент безопасности; частота колебаний
f(a) — закон распределения вероятности
До) — функция разброса
F — площадь сечения; спектральная плотность
G — реальная спектральная плотность
g — ускорение свободного падения
Н — высота движения аппарата; частотная характеристика;
надежность; гамильтониан
Нпр — приведенная сила
h — высота столба жидкости
Лреб — высота ребра
I — модифицированная функция Бесселя
J — момент инерции; функция Бесселя
К — коэффициент давления
Кв — коэффициент восстановления
— коэффициент дросселирования
5
К — качество
k — число испытаний; коэффициент теплообмена
kB — коэффициент вариации
kG — коэффициент соотношения компонентов
L — максимальная дальность; оператор математической мо-
дели теплофизического процесса
I — длина
М — число Маха
М — масса; момент; математическое ожидание
M(t) — модельное отображение
Мпр — приведенная масса
МС( •) — математическое ожидание затрат
т — масса аппарата
in — секундный массовый расход
тх — погонная масса
ти0 — начальная масса
тппг — масса полезного груза
тит — масса топлива
N — число пусков; количество циклов; число эксплуатируе-
мых комплексов
п — перегрузка; количество двигателей в связке
nQ — начальная тяговооруженность
П — параметры
Р — тяга; сжимающая сила; надежность; вероятность
P(t) — функции управления
р — собственная частота колебаний; давление в баке
р0 — давление на Земле; давление наддува
рк — давление в камере
Q — вероятность отказа; поперечная сила
q — скоростной напор; погонная нагрузка; плотность тепло-
вого потока
— надежность ДУ
R — корреляционная функция; радиус обечайки цилиндри-
ческого бака; контактное сопротивление
г — радиус
S — площадь; спектр функций; сдвигающие погонные усилия
SM — площадь миделя
S6 — баллистический коэффициент
Тх — технология создания
Т — период колебаний; температура; погонные усилия (ме-
ридиональные, окружные)
Ткр — критическая несущая способность
6
t — время
U(t) — вектор управления
V — скорость полета; объем
Уо — скорость при разделении
VK — скорость ракеты в конце активного участка полета
VH — требуемая круговая скорость на круговой орбите высо-
той Н
Уид — идеальная скорость (скорость по Циолковскому)
Уаэр — аэродинамические потери в скорости
Уграв — гравитационные потери в скорости
У — коэффициент вариации действующих напряжений
Ум — коэффициент вариации предела прочности материала
W — скорость ветра
х — величина аэродинамического сопротивления
Y — подъемная сила
Y(t) — условия функционирования
Ц — цена
а — угол атаки; коэффициент затухания; степень подкреп-
ленности
Р — угол (центральный)
у — уровень доверительной вероятности; скоростной угол
крена
Уду — удельная масса ДУ
5 — дельта-функция; толщина обечайки
5Л — логарифмический декремент затухания
50 — толщина пластины вафельной оболочки
бреб — толщина ребра
е — деформация
£ — коэффициент демпфирования
ц — коэффициент запаса прочности
т| — скорость поворота плоскости мерного горизонта
т|д — коэффициент динамичности
— коэффициент вовлечения k-й формы
т|г — коэффициент запаса по ресурсу
ц — коэффициент податливости; погонная масса
цпг — относительная масса полезного груза
— относительная масса конструкции i-й ступени
цк- — относительная масса конструкции i-ro разгонного блока
цСу — относительная масса системы управления
цпр — относительная масса прочей конструкции
7
0 — угол наклона вектора скорости к местному горизонту;
угол наклона ребра к оси бака
3 — угол тангажа
0пр — программа угла тангажа
X — долгота; удлинение обечайки; теплопроводность
v — показатель степени в законе горения
П — гидравлический периметр
р — плотность
с — среднеквадратическое отклонение; напряжение
[с] — допускаемое напряжение
<зь — предел прочности
ср — расчетное напряжение
сэ — эквивалентное напряжение
Ф — потенциал скорости жидких частиц; функционал
ср — собственная форма колебаний; фазовая характеристика
Q — пространственная угловая частота
со — круговая частота колебаний; угловая скорость
соА — собственная частота колебаний fe-го тона
со — безразмерная частота
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
AKA — автоматический космический аппарат
АКС — авиационно-космическая система
АРК — авиационно-ракетный комплекс
АС — автомат стабилизации
АФЧХ — амплитудно-фазовая частотная характеристика
АЧХ — амплитудно-частотная характеристика
БР — баллистическая ракета
БЦВМ — бортовая цифровая вычислительная машина
ВКС — воздушно-космический самолет
ДЗ — двигатели запуска
ДКИ — двигатели коррекции импульса
ДСО — двигатели стабилизации и ориентации
ДУ — двигательная установка
ЖРД — жидкостной ракетный двигатель
ИСЗ — искусственный спутник Земли
КА — космический аппарат
КМ — композиционный материал
КСП — комплекс средств преодоления
ЛА — летательный аппарат
МАКС — многоразовая авиационно-космическая система
МД — маршевый двигатель
МКС — международная космическая станция
ММ — математическая модель
МРБ — многоразовый разгонный блок
МТКА — многоразовый транспортный космический аппарат
МТКС — многоразовая транспортная космическая система
NASA — национальное управление по аэронавтике и иссле-
дованию космического пространства (США)
ОЗТ — обратная задача теплопроводности
ОС — орбитальная станция
ОТС — организационно-техническая система
ПО — приборный отсек
9
РБ — разгонный блок
РДТТ — ракетный двигатель твердого топлива
РИТЭГ — радио-изотопный теплоэлектрогенератор
РК — ракетный комплекс
РКС — ракетно-космическая система
РКТ — ракетно-космическая технология
PH — ракета-носитель
СА — спускаемый аппарат
СД — средства доставки
СЗ — солнечный зонд
СК — стартовый комплекс
СНОБ — система наземного оснащения и базирования
СО — средства оснащения
СОТР — система обеспечения теплового режима
СП — стартовая позиция
СР — ступень разведения
СУ — система управления
СЭП — система энергопитания
ТБ — траекторный блок
ТЗ — тепловая защита
ТЗМ — теплозащитные материалы
ТЗП — теплозащитное покрытие
ТС — техническая система
ТНА — турбонасосный агрегат
ФЧХ — фазочастотная характеристика
ЭВМ — электронно-вычислительная машина
ЭВТИ — экранно-вакуумная теплоизоляция
РАЗДЕЛ I
Методы решения
проектно-конструкторских задач
при разработке баллистических ракет
Глава 1
Методическая база решения
проектно-конструкторских задач
1.1. Основы системотехники
как методической базы решения
проектно-конструкторских задач
Появление того или иного научного знания связано с обоб-
щением опыта деятельности людей. Системные вопросы начали
интересовать исследователей на определенном этапе развития
представлений об окружающем нас мире, когда возникла про-
блема управления реализацией сложных проектов, когда наря-
ду с естественными объектами возникли новые искусственные
образования — организационно-технические системы (ОТС). Мир,
в котором мы живем, наполнен такими объектами, и среду обита-
ния можно назвать техносферой.
СИСТЕМОЛОГИЯ — научная дисциплина, предметом которой
является изучение сложных технических и организационно-тех-
нических систем с целью определения рациональных путей раз-
работки, создания (производства), а также эксплуатации и раз-
вития.
Системологию можно рассматривать как развитие теории
технических систем, системотехники. Такое развитие связано с
расширением предметной области исследований, с появлением
новых задач проектирования и управления развитием, с разра-
боткой методических приемов их решения.
Как известно, целями любой естественнонаучной дисципли-
ны являются описание, объяснение, предсказание свойств соот-
11
ветствующих объектов. Для системологии, кроме этого, акту-
альными становятся вопросы проектирования новых объектов,
планирования реализации и управления разработкой, создани-
ем, функционированием и развитием.
Можно сказать, что системология — наука и искусство пос-
тановки и решения задач проектирования, разработки, созда-
ния и эксплуатации сложных технических и организационно-
технических систем.
Становление и развитие любой теории в конце концов связа-
но с потребностями практики. Системология обобщает опыт
конкретных технических наук, способствует их развитию, оп-
ределяя общие фундаментальные закономерности и методиче-
ские приемы.
В основе системной методологии лежит определенная миро-
воззренческая позиция. Основной материалистический и ди-
алектический подход при изучении объектов природы дополня-
ется представлением о системной организации.
При системном подходе используется представление об объ-
екте как о сложной системе, которая состоит из множества
(комплекса) элементов (подсистем), и одновременно является
элементом системы более высокого уровня. При взаимодейст-
вии это множество элементов образует устойчивое сочетание —
систему, которая обладает свойствами, отличными от суммы
свойств входящих в нее элементов (так называемыми системны-
ми свойствами). Системные свойства проявляются в процессе
функционирования объектов, зависят от свойств элементов
(подсистем), структуры и многообразия связей.
Изучение (проектирование) сложных систем должно прово-
диться с учетом особенностей системы, ее структуры и свойств
подсистем, многообразия внешних и внутренних функциональ-
ных связей, динамики их во времени, а также диалектики пред-
ставлений. Опыт показывает, что при проведении соответст-
вующих исследований возникают определенные методологиче-
ские трудности. Использование приемов анализа — синтеза,
изучение объекта по частям не позволяет определить системные
свойства целого. При моделировании системы в целом возника-
ет проблема размерности. Вопросы методологии системных ис-
следований, актуальных и сегодня, обсуждаются в ряде работ
[1...39].
Значительное развитие системные представления получи-
ли в XX в. Пионерами в этой области были российские и зару-
бежные ученые А. А. Богданов (Малиновский) [10], В. И. Вер-
надский [35], фон Берталланфи [36], Крон [31]. Несомненно, сис-
12
темной методологией владели выдающиеся конструкторы, разра-
ботчики новой техники (в PKT С. П. Королев, В. П. Бармин,
Н. А. Пилюгин и др.), а также крупные руководители пред-
приятий, организаций государства. В 70—80-е годы прошлого
столетия вышли работы М. И. Сетрова [6], Д. Н. Щеверова [1, 2],
М. Месаровича [21], Э. Квейда [26], Г. Честната [27] и др. Прове-
дением системных исследований и развитием системной методо-
логии занимаются научные центры: Институт системных иссле-
дований в России, Rend Corp, в США, Центр системного проекти-
рования (в ЦНИИМАШ). Семинары по системной проблематике
проводят Российская академия космонавтики, Федерация космо-
навтики и другие, на многих предприятиях созданы отделы, ла-
боратории системного анализа.
В последнее время область системных исследований расширя-
ется. Системология занимается вопросами проектирования и уп-
равления развитием организационно-технических систем, анали-
зом условий существования, безопасности и устойчивого функцио-
нирования таких систем. Системный подход во многих случаях
дает возможность объяснить и предсказать процессы, функции,
связи, определить целевые установки, позволяет достаточно обо-
снованно ставить и решать соответствующие задачи проектирова-
ния и управления.
Представление о системах в определенной мере относитель-
но. Система сама может являться подсистемой более сложной
системы, и в то же время подсистемы данной системы сами мо-
гут быть сложными. Рассмотрим примеры технических и орга-
низационно-технических систем с целью выявления особеннос-
тей их формирования.
На рис. 1.1... 1.3 показаны структурные (морфологические)
схемы: ОТС — ракетно-космическая система (РКС); техниче-
ская система — ракета-носитель (PH); ОТС — предприятие.
РКС — это совокупность технических средств и техническо-
го персонала (организации), которые функционируют совмест-
но и позволяют доставить космический корабль на орбиту и
выполнить операции в космосе. Операция — это конечная со-
вокупность действий, необходимых для достижения заданной
цели. Предприятие (завод) — это объединение технических уст-
ройств и обслуживающего персонала (организации), которые
при совместном функционировании перерабатывают поступаю-
щие материалы, информацию, энергию и производят изделия,
новые материалы, информацию, энергию. PH — совокупность
технических устройств, которые при совместном функциониро-
вании по заданным программам обеспечивают движение полез-
13
ного груза по определенной траектории и доставку груза в за-
данную точку пространства.
Из приведенных примеров видно, что для систем любой при-
роды характерно наличие многих элементов, между которыми
происходит взаимодействие и при решении общей задачи обес-
печивается многофункциональный обмен.
• управление
развитием
ЦУП, РКС
• планирование
и управление
развитием
космических
операций
• командно-
измерительный
комплекс
(КИК)
• координа-
ционно-вычис-
лительный
центр (КВЦ)
• поисково-
спасательный
комплекс
(ИСК)
Орбитальный космический
комплекс
Рис. 1.1. Организационно-техническая система — РКС
14
Рис. 1.2. Техническая система — PH
Управление Техника+технология+ технический персонал Материальное обеспечение
• функционированием • развитием организации • безопасностью • заготовка • изготовление • сборка • испытание • реализация • энергия • материалы • информация • производственные кадры
Рис. 1.3. Организационно-техническая система — предприятие
15
1.1-1- Особенности формирования систем
Система представляет собой совокупность технических эле-
ментов, разных по физической природе частей и функциони-
рующих совместно людей. Для такой совокупности характерен
следующий принцип: свойства целого больше суммы свойств со-
ставляющих частей. Чем в большей степени это справедливо,
тем выше уровень организованности системы. В то же время, ес-
ли свойства целого равны сумме свойств частей, то система
нейтральна, если свойства целого меньше суммы свойств час-
тей, то система является неорганизованной.
Системы могут быть естественными (природными) и искус-
ственными, созданными и функционирующими с участием че-
ловека. Если в системе присутствует человек, организация (сис-
тема) является организационно-технической (ОТС), при отсутст-
вии человека — технической (ТС) или кибернетической.
Анализ показывает, что в смысле жизнестойкости ОТС мо-
гут иметь преимущества по сравнению с ТС из-за возможности
генерирования и расширения целевых установок, управленче-
ских воздействий, направленного формирования области воз-
можных решений.
Выделяют системы, в которых технические элементы прак-
тически отсутствуют; такие системы называют организацион-
ными (ОС). Иногда используется понятие автоматизированная
ОТС (АОТС) [2]. Это такие ОТС, для выполнения некоторых опе-
раций в которых используют средства автоматизации. Введение
такого понятия мало что дает. Если все операции выполняются
автоматически, то это техническая кибернетическая система,
если только часть, — это ОТС. Далее понятие АОТС не исполь-
зуется.
ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ МЕХАНИЗМЫ. Для систем справедлив
принцип вложения (конъюгации по Богданову). На рис. 1.2 по-
казана ТС — ракета-носитель. Она входит как подсистема в
ОТС — ракетный комплекс (РК). В свою очередь ОТС — РК вхо-
дит как элемент (подсистема) в ОТС более высокого уровня —
ракетно-космическую систему (РКС).
Справедливо также утверждение, что если система яв-
ляется подсистемой S и жизнестойка, то ее структура рекурсив-
на S.
Другой организационный механизм определяется как прин-
цип принадлежности, вхождения элементов данной системы в
другую (другие) как элемента. Так, в примере на рис. 1.1 под-
системы КИК, КВЦ, ПСК входят как в РКС, так и в ОКК.
16
Из приведенных принципов следует, что:
► представление о системе относительно; оно может быть раз-
лично и меняться в зависимости от позиций и целей исследо-
вания;
► если речь идет об активно функционирующих подсистемах,
самостоятельно определяющих целевые установки, способ
действия и др. (т. е. подсистемах, в которых присутствуют
человек, организация) и входящих одновременно в несколь-
ко более общих систем, то, прогнозируя действие этих под-
систем, следует иметь в виду возможное несовпадение целей
подсистем с решением задач функционирования более об-
щих систем. Отсутствие необходимых управленческих воз-
действий может привести к неадекватным действиям подсис-
темы по отношению к одной из общих систем и к ее распаду.
Система как таковая проявляет себя в процессе становления,
функционирования, взаимодействия, развития. Представления о
системах и процессах их функционирования и развития взаимо-
связаны. В общем случае можно утверждать, что процесс зарож-
дения, жизни и гибели систем бесконечен. При этом в замкнутой
области выполняются законы сохранения массы, энергии, ин-
формации. В открытой области, очевидно, это не так. В то же вре-
мя сроки существования отдельной системы ограничены. По про-
явлению функциональных свойств системой обычно выделяют
периоды становления, активного функционирования и затухания
(гибели). Сроки жизни более общей (более сложной) системы мо-
гут превышать сроки жизни входящих в нее подсистем.
Развитие и функционирование каждой системы взаимообус-
ловлено и соотносится с развитием окружающих систем. По ха-
рактеру взаимного влияния можно говорить о ближнем и даль-
нем окружении системы.
Разработчик, проектант формирует новые системы ОТС, ко-
торые должны существовать в окружении других систем. Созда-
ние новых ОТС может привести к гибели (отмиранию) ранее со-
зданных искусственных или иных систем. Среда, окружающие
системы могут отрицательно действовать на вновь вводимую
систему и даже отторгать ее. Изучение процессов такого взаимо-
действия, установление связей и их динамики, управление раз-
витием системы — важная и сложная задача.
1.1.2. Структура системы
Анализ показывает, что в общем случае организационная
структура системы включает подсистемы управления, техниче-
ского и технологического наполнения, информационного, мате-
17
м1
э1
и1
к1
м2
э2
Подсистемы управления функционированием и развитием Подсистемы, реализующие технику и технологию, решение основных целевых задач Подсистемы материального, энергетического, информационного обеспечения, подготовки квалифицированных исполнителей
Рис. 1.4. Структура ОТС
риального, энергетического обеспечения (рис. 1.4). Подсистемы
управления формируют соответствующие управленческие воз-
действия при функционировании, организационном развитии
системы в случае изменения внешних и внутренних связей, а
также при решении задач безопасности. Технические и техноло-
гические структуры включают подсистемы и элементы, кото-
рые связаны с техникой и технологией решения основных за-
дач, для которых предназначена система. Обеспечивающие под-
системы включают элементы, поставляющие информацию,
энергию, материалы и другие ресурсы, необходимые для эффек-
тивного существования и развития системы. Наряду с представ-
ленной полной системой могут существовать неполные (откры-
тые) системы, в которых отсутствуют отдельные подсистемы.
Например, в системе могут отсутствовать обеспечивающие под-
системы. Тогда существование такой системы прямо зависит от
действий другой, поставляющей ресурсы системы.
При анализе процесса создания систем рассматривают взаи-
модействие создающей (ОТС1) и создаваемой (ОТС2) систем.
ОТС1 включает в себя отдельные подсистемы — НИИ, КБ, испы-
тательные базы, опытные заводы, серийные производства, каж-
дая из которых и все вместе функционируют по определенному
алгоритму, потребляя материалы, энергию, ресурсы, и создают
продукт — ОТС2. ОТС1 могут создавать подобные себе объекты,
а также свои подсистемы для того, чтобы решать новые задачи
или повышать эффективность решения стоящих задач.
ОТС2 могут функционировать отдельно от ОТС1. Возможно
также совместное функционирование на отдельных этапах. На-
18
Рис. 1.5. Схема взаимодействия ОТС1 и ОТС2
пример, при модернизации ТКС (ОТС2) подключаются ОТС1 —
заводы-производители для создания заменяемых подсистем.
Обычно ОТС1 настраивается на создание определенного типа
продукции — ОТС2. При создании более совершенных ОТС2 ви-
доизменяется также ОТС1, т. е. процессы развития техники
(ОТС2) и технологии (ОТС1) являются взаимообусловленными и
взаимостимулирующими. Переход на производство новых изде-
лий (ОТС2) связан с многоплановыми изменениями в ОТС1 (мо-
гут меняться управление, техника и технология ОТС1, потреб-
ляемые материалы, ресурсы, кадры специалистов), что следует
иметь в виду при решении вопросов конверсии.
Схема взаимодействия ОТС1 и ОТС2 показана на рис. 1.5.
Для продления сроков функционирования ОТС1 необходимо
обеспечить выпуск эффективной продукции — ОТС2. При про-
чих равных условиях повышение эффективности ОТС2 связано
с уменьшением затрат на изготовление. Для этого проводится
выбор рациональных параметров ОТС2. Комплексная оптими-
зация параметров ОТС2 и процесса отработки также позволяет
снизить затраты на реализацию проекта.
1.1- 3- Принципы регуляции, саморегуляции
и существования системы
В [2] дано определение системы и сформулированы основные
принципы существования и развития систем.
Анализ показывает, что для обеспечения жизнестойкости
систем необходимо выполнение следующих принципов их орга-
низации и существования:
► принципа совместимости частей системы, а также данной
системы с другими как условие возникновения и сохранения
системы;
19
► функциональных принципов регуляции (сохранения) сис-
тем — актуализации функций элементов системы, сосредо-
точения функций целого и принципа нейтрализации дис-
функций;
► принципа совершенствования организации (лабильности),
приспосабливаемости, подвижности функций при измене-
нии внешних условий.
При отсутствии воли функционирование, взаимодействие и
развитие систем происходит в соответствии с принципами само-
организации. При этом выполняются основные законы сохране-
ния массы, энергии, количества движения, законы диалекти-
ки — переход количества в качество, закон отрицания отрица-
ния и др. Выполняются принципы существования — совмести-
мости, актуализации и сосредоточения функций, уменьшения
дисфункций и лабильности. Развитие в общем случае носит слу-
чайный стохастический характер.
Там, где есть воля, определенные запасы материалов, энер-
гии, опыта, идей, может быть реализовано относительно направ-
ленное развитие систем и объединений систем.
Необходимо подчеркнуть взаимосвязь вопросов самооргани-
зации и управляемого развития, которая по-разному реализуется
в пространстве и времени (в большом и малом). Управляемое раз-
витие в общем случае деформирует среду, приводит к перераспре-
делению массы, энергии, к появлению новых систем, которые
воздействуют на окружающие и вызывают многофункциональ-
ный обмен. Важно подчеркнуть, что возможно также подчинение
развития данной системы действиям, выполняемым другой сис-
темой, обладающей волей или более сильной волей. Очевидно, об-
щий случай направленного развития включает волевое и органи-
зационное противодействия.
При управлении развитием реализуются принципы сущест-
вования и самоорганизации, а также принципы существования
управляемого развития. Последние включают:
► оптимальное управление развитием (системой и окружени-
ем в допустимых пределах) с целью продления сроков су-
ществования, эффективного развития, повышения безопас-
ности, независимости обеспечения;
► учет неопределенностей динамики связей (внешних и внут-
ренних) и последействия;
► экономию материалов, энергии, ресурсов;
► эффективное противодействие другой воле или рациональный
компромисс при частичном или полном совпадении интересов.
Принципы существования важны при анализе развития сис-
тем. Остановимся на них подробнее.
20
ПРИНЦИП СОВМЕСТИМОСТИ КАК УСЛОВИЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
И СОХРАНЕНИЯ СИСТЕМ. СОВМЕСТИМОСТЬ — это общность
свойств объектов, обеспечивающая возможность их взаимодей-
ствия. Система может возникнуть только тогда, когда свойства
ее элементов соответствуют условиям ее сохранения, т. е. части
соответствуют целому. Для любой системы характерна функ-
циональная обусловленность взаимодействия составляющих объ-
ектов (подсистем). В связи с этим важным является представле-
ние о функции объекта системы. ФУНКЦИЮ в системном ее пони-
мании можно определить как отношение части к целому, при
котором само существование или какой-либо вид проявления
части обеспечивает существование или какую-либо форму про-
явления целого.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СВЯЗЬ — форма взаимодействия между
различными элементами целого, при выполнении которой со-
стояние и поведение этих элементов взаимообусловлены, а цепь
причин и следствий замкнута.
ПРИНЦИП АКТУАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ ЭЛЕМЕНТОВ. Этот прин-
цип выражается в подходе к организации как к непрерывному
процессу становления функций ее элементов. Степень функ-
циональности всех свойств элементов (функциональной обус-
ловленности) может отражать степень организованности систе-
мы как совокупности объектов, свойства которых проявляются
как функции сохранения и развития этой совокупности.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ РЕГУЛЯЦИИ СИСТЕМ. В ре-
зультате изменения действия среды свойства и функции эле-
ментов системы изменяются. Относительно основной функции
целого они могут иметь функциональный, дисфункциональный
и нейтральный характер.
В соответствии с принципом Ле Шателье саморегуляция за-
ключается в том, что при внешнем воздействии на систему в ней
возникают процессы, направленные на сохранение ее относи-
тельного равновесия.
Самым общим механизмом регуляции оказывается непрерыв-
ный процесс нейтрализации дисфункций. С учетом общего функ-
ционального характера такой способ поддержания организации
может быть назван принципом нейтрализации дисфункций.
Анализ показывает, что имеет место закономерность отно-
шений в развитии функций, направленная на усиление и осу-
ществление основной функции поддержания жизни (существо-
вания). Отсюда принцип сосредоточения функций целого.
ПРИНЦИП СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ОРГАНИЗАЦИИ. Если прин-
ципы актуализации и сосредоточения отражают необходимость
регуляции функциональных свойств, возникающих в процессе
21
развития и сохранения организации, то изменение соотношения
устойчивости структуры и подвижности (лабильности) ее функ-
ций отражает направленность процесса организации на ее пере-
ход на более высокий уровень. Такое понимание процесса совер-
шенствования организации названо принципом лабильности.
Организованность системы тем выше, чем выше устойчивость
структуры ее элементов и лабильность их функций, направлен-
ных на сохранение специфических свойств и функций целого.
1.1.4. Принципы направленного развития системы
при наличии воли и управления
ПРИНЦИП ЭКОНОМИИ РЕСУРСОВ. Существование системы в
динамической среде длительное время возможно при обеспече-
нии условий существования, для чего проводятся специальные
мероприятия, расходуются материалы, энергия и другие ресур-
сы. При конечности ресурсной базы в замкнутой системе выпол-
нение принципа экономии ресурсов способствует длительности
существования системы (организации). Реализация этого прин-
ципа для открытых систем означает установление определенных
отношений с окружающей средой. С позиции надсистемы опре-
деляют цену реализации системой основных функций, влияние
ее на совместимость и величину дисфункции последней.
ПРИНЦИП РАЦИОНАЛЬНОСТИ (ОПТИМАЛЬНОСТИ) УПРАВЛЕ-
НИЯ. Этот принцип тесно связан с предыдущим (как, впрочем, и
с другими). В случае, когда возможны различные способы обес-
печения условий существования и регуляции системы, должны
выбираться рациональные, т. е. требующие минимального рас-
хода ресурсов.
Выполнение основных функций организацией (системой) в
надсистеме или при взаимодействии с динамической средой с
ограниченными ресурсами возможно при реализации рацио-
нального управления. Поэтому принцип оптимальности дейст-
вий и рационального управления является одним из основных
принципов организации существования систем.
ПРИНЦИП ПРОДУКТИВНОСТИ. Существование системы может
быть обусловлено существованием однотипных систем. В этом
случае выполнение принципа продуктивности означает высокое
(нарастающее) качество воспроизводства отдельных систем (по-
вышение многосвязанности и многофункциональности входя-
щих подсистем). Для организации выполнение принципа про-
дуктивности означает также разнообразие способов реализации
функций целого.
ПРИНЦИП ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ. В той или иной
мере системы взаимодействуют с окружающей средой. Выпол-
22
нение системой главных функций обычно сопровождается по-
бочными эффектами, воздействующими на окружающую среду
(отходы производств и пр.). Недопустимые воздействия, приво-
дящие к отрицательным сдвигам в среде, ухудшают условие су-
ществования этой системы, а также других систем.
1.1.5- Основные принципы исследования перспектив
развития сложных организационно-технических систем
Анализ вопросов существования сложных систем позволяет
сформулировать общие принципы исследования перспектив
развития сложных организационно-технических систем:
► научный анализ динамики факторов, определяющих разви-
тие техники и технологии, выявление приоритетных на-
правлений научно-технического прогресса;
► конструктивное управление научно-техническим развитием,
которое предполагает, прежде всего, активный, заинтересо-
ванный поиск и продвижение решений, включающее прогно-
зирование, проектирование, планирование, управление раз-
работкой и реализацией проектов. Конструктивное управле-
ние носит многоуровневый и комплексный характер, т. е.
реализуется взаимоувязанный многофакторный анализ на
всех уровнях управления, проводится учет динамики связей
и представлений, при выработке решений учитываются фак-
торы неопределенности и риска. При конструктивном управ-
лении принимается во внимание взаимообусловленный ха-
рактер развития создающей системы и создаваемых систем,
принимаются эффективные решения для совершенствования
создающей системы (в частности, совершенствования методо-
логии конструктивного управления);
► учет факторов внешней и внутренней безопасности. К внешней
относят факторы безопасности создающей системы (ОТС1) и
надсистемы (окружающей среды) — экономические, социаль-
* ные, политические, военные, экологические. Внутренняя без-
опасность — это защищенность создаваемой системы от факто-
ров внешнего воздействия.
Как видно, общие принципы исследования перспектив раз-
вития сложных систем связаны с проблемой существования и
развития создающей системы. Эти принципы взаимосвязаны.
Исследование перспектив развития техники должно носить на-
учный характер, т. е. базироваться на материалистических и ди-
алектических представлениях, на достижениях фундаменталь-
ной науки, техники и технологии, а также проводиться с целью
выработки эффективных решений по реализации проектов.
23
1.2. Проектное моделирование сложных систем
При изучении объектов природы, процессов, происходящих
в окружающем мире, используют различные методы непосред-
ственных исследований (измерение, анализ, синтез) и приемы
моделирования, когда необходимо создание подобия реального
объекта — модели. Во многих случаях моделирование является
инструментом познания. В настоящее время понятие модели
широко интерпретировано: модель является и предметом, и ме-
тодом, а в некоторых случаях и результатом исследований.
Различают модели идеальные — математические, реаль-
ные — физические и комбинированные (когда часть модели ре-
альна, часть — идеальна). При изучении, проектировании слож-
ных систем применяют в основном математическое моделирова-
ние.
Гносеологические вопросы моделирования обсуждаются
многими исследователями [31]. В данном случае остановимся на
особенностях проектного моделирования сложных систем.
Под математической моделью понимают математическое опи-
сание сущности явлений, которое позволяет объяснить, предска-
зать, управлять, проектировать поведение объекта.
При проектном моделировании разработчика интересуют
функциональные свойства объекта, которые получатся при при-
нятых технических, технологических, организационных пара-
метрах и заданных условиях применения объекта. Его также
интересует, как будут меняться функциональные свойства при
изменении указанных параметров и условий.
Цель проектных исследований — найти рациональные пара-
метры, определяющие технические, технологические, органи-
зационные решения — П, Тх, P(t), при которых функциональ-
ные свойства объекта являются наилучшими. Так как реализа-
ция проекта связана с выполнением определенного объема
работ, затрат материалов, энергии и других ресурсов, то очевид-
но, что при сравнении вариантов проектных решений необходи-
мы оценки этих затрат. Поэтому проектные модели содержат
соотношения, определяющие функциональные свойства объек-
та, а также затраты на реализацию.
В общем случае проектная задача, для решения которой
формируется проектная модель, может быть записана следую-
щим образом:
Ж(П, Тх, P(t)) max;
С(П, Тх, P(t)) < Сзад;
(П, Тх, Р(0) е G,
24
где VK( •) — целевая функция; П, Тх, P(t) — параметры и функ-
ции управления; С( •) — внешняя функциональная связь; G =
= {(П, Тх, fi(H, Тх, P(t)) > 0; I = 1, ...,£} — область возмож-
ных решений; /[(*) — функции связи внутренние и внешние.
ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ— это соотношение, определяющее значе-
ние показателя качества объекта при заданных параметрах уп-
равления и других факторах (начальных, случайных, опреде-
ляющих).
ПАРАМЕТРЫ УПРАВЛЕНИЯ— это параметры, от выбора кото-
рых зависит качество объекта и которые разработчик может ме-
нять произвольным образом в заданной области возможных ре-
шений G.
ФУНКЦИИ СВЯЗИ (или функциональные связи) — зависимос-
ти, определяющие область изменения параметров управления.
Остановимся на особенностях проектного моделирования. В ли-
тературе в основном уделяется внимание анализу модели управ-
ления объектом [2, 23, 29]. Модель формируется исследовате-
лем для поиска рационального управления данным объектом.
При разработке модели он изучает объект управления, устанав-
ливает исходное состояние параметров (По), выходные показа-
тели (Пв), факторы, влияющие на функционирование (cp(t) —
функция управления, ^(t) — случайные воздействия). По ре-
зультатам такого анализа формируется модель, которая только
в определенной мере отражает объективную реальность — объ-
ект управления (рис. 1.6). В общем случае имеет место отличие
Рис. 1.6. Схема моделирования при управлении объектом
25
реально реализуемых показателей По, Пв, cp(t), fyt) от их модель-
ных представлений (могут различаться состав и размерность со-
ответствующих векторов, значения отдельных показателей).
Построить модель процесса управления объектом — значит
установить зависимость
п; = лщ,Ф'(ОЛ'(О). (1.1)
Так как присутствуют случайные воздействия ^(t), то модель
управления является в общем случае стохастической. Значения
выходных показателей — тоже случайные величины.
Оценка точности модели проводится путем сравнения вы-
ходных показателей, полученных на модели и на объекте:
|Щ- Щ| = ДПВ;
определение ДПВ проводится при заданных значениях началь-
ных параметров функций управления и случайных воздействий:
|п;- щ| <д1;
1ф'(*)-ф(О| < Д2;
|^'(0-ад1 < д3,
где Др Д2, Д3 — относительно малые наперед заданные величи-
ны, определяющие адекватность модели объекту.
При проектном моделировании дело обстоит несколько слож-
нее. На начальном этапе работ объект моделирования отсутству-
ет. Проектную модель формируют, используя опыт предыдущих
разработок. На выходные показатели при функционировании
моделируемого объекта влияют параметры управления (выби-
раемые параметры создаваемого объекта и функции управления
им при использовании) и факторы внешних воздействий.
На величину выходных параметров влияют значения пара-
метров, определяющих внешние связи моделируемого объекта
(который как подсистема входит в систему более высокого уров-
ня), а также определяющие параметры, значения которых зави-
сят от темпа научно-технического прогресса. Проектная модель
объекта показана на рис. 1.7. Сформировать проектную модель —
значит установить зависимость
Пв = Пв(Пу(О, ф(0, &), K(t), P(tnp)), (1.2)
где Пу(£) — параметры управления; ср(£) — функция управления
объектом; ^(t) — случайные воздействия; K(t) — параметры
внешних связей; 0(£пр) — определяющие параметры.
Проектная модель, так же как и модель управления, являет-
ся стохастической из-за наличия случайных или неопределен-
ных воздействий ^(t). На практике для упрощения проектного
26
Рис. 1.7. Схема проектного моделирования
моделирования используют принцип стохастического детерми-
нирования, полагая, что £,(£) = и от стохастической моде-
ли (1.2) переходят к детерминированной.
Проектная модель является динамической. Факторы, кото-
рые влияют на Пв, могут меняться со временем. Причем времен-
ной фактор в проектной модели рассматривают в разных аспек-
тах. Учитывают момент реализации проекта — время проекти-
рования £пр, время процесса реализации проекта t, время
^функционирования создаваемого объекта т.
По мере реализации проекта уточняются Пу(£), ф(0, £,(0,
K(t), Р(£пр), а также уточняется зависимость, определяющая вы-
ходные показатели Пв = Пв(Пу(£), ф(0, ^(0, K(t)9 P(tnp)). Проект-
ное моделирование в общем случае связано с поиском Пу(£) и
ф(£), поэтому задача проектного моделирования шире задачи уп-
равления объектом.
Представление о точности проектного моделирования носит
динамический характер. Оценка точности проектной модели
проводится по величине разброса (среднеквадратического от-
клонения) выходных показателей стПу. Очевидно,
СПВ = ЛПу(0, ф(0, ^(0, срапр), 8(0), (1.3)
где — среднеквадратическое отклонение случайных воз-
действий; aK(t) — среднеквадратическое отклонение случайных
27
Рис. 1.8. Изменение выходных
показателей и точности их
оценки при проектном
моделировании
внешних связей; иР(£пр) — сред-
неквадратическое отклонение слу-
чайных значений определяющих
параметров; е(£) — случайная ве-
личина, обусловленная неточно-
стью определения зависимости
Пв( •). (Замечание: при такой за-
писи речь идет о поиске решения
в чистых стратегиях).
Проектные исследования но-
сят итерационный характер. Из-
менение выходных показателей
Пв по мере реализации проекта показано на рис. 1.8. До момен-
та t* реальный объект отсутствует и значения (и точность) вы-
ходных показателей прогнозируются. В период (t** - t*) объект
реализуется в частях. Данные физических экспериментов по-
зволяют уточнить проектную модель, значения выходных пока-
зателей. После момента t** проводятся уточнения проектной мо-
дели по данным, полученным при испытании объекта в целом.
В таком случае при поиске проектных решений актуальны
вопросы:
► эффективного уточнения оценок выходных показателей;
► выбора решения с учетом риска (т. е. оценка вероятности то-
го, что Пв выйдет за допустимую область).
1.2.1. Принцип пространственно-временной
относительности проектного моделирования
Проектные модели формируются на этапах разработки с
целью решения определенных задач.
По мере разработки вносятся изменения в проектируемый
объект, одновременно уточняются представления разработчика
о задачах, факторах, условиях функционирования объекта.
Любая проектная модель отражает объективную реальность
и выполняет функцию описания, объяснения, предсказания,
являясь, по сути, относительной в пространстве (по отношению
к разрабатываемому объекту) и во времени:
M(t) = (1.4)
где M(t) — модельное отображение; U(t) — задачи представле-
ния исследователя; 0(£) — основные характеристики объекта.
Другими словами, проектные модели отражают объектив-
ную реальность и определяют свойства объекта по существу и
точности — относительны в пространстве и времени, зависят от
28
позиции и целей разработчика, меняются из-за динамики сре-
ды. Это и есть принцип пространственно-временной относитель-
ности проектного моделирования.
Из этого принципа вытекает следующее:
► при формировании разработчиком модели объекта опреде-
ляющими моментами являются этап исследования, уровни
детализации и цели анализа (например, модели для опреде-
ления массы конструкции ТО: на уровне ЛА mk = аТ0тт; на
уровне подсистем ЛА mk = S, И, ом, ...));
► так как имеет место коллектив разработчиков с многоуров-
невой организацией, то справедливо существование ряда мо-
делей объекта, в совокупности представляющих многоуров-
невую модель объекта (или комплексную многоуровневую
модель);
► оценка адекватности модели возможна лишь при определении
позиций и целей исследования (в пространстве и времени);
► при управлении процессом поиска решения проектной зада-
чи необходима система подстройки и адаптации модели.
По-видимому, принцип относительности проектного моде-
лирования следует рассматривать как следствие положений ма-
териалистической и диалектической теорий познания.
1.2.2. Организация проектного моделирования.
Многоуровневая проектная модель
Решение функциональных задач по разработке новой техни-
ки проводят специализированные отделы КБ. Формирование
специализированных отделов и их структур обусловлены особен-
ностями объекта разработки. На рис. 1.9 показана многоуровне-
вая (иерархическая) структура управления разработками КБ.
Построение такой структуры проводится в связи с принятой
морфологической структурой объекта проектирования. Так, для
ЛА можно выделить следующие подсистемы: конструкции кор-
пуса, топливные отсеки, ДУ, СУ. В соответствии с этим в проект-
ной организации выделяют отделы конструкции, топливных от-
секов, ДУ, СУ. Есть отделы, которые занимаются разработкой
ЛА в целом (верхний (i - 1)-й уровень управления). В то же вре-
мя на (i 4- 1)-м уровне управления бригады, сектора занимаются
разработкой агрегатов основных подсистем.
Важно отметить, что на каждом уровне управления разработ-
кой для каждого объекта формулируется и решается своя задача
проектирования. Для проведения необходимых оценок формиру-
ется определенная проектная модель М.. (I — уровень управления
разработкой; j — номер разрабатываемого объекта (подсистемы)).
29
ПРОЕКТНАЯ МОДЕЛЬ — совокупность математических зависи-
мостей, которые позволяют определить функциональные воз-
можности объекта и оценить эффективность, стоимость и трудо-
емкость работ. Проектная модель позволяет рассчитать эти по-
казатели в случае изменения условий реализации проекта.
Объединение проектных моделей разного уровня управления
разработкой UMy называют многоуровневой проектной моделью
объекта. Совокупность моделей Му на разных уровнях детализа-
ции позволяет проводить взаимообусловленный анализ целого и
частей с учетом динамики связей. Организация многоуровневого
проектного моделирования при разработке сложных космиче-
ских проектов — важная научная и практическая задача.
Особенности организации проектных исследований влияют
на структуру и функции подразделений проектного института.
Анализ приведенной схемы (см. рис. 1.9) организации работ по-
зволяет установить структуру связей, исследование которых
Рис. 1.9. Иерархическая многоуровневая
структура управления разработкой в КБ:
---► — связи морфологические, функциональные,
~ присутствия, включения;
J р — процесс анализа проектного моделирования, разработки;
--------— информационные связи, прямые и обратные
30
проводится при формировании проекта. Это морфологические
функциональные связи подсистем в объекте; прямые и обрат-
ные информационные иерархические связи, которые имеют
место между подразделениями КБ; связи, которые определяют
процесс анализа проектного моделирования, разработки ij-й
подсистемы. При записи проектной модели ij-го объекта уста-
навливают также функциональные и параметрические, внеш-
ние и внутренние связи.
1.3. Оценка эффективности техники
при разработке
При создании технических устройств (ТУ) разработчик стре-
мится сделать так, чтобы оно отвечало предъявляемым функ-
циональным требованиям в определенных условиях и чтобы это
устройство и соответствующие технологии были эффективны-
ми, т. е. наилучшими, если имеются альтернативные возмож-
ности реализации. В одних случаях такие решения разработчик
генерирует сам, в других, когда имеет место конкурирующая
сторона, такие альтернативы представляет «жизнь». Исходя из
этого, проектирование следует представлять как поиск рацио-
нального, эффективного, оптимального решения. Конструкто-
ру, проектанту, тем, кто занимается управлением развития тех-
ники и технологии, важно уметь оценивать эффективность тех-
нических решений, технологий выполнения операций.
Остановимся на основных вопросах оценки эффективности
действий, активно формирующих ОТС, в частности, на пробле-
ме оценки эффективности технических решений и технологий
при реализации проектов.
Вопросам оценки эффективности уделяется много внимания
в книгах по проектированию, управлению, по исследованию
различных технических, организационно-технических систем
[12, 16, 28].
Обсуждаются показатели эффективности техники и техно-
логии, приводятся модели их расчета. Как методическое обоб-
щение таких работ формируются научные дисциплины — тео-
рия эффективности ЛА (ТС), исследование операций, теория
принятия решений, теория оценивания (квалиметрия). Дости-
жения этих дисциплин используются в полной мере в системо-
технике — науке, занимающейся вопросами эффективного уп-
равления разработкой, созданием, эксплуатацией, развитием
техники и технологии.
Определение эффективности в большей или меньшей мере
относительно, поэтому имеет смысл говорить о правилах (моде-
31
лях) определения эффективности ТУ лишь в связи с конкретной
позицией исследования. Изменение этой позиции или измене-
ние условий оценки из-за динамики среды (динамики связей) и
представлений о значимости последних у разработчика может
привести к изменению правил. Обобщения имеют смысл лишь в
связи с общностью позиции анализа.
Важным этапом определения эффективности технических,
организационно-технических решений является уяснение пос-
тавленных задач разработчиком, конструктором. Так как в об-
щем случае имеет место определенная динамика, видоизмене-
ние объекта и среды, а также диалектика представлений разра-
ботчика, то прямое решение таких вопросов затруднено.
На практике обычно реализуется процесс определения эф-
фективности принимаемых решений. Учитывая такую особен-
ность и сложность оценки эффективности действий, следует об-
ратить внимание на принципиальные установки, принципы и
политику, которыми руководствуется исследователь, проекти-
ровщик (управленец, политик). Можно говорить о двух позици-
ях в отношении этого процесса. Одна позиция связана с анали-
зом конкретного объекта в определенных условиях. В другом
случае речь идет об изменениях общих представлений об эффек-
тивности разработок, об определении целей и средств действий.
Надо отметить важность анализа динамики общих представ-
лений об эффективности. В определенной мере это связано с по-
вышением ответственности принимаемых решений. Так, при ре-
шении вопросов государственного управления, освоения космо-
са, при решении экологических проблем наметилась тенденция
учета последствий технологической активности, временного ша-
га и накопления эффектов, перехода к «бесконечномерной» вре-
менной шкале, превалирования государственных интересов над
частными.
1-3-1- Системология и вопросы определения целей
и средств их достижения
Проблема оценки эффективности связана с более общими
вопросами определения целей и средств, с представлениями о
полезности действий.
Вопросы определения целей и средств их достижения (в част-
ности, связанных с созданием новой техники) широко обсужда-
ются в литературе по экономике, психологии, философии [8, 37].
Для того чтобы выявить динамику представления о целях и
средствах, об эффективности технических систем, необходимо
связать вопросы оценки эффективности действий и вопросы су-
32
ществования (выживания) и развития ОТС. Функционирование
любой ОТС связано либо с решением поставленных задач (если
ОТС имеет относительно жесткую связь с надсистемой), либо с де-
ятельностью по ее сохранению и развитию. В конечном счете целе-
направленные действия ОТС (человека, бригады, цеха, КБ, отрас-
ли, страны) функционально обусловлены, что побуждает говорить
об эффективности этих действий. В случае, когда функциональное
назначение связано с выпуском продукции, речь идет об эффек-
тивности выпускаемой продукции.
Если ОТС — страна, предприятие — выпускает продукцию,
чтобы реализовать ее на рынке, оценка эффективности дейст-
вий ОТС будет определяться сравнением затрат на проведение
работ и тех поступлений (средств, материалов, услуг и т. п.), ко-
торые будут иметь место (с учетом фактора времени) при реали-
зации. При неотрицательном балансе и при условии рациональ-
ного использования поступающих средств внутри ОТС такие
действия будут способствовать выживанию и развитию послед-
ней и будут тем более эффективны, чем больше этот неотрица-
тельный баланс.
В этом смысле эффективность действий ОТС определяется
тем, в какой мере она способствует существованию и развитию
самой системы.
Для повышения эффективности действие ОТС включает ряд
операций, основные из которых:
► определение направления работ и управление разработкой;
► создание и выпуск продукции;
► реализация продукции;
► рациональное использование поступающих средств.
На эффективность действия в той или иной мере влияет эф-
фективность каждой операции. Одновременно эффективность
действия ОТС связана с эффективностью выпускаемой продук-
ции. Можно иногда пренебречь этим влиянием, например при
плановом ведении хозяйства и выпуске продукции для внутрен-
него потребления, в случае же рыночного хозяйства это влияние
принципиально важно.
Если определены требования к характеристикам продук-
ции, то эффективность продукции определяется величиной за-
трат на ее выпуск. Требования к выпускаемой продукции
предъявляют исходя из необходимости ее реализации, из эф-
фективности (целевой отдачи) со стороны возможного пользова-
теля или посредника. Другой вопрос возникает при оценке эф-
фективности продукции, реализуемой на внутреннем рынке.
Так, действия создающего предприятия должны соответство-
вать интересам развития страны как системы в целом. Напри-
33
мер, производителю может быть выгодно сократить затраты на
разработку определенной продукции, но для государства важ-
но, чтобы суммарные затраты на разработку, создание, эксплу-
атацию и утилизацию техники были минимальными. Заводу
выгодно выпускать машины из дешевого металла (производство
экономично, но срок службы продукции ограничен), а государ-
ству важно удовлетворить определенные транспортные потреб-
ности при минимальных затратах. Противоречие частных и об-
щих интересов разрешается диалектическим образом и часто
требует специальных управленческих воздействий.
Для разработчика новой техники важно понимать особен-
ности оценки эффективности, занимать правильную позицию
при оценке и принятии определенных решений. Это должна
быть государственная позиция, позиция производителя (хозя-
ина), потребителя и, когда необходимо, посредника, которая
должна уточняться по мере изменения условий.
1.3.2- Оценка эффективности и качества разработки
Под эффективностью объекта (создаваемой техники) пони-
мают степень его соответствия назначению, т. е. техника (объ-
ект) эффективна, если она наилучшим образом выполняет зада-
чи, для решения которых создается. Эффективность зависит от
свойств техники, которые определяются показателями качест-
ва, а также от условий применения и способов управления
функционированием. Показатель эффективности в общем слу-
чае можно представить в виде
w = Тх, Р( •), ушт(0, Фшт(0, У(0, <р(0), (1.5)
где Kt( •) — i-e показатели качества техники, которые определя-
ют эффективность и зависят от параметров объекта П, техноло-
гии создания Тх, управления отработкой Р( •); Ушт(0, Фшт(0 —
штатные условия функционирования и управления; У(0, ф(0 —
реально реализуемые условия функционирования и управления
функционированием.
Из (1.5) следует, в частности, что планируемая эффектив-
ность и эффективность, реализуемая на практике к моменту t,
не одно и то же. Эффективность техники изменяется во време-
ни, зависит от динамики условий применения и диалектики
представлений. Неопределенность (или случайность) условий
применения приводит к тому, что оценка эффективности тоже
является неопределенной или случайной величиной. Прогнози-
рование условий применения и определение функции У(0 — од-
на из важных задач при разработке техники. Показатели каче-
34
ства оцениваются при заданных Ушт(0, <Ршт(0- Очевидно, чем
шире область штатных условий функционирования Ушт(0 и
меньше разница Ушт(0 - У(0, тем выше вероятность эффектив-
ного применения техники.
Эффективность техники зависит от показателей качества и
от управления функционированием. На возможности управле-
ния влияют параметры (свойства) управляемого объекта. Чем
сложнее структура и функции последнего, тем шире возмож-
ности управления. Если параметры объекта П, Тх, P(t) заданы,
то эффективность зависит от управления (p(t), и может быть пос-
тавлен вопрос об определении эффективного управления функ-
ционированием. Решением таких задач занимаются, в частнос-
ти, в исследовании операций.
Если принять, что У(0 = У(0зад» ф(0 = ф(0зад. то
W = f [^(П, Тх, Р(О)]. (1.6)
Установление состава Kt( •), функций KL( •), •)) — важ-
ная и актуальная задача и в каждом конкретном случае может
решаться по-разному. Когда сложно установить зависимость
•)), используют следующие приемы:
► метод ограничений, когда выделяют главный показатель ка-
чества и второстепенные; при разработке проектного реше-
ния стремятся улучшить основной показатель при условии,
что величины второстепенных показателей не хуже задан-
ных значений;
► метод свертки показателей качества;
► комбинированный подход, когда для одной части показателей
качества используется метод ограничений, для другой — ме-
тод сверток.
Ниже рассмотрим различные приемы определения показате-
лей качества объекта с точки зрения потребителя, производите-
ля, посредника.
Показателем качества называют объективный показатель,
имеющий количественное выражение, позволяющий определить
свойства объекта и установить, в какой мере он удовлетворяет
предъявляемым к нему требованиям. Качество продукции — со-
вокупность свойств и мера полезности продукции, обусловли-
вающая ее способности удовлетворять общественные и личные
потребности.
Согласно ISO 8402—1994, качество— совокупность харак-
теристик объекта, относящихся к его возможности удовлетво-
рять установленные и предполагаемые потребности.
35
В связи с приведенными определениями следует обратить
внимание на относительный характер представлений о качестве
объекта. Действительно, отношение к свойствам объекта может
изменяться со временем. Требования, предъявляемые к объекту
(продукции, товару), зависят от индивидуума и изменяются со
временем. Так как эффективность зависит от показателей каче-
ства, то оценка эффективности также относительна.
Можно выделить несколько основных групп показателей ка-
чества.
Первая группа — это показатели, определяющие целевые,
функциональные возможности технического устройства. Для ле-
тательного аппарата баллистического типа важными показате-
лями являются масса полезного груза тппг, дальность полета L,
вероятность выполнения задачи Рпро, Р и др. Для двигателя —
масса двигателя тпду, надежность P(t); удельная тяга Руд. Для
корпуса (планера) — масса конструкции тпк, относительный вес
топливного отсека ат о и др.
Вторая группа — показатели, определяющие затраты средств,
энергии, информации, человеческого труда на разработку, созда-
ние и эксплуатацию продукции. Если производитель занят ре-
ализацией продукции, его интересует прибыль — разность между
затратами и ценой продукции; тогда на предприятии должно
иметь место управление, связанное не только с разработкой и со-
зданием, но и с реализацией продукции.
Все большую роль при реализации техники играет фактор
времени. К третьей группе показателей относятся трудоемкость
работ, длительность этапов разработки, создания, эксплуатации,
которые могут влиять на выбор проектных решений, особенно в
условиях конкуренции. Поэтому показатель трудоемкости ис-
пользуется как показатель качества разработки. Трудоемкость
измеряется в человеко-часах и определяет объем трудозатрат на
разработку, создание, эксплуатацию. Если технологии определе-
ны, то речь идет о сроках разработки, создания, о сроках работ
по обслуживанию при эксплуатации.
К четвертой группе относятся показатели производительнос-
ти. При создании техники имеет значение ее производитель-
ность, объем работ, выполняемых в единицу времени, число пу-
сков PH в год и др. По существу, производительность определя-
ет мощность создаваемого оборудования.
Так как оценки затрат С зависят от внешних факторов и не-
надежны, сравнение проводят по трудоемкости изготовления.
В этом случае для выполнения одинакового объема работ долж-
ны привлекаться специалисты одной квалификации.
36
Состав показателей качества, используемых при оценке эф-
фективности техники, меняется с изменением позиции, с кото-
рой проводится анализ. Можно выделить две основные позиции
исследования эффективности и качества техники — позицию по-
требителя (эксплуатационника) и позицию производителя (раз-
работчика, создателя); может иметь место промежуточная пози-
ция — позиция посредника. Посредник заинтересован в функ-
циональных возможностях техники в том объеме, в каком это
соответствует возможности хранения, транспортировки, выгод-
ной перепродажи.
Позиция в оценке качества техники у производителя шире,
чем у потребителя. Для того чтобы реализовать свою продук-
цию, производитель должен знать позицию потребителя (в ка-
кой-то мере прогнозировать развитие этой позиции, а иногда ак-
тивно способствовать, управлять этим развитием, например с
помощью воспитательных мер, рекламы, активной борьбы с
конкурентом, лоббированием и т. д.).
Потребитель заинтересован в высоких функциональных свой-
ствах техники. Основными показателями этих свойств являются
мощность, надежность, управляемость, транспортабельность, эко-
номичность в эксплуатации, производительность, трудоемкость
обслуживания, затраты материалов, энергии, информации при
эксплуатации, возможность модернизации, ремонтопригодность,
инвариантность к области и условиям применения, срок эффек-
тивного использования, утилизируемость, требования к эксплуа-
тирующему персоналу. Если приобретается, например, двигатель
для установки на летательный аппарат, т. е. потребитель являет-
ся, в свою очередь, производителем сложной техники, для него
важно, насколько параметры двигателя согласуются с параметра-
ми ЛА. Кроме этого, его интересует цена приобретаемой техники
и возможность приобретения в нужное время.
Производитель, разработчик, если он заинтересован в реали-
зации продукции, должен ясно представлять запросы пользова-
телей. Если не удается выполнить все требования, нужно вы-
явить главные, обеспечить достаточный уровень других показа-
телей (сообразно существующим возможностям, достижениям
конкурентов). Кроме этого, на этапе оценки качества техники
производителя интересует все, что связано с ее разработкой и
созданием, — денежные затраты, материалоемкость, энергоем-
кость, трудоемкость, объемы и сроки выпуска, технологичность,
степень преемственности, унификация, кадровое обеспечение раз-
работки, производства, перспективность, инвариантность реали-
зуемых технологий. В конечном счете производитель стремится
создать продукцию с определенными свойствами, реализуемую
по определенной цене, затратив минимум усилий.
37
В заключение можно сделать некоторые выводы.
Для того чтобы выявить динамику представления о целях и
средствах, об эффективности технических систем, важно свя-
зать вопросы оценки эффективности действий и вопросы су-
ществования (выживания) и развития ОТС. Действительно, ис-
ходя из общих представлений о системной организации, функ-
ционирование любой ОТС связано либо с решением постав-
ленных задач (если ОТС имеет относительно жесткую связь с
надсистемой), либо с деятельностью по сохранению и развитию
ОТС. В конечном счете целенаправленные действия ОТС (чело-
века, бригады, цеха, КБ, отрасли, страны) функционально обус-
ловлены, что позволяет говорить об эффективности этих дейст-
вий, которая определяется тем, в какой мере она способствует
существованию и развитию самой системы. В этом случае дейст-
вие ОТС включает следующие основные операции: определение
направления работ и управление разработкой; создание и вы-
пуск продукции; реализация продукции; рациональное исполь-
зование поступающих средств. На эффективность действия в
той или иной мере влияет эффективность каждой операции; од-
новременно эффективность действия ОТС связана с эффектив-
ностью выпускаемой продукции.
Под эффективностью объекта (создаваемой техники) пони-
мают степень его соответствия назначению, т. е. техника эффек-
тивна, если она наилучшим образом выполняет заданные функ-
ции (задачи, для решения которых она предназначена). Эффек-
тивность зависит от свойств техники, которые определяются
показателями качества, а также от условий применения и спо-
собов управления функционированием. При проведении оценки
эффективности разработок необходимо учитывать относитель-
ный, динамический и диалектический их характер, наличие
случайных и неопределенных факторов, влияющих на эффек-
тивность. Установление зависимости эффективности от показа-
телей качества объекта, условий применения и управления
представляет обычно сложную проблему. Используются метод
ограничений, метод сверток, комбинированный подход.
Показателем качества называют объективный показатель,
имеющий количественное выражение, позволяющий определить
свойства объекта и установить, в какой мере он удовлетворяет
предъявляемым к нему требованиям. Особенностью является от-
носительный характер оценки и динамика представлений. При
оценке качества продукции различают оценки с позиции произ-
водителя, пользователя (потребителя) и посредника. Выделяют
четыре группы показателей качества объекта, рассматриваемые
при проектировании: показатели функционального совершенст-
38
ва, экономические оценки, показатели трудоемкости работ и
производительности оборудования. Определенную сложность на
практике представляет определение состава показателей каче-
ства разработки, установление зависимостей показателей каче-
ства от параметров объекта, условий функционирования и уп-
равления.
Проблема управления качеством включает вопросы разра-
ботки организационно-технических мер по повышению качест-
ва продукции при ограниченных затратах и управления, разви-
тием технологий. В первом случае, когда проблема управления
качеством рассматривается в относительно узком смысле (огра-
ниченном в пространстве и времени), разработаны эффективные
методы управления качеством. Вопросы управления развитием
технологий изучены в значительно меньшей степени.
1.4. Основная задача проектирования
с учетом развития техники в планируемый период.
Схема расчлененного исследования
В новых экономических условиях практически отсутствует
межотраслевое управление научно-техническим развитием. В сло-
жившейся системе функциональные связи предприятий отрасли
являются относительно нежесткими, значительно понижено или
практически отсутствует централизованное финансирование и ма-
териально-техническое снабжение, сдвинута система приоритетов
хозяйственной деятельности. Так, центральным моментом явля-
ется прибыльность, выживаемость предприятия без обязательств
выполнения целевого назначения (это связано с приватизацией
многих промышленных предприятий, с распродажей и сменой от-
ношений собственности). Эти общие моменты характерны также
для предприятий ракетно-космической отрасли. Выполнение
крупных наукоемких проектов, когда необходимо участие сотен
предприятий различных отраслей, в таких условиях представляет
сложную задачу.
Поэтому при постановке задачи проектирования ЛА необхо-
димо учитывать неопределенность внешних и внутренних связей,
предусмотреть на ранних этапах разработки мероприятия, кото-
рые способствовали бы реализуемости проекта. К ним относят:
► упреждающую оценку возможности модернизации системы,
разработку модификаций изделий с тем, чтобы при ограни-
ченных затратах повысить эффективность техники, про-
длить время использования, расширить область применения
и в конечном счете повысить поступление средств от реали-
зации проекта;
39
► организационно-технические управленческие решения, комп-
лекс воздействий на ОТС, с которыми приходится взаимодей-
ствовать при реализации, продвижении, эксплуатации техни-
ки, с тем чтобы увеличить прибыльность и снизить риски вы-
полнения проекта.
1-4-1- Основная задача проектирования
Модернизация комплекса связана с заменой подсистем и,
следовательно, с изменением его параметров и характеристик в
планируемый период. Исследование вопросов модернизации тех-
ники означает динамический подход к задаче проектирования.
Остановимся на этом вопросе подробнее, определим основную за-
дачу оптимизации программы развития комплекса, выявим
главные задачи, решаемые при разработке модификации ЛА.
При постановке основной задачи проектирования ЛА и РК
используется метод временных сечений, и указанная задача фор-
мулируется как статическая. Так, в случае баллистического про-
ектирования, например, указывается цель Ц, и решение сводит-
ся к определению параметров ЛА, при которых наилучшим об-
разом выполняется целевая нагрузка в данных условиях в
течение заданного времени. Таким образом, не учитывается из-
менение параметров и характеристик ЛА в планируемый пери-
од. Если цель недостаточно определена или меняется за время
эксплуатации (Ц = Ц(0), например не определена нагрузка на
систему или не определены внешние параметрические связи, ха-
рактеризующие условия реализации, то характеристики ЛА
оцениваются в среднем. Само же решение остается неизменным.
Однако опыт показывает, что в процессе жизненного цикла
система претерпевает изменения, совершенствуется, ведутся ра-
боты по ее адаптации к новым условиям функционирования,
проводится модернизация техники. В таком случае постановка
и решение проектной задачи с учетом динамики развития (так
называемой динамической проектной задачи), когда вопросы
модернизации, формирования модификации обсуждаются на
ранних этапах разработки, являются обоснованными. Реализа-
ция такого подхода позволяет вплотную подойти к выбору аль-
тернативного варианта техники, к планированию ее развития и
проведению НИР ОКР, естественным образом ориентирует на
перспективные (приоритетные) образцы, которые к моменту
постановки вопроса могут быть недостаточно отработаны, но та-
ят возможность значительного повышения эффективности. Все
это позволяет сэкономить значительные ресурсы.
В зависимости от уровня управления разработкой техники
рассматриваются различные аспекты проблемы:
40
► формирование проекта, исследование этапов разработки со-
здания, эксплуатации, т. е. развитие данного проекта, изме-
нение внутренней структуры и связей с целью наилучшего
выполнения задачи в определенных условиях;
► модернизация и создание модификации техники, т. е. разви-
тие проекта в пространстве и времени в случае изменения за-
дач и условий существования. При этом исследуется разви-
тие технических устройств, принадлежащих одному классу.
Для ЛА прогноз осуществляется на 10... 15 лет вперед;
► исследование развития классов технических устройств —
определение сроков эксплуатации технической системы с
учетом модернизации, формирование модификации и заме-
ны. Прогноз может осуществляться на 20 и более лет вперед.
В последнее время накоплен опыт анализа процесса создания
системы и отдельных его этапов. В зависимости от целей и решае-
мых задач используются различные математические модели —
дифференциальные (или конечно-разностные), интегральные.
Применяется метод сечений — своеобразный декомпозицион-
ный прием, позволяющий исследовать динамику сложных тех-
нических систем на основе прогноза определяющих параметров
к моменту реализации.
Как обобщение основной проектной задачи на случай, когда
априори учитывается возможность доработки техники, измене-
ние параметров и характеристик в планируемый период, сфор-
мулируем динамическую проектную задачу: требуется опреде-
лить параметры РК и функции их изменения при проведении
модернизации в планируемый период с тем, чтобы математиче-
ское ожидание суммарных затрат на выполнение нагрузки Ц(£)
с эффективностью не ниже заданного уровня было минимально.
При таком подходе варьируются не параметры, как в обыч-
ных задачах проектирования, а функции изменения параметров
П(0, где t определяет дискретное время проведения модерниза-
ции: t = (£р t2, ..., tn), здесь п — число модернизаций. Поскольку
при исследовании перспектив развития техники имеет место це-
лый ряд неопределенных и случайных факторов (могут быть не
определены как внешние, так и внутренние функциональные и
параметрические связи), то решение П(£) носит случайный харак-
тер и динамическая проектная задача является стохастической.
Очевидно, решение динамической задачи включает анализ
процесса развития техники, поиск оптимальной модернизации
комплексов ЛА. В таком случае задачи модернизации можно
определить на основе схемы расчлененного исследования дина-
мической проектной задачи. Для формирования последней вос-
пользуемся формализованной записью динамической задачи
проектирования и приемами декомпозиции.
41
На основе опыта постановки проектно-конструкторских за-
дач динамическая проектная задача может быть записана сле-
дующим образом:
*0
МСЕ( •) = Ма J с rn2(f0), П1, P(t, N(t)), No, a(t0, П(0)]п«) dt +
tt
+ i Мам J CjJII2^), П1, PMj (t, Nt; aM(fp П(Ш) dt +
n + 1
+ Маэ J СЦП2(г;), IP, P3(t, N(f)), Nt; aa (tp n(Z))]n’.(t) dt -
- МСЛ( •) - min [П1, II2(t), P( •), PM (•), Nt, tt, n,NteG(-)]; d-7)
И^П1, П2(0, P3 (t, N(t)), M’ 4(0) > ^зад; Vf e <T);
ТДП1, n2(t). P,d, MO)] < T™;
Ц(0 = Ц(0зад,
где MCL( •) — математическое ожидание затрат на разработку и
создание, модернизацию и эксплуатацию техники за вычетом
*0
ликвидных средств в период tn - tn + 1; Ма J Срс( • )r|(i) dt — ма-
тематическое ожидание затрат на разработку, создание и ввод в
эксплуатацию системы ЛА к моменту tQ; r|(i), пЧО, Л Э/(0 — коэф-
фициенты дисконтирования, приведения затрат к моменту tn + р
т|*(0 = (1 + ЕУ " *n + i; П2(0 — функция изменения проектных па-
раметров технической системы при рассмотрении на данном
уровне управления разработкой; П2(^0)П2(^) — значение функ-
ции в момент начала эксплуатации и после i-й модернизации
соответственно; П1 — параметры, определяющие состав и струк-
турные особенности технической системы; P(t, N(t)) — функция
изменения надежности при разработке и создании объектов сис-
темы; Nt (i = 0, 1, ..., п) — число образцов при создании систе-
t
п г
мы (i = 0) и после модернизации; Z Мам J С^( • )т|*(0 dt — сум-
' =1
ма математических ожиданий затрат на разработку и проведе-
ние п модернизаций; tH — начало работ при i-й модернизации;
tt — начало эксплуатации системы после i-й модернизации;
Рм (t, Nt( •)) — функция изменения надежности техники при фор-
мировании i-й модернизации; Nt — число испытаний элементов
системы при разработке i-й модернизации; а( •), ам( •) — коэффи-
42
циенты; S М J С1 *Э( • )г|э<( •) dt — математическое ожидание
' = 1 «и,
затрат на эксплуатацию; Рэ (•) — функция изменения надежнос-
ти в каждый д-й период эксплуатации ti + 1 - tt; аэ (^, П(0) — ко-
эффициенты модели эксплуатации; МСЛ( •) — математическое
ожидание ликвидного капитала — средств, возвращаемых при
снятии подсистем с эксплуатации и их утилизации; W( •) — эф-
фективность применения системы ЛА; Ц(0 — нагрузка на систе-
му и условия применения; принято, что к моменту проведения
исследований имеется прогноз изменения ее значений на плани-
руемый период времени.
При оптимизации варьируемые параметры и функции выби-
раются с учетом ограничений: они должны удовлетворять требо-
ванию по вероятности выполнения задачи и находиться в допус-
тимой области G( •), задаваемой функциональными параметри-
ческими, внешними и внутренними связями. Важным является
ограничение на длительность разработки. Фактор времени мо-
жет быть решающим при модернизации техники на современ-
ном этапе.
Если положить п = 0 (и — число модернизаций), то целевая
функция будет содержать два слагаемых, определяющих мате-
матическое ожидание затрат на разработку, создание системы
ЛА и ее эксплуатацию. Кроме того, П(£) = П(£о). Таким образом,
статическая задача проектирования РК реализуется как част-
ная динамической задачи (1.7).
1 -4.2. Схема расчлененного исследования основной задачи.
Задача оптимизации программы развития
В результате проектных изысканий определяются параметры
объекта, обеспечивающие достижение поставленной цели наилуч-
шим образом при заданных условиях. В широком смысле ана-
лиз-синтез понимают как совокупность приемов и методов форми-
рования модели, решения проектных задач. В узком смысле
анализ-синтез — это прием решения экстремальной задачи и по-
иск оптимального решения, в частности, оценка и выбор решения.
Опыт показывает, что сложность модели и проектной задачи,
стремление к расширению фронта работ, привлечению специ-
алистов различного профиля приводят к необходимости расчле-
ненных исследований. При формировании схемы расчлененного
исследования обычно учитываются структурные особенности мо-
дели объекта и проектной задачи, состав варьируемых парамет-
ров, вид целевой функции и ограничений, в свете чего правиль-
нее говорить о декомпозиционных исследованиях.
43
Декомпозиция главной проектной задачи на частные пред-
ставляет собой форму анализа в широком смысле. В свою оче-
редь, приемы декомпозиционной оптимизации следует, очевид-
но, понимать как форму анализа-синтеза проектного решения в
узком смысле.
Анализ показывает, что параметрическая декомпозиция мо-
жет быть двух типов: без изменения пространства параметров и
с изменением пространства параметров, когда применяется ста-
тистический учет функциональных связей.
При параметрической декомпозиции первого типа варьируе-
мые параметры разделяются на группы (по меньшей мере две) и
проводится поэтапная оптимизация, причем целевая функция
на каждом этапе оптимизации одна и та же. В некоторых случа-
ях при наличии особенностей целевой функции (сепарабельной
целевой функции) оптимизацию выделенных групп параметров
удается проводить, используя частные критерии. Поскольку мо-
дель при частной оптимизации не меняется, полагают, что такие
расчлененные исследования принадлежат одному уровню управ-
ления разработкой (уровню принятия проектных решений).
При параметрической декомпозиции второго типа из-за не-
возможности на данном этапе анализа определить все связи и
создать единую модель используют статистический учет связей.
Для выбранного критерия формируются разные целевые функ-
ции по выделенным группам параметров на основе статистиче-
ских данных прототипов.
Используя приемы декомпозиции, сформируем логическую
схему расчлененного исследования динамической задачи проек-
тирования РК (рис. 1.10). В данном случае включены вопросы
оптимизации программы развития РК. Задачу оптимизации
этой программы запишем в виде
{t,
Ма J С^,(П(0)П;(0 dt +
М
+ 1 Л
+ Ма J С^П1, П(0)пэ (0<«-МС'1(-) - min ;
э rH( J П(0еС(-)
П(0 = (п2(^), Рм (Zp Nit tt, n);
П1 = П1зад; (1.8)
П2а0) = П2(£0)зад;
W(n2(0, P3(t, N, П2(0), PM (t, Nt, Ц(0) > Жзад; Vt e <T>;
TPC,(П(0) < T™;
Ц(0 = Ц(0зад,
44
Рис. 1.10. Логическая схема решения задачи
динамического проектирования РК
45
т. е. требуется определить число и сроки проведения модерниза-
ции, объем и характер доработок с тем, чтобы эффективность
системы ЛА была не ниже заданной величины в планируемый
период эксплуатации и чтобы затраты средств на модернизацию
и эксплуатацию при этом были минимальны.
Нетрудно видеть особенности последней задачи. Здесь опре-
делено начальное состояние, базовый объект, варьируются не
параметры, а функции их изменения (т. е. по характеру задача
является динамической), оптимизация проводится в среднем
при условии выполнения нагрузки, переменной (случайной или
неопределенной) во времени. Задача (1.8) является основной
при исследовании модернизации техники.
Выделив группу параметров t., и, N. при поэтапной оптими-
зации задачи (1.8), определим главные задачи модернизации:
оптимизация параметров модернизации РК к моменту tt е (Т);
оптимизация программы модернизации — числа, сроков и объ-
ема модернизаций в планируемый период. Очевидно, первую за-
дачу оптимизации параметров модернизации РК к моменту
можно записать следующим образом:
MCL(-)= SMa J a (Z, П))г|‘(<) dt +
I I = 1 м f ™ 11
n
+ Маэ J С‘э (П, a3(Z, П))Т1ЧО dt - МСЛ( •) - min;, (1.9)
П = (II2(Q, PM (t, P3 (t, Nt, t(, n);
Ж(П, Nt, IJ(Z)) > W™; VZ e < T™ >;
Z, = <?ад; Nt = Nf™;
n2(Zj_1) = n2(Zi_1)-A;
Ц(0 =
т. e. при j-й оптимальной модернизации РК находятся парамет-
ры модернизации и функция изменения надежности, опреде-
ляющая процесс формирования модернизации, при которых эф-
фективность функционирования системы в планируемый пери-
од Тзад не ниже заданного уровня, и математическое ожидание
суммарных затрат на проведение модернизации в ограничен-
ный срок tt - tn и на эксплуатацию минимально.
46
В свою очередь, задача оптимизации программы модерниза-
ции имеет вид:
t,
МЦ’) = I Ма J С^(П)пЧО dt +
t = 1 м fH
л V1
+ S Ма J а (П)п э. (О dt - МС ( •) - min,
* = 1 3 ,Н( ПеС(-)
где
П = (tp П, С;);
ГИ(П, Vt G {tQ9tn + 1);
рм ^(0) = PMi опт(*р ^(0); (1.10)
П1 = П1зад. П2(^) = n2(QonT;
П2(;0) = П2(£0)зад; Ц(0 = Ц(0зад.
Как и в основной задаче, здесь критерием являются средние
суммарные затраты на развитие и эксплуатацию системы в пла-
нируемый период. Задача сводится к определению числа и, сро-
ков tt и объемов модернизации (затрат) Ср при которых крите-
рий имеет минимум и выполняются условия эффективности
при переменной нагрузке.
Заметим, что параметры П2(^.), tt g (Т), и функции изменения
надежности, определяющие процесс формирования модерниза-
ции, принимают при решении последней оптимальные значения.
Таким образом, решение второй задачи (оптимизации программы
модернизации) включает решение первой. В приведенной схеме
расчлененного исследования основной задачи (1.8) задача опти-
мизации программы модернизации (1.10) по своему характеру
является задачей синтеза. Данные для ее решения получают при
анализе модернизаций комплекса в планируемый период.
Здесь реализуется важный методический прием. Применяя
пространственно-временную декомпозицию (по существу, метод
временных сечений) и имитационное моделирование — оптими-
зацию параметров модернизации РК для е (Т), получают дан-
ные и формируют интегральные аппроксимационные зависи-
мости для решения динамической задачи оптимизации про-
граммы развития техники. Очевидно, в тех случаях, когда
используются интегральные модели и проводится параметриче-
ская декомпозиция второго типа, такой методический прием ре-
шения динамической задачи является общим.
Проблемы модернизации РК и создания модификаций ЛА
взаимосвязаны и взаимообусловлены, исследование модифика-
ции ЛА носит комплексный характер. Опыт показывает, что при
47
проектировании сложной техники организуется многоуровневое
управление его разработкой. В таком случае схема комплексного
исследования модернизации техники и замены подсистем тоже
имеет многоуровневый характер. Если задачи оптимизации мо-
дернизации комплекса, сформулированные выше, относятся к
(i - 1)-му уровню управления разработкой, то на гм уровне реша-
ются вопросы создания модификации ЛА. Схема расчлененного
исследования строится аналогично, т. е. определяются главные
задачи, решаемые при разработке модификации.
РК
ЛА
Оптимальная
модернизация
РК к моменту
Оптимизация
состава
и параметров
системы
при
модернизации
Оптимизация
параметров
и процесса
создания
модификации
ЛА
Оптимизация
процесса
формирования
модернизации
РК
Оптимизация
параметров
модификации
ЛА
<3аД
Оптимизация
состава
подсистем
-П'ла,
Оптимизация
процесса
формирования
модификации
ЛА
Рч
S
S
Д'
cd
со
S
д
л
О)
О
S
S
й
Cd
со
к
s
S
S
Д'
cd
И
S
е
S
ч:
о
S
S
S
S
Е-
й
О
S
й
cd
ч:
cd
Рис. 1.11. Схема совместного исследования
модификаций ЛА и подсистем
48
Задача оптимизации параметров модификации ЛА:
мслд(пАд,пАд(пАд.())-п1й„1а . н.п,
Задача оптимизации процесса создания модификаций ЛА:
МСЛА[РЛАа, МО)] - Рл min ( (1.12)
Характер модификации ЛА влияет на формулировку указан-
ных задач, вид функциональных зависимостей, размерность век-
тора варьируемых параметров. Области допустимых значений
варьируемых параметров G( •), G*( •) задаются системой равенств
и неравенств, определяющих внешние и внутренние функци-
ональные и параметрические связи, и, в частности, дополнитель-
ными ограничениями (массовыми, габаритными и др.), т. е. ис-
следование модификаций ЛА должно проводиться комплексно с
решением вопросов модернизации РК.
При анализе модификаций ЛА для определения внутренних
связей используются данные о заменяемых подсистемах. Так как
вопросы замены подсистем, оптимизации их параметров должны
решаться с учетом ограничений, накладываемых особенностями
функционирования модификации ЛА, то оптимизация парамет-
ров модификаций ЛА и параметров заменяемых подсистем долж-
на проводиться совместно и согласованно. На рис. 1.11 приводит-
ся схема совместного исследования модификаций ЛА и подсистем.
Таким образом, комплексный анализ модификаций ЛА вклю-
чает взаимосвязанное решение задач трех уровней управления
разработкой: оптимизации параметров и программы модерниза-
ции комплекса ЛА (1.7), (1.8), оптимизации параметров и про-
цесса создания модификации ЛА (1.10), оптимизации парамет-
ров и процесса создания подсистем ЛА.
Глава 2
Методы повышения эффективности
проектно-конструкторских решений.
Исследование модификаций ЛА
при разработке
С появлением ракетно-космических технологий возникла
проблема повышения эффективности работы технических сис-
тем. Выделяют следующие основные направления работ по по-
вышению эффективности:
► поиск рациональных параметров РК, ЛА, подсистем, техно-
логий отработки и обеспечения надежности;
► определение рациональной структуры систем и управления
функционированием;
49
► совершенствование комплектующих подсистем, элементной
базы, разработка новых КТР, рациональная организация
процессов создания и эксплуатации;
► направленное управление развитием техники, технологии,
реализация программ модернизации, создания модифика-
ций техники.
В настоящее время при ограниченном финансировании за
счет проведения модернизации комплексов, создания модифика-
ций подсистем (носителей и др.) удается значительно повысить
эффективность РКТ, продлить срок эксплуатации, расширить
область применения. Под модернизацией комплекса понимают
процесс внесения изменений в базовый образец, доработки базо-
вого образца с целью повышения технико-экономической эффек-
тивности при новых условиях использования.
Модификацией ЛА называют объект, созданный на основе
данного базового и отличающийся заменой ряда подсистем, что
позволяет улучшить характеристики, изменить и расширить
область применения, повысить эффективность модернизируе-
мого комплекса. Разные модификации объекта могут функцио-
нировать одновременно с базовым. Под базовым понимается об-
разец, на основе которого разрабатываются модификации или
который дорабатывается, модернизируется.
Модификации ЛА создаются при модернизации комплекса.
Сложность исследования модификаций ЛА обусловлена нали-
чием динамики внешних и внутренних связей при замене под-
систем, необходимостью организации комплексного исследова-
ния РК, составляющих подсистем и частей.
В отличие от известного приема, в основе которого принята
единая (глобальная) модель объекта и итерационный (неуправ-
ляемый) метод поиска, в данном случае рассматривается метод
многоуровневой оптимизации, комплексного взаимосвязанного
исследования модификации ЛА и подсистем. Используется мно-
гоуровневая модель объекта (совокупности моделей для разных
уровней управления разработкой). Метод согласованной оптими-
зации позволяет построить эффективный алгоритм регулярного
итерационного поиска решения — оптимальной модернизации
ЛА к моменту tr
Обсуждаемые вопросы модернизации РК и создание моди-
фикаций ЛА имеют в основном методический смысл, однако в
примерах учитываются реальные тенденции развития техники.
Поэтому создание специальных моделей и реализация методов
многоуровневой оптимизации параметров модернизации, полу-
чение количественных оценок и установление закономерностей
имеют научную и практическую ценность.
50
2.1. Вопросы модернизации РК.
Постановка задачи
С момента возникновения ракетной техники наблюдается
процесс ее непрерывного совершенствования. Процесс развития
РК обусловлен расширением поставленных целей и решаемых
задач, наличием научно-технического задела и материальных
возможностей. Выделение дополнительных средств обычно спо-
собствует ускорению процесса и достижению целей. Здесь воз-
никает важная Задача перераспределения средств и управления
научно-техническим развитием в заданной области, рациональ-
ный путь к решению которой проходит через широкий анализ
направлений научно-технического и социально-экономического
развития, прогноз развития техники с учетом опыта и особен-
ностей реализации.
В настоящее время темп научно-технического прогресса зна-
чительный, что приводит к быстрому старению отдельных тех-
нических решений. Однако замена устаревших комплексов но-
выми требует огромных затрат. В случае, когда задействованы
значительные мощности промышленности, коллективы разра-
ботчиков, создателей, эксплуатационников, осуществить это бы-
стро не представляется возможным. Поэтому, наряду с заменой
комплексов более мощными, рассматривается возможность со-
вершенствования существующих РК при ограниченных затра-
тах, т. е. возможность их модернизации и переоснащения моди-
фикациями ЛА.
Представляет интерес технико-экономический анализ перс-
пектив развития, модернизации и замены техники, с тем чтобы
выявить основные закономерности и способы реализации. Под-
робный анализ требует достоверных и полных данных. Однако,
не имея таковых и базируясь в основном на опубликованных
сведениях, можно тем не менее сделать некоторые выводы. Так,
очевидно, идет процесс совершенствования технических харак-
теристик ЛА, или средств доставки (СД), с целью увеличения
весовой отдачи, снижения стартовой массы и увеличения массы
полезного груза за счет повышения энергетических характерис-
тик ДУ, улучшения конструкторских схем ЛА, элементов кон-
струкции и использования новых материалов. Проводятся ме-
роприятия с целью обеспечения различного базирования ЛА —
стационарного и подвижного, создания унифицированных ЛА
для систем с различными стартовыми комплексами — система-
ми наземного оснащения и базирования (СНОБ). При шахтном
базировании комплексные мероприятия должны повысить за-
щищенность, обеспечить возможность ответного удара после воз-
действия противника.
51
Более быстрыми темпами совершенствуются головные час-
ти — средства оснащения (СО). Направление их развития —
обеспечение концентрированного точного воздействия при на-
личии средств ПРО, создание устойчивой системы наведения,
инвариантного использования. Таким образом, при улучшении
характеристик РК дорабатываются все составляющие подсисте-
мы: СД, СО, СНОБ. По характеру проводимая модернизация в
основном широкая, так как включает замену ряда подсистем, и
глубокая, так как связана с созданием принципиально новых
составных частей ТК.
Модернизация может быть целевой и поисковой, время ее
реализации может значительно отстоять от момента ведения ис-
следований. Перспективные исследования в каждом случае тре-
буют разработки специальных моделей.
На этапе проектных исследований при обосновании техниче-
ского задания и анализе перспектив развития техники, когда
для базовой системы оцениваются возможности повышения эф-
фективности при увеличении нагрузки, задача оптимизации па-
раметров модернизации РК — создания модификаций ЛА —
может быть сформулирована следующим образом.
Для базового РК при изменении нагрузки Ц(^) к моменту
времени tt и при наличии предложений по совершенствованию
техники (увеличению или изменению состава СО, способа воз-
действия и т. д.) требуется найти оптимальный состав и пара-
метры замены подсистем, с тем чтобы в планируемый период
t3 - tL обеспечить выполнение поставленной задачи и чтобы сум-
марные затраты на проведение модернизации и эксплуатации
были минимальными.
Сложность решения обусловлена двумя причинами. При на-
личии базовой модели в зависимости от объема и характера мо-
дернизации проводится доработка последней. Для учета особен-
ностей замены подсистем необходима детализация проектной
модели, что влечет за собой усложнение поиска решения. Дина-
мика внутренних связей системы при замене подсистем (функ-
циональных, массовых, геометрических и др.) оказывает влия-
ние на функционирование других подсистем и всей системы в
целом. Учет последних может привести к необходимости рас-
ширения состава замены. Таким образом, оператор перехода от
базовой к модернизированной модели формируется в процессе
поиска решения.
Сложность анализа приводит, в частности, к тому, что обыч-
но ограничиваются оценкой сравнительно малого числа вариан-
тов; при этом снижается степень обоснованности принимаемых
решений.
52
Рассмотрим метод многоуровневой оптимизации параметров
модификации при модернизации комплекса ЛА, получим соот-
ветствующие модели оценки технико-экономической характе-
ристики модернизации на начальных этапах ведения проект-
но-конструкторских работ. Проведем также анализ вариантов
модификации ЛА, получим необходимые количественные оцен-
ки для установления основных закономерностей при неопреде-
ленности внутренних связей.
Вопросы организации согласованной многоуровневой оптими-
зации подробно рассмотрены в [15], поэтому основное внимание
ниже уделим проблеме получения модели технико-экономиче-
ской оценки модернизации РК, анализу динамики функциональ-
ных связей подсистем и направленному поиску оптимальной мо-
дификации ЛА, реализации алгоритма многоуровневой оптими-
зации параметров.
В общем случае при постановке задачи модернизации могут
отсутствовать проектные модели прототипа. Однако более есте-
ственно предположить, что вопросы модернизации решает КБ —
разработчик основного образца, и существует схема (модель)
многоуровневого управления разработкой соответствующего эта-
па исследований. Для оценки возможных модернизаций сфор-
мируем, прежде всего, такую схему многоуровневого управле-
ния разработкой РК и ЛА, выявим состав решаемых задач.
Очевидно, модели оценки модернизации РК и ЛА получают-
ся при деформации проектных многоуровневых моделей с уче-
том характера доработки.
2.2. Схема многоуровневого
исследования модернизации РК.
Состав задач и математические модели
Вопросы проектирования комплексов ЛА на начальных эта-
пах разработки обсуждаются во многих работах [1...8]. В основ-
ном приводятся модели и методы исследования, используемые
проектантом при одноуровневой схеме процесса принятия ре-
шений.
Из-за сложности объекта исследования общая задача проек-
тирования расчленяется на ряд главных и частных, в основе че-
го лежит предметная и параметрическая декомпозиция. Схема
исследования в таком случае носит итерационный характер, при
решении используется метод последовательных приближений.
Центральное место занимает задача баллистического проек-
тирования ЛА, позволяющая определить их основные геометри-
ческие, весовые, энергетические характеристики, выявить тре-
53
бования к другим подсистемам РК. Следует отметить, что метод
итерационного решения сложных задач с использованием ап-
проксимационных зависимостей известен давно. По-видимому,
впервые он был использован С. П. Королевым при решении за-
дачи баллистического проектирования [6]. Работа [2] является
одной из первых, где имеет место попытка проанализировать
многоэтапный характер исследования, увязать известные моде-
ли. Предложенная схема процесса проектирования выглядит
следующим образом: «облик 1 — параметрирование — оптими-
зация — облик 2 ».
На первом этапе используются приближенные модели, нахо-
дятся начальные оценки основных характеристик ЛА и комп-
лекса. Эти данные применяются на втором этапе, имеющем
центральное значение, когда проводится целенаправленное со-
вершенствование моделей, уточняется состав варьируемых па-
раметров, целевая функция и ограничения (функциональные и
параметрические). По существу, здесь должны использоваться
данные разработки подсистем — данные, полученные от разра-
ботчиков нижнего уровня управления, а также должны уточ-
няться требования, определяемые на верхнем уровне. Третий
этап — оптимизация параметров на уточненных моделях, чет-
вертый — детальный расчет геометрических, весовых, тяговых
характеристик ЛА.
Метод согласованной многоуровневой оптимизации следует
рассматривать как дальнейшую формализацию процесса проек-
тирования. Анализ с позиции разработчика подсистем дает воз-
можность более полно выявить правила и принципы организа-
ции управления разработкой, содержание процесса совершенст-
вования модели. Учитывая данные принципы, можно получить
различные схемы организации многоуровневого управления
разработкой. По мере поступления информации при проектиро-
вании, а также при ведении работ по модернизации техники со-
вершенствуется многоуровневая схема управления разработ-
кой, происходит перераспределение варьируемых параметров,
уточнение целевой функции и ограничений с целью рациональ-
ной организации разработки. Таким образом, так же как и про-
ектная модель объекта, схема многоуровневого исследования
носит относительный характер, что следует иметь в виду при
определении задач модернизации. Рассмотрим трехуровневую
схему управления разработкой, учитывая комплексный анализ
модификаций ЛА (рис. 2.1), полученную на основе исследова-
ния состава задач и процесса решения в КБ [2, 8]. Остановимся
на составе решаемых задач и определим варьируемые парамет-
ры, целевые функции и ограничения.
54
Рис. 2.1. Схема многоуровневого исследования РК
Задача оптимизации параметров РК в данном случае форму-
лируется следующим образом:
МС^П^П1), П1) — min;
1У(П2(П!), Ф(.), цапр)) > уузод; (2.1)
П1 = П1зад; <р( •) = <р( • )зад;
цапр) = цапр)зад,
где МССЛА( •) — математическое ожидание затрат на формиро-
вание системы однотипных ЛА (СЛА) в планируемый период
для выполнения поставленной задачи с заданной эффективно-
стью 1Узад; П1 — параметры, определяющие состав системы и за-
55
висящие от типа ЛА, типа СНОБ, типа и состава СО; П2(Пг) —
параметры управления, состав которого меняется при измене-
нии П1; ср( •) — функция, определяющая способ использования
по назначению; Ц(£пр) — прогноз характеристики целей и усло-
вий применения. Затраты ССЛА идут на разработку и создание
элементов и эксплуатацию РК, т. е.
£СЛА = QCJ1A _|_ £СЛА _|_ £СЛА.
Затраты на создание определяются из соотношения
£СЛА = (П —__-
с 1 - а ’
где С1 — затраты на первый образец РК; N — программа выпу-
ска; а — коэффициент.
При перспективных исследованиях затраты на разработку
[2] обычно определяются следующим образом:
ССЛА = ССЛА(С1).
затраты на эксплуатацию
ССЛА = QtNk,
где С* — средние затраты на эксплуатацию одного РК в течение
года; t — время эксплуатации; N — число эксплуатируемых
комплексов; k — коэффициент.
Таким образом,
ССЛА = ССЛА(С1) + + ChNk.
р 1 - а э
Затраты на создание первого опытного образца можно пред-
ставить в виде суммы затрат на оснащение (БОСН), ступень раз-
ведения (БСР), средства доставки (СД), систему наземного осна-
щения и базирования (СНОБ), систему управления (СУ), т. е.
Ci = ^восн + ^бср + ^сд + ^сноб + ^су- (2.2)
Используя опыт исследований и результаты параметриче-
ского анализа [1...3], а также имея в виду цель — формирова-
ние многоуровневой схемы разработки РК, составляющие за-
трат (2.2) при рассмотрении на (/ - 1)-м уровне детализации бу-
дем представлять как функции
^босн = £(пбб’ 9» ^про)»
^бср = С(ДЯ, пх, РБСР);
^СД = C(L, Пст» тпг’ П2’ ^ЛА);
^СНОБ = С(ДР, /ш, ^ш, Тг, РСноб)’
^СУ = тСУ’ ^Су)’
56
где пбб — число специальных блоков; q — мощность одного
спецблока; Рпро — вероятность преодоления ПРО; ДР — радиус
зоны воздействия; — точность разведения; РБСР, РЛА,
РСН0Б — надежность функционирования БСР, СО, СНОБ соот-
ветственно; L — максимальная дальность; пст — число ступе-
ней; тппг — масса полезного груза; сг2 — точность выведения;
ДР — защищенность старта; /ш, dm — глубина и диаметр шах-
ты; тг — время подготовки; ст — точность СУ; тпсу — масса СУ;
Рсу — надежность СУ.
При декомпозиции целевой функции задачи (2.1) определя-
ются критерии задач, решаемых при расчлененном исследова-
нии РК на i-м уровне управления разработкой, проводится опти-
мизация параметров СО, ЛА, СНОБ и СУ комплекса.
Задача оптимизации параметров ЛА имеет вид:
МСсд[(Ит , по , Ра , Рк f dt), ф(0] -*, min , (2.3)
' ' ' ' {-},<P(OgG
где МСсд( •) — математическое ожидание затрат на создание и
эксплуатацию СД; вектор варьируемых параметров П = {рт , п0 ,
Ра, Рк, dt} включает относительные веса топлива, начальные
перегрузки, диаметр и удельную тягу i-x ступеней; область G за-
дает соотношения, определяющие внешние функциональные и
параметрические связи:
Лпах(Мт,> П0,> Лх,> Рк,> Ф^» =
пст = «сТ;
maxdz < </зад;
^ад РагРк,)<Р^
™пг = Гсо = Г^; ; (2.4)
мТ) < Мт, < м7(; по, < «о, < «о,;
г;; рк. < pKj < р^,
также внутренние связи:
di + 1 dj,
dco < min с/,, i = 1, 2, ...» n.
i
Кроме того, могут накладываться ограничения на парамет-
ры конца активного участка и на тип траектории ср = ср(£), что
обычно обусловлено точностью, особенностью формирования
траектории, условиями входа.
57
В соотношениях (2.4) приняты следующие обозначения:
/Сд( •) — функция, определяющая длину летательного аппара-
та; Гсо = {Ф, г, a, dc0, хцт} — вектор, определяющий габариты
СО: форму, радиус округления, угол полураствора конуса, диа-
метр основания, координаты центра тяжести; и°т — макси-
мальная боковая перегрузка на старте; верхний и нижний
штрихи означают верхнюю и нижнюю границы параметра.
Заметим, что от критерия затрат на создание первого опыт-
ного образца часто переходят к другому критерию — стартовой
массе СД. Иногда решения, получаемые по этим критериям,
близки [13].
Важно отметить связь задач, описываемых соотношениями
(2.1) и (2.4). При многоуровневой схеме исследования РК варьи-
руемые параметры в задаче верхнего уровня задают область оп-
ределения при оптимизации ЛА (задачи нижнего уровня управ-
ления). В свою очередь, коэффициенты модели верхнего уровня
(2.1) зависят от проектных решений для подсистем. Они опреде-
ляются по данным оценок характеристик подсистем при адапта-
ции модели.
Задача оптимизации параметров двигателя на (i + 1)-м уров-
не управления формулируется следующим образом:
MmJL Пкксд, Мр М2, Т) — min, (2.5)
81 у 1 Z ПеС
где Mmgi( •) — математическое ожидание массы двигателя i-n
ступени; Пкксд — параметры, характеризующие конструктив-
но-компоновочную схему двигателя; определяют число сопел и
конструкцию соплового аппарата и органов управления, форму
корпуса двигателя и особенности конструктивных решений
(сборный, сварной, полусварной, кокон, полукокон), тип и форму
заряда, способ его крепления; Мр М2, Т — соответственно харак-
теристики материала конструкции (сгв, Е, у), теплозащиты (р, С),
используемых твердых топлив (n, a, Т, R, К, а, р, LQ.
Область допустимых решений G определяется внешними
связями
р = Рзад. р = рзад.
al ai ’ К; к( ’
р. = рзад . (2.6)
znT = тзад ; = т?ад;
= ^зад . /. = /зад .
н = нзад.
58
Область допустимых решений определяет также максималь-
но допустимые нагрузки Н — полетные (определяемые при ре-
шении задачи баллистического проектирования на i-м уровне
управления разработкой) и транспортно-эксплуатационные.
Обратим внимание, что и здесь в соответствии с правилами
организации многоуровневого управления разработкой пара-
метры управления на i-м уровне задают область изменения па-
раметров управления (i 4- 1)-го уровня и наоборот, проектные
решения (i 4- 1)-го уровня определяют коэффициенты и, следо-
вательно, решение на i-м уровне.
В связи с ограниченностью рассматриваемых вопросов мо-
дернизации мы не будем останавливаться в данном случае на
других задачах i-ro и (i 4- 1)-го уровней управления разработкой.
Центральное место при исследовании ЛА занимает задача
баллистического проектирования. При всем разнообразии фор-
мулировок этой задачи следует отметить общее стремление ав-
торов работ [2...4] охватить все (или основные) проблемы в рам-
ках единой модели. Отсюда естественная перегруженность мо-
дели, варьирование параметрами, в разной степени влияющими
на целевую функцию.
Для других составных частей РК аналогичным образом фор-
мируются главные задачи. Итерационный поиск дает возмож-
ность организовать увязку решений главных задач (реализуется
метод последовательных приближений в горизонтальной плос-
кости). В отличие от этого в предложенной схеме рассматривают-
ся модели РК разной степени детализации, отвечающие различ-
ным уровням управления разработкой. Организация итерацион-
ного поиска решения реализуется управлением в вертикальной
плоскости. Анализ показывает, что отказ от «глобальной» моде-
ли и переход к многоуровневой схеме исследования дает воз-
можность более точно вскрыть динамику связей, особенности
организации работ в КБ, определить исследовательские и уп-
равленческие задачи разработчиков подсистем. Реализация ре-
гулярной процедуры согласованной многоуровневой оптимиза-
ции позволяет получить решение при ограниченном числе ите-
раций.
Проектные исследования модернизации РК, проводимой на
основе базового объекта, сводятся к доработке исходной модели
(в связи с использованием новых подсистем), оптимизации па-
раметров при дополнительных условиях. При исследовании мо-
дернизации РК вопросы формирования многоуровневой схемы
исследования не обсуждаются. Задачи модернизации формиру-
ются относительно принятой схемы многоуровневого управле-
ния разработкой. В случае постановки задачи модернизации РК
59
(системы) на определенном этапе реализации проекта происхо-
дит «возмущение» схемы многоуровневого исследования, при-
чем центральная роль принадлежит заменяемой подсистеме.
Реализация многоуровневой схемы исследования модерни-
заций РК дает возможность формализовать поиск оптимального
решения с учетом динамики внешних и внутренних связей.
Для определения частных задач модернизации рассмотрим
морфологическую структуру РК, лежащую в основе данной вы-
ше схемы многоуровневого управления разработкой (рис. 2.2).
Анализ перспективных направлений модернизации комп-
лекса позволяет выделить предметные области исследования,
состав моделей комплексного исследования модернизации РК и
замены подсистем. Центральное место в работе занимает задача
оптимизации параметров модификации ЛА. Очевидно, прини-
маемое здесь решение зависит от динамики внутренних и внеш-
них связей. С целью учета динамики внутренних связей рас-
сматривается задача комплексной оптимизации параметров мо-
дификации ЛА и новых подсистем (двигателей, переходных
отсеков), реализуется алгоритм согласованной двухуровневой
оптимизации параметров модификации ЛА.
Рис. 2.2. Морфологическая структура РК
и предметные области исследования:
1,2 — области, определяющие заменяемые подсистемы
при моделировании РК; 3 — то же, при создании модификации ЛА
60
Динамика внешних связей отслеживается при решении за-
дачи оптимизации параметров модернизации РК, связанной с
заменой средств оснащения и средств доставки, и задачи опти-
мизации параметров модернизации РК, связанной с заменой СД
и СНОБ.
2.3. Задачи оптимальной модернизации РК.
Математические модели эффективности и затрат
Необходимость модернизации обусловлена стремлением по-
высить эффективность, жизнеспособность РК в различных ус-
ловиях функционирования. Альтернативные пути модерниза-
ции комплекса определяются из анализа динамики нагрузки и
условий функционирования техники с учетом перспектив раз-
вития науки, отрасли знаний, производственно-технической
базы.
Проектные исследования модернизации имеют комплекс-
ный характер и ведутся в двух направлениях: сверху вниз и
снизу вверх. В первом случае на i-м уровне управления разра-
боткой при модернизации совершенствуется модель на основе
статистических данных или оценок экспертов. Схема исследо-
вания выглядит следующим образом: декомпозиция — детали-
зация — аппроксимация — согласованная оптимизация. Такой
путь сулит возможность управления модернизацией, однако мо-
жет быть затруднен из-за отсутствия данных.
Второй путь предполагает использование опыта и задела
разработчиков и учитывает предложения по вариантам заме-
ны подсистем (подсистемы) с целью повышения их эффектив-
ности (при известных ограничениях). Далее формируется мо-
дель модернизации РК (схема исследования здесь: адаптация
(свертывание) — аппроксимация — согласованная оптимиза-
ция). При согласованной оптимизации уточняются требования,
находятся оптимальные параметры варианта модернизации,
проводится выбор рациональной модернизации из списка пред-
ложений.
В данном параграфе проводится сравнительный анализ ва-
риантов модернизации РК, оснащенных ЛА с ракетными двига-
телями твердого топлива, при этом реализуется направление
снизу вверх (поисковая модернизация). Можно показать, что
такой подход является общим.
Анализ путей развития комплексов выявил два основных
принципиальных направления. Первое связано с обеспечением
выживаемости, с повышением вероятности выведения и достав-
61
ки груза в район цели. Второе связано с обеспечением эффек-
тивности действия у цели в условиях комплексного противодей-
ствия. Одно из направлений решения первой задачи — реализа-
ция подвижного базирования РК. Второй путь — увеличение
комплекса средств преодоления. Ниже рассматриваются вопро-
сы модернизации РК, связанные с переходом от стационарного
к грунтовому подвижному базированию, с расширением КСП,
увеличением массы СО. Решение задач модернизации РК позво-
ляет определить динамику внешних связей при исследовании
модификаций ЛА.
2-3-1- Задача оптимальной модернизации РК, связанная
с заменой комплекса средств преодоления СО и ЛА
Дадим формулировку задачи модернизации РК с учетом от-
меченных выше моментов и рассмотрим основные соотношения
математической модели. При формировании модели модерниза-
ции РК исследуется деформация базовой модели (проектной мо-
дели РК), динамика внутренних связей для системы и заменяе-
мых подсистем.
Комплекс средств преодоления ПРО противника включает
обычно тяжелые, легкие, ложные, фиктивные цели. Использо-
вание КСП приводит к увеличению массы и размеров СО. Опре-
деление рационального состава КСП представляет сложную
комплексную задачу, решение которой зависит от особенности
системы ПРО цели (может меняться со временем), конструктив-
ных особенностей специальных блоков, системы разведения,
мощности ЛА и др. При заданном составе средств ПРО целей,
известных составе и параметрах ББ и БСР, повышение вероят-
ности выполнения задачи возможно за счет увеличения КСП и,
следовательно, массы СО, доработки СД. Задача в таком случае
сводится к определению параметров КСП СО (П^сп) и парамет-
ров модификации ЛА (П£д), при которых обеспечивается задан-
ный прирост эффективности выполнения задания, и затраты на
указанные мероприятия минимальны.
Если положить, что при различных способах модернизации
РК (различных заменах подсистем) изменение надежности при
эксплуатации РК Рэ (£, П*(^)), Рм (•), A, d3Gp П*(^)), а также
средние затраты на эксплуатацию одного комплекса в течение
года меняются мало по сравнению с базовым образцом, то в ка-
честве критерия при сравнительных оценках можно использо-
вать средние приведенные затраты на разработку, создание и
62
ввод в строй модернизации РК. Тогда, используя обозначение
(2.2), задачи оптимизации модернизации РК запишем в виде
t,
МС£ = Маы / Cj. [П*(^), a(ti, IWMO dt - MCn - ^min
П*(^) = (П*сп, П^д);
ИЛ(П*(г;), N, Ц(^)) > 1У3««; (2.7)
Ц(О = Ц(^)зад;
tt = tfw; < Тзад;
К +1 - U е тэ>
где n*(t-) — параметры i-й модернизации;
^(•) = CP(.) + Ce(.) + CS(.), (2.8)
где Ср — затраты на разработку модернизации; — затраты
на создание заменяемых подсистем при модернизации; С® — за-
траты на переоборудование системы РК, ввод модернизаций в
эксплуатацию.
Проведение исследований модернизации РК представляет
возмущение сложившейся схемы многоуровневого управления
разработкой. Очевидно, целевая функция, функциональные и
параметрические ограничения задачи определяются сложив-
шейся схемой исследования и характером проводимых мероп-
риятий (составом и способом замены подсистем).
Ранее показано, что затраты на разработку и создание сис-
тем ЛА определяются соотношением
ССла = Ср(С1к)(1 + Е)т> + у^£с1к(1 + Ер), (2.9)
где
Ср(Срк) = ^нир(^окр) + С'окр(Срк)- (2.10)
тт^тг п — v с* — ^ОКР^оп/ni
при СНИр ЛНИРЬОКР’ ЬОКР —о ЬРК
Рлки
имеем
Ср( ’) = С^нир + 1)“о Срк =^Yokp^oh^pk’ (2.11)
Рлки
= С^НИР + 1)/0ЛКИ’
где С£к — затраты на производство первого экземпляра; (1 +
+ E)Xi — коэффициент дисконтирования, i = 1, 2; N — число РК
в системе ЛА; а — коэффициент; ^НИР — отношение затрат на
НИР к затратам на ОКР; уОКР — отношение общего числа испы-
63
таний к количеству образцов, предназначенных для ЛКИ;
Non — количество опытных образцов для ЛКИ; Рлки — доля за-
трат на ЛКИ в затратах на ОКР.
Таким образом,
ССЛА = (AYoKPtton(l + + ^(1 + E)T*)CgK , (2.12)
где
Срк = С"СБ + С"СР + С"СД + ^СНОБ + ^СУ’ (2.13)
В случае перспективных исследований при определении со-
ответствующих затрат С£к с учетом ограниченной области при-
менения можно воспользоваться позиномиальными зависимос-
тями. Опыт использования таких зависимостей в проектных за-
дачах имеется [3].
Тогда
^сб = ^б + ^ксп ~ ^б^б Q 1 + Ci + С2 #2 + я3;
С ср = ССР ДЯ^сф гф, (2.14)
где
= иБ + пр
Сод = Сед L?1 пфг Р^;
Сенов = Сенов ДРфЧХ2С3^;
Ссу = Ссу^суа 2pcV
Кроме целевой функции, модель содержит соотношения, оп-
ределяющие эффективность выполнения системой РК поставлен-
ной задачи, и функциональные связи, задающие область измене-
ния варьируемых параметров. Эффективность зависит от пара-
метров и характеристик РК, а также от характеристик цели, т. е.
W = W(q, пБ, Рпро, ор о2, ДР, Кг, Р, Ц), (2.15)
где q — мощность боевого заряда; пб — число блоков СО; РПро —
вероятность преодоления ПРО противника; о1, о2 — точность
выведения СО и разведения блоков соответственно; ДР — защи-
щенность стартовой позиции, состав и характеристики ПРО;
Кг — коэффициент готовности; Р — вероятность нормального
пуска и функционирования ЛА в полете; Ц — характеристики
цели, задаются вектором, включающим: Яц — радиус цели,
Рр — вероятность разведанности цели.
Имеются модели эффективности, отвечающие различным
этапам и целям исследования [3, 4]. Одна из них, используемая
при перспективном проектировании и учитывающая особеннос-
ти применения СО, рассматривается в [4].
64
Внешние и внутренние, функциональные и параметриче-
ские связи в модели отражают условия существования (должны
выполняться общие законы сохранения энергии, массы, габари-
тов) и функционирования объекта. Для оценки массовых и га-
баритных характеристик составляющих частей РК на началь-
ном этапе разработки используются эмпирические соотношения
[2, 3]. Область решения задается следующим образом:
TZlgTIg Н- 772.0Р Н- 77^771-j Н- 2
где _
= тб №
тСР = mcp(nl + n6)Rl3;
т0 = т0 т^0 L^2 ; т0 < ;
1сц = Ъ ехР (v2^co + V3L + v4«ct); (2.16)
^СД kllrn’
тах{</сд.} < kmdm-,
dco m.in {*^сд;} •
В приведенных выше соотношениях чертой отмечены коэф-
фициенты модели. Заметим, что состав функциональных связей
совершенствуется по мере ведения работ над проектом. Это
обусловлено, прежде всего, расширением представлений о сис-
теме, растущим объемом работ над подсистемами, рассмотрени-
ем разных сторон существования объекта, необходимостью уп-
равления многоуровневым процессом формирования проекта.
Так более явными могут быть габаритные ограничения. При
разработке СУ потребуются данные о перемещении центра тя-
жести ЛА в полете и др.
Зависимости типа (2.14), (2.16) справедливы при заданных
границах изменения параметров управления. Определение ко-
эффициентов модели приводится по данным прототипов, уточ-
нение их возможно по данным разработки подсистем на нижнем
уровне управления, когда реализуется согласованная много-
уровневая оптимизация.
При анализе модернизации РК происходит деформация ис-
ходной проектной модели. В случае модернизации РК, когда со-
вершенствуется КСП СО и проводится замена ЛА, при заданных
L, ист, Рсд затраты на новый ЛА (или модификацию) будут опре-
деляться соотношением
Сад=Содт^з0, (2.17)
65
где
Сед - Сед ill, пй1ад ;
7ИСо тСО тС0 •
Аналогично при заданных ЛЯ, <jp для КСП и СР имеем
С*ср = С*СР + Сер пг;
^ксп = Ci Hi + С2 + С3 и3. (2.18)
Тогда затраты на первый образец заданного вида модерниза-
ции РК
с;к =С£д +С£р + Сксп ; (2.19)
затраты на модернизацию систем JIA
ССЛА‘ = (АуокрДГоп(1 + Е)т> + + £)Т2)С;К - Сл, (2.20)
где Сл — ликвидный капитал.
Одновременно с целевой функцией уточняются функциональ-
ные ограничения по массе и габаритам. Соответственно при за-
данных nCT, L
т*9=т*9т$; (2.21)
гсд = exp (V2 тсо).
Тогда задача оптимизации параметров модернизации РК
сводится к поиску np п2, и3, при которой выполняется условие
W( •) > W + AW, ограничения (2.21) и целевая функция (2.20)
достигают минимума.
Решения может не существовать из-за невыполнения внеш-
них и внутренних ограничений. В таком случае обсуждаются
иные виды модернизации:
► при заданном составе меняется способ замены подсистем. Не-
трудно видеть, что в этом случае соотношения (2.17)...(2.21)
не меняются, уточняются лишь коэффициенты и можно до-
биться выполнения ограничений;
► рассматривается более широкая модернизация иного соста-
ва, при этом меняются соотношения модели.
Таким образом, в зависимости от характера модернизации
РК имеет место динамика связей. При формировании проект-
ной модели модернизации на основе базовой меняются ее основ-
ные компоненты — параметры управления, целевая функция,
функциональные и параметрические ограничения. Если альтер-
нативные варианты модернизации отличаются лишь различ-
66
ным характером замены подсистем (состав замены постоянен),
то в модели меняются лишь коэффициенты. Их определение
проводится при комплексном анализе модернизации и замены.
2.3.2. Задача модернизации РК, связанная
с изменением типа базирования
На эффективность применения РК влияет защищенность
старта и способ базирования. В условиях неопределенности при-
менение РК с подвижным базированием при ограниченных затра-
тах на средства ПРО может быть предпочтительнее. Обсуждаются
варианты РК подвижного базирования — железнодорожного,
грунтового, авиационного, морского. При этом возникает вопрос
возможности использования существующих ЛА в комплексах
подвижного базирования или, другими словами, вопрос создания
комплексов подвижного базирования на основе существующих
стационарных. Речь может идти также о создании системы ЛА,
включающей модернизацию РК стационарного и подвижного ба-
зирования (в связи с этим возникает проблема создания малогаба-
ритных унифицированных ЛА инвариантного базирования).
Проведем сравнительный анализ двух схем такой модерни-
зации: в первом случае модернизация связана лишь с заменой
стартовых устройств, во втором при модернизации РК одновре-
менно с заменой старта проводится доработка ЛА.
Сделанное выше предположение о сравнительной неизмен-
ности, одинаковости затрат на эксплуатацию различных модер-
низаций здесь несправедливо, так как в процессе эксплуатации
происходит старение элементов ЛА и, в частности, зарядов
РДТТ, снижается надежность пуска. Даже в стационарных ус-
ловиях эксплуатации периодически проводится смена ЛА (для
«МИНИТМЕН», например, такая замена проводится через 10 лет).
При подвижном базировании интенсивность старения выше, час-
тота сменяемости больше; растут затраты на эксплуатацию.
Поэтому при сравнительном анализе вариантов модернизации
необходимо учитывать затраты на эксплуатацию. Средние приве-
денные затраты на модернизацию РК в системе ЛА и на эксплу-
атацию в течение Тэ = ti + r- tt определяются зависимостью
t. i
MCj, = J Cj, [ГГ(^), aM(tf, П*(0)МО dt + JC' [im
P3(t, П*(^)), N, a3(t, П*( • ))]пэ(0 dt - МСЛ - min.
Здесь первое слагаемое — средние затраты на создание под-
вижных стартовых комплексов, второе слагаемое — средние
приведенные затраты на эксплуатацию модернизированной сис-
темы ЛА; МСЛ — среднее значение ликвидного капитала.
67
В первом случае, когда проводится замена только средств
наземного обеспечения и базирования (СНОБ),
(’) = Сснов( ’)’
во втором, при расширении состава замены
С‘.(-) = ССн0В(-) + СЛА(-),
где ССНОБ — затраты на создание подвижных стартовых комп-
лексов; СЛА — затраты на создание модификаций ЛА.
Затраты на эксплуатацию модернизированной системы ЛА
Сэ = С/ + Сэ ’
где Ct — затраты на восстановление системы РК; С* — затраты
на эксплуатацию без затрат на восстановление.
Приведенные средние затраты на восстановление системы
ЛА с подвижным базированием определяются в данном случае
соотношением
MJCC( • )n(i) dt = t f 1 С1д NT](TnPj) + С£д N*;
*nPj = (t. - M + T ; П(ТПР. > = (1 + £)TnP; (2-23)
*Д*=*ДОП-7П*.
Здесь С£д — затраты на создание СД при серийном произ-
водстве и мероприятия по переоснащению комплекса; N — чис-
ло СД в системе ЛА; г|(т^р) — коэффициент дисконтирования;
тпр — время приведения затрат; N* — дополнительно произво-
димые ЛА; Дт — период восстановления; Адоп — число дополни-
тельно производимых СД при эксплуатации системы в течение
Гэ=^-^-1лет-
Средние приведенные эксплуатационные затраты на один
ТК подвижного базирования определяются соотношением
Mf с: (• )n(t) dt = с:1 Д^эг|э(ТэР); (2.24)
Для оценки затрат на создание модификаций ЛА использу-
ются зависимости, приведенные выше. Установим соотноше-
ния, определяющие затраты на создание стартового комплекса
подвижного базирования.
68
При расчете затрат на НИР, ОКР и серийное производство
стартовых комплексов подвижного (грунтового) базирования
основными являются данные о ЛА (ап0, Z, dmax), данные о типе и
составе стартового комплекса [3].
В состав технологического оборудования грунтового комп-
лекса входят стартовые машины, машины управления и обеспе-
чения, обслуживающие машины.
Затраты на производство стартового комплекса грунтового
базирования ЛА определяются по формуле
т
Crp= ;LCMj +Ссс + Смо, (2.25)
где т — количество элементов механического оборудования
комплекса; См — стоимость производства Z-ro элемента механи-
ческого оборудования; Ссс — стоимость специальных систем
комплекса; См0 — нормативная стоимость машин обслуживания.
Групповой комплекс может быть сформирован как на базе
самоходного шасси, так и в виде автопоезда. В зависимости от
этого затраты на механическое оборудование производятся по
зависимостям, представленным в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Механическое оборудование Расчетная зависимость
Корпус Ск =
Стрела Сст = a72mL73 LTnK
Артиллерийская часть = а75тЕ7в ^ТЙС
Гидропривод стрелы СТ=т^
Рама полуприцепа Срп = a79mfl80 ^ТПК
Гидросистема Сге = const
Механизм горизонтирования Смг = const
Система терморегулирования Сст = const
Обслуживающие системы полуприцепа = const
Транспортно-пусковой контейнер ^ТПК = а45^к-^р^ТПК ^ТПК
Самоходное шасси по нормативам
Тягач по нормативам
69
Суммарная стоимость специальных систем комплекса опре-
деляется в виде
^сс = ^ппэо + ^сдук + ^св + Спр + ^тп’ (2.26)
где Сппэо — затраты на проверочно-пусковое электрооборудование;
ССдук — затраты на средства дистанционного управления и конт-
роля; Ссв — затраты на средства выведения; Спр — затраты на сис-
тему прицеливания; Стп — затраты на аппаратуру топопривязки.
Расчеты на НИР и ОКР стартового комплекса производятся
по зависимостям
О>кр =^гр^ки/₽’
^нир = ^нир^окр’ (2.27)
где NKVi — число конструкторских испытаний; р, ^НИР — коэф-
фициенты.
Функция изменения затрат и эффективности в случае модер-
низации комплекса и замены способа базирования приводится
на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Схема изменения эффективности и затрат
при модернизации РК подвижного базирования
70
2.3.3. Оценка эффективности комплекса подвижного
базирования. Определение сроков восстановления
Эффективность действия РК зависит от ряда факторов. При
оценке перспективных вариантов техники используется зависи-
мость
Ж=1-(РлА(0,Рг,т (2.28)
где РЛА( •) — вероятность безотказного функционирования ЛА в
полете; Рг — комплексный показатель, учитывающий вероят-
ность готовности комплекса к работе, а также непоражение РК
к моменту поступления команды на пуск; Р — вероятность не-
поражения СО, безотказного действия их у цели; N — число
комплексов.
Очевидно, переход к подвижному базированию ухудшает
возможность поражения комплекса, приводит к увеличению Рг.
При проведении сравнительных оценок будем предполагать,
что на надежность (долговечность) ЛА при эксплуатации основ-
ное влияние оказывают свойства заряда РДТТ. Тогда
Жрк = Ж(ЛГ,Рла(О,Рг). (2.29)
Используя соотношение Р^Ц = РддЮ, пРи заданных эксплу-
атационных нагрузках (обусловленных типом базирования и
характером движения) найдем временной интервал между мо-
ментами восстановления системы РК. Очевидно, в общем случае
*1> х2),
где х19 х2 — параметры, определяющие соответственно прочно-
стные свойства конструкции заряда ЛА и условия транспорти-
ровки и нагружения.
Если воспользоваться соотношением (2.12), при допущении
о непрерывности и,
рзад = рО ехр dn), (2.30)
где р° — коэффициент; Х( •) — функция интенсивности отказов;
п — приведенное по частоте число циклов нагружения, и при
заданных х2 положить
Х( ) = exp (kn)9
где k — статистический коэффициент, то можно найти допусти-
мое число циклов нагружения ппред, при котором надежность
функционирования ЛА не ниже заданного значения Рзад:
71
Тогда и число восстановлений модернизированного РК при
эксплуатации можно найти, используя соотношение (2.12) для
накопленной усталости:
V = У рас • Т V Пц^/Рзад) ’ (2.32)
vT xi = TM——; * М X! vT (2.33)
тэ п — —' восст т. + ДТ’ (2.34)
где vT — результирующая за один проход по маршруту; vT —
пред
предельная величина накопленной усталости; пп , nu —
^рас ^пред
расчетное и предельно допустимое число циклов нагружения
при заданной амплитуде колебаний; X — знак суммирования
по возможным амплитудам колебания; тм — время движения по
маршруту; пвосст — число восстановлений при эксплуатации.
В этом случае число дополнительно произведенных ЛА в пе-
риод эксплуатации определяется следующим образом:
)+1 - ((+М - 4 <2'35>
Для разработки модификации ЛА необходимы дополнитель-
ные затраты. Упрочение конструкции модификации ЛА приво-
дит к ухудшению ее летных технических характеристик по от-
ношению к базовому объекту, растут затраты на создание, одна-
ко при этом увеличивается тр что при длительной эксплуатации
сокращает число восстановлений и снижает затраты в период
эксплуатации.
Сравнивая далее два варианта модернизации комплекса под-
вижного (грунтового) базирования, будем полагать, что харак-
теристики подвижного стартового комплекса заданы, т. е. опре-
делены технико-экономические свойства его составных частей,
жесткостные свойства амортизации, скорость движения и осо-
бенности маршрута.
Такой подход отражает важный практический случай, когда
используются унифицированные транспортные средства или
модификации базовых. Анализ показывает, что создание новых
транспортных средств при модификации комплекса подвижно-
го базирования приводит к значительным дополнительным за-
тратам и делает такой вариант неконкурентоспособным [3].
72
Задача оценки характеристик РК при модернизации, свя-
занной с изменением способа базирования (без создания моди-
фикации ЛА), формулируется следующим образом. При задан-
ных характеристиках базового РК и его элементов, при задан-
ных параметрах подвижного СК и особенностях эксплуатации
требуется определить число восстановлений тп, затраты С на мо-
дернизацию и эксплуатацию в течение Т лет N РК подвижного
базирования с эффективностью не ниже заданного уровня Жзад.
В альтернативном случае, когда при модернизации РК одно-
временно с заменой СК создается модификация ЛА, задача мо-
дернизации РК формулируется следующим образом. При задан-
ных характеристиках базового РК и составных частей, при задан-
ных параметрах подвижного СК и особенностях эксплуатации
требуется определить параметры модификации ЛА и число вос-
становлений тп, при котором затраты С на модификацию и экс-
плуатацию в течение Т лет с эффективностью не ниже заданного
уровня (^мод ^баз) будут минимальны.
Таким образом, рассмотрены три основные задачи модерниза-
ции РК, когда с целью повышения эффективности использования
совершенствуются СО, изменяется способ базирования. Исследо-
вание модернизации РК носит комплексный взаимообусловлен-
ный характер, включает анализ заменяемых частей, вопросы со-
здания модификации ЛА. Приведены основные соотношения ма-
тематических моделей эффективности и затрат (i + 1)-го уровня
управления разработкой. Модели модернизации РК представля-
ют на основе базовой проектной.
2.4. Задача оптимизации параметров
модификаций ЛА. Математическая модель
Свойства комплекса во многом определяются совершенством
летательного аппарата. На начальном этапе использования РК
такая ведущая роль ЛА была особенно очевидна. Сейчас, когда
ЛА значительно усовершенствованы, увеличение эффективнос-
ти системы ТК обеспечивается также улучшением других его
элементов (СО, СНОБ, СУ). Однако модернизация ТК в боль-
шинстве случаев включает доработку или замену ЛА; так, со-
вершенствование СО обычно связано с увеличением массы и,
следовательно, для выполнения задачи при заданной дальности
стрельбы необходим новый ЛА. Доработка ЛА потребуется при
повышении защищенности старта в случае стационарного
шахтного базирования или при изменении типа базирования.
Так как объем вносимых при этом изменений может быть зна-
чительным, а также из-за быстрого старения, сравнительно не-
73
большой стоимости, сложности организации переоборудования
на позиции, высокой ответственности при использовании базо-
вый ЛА обычно заменяется его модификацией.
Совершенствование ЛА при ведении модернизации РК мо-
жет играть активную и пассивную роль. Создание модификаций
может стимулировать доработку других подсистем РК или, на-
оборот, быть следствием изменения последних. По существу,
речь идет о различных формах исследования модернизации РК
в целом. В первом случае исследование имеет направление сни-
зу вверх, во втором — сверху вниз. Анализ показывает, что схе-
ма исследования в любом случае общая: задача сводится к оцен-
ке и поиску оптимальных параметров модификации; в широком
рассмотрении речь идет о формировании проектной модели мо-
дернизации РК, в узком — об организации согласованной опти-
мизации. Естественно, в зависимости от исходной позиции пос-
тановка задачи поиска оптимальной модификации ЛА будет ме-
няться. Так, в первом случае речь будет идти об оптимизации
параметров модификации ЛА с целью максимизации массы по-
лезной нагрузки (или дальности пуска) при ограниченных за-
тратах на доработку. Во втором случае необходимо обеспечить
заданный прирост Атппг (или AL) при минимальных затратах на
доработку. Первая задача обратна второй, поэтому подробно
рассмотрим лишь вторую задачу.
Основное внимание уделим формированию многоуровневой
модели для исследования модификации ЛА и динамике связей.
При этом положим, что разработчику известна схема многоуров-
невого исследования базового ЛА, состав решаемых задач и мо-
делей (т. е. разработчик базового ЛА и модификации один и тот
же). Модификация — это процесс создания видоизмененного из-
делия с более высокими технико-экономическими характерис-
тиками на основе базового. Видоизменение означает использова-
ние иных (новых) подсистем в ЛА (двигателей, конструкции
и пр.), что дает возможность увеличить качество модификации.
В таком случае естественно связать формирование модели моди-
фикации с исходной проектной моделью.
Имея в виду далее разработку модели для оценки модифика-
ции ЛА, рассмотрим подробнее модель затрат — целевую функ-
цию в задаче проектирования ЛА. Средние приведенные затра-
ты на создание средств доставки ЛА с РДТТ включают затраты
на НИР, ОКР и серийное производство [2, 3] и определяются со-
отношением
МСсд = мснир(1 + Е)т1 + МС0КР(1 + £)т2 +
+ М(Сла + Ссу)(1 + Е)Ч (2.36)
74
где
^нир = ^нир^окр’ (2.37)
п СОКР = СОКРЛА+ СОКРСУ + СОКРДУ.; (2.38)
п Afl “ аЛА СдА + Сду. + СТ. , (2.39)
С =С1 • ^~асу- Ссу ССУ , х , (2.40)
= а6(т% + + ш^); (2.41)
Сду. = а8тд1' ’ (2.42)
CTj = (2.43)
С^у =«X2ax*G3cy^ (2.44)
Составляющие затрат на ОКР определяются следующим об-
разом:
С°крла = Га24 ГСЛаУ25 а23ътах /ТПп \а26 [ U01 ] (2.45)
С°КРДУ. = п п а41с ДУ;а43е 44РЛКИ . > (2.46)
СОКРсу = П Ка^ Т а29 а27лСсуьтах AL“30. (2.47)
В приведенных выше зависимостях приняты обозначения:
Снир, О>кр — затраты на НИР и ОКР; (1 + E)xi — коэффициент
дисконтирования затрат; 7СНИР — статистический коэффици-
ент; СОКРда , С0Крсу, СОкрДУ(
— затраты на опытную отработку
ЛА в целом, системы управления и двигателей i-x ступеней;
СЛА — затраты на изготовление ЛА; N — количество выпускае-
мых средств доставки; адд, аСУ — коэффициент, учитывающий
снижение затрат на производство N-ro образца ЛА и СУ; С* ,
Сду., — затраты на производство первых образцов корпуса,
двигателя и топлива для i-й ступени ЛА; Ссу, С£у — затраты на
изготовление партии и одного опытного образца СУ; тхо , тпо ,
тпд, шдутт. — массы хвостового отсека, приборного отсека,
переходного отсека, двигателя и топлива i-й ступени ЛА; Цт —
цена топлива i-й ступени; ^ссу — отношение суммарного веса
СУ к весу аппаратуры СУ последней ступени; р — коэффициент
75
сложности СУ (р = 1...8); AL — круговое вероятное отклонение
(км); 8— готовность ЛА к пуску (мин); тп01, тппг— стартовая
масса и масса полезной нагрузки ЛА; al9 I — статистические ко-
эффициенты модели, ((az, Z) = 1...44).
Нетрудно заметить, что затраты на модификацию ЛА явля-
ются функцией масс составляющих элементов: корпуса, двига-
теля, топлива. В таком случае можно записать:
Ола = noz» ф(0)]> (2.48)
где тпД •) — функции масс составляющих элементов; цт , n0 , di9
ф(0 — основные проектные параметры, определяющие геомет-
рические и массовые характеристики ЛА.
Масса конструкции ЛА зависит от запаса топлива и распре-
деления его по ступеням для достижения заданной дальности
I и перегрузок, возникающих при выведении, т. е. от тягово-
оруженности и типа траектории, определяемой функцией изме-
нения углов тангажа. При заданной конструктивно-компоно-
вочной схеме весовая модель ЛА на Z-м уровне управления раз-
работкой содержит приведенное весовое уравнение для
определения начальных масс ступеней:
где
топ + 1
Б; = Kfo + ; (2.50)
A. = \-K^ + Kyt
и соотношения, определяющие массы составляющих элементов:
й)/=Мт(то|; (2.51)
mo( = mnr + Д (тДУ, + ^по, + ™хо, + ™СУ( ); (2.52)
И1ду( = <в( + Д<О( + ^1ду( j (2.53)
= К^, (2.54)
тду( = mKi mci тдос( = ^ду( + ^ду( (2.55)
=^о( +*2,Л0( + 1; (2.56)
<2-57)
Здесь приняты следующие обозначения: т0 — масса i-й сту-
пени; Д<в( — масса топлива и гарантийного запаса топлива;
76
тк , тс , ^дос — масса корпуса, сопла, деталей общей сборки
г-го блока соответственно; К* , К* , К* , , ЛЧу , , К —
статистические коэффициенты модели.
На начальном этапе разработки коэффициенты модели опре-
деляются по данным прототипов, затем уточняются при дора-
ботке элементов конструкции.
Полученные соотношения дают возможность найти значение
критерия — затраты на разработку и создание ЛА при заданных
N, rt, Е, /СНИР, аЛА, асу, Lmax, KG^, &L, 8, Рлки, коэффициентах,
приведенных выше стоимостных и весовых моделях, при задан-
ных проектных параметрах цт , n0 , di9 Руд и управлении (p(Z).
Принимаемое решение должно удовлетворять ряду ограниче-
ний — по дальности стрельбы, по габаритам, массе и др. Состав
ограничений может меняться и дополняться по мере разработки.
При баллистических расчетах определяется дальность стрель-
бы, находятся нагрузки, действующие на ЛА в полете. В зависи-
мости от этапа и целей исследования используются различные
модели (от формулы Циолковского до подробных дифференци-
альных уравнений движения), определяющие
£ = Ь(цтгпО(,РуД(,^,<р(О). (2.58)
Подробное баллистическое решение позволяет исследовать
изменение нагрузки на элементы конструкции модифицирован-
ных образцов в полете.
Для ведения баллистических расчетов (с учетом аэродина-
мических сил) должна определяться геометрия ЛА. В данном
случае геометрическая модель при заданных di9 <i>i9 а также при
известных размерах головной части (радиусе притупления г, уг-
ле полураствора конуса а, диаметре в основании dc0) позволяет
найти длину блоков ЛА (Zz) и ЛА в целом (/ЛА) (рис. 2.4):
/ЛА ~ ^со *" (2.59)
*со = (dco/2 - г (1 - tg a))/tg a; (2.60)
/. = /з + /по. (2.61)
4Рт
lf=K^ <2-62)
= K2dt (2.63)
(2.64)
Здесь эмпирические коэффициенты Кг , К2 также уточня-
ются при детальной проработке элементов ЛА. В приведенной
77
модели рт — плотность топлива i-й ступени; а- — угол полура-
створа конуса переходного отсека i-й ступени.
Заметим, что п0 , Руд и <p(t) косвенно влияют на затраты,
определяя нагрузки в полете и, следовательно, значения коэф-
фициентов массовых уравнений. Имеет место известное проти-
воречие, усложняющее решение задачи баллистического проек-
тирования. С одной стороны, выбор траектории полета и тяго-
вых характеристик зависит от массовых характеристик ЛА, с
другой стороны, в свою очередь последние зависят от полетных
нагрузок, типа траектории, т. е. от первых. Обычно решение
проводится методом последовательных приближений. На пер-
вом шаге используют приближенные модели, находят опти-
мальные проектные параметры и далее получают оценку реше-
ния на точных моделях. Если оно удовлетворяет ограничениям,
то решение принимается.
Приближенные оценки находят также при упрощении са-
мой постановки задачи [2]. Полагают, например, заданными
Руд ,n0 , d., (p(t), х = цт + i / цт . В таком случае коэффициенты
весовых уравнений можно считать неизменными и можно най-
ти по данным прототипов. Такая задача решается сравнительно
несложно (по существу, здесь имеет место широкий параметри-
ческий анализ). Иногда с целью обеспечения выполнения усло-
вия по дальности полета, при поиске точного решения варьиру-
ется (оптимизируется) часть проектных параметров (например,
цт или цТз) [13]. В целом, однако, реализуется ненаправлен-
ный поиск решения задачи; последнее значительно усложняет-
ся при детализации проекта и расширении модели.
Анализ показывает, что использование многоуровневой мо-
дели объекта и алгоритма согласованного оптимизационного
поиска позволяет построить регулярный метод решения задачи
баллистического проектирования ЛА и его модификации. Дей-
78
ствительно, организация адаптации коэффициентов весовой мо-
дели на каждом шаге поиска (обратная связь) и направленное
сужение границ области возможных решений при исследовании
на подробных моделях обеспечивают сходимость решения. По-
строенная таким образом схема комплексного многоуровневого
исследования модификации ЛА развивается далее.
2.4.1. Задача оптимизации параметров модификации ЛА
Изменение нагрузки на ЛА (увеличение массы полезного
груза, дальности стрельбы, максимальная перегрузка на старте
и др.) приводят к необходимости создания оптимальной моди-
фикации базового ЛА, определения состава подсистем и пара-
метров, при которых затраты на модификацию ЛА минимальны
и выполняются требования: тпс0 = L( •) > Ьзад и др.
Так как обычно эвристический анализ дает возможность вы-
делить конечное (сравнительно небольшое) число вариантов мо-
дификации, то задача поиска оптимальной модификации ЛА
может быть сведена к оптимизации параметров вариантов моди-
фикации и их сравнительной оценке. Далее остановимся имен-
но на таком случае.
Пусть (для определенности) создаваемая модификация ЛА
отличается от базового варианта двигателем третьей ступени.
Используя проектные модели ЛА в принятой схеме многоуров-
невого исследования (2.36)...(2.58), получим модель для оценки
характеристик такой модификации.
Очевидно, целевая функция — математическое ожидание
приведенных затрат на модификацию ЛА — включает затраты
на НИР, ОКР, на создание и ввод в эксплуатацию N модифици-
рованных ЛА без ликвидного капитала — средств, возвращае-
мых при утилизации заменяемых объектов:
МС*Сц = мс*ир(1 + Е)т1 + МС*0КР(1 + Е)т2 +
+ МСЛА(1 + Е)тз - мсл. (2.65)
Составляющие затрат определяются соотношениями (2.37)...
(2.44).
Полагая, что испытания модификации ЛА проводятся по
полной программе, при определении затрат на ОКР воспользу-
емся зависимостями (2.45), (2.46) и запишем их в виде
р _ „ Т а24 ^ЛАУ25 /9 ддх
COKPflA~a23Linax(j^3j ’ (2.66)
С0КРду =«41^043^^, (2.67)
где /Пор т*г — стартовая масса и масса полезного груза модифи-
кации ЛА, другие обозначения аналогичны приведенным выше.
79
Для определения тхо^ тпо^ /пду , лгТз используется весовая
модель (2.49)...(2.57). При оптимизации параметров модифика-
ции заданного типа решение должно удовлетворять условиям
существования: по дальности пуска, габаритам, массе и пр., оп-
ределяемым соотношениями (2.58)...(2.64).
Тогда задача оптимизации параметров модификации ЛА
формулируется следующим образом: при заданных базовом объ-
екте, составе меняемых (и дорабатываемых) подсистем для за-
данного момента реализации определить параметры модифика-
ции ЛА, при которых выполняются указанные ограничения, и
суммарные затраты на создание и эксплуатацию минимальны.
Формальная запись задачи оптимизации параметров моди-
фикации ЛА следующая:
= (Нт3 ’ П03 ’ ^3’ Лх3’ ^к3’
Ф(0, ^3(-), ^3(.))-min;
L(.) = L-a; т^о = т^;
S L( •) < Z*3“ -/со;
I = 1
Гсо ~ Гсо ; d3 = dco; d3 С d2‘,
пуТ =пуая’ т0 =т^;
ymax у i i
mnOi = mn^ (2.68)
р0 = роад; г/ = г,?ад;
р = рзад j = 1 2:
УД, УД, ’ ’ ’
ХТ, = ХТ?аД, i= 1, 2, 3;
Нт, Нт3 Нт3’ п0, п0, %;
О о о о о о
Р < Р < Р~: Р < Р <Р~.
кз кз кз’ аз аз аз
В записи (2.68) определены основные ограничения, задаю-
щие область поиска решения. Эти ограничения обусловлены
внешними и внутренними связями СД с другими частями РК.
Определены технико-экономические характеристики двигате-
лей первой и второй ступеней, которые берутся из базового ре-
шения. Если <р(£) ищется в классе кусочно-линейных функций,
то последняя задача является n-мерной параметрической.
Анализ показывает, что сложность решения обусловлена
двумя моментами.
Ф Состав новых подсистем устанавливается лишь в процессе
анализа модификации ЛА. В модели от этого зависит состав
векторов •), ^2 (.), / = (ХО, ПО, ДУ).
80
Ф На решение оказывают влияние значения коэффициентов
модели •), К^( •), I = (ХО, ПО, ДУ). Эти коэффициенты
определяются при детализации проекта:
^ = 7Ц(пз,пПз,пП2,ф(г));
7Ц = ППз, ПП2, ф(0),
где П3 = (ККС, Мр М2) — вектор, определяющий конструк-
тивно-компоновочную схему двигателя третьей ступени,
конструкционные материалы и материалы теплозащиты;
ППз, ПП2 — аналогичные векторы для переходных и хвосто-
вых отсеков второй и третьей ступеней.
При реализации схемы многоуровневой согласованной опти-
мизации параметров модификации ЛА в зависимости от состава
новых подсистем определяются вектор параметров управления,
целевая функция, функциональные и параметрические ограни-
чения (состав Л7з(*), Xz2(*)); меняются внешние связи, что
обусловлено изменением нагрузки на систему, доработкой дру-
гих составляющих частей.
В процессе оценки характеристик модификации ЛА прово-
дится адаптация моделей, т. е. определяются К^( •), (•) по
данным анализа заменяемых подсистем — двигателя, переход-
ных отсеков. На (i + 1)-м уровне управления разработкой необ-
ходимые данные получаются при решении соответствующих
проектных задач.
2.5. Организация комплексного исследования.
Алгоритм согласованной оптимизации
Модернизация РК проводится с целью повышения эффектив-
ности техники и связана с заменой составных частей: СО, ЛА,
СНОБ, СУ. При замене ЛА, как показывает опыт, используются
модификации базового объекта. Таким образом, исследование
модернизации РК и создание модификации ЛА — взаимосвязан-
ные задачи. Нагрузки на модификацию ЛА (массовые, габарит-
ные и пр.) устанавливаются при анализе модернизации комп-
лекса. В свою очередь, возможности модификаций ЛА влияют
на характер и эффективность модернизации РК. Более того, про-
грамма создания модификаций ЛА и программа модернизации
РК связаны и взаимообусловлены. Определение сроков проведе-
ния работ и состава модификации ЛА проводится при анализе
программы модернизации комплекса в планируемый период.
При комплексном исследовании модификации ЛА увеличи-
вается размерность задачи, усложняется поиск решения. В ра-
81
боте развивается метод многоуровневой согласованной оптими-
зации, учитываются особенности работы КБ с иерархической
организацией. Рассмотрим вопросы организации совместных
комплексных исследований модернизации РК и модификации
ЛА, алгоритм согласованной оптимизации.
При реализации метода многоуровневой согласованной опти-
мизации модификации ЛА проводится формирование многоуров-
невой модели объекта и подсистем, комплексное взаимосвязан-
ное исследование модификации ЛА и подсистем, что позволяет
адекватно отследить динамику связей (в модели модификации
ЛА), изменение области определения решения (в моделях подсис-
тем). В этом случае алгоритм организации работ при исследова-
нии модификации ЛА может быть представлен в виде, показан-
ном на рис. 2.5.
Как видно, итерационный поиск оптимальной модификации
ЛА включает три цикла. Во внешнем решается задача оптими-
зации параметров модернизации РК, определяются требования
к модификации ЛА; во внутренних оптимизируются состав и
параметры модификации ЛА.
Организация комплексного исследования модификации ЛА
(внутренний цикл) включает следующие этапы:
► формирование состава и характера замены подсистем, мно-
гоуровневой модели модернизации (проводится деформация
исходной модели (i - 1)-го уровня; на i-м уровне управления
разрабатываются модели заменяемых подсистем);
► оптимизация параметров модификации на адаптированной
модели (организуется согласованный оптимизационный по-
иск на моделях двухуровневой детализации);
► проведение анализа влияния замены на характеристику
других подсистем;
► оценка эффективности модернизации РК.
При невыполнении условий их существования по нагрузке
проводится целенаправленное расширение модернизации, поиск
иных форм замены. Создание модификации ЛА приводит к изме-
нению нагрузки на базовые подсистемы; в таком случае необхо-
дима проверка на «существование» неизменяемых (базовых) под-
систем. Другими словами, если в модификации используется но-
вый двигатель, должна быть проведена проверка совместимости
функционирования с другими подсистемами. Если при неизмен-
ном коэффициенте безопасности условия прочности не выполня-
ются, то необходима доработка подсистемы (переходного отсека).
Это означает расширение состава замены. При новой модифика-
ции уточняется задача и повторяются первый и второй этапы.
Нужно отметить, что при расчлененном многоуровневом ис-
следовании определены внешние и внутренние связи для под-
82
Рис. 2.5. Алгоритм организации работ
при исследовании модификации ЛА
системы и отслеживается их динамика при анализе системы.
Таким образом, объективно обеспечивается целенаправленность
поиска решения (состава новых подсистем).
В алгоритме организации работ при исследовании модифи-
кации PH присутствуют блоки генерирования вариантов заме-
ны подсистем (см. рис. 2.5). В общем случае проводимые в
83
блоках 1 и 5 операции не формализуются и, по сути, носят твор-
ческий характер, когда используются эвристические посылки
разработчиков. Очевидно, операции, выполняемые в других
блоках, могут быть в той или иной мере формализованы.
Таким образом, организация исследования модификации
ЛА в широком плане включает мероприятия, связанные с фор-
мированием многоуровневой модели объекта, а также согласо-
ванную многоуровневую оптимизацию при наличии ограниче-
ний. Вопросы формирования моделей создания модификации
ЛА рассмотрены выше.
Остановимся подробнее на схеме согласованной оптимиза-
ции при решении задач модернизации РК и создания модифи-
Рис. 2.6. Алгоритм многоуровневой
согласованной оптимизации параметров модификации ЛА
84
каций ЛА. На основе полученной многоуровневой модели фор-
мируется алгоритм согласованной оптимизации параметров мо-
дификации ЛА (рис. 2.6), определяются задачи адаптации.
Ниже практически исследуются вопросы динамики связей
адаптации весовой модели (2.55) и точности решения при оцен-
ке модификаций ЛА.
2.6. Исследование эффективности
модернизации РК
Рассмотрим вопросы оценки эффективности модернизации
РК с целью анализа динамики внешних связей (ограничений) в
задачах модификации ЛА и работоспособности метода много-
уровневой согласованной оптимизации.
Исследования показывают, что повышение эффективности
применения РК реализуется в основном за счет увеличения
точности удара, вероятности преодоления ПРО.
Совершенствование КСП ПРО
приводит к увеличению массы
полезного груза. В таком случае
при модернизации комплекса со-
здается новый ЛА (или модифи-
кация базового) с тем, чтобы до-
ставить большую массу т^0 на
заданную дальность.
В 2.3 дана формальная пос-
тановка задачи оптимизации па-
раметров такой модернизации,
приведены соотношения мате-
матической модели. В данном
случае при решении указанной
задачи реализуется открытый
алгоритм поиска оптимальных
параметров. Алгоритм включает:
получение оценок характерис-
тик подсистем на подробных мо-
делях i-ro уровня при широком
варьировании параметров и без
учета ограничений, формирова-
ние аппроксимационных зависи-
мостей (i - 1)-го уровня управ-
ления разработкой, нахождение
оптимального решения при на-
личии ограничений. На рис. 2.7
приводится обобщенная блок-
Рис. 2.7. Блок-схема
оптимизации параметров РК
на (/ - 1)-м уровне управления
разработкой
85
С, тыс.
усл. ед.
600
400
варианты
модернизации
Рис. 2.8. Изменение
эффективности и затрат
при модернизации РК
схема алгоритма решения задачи
оптимизации параметров модер-
низации РК на (i - 1)-м уровне
управления разработкой.
При сравнительном анализе
вариантов модернизации РК
(рис. 2.8) устанавливается дина-
мика связей
W = W(mnr(zi)); С£ = СЕ(тппг(п)).
В примере рассматривался
случай, когда при модерниза-
ции РК разрабатываются новые
СО и СД. Очевидно, использова-
ние модификации СД позволит
снизить суммарные затраты за
счет уменьшения затрат на раз-
работку.
Рост эффективности модернизации РК может быть получен
за счет качественного изменения свойств составных частей.
Сравнительная оценка (ДТУ/ДС)- отклонения прироста эффек-
тивности к дополнительным затратам для i-й модернизации по-
казывает, что при данной схеме модернизации и количествен-
ных изменениях эффективность вложения средств снижается
более чем в 50 раз:
гдид = fl,12Y = <0,21\ /ДЖ> = <0,56А
1дс/ = 1 1107? 1дС/ = 2 1108>1дс/ = 3 ИО9'
Таким образом, при последовательной модернизации необ-
ходим поиск иных, качественно новых, путей совершенствова-
ния техники.
В данном случае рассмотренный пример носит скорее мето-
дический смысл. Отметим в связи с этим, что в случае реализа-
ции открытого алгоритма при решении задачи оптимизации па-
раметров модернизации РК (на (i - 1)-м уровне) удается сузить
область поиска решения за счет обучения модели по данным
оценок характеристик заменяемых подсистем на i-м уровне уп-
равления разработкой; уменьшить число варьируемых парамет-
ров, ускорив поиск решения без снижения точности.
Ф В случае неопределенности использования РК и возрастания
точности удара противника более эффективным может быть ис-
пользование комплексов подвижного базирования. В связи с
этим актуальна проблема модернизации стационарных комп-
лексов. Представляет интерес сравнительная оценка двух спо-
собов модернизации РК: когда проводится замена только СНОБ
86
и когда одновременно со СНОБ заменяются СД, т. е. проводится
широкая модернизация с учетом внутренних связей.
В 2.3 сформулированы соответствующие задачи оптимиза-
ции параметров модернизации РК при изменении способа бази-
рования, даны соотношения модели.
На основе параметрической декомпозиции строится общий
двухконтурный алгоритм решения указанных задач (рис. 2.9): во
внутреннем цикле решается задача оптимизации параметров ЛА,
во внешнем — параметров комплекса; определяется долговеч-
ность использования РК в зависимости от прочностных свойств
конструкции, условий транспортировки. Результаты расчетов на
ЭВМ приведены в табл. 2.2 [13].
Рис. 2.9. Алгоритм оптимизации параметров
модернизации РК подвижного базирования
87
Таблица 2.2
Характеристики
модернизации moi Ра, рк, ^ЛА» ^ЛА с1 At Naon Ст
Первая 31,4 0,512 0,2 0,12 80 56,6 46,5 0,425 0,226 0,166 1,1 1,04 18,23 1,78 2,128 4,83 104 515,344
Вторая 31,455 0,512 0,2 0,12 83,4 56,6 46,5 0,442 0,226 0,166 1,087 1,04 17,65 1,9 2,131 5,44 81 468,42
Примечание: t3 = 10 лет; W > 0,9.
При расчете допустимой длительности эксплуатации РК
подвижного базирования исходным был принят спектр вибро-
нагрузок (табл. 2.3).
Таблица 2.3
Перегрузка 1,2 1,25 1,3 1,4 1,8 2,5
Число циклов нагружения 30 000 18 000 20 000 11 000 6000 3000
Анализ полученных данных показывает следующее.
Ф Модернизация ЛА одновременно с заменой типа старта (вто-
рая схема) позволяет увеличить срок эксплуатации (ДО,
снизить число дополнительно производимых ЛА для восста-
новления эффективности (AVH > 1Узад) и суммарных затрат
на систему (СЕ). В данном случае при модернизации ЛА за-
менялась первая ступень: упрочнялась и утяжелялась кон-
струкция. При этом наряду с увеличением веса конструкции
при росте давления в камере сгорания Рк и улучшением
энергетических тяговых характеристик двигателя несколь-
ко снижается прирост ДСТ , необходимый для выполнения
задания по дальности стрельбы.
Ф С увеличением срока эксплуатации (t3) вторая схема модер-
низации С ЛА становится все более выгодной. При малых t3
(в данном примере t3 > 6 лет) более выгодна первая схема.
Следовательно, рациональный состав и объем модернизации
зависит от прогноза нагрузки на систему и длительности ее экс-
плуатации.
Таким образом, разработанный метод комплексного иссле-
дования модернизации РК позволяет учесть динамику связей,
88
найти рациональный состав замен, определить нагрузку на со-
ставляющие (заменяемые) части. В методическом плане следует
подчеркнуть важность учета периода эксплуатации при анализе
модернизации РК, когда имеет место изменение условий функ-
ционирования элементов системы и, в частности, важность ис-
следования связей по долговечности оборудования.
Рис. 2.10. Алгоритм решения задачи оптимизации
параметров модификации ЛА
89
2.7. Анализ модификации ЛА
при наличии неконтролируемых факторов
Исследуем возможности метода согласованной оптимизации
параметров, рассмотрим вопросы сходимости и согласованности
решений при двухуровневой оптимизации модификаций ЛА, в
частности, вопросы снижения степени неопределенности коэф-
фициентов весовой модели и повышения точности решения; с
целью установления закономерностей получим сравнительные
оценки различных вариантов модификации ЛА.
Вопросы построения модели модификации ЛА рассмотрены
в 2.4. Там же дана постановка задачи оптимизации параметров
модификации ЛА (задачи i-ro уровня управления разработкой).
Алгоритм решения задачи оптимизации параметров модифика-
ции ЛА приводится на рис. 2.10 (см. с. 89).
Необходимость оценки вариантов модификации потребовало
разработки специального математического обеспечения. Струк-
тура программного комплекса для исследования модификации
ЛА показана на рис. 2.11 и 2.12. Особенностью является орга-.
низация двухуровневого управления, использование единого
информационного блока, библиотеки специальных и вспомога-
тельных программных модулей. Очевидно, такая структура ма-
тематического обеспечения носит открытый характер, удобна
для расширения состава частных задач.
Согласно принятой схеме согласованной оптимизации, за-
дача оптимизации параметров двигателя рассматривается на
Блок
массовых
расчетов
Блок
баллисти-
ческих
расчетов
Основная
управляющая
программа
Управляющие
программы
решения
главных задач
Программные
модули
специального
и общего
назначения
Рис. 2.11. Структура программного обеспечения комплекса
90
(i + 1)-м уровне управления разработкой. Здесь используются
подробные весовые и геометрические модели. На рис. 2.13...2.15
приводятся блок-схемы алгоритмов расчета, при проведении ко-
торых использовались данные известных прототипов.
Рис. 2.12. Блок-схема алгоритма решения задачи оценки
технико-экономических характеристик модернизации ЛА
с РДТТ при замене двигателей третьей ступени
91
Вход: •проектные параметры ступени
•суммарная масса ступени
•материалы
•тип конструктивных решений
элементов
•геометрические характеристики
Вес переходного отсека (материал задан: у, ов, Е) Выхо£
Гладкая обечайка Гладкая обечайка с кольцевыми ребрами Вафельная
Вес двигателя
Вес обечайки корпуса заряда
Металлическая Стеклоплас- Комбиниро-
обечайка тиковая ванная
Вес днищ корпуса двигателя
Полусферические Эллиптические
Вес шпангоута
Вес теплозащитного покрытия
корпуса и днищ
Вес соплового блока
Неутепленное сопло Утопленное сопло
Bbixcffi
Вес хвостового отсека
Цилиндрический Конический
Гладкая обечайка Гладкая обечайка с кольцевыми ребрами Вафельная
Выход: веса элементов ступени
Рис. 2.13. Блок-схема расчета массовых характеристик РДТТ,
переходного и хвостового отсеков i-й ступени ЛА
92
Начало
Рис. 2.14. Блок-схема оптимизации параметров
разгонного блока модификации ЛА
Вход.
(Нт,. По , d„ Руд , Рк , Ра , dbl , Go , а, 1^=0
Рис. 2.15. Блок-схема алгоритма расчета
геометрических характеристик РДТТ
2-7-1- Анализ сходимости при согласованной
двухуровневой оптимизации и точности решения
На рис. 2.16 показан процесс сходимости и согласования ре-
шений при двухуровневой оптимизации модификации ЛА.
В рассматриваемом случае с целью увеличения массы полез-
ного груза тпсо на основе базового ЛА формируется модифика-
ция с новым двигателем третьей ступени. Задача оптимизации
параметров модификации формулируется так:
т$о = тп^;
Руд3 =Р^ = d3 = dr; (2.69)
*оз= Ф(0 = <р(0зад;
^ла ’ ГСо rgg1; d3 < d2;
KU; м,з<Мт1<^.
т. е. в отличие от задачи (2.68) здесь для простоты и нагляднос-
ти уменьшен состав варьируемых параметров.
Рис. 2.16. Сходимость решения при двухуровневой
согласованной оптимизации параметров модификации ЛА
94
Быстрая сходимость решения обусловлена наличием уп-
равления в процессе поиска: н5 цт е G ; цт (Z + 1) g u5 цт (Z),
I 3 3 I 3
i — номер шага поиска.
На рис. 2.17 приведены результаты адаптации приведенной
весовой модели двигателя третьей ступени. В процессе поиска
согласованного решения за счет направленной адаптации сни-
жается неопределенность коэффициентов весовой модели
(рис. 2.18). Если вначале для определения коэффициентов моде-
ли К**, использовалась статистика по образцам-прототи-
пам, количество которых ограничено и разброс значительный
(первая итерация), то затем в качестве эмпирической основы ис-
пользуются результаты расчета массы двигателя на подробных
моделях (вторая итерация). Незначительный разброс последних
обусловлен в основном неточностью подробной модели и ошиб-
ками расчета. Число испытаний (расчетов) может быть значи-
тельным, поэтому дисперсия коэффициентов весовой модели
понижается (точность увеличивается на порядок).
В свою очередь увеличение точности массовой модели приво-
дит к снижению дисперсии затрат на модернизацию ЛА. Полу-
чить оценку дисперсии затрат аналитически в данном случае не
удается. Как нетрудно убедиться, модель затрат существенно не-
* 383(1)
3300 3500 3700 3900 4100 тт? кг
Рис. 2.17. Результаты адаптации весовой модели двигателя
третьей ступени при согласованной двухуровневой оптимизации
модификации ЛА
Таблица значений коэффи-
циентов весовой модели
1 Ат
1 0,1327 0,04736 64,4
2 0,1612 0,0436 16
3 0,1618 0,0426 14
4 0,1614 0,0423 1,4
5 0,1616 0,0423 0,44
тДз=/СД +/Сдтт ,
Дт=|"1д3 (•)-"'д3(-)1
95
Рис- 2-18- Снижение дисперсии коэффициентов весовой модели
Рис- 2-19. Снижение неопределенности решения при уточнении
коэффициентов весовой модели в процессе согласованного поиска
линейна относительно случайных коэффициентов (неконтроли-
руемых факторов — коэффициентов весовой модели). Разработан-
ный метод позволяет реализовать стохастическую оптимизацию.
На рис. 2.19 приведены результаты моделирования, показано сни-
жение неопределенности решения при уточнении коэффициентов
весовой модели в процессе поиска. За четыре итерации сред-
неквадратическое отклонение атиТзстСЕ уменьшается в три раза.
96
Таким образом, метод и алгоритм согласованного оптимиза-
ционного поиска обеспечивает удовлетворительную сходимость,
число решений экспериментальной задачи ограничено. Без рас-
ширения модели модификации ЛА за счет направленной ее
адаптации обеспечивается повышение точности решения. При
наличии достаточно точных моделей подсистем метод дает воз-
можность учесть влияние особенностей конструктивных реше-
ний подсистем на характеристики модификаций ЛА.
2-7-2- Сравнительный анализ вариантов модификаций ЛА
Поиск оптимальной модификации ЛА в общем случае пред-
ставляет сложный итерационный процесс, когда для каждого ва-
рианта производится комплексное исследование модификации и
новых подсистем с учетом динамики внешних и внутренних свя-
зей. На рис. 2.20 приводится детальная логическая схема исследо-
вания и проведения двухуровневой согласованной оптимизации
параметров. Такая схема реализуется при сравнительной оценке
вариантов. Рассматривались случаи создания модификаций ЛА с
новым двигателем второй и третьей ступеней для доставки на за-
данную дальность большей массы полезной нагрузки (mg0 = Кт$0,
К = 1,1; 1,3; 1,6; 1,8), разные конструктивные решения.
На рис. 2.21 приведены варианты модификаций ЛА, а в
табл. 2.4 — сравнительные оценки технико-экономических ха-
рактеристик — альтернативных решений при увеличении на-
грузки т£0 (т$о = l,3zng0).
Таблица 2.4
Базовый ЛА Модификации
М3 М2 М2—3
1, м 22,81 23,6 23,94 24,12
т0, т 57,43 59,4 60,63 61,26
Нпг 0,0174 0,0219 0,0214 0,0195
0,449 0,465 0,475 0,479
X 0,25 0,278 0,25 0,30
0,19 0,19 0,203 0,194
1,05 0,975 1,192 0,959
X 1,03 1,23 0,896 1,32
НТ1 0,637 0,617 0,603 0,598
ь ЛА - р— ЬЛА 1 1,027 1,049 1,06
Cz 1 0,9897 0,9916 0,9993
97
Вход:
• базовый объект (характеристика, параметры);
• нагрузка (zng0, LM, ... ), ограничения т™д,... );
• состав, характер изменений (оценка коэффицентов
модели)
Рис. 2.20. Развернутая схема комплексных исследований
модификации ЛА и проведения согласованной двухуровневой
оптимизации параметров
В массовом отношении выигрывает вариант М3, когда меня-
ется двигатель третьей ступени.
Оценка точности ти0 представляется следующим образом:
с2т0 = о2т0мр + ст2т0мод,
98
Базовый ЛА М3 М2 М2—3
Рис. 2.21. Варианты модификаций ЛА
где п2/пОмр— дисперсия, обусловленная неточностью метода
расчета; п2тп0мод — дисперсия, обусловленная неточностью под-
робной весовой модели. В данном случае при расчете вариантов
использовалась одна модификация ЛА (Сда = ^лад /^ла )• Сум-
марные затраты на разработку и создание модификации ЛА, ко-
торые используются при модернизации N = 400 комплексов,
= С£/С% ; Сх= СНИрлА + C0KPjIA + ?^окрду + СЛАДГ.
Затраты на модификацию ЛА меньше затрат на базовый
объект (С < 1) в основном из-за сокращения затрат на ОКР по
двигателям. В случае использования новых двигателей на двух
ступенях модификации (вариант М2—3) затраты возрастают.
Таким образом, необоснованное расширение состава изменений
в модификации ЛА ведет к дополнительным затратам.
На рис. 2.22 и 2.23 показана динамика основных техни-
ко-экономических характеристик модификаций ЛА при увели-
99
/->м
7i СЛА
с сб
ЬЛА
Рис. 2.22. Изменение характеристик модификаций ЛА
при изменении нагрузки (новый двигатель второй ступени)
Рис. 2.23. Изменение характеристик модификаций ЛА
при изменении нагрузки (новый двигатель третьей ступени)
чении нагрузки т^0. Вариант модификации с новым двигате-
лем третьей ступени может быть выгоден также при наличии
габаритных ограничений (/ЛА < IffR).
При увеличении точности расчета (числа итераций) предло-
женный метод дает возможность исследовать влияние конст-
руктивных решений и использования новых материалов в под-
100
системах на характеристики модификации ЛА. В табл. 2.5 для
сравнения приведены данные оценок технико-экономических
характеристик базового ЛА и двух модификаций М2(1), М2(2).
В обоих случаях в отличие от базового варианта применяется
новый двигатель второй ступени, однако используются различ-
ные конструкционные решения и материалы: в варианте
М2(1) — сборная конструкция и стеклопластик на основе стек-
ловолокна; в М2(2) — сборно-сварная конструкция двигателя.
Прирост стартовой массы в случае модернизации М2(1) меньше
по сравнению с М2(2), однако разность мала 1%), масса дви-
гателя второй ступени в первой модификации меньше на 5%.
Анализ показывает, что при заданном т^о второе решение
проигрывает также в стоимости модернизации, что связано в ос-
новном с увеличением массы топлива, необходимого для достав-
ки груза на заданную дальность.
С методической точки зрения важно подчеркнуть, что при
многоуровневом исследовании модернизации без изменения со-
става подсистем в модели меняются лишь коэффициенты, при
этом, естественно, сокращаются время подготовки (настройки)
модели и сроки анализа по сравнению с подходом, когда исполь-
зуется альтернативная модель.
Таблица 2.5
Характеристики
Модификации ЛА т0/ ^ЛА i sis Is II Mri Р удш moi mTi di
Базовый ЛА 0,637 0,45 257,08 57,43 2,813 36,614 1,76 12,82
тсо= 1,0 т 57,43 — 0,669 0,25 275,63 17,38 1,046 11,632 1,52 5,55
цпг = 0,0174 28,8 0,689 0,19 278,94 4,46 0,306 3,072 1,31 2,23
0,612 0,469 59,88 2,813 36,614 1,76 12,82
М2(1) 59,88
тгп = 1,3 т цпг = 0,0217 23,75 1,042 0,718 0,25 » 19,82 0,519 14,267 1,76 5,84
0,646 0,2028 4,76 0,306 3,072 1,31 2,23
0,604 0,475 60,63 2,813 36,614 1,76 12,83
М2(2) 60,63
= 1,3 т цпг = 0,0214 23,95 1,055 0,721 0,25 » 20,56 0,718 14,82 1,76 6,03
0,646 0,228 4,76 0,306 3,072 1,31 2,23
101
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Щеверов Д. Н. Элементы теории технических систем и основы
проектирования летательных аппаратов. М.: Изд-во МАИ, 1989.
2. Щеверов Д. Н. Проектирование и эффективность ЛА. Часть 1.
Теория технических систем и эффективность. М.: Изд-во МАИ, 1972.
3. Щеверов Д. Н., Матвеев Ю. А., Булавкин В. В. Проектирование
и управление разработкой летательных аппаратов / Под общ. ред.
К. С. Касаева // Новые наукоемкие технологии в технике: Энциклопе-
дия. — М.: Машиностроение, 1995. Т. 7. — С. 320.
4. Щеверов Д. Н. Проектирование беспилотных летательных аппа-
ратов. М.: Машиностроение, 1978.
5. Аверьянов А. Н. Системное познание мира. — М.: Политическая
литература, 1985.
6. Сетров М. И. Основы функциональной теории организации.
Философский очерк. Л.: Наука, 1972.
7. Дружинин В. В., Конторов Д. С. Системотехника. М.: Радио и
связь, 1985.
8. Холл А. Опыт методологии для системотехники. М.: Сов. Радио,
1975.
9. Янг С. Системное управление организацией. М.: Сов. Радио,
1972.
10. Богданов А. А. Технология. Всеобщая организационная наука.
М.: Экономика, 1989.
11. Хубка В. Теория технических систем. М.: Мир, 1987.
12. Сенкевич В. П. Современный потенциал и возможности космо-
навтики в решении задач в XXI веке: В 2 кн. — М.: Вита-Пресс Гра-
фике, 2000. — Кн. 1.
13. Бахур А. Б. Системные идеи в современной инженерной прак-
тике (интегративно-функциональный подход к исследованию сложных
систем). М.: Пров-пресс, 2000.
14. Системный анализ в технике: Сборник статей. М.: Изд-во МАИ,
2000. — Вып. 6.
15. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения сложных за-
дач. М.: Радио и связь, 1990.
16. Флейшман Б. С. Основы системологии. М.: Радио и связь, 1982.
17. Дружинин В. В., Конторов Д. С. Вопросы военной системотех-
ники. М.: Воениздат, 1976.
1%. Дружинин В. В., Конторов Д. С. Проблемы системологии (про-
блемы теории сложных систем). М.: Сов. Радио, 1976.
19. Николаев В. И., Брук М. В. Системотехника. Методы и прило-
жения. Л.: Машиностроение, 1985.
20. Полтавец Г. А. Системный подход к сложным техническим
объектам / Под общ. ред. К. С. Касаева // Новые наукоемкие техноло-
гии в технике: Энциклопедия. — М.: Машиностроение, 1997. Т. 10.
21. Месарович M.t Мако Д., Такахара И. Теория иерархических
многоуровневых систем. М.: Мир, 1973.
22. Лебедев А. А. и др. Основы синтеза систем летательных аппа-
ратов / Под ред. А. А. Лебедева. М.: Машиностроение, 1987.
102
23. Лебедев А. А. Введение в анализ и синтез систем. М.: Изд-во
МАИ, 2001.
24. Матвеевский С. Ф. Основы проектирования комплексов лета-
тельных аппаратов. М.: Машиностроение, 1987.
25. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.:
Наука, 1981.
26. Квеид Э. Анализ сложных систем. М.: Сов. Радио, 1969.
27. Честнат Г. Техника больших систем (средства системотехни-
ки). М.: Энергия, 1969.
28. Шорин В. Г. и др. Системный анализ и структуры управления /
Под ред. В. Г. Шорина. М.: Знание, 1975.
29. Скляров И. Ф. Методология системных исследований. М.: Изд-
во МАИ, 1995.
30. Бусленко Н. П. Моделирования сложных систем. М.: Наука,
1978.
31. Крон Г. Исследование сложных систем по частям — диакопти-
ка. М.: Наука, 1972.
32. Гуд Г. X., Макол Р. Э. Системотехника. Введение в проектиро-
вание сложных систем. М.: Сов. Радио, 1962.
33. Михалевич В. С. и др. Вычислительные методы исследования и
проектирования сложных систем. М.: Наука, 1982.
34. Попов И. А. и др. Исследование и проектирование больших тех-
нических систем. Киев: Изд-во КИВВС, 1995.
35. Вернадский В. И. Размышления натуралиста. М.: Изд-во МАИ,
1975.
36. Bertalanffy L. Von General System Theory (Foundation, Develop-
ment, Application). N-Y.: G. Brazillier, 1973.
37. Штофф В. А. Проблемы методологии научного познания. М.:
Высшая школа, 1978.
38. Шаракшане А. С. и др. Сложные системы. М.: Высшая школа,
1977.
39. Чуев Ю. В., Спехова Г. П. Технические задачи исследования
операций. М.: Сов. радио, 1971.
40. Волков Е. Б. и др. Технические основы эффективности ракет-
ных систем. М.: Машиностроение, 1990.
41. Волков Е. Б. и др. Точность межконтинентальных баллистиче-
ских ракет. М.: Машиностроение, 1996.
42. Николаев Ю. М., Соломонов Ю. С. Инженерное проектирова-
ние управляемых баллистических ракет с РДТТ. М.: Воениздат, 1979.
43. Щеверов Д. Н. Проектирование беспилотных летательных ап-
паратов. М.: Машиностроение, 1978.
44. Шейнин В. М., Козловский В. И. Весовое проектирование и эф-
фективность пассажирских самолетов: В 2-х т. — М.: Машиностро-
ение, 1977.
45. Методы отработки научных и народнохозяйственных ракет-
но-космических комплексов / Под ред. В. Ф. Грибанова. М.: Машино-
строение, 1995.
46. Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10 т. /
Под ред. В. С. Авдуевского. М.: Машиностроение, 1986. — Т. 1.
47. Проектирование гражданских самолетов. Теория и методы /
Под ред. Г. В. Новожилова. М.: Машиностроение, 1991.
103
48. Ильичев А. В., Грущанский В. А. Эффективность адаптивных
систем. М.: Машиностроение, 1987.
49. Проектирование и испытание баллистических ракет / Под ред.
М. И. Копытова. М.: Воениздат, 1970.
50. Саркисян С. А., Минаев Э. С. Экономическая оценка летатель-
ных аппаратов. М.: Машиностроение, 1972.
51. Кузнецов А. А. Оптимизация параметров баллистических ракет
по эффективности. М.: Машиностроение, 1986.
52. Справочник по системотехнике / Под ред. Макола Р. М.: Сов.
Радио, 1970.
53. Болховитинов В. Ф. Очерки развития летательных аппаратов.
Конструкция и боевая эффективность ЛА. М.: Изд-во ВВИА им. Жу-
ковского, 1964.
54. Петров В. А., Медведев Г. И. Системная оценка эффективнос-
ти новой техники. Л.: Машиностроение, 1978.
55. Голубев И. С., Протопопов В. И. Проектная конкурентоспособ-
ность авиа- и автотранспортных средств: Основы теории и практиче-
ские приложения. М.: Изд-во МАИ, 2000.
56. Плетнев И. Л., Рембеза А. И. и др. Эффективность и надеж-
ность сложных систем. М.: Машиностроение, 1977.
57. Советский энциклопедический словарь. М.: Сов. Энциклопе-
дия, 1983.
РАЗДЕЛ II
Методы проектирования
перспективных ракет-носителей
Глава 3
Альтернативные средства
выведения полезных нагрузок
на низкие околоземные орбиты
Гражданские и военные заказчики испытывают потребность
в оперативном выведении небольших ИСЗ на околоземные ор-
биты. При этом стоимость таких операций должна быть сравни-
тельно невысокой. Коммуникационные спутники и спутники
для осуществления мониторинга Земли, как правило, представ-
ляют собой относительно легкие аппараты, выводимые на низ-
ковысотные или геосинхронные орбиты. Потребность в них во
всем мире постоянно растет. Между тем парк ракет-носителей
для вывода ИСЗ ограничен. Подготовка и запуск одного аппара-
та на PH легкого класса производится многочисленным персо-
налом космодрома, запуск же нескольких спутников одной тя-
желой PH требует значительных затрат. И тот, и другой вари-
ант экономически нецелесообразен.
По этой причине в последнее время во многих странах мира —
США, России, Германии, Франции, Японии и др. появились
проекты космических комплексов промежуточного класса с ра-
кетами, занимающими своеобразную нишу в ряду ракет-носите-
лей. Отличительная особенность этих комплексов — размеще-
ние крылатых PH на самолетах и воздушный запуск их для вы-
ведения полезных нагрузок на заданные орбиты. Подобные
комплексы относительно низкой стоимости позволяют не толь-
ко решать проблемы ограниченных территорий, занимаемых
под космодромы и зоны отчуждения, но и выводить на орбиты
даже аппараты военного назначения.
105
В свое время NASA планировало возложить реализацию ос-
новных задач по освоению и исследованию космического про-
странства на сложную и дорогостоящую многоразовую транс-
портную космическую систему, требующую ко всему прочему
развитой наземной инфраструктуры. В дальнейшем использова-
ния и разработки одноразовых ракет-носителей не предусмат-
ривалось. Между тем как военные, так и гражданские пользова-
тели продолжали испытывать потребность в оперативном выве-
дении на околоземные орбиты небольших и сравнительно
недорогих объектов.
В конце 1970-х годов МО ОПТА разрабатывало проект ASAD,
близкий по технической реализации к задаче поражения объек-
тов в ближнем космосе ракетой, запускаемой с самолета. В конце
80-х годов МО США совместно с НАСА выступило инициатором
создания нового средства выведения. При изучении концепции
обращалось внимание на возможность применения крылатой ра-
кеты, запускаемой с самолета-носителя. Аналогичная идея вы-
двигалась в 1920-е годы Ф. А. Цандером.
В 60-е годы XX в. в США проводились эксперименты с за-
пускаемой в воздухе пилотируемой крылатой ракетой — раке-
топланом Х-15. Аналогичные эксперименты в то время прово-
дились и в нашей стране.
В 1988 г. две американские фирмы — «Orbital Scientist Cor-
poration» и «Hercules Aerospace» — сообщили о проекте «Пе-
гас», который разрабатывался с 1987 г. и представлял собой не-
большую твердотопливную крылатую трехступенчатую ракету,
запускаемую с самолета. Выведение ракеты с полезной нагруз-
кой с помощью самолета-носителя позволяет отказаться от тра-
диционных комплексов наземного базирования, что существен-
но снижает как стоимость, так и расходы на эксплуатацию
комплекса. Использование твердого топлива обеспечивает срав-
нительно безопасный пуск ракеты, поскольку отделение ракеты
от носителя может производиться над акваторией океана и вда-
ли от населенных пунктов. Рассматривалось применение раке-
ты массой до 19 т на высоте около 12 км.
Считалось, что использование для запуска PH самолетов ти-
па В-52, взлетающих с любого пригодного для них аэродрома,
обеспечивает оперативность пусков и возможность выведения
PH на орбиты с любыми наклонениями и в любом направлении.
Одним из достоинств PH «Пегас» является применение кры-
ла в конструкции ракеты, что позволяет получать некоторое
приращение суммарной подъемной силы. Таким образом, она
могла стать оперативным и дешевым средством доставки на ни-
зкие орбиты различных по массе полезных нагрузок. Эта ракета
106
была создана в очень короткие сроки — за два с половиной года.
Первый запуск состоялся в апреле 1990 г. с самолета В-52. На
орбиту высотой около 583 км было выведено около 200 кг полез-
ного груза.
Идея воздушного запуска PH нашла воплощение и в разра-
ботках других стран.
В 1989 г. СССР объявил о разработке проекта многоразовой
авиационно-космической системы нового поколения — МАКС
«Свитязь», который в настоящее время разработан в трех взаимо-
заменяемых вариантах: с фюзеляжа тяжелого транспортного са-
молета АН-225 «Мрия» запускается оснащенная подвесным топ-
ливным баком вторая ступень, или орбитальный самолет, либо
одноразовая крылатая ракета.
Орбитальный самолет может выводить в беспилотном вари-
анте до 9,5 т полезной нагрузки и возвращать на Землю до 1 т,
кроме того, он может обслуживать орбитальные станции и дру-
гие КА. Невозвращаемая крылатая ракета может вывести на
низкую опорную орбиту 18 т и до 5,1 т на геостационарную ор-
биту, что приближает возможности МАКСа к возможностям
«Протона» и «Спейс Шаттла».
МКБ «Радуга» в г. Дубне разработало проект авиационно-
космической системы «Бурлак», где предлагается использовать
в качестве самолета-носителя сверхзвуковой бомбардировщик
ТУ-160.
Двухступенчатая крылатая ракета на жидком топливе с по-
лезной нагрузкой 0,3...0,5 т, а в отдельных случаях и до 1,1 т,
подвешивается под фюзеляжем самолета-носителя, имеющего
скорость М = 2. С помощью авиационно-космической системы
(АКС) «Бурлак» можно выводить полезные нагрузки на эквато-
риальную, полярную и «промежуточные» орбиты. Прошли ис-
пытания этого комплекса. В 1990 г. было сообщение о совмест-
ной разработке ФРГ, Францией и Италией авиационно-ракетно-
го комплекса (АРК) на базе самолета «Конкорд». Немецкой
фирмой «ОНВ System» была разработана PH «Диана», которая
крепится на фюзеляже самолета. Преимущество перед «Пега-
сом» состоит в большей высоте старта (20 км) и более высокой
начальной скорости (М = 2). Недостаток — в дорогостоящей пе-
ределке самолета, что неизбежно приводит к изъятию его из
коммерческого применения.
В 1990 г. Япония объявила о разработке концепции PH воз-
душного базирования. За основу была взята ракета М-V. Первая
и вторая ступени разрабатываемой трехступенчатой крылатой
ракеты с горизонтальным стартом аналогичны штатным блокам
второй и третьей ступени PH М-V. В качестве третьей ступени
107
системы WHAL используется ракетный блок М-ЗВ, являющий-
ся третьей ступенью ракеты-носителя M-3SIL Для крылатой PH
с горизонтальным стартом необходимо обеспечить балансиров-
ку при угле атаки до 20° с целью выполнения маневра кабриро-
вания и набора высоты. С этой целью между первой и второй
ступенями установлено крыло из углепластика, а на первой
ступени — углепластиковое хвостовое оперение. Крыло обеспе-
чивает отделение ракеты от самолета-носителя и выполнение
кабрирования после включения двигательной установки первой
ступени.
Стартовая масса ракеты 52 т при массе полезной нагрузки
1,27 т. Ракета может запускаться с тяжелых самолетов типа
«Боинг-747», С-5, АН-225. Японские специалисты считают бо-
лее доступным и дешевым «Боинг-747». Ракету предполагается
устанавливать на фюзеляже самолета.
При пуске PH самолет-носитель выполняет горизонтальный
полет на высоте 10 км со скоростью 200 м/с. Затем начинается
выполнение пологого пикирования с обеспечением подъемной
силы крыла ракеты при нулевом угле атаки самолета. За счет
воздействия подъемной силы крыла ракеты при установленном
угле атаки 20° ракета начинает отделяться от носителя. На вы-
соте 100 м над самолетом, которая является достаточной для
предотвращения воздействия на самолет ударной волны и факе-
ла продуктов сгорания ракетного двигателя, производится за-
пуск двигательной установки первой ступени ракеты. Первые
испытания планировалось провести в 1995 г. Некоторые харак-
теристики ракет-носителей воздушного базирования приведены
в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Название Двига- тельная уста- новка Коли- чество ступе- ней Носитель Стар- товая масса, т Масса полезной нагруз- ки, т
«Пегас» РДТТ три Б-52 18,6 0,27
«Пегас-XL» РДТТ три Б-52 23,6 0,45
WNAL РДТТ — «Боинг-74 7» 52 1,27
«Диана» РДТТ две «Конкорд» 16 —
«Бурлак» ЖРД две Ту-160 — 0,5
МАКС ЖРД — Ан-225 275 18
108
Данные о параметрах проектов PH воздушного базирования
приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Название Высота орбиты, км Скорость сброса,М Высо- та, км Дли- на, м Диа- метр, м
«Пегас» 260 (круговая) 0,5 10 14,9 1,28
«Пегас-XL» 256 (круговая) 0,5 10 17,1 1,27
WHAL — — — 17,25 2,2
«Диана» — 2 20 16,5 1,3
«Бурлак» — 2 20 15,3 1,3
МАКС — — — 37,3 5,4
Известные стоимостные данные по некоторым проектам PH
воздушного базирования представлены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Название Стоимость запуска, млн долл. Относительная масса полезной нагрузки Стоимость выведения полезного груза, тыс. долл./кг
«Пегас» 11,5 0,010 42,60
«Пегас-XL» 13,5 0,019 30,00
Подытожим вышесказанное.
Авиакосмическая система с воздушным стартом PH облада-
ет следующими основными преимуществами:
► отсутствием необходимости в наземном стартовом комплек-
се (космодроме) с развитой инфраструктурой;
► относительной дешевизной вывода на орбиту килограмма
полезного груза по сравнению с ракетами наземного старта
того же класса;
► возможностью запуска ИСЗ с любой широты и с любым на-
клонением орбиты;
► возможностью выбора зон отчуждения, вплоть до сброса от-
работанных ступеней в океан;
► возможностью передачи авиакосмической системы в аренду
и расширения ее использования в коммерческих целях.
109
Система воздушного старта имеет следующие недостатки:
► ограничение по массе выводимой полезной нагрузки, связан-
ное с тем, что все аэродромы мира рассчитаны на взлет аппа-
ратов массой не более 600 т, что делает невозможным запуск
аппаратов на опорную орбиту массой свыше 25 т и спорным
использование систем воздушного старта для выведения на
геостационарные орбиты полезной нагрузки более 1,5 т;
► модифицируемый самолет-носитель не сможет эксплуатиро-
ваться на воздушных линиях страны в силу его специализа-
ции и конструктивных особенностей, что приводит к удоро-
жанию и его, и всей системы.
Приоритетными параметрами как отечественных, так и за-
рубежных самолетов-носителей военного и гражданского назна-
чения следует считать грузоподъемность, скорость на момент
запуска или сброса ракеты, а также возможность быстрой и не-
дорогой конверсии.
Все самолетные носители можно разделить на два класса —
тяжелые и скоростные. Примером скоростных самолетов-носи-
телей может служить бомбардировщик ТУ-160, который имеет
возможность сбросить ракету массой до 42 т на скорости М = 1,5
на высоте 15 км и ракету массой до 35 тонн на скорости М = 2
на высоте до 20 км. Таким образом, этот класс характеризуется
большой стартовой скоростью и высотой запуска, что дает суще-
ственное приращение к массе полезного груза, но в то же время
накладывает ограничения на массу полезного груза. В этом слу-
чае масса полезного груза не может превышать 2 т. Примером
тяжелых самолетов может служить АН-226 «Мрия» грузоподъ-
емностью до 250 т. Здесь достигается максимальная масса по-
лезного груза, но стартовые условия ракеты (высота и скорость
сброса) делают спорным вопрос о преимуществе такого старта
перед ракетами наземного базирования.
Глава 4
Проектный анализ
ракет-носителей космических аппаратов
воздушного базирования
4.1. Проблемы проектирования
Применение твердотопливных ракет для выведения на око-
лоземную орбиту системы ИСЗ (до 24 КА) с целью обеспечения
связи и прямого телевизионного вещания требует высокой точ-
ности выхода в заданную точку пространства. Использование
110
подвижного (в данном случае воздушного) старта позволяет
обеспечить выведение системы на орбиту с практически любым
ее наклонением при минимальных затратах (по массе).
Итак, ставится задача оптимизации проектных параметров
и нахождения оптимального управления.
Помимо теоретических исследований и проектных разрабо-
ток проводится электронное моделирование натурных испыта-
ний, заключающееся в математическом моделировании с по-
мощью ЭВМ траектории движения ракеты-носителя в реальном
масштабе времени.
Результаты исследований сопоставляются с летно-техниче-
скими данными разрабатываемых самолетов, а для ступеней ра-
кеты-носителя анализируется возможность их комплектации
из блоков конверсионных ракет.
С целью получения высокой эффективности использования
преимуществ ракет с РДТТ и подвижного старта необходимо
выбрать оптимальное управление на борту ракеты совместно с
оптимизацией основных проектных параметров: начальной тя-
говооруженности по ступеням, нагрузки на мидель, давлений в
камерах, степени расширения сопла.
4.2. Постановка задачи
выбора программы изменения тяги
Задача о программировании тяги вдоль траектории для до-
стижения ракетой заданной высоты с минимальным расходом
топлива при заданной конечной массе впервые была рассмотре-
на Годдартом. После этого целым рядом авторов было дано те-
оретическое решение задачи программирования тяги вдоль дан-
ной траектории в пространстве методами вариационного исчис-
ления. Эти работы можно разделить на две группы по классу
решаемых задач:
► определение программы тяги для полета в вакууме в посто-
янном гравитационном поле;
► определение оптимальной программы тяги для полета в со-
противляющейся среде в постоянном гравитационном поле.
Общей особенностью всех этих работ является предположе-
ние о том, что двигатель может работать при значениях массо-
вого расхода, лежащих между верхним и нижним пределами,
т. е. rfimin < rh < rfimax, но в этих пределах двигатель регулирует-
ся идеально. Такое допущение, в какой-то мере справедливое
для ракет с ЖРД, оснащенных системами дросселирования тя-
ги, неприемлемо в случае использования твердотопливных дви-
гателей.
111
Попытки решить задачу управления модулем вектора тяги
твердотопливного двигателя с помощью различных типов регу-
ляторов к ощутимым результатам пока не привели.
Регуляторы, основанные на принципе изменения количества
движения продуктов сгорания в осевом направлении (вихревые
клапаны), до настоящего времени исследуются лишь теоретиче-
ски и на экспериментальных установках. Использование их в ре-
альных конструкциях затруднено тем, что вихревые клапаны с
подачей инертного газа снижают удельный импульс РДТТ, а уст-
ройства с подачей окислителя (кислорода), хотя и лишены этого
недостатка, сильно усложняют конструкцию двигателя, снижа-
ют его надежность и ухудшают массовые характеристики.
Принципиально возможно регулирование тяги РДТТ изме-
нением площади критического сечения сопла (например, пере-
мещением центрального тела). Однако при использовании высо-
коэнергетического топлива приводы таких регуляторов должны
надежно работать при воздействии мощных тепловых потоков,
что технически сложно. Надежность двигателя при этом снижа-
ется, а масса соплового блока существенно возрастает.
В настоящее время системы регулирования, основанные на
принципе изменения площади критического сечения сопла,
применяются лишь для газогенераторов в условиях относитель-
но невысоких температур и скоростей газового потока.
Связь тяговых характеристик РДТТ с параметрами, харак-
теризующими твердотопливный наполнитель и свойства твер-
дого топлива, можно представить выражением
Р = C^ult рт, Рт)^5)^акр)гЬ (4.1)
где Р — тяга двигателя; CR — коэффициент тяги; их — характе-
ристическая скорость горения твердого топлива; рт — плотность
топлива; Рт — удельный импульс давления; S — площадь горя-
щей поверхности твердотопливного наполнителя; окр — пло-
щадь критического сечения сопла; v — показатель степени в за-
коне горения.
Учитывая, что величины Ся, рт, Рт, их могут меняться в срав-
нительно небольших пределах, практически изменять в достаточ-
но широком диапазоне тягу РДТТ, работающего на определенном
топливе, можно изменением площади поверхности горения напол-
нителя S при неизменной площади критического сечения сопла.
Выбор закона изменения площади поверхности горения на-
полнителя для обеспечения необходимой зависимости от вре-
мени — наиболее распространенный метод регулирования тяги
и пока единственный для маршевых РДТТ.
112
Твердое топливо в отличие от жидкого не подается в камеру
сгорания постепенно. Весь его запас размещается в самой каме-
ре в виде твердотопливного наполнителя, поэтому вмешаться в
процесс развития горения после воспламенения очень трудно.
Поэтому выбор закона изменения площади поверхности горе-
ния для обеспечения нужной программы тяги осуществляется
заранее, еще на стадии проектирования, а зависимость номи-
нальной тяги твердотопливного двигателя от времени является
некоторой статической, заранее выбранной характеристикой,
основные параметры которой должны соответствовать конст-
руктивной схеме ракеты и выполняемой ею задаче.
Возможна общая постановка задачи оптимизации програм-
мы тяги и траектории выведения с учетом информации о скоро-
стном напоре на борту ракеты-носителя воздушного старта. При
этом критерии оптимальности могут включать массу полезной
нагрузки, затраты на доработку наземной УБР, высоту круго-
вой орбиты.
Математическая модель описывает процедуру проектирова-
ния твердотопливной ракеты для выведения на орбиту спутни-
ка Земли полезной нагрузки с помощью самолета, и решается
задача максимизации выводимой полезной нагрузки, при этом
варьируемыми являются закон изменения тяги, обеспечивае-
мый выбором соответствующей формы твердотопливного напол-
нителя первой ступени, и закон изменения программы угла тан-
гажа; при этом подвергается варьированию начальный угол,
при котором осуществляется запуск ракеты-носителя.
Особенностью воздушного старта является то, что ракета бы-
стрее, чем в случае старта с Земли, достигает точки траектории,
в которой имеет место максимальное значение скоростного на-
пора. В данном пособии рассматривается одновременное реше-
ние баллистической и проектной задачи с целью уменьшения
потерь скорости путем снижения максимального скоростного
напора. Поясним это подробнее.
Для увеличения выводимой массы полезной нагрузки требу-
ется уменьшить атмосферные потери при движении на актив-
ном участке траектории при работе первой ступени. Существует
три способа снижения скоростных напоров:
► способ перераспределения топлива между ступенями раке-
ты; однако такой способ не подходит для ракет, модифици-
руемых для воздушного старта на базе уже разработанных
носителей;
► метод введения паузы на траектории; такой способ приводит
к существенному увеличению потерь на гравитацию;
► метод введения программируемой по траектории тяги.
113
Последний способ и был принят за основу, поскольку в тех
же габаритах ракеты возможно сконструировать новый твердо-
топливный наполнитель. Но для решения задачи наряду с про-
граммируемой тягой применяется оптимизация программы уг-
ла тангажа, и не только в функции времени, но и в функции
скоростного напора, что может быть обеспечено установкой на
ракете приемника воздушного давления.
Прогрессивность данного решения состоит в том, что его
можно применить одновременно для решения задачи и опреде-
ления функционалов тяги и программы угла тангажа, а также в
том, что угол тангажа определяется не только в функции време-
ни, но и в функции скоростного напора. В результате получают
аналитическое решение задачи; общее решение находят с по-
мощью численных методов оптимизации. Проведем анализ чув-
ствительности решения и анализ влияния проектных парамет-
ров на летно-технические характеристики ракеты-носителя воз-
душного старта:
т^- = Р -X - mg sin 0;
at
m^ = ysin0. (4.2)
at
Разделим почленно
dV _ 1(P-X \ M
dH-v^--mg)’ (4-3)
откуда
"S'S <4-4>
Проинтегрируем полученное выражение:
нк Нк
f dV=l -mg)dH (4.5)
Нн НнУ \ Sint) /
или
VK = FH + f -I -I (4.6)
к нн VsinG HHVsin0 нн V
Первое слагаемое в уравнении (4.6) — скорость ракеты при
отделении от самолета-носителя при старте, второе — идеаль-
ная скорость, приобретаемая полезной нагрузкой на высоте
круговой орбиты Нк, третье — величина аэродинамических по-
терь скорости, четвертое — величина гравитационных потерь.
Следовательно, выражение (4.6) можно записать в виде
V =V + V - AV -AV . (4.7)
В общем случае решение задачи сводится к определению
Л = Лл(О; sin 0 = f0(t). (4.8)
114
Для получения аналитического решения необходимо задать
подынтегральные функции как функции высоты полета:
V2 V
„ Схр^м(Я-Ян)
yr Л г Q М Л г q М ' К Н 7
А z z________ (4 о)
VsinO VsinO sinOH(HK - H) ‘ v ’ 7
Рассматривая двухступенчатую ракету и используя уравне-
ние (4.6) для первой ступени, введем новую переменную Нх —
высоту конца работы первой ступени, подлежащую варьирова-
нию в процессе оптимизации после получения аналитического
решения. Тогда для уравнения (4.9) примем
Y СХсррс - Ян)
Vsine sin0H(Hj - Я) (4.10)
Тогда интеграл аэродинамических потерь для первой ступени
д'у = ^хсрРср^мС^Л ~ Ян) f VdH /4 11 \
аэр 2sin0H ЪуН^-НУ 1 • 7
Рассмотрим упрощенную зависимость изменения скорости
ракеты на первой ступени от высоты полета
V = аН + b
приН = Нн, V=VHf Н = НР У=Ур
Тогда упрощенная зависимость примет вид
7=Гн+^Н^(Я“Ян)’ (4Л2)
а подынтегральное выражение
НН н
[' VdH = у f' dH Vj-FH г'(Я-Ян)
JH. (Я - Ян) 4, (Я! - Я) н. - Ян JH„ (Я! - Я)
(4.13)
может быть разрешено в квадратурах.
4.3. Методы решения задачи
выбора программы тяги РДТТ
4.3.1. Эмпирический метод решения задачи выбора
программы тяги РДТТ
Мощные твердотопливные ракеты стали осваиваться позже
жидкостных. Такая последовательность технической реализа-
ции определяется степенью сложности проблем, к решению ко-
торых должны быть подготовлены наука и техника. Поэтому
115
при создании методов решения задачи выбора программы тяги
разработчики ориентировались на жидкостные ракеты с регу-
лируемыми двигателями. В то время как для жидкостных ракет
уже были разработаны более или менее точные математические
методы, выбор формы твердотопливного наполнителя, обеспе-
чивающий нужную зависимость тяги от времени, проводился
эмпирически.
Эмпирический метод выбора формы твердотопливного заряда
основан на опыте и интуиции проектанта, который на основании
сведений об изменении в процессе горения площади поверхности
той или иной формы наполнителя и при использовании элемен-
тарных математических и графических исследований выбирает
его геометрические параметры. Этот метод широко использовал-
ся при проектировании относительно небольших ракет (в основ-
ном зенитных, авиационных и корабельных) с очень коротким
временем работы двигателя, для которых программа изменения
тяги несущественна. Двигатели таких ракет имели вкладные за-
ряды, и форма наполнителя поэтому не оказывала почти никако-
го влияния на массу теплозащиты и пассивную массу двигателя.
Более существенным параметром представлялось давление в ка-
мере сгорания, которое было довольно низким.
Идеальным считался тот двигатель, который при оптимальной
общей массе мог обеспечить требуемый суммарный импульс I.
С ростом давления в камере масса топлива тт уменьшается (из-за
увеличения удельного импульса), а масса камеры двигателя обыч-
но возрастает. Общую массу двигателя, включая массу топлива,
можно выразить суммой:
= + Hl",»
дв констр т
Оптимальным.давлением в камере считалось такое, при ко-
тором выполняется условие
d — d
V тд» J =о
dPK dP«
где рк — давление в камере; /ед — единичный импульс.
Аналитически это условие не исследовалось; строился гра-
фик зависимости общей массы двигателя тдв от давления в ка-
мере сгорания рк. Такой график имеет довольно пологий мини-
мум, т. е. оптимальное значение давления в камере не резко вы-
ражено. На графике, представленном на рис. 4.1, видно, что с
увеличением прочности материала камеры величина оптималь-
ного давления растет, а сам оптимум делается менее ясно выра-
женным.
116
тдв, кг
Рис- 4-1 - Зависимость оптимального давления в камере РДТТ
от материала камеры
При низких значениях прочности конструкционных мате-
риалов первых ракет с РДТТ и при низком давлении в камере,
обусловленном применявшимся топливом, минимум функции
тдв(рк) определялся довольно просто. Для найденного оптималь-
ного значения давления в камере подбирался наполнитель, обес-
печивающий по возможности близкое к p°pt давление в камере
при работе двигателя. Отсюда следовало постоянство массового
расхода и тяги двигателя. Поэтому первые «оптимальные» про-
граммы тяги РДТТ представляли собой программы постоянной
тяги. Реальные же программы тяги по возможности стремились
приблизить к постоянным. Это достигалось изменением формы
внутреннего канала наполнителя и частичной бронировкой по-
верхности горения. Программа постоянной тяги позволяла не
рассматривать особенностей применения ракеты при проектиро-
вании наполнителя. Это было оправдано, так как время горения
таких наполнителей составляло всего несколько секунд.
Масса внутренней теплозащиты при вкладных наполните-
лях почти не зависит от формы наполнителя и определяется
температурой в камере и временем горения. Это порождает из-
вестное многообразие форм вкладных наполнителей с постоян-
ной по времени поверхности горения.
Эмпирически выбранные формы наполнителей оценивались
лишь по степени приближения закона изменения их тяги к за-
кону постоянной тяги. Мерой совершенства формы наполните-
ля служили различные коэффициенты, оценивающие эту сте-
пень. Это коэффициент давления К = представляющий со-
Рср
бой отношение максимального давления в камере к среднему за
время горения наполнителя; коэффициент эффективности фор-
117
рк, МПа
Рис. 4.2. График зависимости давления от времени:
------реальная зависимость;---идеализированная зависимость
мы, который представляет собой отношение полного импульса
реального двигателя к полному импульсу, полученному по иде-
ализированной зависимости при постоянном давлении, соответ-
ствующем максимальному рабочему давлению камеры, т. е.
максимальному значению давления по графику реальной зави-
симости давления от времени (рис. 4.2).
Главной особенностью эмпирического метода подбора про-
граммы постоянной тяги является проектирование твердотоп-
ливного наполнителя вне его связи с конструкцией камеры и
выполняемой ракетой задачей.
Для вкладных конструкций наполнителей с небольшим вре-
менем горения, низких давлений в камере и конструкционных
материалов с низкими прочностными характеристиками такой
подход вполне оправдан.
4.3.2. Решение задачи выбора программы тяги РДТТ
по теоретически оптимальной программе тяги
По мере совершенствования конструкций, улучшения ха-
рактеристик материалов и топлива стало возможным выбирать
оптимальное давление в камере сгорания в довольно широких
пределах.
Величину давления выбирают, руководствуясь такими кри-
териями, как устойчивость горения, технологичность конструк-
ции твердотопливного наполнителя и соответствие формы на-
полнителя требованиям внешней баллистики. Последний крите-
рий приобрел особое значение в программах создания больших
твердотопливных ракет. Например, при создании ракеты-носи-
теля «Titan-Ш» для обеспечения снижения предельных линей-
ных перегрузок, действующих на конструкцию, до 3,2 g была
118
Рис- 4.3. Диаграмма тяги твердотопливной ступени PH «Titan-Ш»
выбрана диаграмма тяги нулевой твердотопливной ступени,
представленная на рис. 4.3.
Такая зависимость тяги от времени была достигнута приме-
нением конфигурации твердотопливного наполнителя с сильной
дегрессивностью поверхности горения. Необходимость удовлет-
ворения многочисленных ограничений (таких, как максималь-
ный скоростной напор, начальная перегрузка, перегрузка в кон-
це работы двигателя и т. д.) заставила отказаться от программы
постоянной тяги РДТТ и искать зависимость тяги от времени,
оптимальную не по частному критерию двигательной установки,
а по более общему критерию оптимальности ракетной системы в
целом (например, по максимуму выводимой полезной нагрузки,
стоимостному критерию и т. д.).
Когда перед разработчиками твердотопливных систем встала
задача программирования тяги по траектории при достаточно
большом времени работы двигателя (десятки и сотни секунд),
оказалось, что специальных методов проектирования РДТТ с
учетом изменения их тяги по времени не существует.
Вместе с тем существовали математические модели внутрен-
ней баллистики РДТТ, которые позволяли для некоторых распро-
страненных форм наполнителей получить зависимость тяги от
времени при известных параметрах геометрии наполнителей. Эти
модели были предназначены главным образом для оценки формы
наполнителя с точки зрения обеспечения постоянной тяги.
Отсюда возник метод решения задачи выбора программы тяги
РДТТ, состоящий из двух последовательных этапов: на первом
этапе решалась задача выбора параметрически оптимальной про-
граммы тяги по траектории с помощью уже существующих вари-
ационных методов с допущением об идеальном регулировании
двигателя (либо с ограничениями на регулирование, с помощью
которых стремились учесть специфику РДТТ); а на втором эта-
119
пе — по полученной оптимальной программе тяги проектировал-
ся твердотопливный наполнитель по критерию максимального
приближения профиля тяги к заданному с использованием мате-
матической модели.
Хорошим примером применения такого метода может слу-
жить выбор программы тяги твердотопливной ступени амери-
канской системы «Space Shuttle». В начале, при допущении
идеального регулирования, была получена оптимальная про-
грамма тяги, представленная на рис. 4.4 сплошной линией.
Оптимизация программы тяги проводилась по критерию ми-
нимума массы топлива (заданной массы полезного груза). Затем
был спроектирован наполнитель по критерию минимума массы
топлива для заданной массы полезного груза. Затем был спроек-
тирован наполнитель по критерию максимума приближения
профиля тяги к расчетному. Функционал оптимизации имел вид
Ф = 1 Y (AFZ)2 + 1Я Р', (4.14)
где AFZ — разница между расчетным и реализуемым значения-
ми тяги двигателя в i-e моменты времени; ру — ограничения на
параметры.
j = N
Наилучшим приближением считается вариант, когда £ р-
j = 1 J
i = N
и E (AFf)2 достигают минимума. Реальная программа тяги, по-
i = 1
лученная при проектировании наполнителя, представлена на
рис. 4.4 пунктирной линией.
За счет использования оптимальной программы регулирова-
ния тяги при неизменной массе полезного груза удалось бы
Рис. 4.4. Оптимальная (-) и реальная (-)
программы тяги «Space Shuttle»
120
уменьшить требуемую заправку ускорителей на 73 444 кг. Од-
нако при реально полученном профиле тяги выигрыш в массе
топлива уменьшился до 25 460 кг, т. е. сократился на 65%.
В дальнейшем в рамках этой методики шло интенсивное со-
вершенствование как методов выбора оптимальной программы,
так и математических моделей наполнителей для проектирова-
ния по критерию максимального приближения профиля тяги к
заданному. Методы выбора оптимальной программы совершен-
ствовались путем более полного учета специфики РДТТ и введе-
ния дополнительных ограничений на регулирование, вводимых
исходя из возможных профилей тяги уже выбранного напол-
нителя, что требовало проведения предварительных исследова-
ний. Математические модели наполнителей дорабатывались
для ускорения процесса вычислений и обеспечения возможнос-
ти изменения параметров внутренней геометрии наполнителя в
рамках одной модели.
В частности, в программе «Space Shuttle» после этапа разра-
ботки твердотопливной ступени, результаты которого представ-
лены на рис. 4.4, были модифицированы методы выбора оп-
тимальной программы и математическая модель наполнителя.
В методе выбора оптимальной программы были учтены пределы
регулирования и ограничения на скорость регулирования на ос-
новании профиля тяги реального наполнителя (пунктирная ли-
ния). Математическая модель наполнителя после модификации
позволила варьировать пятнадцатью параметрами внутренней
геометрии наполнителя. Функционал оптимизации наполните-
ля имел вид
Ф-Ъ g^F^ + 'z Pj. (4.15)
По сравнению с (4.14) были добавлены априорно задаваемые
в i-e моменты времени весовые коэффициенты gr Весовые коэф-
фициенты задавались исходя из соображений важности выдер-
живания того или иного участка профиля тяги. В результате
были получены новые оптимальная и реальная зависимости тя-
ги от времени.
Дополнительный цикл разработки, включающий в себя
уточнение пределов регулирования в отдельные моменты време-
ни для реального наполнителя при выдерживании идеального
профиля тяги, выбор новой оптимальной программы тяги с уче-
том уточненных пределов регулирования и модификацию твер-
дотопливного наполнителя по критерию приближения програм-
мы тяги к новой оптимальной, позволил увеличить выигрыш в
массе топлива до 53 830 кг.
121
Схема описанной методики выбора профиля тяги представ-
лена на рис. 4.5. Существенной особенностью такой методики
является учет выполняемой системой задачи при проектирова-
нии наполнителя и оптимизация геометрических параметров
наполнителя математическими методами с помощью модели
внутренней баллистики (модели наполнителя). Вместе с тем
серьезным недостатком является отсутствие обратной связи
«модель наполнителя — размерно-массовая модель ЛА».
Вариация геометрических параметров наполнителя ведет к
изменению размерно-массовых характеристик ступени и систе-
мы в целом. В первую очередь при изменении параметров канала
наполнителя меняется время экспозиции участков стенки каме-
ры в потоке газов, а следовательно, и масса теплозащиты. Чтобы
не учитывать изменения массы конструкции, при проектирова-
нии наполнителя приходится сильно сужать пределы вариаций
параметров. Весьма узкие пределы вариации параметров требу-
ют высокой квалификации проектанта при задании начального
приближения, к тому же возникает тенденция отыскания не
глобального, а локального экстремума при оптимизации.
При существенном изменении параметров наполнителя тре-
буется разработка новой модели наполнителя и модели размер-
но-массовых характеристик ЛА. К тому же методика достаточ-
но громоздка — последовательно производятся два цикла опти-
мизации по разным моделям, что увеличивает время расчетов.
Рис. 4.5. Схема методики выбора профиля тяги
122
4.4. Постановка задачи по управлению
ЗАДАНИЕ. Найти оптимальное управление углом тангажа 9(v, t)
« « pv2
с учетом ограничении на скоростной напор q = ограничении
на программу угла тангажа, традиционно налагаемых на про-
грамму угла тангажа ракет-носителей, обеспечивающих при за-
данной энергетике максимально возможную высоту выведения
полезного груза на круговую орбиту.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В УСЛОВИЯХ СТАРТА С ПОВЕРХНОСТИ
ЗЕМЛИ. Известно несколько способов управления баллистиче-
скими ракетами и ракетами-носителями КА, правда, преиму-
щественно с ЖРД, стартующими с Земли. Как показано в [1],
управление может заключаться в том, что на всем активном
участке полета или его части применяется либо «жесткая» про-
грамма угла тангажа 9пр(0, зависящая от времени, либо «гиб-
кая», зависящая от кинематических параметров движения ра-
кеты. В последнем случае на борту ракеты вычисляется теку-
щий функционал Ф по показаниям инерциальных измерителей
параметров движения центра масс ракеты, и по достижении за-
данного значения функционала (Ф = С) подается команда на вы-
ключение двигателя и отделение полезной нагрузки (рис. 4.6).
Для ракет с ЖРД, величина тяги которых регулируется, приме-
няется управление по программе, которая задает в функции
времени требуемые значения параметров (угла тангажа, боко-
вой составляющей скорости и др.) [2].
Эти способы управления ракетой предназначены в основном
для наиболее простого удовлетворения техническим требовани-
ям и конечным условиям движения и не решают в полной мере
задачи оптимального управления.
Использование разработанных аналитических и численных
методов оптимизации управления траекторией движения стало
возможным с развитием ЭВМ [10].
Способ управления [11], оптими-
зирующий траекторию в процессе
движения на активном участке, за-
ключается в решении задачи оптими-
зации (по быстродействию или энер-
гетике) программы угла тангажа,
удовлетворяющей техническим тре-
бованиям (ограничениям по системе
управления, быстродействию орга-
нов управления и др.) с последую-
щим многократным применением по-
лученного алгоритма управления в
реальном масштабе времени на бор-
О v
Рис. 4.6.
Выключение двигателя
по рассчитываемому
функционалу
123
ту ракеты. Так, например, определяется зависимость требуемо-
го угла ориентации вектора тяги от текущих параметров движе-
ния в результате решения краевой задачи [12].
Однако этот способ управления применяется на внеатмосфер-
ном участке движения и требует постоянного знания значения
тяговооруженности. Кроме того, решение было получено при до-
пущении о плоском однородном гравитационном поле Земли.
РЕЗУЛЬТАТЫ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА. Параметрические
исследования проводились для авиационно-ракетного комплек-
са, содержащего в своем составе двухступенчатую баллистиче-
скую ракету-носитель со следующими характеристиками: на-
чальная стартовая масса т0 = 5800 кг; масса полезной нагрузки
тпг = 350 кг.
В качестве начальных условий старта было принято:
высота отделения от самолета-носителя Но = 20 км;
скорость при отделении от самолета-носителя
(скорость при разделении) Vo = 2М;
начальный угол атаки а0 = 7°.
Итак, была рассмотрена задача достижения максимальной
высоты круговой орбиты при заданной энергетике. Был выпол-
нен анализ влияния начального угла тангажа при отделении ра-
кеты от самолета-носителя на высоту круговой орбиты (рис. 4.7).
Таким образом, на атмосферном участке ракету-носитель необ-
ходимо отделять от самолета-носителя с максимально возмож-
ным углом тангажа, обеспечиваемым самолетом.
С целью минимизации гравитационных потерь должно быть
обеспечено минимальное время достижения области ограниче-
ний по скоростному напору и углу атаки.
А Н, км
40
30
20
10
1 10 20 зо е0
Рис. 4.7. Влияние начальной величины 0о
на приращение высоты орбиты
124
Для уменьшения аэродинамических потерь необходимо вы-
держивать постоянной величину g/а, как показано на рис. 4.8.
Анализ гравитационных потерь на внеатмосферном участке
траектории показывает, что на борту ракеты необходимо вычис-
лять их величину, а также скорость поворота местного горизон-
та и, исходя из этого, формировать программу угла тангажа.
ОПТИМАЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ. Предварительные прикидочные
расчеты и пробный расчет на ЭВМ показали, что оптимальная
траектория должна выглядеть следующим образом.
Самолет-носитель, достигнув в районе пуска требуемых па-
раметров при отделении, осуществляет маневр типа «горка» и
производит пуск ракеты-носителя с максимально возможным
углом тангажа. В процессе полета на борту ракеты измеряются
кинематические параметры движения, угол атаки а и скорост-
ной напор q. В БЦВМ ракеты решается задача оптимального уп-
равления: определяется закон изменения угла тангажа 0, обес-
печивающий набор максимальной высоты круговой орбиты при
заданных энергетических затратах, т. е. находится максимум
функционала
Н = max Н(Х, U, t),
{и}
где X — фазовый вектор (линейные и угловые координаты дви-
жения и их производные, определяющие состояние системы в
момент времени t); U = 9(v, t) — вектор управления.
Для этого в БЦВМ ракеты-носителя в соответствии с выбран-
ной математической моделью движения на каждом расчетном
цикле Tt g (tz, ti + 1) вычисляется функционал Н(7\) с сохранени-
ем управления предыдущего цикла и с изменением управляю-
щей функции
С7(Т/) = 17(Т/_1) + Д17.
Рис. 4.8. Оптимальное изменение программы угла тангажа
125
В качестве оптимального управления выбирается то, кото-
рое обеспечивает максимум приращения функционала на рас-
четном цикле
ДИ = max Н(Г).
В зависимости от вычисленного сигнала управления подается
команда на отклонение органов управления, которые обеспечи-
вают движение ракеты-носителя по оптимальной траектории.
Оптимальный угол тангажа (оптимальное управление) на
активном участке траектории формируется с учетом ограниче-
ний, характерных для разных частей этого участка.
АТМОСФЕРНЫЙ УЧАСТОК ТРАЕКТОРИИ. На атмосферном участ-
ке имеют место ограничения по углу атаки и скоростному напору:
I I СЦпах’ Q ^шах*
Изменение угла тангажа должно обеспечить быстрый выход
на ограничение, а затем — движение, не превышающее это ог-
раничение, т. е.
3 (t) - &3max, t G ^0, ^(7а)доп
9(0 = 9maxA(i-^-x);
* *(9а)доп ’ * e (л<7а)доп’ )*
ВНЕАТМОСФЕРНЫЙ УЧАСТОК ТРАЕКТОРИИ. Ha внеатмосфер-
ном участке изменение угла тангажа, с одной стороны, должно
превышать скорость поворота плоскости местного горизонта т]
(гравитационное поле не плоскопараллельное), а с другой
стороны — обеспечить управление, оптимальное с точки зрения
энергетических затрат, т. е.
П(0 < 3(0 < ^(0;
G (^(ga)0’ ^к)’
где
*2
со(О = J g sin (9 - a) dt.
G
Получаемые теоретические результаты должны быть сопос-
тавлены с результатами математического моделирования траек-
тории движения ракеты с помощью ЭВМ.
Оптимальное изменение угла тангажа, полученное на основе
математического моделирования траектории движения раке-
ты-носителя на ЭВМ, представлено на рис. 4.9.
126
Рис, 4.9. Скоростной напор q, qa, 3, 0, а в функции времени
На основании вышеизложенного можно сделать следующие
выводы.
Предварительные расчеты показали, что оптимальное управ-
ление повышает высоту круговой орбиты с 300 до 500 км по
сравнению с изменениями угла тангажа в результате решения
локальной (на момент разделения ступеней) краевой задачи.
Кроме того, есть все основания предполагать, что решение
задачи оптимального управления на борту ракеты повышает
точность выхода в заданную точку пространства по сравне-
нию с программным управлением на 10%.
Независимо была проанализирована задача профилирова-
ния тяги РДТТ. Рассмотрены методы проектирования раке-
ты воздушного базирования при прямой оптимизации гео-
метрических параметров наполнителя и оптимизацией через
предварительный выбор программы.
Установлено, что эффективным способом оптимизации раке-
ты воздушного базирования, связанным с профилированием
тяги РДТТ, является выбор проектных параметров ракеты
совместно с оптимизацией геометрических параметров твер-
дотопливного наполнителя.
127
4.5. Исходные уравнения моделирования движения
на первой ступени после отделения от носителя
После отделения от носителя движение ракеты происходит с
тягой Рр изменяющейся при подъеме на высоту по закону
= + ^а(Ро “ р)’
где Ро — начальная тяга на Земле,
8а — площадь выходного сечения сопла; р0 — давление на Зем-
ле; р = f(h) — давление на высоте h; Сг — коэффициент тяги;
g0 — ускорение свободного падения на Земле; А — коэффициент
расхода; т — секундный расход массы.
Это движение осуществляется до достижения величины ско-
ростного напора
g = = ддоп,
где р = f(h) — плотность на высоте h; V — скорость движения;
ддоп — допустимая величина скоростного напора.
Для ракет типа «Тополь» ддоп = 0,02 МПа (исходя из возмож-
ности сохранения эффективности управления).
Следует иметь в виду, что старт осуществляется при скорос-
ти VHa4, под углом бросания 0нач и при скоростном напоре днач.
При достижении величины ддоп, которая определяется непо-
средственным измерением скоростного напора, путем измене-
ния величины тяги осуществляется регулирование q.
При t > tv q > ддоп
Р - Agi - 1 ; Р. ,=Р,, i=l....N.
2‘ ‘ 1 (Pgh-i ‘ 1 1
При q < <7ДОП Р3 = P2i = N. Одновременно проводится расчет те-
кущего значения массы топлива: при t = t1(mT)t = t = тптнач -
- где ih1 — массовый расход на участке 0 - tv
Если отсчет времени начинается на каждой стадии, то
(znT)( = (2 = (/nT)i = <i-
Определяется время достижения на третьей стадии 3
3 ("»2)t-r2’
128
Определяется общее время работы первой ступени
(Oi = + ^2 *з-
Текущая масса на каждом участке движения при работе пер-
вой ступени
m = mn- E rn.t..
i = о
Изменение коэффициента аэродинамического сопротивления:
М < 0,9, Сх = 0,09; 0,9 < М < 1,1, Сх = 0,95М - 0,765;
М > 1,1, Сх = 0,0105М2 - 0Д05М + 0,382.
На третьем участке работы двигателя первой ступени
sin 0 = (зтЭнач - Sin6K1)Z 2 _ 2t +---фтО^-------\
tj V 3 (sin0Ha4 - sineK1V
При движении на участке «паузы»
vx = Гк1cos ек1 =const;
Vy — VK1 Sin 0Ki 9к1^паузы'
На участке паузы происходит изменение угла наклона век-
тора скорости к местному горизонту по закону
Qin О = ^KlsinQKl “^кДпаузы.
ЫН vnay3bI ,
к паузы
^паузы a/^kI 2^к1£к1 ^nay3bISinOKi + АГк1^паузы •
Высота определяется из уравнения
= У sin 6.
dt
Функции высоты: g, р, р; скорость звука — функция скорос-
ти и высоты.
Рассмотрим варианты проведения численных расчетов.
Из-за малой протяженности активного участка при работе
первой ступени можно принять у = h.
Высоту можно рассчитывать, учитывая кривизну Земли h =
= у 4- х2/2Л, тогда надо записать и интегрировать систему
уравнений совместно с уравнением dx/dt = V cos 0:
^ = p-cjgsM in
dt m
= V sin 6;
dt
= V cos e.
dt
129
Уравнения, подлежащие интегрированию при работе двига-
теля второй ступени:
т^- = Р cos а - mg sin 9;
dt
9 = 0 + 0; 0 = -^-;
R + у
= У sin 0; ^ = Vcos0;
dt dt
mV^ = p sin а - mg cos 9;
dt
<p = e + a; <p = -^(t-tKn).
гкп
Основными проектными параметрами (варьируемыми вели-
чинами) являются: тяга Рр переменная тяга Р2 = /V), тяга Р3,
продолжительность паузы £паузы.
Общее решение рассматриваемой задачи оптимизации сво-
дится к нахождению перечисленных оптимальных проектных
параметров на первой ступени:
L<>pt = max L = f(V, h, 0);
PpP2 = W), P3-
Время паузы определяется следующим образом:
• 2 0 = 2^к1^к1^паузы8Й10к1 ~^~^к!^паузы
паузы - 2FK1gK1tnay3bIsin0K1 + g^t^,
Изменение высоты зависит от продолжительности паузы:
t2
Н - НК1 = (Ук1 sin ек1хпаузы - gK1-^,
Рис. 4.10. Зависимость конечной скорости
от начального угла тангажа первой и второй ступени:
0 = 30°;.....0 = 35°;----0 = 40°;-----0 - 45°;-----0 = 50°
130
а продолжительность паузы определяется требуемым прираще-
нием высот:
= vK1sineK1 - JvK21Sin2eK1 - 2gK1(H - нк1)
паузы
1
Некоторые зависимости представлены на рис. 4.10, 4.11. На
второй ступени проводится обратный расчет траектории, как
показано на рис. 4.12.
Рис. 4.11. Зависимость конечных высот
от начальных углов тангажа первой и второй ступени:
0 = 30°;----0 = 35°;-----0 = 40°;------0 = 45°;-----0 = 50°
Рис. 4.12. Зависимость скорости и высоты от начального угла
тангажа второй ступени при обратном расчете
131
При обратном расчете траектории определяются Нтреб и 0треб,
а затем все параметры траектории после паузы.
В процессе расчета траектории возникает необходимость в
получении аналитических зависимостей g, р, р, а от высоты, хо-
тя в принципе возможно использование их табличных значений.
Примем следующую зависимость от высоты для перечислен-
ных параметров:
gH = 9,807 - 0,3025 • 10 5Н;
1g Рн = 5,01 ~ 0,603 ’ Ю"4Н;
1g р = 0,097- 0,611 • 10-4Н;
а = 340,28- 0,845 • 10 3Н.
4.6. Численная оптимизация в задаче выбора
закона изменения тяги PH воздушного базирования
и программы угла тангажа
Рассмотрим задачу создания PH на базе твердотопливных
ускорителей баллистической ракеты типа «Тополь». Рассмот-
рим вариант создания двухступенчатой PH, полученной из вто-
рой и третьей ступеней PH типа «Тополь».
Таблица 4.1
Характеристика Первая ступень PH Вторая ступень PH
Длина РБ, м 5,8 3,2
Максимальный диаметр, м 1,55 1,35
Масса РБ, кг 11 500 4950
Масса топлива РБ, кг 10 690 4557
Тяга ДУ, кН 490 200
Начальная тяговооруженность 2,889 3,70
Относительная конечная масса 0,378 0,22
Удельный импульс тяги, с 270 294
132
Таблица 4.2
Характеристика Значение
Размах крыла, м 51,8
Длина, м 49,4
Масса, т 165
Двигатели 4ТРДд-15
Тяга, кН 52
Потолок, м 17 600
Максимальная скорость, км/ч 2535
Основные характеристики РБ, используемых в качестве сту-
пеней создаваемых PH, представлены в табл. 4.1.
Полученную PH можно разместить на модернизированном
бомбардировщике «ЗМ», который уже применялся для транс-
портировки топливного бака «Энергии». Самолет зарекомендо-
вал себя как надежный ЛА, основные характеристики которого
представлены в табл. 4.2.
Результаты оптимизации представлены на рис. 4.13.
На рис. 4.14 показана схема решения задачи по оптимиза-
ции угла тангажа и определению продолжительности паузы.
Рис. 4.13. Результаты оптимизации начального угла
тангажа первой и второй ступени
133
Рис. 4.14. Схема решения задачи
оптимизации угла тангажа
134
Глава 5
Оптимизация двигательной установки PH
по критерию надежности
5.1. Общие сведения
К настоящему времени разработана широкая номенклатура
ЖРД, работающих как на криогенных, так и на высококипя-
щих компонентах. В связи с этим появляется возможность вы-
бирать количество двигателей в двигательных установках тяже-
лых PH от единиц до нескольких десятков.
PH «Сатурн-1» имела восемь двигателей Н-1 (надежность
единичного двигателя д1дв = 0,965), PH Н-1 имела 30 двигате-
лей, «Сатурн-5» — пять двигателей.
Если сравнить два двигателя, тяги которых существенно
различаются (допустим, на порядок), то надежность малого дви-
гателя может быть выше, чем у двигателя, тяга которого боль-
ше. Это объясняется следующими причинами:
► двигатель меньшей тяги обладает высокой степенью унифи-
кации в том смысле, что он может применяться в ряде про-
ектов, в то время как двигатель большей тяги в известной
степени уникален и разрабатывается, как правило, для оп-
ределенного проекта;
► для отработки двигатель требует не одну сотню испытаний,
и малый двигатель отработать легче;
► стоимость испытательного стенда для большого двигателя
несоизмеримо выше, чем для малого.
В силу этих причин малый двигатель имеет большую надеж-
ность, чем большой, другими словами, с ростом тяги надеж-
ность двигателя уменьшается.
5.2. Тематическая модель надежности
Надежность двигательной установки
= (?1дв)"’
где д1дв — надежность единичного двигателя; п — количество
двигателей в связке.
Вероятность выхода из строя т двигателей из всей связки п
двигателей
п _ рт рт пп - т
<ЦУт Ьп^1дв91дв ’
где С™ — число сочетаний из п элементов по тп; Р1дв — вероят-
ность выхода из строя единичного двигателя; д1дв — надежность
135
работы единичного двигателя; т — количество двигателей, вы-
ходящих из строя.
Вероятность выхода из строя одного и только одного двига-
теля из всей связки п двигателей
Р = с 1 pi пп - 1
^ДУх ^1дв 91дв •
Выход двух двигателей из строя назовем событием В.
Вероятность выхода из строя двух двигателей из всей связки
п двигателей
Рду2=Р(В)=С2
В общем случае имеются две разные группы двигателей:
► двигатели, используемые для управления (например, двига-
тели шарнирно закрепленные), которые назовем управляю-
щими, хотя они могут и не быть управляющими в общем
смысле слова;
► двигатели, не используемые для управления (например,
двигатели жестко закрепленные), которые назовем непо-
движными в том смысле, что они не используются для уп-
равления (хотя для управления могут использоваться и не-
подвижные двигатели).
Обозначим событие, характеризующее выход из строя руле-
вого двигателя, через Dv а событие, характеризующее выход из
строя неподвижного двигателя, — через D2.
Когда два рулевых двигателя выходят из строя, — это собы-
тие Н^.
Н1= DtxDv
Когда выходят из строя два неподвижных двигателя, — это
событие Н2:
Н2 = D2 х D2.
Когда из строя выходят рулевой и неподвижный двигате-
ли, — это событие Н3:
Н3 = Dx х D2.
Таким образом, имеется полная группа событий, сумма ве-
роятностей которых
f Н \
Здесь J— вероятность совершения события Нр т. е.
когда два рулевых двигателя выходят из строя при условии, что
136
совершается событие В, т. е. два и только два двигателя из п вы-
f Н Л
ходят из строя; P\-g J — вероятность совершения события Н2,
когда два неподвижных двигателя выходят из строя при усло-
вии, что совершается событие В, т. е. два и только два двигателя
из п выходят из строя; Р[-^ ) — вероятность совершения собы-
тия Н3, т. е. когда выходят из строя рулевой и неподвижный
двигатели при условии, что совершается событие В, т. е. два и
только два двигателя из п выходят из строя.
События Н2 и Н3 назовем событием Н4,
Здесь р(^=± 1 — вероятность совершения события Н1 при ус-
(Н \
J — вероятность совер-
шения события Н4 при условии, что совершается событие В:
Р
сГ
рГф ]= 1 1 = 1 -
К В ) V В ) С%
Вероятность выхода из строя двух двигателей из всей связки
п двигателей (с тем условием, чтобы не оказалось двух неисп-
равных двигателей, используемых как рулевые), другими сло-
вами, вероятность того, что одновременно произойдет и событие
В, и событие Н4:
Р(В х Н4) = Р(В) х р(^ ) = С2 Р2ДВ .
Рассмотрим численный пример. Двигательная установка пер-
вой ступени ракеты-носителя «Сатурн-1» имела восемь двигате-
лей Н-1 (надежность единичного двигателя д1дв = 0,965), четыре
из которых использовались в качестве рулевых и были закрепле-
ны шарнирно, другие четыре были закреплены неподвижно и для
управления не использовались.
Кроме того, двигательная установка спроектирована таким
образом, что выход из строя одного двигателя при запуске в те-
чение первых 60 с полета не приведет к аварии всей ракеты.
137
Вероятность выхода из строя одного из всей связки двигателей
РдУ1 = Р(В) = Ср|двд8д-1,
где РДУ1 — вероятность выхода из строя одного из всей связки
двигателей; — сочетание из восьми элементов по-одному,
Cg = 8; Р}дв — вероятность выхода из строя одного двигателя;
qf~B 1 — надежность работы связки из семи двигателей надеж-
ностью <71дв; РДУ1 = Р(В) = 8 • 0,035 • 0,9657 = 0,218 — вероят-
ность выхода из строя одного и только одного двигателя (ти = 1)
из всей связки п = 8.
Подобная система повышает надежность работы двигатель-
ной установки в целом при запуске и в течение первых 60 с по-
лета до 0,97 (0,75 -I- 0,22).
Ракета сможет продолжать полет, даже если в течение остав-
шихся 60 с полета выйдет из строя второй двигатель (исключе-
ние составляет тот случай, когда из строя выйдут два шарнирно
закрепленных двигателя и ракета потеряет управление в плос-
кости крена).
Вероятность выхода из строя двух из всей связки двигателей
(с условием того, чтобы не оказалось двух неисправных двигате-
лей, используемых как рулевые), другими словами, вероятность
того, что одновременно произойдет и событие В, и событие Н4
Р(В х Н4) - Р(В) X р(5*)- cl е‘„ (3^) -
- 0,035" • 0,965» -2^-^). 0,0218.
Тогда надежность работы двигательной установки в течение
остальных 60 с полета составит 0,992 (0,75 -I- 0,22 -I- 0,022).
Помимо этого анализ стендовых запусков показывает, что бо-
лее 50% двигателей, не прошедших испытания, выходило из
строя на первых двух секундах работы. Надежность ракеты по-
этому может быть повышена введением двухсекундной выдерж-
ки работающих двигателей на стартовом столе. Если в одном из
двигателей за это время обнаружится какая-либо неисправность,
специальное отсечное устройство выключит все двигатели.
Надежность двигателя ЖРД F-1, по заявлению фирмы Rock-
etdyne, составляла в начале испытаний (1963 г.) 70...75%, а
надежность системы включения — 95%.
Естественно, что для повышения надежности двигательной
установки надо прежде всего стремиться к повышению надеж-
ности работы каждого двигателя, которая в свою очередь зави-
сит от количества деталей в двигателе.
138
Специалисты Отдела перспективных проектов Научно-ис-
следовательского центра им. Маршала рассчитали надежность
ракет-носителей « Сатурн-1» и «Сатурн-5». Согласно расчетам,
ко времени окончания отработки, в процессе которой должно
быть произведено по десять запусков, надежность их составит
66%. Через два года после окончания отработки в результате
различных усовершенствований надежность ракет предполага-
ют повысить до 75%, а еще через два года — до 80% (как у ра-
кет «Атлас», «Титан-1» и «Тор», состоявших в то время на во-
оружении).
Глава 6
Проектный анализ многоразовых PH
6.1. Критерии принятия проектных решений
многоразовых PH
6.1.1. Общие сведения
Научно-технический прогресс в XXI в. в значительной сте-
пени будет определяться уровнем освоения космического про-
странства.
В ближайшей перспективе эффективное использование кос-
моса может быть обеспечено за счет применения многоразовых
транспортных космических систем (МТКС). К основным пре-
имуществам МТКС относят:
► снижение затрат на выведение полезной нагрузки в космос;
► улучшение экологических показателей за счет возврата сту-
пеней: исключение падения блоков транспортных средств и
засорения околоземных орбит;
► спасение груза при возможных отказах носителя.
В числе возможных типов перспективных МТКС обычно
рассматриваются:
► системы выведения авиационного базирования;
► частично многоразовые носители с возвращаемой первой
ступенью;
► полностью многоразовые двухступенчатые и одноступенча-
тые ТКС.
Многообразие возможных проектных решений МТКС обус-
ловливает необходимость проведения проектного анализа аль-
тернативных вариантов средств выведения с целью выявления
наиболее рационального проектного решения, обеспечивающего
минимум суммарных затрат на выполнение транспортной про-
граммы.
139
При решении поставленной задачи, помимо традиционных
методов выбора проектных параметров, обеспечивающих тре-
буемые летно-технические характеристики носителя, необходи-
мо провести дополнительные исследования по обоснованию со-
гласованных уровней надежности, ресурса и массовых характе-
ристик систем ТКС.
Данная работа посвящена рассмотрению комплексного под-
хода к проведению анализа разрабатываемых ТКС с учетом от-
меченных выше особенностей их функционирования.
6-1-2- Массово-стоимостные характеристики
многоразовых ЛА
При проведении проектного анализа МКТС в качестве кри-
терия выбора проектных решений целесообразно рассматривать
суммарные затраты на выведение единицы массы полезного
груза
где СЕ — суммарные затраты на выполнение транспортной про-
граммы; N — общее число пусков; тпг — масса полезного груза.
При оценке суммарных затрат в случае применения много-
разовых носителей необходимо учитывать снижение эксплуата-
ционных расходов за счет повторного использования многоразо-
вых разгонных блоков (МРБ).
Очевидно, повторное использование МРБ возможно только
при безотказной работе систем носителя и средств спасения в
каждом пуске. В противном случае блоки заменяются на новые,
и эксплуатационные расходы возрастают.
Кроме того, при оценке суммарных затрат необходимо учи-
тывать дополнительный ущерб, вызванный потерей целевой на-
грузки при отказе носителя.
С учетом сказанного стоимость выполнения целевой транс-
портной программы можно представить в виде
Сг = С3 + Сэо + СТ + Су + Сп, (6.1)
где Сэ — эксплуатационные затраты; — затраты на проведе-
ние испытаний; Ст — стоимость топлива; Су — стоимость ущер-
ба при отказе носителя; Сп — затраты на обеспечение пуска.
В общем случае затраты на эксплуатацию можно оценить по
соотношению [7]
Сэ = Z Z Суд i/niJ(KB i7. + )N, (6.2)
' ' ч
140
где Суд Z; — удельная стоимость единицы массы у-й системы Z-ro
блока; mt] — масса у-й системы Z-ro разгонного блока; Кв — ко-
эффициент восстановления у-й системы Z-ro блока; г|/; — коэффи-
циент запаса по ресурсу для у-й системы Z-ro разгонного блока;
— средний ресурс у-й системы Z-ro разгонного блока; N — ко-
личество пусков.
Соответственно для затрат на топливо получим
Ст = N S Суд.т,тт, = N S Суд Tj(s т, (6.3)
где Суд т/ — удельная стоимость единицы массы топлива Z-ro раз-
гонного блока; mTi — масса топлива в составе Z-ro разгонного
блока; цк- — относительная масса конструкции Z-ro разгонного
блока.
Аналогично для других составляющих получим
Сэо = ^УД
Су = (Спг + CPH)Q7V; (6.4)
Сп = (2ЕСудЛ.)^ам,
где KLJ — количество систем у-го типа, входящих в состав Z-ro
блока, расходуемых на проведение испытаний; Спг — стоимость
целевого груза, выводимого носителем; Срн — стоимость носи-
теля; Q — вероятность отказа носителя; Кау[ — коэффициент
амортизации.
Ресурсы многоразовых систем можно выразить через их мас-
совые характеристики
гц=АцтУ’
где А-, — коэффициенты аппроксимации.
С учетом приведенных соотношений получим выражение
для суммарных затрат, приходящихся на один пуск:
- 7? - Н с»‘1тГн + С"Л + С₽н« +
+ Z Z С т К •• + Z Z С т К +
УЛЧ ч в i; ij уяч ч ам
(б'5>
141
В дальнейшем рассмотрим укрупненные оценки состав-
ляющих затрат, ограничиваясь детализацией зависимостей
(6.2)...(6.4) на уровне разгонных блоков:
сэо = Z
сэ = ZmpjK* + ЦМф;
CT=Z mTiC^TiN; (6.6)
Cy=(S mfi^ + C^N;
Cn=YmiCwlKaMN,
где ?n. — масса конструкции Z-го разгонного блока; Суд/ — удель-
ная стоимость единицы массы конструкции i-ro блока; Kt — ко-
личество блоков, расходуемых на проведение испытаний; KBi —
коэффициент восстановления i-ro разгонного блока; — ресурс
f-го блока; mri — масса топлива i-ro блока; Суд т/ — удельная сто-
имость единицы массы топлива i-ro блока; Q — вероятность от-
каза носителя; Кам — коэффициент амортизации; N — объем
транспортной программы.
Для оценки массовых характеристик разгонного блока вос-
пользуемся известными соотношениями [6]
где = —— — относительная масса i-й ступени носителя; =
™О1
mKi
=-------относительная масса конструкции i-и ступени; цп . =
^o(i + 1) • «
= ———— относительная масса полезного груза i-и ступени;
^oi
тпг
Li = —— — относительная масса полезного груза носителя.
ПН
6.1.3. Анализ критериальной функции
С учетом полученных соотношений выражение для суммар-
ных затрат примет вид:
q = _ Ипг)Суд;(£' + KBi + ЦЛг-Ч + Q + 7Сам) +
Нпг L 1 1У ' I
+ Lpoi(l-pKi)Cya.Ti] + CnrQN.
При проведении анализа объем транспортной программы
можно считать заданным (т^ = mnrN). Таким образом, в качест-
142
ве критерия для проведения проектных исследований можно
рассматривать выражение
= = Й7Г ? “ ^пг;)Суд/[т7 + (-Кв/ + (г.^ ) +
+ Суд.^1-^) + + (1 + ёу )Q1 (6.7)
Фактически критерий (6.7) характеризует удельные затраты
на выведение единицы массы полезного груза.
В дальнейшем при анализе массово-стоимостных характе-
ристик ступени будем рассматривать четыре системы, традици-
онно используемые при проектном анализе ракет-носителей:
топливный отсек, двигательную установку, систему управле-
ния, прочие конструкции.
Массовые характеристики этих систем можно оценить по
следующим соотношениям [8]:
^то/- Нкг)^О1’
mJWi УДУ
^су^НсуД-Рпг/Иор
^пр i Нпр z^Oi’
mi = (Нк/ - Нпг/Иор
^сс I асс ХНк/ Нпг
где ато/— относительная масса топливного отсека; — на-
чальная масса i-й ступени носителя; уду z — удельная масса дви-
гательной установки; и0/ — начальная тяговооруженность i-й
ступени; цсу-— относительная масса системы управления i-ro
блока; цпр t — относительная масса прочих конструкций i-ro бло-
ка; acci — относительная масса средств спасения i-ro блока.
Раскрыв выражения для составляющих затрат, получим
Сэо = = (^Toi^Toi^Toi + ^ДУ^ДУ^ДУ/ +
+ mcci^cci^cci + ^npi^npi^npi + ^СУ/^СУ^СУ/)»
сэ = s (KBi + 1-^ >,Суд Д = N S |КТ.О(. + Rb^l/nT0,CTOf +
1 V Z-'y 1 I L- x TOZ-'y -I
+ Kci + + |ХдУ<+^^>ду(сду/ +
L x’CCZ'y -1 L \ГДУ//у
+ Knpi+ ^77^RpAPi + Rcyj+ ^^>ду;СдуЛ,
I- v’npz-'y -1 L \ГДУМу -I J
143
где CTOi, Сду/, Cnpi, Ссуь Ccd — соответственно удельные стои-
мости конструкции топливного отсека, двигательной установ-
ки, прочих конструкций, системы управления и средств спасе-
ния i-ro блока.
Разрешив полученные равенства относительно KL и KBi +
, 1-^Bi
+---------найдем
_ _ _
g _ ^Toi(l M-Ki)^'Toi + YДУДУi&ДУ/ + M-npi^npi-^npi ।
(Mkz M,nri)^'yfli
। ^СУ/(1 M,nri)^'Cyi-^cyz^cci(^Ki M,nrz)^'ccz-^ccz .
(M^kz М,пг/)^'уд/
Kb1 + = (Нк< - Iri)cyAi {Сто; a™i(1" + ]+
+ Сду/ТдуЛя [*вду< + (ГдДУ‘] + CnpiMnpi[*Bnpj + (Гпр“р‘] +
+ ccyincyj(l - цпнЛсу; + ^77^1 +
L \rCYi)y -I
+ Ccciacci(nKi - HnHi)KcCi +
L V ccz/y J J
Аналогично оцениваются удельная стоимость массы конст-
рукции i-ro блока и удельные затраты на топливо
Суд/ [Сто/Лто/(1 Икг) + С ДУ/Уду i^oi + Ссу/Рсу /(1 Мпг /)
+ Ссс/ Осс j(PKj Рпг /) + СПр/ Рпр /КИк/ М"ПГ/) ’
п _ CTi _ Суд.о/^G, + Суд.г/
ГТк^
(6.10)
где С / — удельная стоимость окислителя; Суд г/ — удельная
стоимость горючего; Кс = — — коэффициент соотношения
компонентов.
6.2. Согласование массы, надежности
и ресурса многоразовых систем ЛА
6-2,1- Массовые характеристики конструкции МРБ
Как отмечалось выше, особенностью функционирования мно-
горазовых систем является снижение их работоспособности в про-
цессе повторного использования. Характер убывания допусти-
мых напряжений [ст] по N определяется кривой усталости [3]
[a]W = Cv. (6.11)
144
о, МПа
400
300
200
100
1 10 102 103 104 105 106 107 N
Рис. 6.1. Кривая усталости для Д16Т
Как видно из рис. 6.1, реальный закон изменения допусти-
мых напряжений по числу циклов характеризуется наличием
зоны нечувствительности к усталостным повреждениям в диапа-
зоне 0...103. Таким образом, если в процессе функционирования
количество циклов нагружения не превышает 103, то ухудшения
несущей способности конструкции не происходит. В дальней-
шем, при N > 103, циклические нагрузки различных уровней бу-
дут обусловливать накопление усталостных повреждений. Со-
гласно зависимости (6.11), для конкретной конструкции харак-
тер изменения разрушающей нагрузки Р по числу циклов можно
аппроксимировать зависимостью
PlN = Cp. (6.12)
Возможный спектр нагружения МРВ представлен в
табл. 6.1.
Таблица 6.1
№ Случаи нагружения Расчетная нагрузка Частота реализации нагрузки, 1 /полет Число циклов до разрушения
1 Старт Р1 «1
2 9тах р2 ^2
3 Пх max р3 пз N3
4 Разделение р< П4
i pt ni
т Посадка рт п т
145
Для учета влияния на конструкцию различных уровней
циклического нагружения используем линейную гипотезу на-
копления повреждений [3], согласно которой разрушение кон-
струкции происходит при выполнении условия
r°$ W, - '•
(6.13)
С учетом выражения (6.13) средний ресурс работы конструк-
ции может быть оценен по соотношению
Г = -^=-S_
° y2i Wi
Для оценки константы Ср соотношение (6.12) представим че-
рез напряжение
(6.14)
г о
(6.15)
где Fo — площадь сечения корпуса одноразового РБ.
Для границы зоны нечувствительности, [o]N = 1о3 ~ ов, полу-
чим
Отсюда
а'-103=
В pl
о
Ср=103Я',
где Ro = <zBFo — несущая способность отсека одноразового РБ.
Соответственно для го
= 103К*
о
2У1
(6.16)
При расчете на прочность одноразовых РБ следует исходить
из того, что несущая способность конструкции должна обеспе-
чивать ее работоспособность в наиболее тяжелом случае нагру-
жения, т. е.
Ло=рр,
где р — определяющий расчетный случай нагружения РБ.
Подставив значение Ro в выражение (6.16), получим оконча-
тельное соотношение для оценки среднего ресурса отсеков одно-
разового РБ
О
(6.17)
103
146
р
При числе пусков г > го допустимые напряжения начнут
убывать, и для сохранения несущей способности отсека его пло-
щадь Fo необходимо увеличить, что приведет к увеличению мас-
сы конструкции.
Для оценки изменения массовых характеристик соотноше-
ние (6.11) удобнее представить в виде
№ = сг,
где г =-----ресурс конструкции; N= Z п,( —
i \Р,
(6.18)
эквивалент-
ное число циклов нагружения за один полет; Сг — константа.
Характер изменения зависимости (6.18) представлен на
рис. 6.2. Как видно из графика, при достижении среднего ре-
сурса гср конструкция находится на границе работоспособности.
Поэтому эксплуатационная долговечность оценивается гаранти-
рованным ресурсом
. = '_СР
7 Пг
(6.19)
где г|г — коэффициент запаса по ресурсу.
Очевидно, коэффициент цг связан с коэффициентом запаса
по прочности ц соотношением
П = (6.20)
[ог]
где п = —[о_ 1 — допустимое напряжение в конце выработки
О₽ Y
Рис. 6.2. Изменение допустимых напряжений по числу полетов
147
С учетом результатов, полученных ранее, зависимость меж-
ду массой и средним ресурсом можно аппроксимировать соотно-
шением
гср=Лгт‘, (6.21)
где Аг, I — коэффициенты аппроксимации; тг — масса конст-
рукции, соответствующая заданному среднему ресурсу.
Согласно (6.21), получим
Го=АХ>
где то — масса конструкции одноразового РБ.
Представленные соотношения позволяют получить следую-
щую оценку массы многоразовых РБ:
тг = Кгто, (6.22)
где Kr = j ПРН nZy > го (б 23)
I 1 при Т]ггу < г0.
С учетом несиловых элементов конструкции соотношение
(6.22) примет вид
тг = ^Кгт0, (6.24)
где £, — поправочный множитель, учитывающий вклад несило-
вых элементов конструкции в массу отсека.
Согласно [7], коэффициент запаса определяется требова-
ниями, предъявляемыми к надежности конструкции Нг:
пг=п^ (6.25)
где Пгт = —-----------------; L = 1 - — параметр; К —
'Hr L2(l - KvargF (Hr)) JK
число испытаний отсека; + lf2([o]) — коэффици-
ент вариации; ), ЛГДп]) — коэффициенты вариаций дейст-
вующих и допустимых напряжений; F* — функция нормиро-
ванного нормального распределения; t.f — множитель, соответ-
ствующий заданному уровню доверия у.
При проведении расчета на прочность по расчетным нагруз-
кам величина реализуемого коэффициента запаса [6] может
быть оценена по соотношению
(6-26)
где f — принятый коэффициент безопасности.
148
Таким образом, в традиционно спроектированную конструк-
цию уже заложен коэффициент запаса по ресурсу цг = г|£. Если
потребные коэффициенты запаса МРБ г\н больше, чем то
для обеспечения гарантированного ресурса гу коэффициент за-
паса по ресурсу должен оцениваться по соотношению
Пг
(6.27)
С учетом (6.27) соотношение (6.23) примет вид
/Г|я _
(_-(?)'J при г > гпр
1 при г < гпр,
(6.28)
где г = -1 — относительный ресурс; гпр = .
Работоспособность предлагаемого подхода в дальнейшем
проиллюстрируем на конкретном примере. Исходные данные,
принятые при проведении расчетов, сведены в табл. 6.2.
Таблица 6.2
^д) f К У П/
0,1 0,1 1,5 3 0,95 2,1 0,14
Характер изменения Кг по параметру г для различных уров-
ней надежности конструкции МРБ Нг показан на рис. 6.3. Как
видно из графика, задание Нг и г однозначно определяет вели-
Рис. 6.3. Зависимость корректирующего множителя Кг
от относительного ресурса конструкции г
149
чину коэффициента Кг. Для нахождения г требуется определить
величину r0. С этой целью зададимся спектром нагружения
МРБ, представленным в табл. 6.3.
Согласно (6.17) получим
Полученные результаты позволяют оценивать предельное
число полетов гпр, не требующих проведения доработок при ис-
пользовании одноразового РБ. В частности, при Нг = 0,9 полу-
чим
% = гогпр = 2,25 • 15 = 33,75 = 33.
С увеличением требований к надежности предельное число
пусков убывает. Например, при Нг = 0,99 имеем
гпр = гогпр=0,5.15 = 7,5«7.
Таким образом, предлагаемая методика позволяет оцени-
вать массу конструкции МРБ в зависимости от требований,
предъявляемых к надежности конструкции, ресурса МРБ и от
объема экспериментальной отработки отсеков.
Таблица 6.3
№ Случаи нагружения Расчетная нагрузка Частота реализации нагрузки, 1/полет
1 Старт Л = 0,4Рр п1 = 5 0,128
2 7 max Р2 = 0,6Рр п2 = 50 6,480
3 Пх max Р3 = 0,7Рр п3 = 5 1,201
4 Разделение Р< = 0,8Рр п4 = 40 16,380
Р Определяющий расчетный случай Рр пр = 20 20,000
т Посадка Pn = Wp 19,683
S = 63,872 i
150
6.2.2. Массовые характеристики ДУ МРБ
Для оценки надежности многоразовых ДУ целесообразно ис-
пользовать закон распределения Вейбулла, позволяющий учесть
снижение уровня работоспособности двигателя по мере выработ-
ки ресурса. При этом вероятность отказа двигателя может быть
оценена следующим образом:
Q ~ (6.29)
r (n,)a у
Здесь Qr — верхняя доверительная граница вероятности от-
каза;
Г2 - Х?(*) .
х x?-yW’
ХуСйГ) — квантиль х2-₽аспреде ления, соответствующий уровню
т.
доверия у; К — количество испытаний ДУ; ц, = — — коэффици-
ti
ент запаса по времени функционирования; mt — математиче-
ское ожидание времени безотказной работы ДУ; tx — время ра-
боты ДУ в одном полете; гу — гарантированный ресурс ДУ по
числу полетов.
При задании требований к надежности и ресурсу ДУ соотно-
шение (6.29) позволяет определить коэффициент запаса по ре-
сурсу:
/г 20t>- a - 1
V ’ С6’30)
Очевидно, обеспечение заданных уровней коэффициента за-
паса достигается в результате проведения проектно-конструк-
торских мероприятий, влияющих на массовые и стоимостные
характеристики ДУ.
В дальнейшем зависимость между r|z и массой ДУ будем ап-
проксимировать функцией
T]t=A,/n',
где Ал — коэффициент аппроксимации.
Аналогичное соотношение можно записать для одноразово-
го ДУ:
Т|<о =Ат]ТП',
где тп0, ц t — масса и коэффициент запаса по ресурсу одноразо-
вого ДУ.
Отсюда
151
С учетом (6.30) соотношение (6.31) можно представить в виде
тг = Кгт(>, (6.32)
где
[ [?г 2сС)“ г~
кir=J 77 ’если гу > г°
I 1, если гу < г0;
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим
конкретный пример. При проведении расчетов примем следую-
щие исходные данные, сведенные в табл. 6.4.
Таблица 6.4
ч а 1 К Y
100 2 4 10 0,95
Расчеты проводились для диапазона изменения ry = 1 ... 100
и для различных уровней надежности Нг.
По результатам расчета были получены зависимости Кг от
ресурса ДУ.
Точка пересечения кривых, представленных на рис. 6.4, с
осью абсцисс определяет максимальное число пусков го, допус-
Рис. 6.4. Зависимость корректирующего множителя Кг
от относительного ресурса ДУ
152
тимых для двигателя с уровнем запаса гь =100, без проведе-
но
ния доработок. Дальнейшее увеличение числа пусков (гу > г0)
приводит к возрастанию массы ДУ, задаваемому корректирую-
щим множителем Кг.
Как видно из графика, с увеличением требований к надеж-
ности и ресурсу ДУ величина Кг возрастает.
Таким образом, полученные результаты позволяют уточнять
массовые характеристики бортовых систем МРБ на этапе про-
ектных разработок в зависимости от требований, предъявляе-
мых к надежности систем, их ресурсу, и от объема эксперимен-
тальной отработки К.
6.2.3. Обоснование ресурса систем
Применение многоразовых систем приводит к снижению ма-
териальных затрат на реализацию транспортно-космической
программы. Однако по мере повторного использования происхо-
дит снижение уровней работоспособности систем, что повышает
вероятность отказа аппаратов и приводит к увеличению сум-
марных затрат. Поэтому обоснованное назначение ресурса целе-
сообразно производить из соображений обеспечения требуемых
уровней надежности при минимальных затратах средств.
Согласно (6.5), минимум достигается при значениях тп/у,
удовлетворяющих условию
J^=o.
8та
Раскрыв выражения для производных, получим
+ 5VQ + KBij + Квы + (1 ~Mlti) Суд.тг + = 0
Ик/ ' ij
где
/S — Суд.тг , ё _ дСрн 1
V УД-Т/ С . ’ ° Ч dm С • • ’
^уди и"1к] ^удл]
Разрешив уравнение относительно гарантированного ресур-
г
са (r.)v = , получим
^ч
= ----- (^-l)(l -g . (6.33)
*ам + + KBij + Ик,;Суд.т, + Q8i;
"к/
153
Таким образом, оптимальные уровни ресурса конкретной
системы будут зависеть от затрат на проведение ремонтно-вос-
становительных работ Кв ij9 от амортизационных затрат на обес-
печение пуска Кам9 от интенсивности снижения параметров ра-
ботоспособности системы lij9 от затрат на ее испытания Kij9 от
требований, предъявляемых к надежности носителя Q, а также
от относительных удельных затрат на топливо Суд.т/7.
В качестве иллюстрации полученных результатов оценим
оптимальные уровни ресурса конструкции МРБ:
_ (1-*.>('-1)-|
У К + к gQ д Кв + 6QK + Д
N в к
N
где М =----требуемое количество носителей;
гу
Изменение гарантированного ресурса в зависимости от коэф-
фициента восстановления Кв представлено на рис. 6.5.
NASP
Рис. 6.5. Зависимость ресурса конструкции
от коэффициента восстановления Кв:
-------------М = 2;--------М = 20
154
При проведении расчетов было принято Z = 4, ТС = 2, 8 = 2,
Д = 0. Расчеты проводились при различных уровнях надежнос-
ти конструкции Нк = 0,99 и Нк = 0,9999 для значений М = 2 и
М = 20. Как видно из графика, ресурс конструкции падает с уве-
личением Кв и растет с повышением требований к надежности
конструкции.
Требования к надежности конструкции либо назначаются из
соображений обеспечения заданной безопасности выполнения
программы, либо находятся из условия минимизации суммар-
ных затрат.
6.3. Методика обоснования проектных решений
многоразовых ЛА
6-3-1- Сравнительный анализ эффективности применения
многоразовых одноступенчатых средств выведения
Сравнительный анализ проводится по критерию минималь-
ных затрат.
Для одноступенчатых аппаратов выражение для комплекс-
ного критерия примет вид
где
+К' + К„ + К,
Нпг
(6.34)
ВТ
с
^уд.т
Суе = 1 + Су,
суд
Y
где Суд т, Суд — стоимость единицы массы топлива и конструк-
ции соответственно.
При проведении анализа объем испытаний будем оценивать
по приближенному соотношению [6]
Q ~
где Р — эффективность проведения испытаний.
Отсюда
К _ 1 lnQ
N ₽ '
(6.35)
В дальнейшем величину гу будем определять для разгонного
блока в целом, включая конструкцию отсеков, двигательную
установку и прочие элементы конструкции.
155
В этом случае соотношение (6.33) примет вид
о 8 Ори 1
где 5 =
8тк1 Суд
С учетом (6.35)
функции примет вид
___ (/- l)d -К,)
1пД
Q
wp
вт + Хам + SQ
где
____ Нк1 Нпг/пг
z —-------------Ь,
Рпг
(6.36)
и (6.36) выражение для критериальной
- 1 (}nQ
- IV Np
в вт ам
Очевидно, оптимальная надежность будет удовлетворять ус-
ловию
dCs _ Рк1 Нпг Q I ( 1
~dQ УД/-1ДёЛф
отсюда
(6.37)
С учетом (6.37) получим
Се = пт (*»+ + к™ + + lni> ))• (6-38)
В случае обеспечения оптимальных требований к надежнос-
ти соотношение (6.36) примет вид
У I ---------Г ’ Vм • °
КъЪ + 8Q + ^CyEQlnA
где КвЪ = Кв + К + К .
Характер изменения гу в зависимости от надежности МРБ
для различных КвЪ представлен на рис. 6.6.
При проведении расчетов было принято: I = 4, 8 = 2, CyS = 2.
Как видно из графика на рис. 6.6, величина гу существенно
зависит от уровня надежности носителя и затрат на его восста-
новление.
В дальнейшем для проведения сравнительного анализа целе-
сообразно перейти к безразмерному критерию
Э = (6.40)
Cs,i
156
где индекс 0 соответствует опорному варианту, а индекс i —
альтернативному варианту проектного решения.
С учетом (6.38) получим
Э = £7У, (6.41)
где
_ ^удО НкЮ ИлгО Mriri .
^УД1 НпгО HkI/ Ипг/
1г_ ;тЬ['с.».» + 0»е» М1 + 1у„)]
+ O,C„.a(1 +Ini)]
Параметр V определяется требованиями, предъявляемыми к
надежности аппаратов.
Характер изменения V по надежности представлен на
рис. 6.7. При проведении расчетов предполагалось: Zo =
^yS,0 = ^0 = — 1*
При высоких уровнях надежности параметр V приближает-
ся к предельному значению
ТЛ = *в*.о
В дальнейшем предположим, что затраты на восстановление
будут определяться только стоимостью компонентов топлива
(К. = Кйк = 0).
В этом случае выражение (6.41) упростится:
1 НкЮ Hnri С'уд.тО (6 42)
1 Hxli НпгО Суд.т1
Рис. 6.6. Зависимость ресурса
от надежности для различных КзХ
Рис. 6.7. Зависимость
параметра V от надежности МРБ
157
(6.43)
(6.44)
Соотношение для удельных стоимостей топлива можно оце-
нить по следующей зависимости:
С Л 1 + Kp Кг +
^уд.тО _ ___Go то
б ' Кс +1т \ + кс
'-'УД-Т/ т( Go
Q
где KG — коэффициент соотношения компонентов; 1Т = —
Суд. о
отношение удельных стоимостей горючего и окислителя.
При низких уровнях надежности и равенстве вероятностей
отказа аппаратов параметр V близок к единице (в сДучае выпол-
нения условий Zo = lt, CyZ>0 = = ^ = 1).
Соответственно критериальная функция примет вид
g = СудО RkIO ~ М-пгО Hnri
Суд/ РпгО Нк1/ Ипг/
В дальнейшем остановимся на сравнительном анализе двух
типов аппаратов:
► одноступенчатого аппарата вертикального взлета и посадки
с ЖРД, работающим на водороде и кислороде (проект «Дель-
та-Клипер»);
► одноступенчатого аппарата горизонтального взлета и посад-
ки с комбинированной двигательной установкой, включаю-
щей ГПВРД, работающий на водороде, и ЖРД, работающий
на водороде и кислороде (проект «NASP»).
Основные тактико-технические характеристики рассмотрен-
ных проектов представлены в табл. 6.5.
Таблица 6.5
Параметр Тип аппарата
«Дельта-Клипер» «NASP»
Стартовая масса, т 500 360
Сухая масса, т 42,18 82,00
Масса горючего, т 63 69,8
Масса окислителя, т 376,8 191,56
Масса полезной нагрузки,т 9 9
Относительная масса полезной нагрузки цпг 0,018 0,025
Относительная масса конструкции цк1 0,107 0,257
158
При низких уровнях надежности показатель эффективности
оценивался по соотношению (6.44). При проведении анализа
удельные стоимости конструкции Суд принимались одинаковы-
ми для аппаратов обоих типов. Тогда с учетом исходных дан-
ных, представленных в табл. 6.5, получим
g = ^к1,Д ~ Нпг, Д M'nr.NASP = 0 53
^ZNASP Нпг.Д RkI.NASP “ Hnr.NASP
Таким образом, несмотря на лучшую массовую эффектив-
ность аппарата горизонтального взлета, его применение приве-
дет к удорожанию выполнения программы в 1,87 раза.
Преимущество аппаратов вертикального взлета обусловлено
в основном удешевлением производственных расходов ввиду
меньшей сухой массы этих аппаратов по сравнению с аппарата-
ми горизонтального взлета и посадки.
При высоких требованиях к надежности, задаваемых из со-
ображений обеспечения безопасности полетов, критерий эффек-
тивности оценивался по соотношению (6.42).
При этом соотношение удельных стоимостей топлива рас-
считывалось по зависимости (6.43). Результаты расчетов пред-
ставлены в табл. 6.6.
Как видно из табл. 6.6, при высоких требованиях к надеж-
ности преимущество аппаратов вертикального взлета снижает-
ся, хотя их применение все же обеспечивает удешевление вы-
полнения транспортной программы в 1,2 раза по сравнению с
аналогичными средствами горизонтального взлета.
Таблица 6.6
Параметр Тип аппарата
« Дельта-Клипер » «NASP»
Коэффициент соотношения компонентов KG 6 2,75
Удельная стоимость топлива Суд.т, усл. ед. 1 2
Коэффициент восстановления Кв 0,01 0,0064
Критерий эффективности Э 0,828
159
6.3.2. Общий алгоритм выбора проектных параметров
многоразовых ЛА
Комплексный проектный анализ альтернативных вариантов
транспортных средств выведения позволяет выявить наибо-
лее рациональный вариант проектного решения, обеспечиваю-
щий минимум суммарных затрат на выполнение транспортной
программы. Очевидно, решение этой задачи предполагает рас-
смотрение для каждого варианта проектного решения опти-
мальных массово-энергетических характеристик аппаратов, со-
ответствующих оптимальным уровням ресурсов систем и их
надежности.
Алгоритм проведения расчетов по предлагаемому подходу
представлен в табл. 6.7.
Таблица 6.7
Номер этапа Содержание этапа
1 Обоснование требований к надежности
Оценка экономически целесообразных уровней вероятности отказа Qopt Оценка надежности из условия обеспечения безопасности Б^яп ОВД
2 Нормирование надежности
3 Проектно-баллистический анализ Исходные данные: а°0 , ц°р , уДу Задание: (мйп). 41п) • 411*) — (Мк1Р Мор Мкр МпгР Мпг, «р Р/)
4 Прогнозирование гарантированного ресурса Исходные данные: JV, Ktj, KBtj, Суд Tf, Cyatj, Оценка ресурса: Г(?П) = 1Ч ~2 + к + -1 ~ + 5 Q^K Нк» СУДО
5 Уточнение относительных масс ^то(р) — -^к^то ’ УдУ(р) — ^дУдУ ’ ^сс(р) — *с*сс ’ Нпр(р) — ^кНпр
160
Продолжение табл.
Номер этапа Содержание этапа
5 Конструкция РБ Исходные данные: К, nif Pif qk
Случаи нагружения Расчетная нагрузка Частота реализации нагрузки, 1/полет
1 Старт Р1 П1
2 9 max р2 ^2
3 Пх max Рз п3
Р Ро л₽
т - 1 Разделение Рт-! Пт - 1
т Посадка Рт Пт
р — определяющий расчетный случай для одноразового РБ Расчетные соотношения: r° n = 1 . L = 1 - * lH' L2(l + K^rgF'^))’ Jk’ _ Л 1 + ^ид . _ JCD, CD 1 ' 1 - t К ’ [1 (о < 1. x •'у'Ншод ’ Двигательная установка Исходные данные: Z, Иt0» 9ду» а» К Расчетные соотношения: р(2*)а^ Г(0, <о > 1
6 Проведение повторных расчетов по п. 3, 4, 5 для уточненных значений ато(р), цпр(р), уду(р), асс(р)
161
Продолжение табл.
Номер
этапа
Содержание этапа
Оценка удельных затрат
Суд/ (Ню “ Нпг i) = ^то i + ^ДУ/ + ^cci + + ^npi»
где
^то i ~~ Дто i^roi (1 Цк /)> t/пр i ^npi ЦПр p
^ду/ = Уду 1^ДУ»по/ 5 Ucci = acciCcci (цк/ - цпг f),
Ucyt = Ccyi Hey i(l “ Hnri)
Расчет суммарных затрат
Се = [Г ZIУ+ июкм + +
+ t/cytfcy + иссксс1 + H0i|[C/T0(^BT0 + ) +
+М*вду+)+М*»сс+Ц^-с)+
ГДУ гсс
+ М*ВСУ + ) + ^прКпр + Ц^-₽ П +
V ГСУ 7 4 * пр 7-1
+ ^уд.т/ (1 — Цк /) + С"УД1 (Нк i ~ Нпг i)[(l + £у М? + -^ам]
Оптимизация проектных параметров
ClUm = min Clsn) - , ngf, ng?! )
n
Оптимизация надежности
Cxmin = min Cls) - Q°p‘
s
Согласно алгоритму, расчет начинается с задания надежнос-
ти аппарата (этап 1). Уровни надежности аппарата назначаются
либо из условия обеспечения заданных требований к безопас-
ности полета, либо из соображений экономической целесообраз-
ности. В последнем случае расчеты проводятся для диапазона
изменения надежности (перебор по параметру s). В дальнейшем
оценка оптимального уровня надежности осуществляется по
критерию минимальных затрат.
На этапе 2 проводится распределение надежности аппарата
между его системами. В простейшем случае можно применить
равномерное распределение, т. е. все системы считать равнона-
дежными. При более строгом подходе нормирование надежнос-
ти осуществляется по критерию минимальных затрат.
162
На этапе 3 проводится выбор основных проектных параметров
носителя из условия обеспечения требуемых летно-технических
характеристик ЛА. Расчет проводится для диапазона свободных
параметров по традиционной методике [8]. На-
чальные значения относительных масс систем а®о , > Уду зада-
ются по статистическим данным. Для каждого набора значений
HkV ’ noi) ’ noi 1 оцениваются соответствующие значения осталь-
ных проектных параметров pJ/Pi > Ио?) > Hr(i) ’ Ипгд » Нпг) и ДР- По-
лученные результаты используются для оценки ресурса систем
rjj1) на этапе 4.
Знание ресурса систем позволяет оценить поправочные ко-
эффициенты Кк и Х'д, используемые для уточнения относитель-
ных масс систем (этап 5).
В дальнейшем (этап 6) снова проводится проектно-баллисти-
ческий анализ, соответствующий новым значениям относитель-
ных масс ато(р), Уду(р), Pnp(p). Итерационный процесс заканчивает-
ся при достижении требуемой точности вычислений.
После завершения итерационного цикла проводятся расче-
ты по оценке удельных (этап 7) и нахождению суммарных (этап 8)
затрат.
Знание затрат для альтернативных вариантов проектных ре-
шений позволяет найти наиболее предпочтительное про-
ектное решение, отвечающее минимуму суммарных затрат
(этап 9).
В случае, когда надежность носителя не задана, проводится
выбор оптимального уровня надежности, соответствующего ми-
нимуму суммарных затрат C^s) (этап 10).
6.3.3. Параметрический анализ
проектных решений двухступенчатых ЛА с МРБ
По предлагаемой методике был проведен расчет модельной
задачи по выбору вариантов транспортно-космической системы.
Рассматривались два двухступенчатых носителя с одинаковым
топливом по ступеням и одинаковой массой полезного груза,
выводимого на орбиту. Рассматриваемые варианты отличались
проектно-конструкторскими решениями: у первого варианта
спасался ракетный блок первой степени, у второго варианта
спасались все ракетные блоки. Принятые при расчетах исход-
ные данные сведены в табл. 6.8.
163
Таблица 6.8
Нп На ^то1 ато2 аСУ1 аСУ2 ^ccl Тду1 ?ДУ2 К а КС2
200 200 0,05 0,1 0,02 0,01 0,2 0,015 0,023 3,67 5,06
*В1 топливо 1 ст. топливо 2 ст. Ст(Н2 + О2) ^т(кер + О2) Ск С'ПГ
0,081 керосин + О2 Н2 + О2 10 1 100 1000
Расчет массово-энергетических характеристик носителя про-
водился по традиционной методике [8].
В процессе исследований сравнивались ракеты-носители с ха-
рактеристиками, соответствующими оптимуму по относитель-
ной массе полезного груза и стоимости. Характер зависимости
критериев от значений относительной конечной массы для пер-
вого варианта представлен на рис. 6.8.
Полученные результаты показывают, что оптимум по крите-
рию стоимости смещен влево от оптимума, рассчитанного по
критерию относительной массы полезного груза.
Рис. 6.8. Зависимости критерия стоимости
и критерия относительной массы полезного груза
от относительной конечной массы первой ступени:
- - - - - кривая, характеризующая зависимость Су от цк1;
------кривая, характеризующая зависимость цпг от ц к1
164
В результате сравнения предлагаемых оптимальных вариан-
тов ракетоносителей были построены области экономически ра-
ционального использования анализируемых вариантов.
Результаты анализа представлены на рис. 6.9. На нем указа-
ны области рационального использования рассматриваемых но-
сителей в зависимости от коэффициента восстановления второй
ступени и относительной массы средств спасения второй ступе-
ни. Как видно из графика, в области 1 экономически целесооб-
разно использовать носитель с частичным спасением; соответ-
ственно в области 2 эффективно использовать носитель с пол-
ным спасением.
Рассматривая полученную зависимость, необходимо отме-
тить, что при увеличении массы средств спасения диапазон ва-
риантов носителей со спасением всех ракетных блоков сужает-
ся, и при определенной массе средств спасения его использова-
ние становится нерациональным.
Приведенные результаты подтверждают работоспособность
предлагаемой методики, позволяющей учитывать широкий спектр
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Кв2
Рис. 6.9. Области использования различных вариантов носителей,
рассчитанные по критерию стоимости:
1 — частичное спасение, т. е. спасается только ракетный блок
первой ступени; 2 — полное спасение, т. е. спасаются ракетные блоки
первой и второй ступеней; Къ2 — коэффициент восстановления второй
ступени; асс2 — относительная масса средств спасения ракетного
блока второй ступени
165
проектных, производственных и эксплуатационных факторов:
массово-энергетические характеристики носителя (цпг, цк/, по/);
целевое назначение проекта, обусловливающего объем транс-
портной программы (N); стоимость полезной нагрузки (Спг);
требования к надежности и ресурсу систем (гу); затраты на
проведение ремонтно-восстановительных работ (Кв); уровень
унификации и новизны носителя, определяющий затраты на
НИОКР (К), а также удельные стоимости конструкции, двига-
теля, топлива.
Приведем пример расчета проектных параметров ЛА с МРБ.
Рассмотрим двухступенчатый носитель с многоразовым разгон-
ным блоком первой ступени.
Последовательность проведения расчетов соответствует ал-
горитму, представленному в табл. 6.7.
Этап 1. Надежность МРБ принята равной 0,97.
Этап 2. Принято равномерное распределение надежности
между конструкцией топливного отсека, двигателя и прочих кон-
струкций. Вероятность отказа этих систем принята равной 0,01.
Этап 3. Рассматривается задача выведения полезной нагруз-
ки на круговую орбиту высотой Н = 200 км. Исходные данные
по относительным массам отсеков нулевого приближения пред-
ставлены в табл. 6.9.
Таблица 6.9
Параметр Первая ступень Вторая ступень
Относительная масса топливного отсека 0,053 0,15
Относительная масса ДУ 0,015 0,025
Относительная масса прочей конструкции 0,009 0,01
Этап 4. Ресурс систем оценивается по следующим соотноше-
ниям:
г = ^то! ~ .
К + ^то1 4- К + 1 ” ^к1 бт1 -|_
*ам + + *вто1 + + QSi
Нк1 Сто1
_ *ДУ1 - 1
Ду1 к г : ’
v , ЛДУ1 . к , 1 Нк 1 СТ1 =
Аам + -жГ- + Лвду1 + —------=---- + Qi>i
2’ "к1 Ьду1
166
При проведении расчетов были приняты следующие исход-
ные данные:
число испытаний топливного отсека 7Сто1 = 2;
число испытаний двигателя ХдУ1 = 10;
количество пусков N = 100;
коэффициент восстановления топливного отсека Квго1 =
= 0,01;
коэффициент восстановления ДУ ^вДУ1 = 0,01;
удельная стоимость топлива CTi = 1 усл. ед.;
удельные стоимости топливного отсека и ДУ CTOi =
= 100 усл. ед.; СДУ1 = 1000 усл. ед.;
относительная масса конструкции МРБ цк1 = 0,1;
коэффициент чувствительности 51 =2;
коэффициент амортизации КйМ = 0.
Результаты расчета: гто1 = 16,6, гДУ1 = 16,6.
Примем гто1 = гДу1 = 17.
Этап 5. Уточняются относительные массы.
Конструкция. Согласно результатам, полученным ранее,
примем г0 = 15. Отсюда
Согласно графику (см. рис. 6.3), Кг = 1,1 (Нт0 = 0,99).
Отсюда ато = 1,1-0,053 = 0,06; цпр = 1,1-0,009 = 0,0099 ~
-0,01.
Двигательная установка. Примем тъ = 100, тогда г = 18.
о
Согласно графику (см. рис. 6.4), Kr = 1 (Нду = 0,99). Отсюда
Уду = 0,015.
Этап 6. Проектно-баллистический расчет проводится по тра-
диционной методике [8]. Исходные данные, принятые в рас-
чете:
начальная тяговооруженность первой ступени п01 = 1,2;
удельная тяга в пустоте РДУ1 = 350 с; РДУП = 450 с;
угол наклона вектора скорости 0к1 = 25°.
Результаты расчета представлены в табл. 6.10.
167
Таблица 6.10
М”к1 МкН М”пг1 Holl Мпгг М”пг
noii ~ 6,7
0,18 0,378 0,090 0,260 0,0234
0,20 0,352 0,112 0,230 0,0258
0,23 0,319 0,144 0,191 0,0275
0,26 0,292 0,177 0,160 0,0283
0,29 0,271 0,209 0,135 0,0282
иоц 0,9
0,18 0,393 0,090 0,272 0,0245
0,20 0,366 0,112 0,241 0,0270
0,23 0,332 0,144 0,201 0,0289
0,26 0,304 0,177 0,169 0,0299
0,29 0,281 0,209 0,142 0,0297
noii “
0,18 0,403 0,090 0,279 0,0251
0,20 0,375 0,112 0,246 0,0275
0,23 0,340 0,144 0,205 0,0295
0,26 0,312 0,177 0,173 0,0306
0,29 0,289 0,209 0,146 0,0305
Уточнение параметра цк1 проводилось по соотношению
где
а = ато1 + Рпр! . п = УдУ1 .
1 + ^TOl ^ccl 1 + ^то1 ^ccl
А - а1
M’nrl 1 _ а ’ Р1^оГ
1 ах
При проведении расчетов принято асс1 = 0,15. Характерис-
тики МРБ первой ступени представлены в табл. 6.11.
168
Таблица 6.11
Нк1 А А аг Hnri Roll RkI
0,18 0,16 0,083 0,090 0,0990
0,20 0,18 0,103 0,112 0,0995
0,23 0,21 0,133 0,144 0,1004
0,26 0,24 0,163 0,177 0,1013
0,29 0,27 0,193 0,209 0,1023
Этап 7. Оцениваются удельные затраты.
Вначале проводится расчет промежуточных параметров:
^то i — aTOi^TOt(l — Ик/)’
^ду/ = Тцу/Оцу/ noi\
^npi ^npi P-npi’
UCci ~ ^cci^cci (Mki Muri)’
^*Ti = ^Ti (1 — Mr/)*
При проведении расчетов было принято:
асс1 = °’15’ ёТ02 = 100 усл. ед.; Спр2 = 100 усл. ед.; Ссс1 =
= 1000 усл. ед.; СДУ2 = 1000 усл. ед.; Ст2 = 10 усл. ед.
Результаты расчетов для первой ступени представлены в
табл. 6.12. Промежуточные параметры для второй ступени при-
ведены в табл. 6.13.
Таблица 6.12
RkI ЧдУ1 ^npl СТ1 ^ecl Roi^i
0,18 4,92 18 1 0,82 13,50 10,100
0,2 4,80 18 1 0,80 13,20 9,976
0,23 4,62 18 1 0,77 12,90 9,823
0,26 4,44 18 1 0,74 12,45 9,641
0,29 4,26 18 1 0,71 12,15 9,488
169
Таблица 6.13
Мк1 НкП TOZ Ст?, усл. ед. ЦцУ2 tfnp2 (^2)Мо11
Лоп “0,7
0,18 0,378 9,33 6,22 17,5 1 3,51
0,20 0,352 9,72 6,48 17,5 1 4,46
0,23 0,319 10,22 6,81 17,5 1 5,86
0,26 0,292 10,62 7,08 17,5 1 7,33
Лоп 0,9
0,18 0,393 9,11 6,07 22,5 1 4,01
0,20 0,366 9,51 6,34 22,5 1 5,07
0,23 0,332 10,01 6,68 22,5 1 6,66
0,26 0,304 10,44 6,96 22,5 1 8,32
ЛоП “ 1Д
0,18 0,403 8,96 5,97 27,5 1 4,51
0,20 0,375 9,37 6,25 27,5 1 5,71
0,23 0,340 9,90 6,60 27,5 1 7,48
0,26 0,312 10,32 6,88 27,5 1 9,33
Полученные результаты показывают вклад отдельных со-
ставляющих затрат в общих расходах на реализацию транс-
портной программы.
Этап 8. Рассчитываются суммарные затраты по соотношению
Су = — + —,
Мпг Мпг
где
= SiMoi + ^гМоп»
\ = uJk,^ + ) + UjJk^ + +
rroi ГДУ1
++++)+с-++
+ ^ДУ. + ^пр, + ^М(1 + Cy)Q + *ам];
^'исп = ^'исп1"^"'"^'ис112"^^; ^'исп/ = ^тог^то4"^^ДУг^ДУ|"^^пр4^пр»"^^ссг^сс«‘
170
При проведении расчетов приняты следующие исходные
данные: 7Сто1 = ТСто2 = 2; 7Спр1 = ТСпр2 = 2; 7Св1 = 0,01; = 17;
*ду1 = *ДУ2 = Ю; *cci = Ю; Ксс2 = 0; (1 + Cy)Q + *ам = 0,18;
ТСв2 = 0;г2 = 1.
Результаты расчетов представлены в табл. 6.14. Как видно
из таблицы, затраты на экспериментальную отработку —— со-
Нпг
ставляют значительную часть от общих расходов на реализацию
транспортной программы.
Таблица 6.14
Нк! Z, усл. ед. Мпг усл. ед. у ^исп Мпг усл. ед. С£, усл. ед.
noii
0,18 13,62 582,1 147,0 729,1
0,20 14,44 559,5 134,1 693,6
0,23 15,68 570,3 126,5 696,8
0,26 16,97 599,7 123,6 723,3
noii
0,18 14,11 576 142,1 718,0
0,20 15,05 557 130,2 687,2
0,23 16,48 570 122,6 693,0
0,26 17,96 601 119,6 720,3
По11 11
0,18 14,62 582 140,4 723,0
0,20 15,69 570 130,0 700,2
0,23 17,30 586 123,0 709,4
0,26 18,97 620 119,2 739,2
171
Рис. 6.10. Изменение
критерия цпг по ц к1
Рис. 6.11. Изменение
критерия стоимости CL
по ц к1 для различных ио11
Этап 9. Оптимизация проектных параметров осуществляет-
ся методом перебора.
Характер изменения цпг и по цк1 для различных по11 пред-
ставлен на рис. 6.10 и 6.11.
При оптимизации по массовому критерию максимум цпг
обеспечивается при цк1 = 0,27 и по11 = 1,1 (см. рис. 6.10).
Соответственно минимум затрат на выполнение транс-
портной программы достигается при значениях цк1 = 0,21 и
поп = 0,9.
Согласно данным, представленным на рис. 6.11, минималь-
ные затраты Cmin на выполнение транспортной программы со-
ставляют 684 усл. ед.
Для оптимальных параметров цпг и по11, полученных по мас-
совому критерию, затраты составляют 750 усл. ед., т. е. они по-
чти на 10% больше минимальных Cmjn.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Александров В. А. и др. Вопросы управления оперативно-такти-
ческими ракетами. М.: Наука, 1968.
2. Аппазов Р. Ф., Лавров С. С., Мишин В. П. Баллистика управляе-
мых ракет дальнего действия. М.: Наука, 1966.
3. Анцелиович Л. Л. Надежность, безопасность и живучесть само-
лета. М.: Машиностроение, 1985.
4. Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежнос-
ти в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1982.
172
5. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А, Д. Математические
методы в теории надежности. М.: Наука, 1965.
6. Золотов А. А., Титов М. И. Обеспечение надежности транспорт-
ных аппаратов космических систем. М.: Машиностроение, 1988.
7. Золотов А. А. Методы выбора проектных решений ЛА с учетом
обеспечения требований по надежности и безопасности. М.: Изд-во
МАИ, 1995.
8. Мишин В. П. и др. Основы проектирования летательных аппара-
тов (транспортные системы) / Под ред. В. П. Мишина. М.: Машино-
строение, 1985.
9. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функ-
ций. М.: Наука, 1968.
10. Соколов Б. Б., Никитин С. А. Применение метода обобщенных
параметров для исследования маневров в однородном гравитационном
поле // Космические исследования. М., 1969. — Т. 7. Вып. 2.
11. Stallard David V. Discrete optimal control solution with applica-
tion to missile guidance // ALAA Guidance and Control Conference, Seat-
tle, Washington, 1984. Coll. Techn. Pap. — N.-Y., 1984. — № 4. — P.
335—346.
12. Martin D. T. and other. Saturn V guidance, navigation and
targeting // AIAA/ACC Guidance and Control Conference, Seattle, Was-
hington, 1966. ALAA, 1966. — P. 697—702.
РАЗДЕЛ III
Методы конструирования
баллистических ракет
и ракет-носителей
Глава 7
Прочность и безопасность конструкций PH
7.1. Нормы прочности
В настоящее время коэффициент безопасности является нор-
мируемой величиной, определяемой так называемыми нормами
прочности
f = ^-,
где а? — расчетное напряжение на разрыв; qP — допустимое на-
пряжение для конструкционного материала.
Для определенности в качестве принимают предел про-
чности материала пв, а в качестве допустимых напряжений —
предел пропорциональности опц. Тогда
f=^,
^пц
что составляет приблизительно 1,3... 1,5, т. е. величину, диктуе-
мую нормами прочности. В отдельных случаях руководитель
проекта может уменьшить эту величину с целью сокращения
общей массы изделия, когда в пределах существующих норм
прочности требования заказчика невыполнимы.
С чем связана необходимость введения определенной вели-
чины коэффициента безопасности?
Рассмотрим формулу для определения толщины обечайки 8
гладкого цилиндрического бака, работающего на растяжение (на
прочность) под действием только внутреннего давления р в виде
5 = 2*
174
где R — радиус бака. Тогда
д8= Я ДР+Л|| ДЯ-РЛ 35 дст (7.1)
ов др ов ая q2 аСТв
Рассмотрев формулу (7.1), увидим, что погрешность в опре-
делении толщины обечайки обусловлена:
► неточностью определения действующих нагрузок, т. е. на-
грузки, которые мы определяем исходя из расчета динамики
движения, содержат погрешности, связанные с неполнотой
методик расчета, использованием некоторой стандартной
модели среды (стандартная атмосфера), условностью расчет-
ной схемы;
► неточностью при достижении заданных размеров в пределах
назначаемого допуска при изготовлении;
► отклонением фактических характеристик конструкционно-
го материала от справочных.
Эти составляющие погрешности могут быть выражены в ви-
де некоторого статистического закона распределения, тогда ко-
эффициент безопасности может быть определен на основе до-
стигнутого опыта проектирования.
7.2. Математическая модель
Примем, что функции разброса значений действующих на-
грузок /д(од) и механических свойств материала /м(ов) подчиня-
ются нормальному закону распределения и известны их матема-
тические ожидания а и среднеквадратические отклонения о
(рис. 7.1). Примем также, что допуски при изготовлении несу-
щественно влияют на несущую способность конструкции.
Рис. 7.1. Функции напряжений в конструкции (1)
и предела прочности материала (2)
175
Если аг — величина напряжения, вызванная действием
внешних нагрузок,
а
а2 — величина предела прочности материала, а2 = ов, тогда, по-
ка а = а2 - аг > 0, разрушения конструкции не произойдет.
Вследствие того что величина напряжений в конструкции,
вызванных внешними нагрузками, и предел прочности матери-
ала являются переменными величинами, математическое ожи-
дание а = а2 - ар Тогда среднеквадратическое отклонение а
ста = ст(а2 - О1) = 7°1 + °2 •
Закон распределения вероятности f(a) можно записать в виде
Z(a)= 1 exp(-<^F)
аоЛ/2л k 2aa 7
Известно, что вероятность отклонения (в одну сторону) от а
(а > 0), или, другими словами, вероятность неразрушения кон-
струкции можно представить в виде
P(a>0) = —3—J exp(-^—^)da.
Ga72^° V 2°a 7
Для того чтобы воспользоваться стандартными таблицами,
выполним замену
j = а - а
тогда
Р(а >O) = -Lf ехр(-^)^ = Ф‘(А
72ti-°° V 2/ Voa
Теперь определим коэффициент безопасности
_ а2 ~ Зст2
ai + Зс?! ’
т. е. материал менее прочный, чем это следует из справочных
данных, а нагрузка больше, чем мы считаем.
(7.2)
(7.3)
7.3. Определение коэффициента безопасности
через вероятность разрушения
Распределение вероятности очень удобно характеризовать
комплексным параметром — коэффициентом вариации:
V = — коэффициент вариации действующих напряжений;
ai
= — — коэффициент вариации предела прочности мате-
а2
риала.
176
В уравнении (7.3) выносим за скобку в числителе а2, а в зна-
менателе а19 тогда
1 - 3^ _
у. _ а2 а2
1 + ai
ai
или с учетом введенных коэффициентов вариации Уд и
l-3VMg2
1 + ЗКда/
Величина верхнего предела в интервале (7.2) может быть вы-
ражена через f, V и VM следующим образом:
а = а2 ~ ai = 1 ~ 3^м______ (7 4)
а“ 7^1 L2 + f2y2f1 + 342 ’
л/ д т Ai -
Если в расчетах при определении f использовать только но-
минальные значения величин, т. е. f = то выражение (7.4)
ai
упрощается:
± = :• (7.5)
Лд2 + f2Vl
Рассмотрим алгоритм определения коэффициента безопас-
ности на примере выбора коэффициента безопасности при про-
ектировании конструкции цилиндрического топливного бака,
нагруженного внутренним давлением наддува.
Пусть изменчивость при работе системы наддува может выз-
вать увеличение давления на 0,05 МПа (величина средне-
квадратического отклонения) при расчетном рабочем давлении
1 МПа. Корпус бака выполнен из стали с ов = 1800 МПа, причем
это значение гарантируется с точностью до 54 МПа (величина
среднеквадратического отклонения). Определим коэффициент
безопасности f при вероятности отсутствия разрушения бака
Р = 0,999, т. е. чтобы разрушался только один бак из тысячи.
Приведем алгоритм решения.
Этап 1. По таблицам [14] для Р = 0,999 определим значение
А = з,1.
Этап 2. Определим коэффициент вариации действующих на-
пряжений
V = = 0,05.
д Oj 50
177
Этап 3. Найдем коэффициент вариации предела прочности
материала
у = Z2 = М = о,оз.
м а2 180
Этап 4. Из уравнения (7.5) определим коэффициент безопас-
ности
-1
f= 1,18-1,2.
Наибольшей стабильностью механических свойств обладают
стали, наименьшей — стеклопластики, титановые сплавы занима-
ют промежуточное положение. Коэффициенты вариации механи-
ческих свойств некоторых материалов представлены в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Материал Коэффициент вариации Ум
Стали 0,01...0,03
Титановые сплавы 0,04... 0,07
Стеклопластики 0,09...0,15
Рассмотренный подход к выбору коэффициента безопаснос-
ти показывает, что при одном и том же значении коэффициента
безопасности стальная обечайка будет надежнее. С другой сто-
роны, при одной и той же надежности Р для стали VM наимень-
ший, и может оказаться, что обечайка из стали будет легче.
Глава 8
Определение характеристик
динамических нагрузок на PH
8.1. Динамические нагрузки при запуске ДУ
По характеру изменения во времени все действующие силы
можно разделить на два класса:
► статически действующие;
► динамически действующие.
К первому классу относятся медленно изменяющиеся силы.
Ко второму классу — быстро изменяющиеся силы, когда на-
грузка нарастает (убывает) в течение времени, не превышающе-
го два-три собственных колебания конструкции. При воздейст-
178
вии динамических нагрузок в корпусе PH возникают упругие
колебания. Примером динамических сил является изменение
тяги в период запуска и выключения двигателя. К числу стати-
ческих сил можно отнести силу тяжести и силу тяги на марше-
вом режиме работы двигательной установки, которые являются
медленно меняющимися функциями.
Динамическое нагружение во многих случаях определяет
потребную несущую способность элементов конструкции PH.
Это приводит к необходимости проведения динамических расче-
тов при действии быстро изменяющихся нагрузок.
Как указывалось выше, колебательные режимы в конструк-
ции могут возникать при наземной эксплуатации и предстарто-
вой подготовке, при запуске и выключении двигателя, при дей-
ствии ветровой нагрузки, при возникновении автоколебатель-
ных режимов, разделении ступеней и в других случаях.
При запуске двигателя необходимо учитывать увеличение сжи-
мающих усилий в корпусе носителя, вызванное возникновением
продольных колебаний. При выключении двигателя динамиче-
ская нагрузка по модулю не превышает статических сжимающих
усилий и не представляет большой опасности для элементов кон-
струкции, работающих на сжатие. Однако растягивающие дина-
мические нагрузки могут оказаться расчетными для болтовых со-
единений, используемых в стыковочных узлах корпуса носителя.
При действии ветровой нагрузки в конструкции PH возни-
кают изгибные колебания, которые могут определять несущую
способность корпуса носителя. Такие колебания необходимо
учитывать также при разделении ступеней, особенно для PH па-
кетной схемы, при автоколебательных режимах движения но-
сителя и в процессе его наземной эксплуатации.
Для удобства расчета динамический характер нагружения
учитывается введением коэффициента динамичности, который
показывает, во сколько раз внутренние силовые факторы, воз-
никающие при динамическом нагружении, больше, чем при
статическом.
Знание коэффициента динамичности позволяет достаточно
просто оценивать динамические нагрузки по известным стати-
ческим.
В ряде случаев удается получить достаточно простые расчет-
ные соотношения. В частности, при расчете фермы двигатель-
ной установки коэффициент динамичности при старте может
быть оценен по соотношению [3]
Пд-1 + £^?’ <««
где Т — период собственных колебаний системы двигатель —
ферма; т — время выхода двигателя на режим.
179
Для вывода этого соотношения рассмотрим схему нагруже-
ния конструкции фермы ДУ, представленную на рис. 8.1. Этой
схеме соответствует модель колебаний системы с одной сте-
пенью свободы (рис. 8.2).
Характер нарастания тяги двигателя принят линейным
(рис. 8.3). Для рассматриваемой модели движение массы тп под-
чиняется дифференциальному уравнению
ту + су = P(t),
где с — коэффициент жесткости пружины.
Коэффициент жесткости представляет собой отношение си-
лы Р, приложенной к системе, к максимальной деформации s,
вызываемой этой силой.
Для случая растяжения — сжатия бруса постоянного сече-
ния в пределах упругой деформации коэффициент жесткости,
согласно закону Гука,
с = - = (8.2)
8 8 I
где F — сечение бруса; I — длина бруса в направлении действия
силы.
Обратную величину, характеризующую упругую податли-
вость бруса, называют коэффициентом податливости
M=|=vL (8-3)
Г EiP
В дальнейшем уравнение примет вид
у +<й2у = Рт,
Рис. 8.2. Система
с одной степенью
свободы
Рис. 8.1. Схема
нагружения
фермы ДУ
Рис. 8.3. Закон
нарастания
тяги ДУ
180
На промежутке времени О...т правую часть уравнения мож-
но представить в виде
р — t
т т т *
При этом общее решение уравнения:
ух = А1 cos (dt + sin (dt + z/0,
P0 « n
где Уо = —----статическое смещение под действием силы Ро.
Подставив начальные условия </х(0) = 0, 1^(0) = 0, получим
отсюда
А, = 0; В.=-—
1 1 сот
(t sincof А
На втором участке времени (t > т) общее решение примет вид
У2 = А2 COS (dt + В2 Sin (dt + у0.
Начальные условия, соответствующие значению уг в момент
времени t = т:
У^ = У^-’^}.
Р1(т) = у(1 - cos сот).
С учетом начальных условий решение примет вид
. сот
sin—
1 -----------------------cos
сот
2
Отсюда максимальное смещение
. сот
Sin 2
сот
2
Соответственно для коэффициента динамичности получим
. сот
sin 2
сот
2
При т = 0 г|д = 2. С возрастанием значения г|д быстро убы-
вают. Например, при = 2,5 получим г| = 1,12.
У2 = Уо
„ _ У2 _
Пд и
Уо
У2 = Уо 1 +
СОТ
~2
= 1 + - - Sin 71^ .
71 Т Т
181
Рассмотрим пример оценки коэффициента динамичности
фермы ДУ. При решении задачи в качестве действующего на-
пряжения ор примем предел пропорциональности о02.
Отсюда площадь стойки фермы
р _
no02cosa’
где f — коэффициент безопасности; п — число стоек; a — угол
между стойкой и осью симметрии фермы.
Массу двигателя оценим по соотношению
т ду = РоУду’
где уду — удельная масса ДУ.
Для оценки жесткости фермы рассмотрим расчетную схему,
представленную на рис. 8.4.
Согласно определению, жесткость фермы с = Р, где Р — си-
ла, перемещающая шпангоут фермы на единицу длины. Соот-
ветственно для стойки фермы имеем
с = —. (8.4)
ст Д/ ' ’
р
где Рпгг =-------сила, действующая на стойку фермы; AZ =
ст ncosa
= cos a — удлинение стойки фермы; п — число стоек фермы.
Учитывая соотношение (8.2), после подстановки значений
AZ и Рст в соотношение (8.4) получим
с = Р = —
ст ncos2a Z
Отсюда
Р = cos2 a.
Таким образом окончательно найдем
EF ncos2а Р^ду/'Лд
с =--------= —— cos a.
Z ZyдyCГ02
Рис. 8.4. Схема перемещения конструкции фермы
182
Соответственно для собственной частоты колебаний получим
(02=
^УдУаО2
cos а.
Отсюда период колебаний
f = 2л = 2Л I гУдуст02 _
со ^E/r|Acosa ’
В заключение рассмотрим численный пример.
В качестве исходных данных примем
еВТ16 =115 •103 мпа; 1 =1 м;
СТО2ВТ16 = 800 МПа; a = 30°;
Уду = 0,002 кг/Н; т = 0,02 с;
Ч = 2-
Результаты расчета представлены ниже:
Т = 2л Z1'0,002'= 0,018 с;
N 115- 103-2-Тз
Пд< ! +
0,018
0,02л
~ 1,29.
В заключение заметим, что в приведенных расчетах не учи-
тывалась масса самой фермы. Для анализа влияния этой массы
оценим относительную массу фермы
- =
771 ДУ
где /Пф = Flpn, р — плотность материала фермы.
С учетом полученных выше результатов найдем
FZpn = Рр/ПдФ” = Л1?Р
Р оУду ncjQgCosaP оУду аогУдус08а
Для принятых исходных данных получим
- _ 21-4,6103
ф 800 • 10е • 0,002 • 73/2
= 0,007,
где рВТ16 = 4,6 • 103 кг/м3.
Таким образом, влияние массы фермы на результаты расче-
та можно считать несущественным.
183
8.2. Поперечные колебания корпуса ЛА
8-2-1- Постановка задачи
Как правило, динамическое нагружение возникает в опреде-
ленные отрезки времени, характеризующиеся воздействием тех
или иных возмущающих факторов. При действии динамических
нагрузок в корпусе ЛА возникают упругие колебания. Так, про-
дольные колебания вызываются быстрыми изменениями осевой
нагрузки (например, нарастание или спад тяги двигателя), на-
грузками при разделении ступеней и т. д. Изгибные колебания
могут вызываться атмосферной турбулентностью, акустически-
ми воздействиями, автоколебаниями системы управления и ря-
дом других факторов.
В дальнейшем остановимся более подробно на рассмотре-
нии поперечных (изгибных) колебаний конструкции, оказы-
вающих наиболее существенное влияние на работоспособность
корпуса ЛА.
При анализе изгибных колебаний рассмотрим расчетную
схему, представленную на рис. 8.5. Очевидно, уравнение движе-
ния элемента стержня длиной dx в направлении оси Ог/ [3] будет
иметь вид
тх = + dx'
где(? = ^; =
д ах’ дх ах2’ Хах2
у
Рис. 8.5. Расчетная схема нагружения корпуса ЛА
184
где тх — погонная масса; Q — поперечная сила; М — изгибаю-
щий момент; q(x, t) — погонная нагрузка; Jx — момент инерции
сечения.
тт 6Q
После подстановки в уравнение выражения для получим
f-2 = q(x, t). (8.5)
8.2.2. Анализ свободных колебаний
Положив q(x, t) = 0, рассмотрим сначала свободные колеба-
ния однородного стержня с постоянной жесткостью EJ и погон-
ной массой тх = ц. При этом уравнение примет вид
EJB+ - °- <8-6>
Простейшим периодическим решением уравнения свобод-
ных колебаний является так называемое главное колебание, в
котором i/(x, t) изменяется с течением времени по гармониче-
скому закону [2]
у(х, t) = ф(х) sin (pt + а). (8.7)
Функция <р(х), устанавливающая закон распределения мак-
симальных (амплитудных) отклонений точек оси стержня от
равновесного расположения, называется формой главного ко-
лебания или собственной формой. Собственных форм колеба-
ний прямого стержня бесконечное множество. Каждой собст-
венной форме соответствует определенное значение частоты р —
так называемая собственная частота. Расчет собственных час-
тот и соответствующих им собственных форм осуществляется с
помощью уравнения собственных форм и краевых условий за-
дачи.
Чтобы получить уравнение собственных форм однородной
задачи, подставим (8.7) в (8.6). После сокращения на sin (pt + а)
придем к уравнению
EJ<p”(x) -р2ц(р(х) = О
или
Ф"(х) - /?4ф(х) = 0» (8.8)
где
й4 - ЦР2
EJ ‘
Уравнение (8.8) имеет следующие четыре независимых част-
ных решения:
cos kx; sin kx; ch kx; sh kx;
185
его общий интеграл
ф(х) = A cos kx 4- В sin kx + С ch kx + D sh kx. (8.9)
Он содержит четыре произвольные постоянные А, В, С, В, кото-
рые должны быть подобраны так, чтобы для функции <р(х) вы-
полнялись краевые условия, т. е. условия закрепления концов
стержня. В обычных случаях число краевых условий равно чис-
лу произвольных постоянных — по два на каждом конце. Все
они выражаются равенствами нулю двух из следующих четы-
рех величин:
<р(х),
пропорциональных соответственно прогибу, углу поворота, из-
гибающему моменту и перерезывающей силе в точках х = 0 или
х = I. Выполнив эти условия, получим четыре однородных урав-
нения, из которых найдутся постоянные А, В, С, Р и уравнение
для определения собственных частот системы.
Во многих отношениях более удобной оказывается следую-
щая система частных решений уравнения (8.8):
S(x) = (ch kx 4- cos kx);
T(x) = £ (sh kx + s*n kx);
(8.10)
U(x) = - (ch kx - cos kx);
A
V(x) = i (sh kx - sin kx).
A
Функции S, T, (7, V называются функциями A. H. Крылова.
Найдем значения этих функций и их производных по аргументу
kx до третьего порядка включительно при х = 0:
S(0) = l, S'(0) = 0, S''(0) = 0, S"'(0) = 0;
Т(0) = 0, Т'(0)=1, Т"(0) = 0, Т'"(0) = 0;
(8.11)
Щ0) = 0, С7'(0) = 0, J7"(0)=l, !7"'(0) = 0;
V(0) = 0, V40) = 0, V"(0) = 0, Р"(0)=1.
Определитель, составленный из этих величин, равен единице.
Поэтому функции Крылова называют иногда функциями с еди-
ничной матрицей, а систему (8.10) — нормальной или фунда-
ментальной системой интегралов уравнений.
Выражения последовательных производных по х от функ-
ций S(x), Т(х), L7(x), V(x) до четвертого порядка включительно
приведены в табл. 8.1.
186
Таблица 8.1
Функ- ции Первая производная Вторая производная Третья производная Четвертая производная
S(x) kV(x) k2U(x) k3T(x) fe4S(x)
Т(х) kS(x) k2V(x) k3U(x) k4T(x)
Г(х) kT(x) k2S(x) k3V(x) k4U(x)
7(х) kU(x) k2T\x) k3S(x) k4V(x)
Рассмотрим решение задачи для различных условий закреп-
ления стержня.
Ф Колебания однородного стержня с шарнирно закрепленны-
ми концами. В этом случае интеграл, удовлетворяющий ус-
ловиям на левом конце ф(0) = ф"(0) = 0, должен содержать
функции, обращающиеся для х = 0 в нуль вместе со своими
вторыми производными.
Как видно из (8.11), такими функциями являются Т и V.
Следовательно,
ф(х) = BT(kx) 4- DV(kx).
Постоянные В и D найдем из условий на правом конце (х = Z).
Если этот конец также шарнирно закреплен, то
(р(0 = BT(kl) 4- DV(kl) = 0;
ф"(0 = k2[BV(kl) 4- DR(kl)] = 0,
откуда
T2(kl) - V\kl) = 0.
В элементарных функциях
sin kl = 0.
Это уравнение и является для рассматриваемого случая уравне-
нием частот. Из него находим
ktl = in9 i = 1, ..., n,
A
а так как k? = , to
1 EJ
...."•
Таковы собственные частоты системы. Для собственных форм
из (8.9) получим
фДх) = Bt sin , i = 1, ..., и.
187
Рис. 8.6. Формы
колебаний корпуса:
а — с шарнирно
закрепленными
концами;
б — консольного;
в — со свободными
концами
Первые три собственные формы коле-
баний представлены на рис. 8.6, а. Об-
щее решение имеет вид
у(х, t) = Е (Mz cos pj +
i = 1
+ Nt sin pj) sin
где постоянные Mz, Nt можно опреде-
лить из начальных условий.
Колебания стержня с жестко за-
крепленным х = 0 и свободным X = I
концами. Краевые условия в этом
случае
Ф(0) = (р'(0) = 0;
ф"(0 = ф'"(0 = 0.
Интеграл уравнения (8.8), удовлетво-
ряющий условиям на конце х = 0, име-
ет вид
ф(х) = CU(kx) + DV(kx).
Условия на конце х = I выражаются
уравнениями
CS(kl) + DT(kl) = 0;
CV(kl) + DS(kl) = 0, (8.12)
откуда
S2 - TV = 0 или ch kl cos kl + 1 = 0.
По таблицам найдем первые четыре
корня уравнения
kl = 1,875; 4,694; 7,855; 10,996.
Для первых четырех собственных частот по формуле (8.8)
получим
о .— (4,694)2 .—
_ (7,855)2 lEJ п _ (10.996)2 [EJ
Рз Z2 ОТ’ Р4 Т* О’
Уравнение l-й собственной формы составим следующим об-
разом. Подставив в (8.12) kJ, найдем значение отношения
D __S(kJ) = _V(kJ)
С T(kJ) S(kjy
188
Подставив это значение в <р(х), получим
Ф/(х) = c(u(kiX) - Y^V(kiX)) = c[U(klX) - ^V(ktx)).
На рис. 8.6, б представлены первые три формы колебаний.
* Колебания стержня со свободными концами. Краевые усло-
вия в этом случае
<р"(0) = <р"'(0) = 0;
Ч>"(0 = <р-(0 = о,
а интеграл, удовлетворяющий условиям на конце х = 0,
Ф(х) = AS(kX) + BT(kX).
На конце х = I
AU(kl) + BV(kl) = 0;
AT(kl) + BU(kl) = 0,
откуда
U2 - TV= 0 или ch kl cos kl - 1 = 0.
Первые два корня уравнения
feZ = 4,73; 7,85.
Соответствующие частоты колебаний
_ (4,73)2 Гы. _ (7,85)2 fcj
Р1 ~ Рг~
Уравнение форм колебаний имеет вид
ф(х)=А(в(*х)-^Т(Ах)).
Для первой формы колебаний получим
ф(х) =A(s(l^x) - 0,98т(^х)).
На участке 0—I функция <р(х) дважды меняет знак. Таким
образом, форма колебаний, соответствующая первой отличной
от нуля частоте, имеет два узла. Согласно теореме об узлах соб-
ственных форм, таким количеством узлов может обладать
третья форма колебаний. Это видимое противоречие легко уст-
раняется, по крайней мере формально, если за первую и вторую
формы принять выражения, соответствующие поступательному
и вращательному перемещениям стержня. Тем не менее первой
формой колебаний в рассматриваемом случае называется двух-
узловая форма, соответствующая частоте
= (4,73)2 /Ё?
Pl
Графики первых трех форм колебаний стержня со свободны-
ми концами представлены на рис. 8.6, в.
189
8.2.3. Вынужденные колебания корпуса ЛА
В дальнейшем рассмотрим решение уравнения колебаний
(8.5) с ненулевой правой частью, которое может быть получено
методом разделения переменных. Согласно этому методу [3], ре-
шение представляется в виде
y(x,t)= Z ^(х)Т^), (8.13)
I = 1
где фДх) — собственные функции; T^t) — функции времени.
Подставив (8.13) в исходное уравнение (8.5), получим
? т^=9(х’т)- (8-14)
I их UX I
Учитывая, что собственные функции ср-(х) удовлетворяют
уравнению
(£Jx<p")" = со,2 m.x<pt(x),
исходное уравнение (8.14) примет вид
S Ti) = Q>
I
где = pt — собственная частота колебаний f-го тона.
Умножив обе части уравнения на ср. и проинтегрировав от О
до Z, получим
i i
(J т <р? dx)(Ti + cof Tj) = f qtpi dx. (8.15)
о 0
При выводе (8.15) учитывалось свойство ортогональности собст-
венных функций
i
f тпхФ8Ф/ dx = <
i
f mr^ dx
о
0
при s = i
при s
Согласно (8.15), функции времени T^t) удовлетворяют диффе-
ренциальному уравнению
11+7\ = Hinp,
(8.16)
где Hj пр = 2—— — приведенная сила; Мпр = J mx<p‘2 dx — при-
пр °
веденная масса.
190
С учетом демпфирования уравнение (8.16) примет вид
Ti + 2^Ti + ^Ti = Hiynp, (8.17)
1 "
где £, = 8Л — коэффициент демпфирования; 8Л = In —--ло-
2л А-1
гарифмический декремент затухания, равный 0,05...0,15.
Значения приведенной силы для различных условий нагру-
жения представлены в табл. 8.2.
Таблица 8.2
Схема нагружения
Значение приведенной силы
i
J р(х)ф(х)</х
о
Рф (х = Хр)
Мф' (х = хм)
Ц(х)
I
J М(х)ф'(х)</х
о
А, • х
Параметры собственных функций вида фг = sin -у-
+ At cos -у + В- sh -у + С- ch -у представлены в табл. 8.3.
При этом собственная частота колебаний оценивается по со-
отношению
191
Таблица 8.3
192
Условия закрепления i к? к* At Bi ci
1 3,142 9,869 31,007 97,409 0 0 0
Д Д 2 6,283 39,479 248,05 1558,6 0 0 0
3 9,425 88,83 837,18 7890,4 0 0 0
4 12,566 157,91 1984,4 24 937 0 0 0
5 15,708 246,74 3875,8 60 881 0 0 0
Я к 1 4,730 22,373 105,82 500,55 -1,0178 -1 1,0178
2 7,853 61,670 484,29 3803,1 -0,999223 -1 0,999223
I 3 10,996 120,91 1329,5 14 620 -1,0000335 -1 1,0000335
4 14,137 199,86 2825 37 117 -0,9999986 -1 0,9999986
5 17,279 298,56 5158,9 89 140 -1,0000001 -1 1,0000001
1 4,730 22,373 105,82 500,55 -1,0178 1 -1,0178
2 7,853 61,670 484,29 3803,1 -0,999223 1 -0,999223
3 10,996 120,91 1329,5 14 620 -1,0000335 1 -1,0000335
4 14,137 199,86 2825 37 117 -1,9999986 -1 -0,9999986
5 17,279 298,56 5158,9 89 140 -1,0000001 1 -1,0000001
193
Окончание табл.
Условия закрепления i К X? \3 At ci
1 3,927 15,421 60,558 237,81 0 0,027875 0
2 7,069 49,971 353,24 2497,1 0 -0,0012041 0
3 10,210 104,24 1064,3 10 867 0 0,0000520 0
4 13,352 178,28 2380,3 31 782 0 -0,0000022 0
5 16,494 272,02 4486,4 73 994 0 0,0000001 0
1 1,875 3,516 6,5918 12,359 -1,3622 -1 1,3622
2 4,694 22,034 103,43 485,50 -0,98187 -1 0,98187
3 7,855 61,701 484,66 3807,0 -1,000777 -1 1,000777
4 10,996 120,91 1329,5 14 620 -0,999965 -1 0,999965
5 14,137 199,86 2825 37 117 -1,0000015 -1 1,0000015
8.3. Элементы спектрального анализа
8-3-1- Основные понятия
Для исследования динамического нагружения конструкции
ЛА во многих случаях целесообразно воспользоваться спект-
ральной теорией, основанной на использовании преобразования
Фурье.
Спектр функции f(t) вычисляется по формуле
S= f f(t)e-^dt. (8.18)
—со
Для обратного преобразования имеем
f(t) = A. J S(co)e'“' dco. (8.19)
2 л -оо
Формулы (8.18) и (8.19) являются основными формулами те-
ории спектров. Они представляют собой пару преобразований
Фурье, связывающих между собой две функции: вещественную
функцию времени f(t) и комплексную функцию частоты S(co).
Формула (8.19) представляет собой интеграл Фурье в комплекс-
ной форме. Смысл этой формулы состоит в том, что функция f(t)
представлена суммой синусоидальных составляющих. Но функ-
ция f(t) предполагается непериодической, поэтому она может
быть представлена только суммой бесконечно большого числа
бесконечно малых колебаний, бесконечно близких по частоте.
Комплексная амплитуда каждого отдельного колебания беско-
нечно мала; она равна
dC = - S(co) dw.
л
Частотный интервал между двумя соседними колебаниями
также бесконечно мал; он равен ско.
При проведении спектральных исследований часто обраща-
ются к понятию 8-функции. Для пояснения этой функции рас-
смотрим функцию 8(£, а), представленную на рис. 8.7. Очевид-
но, дельта-функцию 8(£) можно рассматривать как предел не-
прерывной функции 8(£, а) при а —► 0:
8(0 = lim 8(t, а) = lim * „ . (8.20)
а - 0 а - 0 л(£2 + а^)
Полученные выше соотношения позволяют использовать преоб-
разование Фурье для решения дифференциальных уравнений.
194
С этой целью рассмотрим уравнение
апУ(п} + ап - 1У(п п + ... + агу' + аоу = x(t).
Произведя преобразование Фурье, получим
Sy(<A)(an(jw)n + ап_ 1(j<a)n “ 1 + ... + + а0) = Sx(co);
, / v.1---—-Sx((o) = H(®)S». 1 (8.21)
у (аД/w)" + ... + а0)
Таким образом, ‘
y(t) = I. f Я(со)5х(со)е^со,
Z71 -оо
где Н(со) — комплексная частотная характеристика,
Н(®)= |Н(®)|
| Н(со) | — амплитудная характеристика (отношение амплитуд
на выходе и входе); <р(со) — фазовая характеристика (сдвиг фаз
между выходом и входом).
При решении конкретных задач вычисление интегралов це-
лесообразно производить с помощью теории вычетов
оо
f f(x) dx = 2л/ Z res f(z),
-ОО i 2t
где — особые точки в верхней полуплоскости (рис. 8.8). Отно-
сительно простого полюса вычет оценивается по соотношению
res f(z) = lim (z - zjftzj.
Для n-кратного полюса
res ftz) = 1 lim((z - z1)nf(z)Yn " 1),
где (n - 1) означает взятие (и - 1)-й производной.
Рис. 8.7. График 8-функции
ось
Рис. 8.8. Особые точки
в верхней полуплоскости
195
8.3.2. Анализ воздействий
Рассмотрим два типа воздействий: импульсное и гармониче-
ское.
Импульсное воздействие: x(t) = SCO-
Спектр воздействия 8(0 равен
Sx= f e-iwt^{t)dt= 1.
Согласно (8.21) имеем
S = Я(а>); ys(t) = ± f Я(со)е^ du,
у Z Л -оо
где г/5(0 — импульсная реакция системы.
Очевидно,
Н(и) = J е lv>tyb[t} dt.
Рассмотрим реакцию на импульсное воздействие динамиче-
ской системы, описываемой уравнением
у" + 2ау' + cog с/ = x(t) = 8(t).
Для рассматриваемого случая
1
Н(со) =------5--------------- .
(/со)2 + 2а(/со) +
Отсюда
) 2 л - со2 + 2а/(о
где
ej(at
da = - Re J —------------------------- dco,
71 0 “(to - COj)(со - со2)
(о1 = а; + - а2 = а; + соэ;
(02 = а/ - >0 “ а2 = а> “ w3*
Произведя интегрирование, получим
f f(co) dco = 2л/ res /(со) = .
0 Ш1 (^1 ^2/
Таким образом, окончательно найдем
-at+/co3t
= Де (_м ч = -е sin
V ШЭ/ шэ
196
Гармоническое воздействие: x(t) = = cos Qt + j sin Qt.
Спектр воздействия
oo oo
Sr(co) = f е^(е^сИ= J dt = 2n8(co - Q).
-oo -oo
Таким образом,
»*(,) = J_ J e>«* 2n8«o-Q) da = ______________ =
2л -<ю cog - to2 + 2/ato (tog - Q2) + 2/aQ
_ (cosfH + /sinQ0((tog - Q2) - 2ayQ) _
((tog - Q2)2 + 4a2Q2)
_ ((tog - Q2)cosQ£ + 2aQsinQt) + ;(-2aQcosQ£ + (tog - a2)sinQf)
^/(tog - Q2)2 + 4a2Q2 J(^o ~ П2)2 + 4a2Q2
Введем обозначения:
sin P = ; co = — ;
74a2Q2 + (tog - Q2)2 <°o
n tog - Q2
cos P = - --- ; a = qcon.
j4a2Q2 + (tog - Q2)2
Получим
= соз(Ш ~ P) + ;sin(Q^ - p)
j4a2Q2 + (tog - Q2)2
Если
x(t) = sin Clt = to
sin(Qt - p)
J4a2£l2 + (tog - Q2)2
Таким образом, приняв Ax = 1, найдем
y V(1 ~ to2)2 + 4^2to2 coo
где
co = — ; a = £con.
to0
Полученные результаты позволяют оценить коэффициент
динамичности
197
где
Лт С^Уст ^2 тАх,
Рд = сАу = (^\Н\Рст.
Таким образом, коэффициент динамичности, показываю-
щий, во сколько раз амплитудное значение реакции конструк-
ции при динамическом нагружении превышает статическое, бу-
дет равен
Пд = . _ 1 =, (8.22)
7(1 - СО2)2 + 4^2со2
где со = со/сол, сол — собственная частота колебаний n-го тона.
Очевидно, при резонансе (со = сол) получим цд = Заметим, что
в соотношении (8.22) коэффициент демпфирования обычно вы-
ражают через логарифмический декремент затухания 5Л:
$ = (8.23)
где 8Л = In AJA^ _ х; At _ х — амплитуды колебаний i-го и (г - 1)-го
циклов.
Логарифмический декремент затухания характеризует га-
шение колебаний в конструкции корпуса за счет внутреннего
трения, соударения в зазорах и других факторов.
Для металлических конструкций коэффициент 8Л =
= (0,05...0,15).
Рис. 8.9. Изменение
коэффициента динамичности
по безразмерной частоте
для различных уровней
демпфирования
С учетом (8.23) выражение
для коэффициента динамичнос-
ти примет вид
Д / X 2
1(1 - й2)2 + й2(^)
Характер изменения коэф-
фициента динамичности по со
для различных £, представлен
на рис. 8.9. Из графика видно,
что для уменьшения динамиче-
ской реакции конструкции необ-
ходимо либо увеличивать коэф-
фициент демпфирования систе-
мы, либо уходить от резонансной
частоты путем мероприятий про-
ектно-конструкторского харак-
тера.
198
8.4. Прогнозирование вибронагружения
балочных конструкций ЛА
8-4-1- Общий подход
На активном участке полета корпус ЛА подвергается воздей-
ствию вибрационных и акустических нагрузок, основными ис-
точниками которых являются двигатели и атмосферная турбу-
лентность. Эти нагрузки передаются от корпуса ЛА на элементы
конструкции КА. Например, антенну космического летательно-
го аппарата в сложенном состоянии можно рассматривать как
балку на подвижном основании (рис. 8.10). Реакцию конструк-
ции элемента можно рассматривать как вынужденные колеба-
ния у(х, t) элемента, вызванные движением опор. В качестве
расчетной схемы можно принять балку, нагруженную погонной
нагрузкой от инерционной силы
p(t, х) =
где тп(х) — погонная масса балки; S(t) — виброускорение, со-
ответствующее сечению корпуса аппарата в месте подвески
штанги.
В этом случае перемещение по длине элемента представим в
виде
у(х, t) = Е <pk(x)Tk(t),
k = 1
где фл(х) — собственная форма колебаний элемента, определяе-
мая конкретной расчетной схемой; Tk(t) — интенсивность коле-
баний.
Соответственно величину изгибающего момента, действую-
щего в сечениях элементов конструкции, можно оценить по со-
отношению
оо
М= S <p'k(x)EJ(x)Tk(t),
k = 1
где Е — модуль упругости материала конструкции; J(x) — мо-
мент инерции сечения элемента конструкции.
Характеристики Tk(t) оцени-
ваются на основе исследования
дифференциальных уравнений,
описывающих поведение функ-
ций Tk,
Tk(t) + 2a*t*(0 + <о2Т*(О = Hk(t),
P(t,x)
"УР—ЕЬ-"
Рис. 8.10. Схема
вибронагружения антенны
на активном участке полета
199
где ($k — собственная частота, соответствующая Л-му тону коле-
баний;
где 8Л — логарифмический декремент затухания;
i
Hk(t) = ТГ— I p(t> x)tpk(x) dx;
*wnp,A °
I
Mnp,k = [ m(x)<pg(x) dx.
После преобразования получим
Tk(t) + 2^hTk(t) + of T„(t) = -n*S,
I
jm(x)q>k(x)dx
где r)ft = °-----------коэффициент вовлечения формы.
Jzn(x)<p£(x)dx
О
Величины т|л, соответствующие различным способам закреп-
ления балки в предложении постоянства т(х), представлены в
табл. 8.4.
Таблица 8.4
Тип балки П1 П2 Пз
Защемленно-свободная 0,7830 0,4339 0,2544 0,1819
Защемленно-защемленная 0,8386 0,0000 0,3638 0,0000
Защемленно-опертая 0,8600 0,0826 0,3344 0,0439
Защемленно-скользящая 0,8309 0,3638 0,2315 0,1698
Оперто-опертая 1,2782 0,0000 0,4230 0,0000
Свободно-свободная 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Оперто-свободная -0,3703 0,1998 -0,1385 0,1059
Скользяще-опертая 1,2732 -0,4233 0,2546 -0,1819
Скользяще-скользящая 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Скользяще-свободная 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
200
С учетом полученных результатов для частотной характе-
ристики имеем
Я(®> = —-----------г—2 •
-аг + 2£Аа>лан + а>£
Отсюда
1Я^|= , 2 2т2
л/(®2 - W2)2 + (2^*<в*<о)2
Заметим, что при резонансе со = соЛ имеем
|Я| = .
ил
(8.24)
Таким образом, задавая перемещения в виде S = sin (okt.
получим
Тк=А)|яю|.
Отсюда
Tk = ^TKSin (<akt - <рА),
где <рЛ — смещение по фазе.
Для нахождения фЛ представим выражение для частотной
характеристики
Отсюда
[(со£ - со2)2 + (2^<о*ш)2] ’
te ю = ^(Н(«>)) = 2^<0*
Ле(Н(ш)) 1-й2’
— со
где со k = —.
<*k
График фазовой характеристики представлен на рис. 8.11.
Изгибающий момент оце-
нивается по соотношению
<р^)|Н(со)|х
х sin (atkt - <pft).
Амплитудное значение из-
гибающего момента для i-ro
тона колебаний
AMi =AOEJX(*)I^(®O)I-
Соответственно для напря-
жений получим
0,1
10 (о
1,0
Рис. 8.11. Фазовая
характеристика процесса
Mt
-ГУ-
201
Работоспособность предлагаемого подхода проиллюстрирова-
на на рис. 8.12.
При проведении расчетов приняты следующие исходные
данные:
Е = 7,1 • 1010 МПа; ов = 320 МПа;
Z = 1,5 м; R = 20 • 103 м; h = 3 • 103 м;
уА1 = 2,7 • 103 кг/м3; ASq = 5 • 104 м; 8Л = 0,1;
t = 560 с; ©j = о)о.
Результаты расчета представлены ниже.
Расчет промежуточных параметров:
(p(x) = sinXj; |ф"(х)| = (j) sin Ху;
ИНМйГйп^4’38(^">;
|Я I = тц^ = 1’27бЧ = 1,27 ’31,4 = 39’88-
Расчет напряжений:
Л= yi/ = ASoE|<p"(^)||H|/? =
= 5 • IO’4 • 7,1 • 1010 • 4,38 • 39,88 • 20 • 10 3 = 124 МПа.
Расчет собственной частоты:
со = 1^ ft)2 = 4,38 /71112!.:.7^£:12~- = 320 с-1 (51 Гц),
ц пгх чJ N l,0z
где
J = nR3h = л(20 • 10 3)33 • 10-3 = 75,4 • 10'9 м4;
тх = 2nRhy = 6,28 • 20 • 10 3 • 3 • 10 3 • 2,7 • 103 = 1,02 кг/м.
А
Рис. 8.12. Расчетная схема балки
202
Оценка предела усталости (N = ft = 51 • 560 = 28 • 103):
Отсюда
стуст = ств ’103 = 3204 ’1о3-
оуст = 320(±)* = 139МПа.
8.4.2. Приближенный подход
На практике для оценки нагружения, учитывающего пер-
вый тон колебаний, может быть использован приближенный
подход, при котором балка считается невесомой. Схема нагру-
жения балки и ее расчетная схема представлены на рис. 8.13.
В случае отсутствия реального груза рассматривается приведен-
ная масса балки. Жесткость балки оценивается по известному
соотношению
с= 1 = 31EJ
б а2(1 - а)2’
Уравнение движения балки можно представить в виде
у + 2a# + cog# = -S,
где cog = — частота собственных колебаний системы.
Предполагая, что основание движется по гармоническому
закону, получим
S =А0 sin cot;
S = -AqCo2 sin cot.
Согласно полученным выше результатам, амплитуда вы-
нужденных колебаний
_ Аосо2 _ nog
Ау Пд ш2 Пд ш2 »
а)
Рис. 8.13. Схема нагружения невесомой балки (а)
и ее расчетная схема (б)
203
где
п ~А°ш2
П° g
Соответственно для ускорения груза получим
Ау = W’
Работоспособность приближенного подхода проиллюстриру-
ем на примере расчета балки, схема которой представлена на
рис. 8.14.
Результаты расчета приведены ниже.
Приведенная масса балки (X = л)
,, Г • 9 Л X , тх1 1,53
Mnp = J mxsinn7 dx= — =^-.
Жесткость балки (х = 1/2)
с = 31EJ = 48= 48 • 71 • 109 • 75,4 • 10~9 = „6 137 н/
ру I3 (1,5)3 Z
Собственная частота
о= ££2= /™Др=315 1/с.
^Мпр J 1,53
Динамическая нагрузка
РД “ ^дЛ) ~ ^so^np — As0 Ю^пр-
ил ил
Изгибающий момент
М = ^ = ~As Мт = 31,4;1,55• 10-4(315)2Ь^ = 461 Н• м.
д 4 5Л4 щ) 4 2
тт I
Напряжение при х = -
л
461'20 ’10 3 = 122 МПа.
J 75,4-Ю 9
Рис. 8.14. Схема нагружения балки ее собственным весом
204
8.5. Прогнозирование динамического нагружения
конструкции ЛА при срабатывании пиросредств
8-5-1- Анализ параметров нагружения
При разделении разгонных блоков PH происходит срабаты-
вание тех или иных пиротехнических средств (УКЗ, пиробол-
тов, пирозамков), что приводит к нарастанию больших давле-
ний за малый промежуток времени и создает в прилегающих зо-
нах конструкции высокие кратковременные перегрузки. Для
оценки их воздействия рассмотрим простейшую расчетную мо-
дель. Характер нарастания давления примем в виде прямо-
угольного импульса 8, высотой Р и длительностью т. Спектр та-
кого импульса будет равен
т/2 . т . т
S8( = P J e~^dt = -L(^2-^2} =
-r/2 JO) V /
. СОТ
r. z х Sin —
- й cos ~ _ i sin _ cos _ j si„ (8.25)
CO Z Z Z Z / COT
~2
Из (8.25) видно, что спектр обращается в нуль, когда sin = О
(рис. 8.15). Отсюда
2л Д/1 = л,
где Д/ — полоса частот до первого перехода спектра через нуль;
т — длительность импульса (интервал, вне которого функция
импульса равна нулю).
Таким образом, Д/ = 1/т. В частности, при значении т =
= 4 • 10-3 с, характерном при срабатывании пиросредств, полу-
чим Д/ = 250 Гц.
Рис. 8.15. Спектр прямоугольного импульса
205
Очевидно, в рассматриваемом случае уровни нагружения
конструкции ЛА будут зависеть как от энергетики пиросредств,
так и от жесткостных характеристик конструкции.
Для оценки нагружения конструкции воспользуемся подхо-
дом, основанным на рассмотрении законов сохранения импуль-
са и энергии. Согласно теореме о сохранении импульса, имеем
тУ = Рт,
где тп, V — соответственно масса и скорость движения объекта.
Отсюда
т
Подставив полученное соотношение в выражение для кине-
тической энергии, получим
mV2 = (Рт)2
2 2т
Очевидно, кинетическая энергия не может превышать энер-
гетику пиросредств, так как часть этой энергии рассеивается.
Таким образом,
Р2Т2 с w . Р с 1 /2ЖПС
2ти пс’ т т N т
Отсюда
n = a s Р < 1 [2Ж7с
g0 mgo т£о 'V т
В частности, приняв т = 4 • 10~3 с; ¥ИПС = 2 • 103 Н • м;
т = 103 кг, получим п0 < 50.
8.5.2. Оценка нагрузок с учетом упругости конструкции
При воздействии на конструкцию кратковременных нагру-
зок в ней возникают упругие колебания, уровень которых опре-
деляется ее жесткостными характеристиками. Для прогнозиро-
вания динамики нагружения рассмотрим модель колебаний
конструкции, описываемую дифференциальным уравнением
х + 2ах + сол х = — ,
и т
где соо — собственная частота элемента конструкции, = с/т\
С — жесткость элемента конструкции; иг — масса объекта; а —
коэффициент затухания, а = со08л/2я; 5Л — логарифмический
декремент затухания, 5Л = in Ai/Ai + r
206
Преобразовав обе части уравнения методом Фурье, получим
-Sx
((/со)2 + 2a(jco) + cog , (8.26)
т
. сот
sin—
где S8 = Рт----
°t сот
2
Разрешив (8.26) относительно Sx и учитывая, что
2
получим
Рт
g =_______т_____
х со§ - со2 + 2а/со
Произведя обратное преобразование, найдем
x(t) = к- J Sxe^ d<$ = e~at sin co_t, (8.27)
2л -oo x (йэт э
где со2 = tog - a2.
Множитель e~at характеризует затухание свободных колеба-
ний по времени t.
g
Учтя, что а = у , получим зависимость затухания колебаний
от числа циклов
-5 -
e-at = е лт = е 5Л, §л = о,05...0,15.
Таким образом, после приложения импульса 8t конструкция
будет совершать свободные колебания с частотой соэ. Соответст-
вующие этому колебанию перегрузка
«=**> = «of + «2)Рг e_at s.n _
д g0 а)зтёо
где
₽ = arctg^;
Учитывая малость значений 8Л, можно принять
0)э ~ <оо; Р ~ arctg|5 ~ .
207
При этом соотношение для перегрузки примет вид
(д^Рт * . л .
пп = —-—е at sin cont = Ап sin conL
д mg0 u лд u
Предположив, что со0 = 10 с1, получим
АЛд = 2e"a' < 2.
Таким образом, конструкция играет роль демпфера, позво-
ляющего как бы растянуть процесс передачи нагрузки во време-
ни и тем самым уменьшить нагрузки на аппарат.
8.6. Нагрузки при отделении боковых блоков
8-6-1. Анализ процесса разделения
Для ракет пакетной схемы динамические нагрузки, возни-
кающие при отделении боковых блоков, могут определять по-
требную несущую способность корпуса центрального блока. Про-
анализируем процесс разделения на примере отделения боковых
блоков PH «Союз» (рис. 8.16). Неодновременное отделение боко-
вых блоков приводит к возникновению ударного импульса и воз-
буждению поперечных колебаний корпуса центрального блока.
При решении задачи в качестве расчетной схемы рассмот-
рим корпус центрального блока с затвердевшей жидкостью
(рис. 8.17).
Перемещение сечений центрального блока представим в виде
Рис. 8.16. Схема отделения
боковых блоков PH «Союз»
У = £ ф/(х)Т/(0»
i
где фДх) — собственные функции
свободной балки,
ф/х) = sin Xq 4- At cos +
4- sh X-j 4- Ci ch j .
Функция Tt(t) удовлетворяет
уравнению
+ 2a<aiti 4- co? T. =
J Py(t)6(x - x^txydx
= 0_____________________
I ’
|тих(х)(р?(х)с/х
0
208
Рис. 8.17. Расчетная схема процесса отделения
- Зл /ejAa2 ,
где а = —; <о, = — -я — собственные частоты.
2к 1 цтх\1'
Согласно полученным результатам, решение уравнения для
малых т примет вид (i = 1)
_ PiT _ . .
Т, = —-— е at sin <оЛ,
МпрЮ1
где
i
pi = | py(OS(x - *0)ф(х) dx = Ру(£)ф(х0);
I I
мпр = I "1х(х)Ф1 (x) dx = J ф£ (x) dx = M.
o to
8.6.2. Оценка динамического нагружения
центрального блока
Знание 7\(t) позволяет получить оценку изгибающего момента
Мг =
где
ф"(х) = (у) (-sin + cos Ху + sh Aqy - ch A^yl = (y) A.
Соответственно амплитуда изгибающего момента
Ам = ^17 + c°s ^17 sh ^17 ~ ch J Мы, at*
\ I, / \ f, £ £ I, / -!•
209
Работоспособность предлагаемого подхода проиллюстриру-
ем на конкретном примере.
При проведении расчета приняты следующие исходные дан-
ные:
Е = 7 • Ю10 Н/м2; R = 1,5 м; 8Л = 5 • 10 3 м;
х0 = 0,5Z; а = 30°; Р = 600 кН;
т = 50 • 10-3 с; т = 105 кг; Z = 50 м;
Ф = 1,3 (при у = 0,5 j; А = -1,5 (при j = 0,5 j.
Результаты расчета представлены ниже.
Момент инерции сечения
J = nR3h = л(1,5)35 • 10-3 = 0,053 м4.
Собственная частота
/Ё7ДЛ2 = /7 • 1010 • 0,053 • 50 Г4,73А2 =
0)1 J юз I 50 )
= 10377 • 5 • 0,053 - 22,А . = 12,2 с’1.
2,5-103
Поперечное усилие
Ру = Р sin а = 600 • i = 300 кН.
Амплитудное значение момента
Ам = -£jf^Afi'^(Xo)T =
м VI ' Мш,
= 7 • 1010 • 5,3 • 10~2(4,73)21,5300 • 103 • 1,3 • 50 • 10~3 = 796 016 н.м
(50)2 105-12,2
Интенсивность затухания колебаний
— g-O.lN,
Приняв N = 102, получим
e-at = е-10 = 0,00005,
т. е. колебания после 102 циклов практически отсутствуют.
8.7. Спектральная теория случайных процессов
8-7-1. Основные понятия и определения
СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССОМ называется функция, значения ко-
торой являются случайными величинами. Из этого следует, что
если произвести преобразование Фурье Xk(p) с одной из реализа-
ций случайного процесса xk(t) по обычной формуле
сю
Хк(р) = ± I xk(t)e-^ dt,
Z71 -оо
210
где р — круговая частота, то полученная функция Xk(p) будет
случайной.
Причем, так как процесс xk(t) — действительный, то он мо-
жет быть также представлен в виде
сю сю
xk(t) = J X^eipt dp-, xk(t) = J d(0.
Тогда квадрат случайного процесса xk(t) можно записать
сю сю
х2(<) = J do J Хк(р)е>Р* dp =
-сю -сю
сю
= Л X* (co)Xfe (р)е*Р - dp da.
Отсюда °°
сю
M{xf (Z)} = JJ M(Xl((d)Xk(p))e*P-^t dp
Предположив, что M(xk(t)) = 0, получим
сю
Dx = Ях(0) = М(х1 (О) = П М(Х* (co)Xft(p))e№’“> dp da. (8.28)
-сю
С другой стороны, корреляционная функция Rx(t) есть неот-
рицательно определенная функция, которая может быть пред-
ставлена в виде
сю
Rx(t) = J е“°т dFx(co),
где Fx(co) — неубывающая функция.
Если функция Fx(co) дифференцируемая, то
сю
Ях(т) = J eimFx(a)da. (8.29)
Функция Fx(a) называется СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ.
Отсюда
Ях(0) = J Fx(co) da. (8.30)
-сю
Функция Fx(co) dco описывает среднее значение квадрата той
части процесса, которая принадлежит к диапазону частот (со;
со + dco). Как видно из (8.29), Rx(t) представляет собой преобразо-
вание Фурье от спектральной плотности. Следовательно, спект-
ральную плотность можно определить с помощью обратного пре-
образования
сю
= 7- I Rx(T)e-^ dx.
Ал -oo
Поскольку формулы (8.28) и (8.29) должны быть эквива-
лентны, получим
сю
Fx(<d) = J М(Х* (a)Xk(p))e«P ~ dp.
-оо
211
Эта формула удовлетворяется при всех t при соблюдении ус-
ловия
М(Х* (со)ХЛ(р)) = Fx(co)8(co - р).
Соответственно для х'(0, согласно (8.30), получим
М[Хх,(а>)(Хж,(а>))‘] = -0(о)2М(Хх((о)Х:((о)).
В общем виде имеем
^Х(П)(СО) = СО2^(СО),
где (п) означает n-ю производную процесса x(t).
8-7,2- Анализ решений дифференциальных уравнений
Рассмотрим линейные выражения с постоянными коэффи-
циентами, содержащие производные различных порядков
yn(t) + агуп- 40 + ... + ап_ ji/'G) + any(t) = x(t).
Произведя преобразование Фурье, получим
P(®1)!/(W1) = [0®1)л + -1 + ... + ап _ i(y<0i) + ап]У(«1) =
После умножения на сопряженные выражения найдем
p&Jp^Y&JY*^) =
Применив операцию взятия математического ожидания, по-
лучим
р(т1)р*((й)Ру((й1)8(<л1 - со) = - ю).
Проинтегрировав по р, приходим к соотношению
Fy(v) = Г \ = |Я(»|2^(ю). (8.31)
у рСсо^р (со)
Заметим, что в реальных задачах со > 0. Поэтому, кроме рас-
смотрения теоретической спектральной плотности F(co), исполь-
зуется реальная спектральная плотность G(co) = 2F(co) (рис. 8.18).
Рис. 8.18. Теоретическая F(со)
и реальная G(co) спектральные
плотности
Приведем простой пример. Рас-
смотрим уравнение броуновского
движения
У' + ар = ^(0,
где ^(0 — белый шум; = С
(С — константа).
С учетом (8.31) получим
Fy«*) = -21—2 ’
у со2 + а2
212
откуда
Dy= J d<*-
y -<x> coz +
Подынтегральное выражение имеет два простых полюса
Zi=/а; z2 = -;a.
Таким образом, имеем
С
С
D = = 2nj res ----------- = 2itj lim G = it- = —
y y zx (z - 2^(2 - z2) 1-^(2-z2) a a
8.8. Воздействие ветровой нагрузки
на конструкции ЛА
8-8-1- Постановка задачи
Одним из наиболее важных случаев нагружения конструкций
ЛА является полет в неспокойной атмосфере, который определяет
потребную несущую способность многих элементов конструкции
ЛА. Это подтверждается результатами летных испытаний PH «Са-
турн-1», представленными на рис. 8.19. Поэтому в процессе про-
Рис. 8.19. Результаты измерения изгибающего момента
в сечении А—А при летных испытаниях ракеты « Сатурн-1»
213
jx
Рис. 8.20. Схема
нагружения ЛА
ектирования ЛА исследованию
ветровых нагрузок уделяется
большое внимание.
Воздействие ветровой на-
грузки сводится к появлению
возмущающей силы (рис. 8.20)
У =
При проведении анализа
W
примем Yp = У; а ~ . Очевид-
но, выражение для погонной
поверхностной нагрузки мож-
но представить в виде
р(х, t) = (C-)'xqS^ + Yp8(X-xp),
где (С“)х — погонное значение
производной по углу атаки а
коэффициента поперечной аэродинамической силы; q — скоро-
стной напор; 8М — площадь миделя; W — скорость ветра; V —
скорость набегающего потока; Yp — управляющая сила; х —
расстояние от теоретической вершины до расчетного сечения;
хр — расстояние от теоретической вершины до точки приложе-
ния управляющей силы.
8.8.2. Анализ ветровых воздействий
При рассмотрении движения воздуха в атмосфере можно вы-
делить две характерные составляющие — установившееся пере-
мещение больших масс воздуха и местные вихревые течения не-
большой протяженности, или порывы ветра. В соответствии с
этим вектор скорости ветра можно представить в виде
W = Wo + Wc,
где Wo — постоянная составляющая скорости ветра с учетом
упорядоченных потоков воздуха большой протяженности;
Wc — переменная составляющая скорости ветра, учитываю-
щая турбулентные порывы воздуха.
Постоянная составляющая скорости ветра в основном зави-
сит от высоты. Максимальное значение скорости ветра в тропо-
сфере обычно наблюдается вблизи тропопаузы. Примерное из-
менение Wo по высоте представлено на рис. 8.21.
214
Н,КМм
Рис. 8.22. Спектр
треугольного импульса
Рис. 8.21. Изменение
скорости ветра VK0 по высоте Н
Как видно из рисунка, изменение скорости постоянной со-
ставляющей ветра VK0 по высоте на интервале АН можно задать
в виде треугольника. Спектр треугольного импульса представ-
лен на рис. 8.22. Как видно из графика, нулевое значение спект-
ра соответствует значению = 2л.
2
Соответствующая частота (Гц) f2n = - .
Оценим динамические характеристики этого воздействия.
При проведении анализа примем следующие исходные данные:
cOi = 12 с1; АН = 4000 м; V = 500 м/с.
В результате расчета получим
АН 4000 q Л.
Т=— =-500 =8С’
/2п = 2/8 = 0,25 Гц;
Л = ~ 2 Гц » 0,25 Гц.
Таким образом, изменение постоянной составляющей по вы-
соте не приводит к возникновению динамического нагружения,
так как на собственной частоте колебаний корпуса JIA интенсив-
ность ветрового воздействия незначительна. Переменная состав-
ляющая скорости ветра характеризует турбулентность атмосфе-
ры. Турбулентные зоны располагаются в виде сравнительно тон-
ких слоев, максимальная толщина которых почти никогда не
превосходит 2000 м.
215
Рис. 8.23. Функции распределения среднеквадратического
отклонения скорости ветровых порывов для различных метеоусловий:
1 — ясная погода; 2 — кучевые облака; 3 — грозовые условия
Спектральная характеристика переменной составляющей,
установленная в результате обработки большого числа экспери-
ментальных данных [7], имеет вид
1 + 3^
где Оуу — среднеквадратическое отклонение скорости случайно-
го ветра; L — масштаб турбулентности, пропорциональный
среднему размеру возмущенной атмосферы; со — временная уг-
ловая частота.
Для окончательного решения задачи описания случайного
ветра требуется задать величины L и aw. Обычно для полетных
случаев нагружения рекомендуется брать минимальные значе-
ния масштаба турбулентности L порядка 300 м. Величина gw
принимается в зависимости от высоты и метеорологических ус-
ловий полета. Функции распределения вероятностей F(aw) для
различных высот и метеорологических условий полета приведе-
ны на рис. 8.23. Характер изменения нормированной спект-
^(Q)
ральнои плотности —-— по пространственной угловой частоте
216
Рис. 8.24. Изменение нормированной спектральной плотности noQ
Q представлен на рис. 8.24. Переход к временной частоте со осу-
ществляется по соотношению
С((0) = 1g(Q),
где со = QV.
Проиллюстрируем этот переход для следующих исходных
данных:
со^ггс"1; V = 500 м/с.
В результате получим
q =^1 = 21 = 2,4 • Ю'2;
1 V 500 ’ ’
= 10; G(Q) = Юст^;
G((o) = ^ = O,O2q2,.
8.8.3. Нагрузки на ЛА от действия ветровых порывов
Согласно полученным ранее результатам, перемещение сече-
ний корпуса ЛА можно представить в виде
<о(хр 0 = \ 7\(0<Pn(*i).
п = 1
Функция времени Tn(t) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
Tn(t) + 2antn (t) + 0)2 Tn(t) =
гДе an = = 8„/2л.
217
Рис. 8.25. Нормированная
частотная характеристика
Спектральную плотность
FT (со) можно представить в виде
п
FTn(co) =
=______________^н„«о)___________=
(а>2 - <о2 - 2 ja„<o)(<o2 - со2 + 2;апо>)
= \H(v)\2FH (со),
п
где |Я(<о)|2 = —---- J •
(со*-со2/ + 4со*^~со2
Произведя замену перемен-
ных со = солсол, получим
(1 - W2)2 + 4£2со2'
Характер зависимости |Н(оп)|со„ представлен на рис. 8.25.
Соответственно для дисперсии получим
°Ч °° оо
г г г Fн (со)асо
о2 = f F ((0) do = 2 J (<о) d(0 = 2 J —-------""
П -оо лп Q п о (С0~ ~ СО2/ + 4<;~С0“С02
Для слабо демпфированных систем ширина полосы резо-
нансного пика оказывается довольно узкой. Поэтому в случае,
когда спектральная плотность возмущения — достаточно глад-
кая функция в области резонансной частоты, вычисление интег-
рала можно провести приближенно, полагая FR (со) постоян-
п
ным и равным FH (сол) (см. рис. 8.24).
При этом выражение для от значительно упростится:
1 п
ОО
<4 =Gh(4.)J —2---------2^,.2 2 2, (8.32)
п пп О (СО* ~ СО2)2 + 4^*СО*СО2
где GH (соп) — значение реальной спектральной плотности воз-
действия на резонансной частоте.
Интеграл оценивается с помощью теории вычетов
f____________dz___________ =
О (со2 - Z2 - 2ya„z)(co2 - г2 + 2/a„z)
Яе(2л/ res (2 _
= Refaj lim -----—Z1)—------------
v 2-z,(Z - Z!)(z - z2)(z - z3)(2 - z4)
= Re(______2л/_____A ~ я
V2<o32a„2(/an + соэ)> 4<оэ3^п’
218
где
’э’
2i = /Ч + <»э; z2 = jan - соэ;
гз = ~ian + ®э; г4 = -Jan - %;
юэ2 = со2 - а2.
Таким образом, окончательно получим
ат ~ —зё-’
л 4со3^л
Соответственно среднеквадратическое отклонение изгибаю-
щего момента для х = 1/2 при п = 1
(СТм)д = -Е'7'Ф>т’
(8.33)
где
i’5’
Для рассматриваемого случая
Jp<p(x)dx
Н=°—~------’
^пр
гдер = <7SMy[(C“); + С“5(х - хр)].
После подстановки получим
Н =
А*ПР V ’
где
ф = I (С“); ф(х) dx + С“ ф(хр);
Са
. -7 прих<п/
~ X Г|4
О при х > r|Z.
/Ес/
С учетом того, что со1 = / — -J , получим
Таким образом,
_ McofZ 1явн
-(qS<b}2r, _ ^qSФ'\2Gw(^)^Уw. дл- _ дт
гда G« - UH V м»р -м-
Гф
219
После преобразований окончательно найдем
("MV — -V(Sl)J^V°W’
где параметр (SI) зависит от размерности носителя.
Для иллюстрации полученных результатов приведем конк-
ретный пример, при расчете которого были приняты следующие
исходные данные:
= 2; q = 46 • 103 Н/м2; V = 500 м/с; S = 220 м2; хр = I;
I = 100 м; (Oi = 12 с1; L = 300 м; X = 4,73; ц = 0,2.
Результаты динамического расчета представлены ниже.
Расчет промежуточных параметров Мпр, Ф:
~ °’01; "пр - ! “х<Р2(х> - М:
ф-§ 1ч>(»)<1« + с;ф(0-^0,2; +2-2-6.
Т|/ 0 0,24
Оценка среднеквадратического отклонения изгибающего
момента
z - 1,5-12 / я 46 • 103•6 =
( м)д (4,73)2//4.0,01 • 12 5оо > w
= 160(ZS)ctw- = 160 • 100 • 220СТиг = 3,5 • 106ow Н • м.
При анализе статического нагружения будем считать, что
аэродинамическая сила в носовой части корпуса У и управляю-
щая сила на корме Yp = У уравновешиваются инерциальными
силами. Тогда, согласно расчетной схеме, представленной на
рис. 8.26, получим
(аМ)сТ = ^ Oa=^.
Рис. 8.26. Расчетная схема
при статическом нагружении
Отсюда
(au)„-2-46-10’-220^a„-
-1О«а„Н-м.600
Таким образом, коэффициент ди-
намичности
д
(°м)д _ 3,5-106 _ о к
(Мст Ю6
220
8.9. Нагрузки при транспортировке
по железной дороге
8.9.1. Анализ воздействий
При решении задачи нагружение конструкции выразим че-
рез динамические составляющие коэффициента перегрузки, ко-
торые представим в виде спектральной плотности коэффициента
перегрузки в местах расположения опорных элементов. Харак-
тер изменения параметров колебаний во времени определяется
скоростью движения поезда. При скоростях, больших 75 км/ч,
спектральная плотность вертикальной составляющей перегруз-
ки выражается в виде суммы плотностей широкополосного ста-
ционарного случайного процесса и узкополосного процесса со
среднеквадратическим значением перегрузки, равным 0,35, и
несущей частотой, принимающей любое значение в пределах
2... 15 Гц. Спектральная плотность широкополосного случайного
процесса линейно изменяется в пределах 0,001...0,0005 в облас-
ти частот О...1ОГц. При скоростях, меньших 75 км/ч, спект-
ральная плотность перегрузки для широкополосного процесса
изменяется в пределах 0...0,003 в области частот 0...10 Гц, оста-
ется постоянной до 15 Гц, а в области 15... 100 Гц линейно умень-
шается с 0,00065 до 0,0002. При сохранении указанного выше
среднеквадратического отклонения перегрузки несущая частота
узкополосного случайного процесса изменяется в пределах
35...75 Гц. Рассмотренные характеристики воздействий пред-
ставлены в табл. 8.5.
При решении задачи узкополосное воздействие представим в
виде
S =Ag sin (coot + <р),
где ф — фаза равномерно распределена на (0,2л); А§, соо — посто-
янные величины.
Таблица 8.5
Тип воздействия Скорость движения
V > 75 км/с V < 75 км/с
Узкополосное оп =0,35 (2...15 Гц) У = 0,35 (35...75 Гц)
Широкополосное G < IO’3 £ Гц (0...100 Гц) G < 3 • 10-3 Гц (0...100 Гц)
221
В дальнейшем оценим корреляционную функцию
А? 2?
#s(t) = M[S(t)S(t + ?)]=-£ J sin (coo£ + <p) sin (coo(£ + t) + (p) dcp.
Z Л 0
Раскрыв произведение синусов, получим
А? А? 2с
/Ц(т) = (cos соот)2л - —J cos (соо(21 + т) + 2ср) dtp =
4л 4л о
А? A? 1 2|я А2
= cos соот - —- sin (2соо£ + соот + 2<р) = cos соот.
2 и 4л 2 ' u о А
Соответственно для спектральной плотности
_ . . 1 7А1 _• , А1 7 e"yw°T + eyw°T _• .
Fo(co) = — J cos сопт е ycor dx = , J ----------------е yon dx =
sv 7 2л -to 2 0 2 • 2л -оо 2
Д2 °° А2 °? А2
= -4- I e~i(ta - “о)т dx + 4 J е->(ы + “о)т dx = 4 [5(a) - о)0) +
4 • 2л -оо 4 -оо 4
+ 8(о) + соо)].
Для со > 0 имеем
G§(o)) = | А?5((о - (оо) = В§5(о) - (о0). (8.34)
8.9.2. Оценка нагружения корпуса ЛА
Расчетная схема нагружения корпуса ЛА при транспорти-
ровке представлена на рис. 8.27. Согласно схеме, изгибающий
момент оценивается по соотношению
где
М = -EJy* ,
у= I Т„(0ф„(х);
п = 1
<рг(х) = sin у ; ф"(х) = - (j) sin у .
Рис. 8.27. Расчетная модель нагружения ЛА
222
С учетом (8.24), (8.32) и (8.34), полученных выше, выраже-
ние для среднеквадратического отклонения параметра T(t) в
случае узкополосного воздействия примет вид
7 Z>g5(co - <о0)т]2
о (coj - со2)2 + 4£2со2со^
Для случая резонанса, когда со = соо
02=^,
т ’
®i 1А
= — = 1 получим
со0 /
где
(01
Отсюда
_ <й%1М
п2 2£со?
-
2&2 s'
где М = тх1.
Для случая, когда со = соо, сох ф соо, имеем
Ds^2
_______________________ CTs-4
(®? - cog)2 + 4^2O)g(O? ®27(®2 _ i)2 + 4^2Й2
Таким образом,
а = (Ь21М ______
М 712 7(Й2 - I)2 + 4^2
“i
где со = — .
соо
Аналогично
(8.33), найдем
для широкополосного воздействия, согласно
Отсюда
4 ^(Oi °
а>,М1
Приведем численный пример. Для расчетов приняты сле-
дующие исходные данные:
Z = 25 м; D = 3m; Л = 5-10-3м; = 1,27; ^ = 0,01;
Е = 7 • 1010 Па; у = 2,7 • 103 кг/м3;
= 3>5 м/с2; Gs = 3 • 1°-3 £2/Гц.
223
Массово-частотные характеристики оценивались по соотно-
шениям
М - nDhly = л • 3 • 5 • IO’3 • 25 • 2,7 • 103 = 3240 кг;
J = лЯ3й = п(1,5)3 • 5 • IO 3 = 0,053 м4;
- Г'10;?;»5.3'25(йУ 86(13’7Гц>-
'у о,Z 1U /
Приведем результаты расчета <зм для различных видов на-
гружения.
Узкополосное воздействие:
V> 75 км/ч (соо = 2...15 Гц);
= 25'3^40п'п;2Г3,5 - 180 •104 н • м (180 т • м);
2-0,01я2
V < 75 км/ч = 0,39 j;
CfM = 0,392 • 25 • 3240 • 3,5 • 1,27— = 0 65. 104 Н.м (0,65 т. м)
л27(0,392 - I)2 + 4 • 0,012 • 0,392
Широкополосное воздействие:
Gs < 3 • 10-1 <м/с2)2 (<о = 0...100 Гц);
Ом = 13,7-3240-1,27-25 1я-3 -10-' = 18 6. 104 Н.м (18 6 т.м).
м 2л2 л/10-2-13,7 v 7
8.10. Акустические нагрузки, действующие на БР
Акустические нагрузки на БР в полете имеют два максимума
по времени: первый — при запуске двигателя и начале движе-
ния БР, когда она еще находится вблизи стартового устройства и
имеет малую дозвуковую скорость (режим «старт»); второй —
когда движение объекта осуществляется в зоне максимального
скоростного напора (режим «max q»).
Характерное изменение по времени пиковых значений акус-
тического давления на внешней поверхности приборного отсека
объекта представлено на рис. 8.28 [2].
Пульсации акустического давления представляют собой раз-
ность мгновенного значения давления p(t) в некоторой точке
пространства и среднего давления рн внешней среды. Для изме-
рения пульсации давления применяется логарифмическая шка-
224
Рис. 8.28. Изменение по времени пиковых значений
уровня акустического давления на внешней поверхности
приборного отсека объекта и виброускорений на его узлах:
2 — уровень акустического давления; 2 — виброускорения силового
шпангоута приборного отсека; 3 — виброускорения рамы приборного
отсека; 4 — виброускорения узла крепления прибора на раме
ла измерений относительно порогового давления р0 = 2 • 10 5 Па.
Уровень L акустического давления рассчитывается по формуле
L = 20 1g
Ро
т
где рск = (if (р(£) - рн^2 dt^0'5 — среднеквадратическое значе-
ние пульсаций акустического давления.
Максимальные среднеквадратические уровни акустическо-
го давления в режимах «старт» и «max q» могут достигать
165.. .170 дБ. Частотный диапазон звуковых давлений распола-
гается в интервале 10... 10 000 Гц, однако распределение энер-
гии звукового поля по частотам весьма неравномерно.
8.10.1. Уровни акустического давления в режиме «старт»
Источником акустического нагружения БР является газовая
струя ракетного двигателя, истекающая из его сопла со сверх-
звуковой скоростью. На границе струи образуется зона турбу-
лентности, которая генерирует в окружающее пространство зву-
ковые волны высокой интенсивности в широком диапазоне час-
тот. Зона вблизи сопла генерирует акустические волны высокой
225
частоты; по мере удаления от сопла толщина турбулентной зоны
растет, а частоты звуковых волн уменьшаются.
На дозвуковых скоростях движения объекта звуковые волны
распространяются на всю конструкцию БР. Уровень звукового
давления растет с ростом скорости истечения струи двигателя
относительно окружающего воздуха и становится максимальным
при работе на Земле в режиме максимальной мощности. Акусти-
ческая мощность составляет ~ 1% от мощности двигателя.
С ростом скорости полета уровень звукового давления
уменьшается, и при достижении объектом сверхзвуковой ско-
рости звуковые волны не будут воздействовать на части конст-
рукции БР, расположенные впереди двигателя.
Кроме турбулентности потока в струе, источником шума яв-
ляются скачки уплотнения, образующиеся на срезе сопла и на
некотором расстоянии от него по потоку. Частотный спектр
акустических давлений реактивной струи со скачками уплотне-
ний может содержать дискретные составляющие.
Степень взаимосвязи акустических давлений в двух точках
конструкции БР определяется коэффициентом корреляции
где — среднеквадратические давления в этих точках;
р — величина, определяемая формулой
т
р = 1J PiP2 dt,
где pv р2 — мгновенные значения акустического давления в
двух точках поверхности конструкции.
Если k ~ 1, то акустические давления в рассматриваемых
точках изменяются почти синфазно; при k ~ 0 давления имеют
сдвиг по фазе, близкий к | (или совпадают по фазе в среднем
столь же часто, как и в противофазе); при k ~ -1 давления изме-
няются почти противофазно.
Для высокоскоростных сверхзвуковых струй еще не созданы
надежные теоретические методы расчета полей акустического из-
лучения, поэтому характеристики шума определяются на основа-
нии обобщения экспериментальных исследований модельных и
натурных двигателей. На основании этих обобщений установле-
но, что на уровень акустического давления, спектральный состав
и корреляционные характеристики одиночной струи влияют:
► скорость истечения струи V. и ее отношение к скорости звука
ан в окружающей среде:
226
► отношение давления на срезе сопла к давлению окружаю-
щей среды;
► химический состав струи;
о V 5 *
► число Рейнольдса Re = а а а , где ра, Va, &*, ца — соответ-
Ма
ственно плотность, скорость, толщина потери импульса в
пограничном слое на выходе из сопла двигателя и коэффи-
циент динамической вязкости газов струи.
Для оценки уровня акустического давления выбирается
опорная точка на срезе сопла двигателя. Относительные коорди-
наты этой точки принимаются равными:
хо=^=0;ро=^=1...2,
где da — диаметр среза сопла двигателя; х0, yG — координаты
опорной точки в системе координат, начало которой помещено в
центре среза сопла двигателя, ось х направлена по вектору скорос-
ти струи, а оси у и z располагаются в плоскостях симметрии БР.
Уровень акустического давления в опорной точке для турбу-
лентной струи оценивается по эмпирической формуле
Ly= 133+ 20 1g (8.35)
ан
Уровни звукового давления по длине корпуса БР убывают
примерно обратно пропорционально расстоянию от опорной
точки (рис. 8.29).
Рис. 8.29. Распределение звукового давления
по длине корпуса БР (режим «старт»)
227
Спектры пульсации акустического давления представляют-
ся в виде зависимости
Pi(f)
Pt(f)
= <р(0,
где f — частота колебаний, Гц; рг(/) — среднеквадратические
значения пульсаций акустического давления в полосе частот
Д/ = 1 Гц; px(f) — суммарные среднеквадратические пульсации
акустического давления по всей полосе частот акустического
нагружения.
Типичный спектр пульсаций давления представлен на
рис. 8.30. Характерной особенностью спектра является относи-
тельно большая величина пульсации акустического давления в
диапазоне частот f = 100...2000 Гц.
Далее оценивается уровень акустического давления в режи-
ме «старт» на обтекателе ракеты-носителя типа «Союз».
Исходные данные для расчета: V- = 2500 м/с, ан = 340 м/с;
число блоков, работающих на старте, — пять; акустическая
мощность всех двигателей принимается одинаковой.
Согласно (8.35), для одиночного блока уровень акустическо-
го давления в опорной точке = 150,3 дБ; для пяти одновре-
менно работающих блоков = 164,3 дБ. По длине корпуса, до-
стигая обтекателя, акустическое давление уменьшается при-
мерно в 5 раз. Таким образом, на обтекателе прогнозируемый
суммарный уровень акустического давления ~ 150 дБ.
Рис. 8.30. Относительный спектр пульсаций
звукового давления (режим «старт»)
228
8.10.2. Уровень акустического давления в режиме «max q»
Источником акустического нагружения в режиме «max q»
являются интенсивные случайные по пространству и времени
пульсации давления в пограничном слое на корпусе БР.
Акустическое давление зависит от скоростного напора, дей-
ствующего на БР, скорости, углов атаки и скольжения и геомет-
рической конфигурации объекта. Теоретические и эксперимен-
тальные исследования показывают, что преобладающим явля-
ется влияние скоростного напора.
Исследования показывают, что уровень акустического дав-
ления в различных точках поверхности корпуса БР изменяется
сравнительно мало, однако спектр частот пульсации давления
меняется значительно. Вблизи передней части корпуса толщина
пограничного слоя мала и в нем преобладают высокочастотные
колебания акустического давления; по мере приближения к
хвостовой части корпуса толщина пограничного слоя растет и
преобладающими становятся низкочастотные колебания давле-
ния.
Суммарный среднеквадратический уровень акустического
давления может достигать величины 160... 170 дБ; частотный
спектр включает частоты величиной от нескольких десятков до
нескольких тысяч Гц. Типичное распределение уровня акусти-
ческого давления по частотам на наружной поверхности обтека-
теля БР представлено на рис. 8.31 [1].
В зонах отрывных течений и взаимодействия скачков уплот-
нения с пограничным слоем акустические давления могут суще-
Рис. 8.31. Уровни звукового давления на головном обтекателе
объекта (режим «шах д»)
229
ственно превышать давления на поверхности корпуса с невозму-
щенным пограничным слоем [3].
Согласно [1], акустическое давлениер и скоростной напор q свя-
заны линейным соотношением р = Kq, где К — коэффициент про-
порциональности, определяемый экспериментально. В соответст-
вии с результатами испытаний в аэродинамических трубах и изме-
рениями в полете на дозвуковых скоростях К = 0,005...0,007, на
трансзвуковых и сверхзвуковых скоростях К = 0,005...0,015.
Большой разброс значений коэффициента К определяется наличи-
ем углов атаки и скольжения и различной геометрической конфи-
гурацией корпусов БР.
Расчет уровней суммарных среднеквадратических акусти-
ческих давлений может быть произведен по эмпирической фор-
муле
L = 20 1g (0,0205q) + 87, (8.36)
в которой скоростной напор измеряется в Н/м2. За счет отлич-
ного от нуля угла атаки и взаимодействия скачков уплотнения с
пограничным слоем расчетные значения уровня акустического
давления увеличиваются на 6...7 дБ.
В обзоре [1] среднеквадратические звуковые давления на по-
верхности корпуса PH «Скаут» оцениваются формулой
7F2 = (0,008...0,005)9 (9 ~ 48 000 Н/м2),
в которой коэффициент 0,008 соответствует М = 1, а коэффици-
ент 0,005 — числу М = 4, причем угол атаки а ~ 0.
Далее оценивается уровень звукового давления в режиме
«max q» на обтекателе ракеты-носителя типа «Союз».
Максимальная величина скоростного напора q = 49 400 Н/м2
достигается при скорости, соответствующей М = 1,2...1,3. Со-
гласно (8.36), суммарный уровень акустического давления в ре-
жиме «max q» на поверхности обтекателя составляет L = 147 дБ;
с учетом взаимодействия скачков уплотнения с пограничным
слоем суммарный уровень акустического давления оценивается
величиной L ~ 153 дБ.
Акустические нагрузки, воздействующие на наружную по-
верхность корпуса БР, преобразуются внутри корпуса в акусти-
ческие нагрузки меньшего уровня и вибрационные нагрузки,
которые являются наибольшими из динамических высокочас-
тотных нагрузок, воздействующих как на конструкцию, так и
на оборудование БР. Интенсивные виброакустические воздейст-
вия на конструкцию и оборудование могут вызвать отказы в ра-
боте электронных приборов и разрушение конструктивных эле-
ментов.
230
Глава 9
Проектирование топливных баков.
Оптимизация гладких топливных баков
9.1. Оптимальная конструкция
Топливные баки ракет-носителей космических аппаратов
обычно проектируются для выполнения двух функций: восп-
риятие внутреннего давления и передача усилий. Таким обра-
зом, топливные баки одновременно являются конструкционны-
ми элементами PH, вследствие чего должны противостоять
сжимающей и перерезывающей силам и изгибающему моменту.
В топливном баке, находящемся под давлением, возникают
кольцевые (поперечные) и осевые (продольные) напряжения
ст=ст = =£Я
° 2 °кольц g ’ °1 °осев 2§’
где р — расчетное давление в рассматриваемой точке бака; R —
радиус обечайки цилиндрического бака; 8 — толщина обечайки
гладкого бака.
Для гладкого цилиндрического бака заданного радиуса тол-
щина прямо пропорциональна давлению. Напряжение, обуслов-
ленное только действием тяги на обечайку бака:
2тгЯ8’
где Р — тяга двигательной установки.
Напряжение, обусловленное действием изгибающего момента:
гч = м
в лЯ28'
Тогда максимальное напряжение, возникающее в стенках ба-
ка в направлении продольной оси бака, атах = аосев - - ав, или
= pR _ Р _ М
тах 28 2лЯ8 лЯ28‘
Давление, которое балансирует все сжимающие усилия
(нейтрализующее давление):
pR _ Р . М _ 2 (Р .
28 2лЯ8 лЯ28’ Р п№2 RJ'
Это значение представлено точкой 2 на графике рис. 9.1.
Точка 1 представляет случай, когда избыточное давление равно
нулю, давление наддува не разгружает обечайку от действия сжи-
мающих усилий. В этом случае в осевом направлении в обечайке
возникают напряжения сжатия. Этот случай имеет место в левой
части графика от точки 1 до точки 2, о которой речь пойдет ниже.
231
6
Зона работы
обечайки бака^
на устойчивость
Зона работы
обечайки бака
на прочность
^над
Рис. 9.1. Двухосное напряженно-деформированное состояние
гладкого цилиндрического бака
В общем случае следует считать, что оболочка нагружена
сжимающим усилием N, изгибающим моментом М, который
есть всегда, и некоторой величиной внутреннего давления, ко-
торая является заданной (при расчете на прочность, а при реше-
нии обратной задачи оптимального конструирования выбирает-
ся оптимальной).
Работа обечайки бака в зоне устойчивости не является наи-
лучшей, но мы вынуждены допускать такую работу в силу про-
ектных условий, таких, как ограничение на массу системы над-
дува, а следовательно, на величину давления наддува в баке. В от-
дельных случаях масса системы наддува с газом наддува может
быть соизмеримой с массой сухого бака.
9.2. Исходные нагрузки
В качестве параметра конструкции гладкой обечайки рас-
сматривается ее толщина, исходными данными для расчетов на
прочность являются нагрузки и температура.
Обечайка в различных расчетных случаях нагружена давле-
нием наддува, давлением столба жидкости, силами реакций со-
седних отсеков.
В поперечном сечении обечаек действуют: изгибающий мо-
мент М, осевая сила N, перерезывающая сила Q.
Внутреннее давление в каждом сечении определяется по
формуле
Р=Р0 + пхРжё0Н>
где Ро — давление наддува; пх — осевая перегрузка; рж — плот-
ность жидкости (компонент топлива); g0 — ускорение свободно-
232
го падения; Н — высота столба жидкости (расстояние между
уровнем жидкости и плоскостью рассматриваемого сечения).
От внутреннего давления и действующих в поперечном сече-
нии обечайки бака момента М, сил N и Q возникают мериди-
ональные Тр окружные Т2 и сдвигающие S погонные усилия:
т = pR _ К - М .
1 2 2лЯ ’
= (р0 + nxpxg0H)R',
8 = -%.
TtR
Положительные значения сил Тг и Т2 соответствуют растя-
гивающим напряжениям. Усилие сдвига S в расчетах обечаек
топливных баков является второстепенным фактором. Величи-
ны и Т2, а также давление наддува р0 в первую очередь опре-
деляют толщину обечайки. В зависимости от их соотношения и
знака Тг возможны три напряженных состояния обечайки, что
характерно для всех видов цилиндрических обечаек.
Окружное Т2 и меридиональное Тг усилия — растягиваю-
щие. В этом случае расчет на прочность проводится только
от окружных усилий.
Условие прочности:
ст2<[о]; [о] = ов,
где 8 — толщина обечайки; f — коэффициент безопасности;
[о] — допускаемые напряжения; ств — напряжения предела про-
чности материала.
В этом случае толщина обечайки определится из уравнения
(рис. 9.2)
8=^.
ав
Окружное усилие Т2 > 0, меридиональное Т\ < 0 и \ Тг\ < |Т2|.
Расчет на прочность здесь проводится по эквивалентным на-
пряжениям
Т2 - р г п
°р = «V стэ = —5— А СТР < М = ств =
Расчетные напряжения в данном случае (с учетом знака Тх)
будут больше, чем в первом напряженном состоянии; это связа-
но с тем, что данное напряженное состояние двухосное.
233
М • 10 3, кг
Рис. 9.2. Зависимость массы гладкого топливного бака
от давления наддува для трех случаев нагружения
Здесь толщина обечайки
<*в
Расчет на устойчивость проводится в случае, когда Тг < 0 и
1Л1 > |т21-
Разрушением обечайки в этом случае является потеря устой-
чивости, поэтому расчетным напряжением будет напряжение
потери устойчивости
Ор = О1Л стр < [ст] = стпц.
9.3. Расчет обечайки гладкого бака на устойчивость
Напряжение потери устойчивости гладкой изотропной обо-
лочки определяется по формуле
су =
хл хл р ’
где kxjl — численный коэффициент; Е — модуль упругости мате-
риала оболочки.
Комплексный коэффициент kXJl учитывает влияние основ-
ных факторов на несущую способность оболочки:
^хл = kkpkMki.
234
80 Рм*
кг/м2
0,375 МПа
0,450 МПа,
Диаметр бака 5,5 м
Осевая нагрузка
и изгибающий момент
1,5 МН
Конструкция—монокок
0,600 МПа
MARAGING
18—85-s
4340
2Q20>ri-gA1-4V
B120VCA
Бериллий £=330 ГПа
20 А, МПа
Рис. 9.3. Масса 1 п. м обечайки гладкого бака в зависимости
от величины сжимающего усилия, давления наддува и материала
Коэффициент k учитывает влияние начальных несовер-
шенств оболочки. Обычно это отклонение контура поперечного
сечения бака от теоретического (кругового) контура, т. е. неко-
торая сплюснутость контура поперечного сечения бака резко из-
меняет несущую способность обечайки. Местные вмятины, да-
же малозначительные, соизмеримые с толщиной обечайки, так-
же оказывают влияние на устойчивость гладкой обечайки.
Введение промежуточных шпангоутов, устанавливаемых с ша-
гом h = 400... 800 мм (величина шпации), нейтрализует влия-
ние начальных несовершенств. С уменьшением относительной
- „ 6
толщины оболочки, характеризуемой величиной —, влияние Ha-
lt
чальных несовершенств на несущую способность гладкой обе-
чайки возрастает. Коэффициент k удобно представить как функ-
цию этой величины [3]:
k = 0,605 - 0.545Г1 - exp (-0,0625 /|)1.
При диаметре бака 2R = 2 м и толщине 2 мм k = 0,2; при диа-
метре бака 2R = 3,6 м и толщине оболочки 1 мм k = 0,1.
Коэффициент /гр учитывает влияние давления наддува бака
на устойчивость обечайки. Влияние это положительное, т. е. с
увеличением давления в баке возникающие растягивающие
усилия уменьшают усилия сжимающие [2], как видно из
рис. 9.3 [18], на некоторых участках (диапазонах) даже весьма
235
существенно. Это влияние также зависит от относительной тол-
щины оболочки [8]:
/о\0,6
= 1+0’21a(f)
kP 1 + За ’
а =
Е\?>)
Коэффициент kM учитывает неравномерность сжимающих
напряжений, возникающих из-за действия изгибающего момен-
та в плоскости продольного сечения бака (в плоскости, совпа-
дающей с осью бака). Если максимальные сжимающие напря-
жения, возникающие при одновременном действии осевой сжи-
мающей силы и изгибающего момента, равны напряжениям,
которые возникают в гладком баке в случае действия только
сжимающих усилий, то оказывается, что устойчивость оболоч-
ки в первом случае приблизительно на 25% выше, чем во вто-
ром. Коэффициент kM рассчитывается по формуле
1 + 2>5ТТЬ
k - nr
М + ™
NR
где М — изгибающий момент в сечении, проходящем через ось
бака; N — сжимающее усилие с учетом разгрузки от внутренне-
го давления.
Потеря устойчивости большинства сжатых и нагруженных
внутренним давлением гладких тонкостенных оболочек проис-
ходит в упругой области при сравнительно низком уровне сжи-
мающих напряжений. Однако в некоторых случаях, при опре-
деленном соотношении осевых и окружных напряжений, в обо-
лочке могут возникнуть пластические деформации. Величина
напряжений потери устойчивости оболочки при этом будет не-
сколько меньшей. Критические напряжения для оболочки, те-
ряющей устойчивость за пределами упругости,
ст1кр = | Тад Б .
где Ек и Ес — соответственно касательный и секущий модули
диаграммы растяжения материала оболочки. Для упругой об-
ласти деформирования Ек = Ес = Е и
236
Коэффициент, показывающий, во сколько раз напряжения
потери устойчивости в пластической области меньше, чем в уп-
ругой при одной и той же деформации £,
h = СТ1кр = л/^к^с
1 пкр Е *
Для оболочки, находящейся в двухосном напряженном со-
стоянии, величину коэффициента можно найти после опреде-
ления интенсивности напряжений
О;= 7^1 - + а2-
Если обозначить
у = -
ai
°2
то при осевом сжатии и окружном растяжении
ст = а2 л/1 + У + У2 •
Тогда алгоритм определения коэффициента kt будет следую-
щим [3].
Этап 1. Строится диаграмма растяжения материала оболочки.
Этап 2. Строятся зависимости Ек = /к(£); Ес = /с(е).
Этап 3. При заданных значениях = пхл, ст2 = pR/Ь опреде-
ляются
Этап 4. По диаграмме определяются Ек = /к(£); Ес = /с(£). Вы-
числяются kL.
Можно построить зависимость /?• от о2 при различных значе-
ниях у.
Приведем аналитическую зависимость kt = /к(у, а2), получен-
ную с использованием этого алгоритма, для различных мате-
риалов.
Для алюминиево-магниевого сплава АМГ-6
= 0,3 - [0,07 + 0,0385(у - 0,2)](п2 - 4,13у2 + 18,9у - 33,59).
Для стали Х15Н9Ю
= (0,0339у2 + 0,357у + 1,571)п2 - 0,271у + 2,445.
Для титанового сплава ВТ6
= (0,989у2 - 0,456у + 1,950)п2 - 0,24у + 2,22.
Видно, что растяжение в окружном направлении сжатой по
оси цилиндрической оболочки вызывает уменьшение критиче-
237
ских напряжений в ней в том случае, когда интенсивность на-
пряжений в оболочке выше предела упругости.
Таким образом, с учетом основных факторов можно полу-
чить величину коэффициента устойчивости kXJl. Однако если в
оболочке возникают пластические деформации, критические
напряжения по коэффициенту устойчивости сразу найти нель-
зя. Величина самого коэффициента /?хл зависит от уровня напря-
жений. Для определения напряжений, соответствующих потере
устойчивости оболочки, воспользуемся методом последователь-
ных напряжений. В первом приближении можно брать kL = 1,
т. е. считать, что оболочка работает в упругой области. Далее
определяются ахл = 04; ст2 = ’ У/^i = АДт» пг)’ новое значение
kL; kXJl второго приближения и т. д. Иногда для первого прибли-
жения лучше взять ^ = 0,6...0,8. Теоретической верхней грани-
цей коэффициента устойчивости является величина kXJl = 0,605.
Однако практически не удается получить коэффициент kXJl >
> 0,45.
Результаты расчетов баков различных диаметров представ-
лены на рис. 9.4 [18].
Рис. 9.4. Масса 1 п. м обечайки в зависимости от радиуса бака
238
Глава 10
Задача оптимизации конструкции
гладкого бака
10.1. Оптимизация числа поясов обечайки
10.1.1. Постановка задачи
В задаче рассматривается топливный бак, нагруженный толь-
ко внутренним давлением, которое складывается из давления
наддува и гидростатического давления столба жидкости. Если
давление наддува поддерживается примерно постоянным, то гид-
ростатическое давление зависит от высоты столба жидкости, пе-
регрузки и положения рассматриваемой точки (рис. 10.1, а).
Гидростатическое давление столба жидкости определяется
по формуле
Р=Рнад + ЛпхР^0’
где рнад — давление наддува в газовой подушке топливного ба-
ка, определяемое двумя факторами: обеспечением насосов пода-
чи компонента к двигателю бескавитационной работой; разгруз-
кой топливного бака от действия сжимающих усилий; h — вы-
сота столба жидкости, отсчитываемая (в рассматриваемой
задаче) от нижнего стыковочного шпангоута; пх — перегрузка
на траектории движения ракеты с работающим двигателем; р —
плотность компонента топлива в рассматриваемом баке; g0 —
ускорение свободного падения.
Максимальное значение давления
определяется в результате анализа тра-
ектории движения:
Ртах =Рнад + Р^0 Щах <Лпх)’ (101)
t
/е(0,£к)
где tK — время окончания работы дви-
гателя.
Величина ртах определяет эпюру дав-
лений, представленную на рис. 10.1, б.
Величина 8, определяющая толщи-
ну обечайки, зависит от давления, ра-
диуса бака и характеристик матери-
ала, из которого изготовлена обечайка
топливного бака
Рис. 10.1.
Схема нагрузки
топливного бака:
а — топливный бак;
б — эпюра давления
g=ZPmaxP( (Ю.2)
239
а) б) в)
Рис. 10.2.
Варианты выполнения
обечайки топливного бака:
а — бак с обечайкой
одинаковой толщины;
б — то же, переменной
толщины; в — ступенчатое
изменение толщины
где f — коэффициент безопасности;
ов — предел прочности материала
бака.
Толщина, определяемая форму-
лой (10.2), зависит от расстояния
рассматриваемой точки до стыко-
вочного шпангоута:
Я _ <Рнад + hnxpgQ)Rf
П СТв
при этом пх принимает значение, со-
ответствующее максимальному зна-
чению произведения hnx.
При проектировании конструк-
ции обечайки рассматривают три ва-
рианта.
Вариант 1. Выбор толщины обе-
чайки по всей длине образующей, ис-
ходя из ее максимального значения,
имеющего место в нижней части ба-
ка, а именно в зоне стыковки обечай-
ки с нижним стыковочным шпангоу-
том. В этом варианте получается бак
максимальной массы (рис. 10.2, а).
Вариант 2. Можно сделать обечайку переменной толщины,
подобно тому, как впервые это было выполнено на американ-
ском истребителе «Супер Сейбр» (механическое фрезерование).
Это дорого и сложно. Для истребителя МИГ-17 применяли про-
кат переменной толщины (рис. 10.2, б). В этом случае получает-
ся бак минимальной массы.
Вариант 3. Ступенчатое изменение толщины от пояса к по-
ясу (рис. 10.2, в). По массе он занимает промежуточное положе-
ние между вариантом а (максимальная масса) и вариантом б
(минимальная масса).
Чисто теоретически при увеличении числа поясов вариант в
приближается к варианту б. Когда пояс один — собственно сама
обечайка, — тогда мы имеем вариант а. Когда число поясов стре-
мится к бесконечности, вариант в переходит в вариант б. Однако
это чисто теоретическое рассуждение. Дело в том, что по краям
поясов необходимо делать утолщения шириной около 250 мм с
каждой стороны и толщиной, зависящей от материала и вида
сварки и характеризующейся коэффициентом сварного шва фсв:
е
е _ °исх
°прил *
240
Рис. 10.3. Зависимость относительной массы обечайки
от количества поясов
В этом случае увеличение числа поясов приводит к увеличе-
нию массы обечайки, связанной со сваркой (рис. 10.3).
Необходимо исследовать влияние проектных параметров на
результаты решения, а также выяснить, влияет ли характер на-
гружения (работает бак на растяжение или устойчивость) на ре-
зультаты оптимизации и, наконец, влияет ли форма обечайки
бака (например, коническая) на результаты решения задачи.
10.1.2. Критерий оптимизации
Постановка задачи оптимизации числа поясов гладкого ци-
линдрического топливного бака показывает, что критерием яв-
ляется масса обечайки
"1об = Зл^бр^Х,
где Pog — плотность материала конструкции обечайки; X = 4 —
R
удлинение обечайки; L — длина обечайки.
Для получения обобщенных материалов обычно используют
относительные величины, поэтому отнесем массу к площади по-
верхности обечайки 8ПОВ = 2л/?2Х, тогда
™об =
™об
2лД28робХ
2лД2Х
= 5Роб-
Таким образом, минимизация относительной массы обе-
чайки (массы единицы площади) сводится к минимизации 8роб.
А если задаться конкретным материалом, то минимальная тол-
щина соответствует минимуму массы конструкции обечайки.
241
В случае гладкой обечайки цилиндрического бака все просто. Для
обечайки переменной толщины вводится понятие толщины экви-
валентной, определение которой дано в предыдущем разделе.
10.1.3. Математическая модель
Массу обечайки, состоящей из п поясов, представим в виде
суммы
тоб= (Ю-З)
1 = 1 I
где тп — масса i-ro пояса,
= "1Прил; + "1глР (Ю-4)
где тпприл . — масса приливов под сварку; тпгл t — масса гладкой
части обечайки пояса.
Из схемы отдельного пояса топливного бака на рис. 10.4
видно, что 1П = 1ГЛ + 2b; 1П = L/n.
В этом случае масса i-ro пояса
тп = 2л/?8исх;
+ 2&(1~ф)\ (10.5)
\п ф /
— 2tlR8hcx р
gfy? + \ i = 1, ..., п.
Рис. 10.4. Схема
элемента топливного бака
Рис. 10.5. Нагрузка
на отдельный элемент
242
Толщина гладкой части обечайки (рис. 10.5)
8Исх. = 8^ + ^(8-7 -5™"), i=l,...,n, (10.6)
где 5™ — толщина обечайки, определяемая давлением надду-
ва; 5— максимальная толщина обечайки, определяемая в
нижней точке бака (на стыке со шпангоутом).
* Система уравнений (10.3)...(10.6) образует математическую
модель задачи.
10.1.4. Метод оптимизации
В общем случае решение задачи может быть получено мето-
дом простого перебора. В некоторых случаях применяют метод
динамического программирования Р. Веллмана. В табл. 10.1
приведены исходные данные для решения задачи выбора коли-
чества поясов гладкой обечайки топливного бака.
Таблица 10.1
Параметры бака Величина
Длина, м 20
Диаметр, м 4,1
Высота столба жидкости, м 19,5
Плотность компонента, кг/м3 1140
Давление наддува, МПа 0,2
Плотность материала обечайки, кг/м3 2640
Расчетная перегрузка 1,5
Коэффициент ослабления сварного шва 0,8
Ширина утолщения околошовной зоны, м 0,5
243
Результаты расчета представлены в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Количество поясов Относительная масса, % Масса, кг Экономия массы, кг
1 100 2894 0
2 84,2 2438 456
3 79,3 2294 600
4 77,0 2228 665
5 75,8 2194 700
6 75,2 2175 719
7 74,8 2166 729
8 74,7 2161 733
9 74,6 2160 734
10 74,7 2162 732
11 74,8 2166 728
12 75,0 2171 723
13 75,2 2178 716
14 75,5 2185 709
15 75,8 2193 701
Глава 11
Проектирование оптимальной конструкции
вафельной обечайки топливного бака
с произвольной геометрической
формой ячеек
11.1. Основные уравнения
В большинстве работ, посвященных анализу конструкции
минимальной массы и проектированию конструкционных эле-
ментов по условиям предотвращения потери устойчивости, до-
казывается справедливость следующего предположения: конст-
244
рукция обладает минимальной массой тогда, когда возможные
формы потери устойчивости возникают одновременно.
Рассмотрим вафельную цилиндрическую обечайку радиуса
Я, нагруженную сжимающей силой Р, изгибающим моментом
Мизг и внутренним давлением наддува рнад. При действии ука-
занных нагрузок на жесткий цилиндр (при условии, что сжи-
мающие нагрузки не компенсируются действием внутреннего
давления) возможны три типа разрушений:
► общее нестабильное разрушение, критические напряжения
которого определяются по формуле
стобщ = *ваф£^, (11.1)
где = kk при этом k, kp, kM, kt определяются как для
гладкой обечайки, а А?в — по формуле [3]
feB=(2SSpe6s )2;
Ч25реб §07
► местная потеря устойчивости пластины между ребрами при
критических напряжениях
которая может быть аппроксимирована формулой [18]
► местная потеря устойчивости ребра жесткости при критиче-
ских напряжениях
a”” =0,416E(J^)2. (11.3)
^реб7
11.2. Уравнения связи
Уравнение связи несущей способности элемента вафельной
обечайки с несущей способностью пластины и ребер жесткости
[11] имеет вид (рис. 11.1):
= ?пл + ^реб’
М 1 X пмп/
^4 = + 25ребЛребо«п cos 9; (11.4)
COS0 cos0 ре0 ре° кр
= 7,О5о2@ + 0,8325р2еб cos2 0.
245
Рис. 11.1. Распределение нагрузки на элемент вафельной обечайки
Считая, что местные потери устойчивости пластины и ребра
возникают одновременно, получим уравнение связи местных
потерь устойчивости пластины и ребра:
СТМП = стмр.
^кр ^кр’
/Я \2 /Я \2
7,0(^) =0,416(^1 ; (11.5)
4 1 1 ЧЛребУ
^ = 0,244^.
^реб
Уравнение связи общей потери устойчивости цилиндра и
местной потери устойчивости пластины:
общ = пМП.
^кр ^кр’
*ваф^ = 0,41бГ^У. (11.6)
R КЛреб'
Уравнение для эквивалентной толщины [13]:
25ребЛреб + 0,86г2 0,86г2Лреб - б2^
°экв °0 I -г ~j2 • V11 • U
Уравнение, учитывающее зависимость толщины пластины
от величины наддува бака (проектное условие):
Х=М (118)
Получили шесть уравнений связи между параметрами при
восьми неизвестных: 80, 8реб, Лреб, Z, 0, о^, о™р, п£рЩ; г и гг зада-
ются технологическими условиями; Е, ов — характеристики ма-
териала обечайки бака; R, Р, Мизг и рнад — проектные данные.
Два неизвестных I и 0 выберем в качестве варьируемых пара-
метров при оптимизации массы обечайки
т =
246
Рис. 11.2. Зависимость несущей способности вафельной оболочки
от угла наклона ребра к оси бака
Видно, что при заданных R, Ьобеч и р минимизация массы
обечайки эквивалентна минимизации 8ЭКВ.
На рис. 11.2 показано влияние угла наклона ребра к оси ци-
линдра [11]. Результаты расчета для ракеты-носителя «Са-
турн-V» второй ступени S-IV представлены на рис. 11.3. Расчеты
Рис. 11.3. Результаты оптимизации вафельной обечайки
(5* — эквивалентная толщина при работе вафельной конструкции
на изгиб от действия изгибающего момента с учетом продольной
сжимающей силы)
247
для других вафельных конструкций показали хорошую сходи-
мость результатов с реальными конструкциями. При использо-
вании изложенной методики следует тщательно учитывать про-
ектные ограничения.
Глава 12
Цилиндрические оболочки, подкрепленные
только кольцевыми ребрами
12.1. Степень подкрепленности
Рассмотрим оболочки, подкрепленные только кольцевыми
часто расположенными ребрами, монолитно скрепленными с
обшивкой. В результате экспериментальных исследований ус-
тановлено, что поведение оболочки в зависимости от степени
подкрепленности
0,7Ф(\|/ - I)3
1 + 0,25ф(ф - 1)
Ггде ф = ф = — безразмерные параметры подкреплен-
V О I
ной оболочки; I — расстояние между шпангоутами) характери-
зуется следующим.
При а < 13 наблюдается несимметричная форма разрушения
с образованием нескольких ромбических волн в окружном и
продольном направлениях. Данная форма разрушения наблю-
дается на оболочках, имеющих сравнительно нежесткие ребра.
Наличие кольцевых ребер резко снижает влияние на не-
сущую способность оболочки общих несовершенств ее формы.
С ростом а до значения а = 13 наблюдается резкое увеличение
Ткр (в 1,5 раза) по сравнению с гладкой оболочкой такой же мас-
сы. С дальнейшим увеличением жесткости подкрепляющих ре-
бер (а > 13) несущая способность оболочки практически не уве-
личивается. Таким образом, роль кольцевых ребер сводится в ос-
новном к снижению влияния несовершенств формы оболочки.
При значениях а > 13 наблюдается симметричная (местная)
форма разрушения с образованием в пролете между соседними
ребрами в окружном направлении одной осесимметричной вол-
ны. Такая форма наблюдается на оболочках, имеющих жесткие
ребра.
ПРЕИМУЩЕСТВА ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК. Оболочки, под-
крепленные только кольцевыми ребрами, обеспечивают сниже-
ние массы в 1,3 раза по сравнению с гладкими. Критическая на-
грузка для такой оболочки в 1,6 раза выше, чем для гладкой с
248
такой же массой (и ниже в 1,5 раза в сравнении с вафельной).
Применение таких оболочек целесообразно при действии срав-
нительно малых осевых сил. Такие оболочки будут более чувст-
вительны к местным несовершенствам формы, чем вафельные;
при проектировании реальных конструкций не следует допус-
кать погиби, превосходящие толщину обшивки [13].
12.2. Практические и инженерные расчеты
Для несимметричной и симметричной форм разрушения с
достаточной точностью расчет можно проводить по следующей
формуле:
Тпр = *Я82 1 +
0,26
0,16
ф(\|/ - 1).
При этом если а < 3, k = 1,5; а > 3, k = 2,8, имеет место не-
симметричная форма разрушения; если а>13, /г = 2,8 — сим-
метричная форма (рис. 12.1).
В проведенных экспериментах коэффициент k достигал зна-
чения k = 3,1...3,4 (верхнему значению критической нагрузки
соответствует k = 3,8).
Рекомендуется проводить также проверку местной потери ус-
тойчивости в пролете между кольцевыми ребрами, как для пло-
ской пластины, по формуле
Гкмр = 2лЯ^
при &0 < 3,9а/Я8; bQ = b - с - г; k = 0,9 + 0,3^; д0 — ширина
Ro
пластины; Ъ — расстояние между шпангоутами; с — толщина
ребра; г — радиус сопряжения ребра и пластины.
За разрушающую нагрузку принимается наименьшее значе-
ние Ткр.
По результатам испытаний изготовленных химическим
травлением оболочек с кольцевыми ребрами, расположенными
на внутренней поверхности об-
шивки, установлено, что факти-
ческие значения Ткр лежат не ни-
же определенных по формулам.
В случае, когда необходимо,
не вдаваясь в конструктивные
подробности оболочки, при за-
данной нагрузке Ткр определить
эквивалентную толщину 8Э для
оценки массы или при заданной
Рис. 12.1. Зависимость
несущей способности оболочки
от степени ее подкрепленности
249
8Э определить Ткр,
расчет проводится по следующим прибли-
женным формулам:
если задано Ткр, 8Э =
0,75
0,68 Ч Е ’
если задано 8Э, Ткр
1,82
2,17
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛА. При проектировании оболочек
необходимо обеспечивать а > 3, при этом массу материала ребер
рекомендуется принимать не более 25% от общей массы. Эти
два условия удовлетворяются при выполнении соотношения
___________4_____________.
-1 v (0,935(4» - I)3 - (v - 1))
(12.1)
В табл. 12.1 приводится диапазон рекомендуемых значений
ф при принятом ф. В рекомендуемом диапазоне удовлетворяется
условие (12.1), при этом разрушение конструкции будет проис-
ходить по несимметричной форме.
Таблица 12.1
3 3,5 4 4,5 5 5,5
ф 1,0...0,75 0,8...0,35 0,65...0,2 0,55...0,2 0,5...0,2 0,45...0,2
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ануфриев В. М. и др. Дискретная составляющая в спектре шума
сверхзвуковых струй//Механика жидкости и газа.— М.: Известия
АН СССР, 1962. — № 5.
2. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965.
3. Балабух Л. И. и др. Основы строительной механики ракет. М.:
Высшая школа, 1969.
4. Волчков О. Д„ Матюшев Ю. С. Выбор расчетных схем и расчет
на прочность элементов конструкций летательных аппаратов. М.:
Изд-во МАИ, 1990.
5. Выносливость авиационных конструкций при действии акусти-
ческих нагрузок // Обзор ЦАГИ. — М.: 1967. — № 218.
6. Гладкий В. Ф. Вероятностные методы проектирования конст-
рукций летательных аппаратов. М.: Наука, 1982.
7. Гудков А. И. и др. Внешние нагрузки и прочность летательных
аппаратов. М.: Оборонгиз, 1963.
8. Гущин В. Н. Основы устройства ЛА // Устройство баллистиче-
ских ракет на жидком топливе: Конспект лекций: в 2 ч. — М. Изд-во
МАИ, 1977. Ч. 2.
250
9. Двигательные установки ракет на жидком топливе / Под ред.
Э. Ринга. М.: Мир, 1966.
10. Козлов Д. И. и др. Конструирование автоматических космиче-
ских аппаратов. М.: Машиностроение, 1996.
11. Астронавтика и ракетодинамика: Экспресс-информация
ВИНИТИ. — М., 1965. — № 48.
12. Конструкция управляемых баллистических ракет / Под ред.
А. М. Синюкова и Н. И. Морозова. М.: Воениздат, 1969.
13. Лизин В. Т., Пяткин В. А. Проектирование тонкостенных кон-
струкций. М.: Машиностроение, 1976.
14. Манучаров В. А. Справочные материалы по конструкциям ле-
тательных аппаратов для практических занятий и курсового проекти-
рования. Ч. 1, 2. М.: МАИ, 1973.
15. Грабин Б. В. и др. Основы конструирования ракет-носителей
космических аппаратов / Под ред. В. П. Мишина, В. К. Карраска. М.:
Машиностроение, 1991.
16. Сергеев Н. Д., Богатырев А. И. Проблемы оптимального проек-
тирования конструкций. Л.: Стройиздат, 1971.
17. Экспериментальные исследования акустической прочности
конструкций // Обзор ЦАГИ. — М.: 1987. — № 679.
18. Abraham L. Н. Spacecraft Systems. Space Technology. V. 1.
NASA. — SP 65.
19. Орлов П. И. Основы конструирования: В 2 кн. / Под. ред.
П. И. Учаева. — 3-е изд. М.: Машиностроение, 1988. — Кн. 1.
20. Орлов П. И. Основы конструирования: В 2 кн. / Под. ред.
П. И. Учаева. — 3-е изд. М.: Машиностроение, 1988. — Кн. 2.
21. Москаленко Г. М. Инженерные методы проектирования в ра-
кетодинамике. М.: Машиностроение, 1974. Двигательные установки
ракет на жидком топливе / Под общей ред. Э. Ринга. М.: Мир, 1966.
22. Авдонин А. С., Фигуровский В. И. Расчет на прочность лета-
тельных аппаратов. М.: Машиностроение, 1985.
23. Бонни Э. А, Зухроу М. Дж., Бессерер К. У. Аэродиномика. Реак-
тивные двигатели. Практика конструирования и расчета. М.: Физмат-
гиз, 1960.
РАЗДЕЛ IV
Проектно-баллистические расчеты
активных участков ракет-носителей
Глава 13
Понятие достаточной точности
и классификация баллистических расчетов
В настоящее время тематический раздел «Проектно-баллис-
тические расчеты активных участков ракет-носителей» как
часть общей теории движения PH имеет самостоятельное значе-
ние как с методической точки зрения, так и исходя из особен-
ностей программного обеспечения, что объясняется рядом при-
чин:
► количество проводимых проектно-баллистических расчетов
(умеренные или достаточные точности) намного превышает
количество расчетов по полетным заданиям (высокие точ-
ности). Одно это положение определяет задачи разработки
экономичных алгоритмов, которые могут использоваться
или в интерактивном режиме, или как составная часть в за-
дачах оптимизации более высокого уровня;
► отсутствие на начальных этапах проектных работ некоторых
данных, например центровочных и, как следствие, аэроди-
намических моментных, требует оперативной программной
адаптации при проведении расчетов;
► в рамках даже одного проекта возникают многочисленные
варианты по баллистическим схемам полета, составу и вели-
чинам ограничений на динамические и кинематические па-
раметры движения, что должно анализироваться при ис-
пользовании одной программы (или программной системы);
► новым направлением в разработке проектно-баллистических
программ являются вопросы анализа летно-технических ха-
рактеристик PH с многоразовыми ракетными блоками.
252
Результирующая погрешность (точность) вычислительного
процесса в общем случае определяется следующими основными
составляющими:
► вычислительная погрешность — погрешность округления (раз-
рядность мантиссы), устойчивость к погрешностям округле-
ния численного метода и, в частности, системы дифферен-
циальных уравнений;
► погрешность численного метода — погрешность вычислитель-
ного алгоритма (порядок методов интегрирования), свойства
системы дифференциальных уравнений (жесткость, устойчи-
вость);
► погрешность алгоритма (аналитического представления мо-
дели процесса и параметров данной модели).
Потребные и, если они выдерживаются, достаточные точности
зависят от типа баллистических расчетов. Здесь следует различать
и классифицировать следующие типы баллистических расчетов:
► проектно-баллистические расчеты при выборе основных па-
раметров ракеты-носителя по принятому критерию проект-
ной разработки и при определении летно-технических ха-
рактеристик для различных задач использования;
► расчеты для конкретных задач использования с определени-
ем всех установочных данных полетного задания, в том чис-
ле и для нештатных ситуаций;
► автономные баллистические расчеты по управлению и нави-
гации в реальном масштабе времени для инерциальных сис-
тем управления, выполняемые с использованием бортовых
вычислительных средств.
В настоящее время круговое вероятное отклонение точек па-
дения межконтинентальных баллистических ракет оценивается
величиной * 150..300 м. Принимая производную дальности по
скорости ~ 10 км/м/с, можно оценить допустимый предел по-
грешности алгоритма расчета конечной скорости. Для точных
расчетов (расчеты полетных заданий) эта величина должна быть
~ 0,01 м/с. В этом случае, особенно для бортовых алгоритмов ре-
шения баллистических задач управления, имеют значение все
три составляющие из указанной выше результирующей по-
грешности. Относительно третьей составляющей, опустив воп-
росы требований по точности командных приборов инерциаль-
ных систем управления, отметим, что должна быть реализована
потенциально возможная алгоритмическая точность модели
движения. В данном случае она ограничивается погрешностями
параметров модели гравитационного поля Земли, некоторыми
геодезическими параметрами, параметрами модели движения
253
на нисходящем участке траектории и другими менее существен-
ными факторами.
В отличие от двух последних типов расчетов проектно-бал-
листические расчеты не имеют в полном смысле самостоятель-
ного значения. Результаты этих расчетов преобразуются через
алгоритмы массовых (весовых), экономических и других моде-
лей в критерий (или критерии) проектной разработки. На на-
чальном этапе проектной разработки, а именно на этапе выбора
основных проектных параметров, точности массовых моделей,
экономических моделей и энергетических характеристик опре-
деляют умеренные требования к достаточной точности проект-
но-баллистических расчетов. Термины «умеренные требова-
ния», «достаточная точность» в данном случае являются только
качественными характеристиками. Приведем некоторые оцен-
ки числовых эквивалентов по влиянию погрешностей (неопре-
деленностей) энергетических, массовых и некоторых других па-
раметров ракеты-носителя на величину конечной скорости или
относительную массу полезного груза.
Рассматривается двухступенчатая PH с компонентами топ-
лива кислород—керосин при выведении полезного груза на ни-
зкую околоземную орбиту. Расчеты по одной из программ для
проектно-баллистических расчетов определяют следующие чис-
ленные соотношения между неопределенностями некоторых па-
раметров и конечными величинами.
Изменение величины удельной тяги на 1% приводит к изме-
нению конечной скорости при номинальных запасах топлива на
~ 90 м/с или к изменению относительной массы полезного груза
на ~ 3%.
Изменение относительной массы топливного отсека на * 10%
приводит к изменению относительной массы полезного груза
на ~ 3%.
При начальной тяговооруженности первой ступени, равной
1,4, уменьшение тяги двигателя на ~ 10% приводит к уменьше-
нию относительной массы полезного груза на ~ 3%.
Точность весовых, энергетических, аэродинамических и дру-
гих характеристик хронологически меняется в процессе каждой
конкретной проектной разработки. Приведенные выше числен-
ные оценки можно считать минимальными для начальных эта-
пов проектных разработок. Так, например, случайные ошибки
по удельной тяге, которые учитываются при определении гаран-
тийных запасов топлива, даже для отработанных и эксплуати-
руемых двигателей составляют ~ 1%.
Таким образом, становится ясным, что использование в про-
ектно-баллистических расчетах не только потенциально возмож-
ных по точности алгоритмов, но и алгоритмов, точность которых
254
по результирующим параметрам значительно выше возможных
ошибок из-за неопределенностей некоторых характеристик, яв-
ляется нецелесообразным.
Завышенная алгоритмическая точность, учет малых по мо-
дулю ускорений, несоответствие точности метода интегрирова-
ния алгоритмической точности модели в сторону завышенной
(«лишней») точности метода — все это не приводит к увеличе-
нию точности конечных результатов и в этом смысле является
бесполезным. Часто это приводит к необоснованно завышенным
затратам времени при моделировании активных участков с
большим числом реализаций при оптимизационных задачах с
критериями более высокого уровня.
Можно определить и пользоваться понятием значимости ре-
зультата по точности проектно-баллистического расчета. Пусть
точность критерия проектной разработки из-за неопределенностей
указываемых выше параметров составляет ~ 10... 15%, а ошибка
используемой модели движения в этом критерии ~ 1...2%. Тогда
можно считать результаты проектно-баллистического расчета зна-
чимыми как для определения летно-технических характеристик,
так и для оперирования соответствующим критерием (критерия-
ми) проектной разработки.
В данной главе рассматриваются различные формы уравне-
ний движения, различные приемы их упрощения и аналитиче-
ские методы представления решений, которые являются мето-
дическими основами организации рационального вычислитель-
ного процесса в проектно-баллистических расчетах.
Краткое определение рационального вычислительного про-
цесса может быть сформулировано так: реализация соответст-
вия вычислительных погрешностей, погрешностей алгорит-
мов численных и аналитических методов и математических
моделей.
Глава 14
Типичные ограничения на кинематические
и динамические параметры движения
При выполнении проектно-баллистических расчетов, кроме
минимально необходимых данных по весовым, энергетическим,
аэродинамическим и другим зависимостям, задается ряд огра-
ничений на кинематические, динамические параметры движе-
ния, параметры (функции) управления. Перечислить их все не
представляется возможным из-за их многочисленности в зави-
симости от конкретной проектной разработки, а также из-за их
изменений и дополнений в процессе самой разработки.
255
Часто эти возможные ограничения для проектанта на на-
чальном этапе не известны или не являются численно строгими,
и тогда в процессе разработки появляются вопросы типа «что
будет, если?». Например, как изменится величина относитель-
ной массы полезного груза, если максимальный скоростной на-
пор gmax = 35 000 Н/м2 уменьшить до gmax = 30 000 Н/м2? Дан-
ный вопрос может возникнуть в связи с ограничением на конк-
ретные величины максимальных углов поворота двигателей
при управлении в районе максимальных скоростных напоров.
Но при этом следует ответить на ряд других вопросов: как изме-
нится при этом потребная минимальная величина тяги (степень
дросселирования), возможно ли это по характеристикам двига-
теля, как увеличится дальность падения блока первой ступени
и насколько в свою очередь увеличатся скоростные напоры при
разделении, если дальность оставить неизменной, и т. д.
Для получения необходимых результатов при анализе толь-
ко этого вопроса в алгоритм проектно-баллистического расчета
должны быть заложены программные реализации, зависимости
и величины:
► зависимость удельной тяги от коэффициента дросселирования;
► минимальная допустимая величина коэффициента дроссе-
лирования;
► выбор соответствующего параметра в программе угла атаки
для выполнения условия по скоростному напору при разде-
лении и другие программные реализации.
Рассматривая только этот пример, можно сделать вывод о
целесообразности разработки не отдельных программ, требова-
ния к которым часто не могут быть определены заранее в пол-
ном объеме даже для конкретного проекта, а универсальных
программных систем проектно-баллистических расчетов для
определенного типа PH.
Опыт работы в проектных подразделениях и сотрудничество
с проектными отделами организаций ракетно-космической тех-
ники показывает, что такие программы (программные системы)
являются востребованными.
Определим ограничения на некоторые динамические и кине-
матические параметры движения на активном участке выведе-
ния ракет-носителей вертикального старта. Эти ограничения
реализуются регулированием по следующим каналам управле-
ния: угол тангажа, угол атаки, величина тяги.
Из возможных ограничений укажем следующие:
► на величину скоростного напора д;
► на величину произведения угла атаки на скоростной напор да;
256
► на величину осевой перегрузки пх;
► на величину теплового потока дт;
► на угол атаки в определенном диапазоне скоростей полета атах;
► на минимальную величину коэффициента дросселирования
ТЯГИ *д min’
► на дальности падения отработавших ступеней и других сбра-
сываемых элементов конструкции Lc.
Величина ограничения на атмосферном участке движения в
общем виде может быть представлена следующей зависимостью:
<MMu)c0ipeii^2i’
где и — вектор параметров управления; /Ди) — функция от век-
тора параметров управления; coz, clz, c2i — константы; i — номер
ограничения, i = 1, т\ р — плотность; V — скорость.
Например, можно указать реализацию движения с условием
ограничения максимальной величины произведения угла атаки
на скоростной напор (первое ограничение):
* = coi = = 1; с21 = 2;
/\ = а; Ф = а • O^SpV2 < max (ад).
При выполнении ограничений по максимальной величине
скоростного напора следует второе ограничение:
i = 2; Cq2 = 0,5; с12 = 1; с22 = 2;
/2 = 1; Ф = 0,5pV2 < gmax.
Для расчета величин управляющих параметров в алгоритмах
выполнения ограничений используются следующие методы:
► регулирование управляющих параметров, значения кото-
рых находятся из решения алгебраических уравнений (в ча-
стности, одного уравнения);
► регулирование управляющих параметров, значения которых
находятся из условия равенства нулю производной по време-
ни от функции ограничений (регулирование по производной);
► регулирование управляющих параметров, значения кото-
рых находятся из решения уравнений (в частности, линей-
ных), аппроксимирующих функции ограничений.
Перечислив некоторые возможные ограничения на кинема-
тические и динамические параметры движения, заметим, что в
методических материалах данного раздела демонстрируются
возможности выполнения этих ограничений, но не приводятся
конкретные алгоритмы их реализаций.
257
Глава 15
Общие уравнения движения
15.1. Системы координат
Рассмотрим положение об «инерциальности» используемых
систем координат, учитывая, что это определяет также возмож-
ные погрешности расчетов, которые должны удовлетворять тре-
бованиям достаточной точности (см. гл. 13).
Использование той или другой системы координат в иссле-
довательских задачах является личным выбором исполнителя.
В различных проектных организациях используемые системы
координат и формы уравнений движения в технической доку-
ментации иногда являются традиционными, если не директив-
ными, и часто различаются. Однако практика доказывает удоб-
ство некоторых форм записи уравнений движения, особенно для
аналитического, как правило, приближенного анализа. И при
численном анализе (интегрирование уравнений движения) неко-
торые формы уравнений движения для определенного типа за-
дач значительно выигрывают по быстродействию: примером мо-
жет служить система дифференциальных уравнений движения
спутника в оскулирующих элементах для определения эволю-
ции элементов орбит искусственных спутников на больших ин-
тервалах времени.
При выборе любой системы координат всегда встает вопрос о
ее «инерциальности». Динамика точки в инерциальной системе
координат основывается на одном векторном уравнении:
F = тпа, (15.1)
которое для случая одной материальной точки дает полный син-
тез всех постулатов (законов) механики [2]. Величина ускоре-
ния имеет относительный характер (относительно выбранной
геометрической системы отсчета), поэтому уравнение (15.1) бу-
дет строгим только при условии, что ускорение отсчитывается
или в системе координат, не изменяющей своего положения от-
носительно «неподвижных» звезд, или в системе координат,
движущейся поступательно и притом равномерно и прямоли-
нейно относительно «неподвижных» звезд.
Такие системы координат будем называть инерциальными (га-
лилеевыми) [2]. Инерциальную систему координат в формульном
соотношении можно кратко определить также как систему, в ко-
торой строго выполняется равенство (15.1).
258
Будем пользоваться уравнением (15.1) и для систем коорди-
нат, отличных от указанных. Например, для осей, связанных с
центром Земли и не участвующих в ее вращении относительно
собственной оси, или для осей, связанных с точкой на поверхно-
сти Земли и не участвующих во вращении относительно зем-
ной оси. Но в каждом таком случае следует помнить о принятых
допущениях и оценивать пределы ошибок, которые при этом
получаются, чтобы не выходить за принятые пределы достаточ-
ной точности для данного типа баллистического расчета (см.
гл. 13).
Таким образом, в зависимости от типа движения (диапазоны
изменения координат, скоростей, ускорений и времени) и до-
пустимых ошибок одна и та же система координат может счи-
таться или инерциальной, или неинерциальной.
При выводе уравнений движения будем говорить о непо-
движных точках, прямых и плоскостях для принятой системы
отсчета. За такую систему (инерциальную) для задач баллисти-
ких ракет будем принимать систему, связанную с центром Зем-
ли и не участвующую в ее вращении вокруг оси.
Рассмотрим два случая (рис. 15.1).
Задана инерциальная система отсчета (1). Наблюдатель, свя-
занный с этой системой (неподвижный относительно нее),
видит движущуюся точку. В этой простейшей ситуации за-
дача состоит в изучении закономерностей наблюдаемого
движения с использованием соотношения (15.1).
Заданы две системы отсчета (1) и (2), с каждой из которых
связан свой наблюдатель. В системе (1) (инерциальной)
справедливо уравнение (15.1) и известно, как движется сис-
тема (2) относительно системы (1). Требуется записать урав-
нение для изучения закономерностей движения, которое ви-
дит второй наблюдатель в системе (2).
Рис. 15.1. Системы координат
259
15.2. Уравнения движения в векторной форме
Запишем уравнение движения центра масс ракеты в системе
(1) (см. рис. 15.1) в виде
m^=F, (15.2)
полагая, что центр масс ракеты движется так же, как центр масс
твердого тела с массой, равной массе ракеты.
Если начало координат системы (2) совпадает с началом ко-
ординат системы (1)г1 = г2 = ги система (2) вращается с посто-
янной угловой скоростью, то из известных положений теорети-
ческой механики [2] следует:
У1 = У2 + шхг; (15.3)
dVi dV2
~dT ~ ~dT + а“ + а^’
где aw = о х (о х г) — переносное ускорение; av = 2(® х V2) — ко-
риолисово ускорение.
Второе уравнение в (15.3) с учетом (15.2) можно трактовать
как запись закона Ньютона применительно к неинерциальной
системе координат (2):
dV2 dVi
~dt dT 3(0 ау*
(15.3')
В правой части этой формулы к силе, действующей на точку,
добавляются еще два члена — они появляются от переносного и
кориолисова ускорения.
Опуская индексы, на основании (15.2) и (15.3') запишем век-
торные уравнения движения в неинерциальной системе коорди-
нат (2):
= F + /п(о) х (г х ©)) -I- 2т(У х ю); (15.4)
at
— у
dt
15.3. Уравнения движения в координатной форме
Выше отмечалась произвольность выбора системы коорди-
нат при изучении закономерностей определенного типа движе-
ния летательного аппарата, в данном случае активного участка
ракеты-носителя.
Учитывая учебную направленность пособия, представляется
целесообразным использование сферической скоростной систе-
мы координат, которую отличает в первую очередь наглядность,
260
а также возможность использования для решения задач орби-
тального движения, расчета участков полета многоразовых ра-
кетных блоков, аналитического (приближенного) анализа неко-
торых закономерностей движения на активных участках и т. д.
Следует также отметить, что традиционное представление
уравнений движения на активных участках в стартовой (на-
чальной стартовой) прямоугольной системе координат удобно
для точных баллистических расчетов программ углов тангажа и
рыскания в бортовой (инерциальной) системе координат. Как
показывает практика, в проектно-баллистических расчетах с
учетом выполнения требований по достаточной точности воз-
можно представление указанных программных функций в ско-
ростной («собственной») системе координат.
Движение рассматривается в неинерциальной системе коор-
динат Oxj/г, вращающейся относительно неподвижной (инерци-
альной) системы координат Ox*i/*z* (рис. 15.2).
Сферическими координатами в этой системе являются:
г — радиус;
(р — геоцентрическая широта;
X — долгота, отсчитываемая от нулевого меридиана.
Определим направления:
т° — единичный вектор, совмещенный с направлением ско-
рости;
п° — единичный вектор, нормальный вектору скорости и ле-
жащий в плоскости, проходящей через вектор скорости и нача-
ло координат;
к0 — единичный вектор, нормальный этой плоскости.
Рис. 15.2. Сферическая скоростная система координат
(основные плоскости и направления, координаты, углы)
261
Введем следующую последовательность правых систем коор-
динат:
сферическая — <р°, г°, Х°;
скоростная — к0, п°, т°.
На рис. 15.2 обозначено:
г| — угол между проекцией вектора скорости на плоскость
местного горизонта и местным меридианом (местный курсовой
угол);
0 — угол между вектором скорости и плоскостью местного
горизонта (в дальнейшем — угол наклона вектора скорости к
местному горизонту).
Запишем вспомогательные соотношения для элементарных
матриц вращения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:
► относительно <р° А(ф°) = 1 0 0 0 cosv -sinv 0 sinv cosv ; (15.5)
► относительно г° А(г°) = cosv 0 sinv 0 10 ; (15.6)
► относительно Х° А(А°) = -sinv cosv cosv -sinv 0 sinv cosv 0 (15.7)
Матрица направляющих 0 0 1 косинусов ме >жду скоростной и сфе-
рической системами определяется следующей последовательно-
стью поворотов:
► относительно г° на’угол ц (против часовой стрелки);
► относительно полученного от первого поворота вектора к0 на
угол 0 (по часовой стрелке)
<р° cost) 0 sinrj 1 0 0 k°
г° = 0 10 0 cosO sinO n° >
Х° -sinr| 0 cost) 0 -sinO cosO T°
что окончательно представляется таблицей направляющих
косинусов:
k° n° T°
Ф0 COS T| -sin r| sin 0 sin r| cos 9
r° 0 cos 9 sin 9
-sin T| -cos T| sin 0 cos r| cos 9
(15.8)
262
Более наглядное геометрическое представление дано на
рис. 15.3. Для случая a) cos (т°, г°) = sin 0; cos (т°, <р°) =
= sin r| cos 0; cos (т°, Х°) = cos г| cos 0.
Для случая б) cos (п°, г°) = cos 0; cos (n°, <р°) = -sin г| sin 0;
cos (n°, X°) = -cos rj sin 0.
Для случая в) cos (k°, r°) = 0; cos (k°, <p°) = cos r|; cos (k°, X°) =
= -sin r|.
Запишем следующие кинематические соотношения.
Связь сферических и декартовых координат (см. рис. 15.2):
х = г cos (р cos X; у = г cos ф sin X; 2 = Г8Шф. (15.9)
Проектируя вектор скорости на орты сферических коорди-
нат, получим (см. (15.8) и рис. 15.2)
Vr = Vsin0; Уф = V cos 0 sin rj; Vx = V cos 0 cos r|. (15.10)
С другой стороны,
Vr=r; Уф = гф; Ух = гсозфХ, (15.11)
откуда следуют кинематические соотношения для системы урав-
нений движения в скоростной сферической системе координат:
г — V sin 0; <р = - cos 6 sin n; X = Kcosecos4. (15.12)
Г Г СОБф
Существуют различные методы получения уравнений дви-
жения в различных системах координат, в том числе и скорост-
ной сферической. Для рассматриваемой формы некоторые из
них используют геометрические представления, другие исполь-
а) б) в)
Рис. 15.3. Направляющие косинусы единичных векторов
скоростной системы координат (к0; п°; т°)
в сферической системе координат (ф°; г°; Х°):
а — направляющие косинусы вектора т°;
б — то же, вектора п°; в — то же, вектора к0
263
зуют формальные алгоритмы двухразового дифференцирования
соотношений (15.9) с использованием кинематических соотно-
шений (15.10) и (15.11) [1].
Содержание данного раздела учебного пособия является
частью преддипломного курса «Баллистика активных участков
ракет-носителей», который читается на аэрокосмическом фа-
культете МАИ. Поэтому ниже приводится общий метод получе-
ния дифференциальных уравнений движения для механиче-
ских систем с использованием классического метода аналитиче-
ской механики — уравнений Лагранжа.
Получим уравнения движения в неподвижной сферической
системе координат ОфгХ, используя формализм Лагранжа, со-
стоящий из следующих операций [2]:
► выбрать систему независимых координат ..., qn, в кото-
рых записываются уравнения движения;
► вычислить кинетическую энергию как функцию обобщен-
ных координат и скоростей;
► произвести частное и полное дифференцирование выраже-
ния для кинетической энергии и подставить полученные со-
отношения в зависимость
Tt(Ei}~E^ = F^ i = 1’-’3’ (15.13)
где Е' — частные производные от кинетической энергии;
Ft — обобщенные силы.
В соответствии с последовательностью указанных операций
получим:
► систему сферических координат (ср, г, X);
► формулу для кинетической энергии
£ = ?((r<p)2 + r2 + (rcos<pi)2). (15.14)
Например, в случае двух переменных первый член (15.13)
(полная производная) в общем виде записывается так:
^-(Е’.)=Е". д, + Е" . й, + Е" й9 +Е" . а,. (15.15)
dt 9/ Q1Q141 9191 1 9i92^2 9i9272 V 7
Выполнив дифференцирование (15.14) с учетом соотноше-
ний для полных производных в соответствии с (15.15) и подста-
вив в (15.13), получим следующую систему дифференциальных
уравнений в неподвижной сферической системе координат:
г - гф2 - г cos2 фХ2 = и>г;
гф + 2гф + г sin ф cos фХ 2 = и>ф; (15.16)
г cos фХ + 2 cos фгХ - 2г sin ффХ =
264
где правые части — это проекции суммы ускорений на соответ-
ствующие оси сферической системы координат (см. рис. 15.2).
Отметим, что система (15.16) используется в теории движе-
ния космических летательных аппаратов при анализе возму-
щенного движения объектов на стационарной орбите.
В качестве примера рассмотрим вывод для третьего уравне-
ния из (15.16):
Е\ = г2 cos2 срХ ; Е" = 0; Е". = г2 cos2 ф;
X XX XX
Е'. = 0; Е" = 2r cos2 <pi; Е". = 0;
Л Xr х Xr
Е" = -2r cos ф sin ф X; E" = 0.
Хф Хф
Заметим, что для обобщенной координаты «угол» обобщен-
ной силой является момент; в данном случае (см. рис. 15.2)
тх = г cos ф/х,
где — обобщенная сила.
Подставив полученные выражения в (15.13), получим
г2 cos2 фХ + 2г cos2 фХ г - 2г2 cos ф sin фф X = г cos ф/х
и после деления на г cos ф приходим к последнему уравнению из
(15.16), где
= fJm-
Для общего случая, продифференцировав (15.12) и подста-
вив в (15.16), получим
wr = V sin 0 + V cos 0 0- — cos2 0;
г г
у2
Wy= V cos 0 cos г| + — sin 0 cos 0 sin ц - V sin 0 sin ц 0 +
+ V cos 0 cos r|f| + — tg ф cos2 0 cos2 r|; (15.17)
y2
wx= V cos 0 cos r| + — sin 0 cos 0 cos ц - V sin 0 cos ц 0 -
y2
- Vcos 0 sin T|f] - — tg ф cos2 0 sin ц cos r|.
На основании таблицы-соотношения (15.8) имеем
wx = wr sin 0 + и?ф cos 0 sin ц + cos 0 cos ц;
wn = wr cos 0 - и?ф sin 0 sin ц - sin 0 cos ц; (15.18)
wk = cos r| - sin r|.
265
Подставив уравнения (15.17) в (15.18) и разрешив их отно-
d~V •rT'dQ тт
сительно — , V — , Vcos 9—1, получим динамические соотноше-
dt dt dt
ния системы дифференциальных уравнений движения в скоро-
стной сферической системе координат:
V = wx\
V0 = К? COS е + (15.19)
V2
Vcos 0f| = tg ср cos2 9 cos г| + wk.
Данная система совместно с системой кинематических соот-
ношений (15.12) образует систему дифференциальных уравнений
в скоростной сферической (инерциальной) системе координат:
V = и?х;
V0 = у cos 0 + wn; (15.19')
V2
V cos 9ц = - — tg ф cos2 9 cos ц + wk;
r = V sin 9;
ф = cos 9 sin ц;
= V cosQcost]
r cosO
15.4. Проекции ускорений
15.4-1- Проекции ускорений от переносной
и кориолисовой сил инерции
на оси скоростной системы координат
Вывод системы дифференциальных уравнений (15.19) про-
водился при условии, что система координат Oxyz на рис. 15.2
не вращается (совпадает, как отмечено выше, с инерциальной
системой Ox*y*z*). Положим, что система координат Oxyz связа-
на с вращающейся Землей. Ось Oz совпадает с осью вращения
Земли и направлена в сторону северного полюса, а оси Ох и Оу
лежат в плоскости экватора, причем ось Ох в начальный момент
времени проходит через нулевой (гринвичский) меридиан.
266
В этом случае в уравнения движения, согласно (15.4), следу-
ет добавить члены, обусловленные «неинерциальностью» систе-
мы координат, от переносного и кориолисова ускорения
аш = о х (® х г),
= 2(® х V).
Для получения проекций указанных ускорений на оси скоро-
стной системы координат необходимо найти проекции векторов V,
о, г на оси сферической системы координат и далее пользоваться
таблицей — соотношением направляющих косинусов (15.8).
Направляющие косинусы указанных векторов (см. рис. 15.2)
выражаются следующим образом:
<p° r°
v° cos 0 sin r| sin 0 COS 0 COS T|
o° COS ф sin ф 0
r° 0 1 0
Вектор кориолисова ускорения в проекциях на оси сфериче-
ской системы координат имеет вид:
2V х ® = 2Vco[<p° (-cos 0 cos ц sin ср) + г° (cos 0 cos т| cos ср) +
+ Х° (cos 0 sin г| cos ср - sin 0 cos ф)]. (15.21)
Соответствующие скалярные произведения вектора (15.21) и
единичных векторов скоростной системы координат к0, п°, т° оп-
ределяют проекции кориолисова ускорения на скоростные оси
wv = 0;
wv = 2Vco cos ср cos r|; (15.22)
wVk = 2Vco (sin 0 cos <p sin ц - cos 0 sin cp).
Аналогично получим и для переносного ускорения.
Вектор переносного ускорения в проекциях на оси сфериче-
ской системы координат имеет вид
© х (г хю) = со2г[<р° (-sin ср cos ср) + г° (cos2 ср)]. (15.23)
Проекции на оси скоростной системы координат т°, n°, к0 оп-
ределяются соответствующими скалярными произведениями
= co2r cos ф (sin 0 cos ф - sin г| cos 0 sin ф);
= co2r cos ф (cos 0 cos ф + sin т| sin 0 sin ф); (15.24)
п
w0)^ = ы2г cos <p (-cos T| sin <p).
267
15.4.2. Проекции ускорений от гравитационной силы
на оси скоростной системы координат
В практике проектно-баллистических расчетов активных
участков движения ракет-носителей используется сферическая
модель гравитационного поля Земли. Ниже приведены оценки
ошибок этого упрощения по сравнению с моделью эллипсоида,
которая аппроксимирует более точную гравитационную модель
геоида (рис. 15.4). Оценки возможных величин погрешностей
приводятся для интервалов времени и диапазонов кинематиче-
ских параметров активных участков типовых траекторий совре-
менных ракет-носителей вертикального старта.
Потенциал поля тяготения эллипсоида вращения записыва-
ется в виде
и = + Д (3 sin2© - 1), (15.25)
г 2г6
где коэффициенты л0, соответствуют данным из [5]:
л0 = 398 600 км3/с2, пг = -1,77 • 1О10 км5/с2.
Используя свойство потенциала — производная по како-
му-либо направлению равна силе, действующей в этом
направлении, — из (15.25) получим производные по направле-
ниям г°, <р° (см. рис. 15.2 и 15.4):
Рис. 15.4. Проекции
гравитационного ускорения.
Геометрические представления:
— -----геоид;-------сфероид;
- —----сфера
_ й (зsin2 ф _ i);
к
Зя. .
— Sin ф COS ф.
(15.26)
С использованием таблицы
направляющих косинусов (15.8)
запишем проекции ускорения
для принятой модели гравитаци-
онного поля Земли:
= gr sin 0 + gy cos 0 sin r|;
gn = gr cos 0 - gy sin 0 sin ц; (15.27)
cos Т].
Для сферической модели Земли
= о; g, = -%
и,приняв
gr=g=g<^,
268
где rc — «средний» радиус Земли из условия £огс = л0, из соот-
ношений (15.27) получим
г2
gt = -£sin0; gn = -g cos 0; gk = 0; g = g0-^. (15.28)
15.4.3. Проекции ускорений от аэродинамической силы
на оси скоростной системы координат
При записи проекций ускорений от аэродинамических сил
допускается достаточно простая схема, которая учитывает только
основную составляющую ускорения. Принимается, что угол сколь-
жения равен нулю и в этом случае существует только скоростной
угол атаки. Реализация заданного (программного) угла атаки тре-
бует управляющих реактивных или аэродинамических сил и соот-
ветствующих моментов относительно центра масс. Расчет этих сил
и учет их влияния на движение центра масс может проводиться
только при задании положения центра масс и дополнительных
данных по аэродинамическим характеристикам (органы управле-
ния, центр давления и др.). На этапах проведения проектно-бал-
листических расчетов эти данные, как правило, отсутствуют. Как
показывает практика, учет в данной схеме основной составляющей
аэродинамической силы удовлетворяет требованиям реализации
достаточной точности для данного типа расчетов (см. гл. 13).
На следующем этапе в соотношения для проекций ускорений
от реактивных сил вводится дополнительный угол атаки а0, ве-
личина которого при задании вышеуказанных дополнительных
данных может определяться, как это принято даже в точных бал-
листических расчетах, из статического уравнения моментов [1].
Аэродинамические силы представляются в скоростной сис-
теме координат, что соответствует заданию коэффициентов ло-
бового сопротивления и подъемной силы в виде
Сха = Сха(М, Л, а), (15.29)
Суа = Суа(М, а), (15.30)
где а — угол атаки; М — число Маха; h — высота.
После некоторых преобразований запишем ускорение от
аэродинамических сил:
, Ха _ CxaSMpV2
т 2т
ax = S
* бц р ,
х м
(15.31)
где = £0/ц; ц = т/т0 — текущая относительная масса; q =
= pV2/2 — скоростной напор; Рм = (mQgQ)/SM — нагрузка на ми-
дель.
269
Рис. 15.5. Скоростная (k°, п°, т°) и связанная (х? , yj , z? )
системы координат (основные плоскости, направления и углы)
Аналогично (15.31) записывается выражение и для ускоре-
ния от подъемной аэродинамической силы:
% = (15-32)
ИЛИ
ау = kax,
где k = Суа/Сха — аэродинамическое качество.
Проекции аэродинамических сил на направления т°, n°, к0,
как это следует из рис. 15.5, записываются в следующем виде:
^ат ^х’
ааП = аУ cos у;
aa* = -a!/sinb (15.33)
где у — скоростной угол крена (угол поворота относительно век-
тора скорости — направления т°).
15.4.4. Проекции ускорений от силы тяги
на оси скоростной системы координат
Углы задания (ориентации) векторов тяги ракетных двига-
телей на атмосферном участке движения и на участке движения
с малыми аэродинамическими силами (в дальнейшем называе-
мом безатмосферным участком движения) различны.
270
На атмосферном участке движения для реализации програм-
мных углов атаки для современных PH используются реактив-
ные моменты — управляющих или основных двигателей. Это
может приводить к отклонению вектора тяги в плоскости сим-
метрии OxJyJ (см. рис. 15.5) от связанной оси Oxf на угол а0. Как
уже отмечалось, величина этого угла находится из статического
уравнения моментов — условия равенства аэродинамических и
управляющих моментов — и зависит от центровочных, аэроди-
намических характеристик, геометрии расположения управ-
ляющих двигателей и схемы реализации управляющих сил.
Обозначим модуль вектора ускорения от силы тяги через ар.
Тогда у — угол крена, а (а + а0) — угол между единичным век-
тором ускорения a £ и вектором скорости V (см. рис. 15.5).
Проекции ускорения от силы тяги записываются в виде
aPk= ~аР sin vsin <а + ао);
арп = ар cos у sin (а + а0);
(15.34)
арт = ар cos (а + а0).
Соотношения (15.34) можно получить, пользуясь формула-
ми для элементарных матриц поворота (15.5), (15.6), (15.7):
первый поворот относительно оси т° на угол у против часовой
стрелки (положительное направление, (15.7)); второй поворот
относительно оси к0 на угол (а 4- а0) по часовой стрелке (отрица-
тельное направление, (15.5)).
Тогда результирующая матрица запишется следующим об-
разом:
apk
арп
ар?
cosy -siny О
siny cosy О
0 0 1
10 0
0 cos(a 4- a0) sin(a 4- a0)
0 -sin(a 4- a0) cos(a 4- a0)
0
0
aP
cosy -siny cos(a 4- a0) -siny sin(a 4- a0)
siny cosy cos(a 4- a0) cosy sin(a 4- a0)
0 -sin(a 4- a0) cos(a 4- a0)
0
0
aP
(15.35)
где последний столбец результирующей матрицы соответствует
направляющим косинусам соотношения (15.34).
На безатмосферном участке движения ориентацию вектора
ускорения от тяги также будем задавать в скоростной системе
координат — это одно из основных упрощений, которое отмеча-
лось выше. Отметим, что это удовлетворяет требованиям обеспе-
чения достаточной точности проектно-баллистических расчетов
271
и является удобным, в частности при анализе пространствен-
ных траекторий выведения (траекторий выведения с боковым
маневром).
Воспользуемся соотношениями (15.5) ... (15.7): первый по-
ворот вокруг к0 по часовой стрелке на угол ар (отрицательное
направление, (15.5)); второй поворот вокруг п° против часовой
стрелки на угол Рр (положительное направление, (15.6)).
В результате получим
аРк = аР sin
аРп= аР sin аР cos ₽₽; (15.36)
ат = ар cos ар cos Рр-
15.4.5. Соотношения для тяги ракетных
и воздушно-реактивных двигателей.
Дроссельные характеристики
На начальных этапах проектирования при проектно-баллис-
тических расчетах часто к числу недостаточно определенных
или неизвестных относят значительное количество параметров
(например, начальную массу PH).
В этом случае при проведении расчетов в широком диапазоне
изменения основных проектных параметров представляется
удобным в математических моделях проектно-баллистических
расчетов вводить обобщенные величины (начальная тяговоору-
женность, относительная масса, нагрузка на мидель и др.). Не-
которые из них можно считать критериальными, понимая под
этим возможность их использования для уменьшения количест-
ва рассматриваемых переменных в расчетных соотношениях не-
которых величин.
Например, как следует из формулы Циолковского,
^хар — ^О^уд I** (Hr)’
характеристическая скорость зависит от двух параметров —
удельной тяги и относительной конечной массы. Ниже во всех
формульных соотношениях величина соответствует эффек-
тивной скорости истечения (м/с). Численная величина удельно-
го импульса (Н • с/кг) также равна ^0Руд.
Введением критерия относительной конечной массы количе-
ство переменных для определения величины скорости уменьша-
ется с трех (удельная тяга, начальная масса, конечная масса) до
указанных двух.
Аналогичные рассуждения справедливы и для начальной
тяговооруженности: вместо начальной массы и величины тяги
используется один параметр — начальная тяговооруженность.
272
Из известного соотношения для тяги ракетного двигателя [1]
Р(Л) = Рдин + Рст = rhou + Sa(pa - ph),
где Рдин — динамическая составляющая тяги; Рст — статиче-
ская составляющая тяги; rtiQ — массовый расход топлива; и —
скорость истечения; Sa — площадь среза сопла; ра — давление
на срезе сопла; ph — давление окружающей среды, следует:
Р(Л) = Рп - SapopA, (15.37)
где Рп — пустотная тяга; р0 — давление на нулевой высоте; ph —
относительное давление на данной высоте.
В исходных данных проектно-баллистических расчетов для
номинальных режимов работы ракетных двигателей задаются
следующие параметры:
► земная и пустотная тяги и одна из величин удельной тяги;
► пустотная тяга и площадь среза сопла и удельная пустотная
тяга.
Для второго варианта задания характеристик по ракетному
двигателю из (15.37) следует
P0 = Pn-SOJp0. (15.38)
Исключив из (15.37) и (15.38) величину Sap0, получим
Р(Л) = Рп-(Рп-Р0)рЛ.
Введем новый параметр: высотность двигателя, т. е. отноше-
ние пустотной удельной тяги к земной удельной тяге
Р Р
У _ П _ х уд. п
« р р ’
*0 ^УД. О
тогда последнее соотношение для тяги записывается в виде
Р(Л) = Р0(\,-(^-1)рЛ). (15.39)
Модуль ускорения от силы тяги ракетного двигателя ар =
= P(h)/m с учетом (15.39), относительной массы ц = т/т^, на-
чальной тяговооруженности п0 = Р0/(тп0^0) имеет вид
ар = ^и0(^-(^-1)рЛ) (15.40)
и является функцией следующих параметров:
► относительной массы;
► начальной тяговооруженности;
► высотности двигателя;
► высоты полета.
273
Как уже отмечалось, в проектно-баллистических расчетах
удобно использовать обобщенные величины (относительная мас-
са, тяговооруженность и др.).
Соответственно этому положению в модель системы уравне-
ния движения вводится дифференциальное уравнение для отно-
сительной массы
(1541)
at dt<mQy mQ
d\i = _ no
d* ^уд о
причем Po = тп^Руд 0; n0 = Р0/(т<£й).
Полученные соотношения (15.40) и (15.41) справедливы для
двигателя с постоянным секундным расходом и, как следствие, с
постоянной скоростью истечения (постоянной удельной тягой).
При формировании траекторий (программ управления) сов-
ременных ракет-носителей тяга двигателя не остается постоян-
ной, а дросселируется в каком-то диапазоне для выдерживания
ограничений по скоростному напору, перегрузке и другим дина-
мическим и кинематическим параметрам движения (см. гл. 14).
В этом случае в исходных данных для проектно-баллистических
расчетов должна задаваться еще одна дополнительная характе-
ристика ракетного двигателя — изменение удельной тяги в зави-
симости от коэффициента дросселирования, в частности, в виде
производной удельной тяги по величине изменения тяги (1 - &д):
Руд.п(Ад) = Руд.п-Р;д.п(1-У, (15.42)
где &д — коэффициент дросселирования; РуД п — производная
изменения удельной тяги по величине (1 - &д).
Будем полагать также, что изменение (уменьшение) расхода
топлива (дросселирование) оказывает влияние на пустотную со-
ставляющую тяги и величину тяги P(h) в соответствии с зависи-
мостью (см. (15.37))
Р(Л) = *д^0Руд. п(*д) - SaPh-
Тогда для модуля ускорения от силы тяги регулируемого ра-
кетного двигателя после следующих тождественных преобразо-
ваний
Р(Л) = *дт0(Руд. п - Руд. П(1 - У) - Sap£ =
Ро
= п(1 - (1 - у) - (Рп - Ро)Р А =
уд. П
= VcM1 - - М) - ро(Ч - Dp /.
Г у д. п
274
имеем
ар = [VoMl - руд- nd - М - «о(Ч - лХ.’ <15-43>
гдеРу'д.п=^;^=§,
УД. П Н
и можно записать соответствующее дифференциальное уравне-
ние для относительной массы:
(15.44)
б/|1 _ _
^удп(^д)
Для воздушно-реактивных двигателей тяга и удельная тяга
по бортовому расходу горючего в общем случае зависят от скорос-
ти (числа Маха), высоты полета и угла атаки (при определенных
конструктивных решениях интеграции двигателя и планера).
Соотношения для ускорения и дифференциальное уравнение
для относительной массы в данном случае записываются в виде
ар = kpnofp(M, h, a)gp; (15.45)
dy = _kanofp(M,h,a)
dt Руд(М,й,а,/гд) ’
Глава 16
Системы дифференциальных
уравнений движения на различных участках
выведения на орбиту
16.1. Система дифференциальных уравнений
движения на атмосферном участке
Полученные в гл. 15 системы дифференциальных уравнений
позволяют записать уравнения движения ракет-носителей и ра-
кетных блоков на различных участках. Данные алгоритмы ис-
пользованы в соответствующих материалах по методическому и
программному обеспечению проектно-баллистических расчетов
на кафедре 601 аэрокосмического факультета МАИ.
Представим некоторые пояснения по схеме ракеты-носителя и
форме записи системы дифференциальных уравнений движения:
► в общем случае ракета-носитель обладает набором трех ти-
пов двигателей: двух ракетных, с компонентами топлива
кислород—керосин и кислород—водород, и воздушно-реак-
тивного;
275
► управление движением для выполнения терминальных па-
раметров при выведении на заданную орбиту и при условиях
выполнения ограничений на кинематические и динамиче-
ские параметры по траектории реализуется через програм-
мы по углу атаки и регулированию величины тяги двигате-
лей. Конкретные соотношения для этих программ рассмат-
риваются ниже;
► в уравнениях рассматривается центральное поле силы тяго-
тения (см. выше);
► в уравнениях специально выделяются аэродинамические и
гравитационные потери, что представляется целесообраз-
ным в методическом плане при анализе влияния основных
проектных параметров на рассматриваемые критерии;
► в системе дифференциальных уравнений движения отсутст-
вует уравнение для определения угла а0; как отмечалось вы-
ше, этот угол может быть определен только при задании
центровочных и аэродинамических моментных характерис-
тик ракеты-носителя.
Запишем полученные ранее соотношения для ускорений и
систему дифференциальных уравнений движения на атмосфер-
ном участке:
(1) = -а ;
(2) = -g sin 0;
at
(3) ^ = ax + Wu>;
(4) dQ = dt V V r ^(o WV COS0+ ^+-^;
dr| = ak v w<» WV — t.cr сп рлч А рлч n +- — 4- —
dt VcosO r tg <p COS и cos T| + Vcos0 + Vcos0
(6) £ = V sin 0;
(7) <Лр = VcosO sinn;
a t г
(8)
(9)
dX = Feos6 cosr|.
dt r coscp’
= ^h2(1)^ 01 + ^h2(2)^ 02 + ^h2(3)^ 03’
= + ^(2)^02 + ^?(3)^03’
= *02(1)^01 + ^02(2)^02’
= ^01 “ ^02 “ ^03*
(16.1)
276
В уравнениях (16.1) приняты следующие обозначения:
► составляющие переносного ускорения
ivю = co2r cos (р (sin 0 cos <р - sin т| cos 0 sin <р);
iv = co2r cos (p (cos 0 cos (p 4- sin r| sin 0 sin (p); (16.2)
iv= co2r cos (p (-cos r| sin (p);
► составляющие кориолисова ускорения
ivv = 0;
wv = 2Vco cos (p cos ц; (16.3)
v n
Wy* = 2Vcd (sin 0 sin r| cos (p - cos 0 sin (p);
► составляющие ускорений от силы тяги, гравитационных и
аэродинамических сил
ах = ар cos (а + а0) - g sin 0 - ах;
ап = ар cos у sin (а 4- а0) - g cos 0 4- ау cos у; (16.4)
ak = -ар sin у sin (а 4- а0) - ау sin у;
► весовые составляющие водорода, кислорода и керосина в
расходуемой массе бортового топлива для каждого типа дви-
гателя fe„2(i), fe02(i), kkw i = 1, 2, 3.
Изменение удельной тяги при дросселировании можно рас-
считывать по производным земной удельной тяги. В этом слу-
чае ускорение от силы тяги можно записать с достаточной сте-
пенью точности следующим образом:
аР = - (^i - i)pA) +
+ *д2п02(\г2 ~ (\г2 “ 1)Р Л + *дЗП0з/р(М’ Ь’ а))Ь (16 5)
” 01 = ^удО^д!) ’ РуЛ 01^д1^ = РуЯ 01 " РуЛ 01 " *д1^’
” 02 = ^удмДдг) ’ Рул 02^д2^ = Руя 02 " Руя 02 " *д2^’ <16,6)
- _ kp3n03fp(M,h,a)
03 Руд(М,й,а) ’
где &д1, /гд2, &д3 — соответствующие коэффициенты дросселиро-
вания.
277
16.2. Система дифференциальных
уравнений движения на безатмосферном участке
Система в основном сохраняет структуру системы (16.1) и
соответствующие ей зависимости (16.2), (16.3). В соотношениях
для составляющих ускорений (16.4) и (16.5) естественно полага-
ется ах = ау = 0, п03 = 0, а составляющие ускорений от силы тяги
определяются зависимостями (15.36). На безатмосферном уча-
стке движения, нижняя граница которого в зависимости от ти-
па баллистического расчета принимается равной 30...60 км, ус-
корения от аэродинамических сил настолько малы, что в про-
ектных расчетах обеспечиваются требования по достаточной
точности. Функциональной зависимостью, непосредственно
формирующей траекторию движения на этом участке, является
программа угла тангажа, т. е. угла между связанной осью PH
(или направлением ускорения от силы тяги ракетного двигате-
ля) и какой-либо «инерциальной» плоскостью (как правило,
плоскостью начальной стартовой системы координат).
Тогда в зависимостях (15.36) с достаточной точностью для
проектно-баллистических расчетов угол ар определяется через
программное значение угла тангажа <рр соотношением (рис. 16.1)
ар = <рр + и - 0. (16.7)
При выведении с боковым маневром должна задаваться так-
же программа по углу Рр.
Рис. 16.1. Определение угла ар
через программное значение
угла тангажа <рр (хс, ус —
оси начальной стартовой
системы координат)
В заключение приведем соот-
ношения для определения инер-
циальных величин по скорости и
углу наклона вектора скорости к
местному горизонту. Для неко-
торых задач именно эти конеч-
ные величины должны быть по-
лучены при формировании про-
грамм управления.
Напомним, что система диф-
ференциальных уравнений дви-
жения PH (16.1) записана в ско-
ростной сферической вращаю-
щейся системе координат, в
которой можно решать ряд про-
ектно-баллистических задач по
выбору программ управления —
в частности, анализ режимов
движения и алгоритмов управ-
ления многоразовых ракетных
278
блоков при возвращении их в район старта, определение даль-
ности падения неуправляемых ракетных блоков, выбор про-
грамм управления для баллистических ракет и др.
Но задачи выбора программ управления ракет-носителей
для формирования заданных параметров орбит требуют опреде-
ления терминальных (конечных) параметров движения в
«инерциальной» системе (см. 15.1 и рис. 15.1).
Скорость в системе координат (1)
Vo = V + (D хг, (16.8)
а также справедливы равенства: г0 = г, <р0 = <р, Хо = X + cot (ин-
дексом 0 обозначены параметры, которые относятся к системе
координат (1), индексом «к» — конечная величина).
Проектируя векторное уравнение (16.8) на оси сферической
системы координат <р°, г°, Х° (рис. 15.2), получим
Vo sin 0О = V sin 0;
Vo cos 0O sin ц0 = Vcos 0 sin ц;
Vo cos 0O cos T|o = V cos 0 cos T| + rco cos <p,
откуда
Vo = (V2 + 2VrcD cos (p cos 0 cos ц -I- (rco cos <p)2)1/2; (16.9)
sin 0n = X sin 0; sin Лп = тУСО8^ sin n.
0 Vo ° ^oCosOo 1
Если задачей выведения является орбита с радиусом пери-
центра гп и радиусом апоцентра га, то при выведении в пери-
центр 0К = 0Ок = 0 и конечная скорость
Тогда конечная скорость VK, вычисляемая интегрированием
системы дифференциальных уравнений (16.1), получается из
условий выполнения в конечный момент времени первого из
уравнений (16.9) и равенств 0К = 0, гк = гл и Vo = УОк.
Глава 17
Упрощение уравнений движения
17.1. Атмосферный участок движения
Уравнения движения (16.1) и зависимости (16.2)...(16.10)
могут быть использованы при анализе широкого класса проект-
но-баллистических расчетов для ракет-носителей и баллистиче-
ских ракет. Но в практическом использовании указанные урав-
нения при условии обеспечения достаточной точности (см.
гл. 13) могут быть представлены с некоторыми упрощениями.
279
Форма упрощений определяется решаемой задачей, а целью
является использование рациональных (экономных по затратам
машинного времени) алгоритмов для анализа проектных задач
при обеспечении указанной достаточной точности.
Рассматривают следующие задачи:
► выведение на орбиту с заданными линейными параметрами
(высоты перигея и апогея) и заданным наклонением плос-
кости орбиты к плоскости экватора;
► анализ влияния ограничений на ряд кинематических и ди-
намических параметров движения на активном участке вы-
ведения и терминальных условий на величины масс полез-
ного груза (относительной массы полезного груза);
► определение дальности падения неуправляемых ракетных
блоков;
► движение управляемых ракетных блоков при маневре воз-
вращения в точку с заданными координатами;
► варьирование основных проектных и конструктивных пара-
метров; как правило, это расчеты с большим количеством
реализаций интегрирования уравнений движения, что тре-
бует использования экономных алгоритмов;
► аналогичные задачи и для баллистических ракет дальнего
действия, а также ряд других задач.
Некоторые упрощения были указаны при выводе соотноше-
ний (16.1)...(16.10). Ниже приводятся оценки для ранее приня-
тых упрощений с численными величинами возможных погреш-
ностей по параметрам ускорений и терминальным параметрам
движения, например скорости.
Для дальнейших упрощений уравнений движения примем
следующее положение: если в дифференциальных уравнениях
движения содержатся члены, абсолютная величина которых
меньше, чем абсолютная величина возможной ошибки в глав-
ных членах, то их можно не учитывать.
Определим возможную ошибку по величине тяги, состав-
ляющую ~ 1...2% от номинала. На этапе проектно-баллистиче-
ских расчетов эта величина соизмерима с погрешностями для
двигательных установок эксплуатируемых (штатных) PH и раз-
гонных космических блоков, где ее используют при расчетах га-
рантийных запасов топлива.
Отметим также, что на начальных этапах проектных разра-
боток PH и БР используется завышенная по сравнению с техни-
ческим заданием величина массы полезного груза (до 10%).
В данном случае эта величина является «лимитом» главного
разработчика (конструктора) и показывает степень неопреде-
ленности энергетических и массовых характеристик ца опреде-
ленных этапах проектирования.
280
Если для первых ступеней PH принять диапазоны удельных
тяг Руд = 300...500 с и относительных конечных масс цк =
= 0,2...0,3, то по формуле для характеристической скорости
^хар ~ ^О^уд (Нк)
ошибка в определении конечной скорости находится в диапа-
зоне ДИ ~ 40...90 м/с. Эта величина используется при оценках
возможных погрешностей.
Учитывая, что начальная тяговооруженность составляет
п0 ~ 1,2...2 и более (ускорение ар = точность этого главно-
го члена не выше 0,15...0,2 м/с2, а в конце активного участка
эти погрешности возрастают в несколько раз. Следовательно, в
уравнениях (16.1) можно не учитывать члены, меньшие
0,05...0,1м/с2.
Имея такие граничные числовые оценки, представляется воз-
можным оценить целесообразность учета некоторых составляю-
щих ускорения и возможность упрощений следующим образом.
Составляющие ускорения тяготения от несферичности Зем-
ли в соотношениях (15.26) не превосходят по модулю вели-
чину З^з/г4, что составляет 0,03 м/с2, и, следовательно, мо-
гут не учитываться.
Таким образом, расчет ускорения тяготения для модели сфе-
рической Земли по формулам (15.28) приводит к ошибке, не
превосходящей 0,03 м/с2.
При расчете ускорений от аэродинамических сил принима-
ется положение, что для типичных PH на атмосферном уча-
стке движения реализуются достаточно малые углы атаки
(меньше ±10°). В этом случае аэродинамические коэффици-
енты в скоростной системе координат с достаточной сте-
пенью точности представляются через коэффициенты в свя-
занной системе координат соотношениями
Суа = Су0 + С«а, (17.1)
Сха = схо + (суо + с?а>а + ДСх(М, Л),
где Сх0, Су0 — коэффициенты продольной и нормальной си-
лы при нулевом угле атаки и нулевой высоте,
Сх0 = Сх0(М); Су0 = Су0(М); (17.2)
С* — производная коэффициента подъемной (нормальной)
силы по углу атаки,
С- = С“(М); (17.3)
ДСХ(М, h) — высотная добавка к коэффициенту продольной
силы, зависящая от чисел Маха и Рейнольдса.
281
Ф> Величина переносного (центробежного) ускорения (см. (16.2))
по модулю не превосходит со2г, что при г < 7000 км составля-
ет величину меньше 0,04 м/с2, и, как следствие, может не
учитываться.
Кориолисово ускорение представляет более заметную вели-
чину, и в некоторых случаях его следует учитывать. Абсо-
лютная величина кориолисова ускорения, составляющие ко-
торого представлены соотношениями (16.3), равна
| сог| = 2Vco(l - (cos 0 sin ц cos ф + sin 0 sin ф)2)1/2
и достигает своего максимального значения при условии
cos 0 sin г| cos q> + sin 0 sin ф = 0.
Это условие реализуется, когда вектор скорости V направлен
перпендикулярно оси вращения Земли. Вообще величина кори-
олисова ускорения не превосходит 1,5 • 10-4F; оно будет меньше
0,1 м/с2, если скорость будет меньше 600 м/с. Но, с одной сторо-
ны, скорость ракеты достигает на порядок большей величины, с
другой стороны, как следует из уравнения (3) системы (16.1) и
соотношений (16.3), кориолисово ускорение непосредственно не
влияет на производную скорости (не изменяет модуль скорос-
ти). Как видно из уравнений (4) и (5) системы (16.1), кориолисо-
во ускорение влияет на углы 0 и ц — пространственную ориен-
тацию вектора скорости.
С учетом этих оценок в упрощенной системе дифференци-
альных уравнений движения (сохраняются составляющие уско-
рений Кориолиса) уравнения (3), (4) и (5) из системы (16.2) за-
пишутся в виде
(3) f = а-,
(4)57 = V + 7COS0 + T2; (17Л)
(5) ^3 = у--- - - tg ф cos 0 cos т| + .
dt VcosO г Y VcosO
Таким образом, мы получили упрощенную систему дифферен-
циальных уравнений движения, когда за критерий учета ускоре-
ния (возможная погрешность) принимается величина ~ 0,1 м/с2.
Это система (16.1), где вместо уравнений (3), (4), (5) использует-
ся система (17.4), и зависимости (16.3)...(16.10), а также
(17.1)...(17.3).
Оценим влияние только кориолисова ускорения на величи-
ну угла наклона вектора скорости к местному горизонту —
уравнение (4) из системы (17.4). Как следует из уравнения (2)
соотношений (16.3), максимальное по модулю ускорение будет
при движении вдоль экватора:
^ = 2<о.
dt
282
Тогда если принять время активного участка ракеты-носите-
ля (например, «Энергии») равным 450 с, то изменение угла не
превысит величины
ДО = 7,3 • 10 5 • 2 • 450 • 57,3 = 3,76°.
Для проектных расчетов эта величина считается незначи-
тельной по двум причинам: во-первых, для PH с вертикальным
стартом эта ошибка составляет не более 4% от общего измене-
ния угла и не сказывается заметно на величине гравитацион-
ных потерь скорости; во-вторых, изменение угла при величине
конечной скорости 7500 м/с соответствует изменению проекции
скорости на номинальное направление не более чем на 15 м/с.
Оценки изменения курсового угла скорости по уравнению
(5) из системы (17.4) с учетом третьего уравнения (16.3) зависят
от конкретной траектории по начальному азимуту стрельбы, но
для типичных траекторий ракет-носителей изменение этого уг-
ла не превысит полученной выше оценки.
Таким образом, для проектных расчетов в системе (17.4) мо-
гут быть опущены члены с составляющими кориолисова ускоре-
ния и уравнения (3), (4), (5) систем (16.1) и (17.4) можно запи-
сать в виде
(4) f = а-,
™ S = V + 7cos0;
(6) S = ^h~7tg(pcos0cos11-
(17.5)
Следующим шагом в упрощении системы дифференциальных
уравнений движения (17.5) будет разделение движения на про-
дольное и боковое. Как можно
видеть из уравнений для уско-
рений (16.4), на атмосферном
участке движения связь меж-
ду ними осуществляется через
угол у. Рассмотрим случай дви-
жения в плоскости экватора ц =
= 0, ф = 0 (рис. 17.1).
Тогда уравнения (17.5) при-
мут вид
^ = ат; (17.6)
Рис. 17.1. К уравнениям
движения в скоростной
начальной стартовой
системе координат
а уравнение (8) из (16.1) с учетом
X = и
du _ Vcos0
dt г
(17.7)
283
Как следует из рис. 17.1, угол 0 — это угол между вектором
скорости и плоскостью местного горизонта, а угол 0С — это угол
между вектором скорости и плоскостью стартового горизонта
(в данном случае направлением оси х). Между ними существует
соотношение
0 = 0С + и,
и если продифференцировать его и подставить во второе уравне-
ние (17.6), то с учетом (17.7) будем иметь
^-C = V- (17-8)
at V
Из рис. 17.1 также следует
g = Vcos0c; (17.9)
^-rs,nec.
Таким образом, система уравнений продольного движения
PH на атмосферном участке движения для проектно-баллисти-
ческих расчетов с учетом ранее полученных соотношений
(16.1), (16.4), (16.5), (16.6), (16.7) и указанных упрощений при-
мет вид
(1) = -а;
(2) ^ = -^sin0;
at
dv „ .
<3) Tt = a"
(4)^ = v; (17Л0)
(5) g = Vcos0c;
(6) g = Vsin0c;
(7) = ^н2(1)” 01 + ^н2(2)” 02 + k„2(3)^ ’
(8) = ^K(l)”oi + ^к(2)^02 + ^k(3)^03>
(9) = ^02(1)^01 + ^02(2)^02’
(10) = -n01 “ П02 “ П03’
ax = ap cos (a + a0) - g sin 0 - ax;
an = ap sin (a + a0) - g cos 0 + ay, (17.11)
0 = 0P + u; и = arctg—-— ,
c rc + у
284
где ах и ау определяются уравнениями (15.31), (15.32), а углы, как
это следует из рис. 17.1 и уравнения (16.7), — соотношениями
а + а0 = ар = Фр - ес- (17.12)
В дальнейшем при использовании системы (17.10) и соотно-
шений (17.11), (17.12) будем, с замечаниями по контексту,
опускать индекс «с», полагая: 0 — угол наклона вектора скорос-
ти к стартовому горизонту (к оси х); ф — угол наклона вектора
тяги к стартовому горизонту (угол тангажа); будем считать так-
же угол а0 равным нулю, тогда а = ф - 0.
17.2. Приближенное аналитическое решение
уравнений движения на безатмосферном участке
Запишем систему дифференциальных уравнений продольно-
го («плоского») движения в прямоугольной системе координат
(рис. 17.2) с использованием следующих положений и допуще-
ний, которые оценивались выше:
► не учитываются переносное и кориолисово ускорения;
► начальная высота равна 50 км и более, поэтому аэродинами-
ческие ускорения не учитываются;
► реализуется пустотная тяга, что обозначается индексом «п»;
► используется сферическая модель поля тяготения
>•2
g = g^2‘, Г = (х2 + (гс + у)2)1/2;
► угол тангажа ф отсчитывается от стартового горизонта (от
оси Ох) и является линейной функцией времени
Ф = Фо + Фо*-
С учетом этих замечаний
уравнения движения принима-
ют вид
dVx
d-L> =
dt
Р Y
= ^созф-^-;
т г* г
Р ( Г + I/)
-"sin<p-g0-|^---•
dx = 1
dt
dy = у .
dt у9
(17.14)
г - (х2 + (гс + у)2)1/2;
р
m = mo-riiof, rfi0 = —^—;
П
Ф = Фо + Фо*-
(17.13)
. К уравнениям движения
на безатмосферном
участке
285
Практика проектно-баллистических расчетов активных уча-
стков PH показывает, что основное машинное время занимает
решение так называемой «краевой задачи» по выбору програм-
мы угла тангажа: определение параметров ф0 и ф0. При проведе-
нии большого объема расчетов или при использовании резуль-
татов расчета активных участков в проектных задачах оптими-
зации по критериям более высокого уровня представляется
целесообразным использование более «быстрых» алгоритмов
при условии обеспечения требований по достаточной точности
(основные положения приведены в гл. 13). Эти алгоритмы ре-
ализуются при использовании приближенного аналитического
решения системы (17.14).
Представим составляющие ускорения силы тяготения в
(17.14)
gx = gjf2~ = gx(x, у);
= =^. У)
разложениями в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0, у = 0:
gx(x, y) = gx+ ((gx)’xx + (gxyyy) +
+ | {(gx)'^2 + 2(gx)xyxy + (ЯхУуУУ2) + .... (17.15)
аналогично и для составляющей gy(x, у).
Подставим полученные в соответствии с (17.15) составляю-
щие gx и gy в (17.14) и получим следующую систему дифферен-
циальных уравнений движения:
dVr п _
= nx-gox + 3g0xJ/;
= ПУ - go + 2^0У + I go*2 - 3goy2<
%=Vx’%=vy (17-16)
a t dt у
P . P
где x = x/rc; у = y/rc; nx = cos ((p0 + (pot); ny = sin (<p0 + (p0O-
Эта нелинейная система дифференциальных уравнений (на-
личие квадратичных членов типа £ох2 и др.) не имеет точного
аналитического решения. Для типичных значений основных
проектных параметров PH с ЖРД времена активных участков
286
вторых-третьих ступеней составляют ~ 300...500 с, продольные
координаты (дальности) ~ 1500...2500 км. В этом случае по-
грешность по конечной скорости из-за отбрасывания квадратич-
ных членов ~ 10...20 м/с.
Учитывая приведенные оценки, систему (17.16) можно уп-
ростить:
dV 2
— + <ф = пх-,
dV
-^-2^у=п*у; (17.17)
at у
= у • = у
dt х’ dt У9
[g~ P p
где cd0 = /—; nx = ~^ cos (<Po + <PoO; n*y = sin (<p0 + (pot) - g0.
Система (17.17)— это система линейных дифференциаль-
ных уравнений четвертого порядка. Ее общее решение при на-
чальных условиях t = 0, х = х0, у = i/0, Vx = VxQ, Vy = VyQ опреде-
ляется соотношениями
V *
х = х0 cos o)0t + — sin co0t + — I nx sin co0(t - t) dx; (17.18)
cd0 o>o о
V f
у = y0 ch со0л/2 t + —sh co072 t + —I n* sh со0Л/2 (t - x) dr.
cd0V2 (о0л/2 ° y
Заметим, что для типичных траекторий PH начальный угол
тангажа на безатмосферном участке полета составляет 15...25°,
а затем переходит даже через нулевое значение. Учитывая это,
представим в (17.17) тригонометрические функции в виде
sin ф = а + bt, (17.19)
cos ф = 1 - |(а + bt)2,
другими словами, программа угла тангажа представляется ли-
нейной функцией от синуса угла, а погрешность косинуса в
этом случае не превышает ~ 0,1% .
Для того чтобы избежать в (17.18) вычислений интегралов
через специальные функции (интегральный косинус, синус, ги-
перболические и показательные), представим подынтеграль-
ные функции разложением в ряды. Далее в используемых ана-
литических выражениях для интегралов сохраняются только
квадратичные члены по времени. Суммарные погрешности всех
принятых упрощений оцениваются сравнением с результатами
численного интегрирования системы (17.14).
287
Приближенное решение (17.17) с использованием (17.18) и
(17.19) в элементарных функциях примет вид
у
х = х0 cos (d0£ + — sin со0£ + tJx - J2;
CD0
Vx = —x0co0 sin co0£ + VxQ cos co0£ + -
- ^{t2Jx - 2tJ2 + J3) - ICaVi - 2abJ2 + b2J3);
у = yQ ch co0 л/2 t + sh cd0 72 t -
co0a/2
~ — ^2) 2 — ^3)’
Vy = sh о)0л/2^ + VyQ ch MQj2t - got + aJr + bJ2;
i = T(l-u); T = — = ^-2; nn =
rti0 rto Somo
J1 = -gonoT In ц;
J2 = S0n0T2 (In ц + (1 - ц));
J3 = -g0n0T3 (in И + 2(1 - н) + 1(И2 - 1)).
(17.20)
17.3. Краевая задача выбора параметров
программы угла тангажа и азимута старта
При формировании программы управления ракеты-носите-
ля решается задача выведения на орбиту максимальной массы
полезного груза при условии выполнения возможных ограниче-
ний на кинематические и динамические параметры движения
на траектории активного участка.
Для PH терминальными (конечными) условиями являются:
высота перицентра, высота апоцентра, угловое положение пери-
центра в плоскости орбиты и наклонение плоскости орбиты к
плоскости экватора. Для баллистических ракет в наиболее прос-
том варианте терминальные условия определяются заданием
двух угловых координат точки падения — долготы и широты.
Оптимальные программа угла тангажа и режим работы дви-
гательной установки на безатмосферном участке движения ре-
ализуются использованием известных функциональных зависи-
мостей с произвольными величинами, численные значения ко-
торых определяются из условия выполнения терминальных
условий. В точных баллистических расчетах эта задача решается
путем совместного выбора этих произвольных величин (в част-
ности, параметров программы угла тангажа и азимута старта).
288
Численная или аналитическая процедура определения этих
произвольных величин и азимута старта по заданным терми-
нальным условиям называется РЕШЕНИЕМ КРАЕВОЙ ЗАДАЧ/1.
В проектно-баллистических расчетах решение общей крае-
вой задачи можно упростить. Определим элементы орбиты, ко-
торые в основном зависят:
► от параметров программы угла тангажа — это высота апо-
центра, перицентра и угловое положение перицентра в плос-
кости орбиты;
► от азимута старта — это наклонение плоскости орбиты к
плоскости экватора.
Реализация первой группы элементов производится выбо-
ром параметров программы угла тангажа, в данном случае пара-
метров линейной функции ср = ср(О» а именно (р0 и ф0 из (17.13).
Заданное наклонение плоскости орбиты реализуется выбо-
ром азимута старта — углом между направлением на север и
плоскостью хОу в начальный момент времени.
Как указывалось выше, в некоторых проектно-баллистиче-
ских расчетах можно не учитывать вращение Земли с точки зре-
ния учета переносного (центробежного) и кориолисова ускоре-
ний, другими словами, рассматривать движение в системе коор-
динат, связанной с вращающейся Землей, без учета указанных
ускорений. Однако это не означает, что при переходе к инерци-
альной системе координат мы также можем пренебрегать вели-
чиной начальной скорости точки старта. Это становится более
ясным, если мы оценим скорость вращения точки земной по-
верхности на экваторе, которая составляет ~ 460 м/с.
Выше рассматривались формулы перехода к составляющим
скорости и модулю скорости в невращающейся системе коорди-
нат. Повторим некоторые из соотношений, упростив задачу слу-
чаем выведения в перицентр — нулевой угол наклона вектора
скорости к плоскости местного горизонта.
Пусть заданы высота перицентра высота апоцентра ha и
наклонение плоскости орбиты i. Тогда rK = rc + hK; ra = rc + ha;
скорость в перицентре орбиты выведения определяется соотно-
шением
' я ' а/
а конечная скорость во вращающейся системе координат нахо-
дится из соотношения
У0к = (Гк + 2ГкГк® COS <Рк COS 0к COS Пк + (Гк® COS Фк)2)1/2- (17.22)
289
Рис. 17.3. Геометрия углов
и составляющих скоростей
в точке старта
Члены с индексом «к» зависят
как от программы угла тангажа,
так и от азимута старта. Они стано-
вятся известными только в процессе
интегрирования, с увеличением не-
зависимой переменной интегриро-
вания — времени. Таким образом,
формирование орбиты с заданными
высотами перицентра, апоцентра и
наклонения — это процесс совмест-
ного определения параметров про-
граммы угла тангажа и азимута
старта.
В проектно-баллистических рас-
четах задачи определения этих пара-
метров решаются раздельно и при-
ближенно с использованием уравне-
ния для векторной суммы скоростей
в точке старта. На рис. 17.3 приняты
— азимут стрельбы; = corc cos (рс —
следующие обозначения: \|/с
скорость точки старта (стартового стола), определяемая вращени-
ем Земли; (рс — геоцентрическая широта точки старта. Из сфери-
ческого треугольника асЬ следует, что для заданного наклонения
i угъл. между вектором орбитальной скорости и направлением на
север определяется по формуле
cosf
ш = arcsin----
COS(pc
Далее из проекций на направления север (N) и запад (W) следует
VK cos фс = VOk cos ф;
Vk sin Vc = ^ok sin V - Vm,
и потребные конечная скорость во вращающейся системе коор-
динат и азимут старта
VK = (V02K + V* - 2У0кУш sin v)V2;
(17.23)
(17.24)
\|/с = arccos f^cosv).
(17.25)
После определения азимута старта \|/с дальнейшая задача фор-
мирования орбиты заключается в формировании траектории с ко-
нечной скоростью VK по (17.24) при условии достижения в конеч-
ный момент времени заданной высоты выведения hK = hn и нуле-
вого угла наклона вектора скорости к местному горизонту 0к = 0.
290
Для систем дифференциальных уравнений в прямоугольных
координатах, например (17.14), или аналитического решения
(17.20), это означает выполнение следующих конечных ра-
венств:
► по скорости Ук = (У^к + у|к )1/2’
► по углу = 0; (17.26)
*К + Ук
► по высоте hK = (х% + (rc + z/K)2)1/2 - гс.
Отметим еще раз, что в программе угла тангажа (17.13) есть
два свободных параметра — (р0 и ф0.
Таким образом, краевая задача по выбору параметров про-
граммы угла тангажа определяется как процедура нахождения
числовых значений параметров (р0, ф0 и конечного времени tK из
(17.13) при связях (17.14), удовлетворяющих в конечный мо-
мент времени условиям (17.26).
Для варианта аналитического решения (17.20) системы диф-
ференциальных уравнений (17.17) эти связи представляются в
конечной форме. В данном случае из соотношений (17.19) опре-
деляются параметры программы угла тангажа а и b для функ-
циональной зависимости ср = arcsin (а + bt).
В любом варианте решение этой задачи проводится числен-
ными методами, математические алгоритмы которых реализу-
ют итерационный процесс нахождения корней системы нели-
нейных уравнений. В случае дифференциальных связей (17.14)
решение этой задачи требует многократного интегрирования
системы дифференциальных уравнений. Поэтому аналитиче-
ское решение (17.20) хотя и не освобождает от итерационного
процесса, но позволяет на несколько порядков сократить время
решения краевых задач.
В заключение приведем оценки точности аналитического ре-
шения (17.20), сравнив с результатами численного интегриро-
вания системы (17.14).
Начальные и терминальные условия аналитического реше-
ния:
начальная скорость 3073 м/с;
высота 40 км;
угол 20°;
конечная «инерциальная» скорость 7918 м/с;
конечная высота 200 км;
конечный угол 0°;
начальная тяговооруженность 0,8;
удельная тяга 445 с.
291
Приведем величины относительных конечных масс и соот-
ветствующих погрешностей:
численное интегрирование системы (17.14) — цк = 0,306896;
алгоритм аналитического решения (17.20) — цк = 0,307975;
абсолютная ошибка — 5цк = 0,0011;
относительная ошибка — 5цк/цк = 0,3%.
Таким образом, аналитический алгоритм (17.20) расчета ак-
тивного участка, экономичный с точки зрения быстродействия,
вполне удовлетворяет требованиям точности проектно-баллис-
тических расчетов.
17.4. Уравнения движения и параметры программ
управления движением многоразовых
ракетных блоков
Для двухступенчатых ракет-носителей скорости в конце ра-
боты первых ступеней находятся в пределах 1500...3000 м/с, что
соответствует диапазону дальности падения 250...1250 км. Для
выбора основных проектных параметров многоразовых РБ тре-
буется проведение расчетов маневров от момента отделения до
момента посадки в районе стартового комплекса. Эти задачи тре-
буют рассмотрения пространственного движения, что должно
найти отражение в соответствующей системе дифференциаль-
ных уравнений. Указанные конечные скорости и соответствую-
щие дальности полета позволяют использовать упрощенную сис-
тему дифференциальных уравнений и рассматривать движение в
невращающейся (стартовой) прямоугольной системе координат
Oxz/z (рис. 17.4); принять поле си-
Рис. 17.4. К уравнениям
движения многоразовых
ракетных блоков
(6 — угол наклона вектора
скорости к стартовому
горизонту — к плоскости Oxz;
Т| — курсовой угол)
лы тяжести плоскопараллельным
и однородным (£0 = const).
С учетом этих замечаний и со-
отношений (17.5)...(17.8) уравне-
ния движения имеют вид
dV = . = Од.
dt т’ dt V’
dr| = ак .
dt VcosG’
= VcosGcosti; (17.27)
= V sin 0;
dt
= -Vcos 0 sin n,
dt 1
292
где ускорения ат, ап, ак определяются зависимостями (16.4), в
которых, как указано в упрощениях, следует положить g = g0;
ах = ар cos (а + а0) - gQ sin 0 - ах;
ап = ар cos у sin (а + а0) - gQ cos 0 + ау cos у; (17.28)
ак = ~аР sin (а + ао) “ ау sin Y-
Если на участке перелета (маневра на посадочную площадку
или при возвращении в район старта) используется воздуш-
но-реактивный двигатель, то ускорение от тяги в соответствии с
зависимостями (16.5), (16.6) можно представить в виде
ap = ^kp3n03fp(M,h,a) (17.29)
и, с учетом уравнения (12) из (16.1), дифференциальные уравне-
ния движения ракетного блока на участке маневра и возвраще-
ния (17.27)...(17.29) дополняются уравнением для относитель-
ной массы
= -Поз, (17.30)
где
- _ k^3n03fp(lA,h,a)
03 Руд(М,й,а,Лд3) •
Для общего случая маневра с сочетаниями пассивного и ак-
тивного участков движения выбор оптимальных программ уп-
равления по каналам угла атаки а и крена у является достаточно
сложной двухточечной краевой задачей, которая для частных
численных алгоритмов не всегда имеет регулярные решения.
Рассматриваемая задача осложняется также требованиями
по условиям включения воздушно-реактивных двигателей в оп-
ределенных диапазонах высот и скоростей.
Из достаточно общих рекомендаций по формированию опти-
мальных (квазиоптимальных) программ управления, миними-
зирующих дальность «недолета» до точки возвращения, отме-
тим следующие положения [6, 7]. Определим величину До —
угол между направлением «ракетный блок—точка возвра-
щения» и проекцией вектора скорости на плоскость горизон-
та (угол рассогласования). Тогда при начальных скоростях
~ 2000...3000 м/с с максимально допустимым углом крена
утах 75° полет реализуется с углом атаки а, соответствую-
щим максимальному аэродинамическому качеству &тах; при
л/2 > утах > 75° и на участках движения с углом До > тс/2 угол
атаки на незначительном по времени участке может принимать
значения, меньшие av m • при 60° < ymav < 80° и значениях бал-
С S
диетического коэффициента S6 = м = 0,002...0,00025 м2/кг
293
(характерные величины для первых ступеней ракет-носителей)
осевые и нормальные перегрузки возрастают более чем в два ра-
за, что уже может являться динамическим ограничением на ис-
пользование такой траектории.
На основании данных положений и опыта численных расче-
тов участков движения многоразовых ракетных блоков с воз-
вращением в район старта можно сделать следующие выводы:
► на участке от разделения до включения двигателя угол ата-
ки выбирается из условия обеспечения максимального аэро-
динамического качества, а угол крена не превосходит 75°;
► в работе [7] показано, что в этом случае практически точной
аппроксимацией оптимального закона управления по углу
крена является однопараметрический закон
У = Утах при Утах < Да < Л,
у = До при 0 < До < Утах (17.31)
или
у = min (До, утах). (17.31')
В [6] используется близкий к (17.31) закон управления уг-
лом крена:
у = min (утах, ), (17.32)
который при утах = | совпадает с предыдущим, а в диапазоне уг-
лов крена утах >75° приводит к незначительному уменьшению
дальности «недолета» до точки возвращения.
В заключение приведем оценки точности алгоритма, реали-
зуемого приведенной выше системой упрощенных уравнений
движения (17.27)...(17.30). Отметим, что в общем случае в ко-
нечном результате каждого процесса численного расчета содер-
жатся четыре погрешности:
► погрешность математической модели;
► погрешность параметров, используемых в математической
модели;
► погрешность математического метода нахождения решения
(в частности, метода интегрирования);
► погрешность, определяемая ограниченным количеством зна-
чащих цифр.
Погрешность математической модели в нашем случае в ос-
новном определяется упрощением системы дифференциальных
уравнений. Как уже указывалось, уравнения движения записа-
ны в предположении однородности и плоскопараллельности по-
ля тяготения. Оценки погрешностей из-за данного упрощения
проводились для следующих характеристик участка горизон-
тального полета с воздушно-реактивными двигателями:
294
► дальность полета 500 км;
► диапазон скоростей 150...250 м/с;
► диапазон высот полета 2... 10 км.
Предельные ошибки для данной траектории оцениваются сле-
дующими величинами по конечной скорости и времени полета:
► плоскопараллельность поля тяготения — 3 м/с или ±0,1% от
общего времени полета (следовательно, такая же ошибка по
расходу топлива);
► однородность поля тяготения — верхняя оценка не превос-
ходит 10 м/с или 0,4% от затрат топлива.
Заметим, что на начальных этапах проектных разработок
неопределенности по аэродинамическим коэффициентам со-
ставляют не менее ±10%, а по удельной тяге — не менее ±5%.
Из этого следует, что система (17.27)...(17.30) удовлетворяет
требованиям по точности для проектно-баллистических расче-
тов при выборе основных проектных параметров многоразовых
ракетных блоков.
Глава 18
Оптимальные программы угла тангажа
и режимов работы двигательных установок
ракет-носителей
18.1. Оптимальная программа выведения на орбиту
Программа выведения PH на орбиту находится из условий
оптимизации ее показателей, наиболее значимым из которых
является масса груза, выводимого на заданную орбиту. Поэтому
далее оптимальной программой выведения на орбиту будем на-
зывать такую, которая обеспечивает максимальную величину
полезной нагрузки. Но при этом на активном участке выведе-
ния должны выполняться заданные ограничения. Это, как пра-
вило, ограничения на динамические параметры движения —
скоростной напор, перегрузка; на параметры управления —
максимальный угол атаки, минимальная величина дросселиро-
вания двигателя и др.
Вопросами определения оптимальных программ занимается
математическая теория оптимального управления. Впервые наи-
более общее решение задачи оптимального управления было по-
лучено в [3]. Конечная аналитическая форма получается, как
правило, при решении технических задач со значительными уп-
рощениями. В численной форме можно получить решение конк-
ретно сформулированных задач. Объем вычислительной работы
295
здесь часто бывает достаточно большим, так как это связано с
вычислительными процессами сходимости итерационных проце-
дур при решении краевых задач.
Поэтому при определении и практическом использовании оп-
тимальных программ движения ЛА сформировался следующий
подход. Если без потери основных физических закономерностей
возможно такое упрощение задачи, когда удается получить
функциональную зависимость оптимального управления, то за-
тем она используется и в более точной постановке задачи, напри-
мер при выборе основных проектных параметров. Сравнитель-
ный анализ с уточнением закона управления для единичных
расчетов показывает, насколько упрощенная функциональная
зависимость дает ухудшение по критерию оптимизации — в ча-
стности, по массе полезной нагрузки.
Выше использовалась линейная программа угла тангажа
Ф = Фо + Фо*’
с замечанием, что обоснование этой зависимости будет рассмат-
риваться в данном разделе. Заметим, что эта программа является
простой функциональной зависимостью (линейной функцией) и
используется в реальных программах выведения на орбиту, что
свидетельствует о квазиоптимальности данной программы для
точной модели движения PH. Как рассматривается ниже, данная
зависимость программы угла тангажа является упрощенной, по-
лученной из решения модельной задачи. Расчеты показали воз-
можность такого упрощения при условии практически малых
(доли процента) потерь полезного груза.
Как отмечалось выше (см. § 15.4), двигатель может регули-
роваться при выполнении ограничений на величины скоростно-
го напора или перегрузки. Возникает вопрос: существует ли за-
кон изменения тяги (расхода топлива) по времени, который оп-
ределяет увеличение массы выводимого полезного груза на
орбиту по сравнению с постоянным расходом?
Выбор оптимальной программы угла тангажа и оптималь-
ной программы изменения тяги для модельной задачи выведе-
ния на орбиту рассматривается ниже.
18.2. Уравнения движения
на безатмосферном участке для модельной задачи
Упростим уравнения движения ракеты-носителя на безатмос-
ферном участке выведения на орбиту без потери основных физи-
ческих закономерностей. Система дифференциальных уравнений
(17.14) из 17.2 после упрощений была представлена системой
296
(17.16), а затем системой (17.17). В последней имеются члены
со^х, (OgZ/. Приняв х = 1000 км, получим со^х = 1,5 м/с2, или
15% от ускорения силы тяжести. Пренебрежение этими члена-
ми приводит к заметным ошибкам, поэтому при получении ана-
литического решения в 17.2 они учитываются.
Определим наиболее простую форму функциональной зави-
симости оптимальной программы угла тангажа, для чего в сис-
теме (17.17) пренебрежем членами cOqX, coq z/. Другими слова-
ми, рассмотрим движение в плоскопараллельном однородном
поле силы тяготения; в этом случае система уравнений движе-
ния записывается в самой простой форме:
dV Р
* = ^sm<p-^0; (18.1)
at тп
dx — у . dy — у
dt х' dt У'
Представим соотношение для тяги Рп = rfiu, где и — скорость
истечения продуктов сгорания; fit — секундный расход массы
(в общем случае переменный). Тогда систему (18.1) следует до-
полнить уравнением для массы
t
т = т,- J riidt или = -тп.
о dt
18.3. Оптимальное управление вектором тяги
Рассмотрим последовательно основные положения принци-
па максимума из [4] на примере модельной задачи из 18.2.
Примем 04 = cos (р, а2 = sin ф. Очевидно, что
а? + а| = 1. (18.2)
Определим оптимальное управление вектором тяги
P(t) = P(aj(i), a2(t),
которое в конце участка выведения на орбиту (t = Т) на заданной
высоте у — у* обеспечивает максимум горизонтальной скорости
Vx при нулевой вертикальной скорости V. Данное решение будет
удовлетворять достижению заданных значений высоты и скорос-
ти при минимальном расходе топлива (максимальной массе по-
лезного груза).
297
Согласно [4], движение управляемого объекта описывается
системой дифференциальных уравнений n-го порядка с г управ-
ляющими функциями (в нашем случае это углы ориентации
вектора тяги и величина самой тяги)
х, = /ДХр х„, Up ...» Up t), i = 1, n (18.3)
с начальными условиями
хДО) = хю, 1=1, ..., и. (18.4)
Величины управляющих функций должны удовлетворять огра-
ничениям
(p/u^t), ur(t)) <0, j = 1, т. (18.5)
Введем обозначения:
х = (Хр ...» xn); u = (Up ...» ur).
Широкий круг технических задач по выбору оптимальных
режимов движения сводится к задачам оптимизации конечных
значений тех или иных параметров движения, т. е. к задаче оп-
тимизации функционала
S= Е cvxv(T), (18.6)
V = 1
где cv — некоторые постоянные; Т — конечный момент времени.
Управление, определяющее минимум (максимум) функцио-
нала S, называется минимум-оптимальным (максимум-опти-
мальным).
Обозначим:
Х1 = Vx; х2 = у; х3 = Vy; х4 = т.
Третье уравнение из (18.1) можно не учитывать, так как мы
не накладываем условие на дальность и эта переменная не вхо-
дит в остальные уравнения.
Получим следующую запись системы (18.1) и уравнения (18.2):
х2 = х3;
*з = ^«2-^о; (18-7)
х4
х4 = -т;
*,(0) - xt0, i = 1, ..., 4.
Область допустимых управлений задается условиями
'«min < т < '«max = «V (18-8)
af + aj = 1.
298
В данной задаче предполагается, что удельная тяга (в этом
случае скорость истечения) не зависит от коэффициента дроссе-
лирования, а условие (18.8) означает, что коэффициент дроссе-
лирования изменяется в пределах
(18.9)
Введем векторную функцию сопряженных фазовых пере-
менных ¥(£) = (Ч>1(^), ..., Ч'ДО), составим гамильтониан
H(X,^,u,t)= (18.10)
и получим систему дифференциальных уравнений для сопря-
женных фазовых переменных
= i = 1, п. (18.11)
Если u(t) — некоторое допустимое управление, которому со-
ответствуют Xu(t) и ^(t), то после подстановки их в гамильто-
ниан получим
К(и, О = ЩХ“, u, t). (18.12)
Считают, что управление u (t) удовлетворяет условию макси-
мума (минимума), если в любой момент времени t с (0, Т) функ-
ция К(и, t) достигает абсолютного максимума (минимума) на
множестве допустимых управлений (18.5) при значении перемен-
ных, равных значениям управления в тот же момент времени.
Если правый конец траектории свободен (т. е. на конечные
значения фазовых переменных не накладываются никакие огра-
ничения), сопряженные переменные в момент времени Т долж-
ны удовлетворять условиям
Ч<(Т) = -с., 4=1, ..., п. (18.13)
Заметим, что:
► если функции iz^t), ..., ur(t) входят в уравнения движения
линейно, то оптимальное управление принимает граничные
значения (18.5) или (18.9);
► условие максимума (минимума) для произвольной системы
является только необходимым; для систем, линейных отно-
сительно фазовых переменных, это условие является необхо-
димым и достаточным.
Рассмотрим вопрос о начальных и конечных условиях для сис-
темы порядка 2п — уравнения (18.3) и (18.11). Начальные усло-
вия движения (18.4) дают п граничных условий; задача оптимиза-
ции функционала имеет вид (18.6). Если на правом конце задается
множество фиксированных значений фазовых переменных
xv(T) = х*, v = 1, q < п, (18.14)
299
то рассматривается совокупность 2п граничных условий
х((О) = хю, i = 1, ...» n;
xv(T)=x*v, v=l, ...,q; (18.15)
T.(T) = -c? j = (q + 1), n.
В частном случае вместо функционала S (18.6) требуется ми-
нимизировать (максимизировать) одну координату xt (т. е. ct = 1,
С' = 0, j' ф Z), тогда получим следующее граничное значение для
соответствующей фазовой переменной
TZ(T) = -1. (18.16)
В соответствии с (18.10) составим гамильтониан
Н(х, 4', и) = 4^ он + Т2х3 + Т3^ а2 - 4'3$0 - Т4/п (18.17)
х4 х4
или
Н(х, Ч, и) = + Н2(х, ¥), (18.18)
где
ЛГ(и) = т[^(Ч'1а1 + Ч'3а2)-тД (18.19)
4 х4 7
Я2(х, Т) = Т2х3 - T3g0.
Найдем сопряженную систему
4\ = 0; Т2 = 0; Т3 =-Т2; (18.20)
'P4=5(H'iai + T3a2).
х4
В соответствии с (18.16) для системы (18.20) задано единст-
венное краевое условие в конце участка выведения
Т1(Т) = -1, (18.21)
так как остальные три заданы для следующих переменных:
► для заданной высоты
х2(Т) = /; (18.22)
► для нулевой составляющей вертикальной скорости (нулевой
угол)
х3(Т) = 0; (18.23)
► для конечной массы
х4(Т) = тпк. (18.24)
300
Заметим, что от управления зависит только часть гамильто-
ниана, а именно, функция Х^и), которая достигает абсолютного
минимума при условиях
^1 ^3 al = "V ; а2 = -7р ; (18.25)
[ = если Нл > 0
где • J max и’ 1 ПТ — 1 ГГ Л lamin’ если Нг <0, (18.26)
Т = 7^? + Tj ; (18.27)
Н, = —У + Т4, 1 х< 4 (18.28)
где Нх — функция переключения.
Заметим, что условия (18.25) получаются из необходимых
условий экстремума функции /х(ах, а2) = 4- Т3а2 при связи
а1 + а2= 1;
fai = Ч\ + 2X04 = 0; fa2 = Т3 + 2Ха2 = 0,
откуда а! = -<Р1/2Х; а2 = -Т3/2Х.
Используя уравнения связи, получим 7^1 + = 2Х = Т.
Как следует из (18.19), при оптимальном управлении вели-
чина тяги ти должна быть или максимальной (первое условие
(18.26)), или минимальной (в пределе нулевой, второе условие
(18.26)). Но это справедливо при условии, что H1(VP) ф 0. Если на
некотором конечном интервале времени H1(VP) = 0, то из (18.26)
нельзя определить оптимальную величину секундного расхода
тп, и в данном случае говорят, что возникает особое управление.
18.4. Оптимальная программа угла тангажа
Найдем интегралы первых трех уравнений сопряженной
системы (18.20)
Т1 = C1; ip2 = С2; ip3 = -c2t + Сз (18.29)
и с учетом граничного условия (18.16) определим
сх =-1; Тх = -1. (18.30)
С учетом соотношений (18.25), (18.29) и (18.30)
tg <р = — = c2t - с3, (18.31)
301
т. е. оптимальная программа угла тангажа представляется тан-
генсом от линейной функции времени, или
<р = arctg (c2t - с3). (18.32)
Параметры с2 и с3 в программе (18.32) выбираются из усло-
вия получения заданной высоты (18.22) и нулевой вертикаль-
ной составляющей скорости (18.23) в конце участка выведения
на орбиту.
Многочисленные расчеты для различных типов PH показа-
ли, что при замене оптимальной программы угла тангажа
(18/32) более простой линейной функцией времени также с дву-
мя постоянными <р = c2t - с3 или <р = <р0 + ф0£ потери по массе по-
лезного груза составляют сотые доли процента.
18.5. Оптимальные программы режимов работы
двигательной установки
Подставив функции оптимального управления (18.25) и
(18.26) в уравнения движения (18.7), получим
_ uthCHj) 1
1 Х4 71 + (~С2* + Сз)2
х2 = х3; (18.33)
. urn^Hy) c2t - с3 в
X Q ------------
Х4 71 + (-С2* + Сз)2
х4 = -т(Нг).
Последнее уравнение (18.20) с учетом (18.25) запишем сле-
дующим образом:
Т (18.34)
Х4
или, с учетом (18.27), в виде
*4 = _ит(Я1) + + Сз)2 . (18 35)
Х4
Таким образом, оптимальная программа выведения PH на
орбиту сведена к следующему:
► решить систему (18.33) и уравнение (18.35) с начальными
условиями из (18.7) и конечными условиями (18.22), (18.23)
и (18.24);
► для удовлетворения трех конечных условий должны опреде-
ляться две константы с2 и с3 и произвольное начальное усло-
вие Т4(0).
302
Определим режимы полета с минимальной или максималь-
ной тягой и последовательность их переключений. С этой целью
нужно исследовать число перемен знака функции переключения
Ну (18.28), так как, по условию (18.26), по ее знаку определяется
режим работы двигателя. Дифференцируя (18.28), с учетом по-
следнего уравнения из (18.33) и уравнения (18.34), получим:
= —Т- (18.36)
Х4
Учитывая, что и/х4 > 0, получим sign Ну = sign ф, и для
оценки нулей функции Ну будем исследовать поведение функ-
ции ф. Определим
4» = с2(сг<-^з)— , (18.37)
71 + (~C2t + с3)2
откуда следует, что
sign Ну = sign c2(c2t - с3). (18.38)
Линейная функция (18.38) может иметь не больше одного
нуля; это определяет следующие основные случаи поведения
функции Ф:
(1) Ф(0>0, t е [0; Г];
(2) Ф(0<0, t е [0; Т];
(3) Ф (0)Ф (Т) < 0, при этом возможно Ф(0)<0
или Ф(0) > 0. (18.39)
В соответствии с (18.39) оценим поведение функции пере-
ключения Hy(t) на отрезке времени [0; Т] и определим режимы
работы двигателя.
При Hy(t) > 0 возможно не более одного изменения знака
функции переключения, причем со знака «-» на знак « + ». Дви-
гатель все время должен работать в режиме минимальной или
максимальной тяги или же иметь одно переключение с мини-
мальной тяги на максимальную (рис. 18.1, 1).
При Hy(t) < 0 возможно не более одного изменения знака
функции переключения, причем с « + » на «-». Двигатель все
время должен работать в режиме минимальной или максималь-
ной тяги или же иметь одно переключение с максимальной тяги
на минимальную (рис. 18.1, 2).
При Ну(0) < 0, Ну(Т) > 0 возможно не более двух изменений
знака функции переключения Hy(t), причем с « + » на «-» и сно-
ва на « + ». Помимо работы двигателя в одном режиме (макси-
303
Рис. 18.1. Варианты изменения функции переключения
мальном или минимальном), возможно переключение с макси-
мального на минимальный или наоборот, и последовательность
максимального, минимального и снова максимального режимов
(рис. 18.1, 3).
При Н1(0) > 0, Нг(Т) < 0 возможно также не более двух из-
менений знака функции переключения Hr(t) > 0, причем с «-»
на « + » и снова на «-». В данном случае возможно переключение
с минимального на максимальный и наоборот, а также последо-
вательность минимально-максимального и снова минимального
режимов (рис. 18.1, 4).
304
Рис. 18.2. Варианты режимов работы двигательной установки:
а — режим минимальной тяги; б — то же, максимальной тяги;
в — режим с одним переключением — с минимальной тяги
на максимальную; г — то же, с максимальной на минимальную;
д — режим с двумя переключениями: максимум — минимум —
максимум; е — то же, минимум — максимум — минимум
Оптимальные режимы работы двигателя на участке выведе-
ния на орбиту показаны на рис. 18.2. Если минимальная тяга
равна нулю (zhmin = 0), начальные составляющие скорости Vx =
= Vy = 0, то режимы, показанные на рис. 18.2 (а, в, е) невозмож-
ны. Поэтому основными можно считать режимы, показанные
на рис. 18.2 (б, г, д).
Реализация указанных программ зависит от двух основных
факторов: от высоты орбиты выведения и от потребного угла на-
правления конечной скорости относительно плоскости старта.
Эти вопросы рассматриваются ниже.
305
18.6. Схемы выведения на орбиты
Рассмотрим схемы выведения полезного груза на орбиты
различной высоты и режимы работы двигательной установки на
безатмосферном участке движения; это, как правило, вторая и
последующие ступени ракеты-носителя. Выбор программы угла
тангажа (или угла атаки) на атмосферном участке движения
(участок первой ступени) и режимов работы двигательной уста-
новки значительно отличается от полученных зависимостей и в
значительной степени определяется типом ракеты-носителя
(баллистическая или крылатая схема), типом старта (верти-
кальный или горизонтальный) и накладываемыми ограниче-
ниями на динамические и кинематические параметры движе-
ния.
Выше была определена структура оптимального закона уп-
равления вектором тяги, которая обеспечивает выведение на ор-
биту максимальной массы полезного груза:
► угол тангажа— это линейная функция от tg <р (18.31) или
просто линейная функция времени <р = <р0 + <pot;
► режим тяги — в общем случае это последовательность пере-
ключений (не более двух) с максимального расхода на мини-
мальный (нулевой) и снова на максимальный (уравнения
(18.26), рис. 18.2)).
Качественно можно классифицировать режимы работы дви-
гателя в зависимости от высоты круговой орбиты выведения
следующим образом:
► для низких орбит и для типичных величин начальных тягово-
оруженностей (п0 = Р^/т^ц = 1,2... 1,8) оптимальным являет-
ся режим постоянной максимальной тяги (см. рис. 18.2, б);
► с увеличением высоты орбиты выведения оптимальным ста-
новится режим с дросселированием тяги после режима мак-
симальной тяги (см. рис. 18.2, г);
► для данной PH можно указать такую высоту орбиты, на ко-
торую она не может подняться на режиме максимальной тя-
ги, в этом случае следует вводить участок полета с нулевой
тягой (см. рис. 18.2, 5).
Указанные схемы показаны на рис. 18.3. Во втором случае дви-
гатель может или выключаться, или дросселироваться. Трудности
повторного включения основного двигателя могут быть уменьше-
ны, если на среднем участке работают рулевые двигатели. Возмо-
жен также вариант, когда выход на заданную орбиту и набор ко-
нечной скорости реализуется только на самих рулевых двигателях,
что соответствует режиму, показанному на рис. 18.2, г.
306
Рис. 18.3. Схемы выведения на орбиты различных высот:
а — режим работы двигателя с максимальной тягой;
б — то же, с одним переключением —
с максимальной тяги на минимальную
Для данной PH, характеризуемой набором основных проект-
ных параметров (начальные тяговооруженности по ступеням,
соотношения масс ступеней и др.), существует высота круговой
орбиты, на которую выводится максимальная масса полезного
груза (рис. 18.4). При увеличении высоты орбиты при работе
двигателя на постоянном (максимальном) режиме по секундно-
му расходу масса полезного груза уменьшается (кривая 1). Если
ввести режим промежуточной тяги, то уменьшение массы по-
лезного груза будет менее резким (кривая 2); наибольшая масса
будет получаться при режиме нулевой тяги (кривая 3).
Как отмечалось выше, режим работы двигателя иногда бу-
дет зависеть не только от высоты орбиты выведения, но и от по-
требного угла ориентации конечного вектора скорости относи-
тельно стартовой системы координат. На рис. 18.5 показана
01
Рис. 18.4. Зависимость
массы полезного груза
от высоты круговой
орбиты и режимов работы
двигательной установки
при выведении
Рис. 18.5. Схема
выведения при больших
величинах угла рс
307
схема выведения при реализации высокой эллиптической орби-
ты с перицентром в южном полушарии и большой величиной
угла Рс, из которой видно, что получить такой угол вектора ско-
рости именно в южном полушарии с непрерывным выведением
при максимальном расходе невозможно, поэтому используется
участок полета с нулевой тягой.
18.7. Пример циклограммы работы
двигателей PH типа «Энергия»
На рис. 18.6 представлен фрагмент проектно-баллистического
расчета по циклограмме работы кислородо-керосинового (1) и кис-
лородо-водородного (2) двигателей для проекта PH «Энергия-М».
Совместная работа двигателей начинается с номинального
режима, затем на участке полета первой ступени двигатель 2
дросселируется по следующим причинам:
Рис. 18.6. Циклограмма работы кислородо-керосинового (1)
и кислородо-водородного (2) двигателей PH типа «Энергия-М»:
а — на первой ступени; б — на второй ступени
308
► степень дросселирования (до минимально допустимой, Кд >
> Кд min) определяется из условий получения максимальной
массы полезного груза. В данном случае находится компро-
мисс между увеличением гравитационных потерь на первой
ступени и требованием энергетически оптимальной схемы
расходования компонентов топлива с различными удельны-
ми тягами. Этот вопрос следует рассматривать отдельно, од-
нако приведем следующие качественные рекомендации:
вначале расходуются компоненты с меньшей удельной тя-
гой; затем — компоненты с большей удельной тягой;
► дросселирование двигателей 2 уменьшает потребную сте-
пень дросселирования двигателей 1 для выдерживания огра-
ничений по скоростным напорам и осевым перегрузкам.
Далее, как следует из рис. 18.6, а, двигатель 1 дросселирует-
ся до 0,835 для выдерживания скоростного напора 30 000 Н/м2,
затем до 0,985 — для запаса по регулированию расходов компо-
нентов, до 0,8 — для регулирования осевой перегрузки пх < 3,
до 0,46 — для выхода на режим выполнения главной команды
на выключение. В этот момент двигатель 2 выходит на номи-
нальный режим для уменьшения гравитационных потерь ско-
рости из-за снижения тяги двигателя 1.
На второй ступени (рис. 18.6, б) двигатель 2 регулируется из
условия выдерживания осевой перегрузки и выхода на режим
главной команды на выключение.
Глава 19
Приближенный метод
определения скорости
19.1. Основные положения
Методы упрощения уравнений движения (см. гл. 17) опреде-
ляют в основном следующие цели:
► использование в баллистических расчетах моделей движе-
ния, соответствующих по точности неопределенностям неко-
торых величин массовых и энергетических характеристик
ракеты-носителя;
► упрощение уравнений движения с целью получения анали-
тических соотношений для оптимальных алгоритмов управ-
ления, которые далее могут использоваться в расчетах с бо-
лее точными моделями движения;
► проведение достаточно «быстрых» расчетов в интерактив-
ном режиме для больших диапазонов изменения основных
309
проектных параметров (анализировать большие объемы ин-
формации по изменениям принятого критерия проектной
разработки можно только с использованием небольшого ко-
личества величин из баллистических расчетов, в частности
таких, как «потери скорости», из приближенного уравнения
для определения скорости).
19.2. Интегралы уравнения для скорости
Рассмотрим плоское движение в прямоугольной стартовой
системе координат Охг/ (см. рис. 17.4):
dV = . de = Оп .
dt т’ dt V ’
^=Vcos0; = V sin 0.
(19.1)
В уравнениях для ускорения (17.28) сделаем следующие уп-
рощения:
► угол у = О, так как мы рассматриваем плоское движение;
► углы а = 0 и а0 = 0, так как для типичных ракет-носителей
эти углы малы (особенно на атмосферном участке движе-
ния);
► коэффициент подъемной силы предполагается также рав-
ным нулю.
Тогда соотношения (17.28) примут вид
ах = а - g0 sin 0 - ах;
Л (19.2)
ап = -g0 cos Q; ак = 0.
В соответствии с (15.31) и (15.40) имеем
М Рм Z м
ар=^п0&-&- 1)рА).
Таким образом, имеем самую простую систему дифференциаль-
ных уравнений движения ракеты на атмосферном участке.
Введем и напомним следующие обозначения:
ц — относительная масса;
рм = (mQg0)/SM — нагрузка на мидель, Н/м2;
Р Р
X, = —^ = уд~п — высотность двигателя.
”о Руд. о
31 а
С учетом (19.2) и введенных соотношений первое уравнение
(19.1) запишем в развернутом виде:
g = £2no(X-(l-l)pA)-^osin0-^^. (19.3)
М М Рм
Как отмечалось выше, при проектных расчетах, когда часто
неизвестны основные параметры, удобно переходить к таким
величинам, как относительная масса и тяговооруженность:
= mQ - rhQt . п = Pq = ^р^рРуд о
ц ’ ° Gq mQgQ
Из соотношения для относительной массы следует:
Ём = -^9 = -^о^о^уд о = _ по /1 g л\
dt mQ rnQgQPyaQ Руд0*
С учетом замены независимой переменной уравнение (19.3)
примет вид
dv = _£о^удо(X - (X - 1)р ) = sin е - g°P™°СхЯ (19.5)
dg g «о поМРм
при следующих начальных и конечных условиях
t = 0; ц= 1; V=0; (19.6)
I ~ ^к’ М — Нк’ —
Первое слагаемое (19.5) приводится к следующему виду:
_^О^уд 0 — 1)р Л) = ^°^УД- п + ^О^УД. п ~ 'Нуд, р) ь
М мм
и с учетом этого и условий (19.6) можно записать интеграл урав-
нения (19.5):
^к Нк Нк _
f dV - -g„P„. „ { + go(P„. „ - Р„„){ dp +
+ sin в dp + g°f" °f dfi. (19-7)
n0 I HqPm I 2ц
С учетом перестановки пределов интегрирования в уравне-
нии (19.7) обозначим
1
-f sin 0 dg = J„;
-J^dn = Ja; (19.8)
Нк ZM
311
Учитывая, что первое слагаемое в (19.7) является соотноше-
нием для идеальной скорости (скорости Циолковского), полу-
чим следующее основное выражение для конечной скорости:
= -^Уд. n In ИК - £0(Руд. п - Руд. 0)Jp. (19.9)
"О
Из (19.9) видно, что скорость ракеты определяют следующие
параметры:
цк — отношение конечной массы к начальной;
Рул п — удельная тяга в пустоте;
Рул 0 — удельная тяга на Земле;
п0 — отношение земной тяги к начальному весу (начальная
тяговооруженность);
рм — нагрузка на мидель;
(Р п “ ^уд. о) — разность удельных тяг, определяемая вы-
сотностью двигателя.
В формуле (19.9) член п In цк) определяет скорость ра-
кеты при условии отсутствия притяжения и влияния атмосферы.
Второй член определяет потерю скорости, вызванную действием
силы тяготения. Эта величина является наиболее существенной
среди остальных. Третье слагаемое определяет потерю скорости
на преодоление сопротивления атмосферы. Так как ракета дви-
жется в атмосфере с переменным давлением по высоте, то тяга
также будет являться переменной и увеличиваться от минималь-
ной (земной) до максимальной (пустотной). Последний член в
уравнении (19.9) представляет уменьшение скорости, учитываю-
щее это обстоятельство.
Формулу (19.9) можно записать в более общем виде:
VK = -ё0РуЯ. п 1п Мк - - AVa - AVp (19.10)
и указать следующие примерные диапазоны потерь для типич-
ных ракет-носителей: AVp = 120...180 м/с; AFa = 150...250 м/с;
AV^. = 1000... 1300 м/с, откуда видно, что основными потерями
являются потери на гравитацию.
На рис. 19.1 приводятся типичные кривые, позволяющие про-
следить за изменением скорости в зависимости от относительной
массы ц для первой ступени PH. В нижней части графика показа-
ны потери скорости, отнесенные к самой скорости (относительные
потери). Особенно велики относительные потери на начальном
участке движения. Так, при тяговооруженности п0 = 1,4, 0 = 90°
на начальном участке AVff = At скорость V = -gn(nn - 1) At, так
ё "о
AV 1
что отношение —- = —------— составляет ~ 200%.
312
Рис. 19.1. Зависимости изменения скоростей и потерь скоростей
от относительной массы
Если заданы массовые и энергетические характеристики
PH, то вычисление первого члена уравнения (19.7) очевидно —
это формула для идеальной скорости или первый член уравне-
ния (19.9). Вычисление третьего слагаемого уравнения (19.7)
или первого интеграла (19.8) требует задания функции sin 0(ц).
Угол 0 нельзя считать постоянным или принимать средним
значением — это приведет к большой ошибке. В то же время из-
вестно, что зависимости 0(ц) для типичных PH с вертикальным
стартом имеют примерно одинаковую параболическую форму.
Основным параметром, определяющим эту зависимость, явля-
ется угол в конце первой ступени — угол 0К при ц = цк. Этот угол
в основном влияет на гравитационные потери и определяет кру-
тизну траектории и, как следствие, конечную высоту, скорост-
ной напор при разделении, дальность падения. Поэтому прини-
мается функциональная зависимость в виде кривой, на которую
наложены следующие ограничения:
► до момента времени tr (ц = щ) 0 = 90° (вертикальный старт);
► в момент времени tK (ц = цк) 0 = 0К, а между tr и tK угол 0 из-
меняется по параболе.
Эта зависимость представляется в виде:
при Hi < ц < 1
е= < i-0K (i9.ii)
0К + („ _ „ 42^ " ^к)2 при Рк < И < Ир
Практика проектных расчетов показывает удовлетворитель-
ную точность такой формы задания угла для активного участка
первой ступени не только в задачах вычисления интегралов
313
(19.8), но и при численном интегрировании системы дифферен-
циальных уравнений (19.1) с использованием (19.2).
Вопросы вычисления интегралов (19.8) и их табличного
представления с использованием рассматриваемой зависимости
(19.11) для угла 0 рассмотрены в [1].
Используя соотношения (19.1), (19.2) и (19.11), можно запи-
сать одну из простых систем дифференциальных уравнений движе-
ния на атмосферном участке полета от независимой переменной ц,
которая часто используется в проектно-баллистических расчетах:
dt ___Руд- о .
dp nQ
- (X - 1)р ) +
ц " dp du
dVa _ goa CxpV\
M 2pM
= gna sin 0; = -nV sin 0; (19.12)
ap u dp
^ = -aVcos0; a = ^^;
dp n0
3 при Щ < 1
0 = I i_ e*
0K + 7----- Нк)2 при Рк < и < Pl-
I (Pl - Рк)
В системе (19.12) отдельно интегрируются аэродинамиче-
ские и гравитационные потери скорости. В этом случае, зная ко-
нечную скорость, потери скорости на «противодавление» (на
высотность двигателя) можно получить из формулы (19.10).
Для расчета движения на безатмосферном активном участке
используется соответствующее по точности приближенное ана-
литическое решение уравнений движения из 17.2.
Глава 20
Формирование программ угла тангажа
и режимов работы двигательных установок
ракет-носителей
20.1. Общие требования к программам угла тангажа
и режимам работы двигательных установок
ПРОГРАММОЙ УГЛА ТАНГАЖА называют зависимость измене-
ния угла наклона продольной оси ракеты-носителя относитель-
но какой-либо, как правило, неподвижной в инерциальной сис-
314
теме координат, плоскости. Величины этих углов задаются про-
граммным механизмом как функции времени или другой
монотонно изменяющейся по времени величины, например ин-
теграла от измеряемого ускорения. Углы, которые задаются
программным механизмом, и углы наклона оси ракеты-носите-
ля в каждый данный момент времени в общем случае не совпа-
дают. Это связано не только с возмущенным движением ракеты,
но и с тем обстоятельством, что для формирования команды на
исполнительные органы требуется определенная величина рас-
согласования между потребным и существующим в данный мо-
мент углом. Влияние этого несовпадения на траекторию несу-
щественно и не учитывается в проектных баллистических рас-
четах.
С учетом этих замечаний сформулируем самое общее требо-
вание к программе угла тангажа конкретной PH определенного
типа.
Программа угла тангажа при условии выполнения всех ог-
раничений на кинематические и динамические параметры дви-
жения должны обеспечивать выведение на заданную орбиту по-
лезного груза максимальной массы.
В главе 14 указывались некоторые ограничения на кинема-
тические и динамические параметры движения. Ниже эти воп-
росы рассматриваются более подробно совместно с задачей вы-
бора программ угла тангажа и режимов работы двигательных
установок. К общим требованиям и ограничениям, не завися-
щим от типа ракеты с вертикальным стартом, относятся:
► вертикальный старт и определенная продолжительность
вертикального полета;
► непрерывность <р(£), Ф(0 и ограниченность ip(t);
► ограниченность нормальных перегрузок;
► нулевые углы атаки в районе скоростей полета, близких к
звуковым (0,7 < М < 1,3);
► падение всех ступеней в определенные районы (зоны отчуж-
дения);
► выведение на орбиты различных наклонений и различных
высот с минимальным количеством программ угла тангажа
при условии выполнения всех ограничений;
► специальные условия, зависящие от способов разделения
ступеней (ограничения по скоростным напорам), от типа уп-
равления по ограничению нормальных перегрузок от ветро-
вых сдвигов и атмосферной турбулентности, от конкретных
характеристик системы управления;
► выполнение всех ограничений при полете в нештатных (ава-
рийных) ситуациях.
315
ПРОГРАММОЙ, ИЛИ ЦИКЛОГРАММОЙ, РАБОТЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ УС-
ТАНОВОК называют зависимости изменения секундных расходов
(тяг) двигателей от времени. Как правило, это последователь-
ность номинальных (7СД = 1) и уменьшенных (7СД < 1) секундных
расходов. В нештатных (аварийных) ситуациях допускаются ре-
жимы форсирования двигателя.
Программа по режимам работы двигателей при условии вы-
полнения всех ограничений типа равенств и неравенств на кине-
матические и динамические параметры движения должна так-
же обеспечивать выведение полезного груза максимальной мас-
сы на заданную орбиту.
В данном случае, как и для программы угла тангажа, к об-
щим требованиям и ограничениям относятся:
► ограниченность нормальных (в области максимальных ско-
ростных напоров) и осевых перегрузок;
► ограниченность скоростных напоров при разделении ступе-
ней;
► наличие достаточных диапазонов при регулировании про-
грамм по скорости;
► переходы на уменьшенные расходы (тяги) перед командой
на выключение двигателя;
► непрерывность по коэффициентам дросселирования и их
производным по времени К , R ).
20.2. Формирование программы угла атаки
на атмосферном участке движения
Оптимальная программа угла тангажа представляется тан-
генсом от линейной функции времени:
Ф = arctg (а + bt)
или, как показывают расчеты, практически без потери по массе
полезного груза программа может быть представлена линейной
зависимостью
Ф = Фо + Фо*-
При рассмотрении одноступенчатой ракеты данная форма
программы справедлива на последней части активного участка,
где влияние аэродинамических сил незначительно. Если ракета
имеет две или более ступеней, то такая форма программы при-
менима ко всем ступеням, начиная со второй.
Возможности выбора программы угла тангажа на участке
работы первой ступени (в отличие от последующих) в сильной
316
степени ограничены условиями и ограничениями, о которых го-
ворилось в 20.1. В данном случае можно говорить не о выборе
программы угла тангажа, а о выборе программы угла атаки, ко-
торая, в свою очередь, определяет программу угла тангажа.
Угол тангажа в этом случае определяется формулой
(р = 0 + а.
Из общих условий и ограничений по программе угла танга-
жа из 20.1 следует:
► угол атаки на участке вертикального полета 0 - tr равен
нулю;
► угол атаки в диапазоне трансзвуковых скоростей полета ра-
вен нулю;
► нулевые углы атаки находятся в районе максимальных ско-
ростных напоров, на остальном участке траектории — огра-
ничены условием q(a + аи,) С max (qaw), где второй член —
максимальная величина произведения скоростного напора
при угле атаки от порыва ветра aw = W/V в области макси-
мальных скоростных напоров; первый член — произведение
скоростного напора на сумму программного и ветрового уг-
лов атаки на остальном участке траектории;
► нулевые углы атаки — перед разделением и в момент разде-
ления;
► ограничение накладывается на максимальные по модулю уг-
лы атаки в определенном диапазоне скоростей полета из ус-
ловий ограничения на максимальные управляющие усилия
(углы поворота исполнительных органов).
Всем перечисленным условиям отвечает следующая зависи-
мость угла атаки от времени [1]:
( 0 при t <
а = ч * (20.1)
[ аК(К - г) при t > tr; ’
К = 2 exp (a(tr - t)),
где d — предельное значение угла атаки на дозвуковом участке
траектории; а — постоянный коэффициент, который выбирает-
ся таким, чтобы при М = 0,6...0,8 угол атаки становился прак-
тически равным нулю; tr — время вертикального участка, кото-
рое выбирается из условия, что отличные от нуля углы атаки
реализуются при Мг > 0,05...0,15. Из (20.1) можно видеть, что
данная зависимость задает угол в виде кривой, которая доста-
точно быстро достигает своего максимального (по модулю) зна-
чения а, а затем медленно убывает до нуля.
317
Таким образом, можно говорить, что зависимость (20.1) оп-
ределяет семейство программ угла атаки (угла тангажа), зави-
сящее в основном от одного параметра — предельного значения
угла атаки а:
а = а(а,
(р = (p(d, t).
Учитывая, что при проектно-баллистических расчетах при-
ходится иметь дело с большим диапазоном величин тяговоору-
женностей PH и, как следствие, с различными временами до-
стижения одних и тех же (фиксированных) скоростей, соотно-
шения (20.1) удобно представить в зависимости от числа Маха:
( 0 при М < Mi =0,05...0,15
a = ох ™ А/г (20.3)
I аК(К - 2) при М > Мр v 7
К = 2 exp (a(Mi - М)).
Так, например, если принять начало ненулевых углов атаки
(или конец вертикального участка полета) при М = 0,1, а также
выполнить условие, что при М = 0,8 угол атаки уменьшится (по
модулю) на порядок по сравнению с максимальным, то можно
определить величину а = 5,25. В этом случае зависимость (20.3)
можно представить графически (рис. 20.1).
Аналитическое «удобство» этой зависимости состоит в том,
что, задавая величину а, мы сразу задаем максимальный (по
модулю) угол атаки и число М, при котором он реализуется. Это
показывают следующие элементарные выкладки.
Условие экстремума функции f(K) = а/а = К(К - 2) записыва-
ется в виде 2К'(К - 1), откуда К = 1 и минимум — f(K) = а/ос = -1.
К недостаткам соотношения (20.3) следует отнести то, что при
М = Мг происходит скачок по производным a(t), а следовательно,
и ф(0- При проектно-баллистических расчетах это допускается, и
ниже будем говорить о «сглаживании» программы угла тангажа.
Рис. 20.1. Зависимость угла атаки от числа М
318
Можно указать еще одну форму задания угла атаки, не
имеющую указанного недостатка, но в свою очередь имеющую
собственную особенность — из нее сразу не видно, какой макси-
мальный (по модулю) угол атаки реализуется:
а =
О при М < Мг = 0,05...0,15
d(Mj - М)3(М2 - М)2 при Мг = М < М2
О при М > М2 = 0,6...0,8.
(20.4)
Итак, зависимость (20.3) определяет семейство программ по
углу атаки (углу тангажа), зависящее в основном от одного
параметра — предельного значения угла атаки а.
На рис. 20.2 показаны программы по углу атаки при изме-
нении основного параметра а (кривые 1 и 2). Крутизна траек-
тории определяется величиной указанного параметра. Более на-
глядной характеристикой крутизны (формы траектории) яв-
ляется угол наклона вектора скорости в конце активного участ-
ка 0к1.
Без учета выполнения каких-либо ограничений, которые пе-
речислены в 20.1, величина угла 0к1 (или угла атаки а) является
свободным параметром и может выбираться из условия выведе-
ния максимальной массы полезного груза. Учитывая, что на вто-
рой ступени оптимальная программа угла тангажа зависит от
двух параметров, величины которых однозначно определяются
параметрами орбиты выведения, можно сказать, что экстре-
мальная задача по выбору оптимальной программы угла танга-
жа для ракет-носителей является однопараметрической. В дан-
ном случае определение величины а, при которой реализуется
Рис. 20.2. Зависимость формы траектории и некоторых конечных
параметров движения от параметра программы угла атаки а
319
Рис. 20.3. Зависимость изменения скоростных напоров
от параметра программы угла атаки
максимум массы полезного груза, является достаточно простой
задачей. Но на практике к форме траектории движения PH в
плотных слоях атмосферы предъявляются следующие требова-
ния, которые ограничивают диапазоны изменения а (или угла
наклона скорости в конце работы первой ступени):
► падение первой ступени на заданную дальность;
► ограничение скоростных напоров на момент разделения;
► ограничение по максимальным скоростным напорам.
На рис. 20.3, который следует рассматривать совместно с
графиками на рис. 20.2, показано качественное влияние формы
траектории первой ступени на максимальные скоростные напо-
ры и скоростные напоры при разделении. Следует отметить, что
первое требование является наиболее жестким — оно практиче-
ски определяет потребную величину конечного угла и, как след-
ствие, лишает какой-либо свободы при выборе формы траек-
тории с точки зрения получения максимума массы полезного
груза.
При отсутствии ограничений на дальность падения первой
ступени возможно регулирование скоростных напоров в момент
разделения и в меньшей степени — максимальных скоростных
напоров (см. рис. 20.3). Следует отметить, что выполнение ука-
занных ограничений по скоростным напорам может приводить
к заметному уменьшению массы полезного груза — это зависит
от основных проектных параметров ракеты-носителя, величин
ограничений, высоты орбиты и т. д.
На рис. 20.4 показана типичная программа угла тангажа
двухступенчатой ракеты-носителя. Угол 0к1 может определять-
ся или из условия выполнения ограничений, или из условия
максимума массы полезного груза при отсутствии ограничений.
В конце работы первой ступени выполняется условие из общих
320
Рис. 20.4. Типичная программа угла тангажа
для двухступенчатой ракеты-носителя
требований к программе угла тангажа ф = 0. Если между конеч-
ным и начальным значениями ср0 для второй ступени существу-
ет разница Дер, то происходит «сглаживание» программ (разво-
роты с максимальной скоростью фтах).
20.3. Формирование режимов работы
двигательных установок
на атмосферном участке движения
Оптимальные программы режимов работы двигательных ус-
тановок при условии движения без сопротивления атмосферы
рассматривались в главе 18. Задача определения режимов рабо-
ты двигательной установки при движении в атмосфере из усло-
вия максимума полезного груза достаточно сложна. Она не име-
ет таких ясных результатов, как полученные нами в 18.5. Рас-
четы показывают, что для типичных величин начальных
тяговооруженностей (п0 = 1,2...2) изменение (дросселирование)
величины тяги на атмосферном участке не приводит к увеличе-
нию массы полезного груза. Можно представить себе, что при
очень больших значениях начальных тяговооруженностей для
уменьшения аэродинамических потерь скорости оптимальным
оказался бы промежуточный (дросселирование или выключе-
ние) режим тяги.
В 20.1 были сформулированы общие ограничения, кото-
рым должны удовлетворять программы угла тангажа и режи-
мов работы двигательных установок. В 20.2 отмечено, что не
все ограничения могут быть выполнены только выбором про-
граммы угла тангажа. В частности, это относится к ограничени-
ям по максимальному скоростному напору, нормальной пере-
321
грузке, скоростному напору в момент разделения ступеней и
продольной перегрузке. Но в названных параграфах не отмече-
на в явном виде связь максимальных скоростных напоров и нор-
мальной перегрузки. Дело в том, что если даже в районе макси-
мальных скоростных напоров программный угол атаки равен
нулю, то в результате ветровых возмущений возникает эквива-
лентный ветровой угол атаки Qkw = W/V, где W — скорость ветра
с учетом реакции системы управления движением вокруг цент-
ра масс; V — скорость полета. Тогда в районе максимальных
скоростных напоров в каком-то диапазоне высот найдется вели-
чина max (gayy), которая определяет максимальные аэродина-
мические изгибающие моменты, максимальные сжимающие эк-
вивалентные силы, часто максимальные управляющие силы
(максимальные потребные углы отклонения управляющих
органов — «рулей»).
Если уменьшить скоростные напоры до </*, то указанная ве-
личина уменьшится в отношении Q*/<7max- «Срезать» вершину
максимальных скоростных напоров возможно путем дроссели-
рования двигателей.
Уменьшить скоростные напоры и осевые перегрузки в конце
работы ступени возможно также путем дросселирования двига-
теля. В первом случае степень дросселирования выбирается та-
кой, чтобы траектория полета заканчивалась на больших высо-
тах с малой плотностью. Во втором случае тяга уменьшается
пропорционально относительной массе ракеты-носителя. Ука-
занные случаи выполнения ограничений показаны на рис. 20.5.
Алгоритмы выполнения указанных ограничений являются
темой специального раздела по проектно-баллистическим рас-
четам современных PH.
Рис. 20.5. Возможности уменьшения скоростных напоров
и перегрузок дросселированием тяги двигателя
322
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Аппазов Р. Ф., Лавров С. С., Мишин В. П. Баллистика управляе-
мых ракет дальнего действия. М.: Наука, 1966.
2. Айзерман М. А. Классическая механика. М.: Наука, 1980.
3. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М. Некоторые вариационные зада-
чи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // Успехи
физических наук: Научно-популярный журнал. — М., 1957. — Т. 63,
вып. 1а.
4. Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных
процессов. М.: Физматгиз, 1961.
5. Механика космического полета / Под ред. В. П. Мишина. М.:
Машиностроение, 1989.
6. Пашинцев В. Т. Оптимальное управление подъемной силой при
планировании гиперзвуковых аппаратов // Труды ЦАГИ. — М., 1977. —
Вып. 1811.
7. Илларионов В. Ф., Пашинцев В. Т. Анализ траекторий полета и
законов управления возвращением разгонных ступеней // Труды
ЦАГИ. — М., 1972. — Вып. 1438.
РАЗДЕЛ V
Задачи теплового проектирования
ракетно-космических систем
Глава 21
Особенности тепловых режимов
летательных аппаратов
Тепловые режимы функционирования во многом определя-
ют проектно-конструкторское решение, компоновку, состав и
параметры систем и агрегатов объектов ракетно-космической
техники. Это обусловлено тем, что они функционируют, как
правило, в экстремальных условиях, существенно отличающих-
ся от привычных на поверхности Земли [1...3].
Выделим основные этапы функционирования КА:
► сборка, заправка и старт с поверхности Земли (планет Сол-
нечной системы) и движение на активном участке выведе-
ния на начальную опорную орбиту;
► баллистическое или управляемое движение в условиях кос-
мического полета;
► вход в атмосферу Земли (планет Солнечной системы) и по-
садка на ее (их) поверхность.
Каждый из этих этапов характеризуют специфические теп-
ловые особенности функционирования, на анализе которых ос-
тановимся особо.
21.1. Старт с поверхности Земли
(планет Солнечной системы)
Тепловое состояние PH (рис. 21.1) на стартовой позиции
(СП) обусловлено:
► конвективным теплообменом с окружающей средой дконв;
► тепловым излучением Солнца дс;
► тепловым излучением поверхности Земли д3;
324
Рис. 21.1. Тепловое состояние PH на стартовой позиции
► лучистым и контактным теплообменом с элементами старто-
вого комплекса;
► тепловыделениями, обусловленными фазовыми переходами
(конденсация, замерзание, плавление и испарение) компо-
нентов воздуха на поверхности изделия.
Интенсивность и параметры перечисленных процессов во
многом определяются климатическими факторами, временем го-
да и суток.
Основной задачей обеспечения теплового режима ЛА на дан-
ном этапе является поддержание требуемого температурного ре-
жима приборного отсека, систем, агрегатов, устройств и автома-
тики двигательной установки, системы разделения ступеней,
сброса обтекателя, полезного груза, исполнительных органов
системы управления движением, а также компонентов топлива
и, конечно, пилотируемого отсека. В табл. 21.1 представлены до-
пустимые температурные интервалы функционирования элемен-
тов ЛА [3], а на рис. 21.2 и 21.3 — рабочие температуры некото-
рых рабочих тел, компонентов топлива и металлов [4...6] и тем-
пературные условия на поверхности планет и Солнца [1, 7, 8], что
характеризует возможный диапазон значений рабочих темпера-
тур окружающей среды.
325
Рис. 21.2. Рабочие температуры некоторых рабочих тел, компонентов топлива и металлов:
1 — криогенные рабочие тела; 2 — рабочие тела для ЭРД; 3 — высококипящие рабочие тела и компоненты топлив;
4 — высокотемпературные металлические теплоносители; 5 — металлы
Таблица 21.1
Элементы ЛА Температурный интервал
Приборный отсек -50...+50 °C
Автоматика ДУ -50...+50 °C
Агрегаты и устройства PH -50...+60 °C
Агрегаты СУ -40...+40 °C
Полезный груз -50...+50 °C
Пилотируемый отсек +20...+25 °C
Высококипящие компоненты топлива -20...+300 °C
Гелий < 4К
Водород < 20 К
Кислород < 90 К
Азот < 77 К
На активном участке выведения КА на околоземную орбиту
происходит достаточно интенсивный аэродинамический нагрев
головного обтекателя PH и различных выступающих элементов
10
103 6000 104
Тпове₽Ы = 735 К
^Меркурия = 750 К
Т^ли = 288 К
7’Марса = 300 к
Рис. 21.3. Температурные условия на поверхности планет и Солнца
327
10
cd
Л
ф
ь
S
К
2
ф
Е-
S
VO
Л
О
cd
д
Плотность
теплового потока
при входе СА
в атмосферы планет
102 103 104 105
Q, Вт/м2
Рис. 21.4. Внешние факторы теплового нагружения,
сопровождающие работу КА
конструкции. Чтобы предотвратить уменьшение несущей спо-
собности этих конструкций, обычно используют тепловую за-
щиту. Тепловой режим выводимого под обтекателем КА, как
правило, поддерживается собственной системой обеспечения
теплового режима.
После выведения КА на околоземную орбиту начинается
этап космического полета. Тепловое состояние КА на этой ста-
дии в основном обусловливают внешние факторы теплового на-
гружения (рис. 21.4) и внутренние тепловые источники, сопро-
вождающие его работу [1, 8, 9].
Рассмотрим особенности тепловых режимов КА в условиях
космического полета на примере различных объектов космиче-
ской техники.
21.2. Особенности обеспечения теплового режима
разгонных блоков космических аппаратов
В настоящее время основным средством, позволяющим ре-
ализовать широкий спектр транспортных задач по доставке по-
лезных грузов на различные околоземные орбиты, а также к
планетам Солнечной системы, являются разгонные блоки с
ЖРД. В нашей стране базовым является разгонный блок «Д»
(рис. 21.5). В ряде случаев для увеличения энергетических воз-
можностей средств выведения в составе космической головной
части предлагают использовать двухступенчатый разгонный
блок, состоящий из разгонного блока «Д» (РБ первой ступени) и
разгонного блока «Фрегат» (рис. 21.6) в качестве РБ второй сту-
пени. В составе PH «Протон» в последнее время для решения
ряда транспортных задач используется разгонный блок «Бриз»
(рис. 21.7). Предполагается также разработка нового кислоро-
до-водородного разгонного блока (рис. 21.8) [10].
328
Рис. 21.5. Космический
разгонный блок «Д»
Рис. 21.6. Космический раз-
гонный блок «Фрегат»
В составе космического РБ с ЖРД можно выделить следую-
щие основные элементы, определяющие его тепловой режим:
► топливный отсек;
► комоненты топлива в топливном отсеке;
► маршевый двигатель (МД), включая агрегаты его питания и
управления;
► двигатели системы обеспечения запуска МД в условиях не-
весомости (ДЗ);
► двигатели коррекции импульса (ДКИ);
Рис. 21.7. Космический разгонный блок «Бриз»:
1 — приборный отсек; 2 — центральный блок; 3 — сбрасываемый
дополнительный блок баков; 4 — бак окислителя; 5 — бак горючего;
6 — рулевые двигатели; 7 — маршевый двигатель
329
► двигатели стабилизации и
ориентации (ДСО);
► шар-баллоны системы над-
дува;
► агрегаты питания и управ-
ления ДКИ и ДСО;
► приборный отсек (ПО);
► аппаратура системы управ-
ления (СУ) и системы энер-
гопитания (СЭП);
► система обеспечения тепло-
вого режима приборного от-
сека (СОТР);
► теплозащитные и теплоизо-
ляционные материалы, ис-
пользуемые для обеспече-
ния требуемого теплового
режима РБ.
В штатном полете тепловое
состояние РБ в целом, а также
основных выделенных его эле-
Рис. 21.8. Космический
кислородно-водородный
разгонный блок:
1 — приборный отсек;
2 — бак окислителя (О2);
3 — бак горючего (Н2);
4 — маршевый двигатель;
5 — двигатели системы
управления
ментов в первую очередь опре-
деляют:
► компоновочное и конструк-
тивное решения РБ;
► тепловое излучение Солнца;
► тепловое излучение Земли;
► начальная температура за-
правки компонентов топлива;
► тепловыделения работающе-
го МД;
► воздействие струи работающего МД, а также двигателей
ДКИ, ДЗ и ДСО;
► тепловыделения приборов СУ;
► циклограмма полета, включая программу управления, ори-
ентации и стабилизации РБ на активных и пассивных участ-
ках полета.
При этом внешними по отношению к РБ тепловыми факто-
рами являются тепловое излучение Солнца, тепловое излучение
Земли, а также воздействие струй работающих МД, ДКИ, ДЗ и
ДСО. К числу внутренних факторов, определяющих тепловое
состояние РБ, можно отнести радиационный и кондуктивный
теплообмен между основными элементами конструкции, систе-
мами и агрегатами РБ, конвективный теплообмен между ком-
330
понентами топлива, газами наддува и конструкцией топливных
баков, радиационный и кондуктивный теплообмен в приборном
отсеке между приборами и агрегатами СУ и конструкцией при-
борного отсека. В случае герметичного ПО основным фактором,
определяющим тепловой режим ПО, будет конвективное ох-
лаждение приборов теплоносителем СОТР ПО.
Определенное влияние на тепловое состояние РБ оказывает
аэродинамическое тепловое воздействие на участке выведения.
Из-за относительно малой продолжительности активного участ-
ка PH оно слабо влияет на интегральное тепловое состояние РБ,
однако определяет тип и параметры тепловой защиты отдель-
ных систем, а также поверхностей РБ, подверженных теплово-
му воздействию набегающего потока воздуха после сброса го-
ловного обтекателя.
Параметры тепловой защиты РБ в зоне установки МД, а так-
же в зоне установки ДКИ, ДЗ и ДСО, определяются температур-
ным режимом указанных агрегатов и параметрами продуктов
сгорания, истекающих из сопл этих двигателей. Тепловое воз-
действие продуктов сгорания на внешнюю поверхность РБ ха-
рактеризуется действующими параметрами радиационного и
конвективного теплообмена. Параметры тепловой защиты при
этом рассчитываются на максимальные для всех возможных ва-
риантов условия нагрева.
Аналогично на максимальные условия теплового нагруже-
ния рассчитываются параметры тепловой защиты во всех ос-
тальных менее теплонапряженных зонах РБ.
Как правило, каждый конкретный РБ используют для до-
ставки разнообразных полезных грузов на различные околозем-
ные орбиты. При этом возникает необходимость не только пра-
вильного выбора тепловой защиты РБ, но и тщательного анали-
за в каждом конкретном случае реальных тепловых условий
функционирования РБ и особенно его двигательной установки,
компонентов топлива, автоматики исполнительных органов СУ
и некоторых других систем и агрегатов РБ. Результаты этого
анализа во многом определяют стратегию ориентации РБ на
пассивных участках полета, значение необходимой температу-
ры заправки топлива и т. д., а также в некоторых случаях выяв-
ляют необходимость модификации СОТР РБ.
В случае использования криогенных компонентов топлива
необходимо решить проблему хранения криогенного топлива на
борту РБ в течение всего срока его активного полета, которая за-
ключается в том, что рабочие температуры жидкого водорода и
жидкого кислорода значительно ниже температур остальных
элементов и систем РБ. Кроме того, в условиях космического
331
полета действует мощное тепловое излучение Солнца; необходи-
мо также учитывать тепловое излучение планет Солнечной сис-
темы. В сочетании с внутренними тепловыми источниками пе-
речисленные факторы обусловливают достаточно высокий уро-
вень подвода тепловой энергии к топливным бакам, что приво-
дит к прогреву этих компонентов, появлению теплового рас-
слоения в жидкости, а также к испарению, а следовательно, к
массовым потерям части топлива.
Эта проблема представляет собой достаточно сложную теоре-
тическую и техническую задачу, решение которой в ряде случа-
ев требует значительных усилий как исследователей, так и про-
ектантов.
21.3. Проблемы теплового проектирования
негерметичных космических аппаратов
В качестве примера негерметичного КА рассмотрим геоста-
ционарный связной ИСЗ «Intelsat-5» (рис. 21.9) [11]. Конструк-
цию ИСЗ «Intelsat-5» можно представить состоящей из трех
Рис. 21.9. Геостационарный
связной ИСЗ «Intelsat-5»:
1 — антенный модуль;
2 — панели солнечных батарей;
3 — приборно-агрегатный отсек
основных элементов: антенного,
приборного и агрегатного моду-
лей (рис. 21.10). 17-образные па-
нели приборного и агрегатного
модулей образуют после соеди-
нения коробчатый корпус при-
борно-агрегатного отсека.
Необходимо отметить, что,
несмотря на общий подход к
проблеме обеспечения теплово-
го режима аппарата, ее конк-
ретные решения для антенного
модуля и приборно-агрегатного
отсека различны. Это обуслов-
ливается различным составом
аппаратуры, а также применяе-
мыми конструктивными мате-
риалами.
В целом тепловой режим
функционирующего на геоста-
ционарной околоземной орбите
КА определяется тепловым из-
лучением Солнца и Земли, теп-
ловыделением бортовой аппа-
ратуры, а также особенностями
орбитального движения.
332
Период обращения на геостационарной орбите составляет
24 часа. КА в процессе движения своей продольной осью все вре-
мя должен быть ориентирован на Землю, т. е. в течение суток он
совершает полный оборот относительно поперечной оси. При
этом по отношению к направлению на Солнце КА также совер-
шает полный оборот. В этих условиях освещенные Солнцем эле-
менты конструкции, устройства и агрегаты подвергаются неста-
ционарному (циклическому) воздействию. Это осложняет разра-
ботку СОТР, так как необходимо не только обеспечить заданный
температурный режим систем и агрегатов, но и не допустить ло-
кальных термических деформаций конструкции.
Дело в том, что незначительная термическая деформация
ферменной конструкции антенного модуля может нарушить
ориентацию приемных и передающих антенн. Термическая де-
формация антенны может привести к ухудшению качества пе-
редаваемого сигнала. Для решения этих проблем конструкцию
обычно защищают экранно-вакуумной теплоизоляцией (ЭВТИ),
применяют термостатирование конструкций, используют соот-
ветствующие конструктивные решения и материалы.
В то же время приборный (рис. 21.11, а) и агрегатный отсе-
ки представляют собой коробчатую конструкцию, корпус кото-
рой образует теплообменные панели, внутренняя поверхность
которых используется для установки радиоэлектронной аппара-
туры, имеющей различные энерговыделения, а внешняя по-
верхность служит радиационным теплообменником.
Рис. 21.10. Декомпозиция конструкции ИСЗ «Intelsat-5»:
1 — антенный модуль; 2 — приборный отсек; 3 — агрегатный отсек
333
В общем случае теплообменные панели (рис. 21.11, б) предназ-
начены для фиксации в пространстве и обеспечения теплового со-
стояния различных радиоэлектронных устройств ИСЗ. Учитывая,
что среди них имеются устройства, обладающие большими энерго-
выделениями, а также устройства с малыми энерговыделениями
или в данный момент не работающие, процесс теплового проекти-
рования должен предусматривать моделирование теплового со-
стояния панели при различной топологии размещения приборов,
для различных штатных и нештатных ситуаций функционирова-
ния аппаратуры, при различных положениях КА на орбите и т. д.
Получаемая при этом информация является исходной для синтеза
топологии размещения аппаратуры на теплообменной панели, вы-
бора параметров системы обеспечения теплового режима и ра-
ционального конструирования панелей и КА в целом.
Таким образом, в процессе теплового проектирования рас-
сматриваемых КА необходимо определить параметры внешних
тепловых воздействий и тепловыделений в системах и агрега-
тах, исследовать не только тепловое состояние элементов конст-
рукции антенного блока, но и их термические деформации;
а) б)
Рис. 21.11. Приборно-агрегатный отсек ИСЗ «Intelsat-5»:
а — декомпозиция приборного отсека; б — графическое изображение
тепловой модели теплообменной панели; 1 — платформа для установки
антеннофидерных устройств; 2 — теплообменные панели корпуса ПО,
используемые для установки радиоэлектронной аппаратуры;
3 — приборы и основания приборов; 4 — утолщения пластины
в зоне установки приборов; 5 — вырез в пластине; 6 — внешняя плас-
тина теплообменной панели; 7 — трубка гидравлического
тракта; 8 — коллектор гидравлического тракта; 9 — внутренняя
пластина панели; 10 — соты; 11 — торцевая законцовка панели
334
выбрать рациональные конструктивные решения антенного мо-
дуля и параметры системы его термостатирования; определить
распределение температуры в конструктивных элементах при-
борного и агрегатного отсеков; выбрать тип и параметры систе-
мы обеспечения теплового режима этих отсеков, обращая особое
внимание на теплообменные панели приборного отсека.
21.4. Тепловые режимы космического зонда,
предназначенного для исследования
физических процессов в короне Солнца
Тепловой режим космического аппарата, предназначенного
для исследования физических процессов в короне Солнца, во
многом обусловливается схемой экспедиции. Базовая траекто-
рия перелета по проекту «Циолковский» (рис. 21.12) предпо-
лагает для достижения ближайших окрестностей Солнца об-
лет Юпитера с пассивным гравитационным маневром [12]. Та-
ким образом, СОТР должна обеспечивать штатные условия
функционирования КА и его систем по трассе полета Земля—
Юпитер—Солнце. Внешнее тепловое воздействие Солнца, в ос-
новном определяющее тепловой режим аппарата на траектории
полета, меняется при этом в диапазоне от 53 Вт/м2 в окрестнос-
ти Юпитера до 0,65 • 106 Вт/м2 в окрестности Солнца в пери-
центре пролетной траектории при гл = 10Вс. Внешние воздейст-
вия на СЗ в процессе движения в короне Солнца показаны на
Рис. 21.12. Базовая траектория перелета СЗ (проект «Циолковский»):
1 — старт с орбиты ИСЗ (AV = 7,8 км/с); 2 — гравитационный маневр
в окрестности Юпитера; 3 — движение в перицентре околосолнечной
пролетной траектории (Rn = 2,8 • 106 км; Т = 1150 дн; V = 300 км/с)
335
Рис. 21.13. Внешние воздействия на СЗ в короне Солнца
рис. 21.13. Более подробные данные о тепловом воздействии на
СЗ в короне Солнца приведены в табл. 21.2.
Таблица 21.2
Расстояние от центра Солнца в радиусах Солнца (Rc = 696 000 км) Плотность теплового потока, Вт/м2
2 16 170 105
3 7 186 713
4 4 042 526
5 2 587 217
6 1 796 678
7 1 320 009
8 1 010 632
9 798 524
10 646 804
336
1
Рис. 21.14. Автоматический космический аппарат для исследования
процессов в короне Солнца (проект «Циолковский»):
1 — стабилизированный вращением солнечный зонд; 2 — траекторный
блок — универсальная платформа для доставки научных полезных
грузов к планетам Солнечной системы; 3 — разгонный блок
Автоматический космический аппарат (АКА), реализующий
рассматриваемую задачу, может иметь различные схемные и
компоновочные решения. В частности, в российском проекте
«Циолковский» в составе АКА (рис. 21.14) [12] предусматрива-
лись два модуля: траекторный блок (ТБ), представляющий собой
универсальную платформу для доставки научных полезных гру-
зов практически ко всем планетам Солнечной системы, и стаби-
лизированный вращением солнечный зонд (СЗ) — космический
аппарат, обеспечивающий проведение исследований в короне
Солнца. В американском проекте «Star probe» (рис. 21.15) и его
последующих версиях (рис. 21.16) рассматривается одномодуль-
ная схема [12].
Основные проблемы обеспечения теплового режима космиче-
ских исследовательских зондов рассматриваемого класса можно
условно разделить на две группы. К первой относят выбор кон-
цепции тепловой защиты СЗ в процессе его движения в короне
Солнца, включая решение комплекса задач по выбору компоно-
вочного решения СЗ, выбору материала защитного экрана, по
учету влияния продуктов уноса на постановку и проведение на-
учных экспериментов и т. д. Ко второй группе относят проблемы
выбора СОТР служебных систем и научного оборудования, обес-
печивающей рациональный тепловой режим КА на всех участ-
ках его полета, включая обеспечение постановки научных экспе-
риментов по определению параметров излучения Солнца в усло-
виях экстремального нагрева.
337
Рис. 21.15. Американский проект солнечного зонда «Star probe»:
1 — остронаправленная антенна; 2 — теневая зона;
3 — вращающаяся научная платформа; 4 — РИТЭГ;
5 — конический теплозащитный экран
В составе солнечного зонда можно выделить следующие ос-
новные элементы, определяющие его тепловой режим:
► конструкция защитных экранов;
► конструкция корпуса аппарата, включая радиационные теп-
лообменники и пылезащитный экран;
► электронные блоки служебной аппаратуры;
► датчики и исполнительные органы служебных систем;
► электронные блоки научной аппаратуры;
► детекторы излучений и датчики научной аппаратуры;
► радиоизотопный теплоэлектрогенератор (РИТЭГ);
► приемники излучения термоэлектрогенераторов;
► агрегаты и системы СОТР.
В процессе полета тепловое состояние СЗ определяют:
► компоновочное и конструктивное решение РБ;
► тепловое излучение Солнца;
► тепловое излучение Земли и Юпитера;
► начальное тепловое состояние элементов СЗ;
► тепловыделения электронного оборудования служебных систем;
► тепловыделения электронных блоков научного оборудования;
► тепловыделения РИТЭГа;
► ориентация СЗ в пространстве;
► циклограмма работы научного оборудования;
► циклограмма работы служебных систем.
Учитывая экстремальные тепловые условия функциониро-
вания СЗ, можно утверждать, что выбранная концепция обеспе-
чения теплового режима аппарата во многом определяет конст-
руктивно-компоновочное решение СЗ. Поэтому основной задачей
338
проектирования СЗ является
определение такого сочетания
схемного и конструктивного ре-
шения аппарата и параметров
системы обеспечения его тепло-
вого режима, при котором реали-
зуются требуемые тактико-тех-
нические параметры, минималь-
ные масса и энергопотребление,
требуемый уровень надежности
и эффективности.
Решение рассматриваемой
задачи базируется на тщатель-
ном анализе тепловых воздей-
ствий и условий функциониро-
вания аппарата.
Внешними по отношению к
СЗ тепловыми факторами явля-
ются тепловое излучение Солнца
и планет. При движении аппара-
та в ближайшей окрестности
Солнца эти факторы определяют
ориентацию аппарата в про-
странстве, способ тепловой защи-
ты и конфигурацию защитных
экранов, а также постановку и
проведение научных экспери-
ментов. В частности, для науч-
ных исследований рассматрива-
ются как стационарные детекто-
Рис. 21.16. Американский
проект малогабаритного
солнечного зонда с лобовым
экраном, используемым
в качестве узконаправленной
антенны:
1 — лобовой защитный экран;
2 — теневая зона; 3 — служебная
и научная аппаратура;
4 — внутренние экраны
ры, располагаемые в тени защитных экранов, так и подвижные
детекторы, кратковременно выводимые из этой тени.
К числу внутренних факторов, определяющих тепловое со-
стояние СЗ, можно отнести радиационный и кондуктивный теп-
лообмен между элементами конструкции, системами, агрегата-
ми и научной аппаратурой СЗ, тепловыделения РИТЭГа, элек-
тронных блоков научного оборудования и служебных систем.
Влияние на аппарат тех или иных факторов теплового режи-
ма на разных фазах полета различно. Например, при пролете
Солнца определяющим является его интенсивное тепловое из-
лучение и выбранный способ тепловой защиты аппарата, а в
процессе движения в окрестностях Юпитера — чрезвычайно
низкое внешнее тепловое воздействие и, вследствие этого, необ-
ходимость использования тепловыделения РИТЭГа для подо-
грева систем СЗ. К числу определяющих факторов можно также
отнести особенности радиационного взаимодействия системы
339
Солнце — солнечный зонд, радиационный перенос в системе за-
щитных экранов, поверхностный унос материалов экранов,
ударное тепловое воздействие Солнца на кратковременно вы-
двигаемые детекторы научной аппаратуры и т. д.
К числу основных задач теплового проектирования СЗ мож-
но отнести:
► определение рационального теплового режима аппарата;
► исследование и выбор штатного варианта системы обеспече-
ния теплового режима СЗ;
► исследование и выбор рациональной системы защитных эк-
ранов СЗ;
► исследование процесса уноса материалов защитных экранов
СЗ;
► исследование влияния на тепловой режим СЗ изменений
воздействия окружающей среды, а также параметров тепло-
выделений радиоэлектронного оборудования и других сис-
тем и агрегатов аппарата;
► изучение влияния на тепловое состояние аппарата измене-
ния его конструктивных решений, замены применяемых
материалов, изменения характеристик СОТР, включая из-
менение топологии размещения тепловых труб или других
элементов системы охлаждения, параметров радиационных
теплообменников, контактных сопротивлений и т. д.;
► анализ теплового состояния детекторов излучения, датчиков
и других элементов научного оборудования;
► анализ теплового состояния любого конструктивного эле-
мента, каждого прибора, агрегата, системы и т. д.
На стадии проектирования СЗ рассмотренные задачи явля-
ются предметом тщательного изучения и решения как в процес-
се математического моделирования, так и в ходе эксперимен-
тальных исследований.
21.5. Проблемы возвращения
спускаемых аппаратов на Землю
Для возвращения на Землю, как и для посадки на планеты
Солнечной системы, предназначены специальные летательные
аппараты — спускаемые аппараты (СА). К аппаратам этого клас-
са относятся также и головные части баллистических ракет.
Движение СА в атмосфере в основном определяют:
► аэродинамические характеристики СА;
► масса СА;
► форма СА и его геометрические размеры;
► угол входа в атмосферу 0вх.
340
В зависимости от располагаемого аэродинамического наче-
са
ства К = —^ обычно рассматривают следующие варианты движе-
ния С А в атмосфере.
Баллистический спуск (располагаемое качество С А К = 0).
Для этого варианта характерны большие перегрузки, тепло-
вые потоки и относительно малое время движения в атмосфере
планеты (рис. 21.17) и большой разброс места посадки [13]. Па-
раметры движения данных СА в основном определяет угол вхо-
да в атмосферу 0ВХ, причем при малых углах входа баллистиче-
ский СА может быть не захвачен атмосферой (особенно при па-
раболической и гиперболической скоростях). В то же время при
больших углах входа реализуются чрезмерно большие тепловые
потоки и перегрузки. Допустимые значения угла входа в атмос-
феру для баллистических СА находятся в узком интервале, ко-
торый называется коридором входа СА в атмосферу планеты с
заданной скоростью.
В большинстве случаев баллистические СА не обладают воз-
можностью изменения в процессе полета своих геометрических
Рис. 21.17. Перегрузки и тепловые потоки, действующие
на С А при движении в атмосфере Земли:
1 — вход СА с VBX = 11 км/с (К = 0; 0ВХ = -5°; Т = 3300...4300 К);
2 — баллистический спуск (К = 0; VBX = 7,8 км/с; 0ВХ = -2°;
Т = 2800...3800 К); 3 — скользящий спуск (К = 0,2; VBX = 7,8 км/с;
0вх = -2°); 4 — зависимость изменения температуры от времени
для К = 0,2 (скользящий спуск)
341
характеристик, а следовательно, не могут управлять параметра-
ми движения.
К числу рассматриваемых СА можно отнести «Восток», «Вос-
ход», «Меркурий», «Марс» (рис. 21.18), «Венеру» (рис. 21.19),
головные части ракет-носителей (рис. 21.20) и т. д. [13, 14].
Скользящий спуск (К = 0,1...0,6).
Для движения СА по траекториям скользящего спуска
характерны относительно малые тепловые потоки и незначи-
тельные перегрузки (см. рис. 21.17), даже при постоянном
аэродинамическом качестве (при постоянной ориентации СА по
отношению к набегающему потоку). Если в процессе полета из-
менять ориентацию СА относительно набегающего потока, т. е.
управлять величиной располагаемого качества, то может быть
выбрана такая траектория спуска, при движении по которой
будут действовать не только наиболее рациональные тепловые
потоки и перегрузки, но и будут получены малые отклонения
от расчетного места посадки. Коридор входа в атмосферу плане-
ты по траекториям скользящего спуска существенно превыша-
ет ширину коридора входа в атмосферу планеты баллистичес-
ких СА.
Среди СА данного класса можно отметить «Союз» (рис. 21.21)
«Зонд», «Джемини» и «Аполлон» [15].
Рис. 21.18. Спускаемый аппарат «Марс»:
1 — исследовательский блок (полезный груз);
2 — аэродинамический обтекатель (тормозной
защитный экран); 3 — парашютный контейнер;
4 — антенна; 5 — ТДУ; 6 — отсек системы
управления и аппаратуры; 7 — парашют;
8 — шпангоуты обтекателя
342
Рис. 21.19. Спускаемый
аппарат «Венера»
Рис. 21.20. Головная
часть PH
Рис. 21.21. Спускаемый аппарат «Союз»:
1 — сбрасываемый лобовой защитный экран;
2 — тепловая защита боковой поверхности СА
343
Планирующий спуск (гиперзвуковое качество К = ка-
чество при посадке — до 5).
Коридор входа в атмосферу СА планирующего спуска наибо-
лее широкий. Существенно повышаются возможности управле-
ния движением СА в процессе спуска, следовательно, расширя-
ются возможности выбора траекторий с минимальными пере-
грузками и тепловыми потоками (см. рис. 21.17). Кроме того,
появляется возможность выбора места посадки. К числу С А рас-
сматриваемого класса можно отнести «Space Shuttle» и «Буран»
(рис. 21.22) [16].
Краткий анализ особенностей функционирования объектов
ракетно-космической техники показывает, что движение в ат-
мосферах планет и посадка на их поверхность, а также этап воз-
вращения на Землю являются наиболее напряженными как по
величине возникающих перегрузок, так и по величине дейст-
вующих тепловых потоков.
Из приведенных на рис. 21.17 данных следует, что в процес-
се спуска на поверхность СА действуют тепловые потоки высо-
кой интенсивности. Их величину определяют:
Рис. 21.22. Сравнение натурных данных (оооо) с результатами расчетного
прогноза (—) тепловых режимов элементов конструкции «Буран»:
1 — обшивка нижней поверхности фюзеляжа в хвостовой зоне;
2 — передняя кромка крыла в зоне максимального аэродинамического
нагрева; 3 — обшивка нижней (а) и верхней (б) поверхностей наплыва
крыла; 4 — носовой обтекатель в зоне максимального аэродинамического
нагрева; 5 — внутренние поверхности наружных стекол лобового (а)
и среднего (б) иллюминаторов
344
► скорость входа С А в атмосферу (например, при возвращении
на Землю с орбиты искусственного спутника скорость входа
будет близка к круговой VKp ~ 7,8 км/с, а при возвращении
после межпланетных перелетов скорость входа будет гипер-
болической Угип >11,2 км/с);
► угол входа СА в атмосферу;
► располагаемое аэродинамическое качество;
► форма СА, его геометрические размеры (величина плотности
подводимого теплового потока сильно зависит от величины
радиуса затупления носовой части корпуса и передних кро-
мок несущих поверхностей);
► закон управления движением СА и т. д.
Величина теплового потока, действующего на СА в процессе
спуска, столь высока, что равновесная температура на лобовой
поверхности аппарата значительно превышает не только допус-
тимые рабочие температуры применяемых конструкционных
материалов, но и температуру их плавления или разрушения.
Для решения проблемы обеспечения допустимых тепловых
условий функционирования конструкции корпуса СА применя-
ют специальную тепловую защиту.
Выбор того или иного варианта тепловой защиты определя-
ют интенсивность и особенности внешних тепловых воздейст-
вий, а также продолжительность движения СА в атмосфере.
При входе в атмосферу Земли с первой космической скоро-
стью на СА в основном действует конвективный тепловой поток.
При увеличении скорости входа резко возрастает температура
газа и давление за ударной волной. Это приводит не только к на-
греву газа, но и инициирует в нем сложные физико-химические
процессы, в результате которых за ударной волной образуются
новые соединения, в том числе соединения, способные излучать
тепловую энергию в окружающее пространство, происходит их
ионизация и диссоциация и т. д. В результате поверхность СА
на этих режимах движения будет обтекаться высокотемпера-
турной излучающей плазмой. Создаются условия, при которых
на поверхность С А будет действовать не только конвективный,
но и радиационный тепловые потоки. Более того, в ряде случаев
радиационный тепловой поток может значительно превышать
конвективный. В этом случае в тепловой защите СА нельзя ис-
пользовать «прозрачные» материалы (например, кварцевое
стекло и материалы на его основе), так как поглощение лучис-
той тепловой энергии будет происходить не на поверхности, а
внутри материала, что будет снижать эффективность тепловой
защиты.
345
Таким образом, функциональное назначение тепловой защи-
ты С А заключается в защите силовой конструкции, систем, уст-
ройств и агрегатов аппарата от аэродинамического нагрева на
участке спуска в атмосфере, а также в обеспечении требуемых
условий жизни и деятельности экипажа на его борту. Различа-
ют активную, пассивную, радиационную ТЗ и защиту смешан-
ного типа [1,13].
Активная теплозащита предполагает наличие в ее составе
системы охлаждения силовой конструкции с помощью специ-
ального теплоносителя. Система охлаждения может быть осно-
вана на применении внутреннего (регенеративного) охлажде-
ния, а также на применении эффекта вдува газа или жидкости в
пограничный слой через специальные отверстия или капилля-
ры. В последнем случае ТЗ называется пористой тепловой защи-
той. Наиболее рационально использовать активную защиту в
гиперзвуковой авиации и в воздушно-космических самолетах
(ВКС).
В качестве активной защиты также рассматривают абляци-
онную (уносимую) ТЗ (рис. 21.23), основанную на использова-
нии процесса абляции, т. е. процесса уноса массы с поверхности
Рис. 21.23. Абляционная
тепловая защита:
1 — пограничный слой;
2 — прококсованный слой;
3 — зона плавления наполнителя;
4 — зона разложения смолы;
5 — исходный теплозащитный
материал; 6 — силовая
конструкция ЛА
твердого тела потоком горяче-
го газа в результате плавления,
испарения, разложения и хи-
мической эрозии материала ТЗ.
В качестве абляционных теп-
лозащитных материалов (ТЗМ)
[1, 17] обычно используют обуг-
ливающиеся композиционные
материалы или пластмассы. Свя-
зующим в этих материалах
являются фенольные, кремний-
органические и другие синте-
тические смолы, а наполните-
лем — углерод, двуокись крем-
ния (кремнезем, кварц), нейлон
ит. д.
В процессе взаимодействия
данного ТЗМ с высокотемпера-
турным потоком газа происхо-
дит пиролиз материала с образо-
ванием уносимых газообразных
продуктов и твердого пористого
остатка — кокса, богатого угле-
родом. Коксовый слой постепен-
но утолщается по мере продви-
346
жения границы пиролиза в глубь материала. Этот слой в сочетании
с диффундирующими через него продуктами разложения является
хорошей тепловой защитой основного материала, так как обладает
высокими теплоизоляционными свойствами. Повышению эффек-
тивности данного способа ТЗ также способствуют эндотермические
реакции, проходящие в зоне пиролиза, высокое собственное тепло-
вое излучение поверхности ТЗМ и другие физико-химические про-
цессы, проходящие в зоне термического разложения ТЗМ.
Данный способ тепловой защиты нашел широкое примене-
ние при разработке ТЗ баллистических СА и СА, использующих
траектории скользящего спуска, а также головных частей и об-
текателей полезного груза PH (рис. 21.24) [14].
Пассивная ТЗ обеспечивает требуемую температуру корпуса
СА за счет аккумулирования в теплозащитном покрытии (ТЗП)
тепловой энергии, поступающей от внешнего высокотемпера-
турного газового потока. Используемые в этом случае материа-
лы должны обладать большой теплоемкостью, высокой поверх-
ностной стойкостью и достаточно высокой теплопроводностью.
Из-за большой массы ТЗ подобные покрытия редко использу-
ются.
Однако пассивная защита получила свое дальнейшее разви-
тие на орбитальной ступени МТКС «Space Shuttle» и на отечест-
венном МТКА «Буран» (см. рис. 21.22). Эти аппараты [14, 16]
имеют большую площадь поверхности и сравнительно большое
время нагревания при движении в атмосфере Земли; исключают
Рис. 21.24. Обтекатель космической головной части PH
347
применение тепловой защиты, в которой происходит плавление,
абляция, усадка и другие превращения, изменяющие аэродина-
мические и теплозащитные характеристики покрытия. Поэтому
проектанты МТКС сосредоточили свои усилия на разработке
плиточной и черепичной тепловой защиты, а также на разработ-
ке несущих, термостойких и не разрушаемых в процессе спуска
конструкций аппарата. Первые два типа объединяют фрагмен-
тарность покрытия и его локальная привязка к силовой конст-
рукции, в третьем случае речь идет об органическом единстве
теплозащитной и силовой конструкций. Все названные конст-
рукции сближает блокирование передачи тепла внутрь силовой
конструкции с помощью термостабильных теплоизоляционных
материалов с низкой каталитической способностью поверхности
и переизлучение избыточной тепловой энергии в окружающее
пространство.
Носовой обтекатель и передние кромки крыльев аппаратов
«Space Shuttle» и «Буран» способны воспринимать тепловые по-
токи плотностью порядка 5 • 105 Вт/м2. Эти конструкции выпол-
нены из углерод-углеродных КМ с защитным противоокисли-
тельным покрытием, а на их внутренней поверхности смонтиро-
ваны теплозащитные элементы (рис. 21.25). Носовой обтекатель
и секции носка крыла «Бурана» изготавливаются из КМ «Грави-
мол» и «Гравимол-В» плотностью 1,85 • 103 кг/м3 с противоокис-
лительным покрытием на основе дисилицида молибдена.
Рис. 21.25. Носовой обтекатель ВКС «Spase Shuttle»:
1 — оболочка из углерод-углеродного КМ «RCC»; 2 — уплотнение;
3 — кольца из КМ «RCC»; 4 — гибкая теплоизоляция «АВ-312»;
5 — плитки из керамики «Ы-2200»
348
В зависимости от уровня тепловых нагрузок вся поверхность
аппаратов «Space Shuttle» и «Буран» разбита на четыре зоны,
причем плиточное ТЗП (рис. 21.26) занимает около 70% общей
площади. На участках поверхности, нагревающихся до 1500 К на
ВКС «Space Shuttle», применяется ТЗП «HRSI» в виде плиток с
размерами 152 х 152 мм, толщиной 19...64 мм на основе керами-
ческого материала «Ы-2200», а на «Буране» — плитки из мате-
риала «ТЗМК-25». Данные материалы имеют плотность 350 кг/м3
и образованы посредством спекания волокон кварцевого стекла
со средним диаметром 4 мкм. На тех участках поверхности, где
температура не превышает 820 К, устанавливаются другие плит-
ки: типа «LRSI» из материала «Ы-900» на «Space Shuttle» разме-
рами 203 х 203 мм, толщиной 5,1...25,4 мм, а на «Бура-не» — из
материала «ТЗМК-10». Материал «Ы-900» и отечественный ана-
лог «ТЗМК-10» имеют плотность 144 кг/м3 и образованы посред-
ством спекания волокон кварцевого стекла со средним диаметром
2 мкм. В нашей стране созданы новые материалы указанного
класса «ТЗМК-12», «ТЗМК-20» и др.
Ввиду сравнительно малой прочности и высокой гигроско-
пичности волокнистых материалов для защиты от пылевой и
капельной эрозии на фронтальную и большую часть боковой
поверхности плиток нанесен тонкий слой (0,3 мм) боросиликат-
ного стекла, придающий им, по-
мимо прочего, и низкую ката-
литическую активность. Плитки,
расположенные на наветренной
стороне, имеют черное покрытие с
высокой излучательной способно-
стью, а плитки на подветренной
стороне — белое, с высокой отра-
жательной способностью в сол-
нечном спектре. С помощью клея
на основе силиконового каучука
плитки крепятся к оболочке кор-
пуса через подложку из фетра.
Между плитками имеются зазо-
ры, допускающие различное тер-
мическое расширение плиток и
оболочки. Непосредственно под
зазорами между плитками распо-
лагается уплотняющий жгут из
нейлонового волокна, верхнюю
сторону которого покрывает слой
силиконовой резины. В то время
как большая часть тепла (98%)
Рис. 21.26. Плиточное
теплозащитное покрытие
ВКС «SpaseShuttle»:
1 — плитка LRSI
из керамики «Ы-900»;
2, 4 — боросиликатное
покрытие «RCG», белое
и черное соответственно;
3 — плитка HRSI
из керамики «Ы-900»
или «Ы-2200»;
5 — компенсатор
напряжений из «Nomex»;
6 — силовой корпус;
7 — заполнитель из «Nomex»;
8 — клей-герметик «RTV-560»
349
переизлучается в пространство, зазор, имея ограниченный угол
обзора, «замыкает» тепло на конструкцию. Кроме того, неболь-
шие смещения плиток по вертикали и в боковом направлении
являются причиной интенсификации теплообмена в зазорах,
вызывающей термические повреждения уплотнения в случае
превышения температуры 793 К.
Более 30% поверхности аппарата «Space Shuttle» покрыто гиб-
кой теплозащитой в виде стеганых холстов 302 х 302 мм из мате-
риала «Nextel», образованного из волокон алюмоборосиликатного
стекла. Исследована возможность применения ТЗП данного клас-
са из волокон карбида кремния (материал «Nicalon»). В состав
теплозащиты ВКС «Буран» входят аналогичные материалы.
Радиационная ТЗ используется для защиты элементов кон-
струкции, расположенных в зонах с относительно низким уров-
нем тепловых потоков (например, на «подветренной» стороне
СА). Классическая радиационная ТЗ представляет собой внеш-
нюю металлическую жаростойкую обшивку (радиационный эк-
ран), покрывающую защищаемую часть аппарата. Отметим, что
в основном эта защита используется на космических аппаратах,
в том числе на рассмотренном ранее СЗ. Отвод тепловой энергии
осуществляется посредством излучения в окружающее про-
странство. Величина излучаемой в окружающее пространство
тепловой энергии определяется температурой экрана, которая,
в свою очередь, зависит от плотности подводимого теплового по-
тока и степени черноты поверхности.
Учитывая, что температура радиационного экрана сущест-
венно превышает допустимую для корпуса СА, необходимо
предусмотреть меры по снижению тепловых потоков, поступаю-
щих внутрь КА по узлам крепления. Кроме того, пространство
между радиационным экраном и корпусом СА обычно заполня-
ют теплозащитным материалом. Поэтому рассматриваемый
способ ТЗ по сути является тепловой защитой смешанного типа.
Глава 22
Моделирование процессов теплообмена
и тепловых режимов ракетно-космической
техники
22.1. Общие сведения. Экспериментальное
и математическое моделирование
В главе 21 было показано, что ракеты-носители, космиче-
ские и спускаемые аппараты функционируют в условиях интен-
сивного процесса теплопереноса, обусловленных взаимодейст-
350
вием с внешней средой, а также работой силовых и энергетиче-
ских установок. При этом многие конструкции и системы
работают в экстремальных температурных режимах, подчас на
пределе своих возможностей. В то же время при проектирова-
нии и отработке этих ответственных и весьма дорогостоящих
технических объектов требуется обеспечивать необходимые
надежность и ресурс работы, а также снижать их материалоем-
кость и сокращать затраты на производство и эксплуатацию.
Известный подход к гарантированному обеспечению работо-
способности агрегатов и систем заключается во введении некото-
рых коэффициентов запаса, например запаса по расчетной толщи-
не слоев теплозащитных покрытий или мощности систем терморе-
гулирования. Это приводит к определенной неоптимальности про-
ектных решений, при этом ее степень будет тем выше, чем больше
останется неопределенности при математическом описании тепло-
массообменных процессов, сопровождающих работу конструкций.
Эти неопределенности связаны со сложностью рассматриваемых
процессов и, как следствие, с неполной адекватностью условий
экспериментальной отработки изделий, а также с влиянием раз-
личных случайных факторов, учет которых иногда просто невоз-
можен. В частности, вопрос об оптимальности проектно-конструк-
торских решений и параметров становится особенно актуальным
при создании многоразовых ракетно-космических систем, когда
завышенные коэффициенты запасов существенно сказываются на
конечной эффективности и стоимости.
Проблема достаточно полного моделирования тепловых усло-
вий функционирования объектов ракетно-космической техники
является одной из наиболее сложных при их проектировании и
испытаниях, поскольку соответствующие процессы тепломассо-
переноса в общем случае характеризуются высокой интенсивно-
стью, нелинейностью, нестационарностью, неодномерностью их
протекания и зависят от многих факторов. Остановимся на воп-
росе моделирования более подробно.
Любые научные исследования и прикладные разработки
подразумевают использование общего метода, который базиру-
ется на изучении свойств и характеристик объектов различной
природы посредством исследования некоторых аналогов и из-
вестен под названием «моделирование».
МОДЕЛИРОВАНИЕ — это замещение исследуемого объекта О
(оригинала) моделью М с целью исследования свойств О с по-
мощью М. Модель обычно отражает основные характеристики
оригинала. Она проще оригинала, поэтому более удобна, более
доступна для изучения, чем моделируемый объект. Состоятель-
ность (степень адекватности) модели определяет достоверность
и точность моделирования.
351
Модель может быть материальной (физической) и умозри-
тельной (математической). Соответственно различают физиче-
ское (экспериментальное) и чисто математическое моделиро-
вание. В первом случае исследование свойств и характеристик
оригинала (физического процесса, технической системы, техно-
логии изготовления) осуществляется в результате реальных экс-
периментальных исследований на макетах, физических моде-
лях, образцах. При математическом моделировании изучение
оригинала заменяется исследованием его математической моде-
ли (ММ) с широким привлечением компьютерной техники. Роль
математического моделирования в различных исследованиях и
разработках непрерывно возрастает, что обусловливается необ-
ходимостью, с одной стороны, более глубокого проникновения в
сущность исследуемых объектов, а с другой — снижения стои-
мости и сроков разработок. Оно стимулируется развитием мате-
матических методов, совершенствованием вычислительных ал-
горитмов, программного обеспечения и компьютерной техники.
В свою очередь, развитие вычислительных методов, програм-
много обеспечения и вычислительной техники вызывается на-
сущными потребностями практики. Необходимо заметить, что
все более широкое использование на практике методов матема-
тического моделирования не исключает необходимости проведе-
ния экспериментов и испытаний, которые всегда останутся глав-
ным критерием достоверности математического моделирования.
В дальнейшем под тепловым математическим моделирова-
нием будем понимать составление и обоснование математиче-
ских моделей процессов теплообмена, а также исследование на
их основе теплового состояния рассматриваемого объекта. Эти
модели и соответствующие расчеты используются на различных
стадиях проектирования и экспериментальной отработки тех-
нических систем.
22.2. Математическая постановка задачи
Первый шаг в математической постановке задачи в общем
случае подразумевает конструирование структуры модели, т. е.
качественное описание оригинала с помощью тех или иных ма-
тематических операторов. Эта процедура называется структур-
ной идентификацией. Основу структурной идентификации про-
цессов теплообмена составляют известные физические законы,
в частности, фундаментальные законы механики сплошной сре-
ды, описывающиеся уравнениями сохранения массы (неразрыв-
ности), количества движения и сохранения энергии, а также за-
коны, установленные для конкретных видов теплообмена, на-
352
пример закон теплопроводности Фурье, закон трения Ньютона,
закон излучения Стефана—Больцмана. Опираясь на эти зако-
ны, а также на известные закономерности, привлекая результа-
ты наблюдений (измерений), с исследуемым процессом можно
сопоставить ту или иную математическую модель.
Обычно одному и тому же исследуемому объекту может быть
поставлено в соответствие некоторое множество моделей, отли-
чающихся, в частности, числом учитываемых факторов и соот-
ветственно полнотой и точностью описания оригинала, с одной
стороны, и сложностью модели — с другой. Одно из главных
требований к ММ состоит в необходимости учета в ней всех ос-
новных факторов и взаимосвязей рассматриваемого объекта и
исключения второстепенных факторов и связей.
Наиболее распространенными являются дифференциаль-
ные тепловые модели, когда процессы теплообмена описывают-
ся теми или иными дифференциальными операторами. Разли-
чают модели с сосредоточенными параметрами, описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями, и модели
с распределенными параметрами, описываемые уравнениями с
частными производными. Для процессов, происходящих в
сплошных средах, передача тепла, давления, концентрации
происходит через континуум материальных точек. В общем слу-
чае переменные, характеризующие состояние таких процессов,
являются функциями времени и пространственных координат.
Для описания таких теплообменных процессов должны исполь-
зоваться уравнения с частными производными. Однако в ряде
случаев можно применять более грубые математические описа-
ния, основанные на обыкновенных дифференциальных уравне-
ниях. Соответствующие модели с сосредоточенными параметра-
ми не учитывают пространственной протяженности исследуемо-
го оригинала. Естественно, что такое описание возможно, если в
каждом пространственном элементе переходный процесс можно
считать независящим от пространственных координат, т. е. ког-
да размеры элементов малы по сравнению с наименьшей длиной
волны учитываемых частотных составляющих процесса. В этом
случае пространственные элементы моделируются материаль-
ными точками, что позволяет более сложную модель с распреде-
ленными параметрами аппроксимировать моделью с сосредото-
ченными параметрами.
Уравнения с частными производными используются для
описания процессов, распределенных как в пространстве, так и
во времени, причем в пространстве мы имеем не дискретную, а
сплошную среду. Большинство процессов теплообмена требуют
привлечения для их исследования именно таких моделей с рас-
пределенными параметрами.
353
Тепловые модели бывают стационарными и нестационарны-
ми (динамическими), линейными и нелинейными, одномерны-
ми и многомерными.
Принято выделять математические модели изучаемых по-
лей и сред и математические модели для решения конкретных
задач, сформулированных в рамках моделей полей и сред. Пер-
вые часто называют фундаментальными моделями. Они обычно
отражают общие законы теплообмена и не являются замкнуты-
ми с точки зрения получения решения конкретной задачи. В со-
ответствующих уравнениях зависимые переменные определяют
состояние исследуемого объекта. Например, это могут быть та-
кие полевые характеристики, как температура, концентрация
веществ, скорость, давление и т. д.
Чтобы определить значения зависимых переменных, нужно
на основе фундаментальной модели построить ядро прикладной
математической модели, добавить геометрическое описание ис-
следуемого объекта и замкнуть постановку задачи заданием со-
ответствующих краевых условий.
После этого можно приступать ко второму шагу в математи-
ческой постановке задачи, который заключается в наделении
модели выбранной структуры количественной информацией,
т. е. в определении (оценивании) входящих в нее неизвестных
характеристик (параметров модели). Этот этап носит название
параметрической идентификации.
22.3. Идентификации в тепловых исследованиях
и проектировании
Значение структурной и параметрической идентификации при
решении прикладных задач трудно переоценить. При прогнозиро-
вании традиционной схемы моделирования состояния некоторого
объекта, например температурного поля той или иной конфигура-
ции, составляется соответствующая последовательность шагов:
► неформализованное описание объекта исследования;
► математическая постановка задачи, в том числе выбор ядра
математической модели и геометрического описания объек-
та; замыкание модели путем задания краевых условий; пред-
варительное качественное исследование прикладной ММ —
анализ корректности; оценивание параметров модели;
► разработка метода решения и вычислительного алгоритма;
► составление и отладка программы для компьютерных расче-
тов;
► тестирование алгоритма на конкретных задачах, оценка эф-
фективности и области применения метода и алгоритма; при
необходимости — коррекция модели;
► серийные расчеты, анализ состояния объекта.
354
Необходимую точность результатов пытаются обеспечить на
всех перечисленных этапах. Тем не менее роль тех исследова-
ний, которые посвящены математической постановке задачи,
т. е. структурной и параметрической идентификации модели и
ее уточнению, особенно важна, поскольку погрешности и неоп-
ределенности, возникшие здесь, будут уже неустранимы на дру-
гих шагах математического моделирования. Кроме того, если
исходить из обеспечения требуемой точности итоговых резуль-
татов, то нужно рассматривать изложенную процедуру матема-
тического моделирования как единый процесс, где условно вы-
деленные этапы согласованы между собой. В противном случае
может сложиться явно противоречивая ситуация. Например,
желание повысить точность расчетов заставляет прибегать вро-
де бы к более точному описанию исследуемого объекта, а имен-
но к повышению размерности модели, использованию более
точных и соответственно более сложных численных методов и
схем решения прямой задачи, проведению расчетов с повышен-
ной точностью и т. д. В то же время исходная числовая инфор-
мация по коэффициентам модели и краевым условиям может
быть известна с достаточно большой неопределенностью, что пе-
речеркивает все подобные усилия. В этой связи очень важно при
идентификации модели проводить анализ ее чувствительности
по отношению к изменению ее параметров, а также оптимально
планировать эксперимент при оценивании параметров модели.
Такое же замечание можно отнести и к решению задач опти-
мизации параметров технического объекта. Эта процедура, кро-
ме решения (обычно многократного) той или иной прямой зада-
чи, включает собственно алгоритм оптимизации, выбор которо-
го часто сосредоточивает основное внимание проектанта и
отвлекает его от необходимости согласования точности различ-
ных составных частей в решении общей задачи проектирова-
ния. Поэтому здесь также важен анализ чувствительности про-
ектных решений к изменениям в исходных данных, что позво-
ляет достигнуть необходимого согласования.
Сложная ситуация обычно имеет место и при анализе соотно-
шений между стадиями собственно проектирования технического
объекта и его экспериментальной отработки. Не вдаваясь в этот
непростой анализ, отметим лишь, что данные стадии должны
быть увязаны друг с другом, равно как должны быть согласованы
расчетно-теоретические и экспериментальные исследования на
этапе собственно проектирования. Основа всей этой увязки и со-
гласования заключается в использовании взаимосогласованных
математических моделей как для проектирования, так и для экс-
периментальных исследований и испытаний. При этом нужно
иметь в виду, что обычно при проектировании сложных ответст-
венных технических объектов существует определенная иерар-
355
хия математических моделей. На начальных этапах в условиях
наибольшей неопределенности исследования проводятся с по-
мощью наиболее простых моделей. Затем, по мере уточнения ус-
ловий функционирования объекта и его проектных характерис-
тик, появляется возможность привлечения дополнительной ин-
формации, как качественной, так и количественной, в том числе
основанной на опыте и интуиции разработчиков. Эта информа-
ция позволяет расширить и усложнить модели, с тем чтобы по-
высить точность результатов. Это вполне естественный процесс,
однако во многом он бывает интуитивно-эвристическим, слабо
формализованным. Современные методы идентификации мате-
матических моделей процессов теплообмена позволяют не толь-
ко конструировать состоятельные модели для решения отдель-
ных задач. Они дают возможность последовательно и целенап-
равленно уточнять характеристики и корректировать структуру
моделей, проводить их систематизацию с тем, чтобы постепенно,
по мере разработки объекта обоснованно усложнять модели для
повышения точности расчетов.
Особо следует сказать об испытаниях, включая натурные
(летные). Они должны отвечать на вопрос об адекватности ос-
новных прикладных ММ, использованных на заключительных
стадиях проектирования, и при необходимости обеспечивать
окончательную коррекцию моделей.
Относительно математической постановки задачи, включая
проверку на ее адекватность изучаемому объекту, следует сде-
лать важное замечание, касающееся степени близости математи-
ческой модели оригиналу и, соответственно, достоверности и
точности результатов расчетов, выполненных на ее основе. Ус-
ловно можно разделить математические модели, используемые
при проектировании летательных аппаратов, на две категории.
Первая категория моделей относится к хорошо изученным объ-
ектам и процессам, когда можно считать, что эти модели явля-
ются практически точными для целей теплового проектирова-
ния, включая не только их структуру, но и входящие в них чис-
ловые величины. Обычно это такие процессы, которые могут
быть математически описаны на основании хорошо известных
законов и закономерностей и для которых имеется большой
практический опыт применения соответствующих математиче-
ских моделей. Желание разработчиков математических методов
и алгоритмов, базирующихся на таких моделях, повысить точ-
ность расчетов, применяя известные приемы вычислительной
математики, обычно не приводит в этом случае к рассогласова-
нию точности задания исходных данных и конечной точности
расчетных величин. Кроме того, варьируя погрешностями зада-
356
ния входной информации, можно математическим путем оце-
нить погрешности искомых результатов. Примерами подобной
ситуации могут быть задачи по расчету температурных полей в
элементах конструкции, изготовленных из металлов с известны-
ми теплофизическими свойствами. Перенос тепла в таких эле-
ментах описывается с высокой точностью феноменологическим
уравнением теплопроводности, которое в зависимости от уровня
температур, геометрии элемента и распределения тепловых на-
грузок по его поверхности может быть линейным и нелинейным
(квазилинейным), одномерным или многомерным. При доста-
точно точном задании тепловых граничных условий и теплофи-
зических свойств материалов можно быть априори уверенным в
достаточной точности определения температурного поля конст-
руктивного элемента. То же можно сказать и о точности выпол-
нения закона Стефана—Больцмана при определении потерь теп-
ла с поверхности тела при правильном задании степени черноты
поверхности тела, о точности расчета плотности падающего на
поверхность КА солнечного теплового потока и т. д. В подобных
случаях процессы давно и глубоко изучены и имеются хорошо
отработанные классические методы определения числовых вели-
чин, входящих в модели параметров и функций, а также дав-
нишний опыт практического использования таких моделей в
различных областях науки и техники, что позволяет с уверенно-
стью применять их для моделирования тепловых режимов кон-
струкций ЛА.
Для целей проектных расчетов изначальная ММ, наиболее
полно и точно описывающая тепловое состояние рассматривае-
мого объекта, часто подвергается упрощениям, во многих слу-
чаях довольно значительным. Например, сложная геометриче-
ская модель заменяется более простой, понижается размерность
уравнения переноса тепла, нелинейная задача аппроксимирует-
ся линейной и т. д. Такие приемы вполне естественны, посколь-
ку позволяют сделать прикладную постановку задачи более
удобной и мобильной для серийных расчетов, существенно
уменьшить затраты вычислительного времени и потребные объ-
емы компьютерной памяти. Однако всегда остается принципи-
альная возможность априорной оценки точности упрощенной
математической модели по отношению к исходной. Чтобы ре-
ализовать эту возможность, т. е. произвести контрольные пове-
рочные расчеты на основе той модели, которая не вызывает сом-
нений в ее точности, мы должны иметь работоспособный алго-
ритм для численного решения исходной задачи или хотя бы ее
решения по частям, используя принцип декомпозиции.
357
Совсем другая, более сложная ситуация, имеет место в сле-
дующих случаях:
► когда процессы, происходящие в исследуемом объекте, еще
недостаточно изучены;
► когда входящие в приближенную модель числовые величи-
ны должны каждый раз определяться заново в зависимости
от ожидаемого режима функционирования объекта.
В первом случае построение ММ обычно основывается не
только на привлечении известных физических законов и зако-
номерностей, но и ряде дополнительных предложений, позво-
ляющих сформировать те или иные гипотезы. Проверка состо-
ятельности этих гипотез должна основываться как на привлече-
нии имеющихся экспериментальных данных по аналогичным
или близким ситуациям, так, при необходимости, и на поста-
новке специальных экспериментов на образцах и моделях, про-
ведении испытаний макетов для получения требуемой дополни-
тельной экспериментальной информации. При этом анализиру-
ется достоверность моделей путем сравнения расчетных и
экспериментальных данных, в результате проводится отбраков-
ка гипотез и выбирается наиболее простая модель из числа тех,
которые обеспечивают требуемую точность расчетов.
Во втором случае вид модели постулируется заранее, осно-
вываясь на прошлом опыте, но коэффициенты модели должны
быть определены из эксперимента, моделирующего реальные
условия работы объекта. Вывод о корректности числовых ха-
рактеристик модели также базируется на рассмотрении невязки
между расчетными и экспериментальными данными.
Таким образом, в отличие от первой категории моделей точ-
ность результатов в зависимости от погрешностей исходных дан-
ных не может быть найдена чисто математическим путем. Кри-
терием правильности здесь выступает эксперимент, а в более ши-
роком плане — практика. В качестве примера можно привести
математические модели для разрушающихся теплозащитных
материалов, когда в приближенных уравнениях теплопереноса
коэффициенты зависят не только от температуры материала, но
и от режима их нагрева. Для их определения необходимо осу-
ществлять экспериментальное исследование процессов прогрева
и разрушения образцов этих материалов на специальных стен-
дах (плазмотронах, установках на основе ракетных двигателей,
тепловакуумных камерах и т. д.). В процессе таких эксперимен-
тов требуется воспроизвести ожидаемые в реальном полете ре-
жимы изменения основных параметров внешней теплопередачи,
таких, как плотность теплового потока на поверхности тела, эн-
тальпия газа на верхней границе пограничного слоя и др.
358
22.4. Идентификация математических моделей
и обратные задачи
Структурная и параметрическая идентификация процессов
теплообмена тесно связана с решением обратных задач для диф-
ференциальных уравнений. Деление задач в математическом
моделировании на прямые и обратные основывается на рассмот-
рении причинно-следственных связей в исследуемой приклад-
ной математической модели.
К причинным характеристикам, в соответствии с принятой
моделью, относятся граничные условия и их параметры, на-
чальные условия, коэффициенты дифференциальных ^уравне-
ний, а также геометрические характеристики области задания
уравнений.
Следственные характеристики будут описывать состояния
исследуемого объекта, т. е. поля физических величин (темпера-
туры, давления, скорости движения газа или жидкости и т. д.).
Важно отметить, что в такой интерпретации причинные харак-
теристики не зависят от следственных проявлений в том смыс-
ле, что первые могут быть заданы независимо от вторых и доста-
точно произвольными величинами.
Выделенные два вида характеристик связаны между собой
однонаправленной причинно-следственной зависимостью, уста-
новление которой составляет цель прямой задачи. Другими сло-
вами, если требуется, используя прикладную математическую
модель, найти переменные состояния, т. е. следствие по задан-
ным причинным характеристикам, то мы имеем дело с реше-
нием прямой задачи. Наоборот, если по определенной информа-
ции о физических полях требуется восстановить некоторые при-
чинные характеристики, то получаем ту или иную обратную за-
дачу.
Здесь следует сделать важное замечание. Нарушение естест-
венной причинно-следственной связи, имеющее место в поста-
новке обратной задачи, может привести (и это обычно происхо-
дит) к ее математической некорректности, чаще всего — к неус-
тойчивости решения. Поэтому обратные задачи, как правило,
являются некорректно поставленными и требуют для своего ре-
шения специальных методов.
22.5. Типы обратных задач теплообмена
Можно выделить две крупные разновидности обратных за-
дач теплообмена, назвав их оптимизационными и диагностиче-
скими или идентификационными.
359
В первом случае мы рассматриваем ту или иную задачу оп-
тимизации, которая возникает обычно при оптимальном управ-
лении процессами или техническими объектами и при выборе
оптимальных проектных параметров технической системы.
Приведем примеры этих задач, при этом ограничимся простей-
шими постановками.
22.5.1. Оптимальное управление нагревом тела
Рассмотрим неограниченную пластину, одна поверхность
которой теплоизолирована, а другая нагревается конвективным
потоком тепла от окружающей среды, температуру Те которой
можно изменять во времени. Требуется найти такой темпера-
турный режим 7\(т), при котором температура на другой грани-
це будет близка к некоторой заданной функции
Выберем целевой функционал в виде среднеквадратической
невязки
J=j (T(b, т) - Г(т))2 dr, (22.1)
О
где ттах — время наблюдения, поставим задачу поиска управле-
ния Те(т) из условия минимума т при определении функции Т(Ь,
т) из решения следующей краевой задачи для уравнения тепло-
проводности:
С^Г = Х е (0’ Ь)’ Т е (0’ Т—); (22-2)
Т(х, 0) = Т0(х); (22.3)
^(Ь, т) = 0; (22.4)
= а(ВД - Т(0, г)), (22.5)
дх|х = о
где С, X — соответственно объемная теплоемкость и теплопро-
водность материала пластины; Т0(х) — начальное распределе-
ние температуры в пластине; а — коэффициент теплоотдачи.
Очевидно, что с точки зрения причинно-следственных свя-
зей эта оптимизационная постановка является обратной зада-
чей теплопроводности.
22.5.2. Оптимизация теплозащитного пакета
При проектировании тепловой защиты возникает другая ти-
пичная оптимизационная задача (задача синтеза).
Рассмотрим плоскую пластину, состоящую из N слоев раз-
ных материалов с известными теплофизическими характерис-
360
тиками. На одной из внешних границ пластины задан тепловой
режим в форме закона Ньютона, другая является теплоизоли-
рованной. Требуется найти толщины слоев, обеспечивающие
минимум удельной массы пластины при соблюдении заданных
ограничений на максимальные температуры в слоях. Математи-
ческая модель теплопроводности для этой задачи при абсолют-
ных термических контактах слоев запишется следующим обра-
зом:
-1* 6 (0’ ’6
S, = {(х, г): d._ t < х < df, d0 = 0; 0 < г < xmax}, j = 1, ..., Np. (22.6)
Здесь Sz определяет область изменения пространственной х и
временной т координат для каждого у-го слоя пластины; dlX —
начальная, a dt — конечная координаты у-го слоя пластины.
Начальные условия:
Т,{х, 0) = Т0Дх), 7 =1, Nр. (22.7)
Условия неразрывности температуры на внутренних грани-
цах пластины:
г) - T/ + 1(dt°, г) = о, j = 1, ..., (Np - 1); (22.8)
г) - Xy+ x^(b, x)(d;°, г) = 0,
7 = 1, ..., (ЛГр- 1). (22.9)
Граничные условия на левой границе:
XjarlJQ’T.) + а(Те - ТЧО, т)) = 0. (22.10)
Граничные условия на правой границе:
ЭТ^°’Т) = о, (22.11)
где теплофизические свойства Cj и начальное распределение
температур TJ0(x), коэффициент теплоотдачи а и температура
окружающей среды Те являются известными величинами. Ис-
комый вектор {dj} должен обеспечить минимум величине
NP
m= S p/^-d.j),
J = 1 J J J
где py — плотность материала у-го слоя при ограничениях
ТЦ, т) < T'im; Ц - J > 0, 7 = 1, ..., Np, (22.12)
где T]iim — значения предельно допустимых температур в стыках.
361
Поскольку тепловое состояние пластины задано неравенст-
вами (22.12) и является следствием тех или иных значений тол-
щины слоев, то данная задача также может быть отнесена к гео-
метрическим обратным задачам в экстремальной постановке.
Существует много других обратных задач оптимизационного
типа, например таких, как выбор оптимальной формы обтекае-
мого тела, обеспечивающей минимальное сопротивление движе-
нию, или оптимизация контура сопла, дающего минимальные
потери тяги, и т. д.
22.5.3. Задачи диагностики и идентификации
В диагностических или идентификационных обратных зада-
чах в качестве исходных данных выступают результаты измере-
ний следственных характеристик исследуемого процесса (обыч-
но это измерения физических полей в средах), а искомыми яв-
ляются причинные характеристики (коэффициенты уравнений
модели, краевые условия, геометрические характеристики рас-
сматриваемого тела или среды). Одна из типичных граничных
обратных задач теплопроводности данного типа в простейшем
случае формулируется следующим образом: необходимо найти
временную зависимость температуры среды, омывающей одну
из сторон однородной пластины, если известны измерения тем-
пературы на другой, теплоизолированной, границе. С формаль-
ной точки зрения постановка этой задачи может совпадать с за-
дачей оптимального управления граничным тепловым режи-
мом, заданной условиями (22.1)...(22.5).
22.5.4. Методологические отличия оптимизационных
и диагностико-идентификационных задач
Важно обратить внимание на то обстоятельство, что методо-
логические задачи проектирования и управления принципиаль-
но отличаются от задач диагностики или идентификации. Для
первого типа задач расширение класса допустимых решений
обычно полезно, так как требуется найти любое технически ре-
ализуемое решение, обеспечивающее экстремум критерия каче-
ства с некоторой заданной точностью. В противоположность
этой ситуации для диагностических обратных задач расшире-
ние класса предполагаемых решений обычно приводит к значи-
тельным трудностям, связанным с ростом погрешностей в иско-
мых величинах. Отмеченное различие отчетливо видно на при-
веденных примерах задач оптимального граничного управления
тепловым режимом тела и диагностики этого режима. Несмотря
на полное совпадение математической записи этих задач, мето-
дологические различия в их решении очевидны. В случае опти-
362
мизации мы можем менять управление в достаточно большом
диапазоне, что мало скажется на значениях целевого функцио-
нала, поскольку физика распространения тепла такова, что от-
клонения в функции Т(Ь, т) оказываются существенно меньше
по сравнению с исходными отклонениями в варьируемой функ-
ции и(т). В то же время в задаче диагностики это свойство тепло-
проводности будет приводить к большой погрешности полу-
чаемого решения. Именно в этом случае требуется обязательное
использование регуляризованных методов решения.
То же можно сказать и о возможной неединственности реше-
ния задач. В задачах оптимизации этот фактор часто может рас-
сматриваться как благоприятный, поскольку имеется набор ре-
шений, среди которых можно выбирать и по другим критериям.
Так, в процессе принятия решения на этапе разработки техниче-
ских предложений часто возникает ситуация, когда имеется не-
сколько альтернатив, удовлетворяющих требованиям техниче-
ского задания. В этом случае все альтернативные варианты срав-
ниваются, оцениваются и из их числа выбирается обычно один
вариант, который более детально прорабатывается на этапе эс-
кизного проектирования. Наоборот, в задачах диагностики и
идентификации множественность решений приводит к тому, что
в данной постановке мы не можем решить задачу и требуются ка-
кие-то изменения, например доопределение постановки задачи.
22.5.5. Обобщенная постановка обратных задач
Процесс разработки теплонагруженных систем обычно за-
ключается в выполнении следующих операций:
1. Разработка концепции системы (например, тепловой за-
щиты или терморегулирования).
2. Выбор математических моделей теплопереноса (структур-
ная идентификация).
3. Разработка и создание физических моделей элементов
системы.
4. Проведение модельных экспериментов.
5. Параметрическая идентификация математических моделей.
6. Тепловая диагностика потенциально возможных процес-
сов внешнего теплообмена (оценивание внешнего теплового воз-
действия на объект).
7. Выбор оптимальных проектных параметров или законов
управления.
8. Создание опытных образцов исследуемых объектов.
9. Проведение испытаний системы (возможно, полномасш-
табных).
363
10. Уточнение характеристик математической модели и
внешнего теплового воздействия.
11. Натурные испытания.
12. Окончательное уточнение характеристик математиче-
ской модели и внешнего теплового воздействия.
После выполнения каждого изп. 5,6, 10, 12 проводится ана-
лиз адекватности математической модели, и в случае ее неадек-
ватности происходит возвращение к п. 2.
При разработке теплонагруженных элементов конструкции
и систем в последние годы увеличивается объем эксперимен-
тальных и теоретических исследований на ранних этапах разра-
ботки. Это объясняется постоянным ростом стоимости полно-
масштабных (особенно летных) испытаний, современных ЛА и
их систем. Поэтому необходимо еще на предварительной стадии
исследований (п. 1...6) постараться обеспечить максимальную
достоверность исходных данных для решения задачи выбора оп-
тимальных параметров или законов управления для проекти-
руемого объекта. Для этого необходимо привлекать современ-
ные методы обработки и интерпретации экспериментальных
данных.
Основной задачей при разработке теплонагруженной конст-
рукции является выбор оптимальных проектных параметров
системы или режимов управления (п. 7). Проектирование тепло-
нагруженных элементов конструкции является частью общей
задачи проектирования. Как правило, в сложных задачах опре-
деление рациональных проектных решений осуществляется по-
этапно с декомпозицией поисковой задачи по уровням, отличаю-
щимся степенью детализации проектных расчетов и набором по-
исковых операций. В литературе обычно выделяют три уровня
проектных изысканий. На первом (верхнем) уровне определяют
предварительные значения проектных параметров по соотноше-
нию проектных критериев и ограничений. На втором уровне осу-
ществляют поиск допустимых значений критериев и проектных
параметров. На третьем уровне определяют предельные значе-
ния характеристик процессов теплообмена для данного варианта
аппарата и значения проектных параметров, соответствующие
этим характеристикам (например, толщина пакета ТЗП, соот-
ветствующая предполагаемым значениям плотностей внешних
тепловых потоков и распределению температуры). Тепловое про-
ектирование обычно имеет место при третьем уровне проектных
исследований.
В общем виде задача теплового проектирования может быть
сформулирована следующим образом: требуется определить век-
тор проектных параметров р системы из некоторой области Р так,
364
чтобы минимизировать целевой функционал J(p, Т), где Т — век-
тор характеристик состояния системы (температуры, плотности
тепловых потоков, массовой скорости уноса материала, концент-
рации и т. д):
Т(х, т) = Tk(x, т), k = 1, 2, ..., К,
где х — пространственная координата; т — время; К определяет-
ся видом математической модели теплообмена. В качестве мини-
мизируемого функционала (проектного критерия, критерия оп-
тимизации) используются суммарная масса системы, стоимость
создания и отработки системы тепловой защиты и т. д. Множест-
во допустимых решений определяется техническими и физиче-
скими ограничениями в виде равенств gf(T) = 0, i = 1, 2, ..., п и не-
равенств 8у(Т) < 0, j = 1, 2, ..., т. Эти ограничения обычно зависят
от характеристик состояния системы.
Таким образом, в формализованном виде имеем задачу
min J(p, Р); (22.13)
реР
Р = {р е Р|^(Т) = 0, i = 1, 2, ...» n; s/T) < 0, j = 1, 2, ..., т}; (22.14)
Т(х, т) = L(T(x, т), х, т, z(T, х, т), q(x, т)), (22.15)
где L — некоторое нелинейное преобразование, представляю-
щее собой математическую модель теплопереноса в системе; z —
вектор характеристик системы р е z; q — внешнее воздействие
на систему.
Другой не менее важной задачей при разработке является
управление тепловыми режимами. В общем виде она может
быть сформулирована следующим образом. Требуется опреде-
лить вектор управления и системы из некоторой области U так,
чтобы минимизировать целевой функционал J(u, Т). В качестве
минимизируемого функционала могут рассматриваться как
различные критерии эффективности системы (аналогично зада-
че теплового проектирования), так и различные меры уклоне-
ния тех или иных характеристик состояния системы от априори
заданного закона их изменения f. Множество допустимых уп-
равлений, как и в задаче теплового проектирования, опреде-
ляется техническими и физическими ограничениями ^(Т) = О,
i = 1, 2, ..., п; 8у(Т) < 0, j = 1, 2, ..., т. Таким образом, в форма-
лизованном виде имеем задачу
min J(u, Т, f); (22.16)
Р = {р g P|g.(T) = 0, i = 1, 2, ..., n; s/T) < 0, j = 1, 2, ..., m}; (22.17)
T(x, t) = L(T(x, t), x, t, z(T, x, t), q(x, t)), (22.18)
причем u g (z, q).
365
Задачи теплового проектирования и управления часто непо-
средственно связаны друг с другом. Рассмотрим, например, за-
дачу разработки пористой системы тепловой защиты. В качест-
ве проектных параметров такой системы можно рассматривать
материал пористого покрытия, толщину покрытия, состав про-
дуваемого газа, максимальный напор и массу газа, а в качестве
управления — закон изменения расхода продуваемого газа в те-
чение функционирования системы.
Очевидно, что в этом случае задачи проектирования и управ-
ления нужно решать совместно. Причем максимальный напор и
масса газа могут быть получены исходя из выбранного закона
управления.
Отметим некоторые особенности теплового проектирования:
► отсутствие в ряде случаев возможности применить отрабо-
танные методики, поэтому расчетные модели приходится со-
вершенствовать в процессе проектирования;
► неопределенность при выборе проектных решений из-за раз-
броса значений исходных данных;
► необходимость сопровождения проектирования эксперимен-
тальным моделированием для выявления предельных усло-
вий работы, прогнозирования возможностей применения.
Проектный расчет осуществляется при неполной исходной
информации. Поэтому основным способом определения значе-
ний проектных параметров является итерационный поиск со все
возрастающим объемом используемой информации при переходе
от этапа к этапу и с возрастающей степенью детализации.
В основе оптимального теплового проектирования лежит ма-
тематическая модель разрабатываемой системы (22.15) или
(22.18) и минимизируемая целевая функция (22.13) или (22.16).
Модель связывает искомые проектные параметры (законы уп-
равления), нагружающие воздействия (например, внешние и
внутренние тепловые потоки) и свойства системы, которые явля-
ются причинными с точки зрения постановки прямой задачи, с
характеристиками, описывающими состояние объекта (следст-
венными характеристиками). Таким образом, если следовать
концепции причинных и следственных характеристик, то задача
теплового проектирования может рассматриваться как обратная
задача теплообмена в экстремальной постановке: по известным
условиям, определяющим допустимое тепловое состояние объек-
та (22.14) или (22.17), т. е. заданной области изменения следст-
венной характеристики, найти требуемые причинные характе-
ристики, удовлетворяющие этому состоянию и минимизирую-
щие критерий оптимальности (22.13) или (22.16).
Для успешного решения задач теплового проектирования и уп-
равления тепловыми режимами предварительно необходимо раз-
366
работать и обосновать (т. е. идентифицировать) математические
модели теплопереноса (п. 2 и 5), а также провести диагностику
внешнего теплового воздействия на исследуемый объект (п. 6).
Первый шаг при идентификации математических моделей
заключается в выборе ее структуры, т. е. качественном описа-
нии исследуемого процесса с помощью тех или иных операторов
(22.15). Второй шаг заключается в наделении модели количест-
венной информацией, т. е. в определении (оценивании) входя-
щих в структурную математическую модель неизвестных ха-
рактеристик (коэффициентов модели).
При структурной идентификации предполагается, что на ос-
нове априорной информации об исследуемом процессе можно
выбрать некоторое множество подходящих математических мо-
делей. Обычно применяется стратегия последовательного уточ-
нения. Вначале формулируется наиболее простая модель из чис-
ла прогнозируемых и проверяется ее адекватность в пределах
заранее оговоренной точности. Если это условие не выполняет-
ся, модель усложняется и опять проверяется на адекватность.
И так до тех пор, пока не будет получен желаемый результат.
Обычно итеративный процесс перебора моделей является эврис-
тическим. Во многих случаях структурная идентификация
включает в себя параметрическую. При проверке адекватности
выбранных математических моделей приходится определять их
неизвестные характеристики.
Предположим, что структура математической модели иссле-
дуемого процесса теплообмена известна. Однако некоторые из
характеристик математической модели необходимо определить
по результатам экспериментальных исследований, т. е. решить
задачу параметрической идентификации.
Параметрическая идентификация математических моделей,
как и тепловая диагностика физических процессов, тесно связа-
на с решением обратных задач математической физики. Рас-
смотрим математическую модель теплообмена (22.15) с точки
зрения соотношений «причина—следствие». К причинным ха-
рактеристикам могут быть отнесены граничные условия, на-
чальные условия, характеристики материалов системы, ее гео-
метрия и т. д., т. е. вектор исходных данных в (22.15) или
(22.18). Тогда следственные характеристики будут описывать со-
стояние исследуемой системы. Под ними обычно понимаются по-
ля физических величин, формирующиеся в процессе теплопере-
носа Т(х, т). Выделенные два вида величин связаны между собой
однонаправленной причинно-следственной зависимостью (опе-
ратор L), установление которой составляет цель прямой задачи.
В результате экспериментальных исследований обычно удает-
ся измерить некоторые характеристики состояния системы f^P.
367
Целью задачи идентификации (или диагностики) является опре-
деление той или иной совокупности характеристик u g z (в случае
задачи диагностики u е q) на основе дополнительной информа-
ции о состоянии системы. Множество допустимых решений опре-
деляется физическими ограничениями на значения определяе-
мых характеристик (например, интегральная степень черноты
материала лежит в диапазоне [0, 1]). Таким образом, задача пара-
метрической идентификации или тепловой диагностики в форма-
лизованном виде может быть представлена следующим образом:
min J(u, Т, fexp); (22.19)
(7 = {ue (7|^(и) = 0, i = l,2,п; s/u) < 0, j = 1, 2, ...» т}; (22.20)
Т(х, т) = L(T(x, т), х, т, z(T, х, т), q(x, т))> (22.21)
причем u g z или u е q.
Аналогичные по постановке задачи уточнения характерис-
тик математических моделей разрабатываемых систем и диаг-
ностики соответствующих процессов теплопереноса имеют весь-
ма важное значение при проведении полномасштабных натур-
ных испытаний.
Как уже отмечалось, высокая стоимость экспериментальной
отработки современных образцов техники приводит к необходи-
мости обеспечения максимально возможной информативности и
достоверности получаемых данных при минимально возможном
количестве проводимых экспериментов. За счет рационального
выбора условий проведения эксперимента (таких, как геометрия
испытываемых образцов, внешнее тепловое воздействие и т. д.)
может быть получена экспериментальная информация, позволяю-
щая восстановить анализируемый набор характеристик системы с
максимально возможной точностью. Таким образом, естественно,
возникает задача оптимального планирования, т. е. выбора опти-
мальных условий проведения экспериментов и испытаний.
22.6. Примеры постановок обратных задач
в тепловом проектировании
22.6.1. Общая постановка задачи
и классификация обратных задач теплопроводности
В обратных задачах теплопроводности (обратных задачах
для уравнения теплопроводности) предполагается, что процесс
переноса тепла в твердом теле осуществляется или чисто кон-
дуктивным путем, или модель теплообмена в теле представлена
обобщенным уравнением теплопроводности с эффективными
значениями коэффициентов.
368
Классифицируем обратные задачи теплопроводности (ОЗТ)
на примере одномерной постановки. Пусть в области
D = {(х, т): Хх(т) < х < Х2(т), 0 < т < тт}
задано нелинейное обобщенное уравнение теплопроводности
С(Т)^ = + Q(T). (22.22)
Краевая задача предполагает присоединение к (22.22) на-
чального распределения температур
Т(х, 0) = <р(х); Х^О) < х < Х^О) (22.23)
и граничных условий
L^T) = <рДт), 0 < т < тп, i = 1,2, (22.24)
где операторы Lt могут соответствовать граничным условиям I и
II краевых задач [2, 28], т. е.
L^T) = Т(ХДт), т)
или
Lt(T) = -Х(Т(ХДг), г))гГ(^Т)’Т),
а также возможна смешанная краевая постановка.
Прямая задача теплопроводности заключается в отыскании
функции Т(х, т), удовлетворяющей уравнению (22.22) в открытой
области D, удовлетворяющей условиям (22.23), (22.24) и непре-
рывной вместе с градиентом дТ(х, х)/дх в замкнутой области D.
Если одна из функций фДт), фДх), С(Т), ЦТ), k(T), Q(T) неиз-
вестна и требуется найти эту функцию (обозначим ее и(у)) и по-
ле температуры Т(х, т) по известным основным и дополнитель-
ному условию Т(х*, т) = /*(т) или Т(х, т*) = /(т), где х*, т* — задан-
ные точки или кривые (х*(т), т*(х)) внутри области D, то имеем
обратную задачу теплопроводности.
В соответствии с введенными выше причинными характе-
ристиками теплообменного процесса можно выделить следую-
щие типы обратных задач:
► ретроспективную задачу теплопроводности или задачу с
обратным временем, т. е. нахождение распределений темпе-
ратуры в предыдущие моменты времени (установление пре-
дыстории данного теплового состояния);
► граничную ОЗТ — восстановление тепловых условий на гра-
нице тела. К этому типу задач отнесем также задачу, связан-
ную с продолжением решения уравнения теплопроводности
от некоторой границы, где одновременно заданы температу-
ра Т(х*, т) и плотность теплового потока д(х*, т);
369
► коэффициентную ОЗТ — определение коэффициентов урав-
нения переноса тепла (задача идентификации оператора теп-
лопроводности);
► геометрическую ОЗТ, состоящую в определении некоторых
геометрических характеристик нагреваемого тела, например
в реконструировании закона движения теплообменной грани-
цы тела по результатам измерений температуры внутри тела.
Сделаем некоторые замечания, связанные с постановкой об-
ратных задач теплопроводности.
Определение функций и параметров, входящих в граничные
условия (коэффициента теплообмена а в граничных услови-
ях III рода, контактного сопротивления R в граничных усло-
виях IV рода [2, 28], интегральных коэффициентов поглоще-
ния А и излучения тепла е), обычно можно свести к гранич-
ной ОЗТ. Например, коэффициент а(т) рассчитывается по
плотности конвективного теплового потока дЛ(т), температу-
ре поверхности тела Тш(т) и характерной температуре газа
(жидкости), обтекающего тело Т*(т):
ffcond(^)
Пт)-Т.(т)’
Величина Qcond(T) находится из уравнения теплового баланса
на поверхности тела по известной плотности кондуктивного теп-
лового потока (в предположении, что тепловое излучение газа, а
также унос массы и вдув в пограничный слой отсутствуют):
?cond(x) = <7(т) “ естТ»(т)>
где £ — коэффициент черноты поверхности тела; о — постоян-
ная Стефана—Больцмана.
В такой постановке дополнительно должны быть заданы
функция Т*(т) и коэффициент £. Функция д(т) и Тш(т) вычисля-
ются из решения граничной ОЗТ.
Задача определения некоторой причинной характеристики
может быть переопределена, т. е. задано не одно, а несколь-
ко дополнительных условий.
Возможны комбинированные постановки ОЗТ, когда одно-
временно ищутся причинные характеристики разных типов.
Например, одновременно могут оцениваться граничные ус-
ловия и температурное поле в прошедшие моменты времени,
в задаче без начальных условий — комбинация граничной и
ретроспективной ОЗТ. Могут быть вполне естественные ком-
бинации граничной и коэффициентной задач, а также гра-
ничной и геометрической ОЗТ.
370
В общем случае обратные задачи теплопроводности в зависи-
мости от используемой модели процесса и вида области измене-
ния независимых переменных делятся на одномерные и много-
мерные, линейные и нелинейные, с фиксированными и подвиж-
ными границами, односвязные и многосвязные.
22.6.2. Обратные задачи теплообмена
в технической системе
Аналогично обратным задачам теплопроводности можно
ввести обратные задачи сложного теплообмена, обратные зада-
чи в системе тел, обратные задачи в теории пограничного слоя,
обратные задачи в сопряженной постановке.
Для теплового проектирования и моделирования ЛА наибо-
лее интересными и полезными являются обратные задачи теп-
лопроводности и обратные задачи теплообмена в технических
системах. Рассмотрим некоторую систему, состоящую из п тел с
внутренним тепловыделением (поглощением). Тела системы об-
мениваются тепловой энергией с окружающей средой и между
собой. В данном случае основное уравнение теплообмена полу-
чается из рассмотрения теплового баланса в предположении,
что техническая система может быть разделена на конечное
число L изотермических элементов:
L + г L + s
- Tt) + - Tf )St + Qsl +
1 = 1,2, L; s > 0; r > 0, (22.26)
где Cz — теплоемкость l го элемента; XZy — коэффициенты тепло-
обмена (тепловая проводимость между элементами с номерами I
и у); ktj — угловые коэффициенты; о — постоянная Стефана—
Больцмана; Sz — площадь поверхности элемента; Qsl — количе-
ство тепла, подводимое к элементу I из окружающего простран-
ства; Qz — количество тепла, выделяющееся в Z-м элементе; s и
г — число элементов, взаимодействующих с окружающей сре-
дой путем излучения и конвекции соответственно.
Коэффициенты л/у рассчитываются по различным соотноше-
ниям в зависимости от того, какой вид теплопередачи между
элементами / и j имеет место: теплопроводность, конвекция или
теплопроводность и конвекция.
Теплообменный процесс, описываемый уравнением (22.26),
определяется параметрами граничных условий и уравнений теп-
лового баланса, связями кондуктивного, конвективного и радиа-
ционного типов, эффективными теплофизическими характерис-
371
тиками и источниками тепла, геометрией и взаимным располо-
жением тел, а также начальным тепловым состоянием системы.
Если по указанным причинным характеристикам требуется
рассчитать текущие тепловые состояния (температурный ре-
жим) системы, такой расчет составляет предмет прямой задачи
теплообмена системы.
В том же случае, когда отдельные причинные характеристи-
ки неизвестны и требуется определить их по известной инфор-
мации о тепловых состояниях системы (фактических — при мо-
делировании, допустимых — при проектировании), то решают-
ся обратные задачи теплообмена системы. Заметим, что
одновременное определение всех параметров Cz, XZy, Qsl, Qt
возможно лишь с точностью до постоянного множителя.
При проведении тепловых испытаний часто оказывается не-
обходимым знать более подробное температурное поле в отдель-
ных элементах технической системы, чем полученное с по-
мощью составной модели (22.26). Применяя метод членения со-
ставной модели на простые, можно перейти к постановкам
локальных обратных задач теплообмена.
22.7. Тепловые модели
в задачах теплового проектирования КА
Большое значение в процессе проектирования современных
КА играет качественное решение задачи обеспечения рацио-
нального теплового состояния различных систем и агрегатов,
а также конструкции КА. Нередко весь комплекс этих исследо-
ваний в сочетании с выбором параметров соответствующих сис-
тем и аппарата в целом называют тепловым проектированием
КА (рис. 22.1).
В процессе теплового проектирования осуществляется:
► определение параметров и детальное изучение теплофизиче-
ских процессов, сопровождающих работу КА в течение всего
срока его существования;
► исследование степени вклада того или иного процесса в теп-
ловой режим;
► исследование теплового состояния систем, агрегатов, уст-
ройств и конструкции аппарата;
► определение рациональных принципов и способов обеспече-
ния необходимого теплового состояния аппарата;
► выбор типа и определение параметров системы обеспечения
теплового режима как отдельных элементов, так и всего ап-
парата в целом;
► уточнение компоновочной схемы, конструктивных решений
и параметров аппарата.
372
Тактико-технические требования
Носитель
Параметры рабочей среды
Полезный груз
Система
энергопитания
Система
управления
Система ориентации и
стабилизации
Конструкция
Радиотелеметрическая
система
СОТР
Тепловое проектирование КА
Конструкция
Материалы
Покрытия
Температурные
ограничения
Оборудование
Энергопотребление
Летный образец КА
Рис. 22.1. Процесс теплового проектирования КА
373
Одним из основных инструментов теплового проектирова-
ния является математическое моделирование теплового режима
аппарата [9], его конструкции, систем и агрегатов. Оно позволя-
ет детально проанализировать тепловое состояние аппарата и
теплофизические явления, которые имеют место в период жиз-
ненного цикла изделия, т. е. в процессе изготовления, испыта-
ний, отработки и эксплуатации КА как технической системы.
Одной из существенных проблем теплового проектирования
КА является рациональный выбор и обоснование адекватности
математической модели теплового режима аппарата.
В процессе разработки КА в соответствии с необходимой точ-
ностью и полнотой описания явлений могут найти применение
различные тепловые модели аппаратов. Эти модели условно мож-
но отнести к различным уровням.
В тепловых моделях первого уровня тепловое состояние
каждого элемента рассматриваемой системы описывается обыч-
ным уравнением теплового баланса, а тепловые связи (коэффи-
циенты теплообмена) однозначно определяют характер и интен-
сивность теплообмена каждого элемента, включенного в мо-
дель, как с окружающей средой, так и с соответствующими
элементами:
dT N
Ст.=-^= ^{ki!(Tj - Tf)) + q ,i*j, N . (22.27)
i at j = 1 J J i
Коэффициент проводимости kl} в данной системе характеризует
теплообмен конвекцией, излучением и теплопроводностью меж-
ду элементами i и j.
Основная цель использования данных моделей заключается
в определении интегральных оценок теплового состояния сис-
тем, количественных оценок протекающих теплофизических
процессов, а также в определении предельных значений дейст-
вующих на аппарат внешних и внутренних тепловых факторов.
На данном уровне используется относительно простой мате-
матический аппарат. Для решения системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, описывающих изменение во време-
ни теплового состояния входящих в тепловую модель элемен-
тов, разработано значительное число методов, для некоторых из
которых составлены стандартные программы, включенные в
математическое обеспечение современных ЭВМ. Однако нельзя
не отметить, что из-за наличия большого числа тепловых связей
между элементами, многие из которых имеют нелинейный ха-
рактер, могут возникнуть вычислительные сложности при ре-
ализации алгоритмов, которые не носят принципиального ха-
рактера.
374
В некоторых случаях (при изучении, например, теплового со-
стояния отсеков радиоэлектронной аппаратуры) можно рассмат-
ривать тепловой режим конструкции как совокупности отдель-
ных элементов, параметры теплообмена между которыми счита-
ются заданными. В работах школы Г. Н. Дульнева предлагается
эффективный метод решения этой задачи, заключающийся в
своеобразном упрощении тепловой модели. Например, при рас-
смотрении теплового состояния произвольного элемента рас-
сматриваемой системы исходная тепловая модель, состоящая из
N уравнений, заменяется моделью из двух уравнений: первое из
них описывает тепловое состояние выделенного элемента, а
второе — тепловое состояние некоторого эффективного тела —
аналога всех остальных элементов рассматриваемой системы.
Важным аспектом использования подобных упрощенных моде-
лей является возможность получения аналитического решения.
Практически во всех реализациях тепловых моделей данно-
го уровня общим является ярко выраженный проектный харак-
тер, что нередко позволяет использовать их непосредственно в
математической модели расчета проектных параметров рас-
сматриваемого КА как технической системы.
Рассмотрим тепловые модели второго уровня. Нестационар-
ный тепловой режим каждого элемента конструкции в тепло-
вых моделях второго уровня описывается уравнениями энер-
гии, тепловое состояние сосредоточенных элементов — уравне-
ниями нестационарного теплового баланса
dT
Va = l,...,^:Cm(x<4 Т)-^ =
Nm
= S дТ + qv (xCa), Т, ty (22.28)
im " 1 5x<7m> x('m> e (Г^т> n !>(“))
а тепловой режим распределенных элементов — в общем случае
многомерными уравнениями теплопроводности
p(xUm\T)CAxUm\T)^ = L, T + qv (xum), T, t); (22.29)
p dt Jm im
L. T=(22.30)
Jm dx^m^ dx^Jm^
Для замыкания постановки задачи данные уравнения необ-
ходимо дополнить начальными и граничными условиями, усло-
виями теплового сопряжения, а также расчетными моделями
различных внутренних и внешних тепловых источников, кото-
рые должны учитывать все виды теплообмена между элемента-
ми конструкции.
375
Тепловой режим различных типов разгонных блоков КА,
экспедиционных модулей, ряда автоматических КА и других ап-
паратов наряду с внешними источниками тепла и внутренними
тепловыделениями во многом определяет тепловое состояние
различных рабочих тел, обеспечивающих функционирование
КА. В зависимости от физических свойств жидкостей, геометри-
ческих параметров соответствующих объемов и (или) магистра-
лей, параметров движения, интенсивности теплообмена, нали-
чия фазовых переходов при исследовании теплового состояния
рабочих тел применяются соответствующие гипотезы и прибли-
жения, которые обосновывают необходимость использования
той или иной математической модели.
Однако на данном уровне полное математическое моделирова-
ние данных теплофизических процессов, как правило, не приме-
няют, а используют для определения параметров процессов доста-
точно простые, в основном критериальные или функциональные
соотношения. Эти соотношения имеют либо экспериментальное,
либо теоретическое подтверждение и позволяют получить данные
о параметрах рассматриваемых процессов с приемлемой для опре-
деления теплового состояния КА степенью точности.
Таким образом, основной проблемой использования матема-
тических тепловых моделей данного уровня является разработ-
ка алгоритмов решения систем в общем случае многомерных
уравнений теплопроводности (в распределенных элементах теп-
ловой модели) и систем уравнений теплового баланса (в сосредо-
точенных элементах), которые определяют вид модели и харак-
тер теплового взаимодействия элементов. Решение этих систем
должно дополняться расчетом внешнего теплового нагружения,
различных внутренних источников, моделированием теплового
режима теплоносителей и т. д.
Иными словами, модели второго уровня можно рассматри-
вать как инструмент, предназначенный для достаточно полного
исследования теплового режима КА, т. е. эти модели могут быть
с успехом использованы при проектировании различных КА и
их конструкций с учетом достаточно тонких процессов, а также
для проведения проверочных теоретических исследований в
конструкциях в тех случаях, когда точность применяемых мо-
делей оказывается приемлемой.
Как уже указывалось, для построения тепловых связей меж-
ду элементами в моделях первого и второго уровней широко ис-
пользуются функциональные зависимости, имеющие, как пра-
вило, экспериментальное обоснование. В тех случаях, когда
подтверждение не является строгим, для использования той
или иной функциональной зависимости в задачах теплового
376
проектирования необходимо провести дополнительные экспери-
ментальные или теоретические исследования.
Модели третьего уровня отличаются от моделей второго
уровня тем, что используемое в них математическое описание
теплофизических процессов должно отражать их физическую
сущность как можно полнее. В то же время отдельные процессы
должны быть достаточно строго и обоснованно объединены в
рамках единой тепловой модели рассматриваемой системы.
Подобная задача является чрезвычайно трудоемкой как в
методическом плане, так и с точки зрения ее реализации с по-
мощью средств вычислительной техники. Поэтому в настоящее
время модели третьего уровня применяются для математиче-
ского моделирования тонких теплофизических процессов в сис-
темах с целью проведения поверочных исследований, уточняю-
щих физику изучаемых явлений. Примером могут служить те-
оретические исследования процессов термогравитационной
конвекции, многофазных течений теплоносителей и т. д.
Вторым не менее важным направлением использования мо-
делей третьего уровня является целенаправленное исследование
различных теплофизических процессов с целью получения ко-
личественных характеристик процессов и корреляционных за-
висимостей, обобщающих основные параметры процессов. Эти
зависимости могут быть использованы в моделях первого и вто-
рого уровней при расчете соответствующих тепловых связей,
коэффициентов теплообмена и т. д.
Сравнивая между собой модели первого, второго и третьего
уровней, необходимо отметить следующее. Модели первого и
второго уровня носят ярко выраженный проектировочный ха-
рактер, т. е. могут быть использованы непосредственно при раз-
работке математического обеспечения теплового проектирова-
ния. В то же время модели третьего уровня целесообразно ис-
пользовать для проведения поверочных расчетов. Однако при
моделировании теплофизических процессов, эксперименталь-
ная информация по которым отсутствует, модели третьего уров-
ня используются в качестве проектировочных.
Необходимо также отметить, что модели каждого уровня
должны быть открытыми, т. е. их математическая формализа-
ция должна позволять подключать дополнительные блоки, ли-
бо полнее описывающие тот или иной теплофизический про-
цесс, либо уточняющие тепловые связи между элементами.
Кроме того, математический аппарат, логика связей, библиоте-
ка программ должны обеспечивать, если это необходимо, объ-
единение моделей разных уровней при исследовании теплового
режима конкретного КА или его отдельной системы.
377
22.8. Структурная модель теплового режима КА
Тепловое состояние любого объекта космической техники оп-
ределяет [2, 3, 18] его назначение, состав систем и оборудования,
компоновочное решение, характер теплового взаимодействия с
окружающей средой, энерговыделения в системах и агрегатах,
теплофизические характеристики конструкционных, теплоза-
щитных материалов, компонентов топлива, различных рабочих
тел и т. д.
Для проведения комплексного анализа теплового состояния
КА целесообразно использовать методологию исследования тех-
нических систем. Как известно, в результате функциональной и
элементной декомпозиции технической системы она может
быть представлена как объединение отдельных элементов, т. е.
агрегатов, устройств, конструкции, рабочих тел и т. д. и функ-
циональных связей между ними (конструктивными, технологи-
ческими, тепловыми, электрическими и др.). Это позволяет
представить математическую модель теплового режима КА в
виде объединения тепловых моделей его элементов и функцио-
нальных связей между ними, включая модели теплофизиче-
Рис. 22.2. Компоновочная
схема КРБ с ЖРД (а) и структура
тепловых связей (0)
378
ских процессов в рабочих телах и компонентах топлива, модели
процессов теплового взаимодействия между устройствами, агре-
гатами и конструктивными элементами, модели воздействия
окружающей среды и т. д.
В частности, при формировании модели теплового режима
космического разгонного блока с ЖРД (рис. 22.2) целесообраз-
но рассмотреть тепловые модели конструкции 1, полезного гру-
за 2, приборного отсека 3, компонентов топлива: (окислителя 5,
горючего 7), соответствующих газов наддува 4 и 6, а также теп-
ловые модели двигательной установки 8, тепловой защиты топ-
ливного отсека 9 и окружающей среды 10.
Анализируя тепловое состояние данного аппарата, можно
отметить, что оно во многом определяется тепловым взаимодей-
ствием между элементами. К ним относятся конструкция, ком-
поненты топлива, газы наддува, двигательная установка, маги-
стральные трубопроводы. Из этих элементов выделим конструк-
цию КА как элемент, тепловое состояние которого во многом
определяет тепловой режим аппарата. Это обусловлено тем, что
конструкция находится в непо-
средственном взаимодействии со
всеми рассматриваемыми элемен-
тами.
Введем в рассмотрение обоб-
щенную тепловую модель аппара-
та, под которой будем понимать
совокупность тепловых моделей
выделенных элементов, схему и
структуру действующих между
элементами тепловых связей, а
также структуру взаимодействия
элементов с окружающей средой.
На рис. 22.3 представлен граф
обобщенной тепловой модели это-
го аппарата, вершинам которого
соответствуют тепловые модели
выделенных систем и агрегатов, а
ребрам — функциональные связи
между ними. Данный граф, по су-
ти, позволяет отобразить степень
детализации тепловой модели.
Учитывая сказанное, отме-
тим, что исследование теплового
режима КА представляет собой
комплексное моделирование теп-
лового состояния выделенных в
Рис. 22.3. Обобщенная
тепловая модель КРБ с ЖРД:
1 — тепловая модель
конструкции; 2 — то же,
полезного груза;
3 — приборного отсека;
4 — газа наддува окислителя;
5 — окислителя; 6 — газа
наддува горючего;
7 — горючего; 8 — модели
двигательной установки;
9 — тепловой защиты
топливного отсека;
10 — окружающей среды
379
тепловой модели элементов при заданном внешнем тепловом на-
гружении, известной структуре теплового взаимодействия эле-
ментов и заданной циклограмме работы его систем.
Возможны два подхода к решению данной задачи. Первый
заключается в поэтапном структурном моделировании теплового
режима выделенных элементов, тепловых связей между ними и
воздействия окружающей среды. Второй основан на параллель-
ном моделировании теплового режима всех элементов, их внут-
реннего взаимодействия и внешнего теплового нагружения.
Второй способ представляется более естественным; однако
его реализация основана на использовании мощных многопро-
цессорных комплексов, которые в настоящее время еще не по-
лучили широкого распространения в нашей стране. Поэтому
рассмотрим процесс обобщенного моделирования на примере
структурного моделирования теплового режима выделенных
элементов ЛА.
Под структурным моделированием будем понимать последо-
вательное моделирование (при достаточно полном и точном уче-
те факторов взаимовлияния) отдельных элементов (структур)
тепловой модели, выделенных в процессе декомпозиции обоб-
щенной тепловой модели.
Представим структурную модель теплового режима ЛА в ви-
де графа (рис. 22.4), который образуем на базе совокупности
графов тепловых моделей отдельных элементов согласно деком-
позиционному принципу построения модели теплового режима.
Ввиду того, что граф обобщенной структурной модели является
объединением тепловых моделей элементов, в общем случае он
не является связанным.
Перейдем к более подробному анализу рассматриваемой
структурной тепловой модели.
Граф 1 моделирует тепловое состояние конструкции аппара-
та и имеет достаточно разветвленную структуру. Учитывая, что
в данном случае конструкция аппарата во многом определяет
его тепловой режим (имеющихся на его борту различных сис-
тем, агрегатов, рабочих тел и т. д.), при построении обобщенной
структурной тепловой модели аппарата тепловая модель конст-
рукции рассматривается как базовая.
Конструкцию ЛА можно представить в виде совокупности
сосредоточенных и распределенных элементов. К числу сосредо-
точенных элементов здесь и в дальнейшем будем относить эле-
менты, имеющие однородную в пределах объема температуру.
К распределенным элементам отнесем элементы, для которых
характерно существенное изменение температуры в пределах
380
Рис- 22-4. Граф структурной тепловой модели КРБ с ЖРД:
а — компоновочная схема КРБ:
I — корпус отсека ПГ; II — адаптер полного груза; III — корпус ПО;
IV — бак окислителя; V —магистральный трубопровод подачи
окислителя; VI — бак горючего; VII — магистральный трубопровод
подачи горючего; VIII — ферма крепления двигателя;
IX — конструкция двигателя;
б — тепловые модели:
1 — конструкции; 2 — полезного груза; 3 — приборного отсека;
4 — газа наддува блока окислителя; 5 — окислителя; 6 — газа
наддува блока горючего; 7 — горючего; 8 — двигательной установки;
9 — защиты компонентов топлива; 10 — окружающей среды
их объема, что обусловлено тепловым воздействием соседних
элементов, а также различными внешними и внутренними теп-
ловыми источниками.
Предположим, что в составе конструкции имеют место дву-
мерные элементы (оболочки и пластины), одномерные распреде-
ленные элементы, а также сосредоточенные элементы. Тогда
математическая модель теплового режима конструкции ЛА мо-
жет быть представлена в следующем виде: тепловое состояние
381
двумерных элементов отображается двумерными уравнениями
теплопроводности
Vx1^ eD^,j2 = l, .....Nm2:
р(х('2’, Т)Ср(х°2), Т)д^ = LjT + qVj (х*'2*, Т, t). (22.31)
В общем случае оператор L^T в векторной форме
записывается следующим образом:
L: т = _А_(\(х('2), (22.32)
2 дх(?2'
Начальные условия:
Г(х(/2))|<=0 = Т0(х°2)). (22.33)
Граничные условия на внешних границах двумерных
элементов:
£(х(У2))Цх(У2), Т) дТ = 9&2?- (22.34)
дп(У'") х'2> е (Г^2,п(г^2>1 )
m2 m2 4xt
Условия теплового сопряжения двумерных элементов на
внутренних границах:
Е f е =0; (22.35)
у2-1Пг-1 X 5п02) х°2’>х<’’2,е(Г^2’пГ^2')
[1 при Х(У2> = Хл2’
1-1 при х'«-Х'Ч (22'36>
Тепловое состояние одномерных элементов отображается
одномерными уравнениями теплопроводности
Vx01) eD^\\ Л = 1,...,ЛГт1:
p(x(yi), Т)Ср(х^\ Т)^ = LjT + Т, t) +
,22-37)
Оператор L^T запишем следующим образом:
(22'38>
Начальные условия:
T(xu^)\i = 0 = T0(xu^). (22.39)
382
Граничные условия на внешних границах одномерных
элементов могут быть заданы либо в виде условий второго рода:
е(х(71) )Х(х(71)
дТ
дх(У1>
е(Г
= о(Л)
Vext ’
(22.40)
где е(х(У1)) =
1 при х<?1) = xj/1’
-1 при х(У1) = Х<У1>,
(22.41)
либо в виде граничных условий первого рода:
Пх(У1,)| 0,) Г(Л> =rext(x,y‘>). (22.42)
х G 1 ext
Тепловое состояние сосредоточенных элементов отобразим
уравнениями теплового баланса
Ух<“>е <х= 1,
+QUa. (22.43)
J1 ' m 1 mO
Начальное состояние сосредоточенных элементов предста-
вим в виде
Т<“)|( = 0 = т(оа). (22.44)
Необходимо отметить, что функции источника в (22.31),
(22.37), (22.43) моделируют внешнее тепловое нагружение, дей-
ствующее на ЛА, а также тепловое воздействие на конструкцию
аппарата всех элементов, включенных в обобщенную тепловую
модель. Решение этой системы уравнений может быть получено
при известных функциях источника q^x^, Т, t)\ qv(xi 9 Т, t);
Qt) , которые могут быть представлены в виде функциональных
зависимостей, если тепловое взаимодействие между элементами
слабо зависит от температуры конструкции ЛА и теплового со-
стояния остальных его элементов. В противном случае процесс
структурного моделирования теплового режима конструкции
аппарата необходимо организовать таким образом, чтобы все-
сторонне учесть тепловое влияние всех элементов обобщенной
модели ЛА.
Рассмотрим графы 2 и 3. Они представляют модели сложных
теплофизических процессов в конструктивных элементах и раз-
личных системах полезного груза и приборного отсека. В силу
наличия сложных внутренних связей и характера теплового
взаимодействия между элементами рассматриваемых отсеков
внутренняя структура этих моделей в обобщенной тепловой мо-
383
дели ЛА не раскрывается, а фиксируется лишь факт включения
данных тепловых моделей в обобщенную модель и структура
внешних тепловых связей. Поэтому графы 2 и 3 в данном случае
являются вырожденными, т. е. состоят из одной вершины.
В общем виде приборный отсек и полезный груз представля-
ют собой совокупность конструктивных элементов, устройств и
агрегатов, находящихся в состоянии кондуктивного, конвек-
тивного и радиационного взаимодействия как между собой, так
и с корпусом отсека. Представим тепловую модель каждого из
рассматриваемых отсеков следующим образом:
Ух'^ч’ а = 1, N :
eq7 eq 7 7 eq
p(aeq)c(aeq) d T^ = 5 + + g(a.q) } + g(aeq) +
+ .E ((Cp^) (Tin-Tout) ); (22.45)
/hc=l r Jhc 'he
У?'-’ g D^,jhc= 1,
a'k.
Z Z rii, = 0; (22.46)
'he
(r«n-routhheat) -
c-'1
~ (coidrL (/’in-^out);(cold) = 0; (22.47)
/he 1 'he /he
(Pin - Ap - Pout)?;4’ = 0; (22.48)
(iin-Ai-ioj)^ =0; (22.49)
Ух(“й) g D(£'4y , a„ = 1, ..., :
(Cprh) (T\n - Tout) = F . (22.50)
Здесь (22.45) — уравнение энергии для каждого a^-го эле-
мента модели; (22.46) — уравнение баланса расходов; (22.47) —
модель теплообменных аппаратов; (22.48) — уравнение гидрав-
лического баланса для каждого Дс-го теплоносителя; (22.49) —
уравнение изменения теплосодержания Дс-го теплоносителя в
ае(?-ом элементе; (22.50) — модель радиационного теплообмен-
ника.
384
Рассмотрим графы 4, 5, 6 и 7. Они представляют модели теп-
лофизических процессов в компонентах топлива, в газовых по-
душках баков, а также в магистральных трубопроводах. В об-
щем виде эти процессы записываются уравнениями Навье—
Стокса, с помощью которых определяются:
► поля температуры жидкости и газа в баке;
► изменение температуры жидкости по длине магистрального
трубопровода;
► кинематические параметры движения жидкости и газа.
В некоторых случаях система уравнений Навье—Стокса
должна быть дополнена уравнениями, описывающими процес-
сы фазовых переходов при кипении компонентов топлива, а
также уравнениями, характеризующими взаимодействие с ни-
ми газов наддува. Граничными условиями для этих уравнений
является внешний теплоподвод или температура конструкции
баков и трубопроводов. В силу того что компоненты обладают
большой теплоемкостью, их тепловое состояние во многом опре-
деляет тепловой режим топливного отсека рассматриваемого
аппарата.
В силу сложности моделирование в полной постановке вну-
трибаковых процессов представляет самостоятельную пробле-
му, требующую значительных усилий исследователя, соответст-
вующих ресурсов и затрат машинного времени. Поэтому в зада-
чах структурного моделирования теплового режима топливных
отсеков нередко используют упрощенные постановки задачи
(например, моделируют внутрибаковые тепломассообменные
процессы в приближении пограничного слоя, либо при опреде-
лении параметров теплообмена используют критериальные за-
висимости типа Nu = f(Gr, Pr), Nu = f(Gr, Pr, Kn), полученные
ранее в результате «точного» математического моделирования
внутрибаковых тепломассообменных процессов или в процессе
натурного эксперимента).
Перейдем к анализу графа 8. Он представляет тепловую мо-
дель двигательной установки. Эта модель отображает тепломас-
сообменные процессы в рубашке охлаждения двигателя, в тру-
бопроводах, агрегатах системы подачи, конструктивных эле-
ментах и т. д. Кроме того, эта модель обычно дополняется
моделью процессов горения компонентов топлива и истечения
их из сопла с целью определения интенсивности радиационного
теплового потока от факела ДУ. Входной информацией при ана-
лизе этой модели являются расход и температура топлива,
выходной — температура агрегатов, устройств и конструкции, а
также параметры излучения факела двигательной установки.
385
Граф 9 моделирует в данном случае внешний теплоподвод к
топливным бакам через теплоизоляцию. Тепловая модель теп-
лоизоляции представляет собой модель сложного радиацион-
но-кондуктивного теплообмена в системе пространственных эк-
ранов с учетом проставок, перфорации, остаточных газовых
включений и переменного теплового воздействия на поверхно-
сти. На начальных этапах разработки аппаратов нередко поль-
зуются упрощенной постановкой, базирующейся на законе
Фурье и понятии эффективного коэффициента теплопроводнос-
ти изоляции При более точных расчетах необходимо учи-
тывать перенос тепла по слоям изоляции, в зоне различных кре-
пежных элементов, термомостов и т. д. Необходимо отметить,
что теплоизоляция как основной элемент тепловой защиты объ-
ектов космической техники от внешних (и других) воздействий
наносится практически на все отсеки, агрегаты и устройства ап-
парата.
В рамках данной постановки задачи внешнее тепловое на-
гружение (граф 2), действующее на конструкцию КА, модели-
руется тепловыми источниками в (22.31), (22.37), (22.43), гра-
ничными условиями (22.34), (22.35), (22.39), (22.40), а также
условиями теплового сопряжения в (22.35).
В данной работе содержание модели воздействия окружаю-
щей среды не раскрывается. Фиксируется лишь факт ее вклю-
чения в обобщенную модель. Однако отметим, что в целом
модель окружающей среды должна обеспечивать расчет внеш-
него теплового нагружения в широких диапазонах условий,
а именно: стартовая позиция, атмосферный участок полета
аппарата, внеатмосферные активные и пассивные участки по-
лета.
Таким образом, в процессе структурного моделирования
каждая из рассмотренных тепловых моделей основных элемен-
тов ЛА позволяет определить тепловой режим этих элементов
при известных граничных условиях, т. е. при известном тепло-
вом взаимодействии между этими элементами. Информация о
тепловом взаимодействии может быть априори задана, если ре-
зультаты анализа теплового режима этих элементов можно
представить в виде функциональных зависимостей. В против-
ном случае процесс структурного моделирования будет пред-
ставлять последовательный итерационный анализ теплового ре-
жима каждого элемента с целью определения параметров их
теплового взаимодействия и параметров теплового состояния
аппарата в целом.
386
Глава 23
Основные аспекты комбинаторного
моделирования теплового режима КА
23.1. Базовые принципы комбинаторного анализа
теплового режима
Рассмотрим базовые принципы комбинаторного анализа
[21...23] теплового режима КА. При формировании математиче-
ской модели теплового режима будем считать, что областью оп-
ределения задачи является область
В = ^тЗ + ^ш2 + ^ml + ^тО + Aic + AicO + ^hp + ^hpO =
m3 / : \ m2 / : \ ml / • \ тО ^hc / : \
= U U U 4- U £>(a) + U +
/з = 1 h = 1 Л = 1 a = 1 Л = 1
^hc° \ ^hp (j \ ^hpO / \
+ U D( c) + U D{Jp> + U D(ap\ (23.1)
ac = 1 7 p = 1 ap0 = 1
в составе которой рассматривается некоторое множество Dm3
трехмерных элементов конструкции, множество Dm2 двумерных
распределенных элементов, множество Dml одномерных распре-
деленных элементов, множество Dm0 сосредоточенных элемен-
тов. Будем также считать, что система термостатирования ана-
лизируемой космической конструкции включает гидравличе-
ский тракт, состоящий из множества Dhc отрезков трубопроводов
и множества Dhc0 гидравлических узлов, в которых происходит
разделение или слияние теплоносителя, и контур тепловых
труб, который состоит из множества Dhp тепловых труб и множе-
ства Dhp0 узлов соединения тепловых труб.
Рассмотрим обобщенную постановку задачи математическо-
го моделирования теплового режима КА в операторной форме.
Пусть в области D определены модели следующих теплофизиче-
ских процессов:
= F%3\ j3 = l, .... Nm3; (23.2)
= F[$, /2 = 1,..., Nm2; (23.3)
= F(^, Д = 1, .... Nmi; (23.4)
L^(T(^ = F^a = l,...,Nm0; (23.5)
jc = 1, ..., Nhc; (23.6)
^hco’^’) = F^, ae = 1, .... Nhc0-, (23.7)
L</₽'(T(>₽') = F^\ jp = 1, .... Nhp-, (23.8)
b&0)(T(a₽)) = 4ap₽o. «p = 1. •••> Nhp0. (23.9)
387
Уравнения (23.2)...(23.4) моделируют процессы теплопро-
водности в трех-, двух- и одномерных распределенных конст-
руктивных элементах, уравнение (23.5) — тепловое состояние в
сосредоточенных элементах конструкции. Уравнение (23.6) мо-
делирует тепловой режим теплоносителя в элементах системы
терморегулирования, уравнение (23.7) — тепловое состояние
теплоносителя в гидравлических узлах, уравнение (23.8) — теп-
ловое состояние тепловых труб, а уравнение (23.9) — тепловой
контакт в зоне сопряжения тепловых труб.
Для логического объединения отдельных моделей
(23.2)...(23.9) в рамках обобщенной модели введем соотношения
инцидентности для модели в виде:
► условий примыкания
а£^з)-(,1з)(Г(хОз))> = 0; (23.10)
е^^-Ог’сцх0'3*), Т(х°2’)) = 0; (23.11)
аЬ^3)-01)(Т(х(/з)), Т(х(Л’)) = 0; (23.12)
дЬ($~(а\Т(х('3\ Т(х<а>)) = 0; (23.13)
аЛ^22)_<П2)(Т(х°2)), Г(х<П2))) = 0; (23.14)
дЬ^~и'\Т(хи2>), = 0; (23.15)
aL^2>-(a)(T(x(;'2>>), Т(х<“>)) = 0; (23.16)
Т(х<П1))) = 0; (23.17)
= 0; (23.18)
dL^~{^\T(xu^), Т(х(^)) = 0; (23.19)
aL^₽)‘<n₽)(T(x(y₽)), Т(х(пр))) = 0; (23.20)
► балансных соотношений
.Д <$1* (Т(хиз))) = фЗ2» (Т(х°2))); (23.21)
(pg*’(Т(х°3> )) = Ф3>’(Их0'’)); (23.22)
.Д фЗ“> (Т(х°3> )) = Ф3“’ (Т( х<“) )); (23.23)
.фЗз) (Г(х<'2) » = Ф(й)(7,(х(Л>)); (23.24)
i фЗ“> (Г(х(/'’)) = Ф3“>) (Т( х<“) )); (23.25)
388
£ <p((“f (ти'}) = O((“f (T(a^); (23.26)
ic 1 c c
. f (pjy (Тир}) = ojj’ (T(ap)). (23.27)
Подобная формализация математической модели теплового
режима рассматриваемых космических аппаратов позволяет
упростить логическое построение математического обеспечения
в силу того, что структура этой модели позволяет гибко учиты-
вать разнородные теплофизические процессы, особенности теп-
лового взаимодействия конструктивных элементов, параметры
конструкции, внешние факторы, определяющие тепловой ре-
жим, и т. д.
Необходимо также отметить, что обычно при исследовании
теплового режима любой технической системы имеет место эво-
люционный процесс определения и обобщения закономерностей
ее функционирования, который заключается в исследовании ре-
акции данной системы на изменение внешних воздействий, па-
раметров системы, на замену применяемых материалов и т. д.
Для реализации эволюционного процесса анализа теплового ре-
жима технической системы необходимо при формировании ее
математической модели, а также соответствующего алгоритми-
ческого обеспечения предусмотреть возможность их комбина-
торного изменения.
Рассмотрим основные направления комбинаторного измене-
ния модели. Один из способов основан на изменении параметров
модели. Его реализация легко просматривается на следующих
примерах.
Изменение моделей рассматриваемых процессов:
Л^>(Т(х<уз»)) = 1 m3 (^з)Г(Г(хОз))) = (/’<>з)Г; (23.28)
tW Lm2 (Т(х(У2))) = 1 m2 (l^2))'(T(x(/2))) = (^22))'; (23.29)
^ml (7’(x°'*))) = —► L ml (L^1))'(T(xg*))) = (F^))'; (23.30)
L(a)(T<«)) = F(a) x mo -(^)'(Т<“») = (^)'; (23.31)
* he -(L^))'(T(^)) = (F^))'; (23.32)
т (ac) / rp( ac) \ bhco V 1 ) F»(ac) F hcO -(L^0))'(7’(ae)) = (4^0))'; (23.33)
= hp (23.34)
L^(T{ap}) = F^ hpO -(L’apP0,)'(7’(ap,) = (4%0))'. (23.35)
389
Изменение условий примыкания:
5Л(?з) <Чз)(дхОз»)5 Т(х<Лз))) =
= 0 — (SL^3’-"13’ )'(Т(х(>з)), Т(х(,1з))) = 0; (23.36)
^з)-(;2)(Т(х<;з)), T(x('2>)) =
= 0 —(аЛ^з)-°2) )'(Т(х(>3>), Т(х(>2))) = 0; (23.37)
dL^~Ul ’ (Т(х°з)), Т(хи 1 *)) =
= 0 — (аЬ^"*'1’ )’(Т(хиз}), Т(х<Л))) = 0; (23.38)
ал^з)_(а) (Т(х<;з)), т(х<“))) =
= 0 -* ( dL^~(a) )'(Т( х('з)), Т( х<“))) = 0; (23.39)
aL^2)-<’12)(T(x<>2)), T(x(n2))) =
= 0 (дЬ^~{Пг)У(Т(хи2)), Т(х<,12))) = 0; (23.40)
dL^u^(T(x{i2}y T(xUl))) =
= 0 — (dL^(i^)'(T(xU2)), T(x(ii))) = 0; (23.41)
dL^~(a) (T(x°2)), T(x<«>)) =
= 0 — ( ai^2)’(a) )'(T(x(i2)), T(x<“»)) = 0; (23.42)
ал^11)_(’11) (T(x(/1)), nx*”1’)) =
= 0^(а1,^11)_('11))'(Т(х<Л)), Т(х(П1))) = О; (23.43)
aL^)-<a) (T(xU1)), T(x<a>)) =
= 0 ^ ( dL^~(a) y(T(xU1)), T(x(“>)) = 0; (23.44)
TXx”1'’)) =
= 0 y(T(xUc)), Т(х<л^)) = 0; (23.45)
аЛ^У'^р^Лх^’), Дх^р’)) =
= 0 — (ai^'p’-’V )'(T(xUP}), T(x(n₽))) = 0. (23.46)
390
Ф> Изменение балансных соотношений:
Е ф^2)(Т(х(>з)))= Ф^2)(Т(х°'2)))-> s (ф^2))'(Г(хОз))) =
Уз = 1'3 '3 у3 = 1 '3
= [Ф^2)(Т(х(У2)))]'; (23.47)
Е ф^1)(7’(х°1))) = Ф^ТЧх*'!’))^ Е (ф-'1))'(Т(х°1))) =
Уз = 1 '3 '3 у3 = 1 '3
= [ф{'1)(Т(х°1)))]'; (23.48)
Е ф(“>(Т(х(>з)))= Ф<“’(Т(х<“»)) Е (ф(“>)'(Т(хОз))) =
Уз = 1'3 '3 у3 = 1 '3
= [ Ф;(3а) (Т(х<“>))]'; (23.49)
Е, ф(Т(х01))) = Ф)'1’ (Т(х(>1))) — ?/Ф)'(Г(х(>1))) =
= [ф}'1)(Т(х°1)))]'; (23.50)
Е ф)“’(Лх(7>)))= Ф^)(Т(х<«)))- Е (ф)а))'(Т(х°*))) =
= [Ф}“е) (^(х^))]'; (23.51)
Е Ф^ (TUc)) = Ф^’ Z (Ф^’)'(ти'}) =
= (Ф^)(Т(а-)))'; (23.52)
'с
Е ф$а₽) ( Tup} ) = Ф^Р (Т{ар}) Е (ф^)'(Т°₽)) =
ip -1 ’р ‘р 4 = 1 ’р
= (Ф<а₽)(Т(а₽)))'. (23.53)
Jp
Изменение числа элементов, рассматриваемых в тепловой
модели:
Nm2^(Nm2)';
Nm0^(Nm0)'-,
Nhc-(Nhcy; NhcO^(NhcOy;
Nhp^(Nbpy; NhpO^(NhpOy.
391
Примеры показывают, что в процессе комбинаторного ис-
следования теплового режима технической системы имеется
возможность не только исследовать опорный вариант, но и в
случае необходимости гибко уточнять модель, практически не
меняя ее структуру, либо путем изменения параметров модели,
определенной на /3-м трехмерном, /2-м двумерном или Д-м одно-
мерном элементах; а-м сосредоточенном элементе; ;с-м теплоно-
сителе; ас-м элементе сопряжения трубопроводов системы кон-
вективного охлаждения и т. д.; либо путем изменения условий
инцидентности, балансных соотношений, а также за счет изме-
нения числа каждой группы элементов обобщенной модели.
Второй альтернативой изменения обобщенной модели явля-
ется изменение ее структуры. Это может быть реализовано, в ча-
стности, путем изменения размерности модели, например,
(Т(х0з))) = (Т(х(/з>)) = fW , п = 0, 1, 2;
(T(x{i^)) = F($ - (T(x^)) = F^, n = 0, 1, 3;
Ь^(Т(х^)) = F^ - L^(T(x{^)) = F^ , n = 0, 2, 3;
L(a) (r(a)) = F(a) _ L(a) (T(x<a))) = p(a) , ra = 1, 2, 3.
Очевидно, что изменения модели только какого-либо у3-го
(23.2) или ;2-го (23.3) двумерного элемента, а также какого-ли-
бо Д-го элемента (23.4) вызовут изменения в моделях других
элементов (23.5)...(23.9), в моделях условий примыкания
(23.10)...(23.20) и балансных соотношений (23.21)...(23.27),
что приведет к глобальному изменению исходной модели
(23.2)...(23.9).
Подобные изменения имеют место также в случае, когда при
решении задачи необходимо, например, более детально проана-
лизировать тепловое состояние произвольного сосредоточенного
элемента а. В результате декомпозиции этого элемента тепло-
вая модель элемента более высокого уровня может быть пред-
ставлена в виде (23.2)...(23.4), что естественно повышает раз-
мерность всей задачи, а также приводит к изменению исходной
обобщенной модели. Однако в этом случае, по сути, происходит
включение в состав модельного комплекса (23.2)...(23.4) под-
комплексов того же вида.
Изложенные основные принципы комбинаторного анализа
теплового режима могут служить методической базой разработ-
392
ки универсального алгоритмического и программного обеспече-
ния математического моделирования и теплового проектирова-
ния объектов космической техники, что должно обеспечить ре-
шение следующих основных задач:
► определение рационального теплового режима аппарата;
► исследование и выбор штатного варианта системы обеспече-
ния теплового режима КА;
► исследование влияния на тепловой режим КА изменений
воздействия окружающей среды, а также параметров тепло-
выделений радиоэлектронного оборудования и других сис-
тем и агрегатов аппарата;
► изучение влияния на тепловое состояние аппарата измене-
ния его конструктивных решений, замены применяемых
материалов, изменения характеристик СОТР, включая из-
менение параметров или принципов функционирования
данной системы, параметров радиационных теплообменни-
ков, контактных сопротивлений и т. д.;
► анализ функционирования и проектной эффективности теп-
лообменных панелей;
► анализ теплового состояния любого конструктивного эле-
мента, каждого прибора, агрегата, системы и т. д.
23.2. Постановка задачи комбинаторного
математического моделирования теплового режима
объектов космической техники
В современных объектах космической техники используются
самые разнообразные конструктивные решения (см. гл. 21). Их
выбор определяется назначением, функциональными особеннос-
тями, составом систем и т. д. В то же время можно выделить от-
дельные конструктивные решения, которые часто встречаются в
конструкциях различных КА. Например, в конструкциях совре-
менных орбитальных станций и космических комплексов на-
шли широкое применение оболочки вращения (ОС «МИР»,
МКС), стержневые форменные конструкции (ОС «МИР», МКС),
различные пространственные рамы (в том числе и разворачиваю-
щиеся) крупногабаритных космических конструкций. В конст-
рукциях межорбитальных транспортных аппаратов и разгонных
блоков также используются различные оболочки вращения и
фермы. В АКА наряду с указанными применяются плоские и
пространственные многослойные панели, детали сложной кон-
фигурации и т. д.
393
Будем считать, что в общем случае интересующая нас косми-
ческая конструкция состоит из области Dm3 множества трех-
мерных (объемных) элементов, области Dm2 множества двумер-
ных элементов (пластин, оболочек и т. д.), области Dml множест-
ва одномерных элементов (ферм, стержней, стоек, рам и т. д.),
области DmQ множества сосредоточенных элементов. Для термо-
стабилизации конструкции может быть использована конвек-
тивная система охлаждения, в составе которой рассматриваются
отрезки трубопроводов (область Z)hc) и устройства их соединения
(область Z)hc0), или система тепловых труб (область Z>hp).
Объединение перечисленных областей будем считать об-
ластью определения математической модели теплового режима
пространственной конструкции:
D = Dm3 + Dm2 + Dml + Dm0 + ^hc + DhcO + Dhp =
= U + u +
/3 = 1 h = 1 A = 1 a = 1 Jc = 1
^hcO z \ ^hp / • \ ^hpO
+ u D(a<J + Z D!p + S D(ap}. (23.54)
a-c = 1 jp = 1 apo = 1
Рассмотрим математическую модель теплового режима про-
странственной космической конструкции в комбинаторной пос-
тановке. Тепловое состояние трехмерных элементов будем опре-
делять следующим образом:
Ух°з)(х?з). *23>, 4'з)) € В°з), м = 1, ...» Nm.t
(1 - у*'з) )р(х('3>, Т)Ср(х(Уз>, T)f =
= + L^3’ + (1 - у5/з) , Т, t). (23.55)
Операторы £*з) ,5 = 1, ..., 3 в (23.55) запишем в виде
5
Lo3) =_3 А(х(/з))(д(/3)_аг 'j 1 g=1 з (23.56)
х& дх^k 8 дх{^ s~,3>
а объемный источник gu(x</3), Т, t) — следующим образом:
а,(х('з), Т, t) = (1 - р™1 (х°з) ))gYo1 (х°з), Т, t). (23.57)
Начальные условия:
Т(х('з))к = о = То(х<Уз)). (23.58)
394
Граничные условия могут быть заданы либо в виде гранич-
ных условий первого рода
Т(х(7з))
= ТДх('з>),
?3’£Г('3’
(23.59)
либо в виде граничных условий второго рода
е(х<7з))Мх(;з), Т)-^-
<Эп(7з) х<'з’ е г''з
= 9</3).
(23.60)
В последнем случае величину граничного теплового потока,
подводимого к поверхности объемного конструктивного эле-
мента, будем вычислять следующим образом:
N(y,)
= S (1 - Р3(х<7з)))д3 (х°з), Т, t) +
р = 1 г г
+ (1 _ рОз-Чэ’) § е(х<т,3> )Цх<Г|з> ,Т)-^ +
1 Пз-1 дх(^} х"’з’е(г"’з’пГЧз>)
Пз *
N
+ (1 - р<'’3’”з)) fe/3 ti3(T(x(n3)) - Т(х(7з))) +
Пз х(73)>х(п3) е (Г(Пз)пГ°з))
+ (1 - рУ3’^) 2 £(х°2))А.(х<72), Т)^- Л -1 Эх'72' + х''з1е(Г,'21пГ'/з’)
+(1- р1'3’'2>) S k: : (T(XU2))-T(XU^)) j2 = l J 2^3 + х</2>е(Р<У2)пГ</з))
+(1 - Р^3’Л)) 2 £(х(^)к(х(^,Т)^- х°1' ed'^’nr''3') +
+ (1- р*/3’'!’) kjiJ3(T(xU^) - Т(х°з>)) + х01’ е (^‘’лГ0’1)
р‘>3’а)) 2 Аа ,(Т(х<“))-Т(х<7з)))
а = 1 '3
+ (1-
(23.61)
х(а) G (р(а)пГ(уЗ))
В правой части этого выражения учитываются действующие
на поверхность трехмерного конструктивного элемента внеш-
ние тепловые потоки qsp (х(Уз), Т, t), р = 1 ,N^3\ граничное и кон-
тактное тепловое взаимодейтсвие с трехмерными, двумерными
и одномерными элементами соответственно, а также контакт-
ное тепловое взаимодействие с сосредоточенными элементами.
395
Перейдем к описанию теплового режима двумерных элемен-
тов рассматриваемой конструкции. Имеем:
Vx°'2)(xV2), 42)) е ^,/2 = 1, N2:
(1 - у<72> )Р(Х('2), Т)Ср(х°2), Т)^ = L{1f + L(1f + (1 - y^2) ) х
х 9u(x°2) , T, t) + (1 - y^2) )^^ .5 kj3>j2 ) x
+ (1 - y?2))x
x^x^W'2’^) '4
X —L— % e(x(,12))A.(x(,12), T)S<-'2>’12) dT
V(x°2)) П2-1 дх(п2) х(П2)
+ (1 - Y52>) ““77 ki n 5з'2’Л2)(х('2))
5 F(x('2>) n2;l 72’’12 S
x(T(x(n2))- T(x°2>))
х(Т(х°2>)- Т(х°2)))
X
Пг * J2
+ (1-yV2’)
X—L— Е £(x°'i))X(x(/l), Т) S<'i->2) дТ
(Зх<У1> х<У1’ е (Г*'1
Y7>2))^FT 2 k: : S^l^X^’jX
7 V(x('2>) Л-1 12,11 s
+ (1- Y82>)x
x^’.x^’e^l’nD02»)
X—5 k: „«^’^(X^’jX
У(х<у2)) a-1 12
x(T(x<“))- Г(х°2)))
+ (1-
х(7’(х°2))-Т(хО2)))
(23.62)
(23.63)
:<a>,x('2) nD<°>)
Операторы L^21 в (23.62) запишем в виде
L(J2) = _3_ [\(Х<>2) х</2> )_^Z_\ 8 = 1, 2.
х& 8 8 1 дх^}
Объемный источник q0(x(l2\ Т, t) в (23.62) включает все объем-
ные и поверхностные тепловые источники, которые действуют на
;2-й двумерный элемент:
№
qAx{l2), Т, t)= Z (1 - p^ol(x<;2)))gYol(x(y2), Т, t) +
р = 1 и и
- 1 S (1-р^(х(У2)))д^(х(У2),Т,08^(х(У2)). (23.64)
1 = 1
Vfx02’)
396
Остальные члены в правой части уравнения (23.62) модели-
руют контактное тепловое взаимодействие двумерного элемента
конструкции с трехмерными элементами, граничное и контак-
тное тепловое взаимодействие с двумерными и одномерными
элементами соответственно, а также контактное тепловое взаи-
модействие с сосредоточенными элементами конструкции.
Начальные условия задаются в виде:
Дх0'2’)
= Т0(х<>2));
t=o
а граничные — либо в виде условий первого рода
Т(х(>2))
= 7\(х('2)),
02> М
либо в виде условий второго рода
£(x<;'2))X(x°2), Т) дТ
£(х^2>) =
дх^2^ х<72>
-1 при х^2> = ((х0)|'2>
1 при х^2> = (Х0)<'2>, 5 = 1,2.
Г(72}
(23.65)
(23.66)
(23.67)
(23.68)
(По) /ГЧ(П2) U/o).
х d g (D пГ \
, T)
6x(l2) XC2>
Величину граничного теплового потока, подводимого к гра-
нице двумерного элемента конструкции, вычислим следующим
образом:
No,)
q(’2} = Ё (1 - рГ°2> )дГ (х<>2), Т, t) +
р = 1 г
+ (1 - p''2^)) J ,2 (Т(х(лз>) - Т(х('2>))
+ (1 - р^2’112*) Е £(х(П2) )Х(х(П2) - Т\-^-
п2= 1
Нг * h
^2
+ (1 - рУ2’Л2)) Е kn j (Т(х("2))- Т(х('2)))
П2=1 |2’72
П2 * J2
+ (1 - р1'2’П1)) Е £(х(’1*))Х(х(П1), Т)-^~ ,
5 n,= l '5x0h) Х(П!)
+ (1 - Р^2’П1)) Й , (Т(х(’11))- Г(х(>2>))
П1= 1 '1 '2
+ (1 - р<'2’а)) Д kaJz (Т(хМ) - T(x{i2)))
(По) .Jlo)
: * g (D пГ \
.(пр г(;2>
. (23.69)
x<a> e (С<а>пГ°21)
397
В правой части этого выражения учитываются действующие
на границу двумерного конструктивного элемента внешние теп-
ловые потоки д^(х(7г); Т; t), р = 1, N^2\ граничное и кон-
тактное тепловое взаимодействие с двумерными и одномерными
элементами соответственно, а также контактное тепловое взаи-
модействие с сосредоточенными элементами.
Перейдем к формированию математической модели тепло-
вого режима одномерных и сосредоточенных элементов рас-
сматриваемой конструкции. Будем считать, что тепловое состо-
яние одномерных элементов (ml), трубопроводов (he) и тепло-
вых труб (hp) конвективной системы обеспечения теплового
режима конструкции можно описать следующей системой одно-
мерных уравнений теплопроводности:
УХ(Л) е р(Л) J1= 1, (Nml+Nhc+Nhp)-.
(1 - у^1’ )p(x<;i), Т)Ср(х(/1), Т)|у = LU1)T + (1 - Y2 )9„(x(/1), Т, t) +
+ (1-у1Л))Ц-7 2
И(х(У1)) Пз=1
fetl3i/.iS<'13’yi)(x(’1‘))(T(x(,12))-
+ (1 - y17>’)—!— 51 E(x,^)Mx,’1»), T) >
У(х(71)) 12- 1
- T(xG1)))
:,’’з’<у»,е(г<
X §(’12-Л)(х(п2)^ дТ
5х(П2>
+ (1-7^’)^- \
У(х 71 ) П2 1
х(Т(х<,12))- Т(х<У1)))
/ в‘Л2’Л)(х<П2)) х
+ (1-у^‘)х
N2
X—s fe , в(,Л1’-'1)(х(У1))(7’(х(П1))-Т(х<У1)))
K(x(y->) n.=i ii’yi
+ (1-У81))^т ki
8 У(х(У1>) 7
x(T(x(“))- Т(х(Л)))
S(sa,i'} (x(7l))x
1 e(Dl'l
Оператор L(?1) из (23.70) запишем в виде
Л(Л) = д Гх<л:(У1) )<S(ArU1> ) —
Эх(у,) ' дх
(23.70)
(23.71)
398
Источник ду(х(;1), Т, t) в (23.70) включает все объемные и по-
верхностью тепловые источники, которые действуют на Д-й
одномерный элемент:
qv(xW ,T,t)= S (1 - p;vo1 (х(Л) ))gzvo1 (х01), Т, t) +
No,)
+ J1(l-₽m(x°1)))^(x°1),T,OS^(x(>i)). (23.72)
Остальные члены в правой части уравнения (23.70) модели-
руют граничное и контактное тепловое взаимодействие одно-
мерного элемента конструкции с трехмерными, двумерными и
одномерными элементами соответственно, а также контактное
тепловое взаимодействие с сосредоточенными элементами кон-
струкции.
Начальные условия зададим в виде:
7’(x(/1))|t = 0 = T0(x°i)). (23.73)
Тепловое состояние сосредоточенных элементов конструк-
ции представим следующим образом:
ух(“) е р(а), р(а) <- £>т0? а = 1, .... Nm0‘.
(1-8^>)С£)^Р =
= (1-8<“>) S А = e^W1’, T)S(x&>)-2£- 1 ax°i’. rfin е(Г01>п + , o(a))
, ч N“ + (1-8<“») S /1 = 1 e(xG1’)X(x(/1), T)S(xopa))-^- 5x 71 (/‘i x() ’ e (Г01>. + •^D(a))
+ (1- 8^а)) S /2 e(x(;2))A.(x°2), T)S<' ’ a) (/o) / rS^2^ ; z g(D z n + O<a))
+ (1-8<а)) § /з 1 kj3,aSs3’a) (х<а))(Т(х°з)) - T(x<“>): X d '»е(П°3> + nD(a))
+ (1-8<“>) S /2=1 kj2,aSs2’a) (X(a>XT(x(^ ) - T(X<a>). (/o) / X Z G (D z + nD,a>)
+ (1-8^а)) 5 /1 =1 kjt ,оХЛ ) - T(x<“)): 1 X 1 +
+ (1-8<а)) fea pS(“-₽>(x<“>)(7,(x<l3>) - 7,(x<“>)) D^D1 + :a)
+ (1 - 8*a) )Q<“>. (23.74)
399
Левая часть уравнения (23.74) определяет приращение темпе-
ратуры сосредоточенного элемента. Первые два слагаемых правой
части этого уравнения моделируют граничное тепловое взаимодей-
ствие с одномерными элементами (входящими и выходящими в
соответствии с выбранной системой координат), последующие —
контактное тепловое взаимодействие с трехмерными элементами,
граничное и контактное взаимодействие с двумерными элемента-
ми и контактное взаимодействие с одномерными и сосредоточен-
ными элементами. Последний член фиксирует наличие в сосредо-
точенном элементе теплового источника Q^a).
Q‘a) = (1 - )(?£> +
+ (1 - р^>) J dSW + (1 - р£») J <?!“> dS!“> +
ад ад
+ (1 - p<“> )aconv(T(x(a)) - )S<“>nv . (23.75)
Тепловой источник Qj,a) моделирует объемные тепловыделе-
ния ’ внешние тепловые воздействия q{e*[, наличие внут-
ренних поверхностных тепловыделений , а также конвек-
тивной системы терморегулирования этого элемента.
Начальные условия зададим в следующем виде:
Т(х<а>)
= Т0(х<а>).
t=o
(23.76)
Математическую модель конвективных систем обеспечения
теплового режима представим следующим образом. Тепловое сос-
тояние теплоносителей в отрезках трубопроводов гидравлической
магистрали моделируется следующей системой уравнений:
Vx('f) е D(i^,ic = l, .... Nhc:
rh(i^C(x^) dT(x^}) _
й dT~
dx
= an(x('t))(7’(x0»1,)-T(xW)); (23.77)
T{x(i^) = (T<ac)) UJ UJ V 7 x c =xQc (23.78)
Т(хи'}) = (T(ae)) (Л) (/,) v 7 x c =Xfin U c)’ xfin (23.79)
400
Vace D(a<ac=l, ...,Nhc0:
^(ас) С(ас) т(ас) = C(XGf) )Т(Х(У<;)))
(23.80)
fin
^(ас) С(«е)(Т(%> _ = Q^; (23.81)
7х('₽* е Вир\]р= 1, ..., Np:
J q (х^) dS(x{iP>) = J ah (Т^р - Tatr(x^)) dS(x^). (23.82)
W DO.-)
Уравнения (23.77)...(23.79) моделируют тепловое состояние
теплоносителей в отрезках трубопроводов гидравлической ма-
гистрали, а уравнения (23.80), (23.81) — в узлах соединения
этих магистралей.
Уравнение (23.82) определяет среднюю температуру пара в
тепловых трубах.
Рассмотренная система уравнений (23.55)...(23.82) представ-
ляет достаточно универсальную постановку задачи математиче-
ского моделирования теплового режима пространственных кос-
мических конструкций. Раскроем некоторые особенности запи-
си уравнений, входящих в эту систему.
Уравнение (23.55) описывает распределение температуры в
каждом /3-м трехмерном элементе конструкции, ;3 = 1, ..., 7V3.
Используемая в уравнении управляющая 8-функция у-7з\ i = 1,
2, имеет следующие значения:
„из)=4° при/ = /г
11 при i * k,
(23.83)
где k — номер соответствующего члена уравнения (23.55). При
У^з) = о моделируется нестационарный, а при у(17з) =1 — стацио-
нарный тепловой режим трехмерного элемента конструкции.
В случае, если у^*з) = 0, действие теплового источника учитыва-
ется, а при у2 з) =1 — не учитывается.
Считается, что на поверхности этого элемента задано гра-
ничное условие II рода (23.60). Различные формы задания этого
условия моделируются выражением (23.61), конкретный вид
которого определяется 8-функциями 8®, р = 1, ..., N*3\ а также
Р17з272), Р17з271) , р(7з,Т1з), р<7з’а\ Значения этих функций выбира-
ются по аналогии (23.83). В общем случае выражение (23.60)
позволяет моделировать действие поверхностных источников,
401
граничное и контактное взаимодействие с трех-, двух- и одно-
мерными элементами, а также контактное взаимодействие с со-
средоточенными элементами.
Тепловой режим двумерных элементов определяет уравне-
ние (23.62). Общий вид этого уравнения подобен уравнению
(23.55). Отличие заключается в том, что в правой части уравне-
ния (23.62) наряду с источником qv(x^ ? т, t) учитывается кон-
тактный теплообмен с /3-м трехмерным телом, граничный и
контактный теплообмен с двух- и одномерными телами и кон-
тактный теплообмен с сосредоточенными элементами.
Уравнение (23.70) моделирует тепловое состояние Nml одно-
мерных элементов, Nhc отрезков трубопроводов и Nhp тепловых
труб, а также учитывает в правой части граничный и контакт-
ный теплообмен с трехмерными и двумерными элементами,
контактный теплообмен с одномерными и сосредоточенными
элементами. Уравнение (23.74) моделирует тепловое состояние
сосредоточенных элементов и граничное тепловое сопряжение
одномерных элементов.
23.3. Алгоритмическое обеспечение
комбинаторного моделирования теплового режима КА
Анализ рассмотренной обобщенной постановки задачи мате-
матического моделирования теплового режима объектов косми-
ческой техники показывает, что в структуру и форму представ-
ления этой системы уравнений заложены основные принципы
комбинаторного моделирования. Действительно, в случае необ-
ходимости данная система уравнений может быть гибко транс-
формирована с целью учета особенностей конкретного конст-
руктивного решения рассматриваемого КА. Это достигается по-
средством выбора определенного сочетания рассмотренных
уравнений, требуемой структуры каждого уравнения, а также
построением соответствующей системы тепловых связей, кото-
рая отображается в граничных условиях и условиях теплового
сопряжения. Таким образом, исходная запись математической
модели позволяет реализовать комбинаторное изменение ее па-
раметров и структуры [21...24].
Комбинаторное изменение параметров модели можно реализо-
вать изменением теплофизических характеристик, коэффициен-
тов переноса, функции источника в рассматриваемых уравнени-
ях, а также посредством изменения условий теплового сопряже-
ния (условий инцидентности) и числа элементов рассматриваемой
модели. На практике это означает, что проектант имеет возмож-
402
ность не только исследовать опорный вариант, но и в случае необ-
ходимости гибко уточнять модель, практически не меняя ее
структуру.
Для комбинаторного изменения структуры математической
тепловой модели может быть использовано как «упрощение»,
так и «усложнение» задачи. Выбор конкретного варианта изме-
нения структуры математической тепловой модели нередко
ориентирован на более полное отображение условий функцио-
нирования конструкции в пределах тех ограничений, которые
может накладывать используемая вычислительная техника.
«Упрощение» задачи может заключаться, например, в ис-
пользовании моделей, определяющих среднеинтегральное теп-
ловое состояние элементов конструкции, т. е. моделей с сосредо-
точенными параметрами. Часто подобные модели используют
для исследования теплового состояния конструкции и систем
автоматических КА. Для условий орбитального полета эти мо-
дели позволяют с достаточной точностью определять тепловое
состояние КА в целом.
В то же время обоснованным «упрощением» тепловой моде-
ли СА, предназначенного для возвращения полезного груза на
Землю, является использование в процессе его разработки одно-
мерных моделей прогрева и разрушения его тепловой защиты.
Отметим, что данная модель является моделью с распределен-
ными параметрами.
В условиях многофакторного пространственного теплового
нагружения необходимо использовать «полную» постановку ис-
ходной задачи. При этом ее «упрощение», как правило, осу-
ществляется либо путем снижения размерности моделей рас-
пределенных элементов, либо посредством замены моделей рас-
пределенных элементов некоторым множеством моделей
сосредоточенных элементов. Для снижения размерности тепло-
вых моделей распределенных элементов могут быть использова-
ны квазиодномерные модели, модели, базирующиеся на много-
мерном клеточном комплексе [24], и т. д.
В свою очередь, «усложнение» исходной постановки задачи
реализуется посредством увеличения числа элементов, вклю-
чаемых в математическую модель теплового режима рассматри-
ваемой конструкции, путем увеличения размерности моделей
распределенных элементов, усложнением тепловых связей, а
также в результате применения, в случае необходимости, более
полных математических моделей внешних тепловых воздейст-
вий, моделей теплообмена между элементами данной конструк-
ции и моделей процессов в системах и агрегатах.
Таким образом, обобщенную постановку задачи можно рас-
сматривать как базовую для реализации комбинаторного моде-
403
лирования теплового режима космических конструкций. В рам-
ках этой постановки в процессе исследования могут быть ис-
пользованы как модели с сосредоточенными параметрами,
модели с распределенными параметрами соответствующей раз-
мерности, так и любое их сочетание. Кроме того, возможно
включение в число моделей с распределенными параметрами
псевдоодномерных проектных моделей теплового режима КА,
квазиодномерных моделей двумерных оболочечных конструк-
ций, многомерного клеточного комплекса для трехмерных эле-
ментов конструкции и т. д. Структура рассмотренного комплек-
са математических моделей представлена на рис. 23.1.
Рис. 23.1. Структура комплекса математических моделей
теплового режима космических конструкций
404
Алгоритмическая реализация данного комплекса математи-
ческих моделей ориентирована на метод конечных разностей.
При конечно-разностной аппроксимации дифференциальных
операторов и формировании сеточной функции тепловых источ-
ников, согласно интегро-интерполяционному методу, каждому
узлу разностной сетки ставится в соответствие элементарный
объем [25]. Значения переменных и исследуемых функций в этих
узлах определяются как среднеинтегральные в пределах объема.
Кроме того, каждому элементарному объему ставятся в соответст-
вие элементарные площади, в пределах которых рассматривается
среднеинтегральное тепловое воздействие тепловых источников,
и тем самым определяются их узловые значения.
В качестве базового используется алгоритм, основанный на
модифицированном методе «скелетных» структур [26]. Для мо-
делирования теплового режима отдельных оболочечных конст-
рукций, многослойных панелей и т. д. используются традици-
онный метод переменных направлений и локально-одномерные
схемы [25]. Для расчета теплового режима конструкций в одно-
мерном приближении (включая псевдоодномерную, квазиодно-
мерную постановки, а также многомерный клеточный комп-
лекс [23]) используется, как наиболее универсальный, алго-
ритм, ориентированный на граф тепловой модели общего вида
[27]. При моделировании теплового режима конструкций КА в
нульмерной постановке применяются итерационные методы ре-
шения алгебраических систем.
Более подробно обратные задачи, их роль в идентификации
математических моделей при проектировании и испытаниях
технических систем, а также методы решения этих задач рас-
сматриваются в [14, 29, 30, 31].
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Космонавтика: Энциклопедия / Под ред. В. П. Глушко. — М.:
Сов. Энциклопедия, 1985.
2. Авдуевский В. С. и др. Основы теплопередачи в авиационной и
ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1992.
3. Панкратов Б. М. и др. Моделирование и отработка тепловых ре-
жимов летательных аппаратов / Под ред. Б. М. Панкратова. М.: МАИ,
1990.
4. Васильев А. П. и др. Основы теории и расчета жидкостных ра-
кетных двигателей / Под ред. В. М. Кудрявцева. М.: Высшая школа,
1983.
5. Козлов А. А., Новиков В. Н., Соловьев Е. В. Системы питания и
управления жидкостных ракетных двигателей. М.: Машиностроение,
1988.
405
6. Чиркин В. С. Теплофизические свойства материалов ядерной
техники. М.: Атомиздат, 1968.
7. Физика космоса: Маленькая энциклопедия / Под ред. Р. А. Сю-
наева. М.: Сов. Энциклопедия, 1986.
8. Инженерный справочник по космической технике / Под ред.
А. В. Солодова. М.: Воениздат, 1977.
9. Авдуевский И, С., Успенский Г. Р. Космическая индустрия. М.:
Машиностроение, 1989.
10. Полет: Общероссийский научно-технический журнал. — М.:
Машиностроение, 2001. — Спец, выпуск, посвященный 50-летию КБ
«Салют» ГКНПЦ им. М. В. Хруничева.
11. Agrawal В. N. Design of geosynchronous spacecraft. Prentice-
Hall International Ltd., 1986.
12. J. E. Randolph (ed). Solar Probe Mission and System Design Con-
cepts 1995 / NASA / JPL, 1995. — JPL D-13 269.
13. Панкратов Б. M. Спускаемые аппараты. M.: Машиностроение,
1984.
14. Алифанов О. М. и др. Основы идентификации и проектирова-
ния тепловых процессов и систем. М.: Логос, 2001.
15. Бобков В. Н. и др. Космические аппараты / Под ред. К. П. Фео-
ктистова. — М.: Воениздат, 1983.
16. Авиационно-космические системы: Сборник статей / Под ред.
Г. Е. Лозино-Лозинского и А. Г. Братухина. — М.: Изд-во МАИ, 1997.
17. Панкратов Б. М., Полежаев Ю. В., Рудько А. К. Взаимодейст-
вие материалов с газовыми потоками / Под ред. В. С. Зуева. М.: Маши-
ностроение, 1976.
18. Залетаев В. М., Капинос Ю. В., Сургучев О. В. Расчет теплооб-
мена космического аппарата. М.: Машиностроение, 1979.
19. Кафаров В. В., Мешалкин В. П., Гурьева Л. В. Оптимизация
теплообменных процессов и систем. М.: Энергоатомиздат, 1988.
20. Хохулин В. С. Структурное моделирование теплового режима
летательных аппаратов: Сборник трудов X научных чтений, посвящен-
ных 100-летию Ф. А. Цандера и разработке его творческого наследия.
Секция «Теория и конструкция летательных аппаратов». — М.: Изд-во
ИИЕТ АН СССР, 1989.
21. Хохулин В. С. Принципы формирования алгоритмического и
программного обеспечения комбинаторного моделирования теплового
режима объектов космической техники // Инженерно-физический
журнал, 2000. — Т. 73, № 1.
22. V. Khokhulin. Combinatorial Analysis Problems of Spacecraft
Structure Thermal Conditions: Materials and Structure Symposium, 50th
International Astronautical Congress. IAF—99—1.6.08 Amsterdam, The
Netherlands. October 4—8, 1999.
23. Воеводин А. Ф., Шу грин С. M. Численные методы расчета одно-
мерных систем. Новосибирск: Наука СО, 1981.
24. Хохулин В. С. Комбинаторный анализ теплового режима кос-
мических конструкций в одномерном приближении: Труды Второй на-
циональной конференции по теплообмену. — М.: Изд-во МЭИ, 1998.
Т. 1. Пленарные и общие проблемные доклады. Доклады на круглых
столах.
406
25. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Нау-
ка, 1971.
26. Хохулин В. С. Модифицированный метод «скелетных» струк-
тур в задачах моделирования теплового режима конструкций: Сборник
научных трудов «Тепловое проектирование систем». — М.: Изд-во
МАИ, 1990.
27. Хохулин В. С. Универсальный алгоритм решения задач мате-
матического моделирования теплового режима конструкций в одно-
мерном приближении // Инженерно-физический журнал, 1989. —
Т. 56, № 4.
28. Тихонов А. Н., Самарский А. А, Уравнения математической
физики. М.: Наука, 1970.
29. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена лета-
тельных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена).
М.: Машиностроение, 1976.
30. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машино-
строение, 1988.
31. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремаль-
ные методы решения некорректных задач и их приложения к обрат-
ным задачам теплопроводности. М.: Наука, 1988.
РАЗДЕЛ VI
Методы исследования устойчивости
движения баллистических ракет
и ракет-носителей
Г лава 24
Методические основы исследования
устойчивости БР
24.1. Общие сведения
Баллистические ракеты и ракеты-носители имеют ряд спе-
цифических особенностей, которые играют существенную роль
при решении задач их устойчивости и управляемости. Эти осо-
бенности касаются как технического облика объектов, так и ха-
рактера их движения.
БР имеют обычно массово-геометрическую осевую симметрию
и представляют собой летательные аппараты, количество топлива
на борту которых может достигать 80% от общей массы и более,
причем жидкости в топливных баках имеют свободные поверхно-
сти. Жидкие топлива в баках колеблются в широком диапазоне
частот, частично совпадающих с полосой пропускания частот ав-
томата стабилизации. При неблагоприятных соотношениях меж-
ду фазовыми характеристиками колебаний топлива в баках и ав-
томата стабилизации и недостаточном демпфировании возможно
возникновение неустойчивых колебаний как топлива в баках,
так и БР в целом. Таким образом, задача обеспечения устойчи-
вости движения объекта существенно усложняется, так как ее ре-
шение сопряжено с необходимостью выполнения условий устой-
чивости колебаний жидкостей во всех топливных баках.
Особенностью технического облика БР является относитель-
но большая гибкость корпуса и многих его элементов, обуслов-
ленная применением тонкостенных конструкций. Характерные
частоты упругих колебаний конструкций частично совпадают с
полосой пропускания частот автомата стабилизации, что может
408
привести к появлению неустойчивых колебаний упругого кор-
пуса и БР в целом. Возникновение этих колебаний происходит
следующим образом. Случайно возникшие упругие колебания
корпуса (изгибные и крутильные) воспринимаются датчиками
автомата стабилизации, в контуре которого появляются сигна-
лы рассогласования; в соответствии с последними органы уп-
равления отрабатывают ложные команды на движение БР. Ес-
ли работа управляющих сил превышает работу диссипативных
сил за период колебаний, то случайно возникшие колебания бу-
дут неустойчивыми. Сложность решения задачи об устойчивос-
ти БР определяется также тем, что колебания упругого корпуса
могут взаимодействовать с колебаниями топлива в баках.
Случайно возникшие продольные колебания БР вызывают
продольные колебания упругого корпуса и жидкостей в баках и
расходных магистралях, вследствие чего возникают колебания
тяги двигателя. Эти колебания при определенных условиях так-
же могут носить неустойчивый характер.
БР являются мало маневренными объектами в том смысле,
что их поперечные перегрузки невелики, в то же время про-
дольные перегрузки могут достигать значительных величин
(пх = 5...7).
На активных участках траектории движение БР существен-
но нестационарно вследствие того, что по времени интенсивно
изменяются масса, моменты инерции, центровка, скорость, ско-
ростной напор и аэродинамические нагрузки. В некоторых слу-
чаях это может существенно повлиять на методы и средства
обеспечения устойчивости.
На движении БР сказывается влияние нелинейностей конст-
рукции объекта, связанных с нелинейностью демпфирующих
сил при колебаниях жидкости в баках и упругих колебаниях, а
также нелинейностью в системе управления.
Характерная особенность движения БР заключается в том,
что оно представляет собой суперпозицию двух движений: не-
возмущенного движения и движения, имеющего характер ма-
лых колебаний относительно невозмущенного. Величина харак-
терного времени малых колебаний такова, что в течение этого
времени параметры невозмущенного движения изменяются ма-
ло; это обстоятельство дает принципиальную возможность ли-
неаризации уравнений движения БР.
В дальнейшем невозмущенное движение отождествляется с
программным движением, которое реализуется при упрощени-
ях, характерных для задач внешней баллистики, при номиналь-
ных значениях параметров БР, отсутствии возмущающих фак-
торов и в условиях стандартной атмосферы.
409
ВОЗМУЩЕННЫМ называют движение, которое характеризу-
ется разностями между параметрами истинного и невозмущен-
ного движений. Предполагается, что эти разности представля-
ют собой малые величины в том смысле, что можно пренебречь
их вторыми и более высокими степенями, а также вторыми и
более высокими степенями производных от этих разностей по
времени. В дальнейшем будем считать, что параметры невозму-
щенного движения известны, а устойчивость движения БР
отождествляется с устойчивостью возмущенного движения.
При решении задачи устойчивости в зависимости от характе-
ристик и взаимного расположения спектров частот колебаний
ракеты как твердого тела, топлива в баках и упругого корпуса
баллистические ракеты могут быть представлены в виде сле-
дующих физических моделей:
► БР — абсолютно жесткие объекты;
► БР — абсолютно жесткие объекты с баками, заполненными
жидким топливом; спектры частот колебаний топлива частич-
но совпадают с полосой пропускания автомата стабилизации;
► БР — упругие объекты, топливо «заморожено»; спектр час-
тот упругих колебаний корпуса частично совпадает с поло-
сой пропускания частот автомата стабилизации;
► БР — упругие объекты с баками, заполненными жидким
топливом, спектры частот колебаний топлива и упругих ко-
лебаний корпуса частично совпадают с полосой пропускания
частот автомата стабилизации.
Вид той или иной физической модели определяется особеннос-
тями конструкции БР, их массовыми и жесткостными характе-
ристиками и типом решаемой задачи. Методы исследования
устойчивости движения БР как абсолютно жесткого тела под-
робно изложены в учебнике «Динамика ракет» под редакцией
академика В. П. Мишина [1]. Авторы сочли нецелесообразным
повторять эти материалы в настоящей книге и сосредоточили
основное внимание на исследованиях поперечной устойчивости
БР с раздельным учетом подвижности топлива в баках и
упругости конструкции и продольной устойчивости БР. Это соот-
ветствует тому, что частоты колебаний БР как абсолютно жестко-
го тела со стабилизирующим устройством ниже первых частот по-
перечных колебаний жидкости в топливных баках, а последние
частоты в свою очередь обычно ниже частот упругих поперечных
колебаний корпуса и не пересекаются с ними. Такой подход позво-
ляет существенно упростить математические модели движения БР
и методы исследования устойчивости. Результаты исследований
представляются в этом случае более наглядным образом. Однако
при исследовании устойчивости продольного движения колебания
410
топлива в баках невозможно отделить от упругих колебаний кор-
пуса, в этом случае применяется четвертая физическая модель.
Полоса пропускания частот автомата стабилизации, равно
как и двигателя, определяется фильтрующими свойствами ру-
левых машин и двигательной установки; в случае превышения
верхней границы полосы система «корпус БР — автомат стаби-
лизации — двигательная установка» размыкается, и колебания
жидкости и упругие колебания корпуса становятся независи-
мыми от колебаний корпуса БР как абсолютно жесткого тела.
Во всех последующих исследованиях будем полагать, что и
автомат стабилизации, и двигательная установка вместе с топ-
ливоподающими магистралями имеют собственную динамиче-
скую устойчивость.
Исследования устойчивости производятся в определенной
последовательности. Вначале на основе используемой физиче-
ской модели строится математическая модель возмущенного
движения БР. Построение математической модели включает со-
ставление уравнений движения жидкостей в топливных баках,
уравнений колебаний упругого корпуса, в состав которого вхо-
дят баки с топливом, уравнений автомата стабилизации и дви-
гательной установки и составление уравнений движения самих
БР с раздельным или совместным учетом как упругости корпу-
са, так и колебаний топлива в баках. Динамические характе-
ристики БР, в том числе такие, как частоты и формы собствен-
ных колебаний топлива в баках и упругого корпуса, декремен-
ты колебаний, присоединенные массы и моменты инерции и ряд
других собственных характеристик определяются и уточняются
с помощью расчетных и экспериментальных методов.
В соответствии с полученной математической моделью ис-
следуется устойчивость движения БР в плоскостях стабилиза-
ции с использованием алгебраических и частотных критериев
устойчивости. По результатам этих исследований в случае необ-
ходимости производится коррекция параметров БР и автомата
стабилизации. На поздних этапах проектирования устойчи-
вость БР исследуется с использованием реальной аппаратуры.
Материал в разделе расположен таким образом, что вначале
рассматривается комплекс вопросов, связанных с построением
уравнений возмущенного движения БР в поперечном относи-
тельно корпуса БР направлении (в плоскости тангажа или рыс-
кания), с учетом подвижности топлива в баках, а затем с учетом
упругости корпуса и с помощью полученных уравнений движе-
ния исследуются вопросы устойчивости поперечных колебаний
БР. После этого рассматриваются вопросы составления уравне-
ний движения по крену и уравнений продольного возмущенного
движения, а затем исследуются устойчивость по крену и устой-
чивость продольных колебаний БР.
411
24.2. Системы координат
При исследовании устойчивости движения БР используются
стартовая и связанная системы координат.
Стартовая система координат AXYZ показана на рис. 24.1, а.
Начало стартовой системы неподвижно связано с точкой старта.
Ось AY системы направлена по местной вертикали от центра
Земли, ось AX' расположена в плоскости стрельбы и направлена
в сторону движения БР, а ось AZ — так, чтобы система коорди-
нат была правой.
Связанная система координат Cxyz показана на рис. 24.1, б.
Начало связанной системы помещают в центр масс объекта. Ось
Сх системы координат направлена вдоль оси симметрии объек-
та, которая, как правило, является одной из главных осей инер-
ции, а оси Су и Сг — по другим главным осям инерции объекта.
Связанная система координат также принимается правой. При
построении математической модели возмущенного движения
БР приходится принимать во внимание различие в положении
связанной системы координат в возмущенном и невозмущенном
движениях.
Для определенности будем считать, что на старте начала стар-
товой и связанной систем координат совпадают; связанная ось Сх
совпадает со стартовой осью AY, а связанная ось Су совпадает со
стартовой осью AX', но направлена в противоположную сторону.
Расположение связанной системы координат относительно
стартовой определяется тремя линейными и тремя угловыми ко-
ординатами. Для определения угловых координат совмещаются
начала стартовой и связанной систем координат (рис. 24.2). Угол
9 между осью АХ и плоскостью CxZ называется углом тангажа,
угол \|/ между осью Сх и плоскостью AXY — углом рыскания,
угол у между осью Су и линией пересечения плоскостей Суг и
АХ'У — углом крена.
Рис. 24.1. Стартовая (а)
и связанная (б) системы координат
Рис. 24.2. Углы тангажа,
рыскания и крена
412
24.3. Исследования устойчивости
поперечных колебаний БР
24.3.1. Основные допущения
При построении уравнений возмущенного движения БР
принимаются некоторые допущения относительно физических
свойств и характера движения упругого корпуса и жидкостей в
баках.
Жидкости в топливных баках несжимаемы. Реализуемые в
топливных баках давления и скорости движения жидкостей
сравнительно малы, и эффектами сжимаемости в жидкости
можно пренебречь.
Жидкости в топливных баках идеальны. Топлива представ-
ляют собой в основном маловязкие жидкости; влияние вяз-
кости проявляется главным образом в пристеночном слое,
но это влияние мало, и им пренебрегают.
Ф Движение жидкостей в баках безвихревое. Будем считать,
что для жидкости в баке выполняется теорема Лагранжа,
которая формулируется следующим образом: если в началь-
ный момент времени в стартовой системе координат движе-
ние жидкости в баках является безвихревым, то оно останет-
ся таковым и в последующее время при выполнении условия
баротропности жидкости, которое заключается в том, что
плотность жидкости зависит только от давления в ней, и ус-
ловия того, что массовые силы, действующие на жидкость,
имеют потенциал. В начальный момент времени жидкость в
баках находится в состоянии покоя, т. е. вихрей нет, а усло-
вия баротропности и потенциальности массовых сил выпол-
няются, так как влиянием температуры в баке на колебания
жидкости можно пренебречь, а массовые силы, возни-
кающие при линейном ускорении БР, имеют потенциал.
Колебания свободных поверхностей жидкостей в баках ма-
лы по сравнению с характерным размером топливных полос-
тей. В качестве характерного размера может быть принят
радиус невозмущенной свободной поверхности жидкости.
Принимаются также малыми производные по времени и по
пространственным координатам от колебаний свободных по-
верхностей. Малость колебаний жидкостей в баках под-
тверждается непосредственными наблюдениями движения
жидкостей в процессе летных испытаний. Малость колеба-
ний дает возможность линейной постановки задачи о движе-
нии топлива в баке. В соответствии с обозначениями пара-
413
Рис. 24.3. Обозначения
параметров бака
с жидкостью
метров бака с жидкостью, представ-
ленными на рис. 24.3, V- — объем
топлива в баке, имеющем номер у;
Sj — поверхность днища и стенок
бака, контактирующая с жидко-
стью; оу — невозмущенная свобод-
ная поверхность жидкости; о* —
возмущенная свободная поверх-
ность жидкости; f- — функция,
определяющая отклонения точек
свободной поверхности жидкости а*
от плоскости оу, зависящая от времени t и от координат г/, z;
п — вектор нормали к внутренней поверхности стенок бака.
Индекс j изменяется в пределах где N — количество
баков на БР.
Ф Невозмущенная свободная поверхность жидкости в баке рас-
полагается нормально к продольной оси симметрии бака.
Это допущение соответствует тому, что поперечная перегруз-
ка БР принимается пренебрежимо малой по сравнению с
продольной.
Ф Корпус БР представляет собой либо осесимметричное, либо
имеющее две взаимно перпендикулярные плоскости симмет-
рии упругое тело с расположенными внутри него жидкими
полостями.
Ф Корпус БР представляет собой упругую балку, деформации
которой описываются соответствующими уравнениями со-
противления материалов. Так как корпус имеет осевую сим-
метрию или, по крайней мере, две взаимно перпендикуляр-
ные плоскости симметрии, колебания изгиба, растяже-
ния-сжатия и кручения считаются независимыми друг от
друга. Деформации сечений корпуса предполагаются соот-
ветствующими гипотезе плоских сечений.
Упругие колебания корпуса малы по сравнению с характер-
ным размером поперечного сечения корпуса. Это дает воз-
можность построения линейной математической модели уп-
ругих колебаний.
24.3.2. Определение потенциалов
перемещений жидкости в баках.
Давление в баках с жидкостью
При построении математической модели движения жидкос-
ти в баке предполагается, что конструкция бака считается абсо-
лютно жесткой.
414
Примем, что v; — скорость частиц жидкости в баке, измерен-
ная в системе координат Софу, начало которой совмещено с нача-
лом связанной системы координат, а оси параллельны соответст-
вующим осям стартовой системы координат (см. рис. 24.1).
Условие потенциальности движения жидкости запишется в
виде равенства
v; = grad Фу,
где Фу — потенциал скоростей жидких частиц. Из условия не-
сжимаемости жидкости следует, что div v. = 0. Таким образом,
потенциал скоростей жидких частиц будет удовлетворять урав-
нению Лапласа
div grad Ф; = 0. (24.1)
Между потенциалом перемещений <ру- и потенциалом скоростей
Фу жидких частиц имеет место соотношение
Ф, - %. (24.2)
Дифференцируя по времени условие потенциальности дви-
жения жидкости и отбрасывая малые второго порядка, получим
равенство для определения ускорения wy частиц жидкости в
системе координат Софу
, 32ф;
а формулы для расчета скоростей и ускорений жидких частиц в
стартовой системе координат будут иметь следующий вид:
। , Эф: д2ф;
va; = vo + grad —wa> = w0 + grad —
где величины u0, w0 представляют собой соответственно ско-
рость и ускорение начала связанной системы координат, изме-
ренные в стартовой системе координат.
Согласно (24.1) и (24.2) потенциал перемещений жидких
частиц также должен удовлетворять уравнению Лапласа
div grad (ру = 0 в объеме Гу. (24.3)
Граничные условия к уравнению Лапласа определяются на
поверхностях Sj и ciy, ограничивающих объем жидкости Vj.
Граничное условие на поверхности контакта жидкости со
стенками и днищем бака определяется исходя из того, что жид-
кие частицы, находящиеся на стенках и днище бака, не имеют
составляющей относительной скорости по нормали к поверхно-
сти бака, так как в противном случае в объеме жидкости воз-
никнут вихри, что противоречит допущению о потенциальности
415
движения жидкости. Согласно этому, граничное условие на по-
верхности S- запишется в следующем виде:
= со(г X п) на S; (24.4)
oton J
где ш — угловая скорость объекта; г — радиус-вектор жидких
частиц, находящихся на поверхности п — вектор нормали к
поверхности Sy.
Граничное условие на свободной поверхности жидкости оп-
ределяется исходя из того, что жидкие частицы на ее поверхно-
сти всегда остаются на ней и движутся вместе с поверхностью
а*. Граничное условие на поверхности <зу имеет вид
= <в(г х п)+ на (24.5)
oton ot J
где г — радиус-вектор жидкой частицы, находящейся на
свободной поверхности.
Таким образом, потенциал <ру перемещений жидкости в баке
находится путем решения краевой задачи, включающей уравне-
ние (24.3) и граничные условия (24.4), (24.5).
Произведем расщепление потенциала скоростей жидких
частиц на два потенциала. Рассмотрим еще один потенциал \|/>,
удовлетворяющий уравнению Лапласа,
div grad \|/; = 0 в объеме V- (24.6)
и граничным условиям: = 0 на S, и = Л на су.
дп ] дп ] ]
Физический смысл потенциала \|/. определится в дальней-
шем.
Потенциал скоростей жидких частиц представляется в сле-
дующем виде:
(24.7)
дп J dt v '
где Ф; — некоторая векторная функция, смысл которой опреде-
ляется ниже.
Подставим (24.7) в уравнения краевой задачи, определяю-
щей потенциал перемещений фу; с учетом краевой задачи для
потенциала ц/. получим, что векторная функция Фу удовлетворя-
ет краевой задаче
div grad Фу = 0 в объеме Гу;
дФ
= г х п на поверхности Sj + Оу. (24.8)
416
Примем, что со = О, тогда из (24.7) следует, что <р; = у. (при над-
лежащем выборе константы интегрирования); таким образом,
потенциал представляет собой потенциал перемещений жид-
кости, порождаемых колебаниями свободной поверхности жид-
кости.
Примем далее, что свободная поверхность жидкости не ко-
леблется, т. е. Л = 0. Тогда = шФ., т. е. вектор Ф, будет опре-
J dt J J
Являть потенциал скоростей, возникающих в результате угло-
вых движений топливного бака с жидкостью при неизменной
геометрической форме граничной поверхности жидкости.
Далее получим соотношения, с помощью которых определя-
ется давление в баках с жидкостью.
Используя уравнение гидростатики жидкости и применив к
нему известный принцип Даламбера, получим уравнение дви-
жения жидкости в топливном баке в виде
gradp. = py(g-wa.),
где — давление в жидкости; ру — плотность жидкости; g —
ускорение силы тяжести. Выражая абсолютное ускорение жид-
ких частиц через потенциал перемещений ср, получим
gradpy = py(g - w0 - grad
Так как, согласно принятым допущениям, массовые силы,
действующие на жидкость, имеют потенциал, уравнение движе-
ния жидкости интегрируется в конечном виде. Его решение оп-
ределяется равенством
Pj - p/g - w0)r + р^' = C.(t),
где eft) — произвольная постоянная, зависящая от времени; г —
радиус-вектор жидкой частицы в объеме жидкости.
В соответствии с равенством (24.6) формула для давления
примет вид
_ _ d2Vj
Pi Poj Pj dt2 ’
гдеро; = -Py((wo - g)r + + c/t).
Произвольная постоянная cj(t) определяется исходя из того,
что на поверхности оу давление близко к давлению наддува рп;
из этого следует, что, с ошибкой до малых второго порядка,
Я(Р0/-Рп) ds = 0-
417
Используя это условие, окончательно получим
CyV)=Pn + Py(WO_^)rr
Poj = -P/((wo " ^)(г - r;) + g ФJ + pn,
где Гу — вектор, определяющий расстояние от центра масс объ-
екта до геометрического центра свободной поверхности жидкос-
ти в баке, имеющем номер j.
Составим краевую задачу, с помощью которой можно одно-
значно определить потенциал перемещений \|/..
Краевая задача (24.6) не может быть использована для опре-
деления потенциала \|/;, так как содержит две неизвестные
функции: \|/; и fj. Для исключения лишней функции, например
fj9 используется условие = рп на возмущенной свободной по-
верхности о*. Перенеся это условие на невозмущенную свобод-
ную поверхность и отбросив малые второго порядка и выше,
получим соотношение
Рп = pi + На (24-9>
r> dPi
В этом соотношении производная —заменяется на произвол-
дх
ную , в которой отброшены малые первого порядка
дРу =
дх
-р7(^ох - ёх).
Выражения для и подставляются в (24.9), в результате
чего последнее соотношение примет вид
d2v|/.- .
Рп = РоГ Pj-^T - Pf(WOx - Sx)fj-
С помощью этого соотношения в краевой задаче (24.6) произво-
дится исключение функции а сама краевая задача формули-
руется следующим образом:
div grad \|/; = 0 в объеме V-\
= 0 на поверхности S.;
дп ]
Л2 Л
+ ^Wox~ Рп- на поверхности Оу.
(24.10)
418
24.3.3. Собственные колебания жидкостей в баках
Собственные колебания жидкостей в баках определяются
путем решения краевой задачи для потенциала \|/у при отсутст-
вии возмущений, действующих на жидкость:
div grad \|/у = 0 в области Vy-;
= 0 на поверхности Sy-;
—т + (woy ~ = 0 на поверхности сь.
dt2 си 7
Согласно методу разделения переменных, потенциал \|/у- пред-
ставляется в виде равенства
V/х, у, Z, t) = ₽/f)e,(X. у, z),
в соответствии с которым получим краевую задачу для потенциа-
ла 9у(х, у, z):
div grad 9у = 0 в области V.;
|^ = 0 на поверхности S-; = Ху9у- на поверхности оу-
и дифференциальное уравнение для нахождения функции Ру(£):
S'+ '/“’»-> - - °-
Краевая задача для потенциала 9у(х, у, г) имеет нетривиальные
решения 9fe, k = 1...°°, функции 9Л именуются собственными функ-
циями, соответствующие числа — собственными значениями.
Из уравнения для функции р.(£) следует, что
- ёх) =
где со^ (k = I...00) — последовательность частот собственных ко-
лебаний жидкости в баке с номером у.
Нахождение собственных значений и собственных функций в
краевой задаче для функции 9у для топливных полостей различ-
ных геометрических конфигураций возможно только с помощью
приближенных численных методов. Имеется достаточно большое
количество источников, в которых описываются различные мето-
ды решения соответствующих краевых задач: вариационные ме-
тоды Ритца, Трефтца, метод длинных волн и другие, а также ре-
зультаты расчетов [2, 9, 10]. Вместе с тем для жидких полостей в
форме прямого кругового цилиндра, прямого параллелепипеда,
половины сферы и др. возможны решения в квадратурах.
Для жидкой полости в форме прямого кругового цилиндра
частоты (Ofc собственных поперечных колебаний жидкости и
419
420
Рис. 24.4. Первые частота собственных колебаний и приведенная масса жидкости для цилиндрических баков:
а — выпуклые нижнее и верхнее днища; б — вогнутое верхнее и выпуклое нижнее днища; в — выпуклое верхнее и
вогнутое нижнее днища
421
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 h
a) 6)
Рис. 24.5. Первая частота собственных колебаний и приведенная
масса жидкости для цилиндрических баков с ребрами:
а — радиальные ребра; б — кольцевое ребро
Рис. 24.6. Первые частота собственных колебаний и приведенная
масса жидкости для баков с кольцевыми и радиальными ребрами:
а — цилиндрический бак с коническим днищем и с кольцевым ребром;
б — сферический бак с кольцевым ребром; в — сферический бак
с четырьмя радиальными ребрами
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 h
в)
423
Рис. 24.7. Первые частота собственных колебаний
и приведенная масса для баков в форме двусвязных полостей:
а — соосные цилиндры; б — тор; в — соосные сферы
формы Fk собственных колебаний свободной поверхности жид-
кости определяются формулами
= ......)th-—= 1...°°;
ч Л Л
W = ck^ k = 1-°°’
в которых vk — последовательность решений трансцендентного
уравнения Jj(v) = 0; — функция Бесселя первого порядка
первого рода; Л, R — высота и радиус жидкой полости; г — по-
лярная координата в плоскости свободной поверхности жидкос-
ти; ck (k = I...00) — произвольные постоянные.
Наряду с теоретическими методами определения частот и
форм собственных колебаний жидкости широко используются
экспериментальные методы, которые дают возможность опреде-
ления характеристик собственных колебаний для любых гео-
метрических конфигураций жидких полостей, не поддающихся
теоретическому анализу. Кроме того, экспериментальные мето-
ды дают возможность оценки достоверности результатов, полу-
ченных расчетными методами.
Существуют два основных метода определения частот и форм
собственных колебаний жидкости: метод вынужденных колеба-
ний и метод свободных колебаний. Первый метод основан на воз-
буждении колебаний жидкости в резонансном режиме, собствен-
ные частоты и формы отождествляются с резонансными частота-
ми и формами колебаний, второй — на возбуждении колебаний
жидкости путем задания начальных условий, при этом частоты
и формы собственных колебаний определяются по свободным ко-
лебаниям жидкости.
На рис. 24.4..24.7 представлены заимствованные из [5] первые
безразмерные частоты собственных колебаний жидкостей в баках
различной геометрической конфигурации в зависимости от относи-
тельной ширины перегородок b = b/R, относительного радиуса 8
днища и относительного уровня h = h/R жидкости в баках.
Принято, что радиус бака R = 1. Первая безразмерная частота со1
связана с частотой собственных колебаний жидкости соотношени-
^Ох^х
®1
ем ODj =
R
На этих же рисунках представлены безразмер-
ные первые приведенные массы т1 жидкости в баках, представля-
ющие собой относительные массы жидкости тл = —колеблю-
рЯ3
щиеся в баке с первой собственной частотой. Формы колебаний
свободной поверхности жидкости удовлетворяют условию орто-
гональности И F^F\ ds = 0 при k * I.
424
24.3.4. Вынужденные колебания жидкостей в баках
Вынужденные колебания жидкости в баках вызываются ка-
жущимся ускорением w0 - g и угловым ускорением объекта.
Соответствующая краевая задача имеет вид
div grad \|/у = 0 в области V.;
= 0 на Sj; + (wOx - gx)^ = G/x, у, г, t) на о,, (24.11)
где Gj = -(w0 - g)(r - r;) - ^Фу.
Для решения краевой задачи функция Gy раскладывается в
ряд по формам Flj собственных колебаний свободной поверхно-
сти жидкости:
Gy= у, г).
Обе части этого равенства умножаются на Ff и интегрируют-
ся по поверхности из полученного соотношения с учетом
условия ортогональности функций FJ находятся неизвестные
коэффициенты Функция Gy принимает следующий вид:
^dS
G,= Z ---------F*
* = 1fJ(^)2dS
a
Решение краевой задачи, описывающей вынужденные коле-
бания жидкости в баке, записывается в виде ряда
V = £ pft(t)Oft(x, у, г),
к = 1
где (k = 1...°°) — собственные функции краевой задачи о соб-
ственных колебаниях жидкости в баке.
Разложения для функций G;, \|/ последовательно подставля-
ются в основное уравнение краевой задачи (24.11) и граничные
условия на стенках и днище бака и на свободной поверхности
жидкости, в результате чего для функций рА, определяющих
колебания жидкости в баке с номером у, получаем бесконечную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
,2R
+ C0ft2 рА - --------- = 0, k = 1...ОО
dt2 Jf(F;*)2dS
425
До сих пор при анализе колебаний жидкостей в баках пред-
полагалось, что жидкости идеальны, но в действительности все
реальные жидкости обладают вязкостью, и в массе жидкости и
тонком пристеночном слое будет происходить рассеивание энер-
гии колебаний жидкости.
Демпфирование в жидкости оценивают следующими харак-
теристиками:
логарифмическим декрементом колебаний 8 =
ДЕ .
2Е ’
► коэффициентом поглощения у = — ;
Е
► коэффициентом демпфирования который связан с логариф-
мическим декрементом колебании 8 соотношением с, = — ;
71
► коэффициентом относительного демпфирования .
В приведенных формулах Е — полная энергия колеблющей-
ся жидкости; ДЕ — энергия, рассеянная за период колебаний.
Коэффициент относительного демпфирования связан с дек-
рементом колебаний формулой £ = - . Приведенные соотноше-
71
ния справедливы при условии малости демпфирования, т. е. в
том случае, когда соА.
Для бака с гладкими внутренними стенками зависимость
коэффициента демпфирования от амплитуды колебаний прояв-
ляется слабо.
Для топливных баков простых геометрических конфигура-
ций рассеивание энергии колебаний жидкости в тонком присте-
ночном пограничном слое возможно оценить расчетным путем
[5]. В частности, логарифмический декремент колебаний жид-
кости в баке, имеющем форму прямого кругового цилиндра,
рассчитывается по формуле
, = ” fXn2+l + 2х„(1-Л)
" j2Rn sh(2XnA)
где Rn = —-----безразмерный параметр для n-го тона колеба-
ний жидкости; R — радиус цилиндрического бака; — корни
уравнения
= 0; — функция Бесселя первого порядка
первого рода; h = - — относительная глубина жидкости в баке;
R
v — коэффициент кинематической вязкости жидкости.
426
Первые четыре корня хл имеют следующие значения:
Х1 = 1,841; Х2 = 5,331; Хз = 8,536; х4 = 11,71.
В том случае, когда в баке установлены конструктивные эле-
менты в виде ребер и перегородок, энергия колебаний рассеива-
ется как в пограничном слое, так и вследствие срыва вихрей с
острых кромок конструктивных элементов. Диссипативные си-
лы носят нелинейный характер, что проявляется в возникнове-
нии существенной зависимости характеристик демпфирования
от амплитуды колебаний жидкости, а именно: чем больше амп-
литуда колебаний свободной поверхности жидкости, тем боль-
ше коэффициент демпфирования. Рассеивание энергии колеба-
ний жидкости при ее динамическом взаимодействии с конструк-
тивными элементами намного превосходит рассеивание энергии
в пограничном слое. Однако энергия колебаний, рассеянная за
период, составляет малую долю полной энергии колебаний жид-
кости.
На основе экспериментально-теоретических исследований
характеристик гидравлического сопротивления конструктив-
ных элементов бака в виде радиальных и кольцевых ребер уста-
новлены полуэмпирические зависимости, с помощью которых
возможно рассчитать логарифмические декременты колеба-
ний, соответствующие основному тону колебаний жидкости в
цилиндрическом баке.
Если в баке установлены п продольных равноотстоящих
друг от друга ребер одинаковой ширины Ь, декремент колеба-
ний [6] определяется формулой
[ !>84б L - 1
5 = 0,83 1 +-----S IsinG-12 (£ )2 )2,
0,138+4,6— / = ^R ^R
k R)
в которой 0 — угол между плоскостью ребра и плоскостью хСу;
fm — максимальная амплитуда колебаний жидкости на свобод-
ной поверхности.
При установке в баке п кольцевых ребер одинаковой шири-
ны b декремент колебаний [6] определяется соотношением
где Д = 48,5; 43,4; 38,1 соответственно для колец шириной
0,05Я;, 0,1Я;, 0,2Яу; dt— расстояние от плоскости кольцевого
ребра до невозмущенной свободной поверхности жидкости, из-
меренное вдоль связанной оси х.
427
Результаты вычислений декрементов колебаний по приве-
денным формулам удовлетворительно согласуются с результа-
тами экспериментальных исследований, в ходе которых харак-
теристики демпфирования определяют методами свободных и
вынужденных колебаний. В случае слабого демпфирования дек-
ремент колебаний обычно определяется методом свободных ко-
лебаний. В иных случаях декремент колебаний целесообразно
определять резонансным методом по ширине резонансного пи-
ка. Методы определения характеристик демпфирования колеба-
ний жидкости в баках подробно изложены в [7].
Рассеивание энергии колебаний жидкости будем учитывать
путем добавления в уравнения колебаний жидкости членов,
пропорциональных первой производной от обобщенного переме-
щения жидкости. Бесконечная система обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, описывающая колебания жидкости в
баке с номером у, примет вид
ffG.FMS
+ + °* ₽* “ -------- = 0, k = 1...ОО.
Jf(F/)2dS
24.3.5. Уравнения движения БР, учитывающие
подвижность топлива. Приведение уравнений движения
к обыкновенным дифференциальным уравнениям
и их линеаризация
Уравнения сил и моментов выводятся на основе принципа
«затвердевания», в соответствии с которым уравнения движе-
ния БР как объекта переменной массы в произвольный момент
времени записываются в форме уравнений движения объекта
постоянной массы, к которому в этот момент времени приложе-
ны внешние, реактивные и кориолисовы силы.
УРАВНЕНИЕ СИЛ. Это уравнение выводится из условия, что сум-
ма главного вектора массовых сил с учетом фиктивных сил
инерции и сил F, включающих внешние, реактивные силы и си-
лы Кориолиса, равна нулю, т. е.
Ш(g - w)pdV + Z (g - w)pdV + F = 0.
V j = 1 J J
Абсолютные ускорения частиц конструкции и жидкости в
баках определяются соотношениями
, dco
W = W°+dt ХГ’
Wa; = w0 + grad (^Ф/) + grad У2 '
(24.12)
428
В соответствии с соотношениями для абсолютных ускорений
w и wa; твердых и жидких частиц уравнение (24.12) можно при-
вести к следующему виду:
(g - "о)(Ш pdV + Д Р; Х Ш Гр; dV -
- Z Ру Ш grad feW - S р, Шgrad dV + F = 0.
7 = 1 J v 'dt / j = i J v dtz
Вводятся обозначения:
m = /KpdV+ Z p: fifdV; A,(t) = Z pJHgrad ydV.
V j = 1 J v/ J j = 1 J
Здесь величина m представляет собой полную массу БР.
С учетом принятых обозначений уравнение сил примет вид
Mg “ wo) “ 7Т7 х rpdv- Z р - Я!grad (^Фу) dV- + F = 0.
at v 7 = 1 J v ^dt '/ atz
Так как начало связанной системы координат располагается
в центре масс БР, то
x/JJrpdV- Z р /Иgrad (^Фу) =0
dt v j=i J v 'dt JJ
и уравнение сил е учетом подвижности топлива в баках примет вид
z ч ж. d2A.
Mw-g) = F-^.
Интеграл, входящий в выражение вектора Ау, преобразуется
к следующему виду:
Ш gradv|/:dV= Я v,ndS = Я y^-dS= Я r^dS = ff r^dS,
у } s)+aj J Sy+ay ]dn SJ+°J dn a
в соответствии с тем, что на стенках и днище баков потенциал \|/у
удовлетворяет условию
дп
= 0.
УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ. Это уравнение может быть получено
путем суммирования моментов массовых сил, действующих на
конструкцию и жидкость в баках, с учетом моментов фиктивных
сил инерции и моментов сил, в состав которых входят аэродина-
мические моменты и моменты реактивных и кориолисовых сил:
Я! (г + и) х (g - w)pdV +
V
N
+ Е (г + grad \|/) х (g - w .)ру dV + М = 0.
у = 1 J J
(24.13)
429
Введем обозначение
В (t) = Z р Ш г х grad у • dV.
' j = i ' vt '
Интеграл, входящий в выражение вектора Ву, преобразуется
следующим образом:
Ш г х grad у • dV = ff ™ .(г х n)dS =
v ' S + ст '
- й v»dS- Я „^dS-ff.^dS
Sy+CTy 1 дП Sy+CTy СТу 7 дП
в соответствии с тем, что —-1 = 0 на поверхности S. и потенциал
дп 1
Ф удовлетворяет условию = г х п на поверхности S, + о, топ-
дп 1 1
ливного бака.
С учетом принятого обозначения уравнение моментов преоб-
разовывается к виду
Г х f х г )pdV + Z р /Л г X grad dV =
v at / j = 1 J v ^at "
„ d2B; * / x
= M - 777 A; x (w0 - S)>
после преобразования объемного интеграла по области V- к по-
верхностному интегралу по области S- + оу с помощью формулы
Гаусса—Остроградского получим
JfJrx(gxr)pdV + Я d-^dS =
v ^dt / 7 = 1 Js+v,dt 7 дп
= M-^-Ayx(w0-g).
Левая часть этого уравнения представляет собой некоторый
вектор, который обозначим через I, проекции этого вектора на
оси связанной системы координат имеют вид
r da>:
xx~dt
+ Т •
dt хг dt ’
= Т d<i>* 4- Т 4- Т .
У Jyx dt + Jyy dt + Jy* dt ’
' _ т d®;
2~ 2X~dt
- dcoy 4- 7 dco*
гУ dt гг dt ’
430
Здесь величины (£, е = х, у, г) представляют собой момен-
ты инерции БР в связанной системе координат Cxyz и рассчиты-
ваются по формулам
- Ш(У2 + г2)Р<^ + Д Р/ s JJo
^ = Ш(х2 + г2)р^ + £Р/ Я ®J^dS;
уу v j = i JSj+(jj Jy дп
J„ = W(x2 + y2)pdV+ X р. Я
J.. - J,. - -Ш 4/pdV +ilp, dS;
>,. - J., - -Ш WdV + lt p, dS;
JH2»pdv + ip JJ фJ2cds.
v / = 1 7s;+Qy 7 dn
Каждая из приведенных формул для расчета моментов инер-
ции состоит из двух частей: первая часть определяет момент
инерции конструкции БР, вторая — момент инерции заполняю-
щих топливные полости жидкостей, свободные поверхности ко-
торых закрыты жесткими невесомыми крышками. Таким обра-
зом, для определения моментов инерции необходимо знать ве-
личины Фух, Ф;!/, Ф;г, что требует предварительного решения
краевых задач для потенциала Ф для всех топливных полостей.
Вследствие того, что оси связанной системы координат
могут быть приняты главными осями инерции объекта, центро-
бежные моменты инерции Jxy, JX2, Jy2 становятся равными ну-
лю, так что уравнение моментов представляется в виде
Jxx~dtX JM dt2 A/X<wo 8)’
где i, j, k — единичные векторы, направленные соответственно
по осям х, у, z связанной системы координат.
Расчет главных моментов инерции БР требует предвари-
тельного определения потенциала Ф, называемого потенциалом
Жуковского, путем решения соответствующих краевых задач.
В общем случае решение краевой задачи для потенциала Ф мо-
жет быть выполнено приближенно известными численными ме-
тодами, однако для ряда геометрических конфигураций жид-
ких полостей возможно получение решений в конечном виде.
431
Такими полостями являются полости в виде прямого кругового
цилиндра, прямого параллелепипеда, половины сферы и ряда
других. Опуская все промежуточные выкладки, запишем рас-
четные формулы для определения главных моментов инерции в
том случае, когда жидкие полости представляют собой прямые
круговые цилиндры:
Jxx = W(l/2 + z2)P dV + mj(yf + Zf )’
Juu = W(z2 + x2)p dV + E mizj + x? + Л?),
у j _ 1 J J J J
Jzz = Ж*2 + y2)p dV + Zj m^x2 + y? + h?),
где rrij — масса жидкой полости; xy, i/y, zy — расстояния от цент-
ра масс жидкой полости до центра масс БР по направлениям
осей х, у, z связанной системы координат; Лу — радиус инерции
жидкой полости, определяемый по формуле
^vkH
h2 =н2 _ ЗЯ2 , 16Я3 У 2R
> 12 4 Н * = iv3(v2-l)’
где vk (k = 1, ..., п) представляет собой последовательность реше-
ний трансцендентного уравнения J'^v) = 0, J^v)— функция
Бесселя первого порядка первого рода; Н, R — соответственно
высота и радиус жидкой полости.
Моменты инерции жидких полостей сложной геометриче-
ской конфигурации определяются также экспериментальным
путем.
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ БР С ЖИДКИМ ТОПЛИ-
ВОМ К ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИ-
ЯМ И ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ. Переход от интегро-дифференциаль-
ных уравнений движения БР к обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям производится с помощью представления
потенциала перемещений уу жидкости в виде ряда
v/х, у, Z, О = pfc(O0fc(x, у, Z).
Подставим ряд в выражения векторов Ау и Ву и преобразуем
их к виду
a v ? ff v ? о ff
A- = Z EpJJr—-dSfik= Z Z aгде a = p JJ r—-dS;
1 j = ik = i 1 a} dn K j = ik = i 1 ] 1 a, dn
B = S S p. я ф. A* dsp = E S ЬД, где b, = p.JJ dS.
' j-ik-i ' °, 1 dn K j -ik-i JK 1 °, 1 dn
432
С учетом этих преобразований математическая модель дви-
жения БР сведется к уравнениям сил и моментов
N 00 N 00
+ ЛЛ drf + ;?1 Л1аА X (W° ” g) = M>
Спроектируем полученные уравнения на плоскость тангажа
и ограничим ряды по номерам k, удерживая конечное число соб-
ственных частот и форм колебаний жидкости в каждом из баков
равным числу М:
N М J2R
'n(U>0y-gy)+ =Fy’
у у ] = 1 k = 1 Jy at* у
N М J2R N М
+л л ла=
Примем обозначение ц Л = ff Fl dS^- , где Fk = на поверх-
J A'jk дп
ности оу и спроектируем уравнения колебаний жидкости на
плоскость тангажа:
+ + ₽ *) + aiy(w°y ~ gy} + Ь!^ = °’
7=1, ...,N;k = 1,
Далее линеаризуем уравнения сил и моментов БР и уравне-
ния колебаний жидкостей. Считаем, что при переходе от невоз-
мущенного к возмущенному движению коэффициенты а-у, b^,
цуА, соА испытывают пренебрежимо малые изменения. Ис-
пользуя матрицу перехода от возмущенной связанной системы
координат к невозмущенной [1], получим уравнения возмущен-
ного движения жидкостей в баках:
dt2 dt k
, „ d2AY , , d2A9
-aiy{wOy-gy) A9 = 0,
7=1,
N; k= 1, .... M.
433
Повторив процедуру линеаризации для уравнений движе-
ния БР с учетом подвижности жидкостей в баках, получим
уравнения возмущенного движения БР по тангажу
d2AY
тп---z-
dt2
N
+ S
+ ^+сЛг+с.»ЛЭ +
- с>‘ “»+ЛГ»;
• d2AS , dA& , dAY
г dt2 Иг dt dt
N М z72AR
+ сээ лэ + z Е -
ЭЭ J® dt2
N М
- (W0x ~ ,.?! Л fiV ДР* = СЭ8 Д8Э + ДМг>
C^QSl 1
ГДе Vy = "ЙГ ” ^Ха’ Суу = 2 (Схо + СУ )pSv^;
cys = -(p+lcypSvcx);
Нг = + Д х2 . Сэу = 1 Xf(Cx0 + са )psUcx.
сЭ9 = -|ХИСхО+ су )pSVCxi
су6 = 2Р*; с98 = -2P*Lp; \Fy = &mgy + Z^P, + cyyvBy-
L
— i//)Pj + c$yVBy*
Здесь m, J2 — масса и момент инерции БР относительно оси
Cz; Р — суммарная тяга двигателей БР; L — число двигателей;
Pz — тяга одного двигателя; Р* — тяга двигателя, используемо-
го для управления; Lp — расстояние от центра масс БР до точки
приложения управляющей силы; S — характерная площадь
корпуса БР; хА — расстояние от центра масс БР до среза сопла
двигателя; ц — массовый суммарный секундный расход топли-
ва при работе двигательной установки; г|р yt — перекос и экс-
центриситет в установке двигателя; I — длина корпуса БР; S —
характерная площадь корпуса БР; ху- — расстояние от центра
масс БР до центра свободной поверхности жидкости в баке с но-
мером у; сх^, с%, — аэродинамические коэффициенты
(коэффициент лобового сопротивления, производная от коэффи-
циента подъемной силы по углу атаки, производная от коэффи-
циента демпфирующей силы по угловой скорости и производ-
ная от коэффициента демпфирующего момента по угловой ско-
434
рости); xF — фокус БР; и — проекция скорости ветра на ось Су
связанной системы координат; р, vCx, q — соответственно плот-
ность воздуха, проекция невозмущенной скорости БР на связан-
ную ось Сх и скоростной напор; Дтп — возмущение по массе БР.
Система уравнений движения БР и колебаний жидкостей в
баках позволяет определить возмущения перемещения центра
масс БР ДУ; угла тангажа ДЭ и функций Д0Л, k = 1, М, кото-
рые определяют колебания топлива в баке, имеющем номер j
при задании соответствующих начальных условий.
На движение БР основное влияние оказывают колебания
топлива в баках с первой собственной частотой, это дает возмож-
ность представить математическую модель возмущенного дви-
жения БР с учетом подвижности топлива в более простом виде:
d2AY , „ dA9 . d\Y Ла , у „ <*2Д₽; ля хлр.
dt2 + У dt + «у dt +с!/9Да+ )dt2 Cyb^ + ^Fy’
j d^_+ <«8 + «I + дз + £ b _
2 dt2 z dt dt зз . = 1 /3 dt2
N
- (w0x - sx) др, = Cgg Д8Э + ДМ2;
fd2Ap dAp 2лпА,л d2AY d2A9
- aiy(w0x - sx) Д9 = 0, j = 1, N.
При использовании на БР цилиндрических топливных ба-
ков коэффициенты ajy, определяются формулами
ajy ~ 4 PjRf ’ ~ xjajy’
itPjRf , .
И>= ~4^f(W°x-^x)’
где р7, Rj — соответственно плотность жидкости и радиус ци-
линдрического бака, имеющего номер у.
К уравнениям возмущенного движения БР в плоскости тан-
гажа должно быть присоединено уравнение, описывающее рабо-
ту автомата стабилизации, которое в простейшей линеаризован-
ной форме имеет вид
+ ^9 +д§ = k Д9 + k + k дуо + k (dbY у
2 dt2 1 dt 9 1 2 dt 3 4V dt >
В этом уравнении cp c2— коэффициенты, характеризующие
демпфирующие свойства и инерционность АС; ..., &4 — пере-
даточные коэффициенты.
435
Между смещениями центра масс ДУ БР в возмущенном дви-
жении и перемещениями ДУ° датчика АС в сечении корпуса
х = х° имеют место соотношения
ДУ° = ДУ + х°ДЭ;
V dt J dt dt
В некоторых случаях в диапазоне частот, соответствующем пер-
вым частотам собственных колебаний жидкостей в баках, систе-
ма нормальной стабилизации мало влияет на устойчивость дви-
жения БР, поэтому можно принять А?3 = k4 = 0.
24.3.6. Уравнения поперечных колебаний
упругого корпуса БР
Корпус БР и PH представляет собой упругую конструкцию,
имеющую ось симметрии или две взаимно перпендикулярные
плоскости симметрии; степень удлинения конструкции нахо-
дится в широких пределах, что может потребовать привлечения
теории упругости при составлении уравнений упругих колеба-
ний корпуса, в частности, в тех случаях, когда степень удлине-
ния находится в пределах 2...3. Однако при больших удлинени-
ях корпусов привлечение сложных уравнений теории упругости
обычно нецелесообразно, и в целях упрощения математической
модели упругих колебаний корпуса используют уравнения, ос-
нованные на допущениях сопротивления материалов. Согласно
гипотезе плоских сечений и закону Гука для растяжения—сжа-
тия, получим уравнение поперечных колебаний упругого кор-
пуса с учетом инерции поворота поперечных сечений корпуса
и граничные условия, соответствующие свободным концам уп-
ругого корпуса:
= 0 при х = а, Ь;
дх2
А [EJ— 1 - pJ-A = -т при х = а, Ь.
дх V дх2 > Н dxdt2 2 Р
В приведенных соотношениях EJ — изгибная жесткость по-
перечных сечений корпуса в плоскости хСу\ J — геометрический
момент инерции сечения относительно оси г; и — прогиб упругой
линии, представляющей собой геометрическое место центров
тяжести поперечных сечений корпуса; р — плотность материала
436
корпуса; ц — погонная масса корпуса; д^(х, t); т2(х, t) — соот-
ветственно погонные внешние сила и момент, действующие на
корпус; а, b — координаты начального и концевого сечений кор-
пуса в связанной системе координат.
В начальный момент времени должны быть заданы началь-
ные условия для прогиба упругой линии корпуса.
24.3.7. Собственные упругие колебания корпуса БР
Собственные упругие колебания определяются путем реше-
ния краевой задачи, состоящей из основного дифференциально-
го уравнения
д2 (гтд2и}- $ ( ~ т -L- ..d2M =п
Эх2 v Jdx2 ) дх № dxdt2 ' Ц dt2
и граничных условий
= 0 при х = а, Ь;
дх2
дх2) р dxdt2
= 0 при х = а, Ь.
Перемещение и упругой линии корпуса, согласно методу
разделения переменных, можно представить в виде
и(х, t) = g(t)U(x).
Подставив это соотношение в краевую задачу, получим, что
функция Щх) определяется решением краевой задачи
dx2 ' dx2 ' ^dx V dx / /
EjdJl = о при x = a, b;
dx2
d Td2U A , л TdU к к
— EJ —- 4- XpJ — = 0 при x = a, b,
dx'dx2' H dx H
а функция g(t) — решением уравнения
+ bg = °.
dt2
Краевая задача для определения функции U(x) имеет нену-
левые решения при значениях параметра X, образующих беско-
нечную последовательность чисел Хр Х2, ..., Х^, именуемых соб-
ственными значениями; соответствующие ненулевые решения
образуют бесконечную последовательность собственных функ-
ций uv
437
Собственные значения Xk и собственные функции Uk связа-
ны соотношением
d2Uk
dx2
2 b
dx + jP
a
dUk
dx
2
dx
dUk
dx
+ h|L\| 2 )dx
из которого следует, что собственные значения относятся к
классу действительных чисел. Согласно [1], собственные функ-
ции удовлетворяют условию ортогональности
f + dx = 0 при k *1
fj ' Л' И, Л, '
и интегральным соотношениям
dx = O, k= l...oo;
а
J (цх17Л + dx = O,k= l...oo.
Собственные значения kk связаны с частотами собствен-
ных изгибных колебаний равенством
ХЛ = со2, /? = 1...оо,
а собственные функции Uk определяют форму упругой линии
корпуса на частоте собственных колебаний. Бесконечный спектр
частот изгибных колебаний корпуса при прохождении через ав-
томат стабилизации преобразуется в конечный, так как некото-
рые агрегаты БР, такие, как привод системы управления, двига-
тельная установка и др., представляют собой фильтры верхних
частот.
Обычно при исследовании устойчивости требуется определе-
ние нескольких первых частот и форм упругих изгибных коле-
баний корпуса. Расчет собственных упругих колебаний корпуса
выполняется различными приближенными методами, такими,
как метод начального параметра [6], метод последовательных
приближений [1] и др.
Рассмотрим методику определения частот и форм собственных
поперечных колебаний упругого корпуса, когда не учитывается
инерция поворота сечений корпуса. Корпус БР — балка с перемен-
ными по длине массовыми и геометрическими характеристиками
поперечных сечений. Соответствующая краевая задача имеет вид
d2U п d3U п L
= 0; —г = 0 при х = а, х = Ъ.
438
Корпус БР разбивается на ряд участков, на каждом из которых
характеристики сечений постоянны. Для каждого из участков
EJ^-Ц- - = 0;
dx4
d2U n d2U п .
= 0; —— = 0 при х = а, х = Ь.
dx2 dxJ
Приведем краевую задачу к нормальному виду. Приняв обо-
значения
d3U f d2U f dU t tt t
dJ-te di -f‘- u- полу,и”
EJ?Lt -Xu/.; ^ -/.; -/,; -/,;
dx 4 dx 1 dx 2 dx 3
fi = 0, /2 = 0 при x = a, x = b.
Расчет величин X, U производится в следующем порядке.
Выбирается X = ХР На левом конце корпуса примем f(11) (а) = 0;
/<1>(а) = 0; ЛХ)(а) = 0; #>(а) = 1.
Произведя численное интегрирование уравнений по длине кор-
пуса, на его правом конце получим (&); f^1) (b); f^1) (b); f^1) (b).
Повторим расчет, приняв на левом конце корпуса f (х2) (а) = 0;
/<2>(а) = 0; /^2)(а) = 1, №(а) = 0.
После проведения численного интегрирования по длине кор-
пуса на его правом конце получим /^2) (b); (&); f^2) (b); (&).
Согласно первому краевому условию задачи, на правом кон-
це корпуса должно выполняться соотношение
Л(&) = Л1’ (&) + cf 12) (ь) = °> откуда с = •
Второе краевое условие задачи на правом конце корпуса ис-
пользуется для проверки правильности задания Хх:
f2(b)=f^(b) + cf^(b)-^0.
Выбирается X = Х2, и все расчеты производятся снова. Варьи-
руя X, можно добиться выполнения равенства f^(b) +
+ с/<2)(Ь) = О.
439
Значение X = X*, при котором выполняется последнее равен-
ство, является собственным значением краевой задачи о собст-
венных изгибных колебаниях корпуса. По величине X* вычис-
ляется значение собственной частоты со* = 7^*- Форма упругой
линии корпуса при X = X* — искомая форма собственных коле-
баний U*.
Определение частот и форм собственных изгибных колеба-
ний корпуса производится также с помощью эксперименталь-
ных методов. Примеры частот и форм собственных изгибных
колебаний PH «Сатурн-5», полученные расчетными и экспери-
ментальными методами, показаны на рис. 24.8.
Рис. 24.8. Первые четыре формы изгибных колебаний
корпуса БР «Сатурн-5»:
а — первая форма; б — вторая; в — третья; г — четвертая;
------расчет,------натурные динамические испытания;
т = О — начальный момент времени полета
г)
440
24.3.8. Вынужденные колебания упругого корпуса
Прогиб упругой линии корпуса представляется в виде ряда
и(х, t) = Е gk(t)Uk(x),
к = 1
где gk(t) — функции, определяющие зависимость прогиба упру-
гой линии корпуса от времени.
Подставим ряд в уравнения краевой задачи, описывающие
упругие изгибные колебания корпуса. После некоторых преоб-
разований получим бесконечную систему обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений для определения функций gk(t) [1]:
+ = а [Ukcdx + +
+ (^k)x=xy^y упр + ('^х')х-ху'^2упр’ ~
где mk = J — приведенная масса; а— угол
атаки; с — коэффициент пропорциональности в формуле qy =
= с(а 4- cjk — коэффициент, определяемый формулой c-k =
n(TTdUk тт dU:\ brTT dU;
= P<Uj~d^ ~ Uk~d^)x=xT ~ [Uk~fa' в КОТ°Р°И хт— координата
точки приложения силы тяги; ху — координата точки приложе-
ния управляющего воздействия.
В уравнениях для определения функций gk(t) не учитывает-
ся рассеивание энергии упругих колебаний. В действительности
демпфирование колебаний обусловливается рассеиванием энер-
гии в материале конструкции, в местах соединения элементов
конструкции (конструкционное демпфирование) и взаимодейст-
вием вибрирующей конструкции и внешней среды. Большая
часть рассеивания энергии колебаний определяется конструк-
ционным демпфированием.
Демпфирование колебаний в реальных ракетно-космиче-
ских конструкциях мало, критерием малости является несуще-
ственное влияние демпфирования на частоты собственных коле-
баний и на приведенные массы.
Демпфирующие свойства конструкций оценивают теми же
характеристиками, что и демпфирующие свойства жидкости:
A
► логарифмическим декрементом колебаний 8 = —;
/\Е
► коэффициентом поглощения Т = —-;
Е
441
► коэффициентом демпфирования который связан с декре-
ментом колебаний 8 в случае малого демпфирования соотно-
шением , и коэффициентом относительного демпфиро-
71
вания | , связанным с декрементом колебаний формулой
Приведенные характеристики представляют собой интеграль-
ные оценки рассеивания энергии колебаний, однако они не опре-
деляют действительных законов изменения диссипативных сил.
В [7] приводятся достаточно подробные сведения о демпфи-
рующих свойствах тонкостенных конструкций, применяемых в
ракетно-космической технике. Там же отмечается, что для кон-
струкций БР величины логарифмических декрементов колеба-
ний находятся в основном в диапазоне 0,015...0,35, причем эти
значения соответствуют весьма разнообразным видам конструк-
ций. При увеличении амплитуды колебаний декременты коле-
баний во многих случаях возрастают, но для некоторых конст-
рукций декременты изменяются мало.
В [7] в качестве примера приводятся величины логарифмиче-
ских декрементов колебаний для PH «Сатурн-5». Для попереч-
ных колебаний корпуса характерны значения 8 = 0,036...0,1, для
продольных— значения 8 = 0,036...0,06, причем логарифмиче-
ские декременты, соответствующие поперечным колебаниям,
уменьшаются с увеличением амплитуды колебаний, а логариф-
мические декременты, соответствующие продольным колебани-
ям, увеличиваются с ростом амплитуды. Для PH типа «Восток»
логарифмические декременты либо растут с увеличением ампли-
туды колебаний, либо остаются постоянными. Величины декре-
ментов колебаний лежат в диапазоне 0,03...0,05.
На декременты колебаний существенное влияние могут ока-
зывать осевые сжимающие силы, виды применяемых стыковых
соединений и силы поджатия в стыках [7].
Если осевые силы не превосходят критических значений,
при которых происходит местная потеря устойчивости элемен-
тов конструкции, то декременты колебаний мало зависят от осе-
вой силы. В случае превышения осевой силой своего критиче-
ского значения декременты колебаний резко увеличиваются,
что объясняется интенсивным рассеиванием энергии колебаний
в местах потери устойчивости элементов конструкции.
Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что рассеивание
энергии колебаний в стыках зависит от числа стыков, силы их
поджатия, наличия изгибающих моментов и перерезывающих
сил и от амплитуды колебаний. Рассеивание энергии колебаний
442
происходит вследствие трения по контактным поверхностям и
соударений контактных поверхностей стыков. Опубликовано
достаточно много результатов исследований влияния на демп-
фирование таких соединений конструктивных элементов, как
сварные, заклепочные и др., которые в значительной мере спо-
собствуют повышению демпфирования в конструкции.
На рассеивание энергии колебаний существенное влияние
оказывают кабельная сеть и тепловая защита БР.
В [7] приведены также сведения, касающиеся демпфирую-
щих свойств конструкционных материалов, применяемых в ра-
кетно-космической технике. Например, для алюминиевого спла-
ва Амгб декремент колебаний составляет величину 0,00018; для
сплава Д16Т — 0,00025; для стали ЗОХГСА — 0,00085; для стек-
лопластика — 0,0093. Демпфирующие свойства конструкцион-
ных материалов не зависят от частоты колебаний, но могут зави-
сеть от амплитуды колебаний. Анализ приведенных характерис-
тик показывает, что демпфирование за счет внутреннего трения
в конструкционных материалах мало по сравнению с суммар-
ным демпфированием в реальной конструкции.
Однако оценить расчетную величину демпфирования реаль-
ной конструкции не представляется возможным, поэтому оцен-
ки демпфирования упругих колебаний производятся экспери-
ментальным путем [7].
После определения величины демпфирования перейдем к
системе дифференциальных уравнений
+ =а[си><dx+Д+
+ (^k)x=xy^y упр + k — 1...ОО,
описывающей вынужденные колебания упругого корпуса под дей-
ствием аэродинамических, управляющих и реактивных нагрузок.
24.3.9. Уравнения движения БР с упругим корпусом
и их сведение к дифференциальным уравнениям
возмущенного движения в плоскости тангажа
Уравнения сил и моментов выводятся на основе принципа
«затвердевания» (см. 24.3.5),
УРАВНЕНИЕ СИЛ. Это уравнение выводится из условия, что сум-
марный главный вектор массовых сил с учетом фиктивных сил
инерции и сил F, включающих внешние, реактивные силы и си-
лы Кориолиса, равен нулю:
Jff(g-w)pdF+F = O. (24.14)
' v
443
Абсолютные ускорения частиц упругого корпуса с учетом
малых первого порядка определяются соотношением
w = w0
dt dt2
в соответствии с которым уравнение (24.14) приводится к виду
(g - Wo) Шр dV-X JffrdV- Jff gH p dV + F = 0.
v dt у у dt
Обозначив m = JJJp dV; a(t) = JJJup dV, где т представляет co-
V V
бой полную массу БР, уравнение сил можно записать в виде
m(g " wo)" Й х Wrp dV ~ ТГ* + F = °-
(II у dt
Так как начало связанной системы координат располагается
в центре масс БР, то
-jMJfrpdy=O,
(II у
а уравнение сил с учетом упругости корпуса примет следующую
форму:
/n(w - g) = F -
dt^
УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ. Это уравнение может быть получено
путем приравнивания нулю суммы моментов массовых сил,
действующих на упругий корпус, моментов фиктивных сил
инерции и моментов поверхностных сил, в состав которых вхо-
дят аэродинамические моменты, моменты реактивных сил и
сил Кориолиса:
Ш(Г + u) X (g - w)p dV + М = 0. (24.15)
V
Обозначив b(t) = JJJ г х up dV, можно придать уравнению
(24.15) вид
Шгх № xr)pdV = M-^| - ax(w0-g). (24.16)
у ' dt ' dt“
Левая часть уравнения (24.16) обозначается вектором I, про-
екции которого на оси связанной системы координат имеют сле-
дующий вид:
I, - + ;
х хх dt ху dt xz dt
т = т + т dto» + Т
ух dt + Jyy dt + dt ’
444
Здесь величины J^e (£, £ = х, у, z) представляют собой момен-
ты инерции БР в связанной системе координат Cxyz и рассчиты-
ваются по формулам
Jxx = Ш (У2 + *2)Р dV’ Jyy = Ш (*2 + *2)Р dV>
V V
dzz = Ш (*2 + !/2)Р dv> Jxy = Jух = - Iff ХУР dV;
V V
Jyz = Jzy = - Ш У2Р dV’> Jzx = Jxz = ~ Ш 2XP dv-
V V
В дальнейшем считается, что моменты инерции Jxx, Jyy, J22
являются главными, так что уравнение моментов записывается
в виде
_ d(ax. т da т du __ ^2},
Jxx^ + Jyy^i + Jzz^b = M - — - a X (w0 - g),
где i, j, k — единичные векторы, направленные соответственно
по осям х, у, z связанной системы координат.
Уравнения сил и моментов спроектируем на плоскость тан-
гажа. Получим
d2a
m<W0y -Sy) = Fy~^
duz d2bz
Jz2~dt - Mz -j^2 + ay^WOx Sx)’
где a = fJJ piz dV; b2 = jjj pxu dV.
y V V
Так как при отсутствии кинематических ограничений на уп-
ругие колебания корпуса суммарная поперечная инерционная
сила, действующая на корпус, а также суммарный инерцион-
ный момент относительно центра масс БР равны нулю, то ау = О,
Ъ2 = 0, а уравнения сил и моментов примут вид
'"(“Ч “ ёу} ~ Fy’ Jzz~dt ~ Мг‘
Произведем учет влияния изгиба корпуса на аэродинамиче-
ские, реактивные и управляющие силы и моменты, воздейст-
вующие на БР.
Аэродинамические силы.
Поперечную погонную аэродинамическую силу qy будем счи-
тать пропорциональной местному углу атаки, величина которо-
го зависит от угла поворота поперечных сечений при изгибе
„ ди ( . ди}
корпуса, равном производной —; таким образом, qy = с^а 4- — J.
Погонные аэродинамические моменты в дальнейших расче-
тах не учитываются.
445
Ф Реактивные сйлы и моменты. /
Считается, что реактивная сила направлена по касательной
к упругой линии корпуса в точке х = xt, где xt — расстояние от
центра масс БР до точки приложения реактивной силы. При из-
гибе корпуса возникают дополнительные сосредоточенные реак-
тивные силы и моменты, которые формально могут быть пред-
ставлены в виде распределенных нагрузок с помощью дель-
та-функции Дирака 8(х, xt)
qy = S9 5(Х’ тг = xt).
* х=х. f
Управляющие силы и моменты.
Управляющие силы и моменты, действующие в сечении кор-
пуса, отстоящем от центра масс БР на расстоянии ху, также
представляются как погонные нагрузки с помощью дельта-
функции
Qy = Fy упр8(Х’ ХУ); тг = Мг упр8(Х’ ху)-
Подставим выражения для аэродинамических, реактивных
и управляющих сил и моментов в уравнения сил и моментов БР.
Получим
m(woy - Sy) = J (а + § )cdx +
ь
+ |$(х, xt) dx + Fyynp
b
f5(x, xy)dx;
a
, b b
Jzz-r1 = Jfa + ex dx + P(j^) f8(x, x()x dx -
гг dt Jav дх) Удх)х=х, a
b b b
- P(u)x=x J5(x, x() dx + Fy ynp J5(x, xy)x dx + Мгупр J8(x, xy) dx.
1 a a a
Используя свойства дельта-функций
b b
8(x, Q = 0 при x Ф j 8(x, Q dx = 1; J8(x, Qftx) dx = f(Q,
a a
приведем уравнения сил и моментов БР к виду
ь
J“<l) ~l£exdx+p(x%i~“),.,, +м‘‘
где Fy, М2 — аэродинамическая и управляющая сила и момент,
не зависящие от изгиба корпуса.
446
Полученные уравнения движения БР относятся к классу ин-
тегро-дифференциальных уравнений, но их можно преобразо-
вать в обыкновенные дифференциальные уравнения с помощью
представления прогиба упругой линии корпуса в виде сходяще-
гося ряда
и(х, t)=
в котором Uk(x) представляют собой собственные функции коле-
баний корпуса.
Подставим разложение функции и(х, t) в интегро-дифферен-
циальные уравнения движения и преобразуем их к виду
m(wOy-gy)+ liCyllgk = Fy-,
tdUk , (dU к\
= -f ex dx + /''!.> -
Ja dx V * dxJx=xt
Как было отмечено выше, реальное движение БР представляет
собой суперпозицию двух движений: невозмущенного движения и
движения, имеющего характер малых отклонений от невозму-
щенного. Малые отклонения параметров движения и будут опре-
делять возмущенное движение БР. Основные параметры реально-
го движения БР по тангажу могут быть представлены в виде
= ~4t^V ~ V<^Wz + W0y + Ди,0«; “г = “г + Д(°г;
9' = 9 + Д9; g'k=gk + &gk, k = 1...ОО;
а' = а + Да; с' = с + Де; U’k = Uk + Д17Л,
где величины wQy, со2, 3, gk, а, с, Uk соответствуют невозмущен-
ному движению, а величины Ди^, Дсо2, Д9, Д^, Да, Де, ДС7Л
описывают возмущенное движение БР в плоскости тангажа.
Переходя от возмущенной связанной системы координат к
невозмущенной, получим математическую модель возмущенного
движения БР по тангажу с учетом упругих колебаний корпуса
+ vy^T + СУУ^Г + с^дэ + *?1 с«к Лёк = СУ& Д5» + д^;
df2 + + Cdy~dF + + . сэ* Д^л = СЭ8 Д8э +
+ + д^ + Ас>к + Cky^f + с*э Д9 =
= сА8Д59 + Л = 1...оо.
447
В этих уравнениях приняты следующие обозначения:
Cky = J UkC dx’ Ck& = -VexCky-’
ucx a
ckd = cy^k)x=x — в том случае, если исполнительные орга-
ны управления создают управляющую силу;
(dUk\
ck6 = ) — в том случае, если исполнительные орга-
«о аоу jx =
% У
ны управления создают управляющий момент;
= a dx + а Де dx + (ДС7, - Uk)x=x Fyynp +
+ r^L^ м .
V дх дх)Х=Ху 2УПР
Дифференциальные уравнения возмущенного движения по-
зволяют определить параметры движения ДУ, Д9, Agk (k =
= 1...ОО) по заданным функциям Д8а, AMZ, AFk. Если
функция Д8Э также является параметром движения, который
необходимо определить, то к уравнениям возмущенного движе-
ния необходимо присоединить уравнения, описывающие работу
АС. Функционирование АС по тангажу можно описать линеари-
зованным уравнением
+ + Д5 = k Д9о + k2^~ ,
2 dt2 1 dt 3 1 2 dt
в котором Д9° — угловые рассогласования между истинным и
программным положениями корпуса в сечении х = х° размеще-
ния датчиков системы угловой стабилизации БР; k2 — пере-
даточные коэффициенты АС; ср с2 — коэффициенты, опреде-
ляющие собственные динамические характеристики АС.
Угловое рассогласование по тангажу в точке х°, измеренное
датчиком системы угловой стабилизации, определяется соотно-
шением
Д9° = Д9 + .
V дх 4о
24.3.10. Исследования устойчивости
поперечных колебаний БР
Обеспечение устойчивости поперечных колебаний БР явля-
ется одной из важнейших проблем при проектировании объек-
тов как тандемной, так и пакетной схем, вопросам решения ко-
торой посвящено большое количество публикаций [3...6].
448
С необходимостью учета подвижности топлива и упругости
конструкции в решении вопросов устойчивости в полной мере
столкнулись при создании американских баллистических ракет
«Атлас», «Титан», «Сатурн-1В», «Сатурн-5», отечественных ра-
кет «Восток», «Протон» и др.
Динамические характеристики БР в диапазоне частот про-
пускания автомата стабилизации определяются подвижностью
топлива в баках и упругостью корпуса. Вследствие близости ха-
рактерных частот замкнутой системы «БР—АС» к частотам соб-
ственных колебаний топлива и упругих колебаний корпуса в
этих диапазонах возможно возникновение динамической неус-
тойчивости. Возникновение динамической неустойчивости воз-
можно и вследствие сближения первых собственных частот ко-
лебаний топлива в различных баках, а также при сближении
первой собственной частоты колебаний топлива в каком-либо
баке и первой собственной частоты упругих колебаний корпуса.
Такое сближение частот возможно вследствие изменения массы
топлива в баках БР на активном участке траектории движения.
Для первых ступеней БР характерна неустойчивость на час-
тотах собственных колебаний жидкости в баках и упругих коле-
баний корпуса из-за невыполнения условий фазовой стабилиза-
ции на соответствующих частотах [6]. Это может быть связано,
например, с появлением на входе в автомат стабилизации лож-
ного сигнала вследствие упругих деформаций корпуса.
Для верхних ступеней БР характерна неустойчивость, связан-
ная с противоречивостью требований к фазочастотной характе-
ристике АС на близких частотах колебаний окислителя и горюче-
го, а в некоторых случаях — собственная динамическая неустой-
чивость, обусловленная наличием следящей силы — тяги ЖРД.
Целью исследований, результаты которых приводятся ниже,
является обеспечение динамической устойчивости БР «в малом».
Исследования устойчивости проводятся во многих случаях с
помощью алгебраических и частотных критериев устойчивости,
основанных на применении метода «замороженных» коэффици-
ентов.
При исследовании устойчивости весьма важной является такая
собственная характеристика БР, как статическая устойчивость,
которая показывает, куда направлена система сил, действующих
на объект: в сторону устойчивого равновесия или в сторону неус-
тойчивости. Статическая устойчивость существенным образом
влияет на характер свободного возмущенного движения БР.
При исследовании устойчивости используется понятие соб-
ственной динамической устойчивости, под которым понимается
устойчивость движения БР в отсутствие возмущающих нагру-
449
зок при фиксированных органах управления. Понятия устойчи-
вость свободного возмущенного движения и локальная устойчи-
вость считаются идентичными. Понятие собственной устойчи-
вости относится только к объекту управления.
Под структурной неустойчивостью, или нестабилизируемо-
стью, понимается невозможность фазовой стабилизации объек-
та без изменения структуры АС.
Оценки устойчивости движения БР основываются на извест-
ном определении устойчивости по Ляпунову [1], которое форму-
лируется следующим образом: пусть (i = 1, ..., n); t — соответ-
ственно параметр возмущенного движения объекта и время;
тогда если при всяких сколь угодно малых положительных чис-
лах С* (i = 1, ..., п) можно выбрать положительные числа r|f
(i = 1, ..., п) так, что выполняются неравенства
1*ю1 С П; при t = t0;
|xj < при t > tQ, i = 1, ..., n,
то движение объекта устойчиво.
После решения задачи устойчивости БР с использованием
линеаризованной математической модели движения необходи-
мо уточнить результаты исследований устойчивости с учетом
нелинейностей, присущих как самой БР, так и АС. Ответ на это
дают следующие теоремы Ляпунова:
► если линеаризованная система асимптотически устойчива,
то нелинейная система устойчива;
► если линеаризованная система неустойчива, то нелинейная
система также неустойчива;
► если линеаризованная система находится на границе устойчи-
вости, то устойчивость нелинейной системы не определена.
В последнем случае для ответа на вопрос об устойчивости не-
линейной системы требуется проведение дополнительных ис-
следований по определению влияния на устойчивость системы
малых величин высшего порядка, которые при линеаризации
математической модели объекта не учитываются.
В процессе проектирования БР решаются два типа задач ус-
тойчивости движения. Содержанием первого типа задач являет-
ся оценка устойчивости БР с использованием тех или иных кри-
териев, когда все параметры объекта известны; такой расчет
имеет поверочный характер. Содержанием второго типа задач
является выбор количественных значений определенного числа
параметров БР, обеспечивающих ее устойчивость; эти расчеты
носят проектировочный характер.
На ранних этапах проектирования в условиях значительной
неопределенности проектного облика БР используются преиму-
450
щественно простые методы исследования устойчивости, основан-
ные на математических моделях БР с «замороженными» коэф-
фициентами. На поздних этапах проектирования для исследова-
ния устойчивости используются более сложные математические
модели объектов, учитывающие различные виды нелинейнос-
тей. Устойчивость объектов исследуется также с использованием
реальной аппаратуры системы управления.
24.3.11. Стабилизация БР с жидким топливом
в диапазоне частот собственных колебаний жидкостей.
Проектно-конструкторские решения
Исследования устойчивости БР с жидким топливом произ-
водятся частотными методами; в связи с этим построим частот-
ные характеристики БР, а затем — частотные характеристики
разомкнутой системы «БР—АС». Для построения частотных
характеристик БР в уравнениях возмущенного движения при-
мем, что AFy = О, ДМ2 = О, Д8Э =
Считая, что движение БР является вынужденным, функции
ДУ, Д0, Дбудем отыскивать в виде
ДУ = Yei(at; Д0 = 0е“°'; Др; = В^*, j = 1, ..., N.
Подставим эти соотношения в уравнения возмущенного дви-
жения БР с жидким топливом, в результате чего получим систе-
му алгебраических уравнений относительно величин У, 0, Вf
0 =1,
(icoc^ - mw2)Y + (су9 + iv^e - со2 аууВ; = су6;
иос^у + (с99 + - oj2J2)0 - Д ((wOx - gx)ajy + (o2b;9)B. = c95;
ц.(со? - co2 + i^co)B? - ajyu2Y - ((wOx - gx)ajy + <o2b;9)6 = 0,
/=1,
Решив эту систему уравнений, найдем величины У, 0, В;
0 = 1, ...» N), которые представляют собой частотные переда-
точные функции БР с жидким топливом. Так как некоторые ко-
эффициенты системы алгебраических уравнений комплексно-
значны, то и сами решения системы будут представлять собой
комплексные функции
У(/со) = У^со) + гУ2(со);
0(ico) = 0i(cD) 4- i02(co);
By(tco) = В?1(со) + j = l,
451
Каждое из последних равенств может быть представлено в
показательной форме, например
О = £0(со)е7(р°(<о), где fco(co) = (co)-l-0f(со) — амплитудно-час-
тотная характеристика;
Ф0(со) = arctg I?-" — фазочастотная характеристика БР с
91(со)
жидким топливом.
Анализ частотных передаточных функций БР с жидким топ-
ливом показывает, что амплитудно-фазовые характеристики
объекта вблизи частот собственных колебаний жидкостей при-
обретают вид окружностей.
Если собственные частоты колебаний жидкости в разных ба-
ках БР значительно различаются между собой, то влияние ко-
лебаний жидкости на частотные передаточные функции можно
оценивать, учитывая колебания жидкостей каждый раз только
в одном баке.
Определив частотные характеристики БР как объекта уп-
равления и задав частотные характеристики АС, можно найти
частотные характеристики разомкнутой системы «БР с жидким
топливом — АС». Если амплитудно-частотная и фазочастотная
характеристики АС определяются зависимостями /?а(со), фа(со),
то эти же характеристики разомкнутой системы определятся
соответственно равенствами
£(со) = /г0(со)/га(со); ф(со) = ф0(со) 4- фа(со),
а частотная передаточная функция разомкнутой системы «БР с
жидким топливом — АС» — зависимостями
х = £0(со)/га(со) cos (ф0(со) + фа(со));
у = /?0(со)/га(со) sin (ф0(со) + фа(со)).
В дальнейшем при определении частотных передаточных
функций разомкнутой системы «БР с жидким топливом — АС»
примем упрощающее предположение, которое заключается в
том, что резонансные частоты колебаний жидкости в баках до-
статочно сильно отличаются друг от друга, так что колебания
исполнительного органа управления с частотой со могут возбу-
дить резонансные колебания жидкости только в топливном баке
с номером j = k на частотах, близких к частоте соЛ собственных
колебаний жидкости в этом баке. Считаем при этом, что колеба-
ния жидкостей в остальных баках пренебрежимо малы. Таким
образом, частотные передаточные функции разомкнутой систе-
мы определяются в диапазоне частот со = соЛ 4- A (k = 1, ..., ЛГ),
где А — малая величина первого порядка.
452
Исключим неизвестные функции Y(ico), O(ico) из уравнений,
определяющих частотные передаточные функции БР. Примем
а2
во внимание, что отношение —всегда мало по сравнению с
единицей; малой первого порядка считается также величина
коэффициента демпфирования колебаний жидкости ^k. Пренеб-
регая произведениями и степенями малых величин, а также
членами соответствующих выражений, содержащих коэффици-
енты с , cyQ, с$у, уу9 ц2, влияние которых на формирование час-
тотной передаточной функции разомкнутой системы мало, по-
лучим для последней уравнение окружности
(х - х0)2 + (у - у0)2 = cf ; со ~ (£>k,
в котором величины х0 = -ck sin сра; у0 = сk cos <ра представляют со-
бой координаты центра окружности; |сЛ| — радиус окружности,
с _ _kaXk(Cy6Jz + mXkC^aky
k
Окружность на плоскости годографа частотной передаточ-
ной функции разомкнутой системы всегда проходит через нача-
ло координат, так как х = 0, у = 0 удовлетворяют уравнению ок-
ружности.
При упрощениях, которые были сделаны ранее, знаменатель
передаточной функции БР не может иметь корни в правой полу-
плоскости на плоскости корней; знаменатель передаточной
функции автомата стабилизации также не имеет корней в пра-
вой полуплоскости, так как в собственном движении АС устой-
чив. Таким образом, согласно критерию Найквиста, условием
устойчивости замкнутой системы «БР с жидким топливом —
АС» будет неохват годографом частотной передаточной функции
разомкнутой системы точки с ко-
ординатами х = 1, у = 0 во всем
диапазоне частот, охватывающем
частоты &k(k= 1, ..., ЛГ).
При х0 < 0 годограф разомк-
нутой системы не может охва-
тить точку с координатами х = 1,
у = 0 ни при какой величине ра-
диуса окружности (рис. 24.9),
поэтому неравенство х0 < 0 явля-
ется достаточным условием ус-
Рис. 24.9. Годограф частотной
передаточной функции
разомкнутой системы
« БР — АС ».
453
тойчивости колебаний БР и жидкостей в баках. Последнее нера-
венство можно привести к виду
xk(Jzcy& + wxftc9S) sin фа < 0; со ~ (Ak.
Выполнение этого неравенства обеспечивается выбором со-
ответствующей фазочастотной характеристики АС на частотах
со ~ соЛ, а само неравенство именуется поэтому условием фазо-
вой стабилизации.
Если исполнительные органы автомата стабилизации не со-
здают управляющей силы, а формируют управляющий момент,
то условие фазовой стабилизации приобретает вид
sin сра > 0; со ~ (о^,
т. е. фазочастотная характеристика АС должна быть такой, что-
бы обеспечивалось фазовое опережение во всем диапазоне час-
тот (Ofc (k = 1, ..., ЛГ).
Если исполнительные органы создают управляющую силу,
то условие фазовой стабилизации выражается неравенством
xk(Jz - mxkLp) sin Фа < °: ® ~ (Ofc.
которое имеет две группы решений:
sin Фа > 0 при < xk < 0;
sin Фа < 0 при 0 < xk < .
При выполнении первоначального допущения о том, что собст-
венные частоты не близки друг к другу, для обеспечения устойчи-
вости колебаний жидкости в баках, свободные поверхности кото-
рых расположены ниже центра масс БР, в АС реализуется фазовое
опережение, а для обеспечения устойчивости колебаний жидкос-
тей в баках, свободные поверхности которых расположены выше
центра масс БР, в АС реализуется фазовое запаздывание.
Однако частоты соА располагаются обычно в сравнительно не-
большом частотном диапазоне и, кроме того, изменяются во вре-
мени, что является предпосылкой для сближения частот собст-
венных колебаний жидкостей и их совпадения. В этом случае по-
следние условия фазовой стабилизации имеют противоречивый
характер, так как невозможно обеспечить в АС одновременно фа-
зовое опережение и запаздывание на близких или совпадающих
частотах (оА. Таким образом, при близко расположенных или сов-
падающих частотах (Dfe возникает нестабилизируемость БР.
454
Обычно в АС реализуется условие sin <ра > 0 для всего диапа-
зона частот соЛ, что обеспечивает фазовую стабилизацию только
на нижних ступенях БР. Это условие для колебаний жидкостей в
верхних баках будет дестабилизирующим. Для предотвращения
неустойчивых колебаний жидкостей в верхних баках устанавли-
вают демпферы колебаний свободных поверхностей жидкостей.
При х0 > О центр окружности годографа частотной переда-
точной функции разомкнутой системы располагается в правой
полуплоскости, что делает возможным охват годографом точки
с координатами х = 1, у = 0 (см. рис. 24.9). Координата второй
точки пересечения годографом оси х будет равна 2х0, таким об-
разом, по Найквисту, условием устойчивости будет выполнение
неравенства 2х0 < 1, cd ~ cofe. В развернутой форме это неравенст-
во, называемое условием амплитудной стабилизации, имеет вид
*osin<poxk(Jzc 8 + mxkc^)al
------------------------- <1; (О (Ol.
Одним из возможных путей реализации этого неравенства яв-
ляется уменьшение коэффициента усиления ka автомата стабили-
зации на частоте cofe. Другой путь реализации неравенства — уве-
личение демпфирования колебаний жидкости в баке с номером k.
Необходимая для обеспечения устойчивости колебаний жидкости
величина демпфирования выражается неравенством
и > feasin(paxt(J2cy6+mxtc88)gfy
Правая часть неравенства определяет минимальное значение
коэффициента демпфирования, при котором колебания на частоте
со^ остаются устойчивыми, т. е. имеют гармонический характер.
Обычно коэффициент демпфирования колебаний зависит от
амплитуды колебаний свободной поверхности жидкости и уве-
личивается при возрастании амплитуды этих колебаний. Поэто-
му выбранное значение коэффициента демпфирования будет со-
ответствовать конкретному значению амплитуды колебаний
свободной поверхности жидкости, которое можно рассчитать по
экспериментально полученным зависимостям коэффициента
демпфирования от амплитуды колебаний свободной поверхно-
сти жидкости в баке с номером k. Пусть выбранному значению
коэффициента демпфирования соответствует амплитуда РЛ ко-
лебаний свободной поверхности. Если амплитуда колебаний
свободной поверхности жидкости не достигает величины то
значение коэффициента демпфирования становится меньше вы-
455
бранного, колебания становятся неустойчивыми и их амплиту-
да возрастает. Если амплитуда колебаний превышает РА, то ко-
эффициент демпфирования возрастает, а колебания свободной
поверхности жидкости будут затухающими. Таким образом, ко-
лебания свободной поверхности жидкости с амплитудой яв-
ляются устойчивым автоколебательным процессом.
Выбранное значение обеспечивается установкой внутри
топливного бака демпфирующих устройств, которые представ-
ляют собой продольные и (или) поперечные перегородки
(рис. 24.10). Коэффициент демпфирования зависит от коли-
чества перегородок, относительной ширины и степени перфора-
Рис. 24.10. Устройства
для демпфирования
колебаний топлива в баках:
а — продольные перегородки;
б — поперечные (кольцевые)
перегородки
б)
456
ции перегородок, если она имеется. Продольные перегородки
представляют собой плоские элементы, устанавливаемые в баке
в направлении его продольной оси в количестве 6 или 8. Попе-
речные перегородки представляют собой плоские кольцевые
элементы, устанавливаемые в баке с определенным шагом.
Когда перегородка выбирается достаточно большой, относи-
тельная ее ширина влияет на частоты и формы собственных коле-
баний свободной поверхности жидкости, что должно учитываться
при амплитудной стабилизации БР и колебаний топлива в баках.
Демпфирующие устройства позволяют повысить рассеива-
ние энергии колебаний жидкости во много раз. Если уровень
жидкости в баке постоянен или амплитудная стабилизация тре-
буется в течение короткого времени, то целесообразно примене-
ние демпферов в виде поперечных перегородок — кольцевых ре-
бер. Если требуется обеспечение амплитудной стабилизации в
широком диапазоне уровней топлива, то целесообразна установ-
ка демпферов в виде продольных перегородок.
24.3.12. Устойчивость БР с жидким топливом
при совпадении частот
собственных колебаний жидкостей
Рассмотрим задачу определения параметров объекта, при ко-
торых была бы возможна фазовая стабилизация БР. Предполага-
ется, что БР имеет два топливных бака; первые частоты собст-
венных колебаний жидкости в них совпадают (со1 = со2 = со*).
В уравнениях возмущенного движения пренебрежем влия-
нием диссипативных сил [11] и приведем характеристическое
уравнение замкнутой системы «БР с жидким топливом» к виду
F(X2) = Ф0(Х2) + L(X)T0(X2) = О,
k k
где Ф0(Х2) = Z аД2'; Т0(Х2) = S ЬД2'; k2 С
j = 0 j = о J
kx и представляют
собой соответственно знаменатель и числитель передаточной
функции объекта управления.
Условием стабилизируемости объекта управления будет по-
ложительность всех определителей Гурвица для полинома F(X2).
Полиномы Ф0(Х2), Ч^ДХ2) имеют следующий вид:
Ф0(Х2) = а0Х4 + а^2 + а2; Т0(Х2) = Ь0Х4 + Ъ^2 + Ь2.
Критерий стабилизируемости сводится к неравенству
Ч7 = —(&оа2 — + (^1а2 — — ао^1) > О’
а критерий собственной динамической устойчивости — к условию
af - 4а0а2 > 0.
457
Согласно [11], условие стабилизируемости объекта управле-
ния в развернутом виде выражается неравенством
-^(Х1 - Х2)2(Хх + kX2)([xi + + З)2 + k(x2 + + З)2 -
- (1 + k)(^° + з)2 + £L(Xj + kX2 - X0(l + fe))2) > 0,
в котором
Xo =
I
n = —• v = • k = fl2y.
Zco?’ Z^m0 + m)’ aly'
В принятых обозначениях xp x2 — координаты точек подве-
ски эквивалентных маятников, отсчитываемые от метацентра в
сторону, противоположную положительному направлению
связанной оси х; х0 — расстояние от метацентра до точки при-
ложения управляющей силы; ху — координата точки приложе-
ния управляющей силы, отсчитываемая от метацентра; Z — ра-
диус инерции БР; ц — параметр, характеризующий вытяну-
тость корпуса БР; Zp Z2 — характерные размеры баков; со* —
безразмерная частота собственных колебаний жидкости в баке,
«j и 9 ^0х — 2
связанная с размерной частотой соотношением со г = —--cor;
ч
у — приведенная масса жидкости в первом баке, отнесенная к
массе всей БР; (тп° + тп) — суммарная масса конструкции БР и
жидкостей в баках; k — отношение приведенных масс жидкос-
ти во втором и первом баках; расстояние между метацентром и
центром масс БР определяется формулой Дхг = flly + fl2y, где а1п,
+ т у
а2у — приведенные массы жидкости в первом и втором баках,
которые рассчитываются по формулам
а1у jPl^l» а2у Jp2^2*
Равенство Т = 0 определяет граничные поверхности, разде-
ляющие области стабилизируемости и нестабилизируемости в
пространстве параметров Хо, Хр Х2. Уравнениями граничных
поверхностей являются уравнение плоскости Хг 4- kX2 = 0 и
уравнение поверхности двоякой кривизны
З)2 + |,(х2 +
lz3 + nV
2Х0
1~хо ,
2Х0
+
- (1 + + З)2 + П(Х1 + kX2 - Хо(1 + k))2 = 0.
х ZAq Z' л. о
458
В плоскости Хо = const границы областей стабилизируемости
представляют собой прямую, проходящую через начало коорди-
нат, и эллипс, центр которого расположен в точке с координатами
хо = хо = + П*о “ 2птХ0(1 + k)
2(Х0+т]у(1+*))
Рис. 24.11. Области нестабилизируемости (заштрихованы) для объекта
с двумя баками с равными парциальными частотами колебаний
жидкости; точка приложения управляющей силы ниже метацентра
а)
б)
Рис. 24.12. Влияние на границы нестабилизируемости расстояния
от метацентра до точки приложения управляющей силы:
а — метацентр выше; б — метацентр ниже этой точки
459
б)
Рис. 24.13. Влияние на границы
нестабилизируемости удлинения объекта:
а — точка приложения управляющей силы
ниже метацентра; б — то же, выше
Эллипс имеет полуоси (при т| = 0)
2Xg
|x0|(! + xg) TTfe
2Х§ >J k
На рис. 24.11...24.13 показаны области стабилизируемости
и нестабилизируемости для объектов с различным относитель-
ным удлинением корпуса и различным положением точки при-
ложения управляющей силы относительно метацентра.
460
24.3.13. Стабилизация поперечных колебаний БР
в диапазоне собственных частот
упругих колебаний корпуса.
Проектно-конструкторские решения
Предварительно определим частотные передаточные функ-
ции БР с упругим корпусом. Датчик угла гироприбора автомата
стабилизации регистрирует угол Д0*, который складывается из
возмущения угла тангажа Д0, соответствующего недсформиро-
ванному корпусу БР, и дополнительного угла, который появля-
ется при изгибе корпуса. Обозначим, как и ранее, через х° коор-
динату поперечного сечения корпуса, в котором расположен ги-
роприбор. Тогда входной сигнал автомата стабилизации
определится равенством
ЛЗ*-д9+(^.
Используя разложение прогиба и(х, t) упругой линии корпу-
са в виде ряда по собственным функциям Uk, входной сигнал ав-
томата стабилизации представим в виде ряда
ДЭ* = ДЭ + Е Д^,
k = А дх к
где функция Agk соответствует возмущенному движению БР.
Считаем также, что при переходе от невозмущенного движения
к возмущенному собственные функции Uk изменяются пренеб-
режимо мало.
В уравнениях возмущенного движения БР с упругим корпу-
сом примем, что
&Fy = 0; ДМ2 = 0; &Fk = 0; Д83 = /? = 1...оо.
Решения, соответствующие вынужденному движению БР,
определим формулами
ДУ=Уе^; Д3 = 0е^; Agk = Gkei(at, /г = 1...оо.
Для определения величин У, 0, Gk (k = I...00) получим систе-
му алгебраических уравнений
(icoc^ - co2m)Y + (icovy + су9)0 + cykGk = су5;
i<»c9yY + (с99 + /соцг - co2J2)0 + c&kGk = с98;
mk(^k + - ®2)Gfe + i(MkyY + CjkGj = c&
k = I...00.
461
Бесконечная система алгебраических уравнений может быть
редуцирована к конечному виду, если учитывать ограниченное
число тонов изгибных колебаний упругого корпуса. Решив сис-
тему алгебраических уравнений, найдем функцию
0*(ico) = ©(ico) + GA(ico)
и сигнал на входе в автомат стабилизации
Д0* = 0VW'.
Число М определяет количество частот и соответствующих
форм колебаний упругого корпуса, которые учитываются в за-
даче устойчивости БР с упругим корпусом. Входной сигнал ав-
томата стабилизации можно привести к виду
дэ* = Мсо)е/(а,г+ф°(а,)),
где /?0(со), ср0(со) — соответственно амплитудно-частотная и фазо-
частотная характеристики БР как объекта управления, опреде-
ляемые формулами
М®) = 7(01*(<о))2+(0*(®))2;
. Ч 4. 02<“)
фо(со) = arctg —-
Величины 0J, 02 представляют собой действительную и мни-
мую части комплекснозначной функции 0*(/со).
Далее будем исходить из того, что на частотах со, близких к
частоте со; собственных изгибных колебаний корпуса, основную
роль в разложении функции 0*(/со) играет слагаемое G (/со).
дх ' х° *
Таким образом, можно принять, что
0*(ico) = ffi) G,(ico), (О ~ СО;.
дх х°
Пренебрегая в уравнениях возмущенного движения БР с уп-
ругим корпусом влиянием скорости центра масс БР и угла тан-
гажа на изгибные колебания корпуса, получим
G.(/co) =------------— , со ~ со..
7 7П;((О? + /^у(О-СО2) 7
Выражение для частотной передаточной функции 0*(/со) при-
мет вид
0*(iCO) = --дХ
462
откуда определим действительную и мнимую части частотной
передаточной функции БР как объекта управления и далее най-
дем формулы для расчета частотной передаточной функции ра-
зомкнутой системы «БР с упругим корпусом — АС»:
) ^а(«)((«/ - co2)cos(pa(co) + (osincpa(co))
v 0Х 7 х°
тп- со2)2 + ^2со2)
J " (°2)sintPa(<0) “ ^<0COS<pa(<0))
77 2 2 \2 _i_ к 2 2\ ’
7П;(((0* - (О2)2 + £2С02) 7
где A?a(co), (ра(со) — АЧХ и ФЧХ автомата стабилизации.
Последние формулы можно упростить, исходя из того, что
стабилизация упругих колебаний корпуса производится на час-
тотах, близких к (Оу. Приняв разность между частотами со и со;
малой величиной первого порядка и пренебрегая в последних
формулах малыми величинами высших порядков, получим для
амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы
«БР с упругим корпусом — АС» уравнение
(х - х0)2 + (у - у0)2 = R2, со ~ (Oj,
где R2 = + ух0 =
Cy8l Sx Jx.fta(<o)sin<Pa(“)
г^тпусоу
/аг/л
Су81 ах / A(to)cos<₽“(“)
У° 2^7ПуС07
Уравнение АФЧХ разомкнутой системы описывает проходя-
щую через начало координат окружность радиуса R с центром в
точке с координатами х0, i/0.
При сделанных выше допущениях знаменатель передаточ-
ной функции БР не будет иметь корней в правой полуплоскос-
ти, знаменатель передаточной функции АС также не имеет кор-
ней в правой полуплоскости, вследствие принятого допущения
о том, что АС имеет собственную динамическую устойчивость.
Таким образом, условием устойчивости замкнутой системы «БР
с упругим корпусом — АС», по Найквисту, будет неохват годог-
рафом частотной передаточной функции разомкнутой системы
точки с координатами х = 1, у = 0 во всем диапазоне частот со;.
Рассмотрим устойчивость упругих колебаний БР при различ-
ных положениях частотной передаточной функции разомкну-
той системы на плоскости ее годографа.
463
Центр окружности годографа (рис.
24.14) располагается в левой полу-
плоскости (х0 < 0), а сама окруж-
ность не может охватить точку с
координатами х = 1, у = 0. Таким
образом, неравенство х0 < 0 являет-
ся достаточным условием устойчи-
вости колебаний упругого корпуса
при со ~ со;.
Представим это условие в разверну-
г/|
х0<0 *°>0
Рис. 24.14. Годограф
частотной передаточной
функции разомкнутой
системы «БР—АС»
том виде
Jx.sin < °’ “ ~ “г
Это неравенство эквивалентно двум группам неравенств
sin <ра(со) > 0 при < 0
0,
и sin <ра(со) < 0 при
называемых условиями фазовой стабилизации.
Будем считать, что стабилизация БР осуществляется управ-
ляющей силой, в этом случае с;5 = с;5(С7;)х . Условия фазовой ста-
билизации примут вид
sin фа > 0 при
sin Фа < 0 при (С7Х > 0, со ~ со,.
J у 4 ОХ ' х°
Для современных БР характерно размещение управляющих
органов в хвостовой, а размещение гироприбора — в головной
части объекта.
Определим условия фазовой стабилизации на первой и вто-
рой собственных частотах изгибных колебаний корпуса. На пер-
вой собственной частоте (U-)r > 0, f^2") > 0, и условием фазо-
J у \ ОХ ' х°
вой стабилизации изгибных колебаний корпуса будет выполне-
ние неравенства sin сра < 0, называемое также условием фазо-
вого запаздывания. На второй собственной частоте (С7,)г > 0,
7 У
П < 0, и условием фазовой стабилизации будет выполнение
V ОХ ' х°
неравенства sin (ра > 0, или условия фазового опережения. Од-
новременное выполнение различных условий фазовой стабили-
464
зации возможно, если частоты собственных колебаний со1, со2 су-
щественно отличаются друг от друга.
Если стабилизация БР выполняется с помощью управляю-
щей силы, то в общем случае условия фазовой стабилизации уп-
ругих колебаний корпуса определяются системой неравенств
sin фа(со;) < 0 при
0;
СО;.
sin Фа(со;) > 0 при < 0, со
Последние условия показывают, что правильный выбор по-
ложения датчика угла гироприбора по длине корпуса с учетом
формы упругих колебаний Uj является эффективным средством
обеспечения фазовой стабилизации во всем диапазоне собствен-
ных частот упругих колебаний корпуса БР.
Центр окружности годографа располагается в правой полу-
плоскости (х0 > 0). Точка пересечения окружностью положи-
тельной полуоси х имеет координату 2х0. Согласно критерию
Найквиста, условие устойчивости замкнутой системы «БР с
упругим корпусом — АС» имеет вид 2х0 < 1; со ~ со;. В развер-
нутом виде условие устойчивости выражается неравенством,
называемым условием амплитудной стабилизации
М arJxAsin<₽° ,
1, 0) ~ 0) ,
►
Последнее неравенство может быть реализовано:
путем модификации амплитудно-частотной характеристи-
ки автомата стабилизации в соответствии с неравенством
^7ПуСОу
►
^Utsin<₽<-
путем увеличения коэффициентов демпфирования колеба-
ний корпуса БР.
Следует отметить, что создание демпферов упругих колебаний
корпуса (в отличие от демпферов колебаний жидкости), равно как
и искусственное увеличение конструкционного демпфирования,
представляет собой трудноразрешимую инженерную задачу.
В некоторых случаях задачу стабилизации упругих колеба-
ний корпуса можно решить путем установки дополнительных
чувствительных элементов, в качестве которых применяют дат-
чики угловых скоростей.
465
Способ стабилизации упругих колебаний с помощью уста-
новки датчиков углов и угловых скоростей в пучностях форм
упругих колебаний корпуса представляется малоэффективным
ввиду изменения форм колебаний и места расположения пуч-
ностей вследствие выработки топлива из баков БР.
Таким образом, решение проблемы стабилизации может
быть получено
► путем максимально точного определения характеристик
(собственные частоты, формы, приведенные массы, декре-
менты) низших тонов упругих колебаний корпуса с учетом
всех возможных видов разбросов и неопределенностей;
► фазовой стабилизацией этих тонов с помощью рационально-
го размещения по длине корпуса датчиков углов и угловых
скоростей;
► амплитудной стабилизацией высших тонов колебаний кор-
пуса с помощью коррекции характеристик автомата стаби-
лизации и улучшения демпфирующих характеристик кор-
пуса БР.
24.4. Исследование
устойчивости движения БР по крену
Уравнения движения БР по крену с учетом подвижности
топлива получим, используя векторное уравнение моментов
(24.13) путем проектирования последнего на связанную ось Сх.
Полученное уравнение будет содержать величины ускорений
(wQy - gy), (wQz - g2), характеризующие движение БР в плос-
костях тангажа и рыскания. Слагаемые, содержащие эти ве-
Рис. 24.15. Цилиндрическая
система координат
личины, определяют влияние,
которое оказывают колебания БР
в плоскостях тангажа и рыска-
ния на угловые движения вок-
руг продольной оси Сх. Так как
кажущиеся ускорения (wQy - gy),
(wQz - gz) малы, то эффект их влия-
ния будет слабым и им обычно
пренебрегают.
Считая топливные емкости БР
осесимметричными, для описания
колебаний жидкости будем ис-
пользовать цилиндрическую сис-
тему координат, изображенную на
рис. 24.15. Колебания БР по кре-
466
ну и соответствующие колебания жидкостей в баках описывают-
ся уравнениями
г2 dr = Мх;
div grad \|/ух = 0 в объеме j = 1, ..., N;
= 0 на j = 1,
дп J J
^+(^ох-^)^+^=Опри^ = О, 0<г<В, 7=1,...,ЛГ.
С/1 С/С/ &
В этих уравнениях \|/ух — потенциал перемещений жидкости
в топливных баках при угловых колебаниях БР вокруг связан-
ной оси Сх; г- — расстояние от оси топливного бака с номером j
до продольной оси х БР; lj представляет собой образующую по-
верхности стенок и днища бака. Если гг = г2 = ... = rN = 0, то
уравнения движения БР по крену с учетом подвижности топлива
распадаются на уравнение J—= Мг и однородные дифферен-
dt
циальные уравнения для функций \|/ух с однородными граничны-
ми условиями. В этом случае колебания топлива в баках не
влияют на угловые движения БР по крену, что соответствует до-
пущениям об осевой симметрии топливных баков и об идеаль-
ности жидкостей, заполняющих баки. В том случае, когда в топ-
ливном баке, продольная ось которого совпадает с продольной
осью БР, установлены продольные демпфирующие перегородки,
движения БР по крену будут вызывать движения жидкости в ба-
ке. Возникнет эффект увеличения момента инерции БР вокруг
связанной оси Сх за счет вовлечения с помощью перегородок в
угловые движения по крену части массы жидкости в баке.
Далее уравнения движения БР по крену с учетом подвижнос-
ти топлива преобразуются в систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений с помощью той же методики, которая была
применена для преобразования интегро-дифференциальных
уравнений поперечных колебаний БР. В соответствии с этим
уравнения движения БР по крену можно представить в виде
r dcox * d2a
—- + L а ------ = М :
х dt j = i "dt2 х'
+ (i>iai) + ah^f = 0’7 = 1
N.
467
Здесь а;у = rjajy; функции времени а;(£) представляют собой
углы поворота свободных поверхностей вокруг линии узлов в
сечении, нормальном к этой линии, и определяют колебания
свободных поверхностей жидкостей, которые вызываются угло-
выми колебаниями корпуса БР вокруг оси х.
Линеаризовав уравнения движения по крену, получим урав-
нения возмущенного движения БР в плоскости крена, учиты-
вающие подвижность топлива в баках
+ + ........................
где Ду — угол крена в возмущенном движении БР; — коэф-
фициент демпфирования БР по крену; PjRf — коэффи-
циент; Да; — функция, определяющая колебания свободной по-
верхности жидкости в баке, которые вызываются возмущения-
ми колебаний корпуса БР вокруг связанной оси х; суб = ~2Р1Х —
коэффициент; Д5у — угол поворота руля по крену; ДМХ — воз-
лр -Н/ , _
мущающии момент по крену; ц, = —Чг-(^пг _ gY) — коэффици-
7 4со;
ент; — коэффициент демпфирования колебаний жидкости в
баке; со; — первая частота собственных колебаний жидкости в
баке с номером у; Р — величина управляющей силы по крену;
1Х — расстояние между связанной осью х ракеты и точкой при-
ложения управляющей силы.
Построим частотные передаточные функции БР по крену.
В уравнениях возмущенного движения по крену примем
ДМХ = 0, Д5у = elMt, коэффициенты дифференциальных уравне-
ний будем считать «замороженными», а неизвестные функции
Ду, Да; (у = 1, ..., N) представим в виде соотношений
Ду = =A-liwt, j = 1, ..., N.
С помощью подстановки последних соотношений в дифферен-
циальные уравнения движения БР по крену трансформируем
последние в систему алгебраических уравнений
(i(DHx - <о2<)Г - со2 Xj = су0;
цД(о2 - со2 + - <й2а/уГ = 0, j = 1, ...» N,
468
решив которую, найдем величины Г, которые и представляют
собой частотные передаточные функции объекта по крену. Да-
лее определяются амплитудно-частотные и фазочастотные ха-
рактеристики БР по крену. Например, формулы для расчета
АЧХ и ФЧХ для функции Г имеют вид
fe0(co) = 7rf(®)+rj(co); <ро(со) = arctg ,
где Г1(со), Г2(со) — соответственно действительная и мнимая час-
ти частотной передаточной функции Г(со).
Зная частотные характеристики автомата стабилизации БР
по крену /?а(со), сра(со), можно построить годограф частотной пере-
даточной функции разомкнутой системы «БР — АС», координа-
ты х, у которого определяются равенствами
х = *0(co)fea(<o) cos (tpo(co) + <pa(co));
у = feo(co)fea(co) sin (<p0(<o) + <pa(<0)).
В соответствии с видом годографа частотной передаточной
функции разомкнутой системы и с помощью критерия Найк-
виста можно сделать вывод о локальной устойчивости замкну-
той системы «БР — АС».
Годограф разомкнутой системы строится при следующих до-
пущениях: во-первых, частоты = 1, ..., N) собственных ко-
лебаний жидкостей в баках по своей величине достаточно дале-
ко отстоят друг от друга, так что возмущающая нагрузка с час-
тотой со может возбудить резонансные колебания топлива
только в одном баке, имеющем номер k, и, во-вторых, стабили-
зация колебаний топлива осуществляется вблизи частот соЛ, так
что со = соА + А, где Д — малая величина. При сделанных допу-
щениях уравнение годографа разомкнутой системы приобретает
следующий вид:
(х - х0)2 + (у - у0)2 = с% , a> ~ o)k,
где х0 = -ск sin <pa(coA); у0 = ck cos <pa(cofe);
с = _^д^к)а2куС^
Коэффициент Cfc всегда положителен, так как коэффициент
с 6 всегда отрицателен. В соответствии с этим условия фазовой
стабилизации БР по крену, согласно критерию Найквиста, оп-
ределяются неравенствами
sin <pa((Ofc) >0, k = 1, ..., N.
469
Фазовая стабилизация колебаний топлива обеспечивается
путем реализации в автомате стабилизации фазового опереже-
ния в диапазоне частот, охватывающем частоты собственных
колебаний жидкости сор со2, ..., ($N.
В случае невозможности осуществления фазовой стабилизации
колебаний топлива устойчивость объекта обеспечивается средства-
ми амплитудной стабилизации. Условие амплитудной стабилиза-
ции колебаний топлива записывается в виде неравенства
feg(tOfr)a*ySssin(Pa((O») <lfc=l N
Средства амплитудной стабилизации колебаний топлива те
же, что и в случае обеспечения устойчивости поперечных коле-
баний топлива в баках, а именно:
► модификация АЧХ автомата стабилизации с целью сниже-
ния коэффициента усиления АС на частоте cofe;
► увеличение коэффициента демпфирования колебаний жид-
кости с помощью устанавливаемых в баке демпфирующих
устройств.
Глава 25
Методические основы исследования
устойчивости продольных колебаний БР
25.1. Исследования устойчивости
продольных колебаний БР
Продольные колебания БР возникают вследствие разнооб-
разных случайных воздействий внутреннего и внешнего проис-
хождения: при случайном внешнем воздействии нагрузки на
корпус БР, пульсации давления в камере сгорания ЖРД, дейст-
вии донного давления и т. п. Например, случайные внешние
возмущения аэродинамического происхождения могут вызвать
продольные колебания упругого корпуса, топливных баков и
жидкостей в них. Возникшие колебания давления и расхода
жидкостей в баках порождают колебания давления и расхода в
топливоподающих магистралях, насосах TH А, пульсации дав-
ления в камере сгорания ЖРД, колебания тяги двигателя и сно-
ва колебания корпуса БР. Начальные колебания замкнутой сис-
темы, включающей корпус, топливоподающие магистрали и
ЖРД, будут иметь неустойчивый характер и усиливаться во
времени, если энергия вибрации, сообщаемая замкнутой систе-
470
ме двигателем, превышает рассеивание энергии вибрации, обус-
ловленное работой сил трения. Схема возникновения продоль-
ных неустойчивых колебаний БР показана на рис. 25.1.
Возникновение продольной неустойчивости характерно для
большинства отечественных и зарубежных БР, таких, как «Юпи-
тер», «Тор-Аджена», «Атлас-Аджена», «Титан-1», «Титан-2»,
«Титан-3», «Сатурн-5», «Диамант», «Восток» и др. Потеря устой-
чивости может и не привести к разрушению конструкции, но со-
здаст недопустимо высокий уровень вибрационных нагрузок на
конструкцию, оборудование и на экипаж в пилотируемых полетах.
Динамика процессов в замкнутой системе будет определяться
нелинейными факторами, влияние которых с увеличением амп-
литуды колебаний будет нарастать, поэтому колебания в системе
перейдут в почти стационарный одночастотный колебательный
процесс, имеющий характер автоколебаний. Источником энер-
гии автоколебаний является двигательная установка. Автоколе-
бания приводят к возникновению больших продольных динами-
ческих нагрузок на корпус БР вследствие интенсивной пульса-
ции тяги двигателя и к появлению недопустимых по уровню
пульсаций давления на входе в насосы горючего или окислителя,
а также интенсивных вибраций топливоподающих магистралей.
В системе, которая состоит из корпуса БР с топливными бака-
ми, топливных магистралей и ЖРД, можно выделить отдельные
замкнутые системы, в которых возможно возникновение автоколе-
баний. Одной из таких замкнутых систем является система, вклю-
чающая топливоподающую магистраль и центробежный насос. Во
всасывающей части насоса возникает кавитация, вызывающая из-
менения скорости жидкости и давления в магистрали, что, в свою
очередь, влияет на образование кавитационных каверн.
Автоколебания возможны также в другой замкнутой систе-
ме, состоящей из топливной магистрали и ЖРД. Колебания дав-
ления в топливной магистрали вызывают пульсации давления в
ДР
Рис. 25.1. Схема возникновения продольных автоколебаний
471
камере сгорания и пульсации тяги ЖРД, что ведет к колебани-
ям скорости жидкости и давления в магистрали.
Топливный бак с системой наддува также образует замкну-
тую колебательную систему, вследствие того что пульсации дав-
ления в газовой подушке над жидкостью через регулятор давле-
ния передаются на источник рабочего тела для наддува.
В математической модели продольного движения БР должна
быть учтена существующая неразрывная связь между упругими
продольными колебаниями корпуса БР с топливными баками и
продольными колебаниями жидкостей в баках и топливоподаю-
щих магистралях, а также связь последних с колебательными
процессами в ЖРД.
Основные допущения, на которых основывается математи-
ческая модель продольных колебаний, те же, что и при рассмот-
рении поперечных колебаний жидкостей в баках и упругого
корпуса. Вместе с тем приходится использовать некоторые до-
полнительные допущения, наиболее существенными из которых
являются пренебрежение деформациями свободных поверхно-
стей жидкостей в баках в процессе их продольных колебаний и
учет сжимаемости жидкостей при рассмотрении продольных ко-
лебаний жидкостей в топливоподающих магистралях. В дальней-
шем будем пренебрегать гидростатическим давлением жидкости,
давлением газа, заполняющего свободный объем над жидкостью,
и изменениями гидростатического давления в возмущенном дви-
жении, а также будем считать, что топливный бак имеет форму
кругового цилиндра с днищами в форме пологих сферических
оболочек. Пологость нижнего днища принимается такой, чтобы
можно было в ряде случаев пренебречь отличием направления
внутренней нормали к срединной поверхности днища от направ-
ления продольной оси топливного бака.
В задачах определения продольных колебаний жидкости в
баке начало связанной системы координат помещается в центре
плоскости нижнего торцевого шпангоута или в центре свобод-
ной поверхности жидкости соответствующего топливного бака.
Комплекс работ с целью стабилизации продольного движе-
ния БР включает:
► теоретический анализ проблемы продольной устойчивости;
► составление и обоснование соответствующих математиче-
ских моделей колебаний корпуса БР, жидкостей в баках,
топливоподающих магистралей и двигателя;
► расчеты областей устойчивости продольных колебаний БР;
► экспериментальные исследования и проведение, если это не-
обходимо, доработок конструкции БР с целью решения про-
блемы продольной устойчивости.
472
25.1.1. Продольные колебания топливных баков БР
В возмущенном движении корпуса БР и баков будем учиты-
вать только осесимметричные колебания упругой оболочки и
жидкости. Будем считать, что колебания топлива вызываются
изменением радиуса бака вследствие изменения давления, а не
растяжения или сжатия оболочки.
Вначале рассматриваются свободные продольные колебания
жидкости в упругом топливном баке. Эти колебания будут вы-
зываться не только продольными колебаниями корпуса БР как
абсолютно жесткого объекта, но и колебаниями упругого днища
бака в направлении его продольной оси и стенок бака в радиаль-
ном направлении. Влияние упругого днища и стенок бака на
продольные колебания жидкости рассматриваются независимо
друг от друга [3].
Рассмотрим задачу о продольных колебаниях жидкости в
баке с упругой цилиндрической оболочкой и жестким днищем.
Цилиндрическую оболочку представим в виде набора упругих
колец, каждое из которых деформируется только в радиальном
направлении. Колебания жидкости определим потенциалом
скоростей Фр который, согласно [3], определяется формулой
ф1 = Д Dkio(vk^) c°s *
где Dk — произвольная постоянная; /0 — модифицированная
функция Бесселя первого рода нулевого порядка; vk = ,
th
k = 1...°°, h — высота жидкости в баке; £, г — цилиндрические
координаты, причем при выводе формулы начало цилиндриче-
ской системы координат помещено в центре свободной поверх-
ности жидкости, а направление оси Q совпадает с положи-
тельным направлением оси Сх; R — радиус бака; cofe — частоты
собственных продольных колебаний жидкости, определяемые
формулой
ю2 = Q2PofeVl(v*)
k PohvkTi(vk) + Рд/о(у*) ’
1 / Е
где Q = - — — частота собственных радиальных колебаний
Ry Ро
кольца радиуса R и единичной ширины; Е — модуль упругости
материала; р0 — плотность материала бака; р — плотность
жидкости; — модифицированная функция Бесселя первого
порядка первого рода.
473
Далее приведем материалы результатов решения задачи о про-
дольных колебаниях жидкости в цилиндрическом баке, имеющем
жесткие стенки и упругое днище, выполненное в виде пологой
сферической оболочки. При решении этой задачи используем ци-
линдрическую систему координат ^г, начало которой помещено в
центре свободной поверхности жидкости. Потенциал Ф2 продоль-
ных колебаний жидкости определим из соотношения
где Ру — функция, определяющая изменение потенциала Ф2 по
времени; Jo — функция Бесселя первого рода нулевого порядка;
коэффициенты &у7г, определяются формулами
b = 4Bv;J1(vy) а = ^(vy)
Частоты собственных продольных колебаний жидкости в
цилиндрическом баке с жесткими боковыми стенками и упру-
гим днищем, выполненным в виде пологой сферической оболоч-
ки [4], определяются формулой
= ^(12Д2(1-у2) +
Рис. 25.2. Безразмерные частоты собственных продольных колебаний
жидкости и приведенные массы для цилиндрического бака с днищем
в виде пологой сферической оболочки
474
где v — коэффициент Пуассона; yk — корни уравнения J\(y) = 0:
уг = 3,83; у2 = 7,02; у3 = 10,2; 8 — толщина сферической
оболочки днища; га — радиус днища бака.
В общем случае, когда стенки цилиндрического бака и дни-
ще в виде пологой сферической оболочки — упругие, частоты
собственных продольных колебаний жидкости и приведенные
массы можно определить по графикам на рис. 25.2, на которых
представлены зависимости безразмерных собственных частот
колебаний жидкости \k = wk / и коэффициентов приведен-
- h
ных масс т|Л от относительной глубины заполнения h = ъ ПРИ
R
различных значениях параметра ц = -^f-, где Ес, 8С — соответ-
Есос
ственно модуль упругости материала и толщина стенок сфе-
рического днища. Кривые!, 2, 3, 4 соответствуют значениям
г) = 1, 2, 4, ...оо [4]. Приведенные массы mk жидкости определя-
ются по формуле mk = mv\k, в которой т — масса жидкости в баке.
Для сферического бака зависимости безразмерной собствен-
ной частоты и коэффициента г)Л приведенной массы от относи-
тельного уровня заполнения бака приведены на рис. 25.3 для
трех низших тонов колебаний (k = 1, 2, 3) [4]. Частоты собствен-
ных колебаний и приведенные массы определяются по формулам
= ; mk = mrlfc-
Рис. 25.3. Безразмерные частоты собственных продольных колебаний
жидкости и приведенные массы жидкости для сферического бака
475
Абсолютное движение жидкости в направлении связанной
оси х состоит из двух частей: переносного движения бака с сило-
вым шпангоутом и движения жидкости относительно системы
координат, связанной с силовым шпангоутом. Потенциал абсо-
лютной скорости жидкости определится формулой
Ф = iik(x - h) + Фг + Ф2,
где iik — скорость переносного движения силового шпангоута
топливного бака. Колебания давления жидкости на дно бака рас-
ЗФ
считываются, согласно соотношению р = -р — , в котором произ-
dt
водная по времени от потенциала скорости жидкости вычисляет-
ся при х = -ha, где ha — расстояние от силового шпангоута до
места забора топлива из бака.
25.1.2. Продольные колебания упругого корпуса БР
с топливными баками
При расчете продольных колебаний корпус БР представля-
ется в виде прямого неоднородного стержня с присоединенными
механическими осцилляторами. Жидкость, колеблющуюся в
топливном баке в продольном направлении, заменяют системой
осцилляторов таким образом, чтобы осевая динамическая сила
от ее колебаний была равна динамической силе от колебаний
системы осцилляторов при любой частоте и амплитуде колеба-
ний корпуса. Величины сосредоточенных масс и жесткостей
пружин каждого осциллятора должны быть выбраны так, что-
бы частота собственных колебаний осциллятора была равна час-
тоте собственных колебаний жидкости соответствующего тона.
Теоретически сумма масс всех осцилляторов должна быть равна
массе жидкости в топливном баке. Так как практически колеб-
лющуюся жидкость в баке заменяют ограниченным числом ос-
цилляторов, соответствующих колебаниям топлива на низших
собственных частотах, то суммарная масса всех осцилляторов бу-
дет меньше массы топлива в баке. За точки расположения сосре-
доточенных масс жидкости, т. е. масс осцилляторов, принимают
центры упругих днищ баков, точками подвеса осцилляторов яв-
ляются силовые шпангоуты топливных баков. Масса топлива, ко-
торая не учитывается в системе механических осцилляторов,
включается в массу силового шпангоута, к которому крепятся ос-
цилляторы.
Схема динамической модели продольных колебаний корпу-
са представлена на рис. 25.4. Вынужденные продольные коле-
476
Рис. 25.4. Динамическая модель продольных
колебаний корпуса и жидкостей в баках
бания корпуса БР в соответствии с этой моделью описываются
уравнением
- я ИС + ) - ’<*• <> +1 ад*' *»
с граничными условиями = 0 при х = а, х = Ь, где q(x, t) —
распределенная нагрузка, действующая на корпус, которую
представим в виде произведения q(x, t) = g(t)P(x); Nik — сосредо-
точенная сила, передаваемая на силовой шпангоут с номером i
от осциллятора с номером k; величина этой силы определяется
массой mik осциллятора и ее ускорением согласно формуле Nik =
^2и
= 8(х, xL) — дельта-функция Дирака; F(x) — площадь
поперечного сечения корпуса БР; Ъ(х) — демпфирующий коэф-
фициент.
Уравнение вынужденных продольных колебаний корпуса
БР дополняется уравнениями колебаний осцилляторов
d2u I, о d2u
Собственные продольные колебания корпуса описываются
дифференциальным уравнением
и граничными условиями = 0 при х = а, х = Ь.
Эта краевая задача дополняется соотношением для опреде-
ления Nik и системой уравнений, описывающих колебания uik
осцилляторов.
477
Если принять тп*(х) = т(х) + S тп//г8(х, xz), то уравнение соб-
ik
ственных продольных колебаний корпуса можно свести к урав-
нению относительно функции U(x)
4- {EF(x)^\ = -<o2m(x)U
dxv dx/
и граничным условиям —— = 0 при х = а, х = Ь, образующим
ах
краевую задачу, которая определяет собственные функции Щх)
и частоты со собственных продольных колебаний корпуса.
Решение краевой задачи можно получить следующим об-
разом. Корпус БР разбивается на участки, на каждом из кото-
рых характеристики сечений постоянны. Для каждого такого
участка
+ a2U = О; а2 =
dx2 EF
Введем обозначения и U = f2, тогда краевая задача
запишется в нормальном виде:
= -а2Л; = Л, Л = 0 при х = а, х = Ь.
dx z dx 1 1
Выбирается а = ар а на левом конце корпуса (х = а) прини-
мается f2(a) = 1’ Л(а) = После проведения интегрирования
уравнений по длине корпуса на его правом конце (х = Ь) по-
лучим f2(b), Если между участками с номерами i и i + 1
имеется сечение с упруго подвешенными сосредоточенными
массами, то в процессе интегрирования уравнений при переходе
от i-ro к (i + 1)-му участку необходимо учитывать скачок осевой
силы
^tk
где со^ — частота собственных колебаний k ro осциллятора
в i-м сечении; t7;(xz) — величина формы колебаний корпуса в се-
чении xf.
Краевое условие на правом конце корпуса используется для
проверки правильности задания av Варьируя а, можно добить-
ся выполнения равенства f^b) = 0. Значение a = а*, при котором
выполняется последнее равенство, будет собственным значени-
478
ем краевой задачи о продольных упругих колебаниях корпуса.
По величине а* вычисляется собственная частота со* = а*
а/ тп
Форма упругой линии корпуса при а = а* — искомая форма соб-
ственных продольных колебаний U*.
Частоты и формы собственных упругих колебаний корпуса
также могут быть получены экспериментальным путем [7].
Первые четыре частоты и формы продольных колебаний
корпуса БР для различных условий полета представлены на
рис. 25.5.
в) г)
Рис. 25.5. Первые четыре формы продольных
колебаний корпуса БР «Сатурн-5»:
а — первая форма колебаний; б — то же, вторая;
в — третья; г — четвертая;
------расчет; - ----натурные
динамические испытания
479
25.1.3. Колебания топливоподающих магистралей
Рассматриваются продольные одномерные колебания столба
жидкости в длинном трубопроводе, целиком заполненном жид-
костью. Поперечное сечение трубопровода — круговое. Ско-
рость невозмущенного потока жидкости в трубе мала по сравне-
нию со скоростью звука в невозмущенной жидкости, а возмуще-
ния давления Др и скорости жидкости Ду считаются малыми по
сравнению с их невозмущенными значениями.
Граничные условия для колеблющейся жидкости определя-
ются физическими условиями движения в начальном и концевом
сечениях трубопровода. В качестве начального сечения трубы
примем место ее присоединения к турбонасосному агрегату
(ТНА), концевым сечением трубы будем считать место ее стыка с
топливным баком. Будем считать, что кавитация на входе в насос
ТНА пренебрежимо мала, а начальное сечение — акустически за-
крыто. Если имеется существенная кавитация, то граничные ус-
ловия в начальном сечении будут иметь более сложный вид. Кон-
цевое сечение трубы будем полагать акустически открытым.
Собственные колебания жидкости в трубопроводе описыва-
ются волновым уравнением
S2^p _ а2 д2Ьр = 0
dt2 0 дх2
с граничными условиями в начальном сечении трубопровода
х = 0; = 0; в концевом сечении трубопровода х = I; Ар = 0,
дх
где I — длина трубопровода.
Если стенки трубы абсолютно жесткие, то в волновом урав-
нении aQ = —, где k — модуль упругости жидкости; р0 — не-
AZ Ро
возмущенная плотность жидкости; если стенки трубы податли-
вы в радиальном направлении, а жидкость — абсолютно жест-
кая, то а0 = / ——; в общем случае
AZ 2ЯоРо
°о=-7===’ (25.1)
/ро 2Л0р0
А/ k 6Е
где Ro, 8 — соответственно радиус и толщина стенок трубы.
Решая волновое уравнение совместно с граничными усло-
виями, найдем функцию цл(х), представляющую собой собст-
венную форму колебаний давления
П„(х) = сп sin р„х,
480
где сп — произвольные постоянные, определяемые из условия
нормирования для функций цл(х); рл — собственные значения,
расчет которых производится по формуле
Рп= (2П2+,1)ТС’П= °’ -’N-
Частоты собственных колебаний давления жидкости в тру-
бопроводе определяются соотношением сол = рла0.
25.1.4. Влияние кавитации в насосах
на динамические характеристики
топливных магистралей
Подача топлива в камеру сгорания двигателя осуществляет-
ся центробежными насосами со шнеком (рис. 25.6). При этом
возможны нарушения сплошности жидкости, которые сопро-
вождаются образованием в ней кавитационных полостей, запол-
ненных паром или выделившимся из жидкости газом. Такие по-
лости, или каверны, возникают в тех местах потока жидкости,
где давление становится меньше некоторого критического зна-
чения. Несмотря на то что при проектировании системы подачи
топлива в двигатель на входе в насосы создается необходимое
давление, гарантированно превышающее критическое, некото-
рое количество кавитационных полостей на входе в насосы
все-таки образуется, что существенным образом влияет на час-
тоты продольных колебаний жидкости в трубопроводе. Так как
Рис. 25.6. Схема центробежного топливного насоса со шнеком:
1 — шнековый преднасос; 2 — центробежный насос
481
каверны образуются по месту локально, то можно считать, что в
месте стыка трубопровода и насоса имеется сосредоточенная уп-
ругость, обусловленная наличием газовых пузырьков.
Так как жесткость каверн мала, то кавитационные явления
в насосах ведут к снижению частот собственных колебаний
жидкости в топливных магистралях. Это может привести как к
ухудшению, так и к улучшению продольной устойчивости БР в
зависимости от взаимного расположения частот собственных
колебаний жидкости в расходных магистралях и частот собст-
венных колебаний корпуса БР.
Для подачи топлива в ЖРД используют шнеко-центробеж-
ные насосы, особенностью которых являются высокие антика-
витационные свойства вследствие способности шнеков сохра-
нять развиваемый ими напор до весьма низких величин входно-
го давления. Формы кавитации в шнеко-центробежных насосах
зависят от их конструктивных параметров и режимов работы.
Распространенными формами кавитации являются: струйное
кавитационное обтекание лопаток шнека, щелевая кавитация,
которая возникает в зазоре между шнеком и корпусом насоса,
втулочная кавитация, наблюдаемая в виде жгута, распростра-
няющегося от шнека вверх по потоку, и кавитация в обратных
токах, возникающая на корпусе насоса перед лопатками шнека.
Сложность, разнообразие форм и недостаточная изученность ка-
витационных явлений в насосах препятствуют созданию надеж-
ных расчетных методов определения податливости кавитацион-
ных каверн в насосах.
Наиболее надежным способом определения динамических
характеристик насосов являются их испытания на стендах. Ос-
новной интерес представляет экспериментальное определение
частотных характеристик, которые связывают колебания давле-
ния на входе в насос с колебаниями расхода в том же сечении и
колебаниями давления и расхода жидкости на выходе из насоса.
Типичный стенд для подобных исследований (рис. 25.7) со-
держит топливоподающие магистрали, насос, устройства для
возбуждения колебаний на входе и выходе из насоса, приводы
этих устройств, с помощью которых изменяются частоты и амп-
литуды параметров возбуждения в заданном диапазоне. В со-
став стенда входят также устройства измерения давления и рас-
хода жидкости на входе и выходе из насоса.
Частотные характеристики используются для определения
упругих и инерционных характеристик проточной части насоса.
Таким способом можно получить характеристики каверн на вхо-
де в шнек при скрытой кавитации. В частности, для двигателя
482
К сливному
баку
Рис. 25.7. Стенд для определения
динамических характеристик насосов:
1 — пусковой клапан; 2 — пульсатор; 3 — дренажный клапан;
4 — насос; 5 — дроссельный кран; 6 — отсечной клапан;
7 — пульсатор; 8 — дроссель
J-2 (США) была получена динамическая модель, включающая
две сосредоточенные упругости (каверны) на входе и выходе из
шнека, разделенные столбом жидкости, заполняющей шнек.
Будем считать, что влияние каверн может быть учтено с по-
мощью сосредоточенной упругости, помещенной в месте стыка
трубопровода с насосом.
Граничное условие в сечении трубопровода, содержащем со-
средоточенную упругость, может быть представлено в виде ра-
венства
_ рГоа^др =0
дх Pq dt2
где F — площадь поперечного сечения трубопровода; р0, Vo —
давление и суммарный объем кавитационных каверн.
С учетом последнего условия спектр частот собственных про-
дольных колебаний жидкости в трубопроводе определится урав-
нением
Ка$
ctg ц = “гГ
где ц = — ; X-= ^^2 .
ао Ро
Это уравнение может быть легко решено графически
(рис. 25.8). Корни уравнения образуют бесконечную последова-
483
Рис. 25.8. Частоты
собственных продольных
колебаний жидкости
в трубопроводе, имеющем
тельность чисел k = I...00.
Согласно рис. 25.8, увеличение
объема сосредоточенной упру-
гости ведет к уменьшению и
соответственно к уменьшению
всех собственных частот про-
дольных колебаний жидкости в
трубопроводе.
С помощью представления
давления в трубопроводе в виде
ряда
Др(х, t)= i pn(f)nn(x),
п = 1
сосредоточенную упругость:
. « о
1,2, 3 — зависимости ц
от параметра р при значениях К,
равных соответственно К19 К2,
К3, причем К3 > К2 > Кх
где функция Рл(£) определяет за-
висимость колебаний столба
жидкости в топливоподающей
магистрали от времени, а число
s определяет количество учиты-
ваемых форм колебаний столба
жидкости, уравнение колебаний
жидкости в магистрали сводится к обыкновенным дифферен-
циальным уравнениям, представленным ниже.
25.1.5. Динамические характеристики ЖРД
Динамические процессы, происходящие в жидкостном ра-
кетном двигателе, имеют широкий частотный спектр — от не-
скольких Герц до нескольких тысяч Герц. В проблеме продоль-
ной устойчивости исследуемый диапазон частот колебаний рас-
полагается в пределах до 20...30 Гц. Считается, что высокочас-
тотные колебания в ЖРД мало связаны с низкочастотными и их
влияние на продольную устойчивость не существенно.
На низкочастотные динамические процессы в ЖРД сильное
влияние оказывает принципиальная схема ЖРД, в том числе
схема подачи топлива в камеру сгорания двигателя.
В настоящее время применяются насосные системы подачи
топлива, в которых давление, необходимое для подачи топлива
в камеру сгорания, создается специальными насосами, для при-
вода которых используются газовые турбины. Насосы горючего
и окислителя и турбина объединены в ТНА. В качестве топлива
для турбин используются обычно основные компоненты топли-
ва БР; в некоторых случаях — специальные топлива. Рабочее
тело для привода турбины создается в газогенераторе.
484
Рис. 25.9.
Схема ЖРД без дожигания
генераторного газа:
1 — выхлоп газа после
турбины; 2 — камера сгорания;
3 — газовая турбина; 4 — насос
окислителя; 5 — газогенератор;
6 — насос горючего;
7 — регулятор тяги двигателя;
8 — пусковые клапаны
Рис. 25.10.
Схема ЖРД с дожиганием
генераторного газа:
1 — насос горючего;
2 — пусковые клапаны;
3 — регулятор тяги двигателя;
4 — газогенератор; 5 — насос
окислителя; 6 — газовая
турбина; 7 — газовод;
8 — камера сгорания
По способу использования генераторного газа различают два
типа ЖРД: без дожигания генераторного газа и с дожиганием
его в основной камере сгорания двигателя.
На рис. 25.9 представлена типичная схема ЖРД с турбона-
сосной системой подачи топлива без дожигания генераторного
газа. Основная масса окислителя и горючего после насосов по-
ступает непосредственно в камеру сгорания. Небольшая часть
компонентов топлива направляется в газогенератор; образовав-
шийся генераторный газ подается в турбину и после совер-
шения полезной работы выбрасывается в окружающее про-
странство.
На рис. 25.10 представлена типичная схема ЖРД с дожига-
нием генераторного газа. Весь окислитель по этой схеме посту-
пает в газогенератор, основная часть горючего поступает в каме-
ру сгорания, а небольшая его часть — в газогенератор. Образую-
щийся окислительный генераторный газ после турбины
попадает в камеру сгорания двигателя. В этой схеме исключа-
ются потери, связанные с выбросом недогоревшего генераторно-
го газа, что увеличивает экономичность ЖРД.
485
На рис. 25.11 представлены амплитудно-частотные характе-
- ДР AG
ристики для отношении ,
Др Др
где ДР, ДС — безразмерные
амплитуды колебаний тяги двигателя и колебаний расхода окис-
лителя на входе в двигатель [8]; Др — безразмерная амплитуда
колебаний давления на входе в двигатель. Особенностью приве-
денных зависимостей является наличие широкого частотного
диапазона, в котором частотные характеристики практически не
зависят от частоты. Это связано с тем, что в схеме без дожигания
генераторного газа колебания параметров генераторного газа
оказывают влияние на работу насосов и тягу двигателя только
после того, как произойдет изменение частоты вращения вала
турбонасосного агрегата. Ввиду инерционности вал TH А пред-
ставляет собой фильтр, который не пропускает возмущений, пос-
тупающих в генератор. Вместе с тем в области низких частот коле-
бания частоты вращения вала ТНА проявляются заметным обра-
зом, и в этой зоне амплитудно-частотные характеристики зависят
от частоты.
Согласно рис. 25.11, соответствующие амплитудно-частот-
ные характеристики для двигателя с дожиганием генераторного
газа выглядят совершенно иным образом вследствие того, что в
этой схеме генераторный газ поступает в камеру сгорания и ко-
Рис. 25. 11. Амплитудно-частотные характеристики ЖРД
с дожиганием и без дожигания генераторного газа:
-------------без дожигания генераторного газа;
-------------с дожиганием генераторного газа
486
лебания его параметров непосредственно влияют на давление в
камере сгорания и тягу двигателя.
Для каждого из агрегатов двигателя составляются уравне-
ния динамики. При решении задач продольной устойчивости
динамические уравнения составляются для малых отклонений
параметров ЖРД от положения равновесия, что позволяет полу-
чить математическую модель динамических процессов, лине-
аризованную вблизи стационарного режима работы двигателя.
В качестве примера рассмотрим уравнение процессов в каме-
ре сгорания. Динамические свойства камеры сгорания в области
низких частот описываются уравнением материального баланса
газовой среды. Считается, что жидкое топливо, поступившее в
камеру сгорания, некоторое время не горит, а затем, по проше-
ствии времени запаздывания т, мгновенно превращается в про-
дукты сгорания. Линеаризованное уравнение горения топлива в
камере сгорания будет иметь вид
т«д<? = m *G°(t ~т) + m AG-(*"т)" AG*; Тн = g ’
1 Т а X I ГС VT £
где AQ, AG0, AGr, AGS — безразмерные отклонения соответст-
венно количества газа в камере сгорания, расходов окислителя
и горючего, поступающих в камеру сгорания, количества газа,
истекающего через сопло; Q, Go, Gr, Gs — стационарные значе-
ния этих же величин; k — коэффициент избытка окислителя;
тн — время пребывания газа в камере сгорания.
Описание динамики всех агрегатов ЖРД приводятся к фор-
ме, аналогичной предыдущему уравнению. Таким образом, ис-
следование динамических характеристик ЖРД в области низких
частот сводится к решению системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздываю-
щими аргументами.
Результаты исследований динамики двигателей [8] показы-
вают, что ЖРД с турбонасосной системой подачи топлива без
дожигания генераторного газа имеют области частот, в которых
динамические свойства двигателя мало существенны, а уравне-
ния ЖРД описываются соотношениями
AG0 = Ар00 + /?Ог Арг0;
AGr = /?г0 Ароо + ^гг АРгО’
АР = kQ Др00 + kr Арг0,
где AG0, AGr, АР — соответственно колебания расхода окислите-
ля, горючего на входе в двигатель и колебания тяги двигателя;
Ар00, Арг0 — колебания давления на входе в насосы окислителя и
горючего; /?0о, /?Ог, /?г0, krr, k0, kr — постоянные коэффициенты.
487
Для ЖРД с дожиганием генераторного газа коэффициенты
приведенных соотношений в сильной степени зависят от частоты.
Определяющее влияние на продольную устойчивость оказы-
вают колебания входного давления и расхода только того ком-
понента топлива, который имеет верхнее расположение бака и,
соответственно, длинную топливоподающую магистраль. Если,
например, длинная магистраль представляет собой магистраль
окислителя, то влиянием колебаний давления на входе в насос
горючего пренебрегают, тогда
ДСо = *0оДА>; ДР = *оДРо-
25.1.6. Уравнения возмущенного движения БР
относительно продольной оси
Построение уравнений возмущенного движения производит-
ся на основе использования эквивалентной динамической моде-
ли колебаний корпуса БР, в соответствии с которой топливные
баки с упругими стенками и днищами и жидкостями, находя-
щимися в них, заменяются системой осцилляторов [6].
Количество топливоподающих магистралей как окислителя,
так и горючего считается совпадающим с количеством основ-
ных двигателей. Собственная частота колебаний столба жидкос-
ти как твердого тела в магистрали зависит от объема кавитаци-
онных каверн и считается постоянной для всего времени актив-
ного участка, так как номинальное давление на входе в насосы
и круговая частота вращения валов ТНА по времени не изменя-
ется, кроме режимов включения и выключения двигателей.
Демпфирование колебаний жидкости в топливоподающей
магистрали состоит из демпфирования, обусловленного вязко-
стью жидкости и наличием расходных шайб, клапанов и т. п., и
некоторого дополнительного демпфирования, связанного с ди-
намикой работы ЖРД.
При рассмотрении продольных колебаний корпуса конст-
рукционное демпфирование будем считать преобладающим, а
демпфированием продольных колебаний жидкости в баках бу-
дем пренебрегать.
Продольное возмущенное движение БР описывается функ-
цией Ax(t) относительно невозмущенной связанной системы ко-
ординат Cxyz.
Полная система уравнений возмущенного движения вклю-
чает уравнение движения центра масс БР, уравнения продоль-
ных упругих колебаний корпуса, уравнения колебаний жидкос-
ти в топливоподающих магистралях, уравнение двигательной
установки и уравнение связи колебаний давления на входе в на-
488
сосы с колебаниями жидкости в магистралях. Эта система урав-
нений имеет следующий вид [6]:
d2Ax
dt2
+ £ ^Ах + £ а /2ДРп
dt n-i ХР dt2
ах8 AS Px(t)r
dt2
dAg S a d2AP"
dt i ^g> n -i «₽ dt2
ag8 AS —
d2Wn
dt2
’0 dt
Apn + apr
d2Ax
dt2
d2bg.
= 0;
2
n
E ^~d^
APn + aPf£p ~af + °p₽®n др«= 0;
2
Д8 = S Фл (Дрп), n = 1, 2; j = 1, ...» m,
n — 1
где A#z, Арл — функции времени, определяющие колебания кор-
пуса и жидкости в магистралях соответственно; Д8 — колебания
тяги одного двигателя, отнесенные к номинальной тяге двигате-
ля; Фл — оператор, учитывающий динамику ЖРД; п — число
топливоподающих магистралей; т — число учитываемых форм
продольных упругих колебаний корпуса БР; Дрл = — при-
Jn
ращения давления на входе в насос n-го компонента топлива, от-
несенные к статическому давлению этого компонента.
Коэффициенты системы уравнений возмущенного движения
определяются формулами
Р . £ = 2cxgS
тп° 4- т ’ х V(m° + т)'
= N(m'nQ + тп;) .
UxP rnO _L m ’ UPX
к ТПи + ТП н
т'по
Е =ю а -ри^-
0 п л ’ 85 т° + тп ’
а,
t _ 6* . „ _ N(mnoSkj + ^U^Xp)^
a =U(x ] + gbjmnQ . a = ?nln .
rnn Pn
ai -1 <xldx + . ~ :
ТПи + ТП J CL j
489
Здесь тп° — масса сухой БР; т — суммарная масса топлива
БР; mnQ — присоединенная масса при колебаниях столба жид-
кости в магистрали, гидравлически связанной с баком; т'п —
масса жидкости в магистрали; сол, — собственная парциаль-
ная частота и логарифмический декремент колебаний столба
жидкости как твердого тела в n-й топливной магистрали;
Uj(xp) — перемещение упругой линии корпуса в месте приложе-
ния тяги двигателя; со^, Sg — парциальная частота и логарифми-
ческий декремент колебаний у-й формы упругих колебаний кор-
пуса; N — число основных двигателей; g*k- — амплитуда абсо-
лютного перемещения центра масс /е го осциллятора при у-й
форме собственных колебаний корпуса со всеми осциллятора-
ми; рд — плотность компонента топлива; 1п — длина топливной
магистрали; ц° — сухая погонная масса; miQ — масса осциллято-
ра, соответствующего первому тону продольных колебаний
жидкости в n-м баке; Px{t) — суммарная продольная нагрузка,
действующая на корпус БР; — приведенная суммарная
продольная нагрузка; — приведенная масса корпуса при про-
дольных колебаниях на у-й собственной частоте.
Обычно колебания в трактах окислителя и горючего рас-
сматриваются независимо друг от друга. Кроме того, в формуле,
связывающей давление на входе в насос с колебаниями столба
жидкости в топливоподающей магистрали, можно пренебречь
демпфирующей составляющей .
При соответствии номера п = 1 тому баку, который ближе к
двигателю, обычно частоты собственных колебаний столбов
жидкости в топливных магистралях подчиняются неравенству
со2 <<: ©1 при тандемной компоновке БР.
Рис. 25.12. Изменение частот
собственных колебаний
жидкости в трубопроводе
и частот собственных
колебаний корпуса
по времени
В [4, 6, 11] представлены ре-
зультаты исследований продоль-
ных колебаний БР при различных
соотношениях между частотами
собственных колебаний жидкости
в топливоподающих магистралях
и частотами собственных колеба-
ний корпуса. Для практики на-
ибольший интерес представляет
случай, когда частоты собствен-
ных колебаний жидкости в маги-
страли и частоты собственных ко-
лебаний корпуса при их измене-
нии по времени имеют точки
пересечения (рис. 25.12). Действи-
490
тельно, анализ случаев возникновения продольных неустойчи-
вых колебаний БР показывает, что неустойчивость наблюдается
по большей части в тех областях активного участка полета, кото-
рые характеризуются сближением или совпадением частот одной
из основных гармоник корпуса и частоты основного тона колеба-
ний столба жидкости в одной из магистралей.
Ограничимся рассмотрением одной магистрали и одной фор-
мы упругих колебаний корпуса, поскольку при возникновении
неустойчивых колебаний селектируются те формы колебаний,
которым соответствует «внутренний резонанс» системы.
Опустив индексы у, п и обозначив частоты собственных коле-
баний корпуса и топливной магистрали через соя, сор, получим
уравнения продольных колебаний БР в следующем виде:
d2Ax . d2Ap „ АХ п.
dt2 хр dt2 хЬ
дг + - «„AS - 0;
d2AB , s dAB , d2kx. d2\g n
;Г + + “.«r - 0-
a« + AP - 0;
Д8 = Ф (Др).
Исследуемая модель продольных колебаний БР состоит, по
существу, из двух осцилляторов, один из которых имеет собст-
венную частоту соя, а другой — сор. Колебания первого осцилля-
тора описывают продольные механические колебания корпуса
БР, возникающие вследствие колебаний давления на входе в на-
сос и, соответственно, колебаний тяги двигателя. Воздействие
колебаний давления будет тем больше, чем больше коэффици-
ент усиления двигателя kQ (или kr). Колебания второго осцилля-
тора описывают колебания жидкости в топливной магистрали,
возникающие вследствие продольных колебаний корпуса.
Для вынужденных колебаний гармонического осциллятора
характерно явление резонанса, который наступает при сближе-
нии собственной частоты и частоты вынужденных колебаний.
Резонанс сопровождается значительным увеличением амплиту-
ды и сильной зависимостью фазы колебаний от частоты. В до-
статочно узкой области изменения частоты колебания на входе
и выходе осциллятора переходят от почти синфазной к проти-
вофазной форме. При резонансе максимальное значение коэффи-
циента усиления первого осциллятора будет на частоте со ~ соя,
491
Рис. 25.13. Схема колебательной
системы, состоящей
из двух осцилляторов:
1 — механический осциллятор;
2 — гидравлический осциллятор
а второго — на частоте со ~ сор.
В том случае, когда собствен-
ные частоты соя, (Ор совпадут,
оба осциллятора будут резони-
ровать одновременно, а сум-
марный коэффициент усиле-
ния системы достигнет макси-
мального значения.
Такая ситуация благопри-
ятствует потере устойчивости
системы.
Колебания системы, со-
стоящей из двух осцилляторов (рис. 25.13), описываются диф-
ференциальными уравнениями
d2Ag
dt2
- ag&№ = 0;
</2Др ,dAp 2ДВ+_ </2Д^=0.
^“dF + “₽ + u’
Др + аррфр ДР = 0;
Д5 = kQ Др.
Здесь для определенности принято, что рассматриваемой
топливной магистралью является магистраль окислителя.
25-1-7. Исследование устойчивости
продольных колебаний БР.
Проектно-конструкторские решения
Исследование устойчивости продольных колебаний БР произ-
водится различными методами, в том числе частотными. В дан-
ном случае определим условия устойчивости продольных колеба-
ний БР с помощью метода Д-разбиения [8].
Пусть характеристическое уравнение системы F(X, kv k2) = 0
содержит два параметра k19 k2, в плоскости которых будем опре-
делять область устойчивости системы. На границе устойчивости
действительная часть одного из корней характеристического
уравнения обращается в нуль и к = /со.
Характеристическое уравнение в этом случае приобретает вид
F(2co, kv k2) = 0. Значения kx, k2 в этом уравнении такие, что они
обращают в нуль действительную часть пары комплексно сопря-
женных корней. Таким образом, между и k2 существует зави-
симость, которая определяет границу устойчивости системы.
492
Разделив последнее равенство на действительную Fr и мни-
мую F2 части и приравняв последние нулю, получим систему
уравнений для определения k19 k2:
Fx(co, kv k2) = 0;
F2(co, ftp ft2) = 0.
Таким образом, плоскость krk2 разбивается на ряд областей,
в пределах которых количество корней с действительной
частью одного знака будет постоянно.
Из системы уравнений продольных колебаний исключим ве-
личины Д5, Др, затем примем, что Ag = Geiwt, Др = Beiwt, где ве-
личины G, В определяются системой алгебраических уравнений
(—а>2 + + co2)G + (-агр(о2 + agSkoap^)B = 0;
-aligo)2G + (-co2 + i^pco + ®p)B = 0.
В качестве параметров, относительно которых строятся об-
ласти устойчивости, примем величины со| - со2 и Из характе-
ристического уравнения системы следует, что
сор 7
СОр
2
где 0 = 1 - —2; Э = (а^со2 - ag5ftoapp<o^).
СОр СОр
Правая часть формулы для определения разности со2 - со2 в
широком диапазоне значений входящих в нее параметров суще-
ственно меньше единицы. Это говорит о том, что на границе ус-
тойчивости со ~ со^. Таким образом, в формуле для расчета коэф-
фициента демпфирования можно принять, что со = со^. Значе-
ния определяют минимально необходимые величины
коэффициента демпфирования колебаний корпуса БР, при ко-
торых еще обеспечивается устойчивость системы. Если имею-
щееся демпфирование больше минимально необходимой ве-
личины £ , то система устойчива; если , то система теряет
устойчивость. Наибольшую величину минимально необходимо-
го демпфирования получим при со = сор, со = со^, в этом случае
Др^(0р(Д^р ftg^oApp)
из чего следует, что минимально необходимое демпфирование про-
дольных колебаний корпуса будет тем больше, чем меньше демп-
фирование колебаний жидкости в топливоподающей магистрали.
493
Устойчивость продольных колебаний БР обеспечивается
различными способами.
Расчеты, экспериментальные исследования, анализ летной
информации показывают, что при совпадении частоты собст-
венных колебаний корпуса и частоты собственных колебаний
топливоподающей магистрали возникают предпосылки для по-
тери устойчивости продольных колебаний. Так как изменить
частотные характеристики корпуса БР вместе с колеблющимся
топливом в баках достаточно сложно, то реальной возможно-
стью обеспечения устойчивости является снижение частот соб-
ственных колебаний топливной магистрали до необходимого
уровня. Эта задача может быть решена несколькими способами.
Впрыскивание небольшого количества нерастворимого газа в
топливный трубопровод. В этом случае жидкость в трубопро-
воде будет представлять собой двухфазную среду, податли-
вость которой по сравнению с исходной жидкостью увеличи-
вается во много раз. В результате этого скорость звука в за-
полняющей трубопровод жидкости, определяемая формулой
0 (n^ + (1 - П)^г)(РгП + (1 - п)р)
где Ег — модуль упругости газа; Е — модуль упругости топ-
лива в упругой трубе; ц — объемное соотношение газа и топ-
лива; рг, р — плотности газа и топлива, уменьшается, что
влечет снижение всего спектра частот собственных продоль-
ных колебаний жидкости в трубопроводе.
Однако до настоящего времени этот способ снижения частот
собственных колебаний не нашел практического применения
из-за возможного сближения второй частоты собственных коле-
баний топлива в трубе и первой частоты собственных колебаний
корпуса, что создает предпосылки потери устойчивости про-
дольных колебаний БР.
Снижение частоты собственных продольных колебаний жид-
кости в трубопроводе может быть осуществлено с помощью ус-
тановки на трубе устройства, обеспечивающего местное по-
вышение упругости, условно называемого демпфером или ак-
кумулятором давления. Такие устройства целесообразно уста-
навливать на трубопроводе вблизи места его крепления к насо-
су ТНА. При использовании демпфера удается снизить только
первую собственную частоту колебаний жидкости в трубе и
обеспечить ее отстройку от собственной частоты колебаний кор-
пуса. Первая частота собственных колебаний жидкости в топ-
ливной магистрали с демпфером определяется формулой
f = -1 / 1
71 2фа(Са + Сь)'
494
в которой Ja = —; Са = утП ; Сь = утГк; L — длина трубопро-
вод
вода от бака до места установки демпфера; FQ — площадь по-
перечного сечения трубопровода; g — ускорение силы тя-
жести; Са, Па — весовая и объемная податливости демпфера;
Сь, Пь — весовая и объемная податливости трубопровода;
ут — удельный вес компонента топлива.
Весовая податливость демпфера определяется приращением ве-
са топлива, заполняющего полость демпфера, при изменении дав-
ления на единицу. Весовая податливость газового демпфера при
адиабатическом сжатии объема газа рассчитывается по формуле
r =
kp2 ’
С
где Рр — начальные давление и объем газа в демпфере; k = —
С и
отношение теплоемкостей газа в демпфере; р — давление в тру-
бопроводе, которое сжимает газ в демпфере.
Весовая податливость трубопровода определяется соотноше-
нием з
в котором Ro — радиус круга в поперечном сечении трубопрово-
да; 5 — толщина стенок трубопровода; Е — модуль упругости
материала, из которого изготовлен
Таким образом, подбором ве-
совой податливости демпфера оп-
ределяется необходимая величи-
на первой собственной частоты
продольных колебаний жидкос-
ти в трубопроводе, не совпадаю-
щая с частотой собственных про-
дольных колебаний корпуса БР в
течение всего времени полета, что
обеспечивает устойчивость про-
дольных колебаний БР.
Конструкции демпферов коле-
баний весьма различны. Напри-
мер, для первой ступени БР «Са-
турн-5» был использован корпус
предварительного клапана в каче-
стве емкости для газа объемом 60 л
(рис. 25.14). Газовая емкость над-
дувалась гелием перед стартом и
подпитывалась в течение всего вре-
мени работы ступени. Наддув пред-
трубопровод.
2 Поток
Рис. 25.14. Схема демпфера
колебаний для первой
ступени БР «Сатурн-5»:
1 — упругий объем демпфера;
2 — привод заслонки;
3 — заслонка
495
1
Рис. 25.15. Схема демпфера
колебаний для второй ступени
БР «Сатурн-5»:
1 — днище бака; 2 — обратный
клапан; 3 — регулятор;
4 — электропневмоклапан;
5 — баллон с гелием;
6 — жидкость в демпфере;
7 — корпус демпфера;
8 — вход в насос
Рис. 25.16. Схема газового
демпфера с сильфоном:
1 — подвижная крышка;
2 — упор
Поток
В аккумулятор
Рис. 25.17. Схема демпфера с упругим элементом в виде пружины:
1 — упругое кольцо; 2 — прокладка; 3 — поршень; 4 — крышка;
5 — внешняя пружина; 6 — внутренняя пружина; 7 — корпус
496
варительных клапанов осуществлял-
ся только на четырех периферийных
двигателях, что обеспечило устой-
чивую работу ступени на всех запу-
сках.
Для второй ступени БР «Са-
турн-5» был изготовлен демпфер в
виде газового объема величиной 15 л
(рис. 25.15). С помощью такого демп-
фера удалось уменьшить в полете
продольные виброперегрузки и коле-
бания давления на входе в насос
окислителя до требуемого уровня.
Для магистрали окислителя БР
«Титан-3» был разработан газовый
демпфер с сильфоном (рис. 25.16).
На каждую магистраль окислителя
устанавливались по два газовых
демпфера. В качестве упругого эле-
мента демпфера может быть исполь-
зована пружина (рис. 25.17). На ма-
гистрали горючего БР «Титан-3»
был установлен демпфер, в конст-
Рис. 25.18. Схема демпфера
для магистрали горючего
БР «Титан-3»:
1 — тороидальная емкость;
2 — корпус
рукции которого использовались то-
роидальные емкости, заполненные сжатым азотом (рис. 25.18).
Ф Снижение частоты собственных колебаний жидкости в тру-
бопроводе может быть достигнуто выполнением конструк-
ции трубы из материалов, имеющих пониженную величину
модуля упругости. Действительно, согласно (25.1), скорость
звука в жидкости, заполняющей трубопровод, и, соответ-
ственно, частоты собственных колебаний жидкости в трубе
снижаются при уменьшении модуля упругости материала.
В качестве конструкционного материала могли бы быть ис-
пользованы неметаллы, но в настоящее время трудно подоб-
рать соответствующий материал, который удовлетворял бы
необходимым требованиям по прочности, стойкости к воз-
действиям со стороны компонентов топлива и надежности по
отношению к динамическим воздействиям.
Приближением к этому решению является выполнение в
трубопроводе вставок сравнительно небольшой длины с повы-
шенной податливостью в радиальном направлении за счет вы-
полнения на вставке продольных гофров.
В перспективе для гашения продольных неустойчивых коле-
баний может быть предложено автоматическое устройство, в
котором в качестве исполнительного органа используется
ЖРД с управляемой по величине тягой.
497
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Абгарян К. А., Рапопорт И. М. Динамика ракет. М.: Машино-
строение, 1969.
2. Богоряд И. Б. К решению задачи о колебаниях жидкости, час-
тично заполняющей полость, вариационным методом // ПММ: Жур-
нал. — М., 1962. — Т. XXVI, вып. 6.
3. Колесников К. С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980.
4. Колесников К. С., Самойлов Е. А., Рыбак С. А. Динамика топ-
ливных систем ЖРД. М.: Машиностроение, 1975.
5. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с по-
лостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение,
1968.
6. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тонкостенных кон-
струкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение,
1971.
7. Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в динамике косми-
ческих аппаратов. М.: Машиностроение, 1978.
8. Натанзон М. С. Продольные автоколебания жидкостной раке-
ты. М.: Машиностроение, 1977.
9. Петров А. А., Попов Ю. П., Пухначев Ю. В. Вычисление собст-
венных колебаний жидкости в неподвижных сосудах вариационным
методом // Журнал вычислительной математики и математической
физики. — М., 1964. — Т. IV, № 5.
10. Рабинович Б. И., Докучаев Л. В., Полякова 3. М. О расчете ко-
эффициентов уравнений возмущенного движения твердого тела с по-
лостями, частично заполненными жидкостью // Космические исследо-
вания: Журнал. — М., 1965. — Т. III, вып. 2.
11. Рабинович Б. И. Введение в динамику ракет-носителей косми-
ческих аппаратов. М.: Машиностроение, 1983.
12. Рапопорт И. М. Динамика упругого тела, частично заполнен-
ного жидкостью. М.: Машиностроение, 1966.
предметный указатель
Авиационно-космическая систе-
ма 105,107
Автоколебания ракеты 471
Автомат стабилизации 435, 448
Азимут:
— старта 288
— стрельбы 290
Аккумулятор давления 494
Акустические нагрузки 224, 225,
229
Алгоритм:
— согласованной оптимиза-
ции 84
— управления 123
------на участке возвращения
124
------на участке выведения
125
Амплитуда автоколебаний жид-
кости 427
Амплитудно-частотная характе-
ристика 452, 463
Анализ:
— критериальной функции
142
— модификации ЛА 97
— параметрический проек-
тных решений 163
— проектный 139
Апогей 289
Апоцентр 289
Асимптотическая устойчивость
движения 450
Аэродинамический фокус БР
434
Бак:
— гладкий цилиндрический
231
— топливный 414
Баллистическая ракета 408
Баллистический расчет 252
---проектный 252
---точный 253
Бескавитационная работа 480
Блок:
— ракетный 292
---многоразовый 292
Вектор:
— главный 428, 443
------аэродинамических сил
428,443
------реактивных сил 428,
443
•--сил Кориолиса 428, 443
Вероятность разрушения 141
Ветровая нагрузка 213
Воздействие:
— виброакустическое 225
— гармоническое 197
— импульсное 196
Возмущенное движение 409, 449,
450
Возмущения:
— аэродинамические 434, 447
— весовые 434, 447
— тяги двигателей 434, 447
Вопросы модернизации 51
Вычет:
— простого полюса 195
— n-кратного полюса 195
499
Геоид (эллипсоид) 268
Годограф разомкнутой системы
453
Граф тепловой модели 379
Давление:
— внутреннее 231, 239
— в жидкости 417
— наддува баков 232
Датчик:
— углов 448
— угловых скоростей 465
Двигатель:
— воздушно-реактивный 272
— жидкостной 484, 485
Демпфирующие перегородки ба-
ков 428
Действующие напряжения 144
Дельта-функция Дирака 194, 446
Диагностика тепловая 362
Диаграмма растяжения матери-
ала 237
Долгота 261
Жидкость идеальная 413
Задача:
— краевая 288,416,418,437
------по выбору азимута стар-
та 288
------параметров программы
288
— оптимизации и модерни-
зации РК 61
— оптимизации параметров
модификации ЛА 73
— проектирования 162
— теплообмена системы 359
— обратная 359, 362,
363
------прямая 359
— теплопроводности 368
--обратная 368
------граничная 369
------диагностическая 362
---------идентификационная
359
------коэффициентная 370
---------некорректно постав-
ленная 359
------оптимизационная 295
------ретроспективная 369
--прямая 369
Затраты:
— на проведение испытаний
140
— на обеспечение пуска 140
— суммарные 63, 140
— эксплуатационные 140
Идентификация математических
моделей 354
Кавитация 481, 482
Колебания:
— жидкости 413
------вынужденные 425
------собственные 419, 424
------свободные 424
— упругого корпуса 436, 437,
441
Количество испытаний 142
Кольцевое ребро 456
Корпус БР 436
Коэффициент:
— аэродинамического сопро-
тивления 434
— безопасности 148, 240
— вариации 148
— восстановления 142
— демпфирования 426, 442
— динамичности 179, 197
— дросселирования двигате-
лей 256,277
— жесткости 180
— запаса долговечности 151
— запаса прочности 147
— корреляции 226
— соотношения компонентов
144,277
— усиления автомата стаби-
лизации 455
Кривая усталости 145
Критерий:
— оптимизации 297
— устойчивости движения БР
449
Крылатая ракета 105
Линеаризация уравнений дви-
жения 433, 434
Логарифмический декремент ко-
лебаний 426,441,442
500
Магистраль топливоподающая
471, 480
Масса:
— баллистической ракеты
434
------начальная 142
------относительная 141,
142,143
------приведенная 474, 475
------распределенная 185
— двигательной установки
75, 143
— конструкции 458
— полезной нагрузки 76
— прочих конструкций 143
— топлива 76, 475, 476
— топливного отсека 143
Математическое ожидание 42, 211
Маха число 318
Меридиональное усилие 233
Метацентр 458
Метод «замороженных» коэффи-
циентов 449
Моделирование:
— тепловое 352, 379
— математическое 352
------комбинаторное 387, 392,
393
— экспериментальное 352
Модель:
— идеальная 24
— проектная 30
многоуровневая 30
— реальная 24
— тепловая 352
----квазиодномерная 404
---линейная 354, 371
------математическая 253,
255, 294
---многомерная 404
---нелинейная 354, 371
---нестационарная 354
---обобщенная 379
----одномерная 371
---псевдоодномерная 404
------с распределенными па-
раметрами 353
------с сосредоточенными па-
раметрами 353
---стационарная 354
----структурная 380, 381
Модернизация РК 50
Модификация ЛА 50
Модуль упругости 436
Момент:
— возмущающий 434, 447
— главный 429
-------аэродинамических сил
429
---демпфирующий 434
---изгибающий 184
---инерции 430, 431, 445
-------баллистической ра-
кеты 431, 444
-------жидкого топлива 431
-------реактивных сил 429,
444
---сил Кориолиса 429, 444
Нагружение тепловое 404
Нагрузка:
— динамическая 178
— на мидель 269, 310
— статическая 178
Надежность:
— двигательной установки
135,151
— конструкции 148
Наддув баков 232
Наклонение 290
Невозмущенное движение 409
Неединственность решения за-
дачи 363
Несовершенства оболочки 235
Нормы прочности 174
Обечайка:
— вафельная 244
— гладкая 231, 239
Область устойчивости 493
Обобщенные координаты 264
Оболочка подкрепления 248
Общее нестабильное разрушение
245
Объем жидкости 414
Окружное усилие 233
Опасность отказа 141
Оптимальная конструкция 239
Орбита:
— круговая 109, 127
— эллиптическая 289
Ось инерции главная 412
501
Отклонение:
— вероятное круговое 253
— органов управления 448
— среднеквадратическое 216
Оценка эффективности 34, 159
Перегрузка:
— начальная 272
— конечная 145
Период собственных колебаний
179
Плотность:
— воздуха 435
— жидкости 417
— материала корпуса 436
Площадь миделевого сечения кор-
пуса БР 214, 434
Поверхность бака:
смоченная 414
жидкости свободная 414
Показатели качества 35
Полезная нагрузка 76
Потенциал:
— Жуковского 431
— перемещений жидкости
415
— скоростей жидкости 415
Потеря:
— скорости 309
----аэродинамическая
276,312
--------гравитационная 276,
312
----на противодавление 312
— устойчивости 236
----местная 245
------пластины 245
Пояс обечайки 241
Предел усталости 145
Преобразование Фурье:
— прямое 194
— обратное 194
Принцип:
— затвердевания 428
— максимума 297
— направленного развития
системы 22
— совместимости 21
Программа:
— работы двигательной уста-
новки 295,302,305, 314
— расчета 252
— угла атаки 316
— угла тангажа 123, 288,
301, 314,319
Программное движение 125
Проектирование 231
Проектные параметры 76, 160
Радиус бака 424, 427, 456
Ракета-носитель:
------воздушного базирования
105,108
------наземного базирования
106
Ракетоплан 106
Распределение Бейбулла 151
Расчет:
— инженерный 249
— на прочность 231
— на устойчивость 232
Расчетные случаи 245
Расход секундный 434
Рейнольдса число 227
Режим тепловой 350, 387
Ресурс гарантированный:
------двигательной установки
151
--конструкции 147
--средний 141
Самолет:
— носитель 108
— орбитальный 107
Связи:
— функциональные 25
— параметрические 25
— информационные 30
Сжимающее усилие 235
Силы:
— аэродинамическая 269,
445
— возмущающая 434
— приведенная 448
— реактивная 270, 446
— Кориолиса 266, 443
— управления 446
Система:
— техническая 15
— организационно-техниче-
ская 15
— сложная 12, 23
502
— координат 258
----связанная 412
----стартовая 278
------инерциальная 259
-------скоростная 261, 263,
266
------скоростная сферическая
261,263
Системология 11, 32
Системотехника 11
Скорость:
— абсолютная (инерциаль-
ная) 258
— ветра 214
— звука 480
— идеальная 312
Скоростной напор 214, 255, 435
Случайная величина 210
Спектр:
— дельта-функции 196
— прямоугольного импульса
205
— треугольного импульса 215
— частотный звукового дав-
ления 228
Спектральная плотность:
------ветрового порыва 216,
217
------узкополосного воздей-
ствия 221
------широкополосного воз-
действия 221
Средства выведения 105
Степень подкрепленности 248
Стоимость:
— испытаний 140
— топлива 140
— удельная двигательной ус-
тановки 144
---конструкции 141, 144
топлива 141
— ущерба при отказе 140
— эксплуатации 140
Суммарная среднеквадратическая
пульсация звукового давления
225
Схема:
— выведения на орбиту 306
— решения 134
Сфероид 268
Теорема Лагранжа 413
Толщина эквивалентная 246
Топливный насос 481
Топливо жидкое 408
Точность вычислительного про-
цесса:
-------достаточная 252
-------потенциально воз-
можная 253
Трубопровод топливоподающий
480
Турбонасосный агрегат 484
Турбулентность потока 214
Тяга:
— воздушно-реактивного
двигателя 275
— ракетного двигателя 273
— удельная 272
Тяговооруженность начальная 273
Угол:
— атаки 256, 278
— крена 270, 412
— курсовой 262
— местный 445
— наклона вектора скорости
262
— рыскания 412
— тангажа 123, 285, 288, 412
Уравнение:
— движения 258
--в векторной форме 260
-----в координатной форме
260
— Лагранжа 264
— Лапласа 415
— связи 245
Уровень звукового давления 224,
225
Ускорение:
— кажущееся 418, 466
— от аэродинамических сил
269
— от гравитационных сил 268
— от сил инерции 260, 266
— от силы тяги 270
Условия:
— амплитудной стабилиза-
ции 455,465
— граничные 416
— прочности 233
— фазовой стабилизации 454,
464
503
Устойчивость:
— локальная 450
— статическая 449
Участок:
— активный 275
— атмосферный 275, 279
— внеатмосферный 278,
285
— возвращения 280
Фазочастотные характеристики
БР 195
Факторы неконтролируемые 90
Формулы:
— Жуковского 431
— Циолковского 272
Функция:
— Бесселя 424, 473
— корреляционная 222
— случайная 210
— собственная краевой зада-
чи 419
-------------о колебаниях жид-
кости в баке 419
------------ об упругих коле-
баниях корпуса 431
— целевая 25
Характеристики частотные:
------автомата стабилизации
452,463
------баллистической раке-
ты 452
Центр:
— давления 269
— масс 412
------баллистической ракеты
412
Циклограмма работы двигатель-
ной установки 308
Частота:
— собственных колебаний
жидкостей в баках 420—423
— упругих колебаний кор-
пуса БР 191, 438
Эквивалентные напряжения 233
Эксперимент модельный 352
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................................... 3
Основные обозначения................................. 5
Основные сокращения ................................. 9
раздел I. Методы решения проектно-конструкторских задач
при разработке баллистических ракет
Глава 1. Методическая база решения
проектно-конструкторских задач ................. 11
1.1. Основы системотехники как методической
базы решения проектно-конструкторских задач......... 11
1.1.1. Особенности формирования систем........... 16
1.1.2. Структура системы......................... 17
1.1.3. Принципы регуляции, саморегуляции
и существования системы........................... 19
1.1.4. Принципы направленного развития системы
при наличии воли и управления..................... 22
1.1.5. Основные принципы исследования перспектив
развития сложных организационно-технических
систем............................................ 23
1.2. Проектное моделирование сложных систем.......... 24
1.2.1. Принцип пространственно-временной
относительности проектного моделирования .... 28
1.2.2. Организация проектного моделирования.
Многоуровневая проектная модель................... 29
1.3. Оценка эффективности техники при разработке.... 31
1.3.1. Системология и вопросы определения целей
и средств их достижения........................... 32
1.3.2. Оценка эффективности и качества разработки ... 34
1.4. Основная задача проектирования с учетом развития
техники в планируемый период. Схема
расчлененного исследования........................... 39
1.4.1. Основная задача проектирования............ 40
1.4.2. Схема расчлененного исследования основной
задачи. Задача оптимизации программы
развития.......................................... 43
505
Глава 2. Методы повышения эффективности
проектно-конструкторских решений.
Исследование модификаций ЛА
при разработке......................................... 49
2.1. Вопросы модернизации РК. Постановка задачи.... 51
2.2. Схема многоуровневого исследования
модернизации РК. Состав задач и математические
модели.............................................. 53
2.3. Задачи оптимальной модернизации РК.
Математические модели эффективности и затрат....... 61
2.3.1. Задача оптимальной модернизации РК,
связанная с заменой комплекса средств
преодоления СО и ЛА............................. 62
2.3.2. Задача модернизации РК, связанная
с изменением типа базирования................... 67
2.3.3. Оценка эффективности комплекса подвижного
базирования. Определение сроков
восстановления.................................. 71
2.4. Задача оптимизации параметров модификаций ЛА.
Математическая модель........................... 73
2.4.1. Задача оптимизации параметров
модификации ЛА.................................. 79
2.5. Организация комплексного исследования.
Алгоритм согласованной оптимизации ................. 81
2.6. Исследование эффективности модернизации РК.... 85
2.7. Анализ модификации ЛА при наличии
неконтролируемых факторов........................... 90
2.7.1. Анализ сходимости при согласованной
двухуровневой оптимизации и точности
решения......................................... 94
2.7.2. Сравнительный анализ вариантов
модификаций ЛА.................................. 97
Рекомендуемая литература .............................. 102
раздел и. Методы проектирования перспективных ракет-носителей
Глава 3. Альтернативные средства выведения полезных
нагрузок на низкие околоземные орбиты......... 105
Глава 4. Проектный анализ ракет-носителей космических
аппаратов воздушного базирования ..................... 110
4.1. Проблемы проектирования....................... 110
4.2. Постановка задачи выбора программы изменения
тяги............................................... 111
4.3. Методы решения задачи выбора программы
тяги РДТТ.......................................... 115
4.3.1. Эмпирический метод решения задачи выбора
программы тяги РДТТ............................ 115
4.3.2. Решение задачи выбора программы тяги РДТТ
по теоретически оптимальной программе тяги. . . 118
4.4. Постановка задачи по управлению............... 123
506
4.5. Исходные уравнения моделирования движения
на первой ступени после отделения от носителя...... 128
4.6. Численная оптимизация в задаче выбора закона
изменения тяги PH воздушного базирования
и программы угла тангажа.......................... 132
Глава 5. Оптимизация двигательной установки PH
по критерию надежности................................ 135
5.1. Общие сведения................................ 135
5.2. Тематическая модель надежности................ 135
Глава 6. Проектный анализ многоразовых PH............. 139
6.1. Критерии принятия проектных решений
многоразовых PH................................... 139
6.1.1. Общие сведения........................... 139
6.1.2. Массово-стоимостные характеристики
многоразовых ЛА................................. 140
6.1.3. Анализ критериальной функции............. 142
6.2. Согласование массы, надежности и ресурса
многоразовых систем ЛА............................ 144
6.2.1. Массовые характеристики конструкции МРБ .. . 144
6.2.2. Массовые характеристики ДУ МРБ........... 151
6.2.3. Обоснование ресурса систем............... 153
6.3. Методика обоснования проектных решений
многоразовых ЛА................................... 155
6.3.1. Сравнительный анализ эффективности
применения многоразовых одноступенчатых
средств выведения............................... 155
6.3.2. Общий алгоритм выбора проектных параметров
многоразовых ЛА................................. 160
6.3.3. Параметрический анализ проектных решений
двухступенчатых ЛА с МРБ........................ 163
Рекомендуемая литература.............................. 172
РАЗДЕЛ in. Методы конструирования баллистических ракет
и ракет-носителей
Глава 7. Прочность и безопасность конструкций PH...... 174
7.1. Нормы прочности............................... 174
7.2. Математическая модель......................... 175
7.3. Определение коэффициента безопасности через
вероятность разрушения............................ 176
Глава 8. Определение характеристик динамических
нагрузок на PH ....................................... 178
8.1. Динамические нагрузки при запуске ДУ.......... 178
8.2. Поперечные колебания корпуса ЛА............... 184
8.2.1. Постановка задачи........................ 184
8.2.2. Анализ свободных колебаний............... 185
8.2.3. Вынужденные колебания корпуса ЛА......... 190
8.3. Элементы спектрального анализа................ 194
8.3.1. Основные понятия......................... 194
8.3.2. Анализ воздействий....................... 196
507
8.4. Прогнозирование вибронагружения балочных
конструкций ЛА.................................... 199
8.4.1. Общий подход............................ 199
8.4.2. Приближенный подход..................... 203
8.5. Прогнозирование динамического нагружения
конструкции ЛА при срабатывании пиросредств........ 205
8.5.1. Анализ параметров нагружения............ 205
8.5.2. Оценка нагрузок с учетом упругости
конструкции.................................... 206
8.6. Нагрузки при отделении боковых блоков........ 208
8.6.1. Анализ процесса разделения.............. 208
8.6.2. Оценка динамического нагружения
центрального блока............................. 209
8.7. Спектральная теория случайных процессов...... 210
8.7.1. Основные понятия и определения.......... 210
8.7.2. Анализ решений дифференциальных
уравнений...................................... 212
8.8. Воздействие ветровой нагрузки на конструкции ЛА. . . 213
8.8.1. Постановка задачи....................... 213
8.8.2. Анализ ветровых воздействий............. 214
8.8.3. Нагрузки на ЛА от действия ветровых порывов. . 217
8.9. Нагрузки при транспортировке по железной дороге . . . 221
8.9.1. Анализ воздействий...................... 221
8.9.2. Оценка нагружения корпуса ЛА............ 222
8.10. Акустические нагрузки, действующие на БР..... 224
8.10.1. Уровни акустического давления
в режиме «старт»............................... 225
8.10.2. Уровень акустического давления
в режиме «max q»............................... 229
Глава 9. Проектирование топливных баков.
Оптимизация гладких топливных баков.......... 231
9.1. Оптимальная конструкция...................... 231
9.2. Исходные нагрузки............................ 232
9.3. Расчет обечайки гладкого бака на устойчивость. 234
Глава 10. Задача оптимизации конструкции гладкого бака 239
10.1. Оптимизация числа поясов обечайки........... 239
10.1.1. Постановка задачи...................... 239
10.1.2. Критерий оптимизации................... 241
10.1.3. Математическая модель.................. 242
10.1.4. Метод оптимизации...................... 243
Глава 11. Проектирование оптимальной конструкции
вафельной обечайки топливного бака
с произвольной геометрической формой ячеек . . 244
11.1. Основные уравнения.......................... 244
11.2. Уравнения связи............................. 245
Глава 12. Цилиндрические оболочки, подкрепленные
только кольцевыми ребрами ............................ 248
12.1. Степень подкрепленности..................... 248
12.2. Практические и инженерные расчеты........... 249
Рекомендуемая литература ............................ 250
508
раздел iv. Проектно-баллистические расчеты активных участков
ракет-носителей
Глава 13. Понятие достаточной точности и классификация
баллистических расчетов ............................. 252
Глава 14. Типичные ограничения на кинематические
и динамические параметры движения............ 255
Глава 15. Общие уравнения движения .................. 258
15.1. Системы координат........................... 258
15.2. Уравнения движения в векторной форме........ 260
15.3. Уравнения движения в координатной форме..... 260
15.4. Проекции ускорений.......................... 266
15.4.1. Проекции ускорений от переносной
и кориолисовой сил инерции на оси
скоростной системы координат.................. 266
15.4.2. Проекции ускорений от гравитационной силы
на оси скоростной системы координат........... 268
15.4.3. Проекции ускорений от аэродинамической
силы на оси скоростной системы координат.... 269
15.4.4. Проекции ускорений от силы тяги
на оси скоростной системы координат........... 270
15.4.5. Соотношения для тяги ракетных
и воздушно-реактивных двигателей.
Дроссельные характеристики.................... 272
Глава 16. Системы дифференциальных уравнений
движения на различных участках выведения
на орбиту............................................ 275
16.1. Система дифференциальных уравнений движения
на атмосферном участке....................... 275
16.2. Система дифференциальных уравнений движения
на безатмосферном участке.................... 278
Глава 17. Упрощение уравнений движения .............. 279
17.1. Атмосферный участок движения................ 279
17.2. Приближенное аналитическое решение уравнений
движения на безатмосферном участке................ 285
17.3. Краевая задача по выбору параметров программы
угла тангажа и азимута старта..................... 288
17.4. Уравнения движения и параметры программ
управления движением многоразовых
ракетных блоков.............................. 292
Глава 18. Оптимальные программы угла тангажа
и режимов работы двигательных установок
ракет-носителей...................................... 295
18.1. Оптимальная программа выведения на орбиту... 295
18.2. Уравнения движения на безатмосферном участке
для модельной задачи.............................. 296
18.3. Оптимальное управление вектором тяги........ 297
18.4. Оптимальная программа угла тангажа.......... 301
509
18.5. Оптимальные программы режимов работы
двигательной установки............................ 302
18.6. Схемы выведения на орбиты.................. 306
18.7. Пример циклограммы работы двигателей PH
типа «Энергия».................................... 308
Глава 19. Приближенный метод определения скорости . . . 309
19.1. Основные положения.......................... 309
19.2. Интегралы уравнения для скорости............ 310
Глава 20. Формирование программ угла тангажа
и режимов работы двигательных установок
ракет-носителей....................................... 314
20.1. Общие требования к программам угла тангажа
и режимам работы двигательных установок........... 314
20.2. Формирование программы угла атаки
на атмосферном участке движения................... 316
20.3. Формирование режимов работы двигательных
установок на атмосферном участке движения.......... 321
Рекомендуемая литература............................. 323
раздел V. Задачи теплового проектирования ракетно-космических
систем
Глава 21. Особенности тепловых режимов летательных
аппаратов ............................................ 324
21.1. Старт с поверхности Земли (планет Солнечной
системы).......................................... 324
21.2. Особенности обеспечения теплового режима
разгонных блоков космических аппаратов............ 328
21.3. Проблемы теплового проектирования
негерметичных космических аппаратов............... 332
21.4. Тепловые режимы космического зонда,
предназначенного для исследования физических
процессов в короне Солнца......................... 335
21.5. Проблемы возвращения спускаемых аппаратов
на Землю.......................................... 340
Глава 22. Моделирование процессов теплообмена
и тепловых режимов ракетно-космической
техники .............................................. 350
22.1. Общие сведения. Экспериментальное
и математическое моделирование.................... 350
22.2. Математическая постановка задачи............ 352
22.3. Идентификации в тепловых исследованиях
и проектировании.................................. 354
22.4. Идентификация математических моделей
и обратные задачи................................. 359
22.5. Типы обратных задач теплообмена............. 359
22.5.1. Оптимальное управление нагревом тела.... 360
22.5.2. Оптимизация теплозащитного пакета...... 360
22.5.3. Задачи диагностики и идентификации..... 362
510
22.5.4. Методологические отличия оптимизационных
и диагностико-идентификационных задач.......... 362
22.5.5. Обобщенная постановка обратных задач.... 363
22.6. Примеры постановок обратных задач в тепловом
проектировании.................................... 368
22.6.1. Общая постановка задачи и классификация
обратных задач теплопроводности................ 368
22.6.2. Обратные задачи теплообмена в технической
системе........................................ 371
22.7. Тепловые модели в задачах теплового
проектирования КА................................. 372
22.8. Структурная модель теплового режима КА...... 378
Глава 23. Основные аспекты комбинаторного
моделирования теплового режима КА..................... 387
23.1. Базовые принципы комбинаторного анализа
теплового режима.................................. 387
23.2. Постановка задачи комбинаторного математического
моделирования теплового режима объектов
космической техники.......................... 393
23.3. Алгоритмическое обеспечение комбинаторного
моделирования теплового режима КА................. 402
Рекомендуемая литература ............................ 405
раздел VI. Методы исследования устойчивости движения
баллистических ракет и ракет-носителей
Глава 24. Методические основы исследования
устойчивости БР....................................... 408
24.1. Общие сведения.............................. 408
24.2. Системы координат........................... 412
24.3. Исследования устойчивости поперечных
колебаний БР...................................... 413
24.3.1. Основные допущения..................... 413
24.3.2. Определение потенциалов перемещений
жидкости в баках. Давление в баках
с жидкостью............................. 414
24.3.3. Собственные колебания жидкостей в баках .... 419
24.3.4. Вынужденные колебания жидкостей в баках.. . 425
24.3.5. Уравнения движения БР, учитывающие
подвижность топлива. Приведение уравнений
движения к обыкновенным
дифференциальным уравнениям
и их линеаризация....................... 428
24.3.6. Уравнения поперечных колебаний упругого
корпуса БР..................................... 436
24.3.7. Собственные упругие колебания корпуса БР . . . 437
24.3.8. Вынужденные колебания упругого корпуса... . 441
24.3.9. Уравнения движения БР с упругим корпусом
и их сведение к дифференциальным
уравнениям возмущенного движения
в плоскости тангажа..................... 443
511
24.3.10. Исследования устойчивости поперечных
колебаний БР................................... 448
24.3.11. Стабилизация БР с жидким топливом
в диапазоне частот собственных колебаний
жидкостей. Проектно-конструкторские
решения................................ 451
24.3.12. Устойчивость БР с жидким топливом
при совпадении частот собственных
колебаний жидкостей............................ 457
24.3.13. Стабилизация поперечных колебаний БР
в диапазоне собственных частот
упругих колебаний корпуса.
Проектно-конструкторские решения....... 461
24.4. Исследование устойчивости движения БР по крену . . 466
Глава 25. Методические основы исследования
устойчивости продольных колебаний БР.......... 470
25.1. Исследования устойчивости продольных
колебаний БР...................................... 470
25.1.1. Продольные колебания топливных баков БР ... 473
25.1.2. Продольные колебания упругого корпуса БР
с топливными баками............................ 476
25.1.3. Колебания топливоподающих магистралей ... . 480
25.1.4. Влияние кавитации в насосах на динамические
характеристики топливных магистралей........... 481
25.1.5. Динамические характеристики ЖРД........ 484
25.1.6. Уравнения возмущенного движения БР
относительно продольной оси.................... 488
25.1.7. Исследование устойчивости продольных
колебаний БР. Проектно-конструкторские
решения................................. 492
Рекомендуемая литература............................. 498
Предметный указатель................................. 499
ISBN5-7107-7086-
9’7857 10 770863