ПРИКЛАДНАЯ

ОПТИКА
УДК 635 • 528(075.8)

Прикладная оптика /Дубовик А. С., Апенко М. И., Дурейко Г. В. н др.:
Учебное пособие для вузов. М., Недра, 1982. 612 с.

Приведены основные законы и понятия геометрической оптики применитель-
но к проектированию оптических приборов. Описаны материалы, применяемые
при изготовлении оптических деталей, и их основные постоянные. Изложены воп-
росы хроматических аберраций первого и высшего порядков, монохроматических
аберраций первого, третьего н пятого порядков и волновых аберраций.

Рассмотрена теория оптических систем различного типа, приведены основные
характеристики систем.

Описаны требования к различным оптическим системам, основные этапы раз-
работки и расчета.

Для студентов оптических специальностей геодезических и других вузов. Мо-
жет быть полезна для научных и инженерно-технических работников.

Табл. 7, ил. 286, список лит. — 10 иазв.

Авторы:

А. С. Дубовик, М. И. Апенко, Г. В. Дурейко, А. М. Жилкин.

7. А. Запрягаева. 2Z. А Романов, И С. Свешникова

Рецензенты;

д-р техн, наук, проф. Н. П. Заказное (МВТУ); д-ра техн, наук А. П. Грим-
матин, И. В. Пейсахсон (ГОИ).

П

1902020000 — 254	в„

043(01)-82	3

©Издательство «Недра», 1982
ПРЕДИСЛОВИЕ

Оптическое приборостроение является неотъемлемой частью
научно-технического прогресса. Нет практически такой области
науки и техники, где бы ни применялись оптические и оптико-
электронные приборы как средства познания фундаментальных
законов природы, средства определения параметров физико-хими-
ческих явлений, измерения и контроля разнообразных величин,
средства автоматического управления технологическими процес-
сами и отдельными явлениями.

Курс «Прикладная оптика», который является одним из основ-
ных при подготовке специалистов в области оптического прибо-
ростроения, состоит из ряда разделов, охватывающих комплекс
знаний, необходимых для современного инженера-специалиста в
области расчета и конструирования оптических и оптико-элект-
ронных приборов.

Курс построен на основе последних достижений в области гео-
метрической оптики, теории аберраций, вычислительной оптики,
в том числе машинных методов расчета оптических систем, теории
образования изображений и методов измерений.

Введение написано д-ром техн, наук, проф. А. С. Дубовиком,
главы 1—6, 9—11 — канд. техн, наук, доц. М. И. Апенко, главы
7, 8—канд. техн, наук М. И. Апенко и проф. Д. А. Романовым,
глава 12 — проф. Д. А. Романовым, главы 13, 14, 17, 22 — канд.
техн, наук Г. В. Дурейко, главы 15, 16, 18, 19—21—д-ром техн,
наук А. С. Дубовиком, главы 23—26 — канд. техн, наук Л. А. За-
прягаевой и канд. техн, наук И. С. Свешниковой, глава 27 —
канд. техн, наук А. М. Жилкиным.

Авторы выражают благодарность канд. техн, наук В. А. Гу-
рикову за предоставление материалов для написания введения.
ВВЕДЕНИЕ

Прикладная оптика в настоящее время выросла в самостоя-
тельную науку, являющуюся основой для расчета и проектирова-
ния оптических систем и приборов. Она состоит из ряда важных
разделов: геометрической оптики, теории аберраций, теории оп-
тических систем, методов расчета оптических систем и методов
измерения параметров оптических систем.

В своем развитии прикладная оптика прошла ряд периодов.

I период (до начала XVII века). Характерным является
использование оптики в деятельности человека.

Первым прибором, построенным человеком, было увеличитель-
ное стекло, или лупа. Об этом можно судить но отдельным ука-
заниям, приведенным в произведениях античных ученых и писа-
телей. Основные законы оптических явлений — прямолинейное
распространение света, отражение от зеркальной поверхности и
преломление света на границе двух прозрачных сред — были уста-
новлены опытным путем еще Евклидом и Аристотелем в III—
IV веках до нашей эры.

Значительный шаг в развитии оптики был сделан в X веке н. э.
арабским ученым Альгазеном. Однако в Европе его труд по оп-
тике был опубликован только в 1572 году. В этот период оптика
развивалась как «чистая наука» и не было взаимосвязи науки
и практики. Только в начале XVI века в работах Леонардо да
Винчи наблюдается связь науки с практикой. Он рассматривает
устройство камеры-обскуры, глаза, занимается построением хода
лучей в линзах. С Леонардо да Винчи связано развитие фотомет-
рии как науки, разработка проектов станков для обработки линз
и т. п. Таким образом, Леонардо да Винчи впервые делает по-
пытку переноса естественнонаучного знания в оптике в приклад-
ную область.

Большие экспериментальные успехи в оптике в начале XVII
века дают начало развитию оптического приборостроения. В это
время в Нидерландах появилась первая зрительная труба, кото-
рая была изготовлена очковым мастером. Весть об этом дошла
до Галилея, и он, опираясь на учение о преломлении света, соз-
дал зрительную трубу на научной основе. Труба Галилея поз-
волила сделать в астрономии весьма важные открытия, благо-
даря которым возросло значение оптических приборов. Вслед за
трубой Галилея (1609 г.) появляется астрономический телескоп
Кеплера (1611 г.) с двумя двояковыпуклыми линзами, что дало
возможность применить сетку нитей, а также окулярный микро-
метр (У. Гаскойнь, 1638 г.), который мог служить для измерения
малых угловых расстояний при астрономических наблюдениях.
К началу XVII столетия относится также появление простого и
сложного микроскопа.

Характеризуя рассматриваемый период в целом, можно отме-
тить, что он явился переломной эпохой в истории прикладной
оптики. Получили широкое распространение очковые линзы, лу-
пы, призмы, выпуклые и вогнутые зеркала, камера-обскура и
проекционный фонарь и, наконец, телескоп и микроскоп.

II период (с начала XVII века до 40-х годов XIX века)
представляет собой зарождение прикладной оптики как науки.

Первая теория оптических приборов (зрительной трубы, мик-
роскопа и глаза) была создана Иоганном Кеплером («Диоптри-
ка», 1611 г.), что знаменует собой продолжение процесса перехода
от естественно-научного знания в оптике к техническому.

И. Кеплер не нашел точной формулировки закона преломле-
ния и остановился на законе пропорциональности между углом
преломления и углом падения, однако он сделал из него пра-
вильные следствия и впервые указал, как найти изображения,
даваемые линзами. Он также объяснил работу окуляра в зри-
тельной трубе и микроскопе, понял роль хрусталика и сетчатки
глаза, обнаружил явления аккомодации и адаптации глаза. По
сути дела, именно с «Диоптрики» И. Кеплера начинается под-
линная история прикладной оптики как науки.

Однако теория аберраций оптических систем могла быть ос-
нована только на строгой формулировке закона преломления, она
была дана В. Снеллиусом, а затем Р. Декартом независимо друг
от друга в начале XVII в. В своем произведении «Рассуждение
о методе с приложениями. Диоптрика, метеоры, геометрия»
(1637 г.) Декарт затрагивает многие вопросы, связанные с созда-
нием и развитием теории построения и расчета оптических систем.

Геометрическая оптика после Декарта превращается в отдел
геометрии. Ею заинтересовался И. Ньютон (1642—1727 гг.). Ему
принадлежат основные формулы параксиальной оптики, он же
нашел формулы для вычисления сферической аберрации и спо-
соб построения фокусов бесконечно тонких астигматических пуч-
ков. Главной заслугой Ньютона является открытие дисперсии. Им
было показано, что именно дисперсия вызывает нерезкость в
изображениях, даваемых объективами астрономических труб, ко-
торую ранее приписывали сферической аберрации (Декарт). Нью-
тоном была вычислена также хроматическая аберрация линз.
Однако создание ахроматических оптических систем он считал
невозможным.

Современником И. Ньютона X. Гюйгенсом в 1678 г. была
предложена волновая теория света. Однако, как ни велико было
значение этой теории, опа не могла пока еще оказать сущест-
венное влияние на дальнейшее развитие прикладной оптики, она
не повлияла также на успехи приборостроения.

Теория геометрической оптики, которая после И. Кеплера,
Р. Декарта и И. Ньютона стала быстро развиваться и углуб-
ляться, наоборот, создала переворот в конструировании оптиче-
5
ских приборов, и связь между теорией и практикой становилась
все теснее и теснее.

В 1695 г. Давид Грегори, рассматривая человеческий глаз,
где двояковыпуклый хрусталик соприкасается с вогнуто-вы-
пуклым стекловидным телом (две линзы с различными показа-
телями преломления), предложил на этом принципе строить ах-
роматические оптические системы. Эта идея впоследствии была
независимо развита Леонардом Эйлером (1747 г.) и осуществлена
практически Джоном Доллондом в 1758 г. путем сочетания двоя-
ковыпуклой линзы из крона с вогнутой линзой из флинта.
В 1784 г„ уже после смерти Л. Эйлера, профессором Петербург-
ской академии наук Ф. У. Эпинусом был изготовлен первый в
мире ахроматический микроскоп.

Вопросы прикладной оптики и особенно конструирование и
изготовление различных оптических приборов и инструментов за-
нимали важное место в творческой деятельности великого русско-
го ученого М. В. Ломоносова. Ломоносов был первым ученым,
применившим микроскоп в России для решения большого круга
научных задач.

Из «Химических и оптических записок» М. В. Ломоносова яс-
но, что им были сконструированы многие оптические инструмен-
ты: «горизонтоскоп» (перископ), «батоскоп» (инструмент для
подводных наблюдений), фотометр, ночная зрительная труба, про-
жектор. В общей сложности М. В. Ломоносов построил более де-
сяти принципиально новых оптических приборов. По объему и
оригинальности своей деятельности в области технической оптики
Ломоносов, по словам академика С. И. Вавилова, был «одним из
самых передовых оптиков своего времени и безусловно первым
русским творческим оптотехником».

Значительны также заслуги русского механика-самоучки
И. П. Кулибина в производстве оптических приборов. Им разра-
ботаны новые способы шлифовки стекол для изготовления мик-
роскопов, телескопов и др.

Благодаря трудам таких русских ученых, как Л. Эйлер,
М. В. Ломоносов, П. Фусс. Ф. У. Эпинус и др., Россия оказалась
на передовом рубеже оптической науки и техники XVIII в. Имен-
но русскими учеными в этот период была разработана и
осуществлена первая в мире конструкция ахроматического
микроскопа, а создание Леонардом Эйлером в его фундамен-
тальной «Диоптрике» теории аберраций оптических систем
послужило основой для дальнейшего развития оптики в XIX в. во
всем мире.

Таким образом, начальный этап формирования технических
знаний в области оптики связан с целым рядом факторов, важ-
нейшим из которых является необходимость создания общей
теории оптических систем, позволяющей конструировать и созда-
вать новые оптические приборы на научной основе.

Прикладная оптика с самого начала своего развития обрела
статус самостоятельности.
Ill период (с 40-х годов XIX в. до 40-х годов XX в.) харак-
теризуется развитием теории и практики построения оптического
изображения, а также расширением областей применения при-
кладной оптики.

Начало XIX в. связано с новым направлением в геометриче-
ской оптике: с изучением действия оптических систем вблизи их
оптической оси. Развитие этого направления привело к созданию
параксиальной оптики. Благодаря своей простоте и наглядности
законы параксиальной оптики позволяли представить оптические
системы в виде простейших схем, с помощью которых решалась
задача нахождения изображения и габаритов оптической системы.
Кроме того, эти законы определяли свойства идеальных оптиче-
ских систем, теория которых была развита К. Гауссом (1841 г.).

Однако теория идеальной оптической системы не давала воз-
можность оценить качество изображения, даваемого оптическим
инструментом, а главное не позволяла решить вопрос о влиянии
конструктивных элементов линз на величину аберраций, даваемых
оптическими приборами. Совершенствование модели идеальной
оптической системы привело к разработке общей теории аберра-
ций оптических систем.

Теория аберраций оптических систем для общего случая была
разработана в конце 50-х годов XIX в. в трудах Зейделя и Пеп-
валя. Разложение аберраций в ряд на основании теории эйканала
(для аберраций третьего порядка) было выполнено К. Шварц-
шильдом в 1905 г.

Разработка теории аберраций не являлась самоцелью, а была
вызвана практической необходимостью. Середина и вторая поло-
вина XIX в. ознаменовались бурным развитием фотографической
оптики. На повестке дня стояла задача расчета фотографических
объективов с высокой светосилой и большой разрешающей спо-
собностью.

Вследствие повышения требований к качеству изображения,
даваемого фотообъективом, использование совокупности только
двух линз оказалось недостаточным. Появились оптические си-
стемы из трех линз и более. Крупным событием в истории при-
кладной оптики явилось создание в 1840 г. портретного объек-
тива Пепвалем. Обьектив Пецваля имел большое относительное
отверстие (1'3,2), у этого объектива впервые было достигнуто
одновременное исправление сферической аберрации, комы и астиг-
матизма при удовлетворительной величине хроматических
аберраций.

Значительно позже, в 1865 г. А. Штейнгелем был создан сим-
метричный объектив-апланат, уступающий, однако, по своей све-
тосиле объективу Пецваля.

В 1891 г. сотрудником фирмы «Карл Цейсс» П. Рудольфом
была сделана первая попытка создания объектива-анастигмата
с большой апертурой (объектив «Протар»). В 1892 г. появилась
конструкция симметричного анастигмата «Дагор», имеющего хо-
рошую коррекцию астигматизма и малую дисторсию изображения.
К началу XX в. фотографическая оптика уже насчитывала до-
вольно большое число разнообразных конструкций фотообъекти-
вов. Кроме двойных анастигматов она пополнилась трехлинзовым
анастигматом типа «триплет», разработанным в 1893 г. Тейлором;
в 1900 г. Геетом был создан широкоугольный объектив «Гипер-
гон» с углом поля зрения 135°; в 1902 г. П. Рудольф создал из-
вестный четырехлинзовый объектив «Тессар».

Параллельно с теорией аберраций оптических систем развива-?
лась теория и практика построения оптического изображения.
Со времен И. Кеплера и Р. Декарта существовало мнение, что
разрешающая способность идеального оптического прибора
бесконечна. Качественно новым этапом в развитии теории оптиче-
ских приборов явилась теория Э. Аббе и Д. Рэлея (70-е — 80-е го-
ды XIX в.). Аббе и Рэлей показали, что волновая природа света
ограничивает предел разрешающей способности оптических си-
стем и что подобие между предметом и его изображением нару-
шается в пределах дифракционного изображения точки. Данные
физической оптики послужили основой для создания теории опти-
ческого изображения.

Таким образом, в рассматриваемый период произошли струк-
турные изменения в прикладной оптике. По мере того, как рас-
ширялась область применения оптических систем и возникала
настоятельная потребность в создании оптических систем с высо-
ким качеством изображения, знание законов только геометриче-
ской оптики оказалось недостаточным и возникла необходимость
использования законов физической оптики. Дальнейшее развитие
теории образования изображения связано с работой Л. И. Ман-
дельштама (1911 г.) и Д. С. Рождественского (1940 г.).

В начале XX столетия в России возродился интерес к оптико-
механическому производству. Налаживается изготовление геоде-
зических инструментов. В Межевом институте в Москве Н. М. Кис-
лов с 1902 года читает курс «Теория оптических инструментов» и
в 1915 году издает книгу под этим же заглавием. В своих работах
Н. М. Кислов впервые связывает точность визирования с разре-
шающей способностью оптической системы и этим закладывает
метрологические основы при расчете оптических систем. Практи-
чески его книга была одним из первых трудов по оптике на рус-
ском языке.

В качестве обязательного курса А. И. Тудоровский в Петро-
граде читает морским артиллерийским офицерам «Теорию оптиче-
ских приборов». В 1916 году на фарфоровом заводе в Петро-
граде начинается производство оптического стекла и создается
первое в России вычислительное бюро и физическая лаборатория
по исследованию стекла, в работах которого принимают участие
А. И. Тудоровский, А. Л. Гершун и В. С. Игнаговский. В эти же
годы в Петрограде организуется оптико-механический завод, раз-
вившийся в настоящее время в Ленинградское оптико-механиче-
ское объединение. После Великой Октябрьской социалистической
революции по инициативе Д. С. Рождественского и по указанию
В. И. Ленина создается Государственный оптический институт и
в его составе вычислительное бюро, возглавляемое А. И. Тудо-
ровским.

В 20-е годы в Ленинграде организуется Оптико-механический
техникум, а в 1930 году он преобразуется в Институт точной ме-
ханики и оптики. Одновременно факультеты оптического прибо-
ростроения организуются в МВТУ им. Н. Э. Баумана и Москов-
ском институте инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картогра-
фии (МИИГАиК). Достойным продолжателем дела Н. М. Кисло-
ва в МИИГАиКе стал Б. В. Фефилов, который создал теорию
зрительных труб, в том числе с внутренней фокусирующей лин-
зой. Его учебное пособие «Прикладная оптика» являлось настоль-
ной книгой многих поколений оптиков и имело практическое зна-
чение для расчета оптических систем.

В выборе принципиально правильного направления в развитии
вычислительной оптики, являющейся основой прикладной оптики
как науки, важную роль сыграли А. И. Тудоровский, Е. Г. Яхон-
тов и Г. Г. Слюсарев. Развитию способствовали крупные моногра-
фии: «Теория оптических приборов» А. И. Тудоровского, «Методы
Г. П. Кравец и др., позволил организовать новые лаборатории
расчета оптических систем» Г. Г. Слюсарева, «Методы расчета
сложных фотографических систем» Д. С. Волосова.

Характерной чертой этого периода является расширение об-
ластей применения прикладной оптики за счет практического ис-
пользования явлений природы, связанных с электромагнитным из-
лучением в широком диапазоне длин волн. Появляются новые
области науки и техники: инфракрасная техника, затем и новая
область приборостроения — оптико-электронные приборы. Таким
образом, к концу третьего периода в развитии прикладной оптики
намечаются новые направления, на основе которых в дальнейшем
возникли новые технические науки. Этрму способствовала дея-
тельность Государственного оптического института (ГОИ), кото-
рый занимался фундаментальными вопросами в оптике и одно-
временно держал тесную связь с оптико-механической промыш-
ленностью, что позволяло быстро внедрять достижения науки в
практику приборостроения.

Несомненно, что приход в ГОИ таких крупных ученых, как
С. И. Вавилов, А. Н. Теренин, В. П. Линник, Д. Д. Максутов,
Г. П. Кравец и др., позволил организовать новые лаборатории
и начать решение фундаментальных вопросов в области спект-
рального анализа, строения вещества, люминесценции, научной
фотографии и других разделов физической оптики, которые выз-
вали к жизни работы по созданию приборов, т. е. способствовали
развитию прикладной оптики.

IV период (с 40-х годов XX в.) характеризуется переходом
прикладной оптики в комплексную техническую науку.

Начало нового периода совпало в Великой Отечественной
войной.
Большую роль в развитии прикладной оптики этого периода
сыграло создание оптико-электронного преобразователя как прин-
ципиально нового элемента оптических систем, телевидения, раз-
работка в конце 50-х — начале 60-х годов XX в. оптических кван-
товых генераторов и методов голографии, что привело к взаим-
ному проникновению электроники и оптики.

Не менее важной особенностью рассматриваемого периода
является процесс дифференциации прикладной оптики как техни-
ческой науки, проявляющийся в возникновении и формировании
целого ряда новых технических наук: вычислительной оптики,
фотографической оптики, оптики микроскопов, волоконной опти-
ки, когерентной оптики, интегральной оптики, прикладной нели-
нейной оптики, голографии и др., а также самостоятельных
новых разделов оптического и оптико-электронного приборострое-
ния: спектральных приборов, приборов высокоскоростной фото-
графии и кинематографии, микрофильмирования, оптико-элект-
ронных приборов обнаружения, сопровождения и связи, геоде-
зического приборостроения, фотограмметрических приборов,
аэрокосмической фотоаппаратуры и т. п.

В развитии этих новых областей и направлений сыграли боль-
шую роль работы таких известных отечественных оптиков как
Н. Г. Басова, А. М. Прохорова, Ю. Н. Денисюка, В. Н. Чурилов-
ского, Д. С. Волосова, М. М. Русинова, И. А. Турыгина, А. В. Лун-
зова, А. П. Мороза, А. Н. Захарьевского, А. Г. Ащеулова,
В. К. Прокофьева и др.

Новые направления в оптическом приборостроении связаны
с работами М. М. Мирошникова (иконика и обработка изображе-
ния), Н. А. Валюса (растровые системы), В. Б. Вейнберга и
Д. К. Саттарова (оптика световодов), Л. П. Лазарева и
Ю. Г. Якушенкова (оптико-электронные приборы), А. С. Дубо-
вика (оптика приборов высокоскоростной фотографии), И. А. Чер-
ного (сенситометры), В. А. Панова и Л. Н. Андреева (оптика
микроскопов) и др.

Работы в области прикладной оптики в последние десятиле-
тия настолько обширны, что для их описания понадобилась бы
отдельная книга. Из самых важных работ надо указать на раз-
витие вычислительной оптики. Автоматизация расчетов и модели-
рование свойств оптических систем с помощью ЭВМ ознаменовали
собой новый этап развития вычислительной оптики. В последнее
время силами известных оптиков Г. Г. Слюсарева, Д. Ю. Гальпер-
па и других удалось создать алгоритмы и разработать програм-
мы для полуавтоматического расчета сложных оптических
систем.

Использование высокопроизводительных машин сделало воз-
можным математическое моделирование ряда свойств оптических
систем, которые ранее выявлялись только после изготовления
опытных образцов. К этим свойствам относятся распределение
освещенности в изображении точки, функция передачи модуляции,
влияние рассеянного света и т. п.
Основными задачами в этой ооласти являются: а; установле-
ние непосредственного контакта разработчика оптической системы
с ЭВМ через дисплей; б) автоматическая выдача с помощью ЭВМ
технической документации, содержащей конструктивные парамет-
ры системы, сводки и графики остаточных аберраций, допуски на
изготовление деталей и т. п.; в) разработка ускоренных автома-
тических методов контроля качества оптических поверхностей в
процессе их изготовления; г) создание автоматических методов
и аппаратуры для оценки качества изображения при использо-
вании различных приемников изображений; д) дальнейшее раз-
витие теории образования изображения, методов голографии и
когерентной оптики.

Из сказанного выше следует, что прикладная оптика стано-
вится комплексной технической наукой. В этом проявляется одна
из характерных особенностей современной научно-технической ре-
волюции. Происходит и обратный процесс — интеграция техни-
ческих знаний с естественнонаучными и становление единой си-
стемы знания в оптике.
часть i.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Глава 1.

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ
и понятия геометрической оптики

§ 1. Связь геометрической оптики с волновой

Раздел физики, изучающий природу света, его распростране-
ние и взаимодействие с веществом, называется физической опти-
кой. Ранее светом называли тот вид излучений, который вызывал
зрительное ощущение. В настоящее время в понятие свет вклю-
чают также и невидимые глазом излучения, как рентгеновское,
ультрафиолетовое и инфракрасное, т. е. излучения в диапазоне
длип волн от 0,1 нм до 1 мм.

Свет, по современным воззрениям, представляет единство, по
своей сущности, двух процессов — волнового и квантового. Такие
явления, как интерференция, дифракция и поляризация, могут
быть объяснены только волновой природой света, а фотоэлектри-
ческий эффект, излучение и поглощение — квантовой теорией.
Отражение, преломление и давление света легко объясняются как
волновой, так и квантовой теориями.

Как известно, процесс распространения световой энергии в
свободном пространстве представляет собой электромагнитные
волны, которые характеризуются колебаниями двух величин: элек-
трической и магнитной напряженностей, обозначаемых векторами.
Если распространение света происходит в направлении оси Z,
которая направлена слева направо и совпадает с плоскостью
чертежа, то вектор электрической напряженности находится в
вертикальной плоскости, а вектор магнитной напряженности в го-
ризонтальной плоскости, т. е. оба вектора находятся во взаимно
перпендикулярных плоскостях и изменяются периодически. Отсю-
да следует, что электромагнитные волны являются поперечными
волнами.

Физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие
действия света вызываются вектором электрической напряжен-
ности, поэтому этот вектор называют также световым вектором.

В общем случае под поверхностью волны понимают геометри-
ческое место точек, где фаза волны постоянна по всей поверх-
ности.
Длина волны, т. е. расстояние, на которое распространяется
волна за время одного периода колебаний Т, равна

X = иТ = Х0/п,

где п — абсолютный показатель преломления среды, Хо— длина
волны в вакууме.

п = с!и —	(1.1)

есть отношение скорости распространения света в вакууме к ско-
рости света в данной среде; е и р. — диэлектрическая и магнитная
проницаемости среды^Для подавляющего большинства прозрачных
сред р = 1 и п — У г. Абсолютный показатель преломления харак-
теризует оптическую плотность среды по отношению к вакууму.
Квантовая (фотонная) теория рассматривает свет как поток
световых частиц — квантов (фотонов). Связь волновой характери-
стики света (длины волны X) и его квантовой характеристики
(массы фотона т) описывается равенством

х=-=А,
м тс

где h — постоянная Планка. Следовательно, движению фотона со-
ответствует волновой процесс с частотой v. Скорость движения
квантов в вакууме такая же, как скорость распространения элект-
ромагнитных волн, и составляет 299 792,5 км/с.

Направление движения энергии электромагнитной волны оп-
ределяется направлением вектора Умова-Пойтинга, перпендику-
лярного к вектору электрической напряженности — световому век-
тору и вектору магнитной напряженности. В изотропных средах
направление вектора Умова-Пойтинга совпадает с нормалью к
волновой поверхности и принимается за направление распрост-
ранения пучков лучей света.

При распространении света происходит его усиление в одних
точках пространства и ослабление в других, в результате нало-
жение двух или нескольких волн, а также отклонение его от пря-
молинейного пути, когда свет, огибая препятствия, заходит в об-
ласть геометрической тени, т. е. имеют место интерференция и
дифракция.

Однако многие оптические явления, в частности действие боль-
шого числа оптических приборов, можно рассматривать исходя из
представления о световых лучах как направлениях распростране-
ния энергии, которые являются нормалями к волновой поверх-
ности. Раздел оптики, базирующийся на этом представлении, на-
зывается геометрической (лучевой) оптикой.

Понятие о световом луче при малых отверстиях, через которые
проходят волны вследствие дифракции, неприемлемо. Но если диа-
метр светового фронта D значительно больше длины волны X, то
при выполнении условия

О»Х	.	(1.2)

можно говорить о лучах как нормалях к волновой поверхности.
Действительно, угол отклонения лучей ф, вызванный дифракцией,
зависит от многих факторов и для круглого отверстия выражается
формулой

ф s 1.22X/Z)

и при длине волны Х = 0,00055 мм и диаметре отверстия (диамет-
ре волнового фронта 40 мм угол отклонения лучей составляет
всего 4". С таким отклонением в геометрической оптике можно
не считаться. В случае расходящихся волн (лучей) условие (1.2)
выполняется. Но если мы имеем дело со сходящимися волнами,
то фронт их должен превратиться в точку, что невозможно, так
как изображение точки получается в виде дифракционного пятна,
в центре которого (кружка Эри) сосредоточено примерно 84°/о
всей энергии и понятие о луче теряет смысл и должно понимать-
ся в условном смысле. В точках изображения радиус кривизны
волны становится равным нулю, а затем меняет знак. Поэтому
вторым условием применимости лучей является

г Ж	(1.3)

т. е. радиус кривизны волны должен быть значительно больше
длины волны.

Условий (1.2) и (1.3) достаточно для описания распростране-
ния света в однородных средах при помощи понятия о световом
луче. Таким образом, геометрическую оптику можно рассматри-
вать как предельный случай физической (волновой) оптики, ког-
да X 0.

§ 2. Основные законы геометрической оптики

Теория геометрической оптики основывается на следующих за-
конах: а) прямолинейного распространения света; б) независи-
мости распространения света; в) законе отражения; г) законе
преломления; д) обратимости хода лучей (принцип обратимости);
е) законе сохранения энергии.

Закон прямолинейного распространения света гласит, что свет
между двумя точками в однородной и изотропной среде (в среде,
оптические свойства которой не зависят от положения точек и
направления) распространяется по прямой, соединяющей эти точ-
ки, называемой лучом. Закон прямолинейного распространения
света нарушается, если среда является неоднородной, а также,
как уже указывалось, вследствие дифракции.

Закон независимого распространения света утверждает, что
отдельные лучи не влияют друг на друга и распространяются
так, как будто других лучей не существует. Этот закон справед-
лив для лучей, выходящих из различных центров излучения. Но
если лучи, выходящие из одного общего центра излучения (раз-
ность фаз равна нулю), приходят в одну точку различными пу-
тями, то обнаруживается явление интерференции. Закон неза-
висимости перестает соблюдаться также при интенсивностях све-
та, достигаемых с помощью мощных лазеров.
Законы отражения и преломления света. Для преобразования
пучков лучей света в оптических системах используются закон
отражения от полированных зеркальных поверхностей и закон
преломления света на границе прозрачных сред.

Закон отражения формулируется следующим образом (рис. 1):
а) падающий луч АО, нормаль NO к отражающей поверхности РР
в точке падения О, луч отраженный ОА' находятся в одной плос-

Рис. 1. Закон отражения света	Рис. 2. Закон преломления

— i = е'	света nsiru = n'sins'

кости; б) угол падения s равен углу отражения s' по абсолют-
ной величине, но противоположен ему по знаку. Углы падения и
отражения отсчитываются от нормали NO. Если направление от-
счета совпадает с ходом часовой стрелки, то угол считается поло-
жительным, в противном случае — отрицательным. В оптических
приборах в качестве деталей применяются зеркала и отражатель-
ные призмы, действие которых основано на законе отражения.

Согласно закону преломления в однородных средах, не имею-
щих двойного лучепреломления (рис. 2): а) луч падающий АО,
нормаль к поверхности РР в точке раздела сред NO и луч пре-
ломленный ОА' находятся в одной плоскости; б) отношение синуса
угла падения е к синусу угла преломления г' не зависит от вели-
чины этих углов, а зависит только от свойств двух соприкасаю-
щихся сред и есть величина постоянная для данных двух сред:

-4—4 = ни =const.	(1.4)

Sine	v ’

Величина п\? называется относительным показателем
преломления второй среды относительно первой. Относитель-
ный показатель преломления можно на основании (1.1) представить
в виде

'”1 С с/с2 п2 п'-

АХ 12 — — = —	= —1—	— — — •	( I *5)

V2 ^2 с	П	'	'

Следовательно, относительный показатель преломления двух сред
рав н отношению их абсолютных показателей преломления.
Заменив в (1.4) пц через (1.5), для закона преломления получим

nsin е = ri sin s'.

Произведение показателя преломления среды на синус угла между

нормалью и лучом называется оптическим инвариантом.
Если углы падения и преломления малы, то формулу (1.6)

Рис. 3. Явление полного внутреннего
отражения

можно напивать в виде
пе=п'е'. 0-7)

Отражение света можно рас-
сматривать как частный случай
преломления, так как отражен-
ные от поверхности лучи рас-
пространяются в той же среде,
что и падающие. В этом слу-
чае скорость распространения
света сохраняет свое абсолют-
ное значение, но меняет знак,

поэтому согласно (1.1) можно
принять, что ri = — п. Тогда

из закона преломления полу-
чим закон отражения—е=г'.
Абсолютный показатель преломления сред, который в даль-
нейшем будем называть просто показателем преломления, опре-

деляется относительно воздуха, так как определение его относи-
тельно вакуума — задача довольно сложная. Показатель прелом-
ления воздуха при нормальном давлении и температуре 20 °C ра-
вен 1,000274. При расчете оптических систем в большинстве

случаев показатель преломления воздуха принимается рав-
ным единице.

Всякое преломление света сопровождается отражением части
лучей от поверхности, разделяющей две среды с различными по-
казателями преломления. Весьма важное значение в практике
имеет случай, когда весь падающий пучок лучей полностью от-
ражается от границы раздела двух сред. Это явление имеет место
в том случае, когда показатель преломления первой среды п больше
показателя преломления второй среды п’, т. е. при переходе света
из более плотной среды в менее плотную (рис. 3). В этом случае
согласно (1.6) угол преломления е' будет больше угла падения е.
При постепенном увеличении угла в наступит момент, когда
sin s' = 1 (s' = 90°), т. е. преломленный луч будет скользить по
поверхности раздела. Предельное значение синуса угла падения,
когда sins' = 1, будет равно

sin sm =	.	(1.8)

Когда свет переходит из среды с показателем преломления п
в воздух, то

sinem = -^.	(1.9)
Если продолжать увеличивать угол падения так, что е > е.т*
то уравнение (1.6) теряет смысл, так как для sine' получается
значение больше единицы. В этом случае преломления не проис-
ходит и свет полностью отражается, не переходя из первой среды
во вторую.

Это явление называется полным внутренним отраже-
нием, а угол ет носит название предельного угла пол-
ного внутреннего отражения. Для стекла при л=1,5
ет == 42°; это значит, что лучи, падающие на поверхность раздела
стекло — воздух под углами, большими 42’, не испытывают пре-
ломления, а полностью отражаются обратно в стекло. Явление
полного внутреннего отражения находит широкое применение в
оптических приборах. Например, действие большинства призм и
призменных систем, а также освещение различного рода индика-
торных шкал и сеток основаны на явлении полного внутреннего
отражения. Этот же принцип используется в новой области при-
кладной оптики — волоконной оптике.

Принцип обратимости. Согласно принципу обратимости лучи
света могут проходить по одному и тому же пути независимо от
направления. Действительно, если не учитывать потерь вследствие
поглощения, рассеяния и отражения, то все явления, связанные
с распространением света, обратимы. Если свет в прямом ходе
распространяется вдоль определенной траектории, например при
отражении и преломлении, то очевидно, что в обратном ходе он
пройдет по той же траектории. Однако если рассматривать более
общие законы распространения пучков лучей с точки зрения фи-
зической оптики, то вопрос обратимости значительно усложняется.
Например, необратимо явление рассеяния света независимо от
того, чем оно вызвано: дифракцией от краев диафрагмы, отра-
жением от матовой поверхности и т. д. Таким образом, принцип
обратимости основывается только на геометрических законах рас-
пространения света.

Закон сохранения энергии в геометрической оптике учитыва-
ется, когда рассматривается прохождение световой энергии через
оптические среды.

Принцип Ферма. В основу геометрической оптики может быть
положен принцип Ферма, первоначальная формулировка которо-
го гласила: распространение света из одной точки в другую про-
исходит по такому пути, прохождение которого требует меньше
времени, чем любые другие пути между теми же точкамц. Этот
принцип называют также принципом наименьшего времени
(рис. 4).

Для прохождения элементарного участка пути ds в неоднород-
ной среде требуется время

где v — скорость света на отрезке пути ds. Так как v = cln, то
dt = — nds.

с
Время для прохождения пути, например, от точки А до точки
А' будет равно

t = — f nds.	(1.10)

с А

Произведение элементарного отрезка пути ds на показатель
преломления среды п на этом отрезке называется оптической
длиной хода светового луча в данной среде или оптиче-

Рис. 4. Принцип Ферма:

А'

— оптическая длина пути света в неоднородной среде — L •= nds: б — оптическая длина

А

пути света в однородных средах —L = У, я | ч

ской длиной пути. Оптическая длина пути от точки А до Л',
обозначаемая через L, составит

А'

L=-^nds	(1-Н)

4

И

/ = 1 L.
с

В однородной среде оптическая длина пути равна геометрическому
пути s, умноженному на показатель преломления п, т. е.

L = ns.

Если свет проходит путь от точки А до А' через k однородных
сред с показателями преломления п\, п-г, ..., п/г, то оптическая
длина пути составит

L ~ П1$1 + n2S2 -г • • . + nk$k
или
k

L = £nvsv.	(1.12)

4=1

Время на прохождение этой оптической длины пути

1 1
Математическое выражение принципа Ферма имеет вид

А'	А'

=	^ = 0; 8L = 8 fnds-O,	(1,14)

А	А

т. е. вариация интеграла, которым определяется время распростра-
нения света, и вариация интеграла, определяющего оптический
путь, должны обращаться в нуль. Из (1.14) вытекает, что время,
которое требуется свету для прохождения вдоль действительного
пути, отличается от времени, которое требовалось бы свету для
прохождения вдоль любого соседнего пути, только на величины
второго порядка малости и что для действительного пути вариа-
ция оптической длины пути равна нулю. Кроме того, условие
б/=0 является условием экстремума — минимума, максимума или
стационарности. Следовательно, оптическая длина пути между
двумя точками может быть не только минимальной, но и макси-
мальной, а также стационарной — одинаковой для всех возмож-
ных путей. Стационарность приводит к тому, что если даны две
фиксированные волновые поверхности, то оптическая длина пути
для всех лучей, идущих между этими поверхностями, должна
быть постоянной независимо от направления распространения:

А'

У ns = const.	(1.15)-

А

Стационарность оптического пути вытекает также из теоремы
Малюса — Дюпина: совокупность лучей, перпендикулярных к вол-
новому фронту, остается перпендикулярной к волновому фронту
после любого числа преломлений или отражений.

Оптическая длина пути стационарна при отражении лучей от
внутренней поверхности эллипсоида, при прохождении лучей че-
рез оптическую систему и т. д.

Из принципа Ферма вытекают прямолинейность распростра-
нения лучей, законы отражения и преломления, а также принцип
обратимости, т. е. основные законы геометрической оптики.

§ 3. Гомоцентрический и астигматический пучки лучей

Совокупность световых лучей, являющихся нормалями к вол-
новой поверхности и заполняющих некоторый участок этой по-
верхности, носит название пучка лучей. От светящейся точки
свет распространяется в пространстве, образуя сферические волно-
вые поверхности. Совокупность лучей, выходящих из светящейся
точки и заполняющих все окружающее эту точку пространство, об-
разует так называемый неограниченный пучок лучей.
Если же на пути лучей, на некотором расстоянии от источника
света поставить непрозрачную диафрагму с отверстием, то за
диафрагмой образуется ограниченный пучок лучей, т. е.
пучок в виде конуса, вершиной которого является источник све-
та, а основанием отверстие диафрагмы.
 iviun, в»_е лучи китириги пересекаются в одной точке, назы-
вается гомоцентрическим пучком, а точка пересечения
всех лучей — центром этого пучка. Если лучи пучка расходятся
из его центра — светящейся точки, то такой пучок носит назва-
ние расходящегося гомоцентрического пучка; если
же лучи пучка идут по направлению к его центру, т. е. пересека-
ются в одной точке, то пучок называется сходящимся го-

Рис, 5. Астигматический пучок лучей

моцентрическим пучком. В случае когда точка схожде-
ния пучка лучей находится в бесконечности, то гомоцентрический
лучок называется параллельным.

Сходящемуся и расходящемуся гомоцентрическим пучкам со-
ответствуют волновые поверхности сферической формы, а парал-
лельному— плоские волны; нормали к этим поверхностям явля-
ются лучами гомоцентрического пучка.

Существуют также пучки, лучи которого не пересекаются в
одной точке, т. е. не являются гомоцентрическими. Возьмем эле-
ментарную поверхность, на которую от точечного источника света,
расположенного в бесконечности, падает бесконечно узкий парал-
лельный пучок лучей (рис. 5). Допустим, что в вертикальной
плоскости (сечение М1ОМ2) радиус кривизны преломляющей по-
верхности больше, чем в горизонтальной плоскости (сечение Q1OQ2).
После преломления лучи пучка, падающие на поверхность в точ-
ках Qi и Q2, пересекутся в точке /2, а лучи, падающие в точ-
ках Ali и М2, — в точке F], Лучи пучка, близкие к сечению
<iOQ2^iPi, N2P2), пересекутся в точках, близких к F2, и рас-
положатся по линии F2F2F2, а лучи пучка, близкие к сечению
MiOM2(N 1N2, Р1Р2), расположатся по линии FiFiFi. Таким об-
разом, узкий параллельный пучок лучей после преломления по-
верхностью Ы\Р\Р2^2 дает два изображения точечного источника
света в виде элементарных отрезков, расположенных перпендику-
лярно друг к другу и находящихся на разных расстояниях от
преломляющей поверхности. Пучок лучей, образующий такого вида
изображения точки, называется астигматическим.

Если элементарный гомоцентрический пучок падает на сфери-
ческую поверхность так, что ось этого пучка совпадает с нормалью
20
к поверхности, т. е. кривизна этой поверхности одинакова в лю-
бых направлениях, то после преломления этот пучок будет также
гомоцентрическим.

§ 4.	Оптическая система

Оптической системой называется совокупность оптических де-
талей (линз, призм, зеркал и их комбинаций), установленных друг
относительно друга в определенном порядке в соответствии с рас-
четом. Назначение любой оптической системы состоит в том, что-
бы падающие на нее гомоцентрические пучки оставались бы го-
моцентрическими (или почти гомоцентрическими) и после выхо-
да их из системы.

Каждая оптическая деталь, входящая в систему, ограничена
преломляющими или отражающими поверхностями, которые мо-
гут быть плоскими, сферическими, цилиндрическими, коническими,
торическими и асферическими. К асферическим поверхностям от-
носятся эллиптические, параболические, гиперболические, а так-
же поверхности, ограниченные кривыми высших порядков.

Пучки лучей, выходящие из различных точек, расположенных
впереди системы, проходя через различные ее части, преломляют-
ся и отражаются в соответствии с законами геометрической оп-
тики. Каждая преломляющая поверхность системы является гра-
ницей раздела между двумя средами с различными показателями
преломления.

Конструктивными параметрами или элементами оптической сис-
темы, если она состоит из сферических преломляющих и отражаю-
щих поверхностей, являются радиусы кривизны п, п, ..rfe,
поверхностей, расстояния между поверхностями d\, d2, . . ., dk-i
и показатели преломления сред п\, П2, .. ., rtk, составляющих си-
стему (рис. 6).

Оптические системы разделяются на центрированные и децент-
рированные. Центрированными называются системы, все
поверхности которых, преломляющие и отражающие, являются
поверхностями вращения, имеющими общую нормаль (ось вра-
щения), называемую оптической осью. Если центрирован-
ная оптическая система состоит из сферических преломляющих
и отражающих поверхностей, то оптической осью называется пря-
мая, на которой располагаются центры кривизны этих поверх-
ностей. Децентриров энными являются системы, не имею-
щие общей оси симметрии.

Большинство оптических систем относятся к центрированным,
поэтому в дальнейшем будут рассматриваться только эти сист.емы.

Любая плоскость, содержащая оптическую ось системы, назы-
вается меридиональной плоскостью. (В дальнейшем бу-
дем считать, что меридиональной плоскостью является плоскость
рисунка).

Допустим, что из точки В, расположенной вне оптической оси,
выходит узкий пучок лучей, образующий с оптической осью
jiwi. uiui n)iun лрси побывают наклонным пучком.
Осью этого пучка является луч BN (см. рис. 6). Плоскость, пер-
пендикулярная к меридиональной и проходящая через ось наклон-
ного пучка лучей, называется с агиттальной плоскостью.

плоскость

Рис. 6. Центрированная оптическая система и ее

конструктивные элементы

§ 5.	Предмет и изображение

Допустим, из точки А выходит расходящийся гомоцентрический
пучок лучей (рис. 7). После прохождения оптической системы L
этот пучок сходится в одну точку А'. Центры пучков, т. е. точки
А и А' называются соответственно предметом (объектом) и
изображением. Предмет (точка Л) и его изображение (точ-
ка А') являются центрами расходящихся и сходящихся сфериче-
ских волн.

Любой протяженный предмет (отрезок прямой, плоскость и т. п.)
состоит из совокупности отдельных точек, из которых выходят
гомоцентрические пучки лучей. Поэтому, если система совершенная
(свободная от искажений), изображение также будет состоять из
совокупности точек, где сходятся гомоцентрические пучки лучей.
(На рис. 7 показаны крайние точки предмета В] и В2, а точки
В J и Выявляются изображениями этих точек).

Совокупность точек пространства, в котором располагаются
предметы и оптическая система, называется пространством
предметов. Совокупность изображений точек пространства
предметов, определенных по законам геометрической оптики, на-
зывается пространством изображений. Пространство
изображений также заполняет все пространство, в котором распо-
лагается оптическая система. В частном случае, когда предмет
находится впереди оптической системы, то пространство, в кото-
ром он располагается, а также пучки лучей, падающие на опти-
ческую систему, называются пространством предметов. В этом
случае то пространство, в котором располагаются изображение и
пучки лучей, вышедшие из оптической системы, называют прост-
ранством изображений.

Если пучки лучей после прохождения системы сохраняют гомо-
центричность, то каждая точка пространства предметов изобража-
ется только одной точкой в пространстве изображений. Такие

Рис. 7. Точечные предметы А,
В2, отрезок В[В2 и их изображения

— Л', В\ , В’ и в\гв'2

Рис. 8. Мнимое изображе-
ние А' действительной точ-
ки А

изображения называются точечными, или стигматичес-
кими.

Можно представить себе на основании принципа обратимости,
что пучки лучей выходят из точки А' (см. рис. 7), т. е. точка А'
является предметом, тогда оптическая система L даст изображе-
ние ее в точке А. Такие две точки, одна из которых является изоб-
ражением другой, называются сопряженными точками
относительно оптической системы. Соответственно отрезки прямой,
один из которых является изображением другого, носят название
сопряженных отрезков и т. д. Таким образом, каждому
лучу в пространстве предметов будет соответствовать определен-
ный луч в пространстве изображений и, следовательно, каждому
гомоцентрическому пучку лучей в пространстве предметов соот-
ветствует гомоцентрический пучок в пространстве изображений.
Такие лучи и пучки лучей также называются сопряженными.

Если лучи гомоцентрического пучка после выхода из оптичес-
кой системы действительно пересекаются в их геометрическом цент-
ре, то эта точка называется действительной точкой, или дейст-
вительным изображением (на рис. 7 точка А' является
действительным изображением точки А, а отрезок В\ g2 действи-
тельным изображением отрезка BiB2). Если же лучи пучка не
проходят через эту точку, а в ней пересекаются лишь продолже-
ния лучей пучка, вышедшего из оптической системы L, то изоб-
ражение точки называется мнимой точкой, или мнимым изобра-
жением (рис. 8). Действительное изображение может быть.при-
нято на экран, фотографическую пленку или какой-либо другой
приемник световой энергии, мнимое изображение не может быть
получено на экране.

Основной задачей геометрической оптики является определение
простыми математическими средствами характера распростране-
ния света в оптических системах и разработка методов их расчета.
§ 6. -Правила знаков

В геометрической оптике, чтобы формулы были пригодны для
всех возможных случаев построений и расположений элементов
оптической системы, устанавливаются определенные правила зна-

ков для отрезков и углов.

Правила знаков для отрезков (рис. 9). Отрезки, отсчитываемые
вдоль оптической оси, считаются положительными, если их направ-

ление совпадает с

направлением

распространения света, и отри-

Направление

Рис. 9. Правило знаков для отрезков
и углов

Расстояния, измеряемые вдоль

цательными, если их направ-
ление противоположно направ-
лению распространения света.
Обычно в геометрической опти-
ке принимается, что свет рас-
пространяется слева направо;
это направление считается по-
ложительным. Отрезки s, s' и
радиус кривизны преломляю-
щей поверхности г отсчитыва-
ются от вершины поверхнос-
ти 0. (На рис. 9 отрезок s—
отрицательный, а отрезок s' и
радиус кривизны г — положи-
тельные).

лучей, составляющих с опти-

ческой осью определенные углы, отсчитываются от точки пересе-
чения лучей с преломляющей или отражающей поверхностью.
Если отрезки, перпендикулярные к оптической оси, направлены

вверх от нее, то они считаются положительными, если же вниз—

отрицательными.

Правила знаков для углов. Для углов а, а' и ср за начальную
ось, от которой они отсчитываются, принимается оптическая ось
системы, а для углов падения е и преломления е'— нормаль к
преломляющей поверхности. Для сферической поверхности нор-
малью является радиус кривизны ее. Углы а, а' и ср считаются
положительными, если они образуются вращением оптической оси
по ходу часовой стрелки, и отрицательными, если ось нужно
вращать против хода часовой стрелки. Углы е и е' между лучами
и нормалью считаются положительными, если для совмещения
нормали с лучом ее нужно вращать также по ходу часовой стрел-
ки, и отрицательными—если против хода часовой стрелки (на
рис. 9 углы а, s и е' —отрицательные, а ср и о' —положительные).

Все величины, относящиеся к пространству предметов, обоз-
начаются без индексов (s, а, е) или с индексами внизу (si, aj, ei),
а все величины, относящиеся к пространству изображений,—со
штрихами вверху (s', o', е' или Si, <?i, ej.
Г л а в а 2.

ОПТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Для изготовления оптических деталей применяются следую-
щие материалы: оптическое бесцветное стекло, цветное оптическое
стекло, кварцевое оптическое стекло, оптические ситаллы, стекла
светорассеивающие, фотохромные стекла, органическое стекло,
оптические кристаллы и керамики.

§ 7. Оптические стекла

Рио. 10. Группы оптических стекол
(диаграмма п , че)

Стекло оптическое бесцветное (ГОСТ 3514—76). Оптическое
стекло — это материал, идущий на изготовление деталей опти-
ческих систем приборов, отличающихся высокими показателями
качества по однородности и повторяемости по всему объему.

Для производства оптического стекла используется около 80%
химических элементов, известных в настоящее время. В качестве
основных компонентов используются следующие материалы: окись
кремнезема SiOa, являющаяся основным стеклообразующим матери-
алом, количество которой колеблется от 20 до 80%; борный ангид-
рит BjO3, окись алюминия AI2O3, окись свинца РЬО, окись цинка
ZnO, окись кальция СаО, окись натрия ИагО, окись мышьяка As2O,
окись сурьмы ЗЬгОз, окись бария
ВаО, окись магния MgO, окись
калия К2О и др.

Оптическое бесцветное стекло, в
зависимости от химического состава
и физических свойств, изготовляется
следующих типов: легкий крон —
ЛК; фосфатный крон — ФК; тяже-
лый фосфатный крон — ТФК;
крон — К; баритовый крон — БК;
тяжелый крон — ТК; сверхтяжелый
крон — СТК; особый крон — ОК;
кронфлинт — КФ; баритовый
флинт—БФ; тяжелый баритовый
флинт—ТБФ; легкий флинт—
ЛФ; флинт — Ф; тяжелый флинт —

ТФ; сверхтяжелый флинт — СТФ; особый флинт — ОФ.

Расположение групп оптических стекол, в зависимости от по-
казателя преломления па и коэффициента дисперсии ve, показа-
но на диаграмме рис, 10. Стекла типов ОК и ОФ могут нахо-
литься на любом из участков полей диаграммы, занимаемых со
ответственно кронами и флинтами.

Оптические стекла изготовляются двух серий: обычные — с ну
мерацией марок от 1 до 99; серии 100 — малотемнеющие пол
воздействием ионизирующих излучений, с нумерациег
марок 100—199.

К оптическим постоянным оптического стекла относятся пока-
затель преломления, средняя дисперсия, коэффициенты дисперсии
относительные частные дисперсии и термооптические постоянные

Показатели преломления даются для следующих длин воль
23-х спектральных линий химических элементов.

X, нм	Сим- вол	Элемент	Область спектра	X, нм	Сим- вол	Элемент	Область спектра
312,6 334,1  365,0 404,36  435,83 479,99 486,13 546,07 587,56 589,29  643,85 656.27 706,52	i h g F‘ F  e d D C C  r	Hg 1  Hg  Hg J  Hg  Hg 1  Cd  H J  Hg He 1 Na f  Cd 1  H J  He )	Ультрафио- летовая Фиолетовая  Синяя  Зеленая  Желтая  Красная	768,2  852,1  1013,9  1128,6  1395,1  1529,6  1813,1  1970,1  2249,3  2325,4	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	К)  Cs Hg Hg Hgi Hgf Hg Hg Hg Hg	Инфракрас, ная

Показатель преломления пе для длины волны 546,07 нм, распс-
ложенной вблизи максимума чувствительности глаза человека, на
зывается основным показателем преломления. Разностг
показателей преломления для линий F' и С', т. е. пр-—пс, назь-
вается основной средней дисперсией. Кроме того, оптичес-
кие стекла характеризуют также следующими средними дисперсия
ми: nt — ng; пр—па; п,—Пнлз.э.' «нлз.э — «2249,3; коэффициентам!
дисперсии

«л-1	п<,~1	1

>ч=----------;	; Vd =------------;

flj — Ч (	71^/	tip —— Hq

llD '	«I 52H.H *

VD =  -------— J Vl»29.6 =   .

«F— n0	''1013.9 — «2249,3

Коэффициент основной средней дисперсии называется также чис-
лом Аббе.

Разность показателей преломления Ап == Пх( — для любы:
других линий называется частной дисперсией, а отношенщ
частной дисперсии Ап к основной средней дисперсии пр>—пс- яр
ляется относительной частной дисперсией, наприме^.

ni — nF

пр' — пс-’

Пц — Пр,'
Пр- — Hq, ’

nF’~ne .	«e~"g>

пр’ — nQ- ' Пр- — п^.

и Т. Д.
Показатель преломления для любой длины волны в интервале
от 365,0 до 1013,9 нм может быть вычислен по дисперсионной фор-
муле

= А ] 4~ А%к2 4~ Л3Х	Л Д ^-ЬЛзХ -J-AgX 8.

Константы Ль .. Л6 приводятся в каталоге для каждой марки
стекла, а X берется в мкм.

Показатели преломления оптических стекол зависят от темпера-
туры окружающей среды и обычно возрастают с ее увеличением,
поэтому стекла характеризуют следующими термооптическими
постоянными:

а)	температурный коэффициент или изменение абсолютного пока-
зателя преломления стекла при повышении температуры на 1 °C
для длины волны X

^абс.Т.Х “ ^^Табс.х/

б)	термооптическая постоянная

в)	термооптическая постоянная

№ t.X = ?абс,/д +	— 1).

В приведенных формулах: пх — показатель преломления для длины
волны X; floTH.z.x—температурный коэффициент относительного пока-
зателя преломления (к воздуху при давлении 1010 ГПа); az — коэф-
фициент теплового линейного расширения стекол; t — средняя тем-
пература интервалов измерений. Термооптические постоянные даются
для длин волн X = 479,99 нм (У7'), X = 546,07 нм (е) и X = 643,85 нм
(С'), в интервалах температур от 60°С до 20°С (средняя темпера-
тура— 20°С) и от 20°С до 120°С (средняя температура 70° С).

Оптическое стекло разделяется на категории и классы по сле-
дующим показателям качества: допустимым отклонениям показателя
пе и основной средней дисперсии пр—от значений, установлен-
ных для всех марок, однородности партии заготовок по показателю
преломления и основной средней дисперсии, оптической однород-
ности, двойному лучепреломлению, бессвильности, пузырности,
пропусканию.

Механические свойства оптического стекла характеризуются
прочностью, твердостью, хрупкостью и упругостью. К тепловым
свойствам стекла относятся удельная теплоемкость, теплопровод-
ность, тепловое расширение, которое характеризуется коэффици-
ентом линейного расширения, термостойкость, температура спека-
ния. Химические свойства стекла: устойчивость к действию влаж-
ной атмосферы и устойчивость к действию реагентов. Данные по
всем указанным выше свойствам оптического стекла приводятся
в каталоге.

Оптические стекла с особыми свойствами. К этим стеклам от-
носятся цветные оптические стекла; кварцевое стекло; ситаллы;
инфракрасные бескислородные стекла; люминесцирующие стекла^
фотохромные; светорассеивающие стекла; органическое стекло.

Цветные оптические стекла применяются для изго-
товления светофильтров, ограничивающих или ослабляющих про-
пускание света заданного спектрального состава. ГОСТ 9411—75
на стекло оптическое цветное содержит следующие стекла: ульт-
рафиолетовое — УФС, фиолетовое — ФС, синее — СС, сине-зеле-
ное — СЗС; зеленое — ЗС; желто-зеленое — ЖЗС; желтое — ЖС,
оранжевое — ОС; красное — КС; инфракрасное — ИКС; пурпур-
ное— ПС, нейтральное — НС; темное — ТС, бесцветное (ультра-
фиолетовое, инфракрасное)—БС. В каждый тип стекла входит
несколько марок, которые обозначаются, например, ЖЗС5 — жел-
то-зеленое стекло пятое.

Основными характеристиками цветного стекла являются пока-
затель преломления, коэффициент пропускания для различных
длин волн и оптическая плотность, определяемая густотой окра-
шенности, также для различных длин волн.

Стекло оптическое кварцевое (ГОСТ 15130—79).
Это стекло имеет ряд очень ценных физико-химических свойств:
прозрачность в широком диапазоне длин волн; высокую термостой-
кость; малый коэффициент линейного расширения; химическую и
радиационную устойчивость. В зависимости от. основной области
пропускания оптические кварцевые стекла выпускаются следую-
щих марок: КУ-1, КУ-2 — прозрачные в ультрафиолетовой области
спектра; КВ, КВ-Р — прозрачные в видимой области спектра;
КП — прозрачные в инфракрасной области спектра. Применяются
для изготовления уголковых отражателей, призм спектральных
приборов, оболочек источников света и других оптических деталей,
подвергающихся резким изменениям температуры.

Оптические ситаллы имеют особо тонкозернистую
структуру с кристаллами размером, составляющим примерно поло-
вину длины волны видимого участка спектра. Показатели прелом-
ления кристаллов и стеклообразного вещества, в котором они рав-
номерно распределены, одинаковы или близки между собой, что
исключает светорассеяние на границе раздела кристалл-стекло.
Ситаллы имеют повышенную по сравнению со стеклом термостой-
кость, механическую прочность и твердость, коэффициент линей-
ного расширения близок к нулю. Изготовляются следующие марки
ситаллов: СО-115 (астроситалл)—термостойкий ситалл с малым
или близким к нулю коэффициентом линейного расширения; СО-156
имеет повышенную прозрачность в видимой области спектра,
но меньшую термостойкость; СО-21—ситалл с отрицательным
коэффициентом линейного расширения в пределах 0—350 °C, что
обеспечивает высокую термостойкость. Ситаллы применяются для
изготовления астрозеркал, пробных стекол, обтекателей, защитных
экранов и т. д.

Инфракрасные бескислородные стекла (ИКС)
отличаются от обычных стекол тем, что в их составе отсутствуют
химические соединения, содержащие кислород. Прозрачны
28
в инфракрасной области спектра в диапазоне от 1 до 17 мкм, име-
ют высокую химическую стойкость, механическую и термическую
прочность.

Люминесцирующие стекла содержат неодим,
имеют узкие полосы люминесценции, причем на полосу 1060 нм1
приходится до 80% всей энергии люминесценции. Стекла обозна-
чают индексом ГЛС (генерирующее люминесцирующее стекло)
и используются для изготовления активных элементов твердотель-
ных лазеров направленного излучения с длинами волн 900, 1060,
1300 нм.

Фотохромные стекла (ФХС) обратимо изменяют свою
прозрачность в зависимости от величины освещенности и длитель-
ности облучения. Основными характеристиками фотохромного
стекла являются коэффициент фотохромности — величина, ха-
рактеризующая уменьшение оптической плотности за 30°С, и чув-
ствительность 5ф—величина, обратная количеству освещения, не-
обходимого для получения добавочной плотности, равной 0,2. На-
пример, стекло марки ФХСЗ имеет Хф = 0,5+0,7; 5ф= (2ч-5) • 10_&
(лк-с)-1. Применяется для изготовления светофильтров и свето-
защитных очков.

Светорассеивающие стекла (молочные — М.С) —
диффузно рассеивающие проходящий или отраженный свет благо-
даря введению в состав их соединений фтора, кремнефтористого
натрия и других соединений.

Органическое стекло —бесцветная или окрашенная
пластмасса. В качестве органического стекла, со свойствами
близкими к кроновым стеклам, используется метилметакрилат
(плексиглас марок СОЛ и СТ 1) и целлулоид, а со свойствами
флинта— полистирол и полидихростирол. Органическое стекло
является дешевым материалом, легко обрабатывается, формуется,
склеивается, обладает высокой прозрачностью для ультрафиоле-
тового и видимого участков спектра, но обладает рядом сущест-
венных недостатков: малой механической и химической устой-
чивостью, имеет большой коэффициент линейного расширения.
Поэтому это стекло применяется для изготовления неответствен-
ных оптических деталей.

§ 8.	Оптические кристаллы и керамики

Для изготовления оптических деталей используются естествен-
ные и искусственные кристаллы, имеющие ряд свойств, отсутст-
вующих у оптического стекла. К положительным свойствам кри-
сталлов относятся пропускание излучения в ультрафиолетовой и
инфракрасной областях спектра, значительная величина коэффи-
циента основной средней дисперсии при малом показателе пре-
ломления. Оптические кристаллы обладают и рядом отрицатель-
ных свойств, затрудняющих их применение: оптическая и механи-
ческая неоднородность в различных направлениях, двойное
лучепреломление, малая твердость некоторых кристаллов, гигро-
скопичность, растворимость и т. д.

Хлористый натрий (NaC!)—мягкий природный кри-
сталл— каменная соль. Показатель преломления для Х==2000 нм
равен 1,52. Прозрачен в области спектра от 250 до 3000 нм, ги-
гроскопичен, растворим в воде и глицерине. Применяется в ос-
новном для изготовления спектральных призм в ИК диапазоне.

Бромистый калнй (КВг) — очень мягкий, однородный де-
шевый кристалл, п=1,54 при Х=2000 нм, прозрачен в области
210—27 000 нм, гигроскопичен, растворим в воде и глицерине.
Используется для изготовления призм ИК диапазона.

Хлористый калнй (КС1) — природный сильвин, мягкий,
достаточно однородный, гигроскопичный, хорошо растворимый в
воде, щелочах, эфире, глицерине кристалл. Интервал пропускания
330—21 000 нм. Применяется для конденсоров микроскопов в УФ
диапазоне, призм в ИК диапазоне.

Фтористый кальций (CaF2)—природный флюорит,
твердый, очень хрупкий, дорогостоящий кристалл. При Х=2000нм
« = 1,42, прозрачен в области 180—10 000 нм, негигроскопичен
и практически нерастворим в воде. Применяется для изготовле-
ния деталей микроскопов и призм спектроскопов, работающих
в УФ и ИК диапазонах.

Фтористый литий (LiF)—кристалл средней твердости,
однородный, негигроскопичен, практически нерастворим в воде.
Кристалл прозрачен в области спектра 180—6000 нм, показатель
преломления при Х=2000 нм составляет 1,38. Используется для
изготовления деталей в УФ и ИК диапазонах.

Германий (Ge) — хрупкий синтетический кристалл, непро-
зрачный в видимой области спектра, но хорошо пропускающий из-
лучение от 2000 до 15 000 нм и от 40 000 до 60 000 нм. Из-за
большого показателя преломления (п = 4,12 при Х=2000 нм) де-
тали имеют большие потери на отражение при преломлении,
поэтому требуют просветления. Применяется для изготовления
деталей, работающих в ИК области спектра.

Кремний (Si) — синтетический кристалл, довольно хрупкий,
нерастворимый в воде, непрозрачный в видимой области спектра,
хорошо пропускает излучение от 15 000 до 22 000 нм. Показатель
преломления при X = 2000 нм составляет 3,46. Область приме-
нения аналогична кристаллам германия.

Кварц кристаллический (SiO2)—синтетический кри-
сталл, природный, известен под названием горный хрусталь. Он
имеет слабо выраженное двойное лучепреломление. Прозрачен в
области 180—10 000 нм, показатель преломления для обыкновен-
ного луча при Х=2000 нм составляет 1,52. В воде не растворя-
ется, используется для изготовления деталей спектральных и по-
ляризационных приборов.

Кальцит (СаСОз) — синтетический кристалл, природный
исландский шпат, очень хрупкий и нетермостойкий. Характеризу-
ется сильно выраженным двойным лучепреломлением. Хорошо
пропускает видимую и ближнюю ИК области, показатель пре-
ломления для обыкновенного луча при 1=560 нм—1,66. Приме-
няется для изготовления деталей поляризационных приборов.

Фтористый магний (MgFj) — природный селлаит, кри-
сталл средней твердости, достаточно однородный, не растворим в
воде. Хорошо пропускает излучение в области спектра от 100 до
1000 нм, показатель преломления п=1,38 при 1 = 400—700 нм. Ис-
пользуется. для деталей спектроскопических вакуумных приборов-
в ультрафиолетовой области, интерференционных и интерферен-
ционно-поляризационных фильтров.

Лейкосапфир — искусственный кристалл, беспримесный
корунд (АЬОз), изготовляется следующих марок: Л-У—для ульт-
рафиолетовой, Л-В — видимой и Л-И — инфракрасной областей
спектра. Природный корунд—сапфир — очень твердый, термо-
стойкий кристалл, устойчив практически против всех химикатов.
Корунд с добавкой 0,05% хрома представляет собой рубин, при-
меняемый для изготовления активных тел лазеров.

Оптическая керамика — поликристаллический мате-
риал, изготовляемый методом горячего прессования под большим
давлением в вакууме, обладает высокой механической прочностью
и высокой термостойкостью. Изготовляется нескольких марок,
прозрачных для 1=1000—20 000 нм (КО4) и для 1=1000—
8000 нм(КО5). Благодаря нерастворимости в воде, хорошей обра-
батываемости и высокой устойчивости к тепловым ударам кера-
мики используются для изготовления окон и обтекателей ИК
приборов, подложек интерференционных фильтров и других дета-
лей оптических систем ряда ИК приборов.
Глава 3.

ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§ 9.	Идеальная оптическая система

Идеальной называется оптическая система, которая дает стиг-
матические изображения точек пространства предметов с помощью
широких гомоцентрических пучков. В основу теории идеальной
оптической системы положены чисто геометрические соотношения
между отрезками и плоскостями.

Теория идеальной оптической системы базируется на следую-
щих основных положениях:

а)	каждой точке пространства предметов соответствует одна
и только одна точка в пространстве изображений; такие две точ-
ки называются сопряженными точками обоих пространств;

б)	каждой прямой линии пространства предметов соответст-
вует одна и только одна прямая в пространстве изображений;
эти линии называются сопряженными прямыми.

Так как две пересекающиеся прямые однозначно определяют
положение плоскости в пространстве, то из первых двух положе-
ний получается как следствие третье положение:

в)	всякой плоскости пространства предметов соответствует
всегда одна и только одна плоскость в пространстве изображений;
такие две плоскости называются сопряженными плоскостями.

Из этих положений следует, что в идеальной оптической сис-
теме всякому гомоцентрическому пучку лучей в пространстве пред-
метов соответствует сопряженный с ним гомоцентрический пучок
лучей в пространстве изображений, т. е. любая точка, а также
любая группа точек пространства предметов отображается стиг-
матически.

Из свойств идеальной системы вытекает также, что меридио-
нальной плоскости пространства предметов соответствует сопря-
женная с ней меридиональная плоскость пространства изображе-
ний, т. е. меридиональная плоскость сопряжена сама с собой.
Если луч в пространстве предметов располагается в меридио-
нальной плоскости, то при прохождении его через оптическую
систему, он всегда будет находиться в меридиональной плоско-
сти. (Это положение вытекает также из законов отражения и
преломления). Поскольку мы рассматриваем только центрирован-
ные оптические системы, то очевидно, что если меридиональную
плоскость в пространстве предметов повернуть на некоторый угол
вокруг оптической оси, то сопряженная с ней плоскость в прост-
ранстве изображений также повернется на тот же угол.
Оптических систем, которые давали бы стигматические изоо-
ражения независимо от поперечных размеров предметов и поло-
жения их относительно системы, не существует, за исключением
плоских зеркал. Однако для создания реальных систем, которые
давали бы изображения, свободные от искажений в довольно ши-
рокой области, необходимо знать, каким требованиям должны
удовлетворять такие системы. Поэтому и вводится понятие об иде-
альной системе, свободной от всех недостатков реальных систем.

Введение такого понятия позволяет построить довольно про-
детую общую теорию для приближенного решения различных
задач прикладной оптики. Идеальные оптические системы, обла-
дающие указанными выше свойствами, дают возможность устано-
вить критерий для оценки качества реальных систем, или вернее,
к чему нужно стремиться при расчете оптических систем. Идеаль-
ная оптическая система является как бы своего рода «эталоном»
для реальных систем. Хотя эта теория является приближенной,
практически вопрос об идеальных оптических системах не ставится
довольно жестко, т. е. от реальных систем не требуется, чтобы
они давали строго стигматические изображения. Например, сис-
темы, служащие для работы совместно с глазом, могут давать
такие погрешности в изображении, которые не замечает наш
глаз, и т. д.

Теорию идеальной оптической системы разработал Гаусс
(1841), поэтому ее часто называют оптикой Гаусса, а изображе-
ния, даваемые такими системами, — гауссовыми изображениями.

§ 10.	Линейное увеличение

Возьмем в предметной плоскости, перпендикулярной к оптичес-
кой оси системы О;О*, линейный отрезок XiBi=yi (рис. 11). Из
свойств идеальной системы вытекает, что в пространстве изображений
отрезку i/i будет соответствовать сопряженный отрезок А\В\-у\-
Напишем отношение

yd Л=?о1.	(3-0

Это отношение называется л и-
нейным увеличением иде-
альной системы. Для данной
пары сопряженных плоскостей
линейное увеличение (Joi есть ве-
личина постоянная, т. е. не зави-

А)

Рии. II. Линейное увеличение идеаль-
ной системы



сящая от величины отрезка у\.

Если взять другую пару сопряженных плоскостей, в которых
располагаются отрезки АчВч^уч. и АгВч = \)<1, то линейное увели
чение будет другим:

W УЧ = ?02.

(3.1)
Линейное увеличение в сопряженных плоскостях, перпендику-
лярных к оси, показывает, во сколько раз изображение больше
или меньше предмета, т. е. представляет собой масштаб изображения.

§ 11.	Кардинальные точки, главные и фокальные плоскости
и фокусные расстояния

Пусть OiOk является идеальной оптической системой, т. е. систе-
мой, удовлетворяющей положениям, приведенным выше (рис. 12).
Оптическую ось системы OiOk обозначим через АА'.

Если в пространстве

Рио. 12. Главные плоскости, главные точки Н,
Н', фокусы F, F' и фокусные расстояния по-
ложительной оптической системы

предметов провести луч
BQ, параллельный опти-
ческой оси, то, не рассмат-
ривая действительный ход
луча в системе и ее уст-
ройство, можно утверж-
дать, что в пространстве
изображений этому лучу
будет соответствовать со-
пряженный ему единст-
венный луч. Этот луч
может пойти только дву-
мя путями: или будет пе-
ресекать оптическую ось
в какой-либо точке F', или
пойдет параллельно опти-
ческой оси.

Рассмотрим первый случай. Если направление луча BQ про-
должить до пересечения его с лучом Q'B', вышедшим из системы,
то получим точку К'. Проведем через точку К' плоскость, перпен-
дикулярную к оптической оси. Точку пересечения этой плоскости
с осью обозначим через Н'. Луч АО\, идущий вдоль оптической
оси, проходит систему без преломления (оптическая ось является
нормалью ко всем поверхностям системы). Лучи BQ и Q'B', а
также и ОкА’ являются сопряженными лучами, поэтому точ-
ке пересечения F' лучей Q'B' и Ok А' должна соответствовать точ-
ка в пространстве прелметов на пересечении лучей BQ и ДО[.
Так как лучи BQ и АО} параллельны между собой, то точка
пересечения их будет находиться на бесконечно большом расстоя-
нии влево от системы OjOt.

Точка F', являющаяся изображением бесконечно удаленной
точки, расположенной на продолжении оптической оси, называется
задним фокусом систем ы. Плоскость, перпендикулярная коси
и содержащая отрезок К’В', носит название задней главной
плоскости, а точка Н’—задней главной точки.

Если провести луч B\Q\, идущий справа налево, параллельно
оптической оси и на том же расстоянии от нее, что и луч BQ, то,

повторив предыдущие рассуждения, установим существование пе-
реднего фокусасистемы г, передней главной плос-
кости КН и передней главной точки Н.

Точки К и К' являются сопряженными точками, так как каж-
дая из них является пересечением пары лучей, сопряженных с другой
парой. Если лучу QiBi дать обратное направление от Bi к Qi, то
он пройдет путь через оптическую систему в обратной последова-
тельности и, выйдя из системы, будет иметь направление Q\B],
Поэтому точку К, являющуюся точкой пересечения лучей BQ и ,
падающих на систему, можно рассматривать как предмет (вершина
<учка лучей, падающего на систему), а точку /<' — ее изображением,
так как она является точкой пересечения пары лучей Q\B\ и Q F ,
сопряженной с первой парой, т. е. BQ и FQi. Отрезок КН будет
предметом, а отрезок К'Н' — его изображением, т. е. отрезки КН
и К'Н! являются сопряженными, а следовательно, и точки Н и Н'
будут также являться сопряженными точками. Главные плоскости,
в которых лежат отрезки КН и К'Н', также являются сопряжен-
ными плоскостями. Из рис. 12 видно, что ординаты точек К и К'
равны между собой и имеют одинаковые знаки (КН = К'Н'— Л),
поэтому линейное увеличение в сопряженных плоскостях равно
единице:

Рои = 4-1.	(3-2)

Таким образом, оптическая система имеет две сопряженные
плоскости, перпендикулярные к оптической оси, в которых линей-
ное увеличение равно единице, т. е. всякий отрезок в одной из
этих плоскостей изображается равным и одинаково расположен-
ным отрезком в другой плоскости.

Расстояние HF, отсчитываемое от точки Н, называется перед-
ним фокусным р ассто я н и ем. Расстояние H'F', отсчитываемое
от точки Н', называется задним фокусным расстояни-
ем. Переднее фокусное расстояние обозначается через/, а заднее —
через f (на рис. 12 /< 0, a f >0). Плоскости Е и Е', перпенди-
кулярные к оптической оси и проходящие через точки фокусов F
и F', называются соответственно передней и задней фокаль-
ными плоскостями.

Если ординату (высоту) точки К обозначить через Л, а угол,
образованный лучом K'F' с оптической осью,— через а', то можно
написать

Г ~ t^--	W

Аналогично для переднего фокусного расстояния получим

f =	(3.4:

tg а	'

Главные точки и точки фокусов носят название карди-
нальных (основных) точек оптической системы.
К кардинальным точкам относятся также узловые точки, о которых
будет сказано ниже.
l.ivivivira, ылирые дают мнимое изооражение, т. е.
пучки лучей, вышедшие из системы, в действительности не пере-
секаются с оптической осью, а пересекаются их продолжения.
Поэтому точке предмета, расположенной в бесконечности, соот-
ветствует мнимая точка в пространстве изображений, которая
является задним фокусом системы F'. Соответственно точка перед-
него фокуса F также является мнимой точкой (рис. 13). Точка

Рис. (3. Главные плоскости, главные точки Н, Н', фокусы F, F1 и фокусные
расстояния отрицательной оптической системы

заднего фокуса F' располагается впереди задней главной точки
Н', а точка переднего фокуса F—позади передней главной точки
Н. Передняя и задняя фокальные плоскости также являются
мнимыми плоскостями. В дальнейшем системы, задний фокус ко-
торых является действительной точкой, будем называть поло-
жительными, или собирательными, а системы, задний
фокус которых является мнимой точкой,— отрицательными,
или рассеивающими. В сравнительно простых положитель-
ных системах /'>0, а в отрицательных ['<0.

По определению, данному выше, задний фокус F' есть точка,
сопряженная с бесконечно удаленной точкой в пространстве пред-
метов, расположенной на продолжении оптической оси. Очевидно,
что задней фокальной плоскости соответствует сопряженная плос-
кость. находящаяся в бесконечности. Иными словами, гомоцент-
рическому пучку лучей с вершиной в любой точке задней фокаль-
ной плоскости соответствует пучок параллельных между собой
лучей в пространстве предметов. Поэтому можно сказать, что
задняя фокальная плоскость является геометрическим местом то-
чек, в которой пересекаются пучки параллельных между собой
лучей (или их продолжения) пространства предметов, образую-
щих углы наклона с оптической осью (рис. 14, а). Если от
какой-то либо точки бесконечно удаленного предмета, располо-
женной вне оси, провести луч к передней главной точке Н, обра-
зующей угол <u//, то этот луч выйдет из системы через заднюю
главную точку Н', образуя с осью угол ш'н'- Изображение бес-
конечно удаленного предмета будет находиться в задней фокаль-
иой плоскости. Среди лучей наклонного пучка всегда можно най-
ти луч, проходящий через передний фокус F, следовательно, в

Рис. 14. Задняя (а) и передняя (б) фокальные плоскости

пространстве изображений идущий параллельно оптической оси.

Из рис. 14, а для величины изображения имеем

/ = ftg<0H = —f	(3.5)

То же самое можно сказать и о передней фокальной плоскости,
,т. е. она является геометрическим местом точек, где собираются
пучки параллельных между собой лучей пространства изображений,
различных углов наклона «>//- (рис. 14, б). Для величины предмета
имеем выражение

У — —f tg	— f tg «>//’.	(3.6)

Если —f = f, то

(0Н = (Ви-;	(3.7)

у' = — Г g «//,	(3.8)

т. е. в этом случае всякий луч, входящий в систему через перед-
нюю главную точку под некоторым углом, по выходе из системы
проходит через заднюю главную точку под тем же углом.

§ 12. Построение изображений

Свойство кардинальных точек системы используется для гра-
фического построения изображения. Если известно положение
главных точек системы и положение фокусов относительно их,
т. е. фокусные расстояния, то графическим построением можно
найти изображения точки, прямой (отрезка) и плоскости, сопря-
женных с заданной точкой, прямой и плоскостью.

Графическое нахождение изображения точки А, расположенной
на оптической оси, производится следующим путем (рис. 15, а). По
положению главных точек строятся главные плоскости, затем про-
водится луч АМ\, составляющий с оптической осью произвольный
угол. Через точку F проводится линия FB, перпендикулярная
к оптической оси. Из точки В проводится луч ВЛ12, параллельный
оптической оси, до пересечения его с задней главной плоскостью
(точка Л12). Луч М2В , сопряженный с лучом ВМ2, должен пройти
через задний фокус системы F'. Так как точка В лежит в перед-

Рис. 15. Графическое построение изображений точки А через положите тьную
(а) и отрицательную (б) системы

ней фокальной плоскости, то сопряженная с ней точка (ее изобра-
жение) должна находиться в бесконечности на продолжении луча
М2В . Поэтому для нахождения луча, сопряженного с лучом ВМЪ
а следовательно, и с лучом АМ\, из точки М\ проводится лучMiA't
параллельный лучу М2В . Точка А пересечения луча MiA с опти-
ческой осью будет являться изображением точки Л. Так как в глав-
ных плоскостях |?он=1, то при построении принимается, что
М\Н = М\Н и М2Н = М'2Н . Точка А’ является действительной
точкой.

Найдем изображение точки А в отрицательной системе (рис. 15, б).
Проведем из точки А произвольный луч А/Wi и продолжим его до
пересечения с передней фокальной плоскостью в точке В. В про-
странстве предметов возьмем луч BiM2, параллельный оптической
оси, продолжение которого проходит через точку В. Луч М2В\
после выхода из системы должен пройти через задний фокус F'.
Точка В является мнимой точкой, так как в ней пересекаются про-
должение падающих на систему лучей A Mi и BiM2, располагается
в передней фокальной плоскости, поэтому ее изображение будет
находиться в бесконечности на продолжении луча M2Bi- Проводя
из точки Mi луч, параллельный лучу М2В1, найдем луч AHQ, со-
пряженный с лучом АМь Точка пересечения этого луча с оптиче-
ской осьюдаст точку А', являющуюся изображением точки А. Точка
А' — мнимая точка, так как она образована пересечением продол-
жения луча М iQ с оптической осью.
Построение отрезков (предметов), перпендикулярных к оси, про-
изводится следующим образом (рис. 16).

а.	Из крайней точки предмета В, расположенной вне оптической
оси, проводятся два луча: луч ВЛ41, параллельный оптической
оси, и луч ВМг, проходящий через передний фокус системы F"t

Рис. 16. Графическое построение изображения отрезка АВ. Координаты, опреде-
ляющие положение сопряженных точек и отрезков системы

после преломления в оптической системе первый луч в пространстве
изображений (MiB) должен пройти через задний фокус системы
F', а второй луч (ЛТгВ ) — параллельно оптической оси. Точка В'
пересечения этих лучей даст изображение крайней точки предме-
та В.

б.	Проведя через полученную точку В'прямую, перпендикуляр-
ную к оптической оси, получим точку А' пересечения этой прямой
с осью, которая является изображением точки А, а следовательно,
отрезок А'В' будет являться изображением отрезка АВ.

Приведенный прием построения изображения предмета спра-
ведлив для всевозможных случаев расположения предметов от-
носительно системы, а также и для отрицательных систем. Чтобы
не перегружать чертеж, все вспомогательные построения обычно
производятся пунктиром.

§ 13. Основные формулы для сопряженных точек.
Формулы Ньютона и Гаусса

Положение сопряженных точек на оптической оси, а также со-
пряженных отрезков, т. е. предмета и изображения, аналитически
определяется: а) относительно фокусов системы, б) относительно
главных точек системы.

Определим положение сопряженных точек А и А' отрезками AF
и F'A' (см. рис. 16). Отрезки AF и F'A' отсчитываются от соот-
ветствующих фокусов F и F'. Они считаются положительными,
если движение от фокусов F и F' к точкам Я и А' совпадает
с направлением распространения света, и отрицательными в про-
тивном случае. Введем следующие обозначения: AF=—z, F'A'~z'.
(3-9)

(3.10)

Из прямоугольных треугольников ABF и FHM% и MiF'H'
и F'A'B' находим

. У_______г_.

у’ ~ Г

У_______

у' г' ’

Приравнивая (3.9) и (3.10), будем иметь
zz' = //'.

Выражение (3.11) носит название формулы Ньютона. Она устанав-
ливает зависимость между расстояниями от переднего фокуса до
предмета (г) и от заднего фокуса до изображения (z') и передним
и задним фокусными расстояниями системы.

При —f = /' формула (3.11) примет вид

zz' = -p.	(3.12)

Для линейного увеличения на основании (3.9) и (3.10) получим

₽о = Т = ~-7 = -7--	(злз)

Если z=f, то и z'—f', в этом случае Ро=—1, т. е. в сопряженных
точках и плоскостях, расположенных на двойных фокусных рас-
стояниях от главных плоскостей, изображение равно предмету по
абсолютной величине и обратно по знаку.

Во втором случае положение сопряженных точек А и А' оп-
ределяется расстоянием от главных точек системы Н и И'. Эти
расстояния отсчитываются от точек Н и Н'. Введем обозначения
АН=—а и Н’А’ = а' (см. рис. 16), тогда

а = z + f; а' = z' +	(3.14)

отсюда

z = a—f; z' — а' — ff.	(3.15)

Подставляя (3.15) в (3.11), будем иметь

(a — f)(ar —n = ffr

или

aff 4- a'f = аа'.

Разделив обе части этого выражения на аа', найдем

4-+4’1-	<3-'б)

Выражение (3.16) называется формулой Гаусса или форму-
лой в отрезках вдоль оптической оси. Она позволяет оп-
ределить положени положение предмет; Если —f = f, то	е изображения (координату д'), если известны а (координата а) и фокусные расстояния системы.  -4 — 1= ’	(3.17)  а	а	г	v	'
Формулы Ныотс	та и Гаусса являются основными уравнениями
идеальной системы.  Напишем уравш	гние (3.11) в виде
Прибавим к об; (3.14), найдем	2им частям этого равенства по fr и, учитывая  a'	z'
Так как z'If *= f!г,	а — I ' поэтому
Из (3.13) и (3.1 отрезки а и а':	8) линейное увеличение можно выразить через  ’• = 7"-Г7	W
При —f = fr	?°=v=4-	(3-20)
На основании (J жения	1.17) и (3.20) для отрезков а и д' найдем выра-  .«г	(3.21)  а' = Г(1- ₽о).	(3.22)
Из (3.21) и (3.25	2) имеем  <3-23)
Формулы (3.21) ков а и а', если из И ₽о.	и (3.22) могут служить для определения отрез- вестпы f и ро или f при известных а или а‘

§ 14. Формула и инвариант Лагранжа — Гельмгольца

Из точки А, расположенной на оптической оси, проведем луч
АМ, составляющий с осью конечный угол а (рис. 17). Сопряженный
с ним луч М'А' образует с оптической осью также конечный угол.
а'. Из рис. 17 получим

h = a tg а = a' tga',
яо a s= z 4- f и a' = г' + f, поэтому

(z+ /)tga=.(z' + f')tga'.	(3.24)

В соответствии с (3.13)	у'______f_____

у г Л ’
отсюда

z =----f и г< _ У_ f

у 1	у 1

Подставляя значения z и г' в (3.24), будем иметь

yftga.^ —y'ftga'.	(3.24')

Выражение (3.24), которое называют формулой тангенсов
или теоремой Лагранжа — Гельмгольца, показывает,
что для получения идеального изображения необходимо, чтобы
произведение из величины предмета, фокусного расстояния и

Рис. 17. Ход лучей, образующих ко-
нечные углы с оптической осью

тангенса угла луча с оптической
осью в пространстве предметов
было бы равно произведению со-
ответствующих величин в прост-
ранстве изображений с обратным
знаком.

Связь между фокусными рас-
стояниями и показателями пре-
ломления характеризуется выра-
жением

-г “-4-	<3-25)

Учитывая (3.25) для (3.24), получим

пу tg a =« п’у’ tg a'.	(3.26)

Уравнение (3.26) является инвариантом Лагранжа — Гельмголь-
ца для идеальной системы. Если —f = то #tga = у' Iga'.

§ 15. Линейное, угловое и продольное увеличения
идеальной системы. Узловые точки. Видимое увеличение

Линейное увеличение. Для линейного увеличения были получены
формулы (3.13) и (3.19), т. е.

я - у' „_L_______*'•

р° = Т У	7Г‘

о = у' =____f Д'

Т	f а 

Угловое увеличение и узловые точки. Под угловым увеличением
идеальной системы понимают отношение тангенса угла а', образо-
ванного лучом с оптической осью в пространстве изображений,
к тангенсу угла а, образованного сопряженным лучом в простран-

стве предметов, т. е.

tga'
То fga '

(3.27)
Так как (см. рис. 17)
tg а = h/a и tg а' = h/a',

то

Т» = 7-	(3.28)

Принимая во внимание (3.18), получим

Т’7-7-7-	(З-29)

Из формулы (3.29) видно, что увеличение у0 не зависит от уг-
лов а и а', поэтому для данной пары сопряженных точек оно имеет
постоянное значение для любых величин этих углов. Перемножая
почленно (3.19) и (3.29), будем иметь

7о₽о = — jr или 7о = — у	(3.30)

Положение главных плоскостей определяется, если в формуле
(3.13) принять ₽о = 1; тогда z = —f и z'——f. Для главных плос-
костей в этом случае ?о = —f/f', это значит, что луч, идущий из
точки В в точку Н над углом о>н, после преломления должен прой-
ти через главную точку Н' и выйти из системы под углом «и-»
причем «н ¥= <»н' (см. рис. 17). Указанный ход лучей вытекает из
того, что точки Н и //', с одной стороны, и В и В', с другой,
являются двумя парами сопряженных точек.-

Определим положение сопряженных точек и плоскостей, для
которых угловое увеличение у0 равно единице. Чтобы 70= 1> как
это видно из (3.29), необходимо выполнить условие

z = r, -z'^-f.	(3.31)

Сопряженные точки, для которых выполняется условие (3.31),
называются узловыми точками (рис. 18). Плоскости, проведен-
ные через узловые точки перпендикулярно к оптической оси, назы-
ваются узловыми плоскостями. Передняя узловая точка N
лежит правее переднего фокуса F на расстоянии, равном заднему
фокусному расстоянию f; задняя узловая точка N' расположена
левее фокуса F' на расстоянии, равном переднему фокусному рас-
стоянию.

Естественно, что расстояние между узловыми точками равно
расстоянию между главными точками системы. Так как 70 = 1> то
tg = tg u>,v и w ~ и, следовательно, сопряженные лучи, про-
ходящие через узловые точки, параллельны друг другу. При —f=
=f', т. е. когда система находится в однородной среде, например
в воздухе, узловые точки совпадают с главными точками. Свой-
ствами узловых точек пользуются для построения изображений
через оптические системы. Для этого проводят третий луч BN,
проходящий через пеоеднюю узловую точку; сопряженный с никл
луч N'B' должен выйти из системы через заднюю узловую точку
под тем же углом. (Для системы в однородной среде лучи про-
водятся через главные точки).

Продольное увеличение. Сопряженными являются не только
отрезки, но также и пространственные предметы и их изображе-
ния. Прямолинейный отрезок, расположенный вдоль оптической
оси, изображается в виде отрезка, расположенного также вдоль

Рис. 18. Узловые точки N и N' идеальной оптической системы

оси. Если обозначить через dz и dz' малые отрезки оптической
оси между сопряженными плоскостями, то отношение dz' к dz на-
зывается продольным увеличением или увеличением вдоль опти-
ческой оси (рис. 19), т. е.

=	(3.32)

Для определения величины <хо продифференцируем формулу
Ньютона (3.11) по переменным z и z', тогда

zdz zdz = O,
откуда

_п==^£ = — (з.зз)
ао dz z v '

Умножим и разделим
правую часть уравнения
(3.33) на ff и напишем
его в следующем виде:

г' Г

«о =----f • Т • f •

ро> получим

(3.34)

Рис. 19. Продольное увеличение идеальной си-
стемы

Заменяя отношения z7/' и f/z через
____________________________О
во__________________________ро»

Из (3.34) видно, что для предмета, имеющего протяженность вдоль
оси системы, изображение не подобно предмету, так как он изоб-
ражается отрезком, пропорциональным квадрату линейного увели-
чения. Изображение будет подобно предмету только в том случае, когда
i% = —1 и —/ = /'. Если отрезки вдоль оси dz и dz' имеют конеч-
ные размеры Дг == Z2 — Zi и Дх' = х2 — Z\, то, применяя дважды урав-
нения (3.13) к каждой паре сопряженных плоскостей, получим

=	=	(3.35)

где р01 и р02 — линейное увеличение в сопряженных плоскостях,
определяемых координатами Zi, z\ и х2, %.

Связь между увеличениями 0о, т« и а0. Сопоставляя выражения
(3.13), (3.30) и (3.35), получим следующие зависимости:

	Торо ==	(3.36)
При — f = f	аото = 0o.	(3.37)  Торо =	1 или то =	1/0о.	(3.38)  a0 = 0о,	(3.39)

т. е. угловое увеличение есть величина, обратная линейному, а про-
дольное увеличение равно квадрату линейного в той же паре со-
пряженных точек.

Увеличения 0о, то и «о в фокальных плоскостях. Для предмета,
расположенного в передней фокальной плоскости, координата z =
= 0. В этом случае формула Ньютона дает величину г', равную
бесконечности, и увеличения 0О» То и а0 в передней фокальной плос-
кости будут иметь следу-
ющие значения:

00 = —flz = —//0 = со;

To = z/f =0//' = С,’
ао = —z'lz = —оо/0 =оо.

(3.40)

Для задней фокальной
плоскост и х' =0 и х = — оо.
Поэтому

p0 = -z'//' = —ОД'= 0;’

ТО ~ flz' = /70 = со;

ао = —z'lz = —0/со = 0.

Рис. 20. Видимое увеличение системы

(3-41)

Видимое увеличение. Кроме приведенных выше трех увеличе-
ний для систем вводится понятие о видимом увеличении. Види-
мым увеличением называется отношение тангенса угла, под
которым глаз наблюдателя видит изображение, образованное опти-
ческой системой, к тангенсу угла, под которым видим предмет
невооруженным глазом (рис. 20). Обозначая видимое увеличение
через Г, будем иметь

р  tg 7
“ iga’

(3.42)
Из рис. 20 имеем

tg а = —yip, tg а' = —уЧр',

поэтому

Кроме того,

у = — a tg ш, у' = —a’ tg и/,
тогда

Г = Л-	(3.42')

tg со а р'	'	'

Видимое увеличение, как будет показано ниже, для разного
типа систем имеет различный вид.

§ 16.	Расчет хода луча через идеальную систему

При расчете идеальных систем расстояние между главными
плоскостями не принимается во внимание, т. е. передняя и задняя
главные плоскости совмещаются в одну плоскость. Такое доп}^
щение не влияет на ход лучей, так как линейное увеличение в
главных плоскостях равно единице. Системы, в которых расстоя-
ние НН' принимается равным нулю, называются бесконечно
тонкими или просто тонкими системами. В дальнейшем
отдельную систему, представляющую собой комбинацию из не-
скольких склеенных или близко друг к другу расположенных линз,
будем называть компонентом.

Возьмем две произвольные тонкие системы — два тонких компо-
нента i и <4-1, расстояние между которыми rfij+i и фокусные рас-
стояния которых известны (рис. 21). Проведем из точки At луч
AiM.i, который пересекает компонент I, на произвольной высоте h{.
Этот луч после прохождения компонента i пересекает оптическую
ось в точке At. Положение точки A't можно определить, исходя из
формулы Гаусса (3.16), которое для компонента i напишем в виде

Л+ 4=1,	(3.43)

at at

откуда

Точка At является предметом для компонента i + 1, так как
пространство изображении для компонента I одновременно является
пространство^ предметов для компонента i + 1. Переход к компо-
ненту Z+1, согласно рис. 21, производится по формуле

a^i = at — d/j-t-i.	(3.45)
Далее, применяя формулу Гаусса для компонента /4-1, найдем
координату т. е.

а;+, =	(з.4б)

а»+1 — 4+1

В результате расчета хода луча находятся отрезки а и а' для каж-
дого компонента.

Рис. 21. Ход луча через систему из двух тонких компонентов

В практике используются формулы, по которым вычисляются не
значения координат а, а углы а и высоты h. Из рис. 21 имеем
tg а( = hi/a{, tg а'{ = tg а/+1 = ht/ at.	(3.47)

Умножая (3.43) на hi и учитывая (3.47), получим

f*ga<+i4- fitgai = At,
откуда
fj

tga<+l = — -r tgat+jr.	(3.48)

Переход к компоненту t'4- 1, как это видно из рис. 21, произ-
водится по формуле

ht+i = ht — di'i+i tga/^i.	(3.49)

Применяя (3.48) для компонента i+ 1, найдем

tg ai+i = - tga(+1 4-	(3.50)

7+1	' i+1

Отрезки at и a't+i определяются из выражений

at- A(/tga;+i, «i+t = Af+i/tg
, '..j___ — \u.wj для упрощения написания

обозначения tg опускаются и они записываются в виде

ai = ht/at-,

f< , */ .
a1+i =--------r«/+ -г,

'/ h

ft/4-l = hi—di./4-1^14-!',
-	//4-1	, hi

ai+i ==------— a,+ i + -—;

Q+l	'<4-1

й/4-i = hi+\j a(-|-i.	j

(3.51)

В (3.51) отношение фокусных расстояний можно заменить отно-
шением показателей преломления, и если ввести оптические силы
Ф/ = tii+\/ ti и Фг+| = til+\l получим

а/ = htlat;

п,	h,

а»+) = „—а»+ —ф<;
"/4-1	"/4-1

hi+1 ~ht — di'i-t i <х/4-1;

'	ft/ 11	Л t I 1

l-4-l	I l-f-l /г.

a.i+1 = -7— M-i H-------7—Ф41,

"/4-1	"/4-1

H/4-1 = hi+\/ а/4-i.

(3.52)

Если тонкие компоненты находятся в воздухе, то и, = n(-+] = ni+l =
— 1 и формулы (3.51) и (3.52) значительно упрощаются:

а/ = А(7а,-;

а/4-1 = а/ + hi^r,
/l/4-i = hi —	ia/4-i;

а/4.1 = a,+ i + /г(4-1Ф/+1;
й/4-i = hi+\/ ai4-i.

(3.53)

В формулах (3.53) высота h выбирается произвольно, следо-
вательно, произвольными будут и значения а, но их величины не
оказывают влияния на отрезки н, поэтому (3.53) называют также
формулами произвольных тангенсов.

§ 17.	Оптическая система из двух компонентов

Рассмотрим оптическую систему, состоящую из двух компонен-
тов, фокусные расстояния которых и их взаимное расположение
друг относительно друга известны. Такая система имеет большое
применение в практике расчета оптических систем.

Для определения системы, которая по своему действию экви-
валентна двум заданным компонентам, нужно определить поло-
жеиие фокусов и главных плоскостей этой системы, а также ее
фокусные расстояния.

Известно, что задний фокус системы есть точка, сопряженная
с бесконечно удаленной точкой в пространстве предметов, т. е.
луч, параллельный оптической оси в пространстве предметов
(ai = 0), пересекает оптическую ось в пространстве изображений
в точке заднего фокуса F'. Поэтому для определения положения

заднего фокуса F' и величины фокусного расстояния f' рассчи-
таем ход луча, параллельного оси, через систему из двух компо-
нентов (рис. 22). Для первого компонента при аг=0 и произ-
вольном значении hi, исходя из формул (3.52), имеем

, Ф1

ai = a2 = hi

hz — hi — daz — hi 1 —d— .
\ I

Для второго компонента

,	По	Фо	Ф1	/	Ф1 \ Фо

а2 = а3	= — а2 4- h? — =	hi — +	hi 11	— d ——) ——	=

n3	n3	«3	/ n3

/Ф1 . ф2 ____л ф!фг)

~ П' \ «3 "Г "з а «2«3 /

или

ао	Ф ]Ф?

3 /гз = ф1 + ф2 —

«1	п2
на^шипие эквивалентной системы

тогда

Г =

Ф.Фа
ndf = Ф| + Ф2 — d ———.

(3.54)

Отношение n3/f' является оптической силой Ф всей системы
поэтому

ф,ф„

ф = ф14-фа_ d-JLL.	(3.55)

Отрезок af, определяющий положение заднего фокуса системы
относительно второго компонента, называемый задним фокаль-

ным отрезком, равен

/ ф| \

Л2	~d П2 )«з

ар» = — =----г———

“3	Л1Ф



(3.56)

Расстояние от второго компонента до задней главной плоскости
системы

dH' = dF’ — f.

Переднее фокусное расстояние, положение переднего фокуса —
передний фокальный отрезок и передней главной плоскости
эквивалентной системы — определяются расчетом хода луча в об-
ратном направлении, т. е. справа налево. Тогда в соответствии
с формулами (3.53) получим

П|	Ф.Ф,

---’ = Ф =Ф1 + Ф2_ d—L2;

I	^2

aF =	d aH~aF~f-

Если система находится в однородной среде, например в возду-

хе, то

Ф --------|- = у- = Ф1 + Фз — сгФ1Ф2;

ар — f (1 — с?Ф2); Hf' “ f (1 — сГФ i);
ац = ар — ац» = ар» — f ,

(3.57')

Применяя для расчета хода луча в прямом и обратном направ-
лениях формулы (3.51), найдем

г f\fi *, hfa

6—fi ~~ h

ан^ар—t = f -£; ad = dP‘ — f = — f Д-.

12	fl

(3.58)
Положение второго компонента относительно первого может быть
определено расстоянием между точками фокусов F] и Fz (отрезок
F\F2 — Д < 0 на рис. 22). Это расстояние называется оптичес-
ким интервалом и обозначается Д. Из рис. 22для оптического
интервала получим

Д == — (Л —Ь —d).	(3.59)

Тогда для фокусных расстояний системы получим выражения

<3(Ю>

В этом случае положение (Фокусов F и F' и главных плоскостей
Н и Н' эквивалентной системы определяется отрезками z^-, zu-
И Zpj Z^.

Точки F-z и F, а также Fi и F являются сопряженными точка-
ми для первого и второго компонентов. (Точка F является предме-
том, а точка — ее изображением для первого компонента, соот-
ветственно для второго компонента точка F\ — предмет, aF' — изоб-
ражение). Поэтому для первого компонента z = zF и —z' = —Д,
а для второго компонента г — —Д и г =—zf>. Применяя формулу
Ньютона (3.11) для указанных компонентов, найдем

Для отрезков гн и z^ будем иметь

’	'	с' f\~f2

ZH' =zF' — f = fi —д—•

(3.62)

Найдем формулы для линейного увеличения эквивалентной си-
стемы. На основании (3.13) можно написать

Po = _1 = _jL	(з.ез)

где f и /'—фокусные расстояния системы, состоящей из двух ком-
понентов; z и г'— координаты, определяющие положение предмета
и изображения относительно фокусов системы F и F'.

Координаты гиг' могут быть выражены через координаты- г\,
zF и Z2, zf- (рис. 23):

z = zi — zf; z = z2 — zf>.

Заменив zf и zf- их значениями из (3.61), получим

'	f2fi	+

z =г2+ —=--------j----.
Подставляя (3.60) в (3.63), найдем

Л инейное увеличение может быть определено также по следую-
щей формуле:

?«=4=4=4-4-?*-	(W’

Рис. 23. Ход лучей через два тонких компонента и координаты, определяющие
положение предмета и изображения

Для системы, состоящей из двух компонентов, расположенных
в воздухе (—/ =	—/22=2/2)» имеем следующие формулы:

л/2 flh

-f = f =

Ф ~	== Ф: 4" Ф2 — 4/Ф1Ф2;

aF = f (1 - d1>2) = —f (1 - 4] = fi (1 + 4) J
\	*2 /	'	'

aF, = f (1 - </Ф1) = f (1 - f (1 + 4);

\ Л/ '	'

~	„ г p d r' d ,

aH ~aF I ~ I — / 1 Д >
'2

f	r c'	pr d r* d

— f = — f y- = /2 y;

я Z’2	/	^2-

f' h + h	fl +?2 .

«Н ==“ —11 -д-» Zh' = /2-д-»

0 f~ f^

62+г1Д	/?2

(3.67)
§ 18. Частные случаи системы, состоящей из двух компонентов

Рассмотрим основные частные случаи системы, состоящей из двух
компонентов, получивших наибольшее распространение.

Система из двух компонентов, когда d — О. Если расстояние
между компонентами равно нулю, то оптический интервал при—f\ =

△ = — (7i — fz) — — (71 + /2)

и формулы (3.67) примут вид

' г А+А

ф = Ф1 4- ф2;

аг — — f , ар' = f I
ан = ан' = 0;

Г/ . Г‘	(3-68»

, i\+C’

Zh ~ f Г, ZH' — —fz’,
о __________AA___________/ гг (A +/2) + A2 \

P0~	/'l2-21(/‘l+/2)“	\	/

На рис. 24 показан ход луча, параллельного оси в прямом и об-
ратном направлениях, при 71 > ° и /2 >0, а на рис. 25—при ft >
> 0 и 7г < 0.

Телеобъектив. Система, в которой длина, т. е. расстояние от
первого компонента до задней фокальной плоскости, меньше фокус-
ного расстояния, называется телеобъективом (рис. 26, 71 >0, 72<
<0)-

Отношение фокусного расстояния к длине объектива называется
коэффициентом укорочения,

Отношение фокусного расстояния системы к заднему фокально-
му отрезку называется телеувеличением,

г = -4-.

Формулы (3.67) для телеобъектива имеют тот же вид.

Телескопическая, или афокальная система. В случае равенства
нулю оптического интервала задний фокус первого компонента
Рис. 24. Система
из двух тонких
компонентов при
d = 0, f[ > О,
f‘2 >0

Рис. 26. Система
из двух тонких
компонентов при
d == 0, f'} > О,
f‘2 < О

совпадает с передним фокусом "второго компонента
При Л=0 для (3.67) имеем

Ф = 0; ар = ар> = оэ; ан = анг =

(рис. 27, а).

zp = Zp> = Zu — Zh1 = со;

(3.69)

Системы, в которых оптический интервал Д = 0, называются
телескопическими, или афокальными.
Рис. 27.

— телескопическая система из двух положительных компонентов — система Кеплера)
б — телескопическая система из положительного и отрицательного комдоне итов —
система Галилея
На рис. 27, а показан ход двух пучков лучей: параллельного
оптической осп (ai = 0) и образующего с оптической осью угол «>.
Пучок лучей, параллельный оптической оси в пространстве пред-
метов, после прохождения первого компонента Н\Н\ соберется в зад-
нем фокусе его Fy, а следовательно, и в переднем фокусе второго
компонента и после выхода из него будет также параллелен опти-
ческой оси. Всякой точке на луче фЙ, соответствует сопряженная
точка на луче M-zQ', вследствие чего отношение ординат, а следо-
вательно, и линейное увеличение остается постоянным для любых
сопряженных плоскостей. Отрезок h, лежащий в передней фокаль-
ной плоскости компонента Н\Ну, изображается отрезком—h', ле-
жащим в задней фокальной плоскости компонента Н^Н'^. Следова-
тельно, передняя фокальная плоскость первого компонента и задняя
фокальная плоскость второго компонента являются сопряженными
плоскостями.

Наклонный пучок лучей выходит из точки предмета, располо-
женной вне оптической оси в бесконечности. Для системы в воз-
духе осевой луч наклонного пучка В\Н\, проходящий через перед-
нюю главную точку Ну, выйдет из задней главной точки подтем
же углом <» и пересечет второй компонент в точке Мз. Все лучи
наклонного пучка после выхода из компонента Н\Н\ соберутся в точ-
ке В\ (В2), расположенной в задней фокальной плоскости его. Так
как точка В у находится в передней фокальной плоскости компо-
нента Н2Н2, то изображение ее будет находиться в бесконечности,
следовательно, лучи наклонного пучка после выхода из Н2Н2 будут
параллельны между собой и образуют с оптической осью угол ш'.
Таким образом, любые пучки параллельных между собой лучей,
падающие на телескопическую систему, после выхода из нее будут
также параллельными пучками.

Система НуНу или первый компонент называется объективом,
а Н2Н2 о к у л я р о м. Основное назначение объектива — построить
изображение предмета, расположенного в бесконечности или на
значительном расстоянии от телескопической системы. Это изобра-
жение является уменьшенным и обратным. Окуляр служит для
рассматривания изображения, построенного объективом, и дает
изображение в бесконечности, так как предмет (изображение у',
даваемое объективом) располагается в передней фокальной плоскости
его. Телескопическая система с положительным окуляром (см.
рис. 27, а) называется системой Кеплера или астрономической зри-
тельной трубой. Телескопическая система с отрицательным окуля-
ром (рис. 27, б) не имеет действительного промежуточного изобра-
жения (изображения, даваемого объективом), дает прямое изобра-
жение и называется системой Галилея или земной зрительной трубой.

Оптическая система микроскопа. Если изображение, построен-
ное первым компонентом НуНу— объективом, располагается в пе-
редней фокальной плоскости второго компонента Н2Н2 — окуляог
и оптический интервал не равен нулю, то такая система носит на
звание оптической системы микроскопа (рис, 28). В оптической
системе микроскопа оптический интервал равен

А = z'i =	= - А и d = Л + f'2 + А.

Z]	2,

Рис. 28. Оптическая система микроскопа

В этом случае для (3.67) будем иметь

f—f у •
—f = r = -p-zi;

ч

Ф = 4- = Ф1 + Ф2 — с/ф 1Ф2 = — Ф1Ф2Д = ^ —•
' ®1 «1

^ = -/4-4} ^ = 41—й

\	'2 /	\ l\ J

er d r	tt d

(3.70

/2

ZF — ZP ZF' ~ f Z1’

*„-*.(1+7} г»- = -41+-г)7--г«4;

X '1/	\ h l >\	'i

Po = оэ.

Так как /j и /2 > 0, a z\ < 0, то / > 0 и f < 0, поэтому передни!
фокус сивтемы F располагается позади передней главной плоско
сти Н, а задний фокус F' — перед Н'. Точки фокусов F и г
являются действительными точками. Равенство zf = Z] показывает,
что в оптической системе микроскопа предмет должен располагаться
в передней фокальной плоскости ее. Первый компонент — объектив
дает увеличенное	и	перевернутое изображение.	Линейное	увеличе-

ние объектива

?0,ов = £=-^=	*	(3.71)

у	>1	'1

Изображение после окуляра будет находиться	в	бесконечности,

так как отрезок у', являющийся предметом для окуляра, распола-
гается в передней фокальной плоскости его.

Из свойств телескопической системы и оптической системы
микроскопа вытекает, что изображение с помощью таких систем
не может быть спроецировано на экран, так как оно находится в
бесконечности. Поэтому для получения действительного изобра-
жения позади окуляра должна быть установлена оптическая си-
стема с конечным фокусным расстоянием. Такой системой обыч-
но является глаз наблюдателя, зрачок которого располагается
вблизи заднего фокуса окуляра (в точке Р').

§ 19. Оптическая система из трех компонентов и более

Если оптическая система состоит из трех компонентов и более
с конечными расстояниями между ними, т. е. является сложной,
то определение фокусных расстояний, положения кардинальных
точек ее (эквивалентной системы) и положения изображения про-
изводится путем расчета хода лучей.

Допустим, дана оптическая система, состоящая из р тонких
компонентов, фокусные расстояния которых известны, а также
известны расстояния между компонентами. Для определения фо-
кусных расстояний, фокальных отрезков и отрезков, определяю-
щих положение главных точек системы, рассчитывается ход луча,
параллельного оптической оси (ai=0, вл ——со), в прямом и
обратном направлениях (рис. 29). Применяя последовательно к
каждому компоненту формулы (3.51) и (3.52), получим: а! =
= О, h \ — произвольно,

/1	/ii /it	h ।	h ।

=-----rai 4--Г = — <Х1 4---Ф) = —Ф1,‘

f)	п п2 ' п2

hi — h\ — d\a2\

. /l2 ni , Z12 ъ
аз -----7'а2'т~~г‘~7ГЛ2'7Г ф2’

/2	/2 пз пз

(3.72)

ap+i = а₽ =------а,, +	ар 4----— Фр.

/р	/	"₽+1	«р+1
Если система расположена в однородней	-,^_

= лз= . .. =пр+1 и формулы (3.72) примут вид: ai=n Л. _
произвольно,

аг = ai + Л1Ф1 = hi/f t;

hi — h\ —d\4i‘,

<хз = «2 + ЛгФг!

h.p = hp—1	dp—iap,

a p+1 = a.p + hpd>p.

Рис. 29. Ход луча, параллельного оптической оси, через систему из р тонки,
компе '°НТОВ

Задний фокальный отрезок

h.

aF- —----.

“р+1

Заднее фокусное расстояние

^'=Л-	(3-74

Положение задней главной точки относительно компонента р
ан' = ар- — f .

Для определения ар, f и ан рассчитывается ход луча в обрат
ном направлении, для этого система поворачивается на 18OQ. В ре-
зультате расчета имеем

/=—f; aH=aF — f.
Оптическая сила системы может быть определена также по
следующим формулам:

оч =	0;

п,	h,	1

<Х2 = — <Х1 + —Ф1	= — /мФ i;

/12	»^2	”2

п2 ^2	I ,,

аз = — «2 + — Фг = — (/мФ 1 + А2Ф2);

**3	’*3	’

аР-Н = —-—(/мФ j + Л2Ф2 + ... + /грФр).
р+1

Так как

то

Ф = Д (/мФ1 + А2Ф2 +  •. + /1РФР)
“1

или

1 р

Ф = ^ЕШ.	(3.75)

Если же расчет хода луча произведен по формулам Гаусса в
отрезках, то будут известны ait аг, аг, а3, .. ., ар, ар = ар’. В этом
случае фокусное расстояние системы не может быть определено по
формуле (3.74), так как неизвестны высота h\ и угол яр+]. Выра-
зить фокусное расстояние как функцию отрезков «1, ................аР

можно следующим образом. Напишем (3.74) в виде

„ _ h\ = (h ^2 ч	ар

' ~ “р-Н ~ “2 ‘ “3 ’ “4......“₽+(

Но

h\—a\a-2, аг1гз = аг1а2, ..., ap/ap+i = ajap,
поэтому

= а,

'	“2 ' “3 • • • «р

или

(3.76)
Для определения положения и величины изображения рассчи-
тывается ход луча из осевой точки предмета по формулам (3.52)
или (3.53) (рис. 30). При этом высоте hi придается также произ-
вольное значение. В результате расчета получают hp и а ==ap+i.
Расстояние от компонента р д,о изображения	р

Рис. 30. Ход луча из осевой точки предмета ‘
через систему из р тонких компонентов

Но

_tg °р+' = °р+1
т°~ tg<Xj <Х]

поэтому

<3-77>

Напишем (3.77) в виде

г / “2	“3	ар+1

Заменяя отношения углов а/а' че;°з отношения отрезков а'/а,
найдем

При —/ = /'

= <3-77')

р+1

ИЛИ

р

1% = П g)r	(3.78')

Формула (3,78) используется, если известны отрезки а и а', т. е.
в том случае, когда луч рассчитан по формулам Гаусса в отрез-
ках. Величина изображения

У' = У^.	(3.79)

§ 20. Изображение наклонных предметов

Рассмотрим изображение, даваемое тонким компонентом, если
предмет в меридиональной плоскости образует угол 90°—<р7 с
оптической осью (рис. 31, а). Построение изображения плоского
предмета bib2 производится следующим ооразом. продолжи»
плоскость предметов до пересечения с передней главной плоско
стыо. Так как система тонкая, то точки пересечения луча с глав-
ными плоскостями Т и Т' будут совпадать. Проведем из точки Л.
которая располагается в передней фокальной плоскости системь
НН', луч, параллельный оптической оси. Этот луч в пространстве
изображений пройдет через задний фокус F'. Изображение точке

М находится в бесконечности, поэтому луч Т'А', сопряженный
лучом АТ, выйдет из системы- параллельно лучу Afif'.

Связь между двугранными углами ср у и ср у определяется и.
равенства

.	о х

tg<pr =- tgepr.
Учитывая (3.19),

tg cpr = — f ₽o tg <pr,	(3.80)

где Po — линейное увеличение в плоскостях, перпендикулярных к
оптической оси и проходящих через точки Д и Д'. Линейное уве-
личение в любой точке предмета В\Вч и его изображения B\Bz мо-
жет быть найдено по формуле

в - 1 ~ г'г

Так как

f

Z2 = «1 + to = —	+ у sin срг;

Z2 = Zi + го —f ₽о + у sin <р т',
то

₽0<? = f / — ^sincpy =^0—|-sin<pr'. (3.81)

В (3.81) точки, линейное увеличение которых необходимо опреде-
лить, берутся на отрезках у и у', отсчитываемых от точек А и Д'.
Наибольшее линейное увеличение будет иметь место в точках В2
и В’г, наименьшее—в точках В\ и В\.

Связь между углами а и а' осуществляется равенством

a'=4a = Va- (3-82)

На рис. 31,6 показана развертка плоскостей предмета и изо-
бражения. Квадрат NCDM в плоскости предметов преобразовы-
вается оптической системой в трапецию N’M'D’C. Такая разверт-
ка дает возможность определить координаты любой точки плоского
предмета, пользуясь формулами идеальной системы, для меридио-
нальной плоскости. В этом случае

/ = -Ц ? = -Д.	(3.83)

* cos а 1 cos ст	4	'
Глава 4

ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРЕЛОМЛЯЮЩИМИ И ОТРАЖАЮЩИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

§ 21. Условия образования идеального изображения
преломляющей поверхностью

Реальные оптические системы состоят из совокупности опти-
ческих деталей, ограниченных преломляющими и отражающими
поверхностями различной формы. Каждая преломляющая поверх-
ность разделяет среды с различными показателями преломления.
Отражающие поверхности делят пространство на части, имеющие
один и тот же показатель преломления.

Отдельные лучи пучка, выходящие из различных точек пред-
мета, преломляются и отражаются на каждой поверхности систе-
мы в соответствии с законами геометрической оптики. Поэтому
преломляющую или отражающую поверхность можно считать эле-
ментарной оптической системой или простейшим элементом лю-
бой оптической системы. Чтобы реальные оптические системы
отображали отдельные точки пространства предметов стигмати-
чески, т. е. являлись бы идеальными, необходимо выполнение
положений, приведенных в § 9. Эти положения будут выполняться,
если каждая преломляющая поверхность системы будет отобра-
жать любую точку и любой отрезок независимо от их положения,
также стигматически.

Идеальное изображение точки. Анаберрационные преломляю-
щие поверхности. Рассмотрим, какого типа должна быть прелом-
ляющая поверхность, обеспечивающая стигматическое изображе-
ние точки, расположенной на оптической оси.

Из принципа Ферма вытекает, что любая точка будет отобра-
жаться стигматически, если оптические длины путей лучей света,
гроходящих через среды, будут постоянны для всех лучей, выхо-
дящих из предметной точки, т. е.

А'

X ns = const,	(4.1)

А

причем по каждому из оптических путей луч света проходит в
соответствии с законом преломления.

Допустим, поверхность вращения произвольной формы разде-
ляет две среды с показателями преломления п и п' (рис. 32).
Найдем уравнение поверхности, образующей идеальное изобра-
жение точки А, расположенной на оптической осп. Возьмем два
луча, выходящих из точки А и являющихся крайними лучами
плоского пучка: луч АО, идущий вдоль оптической оси, и луч
ЛЛ1, образующий с оптической осью конечный угол о. Луч АМ
в дальнейшем будем называть действительным лучом.
Луч АО при переходе из первой среды во вторую не будет испы-
тывать преломления, так как совпадает с нормалью к поверхности
в вершине ее О. Действительный луч АМ претерпит преломление
в точке М, и если п'>п, то в соответствии с законом преломления
(е'<е) пересечет оптическую ось в точке А'. Точка А' является
действительным изображением точки А, так как она образуется
пересечением лучей МА' и ОА', сопряженных с лучами АМ и АО.
(Для действительного луча координаты точек А и А' вдоль опти-
ческой оси будем обозначать через з и s'. Выберем начало ко-
ординат совпадающим с вершиной преломляющей поверхности.
Координатами точки М пересечения луча с преломляющей по-
верхностью будут z и у. Согласно (4.1) должно соблюдаться ра-
венство оптических путей АМА' и АОА', т. е.

—nt + n't' = —ns + n's'.

Из треугольников Л7И/И0 и МоМА' имеем

i = У2 +(s— z)2;

t' = ^у2 + (s' — г)2,
поэтому

_L	£

n'[t/2 + (s' — г)2]2 — n[t/2 + (s— z)2]2 —n's' —ns. (4.2)

Выражение (4.2) является уравнением так называемой анабер-
рационной поверхности вращения, т. е- поверхности, образующей
совершенное (стигматическое) изображение точки. Уравнение
(4.2) представляет собой кривую сечения поверхности четвертого
порядка. Такие поверхности называются овалами Декарта.
Следовательно, стигматическое изображение точки предмета, рас-
положенной на оптической оси и на конечном расстоянии от по-
верхности, с помощью широких гомоцентрических пучков лучей
может дать поверхность четвертого порядка. Такого типа поверх-
ность (овалы Декарта) довольно сложны в изготовлении, поэтому
не получили практического применения.

Допустим, предмет находится в бесконечности, т. е. s = —оо

(о = 0) (рис. 33). При s = —оо должно соблюдаться равенство
оптических длин путей КМА' и ОА':

nz + n't' = n's1
или

nz + n'f — n's? — 0.

3 1-446	65
Подставляя значение t', после несложных преобразований бу-
дем иметь

Рис, 32. Ход действительного луча
через преломляющую поверхность

Ряс. 33. Анаберрационная преломля-
ющая поверхность при Sj = — оо

Формула (4.3) представляет собой общее уравнение кривых второго
порядка (конических сечений) с началом координат в вершине по-
верхности вида

y^Zpz + qz*,	(4.4)

где

Из (4.4) видно, что при s =—со анаберрационными преломляю-
щими поверхностями являются эллиптическая {q < 0, п < п') и ги-

п'). Анаберрационная преломляющая
поверхность параболичес-

перболическая (д > 0, п

Рис. 34. Изображение элементарного отрезка,
расположенного вне оптической оси

кой формы существовать
не может, так как при
q =0, п = п' и пучки лу-
чей не будут преломляться.

Идеальное изображение
отрезка прямой. Любой
отрезок прямой можно
рассматривать как сово-
купность большого числа
точек, каждая из которых
изображается преломляю-

щей поверхностью в виде
точки. Возьмем в пространстве предметов два луча A Mi и ВМ>
(рис. 34). Этим лучам в пространстве изображений будут соответ-
ствовать сопряженные лучи Mi А' и МгВ'. Расстояние между произ-
вольными точками А и В на лучах AiMi и ВМг обозначим через
dy- В пространстве изображений этим точкам будут соответствовать
сопряженные точки Л' и В' и расстояние dy'. Проведем через точки
В и В’ поверхности Е и S', ортогональные к лучам AMlt ВМ2 и
MjA', М2В', которые можно считать сферическими волновыми по-
верхностями. Так как, согласно (4.1), оптическая длина пути вдоль
любого луча от одного фронта волновой поверхности до любого
другого должна быть постоянной, то из рис. 34 следует

пВМ? + п'МчВ' = nQM । + п'М iQ' = const.

Для получения идеального стигматического изображения точек
А и В необходимо, чтобы разность оптических путей вдоль любых
лучей, выходящих из точек А и В, была бы постоянной величиной.
Если оптический путь между точками В и В' обозначить через
L\, а между точками А и А'— через L-i, то

L2 — L\ = (пАМ\ + п'М \А') — (пВМ2 + п'МчВ'} =const = о.

Из рис. 34 имеем

(иАС + nCQ + QC — n'AV — nW) —

— (nBM2A-nrM^B'] = L)— L, =с.	(4.5)

Но

иВЛЪ + п'М В' = QQ'.

Поэтому, учитывая, что

АС = б/t/cos С и А'С =—dy'cost.',

для (4.5) получим

nd у cos С + n'dy' cos С' + nCQ — n'CQ' = о.	(4.6)

Уравнение (4.6) справедливо для вычисления разности оптических
длин путей для случая, когда отрезки dy и dy' имеют конечные
величины, так как никаких ограничений на расстояния между
лучами A Mi и ВМ2 не накладывалось. При бесконечно малых
значениях dy и dy' разностью nCQ— n'CQ' можно пренебречь,
тогда в пределе будем иметь

ndycos С 4- n'dy' cos С' = с.	(4.7)

Уравнение (4.7) носит название закона косинусов. Таким
образом, если точки А и В будут отображаться преломляющей по-
верхностью в виде точек А' и S', то и бесконечно малый отрезок
dy будет изображаться в виде идеального отрезка dy'. Для этого
необходимо и достаточно выполнить закон косинусов (4.7). Чтобы
элементарная площадка изображалась в виде идеальной элемен-
тарной площадки, необходимо выполнение закона косинусов для
двух каких-либо отрезков, расположенных в одной плоскости.
S cc. уравнения Лагранжа— Гельмгольца и Гершеля
для преломляющих поверхностей

Рассмотрим два частных случая закона косинусов. Напишем
уравнение (4.7) для лучей, образующих с отрезками dy и dy', пер-
пендикулярными к оптической оси, углы С, Со и С , Со (рис. 35, а):

tidy cos С + ti'dy' cos С' = с;

ndy cos Со + ti’dy’ cos Co = c.

(4-8)

a

Рис. 35. Изображение элементарного отрезка преломляющей поверхностью;
а—перпендикулярного к оптической оси; б — расположенного вдоль оптической оси

Так как с является постоянной величиной, то для исключения ее
возьмем разность уравнений (4.8), тогда

nd у (cost,—cosCo) ~ п dy (cos С —cosCo).	(4.9)

Из рис. 35, а видно, что углы С и С , а также Со и Си дополняют
углы о, а! и с0, <зР до 90Q, поэтому, переходя к углам с, из (4.9)
следует

ndy (sin с — sin сэ) = п dy (sine — sin<50).	(4-Ю)

В таком виде уравнение (4.10) не применяется. Чтобы исключить
один из лучей, выберем начальные условия такими, при которых
углы а0 и сс равны нулю, т. е. луч A.V1) совпадает с оптической
осью. В этом случае уравнение (4.10) упрощается и принимает вид
nd у sin с — n'dy'sin a’.	(4.11)
Следовательно, если точки А и А' отрезков dy и dy' лежат на
оптической оси и для этих точек выполнено условие точечного
изображения, то для получения стигматических изображений вне-
осевых точек В и В' отрезков АВ и А'В', а следовательно, идеаль-
ного изображения dy' отрезка dy необходимо выполнить уравнение
(4.11). Для этого нужно проследить ход только одного луча, обра
зующего конечный угол а с оптической осью.

Рис. 36. Ход действительного луча через систему из Д' преломляющих поверх-
ностей

Второй частный случай закона косинусов относится к отрезкам
dy и dy', расположенным вдоль оптической оси, что равноценно
смещению отрезков, перпендикулярных к оптической оси, на вели-
чины dz и dz' (рис. 35, б). Принимая dy = dz, 'у' = dz и учитывая,
что Со = °о = 0, Со = со = 0 и С — о, —С = о , из (4.9) получим
ndz(l — cos а) = ti'dz' (1 — cos o')

или

ndzsin2-^ = n'dz'sin-p	64.12)

Уравнения (4.7), (4.11) и (4.12) получены для одной преломляющей
поверхности, но они справедливы также для любой оптической си-
стемы, состоящей из k преломляющих поверхностей (рис. 36). На-
пишем (4.11) для первой преломляющей поверхности

ti\dtj} sin 3i = n.\dy\sin с’.	(4.1 Г)

Подобное уравнение можно написать и для второй поверхности

fitdyi sin аг « n'idyl sin	(4.1 Г")

и для третьей поверхности

sin а3 ~ tisdyt sin аз	(4.1 Г)

и т. д. и, наконец, для k-ii поверхности

TikdyKsin а,, = n’kdyl sin а'.	(4.11*)

Известно, что пространство изображений для первой преломляющей
поверхности является пространством предметов для второй, поэтому
отрезок dy< равен dyz, угол ai равен az и показатель преломления
69
П\ равен «2. Подобные равенства имеют место и для других поверх
ностей, поэтому можно написать:

dyi = dyz; П} = п?; oi = 02',
dy-2 — dyy, п-2 = пз; = аз;

dyk—\ = dye, >ik— 1 — 4k', ак-1 — Ok.

Учитывая (4.13) для (4.1 Г) — (4.1 lfc), имеем
n\dy\ sin ai = nzdy? sin a2 = ...
= tikdyk sin a* = nkdyk sin ak.

(4.13)

(4-14)

Формула (4.14) называется уравнением Лагранжа — Гельмгольца
для пучков лучей, образующих конечные углы а с оптической осью.

Для системы, состоящей из k преломляющих поверхностей, ли-
нейным увеличением является отношение величины изображения
dyk к величине предмета dy\. Обозначая линейное увеличение для

действительных лучей через р, будем иметь
<*y’k
dyC

Принимая во внимание (4.14), найдем

~ dyk ffjSina,
р = — = —----7-

dy\ пь s)n аь

(415)

Так как ndy sin о должно быть постоянной величиной как для одной
преломляющей поверхности, так и для системы, состоящей из k
поверхностей, то

~ dyk п, sin a,

В = — =	= const,

dy\ ^sina*

(4-16)

т. e., чтобы изображение элементарного отрезка, перпендикулярного
к оптической оси, было бы идеальным, необходимо постоянство ли-
нейного увеличения для любых точек предмета. Другими словами,
линейное увеличение не должно зависеть от величины угла ai.
Уравнение (4.16) известно как условие синусов или закон
синусов Аббе.

Аналогично, исходя из (4.12), для системы из k преломляющих
поверхностей найдем

n\dz\ sin2 ~ = riidzi sin2 у = ... — 4i.dZksm2—. (4-17)

Уравнение (4.17) носит название условия Гершеля.

Таким образом, чтобы оптическая система, состоящая из k пре-
ломляющих поверхностей, давала бы идеальное изображение эле-
ментарных отрезков, необходимо выполнить условия: во-первых,
точка А отрезка, расположенная на оптической оси, должна ото-
бражаться стигматически и, во-вторых, для отрезка, перпендику-
лярного к оси, должно выполняться уравнение (4,14), а для отрезка,
расположенного вдоль оси, — уравнение (4.17) для пучков лучей
с конечными углами о.

Уравнения (4.14) и (4.17) одновременно не могут быть выпол-
нены, если даже и удовлетворяется (4.) 4), поэтому нельзя получить
идеальное изображение объемного предмета. Эти уравнения выпол-
няются одновременно лишь в случае, когда—oi = 6t. Тогда

-	(4.18)

dz} nk

Если среды однородны, то п\ = пк и р = — 1.

Уравнения (4.14) и (4.17) остаются неизменными после любого
числа преломлений и не связаны с конкретным типом системы, так
как в них не входят конструктивные элементы (радиусы кривизны
г, расстояния d), поэтому являются полными инвариантами, харак-
теризующими общие свойства световых пучков.

Напишем инвариант (4.14) в виде

rt\dy sin oi = nkdy sin о*. -у

В § 14 для идеальной системы был приведен инвариант
mt/tgai = nky tga*.

Эти инварианты, если даже принять, что dy = у, dy' ~ у', ai = ot|
и a’k = a-k, несовместимы, так как синусы не равны тангенсам для
конечных углов луча с оптической осью. Отсюда следует, что в
общем случае система, состоящая из преломляю их поверхностей,
не может дать идеальное изображение предметов, перпендикулярных
к оптической оси, если они образуются пучками лучей, имеющих
конечные углы а.

§ 23. Увеличение для системы преломляющих поверхностей

Линейное увеличение определяется формулой (4.15), г. е.

221 = 22221
dyt 2 sin а”

Угловое увеличение, как и для идеальной системы, опре-
деляется по формуле

Заменяя тангенсы синусами и косинусами и учитывая (4.15),
получим

~ 2122^2.,	(4.19')
Продольное увеличение (рис. 37). Под продольным уве-
личением понимают отношение изображения бесконечно малого от-
резка, расположенного вдоль оптической оси, к величине самого

отрезка:

Рис. 37. Продольное увеличение для действительного луча

Из треугольников Л1В1Л2 и ЛИ2В1
, dyx .	' йу'у

tg (01 =— , tg <01 = —

ИЛИ

dy\	.	 dy}

small =-7— COS O>1, Sin (01 =—; COS (01.

“г1	dZ|

Для сопряженных точек Д2 и Аг уравнение (4.14) имеет вид

п.\(1уг sin mi = п^йуг sin шь

Заменяя sin u>i и sin и», найдем

dyt	, • Лу\

n\dyi — cos он == nidyi —7 cos o>i.
dzt	diy

Откуда для продольного увеличения преломляющей поверхности
- dZ] /I; coso>| dyydy$ Пу coso>] ~~
ai = —  ---------------------— —  ------------Р i?2.

dzj n-y cos (0] dyy dy2 >iy cosm,

где Pi — линейное увеличение в еопряженных плоскостях AiBt и
A iBi, а Рг — линейное увеличение в сопряженных плоскостях АгВг
и АгВг. В связи с тем, что отрезки dz\ и dz\ бесконечно малы, то
можно принять Pi — Рг, тогда

~ nJ cos

ai --------- рь

П| COS(OI г
Для системы, состоящей из k преломляющих поверхностей, будем
иметь

~	~ -	-	n>, cos ~

Я я Q2
а = <zi . ад ... а* =	? .

Связь между увеличениями характеризуется выражением

~ ~	~ COS О| cos <оА

«Т = ?----— •

cos cos

Считая в (4.21) углы он и и* малыми, будем иметь

~	”*О2

а==^ ’

откуда

Л Л1 -
₽2=4а.

Из условия Гершеля (4.17) для продольного увеличения

• 2°‘

~	ni sin Т

а —	= -т----7.

d2l nk . 2 °ь
й sin -2

2

Для линейного увеличения отрезков, расположенных
оптической оси, учитывая (4.23), (4.24), получим

 2°!

-	/П.\2 SIn Т

^=/Д --------г

W sin2Z*

2

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.23')

имеем

(4.24)

вдоль

или

. °1
sin —
"1	2

(4-25)

R sin —

2

Сопоставляя (4.25) с (4.15), приходим к выводу, что они одновре-
менно не могут быть удовлетворены, поэтому, как уже указывалось,
оптическая система не может дать совершенное изображение объем-
ного предмета.

§ 24. Преломление лучей сферической поверхностью

Уравнение действительного луча. Найдем уравнение действитель-
ного луча для сферической преломляющей поверхности и покажем,
может ли она удовлетворять требованиям идеальной системы (рис. 38).
• „«Степпе преломленного луча, а следовательно, и точки Д'будет
определено, если известны отрезок s' и угол а'. Из рис. 38 имеем

с = е-1-:р: а = е 4-^,
откуда

а' = а — е -f- s';

ф = в — е = а’ — е*.

(4.26)

Из треугольников АМС и СМА' следует

отсюда

Рис. 38. Преломление луча сферичес-
кой поверхностью

sin (ЖО3 + £i	sin (—«)’

sin (—е'>	sins'

sin е

-sin о; (4.27)

sine' = sin o'. (4.28)

Связь между (4.27) и (4.28) осуществляется законом преломления

nsine = п' sin s'.

(4.29)

Для координаты s из (4.28) имеем

s'

sin е'

sin s'

sin s' —. sin e
r------:---------

sin s

или, учитывая (4.27) и (4.29),

s'

r —(r —s)

п sin g
n* sin a'*

(4.30)

(4.31)

г— г

Из (4.31) легко получить выражение в инвариантном виде

п-—-sina = n'z—- sin а'.
Г	г

Но

sin а = h!t\ sin о' = hit',

поэтому

-~s}- = --у- = Qs.	(4.32)

Формула (4.32) является инвариантом преломления Л б бе
для действительного луча. Инвариант справедлив только для одной
преломляющей поверхности. При переходе ко второй поверхности
он изменяет свою величину, т. е. не является полным инвариантом.
Для вычисления координат гиг могут служить следующие
формулы, полученные по теореме косинусов из треугольников АМ С
и А 'МС:

Р = (г — s)? + г2 — 2r(r — s)cos<p;

(4. оо

t'2 — (г — s')J + г2 — 2г (г — s') cos 7.

Представим уравнение (4.31) в несколько другом виде. На ос
новании (4.27) и (4.28) можно написать

Г	sin а	Г ___ sin а'

~~ sin а — sin е* ~ sin а'—sins'"

s	s

Умножим первое уравнение на п/r, а второе—на пЧг, тогда
п	п <in о	п' _ п' Sin а'

~~ r (sin с — sins) ’ 7 г (sin д'—sins')"

s	S

Вычитая n/s из n'ls', получим
п' п ________________ n' sin д'	п sin Д___

-	- г (sin а' — sins') г (sin п — sin е)

После преобразования этого выражения найдем

Формула (4.34) является уравнением действительного
луча в меридиональной плоскости сферической преломляющей по-
верхности.

Уравнение (4.34) показывает, что при заданном положении точки
А, служащей вершиной гомоцентрического пучка лучей в прост-
ранстве предметов, сопряженный пучок в пространстве изображений
не будет гомоцентрическим, т. е. лучи пучка не будут пересекаться
в одной точке Д', так как при изменении угла а координата s' будет
переменной величиной. Оптические длины пути для осевого и дей-
ствительного лучей не равны друг другу:

ri's* — ns =/= n't' — nt.

Пучок лучей с вершиной в точке А для угла о, изменяющегося
от нуля до некоторого значения атах, после преломления дает кар-
тину, изображенную на рис. 39. В преломленном пучке лучей на-
блюдается определенная закономерность: лучи пучка, составляющие
с оптической осью большие углы, после преломления пересекают
ось ближе к вершине О преломляющей поверхности. В плоскости,
проведенной через точку А1 перпендикулярной к оси, где пересе-
каются лучи, образующие с осью углы атах, изображение точки А
получается в виде кружка рассеяния радиуса А 'В'. Это явление
носит название сферической аберрации. Продольная сферическая
аберрация характеризуется отрезком

△s' = s' — s'.

Кроме того, при преломлении
имеет место дисперсия, вследствие
чего изображение представляет
собой сумму большого числа моно-
хроматических изображений. Воз-
никает окрашивание изображений.
Эти явления подробно изучаются
в теории аберраций оптических
систем.

Рис. 39. Преломление лучей сфера- вкусные расстояния прелом-
ческой поверхностью, образующих ляющеи поверхности. Возьмем два
различные углы а с оптической осью бесконечно узких элементарных
пучка лучей, параллельных опти-
ческой оси: один пучок вдоль оптической оси, а другой — на ко-
нечной высоте h, осевой луч которого является действительным
лучом (рис. 40). Лучи элементарного пучка, идущего вдоль опти-

Рис. 40. Фокусные расстояния сферической преломляющей поверхности

ческой оси, пересекаются в точке F', а лучи элементарного пучка,
падающего на преломляющую поверхность на высоте ft, пересекаются
в точке F' на оптической оси, которая расположена ближе к вер-
шине поверхности О. Очевидно, что точки F’ и F' являются зад-
ними фокусами указанных элементарных пучков. Осевые лучи пуч-
ков, падающих на поверхность и преломленных поверхностью,
пересекаются в точках О и М, расположенных на преломляющей
поверхности. Эти точки должны принадлежать задней главной
плоскости. Если же взять элементарные пучки, падающие на дру-
гих высотах, то их осевые лучи также будут пересекаться на пре-
ломляющей поверхности. Отсюда видно, что главная плоскость по-
верхности вырождается в поверхность того же радиуса, что и сама
поверхность. Следовательно, можно утверждать, что преломляющая
поверхность не имеет задней главной плоскости. Задними главными
плоскостями можно считать элементарные отрезки, касательные к
точкам О и М. Если мы возьмем элементарные пучки лучей, иду-
щих на разных высотах в обратном направлении, то осевые лучи
этих пучков будут пересекаться на поверхности. Отсюда следует,
что передняя главная плоскость также вырождается в сферу того
же радиуса, что и преломляющая поверхность. Очевидно, точки О
и М являются одновременно передней и задней главными точками
элементарных пучков лучей. Известно, что фокусные расстояния
отсчитываются от главных точек, поэтому заднее фокусное рас-
стояние для действительного луча (ось пучка) AtM будет равно

f = МА'	(4.35)

1	sm а	'

Для действительных лучей заднее фокусное расстояние будет
изменяться с изменением высоты 1г и угла а', для осевого луча
или луча, идущего параллельно оптической оси на бесконечно малой
высоте h0, согласно (4.30) имеем

Так как в этом случае углы е и а0 будут бесконечно малыми, то

f =г— г-,.	(4.36)

’о

Аплаяатические точки. Для того чтобы гомоцентрический пучок
лучей, выходящий из точки А, после преломления остался бы го-
моцентрическим, т. е. чтобы координата s' в (4.30) была бы по-
стоянной и не зависела от изменений угла а или ср, необходимо
соблюдение условия

= const	(4-37)

Siti а'	'	>

ИЛИ

а -f- е а' + е'

cos —S— — cos----5—

Условие (4.37) выполняется в трех случаях.

1.	Если для сферической поверхности а = е, то согласно (4.37),
Т. е. а—е — а'— е',

а = £ .
В этом случае в соответствии с (4.27) и (4.28)

sin а — sin е

Рис. 41. Апланатические точки А и А1 преломляющей поверхности

Нормаль к поверхности совпадает с оптической осью и точка
предмета А и точка изображения А' совпадают с вершиной пре-
ломляющей поверхности О (рис. 41, а). Гомоцентрический пучок
лучей а центром в вершине преломляющей поверхности после пре-
ломления остается гомоцентрическим. Форма преломляющей по-
верхности не играет роли, так как лучи пучка пересекают ее в од-
ной точке. Углы а и а' связаны законом преломления

п sin а = п' sin а',
поэтому уравнение (4.15) будет

₽ =	= 1 = const,	(4.40)

г. е. линейное увеличение остается постоянным для любых значений
а. Этот случай самостоятельного значения не имеет.
2.	Если е = е' = 0, то а = а' — луч совпадает с нормалью к пре-
ломляющей поверхности (рис. 41,6). В этом случае из (4.38) выте-
кает, что

s = s' = г.	(4.41)

Лучи гомоцентрического пучка, выходящие из центра сферической
поверхности С или сходящиеся в этой точке, проходят ее по на-
правлению нормалей (по радиусам) и поэтому не преломляются (не
изменяют своего направления). Изображение — точка Д' совпадает
с предметом — точкой А. Так как а = а', то линейное увеличение
для сопряженных точек

р =	= «= const,	(4.42)

т. е. выполняется условие (4.38) независимо от величины углов <з.

3.	Если е=—а', то в этом случае в соответствии с (4.26) е' =
= —а (рис. 41, в). По закону преломления можно паПисать

п sin е =—n'sino, —п sin а' = п’ sin s'.

Подставляя значения sine и sine' в (4.38), найдем

Из (4.43) вытекает, что

ns — n's' = г (п п').

Гомоцентрический пучок лучей, вышедший из точки Д, после
преломления остается гомоцентрическим, так как координата s' не
зависит от углов а. Изображение получается мнимым. По закону
преломления при е = —а' и е' = —а имеем

sin а ____п

sin а* ~~ п”

поэтому линейное увеличение

п .-in о ___

п1 sin а

 \2

-т/ = Const.
/

(4.44)

Таким образом, для сферической преломляющей поверхности
имеем три пары сопряженных точек, определяемых формулами (4.4)),
(4.42) и (4.44), для которых она является анаберрационной поверх-
ностью Для этих точек выполняется также уравнение (4.16) не-
зависимо от величины углов а. Такие точки называются аплана-
тическ и ми точками.
Д КjjvjiviTijitrine элементарных наклонных пучков лучей

Рассмотрим преломление узких — элементарных плоских пучков
лучей в меридиональной и сагиттальной плоскостях.

Элементарный меридиональный пучок, ось которого 4Л4) обра-
зует угол а с оптической осью, после преломления сферической
поверхностью собирается в точке А'т, и ось его MiAm образует с

Рис. 42. Преломление элементарного меридионального пучка лучей

оптической осью также конечный угол а'. Расстояние от точки пре-
ломления Л41 оси пучка ЛЛ4| н М\А обозначим через tm и tm. От-
резки tm и tm отсчитываются от точки

Найдем зависимость между координатами tm и t'm. Дифферен-
цируя оптический инвариант (1.6) по переменным е и е', найдем

п cos ede = п' cos e'de'.

(4.45)

Согласно рис. 42

е = а— ср; de = da — dep;

Л4,/И2

е' = а' — ср; de' = da' — dtp;

MiDl

da =

da' —

M}D2

MiD\ — Л4|Л42 cose = bcose; = b cose'.

Поэтому

, b cos e , , b cos»’
da = —------; aa — —;—

tm

dz-^b

cose 1 '
tm ~~

dz' = b

'cos e'

(4.46)
подставляя значения as и as' из (ч.чо) в (.ч.чо;, после пре-
образования найдем

, о ,	2	,	*

n cos s ncos s _ п cos s — п cos е	М 47\

4 im т

Формула (4.47) является уравнением элементарного пучка
Юнга — Аббе в меридиональной плоскости.

Рис. 43. Преломление элементарного сагиттального пучка лучей

Найдем уравнение для плоского элементарного пучка лучей,
идущего в сагиттальной плоскости, т. е. плоскости, перпендику-
лярной к меридиональной и проходящей через луч АМ\ (рис. 43).
Положение точки М2 преломления сагиттального луча на прелом-
ляющей поверхности легко найти, если меридиональную плоскость
повернуть на угол dip вокруг оптической оси. Введем обозначения
АМ\ = ts, M\As^t‘s. Из треугольников АМ\С и MiA‘sC по теореме
синусов напишем

г __si n а г sin а'

si п <f ’	sin <р ’

Умножим первое равенство на п\г, а второе — на п'\г и выч-
тем из второго первое, тогда

я' п I , , .	,	,

-----Г *-= —;— In sin a — п Sin el.

/s	r sln f

Так как a = s—и У = s'— <p и учитывая оптический инва-
риант, найдем

п'__п  п.' cos е' —> я cos t

Ч

Формула (4.48) представляет собой уравнение элементарного
пучка Юнга — Аббе в сагиттальной плоскости. Из (4.47) и (4.48)
легко получить
el .	. Г 1 cos s'-

п COS Е	т—  „ Г с°8 г 11  [г t, J ~ п	- j = п cos е  , COS s'	1_  Г (
Уравнения (4.49) являются меридиональным и сагиттальным
инвариантами элементарных пучков лучей. Из (4.47) и (4.48) видно,
что при конечных углах о и о', а следовательно, и при конечных
углах е и е' координаты 1,„ и /’ Для одной преломляющей поверх-
ности имеют разные величины. Разность Л— tm называется асти-
гматической разностью вдоль оси элементарных пучков или
астигматизмом, а сами пучки — астигматическими пучками.

Для плоских астигматических пучков лучей точка А изобра-
жается в виде, точек Ат и As (которые в общем случае распола-
гаются вне оптической оси). Если же астигматический пучок лу-
чей представляет собой элементарный телесный угол с вершиной
в точке А, то изображение ее, образованное меридиональными
лучами, представляет собой элементарный отрезок прямой, про-
ходящей через точку Ат, перпендикулярный к меридиональной
плоскости; изображение, образованное лучами, идущими в сагит-
тальной плоскости, также представляет собой элементарный отре-
зок прямой, проходящей через точку А' и лежащий в меридио-
нальной плоскости.

Если tm = ts = — со, то в этом случае tm = fm, i = А и соглас-
но (4.49)

:• __ n’r cos2 е'

т п' COS s' — Ч COS Е ’

г, __ п'г

* п' cos е'— п cos е ’

(4.50)

где fm и fs представляют собой фокусные расстояния астигматиче-
ского пучка лучей. Фокусами являются элементарные отрезки,
называемые фокальными линиями. Таким образом, наклонные
элементарные пучки лучей, образующие конечные углы с оптиче-
ской осью, не дают стигматических изображений точки.

§ 26. Преломление лучей плоскими поверхностями

Плоскую преломляющую поверхность можно считать частным
случаем сферической, когда радиус кривизны ее равен бесконеч-
ности. Кроме того, для плоской поверхности е = а и е' = а' (рис. 44).

Уравнение действительного луча для плоской преломляющей
поверхности, исходя из (4.34), при г — со, а = а и е' = а будет
иметь вид

n' п п cos а — cos а'

"г	-	-*	cos а'

г	s	>

(4.51)

отсюда для координаты s' имеем

" п' cos а'
S = S --------.

п cos а
Разделив числитель и знаменатель (4.52) на sin a sin а' и при-
тяв во внимание, что

sine'	s:na'	П

—г---- === —:--- = —7 «

Sine	Sina	n

толучим

~~ is а

S = S ---------г •

tn 3

(4.54)

Лз (4.54) видно, что отрезок s' зави-
сит от угла ст, поэтому гомоцентричс-
•кий пучок лучей после преломления
ла плоской поверхности перестает быть
"омоцентрическим, т. е. преломляющая
товерхность не может дать стигмати-
ческого изображения точки.

Линейное увеличение для плоской
тоеломляющей поверхности согласно
4.15) и (4.53)

(4.53)

Рис. 44. Преломление луча
плоской преломляющей поверх-
ностью

dy' ___ n sin д

dy п' sin a'

= I = const

(4.55)

те зависит от величины угла о. Изображение равно предмету
то абсолютной величине и знаку (изображение мнимое).

Рис. 45. Преломление луча плоскопараллельной пластинкой

Рассмотрим преломление лучей при прохождении их через си-
нему из двух плоских параллельных между собой поверхностей,
"экого вида система называется плоскопараллельной
;ластинкой (рис. 45). Применяя (4.54) последовательно
с двум плоским поверхностям, найдем

-	'	g’2

Si = SI , -	, s? = Si I-  .

tg a2	tg a3
Отрезки s2 и si связаны уравнением

$2 = S1 — d,

поэтому

/ ' А‘8’2	~tScrl	tg®2

s2 = (Si — d) 7— = Si 7--------d r—.

tg°3 tga3	tga3

Заменяя тангенсы углов через синусы и косинусы их и учиты-
вая, что

sina3	П] sin а3	П2

Sin <j[ ~~ n3 ’ sin а2	п3 ’

будем иметь

~~ п3 COS а3

§2 = SI 111

nj COS Gj

. По COS Go
d—--------?

П2 COS a 2

(4.56)

Найдем положение точки Л2 относительно Aj, определяемое от-

резком As', характеризующим продольное смещение луча, вышед-
шего из пластинки.

Из рис. 45 имеем

As' = s2 — si 4- d.

Учитывая (4.56)

As' = si

n3 cos а3 n3 COS а3
-----------d---------

n1COSO1 n2COSa2

Si + d

и после преобразования

As' = d 1

П$ COS Gg

n2 COS g2

n3 COS O3”

«2 COS °1

(4-57)

Отрезок As' изменяется с изменением угла ai, следовательно,
плоскопараллельная пластинка также не может дать стигматиче-
ского изображения точки. Линейное увеличение

dy'	у'	npina]	П]

-г- = — =-------:--- = — = const

dy	У	n3 Sill а3	п3

(4.58)

не зависит от величины угла аь Поперечное смещение луча z'
равно

z' = As'sin<j|.	(4.59)

Если пластинка располагается в однородной среде, тогда «1= пз,
<?1 = аз и луч, вышедший из пластинки, будет параллелен падаю-
щему лучу. В этом случае (4.56), (4.57) и (4.59) примут вид
,<-g°2	~ «jCOSO,

s2 = Л — d ------= Si — d-----------

tgaj	П2 COS a2

AS' = d 1

Sin(si-C2)

cos =2

nx COS af

n2 COS a 2

sin (a] — a2)
sin a, ein <j2

П] COS 0!

n2 COS a2

sin ai;

(4.60)

fg q2 '
tg c.

= d 1

1 —

P =1 s= const.	I

Для пластинки в воздухе П] = пз = 1, п? — п и
tga2	~ rfCOSO]

S2 = si — a г-- = Si---------;

tg О]	n COS a2

As~' = d 1

COS 0]

n COS a2

COS 0]

j/n2— sin2a]

(4.61)

z' — d

COS 0]

П2 — sin2

sin ai.

1 —

При малых углах aj
’	d

s2 = si--;

As' = dr!—^ , z' = dai
n ’	n

(4.62)

§ 27.	Отражение лучей от поверхностей

. Отражение лучей от зеркальных поверхностей подчиняется за-
кону отражения г'=—е. Для отражающих поверхностей прини-
мается п' — —и; расстояние между поверхностями после отраже-
ния d-, также будет иметь знак, противоположный знаку расстоя-
ния до отражения е/,_ь

Правила знаков для отрезков s, s', радиусов кривизны г, высот А
и углов а, а', е, г' и <р остаются прежними.

Анаберрационные отражающие поверхности. Для отражающих
поверхностей при п' = — п уравнение (4.2) имеет вид

~ ± _! -

[z/2 + (s'— z)2]2 + [z/2 + (s — г)2]2 = s' + s.

После преобразования получим

у2 = 4 z — 4	г2.	(4.63)

s' + s	(s'	s)2

Формула (4.63) является уравнением кривых второго порядка,
в котором

„ п S S'	S S'

Р = 2~----q==-^——-2.

s' + s	(s' + s)
Если q<0, поверхность будет элиптической, а это возможно
в том случае, когда координаты s и s' имеют одинаковые знаки,
т. е. когда отражающая поверхность является вогнутой. Если же
координаты s и s' будут иметь различные знаки, тогда q > 0 и
поверхность будет гиперболической. Осевые точки предмета и их

Рис. 46. Отражение лу-
чей вогнутой (а) и вы-
пуклой (6) сферическими
поверхностями

изображения располагаются в геометрических фокусах эллиптиче-
ской и гиперболической поверхностей. Коэффициент q будет ра-
вен нулю только в том случае, когда $ = —оо; отражающая по-
верхность представляет собой параболическую поверхность.

Таким образом, эллипсоид и гиперболоид вращения являются
анаберрационными поверхностями для их геометрических фоку-
сов, а параболоид вращения — для предметной точки, располо-
женной в бесконечности. Линейное увеличение согласно (4.15).

sin а
sin а'

(4.64)

изменяется с изменением угла а, поэтому анаберранионные точки
отражающих поверхностей не являются апланатическими точками,
и отрезки, перпендикулярные к оптической оси, не будут изобра-
жаться в виде совершенных отрезков.

Отражение лучей от сферических поверхностей (рис. 46). Фор-
мулы для сферической преломляющей поверхности могут быть
использованы и для сферической отражающей поверхности. Урав-
нение действительного луча (4.34) при п' = — п и е' = — е будет
равно

4- 6 а* — t

Уравнения (4.30) и (4.31) будут иметь вид

~____ sin о' sin г

sin а

г + (г— S)

sin а

sin <у' *

(4.65)
Из (4.64) и (4.65) видно, что коор-
дината s' изменяется с изменением
угла а, поэтому гомоцентричность
пучка лучей после отражения его
от сферической поверхности нару-
шается .

Изображение точки, расположен-
ной на оптической оси, при отра-
жении широкого пучка лучей, как

Рис. 47. Отражение лучей плоской
поверхностью

и в случае преломляющих поверх-
ностей, получается в виде кружка рассеяния.

Отражение лучей от плоской поверхности (плоского зеркала)
(рис. 47). Для плоской отражающей поверхности г=со, <? = е и
а' — s', поэтому на основании (4.51)

1	1	1 COS а — Coss’

~ “Ь - ~	~	cos а

«	<	1

Так как s'=—е, и' = — a, cos(—а) == cos а = cos а', тогда
J_ + J- = о,
S'- s

откуда

s'=—s.	(4.66)

Линейное увеличение

? =	1 =const.	(4.67)

Выражения (4.66) и (4.67) показывают, что плоская отражающая
поверхность отображает предмет в натуральную величину и не
деформирует падающий на нее гомоцентрический пучок лучей, т. е.
плоское зеркало отвечает всем положениям идеальной оптической
системы.

Построение изображения через плоскую отражающую поверх-
ность может быть выполнено следующим образом (см. рис. 47).
Допустим, что на плоскую поверхность РР из точки А падает
расходящийся пучок лучей АМО. Луч АО падает перпендикуляр-
но к поверхности, поэтому угол падения равен нулю и отражен-
ный луч пойдет обратно по направлениюОА. ЛучАМ после отраже-
ния пойдет по направлению МА". Продолжив лучи А "М и АО до их
пересечения, найдем точку А', являющуюся изображением точки А.
Это изображение будет мнимым, и для наблюдателя, расположен-
ного в направлении отраженных лучей, кажется, что лучи выходят
из точки А'.
Глава 5.

ОПТИКА ПАРАКСИАЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ

§ 28.	Параксиальные лучи.
Уравнения для параксиальных лучей

Выше было показано, что сферические и плоские преломляю-
щие поверхности, а также сферические отражающие поверхности,
за исключением частных случаев, а следовательно, и оптические
системы, состоящие из такого рода поверхностей, не дают стиг-
матических изображений, т. е. не удовлетворяют основным по-
ложениям идеальной оптической системы. Вместо точечных изо-
бражений реальные системы дают кружки рассеяния конечных
размеров.

Для получения стигматических изображений точек, располо-
женных на оптической оси, с помощью реальных систем необхо-
димо, чтобы в уравнениях действительных лучей (4.34), (4.51)
и (4.64) соблюдались условия

cos у - — cos —X—
---------т-r—,------= const;

eos—2

COS a — cos a'	,

----------- = const;

COS a

a 4” 6 a' — e'
COS —П— — cos  n--

------------------= const.

a — г
eos——

(5.1)

Эти условия выполняются во всех случаях, когда углы а и е бес-
конечно малы. Тогда можно принять

t — S = S, t' =s' =s', sin a —о, COSa=l.

В этом случае

— ns-(-n's' = — nt + n't',	(5.2)

т. e. оптический путь осевого луча равен оптическому пути лю-
бого другого луча, образующего с оптической осью бесконечно
малый угол о.

При бесконечно малых углах а, е, а следовательно, и и', е'
правые части уравнений (5.1) равны нулю и для (4.34), (4.51) и
(4.64) получим выражения:
для сферической преломляющей поверхности
п' п ч' — п
——     — —. *
S S г

для плоской преломляющей поверхности

=0;

S S'

для отражающей сферической поверхности

1	< _L = £

s' "Г" S г

(5.3)

(5.4)

(5.5)

Как видно из (5.3) — (5.5), координата s' остается постоян-
ной для данной величины $, т. е. все лучи, выходящие из точки
А под любыми, но малыми углами, после преломления пересе-
каются в одной точке — точке изображения А'. Следовательно,
гомоцентричность пучка не нарушается и точка предмета, распо-
ложенная на оптической оси, отображается стигматически.

Лучи, образующие малые углы а и а' с оптической осью и
малые углы в и s' с нормалью к преломляющей поверхности назы-
ваются параксиальными лучами, а область вокруг оси,
внутри которой распространяются эти лучи,— параксиаль-
ной областью. Углы о и о' для параксиальной области в
дальнейшем будем обозначать через а и а', как и для идеальной
системы.

Формулы (5.3) — (5.5) называются уравнениями парак-
сиальных лучей в отрезках вдоль оси и могут быть исполь-
зованы для расчета хода лучей через преломляющие поверхности.

Таким образом, для параксиальной области имеем sin a ss <з = а.
Эту область нельзя определить однозначно. Все зависит от вели-
чины s' и от ошибки, с какой она должна быть определена.

§ 29.	Фокусные расстояния преломляющей поверхности

Уравнение (5.3) для параксиальных лучей позволяет найти
фокусные расстояния преломляющей поверхности.

Возьмем преломляющую поверхность радиуса г, разделяю-
щую две среды с показателями преломления пип' (рис. 48). Из
точки А, расположенной на оптической оси, проведем лучи АМ2;
после преломления сопряженный ему луч в пространстве изобра-
жений MzA' пересечет оптическую ось в точке А. Если точку А
перемещать вдоль оптической оси по направлению к вершине
преломляющей поверхности О, го сопряженная точка А’ будет
удаляться от поверхности. При определенном положении точки А
изображение ее будет находиться на бесконечно большом расстоя-
нии от поверхности, г. е. луч пойдет параллельно оптической оси.
Очевидно, что точка на оси, изображение которой находится в
бесконечности, будет являться передним фокусом преломляющей
поверхности F.

Если точка 4 находится на бесконечно большом расстоянии от
точки О, то луч ДАЛ, выходящий из этой точки, после преломле-
ния пересечет оптическую ось в точке F', являющейся задним
фокусом преломляющей поверхности. Так как точки М\ и М2 яв-
ляются общими точками для падающих и преломленных лучей, то
точка Mi должна лежать в задней главной плоскости, а точка
М2—в передней главной плоскости преломляющей поверхности.
В параксиальной области эти точки находятся на бесконечно ма-
лом расстоянии друг от друга и от вершины О, поэтому можно

Рис. 48. Фокусные расстояния преломляющей поверхности

считать, что обе главные плоскости совпадают и лежат в плоскости,
касательной к сфере в ее вершине О, т. е. можно считать, что
OF — ~f и OF'=f'.

Из (5.3) при s' = со следует

Так как в этом случае s = f, то

Полагая $=—оо (s' = f), получим выражение для заднего
фокусного расстояния

г =7^-	<5-7)

Из (5.6) и (5.7) видно, что фокусные расстояния сферической
преломляющей поверхности зависят от ее радиуса кривизны г и
показателен преломления пип' обеих сред.

Взяв отношение (5.6) к (5.7), получим весьма важное выражение

т. е. отношение фокусных расстояний равно отношению показате-
лей преломления сред, взятому с обратным знаком.

Напишем (5.6) и (5.7) в виде

_Л==<п£==ф	== ф)	(5.9)

f	Г	' Г	Г	'	'

где Ф —оптическая сила преломляющей поверхности.
§ 30. Инварианты для параксиальной области

Сгруппировав в (5.3) все члены, относящиеся к пространству
предметов, в правой части, а относящиеся к пространству изобра-
жений — в левой части, получим

« = "(т-т) ="'(?--т)-	<5-10)

Эта формула носит название инварианта Аббе для сферической
преломляющей поверхности в параксиальной области.

Инвариант <2$ может быть получен также из инварианта Аббе
(4.32) для действительных лучей, если положить ! = $ = $ и
f = s’ = s'.

Инвариант Qs для двух сопряженных точек, находящихся на
оптической оси, есть величина постоянная, не зависящая от углов
а и а'. С изменением положения сопряженных точек на оси вели-
чина Qs будет изменяться. Qs изменяется также при переходе от
одной преломляющей поверхности к другой, поэтому не является
полным инвариантом.

Оптический инвариант или закон преломления (1.6) для па-
раксиальной области будет равен

п& = п'е'.	(5.П)

Напишем (5.11) для двух поверхностей:
первая поверхность

Н1£ 1 = /Т1 £1,
вторая поверхность

Пг&2 — П.^2.

Величины п\ и Пг, как уже указывалось, относятся к одной и
той же среде, поэтому п\ =ti2, но ei =h «г и знака равенства между
инвариантами для первой и второй поверхности поставить нельзя.
Произведение пе сохраняет численное значение только при пере-
ходе через одну поверхность, т. е. также не является полным
инвариантом.

Принимая sin ai — ai = сц и sin а/, = = а& для инварианта
(4.14), получим

J ~ tiydyi.} — nkdy'a-k.	(5.12)

Выражение (5.12) является инвариантом Лагранжа — Гельмголь-
ца в параксиальной области для системы, состоящей из k пре-
ломляющих поверхностей.

Инвариант (5.12) является полным инвариантом; он показы-
вает, что отрезок прямой или часть площадки, перпендикулярных
к оптической оси, при прохождении лучей через систему прелом-
ляющих поверхностей, может изображаться в виде совершенно-
го (идеального) отрезка или площадки.
При изложении теории идеальной системы была получена фор-
мула Лагранжа — Гельмгольца (3.25), т. е.

/#tga = —f/tga.	(5.13)

Уравнение (5.13) справедливо для любых углов а и а' и при
каких угодно значениях у и у', следовательно, оно будет спра-
ведливо и при малых величинах а, а' и у, у', т. е. ив паракси-
альной области, поэтому можно написать

fdya. — — Г dy'а'.	(5.14)

При выводе формулы Лагранжа—Гельмгольца не ставилось каких-
либо ограничений относительно типа оптической системы и ее
устройства, поэтому можно считать, что она справедлива для
любой оптической системы.

Напишем (5.14) в следующем виде:

fdya.[ = — f'dy'a.’k,	(5.15)

где / и f являются передним и задним фокусными расстояниями
системы. Сопоставляя (5.12) и (5.15), приходим к отношению

Ранее такое отношение было получено применительно к одной
преломляющей поверхности. Теперь мы видим, что (5.15) спра-
ведливо для любой оптической системы.

Если пространство предметов и пространство изображений си-
стемы представляют собой однородные среды, тогда П\ — п'и и

-f = r,	(5.17)

т. е. фокусные расстояния оптической системы равны друг другу
по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Случаи,
когда п\ ф rik, встречаются сравнительно редко. Примером нера-
венства показателей преломления может служить подводная фото-
графия, иммерсионные объективы микроскопов («i =Н= 1, /г* = 1), а
также оптическая система глаза («1 = 1, п* 1).

Используя отношение (5.16), из (5.13) найдем

«i?/tgai = nkyf tg<4.	(5.18)

Формула (5.18) является уравнением тангенсов или инвариан-
том Лагранжа — Гельмгольца для идеальной системы.

Реальные оптические системы, как было показано выше, мо-
гут дать совершенное изображение отрезков малой величины при
выполнении уравнения (4.14)

mdys'm oi = nkdy' sin а .	(5.19)

Инварианты (5.18) и (5.19) совместимы только в том случае, когда
углы ai =а> и	бесконечно малы (tga = sin а = а) и вели-

чины предмета и изображения также малы,
Таким образом, можно сказать, что идеальная оптическая си-
стема осуществляется только в параксиальной области реальных
систем. Следовательно, все положения и формулы идеальной си-
стемы справедливы для параксиальной области. Поэтому для
идеальной системы и параксиальной области углы лучей с опти-
ческой осью обозначаются одинаково — через а и а'. Однако урав-
нение (5.18) имеет большое практическое значение, так как оно
выражает собой требования, которым должна удовлетворять оп-
тическая система, строящая изображение широкими гомоцентри-
ческими пучками лучей.

§ 31.	Вспомогательные параксиальные лучи

При решении ряда практических задач прикладной оптики
возникает необходимость производить расчет хода лучей через
оптическую систему, состоящую из преломляющих и отражающих
поверхностей, при конечных значениях углов а и величине пред-
метов, считая систему идеальной. Формулы (3.44) — (3.46) и (3.52),
полученные для расчета хода лучей через идеальную, систему,
непригодны для этих целей, так как она задается главными плоско-
стями и радиусы кривизны в них отсутствуют. Непригодны для
этих целей и формулы для параксиальных лучей из-за малых
углов и высот, образованных этими лучами. Поэтому вводят по-
нятия о вспомогательных параксиальных лучах.

Возьмем на оптической оси преломляющей поверхности две
пары сопряженных точек — А„ Av и Р„ Р, (рис. 49). Расстояния
от преломляющей поверхности до сопряженных точек Р, и Р\
обозначим соответственно через s/>, и Sp',. Тогда А., и А’ связаны
уравнением параксиальных лучей (5.3)



Аналогичное уравнение можно написать и для сопряженных точек
Р, и Р„:

(5.20)

Очевидно, что отрезки sv, s, и s/>„ s₽>v на рис. 49 — это отрезки
параксиальных лучей.

Обычно в практике вычислений используются два луча, поэтому
возьмем две точки /Wj и Л4?, лежащие на касательной к вершине
преломляющей поверхности, которая является продолжением глав-
ных плоскостей в параксиальной области. Эти точки находятся на
конечных расстояниях (высотах) /г. и от оптической оси. Точку
Mi соединим прямыми с точками А, и А,, а точку М2— с точ-
ками Р, и Р». Продолжение прямой М2Р„ до пересечения ее с
перпендикуляром к оптической оси, проведенным через точку А„
даст точку В,. Отрезок А,В^=у будет являться предметом, г
сопряженный с ним отрезок А,ВЧ =—у' — изображением.

Полученные таким образом ломаные линии А,Л41А, и В^МгР
называются вспомогательными параксиальными л
чами. Эти лучи называют также нулевыми лучами.

Рис. 49. Первый <j4.vjV4(> и второй (ВуЛ43) параксиальные лучи преломляюше:
поверхности

Вспомогательные параксиальные лучи это фиктивные лучи
они в действительности не могут существовать в оптических си-
стемах потому, что преломляются не на поверхности, а в точка:
Mi и М2, расположенных в фиктивной главной плоскости прелом
ляющей поверхности. Таким образом, преломляющие поверхносп
заменяются фиктивными главными плоскостями; этим самым от
тическая система, состоящая, допустим, из k преломляющих по
верхностей, заменяется идеальной системой, состоящей из того
количества поверхностей.

Несмотря на фиктивность вспомогательных лучей, они оказь
ваются практически очень удобными благодаря следующим свои
ствам: а) они отрезают па оптической оси отрезки s, и s„ а также
sP, и s₽.s, соответствующие параксиальным лучам; б) углы а„ а.,

8", и высоты /г, и обычно не намного отличаются от углов i
высот реальных (действительных) лучей, проходящих через опть
ческую систему; в) формулы для расчета хода вспомогательны?
нараксиальных лучей значительно проще аналогичных формул
(|ригономегрических и в векторной форме) для действительных
лучей. Указанные особенности вспомогательных параксиальных лу-
чей дают возможность просто и быстро проводить аналитическое
исследование оптических систем.

В дальнейшем луч	проходящий через точку предмета

А„ расположенную на оптической оси, и образующий с оптиче-
ской осью конечный угол я„ будем называть первым вспомога-
тельным параксиальным лучом иля просто первым па-
раксиальным лучом, а луч В,М-2, идущий из точки предмета,
расположенной вне оптической оси, проходящий через точку Р? и
образующий с оптической осью конечный угол [3„ — вторым вспо-
могательным параксиальным лучом или вторым па-

раксиальным лучом.

Уравнением первого параксиального луча в отрезках вдоль
оптической оси является формула (5.3), а для второго паракси-
ального луча— формула (5.20).

Инварианты Аббе и Лагранжа — Гельмгольца: первый парак-
сиальный луч

J =	-=nky'a.'k\

второй параксиальный луч

Г 1 И 'Г 1 I

LSPV	[ "p-V Г-

J = nitfiiPi = wifii

(5.22)

§ 32.	Формулы для расчета хода первого и второго
параксиальных лучей

Уравнения первого и второго параксиальных лучей (5.3) и (5.20)
для произвольной поверхности v имеют вид (рис. 59)

пу-ц  «у _	— «V .

s'	S,	'у

«У-Ц%______ПУ-Ь1 — ». .

Sp'y	Spi

Отсюда для координат s, и зР', получим

(5.23)

(5-24)

(5.25)

(5.26)

Переход к поверхности v + 1 производится по формулам

Sv4-1 = -Sy d?,	(5.27)

Spy*v i == ^p'y  d-t.	(5.28)

В результате расчета хода лучей находят отрезки s' и s’ „ опреде-
ляющие положение изображений после каждой поверхности.

Как и в случае идеальной системы, в практике вычислений
используются формулы, в которые входят углы а, р и высоты h и у.

Из рис. 50 следует

И	h	и	ц

*у -= — , *,+ , = -4 ,	, Р»+1 —-Т- 	(5.29)

'у	4Р'У

В (5.29) величины а и 0 представляют собой тангенсы углов.
Помножив каждый член (5.23) на конечную величину hv, а

>4) —на конечную величину у>, учитывая (5.29), найдем

nv+iav+i —	= h. -2±L--1;	(5.30)

Рис. 50. Ход первого и второго параксиальных лучей через поверхности v и v 1

отсюда

+ h.

I

(5.32)

=	+	г-<.	(5.зз)

Для определения высоты h,+i и у-,+1, необходимы переходные
формулы.

Из рис. 50 легко найти

= й, —	(5.34)

z/,+i =//, —d^,+i.	(5.35)

Если оптическая система состоит из k преломляющих поверх-
ностей, то на основании (5,32) и (5.34) для первого параксиального
луча можно написать следующую систему уравнений:

ой = hi/s\;

П1	t

7-2  - — a । 4' Й i
n2

ll_i ~ li; — di<X2;

»1

h\ ~ hk-\ ---- d;—\ai;

(5.36)

 nk , ,
О-,. = —	-“Г

nk

?>k =	.

nk-nk


Из расчета хода первого параксиального луча можно определить
линейное увеличение в сопряженных точках At и Л*. Обозначая
линейное увеличение для параксиальной области через £о» на осно-
вании (4.15) будем иметь

rt I а 1

₽о =	.	(5.37)

nkak

Напишем (5.37) в виде
й —	°2	а*

n'k ®2 “3	ак'

Так как

тогда

П[ S|S2 . . . sk
п'к S|S*2 •  •

(5.39)

Формула (5.39) используется в том случае, когда луч рассчитан
по уравнениям (5.25) и (5.27).

Для углового и продольного увеличений в соответствии с (4.19')
и (4.23) для параксиальных лучей найдем

«1 1

Т° ' n'k ’

а0 =-ро2=

п\ 10 nk \“ft /

(5.40)

(5.41)

Формулы (5.40) и (5.41) могут быть получены из (3.30) и(3.34),
если в последних отношение фокусных расстояний заменить от-
ношением показателей преломления по (4.16). Отсюда также
видно, что между идеальной системой и параксиальной областью
имеется полное соответствие. Уравнения (5.37) и (5.40) могут
быть получены также из инварианта Лагранжа — Гельмгольца.

Если рассчитать ход первого параксиального луча при si =—со,
то можно определить положение заднего фокуса системы относи-
тельно последней поверхности и заднее фокусное расстояние ее
(рис. 51). Расчет хода луча производится по формулам:

а, = 0;

а.' = h[

— П]

h? = h\ — d\a.2\

(5.42)

hk =	—14—

nh	'К —

а'г = -4 -I- hk —г—

nk	nkrk

sk === sf1 —- h k/ct^.
Заднее фокусное расстояние системы

f ~ h\!зк и Su’ = sf' — Г.

/читывая (4.38) и выражение h\ = sia2, найдем

sls2 • • • sk

S2S3 • • • sk

(5.43)

^ис 51. Заднее фокусное расстояние Г и задний фокальный отрезок s'p, системы
из Л преломляющих поверхностей

Для нахождения переднего фокусного расстояния и положения
тсреднего фокуса системы необходимо рассчитать ход параксиаль-
юго луча в обратном направлении.

Система формул для расчета хода второго параксиального луча
шеет вид:

Pi = y\lsp,
П\

₽2 = —-ф У!

yi = у\ — d$2;

«2 — П\

П2Г\

У>< = уь—i — dk_$k;

-Пк a t , пь — nb
в: = — p* + yk-t—_k.

Линейное увеличение в сопряженных точках Р\ и Р\

»Ф| = л 22

пк Ук Ьр

(5.44)

(5.45)


Если система состоит из плоских
лучей производится по формулам:
первый параксиальный луч

поверхностей, то расчет хода

ai = h\/s\, а.2 = — си;

"2

/12 = ^1 — dia.2',

hk = hk— 1 — cf*_i<x*; I

"ft '	'

ak = — st = hkla.^, I

J

(5.46)

второй параксиальный луч

Расчет хода параксиальных лучей может быть выполнен так-
же по формулам (4.58) — (4.62), если в них синусы углов заменить
углами.

§ 33. Уравнения параксиальных лучей,
отнесенных к произвольной паре сопряженных точек

Из приведенных выше формул (5.25) и (5.32) видно, что при
изменении координаты si каждый раз нужно производить расчет
хода первого параксиального луча через всю систему для опреде-
ления координаты s* и линейного увеличения ро. Поэтому найдем
выражения, позволяющие на основании данных расчета только
одного произвольно взятого параксиального луча определить необ-
ходимые величины для любого другого параксиального луча. Для
этого установим сначала связь между высотами hwy, углами a
и р и координатами s и

На основании инварианта Лагранжа — Гельмгольца (5.21) для
первого параксиального луча можем написать

I = п\уа.\ = nky'a-k‘

Из рис. 52 имеем:

У~ (sp — si)Pi; I
У! = (s'p’ — s'k) pl, J
100

(5-48)

(5.49)
но

Рис. 52. Ход первого и второго параксиального лучей через систему из k пре-
ломляющих поверхностей

Умножая все члены первого выражения (5.50) на aiPi, а вто-
рого— на <х*р*, получим

уа.\ = z/ia] — /г^;

у укдк hk3k.

(5.51)

С учетом (5.51) инвариант (5.48) будет равен

I = и, (рюи — /1^1) = п'к — h$'k).	(5.52)

Если из (5.52) исключить углы а и р, то

I = П\(Sp — S1) —- = nk(sP' — Sit)-7-7- ,
sls₽	Vr ’

или

1 = Л| (т'-=/г^7г~7"У'^	(5-53>

Для высот hi и yi имеем
hi ~ h\—dia21	(5.54)

{/2 = yi — d,p2.	(5.55)

Исключим из (5.55) угол fb с помощью (5.52).
101
Для первой поверхности (5.52) может быть написана в виде

I = «I (/ла, —	= п2 (yia2 — Й1Р2).	(5.56)

Из (5.56) можно получить выражения для углов pi и 02 в за-
висимости от ai и а.2:

=	<6-57>

У\ Т

₽2==	(5.58)

Подставив в (5.55) вместо р2 его значение из (5.58), найдем

у? = у\-— dj	-га2-гт]	(5-59>  Л ।	tt^fl ।

пли

y2 = |i(/z,_dia2)+(5.60)
'I I

Формула (5.60) может служить для определения высоты, на
которой второй параксиальный луч пересекает вторую преломляю-
щую поверхность.

Принимая во внимание (5.54), будем иметь

у2 = ^ fi2 + Ift2 .	(5.61)

v Л) 1 n2hth2	'	’

Аналогичным путем для высоты уз на третьей преломляющей по-
верхности можем написать

//1	/ d\	dn \	.

у3 = -2/г3+1Лз(—гЛ- + —A-l	(5.62)

/11	I n2h^h2	^з^2^з /*

Для уь на £-й поверхности

f/l	“1	“2

~~	n2hyi2

dk—\
nkhk-lhk

(5.63)

Напишем (5.63) в виде

Uk __ _L Т V

~ 2j ’

Введем обозначение

тогда

Л У\ < тс
iik ~ ~+ I5s*

(5.64)

(5.65)

(5.66)
Формула связи между углами aZ и [3* на основании (5.58) будет
равна

а	Ук .	I

рА = -Т- аА-------чГ ’

^А

(5.67)

или, учитывая (5.66),

Hv

Уравнения (5.66) и (5.68)
и (За второго параксиального
его через систему.

Из (5.53) имеем

+1 S' a.

/ _ 1

n'khk

(5.68)

позволяют вычислить координаты уи
луча, не прибегая к расчету хода

1

1 1 3
—г — -Г-	п

sk sp’

Так как на основании (5.66)

У к hk '
У} h\

n'khid)k

Г1	1

Й!

У\

(5.69)

(5.70)

и принимая во внимание, что

I = П\

для (5.69) получим

1
i
s'k

или

— + nih2Ss

(5.71)

1 «ДЧ

2 Г

1
1
S1 “

Из (5.71)

_i____i_ =2LiZM2

4 sp' n'k v* /

легко получить

f

si

nk\hk

sp

i___________

—) + n}h2Ss

— n}h\Ss

р‘

(5.72)

(5.73)

или

si

1 1

j =________________4 4________________

SP n\!h\\2	.2	/ 1	1 '

₽ -Г —I — ''|Л1 л~ — ~
nk\k)	\k

(5.74)
Уравнения (5.71) и (5.73) служат для определения координат sp
или s'p- второго параксиального луча по результатам расчета хода
первого параксиального луча.

Выражения, связывающие инварианты преломления Аббе для
первого и второго параксиального лучей с инвариантом Лаг-
ранжа — Гельмгольца, можно получить следующим путем.
Согласно (5.21) и (5.22) имеем

Qp. — Qs.	—	(5.75)

В соответствии с (5.53)

и

Qp-> Qv> = h и •	(5.76)

'^уУ у

Порядок определения координат второго параксиального луча
может быть рекомендован следующий. Из расчета хода произволь-
ного первого параксиального луча по формулам (5.25) и (5.27)
будут известны координаты si, s2, s2, ... ,s*. По найденным зна-
чениям s вычисляют высоты h2, ha, .. ., hu по формуле

hk = А- ,	(5.77)

sk-\

предварительно приняв любое значение h\. Затем определяют вели-
чину Ss по формуле (5.65). Задавшись произвольным значением у\,
вычисляют величину уь. по (5.66), предварительно определив I по
(5.53) по заданной координате sp. Координата s'p- вычисляется по
(5.71) или (5.72). По уравнению (5.73) решается обратная задача.

Если расчет хода первого параксиального луча выполнен по
формулам (5 36), то значение всех высот h будет известно и опре-
деление координат второго параксиального луча начинается с фор-
мул (5.65) и (5.66).

§ 34.	Формулы для определения фокусных расстояний
и положения кардинальных точек линзы конечной толщины

Для получения изображений одиночные сферические поверх-
ности, за исключением отражающих, практически не применяются.
Самые простые системы обычно состоят из трех прозрачных сред,
которые разделены двумя сферическими или одной сферической и
плоской поверхностями. В большинстве случаев первая и третья
среды имеют одинаковые показатели преломления. Такие систе-
мы называются линзами. Линзу можно рассматривать как слож-
ную систему, состоящую из двух простых — двух сферических по-
верхностей (рис. 53).
Для определения
нальных точек линзы
раксиалыюго луча:

фокусного расстояния и положения карди-
применим формулы (5.42) для первого па-

®i = 0;

(5.78).

(5.79)

(5.80)

Рис. 53. Ход первого параксиального луча при <xj = 0 через линзу конечной толщины

Подставляя (5.78) и (5.79) в (5.80), найдем

, гп2 — п. п^ — п9 , (л2 — П.) (п, —< П„)1

аз = Л1 —------ + -2---- — d и--------------22 .	(5.81)

[ «Зл1	"зг2	«2лЗг/2 J	7

Из рис. 53 имеем

hi

а3 =	(5.82)

Приравнивая (5.81) и (5.82), получим

1	"2~"1 । "з-«2	. (л2 - ”1) ("з - «г)

Г ~ Ы + п3г2	а

откуда

с,______________________n2n3rlr2____________________

' ~	——n2) — d(/12 —ni)(”3“«2) ’

Переходя к оптической силе линзы, будем иметь

П3 И2-«1  П3~ п2 . (n2 — nl)(n3 — n2)

f Г]	Г2	П2Г1Г2

(5.84)

(5.85)

Расстояние от второй поверхности до заднего фокуса линзы —
задний фокальный отрезок

 _ , ”2 —”1

•	^2 _	n2r 1

SF' ~ ~“3 ~ П2 ~ Л1 п3 ~ п2 (а2~ Л1)(”3~»2)'

«Зг1	,!Зг2 d «2лЗг/2
После преобразования с учетом (5.84) найдем

Расстояние точки ее	(5.86) от второй поверхности линзы до задней главной  SH' = sF. -Г = -f	у.	(5.87)  п2	Г1

Рассчитав ход первого параксиального луча в обратном направ-
лении, найдем

nin2r\r2  ~ и2г2 (га2 — raj)га2Л] (га$ — n2) — d (п2 — ra0 (ng — га2) ’	( 	)
п,	п2~п,	Пъ — п9	, (п2 — nA(tv> — п,Л	„„V  Ф 		Л = —	L + -2	2 — d		-1- (5.89)  I	г\	г-г.	«2</2	V ’
<М°)
=	(5-91)

Расстояние между главными точками линзы

НН' = А„ - d-s„ + s„. _ «[1 - f "-^-Г	(6.92)

Из (5.85) и (5.89) видно, что
n. n,
----------------------------L = 2. = ф
f r 

Если линза находится в воздухе, т. е. ti\ = газ = 1 и «2 = п, то

_______________«£/2_______________.

[п — 1] (га (г2 — Г|) + d (га — 1)] ’

= [«

(п — I)2 4

«	г/2 ’

(5.93)
Произведение sFsF, дает следующую простую формулу:

5Л‘ = —	4]>	(5-94)

которая может служить для определения одной из величин sF или'
s'F,, если известна другая. Единицей оптической силы Ф линзы яв-
ляется диоптрия (дптр), которая равна оптической силе линзы>
в воздухе с фокусным расстоянием, равным 1 м.

§ 35. Бесконечно тонкие линзы.

Системы из бесконечно тонких линз

Бесконечно тонкой или просто тонкой линзой называется такая
линза, толщина которой очень мала по сравнению с радиусами
кривизны преломляющих поверхностей.

Принимая для тонких линз в воздухе d = 0, из выражений (5.93)
получим

= f =_________22______.

'	' (п — I) (г2 — Г,)’

— 0, sH, — 0;

Д// = 0.

Так как тонкие линзы задаются главными плоскостями, то для
двух тонких линз, расположенных на расстоянии d друг от друга,
будут справедливы формулы (3.67):

с__ cr

-1-1 ~ +	:

Ф = Ф| -ф Ф‘2 — £/Ф|Ф2.

Расстояние от второй тонкой линзы до заднего фокуса — задний
фокальный отрезок системы из двух линз

1 — ДФ,
а'  ----х---•

г	ф

Когда тонкие линзы находятся в соприкосновении, то d — О а

Ф] "J- Фу = Ф;

aF,=f.

Если система состоит из е тонких линз, то оптическая сила ее
определяется выражением

Ф = ДГ S (ЛФ)..
Формулы для оптической силы Ф называют также уравнения-,
ми масштаба, так как от них зависят величина (масштаб) изоб-
ражения и габариты системы.

При увеличении расстояний между тонкими положительными
линзами величина Ф может быть положительной при мнимых точ-
ках F и F', равной нулю (—f—f' = °°) и отрицательной при дей-
ствительных фокусах F и F'. Таким образом, комбинация из двух
тонких линз может быть положительной, отрицательной и афо-
кальной.

Расчет хода лучей через систему из I тонких линз, если заданы
их фокусные расстояния и воздушные промежутки, производится
по формулам (3.53), которым придают вид: первый параксиаль-
ный луч

aj = /i|/ai;

а? = а, + Й1Ф1;

h> = h\ —

= а* + hk^k’i
a-k — hkla.k‘, Po = «i/ед
второй параксиальный луч

Pi = Di/ap;

₽2 = pl + #|ФЬ-
уч = yi — а^г;

• ••••»••
p* = Pfr—y&k',
®p' = ykl^ki Pop = Pi/Pfe-

§ 36.	Сферические зеркала

Уравнение первого параксиального луча для сферической от-
ражающей поверхности, т. е. сферического зеркала, согласно (5.5)
имеет вид

_1_ ।	_ 2

s' ' S Г ’

Для определения фокусных расстояний сферического зеркала
воспользуемся уравнениями для сферической преломляющей поверх-
ности (5.6) и (5.7), т. е.

г _	ПГ Г, ____ п'г

' п' — п ’ п' — п"

Полагая п' = —п (рис. 54), будем иметь

/ = 7'=уг.	(5.96)
В„ сферическом зеркале оба фокусных расстояния равны между
собой; оба фокуса совпадают и находятся на середине между
центром сферы и ее вершиной. Обе главные плоскости также сов-
падают и проходят через вершину отражающей поверхности. При
соблюдении указанного выше правила знаков фокусное расстоя-
ние вогнутого зеркала будет отрицательным, а выпуклого — поло-
жительным.

j ак как л =	, то

уравнение первого парак-
сиального луча в отрез-
ках будет равно

1 + 4 = 7- (5-97)

Аналогичное уравнение
можно написать и для
второго параксиального
луча:

i+v~T- р-98)

Умножая (5.97) на h,
а (5.98) на у, найдем
уравнения для первого и
второго параксиальных
лучей, выраженные через
углы
и

Рис. 54. Отражение первого и второго парак-
сиальных лучей от сферического зеркала

«2 4"	= h/f

Р2 + Pl = ylf 	(5.99)

Формула Гаусса (3.16) для сферического зеркала с учетом (5.96)
4+4-г	<5-100)

Для сферической отражающей поверхности a=s и a'—s', поэтому
формула Гаусса и уравнение для первого параксиального луча
имеют одинаковый вид.

Уравнения Лагранжа—Гельмгольца для первого и второго пара-
ксиальных лучей

t/aj =	mPi = — m'₽2.

Линейное увеличение

Ро = —ai/atz, Pop = —Pi/p2.

§ 37.	Переход от бесконечных тонких линз
к линзам конечной толщины

Оптическая система, состоящая из бесконечно тонких линз,
является только первым приближением при расчете оптических
систем. Для нахождения конструктивных элементов реальной
оптической системы необходимо перейти к линзам конечной

толщины.

При переходе к реальной системе наиболее целесообразным
является сохранение углов а с осью первого параксиального луча
и значений ординат h. При таком способе перехода сохраняются
без изменения фокусные расстояния отдельных простых систем

Из рис. 55 имеем

_ h_
а + $н а’

и их групп, а также мас-
штаб изображения.

Рассмотрим преобра-
зование одиночной линзы.
Допустим, что первый па-
раксиальный луч образу-
ет с оптической осью

углы си, «2 и а3, а орди-
наты точек пересечения
этого луча с главными
плоскостями равны h,
причем высота h соот-
ветствует высоте падения
луча на тонкую линзу
(рис. 55). Будем считать,
что высоты hi и /г2 мало от-
личаются от высот точек
преломления луча на пер-
вой и второй поверхнос-
тях.

откуда

Л.	Su

— = 1 + —
h 1 а ’

(5.101)

Аналогично для отношения высоты Лг/Л, найдем

^2
h

sn

а'

(5.102)

Величины stl и sH, для линзы в воздухе могут быть определены
по формулам (5.93), т. е.

Радиусы кривизны и и гг для линзы конечной толщины неизвестны.
Для решения задачи в первом приближении эти радиусы можно
заменить их значениями для тонкой линзы (rOi и Гог).

Уравнения первого параксиального луча (5.36) для тонкой линзы
в воздухе примут вид

па.2 — at = h -—
roi
п — 1

Па2 — О| ’

П— 1
да2 — «з ’

получим

(5.103)

= h

= h

U-3 - IIU.% =» -/4- -— .

r02

Откуда

Пи

Г02

Подставляя (5.103) в (5.93),

soh ~ 'У (аз	Па2) 7Г ’

w = T(ai~na2)4-

Из формулы (3.52) для тонкой линзы можем написать
, h
аз = а.) + -р-,
поэтому

Заменяя в (5.104) отношение f'/h через (5.105), получим

(5.105)

_ d_ а3 ~па2 .
$0/7 п ag — а । ’
,	_ d “1 — пя2

SOH' п а3 — а ।

(5.106)

Величины sOH и sQH, в (5.106) соответствуют положению главных
точек при условии, что линза конечной толщины имеет радиусы
кривизны тонкой линзы.

Для линзы конечной толщины можем написать формулы первого
параксиального луча, аналогичные тонкой линзе

. п — 1

/гаг —ai — П{ —-—;

. п — 1

аз —Наг = —Л 2----,

г2
отсюда для радиусов кривизны найдем выражения

ri = Ai

n—i

п — h2

na.j — <Z| ’

П— 1

(5.107)

Возьмем отношения (5.107) к (5.103), тогда

n = roi—;

/г2

Г2 = Г02 —

(5.108)
Заменяя отношение высот из (5.101) и (5.102), принимая s
= so // и s'h' = s0H» найдем

Г Г [ 1 I S°H 1.
П == Г01 11 Ч-— ,

(5.109)

Значения son и s'0H, в (5.109) определяются по формулам (5.106),
а значения отрезков а и а' берутся из результатов расчета системы,
состоящей из тонких линз. Для определения soH и s'0H, необходимо
предварительно рассчитать ход первого параксиального луча под
заданным углом сц, принимая n =roi и п — го2, и выбрать толщину
линзы d.

Координаты sj и «2 будут равны

si=a + s0/Y, s’^a’ + s'QH,.

Переход к линзам конечной толщины может быть осуществлен
следующим образом. После определения толщин линз, зная а, ра-
диусы кривизны линз конечной толщины вычисляются по формулам
(5.107), в которых hi —D/2 и h.2 = h\—da.i, затем по (5.93) вычис-
ляют s„ и s' .
п п

Первая линза конечной толщины устанавливается в оптичес-
кой системе так, чтобы ее передняя главная точка совпала с тон-
кой линзой, после чего ее последующие линзы, если преобразо-
вание производится по формулам (5.109), отодвигаются от их
первоначального положения на расстояние, равное расстоянию
между главными точками. При переходе от тонких линз к лин-
зам конечной толщины делается ошибка, состоящая в том, что
при вычислениии положения главных точек линзы конечной тол-
щины берутся радиусы кривизны тонкой линзы. Но эта ошибка
обычно невелика и не имеет значения.

Иногда приходится решать обратную задачу преобразования
системы линз конечной толщины в систему из тонких линз. Та-
кое преобразование выполняется по формулам (5.109), при этом
для вычисления Su и s'h> пользуются выражением (5.93).

При изменении входного отверстия системы встает задача
преобразования данной системы конечной толщины в другую
систему также конечной толщины. Решение этой задачи произво-
дится следующим образом: преобразуют данную систему линз
сначала в эквивалентную ей систему тонких линз, а затем эту
систему преобразуют в систему линз требуемой новой толщины. ,
Глава в.

ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

§ 38.	Диафрагмы и их значение

При рассмотрении теории идеальной системы ее поперечные
размеры не принимались во внимание.

Отдельные части реальной оптической системы, например,
линзы, зеркала и призмы, всегда имеют определенные попереч-
ные размеры, которые ограничивают ширину пучков лучей, про-
ходящих через оптическую систему. Кроме того, в оптических
системах приходится ставить специальные преграды в виде све-
тонепроницаемых деталей с отверстиями, центрированными от-
носительно оптической оси. Все части оптической системы (спе-
циальные преграды, оправы линз и других деталей), ограничи-
вающие размеры пучков лучей, проходящих через оптическую
систему, называются диафрагмами. Диафрагмы могут
быть круглыми, полукруглыми, квадратными, прямоугольными’
и т. д. Форма диафрагмы зависит от назначения системы. В боль-
шинстве случаев они имеют круглую форму. Диафрагмы круглой
формы в некоторых системах имеют переменный диаметр (в фо-
тообъективах) .

Диафрагмы, устанавливаемые в оптических системах, пред-
назначаются для:

1)	ограничения пучков лучей, выходящих из точек предмета,
расположенной на оптической оси;

2)	ограничения пучков лучей, выходящих из точек предмета,
расположенных вне оптической оси;

3)	ограничения изображаемого оптической системой прост-
ранства;

4)	уменьшения количества вредного (рассеянного) света;

5)	специальных целей.

В качестве специальных могут быть диафрагмы, срезающие
часть пучков лучей, имеющих большие аберрации, т. е. диафрагмы
для улучшения качества изображения, вращающиеся диафрагмы,
прерывисто пропускающие свет на приемник энергии, и. т. д.

Ограничение пучков лучей, проходящих через оптическую сис-
тему, имеет важные последствия не только геометрического, но
и физического характера:

1.	Диафрагмы определяют количество световой энергии, про-
ходящей через систему.

2.	Ограничение пучков лучей вызывает дифракцию, которая
определяет предел разрешения оптической системы, т. е. тот пре-
113
дел, когда близко расположенные точки предметной плоскости
изображаются раздельно.

Если оптическая система работает совместно с глазом, то
его ’зрачок играет роль одной из диафрагм, положение и размер
которой следует принимать во внимание. При рассмотрении ог-
раничения пучков лучей в оптических системах считают, что эти
системы являются идеальными.

§ 39.	Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки

Рассмотрим ограничение пучков лучей, выходящих из осевой
точки предмета — осевых пучков. На рис. 56 показана оптичес-

Рис. 56. Ограничение пучков лучей в компоненте
кая система, представляющая собой тонкий компонент или оди-
ночную линзу в круглой оправе. Из осевой точки предмета через
компонент пройдет пучок лучей, заключенных в конусе, основа-
нием которого является диаметр оправы компонента, а вершиной
точка А. Оправа компонента, являющаяся диафрагмой, ограни-
чивает, как падающий на компонент, так и выходящий из него
пучок лучей. Плоский угол раскрытия пучка в пространстве пред-
метов составляет 2аА = Da^v- а в пространстве изображений 2з^, =
= 7?д/а', где DA—диаметр оправы компонента.

Диафрагма, ограничивающая пучок лучей, выходящих из осе-
вой точки предмета, называется апертурной диафраг-
мой. (На рис. 56 апертурной диафрагмой является оправа ком-
понента).

Допустим, впереди компонента L на расстоянии ар помещена
диафрагма Q1Q2, центр которой расположен на оптической оси
(рис. 57, а). Из точки Л через диафрагму Q1Q2 пройдет пучок лучей
с угловым отверстием 2ад = DA/(ap— а). Этот пучок, пройдя диа-
фрагму Q1Q2, попадет затем на компонент L. Чтобы пучок лучей
прошел через компонент без ограничения, необходимо выполнить
условие DL>2aaA, где Dl—диаметр оправы компонента. Если это
условие выполняется, то диафрагмой, ограничивающей пучок лучей
как в пространстве предметов, так и в пространстве изображений,
т. е. апертурной диафрагмой, является диафрагма Q1Q2. Однако если
в пространстве предметов осевой пучок лучей ограничивает непо-
средственио диафрагма Q1Q2, то в пространстве изображений егс
ограничивает изображение Q1Q2, построенное компонентом L.

Если же материальная диафрагма Q'^, ограничивающая пучо;
лучей, установлена между компонентом L и изображением/1' точкг
А и диаметр ее Ол < DL, то она будет ограничивать пучок лучен

Рис. 57. Ограничение осевого пучка лучей:

а — диафрагмой QiQ2, расположенной впереди компонент; г'>—диафрагмой	Распол«

женной позади компонента

проходящих через компонент L (рис. 57, б). Следовательно, диад-
рагма Q1Q2 будет апертурной. Однако при таком расположенш
диафрагмы следует обратить внимание на следующую особенность
Диафрагма QiQj расположена в пространстве изображений комш-
нента L, поэтому ее следует считать действительным изображением
расположенным на расстоянии ар, от компонента L. Если в прост
ранстве изображений ограничивает осевой пучок лучей диафрагм;
Q (?2,то в пространстве предметов его ограничивает изображение
QiQ2,nocTpoeHHoe компонентом L. Это изображение относится ;
пространству предметов и представляет собой мнимый предмет.

Если на приведенных выше рисунках, сначала в точках X
установить точечные источники света, а наблюдения вести щ
очек Д', а затем источники света перенести в точки А' и наблю-
дать из точек А, то будут видны светлые кружки, называемые
 Р а ч к а м и. Рассмотренные выше случаи расположения апер-
"урной диафрагмы, наиболее часто встречающиеся в практике
>птического приборостроения, дают основания сформулировать
следующие определения для зрачков.

jhc. 58. Ограничение осевого пучка лучей в системе из двух компонентов:

Q1Q2 "" входной зрачок; Q j Q% — апертурная диафрагма; Q । Q% — выходной зрачок

Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в про-
странстве предметов, или апертурная диафрагма, расположен-
дая в пространстве предметов, называется входным зрач-
: о м системы.

Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в про-
странстве изображений, или апертурная диафрагма, расположен-
ная в пространстве изображений, называется выходным
зрачком системы.

В соответствии с этими определениями на рис. 56 апертурной
диафрагмой, входным и выходным зрачками является диаметр оп-
эавы компонента; на рис. 57, а входным зрачком является апер-
"урная диафрагма Q1Q2, а выходным зрачком — ее изображение
Лфг! на рис. 57, б входным зрачком будет изображение Q1Q2 апер-
"урной диафрагмы Q1Q2, а выходным зрачком — сама апертурная
диафрагма Q1Q2.

Рассмотрим систему, состоящую из двух тонких компонентов L\
a L2, расположенных на расстоянии d друг от друга (рис. 58). Эта
система обобщает рассмотренные выше случаи.

lie
Допустим, между компонентами установлена диафрагма Q^Q2»
диаметр которой значительно меньше диаметров компонентов Ц
и L.2, т. е. является апертурной диафрагмой. Пучок лучей, вышед-
ших из осевой точки предмета A i, ограничивается диаметром оправы
первого компонента L\. Однако после прохождения первого компо-
нента часть пучка будет срезаться диафрагмой qJQ2 и через второй
компонент он пройдет без ограничений, так как Da<^Dls. Со сто-
роны пространства предметов, т. е. точки А ], представляется, что
пучок лучей, проходящих через систему, ограничивается не самой
диафрагмой Q(Q2> а ее изображением, построенным первым компо-
нентом в обратном ходе лучей. Это изображение располагается на
расстоянии ар от первого компонента и является мнимым предме-
том. Со стороны пространства изображений, т. е. точки Л2, огра-
ничение осевого пучка лучей производится также не самой диаф-
рагмой QiQ2> а ее изображением Q1Q2, построенным вторым компо-
нентом. Таким образом, изображение QiQ2 апертурной диафрагмы
Q1Q2, построенное первым компонентом, относится к пространству
предметов системы и является входным зрачком системы; изобра-
жение QjQ2 апертурной диафрагмы QiQ2, построенное вторым ком-
понентом, относится к пространству изображений и является выход-
ным зрачком системы.

Обычно положение апертурной диафрагмы задается относительно
первого компонента или передней части системы координатой аА.
Для определения положения входного зрачка нужно найти изоб-
ражение апертурной диафрагмы через часть оптической системы,
расположенной перед ней (см. рис. 58). В данном случае аА—а'р,
поэтому, исходя из формулы Гаусса, расстояние от первого компо-
нента до плоскости входного зрачка будет равно

Расстояние от апертурной диафрагмы до второго компонента
cip1 ~— ctp — - d*

Для определения положения выходного зрачка необходимо найти
изображение апертурной диафрагмы через часть системы, располо-
женной позади нее. Из формулы Гаусса для второго компонента
имеем

Апертурная диафрагма, входной и выходной зрачки взаимно
сопряжены; входной зрачок и апертурная диафрагма — через первый
компонент (переднюю часть системы); выходной зрачок и апертур-
ная диафрагма — через второй компонент; входной и выходной зрачки
сопряжены друг с другом относительно всей системы. Следователь-
но, выходной зрачок является изображением входного зрачка
Q1Q2 и наоборот.

Линейное увеличение во входном зрачке

Pop.	(6-1)

линейное увеличение в выходном зрачке

Рор, =	(6.2)

В (6.1) диаметр апертурной диафрагмы есть одновременно диаметр
действительного изображения, а в (6.2)—действительного предмета.

Линейное увеличение в зрачках

р0р = .Зо,рр2 = -^-.	(6.3)

Луч, выходящий из осевой точки предмета и проходящий че-
рез край входного зрачка или продолжение которого проходит
через край входного зрачка и, соответственно, через край апер-
турной диафрагмы, называется апертурным лучом про-
странства предметов. Луч, проходящий через край вы-
ходного зрачка или продолжение которого проходит через край
выходного зрачка и, соответственно, через край апертурной диаф-
рагмы и осевую точку изображения, называется апертур-
ным лучом пространства изображений. (На рис.
58 AQi — апертурный луч пространства предметов, а чЙг
— апертурный луч пространства изображений).

Угол <зА между оптической осью и апертурным лучом назы-
вается апертурным углом в пространстве пред-
метов. Угол между оптической осью и апертурным лучом
называется апертурным углом в пространстве
изображений.

На рис. 58 имеем

_ О________D . _ D' _ D'

’а - 2р ~2(а}~ару	~ 2р' ~ 2(а'2-ар,)’

где р—расстояние от центра входного зрачка до осевой точки пред-
мета, р' — расстояние от центра выходного зрачка до осевой точки
изображения. Апертурные углы ад и ад, связаны зависимостью

«I 1

°А- - То°А —	80 °А-

Абсолютное значение отношения диаметра входного зрачка к зад-
нему фокусному расстоянию системы называется относительным
отверстием, т. е.

D/r=-|-.	(6.4)

Величина, обратная относительному отверстию, называется диа-
фрагменным числом

K,=f'ID	(65)
Произведение показателя преломления на абсолютное значение
синуса апертурного угла

A = ni|sinaA|	(6.6)

называет!, я числовой апертурой в пространстве предметов. Соот-
ветственно

A' =n;|sina;,|	(6.7)

являются числовой апертурой в пространстве изображений.

Обычно положение и диаметр апертурной диафрагмы уста-
навливаются оптиком-конструктором при разработке системы в
зависимости от ее назначения. В этом случае определение поло-
жения и диаметров зрачков не представляет трудностей. Однако
в практике могут встретиться случаи, когда система имеет не-
сколько диафрагм, а какая из них является апертурной, неиз-
вестно. Из рассмотренных выше случаев расположения апертур-
ной диафрагмы видно, что из всех диафрагм или их изображе-
ний диафрагма (или изображение какой-либо диафрагмы), яв-
ляющаяся входным зрачком, видна из осевой точки предмета
под наименьшим углом. Соответственно диафрагма (или изобра-
жение диафрагмы), являющаяся выходным зрачком, будет вид-
на из осевой точки изображения также под наименьшим углом.
Поэтому для определения входного зрачка необходимо построить
изображения всех оправ линз и диафрагм через ту часть систе-
мы, которая расположена перед этими диафрагмами. Все полу-
ченные изображения относятся к пространству предметов. Для
нахождения выходного зрачка необходимо найти положение и
величины изображений всех диафрагм через часть оптической
системы, расположенную позади диафрагмы; эти изображения
относятся к пространству изображений.

Та из диафрагм (или изображение диафрагмы), которая вид-
на из осевой точки предмета под наименьшим углом, будет вход-
ным зрачком, а та из диафрагм (или изображение диафрагмы),
которая видна из осевой точки изображения под наименьшим
углом, будет выходным зрачком системы. Материальная диаф-
рагма, изображение которой в пространстве предметов является
входным зрачком, а в пространстве изображений выходным зрач-
ком, будет апертурной диафрагмой.

Апертурная диафрагма, а следовательно, входной и выходной
зрачки ограничивают не только осевые пучки лучей, но и пучки
лучей, выходящие из внеосевых точек предмета, т. е. наклонные
пучки лучей (рис. 59).

Лучи, выходящие из внеосевой точки предмета В ь сначала идут
по направлению к входному зрачку Q1Q2, затем, проходя первый
компонент L\, апертурную диафрагму Q1Q2 и второй компонент Т2,
собираются в точке В2> как бы выходя из выходного зрачка QiQ2.
Такой ход лучей вытекает из того, что точки Qi и Qi и, соответст-
венно, точки и Q2 являются сопряженными точками относительно
первого компонента, а также Qi и Qi и, соответственно, точки Q2
и Q2 — относительно второго компонента. Поэтому луч В\Р, прох<-
дящий в пространстве предметов через точку Р — центр входной
зрачка, после преломления первым компонентом должен пройтт
через точку Q — центр апертурной диафрагмы и после преломление
в компоненте идти таким образом, что как будто он выхолит и:
точки Р' — центра выходного зрачка.

Рис. 59. Ограничение внеосевого пучка лучей в системе из двух компонентен

Пучок лучей, выходящих из внеосевой точки В2 предметное
плоскости и опирающихся на входной зрачок, не весь пройде"
через систему: часть пучка будет ограничиваться оправой первой
компонента.

Лучи, выходящие из крайних внеосевых точек предмета и пр<-
ходящие через центр апертурной диафрагмы, а следовательно, т
через центры входного и выходного зрачков, называются гл a f
ными лучами. На рис. 59 луч В[Р является главных
лучом пространства предметов, а луч Р'В'ъ—глав
ным лучом пространства изображений. Лучи В{ Qi г
B1Q2 называются соответственно верхним и нижним лу
ч а м и.

Если система задана главными плоскостями или преломляю
щими поверхностями, то при определении положения и диамет
ров зрачков используются формулы для первого и второго парак
сиальных лучей. В этом случае второй параксиальный луч — эт<
луч, проходящий через центр входного зрачка. Первому паракси
альному лучу в реальных системах, если он проходит через кра!
входного зрачка, будет соответствовать апертурный луч,„ а вто-
рому параксиальному лучу, если он выходит из крайней точю
предмета, — главный луч.

Представляет интерес случай, когда апертурная диафрагма
располагается в фокальных плоскостях системы. Если апертур-
ная диафрагма помещена в задней фокальной плоскости опти-
ческой системы, то она будет являться и выходным зрачком
(рис. 60, а). Входной зрачок в пространстве предметов будет
находиться в бесконечности. Главные лучи в пространстве изоб-
ражений проходят через центр апертурной диафрагмы, т. е. че-
рез задний фокус F' системы, а главные лучи в пространстве
предметов идут параллельно оптической оси. Такой ход главных
лучей носит название телецентрического со сторо-
ны предмета. Если в плоскости изображения поместить

Рис. 60. Телецентрический ход главных лучей: а — в пространстве предметов;
б — в пространстве изображений

измерительную шкалу, то независимо от смешения предмета
вдоль оптической оси измеренная величина изображения будет
одинаковой. Поэтому телецентрический ход лучей со стороны
предмета находит широкое применение в отсчетных микроскопах,
шкаловых микроскопах и микроскоп-микрометрах, которыми
снабжены различного рода измерительные приборы.

Если апертурную диафрагму, а следовательно, и входной
зрачок поместить в передней фокальной плоскости, то выходной
зрачок будет находиться в бесконечности пространства изобра-
жений (рис. 60, б).

Ход главных лучей в этом случае называется те ле центри-
ческим со стороны пространства изображе-
ний, который используется в оптических системах с дальномер-
ными устройствами.

§ 40.	Формула Гаусса, отнесенная к зрачкам

Найдем формулу Гаусса для зрачков, т. е. для отрезков р и
р', определяющих положения зрачков относительно предмета и
изображения (рис. 61).

Линейное увеличение в сопряженных точках Л| и A’k равно

Положение сопряженных точек Р. и Р' относительно фокусов F
и F’ системы О\Ок определяется координатами г.; и zp>, поэтому
для линейного увеличения в зрачках можем написать
Формула Ньютона для точек Aj и А%:

где

Рис. 61. Ход первого и второго (В1Р) параксиальных лучег

Из (6.8) для zp и г'р’ имеем

«1 .

Zp =	~	, Zp' ~ f ^Ор,

nk Pop

тогда

21 = PH-----zk = P' — f'$Op

nk Pop

и для формулы (6.9) о учетом (6.10) после преобразования получил

Выражение (6.11) является формулой Гаусса, отнесенной к зрач-
кам.

Если т ~п.ц и = 1> тогда
z. = —г'р- = —f = f.

Это значит, что центры зрачков Р и Р' совпадают с главным!
точками Н и Н' (р~а и р' ~ а') и уравнение (6.11) переходи^
в формулу Гаусса для главных точек.

Уравнение Лагранжа — Гельмгольца для зрачков имеет вид
«|/пф1 = nkm$k,	(6.12

где т\ и т^—высоты пересечения первого параксиального луча
е плоскостями входного и выходного зрачков.
§ 41.	Полевая диафрагма

Любая оптическая система отображает определенную часть
пространства, расположенного вокруг оптической оси, которое
называется полем системы. Ограничение поля оптичес-
кой системы производится с помощью специальных диафрагм.

Рис. 62. Поле системы:

а — линейное поле в пространстве предметов 2г/ и в пространстве изображений 2д'1 б— уг-
ппвое ппле в пространстве предметов 2а> и в пространстве изображений

Диафрагма, расположенная в плоскости предмета или в од-
ной из плоскостей, с ней сопряженных, и ограничивающая раз-
мер линейного ноля оптической системы в пространстве изобра-
жений, называется полевой диафрагмой.

Поле оптической системы для предмета, расположенного на
конечном расстояниии, характеризуется линейной величиной, а
для предмета в бесконечности — угловой величиной.

Наибольший размер изображаемой части плоскости предмета,
расположенной на конечном расстоянии, называется линейным

полем оптической системы в пространстве пред-
метов 2 у (рис. 62, а).

Наибольший размер изображения, лежащего на конечном
расстоянии, называется линейным полем оптической
системы в пространстве изображений 2 у'.

Если полевая диафрагма расположена в плоскости предмета,
то ее размеры определяют линейное поле в пространстве пред-
метов, а если она расположена в плоскости изображения, го ли-
нейное поле в пространстве изображений. Связь между линей-
ними полями системы осуществляется через линейное увеличе-
ние.

Угловым полем оптической системы в про-
странстве предметов называется абсолютное значение
удвоенного угла между оптической осью и лучом в пространст-
ве предметов, проходящего через центр входного зрачка (центр
апертурной диафрагмы) и край полевой диафрагмы (рис. 62, б).

Угловым полем оптической системы в прост-
ранстве изображений называется абсолютное значение уд-
военного угла между оптической осью и лучом в пространстве
изображений, проходящим через центр выходного зрачка (центр
апертурной диафрагмы) и край полевой диафрагмы. Угловое поле
обозначается: в пространстве предметов — 2w; в пространстве изоб-
ражений— 2w'. Так как лучи, проходящие через края предмета
и изображения и центры зрачков, являются главными лучами, то
угловое поле 2w представляет собой угол между главными лу-
чами в пространстве предметов, а угловое поле 2w'— угол меж-
ду главными лучами в пространстве изображений. Связь между
углами 2w и 2w' характеризуется угловым увеличением в зрач-
ках

(6.13)

Угловое увеличение в зрачках связано с линейным увеличением
выражением

/1 "11

^Ор f ?оР пк ?о₽

Так как

то

уор = zjf И tgo>' =-^-tg(l>,	(6.14)

При П] — 1Ц

7ор = l/^op.

Угловому полю в пространстве изображений 2<о' соответствует
линейное поле 2у'. Величина изображения

У' ==— Р' tgw'.	(6.15)

Если рассчитать ход главного луча при si = —со по формулам
для второго параксиального луча, то получим

«/=—/'tgo,.	(6.16)

Диаметр полевой диафрагмы

О„ = 2|/|.	(6.(7)

Формула (6.16) справедлива для любой системы независимо от
положения входного зрачка.
Определение положения и диаметра полевой диафрагмы про-
изводится одновременно с определением положения и диаметров
входного и выходного зрачков системы. Для этого рассчитывает-
ся ход апертурного и главного лучей. Ход апертурного луча оп-
ределяют диаметры зрачков и положение апертурной диафраг-
мы, а ход главного луча—положение зрачков и диаметр поле-
вой диафрагмы. Расчет этих лучей, как уже указывалось, произ-
водится по формулам для первого и второго параксиальных лу-
чей, при этом принимается at — tg , fh = tgw.

§ 42.	Виньетирование. Виньетирующая диафрагма

Рассмотрим ограничение пучков лучей, выходящих из точек
предмета, расположенных вне оптической оси, или так называе-
мых внеосевых пучков лучей (рис. 63). Пучки лучей, идущих

из точек вне оси, расположенных между точками А и В\, край-
ние лучи которых проходят через края входного зрачка, полно-
стью проходят через систему О[Ок. Пучки лучей, выходящие из
точек предмета, расположенных между точками В2В3, не могут
полностью перекрыть входной зрачок, так как часть их срезает-
ся диафрагмой М(Мг. Пучок лучей, выходящих из точки В2, за-
полнит примерно половину входного зрачка, а из точки В3 через
входной зрачок проходит только бесконечно тонкий пучок лучей.
Явление частичного срезания внеосевых пучков лучей носит наз-
вание виньетирования. В результате виньетирования проис-
ходит ослабление освещенности изображения от центра к краю;
освещенность в центральной части поля (в зоне радиуса

будет наибольшей и практически постоянной, в точке В'2 будет при-
мерно в два раза меньше, а в точке В'3 практически равна нулю.

Любая диафрагма, кроме апертурной и полевой, которая ог-
раничивает пучки лучей, выходящих нз точек предмета, лежа-
щих вне оптической оси, называется виньетирующей ди-
афрагмой. (На рис. 63	—виньетирующая диафрагма).
В реальных системах в большинстве случаев виньетировани-.-
допускается по следующим причинам: наличие виньетирования
особенно в системах с большими угловыми полями, позволяе"
уменьшить поперечные габариты прибора; виньетирование позвс
ляет повысить резкость изображения на краях поля, так как уз
кие наклонные пучки дают лучшее качество изображения, чех
широкие.

I—Выходное

I окно

Рис. 64 Виньетирование при kw 0,5 и расположении входного зрачка перед
системой

Виньетирующие диафрагмы устанавливаются в разных мес
тах в зависимости от положения входного зрачка и от того, ка
кую часть его должны перекрывать внеосевые пучки лучей. Если
например, в системе, перед которой установлена апертурная ди
афрагма, являющаяся входным зрачком, необходимо ограничитг
внеосевые пучки лучей так, чтобы они перекрывали только цен =
ральнсю часть входного зрачка, то виньетирующую диафрагм'
ЛЦМз необходимо установить на пересечении апертурного луч?
Лф] и верхнего луча B\Mt (рис. 64). В этом случае осями вне
осевых пучков лучей являются главные лучи В^Р и В2Р. Вне-
осевые пучки лучей, вышедшие из системы, будут ограничивать,
ся не самой виньетирующей диафрагмой, а ее изображением Л'

Параксиальное изображение виньетирующей диафрагмы г
пространстве предметов или виньетирующая диафрагма, распо
ложенная в пространстве предметов, называется входных
окно м.
Параксиальное изображение виньетирующей диафрагмы в про-
странстве изображений или сама виньетирующая диафрагма,
расположенная в пространстве изображений, называется в ы-
ходным окном. Из этих определений вытекает, что входное
и выходное окна сопряжены друг с другом относительно всей
системы, если она состоит из нескольких частей. На рис. 64 винь-
етирующая диафрагма одновременно является и входным окном,
а выходным окном — изображение М\М'2 виньетирующей диаф-
рагмы.

Для оценки виньетирования вводятся коэффициенты:

1)	линейного виньетирования

=	(6.18)

где 2/пь — ширина наклонного пучка лучей в меридиональной плос-
кости; 2h— ширина осевого пучка лучей в том же сечении, причем
отрезки 2тъ и 2h берутся в направлении, перпендикулярном к оп-
тической оси; если отрезки 2ть и 2h берутся в плоскости входного
зрачка, тогда

k^ — DJD,	(6.19)

где Da — диаметр наклонного пучка лучей;

2)	коэффициент геометрического виньетирования

Лд = Аш/Ар,	(6.20)

где Аш—площадь сечения наклонного пучка лучей, перпендику-
лярного к оптической оси, Ар — площадь осевого пучка лучей в том
же сечении. На рис. 63 коэффициент линейного виньетирования

Лш = 2tnb/2h = DJD — 0,5,

коэффициент геометрического виньетирования
Лд = Аш/Лр=с!/О2 = 0,25.

Это значит, что в элементарные площадки, расположенные в точках
В\ и В %, поступит световой энергии вследствие винье1ирования
в четыре раза меньше, чем на площадку, расположенную в точке
на оси Д'.

Положение аь и диаметр виньетирующей диафрагмы Db, если
она расположена в пространстве предметов, как это показано на
рис. 63, определяются выражениями

а(т — 1П/Л+ i;a
аь =	,

и + (т — ть)

(6.21)

б? А — а

Db^D-^-a,	(6.22)

где rn = D/2, mt, = kam.

Положение выходного окна (координата аь) определяется по фор-
муле Гаусса
Диаметр выходного окна

D'b=DbS0M,	(6.23)

где {?ош — линейное увеличение в окнах,

’ош = DbIDb = а.ь1аь.	(6.24)

Виньетирующей диафрагмой в большинстве фотообъективов
является оправа первой линзы и коэффициент линейного виньети-
рования достигает ~ 0,5.

§ 43. Диафрагмы для уменьшения вредного (рассеянного) света

Под вредным (рассеянным) светом понимают часть световой
энергии, которая проходит через оптическую систему, но не участ-
вует в построении изображения. Он возникает в результате рас-
сеяния света при отражении его от внутренних стенок корпуса
прибора и от поверхностей оптических деталей, а также от рас-
сеяния в массе стекла, содержащем в себе пузыри и другие ино-
родные включения. Рассеянный свет, попадая на изображение,
уменьшает его контрастность и тем самым снижает эксплуата-
ционные качества прибора. Особенно сильно он влияет на изобра-
жение малоконтрастиых предметов.

Различают рассеянный свет первого, второго и высших по-
рядков. К первому порядку относятся рассеянный свет, который
претерпевает только одно отражение от стенок корпуса, оправ,
полированных оптических поверхностей системы и от других по-
верхностей, дающих рассеянный свет, и затем попадает на изоб-
ражение или пересекает плоскость выходного зрачка или прохо-
дит вблизи него в пределах полевого угла системы. Вредный (рас-
сеянный) свет второго и высших порядков — это свет, который
претерпевает два отражения и более.

Определить расчетным путем количество вредного света не-
возможно, поэтому допустимая величина коэффициента светорас-
сеяния не может быть установлена заранее. Допустимая величина
рассеянного света устанавливается на основании измерения в ла-
бораторных условиях коэффициента светорассеяния для каждого
данного прибора.

Полностью устранить рассеянный свет в реальных оптических
приборах невозможно; его можно только уменьшить. Уменьшение
вредного света может быть достигнуто в результате осуществле-
ния следующих мероприятий: рационального диафрагмирования
пучков лучей; обработки внутренних поверхностей с последующим
чернением; просветления и тщательной чистки поверхностей опти-
ческих деталей; установки дополнительных насадок, так называе-
мых бленд, и т. д.

Если перед входным зрачком системы нет никаких материаль-
ных диафрагм, то угол засветки в меридиональной плоскости сос-
тавляет 2л. В этом случае на внутренние нерабочие поверхности
трибора попадает большое количество световой энергии, не участ-
вующей в построении изображения. Чтобы уменьшить величину
зредного света, проникающего вовнутрь прибора, нужно умень-
шить угол прямой засветки. Этот угол не может быть меньше по-
тевого угла 2w. Угол засветки будет равен полевому углу в том
:лучае, когда в плоскости предметов помещена материальная диаф-
эагма, свободное отверстие которой равно линейному полю систе-
*ы. Однако для большого числа оптических систем плоскость
оедмета находится на довольно большом расстоянии от нее.

Рис. 65. Цилиндрическая бленда с диафрагмами

Аля уменьшения угла прямей засветки бленды имеют цилинд-
шческую или коническую форму. Внутри бленды помещаются
диафрагмы, расставленные таким образом, чтобы любой луч пря-
мой засветки после первого отражения от внутренних стенок кор-
пуса бленды или от поверхностей ее диафрагм не попал во вход-
юй зрачок системы (рис. 65). Края диафрагмы должны быть рас-
положены вдоль линий А1С] и А2С2, так как в этом случае
нучи, отраженные от краев диафрагм бленды, не проходят во вход-
ной зрачок системы. Геометрические размеры бленды определя-
отся из следующих соотношений:

tg «>, — 1g ш ’

диаметр входного отверстия бленды

(g со. 4- gw
D^D-^ 1	* ,

tg Ш , — tg a> ’

'де D — диаметр входного зрачка, оз— половина углового поля
.истемы, ан — максимальный угол между лучом прямой засвет-
<и, проходящим через край входного зрачка системы, и ее опти-
ческой осью. Число и расположение диафрагм, находящихся меж-
ду входным отверстием бленды и входным зрачком системы, мо-
нет быть найдено графическим способом, причем края диафрагм
нужно делать острыми. Вредный свет первого порядка в телеско-
пических системах может быть практически полностью устранен.
Для этого при разработке прибора надо обеспечить, чтобы лучи
нрямой засветки после первого отражения от нерабочих поверх-
ностей (стенки корпуса, оправы линз, боковые цилиндрические
поверхности линз, матированные грани призм и т. п.) не прохо-
дили через область выходного зрачка под углами к оптической
оси, меньшими угла a>i-

Для систем, дающих изображение на светочувствительном
слое (фотообъективы) или на экране, вредным считается свет,
падающий в пространстве изображений на плоскость полевой
диафрагмы в пределах ее свободного отверстия. В этом случае
устранение рассеянного света, возникающего от стенок корпуса и
боковых поверхностей линз, осуществляется диафрагмами.

Рассеянный свет второго и высших порядков, попадающий в
выходной зрачок телескопических систем или на плоскость поле-
вой диафрагмы в фотографических и других типах систем, после
отражения от рабочих полированных поверхностей и стенок диа-
фрагм может оказаться достаточно ярким, если не принять меры
для его ослабления. К мероприятиям, ослабляющим вредный
свет второго порядка, относятся просветление преломляющих и
отражающих поверхностей, соприкасающихся с воздухом; черне-
ние стенок корпуса, диафрагм, неработающих поверхностей опти-
ческих деталей и их оправ; применение бленд, устанавливаемых
перед системой; увеличение полных диаметров линз.
Глава 7
ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 44. Поток излучения. Энергетические величины

Спектр электромагнитных излучений занимает очень широкую
область: в него входят колебания с длиной волн от 10-3 нм до
103 км. Из общего спектра излучений в прикладной оптике рас-
сматриваются излучения, которые включают диапазон волн от
0,1 нм до 1 мм. Эта область излучения называется оптичес-
ким излучением, или светом. Излучение в диапазоне
длин волн от 380 до 770 нм, которое воспринимается человечес-
ким глазом, называется видимым.

Мощность оптического излучения называется потоком из-
лучения (лучистым потоком), который обозначается Фс. По-
ток излучения, состоящий из однородных излучений только одной
длины волны X, называется монохроматическим. Если
же в потоке содержатся излучения различных длин волн, такой
поток называется сложным.

Потоки излучения, распространяющиеся в окружающем нас
пространстве, создают поле оптических излучений, которое ха-
рактеризуется пространственной плотностью и направлением.

Для изучения закономерностей распространения оптического
излучения и количественной его характеристики устанавливаются
определенные величины и единицы. Раздел оптики, занимающийся
энергетическими характеристиками оптического излучения и спо-
собами их измерения, называется фотометрией. В более
узком смысле под фотометрией понимают совокупность методов,
позволяющих характеризовать видимое излучение в соответствии
с его действием на глаз человека.

Если источник световой энергии, т. е. энергии оптического из-
лучения, за время dt значительно превышающей период колеба-
ния, излучает энергию dQe, то значение потока излучения будет

равно

dQ-

= ~ЗГ'

(7.1)

Среднее значение потока излучения характеризуется выражением
т
ф. = 4-.

Поток излучения, как и любая мощность, измеряется в ваттах
(Вт) (1 Вт = 1 Дж . с-1). Полный поток излучения определяется
как сумма отдельных монохроматических потоков излучений

Ф - £фА.
Пространственная плотность потока излучения называется силой
излучения 1е, которая равна отношению потока излучения йФе
к телесному углу dQ, в пределах которого заключен и равномерно
распределен поток излучения d$e'-

Рис. 66. Элементарный телесный угол Рис. 67. Излучение в телесном угле Q
dQ и элементарная площадка dA

При равномерном распределении потока излучения в пределах дан-
ного телесного угла 2 можно написать

Ф

=	(7.3)

Телесный угол представляет собой часть пространства, ограни-
ченного конической поверхностью с вершиной в точке расположения
источника излучения (рис. 66). Телесный угол определяется отно-
шением площади сферической поверхности, заключенной внутри
конуса телесного угла с вершиной в центре сферы, к квадрату ра-
диуса этой сферы

2 =	(7.4)

Единицей телесного угла является стерадиан (ср). Стера-
диан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезаю-
щему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата
со стороной, равной радиусу сферы. Максимальный телесный
угол, соответствующий телесному углу всего пространства во-
круг точки, равен

2 =	= 4г = 12,56 ср.

Таким образом, единицей измерения энергетической силы света
является Вт.ср-1.

Каждому телесному углу 2 соответствует определенный плоский
угол а. Если в телесном углу 2 выделить бесконечно малый угол
(Z2, высекающий на сфере бесконечно узкий кольцевой участок, то
площадь этого участка будет равна (рис. 67)

dA~ 2~Ш/г,
где h — расстояние от оси конуса до узкого кольца dh. Так как
h = г sin а и dh — rda, то

dA = 2 л г2 sin ado,
откуда

dQ =	= 2л sin ada.	(7.5)

Телесный угол, соответствующий плоскому углу ад,

°А	о.

2 = J 2л sin ada = 2л (I — cos ад) = 4л sin2 ~ л sin2 ад. (7.5')
о

Понятие силы излучения применимо только к точечным источни-
кам, причем точечность определяется не линейными размерами
излучающего тела, а их отношением к расстоянию до той точки
поля, в которой оценивается действие излучателя. Излучатели,
применяемые на практике, не имеют равномерного распределе-
ния потоков излучения в пространстве. Поэтому для каждой ве-
личины силы излучения указывается направление, а распределе-
ние потока в пространстве характеризуется кривой силы света.

Каждый источник излучения обладает конечной поверхностью,
с которой поток излучения распространяется в пространстве. Для
характеристики равномерности и интенсивности самосветящихся
источников излучения (первичных источников), а также поверх-
ностей, которые пропускают или отражают падающий на них
поток излучения (вторичные источники), вводится понятие плот-
ности потока излучения по поверхности излучателя, называемой
энергетической светимостью (нзлучательностью) Ме:
с/Ф

Me = ~ [Вт • м-2],	(7.6)

где dA—площадь излучающей поверхности. Отношение
Ф

(7.6')

характеризует среднюю плотность излучения поверхности конечных
размеров.

Плотность падающего потока на облучаемой поверхности назы-
вается энергетической освещенностью (облученностью),
которая определяется отношением потока излучения d<I>,, падающего
на элемент поверхности dA и равномерно распределившегося по ней:

с!Ф

Е = -^1Вт>м"2ь	<7-7)

Средняя энергетическая освещенность равна
Ф

= (7-7')

Энергетическая освещенность, создаваемая точечным источником
света с заданным распределением силы излучения в зависимости от
133
расстояния go облучаемой поверхности, определяется по формуле

Ее = ~dQ =Дсо5(),	(7.8)

dA	г2	'	7

где 1е — сила излучения по направлению к элементу облучаемой
поверхности; 0 — угол между нормалью к поверхности и осью
телесного угла. Формула (7.8), как известно, носит название за-
кона квадрата расстояния.

Понятие плотности потока излучения никак не связано с на-
правлением излучения, поэтому эта величина служит для харак-
теристики равноярких излучателей по любому направлению. От-
ношение силы излучения таких излучателей в любом направлении
к проекции на плоскость, перпендикулярному к данному направ-
лению, постоянно.

Сила излучения с единицы площади проекции поверхности из-
лучающего тела на плоскость, перпендикулярную к направлению
излучения, называется энерг етической яркостью по-
верхности излучателя. Энергетическая яркость Le в заданном
направлении 0 характеризуется равенством

Le = — п ,	(7.9)

ал cos 0	'	1

или, учитывая (7.2) и (7.7),

Д = — -	[Вт • ср-1  м-2].	(7.9')

d2dA cos ft dS cos 0 1	'

Излучение большинства применяемых на практике излучателей
близко по своим характеристикам к равнояркому излучению по раз-
личным направлениям. Для таких излучателей энергетическая яр-
кость

Д =	(7.10)

где I,, — сила излучения в направлении 0; Ав— площадь проекции
излучающей поверхности на плоскость, перпендикулярную к оси
телесного угла. Для равноярких излучателей соотношение между
силой излучения и плотностью потока излучения постоянно. На
основании (7.9) сила излучения участка dA поверхности излучения
по направлению в равна

die = LedA cos о,

Согласно (7.2) и (7.5)

dФ.: = LdQ = 2nle sin cda
и

It

Фе = 2тс f Ie sin ado.

О

Пользуясь этими выражениями, можно определить поток излучения
с1Фе, излучаемый участком поверхности dA равнояркого излучателя.
Принимая 9 = о и что а изменяется от нуля до тс/2. получим

dФe=^2^tLedA f sin о eosada = тс Led А.	(7.11)
(7.13)

(7.13')

по по-
энерге-
нерав-

Для равнояркой поверхности конечных размеров площадью А

Ф, = т:ДА.	(7.12)

Из (7.11) и (7.12) следует: для элементарных поверхностей
йФе	Ме

TtdA	тс *

для поверхностей конечных размеров

L
t т:А тс

Таким образом, для оценки равномерности излучения
верхности равнояркого излучателя можно применять как
тическую светимость, так и энергетическую яркость. Для

ноярких излучателей характеристикой распределения излучения
по поверхности и в пространстве может являться только яркость.

Общее количество энергии излучения, падающей за некоторое
время на единицу поверхности, характеризуется энергетической
экспозицией, которая определяется выражением

=	(7.14)

G
где Eei — мгновенное значение энергетической освещенности. При
Eet ~ Const

Не = ЕЛ.	(7.14')

§ 45. Видимая область спектра. Световые величины

Приемники потока излучения можно разделить на две основ-
ные группы: селективные ' (избирательные) и неселективные (не
избирательные). У неселектпвных приемников излучения спект-
ральная чувствительность не зависит от длины волны излучения.
Селективными приемниками излучения являются фотопленки, фо-
тоэлементы и особенно глаз человека, играющий исключительно
важную роль и при повседневном восприятии света, и как при-
емник излучения. В оптических приборах, работающих совместно
с глазом, приходится иметь дело с видимой областью спектра в
интервале длин волн 380—770 нм. Совместное действие излучений
видимой области спектра на сетчатку глаза воспринимается как
белый свет; излучение, содержащее длину волны 1+ДА (моно-
хроматическое), воспринимается как цветное.

Наиболее сильное воздействие на глаз, при дневных условиях
освещения (дневное зрение), оказывает излучение желто-зеленого
цвета с длинами волн 550—570 нм. Воздействие потока излуче-
ния с длиной волны 1=555 нм условно принимают за единицу;
действие излучения на глаз других длин волн, в видимом участ-
ке спектра, по сравнению с излучением 1=555 нм оценивается
относительной спектральной световой эффективностью излуче-
ния и(Х). Для ночного зрения максимальная чувствительность
глаза имеет место при Х=510 нм. (На рис. 68 показаны кривые
относительной спектральной световой эффективности излучения).

Для характеристики и количественной оценки действия ис-
точников излучения в видимом участке спектра используется сис-
тема световых единиц.

Световой поток. Световым потоком Фо называется величина, про-
порциональная потоку излучения, оцененному с учетом относитель-
ной спектральной световой эффективности монохроматического из-
лучения. Световой поток сложного из-
лучения

Ф0 = КЛ У(Х)ФЛ(Х)б(Х, (7.15)
где Фех(Х)^Х—поток излучения в спек-
тральном интервале X, X + dX; 7(a) —
относительная спектральная световая
эффективность монохроматического из

W 500 600 юок лучения; К.п— коэффициент, характе-
рно. 68. Кривые относительно ризующии максимальное значение спек-
видности:	тральной световой эффективности.

I — для дневного зрения, 2 — для СвеТОВОЙ ПОТОК МОНОХроМЭТИчесКО-
ночного зрения	го ИЗЛуЧеиия с длиной ВОЛНЫ X

Ф0,Х = /СнФелУ (X).	(7.16)

За единицу светового потока принят люмен (лм), численно рав-
ный световому потоку, излучаемому в единичном телесном угле
(стерадиан) равномерным точечным источником с силой света в од-
ну канделу. Многократными измерениями установлено, что 1 Вт
потока монохроматического излучения с длиной волны X == 555 нм
примерно равен 680 лм светового потока, т. е. коэффициент
= 680 лм Вт-1. Поэтому для (7.15) и (7.16) можно написать

Фр = 680 f 7(Х)Ф<х(Х)й!Х;

Ф0,х = 680Фс,лУ(Х).

Для связи светового потока с мощностью источника излучения
вводится понятие «световая отдача» — отношение светового потока
Ф к мощности Q, потребляемой источником света,

Ч = ФР/(2.	(7.17)

Световая отдача характеризуется числом люменов на один ватт
(лм. Вт-1).

Сила света. Пространственная плотность светового потока в за-
данном направлении называется силой света. Сила света опреде-
ляется отношением светового потока, исходящего от источника
и распространяющегося внутри элементарного телесного угла, со-
держащего заданное направление, к этому элементарному углу:
При равномерном распределении светового потока внутри телесного
угла

Ф

!„ = -+.	(7.18’)

За направление силы света принимается ось телесного угла dQ
или 12.

В соответствии с системой СИ за единицу силы света приня-
та кандела (кд). Кандела равна силе света, излучаемого
в перпендикулярном направлении 1/600 000 квадратного метра по-
верхности черного тела при температуре затвердевания платины
и давлении 101 325 ньютонов на квадратный метр. Кандела яв-
ляется исходной фотометрической единицей.

Для источников света, имеющего световой поток одинаковой
плотности во всех направлениях, т. е. для светящейся точки,

I, = Фа/4—.	(7.19)

При неравномерном распределении светового потока в простран-
стве выражение (7.19) представляет собой среднюю сферическую
силу света.

Освещенность. Плотность светового потока по освещаемой поверх-
ности называется освещенностью. Освещенность Ev равна отношению
светового потока, падающего на рассматриваемый малый участок
поверхности, к площади этого участка:

ЛФ

(7.20)

При равномерной плотности светового потока по освещаемой по-
верхности конечных размеров

Ev =--	(7.20')

Единицей освещенности является люкс (лк). Люкс—освещенность,
создаваемая световым потоком 1 люмен, равномерно распределенным
на поверхности, площадь которой равна одному квадратному мет-
ру (лм . м-2).

Поверхностная плотность световой энергии падающего излучения
называется экспозицией

*2

н = -g- = $ Elvdt [лк • с],	(7.21)

при Etv = const

H^EJ.	(7.2Г)

Светимость. Плотность излучаемого (отражаемого) светового'
потока по площади поверхности излучаемого (отражающего) ис-
точника излучения называется светимостью. Светимость Мо
равна отношению светового потока, исходящего от рассматри-
ваемого малого участка поверхности, к площади этого участка:

</Ф

Мо = [лм • m_2J.	(7.22)
Средняя светимость характеризуется отношением

Ф

М — —
т°~~-

(7.22')

Яркость. Величина, характеризующая уровень светового ощуще-
ния или видимость элементов поверхности, называется яркостью
Lo, которая равна отношению светового потока, проходящего в рас-
сматриваемом направлении в пределах малого телесного угла dQ

Рис. 69. Отраженный d$pv, поглощенный
4Фа0, рассеянный ^Фр£,и прошедший d<l>TV
световые потоки

имеющей одинаковую яркость во всех

сать

через участок поверхности
dA, к произведению этого
телесного угла, площади уча-
стка и косинуса угла между
рассматриваемым направле-
нием и нормалью к участку
dA:

L	dl°

v dQdk. cos 0	dA cos 6

dE„	„ ,

= тег tKA . м-г). (7.23)
Для плоской поверхности,
направлениях, можно напи-

откуда

^Лр ___ ^шахр

° “ A cos в А

= const,

(7-24)

— Imaxp COS О,

(7-25)

т. е. плоская поверхность, равнояркая во всех направлениях, из-
лучает по закону косинуса. Это положение известно как закон
Ламберта.

§ 46. Коэффициенты отражения, поглощения, рассеяния
и пропускания

Световой поток, падающий на оптическую систему, не весь про-
ходит через нее. Часть светового потока отражается от поверх-
ностей (d<I>p„), часть поглощается (dOa„) и рассеивается (dOUV) сре-
дами и только оставшаяся часть d<l\v проходит через оптическую
систему (рис. 69).

Согласно закону сохранения энергии

d®v = dOpo + ЙФТО + d<D + d4\0.	(7.26)

Для количественной оценки пользуются коэффициентами отраже-
ния р, поглощения а, рассеяния р и пропускания х:

4Фрв ^Фав. 4Фрь< ^Фтц

₽ ~ ЙФО ’ а ~ <1Ф0 ’ Р ~ d<Dv * Х 4Ф0
Все коэффициенты связаны равенством

o-Wp-H = 1.	(7.28)

Каждый из световых потоков (отраженный, поглощенный, рас-
сеянный и прошедший) зависит от спектрального состава излу-
чения, падающего на оптическую систему, и физических свойств
материала, из которого изготовлены детали системы.

Отраженный, поглощенный и рассеянный световые потоки ха-
рактеризуют собой потери световой энергии в оптических системах.
Практически очень трудно разделить потери света на поглощение
и рассеяние, поэтому их рассматривают совместно и для оптических
материалов характеризуют спектральным коэффициентом внутрен-
него (чистого) пропускания -га.

Коэффициент та равен отношению вышедшего светового потока
ФЛС, к входящему Флм0.'

Ф,

= -аЛ-	Р-29)

При этом потери на отражение от поверхности исключаются. В этом
случае коэффициент внутреннего поглощения (включая рассеяние)
будет равен

= 1—та.	(7.30)

В зависимости от свойств поверхностей материалов и внут-
ренней их структуры распределения отраженного и прошедшего
световых потоков резко отличаются. По характеру отраженного
и преломленного световых потоков принято различать:

1)	направленное (зеркальное) отражение и направленное про-
пускание (рис. 70, а);

2)	направленно-рассеянное отражение и пропускание (рис.
70, б);

3)	диффузное отражение и пропускание (рис. 70, в).

Направленное отражение от поверхностей и направленное
преломление (пропускание) имеют место в тех случаях, когда
неровности поверхностей малы по сравнению с длиной волны па-
дающего излучения, и подчиняются известным законам отраже-
ния и преломления. Направленно-рассеянное отражение имеют
матированные поверхности прозрачных и непрозрачных материа-
лов. Направленно-рассеянным пропусканием обладают прозрачные
материалы, одна или обе поверхности которых матированы. Диф-
фузное отражение и пропускание имеет место в тех случаях, ког-
да материалы имеют неоднородности в своей толще, соизмеримые
с длиной волны.

Яркость поверхностей при диффузном отражении и диффузном
пропускании постоянна по всем направлениям и не зависит от
направления падающего света, т. е. такие поверхности полностью
подчиняются закону Ламберта. Для диффузно-отражающей по-
верхности освещенность равна
л светимость

Рис. 70. Виды отраженных и преломленных пучков лучей:
а— направленное отражение и пропускание, б— направленно-рассеянное отражение и про-
пускание, в — диффузное отражение и пропускание

Отраженный световой поток для таких поверхностей
Фро = MVK = р£0А.

С другой стороны, согласно (7.12)
Фрв = kL„A,

поэтому

L

— г •

Для диффузно-пропускающих поверхностей

L — —

К

(7.31

(7.32

В природе не существует идеальных диффузно-отражающи:
и диффузно-пропускающих свет материалов. Поэтому для характе
ристики яркости в различных направлениях при отражении и при-
пускании принято пользоваться величиной, которая представляе’
собой отношение яркости поверхности в заданном направлении Цп
к яркости равномерно освещенной диффузной поверхности Lv, имею-
щей коэффициент отражения, равный единице. Эта величина назы-
вается коэффициентом яркости

Г0	7.01,/L/V*

Так как при р = 1

La = Еок,

то

„ __ r'Lv . т _ r’.Ev

Г0 — —р , Lv--------------------

г.

(7.33)

Для диффузно-отражающих поверхностей ге = р, а для направлен-
но-рассеянных коэффициент яркости может быть значительно боль-
ше р. Для поверхностей диффузно-пропускающих гд = т.

§ 47. Яркость отраженных и преломленных пучков лучей.
Световые трубки

Рассмотрим отражение и преломление элементарных пучков
лучей, образующих некоторую трубку, через боковую поверхность
которой свет не выходит. Такой пучок лучей принято называть

Рис. 71. Элементарная световая трубка

световой трубкой (рис. 71). Если световая трубка имеет беско-
нечно малые поперечные размеры по сравнению с длиной, то она
представляет собой физический луч. Ось физического луча явля-
ется световым лучом в понимании геометрической оптики.

Если нормали Oi/Vi и ОгАг к элементарным площадкам dAi
и dA2 образуют с осью световой трубки О]О2 углы 0] и 9г и рас-
стояние между центрами площадок равно г, то для телесных углов
cffli и dQi имеем (см. рис. 71)

откуда

dA, cos 09	dA. cos О,

dQt = —Ц—2--, dQ, = —Ь—L,
г	г

dA tdQi cos 91 = dAzdQ? cos 02.

(7.34)

(7.35)
Уравнение (7.35) выражает свойство элементарной световой трубки
в однородной среде, т. е. произведение площади нормального сече-
ния световой трубки (dAcosS) и элементарного телесного угла dQ,
имеющего вершину в точке этого сечения, есть величина постоянная
для любого сечения этой трубки. Следовательно, уравнение (7.35)
является инвариантом световой трубки для однородной среды. Эле-
ментарный гомоцентрический пучок можно рассматривать как эле-
ментарную световую трубку с телесным углом dQ.

Рис. 72:

а — отражение и преломление элементарных телесных трубок — элементарных гомоцентри-
ческих пучков о вершиной в точке о; б — преломление световой трубки, опирающейся на
элементарную площадку

Световые потоки, проходящие через сечения dA, и dA2, в со-
ответствии с (7.9) равны

(P<&iv — L\odA.id'2} cos 01;

= L,4vd^-ld<^2 COS 02-

Учитывая (7.35), имеем

=== 7*2v == Lv ==: const.	(7.36)

Таким образом, при отсутствии потерь на поглощение яркость эле-
ментарной световой трубки в любом сечении постоянна.

Рассмотрим отражение и преломление элементарного гомоцентри-
ческого пучка лучей (рис. 72, а). Для элементарных телесных углов
на основании (7.5) можем написать

dQ — 2ir sin ede;
dQ' = 2ir sin e'de';
^" = 277 8^ eds"..

(7.37)

Согласно закону отражения |e| = |e'|, поэтому de.~d= и
dQ = dQ'.	(7.38)
По закону преломления

га sin е = га'sin е'	(а)

и

га cos eds = га' cose’de".	(б)

Перемножая (а) и (б) и учитывая (7.37), найдем

га2 cos edQ = га'2 cos e"d2",	(7.39)

откуда
2

dQ" = n,9cos\dS.	(7.40)

П COS e

Из (7.38) видно, что при отражении элементарной световой труб-
ки телесный угол ее не изменяется; телесный угол преломленной
трубки, как это показывает (7.40), зависит от показателей пре-
ломления сред и косинусов углов падения и преломления. Урав-
нение (7.39) представляет собой обобщение закона преломления
для случаев бесконечно тонкого пучка лучей — световой трубки.

Световой поток, падающий на элементарную площадку dA0,
d2®0 = LvdkdQ cos e,
отраженный от площадки световой поток равен
бГФри =	= ?LvdA cos е.

Согласно закону отражения этот поток может быть представлен
равенством

d2®pp = LfVdAdQ' cos е.

Решая эти уравнения, учитывая (7.40), получим

Lpa = PL„.	(7.41)

Из (7.41) видно, что коэффициент отражения р характеризует потери
яркости пучка лучей при отражении.

Преломленная часть светового потока
а «	*	п	п

d Фи = LvdA.dQ cos е .

В соответствии с законом сохранения энергии при отсутствии по-
терь на поглощение

+/ф;

или

LrfiQ. cos е = LpjdQ' cos е' + L"dQ" cos e".

Так как |e| = |s'|, d2 = d2' и Lpv = pL ., to

,	\ dQ" cose"	.n.

<7-42)

Учитывая (7.39), получим

/ ”	/ ' \2
Из (7.43) видно, что при переходе светового пучка из одной про-
зрачной среды в другую его яркость меняется. Коэффициент (1 — р)
является коэффициентом пропускания, учитывающим только потери
на отражение, т. е.

тР = (1 —р),

тогда

Если в системе отсутствуют потери, то т = 1 и

—T~—k =-’ Lov = const.	(7.45)

п п

Отношение LJn2 носит название редуцированной (приведенной)
яркости пучка лучей. При п = п', Lv = ТВ)т. е. если показа-
тели преломления сред одинаковы, то яркости пучков также будут
одинаковыми, что соответствует формуле (7.36).

В действительности коэффициент пропускания всегда меньше
единицы, поэтому и яркость пучка, допустим, после выхода из си-
стемы (в пространстве изображений), при п = п' всегда будет меньше
яркости пучка, падающего на систему (пространства предметов).
Яркость Lv будет больше яркости Lv только в том случае, когда
п" п. Так, например, при т = 0,8, п = 1 и п' = 1,8 Lv = 2,6Z.B.

При прохождении светового потока через однородную среду
всегда имеют место потери на поглощение, вследствие чего яр-
кость пучка уменьшается. Яркость пучка при прохождении его
пути, равного одному сантиметру, характеризуется выражением
baB = LB(l—а)=Лвт(х.	(7.46)

Найдем зависимость между телесными углами dQi и dS2, опи-
рающимися на элементарную площадку dA0, расположенную на гра-
нице раздела двух сред (рис. 72, б).

Умножая (7.39) на dAu и учитывая, что n = /ii и п' —п.2, по-
лучим

rtfdAodS cos е = n2dA0d2’ cos s’.

Для телесных углов dQ и dQ' можно написать

dA, cos 0,	. dA, cos В,

dQ = 1 2 1 ; dQ' = —Ц—

Г1	»2

тогда

2	dA0cose ,	dA0 cose'

/ii aA। cos 61-g— = n2aA2 cos 02----------

ri	4

Так как

dQi =

dQ2 =

dA0 cos s'

'I
поэтому

n?dAi cos 0]d2i = n|dA2cosO?dQ2.	(7.47)

Формула (7.47) является основным инвариантом световой трубки
(гомоцентрического пучка), который гласит: произведение квадрата
показателя преломления, площади нормального сечения (dAcosG)
и элементарного телесного угла, имеющего вершину в точке этого
сечения и определяющего световую трубку, остается неизменным
(инвариантным) при преломлении трубки во второй среде. Если
световая трубка претерпевает ряд преломлений, то величина (7.47)
остается инвариантной от 1 до k-й преломляющей поверхности, т. е.

n2\dAi cos 0id2i = n^dAfeCOs 9^2*.	(7.48)

Если площадки dAj и dA2 нормальны к оси трубки, то

cos Qi = cos 9fe = 1

и

«idAidQi = n'kdAkd9.'k.	(7.48')

Уравнение (7.48') называется теоремой или инвариантом
Штраубеля. Применение (7.48') к однородной среде приводит
к (7.35), т. е. формула (7.35) является частным случаем более об-
щего инварианта.

Инвариант (7.48) справедлив также и для случая, когда элемен-
тарные площадки dA, и dAk являются сопряженными, т. е. когда
dAi является предметом, a dAk ее совершенным изображением. Для
этого на место dA0 нужно поместить диафрагму dAp, которая будет
входным зрачком оптической системы. Построив световую трубку
сначала для сечений dA0 и dA.p с телесными углами d2j и d2o>
а затем, продолжив построение таким же образом до среды с но-
мером k, для которой элементарными площадками будут являться
dkp> и dkk, получим инвариант (7.48).

Элементарные световые трубки не имеют практического зна-
чения, так как световая энергия, проходящая через них, беско-
нечно мала.

Полезное значение элементарных световых трубок состоит в
том, что их свойство можно перенести на световые трубки конеч-
ных размеров.

Если сечения трубок ДА] и ДА4 являются оптически сопряжен-
ными, то световую трубку конечных размеров можно рассматривать
как оптическую систему (рис. 73). В такой световой трубке попе-
речные размеры ее ограничиваются входным и выходным зрачками.

В пространстве предметов световая трубка ограничена линейча-
той поверхностью, которая образуется, если каждую точку пло-
щадки ДА] соединить с каждой точкой поверхности' входного зрач-
ка. В пространстве изображений получим соответствующую сопря-
женную световую трубку. Каждую световую трубку конечных разме-
ров можно рассматривать как трубку, состоящую из бесконечно
большого числа элементарных трубок. Возьмем элементарную световую
трубку сечения dA1 с телесным углом dQ, ось которого составляет
с оптической осью угол 9,, в пространстве изображений будем иметь
сопряженную элементарную трубку сечений dAk с телесным уг-
лом dQk.

Согласно инварианту (7.48) для оптически сопряженных площа-
док можно написать

d2l = n2dA.idQt cos0| = n^dA*2* cos 6*.	(7.49)

Рис. 73. Световая трубка конечных размеров

Следует отметить, что элементарные площадки являются функциями
только координат точек А) и Ак на площадках ДА| и ДА*, тогда
как телесные углы d<2i и dQk являются функциями не только ко-
ординат, но и направлений, определяемых углами 0, и О*.

Для определения световой трубки конечных размеров, состоящей
из совокупности элементарных трубок, необходимо функцию d2I
интегрировать по всей поверхности площадок AS । и Д£*, т. е.

dl = п2\ $ dAi J cos О, = n? $ dAk $ dQk cos 9*.	(7.50)

ДА] 2	л л' о'

1	ДА* efe

Формулу (7.50) можно рассматривать как инвариант Штраубеля для
световой трубки конечных размеров.

Если площадки ДА] и ДА* довольно малы по сравнению с дли-
ной световой трубки —оптической системой, то формулу (7.50) можно
написать в виде

di = П\ЬА\ $ d2i cos 9i = п*2ДА* J d2*cos 9*.	(7.50')

2|

Выражая телесные углы через плоские в соответствии с (7.50')
и интегрируя полученное уравнение в пределах изменения углов
9 от 9 = 0 до 9 = а, получим

П1ДА181П2О1 =/г*2ДА*51П2а*.	(7.51)

Заменяя сопряженные площадки ДА, и ДА* соответствующими
отрезками Дг/ и Д//', будем иметь

п2Ь.у2sin2 а, == nkLy2 sin2a*.
Извлекая корень из обеих частей этого равенства, приходим
к инварианту Лагранжа — Гельмгольца для пучков лучей конечной
апертуры

П]Ау sin в! = nk!^y sin ak.	(7.52)

Следовательно, инвариант Лагранжа — Гельмгольца является част-
ным случаем более общего инварианта Штраубеля.

Рис. 74. Яркость пучков лучей первой (Д J) и А'-й (Д^) поверхностей оптической
системы

§ 48.	Потери световой энергии в оптических системах

Потери световой энергии в оптических системах зависят от коэф-
фициента отражения р, коэффициента поглощения а или коэффи-
циента внутреннего пропускания т/ ~ 1—а и коэффициента отра-
жения от зеркальных поверхностей R. Кроме того, в системах
могут быть детали, поверхности которых имеют светоделительные
поверхности. Все эти потери характеризуются коэффициентом про-
пускания системы х.

Для определения коэффициента пропускания оптической си-
стемы необходимо знать:

1)	коэффициенты отражения от преломляющих поверхностей;

2)	число преломляющих поверхностей системы, граничащих с
воздухом и другими средами;

3)	коэффициенты внутреннего пропускания оптических стекол
и других материалов, из которых изготовлены оптические детали
системы;

4)	коэффициенты отражения для отражающих покрытий, если
в системе имеются призмы и зеркала;

5)	длину хода луча вдоль оптической оси в каждой оптической
детали, входящей в систему;

6)	типы светоделительных покрытий, если таковые имеются в-
системе.

Допустим, система состоит из k преломляющих поверхностей;
по формуле (7.43) яркость пучка лучей после преломления на
первой поверхности будет равна (рис. 74)

' г	! п,^\2

(1 pi) j .
По формуле (7.46) в конце первого пути d\ яркость пучка составит
Lzv = L\v (1 — ai)d' = Li0 (1 — pl) (1 — ai) -) •

Аналогичным путем можно найти яркость пучка лучей после вто-
рой, третьей и т. д. поверхностей. Яркость пучка после k-й поверх-
ности, т. е. после прохождения светового потока через всю систему,
учитывая, что (1 — av) = т1ч, определится выражением

/ п’ \2 k	4-1

Un = L|P V- П (1-Р0 П (т,)Л	(7.53)

Для системы в воздухе (ti\ *=n'k= 1)

LkD = Lit/tpTa,	(7.53')

где тр—коэффициент пропускания системы, учитывающий только
потери на отражение,

тр=П(1-р,),	(7.54)

V» ]

та — коэффициент пропускания, учитывающий только потери на
внутреннее поглощение (с учетом коэффициента рассеяния),

4—1	4-1

та- П (1 —a,)dv = П (т,)^,	(7.55)

где d,— длина хода луча в каждой среде, выраженная в сантимет-
рах. При наличии в системе зеркал коэффициент пропускания будет
равен коэффициенту отражения отражающего покрытия

/

тЛ = П /?„	(7.56)

v«= 1

I — число зеркально-отражающих поверхностей.

Если в системе имеются детали со светоделительными покрыти-
ями, то световой поток будет проходить по двум »;аналам: по од-
ному каналу он проходит через покрытие, а по другому отражает-
ся. Для проходящего светового потока

Тп = п ТА,	(7.57)

ч=1

где та — коэффициент пропускания светоделительного покрытия. Для
отраженного потока

i

т0 = П /?0,	(7.57')

»=i

где Ro — коэффициент отражения светоделительного покрытия. Сум-
ма тп + т0 < 1, так как всегда имеют место потери на поглощение
в металлическом покрытии.
В том случае, когда в системе установлены светофильтры, то
пропускание их

i

'Гф = П ~к\	(7.58)

где Кч — кратность светофильтра.

Поверхности склейки и отражающие поверхности призм, при
наличии полного внутреннего отражения, при определении т не при-
нимаются во внимание, так как потери в этом случае очень малы.

Таким образом, общий коэффициент пропускания будет равен

Т = Тр . та .	• тп • Тф.	(7.59)

Коэффициент пропускания т зависит от длины волны и для си-
стем, работающих в видимом участке спектра, в большинстве слу-
чаев, определяется для X = 546,1 нм (линия спектра е).

Коэффициент отражения р от полированных поверхностей может
быть вычислен по формуле Френеля

= _1_Г Stn2 (в — »')  tg2 (s — е') 1

Р 2 L Sin2 (г + г') tg2 (е +t') ]’

При малых углах г и е', пользуясь законом преломления /ге =
= п'г, получим

/ п — п\2
Р = \ п' 4* п )

На границе раздела воздух — стекло или стекло—воздух

При углах падения от 0 до 45° коэффициент р изменяется в не-
больших пределах и его можно вычислять по формуле (7.60'). При
определении т для преломляющих поверхностей на границе воздух—
стекло при п < 1,57 коэффициент р принимается в среднем равным
4%, а при л >1,57—5%.

Потери световой энергии вследствие отражения при преломле-
нии, особенно в сложных системах, могут достигать больших ве-
личин (до 70—80%). В настоящее время эти потери значительно
уменьшаются путем просветления оптических деталей. Сущность
просветления состоит в том, что на поверхности оптических дета-
лей наносятся многослойные интерференционные покрытия. Так,
например, при однослойном просветлении р^к 2%, при двухслойном
р»1% и при трехслойном р^0,5%.

Коэффициент внутреннего пропускания т/ для большинства ма-
рок оптических стекол при X = 540 нм составляет 0,994—0,996 на
один сантиметр хода луча. Только для некоторых марок стекол
(ЛК7, КФ7, ТФ4, ТФ10) коэффициент тг колеблется в пределах
0,987—0,991. Для длины волны X = 480 нм, что соответствует —
линии F', коэффициент т; несколько уменьшается и составляет
0,983—0,99*.

Для отражающих покрытий можно принять: серебряное покры-
тие R = 94%, алюминированное—7? аг 85%. При наличии деталей
со светоделительными покрытиями следует руководствоваться нор-
малями.

Если, например, оптическая система состоит из преломляющих
и отражающих поверхностей с непросветленными и просветленными
поверхностями, то коэффициент пропускания системы можно опре-
делить по формуле

т = 0,96"» . 0,95"» . 0,98"» . 0,99"» . 0,995"» . 0,995" х

X 0,94v“ • 0,85*4	(7.61)

где А 1,	— число непросветленных поверхностей воздух — стекло

при п < 1,57 и воздух—стекло при п >1,57; Аз, Л%, Л%— число
однослойно, двухслойно и трехслойно просветленных поверхностей;
d— суммарная длина хода луча в стекле вдоль оптической оси,
выраженная в сантиметрах; Nc, Na — число поверхностей с сереб-
ряным и алюминированным отражающими покрытиями.

§ 49.	Световой поток, проходящий через оптическую систему

Найдем величину светового потока п?Фв, поступающего в опти-
ческую систему, имеющую входной зрачок конечных размеров (QiQ2=
= D, рис. 75). От каждой точки элемента dA., расположенного
перпендикулярно к оптической оси, на систему падает конус лучей,
опирающийся на входной зрачок.

Элементарный световой поток с?Ф0, посылаемый элементом dA.
и поступающий в систему через некоторый бесконечно малый эле-
мент MMiNN\ входного зрачка, определяется формулой

<ДФВ = LvdA.dQ cos в.

Элементарный телесный угол равен

dQ = M|AZL =	= p2sinOd<pdO = sin

р	р2	р

тогда

б/2фв = LBdA cos 0 sin SdOdtp.	(7.62)

Если допустить, что яркость Lv одинакова по всей поверхности
элемента dA, то для нахождения полного светового потока, излу-
чаемого элементом dA и заполняющего весь входной зрачок, не-
обходимо выполнить интегрирование с учетом пределов изменения

* Для стекол из исключительно химически чистых материалов коэ<[)фициент
внутреннего пропускания может быть т, > 0,999. Такие стекла применяются
в волоконной оптике.
угла 0 от нуля до аА и угла <р от нуля до 2тс (предполагается, что
входной зрачок имеет форму круга), т. е.

2те 6А

d<T>v = LpdA У city У sin 9 cos 0cf9.	(7.62')

О о

После интегрирования будем иметь

с?Ф0 = r.LBdA sin2 ад.	(7.63)

<?/

Рис. 75. Световой поток, проходящий через оптическую систему

Аналогичным путем можно найти выражение для светового по-
тока ФФР, вышедшего из оптической системы через выходной зрачок
Q1Q2 = D ,

cW>0 = r.Lvdk sin’2oA-.	(7-64)

Связь между яркостями Lv и Lv характеризуется формулой (7.45'):

где т — общий коэффициент пропускания оптической системы. Тогда

с?Ф0 = r,tLv\ —) dA sin2oA-.

(7.65)

Определим световой поток, выходящий из элемента dA;, распо-
ложенного в точке вне оптической оси (рис. 76). Допустим, что
элементарная площадка dAy имеет одинаковую яркость во всех
точках, причем Liv = Lv и dAi=dA. Для телесных углов d-i и dQ^
можно написать

dAn

dQ = и d<ku
р

Р2

где dAp — площадка на входном зрачке, dAp01 — проекция площадки
dAp на плоскость, перпендикулярную к оси BP = pi телесного угла
Так как

dApa> ~ dAp cos <0 и р = р\ cos ш,
то

d9.«

Но

—COS3 <0.
р

dAp = р2 sin OdScty,
поэтому

= sin 9d<p cos3 o>.

Рис. 76. Световой поток, падающий
на входной зрачок из элементарной
площадки вне оси

Обозначая проекцию dA, = dA на плоскость, перпендикулярную
к оси телесного угла d9, через
dA2, будем иметь

dA2 = dA cos о).

Для элементарного светового
потока, исходящего из площадки
dAi и заключенного внутри те-
лесного угла dQm, можно написать
= LvdA cos 6 cos =

s= LvdA cos4 o> cos 0 sin 0d9d&.

Интегрируя это выражение в
тех же пределах, что и (7.62),
найдем

= r.LpdA sin2 аЛ cos4 о>. (7.66)

Беря отношение выражений (7.66) и (7.63), получим

~ d<L>0 cos4 u>.	(7.67)

Таким образом, световой поток, выходящий из какой-либо эле-
ментарной площадки, находящейся в плоскости, перпендикулярной
к оптической оси, и расположенной вне оптической оси, пропор-
ционален четвертой степени косинуса угла w (половине углового
поля). При этом предполагается, что телесный угол опирается на
всю площадь входного зрачка.

§ 50.	Освещенность изображения. Светосила

Освещенность элементарной площадки dA', расположенной на
оптической оси, определяется отношением

Подставив вместо d®o его значение из (7.65), найдем
/п'\2

Ео — r.xLp \~) sin2 ад.	(7.68)
Если d(l>'v заменить -:ЙФВ, то

Ev — r.xLv sin2 да -jp-.

Но

dE/dE.' = I/ро и Ев/л2 = L0o,

поэтому

Ev — -xL v (ft sin <?а)	« • (7.69)

о	Ро

Произведение п sin аА — А пред-
ставляет собой числовую апер-
туру пространства предметов, и

Ev = -ятЕОвА2 -rf. (7.69)

Ро

Рис. 77. Апертурный пучок лучей в
пространстве изображений

зрачках рОр (рис. 77), найдем

Ррр

(₽ор — М2*

Выражая sin оА- через диаметр вход-
ного зрачка D, линейное увели-
чение Ро и линейное увеличение в

. 2 	1 /Р V

Sin ДА' = -4- I ft I

Тогда

р' — — ят/
l->v --- 4 “

п\ /

/О.)2/ Pop Г
V / \ Pop ~ Ро /

(7-71)

Если первая и последняя среды одинаковы (например воздух),
ТО П] = rik и

£B = -i-^LB^ (₽Ор°-?о) •	(7-72)

Из формулы (7.72) видно, что освещенность в изображении эле-
ментарной площадки на оптической оси зависит от линейного уве
личения, т. е. для различных расстояний до предмета освещенность
будет иметь разные значения. Все величины в формуле (7.71), за
исключением яркости предмета Lv и линейного увеличения ро, от-
носятся к оптической системе (/', D, рОр, т). Освещенность изобра-
жения, как это видно из (7.71), пропорциональна квадрату отно
сительно отверстия:

= {т}-	(ТТЗ)

Величина И, называется геометрической светосилой системы. Фак-
тическая светосила зависит от коэффициента пропускания, поэтому
произведение хН? называют физической светосилой системы Н^, т.е.

Нь = хНт = *(£]2.	(7.74)
Физическая светосила представляет собой численную меру, харак-
теризующую влияние конструкции системы на освещенность изоб-
ражения.

Если предмет находится в бесконечности, то ро = 0 и

=	(7.75)

При ро = —1,0, т. е. когда предмет и изображение расположены
на двойных фокусных расстояниях,

(7.76)

Если, кроме того, р0₽ = 1, 0, тогда
'	1	/ D \2

Е» = |g итЕо ) •	(7.77)

В случае когда изображение находится на большом расстоянии
от оптической системы (случай освещения прожектором), то с до-
статочной точностью можно принять, что

sin 2 Одл =

Р'2 _ V
4р'2 пр'2 ’

где Ар'—площадь выходного зрачка системы; р’— расстояние от
выходного зрачка до изображения. Тогда на основании (7.68) при
П\ = Пк получим

Ev-xLv—~-.	(7.78)

Выражение (7.78) носит название формулы Чиколева — Манжена.

Освещенность в какой-либо элементарной площадке, располо-
женной вне оптической оси, при отсутствии в системе виньетиро-
вания на основании (7.67) будет равна

e'=E^cosV	(7.79)

В реальных системах, особенно с-нетосильных и широкоугольных,
виньетирования не удается избежать, поэтому

Еш — kAE'a cos u> ,	(7.80)

где /?д — коэффициент геометрического виньетирования.

Формула (7,79) является приближенной; она дает хорошие ре-
зультаты при относительных отверстиях, не превышающих 1:3,5,
и удовлетворительные (с ошибкой 5—6%) при относительных отвер-
стиях 1:2.
Глава &

РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 51.	Расчет хода первого и второго параксиальных лучей

В настоящее время расчет хода лучей через оптические системы
различной сложности производится с помощью электронных вычи-
слительных машин (ЭВМ) по специальным программам. Однако
во многих случаях, при предварительном расчете оптических сис-
тем, приходится выполнять расчет хода параксиальных и действи-
тельных — меридиональных лучей ручным способом, используя
для этих целей микрокалькуляторы различного типа с тригономе-
трическими функциями.

Если система состоит из I тонких линз в воздухе, то параксиаль-
ные лучи рассчитываются по формулам (3-53): первый паракси-
альный луч

ар. = Яр-1 + йр-1Фр-1;

/1р —1 Ар— | ”-“ dp—1Яр,
второй параксиальный луч

Рр = Рр—1 + z/р—|Фр_и]

Ур = Ур—1	dp—iPp,, |

(8-1)

(8-2)

где р. = 2, 3, ..., I.

Для системы, состоящей из k преломляющих или отражающих
поверхностей, используются формулы (5.36), (5.42) и (5.44), которые
приводятся к виду: первый параксиальный луч

/г, = /i,_i — dv_ । а„,

(8.3)

второй параксиальный луч

Уч •—• Уч—j	dv—фу»

(8.4)

где v = 2, 3, .. ., k, р,_, =

Начальными-данными при равчете хода первого параксиального
луча для предмета на конечном расстоянии являются: коор-
дината Si или ai, высота hi выбирается произвольно или 0/2, при
Si = at =— со, ai = 0, hi — произвольно или 0/2. При расчете
155
хода второго параксиального луча задается sp или ар, а угол
принимается равным tgwi, t/1=sp₽i или z/i=appi.

В результате расчета лучей находятся следующие величины: при
а, = si #= — оо расстояние й; = hi/ai или s* = линейное увеличе-
ние системы ро = «i<xi/n*oc*; при а\ = si = — оо a'F> = hjа/, sr- = hkldk,
f — hjd, f = h\/ak\ положение выходного зрачка dp> — sp>=
= yk/$k и линейное увеличение в зрачках ₽о₽ =	величина

изображения у =(ар> — су} или у = (sP'— s*)₽b Для определе-
ния ар или Sp рассчитывается ход первого параксиального луча
в обратном направлении. Если луч рассчитывается через телеско-
пическую систему (ai = 0, а* = 0), то определяется видимое увели-
чение Гт = h\!hk.

§ 52.	Расчет хода действительных лучей
в меридиональной плоскости

Расчет хода действительных лучей в меридиональной плоскости
ручным способом производится по формулам (4.26)—(4.30), которые
при последовательном их применении к каждой преломляющей по-
верхности имеют вид:

si #= — оо, ai =И= 0, h\ —задается;

.	'v—1 ~~	1 •	* *	1 .

sinev_] »----------sin i; sinev_] ----------sin ev—i;

r»-l	/я ns

c„ — c,_i -f- e„_i — e,_i, s„_i в r,_i — rv_i --;

sin<\-i

s» = s,_! — d,_i,

где v = 2, 3, . . ., k.

При s = — oo, ci = 0, h] — задается sin ev_i = — A,_i/r,_i.
Если для какой-либо поверхности г = оо, то е = а,

г I •	> п .	~ tg а

е = а , Sin а = —r sin о, s = S-~r.
’	tr	В 9	n'

В результате расчета при s, =# — со определяются координата
s и линейное увеличение по формуле

Л] sin Oj

л* sin а' ’

а при si = — со, s' = s^, фокусное расстояние
f — hj sin <зц.
Расчет хода главного луча производится по формулам (8.5),
в которых угол а заменяется углом «>. В результате расчета опре-

деляется координата sP', линейное увеличение в зрачках

- п, sin oil
₽р = -4—4,
nk sin <ak

и величина изображения

У =(sp' — sL)tgo)j.

§ 53. Расчет хода элементарных астигматических
пучков лучей

В § 25 было показано, что при прохождении через систему эле-
ментарных наклонных пучков лучей внеосевая точка предметной
плоскости изображается в виде двух элементарных отрезков, рас-
стояния до которых определяются координатами t,n и ts по форму-
лам (4.47) и (4.48), т. е.

1_ = (Д,-1 с°за «У—1)ЛСТ,У—1 + Ру—1 (», cos <_1 - COS g<_i) .

С-1	’ (86)

1 == "у-Л,,- 1 + Р, 1 (п, cos	COS е,-,)	 '

4-1	’

где v = 2, 3 ... k.

Прежде чем приступить к определению координат tm и t\, по
формулам (8.5) рассчитывается ход главного луча по заданным ко-
ординатам sp и «и. В результате расчета получают величины углов
е, е', «), со' и ср для каждой преломляющей поверхности. Затем вы-
числяются высоты у падения луча на каждую поверхность по фор-
муле

t/v = г, sin cpv = г, sin (со, — ev) = г, sin (<в7 — г,).

Переход от поверхности v—1 к поверхности v производится по
формулам (рис. 78)

= ^т.ч—1	—1»

^s,y =	—I —dt—1,

где d ,-i — косая толщина или толщина линзы (воздушный промежу-
ток), взятая по главному лучу, равна

,	Уч--1

а,_1 — ------:----

ЧП О).
В результате расчета хода меридионального и сагиттального пучка
лучей через систему из k преломляющих поверхностей находятся

Рис. 78. Ход главного
луча через поверхности
v — 1 и v

координаты tm,*, tSik (рис. 79). Астигматическая разность вдоль глав-
ного луча равна 4,* — tm_k. Астигматическая разность вдоль опти-
ческой оси ts,k—где

т.г< — ttn,k COS <1)£ 4“ &kt
t — ts,k COS u>h -f- 5ft.

Рис. 79. Координаты,
определяющие положе-
ние астигматических изоб-
ражений

Координаты ут и у„ определяющие высоты от оптической оси до
точек В'„, и В' меридионального и сагиттального изображений точ-
ки, равны

Ут ““ (®о' — t m,k) tg

ys = (s',,’ — t s.*)tg (Oft.
Уравнения для меридионального и сагиттального элементарных
пучков лучей при расчете их с помощью ЭВМ записываются в виде

п’ '2

П	2

1+ ----------

*т	1

Апл —•	—I —

(8.7)

где

<7,_i = cosev_t, (jv_i = cose)_i, M,_i = (nvg,_n,_igv_i)p,
берутся из расчета хода главного луча.

§ 54. Внемеридиональный луч и его координаты.

Формулы для расчета хода внемеридиональных лучей

Выше рассматривался ход действительного луча только в ме-
ридиональной плоскости. В общем случае лучи, выходящие из
различных точек предметной плокости, не лежат в меридиональной
плоскости, а пересекают ее под различными углами. Такие лучи
носят название внемеридиональных или косых лучей.

Положение внемеридионального луча B\N\ (рис. 80, а) в про-
странстве предметов определяется следующими координатами: рас-
стоянием от предметной плоскости до плоскости входного зрачка
(sp — si), величиной предмета у и координатами пересечения луча
с плоскостью входного зрачка пи и М\. Координата пи располо-
жена в меридиональной, а М\ — в сагиттальной плоскостях. Вме-
сто координаты у может быть использован угол ши tga>i = y/(sp—
— sj). Зная эти координаты, можно найти направляющие косинусы
Xi, иц и vi, характеризующие направление внемеридионального
луча BiA/i (см. рис. 80, а):

__________~(5i ~	.

~ Зу)2 + (т1 — у)2 +

т]—у>

Р-1 = .т-	:	(8.8)

-.d)2 + («,-?/)2+

У(*i ~ v)2 + (mi ~rf + Л|1

где Xi — косинус угла между лучом B\Nи осью A^Zu р, — коси-
нус угла между лучом B\N\ и осьюЛ1У; v,— косинус угла между
лучом BiNt и осью А\Х. Как известно из аналитической геометрии,

х 2 I 2 .	2	«

Л1 + J*1 + V| = 1.
В пространстве изображений, если система дает совершенное
(идеальное) изображение предмета AiBi, то координатами вяе-
меридионального луча NkBi, являются (рис. 80, б): расстояние о~

Рис. 80. Координаты, определяющие положение внемеридионалыюго луча
а — в пространстве предметов; б — в пространстве изображений

плоскости выходного зрачка до плоскости параксиального изооре
жения ($р' — Sft), величина изображения tg w = у' /sp—Sk, ко-
ординаты пересечения луча с плоскостью выходного зрачка т'к i
М'к. Однако вследствие того, что реальная оптическая система не
удовлетворяет все.м положениям идеальной, внемеридиональный лу1

NkBk пересекает плоскость параксиального изображения не в точкь
Bk, а в точке Bk. Положение луча NkBk вполне определится, есл!
наряду с координатами точки Nk(mk, Мк) будут известны коорди
паты точки Вк. Расстояние между точками Bti и Вк характеризуем
несовершенство реальной оптической системы и носит название п<-
160
поперечной аберрации (погрешности) внемеридионального лучи. Цели
отрезок BkBk разложить по осям координат, то получим две сос-
тавляющие kgk и ДО*. Координатой точки В* в меридиональной
плоскости является у' = у' 4- &gk, а в сагиттальной плоскости =
— ДО*. Таким образом, координатами внемеридионального луча
NiB/г в пространстве изображений являются: — ($₽—s*), /и*, М'к,
у' = У’ + ^g’h и х' = ДО*.

Направление внемеридионального луча в пространстве изображе-
ний можно характеризовать также направляющими косинусами
(рис. 80, б).

(4 - so')2 + (m'k - у')2 + (м> - д0*)2

_________________- У

(s*— v)2 + (mk~~y')' + (^*—

_________________т'» - ___________________

{Ч - \,'У + "У -У'У + (M'k - Mk)

(8.9)

Координаты внемеридионального луча в пространстве изобра-
жений, как известно, являются функцией координат луча в про-
странстве предметов и конструктивных элементов системы, поэто-
му определяются расчетом хода лучей.

Расчет хода внемеридиального луча на ЭВМ производится по
формулам Федера, которые имеют ряд преимуществ перед триго-
нометрическими формулами. К этим преимуществам относятся: от-
сутствие тригонометрических функций, благодаря чему значи-
тельно сокращается машинное время, необходимое для расчета;
минимальное число квадратных корней; отсутствие переменных,
обращающихся в бесконечность (s, 5'); отсутствие формул, при-
водящих к потере точности; плоские поверхности не требуют спе-
циальных схем. Направление луча в формулах Федера до и после
преломления определяется с помощью единичных векторов Q и Т
(рис. 81). Начало координат располагается на вершине первой по-
верхности. После расчета хода через первую поверхность начало
координат переносится на вершину второй поверхности и т. д.

Ниже будут приведены формулы для расчета хода лучей толь-
ко через центрированные системы, состоящие из сферических и
плоских поверхностей.

Для предмета па конечном расстоянии положение луча в про-
странстве предметов определяется координатами Si, sp, у, х; т\\
Mi (рис. 82, а),
6 1-448	161
Если предмет находится в бесконечности, то положение луча в
пространстве предметов задается координатами s0, т\, Mi, направ-
ляющими косинусами p.i, vi (рис. 82, б).

Рис. 81. Ход впемеридионального луча через поверхности v— 1 и v и его коор-
динаты:

0(2. </. )у__j — единичный вектор, определяющий направление луча	Q' (2» у. «)>,—

единичный вектор, определяющий направление луча после преломления иа поверхностиv—I;
г (л, у, 2)v_। — вектор из вершины поверхности v — 1, направленный в точку пересечения

луча	с этой поверхностью; Т' (г, у, x)v_।—вектор из вершины поверхности, направ-
ленный в точку пересечения луча (Vv__________j?Vv с данной поверхностью

а

Рис. 82. Координаты внемерационального луча:
а— для предмет?» на конечном расстоянии, о— для предмета в бесконечности

Для расчета хода внемеридиональных лучей через центрирован-
ную оптическую систему, состоящую из сферических преломляю-
щих поверхностей, формулы Федера применяются в следующей по-
следовательности .

Предмет на конечном расстоянии Si =)= — го, координаты пред-
метной плоскости; ги = 0, у^ = у, =— ы.
Направляющие косинусы:

X -	_	— (si—*р)

1	K(si — SJ2 + (",I — v)2 + (/Wi — М2

11'	И(sl +	-")2+ (М, —	’	(8'1 °)

_____________^1 ~ *0___________

VI = V0l-SJ2 + (m,-j/)2+(A1l-r„)2	•

В том случае, когда предмет располагается в меридиональной плос-
кости, х0 = 0. Предмет в бесконечности:

г0 = 0; у0 = т^ Хо = Мх;	1 ^gj

k] =cosai; p.i = — sinai; vi=0; do — — sp. J

Преломление луча на v-й поверхности определяется по формулам

1.	e,—i = — [(zv— 1 — i)И- У?— iP'v 4~ JCv—iV,];

2.	cif е,—(Ху (z,~i	dy—i),

3.	А2 ~ (z,-i —	+ z/v—। + Xy—i — ^y_i;

4.	P, = p,A2 —2a,;

5.	g, = V X2 — p,P, = cos e,;

« я	•	P'	•

6. d,_i -e,_i -r	+	.

7.	Qv=|/ 1 —	(1 — g?) = cose^;

8.	g, =g,	-	>

“,+• ।

9.	Zy = (z,_। — i) -f- dy— iX,;

10.	g, = g,_i + dy_ip.,;

11.	Xy — x,—i 4" dy— iv,;

12.	X,^_ :  	Ху	Д/у | Z*ypv	1),

'I’+'

13.	p.,4- =  ---p<v	goHvp,;

14.	v,+ i =-—- v, —g,%,p,.
«,+i	_	j

(8.12)
Проверка правильности вычислений после каждой поверхности
производится по формулам:

х 2 I 2	।	2	1,

М—| “Г P-v—1 “Г Vv—1= I,
(z4_ip,_i — 1)” 4- (^_ip,_i)2 4- (Xvp,_|)‘- = 1.

(8.13)

В результате вычислений определяются координаты пересечения

внемеридионального луча с плоскостью параксиального изображе-
ния (см. рис. 81):

'	1 -*г ~ -Ч	л '	'	'

У = у^ = ьч 4- --- и.14-bgk = y — у ;

Xk+1 = Xk -Г -т---------	1 > ЬОь — х>,.+1.

лЧ-1

(8-14)

В том случае, когда луч проходит в меридиональной плоскости
хь = 0, vj —.0. Для предмета на конечном расстоянии:

Предмет в бесконечности:

Xi = cos ад го = 0;

а

уч = — sm аг, уп = ту,

о = — 44	(8.16)

Формулы для расчета хода меридионального луча при прелом-
лении на v-й поверхности имеют вид:

1.	£4—1 — — |(гм -1 — i) 4-	I;

2.	<7V = ё?—	4- (Zy—j —  ])j

3.	4^ = (г,_! — d,_i)24-— e£_i;

4.	P, = pv/C—?av;

5.	$, = Kk2 — p,P, = cos ед

(8.17)

Q	Г V

o. =q^-------------Q,;

9.	г, =-(г,_1— d, ,)-L</v_il,;
(8.18)

10.	у, = y,_i d,

U- =^-Xs — ^,(гчэ,—1);

//
12	U-,_|_|	p,v —

' ’J-f-1

Формулы для проверки правильности вычислений:

\ 2	:	2	1

Л у- 1 ~П Р«у- 1 - 1 ,

[Z,-iOv-l—I)2 4-(//v_jpv_;)2= J.

По результатам расчета хода меридионального луча координата
пересечения его с плоскостью параксиального изображения опре-
деляется по формулам

\

у = ук+ । = -I- -г--------Р-''+1 •

4+i

<8J9>

'	. Л*4-1 ,

S/? — — tjk т £/?♦
Р-/?4 I

Если луч рассчитан для предмета в бесконечности, то/'=—Wp^+i.
Приведенные формулы могут быть использованы также для расчета
хода лучей через несложные системы с помощью микрокалькуля-
торов.
Часть П.

ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В геометрической оптике было показано, что оптическая систе-
ма может дать идеальное изображение элементарного отрезка,
перпендикулярного к оптической оси, только в том случае, когда
выполняются условия (4.2) и (4.14) для всей системы. Однако
эти условия, за исключением некоторых частных случаев, не вы-
полняются. Поэтому гомоцентрические пучки лучей пространства
предметов после выхода их из системы перестают быть гомоцетрп-
ческими.

Реальные оптические системы должны давать изображения
сравнительно больших участков пространства предметов, т. е. иметь
значительные угловые или линейные поля, и обладать входными
зрачками конечных размеров. Для получения более или менее
идеальных изображений такого рода системами необходимо вы-
полнение многих более сложных условий, чем указанные выше.

Нарушение гомоцентричности пучков лучей оптическими си-
стемами, а также несоответствие положения точек реального изо-
бражения законам идеальной системы называется погрешностя-
ми или аберрациями.

Аберрации оптических систем могут быть получены сравне-
нием координат- изображения (линейных или угловых), вычис-
ленных по формулам для действительных лучей, со значением
тех же координат, полученным по формулам для параксиальных
лучей.

Наряду с этим точным способом для определения аберраций
используются также приближенные формулы, которые будут рас-
смотрены ниже.

Аберрации оптических систем разделяются на хроматиче-
ские и монохроматические. Пучки лучей естественного
света, с помощью которых образуется изображение, представля-
ет собой совокупность пучков с различными длинами волн. Так
как показатель преломления является функцией длины волны, то
он изменяется в одной и той же среде при переходе от одной дли-
ны к другой, а вместе с тем изменяется и направление преломлен-
ных пучков лучей. В результате этого явления (дисперсии) изо-
бражение предмета представляет собой совокупность большого
числа монохроматических изображений, не совпадающих между
собой как по положению, гак и по величине; изображение ста-
новится окрашенным. Окрашивание изображения носит назва-
ние хроматизма или хроматических аберраций.
Монохроматические аберрации характеризуют
отступление реальных координат изображения систем от идеаль-
ных для лучей определенной длины волны, которую называют
основной.

Процесс устранения как хроматических, так и монохромати-
ческих аберраций называется корригированием оптиче-
ской системы. Полностью устранить аберрации в оптических
системах невозможно. Удается только уменьшить их до такой сте-
пени, что глаз или какой-либо другой приемник световой энергии,
вследствие ограниченной разрешающей способности, практически
не воспринимает аберраций.
Глава 9.

ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ

§ 55, Классификация хроматических аберраций

Хроматические аберрации могут быть разделены на группы в
зависимости от той области, к которой относятся пучки лучей, об-
разующих изображение. К первой группе относятся основные хрома-
тические аберрации, которые проявляются уже в параксиальной
области. Как известно, в этой области изображение определяется
двумя координатами: расстоянием по оптической оси до изображе-
ния s’k и величиной изображения у' или углом второго параксиаль-
ного луча с оптической осью р*. В соответствии с этим к хромати-
ческим аберрациям первой группы относятся хроматическая
аберрация положения изображения или просто хро-
матизм положения и хроматическая аберрация ве-
личины изображения или хроматизм увеличения.

Ниже будет показано, что невозможно устранить аберрации для
пучков лучей всех длин волн. Эти аберрации устраняются только
для каких-либо двух длин волн, выбор которых определяется назна-
чением системы. Поэтому в системе всегда имеет место остаточный
хроматизм для других длин волн, называемый вторичным
спектром.

Хроматические аберрации второй группы относятся к конеч-
ным апертурным углам и к конечным углам поля, т. е. к действи-
тельным лучам. Хроматические аберрации первой группы назы-
ваются также хроматизмом первого порядка, а хроматиче-
ские аберрации действительных лучей — хроматизмом выс-
шего порядка.

§ 56. Хроматическая аберрация положения изображения —
хроматизм положения

Общее понятие о хроматизме положения. На рис. 83 показан
ход параксиального пучка лучей естественного света A]NM. Вслед-
ствие дисперсии этот пучок после преломления в оптической системе
О,О<г разлагается на цветные пучки. Преломленный пучок, напри-
мер, для красного цвета линии С (к = 643,8 нм) дает изображения
точки А, в точке /1,.-, для зеленого цвета линии е (к = 546,1 нм)
в точке А., а для синего цвета линии Л'(к = 480,6 нм) в точке
А/щ пучки лучей других цветов дают изображения в точках, рас-
положенных вблизи точек Ac>, Ае и Ар>. Положение точек А^, А
и Ар> относительно системы определяется отрезками OiA'e=s-
OkAe = se и ОкАр, = sp,. Вышедшие из оптической системы пучк!
лучей NC-AC'MC’, NeAeMe и Nр'Ар'Мр’ являются гомоцентрически-
ми, так как рассматривается ход лучей в параксиальной области

Рис. 83. Хроматическая аберрация положения изображения — хроматизм поло-
жения

Если поместить экран в плоскости, проходящей через точю
АС’, перпендикулярно к оптической оси, то на экране будет видн<
не точечное изображение точки Аь а кружок рассеяния, в цент
ре которого располагается красная точка, а по краям — синее коло-
цо. При перемещении экрана в точку А/ диаметр кружка рассея
ния уменьшается, имеет почти бесцветную окраску и в центре ег<
располагается зеленая точка; при дальнейшем смещении экрана ра>
мсры кружка увеличиваются и при совмещении с точкой А д
в центре кружка будет довольно резкое изображение синей точки
на оси, а по краям красное кольцо. Для получения резкого изоб
ражепия точки на оси необходимо совместить изображения хоте
бы двух цветов, при этом произойдет более или менее полное сме
шенис лучей всех цветов и получится практически бесцветное
изображение, при этом в плоскости параксиального изображение
для третьего цвета будет иметь место, хотя и небольшой, кружог
рассеяния.

Разность отрезков $f' и sc- называется продольной хрома
тической аберрацией положения изображения, илг
сокращенно, хроматизмом п о л о ж е н и я. Обозначая хроматизь
положения через Asf-C', получим

^s’f'C> = s'p- — sc>.	(9.1
В общем случае хроматизм положения записывается в виде

Asx.x. = sx, — sx„	(9.2)

где Xi < кг.

Началом отсчета хроматизма положения служит точка А', (А.');
аберрация считается отрицательной, если точка Ас> (А(,) лежит
правее точки A (/!>.,), и положительной при обратном располо-
жении этих точек. Систему, имеющую аберрацию Asx,x8<0, назы-

Рис. 84. Ход параксиальных лучей при наличии хроматизма положения

вают недоиснравленной в хроматическом отношении
или недокорригированной, когда Asx,x2 > 0, говорят, что
система переисправлена или перекорригирована. Если
As(,x2 = 0, то систему считают исправленной или ахроматизи-
рованной для заданных длин волн.

Формулы для вычисления хроматизма положения первого порядка.
При расчете оптических систем обычно пользуются формулами,
полученными аналитическим путем. При изменении длины волны
изменяются показатели преломления п и п' и отрезки s и s'. При-
ращения, которые получают при этом отрезки s и s', являются
хроматизмом положения As и As' (рис. 84). Для определения вели-
чин As и As' воспользуемся инвариантом преломления Аббе, связы-
вакщгм координаты точек Ах< и А'к, т. е.

Дифференцируя (9.3) по переменным n, n', s и $' и опуская
индекс К, найдем

=	=	(9.4)

Напишем это выражение в виде
Умножая все члены выражения (9.5) на h2 и учитывая, что
h/s --= а и h/s — я', получим

n’a'^ds' — m2ds ~ Л| — у] dn' — (л---dn^ ,	(9.6)

Из уравнения для первого параксиального луча имеем

(М

Подставляя (9.7) в (9.6), после несложных преобразований найдем

n'a ds' — ntFds — h

(9.8)

Введем обозначение

а' — а
2~Т
л' п

(9-9)

тогда

n'^ds’ — na.2ds = hC.	(9.8')

Уравнение (9 8') характеризует собой связь координат изображения
при переходе от длины волны Xi к длине волны Х2. Так как раЗ^~
ность показателей преломления при переходе от X, к Х2, например
от цвета F' к цвету С, довольно мала, а следовательно, и отрезки
s' будут также изменяться на малую величину, то дифференциалы
ds, ds', dn и dn' можно заменить приращениями, т. е. принять

ds = As, dn = &п = fix, — Пхг;

ds' = iss', dn' = Дм' = «х, — Яхр

В этом случае

n'a^ks' — naf&s = hC,	(9.10)

где

Га' — а Г Да'	Да 1	ба „ Дп

С = п-------г ~~t-------— —г ° — •	(У«У )

1	1 I п	п	1 п	4	'

—;	— Г	J б —

П П	П

Величина С играет важную роль в теории хроматизма, поэтому
носит название хроматического параметра. Хроматический
параметр может быть представлен в другом виде. Пользуясь фор-
мулой для коэффициента дисперсии, можно написать

V =	~ 1 = п~1 / =	= Ч-1 = п'-1

\ - пк, Д/| д” ’ пк - пк	М ’

откуда

Дп  п — 1 1 Д.п'  п' — 1 I
п п ч ’ п' п ч' ’
тогда

с =	~	— —1.	(9.9")

п' ~~ п

Формула (9.10) является уравнением хроматизма положения
одной преломляющей поверхности, где Дз представляет собой хро-
матизм положения в пространстве предметов, а Дз'— хроматизм
положения в пространстве изображений.

Для системы, состоящей из k преломляющих поверхностен,
можно написать:

Z Г	!	С)

первая поверхность пщ Дл—	= h\C\,

вторая поверхность п.2я.'2 Д$2 — щД’Дз.' — h:C?_,

k-я поверхность Дзг,— п^Дь/с = ЛДА-

Суммируя эти выражения почленно и принимая во внимание,
что /г„ = n,+ i, s, = a,+ i. Д«, = Дл.+ь после сокращения найдем

Л

/1>д/гДх1, — П)а(ДЗ| --	\ h.,Cy.	(9.11)
Из (9.11) для хроматизма положения Дз* получим  =	USi+_L	v/г/?,.  'A \ак]	Пка'к	,= i  Если предмет не имеет хроматизма положения, т. е. тогда  Дз. = Д.З-= r *; j- V II;С;.  П;^	V=1		(9.12)  As‘( ~ 0,  (9.13)
Выражение под знаком С}.ммы обоз!  1/	-	k  Slxp = V h;C; == V !l;  V~|	V--1  тогда	iaчается через Sixp,  J "	’  0 —	\	/ 'i  tl Jv	(9.14).
~	Slxp-  nkak		(9-15)

Сумма S[xp называется первой хроматической суммой. Из
(9.15) видно, что для устранения хроматизма положения в системе
необходимо положить

Stxp = V h.,C, = 0.	(9.16)

v= I

Формула (9.16) называется уравнением устранения хроматизма по-
ложения — уравнением ахроматизации системы.
§ 57. Хроматическая аберрация величины изображения —
хроматизм увеличения

Если в системе устранен хроматизм положения, то этим еще не
обеспечивается отсутствие окраски в изображении. Кроме хрома-
тизма положения, зависимого от координаты имеет место, как
уже указывалось, и аберрация, относящаяся к ординате у'. Орди-
наты д’ для различных длин волн будут разными, так как линей-
ное увеличение, определяемое формулой

является функцией показателей преломления, которые для различ-
ных длин волн имеют разные величины. Для длин волн. X, и Х2
формула (9.17) даст два разных значения линейного увеличения —
цох, и |%>.г, поэтому

th-i = У?'®.,-

(9.18)

Изменение величины изображения в зависимости от длины волны
носит название хроматической аберрации величины
изображения или хроматизма увеличения. Хроматизм
увеличения определяется как разность величин изображений~для
выбранных длин волн

— гд,.

(9.19)

При наличии в системе хроматизма положения для длин волн
Х| и Х2 отрезки и располагаются в разных плоскостях
(рис. 85, а). В случае когда Дх(,,.г -О, отрезки и у\г находятся
в одной плоскости (рис. 85,6). В обоих случаях хроматизм увели-
чения определяется формулой (9.19). Известно, что любая оптиче-
ская система имеет одну плоскость изображения, за которую в
большинстве случаев принимают плоскость параксиального изобра-
жения для основной длины волны Хо. (За основную принимают
длину волны, для которой исправляются монохроматические абер-
рации). Поэтому нас интересует хроматизм увеличения, который
будет иметь система в этой плоскости’ изображения. Если обозна-
чить проекцию отрезков и y'\t на плоскость параксиального изоб
ражения для длины волны Хп через (гд,)к, и (ух„)х0, то хроматизм
увеличения (Дт/х,х2)л0 будет равен

(Д{Д,хЛ,. = (&х,)х0 — (ух,)х0.

(9.20)

Причем хроматизм увеличения (Д^,х2К будет отличаться, как это
видно из рис. 85, б, от хроматизма увеличения Дгд,л,-

Величины изображений у', отнесенные к плоскости параксиаль-
ного изображения для длины волны Хо, будут равны:
при AS)\x2 Ф о

(.¥Х.)лв	^/л( (Ан *л,) jJJip

(«аХ = Х — (•<- "J

Рис. 85. Хроматическая аберрация

величины изображения — хроматизм увели-
чения:

в — хроматизм увеличения при д-^х

+ 0; &— хроматизм увеличения при	О

при А«л,л, = О

(/АХ ~ У\ + («Х„— «М,)

(^Х = + X-------------?x,.

Формулы для хроматизма увеличения первого порядка. Найдем
формулы, е помощью которых можно определить хроматизм увели-
чения, не прибегая к расчету хода лучей в системах, конструктив-
ные элементы которых известны и которые могут служить для
ахроматизации вновь рассчитываемых систем.
Величина изображения в параксиальной области, как известно,
определяется формулой

У' = УК

(9.21)

Логарифмируя и дифференцируя (9.21) по всем переменным,
найдем

dy'_  dy

и' и "I

Для </Зо/Ро на основании (9.17) получим

_ dnt  X"«Г	nk	S1	S2	+	dsk	dS\	ds2  <	si	s2		~ V
или		dn.	dn.  -4 + nk	ds'k	_dS| + у rds»-i _  S i	1 c	S  1	v=2 L S’-1	v J		(9.23)

После преобразования (9.23)
параксиального луча найдем

и введения координат второго

Учитывая (9.8') и подставляя

(9.24)

(9.24)	в (9.22), будем иметь

Заменив дифференциалы приращениями для хроматизма увели-
чения, получим

Ду . Дге1 *4 . Asi	4- ' У (9.26)

ч' " "I «; sp ~si s0'-sk 1 Zi

где Дг/— хроматизм увеличения, a Asj — хроматизм положения в
пространстве предметов; Д$х,х2— хроматизм положения в прост-
ранстве изображений. Если предмет безаберрационный, т. е.
не имеет хроматизма положения и хроматизма увеличения, и систе-
ма находится в однородной среде, тогда

△р = 0, Asi =0, и.} = пь, Дп| = Дщ.
и

Д(/, 1	Д$1 i 1 *	~

Х,Ч + V V «,С,.	(9.27)

11	1 "Г

Из (9.27) видно, что хроматизм увеличения Д(/к,х2 зависит от хрома-
тизма положения Дз^х,, поэтому, как уже указывалось, если
ASx.x, ¥= 0, то изображения y{t и у\г лежат в разных плоскостях. Если
даже и будет достигнута ахроматизация, т. е. рХ1 — У\,, то проек-
ция этих отрезков на плоскость параксиального изображения для
длины волны Ао даст разные величины для у' и на краях изобра-
жения появится окрашивание. Поэтому при наличии в системе хро-
матизма положения Дах,хг, чтобы устранить хроматизм увеличения

Рис. 86. Хроматизм увеличения, отнесенный к плоскости параксиального изоб-
ражения для основной длины волны

в плоскости параксиального изображения для Ао, необходимо ввести
хроматизм увеличения Дрх,х2 такой величины, чтобы проекции изобра-
жений ух и г/'ч из центров выходных зрачков РХ) и на плос-
кость изображения Ёх, были бы равны между собой (рис. 86).

Из рис. 86 имеем

(ух,к=Ух, — (sx„ — Sx,)px,,
(/Аг)Ло~ У^г	$Хг) Рх2»

Хроматизм увеличения в плоскости £х„

(Д !/х,хгК = (к,)х„ —	= У^~ к» — sJ к ~ Ук, + (s4 —	k-

Углы pl, и pl, мало отличаются друг от друга и от рх„, поэтому
можно принять

₽х, = рх, = Рх0.

Кроме того
,	,	,	,		Ух

Д^ХА.== Уи~ Д5М>=5М, рохо= Г> г7Г~ ,

поэтому

(&!А,х,)х„ = ^х,х, ,	.

Ух, Ух„ (sp' s*)x0
Опуская во второй части этого уравнения индекс Хо, можно на-
писать

	(Ч,х2)х„ yi	Ч,хг , = У' +	Ья'. л.  л1Л2 f	•	»  SP' - sk	
отсюда	Ч,х2	(ДУ).1Х2)х„		(9.28>
	у'	yi	s' p'-*k	

Приравнивая (9.27) и (9.28), найдем

(Чхг).
yi

I k ~
у'' у£,.

(9.29)

Хроматизм увеличения определяется, а также устраняется только
для плоскости параксиального изображения Е\„, поэтому в даль-
нейшем для простоты написания формула (9.29) будет представлять-
ся в виде

тогда

Введем обозначение

. к  Дг/м. = у S У,Сч. к М=1	(9.30)
k	
5iixp ~  ^=1	(9.31).
^х,х, = у Siixp.	(9.30')

Сумма Snxp носит название второй хроматической суммы.

Представим вторую хроматическую сумму в несколько другом
виде. Связь между координатами первого и второго параксиальных
лучей для произвольной поверхности v определяется ypaiпением
(5.66), т. е.

£ =	(9.32)

где

s.-V	(э-33)

Умножая (9.32) на h.C,, получим

УчСч — -fa- h-jCy ISshiCv.

Суммируем это выражение по всем поверхностям от 1 до k

k ~ Ц. к ~	k

£ УчСч \ ЬчСч + 1 Ssh,Cv,
тогда

Хроматизм увеличения

Так как £ h.C-, = S[xp и
v=l

S^V.SW,, А = ^-,
то

~ т т S у^‘ ~ у' + s,xP.].

(9.34)

(9.35)

(9.36)

(9.37)

Для устранения хроматизма увеличения в системе необходимо
выполнить условие

И ~

Siixp = У у.е, = о,

(9.38)

или

6S,xP + Ssxp = о.	(9.39)

Ssxp является хроматической суммой, зависящей от толщины и рас-
стояний между компонентами. Инвариант Лагранжа — Гельмгольца
для первого параксиального луча может быть представлен в виде
/ = И,уа| = hi (Sp — Sl)₽!	= /l|(Sp—Sl)^1.

si	sisp

Тогда коэффициент k

"ift! (sp“si)’

Для предмета в бесконечности при h\ — 1 и п\ = 1
k = — sp,

и условие устранения хроматизма увеличения

— SpSixp + Ssxp = 0	(9.40)

Формула (9.40) является уравнением устранения хроматизма увели-
чения.

§ 58.	Вторичный спектр положения и увеличения

Система, ахроматизированная для параксиальных лучей длин
волн Х| и h, еще не дает вполне бесцветное изображение как точки
на оси, так и точек вне оси. Изображения, образованные другими
длинами волн, будут располагаться на различных расстояниях и
будут иметь разную величину. Имеет место так называемый вто-
ричный спектр. Вторичный спектр для точки на оси обычно
характеризуют отрезком AsXXo, равным расстоянию от изображе-
ния для основной длины волны Хо до изображения, которое ахро-
матизировано для длин волн Х\ и Х2, а для точки вне оси отрез-
ком Az/xx, от Хо до Х]Х2 (рис. 87). Вторичный спектр для точки на

Рис. 87. Вторичный
спектр положения Дях,Х(1
и вторичный спектр уве-
личения

оси по существу является остаточным хроматизмом положения, а
вторичный спектр для точки вне оси — остаточным хроматизмом
увеличения, оказывающими иногда весьма заметное влияние на
качество изображения (системы с большими фокусными расстояния-
ми, с большими полями И Др.).

В дальнейшем вторичный спектр для точки на оси будем назы-
вать вторичным спектром положения, а для точки вне
оси — вторичным спектром увеличения.

Мерой вторичного спектра положения является величина

AsPC = Asx,Xo — sx,x, — sx„

(9-41)

при условии, что

AsI,Xf = si, —- si, = О,

или в общем виде

AsIc = Asxx„ = sx —sXq,

(9.41')

при том же условии, где X — длина волны для любого цвета.
Для вторичного спектра увеличения имеем

А^1С = А^,ко = z/I,x, —	(9.42)

при условии, что	Aza^a, =	— Ухг = 0,
или в общем виде	△t/во = Аг/а, = у'х — z/I„.	(9.42'  179
Обозначим показатели пре томления сред для длин волн Хп и Х2
в пространстве предметов через /?„,, /г,„. и пч, а разности /гх,—пХ2

и /г,.,— п,.о—через Д/г и Д/г, т. е

Д/г /гч — /г,.2, Д/г /г,, — /гХо,

где Д/г будем считать средней дисперсией (/г/-пС’),а Д/г — частной

дисперсией (/г/.-—/г,, /г„— /г/--, п.— lie и т. д.). Относительная част-
ная дисперсия в этом случае будет равна

пг — /г, Ан

(9.43)

Соответствующие выражения можно написать и для пространства
изоГ ряжений.

Хроматизм положения и увеличения для длин волн X] и Х2 оп-
ределяется выражениями (9.15) и (9.20). Аналогичные выражения
при Д5/,>.г = Дг/хд, = 0 можно написать и для вторичного спектра
положения и увеличения:

vп У»

Введем обозначения

СВс-— 0—	(9.44)

й —
п

или, учитывая 19.43),

Сес=---^-о^7)	(9.45)

тогда

(9.46)

где S[ЕС и — первая и вторая хроматические суммы для вто-
ричного спектра.

Для одновременного устранения хроматизма положения и вто-
ричного спектра положения, а также хроматизма увеличения и
вторичного спектра увеличения, т. е. чтобы

Д^х^ = AsBC = 0; Дух,хг = Ду во = 0,
необходимо выполнить условия

k -

V /г„С, = У /г.,С„е - О,

V— I	•«•--- I

У р.Д = £ У,Скс = 0.

Оптические системы, у которых исправлен
называются апохроматическими или
если же вторичный спектр исправлен только

(9 47)

и вторичный спектр.

апохроматами;

частично, то системы

называют н о л у а п о х р о м а т и че с к и м и или нолуапохро-

м а т а м и.

§ 59.	Зависимость хроматических аберраций
от положения входного зрачка

Хроматизм положения оптических систем согласно (9.15)

!lk’a>	ЛА3.-. v==l

не зависит от кссрдиьаты sp, т. е. от положения входного зрйчка.
Хроматизм увеличения, определяемый уравнением

। Sllxp— У |^SlXp , Ssxp] — У jt j

Slxp ~T S.

зависит от положения входного зрачка, так как в пего входит
координата у\. Для устранения хроматизма увеличения необходимо
выполнить условие

Siixp = У, у£-> = о
»=|

пли

^Slxp + SS хр= 0.

Если в системе устранен хроматизм положения, т. е. Sixr. ~ 0,
то хроматизм увеличения, определяемый формулой

Л.{/М2 = y'S. Хр,	(9.48)

не зависит от положения входного зрачка. При Sixp =/= 0 хроматизм
увеличения устраняется при

Др*,*-, ~ у [^Sixp Д Ss хр] = 0,
откуда

k = -	•	(9-49)

Л1хр

При известном k по (9.49) можно определить координату sp,
при которой хроматизм увеличения будет равен нулю:

1

s" - у j— •
S| A/if
Для предмета в бесконечности

s₽ = — kh\.

Если же принять h\ = 1, то k = —sp и

Sp = ^-₽.	(9.50)

I хр

Таким образом, при Sixp ¥= 0 хроматизм увеличения может быть
исправлен выбором положения входного зрачка.

Для одновременного устранения хроматизма положения и хро-
матизма увеличения необходимо, чтобы

и ~

Slx₽ =	= °;	(9-51)

kSlxp iSsxp = 5sxp “ 0.

Из (9.51) видно, что устранение хроматизма достигается независимо
от положения входного зрачка, так как в (9.51) не входит коорди-
ната Sp или у\.

При наличии в системе хроматизма положения хроматизм увели-
чения лучше вычислять по формуле

/	I ft

~ "f" ^Пхр = -J УчСч,
v—l

так как она дает более простое выражение в развернутом виде.

Если же AsXi?.t -- 0, то предпочтительнее формула Az/X,x2 — y'Ssxp.

§ 60.	Условия нормирования для первого и второго
параксиальных лучей

Для вычисления хроматических аберраций первого порядка,
как это видно из формул (9.15), (9.37), (9.45), (9.46), необходимо
рассчитать ход первого и второго параксиальных лучей. Ниже
будет показано, что данные этих расчетов необходимы и для опре-
деления монохроматических аберраций. Поэтому при расчете опти-
ческих систем, чтобы можно было бы сравнивать отдельные вари-
анты и различные типы систем, а также для упрощения расчетов
вычисление хода первого и второго параксиальных лучей произво-
дится при одних и тех же начальных значениях. Выбор исходных
данных для этих лучей носит название нормировок (рис. 88).

Если предмет находится на конечном расстоянии, то для пер-
вого параксиального луча принимаются: а* = 1,0 и в соответствии
с (5.37)

n'k
=-^°’

высота падения луча

Л1 «= Sjai = —PoSi,
инвариант Лагранжа—Гельмгольца

I = /Zipai = /iiai (sp — si)Pi = n$0(sp — Si) ^i-
Для второго параксиального луча

Pi = 1,0, следовательно, у\ = sp.

Если система находится в воздухе, то п\ =rik= 1 и

ai = Ро, а*— 1,0, Л| =Ро«1;	]

Pl = 1, yi =sp, I = po(sP— Si). I

(9.52)

Рис. 88. Ход первого и
второго параксиальных
лучей

Для предмета на конечном расстоянии применяются также сле-

дующие условия нормировки:

11 = 1,0, а* = —г д— = то. hl = aiSi = Si;
ni< Ро

Pi = 1,0, y\=sp, I = th (sp — si).

(9.53)

В том случае, когда a, h, p и у вычислены при какой угодно
системе возможного выбора их единиц, можно соответствующим
делением этих величин привести их к нормировке

ai = 1,0, hi = 1,0; 1
р, = 1,0, yi = 1,0. J

(9.54)

Если предмет находится в бесконечности, то принимается 1
и высота падения hi = 1, тогда f = hjak — 1, угол второго па-
раксиального луча В| = 1, но так как f = 1, то yi =spn. где spn
= sp/f; yi— приведенная высота падения второго параксиального
луча на первой поверхности.

Инвариант Лагранжа — Гельмгольца раскрывается следующим
образом:

й.	/ s_	\

I = H|Z/ai =---/218!—(Sp—Si)^ Л1Р1А1 -f-— 1 -- — //!.

5i	\di	J
Следе вательно, для предмета в бесконечности имеем

ai=0,	1,0, /и =Г = 1; '

Р1 = 1,	=.уг), I= — nh

при П\ — 1, I == — 1.

(9.55)

Для тонкого компонента и системы из тонких компонентов коорди-
ната si может быть заменена координатой и,.

С учетом нормировок для первого и второго параксиальных
лучей приведенные выше формулы для хроматических аберраций

примут вид:

предмет на конечном расстоянии
k

= $ixp = Д

Ч=1

AsBC

k

Sibc =	, h-vCuct

4x2-p0(V-^)SlIxp~
A^ = M^-“)S,IBC==

[нормировка (9.52)]: si — со

(9.56)

предмет в бесконечности [нормировка (9.55)]: $i = — со

= f'Sfxр = f У

Л । Л 2	1 Л р

v= 1

k

^SBC = f'^c = f У Й,СВс',

V=1 к	(9.57)

ЛС2 = _ ^'5ПхР = - у' У у-£->’

'J-l

Л^=-/5“в0 = -г/' £уАс.

v=l

§ 61. Хроматизм систем из тонких компонентов.
Основной хроматический параметр

Х/'огатмзл положения и увеличения. Для тонкого компонента
имеем

Й! = й2 = • • • = hk = Л,;’

у\ = у-2 = • • • = ijk = УС,
= dt ~ d2 = • • • dk-t = 0.

(9.58)

Для каждой тонкой линзы, входящей в компонент I, хромати-

ческий параметр С в соответствии с (9.9') будет равен

2	~~

С = £ Cv = Ci + с2,
»=|
где

Дп2 Д/ij
«Г-~«Г

•— 7 7 ГДй3	Дп2'

J___L |«з	П2

. rt3 п2 >

Если линза находится в воздухе, то П1=Пз = 1, fi2 = п, Д/ii =
= Д«з = 0, Д/12 = Д п и

Ci =—(а2 —«1)^7, С2 = — (а3 —	.

С = С1 + С2 = -(аз-а1)^.

Так как аз — ai = АФ, Дп/(п—1)=1Л,

то

аз~ ai _ h_Ф

(9.59)

Для тонкого компонента, состоящего из I топких линз,

<м°)

Умножим и разделим (9.60) на оптическую силу компонента
Ф< = Ф1 -г <1>г -г •.. + Ф/,
тогда

(9.б1)
j

Введем обозначения

ф	(9.62)
с-=-£у	(9.63)

где ? — приведенная оптическая сила тонких линз, входящих в
компонент. Подставляя (9.62) и (9.63) в (9.61), найдем

Ct = ht^tCi.

Для тонкого компонента

Ф< = -у (а< — а‘Х

(9.64)
поэтому

(9.67)

компонента

Ci = (ai — а/) C(.	(9.65)

Учитывая, что для тонкого компонента ^d - 0, все величины
Ss будут равны нулю, т. е.

Sis = S2s = ... = Sfs = 0.	(9.66)

Формулы (9.64) и (9.66) позволяют упростить уравнения для пер-
вой и второй хроматических сумм. На основании (9.14), (9.31) с
учетом (9.64) и (9.65) для тонкого компонента получим

Si хр = hiC t = hi (а; — ж) С/ =

Siixp = yiCi — yi (си Я|) Ci = hty(Ci.

Для хроматизма положения и увеличения тонкого
согласно (9.15) и (9.32) будем иметь

△sx,x = , ,» Sixp = , ,г h^iCi',
nl<ii	ni0.l

= у Siixp = 4 Н‘У^С‘-

Учитывая условия нормировки для первого и второго паракси-
альных лучей, для компонента в воздухе:

Si =# — ОО (ж = ро, = 1)

△sx,x, = РоЯ (1 — ?о) Ct;

У ‘	₽0 р

(9.68)

(9.69)

Si = — со (ж = 0, ж = 1)

Asxfx, = Ci\

Л,Х2	р	. 'оо	' оо

= ipn'-’i ~	~ у iiSx,X,.

Из (9.63) следует, что коэффициент Ct зависит от приведенных оп-
тических сил линз, входящих в компонент, и от коэффициентов
дисперсий, т. е. от марок стекол. От коэффициента С( зависят как
первая, так и вторая хроматические суммы, а следовательно, хро-
матизм положения и увеличения. Поэтому коэффициент Ci можно
назвать основным хроматическим параметром. Коэф-

фициент Ci следует считать хроматическим параметром для пред-
мета на конечном расстоянии. Действительно, при ж= 0 и a'i = 1

в соответствии с (9.65) Ct = Ct. Формулы (9.70) показывают, что
для тонкого компонента основной хроматический параметр С, равен
хроматизму положения для предмета в бесконечности при 1,0.
В этом состоит геометрический смысл основного хроматического
параметра.
Первая и вторая хроматические суммы для системы, состоящей
из р тонких компонентов, учитывая (9.67), будут равны

Sixp — , hi (а,	а() Ср

<=-1
р . ,	.

Sllxp — У У1 \P-i	°Й7 Ci.

r'= I

Выражения (9.71) можно представить также в

р

Sixp = Ф₽ 5, h^iCp,

<=i
р

Siixp — Фр hiyi<fiCi,

Ь=1

(9-71)

следующем виде:

(9.72)

где Фр — оптическая сила системы, состоящей из р тонких компо-
нентов; —приведенная оптическая сила компонентов, входящих
в систему, равная

Для хроматизма положения
компонентов имеем

фр '

и увеличения системы из р тонких

=-ЛгФр ^h&Cp,

= 4 Фр£ h^iCi.

i> 1 i= I

Если система состоит из I тонких линз, расположенных на
конечном расстоянии друг от друга, то

— — У W (а’г— а,) С{ = — 2_ Ф, V h.tyi 4 -
//'	Т,^|	* ГТ- v'

Для тонких линз в соприкосновении

△sk,a, — —(а< — {Ci + Са + • . . + G] =
'1,а,

_____д_/г,Ф1[лч-1д+...+л:

I	V.

—= 4 V1 (а " а,) (С,СД-5- ... С, | —

(9.73)

(9.74;

(9.75)
Из требования устранения хроматических аберраций в тонком

компоненте вытекает, что должны выполняться условия

SIxp = /iXCt =с(); |
51(хг =	= 0.)

(9.76)

В общем случае эти условия одновременно выполняются при

(9.77)

hi = 0 означает, что плоскость предмета и плоскость изображения
совпадают с тонким компонентом; этот случай не имеет практичес-
кого значения. Условие С1= 0 является весьма важным, так как
при выполнении его тонкий компонент будет свободен от хрома-
тизма положения и увеличения. Чтобы устранить хроматические
аберрации системы, состоящей из тонких компоненте в, как это
видно из (9.73), также необходимо равенство нулю основного хро-
матического параметра Ci для каждого компонента. Таким образом,
если G = 0, то коррекция хроматизма будет стабильной, т. е. не
будет зависеть от положения предмета.

Вторичный спектр положения и увеличения. Для тонкой линзы
согласно (9.44) можно написать

Свс = Cine + С^вс — — (а.з — я 1) ~п ц j •

Так как

Дл = уДл,
где

Дп = лх,— пи

и

Д« = Пх, — пи,
то

Све = — (ои — “))тггт 7 = — (“з — а,)-7,

или

С„с = —й^-т.	(9.78)

Если компонент состоит из I тонких линз,
г	1

~	V Ф	V <Р

С(„с=—h. 2j —у — Н(Ф, 2j ~у.	(9.79)

1 1

Введем обозначение

I

C1E0 = -S^T,	(9.80)
тогда

Cl вс '— fl^iCc вс — (я/	Я/) С/ вс

(9.81)

Коэффициент Ове является основным хроматическим па-
раметром для вторичного спектра.

Первая и вторая хроматические суммы для вторичного спектра
компонента

Si вс —	С, — h-^iCi Bcj

Sn вс “ У‘ (я/	Я/) С "< =	вс

(9.82)

Соответственно вторичный спектр положения и увеличения

△Sbo — —~у} S, ве------------r-TylliQiCi вс,’

ni‘1t	niai

ДУг,С 1 с	1 , ,bz>

 ~ = — Эп во =	во.

(9.83)

Из (9.82) и (9.83) видно, что формулы для вторичного спектра ана-
логичны формулам хроматизма с той только разницей, что в по-
следних Ci нужно заменить на С, по. Для устранения вторичного
спектра в тонком компоненте или в системе из тонких компонентов
при одновременном устранении хроматизма положения и увеличения
необходимо выполнить условия

С< = - I | = 0;

C..c=-S|r = o.

§ 62. Хроматизм линз конечной толщины
и бесконечно тонких линз

Для линзы конечной толщины имеем (рис. 89)

где

~	2 <$I хр,*

△(/ХА. = “р~ Sn хр,

Si хр = X = hiC] + fhCz',
।

Sn xp = У*С- и<C\ H- 1/2C2.

(9.84)

(9.85)

(9.86)
Если линза находится в воздухе, то п\ —пз = 1, -п2 — п, Д«1 ==
= Длз — 0, Дпг = Ди. и хроматические параметры для первой и вто-
рой поверхности будут равны

(9.87)

Рис. 89. Ход первого и второго параксиальных лучей через линзу конечной
толщины

Учитывая (9.87) для хроматических сумм (9.86), получим
S| Ч' = —	—°И)+ М*з — »2)];

Sil хр= — vll/i(a2—<Х|)+ 1/2(аз —аг)).

Так как

= h\ — da2, у\ = s0Pi, t/2 = ц\ — d$2 = s03i — d$2,
то

Si X|. = — y Й, (a. — a>)— da?(a3 — a2)];

Su 4. =----(s. 3i (a< — a;) — d$-; (a.< — a2)j.

Хроматизм положении п хроматику. ,величения

ДЛд, ~------j— \h\ (a, — a, - da2(a3 — »2)J;

a?y

= — 77 l-S ? (а. - a )— dp2 (a3 — a2)J.

(9.88)

(9.89)

(9.90)


Чтобы &Sxtx, = O и Дг/х,х, = О, необходимо выполнять условия
hi (аз — ai) — 6а2(аз— аг) — 0; I

5Р₽1(аз — ai) — */Рг(аз — “г) = 0.J	(9-91)

Для предмета в бесконечности а, = 0, поэтому
й1аз-4/а2(аз-а2)=0; |
«ор1аз — йрг(аз — а2) = 0J	' ’ ?

Из уравнения

h\ (аз — ai)— da2 (аз — а2) — 0

видно, что хроматизм положения может быть устранен в следующих
случаях:

а)	h\ =0 и d = 0, т. е, когда линза является тонкой и предмет
и изображение совпадают с тонкой линзой. Такая линза не имеет
практического значения;

б)	для линзы конечной толщины при /г, =0 имеем

da?(аз— а2) = 0.	(9.93)

Это уравнение имеет решение при а2 = аз. Из уравнения для пер-
вого параксиального луча легко получить, что

d = h2/a2 = —г2.	(9.94)

Предметная точка, расположенная на оптической оси, совпадает
с вершиной первой поверхности, которая является центром кри-
визны второй преломляющей поверхности, и луч совпадает с нор-
малью к ней, т. е. проходит вторую поверхность без преломления
(рис. 90,а). Линейное увеличение

₽" = ^ = V “	<9-95’

так как на основании закона преломления ai = na2. Радиус первой
поверхности может быть любым и в зависимости от величины фо-
кусного расстояния и r2 = d определяется формулой

__ /' d(n — 1)
’ п d —	—

Положение входного зрачка, при котором в линзе будет отсутст-
вовать хроматизм увеличения, характеризуется уравнением

_ М ‘ * ~я?)

Р1(аз —“[)’

По условию а2 — аз, поэтому sx, = 0; входной зрачок должен совпа-
дать с первой поверхностью линзы;

в)	при а2 = 0 имеем

Til (аз — ai) = 0.	(9.96)

Это уравнение удовлетворяется в том случае, когда a, = a.(. Так
как при а-. =0 /гг — h\ (рис. 90,6), то уравнение для первого пара-
ксиального луча показывает, что ri = п.
Фокусное расстояние линзы будет равно

d (п — I)2'
Линейное увеличение линзы

Ро = -^= 1,0.
«з

Рис. 90. Ахроматические

ЛИНЗЫ!

а — при ht = 0 и а2 = а31
б — а2 = 0; 6 — отрицатель-
ный мениск Д. Д. Максутова

Из уравнения (9.91) видно, что для устранения хроматизма
увеличения необходимо выполнить условие

= 0.

В этом уравнении d, и а3 не могут быть равны нулю, поэтому

хроматизм увеличения неустраним.

Хроматизм увеличения при Si хр = 0 определяется формулой
(9.48)

— у Ss хр>

где

2	__	__	__

Sj хр ~ S SshvCv =s Sijt iCi + S2J12C2 = h 1 [SisCi SzjCs],
i
но

Su = 0, Sz. =

d d
nh,h, nh2'

C	~ —	Яз~~а2	_ _ Яз _f ।

V	V	V	*

тогда

Л	•	«id

— У ,2 м’
nh] *

г)	для предмета в бесконечности уравнение устранения хрома-
тизма положения имеет вид

/баз — dn^a.j— а2) = 0.	(9.97)

При а, =0 аз ==/z|Ф, поэтому

/zf Ф — da-г (Л|Ф — аг) = 0,
откуда

аг — h 1Фа2 —— Ф ~ 0

И

a2 = |/z^[] ± j/1 -4?]-	(9-98)

Это уравнение имеет решение при

d > 4/';
/'<0.

Выполнение первого условия приводит к линзе очень большой тол-
щины. В случае f < 0 линза представляет собой отрицательный
мениск (рис. 90, в) При ht — 1, а, = —1, /' =—1

а^-у[1 ±

где dn является приведенной толщиной (dn==dlf).

Уравнение ахроматизма мениска может быть представлено так-
же в виде

Л1аз — (Л| — Лг)(аз — «2) = 0,

отсюда

а3 =	а2.	(9.99)

Хроматизм увеличения в линзе неустраним и будет равен

— а2	Л]Ф

= -У' d = -у' —.

В уравнения (9.93), (9.96) и (9.97) не входит коэффициент диспер-
сии v, поэтому будет исправлен хроматизм для широкой области
спектра, т. е. эти линзы будут не только ахроматическими, но и
апохроматическими

Для бесконечно тонкой линзы d == 0, поэтому

Дзл,л, ----г"(яз — я|).’

3	(9.100)

Д«/м, = —У' 17(яз — Я‘)Ь

Учитывая, что

а3 — а, = й|Ф; sD = аР; h\!n3~a‘

(д — а

~~аа—

получим
Л '	Ф

A%a, = — а 2—;

, аа Ф
&у^--у'^а-

Для предмета в бесконечности (а = —со)а'=/' и

Д$м. =---7;

Д^х.А, = У а, — = у —-J

Формулу для хроматизма положения можно представить также
в виде

Д^, = -(1-ро)г~-

Если ро = —1 (а' — 2/'), то

Ц\, = —

Хроматизм положения тонкой линзы при ро = —1 в четыре раза
больше, чем при а\ =—со.

§ 63. Хроматизм плоскопараллельной пластинки

В оптических системах широкое применение находят плоскопа-
раллельные пластинки и отражательные призмы, которые, в свою
очередь, развертываются в пластинки. Поэтому рассмотрим хрома-
тические аберрации пластинок (рис. 91).

Хроматизм положения и хроматизм увеличения определяются
уравнениями

Д$х,х, = г- Si xpj

"заз

Д?/Х,А. — ~у Snxp,
где

Si хр = h ।Ci + h^Ci,

Su xp = y\C\ + y-iCi",

C1 =

c2 =

“2~“I

“3 — a2

 д«з

[П1Дп2 — П2ДП1];

а3 — a2

Л2 ’ «3

[п2Дп3 — п3Дп2].

«3	«2 J

Рис. 91. Ход первого и второго параксиальных лучей через плоскопараллельную
пластинку



Лп2 '

Для пластинки в воздухе ni=n3 = l, n2 = n, Дп1=Дп3 = 0,
Дп2 = Ди, а3 = он, тогда

~	~	ч an ,	|

—Ci = С2 = (а2 — ai) । = (а2 — <ц) —;

Si Хр — — (hi — Л2)(а2 — ai)-Ь

Su хр = — (yi — ^2) (а2 — cti)“.

Так как

/it	й, h{	hx

а2 — ai = —т------— = —------— = оц —-—;

51 ns\ 5i	п

(9.103)

1	h,	J

hi —hi = da.2 = —- = d —- = ai —;
n'
,а ,	.91 d

У\ — У? =	= d-r- = d~^~ = Р' 7Г’

тогда
с 2 п-1 d
^>1 хр — Я1 я2 v

Sil хр — ®1Р1

Инвариант Лагранжа — Гельмгольца при п, = Пз = I
I = ч\у = ту',

откуда у = у', поэтому для хроматизма положения и
получим

(9.104)

увеличения

(9.105)

. ' п— 1 d

Д8Х.Х,- п2 /

В уравнения (9.105) не входит координата si, следовательно, хро-
матизм положения и увеличения пластинки не зависят от положения
предмета. Формулы (9.104) показывают, что при si =—оо (*1=0)

Si Хр = 5ц хр = 0;

Д&1Х, = Дум, = 0,
т. е. при установке плоскопараллельной пластинки или отража-
тельной призмы в параллельном ходе лучей они не вносят хрома-
тических аберраций. Плоскопараллельная пластинка имеет хро-
матизм положения со знаком плюс. Это обстоятельство благопри-
ятно влияет на аберрации систем, состоящих из призменных и лин-
зовых элементов, так как последние в большинстве случаев обла-
дают хроматизмом положения со знаком минус.

§ 64. Хроматические преломляющие поверхности

Для устранения хроматизма системы, в которой произведена
коррекция монохроматических аберраций, в нее вводят одну или
две так называемые хроматические поверхности. Такой прием ока-
зывается весьма полезным при расчете сложных оптических систем.

Хроматические поверхности вводятся следующим путем. Если
какая-либо линза оптической системы обладает достаточной тол-
щиной, го она разбивается на две линзы введением поверхности
склейки. Показатели преломления стекол линз подбираются так,
чтобы они были одинаковы для основного цвета, а их дисперсии
имели бы максимальную разность. Поэтому поверхность склей-
ки — хроматическая поверхность не будет оказывать влияния на
ход лучей основного цвета и, естественно, не будет изменять моно-
хроматических аберраций. Но для других длин волн эта поверх-
ность разделяет среды с различными показателями преломления и
поэтому по-разному отклоняет их. Изменяя радиус кривизны хро-
матической поверхности, можно воздействовать на хроматические
аберрации системы.

Допустим, линза конечной толщины, входящая в сложную си-

стему, разделена хроматической
поверхностью склейки на две лин-
зы, для которых П,+1 = n,, V,
(рис. 92). Первый параксиальный
луч для основного цвета не пре-
ломляется на хроматической по-
верхности, поэтому = а,4-ь Вы-
соты на поверхностях v и v + 1
будут равны

й, = й„_1 —	(9.106)

h-, 4-i = й, —	=

1/-7 1/	1/+7

Рис. 92. Хроматическая поверхность v

= hi—i — (d,4-i + d4) a,. (9.107)

Для величин Ss, и Ss,,4.i на
основании (9.33) можно написать

>s -#4-1 = Ss v 4~	------=s 5s *—I 4~ ----------г----7Г- ------'

' +	S.» ns/i,/iv+1 s’’	МЛ4Л

(9.108)

Учитывая (9.106) и (9.107), после преобразования найдем

Ss>,+1 =	+ —r-^-h------.	(9.109)

"Л—i's-h

Из (9.109) видно, что координаты поверхности склейки в ней от-
сутствуют, т. е. как будто ее не существует.

Заменяя в (9.108) d»_i через (й,_|й,)/а, и умножая обе части
уравнения на й,, будем иметь

H.S.. - Л.	+ -±- _ м, +	(9.110)

(9J">

Пользуясь (9.14) для первой хроматической буммы, можно на-
писать

fi	-К,	V— 1	ft	ли

5i Хр = S h^C-, = htnCm 4~ й,С, 4- hmCm,

9=1	'0=1	01=9 4-1

откуда

—	Г ’—1	~	* «.

hfC, = Si хр — I S йтСт Д- \

l_oi=l	in=9|-l

— Аг.

(9.112)
Уравнение устранения хроматизма увеличения прй SiXp = 0 со
гласно (9.36) имеет вид

k	м—1	__	k

S. Хр = У Ssmh-fnCtn == Xi SstnhfnCm Ч* SsvhvCv 2 SsnJhnCm»
m—1	m=l	m«=v4-l

Отсюда

— Ss xp

v—1	k

У SstnhinCtn +	SstnhmCm

tn	«=*4-1

= A3.

(9.113)

Учитывая (9.110), будем иметь

SsvftvC, = j htA i + —i—1 Cv = A3

или

A3=A1ft,C, + -l-C,.	(9.114)

Принимая во внимание (9.112),
A3=AiA2+-—С-,.	(9.115)

Пчач

Из (9.115) для С, найдем

С, = п,<х,[А3 — А Иг].	(9.116)

Подставляя (9.116) в (9.112), для высоты получим

Ъ = -па ,д^ д 	(9.117)

Пчач [Я3 Я 1Л 21

После определения высоты й, по (9.117) находится величина
dv_1==J^±Z^_,	(9.118)

т. е. положение хроматической поверхности относительно первой по-
верхности линзы.

Радиус кривизны хроматической поверхности, исходя из формулы
для первого параксиального луча о учетом (9.9") и (9.115), опреде-
ляется из уравнения

=	------V-+1 (А3 —Д|Аг)1.	(9.119)

гч % L	1 V,~V»+J	А

Коэффициенты Ai, Д2 и А3 вычисляются по формулам (9.111), (9.112)
и (9.115). В системе, в которую вводится хроматическая поверх-
ность, величины Дзл.х, и &y'xtKt известны, поэтому легко можно найти
Si хр и Ss кр, входящие в выражения (9.112) и (9.115).

Согласно (9.15) и (9.37) для системы в воздухе

Si хр ~ а/ Дз1,хг;	(9.120)

Ss хр =	— kSi xpi	(9.121)
где

необходимо

(9.123)

(9.124)

. известны.

Если в системе необходимо устранить только хроматизм поло-
жения, то можно поступить следующим образом. Так как хрома-
тизм увеличения мало зависит от толщины линзы, то можно вос-
пользоваться формулами для тонкого компонента.

В соответствии с (9.67)

хр =

\ »	’-Н

откуда

-v- + v±7 = -	(9.122)

где Ф,— оптическая сила линзы, в которую вводится хроматическая
поверхность.

Приведенная оптическая сила линзы, в которую
ввести хроматическую поверхность, равна

<р, + <р,+1 = 1.

Решая (9.122) и (9.123), найдем

«Р» = v, —I+ v>Si хр] ;

= 1 — <р„

Все величины, входящие в (9.124), в том числе и Si х

Хроматическая поверхность вводится после исправления монохрома-
тических аберраций, поэтому радиусы кривизны линзы и
известны и не могут быть изменены. Для тонких линз имеем

<р» = (щ —- 1)(р,_) — pv);

V'J-|- t - - (Щ-f-i	1 ) (р* pv-р 1 )•

В этих уравнениях все величины, кроме р„ известны, поэтому

Pv = 7- = Pv-1 - ~ = 7-+1-) + р,+1.	(9.125;

Полученные значения <р„ <p,+ i и г, являются приведенными величи-
нами, т. е. при Z' = 1,0.

При введении хроматических поверхностей может оказаться,
что величина rf,-j будет отрицательной или превосходить толщи-
ну линзы, в которую вводится хроматическая поверхность. В та-
ком случае следует ввести в систему две хроматические поверх-
ности, распределив между ними хроматизм положения и хрома-
тизм увеличения. Наиболее благоприятными парами стекол для
получения хроматического радиуса, например, являются: ТК8—Ф1,
ТК8-Ф6.
§ 65. Хроматизм действительных лучей —
хроматизм высшего порядка

Рассмотренные выше хроматические аберрации относятся к
аберрациям первого порядка, т. е. к аберрациям в параксиальной
области. Хроматические аберрации второй группы относятся к ко-
нечным апертурным и полевым углам. Эти аберрации также зави-
сят от длин волн и дают окрашивание изображений. Возникают
так называемые хроматические разности монохроматических абер-
раций. Все эти аберрации носят название хроматических аберра-
ций высших порядков.

Наличие большого числа хроматических аберраций действи-
тельных лучей приводит к тому, что исправляют те из них, которые
особенно вредны для данного типа системы и в пределах той области
спектра, в которой система будет работать. Так, например, в све-
тосильных системах, телеобъективах зрительных труб геодези-
ческих приборов и объективах микроскопов высокой апертуры
большое внимание уделяют исправлению сферохроматической абер-
рации.

Для хроматизма положения действительных лучей на некоторой
зоне входного зрачка можно написать

=	(9-126)

где Д(Д$х,х,)— хроматизм положения высших порядков — сферохро-
матическая аберрация.

Из (9.126) имеем

Д (Дзх.х.) = Asu, — Дзх,\, = (sx, — «хХ — (sx, — s^X =

= [КХ “ КХ] ~	~ КХ] •	(9-127)

Так как

КХ~КХ = 4;

КХ — (sKX = д\>

то

д(Чл|) = Ч~Ч.

т. е. сферохроматическая аберрация равна разности сферических
аберраций Д$^ и Д$^ для данных длин волн.

Когда хроматизм положения в параксиальной области исправлен,
то Дз* . = О,

д (4J = Чм = К, -<)
В широкоугольных системах приходится считаться о хромати-
ческой разностью увеличений высших порядков

А —	&Ух,х,’

(9.128)

/7	а),

где Д#х,л,— хроматизм увеличения действительных лучей

При расчете оптических систем хроматические аберрации пер-
вого порядка определяются д.
нии по формулам (9.56), а д
формулам (9.57). При анализе
систем из тонких компонентов
используются формулы (9.68)
и (9.73), которые для удобст-
ва вычислений развертываются
в определенные схемы-

Определение остаточных
хроматических аберраций пер-
вого порядка рассчитанных оп-
тических систем производится
расчетом хода первого и вто-
рого параксиальных лучей для
заданных длин волн по форму-
лам (8.3) и (8.4). В результате
расчета хода первого парак-
сиального луча определяются
отрезки

s'k = hk/ak+i
и хроматизм положения

= (sk,

Из расчета хода второго параксиального луча вычисляются отрезки
Sp- = l/k/pk+i,
величины изображений

предмета на конечном расстоя-
предмета в бесконечности — по

а	6-

i_____i i t ______________I-----1

ьгр 4-2,5 (tips' О 0,1
’	7	^1^2

Рио. 93. Хроматические аберрации
объектива Инду стар-22:

а — график хрематизма полежеиия; 3 —
график хроматизма увеличения

Ух, ~ (Sp'Xt \)

Ух„ =	~ \)

и хроматизм увеличения

Ух^к, ~Ух, Ух-,’
или в относительной мере

—= «Х'-~Ух, . |0Q%e
\ %

По приведенным выше формулам хроматические аберрации опреде-
ляются как ручным способом, так и с помощью ЭВЛ1.
Хроматические аберрации действительных лучей для различных
зон входного зрачка и полевого угла ручным способом вычисляются
обычно по формулам (8.5), а с помощью ЭВМ — по формулам Федера
(8.17) одновременно с вычислением монохроматических аберраций.

Разность координат s' и s' дает величину хроматизма положе-
ния действительных лучей

Д\Х, = sx,
а разность координат у[ и у[— хроматизм увеличения
дК,х2 = У[, ~ У.,.

где

%. - у'х,=(s;x, - \) tg ч,
и в относительной мере

= Jh~yh. . 100%.

У>.„

Хроматические аберрации обычно изображаются графически. При
изображении хроматизма положения по оси ординат откладываются

длины волн X, а по оси ординат—отрезки s'и s' или величины &sx,x,
и As'a (рис. 93, а), а при изображении хроматизма увеличения по
оси ординат полевые углы w, а по оси абсцисс Дг/^ (рис. 93, б).
Глава 10.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

ТЕОРИИ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ АБЕРРАЦИЙ

§ 66.	Общие уравнения для меридиональной
и сагиттальной составляющих

Положение внемеридионального луча B\Ni (рис. 94) в прост-
ранстве предметов определяется, как известно, следующими коор-
динатами: расстоянием от плоскости предмета до плоскости входного
зрачка (sp — si), величиной предмета у и координатами пересечения
луча с плоскостью входного зрачка tm и Mi. Координата mi рас-
положена в меридиональной, а М\— в сагиттальной плоскостях.
Положения плоскости изображения относительно последней поверх-
ности системы O\Ok определяется координатой s'k.

Допустим, что точка В* есть идеальное изображение точки В\.
Это возможно только в том случае, когда реальная система OiOk
обладает свойствами идеальной при конечных значениях координат
у, mi и М\. В этом случае луч N*В* будет сопряжен с лучом В\N\.
Координатами луча NkBk являются (sp—s*), у, тк и Л4*. Однако
вследствие того, что реальная система не дает стигматических изо-
бражений, т. е. нарушает гомоцентричность падающих на нее пучков
лучей, луч NkB'k, сопряженный с лучом B\Ni, не пройдет через
точку Bk, а пересечет плоскость изображения в точке В*. Положе-
ние луча NkBk вполне определится, если наряду с координатами
точки Nk (m’k, Mk) будут известны координаты точки Bk. Расстояние
между точками Bk и В* называется поперечной погрешностью или
аберрацией луча. Если поперечную аберрацию луча В*В*
разложить по осям координат у' и X', то получим две составляющие-
\g'k и AG*. Составляющая поперечной аберрации луча Д^, рас-
положенная в меридиональной плоскости, называется меридио-
нальной составляющей, а ДО/,, расположенная в сагитталь-
ной плоскости, — сагиттальной составляющей. Координа-
той точки Bk в меридиональной плоскости (по оси у') является у =*

Д& а в сагиттальной плоскости (по оси X')—Дб*.
Таким образом, отклонение точки Bk пересечения действитель
ного луча с плоскостью изображения от точки Bk пересечения па-
раксиального луча с теми же координатами в пространстве предметов
характеризуется меридиональной и сагиттальной составляющими
поперечной аберрации луча Ag* и AG*.

Рио. 94. Ход внемеридионального луча и составляющие поперечной аберрацщ
луча и \Ск

Меридиональная и сагиттальная составляющие аберрации лучг
зависят от положения предметной точки, координат лучей и конс^
руктивных элементов системы, т. е.

bgk = Fi [si, sp, у, mit Mi, r, d, n];

AG^/^fSi, sp, y, mi, Mi, r, d, n\.

При заданном положении плоскостей предмета и входного зрачкг
(si = const, Sp = const), если система известна, то меридиональная
и сагиттальная еоставляющие являются функциями координат па
дающего луча у, mi и Мг.

^g>. = Fi [у, mi, Afi];l
AG* = Fz[y, mi, Mi]J

(10.2

Так как мы рассматриваем системы, симметричные относительнс
оптической оси, то с переменой знака у первоначальных координа-
изменяются знаки всех координат в пространстве изображений и i
функции Fi и Ft, при разложении их в ряд, не будут входитг
члены четных порядков, т. е. таких, как т\у, М], т}М\, т* и т. д.
Другими словами, удовлетворяется условие нечетности

/ч [—у, —mi, —Mi]=—Fi[y, mi, Afi],
/^2Г—У, —mi, —Mi]=—F7\yi, mi, Afi].

В разложении будут члены вида А/, у1, т&, Л4] и сумма пока-
зателей степеней при у, т^ и М\ должна быть равна нечетному
числу, т. е.

а + ₽ + у — К = 1, 3, 5, 7 и т. д.

Если К = I, то говорят об аберрациях первого порядка, К = 3—
третьего порядка, К = 5 — пятого порядка, /С = 7 — седьмого поряд-
ка и т. д. Коэффициенты А/, зависящие только от конструктивных
элементов системы, положения предмета и входного зрачка, явля-
ются коэффициентами аберраций.

Теория аберраций показывает, что число независимых аберраций
К-го порядка может быть определено по формуле

t =|[К + 3]И+ 5]-1 = |[К + 1] [К+ 7],	(10.3)

где К— порядковый номер нечетной степени. Число аберраций в за-
висимости от К будет равно:

Порядок К 1
Число абер-
раций ...	2

М . . . .

3	5	7

5	9	14

3	4	5

9	11	13

20	27	35

6	7	8

При К = I t = 2, т. е. будем иметь две аберрации первого порядка.
Для третьего порядка (7( = 3) число независимых аберраций равно
пяти, для пятого порядка / = 9, седьмого порядка 1=14.

Исходя из формулы (10.2), меридиональную и сагиттальную со-
ставляющие поперечной аберрации можно представить в виде урав-
нений:

&gk = &gi + Agin + &gv + Agvu +

&Gh = &Gi + AGni + AGy + AGyii 4- .. .,

где Agi, AGi — составляющие поперечной аберрации первого порядка,
Agin, AGni— составляющие поперечной аберрации третьего порядка,
Agv. AGV — составляющие поперечной аберрации пятого порядка
и т. д.

Меридиональная и сагиттальная составляющие Ag’ и AG1 отно-
сятся к произвольной плоскости, расположенной вблизи плоскости
параксиального изображения. Связь между составляющими kgk, &Git

(Ю.4)
и Ag*, AG*, отнесенными к плоскости параксиального изображения
(рис. 95), определяется выражениями

Д£л = kgk +

AG* = AG* -f-

П|Д

Рис. 95. Меридиональная и сагиттальная составляющие аберрации в плоскости
параксиального изображения и в плоскости, смещенной на величину Д (плоскости
анализа изображения)

(10.5)

Формулы (10.5) дают возможность определить, в какой плоскости,
смещенной от плоскости параксиального изображения на величину

А, меридиональная Ag* и сагиттальная AG* составляющие имеют
наименьшие значения, а следовательно, будут наименьшими и фи-
гуры рассеяния, являющиеся изображениями точек, расположенных
в плоскости предметов.

Плоскость, в которой фигуры рассеяния и соответственно моно-
хроматические аберрации имеют наименьшие величины, называется
плоскостью установки. Произвольное смещение плоскости
изображения относительно плоскости параксиального изображения
называют дефокусировкой.

§ 67.	Аберрации первого порядка

Аберрации первого порядка могут быть получены следующим
путем. В параксиальной области любая точка предмета изобража-
ется стигматически, поэтому в плоскости параксиального изображе-
ния монохроматические аберрации отсутствуют, т. е.

bgt = AG* = 0.
Тогда для параксиальной области, которая является областью пер-
вого порядка, получим

Ag’i =	=

ДО] = ДС/г =

ni*

n'k (sp-si)^
ri| Д

nk (4р sl)

mi;

M).

(10.6)

т ж как

то

mi —
?0р

М'
и М\ =

(Ю.7)

= —т~г
nk(s..

Абл = —г—-
nk(sf

/?|Д

~ 51)$о?ор к’
щД

где Зор — линейное увеличение в зрачках.

В формулах (10.8) отсутствует координата у, это

(10.8)

значит, что

меридиональная и сагиттальная составляющие первого порядка име-
ют место как для точки на оси, так и для точек вне оси.

Радиус кружка рассеяния в плоскости изображения будет равен

= /д/г2 + ДО'г2.

(10.9)

Выражение (10.9) является уравнением окружности, центр которой
совпадает с началом координат. Для точки на оси началом коор-
динат будет являться точка Ak — пересечения плоскости изображе-
ния с оптической осью, а для точки вне оси точка Вк—пересечения
второго параксиального луча с плоскостью изображения (рис. 96).

Выразим mi, Mi, и ЛД через полярные координаты р, р' и ф
в плоскостях входного и выходного зрачков (рис. 97);

mk	р

mi = р cos Ф = — — о— cos Ф;
т	Йов	Pop	т

Ml	р.

М\ = р sin Ф — -г—	= v- sin Ф,

Рвр	f’op

(10.10)

тогда

. ' п\ р COS Ф
д^1 = — ---------L—

rtA (Sp ~41)?0

д=4-?

ч (

, . П,
AGi=-4,-

«1

п\

n'k

«А (SP

1—-Д=^-_
«А (S-

р' eos <р

’р si) Wop
р' sin <|/

р si) F*o?Op

Р'

’р ’”sl) ^Ор

Д;

Д.

(Ю.Н)

(10.12)

Р sin ф д
i₽-’sl)Fi()

д
Радиус кружка рассеяния пропорционален радиусу окружное™
в плоскости выходного, а следовательно, и входного зрачков. По-
тому если в выходном зрачке нанести окружности, обпазуюшие

Рис. 96. Аберрации первого порядка положения изображения Д = ДЗр величинь
изображения Д^( = у'—у

арифметическую прогрессию, то в плоскости изображения им буду"
соответствовать окружности, пропорциональные о'. Эти кружки рас

Рио. 97. Координаты лу
ча в плоскости входного

зрачка

сеяния как для точки на оси, так и для тс-
чек вне оси имеют одинаковые размеры, та:
как определяются одним уравнением. Крс-
ме того, при наличии дефокусировки изме
няется координата у' пересечения второгс
параксиального луча с плоскостью изобра-
жения. Поэтому в соответствии с (10.3) можн<
говорить о двух аберрациях первого по-
рядка. К этим аберрациям относятся (см
рис. 96): аберрация положения, характера
вуемая продольной величиной As*, равно!
величине дефокусировки А,

is, = 4 = s'k — s'k,

аберрация величины изображения, равная

At/' = и' — у*.
Если в системе отсутствует дефокусировка ZA = 0), то в парак-
сиальной области отсутствуют отклонения от координаты s* (s* = $*)
и координаты у*, т.е.

Ag! = AGi = 0.	(10.13)

§ 68. Меридиональная и сагиттальная составляющие
третьего порядка

На основании вышесказанного меридиональную и сагиттальную
составляющие, отнесенные к плоскости параксиального изображе-
ния, можно написать в виде

Ag* = Agni + Agv + ...;

AG* = AGtn + AGy + .. ..

Если в разложении функций F\ и F-i уравнений (10.1) оставить
только члены третьего порядка, то для меридиональной и сагитталь-
ной составляющих поперечной аберрации можно получить

(10.14)

&gk ~ Agni 33	[/и? + Aff]A । + [3/п( 4- Alf] уА% 4*

4- Ш\у2А3 + г/3Л5;

AG* = AG’ui = Adj [fn2i 4- Alf] Л । 4- 2т.\М\уАг 4- Alig2A4,.

(10.15)

где А\, . . ., Л5 — коэффициенты аберраций, зависящие только от
конструктивных элементов системы, положения предмета и положения
входного зрачка. Меридиональная и сагиттальная составляющие
(10.15) могут быть выражены также через координаты в плоскости
выходного зрачка /и* и Mk через формулы (10.7).

Теория аберраций третьего порядка впервые была разработана
астрономом Л. Зейделем (1856 г.), поэтому носит название зейделевой
теории изображения, а область, в пределах которой она может быть
применена, — областью Зейделя. (Для области Зейделя координаты
s, s', so и sP' будут обозначаться без тильды наверху).

Выражая коэффициенты Л|, ..., As в (10.15) через углы а
и высоты h первого и углы р и высоты у второго параксиальных
лучей, для меридиональной и сагиттальной составляющих поперечной
аберрации третьего порядка центрированной системы и безаберра-
ционного предмета, получим следующие уравнения:

2n*Aguia*

+ М,

(10.16)
(s”~s,) ? J	1(10.16)

x (k)5" + (Sj1'’i)s(x)(k) [s,n + I!S1V1'I

где Si, Su, Sih, Siv и Sv — коэффициенты аберраций третьего по-
рядка или суммы Зейделя. Каждый из коэффициентов определяет
одну из пяти аберраций третьего порядка.

Формулы (10.16) дают возможность вычислить, не прибегая к рас-
чету хода внемеридиональных лучей, координаты и ДСщ с по-
грешностями, не превышающими значений членов пятого порядка.

Аберрации пятого, седьмого и т. д. порядков принято называть
аберрациями высших порядков.

В уравнениях. (10.16) левая часть (/г^Д^пкх*,	представ-

ляет собой инвариант Лагранжа-Гельмгольца I, поэтому индекс k
может быть заменен любым другим, что дает возможность относить
меридиональную и сагиттальную составляющие к любой среде и к
любой части оптической системы.

В (10.16) линейные координаты легко могут быть заменены угло-
выми, отнесенными к плоскостям входного и выходного зрачков.
Для этого выразим сначала координаты mi, М\, у, sp и $, через
углы am = ai, as и он. Из рис. 98,а для области аберраций третьего
порядка при конечной величине ш, можно написать

С1=аш=----------—,as=----------—, tg и)। =	"	. (10.17)

Sp — S|	Sp— Sl	S1

С учетом (10.17) уравнения (10.16) будут иметь вид

Для плоскости выходного зрачка (рис. 98, б) имеем

т'ь  М'к

Ck —	---------7 ,	0<г — —	, г»

SP' — Sfe

(10.19)
Инвариант Лагранжа — Гельмгольца, отнесенный к зрачкам, дает
следующие соотношения:

= nkmkfa I	НП9О\

Рис. 98. Угловые координаты:
а — в плоскости входного зрачка; б — в плоскости выходного зрачка

Подставляя значения р из (10.21) в (10.20), получим

(10.22)

пхтху _ n'km'ky пхМху = n'kMky
sP~si ~ s'P'~s'k’ sP~si sp, - sk

Разделим каждое из уравнений (10.22) на инвариант Лагранжа—
Гельмгольца для первого параксиального луча пхуо.\ = nkyzk, найдем

m, 1	mk 1	(10.23>
- F. « •*“ to	
sp—si “i	«Р--4 < ’	

Сопоставляя (10.19) и (10.23), найдем

1 _ gfe ________d-Л t _______________

sp~sl “1	a'k	z'k’ sP~sl “1	ak

(10.24)

Подставляя (10.24) в (10.16) и вводя вместо у выражение у —
==(sp — si) tg i»i, приходим к следующим формулам:

—2n'k^gii\ak = om(om +	Si + (3om +os2)tgu>iX

\ ak /

(^Sn + amtg^lf-^-V-r-j [3SU14-I2Siv]4-

/ \₽1/	\ akJ\ ₽1/
/ 1 \3 ~

4-	tg3 “J fi-| Sv;

A p| /

(I \3 -	f 9	( 1 \ 2

—v I Si4 2amj, fg wi ( —r | x
ak /	\ ak /

/ i \ ~ r 7 1 \ / I V ““

X |-z~ ) SiI + <3s tg2 IBl ( —7- )( -o— ] [Sin -r 12S vl-

\ Pl /	\ a* / V 1 /

Воспользовавшись выражениями (10.23), выразим меридиональ-
ную и сагиттальную составляющие (10.16) через координаты /и*
и Mk в плоскости выходного зрачка (см. рис. 98, б).

В этом случае будем иметь

2n*Ag'nia* =

m’k(mk + М’2) f ] \3 ~	(3m^2+m;2)/ i V

(v-^)3 W (v-^)3

I 1 \ ё I

X ySu +

[3SIH+I2Siv]-

m'ky2
(s>-4)3

(10.26)

2n^AGniaft =

Mk(mk+M'k)( 1 \3~ 2m’kM'k / i у

7 *	* \ ч	I * I	I / >	г с ъ	УI » I	X

(sp' — M	\ aA / (v “	sfe) \ v-k /

хШ5п +

\pi /

(4-4)3

/ 1 \ / 1	—

fSiii + I2SivL

j

Многие оптические системы (фотообъективы, объективы телеско-
пических систем и др.) рассчитываются для предмета в бесконеч-
ности. В этом случае si =—со (щ = 0) и приведенные выше фор-
мулы для меридиональной и сагиттальной составляющих непригод-
ны. При si -> —со выражение

---' = —т~------;——1, h\la.k~ f .

S₽-S1 sP/5l“l

Принимая это во внимание и учитывая, что I/ai=Si//ii, у =
= (sp — si)tg(oi, для (10.16) найдем

, , . «iM+Aff) / j \з~ Зт?Ч-Л^ / ! у

--2И^Д^111С1^-	.д I г 1	-f- ,g ( ' I X

f \akJ	' \akJ

(10.27)
где SF, Sn, Shi и S" — коэффициенты аберраций для предмета
в бесконечности. Коэффициент Sjv, как будет показано ниже, от
координаты Si не зависит.

В телескопических системах а, = О, а* = 0 и f = оо; поперечные
аберрации Д£ш и ДОц, становятся бесконечно большими и приве-
денные выше формулы также становятся непригодными. Поэтому
Д^ш и ДОц] принято выражать в угловой мере. Обозначая угловые
аберрации через Дшщ и Д2щ, считая углы <ой и малыми, будем
иметь

sk	sk

В этом случае левая часть уравнений (10.16) будет равна
. , .	*	11	* >

2n*Agnia* = 2п*—— hk ~ —2nk^<s>\i\hk',

,	- ДСгТ]

гпЛОтал = 2nfe—— hk = — 2nk^Q'uxhk.

sk

h

Для телескопических систем у0 = Гт == ~ или —
"ft	г

,	, ,	h

2л*Д§’шай = —2п*Д<о111 -ft-;
хт

*	*	h

2nk&Giua.k = —2/г*Дйш -j^-.

поэтому

(10.28)

Подставляя (10.28) в (10.16) и учитывая, что

S\/(sp — 81)->— 1, y — (sp — Si) tg <01,
найдем

-гпйДшш г; “ sr +	1 (i) tg «„SF. +

+-T- Wi (tf)2	+ I2Siv] + tg3 <0! Ш3 Sv;

-2п;д2'	( 1 \ e« , I W’29)

-JT- —	Ol H----^2— tgo>i ly-j Sil +

+ -^-tg2<»l(jr) (SFn+rSivJ.

Коэффициенты аберраций, входящие в (10.29), вычисляются при
щ = 0 и = 0.

В большинстве случаев при расчете телескопических систем
их разбивают на две части или более, и расчет каждой части вы-
полняется самостоятельно. В этом случае для расчета объектива
пользуются формулами (10.27) в прямом ходе лучей* а для расчета
окуляра — этими же формулами в обратном ходе лучей. В конечной
стадии расчета производится суммирование аберраций и добиваются
минимальных значений остаточных аберраций. Формулы (10.29)
обычно используются при расчете систем Галилея с малым увели-
чением, когда разделение на части нерационально.

Учитывая условия нормировки (9.52) при si -=j= —оо в системы
в воздухе (ai = 00, «*=1, h\ = ₽oSi, ₽i = 1, I = ?o(sp —Si), для
(10.16), (10.25) и (10.26) получим:

з~ Зт^М2 ,
1 >-»,)’

, т

2Д//И1 = —

,3

2 -

\ р	и '	Г

-JI— J-hSSni + PS.v]

Гр ',и'	\р

сукг' _ ^i(^ + Aif) / 1 \3 ~	2т,М|

1И (sp_si)3 Ь°/ 1 (sp~si)

+ ( М|Р-2

(sp-si)

-V3 о .
~7V5v’

2~

(10.16')

—2Agin = Q/n [(am + as ) Sj + (Зат + as ) tg u>iSn +
+ am tg2 o>l [3Sj 11 + I2Siv]— tg3 Ш1 Sv;

—2AGm = a, (am + as )Si -f- 2arna, tguiSii +

+ as tg2 u)i [Sin + I2Sivl;

, , /2	'2Ч  ,	tnb(tnb + Лк ) ~  2Agl„^ * 5-7Л- Гр' - k)	/2	*2  3mA +Mk 4	,	1
' 2  + /	^3[3^4i + I2Siv]  (sp'-s*)  /	* 2	* 2  (SP-~S*)	_ У3	е .  (4-О’ ”  2m'kMk ~	(10.26')
.	re  у1	+ I2S1VJ.	

Коэффициенты аберраций, входящие в (10.16'), (10.25') и (10.26'),
вычисляются при тех же условиях нормировки, что и Д^ш и ДОщ.

Для предмета в бесконечности, учитывая (9.55) (ai = 0, ай = 1,
pi = 1, п\ = п'и = 1, I = —1) для (10.27), найдем
т i (т? -f- Л4[) ~ Зт? -1-	—

- 2Д£И1 = v	—— s- + __L----------1 tg Ш15П 4

+ /т?1 tg2 u>i [35з + Siv] + f tg3onSv ;
2miM,

—2AGiii =-------'—2-----Si 4-----jr- tg o>iSii 4-

4- M. i tg2 u>i [SГн + Siv] •

Коэффициенты аберраций Sp ... Sv вычисляются при /z1=mi =
= /' = 1, т. e. все исходные данные должны быть приведены к
f' == 1,0 (разделены на /'-системы). При вычислении Д^ш и AGin эти
коэффициенты, чтобы сохранить размерность, необходимо умножить
на /', поэтому в (10.27') по сравнению с (10.27) степень при /' по-
низилась на единицу.

§ 69. Коэффициенты аберраций третьего порядка
или суммы Зейделя

Коэффициенты аберраций третьего порядка — суммы Зейделя

Si—Sin, Siv и Sv, входящие в формулы (10.16), (10.18), (10.25) —
(10.27), (10.29), для системы из k преломляющих поверхностей
имеют вид:

Si = Xi (^i 4" ^i);

V== 1

Su = У] yv(P^ + Bv)—1У UZV;
v=l	У=1

r	i<	k

Su, = V (Л + By) - 21 У f r, 4- I2 V a M ;

44 у	'4 у	Uy \li J V

V—- |	y==l	V=1

о _ V 1 n	(10.30)

5lv ~ 2_' n”
R.	k

3	2

Sv=2g|P. + B,l-3I^r,+

V—I	V=1

/?

4-12 У 4-П,1 — I3 У ЛвШ,

J h, \«2Л

у—I	yssj	J
где

I = Hti/ai = nai ah = const,

(10.31)

/i„,	— высоты падения первого и второго параксиальных лучей;

b-t— коэффициент, характеризующий деформацию сферической по-
верхности или отступление поверхности от сферичности (асфери-
ческая поверхность), для кривых второго порядка == —е2. Коэф-
фициент Siv, как это видно из (10.30), не зависит от деформации
преломляющих поверхностей.

Коэффициенты аберраций S( — Sv зависят от величин Р,, П,
и В,, которые называются параметрами.

От параметров W„, Bv и величин I и легко перейти к пере-
менным /i„, a„ р, и b„. Связь между инвариантами QS4, Qp, и I
определяется выражением (5.83), т. е.

Q„,-Csv = I/Mv.	(10-32)

Инварианты Q,v и можно представить в виде

Тогда из (10.32) получим

1 = у	(Ю.ЗЗ)

1 8 _L I I 8 — /
\ n /»	\ n / ,
Подставляя (10.33) и значения В, и W„ в (10.30), после пре-
образований для коэффициентов аберраций найдем следующие вы-
ражения:

Si = S h.

M=l

(Ьда)»1
И? ]'

Su

(8пя)2 (8чЭ),
(««)?



1

—	* Г

Sin = S /is P

<5”a>„ IM)2~

8a /

Sv

-}- htbv

(10.34)

где

8а = а, — а,, 8(3 = (3,	
8/га == п,а, — nvav;	
8«з = «X — «А;	(10.35)
8п = п?— и,.	

Формулы (10.34) используются в основном для вычисления аберра-
ций систем, конструктивные элементы которых известны.

В уравнениях (10.30) коэффициенты аберраций Su, Siu и Sv за-
висят от высот у, второго параксиального луча на преломляющих
поверхностях, т. е. в конечном итоге от координаты у\ (sp), опре-
деляющей положение входного зрачка. Поэтому выразим указанные
коэффициенты в зависимости от начальной координаты во входном
зрачке yi. Согласно (9.32)

(10.36)

где
Заменяя в уравнениях (10.30) отношения yjh, через (10.36), по-
лучим:

Si= S й,(Р, 4-S,);

v= I

Sn = S Л, (Р, + В,) + 1'£ [Л, (Р, + B.t) S, - rj;
” I V=)	V=1

Sm = (^J Д Av(A + Sv)+2I^S fA,(P, + S,)Ss-rj +
+ I2 S {l^ (P, + 5,) Ss - 2rv] S, + j;

Siv ~ \ П’;

v«=l

Sv =	£ h.t (P, + Bv) + 31^) £ {Л, (A + Sv) Ss - IT,} +

+ 3p Ул £ |[ A (Pv + s,) S, - 2Г,) Ss + 18 ^У) 4-12 x
x £ г H’+13 Д {[йч Ss - Ж] s*+i 33 (|)v +
+n,jSs-i8^y}.

(10.37)

Напишем (10.37' в следующем виде:

Si = Soi;

Su = -|- Su = Son + kSoii

Sru = p Sni = Soni + 2^Son + k2Sor,
Siv = Soiv?

Sv = jj Sv = Sov + k (3Soiи 4- Soiv) 4~

4- 3k2Sovi 4* k3Soi,

где

yi _

/i,i /iti *

(10.38)

(10.39)
Soi = V, й, (P, + В»);

v=»l
- k
Son='S (ft,(P, + B,)Ss-WM;

1=1

~	fe (	r / \ 1

Som = S №(P, + B,)Ss-2ir,]Ss +^8 I ;

V=1 (	fv \ /vj

* 1

Soiv = S тг^»;

v= 1 ’*’•*

_ Л (

Sov = Xi 1(BV + B.) Ss — 3W7 J S S +

v= 1 I

(10.40)

38^) +П, Ss--W-2
\nL	h‘ \n2

Если z/i=O (sp = 0), to k = 0, t. e. когда центр входного зрач-
ка совпадает с вершиной первой поверхности системы, коэффи-
циенты аберраций Sn, Sni и Sv переходят в коэффициенты Son.

Soni и Sov-

Уравнения (10.38) позволяют установить возможность или не-
возможность использования положения входного зрачка для ис-
правления аберраций системы. Из (10.38) видно, что при Soi = Si = 0
коэффициент аберрации Su не зависит от положения входного зрач-
ка; при Soi и Soii = O коэффициент Shi не зависит от координаты
sp; коэффициент Siv не зависит от положения входного зрачка;
аналогично, если Soi = Son = Soni = Sqiv = 0, то коэффициент Sv
также не зависит от положения входного зрачка. Так как коэффи-
циенты аберраций Si ... Sv определяют пять монохроматических
аберраций третьего порядка, то из (10.38) вытекает следующая важ-
ная теорема: если в системе исправлено t аберраций третьего по-
рядка, то аберрация t + 1 не зависит от положения входного
зрачка.

Из уравнений (10.38) также вытекает, что для исправления всех
пяти монохроматических аберраций третьего порядка, т. е. для вы-
полнения условия

Si = Su = Sin = Siv = Sv =0	(10.41)

достаточно выполнить условие

Soi = Son = Soni = Soiv — Sov = 0.	(10.42)

При этом коррекция всех аберраций достигается независимо
от положения входного зрачка
Для вычисления коэффициентов аберраций оптической системы,
конструктивные элементы которой известны, необходимо рассчи-
тать ход первого и второго параксиальных лучей по формулам
(8.3) и (8.4).

В пределах точности формул аберраций третьего порядка кри-
вые асферических поверхностей неотличимы от кривых второго
порядка, поэтому коэффициент деформации Ь> будет равен •

fev = —е2= ± $—1.
а

Поскольку тип асферической поверхности известен, то будут из-
вестны и полуоси а и Ь кривой, а следовательно, будет известен и
коэффициент По известным а,, и Ь-. определяются параметры
Р,, IF,, П, и В,. Кроме того, для системы будут известны высоты
Л,, у?, положение предмета si, положение входного зрачка sp и ве-
личина предмета у, поэтому легко могут быть вычислены коэффи-
циенты аберраций, а также меридиональная и сагиттальная
Дбщ составляющие аберраций третьего порядка для любой зоны
входного зрачка.

Коэффициенты аберраций третьего порядка, как это видно из
приведенных выше формул, зависят от конструктивных элементов
системы г, d, п, которые входят в них в неявном виде посредством
параметров Р„ IF,, П, и В,. Это позволяет при заданных значе-
ниях Aguj и AGni, а следовательно, и Si, ..., Sv определить кон-
структивные элементы системы.

Формулы (10.30), (10.34), (10.37) и (10.40) пригодны для си-
стем, состоящих из сферических, асферических и плоских прелом-
ляющих и отражающих поверхностей. Если в системе отсутствуют
асферические поверхности, что имеет место в большинстве случаев,
то параметр В, = 0 и формулы для коэффициентов аберраций зна-
чительно упрощаются. (В дальнейшем коэффициенты аберраций
для систем из сферических поверхностей будут обозначаться без
тильды наверху).

Коэффициенты аберраций третьего порядка для зрачков.
В сложных оптических системах, как, например, светосильных ши-
рокоугольных объективах, необходимо принимать во внимание
аберрации в зрачках. Формулы для составляющих аберраций и
коэффициентов аберраций в плоскости выходного зрачка анало-
гичны приведенным выше, только в них необходимо произвести
следующие замены:

Agin — Am'u, AG'n,-> ЛМ'ш, sps1( Si — sp;

y^mx,m^y, Si — S,^, Su -> Siic<

Shi-Sui,,, Siv-S.vp-', Sv - SVr>4 P,->P„ W, - W p<	(10.43)

П, — Пр», Л, —* yVi y„ —	a, —»• [?,•	I

₽, -> a,.	J
В этом случае плоскости входного и выходного зрачков рас-
сматриваются как плоскости предмета и изображения, а плоскости
предмета и изображения — как плоскости зрачков. Произведя за-
мены в соответствии с (10.43), для плоскости выходного зрачка
вместо (10.30) при В, = 0 найдем:

Аналогичным путем можно получить уравнения типа (10.34),
(10.37), (10.40) и т. д.

§ 70. Геометрическое представление
аберраций третьего порядка

Общие положения. Уравнения (10.16), (10.18), (10.25), (10.26)
и (10.27) для меридиональной и сагиттальной составляющих по-
перечной аберрации третьего порядка дают возможность опреде-
лить точку пересечения с плоскостью изображения каждого от-
дельного луча из числа лучей, образующих пучок. Если из всего
пучка рассматривать только совокупность лучей, выходящих из
какой-либо точки предмета и проходящих через плоскость входно-
го зрачка, свободного от аберраций, по окружности с центром на
оптической оси, то в плоскости параксиального изображения по-
лучим кривую, образующую фигуру рассеяния сложной формы

Рис. 99. Аберрационная кривая, образованная простой линзой

(рис. 99). Эта кривая, называемая аберрационной кривой, вклю-
чает в себя все монохроматические аберрации третьего порядка.
Для упрощения задачи обычно рассматриваются кривые, которые
образуются только одной из аберраций, полагая при этом осталь-
ные аберрации равными нулю. В действительности довольно редки
случаи, когда система обладает только одной аберрацией, од-
нако нередки случаи, когда в системе требуется устранить только
две или три аберрации. Поэтому необходимо знать, что представ-
ляет собой каждая из пяти монохроматических аберраций третье-
го порядка и какими уравнениями она характеризуется.

Сферическая аберрация третьего порядка. Если коэффициенты
аберраций Su = Sui = Siy = Sv = 0, a Si =£ О, то уравнения (10.16)
будут иметь вид:

Agni = т\{т\ + Мл)А\\

ДСлп == Л4] (т\ + Мi) Aь

(10 45)

Переходя к полярным координатам, в соответствии с (10.10)
получим

Agin = р3 cos фЛ 1 = р'3 cos фЛ 1 (Л)3-

Л из’	(10.47)

Дб’ш = р sin % А । = o' sin фЛ i □— ,

\Рир/
где

*4 1 -'	? fl	\ Q З* •

2n4aJs0 —si)' “i

Возведем (10.47) в квадрат и сложим их, тогда

Гоф = VA/ni + AGni = р3Д 1 = р'3Д 1	.

Рис 100. Фигуры рассеяния, образованные сферической аберрацией, для точю
на оси и для точки вне оси

Уравнение (10.48) является уравнением окружности, центр коп-
рой совпадает с началом координат. Следовательно, если коэффь
циент аберрации St =^0, то в плоскости параксиального изображе
ния вместо точки образуется фигура рассеяния в виде окружность
радиус которой пропорционален кубу радиуса окружности в плос-
кости входного или выходного зрачка, причем каждой точке нт
выходном зрачке, расположенной в меридиональной плоскость
соответствует точка в плоскости изображения, находящейся в toj
же меридиональной плоскости.

Нарушение гомоцентричности широкого пучка лучей, прошед
шего через оптическую систему, при сохранении симметрии его от-
носительно оси пучка называется сферической аберра
имей.

Из (10.46) видно, что в них отсутствует координата у, опреде-
ляющая положение точки в предметной плоскости. Это значит, чтс
сферическая аберрация третьего порядка существует в одинаково!
мере для всех точек предметной плоскости (рис. 100).
Между окружностями в плоскости выходного зрачка и в плос-
кости параксиального изображения имеет место своеобразное по-
добие. Если в плоскости выходного зрачка нанести окружности
с радиусами, образующими арифметическую прогрессию 02; 04;
0,6; 0,8; 1,0, то в плоскости изображения им будут соответствовать
окружности, пропорциональные р'3, т. е. соотношения между ради-
усами кружков рассеяния будут составлять 0,008; 0,064; 0,21; 0,512;
1. В центральном (наименьшем) кружке сосредоточивается 34 %
всех лучей, заполняющих выходной зрачок, тогда как площадь его
составляет всего 4% от площади наибольшего кружка. Во втором
кольце сосредоточено 20% лучей; в третьем — 17%, в четвертом —
15% и в последнем — 14%. Из этих данных видно, что в преде-
лах площади кружка рассеяния, соответствующей радиусу 0,6 от
максимального, находится около 70% всех лучей, т. е. около 70%
всей энергии сосредоточено на площади, равной 36% от площади
максимального кружка. Кружок рассеяния в плоскости паракси-
ального изображения и представляет собой изображение точки,
расположенной в предметной плоскости.

Радиус кружка рассеяния, определяемый формулой (10.48), пред-
ставляет собой поперечную сферическую аберрацию, которую обо-
значим через Аг/щ. Для меридиональной плоскости ф=?0, а для
сагиттальной ф = 90е, поэтому согласно (10.46)

Ago, । = AGni =	— р3^ • = /'сф.	(10.49)

Сферическая аберрация третьего порядка для точки на оси или
любой точки вне оси, расположенной в меридиональной плоскости
(Л4| =0, а. == 0), на основании (10.16) и (10.25) принимая ат — о*,
будет разна

Ayn. = A«ni=o-U7----Ч г 5. = --^ 4)	(10.50)

Продольная сферическая, аберрация третьего порядка для точки
на оси (см. рис. 100)

Asm —	-------l^atSi.	(10.51)

Для предмета на конечном расстоянии в области аберраций
третьего порядка можно принять, что оЛ — hijsk, тогда

Азш=-------l_/UVSb	(Ю.52)

2nta \ ®«/

Если предмет находится в бесконечности (si =—оо, а, = 0),
то = Ai//' = mJ Г и

Asi” ------ST.	(10.53)
Учитывая условия нормировки (9.52) и (9.55), получим

1 /М2

Asm = —-/-М S,,	(10.52')

=—у -у- <S i(f'=i).	(10.53')

Из (10.51) — (10.53) видно, что сферическая аберрация третьего
порядка зависит от коэффициента 5(, поэтом}' его называют мерой
сферической аберрации. Чтобы в системе была устранена сфериче-
ская аберрация, необходимо выполнить условие

Si = Д/М\=0.	(10.54)

Рис. 101 Положение кружка наименьшего рассеяния

Размеры кружка рассеяния, образованного сферической аберра-
цией третьего порядка, зависят от положения плоскости установки
(рис. 101). П лоскость наименьшего кружка рассеяния располагается
слева от плоскости параксиального изображения в месте, где пе-
ресекаются лучи, выходящие из системы под углом акр и 1/2а,(р,
причем это расстояние равно

== yAsniKp»	(10.55)

а радиус кружка наименьшего рассеяния

^min = 4Гс‘1' = 4 Д^" = 4 Д5Н1кР^- (Ю.56)

Приведенное выше формулы для сферической аберрации третье-
го порядка могут быть использованы для предварительного анализа
системы. Они дают хорошее приближение только для систем, с ма-
лым относительным отверстием Точное значение сферической абер-
рации можнj получить только с учетом аберраций высшего поряд-
са. Для этого необходимо произвести расчет хода параксиального
1 действительных лучей. Разность координат точек А& и А&, равная
As*=s* — st,	(10.57)

тает величину продольной сферической аберрации для точки на оси
рис. 102). Продольная сферическая аберрация считается положи-
’ельной, если точка Аь лежит правее точки Аь, и отрицательной при
>боатном расположении этих точек.

"ис. 102. Продольная сферическая аберрация Дх4 для точки на оптической оси

Поперечная сферическая аберрация

Az/., = As* tg aii.	(10.58)

Угловая сферическая аберрация

, Дц. Дхь ,
Да* = —	=-----?tgo*.	(10.59)

SA	\

Фигуры рассеяния, образованные сферической аберрацией, имеют
тазную структуру в зависимости от положения плоскости изобра-
кения. В плоскости £о некорригированной системы кружок рассея-
тия имеет радиус Az/* (см. рив. 102, положение Z). Если плоскость
со переместить в положение 2, то внутри кружка рассеяния появ-
ляется маленький светлый диск; в положении 3 возникает по краям
тркое кольцо; в положении 4 центральный диск исчезает, ко остается
лркое кольцо и, наконец, в положении 5 исчезает яркий край и
освещенность внутри кружка снова становится равномерной. Сим-
летричность кружка рассеяния объясняется тем, что лучи, падаю-
щие на систему под одинаковыми углами si, имеют равные углы
падения.

Сферическая аберрация третьего порядка в зрачках. Если в
(10.50) заменить координаты в плоскости входного и выходного
зрачков координатами в предметной плоскости и плоскости изо-
бражения, то для поперечной сферической аберрации в выходном
зрачке Amin в меридиональной плоскости

Дшщ = —, , V---Svi =--------г-,	Svi

(si “ ip) у1/ 2nkh\^J

(10.60)

где

(10.61)

Продольная сферическая аберрация в выходном зрачке

-	Д/П,,,	I ,2

AsIH,/ = —~ =---------(10.62)

2«Л

Коэффициент сферической аберрации Svi вычисляется при сле-
дующих условиях нормировки для первого и второго параксиаль-
ных лучей;

а, == 1; hi = 1;1

В, = 1; щ = 1.)

(10.63)

При этих условиях координата, определяющая положение входного
зрачка, sp = yi/^i = l, поэтому для сохранения размерности фор-
мулу (10.62) необходимо умножить на реальное значение т. е.

	AS|||)Z =	А_. (»А Svi(s =1).	(10.64)  2"Л
Учитывая	(10.63), для ?<ь. будем иметь  0	"i3i	И 1  РОд'   "Vp   "7 nk^k nk$k
откуда	, 1  nk f*Op'
тогда	.3  Asuip'= — РоЛ®* Svi(sp=i).	(10.65)  2<'< i
Для системы в воздухе

А$ПЦ/ = —у ₽0р8р(1>л Svi(sc=l)
или, принимая во внимание, что о4 = а>1/рос,

А$Шр' =	у PocSp(»lSvI

(10.66)

Сферохроматическая аберрация третьего порядка. Для сферо-
хроматической аберрации можно написать

Д (Дз>.,х2) = Двх, — As'x„

где Д$х,—сферическая аберрация для Xi; As’x,— сферическая абер-
рация для Х2.

При dk— 1 на основании (10.51) имеем

(] ,2 \	/ ]	,2 \

—: о« Si ) , Д$ц I. лг = — I —; at Si I ,

2,1k	/к,	\2«t /xs

тогда сферохроматическая аберрация третьего порядка

Д (Asin)x,x, = (--a Ok Si) —(-^atSj
\2nk Jx, \2n>

Считая, что п-к и Sk для длин волн Xi и Х2 мало отличаются друг
от друга и от Х„ для сферохроматической аберрации будем иметь

△(As'iii)m, = -^2Scx,	(10.67)

где

Sex = Six,—SiM	(10.68)

SGX называется коэффициентом сферохроматической аберрапии или
сферохроматической суммой.

Кома третьего порядка. Условие- синусов и условие изоплана-
тизма Если в системе S, — Stil = SjV = Sv = 0, то для меридио-
нальной и сагиттальной составляющих будем иметь

Д.^п। = (дт\ ф- /Иf) уА-2 = (2 4- cos '-•(>) р^уА?', I
,	?	(10.69)

AG’m = 2т\МхуАч = sin 2фр2у42,	J

где

А 2 = . -7------Гд- 2,- S11.

«||Ч.

Напишем (10.69) в виде

— ?р2уА2 = cos2<ppz/42;

AGin = sin 2фо2уД2.
Возведя эти выражения в квадрат и сложив их, получим

(Agni — 2р2уА2)2 + AGi’ii = (p2i/A2)2 = r2k. (10.70)
Выражение (10.70) представляет собой уравнение окружности
с радиусом

= р2гд4 2>	(а)

центр которой смещен на величину

2гк = 2р2уА2.	(б)

Из этих выражений видно, что как радиус окружности, так и
смещение ее центра пропорциональны квадрату радиуса р входного
зрачка и, следовательно, квадрату радиуса о' выходного зрачка.

Учитывая (а), уравнения (10.69) будут равны

Agni = (2 4-cos 2^)», AGm = sin 2фг*.	(10.71)

Для главного луча координаты mi=2Wi=p = 0 (тк = Л1к =
= р = 0), поэтому Agni = AGni = 0. Это значит, что главный луч
пересекает плоскость параксиального изображения в точке Вк,
расположенной в меридиональной плоскости и соответствующей
точке параксиального изображения. Таким образом, начало коор-
динат будет находиться в точке Вк.

Для того чтобы установить фигуру рассеяния, образованную
меридиональной и сагиттальной составляющими Ag^n и AGni, в плос-
кости параксиального изображения возьмем в кольцевой зоне вход-
ного, а следовательно, и выходного зрачков 8 лучей, углы между
которыми составляют 45° (рис. 103).

Лучи, проходящие через точки 1 и 5, являющиеся верхними и
нижними лучами в меридиональной плоскости, образуют с послед-
ней углы 0 и 180Q. Для верхнего и нижнего лучей

/пи = —т\н(ткп =*—тк11) и т2в = т\в{ткв = тк2 ).

Из (10.71)видно, чтокак для верхнего, так и нижнего лучей ме-

ридиональные составляющие имеют одинаковые значения, равные
Згк, а сагиттальная составляющая равна нулю, т. е.

Agin = (2 4- eos 2ф)г/, — Згк;

AGm = sin 2')/-,;. = 0.

(10.72)

Это •щачит, что меридиональная составляющая представляет собой
прямую, и верхний и нижний лучи пересекаются в одной точке, ко
торая отстоит от точки В:. на величину, равную Згк.

Для сагиттальной плоскости, т. е. лучен, проходящих через
точки /1 и 7 выходного зрачка, углы 6 составляют 90Q и 27СР и
координаты !П1=тк = 0, поэтому

Agin == (2соэ2ф)г/, =г.,[

,	V.

AGi । ] = sin 2фл.. — 0,
т. е. сагиттальные лучи пересекаются в одной точке меридиональ-

ной плоскости, отстоящей от точки Вк на величину гк.
Уравнения (10.72) и (10.73) показывают, что сагиттальная сг-
ставляющая равна нулю как для лучей, расположенных в мери
диональной, так и для лучей, расположенных в сагиттально!
плоскостях.

Для точек во входном зрачке с координатами т.\ и М।, не раь
ными нулю, т. е. для внемеридиональных лучей, например, длг
лучей, проходящих через точки 2 и 6, углы ф равны 45 и 225° i

Agui =(2 4- cos 2ф)rk = 2rk; 1

AGni = sin 2<pr* = rk. j

Рис. 103. Меридиональная кома Klll( меридиональная составляющая комы дл.-
сагиттальной плоскости Кт т, меридиональная составляющая комы для висморь
диональных лучей /(И1 вн, сагиттальная кома /CH1S

Соответственно для лучей, проходящих через точки 4 и 6, дл>
которых равно 135° и 315°,

Agui =(2 4- cos2-’>)r(. = 2гк;

’	(10.74

AGm — sin 2Фгй = —rh.

Уравнения (10.74) и (10.74') показывают, что лучи, проходящие
через точки 2 и 6, пересекаются в одной точке, координаты коп-
рой составляют 2гк и гк, а лучи, проходящие через точки 4 и i
также пересекаются в одной точке е, координатами 2г и —гк (см
рис. 103).

Таким образом, лучи, проходящие по окружности через точк!
I, 8 входного зрачка с радиусом р (через точки 1................8	вы
ходпого зрачка G радиусом р'), образуют в плоскости параксиаль-
ного изображения окружность радиуса гь-у^А?, центр которой
расположен в меридиональной плоскости на расстоянии 2гк от точ-
ки Bk- Если же входной зрачок разбит на ряд зон с помощью кон
центрических окружностей, то каждой зоне при постоянном значе

нии у в плоскости параксиального изо-
бражения будет соответствовать своя
окружность, являющаяся внешним конту-
ром пятна рассеяния. Следовательно, изо-
бражение точки, расположенной вне опти-
ческой оси, представляет собой совокуп-
ность окружностей, диаметры которых
пропорциональны квадрату диаметра зон
входного зрачка. Центры кружков нахо-
дятся на прямой BkAk, расположенной
в меридиональной плоскости (рис. 104).
Все окружности имеют общие касательные
ВкТ\ и ВкТг, проходящие через точку
Вк и образующие с меридиональной плос-
костью (линией АкВк) угол, равный 30°.
В этом легко убедиться, рассматривая
треугольники BkCT] и BkCT</, расстояние
от точки Вк ро С равно 2r k = 2ур2Аг, а
радиусы окружности СТ\=CT2=rk=yp2A2,
поэтому синусы углов T\BkC и T^B’kQ

У

Рис. 104. Фигура рассеяния,
создаваемая «омой третьего
порядка (внешняя кома)

равны 0,5, а углы 30°. На рис. 104 окружности расположены выше
точки Bk’, это имеет место в том случае, когда коэффициент Аг >0.
Если же Лг<0, точка Вк лежит выше центров окружностей.
Таким образом, изображение точки, расположенной вне оптической
оси, представляет собой фигуру рассеяния в виде яркого пятна

с постепенно расширяющимся «хвостом», напоминающим хвост ко-
меты, симметричную относительно меридиональной плоскости. Рас-
пределение энергии в фигуре рассеяния несимметрично; вся энергия
сосредоточена в пределах угла в 603, при этом освещенность убы-
вает в направлении от вершины угла Вк примерно обратно пропор-
ционально расстоянию от вершины угла Вк.

Нарушение симметрии широкого пучка лучей, вышедшего из
точки предмета, расположенной вне оптической оси, называется
аберрацией кома. Несимметрия широкого плоского меридио
нального пучка лучей называется меридиональной комой
(рис. 105).

Введем следующие обозначения:

Л'ш —	= Згь',

/Сш m — A&jfi = fk’,
231

(10.75)
tfui вп = Agni = 2rfe;
AT111 s = AGui = /*,

(10.75)

где Kin — меридиональная кома; Кщт — меридиональная состав-
ляющая комы для сагиттальной плоскости; КщВн — меридиональ-
ная составляющая комы внемеридиональных лучей; Kins— сагит-
тальная составляющая комы для внемеридиональных лучей — са-
гиттальная кома.

Рис. 105. Меридиональная кома третьего порядка

Для меридиональной комы третьего порядка (Mi =0) согласно
(10.69)

Переходя к угловым координатам в плоскости выходного зрачка,

Kin =---S--7-53O* ArAtgmiSn.	(10.77)

«А V1/

Заменяя через hkhk, будем иметь

Кт =-4-т-ГзАУ tg<»if^Sn. (10.78)
nkai \ Ч/ V1/

В соответствии с (10.75) меридиональная составляющая комы
для сагиттальной плоскости будет иметь вид

„	_	_ ,vliy

*\ I I I П'!	г ‘ ,	\ о I j I О )^11>

или

*П> т =--------ТТз13*	(10.79)

2n/(ct.	\ /
Меридиональная и сагиттальная составляющие комы
меридиональных лучей согласно (10.75) равны

для вне-

Дш вн =	—

3m, + М ।

2n'kak (sp - s

З’^ + af

-  Г—

^nkak

(10.80)

Дш s — fk =

mxMxy

n'ka'k (s₽~sl)3

a z
ms

, *3

nk°k

(10.81)

Сравнивая Дш, Кшт, Дшвн и Див, устанавливаем, что ме-
ридиональная кома в три раза больше меридиональной состав-
ляющей комы для сагиттальной плоскости и в полтора и три ра-
за больше меридиональной и сагиттальной составляющих комы
для внемеридиональных лучей. Это обстоятельство дает возмож-
ность при анализе систем в области аберрации третьего порядка
ограничиваться вычислением только меридиональной комы.

Учитывая условия нормировки (9.52) и (9.55) для системы в
воздухе, для (10.77) получим

„	3 (hk V

51=/=—оо Дш =—-ёг ; tguiion;

2 \ sk)

51 =---со Дц| =-----tg (01ОЦ

(10.82)

(10.83)

В системе будет отсутствовать кома третьего порядка, если
коэффициент аберрации 5ц будет равен нулю или малой величине.
Поэтому коэффициент Su называют мерой комы третьего порядка.

Оптические системы, у которых исправлены сферическая абер-
рация и кома, называются апланатическими.

Теория аберраций третьего порядка ограничивается областью
малых апертур и небольших полевых углов. Если же апертура
пучков велика, то даже точки предмета, расположенные вблизи
оси, не изображаются стигматически, а в плоскости параксиаль-
ного изображения дают кружки рассеяния, которые не соответст-
вуют кружкам, определенным по формулам для комы третьего
порядка.

В геометрической оптике было установлено, что элементарный
отрезок dy будет изображаться совершенным отрезком dy', если в
системе инвариант Лагранжа — Гельмгольца для любых значений
углов а будет постоянной величиной, т. е.

I = nidz/sinsi = tibdy sina'k = const.	(10.84)
При этом точка элементарного отрезка, расположенная на опти-
ческой оси, должна отображаться стигматически, т. е. сферичес-
кая аберрация для нее должна быть равна нулю-

Напишем (10.84) в виде
- du'	п, sin о,

р =	= -4---- = ро = const.	(10.85)

1	dy	nfesin°fe

Уравнение (10.85), как уже указывалось, носит название усло-
вия синусов. Так как в большинстве случаев (10.85) не выпол-
няется, то отступление от условия синусов может быть написано
в виде

.	.	7	Л1 sin	«I sin а,	п.а,

Asin = A? = p — р0	=	4—!-₽о	= -! ‘---Ц,

nksln	nksln °k	nkak

или
1.		(Ю.86)  Ро	₽0	nftsinaft₽0

Для предмета в бесконечности условие (10.85) имеет вид

——, =	= f — const,

sin ak

(10.87)

и отступление от условия синусов

sin ak
или

Д5ы = ¥ = -Д7-1.	(10.88)

' sinafe/

В реальных оптических системах сферическая аберрация для
точки на оси может быть исправлена только для одной и редко
для двух высот в плоскости входного зрачка. Для остальных вы-
сот система имеет неустранимую сферическую аберрацию. Если
поставить требования, чтобы кружки рассеяния для внеосевых
точек предмета были бы такого же размера как и кружок рассея-
ния для осевой точки предмета, образованный сферической абер-
рацией, то качество изображения по всему полю будет одинаковым.
В этом случае изображения элементов предметной плоскости назы-
вают изоплан этическим и, т. е. имеющими одинаковые
недостатки или погрешности.

Допустим, что диаметры кружков рассеяния 2Ду0 и 2Др'К|, в
плоскости параксиального изображения равны между собой (рис. 106).

Считая dy' мало отличающимся от dy', можно написать

dy' = »| Sinai
dy n^sinafe"
из рис. 1 ио имеем

dy' __ sfe~ V+ &Sk _	Asfe

s'k-sp,	sk-sp:

Учитывая, что dy’ = dyfio, и заменяя куЧку’ его значением, найдем

д Др «1 sin О]
Asin — Г- '— ' .

РО n*sln34?0

Уравнение (10.89) носит название
условия изопланатизма
Штебле — .Пи готского и
является обобщением условия си-
нусов на случай, когда оптиче-
ская система не дает вполне со-
вершенных изображений элемен-
тов плоскости вследствие остаточ-
ной сферической аберрации. Если
Asin = As* = 0, то (10.89) перехо-
дит в (10.85).

Отступление от условия изо-
планатизма в обобщенном виде
обозначается и записывается
в виде

Рис. 106. Условие изопланатизма

Д?

AsZ _=др j А4

S*-Sp- ₽0 s'p'-sk

(10.90)

Для предмета в бесконечности
f sp'-sk

(10.91)

Если выходной зрачок совпадает с системой (sp- =0, s* = f ), то

Г =l(Af'-As;).	(10.91')

Связь между отступлением от условия синусов сферической
аберрации и коэффициентом аберрации Sn характеризуется урав-
нением

др _ __ / As* _ Asi \ _ _1_	1	/ 1 \2/! \ 5

₽0	(s',— s’k	sp— sl) 2 "1 (Sp ~ Sl)(“l/ (₽!/	11

Для безаберрацио иного предмета Asi = 0, поэтому
др Д4 1	1	/ 1 V / 1 \ е _

₽о sp, — s‘k 2 "i(sP — si)(oi/ \hy 11

(10.92)

(10.93)
Из (10.76) имеем

о _	2 „	"X(s0-si)3 2Ч

J11 =---5- Л111 ------5------ aipl.

6

Тогда (10.93) будет равно

Выражение в скобках представляет собой отступление
изопланатизма (10.90), поэтому

Клн =

Для предмета в бесконечности

т» ОО	Л * Об

Кш = 3ут] .

(10.94)

от условия

(10.95)

(10.96)

Астигматизм и кривизна поля изображения третьего порядка.
Полагая в (10.16) Si=Sn = Sv = 0 для меридиональной и сагит-
тальной составляющих, получим

Ag-i'n =Ш1у2Лз = рсозфу2Лз; 1	<10 974

AGni = Miy2At = р sin tyy2At,

где

3Sin + l2SiV

2nX(sP-si)3ai?i ’
^ni + l2^iv

2«feafe(sP~si)3a^i ’

Из уравнений (10.97) имеем

Agin\;

fy2A3/

cos2 ф,

рг/2л J

— sin2 ф.

После сложения этих выражений

Agiи]2 । Г AGnг 2
?у2аз]

(10.98)
Формула (10.98) представляет собой уравнение эллипса <? осямг
2а = 2рр2/43 и 2б = 2р//2/44. Окружностям в плоскости входного i
соответственно в плоскости выходного зрачков в плоскости параг
спального изображения соответствуют эллипсы, оси которых про-
порциональны радиусам р в первой степени и величине предмета t
во второй степени. Если радиусы р изменяются по закону арифме
тической прогрессии, то в плоскости параксиального изображениг

Рис. 107. Фигура рассеяния в плоскости параксиального изображения прг
Sjh и SIV =/= 0

им соответствуют эллипсы, подобные между собой, центры которы:
совпадают с точкой Вь пересечения главного луча с плоскостью Е
(рис. 107).

Таким образом, изображению точки, расположенной вне опти
ческой оси, при Хщ и Siv =# 0 соответствует фигура рассеяние
в виде эллипса, причем распределение энергии в этой фигуре рав-
номерно, так как площадь эллипсов (лаб) возрастает пропорции
нально площади кругов (лр2) на входном зрачке (полуоси а и г
пропорциональны р).

Рассмотрим, как изменяется фигура рассеяния при смещени!
плоскости параксиального изображения Е' на величину Д (см
рис. 107). Составляющие поперечной аберрации при смещениi
237
плоскости Е' определяются уравнениями (10.5), которые для дан
кого случая будут иметь вид

Agin	= Д£П1	1 	П|/П|  ^(SP-Sl)?0  П]Л1|	Д	= Agni		Hjp cos С/ nk (SP — sl)₽0 p sin Ф	Д;	(10.99)
Дбц!	= Д£ш	+	nk (sp ~~ sl)	д	= AGrii	+	nk (sp ~sl) Ho	Д.	

Учитывая (10.97), получим

Д^ш = (у2Л3—сД)рсозф;

ДОш = (у2Л4— сД)р sirup,

(10.100)

где

”fe(sp“si)Po '

Выражения (10.100) также приводят к уравнению эллипса

с полуосями

а = (у2Л3 —сД)р;

b = (у2Л 4— сД)р.

(10.102)

При перемещении плоскости Е' к системе фигура рассеяния

остается в виде эллипса, но ось его 2Ь быстро уменьшается.

Допустим, что в плоскости, расположенной на некотором рас-
стоянии Д = zs, ось эллипса 2Ь = 0.

В этом случае из (10.100) и (10.102) находим

Д = Zs = у у24

Д0ц] = а = (у2Лз —сД) = у2(Л3—Л4)р-

(10.103)

Меридиональная составляющая Д^щ в этой плоскости будет
равна

Agni ==а = (у2Лз —сД) = у2(Л3—Л4)р,

т. е. фигура рассеяния эллиптической формы вырождается в ли-
нию, перпендикулярную к оси и лежащую в меридиональной плос-
кости; длина этой линии

2Д^|и = 2у2(Лз—Л4)р.

(10.104)
Для этого

(10.105)

равна

проходящей

Эго значит, что изображение внеосевой точки предмета, располо-
женной в меридиональной плоскости, пучком лучей, опирающимся
на входной зрачок, в области аберраций третьего порядка пред-
ставляет собой прямую линию.

При дальнейшем перемещении плоскости Е' она может занять
положение А = zm, при котором ось эллипса 2а = 0.
случая, исходя из (10.100) и (10.102), получим

д = Zm = у t/2A3;

AgHI = асозф = 0..

Сагиттальная составляющая в этой плоскости будет

AGjii = b = (z/2/l4 — сД)= у (^4—-^з)р.

Изображение точки В\ имеет также вид прямой,

через точку Вт, но лежащей в сагиттальной плоскости.

Длина линии

2AGji [ = 2t/2 (А 4—Л3)р.	(10.106)

Выберем положение плоскости Е' между двумя предыдущими,
когда 2a = 2b, т. е. при

Z —1~ 2	1

A = ?cp = -^^ = ^l/2(/I3+^4).	(10.107)

В этом случае согласно (10.101) будем иметь

Agui + AGin = (pt/2X3)2 = (pt/2X3).	(10.108)

Выражение (10.108) представляет уравнение окружности, т. е. фи-
гура рассеяния в этой плоскости имеет вид окружности, радиус
которой равен

г» = pt/M3 = ру2Л 4.	(10.109)

Таким образом, каждая внеосевая точка плоскости предмета Е,
перпендикулярной к оптической оси, изображается в виде двух
взаимно перпендикулярных линий, расположенных на разных рас-
стояниях от плоскости параксиального изображения Е', называе-
мых фокальными линиями. Эта аберрация носит название
астигматизма (отсутствие точечного изображения даже при
узких пучках лучей).

Астигматизм возникает потому, что лучи наклонного пучка
лучей, расположенные в меридиональной и сагиттальной плоско-
стях, имеют различные точки сходимости — точки астигматических
фокусов.

Расстояние между точками Вт и В$, отсчитываемое от точки Вт
(отрезок BSB,„), называется астигматической разностью
239
вдоль главного луча. Проекция отрезка BJS.n на оптическую
ось является астигматической разностью вдоль опти-
ческой оси. Если астигматическая разность будет равна нулю,
то астигматический пучок лучей превращается в гомоцентрический
(точки Вт и Bs совпадут и фокальные линии исчезнут).

Координаты гт и z.„ характеризующие отстояние от плоскости
параксиального изображения проекций астигматических фокусов

а — изображение прямой линии астигматическими пучками: Л4А' — изображение, даваемое
меридиональными пучками, 6'Л' —сагиттальными пучками; б — изображение прямой линии
в плоскости параксиального изображения: А'М —меридиональными, a A'S — сагиттальными
лучками

Вт и Bs на оптическую ось, на основании (10.103) и (10.105) с уче-
том значений Аз и Аа и с будут равны

_____г/%

(SP — si)2ai₽i
г/%

2«i4(s₽ — «1)2«1₽1

[3Sin + I2Siv];

[Sui + I2SivJ.

(10.110)

Учитывая, что = n.\a.\ltiw.ii и у = (sp — Si)tgo>i, найдем

гт =--------- tg2^ ( Д2[35ш + I2SIV];

2«Л	V1/

< =-------Т~2 tg2a> 1 (^-ftSiii -I- FSivb

(10.111)

Из (10.110) и (10.111) видно, что координаты гт и г, пропорцио-
нальны квадрату величины предмета z/(tg2«>i), поэтому при изме-
нении г/(он) астигматические изображения Вт и Bs внеосевой
точки предмета AjBj, расположенного в меридиональной плоскости,
будут находиться на кривых М и S, касающихся друг друга в
точке A'k на оптической оси (рис. 108, а). При этом каждая точка
предмета А \В\ изобразится меридиональными пучками в виде от-
резков, длина которых возрастает пропорционально у2, располо-
женных в сагиттальных плоскостях; каждая точка предмета А\В\
изобразится сагиттальными пучками в виде отрезков, расположен
ных в меридиональной плоскости, которые, накладываясь друг на
Друга, дадут резкое изображение предмета Д1В1 (рис. 108,6).
Если же точки В{ располагаются в различных местах плоскости
предмета, то их изображения Bs и Вт будут находиться на чаше-

а — изображение радиусов и окружностей плоской фигуры при отсутствии в системе кри-
визны поля изображения; б — при совмещении экрана с плоскостью, содержащей фокальные
линии элементарных меридиональных пучков; в — при совмещении экрана с плоскостью
фокальных линий элементарных сагиттальных пучков

образных поверхностях, называемых меридиональной и са-
гиттальной поверхностями изображений, которые также будут
касаться плоскости параксиального изображения в точке A'k, Из
(10.111) видно, что выражения для г’т и z' представляют собой
уравнения парабол.

Отсюда следует, что меридиональная и сагиттальная поверх-
ности изображения являются параболоидами вращения и пред-
ставляют собой изображения предметной плоскости.

Между меридиональной и сагиттальной поверхностями изобра-
жения, как это видно из (10.108), находится поверхность, где
фигуры рассеяния представляют собой окружности. Координатой
этой поверхности вдоль оптической оси является

2ср

+ г’т

2

—tg2^! Ш2[25ш + I2SivJ.

(10.112)

Эта поверхность называется поверхностью изображения средней
кривизны.

На рис. 109 показаны изображения плоской фигуры астигма-
тическими пучками.

Таким образом, при наличии в системе только астигматизма
и кривизны поля изображения третьего порядка предметная пло-
скость изображается двумя поверхностями: меридиональной и
сагиттальной поверхностями изображения. Хотя астигматизм и
кривизна поля изображения имеют общую физическую природу,
241
но эти аберрации по своей величине независимы друг от друга
Астигматическая разность вдоль оптической оси, характери-
зующая астигматизм системы, будет равна

К —4 =(10.113
nkak	'Р1/

Отсюда видно, что мерой астигматизма является коэффициен’
аберрации Sin (при 5ш = 0, z, — z„ = 0).

Меридиональную и сагиттальную поверхности изображения ха
рактеризуют также радиусами кривизны Rm и Rs. Пои малы:

Рис. НО Ход астигматических пучков лучей в меридиональной и сагиттально!
плоскостях:

астигматизм третьего порядка zs г-zm; — радиус кривизны меридиональной, . ро
лнус кривизны сагиттальной поверхностей изображения

углах o>i можно считать, что эти поверхности являются сферами
a zm и zs—стрелками прогиба сферических поверхностей (рис. 110',
Для хорд 2ут и 2z/s, пренебрегая Zm и zs , имеем

^Ут =
,2	 ,

‘tys = RsZs<
Откуда, учитывая, что

ут у, у’ = у^0 = (sp — Si) tg Wi,
242
получим

ШШп + I2Siv);

-T-^T-tg2“i ШИ" + I251VJ.
nkakV'	'p|'

(1 0.114

Из этих уравнений видно, что мерой кривизны меридиональ
ной поверхности изображения является коэффициент [3Sin —

Рис. 111. Поверхность и радиус кривизны Пецваля

t

1

4-PSrvL а мерой кривизны сагиттальной поверхности изображу
ния — [Sm + PS iv].

Если в системе устранен астигматизм (Sm = 0), то обе по-
верхности изображения сольются в одну и	!

= 4 = К =-------Ш ‘ (г)2I v;	(10.115

2'fA \Pi/

Коэффициент Siv носит название коэффициента или сум
мы Пецваля. Коэффициент Пецваля характеризует кривизн'
поверхности изображения при отсутствии в системе астигматизма
поэтому и поверхность, кривизна которой определяется радиуам
А’р, называется поверхностью Пецваля (рис. 111). Про
zm~zs Л3=Л4 и уравнение эллипса (10.101) переходит в уравне-
ние окружности

Agni + AGin = (р1/2^з)2 = rl,
т. е. в плоскости параксиального изображения фигура рассеяние
представляет собой окружность радиуса rk.

Таким образом, чтобы точки предметной плоскости, распол<-
женные вне оптической оси, изображались бы в плоскости параксь
ального изображения с помощью астигматических пучков в виде-
точек, необходимо выполнить два условия: условие точечного и.зог.
ражения $ш = 0 (отсутствие астигматизма); условие плоского изо
бражения Siv = 0 или Rp = со (отсутствие кривизны изображе-
ния), т. е.

Sin = Siv — 0.

Системы, у которых устранен астигматизм и поле изображение
является плоским, называются анастигматическими илг
анастигматами.

Учитывая условия нормировки для системы в воздухе, найден
ные выше формулы будут иметь вид:

Si #= — со [а] = Ро, а/г = 1, Pi = 1, I = Po(s₽ —Si)];
z;=-ytg4[3Sul+I2SIV];

z'=—tg2(O! [Sin + l2Siv];

z' = — у tg2o>i [2S111 + l2Siv];

z' =—у tg2(oti2Siv;

Zs— Zm — tg2io [Sin;

4 = - tg2<oi [3S ш 4- I2Sivl;

Rm у

4- =----у tg2^ [Sin 4- I2Sivl;

R,	У

4 = —7o tg2wiI2Siv — — Siv;

Rp	/

Si — — w[i] =0, а/г = 1, h\ = f' = 1, pi = 1, I = — 1];

Zrn =--У Г tg2U)l [3Sni 4-Sivl;

z> — — у f tg2ioi [s“u 4- Siv];

tg^ilZSFn-j-Siv];

(10.117

(10.118
гГ =- Г ?	~ f

—	1	, Rs —	- — ;	(10.118)

/“ _. Г

Дисторсия третьего порядка. Полагая в (10.16) 81=8И =
= 8щ = Siv = 0, a Sv #= 0, получим

Д/ш = ^Л5, ДС'ш = 0,	(10.119)

где

2n'ka'k(sP — si)3₽1

Из (10.119) видно, что при 8у #= 0 имеет место только меридио-
нальная составляющая, причем она не зависит от координат пере-
сечения луча с плоскостью входного зрачка т\ и М\ и, следова-
тельно, все лучи от точки предметной плоскости, расположенной
вне оси, собираются в одну точку в плоскости параксиального

Рис. 112. Дисторсия третьего порядка

изображения Bk, но эта точка не совпадает с идеальным изобра-
жением Bk (рие. 112).

Меридиональная составляющая Д/щ пропорциональна кубу у>
поэтому изображения, расположенные на большом удалении от
оптической оси, будут отличаться от идеальных на значительные
величины.
Отрезок у пространства предметов будет изображаться отрезком
у' ~ у' + Agni = y'po + Agui-

Величина Agni имеет разные значения для различных величин у,
поэтому при наличии в системе Agin масштаб изображения не
является постоянным

(10.120)

В идеальной системе линейное увеличение р0 является посто-
янной величиной, что обеспечивает подобие изображения предмету
для любой пары сопряженных точек, расположенных в плоско-
стях, перпендикулярных к оптической оси. Из (10.120) видно, что
в области аберраций третьего порядка линейное увеличение р
не остается постоянным, а изменяется в зависимости от величины
у или величины полевого угла юь

Вследствие этого изображение не будет подобно предмету.
Аберрация, выражающаяся в том, что нарушается подобие меж-
ду предметом и изображением, называется дисторсией. В от-
личие от других аберраций дисторсия не нарушает резкости изо-
бражения. Так как величина изображения у', определяется ходом
главного луча, то часто говорят, что дисторсия является аберра-
цией главного луча.

Обозначая дисторсию третьего порядка через Аг/пюи принимая
во внимание, что y — (sp — si)tga>i, для (10.119) найдем

Agino= Agin =— ! tg3wi Sv.	(10.121)

Дисторсия Az/ггю пропорциональна коэффициенту аберрации Sy.
Чтобы Ai/hid = 0, необходимо выполнить условие

Sv = 0,

поэтому коэффициент аберрации Sv называют мерой дисторсии.
Системы, у которых исправлена дисторсия, называются орто с ко-
ническим и.

Из (10.120) для относительной дисторсии получим

У1П	=	=L_i.	(10.122)

У	Ро Ро	'

Если р уменьшается при удалении от оптической оси, то р < р0
и Vui < 0- В этом случае говорят, что система имеет отрицатель-
ную или бочкообразную дисторсию. Если р увеличивается при
удалении от оси, то р >р0 и Уш >0 и система будет иметь поло-
жительную или подушкообразную дисторсию (рис. 113).
Учитывая
ка, получим

условия нормировки для дисторсии третьего поряд-

Si 7=— со Az/ию = — У tg3u>iSv;	(10.123)

Si = — со Дуню =--------f tg3wiSv. (10.124)

Рис. 113.

а — изображение квадрата при наличии в систрмр дисторсии; б—отрицательная или бочкообраз-
ная дисторсия Д У2 = У* < 0, 3 < р0; « — положительная или подушкообразная дистор-
сия Дг/D “ у' — у' > 0, 3 > Зе

Искажение прямой линии, вызываемое дисторсией третьего по
рядка, может быть вычислено по следующим формулам (см.
рис. 112):

Дг/пю — Agni = BkBk = р3Аз = (р7^о)3Л5;

Ci Ci = у3 sec3^p45;

D \D\ ~ y3 sec3<p2^5.

В результате вместо прямой в предметной плоскости в плоскости
параксиального изображения получим кривую BkD\. Кривая может
быть построена по точкам и иметь вид, показанный на рис. 112,
если дисторсия положительная.

§ 71. Аберрации высших порядков

В практике расчета оптических систем знание аберраций тре-
тьего порядка оказывается недостаточным, особенно в оптиче-
ских системах с высокими относительными отверстиями и боль-
шими полями. Уже в начальных стадиях расчета оптических си-
стем (при определении конструктивных элементов из условия
устранения аберрации) необходимо вводить либо коэффициенты
аберраций пятого порядка, либо в уравнения аберраций третьего
порядка вводить члены, учитывающие влияние аберраций высших
порядков.
При разложении в ряд функций Fi и F2 число членов разло-
жения пятого порядка определяется числом возможных сочета-
ний у, т{ и Лф. В плоскости параксиального изображения для
предмета в меридиональной плоскости уравнения для меридио-
нальной и сагиттальной составляющих поперечных аберраций
пятого порядка как функций у. т.\ и Mi имеют вид

&g'v = 6/П] (т2 4- Afj)В1 + 4mf (m? 4- Af?) y2B2 + (mf +

4- Af ?) (5mf + ATf) уВз + (3mf 4- Л4?) у3Вл 4- 2mi (2mf 4-

+ ^1) у2&5 + 2/TZiy4 (Be + B7) 4- StnitfBs 4~ У^Вд, QQ 125)
AGv = 6Л41 (mi 4- Al|)2Bi 4- 4M\ (m| 4- ^1) У2В2 4-

4- 4 (m? 4- All) М\т\уВз 4- 2/77|Afiy3B4 4-

4- 2гП\М\у2Вз 4- 2Л4।y*B6,	j

где Blt Вд — коэффициенты аберраций, зависящие от конструк-
тивных элементов системы, положения предмета и положения
входного зрачка. Коэффициенты аберраций не могут быть полу-
чены таким простым способом, как для аберраций третьего по-
рядка, поэтому в практике вычислений ими не пользуются.

Для характеристики аберраций пятого порядка поступают та-
ким же образом, как и для аберраций третьего порядка: прирав-
нивают последовательно все коэффициенты, кроме одного, нулю
и изучают расположение точек пересечения лучей с плоскостью
параксиального изображения. Другими словами, рассматривают
чистые аберрации. Для этой цели более целесообразны полярные
координаты (m, = р cos ф, Л-1 = р sin ф).

Аберрации пятого порядка родственны аберрациям третьего по-
рядка, что отражается, как увидим ниже, в их названии, но встре-
чаются и новые аберрации, которые отсутствуют в третьих по-
рядках.

Первая сферическая аберрация пятого порядка. Положив в вы-
ражениях (10.125) все коэффициенты, кроме В,, равными нулю,
получим

AgV = 6mi (mi-I-M|)2Bi = 6p5coS(pBi; 1

,	О	О	(	-

ДВу = 6М1 (/и2 4- Л4])'В1 = 6р5 sin фВ 1, J
отсюда находим

rv = ]/д/у2+ AGv =6р5В,.	(10.127)

Выражение (10.127) является уравнением окружности радиуса
rv. Окружностям радиуса р в плоскости входного зрачка соответ-
ствуют окружности радиуса гу в плоскости параксиального изоб-
ражения. Следовательно, изображение точки в предметной пло-
скости представляет собой кружок рассеяния радиуса 6р5Вь Раз-
меры кружков рассеяния возрастают очень быстро, так как они
пропорциональны пятой степени р и не зависят от полевого угла,
(10.128)

что приводит к очень быстрому падению освещенности от центра
к краям кружка рассеяния. Центром кружков для точки на оп-
тической оси является точка А&, а для точек вне оси — точка В*
пересечения главных лучей с плоскостью параксиального изобра-
жения.

Вторая или полевая (боковая) сферическая аберрация. Если все
коэффициенты аберраций в (10.125) за исключением В2 равны
пулю, то будем иметь

Agv = 4лИ1 (/и? + Л4|) у2В2 — 4р3у2 cos уВ2;

AGV = 4Л41 (mf 4- Alt) у‘2В> = 4p3r/2sin tyB2.

Радиус кружка рассеяния будет равен

rv = / A/v + AGv = 4:?г/2В,.	(10.129)

Кружок рассеяния представляет собой систему окружностей,
радиусы которых rv пропорциональны кубу радиуса окружности
в плоскости входного зрачка и квадрату величины предмета- Эта
аберрация в отличие от сферической аберрации третьего порядка
и первой сферической аберрации пятого порядка отсутствует в
точке на оптической оси системы, так как при у = 0

Agv = AGV = 0,

т. е. имеет место только для точек вне оси.

Первая кома или кома пятого порядка по отверстию. При
В\ — В-z = 0 и В4, .... Bq = 0 имеем

Afiv = (ffif + Ml) (5т2 J- Alij уВз = p4(3 -f- 2 cos2<p)yB3;

AGV= 4m\Mi (m2 + A4i) уВз = 2p4 sin 2фрВ3.

(10.130)

Из (10.130) видно, что кома пятого порядка по отверстию пропор-
циональна четвертой степени радиуса р окружности в плоскости
сходного зрачка (четвертой степени апертуры) и первой степени
величины предмета (первой степени полевою угла).

Напишем (10.130) в виде

Доу — 3p4yS3 — 2э4р cos 2бВ3;
AG'v = 2р4у sin 2<рВ3,

отсюда

о

(Agv - ЗсАуВз)2 + AGV = (2р4уВз)2 = г%.

(10.131)

(10.132)

Фигура рассеяния при коме пятого порядка по отверстию, как
и при коме третьего порядка, представляет собой ряд окружно-
стей, радиусы которых Гу = 2р4уЯз пропорциональны четвертой
степени радиуса р (апертуры), при этом центры окружностей рас-
положены па расстоянии Зр4уВ3 = 1,5гу от точки В' (параксиаль
ного изображения внеосевой точки), и располагаются эти центры
в меридиональной плоскости. Касательными ко веем окружностям,
образующим фигуру рассеяния, являются, как и в коме третьего
порядка, две прямые, образующие с меридиональной плоскостью
углы в 41°48'37,1". Вся энергия сосредоточена в пределах угла
83°37'14,2", при этом наибольшая ее часть находится в маленьком
ярком пятне около точки В* и очень малая часть — в быстро рас-
ширяющемся хвосте.

Вторая или полевая (боковая) кома пятого порядка. При В\, ...,
Вз — 0 и В5, . . Во = 0 на основании (10.125) будем иметь

Ag'v = (3т(+ Л4() у:,В4 = р2(2-j-cos 2ф)у3В4; |
AGV = 2ш\М\у-'ВА ~ p2y3sin 2фВ4.	j

Сравнивая (10.133) с уравнениями для комы третьего порядка
(10.69), видно, что фигура рассеяния, образованная полевой комой,
остается такой же, отличие состоит в размерах окружности. Со-
ставляющие аберрации A^v и AGV пропорциональны кубу величи-
ны предмета (у3), а не первой степени, как это имеет место в
коме третьего порядка. Это видно из уравнения

(Ag'v - WB.)2 + AGv = (pVB4)2 = r2v,
т. e. радиусы ry окружностей в плоскости параксиального изобра-
жения возрастают пропорционально кубу у, при этом центры ок-
ружностей смещены от точки В* на величину 2rv = 2p2t/3B4 и
касательные к окружностям, образующим фигуру рассеяния, со-
ставляют с меридиональной плоскостью углы ±30°. Вторая (по-
левая) кома пятого порядка добавляет свой эффект к коме тре-
тьего порядка, не меняя вида и распределения кривых, а меняя
только размеры.

Птера или крыловидная (крылообразная) аберрация. Эту абер-
рацию называют также кривизной высшего порядка. При Вь ...,
В4 = 0 и Вз, . . ., Вя = 0 из (10.125) получим

kgv = 2т । (2т] + /И i) //2BS = 2p3t/2 cos ф (1 + cos2d) B5; L w }

AGv — 2Щ]Л41у2В5 = 2p3t/2 cos2<p sin фВ5.	J

Эта аберрация, как и вторая сферическая, пропорциональна
квадрату величины предмета (полевому углу). Для меридиональ-
ной плоскости (Л41 =0) имеет место только меридиональная состав-
ляющая A/v, а для сагиттальной плоскости (zni = 0) Agv — AGV =
= 0, т. е. все лучи сагиттальной плоскости пересекают плоскость
параксиального изображения в одной точке В'г. При изменении
угла ф (mi и АД =£0) от 0 до 2<г фигура рассеяния представляет
собой семейство крылоподобных кривых, описываемых точкой пере-
сечения луча о плоскостью параксиального изображения. При
В.-. > 0 луч пробегает кривую по верхней петле, затем описывает
зеркальное отражение петли ниже горизонтальной оси (оси AGV)
(рис. 114, а). При изменении р получается семейство подобных
фигур, имеющих пару общих касательных, проходящих через
точку В[ и образующих с меридиональной плоскостью углы, рав-
ные sin а — 1/3, а = 19®28'16,4". Угол 2а заполнен светом вверх и
Рис. 114. Фигуры рассеяния
аберраций пятого порядка, от-
сутствующих в третьих поряд-
ках:

а — птера или крыловидная аберра
ция; б — еагитта инн стреловидная
аберрация



вниз от точки В'ь, но неравномерно; свет быстро рассеивается по
мере удаления от центра фигуры, так как Ag'v и AGV пропорцио-
нальны р3. Эта аберрация не имеет себе аналогов среди аберраций
третьего порядка.

Астигматизм и кривизна поля изображения пятого порядка.
Если все коэффициенты аберраций, кроме и В7, равны нулю,
тогда

Д/v = 2m iу4 + В7) 2р t/4 cos ф (В6 + В7); \	(10 135^

AGV = 2М\у4Ве. = 2pt/4sin *

Из уравнений (10.135) имеем

Д£у 2 . Г А0У 2_ ।

_ 2pj/4 (Вв В7) _	L2p?/4Be.

(10.136)

Фигура рассеяния, как и в случае
астигматизма и кривизны поля изо-
бражения третьего порядка, пред-
ставляет собой семейство эллипсов
с осями

2а — 4pt/4 (В6 + В7);

2Ь — 4р1/4Вб,
пропорциональными четвертой сте-
пени у. Коэффициент В7 является
коэффициентом астигматизма пятого
порядка, так как при В7= 0 2а = 2Ь
и фигура рассеяния будет представ-
лять собой окружность.

Сагитта или стреловидная
(штриховая) аберрация. Эта абер-
рация называется также дисторсией

Если только коэффициент Вц не равен нулю, то в соответствии
с (10.125) будем иметь

Agv = Зт2у3В» — 3p2g3 соз2фй-;

AG'v = 0.

Эта аберрация не зависит от координаты М> и пропорциональ-
на квадрату т\. Фигура рассеяния представляет собой прямую
линию, длина которой (Agv) очень сильно возрастает по мере уда-
ления от оптической оси, так как пропорциональна кубу у
(рис. 114,6). Один коней линии совпадает с точкой параксиаль-
ного изображения В^ и располагается □ меридиональной плоскости.
Эта аберрация также не имеет аналогов среди аберраций третьего
порядка.

пятого

по отверстию.

(10.137)
Дисторсия пятого порядка по наклону (боковая). Эта аберрация
определяется коэффициентом В9, если другие коэффициенты будут
равны нулю, т. е.

A£v =

kG'v = 0.

Дисторсия пятого порядка не зависит от координат т\ и М\
и пропорциональна пятой степени величины предмета у, поэтому
является аберрацией главного луча. Как и в случае аберраций
третьего порядка, изображение точки будет точечным, но смеща-
ется в меридиональной плоскости на величину Ag'v от параксиаль-
ного изображения Bk.

Все перечисленные выше аберрации пятого порядка в чистом
виде не встречаются. В действительности имеют место аберра-
ции третьего, пятого и более высоких порядков, которые более
или менее искажают своим влиянием аберрации третьего и пя-
того порядка. Истинные фигуры рассеяния в плоскости изобра-
жения имеют довольно сложный вид, о которых нельзя судить
по кривым для отдельных аберраций; они быстро меняются с
изменением положения точки в предметной плоскости у и отвер-
стия системы о.

Таким образом, в области аберраций третьего порядка суще-
ствует по одной аберрации пяти различных типов. В области
аберраций пятого порядка имеются две сферические и две комы
и появляются две новые аберрации — птера и сагитта. В седьмых
порядках обнаруживаются еще две новые аберрации. Одна из них
представляется выражением

Agvi I == Р4У3 [3 + 2 cos2<p ] соз2<рВ1з;

AGvn = 2р\у3 sin ф cos3^Bi3.

Эта аберрация представляет собой однолопастную кривую,
растянутую в меридиональной плоскости и имеющую острие в
точке Bk (рис. 115,а), и носит название моноптеры.

Вторая новая .аберрация седьмого порядка представляет от-
резок, расположенный в меридиональной плоскости, средняя точ-
ка которого совпадает с точкой Bk. Эта аберрация называется
бисатиттой (рис. 115,6). Она определяется уравнениями

Agvn == 4р3у4 соэ3фВ 14;

AGvn — 0.

В более высоких порядках новых аберраций не появляется. Сле-
ловагсльно, имеется всего девять типов различных аберраций.
В каждом порядке имеется одна сферическая аберрация, не за-
висящая от величины предмета. Остальные сферические аберра-
ции зависят от четных степеней у и нечетных степеней о, т. е.
они имеют место только для предметных точек, расположенных
вне оси. В каждом порядке, начиная с третьего, имеется по одной

(10.139)

(10.140)
аберрации типа астигматизма и кривизны поля изображения, ко-
торые зависят от первой степени р (апертуры). Во всех порядках
имеется по одной дисторсии, не зависящей от апертуры. Начиная
с аберраций седьмого порядка, в них имеются все девять типов
аберраций.

Коэффициенты В],..., В$ аберраций пятого порядка, не говоря

уже об аберрациях более высоких порядков, имеют

очень слож-

ный вид, поэтому нет смысла их
вычислять. Следует учитывать так-
же, что в тех случаях, когда абер-
рации пятого порядка довольно ве-
лики, будут велики и аберрации
более высокого порядка, вычисле-
ние которых по формулам разло-
жения практически невозможно.
Поэтому знание только коэффи-
циентов аберраций пятого порядка
мало принесет пользы.

Из рассмотренных так называ-
емых «чистых» аберраций можно
сделать следующие выводы. Опти'
ческая система, обладающая толь-
ко аберрациями третьего порядка,
дает совершенное изображение
предметной плоскости, перпенди-
кулярной к оптической оси, при ус-
ловии, что все пять коэффициентов
аберраций равны нулю или имеют

ат

малые величины, т.

S( 0, Sin 0,

Sn^O, Siv~0,

е.

Sy ~ 0.

Рис.. 115. Фигуры рассеяния
аберраций седьмого порядка,
отсутствующих в третьих и пя-
тых порядках:
а — моноптера: б — бисагитга





-4

При этом система будет апланатической, анастигматической и
ортоскопичсской. Для изображения точки, расположенной на оп-
тической оси, имеет значение только сферическая аберрация; что-
бы изображение точек, расположенных на сравнительно неболь-
шом расстоянии от оптической оси, было резким, необходимо
устранить сферическую аберрацию и кому, следовательно, Si
и	для точек расположенных на значительном расстоянии

от оптической оси резкость изображения зависит от сферической
аберрации, комы, астигматизма и кривизны поля, поэтому коэф-
фициенты Sj, Su, Shi и Siv должны иметь малые значения. Если,
кроме того, система должна быть ортоскопической, то и коэф-
фициент аберрации Sv должен иметь малую величину.

§ 72. Вычисление аберраций

Сферическая аберрация Для вычисления сферической аберра-
ции для точки на оси необходимо рассчитать ход первого парак-
сиального луча и ряд действительных лучей. В результате расчета


О IV Jp'.,

Рис. 116. График сфе-
рической аберрации

определяются координаты s’k и s’k, разность которых даст продоль-
ную сферическую аберрацию

△Sfc = s’k— Sk.

Сферическая аберрация вычисляется для следующих координат
во входном зрачке: при малых относительных отверстиях

ffii/2 = |zl/2Z)/2, mKp^-D/2;

при средних относительных отверстиях

тиз = J/TT3D/2, /722/3 = /273Z7/2, ткр = D/2;
или

тi/2 = VM2D/2, т3/4 = V3/40/2, mKp == 0/2;
при больших относительных отверстиях

mI/4 = /1740/2, mw = /1720/2,
т3/4 = V3/40/2, ткр = D/2.

Ход лучей рассчитывается для заданных
длин волн Х|, ко, Хг. По результатам расчета
определяется для заданных зон и края вход-
ного зрачка сферическая аберрация, которая
представляется в сводках и графиках. При
графическом представлении по оси ординат
откладываются высоты mi, или величины

102 tg / а по оси абсцисс — величины As^ (рис. 116). На этот гпжбик
наносятся также кривые для Xi и Хг, поэтому его называют гоа-
Жиком сшерохроммтачн-кпи иигриашт. гаснет лида лучей ручным
способом (т. помощьги микрокалькуляторов типа «Электроника»)
производится по формулам (8.5) и на ЭВМ по формулам Федера (8.17).
Если известно значение сферической аберрации третьего по-
рядка, то разность As* и Д$ш дает величины сферической абер-
рации высшего порядка для точки на оси

△Sbii — Ajfc Sui.

В Д$вп входят все сферические аберрации для точки на оси, на-
чиная с пятого порядка.

Одновременно с вычислением продольной сферической аберра-
ции определяется отступление от условия синусов и изоплана-
тизма по формулам (10.86), (10.88), (10.90), (10.91).

Если вычислены сферические аберрации для различных зон
и края входного зрачка, то легко определить для этих же зон
и края сферическую аберрацию третьего, пятого, седьмого и де-
вятого порядков, т. е. установить влияние аберраций высших по-
рядков для данного типа системы.
Допустим, определены сферические аберрации для зоны 1/2 0/2
и края зрачка, тогда по формулам для зоны

Afi] 11 1/2 = 2AS1/2-AsKp',

&Sy 1/2 == — △Si/2 +
и края

△su 1кр = 4A$i/2 — AsKp;

Дхукр — — 4Asi/2 + 2AsKP
легко вычисляются сферические аберрации третьего и пятого по-
рядков.	___ ______

Если же рассчитаны три луча для зон У1/2, |/3/4и края, то
можно вычислить аберрации третьего, пятого и седьмого поряд-
ков; при расчете лучей для зон У1/4, V 1/2, УЗ/4 и края абер
рации вычисляются вплоть до девятого порядка.

Аберрации главных лучей и бесконечно тонких пучков. Имеется
группа аберраций, зависящих от полевого угла. К этим аберра-
циям относятся астигматизм бесконечно тонких пучков и кривизна
поля изображения, дисторсия и хроматизм увеличения, о которых
говорилось выше. Для определения положения меридионального
и сагиттального изображения используются уравнения (8.6) для
узкого астигматического пучка лучей.

В результате расчета определяются координаты Zm и zs и ас-
тигматизм вдоль оптической оси
(Zs- - Zm).

Астигматизм и кривизна поля
изображения определяются для
разных значений полевого угла «ц.
При графическом представлении
астигматизма и кривизны поля по
оси абсцисс откладываются коор-
динаты zm и Zs, а по оси орди-
нат - полевые углы u>i (рис.117, а).

Координаты zm и г, для абер-
раций третьего порядка опреде-
ляются по формулам (10.123) пли
(10.124).

Так как конструктивные эле-
ментвг «истемы известны, то не

представит труда вычислить координаты гт и zs третьего порядка
и найти разности

AZzr, — Zm — Zm 111;

Az. = z.~ z-m,
а также

(zi — Zrn)  (z -- Z,;)ui
i тем самым определить влияние аберраций высших порядков и
"ОЛЩИН линз.

Если, например, подставить в формулы для аберраций третьего
торядка значения zm и zs , то можно определить коэффициенты
jhi и Sjv и, сопоставив их с коэффициентами, вычисленными по
нормулам аберраций третьего порядка, установить, насколько они
оответствуют заданным значениям и Siv для тонкой системы.

Рис. 118. Ход широкого наклонного пучка лучей через систему

дисторсия из расчета хода лучей определяется как разность
юординат

Дур = ? - у',	Ю0(%),

де у' — величина изображения по главному лучу, равная у'=
~(sP'—s*) tg <о*; у' — величина параксиального изображения.

При графическом представлении дисторсии по оси ординат ог-
ладываются углы а по оси абсцисс — Д//о или ^yoly' в %
рис. 117, б).

Вычислив дисторсию третьего порядка по (10.123) или (10.124)
I взяв разность

Дуовп — Ауо — Дуню,
зайдем влияние дисторсии высшего порядка.

Аберрации для точки вне оси. Для характеристики аберраций,
образованных широкими пучками лучей выходящими из точки,
расположенной вне оптической оси, поступают следующим обра-
зом (рис. 118). Рассчигыааегся ход лучей для тех же координат
зо входном зрачке, что и для сферической аберрации, и для раз-
ных значений <oj. Например, при малых относительных отверсти-
ях рассчитываются лучи для координат:

ткр — D/2-,

= /1/20/2;

mo = 0;

mi/2 = — /1/20/2;

mKP = — 0/2

1/2<ЮJj

<»кр = <°1,



в меридиональной плоскости. По результатам расчета хода лу-
чей определяются величины изображений у' для верхнего глав-
ного и нижнего лучей в плоско-
сти параксиального изображения

уъ = (sb — S&) tg wD;

Г/r = («г — «*) tg <or;
y 'a = (sh —s'K) tga>„.

По значениям у' находятся вели-
чины Ду', характеризующие от-
клонения точек пересечения верх-
него и нижнего лучей относи-
тельно главного луча,
Дув — Ув	У г',

&Ун — Ув Ус-

Расчет хода лучей произво-
дится для основной длины волны
л0 и длин волн Xi и Хг- Сумма
отрезков Дув и Дун Дает прямую

рассеяния в меридиональной плоскости, причем эта прямая вклю-
чает в себя все аберрации широкого наклонного пучка. Другими
словами, она включает в себя все аберрации третьего, пятого и
более высоких порядков наклонного пучка лучей. Величины Ду'
представляют собой не что иное, как меридиональные составляю-
щие для верхнего и нижнего лучей, т. е.

Рис. 119. Графическое представление
аберраций широкого наклонного пуч-
ка лучей

Дув — Д^в, ^Ув — Д^н-

При графическом представлении аберраций наклонного пучка
лучей по оси ординат откладывают величины 102Д tgio' или mi, а
по оси абсцисс— Ду' (рис. 119).

Рассчитывается также ход лучей из точки вне оси в сагитталь-
ной плоскости (чаще всего для систем с большими относитель-
9 1-448	257
ними отверстиями и большими полями) для координат М во вход*
ном зрачке, причем принимается

Мо = 0;	____

Л41/2 = /T72D/2; 01/2 7 1 ‘/ZU,max;

Л1кр = £>/2	°s Штах'

Координаты Л41 со знаком мину^ не берутся, так как лучи в са-
гиттальной плоскости идут симметрично относительно главного
луча (углы падения на поверхность одинаковы по абсолютной ве-
личине).

В результате расчета хода лучей в сагиттальной плоскости
определяются координаты Ly' = bgk = y' — у', х' = &Gk, причем
координата — AGfc = AG*. Известно, что в области аберрации тре-
тьего порядка для сагиттальной плоскости при т\ = 0 имеет место
только меридиональная составляющая, а AG* = 0, однако влияние
аберраций высшего порядка (в частности, сферической аберрации,
астигматизма и кривизны и др.) приводит к тому, что будет иметь
место и сагиттальная составляющая. При расчете хода лучей с
помощью ЭВМ обычно плоскость входного зрачка делится па кольца
одинаковой площади. Из центра Р проводится несколько прямых,
образующих между собой равные углы, например 15, 30 или 45°.
Через точки пересечения окружностей и прямых рассчитываются
лучи, выходящие из точки предмета вне оси. В результате рас-
чета получают ^g'k и &G’k для каждого луча, по которым строят
кривые, характеризующие фигуры рассеяния. Такое графическое
представление требует расчета большого числа лучей, но оно
весьма желательно для изучения качества изображения точек,
близких к краю поля, в системах с большими апертурными
углами.

§ 73. Волновые аберрации

Большинство оптических систем, имеющих практическое при-
менение, обладают остаточными аберрациями. Наличие в системе
аберраций приводит к тому, что любая точка предметной плос-
кости изображается не в виде точки, а в виде пятна рассеяния
определенного диаметра. Размеры кружков рассеяния дают неко-
торое представление о качестве изображения, так как по их вели-
чине можно судить о разрешении системы.

Для более полной характеристики качества изображения, кро-
ме геометрических аберраций, необходимо знать функцию пере-
дачи контраста и во многих случаях распределение освещенности
в пятне рассеяния, которые зависят от волновых аберраций. Кроме
того, качество изображений многих систем, имеющих сравнитель-
но малые относительные отверстия и небольшие полевые углы,
может быть оценено с достаточной достоверностью волновыми

аберрациями.

Если система является идеальной, т. е. свободной от аберра-
ций, то волновая поверхность в пространстве изображений имеет

сферическую форму. При наличии в системе аберраций волновая
поверхность деформируется. Отступление деформированной

волновой поверхности от сфери-
ческой называется волновой
аберрациейУУ (рис. 120).

Связь между волновой абер-
рацией и геометрическими абер-
рациями характеризуется при-
ближенной формулой

*4

mk	Mk

J ^g'kdm'k + у ^G’kdM'k
.о	о

Рис. 120. Связь еоставляющих абер-
рации ле'ь и о волновой абер-
рацией М

е 0 — сферическая волновая поверх
ность — сфера сравнения; «' — деформиро-
ванная — реальная волновая поверхность
СА^« — нормаль в идеальной волновой
поверхности —оферы сравнения

I, для меридиональной и сагит-

(10.141)

где R' — радиус кривизны сфери-
ческой волновой поверхности (сфе-
ры сравнения), который может
быть принят равным р' = — (sp—
— Sk) — расстоянию от плоскости
выходного зрачка до изображения.

Волновая аберрация третьего

порядка, исходя из формул (10.26)
тальной составляющих будет равна

Nni=- A^l(/nfe2+X2)25i — (т* + Mk)mkySn +

+ ^т;У(35и| + PSIV) + -L^(S11I +I2Slv)-/n^Svj, (10.142)
где

2< « - № ’

После введения полярных координат (тк — p'cos'{;, Af* = p'sin<p)
будем иметь

/V (11 = —	4* р,45( — р,3г/ cos и + Ф p,2g2 cos2<p (3Si j j 4- 12S iv) 4-

+ | P'V sin2<p (S1H + I2S !V) - pV eos ф5v].	(10.143)

В уравнениях (10.142) и (10.143) принято i»^l, Pi« 1, 1 =
— niai (sp — Si), rti = aiSi.

Волновые аберрации для точки на оси. Волновая аберрация
наиболее просто определяется для точки на оптической оси. Для
меридиональной плоскости

dN т Agidm’i,.
Считая, что ось у' совпадает с плоскостью выходного зрачка,
dN т = ^7 ^gkdy'.	(10.144)

Для точки на оси, согласно рис. 121, принимая, что
st NkBk = R' и <3k = ак, имеем

у' — bg'k = R' sin ak « R'ak;

y' = R'<3k + ^gk’,
dy' = R'dak,

Переходя к продольной сферической аберрации, получим
dNm = Astaido*
и
°А

= S	(10.145)

о

Продольная сферическая аберрация может быть представлена
в виде ряда:
Дпь	/4	/6

Asfe =—г =	4* bch 4- со* 4" dak 4~ •.(10.146)

где a, b, в и d—коэффициенты аберраций третьего, пятого, седь-
мого и девятого порядков. Подставляя (10.146) в (10.145), будем
иметь

.4	,6	,8

Nт = J (воь 4* bai, 4- cak 4- dak 4- • • •) akdaii —
n

ak

J/	«5	f'i	*9	v t

(Gc^ 4- ba/г 4~	+ da& 4" • • •) dak.

(10.147)
Интегрируя (10.147), получим

N т =-^ а^ 4- "g" b^k ~r c<3k 4* jo d^k ....	(10.148)

Обычно плоскость, в которой качество изображения является
наилучшим, не совпадает с плоскостью параксиального Изобра-
жения. Такая плоскость, как уже указывалось, носит название
плоскости установки. Допустим, плоскость установки смешена

а — продольная вферическая аберрация в положение плоскости установки! б — определение
волноввх аберраций для плоокоатн уатаиовки ОВ

относительно плоскости параксиального изображения на величи-
ну Д (рис. 122, а), тогда

As* = As* + A, As* = As* — A,

где As*— продольная сферическая аберрация системы относительно
плоскости установки.

Волновая аберрация в плоскости установки в соответствии с
(10.145)

~ , °k , 1

Wm=f As*da* = f(As* — A)da* = AfOT— у Ac*. (10.149)
о	о

Добавочный член Да*/2 в (10.149), вызываемый смещением плоскости
изображения (дефокусировкой), имеет большое значение. Выбором
величины А можно добиться перераспределения как геометриче-
ских, так и волновых аберраций и тем самым улучшить распре-
деление энергии в пятне рассеяния и повысить качество изобра-
жения.

Волновые аберрации для точки вне оси. Исходя из (10.142) и
(10.143) для волновой комы третьего порядка, имеем

A71U — k'mk(m'k+ М?) yStl = k'p i/cos^Sn. (10.150)
Волновой астигматизм и кривизна поля изображения

1	»9	/2

Л^П) = — у k'y2 [тк (3S111+ 12Si v) + Mk (S’1 и + I2S । v)1 ~

= - 4 <t/2(cos^ (3SIH + I2Siv) + sin2<p (Sui + I2SIV)]. (10.151)

Волновая кривизна Пецваля (Snr = 0)

ЛГП1 =-	k'y2 (т* + M;2)I2Siv = -y fe'P'2!/2I2SiV.	(10.152)

Волновая дисторсия третьего порядка

Л/in = k'm'ky3Sv = fe'p'y3 cos<}>Sv,

(10.153)

где

k' — 1/(2/?' (sp* — Sfc)4nJ-

Волновая аберрация для внемеридиональных лучей может быть
вычислена с помощью ЭВМ одновременно с рачетом хода лучей.
Волновая аберрация может быть представлена как разность опти-
ческих путей между двумя сферами сравнения: одной в простран-
стве предметов и другой в пространстве изображений для разных
лучей. Как известно, оптический путь есть функция координат
луча, выходящего из точки вне оптической оси. Если из оптичес-
ких путей, соответствующих различным лучам, вычесть оптический
путь для любого другого луча, например для главного, то получим
волновую аберрацию для этих лучей, т. е.

N — Ьк — L-n,

(10.154)

где L* — оптический путь для любого луча, Ln — оптический путь
для главного луча. (Обычно координата точки B'k, равная у', вы-
числяется для главного луча). При этом выбор сферы сравнения
в пространстве изображения влияет на результаты вычислений, и
она должна располагаться в бесконечности (/?' = оо).

При бевконечно большом значении /?' оптический путь для
любого луча может быть вычислен по формуле

Р-Н

flkdk—I
b=l

Xj.(+ + 1)	\ X*

nfe+l

-----------------------+ (u.b+ I+ Va-l-I Д<а),	(10.155)
где X, [л и v — направляющие косинусы, dk—расстояние между
преломляющими поверхностями k и £+1; гк — стрелка прогиба
(абсцисса точки пересечения луча е поверхностью). При этом

do = — Si, dD — s&.

По формуле, аналогичной (10.155), вычисляется путь Ln, только
все значения берутся для главного луча.

Вычисление волновых аберраций. Вычисление волновых аберра-
ций с помощью микрокалькуляторов для внемеридиональных лучей
представляет определенную сложность, поэтому в большинстве
случаев для предварительной оценки системы они определяются
для точки на оси, т. е. по известным значениям продольной сфери-
ческой аберрации для различных зон входного зрачка.

Допустим, требуется определить волновые аберрации системы,
включая третьи и пятые порядки. Для этого необходимо рассчи’
тать ход лучей для зоны т, = тцч = ]/ U2-^~ и края /пкр= D/2
входного зрачка. Уравнения для сферической аберрации зоны и
края отверстия имеют вид

,	,2	*4

ASi/2 =йО|/2 + 6<*1/2 = △$!!! 1/2 + ^Svi/Si
,	/2	«4

Д$кр “ &3кр + Ь°кр = А$Шкр “F △Svkp*

Учитывая, что : /икр = Kl/2 : 1 = 01/2 : акр и <з\/2 = К1/2акР,
получим

'	1	'2	1 L '4

Asi/2 ~ оакр 4~

,	,1	.4

Д$кр № кр “F ^Окр*

Из расчета хода лучей известны Asj/Z, As^p и а«р, поэтому мо-
гут быть найдены коэффициенты а и Ь, а также Дэ'ш 1/2, △sVi/2,
Asuikp и As'vkp по формулам

Asin i/2 = 2Дз|/2--AsKP;

Asv i/г = — Дв1/2 + у AsKp;

Asin кр в 4Д51/2 Дэкр;

△$Укр ==	4Д$|/2 "4* 2Д5кр.

Для волновых аберраций зоны и края входного зрачка на ос-
новании (10.148) можно написать

1	'4	1 'в Г 1	1	, -I ,2

Af 1/2 =	001/2 + "g- Й01/2 =“ "з Asi/2— Дзкр С]/2;

|	.4 J	Г J	|	, 1 ,2

Укр ООцр -g"	I Ail/; -J- Дькр I 0кр.

Выража'я ct,2 через <зкр и волновые аберрации в длинах волн,
найдем

У./i/X «J 6 Д51/2	48ДхкР^-у-;

л/Лр/х =[у as;, + т^Чр]-^. ,

(10.156,
Если же рассчитать три луча [«ь-з =/1/Зу; т2/з —

~ то	аналогичным путем волновые аберрации с точ-

ностью до седьмого порядка

.2

Л7i/з/Х = [0,694Д5кР — 3,472Дз'2 з + 13,194Д31'/3]

,2

Л72/з/Х = [0,556Дз2/3 + 22,222Дз'1/3]

10 л

,2

Л\РА = [6,250Д5;р+ 18.750Д52/3 + 18,750Д5'1/3] Д*-.

I 0 а

В том случае, когда лучи рассчитаны для зон К1/2

,2

Nl/2ft = [4,167Д$;Р — 16.667AS3/4 + 29,167As'i/21

(10.157)

и 1^3/4:
1

/2

Л^з/4А = [3,516Д$кр

— 9,375Дз3/435,156Д<?1/2]	(10-158)

104Х

,2

1VKPA = [8,ЗЗЗД5'Кр + ЗЗ.ЗЗЗД5'1/2]

В том случае, когда рассчитан ход четырех лучей, волновая
аберрация вычисляется с точностью до девятых порядков по фор-
мулам:

.2

ЛА/4А = [_О.ЗЗОДз'кр + 1,840Д53/4 —4,583Д5'1/2+ 11,215Дз']/4) -Др
ю л

/2

ЛГ1/2А = [—0,139Д8кР + 0,556As3/4 + 3,ЗЗЗД51/2+ 17,222ДзЬ4]

10 л

/2

Л^3/4/Х = [—0,469Д«кр + 6,562Д5з/4 +11.250Д31/2 + 15,938Д31'/4]

10 Л

,2

NKp/\ = [—3,889Д5«р + 17,778Д53/4 + 6,667Дз'1/2 + 17,778Дз'1/4]-^-.

(10.159

Волновые аберрации, вычивленные по формулам (10.156)—
10.159), относятся к плоакости параксиального изображения дл?
(основной длины волны Х8. Волновые аберрации, отнесенные к плос
коати установки, вычиоляютая по (10.149), т. е.

4 =	00.160
Для определения N предварительно необходимо найти величи-
ну А, характеризующую положение плоскости установки относи-
тельно плоскости параксиального Изображения. При выборе плос-
кости установки обычно пользуются графическим методом. После
вычисления волновых аберраций строится график зависимости ЛДк
от аргумента а'2 (рис. 122, б) Через начало координат проводят
прямую так, чтобы отклонение кривой от нее, измеряемое в нап-
равлении оси абсцисс, было бы наименьшим по абсолютной вели-
чине. Эти отклонения дают значения волновых аберраций при но-
вой сфере сравнения, смещение центра которой относительно плос-
кости параксиального изображения определяется направлением
прямой. С графика снимается величина отрезка I, который в мас-
штабе N/к соответствует изменению волновой аберрации для
крайнего луча при смешении плоскости установки.

Из. рис. 122, б имеем

-^• = 4 + /.	(10.161)

Сравнивая (10.161) с (10.160), найдем величину смещения плоскости
установки

Д =2-4-

°кр

Затем вычисляются волновые аберрации для зон и края входного
зрачка по формуле (10.160) и строится новый график волновых
аберраций. При вычислении волновых аберраций As' и X берут-
ся в мм.

В тех случаях, когда координаты точек пересечения с плос-
костью входного зрачка не соответствуют принятым для расчета
правилам и приведенным выше формулам, чертят график Д«л, как
функции а'2 и снимают с него нужные значения Дз'.
Глава 11.

МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ СИСТЕМ
ИЗ ТОНКИХ КОМПОНЕНТОВ И ПРОСТЫХ СИСТЕМ

§ 74. Коэффициенты аберраций третьего порядка
системы из тонких компонентов

Оптические системы состоят из отдельных частей, число кото-
рых может колебаться в довольно широких пределах. Практиче-
ски для большого класса систем части ее можно считать беско-
нечно тонкими компонентами. Замена реальных частей системь
бесконечно тонкими компонентами представляет большие удобст-
ва, так как позволяет в значительной степени упростить расчеп
большинства оптических систем.

Для тонкого компонента в воздухе выражения, входящие е
уравнения (10.36), можно представить в виде

(11.1)

где

I

«.= ££-	(11.2)

1

Учитывая (11.1) для коэффициентов аберраций (10.36) системы,
состоящей из р тонких компонентов в воздухе при = 0, т. е. для
сферических и плоских поверхностей, получим уравнения

р	р	р

S, = I	A A, Su	= У	yiPi-i	£	Wr,

i—i	i»l

pup
__	2	__

i«= |	(MS j	(= I

p

Siv = У Ф.жд

I

(П.З)
Для тонкого компонента в воздухе h\ = Л2 = ... = hi, у\ <= yi =

~	= yi, поэтому

S^hiPi, Su^y/Pi — lWf,

SM = ~ Pi -2I^-Wi + РФ(, SIV = Ф^;

J J У-	<lh5)

5v=^p‘~31^+V12,b^3 + ^;

«$vi = У? ip‘‘

Уравнения (11.3) и (11.5) являются основными для расчета опти
ческих систем, состоящих из бесконечно тонких компонентов и бес-

конечно тонких линз.

Если предмет находится на конечном расстоянии, то, учитывая <•
условия нормировки (9.52),

5i = PoSiPij

5ц =s„Pi — Ms₽ — si)^;

S!lt = Л - 2 (sp - S1) f - Wi + ₽o (s₽ - Sly

Posl	I	4	*1

(11.6)
Для предмета в бесконечности в соответствии с (9.55)
5Г = РГ, =s₽Pf+ WT;

SHi = s‘P,“ +2spW7 + l, SIV = r,-;

S v = s3pP? + 3s2 WГ + sp (3 + c£);

Svi = PiP'(Sp=1>0).

В частном случае, когда плоскость входного зрачка совпадает с ком-
понентом (sp = 0, yt — 0), уравнения (11.6) и (11.7) напинутся
в виде

81 Ф — со

Si = poSiP/, S и = poSi Wt\

5ni = po(l—₽o)si, Siv = о ° с/;

Posi

Sv = 0, Svi = 0;

8] — — co

sr = Pi”; sn =

Shi = 1,0; Siv=c£;
'Sv — 0; Svi = 0,

(П.8)

(11.9)

Из приведенных формул видно, что коэффициенты аберраций
третьего порядка зависят от параметров Pi, так как при за-
данном положении предмета и входного зрачка h\ и у\ являются
постоянными величинами, оптическая сила компонента также по-
стоянна.

§ 75. Аберрации третьего порядка тонкого компонента

Сферическая аберрация. Для тонкого компонента в воздухе при
$j =£ — оо сферическая аберрация определяется уравнением (10.52),
т. е.

•	1 /Л,\2

Ssni = ——) Si,
2 \sa /

(11.10)

где

	{ 8а \ 2 / а \ s^htPi, Pi=	(li-и)  vmI \ Л / *
Так как = а,-, то	для тонкого компонента при at = 1 hi — a^Sk = ай =  *$I = S^P i == СцР  . .	1 If, „	1 *? „	(Н.12)  Asm =	—Г Pi ~	g- —г Р1.  2	2 а1
В (11.12) величина Sk или di, если использовать формулу Гаусса,
может быть выражена через f. Известно, что

а.1 — а/ = hi/f = ata-df,
откуда

сц — / --— •

\ at )

Учитывая условия нормировки (а/ = р0, dt = 1),

а.:=Г(1-М.

поэтому

'	I Л? / t \

(11.13)

Для предмета в бесконечности (di — f и Зо = 0)

Л2	т2

^н=-±-±-Р7=-±-±Р?.	(11.14)

Сферическая аберрация в выходном зрачке. Для тонкого компо-
нента в воздухе согласно (10.83) имеем

Коэффициент аберрации SVi вычисляется при нормировке (10.82)
₽1 = 1, у = 1, Sp = 1, поэтому

Дзшр' =	2 ?o₽sp Pip'-	(11.16)

Сферохроматическая аберрация определяется урав-
нением (10.85)

где

Sex = Six, — Sixt, Six, = dPtr.^ S^, = hiP^.
Для тонкого компонента в воздухе при s( 4= — <х>
' Sex = (Ра, - Ра,) = 4 (Ра, - Ра,),
A(AS')U1 = ±h-(Pa,-Pa,)-,
sk

(11.18)

при S| = — со
i.2	„2

Л Us') ш = у 7" № - p‘“.) = 77 № ~ Pa,), o 1 •19)

Меридиональная кома. Для тонкого компонента в воздухе
и si =£ —со в соответствии с (10.98)

Кш =— yf-т") tg(»iSH=——г) tgioiSu. (11.20)
\sk J	\ai J

где

Si। — yiPi — IU7; = SpPt— Po(sp — S|) W{.
Еели предмет находится в бесконечности, то

Когда входной зрачок совпадает с компонентом (s₽ = 0),

S1 =# — СО Sn = PoSl^z;

2

KiH^-y^-tgonlTz;

* s iPo

(11.22)

(11.23)

6) = — co SH = ^7,

Для устранения меридиональной комы при sp = 0 необходимо
выполнить условие 5ц = 0. Это условие выполняется только в том
случае, когда устранена сферическая аберрация (Pi = 0) и пара-
метр Wi = 0. Однако если сферическая аберрация устранена не
полностью, то можно выбрать такое положение входного зрачка,
при котором будет отсутствовать меридиональная кома. Полагая
Su = 0, найдем

BnS Д’;	,

Si 4= — со sP =----р _	11 >24)

П7“

S) = — ОО Зр = —	(11.25)

Таким образом, при наличии в тонком компоненте «ферической
аберрации такой величины, которая не сильно ухудшает качество

. 270
изображения, подбором координаты s„ можно получить изоплана -
тическую коррекцию. Меридиональная кома не зависит от величи-
ны сферической аберрации, если входной зрачок совпадает в ком-
понентом. Тонкий компонент будет апланатическим, если Si==Slf=0.

Астигматизм и кривизна поля изображения. Координаты г«>
zs, определяющие меридиональную и сагиттальную кривизны изо-
бражения, астигматизм (z's— z'm) и радиусы кривизны поверхностей
изображения определяются с учетом нормировок уравнениями
(10.123) и (10.124):

si ¥=— со zm——§ tg2u>i [35ш 4-Po(s₽ —si)2SIV];

2S = — у tg2<»i [Sui + po (sp — Si)2Siv]>‘

2s — Zm — tg <•> 1S j j i J

!<,=-----------+ (1L26)

(sp~si) ₽o

1 //?, = __ --77172" lS III + Po (sp — S1)2 S! v];

(Sp — Sl) vPo

где

2	/	\

s‘n “	p<-2<s.-s'>v»7>+

si---00 z;„ =—g- f tg u>i [3S”n + Siv];

2-” «-yftg2», [Sfn + Siv];

(11.27)

(zs-zmy =f'tg2u>ISI7I;

Rm ~ — f/[3S(1I 4- S[v|, /?s = — f / [S"ii + Siv],
/?p = — f / Siv,
где

Sfn = 8р2Л“ + 2spW7 + 1, Siv = «<•

Если входной зрачок совпадает с компонентом
коэффициенты аберраций будут равны

si=# — со Sui = 12Ф/= $ф0 (1 — Ро);

Siv = Ф^< = —tci;

si₽o

(sp = 0), тогда

(11.28)

61s# — 00 S111 — 1,0; S i v = 14.	(11.29)
Из (11.28) и (11.29) видно, что при конечном расстоянии до пред-
мета астигматизм и кривизна поля зависят от s, и £о> а для пред-
мета в бесконечности — принимают постоянные значения и никакими
средствами не могут быть устранены.

Параметр для тонкого компонента, линзы которого изготов-
лены из оптического стекла, равен примерно 0,62, поэтому уравне-
ния (11.27) при sp = 0 будут иметь вид:

С = — у/' tg* Ш1[3 + 0,62] = — 1,81/' tg2 «и;
гГ = — у /' tg2 (I + 0,62] = — 0,81/' tg2 «г,
(zs—Zm) = / tg u)j;

Rm = — 0,28/'; /?Г = — 0,62/';

R'p" = — 1,61/'.

(11.30)

Эти выражения показывают, что астигматизм и кривизна поля при
Sp = 0 не зависят от конструктивных элементов компонента, а зави-
сят только от фокусного расстояния и полевого угла компонента.

Если S“n положить равным нулю, тогда

2	1

Sp 4- 2 —— sp 4------ 0

**	poo к рсо

и

Sp

Уравнение (11.31) имеет два корня, и, следовательно, может быть
два положения входного зрачка, при которых может быть устранен
астигматизм, если и W” #= 0.

Астигматизм в системе из тонких компонентов может быть исправ-
лен также при одновременном исправлении сферической аберрации
и комы, если Sin одного компонента компенсировать другим ком-
понентом.

Кривизна Пецваля определяется коэффициентом SIV, равным

Siv = Фдг,

(11.32)

Из (11.32) следует, что Siv зависит от приведенных оптических
сил линз, показателей преломления линз и оптической силы ком-
понента и не зависит от формы линз. Условием плоского изображе-
ния будет равенство нулю коэффициента Siv, а для этого необхо-
димо, чтобы

i
Напишем выражение для те/ в виде

?i ,21

+ п3

' «/

Показатель преломления nz марок оптических стекол (Гост
3514—76) изменяется от 1,4721 до 1,8138, поэтому параметр ле-
жит в пределах 0,679—0,551 и в среднем может быть принят рав-
ным 0,62, тогда

— -7— (<pi + ?2 + • • • +	~ 0,62	(11.33)

"ср	"ср

и коэффициент S/v примет значение

SIV = 0.62Ф/= 0,62 ]/'=/= 0.

Это значит, что в тонком компоненте кривизна Пецваля не может
быть устранена. Параметр те/, а следовательно, и SjV могут быть
уменьшены в два раза, если, например, компонент будет состоять
из линз, изготовленных из германия и кремния, для которых при
к = 2,0 мкм п2 = 4,109 и Пз = 3,458.

Дисторсия. Для тонкого компонента в воздухе в соответствии
с (10.129) и (11.10), (11.11) имеем:

Si =# — со Aj/uid=—g- tg3<oiSv,	(11.34>

где

s3	/ s V 1

s’=wp'-3|!'-w'+

/ _s \2

+ Sp Р S|—) (1 — ₽о)(з + те/),

Si = — со Дг/1по = —те-/ tg3«)iSv; I
(И.85>

S v = 53РГ + 3s₽ ГГ + Sp (3 4- те/), j
Относительная дисторсия (у' = —Z'tgwi)

V” =кушо[ у' = ytg2U)iSv-

Если входной зрачок совпадает с компонентом, то <S’V и Sv
равны нулю и дисторсия автоматически уничтожается. При sp #= О
дисторсия может быть устранена выбором положения входного
зрачка.

Так, например, при si = — 00

„ W7 3 + те,
sX3-^S₽ + ~~1=0

и

3 «7

s₽ 2 р“

1 ± 1

_ 4 (3 + *i) р~\2

9Ц72”	]

(11.36)
Дисторсия может быть устранена выбором положения входного
зрачка только в том случае, когда Pi и Wi =/= 0, т. е. если компо-
нент имеет сферическую аберрацию и кому. В случае когда Pt —
= Wi = 0 и = W? = О,

/ S $. \ 2	'

(3 + у,);	(|| 37)

Sv = sp (3 + к;),
дисторсия устраняется только при sp = 0.

§ 76. Основные параметры тонкого компонента

Из приведенных уравнений (11.3) для системы из тонких ком-
понентов и (П.5) для тонкого компонента при В; = 0 видно, что
коэффициенты аберраций являются функцией следующих переменных:

Si = f\(hi, Pi)-

Sii = f2(yt, Pi, W()-, S'v = Мфб

Sui =/з(й/, yt, Ф/, Pi, Wiy, Sy=fb(hi, yi, Ф/, Pi, Wi,*i)..

(11.38)

Переменные, входящие в коэффициенты аберраций, можно раз-
делить на две группы: к первой группе ртносятся hi, yi и Ф/, а ко
второй Pl, Wi и

Переменные первой группы (hi, yt, Ф() являются внешними
переменными, так как они связаны только с фокусными расстоя-

ниями отдельных компонентов, входящих в систему, их взаимного
расположения, положения предмета и входного зрачка. Если эти
элементы заданы (Ф, d, si, sp), то можно, рассчитав ход первого
и второго параксиальных лучей, по формулам (8.3) и (8.4), получить
последовательно для каждого компонента hi и yt. Для некоторых
систем, например телескопических, внешние элементы определяются

заранее, поэтому непригодны как переменные, с помощью которых
можно исправлять аберрации.

Ко второй группе переменных или параметров относятся Pi и W'i,
являющиеся функциями углов а и п. В свою очередь, углы а за-
висят от радиусов кривизны поверхностей системы, показателей
преломления и положения предмета, определяемого координатой
si, связанной углом <xj (ai = fti/si). Это хорошо видно из формулы
для первого параксиального луча

ht
liiv-f- I == HyOty -]	~	^/Гу_|_|	'Ну),

hi I	\

Hv_(-2®v4-2 = Hv-4-i<Xv4-l + у-----------(Hy-4-2 — rtv-f-l) —


Таким образом, величины Л и Wt зависят от так называемых
внутренних конструктивных элементов системы — радиусов кривиз-
ны, показателей преломления и от положения предмета. Зависи-
мость Р, и Г,от координаты sifaj в значительной степени затруд-
няет изучение свойств системы, состоящей из тонких компонентов,
а следовательно, и расчет систем, так как координата $i является
дополнительной переменной, влияющей на Pi и IE;. Известно, что
многие типы систем (объективы и оборачивающие компоненты те-
лескопических систем, фотообъективы, киносъемочные объективы,
большинство проекционных объективов) работают при Si=—ос, по-
этому они должны и рассчитываться при этих же условиях. С целью
упрощения анализа и расчета целесообразно переменную Si исклю-
чить и получить параметры Р, и Wt в виде функций от параметров
Р“ и соответствующих предмету в бесконечности, и гс;, т. е.

Р/ = Л[РГ, ГГ, *<];
w, = М^Г, Kil.

(11.39)

Параметр щ = 7 . зависит от показателей преломления и при-

веденных оптических сил линз, входящих в компонент, и практи-
чески мало изменяется, поэтому для тонкого компонента может
считаться постоянной величиной.

Переменные hi, yi и Ф< зависят от углов щ и а/+ь которые
являются внешними углами компонента, а радиусы кривизны г
зависят от внутренних углов а, т. е. от углов, расположенных
внутри тонких линз компонента, и показателей преломления. В урав-

нения для первого параксиаль-
ного луча входят также и внеш-
ние углы а, но они уже получили
определенные значения при опре-
делении h, и yi. Приведенные
оптические силы линз, входящих
в компонент, также являются функ-
цией внешних углов а. Поэтому
в конечном итоге можно сказать,
что коэффициенты аберраций
третьего порядка зависят от пере-
менных двух видов: внешних и
внутренних углов первого парак-
сиального луча и показателей

Рио. 123. Углы первого параксиаль-
ного луча:

af-. а,-—для предмета на конечном рассто-
янии:	a-i — для лредмети в бесконеч-

ноет»

преломления.

Зависимость (11.39) может быть получена следующим путем.
Если написать уравнения Pi и Wt для предмета на конечном рас-
стоянии, куда будут входить углы а и уравнения для РТ и W? для
предмета в бесконечности, в которые входят углы а (рис. 123), то
можно установить связь между углами а и а и параметрами Pt, WtH
РТ, 1У“, которая выражается уравнениями

Р i = (az — az)3P” 4- 4a, (a,- — a,)2 WT 4- az (az — az) X

X [2a, (2 -f- r.i) — az];

W7z ~ (az — a,)2 WT + az (a, — az) (2 4- я£).

Из этих уравнений для РТ и WT имеем

PT — (~т-±—У {Pz—4аг\17( + a,(az —az) [2a,-(2 4-kz) 4-az]};
\az — ai)
(.	\2

-----) [iV'z —a,(az—az)(2 4-rcz)].
“z-“z/

(11.40)

(11.41)

Уравнения связи между Pt, Wt и PT, 1У” позволяют выразить
коэффициенты аберраций третьего порядка через РТ и WT и тем
самым исключить из этих коэффициентов параметры Pt и Wt, за-
висящие от положения предмета. Если, например, для тонкого
компонента известны параметры Р, и Wt, то, используя условия
нормировки для si —со, можно найти уравнения для Р” и WT
в виде

Р<" = (г-Ц-Г - 40о^< + 00 (1 - м [2^0 (2 + + 1]};
WT = (г=То)21- 00 (1 - 0о) (2 4-14)].

При Pt = Wt 0 найдем

₽"“газ№<2+ч) + Ч:

(11.42)

(11.43)

В более общем случае, когда nz и п,- не равны, формулы для Pt
и W( принимают вид

n\3Pt = (n(a£— n£a£)3 Р” 4- 4п,и£а£ (n£a£— n£a£) WT 4*
4- n£n£a£ («zaz — n£a£) [2n,a, (2 4- n^z) — n£a£];

• nz Wt = (nzaz — Пеле}2 WT 4- n,n,az (n,az — n,az) (Я 4-

\ni )

(11.44)

Впервые параметры PT, WT и izt были получены профессором
Г. Г. Слюсаревым и называются основными параметрами
тонкого компонента.

Приведенные выше формулы связи параметров и основных па-
раметров справедливы только для одного тонкого компонента.
Таким образом, основные параметры Р“, W?, зависящие только
от внутренних элементов тонкого компонента (г, п) и г.(, являются
параметрами, полностью определяющими коэффициенты аберраций,
а следовательно, и аберрации третьего порядка при любом поло-
жении предмета и входного зрачка. Основные параметры опреде-
ляют не только аберрации третьего порядка, но в значительной
мере и аберрации высшего порядка.

Зависимость аберраций третьего порядка от трех основных па-
раметров характерна только для тонкого компонента любой слож-
ности. Для системы с линзами конечной толщины аберрации зави-
сят от коэффициентов Si, . .., Sy, не зависящих друг от друга.
В тонком компоненте пять аберраций зависят только от трех ве-
личин, т. е. если три аберрации заданы, то остальные две по
произволу не могут быть изменены. Наличие в системе нескольких
компонентов с конечными воздушными промежутками дает воз-
можность использовать величины hL и yt для исправления аберра-
ций, если их можно изменять в достаточно больших пределах.

При переходе к линзам конечной толщины нарушаются свой-
ства бесконечно тонкой системы, но не сразу, а постепенно. При
больших толщинах коэффициенты аберраций и сами аберрации не
зависят друг от друга.

Одним из свойств бесконечно тонких компонентов является воз-
можность определить сравнительно простым способом аберрации
системы при обращении хода луча, т. е. при повороте компонента
на 180°.

Рис. 124. Ход первого параксиального луча:
о — прямой ход; б — ход при повороте компонента на 180’

При обращении хода луча величины параметров Р" и W? не
совпадают. Для нахождения новых значений Р“ и обычно по-
ступают следующим образом. Оставим систему в прежнем поло-
жении, но изменим ход луча, т. е. рассмотрим луч, проходящий
через передний фокус и выходящий из тонкого компонента парал-
лельно оптической оси (рис. 124, а). В этом случае, принимая во
внимание принятые условия нормировки <xi= 1 и ои = 0, для (11.40)
получим

Pl = -РГ + 4ГГ - 4 — 2^ = Р; ]	„ , _

}	(11.45)

-2-г( =	I
(11.46)

Если компонент повернут на 180' (рис. 124, б), то- параметры Р{
и будут иметь те же величины, но с обратными знаками. Обо-
значая основные параметры для перевернутой системы через

Р“ = — РГи W7 = —	, будем иметь

'	= РГ — 4WT + 4 +

W7 = — Г Г +2

Из (11.46) видно, что в компоненте не будут изменяться аберрации
третьего порядка при .повороте его на 180° только в том случае,
когда соблюдаются условия

РГ-Р7-,]	(11.47)

W7 = гГ.)

Для выполнения условий (11.47) необходимо, чтобы в системе име-
ло место равенство

r.i = 2W7 — 2,
из которого вытекает .

' 1Г“ = 1+^.	(11.48)

Что касается параметра Р“, то он может быть любым, т. е. вели-
чина Р7 не играет никакой роли при переворачивании системы.

Все тонкие компоненты не изменяют своих аберраций при по-
вороте их на 180°, если удовлетворяется условие (11.48). Так как
для большинства' оптических систем .из тонких компонентов это
условие не выполняется, то при их повороте на 180° все аберра-
ции, за исключением сферической, будут изменяться. Только в
простых тонких симметричных системах условие (11.48) выполня-
ется, т. е. РГ = РГ, W7 = W7.

Из (11.48) также следует, что если в системах основной пара-
метр IF Г равен величине l+g-*, то при Р/= 0 (сферическая абер-
рация равна нулю) они не могут быть апланатическими.

§ 77. Основные параметры и аберрации линз

Линза является неотъемлемой частью любой оптической систе-
мы, поэтому рассмотрим свойство тонких линз и линз конечной
толщины.

Для тонкой линзы в воздухе (рис. 125)

h\ — hi = h-, d =* 0;	— 0;

nl — пз = 1,0; n-i — n.
Оптическая сила линзы

“з —“
h

Ф =

Ф 1

CD = -г — 1
Т ф

основной хроматический параметр

Рис. 125. Координаты
первого параксиального
луча в тонкой линзе

Для параметров Pi и имеем



= IFi + Г2,

(11.49)

где

Pi

;	(<*2 — <*1)2 (ад — пад);

(Я — I)

р2 =

п

(П- I)2

(а3 — а2)2 (Паз — а2);

IFi = — д'~_ ) (а2 — ад) (ад— /loti);

IF2 = п " j (аз — а2) (паз — а2).

Подставив значения Pt, Pz, IFi и 1Г2 в (11.49), найдем

Р< = (^z~r) [(“3 —"ад) ~* (аз — «|) «2 4- (ад — ai)ад

IF, =	[(аз2 — а?) — 1±_1 (аз _ а,) а2].

(11.50)
Параметр r.t для тонкой линзы

=	(11.51)

Для предмета на конечном расстоянии с учетом нормировок
(9.52), ai = ро, <*з = 1):

(11.52)

Основные параметры в соответствии с (9.55) (aj = О, a3 = 1):

Из (11.53) видно, что основные параметры зависят только от угла
а2 первого параксиального луча в линзе и показателя преломле-
ния п.

Чтобы в тонкой линзе отсутствовала сферическая аберрация,
необходимо Pt = 0. Напишем уравнение (11.50) для Pt в общем
виде в такой форме: 

п ( 11 V / \Г 2 I ,2 2п+1/ . V . п + 2 2]
”* ~	(аз — °ч)1 «3 + <Ч<ХЗ + ai-— (аз + а]) аг Н — а2 .

Приравнивая это выражение нулю, получим

<хг~ ++ 2' (Жз + ai)a2 + ^рТ.(аз + ai + aja3) = 0. (11.54)
Решая (11.54) для угла а2, найдем

“2 = 2(^"+ 2) [(2п + 0(яз + °ч) ±

± К2(2п2+ 1) aia3 — 4(п—1)(аз + af)].	(11.55)

Уравнение (11.55) имеет вещественные корни при условии

2(2п2+ l)aia3>(4n- l)(a^ + af).	(11.56)

Если ai = 0 (предмет в бесконечности) или когда аз = 0 (изо-
бражение в бесконечности), подкоренное выражение становится
отрицательным и уравнение (11.55) не имеет решения. Это урав-
нение не имеет решения и в случае, когда ai < 0 и аз > 0 (пред-
мет на конечном расстоянии, изображение действительное) Следо-
вательно, для указанных случаев в тонкой линзе не может быть
устранена сферическая аберрация.
Вещественное решение имеет место только в том случае, когда
ai и а3 имеют одинаковые знаки, т. е. для мнимых изображений
или мнимых предметов. Напишем (11.56) в виде

аз + «1	2(2п2+ 1)

“1аз ' 4п — 1

При ai = Ро и аз = 1

2(2пг3- 1).	(11.57)

30	4п—]	'	>

Из (11.57) видно, что Ро является функцией показателя прелом-
ления. Так, например, для оптического стекла К8 (пе — 1,5183)
Ро лежит в пределах

0,634 < р0< 1,578;

для	ТФ 10 (пе = 1,8138),

0,527 <р0< 1,896;

оптической керамики КО4 (пх = 2,447, к — 2,0 мк ч)

0,390 < ро < 2,563;

германия (нх = 4,116, X = 2,0 мкм)

0,234 < ро < 4,278.

Если Ро для указанных п лежит не в этих пределах, то устранить
сферическую аберрацию невозможно.

Таким образом, как для предмета на конечном расстоянии, так
и для предмета в бесконечности сферическая аберрация в тонкой
линзе не может быть устранена в случае действительного изобра-
жения. Поэтому . рассмотрим, при каких условиях сферическая
аберрация может принимать минимальное значение. Из (11.52) для
Р, имеем

Л - (^п)’ (1 - Й) -	(1 - Рй« + "^(1 — М

(11.58)

Функция от Pi будет иметь минимальное значение в том слу-
чае, когда

дР,	&Р.

— =0 и —^>0.
да2	да2

Первая производная, равная нулю, дает

2(n + 2)a2— (2п+ 1)(1 + р0) = 0.	(11.59)

Вторая производная

2(п + 2)>0.

Следовательно, функция от Л в соответствии • (11.59) имеет ми-
нимальное значение при а2, равном
(2n + 1) (1 + Po)
a2mln —	2(n-}-2)	'	(ll.oU)

Подставляя (11.60) в (11.52), найдем

1-₽2 (1161)

rimin “ 2 (л + 2)'	'

Для предмета в бесконечности Ро-> 0 и

«о	2n + 1

a2min = 2 (п + 2)“ ;

_	(4п~ О"

Zmln — 4(я+ 2)(Л_ J)2 J

(11.62)

П7“ ______1

M^m.n -2(п+2)-

Из (11.62) видно, что минимальное значение основных параметров
тонкой линзы зависит только от показателей гТреломления.

Найдем уравнение связи между Р“, Р^,|П и W7• Из формулы
для W7 имеем

fl	fl *“ 1 ГТ/700

аг = —г—т-----------r-г w t ♦

£	п-\- 1	п+1	*

Подставляя аг в (11.53) для Pf, найдем

р» _	(4« — О «	। »(л+2) Г _________1 I2

1	4(п+2) (л — I)2*'	(«+ I)2 L 1	2(n+2)J'

Учитывая (11.62),

PT = Pirnin + а [ WT -	(11.63)

где

л п (п + 2)	ту/00	1

” (я+ I)2 ’ lFimin “ 2 (п + 2) '

Коэффициент а и параметр IV'Tmin для оптических стекол изменя-
ются незначительно и могут быть в среднем приняты равными:
a = 0,864, ГГШ(П= 0,134.

При Uz7min = 0,134 основной параметр Р,“ принимает мини,
малыюе значение, которое всегда положительно. Форма кривой4
выражающей зависимость Р” и W?, как это видно из рис. 126,
не зависит от показателя преломления; все кривые имеют минимум
вблизи = 0,13. Параметр Рмип для оптических стекол лежит
в пределах 2,325—1,123. Для кристаллов показатель преломления
изменяется от 1,32 до 4,2, поэтому в каждом конкретном случае
нужно определять коэффициент а, параметр а также РГ„1П.
Так, например, для оптической керамики КО4 (X = 1000 нм, «х =
2,485) P,“min = 0,562, а = 0,918, W\min = 0,111; для германия

(к = 2000 нм, «л = 4,116) P,”mln = 0,268, а - 0,962, ГГт1п = 0,082.

Основные параметры тонкой линзы в зависимости от формы
линзы изменяются в довольно широких пределах (рис. 127). Мини-

мальное значение Р" имеет при
больше нуля. Параметр W? при-
нимает нулевое значение при
f'/rtn = 1,65, причем его изменение
носит линейный характер. Прак-
тически можно считать, что нуле-
вому значению W” соответствует
минимальная величина PJ°.

Сферическая аберрация тонкой
линзы принимает минимальное
значение в том случае, когда Р.

и Р” будут минимальны, т. е.

'	I т I

AS| 11 min “ ~ ~п т~ Рtmlni
2 sk

2

Лс —_____________:_L р”

 Ulmin —	2 Г

f' / г\п = 1,68, причем он всегда

(11.64)

от W°° для различных значений п

Апланатические и изопланатические линзы. Для получения ап-
ланатической коррекции необходимо, чтобы

Sj=^P< = 0, s„ = yiPi —1^ = 0.

Эти условия приводят к тому, ЧТО ДЛ^^ГОНКОЙ линзы должны быть
равны нулю параметры Р, и W,. После преобразований (11.50)
найдем

Pi — п (аз + а]<хз 4- а?) — (2п 4- 1) (а3 4- aj) а2 + (и + 2) аг = 0;

— «(ад 4- а,) — («4- 1)а2 = 0.

Из второго уравнения (11.65) для аг получим

(11.65)

аг = ;Нп (а| + аз)’

тогда после подстановки а2 в первое уравнение (11.65) найдем
(а? 4-4) и — (n24- l)aia3=0.	(11.66)

Для предмета на конечном расстоянии ai =0а и аз= 1, поэтому

(1 4-₽о)п — (п24- 1)₽0 = О.	(11.66')

При р0 = 0 и ро < 0 уравнение (11.66) не имеет решения, так как
показатель преломления не может быть равен нулю и не может
иметь отрицательное значение. Из (11.66) для р0 имеем

₽о2-+ 1 = 0.
Решая это уравнение, получим

о1-67)

Из (11.67) видно, что оно имеет два корня — pOi =п и Рог = 1/«.
Так, например, для марки стекла К8(пе в 1,5183) poi = 1,518.
р02 = 0,659; ТФ10 (лв = 1,8038)?oi = 1,814, р02== 0,551; оптической
керамики (щ = 2,447) р01 = 2,447, рог = 0,409; германия (щ =
= 4,116)^01 = 4,116, р02 = 0,242. Сравнивая Ро для апланатических

W;

100

ле=1,5183

Рис. 127. Зависимость ос-
новных параметров Р"
и от формы тонких
линз (г1л — приведенное
значение первого радиуса
кривизны)

линз с Ро, при которых в тонкой линзе отсутствует сферическая
аберрация, приходим к выводу, что они практически лежат в тех
же пределах. Таким образом, если в тонкой линзе отсутствует
сферическая аберрация, то она будет свободна также и от комы.

Для тонких апланатических линз Pi =	~ 0, поэтому астигма-

тизм и кривизна поля не будут зависеть от положения зрачка и,
как видно из формул (115),

Shi = РФ/, Siv = Ф^,= 0.62Ф,-	(11.68)

являются постоянными величинами. Дисторсия апланатического ме-
ниска согласно (11.5)

Sv = РФ, (3 + к,) = 3,62 РФ,

(11.69)

устраняется только в том случае, когда входной зрачок совпадает
е линзой (у г = 0).

Рассмотрим, при каких условиях можно получить апланатичес-
кие линзы конечной толщины. Лля сферической преломляющей
поверхности коэффициенты аберраций Si и Sn согласно (10.49)
и (10.31) равны

> (11.70}

)

Коэффициенты аберраций (11.70) будут равны нулю при следую-
щих условиях: если а2— ai — 0, ТО ai = а2 и Ро — niai/n2a2 = П]/п2;
из уравнения для первого параксиального луча в этом случае
получим

Si = ri, si = si = г2,

центр кривизны преломляющей поверхности является местом пред-
a2 al	1	1

мета и изображения; при —---------— = 0 или ——--------— О'

(rtjS] = n2s’i= 0); присоединяя к этому условию уравнение для пер-
вого параксиального луча, найдем

«1 + «2	'	П2 + П2

S1 = и —-—, S1 = п-------

«1	«2

отсюда

nisi = n2s'] = ri (ni + п2);

в этом случае ai/a2 = П1М2, поэтому ро == (niM2)2; условие nisi —
— n2s{ — 0 соблюдается также при si = Si = 0, Ро = п\щ/п2а2 = 1.
Таким образом, для сферической преломляющей поверхности имеем
три пары сопряженных точек, в которых отсутствуют сферическая
аберрация и кома:

si = s'i = 0; ро = 1;	(0

si = si = п; Ре = П\!п2-,	(2)

njS) = n2s'i = n (ni + n2), p0 = {tiling. (3)

(11.71)

Аналогичные условия для апланатических точек преломляющей
поверхности были получены в § 24 из уравнений для отрезков
s и s' действительного луча. Это говорит о том, что решение зада-
чи в области аберрации третьего порядка привело к устранению
аберраций высшего порядка.

Уравнения (11.71) дают возможность получить несколько
апланатических линз конечной толщины, но не все они имеют
практическое применение. Так, например, приложение условия (1)
к первой и второй преломляющим поверхностям линзы не имеет
смысла.
Из условий (1) и (2) для линзы в воздухе получим
S1 = S1 = 0; S2 = S2 = Г2', d = ----------S2 = — Г2', 1

₽0 = ₽01₽02 = 1П2/ПЗ = П.	I

а— плоское ыпуклая; б — положительный мениск; а — отрицательный мениск

,	> п2

S| = si = 0; S2 = — d; S2 = — «2 = — nd;
пз

(11.73)

В линзах (11.72) и (11.73) первый радиус может быть любым и
определяется, исходя из заданного фокусного расстояния. При
Г[ = оэ обе линзы являются фронтальными апланатическими линзами.

Комбинация условий (2) и (3) дает линзу со следующими кон-
структивными данными (рис. 128, б):

Г2-----5— s2=	(я-d);

П2 + п3	п 4- I '

e2 = r221±^ = /l(si_d);
,г3
л,
₽0 = ₽01₽02 = ~

(11.75)

Wl\2 w2 _ 1
n2 I п3 п

«2

n3

f, ___ n2 si	’

' n—ld+nS| S)’

Эта линза является положительным апланатическим мениском.

Приложения условия (3) к первой поверхности, а условия (2)
ко второй поверхности приводит к отрицательному апланатиче-
скому мениску (рис. 128. в):

ni	1	.	'	«1	1

Г| = $, ----- = S1 —г—г I «1 ~ «1 - = $, _ •

п | + п2 п + 1	п2 л ’

s2 = si— d = si— — а = — — a; r2 = s2=——d;

s2 = s2 = r2; po = Mo* =

,, _ 1 *\-nd

' n — d (n + 1) b

Приложение условия (2) к первой и второй поверхностям да-
ет линзу конечной толщины с концентрическими к осевой точке
предмета поверхностями; если для первой и второй поверхностей
выполняется условие (3), то получается биапланэтический отри-
цательный мениск, дающий параллельное смещение падающему
пучку лучей.

Из апланатических линз наибольшее применение получили
фронтальные линзы, положительный и отрицательный мениски
(объективы микроскопов, осветительные системы — конденсоры
и др,). Однако соединением апланатических линз нельзя полу-
чить действительное изображение предмета, расположенного на
конечном расстоянии, поэтому они применяются в сочетании с
нбапланатическими линзами, значительно уменьшая апертурный
угол последующей части системы, уменьшая тем самым осевые
аберрации.

Апланатичность линз исчезает, если параметр Рг=Н=0 или одна
из поверхностей является неапланатической. Однако, как уже
указывалось, при определенном положении входного зрачка (апер-
турной диафрагмы) такая линза может быть изопланатической,
т. е. линзой, в которой при наличии сферической аберрации не-
большой величины кома будет отсутствовать. Положение входного
зрачка определяется по формулам (11.24) и (11.25).

Если, допустим, первая поверхность является апланатической
то Pi = W'1 = 0 и параметры Pi и Wi будут определяться пара-
метрами на второй поверхности Pt = Pi + р2 = Р2 и Wi = IF। 4-
+ W2 = W2.

Изопланатическое изображение с помощью линзы конечной тол
щины можно получить также следующим путем. Допустим, первая
287
поверхность центричиа к осевой точке предмета, т. е. ri=si.
В этом случае ai = а2, Р\ =	= Ои поверхность является аплана-

тической. Если апертурная диафрагма, являющаяся входным зрач-
ком, расположена так, что ее изображение, даваемое первой по-
верхностью, находится в плоскости, проходящей через центр кри-

визны второй поверхности,

ОГда S[==/Z2-P2, 8р2 = Рз — рг = 0 и
Sn = h2P2 (8р/8а) = 0. Следовательно,
вторая поверхность будет свободна
от комы. Расстояние от второй по-
верхности до изображения входного
зрачка (предмета для второй поверх-
ности) Sp- = г2 + d. Из уравнения для
второго параксиального луча коорди-
ната, определяющая положение вход-
ного зрачка, будет равна (рис. 129)
_	_ nlSl (f2+d) ________

°' Sp s,n2 — (n2-n,)(r2+d)’

(11.76)

При П\ = Пз = 1 и п2 = п

Рис. 129. Изоплянатическая линза	Si(r2-f-d)	.

Sp —-------/ —z ,-д;- (11.76')

nS[ — (n — 1) (r2 -I- d) '	'

Если для первой поверхности

<х9 а,

- —- = о,
п2 п,

то Si = Sn = 0 и должно выполняться условие n\S\ = n^i, т. е.
первая поверхность будет апланатической. Из условия nisi = n2si
уравнение первого параксиального луча

П = ”|S*	_

п.2	“f”

Для второй поверхности

Sx=h2P2, Sn=/l2P2® .

\°а/2

Коэффициент Su будет равен нулю также только в том случае,
когда изображение входного зрачка, образуемого первой поверх-
ностью, совпадает с плоскостью, проходящей через центр кривиз-
ны второй поверхности (S32 == — р2 — 0). Тогда Sp- = r24-d и

„ _ . _ nlS> (Л2 + d)	. 77ч

Spl — Sp —	7-2	—	•	(Н .77)

n1n2S|-(n|—nf)(r2 + d)

Для линзы в воздухе

s₽ = -----7*4-t-?	-	(11 • 77')

"	/И| — (n2— D(r2H-d)	'	'

Если предмет находится в бесконечности, то оба рассмотрен-»
ных выше случая приводят к плосковыпуклой линзе, плоская по-
верхность которой обращена к предмету, с апертурной диафраг-
мой, расположенной перед плоской поверхностью,

<2 +

П = со, Sp — —----.

Следует отметить разницу в применении апланатических и
изопланатических линз. Апланатическая линза, или система из
апланатических линз, остается апланатической и в том случае,
когда предмет и изображение меняются местами. Изопланатичес-
кая система при такой перестановке не остается изопланатичсской
для любого отверстия потому, что те поверхности, которые были
апланатичны к первоначальному положению предмета, не будут
теперь свободны от аберрации по отношению к пучку лучей, пада-
ющему с другой стороны. Изопланатичность, при перестановке
предмета и изображения, сохраняется в какой-то мере для линз
с малой толщиной в области аберраций третьего порядка.

§ 78.	Коэффициенты аберраций

и аберрации третьего порядка плоскопараллельной пластинки

Для преломляющей поверхности согласно (10.31) параметры Р„
и П„ равны:

Уравнение для первого параксиального луча плоской поверх-
ности имеет вид

nva„ — rtva„ = 0,
откуда

—	(а)

Вычитая из правой и левой части уравнения (а) а.',, получим

av — a, = —av------- (б)

Выражение —nvav с учетом (а) будет равно

(в)

(г)
Учитывая (а), (в) и (г), для параметров Р», W, и П, найдем

'2	„2

3	~ пч

Л..

II, = 0.

Для плоскопараллельной пластинки в воздухе (/г i == пз — 1, п2 -
= п, <xi = аз) будем иметь: первая поверхность

Pi

3 Л2 — 1

<Х)-----J-

гг

П1 =0,

Wi

вторая поверхность с учетом, что а2 = aiM,

о з ' ‘ — 1
Рг = <Х1 г,—

о

WJ	1

W2 = ai-----5—

nr

П2 = 0.

Из этих выражений видно, что параметры Р и W для поверхносте
пластинки равны по абсолютной величине и обратны по знаку, т. е
-Pi = Р} и —Wi = Wi.

Для определения коэффициентов аберраций третьего порядк
воспользуемся формулами (10.34) при В, = 0, так как они не тре
буют длительных преобразований:
На основании (б) имеем

п— 1
а2 — ai = —at —-—;

п

.	\ П— 1 .

а3— а2 = —(а2— си) — а,—-—;

hi = hi—da.2, ht—hz - da2 = ai y.

(11.79)

Аналогичные выражения можно получить и для второго паракси-
ального луча:

?2 — Р1 = —₽1
₽з-р2 = ₽1-

Учитывая (11.79) и (11.80) для коэффициентов
получим

С	4 П2 — 1	.

Oi = —at---з—a;

п

Su =-a^l-^l=-Ld;

2	।

Sin =—afpf- "3-~d;

Siv = 0,

Sy = —ai^i - ~3-~ d.

(11.80)

аберраций (11.78),

(11.81)

Монохроматические аберрации третьего порядка плоскопарал-
лельно/! пластинки в соответствии а (11.81) и учитывая, что а2 =
= ai, выражаются формулами:

10*

д/	1	. «2~ »	2

dsI11 = -п- d----з— о,;

2 п'

,,	3 , П" — 1	2 ,

К\ и = у d------х— O| tg <пt;

* п

3 J 'd — ! .

г,п ~ у а -—-— 1е шч

I Г ?	1

г. — у d -—j— tg- ад ।;

•	.Л’’ — 1 , .

г2 — Z,,-. — — о —з— tg- <о ।;
п

Zi: = 0;
1 /? 1
&У1 I i =• —d. ---;-- tg ’ (I) I .

231

(11.82)
Если предмет находится в бесконечности, то ai = 0 и все коэффи-
циенты аберраций будут равны нулю, т.е. при установке плоско-
параллельных пластинок и отражающих призм в параллельном
ходе лучей она не будет вносить в систему монохроматических
аберраций. Плоскопаоаллельные пластинки обладают положи-
тельной ссЬеоическои аоеррациеи, тогда как у иильшинства систем
эти аберрации обычно отрицательны. Плоскопараллельные пла-
стинки, как правило, действуют благоприятно на все аберрации
оптической системы.

§ 79.	Суммирование аберраций

При разработке оптической системы нередко возникает необ-
ходимость оценить, хотя бы приблизительно, какими остаточными
аберрациями может обладать проектируемая система. Для этого
необходимо знать коррекционные возможности компонентов,
составляющих систему (объективов, оборачивающих линз, окуля-
ров и т. д.). В этом случае нетрудно будет установить, какими
остаточными аберрациями компоненты будут обладать и в каких
пределах их можно изменять. Кроме того, аберрационный расчет
в большинстве случаев ведется по компонентам, т. е. компоненты,
входящие в систему, рассчитываются самостоятельно. Поэтому,
выбрав все компоненты системы и установив примерные величи-
ны их аберраций, производят суммирование аберраций отдельных
компонентов. Правила сложения аберраций, которые будут рас-
смотрены ниже, справедливы не только для аберрации третье-
го порядка, но могут быть использованы и для суммирова-
ния аберраций высшего порядка. Продольные аберрации, к кото-
рым относятся хроматизм положения, продольная сферическая
аберрация, астигматизм и кривизна поля изображения, перено-
сятся из пространства предметов в пространство изображений
посредством умножения их на продольное увеличение. Обозначая
суммарную продольную аберрацию через As', для двух компонен-
тов в воздухе получим следующее выражение:

As = <Хг)2Asj Д$2 = PojAsi -{- Д$2,
для трех компонентов:

As' = (p^Asi + Д$г) Роз Н- Д$з и т. д.,
для еистемы из р компонентов:

As₽ = poppop—1	... Рог Asi + Pop—фор—2	• • • РогД$2 4~  • • +

+ pooAsp—1 + Asp*
или

Asp = Asi П pg -f- Д$2 П Ро 4- • • • 4- ASp—фор 4~ Asp. (11.83)
Поперечные аберрации (хроматизм увеличения, кома, дистор-
сия) переносятся из пространства предметов в пространство изо-
бражений посредством умножения их на линейное увеличение.
Для системы из компонентов суммарная аберрация будет равна

р , р

&gp — Agi П ?о + &gi П ?0 + •  • + фор +	(11.84)

2	з

Суммирование аберраций должно производиться по ходу одно-
го луча, проходящего через всю систему. Если суммирование абер-
раций производится в области аберраций третьего порядка, то
суммарная продольная аберрация определяется по ходу первого
параксиального луча, а поперечная — по ходу второго паракси-
ального луча.

В случае обращения системы на 180° продольная аберрация
в изображении обратится в предметную Asi, изменив только знак
па обратный, т. е.

As! = —Asi.

Продольная аберрация в изображении в обратном ходе при' от-
сутствии аберрации в предмете будет равна

As' = 2- As',	(11.85)

₽о

где ро берется в прямом ходе лучей. Если, например, первая си-
стема работает в обратном ходе, а вторая в прямом, то суммарная
аберрация будет равна

As = р02 Asi -f- Д$2 = р02 -F AS2 = Р02 Poi Asi	Двг. (11.86)

₽0!

Рис. 130. Суммирование аберраций оборачивающей системы

В случае когда между компонентами системы имеется парал-
лельный ход лучей, приведенные выше формулы суммирования
теряют смысл, так как poi-*00- В этом случае аберрации компо
нента, после которого имеется параллельный ход лучей, раесчиты
ваются в обратном ходе.
Рассмотрим суммирование аберраций в оборачивающей системе,
состоящей из двух компонентов (рис. 130). Суммируя продольные
и поперечные аберрации, получим

△s' =^oi₽o22Asi + As2;

&g' ~ pOlpOsA^fl + А£2-.

Так как р01 = 00 и ₽ог = 0, то неопределенность произведения
₽офо2 можно раскрыть следующим образом.

Инвариант Лагранжа — Гельмгольца I для системы равен

П\уа.\ = пзу'а.3.

Для системы в воздухе

Мо2=4 = ^.

где

Так как h} = hi, то
р01₽02 ----------------------------JT'

Тогда формулы (11.87) примут вид
4
/;

△g' = — I -7- АЬ + Д#>-
\ '1 /

При h ~ ft

As' = Asi + Дх2;

△g' = — Д/р 4- А&2, .

(11.88)

(11.89)

т.е. суммарная продольная аберрация системы равна сумме абер-
рации компонентов, а суммарная поперечная аберрация — раз-
ности аберраций компонентов.

В телескопических системах суммарные аберрации выражают
в угловой мере. Аберрации объектива вычисляются в прямом
ходе, а окуляра — в обратном. Суммарная аберрация

Д>' = Д,о(. -4 Д$(Д#' = &g,)6 4- Agy, .	;1 i .90)

Для перехода к аберрации в угловой мере продольные аберра-
ции нужно перевести г кружки рассеяния Аг/ в передней фокаль-
ной пло1 кости окуляра: тогда угловые аберрации
Да' = 206 265 Др' = 206 265

о<

(11.91)

где Аа' и Др' в с.

Продольные аберрации телескопических систем выражают также
в диоптрийной мере

,	1000 д ,

L =---------— txs',

/ос

(11.92)

где As' и f в мм.
Глава 12.

ТЕРМООПТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ

§ 80.	Влияние температурных изменений среды
на оптические системы

Многие оптические приборы работают в условиях переменной
температуры окружающей среды (геодезические инструменты,
аэрофотоаппараты и т. д.). Между оптическим прибором и окру-
жающей средой возникает тепловой обмен, происходит нагрева-
ние или охлаждение механических и оптических деталей прибора.
Ввиду различной теплоемкости деталей изменение их температу-
ры во времени происходит неравномерно. В частности, в оптиче-
ских деталях, имеющих малую теплопроводность, в процессе на-
гревания или охлаждения возникает температурный градиент,
характеристику которого весьма трудно определить. Поэтому
обычно перед началом эксплуатации прибора приходится некото-
рое время его выдерживать в рабочей среде до стабилизации тем-
пературы всех деталей. В случаях когда по условиям работы пет
возможности выдержать прибор до выравнивания температуры,
необходимо обеспечить его надежной термоизоляцией.

С повышением температуры увеличиваются геометрические
размеры деталей, т. е. увеличиваются толщины и радиусы кри-
визны поверхностей. Температурные изменения показателя пре-
ломления оптического стекла и других оптических материалов,
кроме того, зависят от длины световой волны.

Приближенные значения линейных размеров и показателя пре-
ломления при температуре t вычисляются по формулам:

rf, = Gf0[I Н-<х{(Г—20°)];	(12.1)

Г, = ГО[1+а/(г — 20е)];	(12.2)

= «о+ ₽/(/ —20°),	(12.3)

где а/. — коэффициент линейного расширения стекла; р<— темпера-
турное приращение показателя преломления. Номинальные значе-
ния d0, Го и п0 определяются при температуре Z = 20°C. Темпера-
турное приращение показателя преломления рг является функцией
длины волны, поэтому формула (12.3) имеет вид

п а = «.». +	(/ — 20°).

Из (12.2) видно, что во избежание расклейки склеенных оптиче-
ских де!алей марки стекла, из которых они изготовляются, дол-
жны иметь близкие значения коэффициента линейного рас-
ширения.
Возникающие при изменении температуры вариации п, d и г
вызывают изменение фокусного расстояния системы, положения
и величины изображения, масштаба изображения; изменяются
также и величины аберраций. Кроме того, при фиксированном
положении плоскости изображения на резкость его еще влияют
температурные изменения корпуса прибора.

Температурные изменения положения и величины изображения
называются термооптическими аберрациями. Сме-
щение плоскости изображения в зависимости от температуры но-
сит название термооптической аберрации поло-
жения изображения, а изменение величины изображе-
ния— т е р м о о п т и ч е с к о й аберрации увеличения.
На термооптическую аберрацию положения изображения необхо-
димо обращать внимание при расчете длиннофокусных систем.
Термооптическая аберрация увеличения должна учитываться при
разработке высокоортоскопических и высокоразрешающих объек-
тивов. Ниже будут приведены уравнения для термооптических
аберраций первого порядка (параксиальной области).

§ 81.	Термооптическая аберрация положения изображения

Уравнение для первого параксиального луча в линейных ко-
ординатах имеет вид

п' п __________ п' — п

s' S г

(12.4)

В этом уравнении все величины являются функциями температуры
t, поэтому после дифференцирования и преобразования получим

n'ds'	nds __Г	/1	1 \ [ 1	dn'___1_ dn	, п — 1 dr

s'2dt	s2dt	[	\r	s ) ( я'	df	n dt J j r% dt

Переходя к углам первого параксиального луча а = his и а' —
— his', найдем

n'a'2ds' = na2ds 4- Л-Ц- 8	+ h2 dr.	(12.5)

® п

При переходе от поверхности v — 1 к поверхности v необходимо
учитывать, что

s, = s,'_i —</,-ь	(12.6)

где dv-i также зависит от температуры. В этом случае для v-й
поверхности (12.5) будет иметь вид

n'a.'2ds^ = n4n2,ds^^.\ + h.> [—~г\ 8 (—'j 4-/ь—^~drv — nva2dd^i. (12.7)
8 -	\ n !> r<

\ n J ’

Если написать уравнение (12.7) для системы из k преломляющих
поверхностей, затем сложить правые и левые части, то после сок-
ращения можно получить
Переходя от дифференциалов к приращениям dst = Asi = Д$6
= Д$а = As/, dr, = Аг„, dn = An, dd,_i = Ad,_i и обозначив

n = - у (Я 448 +s« 4 + 2 i (12J°)
,4 ' v 6 *	/« ,=2 1

получим

,	п, / а. V	/,?

A$z = —т(—т- j д$,_ _2!_Г,,	(12.11)

nk\akJ	п'„'2

« \ »/	nkak

где Asf — термооптическая аберрация положения в пространстве
предметов; As'(— термооптическая аберрация в пространстве изо-
бражений (рис. 131). Сумма или коэффициент Т\ называется ко-

Рис. 132. Элементарная конструкция
фиксации положения двух соседних
линз оптической системы

эффициентом термооптичеокой аберрации положе-
ния изображения или первым коэффициентом тер-
мооптической аберрации.

- Имея в виду, что hi = siai и продольное увеличение
«1 ( а\ \2

п» \ ak /
уравнение (12.11) можно написать в виде
.2

As/ = ао As< — ао	Т\.	(12.12)

п\

В частных случаях, когда предмет не имеет термооптической абер-
рации положения (As/ == 0),

3?

As, = —а0	Tt.

ni

Для бесконечно удаленного предмета

lim (aosf) == lim poSi^ = —т-/'2,
\ ni / «ft

поэтому

As'£ = -4/'?TF.
«ft

(12.13)

(12.14)

Если 7\ вычисляется при f = 1 и П\ = nk— 1, то

Аа“=—ГТГ.	(12.15)

Температурные изменения воздушных промежутков в оптиче-
ской системе зависят от коэффициента линейного расширения
корпуса, от способа крепления линз в оправе, от крепления самих
оправ в корпусе и от коэффициента линейного расширения сте-
кла. Рассмотрим типичную конструкцию, когда воздушный про-
межуток устанавливается с помощью кольца (рис. 132). В этом
случае

d = L + e{— е2.	(12.16)

Коэффициент линейного расширения отдельных материалов
имеет различное значение, поэтому величина температурного при-
ращения воздушного промежутка будет равна

Adt = f(d — ei -V е^а.т +e\a.\t~e2a.2t\dt,	(12.17)

где am — коэффициент линейного расширения материала кольца.
В конструкциях оптических приборов встречаются самые разно-
образные способы крепления линз в оправах и оправ линз в кор-
пусе, поэтому в каждом конкретном случае необходимо получить
свое выражение для Ас?/.

Принимая во внимание (12.1), (12.2), (12.3) и (12.17), для (12.10)
можно получить

(12.18)

где d — толщина линзы; а^ — угол первого параксиального луча
в стекле; — показатель преломления стекла линзы; a£(l — коэф-
ч|)ициент расширения стекла линзы. Второй член правой части
уравнения (12.18) равен

1 Р 2

-j- ЛеЛс/е,
h.

АТ,

(12.19)

где I—индекс, определяющий текущий номер воздушного проме-
жутка; а/ — угол параксиального луча в воздушном промежутке;
&dt — изменение величины воздушного промежутка. В простейшем
случае Ас? определяется по формуле (12.17) при f = 1, если а, = 0.

В таких системах, как зрительные трубы и любительские фо-
то-, кинокамеры, термооптическая аберрация положения компен-
сируется фокусировкой.

§ 82.	Коэффициент термооптической аберрации
положения системы,
состоящей из тонких линз, в воздухе

Оптическая сила тонкой линзы в воздухе определяется формулой

Учитывая (12.20) для коэффициента термооптической аберрации
положения (12.18) системы из I тонких линз, после преобразования
найдем

+АГЬ (12.21)
р.=1 '	11

где

AT, = ТГ S	(12.22)

«1 p.= i

В (12.22) суммирование распространяется по всем воздушным про-
межуткам между линзами системы. Для предмета в бесконечности
с учетом условий нормировок (си = 0, а* = 1, h\ = f = 1) для (12.21)
получим

Т“=(/ —20°) Е лХМгт-J +АТь (12.21')
р.= 1	\ Л 1	/ р.

Введем обозначение

У^-^-л;.	(12.23)

Величина называется термооптической постоянной,
значение которой приводится в каталоге на оптическое стекло.
С учетом (12.23) для коэффициента термооптической аберрации по-
ложения (12.21) и (12.2Г) найдем

/	i

Л = (t-20°) 2	+ 2 р-	(12.241

ц=1 V	И=2 1

ТГ = (/ — 20°) S h^Vt, 4- S	(12.25)

р.= 1	(1=2

Термооптическая постоянная Vu дается как среднее в пределах
изменения температуры от —60 до 20°С и от 20 до 120° С для
линий спектра F', е и С. Для этих же значений температур и ли-
ний спектра дается и значение р». Термооптическая постоянная
V/х может быть как положительной, так и отрицательной и изме-
няется в пределах — 18,6 • 10~s < V t\ < 12,4  10-s. У некоторых
марок стекол Vа близка к нулю, что дает возможность рассчитать
систему с не зависящим от температуры фокусным расстоянием.

§ 83.	Термооптическая аберрация увеличения

При рассмотрении термооптической аберрации увеличения целе-
сообразно изменение линейных размеров изображения относить
к плоскости приемника изображений (рис. 133). Разность ординат

Рис. 133. Термооптическая аберрация увеличения byt = y, —(/2Р’

Др^ — термооптическое смещение центра выходного зрачка; Да^ —термическое изменение
размеров механического устройства, связывающего оптическую системы с фиксируемой плос-
костью приемника, Де' — термическое смещение плоскости изображения относительно плос-
кости приемника

\yt = y't — у'2о является термооптической аберрацией увеличения
в плоскости изображения при температуре 20°С. Из рис. 133 вид-
но, что температурное смещение плоскости изображения относи-
тельно фиксирующей плоскости приемника, вызванное термоопти-
ческой аберрацией положения изображения = St — s2o и терми-
ческим изменением Да' размеров механического устройства,
вающего оптическую систему с плоскостью приемника,

Д1?' = fat— &а'.

Полагая, что «д = о>2о = <’> , найдем

Ayt =* IJt — {/20 — yt+ Ы’ tg (1)' — Z/20 = \y't + \b' tg 0)'.

Термооптическая аберрация в относительной мере

ty't _ by't । ДУ tg (o'

У 20	у 20	У 20

Так как

MJl = yt----1/20 — y^Ot — y^020 — у (₽0( — ^O2o) = t/Др/ ,

TO

tyt ___	Д6'tg <n'

V2O Po2O «20

Л инейное увеличение, связывающее показатели прело
и отрезки s и s', определяются формулой (9.17), т. е.

к

₽»=ЛП(4).

При изменении температуры изменяются показатели прело
п и координаты s и s', поэтому, используя уравнения (9.24) i
и переходя к приращениям, после преобразования получим

= АП1 _	________у,

₽0( п1 п'и sp—S1 Sp'—Sfc 1

где

Коэффициент Тп называется коэффициентом термо
ческой аберрации увеличения или вторым ко.
циентом термооптической аберрации.

В частном случае, когда предмет не имеет термоопти
аберрации (Д5/ = 0) и система находится в однородной среде.

Подставляя в (12.30) значение дз< из (12.13), находим
_ aosi т j_r
fli(Sp,-S;) ‘	1

(12.31)
Если термооптическая аберрация положения исправлена (As/ =
0), тогда

"V = —t7"11-	<12-32)

Подставляя (12.32) в (12.27), получим

=	(12.33)

У 20	у 20

Для предмета в бесконечности с учетом нормировок (ai = 0, а* — 1,
Ai = f = 1, fa = J, I = —1) будем иметь

^_ = _^Ltgn»' + 7’„.	(12.34)

У20	У20

При Si——00 имеет место равенство Др/ро = поэтому темпе-
ратурное приращение фокусного расстояния можно выразить еле
дующим образом:

Кроме того, в параксиальной области имеет место равенство
sP' — s'k — — Г(рОр — Ро)	(12.36)

И при S1 = —со р0 0, поэтому

Sp' — Sk = —Pop/'	(12.37)

и

I = — nihiyi -Ь.

Ъй»

(12.38)

После подстановки в (12.31) выражений (12.35), (12.37) и (12.38)
найдем относительную величину температурного изменения фокус-

ного расстояния системы:
д/;

f т"3 I sp

Тп.

(12.39)

Пользуясь формулами (12.1) —(12.3) для (12.29), найдем

Ttl =	— у.

+ п,

(12.40)



где

k	к	k

дп, =	1	= S MM-o

VP )’	9	° ’	,
Формулу для коэффициента термооптической аберрации увели-
чения для системы из тонких линз в воздухе можно получить из
уравнения (12.4) с помощью равенства (12.20)

Тн = (/-20)°	4-ДТн (12.41)

р.= ]	\ п к	! р.

где
z

ДТп = S “АЦ-1-
1>.=2

Вводя в (12.41) основную термооптическую постоянную (12.33), имеем

Тп=(/-20°) S	S ац^Д^-ь	(12.42).

р.= 1	р.=2 .

§ 84.	Термооптические аберрации для системы,
состоящей из тонких компонентов

Для тонкого компонента, состоящего из I тонких линз в соот-
ветствии с (12.24) и (12.42), учитывая, что h\ = й2 = й* = Л, и у\ =
= i/2 = yk = yi, и переходя к приведенным оптическим силам (<? =
= Ф/Ф1), будем иметь

i

+	(12.43)

I

Т11( = (/-20°)й1у/Ф/^1 ?/Ух/+ ДТп/. (12.44)

Выражение Z<ttVxi называется основным термооптичес-
ким параметром тонкого компонента, т. е.

i

=	(12.45)

Тогда для тонкого компонента будем иметь

Tu = (t— 20°)Ф(1/м+ ДТП;	(12.46)

Тп1 = (/—20°)Й^Ф,1/Хг+ ДТщ.	(12.47)

Для системы из р тонких компонентов

т^^-го0)-!-^ Й?Ф^ХГ+ДГ1;	(12.48)

Тп=(/-20°)£ Й^Ф.^ + ДЛ. - (12.49)

/=1

Учитывая, что
для коэффициентов термооптических аберраций будем иметь

7\ = (/-20°)-i-£	(ai — az) i/х, Ч- ДЛ; (12.50)

п\ 1=1

р

=	20°) I ус (a, — at) Uu+^Tlt.

l—l

(12.51)

§ 85.	Исправление термооптических аберраций

Для устранения термооптической аберрации положения необ-
ходимо выполнить условие As/ = 7'i=0.

Термооптическая аберрация увеличения будет отсутствовать
в том случае, когда

ky't = Д6' tg о/ — Дц = 0.

Допустим, что плоскость приемника, на которой фиксируется изо-
бражение, должна оставаться неизменной при изменении темпе-
ратуры от 20° С до температуры t. Температурное смещение пло-
скости изображенйя относительно плоскости приемника вызыва-
ется двумя причинами: наличием термооптической аберрации по-
ложения изображения и термическим изменением механического
устройства, связывающего оптическую систему с плоскостью при-
емника Да'.

Для устранения температурного смещения плоскости изобра-
жения относительно приемника необходимо выполнить условие

Д£>' = AsJ—Aa'^O,	(12.52)

отсюда

Д8< — Да .

Равенство (12.52) является общим условием нерасстраиваемости
оптического прибора в отношении температурной дефокусировки
изображения относительно приемника. Если, например, достигнуто,
что Да’ = 0, то необходимо, чтобы и As, = 0.

Условие нерасстраиваемости оптического прибора в отношении
температурного изменения размеров изображения на фиксирующей
поверхности приемника определяется из (12.27)

byt — У1 — У20 = 0.

Из (12.27) и (12.30) при Д6'= 0 следует

У2о	s„‘ — sk 1

отсюда

(12.53)
sP’~sk
При S] = —со с учетом нормировок

Ги =	(12.53')

sp'-s*

Для выполнения условия Тп необходимо, чтобы Да'= 0.

Устранение термооптических аберраций оптических систем
производится одновременно с коррекцией хроматических и моно-
хроматических аберраций.

§ 86.	Термобарическая дефокусировка изображения

Рассмотренные выше термооптические аберрации относятся к
нормальному давлению и постоянному значению показателя пре-
ломления воздуха. При изменении давления и температуры изме-
няется показатель преломления воздуха, поэтому происходит сме-
щение изображения, называемое барической дефокуси-
ровкой изображения.

Номинальное значение абсолютного показателя преломления
воздуха при температуре t= 0°С и давлении Рп = 1,01 . 10s Па
равно пьо = 1,0002919. Абсолютный показатель преломления воздуха
при других значениях t и Р определяется по формуле

= 1 +	1 +	-р-о>	(12.54)

где Рь = 1/273; t и Р — температура и давление воздуха в межлин-
зовых промежутках оптической системы.

При определении t и Р возникают большие трудности, так как
они зависят от герметизации и термоизоляции системы, влияю-
щих на скорость процесса уравнивания температуры системы,
и давления окружающей атмосферы. Относительный показатель
преломления воздуха (nft),p в межлинзовых промежутках при изме-
нении давления Р воздуха определяется выражением

«м ~ 1 Р

1 -L —-—г--—

'	пм-1 •

При Р1Рп=^ относительный показатель преломления воздуха
(пй)< = 1 при всех температурах /, потому что в каталоге оптичес-
ких стекол даются величины относительных показателей прелом-
ления.

Напишем (12.54) в виде

(12.56)

где Т = I + 273 и То = 273.
Изменение показателя преломления в зависимости от Р и Т из
(12.56) будет равно

дпь _	(«60-1)	То дпь	_	("ьо-1)	_Р_	/19 Ч7Ч

дР ~ Ро	Т	’ dT	т2	Рр'

Из (12.54) изменение пь составит
dnh dnh ,
dnb-=~dP + ^-dT.

Учитывая (12.57), будем иметь

=	(12.58)

Термобарическая дефокусировка изображения зависит от по-
казателей преломления в межлинзовых промежутках и пропорци-
ональна изменению показателей преломления dn*. Сопоставим
величины барических дефокусировок при одинаковом изменении
давления воздуха, температуре Т и температуре То=293 К
(/=20° С). Приняв в формуле (12.58) dT = 0, отношение бариче-
ских дефокусировок будет определяться выражением

д«Гп=293	("*о ~ 9 7о/(293Ро) _ г	/ю кпч

Аз'т ~ («И-1)МГРо) ~ 293'

Если вычислить изменение показателя преломления при изме-
нении давления от Ро до Р по (12.55), а затем величину As' для
одной какой-либо температуры, например t = 20° С (или Т = 293 К),
то для любой другой температуры Т величина барической дефоку-
сировки As? определяется из (12.59).

Допустим, в (12.58) dP—б, тогда отношение термобарических
дефокусировок можно представить выражением

пьо Р

_ т2 ' Рр = _Р_
Дя'р пьр — 1 ро '
т2

Из (12.60) вытекает, что, вычислив дефокусировку, вызванную
изменением температуры dT воздуха в межлинзовых промежут-
ках системы при нормальном давлении Ро> можно определить
дефокусировку изображения, вызванную тем же изменением тем-
пературы, но при давлении Р. Соотношения (12.59) и (12.60)
используются при разработке нерасстраивающихся систем.
Часть III

ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Глава 13

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Оптической системой называется совокупность оптических де-
талей (линз, призм, зеркал, пластинок, светофильтров и их ком-
бинаций), расположенных относительно друг друга в определен-
ном порядке в соответствии с расчетом и техническими условиями.
Как правило, оптические детали, входящие в систему, имеют
общую ось симметрии. Такие системы называются центрирован-
ными.

Представляется удобным классифицировать оптические систе-
мы по положению предмета и изображения:

а)	предмет и изображение располагаются в бесконечности.
К этой группе относятся телескопические системы (астрономиче-
ские телескопы, зрительные трубы, прицелы, стереотрубы, систе-
мы для формирования излучения ОКГ и др.);

б)	предмет на конечном расстоянии, а его изображение в
бесконечности. К таким системам следует отнести оптические
системы микроскопов различного назначения и лупы;

в)	предмет в бесконечности, а изображение на конечном рас-
стоянии — фотографические объективы различного назначения;

г)	предмет и изображение находятся на конечном расстоя-
нии — проекционные и осветительные системы.

Каждая группа систем имеет свои специфические особенности,
но общими их характеристиками будут увеличение (масштаб изо-
бражения), угловое или линейное поле, светосила и освещен-
ность изображения, разрешающая способность и частотно-кон-
трастная характеристика.

§ 87. Увеличение (масштаб изображения)

Масштаб изображения для систем, в которых предмет и изо-
бражение находятся на конечном расстоянии, определяется ли-
нейным увеличением 0О, равным (рис. 134)
Линейным увеличением характеризуется масштаб изображе-
ния проекционных объективов. Как следует из (13.1), линейное
увеличение зависит от фокусного расстояния системы.

Когда предмет находится па довольно значительном (по срав-
нению с f') расстоянии, например для фотографических объекти-
вов, масштаб изображения определяется фокусным расстоянием.

Рис. 134. Координаты, определяющие положение сопряженных точек системы

При постоянном положении предмета относительно системы ли-
нейное увеличение будет тем больше, чем больше фокусное рас-
стояние объектива.

Обычно при фотографировании получают снимки в уменьшен-
ном масштабе, а при микрофотографии—в увеличенном. Рассто-
яние от задней фокальной плоскости объектива до плоскости изо-
бражения обычно невелико и составляет доли фокусного расстоя-
ния объектива. Величину z' называют оптической длиной камеры
и обозначают Ак. Поэтому масштаб изображения можно пред-
ставить формулой

д

₽о =----(13.2)

В аэрофотосъемочных аппаратах (АФА) плоскость изображе-
ния располагается в задней фокальной плоскости объектива, а
масштаб изображения определяется отношением фокусного рас-
стояния к расстоянию до предмета съемки

т = 4'	О3-3)

Масштаб изображения обозначается как 1:5000; 1:10 000; 1:25 000
и т. д. Формулой (13.3) можно также характеризовать масштаб
изображения малоформатных камер.

Масштаб изображения зрительных труб (телескопических сис-
тем) определяется видимым увеличением

Р __ 1g® ___ D	/10

1т— tg® ~ D’ >	t13-4)

'ОК

где со, <*/—половина углового поля в пространствах предметов
и изображения; D, D’ — диаметры входного и выходного зрачков;
fo&, fок — фокусные расстояния объектива и окуляра.
Иногда для зрительных труб вводится понятие полезного уве-
личения Гп, которое необходимо для полного использования раз-
решающей способности глаза наблюдателя (прифгл = 60"),

г ...	60"d___d	,

Ln—..	- j-20„	- g,

• тр

ф’р = —----разрешающая способность объектива зрительной тру-

бы: D — диаметр входного зрачка в мм.

В оптической системе микроскопа предмет расположен на ко-
нечном расстоянии, а его изображение — в бесконечности. Видимое
увеличение микроскопа Г вычисляется по формуле

г = 2“=—A. 25L = р0 обгок,	(13.6)

'м	'об 'ок

fM — заднее эквивалентное фокусное расстояние микроскопа; Д —
оптический интервал, определяющий расстояние между задней фо-
кальной плоскостью объектива и передней фокальной плоскостью
окуляра; рооб — линейное увеличение объектива; /об, /ок — задние
фокусные расстояния
увеличение окуляра.

объектива и окуляра; i Ок = ----------видимое

'ОК

§ 88.	Поле системы

Полем системы в пространстве предметов называется часть
пространства, которая изображается данной оптической системой.

Поле оптической системы принято обозначать в угловой мере,
если предметы расположены на значительных расстояниях (теле-
скопические системы, фотографические объективы), и в линейной
мере, если предметы находятся вблизи от системы (микроскопы).
Поле оптической системы ограничивается полевой диафрагмой,
которая устанавливается в плоскости предмета или в одной из
плоскостей, с ней сопряженной. В зависимости от назначения
системы ее поле может иметь форму круга, квадрата, прямоуголь-
ника.

§ 89.	Светосила. Освещенность изображения

Геометрическая светосила определяется квадратом относитель-
/ d V

ного отверстия y-jrj или величиной, обратной квадрату диафраг-
I 1 V	.

менного числа 1-у1 , где K = Физическая светосила — произ-
ведение геометрической светосилы на коэффициент пропускания

-	I D '\2	g «

оптической системы. 11 — ] представляет собой численную меру,
характеризующую освещенность изображения точки на оси Е' или
элементарной площадки, перпендикулярной к оптической оси,

£' —	( P.V __/1 3

4 I	(И-7)

Ро — линейное увеличение системы; рг—линейное увеличение
в зрачках; L — яркость предмета.

Из (13.7) следует, что освещенность изображения зависит от
линейного увеличения Ро и для различных расстояний до предмета
Е' будет иметь разные значения. Если предмет находится' в бес-
конечности Ро — 0, то

Е'=^(т-)2.	(13.8)

В прожекторных системах, когда изображение находится далеко
от системы, освещенность определяется по формуле

(13.9)

itD'2	,

—4----площадь выходного зрачка; s —расстояние от системы до

изображения; т— коэффициент пропускания оптической системы.

Освещенность изображения внеосевых точек будет равна

Е'ш ~ kmE' cos4 а',	(13.10)

ka — коэффициент виньетирования.

§ 90. Разрешающая способность.
Частотно-контрастная характеристика (ЧКХ)

Для опенки изображения, даваемого оптической системой, не-
обходимо характеризовать его как с количественной, так и с ка-
чественной стороны. Наиболее распространенным критерием коли-
чественной оценки качества изображения системы является разре-
шающая способность. Исходя из теории дифракции, освещенность
Е' в точке А', удаленной от центра пятна рассеяния /40 на рас-
стояние г', выражается зависимостью

р' И2/100 Г

где у — -т^лкакг*; h(y) — функция Бесселя 1-го рода.

(13,11)

Радиус центрального пятна дифракционной картины светящейся
точки для круглого отверстия, выраженный в линейной мере, будет

Хр , ~ \у
2пп'к sin а’ 2кп'а' ’

(13.12)

(/ — расстояние от центра дифракционного пятна; X — длина волны.
Из выражения (13.12) следует, что

2л - -

У = — ПхакГ

(13.13)
Произведение пк°чг' представляет собой инвариант Лагранжа —
Гельмгольца / для пространства изображений. Переходя к прост-
ранству предметов, получим

у = ^п101гили	.	(13.14)

На рис. 135 представлены радиус г центрального пятна дифрак-
ционного изображения и оптическая система, заданная входным
зрачком D и положением предмета sp. Из рис. 135 можно написать

(13.15)

Сравнивая формулы (13.14) и (13.15) для системы в воздухе,
опуская знак минус, получим

(13.16)

Формула (13.16) позволяет определить угловое расстояние ф,
которое соответствует радиусу центрального дифракционного пят-
на (кружка Эри) в пространстве предметов для светящегося
точечного объекта.

При наблюдении оптической системой двух близко располо-
женных светящихся точек их дифракционные изображения в оп-
ределенных условиях могут частично наложиться друг на друга.
Освещенность в каждой точке дифракционной картины суммиру-
ется, а распределение энергии будет характеризоваться кривой,
представленной на рис. 136.

Оптическая система позволяет раздельно наблюдать две све-
тящиеся точки, если в пространстве изображения их дифракцион-
ные картины смещены на величину радиуса центрального светло-

Рис. 135. Вывод формулы разрешаю-
щей способности оптической системы

Рис. 136. График распределения осве-
щенности в дифракционном изобра-
жении двух светящихся точек

го пятна г. В этом случае суммарная кривая интенсивности Е'
будет иметь два максимума и один минимум.

Для различения двух точек в такого рода дифракционной
картине необходимо, чтобы разность между максимальной и ми-
нимальной освещенностями достигала некоторой определенной
величины. При отношении минимальной и максимальной ее осве-
щенности порядка 0,8 глаз уверенно различает оба максимума

-^п < 0,8.	(13.17)

Е max

Полагая в формуле (13.16) у = 3,8317, получим

Ф = -^.	(13.18)

Для к = 0,55 мкм

D—диаметр входного зрачка в мм. Пользуясь формулой
(13.19) для определения теоретической разрешающей способности
оптической системы в угловой мере, следует иметь в виду, что
контраст освещенности между максимумом и минимумом соста-
вит 26%.

Однако глаз способен различать и значительно меньшие конт-
расты. Так, при контрасте в 5%, когда расстояние между макси-
мумами освещенностей дифракционных картин двух точек соста-
вит 0,85г, угловая разрешающая способность определяется по
формуле

(13.20)

Разрешающая способность объективов зрительных труб обыч-
но выражается в угловой мере, фотографических объективов —
в линиях на 1 мм, а объективов микроскопов — в микрометрах
(мкм).

Однако разрешающая способность систем, обладающих значи-
тельными остаточными аберрациями, недостаточно характеризует
качество изображения. Определение разрешающей способности
осложняется рядом обстоятельств, зависящих от выбора испыта-
тельной таблицы (миры), ее освещенности, контраста, и содер-
жит субъективные ошибки при ее расшифровке. Как показывает
опыт, оптические системы с одинаковой разрешающей способ-
ностью, но . различными остаточными аберрациями отличаются
качеством изображения.

Поскольку разрешающая способность далеко не полно харак-
теризует качество изображения оптической системы, были прове-
дены исследования по объективной оценке качества изображения.
Так, Релей установил критерий, который состоит в том, что для
получения практически идеального изображения остаточная вол-
новая аберрация (отступление волновой поверхности от сферы
сравнения) не должна превышать четверти длины волны,
Д С. Рождественский доказал, что для астрономических
объективов



(13.21)

Однако ни критерий Релея,
ского не учитывают передачу
(см. гл. 27)

ни критерий Д. С. Рождествен-
контраста оптической системой

о	____ R

is Dmax ° min

А = —5-----Т~й------ ИЛИ

°max “г Dmin

р ______р

шах min

р' 4- £* .
max । min

(13.22)

К

Оценка качества изображения может быть также произведена,
исходя из критерия Штреля, когда сравнивается освещенность в
центре дифракционного пятна Е' реальной оптической системы
с освещенностью Etl, создаваемой идеальной системой. Отношение
обеих освещенностей s называют определительной яркостью или
числом Штреля

s=X	(13.23)

fco

При значительных волновых аберрациях, сравнимых с длиной
волны Л, пользоваться формулой (13.23) нельзя, так как распре-
деление освещенности не имеет выраженного максимума. Для
хорошо корригированных оптических систем критерий Штреля
находится по среднеквадратическому отклонению волновой по-
верхности от сферы.

Качестве/ изображения существенно ухудшается, когда волно-
вая аберрация превышает предел Релея или число Штреля ста-
новится меньше 0,8. Критерии Релея и Штреля устанавливают
пределы значения волновой аберрации, при которой изображение
принимается совершенным.

В последние годы для оценки качества изображения использу-
ется частотно-контрастная характеристика (ЧКХ), которую на-
зывают функцией передачи модуляции F(N0) (см. гл. 27),

/?(/V0) = f,	-13.24)

где К' — контраст в изображении решетки с синусоидальным
распределением освещенности; /(-—контраст решетки; Л/о — пе-
риод решетки. Контраст можно определить по формуле (13 22).
ЧКХ расчетным путем определяется для 200—300 точек, располо-
женных по четырем направлениям координатных осей и под угла-
ми 45° к ним Вычисление Е' производится по волновым аберра-
циям либо ня основе геометрических аберраций без учета влия-
ния дифракции, что возможно в случаях, когда волновые .абер-
рации не превышают (2—3) X.

Частотно-контрастная характеристика потволяе) быстро и
ючно предсказать, как будет изображаться предмет периодиче-
ской структуры, и определить падение контраста в изображении
этих структур. Поскольку изменение ЧКХ имеет плавный харак-
тер, она может быть представлена простыми аппроксимирующими
функциями, зависящими от малого числа параметров. Если из-
вестны ЧКХ оптических систем, последовательно передающих
изображение, или отдельно приемного слоя и системы, то простым
умножением этих характеристик можно получить функции кон-
траста.

Экспериментально ЧКХ получают на специальных установках,
снабженных синусоидальными мирами, сканирующими устройст-
вами и фотоэлектрическими приемниками, позволяющими автома-
тически получать функции контраста изображения.

В последующих главах будут рассмотрены принципиальные
оптические схемы различных приборов, нх характеристики, огра-
ничения пучков лучей и другие вопросы.

На практике часто приходится рассчитывать и создавать уста-
новки, представляющие комбинации приборов различного назна-
чения, например, осветительная система — микроскоп; микро-
скоп— фотографическая система; осветительная система — кол-
лиматор— объектив — микроскоп и т. д. В этих случаях необхо-
димо обращать особое внимание на согласование апертур, зрач-
ков и окон систем. Так, в системе осветитель — микроскоп выход-
ная апертура осветителя должна быть равна или несколько
превышать входную апертуру объектива микроскопа, выходной
зрачок осветителя должен совпадать с входным зрачком микро-
скопа. Размеры зрачков, апертурных углов, окон и полей (угло-
вых, линейных) предыдущих и последующих систем следует со-
гласовывать как по нх положению, так и по размерам.
Глава 14

ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ

В качестве оптических деталей оптико-механических и опти-
ко-электронных приборов используются детали, изготовленные из
оптического стекла, кристаллов, пластмасс и других оптически
прозрачных материалов с соблюдением необходимых допусков и
требований — линзы, призмы, плоскопараллельные пластинки, оп-
тические клинья, светофильтры, зеркала, сетки, шкалы н т. п.

Оптические детали, расположенные в соответствии с техниче-
скими условиями, образуют оптическую систему.

§ 91.	Линзы

Линза—деталь из оптически прозрачного материала, ограни-
ченная двумя преломляющими поверхностями, из которых по
крайней мере одна является поверхностью тела вращения. Эти
поверхности могут быть сферическими, плоскими (одна) или ас-
ферическими второго и более высоких порядков.

На рис. 137 представлены основные типы линз: положитель-
ные (собирательные) Ф>0 и отрицательные (рассеивающие)
Ф< 0 и их кардинальные элементы f , s?', sh’, f, sf, sh-

В положительных (собирательных) линзах задний фокус F' рас-
положен справа от задней главной точки линзы Н'. Такая линза
отклоняет луч к оптической оси относительно его первоначального
положения.

В отрицательных (рассеивающих) линзах задний фокус F'
находится левее задней главной точки линзы Н'. Отрицательная
линза отклоняет луч от оптической оси относительно его первона-
чального направления.

Рассмотрим сферические линзы, приведенные на рис. 137.

1.	Двояковыпуклая линза. Линза положительная (Г>0),
радиусы кривизны преломляющих поверхностей противоположны
по знаку: первый радиуе—положительный, второй — отрицатель-
ный. Главные точки Н и Н' расположены между вершинами по-
верхностей (s//»<0; sh > 0).

2.	Положительный мениск. Линза положительная (f >
>0). Радиусы кривизны поверхноетей одинаковы по знаку. Тол-
щина линзы по оси больше, чем ее толщина по краю. Если ра-
диусы линзы отрицательные, то главные точки Н и Н' располага-
ются справа от линзы (sh- > 0, sfl > 0). При повороте линзв! на
180° радиусы линзы станут положительными, а главные точки бу-
дут находиться слева ($// < 0, sw<0). Естественно, что при этом
ее фокусные расстояния и / сохранят свою величину и знак.
3.	П л о с ко- выпуклая линза (выпукло-плоская). Лин-
за положительная (f > 0). Одна из преломляющих поверхностей
будет плоской. Если первая поверхность плоская, то задняя глав-
ная точка совпадает с вершиной второй (сферической) поверхности
(sh- = 0). При повороте лннзы на 180’ (сфера—плоскость) с вер-
шиной первой поверхности совпадает передняя главная точка
(sh = 0). Фокусное расстояние такой линзы не зависит от ее тол-
щины.

4.	Двояковогнутая линза. Первый ее радиус отрицатель-
ный, а второй — положительный. Линза отрицательная (/'< 0).
Главные точки Н и Н’ расположены между вершинами поверх-
ностей («и- <0, sH > 0).

5.	Плоско-вогнутая линза (вогнуто-плоская). Линза
отрицательная (/' < 0). Одна из преломляющих поверхностей плос-
кая. Главные точки располагаются между вершинами поверхностей,
а одна из них совпадает с вершиной сферической преломляющей
поверхности. В плоско-вогнутой sh- = 0, в вогнуто-плоской sh = 0.
Фокусное расстояние такой линзы не зависит от ее толщины.

6.	Отрицательный мениск. Линза отрицательная (/'<0).
Радиусы кривизны преломляющих поверхностей одинаковы по зна-
ку (о > 0 и г2 > 0 или г\ < 0 и Г2 < 0). Толщина линзы по осн
меньше, чем толщина по краю. Главные точки Н и Н’ лежат вне
линзы. Если радиусы отрицательного мениска положительны, то
Sh’ > 0» «и > 0 и главные точки находятся справа; при отрица-
тельных радиусах Sh- и sh— отрицательные и главные точки рас-
полагаются слева от линзы.

7.	Концентричеекаялинза. Линза отрицательная (/' < 0),
радиусы кривизны преломляющих поверхностей одинаковы по зна-
ку. Центры кривизны С| и С2 совпадают. Главные точки линзы
Н и Н' совпадают с центрами кривизны. Если г\ и г2 положитель-
ные, то sh- и Sh также положительные. При повороте линзы на
180’ радиусы Г\ и г2 станут отрицательными, а главные точки Н
и Н' будут находиться слева (sh- < 0, sH<0). Толщина лннзы
определяется разностью значений радиусов кривизны.

8.	Концентрическая линза. Радиусы кривизны прелом-
ляющих поверхностей противоположны по знаку. Толщина линзы
равна сумме абсолютных значений радиусов кривизны ее поверх-
ностей. Линза положительная (/'>0). Передняя и задняя главные
точки линзы совпадают с центром кривизны поверхностей. При ра
венстве радиусов кривизны по модулю ri — —г2 получим так назы-
ваемую линзу — шар (d = 2г).

9.	Линза с обращенными главными точками,
когда по ходу луча вначале расположена задняя главная точка
Н', а затем передняя главная точка Н. Это двояковыпуклая линза,
имеющая значительную толщину, радиусы кривизны этой двояко-
выпуклой линзы противоположны по знаку.
10.	От р и ц а т е л ь н а я линза с обращенными
главными точками. Радиусы кривизны одинаковы по зна-
ку. Линза представляет собой отрицательный мениск. Для полу-
чения положительной или отрицательной линзы с обращенными
главными плоскостями необходимо проводить специальный расчет.

11	и 12. Телескопические (а фокальные) линзы.
Оптическая сила линзы Ф-0 или заднее фокусное расстояние
f =оо. Для получения такой линзы необходимо, чтобы задний
фокус F । первой преломляющей поверхности совпадал с перед-
ним фокусом F2 второй преломляющей поверхности. Параллель-
ность падающего пучка сохраняется и после преломления. Линза
может строить как прямое, так и перевернутое изображение.
Главные точки телескопических линз расположены в бесконеч-
ности.

Все положительные линзы имеют большую толщину по оси,
чем по краю; отрицательные — наоборот.

Ниже приведены формулы для вычисления оптической силы, по-
ложения фокальных и главных точек линзы в воздухе:

и их кардиэлементы
где Ф — оптическая сила линзы; п — показатель преломления ма-
териала, из которого изготовлена линза; гь г2 —радиусы кривизны
первой и второй преломляющей поверхности; d — толщина линзы
(по оптической оси); sfl — положение передней главной точки отно-
сительно вершины первой преломляющей поверхности; s'H, — поло-
жение задней главной точки относительно вершины второй пре-
ломляющей поверхности; sF — передний фокальный отрезок; s'F,—
задний фокальный отрезок.

В бесконечно тонких линзах d — О

ф =	$н —s'H, = 0;	= sF, = f'.	(14.2)

В ряде оптических приборов применяют поверхности с двумя
плоскостями симметрии — цилиндрические и торические, которые
комбинируют в различных сочетаниях между собой и со сфери-
ческими поверхностями. Цилиндрические и сфероцилиндрические
линзы широко используют для получения анаморфозных (с раз-
личными линейными увеличениями в двух сечениях) изображений
в автоматических регистрирующих приборах, технике связи, ши-
рокоэкранном кино, полиграфии, вычислительной технике н дру-
гих областях. В некоторых случаях применяют телескопические
линзы Ф = 0 и линзы с концентрическими поверхностями, в кото-
рых центры кривизны поверхностей совпадают.

§ 92.	Линзы Френеля. Аксиконы

Линза Френеля — оптическая деталь ступенчатого про-
филя, состоящая из определенного числа элементов, расположен-

ных симметрично или асимметрично по отношению к центрально-
му (рис. 138). Число элементов в профиле зависит от назначения
линзы, способа ее изготовления и точности. Каждый из элементов
профиля френелевской линзы имеет рабочую поверхность в виде

Рис 138. Сечение линзы Френеля

части окружности, представляю-
щей собой сечение сферы с соот-
ветствующим этому элементу
центром и радиусом кривизны,
выбранным таким образом, чтобы
лучи, падающие на этот элемент,
после преломления выходили па-
раллельно оптической оси или
собирались в одной точке. Стек-
лянные линзы Френеля применя-

ются в маячных и прожекторных устройствах, а пластмассовые
прессованные — в качестве конденсоров, луп, обеспечивая их ма-
лые габариты.

Аксиконы — оптические системы, обладающие очень боль-
шой сферической (сферические аксиконы) или хроматической
аберрацией (хроматические аксиконы). Они были созданы с целью
устранения погрешности, возникающей при перефокусировке
вследствие колебания визирной оси. В результате значительных
аберраций точечные источники света изображаются в виде осево-
го отрезка большой длины, что позволяет при пользовании зри-
тельной трубой с аксиконом вместо объектива не производить
перефокусировку.

Первый аксикон представлял собой тело вращения в виде оп-
тической детали, имеющей одну плоскую, а вторую — коническую
поверхность. Существуют также аксиконы в виде положительного
мениска, конического зеркала и др.

§ 93.	Плоские, сферические и асферические зеркала

Плоское зеркало — простейшая оптическая система, которая
изображает пространство в масштабе 1:1. В зеркальном изобра-
жении одно из направлений всегда изменено на противоположное.
Система из нечетного числа плоских зеркал строит зеркальное
изображение, а система с четным числом — прямое. При повороте
зеркала на угол а отраженный луч поворачивается на угол 2а.
Назначение плоских зеркал — изменение направления оптической
оси, направления линии визирования, необходимое оборачивание
изображения, подсветка и др.

Плоские зеркала бывают двух видов: с внешним (рис. 139, а)
и внутренним (рис. 139,6) отражающим покрытием. В первом
случае покрытие наносится на внешнюю плоскость зеркала, и
ошибки изготовления зеркал, такие как клиновидность, не влияют
на качество изображения.

Рис. 139. Плоские и сферические зеркала с внешним и внутренним покрытием

Зеркала с внутренним покрытием (см. рис. 139, б), если при
их изготовлении была допущена клиновидность, установленные в
сходящихся (расходящихся) пучках, вызывают двоение изображе-
ния, астигматизм и асимметрию пучка. Такие зеркала применя-
ются в неответственных узлах приборов. Для изготовления зеркал
с внешним покрытием, входящих в оптическую систему прибора,
11 1-446	321
применяется оптическое стекло К.8, ЛК5, МКР-1 и плавленный
кварц. В неответственных случаях — зеркальное стекло.

Размеры зеркал зависят от диаметра падающего и отраженного
пучков лучей, а толщина d—от его назначения. В особо точных
зеркалах (зеркала интерферометров, концевые отражатели дально-
меров и т. п.) d = (-g-ч-у) I', в точных зеркалах (зеркала визуаль-
ных наблюдательных приборов) d = -ь /; в низкоточных зер-
калах—(те-т-Л)/, где /—наибольший размер зеркала.

t1Э хЭj

Два плоских зеркала, расположенных под углом 90° друг к
Другу, образуют так называемую «крышу» и позволяют произво-
дить оборачивание изображения в плоскости, перпендикулярной
к главному сечению.

Сферическим (асферическим) зеркалом (рис.
139, в, г) называется оптическая деталь, в которой на сферической
(асферической) поверхности нанесено отражающее покрытие. Оп-
тическая сила сферического зеркала Ф=#0, следовательно, его дей-
ствие эквивалентно действию линзы.

Сферические зеркала, по сравнению с линзами, имеют ряд
преимуществ (отсутствие хроматизма, меньшая масса, габариты
и т. д.) и применяются в фотографических, проекционных, теле-
скопических, осветительных и других оптических системах.

Недостатки зеркал: требуется повышенная точность изготов-
ления отражающих поверхностей, экранирование в двухзеркаль-
ных системах вторым зеркалом центральной части входного зрач-
ка, вследствие чего зрачок имеет форму кольца.

§ 94.	Плоскопараллельная пластинка

Плоскопараллельная пластинка — оптическая
деталь, ограниченная двумя плоскими параллельными гранями,
поверхности которых могут быть прозрачными, полупрозрачными
или матовыми.

Назначение плоскопараллельных пластинок в оптических при-
борах различное: компенсаторы в интерферометрах н микрометрах,
светофильтры, сетки, шкалы, защитные стекла, основания зеркал,
предметные и покровные стекла и т. д. Плоскопараллельная пла-
стинка устанавливается в параллельных и в сходящихся (расхо-
дящихся) пучках лучей (в последнем случае, как правило, пер-
пендикулярно к оптической оси). Принцип действия пластинки
иллюстрирует рис. 140: А — продольное смещение луча, г— попе-
речное смещение луча.

Пластинка строит мнимое изображение А' действительного
предмета А. Если предмет мнимый, как на рис. 140, то изобра-
жение будет действительным.
Смещение изображения вдоль оптической оси вычисляют по
формуле

Д = d 1

COS 6|

Поперечное смещение

z = dsin si (1

(14.3)

Для малых углов падения

А П~ 1 J
До «а —•—а;
п. ’

п — 1 ,
zo= —— а»ъ

(14.4)

Пластинка всегда смещает изо-
бражение на величину А(Ао) по
ходу падающего луча.

Плоскопараллельная пластинка
характеризуется геометрическими
размерами, маркой стекла и ка-
чеством изготовления N(N—

cos e

d

Рис.

140. Принцип действия плоско-
параллельной пластинки

число интерференционных колец

(полос), ДМ— их деформация, 0—клиновидность).

Толщина пластинки обусловливается величиной деформации и
возможностью точного изготовления плоскостей.

В точных пластинках d = (4--ч- D, где D — диаметр плас-
\ О	1 v J

тинки (или размер диагонали при прямоугольной форме).

В пластинках средней точности d =	Пластинки обыч-

но изготовляются из оптического стекла марки К.8, ЛК5, ситалла

или кварцевого стекла.

Помещенная в параллельных или слабо сходящихся (расходя-
щихся) пучках пластинка практически не влияет на качество изо-
бражения.

Однако расчет широкоугольных и светосильных систем выпол-
няется с учетом аберрационного влияния пластинок. Наклон пла-
стинок в сходящихся пучках не должен превышать 5—10', так
как в противном случае будет нарушена симметрия строения
пучков лучей, появится кома для точки предмета на оптической
оси, а по полю — неодинаковое качество изображения и несимме-
тричное распределение разрешающей способности.

При габаритных расчетах сложных оптических систем, содер-
жащих наряду с линзовыми компонентами призмы и плоскопарал-
лельные пластинки, удобно призмы представить эквивалентными
пластинками (толщины которых равны длине хода луча в призме},
а. пластинки редуцировать, т. е. привести к воздуху.
Рис. 141 поясняет прием редуцирования, т. е. переход от обыч-
ной пластинки к пластинке, приведенной к воздуху, hi, hi— вы-
соты падения луча на гранях реальной плоскопараллельной плас-
тинки, h^, hip — высоты того же луча на гранях редуцированной
пластинки; dp = d—bo — редуцированная толщина,

Рис. 141. Редуцирование плоскопарал-
лельной пластинки

=	(14.5)

hi = hip, h2 = hip, т. e. высоты
падения луча равны. Луч ДМ, не
испытывает преломления при про-
хождении через редуцированную
пластинку, а это существенно об-
легчает габаритный расчет, кото-
рый завершается переходом от
редуцированной пластинки к ре-
альной с учетом смещения.

§ 95.	Отражательные призмы

Призмой называется оптическая деталь, ограниченная пре-
ломляющими (не менее двух) и отражающими плоскостями, рас-
положенными под углом друг к другу. По своему действию приз-
мы бывают преломляющими и отражательными. В отражательных
призмах углы падения луча на входной грани и преломления
того же луча на выходной грани равны. Преломляющие (спект-
ральные) призмы характерны тем, что в них эти углы могут быть
различными. Отдельную группу призм составляют так называемые
призмы двойного лучепреломления (поляризационные).

Отражательные призмы в оптических приборах применяются
для следующих целей: 1) изменения направления линии визирова-
ния (качающиеся призмы, расположенные перед объективом);
2) изменения направления оптической оси («ломаные» трубы);
3) оборачивания изображения (призменные оборачивающие сис-
темы); 4) разделения поля.

Действие отражательных призм аналогично действию плоских
зеркал, однако призмы имеют ряд преимуществ, поскольку они
конструктивно устойчивее зеркал, не вносят двоения изображения,
а на призменных отражающих гранях при использовании полного
внутреннего отражения нет необходимости наносить зеркальные
покрытия. Кроме того, некоторые призмы могут работать в усло-
виях, неприемлемых для зеркал, когда луч направлен параллельно
отражающей поверхности.

Отражательные призмы бывают одинарные (изготовленные
из одного куска стекла) и составные. Каждая призма условно
обозначается двумя буквами и числом через знак тире. Первая
буква указывает на число отражений в призме, вторая — на ее
конструкцию. Число показывает угол отклонения осевого луча
призмой. Если на одной из граней нанесена «крыша», то она
считается одним отражением, а у первой буквы появляется ин-
декс «К». При отклонении осевого луча внутри призмы в двух
плоскостях цифры условного обозначения указывают на эти откло-
нения. Приняты следующие обозначения: первая буква А — одно
отражение, Б — два отражения, В — три отражения (при наличии
«крыши» — Ак, Бк, Вк).

Вторая буква характеризует конструкцию призмы: Р — рав-
нобедренная, П — пента, У — полупента, С — ромбическая, Л —
Лемана, М — призма дальномерного типа. Таким образом, имеем:
АР — 90° — прямоугольная призма, БП—90° — пентапризма,
ВКЛ — 0° — призма Лемана с «крышей».

Каждую составную призму обозначают начальной буквой ее
названия и числом градусов, на которое отклоняется осевой луч:
А—0° —призма Аббе, П—0° — призма Пехана, Бк—90°—баш-
мачная призма с «крышей», К—0° — куб-призма (рис. 142).

При конструировании приборов следует учитывать, что призма
должна наиболее простым способом решать задачу, поставленную
техническими условиями, иметь наименьшее число отражающих
поверхностей и простую конфигурацию, облегчающую процесс
ее изготовления. К призмам, в которых приходится наносить отра-
жающее покрытие, следует прибегать лишь в крайнем случае,
так как с течением времени коэффициент отражения покрытия
уменьшается. Призмы с четным числом отражающих поверхно-
стей дают прямое изображение, с нечетным — зеркальное. Уста-
новленная в параллельных пучках лучей отражательная призма
не вносит хроматизм, следовательно, ее действие эквивалентно
действию плоскопараллельной пластинки.

Призма должна иметь минимальные габариты и массу, поэто-
му ее следует устанавливать вблизи наименьшего сечения световой
трубки.

Необходимо использовать явление полного внутреннего страже
ния, при котором отсутствуют световые потери, т. е. выполнять
условие, когда | е | > | екр |, где sin екр = 2. , Если призма находится

1

в воздухе, то sin екр = п.

В ряде оптических приборов применяют различные призмен-
ные системы (Порро I рода, Порро И рода, а также системы,
состоящие из прямоугольных призм, и призмы Дове: АР—90°—
АР—0°—АКР—90°) для необходимого оборачивания изображения
и оптические шарниры, позволяющие изменять углы между оп-
тическими осями различных ветвей прибора.

При габаритных расчетах отражательных призм, связанных
с определением их размеров, зависящих от диаметров пучков лу-
чей, проходящих через призмы, удобно выпрямить ход лучей.
Этот прием называется разверткой призмы и выполняется следу-
ющим образом. Последовательно, по ходу осевого луча, в каждой
отражающей поверхности строится изображение призмы и отра-
Рис. 142. Основные типы отражательных призм

82b
женного луча (рис. 143). Таким образом, отражательная призма1
разворачивается в эквивалентную плоскопараллельную пластинку,
толщина которой равна длине хода луча в призме, а входная
и выходная грани — перпендикулярны к осевому лучу. В некото-
рых случаях устанавливается оптический клин, дополняющий
развертку до плоскопараллельной пластинки (в башмачной приа-

Рис. 143. Развертка призм АР—90° БП—90®

ме). Затем для упрощения расчетов эквивалентную плоскопарал-
^экв»
лельную пластинку редуцируют, т. е. приводят к воздуху, ар= ——
Определив световые диаметры на входной и выходной гранях ре-
дуцированной пластинки, решают обратную задачу — переходят к
эквивалентной пластинке, а от нее — к призме.

Призмы могут использоваться в виде отражателей, возвраща-
ющих падающий луч по тому же направлению. Таким отражате-
лем может быть призма БР—180° (прямоугольная равнобедрен-
ная) или уголковая (триппельпризма). Их достоинство в том, что
нет необходимости строго устанавливать входную грань перпенди-
кулярно к падающему потоку, так как в любом случае луч будет
возвращен параллельно падающему лучу.

Отдельные призмы или призменные системы разделяют (соби-
рают) падающие световые потоки или срезают определенную часть
потока.

Следует учитывать, что в призмах геометрическая длина хода
луча I пропорциональна диаметру D цилиндрического пучка, про-
ходящего через призму, и во всех призмах (кроме Дове и куб-
призмы) не зависит от показателя преломления п стекла, из кото-
рого изготовлена призма, 1—kD. Коэффициент k зависит от конст-
рукции призмы.

§ 96.	Оптические клинья. Компенсаторы. Бипризма

Оптический клин — преломляющая призма с малым
углом преломления. Применяется в оптических устройствах для
измерения малых линейных или угловых смещений изображений
путем перемещения его вдоль оптической оси или вращения пер-
пендикулярно к оси.

На рис. 144, а представлен ход луча в оптическом клине, рас-
положенном в воздухе.
ei — угол падения луча, 6 — угол клина, 8 — угол отклонения лу-
ча, п — показатель преломления.

При конечных значениях угла падения si угол отклонения 8
определяется по формуле

(14.6)

Рис. 144. Ход луча в оптическом клине

При малых углах падения ei

можно пользоваться приближен-

ной формулой, полученной путем

разложения cos$i и -----

COS е [

в ряд,

6= 0 (л — 1) (1 +

Если луч падает нормально

на входную грань клина, когда

£1 = 0, его отклоняющее действие 8 будет равно

8 = 6(/г — 1).

(14.8)

Эту формулу обычно называют формулой клина. Оптический
клин всегда отклоняет луч в сторону своего основания.

Тонкий клин смещает изображение (рис. 144, б) перпендику-
лярно к оси на величину

Д1 = а8 = аб (и— 1).

(14.9)

Одиночный клин в воздухе вносит окрашивание изображения.
Величина хроматической аберрации, полученная путем дифферен-
цирования формулы (14.8) и последующего перехода к конечным
приращениям, будет равна

Д8 = 6Дп,	(14.10)

Д8 = 8/?»— 8С' — хроматизм положения в угловой мере; Ди = пр' —
—п0> — средняя дисперсия.

Если хроматизм клина окажется недопустимо большим, то его
ахроматизуют, т. е. делают составным из двух клиньев, и так рас-
считывают углы 61 и 02, чтобы отклонения 8f- и 8С> были равны.
Ниже приведены для этого случая расчетные формулы

„	bv.	bvo	z

.И.,-.,).	(И1,>

Здесь 61, 62 — преломляющие углы клиньев, образующих ахрома-
тический клин; 8 — угол отклонения пучка одиночным неахроматн-

зованным клином; v ===

-----------коэффициент дисперсии.

д.. • дв»
Величина вторичного спектра в ахроматизированном клине

8е—= —L_(9j — <р2),

(14.12)

где	= —-— ------коэффициент частной дисперсии.

nF' пс'

Компенсаторы в оптических приборах применяются для изме-
рения или устранения малых линейных смещений или угловых

отклонений. Для этой цели ис-
пользуются вращающиеся клинья
(одиночные и парные) или пере-
мещающиеся вдоль оси. Кроме
клиньев роль компенсаторов мо-
гут выполнять плоскопараллель-
ные пластинки, зеркала и линзы.

Бипризма — разделительное рис.
устройство, представляющее со-
бой по существу два одинаковых

<3

145. Разделение лучей бипризмой
и окуляром

I

оптических клина, склеенных основаниями (рис. 145). При паде-
нии на бипризму осевого луча (для простоты вывода формулы)
нижний клин бипризмы отклоняет его к своему основанию на
угол (—8), а верхний — к своему на угол 8. После прохождения
последующей системы оба луча будут смещены на величину а:

a = 2tf' = 2/'0(n — 1).

(14.13)

Бипризма устанавливается как в фокальной плоскости, так и
вне ее. При работе с бипризмой в приборе обязательно применя-
ется диафрагма, отсекающая часть изображения.

Если необходимо сместить изображение выходных зрачков
трубы Кеплера на половину их диаметра, то при этом угол клина,
установленного в передней фокальной плоскости окуляра, вычи-
сляется по формуле

0 =

D'

4/ок ("-I)

ИЛИ -Я- = 40 (и — 1),
об

(14.14)

D — диаметр выходного зрачка; -р---относительное отверстие.

При смещении выходных зрачков на величину их диаметра D'

-р-= 20 (и—1).

'об

(14.-15)

§ 97.	Светофильтры

Светофильтр представляет собой плоскопараллельную
пластинку, изготовленную из материала, обладающего избиратель-
ным пропусканием света.

Эта деталь может быть выполнена из цветного стекла, жела-
тины, окрашенных пластмасс. Светофильтры бывают жидкие, га-
зовые, поляризационные и интерференционные. Они изменяют
яркостные, цветовые соотношения между объектами и уменьшают
.хроматическую аберрацию.

Материалом для светофильтров является оптическое цветное
стекло (ГОСТ 9411—75), различные марки которого определяются
специальными свойствами: УФС — ультрафиолетовые стекла,
ФС — фиолетовые, СС — синие, СЗС — сине-зеленые, ЗС — зеле-
ные, ЖЗС — желто-зеленые, ОС — оранжевые, КС — красные,
ИКС — инфракрасные, ПС — пурпурные, НС — нейтральные,
ТС— темные, БС — бесцветные. Название цветного стекла соот-
ветствует спектральному участку с наибольшим коэффициентом
пропускания.

Светофильтры используются при неблагоприятных условиях
(дымка, туман, малая контрастность объектов).

В фотографии они применяются для правильного воспроизве-
дения на снимках соотношений визуальных яркостей объекта или
изменения их контраста. Чаще всего применяются желтые и оран-
жевые светофильтры. Светофильтры характеризуются цветом и
Кратностью. Кратность показывает, во сколько раз надо увеличить
время экспонирования (выдержку) при съемке с данным свето-
фильтром по сравнению со съемкой без светофильтра.

Спектральная характеристика светофильтра определяется пока-
зателем поглощения kK для различных длин волн, спектральными
кривыми оптической плотности и коэффициента пропускания тд:

=	=	(14.16)

где d — толщина светофильтра.

При вычислении оптической плотности следует учитывать потери
на поглощение в стекле и потери на отражение. С учетом потерь
на отражение коэффициент пропускания равен

тх — (1 — р)2тх,	(14.17)

где р—коэффициент Френеля, характеризующий потери на от-
ражение при преломлении.

Оптическая плотность, учитывая потери на отражение, составит
zX = -lgT; = Dx + DP,	(14.18)

где Dp — поправка на отражение, Dp — —2 lg (1—р).

Для каждой марки цветного стекла определенной толщины при-
водятся спектральные кривые оптической плотности DK и коэффи-
циента пропускания тд. На спектральной кривой тд можно опреде-
лить предельную длину волны Хпр, для которой коэффициент
пропускания в 2 раза меньше ттах. Эта длина волны является гра-
ницей пропускания светофильтра.

Недостатком фильтров из цветного стекла является невозмож-
ность выделения излучения узкой спектральной области с высо-
ким коэффициентом пропускания. Эту задачу решают интерферен-
ционные фильтры, действие которых основано на интерференции
света в тонких пленках, нанесенных на прозрачные плоскопарал-
лельные пластинки. ,
§ 98.	Светопроводы и волоконная оптика

Под волоконной оптикой понимают совокупность методов н

средств передачи оптического излучения с помощью сверхтонких

оптически изолированных волокон, изготовленных из прозрачных

для этих излучений материалов.

Передача оптического излу-
чения вдоль волокна происходит
за счет полного внутреннего от-
ражения от его стенок. Собран-
ные в жгут волокна передают
оптическое излучение независимо
друг от друга.

Если диаметр волокна сущест-
венно превосходит длину волны из-
лучения, то передача этого излу-
чения происходит на основе пол-
ного внутреннего отражения лу-
чей от его боковой полированной
поверхности по законам геомет-
рической оптики.

Волоконно-оптические устрой-

Рис. 146. Цилиндрический и коничес-
кий световод

ства сами изображения не формируют, они его лишь переносят.

Поэтому для ввода изображения на входной торец и снятия его
с выходного необходимы оптические устройства типа проекцион-
ных объективов.

В настоящее время промышленность выпускает волокно опти-
ческое (стеклянное и органическое), одножильные световоды
(стеклянные и кварцевые), многожильные световоды, жгуты осве-
тительные, преобразователи формы, разветвители, волоконные
пластины, волоконные линзы, фоконы, анаморфоты.

На рис. 146, а, б представлен ход луча в отдельном стеклово-
локне цилиндрической и конической формы. Оболочка из стекла типа
крон (пКр= 1,52) предназначена для уменьшения потерь света при отра-
жении, а сердечник, изготовленный из стекла типа флинт (лфЛ —
— 1,82), передает световую энергию или изображение.

Апертурный угол а определяется зависимостью

sin а

2	2

Ифл ^кр

Принимая ДфЛ = 1,75, пкр = 1,52, получим а — 60е.

Если волокно имеет форму фокона, при котором уменьшается
или увеличивается диаметр выходного торца по сравнению с вход-
£>

ным, то апертурный угол а находят по формуле sin а' = к— sin а.
^вых

Для передачи изображения или световой энергии отдельные
волокна собирают в пучок (жгут) заданных размеров. Волокна
в пучке могут быть уложены в виде квадрата, шестиугольника,
цилиндра, либо иметь какую-либо другую форму с плавно меняю-
щимся сечением для изменения масштаба изображения.

Светопропускание волокон заметно падает при радиусах изгиба,
равных примерно 20 диаметрам волокна, когда часть света про-
ходит через боковые поверхности и рассеивается.

Светопроводы сами свободны от аберраций и при изменении
формы выходного торца могут исправить дисторсию и кривизну
поля оптической системы, совместно с которой они применяются.

Разрешающая способность светопровода зависит от диаметра
волокна, расстояния между ними и определяется в линиях на
миллиметр.

Жгуты с произвольным расположением волокон, разрезанные
на две части, можно использовать при кодировании и декодиро-
вании световой информации.

Волоконная оптика применяется для передачи изображения с
изменением масштаба (фоконы, афоконы), в приборах медицин-
ской диагностики для изучения внутренних органов человека, в
различных системах наблюдения, в ЭВМ, приборах скоростной
фотосъемки и для других целей.

Недостатки волоконной оптики: сложная технология изготов-
ления высококачественных тонких волокон, значительные свето-
потери в длинных волокнах из существующих материалов, необхо-
димость применения специальных устройств ввода и снятия ин-
формации и некоторые другие.
Глава 15

ГЛАЗ КАК ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
И ПРИЕМНИК ИЗЛУЧЕНИЯ

Зрение — способность видеть — дает человеку возможность
познавать окружающий нас мир и осуществляется посредством
сложной оптической и физиологической системы — глаза.

С помощью глаза человек получает более 80% всей информа*
ции. Глаз — прибор весьма чувствительный; диапазон изменения
яркостей, воспринимаемых глазом, составляет 1012. Глаз разли-
чает до 25 тысяч оттенков в солнечном свете и может воспринять
вспышку света длительностью менее миллисекунды.

Глаз человека часто действует вместе с оптическими инстру-
ментами, поэтому при разработке наиболее оптимальных конструк-
ций оптических приборов необходимо учитывать оптические и фи-
зиологические свойства глаза.

§ 99.	Устройство глаза

Глаз человека представляет собой своеобразный оптический
прибор (рис. 147). Передняя, несколько выпуклая, часть оболочки
глаза прозрачна и называется роговицей,?, в остальной части
глаз покрыт непрозрачной белковой
оболочкой — склерой 10. Наруж-
ный покров роговицы переходит в
конъюнктиву 7, прикрепленную
к векам. За роговицей располагается
передняя камера 5, наполнен-
ная прозрачной жидкостью, так назы-
ваемой водянистой влагой.
Заднюю стенку камеры образует р а-
дужная оболочка 2 с отвер-
стием посредине — зрачком.

Диаметр зрачка меняется от. 2 до
8 мм в зависимости от величины све-
тового потока, поступающего в глаз.

За зрачком располагается хру-

сталик 4, который отделяет переднюю камеру 5 от задней
камеры 1. Хрусталик представляет собой двояковыпуклую эла-
стичную линзу, на которую действуют кольцевая мышца 6,
при этом изменяются кривизны поверхностей хрусталика, что по-
зволяет фокусировать изображение предметов.
Внутренняя полость глаза, расположенная за хрусталиком,
заполнена студенистым прозрачным веществом, называемым
стекловидным телом.

Радужная оболочка переходит в более тонкую сосудистую
оболочку 8, покрывающую внутреннюю полость склеры 10
и состоящую из сети кровеносных сосудов.

Внутренняя поверхность задней камеры покрыта сетчатой
оболочкой 11 (ретиной).

Сетчатая оболочка является приемником световой энергии,
поступающей в глаз, и имеет весьма сложное строение. Она состо-
ит из десяти слоев. Первый слой образуется из отдельных волокон
зрительного нерва, непосредственно соприкасающихся со стекло-
видным телом. Последующие семь слоев состоят из окончаний
нервных волокон — нейронов. Световоспринимающими элемен-
тами сетчатой оболочки являются окончания волокон зрительного
нерва, которые располагаются в девятом слое и разделяются на
два вида: колбочки и палочки. Колбочки (около 7 милли-
онов) имеют длину порядка 35 мкм и толщину 5—6 мкм. Палочки
(около 130 миллионов) имеют длину 63—81 мкм и диаметр
около 1,8 мкм.

Колбочки и палочки состоят из веществ, сильно поглощающих
свет. Поглощение света сопровождается химической реакцией раз-
ложения вещества, составляющей основу зрительного раздраже-
ния, которое передается в мозг по нервным волокнам. Колбочки
и палочки распределены по сетчатой оболочке неравномерно. Кол-
бочки располагаются главным образом в центральной части сет-
чатой оболочки, где находится желтое пятно 12. В цен-
тральной ямке желтого пятна, площадью около 0,5 мм2,
находятся исключительно колбочки. Это место сетчатой оболочки
является местом наибольшей разрешающей способности глаза.
Линия 9, проходящая через центр желтого пятна и заднюю узло-
вую точку глаза, называется зрительной осью. Она откло-
нена от оптической оси 14 глаза на угол 5°. По мере удале-
ния от желтого пятна все больше преобладают палочки, а на
краях сетчатой оболочки находятся только палочки. Зрительный
нерв входит в глаз в стороне от желтого пятна. В этом месте 13
сетчатка не содержит световоспринимающих элементов и называ-
ется слепым пятном. Диаметр центральной ямки приблизи-
тельно соответствует 2,5° поля зрения.

Расстояние между центрами зрачков глаз — глазной базис —
у взрослого человека лежит в пределах от 56 до 74 мм. Среднее
значение глазного базиса составляет 65. мм.

Глазное яблоко посредством мышц может вращаться в преде-
лах углов 45—50°. При наблюдении близко расположенных предме-
тов глаза поворачиваются так, что их зрительные оси составляют
некоторый угол — угол конвергенции, имеющий наибольшую
величину, равную 32°.
§ 100.	Основные параметры глаза как оптической системы

Глаз представляет собой центрированную оптическую систем],
состоящую из двух линз: роговицы и хрусталика, между которым}
находится передняя камера, заполненная водянистой влагой. Пе
редняя поверхность роговицы граничит с воздухом, между хруста-
ликом и сетчаткой находится стекловидное тело. Оптические п<-

стоянные глаза для разных лиц колеблются в широких пределах
поэтому были установлень

средние значения для все:
глаза. Глаз с

^=-77,26 НН' f^22,78

-15,71

ПОСТОЯННЫХ
указанными
называется

ПОСТОЯННЫМ}
схематик

7,77

2,03

32_
Л =~74,17

0,5_

Аккомодация на «>
. 24,38

7,35

7,60

3,60

N N'

F

А=18,ЭЗ

Н И' 21,02

с к и м. На рис. 148 показа
ны основные постоянные
глаза (по Гульстранду^ i

—72,417

Аккомодация на длижнюн? точку

f~-77,1

22,Z

Н

Н‘

П-7,33

F

f'=22,8

Рнс. 148. Параметры схематического глаза Рис. 149. Параметры приведен-
ного глаза

округленном виде при фокусировании на бесконечность и на ближ-
нюю точку. Роль апертурной диафрагмы в глазу выполняет зра-
чок глаза.

Для еще большего упрощения расчетов была разработана мо-
дель глаза, называемого приведенным или редуцирован-
ным глазом. При выборе постоянных редуцированного глаза при-
нимались во внимание следующие условия: преломляющие поверх-
ности глаза заменяются одной эквивалентной преломляющей по-
верхностью, разделяющей две среды — воздух и стекловидное тело;
расстояние между главными точками схематического глаза мало,
поэтому их можно считать совпадающими. Постоянные приведен-
ного (редуцированного) глаза (по Гульстранду) приведены на
рис. 149.

§ 101.	Аккомодация и рефракция глаза

Оптическая система глаза имеет постоянный задний отрезок;
фокусировка изображений предметов, находящихся на различных
расстояниях, производится при помощи кольцевой мышцы, которая
иомсплс! кривизну хрусталика глаза. Этот процесс называется
аккомодацией. Изменение кривизны хрусталика может изме-
нять его оптическую силу до 20 % • Расстояние, в пределах которого
глаз может резко видеть предметы, называется об.ластью ак-
комодации. Наиболее удаленную точку, которую глаз может
ясно видеть при совершенно расслабленной мышце, называют
дальней точкой глаза. Точка, которую можно видеть при
наибольшем для данного глаза напряжении мышцы, называется
ближней точкой глаза.

Однако глаз быстро утомляется при аккомодации на ближнюю
точку и обычно рассматривание близких предметов производится
с расстояния удобного зрения, которое для нормального глаза
принимается р0 = 250 мм. Расстояние от вершины роговой оболочки
глаза до дальней точки глаза обозначим буквой $д, до ближней
точки — Зе; тогда величины, обратные зд и se, будут вершинны-
ми рефракциями (сходимостями) для дальней и ближней то-
чек глаза, т. е. 1/$д = 7?д—рефракция для дальней точки и Use —
= Кб—рефракция для ближней точки.

Рефракция выражается в диоптриях. Рефракция при расстоянии
дальней точки, равном 1 м, равна одной диоптрии. Разность обеих
рефракций называют шириной аккомодации (или силой
аккомодации),

А=Кб — Кл.	(15.1)

При проектировании оптических приборов следует иметь в виду,
что при длительном наблюдении близких предметов глаз быстро
утомляется, поэтому пучки лучей, идущие от отдельных точек пред-
метов, наблюдаемых глазом, должны преобразовываться оптиче-
ским прибором в пучки параллельных лучей.

Аберрации оптической системы глаза. Глаз как прибор удовле-
творяет ряду противоречивых требований: он имеет высокую раз-
решающую способность, большое поле зрения и весьма высокую
чувствительность. Это достигается за счет большой подвижности
глаза, которая позволяет рассматривать предметы по частям, фо-
кусируя все время наиболее интересующую часть поля на желтое
пятно. Благодаря этой особенности устройства глаза даже весьма
существенные его недостатки ие влияют на качество видения.

Глаз не является ахроматической системой. Величина хрома-
тизма положения его для крайних участков видимой части спект-
ра равна примерно 2 диоптрии. Однако избирательная спектраль-
ная чувствительность глаза, а также малая величина зрачка
практически исключают хроматизм.

Кома оптической системы глаза и децентрировка ее элементов
невелики и качество изображения не ухудшают. Влияние кривизны
изображения и дисторсии мало, поскольку изображение строится
на сферической поверхности сетчатки.

Глаз не свободен от сферической аберрации, однако для ма-
лых размеров зрачка влияние ее незначительно. Влияние сфери-
ческой аберрации глаза сказывается только в сумерках, когда
размеры зрачка велики, при этом изображения предметов не
только малоконтрастны, но акже и нерезки.

Таким образом, хотя оптическая система глаза и не является
идеальной, величины монохроматических аберраций в поле зре-
ния, ограниченном желтым пятном, т. е. в области прямого зре-
ния, настолько малы, что не ухудшают качество изображения и
не влияют на разрешающую способность глаза.

§ 102.	Разрешающая способность и поле глаза

Под разрешающей способностью глаза (ос-
тротой зрения) понимают способность глаза видеть раздель-
но два близких предмета. Мерой разрешающей способности глаза
считается величина, обратная наименьшему угловому расстоянию
между двумя точками, когда глаз еще видит промежуток между
этими точками. Условно считается, что разрешающая способность-
равна единице, если наименьший угол между двумя точками, при
котором они видны раздельными, равен одной минуте (т. е. раз-
решающая способность будет равна единице при фГл=1/, двум
при тргл = 0,5/ и половине при фгЛ = 2'). Разрешающая способность
эмметропического (нормального) глаза достигает 1,25-ь 1,5 ус-
ловной единицы.

Разрешающая способность определяется строением сетчатой
оболочки, которая напоминает сетку с шестигранными ячейками.
В каждой ячейке находится одна колбочка, которая может вос-
принимать одновременно лишь одно зрительное впечатление, т. е.
если свет попал на часть ячейки, то реагирует вся ячейка (кол-
бочка). Колбочки в желтом пятне соединены с окончанием зри-
тельных нервов так, что на одну-две колбочки приходится один
нерв. Таким образом, разрешающая способность глаза в желтом
пятне определяется размером колбочки (0,005 мм) и в угловой
мере для среднего глаза составляет 1'. Такую же величину можно
получить, исходя из условий дифракции лучей при построении
изображения в глазу, по формуле

<ргл = 1,22Х/Г»гл.	(15.2)

При зрачке глаза £>Гл = 2 мм фгл=1'- При увеличении зрачка
свыше 3,5 мм разрешающая способность падает из-за аберрации
его оптической системы. При уменьшении зрачка до 1 мм разре-
шающая способность подчиняется формуле (15.2), а затем резко
падает вследствие влияния дифракции. По мере перемещения к
периферии сетчатки с окончанием одного нерва становятся свя-
занными несколько колбочек и палочек, поэтому разрешение силь-
но падает.

Если изображения предметов попадают на светочувствительные
элементы так, что они находятся почти на одной линия в одном
направлении, но разнесены в другом, например, в случае наблю-
дений двух штрихов нониуса, то разрешающая способность
337
повышается до 10", поскольку в этом случае изображения штри-
хов передаются различными нервным» окончаниями.

Полем глаза называется то пространство, в пределах
которого возможно различение предметов при неподвижном поло-
жении глаза. В среднем можно принять, что в горизонтальном
направлении угол поля глаза от оптической оси в сторону виска
достигает 92-5-100°, в сторону носа — 60-5-65°. В вертикальном
сечении: вверх 60°, вниз 70°. При наблюдении двумя глазами поле
глаза по горизонту составляет 184-5-200°, а по вертикали—130°.

Видимость предметов в разных участках поля различна. Зона
наиболее четкого видения ограничивается желтым пятном и со-
ставляет около 2°. Эта зона носит название центральной.
Далее идет зона ясного видения (30° по горизонтали и 22°
по вертикали), в пределах которой при неподвижном положении
глаза возможно распознание предметов без различения мелких
деталей. Третьей зоной является зона периферического
зрения, в .пределах которой невозможно опознавание предме-
тов, но она имеет большое значение для ориентировки в окружа-
ющем пространстве. В этой зоне в особенности хорошо заметны
движущиеся предметы. Ограниченность резко наблюдаемого поля
компенсируется подвижностью глаза.

§ 103.	Адаптация. Контрастная чувствительность глаза

Адаптацией называется способность глаза приспосабливаться
к различным яркостям наблюдаемого пространства. Глаз спосо-
бен работать в весьма широком диапазоне яркостей: от 10-7 до
105 кд/м2; при этом перепад яркостей составляет 1:1012.

Различают: а) темновую адаптацию глаза — при пере-
ходе наблюдателя из светлого помещения в темное, она по вре-
мени длится 30—40 минут; б) световую адаптацию гла-
за — при переходе наблюдателя из темного помещения в светлое.
Световая адаптация происходит быстрее. Чувствительность сни-
жается и достигает постоянной величины через 5—8 мин. Наи-
меньшая освещенность, которую еще способен воспринимать глаз
(пороговая освещенность), составляет 10-9 лк. При яркостях свы-
ше 1,6  105 кд/м2 происходит ослепление глаза.

Глаз весьма чувствителен к контрасту яркостей предметов на-
блюдаемого пространства. Контраст яркостей предмета и фона, на
котором он различается, определяется величиной

К =	(15.3)

где L — яркость предмета; —яркость фона. Минимальная раз-
ность яркостей предмета и фона, при которой глаз может разли-
чать объект,

△^-min = (Г— 7.ф)т1п	(15.4)
называется пороговой разностью яркости, а отношение
л

—j пороговым контрастом. Величина, обратная поро-
говому контрасту L/ALmin, является мерой контрастной чув-
ствительности глаза.

§ 104.	Субъективная яркость изображения
при наблюдении невооруженным глазом

Субъективной или видимой яркостью называет-
ся степень раздражения, вызываемая светом, попадающим в глаз.
Различают два случая наблюдения невооруженным глазом: на-
блюдение точечного источника света и источника света конечных
размеров.

Все наблюдаемые предметы или их детали, изображения кото-
рых не превышают площади одного светочувствительного элемен-
та (Г), считаются точечными.

Субъективная яркость при наблюдении точечных предметов
определяется световым потоком и зависит от расстояния до пред-
мета:

(15.5)

где / — сила света; I—расстояние до предмета.

При наблюдении источников света или предметов конечных:
размеров субъективная яркость определяется освещенностью изо-
бражения на сетчатке и не зависит от расстояния до предмета:

=	(15.6)

\ 'гл/

где L — яркость предмета; т — коэффициент пропускания глаза.

§ 105.	Спектральная чувствительность глаза.

Цветовое зрение

Глаз реагирует на поток излучения в диапазоне длин волн от
380 до 750 нм; его спектральная чу ветвите ль но сть . оп-
ределяется выражением

п  лм/Вт,	(15.7)

где ф —световой поток в люменах; WB — энергетическая мощ-
ность излучения в ваттах.

Наиболее чувствителен глаз к желто-зеленому монохромати-
ческому излучению X —555 нм (колбочковое зрение). Причем
энергетическая мощность излучения, равная 1 Вт, вызывает све-
товое ощущение, соответствующее световому потоку, равному
680 лм, т. е. в этом случае спектральная чувствительность

VQ = ?х=555 ни — 680 лм/Вт.
При яркостях 0,003 кд/м2 (палочковое зрение) максимум чувстви-
тельности приходится для л = 510 нм, т. е. находится в сине-го-
лубой части спектра.

Весьма важной оптической характеристикой глаза является
относительная спектральная чувствительность

Дх = п/>о-	(15.8)

Тогда спектральная чувствительность глаза для люб: го моно-
хроматического излучения будет

n = *оДх = 680/Сх лм/Вт.	(15.9)

Цветовое зрение. Глаз различает цвет в основном только при
помощи колбочкового аппарата зрения и получает ощущение бе-
лого цвета в том случае, если излучение, которое он воспринима-
ет, имеет непрерывный спектр с распределением, близким к сол-
нечному (цветовая температура 5000—6000°К).

Различают ахроматические и хроматические цвета. К ахрома-
тическим относятся черный, белый и все оттенки серого цвета.
К хроматическим относятся все остальные наблюдаемые цвета.
Хроматические цвета различаются между собой цветовым тоном,
яркостью и насыщенностью. Цветовой тон определяется дли-
ной волны того монохроматического излучения, смесь которого
с белым дает данный цвет. Насыщенность (чистота цвета)
определяется долей монохроматического излучения в смеси с белым
светом. Два хроматических световых пучка при смешении дают
ахроматический цвет — белый или серый. Такой способ смешения
цветовых пучков называется аддитивным (суммирование),
а цвета — дополнительными. Совсем другие результаты
получаются при смешении красок. Свет, отраженный от смеси
двух красителей, содержит в себе результат двукратного вычита-
ния из состава падающего белого излучения тех его компонентов,
которые поглощаются смешиваемыми красителями. Этот способ
смешения цветов называется субстрактивным (вычитание).

Наиболее распространенной теорией цветового зрения являет-
ся теория трехцветного зрения. Эта теория предполагает наличие
в глазу трех цветочувствительных аппаратов с тремя веществами,
разлагающимися под действием монохроматического излучения в
различной степени. Видимый глазом цвет излучения зависит от
интенсивности различных составляющих данного излучения, кото-
рые воспринимаются соответствующими цветочувствительными
элементами и синтезируются в мозгу человека в единый резуль-
тирующий цвет рассеянного предмета.

§ 106.	Недостатки глаза и их исправления

Глаз считается нормальным, или эмметропиче-
с ки м, если дальняя точка глаза находится в бесконечности. В этом
случае изображение располагается в задней фокальной плоскости,
которая совпадает с сетчаткой. Глаз, не удовлетворяющий этому
условию, называется а метр о п ическим. Если дальняя точка
находится перед глазом на конечном расстоянии, то глаз называ-
ется близоруким, или миопическим (рис. 150, а). Если
дальняя точка находится сзади глаза (рис. 150,6), то глаз назы-
вается дальнозорким, или гиперметропическим.

Аметропия глаза вызывается ненормальной длиной глаза, не-
правильным положением хрусталика, а также ненормальными

Рис. 150:
а — близорукий (миопический) глаз; б—дальнозоркий (гиперметропический) глаз

значениями кривизны преломляющих поверхностей и их несимме-
тричностью относительно оси глаза. В частности, бывают случаи,
когда аметропия глаза различна в двух меридиональных сечени-
ях; такой глаз называется астигматическим. Меридиональ-
ные плоскости наибольшей и наименьшей аметропии в этом
случае называются главными сечениями глаза. Причиной астигма-
тизма глаза является обычно несферическая форма роговой обо-
лочки или хрусталика.

Одним из условий высокой остроты зрения и хорошей контраст-
ной чувствительности глаза является наличие на сетчатой оболоч-
ке резких изображений внешних объектов. Неисправленные амет-
ропия и астигматизм глаза значительно портят изображение.

Коррекция аметропии и астигматизма глаза производится оч-
ковыми линзами, которые должны обеспечить резкость изображе-
ния удаленных предметов на сетчатке при покое аккомодации.
Достигается это тем, что задний фокус очковой линзы, установи
ленной перед глазом, совмещается с дальней точкой гл а за.“В слу-
чае близорукого ТлГаза~дтвг этогй'-тщлн ’ ДОЛЖиа'^быт'ь"Тгртпленена
отрицательная линза (рис. 151, а), для дальнозоркого — положи-
тельная (рис. 151,6).

Оптическая сила системы «линза + глаз» может быть вычисле-
на по формуле

£»1.о = D} + D0 — dD^Do,	(15.10)

где D\—оптическая сила корригирующей линзы в диоптриях;
Do — оптическая сила глаза в диоптриях, d — расстояние между
задней главной точкой линзы и передней главной точкой глаза.

Чтобы величина изображения корригируемого глаза соответст-
вовала величине изображения нормального глаза, необходимо
выполнить условие

d — /гл

Для редуцированного глаза d ==/гл = —17,1 мм; это значит, что

линзу следует установить так, чтобы задняя главная точка ее сов-

Рис. 161:

а — исправление близорукости посредством отрицательной очковой линзы; б — исправление
дальнозоркости посредством положительной очковой лиизы

С возрастом уменьшаются пределы аккомодации глаза, при
этом ближняя точка глаза отодвигается и глаз вынужден рас-
сматривать ближние предметы с большого расстояния. Поскольку
в этом случае угловые размеры мелких деталей предметов зна-
чительно уменьшаются, разрешение глаза падает. Этот недостаток
глаза, который носит название возрастной дальнозор-
кости или прессбиопии, исправляется посредством корри-
гирующей положительной линзы, т. е. аметропический глаз дол-
жен быть вооружен в этом случае двумя видами очков: для дали
и для разглядывания близких предметов (чтения). Иногда для
этого применяют двойные, бифокальные (нижнее и верхнее) стек-
ла для очков.

Исправление астигматизма производится, если рефракции
глаза для двух главных сечений различаются на 0,25 диоптрии.
Для исправления астигматизма применяется простая цилиндри-
ческая линза, которая представляет собой тело, ограниченное ци-
линдрической поверхностью и плоскостью, а также торические
(бочкообразные) линзы, которые могут быть плоско-торическими,
сферо-торическими и торо-торическими (когда обе поверхности
линзы торические).
Глава 16

ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Фотографические системы получили в настоящее время весьма
широкое применение в различных областях науки и техники.
Основным элементом системы является фотографический объек-
тив, который служит для получения действительных изображений
предметов на светочувствительном материале, фотокатоде теле-
визионного приемника или электронно-оптического преобразова-
теля и т. п.

§ 107.	Основные характеристики фотообъективов

Основными оптическими характеристиками фотографического
объектива являются фокусное расстояние f', относительное отвер-
стие 1 : К, угловое поле 2<в. Дополнительными характеристиками
являются освещенность изображения по полю, разрешающая спо-
собность, резкость изображения, определяемая пограничной кри-
вой, частотно-контрастная характеристика, а также величина зад-
него отрезка, спектральный и интегральный коэффициенты
пропускания, коэффициент геометрического виньетирования, коэф-
фициент светорассеяния, ортоскопичность и т. п.

Фокусное расстояние объ е к ти в а определяет масштаб
изображения на снимке. Масштаб изображения, как известно, оп-
ределяется линейным увеличением, т. е.

По формуле Ньютона имеем

где а — расстояние от передней главной точки объектива до пред-
мета^ f — фокусное расстояние объектива. Когда а достаточно ве-
лико по сравнению с f, то

Г2

(16.2)

(16.3)

Формула (16.3) служит для определения масштаба в случае
удаленного предмета.

Фотографический объектив имеет специальную диафрагму пере-
менного диаметра, которая является апертурной.
Относительное отверстие объектива определяет освещенность
изображения. Освещенность изображения (в люксах) равна

25	) (Рр-₽о)2’

где -с — коэффициент пропускания фотообъектива; L — яркость пред-
мета в кд/м2; Dlf — относительное отверстие объектива; ^ — ли-
нейное увеличение в зрачках объектива; ро— линейное увеличение
(масштаб изображения).

При фотосъемке предмета, освещенного несколькими источни-
ками света, яркость предмета может быть выражена по формуле

L==P-^,	(16.4)

где р — коэффициент отражения поверхности предмета; £Пр— осве-
щенность предмета в люксах (лк), она может быть найдена по
формуле

*=Р

£пр = -р COS £k,	(16.5)

л=1 k

где Jfe — сила света отдельного источника в канделах (кд); lk —
расстояние от источника до предмета в метрах (м); е* — угол меж-
ду нормалью к поверхности предмета и направлением оси пучка
лучей от источника света.

Для удаленного предмета (s->co, z-> со, р0~>0) формула осве-
щенности изображения будет

Es^^ *=	;	(16.6)

для репродукционной съемки, если можно принять Рр=1,	•.

Дреп = 1 Lx (i —р0)2-	(16-7)

В приведенных формулах величина (D/f')2 называется геомет-
рической светосилой фотообъектива. Эта величина обычно
записывается в виде (D/f')2 = (1/К)2, где величина К, называется
диафрагменным числом. Величина (D/f')2x = (1/Кф)2 назы-
вается физической светосилой.

Поле фотообъектива определяется той частью плос-
кости изображения, в которой находится изображение удовлетво-
рительного качества. Поле указывается либо размерами сторон
кино- или фотокадра (7,45X10,05 мм, 16X22 мм, 24x36 мм, 6Х
Хб см, 9X12 см, 13X18 см и т. д.), либо в угловой мере.

Классификация объективов производится по четырем основ-
ным признакам:

А.	По оптическим схемам объективы различаются по числу и
форме входящих в них линз и компонентов. Для удобства обо-
значения типа объектива ему присваивается условное наименова-
ние. Например: 1) четырехлинзовые трехкомпонентные нормаль-
ные анастигматы имеют наименование «Индустар», 2) шестилин-
зовые четырехкомпонентные светосильные объективы — «Гелиос»,
3) семилинзовые пятикомпонентные светосильные широкоугольные
анастигматы — «Урал» и т. п.

Б. По оптическим характеристикам — относительному отверстию
1 : К, углу поля 2ш и фокусному расстоянию f — различают объек-
тивы: светосильные, у которых относительное отверстие пре-
вышает величину 1:2,8 (1//С > 1/2,8); широкоугольные, у ко-
торых угловое поле превышает 60°(2<о >60°); длиннофокус-
ные, у которых фокусные расстояния превышают трехкратную ве-
личину линейных полей в пространстве изображений (/'>3/', где
Г—диагональ поля изображения); но р м а л ьн ые (универсальные),
у которых все три характеристики (1//С; 2ш; f) не достигают ука-
занных значений.

В.	По назначению, т. е. по областям применения различают
объективы: фотографические, киносъемочные, аэрофотосъемоч-
ные, телевизионные, репродукционные, эпи-, диа- и кинопроекци-
онные, флюорографические, астрофотографические и т. п.

Г. По принципу геометрического устройства объективы можно
также разделить на следующие группы:

1.	Нормальные объективы — объективы, у которых
фокусное расстояние больше вершинного фокусного расстояния
и меньше расстояния от первой поверхности до плоскости изобра-
жения.

2.	Телеобъективы — линзовые объективы, у которых фо-
кусное расстояние равно или больше расстояния от первой по-
верхности до плоскости изображения.

3.	Реверсивные телеобъективы — линзовые объек-
тивы, у которых фокусное расстояние равно или меньше заднего
вершинного фокусного расстояния.

4.	Зеркальные объективы — объективы, состоящие
только из отражающих зеркальных поверхностей.

5.	Зеркально-линзовые объективы — это объекти-
вы, состоящие из зеркальных и линзовых элементов.

6.	Объективы с переменным фокусным рассто-
янием — это объективы, которые имеют ряд дискретных значе-
ний фокусных расстояний.

7.	Панкратические объективы — объективы, у кото-
рых можно изменять фокусное расстояние непрерывно в опреде-
ленных пределах.

§ 108.	Ограничение пучков лучей в фотообъективах

В большинстве случаев апертурная диафрагма объектива рас-
полагается между его линзами. При этом (рис. 152) входным
зрачком является ее мнимое изображение, даваемое частью
объектива стоящей впереди диафрагмы, а выходным зрачком —
мнимое изображение, даваемое частью объектива, расположенной
позади диафрагмы.
Если на фотообъектив падает пучок лучей, параллельный
оптической оси или под небольшими углами к ней, то выходящий
конус лучей, образующий изображение в точке А', опирается на
полный диаметр выходного зрачка, т, е. в этом случае пучок лу-
чей, проходящий через оптическую систему фотообъектива, огра-
ничивает апертурная диафрагма. Пучки лучей, падающие на
объектив под углом, начинают ограничиваться оправами линз,

Рис. 152. Ограничение
пучков лучей в фотообъек-
тиве

поэтому конусы лучей, образующие изображения на краях,снимка
(точки В' и С'), опираются не на полный диаметр выходного
зрачка, а только на часть его. Происходит виньетирование све-
товых пучков, увеличивающееся к краю снимка.

Однако освещенность изображения на краю поля понижается
не только из-за ограничения пучков оправами линз, но также из-
за наклона пучков, идущих от точек предмета, находящихся на
краю поля и опирающихся на полный размер апертурной диа-
фрагмы, т. е. с учетом виньетирования получаем

— K^Eq cos4 ш ,	(16.8)

где — коэффициент виньетирования; Ео — освещенность изобра-
жения в центре поля.

В объективах с нормальным полем (40—65°) коэффициент
виньетирования допускается до 20-ь30%. Особенно большое па-
дение освещенности на краю поля происходит в широкоугольных
объективах. Для увеличения освещенности на краю поля в этих
обьективах коэффициент виньетирования делают большим еди-
ницы (объективы типа «Руссар»). При этом используется явление
аберрационного виньетирования, позволяющего увеличить ши-
рину наклонных пучков лучей по отношению к осевому пучку.

§ 109.	Глубина изображаемого пространства
и глубина резкости

Фотографические объекты обычно располагаются не в одной
плоскости, а имеют некоторую пространственную протяженность.
В пространстве предметов имеется так называемая плоскость
наведения, а в пространстве изображений — сопряженная с ней
плоскость изображения. Точки предмета, не совпадаю-
щие с плоскостью наведения, изображаются в плоскости изобра-
жения в виде кружков рассеяния, размеры которых зави-
сят от расстояния точек предмета от плоскости наведения. Для
того чтобы изображения точек, находящихся вне плоскости наве-
дения, казались точками, диаметры кружков рассеяния не должны
превосходить величин, соответствующих разрешающей способнос-
ти глаза (Г), т. е.

2/ = фгл/,	(16.9)

где 2у' — диаметр кружка рассеяния в плоскости изображения;
<ргл — разрешающая способность глаза в угловой мере (радианах);

I — расстояние, с которого рассматривается снимок. Расстояние
между двумя крайними плоскостями пространства, для которых
точки пространства изображаются в виде кружков рассеяния, от-
вечающих формуле (16.9), называется глубиной резко изо-
бражаемого пространства. Величина его определяется по
формуле

д =	(16.Ю)

₽о£>	v '

Здесь 2уг— величина изображения, р — расстояние от предмета до
входного зрачка, D — диаметр входного зрачка, ро — линейное уве-
личение; с учетом (16.9) получим

А =	(16.П)

Из формул (16.10) и (16.11) видно, что глубина изображае-
мого пространства увеличивается с уменьшением диаметра вход-
ного зрачка и увеличением расстояния до предмета.

В пространстве изображений глубина изображаемого простран-
ства -соответствует глубине резкости — это расстояние
вдоль оптической оси между точками пространства изображений,
которые изображаются в виде кружков рассеяния, не превышаю-
щих по величине 2у> определяемое по формуле (16.9).

На рис. 153 из выходного зрачка D' фотообъектива выходит
пучок лучей и в плоскости изображения образует изображение в
точке А, Ближе и дальше плоскости М на расстояниях Aj и Д2
точка изображается в виде кружков рассеяния.

Из рис. 153 следует, что Ai = А2, и глубина в пространстве
изображений будет А = 2Д|, причем

д; = ^.	(16.12)

В точке О на расстоянии I от плоскости В2С2 находится глаз
наблюдателя, который в пределах своей разрешающей силы вос-
принимает кружок рассеяния диаметром 2у* в виде точки.

По формуле (16.9) 2у' Подставив это выражение в пре-
дыдущее, получим

Д1' = рфгл £7.	(16.13)
Отсюда уравнение глубины в пространстве изображений будет

Д' = 2p'<^ral/D'.

(16.14)

Если предмет находится в—оо, то р' ~f, I — есть расстояние
заилучшего зрения, равное 250 мм; 4ГЛ принимаем равным Г. Тогда

Рис. 153. Глубина рез-
кости изображения

(16.15)

Если изображение фотографируется, то 2/ определяется из
предела разрешающей способности в линиях на миллиметр, т. е.
2/ = -^, где N — в лин/мм, тогда при объекте в бесконечности
р' = /'

Д; = 2</'^,	(16.16)

или, имея в виду все сказанное выше, при = 1

о6-17)

где К — диафрагменное число объектива. Глубина резкости будет

д' = 2 —

Z N '

(16.18)

§ 110.	Передача перспективы

Объектив проецирует в плоскость изображений не только
предметы, расположенные в плоскости наводки, но также и пред-
меты, расположенные ближе и дальше этой плоскости. Эти изоб-
ражения составляют перспективу. Центром перспективы в про-
странстве изображений является центр выходного зрачка фото-
объектива, поэтому получаемые снимки при их рассматривании
могут дать правильное представление о предмете только в том
случае, когда они рассматриваются одним глазом, помещенным
в центр выходного зрачка относительно фотоснимка. В общем слу-
чае расстояние от зрачка выхода до рассматриваемого снимка,
если пренебречь расстоянием между главной плоскостью выход-
ного зрачка, может быть определено как

Р' = Г + г*.
Для удаленных предметов z'->0, и тогда р' = Г, однако эти
величины могут быть не равны расстоянию наилучшего видения
для нормального глаза, т. е.

р' == f #= 250 мм.

Введем некоторое увеличение, при котором р' = 250 мм, тогда
р' = 250 = роГ-	(16.19>

Отсюда получаем формулу для увеличения, при котором сле-
дует рассматривать данный снимок, чтобы сохранить перспективу
пространства объектов,

₽o=2f.	(16.20)

Объектив, фокусное расстояние которого удовлетворяет усло-
вию естественной перспективы при принятых средних размерах
фотокопии, называется штатным. Так, например, если принять
для малоформатных фотоаппаратов (24x36) наиболее распростра-
ненную фотокопию размером 13X18 см, то получим штатный
объектив

£,	250 сп

f =	= 50 мм.

1	5

Поскольку имеется необходимость в фотоснимках и других
размеров, кроме штатного в комплект фотоаппарата могут вхо-
дить сменные объективы различного фокусного расстояния, при-
чем выбор фокусного расстояния объектива зависит также и от
необходимого углового поля.

§ 111.	Определение выдержки при фотографировании

Фотографическое изображение получается при воздействии
света на фоточувствительный слой в течение времени экспониро-
вания, которое называется выдержкой.

После химической обработки светочувствительный слой ото-
бражает оптическое изображение в виде некоторого распределения
оптической плотности D, которая определяется выражением

Ф

Я = 1йф-,	(16-21)

где Фо — упавший на негатив световой поток; Ф — световой поток,
прошедший через негатив.

Оптическая плотность D зависит от экспозиции Н, причем

H = E't, лк.с,	(16.22)

где Е' — освещенность изображения, a t — выдержка в секундах.

Зависимость оптической плотности D от экспозиции для дан-
ного светочувствительного слоя выражается характеристической
кривой, которая представлена на рис. 154.

На рис. 154 Dq — оптическая плотность химически обработан-
ного светочувствительного слоя, не подвергаемого воздействию
света, называемая оптической плотностью вуали.
Светочувствительность слоя определяется в единицах ГОСТа
по формуле

.	(16.23)

яО=-Ов+0,85

Таким образом, светочувствительность слоя есть величина, об-
ратная экспозиции Н, при которой оптическая плотность фотогра-
фического изображения превы-

шает плотность вуали Do на 0,85
(точка Б на характеристической
кривой).

Участок АБ характеристиче-
ской кривой называется обла-
стью недодержек, БГ —
прямолинейный участок характе-
ристической кривой, участок
ГД является областью пе-
редержек.

Тангенс угла наклона <р пря-
молинейного участка характери-

Рис. 154. Характеристическая кривая стической кривой называется
фотопленки	коэффициентом контра-

Из рис. 154

стностир

_	D2~ Dl

(16.24)

Формула (16.24) служит для определения или необходимой вы-
держки t или освещенности изображения Е' при заданной опти-
ческой плотности D2 того или иного участка изображения. При
этом величина DL принимается равной Du 4-0,85, величина Hi
определяется по формуле (16.23), величина у известна из каталож-
ных данных фотоматериала.

Тогда на основании формулы (16.24) получим

1g Н2 = 1g	lg Hi.	(16.25)

В этой формуле значение Di выбирается в зависимости от по-
ставленной при фотографировании задачи. Можно, например, при-
нять D2, равное некоторому среднему значению на прямолинейном
участке характеристической кривой.

Величина освещенности изображения Е' определяется, как
известно, по формуле

Р' — Y

4 vJ (iWo)2’
где

Lv = r^E/tc,	(16.26)

где гч—коэффициент яркости поверхности в направлении <р (на-
правление съемки); Е — освещенность поверхности предмета.
Коэффициент яркости определяется как

г¥ = L,/L,	(16.27}

где L — яркость идеально рассеивающей погерхности.

Коэффициент яркости зависит от свойств отражающей поверх-
ности. Для диффузно отражающих поверхностей коэффициент яр-
кости равен коэффициенту отражения

г? = р.	(16.28}

Для расчета освещенности воспользуемся формулой (16.24).

^2

Для объекта в бесконечности член —тгй — 1,'тогда, принимая
(Рр ~ Ро)

во внимание (16.26) и (16.28), получим

(16-29>

где Е'— освещенность изображения
светосила фотообъектива (камеры);
люксах; р — коэффициент отражения

/ 1 \2

в люксах; 1^-1 —физическая
Е — освещенность предмета в
материала предмета.

§ 112. Оценка качества изображения фотообъектива

Качество Изображения зависит от остаточных аберраций фото-
объектива. К исправлению аберраций фотообъектива предъявля-
ются весьма высокие требования, поскольку современные фото-
объективы должны, обладать большим угловым полем при значи-
тельном относительном отверстии и строить на светочувствитель-
ном слое резкое изображение, подобное предмету.

Влияние отдельных аберраций на качество изображений рас-
смотрено в главах 9—12.

По степени коррекции объективы подразделяются на следую-
щие группы: ахроматы, апохроматы, апланаты, анастигматы и ор-
тоскопические. z

Ранее было дано определение и приведены формулы разреша-
ющей способности совершенной оптической системы в угловой
мере (см. § 90). Однако в фотообъективах в качестве количествен-
ной оценки качества изображения принимается разрешающая спо-
собность N в штрихах (линиях) на 1 мм, определенная путем фо-
тографирования тестовой таблицы (миры штриховой или ради-
альной) абсолютного контраста. Штриховая мира (рис. 155, а)
состоит из 16 или 25 квадратов; в каждом квадрате имеется
4 малых квадрата со штрихами различного направления; ширина
черных штрихов и белых промежутков одинакова. Ширина штри-
ха (линии) в (рис. 155, б) равна сумме ширины черной полосы и
белого промежутка.

Если фотообъектив имеет фокусное расстояние f', то разреша-
емое расстояние будет

Д' =	(16.30)
'де <р — угол, разрешаемый фотообъективом; подставляя значение
1 нз формулы (13.19) и учитывая, что углы ф малы, получим для
центра поля

Л7 _1473
^0 = -^-,

(16.31)

Рис. 155. Штриховая мира

- е. разрешающая способность фотообъектива зависит от его от-
носительного отверстия. В точках вне центра поля зрения разре-
лающая способность падает в зависимости от удаления от центра
•.нимка.

Разрешающая способность, определяемая уравнением (16.31),
шеет место при визуальном наблюдении изображения, образован-
ного фотообъективом. Однако фотографическая разрешающая спо-
•обность зависит не только от оптической системы, но также и
jt разрешающей способности фотографического материала и может
;ыть вычислена по приближенной формуле:

Л'ф + *фм ’

де Мф— суммарная фотографическая разрешающая
системы «объектив 4-фотоматериал»; N06 — визуальная
веская способность объектива; МфМ — разрешающая
ъогоматериала.

(16.32)

способность
фотографи-
способность
Формулы (16.31) и (16.32) для определения фотографической
разрешающей способности являются весьма приближенными, да и
сама разрешающая способность фотообъектива не может полностью
характеризовать качество фотографического изображения, так как,
кроме способности системы разрешать отдельные элементы снимка,
влияет также контраст получаемого изображения.

Среди критериев определения качества изображения в настоя-
щее время особое значение приобрела (см. гл. 27) частотно-кон-
трастная характеристика (ЧКХ).

Частотно-контрастной характеристикой F(Nn) называют отно-
шение контраста К' в изображении решетки с синусоидальным
распределением освещенности с частотой No периодов на 1 мм
(линий) к контрасту самой решетки К, имеющей период Nq/^q,
где Ро — линейное увеличение:

Г(1У0)=£.	(16.33)

Контрасты К и К' определяются выражениями

ь- — ^max ^min .	^max ^mln

L -I- L ’	ГУ7,—

max i4-min	£max+Cmin

(16.34)

Если контраст решетки (миры) является абсолютным, т. е.
К = 1, то

р' ___р'

^(ДГо) = Г = /а-х /п.	(16.35)

с max “t“ min

w

Рис. 156. Частотно-контрастные харак-
теристики фотообъектива и фотослоя

ЧКХ может быть определена расчетным путем на ЭВМ по специ-
альной программе. Затем определяется разрешающая способность
No и строится график, по оси ординат которого откладывается
контраст N', а по оси абсцисс—
(рис. 156). ЧКХ может быть
также определена эксперимен-
тальным путем на специальных
установках. Разрешающая способ-
ность на фотоснимке N& может
быть определена по точке пересе-
чения ЧКХ объектива F (No) и
ЧКХ фотослоя W (Nti).

Как указывалось ранее, фото-
графический объектив характери-
зуется рядом дополнительных фак-
торов, от которых зависит осве-
щенность изображения по полю,
а также качество изображения.

Коэффициент пропускания света определяется отно-
шением светового потока Ф', прошедшего через объектив, к свето-
вому потоку Ф, падающему на него, т = Ф7Ф

Коэффициент светорассеяния определяется отноше-
нием светового потока, прошедшего через объектив, от черного
предмета (черный бархат с р = 0,02), расположенного на равно-
мерном ярком фоне (белая матовая краска с р = 0,9), к световому
потоку от этого фона.

Коэффициент спектрального пропускания опреде-
ляется отношением светового потока определенной длины волны
Фх, прошедшего через объектив, к световому потоку Фх той же
длины волны, падающему на объектий,

Ортоскопичность объектива должна соответствовать
условиям эксплуатации. Наиболее строгие требования по дистор-
сии предъявляются к аэросъемочным картографическим объекти-
вам: 6/' допускается в пределах 0,0054-0,01 мм. Для кинематогра-
фических объективов дисторсия допускается до 2—3%, для фото-
любительских 3—4%.

Ахроматизация объектива должна соответствовать спек-
тральной характеристике светочувствительного слоя или прием-
ника изображения. Обычно для черно-белых негативных фотома-
териалов ахроматизацию выполняют для линий спектра D w G'
и такую коррекцию называют фотографической. В последнее вре-
мя фотообъективы различного назначения должны обеспечить по-
лучение цветных изображений. Поэтому хроматическая аберрация
исправляется для линий спектра от h (Х = 404,7 нм) до С (Х=
= 656,3 нм), т. е. фотообъективы должны быть апохроматами.
Глава 17.

ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Оптические системы, в которых задний фокус первого компо-
нента совпадает с передним фокусом второго компонента, состав-
ляют обширную группу так называемых афокальных или т е -
лескопических оптических систем. Они предназначены для
наблюдения удаленных предметов (геодезические, астрономические
и стереоскопические приборы, оптические дальномеры, прицелы,
панорамы, перископы, бинокли и т. д.), для дискретного измене-
ния увеличения системы (вращающиеся телескопические насадки),
для формирования излучения лазеров и других целей.

§ 113. Теория телескопической системы. Основные характеристики

Если на телескопическую систему падает параллельный пучок
лучей, то его параллельность на выходе сохраняется. Принципи-
альная схема такой системы представлена на рис. 157. Первый
(объектив) и второй (окуляр) компоненты расположены таким

Рис. 157. Принципиальная схема телескопической системы

образом, что оптический интервал Д равен нулю, т. е. точки фо-
кусов F\ и Аа совпадают. Следовательно, заднее эквивалентное
фокусное расстояние / =--------> как 11 ег0 переднее эквивалент-

ное фокусное расстояние f — равны бесконечности, так как
д == — (/i -|- /i— d) = 0. На ри>- 157 обозначено: D — входной
12*	355
зрачок; D'—выходной зрачок; fi, f2—задние фокусные расстояния
компонентов; ар, аР—удаления входного и выходного зрачков; «>,
<о' — угловые поля в пространстве предметов и изображений; d —
расстояние между тонкими компонентами.

Телескопическая система характеризуется видимым увеличением
Гт, угловым полем 2ю, диаметром выходного зрачка D', угловой
разрешающей способностью ф" и удалением выходного зрачка ар,.

Изображения, построенные системой, наблюдаются из центра
выходного зрачка под значительно большими углами, чем при
рассматривании предметов невооруженным глазом нз центра вход-
ного зрачка, а это обстоятельство приводит к искажению перспек-
тивы. Все предметы представляются приближенными к наблюда-
телю, а само пространство-—сжатым в осевом направлении.

В телескопической системе линейное увеличение р0, угловое
увеличение у, продольное увеличение в сопряженных точках на
оптической оси а, видимое увеличение Гт и угловое увеличение
в зрачках ~[р постоянны и не зависят от положения предмета:

. _ tg и>' _  _______/1 .

~	f2:

Здесь формулы увеличений приведены для системы в воздухе

Угловое поле 2<о определяет угловую величину резко изобра-
жаемого пространства. Ограничение поля в телескопических систе-
мах с положительным окуляром f2 > 0 происходит при помощи
полевой диафрагмы, устанавливаемой в его передней фокальной
плоскости. Наибольшая величина углового поля системы зависит
от угла поля окуляра (2ю') и равна

о7-2)

Применяя сверхширокоугольные окуляры, в которых 2о/ —
= 100°, получим

=	(17.3)

I т
Размер выходного зрачка D' и его положение зависят от види-
мого увеличения системы, размера и положения входного зрачка:
£' = £•	(17.4)

1 т

В визуальных приборах диаметр D1 составляет 1,5—5,0 мм,
а его удаление от последней поверхности окуляра — sP' > 5 мм.

Разрешающая способность объектива телескопической системы
^"определяется для пространства предметов в угловой мере:

120"	/17

Ф =-л- •	(17-5)

§ 114.	Простые зрительные трубы

Простая зрительная труба состоит из объектива (первый ком-
понент телескопической системы) и окуляра (второй компонент).
Наблюдатель располагается за окуляром таким образом, чтобы
зрачок его глаза совпадал с плоскостью выходного зрачка зри-
тельной трубы (возможен и такой случай, когда центр вращения
глазного яблока совпадает с центром выходного зрачка).

Как следует из (17.1), видимое увеличение телескопической
системы может быть как положительной (Гт>0), так и отрица-
тельной величиной (Гт<0). В первом случае система строит пря-
мое, а во втором — перевернутое изображение.

Если в качестве зрительной трубы применена телескопическая
система с положительным видимым увеличением, то такая труба
называется голландской трубой, а сама система — с и ст е-

Рис. 158. Телескопиче-
ская система Галилея

мой Галилея (рис. 158). Это достигается при помощи поло-
жительного объектива и окуляра с отрицательным задним фокус-
ным расстоянием. Положение и размер выходного зрачка D' опре-
деляются зрачком глаза, который является апертурной диафраг-
мой в системе труба — глаз. Поскольку в трубе Галилея нет
действительного промежуточного изображения, построенною
объективом, то в ней отсутствует полевая диафрагма (сетка) и та-
кие трубы не применяются для визирования, дальномерных определе-
ний и т. п. целей. Труба Галилея используется только для наблю-
дения (театральные бинокли). Большой диаметр выходного зрач-
ка (до 8 мм) позволяет наблюдать в плохих условиях освещен-
ности.

Рис. 159. Телескопическая система Кеплера

Достоинством трубы Галилея является простота конструкции,
меньшая общая длина по сравнению с аналогичными трубами при
Гт<0, прямое изображение. К недостаткам следует отнести отсут-
ствие визирного устройства, непостоянство положения и размера
входного зрачка. Из-за виньетирования наклонных пучков трубы
Галилея имеют небольшое увеличение и малое поле.

Зрительная труба Кеплера (рис. 159) состоит из
положительного объектива и положительного окуляра и строит
перевернутое изображение (Гт<0). Действительное изображение
наблюдаемого объекта находится в задней фокальной плоскости
объектива, совпадающей с передней фокальной плоскостью оку-
ляра. Здесь же располагается визирное устройство (сетка), оправа
которого является полевой диафрагмой (НД). При помощи зри-
тельных труб Кеплера можно измерять малые линейные и угловые
смещения, визировать на удаленные объекты, производить даль-
номерное определение расстояний, находить превышение различ-
ных точек и т. д.

Из рис. 159 следует, что по известному фокусному расстоянию
окуляра f-г и углу поля 2и)' вычисляется диаметр полевой диа-
фрагмы Dn.a — tg и/, а затем по фокусному расстоянию объек-
тива определяется угловое поле зрительной трубы

Трубы Кеплера широко применяются при астрономических
и геодезических наблюдениях. Недостатками труб Кеплера явля-
ются перевернутые изображения и несколько большая по сравни-
нию с трубами Галилея длина, равная сумме фокусных расстояний
объектива и окуляра: L=d=fi + f2', , положительный фактор —
визирное устройство (сетка) и отсутствие виньетирования.

Сравнивая ограничение пучков в системах Кеплера и Галилея,
отметим, что в системе Кеплера апертурной диафрагмой АД явля-
ется оправа первого компонента, входной зрачок D совпадает с
апертурной диафрагмой, выходной зрачок D' расположен на не-
большом расстоянии (0,1—2 мм) позади заднего фокуса окуляра.
Полевая диафрагма (ПД) находится в передней фокальной плос-
кости окуляра, совпадая с плоскостью действительного изображе-
ния первого компонента (объектива).

В некоторых случаях в телескопической системе Кеплера апер-
турная диафрагма может располагаться и перед объективом.

В системе Галилея оправа объектива является виньетирующей
диафрагмой (ВД), а зрачок глаза — апертурной диафрагмой.
В этом случае для вычисления углового поля необходимо знать
положение и размер входного (выходного) окна, а также положе-
ние входного и выходного зрачка.

Для корригирования недостатков зрения окуляр имеет пере-
мещение в пределах ±5 диоптрий.

§ 115.	Зрительные трубы
с призменными и линзовыми оборачивающими системами

Если возникает необходимость иметь в зрительной трубе Кеп-
лера прямое (Г>0) изображение, то это достигается применением
оборачивающей системы (прицелы, аэрофотовизиры, визир-лупы
киноаппаратов и т. д.). Оборачивающие системы позволяют соз-
давать трубы значительной длины (перископы, цистоскопы, смо-
тровые трубки и т. д.).

Для необходимого оборачивания, изображения используются
как линзовые, так и призменные оборачивающие системы. Линзо-
вые системы увеличивают длину трубы, а призменные — сокра-
щают ее.

Применяя призменные оборачивающие системы, необходимо
учитывать вносимые ими сферическую аберрацию и хроматизм
положения. Влияние призм на остальные аберрации настолько
мало, что им практически можно пренебречь. Призмы позволяют
несколько компенсировать астигматизм, хроматическую разность
увеличения объектива и дисторсию окуляра. Призменными обора-
чивающими системами снабжены бинокли, стереотрубы, артил-
лерийские панорамы и др.

В простейшем случае линзовая оборачивающая система может
иметь вид сложного объектива симметричной конструкции, если
оборачивание действительного изображения выполняется в мас-
штабе fe0=— 1, или конструкцию, близкую к симметричной при

—(0,5; 1,5; 2,0 и т. д.). Линзовые оборачивающие системы
бывают однокомпонентными и двухкомпонентными с параллель-
ным ходом лучей между компонентами. На рис. 160 представлена
оптическая схема зрительной трубы с однокомпонентной оборачи-
вающей системой, видимое увеличение которой

где

На рис. 161—зрительная труба с двух компонентной оборачи-
вающей системой. Второй и третий компоненты образуют оборачи-

Рис 16J. Зрительная труба с двухкомпонентной оборачивающей системой

вающую систему с параллельным ходом лучей между ними fjo =»
/3

Если имеется несколько оборачивающих систем, то видимое
увеличение определяется по формуле

Гт = —77-••• рок>	(17-6)

» п
где for,, foK — фокусные расстояния объектива и окуляра, ₽©,, So, ...
но« — линейные увеличения оборачивающих систем.

В отдельных случаях с целью уменьшения диаметров последую-
щих компонентов вводятся так называемые коллективные линзы,
которые устанавливаются в плоскостях действительного изобра--

Рис. 162. Призменные оборачивающие системы
жени я (фокальных плоскостях) таким образом, что, не изменяя
оптической силы системы, наклоняют полевой пучок к оптической
оси (положительные коллективы).

На рис. 162 представлейы некоторые призменные оборачиваю-
щие системы наблюдательных приборов, состоящие из различных
комбинаций призм. Для оборачивания изображения в плоскости,
перпендикулярной к главному сечению призмы, вводятся призмы с
«крышей».

§ 116, Телескопические системы переменного увеличения

К телескопическим системам переменного увеличения относят-
ся такие системы, которые позволяют изменять масштаб изобра-
жения. Например, для быстрейшего обнаружения объекта необхо-
димо иметь трубу небольшого увеличения (до 10х), по широко-
угольную (2w> 15°), а для подробного изучения обнаруженного
объекта она должна обладать значительным увеличением (30—
—50х) при небольшом поле (2w = 2—5°). При этом изменение уве-
личения следует совершать просто, быстро, надежно.

Из формулы (17.6) следует, что изменение видимого увеличе-
ния, а следовательно, и углового поля можно достичь при помощи
сменных объективов и окуляров различного фокусного расстояния
или изменения увеличения оборачивающих систем.
Наиболее простым способом изменения увеличения зритель
ной трубы является способ сменных окуляров, которые можн<
укрепить во вращающейся револьверной головке. В геодезических
и астрономических приборах такой способ изменения увеличения
широко применяется. Так, некоторые теодолиты снабжаются смен-
ными окулярами с фокусным расстоянием 8, 10, 13,5, 16,7 и 20 мм

Рис. 163. Зрительная труба с оборачивающей системой, перемещающейся вдоЛг
оптической оси

Следует иметь в виду, что замена окуляра вызывает измене
ние углового поля и диаметра выходного зрачка.

Способ сменных объективов используется в некоторых кон-
струкциях перископов и прицелов, но широкого распространения
он не получил, так как при этом значительно изменяется общая
длина прибора.

Наличие линзовой оборачивающей системы позволяет путе?..
перемещения ее вдоль оси или при помощи сменных включаю-
щихся объективов изменять видимое увеличение зрительной тру-
бы. На рис. 163 даиа принципиальная схема трубы переменной
увеличения с линзовой оборачивающей системой, способной дви-
гаться вдоль оптической оси. 1 — объектив, 2 — коллектив, 3[ -—
первое, <?2 (пунктиром) — второе положение оборачивающей сие
темы, 4 — полевая диафрагма, 5 — окуляр.

Если оборачивающая система находится в положении 3\, тс
общее видимое увеличение зрительной трубы

р __ /об q	(об «3,	/17 7

ГТ1—.	(17.7

’ок	'Ок °*

Переместив компонент ближе к окуляру в З2, изменим види-
мое увеличение

Гт2 = -22-бр01==-^^.	’	(17.8

'ОК	Аэк 3*

По абсолютному значению | а3, | = |аз2|; |аз, | = I «за|. Нетрудш
убедиться в том, что Ро, =	.

p°j

В первом случае видимое увеличение зрительной трубы будеи
больше, диаметр выходного зрачка меньше, угловое поле меньше
чем во втором случае. Отношение pi = К называется кратностью
изменения увеличения. При других промежуточных положениях
оборачивающего компонента изображения на сетке не будет.

Объективы оборачивающей системы для изменения увеличе-
ния конструктивно могут быть выполнены в виде включающихся и
выключающихся компонентов в основную оптическую схему трубы.

Рис. 164. Вращающаяся телескопическая насадка для изменения увеличения

В отдельных приборах смена увеличения достигается враща-
ющейся телескопической системой Галилея, расположенной перед
объективом зрительной трубы. Такая насадка может иметь три
фиксированных положения, каждому из которых соответствует
определенное значение видимого увеличения.

На рис. 164: / и 2 — объектив и окуляр телескопической на-
садки Галилея; 3 — объектив зрительной трубы; 4 — полевая диа-
фрагма (сетка); 5 — окуляр.

Обозначив видимое увеличение вращающейся насадки Гн, най

дем, что на рис. 164, а оно будет равно ГНа =— , а для положе-
'2

f2	1	Г«а

ния 164,6 Гня ------;, причем Гн =-р—; отношение =— — К оп-

5	6	°	и<5	1Иб
ределяет кратность изменения увеличения вращающейся насадки.
При выключенной насадке (рис. 164, в) видимое увеличение опре-
деляется только отношением фокусных расстояний объектива и
окуляра (/з и /з) трубы. Применяя телескопическую насадку, сле-
дует обратить особое внимание на согласование выходного зрачка
насадки со входным зрачком зрительной трубы.

§ 117. Панкратические зрительные трубы

Недостатком зрительных труб с дискретным изменением увели-
чения является то обстоятельство, что при смене увеличения на-
блюдатель временно теряет из виду объект. Для непрерывного
(плавного) изменения видимого увеличения применяют так назы-
ваемые панкратические зрительные трубы. Плавное изменение
масштаба изображения в такой трубе достигается применением
панкратического объектива, в котором эквивалентное фокусное
расстояние может принять любое значение в пределах от/т!п до
fmax, либо панкрэтической оборачивающей системы с непрерывным
изменением увеличения от pmin до ртах, либо панкратического
окуляра с аналогичным изменением окулярного увеличения, а
следовательно, и фокусного расстояния от Гок min до Гоктах.

Наибольшее распространение в наблюдательных приборах по-
лучили панкратические оборачивающие системы с плавным изме-
нением расстояния между компонентами по определенному закону.

Рис. 165. Принципиальная схема паикратической оборачивающей системы

Рассмотрим элементарную теорию двухкомпонентной панкрати-
ческой системы (рис. 165). Оба компонента положительные. Опти-
ческие силы Ф1, Ф^; расстояние d\ между ними может плавно
изменяться.

Линейное увеличение первого компонента ро,. второго — рОг, а
всей системы — Ро = Ро^о,.
Ниже приведены формулы, позволяющие рассчитывать панкра-
тическую оборачивающую систему*:

Гт = —ро-1—d,<I>i —агФ;

•ок

,	1 — $0	j Ф ]

ф = ф1 + ф2-^ф,ф2;

1	— d^2
aF = —ф---; Z = й| — аг;

. о __Z_Z = J_.

UF' ф >	z z гФ ’

ро — — JF = —г'ф; 70 =	= гФ = Ф (ai — aF);

г' = а2 — aF'-, 70 = «;Ф + 1 — ^1Ф2;

Ро = (аг- — а2) Ф;

Т0 —1 + ^Фг

ai — Ф1 + ф2 —й(1ф1ф2 :

L = — а\ +di -|- а2;

dx = | { l ±	и -4 [l е;+/;) +	f'f'2]]’

(17-9)

где р0—увеличение панкратической оборачивающей системы; f’o6,
/^—фокусное расстояние объектива и окуляра (на рис. J65 не
показаны); Ф= 1//' —оптическая сила панкратической оборачиваю
щей системы (величина переменная, зависящая от изменения dt);
Ф[ = 1//’1;Ф2= 1//2 — оптические силы отдельных компонентов; aF—
передний фокальный отрезок; aF, — задний фокальный отрезок;
г' —расстояние от заднего фокуса до осевой точки изображения;
z—расстояние от переднего фокуса до осевой точки предмета; а'2 —
расстояние от второго компонента до изображения; а^ — расстояние
от первого компонента до предмета; d\ — расстояние между компо-
нентами оборачивающей системы; 70— угловое увеличение оборачи-
вающей системы; L — расстояние между предметом и изображением
панкратической оборачивающей системы (постоянное).

На основании расчетов составляется график движения линз
панкратической системы и проектируется механизм их переме-
щения.

Конструктивным недостатком двухкомпонентной панкратической
оборачивающей системы является перемещение одного из компо-
нентов по криволинейному закону. В более сложных панкратиче-
ских системах можно перемещать компоненты по прямолинейному
закону.

Турыгин И. А. Прикладная оптика. М., Машиностроение, 1965.
Следует отметить, что панкратические объективы делят на два
вида: вариобъективы и трансфокаторы. Вариобъектив — объек-
тив, в котором изменение фокусного расстояния осуществляется за
счет непрерывного перемещения одного или нескольких компо-
нентов вдоль оптической оси. Трансфокатор — совокупность афо-
калыюй панкратической насадки, угловое увеличение которой мо-
жет непрерывно изменяться в заданных пределах, и объектива с
постоянным фокусным расстоянием, расположенного за насадкой.

§ 118.	Зрительные трубы с внутренней фокусировкой

Наиболее широкое распространение зрительные трубы с внут-
ренней фокусировкой нашли в современных геодезических прибо-
рах (теодолиты, нивелиры и др.). Объективом такой трубы чаще
всего является двух компонентный телеобъектив (рис. 166), состоя-
щий из положительного и отрицательного (фокусирующего) компо-
нентов. Особенность телеобъектива состоит в том, что f > L, f >
оу (в обычных линзовых объективах /' ay L). Двухкомпо-
нентный телеобъектив позволяет при малых габаритах получить
большое эквивалентное фокусное расстояние, следовательно, и боль-
шое видимое увеличение. При расчете телеобъективов вводится
понятие его телесокращения (коэффициента телесокращения), рав-
ного т = -р-, где L—длина телеобъектива, /' — эквивалентное
фокусное расстояние.

В линзовых телеобъективах т > 0,6, в зеркально-линзовых
/и > 0,2—0,3, в зеркальных т>0,1. В линзовых телеобъективах

Рис. 166. Ход лучей в
двухкомпонентном теле-
объективе

из-за значительных остаточных аберраций коэффициент телесокра-
щения менее 0,6 практически не бывает.

Чем меньше т, тем короче система, тем с большим линейным
увеличением (Зг действует фокусирующий компонент, тем сложнее
при аберрационных расчетах конструкция первого компонента, тем
труднее исправить в системе аберрации.
К достоинствам геодезических труб с двухкомпонентным теле-
объективом следует отнести малые габариты, достаточную герметич-
ность, постоянство длины при изменении фокусировки. К недостат-
кам таких труб относятся изменение эквивалентного фокусного
расстояния при перефокусировке, изменение видимого увеличения
для различных расстояний визирования, малый диапазон визирных

Рис. 167. Перефокусировка зрительной трубы с Двухкомпонентным телеобъективом
расстояний, ошибки вследствие неправильного перемещения фоку-
сирующего компонента.

Изменение эквивалентного фокусного расстояния определено
самой конструкцией телеобъектива. В самом деле, для наблюдения
объектов, расположенных на конечном расстоянии, необходимо фо-
кусирующую линзу приблизить к окуляру, если труба предвари-
тельно была установлена на бесконечность (рис. 167), на величину
Ad. В этом случае эквивалентное фокусное расстояние телеобъек-
тива, определяемое формулой Д — -г—^4^ , изменится.

г ] + /2 —

Так, в теодолите ТБ-1 при визировании на бесконечность /' =
= 250 мм, а при визировании на 1,2 м Д = 140 мм.

Перемещение фокусирующей линзы вычисляется по формуле

ds = У Цы- а'0 - /(щ-L) (а;-Ы-4/;) 1,	(17.10)

гдеа1=-------7’, L — длина телеобъектива; Д, Д — фокусные рас-

ai + Д

стояния первого и второго (фокусирующего) компонентов; а\ — рас-
стояние визирования (задается).

Теоретически невозможно создать двухкомпонентную систему с
постоянным фокусным расстоянием при перефокусировке. Оптиче-
ская сила такой системы Ф = Л|Ф: -фЫ’г-

Дифференцируя по переменной h, п переходя к конечным при-
ращениям, получим, что АФ = Ф2Д/12. Условие создания системы с
постоянным фокусным расстоянием ДФ = О выполнить нельзя (так
как Фг¥= 0; Д/г2 =£ 0, ибо, меняя фокусировку, мы изменяем при-
ращение высоты Д/b).

Постоянное эквивалентное фокусное расстояние можно полу-
чить в трехкомпонентных телеобъективах при выполнении опреде-
ленных условий (трубы постоянного увеличения В. А. Белицина).

Изучению влияния колебания визирной оси зрительной трубы
и созданию труб с постоянной линией визирования уделяли вни-
мание как зарубежные, так и советские ученые. Существующие
и вновь разрабатываемые визирные средства для исключения по-
грешностей визирования из-за перефокусирования могут быть
условно разделены на следующие: 1. Визирные трубы с фокуси-
рующими песиловыми элементами Ф = 0 (призмами), создающими
прямую визирную линию. 2. Трубы двойного изображения. 3. Си-
стемы типа аксиконов. 4. Системы, построенные на использовании
явления интерференции и дифракции.

К телескопическим системам следует также отнести и зритель-
ные трубы для наблюдения за небесными объектами, так назы-
ваемые астрономические телескопы, которые бывают трех видов:
диоптрические (рефракторы), катоптрические (рефлекторы) и ка-
тадиоптрические (зеркально-линзовые).

Автоколлимационпые зрительные трубы, представляющие собой
комбинацию обычного объектива (одно- или двухкомпонентного)
и автоколлимационного окуляра, являются также телескопически-
ми системами. Они находят широкое распространение в различ-
ного рода контрольно-юстировочных и измерительных приборах.

§ 119.	Объективы и окуляры телескопических систем

Объективы телескопических систем предназначены для получе-
ния действительного изображения, которое рассматривается гла-
зом через окуляр.

Объектив телескопической системы характеризуется следующи-
ми параметрами: фокусным расстоянием f', относительным отвер-
стием D/f, угловым полем в пространстве предметов 2<о, разре-
шающей способностью в центре и на краю поля </', конструктив-
ными особенностями и остаточными аберрациями.

Угловое поле объективов обычно небольшое. Оно определяется
угловым полем окуляра и видимым увеличением трубы. В геоде-
зических трубах при увеличении 25—30х 2<в составляет 1—2°, в
других телескопических системах — редко превышает 10—15°.
Фокусное расстояние порядка 250—500 мм, а иногда и больше,
относительное отверстие — Vs—Vio-

В зрительных трубах большого увеличения (свыше 20 х) сече-
ние пучков, проходящих через объектив, велико, а углы этих пуч-
ков с оптической осью малы, поэтому в объективах нет необходи-
мости исправлять аберрации полевых пучков, а достаточно испра-
вить сферическую аберрацию, меридиональную кому (условие сину-
сов), хроматизм положения и, по возможности, вторичный спектр.
В трубах малого увеличения возникает необходимость исправ-
ления и полевых аберраций. Остаточные аберрации зрительных
труб принято выражать в угловой мере, и чтобы они не вызывали
значительного ухудшения изображения, их величина пс должна
превышать 1—2'.

Наиболее распространенными объективами телескопических
систем являются двухлипзовые склеенные объективы двух видов:
«крон впереди» и «флинт впереди». Первый дает хорошее изобра-
жение при угловом поле до 6°, а второй позволяет получить поле
до 15° при небольшом относительном отверстии и при дополни-
тельной компенсации аберраций другими компонентами системы.

Двухлинзовый песклеепный объектив имеет практически такие
же характеристики, как и склеенный, однако позволяет получить
точно заданное фокусное расстояние путем изменения в небольших
пределах воздушного промежутка между линзами, что очень
важно в таких системах, как внутрибазные дальномеры, кол-
лиматоры и др.

Применяются также и трехлинзовые объективы из двух поло-
жительных компонентов и четырехлинзовые объективы. Такие си-
стемы имеют повышенные оптические характеристики и лучшую
аберрационную коррекцию.

В качестве объективов зрительных труб используются двух- и
трехкомпонентные телеобъективы, а также зеркально-линзовые
объективы.

На рис. 168 представлены некоторые конструктивные схемы
объективов телескопических систем:

1.	Двухлинзовый склеенный объектив «крон впереди». Первая
линза изготовлена из стекла марки «крон», вторая — из стекла
марки «флинт».

2.	Двухлинзовый склеенный объектив «флинт впереди». Первая
линза отрицательная из флинтового стекла, вторая — из кроново-
го. Оба двухлинзовых склеенных объктива просты по конструкции
и недороги в изготовлении.

3,	4. Двухлинзовые несклсенпые объективы «крон впереди» и
«флинт впреди». Позволяют получить лучшую коррекцию по срав-
нению со склеенными объективами и большее относительное отвер-
стие, а также и точно заданное фокусное расстояние путем изменения
в небольших пределах воздушного промежутка между линзами.

5.	Трехлипзовый объектив. Вторая и третья линзы склеенные.
Возможна и такая конструкция, когда склеенными будут первая
и вторая линзы.

6.	Трехлинзовый несклееппый объектив. Между линзами имеет-
ся воздушный промежуток.

Наличие в трехлинзовых объективах большого количества сво-
бодных параметров (марки стекол, радиусы, толщины и воздуш-
ные промежутки) позволяет существенно улучшить их аберрацион-
ную коррекцию по сравнению с двухлинзовыми.

7.	Четырехлинзовый объектив из двух одинаковых двухлинзо-
вых склеенных объективов. Позволяет повысить относительное
отверстие^ до 7s и увеличить поле до 32° при хорошей коррекции
аберраций высших порядков.

8.	Четырехлинзовый объектив. В качестве широкоугольного объ-
ектива в трубах небольшого увеличения возможно применить сим-
метричный окуляр с большим фокусным расстоянием. Относитель-
ное отверстие 74, угловое поле 40°.

9.	Двухкомпонентный телеобъектив. Положительный компонент
представляет собой двухлинзовый склеенный объектив, а отрица-
тельный (фокусирующий) компонент — одиночную отрицательную
линзу.

10.	Двухкомпонентный телеобъектив. Конструкция этого теле-
объектива по сравнению с предыдущим более сложная. Первый
компонент — трехлипзовый, а второй — двухлинзовый. Усложне-
ние конструкции позволяет получить систему с улучшенными абер-
рационными характеристиками.

11.	Трехкомпонентный телеобъектив. Первый компонент поло-
жительный, двухлинзовый склеенный (иногда бывает и трехлин-
зовым), второй компонент—отрицательный одно- или двухлиизо-
вый. Оба эти компонента расположены таким образом один отно-

сительно другого, что образуют телескопическую систему Галилея.
Третий компонент (фокусирующий) —двухлипзовый склеенный
(или несклеенный). Основное достоинство такого трехкомпонентно-
го телеобъектива в том, что при изменении расстояния визирова-
ния его эквивалентное фокусное расстояние остается постоянным
(Г = const). Телесокращение таких систем порядка 1,0—0,9.
12,	Зеркально-линзовые объективы. В таких объективах удачно
сочетаются коррекционные возможности отражающих и прелом-
ляющих поверхностей, что позволяет получить высокое качество
изображения при значительном сокращении габаритов трубы. На
рисунке представлена зеркально-линзовая система Д. Д. Максу-
това, состоящая из ахроматического мениска и двух сферических
зеркал. Вторичное зеркало нанесено на задней поверхности менис-
ка. Входной (выходной) зрачок имеет форму кольца.

Окуляр — оптическая система, расположенная непосредствен-
но перед глазом и предназначенная для рассматривания изобра-
жения, построенного предыдущей системой (объективом или объек-
тивом и оборачивающей системой).

Огуляр характеризуется фокусным расстоянием f'0K (обычно
Ю-т-40 мм) или окулярным увеличением Гок = относительным
foK

D' /1	1\	,

отверстием — I у ч-уД, передним фокальным отрезком sp, удале-
нок'	1

нием выходного зрачка s’/, углом поля 2«/, конструкцией и оста-
точными аберрациями.

Удаление выходного зрачка sP' колеблется в пределах (0,4 ч-
ч-0,5)/ок. Если-т->1, то такие окуляры называются окулярами
Иок

с удаленным зрачком. В зависимости от угла поля 2о>' окуляры
бывают следующих типов: а) с нормальным полем 2<и' < 55° (в гео-
дезических приборах 2и>' sb 40°); б) с увеличенным полем 2и/ =
= 55-4-70°; в) широкоугольные 2«/ > 70°.

В телескопической системе Галилея используются окуляры с
отрицательным фокусным расстоянием, которые, как правило, рас-
считываются совместно с объективом. Для труб Кеплера окуляр
обычно подбирается из каталогов или рассчитывается таким об-
разом, чтобы его аберрации компенсировали аберрации предыду-
щей системы.

На рис. 169 показаны основные типы окуляров, применяемых
в зрительных трубах различного назначения, измерительных при-
борах и микроскопах.

1.	Окуляр Рамсдена. Состоит из двух плоско-выпуклых линз,
обращенных сферическими поверхностями друг к другу. Первая
линза — коллективная, вторая — глазная. Хроматизм не исправлен.
Полевые абефрации исправлены для угла 2»/= 30 ч-40°. Удаление
выходного зрачка sp- = (-д-ч-^/ок- Применяется в простейших гео-

\ о 4 j

дезических приборах.

2.	Окуляр Гюйгенса. Сферические поверхности двух плоско-
выпуклых линз, из которых состоит окуляр, обращены к объек-
тиву. Полевая диафрагма (сетка) находится между линзами. Поле
окуляра до 50°. Удаление выходного зрачка sP' ~ у /Ок- Применя-
ется в визирных микроскопах.
3.	Окуляр Кельнера. Представляет собой усовершенствованную
конструкцию окуляра Рамсдена. Второй компонент (глазная лин-
за)— двухлинзовый склеенный. Это позволяет улучшить аберра-
ционную коррекцию окуляра 2<о' = 40—50°, передний фокальный

Рис. 169. Оптические схемы окуляров

1 '	* I *

отрезок SF^--^f0K, удаление выходного зрачка sp^y/0K. До
последнего времени окуляр Кельнера широко применяется в бинок-
лях, зрительных трубах и других оптических приборах.

4.	Симметричный окуляр. Состоит из одинаковых двухлинзовых
склеенных компонентов, обращенных друг к другу положительных
373
линз и разделенных небольшим (0,1—0,5 мм) воздушным проме-
жутком. В пределах угла поля 2о/ = 40° хорошо исправлены абер-
рации. Передний фокальный отрезок примерно равен удалению
выходного зрачка sp> и составляет -|-/ок. Симметричный окуляр
широко применяется в различных телескопических приборах.

5.	Ортоскопический окуляр. Окуляр с хорошо исправленными
аберрациями, особенно дисторсией (4 4- 10%). Глазная линза такого
окуляра одиночная, иногда плоско-выпуклая. Первый компонент —
трехлинзовый склеенный. Угловое поле 2ш' = 40°, передний фо-
кальный отрезок sf —---foK.; удаление выходного зрачка s₽- ss

3 '

Используется преимущественно в измерительных прибо-
рах и отсчетных микроскопах.

6.	Широкоугольный окуляр Эрфле первого типа имеет такие
характеристики: угловое поле, в пределах которого исправлены
полевые аберрации, 2ш'= 65°, передний фокальный отрезок sf =
= — у /ок. удаление выходного зрачка sP’= у/ок. В окуляре этого
типа коллективная линза одиночная, а глазная — двухком-
понентная, каждый компонент состоит из двух склеенных линз.

7.	Широкоугольный окуляр Эрфле второго типа. Как и преды-
дущий окуляр, он состоит из пяти линз. Первый и третий компо-
ненты— двухлинзовые склеенные, а второй компонент — однолинзо-
вый. Угловое поле окуляра Эрфле второго типа 2ш' = 60—65°,
передний фокальный отрезок sf = — у f'0K, удаление выходного
зрачка sp-=/ок, дисторсия на краю поля 10%. Применяется
в наблюдательных приборах.

8.	Окуляр с удаленным зрачком. Это пятилинзовый окуляр.
Первый и второй компоненты склеены из двух линз. Угловое поле
2ш' = 45°, удаление выходного зрачка sp- = /ок. передний фокаль-
ный отрезок = —^-/ок- Применяется при наблюдении в защит-
ных очках.

К специальным окулярам следует отнести сверхширокоуголь-
ные окуляры (2©1 =70—120°), окуляры с внутренней фокусировкой,
которые применяются в герметичных приборах, окуляры для высо-
коточных геодезических приборов, рассчитанные ГОИ, окуляры с
асферическими поверхностями и автоколлимационные окуляры.

Автоколлимационпые окуляры отличаются от обычных наличи-
ем приспособления (призма, плоскопараллельная пластинка или
др.) для подсветки сетки *. Зрительная труба, снабженная авто-
коллимационным окуляром, называется автоколлиматором.

* Справочник конструктора оптико-механических приборов. Под редакцией
М. Я- Крутера и В. А. Панова Л., Машиностроение, 1967.
Глава 18.

ЛУПА И ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МИКРОСКОПА

Оптические системы лупы и микроскопа служат для наблюде-
ния малых предметов и микропроцессов, а также для микрофо-
тографии и кинематографии. Лупа и микроскоп позволяют увели-
чить угловые размеры малых предметов, расположенных на близ-
ких расстояниях от глаза, до размеров, соответствующих разре-
шающей способности глаза.

§ 120.	Лупа и ее оптические характеристики

Лупой называется положительная линза или система линз,
предназначенная для визуального наблюдения за предметом, рас-
положенным близ передней фокальной плоскости этой линзы или
системы линз. Оптическими характеристиками лупы являются ви-
димое увеличение Г и линейное поле Чу.

На рис. 170 представлен ход лучей в лупе. Объект у располо-
жен близ переднего F, при этом наблюдатель, входной зрачок
глаза которого находится за задним фокусом F', видит прямое
мнимое увеличенное изображение.

Под видимым увеличением лупы понимают отношение тангенса
угла <о', под которым видно изображение через лупу (рис. 170, о),
к тангенсу угла <о, под которым виден предмет, помещенный на
расстояние лучшего зрения Li = 250 мм (рис. 170,6), т. е.

Г =	(>8.1)

Из рис. 170

tgw' =

(И.2)

yz,	'	•

по формуле увеличения у ~——	где z\ -£2 + ггл, тогда

' л

(18.3)

Кроме того, tg <о = — ~~ , где L1==250 мм, тогда

гГ____ tg а>' __ __	1 I J t ггл \

(18.4)
ражение лежит в бесконечности,

Практически условия применения лупы могут быть различными.
Если игл = 0, т. е. зрачок глаза расположен в. заднем фокусе, то

L,

Го — — —- 	(18.5)

/л

Если 1.2= <»> т. е. предмет помещен в переднем фокусе, изоб-
глаз работает без аккомодации,
ю получаем также формулу
(18.5). Поскольку L] = 250 мм,
увеличение лупы

Го = ^.	(18.6)

•Л

Если глаз при работе с
лупой аккомодирован па рас-
стояние L2 — L\ = 250 мм и рас-
положен рядом с линзой, т. е.
~ггл = /л т0 Формула (18.3) бу-
дет иметь вид

Г = Го + 1.	(18.7)

Из формул (18.6) и (18.7)
следует, что увеличение лупы

обратно пропорционально ее фокусному расстоянию.

Вопрос о поле лупы и об ограничении пучков в ней решается
при рассмотрении действия лупы совместно с глазом. Поле лупы
увеличивается при увеличении диаметра оправы лупы и уменьше-
нии расстояния между глазом и лупой.

§ 121.	Типы луп

Наиболее часто в качестве лупы используется простая неахро-
матическая линза, причем лучшее качество изображения даст плос-
ко-выпуклая линза, обращенная к глазу плоской стороной.

Лупы из простых линз оформляются в виде складных луп раз-
личного увеличения (2,5—20х), штативных луп, служащих для
рассмотрения фотоснимков и карт мелкого масштаба, часовых луп
со специальной оправой для установки возле глаза, а также бино-
кулярных луп.

ПриГ^>15х применяются апланатические лупы, которые со-
стоят из трех склеенных линз. В качестве луп могут также при-
меняться окуляры Рамсдена и Кельнера.

§ 122.	Теория оптической системы микроскопа

Оптическая система микроскопа состоит из двух сложных сис-
тем: объектива и окуляра. На рис. 171 схематически представлен
ход лучей в микроскопе.
Объектив Oi строит увеличенное действительное изображение
объекта АВ (рис. 171, а) вблизи передней фокальной плоскости
окуляра. Это изображение (А'В') рассматривается глазом через
окуляр О?, причем в зависимости от положения промежуточного
изображения относительно фокуса F2 изображение проектируется
либо на бесконечность (если А'В' совпадает с F2, либо на расстоя-
ние наилучшего зрения наблюдателя (если А'В' находится за

фокусом F2). Величина △ (рис. 171, б) называется оптическим
интервалом микроскопа или оптической длиной тубуса микроско-
па. По формулам (3.60) для системы из двух компонентов для
заднего фокусного расстояния микроскопа

/'=—/Z2M,	(18.8)

для переднего фокусного расстояния микроскопа

f = Л/г/Д.	(18.9)

Положение фокусов f и f микроскопа может быть определено по
формулам

Если изображение А'В' лежит в плоскости F2, т. е. на расстоя-
нии Д от заднего фокуса объектива F\ (z] = Д), получим

₽и = -Д/Л.	(18.10)
При рассмотрении изображения АВ окуляром принимаем по
формуле (18.7)

Го = 250//2.	(18 ц)

Общее увеличение всего микроскопа

Г = р0Г0 = -^-Д.	(18.12)

/1'2

Имея в виду формулу (18.10), получим

Г = 250//',	(18.13)

где /' — фокусное расстояние всего микроскопа. Кроме того, соглас-
но закону синусов, который должен быть соблюден в системе
микроскопа, получим

/   р   П sin а

у	п' sin а'

Поскольку п’ = 1 и угол а мал, а также принимая во внимание,
что nsina=X есть числовая апертура, получим

Г~ — Л/У.	(18.14)

Из рис. 171, если принять, что глаз аккомодирован на беско-
нечность и промежуточное изображение находится в первой фокаль-
ной плоскости окуляра F2, получим

, D’

С = —

2/2

где ZJ' — диаметр выходного зрачка микроскопа. Принимая во вни-
мание (18.11), окончательно получим

500А

D' •

(18.15)

§ 123.	Ограничение пучков,
глубина изображения и перспектива

Для микроскопов с простыми объективами входным и выход-
ными зрачками, а также апертурной диафрагмой является оправа
объектива. Для сложных объективов апертурной диафрагмой слу-
жит одна из последних линз объектива или специальная диафраг-
ма, установленная между последней линзой и задним фокусом
объектива (см. рис. 171). Входным зрачком объектива и микро-
скопа в этом случае будет мнимое изображение диафрагмы (или
оправы), даваемое объективом. Выходной зрачок объектива явля-
ется входным зрачком окуляра. Выходным зрачком окуляра, а
следовательно, и выходным зрачком всего микроскопа будет слу-
жить изображение апертурной диафрагмы, даваемое окуляром
(см. рис. 171).

Выходной зрачок микроскопа расположен близко к заднему
фокусу микроскопа и наблюдается в виде светлого кружка, с ко-
торым совмещается зрачок глаза при наблюдении в микроскоп,
причем выходной зрачок микроскопа для микроскопа большого
увеличения обычно бывает меньше зрачка глаза наблюдателя, ио-
этдму последний не оказывает влияния на ограничение пучков в
микроскопе- Для микроскопов малого увеличения размеры зрачка
глаза могут быть равны и меньше размеров выходного зрачка
микроскопа. В этом случае глаз оказывает влияние на ограничение

Рис. 172. Глубина изображения в
микроскопе

пучков в микроскопе.

Если диаметр выходного
зрачка микроскопа равен диа-
метру зрачка глаза наблюда-
теля, то субъективная яркость
изображения в глазу при этом
будет наибольшей. Видимое
увеличение в этом случае на-
зывается нормальным увели-
чением микроскопа, и сог-
ласно (18.15) получим

Гн = -5^. (18.16)
^гл

В плоскости действительного промежуточного изображения ми-
кроскопа устанавливается полевая диафрагма. Изображение этой
диафрагмы, даваемое объективом, находится в плоскости объекта.

При фокусировке микроскопа на некоторую плоскость резко
изображается не только эта плоскость, но и пространство перед
ней и за ней. Расстояние между двумя крайними положениями
плоскостей впереди и сзади плоскости наведения, для которых
изображения могут считаться удовлетворительными, называется
глубиной изображаемого пространства. На рис. 172 пучок лучей,
опирающийся на выходной зрачок, дает кружок рассеяния 2у'. Из
рис. 172 следует

2/ = 2dz' tgc',
где

2(г -р dz -р гр)

Пренебрегая dz и гр как малыми величинами, получим

2/ = ^.	(18.17)

Диаметр кружка рассеяния 2у' виден глазом из центра выход-
ного зрачка под углом с?,-,,, тогда

2t/ ~ (^p  z ) игл z л,

откуда по формуле. (18.17) получим

dz' = -^^.	(18.18)
Переходя к пространству объектов и учитывая, что продольное
увеличение

«о = g = —р W'/Л

а также формулы

22' =ff; Г If = —n’ln\ D' = —2/'nsina = —/'А
и формулу Г = 250//', получим

2d2 = ^222.

ГА

(18.19)

Здесь 2dz—глубина изображаемого пространства, /г —показа-
тель преломления иммерсионной жидкости. При этом предполагается,
что плоскость Q' может занимать положение по обе стороны от
плоскости изображения.

§ 124.	Разрешающая способность
и полезное увеличение микроскопа

Разрешающая способность зрительной трубы, как было пока-
зано ранее, определяется дифракционными явлениями во входном
зрачке объектива трубы. При построении изображения в микро-
скопе его входной зрачок находится на бесконечности и апертур-
ный угол обычно велик, поэтому дифракционные явления во вход-
ном зрачке микроскопа не влияют на его разрешающую способ-
ность. Однако микрообъект, рассматриваемый в микроскоп, диф-
рагирует свет, освещающий его, и действует как дифракционная
решетка, действие которой применительно к микроскопической
системе рассмотрел Аббе. На рис. 173 дифракционная решетка
освещается наклонным параллельным пучком лучен. Свет, диф-
рагированный решеткой в точке М, распадается на ряд параллель-
ных пучков лучей. Пучок, прошедший прямо (Л4А0), называется
нулевым; отклоненные в обе стороны пучки называются лучами
1, 2, 3, ... и —1, —2, —3 и т. д. порядков. Из физической оптики
известно, что

sin с] — sineft = k\hid,	(18.20)

где k — порядок дифрагированного пучка; п— показатель прелом-
ления среды, в которой находится решетка; d — период решетки;
А — длина волны света.

Если рассмотреть работу микроскопа совместно с осветитель-
ной системой, то оказывается, что изображение источника света
получается около апертурной диафрагмы микроскопа, причем из-за
дифракции, вызываемой решеткой (предметом), образуется не одно,
а ряд изображений источника света, которые разложены в спект-
ры и имеют вид, представленный на рис. 174: А() — изображение,
соответствующее нулевому порядку; At, Аг, а также A-t, ’
изображения, соответствующие порядкам 1, 2 и т, д. и —1, —2
и т. д.

Дифракционная картина, возникающая у апертурной диафраг-
мы, называется первичным изображением предмета и не похожа
на него, но несет в себе информацию о предмете. В дальнейшем
свет от источников Ль Л2 и т. д. интерферирует в плоскости поле-

Рис. 173. Схема действия дифракци-
онной решетки

Рис. 174. Схема расположения пер-
вичных изображений в микроскопе

вой диафрагмы и создает окончательное вторичное изображение
предмета, которое рассматривается через окуляр.

Если обратиться к формуле (18.20), то из нее следует, что при
уменьшении периода решетки d, или, что то же самое, при умень-
шении структуры объекта, углы дифрагированных лучей увеличи-
ваются и может создаться такое положение, что первичное изобра-
жение источника света, который служит для освещения рассмат-
риваемого предмета, выйдет за пределы апертурной диафрагмы
микроскопа и вместо вторичного изображения предмета, переда-
ющего его структуру, будет видна поверхность, равномерно осве-
щенная лучами нулевого порядка источника света. Этот случай
соответствует пределу разрешения системы микроскопа.

Следует рассмотреть два возможных случая хода лучей, осве-
щающих предмет: прямое и косое освещение. При прямом освеще-
нии (рис. 175, а) изображение источника в пучке пулевого порядка
возникает в центре апертурной диафрагмы (правая часть рис. 175, а).
При пределе разрешения у краев апертурной диафрагмы находятся
половины спектров первого и минус первого порядка. При этом
угол a-i для дифрагирования пучка минус первого порядка должен
быть равен апертурному углу микроскопа а, т. е. в этом случае
оо _ 0, k =—1, a_i = o, и формула (18.20) приобретает вид

sin о = X/nd,	(18.21)

откуда период решетки, находящейся на пределе разрешения,

d = X/A.	(18.22)

При косом освещении угол наклона лучей о» равен апертурному
углу микроскопа о. Изображение источника света в нулевом пучке
находится на краю апертурной диафрагмы, а изображение первого
порядка по условию предела разрешения — на другом краю апер-
турной диафрагмы (рис. 175, б, справа), поэтому угол =—а
и в формуле (18.20) а0 = а, k = 1 и с, = —а. Тогда

2 sin а = \/nd,
откуда период решетки, находящейся на пределе разрешения, будет

d = )./2A.	(18.23)

Рис. 175. Разрешающая способность в микроскопе:
а — прямое освещение; б — косое освещение; Д — апертурная диафрагма

Поскольку предмет освещается как прямыми, так и косыми пуч-
ками лучей, для определения разрешающей способности микроско-
па применяем формулу (18.23).

В пространстве изображений получим

d' = ХГ/2А.	(18.24)

Чтобы отрезок d' был резко виден, его величина должна соот-
ветствовать углу удобной различимости бгл, который принимают
равным от 2 до 4'. При этом, если изображение рассматривается
глазом на расстоянии удобного видения (250 мм), то линейная ве-
личина, соответствующая углу удобной различимости, будет равна
2.250sin Г и 4-250sinl'. Таким образом, может быть написано
неравенство

2 . 250 sin 1' < -я-j- < 4.250 sin Г.
Л А

Принимая X = 550 нм, получим, что увеличение Гп и апертура
микроскопа связаны неравенством

500А<Гм.п< 10Q0A.	(18.25)

Увеличение Гп» удовлетворяющее равенству (18.25), называется по-
лезным увеличением микроскопа.

Формула (18.25) не относится к микропроекции и микрофото-
графии, поскольку при рассмотрении изображений па экране зра-
чок глаза не ограничивается выходным зрачком микроскопа и раз-
решающая способность глаза может быть принята равной 1',
а . для измерительных (отсчетных) микроскопов даже 30". Тогда

Гп < 250А.	(18.26)

В коротковолновой области полезное увеличение микроскопа
возрастает.

§ 125.	Оптические части микроскопов

Оптические системы микроскопов состоят из следующих ча-
стей: объективов и окуляров, которые дают возможность получить
увеличенное изображение предмета и конденсоров и коллекторов,
образующих осветительную систему микроскопа.

Микроскоп имеет постоянную часть — т у б у с, в который монти-
руются объектив и окуляр. Механической длиной тубу-
са называется расстояние между опорными плоскостями оправ
объектива и окуляра. Механическая длина тубуса принята равной
160 мм для микроскопов, действующих в проходящем через пред-
мет свете, и 190 мм для микроскопов, действующих в отраженном
от предмета свете. Постоянная длина тубуса позволяет иметь
комплект взаимозаменяемых объективов и окуляров для получе-
ния систем с различным увеличением.

Объективы микроскопов. Основными характеристиками объек-
тивов микроскопов являются увеличение и числовая апертура.
Наиболее применяемые объективы микроскопов имеют увеличение
от 3 до 90х и числовую апертуру от 0,01 до 1,40.

Объективы микроскопов классифицируются по особенностям
оптического устройства и коррекции аберраций: различаются ахро-
маты, апохроматы, планахроматы, планапохроматы, телецентри-
ческие объективы, монохроматы, зеркальные и зеркально-линзовые
системы, объективы с применением флюорита и т. п. Кроме того,
объективы классифицируются по свойствам иммерсий: сухие си-
стемы (без иммерсии), с водной иммерсией, масляной или одно-
родной иммерсией, глицериновой иммерсией, (для ультрафиолето-
вой области). Объективы ахроматы (рис. 176, а и б) изготавли-
ваются с увеличениями в широком диапазоне, однако имеют боль-
шой вторичный спектр. Слабый ахроматический объектив пред-
ставляет собой двухлинзовый склеенный компонент. Объективы
с числовой апертурой 0,2 состоят из двухлинзовых компонентов.
Объективы средних и больших увеличений содержат фронтальную
линзу и несколько склеенных компонентов. Вторичный спектр
значительно снижается при изготовлении части линз из флюори-
та (рис. 176, в).

На фис. 176, г представлена схема апохромата. У этого объек-
тива значительно лучше исправлены хроматические аберрации
и в особенности вторичный спектр и сферохроматическая аберрация.

Некоторые линзы в апохроматах изготавливаются из кристал-
лов (каменная соль, кварц, флюорит). Лучшими объективами для
микроскопов считаются планахроматы (рис. 176, д) и планапохро-
383
маты; кроме хорошей хроматической коррекции они имеют плоское
поле. Плаиахроматы не содержат линз из флюорита, который
может иметь внутренние натяжения и поэтому не пригоден для
объективов поляризационных микроскопов. Особенностью планапо-
хроматов является высокая степень коррекции аберраций в преде-
лах всего поля зрения для спектрального интервала от 434 до
656 им. По сравнению с планахроматами планапохроматы имеют

Рис. 176. Оптические схемы объективов микроскопов

большее поле и поэтому, кроме проведения визуальных исследо-
ваний, пригодны для микрофотографии, в том числе и цветной.

Окуляры микроскопов. В микроскопах применяются окуляры,
описанные в главе 17. Эти окуляры относятся к визуальным, слу-
жащим для наблюдения изоб-

Рис, 177. Оптические схемы специаль-
ных окуляров для микроскопов:

а — АМК' 13; б — Гомал«А; 6 — Гомал-Б;
ПЛ — полевая диафрагма

ражения глазом. Визуальные
окуляры отличаются тем, что
дают неискаженное изображе-
ние по всему полю зрения. До-
пускается некоторая кривизна
поля изображения ввиду того,
что глаз может аккомодировать
на различную глубину. Кроме
того, имеются окуляры,- приме-
няемые в микрофотографии
и микропроекционных устройст-
вах. Фотографические и про-

строится на плоском фотослое

екционные окуляры должны
давать плоскую поверхность
изображения, так как оно
или экране.

Положительные фото- и проекционные окуля-
р ы (рис. 177) используются для проекции изображения на экране
или фотопленке, расположенных на конечном расстоянии. Для
этой цели служат окуляры Гюйгенса (рис. 177, а) с глазной лин-
зой, склеенной из трех линз, что улучшает коррекцию системы.
При этом для проекции и фотографии применяются объективы
планахроматы и планапохроматы. Для наводки на резкость изо-
бражения глазная линза окуляра делается подвижной.

Отрицательные фото- и проекционные окуля-
ры, называемые г о м а л ы, применяются в том случае, когда
в микроскопе применяются объективы ахроматы и апохроматы
и имеет место кривизна изображения. Эти окуляры (рис. 177, б
и в) компенсируют кривизну поля объективов и дают плоское
поле изображения.

Панкратический окуляр служит для плавного изме-
нения увеличения в 5—10 раз без перефокусировки объективом.
Этот окуляр состоит из панкратической системы с подвижными
линзами и окуляра Гюйгенса или компенсационного.

§ 126.	Осветительные устройства микроскопов

Исследуемый посредством микроскопа объект должен быть
освещен равномерно и в достаточной степени контрастно. Это до-
стигается специальными осветительными устройствами, которые
в микроскопе играют важную роль. В зависимости от характера
исследуемого объекта осветительные устройства подразделяются
на устройства для проходящего света, применяемые при исследо-
вании прозрачных объектов, и устройства отраженного света, при-
меняемые при исследовании непрозрачных объектов.

Осветители для наблюдения прозрачных предметов в проходя-
щем свете. Наиболее рациональным является метод Кёлера. Осве-
тительная система по Кёлеру (рис. 178) позволяет осуществить
концентрацию света от источника на поверхность предмета. Нить
лампы посредством линзы Л проецируется па ирисовую диафраг-
му Д2, находящуюся в фокальной плоскости конденсора К.
Из конденсора К через объект П проходит система параллель-
ных лучей разного наклона (поскольку источник С имеет конеч-
ные размеры). Близ линзы Л находятся ирисовая диафрагма
которая является полевой диафрагмой, и ее изображение строит-
ся конденсором в плоскости объекта П (Об и Ок — объектив
и окуляр микроскопа).

В микроскопе применяется два способа освещения. Освеще-
ние на светлом п о л е, когда световой поток большой и запол-
няет всю апертурную диафрагму конденсора. При этом менее
прозрачные детали наблюдаются в виде темных участков на свет-
лом поле.

Освещение на темном поле, когда световой поток в
объектив микроскопа и конденсора попадает только от неоднород-
ностей предмета, рассеивающих свет. При этом глаз наблюдателя
адаптирован на темноту и на темном поле видны светлые неодно-
родности предмета.

Освещение на темном поле применяется при наблюдении ультра-
микроскопических предметов, когда их размеры значительно мень-
13 1-440	385
Анппи иилиы света, ь этом случае изображение самих неодно-
родностей значительно больше самих неоднородностей.

Осветительные устройства для непрозрачных предметов (опак-
иллюминатор). В этом случае освещение предмета производится
через объектив микроскопа. Для этого между объективом и оку-
ляром микроскопа устанавливается наклонная пластина с полу-
прозрачной поверхностью. Лучи от источника света, расположен-

Рис. 178. Оптическая схема осветительного устройства микроскопа

пого в стороне от вертикальной оптической оси микроскопа, через
систему конденсора попадают на пластину и, отражаясь от ее по-
верхности, проходят через объектив микроскопа, освещая пред-
мет. Свет, рассеянный предметом, снова попадает в объектив
микроскопа, который вместе с окуляром строит увеличенное изоб-
ражение предмета. Однако при этом имеет место снижение кон-
траста изображения из-за большой части рассеянного линзами
объектива света. Этот недостаток устранен в устройстве ультра-
опак. Здесь-лучи света, освещающие предмет, проходят вне объек-
тива микроскопа. Для освещения вместо полупрозрачной пласти-
ны применяется наклонное зеркало с отверстием в средней части
для прохода света от объекта через объектив микроскопа.

§ 127.	Микроскопы геодезических и измерительных приборов

Микроскопы этого типа состоят из двух основных частей: объек-
тива и окуляра. К особенностям микроскопов геодезических и изме-
рительных приборов относится необходимость помещения между
объективом и окуляром измерительной части — приспособления
для отсчета линейной или угловой величины. Различают следу-
ющие задачи, которые решаются отсчетными микроскопами: оцен-
ка десятых долей интервала, оценка совпадений (совмещения)
двух штрихов и оценка биссектрированием.

Из рис. 171, б увеличение объектов микроскопа

По формуле в отрезках

г fllal

/об —-------

О• а\

(18.27)

(18.28)
На рис. 171,6

(18.29)

(18.30)

(18.31)

(18.32)

Gi = L Ч~ fl,.

Принимая во внимание (18.27), имеем

—Pocai = L 4-аь

Из формул (18.27) и (18.30) получим

L
й1 ~?об+1;

'	₽об^-

а' ~ ₽об+1’

Подставляя последние значения в формулу (18.28), получим

/о6“(^об+1)2-	<18-33)

Ввиду технологических условий расчетная величина |Зоб не вы-
держивается и действительная цена деления отсчетного приспособ-
ления отличается от рассчитанной, т. е. появляется необходимость
в определении р0о и введения поправок. Необходимым условием
для работы отсчетного микроскопа является

&' = М»	(18.34)

где &—малая часть окружности на лимбе, которая принимается
за прямолинейный отрезок и равна

S = p	(18.35)

где г—радиус лимба; а" — отсчет по лимбу в секундах; р"—вели-
чина 1 секунды в радианах.

Величина &' (в плоскости промежуточного изображения и от-
счетного устройства) будет равна

(18.36)

Из формулы (18.36) видно, что для сохранения равенства (18.34)
при постоянных В и о' остается изменение роб.

Из формулы (18.33) видно, что при изменении роб должны изме-
ниться либо L, либо Д)6. В соответствии с этим в современных гео-
дезических приборах встречаются два типа микроскопов, в которых
изменяют L пли /о6-

Первый тип — микроскоп с переменным L. При этом изображе-
ния различных частей лимбов не сводятся в один отсчетный микро-
скоп (старые конструкции приборов).

Второй тип—микроскоп с переменным f'O6- Здесь изображе-
ния различных частей лимбов сведены в один микроскоп (совре-
менные приборы). Изменение фокусного расстояния объектива
}3*	387
в этом случае достигается посредством изменения расстояния
между двумя компонентами объектива в соответствии с формулой

(18.37)

/1 *+* /2 — а

где fi и /2 —фокусные расстояния первого и второго компонентов
объектива; d—расстояние между их главными плоскостями.

Однако после установления необходимого фокусного расстояния
объектива микроскопа с известной точностью могут существовать
несоответствия 8' действительного с расчетным.

Для микроскопов с винтовым микрометром эта величина несоот-
ветствия Д8' носит название «рун» («пробег»). Это та избыточная
величина, на которую барабан микрометра «пробежит», если рОб
установлено не в соответствии с существующим расчетом. Сущест-
вуют установленные нормы на допустимый «рун» для приборов раз-
личного назначения.

Что касается других параметров отсчетных микроскопов, то они
рассчитываются на основании общей теории микроскопов и, в ча-
стности, теории видимого и полезного увеличения. Возвращаясь,
однако, к фунциям отсчетных микроскопов, указанным выше, мож-
но дать следующие рекомендации: при оценке десятых долей интер-
вала увеличение Г должно быть таким, чтобы видимая величина
интервала была равна 1,0—2,0 мм. Видимая величина штриха
должна быть равна 0,1 интервала. Так как технологическая тол-
щина штриха получается в пределах 2 мкм, то увеличение опти-
ческой системы микроскопа не должно быть больше 80—100х.

При оценке совпадения (совмещения) двух штрихов и оценке
биссектрирования (т. е. установления штриха между линиями бис-
сектора) видимое увеличение выбирается в зависимости от допусти-
мой ошибки отсчета.
Глава 19.

ПРОЕКЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

Проекционным прибором называется оптическое устройство,
служащее для получения па плоскости увеличенного изображе-
ния предмета. Проекционные приборы имеют весьма широкое при-
менение в самых различных областях науки, техники и культуры.
Это всевозможные проекторы: театральные, телевизионные, изме-
рительные, фотограмметрические, промышленные для контроля
изделий, любительские, а также различного типа кинопроекцион-
ные аппараты. Основной частью этих приборов является оптиче-
ская система.

§ 128. Методы оптической проекции.
Основные требования к изображению и экрану.
Источники света для проекционных систем

Проекционные приборы состоят из двух основных частей: осве-
тительной, которая собирает лучи от источника света на предмет,
и проекционной, образующей изображение па экране.

Существуют две группы проекционных приборов: диаскопиче-
ские, когда предмет проецируется в проходящем свете (кинофиль-
мы, фотодиапозитивы), и эпископические, когда производится
проекция непрозрачного предмета в отраженном свете. Основными
требованиями к изображению предмета на экране являются необ-
ходимый масштаб изображения, допустимый угол поля изображе-
ния и достаточная для рассмотрения яркость. Масштаб изображе-
ния должен быть таким, чтобы угловые размеры наименьших де-
талей изображения предмета при рассматривании их на экране
соответствовали угловому разрешению глаза (одна угловая ми-
нута).

Пусть среднее расстояние зрителя от экрана будет г, а наи-
меньшая величина детали диапозитива Д. Величина Д может быть
принята как Д = \/N (N — разрешающая способность в линиях на
1 мм, полученная на диапозитиве). Эта величина на экране будет
Д' = Др0, тогда

где Ро — линейное увеличение при проекции; <|» — угловое разре-
шение глаза (ф = 1' == 1/3438),

fa = ЗТМ = Д3438-	(19'2}
С другой стороны,

₽о = —(19.3)
'об

где /об — заднее фокусное расстояние проекционного объектива
гоб—расстояние от переднего фокуса проекционного объектива до
экрана.

Если размеры проецируемого предмета (размеры кадра) а и Ь;
а размеры экрана а' и Ь', то увеличение проецируемой системы
будет

ро=4=ьь-	о9-4)

При этом размеры экрана будут: ширина а' = аро и высота Ь' =
= bfio, а площадь экрана S = ab$-

Положение первого ряда зрителей относительно экрана опре-
деляется возможностью свободного движения глаз (около 40°), при
этом

21 = 1,5а',	(19.5)

где а’ — ширина экрана. При этом величины дефектов экрана и
киноизображения не должны превышать в угловой мере разре-
шающей силы глаза (1 ').

Положение последнего ряда зрителей определяется требова-
ниями к различению наименьших деталей изображения по фор-
муле (19.2). Угол, под которым видна при этом ширина экрана,
составляет 7—10°.

Изображение на экране должно быть достаточно ярким и кон-
трастным. Яркость изображения зависит от мощности осветитель-
ной системы, оптической плотности диапозитива при диапроекции
или отражающей способности поверхности предмета при эпипроек-
ции, а также отражающих свойств экрана. Яркость экрана в цент-
ре при проекции без диапозитива согласно принятым нормам
составляет от 25 до 50 кд/м2 и при эпипроекции от 1 до 5 кд/м2.

Яркость экрана определяется по формуле

L = p4,	(19.6)

где Е — освещенность экрана; р — коэффициент отражения экрана
(р = 0,8—0,9 и зависит от типа экрана).

Экран должен быть равномерно освещен. Коэффициент равно-
мерности освещения экрана составляет 0,65; при широких экранах
этот коэффициент допускается до 0,5. Экран должен обеспечивать
достаточные углы рассеяния в горизонтальной и вертикальной
плоскостях. От углов рассеяния зависит зона расположения зри-
телей. При этом для краев зоны допускается уменьшение яркости
до 50% от яркости центра экрана.
Качество изображения предмета па экране определяется ка-
чеством диапозитива и свойствами проекционной системы, однако
существенное влияние также оказывает посторонняя засветка
экрана, которая влечет за собой уменьшение контраста изобра-
жения. Способность наблюдателя различать предметы различной
яркости определяется контрастной чувствительностью глаза, кото-
рая выражается как L/AL min, где L — яркость изображения пред-
мета на экране, а АЛтт = (L—Ьф) т1п; здесь Ьф— яркость фона
на экране, образуемого посторонней засветкой. Величина контраст-
ной чувствительности глаза достигает 50—70 и увеличивается с
ростом яркости изображения.

Светоотражающие экраны применяются как диффузные (бело-
матовые), так и направленного действия. Бело-матовые экраны
имеют постоянную яркость во всех направлениях, однако, при
этом часть светового потока (до 60%) не используется, так как
рассеивается в направлениях, в которых зрителей нет. Эти экраны
характеризуются коэффициентом отражения р.

Экраны направленного действия позволяют концентрировать
световую энергию в ограниченном телесном угле, в котором рас-
полагаются зрители. При этом яркость изображения в данном
направлении увеличивается. Характеризуются эти экраны коэф-
фициентом яркости, который определяется по формуле

где — яркость в данном направлении, a La— яркость абсолютно
белой поверхности (при р = 1), а также полезным углом рассеяния
2ап, т. е. углом, в пределах которого коэффициент яркости не па-
дает ниже определенного условного значения.

Освещенность экрана для края поля может быть определена
как (см. § 54)

Еш — Кш cos4 ю’Е',	(19.7)

где Кю — коэффициент виньетирования проекционной системы; о/—
угол поля для края экрана; Е' — освещенность в центре экрана.
Для небольших углов проекционных систем (2«/з* 30°) можно пре-
небречь виньетированием (Ко> — 1) и влиянием угла о/, тогда свето-
вой поток, падающий на экран, будет

F' = E'.S',	(19.8)

где Е' — освещенность экрана в лк, S' — площадь экрана в м2.

Если учесть, что коэффициент использования светового потока
в проекционной системе составляет от 0,025 до 0,13, то световой
поток, излучаемый лампой, может быть Фл = от Ф' до 40Ф'. Более
точно световой поток может быть определен по формуле

’	(19.9)

где L — яркость источника света; т — коэффициент пропускания
всей осветительно-проекционной системы; S — площадь кадрового
окна; (y-j — геометрическая светосила проекционного объектива;
ро — масштаб изображения. Здесь

т = Т1т2тзт4,	(19.10)

где и — коэффициент пропускания осветительной системы; т2—
коэффициент пропускания обтюратора (в случае кинопроекции);
т3 — коэффициент пропускания проекционного объектива; т4— коэф-
фициент пропускания за счет потерь на теплофильтрах, в кадровом
окне и т. п.

Следует разъяснить значение коэффициента пропускания обтю-
ратора, который открывает объектив проектора периодически. При
этом (по закону Тальбота) «кажущаяся» яркость L экрана будет
определяться по формуле L = LtolT, где L — истинная яркость
экрана, t0/T—коэффициент пропускания обтюратора (/0 — время
открытия объектива, Т — междукадровое время).

Световые потоки, необходимые при проекции (~ 103 лм), обе-
спечиваются кинопроекционными лампами накаливания, электри-
ческими и пламенными дугами и газоразрядными лампами высо-
кого давления.

Электрические лампы накаливания. Температура нити лампы
составляет 3200 К, при этом световой поток различных кинопроек-
ционных ламп накаливания составляет от 500 до 2-104лм и выше.
Важнейшей характеристикой кинопроекционной лампы накалива-
ния является габаритная яркость тела накала. Габаритной ярко-
стью называется отношение силы света к площади всего тела
накала, включая несветящиеся промежутки между витками спи-
рали и между спиралями. Габаритная яркость входит в свето-
технические расчеты проекторов. Форма тела накала должна быть
близка к форме кадрового окна. Электрические лампы накалива-
ния применяются в основном в любительских и передвижных кино-
проекторах и проекторах.

Электрическая пламенная дуга. Представляет собой дуговой
разряд через воздушный промежуток между угольными электро-
дами. При разряде развивается температура до 3800 К; при этом
электроды, состоящие из графита, сажи, кокса или их смеси,
испаряются и их раскаленные частицы вместе с газами дают
яркое свечение. Средняя яркость центральной зоны свечения со-
ставляет от 2-104 до 9-Ю4 кд/м2. Электрические пламенные дуги
применяются в мощных стационарных кинопроекторах.

Газоразрядные лампы высокого давления являются источника-
ми света, в которых используется излучение электролюминесцен-
ции газов или паров металлов, возникающее под действием про-
ходящего через них электрического тока. В качестве источников
света применяются ртутные и ксеноновые лампы сверхвысокого
давления типа СВДШ:

а.	Ртутные шаровые лампы сверхвысокого давления пред-
ставляют собой шаровую кварцевую колбу с толстыми стеклами,
в которую впаяны два вольфрамовых электрода. Лампы напол»
няются ртутью и инертными газами таким образом, что после
зажигания и испарения ртути давление внутри лампы составляло
для ламп различной мощности от 10 до 70 ат. Лампы питаются
от сети с напряжением 220 и 127 В и ниже. Максимальная яр-
кость в центральной части разряда составляет от 1,5-104 до
J05 кд/м2.

б.	Ксеноновые дуговые лампы сверхвысокого давления пред-
ставляют собой электрическую дугу в среде ксенона между двумя
вольфрамовыми электродами, впаянными в прочную кварцевую
колбу шаровой формы. Ксеноновые лампы малоинерционны при
зажигании и имеют непрерывный спектр излучения, совпадающий
со спектрами дневного света. Яркость ксеноновых ламп колеб-
лется от 7-103 до 2-Ю5 кд/м2. Благодаря указанным свойствам
эти лампы широко применяются в проекционных системах.

§ 129. Диаскопические проекционные системы

Диаскопическая проекционная система состоит из источника
света, осветительной системы, кадрового окна для установки диа-
позитива и проекционного объектива. Проекционная система долж-
на направлять через каждую точку проецируемого диапозитива
пучки света примерно равной апертуры, заполняющие входной
зрачок проекционного объектива.

Существуют две оптические схемы диапроекции. В первой схе-
ме осветительная система образует изображение источника света
во входном зрачке проекционного объектива или вблизи него.
Во второй — осветительная система образует изображение источ-
ника света в плоскости кадрового окна или вблизи него. Послед-
няя схема требует применения источника света со сплошным све-

Рис. 179. Диаскопическая проекция. Осветительная система образует изображение
источника света во входном зрачке проекционного объектива

чением (ленточная лампа или угольная дуга), поскольку струк-
тура источника изображается в плоскости предмета.

На рис. 179 изображена оптическая схема проекционной системы
в первом варианте. Источник света Л (диаметром Оист) осветитель-
ной системой (конденсором) К изображается в плоскости входного
зрачка (диаметром DBX) проекционного объектива О. Предмет высо-
той у находится в кадровом окне КО вблизи от конденсора X
и проецируется объективом О на экран. Из рис. 179 на основе

закона синусов получим

R _ °вх _ sinooXB.
Р°К~ ЯИст Sina' ’

•	' U

sin а* = —,
Р

где рок — увеличение осветителя; сохв — апертурный угол осветителя
со стороны источника света; ск— апертурный угол осветителя со

Рис. 180. Диаскопическая проекция. Осветительная система образует изображе-
ние источника света в плоскости кадрового окна

стороны объектива; у — половина диагонали кадра; р — расстояние
от диапозитива до входного зрачка.

ТЛ	Г'	1

Имея в виду, что р ss /об и --т— = получим

'об

7?ист 81П Сохв------у!К,

(19.11)

где К— величина, обратная относительному отверстию проекцион-
ного объектива (диафрагменное число).

Формула (19.11) евязывает основные геометрические и оптичес-
кие параметры источника света ОИСт, осветительной системы sinsOxu,
кадрового окна у и проекционного объектива К-

На рис. 180 представлена оптическая схема проекционной си-
стемы во втором варианте. В этом случае источник света Л диа-
метром 7>ист осветительной системой (конденсором) К строится
в плоскости кадрового окна КО. Так же, как и прежде, предмет
с высотой у находится в кадровом окне КО и его изображение
посредством проекционного объектива О строится на экране.

Из рис. 180 на основании условия синусов увеличение конден-
сора

sin g0XB	2у

Рк sin Ооб " Г>ист ’
где <?об —апертурный угол объектива со стороны кадрового окна;
остальные обозначения прежние, причем при ре/Об,

sin9o6^i- = - W,

из последних выражений снова получаем формулу (19.11).

Таким образом, в этом случае формула (19.11) также связы-
вает основные оптические и геометрические параметры проекцион-
ной системы.

Освещенность изображения на основании (7.72) при рр = 1 и
Ро 1 определяется как

=	‘	(19.12)

\ 'об / Ро

где L — габаритная яркость источника света; т — коэффициент
пропускания проекционной системы [см. формулу (19.10)].

Из формулы (19.12) получим

£'^0,75-^-.	(19.13)

Формула (19.13) связывает требуемую освещенность изобра-
жения на экране с яркостью источника света и физической све-
тосилой проекционной системы. Формулы (19.11) и (19.13) могут
служить для расчета проекционной системы.

Увеличение поля проекционной системы приводит к виньетиро-
ванию изображения на краю поля; этого можно избежать путем
увеличения поперечных размеров (светосилы) осветительной сис-
темы и проекционного объектива, а также посредством примене-
ния промежуточных диоптрических систем, которые оптически со-
прягают выходной зрачок конденсора с плоскостью входного
зрачка проекционного объектива либо с плоскостью кадрового
окна.

Осветительные системы для диаскопической проекции. Освети-
тельные системы служат для равномерного освещения проецируе-
мого предмета и бывают линзовые (конденсоры), зеркальные и
зеркально-линзовые.

Конденсоры. Основными параметрами конденсоров являются
угол охвата аохви линейное увеличение рк, принятое для построе-
ния источника света. Конденсоры обладают значительными сфе-
рической и хроматической аберрациями, зависящими от угла
охвата; увеличение аберраций приводит к неравномерной освещен-
ности экрана, поэтому угол охвата и увеличение конденсора долж-
ны соответствовать его типу. В зависимости от угла охвата при-
меняются однолинзовые, двухлинзовые, трехлинзовые, четырехлин-
зовые и даже пятилинзовые конденсоры. Простейший однолинзо-
вый конденсор, представляющий линзу, рассчитанную на минимум
сферической аберрации, может иметь угол охвата до 15—20°
(рис. 181, а). При углах более 20° значительно возрастают абер-
^ацпи. переход к двухлинзовым системам позволяет повысить
углы охвата до 50—60° при пониженных требованиях к концент-
рации лучей кондесорной системой. Дальнейшее увеличение угла
охвата приводит либо к использованию трехлинзовых конденсо-
ров, либо к применению двухлинзовых систем с одной асфериче-
ской поверхностью.

Рис. 181. Осветительные системы различных типов:

а — однолинзовый конденсор; б — конденсор из двух плоско-выпуклых линз» в — двухлин-
зовый из линз, рассчитанных на минимум сферической аберрации’, г — двухлинновый с ап*
ланатической линзой; д — трехлинзовый из линз, рассчитанных на минимум сферической
аберрации; е— трехлинзовый в апланатической линзой; лс — четырехлинзовый с двумя апла-
нагическими линзами; з — четырехлинзовый конденсор; и — конденсор с дополнительным
зеркалом

В зависимости от увеличения конденсора оказывается рацио-
нальным применять следующие системы:

1.	Конденсор из двух плоско-выпуклых линз (рис. 181,6). Такая
система конденсора наиболее рациональна для увеличений fi0K =
—1 -------3 пои углах охвата до 2-охв = 50 -=-60°.
2.	Двухлинзовый конденсор из линз, рассчитанных на минимум
сферической аберрации (рис. 181,в). Такой тип конденсора рацио-
нален для увеличений Вк = —4ч 10 и углов охвата до 2оохв =
= 50 ч-60°.

3.	Конденсор из апланатического мениска и линзы, рассчитанной
на минимум сферической аберрации, применяется при больших
увеличениях {Зк =—Юч 15 и углах охвата до 2оОхв=60° (рис. 181, г).

4.	Для увеличения угла охвата до 70—75° применяют трехлин-
зовые конденсорные системы, состоящие либо из линз, рассчитан-
ных на минимум сферической аберрации (рис. 181, д), либо из
двух плоско-выпуклых линз и апланатического мениска
(рис. 181 е). Апланатическая линза позволяет увеличить угол
охвата до 75°, не внося при этом сферической аберрации и комы.
Линейное увеличение таких конденсоров лежит в пределах от
—1,5 до —4,5.

При повышенных требованиях к концентрации пучков лучей
конденсорпой системой для достижения углов охвата до 90° при-
меняют четырехлинзовую систему с двумя апланатическими мени-
сками, которая имеет увеличение в пределах от —2 до —6
(рис. 181, ж). Однако конденсоры такого типа имеют малое рабо-
чее расстояние и поэтому если согласно энергетическим рас-
четам требуется угол охвата порядка 90°, рациональнее применять
четырехлинзовую систему (рис. 181, з).

Иногда в осветительных диоптрических системах применяют
добавочное сферическое зеркало, в центре кривизны которого рас-
полагают нить накала источника света (рис. 181, и). В такой
системе изображения отдельных секций светящегося тела оказы-
ваются расположенными между соответствующими секциями ис-
точника света. Это обеспечивает увеличение габаритной яркости
на 20—25°/о в (зависимости от структуры светящегося поля).

§ 130.	Габаритный и светотехнический расчет
диаскопической проекции

Габаритный расчет оптической системы при диаскопической
проекции состоит в определении оптических параметров освети-
тельной и проекционной систем и выборе источника света. Исход-
ными данными для расчета являются формат диапозитива а\в,
освещенность экрана (в люксах), расстояние от экрана до проек-
ционного аппарата.

Порядок расчета

1.	Определим увеличение проекционной системы, исходя из
разрешающей способности глаза наблюдателя и размеров зритель-
ного зала по формуле (19.1)

й — г - zN

Р0 А 3438 ~ 3438

(размерами наименьшей величины предмета △ или разрешающей
способности N лин/мм задаемся на основании данных диапозитива),
2.	На основании (19.3) находим размеры экрана
а' = аРо; Ь' = Ь$й.

3.	Определяем фокусное расстояние проекционного объектива
по формуле (19.3) 4б = z'/po- При малых увеличениях (30<Ю)
формула (19.3) имеет вид

= Г^'

4.	Выбираем по каталогу проекционный объектив с фокусным
расстоянием /об и максимально возможной светосилой.

5.	На основании выбранного объектива (величина /С), заданных
размеров диапозитива (величина у) и принятых размеров источника
света 1>ист определяем аохв осветительной системы.

6.	На основании требуемого угла охвата (з0хв)* выбираем тип
осветительной системы конденсора и определяем его увеличение
по формулам: а) для случая, когда источник света изображается
в плоскости входного зрачка объектива, рк = ур—; б) для случая,
^ИСТ

когда источник света изображается в плоскости диапозитива,
рк ~ уЮпст.

7.	Производим расчет осветительной системы.

8.	Зная требуемую освещенность экрана Е'*, а также коэффи-
циент пропускания проекционной системы т, светосилу проекци-
онного объектива /( и линейное -увеличение проекционного объек-
тива ро, определяем габаритную яркость источника света

L — 0,75 • т •

9.	По величине £>Ист и L подбираем источник света.

§ 131.	Эпископические проекционные системы.
Эпидиаскопы

Принципиальная схема эпископической проекционной системы
представлена на рис. 182 . Предмет П освещается источниками
света А и А и посредством зеркала 3 и проекционного объектива
О его изображение строится на экране Q. Увеличение при проек-
ции будет

Ро=* у7у,	(19.14)

где у' — требуемая величина изображения и экрана; у—величина
проецируемого объекта.

* Для расчетов этих величин удобно воспользоваться номограммами, при-
веденными в монографии М. М. Апенко, А. С. Дубовика «Прикладная оптикаэ»
М., Наука, 1971, с. 298.
Фокусное расстояние проекционного объектива может быть оп-
ределено по формуле

/об = г^.	(19-15)

где s' — расстояние от объектива до экрана.

Необходимое угловое поле проекционного объектива определя-
ется по формуле

tg(B'(19.16)
zp

где р'— расстояние от выход-
ного зрачка объектива до изо-
бражения, а и b — размеры диа-
позитива (предмета).

Освещенность в середине
предмета

(19.17)
lk
fe=i

Eq — суммарная освещенность
предмета (лк); А— сила света
источника (кд); ik— угол между

нормалью к предмету и направлением от его центра на источник
света; 4— расстояние от центра предмета до источника света (м).
Яркость предмета при коэффициенте отражения р, не изменяю-
щемся для всей площади предмета, находится как (7.32)

Lo = p-^.	(19.18)

Освещенность на экране £' может быть определена по формуле
(19.12)

E’^Lqx

(19.19)

7'

з щсь т = рзтОб — коэффициент пропускания проекционной системы;
рз — коэффициент отражения зеркала; тОб — коэффициент пропуска-
ния объектива; р' — расстояние от выходного зрачка объектива до
экрана; D' — диаметр выходного зрачка объектива.

При расчете эпископической проекционной системы по форму-
лам (19.14) -5- (19.16) следует выбирать наиболее светосильный
объектив, а затем, задаваясь освещенностью изображения на экра-
не, на основании формул (19.17) -s- (19.19) находить необходимую
освещенность предмета, силу света и количество осветительных
ламп, имея в виду, что если лампы одинаковые и располагаются
симметрично относительно предмета, т, е. I и i одинаковы для
всех ламп, то суммарная сила света, равная 1т (где т — число
ламп), может быть найдена из (19.17) как

о 2

Jtn — —-^-E0.	119.20)

Выбрав осветительную лампу с определенной силой света, на-
ходим необходимое количество таких ламп.

Существуют проекционные приборы, в которых соединены диас-
копическая и эпископическая проекции в одном общем корпусе,
такие приборы называются эпидиаскопами.

§ 132.	Проекционные объективы

Качество проекции в большой мере зависит от свойств проек-
ционного объектива, который должен обеспечивать:

а.	Распределение освещенности изображения на экране соот-
ветственно распределению яркости на диапозитиве (т. е. объектив
не должен иметь виньетирования) ;

б.	Четкое изображение проецируемой картины и ее деталей, а
также правильную передачу контраста;

в.	Сохранение геометрического подобия проецируемой карти-
ны при проекции на экран.

Проекционные объективы можно классифицировать по области
применения:

а.	Объективы для кинопроекции любительских 8-миллиметро-
вых кинофильмов (анастигматы Н-1 и Н-2 и панкратический объек-
тив ПФ-1);

б.	Объективы для кинопроекции 16-миллиметровых кинофиль-
мов типа РО-Ю1-1; Р0-Ю2-1; РО-Ю9-1; РО-111-1 и типа ОКП-1-
-50-1, ОКП-2-50-1 и др.;

в.	Объективы для кинопроекции 35-миллиметровых кинофиль-
мов типа П-4, П-5 и П-6, а также РО-106, РО-Ю7, РО-Ю8 и др.;

г.	Объективы для кинопроекции 70-миллиметровых (широко-
форматных) фильмов типа ОКП-2-70, ОКП-2-75, ОКП-2-80, ОКП-
-3-90, ОКП-2-ЮО, ОКП-2-1Ю, ОКП-2-120;

д.	Объективы для проекции анаморфированных (широкоэк-
ранных) фильмов типа РО-501, РО-502, РО-503, РО-505, РО-506,
а также Ж-32, Ж-33, Ж-34 и др.

Для диаскопической и эпископической проекции применяются
фотографические объективы с большим полем, достигающим
20X20 см (типа Индустар-51, Уран-12, Уран-9, Сатурн-2, РО-116,
РО-117, Орион-18 и др.).
Глава 20

СТЕРЕОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Оба глаза человека видят одновременно одни и те же предметы-
внешнего мира, что позволяет чувствовать глубину воспринимае-
мого зрением пространства. Эта способность называется стерео-
скопическим или пространственным видением или стереоскопиче-
ским эффектом. Стереоскопическое видение и стереоскопическая
фотография позволяют получить пространственную картину окру-
жающих нас предметов и явлений и произвести измерения их от-
дельных элементов в трех пространственных координатах. Они
широко применяются в различных областях науки и техники:
при картографировании, в архитектуре, археологии, геологии, ме-
дицине и т. п.

§ 133. Стереоскопическое видение

Важной особенностью стереоскопического (бинокулярного) ви-
дения является то, что при рассматривании одновременно дву-
мя глазами, находящимися на расстоянии базиса, изображения, ви-
димые правым и левым глазом, сливаются в одно пространствен-
ное изображение. Однако при этом должны быть выполнены оп-
ределенные геометрические условия.

При визировании на какую-либо точку (например, точку А на
рис. 183) мы поворачиваем оба глаза так, что линии прямого виде-
ния пересекутся в наблюдаемой точке; при этом оба изображения
точки окажутся в центральных ямках желтого пятна. На рис. 183
точкой фиксации является точка А; Л] и As— центры желтых пя-
тен. Угол <?1Л<?2 называется стереоскопическим параллаксом или
углом конвергенции (т;). В зависимости от удаления точки фиксации
А от базиса величина стереоскопического параллакса изменяется
от нуля, когда точка А лежит в бесконечности, до 15°, когда она
находится на расстоянии 250 мм.

Кроме точки Л, возьмем в пространстве ряд точек В, С, D, Е,
F. Опыт показывает, что при рассмотрении точек Е и F, находя-
щихся внутри угла т] или внутри соответствующего ему вертикаль-
ного угла, мы видим их двойными. Точки В, С и D, находящиеся
вне угла 73, мы видим как одиночные. Заметим, что изображения
точек Е и F на сетчатках глаз Е\ и Е? лежат по разные стороны
от точек Л) и As. Изображения же точек В, С и D на сетчатках,
т. е. В\ и Bs, Ci и Cs, D\ и Ds, лежат по одну сторону от цент-
ральных ямок. Эти точки, которые воспринимаются как одна
точка, называются соответственными точками сетчатой
оболочки. Соответственные точки сетчатки глаз так связаны меж-

ду собой посредством нервных путей, что зрительное раздражение
в них соединяется в одно зрительное восприятие. Геометрическое

место точек пространства, которые мы видим одновременно оди-
ночными, называется гороптером. Благодаря большой по-
движности глаз точки фиксации непрерывно меняются, и мы не

Рнс. 183. Получение стереоскопи-
ческого эффекта:

01 и О* — центры вращения глаз, 6|

и С2, В2 — сетчатки глаз, Ot 0g —
глазной базис

D, более удаленной от базиса,
и разность дуг D \A [ — D2A2 >
нимать разность дуг D\A\-

замечаем, что часть точек прост-
ранства при данной фиксации ви-
дим двойными.

На рис. 183 окружность, про-
веденная через точки A, Ch и 02,
является геометрическим местом
точек с одинаковым стереоскопи-
ческим параллаксом, равным т;.
Поскольку базис b мал по сравне-
нию с расстоянием R до точки
А, то

т) = &//?.	(20.1)

Примем, что дуги Л[В1 иЛ2В2
положительны, если точки В\
и В2 расположены вправо от точек
А} и А2, и отрицательные, если
они расположены влево от точек
А\ и А2. Рассмотрим точки С и D
(см. рис. 183), расположенные
ближе и дальше точки А. Для
точки С, лежащей ближе к бази-
су, разность параллаксов Д/г2 =
=т; — т]2 < 0 измеряется разностью
дуг CiA'i — С2А2<0. Для точки
разности параллаксов AAj = т]— '$!> О
0. Глаза обладают способностью воспри-
-D2A2, благодаря чему наблюдатель

чувствует положение точек по глубине. Точки, имеющие положи-
тельную разность параллаксов (Дтц > 0 для точки О), кажутся
более удаленными, а точки, имеющие отрицательную разность
параллаксов (Дт)2 < 0 для точки С), кажутся менее удаленными.
Способность глаза воспринимать такие разности в положении точек
пространства по глубине называется остротой стереоскопи-
ческого видения. Острота стереоскопического видения опре-
деляется наименьшей разностью параллаксов Дтд, которая еще может
быть ощутима глазами. Она принимается равной от 10 до 30". Если
принять Дт] = 10" и b = 65 мм, то по формуле (20.1)

р _____	65 • 206265	< ода ,,

^тах —	-------Го----= 34и м‘
Эта величина называется радиусом стереоскопиче*
ского видения. Точки пространства, находящиеся на рас-
стоянии, большем Ятах, представляются лежащими в одной плос-
кости.

Острота стереоскопического видения зависит от расстояния до
рассматриваемых точек. После дифференцирования формулы (20.1)
получим

Д7? = ^R2/b.	(20.2)

Принимая Д?) ±= 10" и b = 65 мм для различных расстояний (м)г
получим значение Д/? (м).

R	1	5	10	50	100
дя	0,0007	0,019	0,074	1,85	7,4

§ 134. Общие принципы действия стереоскопических приборов

Стереоскопический эффект зависит от угла зрительного охвата

рассматриваемого предмета. Угол охвата можно увеличить или

при помощи телескопической системы, или увеличивая базис рас-

сматривания. Базис, с которого рассматривается'предмет, можно
увеличить, применив простейший прибор — стереоскоп (рис. 184).

Лучи от предмета при помощи зеркал 31 и Зг, а также Зз ИЗ4
направляются в оба глаза наблюдателя т\ и т2. Стереоскопическим
базисом рассмотрения при этом является расстояние М\М2 = В,
которое может быть выорано зна-
чительно большим, чем глазной
базис mim2 = b, так что B=qb,

где q > 1. Увеличение базиса, как
это видно из формул (20.1) и
(20.2), приводит к увеличению ра-
диуса и остроты стереоскопичес-
кого видения в q раз. Величина

В

Я — называется удельной
пластикой прибора.

Если описанный выше стерео-

Рис. 184. Система телестереоскопа

скоп снабдить телескопическими
системами в каждой ветви так,

как это показано на рис. 184 пунктиром, то мы получим систему
телестереоскопа. Аналогичная система имеет место в призменном
бинокле. Она увеличивает углы в пространстве изображений в уо
раз (у0 — угловое увеличение). Поэтому предельная острота стерео-
скопического видения Дт]т будет уменьшена в у0 раз, т. е. Дт]7 = Дт(/у0.
Подставив в формулу (20.1) значение увеличенного базиса В
и новое значение остроты стереоскопического видения Д-ц,, получим
^=^0-^,	(20.3)

т.е. изменение радиуса стереоскопического видения происходит
прямо пропорционально изменению увеличения зрительного при-
бора и изменению базиса рассматривания. Общее увеличение ра-
диуса стереоскопического видения пропорционально произведению

Q = <7То,	(20.4)

которое называется полной пластикой. Искусственное
усиление стереоскопического эффекта называется гиперстерео-
скопией. Указанная система применяется в приборах для сте-
реоскопического рассматривания удаленных предметов (стерео-
трубах, стереодальномерах и т. п.).

§ 135. Стереоскопическая фотография.

Пластика при рассматривании стереоснимков в стереоскопе

Стереоскопическая фотография основана на использовании
стереоскопического видения. Стереоскопический эффект возникает
не только при рассматривании двумя глазами точек действитель-
ного пространства, по также при рассматривании двумя глазами
двух фотографических изображений этого пространства.

На рис. 185 изображены две фотокамеры с объективами О\
и Ог и фокальными плоскостями Qi и Q2, в которых расположены
фотопластинки. O1O2 = В — базис съемки, А—точка фиксации. Из
подобия треугольников О1ЛО2 и Л ЛА 2 получаем

—У[ + В + У2	Я + fK

В =	’

откуда

У2— У\ = P = 4yL-	(20-5)

Разность цг—у\ = р называется стереоскопической раз-
ностью, или параллаксом.

Из рис. 185 видно, что для плоскости N величина р остается
постоянной. Для точек, находящихся в бесконечности (R = со),
р = 0. После превращения снимков в позитивные изображения
рассмотрим их двумя глазами через две лупы, которые образуют
стереоскоп (рис. 186). Из рис. 186

_	ь+</1— У2 r—fn

b ~ Ь ~ г ’

откуда

y2_yi==p = ^-.	(20.6)
Приравнивая правые части (20.5) и (20.6), найдем положение
точки м' при рассматривании в'стереоскоп

г = Д-/?.	(20.7)

к

Дифференцируем формулу (20.7) по переменным г и А? и заме-
ним дифференциалы приращениями, тогда

Дг = ^-4-Д/?.	(20.8)

Рис. 185. Получение стереоскопичес-
ких снимков

Рис. 186. Принципиальная схема сте-
реоскопа

Если рассматривать стересснимки в лупу с фокусным расстоя-
нием, равным фокусным расстояниям фотокамер при базисе съемки,
равном глазному базису (т. е. /л = /к; b -- В), то кг = Д7?, т. е.
рассматриваемое в стереоскоп изображение будет геометрически
подобно действительному пространству. Из формулы (20.2) может
быть выражена острота стереоскопического зрения



(20.9)

При рассматривании в стереоскоп kR = кг, R = г, тогда остро

та стереоскопического зрения при рассматривании в стереоскоп
Дт]' с учетом (20.7) будет



△V =

(20.10)
Возьмем отношение Лт/ к &-«]••

Ат/	Bf к

д? ы'л'

Здесь Blbq—удельная пластика прибора, fjf'„ = уо— угловое
увеличение телескопической системы, состоящей из объектива фо-
токамеры и лупы, т. е.

=	(20.11)

есть полная пластика прибора.

Таким образом, полная пластика прибора есть отношение опти-
ческой остроты стереоскопического видения при рассматривании
фотоизображения действительного пространства в стереоскоп к
остроте стереоскопического видения при рассматривании прост-
ранства невооруженными глазами.

Из рис. 186 следует, что когда глаз рассматривает стереоско-
пический образ А', то он конвергирует на конечное расстояние г.
При этом, однако, глаз должен быть аккомодирован на беско-
нечность, так как стереоскопическому образу А' соответствует
оптическое изображение Л2, которое получается при построении
хрусталиком глаза точки Аг, находящейся в передней фокальной
плоскости лупы т2. Таким образом, имеет место расхождение кон-
вергенции и аккомодации, допустимая его величина составляет
одну диоптрию. При устранении указанного расхождения среднее
расстояние г0 до стереоскопического образа выбирается по фор-
муле

4- = 1/2(1/гт1п-1/Гтах),	(20.12)

г0

где Гщах и rmin—расстояния до наиболее далекой и наиболее близ-
кой точек стереоскопического образа.

§ 136.	Стереоскопический эффект в микроскопии

Использование стереоскопического эффекта при рассматрива-
нии мелких предметов значительно повышает разрешающую силу
системы и дешифрируемость изображения.

Существует несколько схем стереоскопического видения в мик-
роскопии: бинокулярные лупы, бинокулярные микроскопы, сте-
реоскопические насадки для микроскопов и др.

На рис. 187 представлена схема бинокулярной лупы, которая
состоит из двух частей, вырезанных из одной линзы большого
диаметра. При рассматривании в такую систему предмета двумя
глазами мнимое изображение предмета оказывается в точке М'.
Если предмет имеет глубину Аг, то в пространстве изображений
406
эта глубина изобразится как Az', причем отношение этих от-
резков, как известно, равно продольному увеличению системы, т. е.

^- = ао = ^.	(20.13)

Пластика для этой схемы определится но
торой

(20.14)

где b — глазной базис, Lo = 250 мм (рассто-
яние наилучшего видения). Из рис. 187

(20.15)
где г' — расстояние от зрачков глаз до изо-
бражения. Опуская дальнейшие выкладки,
окончательно запишем в конечном виде:

Q = r2,	(20.16)

т. е. полная пластика бинокулярной лупы
равна квадрату ее видимого увеличения
(Г = 250/(/)- Существует три вида стереоско-
пических микроскопов: микроскоп Грену с
двумя объктивами, оси которых образуют
угол т] = 15°, микроскоп однообъективный с
устройством для перемены увеличения и ми-
кроскоп однообъективный со стереонасадкой
по Аббе. Пластика указанных приборов зна-
чительно меньше пластики стереоскопичес-
кой лупы и определяется формулой

=	(20.17)

формуле (20.11), в кс-

Рис. 187. Стереоэффект при
рассматривании пред-
мета в лупу

§ 137.	Способы рассматривания стереопар

Зрительное восприятие бинокулярной стереоскопической кар-
тины возможно только при сепарации правого и левого изобра-
жения стереопары для соответствующих глаз наблюдателя.

Выше был рассмотрен один из способов зрительного восприя-
тия пространства при помощи стереоскопа; рассмотрим некоторые
другие методы, имеющие практическое значение.

Видение стереоскопической картины невооруженными глазами
возможно при некоторой натренированности наблюдателя. Если
снимки стереопары располагаются на расстоянии, равном глаз-
ному базису, и оси глаз устанавливаются параллельно, то в поле
зрения видны три.изображения, причем среднее представляет со-
бой пространственную картину. От двух боковых изображений
можно избавиться, установив между глазами перегородку.

Эклипсная сепарация стереоскопических изображений. Удобна
при демонстрации стереоскопического киноизображения и состоит
в том, что правое и левое изображения появляются на экране
попеременно и соответственно с этим открываются затворы на пра-
вом и левом глазу наблюдателя. При этом важно выдержать
критическую частоту смены кадров, при которой не бывает заметно
мерцание.

Эта частота определяется по формуле

v = 9,6H(lg£ + 2,314),
где £ — коэффициент мерцания (при условии кажущегося отсутст-
вия мерцания); Е — освещенность экрана в люксах.

Цветные анаглифы могут осуществляться субстрактяв-
ным методом: стереоскопическая пара изображений, окра-
шенных в различные цвета (красный и синий) и смещенных с
необходимым параллаксом, рассматриваются через цветные очки
так, чтобы правый глаз, например, смотрел через синий фильтр
и видел только изображение, окрашенное в красный цвет, а ле-
вый глаз — наоборот. При этом происходит сепарация изображений
и возникает стереоэффект. Такая пара изображений может быть
также создана на кинопленке и спроецирована на экран одним
кинопроектором, что позволяет создать анаглифический кино-
фильм. Аддитивный метод цветных анаглифов осущест-
вляется, когда производится проекция на экран двух сопряженных
изображений стереопары цветными лучами через два проектора.
При этом для получения нейтрально серой окраски стереоскопиче-
ского изображения необходимо применять дополнительные цвета.
Рассматривание на экране изображений производится через очки
подобно предыдущему.

Поляризационные системы сепарации стереоскопических изоб-
ражений. Аддитивный метод — правое и левое изображение сте-
реопары проецируется на экране посредством двух кинопроек-
торов через поляризационные фильтры. Плоскости поляризации
фильтров устанавливаются перпендикулярно друг к другу. Изоб-
ражения на экране рассматриваются через поляризационные очки
так, чтобы правый глаз видел правый снимок, а левый глаз —
левый снимок. Способ имеет преимущество перед методом цвет-
ных анаглифов, поскольку позволяет сохранить цвет изображе-
ния. Для проекции применяются металлизированные экраны,
не деполяризующие свет. Субстрактивный метод осу-
ществляется при помощи вектографов. Вектографом назы-
вается поляризационный плоский фильтр (фотопластинка) с изоб-
ражением. Все элементы пластинки поляризованы в одном на-
правлении, однако степень поляризации зависит от контраста изоб-
ражения, т. е. пластинка сама служит фильтром и определяет
контраст отдельных элементов изображения. Если сложить два
вектографа, на которых имеются правый и левый снимки стерео-
пары, так, чтобы оси поляризации были расположены друг к
другу под 90°, и рассматривать изображение через поляроидные
очки, то происходит сепарация изображений и возникает стерео-
эффект.

Растровая сепарация стереоскопических изображений. Растро-
вые системы позволяют свободно, без очков, наблюдать простран-
ственное изображение одновременно многим зрителям при большом
угле поля (так называемая автостереоскопия). Механизм дейст-
вия растровых систем состоит в том, что изображение разби-
вается на ряд чередующихся для правого и левого глаза элемен-
тов. Растр, который представляет собой решетку, загораживает
левые элементы изображения для правого глаза и наоборот; при
этом осуществляется сепарация изображений для левого и правого
глаза и возникает пространственное видение. Сепарация может
быть произведена как при помощи специальных автостереоско-
пических пластинок, которые представляют собой обычные фото-
пластинки, совмещенные с растровыми решетками, так и посред-
ством проектирования изображений для левого и правого глаза
на растровые экраны. Существует много конструкций растровых
экранов, применяемых для безочкового стереоскопического
видения.

Голографические системы позволяют получить прост-
ранственное изображение при восстановлении изображения опор-
ным пучком, причем в настоящее время уже существуют экспери-
ментальные голографические кинопроекционные установки, позво-
ляющие проецировать цветное пространственное киноизображение,
отличающееся от обычных методов стереоскопического кино эф-
фектом кругового обзора объекта, т. е. способностью рассматри-
вать объект с тыловой его стороны.
Глава 21.

ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДВОЯКОЙ СИММЕТРИИ

системы, которые

оптические

Предмет

Рис. 188. Виды трансформирован-
ных изображений

В приборах для научных исследований, кинотехнике, полигра-
фии и многих других областях имеют широкое распространение
позволяют получать изображения с
различным масштабом в двух вза-
имно перпендикулярных направле-
ниях: трансформированные
или анаморфбзные.

Трансформированное изображе-
ние приобретает расширенный,
суженный или наклонный вид
(рис. 188), и трансформирование
соответственно разделяют на три
вида: расширение, сужение и на-
клон.

Процесс трансформирования изо-
бражений может быть осуществлен
посредством обычных оптических
систем (оптический и ракурсный

методы), но главным образом при помощи специальных оптичес-
ких устройств, к которым могут быть отнесены системы с цилин-
дрическими или торическими зеркалами и линзами, а также
специальные призменные системы.

Системы для трансформирования успешно применяются в по-
лиграфии для создания новых шрифтов, в широкоэкранном кино,
в качестве осветителей, а также в приборах для регистрации ко-
лебательных процессов — светолучевых осциллографах, грави-
метрах, сейсмографах, магнитометрах, звукозаписывающих и зву-
ковоспроизводящих аппаратах.

§ 138.	Характеристики трансформированного изображения

Основной характеристикой трансформированного изображения
является отношение высоты изображения В4 к его ширине Ш/
(см. рис. 188).

Однако высота и ширина изображения могут изменяться
не пропорционально друг другу. Поэтому введен коэффициент
трансформирования для высоты и ширины изображения.

Отношение высоты трансформированного изображения к вы-
соте предмета

«.-£	(21-0
называется коэффициентом трансформирования
высоты.

Отношение ширины трансформированного изображения к ши-
рине предмета

Кш = -^-	(21.2)

называется коэффициентом трансформирования
ширины

Отношение коэффициентов трансформирования ширины и вы-
соты .

АК = ^-	(21.3)

называется коэффициентом анаморфозы или коэф-
фициентом анаморфирования.

Если осевая вертикальная линия предмета на изображении
составляет с линией основания угол, отличный от 90°, то обра-
зуется наклонное изображение. Изображение может быть накло-
нено влево или вправо, причем при этом может происходить
сужение или расширение изображения по сравнению с предме-
том. Наклон изображения получается при соответствующем
наклоне предмета.

§ 139.	Методы образования трансформированных изображений

Метод преломляющей цилиндрической поверхности (рис. 189, а).
В этом случае в меридиональной плоскости линза действует как
сферическая, а в сагиттальной — как плоскопараллельная пла-
стинка.

Метод отражающей цилиндрической поверхности (рис. 189, б).
В меридиональной плоскости зеркало действует как сферическое,
а в сагиттальной — как плоское.

Метод цилиндрического объектива (рис. 189, s). Объектив
состоит из двух цилиндрических линз, расположенных на расстоя-
нии друг от друга; оси линз скрещены под углом 90°.

Метод цилиндрической афокальной насадки (рис. 189, г).
Насадка представляет собой трубу Галилея, состоящую из
цилиндрических компонентов, оси которых параллельны.

В одном сечении, в котором действует кривизна поверхностей
линз, масштаб изображения изменяется в соответствии с види-
мым увеличением трубы Галилея, а в другом сечении насадка
не изменяет масштаб изображения.

Призменный метод (рис. 189, д). Анаморфозная система пред-
ставляет собой два клина, которые в меридиональной и сагит-
тальной плоскостях расположены различным способом. В мери-
диональной плоскости система действует как плоскопараллель-
ная пластинка и изменение размеров изображения по сравнению
с предметом не происходит. В сагиттальной плоскости происходит
изменение масштаба изображения.
Теневой метод (рис. 189, е). Предмет, который представляет
собой прозрачный транспарант, освещается параллельным пучком
света. Анаморфозное изображение образуется на экране, накло-
ненном под углом к оптической оси системы осветителя.

Оптический метод (двухэтапный) (рис. 189, ж). Двухэтапный
метод производится при двукратной фотосъемке. Вначале созда-
ется трапециевидное изображение. При этом выполняется условие
Чапского (см. § 20). Фотоснимок с этим изображением или само

Рис. 189. Методы образования трансформированных изображений:

а — метод преломляющей цилиндрической поверхности, б — метод отражающей цилиндри-
ческой поверхности, в — метод цилиндрического объектива, г — метод цилиндрической афо-
кальной насадки, д — призменный метод, е — теневой метод, ж— оптический метод (двух-
этапный), з — ракурсный метод (двухэтапный)

изображение становится предметом для второго этапа съемки.
В результате получается анаморфозное изображение предмета,
имеющее различный масштаб в двух взаимно перпендикулярных
направлениях.

Ракурсный метод (рис. 189, з). При этом методе также при-
меняется двухэтапная съемка, однако при этом условие Чапского
не выполняется. Изображение строится на плоскости, перпенди-
кулярной к оптической оси системы.

§ 140.	Цилиндрический объектив — анаморфот

Объектив-анаморфот представляет собой оптическую систему,
которая образует изображение, оптически сопряженное с предме-
том и имеющее различный масштаб в двух взаимно перпендику-
4!2
лярных направлениях. Система объектива-анаморфота образуется
из цилиндрических или торических линз либо из комбинации
сферических линз с цилиндрическими или торическими. Простей-
шей системой является объектив-анаморфот, который представ-
ляет собой линзу, ограниченную цилиндрическими поверхностями,
образующие поверхности которых взаимно перпендикулярны.
Более сложной системой является двухкомпонентный цилиндри-
ческий объектив-анаморфот, состоящий из двух положительных
цилиндрических линз с фокусными расстояниями ft и fi , при-
чем образующие цилиндрических поверхностей этих линз вза-
имно перпендикулярны (рис. 190).

Рис. 190. Двухкомпонентный объектив-анаморфот

Если предмет расположен в бесконечности, то в двух взаимно
перпендикулярных сечениях фокусные . расстояния компонентов
должны быть различными, т. с. коэффициент анаморфозы будет

А =

(21-4)

Если предмет расположен па конечном расстоянии, то в этих
сечениях должны быть различные линейные увеличения, т. е.
коэффициент анаморфозы в этом случае будет

А=ф/?2.

(21-5)

Эта система (см. рис. 190) может быть рассчитана путем
решения трех уравнений

__L+ ...»

«1 d2 4- а2 /}

» — 1 .

— а2 f's '

L — —Qi + d> -f- a2.

(21.6)
В случае если предмет расположен в бесконечности, задние
фокусы обеих систем должны совпадать, тогда

d2 = f\ — f2 — d3/n2.	(21.7)

Аберрационный расчет компонентов ведется в зависимости
от требований к качеству изображения, так же как и при расчете
соответствующих сферических систем.

Применяются также сферо-цилиндрические объективы, кото-
рые образуются сочетанием цилиндрических и сферических линз.
Возможны различные варианты размещения сферического объек-
тива и цилиндрических компонентов. Например, в сферо-цилинд-
рическом объективе-анаморфоте обе цилиндрические линзы могут
быть размещены по одну сторону или по обе стороны от сфериче-
ского объектива, причем цилиндрические компоненты могут быть
как положительными, так и отрицательными.

§ 141.	Цилиндрическая афокальная насадка

Разновидностью объектива-анаморфота, когда предмет и изо-
бражение находятся в бесконечности, является афокальная лин-
зовая цилиндрическая насадка. Эта система состоит из двух
цилиндрических линз с образующими, которые параллельны друг
другу, причем задний фокус первого компонента совпадает
с передним фокусом второго. Таким образом, афокальная насадка
представляет собой телескопическую систему, которая может
быть выполнена в виде трубы Кеплера или Галилея. Афокальные
цилиндрические насадки широко применяются в кинематографии
для- съемки, кинопроекции и репродукции при создании широко-
экранных кинофильмов. Основными оптическими характеристи-
ками цилиндрических насадок являются коэффициент анамор-
фозы, диаметр выходного зрачка, угловое поле и длина насадки.

Афокальная насадка имеет два различных сечения. В одном
сечении (например, меридиональном) насадка действует как
обычная телескопическая система из сферических компонентов,
в другом, перпендикулярном к нему,— как система плоскопарал-
лельных пластин. Таким образом, в меридиональном сечении
масштаб изображения определяется в соответствии с видимым
увеличением, в другом сечении насадка не является фокусирую-
щей и на масштаб изображения не действует. Коэффициент ана-
морфозы насадки равен отношению абсолютных значений фокус-
ных расстояний ее компонентов:

А = ГЖ	•	(21.8)

Цилиндрическая насадка применяется вместе со сферическим
объективом, и они образуют действительное изображение, кото-
рое может быть рассмотрено на экране, а также можно получить
его фотографическое изображение. Фокусировка насадки вместе
с объективом производится большей частью посредством измене-
ния расстояния между компонентами насадки при одновременном
перемещении сферического объектива.
§ 142.	Оптические системы фототрансформаторов

Фотографический метод находит самое широкое распростране-
ние в различных отраслях современной науки и техники, причем
в этом случае широко применяются методы трансформирования
изображений.

В фотограмметрии и картографии с целью компенсации пер-
спективных искажений на аэроснимках, возникающих из-за
наклона аэрофотокамеры в момент фотографирования, приме-
няются фототрансформаторы.

На рис. 191 плоскость предмета ВС, плоскость изображений
В'С и главная плоскость объектива, который представлен на

чертеже как тонкая система,
пересекаются на одной линии,
проходящей через точку М, кро-
ме того точки пересечения опти-
ческой оси объектива с плоско-
стями предмета А и изображении
А' оптически сопряжены. В этом
случае плоскости предмета и изо-
бражения будут также оптически
сопряжены, т. е. наклонный пред-
мет будет иметь резкое наклон-

ное изображение. При этом наклонные плоскости предмета и изо-
бражения образуют с главной плоскостью объектива углы ср
и ср', между которыми существует простая зависимость (первое
условие трансформирования или условие Чапского)

tg<f' = — potg?.	(21.9)

Рис. 191. Оптический метод трансфор-
мирования изображений

Линейное увеличение р0 относится к точкам А и А', лежащим
на оптической оси, в которых пересекаются плоскости предмета и
изображения. В других точках изображения значения линейного
увеличения изменяются от минимального в точке С' до максималь-
ного в точке В'. При этом по линиям, перпендикулярным к плоско-
сти рисунка, линейное увеличение постоянное. К.ак указывалось,
этот метод трансформирования называется оптическим (см.
рис. 191). На основе рассмотренной оптической системы построены
трансформаторы для исправления аэрофотоснимков. Если необхо-
димо произвести анаморфирование предмета, то следует дважды
трансформировать снимок. Сначала при первом трансформировании
получают трапецию, и это изображение фотографируют. Затем фо-
тографическое изображение трансформируют вторично тем же оп-
тическим способом и получают анаморфированное изображение с
определенным коэффициентом анаморфозы.
Глава 22.

ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
И ЛАЗЕРОВ

Оптические системы, применяемые в оптико-электронных при-
борах и лазерах, обеспечивают поступление необходимой световой
энергии в приемник излучения, размер и качество изображения,
отсекают излучение фона и помех, играют роль коллимирующей
системы или системы, концентрирующей излучение, и т. д.

§ 143.	Оптические системы
с электронно-оптическими преобразователями (ЭОПами)

Применяя зрительные трубы с электронно-оптическими преоб-
разователями, когда для наблюдения используется ИК диапазон
-спектра (А. = 0,7—1,3 мкм), можно существенно улучшить качество

Рис. 192. Зрительная труба с электронно-оптическим преобразователем

изображения объектов в условиях плохой видимости (туман,
дымка), а также ночью по тепловому излучению, так как ЭОПы
позволяют не только повысить освещенность изображения, но и
увеличить его контраст.

На рис. 192 представлена принципиальная схема такой опти-
ческой системы. Объектив 1 строит изображение удаленного
объекта 2у' на фотокатоде преобразователя 2, расположенного
в его задней фокальной плоскости. ЭОП преобразует оптическое
изображение, не видимое глазом, в промежуточное электронное,
а затем из электронного в видимое на экране (2у"), которое
и рассматривается глазом через окуляр 3.

Основными оптическими характеристиками такой системы
будут видимое увеличение Г, угловое поле в пространстве пред-
метов 2®, диаметр входного зрачка D и общая длина L.

При габаритных и энергетических расчетах следует учитывать
такие характеристики электронно-оптического преобразователя,
как

1)	коэффициент преобразования (^)

(22.1)

где Фэ — световой поток, излучаемый экраном, Фк— поток, пришед-
ший на фотокатод;

2)	коэффициент яркости (тдд.)

ЛЕ

Vl =	(22.2)

где Мэ—светимость экрана; Ек — облученность фотокатода;

3)	увеличение электронно-оптического преобразователя (39);

4)	диаметр фотокатода (£>к), диаметр экрана (£)э);

5)	разрешающую способность фотокатода (N в лин/мм);

6)	спектральную чувствительность фотокатода (Зх)

& “	(22-3)

где di—реакция фототока (или изменение напряжения в цепи
приемника); йФх — величина потока излучения.

Зрительные трубы с ЭОПами, как правило, имеют прямое изоб-
ражение. Видимое увеличение такой системы определяется формулой

Г = —-(22.4)

'ок

где/об, /ок — фокусные расстояния объектива и окуляра; рэ — ли-
нейное увеличение преобразователя.

Разрешающая способность наблюдательной системы с элект-
ронно-оптическим преобразователем при расположении фото-
катода в задней фокальной плоскости объектива равна

=	(22-5)

где N— разрешающая способность в линиях на 1 мм фотокатода
(до 40 лин/мм в центре).

Из рис. 192 можно определить фокусное расстояние объектива
/об, окуляра /ок и угловое поле окуляра 2и>':

= = tg w’ = (22,6)

где — диаметр фотокатода (до 50 мм); —диаметр экрана
(15—40 мм); р3 — увеличение ЭОПа (0,5—0,8).

И 1-446	417
В зрительных трубах ночного видения могут применяться обо-
рачивающие системы, позволяющие изменять видимое увеличение

Г = -	0,^ 1?о2 ... Рок,	(22.7)

'ок

где ро 1|3о2 • • • ₽о* — линейное увеличение оборачивающих систем.

Разрешающая способность трубы с ЭОПом (22.5) не зависит от
видимого увеличения Г Чтобы видимое увеличение соответстнлвало
разрешающей способности глаза наблюдателя необходимо, чгсбы

Г>-^,	(22.8)

где 60" — величина, равная разрешающей способности глаза;
ф " — разрешающая способность объектива совместно с ЭОПом
(выражена в секундах).

§ 144.	Оптические системы
для уменьшения угла расходимости пучка лазера

Когерентное излучение лазера формируется в виде светового

пучка, диаметр которого значительно превышает длину волны.
Оно отличается от плоской волны неоднородностью распределе-

ние. 193. Вил пучка лазера

ния интенсивности, кривизной фа-
зового фронта и расширением
пучка при его распространении.
Пучки лучей, выходящие из ла-
зера, характеризуются наличием
перетяжки, наименьший диаметр
которой меньше выходного отвер-
стия. Обычно в перетяжке вол-
новой фронт принимается за
плоский, а наименьший диаметр
рассматривается как выходной
зрачок лазера (рис. 193).

Энергия излучения лазера

с резонатором из двух сферических зеркал или из плоского и сфе-

рического зеркала распространяется в свободном пространстве
по криволинейным лучам. Образующие такого пучка являются
гиперболическими асимптотами, наклоненными к оси под углом 0.
По мере удаления от плоскости перетяжки (плоскости сравнения)
кривизна фронта вначале увеличивается, а затем уменьшается.
Ниже приведены расчетные формулы, позволяющие определить

положение плоскости перетяжки относительно зеркал резо-
натора *:

= j ^гС1—«|) .	_ j ‘1Q -А-'г)

+ И'2— 2gt£2’	2	£| Ч-

(22.9)

* Ю. М. Климков. Основы расчета оптико-электронных приборов с лазе-
рами. М., Советское радио, 1978.
где L — расстояние между зеркалами; g\, gs— обобщенные пара-
метры, характеризующие конфигурацию резонатора:

^ = 1—£2=1--^,	(22.10)

где п и Г2 — радиусы зеркал резонатора.

Радиус пятна ша основной моды в плоскости перетяжки равен

<00=/^-,	(22.11)

где /?э — так называемый конфокальный параметр резонатора,

Ъ = 2Z. I/	(22.12)

81 + Й2 — 2gig2

Расходимость пучка лазера для основной моды 0о

0О = 1/ 2* = 2_.	(22.13)

Г nR3 теш0	V >

Величина в0 представляет собой расходимость пучка в одну
сторону от оси по уровню снижения интенсивности в е2 раз от
максимального значения. В многомодовом режиме угловая расхо-
димость значительно превышает величину, определяемую по фор-
муле (22.12), и достигает нескольких угловых минут.

По известной величине конфокального параметра Рэ и положе-
нию плоскости перетяжки можно определить параметры пучка
в любом сечении, отстоящем от плоскости перетяжки на расстоя-
нии s,	__________

= ]Л»0(1 — £2),	(22.14)

2s
где « =-н-----относительная координата сечения пучка.

В произвольном сечении пучка радиус волнового фронта Р бу-
дет равен

Р = -ЦХяэ.	(22.15)

В большинстве случаев при использовании лазера требуется
минимальная угловая расходимость его излучения. Для измене-
ния расходимости лазерного пучка лучей применяется формиру-
ющая оптическая система с необходимым угловым увеличением.
Получение постоянного угла расходимости обеспечивается теле-
скопической системой Галилея, преимущество которой по срав-
нению с системой Кеплера определяется тем, что в ней пет точки
фокусирования лучей и, следовательно, исключается концентра-
ция большой энергии в малом объеме. Кроме того, система Гали-
лея имеет меньшие размеры. Изменяя фокусировку отрицатель
ного компонента, можно плавно изменять расходимость лазерного
излучения.

На рис. 194 представлена оптическая схема линзовой системы
для коллимирования излучения лазера.
Принимая в перетяжке волновой фронт плоским, будем рас-
сматривать ее как выходной зрачок лазера. Из каждой точки
выходного зрачка выходят лучи с наибольшими углами расходи-
мости, образуя как осевые, так и наклонные параллельные
пучки.

Оптические характеристики лазера определяют параметры се
афокальной насадки: диаметр и положение выходного зрачка,
угловое поле изображения, видимое увеличение, длину оптической
системы, длину волны или спектральный диапазон.

Рис. 194. Оптическая система для коллимирования лазерного излучения

Афокальная насадка (линзовая или зеркальная) для форми-
рования излучения разрабатывается применительно к конкрет-
ному лазеру. По известному диаметру выходного зрачка (пере-
тяжки) (2)=2<оо), его удалению (—и углу расходимости (2(d),
заданному значению угла расходимости на выходе насадки
(2®') находят видимое увеличение

г — lgm'
т tg ш
или по малости углов

Г, = 4-.	(22.16)

Диаметр апертурного пучка лучей, выходящих из насадки, будет

О'=~.	(22.17)

Габаритный расчет афокальной насадки выполняется обыч-
ными способами с вычислением коэффициента виньетирования
системы.

§ 145.	Оптические системы
для фокусировки лазерного излучения

При помощи положительной оптической системы излучение ла-
зера можно сконцентрировать в пятне малого размера. В этом
случае необходимо рассматривать перетяжку, диаметр которой 2ш0,
в качестве светящегося объекта, расположенного на расстоянии
—а. Изображение 2а>0, построенное оптической системой, будет
находиться справа, а его положение определяется координатой а'
(рис. 195). Радиус «>о вычисляется по формуле (22.11) и зависит от
конфокального параметра резонатора R3.

Если лазерный пучок пройдет через топкую линзу, то в парак-
сиальной области центр кривизны волнового фронта R отобра-
зится в точке R'

1	1 1

R'	R ~ Г'

R, R' — радиус падающей и пре-
ломленной волны; f' — фокусное
расстояние линзы.

Преломленный лазерный пучок
будет характеризоваться новым
значением конфокального парамет-
ра /?э и положением перетяжки а':

(22.18)

(22.19)

Рис. 195. Преобразование пучка лазе-
ра тонкой положительной линзой

(22.20)

За положительной линзой образуется новая перетяжка, радиус
которой

(22.21)

Для реализации перетяжки с малым размером о>о следует по-
лучить минимальную величину конфокального параметра R3.

Фокусирующая система, концентрирующая лазерное излучение,
должна быть положительной с небольшим фокусным расстоянием.
Чем меньше f, тем меньший размер будет иметь пятно. Однако
при этом точка концентрации излучения располагается вблизи
лазера, вызывая ряд неудобств эксплуатационного характера.
Поэтому применяют комбинированные системы, состоящие из
афокальной (телескопической) насадки и дополнительного объек-
тива (рис. 196).

Эквивалентное фокусное расстояние такой системы должно
быть небольшим:

/э'к=--^/з=Г/з.

(22.22)
Размер пятна фокусируемого излучения состарит

8 = 2/эК tg ш,

(22.23)

где ш—угловая расходимость лазерного излучения.

Минимальный размер пятна, ограниченный дифракцией, равен

8mln —

[,22У'3Г

D ’

(22.24)

где D — диаметр входного зрачка.

В существующих лазерах угол расходимости 2<о значительно

превышает угол, характеризующий разрешающую способность без-
аберрационного объектива (<!>" -- 1 Поэтому пятно фокусировки

излучения будет существенно отличаться от теоретического 8min,
определяемого формулой (22.24). В оптических системах, при-
меняемых с лазерами, следует тщательно исправлять сфериче-
скую аберрацию, а иногда и хроматическую аберрацию, если
лазер работает в режиме дискретного спектрального диапазона.
Во всех этих случаях конструкция оптической системы услож-

няется.

§ 146.	Согласование пучка лазера
с последующей оптической системой

Если лазерное излучение пропускается через пассивный резо-
натор (рис. 197), то его правильная работа возможна лишь при
согласовании таких их параметров, как совпадение осей, конфо-
кальных параметров, сечений перетяжек, волновых поверхностей
и размеров пятен.

Такое согласование достигается при помощи оптической системы.
Если даны <о0 и /<а лазерного пучка и о>0, /?9 пассивного резона-
тора, то минимальное фокусное расстояние согласующей тонкой
линзы равно

=	(22.25)
Формула (22.25) применяется в случае, если габариты установки
не ограничены.

Для максимального размера установки L

где

Из (22.25) и (22.26) следует,

что для согласования фокусное
расстояние должно отвечать усло-
вию fmin < f < /max» а ПОЛОЖеНИе
линзы относительно перетяжек
определяется формулами

(22.27)

Рио. 197. Согласование пучка лазера
с пассивным резонатором

§ 147.	Оптические системы
для обработки фотографической информации
когерентными методами

В основе когерентных методов обработки фотоизображений ле-
жит явление дифракции света на пространственных структурах,
описывающих фотоизображения, и способность оптических систем
преобразовывать информацию, содержащуюся в прострапственно-
модулированном световом поле.

Оптические методы обработки фотоизображений по сравнению
с традиционными цифровыми методами обладают следующими,
преимуществами:

простотой технической реализации устройств, реализующих ин-
тегральные операции;

высокой скоростью выполнения математических операций
(равной скорости распространения света);

большой информационной емкостью светового поля как пере-
датчика информации;

возможностью параллельной обработки двумерных массивов
информации.

Рассмотрим физические основы выполнения оптической систе-
мой математических преобразований над исходными фотоизобра-
жениями: спектральные преобразования, пространственная фильт-
рация, вычисление свертки и корреляционной функции с помощью
когерентного оптического коррелятора (ОК) (рис. 198).
Когерентный ОК состоит из лазера, коллиматора, двух обраба-
тываемых аэроснимков, имеющих распределение плотности почерне-
ния, описываемое функциями Sj (х, у) и S2 (х, у), трех преобразующих
объективов (или одиночных линз), фильтров пространственных частот
Ф1 и Ф2, фотоприемника и устройства для перемещения одного из
фотоизображений. В таком устройстве свет от лазера формируется
в широкий пучок с помощью коллиматора и освещает участок фото-
снимка, размещенного в передней фокальной плоскости линзы. При

Рис. 1Р8. Схема когерентного оптического коррелятора

этом часть света дифрагирует на элементах фотоснимка, причем
угол дифракции 0 однозначно связан с размером элемента фото-
снимка с(эл:

sinO=-^—.	(22.28)

аэл

Распределение освещенности в задней фокальной плоскости
линзы будет представлять амплитудно-частотный спектр фотоизображе-
ния— интерференционную картину дифракции света на элементах
фотоснимка. Причем в точке задней фокальной плоскости, лежащей
на оптической оси, будет собираться непродифрагировавшая часть
света, характеризующая среднее пропускание фотоснимка. Если
установить в плоскости Fi фильтр пространственных частот (напри-
мер, непрозрачный кружок), то в F? объектив О2 восстановит пере-
вернутое изображение исходного фотоснимка Si (х, у), образованное
только продифрагировавшими лучами. Таким образом, изменяя вид
фильтра пространственных частот в спектральной плоскости F\,
можно получать изображение Si(x, у) в плоскости Ег, т. е. осуще-
ствлять пространственную фильтрацию спектра фотоизображения
Sj (х, у). Если в плоскости F'2 установить второй фотоснимок, то в
ней произойдет перемножение изображений Si(x, у) и S2 (х, у) и
объектив О.л сформирует в задней фокальной плоскости F3 распре-
деление освещенности, пропорциональное коэффициенту взаимной
корреляционной функции фотоизображений St (х, у) и S2 (х, у).
Если переместить одно из фотоизображений, то сигнал на выходе
фстоприемника будет пропорционален функции взаимной корреля-
ции фотоизображений, а максимальное его значение будет соответ-
ствовать такому взаимному расположению участков фотоснимков,
при котором на оптической оси будут находиться идентичные участки
фотоизображений. Такие устройства могут применяться для авто-
матического опознавания образов.

Методика расчета оптических систем когерентной обработки
фотоизображений. В последнее время в связи с широким примене-
нием когерентных источников света стали разрабатываться методы
расчета когерентных оптических систем, учитывающие особен-
ность формирования изображения в системах оптической обра-
ботки изображений. Известны работы, в которых проводится рас-
чет функции качества объектива когерентных систем с помощью
ЭЦВМ. Однако практическая значимость расчетов, выполненных
на ЭЦВМ, в настоящее время все еще ограничена ввиду
высокой сложности программ, требующих большого количества
вычислительных операций и значительного объема памяти
ЭЦВМ.

Поэтому для упрощения расчета оптических систем когерент-
ных устройств обработки рекомендуется преобразующие объек-
тивы выбирать в виде одиночных линз с малым относительным
отверстием.

Одновременно при этом предъявляются самые жесткие тре-
бования к качеству оптических поверхностей и материалу компо-

нентов.

Поскольку отработанной методики расчета когерентных оптичес-

ких систем нет, можно предложить следующий порядок расчета:
производится расчет параметров (f, D) преобразующих объективов
по величине допустимых ошибок преобразований при выполнении

оптическими системами математических операций; по рассчитанным

параметрам
прикладной
дит процесс

ражения, с

переходят к аберрационному расчету по формулам
оптики части оптической системы, в которой происхо-

преобразования и восстановления действительного изоб-

,	1 ’22Х об

учетом выполнения заданного значения AS <—к----------*

^об

полученные в результате расчета параметры используются при про-
ведении машинного расчета распределения освещенности в выход-
ной плоскости оптического устройства обработки с применением
алгоритмов быстрого преобразования Фурье.

Рассмотрим методику расчета когерентной оптической системы
обработки на примере схемы когерентного оптического коррелятора
(см. рис. 198).

1.	Определяются исходные данные для расчета: длина волны
излучения лазера к; показатель преломления стекла оптических
деталей щ; размеры обрабатываемого фрагмента изображения Лф X
хВф; размер минимального элемента фотоизображения на входе кор-
релятора /?; расстояние от входной плоскости до объектива d; до-
пустимая ошибка проведения оптического Фурье-преобразования:
частотная Д/; амплитудная Да и фазовая Дер.

2.	Осуществляется расчет параметров объектива для выполнения
Фурье-преобразования, исходя из допустимых погрешностей спек-
трального преобразования. Для этого определяются:

величина отношения

= Vmax,	(22.29)

уде ртах— максимальный радиус рабочей апертуры в частотной плос-
кости; f — фокусное расстояние преобразующей линзы; fmax—мак-
симальная пространственная частота изображения.

Размер рабочей апертуры в частотной плоскости и фокусное
расстояние линзы определяются по величине допустимой фазовой
ошибки из выражения

fed <4	* arccosfed	(22.30)

\ t I max 'Hl	I + u?

откуда

, 2arccos д

fmin-----TZ---fe,	(22.31)

/? ( г max j
\ f /max

Pmax ~ f Ijmax-

3.	Проводится контроль правильности f — выбранного фокусно-
го расстояния преобразующей линзы по величине амплитудной ошиб-
ки преобразования:

Д^тах = р ([>	(22.32)

где г— радиус рабочей апертуры во входной плоскости (для данного
случая г = 1/Аг + В2).

В результате контрольного просчета, если Да1ПаХ < До, то пара-
метры выбраны верно, если это условие не соблюдается, необходи-
мо увеличить фокусное расстояние линзы f.

4.	Определяются величина светового диаметра DCB и относительное
Den
отверстие -р—

-^ = rmax+d(2T^)-	(22.33)

5	На основе исходных данных D..., и /об из условия минимума
tdP\

сферической аберрации определяются конструктивные пара-
метры объектива. Поскольку относительное отверстие объектива
мало 1 *" дЛЯ схемы устройства, выбранной таким образом,
что между первым и вторым объективами ход лучей является парал-
лельным, в качестве объектива можно выбрать плоско-выпуклую
426
линзу с первой выпуклой поверхностью (в этом случае линза имеет
Asmm) и радиус крививны определяется из уравнения (5.93).

6.	Выполняются габаритным и аберрационный расчеты части

оптической системы коррелятора,
служащей для сопряжения плос-
кости с плоскостью Р3 (см.
рис. 198), и строятся графики за-
висимости величины поперечной
сферической аберрации от вели-
чины размера анализируемого уча-
стка (рис. 199). К волновым абер-
рациям можно перейти от рассчи-
танных сферйческих аберраций,
используя известные формулы [1].
Исходя из полученных графиков,
с учетом величины AsflOn, находи-
тся величина А х В, определяю-
щая максимальный размер участка
изображения во входной плоскости

Рис. 194. Графики для определения
диаметра преобразующего объектива
по заданной величине поперечной сфе-
рической аберрации

системы обработки

7.	Выполняется расчет допусков на установку элементов опти-
ческой системы коррелятора путем проведения аберрационного
расчета для разъюстированной системы.

8.	По полученным в результате аберрационного расчета дан-
ным выполняется расчет распределения энергии в выходной плос-
кости устройства обработки методом БПФ на ЭЦВМ БЭСМ-4.
Часть IV

РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Глава 23

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАСЧЕТА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 148. Требования, предъявляемые к оптическим системам

Любая оптическая система в зависимости от назначения долж-
на удовлетворять ряду различных ее требований. Можно выделить
несколько основных групп требований — общих для всех опти-
ческих систем. К первой группе относятся требования, предъяв-
ляемые к основным оптическим характеристикам: светосиле, ве-
личине входного и выходного зрачков и их положению, линейно-
му и угловому полю, увеличению системы, ее фокусному расстоя-
нию и т. д.

Ко второй группе относятся требования к габаритам системы,
т. е. к ее внешним размерам и форме. При проектировании опти-
ческих систем специального назначения эти требования имеют
большое значение. Третья группа включает требования, относя-
щиеся к качеству изображения. Требования этой группы весьма
разнообразны и зависят от назначения системы. Например, в та-
ких оптических системах, как бинокли, прицельные трубы, зри-
тельные трубы геодезических приборов, хорошее качество изоб-
ражения должно быть в центре поля, а на краях допускаются
значительные искажения, так как изображение рассматриваемого
предмета всегда можно привести в центр поля. Для фотографи-
ческих, в том числе и для аэрофотографических объективов, пред-
назначенных для точных съемок, требуется хорошее качество изо-
бражения по всему полю. Четвертая группа требований относится
к условиям эксплуатации оптического прибора (теплостойкость,
морозостойкость, допустимые вибрации и ударные нагрузки, радиа-
ционные воздействия и т. д.).

Перед расчетом оптической системы должны быть выбраны ис-
ходные данные для расчета. При выборе исходных данных следует
исходить из технической и физической осуществимости прибора.
Так, наряду с общими для всех оптических систем требованиями,
существует и много специфических. Например, для микроскопа
существует понятие предельного полезного увеличения_Гп, полу-
чаемого из условия предельного разрешения 500А < Гп < 1000А
(см. § 122). Зная предельное разрешение N,_находят числовую
апертуру А, а затем и полезное увеличение — Гп.

Дальнейшее увеличение Гп не приводит к разрешению более
мелких объектов. Известно, что физически осуществить предельное
полезное увеличение можно только в микроскопах с объективами
высокой апертуры.

Для зрительных труб разрешающая способность телескопической
системы совместно с глазом определяется, с одной стороны, ди-
фракцией света, а с другой стороны — разрешающей способностью
и свойствами глаза. Чтобы глаз мог полностью использовать раз-
решающую способность трубы, ее увеличение должно быть Гт =

Требования, предъявляемые к оптическим системам, часто бы-
вают противоречивыми, поэтому их надо тщательно анализиро-
вать. Особенно надо обращать внимание на соотношение между
полем и относительным отверстием. Например, при проектирова-
нии фотообъективов, чтобы не было противоречий между этими
величинами, следует учитывать инвариант Волосова, который был
получен в результате анализа параметров большого числа фото-
объективов:

х в"7-‘е-/и-- = с..

1	'2

где Ст = 0,22—0,26—критерий добротности объектива. Для прак-
тических расчетов Ст^ 0,24. Если С < Ст < 0,24, то расчет сисг
тем затруднений не вызывает. Если С > Ст > 0,24, то качество
изображения в рассчитываемой системе будет плохим. Подобного
инварианта для других систем пока не существует. Однако вели-
чина Ст не остается постоянной, а постепенно возрастает в связи
с появлением новых стекол, с совершенствованием методов расчета
и технологии изготовления оптических деталей, сборки и юстиров-
ки систем.

Из-за многообразия оптических систем общего метода их рас-
чета не существует. Г. Г. Слюсаревым разработаны практически
пригодная теория и метод расчета оптических систем, состоящих
из тонких компонентов,— метод разделения переменных. При на-
личии в системе достаточно «толстых» линз, т. е. линз, толщины
которых сравнимы с радиусами поверхностей, этот метод теряет
смысл. Теорию и метод расчета сложных фотографических систем
с линзами конечной толщины, разработал Д. С. Волосов.

И, наконец, встречаются еще трудно поддающиеся классифика-
ции требования, например, требования, относящиеся к так назы-
ваемой «бриллиантности» изображения, т. е. отсутствию фона,
уменьшающему контраст изображения.
§ 149. Этапы разработки и расчета оптических систем

Проектирование и расчет оптических систем по заданным тех-
ническим условиям можно разделить па четыре основных этапа:
габаритный расчет, расчет исходного варианта, аберрационный
анализ исходного варианта и коррекция аберраций, оценка каче-
ства изображения рассчитанной системы.

Охарактеризуем каждый этап расчета в отдельности.

1	этап. На этом этапе проектирования разрабатывается прин-
ципиальная оптическая схема прибора, отвечающая требованиям
технического задания, а именно: требуемого увеличения, линейно-
го или углового поля, светосилы, конфигурации, определенных
размеров. Поэтому этот этап расчета принято называть габа-
ритным расчетом. Он выполняется на основании формул
идеальной оптической системы. В результате габаритного расчета
производят выбор конструкции отдельных компонентов или узлов
системы, разрабатывается эскизный проект прибора, а именно
рассчитываются кинематическая и электрические схемы, а также
конструкция отдельных узлов прибора в целом.

2	этап. На этом этапе проектирования, существенно не меняя
величин, полученных при габаритном расчете, вычисляют внутрен-
ние и внешние параметры отдельных компонентов, например,
используя теорию аберраций третьего порядка. В задачу этого
этапа входит определение конструктивных элементов системы (ра-
диусов кривизны поверхностей, толщин линз и воздушных проме-
жутков, показателей преломления и коэффициентов дисперсии),
т. е. параметров, удовлетворяющих требованиям в отношении ка-
чества изображения, и основных характеристик в параксиальной
области, таких как фокусное расстояние, задние отрезки, увели-
чение и т. д. Поэтому этот этап носит название расчет исход-
ного варианта системы.

<3 этап. В системе с исходными конструктивными параметрами
производят аберрационный анализ, выполняют коррекцию систе-
мы в отношении аберраций. К расчету прилагается сводка оста-
точных аберраций, а также графики аберраций, по которым судят
о качестве изображения.

4 этап. На этом, заключительном этапе проектирования выпол-
няется оценка качества изображения в откорригированной систе-
ме. Первоначальная, предварительная оценка качества изображе-
ния оптической системы выполняется по величине пятен рассеи-
вания. Размер этих пятен даст первое представление о качестве
изображения (разрешающая способность системы N=\/2by', где
2Ау'— средний размер диаметров пятен рассеивания). Но такая
оценка является достаточной лишь для малоответственных систем
(например, осветительных систем конденсоров) и совершенно не-
удовлетворительной для ответственных оптических систем, пред-
назначенных для получения максимально полной информации о
наблюдаемых предметах. Известно (глава 27), что для опенки ка-
чества изображения в настоящее время широко применяется функ-
ция модуляции амплитуды или частотно-контрастная характери-
стика (ЧКХ), которая: а) позволяет легко предсказать свойства
изображений объектов сравнительно простой структуры (две ря-
дом стоящие точки, периодические структуры типа мир Фуко или
синусоидального распределения яркости и т. д.); б) дает воз-
можность предсказать качество изображения не только самой оп-
тической системы, но также в комбинации ее с приемником (гла-
зом или любым другим светочувствительным слоем); в) имеет
простой вид, характеризуемый малым числом величин. Поэтому
на этапе оценка качества изображения вычисляют
ЧКХ, определяют допуски на конструктивные элементы системы
г, d, п и воздушные промежутки, составляют оптические выпуски,
вносят соответствующие поправки и приступают к разработке ра-
бочих чертежей.
Глава 24.

ГАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 150.	Задачи габаритного расчета

В процессе габаритного расчета необходимо получить оптиче-
скую систему, которая бы удовлетворяла трем основным требо-
ваниям: полностью соответствовала техническим условиям па при-
бор, т. е. обеспечивала бы заданные характеристики системы, оп-
ределяемые ее назначением (требуемое увеличение, фокусное рас-
стояние, относительное отверстие, точность визирования и т. д.);
обеспечивала физическую осуществимость прибора, т. е. удовлет-
воряла бы законам образования изображения; обеспечивала тех-
ническую осуществимость прибора (создание оптической системы
в рамках существующих технических возможностей), т. е. пре-
дусматривала бы доступную технологию изготовления, реальные
величины допусков, получение необходимого качества изображе-
ния, приемлемую стоимость.

Из габаритного расчета должны быть получены исходные дан-
ные для детальной разработки механической части прибора и
расчета отдельных оптических деталей.

В начале расчета конструктор разрабатывает принципиальную
оптическую схему прибора, отвечающую поставленным в техниче-
ских условиях требованиям. Правильный выбор оптической схемы
при разработке оптического прибора имеет решающее значение для
успешного решения поставленной задачи. Особое значение при-
обретает логически обоснованный выбор схемы соответственно за-
данным оптическим характеристикам при применении автомати-
зированных методов коррекции на ЭВМ. Машинный расчет поз-
воляет получить удовлетворительное решение, если в основу рас-
чета будет положена удачная начальная оптическая система. Оче-
видно, что роль оптика-расчетчика и разработчика становится при
этом особенно ответственной — теоретическая подготовка, интуи-
ция и опыт в области расчетов оптических систем приобретает
особое значение. В большинстве случаев схема выбирается на ос-
новании личного опыта расчетчика или на основании анализа
систем подобного типа.

В задачу габаритного расчета входит:

1)	согласование технических условий, т. е. согласование тре-
бований к увеличениям, линейным или угловым полям, положе-
ниям и величинам зрачков, светосилы, размеров системы;

2)	определение составляющих систему элементов и их основ-
ных параметров, а именно: определение числа компонентов, из
которых должна состоять оптическая система; определение вели-
чин фокусных расстояний отдельных компонентов; величин апер-
турных углов и углов поля; определение расстояний между ком-
понентами; определение световых и полных диаметров компонен-
тов; места расположения диафрагм, а также положения и размеры
зрачков всей системы и каждого компонента; определение разме-
ров и положений зеркал, призм, пластин, если таковые имеются
в оптической системе; подготовка исходных данных к аберрацион-
ному расчету отдельных элементов системы;

3)	анализ взаимодействия как отдельных элементов оптиче-
ской системы (выявление возможного исправления аберраций),
так и возможностей всей системы.

При габаритном расчете полагают систему идеальной и приме-
няют соотношения параксиальной оптики. По полученным значе-
ниям фокусного расстояния, относительного отверстия, апертур-
ных углов, угла поля подбирают типы отдельных компонентов:
окуляры, объективы и т. д. по аналогии с существующими опти-
ческими приборами.

При расчете может оказаться, что какой-либо оптический узел
или компонент по своим оптическим характеристикам резко от-
личается от существующих на практике. В этом случае требуется
длительная вычислительная работа или же практическое осуще-
ствление схемы может оказаться невозможным.

На этапе габаритного расчета целесообразно также анализи-
ровать коррекционные возможности отдельных элементов системы.
Если этого не делать, то можно прийти к тому, что невозможно
будет получить удовлетворительное качество изображения при
выбранных габаритах. Тогда после аберрационного расчета при-
дется вновь рассчитывать систему, меняя некоторые габаритные
соотношения или усложняя ее.

После габаритного расчета на основе оптической схемы рас-
считываются кинематическая и электрическая системы прибора,
разрабатывается эскизный проект и конструкция отдельных узлов
прибора.

§ 151.	Различные конструкции систем из тонких компонентов

Для облегчения расчетов некоторых типов оптических систем
их разбивают на ряд тонких компонентов. Такое разделение дает
возможность построить сравнительно простую теорию расчета как
в отношении внешних, так и в отношении внутренних параметров.

Характерной особенностью тонкого компонента является то
обстоятельство, что при переходе от «нулевых» к «конечным» тол-
щинам аберрации изменяются незначительно, т. е. толщины ком-
понентов и отдельных линз не являются параметрами, которые
следует использовать для коррекции аберраций. Они выбираются
из технологических соображений.

Перечислим системы, которые можно считать состоящими из
бесконечно тонких компонентов. К таким системам относятся оп-
тические системы, состоящие из объектива и окуляра (считая
последний за один компонент, хотя обычно окуляры состоят из двух
компонентов и более); это — астрономические, геодезические тру-
бы, визиры, бинокли Галилея, микроскопы малого увеличения;
-оптические системы, состоящие из объектива, окуляра и призмен-
ной оборачивающей системы (призменные бинокли, стереотрубы,
дальномеры, системы с качающимися и вращающимися призма-
ми, панорамы и т. д.); оптические системы с линзовыми обора-
чивающими системами, зрительные трубы прямого видения, пери-
скопы, прицельные трубки и т. д. Расчет указанных выше систем
можно разделить на независимые стадии.

Однако имеется большая группа приборов, компоненты кото-
рых нельзя считать бесконечно тонкими. Это фотографические
объективы, объективы микроскопов большой апертуры, широко-
угольные телескопические системы. Для таких систем габаритный
расчет имеет второстепенное значение. Размеры системы являют-
ся результатом решения задачи получения изображения требуе-
мого качества при заданном относительном отверстии и угловом
поле.

Рассмотрим габаритный расчет некоторых оптических систем,
состоящих из тонких компонентов.

§ 152.	Габаритный расчет простых зрительных труб

Если прибор служит для наблюдения за удаленными на боль-
шое расстояние предметами, то он относится к группе телескопи-
ческих систем. Основное свойство таких систем состоит в том, что
пучок параллельных лучей, поступающих во входной зрачок си-
стемы, выходит из выходного зрачка также пучком параллельных
лучей. Видимое, линейное, угловое увеличения являются посто-
янными величинами для таких систем и связаны между собой
зависимостью

р     1   D   tgw'   /об

1	Т - то - - у - О' - tg0> - — -у-.

н0	к	'ок

Продольное увеличение определяется по формуле

при условии, что п = п'.

В технических условиях на проектирование телескопических
систем задают следующие основные оптические характеристики:
Гт—видимое увеличение зрительной трубы; ф"— разрешающую
способность; L — длину оптической системы; 2ш — угловое поле в
пространстве предметов; D'—диаметр выходного зрачка; sp—уда-
ление выходного зрачка.

Иногда задается конфигурация прибора, которая определяется
использованием в конструкции зеркал и отражающих призм.

В телескопических системах из двух компонентов основным
требованием является необходимость разрешать две точки или два
434
объекта определенного вида, находящихся друг от друга на не-
котором заданном линейном или угловом расстоянии.

Известно, что разрешающая способность телескопической системы
хорошего качества изображения при работе совместно с глазом
120*
определяется, с одной стороны, дифракцией света	а с

„	'	60"

другой стороны, свойствами глаза </' — ~ (ПРИ D' ^2 мм).

Рис 200. Габаритный расчет зрительной трубы Кеплера

Габаритный расчет следует начинать, исходя из согласования
приведенных выше соотношений. Из формул видно, что для пол-
ного использования глазом разрешающей способности трубы ее
полезное увеличение должно определяться как

60" _ 60" D________1_

<Р” — 120” ~ 2 и'

(24.1)

Из этого следует, что при заданном значении увеличения Гт
диаметр входного зрачка должен иметь размер, определяемый
формулой

D == 2ГТ,	(24.2)

с тем, чтобы обеспечить требуемую разрешающую способность. Из
(24.1) также следует, что дальнейшее увеличение Гт при сохранении
диаметра входного зрачка не будет способствовать увеличению ее
разрешающей способности. Чтобы полностью использовать ф", необ-
ходимо также, чтобы выходной зрачок имел размер

D' =

(24.3)

Оптическая схема трубы Кеплера в виде тонких компонентов пред-
ставлена на рис. 200. Для определения фокусных расстояний объек-
тива и окуляра можно воспользоваться следующими уравнениями:
. L = /об + /;к1	(24.4)
р А>б

т =	J7-.

' ок

(24.5)

Решая совместно
определения /об и

(24.4) и (24.5), получают соотношения для
телескопической системы

(24.6)

Гок~ 1-г ;

Угловое поле окуляра определяют из соотношения
tg«/ = rTtgw.

Значение /оК уточняют и выбирают ближайшее из каталога
(имея в виду использование готового окуляра), исходя из найден-
ных значений /ок и 2ш'-

При выбранном /ок уточняют/об, используя формулу

/об = Г т/ок ’

Если задается вынос выходного зрачка, то для окончательного

определения величины фокусного расстояния объектива
уточнить /ок с учетом заданного удаления выходного
Для этого определяют отрезки zp- и s'f- (рис. 201)

ZP — г2’

т>

необходимо
зрачка Sp».

(24.8)

где zp—координата, определяющая положение выходного зрачка
относительно заднего фокуса окуляра; гр — координата, определяю-
щая положение входного зрачка относительно переднего фокуса
объектива (положение входного зрачка выбирается конструктивно).
Часто входной зрачок совпадает с оправой объектива, тогда

Zp = /об-

Если учесть аберрации в зрачках прибора, то отрезок гр- будет
меньше на величину Az', которая при больших углах поля 2w может
достигать порядка 2—3 мм, поэтому (24.8) запишем в виде

=4--Аг'.	(24.9)

Зная удаление выходного зрачка sp-, определяют отрезок <*'—
расстояние от последней поверхности окуляра до заднего фокуса
по формуле

гр ,	.	,

SF'—	+.	24.10)

1 т

По найденным значениям диаметра входного зрачка и величине
фокусного расстояния вычисляют относительное отверстие объектива
и по параметрам fo6, D/fo6, 2w выбирают тип объектива. Хорошее
качество изображения получается, если относительное отверстие
объектива не превышает 1 :4.

Тип окуляра выбирают в соответствии с заданным угловым полем
2 с»' и удалением зрачка. Следует иметь в виду, что окуляры ис-
правляются на аберрации для некоторого определенного положения
выходного зрачка, поэтому у выбранного окуляра расстояние 2Р-
должно иметь то же значение, на которое рассчитывался окуляр.
Для большинства окуляров значение zp- лежит в пределах от zP'=0
до 2р- = 0,3/ок.

После определения значений /Об и f0K определяют световые диа-
метры линз объектива, окуляра, сетки. Для этого выбирают вели-
чину сечения наклонного пучка лучей в зависимости от возмож-
ности коррекции оптической системы. Если 2w— угловое поле мало,
относительное отверстие объектива невелико, то 2т ^D. При
большом относительном отверстии и большом поле 2/п <=* 0,52). Све-
товой диаметр объектива определяют по формуле

Di — — 2ар tgw + 2т,	(24.11)

если входной зрачок совпадает с диаметром объектива, то £>i =D.
Диаметр полевой диафрагмы, которая устанавливается в фокальной
плоскости объектива телескопической системы, равен

Dn = —2/аб tg <».	(24.12)

Световой диаметр линз окуляра определяют из расчета полевого
пучка лучей (нижнего полевого, главного, верхнего полевого луча)
по формулам:
Уч-i = yi — d$i,

где

₽< = tgu>i, ^ = tga>Z

Удвоенная высота, максимальная из трех высот, определяет
световой диаметр окуляра. Из рис. 201 видно, что высота нгжнего
полевого луча определяет световой диаметр окуляра. Ее вычисляют
по следующим формулам:

где

D

Pl = Pl + tjilfob',

У2 = у\ — di?i,

— foti /ок,
Dok = 2^2.

(24.13)

Рис. 202. Оптическая схема зрительной трубы Галилея

Так выполняется габаритный расчет простой зрительной тру-
бы Кеплера, которая применяется главным образом в геодези-
ческих и астрономических приборах.

В отличие от трубы Кеплера зрительная труба Галилея имеет
отрицательный окуляр, дает прямое изображение предмета, име-
ет конструкцию намного проще, чем труба Кеплера. Оптическая
схема трубы представлена на рис. 202. В качестве окуляра обыч-
но используют простую отрицательную линзу, передний фокус ко-
торой совмещен с задним фокусом объектива. Применяют систе-
му Галилея главным образом в наблюдательных системах, на-
пример, театральных биноклях, в визирах фотоаппаратов или в
качестве составной части сложного, например, перископического
прибора. Формулы (24.6) и (24.7) справедливы и при габаритном
расчете трубы Галилея. Однако, как было показано (глава 17,
§ 114) выходным зрачком трубы является зрачок глаза, поэтому
при габаритном расчете следует рассматривать систему Галилея
совместно с глазом.

Если отрезок а₽ = с определяет положение входного зрачка от-
носительно объектива, а сопряженный с ним отрезок с' — поло-
жение выходного зрачка относительно изображения объектива, то
их отношение будет равно продольному увеличению или квадра-
ту обратной величины видимого увеличения, т. е.

ар = с = сТт2 = (Гта;  + L) Гт.	(24.14)

Так как увеличение трубы всегда положительное Гт> 0, то от-
резок ар также всегда положительный и, следовательно, входной
зрачок всегда лежит за объективом и является мнимым. Итак, имеем

Z) = -Огл, 7) = 7)глГт.

Оправа объектива является виньетирующей диафрагмой и угловое
поле зависит от его светового диаметра. В зависимости от степени
виньетирования можно определить углы поля. Так, если виньети-
рование отсутствует, то угловое поле минимальное и определяется
как

п я — D

(24J5)

если виньетирование составляет 50%, то

,Е- = ^У	<24Л6>

если 100% виньетирования, то угловое поле максимальное и

D 4- D
^~^тту

Именно из-за виньетирования наклонных пучков трубы Гали-
лея имеют небольшое увеличение и малое угловое поле.

§ 153. Расчет зрительных труб с оборачивающими системами

В том случае, когда необходимо получить прямое изображение
предмета, а труба Галилея использована быть не может, в схему
зрительной трубы Кеплера вводят оборачивающие системы.

Оборачивающие системы устанавливаются между объективом
и окуляром и могут быть линзовыми и призменными.

Габаритный расчет зрительной трубы с линзовыми оборачи-
вающими системами.

На рис. 203 и рис. 204 представлены оптические схемы зритель-
ной трубы Кеплера с одпокомпонентпой и двухкомпонептной обо-
рачивающими системами. Для оборачивающей системы задняя
фокальная плоскость объектива и передняя фокальная плоскости
окуляра являются сопряженными. Вопрос о выборе увеличение
оборачивающей системы решается отдельно в каждом конкретное
случае габаритного расчета. Однако лучше задавать увеличение

Рис. 203. Оптическая схема зрительной трубы Кеплера с одиокомпонентнои
рачивающей системой

близкое к единице, тогда при двухкомпонентной системе оба кое
понента будут одинаковыми, что намного облегчит аберрациоппьп
расчет системы и система будет дешевле. Поэтому если ^Об.с =—1

Рис. 204. Оптическая схема зрительной трубы Кеплера с двухкомпоиентпой обо-
рачивающей системой

то систему следует поместить от точки фокуса объектива на рас
стоянии, равном ее двойному фокусному расстоянию, в остальны:
случаях увеличение будет определяться как

₽об.о = 4-	(24.18
где отрезки а, а' определяют положение оборачивающей системы
относительно точек фокусов объектива и окуляра зрительной трубы.
Зная длину трубы LT и определив по формулам (24.6) и (24.7)
фокусное расстояние объектива и окуляра, для однокомпонентной
оборачивающей системы в соответствии с рис. 203 можно записать

Ьт = /об — а 4” а' + /ок.	(24.19)

Из (24.19) находим

7-об.с = —о Л- а = LT	fоб fок-	(24.20)

Зная увеличение оборачивающей системы рОб.с и определив по
формуле (24.20) длину оборачивающей системы, можно вычислить
отрезки а и а'. Для этого совместно решают два уравнения (24.18)
и (24.20):

7-об.с = —а 4“ а »

роб.о = ~•

Из решения уравнений получают

-ad	<2421>

t24-22*

Зная отрезки а и а', определяют фокусное расстояние линзы
оборачивающей системы по формуле

1 1 1
а' а /
'об.С

Габаритный расчет зрительной трубы с двухкомпонентной обо-
рачивающей системой. Наибольшее распространение получили
оборачивающие системы из двух компонентов, обычно склеенных
из двух линз (рис. 204, 205).

Между компонентами оборачивающей системы лучи идут парал-
лельно, поэтому передний фокус первой линзы оборачивающей си-
стемы совмещен с задним фокусом объектива, а задний фокус второй
линзы совмещен с передним фокусом окуляра. Так как пучок
параллельных лучей, вошедших в объектив, после первой оборачи-
вающей системы остается параллельным, то эту систему можно рас-
сматривать как телескопическую с увеличением ГТ1. Второй компо-
нент оборачивающей системы и окуляр образуют телескопическую
систему с увеличением ГТ2. Таким образом, зрительную трубу с двух-
компонентной оборачивающей системой можно рассматривать как
совокупность двух телескопических систем, стоящих одна за другой
с увеличениями ГТ1 и Гт, Тогда общее увеличение

1\ = ГТ1ГТ2 или Г, = — роб.с.

''ок
Чтобы избежать диафрагмирования пучка лучей оправой од-
ного из компонентов или неполного заполнения светового диамет-
ра компонента, необходимо, чтобы изображение входного зрачка
находилось примерно посредине между компонентами оборачи-
вающей системы (точка Р3—Р4). Чтобы получить такой ход глав-
ного луча, необходимо в фокальной плоскости объектива поста-
вить коллектив, что позволит, не меняя размеры изображения,

Рис. 205 Габаритный расчет зрительной трубы Кеплера в двухкомпонеппюй
оборачивающей системой

создаваемые объективом, уменьшить диаметры линз оборачиваю-
щей системы. Фокусное расстояние коллектива выбирают в зави-
симости от того, какое направление относительно оборачивающей
линзы должен иметь главный луч. В том случае, когда необходи-
мо получить требуемое удаление выходного зрачка, коллектив вво-
дят и в переднюю фокальную плоскость окуляра и это также не-
обходимо учитывать при габаритном расчете системы.
Так как оборачивающая система симметрична, то фокусные рас-
стояния равны между собой, т. е. /1=/г- Для того чтобы упростить
процесс определения фокусного расстояния компонентов оборачива-
ющей системы, можно, задать ограничивающее условие — световой

диаметр компонентов определить из расчета хода апертурного луча,
т. е. Di =Di = 2h.3, тогда из подобия треугольников MiHogH*
и М3НКН\ (см. рис. 205, а) можно записать:

йэ_______________Л_

*1 “ D ~ е'
1	'об

и

г' г- Dlfo6
f I — /2 — D

(24.23)

(24.24)

Расстояние d между компонентами оборачивающей системы можно
определить, рассмотрев подобные треугольники HkN2Hi и N3M3M4
(рис. 205, б):

DK = Р1~2ст4
d

(24.25)

где 2zn4 = K,UD\ — ширина меридионального пучка лучей между
компонентами оборачивающей системы; — допустимое значение
коэффициента виньетирования; Ок — световой диаметр коллектива.

Тогда

Коллектив расположен в задней фокальной плоскости объекти-
ва, и его фокусное расстояние должно быть таким, чтобы центр
входного зрачка изобразился системой «объектив-(-коллектив + пер-
вая оборачивающая линза» в точке Р4, расположенной на рас-
стоянии-^- от первой линзы оборачивающей системы. На основа-
нии сказанного для определения фокусного расстояния коллектива
необходимо рассчитать ход главного луча. Из рис. 205, б видно,
что

У\ =«₽₽!, ₽l=tgo>r,

Р2 = pi 4- y\!fo6',

У 2	f обр l,

„ _ d a	'об о d

У1 - 2	Pl 2

u2 --y3

' ~i\—'

Однако известно, что Рз = рг + у?/[к, тогда
f' __ У2
* ' th -P2-

(24.27)

(24.28)
После определения значений /об, f'K, /I = f2l fOK вычисляют световьи-
диаметры компонентов по формулам:

а)	диаметр объектива £>Об — 2ар tgwI + 2/ni;

б)	диаметр коллектива DK = —2/06tg«и;

в)	диаметр оборачивающих линз D\ = D2 = ^-D;

г)	диаметр окуляра D0K = 2ар' tg ш6 + 2тв, где 2тв = Л'(и£>'.

§ 154.	Габаритный расчет зрительной трубы
с призменной оборачивающей системой

Выполним габаритный расчет зрительной трубы призменногг
бинокля, оптическая схема которого представлена на рис. 206, а

Фокусные расстояния объектива, окуляра, коллектива, их свете
вые и полные диаметры вычисляют по методике и формулам, прп
веденным в разделе «Габаритный расчет простых зрительны:
труб». Затем определяют размеры призм оборачивающей систе-
мы, которые зависят от величины угла падающих на них пучков
лучей и от положения призм относительно вершины пучка. Кро-
ме того, отражательные призмы при габаритном расчете заменя-
ют эквивалентными плоскопараллельными пластинками (произ-
водят развертку призм) и, чтобы не рассматривать преломления
на поверхностях эквивалентных пластинок, их редуцируют (при-
водят к воздуху).

Пусть в рассчитываемой схеме обе призмы изготовлены из од-
ной марки стекла с показателем преломления и. Расстояние db
между призмами известно. Оптическая схема бинокля с редуци-
рованными призмами представлена на рис. 206, б.

Если соединить края светового отверстия объектива с краями
полевой диафрагмы П. д., то получим усеченный конус, внутри по-
лости которого проходят все лучи. Половину угла осевого сечения
конуса можно определить по формуле

D — D„

tg? = —7^.	(24.29)

Введение в оптическую систему призм, развернутых в плоско-
параллельные пластины и приведенных к воздуху, не изменяет
высоты лучей на компонентах окуляра. Обозначим световые диаметры
на гранях призм через Di, D2, D3, D4. Будем считать также, что
призмы не вносят виньетирования. Известно, что выходную грань
второй призмы целесообразно устанавливать близко к полевой диа
<2
фрагме, но не ближе расстояния, определяемого как 0,01/ак, по-
>2

этому отрезок Z = 0,01/ок. Расчет световых диаметров призм выпол-
ним по методике, изложенной в главе 14 (см. § 95). Согласно этой
методике определяют

О 4 = 2у' + 21 tg ср,

где 2у' — Dn. Вычисляют

где k — коэффициент призмы (см. § 95).

По формуле или графически находят £>3:

DA sin f cos ср
[_) о = -—---

sin (7 — <?)

Длину хода луча к призме определяют как d2 = kD3, тогда ре-
дуцированная толщина составляет

<'2
п
Аналогичным образом определяют размеры первой призмы, для
которой

Л — I -f- d2 -f- dB,

D2 = 2г/' 4- 2/1 tg ср.
Если тип призмы тот же, то tg у имеет такое же значение, если
нет, то tg 72 вычисляют как

Далее определяют:

£>2 sin 7 cos ср

‘ — sinh — <?) ’

d । = kD [,

Расстояние от главной плоскости объектива до входной грани
первой призмы составляет

/о = /об — dB — I —di — di.

Окончательно размеры призм выбираются большими с учетом
припуска на оправу, поэтому полные размеры гипотенузных граней
призм будут

ai = 201 4*

й2 — 2D3 -j- 8,

где 8—припуск на оправу.

В практике расчета оптических систем иногда задают положе-
ние входной грани призмы относительно объектива, т. е. размер
20. Тогда Di вычисляют по формуле

Di — D — 21о tg ср,
затем определяют

di — kDi,

D2 = Dt — 2~ tg ср и т. д.

Если в результате расчета окажется, что призмы по размерам
мало отличаются друг от друга, то целесообразно их сделать оди-
наковыми, взяв за основу размеры большей призмы.

Если же допустить некоторое виньетирование на краю поля,
то размеры призм можно несколько уменьшить. Задавшись до-
пустимым для данной системы виньетированием (для биноклей
допустимо 25-процентное виньетирование) и выбрав для расчета
лучей в призме, например, ход верхнего луча, падающего на вход-
ной зрачок на высоте mlt определяют размеры призм:

(1—Кш)£>	0	.

/П1 = г/1 = ---—7 ; pi = tgo>i;

Р2 = Pi 4-y\/fo6t

уг — у\ —
Di = 2z/2 и t. д.;

di = d2 = kD\,

где Кш— коэффициент виньетирования.

Призменная оборачивающая система увеличивает длину хода луч-ц
Ход луча в двух призмах составит d — 2d2, тогда удлинение будет
равно

d(n-n.

и п.

На эту величину необходимо в конструкции прибора увеличить
расстояние между объектом и полевой диафрагмой.

§ 155.	Расчет отсчетных микроскопов

При расчете отсчетных микроскопов следует исходить из тре-
буемой точности отсчета. Исходными данными являются точность

отсчета о, линейное поле 2у
(рис. 207).

Известно, что разрешающая
способность микроскопа зависит
от числовой апертуры объектива
микроскопа, длины волны и спо-
соба освещения.

Для косого освещения разре-
шающая способность определяется
соотношением С = и для пря-
мого освещения С = -jp Для вы-

Рис. 207. Оптическая схема отсчетного
микроскопа

ходного зрачка микроскопа D' =

= 1 мм точность отсчета по нониусу, часто применяемому в отсчет-

ных микроскопах, равна

° ~ 6	12А

(при косом освещении).

Отсюда можно

определить апертуру объектива микроскопа

12а •

При определенном диаметре выходного зрачка можно определить
полезное увеличение микроскопа

г — 500А

1 ~ D' '

По величине апертуры объектива можно выбрать его из каталога
объективов с тем линейным увеличением, которое указано в ката-
логе.

Видимое увеличение микроскопа

Г == Д/Док*
При известном роб выбирают видимое увеличение окуляра

Фокусное расстояние окуляра

_ 250
/ок---=	•

х ок

В отсчетном микроскопе для уменьшения влияния параллакса
на точность отсчета применяется телецентрический ход лучей
со стороны пространства предметов, и апертурная диафрагма
устанавливается в задней фокальной плоскости объектива.

Рис. 208. Габаритный расчет отсчетного микроскопа

Диаметр апертурной диафрагмы определяется соотношением:

£>д = 2/o6tgo\
причем

• I А

Sin о' = -s—.

Роб

Роль полевой диафрагмы микроскопа выполняет оправа сетки,
в плоскости которой образуется изображение. Диаметр сетки

Г>0 = 2//?об — 2/ок • tg о)ок.

Предметное расстояние—расстояние от предмета до первой по-
верхности объектива определяется из каталога объективов для вы-
бранного объектива.

Выбрав объектив и окуляр микроскопа, можно вычислить вели-
чину L (рио. 208)—расстояние от предметной плоскости до выход-
ного зрачка микроскопа:

L — S] ^об “р & Ч* ^ок "р Sp”,

§ 156. Расчет объектива зрительной трубы
с внутренней фокусировкой

В настоящее время преимущественно применяются зрительные
трубы с внутренней фокусировкой. Как известно (см. § 122), они
имеют ряд преимуществ перед трубами с внешней фокусировкой:
постоянство длины, малые размеры, герметичность и возможность
создания аналлатических труб, большее постоянство линии визи-

рования.

В трубах с внутренней фокусировкой объектив состоит из пер-
вого положительного компонента и второго фокусирующего от-
рицательного компонента, расположенного на конечном расстоя-
нии от первого (рис. 209).

В результате подобной компоновки задняя главная плоскость

вынесена вперед, что позволяет значительно сократить продоль
ные габариты трубы. В процессе
фокусировки второй компонент
изменяет положение относитель-

но первого компонента, при этом
меняется и эквивалентное фо-
кусное расстояние телеобъек-
тива.

Одной из основных характе-
ристик телеобъектива является
коэффициент укорочения, пред-

Рис. 209. Оптическая схема бесконеч-
но тонкой системы телеобъектива

ставляющий собой отношение
оптической длины объектива L
к фокусному расстоянию

Обычно для линзовых телеобъективов т=0,6—0,8, уменьшение
величины т приводит к увеличению относительного отверстия пер-
вого компонента, а это влечет за собой необходимость усложнения
конструкции компонента.

Увеличение второго компонента обычно p = l,5-s-2,2. Дальней-
шее увеличение 02 нецелесообразно, так как вызывает значитель-
ное возрастание аберраций и предъявляет более жесткие требо-
вания к коррекции аберраций первого компонента.

Расчет основных габаритных параметров зрительной трубы
производится известным образом (см. § 152). Особенностью рас-
чета является габаритный расчет телеобъектива.

Методика его расчета во многом зависит от исходных условий.
Чаще всего могут представиться два случая: а) труба должна
быть аналлатической, следовательно, должно быть задано усло-
вие аналлатичности; б) задано минимальное расстояние визиро-
вания, т. е. расстояние, на которое можно сфокусировать зри-
тельную трубу при максимальном перемещении отрицательного
компонента.

1-й случай. В аналлатической зрительной трубе расстояние б
от первого компонента до проекции оси вращения прибора на оп-
тическую ось

8 = yL + (15-r-25) мм.

В этом случае при использовании трубы в качестве дальноме-
ра аддитивный член в уравнении дальномера получает минималь-
15 1-446 .	449
ные изменения при перемещении фокусирующей линзы и пренеб-
режимо мал:

s = kl + cs,
где с, — аддитивный член; k — коэффициент дальномера (обычно
6=100); I—отсчет по рейке; s — расстояние до предмета.

Такая труба называется квазианаллатической. Если с.,=0, то
труба является строго аналлатической.

Условие аналлатичности было выведено проф. Б. В. Фефиловым
и имеет вид

------j---do -|- f (1 — do'? ।) = 0.
fi + T

Исходными данными для расчета аналлатической трубы являются:
1) относительное отверстие объектива 2) фокусное расстояние
объектива f; 3) коэффициент укорочения т или оптическая длина
L; 4) величина аналлатичности 5; 5) угловое поле 2<о.

Расчет целесообразно проводить в приведенных величинах, при
условии, что f = 1 Необходимо определить фокусное расстояние
компонентов /, и /?, расстояние между компонентами do и попереч-
ные размеры компонентов.

Для определения трех неизвестных Л. /г и d0 надо составить
три уравнения:

1.	Уравнение аналлатичности.

2.	Уравнение эквивалентной системы

<?1 + ?2 —	Г?2 — I.

3.	Уравнение оптической длины телеобъектива

L = do -f- 0,4.

Уравнение (3) легко получить из рис. 209, откуда видно, что

Щ _ Л2____h —

>' ~ ’

следовательно,

й2 = /'(1 — do'?l).

При /' = 1

Z.=do(l-?i)+ I.

2-й случай. Задано минимальное расстояние визирования а,^-т
(вместо условия аналлатичности, остальные данные те же)

В соответствии с конструкцией телеобъектива расстоянию amln
соответствует в пространстве изображений а;.,.- <• 6, так как при
фокусировании на самые ближние предметы фокусирующий компо-
нент перемещается в крайнее правое положение-

' L — (10= 15) мм /
fll.nax--------1	— *-•
Используя формулу Гаусса, получим
almin°lmax ______________________ almir/*

°lmin — almax aimin —

При f = 1

/'=-^- = /^2 или р2 = <Р1.
a2

Расстояние между бесконечно тонкими компонентами можно оп-
ределить из уравнения оптической длины (3)

Фокусное расстояние второго—фокусирующего компонента оп-
ределяется из уравнения эквивалентной системы (2)

Диаметр первого компонента легко вычислить, зная относитель-
ное отверстие объектива,

Di = D + 2ар tgw.

Диаметр второго компонента определяется из расчета апертур-
ного и полевого лучей по формулам параксиальной оптики.

Следует помнить, что при фокусировании на ближнее расстоя-
ние второй компонент перемещается к сетке, и в этом случае вы-
сота полевых лучей увеличивается.

Расстояние между компонентами при Sj =/= — оэ рассчитывается
по формуле

ds — ~2 (oi + Д) — (ai — Ь) (а, — L	4f2).

В настоящее время для получения высокого качества изображе-
ния используются трех- и четырехкомпонентные телеобъективы. Их
расчет проводится аналогичным образом, только используются не-
которые дополнительные условия.

Для контроля вычислений f\, [•> и можно рекомендовать расчет
па, аксиального луча через бесконечно тонкую систему и определе-
ние величин и /0.
Глава 25

РАСЧЕТ ИСХОДНОГО ВАРИАНТА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 157.	Общие принципы расчета исходного варианта

Целью расчета исходного варианта является определение кон-
структивных элементов-радиусов кривизны или профиля оптиче-
ских поверхностей, толщины линз и расстояния между отдельными
компонентами.

В настоящее время известны два основных метода расчета: ме-
тод проб и алгебраический метод или метод разделения перемен-
ных. Выбор метода зависит от характеристик оптической системы
и наличия вычислительных средств.

Почти вплоть до XIX века применялись эмпирические методы
изготовления оптических систем. Первый объектив — ахромат по-
явился лишь в XVIII веке, когда Ньютоном уже была открыта
дисперсия света.

В 1840 г. Пецваль впервые вывел выражения для аберраций
третьего и пятого порядков и пришел к выводу о невозможности
их практического применения из-за их сложности и создал так
называемый метод проб.

Метод проб основан на изучении связи между аберрациями
системы, полученными посредством расчета хода лучей, и конст-
руктивными элементами. Пецваль рассчитал этим методом первый
светосильный фотографический объектив, известный под назва-
нием объектива Пецваля.

В 1856 г. Зейдель опубликовал формулы коэффициентов абер-
раций третьего порядка. Практическое применение формулы Зей-
деля нашли в начале XX века, когда впервые с их помощью был
рассчитан двухлинзовый объектив с малым угловым полем. Полу-
ченные расчетные соотношения оказались простыми и удобными
для практического применения.

В результате развития теории аберраций третьего порядка и
первых попыток ее использования появился алгебраический ме-
тод или метод разделения переменных, широко применяемый и в
наше время.

Метод дает хорошие результаты при расчете систем, компонен-
ты которых можно принять бесконечно тонкими ( р-<0,10), т. е.
систем с небольшими относительными отверстиями и малыми уг-
ловыми полями. К таким системам относятся, в частности, объек-
тивы геодезических приборов.
В основу метода разделения переменных положено свойство
бесконечно тонкой линзы, заключающееся в независимости хро-
матической аберрации от прогиба линзы, т. е. внутреннего угла а
первого параксиального луча с оптической осью.

В условия устранения хроматической аберрации положения
и увеличения, в условие Пецваля и различные конструктивные
условия не входят углы а, образованные первым паракси-
альным лучом с оптической осью внутри линз,— внутренние
параметры.

Это дает возможность разделить все параметры системы на две
группы: внешние и внутренние. Внешними параметрами являют-
ся углы а первого параксионалыюго луча в воздухе и высоты h.

Внешними параметрами определяются оптические силы линз и
расстояния между ними, и их вычисляют на первом этапе расчета.

Внутренние параметры определяются на втором этапе расчета
из условий устранения монохроматических аберраций.

После определения всех неизвестных параметров вычисляются
конструктивные элементы бесконечно тонкой системы и делается
переход к системе линз конечной толщины. Затем производится
аберрационный анализ системы и при необходимости — коррекция.

С появлением ЭВМ и автоматических методов расчета значи-
тельно облегчилась работа конструктора, однако его участие в рас-
чете все еще остается главным.

Весьма очевидной при развитии машинных методов явилась не-
обходимость использования теории аберраций третьего порядка.

При расчете на ЭВМ успех расчета во многом зависит от того,
насколько исходная система близка к оптимальной. Известно, что
ЭВМ не всегда дает положительное решение, даже если оно и су-
ществует. При неудачном выборе исходной системы приходится
от нее отказаться и заново рассчитать систему. Ясно, что система,
свободная от аберраций третьего порядка, более близка к иско-
мой, чем произвольно выбранная. Кроме того, расчет коэффициен-
тов аберраций третьего порядка занимает примерно в три раза
меньше времени, чем расчет минимально необходимого числа лу-
чей. Это дает возможность с минимальными затратами машинно-
го времени провести исследование большого числа систем.

При использовании некоторых методов коррекции на ЭВМ,
например, метода Цено, необязательно иметь исходный вариант,
свободный от аберраций третьего порядка. Но и в этом случае
расчетчику может помочь расчет методом разделения переменных,
так как он дает ответ на вопрос: существует или не существует
решение при выбранной оптической схеме.

Кроме того, среди рассчитываемых систем часто встречаются
системы со сравнительно небольшими полями и малой апертурой,
которые с успехом рассчитываются на основании теории аберра-
ций третьего порядка.

Умение рассчитывать исходный вариант методом разделения
переменных и проводить коррекцию описанным ниже методом
(§ 172) позволяет лучше изучить аберрационные свойства систе-
мы и правильно выбирать направление коррекции при последующих
расчетах на ЭВМ. Это особенно важно для начинающих расчет-
чиков.

Чрезмерное увлечение методом проб при расчетах на ЭВМ не
всегда быстро приводит к желаемым результатам по уже упомя-
нутым причинам. Он особенно эффективен при расчетах сложных
объективов. Вследствие этого в книге уделяется внимание рас-
чету исходных вариантов объективов различных конструкций ме-
тодом разделения переменных. Эти объективы имеют малое уг-
ловое поле и сравнительно небольшое относительное отверстие,
когда применение теории аберраций третьего порядка достаточно
эффективно.

Приводимые расчетные соотношения просты и удобны, и их
можно использовать для программирования расчетов исходных
вариантов на мини-ЭВМ.

§ 158.	Выбор аберраций, подлежащих исправлению

Вопрос выбора аберраций, которые необходимо исправить в
системе, является одним из наиболее важных. Следует помнить,
что увеличение числа аберраций, подлежащих исправлению, а
также уменьшение их допустимых значений обычно приводит к
усложнению конструкции и увеличению числа линз.

Отдельные аберрации третьего порядка относятся к трудно ис-
правимым: это кривизна поля, иногда дисторсия и астигматизм.
Особенно трудно устраним вторичный спектр, требующий приме-
нения в системе стекол или других оптических материалов с про-
порциональным спектром.

Требование исправления некоторых аберраций третьего поряд-
ка приводит к необходимости усложнения системы и применения
специальных материалов. При разработке системы конструктор
может использовать в качестве материала все марки оптических
стекол, изготовляемых оптическими заводами, и ограниченное
число кристаллов и других новых материалов.

Выбор формы и расположения поверхностей также ограничен.
Система должна быть центрированной, так как разработанная
теория расчета предполагает это условие. Поверхности должны
быть сферическими, а сферические поверхности используются
очень редко в связи с технологическими трудностями изготовления
и контроля и высокой стоимостью.

Наиболее правильной тенденцией при разработке конструкции
является выбор наиболее простых марок стекол, имеющих хоро-
шие физико-механические свойства, и стремление к простоте
конструкции. Увеличение числа линз неизбежно приводит к уве-
личению массы, удорожанию и повышает чувствительность си-
стемы к внешним воздействиям.

Выбор числа исправляемых аберраций зависит от назначения
системы, ее относительного отверстия, требуемого качества изоб-
ражения и производится на основе анализа исходных данных.
В системе с небольшим углом поля, например в объективе аст-
рономической трубы большого увеличения, надо исправить сфе-
рическую аберрацию и хроматизм положения.

В объективах зрительных труб средних увеличений, к которым
относятся объективы труб геодезических приборов, следует испра-
вить сферическую аберрацию, меридиональную кому и хроматизм
положения. Это объясняется тем, что в системах с малым углом
поля астигматизм, кривизна поля, дисторсия и хроматизм уве-
личения имеют малые значения и практически не влияют на ка-
чество изображения.

В системах малой апертуры и больших углов поля (очковые
линзы) целесообразно исправить астигматизм, в основном ухуд-
шающий качество изображений.

В фотографических объективах следует исправить полевые абер-
рации (астигматизм, кому, кривизну поля, дисторсию).

В объективах оптико-электронных приборов чаще всего необ-
ходимо исправить сферическую аберрацию, меридиональную кому
и хроматизм положения, но в некоторых случаях надо провести
коррекцию астигматизма, кривизны поля и дисторсии.

Особое внимание следует обращать на условия работы при-
бора. В ряде систем большое поле требуется только для обнару-
жения объекта, измерение параметров которого производится в
центре поля. В этом случае нет необходимости тщательного исп-
равления полевых аберраций.

При выборе исправляемых аберраций необходимо хорошо знать
свойства коэффициентов аберрации третьего порядка в частных
случаях. Необходимо помнить, что астигматизм бесконечно тонкого
компонента не зависит от его .конструктивных элементов, когда
входной зрачок совпадает с компонентом = 0, поскольку Sfu = 1,
а коэффициент Пецваля гс ==; 0,7. Дисторсия третьего порядка отсутст-
вует в бесконечно тонком компоненте, если входной зрачок совпа-
дает с компонентом, Sv = 0. Кривизну Пецваля нельзя непосредст-
венно исправить даже введением асферической поверхности.

§ 159.	Составление и решение аберрационных уравнений

После выбора аберраций, которые следует исправить, составляют
аберрационные уравнения. Все уравнения разделяются на две группы.
В первую группу входят уравнения, зависящие от внешних пара-
метров:

1	Уравнение масштаба <р= 1, где —приведенная оптическая
сила системы при f = 1. В уравнение масштаба входят оптические
силы линз, из которых состоит система.

2.	Уравнение исправления хроматизма положения Sixp = 0.

3.	Уравнение исправления хроматизма увеличения 5цХр = ^

4.	Уравнение исправления вторичного спектра Sj ЙТ.вп = 0.

5.	Уравнение исправления кривизны Пецваля Siv = 0*

6.	Уравнение, выполняющее конструктивное условие или другое
дополнительное уравнение.
Из решения уравнений первой группы определяются внешние
параметры системы и оптические силы линз, воздушные проме-
жутки, выбираются марки стекол. Все уравнения составляются
при определенной нормировке первого и второго параксиальных
лучей для приведенного фокусного расстояния

Во вторую группу входят уравнения, зависящие от внутренних
параметров — внутренних углов первого параксиального луча,
определяющих форму линз, поскольку внешние параметры опре-
делены из уравнений первой группы:

1.	Уравнение исправления сферической аберрации Si — 0.

2.	Уравнение исправления меридиональной комы Sn=0.

3.	Уравнение исправления астигматизма 5щ=0.

4.	Уравнение исправления дисторсии Sjv = 0.

Из решения уравнений (1—4) определяют внутренние пара-
метры системы.

При расчете новой ранее неизвестной системы суммы Зейделя
приходится приравнивать нулю. Для уже рассчитанных ранее си-
стем часто известно число, к которому следует приравнять ту
или другую сумму для компенсации аберрации высших порядков
или аберраций, которые появляются при переходе к линзам ко-
нечной толщины.

Например, для двухлинзового склеенного объектива Si=(10-r-
„л, I tn V	D	,

-S-20) (-р~ I , где т = что необходимо для компенсации сфери-
ческой аберрации высших порядков. Для компенсации сферохрома-
тизма принимают Sixp = 0,	, где т = 0,7-^-.

Для решения полученных алгебраических уравнений необхо-
димо, чтобы число свободных параметров (радиусов кривизны) со-
ответствовало числу исправляемых аберраций и конструктивных
условий, т. е. числу составленных уравнений. Если число урав-
нений больше числа свободных параметров, то в качестве сво-
бодного параметра можно использовать комбинации марок сте-
кол (оптические постоянные стекол) или иногда оказывается воз-
можным пренебречь исправлением одной из аберраций.

Если число уравнений меньше числа свободных параметров,
т. е. имеется лишний параметр, то надо принимать дополнитель-
ное условие. Можно составить уравнение для исправления какой-
либо аберрации в целях улучшения качества изображения или
использовать уравнение для улучшения конструкции. Например,
для трехлинзовых объективов с небольшим углом поля в качест-
ве дополнительного уравнения принимают равенство одной из оп-
тических сил определенному значению, позволяющему уменьшить
аберрации высших порядков, и т. п. Можно также упростить кон-
струкцию.

Добавляя новые условия, надо иметь в виду их осуществи-
мость и целесообразность. Например, нельзя написать в качестве
дополнительного условия Si у= 0.
§ 160.	Особенности расчета исходного варианта систем
с небольшим углом поля

В данном параграфе в основном рассматривается расчет ком-
понентов с небольшим углом поля и относительным отверстием
до 1 : 3 *, когда для расчета достаточно эффективно можно исполь-
зовать теорию аберраций третьего порядка систем с бесконечно
тонкими компонентами. Такие оптические компоненты встречаются
при разработке зрительных труб, некоторых типов фотообъекти-
вов, оптико-электронных приборов, контрольно-измерительных при-
боров, микроскопов с небольшой апертурой.

В начале расчета компоненты можно принять бесконечно тон-
кими и применить к ним теорию аберраций третьего порядка. Исход-
ный вариант, рассчитанный алгебраическим методом, в большин-
стве случаев весьма близок к оптимальному. Незначительная кор-
рекция позволяет получить систему с хорошим качеством изобра-
жения.

В системах с небольшим углом поля расчет исходного варианта
ведется из условий исправления хроматизма положения, сферичес-
кой аберрации и меридиональной комы. Остальные аберрации прак-
тически не влияют на качество изображения.

В результате составляют четыре уравнения: уравнение масшта-
ба и три уравнения исправления аберраций:

1.	Уравнение масштаба ф=1.

2.	Уравнение исправления хроматизма положения

k

Si хр = S /гчС„ = 0.

У=1

3.	Уравнение исправления сферической аберрации
k

Si = S = а.

V=1

4.	Уравнение исправления меридиональной комы
k	k

Su = S ^a-i S ^ = o,
vej	v=l

где v — номер поверхности. Как уже отмечалось, уравнения (2—4)
приравнивают к нулю или небольшой величине для компенсации
аберраций высших порядков. Расчет проводится при приведенном
фокусном расстоянии = 1).

Из уравнений (1—2) определяются оптические силы линз ком-
понента и, следовательно, внешние параметры системы, из (3) и
(4) — внутренние параметры системы — углы а первого пара-
ксиального луча с осью в стекле.

Для подавляющего большинства рассматриваемых систем урав-
нение (4) является линейным относительно внутренних параметров,

* Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. М., Машинострое-
ние, 1969.
a (3) — квадратным. Из двух решений уравнения (4) выбирается
меньшее положительное с целью получения более благоприятной
формы линз и меньших аберраций высших порядков. Отрицатель-
ные значения внутренних параметров, например угол а2 в первой
линзе компонента, определяющий ее форму, приводят к менее бла-
гоприятной менискообразной форме линз. Уменьшение величины
внутренних углов а, вызывает увеличение радиусов кривизны, что
ведет к уменьшению углов падения лучей на поверхностях, следо-
вательно, к уменьшению аберраций высших порядков.

Для случая бесконечно удаленного предмета для компонента из
нескольких линз с бесконечно малыми расстояниями между линзами
уравнения (2—4) с учетом нормировки первого параксиального луча
(он = О, ki—f' — l, а* —1, 1 = —1, h\ = h2 = ... = hk) преобра-
зуются к виду

<pi + <Р2 + ... <р< = 1;	(25.1)

= <25-2)
v= (

k

S™—^Р, — Рх = а;	(25.3)

5Г,	+ f Г, = 0.	(25.4)

v»=|

Если входной зрачок совпадает с бесконечно тонким компонен-
том, что характерно для объективов зрительных труб, то (25.4)
принимает вид

k

Sn	0.	(25.5)

v=l

В этом случае в соответствии с нормировкой второго паракси-
ального луча

pi = l, у\~ав ~0, у] — у2 = ... ~ ук — 0.

В случае предмета на конечном расстоянии необходимо учесть
нормировку первого параксиального луча и соответствующим об-
разом преобразовать аберрационные уравнения. Можно сделать
переход от параметров Р, W к основным параметрам и рас-
чет производить для объектива, работающего с конечного рас-
стояния.

Расчет исходного варианта в учебной практике можно произво-
дить с программированием на малых электронно-цифровых ма-
шинах типа «Наири», «Электроника» или в случае расчета отдель-
ных вариантов на калькуляторах. Для контроля правильности ре-
шения и составления аберрационных уравнений рекомендуется
вычислить значения сумм Зейделя S] и S2, используя полученные
значения углов а из решения уравнений, и проверить их равенство
заданным численным значениям.
Определение радиусов кривизны бесконечно тонкого компонен-
та. Из решения уравнений (25.1) — (25.5) определяются все неиз-
вестные параметры — углы а, что дает возможность вычислить ра-
диусы кривизны бесконечно тонкой системы при фокусном рассто-
янии /'= 1.

Для контроля правильности определения радиусов кривизны
целесообразно рассчитать ход параксиального луча с расстояния
$! = —со и вычислить фокусное расстояние по формуле

п *

В случае предмета на конечном
ется рассчитать параксиальный луч
ределить линейное увеличение

k

<=i

расстоянии также рекоменду-
с конечного расстояния и оп-

.21

ak

Если расчет проводится для двух решений уравнений, то выби-
рается вариант системы с максимальными значениями радиусов
кривизны, что приводит к уменьшению углов падения лучей на по-
верхностях системы. Для этого варианта проводится контроль
вычислений.

§ 161. Переход к линзам конечной толщины

Полученные радиусы кривизны поверхностей обеспечивают за-
данные значения оптических характеристик системы (увеличение,
фокусное расстояние, поле, длину прибора и т. п.) только для
бесконечно тонкой системы.

Переход к системе линз конечной толщины производится при
условии сохранения значений фокусных расстояний всех компо-
нентов и углов первого параксиального луча с оптической осью.
Кроме того, расстояние между задней главной точкой каждого
компонента и передней главной точкой следующего компонента
остается равным расстоянию между двумя бесконечно тонкими
компонентами.

Расстояние от входного зрачка до передней главной плоскости
первого компонента принимается равным расстоянию входного
зрачка до первого бесконечно тонкого компонента.

Благодаря этому оптические характеристики системы остаются
неизменными.

При таком переходе сохраняется неизменность значений основ-
ных параметров Р°°, W ~, зависящих только от углов а и пока-
зателей преломления п сред. Однако суммы Зейделя не остаются
без изменения, так как для реальной системы высоты h и у обоих
параксиальных лучей изменяются- Для рассматриваемых систем
эти изменения несущественны.
Рис. 210. Определение световых диа-
метров компонентов оптических систем

Последовательность перехода к реальным линзам такова:

1.	Определяются световые и полные диаметры линз.

2.	Вычисляются толщины линз и величины воздушных проме-
жутков.

3.	Рассчитываются высоты первого параксиального луча для
системы с заданным фокусным расстоянием.

4.	Определяются радиусы кривизны поверхностей линз конеч-
ной толщины и проводится конт-
роль вычислений.

5.	Определяются расстояния
между вершинами поверхностей
компонентов, расположенных на
конечном расстоянии друг от
друга.

Определение световых и пол-
ных диаметров компонентов. Для
определения световых диаметров
компонентов в общем случае не-
обходимо рассчитать апертурный
и полевые лучи — верхний, глав-

ный и нижний через бесконечную тонкую систему. Максимальная
высота падения какого-либо из лучей на каждый компонент и оп-
ределит световой диаметр.

В случае бесконечно удаленного предмета световой диаметр ком-
понента DCB (рис. 210) определяется следующим образом:

DCB ~ D 4- 2аР tg о),

где D — диаметр входного зрачка; ар — положение входного зрачка
относительно бесконечно тонкого компонента; «>—половина угла
поля.

В случае предмета на конечном расстоянии и ничтожно малом
поле

= 2а\tgoA D 4-2ор • tga4,

где ад — величина апертурного угла в пространстве предметов.

Для малых апертур sin ад — tg аЛ = А, поэтому Dcp = 2a\A.

В общем случае для предмета на конечном расстоянии при ли-
нейном поле 2у световой диаметр DCI1 определяется следующим об-
разом:

DCB —: D 4- 2Ь,

где, как видно из рис. 210

тогда

ар (Р 4- 2у)

-a, + at

Dcu = D 4-
Если входной зрачок совпадает с компонентом, то ар — О, DCB —
^D. Полный диаметр линзы

£>п = DCB + В,

где в _ припуск на закрепление линзы в оправе.

Рекомендуемые величины В в зависимости от светового диаметра
приведены'в табл.1(ОСТ 3-490-71).

Таблица 1

^СВ		s	1		^СВ	|		6	
свыше |	до	закаткой |	КОЛЬЦОМ |	свыше |	ДО	закаткой	кольцом
	б	о,6		30	50	1,5	2,0
6	10	0,8	1,0	50	80	2,0	2,5
10	18	1,0	1,5	80	120		3,0
18	30	1,2	1,8	120	180		4,0

Примечание, Табличные размеры следует увеличивать до ближайшего нормального диа-
метра. В исключительных случаях для линз диаметром свыше 18 мм допускается уменьшение
табличного размера до ближайшего нормального диаметра, но не больше, чем на 0.5 мм.

Определение толщин линз и воздушных промежутков. Внача-
ле необходимо определить радиусы кривизны бесконечно тонкой
системы при заданном фокусном расстоянии, для чего надо умно-
жить полученные ранее радиусы кривизны бесконечно тонкой си-
стемы при приведенном фокусном расстоянии на реальное фокус-
ное расстояние:

По этим значениям радиусов кривизны можно определить тол-
щины линз.

Толщина линз определяется с учетом конструктивных особен-
ностей. Она должна обеспечивать в наиболее тонком месте лин-
зы — на краю отверстия для положительной линзы и в центре — для
отрицательной (рис. 211) значение не менее dmln, что необходимо
для достаточной прочности линзы. Слишком тонкие линзы при по-
лировании прогибаются, что делает невозможным получение
точных поверхностей и центрировку.

Величина dmm зависит от диаметра линзы и отчасти от условий
применения. Для отрицательных линз толщина по оси принимает-
ся равной

d = dmin =(0,1 -т-0,12)£>ц.

ОСТ рекомендует значения dmin для отрицательных линз
(табл. 2) и для положительных линз (табл. 3).

Толщину положительных линз следует вычислять, принимая во
внимание рекомендуемое значение dmin по краю линзы.

Обозначим через стрелки прогиба поверхностей линзы (рис. 212),
тогда толщина линзы d, как видно из рисунка,

d = k\ + dmin — ki',
стрелки прогиба /г, следует подставлять со своими знаками.
рис. 211. Расчет толщин линз

Таблица 2

Диаметр
линзы
Dn. мм

Наименьшая толщина линзы ио оси
при допуске &N (местные ошибки)

до 0,5 по-
лосы

свыше 0.5 I
до 2 полос |

свы те

2 полос

До 50	0,12	0,1	0,08
Свыше 50	0.1	0,08	0,06

Стрелку прогиба поверхности легко
определить из чисто геометрических со-
ображений. Как видно из рис. 213,

k = 0M=r — MC,

где

4 -

Таблица 3

Диаметр линзы	Наименьшая тол-	Диаметр линзы	Наименьшая тол-
Dn мм		Dn, мм	Щйна линзы
	по краю, мм		по краю, мм
До 6	1,0	Свыше 30 до 50	2,0
Свыше 6 до 10	1,2	Свыше 50 до 80	2,5
Свыше 10 До 18	1,5	Свыше 80 до 120	3,0
Свыше 18 до 30	1,8	Свыше 120 до 180	4,0

Для положительных радиусов кривизны стрелка прогиба

для отрицательных радиусов кривизны

Если г > Dn, то
женной формуле:

стрелку прогиба можно вычислить по прибли-

R Sr

Следует помнить, что нормы, приведенные в таблицах, не всег-
да обеспечивают достаточной прочности линзы. При больших ра-
диусах кривизны линза по форме напоминает плоскопараллель-
ную пластинку, и в этом случае необходимо учесть дополнительное
условие:

d = (0,1-г- 0,12) Da.
Определение воздушных промежутков между линзами. Во многих
компонентах воздушные промежутки в начале расчета принимаются
бесконечно малыми. При переходе к реальной системе важно пра-
вильно выбрать величину воздушного промежутка.

В зависимости от конструкции линз могут представиться два
случая: «касание» линз по центру или по краю. Эго означает, что
при максимальном приближении друг к другу линзы соприкоснутся
или краем поверхности, или вершинами (центром).

Рис. 212. Опреде- Рис. 213. Расчет _ стрелки
ление толщины по- прогиба сферической поверх-
ложительной линзы	ности

Рис. 214. Определение
воздушного промежутка
между линзами

В случае «касания по центру»(рис. 214, а) воздушный промежуток
следует выбирать возможно меньшим (dD.np = 0,l—0,2 мм), чтобы
как можно меньше нарушить исходное предположение о бесконечно
малом расстоянии.

При«касании по краю» (рис. 214,6) необходимо рассчитать тол-
щину образовавшейся положительной воздушной линзы, принимая
dmin = 0,1 — 0,3 ММ.

Расчет высот первого параксиального луча. Расчет проводится
при условии, что первая высота равна реальному фокусному рас-
стоянию: h\ = f, aj = 0, ад=1. Остальные высоты определяются
и.-вестным образом:

Й, |   йу	J ,

Значения углов а первого параксиального луча определены из
решения аберрационных уравнений.

Определение радиусов кривизны линз конечной толщины. Для
сохранения фокусного расстояния системы при вычислении радиусов
кривизны сохраняются углы первого параксиального луча с опти-
ческой осью:

г \«-",)
л'% — Л,а, ’

где й, — высоты первого параксиального луча, вычисленные в
предыдущем пункте. Для контроля вычислений рассчитывается
ход параксиального луча из бесконечности н определяется парак-
сиальное фокусное расстояние.

Для систем, действующих с предметом, расположенным на ко-
нечном расстоянии, необходимо определить расстояние $1— поло-
жение предмета относительно первой поверхности системы: $1=
= Qi+Sh.

Положение передней главной плоскости определяется из рас-
чета параксиального луча из бесконечности в обратном ходе. За-
тем с расстояния $i рассчитывается ход параксиального луча и оп-
ределяется линейное увеличение системы, которое должно быть
равно заданному.

Приведенный метод перехода к реальной системе одинаково при-
меним к системам при si = —-оо и si —со в предположении, что
при si =# —оо система рассчитывается при вычисленных значениях
Р~ и т. е< фактически равноценна по параметрам системе при
S1 = —со.

Для предмета на конечном расстоянии возможно использовать
и другой способ, который достаточно эффективен при простой кон-
струкции компонента. Особенности перехода заключаются в сле-
дующем:

после определения радиусов кривизны бесконечно тонкой систе-
мы при приведенном фокусном расстоянии рассчитывается ход
параксиального луча с конечного расстояния и вычисляются углы
первого параксиального луча:

Л, ,

а» —	«1 =aipo,

где ai==^o в соответствии с нормировкой 1-го параксиального луча.

После известного определения светового и полных диаметров
и толщин линз определяется расстояние si — а\ + sH.

Для этого рассчитывается в обратном ходе параксиальный луч
из бесконечности, причем радиусы кривизны принимают равными
г, = и берут во внимание вычисленные толщины линз.

Из расчета в обратном ходе определяют

Sh' = Sp' f , SH' — Sh-

Затем вычисляют высоты первого параксиального луча, прини-
мая, что h\ =sipo, и наконец определяют известным образом радиусы
кривизны поверхностей реальной системы. Контроль вычислений
проводят расчетом хода параксиального луча из бесконечности для
контроля фокусного расстояния и с конечного расстояния для про-
верки линейного увеличения.

Определение расстояния между компонентами, расположеннымь
на конечном расстоянии. В ряде случаев оптическая система сос
тоит из нескольких многолинзовых компонентов, расположенные
на конечном расстоянии друг от друга. Расчет подобных систем
проводится по Компонентам.
Для сохранения фокусного расстояния всей системы необходи-

мо определить расстояние между компонентами, считая, что рас-
стояние между задней главной точкой первого компонента и перед-

ней главной точкой второго компонента равна расстоянию между
двумя бесконечно тонкими компонентами (рис. 215).

Особые случаи перехода к реальным линзам. Иногда при рас-

чете линз необходимо учитывать
конструктивные условия. Напри-
мер, равенство радиусов кривизны,
определенные соотношения между
ними, одна из поверхностей явля-
ется плоской и т. п. Тогда при пе-
реходе к линзе конечной толщины
для сохранения конструктивных ус-
ловий рекомендуется использовать
уравнение оптической силы линзы

__ П , (п-1)2 d

г2/ ' п Г\Г1

Рис. 215. Определение расстояния
между компонентами телеобъектива

Радиусы кривизны реальной линзы определяют из решения дан-
ного уравнения при известной толщине линзы и ее фокусном рас-
стоянии.

§ 162. Отдельная линза как оптическая система

Применение однокомпонентных систем. Было показано (§ 77),
что однолинзовые компоненты обладают большими значениями ос-
новных параметров Р~ и U7” и поэтому имеют ограниченное при-
менение. Простую одиночную линзу можно использовать в качестве
оптической системы только в тех случаях, когда вследствие особен-
ностей системы или крайне низких оптических характеристиках
(малое относительное отверстие, малое поле) одиночная линза дает
удовлетворительное качество изображения.

Известно, что если простую линзу расположить в плоскости
изображения, создаваемого предшествующей системой, или в непо-
средственной близости к этой плоскости (si =-- 0), то все аберрации
третьего порядка, вносимые линзой, будут равны нулю, за исклю-
чением кривизны поля и дисторсии. Кривизна поля, обусловленная
тем, что Siv = Д? 0, и дисторсия, величина которой определяется

f 3

формулой \у'„ —	( — -j- ----V имеют, как правило, неболь-

2 / у \П Г 2 nspy

шие значения*. Такая отдельная линза называется коллективом

* Применение более сложных оптических систем не приводит к сущест-
венному улучшению качества изображения.
и служит для концентрации расходящихся наклонных пучков (гла-
ва 17. § 115). С помощью такой линзы можно также переносить
изображение выходного зрачка предпествующей оптической системы
в плоскость входного зрачка оптической системы, стоящей за кол-
лективом. Обычно коллективом служит положительная линза. Однако
введение положительных коллективов в сложные оптические систе-
мы, которые сами по себе вносят заметную величину отрицательной
кривизны изображения, усиливает величину последней.

Английский оптик Пиацци Смит остроумно использовал свой-
ства коллектива для коррекции кривизны поля изображения, соз-
даваемого фотографическими объективами. Присоединив к пор-
третному фотографическому объективу Пецваля соответственно
рассчитанную отрицательную линзу и поставив ее вблизи плоскос-
ти изображения, Смит устранил основной недостаток объектива
Пецваля — большую кривизну изображения.

В настоящее время линза Смита с большим эффектом применя-
ется в зеркальных и зеркально-линзовых объективах и позволяет
существенно увеличить их полезное поле. Так как зеркальные
объективы с нечетным числом отражающих поверхностей облада-
ют положительной кривизной изображения, то для ее компенса-
ции требуется положительная линза Смита. Кривизна поверхности
линзы определяется из условия Siyofi =0.

Простые линзы дают хорошее качество изображения при отно-
сительных отверстиях порядка 1:15—1:30 и меньше. Аберрации
таких линз малы вследствие малого значения выходного апертур-
ного угла. Такие линзы можно использовать в качестве объекти-
вов длиннофокусных коллиматоров, действующих в монохромати-
ческом свете, или в качестве менисков дешевых фотообъективов.

Одиночные линзы можно также использовать в качестве ком-
понентов в окулярах, где посредством правильного их расположе-
ния можно исправить кому, астигматизм, дисторсию, хроматичес-
кую разность увеличений (окуляры типа Рамсдсна и Гюйгенса).

Одиночная, специально рассчитанная линза, может служить ком-
пенсатором монохроматических аберраций зеркальных систем. На
рис. 21G представлена оптическая схема зеркального объектива с
компенсатором Д. Д. Максутова (мениск Максутова), который
позволяет исправить в системе сферическую аберрацию и кому.

На рис. 217 изображена оптическая схема зеркального объекти-
ва с асферическим зеркалом. В таких системах, имеющих асфери-
ческие поверхности, сферическая аберрация отсутствует, однако
меридиональная кома имеет значительную положительную величи-
ну, что существенно ограничивает полезное поле таких систем.
Для исправления комы используют компенсатор комы В. Н. Чури-
ловского, представляющий одиночную линзу с равными радиусами
кривизны. Линза свободна от хроматизма положения и сферичес-
кой аберрации.

И, наконец, одиночную линзу используют в качестве конден-
сора, с помощью которого можно либо спроектировать источник
света во входной зрачок приемной системы, или передать изобра-
жение выходного зрачка в плоскость приемника лучистой энергии
(линза Фабри).

Для первоначальной оценки величины продольной сферической
аберрации простой лннзы можно пользоваться формулами:

' 1 ,п1

а)	для предмета на конечном расстоянии —Дхш = —у-у Рт;п;

б)	для предмета в бесконечности — Asm = —j 77'^rnin-
Хроматизм положения удобно вычислять по формулам:
а) для предмета на конечном расстоянии — A$iXi =—a

/ЯО	Р

б)	для предмета в бесконечности —— — -•

Рис. 216. Зеркальный объектив с ком-
пенсатором Д. Д. Максутова

Рис. 217. Зеркальный объектив с ком-
пенсатором комы В. Н. Чуриловского

Расчет однокомпонентных систем на минимум сферической абер-
рации. Оптические параметры простой линзы, как и всякой опти-
ческой системы, можно разделить на внутренние и внешние. К внеш-
ним параметрам относятся углы первого параксиального луча с
оптической осью в воздухе, т. е. углы а) и я3. Эти параметры
определяют фокусное расстояние линзы f, расстояние до предмета
si, линейное увеличение р0.

К внутренним параметрам относятся угол а2, определяющий
форму линзы (ее прогиб), и показатель преломления п. Эти пара-
метры определяют конструктивные элементы системы.

Свойства бесконечно тонкой линзы и ее основные параметры
были рассмотрены в § 77. Анализ формул (11.50), (11.52) показал,
что параметр W“ линейно зависит от угла и может принимать

.	^3	$ 1	7 ОО

любые значения. При значении а2 ------=- параметр wи обращается

1 + 7Г	2

в нуль. Параметр же является функцией квадрата угла а2. Он
может изменяться в широких пределах, однако имеет некоторый
минимум. Было показано, что для получения Т^ппп необходимо
dp°°

найти первую производную приравнять ее к нулю и опреде-

лить значение угла a2min.

Расчет одиночной линзы на минимум сферической аберрации
выполним для двух случаев:

1. Предмет в бесконечности Si =—со (рис. 218).

Исходными данными для расчета являются /' — фокусное рас-

Рис. 218. Ход первого параксиального
луча в одиночной линзе (Si = — оо)

Рис. 219. Ход первого параксиаль-
ного луча в одиночной линзе (Si^ — оо)

Расчет выполняют при нормировке: <zj = 0. <х3 = 1, /' = 1, пола-
гая линзу бесконечно тонкой: d\ = 0, й) = й2 = й = f = 1. Значе-
ние угла azmin, обеспечивающего форму линзы с минимумом сфе-
рической аберрации третьего порядка, вычисляют по формуле (11.62)
2»+1

“2min = 2(«+ 2) •

По известным значениям углов первого параксиального луча сц,
аг. аз определяют конструктивные параметры бесконечно тонкой
линзы (ее радиусы кривизны, используя формулу расчета хода
первого параксиального луча

' ' (< — «,)
—---------------------.

G

тогда

2. Предмет на конечном расстоянии — si =/=—оо
(рис. 219).

Если предмет расположен на конечном расстоянии от линзы, то
исходными данными для расчета являются: s, — расстояние от вер-
шины первой поверхности до предмета, или L — расстояние от
предмета до изображения; ро— линейное увеличение; 1у — линейное
поле.

При расчете линзу принимают бесконечно тонкой — d\ = 0, /г,=
= /г2 = h, а ее фокусное расстояние определяют из решения двух
уравнений:

L == —+ оь

ai
’““г?

тогда

£ = J______£

fl ах	at

Принимают следующую нормировку первого параксиального луча:
сч ~ ро> а3 = 1, h ~ О1Прива1 = П|прив^д

(так как расчет выполняется при fi = 1, то все значения а\ и Oi
ai \

должны быть приведены к 1, поэтому О1прив = —). Значение угла
h)

a2min определяют по формуле (11.60) a2min = — “t .^9 и тогда,
с учетом принятой нормировки, конструктивные параметры беско-
нечно тонкой линзы определятся по формулам

__	□ п — 1

Г1тн — ЯШриврО ~	о~>

rea2min~Po

ГЗтп “ <21приврО j “	; di = О,

1	“®2min

Переход к линзам конечной толщины при найденных значениях
радиусов бесконечно тонких линз осуществляется по методике,
изложенной в § 161.

§ 163.	Расчет конденсоров осветительных систем

Конденсоры являются осветительной частью проекционной
системы и служат для передачи и концентрации световой энергии
от источника света. Обычно конденсоры применяются для двух
целей;

1.	Для образования изображения поверхности источника в за-
данной плоскости (плоскости входного зрачка проекционной систе-
мы в плоскости щели, экрана и т. д.). В этом случае апертура
конденсора 2аохв определяется энергетическим расчетом, а увеличе-
ние р0 — как отношение размеров освещаемой поверхности и по-
верхности источника света.

2.	Для передачи изображения выходного зрачка объектива в
плоскость приемника лучистой энергии. В этом случае апертура
должна быть равна выходной апертуре объектива, а увеличение
должно определяться как отношение размеров чувствительной
площадки приемника к диаметру выходного зрачка объектива.

Обзор существующих типов осветительных систем дан в § 135.
Здесь мы дадим расчет некоторых типов диоптрических освети-
тельных систем.

Рациональность применения того или иного типа конденсора
определяется требуемым углом охвата 2сг0Хв и увеличением р0.
Диоптрические осветительные системы (конденсоры), как пра-
вило, имеют максимальный угол охвата не более 90°. Катадиоптри-
ческие системы и катоптрические системы сложного профиля мо-
гут иметь угол охвата до 130—140°.

Остановимся на рассмотрении и расчете только диоптрических
систем-конденсоров. Конденсор должен создавать достаточно хо-
рошее изображение источника света, обычно расположенного вбли-
зи оптической оси, что прежде всего требует исправления сфериче-
ской аберрации AS' и отступления от условия синусов Др,-.Требо-
вание к исправлению аберраций должно быть соблюдено тем стро-
же, чем больше угол охвата конденсора (2о0хв). Стремление
повысить угол охвата естественно, так как этот угол определяет
размеры телесного угла, в пределах которого от источника распро-
страняется полезно используемый световой поток, угол 2о0Хв опре-
деляет КПД осветителя. Однако увеличение угла охвата ведет к
усложнению конструкции конденсатора, что связано с возмож-
ностью исправления аберраций.

В зависимости от назначения конденсора и конструкции при-
бора для его расчета принимаются следующие исходные данные;
линейное увеличение р0, угол охвата 2бохв, расстояние от первой
поверхности линзы конденсора до тела накала размеры ис-
точника света 2хХ2у.

Марки стекол задаются или выбираются в зависимости от усло-
вий, в которых работает конденсор.

Расчет конденсорных систем
на минимум сферической аберрации

Конденсор из двух линз (рис. 220). В конденсоре из двух тонких
линз неизвестными являются углы первого параксиального луча
с оптической осью аг, а3, а4. Углы <xj и а5 по условию нормировки
задаются равными aj = р0, а5 = 1. Условие минимума сферической
аберрации для системы из двух бесконечно тонких линз можно за-
писать в виде

а) 1<4±Л)»0;'
' da2

») ’=°;> <25 6)

1Ег+Л)_0.

' dai
Из условия (25.6, а) в § 77 получено выражение для угла а2пцп
обеспечивающего форму первой линзы с минимумом сферическог
аберрации. Определим значение угла азт1п из условия (25.6,6). Угол
а3 относится к воздушному промежутку между линзами. Этот про
межуток можно рассматривать как воздушную бесконечно тонкук
линзу с Пз = 1, окруженную средами с показателями преломлениу
«2 и Параметры Р% и Рз запишем в виде

Рис. 220. Ход первого параксиального луча в Двухлинзовом конденсоре (s,^ —

Суммируя эти выражения, после соответствующих преобразо
ваний получим

п

пг \2 / я4 \2

н2 — 1

п, — 1

з
а3 —

п.2(2п2 + 1)

K^F2~

^ге4 “Г	2 ,

S-----^2 а4 а3 -I-

4 *) J

2	«4

—-------А -------

2

а4 а3 —

V-1)2

га4

4->)2

з
а4.

Найдем первую производную
и определим значение угла a3min:

V2+P3)

da3

, приравняем ее нули

"(Р2+Р3) Г
da3

Д2

пг — 1

2	/ П. \21 о

Нй Н-2

Пп (2«2 “I- 1)

-73--^На2 —

П4

1	[”2(^2+ 2) 2

«4 аз + —-------- а2 —

I	I / п _ I \z

п4

а?

= 0. (25.7

«2

2
Уравнение (25.7) представим в виде
ааз — баз + с — О,

где

b

с =

а = 3

'п2(?п2 + 1)
. (п2-1)*

0.2 —

л4 (2ге4 + 1)
("4-О2

а4

ге2 ( П2 + 2)

а2—

"4 04+2) г]

04- >)2 4

2

В коэффициенты а, Ь, с входят значения углов а2 и а4 и показа-
телей преломления п2 и л4. Если к материалу первой линзы не
предъявляются особые требования в отношении воздействия темпе-
ратуры, то в большинстве случаев обе линзы изготавливают из
одной марки стекла. Тогда при условии, что н2 — «4 — коэффи-
циенты а, Ь, с будут равны

а = 0;

ь = 2П-^±^(а2-а4);	, ч

(п - В2 V '	(25.8)

(Пф-2) / 2	2\

С = П—^02-0.1

С учетом (25.8) (25.7) запишется в виде
2я(2п + 1)/ ч п (п 4-2) z 2	2\ п

Тогда

_ « + 2 я2 + а4
«Зпнп- 2Я4П 2~-
Аналогичным образом найдем значение а4т;п для второй линзы кон-
денсора. Для этого определим

+з = т—(а4 — а3)2 (а4 — П4а3),
04 — )

Pi =-----^05 — а4)2(н4а5 — а4).

04“ *)

После суммирования и соответствующих алгебраических преобразо-
ваний получим

л+f. =	<4 - 4) - ;(2,,,+')	’<+

\ге4 — Ч	\П4 — Х)

«4(ге4 + 2)/.	.2

+ -(^гу («-«)«.-
Найдем

Й(Рз+Р4) ге4(2ге4+1)/ 2	21 (

----Т------- = ~ ~Г----ГУ ~ аз) +

аа4	(П4~ О

2п4(п4-р2)

(as — аз) а4

и из условия минимума -i—j--------= 0 определим значение угла a4min'-

a <2^

ТО

2л4 + 1 “5 + “3
a4mln - Х+2 ~

так как п2 == «4 — п,

Рис. 221. Ход первого параксиального луча в трехлинзовом конденсоре (s^ — «А

с учетом принятой нормировки углы первого параксиального луча
с оптической осью для системы линз, рассчитанных на минимум
сферической аберрации, будут равны:

«I =Ро!

2п + 1 “з + “1

“2	п + 2 ~~2 ’

2n + 1 “5 + “а
“““ п4-2	2	’

as = 1.	1

Конденсор из трех линз (рис. 221). Для трехлинзового конден-
сора неизвестными являются углы а2, «з> «4. «5, as первого парак-
сиального луча. Значения углов ai и а7 по условию нормировки
принимают равными ai = р0, а7 = 1. При расчете конденсор считают
бесконечно тонким:

d\ = d2 = d2 ~ di, = d5 = 0;

= /l2 = Йз = ^4	-^5 = he = h = £7|прцва; — &1прив * Pq.
(25.10)

Значения углов а2, ..,, as определяют из условий минимума сфе-
рической аберрации, которые запишутся-

d(pi + Р2) _ Q;
d&Q

d(P2+P3)_ . Q.
da3

<'(р»+р.)=0..

da4

£Ei±A) = o-
da5

d(P5+P6) ...0
' I

Выражения для углов a2, a3, a4 уже определили при расчете двух-
линзового конденсора. Аналогичным образом найдем выражения для
углов as и а6. Для трехлинзовой системы при условии, что все
линзы выполнены из одной марки стекла, т. е. п2 = п4 = п6 = п,
получают следующую систему уравнений:

ai — ₽о;

2n+ 1 “з + “|.
а? ~ п + 2	2 ’

л + 2as+ %.
“3 — 2га + 1	2	’

_ 2п + 1 аз + а5.
“ п+ 2	2	’

п 4- 2 а4 + “к.
2га 4- 1	2	’

2п+ 1 а7 + ао.
п + 2	2	’

1.

(25.11)

as =

«6 =

а; =

Проанализируем формулы (25.9) и (25.11). В формулах (25.9) имеется
три уравнения с тремя неизвестными — а2, аз, а4; в формулах (25.11)—
пять неизвестных аз, а3, а4, а5, а6. При решении уравнений (25.9)
и (25.11) все промежуточные значения углов а, выражают через из-
вестные величины углов ai и а* и после соответствующих преобра-
зований с учетом-пормировк и получают:

Для двухлинзового
конденсора:

ai == Ро

2га J- 1 3{3О	1

а? ~~ ~п+ 2	4	’

Для грехлинзового
конденсора:

а, ; р0;

2га + 1	+ •,

а2 гаф2 6	’
2°о + 2 _ ₽о + 1.

~	4	2~’

2п 4- 1	+ 3.

п. + 2	4 ’

4?0 4- 2	2?04-1

аз ~	6	~	3	’

2п 4- 1 ^о+ $

а< ~ —io—с—;

п + 2	6	’

2f*o 4~ 4 Зо + 2
“5 ~	6	=	3~’

2л + 1 ₽о + 5

“6 ~ п + 2	6 ’

Я7 = 1.

Анализ вышеприведенных формул позволяет составить общее вы-
ражение для вычисления углов а систем, состоящих из I тонких
линз. Если обозначить через i порядковый номер угла а, то для
четных углов (внутренних параметров) запишем

2га 4- 1 [2/ —(1 — 1)]30 +(<'-1)

~ п + 2	2/

(25.12)

где i = 2, 4, 6, ..21.

Для нечетных углов (внешних параметров):

[21 -(1-1)1 Ро + 0-1)
а; —	2/

где i = 1, 3, 5, . .	(21- 1).

Поэтому для четырехлинзового конденсора, линзы которого изго-
товлены из одной марки стекла (п2 — п4 = п,, — пА = л), можно за-
писать:

сч = ро;

2л + 1 7₽0 + 1
“2— га + 2	8	’

6?о + 2 З^о + 1

«з = g =	4	;

___2га 4- 1

а4 ~ ' п + 2	8	’

4?о 4-4 р0 1
as g —	г,—;

2n 1	+ 5.

a6 — n + 2	8 '

2?o 4-	+ 3

ar =	8	~	’

2ra 4- 1 Po 4* 7

“8 ~ n4-2 8~’

a = 1.

Зная значения углов av, радиусы бесконечно тонких линз кон-
денсора определяют по формуле

r _ h. {п, - rav)
' VTH --- Г	9

П.а: ~ П„Ъ,
и так как при расчете линзы принимались тонкими, то
= h<2 = Й3 =- - . . = h-k ~ О]прива1 = ^ИприврО
о п— 1

Птв-а1ПрИвРояа2_3о rfl = 0(

О 1 — П

/2тн - «1прив^0аз_па2 ^2=0,

ГЛтп —* + прив^0

1—п

1-п«А

dk—j = 0,

а*

Для предмета в бесконечности (si——00
= 1 формулы (25.12) примут вид:

а)	для внутренних углова/=

б)	для внешних углов а( = ф-^.

)— си = 0,

(25.13)

Применяя формулы (25.13) для вышерассмотренных систем, най-
дем: для одиночной линзы:

ai = 0;

2n+ 1
а2~2(п + 2)’

а3 = 1,

для двухлинзовой системы:
а] = 0;

2п+ 1
“2	4(« + 2);

1
аз = т;

_ - 3 /2”+]
4	4 \ п + 2

аз = 1.

для трехлинзовой системы:

ai = 0;

а - 1 2я + *.

2	6 п + 2’

1
аз = т;
2
а5 — 3;

5 2п 4- I.
аб 1=5 6 п+2'

Я7 = 1 >

а радиусы бесконечно тонких линз вычислим по формуле
- +

f vth — • >	»

«Л — "А

так как й] = h? = Л3 = ... = hk = Л = 1 при f' = 1.

л-

Рис. 222. Ход первого параксиального луча
в двух- и трехлинзовом конденсорах из лииз,
рассчитанных на минимум сферической абер-
рации (Sx = — оо)

Рис. 223. Оптическая схема
четырехлинзового конденсора,
состоящего из линз, рассчитан-
ных на минимум сферической
аберрации (зх = — оо)

На рис. 222, 223 представлены оптические схемы двух-, трех-,
четырехлинзовых конденсоров, работающих при si = —оо и выпол-
ненных из одной марки стекла.

С тем чтобы рационально выбрать марку стекла линз конденсо-
ра, можно воспользоваться условием минимума сферической абер-
рации. А именно, надо значения углов а=/(п) подставить в вы-

ражение для %’Pmin

<, а \

о — и вычислить значение по-
i п )>

казателя преломления, соответствующее ЕРпип = 0.

Расчет двухлинзовых конденсоров
различных конструкций

Двухлинзовые конденсоры из двух плосковыпуклых линз.
Оптическая схема конденсора представлена на рис. 224. Извест-
но, что одиночная плосковыпуклая линза имеет минимум сферичес-
кой аберрации тогда, когда она выпуклой поверхностью обращена
к бесконечности. Поэтому конденсор из двух плосковыпуклых линз
рассчитывается из условия того, что между линзами, обращенными
ДРУГ' к другу выпуклыми сторонами, идет параллельный пучок лу-
чей. Оптическая сила такого конденсора равна оптической силе
однолинзового конденсора, однако аберрации такой конструкции
и несколько раз меньше, чем в однолинзовом конденсоре.

Чтобы между линзами проходил параллельный пучок лучей,
необходимо, чтобы а\ = f'\, а^ — ^. Так как линейное увеличение
в параксиальной области ро = —/г/Л> то /2 = —£0/1. Известно та: же
что <р„ — ~ = («— 1)(р, — р,) 4- -~п  rfpvpv, тогда для плосковы-
пуклой бесконечно тонкой линзы запишем:

Рис. 224. Расчет исходного варианта двухлинзового конденсора из двух плоско-
выпуклых лииз

Зная марки стекол линз конденсора, для бесконечно тонких линз
получим значения радиусов:

П\ — 1

ri = со

d1==0 пг~п

Г2 = ~f\ (П — I)

d2=0 пз ~ 1

гэ = /?(« — 1)

d3=0 п4 — п

Г 4 = СО

«5 = 1.

Деухшнзовые конденсоры из апланатического мениска и линзы,
рассчитанной на минимум сферической аберрации. В конденсорах
большой апертуры (2тохв До 75°) для уменьшения сферической абер-
рации последующих линз в качестве первых линз используются
апланатические мениски. Известно (§ 81), что апланатические Mt
ниски свободны от сферической аберрации для любых значений
апертурных углов и в них выполняется условие синусов. Из апла
натических менисков в конденсорных системах больше всего подхо
дят положительные мениски, в центре кривизны первой поверхность
которых располагают тело накала источника.

Рис. 225. Расчет исходного варианта двухлинзового конденсора, состоящего и:-
апланатического мениска, и линзы, рассчитанной иа минимум сферической абег-
рации

Оптическая схема конденсора представлена на рис. 225. Так каь
источник расположен в центре кривизны первой поверхности, т<
П = si =si и луч проходит эту поверхность без преломления. В то
рая поверхность апланатична при условии, что n2s2 = n2s2. Длясь
стемы, расположенной в воздухе, п2 = I, n2s2 = s2 и f)oi = «2- Апле
натическая поверхность должна удовлетворять равенству (4.43):

г	^2

S2=r2-----;—,

П..

откуда

= >2"2 = (si
-f" I	I

Значение радиуса второй поверхности мениска и его толщин'
можно определить из решения двух уравнений, предварительш
определив диаметр мениска и стрелку прогиба на первом радиусе
гДе — стрелка прогиба,

^пол — -Осв 4* 8 — 2г। sin аохв -f* 8,
dl = k\ 4- tZmin — k<2-

Запишем эти уравнения:

(S1'-di)n2

Г2 = ---—7-7---

n2 + 1

(25.14)

Решая совместно уравнения (25.14), получают квадратное уравне-
ние относительно г2. Из решения уравнения получают два корня
(r2)i и (г2)2. Из двух значений оставляют отрицательное значение,
а если оба корня отрицательные, то оставляют большее значение
по абсолютной величине. Вычисляют стрелку прогиба на втором
радиусе А?2, толщину мениска d,; затем толщину округляют и при
новой округленной толщине пересчитывают радиус второй поверх-
ности мениска по формуле

После определения конструктивных параметров апланатического
мениска переходят к расчету второй линзы. Ее рассчитывают иа
минимум сферической аберрации. Для этого определяют линейное
увеличение второй линзы по формуле po2 = iWPoi. Затем из расчета
параксиального луча через первую линзу определяют отрезок s2.
Задавшись расстоянием d2 между первой и второй линзами, опре-
деляют отрезок аз = s2 — й2. Значение угла а2 = аз вычисляют из
sin71

условия Boi =-----; = а2. Итак, для расчета второй линзы на мини-

sin а2

мум сферической аберрации получили исходные данные — отрезок аз
и ее увеличение. Расчет второй линзы выполняют при следующей
нормировке: а4 — ^ог, аз = 1, /13 — аз^ог- Значение угла a4min вы-
числяют из условия минимума сферической аберрации линзы

_ (2п4 + 9(002 + 9
a4m,n-------2(2 + и 4)	•

По известным значениям углов первого вспомогательного луча вы-
числяют радиусы бесконечно тонкой второй линзы конденсора:

и 4 — п3	пА — 1

Гзтн = ЯзРо2 —----——- = а.ЗрО2 — ----о-

n4a4~ n3a3	n4a4— ?02

a3 == 0.
п5 — п4	1 — п4

г4тн = а3р02 —----—— — азРог л----—-

^4а4	* — п4а4

 d2l<i2<=d2—(sH)2]— расстояние от второй поверхности апланатического
мениска до передней главной плоскости второй линзы.
Переход к линзам конечной толщины осуществляют по методи-
ке, изложенной в § 161.

§ 164. Формулы расчета продольной и поперечной
сферической аберрации третьего порядка.

Определение диаметра наименьшего кружка рассеивания

Для всех рассмотренных выше типов конденсоров на основании
формул теории аберраций третьего порядка можно определить ве-
личину сферической аберрации и диаметр наименьшего кружка
рассеивания.

Для однолинзового конденсора, рассчитанного на минимум сфе-
рической аберрации, продольная сферическая аберрация Дзш может
быть определена по формуле

2

где

2	/ V

pmin= S л =	(1-М[О-Ю₽о +

+ (1-2Х)₽о + (1 -Л)|, « =

Поперечная сферическая аберрация в плоскости Гаусса опреде-
ляется как

«3

I 2Душ I = 2Д$[[[®2 — #1^0 (аг) Рmin ~	7^Рmin.

Ро

В плоскости наименьшего кружка рассеивания, смещенной от-
3 л '

носительно гауссовой плоскости на величину -^-Дзш, диаметр наи-
меньшего кружка рассеивания в 4 раза меньше, чем в плоскости
Гаусса, а именно:

з

2Д4"11пл.я.у=-4 афо(чг) ^mln =	«1 ~2 ^min-

Ро

Для двухлинзового конденсора из двух плосковыпуклых линз
сферическая аберрация будет равна

Д$ш =	+ Д$г »

1
I т

М

где Дзш, =

Pi — продольная сферическая аберрация

первой

линзы, рассчитанная в обратном ходе лучей; Д$ш, =
продольная сферическая аберрация второй линзы.

_ JL

2 i'2 2
Для плосковыпуклой линзы в воздухе при Si =—со со стороны
выпуклой поверхности Р = п ~ 2”	2 , и так как Р\ = Рч = Pi то

Asm =-4-ГтР[’ + Й =-4-mV[l +₽о];

'2

2Az/m = т\2Р [1 4- Ро] °4 = т3<р$Р [1 + ₽о];

Рис. 226. Графический способ определе-
ния положения плоскости иаилучшей
установки

2Д^"пл.н.у = Т^Р (1 4- ₽3о) =

=	(1 + pg).

Для конденсора из аплана-
тического мениска и линзы,
рассчитанной на минимум сфе-
рической аберрации, продоль-
ная сферическая аберрация
определяется только второй
линзой, так как первая лин-
за — апланат и поэтому не вно-
сит сферической аберрации и
комы. Тогда

ASni -----g^3?0204 ^min»

|де

(\2

С1 - М 1(1 - Л)₽02 + (1 - 27<)Ро2 + (1 - Л)];

к___ Ч~ Q2 .

4п (2 + п) ’
с3
2Az/m = <2зРо2 ($4) ДпНп = т^г ЯзРпНп.

Ро2

Часто бывает целесообразным вычислять величины продольной
и поперечной сферической аберрации точным тригонометрическим
путем. В этом случае рассчитывается ход параксиального и дейст-
вительного лучей на зоне (0,7aj) и крае (<п) отверстия.

Из расчета лучей получают:

А$кр = sKp	s , Az/ — AsKptgaKp;

ASgoH == S30H	S , △ // = Asaoji tg &ЯО11’

а положение плоскости наименьшего кружка рассеивания и его ве-
личину определяют графически. Для этого по оси абсцисс отклады-
вают значения продольной сферической аберрации для зоны и края
отверстия (точки А\ и А?), а по оси ординат откладывают значения
кружков рассеивания в плоскости Гаусса (точки В} и В\, В2 и В2)
соответственно.

Точки Ai, Bi и Ль Bi,a также точки Ла. В2 и Л2. В2 соединяют
прямыми линиями, находят точки их пересечения точки С и С'.
Через точки С и С' проводят линию. Отрезок ОК соответствует
сферической аберрации в плоскости наилучшей установки, СС' —
величина кружка рассеивания в этой плоскости (рис. 226).

§ 165. Расчет линзовых объективов
с небольшими угловыми полями

Линзовые объективы с небольшим угловым полем

При проектировании оптических систем одним из самых слож-
ных и важных вопросов является правильный выбор конструкции
всей системы и отдельных компонентов, имеющих заданные зна-
чения оптических характеристик: фокусного расстояния, относитель-
ного отверстия, углового поля. Для этого надо хорошо знать абер-
рационные возможности объективов разных конструкций и предель-
ные значения их оптических характеристик.

В оптических системах с небольшим угловым полем часто при-
меняются компоненты, состоящие из небольшого числа линз, так
как они обеспечивают вполне удовлетворительное качество изо-
бражения. Эти объективы различного назначения, коллективы,
оборачивающие системы. Сложные многолинзовые системы встре-
чаются чаще всего в фотографических объективах, объективах ми-
кроскопов и в широкоугольных окулярах.

При выборе конструкции объектива надо принимать во внима-
ние и экономическую сторону вопроса. Теоретически всегда можно
рассчитать сложную систему, включающую асферические поверх-
ности, и тем самым получить хорошее качество изображения при
больших относительных отверстиях и углах поля. Однако такие си-
стемы чаще всего не имеют практической ценности из-за трудности
их изготовления, сборки и дороговизны.

При расчете систем также необходимо обращать внимание на
обоснованный выбор оптических материалов и лишь в исключи-
тельных случаях применять дорогостоящие марки стекол и опти-
ческие материалы.

Для того чтобы рассчитать сложную оптическую систему, не-
обходимо хорошо знать свойства отдельных составляющих ее
простых компонентов, наиболее часто используемых в оптических
системах разного назначения. Особое внимание обратим на рас-
смотрение компонентов, применяемых в зрительных трубах геоде-
зических приборов.

Двухлинзовый склеенный компонент. Двухлинзовый склеен-
ный компонент (рис. 227, а) применяется в качестве объектива
зрительной трубы, микроскопа, в оборачивающей системе, окуля-
рах, фотообъективах,
При возможности выбора марок стекол компонент имеет доста-
точное число параметров (3 радиуса кривизны и оптические по-
стоянные стекол), позволяющих исправить любые аберрации треть
его порядка, кроме кривизны поля и иногда астигматизма.

Астигматизм нельзя исправить в системе, если входной зрачоь
совпадает с оправой бесконечно тонкого компонента.

Рис. 227. Оптические схемы объективов телескопических систем

Для двухлинзового склеенного компонента кривизна поля опре-
деляется коэффициентом Пецваля те:

¥1 , ?2
те =----р —,

«|	«2

но в соответствии о условием масштаба

<Р1 4- ?>2 = 1>

тогда
/1 1 \ , 1
т V»!	«2

Для существенного изменения те необходимо, чтобы <рг было
очень большим, поскольку (------Ц < 0,05, а это приведет к боль-

\П1	п2!

шим кривизнам.

В большинстве систем кривизну поля надо исправлять при од-
новременном исправлении сферической аберрации и хроматизма
положения.

В этом случае, если

<pi > 0,

П2>

п.\ И <Р1

/1

>0

и если

<pi < 0,

«2 < «1 И (ft	—•
Поэтому в ахроматизованном двухлинзовом склеенном компо-
ненте коэффициент Пецваля л>0,65, обычно принимают л=0,70.

Чаще всего в компоненте исправляют сферическую аберрацию,
меридиональную кому и хроматизм положения.

При заданных марках стекол в компоненте возможно испра-
вить только две аберрации — сферическую и хроматизм положе-
ния.

Двухлинзовые компоненты с различными фокусными расстоя-
ниями целесообразно применять при следующих относительных
отверстиях:

Г	D

Г

150	мм не выше 1 :4

до	300	мм	1:5

До	500	мм	1:6

До	1000	мм	1 : 10

Дальнейшему увеличению относительного отверстия препятст-
вуют быстро растущие аберрации высших порядков, особенно за-
метно проявляющиеся на радиусе склейки, имеющем большую кри-
визну.

Поле компонента не более 10-*-12° при малых фокусных рассто-
яниях, 7-*-10°— при больших.

Трехлинзовый склеенный компонент имеет лишний параметр
по сравнению с двухлинзовым склеенным, что позволяет получить
более высокое относительное отверстие. До настоящего времени
аберрационные свойства этих компонентов недостаточно изучены.
Трехлинзовые склеенные компоненты находят применение в оку-
лярах.

Двухлинзовый несклеенный компонент. Двухлинзовый нескле-
еиный компонент (рис. 227, б) имеет один лишний параметр по
сравнению с двухлинзовым склеенным, что дает возможность лучше
исправить сферическую аберрацию и меридиональную кому, не
прибегая к подбору марок стекла. Несклеенный компонент имеет
меньшие аберрации высших порядков, чем склеенный. Правда,
стабильность центрировки у него меньше, чем у склеенного. При
удачном назначении марок стекол можно получить хорошее исправ-
ление сферической аберрации при относительном отверстии до 1:3.
Это позволяет сократить габариты трубы прибора по сравнению
со схемой с двухлинзовым склеенным компонентом, используемым
в качестве объектива. Дальнейшему увеличению апертуры препят-
ствует большая сферохроматическая аберрация.

Двухлинзовые несклеенные компоненты широко используются
в качестве объективов астрономических и геодезических зритель-
ных труб, объективов биноклей и т. д.

Двойные четырехлинзовые объективы, состоящие из двух одина-
ковых двухлинзояых компонентов, разделенных бесконечно малым
воздушным промежутком. Двухлинзовые объективы нельзя приме-
нять, когда требуется большое относительное отверстие, В этом
случае их можно заменить системой из двух одинаковых двухлин-
зовых компонентов (рис. 227, е, ж) разделенных воздушным про-
межутком.

Каждый компонент объектива имеет в два раза большее фо-
кусное расстояние, чем весь объектив, поэтому отдельный компо-
нент имеет и в два раза меньшее относительное отверстие. Следо-
вательно, радиусы кривизны поверхностей компонента примерно
в два раза больше, чем в двухлинзовом объективе с теми же пара-
метрами. Вследствие этого уменьшаются углы падения и прелом-
ления на каждой поверхности, поэтому уменьшаются и аберрации
высших порядков. Это дает возможность увеличить относительное
отверстие до 1:2,5-ь 1:3 в объективе, состоящем из двухлинзовых
склеенных компонентов, и до 1:2-ь 1:1,5 в объективе из двухлин-
зовых несклеенных компонентов при фокусных расстояниях от 40
до 150 мм.

Конструкция объектива благоприятна в экономическом и техно-
логическом отношении. Изготовление одинаковых линз обходится
значительно дешевле, так как уменьшается необходимый набор
инструментов и приспособлений. Вследствие увеличения радиусов
кривизны в двойном объективе почти в два раза увеличивается
число линз, размещаемых на одном приспособлении.

Следует помнить, что в наклонных пучках объектив не имеет
преимуществ перед простым, ибо кривизна поля, астигматизм и
дисторсия остаются неустранимыми.

Трехлинзовые объективы, состоящие из склеенного компонента
и отдельной линзы. Для повышения относительного отверстия по
сравнению с двухлинзовым склеенным объективом до 1:2—1:3
целесообразно применять трехлинзовые объективы, полученные
присоединением отдельной линзы к двухлинзовому склеенному
компоненту (рис. 227, в). Известны две конструкции трехлинзо-
вых объективов подобного типа. При добавлении к склеенному
компоненту положительной линзы его относительное отверстие
оказывается меньше, чем у всего объектива, и, следовательно,
аберрации высших порядков склеенного компонента меньше, чем
у склеенного объектива с такими же оптическими характеристика-
ми, как у трехлинзового объектива. Объектив теперь состоит из двух
положительных компонентов. Но для исправления хроматической
аберрации объектива приходится компенсировать хроматизм от-
дельной линзы хроматизмом склеенного компонента, переисправ-
ляя его. Это вызывает уменьшение радиуса склейки и небольшое
возрастание аберраций высших порядков.

В объективах геодезических труб нашел применение трехлин-
зовый объектив, состоящий из отдельной линзы и склеенного ком-
понента (рис. 227, г). Практика расчета показала преимущества
объектива данной конструкции, позволяющего получить относи-
тельное отверстие до 1:2,5 при условии апохроматической коррек-
ции.

Такой положительный компонент применяется в телеобъекти-
вах в целом ряде отечественных и зарубежных теодолитов и ниве-
лиров, например, теодолите ТБ-1 (СССР), Theo-010 (ГДР), ниве-
лирах ТЗ (СССР,) INA-65 (ФРГ) и др.

Трехлинзовый несклеенный объектив. Двухлинзовые несклеен-
ные объективы в большинстве случаев позволяют получить отно-
сительное отверстие не выше 1:4 при использовании обычных ма-
рок стекол, и только при особо удачном выборе марок стекол уда-
ется его повысить до 1:3 и даже до 1:2,5. Для повышения относи-
тельного отверстия до 1:2-4-1:3 следует использовать трехлинзовую
несклеенную систему, состоящую из двух положительных и одной
отрицательной линзы (рис. 227, д).

Отрицательная линза необходима для коррекции сферической
аберрации и хроматизма, а две положительные вместо одной при-
меняются для уменьшения относительного отверстия каждой из
них, что приводит к уменьшению кривизны линз и вследствие это-
го к уменьшению аберраций высших порядков.

Благодаря некоторому усложнению конструкции и увеличению
числа свободных параметров удается уменьшить аберрации выс-
ших порядков и тем самым увеличить относительное отверстие.
В таком объективе удается исправить сферохроматическую абер-
рацию при удачном выборе марок стекол.

Опыт расчета показал целесообразность использования кронов
с высоким показателем преломления и малой дисперсией и’флинта
с высоким показателем преломления и большой дисперсией. Бла-
годаря этому оптические силы линз получаются небольшими, что
способствует увеличению радиусов кривизны и уменьшению абер-
раций высших порядков.

Иногда рекомендуется применять положительные линзы одина-
ковой оптической силы.

Телеобъективы зрительных труб геодезических приборов.
Как указывалось, в современных геодезических приборах приме-
няются зрительные трубы с внутренней фокусировкой, в которых
наведение на разноудаленные предметы осуществляется переме-
щением отрицательного фокусирующего компонента. Длина трубы
при этом остается постоянной.

К зрительным трубам предъявляются высокие требования, так
как от качества изображения трубы зависит не только точность
визирования, но и степень утомляемости наблюдателя и продолжи-
тельность периода, пригодного для работы с прибором. Например,
большинство труб не рассчитано для наблюдений в условиях су-
меречного видения.

Диаметры объективов труб геодезических приборов в зависи-
мости от точности прибора и его назначения колеблются от 20 до
65 мм, иногда достигают 100 мм. Фокусные расстояния объективов
могут меняться от 100 до 700 мм, относительные отверстия лежат
в пределах от 1:9 до 1:6. Коэффициент укорочения tn, как известно,
в линзовых телеобъективах не удается получить менее 0,8—0,6.

С уменьшением величины коэффициента укорочения возрастает
относительное отверстие первого положительного компонента, что
приводит к усложнению его конструкции. Действительно, с умень-
шением коэффициента телесокращения сокращается длина трубы
и уменьшается величина фокусного расстояния первого компонен-
та, поэтому возрастает его относительное отверстие. Для получе-
ния хорошего качества изображения при возросшем необходи-
мо увеличить число линз компонента. Обычно относительное от-
верстие первого компонента меньше или равно 1:3.

Рис 229. Оптические схемы телеобъективов телескопических систем геодезических
инструментов

Фокусирующий отрицательный компонент представляет собой
отдельную линзу или чаще двухлинзовый склеенный компонент
для уменьшения аберраций системы.

Оптические схемы телеобъективов зрительных труб представ-
лены на рис. 228—230, а в табл. 4 приведены оптические харак-
теристики компонентов телеобъективов труб некоторых геодези-
ческих приборов, включая последние разработки.
Таблица 4

Оптические характеристики телеобъективов

Наиме пинание прибора	L m~tc	D	1'	Ч		₽п	D  Г	D
								
Нивелир техниче- ский	0,78	34	314	206	—223	1,52	1 1 9,2	1:6.
Нивелир высоко- точный	0,75	55	410	282	—281	51,45	1 :7,5	1 : 5,2
Теодолит опт. точ- ный ТЗО	0,74	27	156,78	97,81	—78,03	1,60	1 । 5,8	1 : З.г
Теодолит опт. точ- ный Т2	0,59	35	250	119,87	—47,97	2,08	1 : 7,1	1 :2Л
Теодолиты точные унифицированные серии 2Т	0,60	38,5	218,65	110,94	—41,24	41,97	1 : 5,6	1 3.4"
Теодолит высоко- точный Т1	0,72	55	347	231,6	—112,48	1,50	1 :6,2	1 : 4.2
Теодолит высоко- точный Т05	0,59	64	500	222.22	-138,78	2,25	1 17,8	1 : 3,4"

схеме. На рис. 230 представ-

<7

6

Рис. 230. Оптические схемы апо-
хроматического и ахроматической
телеобъективов, построенных ш
новой схеме

На рис. 228 и 229 приведены оптические системы, построенные
по традиционной двухкомпонентной
лены оптические системы телеобъ-
ективов, построенные по новой схе-
ме и нашедшие применение в ряде
точных и высокоточных теодолитов.

Новые ахроматические и апо-
хроматические телеобъективы зри-
тельных труб. При разработке но-
вых геодезических приборов одним
из необходимых условий, обуслов-
ленных особенностями эксплуата-
ции, является уменьшение длины
трубы по сравнению с существую-
щими приборами.

До 50-х годов в нашей стране
и за границей уменьшали длину
трубы без принципиального измене-
ния оптической схемы. Это приво-
дило к увеличению оптической си-
лы положительного компонента
телеобъектива и к возрастанию его
относительного отверстия. Превышение предела относительной
отверстия для компонента привело к большой сферохроматичес
кой аберрации и увеличению вторичного спектра, что неизбежш
снижало точность визирования.

Другим недостатком известных зрительных труб является болг
шой коэффициент светорассеяния, в некоторых трубах достигаю-
щий величины 0,2—0,3. Это было следствием того, что внутренниг
диаметр корпуса мало отличался от диаметра пучков лучей, строя-
щих изображение. В результате исключается возможность разме-
щения внутри трубы диафрагм, позволяющих уменьшить рассеян-
ный свет.

На основе теоретических исследований, проведенных в СССР,
были разработаны новые способы исправления вторичного спект-
ра и сферохроматической аберрации и созданы объективы новых
конструкций, отличающихся от известных отечественных и зару-
бежных систем.

Вторичный спектр и сферохроматическая"аберрация относятся
к трудно исправимым. Вторичный спектр в телеобъективах не за-
висит от количества линз и их формы, а зависит только от длины
телеобъектива. Чем меньше коэффициент укорочения и длина те-
леобъектива, тем больше вторичный спектр. Поэтому единствен-
ным способом уменьшения вторичного спектра является использо-
вание особых стекол и правильный выбор оптических сил линз.

Сферохроматическая аберрация в большинстве случаев про-
порциональна квадрату относительного отверстия и ограничивает
его величину. Одним из способов исправления сферохроматизма
является введение конечного воздушного промежутка между ком-
понентами.

Апохроматический трехкомпонентный телеобъектив. Апохрома-
тический телеобъектив построен по новой трехкомпонентной схеме
(см. рис. 230, а), что привело к уменьшению величины относитель-
ного отверстия и несколько упростило конструкцию.

Положительная часть телеобъектива состоит из двух двухлин-
зовых склеенных компонентов, расположенных на значительном
расстоянии друг от друга, что способствует уменьшению сферо-
хроматизма. Апохроматическая коррекция достигнута за счет при-
менения стекла ТФ12, частная относительная дисперсия которого
больше, чем для обычных стекол, особенно в сине-фиолетовой ча-
сти спектра. Это было вызвано необходимостью повышения качества
изображения для работы в сумеречное время суток, что особенно
важно при проведении высокоточных измерений. (В соответствии
с эффектом Пуркинье кривая чувствительности глаза с умень-
шением освещенности смещается в сторону более коротких длин
волн).

Исследования показали, что для исправления вторичного спект-
ра оптическая сила линзы из стекла ТФ12 должна быть положи-
тельной и примерно в 5—6 раз превышать оптическую силу всей
первой положительной части телеобъектива.

При расчете апохромата линзу из особого стекла склеивали с
линзой из обычного стекла. Показатель преломления по стекла
обеих линз примерно одинаков, вследствие чего склеенный компо-
нент для лучей линии D эквивалентен отдельной линзе. Оптическая
сила линзы из обычного стекла выбрана так, чтобы общая опти-
ческая сила компонента была невелика. Коэффициент средней
дисперсии у обоих стекол также близок, поэтому большая кривиз-
на склеиваемой поверхности являющаяся следствием большой оп-
тической силы, мало сказывается на сферохроматической абер-
рации.

В рассмотренном пятилинзовом объективе значительно умень-
шены вторичный спектр, сферохроматическая аберрация и хрома-
тизм увеличения.

Увеличение расстояния между компонентами существенно не
удлиняет трубу.

• По сравнению с известным пятилинзовым объективом, постро-
енным по классической двухкомпонентной схеме (см. рис. 229, а),
например ТБ-1, сферохроматизм уменьшен почти в два раза и не
превышают 0,35 X. Вторичный спектр в апохромате для видимой
части примерно в 2,5 раза меньше, а для сине-фиолетовой части
спектра — в 8—10 раз меньше, чем у объектива трубы ТБ-1. Вслед-
ствие применения стекла ТФ12 поле трубы имеет слегка желтова-
тый фон.

Новые объективы находят применение в точных и высокоточных
тер^олитах. Опыт применения зрительной трубы в теодолите ТО5
показал, что, несмотря на некоторое уменьшение относительного
отверстия, возможная продолжительность наблюдений при визи-
ровании на большие расстояния в сумеречное время на 30—40
мин в сутки больше, чем позволяли трубы старых конструкций.

В некоторых геодезических приборах из-за малых их разме-
ров нельзя устанавливать трубы с апохроматическими объектива-
ми. В них применяются трубы с новыми ахроматическими теле-
объективами.

Ахроматический четырехкомпонентный телеобъектив. В этом
ахроматическом телеобъективе (см. рис. 230, б) первая часть теле-
объектива с положительной оптической силой состоит из двух оди-
ночных линз, разделенных значительным воздушным промежутком
(0,14-0,2) f', и склеенного апланатического мениска. Увеличение
мениска 0,4—0,8. Исправление сферохроматической аберрации до-
стигается благодаря большому воздушному промежутку между
линзами. Мениск повышает относительное отверстие первой части
телеобъектива, тем самым уменьшая длину системы. Фокусирую-
щий компонент выполнен в виде отдельной отрицательной линзы.
Относительное отверстие положительной части телеобъектива со-
ставляет около 1:3, а относительное отверстие всего телеобъектива
сравнительно невелико — примерно 1:6.

В объективе сферохроматическая аберрация устранена без
большого усложнения системы по сравнению с объективами серий-
ных труб с неисправленным хроматизмом. Длина системы при-
мерно 0,6 f'.

При уменьшении относительного отверстия первой части объек-
тива до 1:5,5, а длины системы до 0,7 конструкцию можно уп-
ростить, устранив апланатический мениск- Все аберрации в таком
объективе исправлены удовлетворительно, а сферохроматическая
аберрация практически ничтожна.

В зрительных трубах с этими объективами также используются
новые окуляры: либо симметричные с уменьшенным хроматизмом
увеличения, либо пятилинзовый окуляр с уменьшенной кривизной
изображения и хроматизмом.

Однако эти телеобъективы имеют и серьезные недостатки. Ос-
новной из них — это большая чувствительность системы к измене-
нию оптических постоянных стекол, что приводит к необходимости
для каждой новой плавки стекла производить перерасчет пара-
метров объектива и изготавливать заново технологическую осна-
стку. Кроме того, воздушные промежутки необходимо рассчиты-
вать для каждого комплекта и выдерживать с точностью до 0,01 мм
путем протачивания оправ. Даже при такой тщательности изготов-
ления и сборки объективов при проверке качества изображения
зрительных труб по дифракционному изображению точки прихо-
дится проводить дополнительные операции, разворачивать линзы
друг относительно друга и фиксировать в этом положении, чтобы
добиться наилучшего качества изображения.

В новых трубах благодаря установке специальных диафрагм,
соответствующему выбору полных диаметров линз и специальной
конструкции оправы фокусирующей линзы коэффициент свето-
рассеяния удалось уменьшить до 0,06.

Основные данные
для расчета исходного варианта
оптической системы

Данные для расчета исходного варианта обычно бывают изве-
стны из габаритного расчета. Нередко конструктор должен их вы-
бирать, учитывая назначение системы, требования к качеству изоб-
ражения, аберрационные свойства различных конструкций.

Как указывалось, основными оптическими характеристиками си-
стемы являются фокусное расстояние относительное отверстие
jf- или апертура А, поле 2ш или 2у, увеличение р0.

Для многих оптических систем относительное отверстие опре-
деляется из энергетических соображений. Например, в оптико-
электронных приборах основные оптические характеристики опти-
ческой системы определяются по заданной чувствительности при-
емника и интенсивности излучения, в отсчетных микроскопах — по
заданной точности отсчета, в зрительных трубах — по заданной
точности визирования и т. д.

Основные данные для расчета исходного варианта при si= — ooj

Фокусное расстояние — р
„ D
Относительное отверстие — j;

Угловое поле—2ю

Положение входного зрачка—sp
Спектральный диапазон — Xf-J-X2
Основная длина волны — Хо
Марки стекол (или другие оптические
материалы) задаются или выбираются
Основные данные для расчета исходного варианта при sr — оо!

Расстояние до предмета—$1 (или опти-
ческая длина L)
Числовая апертура — А
Линейное увеличение — Ро
Линейное поле — 2у

Положение входного зрачка—sp
Спектральный диапазон — Xj-i-X2
Основная длина волны — Хо
Марки стекол (или другие оптические
материалы) также задаются или вы-
бираются

Требуется исправить хроматизм положения, сферическую абер-
рацию и меридиональную кому.

Для рассматриваемых систем с небольшим угловым полем и
невысоким относительным отверстием целесообразно применять
для расчета исходного варианта теорию аберраций третьего по-
рядка.

Расчет двухлинзового склеенного объектива

Для расчета двухлинзовых склеенных объективов может быть ис-
пользована методика, разработанная проф. Г. Г. Слюсаревым. Зада-
ча расчета объектива сводится к
определению конструктивных эле-
ментов двух бесконечно тонких
линз, имеющих заданные значе-
ния параметров P“,W“° и С. Ком-
бинации этих трех параметров
определяют все аберрации треть-

его порядка и некоторые аберра-Рис 231_ двухлин30вый склеенный
Ции высших порядков.	объектив с ходом первого параксиаль-

При заданных марках стекол	кого луча

двухлинзовый склеенный объектив

(рис. 231) имеет три свободных параметра, что позволяет исправить
две аберрации: хроматизм положения и сферическую аберрацию,
т. е. удовлетворить заданным значениям Р°° и С. Только подбором
марок^стекол можно получить желаемые значения трех параметров

Для расчета принимаем известную нормировку первого параксиаль-
ного луча, считая объектив бесконечно тонким:

ai=0, а4 = 1, /ij =/' = ],	=(/2=0.

Удобно выразить неизвестные внутренние параметры системы аз
и а3 через инвариант склейки Q2 и оптическую силу цервой лин-
зы <рь

Инвариант Аббе для поверхности склейки имеет вид

Q2 = Q = n2/J----=	----L\ (25.15)

\r2 S2j (r2	S2)
или

Q — п-2. (р2 — ч2) = «з (р2 — аг).	(25.16)
Умножим (25.16) почленно на h и учтем, что	*= СС2, ^02 =
AQ = «2(/tp2 — а2);	(25.17)
AQ = «з (Арг — а3).	(25.18)
Найдем разность (25.17) и (25.18):	
.Л/ 1	1 \  nQ. 		— = а3 —	а2,  \ “2	п3 /	(25.19)
откуда	
Q = __ „2 П2Пз* пРинимая Л = 1.	(25.20)
Из уравнения параксиального луча определим кривизны р:	

Лоа0

р'“Х^г;	<25-21)

пЗаЗ — п2а2 р2 ==	.  г	«3—«2	(25.22)
1 — л3а3	(25.23)

Оптическая сила первой бесконечно тонкой линзы объектива

<pi = (п2— l)(pi— рг)= [а2”2(гсз— 1)—а3Пз(«2— 1)]. (25.24)

Подставив в (25.24) pip2 из (25.21) и (25.20) и используя (25.20),
получим:

а2 = (1—+	(25.25)

аз = (1~+	(25.26)

Подставив (25.25) и (25.26) в (25.21)—(25.23), получим:

„	П9

Р> = <3 + ^^	<25-27)

P2 = Q + ?i;	(25.28)

?з = Q +	<25'29)

Параметры Р“, для двухлинзового склеенного объектива
Подставив в (25.30) и (25.31) си =0, а2, аз, а4 = 1,	==п4 = 1, л2

и «з, получим после преобразований

= aQ2 + bQ + с;	(25.33)
W°° =	Q + -~з~\	(25.34)
где	
а=1+^. + 20^1): «2	«3	
„До	2 + 2?1;	(25.35)
< („;v+(„;v>	
Для параметра С имеем	
г _ Ч>1 . Т2 _ ?1 , 0 —?1) д"	д"	•  v,	v2	V,	>2	(25.36)
Дифференцируя (25.33) по Q, получим	
др00  = 2aQ0 + Ь.	(25.37)
Приравнивая (25.37) нулю, представим его в виде	
Qo = -^.	(25.38)
Подставив в (25.33) из (25.38), выразим Рй	
Р^с-^	(25.39)
из (25.38)	
b — —2aQ0,	(25.40)
из (25.39)	
n t Ь2  С Р° + ТУ’	(25.41)
Подставляя в (25.41) из (25.40), имеем	
» = Ро + <2<2о.	(25.42)
Подставим в (25.33) «й» из (25.40) и «с» из (25.42):

р-=Po + a(Q-Qo)2.	(25.43)

Из (25.34) получим Wo:

Го = - Со + 1	(25.44)

Из (25.44) найдем

= Го + Qo.	(25.45)

Подставляя в (25.34) из (25.45), имеем

^«=_£±LQ + £±lQo+ro.	(25.46)

Из (25.46) определим Q — Qo'-

Q - Со = - тут (w~ ~ г°)-	<25'47)

Подставим в (25.43) из (25.47):

Р°°=Р0 + —^-(Г- - Го)2,	(25.48)

откуда

= д- - ууту ~	<25-49>

Из (25.47)

С = Со-ТрГ(Г»-Го),	(25.50)

из (25.43)	_______

С = Со±]/^=Л	(25.51)

Для большинства марок стекол значение а = 2,31—2,35, прини-
мают а = 2,35. Тогда (25.49), (25.50), (25,51) примут вид:

Рп = Р°° — 0,85( Г“ — Го)2;	(25.49')

С = Со------Гоар = 0,14;	(25.50')

С = Со± |/ Р°°2~ ₽0 	(25.51')

Г. Г Слюсарев рекомендует выбирать комбинацию «крон впереди»,
если Г“ < 0,8, тогда Г" =0,1, Если Г“ > 0,8, то следует выбирать
комбинацию «флинт впереди», Го = 0,2.

В приводимом выводе основных соотношений Рй, Го и Со — пара-
метры, соответствующие минимальному значению сферической абер-
dP°°
рации, поскольку они определялись при условии, что = 0.
Из соотношения (25.49') видно, что в двухлинзовом объективе
величины и W°° не являются независимыми, а значение «а»
в (25.35) зависит от и п2, Пэ. Поэтому, если заданы марки стекол
и соблюдено условие ахроматизации (т. е. ср] определено), то остается
один свободный параметр.

Для расчета объектива необходимо знать значения параметров
Слюсарева Р"° и С, а для этого надо предварительно иметь сведения
о высших порядках сферической и хроматической аберраций. Абер-
рация комы высшего порядка обычно мала и ею можно пренебречь.

Продольная сферическая аберрация для луча на высоте h может
быть представлена приближенной зависимостью, учитывающей абер-
рации до седьмого порядка:

2/	/'3 f5

Коэффициенты b а с зависят только от конструкции объектива,
мало зависят от показателей преломления стекол и не зависят от
фокусного расстояния и относительного отверстия.

Величина коэффициента b меняется от 0 до 30, а с — от 0 до
1500 в зависимости от параметров Р"° и W°° (табл. 5).

Т а бли ц а 5						
		Крон	впереди			
	Рос	—2	—1	0	1	2
	ь	25	17	9	2	0
= 0	с	1000	500	200	100	50
	ь	30	25	17	12	8
П7“ = — 2	с	800	700	600	500	300
Флинт впереди						
	Р 00	—2	— 1	0	1	2
	ь	30	20	10	4	1
W* == °	с	1500	800	250	100	60
	ь	33	28	18	12	6
= 2	G	1500	1000	800	400	100

Коэффициент b можно вычислить по формуле

, _ з	Q6 /_1_____1_\

— 40 Q + „о	„5 j-

Для небольших относительных отверстий можно воспользоваться
соотношением

I tn \2

Д/3» = (15-ь20)	.
Для компенсации сферохроматической аберрации можно принять

где /п3.н = (0,7 4-0,85)-—-.

Расчет двухлинзового объектива по заданным маркам стекол. При
заданных марках стекол расчет двухлинзового склеенного объектива
производится следующим образом.

Из условия исправления хроматизма положения и уравнения
штаба определяют оптические силы линз:

'f 2 —-------------(1 +	1) — 1 — <f> 1.

—V2

(25.52)

Затем вычисляют коэффициенты а, b и с по формулам (25.35),
знак которые определяют Ро (25.49), Qo (25.38) и Q (25.51). Для вы-
бора одного из двух значений Q определяют

IF

Р°°-Ро

Р

где

Р =

4а

(а+ I)2

Из двух значений IF” выбирают то, которое ближе к заданному
W°°. При полученном значении IF“ определяют Q по соотношению
(25.50).

Наконец, из двух значений Q (25.51) выбирают ближайшее зна-
чение к полученному из (25.50).

Затем вычисляют кривизны поверхностей бесконечно тонких
линз, используя (25.27)—(25,29). Проведя контроль вычислений, рас-
четом значений параметров Р”, И7“, С производят переход к лин-
зам конечной толщины (см. § 161).

Расчет двухлинзового объектива, если марки стекол не заданы.
На основании приведенной методики расчета проф. Г. Г. Слюсаре-
вым разработаны таблицы, с помощью которых можно определить
марки стекол, позволяющие одновременно получить заданные значе-
ния трех параметров — Р~, IF~ и С. Таблицы составлены для ком-
бинаций «крон впереди» и «флинт впереди».

В таблицах в зависимости от параметра С, меняющегося от
0,0025 до — 0,0050, для 142 комбинаций марок стекол приведены
значения Ро, <рКрона и Qo> с помощью которых расчет конструктив-
ных элементов выполняется по простым формулам, приведенным
выше. Ро меняется при этом от 7,5 до —23.

Расчет объектива по таблицам позволяет получить ахроматический
и апланатический объектив при si =—оо. Следует помнить, что
таблицы составлены для визуальной ахроматизации (F — С), основной
488
длиной волны Хо является линия D. Однако для расчета объектива
для других длин волн Хо и для перехода к другому типу ахроматиза-
ции вводятся поправки, позволяющие определить Ро, Qo и С. Ве-
личину поправок можно определить по графикам и соотношениям,
приводимым в книге Г. Г. Слюсарева «Расчет оптических систем».

Если надо рассчитать объектив для предмета на конечном рас-
стоянии, достаточно сделать переход от параметров Р, W к основным
параметрам Р°°, W°°.

Несмотря на широкое применение ЭВМ для расчета оптичес-
ких систем, таблицы оказывают большую помощь. Этим объясня-
ется разработка в различных вычислительных бюро таблиц, пред-
ставляющих собой усовершенствование и развитие таблиц Слю-
сарева.

В ряде случаев, например, при расчете объективов с неболь-
шим относительным отверстием применение таблиц позволяет
быстро получить исходный вариант, не требующий коррекции.
Применение ЭВМ в этих случаях не дает существенного выигры-
ша во времени, поскольку надо учитывать не только счет на ЭВМ,
но и время на подготовку исходных данных для их ввода.

Правда, известны специализированные программы для расчета
ахроматических и апохроматических двухлинзовых склеенных объ-
ективов, при использовании которых ЭВМ перебирает ограничен-
ное количество марок стекол, выбирая пары марок, удовлетворяю-
щие заданным значениям Р , W° и С.

Расчет двухлинзового несклеенного объектива

Объектив (рис. 232) имеет 4 свободных параметра (4 радиуса
кривизны), что позволяет при заданных марках стекол исправить
•три аберрации (см. § 159): хро-

матизм положения, сферическую
аберрацию и меридиональную
кому.

В 40-х годах Д. Д. Максутов
разработал эмпирический метод
расчета двухлинзового несклеен-
ного объектива с комбинацией
марок стекол К8 — Ф2, наибо-
лее часто применяемых для рас-
чета ахроматов.

На основании исследований

Рис. 232. Ход первого параксиаль-
ного луча в двухлинзовом несклеен-
ном объективе

были выведены эмпирические формулы для расчета апланатов
в зависимости от относительного отверстия, все конструктивные
элементы системы выражались в долях диаметра. Достаточно
точные результаты получались для относительных отверстий
от 1:3,5 до 1:6.

В книге Г. Г. Слюсарева «Расчет оптических систем» приведены
графики, позволяющие рассчитать объектив по заданным значе-
ниям Р°°, и С для наиболее употребительных марок стекол
и быстро получить значения радиусов кривизны с точностью до
трех знаков, что вполне достаточно для практики.

Там же приведены таблицы, позволяющие ввести поправки на
кривизны с учетом введения толщин линз. В таблицах даны зна-
чения частных производных от Р°°, W7", С по всем конструктив-
ным элементам, что делает их полезными при пересчете систем
на плавки стекол и на пробные стекла.

Для практического использования удобны формулы для рас-
чета исходного варианта, разработанные на кафедре прикладной
оптики МИИГАиК.

Принимая объектив бесконечно тонким (di = di = ds = 0, h\ =
= й2 = йз = /г4) и известную нормировку первого параксиального
луча а1=0, as = 1, h\ = f = 1, применяем метод разделения пере-

менных.

Вначале из условия масштаба и уравнения ахроматизации определя-
ют оптические силы линз (25.62) <pi и ср2.

При принятой нормировке угол аз = <?ь Внутренние углы а2 и а4
определяются из условий исправления монохроматических аберраций.

Известно, что для бесконечно тонкого объектива с бесконечно

малым расстоянием между линзами суммы ST, S“i и Sixp полностью
определяются значением параметров соответственно Р°°, 1Г“ и С.

Подставим в выражения для этих параметров все углы а и по-
казатели преломления, учитывая, что П1 = пз = п5 = 1, так как
система находится в воздухе. После преобразования получим

рх

2 “з 0 + 2тг)

•2	— а 2

(«2- 1)

«3 (2 + т2) .	(2т4+ 1)(1 — аз)

(т2-1)2	4	(«4-1)2

	(2 + тТ) (аз — 0 , аз ,	1 ~ аз

+ а4 (т4-1)2	' (т2~1)2 + Ь-1)2:

_ v4r —а аз(1 + т2) , а 0 + т«)0-аз)

2	2

a3 — 1________a3

т4 — 1 т3 — 1 ’

(25.53)

(25.54)

где

1

т = —;
п ’

Угол аз можно определить также из (25.55):
Дп4

» С'^

аз Дп2 Д«4

1 — п2 — 1 — п4

(25.55)
Как видно из (25.53)—(25.54), функция F” — линейная относи-
тельно внутренних углов аг и а4, а Р°° — квадратичная относительно
тех же углов.

Из (25.54) выразим угол а4:

а4=Ла2 + В,	(25.56)

где

(ct -j- 2)

А == а (b + 2) (а.. —- 1) ’

«2(б_а) + а(1 + ЫГ~) 1	1

а(Ь+2)(1-а3)	’ а п2 '• ° П4 *•

Подставив (25.56) в (25.53), имеем

Раг + Еа.2 + F = 0,	(25.57)

где

£> = а3Ь2 (2а + 3) + (1 - а3) а2 (2Z> + 3)Л2;

Е = 2АВ (2Ь + 3) а2 (1 - аз) - а&2 (а + 3) + Аа2 (Ь + 3) (а32 - 1);

F = В2 (26 + 3)а2(1 - а3) + Ва2(6 + 3) (а32 - 1) + а| (б2 - а2) +

4-а2 — а№Р°°.

Задача расчета исходного варианта сводится к решению урав-
нений (25.56) и (25.57). Из двух решений выбирается меньшее
положительное, обеспечивающее возможно максимальные радиусы
кривизны поверхностей.

Переход к линзам конечной толщины производится в обычном
порядке (см. § 161).

Для компенсации сферической аберрации высших порядков и
сферохроматической аберрации параметры Р “ и С приравнивают
к некоторым значениям.

В книге Г. Г. Слюсарева приводятся графики и таблицы, полу-
ченные в результате исследования более сотни несклеенных объек-
тивов и позволяющие определить коэффициенты сферической абер-
рации пятого порядка и коэффициент сферохроматической абер-
рации и, исходя из этого, правильно выбрать значения параметров
Р" и С, позволяющие компенсировать аберрации высших поряд-
ков.

Сферохроматическую аберрацию можно представить в виде
разложения в ряд:

△Asx.x, = Л А- + В A3 + С^.
f	f3 f5

В длиннофокусных системах небольших и средних апертур сфе-
рохроматическая аберрация является одной из наиболее заметных,
поэтому для определения значения параметра С необходимо хотя
бы приближенно знать значение сферохроматизма. Этому помога-
ют таблицы, приведенные в книге Г. Г. Слюсарева, которые позво-
ляют определить коэффициент А сферохроматической аберрации
для разных комбинаций марок стекол, при условии, что вторая
линза выполнена из Ф1 или ТФЗ, и для разных значений парамет-
ров Слюсарева.

Исследования показали, что при изменении параметров Р°° и
W “ в положительную сторону коэффициент А уменьшается. С уве-
личением параметра С коэффициент А увеличивается, так как при
этом возрастают оптические силы линз, следовательно, и кривизны
поверхностей.

При использовании тяжелых флинтов коэффициент А сущест-
венно уменьшается. Это еще раз подтверждает условие выбора
марок стекол, следующее из (25.52). Целесообразно выбирать пары
стекол с большей разностью коэффициентов средней дисперсии >.

Действительно, чем больше разность (vt—v2) (25.52), тем
меньше оптические силы ср t и <р2, следовательно, больше радиусы
кривизны и меньше аберрации высших порядков.

Для учета аберраций высших порядков при небольших относи-
тельных отверстиях во многих случаях хорошие результаты дают
уже приводимые эмпирические соотношения:

Р' = (15-4-20)т =

С = -0,1[-^у, /ПЗОН = 0,7

Расчет трехлинзового объектива,
состоящего из двухлинзового склеенного компонента
и отдельной линзы

Объектив (рис. 233) имеет 5 свободных параметров при задан-
ных марках стекол. Для исправления трех аберраций один пара-
метр является избыточным.
Обычно его используют для ком-
пенсации сферической аберрации
высших порядков. Практика рас-
четов показала, что для этого
удобно принимать а4 = ? i = 0,5.

Для бесконечно тонкого объ-
ектива в соответствии с приня-
той нормировкой первого парак-
сиального луча ai=0, 04=
Об= 1 неизвестными являются
внутренние углы а2, аз и 05.

Оптические силы линз определяются на первом этапе расчета из
условия ахроматизации, уравнения масштаба и дополнительного
условия фд = К..

В результате из двух уравнений исправления монохроматических
аберраций необходимо определить 3 неизвестных угла — <х2, а3 и аз.
Поэтому необходимо использовать свойства склеенного компонента
502

Рис. 233. Ход первого параксиаль-
ного луча в трехлинзовом объективе,
состоящем из склеенного компонента
и отдельной линзы
и связать значения а2 и а3. Их можно выразить через инвариант
склейки и первую оптическую силу или выразить один из углов
в зависимости от другого и ерь Тогда

аг = Лаз + В,

(25.58)

где

_ n3(n2-l)#
n2(n3-l) ’
<P|(n3— n2)
м^-1) 

Подставив значения всех углов а, и показателей преломления
nv в выражения для параметров и W°°, получим после преобразо-
ваний:

v=5

= £ /\ = а|(Л- l)2a + a3(4-l)(2aB+d)+Fai +

V— 1

+ Aa5 ± dB + аВ2 + (<pi + ср2)3£ + L; (25.59)
v=5

= £ tF, = a3G(A- 1)+ Ma5 + GB + H, (25.60)

V = 1

где

G = —/(epi + cp2);

D = 3 ( Y1	V — __3	/_V _

n2— 1 (?1 + ?2/ П3 — ' \'Р1 + ?2/	<Г1 + '-?2’

, _ D (<p t + <p2)2 .

_1__ 1 ’
«3	«2

«2	/	?1 У _	«3	/	?2 Y_______________”3?2________.

(n2 — 92 \ fl + ?2 /	(«3 — 92 \ ? 1 + ?2 / + (n3 — !) (fl + fn)2’

_T?__D

H=(?1 +	-^2—+IXdptL;

n5 -1
K=7^l(’' + rt’-11(2 + i)1

/- („Д1у!||-(т1 + »П
n5 /	2 \

<pi + <p2 = 1 —k ~ ?! = a4.

Из (25.60) имеем

«б =	+ I,	(25.61)

. _ OS 4- H — W" _ W°° —GB — H
M	M 

Подставив (25.61) в (25.59), после преобразований получим квад-
ратное уравнение

maf + «а3 + q = 0,	(25.62)

где

т = (Л - l)2a + F/2;

и — (А — Y)(2aB + d) + 2Flt + Kt\

q = aB* + dB + (cpj + <p2)3£ + L + Fl2 + KI - P ».

Из решения (25.62) выбирают меньшее положительное значение а3,
затем из (25.61) и (25.58) определяют а2 и а5.

Расчет трехлинзового объектива,
состоящего из отдельной линзы
и двухлинзового склеенного компонента

Рис. 234. Ход первого параксиаль
кого луча в трех линзовом объективе
состоящем из отдельной линзы и двух

Расчет объектива (рис. 234) во
многом аналогичен расчету ранее
рассмотренного. Объектив также
имеет пять свободных параметров,
один избыточный параметр исполь-
зуем для компенсации сферической
аберрации высших порядков, при-
нимая, что аз = К<р = <р|.

Для бесконечно тонкого объек-

линзового склеенного компонента тиеа в соответствии с нормиров-
кой первого параксиального луча
aj = 0, аз=<р1, аб=1> h\=f'—l.

Неизвестными являются углы а2, «4 и а&.

Оптические силы линз ср2, <рз определяются из уравнений масш-
таба и ахроматизации и дополнительного условия cpi = /Сер.
По аналогии с вышерассмотренным объективом можно связать
зависимостью внутренние углы склеенного компонента а4 и а5:

а.4 =Ла5 + В,
где

А _	”5 (”4-1).

п4(п5- 1)’

D _ (га5 ~ w4)(a3 + ?г)

~ п4(Лб—J) ‘

Или принимая во внимание, что инвариант склейки

ан — а .

<?4 = Q = ------ п4п5,

п5 — п4

и используя уравнение оптической силы <?2 второй линзы объектива,
получим

_ П4 (габ ~	(аз + ч>2) - Q (п5 - л4)

“4	п24 («5 -1) -1	;

Подставив все значения в уравнения для основных параметров
иР", получим соответственно линейное уравнение относительно
«2, ®5 (»2, Q) и квадратное уравнение. Для положительных линз
часто используют стекло одной марки.

Расчет трехлинзового объектива,
состоящего из трех отдельных линз

Трехлинзовый несклеенный объектив (рис. 235) имеет 6 свободных
параметров, из которых два являются избыточными, поэтому не-

обходимо принять два дополни-
тельных условия.

Можно положить, что оптиче-
ские силы положительных линз
одинаковы, или принять ®i = ky.
Для использования еще одного
параметра можно рассчитать пер-

вую положительную линзу на ми-

нимум сферической аберрации. Рис> ^од первого параксиального
При использовании ЭВМ вы- луча в тр™’льных^инз™6 “3

бор а2 можно производить из

условий минимизации аберраций.

При выбранной нормировке первого параксиального луча aj = О,
/21	- 1, а7 = 1.

При расчете первой линзы на минимум сферической аберрации

угол

_ (2ге+ 1)“з
a2min 2(« + 2) 
Подставив все значения я, и л, в выражение Sf = Р°° и 3,“ =»
= UZ°°, получим:

n 4(2zn2H-1)з3-«2(2Н-"*2)аз + аз ,

«4(2т4+ 1)(«5 — аз) + “4 (тА + 2) (“3 ~ “б) + а5 — “3

+	(^1)2	- +

ag(2m6+ 1)(1 —«5) + аб(2 + т6) (а| — 1) + 1 — а|

+	(«6-1)2	’’

аб(«6 + 1)(1 — аб)~ь аб — 1
«6 —1

1

т = —.

п

(25.64)

Из уравнения исправления меридиональной комы получим

as = ba.4 + d,

(25.65)

где

Л = Г”-Г1л-

•2.

а3 а5

В А —
с' d~
«Б3-1

«4—1	«в~ 1

1л

а2 (1 + «2) °

«2 — 1



А

С

Г

____(«4+ О^б-^).
m4 — 1	’

С — (ОТ6~^~ 1)(1 — аб)
«6 —1

Подставив (25.65) в уравнение исправления сферической абер-
рации, получим

Z?a4 + Еа.4 F — 0,	(25.66)

где

26d(2m8+ 1)(1 — а5)
(«6 - I)2

д, af(2m24- 1)а3 — а2 (2 + т2) «3 + «3	,	«5 — а| ,

(«2-1)2	+(^=Л)2 +

, d2(2m6 + 1)(1 — а5) 4-d(2 + m6) («g — 1) + 1 —

+	(«б-l)2

Из решений уравнений (25.66) и (25.65) определим неизвестные
внутренние параметры системы а4 и ag.
Расчет двойных четырехлинзовых объективов,
состоящих из двух одинаковых двухлинзовых компонентов

Компоненты объектива (рис. 236) имеют одинаковые радиусы
кривизны, поэтому при заданных марках стекол объектив имеет
не 6, а три свободных параметра. Вследствие этого меридиональную
кому можно исправить только подбором марок стекол, как и в
двухлинзовом склеенном компоненте.

Для расчета необходимо определить параметры Р”, 1Г“ и С од-
ного компонента и затем произво-

дить его расчет.

В соответствии с нормировкой
первого и второго параксиальных
лучей

<Xj = 0, ац = 0,5, ап = 1, Л] =

f =1, ар — у\ = 0, 01 = 1,
/ = —1.

Кроме того, п\ = n4 = п7 = 1.

Суммы Зейделя SF и Sn мож

Рис. 236. Ход первого параксиаль-
ного луча в четырехлинзовом объек-
тиве, состоящем из двух одинако-
вых двухлинзовых склеенных ком-
понентов

записать в следующем виде:

Sf = Р” = Pi + Рц, Sfi = Г = Wn.

Индексы относятся к компонентам объектива.

Можно выразить параметры Р~, объектива через основные
параметры каждого компонента, применив формулы перехода от не-
основных к основным параметрам:

Pi = (а; — а/)3 Рi -f- 4az (а; — az)2 W” -f- az (az — az) [2az (2 + zz) — az];

Wi ~ (a-i — a()2 WT + az (az — az) (2 -f- ^z)-

Принимая, что коэффициент Пецваля к « 0,7 и подставив зна-
чения углов для компонентов, имеем:

Рг = 0,125РГ; W, =0,25ГГ;

Рн = 0.125РП + 0,5ГП + 0,425; Wu = 0,25ГЙ + 0,675;

Р“ = Р, + Рц = 0.125РГ + 0,125РП + 0,5ГП + 0,425 = 0;

W* = W j +	= 0,25W? + 0.25ГП + 0,675 = 0-

По условию конструкции можно записать

РГ = РП = Р”, W7 = wTj = г“.

Тогда получим

0,250Р“ + 0,5Г“ + 0,425 = 0; 0,50+ 0,675 = 0.

Из решения системы уравнений имеем Р” = 1,0;	= —1,35.

При положительных значениях Р” и W7” =—1,3 аберрации выс-
ших порядков значительно уменьшаются, коэффициенты b и с имеют
небольшие значения: Ь==6ч-7; с = 120-ь 150.
Для выбора марок стекол удобно воспользоваться таблицами
Слюсарева. Хроматический параметр С при больших относительных
отверстиях рекомендуется брать от —0,0010 до —0,0020.

При расчете следует помнить, что фокусное расстояние каждого
компонента в два раза больше фокусного расстояния всего объек-
тива, /' = 2/об.

Рассмотренная методика расчета применима практически ко

Рис. 237. Ход первого параксиального
луча в четырехлинзовом объективе,
состоящем из двух одинаковых двух-
линзовых несклеенных компонентов

всем объективам, состоящим из
двух одинаковых компонентов
(рис. 237).

Расчет телеобъектива
телескопических систем

Расчет телеобъектива с фо-
кусирующим компонентом в ви-
де отдельной линзы. Расчет теле-
объектива с фокусирующим ком-
понентом в виде отдельной лин-

Рио. 238. Ход первого параксиального
луча в трехлинзовом двухкомпонент-
ном телеобъективе

зы ведется из условия компенса-
ции аберраций. Конструктивные элементы первого положитель-
ного компонента определяются из условия компенсаций аберраций
второго фокусирующего компонента.

Фокусные расстояния компонентов и расстояние между ними
известны из габаритного расчета системы. В исходных условиях
часто задаются условия, заранее определяющие форму отрица-
тельной линзы: г5= —гв, гв =оо и т. п. В подобных случаях можно
определить параметры Слюсаре-
ва для второго компонента.

Предположим, что телеобъек-
тив состоит из положительного
нссклеенного компонента и от-
дельной линзы, для которой
г5=—гв (рис. 238).

Принимая оба компонента бес-
конечно тонкими и известные
условия нормировки первого па-
раксиального луча, имеем: hi =
= hz = hi — h4 — h i = f — 1, As =
= /z6=/2n; ai = 0, Я7 = 1, тогда

Внутренний угол aa 1-го параксиального луча для второго ком-
понента определим из условия г 5 = —г&:

П6а6 — «5. «6ЯЙ — “5 ’

— М1 ~ М _ /ги Q — »б)

1 — П6а. — I — пмп ’
откуда

ав —

1 + я5

1 +?i
2п6

В результате для второго компонента имеем: а5 = <?,, а6 =

1 + ?!

2«6

, а7 = 1,

ай(2тб+ 90 -- ав) + “б(тб+ 2)(а5~• 0 “5

("Ч-l)2	:

“б(тв+ 1)0 —а5)+я5— 5 . /-

1 I  ----;—|--------, С j,

а5~ 1	?! — 1

vA	vr

6	ь

Условие ахроматизации двух бесконечно тонких компонентов,
расположенных на конечном расстоянии, имеет вид

—5ixp =	+ Лп'рпС’п — 0,

откуда

q  ^пУп^п
- 'fi

Из условия исправления сферической аберрации третьего по-
рядка

2

sr = S hiPi = hiPt + huPu = 0

>=i

имеем

Р1 = —НцРц,

тогда

Условие исправления меридиональной комы при ар = у\ — О
имеет вид

SF^nPn + IF! + №n = 0,
откуда

WI = —г/цРц — и^ц.

Из расчета второго параксиального луча, при нормировке ар =
= у\ = 0, pi = 1 получим:

Уи = у\ —dofin = —do.

С учетом этого имеем

= doPw — W и.
Сделав переход от неосновного параметра к основному, имеем
ц/г=-4 = -±.

а/ Ч>1

При известных значениях Р”, IF”, С для первого положительного
компонента производится его расчет по известной методике.

Особенности расчета телеобъективов разных конструкций. В ря-
де конструкций телеобъективов (см. рис. 226 и 227) фокусирую-
щий компонент является двухлинзовым склеенным, и расчет теле-
объектива производится по компонентам, с исправлением аберра-
ций в каждом компоненте.

Первый положительный компонент рассчитывается при извест-
ных значениях фокусного расстояния, относительного отверстия и
поля, которые определены в габаритном расчете.

Второй отрицательный компонент рассчитывается при известных
значениях фокусного расстояния, положений предмета, линейном
увеличении 0о, апертуре.

Особенности расчета объективов малых увеличений и небольших
апертур. В оптических системах часто применяются объективы про-
стой конструкции, для которых предмет расположен на конечном
расстоянии. Примером таких систем являются объективы отсчет-
ных микроскопов геодезических приборов, фокусирующие компо-
ненты телеобъективов и т. п.

Полагая объектив бесконечно тонким, при условии Sixp = 0,
Si=0, определяют параметры Слюсарева Р, W и С и производят
переход к основным параметрам Слюсарева Р , IF“, после чего
расчет ведется по известной методике.

Если в системе установлена призма или плоскопараллельная
пластинка, то призма развертывается в эквивалентную плоскопа-
раллельную пластинку и расчет объектива производится с учетом
аберраций плоскопараллельной пластинки. Тогда условия исправ-
лений аберраций записываются следующим образом:

Slxp = Sjxp.oO + Slxp.nnn = 0;

Si = Sjo6 Ч~ Sinnn — 0;

Sn = SiioP + Slinnn = 0,

где Sixp.nnn, Sinnn. Snnnn — суммы Зейделя для плоскопараллельной
пластинки.

§ 166. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем

В последнее время в оптико-электронных приборах, в связи с
расширением диапазона длин волн в инфракрасной и ультрафио-
летовой областях спектра, большое развитие получила группа
зеркальных и зеркально-линзовых систем. В этих системах глав-
ная роль в образовании изображения отводится отражающим по-
верхностям, не вносящим, как известно, хроматических аберраций,
Особенности зеркальных и зеркально-линзовых систем.
Преимущества и недостатки этих систем
по сравнению с линзовыми

Зеркальные и зеркально-линзовые системы находят самое широ-
кое применение, поскольку обладают рядом существенных преиму-
ществ перед линзовыми. Это, прежде всего, высокая светосила и
разрешающая способность, отсутствие хроматических аберраций
у зеркал, высокий коэффициент светопропускания. При сравнитель-
но несложной конструкции зеркально-линзовых и зеркальных си-
стем можно получить достаточно совершенную коррекцию сфери-
ческой аберрации. Чисто зеркальные системы не содержат прелом-
ляющих поверхностей и поэтому удобны для использования в ин-
фракрасной и ультрафиолетовой областях спектра. Кроме того,
при одних и тех же значениях фокусных расстояний продольные
габариты системы меньше, чем у линзовых систем. Это позволяет
сделать систему компактной и удобно разместить оптические эле-
менты конструкции. Требования к стеклу, из которого может быть
изготовлена подложка для зеркал (подложка может быть и ме-
таллической), значительно ниже, чем требования к стеклу, предъ-
являемые для изготовления линзовых систем.

Однако, наряду с положительными свойствами, зеркальные и
зеркально-линзовые системы имеют и недостатки, ограничивающие
их применение. Это прежде всего сложность изготовления и контро-
ля асферических поверхностей зеркал, сложность юстировки зер-
кальных систем, экранирование (зрачок имеет кольцевую форму),
вызывающее перераспределение освещенности в дифракционном
изображении точки. Кроме того, зеркальные системы, как правило,
имеют большую кому, что уменьшает полезное поле системы. В не-
которых случаях зеркальные и зеркально-линзовые системы требу-
ют применения защитных стекол для герметизации.

Обоснование выбора исходных данных
для расчета зеркальных и зеркально-линзовых систем

Исходными данными для расчета зеркальных и зеркально-лин-
зовых объективов являются:

а)	для предмета в бесконечности
(Si = — со):

1.	Фокусное расстояние — /Об>

2.	Относительное отверстие —

3.	Угол поля — 2(о,

об

б)	для предмета на конечном
расстоянии (Si#= — оо):

1.	Линейное увеличение —р0,

2.	Числовая апертура—А,

3.	Линейное поле — 2у,

D

4.

5.

6.

7.

8.

Вынос изображения — 3,
Коэффициент экранирования — k,
Положение входного зрачка — sp,
Требуемое качество изображения,
Общие конструктивные требования.
Исходные данные выбирают из следующих соображений: отно-
сительное отверстие объектива (или его апертуру) определяют из
условия требуемого качества изображения, причем фокусное рас-
стояние объектива f должно обеспечивать необходимую точ-
ность измерения, отвечать габаритным и конструктивным требо-
ваниям. Размер входного зрачка и коэффициент экранирования
определяются из энергетического расчета, а угол поля (или линей-
ный размер поля) должен обеспечивать необходимое поле обзора,
быстродействие системы, ее помехозащищенность, требуемое ка-
чество изображения. В некоторых случаях угол поля определяется
размерами чувствительной площадки выбранного приемника. Ра-
бочий спектральный интервал Ль Ло, Лг определился спектральными
характеристиками излучения объекта, фона, среды, фильтров, при-
емников лучистой энергии. Необходимое качество изображения,
которое в общем случае можно охарактеризовать распределением
энергии в пятнах рассеивания по всему полю, определяется точ-
ностью измерения и выбранным типом анализатора.

Основные схемы зеркальных и зеркально - линзовых объективов

Простые зеркальные объективы. 1. Одиночное зеркало.
Простейшей зеркальной системой является одиночное вогнутое

Рис. 239. Простые зеркальные
объективы. Одиночное сферичес-
кое зеркало

зеркало (рис. 239). Изображение, аб-
солютно свободное от хроматизма,
образуется в фокальной плоскости
зеркала. Если зеркало параболиче-
ское, то оно свободно от сферической
аберрации.

2.	Система Ньютона. Если
необходимо вынести изображение
в сторону, за пределы трубы, мож-
но применить систему Ньютона
(рис. 240). Изображение выносится
с помощью наклонного зеркала (рис.
240, а) или с помощью призмы пол-
ного внутреннего отражения (рис.
240, б). Непосредственно за фокусом
объектива располагается окуляр.

Система, изображенная на рис. 240, а, имеет преимущества перед

системой, изображенной на рис. 240, б. Во-первых, плоское зерка-

ло не вносит аберраций, тогда как призма приводит к сфериче-
ской и хроматической аберрации, во-вторых, зеркало может быть

изготовлено по форме пучка лучей, оно меньше экранирует этот
пучок и вызывает меньшие дифракционные помехи, в-третьих,

зеркало проще в изготовлении и его плоская поверхность может
быть выполнена с допусками в полтора раза большими, чем до-
пуски на гипотенузную призму. Однако призмы хороши тем, что
их светопропускание пе изменяется с течением времени и коэф-
фициент пропускания т^90°/о.
В случае визуального наблюдения объектов предельная величи-
на выноса 8min фокальной плоскости в сторону с помощью зеркала
при минимальном экранировании определяется формулой

D, + 4,2 2L

_	1	Di

8min	9 •

2+"^“

Рис. 240. Система Ньютона:
а — с плоским наклонным зеркалом; б -- о призмой полного внутреннего отражения

Потери на экранирование в этом случае могут быть определены
по формуле

[Рэкр]т1п ’—

D2 Pl- 4- 8,4 Jl (D\ + 4,2) 2
fl	Di

100%.

D2 [2Dj + 4.2J2

3.	Кольцевой объектив. С помощью плоского зеркала
можно вынести фокус сферического зеркала F\ за его поверхность
через отверстие в теле зеркала (рис. 241). В такой схеме при за-
данном относительном отверстии объектив имеет меньшую длину,
однако имеет место значительное экранирование, приводящее к
снижению качества дифракционного изображения. Уже при экра-
нировании порядка одной трети светового диаметра, что вызывает
потери равные примерно 11%, качество дифракционного изобра-
жения заметно ухудшается по сравнению с качеством изображения
при незаэкранированном отверстии объектива. По этой причине в
оптических системах не следует допускать экранирования, превы-
шающего 10—12% площади действующего отверстия объектива.

4.	Система Гершеля. Можно осуществить конструкцию
объектива, состоящего только из одного вогнутого зеркала, а поэ-
тому не имеющего никаких экранирующих элементов (рис. 242).
Объектив такого типа носит название системы Гершеля.

Объектив Гершеля можно трактовать по-разному, и в каждом
конкретном случае получать своеобразную систему, имеющую лишь
внешнее сходство с системой Гершеля. А именно;
а)	зеркало может быть сферическим, наклоненным на некото-
рый угол ф к падающему пучку лучей. Такое зеркало вносит кому,
астигматизм, кривизну поля и сферическую аберрацию;

б)	зеркало может быть частью, выкроенной из большой сферы
MON (см. рис. 242). Система может считаться центрированной от-
носительно оси OF', а поэтому для точки F' изображение будет
свободным от аберрации наклонных пучков: комы, астигматизма,
кривизны поля. Однако сферическая аберрация, увеличивающаяся

7

Рис. 241. Кольцевой объектив

Рис. 242. Система Гершеля

пропорционально кубу относительного отверстия, будет очень ве-
лика. Кроме того, наблюдается не вся картина сферической абер-
рации, так как зеркало выкроено эксцентрично из большого зер-
кала, поэтому аберрационная картина будет несимметричной, ни-
чем не отличающейся от картины, создаваемой схемой рассмот-
ренной в пункте а;

в)	зеркало может быть параболоидом вращения вокруг оси
тп с вершиной в точке т. Параболоид получается наклоненным на
некоторый угол ф к пучку лучей. Сферическая аберрация в такой
системе отсутствует, а аберрации наклонных пучков будут такие же,
как и в первом случае (пункт а). Качество изображения, если и
улучшится, то в очень малой степени;

г)	зеркало может иметь торическую форму. Тогда в систему
вводится некоторый собственный астигматизм, способный скомпен-
сировать астигматизм наклонных пучков для угла ф. В этом случае
для центра поля (точка F') астигматизм окажется исправленным,
кома же практически не изменится, и если она вообще мала, то
система дает вполне удовлетворительное изображение вблизи точ-
ки F'. Такой вид поверхности предложили Данжон и Куде;

д)	зеркало можно рассматривать как часть, выкроенную из
большого параболического зеркала аов с вершиной в точке О и
осью OF' (см. рис. 242). Система оказывается центрированной,
изображение в точке на оси безупречное, однако оно заметно пор-
тится по мере приближения к краям поля (большая кома, астигма-
”изм, кривизна). Система является наиболее совершенной в опти-
ческом отношении, но ее трудно изготовить.

Сложные зеркальные и зеркально-линзовые объективы. Если
система содержит два или большее число неплоских зеркал, то та-
лую систему называют сложной. Будем рассматривать системы,

Рис. 243. Оптические схемы предфокальных зеркальных объективов;
а — удлиняющая система; б — укорачивающая система

юстоящие только из двух неплоских зеркал. Большое вогнутое
зеркало, определяющее действующее отверстие сложной системы,
зазывают главным зеркалом, меньшее зеркало, преобразующее
сходимость пучков, называют вторичным зеркалом. Все многооб-
эазие объективов можно свести к четырем характерным типам:
тредфокальные системы — удлиняющие и укорачивающие и за-
вокальные системы — удлиняющие и укорачивающие.

а	/	о

Рис. 244. Оптические схемы вафокальных зеркальных объективов.’
в — удлиняющая система; б — укерачивающая система

В схемах, представленных на рис. 243, а, б, вторичное зеркало
2 расположено перед фокусом главного зеркала 1 F J , и поэтому
;ти схемы называют предфокальными в отличие от схем зафокаль-
)ых (рис. 244, а. б), где зеркало 2 расположено за фокусом зерка-

1 F' . В схемах на рис. 243, а, 244, а вторичное зеркало умень-
шает сходимость отраженного пучка, т. е, удлиняет общее фокусное
7*	615
расстояние. Такие системы называются удлиняющими или зер-
кальными телеобъективами.

В схемах, представленных на рис. 243, б, 244, б, происходит
укорочение общего фокусного расстояния, такие системы называ-
ются укорачивающими или зеркальными дуплетами.

Рис. 246. Оптическая схема класси-
ческого объектива Кассегрена:

1 — главное зеркало — параболоид враще-
ния? 2 — вторичное зеркало — гиперболоид
вращения

Рис. 245. Оптическая схема обращен-
ного телеобъектива

Если вогнутое вторичное зеркало 2 значительно превосходит
по диаметру выпуклое главное зеркало 1, то такие системы назы-
ваются обращенными телеобъективами (рис. 245). И, наконец,
если в схемах (гм. рис. 241, а, 242, а) точка Е’Об удалена в беско-
нечность, то через отверстие в зеркале выйдут параллельные пучки
лучей и система будет телескопической.

Рис. 247. Оптическая схема классиче-
ского объектива Грегори:

1 — главное зеркало—параболоид вращения?
i — вторичное зеркало — эллипсоид враще-
ния

Рис. 248. Оптическая схема класси-
ческой телескопической системы Мер-
сена:

1 — главное зеркало — параболоид враще-
ния;' 2 — вторичное зеркало — параболоид
вращения

В классической системе Кассегрена (рис. 246) главное зеркало
1 —параболоид, вторичное зеркало 2— гиперболоид. В системе
Грегори (рис. 247) главное зеркало 1—параболоид, а вторичное
зеркало 2 — эллипсоид. Отличие схем еще и в том, что в системе
Грегори имеется промежуточное изображение предмета. В систе-
ме Мерсена (рис. 248) главное 1 и вторичное зеркало 2— нарабо-
лоиды, фокус F' лежит в бесконечности и система работает как
телескопическая.

В том случае, если оптические схемы объективов будут состо-
ять из двух сферических зеркал, то в дальнейшем такие объективы
будем называть в соответствии со схемой: системы типа Кассегре-
на, типа Грегори и типа Мерсена.

Однако, как бы ни сложна была форма зеркал, объективы не
могут быть исправлены в отношении астигматизма и комы, поэто-
му угол поля в этих системах не превышает 2—3° *.

Для компенсации монохроматических аберраций зеркальных
систем применяются линзовые компенсаторы. (Основные схемы
объективов с линзовыми компенсаторами представлены на рис. 254,
256—258, 263, 266—270).

Теория и расчет компенсаторов, а также расчет зеркальных
и зеркально-линзовых объективов с компенсаторами приведены
в § 167—§171.

Расчет простых зеркальных объективов

Оптические схемы простых зеркальных объективов представле-
ны на рис. 239, 241. Экранирующее зеркало (контротражатель)
уменьшает габариты системы, позволяет рационально разместить
приемник лучистой энергии. Однако в этой схеме имеет место
экранирование (зрачок имеет кольцевую форму), площадь ко-
торой определяется выражением

с	/ т-,2	TtD

где	г>вх.зР —-4-^1—,

d = VdI-dI = D, /ГТ2,

D\ —световой диаметр сферического зеркала; — световой диаметр
. D2 , .

контротражателя; я = —— коэффициент экранирования.

Тогда эффективное относительное отверстие еЭф определится как

Эффективное относительное отверстие необходимо учитывать при
расчете дальности действия, определении коэффициента полезного
действия и оценке качества изображения системы.

* Кретьен предложил апланатичсскую удлиняющую предфокальную сис-
тему, аналогичную схеме Кассегрена. Главное зеркало имело форму гипербо-
лоида. Система не свободна от астигматизма и кривизны поля, которая в 6,8
раза меньше, чем оптическая сила всей системы. Ричи первым изготовил такой
объектив, поэтому эту систему часто называют системой Ричи — Кретьена. Та-
кую схему часто используют в современных телескопах.
Запишем выражения сумм Зейделя, характеризующие аберрации

одиночного зеркала:

Si = h\Pti

S„ = у\Р\ —
2

Sin	Й71 + 12Ф;

c 8an

Slv ~ hirin'
3	2

Sv = §P,_3lg W} + 212^Ф1(

Л,	"1

(25.67)

Рис. 249. Ход первого и второго пара-
ксиальных лучей в простом зеркаль-
ном объективе (предмет на конечном
расстоянии)

зеркала (sp — 0), выражения
гг = 4-в=

где параметры Р\, ITi, я для оди-
ночного зеркала в воздухе, когда
nt = 1, «2 = — 1, I = — 1, опреде-
ляются выражениями

Pi =----(а2 — а02 (а2 + си);

IT] = у(а2 —оц).
я = аг + aj

(25.68)

Если предмет в бесконечности
(Si = — со), то с учетом нормиров-
ки первого параксиального лу-
ча си = 0, а2 = — 1, /'= —1,
h\ = 1 и при условии, что вход-
ной зрачок совпадает с вершиной
(25.68) примут вид: Р\ = +-|-,

— 1,0, а суммы Зейделя запишутся как

5Г = +4‘ 5П = +4. 5ш = + 1, S,y=-1, Sv=0. (25.67')

Если предмет расположен на конечном расстоянии (si #= — со),
то при нормировке оц = Ро> a2 = —1,	= Sjai, I = + Po(sp— Si)

параметры Pi и l^i по (25.68) примут вид (рие. 249)

а суммы Зейделя в случае, когда входной зрачок совпадает с вер-
шиной зеркала (sp ~ 0), запишутся в виде:

Si = 4si|3o(i + mi- М;

Su = 4 Sipe (1 - ₽о);

•Sui = sip0(l — Ро);
Siv — — Ф1!

(25.67")

Sv = 0.
Величину сферической аберрации в линейной (Дзш), в угловой
мере (Да'), радиус кружка рассеивания в плоскости Гаусса (Ду )»
а также величину волновой аберрации (N), вносимые одиночным
вогнутым зеркалом в области аберраций третьего порядка, можно

вычислить по формулам
2	2

.	т\	т\

б) Да'=

mj

С "Ч

в) Ду' =

„з	„3

8/оГ = “~2^;

(25.69)

г) М =

4
1

Из (25.69,а) следует, что сферическая аберрация, вносимая сфе-
рическим зеркалом, оказывается в восемь раз меньше поодольной
сферической аберрации линзы, рассчитанной на минимум ссреричес-
т2
кой аберрации, для которой при га =1,5 Pmin = 2,14, Дз' =-------Л.

4>б

Из формул (25.67") также следует, что при любом положении пред-
мета относительно зеркала (за исключением случая, когда si — г,
Ро =—1) сферическая аберрация остается неисправленной, однако
если М <4, то такое зеркало практически не отличается от иде-
ального, параболического. В этом случае распределение освещен-
ности в дифракционном изображении точки будет аналогично рас-
пределению освещенности для идеальной системы.

Исходя из условия Мтах < и приняв X = 0,555 нм, Д. Д. Мак-
сутов вывел условие сферического зеркала, практически заменяю-
щего параболоид:

Дтах = 0,284/С3,

где Дтах — максимальный световой диаметр зеркала; Д = f'o6/D —
величина, обратная относительному отверстию.

В табл. 6 приведены значения относительных отверстий и до-
пустимые световые диаметры зеркала, при которых оно дает прак-
тически идеальное изображение:

Таблица 6

Чб	I ! 1	1 : 1,4	I : 2	1 i 2,5	1 1 3,5	1 1 5	1 1 7	1 ! 10	1 : 14	1 1 29
& max » мм	0,284	0,779	2,27	4,44	12,2	35,5	97,4	284	779	2270
или, если 1,523|/Т) при N = ^(Х — 0,555нм), будем иметь:

Таблица 7

О  s Э  ~ *	70	100	1 40	200	250	350	500	700	1000	2500	5000
f'o6/D	6,26	7,05	7,90	8,89	9,57	10,7	12,1	13,5	15,2	20,6	26

Рис. 250. Ход первого и второго параксиальных лучей в простом зеркальном
объективе (предмет в бесконечности):

— входной зрачок расположен в центре кривизны сферического зеркала; б — центр зрачка
совмещен а вершиной сферического зеркала

Из табл, 6, 7 видно, что при световом диаметре D\ = 100 мм
сферическое зеркало практически равноценно параболическому, если

не превышает 1:7; при D — 1000 мм относительное отверстие
об

должно быть 1:15 и т. д.

На величину полевых аберраций, как показывают формулы (25.67),
оказывает влияние положение входного зрачка. Так, если si = —со,
a sp ~ 2/i = ri, т. е. входной зрачок расположен в центре кривизны
зеркала, то Sf = Р“ = Sn = 0, S“H = 0, Sjv — — 1, Sv = 0
(рис. 250, а). Если же центр входного зрачка совпадает с вершиной
г-»оо	1 г>оо	1

, ТО при 51= —со 5] =Р1 = Т’ ^н=-2;	=

= 1, Siv = -1; Sv =о (рис. 250,6).

Отдельное зеркало свободно от сферической аберрации, если оно
имеет форму параболоида. Однако хотя у параболического зеркала
△s' — 0, кома и астигматизм такие же, что и у сферического зер-
кала, в том случае, когда входной зрачок совпадает с оправой
зеркала. Приведем соотношения для полезного углового поля, когда
кома практически не влияет на качество изображения (зеркало па-
раболическое),
0,00362 [f'/D J2 0,00362/C2

“max—	D| — D)

и формулу определения полезного углового поля, для которого
астигматизм не влияет на качество изображения,

u>max = 0,0333 р/

Делаем вывод, что если одиночное сферическое зеркало
использовать в качестве оптической системы (например объектива
или конденсора), то необходимо устранить сферическую аберра-
цию асферизацией поверхности или применением компенсаторов.

Габаритный и аберрационный расчет
двух зеркальных объективов

Расчет зеркального объектива типа Кассегрена. Оптическая схема
зеркального объектива типа Кассегрена представлена на рис. 251.

Рис. 251. Габаритный расчет зеркального объектива типа Кассегрена

Пусть входной зрачок совпадает с вершиной поверхности первого
зеркала (sp = 0). Габаритный расчет выполняется при следующей
нормировке: оц. = 0, аз — 1, /Об = hi = 1, у\ — sp — 0, fh — 4-1. Если
система расположена в воздухе, то п\ = пз = 1, п2 — —1.

Расстояние между зеркалами определяется из условия равенства
h2

угла а3=1. Тогда, как следует из рис. 251, а3 =	_|_ д, тогда

h2 = —d\ 4- 8- Так как h2 = k, то d\ = 8 — k.

Угол аг — угол первого параксиального луча с оптической осью

определяют

из соотношения

h{ — h2 \—k
1X2 —	~ 8 — й ’

(25.70)

где

h\

— коэффициент экранирования.

k =
Вычислив углы первого параксиального луча с оптической осью,
радиусы кривизны зеркал объектива определяют по формулам рас-
чета хода первого параксиального луча, а именно:

/I1(n2-ni)_ 2 .

«2а2—ftl“l а2’
^г(пз—пг)_____ 2k

пЗаЗ — n2a2 1 + а2

(25.71)

Из формул (25.71) видно, что чем меньше значение угла аг,
тем больше радиусы кривизны зеркал, а следовательно, и мень-
ше аберрации высших порядков. Значение же угла аг, как следует
из формулы (25.70), определяется величиной б — выносом изобра-
жения, так как коэффициент экранирования в зеркальных систе-
мах порядка 0,4—0,5. Чем больше вынос изображения б, тем боль-
ше угол 1аг1 и тем больше кривизна поверхностей зеркал. Самым
оптимальным вариантом является система с 6=0. Изображение
находится в вершине поверхности главного зеркала, хотя такая
конструкция объектива не всегда бывает удобной.

Выполним аберрационный расчет системы типа Кассегрена,
вычислив первую и вторую суммы Зейделя:

2

S] =	V = Р1 -ф- kP2',

V—1

2	2

Sn = s - I S W, = yyPy + У2Р2 + Wy + W2.
7=1	7=1

Так как Sp = 0, то y\ = 0 и Sn = У2Р1+ Wy + W2. Параметры

Pi, P2, Wy, W2 будут соответственно вычисляться по формулам

р “2 оЗ. р _ 0 — “г)2 0 +“г) _(* — 4?1)(1~2Р1).

Pi ----4- = —Р2------------4-------------4-----,

где pi = -ур

Тогда с учетом того, что y2=dy, выражения для Si и Sn при-
мут вид

м 1------------4	,	Vй • '

+ Ч	(25.73)

Анализ формул (25.72) и (25.73) также показывает, чтб значения
сумм Зейделя Si и Sn для системы из двух зеркал, расположенных
на расстоянии dy друг от друга, зависят от угла аг и от расстоя-
ния dy.
Габаритный расчет зеркального объектива типа Грегори. Опти
ческая схема зеркального объектива типа Грегори представлена нг
рис. 252. Пусть входной зрачок совпадает с вершиной первой ш-
верхности главного зеркала (sp = 0). Расчет выполняется при сле-
дующей нсрмировке: aj = 0, a3 = —1, h\ = —/об = 1, foe = —1 "—
= sp==0, Pi = 1, 1 = —1. Как видно из рис. 252,

Рис. 252. Габаритный расчет зеркального объектива типа Грегорг

Из (25.74) следует, что h3 = — зг — —(В—di), тогда

d\ — h2 + 8.

По формуле перехода от одной поверхности к другой запишем
hi — hi — dia2, тогда

Л1 — Л2 1 — Л2
a2

И

__ 2 ___ 2 02 + *)

Г1 а2 । — Л2

Радиус кривизны при вершине второго зеркала определим ш
формуле

__ Лг(пз — лг)__ 2Л2

Л3Я3 ““ M2a2 a2 1

Подставив значение угла аг в выражение для п, с учетом того
что hi — —k, получим

, _ —2* (»— *)

Г2 l + 2/г — 8'
Итак, конструктивные параметры зеркального

объектива запи-

шутся в виде

г 2 (6 - fe)

Г1 —	1X4

П\ = 1

d\ — 8 — k m — — 1 /об = —1-

—2fe(8 — fe)

Г2 ~ l+2fe—8

Пз = 1

Габаритный расчет системы типа Мерсена. Система типа Мер-
сена, оптическая схема которой представлена на рис. 253, относится
к телескопическим системам. Роль

Рис. 253. Габаритный расчет зеркаль-
ной телескопической системы типа
Мерсена

Известно,

что угловое увеличение можно определить

окуляра выполняет второе зер-
кало. Габаритный расчет системы
выполняется при следующей нор-
мировке первого параксиального
луча: ai = аз = 0; для системы
в воздухе П1 = пз = 1, «2 = —1.
Исходными данными для расчета
являются угловое увеличение уо
и расстояние между вершинами
зеркал di.

как

_ D'

Т°“ D2

— = Sl
f’z

Вычислим радиусы кривизны поверхностей зеркал, воспользо-
вавшись формулами расчета хода первого параксиального луча:

а)	для первой поверхности: я2а2 — tiim =	("2~ni), так как

ri

«1<Х1 = 0, то

2/1,

“2 = —;	(25.75)

и	-- tin}

б)	для второй поверхности /г3аз — п2<х2 = - -- ----------так как

г2

Яз«3 = 0, то

2ft,

“2 = —•	(25.76)

Приравняв правые части уравнений (25.75), (25.76), получим
А = А
га г, •

Так как hz = h\—dia?, то

/г2 t d|Ct2

*1 ЛГ
или с учетом (25.75) получим

. 2di

Л)	г1 •

Заменив отношение -Д- через -Д, определим
Я1	То

2^1 То

П То-1'

тогда

ri	2di

Г2~ То	То-1

Анализ формул (25.72) и (25.73) показывает, что чисто зеркаль-
ные системы, состоящие из сферических отражающих зеркал, при
а >0,1^6 имеют значительные аберрации, для компенсации которых
в системы вводят специально рассчитанные компенсаторы.

§ 167. Компенсаторы монохроматических аберраций
зеркальных систем

Первые компенсаторы стали появляться в XVIII веке после
изобретения ахроматических объективов. Идея применения афо-
кальных компенсаторов для исправления сферической аберрации

Рис. 254. Оптическая схема зеркаль-
ного объектива с компенсатором Росса:
1 — параболическое черкало; 2 — компен-
сатор Росса

Рис. 255. Оптическая схема объектива
М. В. Ломоносова:

/ — параболическое зеркало; 2 — плоское
зеркало; 3 —линзовый компенсатор; 4 —•
окуляр

и комы возникла в 1876 г., а впервые такие компенсаторы были
применены Россом в 1913 г. (рис. 254). Однако хотя афокаль-
ный компенсатор 2 и устранял кому параболического зеркала 1,
он в несколько раз увеличивал астигматизм. Поэтому введение
такого компенсатора увеличивало угол поля лишь незначительно
по сравнению с зеркалом. Угол поля составлял не более 15'. Соз-
дателем первого зеркально-линзового объектива является М. В. Ло-
моносов. Объектив М. В. Ломоносова, оптическая схема которого
приведена на рис. 255, состоит из большого параболического
зеркала 1, наклоненного относительно оси падающего пучка лучей.
Вблизи фокальной плоскости зеркала поставлено плоское зерка-
ло 2, направляющее ось отраженного пучка параллельно оси вхо-
дящего пучка. За фокальной плоскостью зеркала расположен лин-
зовый компенсатор 3. Изображение рассматривается с помощью
окуляра 4. Компенсатор и окуляр имеют значительно меньшие
размеры по сравнению с зеркалами.

В настоящее время все компенсаторы монохроматических абер-
раций, применяемые в зеркальных системах, можно разделить
на три группы:

I. Афокальные ахроматические компенсаторы. В эту группу
входят:

1.	Коррекционная пластинка Шмидта.

2.	Двухлинзовые афокальные компенсаторы: а) работающие
в параллельных пучках лучей; б) устанавливающиеся в сходя-
щихся пучках лучей; в) работающие одновременно и в сходящих-
ся и параллельных пучках.

3.	Компенсатор комы В. Н. Чуриловского.

II.	Менисковые компенсаторы.

III.	Компенсаторы, оптическая сила которых отличается от нуля.
IV. Компенсаторы кривизны поля.

Афокальные ахроматические компенсаторы

1.	Коррекционная пластинка Шмидта. Оптическая схема зер-
кального объектива с коррекционной пластинкой Шмидта пред-
ставлена на рис. 256. Оригинальная по простоте и осуществлению
эта зеркальная система, предложенная Шмидтом в 1931 г., произ-
вела сенсацию в научном мире. Известные в то время двухзер-
кальные системы имели небольшие углы поля (несколько минут)
и малое относительное отверстие. Предложенная же система обес-
печивала относительное отверстие 1:1, имела угол поля 40° и со-
стояла из одного зеркала 1 и пластинки 2, расположенной в цент-
ре кривизны (точка С) зеркала 1. Пластинка являлась входным
зрачком системы, поэтому главный луч падал па зеркало по нор-
мали к поверхности и безаберрациопно возвращался в центр кри-
визны. Это обеспечивало автоматическое исправление полевых
аберраций: комы, астигматизма, дисторсии. Сферическая абер-
рация зеркала исправлялась планоидной поверхностью пластинки
(благодаря соответствующему выбору формы планоидной поверх-
ности максимальное отступление планоидной поверхности от плос-
кости составляет 0,1 мм).

К недостаткам системы можно отнести ее большую длину,
в два раза превышающую фокусное расстояние системы, большой
диаметр коррекционной пластинки, труднодоступное положение
изображения. Так как использовался лишь один линзовый компо-
нент, то он вносил хроматические аберрации, которые, однако, были
незначительны. И, наконец, в системе не была исправлена кри-
визна поля, величина которой равна фокусному расстоянию, одна-
ко кривизну поля можно исправить, если вблизи плоскости изобра-
женин поставить линзу Смита. Но эти недостатки не играют ре-
шающей роли по сравнению со многими достоинствами. Система
Шмидта и ее модификации получили самое широкое распростра-
нение. Одной из разновидностей системы Шмидта является объек-
тив Райта, оптическая схема которого представлена на рис. 257.
Вогнутое зеркало имеет форму сплюснутого сфероида, длина си-
стемы почти вдвое короче системы Шмидта. В объективе хорошо
исправлена кривизна поля, но нарушен принцип симметрии Шмид-
та, поэтому камера Райта имеет астигматизм, а это уменьшает
полезное поле системы и относительное отверстие по сравнению
с системой Шмидта.

Рис. 256. Оптическая схема простого
зеркального объектива с корреционной
пластинкой Шмидта

Рис. 257. Объектив Райта

Объектив Бейкера — Шмидта представлен на рис. 258. Он состо-
ит из двух сферических зеркал 2, 3 и коррекционной пластинки /.
Объектив свободен от сферической аберрации, комы, астигматизма
и кривизны поля.

Интересной является система «Супер Шмидт», представленная
на рис. 259. Два мениска / и 5 концентричны сферическому зер-
калу 4, в центре кривизны которого располагается ахроматическая
коррекционная пластинка 2. Для устранения хроматической абер-
рации пластинка 2 изготавливается из двух марок стекла, внутрен-
няя поверхность пластинки — асферическая. Объектив имеет отно-
сительное отверстие 1:1 и угол поля 2о> = 30®. Расчет дефор-

Аэб

мированной поверхности пластинки ведется из условия исправления
сферической аберрации зеркал.

2.	Двухлинзовые ахроматические афокальные компенсаторы. Двух-
линзовые компенсаторы, устанавливающиеся в зеркальных объекти-
вах, должны обладать апохроматической коррекцией в широком
спектральном диапазоне. Для ахроматизации компенсатора необхо-
димо выполнить условие хр. = 0, т. е. — + — = 0. Так как ком-
пенсатор афокальный <р, 4- <р2 = 0, то одновременно выполнить эти
Два условия (условие афокальности и ахроматизации) возможно толь-
ко в том случае, если обе линзы компенсатора будут выполнены из
одной марки стекла (v, = v2). При переходе от бесконечно тонких
линз к линзам конечной толщины ахроматизация практически не на-
рушается. Однако может оказаться, что при расчете систем с боль-
ших! относительным отверстием хроматизм положения все-таки бу-
дет иметь значительную величину, что является следствием прояв-

Рис. 258. Объектив Бейкера—Шмидта	Рис. 259. Объектив «Суиер Шмидт»

ления сферохроматической аберрации в системе. Так как компенса-

тор не меняет оптической силы объектива и не вносит хроматизма,
то его целесообразно использовать для компенсации сферической
аберрации и меридиональной комы зеркальной части объектива.

С точки зрения исправления аберраций афокальные компенсато-
ры из одной марки стекла обладают двумя степенями свободы, т. е.

этим компенсаторам можно придать любую, заранее фиксированную,
пару значений Ркт) и W,<>« (за исключением W = О, Р #= 0). Ве-
личина я — третий основной параметр

Рис. 260. Ход первого паракси-
ального луча в двухлинзовом
афокальном ахроматическом ком-
пенсаторе, устанавливающемся
в параллельном пучке лучей

для бесконечно тонких афокальных си-
стем равен нулю. Следует также отме-
тить, что число коррекционных пара-
метров в афокальных двухлинзовых
компенсаторах равно трем, т. е. на
единицу меньше, чем число конструк-
тивных элементов(четыре радиуса кри-
визны при выполнении условия афо-
кальности). Поэтому один из конструк-

тивных параметров, например, опти-
ческая сила («pi = аз), является пара-
метром, не влияющим на аберрации
третьего порядка, но оказывающим
влияние на аберрации высшего по-

рядка.

Афокальный компенсатор в параллельных
пучках лучей. Двухлинзовый афокальный ахроматический

компенсатор, устанавливающийся в параллельных пучках лучей,
разработан в Государственном оптическом институте (рис. 260).
Компенсатор имеет четыре свободных параметра — четыре ра-
диуса кривизны: один — для выполнения условия афокальности,
два — для исправления сферической аберрации и комы, один —
для выбора удобной формы линзы и формы линз с уменьшенным
значением сферической аберрации высшего порядка.

Так как компенсатор должен исправлять аберрации зеркаль-
ной части объектива, то

4

v=l

При расчете компенсатор принимают за бесконечно тонкий ком-
понент (di = d2 =d3 = 0, hi = h2 = h3 = h4 = ЛкОМ). С учетом норми-
ровки первого параксиального луча (ai = а5 = 0) и при условии,
что система расположена в воздухе (т — п3 = п5 = 1, а п4 = п2= п),
выражения для Рком и 1ГКОМ после соответствующих преобразований
примут вид

Рком = (л — 1 ) аз (“2 ~ а4) [(а2 +	(1 + тг) — аз (2 +	(25.77)

W'kom = ”	' а3 (а4 — а?).

Из (25.78) найдем

а4 — а2 =

<П - 1) ^КОМ

(n + 1) аз '

(25.78)

(25.79)

Из (25.77) определим

а4 а2 = _Д_ Г(2 + 1) аэ — ( Д—J-V	?ком —1. (25.80)

Решая совместно (25.79) и (25.80), получим

2а! =	(^) + ’»Р» + >)] -	(25-«)

~ „"7 ! Д’" + тЬ[(2"+1>вд + 'ТгД <25'82>

В бесконечно тонком компенсаторе при условии, что hKOW—h\ =
= /об = 1, угол аз = cpi и служит для исправления аберраций выс-
шего порядка.

Для выбора оптимального значения аз целесообразно вычислить
углы а2 и а4 при различных аз и в первом приближении выбрать
то значение аз, при котором все поверхности компенсатора будут
иметь достаточно малую кривизну. Далее необходимо определить
суммы Зейделя на всех поверхностях и более точный выбор аз.
провести на основании значений этих сумм, особенно обращая вни-
мание на те аберрации, которые надо исправлять.

Величину угла ад можно также определить из условия минимума
сферической аберрации первой линзы компенсатора. Так как

Pl =----2 [ад — 2а2аз + а2а3 — -i- а2аз + 2а2а3 -i-

(п — 1) L	"	п

dPt	2a2(2-j-n)

то, приравняв = 0, получают аз = ——• Из опыта рас-
чета обычно значение а3 рекомендуется брать в пределах от 0,5 до
1. Однако надо помнить, что многое зависит от значений РкСМ
и Wком, которые определяются из расчета Si3ep и SH зер зеркальной
части объектива. В светосильных зеркально-линзовых системах до-
пустимы значения Рком> не превышающие величин-------------1-4-4-1,

а №Ком не должно превышать величин 0,2 ч-0,5. Одновременное
требование малого значения №ком (меньше 0,2 ч-0,1) и даже не
очень большого Рком приводит к большим кривизнам поверхностей
компенсатора, так как в выражения для а2 и а4 [формулы (25.81)
и (25.82)] входит отношение Д'-0”-.

7	w ком

В том случае, если при аберрационном расчете зеркальной части
объектива окажется, что Рком и й^Ком имеют большие значения по-
рядка (4—6), то радиусы поверхностей компенсатора будут малыми,
а это вызовет появление аберраций высших порядков. В подобных
случаях целесообразно ставить второй компенсатор, который, не
вводя дополнительных коррекционных параметров, позволит рас-
пределить значения РАОМ и й^ком на два компенсатора и тем самым
уменьшить кривизну поверхностей (но не в два раза), а следова-
тельно, уменьшить аберрации высших порядков. В этом случае
также необходим умелый подбор угла аз.

Определив из условия минимума сферической аберрации и комы
третьего порядка углы а2 и а4, вычисляют по методике, изложенной
в § 166, конструктивные параметры афокального компенсатора. Од-
нако поскольку конструктивные параметры рассчитываются из ус-
ловия минимума аберраций третьего порядка, то при тригономет-
рическом анализе системы (ее исходного варианта) компенсация
может оказаться неполной из-за появления аберраций высших
порядков. Для их компенсации изменяют углы а2 или а4 или же
заново рассчитывают компенсатор при других значениях угла аз.

Системы, содержащие компенсаторы в параллельных пучках, не
могут быть применены в системах объективов диаметром более 50—
70 мм из-за трудности получения однородных заготовок стекла
больших размеров, кроме того, велика масса этих компенсаторов.

Афокальные компенсаторы в сходящихся пучках
лучей (рис. 261). Компенсатор, устанавливаемый в сходящихся
пучках лучей, предложен в 1934 г. Н. В. Чуриловским и состоит
из двух линз, имеющих форму менисков. Афокальный компенсатор
в сходящихся пучках лучей имеет три свободных параметра: два
Рис. 261. Ход первого параксиального
луча в двухлинзовом афокальном ахро-
матическом компенсаторе, устанав-
ливающемся в сходящемся пучке лу-
чей

внутренних — углы а2 и а4 для исправления сферической аберрации
и комы и один внешний угол аз для компенсации аберраций выс-
ших порядков.

Рекомендуется выбирать значение угла аз с учетом исправления
аберрации высшего порядка:

1.	Если в компенсаторе положительная линза впереди, то а3 =
= 1,5 ч-2,0;

2.	Если в компенсаторе отрицательная линза впереди, то аз —
= 0,5 4-0,3.

Для выбора приемлемого зна-
чения аз в каждом конкретном
случае необходимо из решения
уравнений Ркои и 1^Ком определить
углы а2 и а4, вычислить конструк-
тивные параметры и окончательный
выбор значения аз сделать по мак-
симальным радиусам кривизны.

С учетом принятой нормиров-
ки, считая, что компенсатор уста-
навливается в сходящихся пучках
лучей ai=a5 = l, полагая ком-

пенсатор бесконечно тонким (h\ ~h2 = h3 = h4 = hK0U, d\ — d2 —
= d3 = 0), с учетом того, что ni = n3 = n5 = 1, n2 = n4 = n, выра-
жения для Рком и IFK0M примут вид

?коы = (п— I)2 (а2	“4)(аз — 0 Ka2 + a0(2 + ri) — (1 + 2n)(l + аз)];

(25.83)

№ КОМ = ~2- Г (а2 — а4) (1 — аз).	(25.84)

Из (25.84) находят

П   1 ГКОМ	,пг-

а2 — п+1 1 —а3’	(25.85)

Из (25.83) определяют

®2 + а4 =	[( пП) (а2-а4)?(а3-1) + (! + 2n)0 + <*з)]. (25.86)

Если положить в формулах (25.83) и (25.84) a3 = 1, то РКОм =
= W к ом = 0 и компенсатор не будет выполнять своего назначения.

Решая совместно (25.85) и (25.86), находят

О	|,\ И2— 1 ^ком П—1 ^ком znt- \

2” --2+Т(“»+')-трях-тггI25-8’)

О	4* ] /_ I	—1 ^ком . П — 1	147 ком Zqr оо\

2«, =	+ ') - Т(Гга хг+7+г хху (25-88>

По известным значениям углов а2, а3, а4 вычисляются конст-
руктивные параметры компенсатора: радиусы кривизны поверх-
ностей линз, толщины линз и воздушный промежуток.
В случае, если одним компенсатором не удастся исправить
аберрации зеркальной части объектива, то в системе устанавли-
вают два компенсатора (один — в параллельных пучках, другой —
в сходящихся пучках). Свободных параметров в двух компенса-
торах достаточно для исправления всех аберраций третьего по-
рядка.

3.	Компенсатор комы В. Н. Чуриловского. В классических зер-
кальных системах, имеющих асферические поверхности (системы
Ньютона, Грегори, Кассегрена), сферическая аберрация отсут-
ствует, однако меридиональная кома имеет значительную положи-
тельную величину, что ограничивает полезное поле этих систем.

а	&

Рис. 262. Ход первого параксиального луча в компенсаторе комы

В. Н. Чуриловский предложил использовать для компенсации комы
в таких системах линзу, которая вызывает незначительное цент-
ральное экранирование. Компенсатор комы представляет собой
мениск с равными радиусами кривизны, внутри которого луч идет
параллельно оптической оси (рис. 262). Мениск свободен от хро-
матизма положения (Sixp) и сферической аберрации (Si=0).
Хроматизм увеличения небольшой и не влияет на качество изобра-
жения.

Толщина мениска обычно получается незначительной, но в не-
которых случаях, при малом относительном отверстии и большом
фокусном расстоянии, толщина мениска может оказаться боль-
шой. В этом случае целесообразно заменить мениск двумя линза-
ми, как бы вводя в него ограниченный плоскими поверхностями
воздушный промежуток (рис. 262, б).

На рис. 262, а показаны ход первого параксиального луча и
углы луча с оптической осью. Запишем формулы расчета хода пер-
вого параксиального луча через мениск:

}(Xv4-1	h, (/Xv_|_1 ““ Ръ

Hv4~2^v4-2 Hv4- 1®v-<-1 =	1 (ц*4-2

Так как n, = n„+2 = L а, = а,4-2=1> а,+1=0, то /г, =/z,+i,
pv = pv+i — мениск имеет равные кривизны. Покажем, что такой
компенсатор не вносит хроматизм положения и сферическую абер-
рацию. Для этого вычислим Si Хр. Si.

( “v+2 —“»+1	\( Дпч+2 Дп*+1 \

+ Л<+1	,

\ nv4-2 nv-f-l /

С учетом того, что Дл, = Дл,+2 = О, Д«»+1 = Дл, л,+1 = п, получим

О	г. п Дп , . П / Дл \ _

Sixp^— h, l_n п +/г*4-1п_1( vJ-°-

Вычислим Sf.
V-H
Si = У v — h,Pi -f-

где

тсгда Si = 0.

Определим величину Snxp;

+ hi-if-iy^+i

av4-2 ~ ау-Ц \ / Дпу4-2 __ Д»у-Ц

1	__ I ) у rt»+2	rt»4-1

rtv4-2 nv+l /

f	A/l	1л	•	0	L.	f	\

= n_ i	/Iv+lZ/v+I	n _ j ,	ОЦ xp	= Л,	n_ j (z/v —

С учетом того, что y^\ — = —dvp,+i, получим

5ц xp = ~_2 j A,d,p,+I.	(25.89)

Из (25.89) следует, что мениск вносит хроматизм увеличения.

Толщина компенсатора в системе определяется из условия ис-
правления комы всего объектива
v4-l	vd~l

SiI ком = X	— у.Рч Ч~ y^+iP»+i -j- Г, j,

где
Рис. 263. Зеркальный объектив с ахроматическим компенсатором Д. Д. Максу
тов а

Зная численное значение Suaep. определяют толщину менискг

(п-025Икоч

(25.90





Один и тот же. компенсатор можно использовать в различны:
системах, правильно его располагая. А именно, мениск надо pai
положить так, чтобы задний фокус зеркальной системы совпадав
с гауссовым передним фокусом вогнутой поверхности мениска

Менисковые компенсаторы. Менисковый компенсатор Максутове.
Ахроматический компенсатор Д. Д. Максутова представляет co6oi
отрицательный мениск небольшой толщины, конструктивные пара
г2~г\ п2— •/	г-

метры которого связаны соотношением —-з— = —$— (рис. 263, а, б.

Мениск позволяет осуществить хорошую коррекцию сферической
аберрации и успешно применяется в астрономических система:
с /об = 1000 — 2000 мм при относительных отверстиях Д- = 1:2-в-1:5
^об

Оптическая схема объектива с компенсатором Максутова представ-
лена на рис. 263. Поскольку мениск имеет один свободный пара
метр, то он применяется только для компенсации сферической абег-
рации зеркала. Благодаря соответствующему выбору расстояния и-.
между мениском и зеркалом удается исправить и кому. Компенсв
рующее действие мениска основано на том свойстве, что он ш
афокален и по своему действию близок к пластине Шмидта. Oci-
бенность расчета заключается в том, что при расчете компенсатор
не принимают за бесконечно топкий, т. е. d\ #= О, h\ =# /г2 4= Ы. Из
условия ахроматизации SIxp — 0 определяют углы а2 и аз первого
параксиального луча с оптической осью:

2

Так как система расположена в воздухе, то п\	п4 =—1,

n2 = п, ktii = 0, Дп2 = Дп, Ди3 — 0, и

Si хр = д„ + h2 ^1_^( ^дп)>

откуда

Л2-Л1
аз =---г---а2.

п2

(25.91)

Формула (25.91) есть условие ахроматизации мениска. Из (25.91)
видно, что мениск может быть ахромагизован в любом спектральном
диапазоне, так как в выражение для аз не входит значение пока-
зателя преломления стекла, из которого сделан компенсатор.

Конструктивные параметры мениска Д. Д. Максутова определяют
из условий исправления сферической аберрации системы «мениск +
4- зеркало».

По условию нормировки aj — 0, а4 = —1, hi = —/Об = 1,

з

Si = 5 №. = Pi + h2P2 + №з,	(25.92)

V=1

где

(а3 — “2)2«2/	«2

= "(»-!)>

+ч)!(1 -«,)•

(25.93)

Высоты первого параксиального луча вычисляют . по формулам
hi = —/об = 1, h2 = 1 —dia2, h3 — h2 — d2a3, тогда (25.92) запишется
в виде

о п з , л j ч Г(“з ~ as)2 (азп ~ аг),

s' -мр----------------------(„!,)= ']+

+ [(1-^а!-Лщ)2-(1-«)(Ц-«>)].	(25.94)
Из (25.94) видно, что на величину Asni влияют не только параметры
мениска — углы а2 и а3, но и расстояние d2. Толщину мениска d\
можно определить как d\ — 0,1£>пол-

Нахождение наиболее рационального варианта системы, с точки
зрения получения наилучшей и удобной коррекции, выполняется
следующим образом:

1.	Задаются значениями угла а2(а2 и а2).

2.	По значениям <х2 и а2 по (25.91) вычисляют соответствующие
значения углов а3 и а3.

3.	По формулам (25.93) определяют значения параметров Р\, Р2,
Рз и Рь Р2, Рз соответственно.

4.	Находят высоты первого параксиального луча из условия
Sj — О

_ h\P} + h2P^

- h}P} + h2P2

И <1,3 =-------------=--------.

Рз

5.	Определяют расстояние

-	h2—h3

И «2 = --=---

а.

Из двух рассчитанных вариантов выбирают наиболее приемлемый
в конструктивном отношении.

Расчеты показывают, что наиболее совершенная коррекция по-
лучается тогда, когда d2 = (1,2-=- 1,5) (об-

Так как мениск ахроматичен, то в фокальной плоскости систе-
мы образуется ахроматическое изображение. Если сферическая
аберрация мениска такова, что компенсирует сферическую абер-
рацию зеркала, то в фокальной плоскости образуется стигматиче-
ское изображение. Наконец, если правильно выбран промежуток
d2, оказывается исправленной кома и система становится аплана-
тической.

Мениск можно повернуть на 180° (см. рис. 263, б), при этом
система остается в первом приближении ахроматической и стиг-
матической, однако перестает быть апланатической, так как для
перевернутого мениска величина промежутка d2, при котором
исправлена кома, оказывается другой. Первая ориентировка ме-
ниска (см. рис. 263, о) выгоднее второй, так как при ней прибор
оказывается более чем в два раза меньшим по длине. Тригоно-
метрические расчеты показывают, что фокальная поверхность яв-
ляется не плоскостью, а имеет форму выпуклой сферы умеренной
кривизны (выпуклость направлена в сторону зеркала). Кривизна
поля является наименее вредной аберрацией, поскольку с ней мож-
но бороться.

Если для мениска выбрать стекло марки К8, то можно вос-
пользоваться при расчете эмпирическими формулами, полученны-
ми Д. Д. Максутовым, приводящими к наивыгоднейшему исправ-
лению аберраций в визуальной системе:

/ г \о,ббо
ry.D = — 0,599 +

г2:О=— 0,599

f' \0-660	/ п \-i

+0,0559+0,00731-^ ;
/	V об

dy = 0,10;

d2:D

I \0,984

r3:O = —2,105( + l	.

Формулами можно пользоваться и в том случае, если марка
стекла компенсатора по показателю близка к КВ.

Компенсаторы, оптическая сила которых отлична от нуля

К таким компенсаторам можно отнести линзу Манжена (зеркг-
ло Манжена), представляющую собой линзу-мениск, выпуклая
поверхность которого покрыта отражающим слоем (рис. 264, а, б)
Поверхности линзы сферические.

Рис. 264. Определение конструктивных параметров зеркала Манжена:
а — предмет в бесконечности? б — предмет на конечном расстоянии

Сферическую аберрацию в линзовом отражателе можно уменг
шить за счет взаимной компенсации сферической аберрации отра-
жающей и преломляющей поверхностей. Хроматические аберрацщ
у линзы Манжена не устраняются.

Определим конструктивные параметры линзы Манжена для
двух случаев:

1)	когда si =—оо (рис. 264, а);

2)	когда si #= —оо (рис. 264, б).

1-й случай (si =—со). Определение параметров производится и;
решения уравнения масштаба и условия исправления сферической
аберрации при следующей нормировке первого параксиального луча
ai = 0, a4 =—1, f' — —1, й = 1. При расчете линзу принимают
бесконечно тонкой: d\ = —di = 0; h\ — hi = й3 = й. Оптическая сила
з

линзы Манжена <р = У (п,— щ) р» при условии, что pi = рз, «1 =

= —/г4 = 1,0 (система расположена в воздухе) и п2 =—«з = п,
будет равна <р = 2п (р4—р2)—2рР

Условие исправления сферической аберрации записывается в виде
v=3

Si = V /1,Л = й(Р1 + Р2 + Рз) = 0,	(25.95)

V=1

где Р\, Pi, Рз — параметры поверхностей зеркала Манжена, соот-

ветственно равны
„з

П (“з ~ а1) (“з ~~ п.

Pi=------------4--------,

Рз = (n — vy(l + аз)2(” + аз)'

(25.96)

Из (25.96) видно, что Si является функцией углов а2 и аз. Зна-
чение угла аз можно выразить через угол а2, используя условие

равенства ri = гз. Так как	п— 1 =“ТГ_’ na2

п — 1	. ,

Гз —Г1 = „„ г-., то па2 = Па3 + 1,
па3 -f- 1

тогда

«з=а2 —Л	(25.97)

Подставив значения Pt, Pi, Рз в (25.96) о учетом (25.97), после
соответствующих преобразований получим

al + Да2 + Ва2 + С = 0,	(25.98)

где

Л = 1(п2 + 2п-3);

В =

С =

5	3
4п2	2п
3	3
4п2	8п3

8л т 2

3

4’

Для решения кубического уравнения (25.98) введем новую пере-
менную

£/ = ^ + 4-,	(25.99)

тогда (25.98) примет вид

г/3 + Зр//+ 2g = 0,	(25.100)
где

Зр = В - 4 А2;

О

2q = -^A3-±AB + C.

Исследование уравнения (25.100) показывает, что оно имеет один
действительный корень, равный

y = U + V,	(25.101)

где

з_____________ з __________________

U = V-q+Vq2~+^, V ^V~q-Vq2 + p3.

Вычислив значения U, V, вычисляют переменную у, а по (25.97)
и (25.99) — углы первого параксиального луча с осью. По значениям
углов аг, аз при условии, что h\ = h2 = h3 ~ h = 1, вычисляют ра-
диусы бесконечно тонких линз

_ п — 1
Г1тн

2

di =0,

f2 тн - - - +	;

3	2	—d2 = 0.

п — 1

Гз тн — ~—i Г >
па3 -j- 1

(25.102)

2-й случай (si оо). Расчет выполняется при следующей норми-
ровке первого параксиального луча: aj = —р0» “4 = 1,0, h\ = —aiai =
= —atp0. Линзу принимают бесконечно тонкой (d\ — —d2 = 0, h\ —
~h2 = йз = й). Параметры зеркального отражателя определяют из
уравнения масштаба и условия исправления сферической аберрации:

з

Si = £ Й,Р, = h(Pi + Р2 + Рз) = 0,
У»1

где

Pi = („-з~[)Иаг + Р°>2(а2 + л₽о);

л2 = 4п (Яз ~Я2)2 (яз+Я2);



Выражают угол аз через угол а2, используя условие равенства ri =
= гз. Так как

Мп-1).

па2 + ’

(25.103)
то, приравняв Г] тв = гз тн> получают паг + Ро = «яз — 1 и

?о+ 1
п

аз = а, 4

(25.104)

Подставляя значение аз из (25.104) в уравнение исправления сфе-
рической аберрации, получают

0-2 -f- Лаг 4~ Вл2 4- С = 0,

Кубическое уравнение решают способом, изложенным выше, путем
^4
введения новой переменной у — аг 4- —.

Из решения уравнения определяют угол аг, а затем по фор-
муле (25.104) вычисляют угол аз. По известным значениям углов
находят радиусы бесконечно тонкой линзы Манжена по форму-
лам (25. 103).

При вычислении конструктивных параметров отражателя ко-
нечной толщины оказывается, что г^г3. Чтобы определить, какое
значение радиуса кривизны надо оставить, следует исходить из
следующих соображений, а именно: при полученных значениях
углов аг и аз для каждого случая определить параметры Р на
каждой поверхности, а затем определить влияние каждой поверх-
ности на аберрационные свойства системы. Выбрать то значение
радиуса кривизны преломляющей поверхности, которая наиболь-
шим образом оказывает влияние на аберрационные свойства. На-
пример, если из вычислений получили (случай 1-й: ai = 0, аг=0,33,
а3=0,99, а4= — 1, при этом значения Pi, Р2, Ръ соответственно
Р3=0, то, сравнив значения Р\
и Рз, устанавливают, что Pi>P$,
поэтому принимают значение гз
равным значению г\.

Компенсатор кривизны
поля — линза Смита

Компенсатор кривизны поля
(линза Смита) устанавливается
вблизи плоскости изображения и
является фактически коллекти-
вом (рис. 265). Рассмотрим ра-
боту компенсатора в зеркально-
линзовом объективе типа Кас-

равны: Pi = 0,225, Р-2= — 0,225,

Рио. 265. Зеркально-линзовый объек-
тив типа Кассегрена с компенсатором
кривизны поля
сегрена. Радиусы кривизны линзы определяются из условия
Siv =0, характеризующего кривизну поля третьего порядка всей
системы:

(25.105)

Из уравнения (25.105) получают значение радиуса кривизны линзы
Смита (при условии, что г&= со);

п— 1
_1____1_

г5 г6

где Г5 и Гб — радиусы кривизны главного и вторичного зеркал объ-
ектива, определяемые при габаритном расчете.

2п

§ 168.	Расчет зеркально-линзового объектива типа Кассегрена
с афокальным компенсатором в параллельных пучках лучей

Для компенсации аберраций зеркальной системы применим
афокальный ахроматический компенсатор, расположенный в па-
раллельных пучках лучей. При этом оптическая схема объектива
может быть двух видов:

Рис. 266. Оптическая схема зеркально-линзового объектива типа Кассегрена
с афокальным ахроматическим компенсатором в параллельных пучках лучей

а)	компенсатор расположен на некотором расстоянии от зер-
кального объектива (рис. 266, а);

б)	вторичное зеркало нанесено на последней поверхности ком-
пенсатора (рис. 266, б).

Выполним расчет исходного варианта объектива первого вида,
и как частный случай объектива второго вида.

1. При расчете компенсатор принимают за бесконечно тонкий
(рис. 267): d\ = d? — d3 = 0, h\ = h2 — h3 = h4 = ftK0M, z/i= y-2 = уз =
— yt — У кем, ₽1 = ₽5. ДЛЯ СИСТемЫ В ВОЗДухе tl\ = П3 = «5 = П7 = 1,
ns — —1. Из габаритного расчета зеркальной части объектива опре-
деляют радиусы кривизны зеркал гь, гв и расстояние между ними ds.
Гб^-г^—-, d5^l-k\ a6=lzzl

1 -г “6	В — k

Затем вычисляют аберрации третьего порядка, вносимые зер-
кальной частью объектива. При условии, что входной зрачок совпа-
дает с вершиной первой поверхности компенсатора (sp = 0), и при-
нятой нормировке первого и второго параксиальных лучей: ai = 0,

Рис. 267. Ход первого и второго параксиальных лучей в зеркально-линзовом
объективе типа Кассегрена в компенсатором в параллельных пучках

Я5 — 0> Я 7 — 1> ^кем — ^5 — /об —If У кем — 0 (sp — 0), I-1, fl] —.

= р5 = +1, формулы для Sleep И Зцзер примут вид:

в

Si зер = S = Р& + kPe',
• v=»5

6	6

Su зер — S У.Р,— iS — У$Рь + УбРб + W s +
»=5	v=5

где

pft = -4 = -2p5;

_(l-a|)(l-a6)_(l-4p^)(l_2p5)i
Гб	4	4	•

(25.106)

(25.107)

уя и уб—высоты второго параксиального луча. Их определяют
из расчета хода второго параксиального луча (см. рис. 267):

1/5 = Z/ком “
так как

Уком — 0, ps = 1,

ТО

У5 = -^;	(25.108)

о о »5(п6-«б)

Пб₽е — «5^5 = —

0	«5 D . Mn6-n5) d5 + d4(l-fe)

ps = -т— рз Ч---------------------1-----;

Г n6	Г5П6	“5

Уб = 1/5 — ^5?6=^5— d4k.	(25.109)

С учетом (25.107)—(25.109) (25.106) запишется в виде

о _ 2з , k С1 - МН1 - 2р5).

SiI зер =—сЦРб + (ds —dityPg 4- 2р| -]-2~^~‘

Чтобы определить конструктивные параметры компенсатора, необ-
ХОДИМО ВЫЧИСЛИТЬ S{ ком И Sn ком из условии исправления сфери-
ческой аберрации и комы, записанных для всего объектива Si Об =»
= 0, $ц об = 0
в	4

Si об = 2 ^чРч = 2 ^чРч + Ръ 4“ kPg = 0;
V=1	V=B|

6	6	4

sn об = S -1 s №, = ygPs 4- УбРб 4- S W, 4- w's 4- №6 = 0,
V=1	V=l	1

тогда
4

•Si ком = S hvPi ~ Si 3ep, Pком = —Si 3epi
7=1

4

•Sn ком = Xj Wv — S[j зер, И7Ко„ = Sa зер.
Vs=» I

По известным значениям Рком = — Sisep, №ком = — Su 3еР по
формулам (25.81), (25.82) вычисляют углы первого параксиального
луча а2, «4> При выборе значения угла аз придерживаются реко-
мендаций, данных в § 167. По значениям углов вычисляют г,тн
компенсатора.

2. Если = гл (см. рис. 266,6)—вторичное зеркало нанесено
на последней поверхности компенсатора, угол первого параксиаль-
ного луча а4 определяют, исходя из этого конструктивного условия.
Так как as = 0 (компенсатор афокальный), то, воспользовавшись
формулой расчета хода первого параксиального луча nsas —	=

h 4 (tig ft 4)

= — v-д-----L, полагая r4 = r6sep, получают

Г Л

a4 = -^-L.	(25.110)

пгб зер	V 2
Тогда из (25.79) можно найти значение угла а2:

(1=4)(25.111)

Подставив в (25.77) из (25.111), после соответствующих преобразо-
ваний получают

[2	1 Р	I	/ i\

±_=_L ^L+ 2(п + 2) а4 а3 4- (п + 2) И7К0М= 0.
п w ком	j	\ft ~т 1/

(25.112)
Обозначив

А = 2п + 1;

2_ ] р

В-П п- -/0М +2(п + 2)а4;
w ком

С = (« + 2) fer)

Уравнение (25.112) представим в виде

Лаз — Ваз 4-0 = 0.

Из решения квадратного уравнения определяют угол а3. Из двух
значений угла аз надо выбрать положительное, а если оба корня
положительные, то следует взять меньший. Величину угла а3 под-
ставляют в (25.111) и вычисляют значение угла а2. По известным
значениям углов первого параксиального луча радиусы бесконечно
тонких линз компенсатора определяют по формуле

щ — п.

™ п'а' — Па,

Однако следует помнить, что г4=г«, поэтому при переходе от
радиусов бесконечно тонких линз к линзам конечной толщины с тем,
чтобы обеспечить /Об = /об.зад> следует определить новое расстояние
между зеркалами —	— d>.

Известно, что

	= .) =	,25 ] 13)  П5а5 —п4а4	ла4 ’	v	>  (25.114)
где	h\ = /вб! hi — h\ —dja2;	)  h3=h-2 — d2a3;/i4 = /i3 — d?.a4; 1	(25.115)  Л5 —— h 4 h$ —— h 4	t/5^0	J

— высоты первого параксиального луча, d\, d?, dt— толщины линз
компенсатора и воздушный промежуток между линзами.
Так как г6— то из (25.113) и (25.114) находят

__ 1 + аа

2

Ле

Г4 И d5 =

Аб-^б
“6

Частный случай (г4 = со). Система типа Кассегрена превращается
в зеркально-линзовый объектив с контротражателем в виде плоского
зеркала и ахроматическим афокальным компенсатором в параллель-
ных пучках лучей (рис. 268, а, б). Так как г4 = со, а компенсатор

Рис. 268. Оптическая схема зеркально-липзовиго объектива с афокальным ахро-
матическим компенсатором в параллельных пччь.ах (г4 = оо)

афокальный, то ai = a4 = a5 = 0. Из рис. 268, б видно, что г5 =
= 2/об, 2аг(> = г4 = со. Из подобия треугольников N5F'o605 и NqF’oqP
можно записать, что

Ч = Й6
/®6 'об ^4

тогда

64 — /об

Ф/об

>4

При условии нормировки /is = /об = 1, йч = k, d4 = 1 — k. Опреде-
лим значения 5)зер и 5цзер. Так как контротражатель представляет
собой плоское зеркало, то Ра — 0, №б=0,

°	а3 1

с _ V /г р _~р _______ _!_•

6	1	1	I 1

sn = V ^pv-iv r, = ysp5+	+ ± = £v1;
/’ком = —Si8ep = —0,25;

ком = —8 11зер = —0,25z/5 — 0,5 = 0,2 5d4 — 0,5.

С учетом того, что ai = а4 = а5 = 0, уравнения (25.77), (25.78) бу-
дут иметь вид

/’ком =	(п + 2) — аз (2л 4- 1)];	(25.116)

(rt — 1)	7	47

U7 к°м =	а2<хз-	(25.11 ?)

I __п Ц7

Из (25.117) определяют а2 = t	и подставляют в выраже-

ние (25.116). После преобразований получают

(1 + 2п) £ -	4^ *3 + (« + 2) Гком = 0. (25.118)

Обозначая через

А = 1 + 2л;

D _ П2 — 1 РКОМ .

«	«’'ком’

С = (п 4- 2) j Wком,

уравнение (25.118) запишем как Ааз 4- Ваз 4- С = 0. Из решения
квадратного уравнения определяют угол аз. Дальнейший порядок
расчета такой же, что и для второго вида системы.

§ 169.	Расчет зеркально-линзовой системы типа Кассегрена
с компенсатором в сходящихся пучках лучей

Оптическая схема зеркального объектива типа Кассегрена
с компенсатором в сходящихся пучках лучей представлена на
рис. 269, а, б.

Формально, если исходить из числа свободных параметров,
действующих на аберрации, то система с афокальным компенса-
тором внутри может показаться более выгодной, чем зеркально-
линзовая система с афокальным компенсатором в параллельных
пучках, так как появляется лишний свободный параметр — положе-
ние афокального компенсатора. Однако это преимущество пропа-
дает вследствие того, что фактически положение афокального
компонента определяется однозначно. Если афокальный ком-
пенсатор поставить близко ко второму зеркалу, то лучи будут про-
ходить компенсатор дважды. Как показывают расчеты афокаль-
пого компенсатора при двукратном прохождении лучей, параметр
U7K0M становится близким к нулю и коррекционные возможности
системы уменьшаются вдвое. Если же помесить компенсатор близ-
ко к фокальной плоскости объектива, то он практически будет
влиять только на дисторсию. Поэтому рациональнее ставить ком
пенсатор посредине между вторым зеркалом и фокальной пло<
костью. Это приводит к максимально возможной величине йКом
а следовательно, к максимально возможному значению (7iP)KOm
действующему на сферическую аберрацию и кому. Так как высот;
первого параксиального луча на компенсаторе имеет все-таки ма
лое значение, то /’ком и U7KOm для систем с разными значениями

Рис. 269. Оптическая схема зеркально-линзового объектива о афокальный ах pi
матическим компенсатором в сходящихся пучках лучей

выноса изображения б, а следовательно, и расстоянием межд'
зеркалами d\, почти всегда имеют положительные значения. Что-
бы расширить коррекционные возможности компенсатора, целе
сообразно его применять в случае асферизации главного зеркг-
ла (для исправления сферической аберрации).

Делались попытки применить два афокальных компенсатор;
в сходящемся пучке: первый, расположенный ближе к малому зеп
калу, использовался для исправления сферической аберрации
(ДЗ') и комы (к), второй компенсатор располагался недалеко о"
плоскости изображения и использовался для исправления астигма
тизма и дисторсии. Однако такие системы для исправлениг
18*	547
сферической аберрации главного зеркала требуют больших значе-
ний Рком и WKmi, что влечет за собой появление больших абер-
раций высших порядков. Поэтому приходим в выводу, что приме-
нять афокальный компенсатор в сходящихся пучках лучей имеет
смысл тогда, когда сферическая аберрация сферического зеркала
частично или совсем исправлена применением асферической по-
верхности.

Афокальный компенсатор в сходящихся пучках имеет три сво-
бодных параметра — углы а4 и ав для исправления сферической абер-
рации и комы и внешний угол а5 для компенсации аберраций высших
порядков. Рекомендации по выбору угла а5 приведены в § 167.

Из габаритного расчета зеркальной части объектива получают

Определяют первую и вторую суммы Зейделя зеркальной части
объектива при условии, что входной зрачок совпадает с оправой
главного зеркала (см. рис. 269, 6) при следующей нормировке пер-
вого и второго параксиальных лучей: оц = 0, аз = а7 = 1, h \ = for> =
= 1, ^ = sp = 0, I = —1, 8, = 4-1.

Для системы в воздухе п\ — пз = n.-> = n7 = 1; п2 = — 1; п4==
= ne = п;

е v\,D D I AD —ар+ ЦаЗ —а2~ аз+ 0.
5j3ep = 1 h.P. = Ру 4- kP2 =--------------4,

Д	Д	d. (1 —аД (1 —я,) t

Sr3ep = 5	-1 S = yiPi 4- W'l + ^2 = ——-r------------------- 4- -•

Чтобы определить конструктивные параметры компенсатора, не-
обходимо найти значения Рк0:л и Для их определения соста-
вим уравнения исправления сферической аберрации и комы для
всего объектива

^’об ~ X	= Si,ep +	(25.119)

='р	_ Sz.

г КОМ - J, »

(ком

5п0б ~	4- 1^ком —0,

тогда

1^ком = —Sn8e, — г/ком ^ком.	(25.120)

Значения высот первого и второго параксиального луча на беско-
нечно тонком компенсаторе определяют по формулам расчета хода
этих лучей, а именно:

/гК0М = йз = /г2 — d2a.3 — k — d?, d2 = L;

IJkov — УЛ = yi — ^2₽3.

Определим значение высоты у? и угла Рз. Так как уу = 0, j3t =
= 4-1, то р2 = —1,

(25.121)
г/2 = у\ —di?2 = rfi;

r2

d।.-j- 1	dj -j- 1

РЗ £	> tj3 ~ d\ di £	, уз — !/kow

(25.122)

С учетом (25.121), (25.122) формулы (25.120), (25.119) запишутся
в виде

I
р _______ зеР •

^КОМ —	k—d2’

Зная численные значения параметров Ркт, и FK0„, по формулам
(25.82), (25.83) определяют углы а4 и ае и вычисляют радиусы бес-
конечно тонких линз компенсатора

_ ^КОМ (Пу га»)

«а — ПЛ

§ 170.	Расчет зеркально-линзового объектива
из сферического зеркала

и двухлинзового афокального компенсатора

Компенсатор применяют для коррекции сферической аберрации
и комы, вносимых одиночным сферическим зеркалом (рис. 270). Для
этой цели используют два сво-
бодных параметра компенсатора —
углы аз и а5, третий свободный
параметр — угол а4 предназначен
для коррекции сферической абер-
рации высших порядков, астигма-
тизма или дисторсии. Степень влия-
ния свободных параметров на
коррекцию аберраций зависит так-
же и от положения компенсатора
относительно вершины поверхности
зеркала — расстояния d\. Расчет
оптической системы «сферическое
зеркало + компенсатор» выполня-

ют из условия исправления сферической аберрации и комы всей систе-
мы. При расчете компенсатор принимают за бесконечно тонкий ком-
понент: d2---=	= ^4 = 0, h2 = I13 = /г4 —h^ =hMM, у-2 = уз — у4~

= у5 = ук0№. Тогда условия исправления выше указанных аберраций
записывают в следующем виде:

Рис. 270. Зеркальный объектив с ком-
пенсатором в сходящихся пучках
лучей

Si = Xi dfPt = h\Pi -|- /Тквм (^>2~|~Рз-4-Р4-1-£>э) —
V «=1

Sil — X УчРч ------ i S ч ~ У\Р 1 4~ Улсл-.'.Рк®:,, -T 11^1 4-	= 0.

V=l	У—1

(25.123)
(25.124)

В том случае, когда входной зрачок совпадает с вершиной по-
верхности зеркала (sp = 0), а также при принятых условиях нор-
мировки первого и второго параксиальных лучей: ои = 0, а2 =—1,
ае = «2 = —1, /об = —1> h\ = 1, у\ = sp = О, Р] = 1,1 = —1 (система
расположена в воздухе, п.\ = 1, и2 = п6 = —1) уравнения (25.123)
примут вид

Si = Р 1 + НКОЫР ком = 0;

•Si I = УкомРкои + W7* + Н^КОМ = 0>

где Р"» IFF— основные параметры одиночного зеркала.

Из (25.124) с учетом того, что Р" = 0,25, a =0,5, получают, что

Рком = — т~’ где йком = Й1 — dia2 = 1 4- di;

Лком

Wком = f/ком • 0,25, —0,5, где уцОЫ — у\ di^2 = d\.

Определив численные значения параметров компенсатора Рком»
Ц7КОМ, производят вычисление углов первого параксиального луча аз,
аз по формулам (25.87), (25.88) соответственно. При выборе значения
угла а4 следует пользоваться рекомендациями, данными в § 172.1.
При расчете подобного рода объективов рекомендуется выбирать
расстояние di максимально возможным.

§ 171. Расчет оптической системы
асферическое зеркало с концентрическим мениском»

Для защиты зеркала от внешних воздействий применяются
стекла с плоскими или сферическими поверхностями. Иногда для
увеличения поля обзора сфери-

Рио. 271. Оптическая система «сфери-
ческое зеркало -f- коицеитрический ме-
ниск»

лить по формуле

ческое зеркало внутри прибора
может качаться, тогда защитное
стекло имеет форму концентри-
ческого мениска, а точка качания
зеркала совпадает с центром кри-
визны мениска. Оптическая схема
объектива «сферическое зеркало
с концентрическим мениском»
представлена на рис. 271. Обычно
конструктивные параметры ме-
ниска определяются конструкци-
ей прибора и в широких преде-
лах изменяться не могут. Будем
считать, что конструктивные па-
раметры мениска заданы, а имен-
но, известны: гь г2, dit п2.

Фокусное расстояние концентрического мениска можно опреде-
причем

Л =r2-f_rf1.

Углы первого параксиального луча вычисляют при условии, что
сц = 0, <%4 = 1, h\ — f;

_ »2~ 1	_ f r2,

a2 П2Г\ '	Q dl’

f'	d\a2	rl

аз = -b- =------—; a3 — a.2 = — — a2.

2	r2

M

Определяют высоты первого параксиального луча:
h2 = ht -— d,a2 = /'6

\ 'м /

Аз = A2 — d2a3.

Входной зрачок в таких системах удобно располагать в центре кри-
визны мениска (точка С), тогда мениск не вносит кому, астигматизм,
дисторсию и хроматизм увеличения. В этом случае для второго
параксиального луча можно записать: j$i = j32 = р3 = 1, у\ — г\, у2 =
= Г2, уз — —е(е = d2 — Гг), I — —fr. Задаваясь различными значениями
расстояния d2 (положением зеркала относительно концентрического
мениска), определяют параметры а*, А*, по ним вычисляют р*, уь
и Si, Su, Shi, Siv, Sv и, следовательно, все аберрации третьего
порядка. Варьируя конструктивными параметрами л, d\, d2, удается
исследовать эту систему в области аберраций третьего порядка.
Если d2 = г2 4- (—г3), то центры кривизны поверхностей мениска
и зеркала совпадут и оптическая система в целом будет свободна от
аберраций комы, астигматизма, дисторсии и хроматизма увеличения,
Глава 26.

КОРРЕКЦИЯ АБЕРРАЦИЙ.

РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ЭВМ

§ 172.	Методы коррекции аберраций.

Виды коррекционных параметров

Конструктивные элементы исходного варианта определяют одним
из известных методов, после чего производят аберрационный анализ
системы. Для этого на ЭВМ рассчитывают ход действительных и па-
раксиальных лучей для длин волн Хо, ф и Ха на высотах т --= 0,5 X

D n п D D

X -g-, т = 0,7-^-, т ~ -% и определяют значения хроматической,
сферической, сферохроматической аберраций, вычисляют отступ-
ление от условия синусов и условия изопланатизма в случае си-
стем с малым угловым полем. При значительных углах поЛя необ-
ходимо вычислить значения полевых аберраций.

Для систем с малым угловым полем (2ау>5°) нет необходи-
мости рассчитывать широкий наклонный пучок, поскольку мери-
диональную кому с достаточной степенью приближения можно
вычислить через отступление от условия синусов или изоплаиа-
тизма

В случае систем с невысоким относительным отверстием и ма-
лым угловым полем алгебраический метод позволяет получить
исходный вариант, не требующий коррекции аберраций. В осталь-
ных случаях приходится проводить исправление или коррекцию
аберраций.

Под коррекцией аберраций понимают их уменьшение до опре-
деленных допустимых величин (см. § 184), зависящих от типа
оптической системы и ее назначения.

Известны два основных метода коррекции. Один из них является
продолжением метода разделения переменных. В основе его приме-
нения лежит предположение о том, что при небольших изменениях
основных параметров влияние аберраций высших порядков и тол-
щин остается практически неизменным, изменяются лишь аберра-
ции третьего порядка. При использовании этого метода определяют
разность между требуемым значением аберрации и полученным
—где Ags = f(tn, М, o>)Sfc, Sk— соответствующая сумма Зей-
деля. Дифференцируя эту формулу и заменяя дифференциалы конеч-
ными приращениями, находят все изменения ДЗ/, сумм Si-r-Sv
и хроматических сумм Sj и Su . С учетом вычисленных значений
Д3\ определяют основные параметры Р’, Й7°° и прановых их зна-
чениях вновь определяют конструктивные элементы системы, т. е.
фактически повторяют расчет исходного варианта. Это является не-
достатком метода.

Второй метод коррекции — это метод проб. В его основе лежит
последовательное изменение коррекционных параметров системы
и определение тех значений параметров, при которых система
удовлетворяет заданным условиям, т. е. дает требуемое качество
изображения. В некоторых случаях приходится сделать вывод
о практической непригодности рассчитываемой системы и выби
рать другой исходный вариант.

Для коррекции системы вначале выбирают параметры, оказы-
вающие существенное влияние па исправляемые аберрации и тре-
бующие минимальной дополнительной работы по расчету хода
лучей через систему с измененными параметрами. Для этого в вы-
числительных бюро широко применяют таблицу влияния измене-
ния параметров на аберрации, в которой представлены последо-
вательные вариации разных параметров и соответствующие им
изменения аберраций. На основе анализа этой таблицы измене-
нием соответствующих параметров получают оптимальный вариант.

Не представляется возможным дать общие рекомендации по
выбору этих параметров, поскольку каждый раз необходим особый
подход. Здесь немаловажную роль играют опыт, хорошее владение
теорией аберраций и даже интуиция.

Параметры или переменные изменение которых позволяет воз-
действовать на определенные аберрации, называют коррекционны-
ми. В качестве коррекционных параметров можно назвать радиу-
сы кривизны, воздушные промежутки, марки стекол и толщины
линз в случае их значительной величины.

При использовании метода проб предполагается линейный харак-
тер изменения аберраций при изменении параметров, что справед-
ливо при небольших вариациях параметров. Для большинства
систем эта зависимость явно нелинейная, причем нелинейность за-
метнее сказывается при больших порядках аберраций. Вследствие
этого приходится применять метод последовательных приближе-
ний, в процессе которого параметры меняются на небольшую
величину.

Кроме описанных двух основных методов известно примене-
ние комбинированного метода. При его использовании переменные
делят на две группы. К первой относят параметры, имеющие про-
стую аналитическую связь с аберрациями, и для систем с конеч-
ными толщинами. Примером этого может служить, например, опти-
ческая сила линзы <р, которая влияет на хроматические аберрации.
Ко второй группе принадлежат параметры, выбор которых зави-
сит от вида системы и изучения таблицы влияния изменения па-
раметров.

При использовании любого из описанных методов коррекции
для получения оптимального варианта приходится несколько раз
изменять параметры, каждый раз пересчитывая конструктивные
элементы и вычисляя заново аберрации системы. Сравнивая абер-
рации системы при разных значениях параметров и проводя ли-
нейную интерполяцию, определяют окончательный оптимальный
вариант системы.

В отдельных случаях приходится рассчитывать большое число
промежуточных вариантов, что особо характерно для сложных
систем и систем со значительными аберрациями высших по-
рядков.

Рассмотренные методы коррекции используют на практике при
неавтоматической и автоматической коррекции аберраций на
ЭВМ.

Для систем с невысокими оптическими характеристиками, кото-
рые рассматриваются в данном учебнике, можно дать рекоменда-
ции по выбору коррекционных параметров. В качестве этих пара-
метров принимают углы первого параксиального луча с оптической
осью, т. е. внутренние и внешние параметры системы, при измене-
нии которых меняется форма линз или их оптические силы, тем
самым оказывается влияние на монохроматические и хроматиче-
ские аберрации.

В учебной практике и начинающим расчетчикам целесообразно
изучить влияние параметров а, системы на аберрации системы,
используя ЭВМ для расчета хода лучей и пересчета конструктив-
ных элементов системы. Рассмотрим метод проб применительно
к системам, расчет исходных вариантов которых рассмотрен в на-
стоящем учебнике.

§ 173.	Коррекция аберраций методом проб

Метод проб можно точнее назвать методом линейной интер-
поляции или экстраполяции и последовательных приближений.
В случае получения исходного варианта алгебраическим методом
обеспечивается исправление аберраций третьего порядка. Тогда
метод проб дает быстрый положительный результат в системах,
имеющих небольшие аберрации высших порядков и поэтому тре-
бующих незначительных изменений углов а~>. В этом случае мож-
но предположить линейный характер изменения аберраций при из-
менении углов.

Коррекция хроматической аберрации положения. Из условия
ахроматизации следует, что для коррекции хроматизма можно
поменять марки стекол, если это возможно, или изменить опти-
ческие силы отдельных компонентов, сохраняя их сумму.

В несклеенных компонентах можно изменить внешние параметры—
угол аз = <pi в двухлинзовом несклеенном (см. рис. 232) и углы а3 =
= <?i и аз == <pi + <f>2 в трехлинзовом несклеенном компоненте (см.
рис. 235).

В двухлинзовом склеенном компоненте (см. рис. 231) рекоменду-
ется изменить угол аз, что вызывает перераспределение оптических
сил линз, но сохраняет их сумму.

Вначале, когда неизвестен характер изменения аберрации в зави-
симости от аз, можно взять Даз = ± (0,05-г-0,1) а3исх. При этом
заменяются высота Аз первого параксиального луча и радиусы кри-

визны г2, г3:

h h	7	>12(пз~ пг) -	Лз(1-лз)

h-3 = П2 — U2®3> г2 —-=------ч Гз — -------=--

а4 — «ЗаЗ

пЗаЗ — П2а2

Через Аз, а3, г2, 73 обозначены новые значения этих величин
з отличие от полученных в исходном варианте. Через систему е но-
выми конструктивными элементами рассчитывается ход действитель-
зых лучей для длин волн Xi и Х2.

эис. 272. Влияние коррекции хрома-
изма положения в параксиальной
юласти и на зоне отверстия т = 0,7
за распределение сферохроматической
аберрации по зрачку

Рис. 273. Графики зависимости хро-
матизма положения в двухлинзовом
объективе от угла первого паракси-
ального луча

Коррекция хроматической аберрации положения проводится для
высоты т = 0,7 -у-, что необходимо для получения более благопри-
зтного распределения сферохроматической аберрации по зрачку
гистемы (рис. 272, б). При коррекции хроматизма положения в па-
эаксиальной области, например, сферохроматическая аберрация на
:раю отверстия значительно возрастает (рис. 272, а).

Линейной интерполяцией определяют угол аз, которому соответ-
:твует хроматизм положения, близкий к нулю. Для этого рекомен-
дуется составить тройную пропорцию:

азисх соответствует Asx,x,;

а3 соответствует
а° соответствует 0,00,
>ткуда

а3исх — “3 AsX,X, AsX,X, в “3^SX,X2 — “3hoxAsX,Xj
л —	1	/ , ОСЗ " " ” f	——♦

“3 —“з ° —d sx,x,	д«х»х4 — Ч.Х,
Но найденное значение а° не всегда дает минимальное значение
Дзх,\г. Причиной этого может быть нелинейная зависимость Дь\,>.2 от
а3 при больших значениях Даз, поэтому одновременно рекоменду-
ется представить графически эту зависимость для трех значений
аз: а3исх, а3исх 4-Да3, а3исх — Да3, (рис. 273, а, б). Вследствие нели-
нейности процесс определения оптимального угла ai приходится пов-
торять несколько раз методом последовательных приближений.

В двухлннзовых склеенных объективах при не вполне удачном
выборе марок стекол график Asxtxs-s-a3 может не пересекать ось ор-
динат (см. рис. 273, б). Ясно, что хроматизм положения менее зна-
чения, равного Asx,x!mjn в данном случае получить нельзя. Единст-
венный способ — это изменить марки стекол.

Кроме того, рекомендуется одновременно па графике нанести
кривую зависимости хроматизма положения от аз на краю отвер-
стия. В некоторых случаях приходится принимать компромиссное
решение с тем, чтобы не увеличить в значительной степени хрома-
тизм на краю отверстия при его тщательном исправлении па зоне
отверстия. Рекомендуется недоисправить хроматизм, т. е. полу-
чить его отрицательное значение.

После получения допустимого значения хроматизма прово-
дится коррекция сферической аберрации и меридиональной комы.

Коррекция сферической аберрации и меридиональной комы.
Сферическая аберрация и меридиональная кома в значительной
степени зависят от формы (прогиба) линзы, поэтому их коррек-
ция проводится изменением внутренних углов а,. Следует
помнить, что для уменьшения аберраций высших порядков в со-
ответствии с эмпирическим правилом Берска надо стремиться
к тому, чтобы углы падения лучей на поверхностях были
небольшими.

При коррекции аберраций в двухлипзовом и трехлипзовом
несклеенных компонентах можно менять значения углов аг и а4
(см. рис. 232) в двухлинзовом и аг, а4 и а6 (см. рис. 235) в трех-
линзовом компонентах. При изменении угла аг надо вновь рас-
считать все высоты К первого параксиального луча, начиная
со второй, и все радиусы кривизны.

Коррекция сферической аберрации в двухлинзовом склеенном
компоненте имеет свои особенности. Действительно, при измене-
нии а2 одновременно меняются радиусы Г) и г2, ио так какл-2 при-
надлежит и второй линзе, то это вызовет изменение оптической
силы <р2, следовательно, и хроматизма положения, который уже
исправлен.

Для сохранения неизменности коррекции хроматизма положения
необходимо выполнить условие, гарантирующее постоянство опти-
ческих сил. С этой целью для системы с исправленным хроматизмом
надо вычислить вспомогательную величину &0 (в случае si = — со,
So = <?i):

.')Д	(26.1)

—v ’
где

= avnv.

При новом значении а2 вычисляется 72 и из (26.1) определяет
ся у3:

откуда

т. = Н^-гр»-(т^т>

73

a3 = V

значение аг можно выбрать следующим образом:
а2 == а2исх ± Д1$2исх*

аз вычисляют /г2> ^з, г\, гч, гз и определяют зна-

Первоначально

При новых а2,
чения Д$х0 и А/ .

Затем, так же как и при коррекции хроматизма, определяют
оптимальное а2, которому соответствуют допустимые значения Д$х„
11 ДАО

Для двухлинзового склеенного компонента одновременное вы-
полнение этих условий возможно лишь при удачном выборе марок
стекол.

При коррекции этих аберраций в двухлинзовом, трехлинзовом
несклеенных компонентах и других подобных конструкциях можно
одновременно и независимо менять углы «2, си, ав, предварительно
выявив их влияние на аберрации.

Особенности коррекции аберрации в системах, состоящих из
двух компонентов, разделенных конечным воздушным промежут-
ком. Эти особенности можно рассмотреть на примере коррекции
аберраций телеобъектива, расчет исходного варианта которого при-
веден в случае, когда фокусирующий компонент является отдель-
ной линзой, коррекция аберраций проводится за счет изменения
параметров первого положительного компонента. При небольших
аберрациях высших порядков коррекцию можно проводить, ис-
пользуя правило сложения аберраций и выделяя аберрации фоку-
сирующего компонента. Например, продольный хроматизм теле-
объектива можно представить так:

Asxtx„ = (^Sx,xB)i?n + (Asxtx,)ii,	(26.2)

где (Asxtx2)i — хроматизм положения первого компонента; (Asx,xt)n —
хроматизм положения второго отрицательного компонента.

Отсюда определяется (Asxtx,)n:

(AsxjxJu = Asx.x,— (A$x,x2)i ₽ii-

Затем из (26.2) определяется (Asx”x2i) при условии, что Asx,x2=0:
Следует помнить, что при пересчете конструктивных элементов
системы необходимо каждый раз вычислять s' ,; s’  —s > —/о, и уточ-
нять расстояние между компонентами (см. рис. 215) по формуле

=rfo+sHJ —sh„-

Если фокусирующий компонент представляет собой двухлинзо-
вый склеенный компонент или имеет более сложную конструк-
цию, то коррекция проводится по компонентам и при необходи-
мости при стыковке компонентов проводится незначительная
коррекция, позволяющая компенсировать аберрации высших по-
рядков, неизбежно появляющиеся в подобных системах.

§ 174.	Пересчет объективов на плавки стекол

При расчете оптических систем используют оптические постоян-
ные стекол или других оптических материалов, взятые из нормалей
или ГОСТ. Однако каждая плавка стекла в зависимости от катего-
рий стекла по отклонению от основного показателя Anf и по откло-
нению от средней дисперсии A (nF, — пс,} имеет оптические постоян-
ные, отличающиеся от расчетных, взятых из ГОСТ.

Обычно после расчета оптической системы определяются допус-
ки на конструктивные элементы и выбирается категория стекла по
Дпе и А (пл, — пс,), и этого оказывается достаточным для получения
допустимого качества изображения.

В отдельных случаях системы бывают очень чувствительны к из-
менениям оптических постоянных, и небольшие вариации пе и nF.—
— пс, снижают качество изображения. К таким системам можно от-
нести, например, фотообъективы, часто имеющие малые допуски на
конструктивные элементы, а также длиннофокусные системы, напри-
мер объективы коллиматоров.

При расчете таких систем применяется так называемая «кор-
рекция на плавки стекол». При известных оптических постоянных
стекла, из которого будут изготовлены линзы объектива, прово-
дится коррекция аберраций, в процессе которой изменяются кон-
структивные элементы объектива. Чаще всего применяется
метод проб.

§ 175.	Пересчет оптических систем
на другое фокусное расстояние

При расчете многих оптических систем часто нецелесообразно
рассчитывать заново отдельные компоненты, а достаточно выби-
рать их из имеющихся каталогов или «архива», который обра-
зуют системы, ранее рассчитанные. Если фокусное расстояние
объектива из каталога незначительно отличается от требуемого
при том же относительном отверстии, то надо провести пересчет
объектива, т. е. провести так называемое масштабирование.

Для этого надо определить коэффициент масштабирования,
представляющий собой отношение фокусных расстояний соответ-
ственно рассчитываемого объектива к фокусному расстоянию
объектива из каталога. Затем надо умножить радиусы кривизны,
толщины линз и воздушные промежутки на коэффициент масшта-
бирования. Так же изменится и диаметр объектива.

Следует осторожно относиться к пересчету на другие фокус-
ные расстояния и помнить, что при значительном увеличении
фокусного расстояния надо снижать относительное отверстие для
сохранения качества изображения (см., например, § 165). При
разности фокусных расстояний, не превышающих 5-ъ 10% f', при f'=
=50-ъ300 мм чаще всего качество изображения при той же све-
тосиле остается удовлетворительным, но при необходимости
иногда приходится проводить дополнительную коррекцию абер-
раций.

Системы, имеющие жесткие допуски на конструктивные эле-
менты, нецелесообразно пересчитывать на другие фокусные рас-
стояния, так как они неизбежно потребуют коррекции аберраций
или придется снизить относительное отверстие.

§ 176.	Расчет оптических систем на ЭВМ

Автоматизация расчетов и моделирование свойств оптических
систем с помощью ЭВМ ознаменовали собой новый этап развития
вычислительной оптики, главная задача которой заключена в раз-
работке конструкций оптических систем и в определении числен-
ных значений их параметров, исходя из заданных свойств. Реше-
ние этой задачи — процесс творческий, который и в настоящее
время, и в ближайшем будущем пока не может быть полностью
передан машинам, поскольку состояние теории разработки конст-
рукций и расчета оптических систем позволяет алгоритмировать
лишь отдельные этапы работы, имеющей в целом эвристический
характер и основанной на личном опыте и интуиции. ЭВМ не мо-
жет активно участвовать в разработке конструкций оптических
систем из-за отстутствия в большинстве случаев аналитической
или эмпирической связи между качеством изображения и абер-
рациями, с одной стороны, и конструкцией системы и ее основ-
ными характеристиками (относительным отверстием угловым или
линейным полем, фокусным расстоянием), с другой. Такие связи
получены в последние годы лишь для некоторых частных случаев
концентрических систем. В настоящее время роль ЭВМ в процессе
создания оптической системы сводится как бы к ответам на воп-
рос, может ли выбранная конструкция обеспечить требуемое
качество изображения при заданных основных характеристиках.
Разработчиков в достаточной мере удовлетворяют универсальные
программы, охватывающие почти все встречающиеся на практике
случаи расчетов. Эти программы используются в течение всего
времени эксплуатации ЭВМ данного типа. Однако ввиду быстрого
совершенствования техники происходит моральное старение ЭВМ,
ао приводит к необходимости заново составлять программы.
;1 каждый раз программы совершенствуются за счет больших
возможностей современной техники, а также за счет того, что
при разработке учитывается опыт эксплуатации старых программ.
Например, в любой программе предусмотрен расчет через опреде-
ленное количество поверхностей, предельное число которых опре-
деляется объемом оперативной памяти машины. При переходе
на работу на ЭВМ с большим объемом памяти появляется воз-
можность увеличивать предельное количество поверхностей сис-
темы. Кроме того, увеличивается быстродействие машины. Так,
если ЭВМ «Урал-1» выполняла расчет хода любого луча через
поверхность, включая внемеридиональный, примерно за три
секунды (пара тригонометристов, выполняющая расчет вручную
с помощью таблиц логарифмов, тратила порядка 3—4 минут),
го современные машины, например ЭВ.М БЭСМ-6, выполняет рас-
чет хода луча через поверхность приблизительно за 0,001 с.

На ЭВМ «Урал-1» была впервые предпринята попытка создания
программы для автоматизированного расчета оптических систем,
г. е. для автоматического исправления аберраций исходной опти-
ческой системы путем изменения машиной некоторых конструк-
тивных параметров. И сразу же выяснилось, что скорость работы
машины и объем оперативной памяти совершенно недостаточны
для выполнения расчетов систем, содержащих большое количество
коррекционных параметров. Однако, несмотря на это, па этой
машине в течение 1961 —1962 гг. были выполнены автоматические
расчеты ряда оптических систем.

В последующие годы были разработаны более совершенные
машины «Урал-2», «Минск-1». В конце шестидесятых годов полу-
чили широкое применение машины БЭСМ-4, «Минск-22»,
«Минск-32». Большинство оптических систем в СССР рассчиты-
вается сейчас на машинах этих типов.

Однако проведение автоматизированной коррекции сложных,
например панкратических, систем на этих машинах, несмотря на
высокую скорость вычислений, требует значительных затрат вре-
мени (десятки минут и даже часы). Поэтому в последние годы
стали использовать ЭВМ БЭСМ-6, у которых скорость составляет
порядка 800 000 операций в секунду.

Самой быстродействующей электронно-вычислительной маши-
ной совместного производства явилась ЕС-1060 — новая модель
ЕС ЭВМ второй очереди. Минимальная емкость оперативной
памяти составляет 2 Мбайт, максимальная 8 Мбайт. Скорость
передачи данных составляет 100—670 кбайт/с в зависимости
от режима работы.

Использование высокопроизводительных машин сделало воз-
можным и целесообразным математическим моделирование ряда
свойств оптических систем, которые рапсе выявлялись лишь при
изготовлении опытных образцов. К числу таких свойств можно
отнести распределение освещенности в изображении точки, частот-
но-контрастные характеристики, влияние погрешностей изготовле-
ния и рассеянного света на качество изображения и т. и. Наличие
высокопроизводительных ЭВМ и программ автоматизированной
коррекции дает возможность рассчитывать системы, содержащие
асферические поверхности. Однако в связи с технологическими
трудностями, обусловленными изготовлением и контролем таких
поверхностей, необходимость применения асферических поверхно-
стей в каждом конкретном случае должна быть достаточно обо-
снована.

Внедрение устройств графической выдачи информации, осу-
ществленное в последние годы, позволило наряду с цифровой ин-
формацией получать чертеж оптической системы, ход лучей в ней,
а также графики аберраций, что обеспечивает быструю оценку
соответствия оптических деталей нормам в отношении толщины,
выявления возможностей виньетирования с целью устранения
аберрации, определение положения плоскости наилучшей уста-
новки, оценку величины аберраций высших порядков и многое
другое.

§ 177.	Основные особенности ЭВМ

Высокая скорость работы современных электронно-вычисли-
тельных машин достигается за счет: 1) малого времени, затрачи-
ваемого на выполнение арифметических операций. Так; например,
умножение двух десятичных чисел на ЭВМ БЭСМ-4 выполняется
за 0,001 с; 2) работа машины по программе, которая представляет
собой последовательность команд, определяющих действие маши-
ны в течение некоторого времени; 3) наличия быстродействую-
щей, так называемой оперативной памяти, предназначенной для
хранения программы, числового материала и промежуточных
результатов вычислений.

В зависимости от полученных промежуточных результатов
можно изменять вычислительный процесс, что позволяет не только
ускорить, но и автоматизировать выполнение сложных расчетов.

Программа для работы на ЭВМ состоит из отдельных
команд — закодированных указаний о выполнении тех или иных
операций. Система кодирования определяется типом машины.
Вот почему для решения одной и той же задачи на разных ЭВМ
необходимо составлять различные программы.

Составление программы в колах машины — процесс весьма
кропотливый и трудоемкий. После составления программу отла-
живают, т. е. тщательно ее проверяют путем выполнения расчетов,
результаты которых, в том числе и промежуточные, заранее из-
вестны. Цель отладки — устранить допущенные в программе
ошибки. Для унифицирования и ускорения процесса программиро-
вания созданы вспомогательные языки программирования, из ко-
торых наиболее распространенными являются «алгол» и
«фортран». Программа, составленная на каком-либо языке,
пригодна для использования па всех типах машин, для которых
составлены соответствующие программы-трансляторы, с помощью
которых можно осуществить перевод программ, записанных
на вспомогательном языке, в коды машин. Вспомогательные языки
дают возможность расчетчикам, не знакомым с системой команд
конкретной машины, осуществить программирование. Програм-
мирование на вспомогательных языках особенно эффективно при
решении одноразовых задач. В том случае, когда предполагается
введение большого количества расчетов, использование языков
не всегда достаточно эффективно, поскольку программы, состав-
ленные с помощью трансляторов, имеют более сложную структуру
и решают задачи за время большее, чем программы, составлен-
ные программистом непосредственно в кодах машины.

Помимо оперативного запоминающего устройства ЭВМ имеют
полуоперативные запоминающие устройства, предназначенные для
записи, хранения и считывания информации. В качестве таких
устройств используются магнитные барабаны и магнитные диски
для хранения часто используемых программ и больших массивов
чисел. Объем полуоперативной памяти современных ЭВМ дости-
гает миллиона чисел и команд.

Носителями информации во внешних запоминающих устрой-
ствах являются:

1.	Перфокарты или перфоленты, на которых информация коди-
руется в виде отверстий, выбиваемых специальными устройствами-
перфораторами. Считывание информации с перфокарт (перфолент)
и запись ее в машину осуществляются в специальном устройстве
ввода. Скорость ввода достигает 100 чисел в минуту. На перфо-
картах (перфолентах) хранится числовой материал, подлежащий
расчету, а также составленные программы.

2.	Магнитные ленты, используемые для хранения программ,
архивных данных и больших массивов чисел. Объем информации,
хранящейся па одной ленте, достигает миллиона чисел. Запись
на магнитную ленту осуществляется только через ЭВМ, причем
время записи-считывания довольно велико и достигает десятков
Секунд.

Устройствами выдачи информации являются:

1.	Цифропечатающие устройства. Результаты расчета выда-
ются в виде цифр на бумажную ленту шириной 60—100 мм. Ско-
рость выдачи результатов достигает 25 чисел в секунду.

2.	Алфавитно-цифровые печатающие устройства. Результаты
выдаются в виде цифр и букв на бумажную ленту шириной по-
рядка 400 мм. Результаты расчета могут быть выданы в виде таб-
лиц, снабженных заголовками в виде текста, или в виде буквен-
ных обозначений. Возможна выдача текстового материала.

3.	Графопостроитель. Результаты расчетов выдаются в виде
графиков, рисунков, чертежей.

4.	Устройства наглядной выдачи, в которых информация в виде
чисел, графиков, рисунков выдается на экран телевизионной
трубки. Может быть предусмотрена обратная связь с машиной —
возможность ввода информации в машину с телевизионной труб-
ки с помощью специального светового пера (дисплей).

§ 178.	Особенности программ,
составленных для расчета оптических систем

Характерной особенностью программ является целесообраз-
ность отделения числового материала, представляющего задание
на расчет, от самой программы. Числовой материал записыва-
ется на специальных бланках задания. Содержание бланка опре-
деляется типом машины и программы. Например, для расчета
хода лучей на бланке задания записываются конструктивные
элементы оптической системы (г, d, п), начальные данные для
расчета лучей (5, Л, р,, у, х, у, г) и некоторые вспомогательные
величины (количество поверхностей р, количество длин волн»
количество лучей). Числовой материал вводится в ЭВМ с перфо-
карты или перфоленты. Предварительно в оперативную память
машины переписывается программа, которая хранится в виде за-
писи на магнитной ленте или барабане.

Наивысшая производительность ЭВМ достигается в том слу-
чае, если по одной и той же программе решается ряд задач, маши-
ной управляет оператор, конструктор не имеет возможности
непосредственно общаться с машиной и вносить какие-либо изме-
нения в задание с пульта машины. Если же ЭВМ обслуживает
небольшое количество расчетчиков, то целесообразнее, когда рас-
четчик сам выполняет роль оператора и в зависимости от полу-
ченных результатов имеет возможность вносить изменения
в задание.

§ 179.	Общие принципы построения программ
для расчета оптических систем

Поскольку программы для расчетов являются программами
массового пользования, то при их составлении необходимо, как
показал многолетний опыт, соблюдать следующие основные поло-
жения:

1.	На бланке задания должен записываться минимум информа-
ции. Это, во-первых, уменьшает время, затрачиваемое на его за-
полнение, перфорацию и ввод в машину, а во-вторых, уменьшает
вероятность появления ошибок.

2.	Форма выдачи результатов должна быть удобной и нагляд-
ной. В самом идеальном случае ЭВМ должна выдавать резуль-
таты в форме, не требующей дальнейшей обработки, т. е. в виде
таблиц, графиков, схем.

3.	При составлении программы следует также учесть разделе-
ние труда, а именно: бланк задания не должен содержать
данных, для записи которых нужны специальные знания в об-
ласти программирования. Разработчик оптической системы дол-
жен знать только вычислительную оптику и правила заполнения
бланка задания. В то же время математик-программист, составля-
ющий программу, не должен проверять правильность заполнения
бланка задания.

4.	Следует предусмотреть автоматический контроль правиль-
ности заполнения бланка задания. Программа должна быть
составлена таким образом, чтобы перед расчетом системы ЭВМ
выполняла бы контроль задания с целью проверки — выявления
наличия несоответствия, нарушений правил заполнения бланка
и т. д. Автоматический контроль избавляет программистов от не-
обходимости поиска ошибок в заданиях, помогает разработчику
оптической системы найти ошибку.

5.	Следует четко классифицировать задачи вычислительной
оптики.

Программы для расчета оптических систем могут быть раз-
делены на три группы:

1.	Программы для решения прямых задач,
т. е. задач по определению некоторых свойств оптической системы
но заданным конструктивным параметрам. Это программы: а) для
определения геометрических аберраций путем расчета хода
лучей; б) для определения влияния изменения конструктивных
параметров на аберрации; в) для расчета влияния децентрировки
на аберрации и т. д.

Математический аппарат для решения прямых задач хорошо
разработан, хотя время, затрачиваемое машиной, может быть
довольно велико как это, например имеет место при расчете
распределения освещенности в дифракционном пятне.

2.	Программы для решения обратных задач,
т. е. задач по определению конструктивных параметров систем
по заданным свойствам (по параксиальным характеристикам
и аберрациям). Решение этих задач вызывает большие трудно-
сти, поскольку зависимость конструктивных параметров от абер-
раций чрезвычайно сложна и в большинстве случаев выразить ее
в явном виде бывает не всегда возможно. И, кроме того, обрат-
ные задачи могут иметь множество решений. Например, одинако-
выми аберрациями могут обладать различные линзы и конструк-
ции оптических систем.

3.	Программы для решения вспомогательных
задач. Эти программы предназначены для рассчетов массы
оптических деталей, для расчета показателей преломления оп-
тических материалов для длин воли, отсутствующих в соответ-
ствующих стандартах. Решение вспомогательных задач не встре-
чает принципиальных трудностей.

§ 180. Расчет хода лучей на ЭВМ.

Запись исходных данных для расчета хода лучей

Расчет хода лучей через оптическую систему выполняется
главным образом для определения геометрических аберраций
и параксиальных характеристик системы (фокусного расстояния
или увеличения, положения плоскости Гаусса относительно
последний поверхности положения входного и выходного зрач-
ков, увеличения в зрачках). На основе расчета хода лучей опре-
деляют световые диаметры на поверхностях системы, степень
виньетирования внеосевых пучков. В том случае, когда выполня-
ется расчет качества изображения, попутно определяются волно-
вые аберрации, т. е. отступление деформированного фронта
от идеального сферического.

Рис. 274. Расчет хода луча через оп-
тическую систему

Рис. 275. Определение координат луча
при расчете его через оптическую
систему

При расчете хода лучей через оптические системы на ЭВМ
в СССР принята система прямоугольных координат, в которых
ось OZ совпадает с оптической осью системы. В основу програм-
мы для расчета хода лучей в пространстве положены формулы
Федера (см. § 5). Начало координат (точка О) в соответствии
с формулами Федера располагается в вершине первой поверхно-
сти оптической системы. После расчета хода луча через первую
поверхность начало координат переносится в вершину второй по-
верхности и т. д. (рис. 274).

Способы задания положения луча света в пространстве.
На практике наиболее употребительными являются два способа
задания положения луча света в пространстве:

1.	Луч задается координатами двух точек, через которые он
проходит. Одна точка лежит в плоскости предмета — точка В,
а другая — в плоскости входного зрачка — точка N. На рис. 274
положение предметной плоскости УА~Х задается ординатой пере-
сечения этой плоскости с оптической осью Z=—ад. Координаты
точки В пересечения луча с плоскостью предметов принято обо-
значать через х и у. Плоскость тРМ является плоскостью вход-
ного зрачка, положение которой относительно первой поверхности
оптической системы определяется отрезком —sp, а координаты
точки Л' пересечения луча с плоскостью входного зрачка принято
обозначать через т и М. Итак, положение луча в пространстве
определяется величинами sb sp, у, х, т, М. Если si=— оо или
Sp——со, то применяют другой способ задания положения луча.

2.	Положение луча задается координатами точки, через кото-
рую он проходит, и направлением. Координата точки определяется
либо в плоскости предмета, либо в плоскости входного зрачка.
Направление луча характеризуется направляющими косинусами
(косинусами углов, образованных осями координат с прямой,
параллельной лучу и проходящей через начало координат),
На рис. 275 положение луча NM определяется координатами
точки Л/ пересечения луча с плоскостью входного зрачка (т, М)
и направляющими косинусами углов:

cos (< TOZ) = X,
cos(< TOY) = р,
cos(< ТОХ) = v.

Из аналитической геометрии известно, что X2 + р2 + у2 — 1- Поэтому
достаточно знать направляющие косинусы р и у, а направляющий
косинус X можно определить как X =	1— (р2 4-у2) . Направляю-

щий косинус принимается положительным, когда направление
проекции луча на соответствующую ось совпадает с направлением
оси. В противоположном случае направляющий косинус имеет знак
«минус».

Итак, положение луча в пространстве определяется координатами
sp, т, М, р, у или si, у, х, р, у. Между направляющими косинусами
и апертурными углами существует зависимость, определяемая фор-
мулами

tga“ep-njI = —Г “ - / ,3-2—Г tg 8саг-пл-= “ rfbz

Для получения компактной записи начальных данных лучи объеди-
няются в пучки. Пучок — это совокупность лучей, исходящих из
одной точки предмета, если si =# — 00, то для лучей пучка сохра-
няются постоянными координаты у и х. Если si #=— 00, то пучок
лучей характеризуется постоянными значениями направляющих коси-
нусов р И у.

Итак, если:

1.	si #= — со, sp =# — 00 — плоскости предметов и входного зрачка
расположены на конечном расстоянии. Допускается два способа за-
дания лучей через:

a)	si, sp, у, х, tn, М;

б)	Sp, т, М, р, у или si, у, х, р, у.

2.	si = — со, sp =# — со —плоскость предметов расположена в бес-
конечности, плоскость входного зрачка — на конечном расстоянии.
Лучи можно задавать только через sp, т, М, р, у.

3.	Si ¥= оо, sp — — со — плоскость предметов расположена на ко-
нечном расстоянии, входной зрачок — в б оконечности. Лучи можно
задавать только через si, у, х, р, у. Поскольку ЭВМ оперируют
с числами, заключенными по абсолютному значению внутри вполне
определенного диапазона, то задавать машине значения si = — то
или sp = — со нельзя. Имеются две возможности задания ЭВМ зна-
чений si = — со или sp — — со:

1)	можно задать значение si или sp достаточно большими, но
такими, чтобы отличие от бесконечности не сказывалось на резуль-
татах расчета, но меньшими предельно допустимого числа, с кото-
рым оперирует машина;

2)	можно задавать положение плоскости предмета или входного
зрачка через координаты первого (о.,, /ц) или второго (£], парак-
сиального луча соответственно. Если:

a.	si = — со, то си = 0, поскольку si = h\/a.i;

б.	8Р — со, то Pi == 0, поскольку sp = г/i/Pi.

Второй способ задания положения плоскостей предмета и входного
зрачка является более строгим и чаще используется при расчете
на электронно-вычислительных машинах.

Пример записи начальных данных для расчета хода лучей

1-й пример. Пусть требуется рассчитать ход лучей через объек-
тив зрительной трубы (рис. 276). Апертурная диафрагма совпадает
с оправой объектива (sp = 0), пред-

мет расположен в бесконечности
(si = — со). Все лучи внеосевых

Sx. зр.

пучков лучей виньетируются при
прохождении через последующую
часть зрительной трубы. Обозна-
чим через Хш{ и KS[ коэффициен-
ты виньетирования для i-ro пуч-
ка лучей в меридиональном и са-
гиттальном сечениях соответствен-
но. Так как sj = — со, sp = 0, то
начальные данные для расчета за-
пишутся —си = 0, /и = 1 (fti мо-

Рис. 276. Расчет хода лучей через
объектив зрительной трубы

жет быть и произвольной величи-
ной), Pi = 1, i/i = 0. Ограничим-
ся расчетом хода лучей для трех
точек поля (трех пучков):

1.	Осевой пучок — m — 0; М = 0 (осевая точка поля);

2.	Первый внеосевой пучок — р.тах = — sin wmax, v = 0;

3.	Второй внеосевой пучок — р.30ц = — ]A),5sin o)max, v = 0.
Диаметр осевого пучка лучей равен 2rnmax. Ширина пучка лучей,
идущего под углом wmax, в меридиональном сечении составляет 2m =
==2mmax-/Cm. Ширина пучка лучей, синус угла которого с осью
равен—p-maxVAS, в меридиональном сечении составляет 2m =
= 2mmax/Cm,, а в направлении оси ОХ — 2М == 2AfmaxKS!.

В осевом пучке ограничимся расчетом двух лучей: луча, прохо-
дящего через край апертурной диафрагмы, mKp = wimax, М = 0,
и луча, проходящего через точку апертурной диафрагмы с коорди-
натами m30H = |К0,5тП1ах, М — 0.

В каждом из внеосевых пучков рассчитаем но семь лучей —
пить в меридиональной плоскости и два внемеридиональных луча.

Для внеосевых пучков запишем:

1.	Для первого внеосевого пучка (и = — sin u>max, v = 0):

а)	главный луч в пучке: т. = 0, М — 0,

б)	верхний крайний полевой луч: mKp = ттакКт,, М — 0,

в)	верхний зональный полевой луч: тгоц = У0<5тп,лхК,ц,, М — 0,
г) нижний зональный полевой луч: тяоп = —(/О.бттахКт,- М =0,
д) нижний крайний полевой луч: ткр = — rnmayLKm,, М --- 0,
е) первый виемеридиональный луч: т = 0, М = Mm;,xKs,<
ж) второй внемеридиональпый луч: т = 0, М = )Д0,5Л4тах/(5]:

2.	Для второго внеосевого пучка (и. = — ('0,5 sin u>max, * — 0):
а) главный луч в пучке: т = 0, Л1 0,

б)	верхний крайний полевой луч: тх[.---ттлхК.т2, М — 0,

в)	верхний зопатъный полевой луч: тяоп = |Д0,5.тгт,.1ХК„;г, Л4 =0,
г) нижний зональный полевой луч: тжн = —У0ЪттахКтг, М — 0,
д) нижний крайний полевой луч: ткр = —tnmaxKm^ Л1 = 0,
е) Первый виемеридиональный луч: т — 0, М. ~ A4roaxKS2,
ж) второй виемеридиональный луч: т = 0, М ~ УУЬМтлхК*,.

2-й пример. Пусть требуется рассчитать ход лучей черёз объек-
тив измерительного микроскопа (рис. 277). Для устранения влияния

А.0.

перемещения плоскости предмета
в пределах глубины резкости на
масштаб изображения входной
зрачок системы расположен в бес-
конечности. Это достигнуто с по-
мощью апертурной диафрагмы, рас-
положенной в задней фокальной
плоскости объектива. Числовая

Рис. 277. Расчет хода лучей черев апертура объектива равна А —
объектив измерительного микроскопа = П\sin ai = sin amax. Количество
пучков лучей и число лучей в
каждом из пучков возьмем таким же, как и в первом примере.
Виньетирование в объективе отсутствует.

Начальные данные для расчета: а4 = 1, он = р0> ^0 = 1 (может
быть произвольной).

1.	Осевой пучок {у = 0, х = 0):

а)	первый луч в осевом пучке: и.мах = — sinamax, v = 0,

б)	второй луч в осевом пучке: и. — — ]/0,5pmaX) v = 0;

2.	Первый внеосевой пучок (у = —ртах, х = 0):

а)	главный луч в пучке: р = 0, ч — 0,

б)	верхний крайний луч: а = u.max, v = 0,

в)	верхний зональный луч: и. = ]/ 0,5атах, v = 0,

О нижний зональный луч: а = — ]/0,5u.maX, v = 0,
д)	нижний крайний луч: и, = —u.max, v = О,

е)	первый внемеридиональный луч: р. — 0, v = ртах,

ж)	второй внемеридиональный луч: р = 0, v = ]/0.5pmax;

3.	Второй внеосевой пучок {у = — l^O-oz/max, х = 0):

а)	главный луч в пучке: р — 0, v == О,

б)	верхний крайний луч: р == pmax, > — О,

в)	верхний зональный луч: р = )/'0,5ртах, v = О,

г)	нижний зональный луч: р = — |/0,5ртах> * = О,

д)	нижний крайний луч: р = — ртах, v = О,

е)	первый внемеридиональный луч: v = ртах, р = О,

ж)	второй внемеридиональный луч: v = ]/0,5ртах, р = 0.

Такой способ задания начальных данных для расчета хода
лучей прост и дает возможность конструктору оптической системы
максимальные возможности, но бланк задания в этом случае со-
держит слишком много информации. Уменьшить задание помо-
гает введение в программу регламентированного набора лучей.
Известны три варианта:

1.	В программе предусмотрен фиксированный набор лучей,
которые и рассчитываются в любой системе. Однако в этом слу-
чае программа может быть пеоптималыюй для ряда систем, по-
скольку в некоторых случаях будет рассчитываться избыточное
число лучей.

2.	В программе предусмотрен фиксированный набор лучей,
но конструктор может выбрать произвольные лучи из этого
набора.

3.	В программе предусмотрено несколько вариантов наборов
лучей, из которых конструктор выбирает оптимальный.

Практика расчетов, выполняемых на ЭВМ, показала, что наи-
более удобны способы задания лучей набором, предусматриваю-
щие возможность расчета пяти пучков лучей:

а)	осевого пучка, в котором могут быть рассчитаны лучи с ор-
динатами в плоскости входного зрачка: т\ = ттак, т2 = j/"^-штах,
/713 == 1^0,5/Птах, 1^4 = 0,5штах*

б)	четырех внеосевых пучков, вершины которых в плоскости
предмета имеют следующие ординаты: yi = t/max, у2 =	^Ут^, Уз =

= )/'0,5z/max, 1/4 = 0,5(/max — если S1 ¥= — со, И еСЛИ S1 = — СО, то
задается ртах = — sinw, а набор строится как:

Р-1 “ Ртэх» Р-2 ~ pmaXj рЗ = ^0,5ртах» Р-4 = ^>5ртах.

Таким образом, при задании лучей наборами на бланке задания
записывают:

1.	Если S| =	°0’ ТО U»mах И Шгпах-

2.	ЕсЛИ 5'1	~~ °°, ТО p-niax ^лш) И i/niax*
Задаются коэффициентами виньетирования Кт. и KSi и записы-
вают условные номера набора или условные номера лучей. Такой
способ задания лучей в настоящее время имеет самое распростра-
ненное применение.

Способы задания
конструктивных параметров оптических систем

Конструктивные параметры исходного варианта оптической
системы — радиусы кривизны сферических поверхностей г, рас-
стояние между вершинами поверхностей d (толщины и воздушные
промежутки) задаются в обычном виде с учетом правила знаков.
Исключение составляют плоские поверхности, когда г— со . По-
скольку машине нельзя задавать значение г=со, то в программе
принято условно записывать г=0. Для асферических поверхностей
уравнения поверхностей могут быть записаны в виде

by2 + сх2 Ч- «12 -г a2z2 + а323 + • • • + ап?п = 0	(26.3)

или

г = at (у2 + х2) а-> (у2	х2)2 + ... + ап (у2 + х2)'1.	(26.4)

С помощью уравнения (26. 3) могут быть записаны виды поверх-
ностей, имеющих ось симметрии, совпадающую с осью OZ (пара-
болоид, эллипсоид, конус). Уравнение (26.4) используется при
задании поверхностей, имеющих точку перегиба (например, пла-
ноидные поверхности), однако с его помощью может быть записа-
на и параболоидная поверхность.

При наличии в оптической системе отражающих поверхностей
при записи на ЭВМ, как и при расчете с помощью тригонометри-
ческих формул и таблиц, следует изменить знак у показателей
преломления и расстояний между вершинами поверхностей, рас-
положенных после отражающей поверхности.

Показатели преломления оптических сред можно задавать ли-
бо непосредственно, либо в виде кодов марок стекол и длин волн,
для которых необходимо вести расчет. В последнем случае в за-
поминающем устройстве машины должны храниться показатели
преломления для всей номенклатуры стекол для наиболее распро-
страненных на практике длин волн. В этом случае в программе
должен быть предусмотрен поиск показателей преломления по
заданному коду оптического материала и по заданной длине волны.
Есть программа, разработанная С. Р. Родионовым, где преду-
смотрен расчет показателей преломления практически для любой
длины волны света. При составлении такой программы использо-
вались интерполяционные формулы, позволяющие с высокой точ-
ностью определять показатель преломления для любого значе-
ния Л по известным показателям преломления для четырех длин
волн.

Пример. Пусть требуется рассчитать ход лучей через двухлин-
зовый склеенный объектив, линзы которого выполнены из марок
стекол кв и 1Ф1, для спектрального интервала л0 = ото,и/ нм,
Xi = 643,85 нм, kj = 479,99 нм, соответствующего спектральным
линиям в, С, F'. Если в программе предусмотрено задание пока-
зателей преломления непосредственно, то по ГОСТ 13659-68 отыс-
кивают и записывают следующие показатели преломления:

I	1	1

1,518294	1,614292	1,522408

1,652188	1,642950	1,662347

1	1	1

Если в программе предусмотрена возможность записи марок
Стекол и длин волн в кодированном виде, то задание будет выгля-
деть следующим образом:

1 (код воздуха)	7 (код спектральной линии е)	*

1008 (код стекла марки К8)	4 (код спектральной линии С')

2101 (код стекла марки ТФ1)	6 (код спектральной линии F')

1	(код воздуха)

Выдача результатов расчета

Известны два способа выдачи результатов расчета хода лучей:

1.	После расчета хода каждого из предусмотренных лучей на
печать выдаются все данные. Так, после расчета, например, осево-
го луча выдаются: тангенс угла вышедшего из системы луча с
осью tg 4, продольная сферическая аберрация As', поперечная сфе-
рическая аберрация &у', отступление от условия изопланатизма у и
т. д. и после некоторого интервала печатаются те же величины
для второго луча и т. д.

2.	На печать выдаются результаты расчета для всех лучей, сгруп-
пированные в таблицы. Например, после расчета осевого пучка вы-
даются tg a'kt , tgo*x., и т. д. после некоторого интервала Asm,
△sxs. Asx’, и т. д. для всех лучей и после интервала Д zas, Дг/х, и
т. д. Такая форма выдачи результатов является наглядной и, следо-
вательно, предпочтительной. Разрезая бумажную ленту, на которой
печатаются результаты расчета, по линиям интервалов и наклеивая
на лист, можно составить таблицы результатов. Возможна выдача ре-
зультатов в виде графиков аберраций с помощью графопостроителей.
И, наконец, перед началом расчета на ленте должны быть отпечатаны
все данные, записанные на бланке задания. Это позволяет, с од-
ной стороны, проверить правильность перфорации и ввода задания,
а с другой стороны, дает полную информацию о том, какая система
рассчитывалась.

* Коды условные и приведены для примера.
§ 181.	Автоматизированная коррекция
простейших оптических систем

Автоматизированная коррекция помогает с помощью ЭВМ и
при активном участии разработчика определить конструктивные
параметры оптической системы, обладающей заданными характе-
ристиками в параксиальной области (/', р0) и заданными значе-
ниями аберраций.

В настоящее время для решения этой задачи используются
универсальные программы, предназначенные для кор-
рекции систем любых типов и любой степени сложности, и с и с-
цпализирован и ые программы, предназначенные для
расчета определенных типов систем, состоящих из бесконечно
топких компонентов. Специализированные программы разработа-
ны па применении формул теории аберраций третьего порядка.
Они составлены только для простейших, наиболее часто встреча-
ющихся типов оптических систем или их компонентов. Это объяс-
няется, во-первых, тем, что теория аберраций третьего порядка
позволяет решать обратную задачу определения конструктивных
параметров оптической системы по заданным аберрациям путем
решения уравнений исправления аберраций, как это было показа-
но в § 157. Если оптическая система простая, то уравнения полу-
чаются не выше второго порядка, в то время как для сложных
систем уравнения имеют высокий порядок и их решение представ-
ляет сложную проблему. Кроме того, для каждого типа оптиче-
ской системы приходится составлять свою программу, так как
вид уравнений, количество уравнений определяется типом рассчи-
тываемой системы. Поэтому затраты на составление таких про-
грамм могут окупаться лишь при многократном их использовании.

Самое широкое распространение получили две специализиро-
ванные программы:

1.	Программа для расчета двухлипзовых склеенных компонен-
тов.

2.	Программа для расчета двухкомпонентных систем, каждая
из которых может быть простой или склеенной.

Программа для расчета двухлинзовых склеенных компонентов
составлена по широко известной методике Г. Г. Слюсаревым и ре-
ализована на БЭСМ-4. Методика расчета двухлинзовых склеен-
ных объективов приведена в §165. Программа составлена следу-
ющим образом. По заданной величине параметра С (диапазон
значений параметра С произволен) машина осуществляет расчет
параметра сначала для первой комбинации стекол, указан-
ного конструктором набора, затем для второй и т. д. и сравнивает
полученные значения (Агнп)выч с заданными значениями (Рты)зад-
Выбор комбинаций пар марок стекол осуществляется машиной до
тех пор, пока (РШ1п)выч не окажется близким к (Рты)зад- Ска-
занное можно пояснить рис. 278, на котором точка А соответству-
ет значениям РП1щ и С. Выбранные таким образом две комбина-
ции, например, К.8-ТФ1, К8-Ф1 используются для дальнейших
Рис. 278. График для выбора комби-
нации марок стекол по заданным зна-
чениям параметров Pmln и С

расчетов. Для найденных комбинаций программой осуществля-
ется расчет конструктивных параметров: сначала определяются
углы <12 и аз, а по ним — радиусы кривизны бесконечно тонких
линз по заданному значению фокусного расстояния. Производит-
ся расчет толщины линз, при этом толщина отрицательной линзы
задается конструктором, а толщина положительной линзы опреде-
ляется, исходя из толщины линзы по краю и заданного светово-
го диаметра объектива. После
расчета толщины осуществляется
расчет радиусов кривизны линз
конечной толщины.

Поиск комбинаций марок сте-
кол и дальнейший расчет выпол-
няются дважды: один раз для
комбинации «крон впереди», а
второй раз — для комбинации
«флинт впереди». Поэтому ЭВМ
в общем случае выдаст четыре
варианта решения. Если при ма-
шинном подборе пар стекол ока-
жется, например, что точка В
будет лежать так, что для всех
комбинаций пар марок стекол
Pmii, либо меньше заданного зна-
чения, либо больше, то ЭВМ вы-

дает решения, соответствующие ближайшей комбинации (на рис.
278 это комбинация К8-ЛФ 10).

Программа для расчета двухкомпонентных систем. На рис. 279
представлены четыре типа оптических двухкомпопентпых систем,
которые могут быть рассчитаны с помощью второй специализиро-
ванной программы*.

Комбинация стекол выбирается конструктором. При расчете зада-
ются углы первого параксиального луча at, o-k и высота этого луча
на первой поверхности hi. Система первого типа (см. рис. 279, а)
имеет три свободных параметра — а?, а3, оы и поэтому можно выпол-
нить три условия исправления аберраций (Sixp = 0, Si = 0, Su = 0)
При расчете систем II и III типов количество свободных параметров
возрастает до четырех: а?, а.з, <х$, а5, поэтому один из углов должен
быть задан конструктором. О рациональном выборе угла <х3 для си-
стем II типа и угла а4 для систем III типа смотри § 165. При рас-
чете систем IV типа количество свободных параметров возрастает до
пяти: а2, а.<, ад, а5, а6. В этом случае следует задавать еще одну ве-
личину. В качестве такой величины в программе принято распреде-
ление параметра С между компонентами, т. е. полагают, что С =
— Ci + С?, где Ci —основной хроматический параметр I компонента;
С> — основной хроматический параметр II компонента.

* Разработана М. Д. Серегиной иод руководством Д. 10. Гальперна.
num,wlll по чс1ырсл случаев решение сводится к решению
квадратного уравнения, и если под корнем оказывается отрица-
тельная величина, то машина печатает особый признак. Если под-
коренное выражение положительное, то ЭВМ выдает два реше-
ния. В программе предусмотрен переход к линзам конечной тол-
щины. Формулы, по которым выполняется машинный расчет
исходного варианта системы I, II, III и IV типа, приведены в § 165.
Первый этап расчета заканчивается на определении конструктив-
ных параметров исходного варианта.

Рис. 279. Виды оптических двухкомпонентных систем, для расчета которых
составлены специализированные программы

В программе предусмотрена также возможность выполнения вто-
рого этапа расчета, заключающаяся в автоматическом получении
заданных значений трех аберраций для осевой точки предмета: про-
дольной сферической аберрации для заданного луча Д$х„, отступления
от условия изопланатизма для того же луча, продольной хрома-
тической аберрации Дэх.х,. На этом же этапе происходит сравнение
полученных аберраций с заданными. Если абсолютные значения раз-
ностей между полученными и заданными аберрациями больше допу-
стимых (значения допусков задаются разработчиком оптической си-
стемы), то в программе предусмотрено вычисление поправок для
основных параметров Р” и W”, С. Для расчета поправок ДР, Д№, ДС
задают значения коэффициентов k\, kz, Аз, kt, связывающих измене-
ния аберраций е изменениями основных параметров,

8(4) = ЫР;
St; = k2bP + k3№‘,
8(A<x2) = /e4AC,

тогда

ДР = _ч V;

k\

АГ = k2 

k3 *3 ’

ac = -Y

'?4

После определения поправок АР, AU7, АС повторяется первый этап
расчета, причем заданными основными параметрами уже будут Р“ +
+ ДР, W°° + ДЦ7, С + АС. Расчет в изложенной последовательности
продолжается до тех пор, пока значения всех трех аберраций не
достигнут заданных интервалов значений. В программе предусмот-
рен контроль сходимости этого процесса. Если процесс расходится,
то расчет прекращается и печатается особый признак.

§ 182.	Универсальные методы для автоматического расчета

Универсальные методы для автоматического расчета и коррек-
ции основываются на методе проб, суть которого заключается
в следующем. Если в исходную оптическую систему с известными
конструктивными параметрами вносить последовательно измене-
ния некоторых параметров, то в результате можно найти такие
их значения, при которых рассчитываемая система либо будет
иметь требуемое качество изображения, либо будет доказано, что
данный тип системы непригоден для решения задачи. Универсаль-
ные методы расчета оптических систем можно разбить на две
группы:

1.	Методы, в которых рассчитываемая система характеризует-
ся несколькими величинами. Задача считается решенной, если
все величины получат заданные значения с заданными допус-
ками.

2.	Методы, в которых для упрощения решения задачи система
характеризуется оценочной функцией F-.

где F — оценочная функция; а/ — некоторые весовые коэффициенты;
Ф/ — значения некоторых величин, характеризующих оптическую
систему; Ф/ — заданные значения тех же аберраций.

Задача автоматического расчета сводится к нахождению конст-
руктивных параметров системы, при которых функция F имеет
575
минимальное значение. Введение оценочной функции, которая в не-
которых случаях может в какой-то мере охарактеризовать каче-
ство изображения, упрощает вычисления и позволяет оперировать
одной единственной величиной.

Пусть некоторая исходная оптическая система обладает У парамет-
рами (в качестве параметров примем радиусы оптических поверхно-
стей г,, расстояние между вершинами поверхностей dv, оптические
постоянные стекол). Параметры, которые в процессе расчета будут
меняться, назовем коррекционными и обозначим их через р(," р2,
рз,  • ., pt, а их число обозначим через t. Какие параметры будут
коррекционными, решает конструктор.

Оптическая система характеризуется k функциями — Ф1, Ф2,
<1>. В качестве таких функций могут быть величины, характеризующие
систему в параксиальной области (фокусное расстояние или у величещ: ?,
положение изображения относительно последней поверхности), абер-
рации системы, найденные из расчета хода лучей, коэффициенты абер-
раций третьего порядка и т. п. Задача автоматической коррекции сводит-
ся к тому, чтобы отыскать такие значения коррекционных параметров,
при которых либо все рассматриваемые функции будут иметь значе-
ния, заключенные внутри интервалов Ф| + ВФь Ф2 + оФ2, . .., Ф/, -~
+ 8Фь либо оценочная функция будет иметь минимальное значение,
где Ф|, Ч>2 ... (1’/г — заданные значения корригируемых функций;
8Ф1, 6Ф2, .. ., сФ* — допустимые отклонения корригируемых функ-
ций от заданных значений.

Конструктор-расчетчик выбирает тип исходной оптической сис-
темы, значение ее конструктивных параметров, осуществляет вы-
бор корригируемых функций и коррекционных параметров. К ис-
ходной системе предъявляется единственное требование—все
корригируемые функции для этой системы должны быть опреде-
лены, т. е. лучи, по которым определяются корригируемые абер-
рации, должны проходить через систему, не испытывая полного
внутреннего отражения, пересекаясь со всеми поверхностями.

Пусть некоторая исходная оптическая система имеет коррек-
ционные параметры pf, рг, pt и корригируемые функции
Фь Ф21... Фд. Соотношения между количеством коррекционных па-
раметров t и количеством корригируемых функций k может быть
различным. Этим соотношением и определяется метод автомати-
зированной коррекции. Между корригируемыми функциями и кор-
рекционными параметрами существует весьма сложная нелиней-
ная зависимость, установить которую в явном виде нс представля-
ется возможным. Поэтому с математической точки зрения задача
автоматической коррекции оптической системы аналогична реше-
нию системы нелинейных уравнений с неизвестными коэффициен-
тами, причем по заданным значениям параметра pi однозначно оп-
ределяются значения функции Ф/. В настоящее время такие задачи
решают методом последовательных приближений, предполагая, что
при малых изменениях коррекционных параметров связь между
корригирующими функциями и коррекционными параметрами
Практическое применение нашли следующие методы автоматичес-
кого расчета оптических систем.

!. Метод Ньютона. Применяется в том случае, когда количест-
во корригируемых функций k равно числу коррекционных парамет-
ров t.

2. Метод наименьших квадратов. Применяется в том случае,
когда количество корригируемых функций k превышает количест-
во коррекционных параметров I.

д. Градиентный метод. Используется при любом соотношении
между количеством коррекционных параметров и количеством кор-
ригируемых функций. В этом методе задача автоматического рас-
чета сводится к определению коррекционных параметров pi, при
которых вспомогательная оценочная функция Ft имеет минималь-
ное значение.

4. Комбинированный метод. Суть этого метода заключается
в том, что в одной и той же программе используются все три пер-
вых метода. Так, если k^-t, то используется модифицированный
метод Ньютона, если kZ>t, то используется модифицированный
метод наименьших квадратов, а градиентный метод используется
в тех случаях, когда скорость сходимости одного из двух методов
очень мала. Подробно методы автоматизированного расчета опти-
ческих систем рассмотрены в монографии Г. Г. Слюсарева «Рас-
чет оптических систем».

Итак, в программах автоматизированной коррекции применя-
ется математический аппарат итерационного поиска минимума
оценочной функции. Этот математический аппарат в начале 70-х
годов был усовершенствован за счет автоматического перехода
в процессе расчета от одного метода поиска к другому, например
от метода наименьших квадратов к градиентному, а также за
счет накопленного в процессе итераций опыта для дальнейшего
уменьшения оценочной функции. Применяя такие приемы, можно,
как показала практика расчетов, во многих случаях перейти от
нсоптимального локального минимума оценочной функции к более
оптимальному. Однако, к сожалению, используемый в настоящее
время математический аппарат позволяет в процессе решения
одного задания найти только один минимум, расположенный по-
близости от исходной точки, что не дает оснований для получения
исчерпывающего ответа на вопрос об оптимальном качестве изоб-
ражения в выбранной конструктором оптической системе. Поэто-
му разработчик должен варьировать как численными значениями
конструктивных параметров, так и видом оценочной функции и
обращаться к машине многократно.

§ 183. Перспективы развития автоматизации расчетов

Универсальные методы автоматизированной коррекции оптиче-
ских систем, основанные па методе постепенных приближений,
имеют ряд принципиальных недостатков, и это прежде всего:
19 1-44ь	577
1)	зависимость результатов расчета от выбора начального при-
ближения исходной системы;

2)	при одном и том же первом приближении невозможно найти
более одного решения;

3)	отсутствие информации о причинах, которые не позволили
найти решение;

4)	отсутствие методов, позволяющих определить тип исходного
варианта системы и значение ее конструктивных параметров с по-
мощью электронно-вычислительной машины.

Дальнейшее совершенствование методов автоматического рас-
чета оптических систем ведется по различным направлениям.
Наибольший эффект следует ожидать от разработки методик рас-
чета, основывающихся на теоретических исследованиях свойств
оптической системы и учитывающих эти свойства в процессе рас-
чета. Целесообразна также разработка и применение для автома-
тических расчетов общематематических методов, пригодных для
решения не только оптических задач. К числу таких методов мож-
но отнести метод упорядоченного изменения значений конструк-
тивных параметров, который хотя и требует больших затрат, но
в связи со значительным увеличением скорости современных ЭВМ
может стать рациональным.

Положительный эффект, ускоряющий разработку оптических
систем, достигается при обеспечении непосредственного контакта
вычислителя с ЭВМ. В распоряжении конструктора-расчетчика
должен находиться комплекс устройств: телетайп или пишущая
машинка для алфавитно-цифровой печати, электронно-лучевая
трубка для получения результатов в виде графиков и чертежей,
графопостроитель для фиксации результатов, а также устройство
для ввода в ЭВМ графической информации. Для выбора исходной
оптической системы и значений ее конструктивных параметров
целесообразно использование общего архива оптических систем,
хранящихся в памяти машины. Из этого архива по запросу необ-
ходимо умело выбрать исходную систему, обладающую заданными
характеристиками. Кроме общего архива необходимо иметь и лич-
ные архивы конструктора, содержащие данные о системах, раз-
рабатываемых в настоящее время.

Проведение в жизнь всех этих первоочередных мероприятий
позволит резко сократить время разработки простых систем, а
также и систем средней сложности. Создание же оптических сис-
тем, обладающих принципиальной новизной, ускорится лишь незна-
чительно, поскольку основные затраты времени в этом случае бу-
дут приходиться на обдумывание результатов и путей дальнейше-
го поиска решений. Сокращение сроков разработки систем такого
типа возможно лишь при условии выбора конструкции оптической
системы, которая могла бы удовлетворить поставленным требова-
ниям. Поэтому задачей ближайшего будущего является задача
развития научных методов, обеспечивающих целесообразный вы-
бор конструкции. Для решения поставленной задачи необходимо
установить теоретические или эмпирические зависимости между
578
основными характеристиками оптических систем конкретного ти-
па и качеством изображения, которое при этом может быть до-
стигнуто. Знание таких зависимостей поможет в значительной
степени облегчить выбор оптимальной конструкции, обеспечива-
ющей требуемое качество изображения.

Для оптических систем высокого качества изображения и сис-
тем, выпускаемых крупными сериями, особое значение приобре-
тает чувствительность к погрешностям изготовления. Поэтому
необходимо развивать методы конструирования и расчета систем,
у которых технологические погрешности не приводили бы к суще-
ственному ухудшению качества изображения. Решение всех этих
задач приведет к качественно новому уровню расчета оптических
систем.

§ 184. Заключительный этап расчета оптических систем

При выборе конструкции оптической системы расчетчик, исполь-
зуя свой опыт, интуицию, литературные данные, заранее оценивает
аберрационные возможности системы при заданных оптических
характеристиках и условиях ее работы. После аберрационной кор-
рекции исходного варианта, проводимого известными методами,
вычислитель получает вариант с допустимыми значениями абер-
раций.

Допустимые значения остаточных аберраций в оптических сис-
темах. Вопрос о допустимых значениях остаточных аберраций до
настоящего времени является достаточно сложным. Наиболее эф-
фективной можно считать оценку качества изображения по опре-
деленным критериям, однако большинство из них можно с уверен-
ностью применять только к определенным типам систем. Общего
критерия оценки качества изображения не существует в связи
с разнообразием оптических систем и условий их работы.

Как известно из геометрической оптики, полного исправления
аберраций в оптической системе получить нельзя. Но есть возмож-
ность получить систему практически идеальную, в которой оста-
точные аберрации малы и сравнимы с критерием Релея (iV <

I Е'

или критерием Штреля \—г> 0,8). В действительности это не всегда
\Е0

необходимо, иногда недостаточно, часто неосуществимо.

Для каждого типа оптических приборов можно установить лишь
компромисс между качеством изображения и приемлемой слож-
ностью оптической системы. Практически удобно оценивать каче-
ство изображения систем по значениям остаточных геометричес-
ких аберраций. Для этого надо использовать данные, полученные
из испытаний систем различного назначения как отечественного,
так и зарубежного производства.

Для визуальных телескопических систем (геодезические зри-
тельные трубы, призменные бинокли и т. п.) аберрации могут
быть не замечены, если они не превышают аберраций глаза, кото-
19*	570
рый является приемником изображения. Сферическая аберрация,
выраженная в угловой мере, не должна превышать 1—2', хрома-
тические аберрации —2—3'. С увеличением фокусного расстояния
объективов систем аберрации в центре поля растут.

Объектив телескопической системы
ф'=300мм, 1:3, 2 си = 2 °

ат

Исправлен для лучей, с длиной волны А = 566,1 нм (е)
Лхроматизация выполнена для диапазона спектра

Конструктивные элементы
Марка п	_ Кев Кп

стекла в е ScB (поИсв) (подп)

Г1=ч69,9	di =120	ТК1б	1,6155 Ж>100	ЮЗ,5	1,87	2,00

гг =-182,81	. ,п0	„wnJOO	103,5	6,97	7,68

L 1	0,2=10,2 ТФ6 1.766Z3 ТШ..ПП о/с О С!

V. =-508,2	J _'2	'100	103,5	2,66	2,66

Г ч= 165,2	тк1,	1R1c-c^J00 103,5 7,75	8,31

Г5 =300,6	±-e’L. W ^55^100 103,5 6,18	6,68

2d=38,6

dg =299,1	S'p=285,6

Sp=O, центр апертурной диафрагмы совпадает с
вершиной первой поверхности

Рис. 280. Оптический выпуск, таблицы и графики аберраций для объектива

Высококачественные объективы зрительных труб, коллимато-
ров и других оптических систем с малым углом поля (2ш<2°),
с фокусным расстоянием порядка 300 мм, небольшим относитель-
ным отверстием (р-<1:6) должны иметь сферохроматическую
продольную аберрацию не более 0,3 мм и меридиональную кому
не более 0, 02 мм, что соответствует волновым аберрациям в плос-
кости паилучшей установки не более -j. К таким системам можно
применять критерий Релея. Кривизна поля, астигматизм, дистор-
ия таких объективов незначительны вследствие малости углов
толя.

В окулярах надо исправить аберрации наклонных пучков —
тому, астигматизм, хроматизм увеличения. Сферическая и хрома-

А Вер рации точки на оси

т	е						С		G'		asG-c
	Т02Цб’	S'	As'	Af'	7%	9’	AS'C	У	ASty	У'	
о	О	285,566	О	О	О	О	0,923	О	0,196	О	~О,277
25	8,385	,536	-0,030	0,055	0,028	-0,0026	0,352	0,029	0,206	0,017	-0,19-6
35	11,776	,528	-0,038	0,118	0,052	-5ОО6Б	о.зо г	0,036	0,288	0,039	0,019-
50	16,936	,573	0,013	0,286	0,091	0,0021	0,259	0,099	0538	0,091	0,279

ОЧаб'

-Ю9

0J39 0,08

НсООЛЬШИМ углом ПОЛЯ

ическая аберрации положения в окулярах незначительны вслед-
твие малости фокусного расстояния и небольшого отноеитель-
того отверстия. Дисторсия в окулярах достигает б—7% для поля
_’ш = 45° и доходит до 12% для 2w = 70°.

В зрительных трубах объектив и окуляр часто рассчитывают
гри условии взаимной компенсации аберраций, причем кривизна
юля и дисторсия определяются в основном аберрациями окуляра.

В микроскопах угловые аберрации по выходе из системы мо-
-ут быть больше, чем в телескопических системах. В центре поля
сферическая и хроматическая аберрации могут достигать 10'
и больше. Продольные аберрации объективов микроскопов боль-
ших увеличений (60—90X) могут доходить до нескольких милли-
метров, однако поперечные аберрации будут вполне допустимы
вследствие малой апертуры пространства изображений. Для пра-
вильности суждения о допустимых значениях аберраций надо
вычислить волновые аберрации в плоскости наилучшей уста-
новки.

Для объективов микроскопов с большой апертурой, например,
надо применять критерий акад. Д. С. Рождественского, в соответ-
ствии с которым волновые аберрации должны быть не более
Это условие вполне реально, а поскольку поле таких объективов
мало, достаточно хорошо исправить сферическую аберрацию, хро-
матическую аберрацию положения и выполнить условие синусов
для получения хорошего качества изображения. Отступление от
условия синусов должно быть не более 0,1—0,2%, хроматическая
разность сферической аберрации — в несколько раз меньше сфе-
рической аберрации для основного цвета.

Даже прн оценке качества фотографических систем часто впол-
не достаточно знать значения продольных и поперечных аберраций.
Для получения более полной информации о работе объектива
необходимо вычислять ЧКХ.

Определение конструктивных элементов окончательного вари-
анта оптической системы и его оформление. Исходный вариант
системы дает удовлетворительное качество изображения только
при очень малых углах поля и низких относительных отве^тиях,
когда аберрации высших порядков практически отсутствуют. Ис-
правление аберраций производится методами, описанными в § 187.
В отдельных случаях приходится рассчитывать большое число
промежуточных вариантов. Большую роль здесь играет опыт рас-
четчика, умение выделять влияние отдельных параметров и ком-
бинировать их изменения.

Для системы, давшей допустимые значения аберраций, прово-
дят аберрационный анализ, составляют сводки аберраций и при-
водят их графики. Для системы с небольшим углом поля доста-
точно представить аберрации для точки на оси (рис. 280). Для
систем со значительными углами поля приводятся таблицы
аберраций точки на оси и точки вне оси широкого наклонного
пучка в меридиональном сечении, аберрации в сагиттальном сече-
нии и графики для всех аберраций.
Глава 27.

МЕТОДЫ ОЦЕНОК КАЧЕСТВА
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Качество оптических систем характеризуется степенью соответ-
ствия фотометрических и геометрических параметров, сформиро-
ванных ими изображений и отображаемых объектов. Наиболее
высокое качество имеет оптическая система, которая преобразует
и позволяет зарегистрировать максимальное количество информа-
ции, снимаемой с объекта. Кроме этого, необходимо, чтобы основ-
ные параметры информации изображения: контраст составляющих
элементов, их количество в определенном угловом поле оптической
системы и взаимное расположение — были зарегистрированы ана-
лизаторами (глаз наблюдателя, фотопленка, фотоприемник и т. д.)
в плоскости изображения оптической системы с минимальными
искажениями.

Указанная степень соответствия может оцениваться различ-
ными характеристиками качества оптических систем на стадии их
проектирования, экспериментальных исследований, сборки, юсти-
ровки и эксплуатации. Одной из важнейших классических харак-
теристик является разрешающая способность, под которой пони-
мается способность анализатора различать изображения наиболее
мелких объектов, формируемых оптической системой. Несмотря
на простоту и очевидность этой характеристики, она обладает
существенными недостатками: ее численная оценка зависит от
параметров анализатора и не несет информации о качестве фор-
мирования элементов, имеющих размеры больше минимальных.

Современные представления об оптических системах позволяют
использовать более универсальную характеристику, описывающую
формирование элементов объекта с различными размерами от
максимальных, соответствующих средней освещенности изображе-
ния, до минимальных, контраст которых близок к пулю. Такая
характеристика по аналогии с передаточной функцией линейных
радиотехнических элементов названа оптической передаточной
функцией (ОПФ). Для оценки качества оптических систем она
стала применяться около 30 лет назад, а ее теоретические основы
и методы экспериментальных исследований совершенствуются
и в настоящее время. ОПФ позволяет одновременно оценить два
основных информативных параметра изображения, формируемого
оптической системой: количество сформированных элементов
с соответствующим контрастом (что дает возможность определить
количество фотометрических градаций каждого элемента) и
качественное соответствие геометрического положения элемен-
тов изображения по отношению к объекту. Первый параметр оп-
ределяется частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ), второй
— частотно-фазовой (ЧФХ). Обе эти характеристики могут быть
получены из ОПФ.

§ 185.	Развитие методов исследования
качества оптических систем

Основой для развития объективных методов оценки качества
оптических систем послужил сформулированный Релеем в 1879 г.
первый критерий разрешающей способности оптической системы
при формировании изображений точечных источников света. Этот
критерий базируется на волновой теории света, его основой было
распределение энергии в идеальном дифракционном изображении
точечного источника света, которое было получено в 1834 г. Эри
на основе принципа Гюйгенса — Френеля (1815 г.). Отметим, что
методами геометрической оптики не могут быть проанализированы
такие процессы формирования изображений, так как в них основ-
ную роль играет дифракция света в зрачках оптической
системы.

Развитием работ Редея является предложенный Штрелем
в 1895 г. критерий, согласно которому реальная оптическая сис-
тема может считаться совершенной, если нулевой максимум изо-
бражения точки, сформированной этой системой, составляет
не менее 80% (коэффициент Штреля) от максимума аналогичного
изображения в случае отсутствия дефектов оптической системы.
При снижении коэффициента Штреля до 60-ь50% оптическую сис-
тему можно считать удовлетворительной.

Второй критерий Релея также касается оценки качества опти-
ческих систем. Согласно этому критерию, совершенной можно счи-
тать оптическую систему, если ее волновые аберрации не превы-
шают четверти рабочей (средней) длины волны света.

Сравнительный анализ двух последних критериев показывает,
что второму критерию Релся соответствует приблизительно коэф-
фициент Штреля, равный 80°/о-

Дальнейшие исследования качества оптических систем также
базировались на изучении распределения энергии в изображении
точечного источника света. При расчете оптических систем
и контроле при их юстировке основным показателем качества яв-
лялось максимальное количество энергии в центре изображения.
Переход энергии из центра в периферийные кольца свидетельство-
вал о наличии остаточных аберраций (типа сферической) опти-
ческой системы. Децентрировка линз, их деформация, наличие
неоднородностей приводят к асимметричному расположению
колец. Таким способом контроля качества пользуются до настоя-
щего времени, однако он не позволяет производить количествен-
ных оценок для широкопольных оптических систем. Объясняется
это тем, что между распределением энергии в изображении точеч-
пого источника света и качеством изображения по полю оптиче
ской системы пока не найдены общие функциональные зави-
симости.

Рассмотренные способы оценки качества успешно применяются
только для узкопольпых оптических систем (телескопов, зритель-
ных труб и т. д., имеющих углы поля ~1°),в которых можно обес-
печить качество изображений, близкое к идеальному.

Широкопольные оптические системы получили широкое рас-
пространение в начале XX века для формирования изображений,
регистрируемых фотографическими материалами, а затем и фото-
электрическими устройствами. Остаточные аберрации в таких сис-
темах не позволяют обеспечить качество изображения, близкое
к идеальному, по всему полю, поэтому критериям Релея и Штреля
такие системы в большинстве случаев ие удовлетворяют. С другой
стороны, несмотря на низкое качество изображений, формируемых
такими системами, за счет широких угловых нолей (до ~ 170°)
по количеству регистрируемой информации они значительно пре-
восходят узкопольные системы.

Следующий этап развития связан с созданием объективных
критериев качества широкопольных оптических систем. Основной
задачей здесь является разработка количественных критериев
качества изображения, формируемого оптической системой. В за-
висимости от способа последующей обработки изображений могут
существенным образом измениться и требования к его качеству.
Например, художественные фотографии могут иметь наилучшее
психофизическое восприятие (экспертная оценка) и при этом на
низком уровне разрешать мелкие элементы. При обработке изоб-
ражений на ЭВМ отсутствие мелких элементов может, наоборот,
снизить эффективность запланированных операций (дешифриро-
вания, отождествления и т. д.). Следствием указанных сложно-
стей этого явилось отсутствие до 50-х годов единых объективных
критериев оценки качества широкопольных оптических систем.

Наиболее прогрессивными методами отмеченного периода сле-
дует считать контроль качества по разрешающей способности
с помощью радиальных и штриховых мир Фуко и метод погранич-
ного градиента (пограничной кривой).

Критерий разрешающей способности характеризуется предель-
ным количеством разрешенных элементов на единицу длины в мас-
штабе изображения. Мира Фуко представляет собой группы
штрихов с абсолютным контрастом с последовательным увеличе-
нием их количества на единицу длины в каждой группе. Поскольку
изображения реальных объектов имеют различный контраст, то
разрешающая способность оптической системы, измеренная
по мире, в общем случае не соответствует реальной разрешающей
способности.

Метод пограничного градиента заключается в анализе изобра-
жения прямолинейной границы, разделяющей яркую и темную
области объекта. Анализ распределения освещенности в изобра-
жении этой границы позволяет пассчитать аналогичные распреде-
20 1-4 46	585
ления в изображениях точечного источника света и линий раз-
личной толщины. Этот метод является достаточно универсальным
по сравнению с использованием мир Фуко и другими рассмотрен-
ными методами, однако также не позволяет дать полной оценки
качества оптических систем.

Наиболее полная характеристика качества оптических систем
может быть описана оптической передаточной функцией (ОПФ),
теоретические основы которой заложены Аббе в 1878 г. в фунда-
ментальных работах по дифракционной теории формирования изо-
бражения в микроскопах. Согласно этой теории качество изобра-
жений объектов определяется параметрами промежуточных диф-
ракционных изображений этих объектов, образуемых в задней
фокальной плоскости микрообъективов. Эти дифракционные изоб-
ражения являются действительными изображениями источника
света осветителя (близкого по размерам к точечному) или апер-
турной диафрагмы конденсора. При отсутствии наблюдаемого
объекта такое изображение будет состоять из одного максимума
освещенности.

Установка в предметной плоскости объекта, например дифрак-
ционной решетки, вызовет дифракцию параллельных световых
пучков, сформированных осветителем, в результате чего появятся
дополнительные изображения источника света. Количество и рас-
положения этих изображений соответствуют количеству ненуле-
вых дифракционных максимумов, дифрагированных на решетке
световых пучков, прошедших через микрообъектив. При дифрак-
ции световых пучков на объектах, имеющих произвольное распре-
деление плотности, дифракционное изображение будет неупорядо-
ченным. Действительное изображение наблюдаемых объектов фор-
мируется микрообъективом благодаря интерференции световых
пучков, идущих от дифракционного изображения в каждую точку
действительного изображения объекта и нулевого максимума.
Анализ дифракционного изображения позволил установить пре-
дельный линейный размер разрешаемых объектов d= g ,
где X — длина волны света, ао — половина апертурного угла
микрообъектива в пространстве предметов, п — показатель пре-
ломления среды между фронтальной линзой микрообъектива
и объективом. Это условие соответствует попаданию в объектив
первых дифракционных максимумов, образованных в результате
дифракции «а объектах с минимальными размерами d. При на-
клоне пучков осветителя на угол а можно сдвинуть положение
нулевого максимума в плоскости дифракционного изображения
таким образом, чтобы в объектив попали вторые максимумы, тог-
да предел разрешения уменьшается до величины d= .

2Д 810%

Таким образом, был установлен важнейший критерий предель-
ной разрешающей способности, определяемой числовой апертурой
объектива микроскопа A=nsina. Аббе также установил качест-
венное влияние дифракционного изображения на действительное.
Впоследствии плоскость локализации дифракционного изобра-
жения была названа частотной. Для описания этого изображения
в 1946 г. Дюфье применил математический аппарат преобразова-
ния Фурье, который применялся при анализе линейных фильтров
в радиотехнике. В 1948 г. Шадэ по аналогии с передаточной функ-
цией линейных радиотехнических фильтров и оптических систем
предложил для оценки качества оптических систем использо-
вать ОПФ.

Эта удачная попытка получила дальнейшее развитие в трудах
советских ученых Л. И. Мандельштама и Г. С. Горелика, что
позволило существенно обогатить методы оценки качества опти-
ческих систем.

§ 186.	Формирование светящейся точки
и линии идеальной оптической системой

В качестве идеальной оптической системы рассмотрим корриги-
рованный объектив, не имеющий аберраций. Исходя из представле-

ние. 281. Формирование изображения дифракционной точки

ний геометрической оптики, такая система будет формировать изо-
бражение точечного источника света гомоцентрическим пучком лу-
чей. Однако ограниченные размеры выходного зрачка системы при-
водят к дифракции сферических волновых фронтов, вследствие чего
изображение точки формируется в виде пятна с определенным рас-
пределением световой энергии (кружок Эри). В известных моногра-
фиях по геометрической оптике выводится выражение освещенности
в кружке Эри (рис. 281, а, кривая /):

(27.1)

где Eq — освещенность в центре кружка (в точке А) ( рис. 281, б),
в| — вспомогательная безразмерная величина, называемая оптической
единицей,

(27.2)
где X—длина волны излучения; п' — показатель преломления сре-
ды в пространстве изображений; аА> — апертурный угол в прост-
ранстве изображений; х'—координата в плоскости изображения
(см. рис. 281, б). Отметим, что произведение п <зА>х —инвариант Лагран-
жа— Гельмгольца в пространстве изображений, поэтому ei сохра-
няет свою величину во всех плоскостях промежуточных изображе-
ний. Л (ej)— функция Бесселя первого рода первого порядка, опре-
деляется выражением

Л <£’> = 2 (~°У/	.	(27.3)

„=0 п! (п-р 1)!

Эта функция является осциллирующей, вследствие деления ее
на ei [формула (27.1)], величины максимумов быстро убывают при
увеличении еь а минимумы соответствуют значениям ei,iK = 3,8317
(первое темное кольцо), гцгк = 7,0156 (второе кольцо), ei,3K = 10,1735
(третье кольцо) и т. д. При этом центральное пятно содержит 83,78 %
световой энергии пятна, первое кольцо—7,22%, второе — 2,77%
и остальные—6,23%. Максимум освещенности первого кольца со-
ставляет 1,75%от нулевого максимума при ei,1M — 5,1356, второго —
0,42 % при £1,2м = 8,4172 и третьего — 0,16% при е^зм = 11,62.

Для определения радиуса центрального пятна кружка Эри
подставим в формулу (27.2) значение ei = 3,8317 и при п' = 1 (для
воздуха) определим

3,8317k

Чг.Пад,

0,61 X

(27.4)



В случае расположения светящейся точки в бесконечности счи-
D1
таем ал. тогда

=	(27.5)

где Dj, / —диаметр выходного зрачка и заднее фокусное расстоя-
ние объектива.

В указанных приближениях определим радиус кружка Эри в
угловой мере:

где 206 000".

Рассмотренное распределение световой энергии в изображении
светящейся точки относится к монохроматическому излучению.
Полихроматическое излучение вследствие зависимости е; = /дХ) [фор-
мула (27.2)] приводит к окрашиванию колеи различными цветами.

Проведем анализ распределения освещенности в изображении
линейного источника света бесконечно малой толщины. Результаты
расчета этого распределения в поперечном сечении на основе прш-
ципа Гюйгенса—Френеля показаны на рис. 281,а (кривая 2).

Первый минимум находится на расстоянии 0,953ei.iK с освещен
ностью 3,2% от нулевого максимума (абсолютно темное кольцо не
наблюдается), а второй минимум — на расстоянии l,780ei,2K с о^*-
сительной освещенностью 1,08%. Максимумы оказываются т.п'
сдвинуты относительно максимумов изображения точки. П"
отстоит от оптической оси на величину l,224ei.iM, имея отн-'
ную освещенность 4,43%, а второй — отстоит на 2,075ei •
относительную освещенность 1,48%.

Сравнивая рассмотренные результаты, можно заключить, v
ширина центральной полосы дифракционного изображения
несколько меньше кружка Эри, дифракционные минимумы осве-
щенности не равны нулю, а максимумы освещенности в изображе-
нии линии больше, чем в изображении точки.

Рассмотрим влияние на распределение освещенностей изобрь
жепий ширины линейных источников света. На рис. 282, а сплои-
ными линиями показаны распределения яркости источников свегг
различной ширины, выраженной в величинах /?э: 1—0,ЗГа
2—0,4/% 3—0,5/?э, 4—0JR-, 5—l,0R3, 6—10/?5. Высота все;
прямоугольников соответствует максимальной яркости (100 %,
Реальное распределение освещенностей в изображениях этих ли
ний показано пунктирными кривыми. При увеличении ширинь
линии увеличивается нулевой максимум освещенности изображе
ния, например, при ширине линии, равной Ra, максимум увеличь
вается до 77%. Дальнейшее увеличение ширины линии приводи-
к приближению максимума к 100%, как, например, при ширине
линии, равной 10 Ra- Отметим также, что относительные высоть
точек пересечений распределений энергии в реальном изображении
с увеличением ширины линий увеличиваются от 25% (ширина
линии / = 0,3 Еэ) до 48% (/ = 10 Яэ)- Идеальное изображение гра-
ницы светлого и темного с ее изображением (пограничная кри-
вая) пересекается на высоте 50%.

§ 187. Разрешающая способность оптической системы

Под разрешающей способностью оптической системы понима-
ется величина, обратная минимальному расстоянию между цент-
рами изображений двух одинаковых объектов, которые могут быть

о — контравт изображения; б — координаты, используемые для описания формирования
изображения; в — представление предмета и изображения в импульсном методе; г — 1 — ЧКХ,

2 - ФЧХ

зарегистрированы раздельно. В этом случае разрешающая способ-
ность выражается в линиях на 1 мм. Кроме этого, разрешающая
способность может выражаться в угловой мере или линейной.
Обычно первым способом разрешающая способность определяется
для фотообъективов, вторым — для объективов телескопических
систем и третьим — для объективов микроскопов.

Рассмотрим изображения двух точечных источников 1 и 2
(рис. 283, а), распределения освещенности в которых показаны
сплошными линиями. Пунктирной линией показано результирую-
щее распределение энергии (источники некогерентные). При умень-
шении расстояния Ах между ними разница энергии Етах — Emm
также будет уменьшаться до равенства ее нулю.
Согласно первому критерию Рслея разрешающей способно-
стью безаберрационной системы является условие

	Ra = Дх,	(27.7):

т. е. совпадение нулевого максимума одного изображения с первым
минимумом другого.

В этом случае контраст результирующего изображения

а разрешающая	/С = Anax fmin =	= 0)26>	(27 8)  ^max ^min  способность, согласно (27.5),  =	(27.9)
при бесконечно угловой мере	удаленном источнике (объекте) и X = 0,55 мкм в  140"  (27.10)

Известно, что глаз человека хорошо различает изображения
двух точек да К' ~ 0,05. В этом случае

ок=0.05 = 0,85/?э«^	(27.11)

и, соответственно, в угловой мере

иФ, к=о,0о = -рг.	(27.12)

При К' = 0, т. е. при равенстве освещенности максимумов и про-
межутка,

°к=о =	~ 2,13.0"	(2?• 13)

У*. к=о,о5 = -рг •	(27.14)

Разрешающую способность, полученную по формулам (27.13)
и (27.14), можно считать ее верхним пределом. При н<нд=о
освещенность промежутка будет больше освещенности централь-
ных максимумов изображений и результирующее изображение
будет иметь овальную форму.

Для разрешения изображений двух источников неодинаковой
яркости, т. е. при Еmax, 1 > ^тах, 2, необходимо, чтобы

^mln, 1 < Дт1п, 2.

В отличие от некогерентных при наложении изображений коге-
рентных источников складываются амплитуды их световых полей.
В результате этого разрешающая способность при использовании
когерентных источников

уког — т-=,

1,0
Разрешающая способность для частично когерентных источников
'v

V*- ког — ! _Л_1э

в зависимости от степени когерентности.

Как уже отмечалось выше, определение разрешающей способ-
ности по изображениям точечных источников имеет в основном
применение для узкопольных оптических систем.

Определение разрешающей способности широкопольных опти-
ческих систем измеряют с помощью мир Фуко путем визуальной
или фотографической регистрации. Следует учесть, что резуль-
таты измерений разрешающей способности с помощью миры
и точечных источников оказываются весьма близкими, если рас-
стояние между центрами двух соседних светлых или темных полос
будут равны расстоянию между точечными источниками. Поэтому
формулы для разрешающей способности оптических систем
(27.9) — (27.14) могут быть использованы без изменений.

В последние десятилетия пользуются понятием предельной
пространственной частоты, являющейся мерой разрешающей спо-
собности:

АС, у, V = Т2- [мм-1],	(27.15)

-V, у

где vXfB — разрешающая способность по осям X и Y; при к —
= 0,55 мкм и К' = 0,26

<,.„= 1480^,	(27.16)

при К = 0,05

1800 5-'.	(27.17)

Введем понятия текущей пространственной частоты

у =4-,	(27.18)

“х, у

где PXiff—размеры изображения элемента объекта (не предельно
разрешаемого!) по осям X и Y соответственно, в случае периоди-
ческой структуры Рх.у — период, связанный круговой пространст-
венной частотой следующим образом:

(27.19)

*х, у

Критерии, связанные с пространственной частотой, использу-
ются в виде аргумента в частотно-контрастной характеристике
(рис. 282, б), которая также называется функцией передачи кон-
траста (ФПК).
§ 188. Частотно-контрастная характеристика

В предыдущих параграфах главы 27 было установлено, что ос-
новным недостатком критерия качества оптических систем в виде
разрешающей способности является ее зависимость от возможно-
сти анализатора различать изображения объектов при минималь-
ном контрасте (27.9) — (27.14). Это качество анализаторов зависит
в основном от их чувствительности. В случае использования про-
межуточных преобразователей, например, фотопленки, телевизи-
онного канала для последующей передачи зафиксированного
на ней изображения или анализатора в виде устройства ввода
в ЭВМ, каждый преобразователь вносит неизбежно свои шумы
в информацию исходного изображения. Вследствие этого мини-
мальный контраст, позволяющий различить отдельно изображения,
повышается, а разрешающая способность уменьшается. Таким об-
разом, разрешающая способность не является обособленной харак-
теристикой оптической системы.

Другим недостатком рассматриваемого критерия качества яв-
ляется неучет передачи контраста оптической системой промежу-
точных пространственных частот: от нулевой до предельной.

Рассмотрим особенности более объективной оценки качества
оптических систем — ЧКХ при формировании изображений линей-
ных объектов с прямоугольным распределением яркости. Отме-
тим, что ЧКХ, по определению, позволяет определить передачу
контраста яркости объекта с ее синусоидальным распределением,
поэтому рассмотренные ниже особенности имеют качественный
характер.

Обратимся вновь к рис. 282, а. Представим, что каждая из
линий различной ширины представлена в виде периодической
структуры, состоящей из линий соответствующей толщины и про-
межутка, такой же, как в мире Фуко. Вычислим контраст для
каждой из структур. При исходных данных, использованных
для расчета распределений освещенности изображений линий
(Х=0,55 мкм), контраст для структуры с половиной периода,
равной 0,3 /?э, оказывается отрицательным (освещенность проме-
жутков выше освещенности максимумов). При увеличении периода
структуры достигается верхний предел разрешающей способности,
аналогичный описанному формулой (27.13). Согласно этой фор-
муле верхний предел должен быть достигнут при ширине линии
0,4 /?3, однако он достигается при ширине ~0,38 /?э, что согласу-
ется с нашими сопоставлениями распределения освещенности
в изображениях точки и линии (см. рис. 281, а). При толщине
линии 0,4 Ra К'>0. Для линий с большей толщиной /С увеличи-
вается приблизительно пропорционально толщине линий. Гипоте-
тической липин весьма большой ширины (а значит, и такой же
структуры) будет соответствовать К'=1, что можно легко полу-
чить по формуле (27.8).

На графике рис. 282, б по оси абсцисс отложим величины теку-
щих пространственных частот согласно формуле (27.18) с учетом
промежутков между яркими линиями равными толщине каждой
линии N'x, у = (ft = 0,3; 0,4; 0,5; 0,7; 1,0; 10,0), а по оси
ординат — текущие значения ft' (27.8), соответствующие периоди-
ческим структурам при указанных параметрах.

Полученная характеристика отображает передачу контраста
оптической системой в зависимости от пространственной частоты
и является характеристикой, близкой к ЧКХ, которая, по опреде-
лению, является характеристикой оптической системы (или любо-
го другого оптического преобразователя: фотопленки, телевизион-
ного передатчика, фотометра и т. д.) и представляет собой
функцию отношения контрастов синусоидальных распределений
яркости тест-объекта к контрасту освещенностей его изображения,
формируемой этой системой в зависимости от пространственной
частоты тест-объекта. Математически ЧКХ выражается следую-
щим образом:

£'=/(*)-	(27.20)

где ft' определяется по формуле (27.8), а

где Lmaxi £min — максимальная и минимальная яркость элементов
тест-объекта; N — пространственная частота тест-объекта.

При ft=l, что соответствует рассмотренному выше случаю,
ЧКХ выражается

ft'=/(ft).	(27.22)

Сформулируем предварительно основные свойства ЧКХ:

1.	ЧКХ не зависит от пороговых характеристик анализаторов,
она является характеристикой одного или нескольких последова-
тельно включенных преобразователей изображения.

2.	Последовательно включенные преобразователи имеют ЧКХ,
равную произведению характеристик отдельных преобразова-
телей.

3.	Разрешающая способность определяется одной точкой на
ЧКХ, ордината которой соответствует пороговому контрасту ана-
лизатора, установленному в плоскости изображения оптической
системы, а абсцисса — предельно разрешаемой пространственной
частоте.

§ 189. Оптическая передаточная функция
и импульсный отклик оптической системы

ЧКХ устанавливает связь между параметрами предмета и изоб-
ражения, формируемого оптической системой. Согласно формулам
(27.8) и (27.21) (см. рис. 282, а)

ft' = J1! ft = Т’	(27.23)
где La — амплитуда синусоидального распределения яркости объекта;
L — средняя яркость.

Данная характеристика имеет аналог в радиотехнике в виде
амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), которая применя-
ется для описания линейных электрических цепей с постоянными
характеристиками. .

Такие цепи содержат сопротивления и емкости, в результате
чего электрический сигнал на выходе частично интегрируется,
дифференцируется или изменяется по фазе (на интегрирующих
и инерционных звеньях соответственно). Так же как и при форми-
ровании изображения, электрический сигнал при прохождении
через линейную цепь не сохраняет свою амплитуду на всех часто-
тах; она, как правило, уменьшается с повышением частоты. Увели-
чение или уменьшение сигнала па постоянную величину на входе
линейной цепи приводит к пропорциональному изменению пара-
метров на выходе. Соответственно суммирование сигналов на вхо-
де не изменяет параметров каждого сигнала на выходе линейной
цепи, что позволяет при анализе линейных цепей представлять сиг-
нал на входе в виде суммы составляющих гармоник или интегра-
ла Фурье (принцип суперпозиции).

Рассмотрим основные параметры линейной цепи. Если на вход
линейной цепи подается синусоидальный сигнал

а(/) = A sin (о>/+ <ра),	(27.24)

где А — амплитуда сигнала, о> — круговая частота, I — время, —
фаза сигнала, w =	где — частота, то на выходе сиг-

нал описывается следующим выражением:

b (f) = В sin (ш/ + <р&).	(27.25)

Связь между этими сигналами определяется комплексной функ-
цией переменной о>, называемой комплексной (передаточной) харак-
теристикой цепи

В(Ао) = Я(/а>) A(ia»).	(27.26)

Здесь сигналы а(/) и b(f) представлены в комплексном виде.
Характеристика может быть представлена в виде

Я(^) = | #(*<“) l^’-	(27.27)

Тогда АЧХ цепи

Я(.)|=г$	(27.28)

выражает отношение вещественных амплитуд выходного и входного
сигналов.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) определяет разность фаз
между выходным и входным сигналами:

<р (о>) =	(о>) — <р0 (а)).	(27.29)

Основная особенность линейных цепей — возможность пред-
ставлять сигнал на входе в виде суммы составляющих и получать
их на выходе независимо друг от друга, в классической оптике
используется представление предмета в виде отдельных точек при
габаритных и аберрационных расчетах. Так же как и на выходе
линейной цепи, в плоскости изображения суммируются освещен-
ности (квадраты амплитуд световых полей) изображений отдель-
ных точек (при некогерентном освещении объектов) или ампли-
туды световых полей (при когерентном освещении). Последний
случай является точной аналогией оптической системы и линей-
ной электрической цепи.

На основе качественного анализа ЧКХ можно установить, что

—f (N) зависит от текущей пространственной частоты перио-
дической структуры предмета и параметров оптической системы.
В частности, уменьшение относительного отверстия или увеличе-
ние аберраций (например сферической) приводит к размытию
изображений линий в поперечном направлении и к уменьшению
величины К.'. При этом изменение яркости тест-объекта (или осве-
щенности) не влияет на ЧКХ. В линейных электрических цепях
приблизительными аналогами относительного отверстия и абер-
раций по действию на сигналы являются режекторные фильтры.

В соответствии с установленными аналогиями будем считать,
что пространственные оптические параметры соответствуют вре-
менным радиотехническим, обозначим это соответствие знаком:

х -> t', Nг, Nк -> <ох, <ог» -> <о;

K-L^ А; £//(«>) = | Н (i'g>)|.

(27.30)

В дальнейшем для простоты изложения будем рассматривать
зависимость оптических параметров только от одной координаты.

Отметим одно важное обстоятельство. При перемещении тест-
объекта, например точечного источника света, по полю оптической
системы, обладающей полевыми аберрациями, распределение осве-
щенности в изображении будет изменяться, что свидетельствует
об неинвариаптности оптических систем к угловому полю. Поэтому
радиотехнические аналогии для оптических систем можно приме-
нять только для изопланатичных. оптических систем [формула
(27.20)] или для систем с малой величиной углового поля.

Для систем, имеющих полевые аберрации, выражение (27.20)
перепишем следующим образом:

' ^(ш7)=/(Л^,Д	(27.31)

где и>( — текущая координата углового поля оптической системы в
пространстве изображений, при этом угловое поле, в котором про*
изводятся измерения или расчет ЧКХ, должно быть выбрано таким,
чтобы внутри его система была изопланатичной. В этом поле не-
обходимо использовать отдельные координаты в плоскостях пред-
метов и изображений, для малых угловых полей (s, и е', if со-
ответственно), как показано на рис. 283, б.
Рассмотрим по аналогии с (27.24) и учетом (27.30) формирование
тест-объекта в виде синусоидальной решетки.

Распределение яркости на тест-объекте будет выражаться

L(x) = L/Csin(<ozx + срх).	(27.32)

распределение освещенности в плоскости изображения

Е (х) = Е К sin (<оХ'Х + <рг).	(27.33)

По аналогии с (27.27) запишем выражение для ОПФ с учетом
(27.28), (27.32) и (27.33):

Я((Ъ) = ^етЬ'),	(27.34)

Е'

j- = const, что вытекает из свойства линейности оптической систе-
£' ,

мы, а при измерениях £-= 1, что достигается нормировкой свето-
кг

вого потока. Поэтому согласно (27.30) является ЧКХ, а аргумент

© (юх/) — ФЧХ, смысл которой определяется выражением (27.29).

Определим физический смысл ОПФ. Представим для этого L(x)
в виде составляющих, каждая из которых представляет собой сину-
соидальное распределение яркости с пространственной частотой,
весьма близкой друг к другу. Этот метод представления L (х) назы-
вается спектральным. Определим спектральную плотность L(x),
применив прямое преобразование Фурье:

~ +~

L(o>x)= S L(x)e~Iu,xXdx.	(27.35)

—ео

Произведение L(<ox) < /7(i<o) определяет спектральную плотность
распределения освещенности в плоскости изображения Е' (х') в со-
ответствии с (27.26) и (27.30):

Е (cox') = Н (iw) . L(<»x).	(27.36)

Применим к произведению L (о>х) • обратное преобразо-
вание Фурье, в результате чего получим распределение освещен-
ности изображения

Е' (х') = f L W • Н (М е"“хХ(1х-	(27.37)

Обратное преобразование Фурье L (о>х) позволяет выразить рас-
пределение яркости объекта

L (х) = 1Т L (©.)	(27.38)

Сравнительный анализ выражений (27.37) и (27.38) показывает,
что распределение освещенности изображения может быть получено
суммированием спектра L пространственных частот L (<ох) с весом
Нт. е. ОПФ является весовой функцией, определяющей отно-

сительный вклад различных составляющих спектра L (wx) в распре-
деление освещенности изображения Е' (х').

Вместо разложения L (х) на гармонические составляющие (по
пространственным частотам а>х) представим распределение яркости
объекта в виде отдельных точек, яркость каждой из которых соот-
ветствует распределению Д (импульсный метод). Как уже отмеча-
лось выше, такое представление обьекта типично для геометриче-
ской оптики. Указанное разложение выразим в следующем виде,
используя фильтрующее свойство 8 функции Дирака:

“Ь°°

L(x)= j L(e)8(x —e)de,	(27.39)

— оо

где е— координата, отсчитываемая от произвольной точки плоско-
сти предмета, имеющего координату х (см. рис. 283, б).

Этот интеграл описывает L(x) в виде бесконечной суммы смещен-
ных 8-функций с весами L (в). Оптическая система формирует изо-
бражение каждой 8-функции (точечного источника) независимо друг
от друга, а в результате сложения освещенностей изображения
каждой точки образуется изображение объекта (см. рис. 283, в).
Формирование же изображения точечного источника оптической
системой рассмотрено в § 186. Обозначим такое действие оптиче-
ской системы оператором D, включающим как минимум действие
основных параметров оптической системы: относительного отверстия
и остаточных аберраций. Тогда распределение освещенности изо-
бражения выразится следующим образом:

£'(х') = D j L(e)8(x— в) de .	(27.40)

(—оо	;

Воспользовавшись линейными свойствами оптической системы,
подействуем оператором D на 8-функцию, для чего внесем его под
знак интеграла:

+°°

£'(%') = j L(e)D{8(x-e)}de.	(27.41)

— оо

Это выражение показывает, что Е' (х') есть сумма изображений
точечных источников с весами L (в). Функция

D (8(х — в)} = й(х' — в)	(27.42)

называется импульсным откликом оптической системы [функция
рассеяния точки (ФРТ)].

Подставим (27.42) в (27.41):

Ч-00

Е'(х') = J L(e)/i(xf —e)de.	(27.43)
Это выражение является интегралом свертки, который может
иметь краткое обозначение

£'(х') = L(e)/l(x').	(27.44)

Функция h(x') имеет такое же фундаментальное значение для
импульсного метода, как и Н (tw) для спектрального метода ана-
лиза оптических систем.

Согласно известной теореме, свертка двух функций в пространст-
венной области, описываемой в плоскостях объектов и изображений
с помощью координат, выраженных в линейной мере, равносильна
перемножению их Фурье-образов (что обозначает результат действия
на функцию оператора F—Фурье-преобразования) в частотных
плоскостях, в которых локализуются спектры круговых пространст-
венных частот объектов и изображений. Применив эту теорему,
получаем

? (о,;) = И* (х')} £(<•>.).	(27.45)

Заменяя координату s на х, обнаруживаем, что это равенство
равносильно равенству (27.36) при

F {h(x')} = И (in).	(27.46)

Отсюда можно сделать вывод, что ОПФ является результатом
Фурье-преобразования импульсного отклика, что, с другой стороны,
позволяет установить идентичность спектрального и импульсного
методов анализа оптических систем.

Рассмотрим на основе полученных соотношений формирование
изображения точечного источника света оптической системой.
Не приводя примеров Фурье-преобразований функций, используе-
мых в оптике для описания различных элементарных видов пред-
метов и изображений (эти преобразования приведены в учебных
пособиях по математике и Фурье-оптике), отметим, что

£{8(х)} = 1.	(27.47)

Это означает, что спектральная плотность точечного источника
света равна 1 по пространственным частотам от и>х> = 0 до = со.

В случае формирования изображения такого объекта оптической
системой Л(х') = 8(х) без учета влияния дифракции спектр его изо-
бражения также будет бесконечным. Тогда, согласно выражениям
(27.46) и (27.47), /7(iu>) = 1. Исходя из (27.36), это можно записать
в виде выражения

£;,(«;,) = L (<0Х) = 1,	(27.48)

что обозначает передачу идеальной оптической системой всего
спектра пространственных частот предмета без искажений.

Реальная оптическая система формирует изображение точеч-
ного источника, которое всегда отличается по форме от предмета,
следовательно, и их спектры, различны. Применив преобразование
Фурье к выражению (27.46) ч получаем

Анализ этого выражения показывает, что спектр круговых про-
странственных частот изображения предмета с бесконечным спек-
тром равен ОПФ. Таким образом, ОПФ может рассматриваться как
огибающая спектра изображения. Поэтому оптическая система, фор-
мирующая изображение, может быть отождествлена с радиотехни-
ческим фильтром низких частот. Рассмотренные особенности ОПФ—
//(по), в основном, определялись поведением ее модуля — ЧКХ.
Проанализируем аргумент ОПФ — ФЧХ, представленной выраже-
нием (27.34) в показательной форме. Воспользуемся для этого фор-
мулой Эйлера:

cos ® 4- i sin ср.	(27.50)

.. £'

Учитывая, что £- = 1, получаем

Н (i«>) = [cps V ((«'<) 4- i sin ср (io*,)]	(27.51)

— выражение ОПФ в тригонометрической форме, где ФЧХ — ее
аргумент;

<Р («г) — ср (.«т,)(14-2/С(тс(/С1 = 0, +1, ±2...), ?(«>Z')'
который удовлетворяет уравнению

. , ч sinv

tg ?<»/) = —Ч-Ц-	27 52

COS?(ci)x,)

Определим ОПФ систему, состоящей из п последовательных
оптических систем, формирующих изображение когерентным светом.
Используем для этого теорему о модуле и аргументе функции комп-
лексного переменного, согласно которой модуль произведения двух
комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент
произведения равен сумме аргументов сомножителей.

В общем виде ОПФ системы выражается

Н (ia>).; = П	(27.оЗ)

J v= 1

При представлении ОПФ показательной форме

и при представлении в тригонометрической

V-П	[-	ч —«	v=n

7/(i(o)s — П cosX ср (<оЛ'), 4- i sin ср (u»v)>
уж)	.	^==‘ 1

(27.54)

(27.55)
В случае использования одинаковых оптических преобразова-
телей с учетом формулы Муавра

Н (i(u)s = [cos п? («4) + isin/г-р («><)].	(27.56)

Анализ полученных выражений показывает, что для получения
общей ОПФ ряда последовательных оптических систем необходи-
мо перемножить ЧКХ каждой системы и просуммировать ФЧХ.
Отмстим, что ФЧХ является периодической функцией (с перио-
дом 2л).

ФЧХ зависит, в основном, от полевых аберраций, ее проявле-
ние выражается несимметричностью ФРТ или ФРЛ. Если такие
явления отсутствуют (например в узкопольных оптических систе-
мах), то

Я(Н(ш^=0 = ^Ц-).	(27.57)

Рассмотренный анализ показывает, что ОПФ является наибо-
лее полной характеристикой оптической системы независимо от
параметров анализатора или любого другого преобразователя
информации изображения (фотопленки, фотометра, оптико-меха-
нической сканирующей системы, телевизионных передатчиков и
приемников и т. д.). Знание ОПФ каждого оптического и электрон-
ного преобразователя сложных систем отображения или информа-

ционно-измерительных систем позволяет сравнительно легко опре-
делить ОПФ всей системы.

Расчет ОПФ проводится с использованием формул (27.45),
(27.51) и (27. 53) численными методами на ЭВМ. Эффективным
способом расчета ОПФ является перерасчет аберраций оптичес-

ких систем в волновые в выходном зрачке с последующим вычи-
слением автокорреляционной функции.

На рис. 283, г показаны рассчитанные на ЭЦВМ ЧКХ — (/)
ФЧХ—(2) оптической системы для ш,= 0. В таком виде обе ха-
рактеристики дают возможность полностью оценить качество опти-
ческой системы для выбранной зоны поля плоскости изображения.
При расчете ОПФ для плоскости, смещенной относительно плоско-
сти изображения или другого значения ш,-, могут быть рассчитаны
также соответствующие характеристики. Таким образом, полная
ОПФ для оптической системы может быть описана большим коли-
чеством ЧКХ и ФЧХ.

С целью упрощения описания ОПФ меньшим количеством па-
раметров в последние десятилетия было предложено ЧКХ оцени-
вать не непрерывными значениями величины а одним числом.

Исследователь Шаде предложил заменить ЧКХ одним числом
Ав (эквивалентной полосой пропускания). Это число соответствует
ширине прямоугольника (от Мх = 0 до NX = NB) по оси абсцисс, вы-
сота которого =1, а площадь равняется площади под ЧКХ.
Такая оценка ЧКХ имеет те же недостатки, что и разрешающая
способность.

Было также предложено для конкретных оптических систем
К' / ' \

пользоваться не всеми значениями (a)xj, а только определенной
полосой пространственных частот, в пределах которой анализатор
воспринимает изображение. После выбранной полосы должно опре-

К'

делиться среднее значение^-, которое является оценочным числом.
Этот способ оценки ЧКХ имеет также общий недостаток с разре-
шающей способностью: зависимость оценки качества оптической
системы от параметров анализатора.

Следующей аналогичной оценкой является критерий критической
пространственной частоты 7VKp. Величина NKp соответствует прост-
ранственной частоте, при которой уменьшается в е раз. При
Nx = NKp — = 0,368. Этот способ оценки ЧКХ принципиально
ничем не отличается от разрешающей способности. Например, по
критерию Релея при Nx = Npa3p = 0,26 или предельной, при =
= Nlipe^- = 0, что соответствует расстоянию между центрами ФРТ,
равному 0,8/?э.

Рассмотренные оценки могут применяться только для сравне-
ния качества оптических систем, имеющих подобные по форме ЧКХ.

Представляется, что наиболее перспективными оценками ЧКХ
с помощью одного числа могут быть такие, которые могут одно-
значно определить количество информации об объекте, преобразо-
ванное оптической системой. Например, для одномерного случая
.(одна «строка») количество информации будет равно

. г . 1

7= j tfjog J-(x)\dx.	(27.58)

х	LA	J

__

Для обеспечения такой оценки ордината ЧКХ (%) должна
представляться логарифмической шкалой.

§ 190. Способы измерения ОПФ

Наряду с расчетными методами в нашей стране и за ру-
бежом разработано большое количество методов измерения ОПФ.
Не останавливаясь на рассмотрении конкретных схем построения
установок для измерения ЧКХ и ФЧХ, рассмотрим обобщенные
схемы измерений.

Рассмотрим три основных метода измерения ОПФ. Первые два
метода построены по принципам, лежащим в основе анализа опти-
ческих систем: спектрального и импульсного. Третий метод пост-
роен также на основе импульсного анализа. Однако в от-
личие от первых двух, в которых основные вычислительные опе-
рации выполняются с помощью электронных блоков, в третьем
методе операции выполняются с помощью оптических элементов,
формирующих когерентное излучение.

На рис. 284 показана обобщенная схема измерения ОПФ, по-
строенная по аналогии со спектральным методом анализа оптичес-
ких систем. Излучение источника света 1 проходит через конден-
сор 2 и концентрируется на периодической линейчатой структу-
ре 3 с переменным шагом (решетке). Далее излучение попадает

Рис. 284. Частотный метод измерения ОПФ

на объектив коллиматора 4, после которого в виде параллельного
светового пучка — на измеряемую оптическую систему (объек-
тив) 5. Этот объектив расположен на поворотной платформе 6,
ось вращения которой проходит через заднюю главную точку
объектива. Изображение решетки проецируется на щелевую диаф-
рагму 7, ширина которой приблизительно на порядок меньше
изображения наименьшего периода изображения. Перед периоди-
ческой структурой часть излучения источника света ответвляется
полупрозрачным зеркалом 9 и на вспомогательный фотоприем-
ник 10. Основной фотоприемник 8 установлен за щелевой диаф-
рагмой.

При работе установки решетка перемещается с помощью при-
вода 11 с постоянной линейной скоростью возвратно-поступатель-
но. Такая решетка может быть нанесена и на барабане. В этом
случае он должен вращаться с постоянной скоростью. В плоскости
щелевой диафрагмы 7 последовательно перемещаются изображе-
ния светлых линий с разной шириной. При контрасте полос решет-
ки К=1 их изображения будут иметь контраст	причем

K'—f(Nx). Электрический сигнал, пропорциональный К', снимае-
мый с фотоприемника 8, усиливается усилителем 12 и делится
в блоке 14 на сигнал, снимаемый с опорного фотоприемника 10
и усиленный усилителем 13. Такая нормировка необходима для
обеспечения стабильности результатов измерения ЧКХ [выраже-
ние (27.34)]. Для измерения ФЧХ с привода 11 снимаются опор-
боз
пые сигналы, фаза которых сравнивается с измерительными сиг-
налами на регистраторе 15. В качестве регистратора может испо-
льзоваться самописец или осциллограф. Изменение угла поля, в
котором измеряется ОПФ оптической системы, осуществляется по-
воротом платформы 6 на требуемый угол. Недостатком описан-
ного метода является использование прецизионных решеток.

На рис. 285 показана схема устройства, построенная по вто-
рому методу. На этой установке может измеряться ОПФ по спо-
собу, описанному уравнением (27.49). Измерения производятся
следующим образом. Источник света 1 проецируется конденсо-
ром 2 на точечную или щелевую диафрагму 3. После объектива 4
)>ронт светового излучения становится плоским (в определенном

Рис. 285. Импульсный метод измерения ОПФ

приближении). Испытуемая оптическая система 5 установлена на
такой же платформе 6, как и в описанной выше схеме установки.
Импульсный отклик образуется в фокальной плоскости оптической
системы 5, его изображение в увеличенном виде проецируется
микрообъективом 7 на щелевую диафрагму 8, которая с помощью
привода 10 сканирует изображение импульсного отклика. ОПФ
регистрируется на анализаторе 13. С выхода фотоприемника 9 сни-
маются сигналы с изменяемой частотой и подаются на усилитель
//, полоса пропускания которого управляется этой частотой. Наи-
более низкая частота сигнала, которую должен пропускать усили-
тель И, должна ориентировочно равняться частоте сканирова-
ния диафрагмы 8. По более высоким частотам, соответствующим
высшим гармоникам пространственных частот изображения
импульсного отклика, происходят разложения в ряд Фурье (в пре-
деле— интеграл Фурье). С привода 10 снимается синхронизиру-
ющий импульс, соответствующий началу фотометрирования изо-
бражения импульсного отклика измеряемой оптической системы,
и направляется на синхронизатор 12. На экране анализатора 13
высвечивается ЧКХ, по положению которой можно судить о ФЧХ.
Нормировка р осуществляется подбором коэффициента усиле-
ния усилителя 11. Описанная схема может иметь большую неста-
бильность параметров по сравнению с предыдущей (см. рис. 284),
поэтому измерения этим методом лучше проводить относительно
эталонных оптических систем.

В отличие от описанной схемы, па рис. 286 показана схема
измерения ОПФ, с использованием когерентного излучения, в ко-
торой спектр пространственных частот импульсного отклика осу-
ществляется самим испытуемым объективом 4, установленным на
платформе 5. Так же как и в предыдущих схемах, объектив коллима-
тора 3 формирует плоский волновой фронт, но в отличие от них

ось качания

Рис. 286. Когерентно-оптический метод измерения ОПФ

здесь используется когерентное излучение лазера 1, которое рас-
ширяется объективом 2 (составляющим с объективом 3 телеско-
пическую систему). Объектив 4 формирует спектр точечной или
щелевой диафрагмы 11 в его передней фокальной плоскости. ЧКХ

является огибающей этого спектра.(Роль сканирующей диафрагмы
6 сводится к фотометрированию энергии спектра в задней фокаль-

ной плоскости объектива 4. Снимаемый с фотоприемника 7 сиг-
нал пропорционален а положение сканирующей диафраг-

мы 6 пропорционально wx. Сигналы, пропорциональные смещению
диафрагмы, снимаются с привода 8 и направляются на регистратор
10 (например двухкоординатный самописец). Сюда же направ-
ляются усиленные усилителем 9 сигналы с фотоприемника 7.
Поскольку в настоящее время получили широкое распространение
лазеры с перестраиваемой длиной волны излучения, описанная
схема является достаточно перспективной.
Список литературы

1.	Апенко М. И., Дубовик А. С. Прикладная оптика. М., Наука, 1971.

2.	Бегунов Б. И., Заказное И. П., Кирюшин С. И., Кузичев В. И. Теория опти-
ческих систем. М., Машиностроение, 1981.

3.	Волосов Д. С. Фотографическая оптика. М., Искусство, 1978.

4.	Русинов М. М. Техническая оптика. Л., Машиностроение, 1979.

5.	Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л., Машиностроение,
1969,

6.	Слюсарев Г. Г. Расчет оптических систем. Л., Машиностроение, 1975.

7.	Турыгин И. А. Прикладная оптика. М., Машиностроение, ч. I, 1965, ч. Н,
1966.

8.	Фефилов Б. В. Прикладная оптика. М., Геодезиздат, 1947.

9.	Чуриловский В. И. Теория оптических приборов. Л., Машиностроение, 1966.

10.	Чуриловский В. Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. Л.,
Машиностроение, 1968.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие......................................................... 3

Введение............................................................ 4

ЧАСТЬ I. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА..................................... 12

Глава 1. Основные законы и понятия геометрической оптики ....	12

§ 1.	Связь геометрической оптики с волновой.......................12

§ 2.	Основные законы геометрической оптики........................14

§ 3.	Гомоцентрический и астигматический пучки лучей.............. 19

§ 4.	Оптическая система.........................................  21

§ 5.	Предмет и изображение........................................22

§ 6.	Правила знаков...............................................24

Глава 2. Оптические материалы.......................................25

§ 7.	Оптические	стекла............................................25

§ 8.	Оптические	кристаллы	и	керамики.............................29

Глава 3. Теория идеальной оптической системы........................32

§ 9.	Идеальная	оптическая	система.................................32

§ 10.	Линейное увеличение...........................................33

§ 11.	Кардинальные точки, главные и фокальные плоскости и фокусные
расстояния..........................................................34

§ 12.	Построение	изображений....................................... 37

§ 13.	Основные формулы для сопряженных точек. Формулы Ньютона
и Гаусса .......................................................... 39

§ 14.	Формула и инвариант Лагранжа—Гельмгольца......................41

§ 15.	Линейное, угловое и продольное увеличения идеальной системы. Уз-
ловые точки. Видимое увеличение.....................................42

§ 16.	Расчет хода л>ча через идеальную систему ........	46

§ 17.	Оптическая система из двух компонентов........................48

§ 18.	Частные случаи системы, состоящей из Двух компонентов ...	53

§ 19.	Оптическая система из трех компонентов и более................58

§ 20.	Изображение наклонных предметов...............................61

Глава 4. Образование изображений преломляющими и отражающими
поверхностями..................................................64

§21.	Условия образования идеального изображения преломляющей по-
верхностью .........................................................64

§ 22.	Уравнения Лагранжа — Гельмгольца н Гершеля для преломляющих
поверхностей........................................................68

§ 23.	Увеличения для системы преломляющих поверхностей ....	71

§ 24.	Преломление лучей сферической поверхностью....................73

§ 25.	Преломление элементарных наклонных пучков лучей...............80

§ 26.	Преломление лучей плоскими поверхностями......................82

§ 27.	Отражение лучей от поверхностей...............................85
Г лава 5. Оптика параксиальных лучей...............................89

§ 28.	Параксиальные лучи. Уравнения для параксиальных	лучей	.	. .	89

§ 29.	Фокусные расстояния преломляющей поверхности.................90

§ 30.	Инварианты для параксиальной области.........................92

§ 31.	Вспомогательные параксиальные лучи...........................94

§ 32.	Формулы для расчета хода первого и второго параксиальных	лучей	96

§33.	Уравнения параксиальных лучей, отнесенных к произвольной паре
сопряженных точек...................................................100

§ 34.	Формулы для определения фокусных расстояний и положения кар- .
динальных точек линзы конечной толщины.............................104

§ 35.	Бесконечно тонкие линзы. Системы из бесконечно тонких линз . . 107

§ 36.	Сферические зеркала..........................................108

§ 37.	Переход от бесконечно тонких линз к линзам конечной толщины 109

Глава 6. Ограничение пучков лучей в оптических системах .... 113

§ 38.	Диафрагмы и их значение......................................113

§ 39.	Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки..............114

§ 40.	Формула Гаусса, отнесенная к зрачкам.........................121

§ 41.	Полевая диафрагма............................................123

§ 42.	Виньетирование. Виньетирующая диафрагма.....................125

§ 43.	Диафрагмы для уменьшения вредного (рассеянного) света .... 128

Глава 7. Прохождение света через оптические системы................131

§ 44.	Поток излучения. Энергетические величины....................131

§ 45.	Видимая область спектра. Световые величины..................135

§ 46.	Коэффициенты отражения, поглощения, рассеяния и пропускания 138

§ 47.	Яркость отраженных и преломленных пучков лучей. Световые
трубки..............................................................141

§ 48.	Потери световой энергии в оптических системах................147

§ 49.	Световой поток, проходящий через оптическую систему .... 150

§ 50.	Освещенность изображения. Светосила.........................152

Глава 8. Расчет хода лучей через оптические системы................155

§ 51.	Расчет хода первого и второго параксиальных лучей...........155

§ 52.	Расчет хода действительных лучей в меридиональной плоскости. . 156

§ 53.	Расчет хода элементарных астигматических пучков лучей .... 157

§ 54.	Виемеридиональный луч и его координаты. Формулы для расчета
хода внемеридиональных лучей........................................159

Ч ACTЬ II. ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ .... 166

Глава 9. Хроматические аберрации...................................168

§ 55.	Классификация хроматических аберраций........................168

§ 56.	Хроматическая аберрация положения изображения — хроматизм
положения..........................................................168

§ 57.	Хроматическая аберрация величины изображения — хроматизм уве-
личения ...........................................................173

§ 58.	Вторичный спектр положения и увеличения.....................178

§ 59.	Зависимость хроматических аберраций от положения входного зрачка 181

§ 60.	Условия нормирования для первого и второго параксиальных лучей 182

§ 61.	Хроматизм систем из тонких компонентов. Основной хроматичес-
кий параметр.......................................................184

§ 62.	Хроматизм линз конечной толщины и бесконечно тонких линз . . 189

§ 63.	Хроматизм плоскопараллельной пластинки.......................194

§ 64.	Хроматические преломляющие поверхности......................1п6

§ 65.	Хроматизм действительных лучей — хроматизм высшего порядка 9
Глава 10. Основные формулы теории монохроматических аберраций . . 203

§ 66.	Общие уравнения для меридиональной и сагиттальной составляю-
щих ...............................................................203

§ 67.	Аберрации первого порядка.................................206

§ 68.	Меридиональная и сагиттальная	составляющие третьего порядка	209

§ 69.	Коэффициенты аберраций третьего	порядка или суммы Зейделя	.	.	215

§ 70.	Геометрическое представление аберраций третьего порядка .	.	.	221

§ 71.	Аберрации высших порядков.................................247

§ 72.	Вычисление аберраций......................................253

§ 73.	Волновые аберрации........................................258

Глава 11. Монохроматические аберрации систем из тонких компонентов
и простых систем.............................................. ...	266

§ 74.	Коэффициенты аберраций третьего порядка системы из тонких ком-
понентов ..........................................................266

§ 75.	Аберрации третьего порядка тонкого компонента.................268

§ 76.	Основные параметры тонкого компонента.........................274

§ 77.	Основные параметры и аберрации линз...........................278

§ 78.	Коэффициенты аберраций и аберрации третьего порядка плоско-
параллельной пластинки.............................................289

§ 79.	Суммирование аберраций........................................292

Глава 12. Термооптические аберрации.................................296

§ 80.	Влияние температурных изменений среды на оптические системы 296

§ 81.	Термооптическая аберрация положения изображения ...... 297

§ 82.	Коэффициент термооптичеокой аберрации положения системы, состо-
ящей из тонких линз, в воздухе.....................................300

§ 83.	Термооптическая аберрация увеличения..........................301

§ 84.	Термооптические аберрации для системы, состоящей из тонких ком-
понентов ..........................................................304

§ 85.	Исправление термооптических аберраций.........................305

§ 86.	Термобарическая дефокусировка изображения.....................306

ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.................................308

Глава 13. Основные характеристики оптических систем.................308

§ 87.	Увеличение (масштаб изображения)..............................308

§ 88.	Поле системы..................................................310

§ 89.	Светосила. Освещенность изображения...........................310

§ 90.	Разрешающая способность. Частотно-контрастная характеристика
(ЧКХ)............................................................311

Глава 14. Оптические детали.........................................316

§ 91.	Линзы.........................................................316

§ 92.	Линзы Френеля. Аксиконы.......................................320

§ 93.	Плоские, сферические и асферические	зеркала...................321

§ 94.	Плоскопараллельная пластинка..................................322

§ 95.	Отражательные призмы..........................................324

§ 96.	Оптические клинья. Компенсаторы.	Бипризма.....................327

§ 97.	Светофильтры . .	 329

§ 98.	Светопроводы и волоконная оптика..............................331

Глава 15. Глаз как оптическая система и приемник излучения . . 333

§ 99.	Устройство глаза...........................................  333

§ 100.	Основные параметры глаза как оптической еиетемы..............335

§ 101.	Аккомодация и рефракция глаза ....	. •..............335

§ 102.	Разрешающая способность и пола гл’аза........................337

§ 103.	Адаптация. Контрастная чувствительность глаза................338

§ 104.	Субъективная яркость изображения прн наблюдении невооруженным
глазом	........................... 339
§ 105.	Спектральная чувствительность глаза. Цветовое зрение .... 339

§ 106.	Недостатки глаза и их исправления.............................340

Глава 16. Фотографические системы .	..........................343

§ 107.	Основные характеристики фотообъективов........................343

§ 108.	Ограничение пучков лучей в фотообъективах....................345

§ 109.	Глубина изображаемого пространства и глубина резкости , . . 346

§ 110.	Передача перспективы.........................................348

к 111. Определение выдержки при фотографировании.....................349

| 112. Оценка качества изображения фотообъектива.....................351

Глава 17. Телескопические системы....................................355

§ 113.	Теория телескопической системы. Основные характеристики . . . 355

§ 114.	Простые зрительные трубы.....................................357

§ 115.	Зрительные трубы с призменными и линзовыми оборачивающими
системами.......................................................... . 359

§ 116.	Телескопические системы переменного увеличения .... 361

§ 117.	Панкратические зрительные трубы..............................364

§ 118.	Зрительные трубы с внутренней фокусировкой...................366

§ 119.	Объективы и окуляры телескопических систем...................368

Глава 18. Лупа и оптическая система микроскопа.......................375

§ 120.	Лупа и ее оптические характеристики..........................375

§ 121.	Типы луп...............................................'. . 376

§ 122.	Теория оптической системы микроскопа.........................376

§ 123.	Ограничение пучков, глубина изображения и перспектива . . . 378

§ 124.	Разрешающая способность и полезное увеличение микроскопа . . 380

§ 125.	Оптические части микроскопов.................................383

§ 126.	Осветительные устройства микроскопов.........................385

§127.	Микроскопы геодезических и измерительных приборов.............386

Глава 19. Проекционные системы.......................................389

§ 123.	Методы оптической проекции. Основные требования к изображению
и экрану. Источники света для проекционных систем....................389

§ 129.	Диаскопические проекционные системы...........................393

§ 130.	Габаритный и светотехнический расчет диаскопической проекции 397

§ 131.	Эпископические проекционные	системы. Эпидиаскопы..............398

§ 132.	Проекционные объективы........................................400

Глава 20. Стереоскопические системы..................................401

§ 133.	Стереоскопическое видение.....................................401

§ 134.	Общие принципы действия стереоскопических приборов .... 403

§ 135.	Стереоскопическая фотография. Пластика при рассматривании сте-
реоспимков в стереоскопе.............................................404

§ 136.	Стереоскопический эффект в микроскопии . .....................406

§ 137.	Способы рассматривания стереопар..............................407

Глава 21. Оптические системы двоякой симметрии.......................410

§ 138.	Характеристики трансформированного изображения................410

§ 139.	Методы образования трансформированных изображений . . . . 411

§ 140.	Цилиндрический обьектив — анаморфот ....	 412

§ 141.	Цилиндрическая а рокальная насадка............................414

§ 142.	Оптические системы фоготрансформаторов................. 415
Глава 22. Оптические системы оптико-электроииых приборов и лазеров 416

$ 143. Оптические системы с электронно-оптическими преобразователями
(ЭОПами)........................................................416

§ 144.	Оптические системы Для уменьшения угла расходимости пучка
лазера..............................................................418

§ 145.	Оптические системы для фокусировки лазерного излучения .	.	420

§ 146.	Согласование пучка лазера с последующей оптической системой. .	422

§ 147.	Оптические системы для обработки фотографической информации
когерентными методами.................................................423

ЧАСТЬ IV. РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ . .	428

Глава 23. Основные этапы расчета оптических систем....................428

§ 148.	Требования, предъявляемые к оптическим системам...............428

§ 149.	Этапы разработки и расчета оптических систем...................430

Глава 24. Габаритный расчет оптических систем ........	432

§ 150.	Задачи габаритного расчета.....................................432

§ 151.	Различные конструкции систем из тонких компонентов.............433

§ 152.	Габаритный расчет простых зрительных труб .....................434

§ 153.	Расчет зрительных труб с оборачивающими системами..............439

§ 154.	Габаритный расчет зрительной трубы с призменной оборачивающей
системой..............................................................444

§ 155.	Расчет отсчетных микроскопов.................................. 447

§ 156.	Расчет объектива зрительной трубы с внутренней фокусировкой 448

Глава 25. Расчет исходного варианта	оптических систем..............452

§ 157.	Общие принципы расчета исходного варианта......................452

§ 158.	Выбор аберраций, подлежащих исправлению........................454

§ 159.	Составление и решение аберрационных уравнений..................455

§ 160.	Особенности расчета исходного варианта систем с небольшим углом
поля	.............................................457

§ 161.	Переход к линзам конечной толщины..............................459

§ 162.	Отдельная линза как оптическая система..................• ,	465

§ 163.	Расчет конденсоров осветительных систем........................469

§ 164.	Формулы расчета продольной и поперечной сферической аберрации
третьего порядка. Определение Диаметра наименьшего кружка рас-
сеивания ...........................................................  481

§ 165.	Расчет линзовых объективов с небольшими угловыми полями . .	483

§ 166.	Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем..................510

§ 167.	Компенсаторы монохроматических аберраций зеркальных систем . ,	525

§ 168.	Расчет зеркально-линзового объектива типа Кассегрена с афокаль-
ным компенсатором в параллельных пучках лучей.........................541

§ 169.	Расчет зеркально-линзовой системы типа Кассегрена с компенсато-
ром в сходящихзя пучках лучей.........................................546

§ 170.	Расчет зеркально-линзового объектива из сферического зеркала
и двухлинзового афокального компенсатора..............................549

§ 171.	Расчет оптической системы «сферическое зеркало с концентрическим
мениском» .	.	..........................................550

Глава 26. Коррекция аберраций. Расчет оптических систем на ЭВМ . .	552

§ 172.	Методы коррекции аберраций. Виды коррекционных параметров . ,	552

§ 173.	Коррекция аберраций методом проб...............................554

§ 174,	Перевчет объективов на плавки стекол...........................558
§ 175.	Пересчет оптических систем на другое	фокусное	расстояние	. . ,	558

§ 176.	Расчет оптических систем на ЭВМ................... ...	559

§ 177.	Основные особенности ЭВМ........................................ 561

§ 178.	Особенности программ, составленных	для	расчета	оптических	систем	563

§ 179.	Общие принципы построения программ для расчета оптических сис-
тем ................................................................. 563

§ 180.	Расчет хода лучей на ЭВМ. Запись исходных Данных для расчета
хода лучей............................................................564

§ 181.	Автоматизированная коррекция простейших оптических систем . .	572

§ 182.	Универсальные методы для автоматического расчета.................575

§ 183.	Перспективы развития автоматизации расчетов......................577

§ 184.	Заключительный этап расчета оптических систем....................579

Глава 27. Методы оценок качества оптических систем......................583

§ 185.	Развитие методов исследования качества оптических систем . . .	584

§ 186.	Формирование светящейся точки и линии идеальной оптической сис-
темой ................................................................587

§ 187.	Разрешающая способность оптической системы.......................590

§ 188.	Частотно-контрастная характеристика ....	-..................593

§ 189.	Оптическая передаточная функция и импульсный	отклик оптической

системы •........................................................594

§ 190.	Способы измерения ОПФ............................................602

Список литературы................................................606
Александр Семенович Дубовик, Михаил Иванович Апенко,
Георгий Васильевич Дурейко, Александр Михайлович Жилкин,
Людмила Алексеевна Запрягаева, Дмитрий Алексеевич Романов,
Инна Сергеевна Свешникова

ПРИКЛАДНАЯ ОПТИКА

Редактор издательства Н. Т. Куприна

Переплет художника В. П. Христианина

Художественный редактор Е. Л. Юрковская

Технический редактор Е. С Сычева
Корректор Т. Ю. Шульц

ПБ № 3160

Сдано в набор 02.12.81. Подписано в печать 22.06.82. Т-09778. Формат 60x90/i6. Бумага
типографская № 2. Гарнитура «Литературная». Печать высокая. Усл. печ. л. 38.5

Усл. кр.-отт. 38,5. Уч.-изд. л. 39,0. Тираж 3700 эка Заказ 1-446/7495—15. Цена 1 р. 70 к
Орлена «Знак Почета» издательство «Недра». 103633. Москва, К-12, Третьяковский
прокаъ 1/19

Харьковская книжная фабрика «Коммунист*. 310012, Харьков-12, Энгельса, 11